Material de ayuda al profesor de Matemáticas:
Aplicaciones e Interpretación
Primera evaluación en 2021
Material de ayuda al profesor de Matemáticas:
Aplicaciones e Interpretación
Primera evaluación en 2021
Programa del Diploma
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e
Interpretación
Versión en español del documento publicado en febrero de 2019 con el título
Mathematics: applications and interpretation teacher support material
Publicada en febrero de 2019
Actualizada en agosto de 2019, febrero de 2020, noviembre de 2020,
marzo de 2021, julio de 2021, febrero de 2023 y junio de 2023
Publicada por la Organización del Bachillerato Internacional, una fundación educativa sin fines de
lucro con sede en Rue du Pré-de-la-Bichette 1, 1202 Ginebra (Suiza)
Sitio web: ibo.org/es
© Organización del Bachillerato Internacional, 2019
La Organización del Bachillerato Internacional (conocida como IB) ofrece cuatro programas
educativos exigentes y de calidad a una comunidad de colegios de todo el mundo, con el propósito
de crear un mundo mejor y más pacífico. Esta publicación forma parte de una gama de materiales
producidos con el fin de apoyar dichos programas.
El IB puede utilizar diversas fuentes en su trabajo y comprueba la información para verificar su
exactitud y autoría original, en especial al hacer uso de fuentes de conocimiento comunitario, como
Wikipedia. El IB respeta la propiedad intelectual, y hace denodados esfuerzos por identificar a los
titulares de los derechos y obtener de ellos la debida autorización antes de la publicación de todo
material protegido por derechos de autor utilizado. El IB agradece las autorizaciones recibidas para
utilizar los materiales incluidos en esta publicación y enmendará cualquier error u omisión lo antes
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El uso del género masculino en esta publicación no tiene un propósito discriminatorio y se justifica
únicamente como medio para hacer el texto más fluido. Se pretende que el español utilizado sea
comprensible para todos los hablantes de esta lengua y no refleje una variante particular o regional.
Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede reproducirse, almacenarse en un sistema
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ningún medio, sin la previa autorización por escrito del IB o sin que esté expresamente permitido
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sin haber establecido una relación formal con ella (incluidos, entre otros, organizaciones
que imparten clases, proveedores de desarrollo profesional, empresas editoriales del sector
educativo y compañías que ofrecen servicios de planificación curricular o plataformas
digitales que brindan recursos a los docentes). Dicho uso comercial solo está permitido con la
correspondiente licencia por escrito otorgada por el IB. Las solicitudes de licencias deben enviarse a
copyright@ibo.org. Encontrará más información al respecto en el sitio web del IB.
International Baccalaureate, Baccalauréat International, Bachillerato Internacional
y los logotipos del IB son marcas registradas de la Organización del Bachillerato Internacional.
Declaración de principios del IB
El Bachillerato Internacional tiene como meta formar jóvenes solidarios, informados y ávidos de
conocimiento, capaces de contribuir a crear un mundo mejor y más pacífico, en el marco del entendimiento
mutuo y el respeto intercultural.
En pos de este objetivo, la organización colabora con establecimientos escolares, gobiernos y
organizaciones internacionales para crear y desarrollar programas de educación internacional exigentes y
métodos de evaluación rigurosos.
Estos programas alientan a estudiantes del mundo entero a adoptar una actitud activa de aprendizaje
durante toda su vida, a ser compasivos y a entender que otras personas, con sus diferencias, también
pueden estar en lo cierto.
L
PERFIL DE
N
APRE DIZAJE
DE
A
UNIDA
D
COM
L IB
DE
Perfil de la comunidad de aprendizaje del IB
El objetivo fundamental de los programas del Bachillerato Internacional (IB) es formar personas con mentalidad internacional
que, conscientes de la condición que las une como seres humanos y de la responsabilidad que comparten de velar por el planeta,
contribuyan a crear un mundo mejor y más pacífico.
Como miembros de la comunidad de aprendizaje del IB, nos esforzamos por ser:
INDAGADORES
DE MENTALIDAD ABIERTA
Cultivamos nuestra curiosidad, a la vez que desarrollamos habilidades
para la indagación y la investigación. Sabemos cómo aprender de
manera autónoma y junto con otros. Aprendemos con entusiasmo y
mantenemos estas ansias de aprender durante toda la vida.
Desarrollamos una apreciación crítica de nuestras propias culturas e
historias personales, así como de los valores y tradiciones de los
demás. Buscamos y consideramos distintos puntos de vista y estamos
dispuestos a aprender de la experiencia.
INFORMADOS E INSTRUIDOS
SOLIDARIOS
Desarrollamos y usamos nuestra comprensión conceptual mediante la
exploración del conocimiento en una variedad de disciplinas. Nos
comprometemos con ideas y cuestiones de importancia local y mundial.
PENSADORES
Utilizamos habilidades de pensamiento crítico y creativo para analizar y
proceder de manera responsable ante problemas complejos. Actuamos
por propia iniciativa al tomar decisiones razonadas y éticas.
BUENOS COMUNICADORES
Nos expresamos con confianza y creatividad en diversas lenguas, lenguajes
y maneras. Colaboramos eficazmente, escuchando atentamente las
perspectivas de otras personas y grupos.
ÍNTEGROS
Actuamos con integridad y honradez, con un profundo sentido de la
equidad, la justicia y el respeto por la dignidad y los derechos de las
personas en todo el mundo. Asumimos la responsabilidad de nuestros
propios actos y sus consecuencias.
Mostramos empatía, sensibilidad y respeto. Nos comprometemos a
ayudar a los demás y actuamos con el propósito de influir positivamente
en la vida de las personas y el mundo que nos rodea.
AUDACES
Abordamos la incertidumbre con previsión y determinación.
Trabajamos de manera autónoma y colaborativa para explorar nuevas
ideas y estrategias innovadoras. Mostramos ingenio y resiliencia cuando
enfrentamos cambios y desafíos.
EQUILIBRADOS
Entendemos la importancia del equilibrio físico, mental y emocional para
lograr el bienestar propio y el de los demás. Reconocemos nuestra
interdependencia con respecto a otras personas y al mundo en que vivimos.
REFLEXIVOS
Evaluamos detenidamente el mundo y nuestras propias ideas y experiencias. Nos esforzamos por comprender nuestras fortalezas y debilidades
para, de este modo, contribuir a nuestro aprendizaje y desarrollo personal.
El perfil de la comunidad de aprendizaje engloba diez atributos valorados por los Colegios del Mundo del IB. Estamos convencidos de que estos
atributos, y otros similares, pueden ayudar a personas y grupos a ser miembros responsables de las comunidades locales, nacionales y mundiales.
© International Baccalaureate Organization 2017
International Baccalaureate® | Baccalauréat International® | Bachillerato Internacional®
Introducción y orientación general
Objetivos e información general
Bienvenido al Material de ayuda al profesor de Matemáticas. Este material de ayuda al profesor se ha
diseñado para brindar apoyo tanto a los nuevos profesores como a los que tienen experiencia, ya sea para
trabajar desde cero en el diseño del curso o para revisarlo de manera que refleje los objetivos generales y
específicos del nuevo programa de estudios de Matemáticas.
El material de ayuda al profesor ha sido diseñado para:
•
Brindar apoyo tanto a los profesores con experiencia como a aquellos que no la tienen, con respecto a
la estructura y la impartición del curso
•
Brindar apoyo a los profesores en la organización de los trabajos prácticos y de investigación
•
Complementar el desarrollo profesional del IB
El material de ayuda al profesor se ha estructurado de forma que cubre cuestiones genéricas tales como los
enfoques de la enseñanza y el aprendizaje y Teoría del Conocimiento (TdC), y la relación de estas cuestiones
con las matemáticas, así como consideraciones específicas para impartir la asignatura.
El material de ayuda al profesor consta de las tres secciones siguientes:
•
Estructuración de los cursos y creación de conexiones: sugerencias y consejos prácticos para organizar
las clases e información general sobre la estructura de los cursos.
•
El equipo de herramientas: ejemplos de actividades en el aula que favorecen el desarrollo de la
indagación, la demostración, la modelización y el uso de la tecnología. Estas actividades se pueden
utilizar tal como aparecen en este material, o bien se pueden adaptar. Están concebidas para orientar a
los profesores y animarlos a crear sus propios recursos. Incluyen también materiales que se pueden
descargar para usarlos con los alumnos.
•
Evaluación: consejos prácticos de profesores y examinadores con experiencia sobre cómo preparar a
los alumnos para la evaluación interna y la prueba 3 del NS.
Este material de ayuda al profesor ha sido preparado por profesionales con experiencia para asistir a los
profesores en el diseño y la impartición de esta asignatura en una variedad de colegios. No se trata de un
recurso prescriptivo ni exhaustivo para abordar cada cuestión relativa al curso.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
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Introducción y orientación general
Breve descripción de Matemáticas: Aplicaciones e
Interpretación
Este curso reconoce la creciente importancia de las matemáticas y la tecnología en una variedad de
ámbitos, en un mundo lleno de datos. Como tal, hace hincapié en el significado de las matemáticas en
contexto, centrándose en temas que a menudo se usan como aplicaciones o en modelos matemáticos. Para
sentar esta comprensión sobre una base firme, el curso también incluye temas que tradicionalmente
forman parte de cursos preuniversitarios de matemáticas, como el análisis y la estadística.
El curso hace un amplio uso de la tecnología para que los alumnos exploren y elaboren modelos
matemáticos. Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación desarrolla el pensamiento matemático,
generalmente en el contexto de un problema práctico y empleando medios tecnológicos para justificar
conjeturas.
Los alumnos que elijan esta asignatura, ya sea en el Nivel Medio (NM) o el Nivel Superior (NS), disfrutarán
viendo cómo se usan las matemáticas en contextos reales y en la resolución de problemas reales. Los
alumnos que deseen cursar Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación en el NS contarán con buenas
habilidades algebraicas y con experiencia resolviendo problemas reales. Serán alumnos que encuentren
satisfacción en la exploración de problemas difíciles y que se sientan cómodos empleando medios
tecnológicos para realizar esta exploración.
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Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Introducción y orientación general
Enfoques de la enseñanza y el aprendizaje
El término “enfoques de la enseñanza y el aprendizaje” en el Programa del Diploma se refiere a las
estrategias, habilidades y actitudes deliberadas que permean el entorno de enseñanza y aprendizaje. Estos
enfoques y herramientas, que están intrínsecamente relacionados con los atributos del perfil de la
comunidad de aprendizaje del IB, potencian el aprendizaje de los alumnos y los ayudan a prepararse para la
evaluación del Programa del Diploma y mucho más.
Los objetivos generales de los enfoques de la enseñanza y el aprendizaje en el Programa del Diploma son
los siguientes:
•
Brindar herramientas a los docentes para que, además de impartir conocimientos, puedan infundir en
los alumnos una actitud activa de aprendizaje
•
Brindar apoyo a los docentes en el desarrollo de estrategias más claras que les permitan ofrecer a los
alumnos experiencias de aprendizaje significativas en las que tengan que utilizar una indagación
estructurada y un mayor pensamiento crítico y creativo
•
Promover los objetivos generales de cada asignatura para que sean algo más que las aspiraciones del
curso y establecer conexiones entre conocimientos hasta entonces aislados (simultaneidad del
aprendizaje)
•
Animar a los alumnos a desarrollar una variedad definida de habilidades que les permitan continuar
aprendiendo activamente después de dejar el colegio, y ayudarlos no solo a acceder a la universidad
por tener mejores calificaciones sino también a prepararse para continuar con éxito la educación
superior y la vida posterior
•
Potenciar aún más la coherencia y la pertinencia de la experiencia del Programa del Diploma que
reciben los alumnos
•
Permitir a los colegios reconocer el carácter distintivo de la educación del Programa del Diploma
del IB, con su mezcla de idealismo y sentido práctico
Los cinco enfoques del aprendizaje (desarrollar habilidades de pensamiento, habilidades sociales,
habilidades de comunicación, habilidades de autogestión y habilidades de investigación), junto con los seis
enfoques de la enseñanza (enseñanza basada en la indagación, centrada en conceptos, contextualizada,
colaborativa, diferenciada y guiada por la evaluación), abarcan los principales valores en los que se basa la
pedagogía del IB.
Para obtener más información y apoyo con respecto a estos enfoques de la enseñanza y el aprendizaje,
consulte la sección “Enfoques de la enseñanza y el aprendizaje” en la guía de la asignatura. Además, en el
Centro de recursos para los programas se encuentra disponible una serie de materiales sobre los enfoques
de la enseñanza y el aprendizaje en el Programa del Diploma. La orientación que se ofrece a continuación
se basa en esos recursos.
Enfoques de la enseñanza y el aprendizaje y
Matemáticas
La siguiente articulación de los enfoques de la enseñanza y el aprendizaje sirve solo como orientación y
demostración de la forma en que Matemáticas facilita, como curso, el desarrollo de estas habilidades. Los
enlaces y ejemplos que se ofrecen no son exhaustivos, y tanto los profesores como los alumnos pueden
identificar otras formas en que estas habilidades se relacionan con la enseñanza y el aprendizaje en
Matemáticas.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
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Enfoques de la enseñanza y el aprendizaje
Seis enfoques de la enseñanza
1.
La enseñanza basada en la indagación
2.
La enseñanza centrada en la comprensión conceptual
3.
La enseñanza desarrollada en contextos locales y globales
4.
La enseñanza centrada en el trabajo en equipo y la colaboración eficaces
5.
La enseñanza diferenciada para satisfacer las necesidades de todos los alumnos
6.
La enseñanza guiada por la evaluación (formativa y sumativa)
Cinco enfoques del aprendizaje
1.
Habilidades de pensamiento
2.
Habilidades sociales
3.
Habilidades de comunicación
4.
Habilidades de autogestión
5.
Habilidades de investigación
Enfoques de la enseñanza
La indagación y Matemáticas
Los objetivos generales de los cursos de Matemáticas hacen hincapié en desarrollar la curiosidad de los
alumnos y capacitarlos para usar recursos externos de manera que puedan ampliar su comprensión de las
matemáticas de manera independiente. Estos objetivos generales pueden lograrse mediante la indagación
matemática. En Matemáticas del PD, la enseñanza basada en la indagación es un enfoque pedagógico que
permite a los alumnos desarrollar la comprensión conceptual.
La enseñanza basada en la indagación
La idea que guía la enseñanza basada en la indagación en los programas del IB es desarrollar la curiosidad
natural de los alumnos junto con las habilidades de autogestión, pensamiento, investigación y aprendizaje
colaborativo, para que puedan convertirse en alumnos motivados y autónomos con una actitud de
aprendizaje durante toda la vida.
Hay diferentes tipos de aprendizaje basado en la indagación, que incluyen:
•
El aprendizaje experiencial
•
El aprendizaje basado en la resolución de problemas y en la realización de proyectos
•
El aprendizaje por descubrimiento
El aspecto más significativo de la enseñanza basada en la indagación es que los alumnos participan
activamente en su propio aprendizaje, construyendo su propia comprensión.
Los profesores de Matemáticas del PD deben proporcionar a los alumnos oportunidades de aprender
mediante la indagación matemática. Al planificar las clases, deben incorporar niveles de indagación
adecuados (estructurada, guiada y abierta) que se ajusten a las distintas necesidades de los alumnos. En un
aula en la que se lleva a cabo una enseñanza basada en la indagación hay mucha interacción entre los
alumnos, y entre estos y el profesor. La función principal del docente, en ese contexto, es fomentar las
preguntas y facilitar el proceso de aprendizaje.
Las preguntas matemáticas esenciales o de orientación que incluyen datos, conceptos y conocimientos
debatibles estimulan la curiosidad de los alumnos. Los alumnos tienen cierta libertad para tomar decisiones
sobre cómo proceder en su aprendizaje, que suele ir de lo concreto a lo abstracto.
La comprensión conceptual y Matemáticas
En los cursos de Matemáticas del PD, la comprensión conceptual es clave para favorecer la profundidad del
aprendizaje. Esta comprensión conceptual tiene como base doce conceptos fundamentales que se
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Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Enfoques de la enseñanza y el aprendizaje
relacionan en distinta medida con cada uno de los cinco temas del programa de estudios. Los profesores
pueden utilizar estos conceptos para desarrollar el currículo. Asimismo, los colegios pueden identificar y
desarrollar conceptos adicionales para cumplir con los requisitos curriculares locales y adaptarlos a sus
circunstancias concretas.
En la guía de la asignatura, cada tema comienza con una descripción de los conocimientos esenciales que
se van a adquirir, sugerencias de conceptos que son fundamentales para el tema y una serie de enunciados
sobre la comprensión conceptual pertinente al contenido del tema.
La enseñanza centrada en la comprensión conceptual
Una motivación importante para adoptar la enseñanza centrada en la comprensión conceptual en los
programas del IB es ayudar a los alumnos a desarrollar su capacidad de analizar ideas importantes y
complejas. Igualmente valioso es discutir los “conocimientos esenciales” subyacentes en un tema, lo cual
puede ayudar a los alumnos a llegar a la esencia de por qué aprenden lo que aprenden.
Para entender la función de los conceptos en el proceso de formación de comprensiones duraderas y
significativas, es útil pensar en los conceptos como los bloques con los que se construyen los marcos
cognitivos de los alumnos. Cuando aprenden a nivel conceptual, los alumnos integran conocimientos
nuevos en las comprensiones que ya tienen. Aprenden cómo temas aparentemente independientes están
vinculados entre sí y se preparan para transferir su aprendizaje a contextos nuevos. De este modo, pueden
abordar una asignatura desde un punto de vista holístico. En un aula en la que se enseña con un enfoque
conceptual hay un movimiento continuo entre los datos y lo que significan, y los alumnos preguntan por
qué los datos son importantes como parte natural de su proceso de aprendizaje.
Los contextos locales y globales y Matemáticas
La Guía de Matemáticas incluye enlaces a aplicaciones reales, cuando corresponde, que permiten a los
alumnos contextualizar las matemáticas que aprenden. Los temas del curso cuentan con numerosas
aplicaciones en otras disciplinas. Cuando resulte apropiado, los conceptos matemáticos se deben enseñar
en un contexto real con el fin de ayudar a los alumnos a entender fenómenos locales y globales. Se debe
presentar a los alumnos el contenido y el contexto adecuados para que puedan interpretar cada concepto
matemático de manera global. Por ejemplo, los alumnos pueden aprender sobre el crecimiento y el
decrecimiento exponencial en el contexto de la propagación de enfermedades para comprender mejor la
propagación del cólera en África.
La enseñanza desarrollada en contextos locales y globales
Como individuos jóvenes y como miembros de comunidades locales y globales, los alumnos entienden el
mundo a través de sus experiencias de vida y el mundo que los rodea. Los programas del IB hacen hincapié
en una enseñanza contextualizada porque, cuanto mayor sea la relación que los alumnos pueden
establecer entre su aprendizaje y contextos del mundo real, más probable será que se involucren en él. Los
programas del IB también permiten a los alumnos aplicar su aprendizaje; la enseñanza contextualizada,
como la enseñanza conceptual, ayuda a los alumnos a llegar a la esencia de por qué aprenden lo que
aprenden.
Con el fin de comprender la importancia de los contextos para un aprendizaje pertinente, resulta útil
concebirlos como marcos de referencia para los alumnos. Cuando aprenden de manera contextualizada, los
alumnos cimientan ideas abstractas e información nueva en situaciones del mundo real que les resultan
familiares. En un aula en la que se lleva a cabo una enseñanza contextualizada, los conceptos y las teorías se
relacionan con ejemplos, ilustraciones y relatos accesibles y significativos, que a su vez fundamentan otras
comprensiones conceptuales y teóricas.
El trabajo en equipo y la colaboración eficaces y Matemáticas
Los cursos de Matemáticas animan a los alumnos a ser conscientes de distintos enfoques y distintas
interpretaciones en las matemáticas. Poder discutir y compartir maneras de abordar las matemáticas
estudiadas y justificar diferentes interpretaciones brinda una oportunidad de aprendizaje rica y
significativa. Los alumnos pueden desarrollar su capacidad de escucharse y responderse unos a otros de
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
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Enfoques de la enseñanza y el aprendizaje
una manera crítica y respetuosa y es posible que, a veces, descubran que sus propios enfoques o
interpretaciones pueden verse influidos por las opiniones de otras personas y que ellos mismos también
pueden influir en los enfoques o interpretaciones de otros.
En Matemáticas, se pueden crear actividades que animen a los alumnos a trabajar eficazmente en equipo.
Por ejemplo, pueden colaborar al comienzo de una actividad para recabar ideas, información o datos;
durante la actividad, pueden asumir diferentes funciones, como analizar datos, comprobar el trabajo de
otro alumno, ofrecer comentarios sobre un enfoque o valorar críticamente una interpretación de un
modelo para ayudar al grupo a seguir progresando; y al final de una actividad, pueden presentar sus
enfoques o interpretaciones a la clase como grupo.
El trabajo en grupo podría incluir el uso de programas informáticos para crear juntos actividades en forma
de rompecabezas o dominó, la creación de un problema por parte de un alumno para que uno o varios de
sus compañeros lo resuelvan, o la creación conjunta de un mapa conceptual al comienzo de un pequeño
proyecto. Dentro y fuera del aula de Matemáticas, los paquetes para compartir documentos son una
herramienta eficaz que los alumnos pueden utilizar para crear y compartir sus apuntes en cada tema. Al
final de una unidad de trabajo, los alumnos pueden trabajar en grupos para poner en común sus
conocimientos y su comprensión de las conexiones existentes entre el tema y otros temas que hayan
estudiado. Los profesores pueden pedir a los alumnos que, al final de cada unidad, recapitulen en grupos y
plasmen sus ideas en un póster o en un muro interactivo (Padlet) en línea.
La exploración de evaluación interna supone una experiencia de aprendizaje muy valiosa, ya que los
alumnos someten su trabajo a un proceso de revisión por pares y deben hacer comentarios constructivos
sobre el tema tratado y sobre la interpretación y comprensión de los criterios de evaluación.
La enseñanza centrada en el trabajo en equipo y la colaboración eficaces
Los programas del IB reconocen que el aprendizaje es una actividad social. Alumnos y profesores se unen,
cada uno de ellos con sus propias experiencias de vida, creencias, ideas, puntos fuertes y puntos débiles. El
aprendizaje es el resultado de esas interacciones complejas entre individuos que son únicos.
Un aspecto importante del proceso de aprendizaje son los comentarios frecuentes de alumnos a profesores
sobre lo que entienden y lo que todavía no han entendido. Los comentarios concretos y constructivos que
los profesores proporcionan a los alumnos sobre su desempeño son, de manera similar, cruciales para el
aprendizaje.
La satisfacción de las necesidades de todos los alumnos y
Matemáticas
La estructura del curso permite a los profesores decidir cómo este procederá y elegir materiales adecuados
y accesibles para sus alumnos. Poder complementar los contenidos con una amplia gama de videos,
medios tecnológicos, estrategias, tipos de actividades, etc. también brinda a los profesores oportunidades
de diferenciar y ofrecer enfoques o interpretaciones alternativos sobre los conceptos y temas que se
discuten.
La enseñanza diferenciada para satisfacer las necesidades de todos los alumnos
Los programas del IB fomentan un acceso equitativo al currículo para todos los alumnos. La diferenciación
implica una planificación que tiene en cuenta las diferencias entre los alumnos mediante la utilización de
diversos enfoques de enseñanza, la implementación de diversas actividades de aprendizaje y la provisión
de diversos formatos y modos de exploración del conocimiento y de la comprensión para los alumnos.
También implica identificar, con cada alumno, las estrategias más eficaces para que este desarrolle, trate de
alcanzar y logre objetivos de aprendizaje realistas y motivadores. En el contexto de la educación del IB, a
menudo es necesario tener especialmente en cuenta las habilidades y los perfiles lingüísticos de los
alumnos. Reafirmar la identidad de los alumnos y valorar sus conocimientos previos son aspectos
importantes para tratarlos como individuos únicos y ayudarlos a desarrollarse de forma holística como
jóvenes.
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Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Enfoques de la enseñanza y el aprendizaje
La evaluación y Matemáticas
Las tareas de evaluación tanto interna como externa de Matemáticas reflejan los objetivos generales del
curso. En las matemáticas es esencial poder demostrar pensamiento crítico y capacidad de resolver
problemas. Las tareas de evaluación se han diseñado para facilitar esa labor. La exploración de evaluación
interna brinda a los alumnos la oportunidad de demostrar sus conocimientos y su comprensión sobre un
área de las matemáticas que les interesa, así como de participar en una actividad que les permite
experimentar lo que supone ser un matemático.
Los criterios de evaluación del curso deben presentarse a los alumnos lo antes posible, y debe hacerse
referencia a ellos con regularidad, en términos de las habilidades que se estén desarrollando en todo el
proceso de aprendizaje. Los alumnos deben tener una comprensión clara de cómo se los va a evaluar y de
las expectativas del curso.
Los comentarios de los profesores son cruciales y deben permitir a los alumnos hacer un seguimiento de
sus propios progresos y reflexionar sobre su aprendizaje y desarrollo de habilidades.
La enseñanza guiada por la evaluación (formativa y sumativa)
En los programas del IB, la evaluación desempeña un papel clave tanto para apoyar el aprendizaje como
para medirlo. Las evaluaciones formales del Programa del Diploma se basan en los objetivos generales y los
objetivos de evaluación de cada curso y, por lo tanto, unas directrices eficaces para cumplir estos requisitos
garantizan también una enseñanza eficaz. Las evaluaciones formativas que desarrollan los profesores son
herramientas y procesos para mejorar el aprendizaje de los alumnos. Son más eficaces cuando
proporcionan información tanto a los alumnos como a los profesores: los alumnos reciben comentarios
sobre su desempeño y los profesores se enteran de lo que los alumnos entienden, los problemas que
tienen y lo que les resulta interesante. Además de mediante las tareas de evaluación, tales comentarios se
pueden proporcionar de una manera más informal.
Enfoques del aprendizaje
Las habilidades de pensamiento y Matemáticas
Las habilidades de pensamiento, y especialmente el pensamiento crítico, se desarrollan y practican
continuamente en Matemáticas; se desafía a los alumnos a aplicar sus conocimientos y habilidades en
contextos con los que no están familiarizados o en problemas abstractos. Las habilidades de pensamiento
se desarrollan más mediante el énfasis en la enseñanza basada en la comprensión conceptual y el
establecimiento de conexiones entre distintos temas. Se anima a los alumnos de Matemáticas a abordar de
manera crítica los enfoques o las interpretaciones de los problemas.
Habilidades de pensamiento
Los programas del IB se precian de brindar a los alumnos oportunidades de desarrollar sus habilidades de
pensamiento y una conciencia de sí mismos como pensadores y personas que aprenden. Ser “pensadores”
es uno de los atributos del perfil de la comunidad de aprendizaje del IB, y se refiere a aplicar, por propia
iniciativa, habilidades intelectuales de manera crítica y creativa para reconocer y abordar problemas
complejos, y para tomar decisiones razonadas y éticas.
Las habilidades de pensamiento consisten en un gran número de habilidades relacionadas. En el Programa
del Diploma, se pone especial énfasis en habilidades como la metacognición, la reflexión, el pensamiento
crítico, el pensamiento creativo y la transferencia. La metacognición, o el control de los propios procesos
cognitivos del aprendizaje, se puede considerar como una base para el desarrollo de otras habilidades de
pensamiento. Al practicar la metacognición, los alumnos piensan en las formas en las cuales procesan
información, hallan patrones y construyen comprensiones conceptuales. Una vez que son conscientes de
que están usando diversas técnicas y estrategias para realizar hasta las tareas de aprendizaje más básicas, se
les puede animar a plantearse si hay formas más eficaces o eficientes de conseguir los mismos resultados, y
a probar y evaluar esas nuevas formas. De manera similar, la reflexión es una habilidad de pensamiento que
desempeña un papel fundamental en la mejora del aprendizaje. Al practicar la reflexión, los alumnos
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
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Enfoques de la enseñanza y el aprendizaje
piensan en el éxito, el valor u otras características de su aprendizaje. Los objetivos generales, los objetivos
de evaluación y las tareas de evaluación de las asignaturas del Programa del Diploma hacen hincapié en las
habilidades de pensamiento de orden superior, como el pensamiento crítico, el pensamiento creativo y la
transferencia.
Las habilidades de comunicación y Matemáticas
En Matemáticas, las habilidades de comunicación se practican de varias maneras distintas; como asignatura,
invita a adoptar enfoques de la enseñanza que fomenten el diálogo y la discusión, pero también requiere
reflexionar sobre cómo se expresan las matemáticas tanto oralmente como por escrito. Esa discusión puede
revelar perspectivas alternativas con respecto a la resolución de problemas.
Habilidades de comunicación
Las habilidades de comunicación son importantes en los programas del IB, pero también son parte esencial
de una dinámica más amplia de la comunidad de aprendizaje: ayudan a formar y mantener buenas
relaciones entre los alumnos, y entre los alumnos y los adultos. Además, ser capaz de comunicarse bien
contribuye al desarrollo de la confianza de un alumno en sí mismo y mejora sus perspectivas de futuro, ya
que las habilidades de comunicación son un ingrediente clave del éxito en la vida laboral.
Las habilidades de comunicación consisten en un grupo de habilidades y formas de comunicación
diferentes. La capacidad de escuchar y entender mensajes orales variados, leer y entender diversos textos
escritos y otras formas de comunicación, y responder de manera clara y convincente de forma oral, escrita y
digital es, en todos los casos, parte de cómo los alumnos interactúan con otras personas en el mundo.
Algunas de estas formas de comunicación son independientes de la época y la cultura, pero interactuar en
el espacio digital y con él es un elemento significativo de la comunicación y la interacción social de la
mayoría de los alumnos. Las actividades a través de Internet, que a menudo se basan en la colaboración,
presentan oportunidades muy interesantes para el desarrollo de las habilidades de comunicación de los
alumnos.
Las habilidades sociales y Matemáticas
Hay fuertes correlaciones entre las habilidades sociales, las habilidades afectivas y la capacidad de
reflexionar. Estos elementos tienen una función muy importante en los cursos de Matemáticas. Gran parte
de los contenidos y las habilidades que se aprenden en estos cursos instarán a los alumnos a plantearse sus
propias comprensiones y la manera en que las comunican a otras personas. Se debe plantear a los alumnos
el desafío de considerar la relación que existe entre los atributos del perfil de la comunidad de aprendizaje
del IB y las matemáticas. Por ejemplo, ¿qué relación hay entre ser solidarios e íntegros y lo que aprenden en
Matemáticas? La estructura de las guías de Matemáticas del PD brinda oportunidades a los alumnos para
apreciar cómo otras culturas han contribuido al conocimiento de las matemáticas. Esto, junto con la sección
de la guía que aborda la mentalidad internacional, se puede utilizar para suscitar discusiones en clase en las
que los alumnos reflexionen sobre sus propios puntos de vista y los de los demás.
Habilidades sociales
Las habilidades sociales están estrechamente relacionadas con las habilidades de comunicación y son
quizás aún más importantes que estas en los programas del IB, por el papel que desempeñan en el
desarrollo integral del alumno y el valor que tiene la comunidad en el aprendizaje. Un punto de partida
para el desarrollo de las habilidades sociales de los alumnos es reconocer que las personas son muy
diferentes en cuanto al nivel de introversión o extroversión que tienen y que se deben respetar esas
diferencias. De manera similar, distintas culturas tienen expectativas diferentes con respecto a las
conductas apropiadas en situaciones sociales. Poder entender las perspectivas de los demás, establecer
buenas relaciones y regular las emociones y conductas propias son aspectos centrales de muchos de los
atributos del perfil de la comunidad de aprendizaje del IB y de la aspiración del IB de formar alumnos con
mentalidad internacional. El colegio, una comunidad tan formativa en la vida de los jóvenes, puede tener
una función significativa en el desarrollo de sus habilidades sociales y emocionales.
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Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Enfoques de la enseñanza y el aprendizaje
Las habilidades de autogestión y Matemáticas
Los alumnos del IB también necesitan aprender a perseverar y ser emocionalmente estables como
individuos. Además de ser una habilidad muy positiva para sus estudios y su vida laboral posteriores,
aprender a autogestionarse es importante para los alumnos en un programa educativo exigente como el
Programa del Diploma.
El curso de Matemáticas del PD se basa en la resolución de problemas y precisa que los alumnos utilicen los
ciclos de indagación y modelización. Con frecuencia, en este contexto, también requiere que desarrollen
sus propias estrategias. A tal efecto, a menudo los alumnos deben perseverar si no encuentran una solución
inmediatamente. El IB promueve la creación de oportunidades educativas que planteen objetivos
estimulantes a los alumnos y les ayuden a desarrollar la persistencia necesaria para lograrlos.
Los cursos de Matemáticas del PD animan a los alumnos a analizar y proponer soluciones a problemas
reales, y este se considera uno de sus desafíos. Los alumnos necesitan habilidades de autogestión para
aprender a ser perseverantes en la resolución de problemas. A fin de resolver un problema, necesitan seguir
un proceso secuencial que se resume en los procesos de indagación y modelización. Primero tienen que
entender el problema y, después, idear un plan, crear posibles soluciones e interpretar sus respuestas. Los
alumnos pueden tener dificultades a lo largo del proceso y es posible que no sean capaces de resolver el
problema. En tal caso, es muy importante que los profesores fomenten una mentalidad de crecimiento y
hagan hincapié en que con esfuerzo, dedicación y perseverancia se puede llegar a una comprensión.
La tarea de la exploración de evaluación interna también requiere que los alumnos planifiquen y organicen
su tiempo, que se aseguren de contar con las técnicas de investigación adecuadas y la tenacidad que
necesitan para el trabajo matemático, que reflexionen al respecto, y que hagan un seguimiento de sus
propios progresos. Es una parte importante del curso, ya que permite a los alumnos emprender actividades
matemáticas auténticas. El tiempo que se destina al equipo de herramientas está concebido para ofrecer a
los alumnos diversas estrategias que les ayudarán en el estudio de los contenidos del curso y que serán
sumamente valiosas para realizar con éxito la exploración de evaluación interna.
Habilidades de autogestión
Las habilidades de autogestión consisten en habilidades de organización, como la fijación de objetivos y la
gestión eficaz del tiempo y de las tareas, y habilidades afectivas, como la gestión del estado mental, de la
motivación y de la resiliencia.
Al igual que otras habilidades de aprendizaje, las de autogestión se pueden ejemplificar y practicar. Para los
alumnos del Programa del Diploma, la gestión del tiempo suele ser una habilidad de organización
especialmente pertinente. Las estrategias para mejorar la gestión del tiempo incluyen dividir los trabajos en
etapas asequibles y ponerse un plazo para cada etapa, hacer planes de repaso y estudio para pruebas y
exámenes, y preparar calendarios de estudio. Un aspecto importante de estas estrategias es que, además
de la manera en que influyen en el uso del tiempo de los alumnos, les dan una percepción de un mayor
control de su tiempo.
A su vez, las habilidades de autogestión eficaces permiten a los alumnos adquirir cierto control de su estado
de ánimo, su motivación y su capacidad de afrontar los contratiempos y las dificultades. Un entorno escolar
en el que los alumnos sienten que tienen cierto grado de autonomía e independencia, en el que no
necesitan hacer bien las cosas en el primer intento, en el que se establecen objetivos que suponen un
desafío pero no son excesivamente difíciles e incluso en el que se enseñan técnicas psicológicas como el
entrenamiento para lograr la consciencia plena puede apoyar el desarrollo de las habilidades eficaces de los
alumnos.
Las habilidades de investigación y Matemáticas
Las habilidades de investigación en Matemáticas reflejan en gran medida los enfoques del aprendizaje y se
centran en la comprensión conceptual y la indagación. A lo largo del curso de Matemáticas, los alumnos
abordan métodos y conceptos que han sido desarrollados por otras personas. Sin embargo, la exploración
de evaluación interna les da la oportunidad de demostrar su propio trabajo y comprensión de un área de
las matemáticas que les interesa. El objetivo de esta tarea es brindar a los alumnos la experiencia de hacer
matemáticas y la oportunidad de reflexionar sobre esa práctica.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
9
Enfoques de la enseñanza y el aprendizaje
Habilidades de investigación
Las habilidades de investigación son un elemento central de la pedagogía basada en la indagación de los
programas del IB. Si bien las buenas habilidades de investigación siempre han sido fundamentales para el
trabajo académico, la disponibilidad de recursos digitales y el extraordinario aumento de la cantidad de
información a la que pueden acceder fácilmente los alumnos hacen que el desarrollo de las habilidades de
investigación sea especialmente pertinente en la educación actual. Además, aprender a trabajar con
probidad académica y respetar las contribuciones intelectuales de los demás es un aspecto importante del
aprendizaje en todos los programas del IB.
Las habilidades de investigación fundamentales incluyen formular preguntas de investigación precisas y
centradas en un tema determinado, evaluar fuentes, registrar, analizar, evaluar y sintetizar información, y
presentar y evaluar los resultados.
Además, la investigación en la actualidad exige validar, comparar y contrastar mucho más la información
disponible y acotar el volumen de datos a una cantidad manejable, lo cual supone tener criterio respecto a
lo que es pertinente. A pesar de que navegan y se comunican con confianza a través de Internet, los
alumnos a menudo carecen de las habilidades de gestión de la información que necesitan para el tipo de
investigación eficaz y autónoma que se espera que lleven a cabo en el contexto de sus indagaciones.
10
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Introducción y orientación general
El dominio cognitivo del lenguaje académico y las
matemáticas
Un esquema para el uso del dominio cognitivo del
lenguaje académico
Los alumnos del IB deben llegar a usar con fluidez el lenguaje académico asociado con cada una de las
asignaturas que estudian para que puedan participar plenamente y demostrar su competencia. Las
matemáticas tienen su propio lenguaje en el que muchas palabras cotidianas tienen un significado
diferente y, a menudo, mucho más preciso. Este lenguaje también incorpora símbolos matemáticos y
representaciones que deben ser comprendidos e interpretados. La precisión es lo que permite a las
matemáticas ser una poderosa forma de conocimiento y constituye la base del pensamiento matemático.
La comprensión consensuada de significados entre matemáticos a nivel global permite a estos comunicarse
entre sí, colaborar y progresar en sus iniciativas matemáticas. Al desarrollar su comprensión matemática, los
alumnos están desarrollando su dominio cognitivo del lenguaje académico (DCLA).
La tabla siguiente es un esquema que ayuda a los profesores a planificar estrategias para el desarrollo del
dominio cognitivo del lenguaje académico en los alumnos como parte del aprendizaje en el marco de la
asignatura.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
11
El dominio cognitivo del lenguaje académico y las matemáticas
Figura 1
Un esquema para la planificación del desarrollo del dominio cognitivo del lenguaje académico (DCLA)
Comprensión del esquema para la planificación del
desarrollo del dominio cognitivo del lenguaje
académico
Este esquema está organizado en forma de tabla. Las habilidades que constituyen el dominio cognitivo del
lenguaje académico (incluidas las habilidades de pensamiento, que favorecen el dominio del lenguaje
académico) se disponen en filas, mientras que la pedagogía se dispone en columnas.
12
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
El dominio cognitivo del lenguaje académico y las matemáticas
Activación de conocimientos previos
Los conocimientos previos son los conocimientos con los que ya cuenta un alumno respecto al lenguaje de
la asignatura. Estos conocimientos pueden proceder de un curso previo y pueden corresponderse a una
lengua totalmente diferente. Cuando estos se activan, proporcionan una base para un nuevo aprendizaje.
Andamiaje y práctica
El andamiaje es una estrategia que permite a los alumnos construir sobre la base de sus conocimientos
previos para ampliar su aprendizaje de forma que puedan realizar tareas de un mayor grado de dificultad.
Las actividades de andamiaje consideran la contextualización, de forma que el nuevo input de aprendizaje
tenga pleno significado. El nuevo aprendizaje se adquiere plenamente a través de la práctica.
Demostración del dominio cognitivo del lenguaje académico
La demostración y aplicación independiente de nuevo dominio cognitivo del lenguaje académico en
situaciones nuevas y diversas es un signo de aprendizaje fructífero. Este nuevo aprendizaje pasará a formar
parte de la base de conocimientos del alumno. Sobre esta base, en el siguiente ciclo se podrán agregar más
aprendizajes nuevos o ampliar los actuales.
Uso del esquema para la planificación del
desarrollo del dominio cognitivo del lenguaje
académico
No se espera que se incluya información detallada en todas las celdas de la tabla en cada caso. Es probable
que en muchas ocasiones una clase se centre únicamente en algunas habilidades y aspectos de la
pedagogía. No obstante, sería recomendable asegurarse de que se aborden adecuadamente todas las
dimensiones del esquema a lo largo de un determinado período de tiempo o una serie de clases.
Pedagogía adicional: afirmación de la identidad
La afirmación de la identidad de los alumnos es un principio pedagógico fundamental para el éxito del
aprendizaje en el cual se integran las actividades para el desarrollo del dominio cognitivo del lenguaje
académico. La afirmación de la identidad incluye la valoración explícita de los conocimientos y las
habilidades de los alumnos en todas sus lenguas, y el reconocimiento de estos como recursos para la
enseñanza y el aprendizaje de nuevas formas de pensamiento y conocimiento.
Las actividades siguientes están concebidas para desarrollar el dominio cognitivo del lenguaje académico
en Matemáticas.
Operaciones con números expresados de la forma a × 10k, donde 1 ≤ a < 10 y k es un número entero
El análisis de gráficos
Operaciones con vectores y ecuaciones de la recta
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
13
Estructuración de los cursos y creación de conexiones
Estructuración de los cursos de Matemáticas
Hay numerosas formas de estructurar los cursos de Matemáticas del Programa del Diploma. Las 60 horas de
contenidos comunes a ambos cursos del NM, así como el hecho de que los cursos del NM son un
subconjunto de los cursos del NS, hacen posible organizar la enseñanza empleando numerosos modelos
diferentes. Asimismo, permite a los colegios plantearse cuáles se adaptan a sus circunstancias y adoptar el
que mejor responde a sus necesidades.
Las guías de Matemáticas, publicadas en 2019 (primera evaluación en 2021), contienen todos los detalles
acerca de la naturaleza y los contenidos de los cursos. Esta sección del material de ayuda al profesor está
concebida para ayudar a los profesores y los colegios a considerar las distintas maneras en que se pueden
estructurar las clases.
El modelo exacto elegido por cada colegio puede depender de muchos factores, tales como:
•
Las necesidades de los alumnos, sus capacidades, aspiraciones y motivaciones
•
Los recursos disponibles, incluido el número de docentes y de aulas
•
El conjunto de habilidades de los profesores
•
El número de alumnos matriculados en un curso determinado
•
Las limitaciones relativas a la programación de horarios
•
El número de horas lectivas en el NM y el NS, que guarda una relación de 5:8 (150 horas en el NM y 240
horas en el NS)
Al considerar estos factores, también cabe tener en cuenta que el curso de Matemáticas: Aplicaciones e
Interpretación —tanto en el NM como en el NS— hace un amplio uso de la tecnología, por lo que sería
deseable tener acceso a computadoras u otros dispositivos en algunas clases para favorecer la enseñanza y
el aprendizaje de las matemáticas.
Consideraciones generales
Sea cual sea el modelo utilizado para la enseñanza de Matemáticas (teniendo en cuenta los diferentes
enfoques de las dos asignaturas), habrá oportunidades para que los alumnos que estudian cursos distintos
colaboren entre sí. La ventaja de esa colaboración es que los alumnos podrán apreciar la naturaleza
cohesiva de las matemáticas y la interrelación de su aprendizaje. Puede programarse mientras los alumnos
trabajan en la tarea de evaluación interna, con una clase basada en la indagación sobre los contenidos
comunes, o con oportunidades en las que los alumnos de uno de los cursos puedan proporcionar apoyo a
los alumnos de otro en lo que respecta a aplicaciones de la tecnología.
Independientemente del modelo que elija el colegio, es importante que todos los profesores de
Matemáticas planifiquen y reflexionen de manera conjunta con regularidad.
Dependiendo del orden en que se enseñen los temas, los colegios pueden permitir a los alumnos cambiar
del NM al NS —y viceversa—, o incluso cambiar de Matemáticas: Análisis y Enfoques a Matemáticas:
Aplicaciones e Interpretación —y viceversa— en una etapa temprana del curso. Se espera que los alumnos
que elijan un curso del NM al comienzo de sus estudios del Programa del Diploma, y que después se
apasionen por las matemáticas que han elegido, tengan la posibilidad de cambiarse al curso del NS.
Modelo 1
Cuatro clases distintas: Matemáticas: Análisis y Enfoques NS y Matemáticas: Aplicaciones e
Interpretación NS se imparten por separado, y lo mismo sucede con los dos cursos de NM. Los cuatro cursos
se pueden impartir a lo largo de los dos años del Programa del Diploma, teniendo en cuenta la
simultaneidad del aprendizaje.
14
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Estructuración de los cursos de Matemáticas
Los colegios también pueden adaptar este modelo y ofrecer tres (o dos) de los cuatro cursos.
Primer y segundo año
Curso 1
Matemáticas: Análisis y Enfoques NM
Curso 2
Matemáticas: Análisis y Enfoques NS
Curso 3
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NM
Curso 4
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NS
Modelo 2
Ambos cursos del NM se imparten como un subconjunto de las clases de los respectivos cursos del NS. Esto
significa que, de cada ocho clases programadas, los alumnos del NM y del NS asisten juntos a cinco clases, y
los alumnos del NS asisten solos a tres clases más. Este modelo permite ofrecer ambas asignaturas tanto en
el NM como en el NS con solo dos profesores, aunque los alumnos de una asignatura se pueden dividir en
grupos más pequeños si hay más de un profesor.
Los colegios deberán seleccionar los temas con cuidado, especialmente al comienzo del curso, para no
introducir contenidos de los temas adicionales del NS sin haber enseñado previamente los contenidos
del NM necesarios. Las guías no son documentos de secuenciación de contenidos ni planes de trabajo. Sin
embargo, su estructura indica claramente cuáles son los contenidos comunes, los contenidos del NM y los
contenidos de los temas adicionales del NS.
Primer y segundo año
Curso 1
Matemáticas: Análisis y Enfoques NM (cinco clases)
Matemáticas: Análisis y Enfoques NS (tres clases más)
Curso 2
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NM (cinco clases)
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NS (tres clases más)
Modelo 3
Este modelo es una combinación de los modelos 1 y 2, para colegios que cuentan con tres profesores de
Matemáticas del PD.
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NM y Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NS se
imparten por separado durante los dos años, mientras que ambos niveles de Matemáticas: Análisis y
Enfoques se imparten en una misma clase como se indica en el modelo 2, o viceversa.
Primer y segundo año
Curso 1
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NS
Curso 2
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NM
Curso 3
Matemáticas: Análisis y Enfoques NM (cinco clases)
Matemáticas: Análisis y Enfoques NS (tres clases más)
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
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Estructuración de los cursos y creación de conexiones
Integración del perfil de la comunidad de aprendizaje
del IB
Los cursos de Matemáticas del PD, tanto en el NM como en el NS, están estrechamente vinculados con los
atributos del perfil de la comunidad de aprendizaje del IB y aspiran a que los alumnos los desarrollen. Por
ejemplo, los requisitos de la evaluación interna proporcionan a los alumnos oportunidades para desarrollar
cada uno de los aspectos del perfil. A continuación se indican los atributos del perfil que se corresponden
con cada uno de los objetivos generales de la asignatura. Se anima a los profesores a que discutan con sus
alumnos la interrelación de los atributos del perfil de la comunidad de aprendizaje del IB y los objetivos
generales del curso de Matemáticas. Algunos de los diez atributos se pueden conectar muy fácilmente con
Matemáticas, y se debe animar a los alumnos a que consideren aquellos que no se les ocurran
inmediatamente cuando piensen en qué supone ser un matemático.
Para que los alumnos reflexionen sobre su propio desarrollo de los atributos del perfil de la comunidad de
aprendizaje y su desarrollo como matemáticos, puede ser útil llevar a cabo una discusión o actividad a este
respecto al comienzo del curso, así como en otros momentos a lo largo de este.
Objetivos generales de Matemáticas
Atributos del perfil de la
comunidad de aprendizaje
Desarrollar su curiosidad por las matemáticas, disfrutarlas, y apreciar su
elegancia y las posibilidades que ofrecen
Indagadores
Desarrollar una comprensión de los conceptos, los principios y la
naturaleza de las matemáticas
Informados e instruidos
Comunicar las matemáticas con claridad, concisión y confianza en
diversos contextos
Buenos comunicadores
Desarrollar el pensamiento lógico y creativo, así como la paciencia y la
constancia en la resolución de problemas, para adquirir confianza en el
empleo de las matemáticas
Pensadores, equilibrados
Emplear y perfeccionar sus capacidades de abstracción y generalización
Reflexivos
Dar los pasos necesarios para aplicar y transferir habilidades a distintas
situaciones, a otras áreas del conocimiento y a avances futuros en sus
comunidades locales y globales
De mentalidad abierta,
audaces
Apreciar cómo los avances tecnológicos influyen en los avances en
matemáticas, y viceversa
Informados e instruidos,
reflexivos
Apreciar las cuestiones morales, sociales y éticas del trabajo de los
matemáticos y las aplicaciones de las matemáticas
Íntegros, solidarios
Apreciar la universalidad de las matemáticas y sus perspectivas
multiculturales, internacionales e históricas
De mentalidad abierta
Valorar la contribución de las matemáticas a otras disciplinas y como área Informados e instruidos,
de conocimiento específica en el curso de TdC
equilibrados
Desarrollar la capacidad de reflexionar de manera crítica sobre su propio
trabajo y el de los demás
Reflexivos, buenos
comunicadores
Ampliar su comprensión de las matemáticas de manera independiente y
en colaboración
Indagadores
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Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Estructuración de los cursos y creación de conexiones
Conexiones entre los contenidos
Mapas conceptuales
El recurso siguiente permitirá a los profesores y los alumnos visualizar la totalidad de los contenidos de los
cursos de Matemáticas, así como las conexiones que existen entre sus distintos elementos. Puede utilizarse
con diversos fines, por ejemplo:
•
Ayuda para el repaso
•
Una manera de introducir un tema y conectarlo con otras partes del curso
•
Material de referencia, en formato impreso y expuesto en el aula
•
Material para proyectar y discutir en clase con el propósito de repasar un tema una vez que se ha
enseñado todo su contenido
•
Una manera de establecer conexiones durante la enseñanza en el aula
Mapa conceptual
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
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El equipo de herramientas
Apoyo para las actividades en el aula
Las horas lectivas incluyen tiempo para que los alumnos realicen los tipos de actividades que los
matemáticos llevan a cabo en el mundo real y para que desarrollen la capacidad de pensar como un
matemático. De este modo, desarrollarán herramientas matemáticas que les permitirán abordar cualquier
tipo de problema matemático. Los seis enfoques de la enseñanza y los cinco enfoques del aprendizaje
utilizados en todos los programas del IB son primordiales en este proceso. Este tiempo brinda
oportunidades en el aula para que los alumnos adopten un enfoque basado en la indagación, se centren en
la comprensión conceptual del contenido del programa de estudios y sepan reconocer las matemáticas en
contextos locales y globales. Asimismo, les ofrece oportunidades de trabajar en equipo y colaborar, y les
proporciona tiempo para reflexionar sobre su propio aprendizaje matemático.
Se debe animar a los alumnos a que identifiquen activamente qué habilidades podrían añadir a su equipo
de herramientas matemáticas. Se recomienda a los profesores que indiquen explícitamente cómo podrían
transferirse estas habilidades a distintas áreas de las matemáticas para permitir a los alumnos reflexionar
sobre cómo transferir a otras asignaturas lo que estén estudiando.
Esta sección incluye ideas y recursos que los profesores pueden usar con sus alumnos para favorecer el
desarrollo de las habilidades de pensamiento matemático. Estos recursos han sido elaborados por
profesores con experiencia para usarlos en sus propias clases. Están basados en contenidos específicos con
el fin de contextualizarlos, pero no son exhaustivos.
Los ejemplos de actividades han sido diseñados para utilizarlos de tres formas distintas: a) los profesores
pueden usarlos con sus alumnos tal como aparecen en este material; b) pueden adaptarlos a sus propios
contextos, o c) pueden servir como inspiración para que los profesores elaboren sus propios materiales, tal
vez empleando la misma técnica pero diferentes contenidos.
•
Activadores cognitivos: puntos de partida interesantes
•
Comprensiones conceptuales: uso de los enunciados de comprensión conceptual que figuran en la
guía
•
Uso de medios tecnológicos: ejemplos de cómo se puede utilizar la tecnología para enseñar
determinadas habilidades o temas en la asignatura
•
Modelización: ejemplo de una actividad de modelización, con notas que explican por qué se considera
un buen ejemplo
•
Diagramas de Voronoi
•
Ecuaciones diferenciales, retratos de fase y el método de Euler
18
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
El equipo de herramientas
Activadores cognitivos
Los activadores cognitivos pueden entenderse como las estrategias que utilizamos con el fin de preparar a
los alumnos para aprender los contenidos de la asignatura y trabajar con ellos. Sirven como introducción de
un nuevo tema o concepto y pueden ir seguidos de actividades de aprendizaje para adquirir una
determinada habilidad o conocimiento como parte de un tema. Están estrechamente relacionados con la
fase de activación del dominio cognitivo del lenguaje académico. Esta sección proporciona varios ejemplos
de activadores cognitivos, que pueden verse como una manera de implementar los enfoques de la
enseñanza que describen los principios pedagógicos fundamentales en los que se basa el programa del IB.
Las estrategias presentadas se basan en los enfoques del aprendizaje y en los resultados de investigaciones
recientes, como el proyecto de Harvard sobre el pensamiento visible (véase el apartado “Para profesores y
alumnos” de la sección “Lecturas complementarias”).
Como profesores, es posible que no siempre seamos conscientes de cuándo usamos —o no usamos—
activadores cognitivos al empezar un nuevo tema o una nueva clase, pero suele considerarse una buena
práctica pedagógica crear cierto contexto o brindar una cierta introducción a los alumnos antes de empezar
algo nuevo. De este modo, podemos estar más seguros de que, mientras estudiamos el tema, nuestros
alumnos desarrollarán sus habilidades de indagación y pensamiento para aprender matemáticas en lugar
de limitarse a recibir información sobre un procedimiento matemático específico. Ser explícitos al respecto
es en sí una estrategia que puede ayudar a los alumnos a participar en las experiencias de aprendizaje y a
abordar el aprendizaje de manera más autogestionada. Por tanto, con la activación cognitiva se pretende
activar a los alumnos, interesándolos en el tema y preparándolos para descubrir los nuevos contenidos.
A continuación se presenta una serie de estrategias utilizadas por profesores del IB con experiencia en sus
clases de matemáticas. El propósito es que sirvan de inspiración y guíen a los profesores para que las
adapten y las utilicen en sus propias aulas. Los siguientes son algunos elementos comunes de los
activadores cognitivos:
•
Conexión con conocimientos previos sobre el tema o sobre diferentes temas relacionados con el
mismo concepto (por ejemplo, para introducir la “razón de cambio promedio” se podría activar a los
alumnos recordándoles el concepto de “cambio”, la pendiente de una recta o el crecimiento frente al
decrecimiento).
•
Comienzo con una pregunta esencial que los alumnos son capaces de entender, pero que solo pueden
responder satisfactoriamente cuando aprenden los nuevos contenidos. Como apoyo se puede utilizar,
por ejemplo, un generador de grupos aleatorios, una actividad en la que los alumnos no levanten la
mano, una actividad de pensar individualmente, discutir en parejas y compartir con toda la clase, etc.
para organizar la colaboración entre los alumnos.
•
Una actividad que permite a los alumnos empezar a trabajar con el tema.
•
Ideas para reflexionar o ampliar a otros temas.
En esencia, la activación cognitiva consiste en enseñar a los alumnos las estrategias que los animan a
pensar con mayor profundidad para buscar soluciones y a concentrarse en el método que utilizan para
hallar la respuesta, en lugar de centrarse únicamente en la respuesta en sí. Como tal, constituye una
introducción útil a las habilidades necesarias para la exploración de evaluación interna. Cuando consideren
otros recursos de este equipo de herramientas, los profesores y los alumnos reconocerán en ellos
elementos de activación cognitiva.
La activación cognitiva se considera una de las prácticas que favorecen el desarrollo del conocimiento
matemático.
Ahorrar para la educación universitaria: anualidades y amortización
Fractales: matrices y transformaciones
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
19
Activadores cognitivos
Familiarización con datos
Familiarización con datos: conjunto de datos de los alumnos
Cuarteto de Anscombe
Cuarteto de Anscombe: conjunto de datos
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Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
El equipo de herramientas
Comprensiones conceptuales
El propósito de esta sección del material de ayuda al profesor es facilitar el uso de los conceptos de
Matemáticas por parte de los profesores para potenciar el aprendizaje en el aula y así favorecer una
comprensión más profunda.
Los conceptos son importantes porque aumentan la comprensión de las matemáticas y permiten a los
alumnos establecer conexiones y hacer generalizaciones, que son fundamentales para resolver problemas.
Ello, a su vez, hace que los alumnos dependan menos de técnicas y estructuras aprendidas y sean más
capaces de pensar creativamente cuando se enfrentan a problemas más complejos.
Los conceptos
Los cursos de Matemáticas del PD cuentan con 12 conceptos fundamentales que se enumeran a
continuación.
Estos conceptos pueden servir para organizar las unidades de trabajo, así como la enseñanza y el
aprendizaje. También se proporcionan explicaciones para cada uno de los conceptos en un contexto
matemático. Asimismo, los profesores pueden identificar y desarrollar conceptos adicionales para cumplir
con los requisitos curriculares nacionales o estatales, y adaptarse a sus circunstancias concretas.
Aproximación
Este concepto se refiere a una cantidad o una representación que es casi correcta, pero
no exacta.
Cambio
Este concepto se refiere a una variación de tamaño, cantidad o comportamiento.
Cantidad
Este concepto se refiere a una cuantía o un número.
Equivalencia
Este concepto se refiere a la calidad de idéntico o intercambiable, aplicada a
enunciados, cantidades o expresiones.
Espacio
Este concepto se refiere al marco de dimensiones geométricas que describe una
entidad.
Generalización
Este concepto se refiere a un enunciado general formulado sobre la base de ejemplos
específicos.
Modelización
Este concepto se refiere a la manera en que se pueden usar las matemáticas para
representar el mundo real.
Patrones
Este concepto se refiere al orden subyacente, la regularidad o la predictibilidad de los
elementos de un sistema matemático.
Relaciones
Este concepto se refiere a las conexiones existentes entre cantidades, propiedades o
conceptos; estas conexiones pueden expresarse en forma de modelos, reglas o
enunciados. Las relaciones ofrecen a los alumnos oportunidades de explorar patrones
en el mundo que los rodea.
Representación
Este concepto se refiere a la utilización de palabras, fórmulas, diagramas, tablas,
cuadros, gráficos y modelos para representar información matemática.
Sistemas
Este concepto se refiere a grupos de elementos interrelacionados.
Validez
Este concepto se refiere a la utilización de matemáticas lógicas y bien fundamentadas
para llegar a una conclusión cierta y precisa o a una interpretación razonable de
resultados.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
21
Comprensiones conceptuales
Ideas para utilizar los conceptos
Los conceptos se pueden utilizar de muchas formas diferentes, y los profesores son quienes deciden cuáles
son los enfoques apropiados para sus propias clases y contextos. No es necesario usar los 12 conceptos en
cada uno de los temas, pero sí que deben desarrollarse cuando sea adecuado a lo largo de todo el
programa de estudios.
Los diferentes conceptos proporcionan diferentes maneras de abordar el aprendizaje de un tema y también
permiten establecer conexiones dentro de cada tema, entre los distintos temas y con otras áreas
disciplinarias.
En la guía, cada tema comienza enunciando sus conocimientos esenciales y sugiriendo algunos
enunciados de comprensiones conceptuales específicas del contenido del tema. Se anima a los profesores a
desarrollar sus propios enunciados.
Estas tareas ilustran cómo se pueden utilizar los conceptos y la enseñanza para la comprensión conceptual.
Triángulos enredados: aplicaciones del NM
El poder de las matrices: aplicaciones del NS
22
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
El equipo de herramientas
Uso de medios tecnológicos
El uso de medios tecnológicos es una parte fundamental de los cursos de Matemáticas del PD. Apreciar
cómo los avances tecnológicos han influido en los avances en matemáticas, y viceversa, es uno de los
objetivos generales de los cursos. Asimismo, utilizar los medios tecnológicos de forma precisa, adecuada y
eficaz para explorar nuevas ideas y resolver problemas es uno de los objetivos de evaluación. Aprender a
usar diferentes medios tecnológicos es una habilidad importante en matemáticas. En cada uno de los
temas del programa de estudios se dedica tiempo para adquirir esta habilidad, que también se desarrolla a
través del equipo de herramientas.
La tecnología es una herramienta poderosa en las matemáticas. En los últimos años, el mayor acceso de los
alumnos y los profesores a los medios tecnológicos ha favorecido e impulsado la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas. El uso juicioso de la tecnología puede hacer que las matemáticas atraigan y
motiven más a un mayor número de alumnos.
Los profesores pueden usar la tecnología para respaldar y mejorar la comprensión de los alumnos de
muchas maneras, como las siguientes:
•
Poner de relieve aspectos de la enseñanza
•
Abordar ideas falsas
•
Facilitar la visualización
•
Mejorar la comprensión de conceptos que, de otro modo, se vería limitada por largos cálculos
numéricos o manipulaciones algebraicas
•
Ayudar a los alumnos a formular conjeturas y comprobar generalizaciones
•
Establecer conexiones explícitas entre diferentes representaciones o enfoques matemáticos
Los alumnos también pueden usar la tecnología en el proceso de aprendizaje con numerosos fines, por
ejemplo:
•
Desarrollar y mejorar su propia comprensión conceptual
•
Buscar patrones
•
Comprobar conjeturas o generalizaciones
•
Justificar interpretaciones
•
Colaborar en proyectos
•
Ayudar a organizar y analizar datos
En el aula, los profesores y los alumnos pueden utilizar la tecnología, individualmente o en colaboración,
para explorar los conceptos matemáticos. La clave para que el aprendizaje con la tecnología sea fructífero
es encontrar un justo equilibrio en el uso que el profesor y los alumnos hacen de los medios tecnológicos,
decidiendo cuidadosamente cómo emplearlos para favorecer la comprensión y la comunicación de las
matemáticas.
Muchos temas de los cursos de Matemáticas del PD se prestan al uso de medios tecnológicos. Las
calculadoras gráficas, los programas de representación gráfica dinámica, las hojas de cálculo, las
simulaciones, las aplicaciones, los programas de geometría dinámica y las pizarras interactivas son solo
algunos ejemplos de los muchos medios tecnológicos que pueden utilizarse como apoyo en la enseñanza y
el aprendizaje de las matemáticas.
En la guía, los términos “tecnología” y “medios tecnológicos” designan cualquier tipo de calculadora,
equipo o programa informático disponible en el aula. Los términos “análisis” y “enfoque analítico” se usan
generalmente en la guía para referirse a un enfoque algebraico que puede no requerir el uso de tecnología.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
23
Uso de medios tecnológicos
Es importante tener en cuenta que existen restricciones sobre los medios tecnológicos que se pueden usar
en los exámenes; estas se especificarán en los documentos pertinentes.
Paquetes financieros en la calculadora de pantalla
gráfica
Las calculadoras gráficas cuentan con funciones que permiten realizar cálculos financieros con facilidad. Los
siguientes planes de unidades ilustran dos situaciones diferentes que pueden darse durante el curso.
Aplicaciones de las progresiones y series geométricas al ámbito financiero
Amortización y anualidades
Simulaciones de Montecarlo
La tecnología moderna nos permite responder muchas preguntas con un alto grado de precisión, incluso si
no podemos hallar la solución exacta. Uno de estos métodos modernos sumamente eficaz es la simulación
de Montecarlo, que utiliza números aleatorios para generar muchos conjuntos de datos posibles y los usa
para investigar la pregunta.
Si bien las computadoras son una parte importante del proceso de simulación, hay tres habilidades clave
que los alumnos deben desarrollar. En numerosas situaciones, estas habilidades matemáticas son mucho
más importantes que los métodos analíticos en los que tradicionalmente se hace hincapié en la enseñanza
de las matemáticas.
•
Describir la situación en términos matemáticos
•
Convertir esta descripción en una simulación por computadora
•
Interpretar los resultados de la simulación, y reconocer si la simulación no ha funcionado
Los dos ejemplos clásicos de simulación que se incluyen a continuación brindarán a los alumnos una
valiosa perspectiva de las matemáticas modernas y les permitirán desarrollar estas habilidades. Se
proporcionan también ejemplos de conjuntos de datos, que se pueden adaptar o utilizar como modelo
para crear conjuntos de datos originales.
Tiro con arco a una diana
Tiro con arco a una diana: conjunto de datos
Sobrecarga de ascensores
Sobrecarga de ascensores: conjunto de datos
24
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
El equipo de herramientas
Resolución de problemas
El equipo de herramientas asigna tiempo para que el profesorado pueda ofrecer actividades de aprendizaje
que satisfagan las necesidades de sus estudiantes. El video 3 de los apéndices, “Uso eficaz del equipo de
herramientas matemáticas”, ya está incluido en el material de ayuda al profesor. Ahí podemos ver cómo
son, en la práctica, las clases del equipo de herramientas: por ejemplo, en actividades de investigación
abiertas que requieren la colaboración entre estudiantes y la facilitación del profesor/a.
En esta sección del material de ayuda al profesor se explica cómo se podría destinar una parte del tiempo
del equipo de herramientas al desarrollo de habilidades de resolución de problemas.
¿Qué es un “problema” en Matemáticas del PD?
Las experiencias del alumnado como estudiantes de Matemáticas —tanto antes como durante el PD— a
menudo incluirán la práctica de ejercicios y el desafío que supone enfrentarse a problemas.
Los ejercicios se suelen utilizar para practicar una determinada habilidad, como la resolución de un sistema
de ecuaciones. En muchos ejercicios, el método que se va a utilizar se conoce de antemano. El objetivo de la
práctica reiterada de ejercicios es aumentar la competencia del alumnado.
Los problemas son tareas en las que el contexto es desconocido o los métodos que se han de utilizar no
resultan inmediatamente obvios para el alumno/a. Por ejemplo, el término habitual problemas
descontextualizados se refiere a tareas planteadas en un contexto dado o escritas con frases completas, de
donde hay que deducir la información necesaria para poder llegar a la solución. Los problemas pueden ser
cerrados o abiertos y pueden tener una única solución o, en ocasiones, muchas soluciones distintas.
Los problemas le plantean a cada estudiante desafíos que son diferentes de los que se encuentran en los
ejercicios. Algunos alumnos/as no tienen claro cómo abordar estos desafíos y enfrentarse a ellos. Por su
parte, profesionales de la educación como Zeitz (2007: xi) sostienen que “la resolución de problemas se
puede enseñar y se puede aprender”.
La resolución de problemas en Matemáticas del PD
En esta publicación, el término resolución de problemas hace referencia a un conjunto de estrategias que se
pueden aprender y aplicar de modo que ayuden a resolver problemas. Resultan útiles para estudiantes y
docentes del PD por dos motivos. En primer lugar, uno de los objetivos generales de Matemáticas del PD es
permitir al alumnado “desarrollar el pensamiento lógico y creativo, así como la paciencia y la constancia en
la resolución de problemas, para adquirir confianza en el empleo de las matemáticas” (IBO, 2019). En
segundo lugar, las habilidades de resolución de problemas son transferibles a otras asignaturas y a desafíos
mayores.
Además, a medida que el alumnado va avanzando y adquiriendo competencia y confianza para usar las
matemáticas en contextos desconocidos, esto le permite “desarrollar su curiosidad por las matemáticas,
disfrutarlas, y apreciar su elegancia y las posibilidades que ofrecen” (IBO, 2019).
La evaluación externa incluye la evaluación de las habilidades de resolución de problemas: “La resolución
de problemas es fundamental en el aprendizaje de matemáticas, e implica la adquisición de habilidades y
conceptos matemáticos en una amplia variedad de situaciones, incluidos los problemas que no son de
rutina, los problemas abiertos y los problemas de la vida real” (IBO, 2019).
En esta publicación se detallan diversas estrategias de resolución de problemas para el alumnado de
Matemáticas del PD. Dichas estrategias se pueden aplicar tanto a tareas de investigación y modelización
matemática como a la evaluación interna. En este caso concreto —a modo de introducción a la resolución
de problemas— se han aplicado a preguntas de examen. En las preguntas de examen que aparecen a
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
25
Resolución de problemas
continuación, o bien el contexto de las matemáticas le resulta desconocido al alumnado o el método que
ha de utilizar no es inmediatamente obvio. Tenga en cuenta que no todas las preguntas de examen
presentan estas propiedades. También se analizan posibles maneras de organizar el aula de Matemáticas y
los recursos físicos para favorecer la resolución de problemas.
Al final de esta sección se incluyen las referencias de otros recursos que tratan sobre la resolución de
problemas.
Clases de resolución de problemas con el equipo
de herramientas respaldadas por enfoques del
aprendizaje y enfoques de la enseñanza
Cuando se planifican clases para desarrollar habilidades de resolución de problemas con el equipo de
herramientas, la enseñanza puede apoyarse en los siguientes enfoques:
•
Enseñanza basada en la indagación
•
Enseñanza basada en un trabajo en equipo y una colaboración eficaces
Estos enfoques de la enseñanza funcionan en sinergia con los siguientes enfoques del aprendizaje:
•
Habilidades de pensamiento
•
Habilidades de autogestión
Cuando el profesor/a elige la mejor manera de aplicar dichos enfoques, también puede plantearse cómo
está dispuesto el entorno de aprendizaje, que puede ser físico o virtual. Por ejemplo, Swan (2005) considera
que la mejor manera de organizar el aula para que el aprendizaje sea más “visible” es la siguiente:
•
Colocar las mesas en grupos, en vez de filas.
•
Tener en el aula pizarras, pliegos de papel de tamaño póster y espacios físicos o virtuales para escribir,
con el fin de posibilitar que los alumnos/as colaboren, pongan en común ideas y las debatan en
pequeños grupos.
•
En vez de dar clase junto a la pizarra, el profesor/a puede ir moviéndose por toda el aula, observando
los avances de sus estudiantes y actuando como facilitador/a.
•
El alumnado puede compartir sus avances desplazándose por el aula y leyendo el trabajo de cada
grupo. Este proceso también se puede realizar en línea, mediante documentos compartidos.
•
Disponer de computadoras portátiles y calculadoras de pantalla gráfica ayuda al alumnado a añadir a
su equipo de herramientas matemáticas un uso hábil de los medios tecnológicos.
Una vez organizados los aspectos prácticos de la clase del equipo de herramientas, los profesores/as
pueden reflexionar sobre los siguientes puntos cuando se planteen cómo van a organizar la clase.
•
Activación cognitiva. Se puede hacer que los alumnos/as estén listos para aprender y trabajar en el
ejercicio pidiéndoles que lean un problema en silencio durante unos pocos minutos y que luego
discutan en parejas o grupos pequeños lo que han entendido. Invertir tiempo en leer y en pensar en
silencio es algo que también deben hacer en el examen final, durante los cinco minutos que tienen
para la lectura. Es útil que sus estudiantes ensayen este proceso.
•
Pueden surgir temas destacados, errores de concepto o dificultades frecuentes. A medida que cada
docente va extrayendo estos puntos para discutirlos en el aula, la enseñanza se nutre de la evaluación
formativa.
•
Resistir la tentación de dar “la respuesta” al alumnado enseguida y esperar hasta más tarde puede
garantizar que las clases de resolución de problemas traten ante todo de procesos, es decir, de
estrategias: el producto final (la respuesta) llegará después.
•
En una sesión plenaria celebrada hacia el final de la clase, los alumnos/as podrían tomar notas de lo
que han aprendido. Además, en un póster colgado en el aula podrían anotarse las estrategias que
hayan resultado eficaces, para recordarlas en etapas posteriores de la asignatura y poderlas aplicar en
otros contextos.
26
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Resolución de problemas
Enfoques y estrategias de resolución de problemas
Las estrategias que se ofrecen en esta sección no son las únicas que existen y tampoco es obligatorio
utilizarlas. El profesorado tendrá sus propias ideas y versiones de las estrategias que funcionan para sus
propios estudiantes. La planificación colaborativa dentro de los departamentos de Matemáticas puede
incluir la discusión y la puesta en común de las estrategias propias de cada docente. Autores como Swan
(2005), Polya (1990), Steel et al. (2015) y Zeitz (2007) han descrito diversas estrategias de resolución de
problemas, algunas de las cuales se resumen a continuación empleando como marco conceptual los cuatro
pasos de Polya:
Figura 2
Marco conceptual de cuatro pasos para la resolución de problemas
Comprender el problema
Se lee el problema y, a continuación, se explora el contexto, se interpreta la terminología y se tienen en
cuenta los conceptos pertinentes y los términos de instrucción. ¿Qué información se ha dado ya en el
problema? ¿Cuál es la respuesta que es necesario hallar? ¿Se pueden aplicar medios tecnológicos para
hallar la respuesta?
Elaborar un plan
Son posibles diversas estrategias, entre las que se incluyen las siguientes:
•
Resolver un problema similar de menores dimensiones.
•
Elegir una representación adecuada.
•
Dibujar un diagrama.
•
Modificar el diagrama dado añadiendo rectas.
•
Escribir anotaciones —mediante rótulos o valores— en el diagrama dado.
•
Representar en una tabla la información dada.
•
Generar datos y tratar de identificar un patrón; en este proceso quizá haya que ordenar datos,
clasificarlos por categorías o emparejarlos de algún modo.
•
Aplicar una fórmula.
•
Evocar y adaptar un problema similar que ya se resolvió anteriormente.
•
Escribir todo lo que se pueda deducir de lo que se ha dado en el enunciado: por ejemplo, las relaciones
entre las variables.
•
¿Hay algo que se pueda hacer, aunque no se tenga la certeza de adónde va a llevar? En caso
afirmativo, hacerlo y, a continuación, reflexionar sobre lo que nos dice el resultado.
•
Aplicar medios tecnológicos.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
27
Resolución de problemas
Llevar a cabo el plan
Esto puede consistir en resolver una o varias ecuaciones, crear una fórmula o una expresión, considerar las
características de un gráfico, realizar un cálculo, hacer una predicción o escribir una demostración. En todos
los enfoques el alumno/a llega a un resultado.
Examinar el resultado
¿El resultado tiene sentido en el contexto del problema? En caso negativo, ¿se han ejecutado
correctamente todos los pasos de los que consta el plan? Si es necesario, se repite el proceso, bien
repitiendo cuidadosamente los pasos para identificar errores o bien modificando la estrategia.
28
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
El equipo de herramientas
Enfoques de resolución de problemas y evaluación
externa
Las preguntas que se exploran en esta sección pueden formar parte de las clases de resolución de
problemas. Cada pregunta se puede entregar al alumnado como un problema independiente. Para dirigir la
clase del equipo de herramientas de modo que se produzca un aprendizaje de estrategias de resolución de
problemas, se necesita reflexión por parte de docentes y estudiantes. Por consiguiente, para cada uno de
los siguientes problemas se incluye una reflexión.
Problema A
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación; examen de muestra del
NM, prueba 1 (Tema 3: Geometría y trigonometría)
En (a) nos encontramos con un ejercicio/problema de rutina. Por el contrario, (b) es una tarea de resolución
de problemas. No hay ningún “a partir de lo anterior” que indique que (a) se pueda o se deba utilizar para
hallar la solución. Para resolver (b) es necesario acometer los pasos siguientes.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
29
Enfoques de resolución de problemas y evaluación externa
Comprender el problema
Deducir, partiendo del contexto, que
está en negrita.
es un ángulo recto. Entender la importancia que tiene el texto que
Elaborar un plan
Escribir anotaciones en el diagrama y deducir así el valor de
. Añadir un elemento al diagrama que
represente la posición de Ollie cuando activa el sensor por primera vez. A partir de lo anterior, escribir
ecuaciones que conduzcan al resultado que pide el enunciado.
Llevar a cabo el plan
Resolver las ecuaciones para hallar el resultado.
Examinar el resultado
El resultado debe estar dentro del intervalo ]0,5[. De no ser así, hay que repetir todo el ciclo.
Reflexión sobre la enseñanza y el aprendizaje con el equipo de herramientas
El proceso de leer en silencio durante dos o tres minutos, entender el contexto y a continuación debatirlo
en parejas conduce a la activación cognitiva mediante la discusión de lo que significa el contexto.
Problema B
Matemáticas: Análisis y Enfoques; examen de muestra del NS,
prueba 2 (Tema 2: Funciones)
A primera vista, esta pregunta podría parecer un ejercicio básico o de rutina. Saber que en un punto de
intersección —allí donde se cortan dos funciones— la coordenada y es la misma para las dos funciones es
un hecho con el que estará familiarizado gran parte del alumnado del NS. Sin embargo, a muchos
alumnos/as el contexto de la pregunta les resultará extraño porque interviene un parámetro m.
Primer enfoque
Comprender el problema
Entender que m puede ser cualquier número real —incluidos aquellos con valores negativos— y que m es
un parámetro, no una variable.
Elaborar un plan
Igualar las dos fórmulas para y, de modo que podamos hallar un conjunto de valores de m.
Llevar a cabo el plan
Resolver la ecuación para hallar el conjunto de valores de m, utilizando o bien el discriminante o
recurriendo a una inecuación.
30
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Enfoques de resolución de problemas y evaluación externa
Examinar el resultado
Hay que analizar con detenimiento el plan ejecutado, de lo contrario se puede pasar por alto el hecho de
que m = 1 también forma parte del conjunto de soluciones.
Un enfoque alternativo
Comprender el problema
Entender que la función racional tiene una asíntota oblicua y que m produce un estiramiento vertical en la
función lineal. El uso aquí de la calculadora de pantalla gráfica puede ayudarle al alumno/a a explorar el
contexto.
Elaborar un plan
Desglosar la función racional y expresarla por partes, de modo que se pueda determinar la asíntota oblicua.
Considerar cómo cambia el número de soluciones cuando se va variando el valor de m.
Llevar a cabo el plan
Aplicar el conocimiento y la comprensión del comportamiento asintótico y de los estiramientos verticales
para elaborar un razonamiento que permita determinar el conjunto de soluciones.
Examinar el resultado
La calculadora de pantalla gráfica se puede utilizar para examinar si el conjunto de soluciones que ha dado
es correcto, incluida la consideración de m = 1.
Este enfoque alternativo se acerca más al ciclo de indagación, especialmente en la etapa “Llevar a cabo el
plan”. El alumno/a reflexiona sobre las características de la función lineal —en comparación con las de la
función racional— según el valor concreto que tenga el parámetro m. Quienes sean más brillantes darán
rápidamente con el razonamiento correcto; el resto quizá necesiten investigar un poco más con la
calculadora de pantalla gráfica.
Reflexión sobre la enseñanza y el aprendizaje con el equipo de herramientas
El hecho de que haya al menos dos métodos posibles contribuye a la discusión en la clase del equipo de
herramientas: ¿cuál es el método más eficiente? El uso de programas informáticos de geometría dinámica
durante la clase puede servir para explorar el contexto y contribuir a la discusión.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
31
Enfoques de resolución de problemas y evaluación externa
Problema C
Matemáticas: Análisis y Enfoques; prueba 2 del NM, mayo de 2021,
zona horaria 1 (Tema 3: Geometría y trigonometría)
Comprender el problema
El contexto de la noria le puede resultar muy conocido al alumnado. Las norias aparecen mencionadas en la
Guía de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación y en la Guía de Matemáticas: Análisis y Enfoques. Entender
que la función dada en el enunciado es periódica y deducir, a partir del contexto, que los valores mínimo y
máximo de h(t) son, respectivamente, 10 y 120 metros.
Elaborar un plan
Escribir todo lo que se sepa sobre los parámetros de h(t), teniendo presente lo que ya se haya deducido del
contexto. Esto se debe hacer aplicando el conocimiento y la comprensión de la amplitud, del período y de
lo que significa la c.
Llevar a cabo el plan
A partir de lo anterior, hallar los valores de a, b y c.
Examinar el resultado
En esta pregunta de la prueba 2, el resultado se puede analizar de manera eficiente con la calculadora de
pantalla gráfica. Llegados a este punto, habrá quienes descubran que el valor de la amplitud solo es
correcto en módulo (no en signo) y tengan que ajustar la respuesta final en consecuencia.
32
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Enfoques de resolución de problemas y evaluación externa
Reflexión sobre la enseñanza y el aprendizaje con el equipo de herramientas
En esta pregunta de la prueba 2, no se puede dejar de insistir en lo importante que es utilizar la calculadora
de pantalla gráfica para comprobar el resultado. La respuesta a = 55 es un error habitual. Dicho error se
puede detectar rápidamente con la calculadora de pantalla gráfica, examinando el gráfico de la función.
Problema D
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación; examen de muestra del
NM, prueba 1 (Tema 1: Aritmética y álgebra)
Comprender el problema
El contexto supone aquí un problema por lo poco familiar que resulta: la mayoría del alumnado
posiblemente no haya pensado nunca en la intensidad del sonido. Entender que en (a) hay que sustituir S y
en (b) es necesario resolver la ecuación para S.
Elaborar un plan
Para abordar (a), hay que escribir una expresión para L utilizando el valor de S dado en el enunciado.
Para abordar (b), hay que plantear una ecuación para S utilizando el valor de L dado en el enunciado.
Llevar a cabo el plan
Utilizar la calculadora de pantalla gráfica para hallar (a) sustituyendo el valor de S = 6,4 × 10−3.
Utilizar la calculadora de pantalla gráfica para resolver la ecuación para S, o resolverla mediante
reordenación.
Examinar el resultado
Dado el contexto tan detallado que brinda la pregunta, es recomendable verificar con detenimiento todos
los cálculos y procedimientos que los alumnos hayan escrito.
Reflexión sobre la enseñanza y el aprendizaje con el equipo de herramientas
Las funciones logarítmicas no aparecen mencionadas en los contenidos para el NM de Matemáticas:
Aplicaciones e Interpretación. Sin embargo, aquí lo único que hace falta es sustituir un valor en una
fórmula, que forma parte de los conocimientos previos. La definición de logaritmo y el concepto de función
están ambos incluidos en la asignatura de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación. Si un contexto como
este (la intensidad del sonido) es desconocido para los alumnos/as, quizá debieran dedicar parte del tiempo
que tienen para leer en silencio a comprenderlo mejor. La parte (b) se puede resolver con la calculadora de
pantalla gráfica, utilizando una herramienta de resolución de ecuaciones numérica o gráfica.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
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Enfoques de resolución de problemas y evaluación externa
Problema E
Matemáticas: Análisis y Enfoques; prueba 1 del NS, mayo de 2021,
zona horaria 1 (Tema 2: Aritmética y álgebra)
Comprender el problema
Comprender que aunque el problema tenga tres ochos (8) —y, por tanto, el contexto parezca extraño o
desconocido— esto no afecta a la posibilidad de aplicar las fórmulas necesarias para resolverlo.
Elaborar un plan
En el enunciado se dan dos ecuaciones y hay que hallar dos incógnitas. Aplicar la estrategia que se puede
utilizar en muchas situaciones de este tipo: escribir un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Llevar a cabo el plan
Resolver el sistema de ecuaciones para hallar u1 y d.
Examinar el resultado
Siendo una pregunta de la prueba 1, el resultado se examina mejor sustituyendo los valores de u1 y de d en
las fórmulas pertinentes y comprobando que u8 = S8 = 8.
Reflexión sobre la enseñanza y el aprendizaje con el equipo de herramientas
Este es un problema sencillo y sin complicaciones. Sin embargo, constituye una buena oportunidad para
subrayar lo fácil que es, en este caso, comprobar durante la etapa “Examinar el resultado” que la respuesta
hallada es correcta.
34
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Enfoques de resolución de problemas y evaluación externa
Problema F
Matemáticas: Análisis y Enfoques; prueba 1 del NS, mayo de 2021,
zona horaria 1 (Tema 4: Estadística y probabilidad)
Comprender el problema
Entender, observando el diagrama, que L tiene que ser menor que U y que, dado que el diagrama no está
dibujado a escala, no se puede deducir nada más que 10 < L < 40 < U < 75.
Elaborar un plan
Escribir todo lo que se pueda deducir del contexto; por ejemplo, el valor del rango intercuartil dado en el
enunciado y el hecho de que no hay valores atípicos.
Llevar a cabo el plan
Utilizar la lógica deductiva para hallar el valor mínimo de U partiendo de las ecuaciones/inecuaciones
escritas en el plan.
Examinar el resultado
Comprobar que los valores de U y L tienen sentido y encajan con el diagrama.
Reflexión sobre la enseñanza y el aprendizaje con el equipo de herramientas
En las etapas iniciales del proceso de resolución de problemas, es posible que algunos alumnos/as no se
hayan dado cuenta de que no hay valores atípicos. Quizá tengan que volver a examinar el contexto y
pensar sobre lo que se puede deducir del hecho de que no haya valores atípicos.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
35
Enfoques de resolución de problemas y evaluación externa
Problema G
Matemáticas: Análisis y Enfoques; prueba 2 del NS, mayo de 2021,
zona horaria 2 (Tema 1: Aritmética y álgebra)
Comprender el problema
Entender, a partir de la información dada en el enunciado, que aunque z ≠ 1, se cumple que z = 1.
Elaborar un plan
Todos los planes que figuran a continuación son factibles:
•
Sustituir z = cos θ + i sen(θ) en la expresión
•
Sustituir z = eiθ en la expresión
•
•
Expresar
1+z
y realizar la división.
1−z
1+z
y realizar la división.
1−z
1+z
en función de z y z *.
1−z
Dibujar aproximadamente z, 1 + z y 1 − z en un diagrama de Argand. Escribir anotaciones en el
diagrama y hacer deducciones.
Llevar a cabo el plan
Aplicar el conocimiento y la comprensión de la geometría algebraica de números complejos, y también la
1+z
lógica deductiva, para mostrar que Re
= 0.
1−z
Examinar el resultado
¿Se presentan claramente los pasos que permiten demostrar el resultado, de forma que el examinador/a
pueda otorgar la máxima puntuación?
Reflexión sobre la enseñanza y el aprendizaje con el equipo de herramientas
Esta es una buena oportunidad de comparar y contrastar distintos planes: ¿cuál es el más eficiente?
También es una buena oportunidad para recordar al alumnado que con los números complejos se pueden
utilizar distintas representaciones. Mostrar cómo diferentes enfoques pueden conducir a la misma
conclusión refuerza la enseñanza para la comprensión conceptual y los vínculos con TdC.
36
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Enfoques de resolución de problemas y evaluación externa
Problema H
Adaptación de Matemáticas: Aplicaciones e interpretación; prueba 1
del NS, noviembre de 2021 (Tema 5: Análisis)
Comprender el problema
Deducir, partiendo del contexto, que la figura geométrica es un prisma y darse cuenta de que θ está en
radianes. Entender que a medida que θ aumenta r tiene que disminuir, pero que la longitud total del
alambre utilizado es fija, al igual que la altura del prisma. Considerar los posibles valores de θ.
Elaborar un plan
Escribir todo lo que se pueda deducir del contexto, incluida una ecuación que permita calcular el volumen y
una ecuación para r. Tratar de plantear una ecuación para el volumen en función de una única variable.
Llevar a cabo el plan
Explorar la función volumen para hallar el valor de θ que maximizará el volumen.
Examinar el resultado
Comprobar detenidamente todos los pasos dados para plantear las ecuaciones. Reflexionar sobre la
solución obtenida con respecto al dominio de la función volumen.
Reflexión sobre la enseñanza y el aprendizaje con el equipo de herramientas
Este problema permite la elección de distintos enfoques en la clase del equipo de herramientas. Una vez
que se ha determinado la función volumen, se puede explorar con la calculadora de pantalla gráfica o
mediante las derivadas primera y segunda. Por consiguiente, el profesor/a puede facilitar la incorporación
de ambos enfoques a la discusión. También cabe señalar que, en los problemas de optimización, por lo
general hay que escribir una expresión para la variable que se desea optimizar, y una segunda ecuación que
permita escribir la primera ecuación en función de una sola variable.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
37
Enfoques de resolución de problemas y evaluación externa
El prisma se podría construir y explorar con un programa informático de geometría dinámica, dentro de la
clase del equipo de herramientas. Este enfoque puede ayudar al alumnado a imaginar problemas de este
tipo, en los que la forma cambia de manera dinámica.
Problema I
Matemáticas: Aplicaciones e interpretación; prueba 1 del NS,
noviembre de 2021 (Tema 3: Geometría y trigonometría)
Comprender el problema
Entender que el ángulo de 40° y la posición de B son fijos. La posición de C puede variar y la figura no está
dibujada a escala. Para hallar el área mínima posible, Nate debe utilizar los 7 metros de valla en su totalidad.
Elaborar un plan
Añadir elementos al diagrama para mostrar distintas posiciones de C.
En algunos de los planes más habituales se aplica el caso ambiguo del teorema del seno o se plantea una
ecuación utilizando el teorema del coseno en el triángulo ABC, teniendo a AC como variable.
Llevar a cabo el plan
Determinar las posibles posiciones de C si Nate utiliza toda la valla de la que dispone. A partir de lo anterior,
1
hallar el área mínima posible utilizando la fórmula A = ab sen C.
2
38
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Enfoques de resolución de problemas y evaluación externa
Examinar el resultado
El resultado se podría comparar con el área que se obtiene cuando BC y L1 son perpendiculares.
Reflexión sobre la enseñanza y el aprendizaje con el equipo de herramientas
En respuesta a “Halle el área mínima que puede tener...”, puede haber estudiantes que utilicen el análisis a
modo de enfoque; por ejemplo, planteando una función área A x = 5x sen 40°, donde x = AC. Esto puede
conducir a la respuesta correcta, pero solo si a continuación se aplica el conocimiento y la comprensión de
la trigonometría, tal como se mostró anteriormente. Por eso este no es un método eficiente; en las
discusiones en clase se puede introducir el pensamiento crítico sobre esta cuestión. El hecho de que los
conocimientos que se logran con el análisis y con la trigonometría concuerden pone de relieve los vínculos
que existen entre distintos temas.
Problema J
Matemáticas: Análisis y Enfoques; prueba 1 del NM, mayo de 2021,
zona horaria 2 (Tema 3: Geometría y trigonometría)
Comprender el problema
Cada uno de los lados del triángulo está rotulado con un valor o con una variable. Esto nos indica que se
puede aplicar el teorema del coseno. No obstante, lo que hay que hallar es el área del triángulo, y para eso
hace falta otra fórmula. ¿Qué conexión existe entre ambas?
Elaborar un plan
Empleando la estrategia “¿Hay algo que se pueda hacer, incluso aunque no se tenga la certeza de adónde
va a llevar?”, escribir una ecuación para 102 utilizando el teorema del coseno.
Llevar a cabo el plan
Resolver la ecuación para hallar x.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
39
Enfoques de resolución de problemas y evaluación externa
Comprender el problema (una vez más)
Aún no hemos hallado el área. De momento sabemos lo que miden los tres lados del triángulo, pero para
utilizar la fórmula del área del triángulo hay que conocer el valor de sen Ĉ.
Elaborar un plan
Empleando la estrategia “Escribir todo lo que se pueda deducir de lo que se ha dado en el enunciado”,
escribir una expresión para sen Ĉ dibujando aproximadamente un triángulo rectángulo o utilizando la
relación fundamental de la trigonometría.
Llevar a cabo el plan
Hallar sen Ĉ y, a partir de lo anterior, hallar el área.
Examinar el resultado
Para lograr la máxima puntuación, se debe dar la respuesta en la forma
p q
, donde p, q ∈ ℤ+.
2
Reflexión sobre la enseñanza y el aprendizaje con el equipo de herramientas
Esta pregunta de examen se puede clasificar como un problema, dado que el contexto proporciona varios
datos que no están conectados de un modo obvio con el objetivo de hallar el área. En este problema
interviene lo que Zeitz (2007) denominó el enfoque del “penúltimo paso”: una vez que se ha hallado el valor
de x, solo queda un paso más para llegar al resultado final. Una vez hallado x, reflexionar sobre este logro
sabiendo que solo se necesita dar un paso más puede ayudar al alumnado a desarrollar paciencia y
perseverancia en la resolución de problemas.
40
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
El equipo de herramientas
Planificación para la resolución de problemas
A la hora de elaborar los planes de trabajo o los planes de unidad, el profesorado puede decidir cuáles son
los mejores momentos y la frecuencia adecuada para la resolución de problemas dentro del equipo de
herramientas, de modo que el aprendizaje de las estrategias de resolución de problemas por parte de sus
estudiantes vaya progresando a lo largo del curso de Matemáticas. Al ir aumentando con el tiempo su toma
de conciencia de las estrategias de resolución de problemas, se favorecerá el desarrollo de la paciencia y la
persistencia con la resolución de problemas.
El profesorado puede leer los informes generales de la asignatura que se publican en el Centro de recursos
para los programas después de cada convocatoria de exámenes, para así conocer cuáles fueron los errores
de concepto más habituales y las desafíos a los que se enfrentó el grupo de alumnos de esa convocatoria
durante la evaluación. Por ejemplo, en anteriores informes generales de la asignatura se señalaba que, al
representar contextos de probabilidad, a menudo es mejor que el alumnado emplee un diagrama
adecuado —en lugar de una fórmula— para resolver un problema. Esto pone de relieve la posibilidad de
practicar dos estrategias de resolución de problemas: “Elegir una representación adecuada” y “Dibujar un
diagrama”.
Los problemas se pueden plantear en un amplio abanico de contextos y cada uno puede presentar desafíos
diversos. No es posible prever todas las eventualidades que se dan en la resolución de problemas, pero
planificar la enseñanza y el aprendizaje de las habilidades de resolución de problemas puede mejorar la
resiliencia del alumnado ante estos desafíos.
Referencias
A continuación se enumeran una serie de recursos que tratan concretamente sobre la resolución de
problemas. Estos recursos también aparecen en los apéndices incluidos al final de esta publicación.
ASSESSMENT AND QUALIFICATIONS ALLIANCE (AQA). GCSE Mathematics: 90 maths problem solving
questions. Manchester (Reino Unido): AQA, 2015.
BLISS, K. et al. GAIMME: Guidelines for Assessment and Instruction in Mathematical Modeling Education.
Bedford (EE. UU.): Consortium for Mathematics and Its Applications (COMAP) y Society for Industrial and
Applied Mathematics (SIAM), 2016.
IBO. Guía de Matemáticas: Análisis y Enfoques. Cardiff (Reino Unido): Organización del Bachillerato
Internacional, 2019.
IBO. Guía de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación. Cardiff (Reino Unido): Organización del Bachillerato
Internacional, 2019.
MOSTELLER, F. Fifty Challenging Problems In Probability With Solutions. Nueva York (EE. UU.): Dover
Publications, 1965.
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS (NCTM). Principles and Standards for School
Mathematics.Reston (EE. UU.): NCTM, 2000.
POLYA, G. Cómo plantear y resolver problemas. México, D. F. (México): Trillas, 2021.
STEEL, T., et al. Mathematics: Higher GCSE for AQA Problem-solving Book. Cambridge (Reino Unido):
Cambridge University Press, 2015.
SWAN, M. Standards Unit—Improving learning in mathematics: challenges and strategies. Londres (Reino
Unido): Department for Education and Skills, 2005.
ZEITZ, P. The Art and Craft of Problem Solving. 2.ª edición. Hoboken (EE. UU.): John Wiley & Sons, 2007.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
41
El equipo de herramientas
Modelización matemática
La modelización es una habilidad importante de Matemáticas, ya que tiene un amplio abanico de
aplicaciones en el mundo moderno. A medida que la tecnología va evolucionando, también se amplían los
límites de lo que se puede modelizar con medios tecnológicos. Por consiguiente, cada vez es más
importante exponer al alumnado, como parte de sus estudios de Matemáticas del PD, a problemas de
grandes dimensiones, enrevesados y basados en la realidad. Para ello, cada docente debe tener primero
una comprensión profunda del proceso de modelización matemática y de las etapas de las que consta, que
se muestran en la siguiente figura.
Figura 3
Ciclo de modelización matemática
El proceso de modelización
El informe GAIMME (2016: 8) define la modelización matemática como “un proceso que utiliza las
matemáticas para representar, analizar, hacer predicciones o ayudar a comprender mejor de algún otro
42
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Modelización matemática
modo los fenómenos del mundo real”. El alumnado adquiere experiencia en el proceso por medio de las
siguientes acciones:
•
Identificando el problema o la pregunta que se que se va a abordar
•
Haciendo suposiciones e indicándolas
•
Llevando a cabo una investigación
•
Elaborando un modelo matemático único (basado en determinados parámetros) que represente la
situación del mundo real
•
Evaluando y analizando la validez de dicho modelo
•
Repitiendo este proceso para que el modelo sea cada vez más preciso y sofisticado (el proceso
iterativo no es necesariamente lineal)
Al desarrollar las habilidades de modelización matemática con los alumnos/as, no es necesario pedirles que
completen todos y cada uno de los pasos del proceso de modelización para cada tarea asignada. Antes de
acometer problemas del mundo real más grandes, más complejos y quizá más “enrevesados”, con
frecuencia conviene centrarse primero en un aspecto concreto del proceso. Este enfoque ayudará a afianzar
el desarrollo de habilidades y a familiarizarse con el proceso.
El conocimiento y la comprensión de los contenidos matemáticos no debe considerarse un requisito previo
para enfrentarse a un problema de modelización. Las actividades de aprendizaje que incluyen tareas de
modelización tienen que entrelazarse con la experiencia adquirida en el aula y deben formar parte del
proceso de adquisición de conocimientos.
Funciones para la modelización
La guía de la asignatura define una variedad de funciones diversas con las que el alumnado debe
familiarizarse y que se pueden utilizar para la modelización. En la sección “Contenidos del programa de
estudios”, se ofrece orientación sobre diferentes contextos en los que podrían surgir esas funciones: bien
bajo Conexiones, en el apartado “Enlaces a otras asignaturas”, o en las columnas “Orientación, aclaraciones
y enlaces al programa de estudios”. Esta lista de funciones se puede ampliar para la evaluación interna y en
ella podría haber, entre otras:
•
Funciones lineales que permiten modelizar un cambio constante
•
Funciones exponenciales que permiten modelizar el crecimiento y el deterioro
•
Funciones trigonométricas (circulares) que permiten modelizar fenómenos periódicos
•
Modelos estadísticos donde se utilizan datos del mundo real
•
Modelos de probabilidad donde se utilizan datos del mundo real o simulados para definir situaciones
en las que interviene el azar
Existen muchos recursos en línea con datos disponibles. Sin embargo, el alumnado suele implicarse más en
el proyecto cuando recoge sus propios datos (si el contexto lo permite).
El equipo de herramientas y la evaluación interna
El equipo de herramientas permite disponer del tiempo necesario para incorporar la modelización
matemática en las actividades que se realizan en el aula. Mientras tanto, la evaluación interna, que consiste
en una exploración, ofrece la oportunidad de llevar a cabo una tarea de modelización a elección de cada
estudiante.
La evaluación interna es un trabajo abierto basado en la indagación donde los alumnos/as:
•
Llevan a cabo su propia investigación
•
Identifican variables y las relaciones que existen entre distintas cantidades
•
Toman decisiones
•
Evalúan los errores cometidos y la validez de los resultados obtenidos
•
Consideran las posibles limitaciones
•
Analizan el impacto que tienen sus hallazgos
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
43
Modelización matemática
Con este enfoque, el alumnado puede adquirir experiencia en prácticamente todos los aspectos del
proceso de modelización. Aunque no todos los alumnos/as partirán de una tarea basada en la modelización
para elaborar la exploración, muchos sí utilizarán algún aspecto concreto de la modelización durante su
exploración.
Ejemplo de actividad de modelización
La actividad “Cazadores furtivos en la reserva” es un ejemplo de actividad de modelización cuyo objetivo es
ir introduciendo las etapas más importantes del proceso de modelización. Muestra cómo es en la práctica el
ciclo de modelización matemática anteriormente descrito cuando este tipo de actividad se lleva a cabo en
el aula.
Cazadores furtivos en la reserva
Actividad para los alumnos
Información para el profesor
Otra manera de presentar a los alumnos/as la modelización es partir de un problema sencillo planteado con
palabras que puedan adaptar para convertirlo en una tarea de modelización matemática. A continuación se
detalla un ejemplo que utilizó un educador.
Javier ha organizado una recaudación de fondos para su colegio; para ello, vende camisetas que
llevan el logotipo y la mascota del colegio. Cada camiseta le cuesta a Javier USD 9,50 y luego las
vende por USD 15. Su objetivo es recaudar un total de USD 600. ¿Cuántas camisetas tiene que vender
Javier para lograr su objetivo?
Los alumnos/as pueden abordar este problema de manera colaborativa; es muy probable que den con una
respuesta rápidamente. No obstante, la tarea se puede ampliar preguntándoles qué pasaría si Javier
pudiera comprar camisetas al por mayor. Hay empresas que venderían las camisetas a un precio unitario
más bajo si se hace un pedido de más unidades. Puede haber varios niveles de precios, en los que se
ofrezcan mayores descuentos si se compran cantidades más grandes. Los alumnos/as quizás puedan
investigar los tipos de acuerdos u ofertas que existen para empresas de su zona geográfica.
El profesorado también puede pedirles que tengan en cuenta los gastos de envío, los impuestos o factores
ambientales asociados a la compra de Javier. Por otro lado, los alumnos/as podrían plantearse el precio
máximo que la comunidad estaría dispuesta a pagar por un artículo de este tipo. El profesor/a también
puede formular una pregunta donde se pida a los alumnos/as su opinión; por ejemplo, “¿Debería Javier
cobrar más de USD 15 por cada camiseta? En caso afirmativo, ¿por qué?”.
Preguntas como estas permiten a los alumnos/as realizar su propia investigación, extraer sus propias
conclusiones y tener presente un contexto del mundo real para aplicaciones matemáticas. También pueden
defender su postura utilizando la lógica, habilidades de pensamiento crítico y una comunicación
matemática eficaz (escrita u oral).
Ejemplos
Para apoyar estas actividades, los ejemplos que se comentan a continuación muestran cómo se ha
incorporado la modelización matemática en varios de los trabajos incluidos en la publicación Trabajos
evaluados de los alumnos de Matemáticas, que está disponible en el Centro de recursos para los programas.
La calidad de estos ejemplos es diversa, como diversas son las puntuaciones obtenidas. No obstante,
resultan útiles para entender cómo puede utilizar el alumnado la modelización matemática para elaborar
una exploración que tenga un sólido contenido matemático. Tenga en cuenta que no siempre se aborda la
etapa “ampliar” del ciclo de modelización, quizá debido a una limitación de tiempo o de número de
páginas.
44
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Modelización matemática
Ejemplo 5: El diseño de una botella
1.a etapa: Plantear un problema de la vida real
Página 2: El alumno plantea la pregunta: “¿Cuál es el diseño más apropiado de una botella en tres
dimensiones para que su razón de área superficial a volumen sea la menor?”. Su trabajo gira en torno a
modelar la mejor botella que pueda minimizar su costo de producción para la empresa que el alumno crea
junto con una compañera.
2.a etapa: Desarrollar un modelo
Página 2: El alumno decide usar imágenes de distintos modelos de botellas y el programa Logger Pro para
modelizar la curvatura de estas.
Página 3: El alumno identifica las fórmulas de cálculo que ayudarán a hallar la relación entre el área de la
superficie y el volumen.
3.a etapa: Poner a prueba el modelo (regresar a la 2.a etapa si el modelo es rechazado)
Páginas 4-8: El alumno pone a prueba su modelo con la primera botella y muestra todo el proceso de
obtención de datos.
Páginas 9-12: El alumno pone a prueba su modelo con la segunda botella y muestra todo el proceso de
obtención de datos.
4.a etapa: Reflexionar sobre el modelo y aplicarlo
Página 13: En el primer párrafo, el alumno aplica los resultados y decide cuál es el mejor modelo para su
empresa. En el segundo párrafo, el alumno reflexiona sobre los resultados obtenidos y las limitaciones del
trabajo realizado.
5.a etapa: Ampliar
Página 13: El alumno presenta como idea hallar los costos de producción de la botella al usar diferentes
materiales.
Ejemplo 35: La estrategia de distribución en un parque temático
1.a etapa: Plantear un problema de la vida real
Página 2: La alumna desea comprobar si un parque temático utiliza las matemáticas para repartir sus
atracciones de forma estratégica.
2.a etapa: Desarrollar un modelo
Página 3: La alumna decide utilizar diagramas de Voronoi para establecer si existe una correlación entre la
extensión territorial de cada atracción en el parque y el aforo de cada atracción.
3.a etapa: Poner a prueba el modelo (regresar a la 2.a etapa si el modelo es rechazado)
Páginas 3-6: La alumna coloca los puntos en las atracciones del parque utilizando tecnología. Luego
establece las zonas implementando las instrucciones de cómo crear un diagrama de Voronoi.
Páginas 9-12: La alumna calcula el área a escala basándose en su diagrama de Voronoi y la compara con el
área real del parque.
4.a etapa: Reflexionar sobre el modelo y aplicarlo
Páginas 13-14: La alumna establece la correlación por rangos de Spearman entre el área calculada y la
capacidad de aforo, y llega a la conclusión de que no existe una correlación. Menciona que se usa como
punto de partida la atracción más popular de cada zona y que los resultados podrían cambiar si se toman
en cuenta todos los espectáculos y atracciones por zona.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
45
Modelización matemática
5.a etapa: Ampliar
Página 21: La alumna puede observar que las zonas coinciden con las del diagrama de Voronoi pero que, al
añadir una nueva atracción, se aleja de los fundamentos de Voronoi. También observa que la mayoría de las
atracciones están al fondo de cada zona y deduce que es la estrategia utilizada, y no la de Voronoi, porque
hace que los visitantes atraviesen por las otras atracciones de la zona.
Ejemplo 37: El IB y la teoría de grafos del colegio “Alegría”
1.a etapa: Plantear un problema de la vida real
Página 2: La alumna plantea el problema que tiene un profesor para crear los horarios de un centro
educativo e investiga sobre la posibilidad de usar la teoría de grafos para solucionar el problema.
2.a etapa: Desarrollar un modelo
Páginas 9-11: La alumna establece las condiciones del problema que quiere resolver y como serán los
vértices de cada grafo.
3.a etapa: Poner a prueba el modelo (regresar a la 2.a etapa si el modelo es rechazado)
Páginas 11-20: La alumna presenta los diferentes grafos creados basándose en las restricciones
administrativas del colegio. También crea matrices de adyacencia que sustentan los grafos.
4.a etapa: Reflexionar sobre el modelo y aplicarlo
Página 20: La alumna aplica los resultados obtenidos de los grafos y puede establecer el horario de los
cursos del IB en el colegio “Alegría”.
Página 21: Se reconoce que el horario y el grafo son exclusivos de este colegio, dadas las condiciones
particulares del centro educativo, pero se prueba que la teoría de grafos es útil para resolver este tipo de
problemas.
5.a etapa: Ampliar
Página 21: La alumna reconoce que el “algoritmo presenta cierto margen de libertad para que se
manifiesten muchas soluciones” y que el método puede ayudar al personal de dirección del colegio a
elaborar horarios. Sin embargo, no se pudo observar que la alumna planteara a futuro una ampliación, ya
sea para el mismo problema o la aplicación del algoritmo en otros tipos de problemas.
Ejemplo 43: Las Setas de Sevilla
1.a etapa: Plantear un problema de la vida real
Página 3: El alumno plantea calcular el área de la cubierta de las Setas de Sevilla comparando el método de
Montecarlo con el cálculo integral.
2.a etapa: Desarrollar un modelo
Páginas 5-6: El alumno establece cómo se utiliza el método de Montecarlo para calcular el área, mostrando
que cuanto mayor es el número de puntos, menor es el error absoluto del área.
3.a etapa: Poner a prueba el modelo (regresar a la 2.a etapa si el modelo es rechazado)
Páginas 7-10: El alumno establece cómo se usa la tecnología para hallar las funciones que delimitan el área
que se va a computar utilizando cálculo integral entre curvas.
Páginas 11-15: El alumno presenta las diferentes imágenes con las que, utilizando los puntos en las
regiones, determina el área que quiere buscar.
4.a etapa: Reflexionar sobre el modelo y aplicarlo
Páginas 16-18: El alumno computa el error de ambos métodos.
46
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Modelización matemática
El alumno concluye que, aunque no se puede precisar qué método es el más exacto, el método de
integración es más preciso.
5.a etapa: Ampliar
Página 19: El alumno propone que, para reducir los márgenes de error, se mida en el lugar con herramientas
más sofisticadas, a fin de obtener datos más precisos. Además, se deben tener más medidas por cada
función para que el modelo de las funciones sea más exacto.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
47
El equipo de herramientas
Diagramas de Voronoi
Los diagramas de Voronoi se utilizan cada vez más y son una aplicación muy auténtica de las matemáticas.
Tienen numerosos usos prácticos en la ecología, la epidemiología, el urbanismo, los repartos, las áreas de
servicio y el control de los robots, vehículos sin conductor y robots móviles, así como en el diseño gráfico.
Los diagramas de Voronoi dividen el espacio en regiones y pueden emplearse para responder preguntas
como las siguientes:
•
¿Cómo podemos cartografiar con precisión los territorios de animales para evitar la superpoblación?
•
¿Cuál es el mejor sitio para abrir un nuevo restaurante con el fin de hacerle la competencia a otro
restaurante?
•
Si en una ciudad hay varios hospitales con helicóptero, ¿cuál es el área de servicio de cada helicóptero?
•
Si sabemos cuánto ha llovido en varios lugares, ¿cómo podemos estimar las precipitaciones de otros
lugares cercanos?
Los diagramas de Voronoi son una valiosa aplicación de las matemáticas y despiertan un interés cada vez
mayor en los matemáticos, a medida que la tecnología evoluciona para facilitar su creación. Son un ejemplo
excelente de cómo los avances tecnológicos influyen en los avances en matemáticas, y viceversa (objetivo
general 7). Esta sección presenta a los profesores y los alumnos el concepto del diagrama, la manera en que
se elabora y dos técnicas importantes relacionadas con los diagramas de Voronoi: el algoritmo incremental
y la interpolación del vecino más próximo. Se incluyen también seis actividades de aprendizaje que los
profesores pueden usar directamente o adaptar a sus necesidades.
¿Qué es un diagrama de Voronoi?
Supongamos que tenemos un conjunto de sitios (puntos) en un plano delimitado o sin delimitar (figura 4).
Con un diagrama de Voronoi podemos responder esta pregunta: ¿qué puntos están más cerca del sitio A?
¿Y del B? ¿Y del C? El diagrama de Voronoi correspondiente a estos sitios divide el plano en celdas o
regiones (polígonos) de Voronoi. Cada celda contiene todos los puntos del plano que están más cerca de
ese sitio que de cualquiera de los otros (figura 5). Las líneas que dividen las celdas son las aristas o
fronteras y los puntos de intersección de las aristas son los vértices.
Figura 4
Sitios A, B y C
48
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Diagramas de Voronoi
Figura 5
Celdas de los sitios A, B y C
Ahora, si tomamos un punto cualquiera del plano, podemos determinar cuál es el sitio que tiene más cerca.
Todos los puntos dentro de la región azul, por ejemplo, están más cerca del sitio C que de los sitios A y B.
La figura 6 muestra un ejemplo más complejo.
Figura 6
Elaboración de un diagrama de Voronoi
Se pueden elaborar diagramas de Voronoi empleando numerosos algoritmos. El que se demuestra a
continuación es un algoritmo incremental que elabora el diagrama de manera recursiva, añadiendo los
sitios de uno en uno.
Para entender este proceso, veamos primero la estructura de un diagrama de Voronoi. Cada arista del
diagrama de Voronoi es equidistante de dos sitios y, por tanto, es parte de la mediatriz del segmento que
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
49
Diagramas de Voronoi
une esos dos sitios (figura 7). Esto significa que cada vértice del diagrama de Voronoi es el circuncentro de
un triángulo formado por tres sitios (figura 8).
Figura 7
Las aristas son parte de las mediatrices de AB, BC y AC
Figura 8
El vértice O es el circuncentro del triángulo ABC
El algoritmo incremental utiliza estas relaciones para elaborar el diagrama de manera recursiva, añadiendo
un sitio cada vez. Supongamos que queremos añadir un cuarto sitio, D, al diagrama anterior. Trazamos las
mediatrices entre este y todos los sitios cercanos, AD, BD y CD, como se muestra en la figura 9.
50
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Diagramas de Voronoi
Figura 9
Incorporación de un cuarto sitio (D) y las mediatrices correspondientes
Nos desplazamos por las mediatrices para crear la nueva celda:
1.
Empezamos por la mediatriz de CD, porque D está dentro de la celda C.
2.
Seguimos esta mediatriz en cualquiera de los dos sentidos hasta llegar a una arista. En este ejemplo,
llegamos a la arista que se encuentra entre los sitios B y C.
Figura 10
Algoritmo incremental, pasos 1 y 2
1.
Seguimos la mediatriz del sitio D y el nuevo sitio (en este caso, B) hasta llegar a otra arista.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
51
Diagramas de Voronoi
Figura 11
Algoritmo incremental, paso 3
1.
Repetimos estos pasos hasta llegar al borde del diagrama o hasta acabar de nuevo en el sitio D. Si
llegamos al borde, volvemos al sitio D y comenzamos el mismo proceso pero en el otro sentido.
2.
Los segmentos por los que nos hemos desplazado son las aristas de la nueva celda de Voronoi del sitio
D (el área sombreada).
Figura 12
Algoritmo incremental, pasos 4 y 5
Interpolación del vecino más próximo
Una aplicación importante de los diagramas de Voronoi es la interpolación de los valores de una función en
puntos cercanos a los sitios, si conocemos su valor en esos sitios. Por ejemplo, supongamos que medimos
las concentraciones de plomo en varios sitios:
52
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Diagramas de Voronoi
Sitio
Concentración de plomo
(ppm)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
1.140
970
1.365
525
350
680
310
120
70
¿Cómo podemos estimar la concentración en otro punto? El método más sencillo es la interpolación del
vecino más próximo: determinar la celda en la que se encuentra el punto y asignarle a ese punto el mismo
valor que el sitio de la celda. Es decir, si el punto X está en la celda del sitio S1, estimamos que f (X) = f S1
para una función f que asigna un valor numérico real a puntos del diagrama.
Usos y contextos
Los diagramas de Voronoi se pueden utilizar para responder tres tipos generales de preguntas.
1.
Distancia: ¿Qué puntos son equidistantes a varios sitios? ¿Cuál es la mayor distancia con respecto a
cualquier sitio del diagrama? ¿Qué ruta pasa lo más lejos posible de los sitios? ¿Dónde podemos situar
algo para que esté lo más lejos posible de los sitios ya existentes?
2.
Área: ¿Cuáles son los “territorios” o las regiones de influencia de animales/restaurantes/helicópteros?
¿Dónde podemos colocar un nuevo sitio para que pueda usarlo el mayor/menor número posible de las
áreas actuales?
3.
Interpolación de funciones: estimar los valores de distintas posiciones; hallar el valor medio de todo
un diagrama.
Los diagramas de Voronoi aparecen en una variedad de contextos, como los siguientes:
•
Ecología: los sitios son, por ejemplo, los abrevaderos donde se concentran los animales y las celdas son
las áreas que dependen de esos abrevaderos.
•
Epidemiología: la propagación de enfermedades desde sitios contaminados (este fue uno de los usos
originales de los diagramas; véase el artículo en la sección “Lecturas complementarias”).
•
Urbanismo: los sitios son recursos como, por ejemplo, colegios, policías o bomberos, y las celdas son
las áreas que utilizan estos recursos.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
53
Diagramas de Voronoi
•
Repartos: los sitios son los almacenes y las celdas son las zonas de reparto.
•
Las zonas geográficas que cubren los sitios web de Craigslist.
•
Las rutas seguidas por los robots para evitar colisiones con ciertos objetos en fábricas o planetas.
•
Gráficos de colores: los sitios son colores específicos y las celdas son áreas de colores similares; se
utiliza la interpolación de vecinos naturales para mezclar gradualmente los colores desde un sitio
hasta otro.
Otras técnicas que se pueden usar son:
•
Interpolación de funciones: interpolación de vecinos naturales (más precisa)
•
Algoritmo de barrido para elaborar diagramas
•
Cálculo de áreas: fórmula de Heron, teorema de Pick
•
Uso de diferentes métricas (por ejemplo, la geometría del taxista o métrica de Manhattan para las
estaciones de bomberos)
54
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
El equipo de herramientas
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Actividad de aprendizaje 1: Tres puestos de
helados
Comprensión clave: Los alumnos comprenderán la definición de diagrama de Voronoi elaborando uno en
un contexto del mundo real.
Tiempo asignado: 15 minutos.
Parte 1: Explorar: Si usted se encuentra en algún lugar del North Boulder Park y quiere un helado lo antes
posible, ¿a qué puesto de helados debería ir?
Opción con Desmos: Pida a los alumnos que completen la actividad de Desmos “Ice Cream” siguiendo las
notas para el profesor que la acompañan.
Opción con tecnología menos avanzada
•
Imprima o proyecte el mapa anterior y pida a los alumnos que hallen el puesto de helados más
cercano a varios puntos.
•
Copie el mapa en transparencias y pida a los alumnos que coloreen el área más cercana a cada puesto
de helados.
•
Recoja los bocetos de los alumnos para superponerlos y exhibirlos.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
55
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
•
Compare y discuta las áreas de los bocetos donde haya habido acuerdos y desacuerdos.
•
Luego, pida a los alumnos que reflexionen y debatan: ¿cómo podríamos crear una solución más
precisa?
Parte 2: Presentar el diagrama de Voronoi
•
Muestre a los alumnos el diagrama de Voronoi que figura a continuación: ¿en qué medida concuerda
con sus predicciones?
•
Este diagrama se puede utilizar para presentar vocabulario básico como sitios, celdas, aristas o
vértices.
Actividad de aprendizaje 2: Elaboración de
diagramas de Voronoi sencillos
Comprensión clave: Los alumnos comprenderán cómo pueden escogerse sistemáticamente las
mediatrices para elaborar un diagrama de Voronoi pequeño.
Tiempo asignado: 30-40 minutos.
Conocimiento previo: Los alumnos tendrán que estar familiarizados con el concepto de mediatriz y saber
utilizar la herramienta de GeoGebra o la regla y el compás para trazarla.
Materiales: Applet de GeoGebra, acceso a Internet o papel, compás y regla.
Diferenciación: Se puede modificar toda la actividad para que presente un desafío mayor o menor
pidiendo que se investiguen cuatro puntos o solo dos. A los alumnos también puede resultarles útil
demostrar que existe la misma distancia desde las aristas a los sitios modelizando con personas y cordel o
cinta métrica.
56
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Preguntas de investigación
1.
Abra la aplicación Voronoi de GeoGebra. Observe: ¿qué posición ocupan las aristas en relación con los
sitios? Sea lo más específico posible.
2.
Cambie de lugar los sitios A, B y C. ¿Se siguen manteniendo las relaciones que ha observado?
Asegúrese de poner a prueba casos extremos.
3.
Conecte dos sitios con un segmento de recta. ¿Cómo se relaciona con este segmento la arista que hay
entre estos dos sitios? Ponga a prueba su conjetura con otros pares de sitios.
4.
Describa un método matemático para elaborar su propio diagrama de Voronoi de tres sitios.
5.
Compare su método con el de otro alumno. ¿Son similares sus métodos? ¿Qué revisiones quiere hacer
en el suyo (si es que desea hacer alguna)?
6.
En una plantilla de GeoGebra en blanco (o en una hoja de papel), sitúe tres sitios y elabore un
diagrama de Voronoi empleando mediatrices.
7.
Ponga a prueba su diagrama de Voronoi escogiendo varios puntos en distintas celdas y midiendo para
verificar que son los que están más cerca del sitio en cada celda.
8.
¿Qué punto o puntos estarán a la misma distancia de todos los sitios? Justifique su respuesta.
9.
Opcional: Compruebe su diagrama elaborándolo con el comando “Voronoi” de GeoGebra.
Actividad de aprendizaje 3: Utilización del poder
de los algoritmos
Comprensión clave: Los alumnos comprenderán la lógica de un algoritmo incremental para elaborar
diagramas de Voronoi más grandes y lo utilizarán para evaluar cómo la adición de un sitio nuevo a un
diagrama ya existente afecta a las distancias y las áreas.
Tiempo asignado: Una hora.
Materiales: Copias de mapas para que los alumnos hagan un dibujo aproximado; acceso a GeoGebra.
Diferenciación: Ampliaciones: teorema de Pick para calcular el área de los polígonos; uso de la geometría
del taxista o métrica de Manhattan para calcular distancias, en lugar de la métrica euclidiana.
Investigación: Apicultura y diagramas más grandes
Los apicultores pueden compartir en Internet la ubicación de sus apiarios (grupos de colmenas). Esto puede
resultar útil para evitar aglomeraciones, ya que cada colmena necesita un territorio suficiente para
sobrevivir. A continuación figura un mapa de una parte de Melbourne (Australia) con las colmenas
marcadas en color naranja. Puede buscar el mapa de apiarios de su zona en Internet.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
57
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Paso 1: ¿Qué apiarios cree que tienen el territorio más pequeño? ¿Cuáles tienen el más grande? ¿Cómo
puede ayudarnos un diagrama de Voronoi a responder esa pregunta de una manera más precisa?
Paso 2: Piense en el método que ha desarrollado para elaborar un diagrama de Voronoi de tres sitios. ¿Qué
modificaciones o dificultades prevé si lo amplía a 10 sitios?
Puesto que hay muchos sitios en el diagrama, podría ser útil elaborar el diagrama añadiendo los sitios de
uno en uno. A este proceso lo llamamos algoritmo incremental. Para comprender cómo funciona, suponga
que ya ha dibujado el diagrama para nueve de los 10 sitios (apiarios) en naranja.
Paso 3: Basándose en su conocimiento de la relación que existe entre las aristas y los sitios de Voronoi,
dibuje aproximadamente la nueva celda de Voronoi para el décimo sitio, resaltado en color morado, en su
copia impresa de este mapa.
Paso 4: Ahora pruebe a dibujar aproximadamente la celda si el décimo sitio es el que está resaltado en
morado en el mapa siguiente.
58
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Paso 5: A continuación, examine el algoritmo incremental Paso a paso para elaborar de forma precisa la
celda de Voronoi correspondiente al décimo sitio que acaba de dibujar. Conforme avance en la animación,
dibuje en una copia nueva del mapa. Puede resultarle útil marcar con rotulador las aristas del diagrama
actualizado.
Paso 6: Pruebe a ejecutar el algoritmo incremental en la otra celda que ha dibujado antes. Puede
comprobar su respuesta con este diagrama.
Paso 7: Elija una ubicación para un undécimo apiario que piense que podría darle la mayor área posible
para su celda. Utilice el algoritmo incremental para añadir el undécimo apiario al mapa de 10 sitios que creó
en el quinto paso.
Paso 8: Preguntas de reflexión
•
¿Por qué funciona este método? ¿Hay casos en los que no funcionaría? De ser así, ¿puede ajustarse
para que funcione?
•
¿Por qué las mediatrices se cortan entre sí en una arista del diagrama de Voronoi existente?
Ampliación: Las abejas prosperan cuando su colmena está a un radio de distancia de 1,5 km como mínimo
de las colmenas vecinas. ¿Qué apiarios del diagrama cumplen este requisito?
Aplicación: Zonas de reparto de correos
Va a abrirse un nuevo centro de reparto de correos en Varsovia (Polonia), y el Gobierno está considerando
dos ubicaciones posibles (rotuladas A y B) en el diagrama.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
59
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Paso 1: ¿Qué información pertinente podría proporcionar un diagrama de Voronoi sobre las posibles
ubicaciones de la oficina de correos?
Paso 2: El Gobierno quiere escoger la ubicación que preste servicio al área más grande. A continuación
figura el diagrama de Voronoi correspondiente a las oficinas ya existentes. Utilice el algoritmo incremental
para elaborar celdas de Voronoi para los dos sitios nuevos.
Paso 3: Basándose en sus diagramas, estime qué ubicación brindará un área de servicio mayor. Puede
comprobar sus diagramas y ver las áreas exactas de las dos celdas de Voronoi con la solución aquí.
60
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Actividad de aprendizaje 4: Predicción a partir de
diagramas de Voronoi
Comprensión clave: Los alumnos comprenderán que los valores de los datos en los sitios de los diagramas
de Voronoi pueden utilizarse para interpolar valores de los datos de ubicaciones cercanas.
Tiempo asignado: 15-25 minutos.
Diferenciación: Los alumnos también pueden aplicar la interpolación de vecinos naturales para calcular de
manera más precisa el nivel de contaminación. Esto se ilustra al final.
Investigación: Predicción de los niveles de contaminación
El elemento plomo se encuentra en el suelo y puede ser tóxico para los seres humanos, en especial, para los
niños. La Agencia de Protección Ambiental de EE. UU. (EPA, por sus siglas en inglés) afirma que la
concentración máxima segura de plomo en el suelo es de 1.200 partes por millón (ppm). Sin embargo, para
los parques infantiles, el nivel máximo seguro es de 400 ppm.
La EPA comprueba la concentración de plomo en varios sitios de la ciudad de Chicago. En la tabla se indican
las concentraciones de plomo en ppm para cada uno de los sitios, correspondientes a las ubicaciones
señaladas en el mapa.
Sitio
A
B
Concentración de plomo
(ppm)
1.140
970
C
D
E
F
G
H
I
1.365 525
350
680
310
120
70
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
61
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Paso 1: ¿Por qué un diagrama de Voronoi podría proporcionar información útil en este contexto?
Paso 2: Utilice GeoGebra para elaborar un diagrama de Voronoi de los sitios.
Paso 3: La ciudad ha propuesto construir un parque infantil en el punto P. Estime la concentración de
plomo en este punto, respaldando su respuesta con una o varias razones.
Paso 4: Una forma sencilla de estimar la concentración de plomo en el punto P es suponiendo que es la
misma que en el punto G, porque el punto P pertenece a la celda G. Esto se llama interpolación del vecino
más próximo. ¿Qué ventajas conlleva este método de interpolación? ¿Qué desventajas o fuentes de
imprecisión conlleva este método?
Paso 5: En una copia impresa de su diagrama, sombree las ubicaciones que no sean seguras para construir
un parque infantil, según la interpolación del vecino más próximo.
62
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Soluciones
El punto P está en la misma celda que el sitio G, así que su nivel es 310 ppm < 400 ppm. Por tanto, es
seguro.
Requiere únicamente dibujar el diagrama de Voronoi, pero no es demasiado precisa porque presupone que
el valor se mantiene igual en toda la celda.
Sombree todas las celdas con una concentración > 400 ppm.
Ampliación: Interpolación de vecinos naturales
Paso 1: En el diagrama (a mano o en GeoGebra), dibuje y calcule las áreas que se necesitarían para calcular
la interpolación de vecinos naturales para el punto P.
Paso 2: Halle la interpolación de vecinos naturales de la concentración de plomo en el punto P. Basándose
en esto, ¿es seguro construir un parque infantil en esta ubicación?
Paso 3: ¿Qué método de interpolación ofrece la estimación más precisa de la concentración de plomo del
parque infantil: la del vecino más próximo o la de vecinos naturales? ¿Por qué?
Solución
Solución 1: Dibuje la celda de Voronoi para el sitio P (empleando el método incremental) encima del
diagrama de Voronoi original. Mida el área de cada celda existente a la que la nueva celda de Voronoi del
sitio P le “robaría” área
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
63
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Solución 2: El valor interpolado es un promedio de los valores en los sitios pertinentes ponderado por el
área “robada” de esos sitios:
Sitio
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Concentración de plomo
(ppm)
1.140
970
1.365
525
350
680
310
120
70
f (p)
=
f (C) × 0, 5 + f (D) × 0, 2 + f (F) × 0, 3 + f (G) × 1, 1
(0, 5 + 0, 2 + 0, 3 + 1, 1)
=
(1 . 365 × 0, 5 + 525 × 0, 2 + 680 × 0, 3 + 310 × 1, 1)
(0, 5 + 0, 2 + 0, 3 + 1, 1)
=
635
Solución 3: Puesto que la concentración en el suelo es continua, el vecino natural es una estimación más
precisa. Por tanto, el suelo no es seguro para construir un parque infantil.
Actividad de aprendizaje 5: Servicio de helicóptero
en el plano de coordenadas
Comprensión clave: Los alumnos pueden aplicar conceptos de la geometría de coordenadas para
identificar aristas, vértices y áreas de los diagramas de Voronoi, e interpretarlos en contexto.
Tiempo asignado: 20-30 minutos.
Materiales: Copia impresa del diagrama de Voronoi con cuadrícula.
Aplicación: Servicio de helicóptero
La organización Rega presta servicios de helicóptero de emergencia a toda Suiza, menos al cantón de
Valais. Tiene 14 bases repartidas por todo el país, como se muestra en el mapa (https://www.rega.ch/en/
our-missions/locations-and-infrastructure).
64
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Usted forma parte de un equipo de asesores que está evaluando la eficiencia de los servicios de helicóptero.
Paso 1: Su colega sugiere que un diagrama de Voronoi con las bases de helicóptero como sitios brindaría
información útil sobre el área de prestación de servicio de cada helicóptero. Explique si está de acuerdo.
Este es un diagrama de Voronoi creado en un plano de coordenadas con una escala de 1 unidad = 10 km.
Paso 2: En el diagrama, identifique el punto o los puntos a los que se puede prestar servicio igual de rápido
desde las bases 3, 4 o 14. Explique su razonamiento.
Paso 3: Dado que el punto más alejado de cualquier base se encuentra en la celda de Voronoi
correspondiente a la base 4, halle este punto y su distancia de una base. Utilice el plano de coordenadas al
calcular distancias para aumentar la precisión de su respuesta.
Paso 4: Cuando se recibe una llamada de emergencia, una base puede poner en vuelo un helicóptero en
cuatro minutos. Los helicópteros vuelan a una velocidad de 400 km/h como promedio. El objetivo de Rega
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
65
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
“es poder llegar a cualquier lugar de Suiza —menos al cantón de Valais— en un tiempo de vuelo de
15 minutos”. ¿Puede Rega lograr su meta de responder a un accidente en cualquier lugar del país en un
máximo de 15 minutos? Justifique su respuesta.
Soluciones
Solución 2: El círculo azul es el único punto equidistante de las tres bases, ya que es el punto de
intersección de las tres mediatrices de los segmentos B3B4, B3B10, B10B4.
Solución 3: Utilice la fórmula de la distancia para calcular la distancia hasta cada vértice (puede excluir
aquellas que obviamente no sean las más lejanas). El más lejano es el sitio que se encuentra directamente al
norte del sitio 4, a un distancia de 5,76 unidades = 57,6 km.
Solución 4: Todas las ubicaciones están a una distancia máxima de 58 km de una base, ya que este punto
es el más lejano de todo el diagrama.
A 400 km/h, 58 km se recorren en 0,145 h = 8,7 min
Tiempo total = 8,7 min < 15 min
Sí, puede.
Actividad de aprendizaje 6: Interpolación de las
precipitaciones en el plano de coordenadas
Comprensión clave: Los alumnos pueden aplicar conceptos de la geometría de coordenadas para
identificar aristas, vértices y áreas de los diagramas de Voronoi, e interpretarlos en contexto.
Tiempo asignado: 1,5-3 horas.
Materiales: Copias del diagrama con cuadrícula para dibujar en ellas.
Diferenciación: La utilización de GeoGebra para hallar coordenadas o áreas disminuirá la dificultad
algebraica de la tarea.
Aplicación: Precipitaciones en el condado de Boulder
Nota: Durante esta actividad, redondee sus respuestas de un modo apropiado para que sus soluciones
finales tengan una precisión de un lugar decimal.
66
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Los meteorólogos del condado de Boulder (Colorado) en EE. UU. hacen un seguimiento de las
precipitaciones (lluvias y nevadas) en cm registradas en tres sitios, que están marcados en el siguiente
mapa:
Paso 1a: ¿Qué estación predecirá mejor las precipitaciones de Lyons? ¿Nederland? ¿Jamestown? Explique
su razonamiento.
Paso 1b: ¿Qué información le daría un diagrama de Voronoi sobre esta situación? Se ha dibujado un
diagrama de Voronoi de los tres sitios de registro de precipitaciones en la cuadrícula que figura a
continuación, con una escala de 1 unidad = 1,6 km para ambos ejes.
Paso 2a: Utilice este diagrama para confirmar sus respuestas a 1(a).
Paso 2b: Halle la ecuación de cada arista empleando su conocimiento de las mediatrices.
Paso 2c: Halle las coordenadas exactas del punto que es equidistante de los tres sitios. Muestre todo el
proceso que haya seguido.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
67
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Paso 3: Los meteorólogos reciben financiación adicional para instalar un cuarto sitio de registro de
precipitaciones. ¿Dónde deberían instalar este sitio si quieren obtener los datos más precisos posibles para
todo el país? Explique su razonamiento.
Paso 4: El diagrama siguiente muestra las coordenadas donde se instaló el cuarto sitio, al norte de
Nederland. Además, se ha estimado el condado de Boulder como un rectángulo con coordenadas dadas. En
su copia impresa, utilice el algoritmo incremental para elaborar un nuevo diagrama de Voronoi que incluya
los cuatro sitios. Escriba las ecuaciones de las aristas que se añadan.
Los meteorólogos desean estimar la precipitación media en todo el país, puesto que una precipitación
anual inferior a 46 cm aumenta notablemente las probabilidades de que haya incendios forestales.
Paso 5a: Utilice su diagrama de cuatro sitios para calcular el área de cada celda. Asegúrese de mostrar
claramente todo el proceso que haya seguido para determinar las coordenadas y longitudes pertinentes.
68
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Paso 5b: Teniendo en cuenta los datos que figuran a continuación, calcule la precipitación media de todo
el condado de Boulder desde junio de 2016 hasta junio de 2017. La pluviosidad de cada sitio debe
ponderarse por el área que represente.
Sitio
Boulder
Longmont
Allenspark
Nederland
Precipitaciones,
junio de 2016-junio
de 2017 (cm)
52,63
36,22
50,40
36,58
Paso 5c: ¿Deberían recomendar los meteorólogos que se aumente el nivel de peligro de incendios
forestales? Explique.
Soluciones seleccionadas
GeoGebra: Pluviosidad en el condado de Boulder—los alumnos pueden comprobar los puntos de
intersección y las áreas de los polígonos.
Solución 2b: Ecuaciones de las aristas en el diagrama de tres sitios:
y − 14, 5
=
12
(x − 18)
13
y − 14, 5
=
−
x
=
11
(x − 29, 5)
13
23, 5
Solución 2c: Punto de intersección (resuelva el sistema de ecuaciones o utilice medios tecnológicos): 23,5;
19,6.
Solución 4: Diagrama con la adición del cuarto sitio:
Nuevas aristas: x
=
18, y
=
14, 5
Solución 5a: Áreas:
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
69
Diagramas de Voronoi: actividades de aprendizaje
Sitio
Boulder
Longmont
Allenspark
Nederland
Precipitaciones
junio de 2016-junio
de 2017 (cm)
52,63
36,22
50,40
36,58
Área (km2)
660
429
461
416
Media ponderada
=
70
=
52, 63 × 660 + 36, 22 × 429 + 50, 40 × 461 + 36, 58 × 416
660 + 429 + 461 + 416
45, 13 cm/km2
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
El equipo de herramientas
Ecuaciones diferenciales, retratos de fase y el método
de Euler (solo NS)
Los contenidos del curso de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NS incluyen la exploración de
soluciones exactas y aproximadas para sistemas acoplados de ecuaciones diferenciales, haciendo hincapié
en comportamientos a largo plazo. Esta exploración combina partes del curso que pueden parecer dispares
y, al hacerlo, pone de manifiesto algunas de las muchas interconexiones que existen entre diferentes áreas
de las matemáticas.
Concretamente, conecta los temas siguientes: los sistemas lineales, los valores propios y los vectores
propios, los números complejos y los métodos exactos y aproximados para resolver ecuaciones
diferenciales.
Esta sección brinda apoyo para la enseñanza y el aprendizaje de estas áreas interconectadas.
Comprensiones conceptuales específicas del
contenido que figuran en la guía
•
Hay muchos fenómenos físicos que se pueden modelizar utilizando ecuaciones diferenciales; por otro
lado, se pueden utilizar métodos analíticos y numéricos para calcular cantidades óptimas.
•
Los retratos de fase nos permiten visualizar el comportamiento de un sistema dinámico.
Ecuaciones diferenciales, retratos de fase y el método de Euler
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
71
Evaluación
Preparación para la exploración de evaluación interna
Cómo utilizar esta sección del material de ayuda al
profesor
Este material de ayuda al profesor está dirigido tanto a profesores nuevos como con experiencia y les
proporciona apoyo para abordar e implementar la evaluación interna con sus alumnos. Debe leerse junto
con la Guía de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación del Programa del Diploma (publicadas en febrero
de 2019 para primeros exámenes en 2021), que contiene los requisitos curriculares y de evaluación para el
Nivel Medio (NM) y el Nivel Superior (NS).
En esta sección se ofrecen sugerencias y orientación para la implementación del componente de
evaluación interna, la exploración. No se han reproducido aquí el reglamento general ni los procedimientos
relacionados con la evaluación interna, pero pueden encontrarse en la sección correspondiente de los
Procedimientos de evaluación.
Esta publicación contiene material aportado por profesores para ayudar a otros docentes y tiene como
finalidad ofrecer ideas y prestar apoyo de diversas maneras.
Otra sección del material de ayuda al profesor muestra la aplicación de los criterios en la evaluación de las
exploraciones. Las exploraciones que presenta han sido evaluadas por profesores experimentados
utilizando los criterios de evaluación. Para ver las exploraciones, los profesores deben ir a la sección
“Evaluación” y hacer clic en Trabajos evaluados de los alumnos de Matemáticas.
El componente de la evaluación interna en estos cursos es una exploración matemática. Consiste en un
breve informe escrito por el alumno, basado en un tema elegido por este, y que debe centrarse en las
matemáticas de esa área determinada. Se hace hincapié en la comunicación matemática (incluidos
diagramas, fórmulas, gráficos, etc.) acompañada de comentarios, una buena redacción matemática y
reflexiones serias. El alumno debe desarrollar su propio enfoque, y el profesor debe proporcionar
comentarios sobre el trabajo a través de, por ejemplo, discusiones y entrevistas. De este modo, los alumnos
pueden desarrollar un área de su interés sin las limitaciones de tiempo de los exámenes, y experimentar
una sensación de éxito.
Se pretende que la exploración, además de medir los objetivos de evaluación de los cursos, proporcione a
los alumnos oportunidades para aumentar su comprensión de los conceptos y procesos matemáticos, y
para desarrollar una noción más amplia de las matemáticas. Esto se recoge en los objetivos generales de los
cursos, en concreto los objetivos que van del 6 al 11. Se espera que, realizando la exploración, los alumnos
saquen provecho de las actividades matemáticas implicadas, y que estas les resulten motivadoras y
gratificantes. Ello les permitirá desarrollar los atributos del perfil de la comunidad de aprendizaje del IB.
Responsabilidades del profesor
El profesor tiene nueve responsabilidades principales.
Durante el proceso:
•
Aconsejar a los alumnos en la elección de un tema apropiado para la exploración
•
Proporcionar a los alumnos oportunidades de adquirir las habilidades relacionadas con el trabajo de la
exploración
•
Asegurarse de que los alumnos comprendan los criterios de evaluación y la manera en la que se
aplicarán
72
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Preparación para la exploración de evaluación interna
•
Animar y apoyar a los alumnos durante todo el proceso de investigación y redacción de las
exploraciones
•
Proporcionar a los alumnos comentarios sobre su trabajo en varias etapas de la exploración
•
Proporcionar ayuda a los alumnos para que puedan superar problemas concretos
Al final del proceso:
•
Verificar la precisión de todos los cálculos e indicar en la exploración dónde se han cometido errores
•
Evaluar el trabajo de forma precisa, incluyendo anotaciones adecuadamente para indicar dónde se ha
asignado cada nivel de logro
•
Asegurarse de que los alumnos comprendan perfectamente los puntos fuertes y débiles de la
exploración
Es importante incluir en la muestra la información de contexto y los comentarios pertinentes acerca de cada
criterio. Se recomienda incorporarlos en el propio trabajo.
Habilidades y estrategias necesarias
La exploración constituye una parte importante del curso. Resulta útil entenderla como un trabajo en
desarrollo, que requiere habilidades y estrategias concretas. En general, no es realista esperar que todos los
alumnos tengan estas habilidades específicas o sean capaces de seguir determinadas estrategias antes de
comenzar el curso.
Muchas de las habilidades y estrategias que se indican a continuación pueden integrarse en la
programación del curso aplicándolas a diversas situaciones dentro y fuera de la clase. De este modo, los
alumnos pueden practicar ciertas habilidades y aprender a seguir las estrategias apropiadas en un entorno
más estructurado, antes de pasar a trabajar independientemente en sus exploraciones.
Elección de un tema
Es fundamental que los alumnos elijan un tema que les ofrezca una línea de indagación productiva, que
precise usar matemáticas pertinentes y que despierte interés y entusiasmo en ellos. El concepto de la
exploración debe presentarse en una etapa temprana del curso. Los alumnos deben identificar ideas para el
tema de la exploración a medida que progresa el curso, en conversaciones con el profesor.
Para la mayoría de los alumnos, la parte más difícil del proceso es encontrar un tema adecuado. Por ello, tan
pronto como los alumnos estén preparados para empezar a trabajar en sus exploraciones, el profesor debe
asignar tiempo de clase durante un período de dos o tres semanas para orientar a cada alumno en este
proceso.
Al comienzo del proceso, los profesores deben discutir con los alumnos cuál es la forma general de la tarea
de evaluación, pues ello puede, en parte, ayudar a orientar el flujo de ideas y, en última instancia, el
enfoque de la exploración. Las discusiones con toda la clase en las que se comparten ideas pueden ser
útiles para centrar la atención en un tema. Las ideas siguientes también pueden ser útiles para aquellos
alumnos a los que les cueste elegir un tema.
•
Identificar un tema apropiado, teniendo en cuenta las áreas de interés del alumno
•
Considerar si el enfoque será analítico o si será una aplicación de las matemáticas
•
Consultar la lista de los temas que se han presentado en años anteriores
•
Consultar las exploraciones que se presentan en este material de ayuda al profesor y considerar la
estructura y las características que les han dado buenos resultados
Una vez que se ha elegido el tema:
•
Desarrollar un enfoque que esté bien definido y sea adecuado
•
Crear un plan detallado que estructure el proceso de trabajo y la redacción de la exploración
•
Asegurarse de que el tema se preste a una exploración concisa
•
Si se usan datos, asegurarse de poder generar datos suficientes para que las técnicas matemáticas
utilizadas sean válidas
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
73
Preparación para la exploración de evaluación interna
En los apéndices de este material de ayuda al profesor se ha incluido una lista de temas presentados en
años anteriores.
Presentación
•
Expresar las ideas con claridad
•
Identificar el objetivo general de la exploración
•
Concentrarse en el objetivo general y evitar lo que no sea pertinente
•
Estructurar las ideas de manera lógica
•
Incluir gráficos, tablas y diagramas donde corresponda en el trabajo
•
Organizar la exploración de manera que sea fácil de seguir
•
Citar referencias cuando corresponda
Comunicación matemática
•
Usar apropiadamente el lenguaje y la representación matemáticos
•
Definir los términos clave y las variables, cuando sea necesario
•
Seleccionar herramientas matemáticas adecuadas (incluidas las tecnologías de la información y las
comunicaciones)
•
Exponer las demostraciones de manera lógica
•
Expresar los resultados con un grado de precisión apropiado
Compromiso personal
•
Plantear preguntas, formular conjeturas e investigar ideas matemáticas
•
Leer textos sobre las matemáticas e investigar áreas de interés
•
Buscar y crear modelos matemáticos para situaciones reales
•
Considerar perspectivas históricas y globales
•
Explorar conceptos matemáticos desconocidos
Reflexión
•
Discutir las implicaciones de los resultados
•
Considerar la importancia de la exploración
•
Contemplar posibles limitaciones o ampliaciones
•
Establecer vínculos con diferentes campos o áreas de las matemáticas
•
Considerar lo que podría hacerse a continuación
Uso de las matemáticas
•
Demostrar conocimiento y comprensión
•
Aplicar las matemáticas en distintos contextos
•
Aplicar técnicas de resolución de problemas
•
Reconocer y explicar patrones, cuando corresponda
•
Generalizar y justificar conclusiones
Uso de medios tecnológicos
El objetivo de evaluación 4 de todos los cursos de Matemáticas del PD es “utilizar los medios tecnológicos
de forma precisa, adecuada y eficaz para explorar nuevas ideas y resolver problemas”.
Si bien la exploración puede ofrecer oportunidades para alcanzar este objetivo, este no es un requisito de la
tarea. No existen limitaciones con respecto al uso de medios tecnológicos en la exploración. Es razonable,
74
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Preparación para la exploración de evaluación interna
aunque no imprescindible, esperar que los alumnos, al elaborar sus exploraciones, utilicen en alguna
medida medios tecnológicos.
Algunos ejemplos pueden ser:
•
Cualquier tipo de calculadora, ya sea portátil o disponible en Internet
•
Dispositivos de registro de datos, simulaciones y programas informáticos de modelización
•
Procesadores de texto, hojas de cálculo, paquetes gráficos
•
Programas de geometría dinámica
•
Paquetes estadísticos o paquetes de cálculo simbólico
Desarrollo de la exploración
Si bien es probable que la exploración se redacte durante el segundo año del curso, los alumnos deben
familiarizarse con el concepto de esta desde temprano. La planificación y los plazos específicos de la
exploración variarán de un colegio a otro.
A continuación se ofrecen sugerencias que pueden adoptarse en las distintas etapas de la exploración.
Antes de que los alumnos comiencen la exploración
•
Proporcionar los criterios y estímulos en las primeras etapas del curso y familiarizar a los alumnos con
los objetivos generales que van del 6 al 11
•
Comunicar los plazos para la realización de la exploración
•
Animar a los alumnos a llevar un registro de sus ideas durante el curso (diario de trabajo, cuaderno,
blog, etc.)
•
Animar a los alumnos a buscar ideas en distintos sitios (por ejemplo, mediante la lectura de materiales
matemáticos) y darles acceso a dichos materiales (por ejemplo, televisión, Internet u otros cursos)
•
Señalar oportunidades para explorar conceptos matemáticos en el trabajo cotidiano del programa de
estudios
•
Dar oportunidades a los alumnos para practicar la redacción matemática
•
Familiarizar a los alumnos con los medios tecnológicos disponibles
Al principio de la exploración
•
Consultar ejemplos del material de ayuda al profesor o trabajos de otros alumnos
•
Realizar actividades de intercambio de ideas o mapas conceptuales para encontrar un tema adecuado
•
Fomentar el intercambio y el cuestionamiento de ideas
•
Asegurarse de que los alumnos tengan un enfoque claro por escrito antes de comenzar a redactar la
exploración
Mientras los alumnos realizan la exploración
•
Fomentar la autoevaluación y la evaluación entre compañeros
•
Proporcionar oportunidades para la discusión y el planteamiento de preguntas entre compañeros y
con el profesor
•
Hacer comentarios adecuados sobre el borrador
Después de que los alumnos hayan entregado la exploración
•
Asegurarse de que se lleve a cabo la estandarización interna tanto entre los profesores del mismo nivel
como entre los profesores del NM y el NS
•
Discutir con los alumnos los puntos fuertes y débiles de su exploración
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
75
Evaluación
Planificación
1.
Asegurarse de que los alumnos tengan tiempo para explorar las matemáticas
2.
Dar un plazo razonable para la entrega del borrador de la exploración
3.
Dar un plazo razonable para proporcionar comentarios a los alumnos
4.
Dar un plazo razonable para la entrega final del trabajo
Elaboración de un plan de trabajo
Es necesario establecer plazos estrictos, preferiblemente acordados entre el alumno y el profesor, para
diferentes etapas de la exploración. En particular, deben fijarse plazos para las siguientes entregas:
•
El título de la exploración y una breve descripción de la tarea que resuma el propósito de la
exploración, así como las estrategias y las técnicas que se van a usar y, cuando corresponda, la manera
en que se obtendrán o generarán los datos, y el modo en que se ha utilizado el material de estímulo
para generar ideas
•
El borrador de la exploración
•
La exploración terminada
Planificación a largo plazo
El objetivo de la planificación a largo plazo es situar la exploración dentro de la perspectiva de todo el
curso. Deberá tenerse en cuenta:
•
La secuencia de las unidades de enseñanza a lo largo del curso
•
Los temas que son más fácilmente aplicables a la exploración
•
Los momentos apropiados en los que se pueden introducir las habilidades y estrategias relacionadas
con la exploración
•
Las posibilidades que tienen los alumnos para registrar y desarrollar ideas pertinentes a la exploración,
por ejemplo, diarios de trabajo o blogs
•
Los recursos disponibles
•
El papel que desempeñará la exploración en la evaluación ajena al IB del colegio, si corresponde
•
La inclusión de los plazos de la exploración en el calendario escolar
Planificación a corto plazo
El objetivo de la planificación a corto plazo es ofrecer un marco para la exploración, de modo que los
alumnos obtengan el máximo beneficio de esta experiencia.
Se espera que los profesores proporcionen ayuda y orientación a los alumnos mientras realizan la
exploración. Deben destinarse 10 horas de clase a la organización del trabajo. Parte de este tiempo puede
emplearse en actividades individuales o de grupo en las que los alumnos aprendan algunas de las
habilidades relacionadas con el trabajo de la exploración. Se espera que los alumnos dediquen más tiempo
a la realización de la exploración fuera del horario de clase. Los profesores deben discutir brevemente la
exploración en las primeras etapas del curso, de manera que los alumnos conozcan los requisitos y sean
conscientes de que la exploración es una parte esencial del curso.
76
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Planificación
Estímulos
En ocasiones a los alumnos les resulta difícil saber por dónde empezar cuando se trata de tareas abiertas
como esta. Si bien se espera que los alumnos aprecien la amplia variedad de oportunidades para la
exploración matemática, a veces puede ser útil proporcionar un estímulo para ayudarlos a empezar sus
exploraciones.
Algunos de los posibles estímulos que se pueden dar a los alumnos son
•
Deportes
•
Arquitectura
•
Arqueología
•
Códigos
•
Computadoras
•
Internet
•
Algoritmos
•
Comunicación
•
Teléfonos móviles
•
Teselado
•
Música
•
Población
•
Seno
•
Agricultura
•
Armonía musical
•
Virus
•
Movimiento
•
Salud
•
e
•
Danza
•
Electricidad
•
Juego
•
Agua
•
Pi (π)
•
Espacio
•
Geografía
•
Órbitas
•
Biología
•
Alimentación
•
Negocios
•
Volcanes
•
Economía
•
Dieta
•
Física
•
Euler
•
Química
•
Juegos
•
•
Simetría
Tecnología de la Información en una Sociedad
Global
•
Psicología
Ejemplo de mapa conceptual para el estímulo “agua”
Durante las discusiones introductorias sobre la exploración, las sesiones de discusión en grupo pueden ser
útiles para generar nuevas ideas. En concreto, el uso de mapas conceptuales ha demostrado ser útil para
ayudar a los alumnos a generar pensamientos en torno a las ideas. El mapa conceptual siguiente ilustra
cómo se pueden generar algunos posibles enfoques para la exploración matemática a partir del estímulo
“agua”.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
77
Planificación
Figura 13
Mantenimiento de registros
Se recomienda a los profesores que lleven un registro detallado sobre la exploración. Puede resultar útil
emplear formularios como los que se incluyen a continuación (formulario A y formulario B) para registrar
toda la información pertinente en las etapas de planificación y de comentarios sobre el borrador; los
profesores pueden adaptar estos formularios como deseen. Se debe tener en cuenta que estos son
documentos internos destinados a los profesores y no constituyen formularios oficiales del IB.
No es obligatorio usar estos formularios y, además, se pueden adaptar a circunstancias concretas. Han sido
propuestos por una serie de profesores con experiencia que los han encontrado de gran utilidad. El
formulario A (planificación inicial) corresponde al final de la etapa de planificación inicial y el formulario B
(comentarios del profesor sobre el borrador del alumno) contiene los comentarios del profesor una vez que los
alumnos han entregado el borrador de la exploración.
Formulario A (Exploración: planificación inicial)
Formulario B (Exploración: comentarios del profesor sobre el borrador del alumno)
78
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Evaluación
Autoría original
El alumno y el profesor deben firmar el formulario correspondiente de los Procedimientos de evaluación del
Programa del Diploma con el fin de confirmar la autoría original del trabajo.
Los profesores deben supervisar el progreso de cada alumno durante todo el proceso, y estar en posición
de discutir con los alumnos las fuentes de nuevos materiales que se incluyan en las exploraciones o a los
cuales se haga referencia en las mismas. Con frecuencia, los alumnos no son conscientes de cuándo les está
permitido utilizar material escrito por un tercero o cuándo deben buscar ayuda en otras fuentes. Por lo
tanto, la discusión abierta en las primeras etapas es una buena forma de evitar estos posibles problemas.
Sin embargo, si los profesores no están seguros de si el alumno es el autor de la exploración, deben
emplear una serie de métodos para comprobarlo. Estos pueden incluir:
•
Hablar con el alumno
•
Pedir al alumno que explique los métodos utilizados y que haga un resumen de los resultados y las
conclusiones
•
Pedir al alumno que reproduzca parte del análisis utilizando distintos datos
•
Invitar al alumno a realizar una presentación de su exploración ante la clase
Referencias y bibliografía
Se debe advertir a los alumnos de que, si usan directa o indirectamente en su exploración las palabras de
otras personas (en formato escrito, oral o electrónico) o cualquier material visual derivado de otra fuente,
deben indicar correctamente su procedencia. El incumplimiento de este requisito se considerará plagio y,
como tal, podrá ser tratado como un caso de conducta improcedente. Los alumnos deben estar
familiarizados con la política de probidad académica del IB, disponible en el Centro de recursos para los
programas.
La bibliografía, o la lista de referencias, debe incluir únicamente aquellas fuentes (por ejemplo, libros o
publicaciones periódicas) que el alumno haya consultado durante su trabajo en la exploración. Se debe
utilizar sistemáticamente un método aceptado para la presentación de las citas y las referencias de las
fuentes. Los principales métodos se dividen en dos grupos: los que indican el autor y la fecha entre
paréntesis dentro del texto, y los que emplean notas al pie numeradas. Puede utilizarse cualquiera de ellos,
pero siempre de manera clara y sistemática.
Todas las fuentes consultadas, independientemente de si se han citado ya o no dentro del texto, deben
incluirse en la bibliografía. Las referencias bibliográficas deben especificar el autor o los autores de la
fuente, el título, la fecha y el lugar de publicación y el nombre de la editorial. Deben emplear
sistemáticamente un método de presentación establecido (por ejemplo, el método Harvard o el método
Vancouver). Algunos posibles ejemplos son:
APPADURAI, A. “Disjuncture and difference in the global cultural economy”. En Theory, Culture and Society.
1990, vol. 7. Pp. 295-310.
MILLER, D. Tales from Facebook. Cambridge (Reino Unido): Polity Press, 2011.
PETERSON, A. D. C. Schools Across Frontiers: The Story of the International Baccalaureate and the United World
Colleges. 2.ª edición. Chicago (EE. UU.): Open Court Publishing Company, 2003.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
79
Evaluación
Criterios de evaluación
Cada exploración debe evaluarse según los cinco criterios siguientes.
Criterio A
Presentación
Criterio B
Comunicación
matemática
Criterio C
Compromiso
personal
Criterio D
Reflexión
Criterio E
Uso de las
matemáticas
A continuación se ofrecen las descripciones de los niveles de logro de cada uno de los cinco criterios de
evaluación. Es importante tener en cuenta que cada nivel de logro representa el requisito mínimo para que
se otorgue dicho nivel. La nota final de cada exploración se obtiene por medio de la suma de los puntos
obtenidos en cada criterio. Se debe tener en cuenta que los descriptores del criterio E son diferentes en
el NM y el NS.
La nota final máxima es 20.
Aplicación de los criterios de evaluación
El método de evaluación utilizado se basa en criterios establecidos; es decir, se evalúa la exploración de los
alumnos en relación con criterios de evaluación determinados y no en relación con el trabajo de otros
alumnos.
Cada exploración presentada se evalúa sobre la base de los cinco criterios (A a E). Para cada criterio de
evaluación se describen diferentes niveles de logro, que se centran en aspectos positivos. La descripción de
cada nivel de logro representa el requisito mínimo para alcanzar dicho nivel.
El objetivo es encontrar, para cada criterio, el descriptor de nivel que exprese de la forma más adecuada el
nivel de logro alcanzado por el alumno.
Los profesores deben leer la descripción de cada nivel de logro, empezando por el nivel 0, hasta llegar al
descriptor que describa un nivel de logro que el alumno no haya alcanzado. El nivel que alcance el alumno
será, por tanto, el inmediatamente anterior, y es el que se deberá asignar.
Por ejemplo, al considerar niveles de logro consecutivos en un determinado criterio, si la descripción
correspondiente al nivel 3 no es apropiada, entonces se deberá asignar el nivel 2.
Para cada criterio deben utilizarse solamente números enteros y no fracciones o decimales.
Los niveles de logro más altos no implican un trabajo perfecto y los profesores no deben dudar en conceder
los niveles extremos, incluido el 0, si describen apropiadamente el trabajo que se está evaluando.
Un alumno que alcance un nivel de logro alto en un criterio no necesariamente alcanzará niveles altos en
los demás criterios. Igualmente, un alumno que alcance un nivel de logro bajo en un criterio no
necesariamente alcanzará niveles bajos en los demás criterios. Los profesores no deben suponer que la
evaluación general de los alumnos deba dar como resultado una distribución determinada de
puntuaciones.
80
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Criterios de evaluación
Se espera que los alumnos tengan acceso a los criterios de evaluación en todo momento. Los descriptores
de los niveles de logro de cada criterio de evaluación se presentan en las tablas de la sección que figura a
continuación.
Se debe hacer saber a los alumnos que no recibirán una calificación final para el curso de
Matemáticas si no presentan una exploración.
Niveles de logro
Criterio A: Presentación
Nivel
Descriptor de nivel
0
La exploración no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores
que figuran a continuación.
1
La exploración tiene cierta coherencia o cierta organización.
2
La exploración tiene cierta coherencia y muestra cierta organización.
3
La exploración es coherente y está bien organizada.
4
La exploración es coherente, está bien organizada y es concisa.
El criterio sobre presentación evalúa la organización y la coherencia de la exploración.
Una exploración coherente está desarrollada de modo lógico, es fácil de seguir y cumple su objetivo. La
coherencia hace referencia a la estructura o el marco general de la exploración, que incluye la introducción,
el cuerpo principal y la conclusión, y a lo bien enlazadas que están las distintas partes.
Una exploración bien organizada consta de una introducción, una descripción del objetivo general de la
exploración y una conclusión. Se deben incluir los gráficos, las tablas y los diagramas pertinentes donde
corresponda en el trabajo y no adjuntarlos como anexos al final del documento. Los anexos deben utilizarse
para incluir información sobre grandes conjuntos de datos, así como gráficos, tablas y diagramas
adicionales.
Una exploración concisa no contiene descripciones, gráficos o cálculos repetitivos que sean irrelevantes o
innecesarios.
El uso de medios tecnológicos no es obligatorio, pero sí recomendable en aquellos casos en los que resulte
apropiado. No obstante, el empleo de enfoques analíticos (en lugar de enfoques tecnológicos) no implica
necesariamente una falta de concisión y no debe penalizarse. Esto no significa que se tengan que aceptar
los cálculos repetitivos.
Criterio B: Comunicación matemática
Nivel
Descriptor de nivel
0
La exploración no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores
que figuran a continuación.
1
La exploración contiene cierta comunicación matemática pertinente y, en parte,
adecuada.
2
La exploración contiene cierta comunicación matemática pertinente y adecuada.
3
La comunicación matemática es pertinente, adecuada y, en su mayor parte,
coherente.
4
La comunicación matemática es pertinente, adecuada y coherente en su totalidad.
El criterio sobre comunicación matemática evalúa en qué medida el alumno:
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
81
Criterios de evaluación
•
Ha utilizado el lenguaje matemático apropiado (por ejemplo, notación, símbolos y terminología). El
uso de notación de calculadora o de computadora solo es aceptable si la ha generado un programa
informático. Se espera que los alumnos utilicen la notación matemática adecuada en su trabajo.
•
Ha definido los términos clave y las variables, cuando sea necesario.
•
Ha utilizado múltiples formas de representación matemática, tales como fórmulas, diagramas,
tablas, gráficos y modelos, donde resulte apropiado.
•
Ha empleado un método deductivo y ha expuesto sus demostraciones de manera lógica, donde
resulte apropiado.
En el nivel 1, por ejemplo, las exploraciones pueden incluir gráficos que no se hayan rotulado o el uso
sistemático de notación de computadora, pero ninguna otra forma de comunicación matemática correcta.
Se puede alcanzar el nivel 4 aunque se haya utilizado únicamente una forma de representación
matemática, siempre y cuando esta resulte adecuada para el tema que se está explorando. En el nivel 4, no
se deben penalizar los errores menores que no impidan una comunicación clara.
Criterio C: Compromiso personal
Nivel
Descriptor de nivel
0
La exploración no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores
que figuran a continuación.
1
Hay indicios de cierto compromiso personal.
2
Hay indicios de un importante compromiso personal.
3
Hay indicios de un excelente compromiso personal.
El criterio sobre compromiso personal evalúa la medida en que el alumno se compromete con el tema,
explorando las matemáticas y haciéndolo propio. No mide el esfuerzo del alumno.
El compromiso personal se puede reconocer de distintas maneras, como puede ser el pensamiento
independiente o creativo, la presentación de ideas matemáticas a su manera, la exploración del tema desde
diferentes perspectivas, o la realización y comprobación de predicciones. El material de ayuda al profesor
brinda más ejemplos de compromiso personal (aunque no son los únicos) que se corresponden con los
distintos niveles de logro.
El trabajo del alumno tiene que demostrar que ha habido compromiso personal. No basta con que el
profesor comente que el alumno ha mostrado un gran compromiso.
Es poco probable que alcancen niveles altos aquellas exploraciones que parezcan de libro de texto o que
reproduzcan matemáticas que se pueden encontrar fácilmente, sin que el alumno aporte su propia
perspectiva.
Importante: El alumno demuestra un verdadero compromiso personal en algunas partes de la exploración,
y es evidente que estas impulsan la exploración y ayudan al lector a entender mejor las intenciones del
alumno.
Excelente: El alumno demuestra un verdadero compromiso personal en numerosas partes de la
exploración. Estas están bien desarrolladas y es evidente que impulsan la exploración de manera creativa.
Da la impresión de que el alumno, con su propio enfoque, ha desarrollado una comprensión completa del
contexto del tema de la exploración y el lector entiende mejor sus intenciones.
Criterio D: Reflexión
Nivel
82
Descriptor de nivel
0
La exploración no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores
que figuran a continuación.
1
Hay indicios de una reflexión limitada.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Criterios de evaluación
Nivel
Descriptor de nivel
2
Hay indicios de una reflexión significativa.
3
Hay indicios contundentes de una reflexión crítica.
El criterio sobre reflexión evalúa en qué medida el alumno revisa, analiza y evalúa la exploración. Aunque la
reflexión se puede ver en las conclusiones de la exploración, también se puede encontrar a lo largo del
trabajo.
Describir simplemente los resultados constituye una reflexión limitada. Para alcanzar niveles de logro más
altos es necesario un análisis más profundo.
Entre las posibles formas de demostrar que ha habido una reflexión significativa están: hacer referencia a
los objetivos de la exploración, comentar qué es lo que se ha aprendido, considerar alguna limitación o
comparar distintos enfoques matemáticos.
Una reflexión crítica es una reflexión crucial, decisiva o sumamente perspicaz que, a menudo, desarrollará
la exploración al considerar los resultados matemáticos y su efecto en la comprensión que el alumno tiene
del tema. Entre las posibles formas de demostrar que ha habido una reflexión crítica están: plantearse lo
que podría hacerse a continuación, discutir qué implicaciones tienen los resultados, discutir los puntos
fuertes y débiles de cada enfoque, y considerar diferentes perspectivas.
Indicios contundentes quiere decir que la reflexión crítica está presente a lo largo de toda la exploración.
Si solo se aprecia al final de la exploración, deberá ser de muy buena calidad y demostrar cómo ha
desarrollado la exploración para que el alumno pueda lograr un nivel 3.
Criterio E: Uso de las matemáticas
Los niveles de logro y descriptores del criterio E son diferentes en el NM y el NS.
Solo en el NM
Nivel
Descriptor de nivel
0
La exploración no alcanza ninguno de los niveles especificados por los
descriptores que figuran a continuación.
1
Se utilizan unas matemáticas algo pertinentes.
2
Se utilizan unas matemáticas algo pertinentes. Se demuestra una comprensión
limitada.
3
Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Se
demuestra una comprensión limitada.
4
Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Los
aspectos matemáticos explorados son parcialmente correctos. Se demuestran
cierto conocimiento y cierta comprensión.
5
Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Los
aspectos matemáticos explorados son, en su mayor parte, correctos. Se
demuestran un conocimiento y una comprensión buenos.
6
Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Los
aspectos matemáticos explorados son correctos. Se demuestran un conocimiento
y una comprensión sólidos.
El criterio sobre el uso de las matemáticas del NM evalúa en qué medida los alumnos utilizan matemáticas
pertinentes en la exploración.
Se consideran pertinentes las matemáticas que permiten desarrollar la exploración de manera que esta
pueda lograr su objetivo. El uso de matemáticas excesivamente complicadas, cuando habrían bastado otras
más sencillas, no es pertinente.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
83
Criterios de evaluación
Se espera de los alumnos que elaboren un trabajo que sea acorde con el nivel del curso, lo cual significa
que no debe estar basado únicamente en los temas de matemáticas incluidos en los conocimientos previos.
Los aspectos matemáticos explorados deben ser parte del programa de estudios, o bien de un nivel similar.
Una palabra clave en los descriptores es “demostrar”. Este término de instrucción se define como “aclarar
mediante razonamientos o datos, ilustrando con ejemplos o aplicaciones prácticas”. Obtener la respuesta
correcta no es suficiente para demostrar comprensión (ni siquiera cierta comprensión) y poder lograr un
nivel 2 o superior en este criterio.
Para que el conocimiento y la comprensión puedan considerarse sólidos, deben demostrarse a lo largo de
todo el trabajo.
Las matemáticas se pueden considerar que son correctas incluso si existen errores esporádicos y de poca
importancia, siempre y cuando no desvirtúen el razonamiento matemático ni lleven a resultados poco
razonables.
Se anima a los alumnos a que utilicen medios tecnológicos para obtener resultados cuando resulte
apropiado, pero deben demostrar comprensión para poder obtener un nivel superior a 1; por ejemplo, la
mera sustitución de valores en una fórmula no necesariamente demuestra una comprensión de los
resultados.
Basta con utilizar las matemáticas necesarias para desarrollar la exploración: pueden ser simplemente unos
pocos elementos breves de matemáticas o incluso un único tema (o subtema) del programa de estudios. Es
mejor hacer pocas cosas, pero hacerlas bien, que hacer muchas cosas no tan bien. Si las matemáticas
utilizadas resultan pertinentes para el tema que se está explorando, son acordes con el nivel del curso y el
alumno las ha comprendido bien, se puede otorgar un nivel de logro alto en este criterio.
Solo en el NS
Nivel
Descriptor de nivel
0
La exploración no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores
que figuran a continuación.
1
Se utilizan unas matemáticas algo pertinentes. Se demuestra una comprensión
limitada.
2
Se utilizan unas matemáticas algo pertinentes. Los aspectos matemáticos
explorados son parcialmente correctos. Se demuestran cierto conocimiento y
cierta comprensión.
3
Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Los
aspectos matemáticos explorados son correctos. Se demuestran cierto
conocimiento y cierta comprensión.
4
Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Los
aspectos matemáticos explorados son correctos. Se demuestran un conocimiento
y una comprensión buenos.
5
Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Los
aspectos matemáticos explorados son correctos y demuestran complejidad o rigor.
Se demuestran un conocimiento y una comprensión sólidos.
6
Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Los
aspectos matemáticos explorados demuestran precisión, complejidad y rigor. Se
demuestran un conocimiento y una comprensión sólidos.
El criterio sobre el uso de las matemáticas del NS evalúa en qué medida los alumnos utilizan matemáticas
pertinentes en la exploración.
Se espera de los alumnos que elaboren un trabajo que sea acorde con el nivel del curso, lo cual significa
que no debe estar basado únicamente en los temas de matemáticas incluidos en los conocimientos previos.
Los aspectos matemáticos explorados deben ser parte del programa de estudios, o bien de un nivel similar
84
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Criterios de evaluación
o un poco superior. Sin embargo, no es necesario que sean de un nivel superior al del programa de estudios
para obtener los niveles más altos en este criterio.
Una palabra clave en los descriptores es “demostrar”. Este término de instrucción se define como “aclarar
mediante razonamientos o datos, ilustrando con ejemplos o aplicaciones prácticas”. Obtener la respuesta
correcta no es suficiente para demostrar comprensión (ni siquiera cierta comprensión) y poder lograr un
nivel 2 o superior en este criterio.
Para que el conocimiento y la comprensión puedan considerarse sólidos, deben demostrarse a lo largo de
todo el trabajo. Los pasos seguidos en el desarrollo matemático de la exploración se deben justificar con
razonamientos.
Se consideran pertinentes las matemáticas que permiten desarrollar la exploración de manera que esta
pueda lograr su objetivo. El uso de matemáticas excesivamente complicadas, cuando habrían bastado otras
más sencillas, no es pertinente.
Las matemáticas se pueden considerar que son correctas incluso si existen errores esporádicos y de poca
importancia, siempre y cuando no desvirtúen el razonamiento matemático ni lleven a resultados poco
razonables. La precisión matemática implica la ausencia de errores y un nivel de aproximación adecuado
en todo momento.
Complejidad: Para que se consideren complejas, las matemáticas utilizadas deben ser acordes con el
programa de estudios del NS o, si forman parte del programa de estudios del NM, deben usarse con una
complejidad que supere lo que cabría esperar razonablemente de un alumno del NM. La complejidad en
matemáticas puede incluir la comprensión y el uso de conceptos matemáticos de mayor dificultad, afrontar
un problema desde perspectivas distintas y percibir estructuras subyacentes que vinculen áreas distintas de
las matemáticas.
El rigor implica claridad de lógica y lenguaje al hacer razonamientos y cálculos matemáticos. Las
afirmaciones matemáticas que sean pertinentes para el desarrollo de la exploración deben justificarse o
probarse.
Se anima a los alumnos a que utilicen medios tecnológicos para obtener resultados cuando resulte
apropiado, pero deben demostrar comprensión para poder llegar, como mínimo, al nivel 1; por ejemplo,
la mera sustitución de valores en una fórmula no necesariamente demuestra una comprensión de los
resultados.
Basta con utilizar las matemáticas necesarias para desarrollar la exploración: pueden ser simplemente unos
pocos elementos breves de matemáticas o incluso un único tema (o subtema) del programa de estudios. Es
mejor hacer pocas cosas, pero hacerlas bien, que hacer muchas cosas no tan bien. Si las matemáticas
utilizadas resultan pertinentes para el tema que se está explorando, son acordes con el nivel del curso y el
alumno las ha comprendido bien, se puede otorgar un nivel de logro alto en este criterio.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
85
Evaluación
Preguntas frecuentes acerca de la evaluación interna
¿Cuál es la diferencia entre una exploración de Matemáticas y una monografía en Matemáticas?
Los criterios son completamente diferentes. Se espera que la exploración sea un trabajo mucho menos
extenso que la monografía en Matemáticas. Se pretende que los alumnos “exploren” una idea en lugar de
tener que hacer la investigación formal que se exige en una monografía.
¿Cuál debe ser su extensión?
Es difícil ser prescriptivo en cuanto a la redacción matemática, Pero las guías de Matemáticas: Análisis y
Enfoques y Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación indican que la extensión adecuada es entre 12 y
20 páginas. Eso no quita que la exploración pueda tener menos de 12 páginas. Uno de los errores más
comunes en la redacción matemática es la repetición excesiva; esto debe evitarse ya que se penalizará a
este tipo de exploraciones por falta de concisión. No obstante, se entiende que algunas exploraciones
requerirán el uso de varios diagramas, lo que puede llevar a los alumnos a excederse del límite de páginas
recomendado.
¿Hay temas que deban evitarse?
Se debe elegir un tema al que sea posible aplicar los criterios de evaluación. Los temas históricos
meramente descriptivos, por ejemplo, no son apropiados. En los apéndices de este material de ayuda al
profesor se ha incluido una lista de temas presentados en años anteriores.
¿Cuál es el momento más oportuno para presentar la exploración?
Es buena idea mencionarla lo antes posible, de modo que los alumnos estén al tanto de los requisitos, y
hacer referencia a la misma al principio del curso. Algunos temas pueden prestarse más fácilmente al
trabajo de la exploración y los profesores deben intentar hacer sugerencias al respecto cuando
corresponda. Lo ideal es que el trabajo de la exploración comience antes de que concluya el primer año.
¿Es necesario utilizar un determinado formato en la exploración?
No es necesario usar ningún formato en particular. Los alumnos pueden escribir el texto de la exploración y
dibujar los gráficos o las tablas a mano si así lo desean, o pueden utilizar un procesador de texto en toda la
exploración o en parte de esta. Se aceptan ambas formas, siempre y cuando la exploración sea clara y
legible. En los últimos años, los alumnos han utilizado una variedad de medios tecnológicos (por ejemplo,
hojas de cálculo) para presentar los datos, crear tablas y gráficos y realizar cálculos.
¿Necesita un título la exploración?
Asignar un título a todos los trabajos constituye una buena práctica. Si la exploración está basada en un
estímulo, se recomienda que el título no sea solamente el estímulo. Por el contrario, el título debe
proporcionar una indicación más exacta de la dirección que ha tomado el alumno a partir del estímulo. Por
ejemplo, en lugar de utilizar el título “Patrones numéricos”, el título podría ser “Patrones numéricos:
exploración de patrones en los últimos dígitos de los números primos”.
Al redactar la exploración, ¿a quién deben dirigirse los alumnos?
La exploración debe resultar accesible para los compañeros del alumno.
¿Pueden los alumnos utilizar matemáticas distintas a las que han estudiado en clase?
Sí, pero deben explicarlas claramente e incluir las referencias pertinentes. Los comentarios del profesor
deben aclarar este aspecto.
¿Pueden los alumnos utilizar procedimientos matemáticos no incluidos en el programa de estudios?
Esto no es necesario para obtener la puntuación máxima o una puntuación alta. Si los alumnos deciden
explorar procedimientos matemáticos no incluidos en el programa de estudios, se recomienda que sean de
un nivel acorde con el programa de estudios.
86
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Preguntas frecuentes acerca de la evaluación interna
¿La interpretación de los resultados debe presentarse en una sección aparte o debe hacerse con
comentarios a lo largo de la exploración?
La interpretación de los resultados en el momento en que se presentan mejora la comunicación. No
obstante, también debe resumirse en una conclusión. Lo mismo puede ser aplicable a los comentarios
sobre la validez de los resultados.
¿Los alumnos tienen que usar recursos externos?
No es obligatorio usar recursos externos, pero a menudo a los alumnos les resulta necesario recurrir a
material de otras fuentes (por ejemplo, para obtener datos o para usar las fórmulas). En estos casos, los
alumnos deben citar las fuentes utilizadas e incluirlas en una bibliografía. Asimismo, cuando utilicen datos
secundarios, deben indicar qué procesos han seguido para tomar las muestras.
¿Pueden los alumnos usar en sus exploraciones datos que ya hayan utilizado en otro trabajo de
evaluación interna del Programa del Diploma (por ejemplo, la monografía, experimentos o trabajo
de campo)?
Se debe desaconsejar esta práctica, pues es poco probable que los datos obtenidos con un fin determinado
se presten a otro tipo de tratamiento. Cabe la posibilidad de utilizar los datos obtenidos en la realización de
trabajos de otras asignaturas, pero únicamente si se analizan de una forma totalmente diferente. El alumno
tiene la responsabilidad de informar al profesor de que dichos datos se obtuvieron originalmente para otra
asignatura, y el profesor debe asegurarse de que no haya solapamiento en el modo en que se usan esos
datos.
¿Qué se entiende por “compromiso personal”?
La intención de la exploración es ofrecer a los alumnos la oportunidad de utilizar las matemáticas para
desarrollar un área que sea de su interés en lugar de limitarse a resolver un problema planteado por otra
persona. El criterio C (Compromiso personal) se utiliza para evaluar en qué medida el alumno demuestra
que “se compromete con la exploración y la hace propia” y expresa las ideas de forma independiente.
¿Cuál es la diferencia entre “preciso” y “correcto”?
Tal como se describe en el criterio E (Uso de las matemáticas), la “precisión” matemática requiere una
exactitud absoluta y un uso adecuado de la notación. Las matemáticas consideradas “correctas” pueden
contener errores ocasionales, siempre y cuando no interfieran con el razonamiento del trabajo o lleven a
respuestas o conclusiones claramente erróneas.
¿Cuál es la mejor manera de supervisar el trabajo de los alumnos?
Resulta útil contar con un calendario de plazos. También es importante que el profesor dedique tiempo a
revisar el trabajo de los alumnos cuando se cumplen estos plazos. Puede ser de ayuda elaborar una lista de
verificación de tareas y destinar un poco de tiempo para ofrecer comentarios con el fin de mantener
canales de comunicación abiertos entre los alumnos y el profesor.
Lo mejor es que los propios alumnos lleven un registro de los progresos realizados, empleando un diario de
trabajo semanal. Los profesores pueden simplemente leer los diarios y añadir algunos comentarios breves.
También puede ser útil que los alumnos intercambien sus diarios de trabajo para discutir o valorar
críticamente durante la clase el trabajo que han realizado.
¿Cuánto tiempo deben dedicar los alumnos a la exploración?
Se debe destinar un total de 10-15 horas de clase para trabajar en la exploración. Una parte de estas horas
se puede dedicar a cuestiones generales, como familiarizarse con las políticas y procedimientos, explicar los
criterios de evaluación, comprobar los progresos realizados y desarrollar los temas. Fuera de las horas de
clase, el tiempo que se dedique a la exploración debe ser acorde con lo que se espera normalmente para las
tareas a las que se dedican 10-15 horas de clase.
¿Cuál es la fecha recomendada para la finalización de la exploración?
Naturalmente, esto variará de un colegio a otro dependiendo de varios factores, sin mencionar otros plazos
impuestos dentro del Programa del Diploma (por ejemplo, trabajos de clase, monografías, informes de
laboratorio, etcétera). Los profesores han de destinar también suficiente tiempo para el proceso de
evaluación. La fecha límite fijada por el IB para la entrega de muestras de trabajo para su moderación es en
abril para la convocatoria de mayo, y en octubre para la convocatoria de noviembre. Por tanto, es bastante
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
87
Preguntas frecuentes acerca de la evaluación interna
razonable que los profesores exijan la presentación de la versión final de las exploraciones entre seis y ocho
semanas antes de esa fecha. Si se fija una fecha temprana para la finalización de la exploración, será posible
hacer concesiones en caso de que algún alumno sufra un desastre de último minuto.
¿Cuál es la mejor manera de motivar a los alumnos que trabajan poco o nada en su exploración?
El argumento más evidente que se puede ofrecer a cualquier alumno que no se muestre dispuesto a
trabajar y progresar en su exploración es resaltar el posible impacto que ello tendrá en la evaluación, ya que
representa un 20 % de la nota final. Si un alumno se niega a hacer ningún tipo de trabajo, tal vez una
reunión con el alumno mismo, sus padres o tutores legales, el profesor y el coordinador del Programa del
Diploma sea lo aconsejable. En esa reunión sería apropiado revisar las consecuencias de no presentar una
exploración. Se debe hacer saber a los alumnos que no recibirán una calificación final para el curso de
Matemáticas si no presentan una exploración.
También puede ser útil desarrollar una política del colegio o del departamento respecto a las evaluaciones
internas, de modo que las directrices, las fechas de entrega, las expectativas, las consecuencias, etc. queden
claras tanto para los alumnos como para los padres desde el principio del curso.
Algunos profesores se sienten confusos sobre cómo aplicar los descriptores al evaluar las
exploraciones. ¿Existe algún tipo de orientación al respecto?
Además de consultar este material de ayuda al profesor, los profesores pueden asistir a un taller de
capacitación de Matemáticas antes de evaluar las exploraciones de sus alumnos. Los coordinadores del
Programa del Diploma disponen de información sobre los talleres, y también se puede encontrar
información en el sitio web público del IB (http://www.ibo.org). Otra idea podría ser pedir consejo a un
profesor con experiencia. Recurrir a una segunda opinión de un profesor con experiencia puede resultar
sumamente útil.
¿Pueden todos los alumnos de una clase presentar exploraciones sobre exactamente el mismo tema?
No. De hecho, no puede haber dos exploraciones que sean exactamente iguales desde el punto de vista
matemático; si bien pueden tratar sobre el mismo área o tema de las matemáticas, como, por ejemplo, los
vectores. Se espera que la exploración sea el trabajo independiente de cada alumno. Se pueden celebrar
discusiones con toda la clase para generar ideas, seleccionar los temas de la exploración, compartir fuentes
de investigación, adquirir los conocimientos, la comprensión y las habilidades necesarias y solicitar
comentarios de los compañeros sobre la redacción del trabajo, pero la exploración final debe ser el trabajo
independiente del alumno.
¿Pueden los alumnos de un mismo colegio o una misma clase utilizar el mismo título para la
exploración?
Sí, pero las exploraciones deben ser diferentes y basarse en las vías seguidas por cada alumno. Como se ha
indicado anteriormente, el título debe dar una idea del contenido de la exploración.
¿Pueden los alumnos del NM y el NS utilizar el mismo estímulo?
Sí. No existen razones para limitar un estímulo a un nivel determinado, aunque la evaluación con el
criterio E será distinta.
¿Es necesario que los profesores utilicen estímulos?
No, pero a menudo la elección del tema es la parte más difícil del proceso para los alumnos, por lo que
puede ser útil proporcionar estímulos para ayudarlos a comenzar su exploración. Los profesores pueden
elegir libremente sus propios estímulos.
¿Cuántas exploraciones debe realizar un alumno durante el curso?
La exploración es un trabajo de una extensión considerable y, por lo tanto, se recomienda que los alumnos
no realicen más de una durante el curso. Sin embargo, de acuerdo con la sección “Enfoques de la
enseñanza y el aprendizaje” de las dos guías, deben darse a los alumnos numerosas oportunidades de
utilizar técnicas de modelización e investigación para desarrollar los tipos de habilidades necesarias para
obtener buenos resultados en la exploración. El tiempo asignado al equipo de herramientas permite
desarrollar estas habilidades.
¿Debe la secuenciación de los contenidos del curso verse influida por la exploración?
88
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Preguntas frecuentes acerca de la evaluación interna
Lo ideal es que este no sea el caso. Se espera que la exploración sea una oportunidad natural para
desarrollar ideas con las que los alumnos se han familiarizado como parte del curso. No obstante, si se
considera que los alumnos necesitarán habilidades determinadas para llevar a cabo la exploración de
manera satisfactoria, los profesores o colegios pueden tener esto en cuenta a la hora de planificar la
enseñanza.
¿Qué constituye un borrador y cuántos comentarios se pueden proporcionar al respecto?
El borrador es la única ocasión en la que el profesor puede ofrecer comentarios formales (escritos o de otro
tipo) al alumno antes de que este entregue la exploración final. Si lo desean, los profesores pueden usar o
adaptar el formulario B a tal efecto. Como se indica en la guía, “los profesores deben leer un borrador del
trabajo y asesorar a los alumnos al respecto. El profesor debe aconsejar al alumno de manera oral o escrita
sobre cómo mejorar su trabajo, pero no debe modificar el borrador”. El profesor podrá sugerir maneras de
mejorarlo, pero sin llegar a corregirlo o editarlo excesivamente. La próxima versión que se entregue al
profesor después del borrador será considerada la versión final. Se recomienda a los profesores que
proporcionen comentarios informales en todas las demás etapas del proceso de la exploración.
¿Cuánta ayuda pueden proporcionar los profesores a los alumnos en relación con el contenido
matemático de la exploración?
Si un alumno necesita ayuda con la revisión de un tema determinado porque tiene algunos problemas para
utilizarlo en su exploración, entonces se permite que el profesor proporcione esta ayuda (de hecho, se trata
de una buena práctica). Sin embargo, esto debe hacerse de tal manera que la ayuda no esté directamente
relacionada con la exploración.
Si el colegio tiene un gran número de alumnos (o varias clases) que hacen la exploración, ¿todos los
trabajos deben ser calificados por el mismo profesor?
La exploración la debe calificar el profesor que ha supervisado a la clase. Sin embargo, los profesores deben
tener en cuenta que la moderación se aplica al colegio y no personalmente a ellos. Por tanto, es de suma
importancia que los profesores colaboren y coincidan en los estándares de corrección. En los
Procedimientos de evaluación del Programa del Diploma se incluye información al respecto.
¿Debe contener anotaciones la exploración final del alumno?
Tal como se indica en el material de ayuda al profesor, una de las responsabilidades del profesor es evaluar
el trabajo de forma precisa, incluyendo anotaciones adecuadamente para indicar dónde se ha asignado
cada nivel de logro. Es fundamental que las anotaciones se incluyan en el trabajo del alumno para
demostrar por qué y dónde se ha asignado un determinado nivel. Esto implica evaluar las matemáticas, así
como identificar y anotar cualquier error. Si no se ofrecen comentarios explicativos, resulta más difícil para
el moderador confirmar la puntuación del profesor.
¿Dónde pueden los profesores obtener más orientación sobre la exploración?
Los profesores deben tener presente que todas las dudas sobre el trabajo de la exploración se pueden
plantear en las comunidades de matemáticas en el Centro de recursos para los programas, donde podrán
obtener asesoramiento de profesores experimentados y del consejero pedagógico en línea. En las
comunidades del Centro de recursos para los programas también se pueden encontrar muchos recursos
publicados por profesores con experiencia, y estos pueden ser un punto de partida muy útil para profesores
nuevos. Sin embargo, es importante comprender que todas las opiniones emitidas por los usuarios del
Centro de recursos para los programas se expresan estrictamente a título individual, y no en representación
del IB.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
89
Evaluación
Preparación para las pruebas 1 y 2
En esta sección se ofrece un recurso útil: un conjunto de pruebas de práctica con comentarios de los
examinadores (para su uso en el aula, para fines de evaluación con alumnos o para el desarrollo profesional
de profesores individuales o grupos) y consejos prácticos de los examinadores referidos a las pruebas 1 y 2.
Estas pruebas de práctica, con los comentarios de los examinadores y los consejos que siguen, han sido
creadas por profesores y examinadores supervisores con experiencia en Matemáticas del PD.
Las preguntas de las pruebas de práctica apuntan a indicar las formas en que se podría evaluar el nuevo
contenido; los comentarios de los examinadores destacan algunos errores comunes de los alumnos y los
esquemas de calificación con comentarios procuran mostrar claramente cómo y por qué se han asignado
las puntuaciones. Los profesores no deben considerar estas pruebas como exámenes de muestra
adicionales, sino más bien como una serie de preguntas sobre temas nuevos que se han organizado en
forma de cuestionario de examen.
Este recurso puede usarse de diversas maneras; sugerimos algunas:
•
Como base para el desarrollo profesional de profesores individuales o grupos
•
Como herramienta de aprendizaje y enseñanza para ayudar a los alumnos a comprender, por ejemplo,
qué implican determinados términos de instrucción en cuanto al modo en que deben expresar su
respuesta
•
Como herramienta de aprendizaje y enseñanza para ayudar a los alumnos a comprender cómo se
asignan las puntuaciones y qué buscarán los examinadores en su respuesta, en particular cuando se
use tecnología para hallar la solución
•
Como prueba completa para la práctica adicional en el aula o en casa, o para la evaluación sumativa o
formativa
•
Como preguntas individuales para la discusión en clase, a fin de ilustrar un punto para enseñar o
destacar un error común
Notas generales
Los profesores suelen tener preguntas sobre la exactitud, el uso de unidades y el modo en que los
alumnos deberían comunicar sus respuestas en los exámenes, en particular cuando se usa tecnología para
hallar la solución. Con las siguientes notas generales se intenta aclarar estas áreas, ejemplificadas en las
pruebas de práctica mediante los comentarios de los examinadores.
Precisión
Las instrucciones que figuran en la portada de los cuestionarios de examen indican: “Salvo que se indique lo
contrario en la pregunta, todas las respuestas numéricas deberán ser exactas o aproximadas con tres cifras
significativas”. Aunque las respuestas finales pueden expresarse aproximadas con tres cifras significativas,
se debe recomendar a los alumnos que escriban también la respuesta completa antes de redondear; de
este modo, si el redondeo es incorrecto, se podrán conceder puntos de todas maneras por la respuesta
completa y correcta.
Los alumnos no deben redondear las respuestas intermedias, pues estas aproximaciones pueden
combinarse y llevar a una respuesta final muy alejada de la correcta.
Existe la posibilidad de conceder puntos por arrastre de error, que consiste en otorgar el total de los puntos
en apartados posteriores de la pregunta si en ellos se usa la respuesta redondeada del alumno a un
apartado anterior; sin embargo, se debe recomendar a los alumnos que usen valores exactos (sin
redondear) en los distintos apartados.
90
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Preparación para las pruebas 1 y 2
Unidades
Se debe alentar a los alumnos a incluir las unidades en su respuesta según sea pertinente, aun cuando esto
no se pida explícitamente en el enunciado de la pregunta. Los alumnos deben interpretar el contexto y las
unidades de todos los datos dados cuando concluyan su respuesta. No siempre se penalizará la omisión de
unidades, pero pueden perderse algunos puntos; por eso, se aconseja a los alumnos que siempre incluyan
las unidades cuando sea pertinente.
Comunicación
Se debe recomendar a los alumnos que presenten sus respuestas con un formato coherente y estructurado,
para que el examinador pueda seguir el proceso hasta llegar a la solución y otorgar una puntuación
apropiada. Aunque se concederán algunos puntos de método implícitos por dar respuestas correctas, los
alumnos deben tratar de mostrar todo el desarrollo del ejercicio. Por ejemplo, esto podría incluir lo
siguiente:
•
Definir nuevas variables
•
Indicar valores o expresiones que ingresen en la calculadora
•
Citar valores intermedios que hallen mientras avanzan hacia la respuesta correcta
De esta manera, se podrán otorgar las puntuaciones apropiadas aunque la respuesta final sea incorrecta. Si
se dice solo “utilizando la calculadora de pantalla gráfica”, esto rara vez será suficiente para conceder una
puntuación M1. En cambio, si se aclara de una manera más específica la aplicación utilizada (p. ej.,
representación gráfica, herramienta para resolver, distribuciones estadísticas, etc.) y los valores empleados,
se estará comunicando claramente al examinador la estrategia del alumno.
Si los alumnos no quieren que se puntúe una parte específica de su respuesta, deben tacharla para que el
examinador la pase por alto. Sin embargo, se aconseja a los alumnos hacer esto solo si se proponen
reemplazar la respuesta. Los examinadores a menudo ven respuestas incorrectas o incompletas que han
sido tachadas sin ser reemplazadas, a las que se les podría haber concedido la puntuación M1 original si el
alumno no las hubiera tachado.
Cuando un alumno dé dos respuestas a una misma pregunta, el examinador solo puntuará una. El alumno
tiene que indicar qué respuesta es la que desea que se puntúe (tachándola o mediante alguna otra
indicación); si no lo hace, el examinador corregirá la primera respuesta dada.
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, prueba 1 del NM
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, prueba 1 del NM con comentarios
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, esquema de calificación de la prueba 1 del NM
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, esquema de calificación de la prueba 1 del NM con
comentarios
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, prueba 2 del NM
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, prueba 2 del NM con comentarios
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, esquema de calificación de la prueba 2 del NM
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, esquema de calificación de la prueba 2 del NM con
comentarios
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, prueba 1 del NS
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, prueba 1 del NS con comentarios
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, esquema de calificación de la prueba 1 del NS
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, esquema de calificación de la prueba 1 del NS con comentarios
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, prueba 2 del NS
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, prueba 2 del NS con comentarios
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, esquema de calificación de la prueba 2 del NS
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación, esquema de calificación de la prueba 2 del NS con comentarios
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
91
Evaluación
Preparación para la prueba 3 del NS
Esta sección ofrece información útil sobre el tipo y el estilo de las preguntas que aparecen en la prueba 3
del NS —aportada por profesores que participan en el desarrollo de dicha prueba—, e incluye también
consejos de alumnos que han participado en su puesta a prueba. Esta sección debe leerse junto con la
descripción detallada de la prueba 3 del NS que figura en la guía de la asignatura.
Comentarios generales sobre el estilo de las
preguntas
La prueba constará de dos preguntas y cada pregunta normalmente valdrá entre 23 y 32 puntos.
La mejor manera de entender las preguntas es como problemas largos y cerrados.
Los primeros apartados de la pregunta serán accesibles para todos los alumnos. La dificultad irá
aumentando progresivamente a medida que se avanza en la pregunta.
La extensión de las preguntas hará que sean más exploratorias que las de las pruebas 1 y 2.
Generalmente, las preguntas incluirán aspectos matemáticos desconocidos o bien aspectos matemáticos
conocidos en un contexto desconocido. Por tanto, es posible que incluyan temas que no forman parte del
programa de estudios. En estos casos, las preguntas brindarán apoyo suficiente como para que todos los
apartados resulten accesibles.
Objetivos de evaluación
En la guía de la asignatura, la sección “Los objetivos de evaluación en la práctica” indica que, en
comparación con las otras pruebas, los enfoques basados en la indagación tienen más peso que los
conocimientos y la comprensión. Esto significa que las preguntas pueden concentrarse en una pequeña
parte del programa de estudios para así desarrollar las ideas en mayor medida de lo que sería posible en
una pregunta más corta. También se hace hincapié en el objetivo de evaluación 4 (Tecnología: utilizar los
medios tecnológicos de forma precisa, adecuada y eficaz para explorar nuevas ideas y resolver problemas),
pues en ambas asignaturas es necesario usar medios tecnológicos en esta prueba.
Enfoques de cada curso
Los objetivos de evaluación de resolución de problemas y enfoques basados en la indagación indican que
los alumnos deben ser capaces de demostrar lo siguiente:
•
Resolución de problemas: recordar, seleccionar y utilizar su conocimiento de las habilidades, los
resultados y los modelos matemáticos, tanto en contextos abstractos como reales, para resolver
problemas
•
Enfoques basados en la indagación: investigar situaciones desconocidas, tanto abstractas como reales,
que conllevan la organización y el análisis de información, la formulación de conjeturas, la extracción
de conclusiones y la comprobación de su validez
La diferencia entre los contextos abstractos y reales a probablemente resulte obvia si se compara la
prueba 3 del NS de cada asignatura, aunque siempre habrá cierto solapamiento entre las dos asignaturas.
Con frecuencia, las preguntas de Matemáticas: Análisis y Enfoques precisarán que los alumnos descubran
patrones generales, los verifiquen y demuestren o justifiquen informalmente el resultado.
Las preguntas de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación a menudo precisarán ir resolviendo los
distintos apartados para llegar a la solución de un problema en un contexto real usando las matemáticas
aprendidas en el curso.
92
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Preparación para la prueba 3 del NS
En cierto modo, las preguntas de Matemáticas: Análisis y Enfoques pueden verse como una ampliación del
criterio B (Investigación de patrones) del PAI, mientras que las de Matemáticas: Aplicaciones e
Interpretación pueden verse como una ampliación del criterio D (Aplicación de las matemáticas en
contextos de la vida real).
Consejos para los alumnos antes de realizar la
prueba
Es fácil que los alumnos no se sientan cómodos con las preguntas largas, especialmente si los primeros
apartados les resultan difíciles. Por este motivo, las preguntas estarán estructuradas de manera que, si no
responden alguno de los apartados, normalmente ello no les impedirá acceder a los apartados posteriores.
Si el alumno encuentra alguna dificultad en alguna parte de una pregunta, debe buscar otras partes de la
pregunta que le permitan continuar. Con frecuencia, los primeros apartados serán del tipo “Muestre que”.
Este tipo de enunciados permiten a los alumnos utilizar el resultado de un apartado en otros apartados
posteriores. Los alumnos deben utilizar ese resultado y no uno diferente que hayan encontrado.
Las preguntas generalmente irán aumentando en dificultad, pero habrá algunas que, por su naturaleza,
tendrán que incluir antes un apartado más complicado y es posible que en el apartado final solo requieran
aplicar el resultado obtenido. Los cinco minutos de lectura deben emplearse en leer atentamente las
preguntas en su totalidad.
Las preguntas incluirán siempre un breve párrafo introductorio para explicar por qué exploran un
determinado problema. No es necesario responder las preguntas en el orden en que aparecen en la prueba,
y la lectura inicial del problema puede ayudar a los alumnos a decidir en qué orden responderlas.
Todas las habilidades que se necesitan para la prueba 3 del NS son también necesarias para las pruebas 1
y 2 y la evaluación interna. Sin embargo, algunas deben demostrarse más explícitamente en la prueba 3
del NS. Algunas de estas habilidades son enfoques de investigación generales, pero la tecnología
desempeña un papel importante en esta prueba y, por tanto, hay ciertas habilidades con las que los
alumnos deben estar familiarizados para poder obtener buenos resultados.
Habilidades
•
Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales empleando el método de Euler
•
Modificar los parámetros de una función y justificar la precisión de las soluciones considerando los
límites
•
Manipular matrices
•
Elegir las pruebas estadísticas adecuadas para un determinado conjunto de datos
•
Saber realizar las pruebas estadísticas con la calculadora de pantalla gráfica
•
Usar listas y funciones de lista para manipular conjuntos de datos (por ejemplo, restar pares de valores
para hallar diferencias)
•
Familiarizarse con los términos de instrucción que pueden requerir una respuesta redactada (por
ejemplo, “sugerir” y “comentar”)
Preguntas del examen de práctica de la prueba 3 de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NS
Preguntas del examen de práctica de la prueba 3 de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación NS (con
anotaciones)
Conjuntos de datos en Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
En esta prueba puede ser necesario analizar un gran conjunto de datos. En un futuro, se prevé que los
medios tecnológicos permitidos incorporen el conjunto de datos, pero, hasta entonces, los alumnos
tendrán que ingresar los datos ellos mismos. El número de puntos de datos se limitará a lo que cabe esperar
razonablemente que los alumnos puedan ingresar en la calculadora de pantalla gráfica en el tiempo
disponible, y este proceso se tendrá en cuenta al elaborar la prueba.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
93
Preparación para la prueba 3 del NS
Los profesores deben hacer saber a los alumnos que, en muchos casos, se dará un valor (por ejemplo, la
media de los datos) que pueden usar para verificar si han ingresado los datos correctamente en sus
calculadoras.
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Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Apéndices
Lista de temas presentados para la evaluación interna
en años anteriores
La lista siguiente incluye los títulos de algunas exploraciones de evaluación interna que obtuvieron una
variedad de puntuaciones. Algunos títulos son más descriptivos que otros y, en la mayoría de los casos, se
ha mantenido la formulación original. Estas categorías y títulos no constituyen una lista exhaustiva y se han
seleccionado únicamente como orientación.
Estética
El cálculo de la belleza: la razón aurea
Las preferencias de color
La luz natural en un aula: diseño arquitectónico
¿Muestra mi espejo una imagen precisa?
M. C. Escher: La simetría y el infinito en el arte
Modelización de la superficie de la cúpula de cristal de la Galleria Vittorio Emanuele II de Milán (Italia)
La búsqueda del sonido ideal
Las sombras y la altura
Negocios y finanzas
Estudio comparativo de acciones, bienes inmuebles, bonos y bancos
Análisis de cambios en el mercado de valores
Aplicaciones del análisis a la economía de las empresas
Modalidades de pago al comprar un coche o una casa
Cómo descifrar códigos
El desarrollo económico y los niveles de ingresos
Uso del cálculo diferencial y la optimización para hallar los valores mínimos de las dimensiones de
almacenes con formas distintas
Los precios de las llamadas telefónicas internacionales
Estadísticas sobre los vuelos de una compañía aérea internacional
Comida y bebida
Costos de los productos adquiridos en Internet en comparación con los supermercados locales
¿Cenar en casa o cenar fuera?
¿Cuántos guisantes hay en una bolsa de guisantes de 500 gramos?
Estudio sobre caramelos
El problema de las galletas: la gran importancia del sabor
El funcionamiento de una tienda de golosinas
El volumen de un huevo
¿Cuál es la mejor golosina del mundo?
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
95
Lista de temas presentados para la evaluación interna en años anteriores
Salud y condición física
Comparación del consumo de calorías por sexo
Comparación de la capacidad pulmonar, la edad, el peso y la grasa corporal
Concienciación sobre el SIDA en Maseru
La presión sanguínea
El desayuno y el desempeño escolar
El cáncer de mama y el cáncer cervical: comparación por grupo étnico
La mortalidad infantil
Investigación sobre el tiempo de reacción
El modelo SIR en relación con epidemias mundiales
Geometría y trigonometría
Las cúpulas geodésicas
La teoría de grafos: cálculo de la ruta más corta
El método de Newton-Raphson
Aplicaciones de la papiroflexia a las matemáticas
Las ondas sinusoidales en las frecuencias tonales
Los árboles generadores
Geometría esférica
Construcción con bloques
La talla ideal de un diamante
La noria
El problema del caballo en un tablero de ajedrez: camino abierto
Topografía y distancia
Naturaleza y recursos naturales
El plano aerodinámico y la fuerza de elevación
Análisis del costo y la utilidad del gas en comparación con la electricidad en un hogar promedio
La población animal
Cálculo de la hora del amanecer y el atardecer
La teoría del caos: predicción universal
Conteo de malas hierbas
¿Es posible predecir los terremotos?
Florence Nightingale y la modelización de la propagación de enfermedades
Representación gráfica del perfil farmacocinético
¿Cómo influye la densidad de población en la transmisión del ébola?
¿Influye la temperatura en el oleaje del mar?
Modelización de la cubierta de hielo del océano Ártico
Modelización de las precipitaciones
Modelización del enfriamiento de una taza de té
Las dimensiones óptimas de una lata de bebida de aluminio
Predicción del tiempo de enfriamiento
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Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Lista de temas presentados para la evaluación interna en años anteriores
Relación entre las precipitaciones y la producción vitícola
Investigación estadística sobre las hojas
La calidad del agua local
El modelo SIR en relación con epidemias mundiales
El volumen de un huevo
Los ciclos de las manchas solares
¿Qué relación hay entre la altura del agua de mi bañera y el tiempo que tarda en vaciarse?
Aritmética
Aproximación de pi
Análisis de situaciones cíclicas y patrones mediante los números felices
e, π y φ: ¿existe una relación?
El número áureo φ
¿Qué es e?
El teorema de Euler-Fermat
Población
Suponiendo que la probabilidad de que una persona encuentre un alma gemela a lo largo de su vida
es del 85 %, ¿cuántas posibles almas gemelas hay en el mundo?
Correlación entre la tasa de divorcios y la incertidumbre económica
¿Influye el sexo de una persona en su elección de animal favorito?
¿Representa el colegio electoral de EE. UU. verdaderamente la elección política de los
estadounidenses?
Efecto en los porcentajes de propina
Exploración de la falacia del jugador y por qué puede dar lugar a decisiones catastróficas
¿Depende la elección del género cinematográfico más de la nacionalidad o del sexo?
La discriminación por motivos de género
Alumnos zurdos
Memoria
La percepción del tiempo
Relación entre el índice de desarrollo humano de un país y su tasa de mortalidad infantil
Relación entre el producto interno bruto y la tasa de fertilidad en países de todo el mundo
Relación entre la desigualdad de ingresos y la incidencia de la corrupción en un país
Comparación de alumnos internacionales y alumnos bilingües: empleos, dinero de bolsillo y hábitos
de consumo
Relación entre el desempleo y la criminalidad en Suecia de 1988 a 1999
Relación entre la educación secundaria y la tasa de fertilidad de las mujeres en los países en desarrollo
Comparación estadística del número de palabras de una frase en diferentes lenguas
La paradoja del cumpleaños
¿Cuándo pueden utilizarse las palabras “swimmed” y “knowed” de manera correcta en inglés?
La participación electoral
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
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Lista de temas presentados para la evaluación interna en años anteriores
Deporte y ocio
Relación entre el peso corporal y la velocidad de bateo en béisbol
Proporciones del cuerpo para las pruebas de atletismo
Si un equipo domina durante un partido, ¿lo gana?
Córneres cortos eficaces en hockey
Exploración del conteo de cartas en blackjack usando la probabilidad
Factores que influyen en el rendimiento atlético
¿Ha mejorado el rendimiento deportivo más en tierra o en agua?
La altura, el peso y el rendimiento en natación
¿Cómo influye la amplitud del giro del esquí en la velocidad del esquiador?
¿Qué distancia recorren rodando las pelotas de tenis?
La geometría del billar
Modelización de acordes musicales
Modelización del salto de un caballo
La práctica hace al maestro
Relación entre la habilidad del esquiador y la distancia que recorre para ir a esquiar
Resistencia del hilo de pesca
El patinaje en línea y su base matemática
El problema de Monty Hall
El rompecabezas de la torre de Hanói
Los videojuegos y el tiempo de respuesta
¿Llegarán las nadadoras algún día a ser más rápidas que los nadadores?
Viajes y transporte
Relación costo-eficacia de los vehículos
Las habilidades de conducción
¿Cuántas bicicletas hay en Ámsterdam?
Los precios de la gasolina
Los costos del transporte público y el uso del automóvil: una comparación personal
Los hábitos de conducción cuando se llega tarde
El uso del cinturón de seguridad
Efecto de la legislación relativa al nivel de alcohol en sangre en el número de colisiones en Sacramento
Estudio sobre el tráfico del aeropuerto internacional de Schiphol
La seguridad del transporte en los centros urbanos
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Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Apéndices
Glosario de terminología: teoría de grafos
Introducción
Los profesores y los alumnos deben tener presente que en teoría de grafos existen muchas terminologías
diferentes y que cabe la posibilidad de que fuentes de referencia distintas empleen combinaciones distintas
de ellas. Algunos ejemplos concretos de estas terminologías son:
•
Vértice/nodo/punto
•
Arista/arco/línea
•
Grado de un vértice/orden de un vértice
•
Aristas múltiples/aristas paralelas
•
Lazo/bucle
En las preguntas de examen del IB, la terminología utilizada será la que aparece en la guía. Para mayor
claridad, se incluye a continuación la definición de estos términos.
Término
Definición
Árbol
Un grafo conexo que no contiene ningún ciclo.
Árbol generador de un
grafo
Un subgrafo que es un árbol y que además contiene todos los vértices del
grafo.
Árbol generador minimal
Un árbol generador de un grafo ponderado cuyo peso total es el mínimo
posible.
Aristas adyacentes
Dos aristas que tienen un vértice común.
Camino
Un recorrido que no tiene ningún vértice repetido.
Camino hamiltoniano
Un camino que contiene todos los vértices de un grafo.
Ciclo
Un recorrido que empieza y termina en el mismo vértice y que no tiene
ningún otro vértice repetido.
Ciclo hamiltoniano
Un ciclo que contiene todos los vértices de un grafo.
Circuito
Un recorrido que empieza y termina en el mismo vértice y que no tiene
aristas repetidas.
Circuito euleriano
Un circuito que contiene todas las aristas de un grafo.
Grado de un vértice
El número de aristas que están conectadas a ese vértice.
Grafo
Consta de un conjunto de vértices y un conjunto de aristas.
Grafo completo
Un grafo simple en el que cada par de vértices está conectado por una arista.
Grafo conexo
Un grafo en el que cada par de vértices está conectado por un camino.
Grafo fuertemente conexo
Un grafo orientado en el que se puede llegar a cualquier vértice partiendo de
cualquier otro vértice.
Grafo no orientado
Un grafo cuyas aristas son bidireccionales.
Grafo orientado
Un grafo cuyas aristas tienen una orientación concreta (que aparece indicada
en el grafo).
Grafo ponderado
Un grafo en el que a cada arista se le asigna un número denominado “peso”.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
99
Glosario de terminología: teoría de grafos
Término
Definición
Grafo simple
Un grafo no orientado que no tiene ningún lazo y donde, para cualquier par
de vértices, hay como máximo una arista que los conecte.
Lazo
Una arista que conecta un vértice consigo mismo.
Matriz de adyacencia
Una matriz cuadrada donde cada elemento indica si, en ese grafo, un par de
vértices dados son (o no) adyacentes.
El elemento (i, j) de Ak representa el número de recorridos que conectan i y j y
que pasan por exactamente k aristas.
Matriz de transición
Una matriz donde cada elemento (i, j) representa la probabilidad de que el
sistema pase del estado j al estado i en un solo paso del proceso.
Recorrido
Una sucesión de aristas enlazadas.
Semigrado interior y
semigrado exterior de un
vértice
Para un vértice de un grafo orientado, el “semigrado interior” indica el
número de aristas que llevan hasta el vértice, mientras que el “semigrado
exterior” indica el número de aristas que salen del vértice.
Sendero
Un recorrido en el que ninguna arista aparece más de una vez.
Sendero euleriano
Un sendero que contiene todas las aristas de un grafo.
Subgrafo
Un grafo que se encuentra dentro de otro grafo.
Tabla de adyacencia
ponderada
Una tabla donde cada entrada (i, j) representa el peso de la arista que conecta
el vértice i y el vértice j del grafo correspondiente.
Vértices adyacentes
Dos vértices que están conectados por una arista.
100
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Apéndices
Lecturas complementarias
Para docentes y estudiantes
A continuación figura una lista de lecturas sugeridas para docentes y estudiantes. Estas sugerencias pueden
servir a los alumnos/as de punto de partida para la evaluación interna, además de ser lecturas entretenidas
e interesantes. Las listas no son exhaustivas y las lecturas que contienen no son libros de texto
recomendados.
ABBOTT, E. Planilandia. Una novela de muchas dimensiones. Barcelona (España): Laertes Editorial, 2010.
ACHESON, D. 1089 and All That: A Journey into Mathematics. Oxford (Reino Unido): Oxford University
Press, 2010.
CRILLY, T. 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Barcelona (España): Editorial Ariel, 2014.
CHRISTIAN, B.; GRIFFITHS, T. Algoritmos para la vida cotidiana: la ciencia de la informática aplicada a las
decisiones humanas. Zaragoza (España): Teell Editorial, 2017.
DEVLIN, K. Mathematics: the new Golden Age. Londres (Reino Unido): Penguin, 1998.
DEVLIN, K. The Maths Gene: Why everyone has it, but most people don't use it. Londres (Reino Unido):
Phoenix, 2001.
EASTAWAY, R.; WYNDHAM, J. Why do Buses come in Threes? The Hidden Mathematics of Everyday Life. Londres
(Reino Unido): Portico, 2005.
GARDNER, M. Hexaflexagons, probability paradoxes, and the Tower of Hanoi: Martin Gardner’s first book of
mathematical puzzles and games. Washington D. C. (EE. UU.): Mathematical Association of America, 2008.
GRINSTEAD, C.; SNELL, J. Ginstead and Snell’s Introduction to Probability. Gainesville (EE. UU.): University Press
of Florida, 2009.
HEMMINGS, R.; TAHTA, D. Images of Infinity. St. Albans (Reino Unido): Tarquin Publications, 1992.
HUFF, D. Cómo mentir con estadísticas. Barcelona (España): Editorial Crítica, 2015.
KLINE, M. Matemáticas, la pérdida de la certidumbre. Madrid (España): Siglo XXI de España Editores, 1985.
KORNER, T. The Pleasures of Counting. Cambridge (Reino Unido): Cambridge University Press, 1996.
MUNROE, R. ¿Qué pasaría si...?: respuestas serias y científicas a todo tipo de preguntas absurdas. Barcelona
(España): Aguilar, 2017.
POLYA, G. Cómo plantear y resolver problemas. México, D. F. (México): Trillas, 2021.
STEWART, I. Cómo cortar un pastel y otros rompecabezas matemáticos. Barcelona (España): Editorial
Crítica, 2007.
STEWART, I. 17 ecuaciones que cambiaron el mundo. Barcelona (España): Editorial Crítica, 2013.
STEWART, I. ¿Juega Dios a los dados?: la nueva matemática del caos. Barcelona (España): Editorial
Crítica, 2001.
PROJECT ZERO. Visible Thinking [en línea]. <http://www.visiblethinkingpz.org/VisibleThinking_html_files/
VisibleThinking1.html>. [Consulta: 26-04-2018].
ZEITZ, P. The Art and Craft of Problem Solving. 2.ª edición. Hoboken (EE. UU.): John Wiley & Sons, 2007.
Para docentes
ASSESSMENT AND QUALIFICATIONS ALLIANCE (AQA). GCSE Mathematics: 90 maths problem solving
questions. Manchester (Reino Unido): AQA, 2015.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
101
Lecturas complementarias
BLACK, P.; WILLIAM, D. “Assessment and Classroom Learning”. En Assessment in Education: Principles, Policy
and Practice. 1998, vol. 5, n.º 1. Pp. 7-74.
BLISS, K., et al. GAIMME: Guidelines for Assessment and Instruction in Mathematical Modeling Education.
Bedford (EE. UU.): Consortium for Mathematics and Its Applications (COMAP) y Society for Industrial and
Applied Mathematics (SIAM), 2016.
BOALER, J. Mathematical Mindsets. San Francisco (EE. UU.): Jossey Bass, 2016.
BURGE, B.; LENKEIT, J.; SIZMUR, J. PISA in Practice–Cognitive activation in Maths: How to use it in the classroom
[en línea]. NFER, 2015. <https://www.nfer.ac.uk/publications/PQUK04/>. [Consulta: 28-03-2018].
DE LANGE, J. “Mathematics for literacy”. En Quantitative Literacy: Why Numeracy Matters for Schools and
Colleges [en línea]. 2003. <https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/QL/pgs75_89.pdf>. [Consulta:
28-03-2018].
EICHLER, A.; ZAPATA-CARDONA, L. Empirical Research in Statistics Education (ICME-13 Topical Surveys). Nueva
York (EE. UU): Springer, 2016.
ELLENBERG, J. How Not to be Wrong: The Power of Mathematical Thinking. Nueva York (EE. UU): Random
House, 2015.
EVAN, S. Graph Algorithms. 2.ª edición. Cambridge (Reino Unido): Cambridge University Press, 2011.
GREEFRATH, G.; VORHOLTER, K. Teaching and Learning Mathematical Modelling: Approaches and
Developments from German Speaking Countries (ICME-13 Topical Surveys). Nueva York (EE. UU):
Springer, 2016.
HEGEDUS, S., et al. Uses of Technology in Upper Secondary Mathematics Education (ICME-13 Topical Surveys).
Nueva York (EE. UU): Springer, 2016.
IBO. Guía de Matemáticas: Análisis y Enfoques. Cardiff (Reino Unido): Organización del Bachillerato
Internacional, 2019.
IBO. Guía de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación. Cardiff (Reino Unido): Organización del Bachillerato
Internacional, 2019.
MOSTELLER, F. Fifty Challenging Problems In Probability With Solutions. Nueva York (EE. UU.): Dover
Publications, 1965.
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS (NCTM). Principles and Standards for School
Mathematics. Reston (EE. UU.): NCTM, 2000.
RITCHHART, R.; CHURCH, M.; MORRISON, K. Making Thinking Visible. San Francisco (EE. UU.): Jossey
Bass, 2011.
ROSA, M., et al. Current and Future Perspectives of Ethnomathematics as a Program (ICME-13). Nueva York
(EE. UU): Springer, 2016.
ROUNCEFIELD, M.; HOLMES, P. Practical Statistics. Londres (Reino Unido): Palgrave Macmillan, 1989.
STEEL, T., et al. Mathematics: Higher GCSE for AQA Problem-solving Book. Cambridge (Reino Unido):
Cambridge University Press, 2015.
SWAN, M. Standards Unit—Improving learning in mathematics: challenges and strategies. Londres (Reino
Unido): Department for Education and Skills, 2005.
TRUDEAU, R. Introduction to Graph Theory. Nueva York (EE. UU.): Dover Publications, 2003.
WATHALL, J. Concept-based Mathematics: Teaching for deep understanding in secondary classrooms.
Thousand Oaks (EE. UU.): Corwin, 2016.
WILLIAM, D.; LEAHY, S. Embedding formative assessment: Practical Techniques for K-12 classrooms. La Vergne
(EE. UU.): LSI, 2015.
WILLINGHAM, D. T. “Critical Thinking: Why Is It So Hard to Teach?”. En American Educator. 2007, vol. 31. Pp.
8-19.
102
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Lecturas complementarias
Diagramas de Voronoi
CONSORTIUM FOR MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS. Mathematics: modelling our world [en línea].
<www.comap.com/mmow/Course2.html>. [Consulta: 18-06-2018].
DE LANGE, J. Mathematics for literacy [en línea]. Artículo presentado en el National Forum on Qualitative
Literacy, National Academy of Sciences. Washington D. C. 2001. <https://pdfs.semanticscholar.org/987f/
4158fbe08bab5a0cc68cd51849f8bd05a612.pdf>. [Consulta: 18-06-2018].
DRYSDALE, S. Voronoi Diagrams: Applications from Archaology to Zoology [en línea]. 1993. <https://
www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/scot.drysdale.html>. [Consulta: 18-06-2018].
LYNCH, P. “How Voronoi diagrams help us understand the world”. En The Irish Times [en línea]. 23 de enero
de 2017. <https://www.irishtimes.com/news/science/how-voronoi-diagrams-help-us-understand-ourworld-1.2947681>. [Consulta: 18-06-2018].
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
103
Apéndices
Videos
Video 1
Preparar a los alumnos para la prueba 3 del NS
Video 2
La tecnología en el aula de Matemáticas del PD
Video 3
Uso eficaz del equipo de herramientas matemáticas
Video 4
Elección de cursos: comunicar las opciones
104
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
Apéndices
Actualizaciones de la publicación
En esta sección se describen los cambios realizados en esta publicación a lo largo de los dos últimos años.
Los cambios están ordenados del más reciente al más antiguo. No se incluyen errores ortotipográficos
menores.
Correcciones de junio de 2023
El equipo de herramientas > Resolución de problemas
Esta nueva sección describe lo que es la resolución de problemas en Matemáticas del PD, clases de
resolución de problemas con el equipo de herramientas, y enfoques y estrategias de resolución de
problemas.
El equipo de herramientas > Enfoques de resolución de problemas y
evaluación externa
Esta nueva sección contiene 10 problemas matemáticos —tal como aparecieron en las pruebas de examen
— y sugiere diversos enfoques para su resolución.
El equipo de herramientas > Planificación para la resolución de
problemas
Esta nueva sección aborda la planificación previa a la resolución de problemas y sugiere una serie de
lecturas complementarias que tratan sobre la resolución de problemas.
El equipo de herramientas > Modelización matemática
Esta sección se ha actualizado con nuevos contenidos referidos al proceso de modelización y con ejemplos
que muestran cómo han incorporado algunos alumnos/as la modelización matemática en la publicación
Trabajos evaluados de los alumnos de Matemáticas.
En la figura 3, se ha sustituido la palabra “Aceptar” del último cuadro por “Ampliar".
Correcciones de febrero de 2023
El equipo de herramientas > Uso de medios tecnológicos
Modificación en respuesta a comentarios de las partes interesadas.
“Aplicaciones de las progresiones y series geométricas al ámbito financiero”
Se ha cambiado la solución de la pregunta 3 (a) de este planificador de unidades.
La versión anterior de la solución contenía un error: el período de pago trimestral se había calculado dos
veces. La solución se ha modificado para ilustrar el enfoque que se puede adoptar para calcular el interés
real obtenido cuando el período del tipo de interés nominal y los períodos de composición no son los
mismos.
“Amortización y anualidades”
La palabra “mensualmente” se ha reemplazado por “anualmente” en la segunda oración de la pregunta 4
de este planificador de unidades. La oración ahora dice lo siguiente: “Por ese motivo, Meredith decide ir
ingresando dinero al final de cada año en una anualidad que abona un 6 % anual compuesto anualmente”.
Material de ayuda al profesor de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
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