Analiza Matematyczna – granice funkcji
Elżbieta Puźniakowska-Gałuch
e-mail: Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
Analiza Matematyczna – granice funkcji
1 / 33
Granice funkcji
Definicja Heinego i Cauchy’ego
Definicja (Heine)
Załóżmy, że funkcja f bedzie
˛
określona w sasiedztwie
˛
punktu x0 , X.
Liczbe˛ g nazywamy granica˛ funkcji f w punkcie x0 ,
8
lim xn = x0 ) lim f (xn ) = g :
fxn gX n!1
n
!1
Oznaczamy: lim f (x) = g lub f (x) ! g.
x
!x0
x
!x0
Definicja (Cauchy)
Załóżmy, że funkcja f bedzie
˛
określona w sasiedztwie
˛
punktu x0 , X.
Liczbe˛ g nazywamy granica˛ funkcji f w punkcie x0 ,
8 9 28 0 < jx
">0 >0 x X
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
x0 j < ) jf (x)
Analiza Matematyczna – granice funkcji
g j < ":
2 / 33
Granice funkcji
Działania na granicach
Twierdzenie
Załóżmy, że lim f (x) = f oraz lim g(x) = g. Wówczas:
x
!x0
x
!x0
lim (f (x) + g(x)) = f + g,
x
!x0
lim (f (x)
x
!x0
x
!x0
g(x)) = f
g,
lim (f (x) g(x)) = f g,
lim g(x) = gf , o ile g 6= 0,
x
!x0
f (x)
f (x) g(x), to f g,
f (x) h(x) g(x) oraz f = g, to lim h(x) = f = g.
x
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
!x0
Analiza Matematyczna – granice funkcji
3 / 33
Granice funkcji
Przykład. Wyznacz granice˛ funkcji w punkcie
1
2
3
4
x 2 4x
x !1 x 3 + 2x
x 2 4x
lim 3
x !0 x + 2x
3x 2 + 5x
lim
x
x !0 2x 3
x 3
lim
9
x !3 x 2
lim
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
5
6
7
8
2
3x + 2
x!
4
x
16
lim
2
x !2 x
x4 1
lim
x !1 2x 2
px x5 1
lim
25
x !25 x
lim
2x
1 x2
Analiza Matematyczna – granice funkcji
4 / 33
Granice funkcji
Przykład. Wyznacz granice˛ funkcji w punkcie
1
2
3
4
16
lim p
x !16
px 4
x +1 1
lim
x2 + x
x !0
3x
lim p
x !0
px + 4 2
x +8 3
lim
x 1
x !1
p
x
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
5
x + 14 4
x 2
3
x +1
lim 2
x! 1 x + x
x 2 3x 10
lim 2
x !5 x
8x + 15
x 3 + x 2 5x 2
lim
2x 3 3x + 6
x !2 x 4
lim
x
6
7
8
!2
Analiza Matematyczna – granice funkcji
5 / 33
Granice funkcji
Przykład. Wyznacz granice˛ funkcji w punkcie
p
p
p
2+3
4+x
4 x
x
5
1
lim
lim
x
x !0
2x
x! 1
3
2
x
27
x
4
6
2
lim
lim
3
x !3 x
2)
x !2 (x
px 3)(x
p
2
x 1 2
3
7
lim
lim
4
x !4 x
x !5
x 5
p
p
p
2
x +3 2
x + 13 2 x + 1
4
8
lim
lim
x +1
x! 1
x2 9
x !3
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
Analiza Matematyczna – granice funkcji
6 / 33
Granice funkcji
Przykład. Oblicz granice˛ funkcji
1
lim
x
2
3
4
sin 3x
!0 5x
tg 2x
x !0 7x
sin 3x
lim
x !0 sin 2x
sin 2x
lim
x !0 tg 4x
lim
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
5
6
7
8
sin(1 x)
px 1
x !1
sin 5x
p
lim p
x !0
x +3
3
1 cos x
lim
x2
x !0
sin 5x
lim
x
x !0
lim
Analiza Matematyczna – granice funkcji
7 / 33
Granice funkcji
Przykład. Oblicz granice˛ funkcji
1
2
3
4
5
sin(x 2)
4
x !2 2x
3x
lim
x !0 5 sin 7x
tg 3x
lim
x !0 4x
tg 3x
lim
x !0 4x
1 + cos x
lim
x ! sin2 x
lim
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
6
sin 2x
x !0 sin 3x
7
cos x
x ! 4 sin x
8
arc tg x
x
x !0
9
arc sin(1 2x)
4x 2 1
x! 4
lim
lim
cos 4
sin 4
lim
lim
Analiza Matematyczna – granice funkcji
8 / 33
Granice funkcji
Granice jednostronne
Definicja (Heine)
Załóżmy, że funkcja f bedzie
˛
określona w prawostronnym otoczeniu
punktu x0 , X+ . Liczbe˛ g nazywamy prawostronna˛ granica˛ funkcji f w
punkcie x0 ,
8
lim xn = x0 ) lim f (xn ) = g :
fxn gX+ n!1
Oznaczamy: lim+ f (x) = g lub f (x)
x
!x0
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
n
x
!1
! g.
!x0+
Analiza Matematyczna – granice funkcji
9 / 33
Granice funkcji
Granice jednostronne
Definicja (Cauchy)
Załóżmy, że funkcja f bedzie
˛
określona w prawostronnym otoczeniu
punktu x0 , X+ . Liczbe˛ g nazywamy prawostronna˛ granica˛ funkcji f w
punkcie x0 ,
8 9 28 0 < x
">0 >0 x X+
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
x0 < ) jf (x)
Analiza Matematyczna – granice funkcji
g j < ":
10 / 33
Granice funkcji
Granice jednostronne
Definicja (Heine)
Załóżmy, że funkcja f bedzie
˛
określona w lewostronnym otoczeniu
punktu x0 , X . Liczbe˛ g nazywamy lewostronna˛ granica˛ funkcji f w
punkcie x0 ,
8
lim xn = x0 ) lim f (xn ) = g :
fxn gX n!1
n
Oznaczamy: lim f (x) = g lub f (x)
x
!x0
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
x
!1
! g.
!x0
Analiza Matematyczna – granice funkcji
11 / 33
Granice funkcji
Granice jednostronne
Definicja (Cauchy)
Załóżmy, że funkcja f bedzie
˛
określona w lewostronnym otoczeniu
punktu x0 , X . Liczbe˛ g nazywamy lewostronna˛ granica˛ funkcji f w
punkcie x0 ,
8 9 28
">0 >0 x X
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
<x
x0 < 0 ) jf (x)
Analiza Matematyczna – granice funkcji
g j < ":
12 / 33
Granice funkcji
Przykład. Oblicz granice˛ jednostronna˛ (czy istnieje granica
obustronna?)
1
2
1
x !0 x
1
lim
x !0 x
lim+
3
x
4
x
lim+
!1 x
lim
!1 x
5
3
1
3
3x
8
!2 2
x
x
lim
x)3
x !4 (4
x
6
lim+
7
x
lim
!3 (x
x
! 3
x
lim+
9
2
3)2
1
lim +
10
x
x +1
x2 9
!1
3
jx
x
1j
lim
jx
2j
2
!2 x
Twierdzenie
Funkcja ma granice˛ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja˛ granice
jednostronne i sa˛ sobie równe.
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
Analiza Matematyczna – granice funkcji
13 / 33
Granice funkcji
Przykład. Znaleźć granice˛ lewostronna˛ i granice˛ prawostronna˛
nastepuj
˛ acych
˛
funkcji w punkcie X0
1
1
2
3
4
ex
1
x
1
; x0 = 0
e +1
1
e 1 x 3 ; x0 = 1
x
1 ; x0 = 0
1 + ex
1
xe x ; x0 = 0
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
x
5
1
2x + e x 1
; x0 = 1
1
6
2 x 5 ; x0 = 5
1
7
2x + 3
1
3x + 2
Analiza Matematyczna – granice funkcji
; x0 = 0
14 / 33
Granice funkcji
Granice w otoczeniu nieskończoności
Definicja (Heine)
Załóżmy, że funkcja f bedzie
˛
określona w otoczeniu nieskończoności,
X1 . Liczbe˛ g nazywamy granica˛ funkcji f w punkcie 1 ,
8
lim xn = 1 ) lim f (xn ) = g :
fxn gX1 n!1
n
!1
Oznaczamy: lim f (x) = g lub f (x) ! g.
x
!1
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
x
!1
Analiza Matematyczna – granice funkcji
15 / 33
Granice funkcji
Definicja (Cauchy)
Załóżmy, że funkcja f bedzie
˛
określona w otoczeniu 1, X1 . Liczbe˛ g
nazywamy granica˛ funkcji f w punkcie 1 ,
8 9 28 jx j > A ) jf (x)
">0 A>0 x X1
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
Analiza Matematyczna – granice funkcji
g j < ":
16 / 33
Granice funkcji
Granice jednostronne w otoczeniu nieskończoności
Definicja (Heine)
Załóżmy, że funkcja f bedzie
˛
określona w prawostronnym otoczeniu
nieskończoności, X+1 . Liczbe˛ g nazywamy granica˛ funkcji f w
punkcie +1 ,
8
lim xn = +1 ) lim f (xn ) = g :
fxn gX+1 n!1
Oznaczamy: lim f (x) = g lub f (x)
x
!+1
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
n
x
!1
! g.
!+1
Analiza Matematyczna – granice funkcji
17 / 33
Granice funkcji
Definicja (Cauchy)
Załóżmy, że funkcja f bedzie
˛
określona w prawostronnym otoczeniu
nieskończoności, X+1 . Liczbe˛ g nazywamy granica˛ funkcji f w
punkcie +1 ,
8 9 28
">0 A>0 x X+1
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
x > A ) jf (x)
Analiza Matematyczna – granice funkcji
g j < ":
18 / 33
Granice funkcji
Granice jednostronne w otoczeniu nieskończoności
Definicja (Heine)
Załóżmy, że funkcja f bedzie
˛
określona w lewostronnym otoczeniu
nieskończoności, X 1 . Liczbe˛ g nazywamy granica˛ funkcji f w
punkcie 1 ,
8
lim xn =
fxn gX 1 n!1
1 ) nlim
!1 f (xn ) = g :
Oznaczamy: lim f (x) = g lub f (x)
x
! 1
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
x
! g.
! 1
Analiza Matematyczna – granice funkcji
19 / 33
Granice funkcji
Definicja (Cauchy)
Załóżmy, że funkcja f bedzie
˛
określona w lewostronnym otoczeniu
nieskończoności, X 1 . Liczbe˛ g nazywamy granica˛ funkcji f w
punkcie 1 ,
8 9 28
">0 A>0 x X 1
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
x<
A ) jf (x)
Analiza Matematyczna – granice funkcji
g j < ":
20 / 33
Granice funkcji
Przykład. Wyznacz granice˛ funkcji w 1 lub
1
2
3
4
3x 2 + 5x 1
x !+1
7x 2 + 3
2x 3 x 2
lim
x! 1
x3 + 3
3
x +x 1
lim
x ! 1 2x 2 + 1
2x 3 + x 2 1
lim
x !+1 5x 2 + x + 3
lim
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
5
6
1
2x 2 + x 3
x ! 1 5x 3
x2 + 4
lim x 2x 2
lim
x
7
x
8
x
!+1
x3
lim
! 1
3x
lim
1 + x 3 + 2x 5
!+1
Analiza Matematyczna – granice funkcji
21 / 33
Granice funkcji
Przykład. Wyznacz granice˛ funkcji w 1 lub
1
x
2
3
4
lim
! 1
2x 4
x3 + 1
x2
p
x !+1 1 + x x
3x
lim p
x !+1
x2 + 1
3x
lim p
x! 1
x2 + 1
lim
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
5
x
6
x
7
x
8
x
lim
1
p
!+1
x +5
lim
p
2x + 1
!+1
lim
! 1
lim
! 1
Analiza Matematyczna – granice funkcji
p
1
p
x +x
x
p
x
p
x2 + x + x
22 / 33
Granice funkcji
Przykład. Wyznacz granice˛ funkcji
1
2
3
3 x
x !+1
x
2 x
lim 1
x !+1
x
x + 1 x
lim
x !+1 x
3
lim
1+
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
4
5
2 x
x !+1 x + 1
x 2 + 3 x 2
lim
x !+1 x 2 + 7
lim
Analiza Matematyczna – granice funkcji
x
23 / 33
Granice funkcji
Kryterium Cauchy’ego
Twierdzenie
Funkcja f ma granice˛ w punkcie x0 ,
8 9
82 jx1
">0 >0 x1 ;x2 X
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
x0 j < ; jx2
x0 j < ) jf (x1 )
Analiza Matematyczna – granice funkcji
f (x2 )j < ":
24 / 33
Granice funkcji
Asymptoty pionowe
Definicja
Prosta x = a jest asymptota˛ pionowa˛ funkcji f (x), jeżeli
lim f (x) = 1
x
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
!a
Analiza Matematyczna – granice funkcji
25 / 33
Granice funkcji
Asymptoty pionowe
Definicja
Prosta x = a jest asymptota˛ pionowa˛ lewostronna˛ funkcji f (x), jeżeli
x
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
lim f (x) = 1
!a
Analiza Matematyczna – granice funkcji
26 / 33
Granice funkcji
Asymptoty pionowe
Definicja
Prosta x = a jest asymptota˛ pionowa˛ prawostronna˛ funkcji f (x), jeżeli
x
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
lim+ f (x) = 1
!a
Analiza Matematyczna – granice funkcji
27 / 33
Granice funkcji
Asymptoty ukośne
Definicja
Prosta y = ax + b jest asymptota˛ ukośna˛ funkcji f (x), jeżeli
lim (f (x)
x
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
!1
(ax + b)) = 0
Analiza Matematyczna – granice funkcji
28 / 33
Granice funkcji
Asymptoty ukośne
Definicja
Prosta y = ax + b jest asymptota˛ ukośna˛ lewostronna˛ funkcji f (x),
jeżeli
lim (f (x) (ax + b)) = 0
x
! 1
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
Analiza Matematyczna – granice funkcji
29 / 33
Granice funkcji
Asymptoty ukośne
Definicja
Prosta y = ax + b jest asymptota˛ ukośna˛ prawostronna˛ funkcji f (x),
jeżeli
lim (f (x) (ax + b)) = 0
x
!+1
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
Analiza Matematyczna – granice funkcji
30 / 33
Granice funkcji
Asymptoty ukośne - wzory
Współczynniki w równaniu asymptoty y = ax + b funkcji f (x)
obliczamy ze wzorów
x
f (x)
!1 x ; b = xlim
!1(f (x)
a = lim
ax);
przy czym współczynnik b liczymy tylko w przypadku gdy a istnieje i
jest skończone.
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
Analiza Matematyczna – granice funkcji
31 / 33
Granice funkcji
Przykład. Wyznacz równania asymptot funkcji
1
2
3
4
5
6
3x 1
x 2
4x + 1
f (x) =
x 1
1 x
f (x) =
x +3
4
f (x) =
x 5
1
f (x) = 2
x
1
x2
f (x) = 2
x
1
f (x) =
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
7
f (x) =
x3
x2
1
x4
8
f (x) =
9
f (x) =
10
f (x) =
2x 2 2x
x2 + 1
11
f (x) =
2x 2 + x 2
x +2
Analiza Matematyczna – granice funkcji
(1 + x)3
3x 2 1
x2 + 4
32 / 33
Granice funkcji
Przykład. Wyznacz równania asymptot funkcji
1
f (x) =
x 2 + 2x + 3
x +1
2
f (x) =
3x 3 + x 2 2
x2 + 2
3
f (x) = 2
5
21
1 x 1
f (x) =
2
6
f (x) = log2 x x 1
7
x
f (x) = log 1 x+1
1
x
3
x
f (x) = arc tg x+1
9
f (x) = arc ctg xx 1
2
4
f (x) = 3 2 x
(Elzbieta.Puzniakowska-Galuch@pja.edu.pl)
2
8
Analiza Matematyczna – granice funkcji
3
33 / 33