COURS D’ANALYSE NUMÉRIQUE
TALL BOUBACAR Nasser
tall1032000@yahoo.fr
Whatsapp : 91732642
Appel : 91732642/98182008
a) Résolution d’équation de type F(x) = 0
a) Méthode de dichotomie
b) Méthode de point fixe
c)
Méthode de Newton
d) Méthode de Lagrange
b)
Résolution de systèmes linéaires.
c)
Résolution d’équations différentielles.
d)
Calcul de complexité d’algorithme
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582
Dans la pratique, on utilise 3,14 mais,
➢il est souvent aisé de retenir 22/7 ou
➢ 10 pour valeur approchée de Pi.
Objectifs du cours (1/2)
Comprendre les bases de l'approximation numérique :
❖Étudier les erreurs d'approximation, les méthodes de
troncature et d'arrondi, ainsi que la notion de convergence.
Se familiariser avec les méthodes numériques de base :
❖Résolution d'équations non linéaires.
❖Interpolation et approximation de fonctions.
❖Intégration numérique.
❖Résolution de systèmes linéaires.
Objectifs du cours (1/2)
Apprendre à implémenter ces méthodes :
❖Mettre en œuvre les algorithmes à l'aide de logiciels de
calcul (Python, Matlab, etc.).
Développer un esprit critique :
❖Savoir choisir la méthode numérique la plus appropriée
pour un problème donné.
❖Évaluer la précision et la fiabilité des résultats obtenus.
PLAN DU COURS
1.Résolution de systèmes d'équations linéaires
2.Résolution d'équations non linéaires
3.Équations différentielles ordinaires (EDO)
4.Calcul de complexité d’algorithme
5.Interpolation et approximation de fonctions
6.Intégration numérique
1- Introduction
Introduction (1/4)
L'analyse numérique est une branche des mathématiques
appliquées qui s'intéresse à la conception et à l'étude
d'algorithmes pour résoudre des problèmes mathématiques de
manière approximative. Elle est particulièrement utile lorsque les
solutions exactes sont difficiles, voire impossibles, à obtenir par
des méthodes analytiques.
L’analyse numérique a commencé bien avant la conception des
ordinateurs et leur utilisation quotidienne de nos jours.
Introduction (1/4)
Les premières méthodes ont été développées pour essayer de trouver
des moyens rapides et efficaces de s’attaquer à des problèmes soit
fastidieux à ré soudre à cause de leur grande dimension (systèmes à
plusieurs dizaines d’équations par exemple), soit parce qu’il n’existe
pas solutions explicites connues même pour certaines équations
assez simples en apparence.
Les applications extraordinairement nombreuses sont entrées dans
notre vie quotidienne directe ment ou indirectement.
Introduction (2/4)
Nous les utilisons désormais sans nous en rendre compte mais
surtout en ignorant la plupart du temps toute la théorie, l’expertise, le
développement des compétences et l’ingéniosité des chercheurs pour
en arriver là.
Nous pouvons téléphoner, communiquer par satellite, faire des
recherches sur internet, regarder des films où plus rien n’est réel sur
l’écran, améliorer la sécurité des voitures, des trains, des avions,
connaître le temps qu’il fera une semaine à l’avance,...etc.
Introduction (3/4)
L’on représente schématiquement un processus d’étude et de conception par le diagramme
suivant :
o Modélisation mathématique
o Approximation : Éléments finis, volumes finis...
o Algorithme numérique, méthodes numériques pour la résolution de systèmes linéaires et
non linéaires, optimisation
o Calcul informatique ...
o Expérimentation
o Exploitation des produits
o Physique mécanique, modélisation mécanique (aérodynamique, thermique, structure, ...)
Introduction (4/4)
La modélisation et l'approximation numérique voient leurs applications dans différents
domaines, à titre d'exemples :
o Conception d'avions (aérodynamique, matériaux composites ...)
o Conception de voitures (aérodynamique, écoulement dans les moteurs, crache tests,
commande optimale, structure (pneus, carrosserie) ....
o Ingénierie pétrolière : comprendre la migration des hydrocarbures, améliorer la production
des gisements pétroliers, ....
o Biologie mathématiques : propagation d'épidémie, modèle mathématique en cardiologie,
cancer, tissus dentaire, pneumologie, ...
o Gestion des stocks, finance, trafic routier
o Environnement : pollution air, eau, sol
o Météo : modéliser le monde...
Le voL manqué d’ariane 501
Le vol 501 (vol inaugural) du lanceur européen Ariane 5, qui
a eu lieu le 4 juin 1996 s'est soldé par un échec, causé par
un dysfonctionnement informatique, qui vit la fusée se briser
et exploser en vol 36,7 secondes après le décollage.
Lorsque l'ordinateur de bord de la fusée détecte une
défaillance de la plateforme de guidage inertiel principale, il
bascule automatiquement sur celle de secours.
Le voL manqué d’ariane 501
Malheureusement, il n'a pas détecté le fait que la plateforme
de secours était également en panne pour les mêmes
causes que la principale, et a continué à interpréter les
signaux qu'elle produisait. Ces signaux de panne ont induit
en erreur l'ordinateur de bord, qui les a interprétés et a
ordonné une correction de trajectoire brutale à la fusée, qui
s'est alors complètement écartée du plan de vol prévu.
Le voL manqué d’ariane 501
L'ordinateur de bord croyait avoir corrigé une trajectoire à la
suite d'une déviation qui n'avait en fait jamais eu lieu. La
cause semblerait liée à une erreur informatique dans la
programmation d'une bribe de code non corrigée et pourtant
utilisée à diverses reprises sur les écrans de ces
développeurs.
L'ordinateur et les résultats d'examen
L'ordinateur et les résultats d'élections
quelques exemples d'incidents liés à l'analyse numérique
1. Erreurs d'arrondi et instabilité numérique :
❑Catastrophe du vol 501 d'Ariane 5 (1996) : Une erreur de
conversion de type de données a provoqué un dépassement de
capacité lors du lancement de la fusée Ariane 5. Cette erreur,
liée à des calculs numériques, a entraîné la destruction de la
fusée et de sa cargaison.
❑Calculs financiers : De petites erreurs d'arrondi peuvent
s'accumuler dans des calculs financiers complexes, entraînant
des pertes importantes. Cela est particulièrement vrai dans les
systèmes de trading à haute fréquence.
quelques exemples d'incidents liés à l'analyse numérique
2. Erreurs de modélisation et de discrétisation :
❑Prévisions météorologiques : Les modèles météorologiques
utilisent des méthodes numériques pour résoudre des
équations complexes. Des erreurs dans la modélisation ou la
discrétisation peuvent entraîner des prévisions inexactes, avec
des conséquences potentielles pour la sécurité publique.
❑Simulations d'ingénierie : Les simulations numériques sont
utilisées pour concevoir des structures telles que des ponts et
des avions. Des erreurs dans la modélisation ou la
discrétisation peuvent entraîner des défaillances structurelles.
quelques exemples d'incidents liés à l'analyse numérique
3. Erreurs d'implémentation et de programmation :
❑Logiciels de calcul scientifique : Des erreurs dans
l'implémentation d'algorithmes numériques dans des logiciels
de calcul scientifique peuvent entraîner des résultats incorrects.
❑Systèmes de contrôle : Les systèmes de contrôle utilisent
des méthodes numériques pour réguler des processus
industriels. Des erreurs de programmation peuvent entraîner
des dysfonctionnements et des accidents.
quelques exemples d'incidents liés à l'analyse numérique
4. Erreurs d'interprétation des résultats :
❑Analyse de données : Une mauvaise interprétation des
résultats de l'analyse numérique peut conduire à des
conclusions erronées et à des décisions inappropriées.
❑Médecine : Dans l'imagerie médicale et d'autres applications
médicales, une mauvaise interprétation des résultats peut
entraîner des diagnostics erronés.
quelques exemples d'incidents liés à l'analyse numérique
5. Empoisonnement de données :
❑Intelligence artificielle : Les modèles d'IA utilisent des
méthodes numériques pour apprendre à partir de données. Des
attaques par empoisonnement de données peuvent manipuler
les données d'entraînement pour fausser les résultats et
compromettre la sécurité des systèmes d'IA.
Définition et objectifs
Définition : L'analyse numérique consiste à élaborer des
méthodes de calcul permettant de trouver des solutions
approchées à des problèmes mathématiques.
Objectifs : Elle vise à transformer
Importance : Elle permet de modéliser
des
mathématiques
et de simuler des phénomènes complexes,
continus en problèmes discrets, plus
d'optimiser des processus et de résoudre
faciles à résoudre par des ordinateurs.
des problèmes concrets
problèmes
2- Généralités
Généralités
L'analyse
numérique
consiste
à
concevoir
des
approches, construire des algorithmes et développer des
programmes informatiques qui permettent de résoudre
des problèmes issus de cas concrets et formulés
mathématiquement (on dit aussi modélisés) le plus
souvent sous forme d'équations.
Généralités
En effet, la modélisation et le calcul numérique sont
appliqués dans différents domaines comme la conception
et calcul de bâtiment, de chaussées et d'ouvrages d'art,
la
conception
d'avions
de
voitures,…
l'ingénierie
financière et modélisation, la météo, la modélisation
mathématique des systèmes biologiques, le calcul
spatial,…
L'analyse numérique est concernée par les points (2), (3), et (4) pour une certaine part
(l'algorithmique numérique pour une autre part).
Modélisation
Arriver au problème mathématique traduisant le mieux le phénomène considéré,
Représentation Choisir une famille de fonctions susceptibles de bien approcher la solution de 1 et
la base qui servira à cette représentation,
Paramètres
Bien choisir les degrés, points de grille ou d'interpolation, qui assureront une
erreur suffisamment faible,
Algorithme
Décrire les étapes de calcul aboutissant à la solution numérique,
Programmation
Tenir compte des moyens de calcul disponibles
Visualisation
La réponse peut se limiter à quelques nombres, mais peut nécessiter une
présentation sous forme de tables, graphes, etc.
Une méthode numérique est le plus souvent utilisée pour obtenir
une estimation approchée d'une solution à un problème. On se
satisfait de solutions approchées parce que dans la majorité des
situations réelles, une solution suffisamment précise peut nous
dispenser d'une solution exacte trop couteuse ou impossible à
obtenir.
Cependant, on doit pouvoir vérifier la précision des méthodes
utilisées. Autrement dit, on doit pouvoir maitriser les sources des
erreurs pour contrôler la fiabilité des solutions approchées obtenues.
Principales sources d’erreurs
Les types d’erreurs
Les erreurs sur les
données
Les erreurs
d’arrondi
Les erreurs de
troncature
➢Exemple : Assimiler la terre de forme sphérique
Les erreurs de
alors que le rayon de la terre est r ≈ 6357 km à
modélisation
l’équateur et r ≈ 6378 km aux pôles.
Les erreurs
humaines
Les erreurs
d’approximation
et de
discrétisation
Erreur de programmation
❑liée au schéma numérique utilisé
➢calcule d’une intégrale à l’aide d’une somme finie,
➢une dérivée à l’aide de différences finies
➢la somme d’une série infinie à l’aide d’un nombre fini
de ses termes
Les types d’erreurs
Les erreurs d’arrondi
Description : Les ordinateurs utilisent une représentation finie des
nombres réels, ce qui entraîne des arrondis lors des calculs. Par
exemple, le nombre 1/3 est représenté de manière approximative.
Exemple : Lors de l'addition de très petits nombres à de très grands
nombres, les petits nombres peuvent être complètement ignorés en
raison de la précision limitée.
Les types d’erreurs
Les erreurs de troncature
Description : Ces erreurs surviennent lorsque l'on remplace une
fonction ou une série infinie par une approximation finie. Par
exemple, l'approximation de la fonction sinus par un nombre fini de
termes de sa série de Taylor..
Exemple : L'utilisation de la méthode des trapèzes pour estimer une
intégrale définie, où l'aire sous la courbe est approximée par des
trapèzes, introduit une erreur de troncature.
Les types d’erreurs
Les erreurs de propagation
Description : Les erreurs initiales, qu'elles soient dues à l'arrondi ou
à la troncature, peuvent se propager et s'amplifier au cours des
calculs.
Exemple : Dans un calcul itératif, une petite erreur initiale peut
croître exponentiellement à chaque itération, conduisant à un
résultat final très imprécis.
Les types d’erreurs
Les erreurs de discrétisation
Description : Ces erreurs se produisent lors de la transformation
d'un problème continu en un problème discret, nécessaire pour les
calculs numériques. Par exemple, la résolution d'une équation
différentielle par la méthode des différences finies.
Exemple : L'approximation d'une dérivée par une différence finie
introduit une erreur de discrétisation qui dépend de la taille du pas
de discrétisation.
Les types d’erreurs
Les erreurs de données
Description : Les données d'entrée d'un calcul numérique peuvent
être entachées d'erreurs de mesure ou d'incertitudes.
Exemple : Les mesures physiques utilisées comme données d'entrée
dans une simulation peuvent avoir une certaine marge d'erreur.
Importance de la gestion des erreurs
❑ Il est crucial de comprendre et de contrôler ces erreurs pour
garantir la fiabilité des résultats obtenus par des méthodes
numériques.
❑ L'analyse de la stabilité et de la convergence des algorithmes
numériques est essentielle pour évaluer et minimiser les erreurs.
❑ Il faut choisir des methodes numeriques adaptés au problèmes.
Sources et mesures de l’erreur
෥ une approximation de 𝑥.
Soit 𝒙 un nombre réel et soit 𝒙
ሚ 𝑥)
Soit 𝑓(𝑥) un résultat désiré et soit 𝑓(
෤ la valeur calculée.
❑𝑬𝒓𝒓𝒆𝒖𝒓 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆 = 𝑓 𝑥 − 𝑓ሚ 𝑥෤
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥෤ = Erreur due aux données
൝
𝑓 𝑥෤ − 𝑓ሚ 𝑥෤ = Erreur de calcul
❑ 𝑬𝒓𝒓𝒆𝒖𝒓 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍 = 𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑’𝑎𝑟𝑟𝑜𝑛𝑑𝑖 + 𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒
❑𝑬𝒓𝒓𝒆𝒖𝒓 𝒅’𝒂𝒓𝒓𝒐𝒏𝒅𝒊 = 𝐴𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑒 − 𝐴𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑙𝑜𝑡𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
❑𝑬𝒓𝒓𝒆𝒖𝒓 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒂𝒕𝒖𝒓𝒆 = 𝑅é𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡 − 𝑅é𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡 𝑝𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚𝑒
Sources de l’erreur
•
Représentation décimale approchée des nombres réels
Si en mathématiques l'ensemble des nombres réels est infini, sa représentation dans la
mémoire d'un ordinateur utilise généralement un codage sur 32 ou 64 bits et donc ne
peut représenter de façon exacte qu'un nombre fini de nombres réel. Ainsi, les nombres
réels sont représentés dans la mémoire d'un ordinateur sous forme approchée.
La notation la plus utilisée est la représentation avec virgule flottante ;
Soit 𝑥 est un nombre réel, on pose :
𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟐
𝒙 ≈ ±𝒎. 𝟐𝒆 ቐ𝒎 = 𝒎𝒂𝒏𝒕𝒊𝒔𝒔𝒆
𝒆 = 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒔𝒂𝒏𝒕
Sources de l’erreur
•
Représentation décimale approchée des nombres réels
La virgule flottante est une méthode d'écriture de nombres réels
fréquemment utilisée dans les ordinateurs. Elle consiste à représenter un
nombre réel par :
❑un signe (égal à −1 ou 1) ;
❑une mantisse (aussi appelée significande) ;
❑b est la base de numération et
❑un exposant (entier relatif, généralement borné).
𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒓é𝒆𝒍 = ±𝒎𝒂𝒏𝒕𝒊𝒔𝒔𝒆 ∗ 𝒃𝒆𝒙𝒑𝒐𝒔𝒂𝒏𝒕
𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅′𝑨𝒗𝒐𝒈𝒂𝒅𝒓𝒐 = ±𝟔, 𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟐𝟑
Sources de l’erreur
•
Représentation machine des nombres réels
𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒓é𝒆𝒍 = 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒆 ∗ 𝒎𝒂𝒏𝒕𝒊𝒔𝒔𝒆 ∗ 𝒃𝒆𝒙𝒑𝒐𝒔𝒂𝒏𝒕
Sources de l’erreur
•
Représentation machine des nombres réels
Soit 𝒃 un entier naturel tel que 𝒃 ≥ 𝟐. On sait que :
L’écriture de 𝑥 en base b est alors
Sources de l’erreur
Sources de l’erreur
Représentation virgule flottante
Soit, 𝑥 ∈ ℝ, on note m la mantisse ; b la base et l l’exposant
On aura comme représentation à virgule flottante pour x dans la base b
𝒙 = ±𝒎 ∗ 𝒃𝒍
𝒙 = ±𝟎. 𝒅𝟏 𝒅𝟐 … . . 𝒅𝒏 ∗ 𝒃𝒍
𝒙 = ±(𝒅𝟏 ∗ 𝒃−𝟏 + 𝒅𝟐 ∗ 𝒃−𝟐 + ⋯ . . +𝒅𝒏 ∗ 𝒃−𝒏 ) ∗ 𝒃𝒍
Avec des entiers satisfaisant 0 ≤ 𝑑𝑖 ≤ 𝑏 − 1 et 𝑖 = 1,2, …
Sources de l’erreur
Unicité
𝑥 = + 0,349 ∗ 100
𝑥 = +0,00349 ∗ 102
Pour garantir l’unicité de la représentation l’on imposera que
𝑑1 > 0. On dira que la mantisse est normalisée.
𝟏
Dans ce cas ≤ 𝒎 < 𝟏
𝒃
Exemple 1
Exemple 2
Différence entre l'erreur d'arrondi et l’erreur de troncature
L'erreur d'arrondi est une erreur qui se produit lorsqu'une valeur
numérique est approximée en arrondissant les chiffres à la position
la plus proche. La troncature, quant à elle, supprime simplement les
chiffres après une certaine position.
Sources de l’erreur : Erreur de troncature
L'erreur de troncature est une erreur qui se produit lorsqu'une
valeur numérique est approximée en supprimant les chiffres après
une certaine position. Cette erreur est courante dans les calculs
numériques, car les ordinateurs ne peuvent pas stocker des
nombres avec une précision infinie.
Ces erreurs se produisent lorsqu'on utilise des approximations
basées, le plus souvent, sur les séries de Taylor.
Sources de l’erreur : Erreur de troncature
Ainsi, si on choisit 𝒙𝟎 et 𝒙 deux réels appartenant au domaine de
définition d'une fonction f suffisamment dérivable, on peut écrire :
𝑛
𝒏+𝟏
𝑥
−
𝑥
𝒙
−
𝒙
0
𝟎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑥 − 𝑥0 𝑓 ′ 𝑥0 + ⋯ +
𝑓 𝑛 𝑥0 +
𝒇 𝒏+𝟏 (𝝃)
𝑛!
𝒏+𝟏 !
avec 𝑥0 < 𝜉 < 𝑥 lire 𝜉: Xi
𝒙 − 𝒙𝟎 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏
Erreur de troncature =
𝒇
(𝝃)
𝒏+𝟏 !
E𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 ≤ 2 ∗ 𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑑′𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑛𝑑𝑖
Sources de l’erreur : Erreur de troncature
Sur un intervalle 𝑎, 𝑏 , si l’on approche 𝑓(𝑥) par 𝑝(𝑥), l’ordre
de précision du développement de Taylor est donné par :
𝑒(𝑏)
𝑓 𝑏 −𝑝(𝑏)
𝑒=
⇔𝑒=
⇔ 𝑒 = 𝑛𝑦
𝑒(𝑎)
𝑓 𝑎 −𝑝(𝑎)
Il est préférable de poser le résultat sous la forme 𝑛𝑦 où
𝑦 − 1 = 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒
𝑦 = 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒
Exercice
Exercice
solution
Soit 𝑦 = 𝑎𝑥 7 + 𝑏𝑥 6 + c𝑥 5 +d𝑥 4 + e𝑥 3 + f𝑥 2 +g𝑥 + ℎ
Exercice
solution
Exercice
solution
Sources de l’erreur
•
Erreur de troncature
Par exemple,
❑on détermine la limite d'une suite en calculant sa valeur
après
un
grand
nombre
d'itérations
N,
la
limite
quand N→∞ étant inaccessible.
❑De même, les dérivées sont approchées par des taux de
′
variation ; par exemple 𝒇 𝒙
𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇(𝒙)
≃
𝒉
Conditionnement
❑Le conditionnement d'un problème mesure la sensibilité de la solution aux
perturbations des données d'entrée. Ainsi, il indique à quel point une petite
erreur dans les données peut entraîner une grande erreur dans la solution.
❑Parfois, il est possible d'améliorer le conditionnement d'un problème en le
reformulant ou en utilisant des méthodes numériques spécifiques.
❑Par exemple, pour les systèmes d'équations linéaires, on peut utiliser des
techniques de préconditionnement pour réduire le nombre de conditionnement
de la matrice des coefficients.
Importance du Conditionnement
❖Stabilité des algorithmes : Un problème mal conditionné peut rendre
instables les algorithmes numériques, c'est-à-dire que de petites erreurs
d'arrondi ou de troncature peuvent s'amplifier et rendre la solution inutilisable.
❖Précision des résultats : Même si un algorithme est stable, un problème
mal conditionné peut limiter la précision des résultats, car les erreurs dans les
données d'entrée se propagent et se multiplient.
❖Choix des méthodes numériques : Le conditionnement d'un problème peut
influencer le choix des méthodes numériques à utiliser. Certaines méthodes
sont plus sensibles que d'autres aux problèmes mal conditionnés.
Mesure du Conditionnement
➢ Le conditionnement d'un problème est généralement mesuré par
un nombre de conditionnement.
➢ Ce nombre dépend du type de problème et de la norme utilisée
pour mesurer les erreurs.
➢ Plus le nombre de conditionnement est élevé, plus le problème
est mal conditionné.
Exemples de problèmes mal conditionnés
☼Systèmes d'équations linéaires : Un système d'équations linéaires est mal
conditionné si la matrice des coefficients est presque singulière.
☼Calcul de racines de polynômes : Le calcul de racines de polynômes peut
être très sensible aux perturbations des coefficients, surtout si les racines sont
multiples ou proches les unes des autres.
☼Intégration numérique : L'intégration numérique de fonctions oscillantes ou à
variations rapides peut être mal conditionnée.
Conditionnement
Le conditionnement décrit la sensibilité de la valeur d'une
fonction à une petite variation de son argument, c'est-à-dire :
𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥 ∗ )
𝑥−𝑥 ∗
en fonction de
𝑓(𝑥)
𝑥
lorsque 𝑥 − 𝑥 ∗ est petit. Pour une fonction suffisamment régulière, on a
évidemment le conditionnement:
Conditionnement
Exemple
Exemple
Conditionnement d'une matrice
Les modèles linéaires de la physique, de l'astronomie,...,
conduisent souvent à la résolution de grands systèmes
linéaires qu'on représente matriciellement par une équation
du type 𝐴𝑥 = 𝑏.
Il arrive parfois qu'une petite variation sur 𝑏 entraîne une
grande variation sur 𝑥 . Dans ce cas, la matrice, ou le
problème, est mal conditionnée.
Conditionnement d'une matrice
❑Pour un système linéaire 𝐴𝑥 = 𝑏 , le nombre de
conditionnement est défini comme : 𝑘 𝐴 = 𝐴 ∗ 𝐴−1
❑Pour un problème non linéaire 𝑓 𝑥 = 0, le nombre de
conditionnement dépend de la dérivée de la fonction 𝑓 et de
la solution 𝑥.
Conditionnement d'une matrice
Exemple : Pour résoudre le système linéaire 𝐴𝑋 = 𝑌, où A est la matrice
10 7
8 7
6 5
𝐴= 7 5
8 6 10 9
7 5
9 10
32
1
Si Y est le vecteur 𝑌 = 23 alors on trouve 𝑋 = 1
33
1
31
1
32,1
9,2
22,9
−12,6
Mais si Y est le vecteur 𝑌 =
alors on trouve 𝑋 =
33,1
4,5
30,9
−11
Autrement dit, de très petites variations sur 𝑌 ont conduit à de grandes
variations sur 𝑋.
Conditionnement d'une matrice
Exemple : Considérons le polynôme :
𝑝 𝑥 = 𝑥−1 6
𝑝 𝑥 = 𝑥 6 − 6𝑥 5 + 15𝑥 4 − 20𝑥 3 + 15𝑥 2 − 6𝑥 + 1
La racine de ce polynôme est x=1, avec une multiplicité de 6.
Maintenant, considérons une petite perturbation du coefficient du
terme constant :
𝑝′ 𝑥 = 𝑥 6 − 6𝑥 5 + 15𝑥 4 − 20𝑥 3 + 15𝑥 2 − 6𝑥 + 1,001
Les racines de ce polynôme perturbé sont complexes et très
différentes de 1. Cela montre que le calcul des racines de ce
polynôme est très sensible aux perturbations des coefficients.
Erreur absolue et erreur relative
On peut ainsi écrire
𝟎, 𝟏 𝟑
𝒔𝒊𝒏 𝟎, 𝟏 = 𝟎, 𝟏 −
≈ 𝟎, 𝟎𝟗𝟗𝟖𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟑!
avec 0<ξ<0,1
Donc si l’on choisit 𝒔𝒊𝒏 𝟎, 𝟏 = 𝟎, 𝟏 −
𝟎,𝟏 𝟑
≈ 𝟎, 𝟎𝟗𝟗𝟖𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟑!
L'erreur de troncature est alors estimée à la valeur maximale
possible :
𝟎,𝟏 𝟒
≈ 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝟐
𝟒!
Remarquer que la valeur analytique de 𝒔𝒊𝒏(𝟎. 𝟏) ≈ 𝟎, 𝟎𝟗𝟗𝟖𝟑𝟑𝟒𝟏𝟕.
Erreur absolue et erreur relative
𝑥 une valeur réelle
𝑥 ∗ une approximation de 𝑥
±∆𝑥, l’incertitude = 𝑥 − 𝑥 ∗
Erreur absolue
(mesure quantitative)
∆𝒙 = 𝒙 − 𝒙∗
Erreur relative
(mesure qualitative)
𝑬𝒓 𝒙∗
∆𝒙
𝒙 − 𝒙∗
=
=
𝒙
𝒙
L’erreur relative fournit une information plus pertinente sur la grandeur réelle de l’erreur.
Le pourcentage d’erreur est l’erreur relative multipliée par 100, expression en %
Erreur absolue et erreur relative
1
2
3
Erreur absolue et erreur relative
Exemple 1
Soient 𝑥 = 1, 𝑥෤ = 2 et 𝑦 = 1000, 𝑦෤ = 1001. L'erreur est de 1
dans les deux cas. Pourtant, entre 1 et 2, on passe du simple au
double tandis qu'entre 1000 et 1001, l'erreur est relativement très
faible. Ceci est illustré par le calcul de l'erreur relative :
❑Pour 1 et 2 : Δ𝑅 =
෤
𝑥−𝑥
𝑥
2−1
=
1
෤
𝑦−𝑦
❑Pour 1000 et 1001 : Δ𝑅 =
𝑦
=1
=
1001−1000
1000
1
=
. L'erreur
1000
relative est 1000 fois plus faible que précédemment.
Erreur absolue et erreur relative
Exercice
Exercice
Erreur absolue et erreur relative
Exemple 2
Exemple 3
En cherchant la constante de gaz, on a obtenu R = 29,25, l’erreur relative étant 1/1000
trouver un encadrement de R.
On a 𝛿𝑥 = 0,001, donc ∆𝑥 = 𝑅𝛿𝑥 = 0,03 , c’est-à-dire : 29,22 ≤ 𝑅 ≤ 29,28
Erreurs de cancellation
Une erreur de cancellation se produit généralement lorsqu’on soustrait
deux quantités de même signe très proches.
Considérons deux nombres exacts 𝑥 et 𝑦 approchés par :
𝑥෤ = 100000,2 et 𝑦෤ = 100000,0
Supposons que les erreurs absolues commises sur ces nombres sont
au plus de ∆𝑥 = 0,05 et ∆𝑦 = 0,05
0,05
𝛿𝑥 ≈ ෤ = 5. 10−6
𝑥
Alors, les erreurs relatives sont ൞
0,05
𝛿𝑦 ≈ ෤ = 5. 10−6
𝑦
Erreurs de cancellation
Erreurs dues aux perturbations des données
On considère le système linéaire
on obtient sa solution : 𝑥 = 100000 et y = 50000
Supposons que les erreurs absolues commises sur ces nombres sont
au plus de ∆𝑥 = 0,05 et ∆𝑦 = 0,05
Erreurs dues aux perturbations des données
On considère le système 𝑺𝟐 , obtenu en tronquant le premier coefficient de y
à cinq chiffres significatifs :
L’erreur relative commise sur ce coefficient est :
on obtient sa solution : 𝑥= 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟏 et 𝒚 = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎
On observe une erreur relative d’environ 50% chacune des solutions 𝑥, 𝒚
Exemple
Erreur = Représentation-Valeur approchée
Notation
Représentation
Valeur approchée
Erreur
1/7
0,142 857...
0,142 857
1/7000 000
𝐿𝑛2
0,69314718
0,693147
0,000 000 180 559 945 309 41...
2
𝑒
𝜋
1,414 213 562 373 095 048 80
1,41421
0,000 003 562 373 095 048 80...
...
2,718 281 828 459 045 235 36
2,718 281 828 459 045 0,000 000 000 000 000 235 36...
...
3,141 592 653 589 793 238 46
3,141 592 653 589 793 0,000 000 000 000 000 238 46...
...
ProPagation d’erreurs dans Le cas généraL
Plus généralement, si l’on a :
𝑥 = 𝑥 ∗ ± ∆𝑥
𝑦 = 𝑦 ∗ ± ∆𝑦
Soit 𝑥 une valeur approchée par 𝑥 ∗ avec une erreur absolue Δ𝑥.
On estime la valeur inconnue 𝑓(𝑥) par l’approximation 𝑓(𝑥 ∗ ) .
L’erreur absolue liée à ce résultat est : ∆𝒇 = 𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙∗ )
∆𝒇 ≅ 𝒇′(𝒙∗ ) ∆𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒙∗ ) ± 𝒇′(𝒙∗ ) ∆𝒙
ProPagation d’erreurs dans Le cas généraL
𝝏𝒇(𝒙∗ , 𝒚∗ , 𝒛∗ )
𝝏𝒇(𝒙∗ , 𝒚∗ , 𝒛∗ )
𝝏𝒇(𝒙∗ , 𝒚∗ , 𝒛∗ )
∆𝒇 =
∆𝒙 +
∆𝒚 +
∆𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
Exemple : Pour 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙Τ𝒚, on trouve :
𝝏𝒇(𝒙∗ , 𝒚∗ )
𝝏𝒇(𝒙∗ , 𝒚∗ )
∆𝒇 =
∆𝒙 +
∆𝒚
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝟏
−𝒙
∆𝒇 =
∆𝒙 +
∆𝒚
𝒚
𝒚²
ProPagation d’erreurs dans Le cas généraL
On peut en déduire que :
※𝜟 𝒙 + 𝒚 = 𝜟𝒙 + 𝜟𝒚
※𝜟 𝒙 − 𝒚 = 𝜟𝒙 − 𝜟𝒚
※𝜟 𝒙 ∗ 𝒚 = 𝒚 𝜟𝒙 + 𝒙 𝜟𝒚
※𝜟 𝒙 ÷ 𝒚
𝒚 𝜟𝒙+ 𝒙 𝜟𝒚
=
𝒚²
※ ∆𝒇 ≅ 𝒇′(𝒙∗ ) ∆𝒙
※ ∆𝒇
𝝏𝒇(𝒙∗ ,𝒚∗ ,𝒛∗ )
𝝏𝒇(𝒙∗ ,𝒚∗ ,𝒛∗ )
𝝏𝒇(𝒙∗ ,𝒚∗ ,𝒛∗ )
=
∆𝒙 +
∆𝒚 +
∆𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
Arithmétique en virgule flottante à N chiffres
Soit, 𝑓𝑙(𝑥) sa représentation en virgule flottante à N chiffres :
𝒇𝒍 𝒙 = ±𝟎. 𝒅𝟏 𝒅𝟐 … . . 𝒅𝑵 ∗ 𝟏𝟎𝒍
Où 𝑑𝑁 , la Nième décimale, dépendra de la méthode de remplissage
(troncature/arrondi). Les opérations élémentaires pour 𝑓𝑙
𝒙 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒆 𝒚 ⟶ 𝒇𝒍 𝒇𝒍 𝒙 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒆𝒇𝒍 𝒚
𝒙 + 𝒚 ⟶ 𝒇𝒍 𝒇𝒍 𝒙 + 𝒇𝒍 𝒚
𝒙 − 𝒚 ⟶ 𝒇𝒍 𝒇𝒍 𝒙 − 𝒇𝒍 𝒚
𝒙 ∗ 𝒚 ⟶ 𝒇𝒍 𝒇𝒍 𝒙 ∗ 𝒇𝒍 𝒚
𝒙 ÷ 𝒚 ⟶ 𝒇𝒍 𝒇𝒍 𝒙 ÷ 𝒇𝒍 𝒚
Arithmétique en virgule flottante à N chiffres
Si on choisit 𝑛 = 4, on a alors,
Arithmétique en virgule flottante à N chiffres
Exemple
Si on prend n=4, alors on a :
On remarque une légère perte de précision par rapport à la valeur
exacte de cette opération qui est 1. La multiplication et la division sont
particulièrement simples en arithmétique flottante à cause de la loi des
exposants.
On constate qu'il est primordial de décaler la mantisse avant d'effectuer
l'addition ou la soustraction.
Exemple
Remarque :
Exemple :
L'avantage de la représentation en virgule flottante par rapport à la virgule
fixe est que la virgule flottante est capable, à nombre de bits égal, de gérer
un intervalle de nombres réels plus important.
La représentation décimale en virgule flottante peut quant à
elle, avec sept chiffres décimaux, représenter en plus
➢1.234567, 123456.7 = 1.234567 × 105 ;
➢0.00001234567 = 1.234567 × 10−5 ;
➢1234567000000000 = 1.234567 × 1015, etc.
Inconvénient de la représentation en virgule flottante
➢Le format à virgule flottante occupe un peu plus de place,
car il est nécessaire d'encoder la position de la virgule
(représentée par l'exposant).
➢Pour le même espace disponible, la virgule flottante offre
donc une étendue de nombres plus grande au détriment de
la précision.
Evaluation des polynômes
Evaluation des polynômes
Le polynôme de Taylor
Le polynôme de Taylor de degré n de la fonction 𝑓 𝑥 autour de 𝑥0 est
défini par :
exercices
Exercice 2 a
Imaginons
un
programme
effectuant
100
millions
de
multiplications par seconde pendant 24 heures. Si l'on
représente les réels en simple précision (εm≃10−7), quelle est
en valeur relative, l'erreur d'arrondi sur le résultat?
Exercice 2 a
Imaginons un programme effectuant 100 millions de multiplications par
seconde pendant 24H. Si l'on représente les réels en simple précision
(εm≃10−7). Quelle est l'erreur d'arrondi sur le résultat, en valeur relative?
✓100 millions = 100 000 000 soit 108
✓24 heures = 24* 3600 secondes
✓Avec une précision εm≃10−7 soit 1/107
l'erreur d'arrondi sur le résultat vaut, en valeur relative :
𝜕𝑦
= 10−7
𝑦
𝝏𝒚
8
10 × 24 × 3600 ≃ 30% soit
≃ 𝟑𝟎%
𝒚
A1 – Quelle est la représentation en virgule flottante de 𝑥 = ±𝑚 ∗ 𝑏𝑙
A2 – Soit 𝑥 = +0,00349 ∗ 102 .
1. Quelle est la condition pour garantir l’unicité de la représentation?
2. Quand dit-on que la mantisse est normalisée?
Réponses
A1 - Quelle est la représentation en virgule flottante de 𝑥 = ±𝑚 ∗ 𝑏 𝑙
Soit, 𝑥 ∈ ℝ, on note m la mantisse ; b la base et l l’exposant
𝑥 = ±𝑚 ∗ 𝑏 𝑙
𝑥 = ±0. 𝑑1 𝑑2 … . . 𝑑𝑛 ∗ 𝑏 𝑙
𝑥 = ±(𝑑1 ∗ 𝑏 −1 + 𝑑2 ∗ 𝑏 −2 + ⋯ . . +𝑑𝑛 ∗ 𝑏 −𝑛 ) ∗ 𝑏 𝑙
avec des entiers satisfaisant 0 ≤ 𝑑𝑖 ≤ 𝑏 − 1 et 𝑖 = 1,2, …
Réponses
A2 – Soit 𝑥 = +0,00349 ∗ 102 .
1. Quelle est la condition pour garantir l’unicité de la représentation?
Pour garantir l’unicité de la représentation on imposera que 𝑑1 > 0.
Ainsi, 𝑥 = + 0,349 ∗ 100
2. Quand dit-on que la mantisse est normalisée?
𝑥 = ±𝑚 ∗ 𝑏𝑙
𝑥 = ±(𝑑1 ∗ 𝑏 −1 + 𝑑2 ∗ 𝑏 −2 + ⋯ . . +𝑑𝑛 ∗ 𝑏 −𝑛 ) ∗ 𝑏𝑙
Dès lors que 𝑑1 > 0, l’on dira que la mantisse est normalisée ; ici, 𝑑1 =3.
1
Dans ce cas ≤ 𝑚 < 1. Ici, m= 0,349 et 1/b=1/10=0,1 et 0,1 ≤ 0,349 < 1
𝑏
exercices
Exercice 1
Soit estimez l’erreur dans l’évaluation de 𝑓 𝑥 = 𝑒 10𝑥² cos(𝑥) si
on sait que 𝑥 est égal à 2 à ±10−6 près.
3 - résoLution d’équations non Linéaires
3-1 résoLution d’équations non Linéaires
L'analyse numérique des équations non linéaires est un domaine
crucial en mathématiques appliquées, en sciences et en ingénierie.
Contrairement aux équations linéaires, qui ont des solutions simples et
directes, les équations non linéaires peuvent être très difficiles à
résoudre analytiquement. C'est là que les méthodes numériques
entrent en jeu.
3-1 résoLution d’équations non Linéaires
Importance des équations non linéaires
Ces équations non linéaires décrivent des phénomènes du monde réel, tels que :
❑La dynamique des populations : Les modèles de croissance et de décroissance
des populations sont souvent non linéaires.
❑La mécanique des fluides : Les équations de Navier-Stokes, qui décrivent le
mouvement des fluides, sont non linéaires.
❑La chimie : Les réactions chimiques et les équilibres sont souvent régis par des
équations non linéaires.
❑L'économie : Les modèles économiques peuvent impliquer des relations non
linéaires entre les variables.
❑L'intelligence artificielle : Les réseaux neuronaux et les algorithmes
d'apprentissage automatique utilisent des fonctions non linéaires.
3-1 résoLution d’équations non Linéaires
Méthodes numériques de résolution
Plusieurs méthodes numériques sont utilisées pour résoudre les équations non
linéaires, chacune ayant ses propres avantages et inconvénients :
❑Méthode du point fixe :
✓Elle repose sur la transformation de l'équation non linéaire en une forme de
point fixe, où la solution est un point fixe d'une fonction.
✓La convergence dépend de la fonction de point fixe choisie.
❑Méthode de dichotomie :
✓Elle consiste à diviser l'intervalle de recherche en deux à chaque itération, en
conservant la moitié qui contient la racine.
✓Elle est robuste et converge toujours, mais elle est relativement lente.
3-1 résoLution d’équations non Linéaires
Méthodes numériques de résolution
❑Méthode de Newton (ou méthode de Newton-Raphson) :
✓Cette méthode utilise la dérivée de la fonction pour trouver une meilleure
approximation de la racine à chaque itération.
✓Elle converge très rapidement lorsqu'elle converge, mais elle nécessite que la
fonction soit dérivable et que la dérivée soit connue.
✓Elle peut diverger si le point de départ est mal choisi.
❑Méthode de la sécante :
✓Cette méthode approxime la dérivée à l'aide de deux points précédents.
✓Elle ne nécessite pas de connaître la dérivée, mais elle peut être moins rapide
que la méthode de Newton.
3-1 résoLution d’équations non Linéaires
Ce chapitre est consacré à quelques méthodes numériques de
résolution des équations du type : 𝑓 (𝑥) = 0
1.1. Étape : localisation des zéros
Théorème : Pour a et b donnés :
▪ Si 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0 alors 𝑓 admet aumoins une racine dans [𝑎, 𝑏] si de
plus 𝑓′(𝑥) = 0 quelque soit 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , la racine est unique.
▪ Si 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) > 0 alors 𝑓 n’admet pas de racine dans [𝑎, 𝑏] ou 𝑓(𝑥)
admet un nombre pair de racines dans [𝑎, 𝑏].
Apres avoir isolé une racine dans [𝑎, 𝑏] , on peut en obtenir une
approximation à l’aide de plusieurs méthodes numériques. Nous allons
décrire quelques unes de ces méthodes.
résoLution d’équations non Linéaires
3-2 Méthode de bissection ou de dichotomie
♠Cette méthode permet à la fois de montrer l’existence d’une racine d’une fonction
𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] → 𝑅 et de l’estimer numériquement.
♠L’idée est : si 𝑓 est continue et change de signe sur [𝑎, 𝑏], 𝑓 s’annule en un certain
point de [𝑎, 𝑏].
résoLution d’équations non Linéaires
3-2 Méthode de bissection ou de dichotomie
On suppose qu’on dispose d’une fonction 𝑓 continue et strictement monotone sur un intervalle [𝑎, 𝑏]
vérifiant 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) ≤ 0. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’une unique
solution à l’équation 𝑓(𝑥) = 0 sur l’intervalle [𝑎, 𝑏]. Pour obtenir une valeur approchée d’une solution
d’une équation du type 𝑓 𝑥 = 0 , on procède par dichotomie :
1.
On calcule 𝑐 = (𝑎 + 𝑏)/2 et 𝑓(𝑐).
2.
Si 𝑓(𝑎)𝑓(𝑐) ≤ 0, la solution appartient à l’intervalle [𝑎, 𝑐]. Sinon, elle appartient à [𝑐, 𝑏].
3.
Dans le premier cas, on remplace b par c tandis que dans le second cas, on remplace a par c.
4.
On répète les étapes 1., 2. et 3. tant que la longueur de l’intervalle [𝑎, 𝑏] est supérieur à une
précision 𝜖 donnée.
5.
La valeur de c est alors une valeur approchée de la solution de 𝑓(𝑥) = 0 à 𝜖/2 près.
résoLution d’équations non Linéaires
Algorithme de la bissection
1. Soit un intervalle [𝑥1 , 𝑥2 ] pour lequel 𝑓(𝑥) possède un changement de signe.
2. Étant donné 𝜀, le critère d'arrêt, et N, le nombre maximal d'itérations.
(𝑥1 +𝑥2 )
3. Poser: 𝑥𝑚 =
2
|𝑥2 −𝑥1 |
• Si
< 𝜀 : convergence atteinte
2 |𝑥𝑚 |
• écrire la racine 𝑥𝑚
• écrire 𝑓(𝑥𝑚 )
• arrêt
résoLution d’équations non Linéaires
• Algorithme de la bissection
résoLution d’équations non Linéaires
L’expression
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
𝟐|𝒙𝒎 |
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
𝟐
Exemple
La résolution de cette équation en fonction de 𝑛 abouti à la condition :
𝑳
𝒍𝒏
𝜟𝒓
𝒏>
𝒍𝒏𝟐
Sur un plan pratique, on doit prendre pour valeur de 𝑛 le plus petit entier
vérifiant cette condition.
La méthode de dichotomie a l’énorme avantage de fournir un encadrement
d’une solution de l’équation (f (x) = 0). Il est donc facile d’avoir une
majoration de l’erreur. En effet, à chaque étape, la taille l’intervalle
contenant est divisée par 2.
Avantages de la méthode de dichotomie
Cette méthode a l’avantage de fournir un encadrement d’une
solution de l’équation ( 𝑓 (𝑥) = 0).
Il est donc facile d’avoir une majoration de l’erreur.
A chaque étape, la taille l’intervalle contenant est divisée par 2.
Pour obtenir une approximation de 𝑙 à 10−𝑁 près, sachant que
𝒂𝒏 ≤ 𝒍 ≤ 𝒃𝒏 , on obtient 𝒍 − 𝒂𝒏 ≤
𝒃−𝒂
𝒃𝒏 − 𝒂𝒏 = 𝒏
𝟐
Pour avoir 𝒍 − 𝒂𝒏 ≤ 𝟏𝟎−𝑵 , il suffit de choisir n tel que :
𝒃−𝒂
−𝑵
≤
𝟏𝟎
𝟐𝒏
A l’aide du logarithme décimal,
𝒃−𝒂
−𝑵
𝑵
𝒏
≤
𝟏𝟎
⟺
𝒃
−
𝒂
𝟏𝟎
≤
𝟐
𝟐𝒏
𝑵 + 𝒍𝒐𝒈 𝒃 − 𝒂
⟺𝒏≥
𝟐𝒏
Exemple
Ordre et convergence de la méthode de dichotomie
La méthode de dichotomie
converge nécessairement.
convergence linéaire.
𝑒𝑟𝑟𝑖
𝑒𝑟𝑟𝑖+1 =
2
Sa convergence est donc très lente.
Résolution d’équations non linéaires
2.2. Méthode de la Sécante
Résolution d’équations non linéaires
2.2. Méthode de la Sécante
Résolution d’équations non linéaires
2.2. Méthode de la Sécante
La méthode peut être assimilée à une amélioration de la méthode de
dichotomie. Il s’agit d’une méthode à trois niveaux : approcher les zéros
de f se ramène à calculer la limite de la suite récurrente :
𝑥0 𝑑𝑜𝑛𝑛é
𝑥1 𝑑𝑜𝑛𝑛é
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓 𝑥𝑘
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘−1 )
Résolution d’équations non linéaires
2.2. Méthode de la Sécante
𝑥0 𝑑𝑜𝑛𝑛é
𝑥1 𝑑𝑜𝑛𝑛é
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓 𝑥𝑘
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘−1 )
𝑥1 − 𝑥0
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓 𝑥1
𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0 )
𝑥1 et 𝑥2 sont ensuite utilisés pour calculer 𝑥3 et ainsi de suite…
Résolution d’équations non linéaires
Méthode de la Sécante
Interprétation géométrique de la méthode de la sécante
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓 𝑥𝑘−1
𝑦=
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 + 𝑓 𝑥𝑘
൞
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
𝑦 = 0,
ce qui donne
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
𝑥 = 𝑥𝑘 −
𝑓 𝑥𝑘
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘−1 )
Résolution d’équations non linéaires_Méthode de la Sécante
Résolution d’équations non linéaires
3-3 Méthode des approximations successives (du type 𝒙𝒏+𝟏 = 𝒇(𝒙𝒏 ))
Pour recherche
Résolution d’équations non linéaires
𝒇 𝒙𝒏
3-4 Méthode du type 𝒙𝒏+𝟏 = 𝒙𝒏 −
𝒈 𝒙𝒏
3-4-1 Méthode de la sécante
3-4-2 Méthode de la fausse position ou de Régula-falsi (Pour recherche)
3-4-3 Méthode de la tangente ou Méthode de Newton
Résolution d’équations non linéaires
𝒇 𝒙𝒏
3-4 Méthode du type 𝒙𝒏+𝟏 = 𝒙𝒏 −
𝒈 𝒙𝒏
3-4-1 Méthode de la sécante
Si la fonction est complexe, on remplace 𝑓 𝑥 par sa dérivée 𝑓’(𝑥). L’algorithme de la
méthode de Newton s’écrit 𝒇′ 𝒙𝒏 et se résume en 𝑥𝑛+1 :
𝒇′ 𝒙𝒏
𝑓 𝒙𝒏 − 𝑓 𝒙𝒏−𝟏
≈
𝒙𝒏 − 𝒙𝒏−𝟏
𝒙𝒏+𝟏 = 𝒙𝒏 −
𝒇 𝒙𝒏 (𝒙𝒏 − 𝒙𝒏−𝟏 )
𝒇 𝒙𝒏 − 𝒇 𝒙𝒏−𝟏
On définit ainsi la suite de valeurs par récurrence :
𝑥0 = 𝑎
𝑓 𝑥𝑛 (𝑥𝑛 − 𝑎)
ቐ
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑎
Cela revient à utiliser la droite sécante passant par 𝑥𝑛 , 𝑓(𝑥𝑛 ) et
𝑥𝑛−1 , 𝑓(𝑥𝑛−1 ) au lieu de la droite passant par 𝑥𝑛 , 𝑓(𝑥𝑛 ) .
Résolution d’équations non linéaires
Méthode de la Sécante
Résolution d’équations non linéaires
Méthode de la Sécante
Les résultats sont compilés dans le tableau suivant :
Pour une fonction 𝑓 𝑥 avec 𝑥0 = 𝛼 et 𝑥1 = 𝛽, sachant que
𝑓 𝑥𝑛 (𝑥𝑛 −𝑥𝑛−1 )
𝑓 𝑥1 (𝑥1 −𝑥0 )
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
, l’on a 𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥1 −𝑓 𝑥0
L'initialisation nécessite deux points x0 et x1, proches, si
possible, de la solution recherchée. Il n'est pas nécessaire
que x0 et x1 encadrent une racine de f.
Étant donnés a et b, on construit la droite passant
par (a, f(a)) et (b, f(b)). Son équation est :
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑦 − 𝑓(𝑏) = (𝑥 − 𝑏)
𝑏−𝑎
On choisit c égal à l'abscisse du point d'ordonnée y = 0 de cette droite :
𝑓 𝑏
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
+
(𝑐 − 𝑏) = 0
𝑏−𝑎
Si l'on extrait c de cette équation, on retrouve la relation de
récurrence citée plus haut :
𝑏−𝑎
𝑐=𝑏−
𝑓(𝑏) où c = 𝑥𝑛+1 , 𝑏 = 𝑥𝑛 et 𝑎 = 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
Résolution d’équations non linéaires
Méthode de la Sécante
Exemple : f(x) = sin(x) - cos(x) sur l’intervalle [0 , 1]. Nous allons
utiliser la méthode de la sécante pour calculer une estimation de la
racine. On choisit x0 = 0 et x1=1.
Le tableau suivant récapitule les étapes de résolution de l’équation
f(x)=0 par la méthode de la sécante.
Résolution d’équations non linéaires
Méthode de la Sécante
Les résultats sont compilés dans le tableau suivant :
n
xi
xi+1
f(xi)
f(xi+1)
erreur (xi+1-xi)
0
0
1
-1
0,301168679
1
1 1,000000 0,768540 0,301169 -0,023840 -0,231460136
2 0,768540 0,785518 -0,023840 0,000169
0,016978108
3 0,785518 0,785398 0,000169
0,000000
-0,000119814
Résolution d’équations non linéaires
Méthode de la Sécante
n
0
xi
=E1 =H1
xi+1
f(xi)
f(xi+1)
erreur
=SIN(B6)-COS(B6) =SIN(C6)-COS(C6) =C6-B6 =SI(ABS(F6)<0,001;"fin";"suivant")
=1+A6 =C6 =C6-((C6-B6)/((E6-D6))*E6) =SIN(B7)-COS(B7) =SIN(C7)-COS(C7) =C7-B7 =SI(ABS(F7)<0,001;"fin";"suivant")
=1+A7 =C7 =C7-((C7-B7)/((E7-D7))*E7) =SIN(B8)-COS(B8) =SIN(C8)-COS(C8) =C8-B8 =SI(ABS(F8)<0,001;"fin";"suivant")
=1+A8 =C8 =C8-((C8-B8)/((E8-D8))*E8) =SIN(B9)-COS(B9) =SIN(C9)-COS(C9) =C9-B9 =SI(ABS(F9)<0,001;"fin";"suivant")
Résolution d’équations non linéaires
2.3. Méthodes de dichotomie et de LAGRANGE
Résolution d’équations non linéaires
Méthodes de dichotomie et de LAGRANGE
Avec la méthode de la dichotomie, les itérations s’achèvent à la m-ème
étape :
𝒃−𝒂
𝒎 ≥ 𝐥𝐨𝐠 𝟐
𝜺
Résolution d’équations non linéaires
2.2. Interpolation de LAGRANGE
Soit une fonction continue 𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ,
si 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0 alors il existe (au moins un) 𝑥ො ∈ 𝑎, 𝑏 tel que 𝑓 𝑥ො = 0
En analyse numérique, l'interpolation polynomiale est une technique
d'interpolation d'un ensemble de données ou d'une fonction par un
polynôme. Les polynômes de Lagrange permettent d'interpoler une série
de points par un polynôme qui passe exactement par ces points appelés
aussi nœuds.
Résolution d’équations non linéaires
2.2. Interpolation de LAGRANGE
Soit une fonction continue
𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ, si 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0 alors il existe (au moins un) 𝑥ො ∈
𝑎, 𝑏 tel que 𝑓 𝑥ො = 0
En analyse numérique, l'interpolation polynomiale est une
technique d'interpolation d'un ensemble de données ou d'une
fonction par un polynôme.
Résolution d’équations non linéaires
2.2. Interpolation de LAGRANGE
En
analyse
numérique,
les
polynômes
de
Lagrange,
permettent d'interpoler une série de points par un polynôme
qui passe exactement par ces points appelés aussi nœuds.
Résolution d’équations non linéaires
2.2. Interpolation de LAGRANGE
𝒏
𝒋=𝒏
Le polynôme d’interpolation de
𝒙 − 𝒙𝒋
Lagrange de degré n sur 𝒑𝒏 (𝒙) = ෍ 𝒚𝒊 ෑ
𝒙𝒊 − 𝒙𝒋
l’ensemble des n + 1 points
𝒋=𝟎
𝒊=𝟎
𝒋≠𝟏
s’écrit :
Exemple 1 : Le polynôme de degré 1 qui passe par 𝐴0 = 𝑥0 , 𝑦0
et 𝐴1 = 𝑥1 , 𝑦1 , est :
𝒙 − 𝒙𝟏
𝒙 − 𝒙𝟎
𝒑 𝟏 𝒙 = 𝒚𝟎
+ 𝒚𝟏
𝒙𝟎 − 𝒙𝟏
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
Résolution d’équations non linéaires
2.2. Interpolation de LAGRANGE
Exemple 1 : Le polynôme de degré 1 qui passe par 𝐴0 = 𝑥0 , 𝑦0 et
𝐴1 = 𝑥1 , 𝑦1 , est
𝒑𝟏 𝒙
𝒙−𝒙𝟏
𝒙−𝒙𝟎
= 𝒚𝟎
+ 𝒚𝟏
𝒙𝟎 −𝒙𝟏
𝒙𝟏 −𝒙𝟎
Résolution d’équations non linéaires
2.2. Interpolation de LAGRANGE
Exemple 2 : Le polynôme de degré 2 qui passe par trois points
𝐴0 = 𝑥0 , 𝑦0 , 𝐴1 = 𝑥1 , 𝑦1 et 𝐴2 = 𝑥2 , 𝑦2 est
(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )
(𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )
(𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 )
𝒑𝟐 𝒙 = 𝒚𝟎
+ 𝒚𝟏
+ 𝒚𝟐
(𝒙𝟎 −𝒙𝟏 )(𝒙𝟎 −𝒙𝟐 )
(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 )
(𝒙𝟐 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )
2.2. Interpolation de LAGRANGE
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
Le polynôme qui passe par 𝐴0 = 𝑦 , 𝐴1 = 𝑦 , 𝐴2 = 𝑦 et 𝐴3 = 𝑦 est
0
1
2
3
(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )(𝒙 − 𝒙𝟑 )
(𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )(𝒙 − 𝒙𝟑 )
𝒚𝟎
+ 𝒚𝟏
(𝒙𝟎 −𝒙𝟏 )(𝒙𝟎 −𝒙𝟐 )(𝒙𝟎 −𝒙𝟑 )
(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 )(𝒙𝟏 −𝒙𝟑 )
𝑷𝟑 =
(𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟑 )
(𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )
+𝒚𝟐
+ 𝒚𝟑
(𝒙𝟐 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )(𝒙𝟐 −𝒙𝟑 )
(𝒙𝟑 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟑 − 𝒙𝟏 )(𝒙𝟑 −𝒙𝟐 )
𝒙𝟏
𝒙𝟎
𝒙𝟐
𝒙𝟑
𝒙𝟎
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟑
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟎
𝒙𝟑
𝒙𝟏
𝒙𝟑
𝒙𝟐
𝒙𝟎
Résolution d’équations non linéaires
2.2. Interpolation de LAGRANGE
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
Le polynôme de degré 3 qui passe par 𝐴0 = 𝑦 , 𝐴1 = 𝑦 , 𝐴2 = 𝑦 et 𝐴3 = 𝑦 est
0
1
2
3
(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )(𝒙 − 𝒙𝟑 )
(𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )(𝒙 − 𝒙𝟑 )
𝒚𝟎
+ 𝒚𝟏
(𝒙𝟎 −𝒙𝟏 )(𝒙𝟎 −𝒙𝟐 )(𝒙𝟎 −𝒙𝟑 )
(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 )(𝒙𝟏 −𝒙𝟑 )
𝑷𝟑 =
(𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟑 )
(𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )
+𝒚𝟐
+ 𝒚𝟑
(𝒙𝟐 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )(𝒙𝟐 −𝒙𝟑 )
(𝒙𝟑 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟑 − 𝒙𝟏 )(𝒙𝟑 −𝒙𝟐 )
Exercice : Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les
points (0; 2), (1; 1), (2; 2) et (3; 3)
Le polynôme de Lagrange P qui interpole n points est de degré n-1.
Ainsi, le polynôme de Lagrange P qui interpole les points (0; 2), (1; 1),
(2; 2) et (3; 3) est de degré (4-1) donc n = 3. Sa forme est :
(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )(𝒙 − 𝒙𝟑 )
(𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )(𝒙 − 𝒙𝟑 )
𝒚𝟎
+ 𝒚𝟏
(𝒙𝟎 −𝒙𝟏 )(𝒙𝟎 −𝒙𝟐 )(𝒙𝟎 −𝒙𝟑 )
(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 )(𝒙𝟏 −𝒙𝟑 )
𝑷𝟑 =
(𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟑 )
(𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )
+𝒚𝟐
+ 𝒚𝟑
(𝒙𝟐 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )(𝒙𝟐 −𝒙𝟑 )
(𝒙𝟑 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟑 − 𝒙𝟏 )(𝒙𝟑 −𝒙𝟐 )
Le polynôme de Lagrange P qui interpole les points (0; 2), (1;
1), (2; 2) et (3; 3), n = 3 donc on a :
1 3
8
2
𝑃 𝑥 = − 𝑥 + 2𝑥 − 𝑥 + 2
3
3
Exercice 1
2
3
8
3
1.
𝑃1 𝑋 = 𝑋 4 − 𝑋 3 − 3𝑋 2 + 𝑋
2.
𝑃2 𝑋 = 𝑋 2 −
3.
𝑃3 𝑋
4
4
3
3
1 3
4
2
= 𝑋 +𝑋 − 𝑋
3
3
Solution
𝑃3 𝑋
Exercice 2
Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange
satisfaisant au tableau ci-dessous :
𝒙
𝑓(𝑥)
Solution
0
-1
2
2
3
9
5
87
53 3
253
𝑃 𝑥 =
𝑥 − 7𝑥 2 +
𝑥−1
30
30
Solution : déterminons donc un polynôme de
Lagrange de degré 3, celui-ci s’écrit :
𝒙
0
2
3
5
𝑓(𝑥)
-1
2
9
87
𝑛
𝒋=𝒏
3
𝑘=0
𝒋=𝟎
𝒋≠𝟏
𝑘=0
𝒙 − 𝒙𝒋
𝑃𝑛 𝑥 = ෍ 𝑓 𝑥𝑘 𝐿𝑘 𝑥 𝑒𝑡 𝐿𝑘 𝑥 = ෑ
⇔ 𝑃3 𝑥 = ෍ 𝑓 𝑥𝑘 𝐿𝑘 𝑥
𝒙𝒊 − 𝒙𝒋
𝐿0 𝑥
𝐿2 𝑥
1
= − (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 5)
30
1
= − 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 5)
6
𝐿1 𝑥
𝐿3 𝑥
1
= 𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 − 5)
6
1
= 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
30
𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝐿0 𝑥 + 𝑓 𝑥1 𝐿1 𝑥 + 𝑓 𝑥2 𝐿2 𝑥 + 𝑓 𝑥3 𝐿3 𝑥
53 3
253
2
𝑃 𝑥 =
𝑥 − 7𝑥 +
𝑥−1
30
30
Exercice 3
Exercice 4
Résolution d’équations
non linéaires
2.3. Méthode de Newton
L’algorithme de la méthode
de Newton est :
Et l’algorithme se résume à
𝒇(𝒙𝒏 )
𝒙𝒏+𝟏 = 𝒙𝒏 −
𝒇′(𝒙𝒏 )
Résolution d’équations non linéaires
2.3. Méthode de Newton
Par récurrence la suite de valeurs se résume à :
𝑥0 = 𝑎
𝑓(𝑥𝑛 )
ቐ
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓′(𝑥𝑛 )
Exercice
Expliciter la méthode de Newton pour la recherche du zéro de la fonction
𝑓 définie par 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑎
Résolution d’équations non linéaires
2.3. Méthode de Newton
Réponse : Par la méthode de
Newton, la recherche du zéro de la
fonction 𝑓(𝑥) est faite à travers :
𝒇(𝒙)
𝒈 𝒙 =𝒙−
𝒇′(𝒙)
Ici donc elle s’écrit :
𝑓(𝑥𝑘 )
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓′(𝑥𝑘 )
𝑥𝑘3 − 𝑎
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
3𝑥𝑘2
1
𝑎
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘 + 2
3
3𝑥𝑘
2
𝑎
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 + 2
3
3𝑥𝑘
Résolution d’équations non linéaires
5 Méthode du point fixe (Pour recherche)
Le polynôme de Newton
Soit f une fonction définie aux points 𝑥𝑖 , supposés deux à deux
distincts. On définit les différences divisées par récurrence
comme suit :
Le polynôme de Newton
On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction 𝑓 𝑥
4 5
3 3
1
=
𝑥
On considère les points 𝑥𝑖 = 1, , , 2
Les coefficients du polynôme de Newton sont donnés par :
𝑓 1 =𝑓 1 =1
4
𝑓
−𝑓 1
4
3
𝑓 1, =
= −0,75
4
1
3
−
3 3
Le polynôme de Newton
Les coefficients du polynôme de Newton sont donnés par :
𝑓 1 =𝑓 1 =1
4
𝑓
−𝑓 1
4
4
3
𝑓 1, =
= −0,75 ⟹ 𝑓
= 0,75
4 1
3
3
−
3 3
4 5
4
𝑓 , − 𝑓 1,
3 3
3
= 0,45
2
3
5
4
𝑓
−𝑓
4 5
3
3
𝑓 , =
= −0,45
1
3 3
3
Le polynôme de Newton
Les coefficients du polynôme de Newton sont donnés par :
4 5
4 5
𝑓 , , 2 − 𝑓 1, ,
3 3
3 3
= −0,225
1
5
4 5
𝑓 ,2 − 𝑓 ,
4 5
3
3 3
𝑓 , =
= 0,225
2
3 3
3
5
𝑓
= 0,6
3
5
𝑓 2 −𝑓
5
3
𝑓 ,2 =
= −0,3
1
3
3
𝑓 2 = 0,5
Exemple 1
Tableau des différences divisées
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑥0
𝑦0
𝑥1
𝑦1
𝑥2
𝑦2
𝑥3
𝑦3
𝑥4
𝑦4
𝜕𝑦
𝜕²𝑦
𝜕𝟑𝑦
𝜕𝟒𝑦
𝒚𝟏 − 𝒚𝟎
𝑨=
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3
𝒚𝟏 − 𝒚𝟎
𝑩=
𝒙𝟐 − 𝒙𝟎
𝑦2 − 𝑦1
𝑥3 − 𝑥1
𝑦3 − 𝑦2
𝑥4 − 𝑥2
𝒚𝟏 − 𝒚𝟎
𝑪=
𝒙𝟑 − 𝒙𝟎
𝑦2 − 𝑦1
𝑥4 − 𝑥1
𝒚𝟏 − 𝒚𝟎
𝑫=
𝒙𝟒 − 𝒙𝟎
𝑷 𝒙 = 𝑦0 + 𝒙 − 𝒙𝟎 𝑨 + 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟏 𝑩 + 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙 − 𝒙𝟐 𝑪 + 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙 − 𝒙𝟐 𝒙 − 𝒙𝟑 𝑫
Tableau des différences divisées
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑥0
𝑦0
𝑥1
𝑦1
𝑥2
𝑦2
𝑥3
𝑥4
𝜕𝟑𝑦
𝜕𝑦
𝜕²𝑦
𝒚𝟏 − 𝒚𝟎
𝑨=
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝒚𝟏 − 𝒚𝟎
𝑩=
𝒙𝟐 − 𝒙𝟎
𝑦3
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2
𝑦2 − 𝑦1
𝑥3 − 𝑥1
𝒚𝟏 − 𝒚𝟎
𝑪=
𝒙𝟑 − 𝒙𝟎
𝑦4
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3
𝑦3 − 𝑦2
𝑥4 − 𝑥2
𝑦2 − 𝑦1
𝑥4 − 𝑥1
𝜕𝟒𝑦
𝒚𝟏 − 𝒚𝟎
𝑫=
𝒙𝟒 − 𝒙𝟎
𝑷 𝒙
= 𝑦0 + 𝒙 − 𝒙𝟎 𝑨 + 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟏 𝑩 + 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙 − 𝒙𝟐 𝑪
+ 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙 − 𝒙𝟐 𝒙 − 𝒙𝟑 𝑫
Tableau des différences divisées
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝜕𝑦
𝜕²𝑦
𝜕3𝑦
0 -1
2 1
4
6
5
0
8
2
10
5
𝜕4𝑦
𝜕5𝑦
Tableau des différences divisées
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝜕𝑦
𝜕²𝑦
𝜕3𝑦
0 -1
2 1
1
4
6
5/2
5
0
-6
8
2
2/3
10
5
3/2
𝜕4𝑦
𝜕5𝑦
Tableau des différences divisées
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝜕𝑦
𝜕²𝑦
𝜕3𝑦
0 -1
2 1
1
4
6
5/2
3/8
5
0
-6
-17/6
8
2
2/3
5/3
10
5
3/2
1/6
𝜕4𝑦
𝜕5𝑦
Tableau des différences divisées
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝜕𝑦
𝜕²𝑦
𝜕3𝑦
0 -1
2 1
1
4
6
5/2
3/8
5
0
-6
-17/6
-77/120
8
2
2/3
5/3
3/4
10
5
3/2
1/6
-1/4
𝜕4𝑦
𝜕5𝑦
Tableau des différences divisées
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝜕𝑦
𝜕²𝑦
𝜕3𝑦
0 -1
2 1
1
𝜕4𝑦
4
6
5/2
3/8
5
0
-6
-17/6
-77/120
8
2
2/3
5/3
3/4
167/960
10
5
3/2
1/6
-1/4
-1/8
𝜕5𝑦
Tableau des différences divisées
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝜕𝑦
𝜕²𝑦
𝜕3𝑦
0 -1
2 1
1
𝜕4𝑦
4
6
5/2
3/8
5
0
-6
-17/6
-77/120
8
2
2/3
5/3
3/4
167/960
10
5
3/2
1/6
-1/4
-1/8
𝜕5𝑦
-287/9600
Résultat (suite et fin)
Les différences divisées sont présentées dans le tableau ci-dessus. Le polynôme
d'interpolation est alors donné par
Exemple 2
Les différences divisées sont présentées dans le tableau ci-dessus. Le polynôme d'interpolation est
alors donné par
Le polynôme de Newton
Les coefficients du polynôme de
Newton sont donnés par :
𝒏
𝒇 𝒙𝟎 , … 𝒙𝒏 = ෍
𝒊=𝟎
𝒇 𝒙𝒊
ς𝒏𝒋=𝟎,𝒋≠𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙𝒋
Le polynôme d'interpolation de f aux points 𝑥0 , 𝑥1 , … 𝑥𝑛 s'exprime dans la
base de Newton comme :
𝒏−𝟏
𝑷 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 + 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒇 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 + 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒇 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 + ⋯ + ෑ 𝒙 − 𝒙𝒊 𝒇 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , 𝒙𝒏
𝒊=𝟎
Note: La formule de Newton présente l'avantage d'exploiter les calculs déjà
faits si un point d'interpolation est ajouté à la liste précédente. Dans la
formule de Lagrange tous les calculs doivent être refaits.
Le polynôme de Newton
Exemple d'application
On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction
𝟏
𝒇 𝒙 =
𝒙
4 5
On considère les points 𝑥𝑖 = 1, , et 2.
3 3
Les coefficients du polynôme de Newton sont donnés par :
Exemple de calcul de polynôme d’interpolation de Newton
Le polynôme de Newton
Exemple On cherche le polynôme d'interpolation de Lagrange par la
méthode des différences divisées pour approcher la fonction
𝟏
𝒇 𝒙 =
𝟏 + 𝒙²
sur l'intervalle −𝟐, 𝟐 en utilisant les points
𝑥𝑖 = −2; −1,5; −1; −0,5; 0; 0,5 ; 1; 1,5 et 2.
Le polynôme de Newton
Exemple On cherche le polynôme d'interpolation de Lagrange par la méthode des différences
𝟏
divisées pour approcher la fonction 𝒇 𝒙 =
sur l'intervalle −𝟐, 𝟐 en utilisant les points
𝟏+𝒙²
𝑥𝑖 = −2; −1,5; −1; −0,5; 0; 0,5 ; 1; 1,5 et 2.
Les coefficients du polynôme de Newton sont donnés par :
Le polynôme de Newton
Exercice synthèse
A partir des points suivants :
𝑥𝑖
𝑦𝑖
-1
1
0
1
1
2
2
5
1. Chercher le polynôme d'interpolation P(x) par trois méthodes.
2. Quelle est la valeur de xi pour yi = 2,2
3. Par la méthode de Newton, expliciter l’algorithme pour la recherche du zéro.
Le polynôme de Newton
Solution
A partir des points suivants :
𝑥𝑖
𝑦𝑖
-1
1
0
1
1
2
2
5
Chercher le polynôme d'interpolation par trois méthodes.
❑Méthode de Lagrange
❑Méthode de Newton (différences divisées)
❑Méthode de Vandermonde (résolution d'un système linéaire)
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
1 3 1 2 1
𝑃 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥+1
6
2
3
Pour recherche
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS NON-LINÉAIRES
▪ Résolution d’une équation algèbrique
▪ Propriétés sur les racines d’un polynôme
▪ Théorème de Sturm
RÈSOLUTION DE SYSTÈMES NON LINÉAIRES
▪ Définition
▪ Méthode des approximations successives (type Jacobi ou Gauss-Seidel)
Chapitre 3
Résolution de systèmes linéaires
1. Définition
2. Systèmes mal conditionnés
3. Méthodes directes
▪ Méthode de Gauss
▪ Factorisation LU
▪ Méthode de Cholesky
4. Méthodes itératives
▪ Méthode de Jacobi
▪ Méthode de Gauss-Seidel
▪ Méthode de relaxation (SOR)
5. Convergence et conditionnement
6. Exemples et applications
L'analyse numérique offre diverses méthodes pour résoudre des systèmes linéaires, qui se
classent en deux grandes catégories : les méthodes directes et les méthodes itératives.
Méthodes directes
Ces méthodes fournissent une solution exacte (en l'absence d'erreurs d'arrondi) en un
nombre fini d'étapes. Elles sont généralement préférables pour les systèmes de petite à
moyenne taille.
•Élimination de Gauss: C'est la méthode la plus fondamentale. Elle consiste à transformer le
système en un système équivalent triangulaire supérieur, qui peut ensuite être résolu par
substitution arrière.
•Elle peut être sujette à des instabilités numériques si des pivots petits sont rencontrés.
•Des stratégies de pivotage (pivotage partiel ou total) sont souvent utilisées pour
améliorer la stabilité.
•Factorisation LU: Cette méthode décompose la matrice du système en un produit d'une
matrice triangulaire inférieure (L) et d'une matrice triangulaire supérieure (U).
•Elle est équivalente à l'élimination de Gauss, mais elle est plus efficace lorsque le même
système doit être résolu avec plusieurs seconds membres.
•Factorisation de Cholesky: Une variante de la factorisation LU, applicable aux matrices
symétriques définies positives. Elle est plus efficace et plus stable que la factorisation LU
générale.
Méthodes itératives
Ces méthodes génèrent une séquence de solutions approchées qui convergent vers la
solution exacte. Elles sont généralement préférables pour les systèmes de grande taille, en
particulier ceux qui sont creux (c'est-à-dire avec beaucoup de zéros).
•Méthode de Jacobi: Une méthode itérative simple qui met à jour chaque composante de
la solution en utilisant les valeurs des autres composantes à l'itération précédente.
•Méthode de Gauss-Seidel: Une amélioration de la méthode de Jacobi qui utilise les
valeurs les plus récentes des composantes dès qu'elles sont disponibles.
•Méthode du gradient conjugué: Une méthode itérative plus sophistiquée qui est
particulièrement efficace pour les matrices symétriques définies positives.
Choix de la méthode
Le choix de la méthode dépend de plusieurs facteurs, notamment :
•La taille du système
•La densité de la matrice
•Les propriétés de la matrice (symétrie, définie positivité, etc.)
•La précision requise
Considérations supplémentaires
•Conditionnement: Le conditionnement d'un système linéaire mesure sa sensibilité aux perturbations. Un système mal conditionné
peut produire des solutions très imprécises, même avec des méthodes exactes.
•Stabilité numérique: Les erreurs d'arrondi peuvent s'accumuler et affecter la précision des solutions. Il est important de choisir des
méthodes numériquement stables.
J'espère que ces informations vous seront utiles.
analyse numérique Résolution de systèmes linéaires (avec détails)
L'analyse numérique offre un éventail de méthodes pour résoudre les systèmes d'équations linéaires, chacune avec ses propres
forces et faiblesses. Voici une exploration plus détaillée des méthodes clés :
1. Méthodes Directes
•Élimination de Gauss:
•Principe : Transformation du système en une forme triangulaire supérieure par des opérations élémentaires sur les lignes
(combinaisons linéaires).
•Étapes :
•Élimination des inconnues sous la diagonale principale.
•Résolution par substitution arrière.
•Avantages : Simple à comprendre et à implémenter.
•Inconvénients :
•Sensibilité aux erreurs d'arrondi (instabilité numérique).
•Nécessité de stratégies de pivotage pour améliorer la stabilité.
•Pivotage :
•Pivotage partiel : choix du plus grand élément en valeur absolue dans la colonne en cours comme pivot.
•Pivotage total : choix du plus grand élément en valeur absolue dans la sous-matrice restante comme pivot.
•Factorisation LU:
•Principe : Décomposition de la matrice A en un produit de deux matrices triangulaires,
L (inférieure) et U (supérieure).
•Étapes :
•Calcul de L et U.
•Résolution de Ly = b, puis Ux = y.
•Avantages :
•Efficace pour résoudre plusieurs systèmes avec la même matrice A et différents
seconds membres b.
•Moins sensible aux erreurs d'arrondi que l'élimination de Gauss sans pivotage.
•Factorisation de Cholesky :
•Principe : Variante de la factorisation LU pour les matrices symétriques définies
positives, A = LLᵀ.
•Avantages : Plus efficace et plus stable que la factorisation LU générale.
2. Méthodes Itératives
•Méthode de Jacobi:
•Principe : Calcul de chaque composante de la solution à partir des valeurs des autres
composantes à l'itération précédente.
•Avantages : Simple à implémenter.
•Inconvénients : Convergence lente, ne converge pas toujours.
•Méthode de Gauss-Seidel:
•Principe : Amélioration de la méthode de Jacobi, utilisant les valeurs les plus récentes
des composantes dès qu'elles sont disponibles.
•Avantages : Convergence plus rapide que la méthode de Jacobi.
•Inconvénients : Ne converge pas toujours.
2. Méthodes Itératives
•Méthode du Gradient Conjugué:
•Principe : Méthode itérative pour les matrices symétriques définies positives, basée
sur la minimisation d'une fonction quadratique.
•Avantages : Convergence rapide pour les matrices de grande taille et creuses.
•Inconvénients : Plus complexe à implémenter.
Considérations Importantes
•Conditionnement :
•Mesure la sensibilité de la solution aux perturbations des données.
•Un conditionnement élevé indique un système mal conditionné, pouvant entraîner des
solutions imprécises.
•Stabilité Numérique :
•Les erreurs d'arrondi peuvent s'accumuler et affecter la précision des solutions.
•Le choix de méthodes stables et l'utilisation de stratégies de pivotage sont essentiels.
•Matrices Creuses :
•Les matrices avec de nombreux éléments nuls nécessitent des méthodes spécifiques
pour économiser de la mémoire et réduire le temps de calcul.
•Les méthodes itératives sont souvent préférables pour les matrices creuses.
Chapitre 3
résoLution d’équations différentieLLes
• Introduction aux équations différentielles
• Définition :
• Une équation différentielle est une équation qui lie une fonction inconnue à ses
dérivées.
• Elles apparaissent naturellement dans la modélisation de nombreux
phénomènes physiques, chimiques, biologiques, etc.
• Types d'équations différentielles :
• Équations différentielles ordinaires (EDO) : la fonction inconnue ne dépend que
d'une seule variable.
• Équations aux dérivées partielles (EDP) : la fonction inconnue dépend de
plusieurs variables.
• Problème de Cauchy :
• Résoudre une EDO consiste généralement à trouver une fonction qui satisfait
l'équation et une condition initiale.
• Méthodes numériques pour les EDO
• Méthode d'Euler :
• C'est la méthode la plus simple, mais aussi la moins précise.
• Elle consiste à approcher la solution par une suite de segments de droite.
• Il existe deux variantes : la méthode d'Euler explicite et la méthode d'Euler implicite.
• Méthodes de Runge-Kutta :
• Ce sont des méthodes plus précises que la méthode d'Euler.
• Elles consistent à approcher la solution par une combinaison de pentes en différents
points.
• La méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 est particulièrement populaire.
• Méthodes à pas multiples :
• Ces méthodes utilisent les valeurs de la solution aux instants précédents pour calculer
la valeur à l'instant suivant.
• Elles peuvent être plus efficaces que les méthodes à un pas, mais elles nécessitent de
stocker les valeurs précédentes.
• Erreurs et stabilité
• Erreurs de troncature :
• Elles sont dues à l'approximation de la solution par une méthode numérique.
• Erreurs d'arrondi :
• Elles sont dues à la précision limitée des ordinateurs.
• Stabilité :
• Une méthode numérique est dite stable si les erreurs ne se propagent pas et ne
s'amplifient pas au cours des calculs.
• Convergence :
• Une méthode numérique est dite convergente si la solution approchée tend
vers la solution exacte lorsque le pas de discrétisation tend vers zéro.
• Exemples d'applications
• Modélisation de la croissance d'une population :
• Les équations différentielles permettent de décrire l'évolution de la taille d'une
population au fil du temps.
• Simulation de la trajectoire d'un projectile :
• Les équations différentielles permettent de calculer la position d'un projectile à
tout instant.
• Résolution de circuits électriques :
• Les équations différentielles permettent de déterminer les courants et les
tensions dans un circuit.
Chapitre 3
Calcul de complexité d’aLgorithme
• Exemples d'applications
• Modélisation de la croissance d'une population :
• Les équations différentielles permettent de décrire l'évolution de la taille d'une
population au fil du temps.
• Simulation de la trajectoire d'un projectile :
• Les équations différentielles permettent de calculer la position d'un projectile à
tout instant.
• Résolution de circuits électriques :
• Les équations différentielles permettent de déterminer les courants et les
tensions dans un circuit.
Chapitre 4
Intégration numérique
Méthode des rectangles
𝒃
‫ 𝒃( = 𝒙𝒅 )𝒙(𝒇 𝒂׬‬− 𝒂)𝒇 𝜶
𝜶 = 𝒂 𝒐𝒖 𝒃
Méthode des trapèzes
𝒃
𝒃−𝒂
න 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =
𝒇 𝒂 +𝒇 𝒃
𝟐
𝒂
Méthode des trapèzes
𝒃
𝒃−𝒂
න 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =
𝒇 𝒂 +𝒇 𝒃
𝟐
𝒂
Soit f une fonction définie et dérivable sur [a , b]. Soit 𝑥 ∈]𝑎 , 𝑏[,
la dérivée de f en x est donnée par :
𝑓′ 𝑥
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
= lim
ℎ→0
ℎ
Soit f une fonction définie et continue sur [a , b]. L’intégrale de f
sur [a , b] est donnée par :
Le calcul analytique des dérivées ou des intégrales est souvent
difficile ou couteux. D'autant plus que dans la plupart des
problèmes concrets, l'expression de f peut ne pas être connue.
La formule du point milieu (point médian)
Formule de calcul numérique d'une intégrale.
𝒃
𝒂+𝒃
න 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂)𝒇
𝟐
𝒂
Point milieu qui est d’ordre
Erreur commise
0
𝑬 = 𝒃 − 𝒂 𝟐 /𝟐 ∗ 𝒙∈𝒎𝒂𝒙
𝒂,𝒃 𝒇′(𝒙)
1
𝑬 = 𝒃 − 𝒂 𝟑 /𝟐𝟒 ∗ 𝒙∈𝒎𝒂𝒙
𝒂,𝒃 𝒇"(𝒙)
L'erreur est
❑deux fois plus petite que celle donnée par la méthode des trapèzes.
❑exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 1.
Méthode des trapèzes
Cette méthode sert au calcul numérique d'une intégrale
𝑏
‫ 𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑎׬‬s'appuyant sur l'interpolation linéaire par intervalles.
𝒏−𝟏
𝒃 − 𝒂 𝒇 𝒂 + 𝒇(𝒃)
𝑻𝒏 =
+ ෍ 𝒇 𝒙𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏
avec 𝒙𝒊 = 𝒂 + 𝒊𝒉
Méthode des trapèzes composite
La méthode des trapèzes composite à m+1 points pour calculer
l’intégrale d’une fonction 𝑓 sur l’intervalle [a,b] s’écrit
𝒏−𝟏
𝒃
𝟏
𝟏
න 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒉
𝒇 𝒂 + ෍ 𝒇 𝒂 + 𝒊𝒉 + 𝒇(𝒃)
𝟐
𝟐
𝒂
𝒊=𝟏
𝑏−𝑎
avec ℎ =
𝑛
𝒃
𝒂+𝒃
න 𝒈(𝒕) ≈
𝟐
𝒂
𝒈 𝒂 +𝒈 𝒃
Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment
différentiable sur le segment [a , b], l'erreur commise est de la
forme
𝒃−𝒂 𝟑
𝑬=−
∗ 𝒙∈𝒎𝒂𝒙
𝒂,𝒃 𝒇"(𝒙)
𝟏𝟐
Conformément aux expressions de l’erreur, la méthode des
trapèzes est souvent moins performante que celle du point milieu.
Exercice 3
21
On considère l’intégrale 𝐼 = ‫׬‬1 𝑑𝑥
𝑥
Calculer la valeur exacte de I.
Évaluer numériquement cette intégrale par la méthode des
trapèzes avec n égale à 3 sous-intervalles.
Méthode des trapèzes
(m+1) points sur l’intervalle [a,b] s’écrit
𝒃
𝒎−𝟏
𝟏
𝟏
න 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒉
𝒇 𝒂 + ෍ 𝒇 𝒂 + 𝒊𝒉 + 𝒇(𝒃)
𝟐
𝟐
𝒂
𝒊=𝟏
avec ℎ =
𝑏−𝑎
𝑚
𝒃
𝒂+𝒃
න 𝒈(𝒕) ≈
𝟐
𝒂
𝒈 𝒂 +𝒈 𝒃
21
Exercice 3 : On considère l’intégrale 𝐼 = ‫׬‬1 𝑑𝑥
𝑥
1. Calculer la valeur exacte de I.
2. Évaluer numériquement cette intégrale par la méthode des trapèzes
avec n égale à 3 sous-intervalles.
𝑥=2
1. La valeur exacte est 𝐼 = 𝑙𝑛𝑥 𝑥=1
= 𝑙𝑛2
2. La méthode des trapèzes composite à n points pour calculer
l’intégrale d’une fonction 𝑓 sur l’intervalle [a , b] s’écrit
𝟐𝟏
𝑰≃
= 𝟎, 𝟕
𝟑𝟎
Exercice :
Approximer l'intégrale de sin(𝑥) de 0 à 𝜋 en utilisant la
méthode des trapèzes avec n = 4 sous-intervalles puis effectuer
l’analyse de l'erreur.
L’approximation est-elle plus précise? Si non, que faire?
Exercice : Approximer l'intégrale de sin(𝑥) de 0 à 𝜋 en utilisant la
méthode des trapèzes avec n = 4 sous-intervalles.
La méthode des trapèzes approxime l'intégrale d'une fonction
𝑓(𝑥) sur l'intervalle [𝑎, 𝑏] en divisant l'intervalle en n sousintervalles de largeur ℎ = (𝑏 − 𝑎)/𝑛 et en approximant l'aire
sous la courbe par la somme des aires des trapèzes formés par les
points (𝑥ᵢ, 𝑓(𝑥ᵢ)).
La formule est :
𝒃
𝒎−𝟏
𝒉
න 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 =
𝒇 𝒂 + 𝟐 ෍ 𝒇 𝒂 + 𝒊𝒉 + 𝒇(𝒃)
𝟐
𝒂
𝒊=𝟏
Résolution :
Ainsi, l’on approxime l'intégrale de 𝑓 𝑥 = sin(𝑥) sur
l'intervalle [0, 𝜋] en divisant l'intervalle en 4 sousintervalles de largeur ℎ = (𝜋 − 0)/4 et en approximant
l'aire sous la courbe par la somme des aires des
trapèzes formés par les points (𝑥ᵢ, 𝑓(𝑥ᵢ)).
La formule est :
𝒃
𝒎−𝟏
𝒉
න 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 =
𝒇 𝒂 + 𝟐 ෍ 𝒇 𝒂 + 𝒊𝒉 + 𝒇(𝒃)
𝟐
𝒂
𝒊=𝟏
Resolution : L’on approximera l'intégrale de 𝑓 𝑥 = sin(𝑥) sur
l'intervalle [0, 𝜋] en divisant l'intervalle en 4 sous-intervalles de
largeur ℎ = (𝜋 − 0)/4 et en approximant l'aire sous la courbe par la
somme des aires des trapèzes formés par les points 𝑥ᵢ, 𝑓 𝑥ᵢ avec :
𝒎−𝟏
𝒃
𝒉
න 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 =
𝒇 𝒂 + 𝟐 ෍ 𝒇 𝒂 + 𝒊𝒉 + 𝒇(𝒃)
𝟐
𝒂
𝒊=𝟏
Points 𝒙𝒊
Valeurs de 𝒇(𝒙𝒊 )
𝒙𝒊
𝒙𝟎
𝒇(𝒙𝟎 )
0
𝒙𝟏
𝒇(𝒙𝟏 )
π∕4
𝒙𝟐
𝒇(𝒙𝟐 )
π∕2
𝒙𝟑
𝒇(𝒙𝟑 )
3π∕4
𝒙𝟒
𝒇(𝒙𝟒 )
𝝅
𝒇(𝒙𝒊 )
0
0,7071
2
0,7071
0
𝝅
Application de la formule : ‫𝟏 = 𝒙𝒅 𝒙 𝒏𝒊𝒔 𝟎׬‬, 𝟗𝟎
Resolution :
Points 𝒙𝒊
𝒙𝟎
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟑
𝒙𝟒
Valeurs de 𝑓(𝒙𝒊 )
𝑓(𝒙𝟎 )
𝑓(𝒙𝟏 )
𝑓(𝒙𝟐 )
𝑓(𝒙𝟑 )
𝑓(𝒙𝟒 )
0
0,7071
2
0,7071
0
𝑓(𝒙𝒊 )
𝝅
Application de la formule : ‫𝟏 = 𝒙𝒅 𝒙 𝒏𝒊𝒔 𝟎׬‬, 𝟗𝟎
𝝅
Comparaison avec la valeur exacte ‫ = 𝒙𝒅 𝒙 𝒏𝒊𝒔 𝟎׬‬−𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝝅
=𝟐
𝟎
Analyse de l'erreur
▪ Valeur approximée : 1,90
▪ Valeur exacte : 2
▪ Erreur relative : |0.10 / 2| = 0.05 (soit 5%)
▪ Erreur absolue : |2 - 1.90| = 0.10
Pour une approximation plus précise, il faudrait augmenter le nombre de sous-intervalles (n).
Méthode de Simpson
Cette méthode utilise l'approximation d'ordre 2 de 𝑓 par un polynôme d'interpolation
𝑎+𝑏
quadratique 𝑃2 en 𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑚 =
et 𝑥2 = 𝑏. On a :
2
(𝒙 − 𝒎)(𝒙 − 𝒂)
(𝒙 − 𝒂)(𝒙 − 𝒃)
(𝒙 − 𝒂)(𝒙 − 𝒎)
𝑷𝟐 𝒙 = 𝒇 𝒂
+𝒇 𝒎
+𝒇 𝒃
(𝒂 − 𝒎)(𝒂 − 𝒃)
(𝒎 − 𝒂)(𝒎 − 𝒃)
(𝒃 − 𝒂)(𝒃 − 𝒎)
La méthode de Simpson permet le calcul approché d’une intégrale avec la formule suivante :
𝒃
𝒃
‫𝑃 𝒂׬ ≈ 𝒙𝒅 𝒙 𝒇 𝒂׬‬2 𝑥 𝒅𝒙 ≈
𝒃−𝒂
𝟔
𝒇 𝒂 + 𝟒𝒇
𝒂+𝒃
𝟐
+ 𝒇(𝒃)
Cette formule est exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à 3 : on dit que la
méthode de Simpson est d'ordre 3.
Méthode de Simpson
Formule de Simpson
𝒃
𝒃−𝒂
𝒂+𝒃
න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ≈
𝒇 𝒂 + 𝟒𝒇
+ 𝒇(𝒃)
𝟔
𝟐
𝒂
Formule de Simpson composite
Plus l’intervalle est petit, meilleure est l’approximation de la valeur de l’intégrale. Par conséquent, pour obtenir un
résultat correct, on subdivise l’intervalle [a,b] en un nombre pair de sous-intervalles et on additionne la valeur
obtenue sur chaque sous-intervalle. On a ainsi :
Méthode de Simpson
Illustration de la formule de Simpson composite
Méthode de Simpson
En informatique, la méthode de Simpson est utilisée principalement dans
les domaines où des calculs numériques d'intégrales sont nécessaires. la
méthode de Simpson offre une solution programmable efficace pour les
intégrales numériques, essentielle pour les simulations complexes et les
applications automatisées.
Exemples concrets et applications :
➢Implémentation logicielle
➢Simulation numérique
➢le traitement de signaux
➢Graphiques et courbes en 2D/3D…
Méthode de Simpson
Exercice :
Approximer l'intégrale de sin(𝑥) de 0 à 𝜋 en utilisant la
méthode de Simpson et celle des trapèzes avec n = 4 sousintervalles.
Que conclure ?
Trapèzes
Simpson
Méthode de Simpson
La méthode de Simpson est une méthode de calcul approché
d'intégrale. Elle consiste en l'approximation suivante :
𝒂
𝒃−𝒂
𝒂+𝒃
න 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 ≈
𝒇 𝒂 + 𝟒𝒇
+ 𝒇(𝒃)
𝟔
𝟐
𝒂
Cette formule est exacte pour tous les polynômes de degré
inférieur ou égal à 3 : on dit que la méthode de Simpson est
d'ordre 3.
Méthode de Simpson
En général, pour appliquer cette méthode d'intégration,
a. l’on découpe l'intervalle [𝑎, 𝑏] en 𝑛 intervalles de
(𝒃−𝒂)
longueur
, et
𝒏
b. l’on applique la formule précédente sur chacun des sous𝒃−𝒂
intervalles. En posant 𝒉 =
𝒏
𝒃
𝟏
න 𝒈(𝒕) ≈
𝟔
𝒂
𝒂+𝒃
𝒈 𝒂 + 𝟒𝒈
+𝒈 𝒃
𝟐
Si f est 4 fois continument différentiable sur [a, b], l'erreur
d'approximation commise est de la forme :
(𝒃 − 𝒂)𝟓
𝟒
𝑬=−
∗ 𝒙∈𝒎𝒂𝒙
𝒇
(𝒙)
𝒂,𝒃
𝟗𝟎
(𝒃 − 𝒂)𝟓
𝟒
𝑬=−
∗ 𝒙∈𝒎𝒂𝒙
𝒇
(𝒙)
𝒂,𝒃
𝟗𝟎
Cette expression du terme d'erreur signifie que la méthode de
Simpson est exacte (c'est-à-dire que le terme d'erreur
s'annule) pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
La formule du point milieu (point médian)
𝒃
𝒂+𝒃
න 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂)𝒇
𝟐
𝒂
Méthode des trapèzes
𝒃
𝒃−𝒂 𝒇 𝒂 +𝒇(𝒃)
+ σ𝒏−𝟏
𝒇 𝒙𝒊
‫𝒏 = 𝒙𝒅 )𝒙(𝒇 𝒂׬‬
𝒊=𝟏
𝟐
avec 𝒙𝒊 = 𝒂 + 𝒊𝒉
Méthode des trapèzes composite
𝒃
𝟏
𝒎−𝟏
σ
𝒇
𝒕
𝒅𝒕
=
𝒉
𝒇(𝒂)
𝒇 𝒂 + 𝒊𝒉
‫𝒂׬‬
𝒊=𝟏
𝟐
𝒃
𝒂+𝒃
න 𝒈(𝒕) ≈
𝟐
𝒂
𝟏
+ 𝒇(𝒃)
𝟐
𝑏−𝑎
avec ℎ =
𝑚
𝒈 𝒂 +𝒈 𝒃
Méthode de Simpson
𝒂
𝒃−𝒂
𝒂+𝒃
න 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 ≈
𝒇 𝒂 + 𝟒𝒇
+ 𝒇(𝒃)
𝟔
𝟐
𝒂
Méthode
Erreur
Ordre
Exercice
Dans la formule suivante
𝑎+ℎ
𝐼=න
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝛼𝑓 𝛼 + 𝛽𝑓(𝑎 + ℎ)
𝑎
Déterminer 𝛼 et 𝛽 pour que la formule soit exacte pour des
polynômes de degré inférieur ou égal à un.
Exercice
5Τ2
Estimer ‫׬‬0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 à partir des données
𝑥
𝑓(𝑥)
0
3/2
1/2
2
1
2
3/2
1.6364
en utilisant la méthode des trapèzes composite.
2
1.2500
5/2
0.9565
Explication
5Τ2
Estimer ‫׬‬0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 à partir des données
𝑥
𝑓(𝑥)
0
3/2
1/2
2
1
2
3/2
1.6364
2
1.2500
en utilisant la méthode des trapèzes composite.
6 points donc 5 intervalles donc i varie de 1 à 5-1
6 points donc 5 intervalles donc i varie de 1 à 4
5/2
0.9565
Réponse
La méthode des trapèzes composite à m+1 points pour calculer
l’intégrale d’une fonction f sur l’intervalle [a,b] s’écrit
Ici on a a = 0, b = 5/2, h = 1/2 donc
Exercice 1
Estimez l’erreur dans l’évaluation de 𝑓 𝑥 = 𝑒10𝑥² cos(𝑥) si on sait
que x est égal à 2 à ±10−6 près.
Exercice 2
I.
Estimez l’erreur dans l’évaluation de 𝑓 𝑥 = 𝑒10𝑥² cos(𝑥) si on sait que x est égal à 2 à ±10−6 près.
Expliciter la méthode de Newton pour la recherche du zéro de
la fonction f définie sur ℝ∗+ par : 𝑓 𝑥
2𝑥 3 +4𝑥 2 +10
=
.
2
3𝑥 +8𝑥
𝑓(𝑥𝑘 )
Sachant que 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓′(𝑥𝑘 )
Posons l’opération
𝑓(𝑥𝑘 )
𝑔(𝑥𝑘 ) = 𝑥𝑘 −
𝑓′(𝑥𝑘 )
Calcul à achever …
Exercice 3
Trouver le polynôme de l’espace vectoriel 𝑉𝑒𝑐 1 + 𝑥 2 , 𝑥 4 qui
interpole les points (0; 1) et (1; 3).
Exercice 3
1. Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les trois
points (1 ; e), (0 ; 1) et (1 ; e).
2. Sans faire de calculs, donner l’expression du polynôme de
Lagrange Q qui interpole les trois points (-1 ; -1), (0 ; 0) et (1 ; -1).
3. Trouver le polynôme de l’espace vectoriel 𝑉𝑒𝑐 1, 𝑥, 𝑥 2 qui
interpole les trois points (-1 ;-1), (0 ; 0) et (1 ;-1).
Exercice 2
1. Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les trois
points (1 ; e), (0 ; 1) et (1 ; e).
Exercice 2
1. Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les trois
points (1 ; e), (0 ; 1) et (1 ; e).
Exercice 2
3. Il s’agit de trouver un polynôme p(x) qui soit combinaison linéaire des
deux polynômes assignés (i.e. 𝑝 𝑥 = 𝛼 + 𝛽𝑥 + 𝛾𝑥²) et qui interpole les
trois points (-1;-1), (0; 0) et (1;-1) :
Exercice
On considère 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ4 donnés par : x = [−2, 0, 1, 2] et y = [4, 0, 0, 4].
Parmi les polynômes suivants, lequel est le polynôme d’interpolation P
aux points x, y (justifiez votre réponse) ?
i.
𝑃1 𝑥
ii. 𝑃2 𝑥
iii. 𝑃3 𝑥
2 3
8
4
2
= 𝑥 − 𝑥 − 3𝑥 + 𝑥
3
3
4 2
4
= 𝑥 −
3
3
1 3
4
2
= 𝑥 +𝑥 + 𝑥
3
3
Exercice_correction
On considère 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ4 donnés par : x = [−2, 0, 1, 2] et y = [4, 0, i.
0, 4]. Parmi les polynômes suivants, lequel est le polynôme
ii.
d’interpolation P aux points x, y (justifiez votre réponse) ?
iii.
2
3
8
3
𝑃1 𝑥 = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥
4
4
𝑃2 𝑥 = 3 𝑥 2 − 3
1
4
𝑃3 𝑥 = 3 𝑥 3 + 𝑥 2 + 3 𝑥
On ne demande pas ici de calculer le polynôme mais de l’identifier. On va donc utiliser la
caractérisation équivalente (liée à l’unicité) du polynôme d’interpolation de Lagrange associé aux
points 𝑥, 𝑦 ∶ P polynôme d’interpolation de Lagrange associé à 𝑥, 𝑦 
𝑑𝑒𝑔 𝑃 ≤ 3,
P(−2) = 4,
P(0) = 0,
P(1) = 0,
P(2) = 4
Il n’y a plus qu’à trouver le polynôme qui satisfait toutes les propriétés de (1) (l’existence et
l’unicité du théorème du cours garantit qu’il existe et est unique).
❑Le polynôme P1 est de degré 4, il est donc éliminé.
❑Le polynôme P2 a un terme constant non nul : il ne s’annule pas en 0, il est donc éliminé.
❑Reste le polynôme P3, on vérifie qu’il convient, c’est donc lui.
Exercice 3.0
L’espérance de vie dans un pays a évoluée dans le temps comme il suit :
Année
Espérance
1975
72,8
1980
74,2
1985
75,2
1990
76,4
Utiliser l’interpolation de Lagrange pour estimer l’espérance de vie en
1977, 1983 et 1988. La comparer avec une interpolation linéaire par
morceaux.
Exercice 3.0
Utiliser l’interpolation de Lagrange pour estimer l’espérance de vie en 1977,
1983 et 1988 , la comparer avec une interpolation linéaire par morceaux.
L’espérance de vie dans le pays a évoluée dans le temps comme il suit :
Année
1975
1980
1985
1990
Espérance
72,8
74,2
75,2
76,4
Pour 4 années, l’on distingue donc (N-1) périodes n = 3 et si on choisit de
poser 𝑥0 = 0 pour l’année 1975, 𝑥1 = 5 pour l’année 1980 etc., on a :
Exercice 3.0
Exercice 3.0
Remarque : il est intéressant de considérer une interpolation linéaire par
morceaux (splines de degré 1) ; on note que l’espérance de vie est sousestimé en 1977 et sur-estimé en 1988 par rapport à l’interpolation
précédente car
74,2−72,8
2 + 72,8 = 73,36 < 𝑃(2)
5−0
75,2−74,2
▪ L’espérance de vie en 1983 correspond à
8 + 73,2 = 74,8 ≈ 𝑃(8)
10−5
76,4−74,2
▪ L’espérance de vie en 1988 correspond à
13 + 72,8 = 75,92 < 𝑃(13)
15−10
▪ L’espérance de vie en 1977 correspond à
Exercice 3_b
5Τ2
Estimer ‫׬‬0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 à partir des données
𝑥
0
1/2
1
3/2
𝑓(𝑥)
3/2
2
2
1.6364 1.2500 0.9565
en utilisant la méthode des trapèzes composite.
2
5/2
Exercice 3_b_correction
5Τ2
Estimer ‫׬‬0
composite.
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 à partir des données en utilisant la méthode des trapèzes
𝑥
0
1/2
1
3/2
2
5/2
𝑓(𝑥)
3/2
2
2
1.6364
1.2500
0.9565
La méthode des trapèzes composite à m+1 points pour calculer l’intégrale d’une
fonction f sur l’intervalle [a,b] s’écrit
Ici on a a = 0, b = 5/2, h = 1/2 donc
Exercice 4
À l’aide d’une méthode numérique, on a évalué la dérivée d’une
fonction pour deux valeurs de h :
ℎ
𝑓′(𝑥0 )
𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑒
0,1
25,312 100
0,000 400
0,05
25,312 475
0,000 025
1. Donner le nombre de chiffres significatifs de chaque approximation.
2. Quel est l’ordre de précision de la méthode de différentiation
numérique utilisée ?
Exercice 4_correction
À l’aide d’une méthode numérique, on a évalué la dérivée d’une fonction
pour deux valeurs de h :
ℎ
𝑓′(𝑥0 )
𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑒
0,1
25,312 100
0,000 400
0,05
25,312 475
0,000 025
• Le nombre de chiffres significatifs de chaque approximation :
Respectivement 5 et 6 chiffres significatifs.
• L’ordre de précision de la méthode de différentiation numérique est :
𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟒
= 𝟏𝟔 = 𝟐𝒏 donc 𝒏 = 𝟒
𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟓
Exercice
1. Construire le polynôme de Lagrange P qui
interpole les points (-1,1), (0,1), (1,2) et (2, 3).
2. Soit Q le polynôme de Lagrange qui interpole les
points (-1, 1), (0, 1), (1,2). Montrer qu’il existe un
réel λ tel que : Q(x) − P(x) = λ(x + 1)x(x − 1)
Exercice
1. Par trois méthodes, construire le polynôme P qui
interpole les points (-1,1), (0,1), (1,2) et (2, 3).
2. Soit Q le polynôme de Lagrange qui interpole les
points (-1, 1), (0, 1), (1,2). Montrer qu’il existe un
réel λ tel que : Q(x) − P(x) = λ(x + 1)x(x − 1)
Exercice
1. Construire le polynôme de Lagrange P à partir de :
𝑴𝒆𝒕𝒉𝒐𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝑳𝒂𝒈𝒓𝒂𝒏𝒈𝒆
𝑴𝒆𝒕𝒉𝒐𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒇𝒇é𝒓𝒆𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔é𝒆𝒔
𝑴𝒆𝒕𝒉𝒐𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝑽𝒂𝒏𝒅𝒆𝒓𝒎𝒐𝒏𝒅𝒆 (𝒔𝒚𝒔𝒕è𝒎𝒆 𝒅′ é𝒒𝒖𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔)
Exercice
1. Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les points (-1,1), (0,1), (1,2) et (2, 3).
𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐
𝑷=− 𝒙 + 𝒙 + 𝒙+𝟏
𝟔
𝟐
𝟑
2. Soit Q le polynôme de Lagrange qui interpole les points (-1, 1), (0, 1), (1,2). Montrer qu’il
existe un réel λ tel que : Q(x) − P(x) = λ(x + 1)x(x − 1)
1 2 1
𝑄 = 𝑥 + 𝑥+1
2
2
𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑄 𝑥 −𝑃 𝑥 =
6
𝟏
𝝀=
𝟔
On lance une fusée verticalement du sol et l'on mesure pendant les
premières 80 secondes l'accélération que l'on note 𝛾 :
Calculer la vitesse V de la fusée a l'instant t = 80s, par les Trapèzes.
On lance une fusée verticalement du sol et l'on mesure pendant les
premières 80 secondes l'accélération que l'on note 𝛾 :
Calculer la vitesse V de la fusée a l'instant t = 80s, par les Trapèzes.
On sait que 𝛾 est l'accélération de la vitesse V donc
Exercice
Soit f une application de R dans R définie par 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥² − 4𝑥²
. On se propose de trouver les racines réelles de 𝑓.
1. Situer les 3 racines de f (i.e. indiquer 4 intervalles disjoints qui
contiennent chacun une et une seule racine).
2. Montrer qu’il y a une racine comprise entre 0 et 1.
3. Écrire la méthode de Newton pour la recherche des zéros de la
fonction f.
Indication
Sur ℝ , 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥² − 4𝑥²
1. Pour indiquer 4 intervalles disjoints qui contiennent chacun
une et une seule racine, il faut :
➢𝐷𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑑’𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑓
➢𝑓’(𝑥) = 0
➢𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑠 à 𝑐ℎ𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑥
Entre 2 extrema de signe opposés se trouve une racine
Exercice_correction
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥² − 4𝑥²
1. Situer les 4 racines de f (i.e. indiquer 4 intervalles disjoints qui contiennent chacun une et une seule racine).
Exercice_correction
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥² − 4𝑥²
2. Montrer qu’il y a une racine comprise entre 0 et 1.
3. Écrire la méthode de Newton pour la recherche des zéros de la fonction f .
Exercice
On cherche à évaluer 5 à l’aide d’un algorithme n’autorisant que les
opérations élémentaires. Soit 𝑥𝑛 𝑛∈ℕ la suite définie par récurrence
1- Montrer que si la suite converge, alors elle converge vers 0 ou 5.
2- Déterminer l’ordre de convergence de cette suite.
Exercice
𝑥0 = 1
10𝑥𝑛
൞
𝑥𝑛+1 =
∀𝑛 ∈ ℕ
𝑥²𝑛 + 5
1- Montrer que si la suite converge, alors elle converge vers 0 ou 5.
Exercice
𝑥0 = 1
10𝑥𝑛
൞
𝑥𝑛+1 =
∀𝑛 ∈ ℕ
𝑥²𝑛 + 5
2- 𝑔′ 𝑥
𝑔′
𝑥²−5
= −10
𝑥²+5 ²
5 = 0 et 𝑔′′
5 ≠ 0, la méthode de point fixe associée à la
fonction d’itération g est d’ordre 2.
Présenter la table de différences divisées pour les points (0 , 1), (1 , 2),
(2 , 9) et (3 , 28).
𝑝2 (𝑥) = 1 + 1(𝑥 − 0) + 3(𝑥 − 0)(𝑥 − 1) passe par les
points (0 , 1), (1 , 2), (2 , 9), (3 , 28) et (5, 54).
Supposons qu'une étude pharmacocinétique ait mesuré la concentration d'un nouveau médicament
dans le sang d'un patient à différents moments après l'administration d'une dose unique. Les
données obtenues sont les suivantes :
Temps (heures)
0.5
1.0
2.0
3.0
Concentration (µg/mL)
85.2
68.7
45.3
29.8
Un médecin souhaite estimer la concentration du médicament dans le sang du patient 1,5 heure
après l'administration, sans effectuer de prélèvement supplémentaire.
Question : Utilisez le polynôme d'interpolation de Lagrange pour estimer la concentration du
médicament à t = 1,5 heure.
Conclusion : En utilisant le polynôme d'interpolation de
Lagrange de degré 3, on estime que la concentration du
médicament dans le sang du patient environ 1,5 heure après
l'administration est de 55,645 µg/mL.
Dans une étude épidémiologique, on suit l'évolution du nombre de cas d'une nouvelle maladie
infectieuse dans une petite ville au cours des premières semaines suivant son apparition. Les
données collectées sont les suivantes :
Semaine (t)
0
1
3
4
Nombre de cas (N(t))
5
12
30
45
Les autorités sanitaires souhaitent estimer le nombre de cas possibles à la semaine 2 pour
planifier les ressources nécessaires. Nous allons utiliser le polynôme d'interpolation de Newton
pour réaliser cette estimation.
1.
Construire le tableau des différences divisées pour les données fournies.
2.
Déterminer le polynôme d'interpolation de Newton passant par ces points.
3.
Estimer le nombre de cas à la semaine t = 2 en utilisant le polynôme obtenu.
Solution :
1. Tableau des différences divisées