GRANICA FUNKCJI
Definicja
Niech x0 ∈ R. Sąsiedztwem o promieniu r > 0 punktu x0 nazywamy zbiór
S(x0 , r) = (x0 − r, x0 + r) \ {x0 }.
Zbiór S(x−
0 , r) = (x0 − r, x0 ) nazywamy lewostronnym sąsiedztwem o promieniu r > 0 punktu x0 , a
+
zbiór S(x0 , r) = (x0 , x0 + r) nazywamy prawostronnym sąsiedztwem o promieniu r > 0 punktu x0 .
+
Często piszemy w skrócie: S(x0 ), S(x−
0 ), S(x0 ).
Definicja (Heinego granicy właściwej w punkcie)
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0 ). Mówimy, że liczba
g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x0 , jeżeli spełniony jest warunek:
∀(xn )⊂S(x0 ) lim xn = x0 =⇒ lim f (xn ) = g .
n→∞
n→∞
Piszemy wtedy lim f (x) = g.
x→x0
f(x)
f( x1 )
f(x2 )
f( x 4)
g
f( x3 )
x3 x0 x 4 x2
x1
x
Rysunek 1: Interpretacja geometryczna definicji Heinego granicy funkcji w punkcie
Rysunek 1 przedstawia wykres funkcji f z zaznaczonym na osi odciętych punktem x0 , w którym funkcja
nie ma wartości, ale w sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę g. Chcemy
pokazać, że liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0 . W tym celu wybieramy kolejne wyrazy ciągu
argumentów funkcji f : x1 , x2 , x3 , . . . różne od x0 , który ma granicę x0 i zaznaczamy na osi rzędnych
wartości funkcji f dla tych argumentów. Sprawdzamy, czy ciąg wartości funkcji f (xn ) lokalizuje się wokół
liczby g. Jeżeli tak jest, to spełniony jest warunek definicji Heinego.
Uwaga
0
00
Z definicji Heinego wynika, że jeśli znajdziemy dwa ciągi (xn ), (xn ) o wyrazach różnych od x0 (czyli nale0
00
żące do S(x0 )) zbieżne do x0 , ale takie, że lim f (xn ) 6= lim f (xn ), to granica lim f (x) nie istnieje.
n→∞
n→∞
x→x0
Definicja (Cauchy’ego granicy właściwej w punkcie)
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0 ). Mówimy, że liczba
g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x0 , jeżeli spełniony jest warunek:
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈S(x0 ) [ |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − g| < ε ] .
Piszemy wtedy x→x
lim f (x) = g.
0
Rysunek 2: Interpretacja geometryczna definicji Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie
Na Rysunku 2 widzimy wykres funkcji f z zaznaczonym na osi odciętych punktem x0 , w którym funkcja
nie ma wartości, ale w sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę g. Chcemy
pokazać, że liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0 . W tym celu bierzemy dowolne ε > 0 i wyznaczamy
przedział (g − ε, g + ε), który przedłużamy do pasa wzdłuż osi odciętych. Wyznaczamy punkty przecięcia
prostych y = g − ε i y = g + ε z wykresem funkcji f , które rzutujemy prostopadle na oś odciętych. Przez δ
oznaczymy najmniejszą z odległości zrzutowanych punktów od punktu x0 . Pokazujemy, że dla dowolnego
argumentu x należącego do przedziału (x0 − δ, x0 + δ) wartość funkcji f dla tego argumentu f (x) wpada
do przedziału (g − ε, g + ε), co spełnia warunki definicji Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie.
Uwaga
Definicja Heinego i Cauchy’ego są równoważne.
Jeżeli w określeniu granicy właściwej funkcji f w punkcie x0 zastąpimy sąsiedztwo S(x0 ) tego punktu
+
przez sąsiedztwo lewostronne S(x−
0 ) albo prawostronne S(x0 ), to otrzymamy określenie granicy jednostronnej, odpowiednio lewostronnej albo prawostronnej.
Definicja (Cauchy’ego granicy lewostronnej właściwej w punkcie)
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x−
0 ). Mówimy, że liczba
g jest granicą właściwą lewostronną funkcji f w punkcie x0 , jeżeli spełniony jest warunek:
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈S(x−0 ) [ 0 < x0 − x < δ =⇒ |f (x) − g| < ε ] .
Piszemy wtedy lim− f (x) = g.
x→x0
Rysunek 3: Interpretacja geometryczna definicji Cauchy’ego granicy lewostronnej funkcji w punkcie
Rysunek 3 przedstawia wykres funkcji f z zaznaczonym na osi odciętych punktem x0 , w którym funkcja
nie ma wartości, ale w lewostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę
g. Chcemy pokazać, że liczba g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0 . W tym celu bierzemy
dowolne ε > 0 i wyznaczamy przedział (g − ε, g + ε), który przedłużamy do pasa wzdłuż osi odciętych.
Wyznaczamy punkty przecięcia prostych y = g − ε i y = g + ε z wykresem funkcji f , które rzutujemy
prostopadle na oś odciętych. Przez δ oznaczymy odległość punktu x0 od tego ze zrzutowanych punktów,
który leży na lewo od punktu x0 . Pokazujemy, że dla dowolnego argumentu x należącego do przedziału
(x0 − δ, x0 ) wartość funkcji f dla tego argumentu f (x) wpada do przedziału (g − ε, g + ε), co spełnia
warunki definicji Cauchy’ego granicy lewostronnej funkcji w punkcie.
Definicja (Cauchy’ego granicy prawostronnej właściwej w punkcie)
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x+
0 ). Mówimy, że liczba
g jest granicą właściwą prawostronną funkcji f w punkcie x0 , jeżeli spełniony jest warunek:
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈S(x+ ) [ 0 < x − x0 < δ =⇒ |f (x) − g| < ε ] .
0
Piszemy wtedy lim+ f (x) = g.
x→x0
Rysunek 4: Interpretacja geometryczna definicji Cauchy’ego granicy prawostronnej funkcji w punkcie
Rysunek 4 przedstawia wykres funkcji f z zaznaczonym na osi odciętych punktem x0 , w którym funkcja nie ma wartości, ale w prawostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono
liczbę g. Chcemy pokazać, że liczba g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0 . W tym celu
bierzemy dowolne ε > 0 i wyznaczamy przedział (g − ε, g + ε), który przedłużamy do pasa wzdłuż osi
odciętych. Wyznaczamy punkty przecięcia prostych y = g − ε i y = g + ε z wykresem funkcji f , które
rzutujemy prostopadle na oś odciętych. Przez δ oznaczymy odległość punktu x0 od tego ze zrzutowanych
punktów, który leży na prawo od punktu x0 . Pokazujemy, że dla dowolnego argumentu x należącego do
przedziału (x0 , x0 + δ) wartość funkcji f dla tego argumentu f (x) wpada do przedziału (g − ε, g + ε), co
spełnia warunki definicji Cauchy’ego granicy lewostronnej funkcji w punkcie.
Definicja (Heinego właściwej granicy lewostronnej funkcji w punkcie)
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x−
0 ). Mówimy, że liczba
g jest granicą właściwą lewostronną funkcji f w punkcie x0 , jeżeli spełniony jest warunek:
∀(xn )⊂S(x−0 ) lim xn = x0 =⇒ lim f (xn ) = g .
n→∞
n→∞
Piszemy wtedy lim− f (x) = g.
x→x0
Rysunek 5: Interpretacja geometryczna definicji Heinego granicy lewostronnej funkcji w punkcie
Rysunek 5 przedstawia wykres funkcji f z zaznaczonym na osi odciętych punktem x0 , w którym funkcja
nie ma wartości, ale w lewostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę
g. Chcemy pokazać, że liczba g jest lewostronną granicą funkcji f w punkcie x0 . W tym celu wybieramy
kolejne wyrazy ciągu argumentów funkcji f : x1 , x2 , x3 , . . . mniejsze od x0 , który ma granicę x0 i zaznaczamy na osi rzędnych wartości funkcji f dla tych argumentów. Sprawdzamy, czy ciąg wartości funkcji f (xn )
lokalizuje się wokół liczby g. Jeżeli tak jest, to spełniony jest warunek definicji Heinego.
Definicja (Heinego właściwej granicy prawostronnej funkcji w punkcie)
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x+
0 ). Mówimy, że liczba
g jest granicą właściwą prawostronną funkcji f w punkcie x0 , jeżeli spełniony jest warunek:
∀(xn )⊂S(x+ ) lim xn = x0 =⇒ lim f (xn ) = g .
0
Piszemy wtedy lim+ f (x) = g.
x→x0
n→∞
n→∞
Rysunek 6: Interpretacja geometryczna definicji Heinego granicy prawostronnej funkcji w punkcie
Rysunek 6 przedstawia wykres funkcji f z zaznaczonym na osi odciętych punktem x0 , w którym funkcja
nie ma wartości, ale w prawostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono
liczbę g. Chcemy pokazać, że liczba g jest prawostronną granicą funkcji f w punkcie x0 . W tym celu
wybieramy kolejne wyrazy ciągu argumentów funkcji f : x1 , x2 , x3 , . . . większe od x0 , który ma granicę
x0 i zaznaczamy na osi rzędnych wartości funkcji f dla tych argumentów. Sprawdzamy, czy ciąg wartości
funkcji f (xn ) lokalizuje się wokół liczby g. Jeżeli tak jest, to spełniony jest warunek definicji Heinego.
Definicja (Cauchy’ego granicy niewłaściwej w punkcie)
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0 ).
ˆ Mówimy, że funkcja f ma granicę niewłaściwą +∞ w punkcie x0 , jeżeli spełniony jest warunek:
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈S(x0 ) [ |x − x0 | < δ =⇒ f (x) > ε ] .
Piszemy wtedy lim f (x) = +∞.
x→x0
ˆ Mówimy, że, że funkcja f ma granicę niewłaściwą −∞ w punkcie x0 , jeżeli spełniony jest warunek:
∀ε<0 ∃δ>0 ∀x∈S(x0 ) [ |x − x0 | < δ =⇒ f (x) < ε ] .
Piszemy wtedy x→x
lim f (x) = −∞.
0
Jeżeli w definicji Heinego granicy właściwej funkcji f w punkcie x0 przyjmiemy g = +∞ albo g = −∞,
to otrzymamy definicję Heinego granicy niewłaściwej +∞ albo −∞ funkcji f w punkcie x0 , zatem mamy:
Definicja (Heinego granicy niewłaściwej w punkcie)
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0 ).
ˆ Mówimy, że funkcja f ma granicę niewłaściwą +∞ w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
∀(xn )⊂S(x0 ) n→∞
lim xn = x0 =⇒ n→∞
lim f (xn ) = +∞
Piszemy wtedy lim f (x) = +∞.
x→x0
ˆ Mówimy, że funkcja f ma granicę niewłaściwą −∞ w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
∀(xn )⊂S(x0 ) n→∞
lim xn = x0 =⇒ n→∞
lim f (xn ) = −∞
Piszemy wtedy lim f (x) = −∞.
x→x0
Rysunek 7: Interpretacja geometryczna granicy niewłaściwej funkcji w punkcie
Rysunek 7 przedstawia wykres funkcji określonej w sąsiedztwie liczby 10 oraz metodę wyznaczania granicy
niewłaściwej funkcji w punkcie x0 = 10 korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg
zbieżny do x0 = 10 (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a
następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących
wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny
do +∞ ,to funkcja ma granicę niewłaściwą +∞ w punkcie x0 = 10 , co zachodzi w przypadku badanej
funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu y = A znajdziemy sąsiedztwo punktu x0 = 10 takie, że dla argumentów z tego sąsiedztwa
wykres funkcji leży powyżej prostej.
Definicja (Heinego niewłaściwej granicy lewostronnej funkcji w punkcie)
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x−
0 ). Mówimy, że funkcja
f ma granicę lewostronną w punkcie x0 równą ±∞, jeżeli spełniony jest warunek:
∀(xn )⊂S(x−0 )
lim xn = x0 ⇒ n→∞
lim f (xn ) = ±∞ .
n→∞
Piszemy wtedy lim− f (x) = ±∞.
x→x0
Definicja (Heinego niewłaściwej granicy prawostronnej funkcji w punkcie)
Niech x0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x+
0 ). Mówimy, że funkcja
f ma granicę prawostronną w punkcie x0 równą ±∞, jeżeli spełniony jest warunek:
lim f (x) = ±∞ wtedy i tylko wtedy, gdy ∀(xn )⊂S(x+0 )
x→x+
0
Piszemy wtedy lim+ f (x) = ±∞.
x→x0
lim xn = x0 ⇒ n→∞
lim f (xn ) = ±∞
n→∞
Rysunek 8: Interpretacja geometryczna definicji Heinego niewłaściwej granicy prawostronnej
Rysunek 8 przedstawia wykres funkcji określonej w prawostronnym sąsiedztwie liczby 0 oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w punkcie x0 = 0 korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych
wybieramy ciąg zbieżny do x0 = 0 (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji
(czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli
jest to ciąg rozbieżny do +∞ , to funkcja ma granicę niewłaściwą +∞ w punkcie x0 = 0, co zachodzi w
przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać,
czy dla dowolnej prostej o równaniu y = A znajdziemy prawostronne sąsiedztwo punktu x0 = 0 takie, że
dla argumentów z tego sąsiedztwa wykres funkcji leży powyżej prostej.
Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy funkcji)
Funkcja f ma w punkcie x0 granicę właściwą równą g wtedy i tylko wtedy, gdy
lim f (x) = lim+ f (x) = g.
x→x−
0
x→x0
Wtedy x→x
lim f (x) = g.
0
Uwaga
Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy funkcji prawdziwy jest również dla granic niewłaściwych funkcji w punkcie.
Przykład
5
.
Zbadać istnienie granicy limx→1 |x−1|
5
3
x −x
Rozwiązanie
Badamy granice jednostronne funkcji w punkcie x0 = 1 uwzględniając znak wyrażenia pod wartością
bezwzględną
n
x−1, gdy x­1
|x − 1| = −(x−1),
.
gdy x<1
"
#
"
#
|x − 1|5
(x − 1)5
(x − 1)5
(x − 1)4
0
lim
= lim+ 5
= lim+ 3 2
= lim+ 3
=
=0
x→1+ x5 − x3
x→1 x − x3
x→1 x (x − 1)
x→1 x (x + 1)
1 · (1 + 1)
|x − 1|5
−(x − 1)5
−(x − 1)5
−(x − 1)4
0
lim− 5
=
lim
=
lim
=
lim
=
=0
x→1 x − x3
x→1− x5 − x3
x→1− x3 (x2 − 1)
x→1− x3 (x + 1)
1 · (1 + 1)
5
Obydwie granice jednostronne są równe 0, czyli limx→1 |x−1|
= 0.
x5 −x3
Definicja (Heinego granicy właściwej funkcji w nieskończoności)
ˆ Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (a, ∞). Mówimy, że liczba g jest granicą
właściwą funkcji w +∞, jeśli
∀(xn )⊂(a,∞) n→∞
lim xn = +∞ =⇒ n→∞
lim f (xn ) = g .
Piszemy wtedy lim f (x) = g.
x→+∞
ˆ Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (−∞, a). Mówimy, że liczba g jest
granicą właściwą funkcji w −∞
∀(xn )⊂(−∞,a) n→∞
lim xn = −∞ =⇒
lim f (xn ) = g .
n→−∞
Piszemy wtedy lim f (x) = g.
x→−∞
Rysunek 9: Interpretacja geometryczna granicy właściwej funkcji w ∞
Rysunek 9 przedstawia wykres funkcji określonej w przedziale [0, +∞] oraz metodę wyznaczania granicy
funkcji w nieskończoności korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg rozbieżny do
+∞ (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami
wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg zbieżny, to funkcja
ma granicę w nieskończoności, co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można
tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy znajdziemy prostą o równaniu y = g, do której wykres
funkcji zbliża się nieograniczenie wraz ze wzrostem wartości argumentów.
Definicja (Heinego granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności)
ˆ Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (a, ∞). Mówimy, że funkcja f ma w +∞
granicę niewłaściwą +∞, jeśli
∀(xn )⊂(a,∞) lim xn = +∞ =⇒ lim f (xn ) = +∞ .
n→∞
n→∞
Piszemy wtedy lim f (x) = +∞.
x→+∞
ˆ Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (a, ∞). Mówimy, że funkcja f ma w +∞
granicę niewłaściwą −∞, jeśli
∀(xn )⊂(a,∞) lim xn = +∞ =⇒ lim f (xn ) = −∞ .
n→∞
Piszemy wtedy lim f (x) = −∞.
x→+∞
n→∞
ˆ Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (−∞, a). Mówimy, że funkcja f ma
w −∞ granicę niewłaściwą +∞ , jeśli
∀(xn )⊂(−∞,a) n→∞
lim xn = −∞ =⇒
lim f (xn ) = +∞ .
n→−∞
Piszemy wtedy lim f (x) = +∞.
x→−∞
ˆ Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na przedziale (−∞, a). Mówimy, że funkcja f ma
w −∞ granicę niewłaściwą −∞, jeśli
∀(xn )⊂(−∞,a) n→∞
lim xn = −∞ =⇒
lim f (xn ) = −∞ .
n→−∞
Piszemy wtedy lim f (x) = −∞.
x→−∞
Rysunek 10: Interpretacja geometryczna granicy niewłaściwej funkcji w +∞
Rysunek 10 przedstawia wykres funkcji określonej w całym zbiorze liczb rzeczywistych oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności, korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych
wybieramy ciąg rozbieżny do +∞ (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji
(czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli
jest to ciąg rozbieżny do +∞, to funkcja ma w nieskończoności granicę niewłaściwą +∞, co zachodzi w
przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać,
czy dla dowolnej prostej o równaniu y = A znajdziemy na osi odciętych przedział (a, +∞) taki, że dla
argumentów z tego przedziału wykres funkcji leży powyżej prostej.
Symbolem oznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i które daje zawsze taki sam wynik niezależny od typu funkcji, w granicy której
otrzymuje się dany symbol graniczny.
Symbolem nieoznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań
wykonywanych na granicach i którego wartości nie da się jednoznacznie obliczyć na podstawie jedynie
granic funkcji składowych, z których powstaje symbol graniczny i wynik zależy od typu funkcji, w granicy
której otrzymuje się dany symbol graniczny.
Do obliczania symboli oznaczonych służą odpowiednie twierdzenia podające wartości konkretnych symboli
granicznych. Nie istnieją natomiast ogólne twierdzenia pozwalające obliczyć wartość symbolu nieoznaczonego i w każdym przypadku indywidualnie należy, stosując odpowiednie przekształcenie algebraiczne,
zamienić symbol nieoznaczony na oznaczony. Jedną z metod stosowanych do obliczania granic funkcji,
które prowadzą do symbolu nieoznaczonego, jest odpowiednie zastosowanie reguły de l’Hospitala.
Twierdzenie (o symbolach oznaczonych)
Niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Symbolami oznaczonymi są
[±∞ + a] = ±∞
(
[a · (±∞)] =
±∞, dla a > 0
∓∞, dla a < 0
[±∞ · (±∞)] = +∞
[±∞ · (∓∞)] = −∞
a
=
0±
a
=0
±∞
(
±∞, dla a > 0
∓∞, dla a < 0
(
±∞, dla a > 0
0, dla a < 0
a
[∞ ] =
[∞∞ ] = ∞
gdzie symbol [0+ ] oznacza granicę funkcji o wartościach dodatnich, która wynosi zero, a symbol [0− ] granicę funkcji o wartościach ujemnych, która wynosi zero.
Przykład
Obliczyć granicę limx→∞ xx+1
2 +1 .
Rozwiązanie:
1
x 1 + x1
1 + x1
1
1 1+ ∞
1+0
x+1
= lim
=
= lim
·
·
lim
= 0·
= 0.
1
x→∞ 2
x→∞ x
x→∞ x2 + 1
∞ 1+ ∞
1+0
x 1 + 12
1 + 12
x
"
#
x
Przykład
2x +xx
Obliczyć granicę limx→∞ 2 4x−1
.
Rozwiązanie:
22x + xx
4x
xx
lim
=
lim
+
x→∞
x→∞ 4x · 1
4x−1
4x · 14
4
!
= lim
x→∞
4+4·
x x
4
= 4+4·
Twierdzenie (o symbolach nieoznaczonych)
Symbolami nieoznaczonymi są
h
i h i
0
∞
,
, [0 · ∞] , ∞0 , 00 , [1∞ ] .
0
∞
∞
4
∞ = [4 + ∞] = ∞.
Przykład
h i
∞
Pokażemy, że symbol ∞
jest nieoznaczony.
h
Znajdziemy dwie funkcje, które w granicach dają ten sam symbol graniczny
"
"
∞
∞
i
, ale różne wyniki końcowe
2
1
x2 1 − x22
∞
x2 − 2
1 1 − x2
1 1− ∞
= lim
=
=
·
·
= lim
=0
lim 3
1
x→∞ 3
x→∞ x − 3
x→∞ x
∞
∞ 1− ∞
x 1 − 33
1 − 33
x
#
x
1
1 − x33
x3 1 − x33
1− ∞
x3 − 3
∞
= lim x · = ∞·
lim 2
=
=∞
= x→∞
lim
1
x→∞
x→∞ x − 2
∞
1− ∞
x2 1 − 22
1 − 22
x
#
x
Różne wyniki dowodzą, że nie da się w sposób jednoznaczny okreslić wartości symbolu
h
∞
∞
i
.
Uwaga
Twierdzenia o symbolach oznaczonych i nieoznaczonych stosują się też do granic jednostronnych.
Przykład
x−sin2 x
.
Zbadać istnienie granicy limx→ π2 cos 2x−π
Rozwiązanie:
Badamy granice jednostronne w punkcie x0 = π2 :
cos x − sin2 x
−1
limπ
= − = +∞
x→ 2
2x − π
0
cos x − sin2 x
−1
lim
= + = −∞
π+
2x − π
0
x→ 2
2
x
− sin x
Ponieważ granice jednostronne są różne, więc limπ cos 2x−π
nie istnieje.
x→ 2
Przykład
1
Obliczyć granice jednostronne funkcji f (x) = 2 2−x w punkcie x0 = 2.
Pomocniczo obliczymy granice jednostronne wykładnika
1
1
= + = +∞
2−x
0
lim−
x→2
1
1
lim+
= − = −∞
x→2 2 − x
0
x
Skorzystamy z wykresu funkcji wykładniczej 2 , z którego odczytujemy
lim 2x = +∞ i lim 2x = 0.
x→−∞
x→+∞
Zatem
1
lim− 2 2−x = +∞
x→2
1
lim+ 2 2−x = 0.
x→2
Twierdzenie (o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji)
Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie x0 , to
lim f (x) + g(x) = x→x
lim f (x) + x→x
lim g(x)
x→x
0
0
0
lim f (x) − g(x) = lim f (x) − lim g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
lim f (x) · g(x) = lim f (x) · lim g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
lim f (x)
f (x)
x→x0
=
, o ile g(x) 6= 0
x→x0 g(x)
lim
g(x)
x→x
lim
0
h
i
lim f (x)g(x) =
x→x
0
h
ilimx→x g(x)
lim f (x)
x→x
0
.
0
Uwaga
Powyższe twierdzenie stosuje się również do granic jednostronnych w punkcie oraz granic w nieskończoności. W przypadku, gdy jedna lub obydwie funkcje mają granice niewłaściwe działania arytmetyczne na
granicach tych funkcji prowadzą do symboli oznaczonych lub nieoznaczonych.
Przykład
Obliczyć granicę
ln(2x + 3) + x
lim √ 3
.
x→−1
2x − 5x + 1 − 3x
Rozwiązanie:
Z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji obliczamy granice:
lim (2x + 3) = 2 · (−1) + 3 = 1,
x→−1
lim (2x3 − 5x + 1) = 2 · (−1)3 − 5 · (−1) + 1 = 4.
x→−1
Funkcja f (x) = ln x jest określona w otoczeniu punktu 1 i
lim ln(2x + 3) = ln 1 = 0,
x→−1
a funkcja
√
x jest określona w otoczeniu punktu 4 i
√
√
lim 2x3 − 5x + 1 = 4 = 2.
x→−1
Z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji obliczamy granicę
0−1
1
ln(2x + 3) + x
=− .
lim √ 3
=
x→−1
2 − 3 · (−1)
5
2x − 5x + 1 − 3x
Twierdzenie (o dwóch funkcjach)
Jeżeli dla wszystkich x z pewnego sąsiedztwa punktu x0 zachodzi nierówność f (x) ¬ g(x) oraz istnieją
granice x→x
lim f (x) i x→x
lim g(x), to
0
0
lim f (x) ¬ x→x
lim g(x).
x→x0
0
Uwaga
Powyższe twierdzenie zachodzi również dla granic jednostronnych i wtedy w założeniach odpowiednią nierówność badamy w sąsiedztwie jednostronnym punktu x0 , a także dla granic w nieskończonościach i wtedy
nierówność badamy dla argumentów większych od pewnej liczby M , w przypadku +∞, albo dla argumentów mniejszych od pewnej liczby M , w przypadku −∞.
Przykład
Obliczyć granicę
1
lim− e 1−x (2 + cos((x − 1)−2 + 1)).
x→1
Rozwiązanie:
Ponieważ
1
lim− ((x − 1)−2 + 1) = [ + + 1] = +∞,
x→1
0
a funkcja cos x nie ma granicy w +∞, nie możemy skorzystać z twierdzenia o działaniach arytmetycznych
na granicach funkcji . Skorzystamy z twierdzenia o dwóch funkcjach i nierówności cos x ­ −1. Mamy
1
1
e 1−x = e 1−x (2 − 1)
¬
1
e 1−x (2 + cos((x − 1)−2 + 1)).
dla x∈R
1
1
Granica lim− 1−x
= +∞, czyli lim− e 1−x = +∞, a zatem granica funkcji o wartościach większych lub
x→1
x→1
1
równych wartościom funkcji e 1−x w lewostronnym sąsiedztwie punktu 1 nie może być mniejsza, a zatem
1
lim− e 1−x (2 + cos((x − 1)−2 + 1)) = +∞.
x→1
Twierdzenie (o trzech funkcjach)
Jeżeli dla wszystkich x z pewnego sąsiedztwa punktu x0 zachodzą nierówności f (x) ¬ g(x) ¬ h(x) oraz
lim f (x) = lim h(x) = g, to lim g(x) = g.
x→x0
x→x0
x→x0
Uwaga
Twierdzenie o trzech funkcjach zachodzi również dla granic jednostronnych i wtedy w założeniach odpowiednie nierówności badamy w sąsiedztwie jednostronnym punktu x0 , a także dla granic w nieskończonościach i wtedy nierówności badamy dla argumentów większych od pewnej liczby M , w przypadku +∞,
albo dla argumentów mniejszych od pewnej liczby M , w przypadku −∞.
Przykład
Obliczyć granicę
3x − sin x
.
x→−∞ 2x + cos x
lim
Rozwiązanie:
Ponieważ dla x → −∞ funkcje sin x oraz cos x nie mają granic, zastosujemy twierdzenie o trzech funkcjach
pamiętając, że zbiorem wartości funkcji sinus i cosinus jest przedział [−1, 1].
3x − sin x
3x + 1
3x − 1
¬
¬
.
2x + 1 dla x∈R 2x + cos x dla x∈R 2x − 1
Zauważamy, że funkcja wykładnicza ( 23 )x ma w −∞ granicę równą 0. Obliczamy granice funkcji skrajnych
3x − 1
3
lim x
= lim
x→−∞ 2 + 1
x→−∞ 2
!x
1 − ( 13 )x
1−0
= 0,
1 x = 0·
1+0
1 + (2)
3x + 1
3
lim x
= lim
x→−∞ 2 − 1
x→−∞ 2
!x
1 + ( 13 )x
1+0
= 0.
1 x = 0·
1−0
1 − (2)
Ponieważ w dowolnym przedziale (−∞, M ) zachodzą nierówności pomiędzy wartościami trzech funkcji i
granice funkcji skrajnych w −∞ są takie same, to
3x − sin x
= 0.
x→−∞ 2x + cos x
lim
Twierdzenie (o zamianie zmiennej w granicy)
Jeżeli funkcja f (x) jest określona w sąsiedztwie punktu x0 , x→x
lim f (x) = y0 i w pewnym sąsiedztwie punktu
0
x0 wartości funkcji y = f (x) są różne od y0 oraz funkcja g(y) jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu
y0 i ma granicę w tym punkcie, to x→x
lim g(f (x)) = y→y
lim g(y),
0
gdzie y = f (x).
0
Uwaga
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnych i granic w nieskończonościach.
Należy jednak zwracać uwagę na to, gdzie określona jest funkcja f (x), dla argumentów należących do jednostronnego sąsiedztwa punktu x0 w przypadku granic jednostronnych, albo do przedziałów jednostronnie
nieograniczonych w przypadku granic w nieskończonościach.
Przykład
x+1
2x+2
arcsin 2x−3
.
Obliczyć granicę lim 2x−3
x→∞
Rozwiązanie:
x+1
Dokonajmy zamiany zmiennej w badanej funkcji. Niech y = 2x−3
. Obliczamy granicę nowej zmiennej
lim
x→∞
x(1 + x1 )
1
x+1
= x→∞
lim
3 = .
2x − 3
2
x(2 − x )
2x+2
Zapisujemy funkcję 2x−3
jako funkcję nowej zmiennej w postaci funkcji 2y. Funkcje 2y i arcsin y są określone w otoczeniu punktu 12 . Korzystamy z twierdzenia o zamianie zmiennej w granicy pamiętając, że
lim1 arcsin y = π6 .
y→ 2
x+1
π
π
2x + 2
arcsin
= lim1 (2y · arcsin y) = 1 · = .
x→∞ 2x − 3
2x − 3 y→ 2
6
6
lim
Podamy kilka ważnych granic funkcji:
1
lim (1 + x) x = e
x→0
ex − 1
=1
x→0
x
ax − 1
lim
= ln a dla a > 0
x→0
x
ln(x + 1)
=1
lim
x→0
x
sin x
lim
=1
x→0 x
tg x
lim
=1
x→0 x
arcsin x
lim
=1
x→0
x
arctg x
lim
=1
x→0
x
lim
Przykład
Obliczyć granicę lim (1 + sin x)2 ctg x .
x→0
Rozwiązanie:
Zauważamy, że
2 cos x
1
lim (1 + sin x)2 ctg x = [1∞ ] = lim (1 + sin x) sin x = lim [(1 + sin x) sin x ]2 cos x .
x→0
x→0
x→0
1
Aby obliczyć granicę lim (1 + sin x) sin x dokonujemy zamiany zmiennej y = sin x i obliczamy granicę
x→0
lim sin x = 0. Korzystamy z twierdzenia o zamianie zmiennych w granicy otrzymując
x→0
1
1
lim (1 + sin x) sin x = lim (1 + y) y = e.
x→0
y→0
Wiemy również, że funkcja cos x ma w punkcie zero granicę równą jeden, a zatem
1
lim [(1 + sin x) sin x ]2 cos x = e2 .
x→0
Przykład
4x
.
Obliczyć granicę lim arcsin
sin 2x
x→0
Rozwiązanie:
" #
arcsin 4x
0
arcsin 4x
2x
4
lim
=
= lim
·
· .
x→0 sin 2x
x→0
0
4x
sin 2x 2
4x
W celu obliczenia granicy lim arcsin
dokonujemy zamiany zmiennej podstawiając y = 4x, przy czym
4x
x→0
lim 4x = 0, a w celu obliczenia granicy lim sin2x2x dokonujemy zamiany zmiennej podstawiając y = 2x, przy
x→0
x→0
czym lim 3x = 0. Mamy zatem
x→0
2x
4
arcsin 4x
1
4
4
arcsin 4x
·
· = lim
· sin 2x · = 1 · 1 · = 2.
x→0
4x
sin 2x 2 x→0
4x
2
2
2x
lim
ASYMPTOTY FUNKCJI
Asymptoty pionowe
Definicja Niech funkcja f będzie określona w lewostronnym sąsiedztwie punktu x0 6∈ Df . Prostą x = x0
nazywamy asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji y = f (x), jeżeli granica lewostronna funkcji f w punkcie x0 jest niewłaściwa, tzn. limx→x−0 f (x) = ±∞.
Definicja
Niech funkcja f będzie określona w prawostronnym sąsiedztwie punktu x0 6∈ Df . Prostą x = x0 nazywamy
asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji y = f (x), jeżeli granica prawostronna funkcji f w
punkcie x0 jest niewłaściwa, tzn. limx→x+ f (x) = ±∞.
0
Uwaga
Jeżeli prosta x = x0 jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną wykresu funkcji f ,
to nazywamy ją asymptotą pionową obustronną.
Z powyższych definicji wynika, że dla argumentów zbliżających się do punktu x0 od strony lewej lub prawej, wykres funkcji nieograniczenie (asymptotycznie) zbliża się do prostej x = x0 nigdy jej nie dotykając.
Poszukiwania prostych które mogą być asymptotami pionowymi wykresu funkcji f zaczynamy od wyznaczania punktów, które nie należą do dziedziny funkcji, ale w sąsiedztwie lewo lub prawostronnym których
funkcja jest określona, a następnie obliczamy odpowiednie granice jednostronne, aby sprawdzić, czy są to
granice niewłaściwe.
Rysunek 11: Asymptota pionowa obustronna
Rysunek 11 przedstawia wykres funkcji, dla którego prosta o równaniu x = 1 jest asymptotą pionowa obustronną. Rzeczywiście zauważamy, że punkt x = 1 nie należy do dziedziny funkcji, a granica lewostronna w
punkcie x = 1 jest niewłaściwa i wynosi −∞ oraz granica prawostronna w punkcie x = 1 jest niewłaściwa
i wynosi +∞.
Przykład
Wyznaczyć asymptoty pionowe wykresu funkcji f (x) = √x−3
.
x2 −9
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji Df = (−∞, −3) ∪ (3, ∞). Funkcja jest określona w lewostronnym sąsiedztwie punktu −3 i prawostronnym sąsiedztwie punktu 3, przy czym obydwa punkty nie należą do dziedziny
funkcji. Badamy, czy istnieją asymptoty pionowe: lewostronna o równaniu x = −3 i prawostronna o równaniu x = 3 licząc odpowiednie granice jednostronne:
"
#
−6
x−3
= + = −∞
lim − √ 2
x→−3
0
x −9
" #
x−3
x−3
0
= lim+ q
= lim
lim+ √ 2
=
x→3
x→3
0
x −9
(x − 3)(x + 3) x→3+
s
0
x−3
= √ = 0.
x+3
6
Granica lewostronna w punkcie −3 jest niewłaściwa, czyli prosta x = −3 jest asymptotą pionową lewostronną, a granica prawostronna w punkcie 3 jest właściwa, czyli prosta x = 3 nie jest asymptotą pionową.
Asymptoty ukośne
Definicja
Prostą y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną wykresu funkcji f w −∞ (lub asymptotą ukośną
lewostronną wykresu funkcji f ), jeżeli Df jest zbiorem nieograniczonym od dołu oraz
lim [f (x) − (ax + b)] = 0.
x→−∞
Definicja
Prostą y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +∞ (lub asymptotą ukośną
prawostronną wykresu funkcji f ), jeżeli Df jest zbiorem nieograniczonym od góry oraz
lim [f (x) − (ax + b)] = 0.
x→+∞
Uwaga
Jeżeli prosta y = ax + b jest jednocześnie asymptotą ukośną w −∞ i +∞, to nazywamy ją asymptotą
obustronną wykresu funkcji f . Jeżeli współczynnik kierunkowy asymptoty ukośnej jest równy zero (a =
0), to asymptotę ukośną y = b nazywamy asymptotą poziomą.
Zauważamy, że asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, dlatego też, jeżeli
okaże się, że istnieje asymptota pozioma w −∞ lub +∞ wykresu funkcji, to nie badamy już istnienia
asymptoty ukośnej odpowiednio w −∞ lub +∞.
Rysunek 12 przedstawia wykres funkcji, dla którego prosta o równaniu y = x + 21 jest asymptotą ukośną
lewostronną, a prosta o równaniu y = x − 12 jest asymptotą ukośną prawostronną. Rzeczywiście dla ciągu
argumentów zmierzających do −∞ różnica pomiędzy wartościami badanej funkcji, a wartościami funkcji
liniowej y = x + 21 dąży do zera. Analogicznie dla ciągu argumentów zmierzających do +∞ różnica pomiędzy wartościami badanej funkcji, a wartościami funkcji liniowej y = x − 12 dąży do zera.
Twierdzenie
1. Jeżeli Df jest zbiorem nieograniczonym od dołu, to prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną w −∞
wtedy i tylko wtedy, gdy
f (x)
a = lim
x→−∞ x
b = lim [f (x) − ax]
x→−∞
i granice te są właściwe.
Rysunek 12: Wykres funkcji prostej będącej asymptotą ukośną lewo- i prawostronną.
2. Jeżeli Df jest zbiorem nieograniczonym od góry, to prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną w +∞
wtedy i tylko wtedy, gdy
f (x)
a = lim
x→+∞ x
b = lim [f (x) − ax]
x→+∞
i granice te są właściwe.
Wniosek
Aby zbadać, czy istnieje asymptota pozioma wykresu funkcji f w −∞ lub +∞, badamy, czy dziedzina funkcji jest zbiorem nieograniczonym od dołu lub od góry, a następnie, czy granice lim f (x) lub
x→−∞
lim f (x) są właściwe. Jeżeli tak jest, to prosta y = lim f (x) jest asymptotą poziomą wykresu funkcji
x→−∞
x→+∞
f w −∞, a prosta y = lim f (x) asymptotą poziomą wykresu funkcji f w +∞.
x→+∞
Przykład
x
.
Wyznaczyć asymptoty ukośne wykresu funkcji f (x) = x−1
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji Df = R \ {1}. Dziedzina funkcji jest zbiorem nieograniczonym od dołu i od
góry. Badamy, czy istnieje asymptota pozioma wykresu funkcji f w −∞ i +∞:
lim
x
x→−∞ x − 1
= lim
x
x→−∞ x(1 − 1 )
x
=
1
= 1,
1−0
x
lim
x→+∞ x − 1
= lim
x
x→+∞ x(1 − 1 )
x
=
1
= 1.
1−0
Obydwie granice są właściwe, a zatem prosta y = 1 jest asymptotą poziomą obustronną. Istnienie asymptoty poziomej obustronnej wyklucza istnienie innej asymptoty ukośnej.
Przykład
√
Wyznaczyć asymptoty ukośne wykresu funkcji f (x) = x2 − 1.
Rozwiązanie: Wyznaczamy dziedzinę funkcji Df = (−∞, −1] ∪ [1, ∞), która jest zbiorem nieograniczonym od dołu i od góry. Badamy istnienie asymptot poziomych w −∞ i +∞:
lim
x→−∞
√
x2 − 1 = +∞
i
lim
x→+∞
√
x2 − 1 = +∞.
Obydwie granice są niewłaściwe, a zatem nie istnieją asymptoty poziome. Badamy istnienie asymptoty
ukośnej w −∞ licząc odpowiednie granice:
f (x)
= lim
x→−∞
x
√
x2 − 1
q
q
|x| 1 − x12
−x 1 − x12
= −1.
x
√
√
√
x2 − 1 − x
b = lim [f (x) − ax] = lim ( x2 − 1 + x) = lim ( x2 − 1 + x) · √ 2
=
x→−∞
x→−∞
x→−∞
x −1−x
a = lim
x→−∞
x
= lim
x→−∞
= lim
x
x→−∞
#
"
x2 − 1 − x2
−1
=0
= lim √ 2
=
x→−∞
+∞
x −1−x
Zatem prosta y = −x jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w −∞.
Badamy istnienie asymptoty ukośnej w +∞ licząc odpowiednie granice:
a = lim
x→+∞
f (x)
= lim
x→+∞
x
√
x2 − 1
x
q
= lim
x 1 − x12
x→+∞
x
=1
√
√
√
x2 − 1 + x
x2 − 1 − x2
−1
]=0
b = lim ( x2 − 1 − x) = lim ( x2 − 1 − x) · √ 2
= lim √ 2
=[
x→+∞
x→+∞
x→+∞
+∞
x −1+x
x −1+x
Zatem prosta y = x jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +∞.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Załóżmy, że D ⊂ R oraz D 6= ∅. Niech zadana będzie funkcja f : D → R oraz x0 ∈ D.
Definicja
Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 , jeżeli dla każdego ciągu {xn } takiego, że {xn } ⊂ D
oraz n→∞
lim xn = x0 zachodzi n→∞
lim f (xn ) = f (x0 ).
Definicja
Niech f : D → R oraz niech A będzie niepustym podzbiorem zbioru D. Mówimy, że funkcja f jest ciągła
na zbiorze A, jeżeli f jest ciągła w każdym punkcie zbioru A.
Definicja
Punkt x0 nazywamy punktem skupienia zbioru D ⊂ R, jeżeli dowolnie blisko x0 istnieją liczby x ∈ D,
różne od x0 .
Punkty zadanego zbioru D ⊂ R dzielimy na dwie klasy:
1) Do pierwszej klasy zaliczamy wszystkie punkty zbioru D, które są jego punktami skupienia.
2) Do drugiej klasy zaliczamy te punkty zbioru D, które nie są jego punktami skupienia; punkty te nazywamy punktami izolowanymi zbioru D.
Twierdzenie
Niech f : D → R oraz niech x0 ∈ D.
a) Jeżeli x0 jest punktem izolowanym zbioru D, to f jest ciągła w punkcie x0 .
b) Jeżeli x0 jest punktem skupienia zbioru D, to f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje granica x→x
lim f (x) oraz
0
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Uwaga
Z powyższego twierdzenia wynika, że każda funkcja jest ciągła we wszystkich punktach izolowanych swojej
dziedziny. Zatem istotne jest tylko badanie ciągłości funkcji w tych punktach jej dziedziny, które są punktami skupienia tej dziedziny.
Definicja
Wielomian, funkcję wymierną, potęgową, wykładniczą, logarytmiczną, funkcje trygonometryczne i cyklometryczne oraz wszystkie te, które otrzymujemy z wymienionych funkcji za pomocą czterech działań
arytmetycznych, składania i odwracania stosowanych skończoną ilość razy nazywamy funkcjami elementarnymi.
Twierdzenie
Funkcje elementarne są ciągłe na swoich dziedzinach.
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f i g, określone w tej samej dziedzinie D, są ciągłe w punkcie x0 ∈ D, to funkcje a · f (x),
gdzie a ∈ R, f + g, f − g, f · g, fg (gdzie g(x0 ) 6= 0) są ciągłe w punkcie x0 .
Definicja
Funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość pierwszego rodzaju, jeżeli istnieją granice właściwe lim− f (x),
x→x0
lim+ f (x) oraz
x→x0
lim f (x) 6= f (x0 ) lub
x→x−
0
lim f (x) 6= f (x0 ).
x→x+
0
Funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość pierwszego rodzaju typu „skok”, jeżeli spełnia warunek
lim f (x) 6= lim+ f (x).
x→x−
0
x→x0
Funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość pierwszego rodzaju typu „luka”, jeżeli spełnia warunek
lim f (x) = lim+ f (x) 6= f (x0 ).
x→x−
0
x→x0
Definicja
Funkcja f ma w punkcie x0 nieciągłość drugiego rodzaju, jeżeli nie istnieje lub jest niewłaściwa co
najmniej jedna z granic lim− f (x), lim+ f (x).
x→x0
x→x0
Rysunek 13: Nieciągłość typu „skok”
Rysunek 14: Nieciągłość typu „luka”
Przykład
Zbadać ciągłość funkcji

 sin 3x
dla x > 0,
f (x) =  2x
x + x + 3 dla x ¬ 0.
Rozwiązanie:
Funkcja f jako funkcja elementarna jest ciągła na przedziałach (−∞, 0), (0, +∞). Badamy ciągłość funkcji f w punkcie x0 = 0. Zgodnie z definicją ciągłości funkcji w punkcie musimy sprawdzić, czy istnieje
granica funkcji w punkcie x0 i czy jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie. Aby sprawdzić istnienie
granicy lim f (x) musimy tutaj obliczyć granice jednostronne funkcji lim+ f (x), lim− f (x), gdyż funkcja
x→0
x→0
x→x0
w otoczeniu punktu x0 jest dana dwoma wzorami: inaczej w lewostronnym, a inaczej w prawostronnym
otoczeniu punktu x0 . Mamy
lim f (x) = lim− (x2 + x + 3) = 3,
x→0−
x→0
sin 3x
sin 3x
= lim+
· 3 = 1 · 3 = 3.
x→0
x→0
x→0
x
3x
Z równości granic jednostronnych wynika istnienie granicy lim f (x), czyli pierwszy warunek ciągłości jest
x→0
spełniony.
Obliczymy wartość funkcji f w punkcie x0 = 0:
lim+ f (x) = lim+
f (0) = 02 + 0 + 3 = 3.
Mamy więc lim f (x) = f (0), zatem funkcja f jest ciągła w punkcie x0 = 0.
x→0
Ostatecznie więc funkcja f jest ciągła.
Przykład
Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie x0 = 1, gdzie
f (x) =

2

x




5
2 − x2
dla x < 1,
dla x = 1
dla x > 1.
Rozwiązanie:
Badamy istnienie granicy funkcji f w punkcie x0 licząc granice jednostronne:
lim f (x) = lim− x2 = 1,
x→1−
x→1
lim f (x) = lim+ (2 − x2 ) = 2 − 1 = 1.
x→1+
x→1
Granice jednostronne są sobie równe, istnieje więc granica funkcji f w punkcie x0 = 1 oraz lim f (x) = 1,
x→1
zatem pierwszy warunek definicyjny ciągłości jest spełniony.
Wartość funkcji w punkcie x0 = 1 nie jest równa granicy funkcji w tym punkcie, ponieważ mamy
lim f (x) = 1 6= f (1) = 5,
x→1
zatem nie jest spełniony drugi warunek definicyjny ciągłości funkcji w tym punkcie. Funkcja f nie jest
ciągła w punkcie x0 = 1. Ściślej mówiąc funkcja f ma w punkcie x0 = 1 nieciągłość pierwszego rodziaju
typu „luka”.
Przykład
Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie x0 = 1 gdzie
f (x) =
Rozwiązanie:

arctg 1
x−1
0
dla x 6= 1,
dla x = 1.
Badamy istnienie granicy funkcji f punkcie x0 = 1. W przeciwieństwie do poprzednich przykładów tu
funkcja dana jest tym samym wzorem zarówno dla x < 1, jak i dla x > 1, możemy więc zapisać
lim f (x) = lim arctg
x→1
x→1
1
.
x−1
1
Mianownik wyrażenia x−1
dąży do zera gdy x → 1. Jak zawsze w takiej sytuacji musimy zbadać, czy dąży
on do zera po wartościach dodatnich czy ujemnych. Zauważamy, że dla x < 1 mamy x − 1 < 0, czyli mia1
dąży do minus nieskończoności
nownik dąży do zera po wartościach ujemnych, więc wartość wyrażenia x−1
i mamy:
1
π
lim− arctg
=− .
x→1
x−1
2
1
Gdy x > 1 wówczas x − 1 > 0 i rozumując analogicznie stwierdzamy, że x−1
dąży do plus nieskończoności
i mamy:
π
1
= .
lim+ arctg
x→1
x−1
2
Granice jednostronne funkcji są różne, więc nie istnieje granica funkcji f punkcie x0 = 1. Nie jest spełniony
pierwszy warunek definicyjny ciągłości, więc funkcja f ma w punkcie x0 = 1 nieciągłość drugiego rodzaju.