I
Projekt makiety: Tadeusz Ambroszczak
Projekt graficzny okładki i karty tytułowej: Roman Kirilenko
Redaktor inicjujący: Elżbieta Faron-Lewandowska
Redaktor merytoryczny: Roman Malczewski
Wst1
1.
1.1.
1.2.
Recenzenci: prof. dr hab. inż. Marian Pasko, mgr Janusz Obrusiewicz.
1. 3.
1.4.
Podręcznik zawiera podstawowe wiadomości z dziedziny pola elektrycznego i magne­
tycznego oraz opisuje zjawiska związane z przepływem prądu elektrycznego w róż­
nych środowiskach. Podano w nim metody obliczania obwodów prądu stałego, obwo­
dów magnetycznych oraz obwodów jednofazowych i trójfazowych prądu sinusoidalnie
zmiennego. Omówiono również obwody zawierające sprzężenie magnetyczne, obwo­
dy nieliniowe i obwody zasilane napięciami odkształconymi oraz zdefiniowano poję­
cie stanu nieustalonego.
2.
Podręcznik polecamy uczniom techników elektrycznych i elektronicznych wszystkich
2.2.
Z.3.
1.5.
1.6.
2.1.
specjalności. Mogą z niego korzystać także studenci wydziałów nieelektrycznych wyż­
szych uczelni technicznych.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw
oświaty i wychowania i wpisany do wykazu podręczników przeznaczonych do na­
uczania zawodu technik elektryk na poziomie technikum i szkoły policealnej, na pod­
stawie opinii rzeczoznawców: dr Krystyny Długosz-Kurczabowej, mgr. inż. Henryka
Krystkowiaka, mgr. inż. Grzegorza Wasiaka i dr. inż. Wacława Załuckiego.
2.8.
2.9.
2. 1 0.
Numer dopuszczenia: 24/2005.
Podręcznik dotowany przez MEN.
2.1 0.·
2.1 0.:
2.1 0.:
ISBN 978-83-02-09397-5
ISBN 83-02-09397-1
2.1 1.
2.1 2.
2. 1 3.
2.1 3.1
2.1 3.:i
2.14.
2.1 5.
2. 1 6.
2. 1 7.
© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna
Warszawa 2005
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna
Warszawa, Al. Jerozolimskie
Adres do korespondencji:
Warszawa, P. poczt. nr
02-305
00-965
www.wsip.com.pl
Wydanie drugie (2006)
Ark. druk. 19,5
136
3.
9
3.1.
3.2.
3.2.1.
Skład i łamanie: Elżbieta Walczak, Maria Dylewska I DTP WSiP S.A.
Druk i oprawa: Drogowiec-PL, Kielce
3.2.2.
J
Wstęp
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
2.
6
Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C h arakterystyka ogólna elektrotechniki . . ..
Wielkości fizyczne i jednostki używane
w elektrotec hnice . . . . .. . . .. .. . .. .. . ..
Cząstki. Ł adunek elektryczny .. . . .... . . . .
Wiązania c hemiczne w cząsteczkach
.
.
. .
i kryształach . .
Własności elektryczne ciał. Zjawisko prądu
elektrycznego . .. . . . . ... . . . .. . .. ... .
Pole elektromagnetyczne i jego cechy ... . .
„
„ „
„ . „
„ „
„
„
„
Pole elektryczne .. . .. ... ... . ....... .
Zjawisko elektryzowania ci ał.
Prawo z achowania ładunku elektrycznego . .
Rozkład ładunków elektrycznyc h .. . .. . .. .
2.2.
Prawo Coulom ba. Przenikalność elektryczna
2. 3.
środowiska . .. . ... . . .. ... . .. . . ..
Natężenie pola elektrycznego . . ... .. . ...
2.4.
Obraz graficzny pola elektrycznego .. . . . ..
2.5.
Potencjał i napięcie elektryczne . .. . . . . .. .
2.6.
Dielektryk w polu elektrycznym.
2.7.
Polaryzacja dielektryka . . . . . .. . .. .. . . . ..
2.8.
Indukcja elektryczna. Strumień indukcji
elektrycznej . . . . ... . . . .. . ... . . . .. ...
Twierdzenie Gaussa . . ... ... .. . .. ... ..
2.9.
2.1 O. Z astosowanie twierdzenia Gaussa
do obliczania pola elektrycznego
2.1 0.1. Pole elektryczne w otoczeniu n aładowanej
płyty metalowej . .. . .. ... . .. . . . ... ...
2.10. 2. Pole elektryczne w otoczeniu przewodu
prostoliniowego .. . .... . . .. . .. .. . . . . .
2.1 0.3. Pole elektryczne naładowanej kuli ·
dielektrycznej ... . .. . . . . .. . .. .. . . . ..
2. 11. Przewodnik w polu elektrycznym .. ..... .
2.1 2. Pojemność elektryczna. Kondensatory .. .. .
2.1 3. Wyznaczanie pojemności kondensatorów . .
2. 1 3.1. Pojemność kondensatora płaskiego . . .. .. .
2.1 3.2. Pojemność kondensatora cylindrycznego ...
2.14. Łączenie kondensatorów . .. .. .. . . . ... .
2.15. Energi a pola elektrycznego kondensatora . .
2.1 6. Wytrzymałość elektryczna ... ... .. ... ..
2. 1 7. Elektryczność atmosferyczna .
7
7
7
12
13
14
16
18
2.1.
„
3.
„ „
„
„
„
Prąd elektryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rodzaje prądu elektrycznego.
Gęstość prądu elektrycznego ... . . . .. . ..
Prąd elektryczny w przewodnikach . ..... .
3.2.
3.2.1. Prawo O hma. Rezystancja i konduktancja
przewodnika . .. . . .... . ... . . . .. .. . ..
3.2. 2. Zależność rezystancji od temperatury . ... .
3.1.
I
'
„
18
18
19
20
21
22
24
25
27
27
27
28
29
30
30
31
31
32
33
34
36
36
43
43
44
44
47
www.wsip.com.pl
3.2.3.
3.2.4.
3.2.5.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.4.1.
4.4. 2.
4.5.
4.6.
4.6. 1.
4.6. 2.
4.6. 3.
4.7.
4.7. 1.
4.7.2.
4.8.
4.8. 1.
4.8.2.
4.8.3.
4.8.4.
4.9.
4. 1 0.
4. 1 1.
4.1 2.
4.1 3.
5.
5.1.
5.2.
5.3.
5. 3.1.
5. 3.2.
5. 3.3.
Moc i energia prądu elektrycznego . . . ... . 4 7
Rezystory i ich c harakterystyki ... . . . ... . 4 8
Z asady grzejnictwa rezystancyjnego . .. . . . 4 9
Prąd elektryczny w próżni .. . .. . .. . . .. . 5 0
Prąd elektryczny w gaz ac h ... . .. .. ... . . 5 1
Prąd elektryczny w elektrolitac h . .. . ... . . 5 3
Prąd elektryczny w półprzewodnikac h ... . . 54
Obwody elektryczne prądu stałego . . . . . 60
Elementy obwodu. Pojęcia podstawowe .. . 60
Liniowość i nieliniowość o bwodu.
Z asada superpozycji .. .. . ... . . ... . .... 6 2
Znakowanie zwrotu prądu i napięcia .. .... 6 3
Prawa o bwodu elektrycznego .. ... .. . ... 64
Prawo O hma . . .. . .. .. . .... . .. , . . , .. 64
Prawa Kirc h hoffa .. ... . .. .. . .. ... ... . 65
Schematy z astępcze i stany pracy
źródeł energii elektrycznej .. . .. . ..... . . 67
O bwody nierozgałęzione .. . . . .. ... . ... 70
Połączenie szeregowe rezystorów
i źródeł n apięcia .. . . ... . .. .. . ....... 70
Bilans mocy . ... ... .. . . . .... . ....... 7 2
Wykres zmienności potencjału .. . . ... . .. 7 3
Obwody rozgałęzione o dwóc h węzłac h . . . 74
Połączenie r ównoległe rezystorów
i źródeł .. . . . .. . ... .. ... ... ..... . .. 74
Bilans mocy ... ... .. . .. . . . .. . ... . .. . 76
O bliczanie o bwodów metodą
przekształcania . . . ... ... .. ... . . .... . 76
Połączenie szeregowe elementów .... .. . . 76
Połączenie równoległe elementów . . .. . . . 77
Połączenie mieszane elementów . . .. .. . .. 78
Połączenie elementów w trójkąt
oraz w gwiazdę .
. . .. 80
Obliczanie obwodów metodą
praw Kirc hhoffa . .. ... . . ... . .. . ... . 8 2
Obliczanie obwodów metodą
superpozycji . . . .. . .. . .. .. . .. . . . ... . 8 3
O bliczanie obwodów metodą prądów
oczkowych . . ... . .. .. . ... . . . .. . .... 84
O bliczanie obwodów metodą potencjałów
węzłowyc h . . ... . . . .. . .. .. . ... . . ... 86
Elementy nieliniowe prądu stałego .
. . 88
. . . . . . . . . . . . .
. . . •
. •
.
.
.
•
Żródła energii elektrycznej . . . . . . . . . . . 98
Wiadomości wstępne . . .. . . . ... ... . . . . 98
Żródła elektromec haniczne ... . ... . . . .. . 98
Źródła chemiczne . ... . .. ..... .. . ... . . 99
Ogniwa galwaniczne .
... 99
Akumulatory . . .... . .. .. ... . . ... ... 1 01
Ogniwa paliwowe
102
.
. .
. . .
. .
.
.
. .
.
•
. . . . . . . . . . . . • . . . . . .
3
źródła cieplne .
. . . .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
„
•
7. 1 6.
7.1 7.
. . . . 1 O3
Zjawisko termoelektryczne . . . . . . . . . . . . . 103
5.4. 2. Generator termoelektryczny . . . . . . . .. . .. 1 04
5.4.3. Generator magnetogazodynamiczny . . . . . . 1 04
5.4.4. Inne źródła cieplne .. ... ... ... . . . . . . . . 1 05
Źródła świetlne .. .. . . ........... . .. . 1 05
5.5.
Źródła piezoelektryczne . . . ... .. . .. . . .. 1 06
5.6.
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej .. . . 1 34
Indukowanie się siły elektromotorycznej
w przewodzie z prądem poruszającym się
w polu magnetycznym .. .... ...... . .. 1 36
7. 1 8. Zjawisko indukcji własnej i wzajemnej .... 1 37
1 38
7.1 9. Prądy wirowe
6.
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
5.4.
5.4.1.
Działania fizjologiczne prądu
elektrycznego na organizm ludzki . . . . . . 107
Skutki działania prądu elektrycznego
6.1.
na organizm ludzki ..... . . . . . .. . .. . . . 1 07
6.1.1. Wiadomości ogólne . ... ... .. ... . .. .. . 1 07
6.1.2. Działanie prądu elektrycznego na krążenie
krwi i oddych anie . . .. ... ... . . . . . . . . . 1 08
6. 1.3. Dzi ałanie prądu elektrycznego na układ
nerwowy ..... . . ...... ... ..... ..... 1 08
6.1.4. Uszkodzenie skóry, mięśni i kości ..... .. . 1 08
6.1.5. Dzi ałanie pośrednie prądu elektrycznego .. . 1 09
Przyczyny porażeń prądem elektrycznym .. . 1 09
6.2.
Ochrona przed porażeniem . . . . . . . . . . . . 109
6.3.
Niebezpieczeństwa związane z działaniem
6.4.
pola elektrostatycznego ... . . . . . . . . . . . . 1 1 1
Ochrona przed dzi ałaniem fal elektro­
6.5.
magnetycznyc h wielkiej częstotliwości .. . . 1 11
Zasady organizacji pracy podczas eksploatacji
6.6.
urządzeń elektroenergetycznyc h . . . . . . . . . 1 12
Sposoby ratowania porażonyc h prądem
6.7.
elektrycznym .... ........ . . . . . ... . .. 1 13
6.7.1. Wiadomości ogólne .. ... .. ... . . . . . . . . 1 13
6.7.2. Sztuczne oddyc hanie . . . . . . .. ... .. ... . 1 1 4
6.7.3. Sztuczne krążenie krwi . . . . . .. . .... .. .. 1 14
7.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.1 0.
7.1 1.
7.1 2.
7.1 3.
7.14.
7.15.
4
Pole magnetyczne.
Elektromagnetyzm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 S
Powstawanie pola magnetycznego .. . . . . . 1 15
Siła działająca na przewód z prądem
umieszczony w polu magnetycznym.
Indukcja magnetyczna ...... .. . ... . . . . 1 1 6
Strumień magnetyczny . . . ........ . . .. . 1 1 8
Prawo Biota i Savarta. Przenikalność
magnetyczna środowiska . ...... ... . .. . 1 1 8
Natężenie pola magnetycznego . . . . . . . . . 1 1 9
Prawo P\Zepływu . . .. ...... . . . . . .. . . 1 2 0
Własnośd magnetyczne materiałów . . . . . 1 2 1
Magnesowanie materiałów
ferromagnetycznych .. . . . . ............ . 1 24
Strumień magnetyczny skojarzony ....... 1 27
Indukcyjność własna cewki . . . . ..... ... 1 27
Indukcyjność wzajemna ... .. . . . . . ... . . 1 28
Energia pola magnetycznego cewki .. .... 1 30
Oddziaływanie elektrodynamiczne
przewodów z prądem
.. .
.. 1 3 1
Elektromagnes. Sił a udźwigu .. .. . . . .. . . 1 33
Zjawisko Halla . . . . . . . . .............. 1 34
.
.
.
„
„
.
•
•
„
„
re
1(
.
„ .
8.
8.5.
8.6.
9.
9.1.
„
„ „
„.
„ „ „ .
1C
1(
„ .
Obwody magnetyczne .... .. . . . .. . 143
Definicje. Pojęcia podstawowe . .... . .. . . 143
Konstrukcje obwodów magnetycznyc h . ... 144
Prawa obwodów magnetycznyc h . . . .... 145
O bliczanie o bwodu magnetycznego
nierozgałęzionego ze szczeliną powietrzną . 149
O bliczanie obwodów magnetycznyc h
rozgałęzionyc h .. ... .. ... . . . . ... . .. . . 1 5 0
Obliczanie obwodu magnetycznego
magnesu trwałego ................... 1 5 2
.
10
10
.
11
.
11
11
11
12
Obwody prądu sinusoidalnego
jednofazowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
12
Powstawanie prądu sinusoidalnie
zmiennego . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . .. . 1 5 8
9.2.
Wielkości c h ar akteryzujące prze biegi
sinusoidalne . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1 5 9
9.3.
Wartość skuteczna i w artość średnia prądu
sinusoidalnego ......... . .... . .. . . 1 60
9.4.
Przesunięcie fazowe przebiegów
sinusoidalnyc h . . . . . .. .............. . 1 63
9.5.
Przedstawianie przebiegów sinusoidalnyc h
za pomocą obracającyc h się wektorów . . . . 164
9.6.
Dodawanie przebiegów sinusoidalnyc h .. .. 1 66
9.7.
Analiza o bwodów elementarnych
z elementami R,L,C . .. .. .. . .. . . . . . 1 68
9.7. 1. Elementy rzeczywiste i elementy idealne . . . 1 68
9.7.2. Dwójnik o rezystancji R ... . ... . . . . 1 69
9.7.3. Dwójnik o indukcyjności L . . . . .. . ... . 1 70
9.7.4. Dwójnik o pojemności C . . . .. . . ....... 1 7 1
9.8.
Prawa Kirc h hoffa w o bwodac h
prądu zmiennego . .. ... .. ... . . . . . . . . 1 73
9.9.
Dwójnik szeregowy RL . ... ........ . . 1 74
9.1 O. Dwójnik szeregowy RC ........... . . . . 1 76
9. 1 1. Dwójnik szeregowy RLC .... ..... . . . . . 1 77
9.1 2. Dwójnik równoległy RLC . .. . . . . . . . . 179
9.1 3. Obliczanie obwodów prądu sinusoidalnego
metodą liczb zespolonyc h . . . .... . . . .
181
9.1 3.1. Metoda liczb zespolonyc h . . . . . . . . . . 181
9.1 3.2. Zastosowanie metody licz b zespolonych
do o bliczania obwodów z elementami
185
R,L,C... . . . . . . ...........
.
12
12.
.
12
13
1 3.
.
.
.
.
.
1 3.
1 3.
.
1 3.
1 3.
14
.
.
.
1 O.
1 0.1.
1 0. 2.
1 0.3.
.
. .
Moc w obwodzie prądu sinu�
zmiennego . . . . . . . . . .
Moc c hwilowa . . . . . . . .
Moc czynna, bierna i pozo--.e
Postać zespolona mocy PQmmll
.
200
200
201
202
••
14.
14.
14.
14..
14 . .
14.
14.:
14. :
14.:
14. •
14.�
15.
1 5.'
15. :
.
.
.
.
.
1 0.4. Przebiegi mocy . ... . . .. . . . . . . .. 2 0 3
1 0.4.1. Moc w reztystorze idealnym
o rezystancji R .. .. . . . . . . . . . . .. 2 0 3
1 0.4. 2. Moc w cewce idealnej o indukcyjności L . . 2 0 3
1 0.4. 3. Moc w kondensatorze idealnym
o pojemności C . . ... . . . . ... . . . . . . 204
1 0.4.4. Moc w cewce rzeaywistej .. . . ... .. . . 204
1 0.5. Znaaenie tec hniane i ekonomiane
współczynnika mocy . . .. . . . . .. . . . .. . . 205
.
.
.
.
11.
1 1.1.
1 1.2.
1 1. 3.
12.
.
.
.
.
.
.
.
Rezonans w obwodach elektrycznych . . . 209
Pojęcia podstawowe . ... . . .. . . . . 209
Rezonans napięć . . .. .. . . . . .. . . . . 209
Rezonans prądów ... . . . . . . . . .. 2 1 1
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Metody obliczania obwodów
rozgałęzionych prądu sinusoidalnie
zmiennego . . . . . .. . . .... . . . . . . . 220
1 2.1. Obliaanie obwodów metodą
przekształcania . . . . . . .
. . . .. .. . 2 2 0
1 2. 2. Obliaanie obwodów metodą
praw Kirchhoffa .. .. . . . . . .. . . . . . . 2 2 2
1 2. 3. Obliczanie obwodów metodą prądów
oczkowyc h . . ... . ... ... . . .. ... . . . . . . . . 2 2 3
1 2.4. Obliczanie obwodów metodą napięć
węzłowyc h .... .. . .. . . . . . . . . 2 24
1 2.5. Obliczanie obwodów metodą źródła
zastępczego
... . . . . . . . . . . . . .. 2 25
.
.
.
.
13.
.
.
.
. .
.
.
.
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Obwody elektryczne ze sprzężeniami
magnetycznymi . . . . . . . . . . . . .. 229
1 3.1. Zjawiska występujące w o bwodzie
ze sprzężeniem magnetycznym cewek . . . 2 2 9
13.2. Z aciski jednoimienne i ich oznaczanie . . . 2 30
1 3. 3. Połączenie szeregowe elementów
sprzężonyc h magnetyanie . . . . . . . . .. . 2 3 2
1 3.4. Zasada działania transformatora . . . . . . . . 2 3 3
1 3.5. Transformatory powietrzne . . . . . . . . . 2 35
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Układy trójfazowe ... . .. . . . . . . . 2 4 0
14.1. Klasy fikacja układów trójfazowyc h ... . .. 240
14.2. Układy trójfazowe symetryczne . . . . . .. 24 1
14. 2.1. Pojęcia podstawowe . . . . . . . .. . . . 24 1
14. 2.2. Połąaenie od biornika w gwiazdę . . . . 24 3
14.2.3. Połączenie od biornika w trójkąt . . . . . . 246
14. 3. Układy trójfazowe niesymetryczne . . ... 248
14. 3.1. Układ czteroprzewodowy . .. . . ... . . ... 248
14.3.2. Układ trójprzewodowy gwiazdowy .. . . . 250
14. 3. 3. Układ trójkątowy . . . .. . . . . . . . .. . 250
. . 25 1
14.4. Pomiar mocy w układac h trójfazowyc h
14.5. Skł adowe symetryane . . . .. . . . .. . 254
.
.
.
.
.
. I
.
.
.
.
.
15.
15 . 1.
15. 2.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
Czwórniki i filtry częstotliwościowe ... 265
Klasyfikacja czwórników.
Pojęcia podstawowe . . . .. . .. . . 265
Sc hematy z astępae awórników . . .. . . . 266
.
.
.
.
.
.
.
.
.
www.wsip.com.pl
.
.
.
.
.
.
.
1 5. 3. Stany pracy czwórnika . . . .. . . .. 267
1 5.4. Czwórniki aktywne. Ź ródła sterowane .. . . 267
1 5.5. Filtry częstotliwościowe . . . . .. . . . .. . . 268
1 5.5.1. Filtry reaktancyjne
269
1 5.5.2. Filtry pasywne RC . . .... ..
. . 270
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . • . . .
.
16.
.
.
. . . .
.
Obwody nieliniowe
prądu zmiennego .
. . . . . . .. .. . 273
1 6. 1. C h ar akterystyka elementów i obwodów
nieliniowych prądu zmiennego . . . .. .. 27 3
1 6. 2. O bwody nieliniowe z elementami
ferromagnetycznymi ... . . ... . . . . . . . .. 2 74
1 6. 2. 1. Cewka z rdzeniem ferromagnetyanym . .. 274
1 6.2. 2. Zjawisko ferrorezonansu . .. . . . .. . . . . 276
1 6. 3. O bwody nieliniowe z elementami
elektronicznymi . . . . . . . . .. . . .. 2 78
1 6.3. 1. C h ar akterystyki elementów
prostowniczych . . . . . . . . . . .. . . . . 2 78
1 6. 3.2. Obwody z prostownikami . . . .. .. .. . .. 2 79
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Przebiegi niesinusoidalne . .... . .... 282
Pojęcia podstawowe . . . . . . .. . . 2 8 2
Analiza harmoniana przebiegów
niesinusoidalnyc h okresowyc h . . . . . . 2 8 3
1 7. 3. Symetria krzywyc h odkształconyc h . . . . . 2 84
1 7. 3.1. Symetria względem osi odciętyc h .. ... . 2 84
17. 3.2. Symetria względem osi rzędnych . . .. . 2 84
1 7. 3. 3. Symetria względem początku układu
osi współrzędnych .. . . . . .. .. . .. .. . .. . 285
1 7.4. Obliczanie obwodów napięcia i prądu
niesinusoidalnego okresowego . . . . . . 285
1 7.5. Moc w obwodach napięcia i prądu
niesinusoidalnego okresowego .. . ... . 287
17.
.
17 . 1.
1 7. 2.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
18.
.
Stany nieustalone w obwodach
liniowych . . . ... . . . .. . . . . .. .. 291
1 8. 1. Pojęcie stanu ustalonego i stanu
nieustalonego . .. . . . . . .. .. .. . 2 9 1
1 8. 2. W arunki początkowe. Prawa komutacji . . . 2 9 2
1 8.3. Stan nieustalony w dwójniku
szeregowym RL . . . . . . . . . ... . . . 2 9 3
1 8. 3.1. Włączenie napięcia stałego
w o bwodzie RL . . . ... . . .. . .. 2 9 3
1 8. 3.2. Stała czasowa o bwodu R L .. . . . . . . . 2 95
1 8. 3. 3. Zwarcie o bwodu RL przy warunku
poaątkowym niezerowym . . . ... .. .. .. 296
1 8.4. Stan nieustalony w dwójniku
szeregowym RC . . . .. . . . . . . . . .. . 297
1 8.4.1. Włączenie napięcia stałego
w obwodzie RC . ... . .. . . .. . . . . 297
1 8.4.2. Zwarcie obwodu RC przy w arunku
początkowym niezerowym . . .. . . . . . .. .. 300
1 8.5. Stan nieustalony w dwójniku
szeregowym RLC . . . . . . . . . .. .. . ... 301
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Indeks . . .. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. . . . . . .. . . .
.
.
.
. . .. 306
5
Wstęp
Podręcznik zawiera podstawowe wiadomości z zakresu elektrotechniki oraz przypo­
mnienie tych wiadomości z fizyki i chemii , które mogą być przydatne do zrozumienia
zjawisk związanych z przepływem prądu elektrycznego . Treści podręcznika zostały
podzielone na:
• zgodne z podstawą programową i programem nauczania dla zawodu technik elektryk,
• ponadprogramowe, wykraczające poza podstawę programową i program nauczania.
Wiadomości zgodne z programem nauczania nie zawierają zawiłych wzorów matema­
tycznych i nie wymagają znajomości skomplikowanego aparatu matematycznego. Bazą
do zrozumienia tych wiadomości jest wiedza z fizyki, matematyki i chemii wyniesiona
z gimnazjum.
Wiadomości ponadprogramowe są w podręczniku wyróżnione piktogramami:
• znak T oznacza ich początek; jeśli taki znak znajduje się na początku lub wewnątrz roz­
działu , to oznacza, że cały rozdział lub jego zaznaczona część są ponadprogramowe;
• znak .A oznacza ich koniec .
-
Treści wykraczające poza podstawę programową (ponadprogramowe) są przeznaczone
dla uczniów zdolnych i zainteresowanych pogłębieniem wiedzy i wymagają niejedno­
krotnie opanowania wiadomości i działań matematycznych wykraczających poza
szkolny program nauczania matematyki w zakresie podstawowym (np. rachunek liczb
zespolonych).
Na końcu wybranych rozdziałów znajdują się przykłady rozwiązanych zadań oblicze­
niowych , które mają na celu pokazanie metod ich rozwiązywania. Na końcu każdego
rozdziału jest zamieszczony zestaw pytań i poleceń, który służy do sprawdzenia zdo­
bytych wiadomości również w formie zadań testowych. Tego typu zadania mogą być
przydatne w przygotowaniu do zewnętrznych egzaminów zawodowych.
1
1.
m
cy
S01
ele
łęz
nie
nal
pr:
w
cie
SY!
fal
Illij
i o
łóv
kin
w
fiz;
net
i ll1
wii
nic
me
sta1
sov
ale
bfo
tyc:
du2
żą I
teg1
Sta
ryc
eta1
Wprowadzenie
1.
1.1
.
Charakterystyka
ogólna
elektrotechniki
Elektrotechnika jest działem nauki zajmują­
cym się podstawami teoretycznymi i zasto­
sowaniem zjawisk fizycznych z dziedziny
elektryczności i magnetyzmu w różnych ga­
łęziach gospodarki narodowej. Do zagad­
nień wchodzących w zakres elektrotechniki
należą: wytwarzanie energii elektrycznej, jej
przesyłanie i rozdzielanie; przetwarzanie
w inne rodzaje energii, np.: mechaniczną,
cieplną, chemiczną, świetlną; przenoszenie
sygnałów elektrycznych za pośrednictwem
fal elektromagnetycznych, dla których for­
mą wyjściową są: znaki graficzne, dźwięki
i obrazy. Poznanie któregokolwiek z dzia­
łów elektrotechniki wymaga przede wszyst­
kim znajomości podstaw teoretycznych,
w ramach których omawia się zjawiska
fizyczne z dziedziny elektryczności i mag­
netyzmu, prawa rządzące tymi zjawiskami
i metody stanowiące punkt wyjścia do roz­
wiązywania określonych problemów tech­
nicznych. Należy przy tym zaznaczyć, że
metody te, wynikające ze znajomości pod­
staw elektrotechniki, są powszechnie sto­
sowane nie tylko w samej elektrotechnice,
ale taicie w innych technikach pokrewnych,
blisko z nią związanych. Metody matema­
tyczne mają w elektrotechnice szczególnie
duże znaczenie, gdyż opisują na ogół z du­
żą dokładnością zjawiska będące podstawą
tego działu nauki.
nia, a następnie przeprowadzenia obli­
czeń z użyciem współczesnych narzędzi
obliczeniowych, a więc kalkulatorów
i komputerów. W podręczniku do opisu
zjawisk i formułowania praw zastosowa­
no w miarę możliwości proste metody
matematyczne, zgodne z programem na­
uczania matematyki w szkołach ponad­
gimnazjalnych.
1 2.
.
Wielkości fizyczne
i jednostki używane
w elektrotechnice
Opisując prawa fizyczne i badając zjawiska
z dziedziny elektryczności i magnetyzmu,
będziemy posługiwali się wielkościami
fizycznymi i będziemy podawali jednostki
miar tych wielkości. Wielkością fizyczną
nazywamy cechę zjawiska fizycznego lub
własność ciała, którą można zmierzyć.
Przykładami wielkości fizycznych są np.:
napięcie elektryczne, temperatura, pręd­
kość poruszającego się ciała, siła. Zbiór
w1e�Ko;.,;:;1 hzycznych obejmujący wszyst­
kie lub niektóre dziedziny fizyki nazywa­
my układem wielkości. W układzie wiel­
kości można wyróżnić tzw. wielkości
podstawowe (czasem wielkości uzupełnia­
jące) oraz wielkości pochodne.
Wielkością podstawową nazywamy wiel­
kość, która jest umownie przyjęta jako nie­
zależna od pozostałych wielkości układu.
Stale zwiększa się liczba problemów, któ­
rych rozwiązanie wymaga w pierwszym
etapie wyznaczenia metody postępowa-
Wielkością pochodną nazywamy wiel­
kość, która jest określona w zależności od
wielkości podstawowych.
www.wsip.com.pl
7
Każda wielkość fizyczna (skalarna) jest
wyrażona za pomocą wartości liczbowej
i jednostki. Aby więc określić wielkość
skalarną, np. zmierzyć napięcie elektrycz­
ne, należy znać jednostkę miary tej wiel­
kości - którą jest wolt [V] i porównać
wielkość mierzoną z tą jednostką. Jeżeli
przyrząd do pomiaru napięcia (wolto­
mierz) wskaże nam wartość liczbową
230 , a wiemy, że woltomierz ten jest wy­
skalowany w woltach, to stwierdzamy, że
poszukiwana wielkość fizyczna - napię­
cie U = 230 V.
-
Jednostką miary wielkości fizycznej na­
zywamy wartość danej wielkości fizycz­
nej, której umownie przyporządkowujemy
wartość liczbową równą jedności. Wartość
liczbowa informuje więc , ile razy wielkość
mierzona jest większa od jednostki miary
tej wielkości (w rozpatrywanym przykła­
dzie 230 razy). Jednostki miar wielkości
fizycznych można podzielić na jednostki
podstawowe. będące jednostkami wielko­
ści podstawowych, oraz jednostki po­
chodne, będące jednostkami wielkości po­
chodnych.
Tabela 1.1. Jednostki podstawowe układu SI
Jednostki podstawowe
Jednostka miary
Nr
1
Długość,
odległość
2
Masa
3
4
5
6
7
8
Definicja
Wielkość
Czas
Prąd
elekt ryczny
Temperatura
Liczność
materii
Św iatłość
Nazwa
Oznaczenie
metr
m
Metr jest to długość d rog i p rzebytej w p różni p rzez św iatło
w czasie 1/ 2 9 9 7 9 2 458 sekundy.
kilogram
kg
K ilog ram jest to jednostka masy, która jest równa masie m iędzynarodowego p rototypu kilograma p rzechowywanego
w M iędzynarodowym B iu rze Miar w Sev res (F rancja).
s
Sekunda jest to czas równy 9 1 9 2 6 31 770 ok resom p romien iowan ia odpowiadającego p rzejściu m iędzy dwoma nadsubtelnym i poziomami stanu podstawowego atomu cezu 1 3 3.
A
Amper jest to p rąd elekt ryczny n iezmieniający s ię, który występując w dwóch równoległych p rostoliniowych, n ieskończenie długich p rzewodach o p rzekroju kołowym zn ikomo
małym, um ieszaonych w p różni w odległości 1 metra od s ie b ie , wywołałby m iędzy tymi p rzewodam i s iłę 2.
n iutona na każdy metr długośc i.
sekunda
amper
10-7
kelwin
mol
kandela
K
Kelw in jest to 1/ 27 3 , 1 6 tempe ratury te rmodynamicznej
punktu pot rójnego wody.
mol
Mol jest to l iczność materii układu zawie rającego l iczbę
cząstek równą l iczb ie atomów w masie 0,0 1 2 kilograma
węgla 1 2; p rzy stosowaniu mola należy określić rodzaj
cząstek, którymi mogą być: atomy, cząsteczki, jony,
elektrony, inne cząstki lub określone zespoły takich cząstek.
cd
Kandela jest to światłość ź ródła em itującego w określonym
k ie runku p rom ie niowanie monoch romatyczne o częstotliwaści
he rc ów i o natężeniu p rom ien iowania w tym
kierunku równym 1/68 3 wata na steradian.
540. 1012
Ka:
da
zuj:
Mi
Mi
prz
Mii
w 1
def
okr
dari
12
nos
Ust
tyrr
wy<
wac
nie1
nyc
jott
zet1
eks
pet.
te re
g ig;
kilo
hek
dek
dec
cen1
m il i
Każdej wielkości podstawowej odpowia­
da więc jednostka podstawowa. Obowią­
zującym w Polsce układem jednostek jest
Międzynarodowy Układ Jednostek
Miar SI, w skrócie układ SL Układ ten
przyjęto na XI Generalnej Konferencji
Miar w Paryżu w 1960 r. i obowiązuje on
w Polsce od 2 1 grudnia 1966 r. Nazwy,
definicje i oznaczenia jednostek miar
określa rozporządzenie Ministra Gospo­
darki , Pracy i Polityki Społecznej z dnia
1 2 maja 2003 r. w sprawie legalnych jed­
nostek miar, ogłoszone w Dzienniku
U staw nr 103 z 2003 r. W rozporządzeniu
tym podano wykaz 7 jednostek podstawo­
wych, 22 jednostek pochodnych o naz­
wach specjalnych oraz tabele jednostek
nienależących do układu SI - dopuszczo­
nych do stosowania w drodze odrębnych
przep1sow - których wartość zdefinio­
wano w jednostkach układu SI. To samo
rozporządzenie zawiera również zasady
wyrażania dziesiętnych wielokrotności
i podwielokrotności jednostek miar. W ta·
beli 1 .1 podano jednostki podstawowe
układu SI, a w tabeli 1 .2 - przedrostki
wyrażające mnożniki dziesiętne oraz ich
nazwy i oznaczenia służące do tworzenia
dziesiętnych wielokrotności i podwielo­
krotności jednostek. Jeżeli przykładowo
posługujemy się wielkością fizyczną prądem elektrycznym, ale jednostka ukła­
du SI - amper jest zbyt duża, to można
wielkość tę wyrazić za pomocą jednostki
mniejszej , np. 1 mA = 10-3 A lub 1 µA
= 10- 6 A. Podobnie, moc wyrażamy czę­
sto nie w watach, lecz np. w megawatach
(1 MW = 106 W).
Tabela 1.2. Dziesiętne wielokrotności i podwielokrotności jednostek miar
Przedrostek
I
Oznaczenie
Mnożnik
jotta
y
1ooo ooo ooo ooo ooo ooo ooo ooo=1024
zetta
z
1ooo ooo ooo ooo ooo ooo ooo=1021
eksa
E
1 ooo ooo ooo ooo ooo ooo=108
1
peta
p
1 OOO OOO OOO OOO OOO=105
1
tera
T
1ooo ooo ooo ooo= 1012
giga
G
1ooo ooo ooo=109
mega
M
1ooo ooo=106
kilo
k
1ooo=103
hekto
h
100= 102
deka
da
1 0=101
decy
d
0,1=10-1
centy
c
0,01= 10-2
mili
m
0,001=10-1
www.wsip.com.pl
9
I
cd.
cd. tab. 1.2
Mnożnik
Oznaczenie
Przedrostek
o.ooo 001 = 10-ó
mikro
µ
nano
n
o.ooo ooo 001 = 10-9
piko
p
o.ooo ooo ooo 001 = 10-11
femto
f
o.ooo ooo ooo ooo 001 = 10-15
atto
a
0,000OOO OOO 000OOO 001 = 10-18
zepto
z
o.ooo ooo ooo ooo ooo ooo 001 = 10-11
Re
wł
jokto
y
o.ooo ooo ooo ooo ooo ooo ooo 001 = 10-24
Ko
ele
Jak już wspominaliśmy, jednostki po­
chodne tworzymy w zależności od jed­
nostek podstawowych. Przykładem jed­
nostki pochodnej jest jednostka ładunku
elektrycznego - kulomb [C]. Jest ona ilo-
czynem jednostki prądu elektrycznego
ampera [A] i jednostki czasu sekundy [ s],
czyli [C] = [A·s] .
W tabeli 1.3 podano jednostki pochodne
wielkości elektrycznych.
Re
(01
Re
(01
Im
po
Su
ele
Ad
ele
Ko
ele
Tabela 1.3. Wielkości i jednostki pochodne używane w elektrotechnice
Wielkość fizyczna
Nazwa
Gęstość prądu elektrycznego
Str
skc
Jednostka miary
Oznaczenie
Nazwa
amper na metr kwadratowy
)
Q,q
Oznaczenie
A/m1
Ind
Na
kulom b
c
wolt
V
u
wolt
V
Ind
Siła elektromotoryczna
E
wolt
V
Prz,
be2
Natężenie pola elektrycznego
E
wolt na metr
V/m
Indukcja elektryczna
D
kulomb na metr kwadratowy
C/ml
Strumień elektryczny
l[r
kulom b
c
Pojemność elektryczna
c
farad
F
Przenikalność elektryczna
bezwzględna
E
farad na metr
F/m
Przenikalność elektryczna
względna
E, = c:
Ładunek e lektryczny
Potencjał elektryczny
Napięcie elektryczne
10
V(rp)
/c:o
-
-
Ind
Prz
WZ!
Przr
Siła
cd. tab.1.3
Wielkość fizyczna
Nazwa
,,,,,
Jednostka miary
Oznaczenie
,r-ł'W'f'"
· "
-. . �
Nazwa
':'\
Oznaczenie
·.
""
'
Rezystancja
(op ór elektryczny czynny)
R
om
Reaktancja
(opór elektryczny b ierny)
X
om
n
Impedancja (opór elektryczny
pozorny)
z
om
n
Rezystywność (opór elektryczny
właściwy)
Konduktancja (przewodność
elektryczna czynna)
Susceptancja (przewodność
elektryczna b ierna)
Admitancja (przewodność
elektryczna pozorna)
Konduktywność (przewodność
elektryczna właściwa)
p
n
omometr
fl· m
s imens
s
B
simens
s
y
s imens
G
.
s
1,a
s imens na metr
Sim
Strumień magnetyczny
<P
weber
Wb
Strumień magnetyczny
skojarzony
l[t
we ber
Wb
Indukcja magnetyczna
B
tesla
T
amper na metr
Atm
L
henr
H
M,Lmn
henr
H
henr na metr
H/m
Natężenie pola magnetycznego
Indukcyjność własna
Indukcyjność wzajemna
H
Przen ikalność magnetyczna
bezwzględna
µ,
Przenikalność magnetyczna
względna
µ,,
Przepływ
e
amper
A
Siła magnetomotoryczna
Fm
amper
A
Napięcie magnetyczne
Um
amper
A
Reluktancja (opór magnetyczny)
Rm
henr do potęg i minus p ierwszej
H-1
Permeancja (przewodność
magnetyczna)
A
henr
H
www.wsip.com.pl
11
cd. tab. 1.3
k
At
Jednostka miary
Wielkość fizyana
Nazwa
Oznaaenie
Nazwa
zo
'·''7•NU
.,
'"'
jąc
Oznaaenie
(rJ
m�
tor
Energia pola elektrycznego
w.
dżul
J
Energia pola magnetycznego
Wm
dżul
J
Częstotliwość
f
herc
Hz
Okres
T
sekunda
s
Pulsacja
w
radian na sekundę
rad/s
Moc czynna
p
wat
w
war
var
woltoamper
VA
radian
rad
steradian
sr
Moc pozorna
Q
Kąt płaski
a
Moc bierna
s
Kąt bryłowy
Przy zapisie iloczynu jednostek stawiamy
substancji. Najczęściej cząsteczka składa
między nimi kropkę lub oddzielamy je po­
się z kilku atomów różnych pierwiastków
jedynczym odstępem (zasady tej nie sto­
i wtedy mówimy o związku chemicznym.
suje się przy oznaczaniu: eV, Wh, varh,
du
zn
ele
Rys
Elt
cyi
ny1
Niekiedy cząsteczki składają się z jedna­
Ah, VA). Zaletą układu SI jest to, że każ­
kowych atomów lub są pojedynczymi ato­
dej wielkości fizycznej odpowiada tylko
jedna jednostka. Z tego względu w po­
mami. Ciała tego typu nazywamy pier­
wh
tyc
mo
wiastkami. Przykładami pierwiastków
szczególnych równaniach zawierających
używanych w elektrotechnice są m.in.
wielkości fizyczne nie jest konieczne po­
miedź, srebro, glin, ołów, żelazo. Przykła­
dawanie objaśnień dotyczących stosowa­
dami związków chemicznych są m.in.
nych jednostek tych wielkości. W pod­
woda H20, kwas siarkowy (V I) H2S04.
ręczniku przyjęto więc zasadę: podczas
Struktura wielu cząsteczek została dokład­
wykonywania obliczeń należy wartość
nie zbadana. Stwierdzono na przykład, że
poszczególnych
podawać
cząsteczka wody ma postać trójkąta rów­
w podstawowych jednostkach układu SI.
noramiennego, którego jeden wierzchołek
wielkości
ele
mi
nyc
WC
pm
8 t
troi
nak
zav
elel
obc
stanowi atom tlenu, a dwa pozostałe wierz­
1 .3.
Cząstki. Ładunek
elektryczny
Cząsteczka lub molekuła jest najmniejszą
Łac
w cząsteczce wody znajdują się w odległo­
my
ści ok. 0,1 nm od atomu tlenu).
prz:
Atom stanowi najmniejszą ilość pierwiast­
el el
ka zdolną do samodzielnego istnienia, któ­
częścią danej substancji, zdolną do samo­
rej nie można podzielić bez zmiany cech
dzielnego istnienia i zachowującą cechy tej
tego pierwiastka. Teońa budowy atomu
12
nia
chołki - atomy wodoru (atomy wodoru
zar<
184
I
została stworzona przez Nielsa Bohra.
Ładunek elektryczny elektronu nie jest
Atom składa się z dodatnio naładowanego
(rys. 1.1). Jądro atomu jest złożone z pro­
podzielny, dlatego nazywamy go ładun­
kiem elementarnym.
Jako ładunek elektryczny Q należy więc
tonów i neutronów. Protony i elektrony
rozumieć
jądra i ujemnie naładowanych elektronów
określoną liczbę ładunków
mają własności elektryczne, neutrony są
elementarnych dodatnich lub ujemnych.
elektrycznie obojętne. Protony są cząstka­
Jeżeli do atomu wprowadzimy jeden lub
mi charakteryzującymi się dodatnim ła­
kilka elektronów, to atom staje się elek­
dunkiem elektrycznym. Tworzą one wraz
trycznie czynny i jest naładowany ujem­
z neutronami jądro atomu, dlatego ładunek
elektryczny jądra jest dodatni (+) .
nie. Jeżeli atom zostanie pozbawiony jed­
nego lub kilku elektronów, to staje się on
naładowany dodatnio. To samo dotyczy
cząsteczek złożonych z grupy atomów.
Atomy lub cząsteczki obdarzone ładun­
kiem elektrycznym dodatnim lub ujem­
nym nazywamy jonami. Jony dodatnie
nazywamy kationami, a jony ujemne -
anionami .
Al
Rys. 1.1. Model atomu glinu A l
1 .4 .
Elektrony są cząstkami charakteryzują­
cymi się ujemnym ładunkiem elektrycz­
nym (-). Elektrony obracają się wokół
własnej osi oraz wokół jądra po zamknię­
tych orbitach (powłokach). Największe
możliwe liczby elektronów na poszczegól­
nych powłokach wynoszą: w pierwszej 2 ,
w drugiej 8 , w trzeciej 1 8 itd. Zewnętrzna
powłoka atomu zawiera nie więcej niż
I
II
8 elektronów. Zarówno wszystkie elek­
trony, jak i wszystkie protony mają jed­
nakowy ładunek elektryczny, atom zaś
zawiera taką samą liczbę protonów oraz
elektronów, zatem atom jest elektrycznie
obojętny. Ładunek dodatni jądra zobojęt­
nia się z ładunkiem ujemnym elektronów.
Ładunek elektryczny elektronu oznacza­
my przez e i wyrażamy w kulombach,
przy czym e = 1 ,602 10 · 10- 19 C. Masa
elektronu m = 9,1
·
10-31 kg,
a
Wiązania chemiczne
w cząsteczkach
i kryształach
W wiązaniach chemicznych między po­
szczególnymi
uczestniczą
atomami
elektrony
pierwiastków
znajdujące
się
na powłoce zewnętrznej. Atom może
oddać elektrony znajdujące się na jego
powłoce zewnętrznej i stać się jonem do­
datnim lub może przyjąć elektrony innego
atomu i stać się jonem ujemnym. Elektron
powłoki
zewnętrznej
uczestniczący
w procesie wiązań chemicznych jest na­
zywany elektronem walencyjnym .
Stwierdzono, że jeśli na powłoce zew­
nętrznej atomu liczba elektronów jest
mniejsza od czterech, to atom łatwo odda­
je elektrony. Tego rodzaju własności mają
atomy metali. Jeśli natomiast na powłoce
masa
zewnętrznej atomu znajduje się więcej niż
zarówno protonu, jak i neutronu jest ok.
4 elektrony, to atom łatwo przyjmuje
1 840 razy większa od masy elektronu.
elektrony i uzupełnia liczbę elektronów
www.wsip.com.pl
13
je
na powłoce do ośmiu. Atomy mające 8
elektronów na powłoce zewnętrznej są
ze
chemicznie stabilne - ani nie oddają, ani
z
nie przyjmują elektronów. Przykładem ta­
eh
kich pierwiastków są gazy szlachetne.
z j
do
Elektron
walencypy
eh
na
SW
po
ni1
bo
ró1
jes
Na
Rys. 1.2. Schemat powstawania cząsteczki chl orku
Rys. 1.3. Schemat powiązań atomów w krysztale
sodu NaCl
ger manu G e
N a rysunku 1 .2 przedstawiono schemat
Rozpatrzmy na przykład budowę krysta­
-
-
powstawania cząsteczki chlorku sodu
liczną germanu Ge (rys. 1 .3) . Jest to pier­
NaCl. Atom sodu Na ma 1 1 elektronów,
wiastek czterowartościowy, ma zatem
a więc na pierwszej powłoce 2 elektrony,
na drugiej 8 elektronów, a na trzeciej
4 elektrony na powłoce zewnętrznej. Każ­
1 elektron Uest to pierwiastek jednowar­
tościowy). Atom chloru Cl ma 1 7 elek­
ne wiąże 4 sąsiednie atomy, tworząc sieć
tronów, a więc na pierwszej powłoce
minus ( - ) są oznaczone elektrony walen­
2 elektrony, na drugiej
-
przestrzenną. Na rysunku
cyjne, a znakiem plus (+) jony dodatnie.
Za pomocą podwójnych linii ciągłych po­
przekazania jednego elektronu z powłoki
kazano powiązania elektronów z jonami.
zewnętrznej atomu sodu do powłoki
Poszczególne pary elektronów wiążące
zewnętrznej atomu chloru, atom sodu sta­
kolejne atomy odnoszą się w równej mie­
je się jonem dodatnim, a atom chloru -
rze do obu atomów. Takie wiązania ato­
jonem ujemnym, przy czym po wymianie
mów w cząsteczce noszą nazwę wiązań
elektronu walencyjnego każdy z jonów
kowalencyjnych.
związku
chemicznego
chlorku sodu
steczce noszą nazwę wiązań jonowych .
W cząsteczkach i kryształach złożonych
z jednakowych atomów każdy elektron
ele
nei
ku
pić
SW
wo
1 .3 znakiem
8 elektronów,
NaCl. Takie wiązania atomów w czą­
łeg
dy atom przez swoje elektrony walencyj­
na trzeciej - 7 elektronów. W wyniku
ma 8 elektronów na powłoce zewnętrz­
nej. Powstaje w ten sposób cząsteczka
ny
TU(
(
Ry!
WO<
któ
nyc
czę
Własności elektryczne
ciał. Zjawisko prądu
elektrycznego
pac
Teoria elektronowa budowy atomów
pal
1 .5 .
nie
kar
bęc
walencyjny danego atomu współdziała
umożliwia sformułowanie klasycznej
wa1
z elektronem atomu sąsiedniego, two­
teorii przewodzenia prądu elektrycznego
jeg
rząc wspólną parę elektronową.
w metalach. Zgodnie z tą teorią przyjmu-
ele:
14
I
je się, że elektrony walencyjne powłoki
zewnętrznej metali są słabo związane
Zjawisko fizyczne polegające na upo­
rządkowanym ruchu ładunków elektrycz­
z jądrem. W tych warunkach niektóre
elektrony walencyjne tracą stały związek
nych przez badany przekrój poprzeczny
ciała przewodzącego pod wpływem pola
z jądrem i przechodzą od jednego atomu
elektrycznego nazywamy prądem elek­
do drugiego. Takie elektrony nazywamy
trycznym.
elektronami swobodnymi. W metalach
na 1 do 4 atomów przypada jeden elektron
W zależności od rodzaju przemieszczają­
cych się cząstek ciała przewodzące dzieli­
swobodny. Atomy, które utraciły ze swej
my na dwa rodzaje.
powłoki elektron stają się jonami dodat­
nimi. Łączny ładunek elektronów swo­
1 . Przewodniki pierwszego rodzaju cha­
rakteryzują się tym, że podczas przepływu
bodnych i jonów dodatnich w metalu jest
prądu elektrycznego nie zmieniają się ich
równy zeru, a zatem rozpatrywany metal
jest nadal elektrycznie obojętny. Elektro­
ny swobodne znajdują się w bezładnym
ruchu, przemieszczają się w obszarze ca­
łego metalu, tworząc swego rodzaju gaz
elektronowy. I lustrację graficzną opisa­
nego zjawiska przedstawiono na rysun­
ku 1.4. Te ciała, w których może wystą­
pić zjawisko powstawania elektronów
swobodnych, nazywamy ciałami prze­
wodzącymi lub przewodnikami . Ciała,
własności chemiczne. Prąd elektryczny
w przewodnikach pierwszego rodzaju
jest wynikiem wyłącznie ruchu elektro­
nów swobodnych. Zaliczamy do nich me­
tale i ich stopy oraz węgiel.
2 . Przewodniki drugiego rodzaju cha­
rakteryzują się tym, że podczas przepły­
wu prądu elektrycznego zmieniają się ich
własności chemiczne. Prąd elektryczny
w przewodnikach drugiego rodzaju jest
wynikiem ruchu jonów dodatnich (ka­
tionów) oraz jonów ujemnych (anio­
nów). Zaliczamy do nich roztwory zasad,
kwasów i soli (elektrolity) .
Wróćmy raz jeszcze do przewodników
pierwszego rodzaju, jakimi są metale. Jak
już wspomnieliśmy, zjawisko prądu elek­
Rys. 1.4. Ruch elektronów swobodnych w prze­
wodniku
trycznego w metalach polega na uporząd­
kowanym ruchu elektronów swobodnych.
Jeżeli przez przekrój poprzeczny prze­
które nie zawierają ładunków swobod­
nych, nazywamy nieprzewodnikami lub
częściej dielektrykami . Miejsce pośred­
nie między przewodnikami i dielektry­
kami zajmują półprzewodniki (patrz
podrozdz. 3 .6). Jeśli ciało przewodzące
będzie poddane działaniu zewnętrznego
pola elektrycznego (np. w wyniku dopro­
wadzenia napięcia elektrycznego) , to pod
wodnika w ciągu 1 s przemieści się ładu­
nek elektryczny o wartości I kulomba, to
prąd elektryczny (natężenie prądu elek­
trycznego) jest równy I amperowi. Ponie­
waż każdy elektron ma w przybliżeniu ła­
dunek 1 ,6 · 10-19 C, to w ciągu każdej
sekundy przez przekrój poprzeczny prze­
2
wodnika, wynoszący np. I cm przemieści
się w przybliżeniu 6 · 1 0 18 elektronów.
jego wpływem nastąpi przemieszczenie
Liczba elektronów swobodnych przypa­
elektronów swobodnych.
dająca na jednostkę objętości materiału
www.wsip.com.pl
15
(
' /m
decydu je o własnościach przewodzących
własności pola elektrycznego lub tylk o
ciał. Miarą tej zdol ności przewodzącej
ciała je st konduktywność (przewodność
wł asności pola magnetycznego. D efinicje
i określenia dotyczące pola elek trycznego
właśc i wa).
i pol a magnetycznego opieramy na szcze­
I
po
m�
w
gólnych wł asnościach, jakie towarzyszą
1 .6 .
Pole
elektromagnetyczne
i jego cechy
występowaniu tych pól.
Pole elektryczne je st wywołane przez ła­
dunki elektryc zne i charakte ryzuje się tym,
że na umie szczone w nim nieruchome cia­
U j1
ła naładowane lub c ząstki działa siła.
l ll
Pole magnetyczne jest wywołane prze z
wiliśmy ładunek elektryczny, jaki charak­
poruszające się ładunki e lektryc zne i c ha­
teryzuje ok re ślone cząstk i materialne.
rakteryzuje się tym, że na poruszające się
W otaczającym nas świecie obserwujemy
w nim naładowane ci ała lub cząstki działa
nieustanny ruch ładunków elektrycznych,
siła.
zarówno dodatnich, jak i ujemnych. Ruch
Ponadto stwierdzono doświadczalnie, że
cząstek materialnych, a wraz z nimi ładun­
zmiana w czasie jednego z tych pól po­
woduje pojawienie się drugiego pola.
w przestrzeni otaczającej te cząstki pola
zwanego polem elektromagnetycznym .
ny związek zjawisk elek trycznych i ma­
gnetycznych.
się tego pola zostały nazwane zjawiskami
W zależności od war unk ów, w jak ich
elektromagnetycznymi .
znajdują się ładunki wywołujące pole
W zależnoś ci od war unków obserwacji
el ektryczne, dok onujemy dalszej k lasyfi­
i charakteru ładunków możemy stwier­
kac ji pól.
dzić istnienie wszystk ich lub też tylko
Polem elektrostatycznym nazywamy
niektórych własności charak teryzujących
pole elektryc zne występujące w otoczeniu
pole elek tromagnetyczne. Pole to cechują
ładunków e lektryc znyc h nieruc homyc h
dwa pola skł adowe: pole elektryczne i po­
( względe m ziemi) i niezmie nnych w c za­
le magnetyczne. Te dwa pola zostały od­
sie. Wytworzenie pol a elektrostatyc znego
k ryte i zbadane niezależnie, przy czym
wymaga wprawdzie pewnego nakładu
pierwotnie ni e dostrzegano związk u, jaki
pracy, inaczej mówiąc, jest k onieczne zu­
nierozerwalnie łączy oba rodzaje zjawisk
żytk owanie pewnej ilości energii, żeby
odpowiadających
pól.
pole to wytworzyć . Jednakże do podtrzy­
Przypuszczano bowiem, że pola te mogą
Każde z wymienionych zjawisk , tzn. zja­
mania pola elektrostatycznego nie jest
już wymagane wydatkowanie energii.
Polem elektrycznym stacjonarnym na­
wisk a elek tryczne i zjawisk a magne­
zywamy pole występujące dokoła prze­
tyczne, cechują ściśle ok reślone własno­
wodów i w przewodach, prze z które pły­
ści. D zięki temu można oddzielnie je
nie prąd elektryc zny nie zmie niając y się
anal izować . Fakt ten ma duże znaczenie
w czasie. Ponieważ prze pływowi prądu
rodzajom
istnie ć oddzielnie.
praktyczne, gdyż wiele urządze ń elek­
elektrycznego przez przewodnik towarzy­
trycznych działa, wyk orzystując tylk o
szą zjawiska energetyczne, tzn. energia
16
Py
W tym właśnie jest zawarty nierozerwal­
Zjawiska towarzyszące rozprzestrzeniani u
obu
odr
nit:
ip
Dokonaliśmy klasyfikacji cząstek i omó­
ków e lektrycznych, powoduje powstanie
ele
WC
I
I
ł
1 .1
1 .2
1 .3
1 .4
1 .5
1 .6
1 .7
1 .8
1 .9
e le ktryczna prądu je st zamieniana w prze­
Te mat yka związana z badanie m pola
wodzie w e ne rgię cieplną, podtrzymanie
pola elektrycznego stacjonarnego wy­
maga ciągłego wydatkowania energii.
e le ktromagnetyczne go
W następnych rozdziałach zajmie my się
zjawisk wyższe j mate matyki. W podręcz­
oddzie lnie badanie m zjawisk i określe ­
niku tym omówimy zjawiska oraz poda­
je st
omawiana
w podręcznikach na poziomie akade mic­
kim, gdyż wymaga stosowania do opisu
niem własności pola e le ktrostatyczne go
my prawa i własności dotyczące pola
i pola magnetyczne go.
e le ktrost atyczne go i pola magnetyczne go
U jęcia całokształtu zjawisk e le ktrycznych
w sposób uproszczony. Związe k między
i magnetycznych i ich opisu matematycz­
zjawiskami e lektrycznymi i magnetycz­
ne go dokonał James C. Max well w dru gie j
nymi stanie się widoczny podczas fo rmu­
połowie X IX w. Je mu te ż zawdzięczamy
łowania prawa indukcji e le kt romagne ­
stworzenie podstaw teorii fal e le ktromag­
tyczne j (prawa F aradaya) i okre ślenia
netycznych.
wniosków wynikających z tego prawa.
Pytania i polecenia I --------------------.....
1 . 1 . Co to jest wielkość fizyczna? Jak definiujemy jednostkę wielkości fizycznej?
1 .2 . Wymień jednostki podstawowe układu SI.
1 .3 . Podaj definicję pojęcia cząsteczka i definicję pojęcia atom.
1 .4. Co to jest ładunek elementarny i ile on wynosi?
1 .5. Jaki elektron nazywamy elektronem walencyjnym, a jaki elektronem swobodnym?
1 .6. Jakie własności są charakterystyczne dla ciał przewodzących? Czym charakteryzują się dielektryki?
1 .7 . Na czym polega podział przewodników na przewodniki pierwszego i drugiego rodzaju?
1 .8. Podaj definicję pojęcia prąd elektryczny.
1 .9. Czym charakteryzuje się pole elektryczne, a czym pole magnetyczne? Jakie pole nazywamy
polem elektrostatycznym, a jakie polem elektrycznym stacjonarnym?
II
www.wsip.com.pl
2.
2.1 .
Pole elektryczne
Zjawisko
elektryzowania ciał.
Prawo zachowania
ładunku elektryanego
W warunkach naturalnych otaczające nas
ciała znajdują się w stanie elektrycznie obo­
jętnym. Wynika to stąd, że materia jest zbu­
dowana z atomów o zrównoważonych ła­
dunkach, tzn. wypadkowy ładunek dodatni
jąder atomów jest równy wypadkowemu ła­
dunkowi ujemnemu elektronów otaczają­
cych jądro. Równowagę tę możemy jednak
naruszyć i stworzyć warunki, w których cia­
ło ma ładunek albo dodatni, albo ujemny.
Proces polegający na przekazaniu ciału ła­
dunków elektrycznych nazywamy elek­
tryzacją.
Elektryzacja może następować w różny
sposób , a mianowicie przez pocieranie,
indukcję elektrostatyczną (influencję) ,
przez zetknięcie z ciałem wykazującym
nadmiar ładunków dodatnich lub ujem­
nych.
Należy pamiętać o tym, że w układzie od­
osobnionym (izolowanym) jest spełnione
prawo zachowania ładunku. W procesie
elektryzacji podczas powstawania w da­
nym ciele ładunku jednego znaku, musi
powstać w tym układzie taka sama liczba
ładunków znaku przeciwnego. Suma alge­
braiczna ładunków w układzie odosob­
nionym jest stała.
2.2.
Rozkład ładunków
elektrycznych
Podczas badania zjawisk pola elektrycz­
nego, często ważnych z punktu widzenia
18
I
praktyki, można nie uwzględniać struktu­
ry atomowej . Opierając się na wynikach
badań z dziedziny fizyki, w podstawach
elektrotechniki przyjmujemy jako pewnik
istnienie ciał naładowanych, tzn. mają­
cych ładunki elektryczne - dodatnie
i ujemne . Naładowane ciała materialne
zawierają dużą liczbę cząstek będących
w ruchu , dlatego nie jest dużym uchybie­
niem założenie, że całkowity ładunek cia­
ła jest nieruchomy i rozłożony w danym
ciele materialnym w sposób ciągły. Takie
badania makroskopowe zjawisk elek­
trycznych uzasadniamy tym, że wyniki
obliczeń są zgodne w pełni z wynikami
doświadczeń . Ładunki elektryczne może­
my zatem traktować jako nieskończenie
podzielne i podczas obliczania ładunku
wypadkowego, jakim jest obdarzone roz­
patrywane ciało materialne, nie musimy
zastanawiać się, czy stanowi on całkowi­
tą wielokrotność ładunku elementarnego,
tzn. ładunku elektronu. Dzięki takiemu
podejściu możemy też wprowadzić do­
godne do obliczeń pojęcie gęstości ładun­
ku elektrycznego.
W otaczającej nas przestrzeni ładunki
elektryczne mogą być rozłożone w różny
sposób .
Jeżeli wymiary geometryczne ciała -nała­
dowanego są małe w porównaniu z odle­
głością od niego punktów, w których
badamy pole elektryczne, to ładunek
takiego ciała jest nazywany ładunkiem
punktowym .
Jeżeli ładunki elektryczne są rozłożone
równomiernie w pewnym obszarze prze­
strzeni , to można posługiwać się poję­
ciem gęstości objętościowej ładunku .
Gęstość objętościowa ładunku p w ob­
szarze o objętości V, w którym znajduje
się
ele
St�
ład
Jec
jes
Je2
rÓ\
np
uż�
ład
Gę
pła
rej
CZ(
okl
Stą
we
Jed
jes1
Je:ż
ro:z
wy
pr:z
gę�
Gę
dzi
zm
ny
Stą
nel
ł
się równomiernie rozmieszczony ładunek Jednostką gęstości liniowej ładunku jest
elektryczny Q określa zależność:
kulomb na metr [C/m] .
W związku z tym, że (zgodnie z definicją
�
(2.1) podaną
p=
w podrozdz. 1 .6) pole elektrosta­
tyczne
istnieje w otoczeniu ładunków
Stąd, przy znanej gęstości objętościowej,
elektrycznych
nieruchomych i niezmien­
ładunek elektryczny:
nych w czasie, będziemy w następnych
(2.2) punktach badali pole elektryczne powsta­
Q = pV
Jednostką gęstości objętościowej ładunku jące od ładunków punktowych oraz rozło­
jest kulomb na metr sześcienny [C/m3]. żonych w przestrzeni, na płaszczyźnie
Jeżeli ładunki elektryczne są rozłożone i liniowo. Źródłem pola elektrostatyczne­
równomiernie na pewnej płaszczyźnie, go są ładunki znajdujące się we wszyst­
np. na płycie metalowej , to można kich wymienionych formach rozkładu.
używać pojęcia gęstości powierzchniowej
ładunku.
2.3.
Prawo Coulomba.
Gęstość powierzchniową ładunku
na
Przenikalność
płaszczyźnie o polu powierzchni S, na któ­
elektryczna
rej znajduje się równomiernie rozmiesz­
środowiska
czony elektryczny ładunek elektryczny Q
określa zależność:
Badania dotyczące wzajemnego oddzia­
(2.3)
a = fJ
ływania
na siebie dwóch ładunków punk­
s
towych przeprowadził po raz pierwszy
Stąd, przy znanej gęstości powierzchnio­ Charles Coulomb, który w 1785 r. ustalił
wej, ładunek elektryczny:
związek ilościowy określający siłę, z jaką
(2.4) te ładunki na siebie oddziałują.
Q = aS
Jednostką gęstości powierzchniowej ładunku Zgodnie z prawem Coulomba: siła F,
z jaką na każdy z dwóch ładunków punk­
jest kulomb na metr kwadratowy [C/m2 ].
towych Q1 i Q2 działa ich wspólne pole
Jeżeli wreszcie ładunki elektryczne są elektryczne, jest
wprost proporcjonalna
rozłożone równomiernie w sposób linio­ do iloczynu tych ładunków i odwrotnie
wy, np. na dostatecznie cienkim i długim proporcjonalna do kwadratu odległości r
przewodzie, to można używać pojęcia między nimi. Siła ta zależy też od własno­
gęstości liniowej ładunku.
ści środowiska, w którym umieszczono
Gęstość liniową ładunku
na przewo­ ładunki:
dzie liniowym o długości l, na którym
znajduje się równomiernie rozmieszczo­
F = Q1Q2 = Q 1 Q2
(2.6)
47rcr2
47rcocrr2
ny ładunek Q, określa zależność:
a
I
T
Q
T- 7
(2.5)
Stąd, przy znanej gęstości liniowej , ładu­
nek elektryczny:
Q = Tl
(2.Sa)
www.wsip.com.pł
gdzie: Qi i Qz - ładunki punktowe, c: przenikal­
ność elektryczna bezwzględna środowiska,
-
r
- odległość między ładunkami, co =
= 8,85
1
411" . 9 . 109
10- 12 F/m stała elektryczna zwana też
przenikalnością elektryczną próżni, Er - przenikal­
ność elektryczna względna środowiska.
·
-
19
Przenikalność elektryczna bezwzględ­
na środowiska:
(2.7)
jest wielkością charakteryzującą środowi­
sko z punktu widzenia własności dielek­
trycznych.
Przenikalność elektryczna próżni jest
jedną ze stałych fizycznych, a jej wartość
została określona w układzie SI i ma wy­
miar farada na metr [F/m] .
c-o
Przenikalność elektryczna względna s„
Załóżmy, że w dowolnym miejscu prze­
strzeni znajduje się punktowy ładunek do­
datni Q. Wokół tego ładunku powstaje po­
le elektryczne. W celu zbadania tego pola,
w dowolnym punkcie w otoczeniu ładun­
ku Q umieścimy tzw. ładunek „próbny" q
zdefiniowany w taki sposób, że pole wyt­
worzone przez ten ładunek „próbny" jest
tak słabe, że nie zakłóca pola wytworzo­
nego przez ładunek Q (rys. 2.2) .
€r
Próżnia
1
Por celana
5,0+6,5
Powietrze
1 ,0006
Szkło
5,0+ 1 6
Lód
2+ 3
Mika
6,0+7,0
€,
Olej transform atorowy
2,2+ 2,5
Wo da destyIowan a
80
Papier
izol acyjny
1 ,8+ 2 , 6
M armur
8, 3
Guma
2 , 5+ 2 , 8
a)
b)
cJ
+ Q1
Drewno
r
3 , 3 + 3,5
-a2
r
--e- - - - - - - - - - - - - - - - <S--
+ a1
r
r -a2
©---- --------------e
r
I
Rys. 2.1. Oddziaływanie wzajemne dwóch ładun­
ków elektr ycznych: a) jednoimiennych dodatnich;
b) jednoimiennych ujemnych; c) r óżnoimiennych
20
N:
+a
+q
Et)------------©==-=
r
r
I
ją<
ne
W<
Ni
po
wi
ni:
ku
jef
ny
ze
w
Je1
jef
zn
r
„
Rys. 2.2. Ilustracja natężenia pola elektrycznego
+ Q2
r I
r
�---------------�
r -a1
el1
cb
Wl
Tabela 2.1. Pr zenikalność elektryczna względna E,
Rodzaj
dielektryka
w
Natężenie pola
elektrycznego
2 .4.
Rodzaj
dielektryka
st:
nc
ny
tl]
określa, ile razy przenikalność danego
środowiska jest większa od przenikalności
niektór ych dielektryków
/
próżni. Jest wielkością bezwymiarową. Jej
wartości dla kilku wybranych dielektry­
ków zestawiono w tabeli 2.1 .
Kierunek siły wzajemnego oddziaływania
ładunków punktowych jest zgodny z kie­
runkiem prostej łączącej te ładunki. Jeżeli
ładunki Q1 oraz Q1 są jednakowego znaku,
to ładunki wzajemnie się odpychają, jeżeli
różnego znaku - przyciągają się (rys. 2.1).
Zgodnie z prawem Coulomba na ładunek q
działa siła:
F = __fk_
4Irc:r2
w
(2.8)
try
pu
i (:
Siła F określona wzorem (2.8) jest pro­
porcjonalna do wartości ładunku „próbne­
go". W związku z tym intensywność pola
elektrycznego w danym punkcie prze­
strzeni, w którym umieściliśmy ładunek
„próbny", jest wygodnie ocenić na pod-
Je,
pr'
I
stawie wartości siły przypadającej na jed­ Q 1 , Q1 , Q3 , to wypadkowe natężenie pola
nostkę ładunku „próbnego", zatem:
elektrycznego w rozpatrywanym punkcie
jest równe sumie geometrycznej natężeń
E- = ft
­
(2.9) pól
E obliczonych w tym punk­
q
3
cie od działania poszczególnych ładun­
Wielkość nosi nazwę natężenia pola ków, czyli:
elektrycznego. Jest to ważna wielkość
(2.11)
charakteryzująca pole elektryczne.
Natężenie pola elektrycznego w dowol­
nym punkcie, w którym istnieje pole elek­ Jeżeli źródłem pola są ładunki rozmiesz­
tryczne, jest wielkością wektorową, której czone w przestrzeni z gęstością objętościo­
wartość mierzymy stosunkiem siły działa­ wą p, powierzchniową a lub liniową T, to
jącej na umieszczony w tym punkcie ładu­ w każdym punkcie pola można obliczyć
nek „próbny" do wartości tego ładunku. natężenie pola elektrycznego będące mia­
rą intensywności pola (przykładowe obli­
Zwrot wektora jest zgodny ze zwrotem czenia podano w podrozdz. 2.10) .
wektoraF (rys. 2 .2).
Należy zaznaczyć, że chociaż natężenie
pola elektrycznego określa się na podsta­ 2 . 5 . Obraz graficzny
wie wartości siły przyciągania i odpycha­
pola elektrycznego
nia dwóch ładunków (ładunku Q i ładun­
ku q), to natężenie pola elektrycznego nie W celu wyobrażenia sobie pola elektrycz­
jest siłą. Jeżeli bowiem w polu elektrycz­ nego posługujemy się pewnym obrazem
nym nie ma ładunku „próbnego" q, to siła graficznym tego pola. Załóżmy, że ładu­
wzajemnego oddziaływania jest równa nek „próbny" może poruszać się pod
zeru, a natężenie pola elektrycznego E wpływem sił pola elektrycznego. Wów­
w każdym punkcie pola jest różne od zera. czas tor zakreślony przez ten ładunek jest
Jednostką natężenia pola elektrycznego zawsze styczny we wszystkich punktach
jest wolt na metr [V/m]. Jednostkę tę wy­ do wektora natężenia pola elektrycznego.
znaczymy na podstawie równania (2.9):
Tor o takiej własności nazywamy linią sił
pola elektrycznego, w skrócie linią pola.
[F]
N
N·m
= [] =C=C m=
Zbiór linii pola elektrycznego na płasz­
[E]
q
V
W
·
czyźnie daje nam obraz pola elektryczne­
J
= C · m = A · ·sm = m
go. Linie pola elektrycznego wypełniają
s
W celu określenia natężenia pola elek­ w sposób ciągły przestrzeń, w której roz­
trycznego wytworzonego przez ładunek ciąga się pole elektryczne. Aby przedsta­
punktowy, zestawimy ze sobą wzory (2.8) wić obraz pola elektrycznego wykreślamy
tylko niektóre jego linie. Na rysunku 2.3
i (2.9), stąd otrzymamy:
przedstawiono kilka przykładowych prze­
biegów
linii sił różnych pól elektrycz­
E = _Q__
(2.10)
47rcr2
nych. Pole elektryczne między dwiema
Jeżeli pole elektryczne jest wytwarzane płytami płaskimi równoległymi nałado­
przez kilka ładunków punktowych, np. wanymi ładunkiem o gęstości powierzch-
E1, E2 ,
E
E
� '
t
·
q
�'·
o-
e-
1la
:e-
ek
Kl-
'
www.wsip.com.pl
21
a)
b}
.?+
[
I
�
+
+
+
+ (j
- (j
+
+
+
+
+ �-S-FI
(+ �·I
:�q
+
+
+
+
+
+
c}
e}
a
a
+Q
-Q
\:::
st:
St
sil
-3
m
Rys. 2.4. Siła działająca na ładunek „próbny"
dodatni q umieszczony w równomiernym polu
elektrycznym
Rys. 2.3. Linie pola elektrycznego: a) pojedyncze­
go ładunku dodatniego; b) pojedynczego ładunku
ujemnego; c) dwóch ładunków różnoimiennych;
d) dwóch ładunków dodatnich; e) dwóch płytek
równoległych naładowanych różnoimiennymi
ładunkami o gęstości powierzchniowej a
niowej a ma tę szczególną własność , że
w każdym punkcie pola natężenie ma tę
samą wartość, kierunek i zwrot.
Jeżeli w każdym punkcie pola elektrycz-
nego wektor natężenia pola E ma ten sam
zwrot i tę samą wartość (tę samą miarę),
to takie pole nazywamy polem równo­
miernym.
2 . 6.
Potencjał i napięcie
elektryczne
Załóżmy, że cząstka materialna nałado­
wana ładunkiem „próbnym" dodatnim q
znajduje się w równomiernym polu elek22
a
pu
to
M
w:
za
-
-
B
PI
-
-
d)
Ge
by
trycznym, a więc w polu pomiędzy dwie­
ma naładowanymi płytami (rys. 2.4) . Na
ładunek q działa siła F. Przyjmiemy, że
pod działaniem tej siły ładunek q prze­
mieścił się o odcinek b.l z punktu A do
punktu B. Podczas przemieszczania się
ładunku została wykonana praca:
ni1
to,
elc
Je
Wt
w
Wt
(2 . 1 2)
lui
Uwzględniając wzór (2 .9) , pracę tę może­
my określić za pomocą natężenia pola
elektrycznego:
to
tę;
b.W = Fb.l
b. W = qEb.l
(2. 1 3)
Jak wynika ze wzoru (2 . 1 3) praca jest wy­
konana wskutek działania pola elektrycz­
nego o natężeniu E na cząstkę materialną
o ładunku dodatnim q. Pracę uznajemy za
dodatnią, jeżeli cząstka przemieszcza się
zgodnie z kierunkiem linii pola elektrycz­
nego - od płyty naładowanej ładunkiem
dodatnim do płyty naładowanej ładun­
kiem ujemnym. W przeciwnym razie pra­
cę uznajemy za ujemną.
fili
w
pr
ny
el1
tę:
01
pu
śc
tei
ny
kc
Gdyby więc ładunek „próbny" dodatni q
był najpierw przemieszczony z punktu A do
B pod działaniem sił pola elektrycznego,
a następnie z powrotem z punktu B do
punktu A przeciw siłom pola elektrycznego,
to wypadkowa praca byłaby równa zeru.
Można wykazać , że praca wykonana
wzdłuż dowolnej drogi zamkniętej ,
przechodzącej przez punkty A i B jest
zawsze równa zeru . Jest to jedna z pod­
stawowych własności pola elektrycznego.
Stosunek pracy il W, którą wykonałyby
siły pola elektrycznego podczas prze­
mieszczania ładunku „próbnego" dodat­
niego q z punktu Ado punktu B, do war­
tości tego ładunku nazywamy napięciem
elektrycznym między tymi punktami:
UAB =
.6. W
q
-
= Eill
(2.14)
Jednostką napięcia elektrycznego jest
wolt [V] . Jeżeli wzór (2.14) napiszemy
w postaci równania jednostek wielkości
wchodzących do tego wzoru:
[U] = [E] [ill]
(2.15)
lub w postaci:
ą
ł
a
ę
,_
n
1l-
t
też wykorzystamy w rozważaniach wiel­
kość energetyczną pola, przyporządkowaną
każdemu określonemu punktowi w tym
polu i liczbowo zależną od położenia
punktu względem źródła pola elektrycz­
nego. Wielkość tę nazwiemy potencjałem
elektrycznym i oznaczymy przez V. W ce­
lu określenia potencjału załóżmy, że ładu­
nek „próbny" +q znajduje się w punkcie A
pola wytworzonego przez ładunek punk­
towy +Q (rys. 2.5).
+Q
+
q
q
Rys. 2.5. Ilustracja potencjału elektrycznego
Potencjałem elektrycznym w punkcie A
pola elektrycznego n<;tzywamy stosunek
pracy wykonanej podczas przemieszcza­
nia ładunku „próbnego" q z punktu A do
punktu _położonego w nieskończoności,
do ładunku „próbnego" q, czyli:
(2.16)
Analogicznie, potencjał w punkcie B:
to ponownie wykażemy, że jednostką na­
tężenia pola elektrycznego jest wolt na
metr [V/m] .
W rozpatrywanym przez nas przypadku
przemieszczania ładunku w równomier­
nym polu elektrycznym, natężenie pola
elektrycznego w punkcie A jest równe na­
tężeniu pola elektrycznego w punkcie B.
Ogólnie, gdy pole nie jest równomierne,
punktom A i B odpowiadają różne warto­
ści natężenia pola elektrycznego . Wobec
tego praca wykonana w polu elektrycz­
nym zależy od położenia punktu począt­
kowego i końcowego drogi Lll. Dlatego
www.wsip.com.pl
(2.17)
W związku z tym, że:
to w wyniku zestawienia wzorów (2.14),
(2.16), (2.17) i (2.18) otrzymamy:
(2.19)
Napięcie między punktami A i B, którym
odpowiadają potencjały VA oraz V8,
jest równe różnicy potencjałów w tych
punktach.
23
Jednostką potencjału, podobnie jak jed­
nostką napięcia, jest wolt [V] . Potencjał
elektryczny jest wielkością skalarną. Jeże­
li pole elektryczne w danym punkcie jest
wywołane przez kilka źródeł, to potencjał
wypadkowy w tym punkcie obliczamy ja­
ko sumę algebraiczną potencjałów od po­
szczególnych źródeł.
W polu elektrycznym można wyodrębnić
wiele punktów mających ten sam potencjał.
Miejsce geometryczne punktów o rów­
nym potencjale nazywamy powierzchnią
równego potencjału lub powierzchnią
ekwipotencjalną.
Jeżeli pole elektryczne rozpatrujemy
w obszarze płaskim, to punkty jednako­
wego potencjału tworzą linie ekwipoten­
cjalne.
W polu ładunku punktowego powierzch­
nie ekwipotencjalne tworzą koncentrycza}
b)
+� a
a
Rys. 2.6. Linie pola elektrycznego i linie ekwipo­
tencjalne: a) w otoczeniu punktowego ładunku
dodatniego; b) pomiędzy płytami równoległymi
naładowanymi ładunkiem dodatnim i ujemnym
o gęstości powierzchniowej o24
I
ne powierzchnie kuliste, co na rysunku
pokazujemy w postaci okręgów koncen­
trycznych (rys. 2.6a) .
Linie ekwipotencjalne są zawsze prosto­
padłe do linii pola elektrycznego .
2.7.
Dielektryk w polu
elektrycznym.
Polaryzacja
dielektryka
Definiując prawo Coulomba (wzór 2.6)
i natężenie pola elektrycznego wytworzo­
nego przez ładunek punktowy (wzór
2. 10) stwierdzono, że zarówno siła wza­
jemnego oddziaływania między ładunka­
mi, jak i natężenie pola elektrycznego
w otoczeniu ładunku, zależą od charakte­
ru środowiska, w jakim badamy pole.
W obu wymienionych wzorach wielkość
charakteryzująca własności środowiska przenikalność elektryczna bezwzględna c: występuje w mianowniku. Przenikalność
bezwzględna c: == c:0c:r , zatem im większa
jest wartość przenikalności elektrycznej
względnej , tym mniejsze jest natężenie
pola elektrycznego , przy tej samej warto­
ści ładunku Q wytwarzającego pole i tej
samej odległości r od ładunku. Zmiana
natężenia pola elektrycznego w dielek­
tryku w porównaniu z natężeniem pola
elektrycznego, jakie występuje w próżni,
jest wywołana zjawiskiem nazywanym
polaryzacją dielektryka. Poniżej wyjaś­
nimy to zjawisko.
Gdy pole elektryczne nie występuje, wów­
czas dielektryk można na ogół traktować
jako elektrycznie obojętny. Jeśli dielek­
tryk znajdzie się pod działaniem pola
elektrycznego , to następuje jego polary­
zacja. Ładunek dodatni każdego atomu
die
dzi
aw
- "'
ste<
ne,
zna
jest
wi�
elel
jaki
toś1
ki ;
wa1
Rys
Wi1
try<
czo
każ
łoś1
nie
Mo
'
I
t
I
DiI
ne,
mu
prz1
zna
Wy
WC
pol
ró'-'
istn
leki
zac
nyr
ozn
dielektryka przesuwa się w kierunku
działania natężenia pola elektrycznego,
a wypadkowy ładunek ujemny elektronów
- w kierunku przeciwnym. Wiązania czą­
steczkowe pozostają przy tym nienaruszo­
ne, a przemieszczenie ładunków jest nie­
znaczne, ale tym większe, im silniejsze
jest zewnętrzne pole elektryczne, czyli im
większą miarę ma wektor natężenia pola
elektrycznego . Przesunięte ładunki tworzą
jakby pary ładunków równych co do war­
tości, lecz różniących się znakiem (ładun­
ki związane) . Taką parę ładunków nazy­
wamy dipolem elektrycznym (rys. 2.7) .
+Q
�
I
p
a
t
l.
n
�-
�­
ła
>-
lU
G
1 �-__11_1___
Rys. 2.7. Dipol elektryczny
Wielkością charakteryzującą dipol elek­
tryczny jest tzw. n:ionu,;nl. dipola ozna-
czony wektorem p i równy iloczynowi
każdego z ładunków dipola Q oraz odległości między ładunkami ii, zwanej ramie­
niem dipola.
Moment dipola:
; = Qh
�
-Q
(2 .20)
Dipole wytwarzają własne pole elektrycz­
ne, które przeciwdziała polu zewnętrzne­
mu elektrycznemu i jest względem niego
przeciwnie skierowane. Obserwujemy więc
znane z fizyki zjawisko akcji i reakcji.
Wypadkowe natężenie pola elektrycznego
w dielektryku jest mniejsze niż natężenie
pola elektrycznego zewnętrznego, a więc
również mniejsze od natężenia pola, jakie
istniałoby w tym obszarze, gdy brak die­
lektryka, czyli w próżni. Stopień polary­
zacji charakteryzujemy wektorem zwa­
nym wektorem polaryzacji elektrycznej
oznaczonym przez P . Wektor polaryzacji
www.wsip.com.pł
jest proporcjonalny do wektora natężenia
pola elektrycznego zewnętrznego:
(2.2 1 )
przy czym K jest podatnością elektryczną dielektryka.
Podatność elektryczna bezwzględna:
(2.22)
przy czym Kr jest podatnością elektryczną względną.
Podatność względna jest wielkością bez­
wymiarową. Wymiar podatności elek­
trycznej "' jest więc taki sam jak wymiar
przenikalności elektrycznej próżni [Flm] .
Jeżeli pole elektryczne zewnętrzne prze­
staje oddziaływać na dielektryk, to zjawi­
sko polaryzacji znika, dielektryk powraca
do stanu początkowego . Istnieją jednak ta­
kie dielektryki, które poddane działaniu
pola elektrycznego zewnętrznego, stają się
trwale spolaryzowane i zachowują dipole
elektryczne. Do takich dielektryków zali­
czamy segnetoelektryki i elektrety. Są one
odpowiednikami magnesów trwałych.
Wektor polaryzacji bywa definiowany na­
stępująco:
wektor polaryzacji elektrycznej jest
równy sumie geometrycznej momentów
dipoli przypadających na jednostkę obję­
tości dielektryka:
P = L-i
V
(2.23)
Jednostką polaryzacji elektrycznej jest
2
kulomb na metr kwadratowy [C/m ] . �
2.8.
Indukcja elektryczna.
Strumień indukcji
elektrycznej
Wprowadzimy nową wielkość wektoro­
wą charakteryzującą pole elektryczne
i wiążącą poprzednio omówione wielkości
25
r
wektorowe, a mianowicie: wektor natęże­ Indukcja elektryczna jest wielkością,
nia pola elektrycznego i wektor polaryza­ która nie zależy od własności środowi­
cji elektrycznej. Tę wielkość nazwiemy ska, w którym istnieje pole elektryczne.
wektorem indukcji elektrycznej lub Obliczmy przykładowo indukcję elek­
krótko indukcją elektryczną. Oznaczymy tryczną w punkcie pola w otoczeniu ładun­
ku punktowego Q, w odległości r od tego
ją przezD i określimy następująco:
ładunku. Zgodnie ze wzorem (2 . 10) natę­
(2 .24) żenie pola elektrycznego:
Jeśli uwzględnimy zależność (2 .2 1 ) , to:
(2.25)
Natomiast po podstawieniu zależności
(2.22):
E+ E=
D = Eo
Eo K,,
przy czym:
fo (l +
K,,)E (2.26)
1 + K,r = fr
(2.27)
Zatem indukcja elektryczna jest równa:
D
= E = EE
foE r
gdyż zgodnie z zależnością (2.7): c = coc,.
(2.28)
Liczbowo indukcję elektryczną określa
się jako:
D = EE
(2.29)
Indukcja elektryczna jest równa iloczy­
nowi natężenia pola elektrycznego i prze­
nikalności elektrycznej bezwzględnej śro­
dowiska.
Ze wzoru (2.28) wynika, że wektor induk­
cji elektrycznej ma ten sam zwrot co wek­
tor natężenia pola elektrycznego, gdyż
przenikalność elektryczna jest wielkością
skalarną.
Jednostką indukcji elektrycznej jest kulomb
na metr kwadratowy [C/m2 ] . Jeżeli równa­
nie wielkości (2.29) napiszemy w postaci
równania jednostek, to otrzymamy:
F
V
·
[D] = [c][E] m m VC · mV2 mC2
26
=-.-=
--
=-
gdzie c = coc,.
2 .�
Wr
WJ
tov
stą
sta·
zg<
E = _JL_
(2.:
4nc:r2
cą
wz
prz
Po uwzględnieniu wzoru (2.29) indukcja
elektryczna równa się:
D = JL
(2.30)
4nr2
Stv
ny
róv
ogi
łov
jed
stai
Jeżeli wyobrazilibyśmy sobie, że ładunek Q
znajduje się w środku kuli o promieniu r, to
jak wynika ze wzoru (2.30), indukcja elek­
tryczna w każdym punkcie powierzchni
kulistej zależy tylko od wartości tego ła­
dunku i od promienia r, nie zależy zaś od
środowiska, w którym badamy pole. Jeśli
w każdym punkcie danej powierzchni in­
dukcja elektryczna ma tę samą wartość, to
w wyniku pomnożenia indukcji i po­
wierzchni otrzymujemy wielkość zwaną
strumieniem indukcji elektrycznej lub
krótko strumieniem elektrycznym, ozna­
czoną przez rJi, czyli:
sa,
ind
Wit
ład
ogi
D
S
rJi
= DS
Tw
i ol
(2.3 1 )
Na
pac
ny
nio
pm
try1
sza
wo
Jeżeli równaniu wielkości wchodzących
do wzoru (2.3 1 ) przyporządkujemy rów­
nanie jednostek odpowiadających tym
wielkościom, to wyznaczymy jednostkę
strumienia elektrycznego:
c
[rf!] [D] [ ] = 2 · m2 C
m
= S
=
Jednostką strumienia elektrycznego jest
kulomb [C] .
_L____
.
.
2 .9 .
Wróćmy raz jeszcze do rozpatrywanego
w podrozdz . 2.8 przykładu ładunku punk­
towego Q otoczonego powierzchnią kuli­
stą odległą o r od tego ładunku. Na pod­
stawie wzoru na pole powierzchni kuli ,
I
zgodnie z którym S = 47rr2, oraz wz�ru
(2.30) na indukcję elektryczną występują­
cą na powierzchni kuli, obliczymy ze
wzoru (2 .3 1 ) strumień elektryczny IJi
przenikający całą powierzchnię kuli:
I
j
il
t-
o
t-
I<!
b
l-
I)
:h
�-m
kę
�.
I Twierdzenie Gaussa
IJi = DS =
I
Q2 47rr2 = Q
4m--
(2.32)
Stwierdzamy więc, że strumień elektrycz­
ny przenikający powierzchnię kuli jest
równy ładunkowi zawartemu w obszarze
ograniczonym tą powierzchnią. Sformu­
łowaliśmy dla konkretnego przypadku
jedno z podstawowych twierdzeń elektro­
statyki , a mianowicie twierdzenie Gaus­
sa, zgodnie z którym strumień wektora
indukcji elektrycznej przenikający po­
wierzchnię zamkniętą jest równy sumie
ładunków znajdujących się w obszarze
ograniczonym tą powierzchnią.
·
Twierdzenie to przyjmiemy bez dowodu
i określimy wzorem:
IJi = EQ
(2 .33)
Należy zaznaczyć, że w ogólnym przy­
padku ładunki mogą być rozłożone w róż­
ny sposób, tj . objętościowo, powierzch­
niowo, liniowo, bądź mogą to być ładunki
punktowe o różnej konfiguracji geome­
trycznej . Powierzchnia ograniczająca ob­
szar zawierający ładunki może mieć do­
wolny kształt.
est
www.wsip.com.pl
2 . 1 0.
Zastosowanie
twierdzenia Gaussa
do obliczania pola
elektrycznego
2 . 1 0. 1 . Pole elektryczne
w otoczeniu naładowanej
płyty metalowej
Załóżmy, że płyta metalowa o nieskoń­
czenie wielkich wymiarach jest nałado­
wana ładunkiem dodatnim o gęstości po­
wierzchniowej a (rys. 2.8). Linie pola
elektrycznego są prostopadłe do po­
wierzchni płyty. Wydzielimy wokół czę­
ści tej płyty powierzchnię zamkniętą (np .
prostopadłościan) , składającą się z dwóch
powierzchni S równoległych do płyty
i dwóch powierzchni S1 prostopadłych do
płyty oraz dwóch powierzchni S2 leżą­
cych w płaszczyźnie działania pola elek­
trycznego. Strumień elektryczny wytwo­
rzony przez ładunek znajdujący się na
płycie przenika powierzchnię 2S (obie
powierzchnie S) , do której linie pola
są prostopadłe, nie przenika natomiast
powierzchni 2S i oraz 2S2 .
[
[
! S1
Rys. 2.8. Pole elektryczne w otoczeniu płyty meta­
lowej nieskończenie wielkich wymiarów nałado­
wanej ładunkiem o gęstości powierzchniowej CT
27
Ładunek zawarty w obszarze ograniczo­
nym powierzchnią zamkniętą jest równy:
Q = (Js
co wynika ze wzoru (2 .4) .
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa:
(2.34)
(2.35)
cE2S = (Js
(2.36)
E = i!_
(2.37)
Po uwzględnieniu wzorów (2.29) i (2 .3 1 )
otrzymamy:
2c:
Jak wynika ze wzoru (2.37) natężenie pola
elektrycznego w otoczeniu płyty metalowej
nie zależy od odległości od płyty, a więc
w każdym punkcie przestrzeni otaczającej
płytę jest jednakowe . Rezultat ten odpo­
wiada założeniu nieskończonych wymia­
rów płyty. Oczywiście w praktyce posłu­
gujemy się wzorem (2 .37), zakładając, że
wymiary płyty muszą być duże w porów­
naniu z odległością od płyty punktów,
w których analizujemy pole elektryczne.
Przyjmujemy z dostateczną dla praktyki
dokładnością, że pole elektryczne w oto­
czeniu płyty metalowej dużych wymia­
rów jest równomierne .
Łatwo teraz zbadać pole elektryczne w oto­
czeniu dwóch płyt metalowych, z których
jedna jest naładowana ładunkiem dodatnim,
a druga - ujemnym (rys. 2.9), o jednakowej
co do wartości bezwzględnej gęstości.
W każdym punkcie na zewnątrz płyt wy­
padkowe pole elektryczne jest równe zeru,
gdyż pola pochodzące od poszczególnych
płyt mają równe natężenia i kierunek
działania przeciwny.
W każdym punkcie wewnątrz płyt pola
elektryczne dodają się, wypadkowe natę­
żenie pola pochodzącego od dwóch płyt
28
-
a
-
A
\fi = Q = (}s
Stąd natężenie pola elektrycznego:
+
a
:
E1 t2_
-
Rys. 2.9. Pole elektryczne w otoczeniu dwóch płyt
metalowych naładowanych różnoimiennie ładun­
kami o gęstości powierzchniowej er
Rys
pro:
poh
otac
jest dwukrotnie większe od natężenia po­
la jednej płyty, zatem:
Zg1
(2.38)
Po
otr:
2 . 1 0 . 2 . Pole elektryczne
w otoczeniu przewodu
prostoliniowego
Załóżmy, że przewód prostoliniowy o nie­
skończonej długości jest naładowany ła­
dunkiem dodatnim o gęstości liniowej T.
Rozważmy odcinek tego przewodu o dłu­
gości l otoczony powierzchnią koncen­
tryczną, którą stanowi cylinder o promie­
niu r (rys. 2 . l Oa) .
Linie pola elektrycznego pochodzące od
ładunku rozmieszczonego na przewodzie
przenikają powierzchnię boczną cylindra
S = 2nrl i są styczne do dolnej i górnej
powierzchni podstawy.
Ładunek zawarty w obszarze ograniczo­
nym powierzchnią cylindryczną:
Q = Tl
co wynika ze wzoru (2.5).
(2.39)
�
Stą
Na
nie
WO
prz
2.1
I
!
Zal
na
dm
kie
al
(rys. 2.11). Zbadamy pole elektryczne na
zewnątrz kuli. Otoczymy kulę powierzch­
nią kulistą o promieniu r > a .
Ładunek zawarty w obszarze ograniczo­
nym powierzchnią kulistą jest równy:
Q = pV
co wynika ze wzoru (2.2) .
I
b)
E
: .,.;
r
o
Rys. 2.10. Pole elektryczne w otoczeniu przewodu
prostoliniowego nieskończenie długiego: a) linie
pola; b) rozkład natężenia pola w przestrzeni
otaczającej przewód
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa:
I-
I
l}i = Q = Tl
(2 .40)
EE27rrl = Tl
(2.4 1 )
E = _T_
(2.42)
Po uwzględnieniu wzorów (2.29) i (2.3 1 )
otrzymamy:
Stąd natężenie pola elektrycznego:
27rcr
Natężenie pola elektrycznego jest odwrot­
nie proporcjonalne do odległości od prze�
wodu . Charakter zmienności natężenia E
przedstawiono na rysunku 2.lOb.
2 . 1 0.3. Pole elektryczne
naładowanej kuli
dielektrycznej
9)
(2.43)
Rys. 2.11. Kula dielektryczna naładowana ładun­
kiem dodatnim o gęstości objętościowej p
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa:
rp = Q = pV
(2 .44)
Po uwzględnieniu wzorów (2.29) i (2.3 1 )
otrzymamy:
;
r::E4nr2 = p na3
(2.45)
Stąd natężenie pola elektrycznego:
E=
pa3
3r2c:
(2 .46)
E = _Q_
47rc:r2
(2.47)
Jeżeli zamiast gęstości objętościowej ła­
dunku będziemy się posługiwali ładun­
kiem Q, określonym wzorem (2.43), to:
Załóżmy, że kula o promieniu a wykona­
na z materiału dielektrycznego jest nała­
dowana w całej swojej objętości V ładun­
kiem dodatnim o gęstości objętościowej p
Stąd wniosek, że natężenie pola elek­
trycznego w otoczeniu kuli obliczamy ze
wzoru analogicznego do wzoru (2 .10) od­
noszącego się do natężenia pola elek­
trycznego pochodzącego od ładunku
punktowego . Można to interpretować
www.wsip.com.pl
29
w ten sposób, że ładunek rozłożony rów­
nomiernie w kuli o objętości V z gęstością
objętościową p jest na zewnątrz tej kuli
równoważny ładunkowi Q = p V skupio­
nemu w jej środku.
2.1 1 .
Po.
Wi\
na1
okl
Jec
li r
kuj
Przewodnik w polu
elektrycznym
Rys. 2.12. Ilustracja zjawiska indukcji elektrosta­
Załóżmy, że ciało przewodzące jest umiesz­
czone w polu elektrycznym. Pod wpływem
zewnętrznego pola elektrycznego o natę­
żeniu Ez elektrony swobodne w przewod­
niku przemieszczą się w jednym kierunku
i w jednej części przewodnika zgromadzi
się ładunek ujemny. Druga część tego
przewodnika staje się naładowana dodat­
nio . Zjawisko przemieszczania się elektro­
nów swobodnych w przewodniku umiesz­
czonym w polu elektrycznym nazywamy
zjawiskiem indukcji elektrostatycznej
(rys. 2.12). W wyniku rozdzielenia ładun­
ków w przewodniku powstaje pole elek­
tryczne wewnętrzne o natężeniu Ew .
Zwrot natężenia pola Ew jest przeciwny
do zwrotu natężenia pola Ez · Ruch elek­
tronów swobodnych w przewodniku trwa
krótko, do chwili, gdy natężenie pola elek­
trycznego zewnętrznego zrówna się z na­
tężeniem pola elektrycznego wewnętrzne­
go . Z chwilą wyrównania się wartości
natężeń pól elektrycznych (Ez = Ew) , wy­
padkowe natężenie pola w przewodniku
staje się równe zeru.
Stwierdzamy zatem, że w przewodniku
znajdującym się w polu elektrycznym
pole nie istnieje, a powierzchnia prze­
wodnika staje się powierzchnią ekwi­
potencjalną. Linie pola elektrycznego
zewnętrznego są więc skierowane pro­
stopadle do powierzchni przewodnika.
30
tycznej
Wewnątrz zamkniętej powierzchni meta­
lowej , umieszczonej w polu elektrycz­
nym, nie zawierającej wewnątrz ładun­
ków, pole jest równe zeru. Powierzchnie
takie wykorzystuje się do ekranowania
elektrostatycznego .
2.1 2.
Po.
ra
dz1
pm
tyll
wo
Po.
ne1
ma
Pojemność
elektryczna.
Kondensatory
Kondensator tworzą dwa przewodniki
zwane okładzinami lub elektrodami, roz­
dzielone dielektrykiem.
Jeżeli do okładzin kondensatora doprowa­
dzimy napięcie elektryczne U, to na okła­
dzinach zacznie się gromadzić ładunek
elektryczny Q, przy czym na jednej okła­
dzinie zgromadzi się ładunek dodatni,
a na drugiej - ujemny. Ładunek zgroma­
dzony na jednej z okładzin nazywamy
ładunkiem kondensatora.
Doświadczalnie stwierdzono, że między
napięciem doprowadzonym a ładunkiem
kondensatora istnieje związek - ładunek
jest wprost proporcjonalny do napię­
cia, czyli:
Q = CU
(2.48)
przy czym wielkość Cjest pojemnością kondensatora.
ten
W J
jen
•'
prz;
nik1
Wi
osc
CZ2
lini
PoJ
bm
i c
kot
W<
Pojemnością kondensatora nazywamy
więc stosunek ładunku kondensatora do
napięcia występującego p()między jego
okładzinami, czyli:
I
2.13.
(2 .49)
Jednostką pojemności jest farad [F) . Jeże­
\\. równaniu w\e\kosc\. \1A9) \)I'L)l\)onąu­
kujemy równanie jednostek, to:
[C] = [Q]
[ U]
-
S:: - F
V
-
Wyznaczanie
p ojem nośc i
kond ensatorów
2 .1 3 .1 . Pojemność kondensatora
płaskiego
Kondensator nazywamy płaskim, jeżeli
jego okładzinami (elektrodami) są płyty
metalowe płaskie równoległe (rys. 2.13).
-Q
+Q
Pojemność jest własnością kondensato­
ra określającą jego zdolność do groma­
dzenia ładunku elćktrycznego. Cechę
posiadania pojemności przypisujemy nie
tylko kondensatorom, ale również prze­
wodnikowi odosobnionemu.
te
a
Pojemnością przewodnika odosobnio­
nego nazywamy stosunek ładunku nagro­
madzonego na przewodniku do jego po­
tencjału względem obranego punktu
w polu elektrycznym, któremu przypisu­
jemy potencjał równy zeru , czyli:
(2.50)
11-
�
k­
i,
i'
y
n
k
�-
przy czym: Q - ładunek zgromadzony na przewod­
niku, V potencjał tego ładunku.
-
Wielkość pojemności przewodnika od­
osobnionego wykorzystujemy np . pod­
czas wyznaczania pojemności przewodu
linii elektrycznej względem ziemi.
Pojemność kondensatora zależy od jego
budowy. Rozpatrzymy kondensator płaski
i cylindryczny. Wyznaczymy pojemność
kondensatora i zbadamy charakter pola
w dielektryku .
Rys. 2.13. Kondensator płaski (przekrój poprzeczny)
Zazwyczaj odległość okładzin jest mała
w stosunku do wymiarów okładziny.
W takim przypadku można przyjąć, że
pole elektryczne w kondensatorze jest
równomierne . Natężenie pola elektrycz­
nego w kondensatorze płaskim określamy
na podstawie wzoru (2.38) wyprowa­
dzonego dla dwóch płyt równoległych,
nieskończenie rozległych , naładowanych
ładunkami różnoimiennymi .
Określimy związek między napięciem na
zaciskach okładzin kondensatora a natę­
żeniem pola elektrycznego . Oznaczamy
napięcie przez U, odległość okładzin
przez d oraz na podstawie wzoru (2 .14) ,
w którym Ll l = d, obliczamy natężenie
pola elektrycznego:
(2.5 1 )
I.
I
u
www.wsip.com.pl
31
-
a = Ee:,
Ze wzoru (2.38) wynika, że
a ze
wzoru (2.3)
gęstość powierzchniowa
a=�
, gdzie S jest powierzchnią okładzi­
ny, czyli:
w
między okładzinami wynosi U; ładunek na
okładzinie wewnętrznej oznaczymy przez
+Q, a na okładzinie zewnętrznej przez -Q;
wysokość każdego z cylindrów wynosi l.
try
za
dy
CO'
(2.52)
stą
W wyniku porównania zależności (2.5 1 )
oraz (2.52) otrzymujemy:
(2.53)
Po przekształceniu równania (2.53):
(2.54)
Po porównaniu zależności (2 .49) oraz
(2.54) otrzymamy ostatecznie:
C -- ESd _- EoErS
d
(2.55)
Ze wzoru (2.55) wynika, że pojemność
kondensatora płaskiego zależy od jego
wymiarów oraz własności dielektryka.
Im większa jest powierzchnia okładzin
i przenikalność elektryczna względna
dielektryka oraz im mniejszy jest od­
stęp między okładzinami, tym większa
jest pojemność kondensatora.
Wnioski wynikające ze wzoru (2.55) ma­
ją istotne znaczenie , gdyż dotyczą rów­
nież kondensatorów innych rodzajów.
2 .1 3 . 2 . Pojemność kondensatora
cylindrycznego
Kondensator nazywamy cylindrycznym
lub walcowym, jeżeli jego okładziny są
zbudowane w kształcie cylindrów koncen­
trycznych rozdzielonych dielektrykiem
(rys. 2.14). Okładzinę wewnętrzną tworzy
walec o promieniu r1 , a zewnętrzną - wa­
lec o promieniu r2 • Założymy, że napięcie
32
Ze
Rys. 2.14. Kondensator cylindryczny (przekrój
poprzeczny)
Wyznaczymy natężenie pola elektrycznego
w dielektryku między okładzinami. Wpro­
wadzimy pomiędzy okładziny fikcyjną po­
wierzchnię cylindryczną o wysokości l
w odległości r od środka. Promień cylindra
r jest większy niż r1 , ale mniejszy niż r2 .
Ładunek zawarty w obszarze ograniczo­
nym powierzchnią cylindryczną wynosi
Q, przy czym ze względu na prostopadły
względem tej powierzchni kierunek linii
pola elektrycznego (traktujemy nasz kon­
densator jak fragment kondensatora o nie­
skończonej długości) można założyć , że
cały strumień przecina tę powierzchnię .
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa:
lf!
=
DS =
c:ES = E l
c:
211r = Q
Stąd natężenie pola elektrycznego:
E = _JL
2TrErl
(2.56)
(2.57)
Jak widzimy pole elektryczne w konden­
satorze cylindrycznym nie jest równo­
mierne (zależy od r) . Dlatego też nie
można do obliczenia różnicy potencjałów
między jego okładzinami stosować wzoru
(2.14) obowiązującego dla kondensatora
płaskiego, w którym pole było równo­
mierne.
WJ
jen
od
nik
�
'
ł
2.
Ro:
cze
i pc
niu
kie1
le <:
zat<:
pun
Pr2
sati
kor
Na
den
call
ele1
zgn
rów
1'
In ·
' '
� t
l
W przypadku nierównomiernych pól elek­
trycznych obliczanie przeprowadza się
za pomocą całkowania. Pomijając wywo­
dy matematyczne , napiszemy wynik koń­
cowy1l:
rz
Q 1n U= 27fc1
r1
stąd:
ego
�­
poci l
ndra
r1.
1czo1 nosi
?adły
. linii
: kon­
o nie­
rć , ie
�hnię .
(2.5 6)
(2.57 )
londen­
równ o­
też nie
mcjałów
ać wzoru
iensatora
) równo-
c
(2.58)
n­rrz1
(2.59)
1
Ze wzoru (2.59) wynika, że podobnie jak
w przypadku kondensatora płaskiego, po­
jemność kondensatora walcowego zależy
od wymiarów geometrycznych oraz prze­
nikalności elektrycznej dielektryka.
2 14
.
.
++
�I �
o
-u
g_ = 27rcl
=
U
T'' =[' =f'J
++
Rys. 2.15. Trzy kondensatory połączone równolegle
Oznaczymy napięcie źródła przez U,
a pojemności poszczególnych kondensa­
torów przez C1 , C2 , C3 . Zgodnie ze wzo­
rem (2 .48) dla każdego kondensatora
występuje zależność:
Q1 = C1 U
Q1 = C2 U
Łączenie
kondensatorów
(2.61 )
Q3 = C3 U
Rozróżniamy dwa zasadnicze rodzaje połą­
czeń kondensatorów: połączenie szeregowe
i połączenie równoległe. Mówiąc o połącze­
niu, mamy na myśli połączenie przewodni­
kiem idealnym. Wewnątrz przewodnika po­
le elektryczne nie istnieje (E = O), nie ma
zatem różnicy potencjałów między różnymi
punktami przewodnika idealnego.
Przy połączeniu równoległym konden­
satorów, napięcie na zaciskach każdego
kondensatora jest takie samo .
Na rysunku 2.15 przedstawiono trzy kon­
densatory połączone równolegle. Ładunek
całkowity dostarczony ze źródła energii
elektrycznej jest równy sumie ładunków
zgromadzonych na każdym z kondensato­
rów, czyli:
(2.60)
W wyniku podstawienia zależności (2.6 1 )
do (2.60) otrzymamy:
Q = C1 U + C2 U + C3 U =
= (C1 + C2 + C3)U
Stąd pojemność zastępcza:
C=
� = C1 + C2 + C3
(2.63 )
Przy połączeniu równoległym konden­
satorów, pojemność zastępcza jest rów­
na sumie pojemności poszczególnych
kondensatorów. Wzór (2 .6 3 ) można
uogólnić dla dowolnej liczby kondensato­
rów połączonych równolegle.
Kondensatory łączymy równolegle , np.
wtedy, gdy chcemy uzyskać dużą pojem­
ność układu .
Przy połączeniu szeregowym kondensa­
torów, wszystkie kondensatory mają ta­
ki sam ładunek; ładunek dodatni jednej
" In - logarytm naturalny, czyli logarytm, którego podstawą jest liczba e = 2,71828 ... .
www.wsip.com.pl
(2.62)
33
,
okładziny jest równy ładunkowi ujemnemu
następnej okładziny. Na rysunku 2.16
przedstawiono trzy kondensatory połączo­
ne szeregowo. Napięcie źródła jest równe
sumie napięć występujących na każdym
z kondensatorów, czyli:
(2.64)
+
U1
-
+
U2
wej pojemności, którą oznaczymy np.
wówczas pojemność zastępcza:
1
c
1
1
1
3
-=-+-+-=­
':-l- ':11=
- ':-I'=
+
Przy połączeniu szeregowym kondensato­
rów zmniejsza się pojemność zastępcza,
która jest zawsze mniejsza od najmniejszej
z pojemności składowych. Gdy połączymy
szeregowo trzy kondensatory o jednako­
Stąd:
-
c'
c'
c'
c'
C',
(2.68)
(2.69)
U3
u
c!.j �
-u
Rys. 2.16. Trzy kondensatory połączone szeregowo
�
Oznaczymy ładunek każdego kondensa­
tora przez Q, a poszczególne pojemności
przez C1 , C2, C3 . Napięcia na poszczegól­
nych kondensatorach wynoszą:
U1 = Q
C1
(2.65)
U3 = Q
C3
czyli pojemność zastępcza jest równa jed­
nej trzeciej pojemności każdego z kon­
densatorów. Wzór (2.69) można uogólnić
dla dowolnej liczby n jednakowych kon­
densatorów połączonych szeregowo:
c'
C= ­
n
czyli przy połączeniu szeregowym kon­
densatorów o jednakowej pojemności,
pojemność zastępcza jest równa pojem­
ności jednego z kondensatorów podzie­
lonej przez liczbę połączonych konden­
satorów.
2.1 5.
W wyniku podstawienia zależności (2.65)
do (2.64) otrzymamy:
(2.70)
1
2
ł
Energia pola
elektrycznego
kondensatora
Podczas ładowania kondensatora, pod
wpływem przyłożonego napięcia, na
okładzinach kondensatora gromadzi się
Stąd odwrotność pojemności zastępczej:
ładunek elektryczny. Proces ładowania
1
1
I
I
U
=-=-+-+­
(2.67) wiąże się z koniecznością doprowadzenia
pewnej ilości energii, która gromadzi się
Przy połączeniu szeregowym kondensa­ w polu elektrycznym kondensatora. Ob­
torów, odwrotność pojemności zastępczej liczmy tę energię.
jest równa sumie odwrotności pojemnoś­ Z definicji napięcia wynika, że praca wy­
ci poszczególnych kondensatorów.
j konana przy przenoszeniu ładunku jed-
U= Q
C +Q
C +Q
C3
'
WS]
osi
Jerr
Rys.
konc
Załc
kie!
łe. �
odp
(2.66)
Q C C1 C2 C3
34
no:
mi
by
pię
ło,
jak
poc
na
cze
wii
nal
jes1
Jed
zali
iw
od
okł
mi�
wić
stej
'
Tę :
kres
Koli
po"'
nostkowego, liczbowo równa się napięciu
między okładzinami kondensatora. Gdy­
by w trakcie ładowania kondensatora na­
pięcie na jego zaciskach się nie zmienia­
ło, to energię można byłoby wyznaczyć
jako iloczyn napięcia i ładunku. Jednakże
podczas ładowania kondensatora napięcie
na jego okładzinach narasta przy jedno­
czesnym zwiększaniu się ładunku. Jak
wiadomo, współczynnikiem proporcjo­
nalności między ładunkiem a napięciem
jest pojemność kondensatora (wzór 2.48).
Jednocześnie wykazano, że pojemność C
zależy tylko od wymiarów kondensatora
i własności dielektryka, a więc nie zależy
od doprowadzonego napięcia i ładunku na
okładzinie. Możemy zatem zależność
między napięciem a ładunkiem przedsta­
wić na wykresie (rys. 2.17) w postaci pro­
stej przechodzącej przez początek układu
współrzędnych i nachylonej względem
osi odciętych pod kątem zależnym od po­
jemn�i kondensatora.
u
Il
ę
a
a
't
�
�·
I
We = Q U
2
(2.72)
cv2
(2.73 )
Na podstawie wzoru (2 .48), zgodnie
z którym Q = CU, otrzymamy wzory na
energię pola elektrycznego kondensatora
w dwóch innych równoważnych posta­
ciach:
we =
oraz
2
(2.74)
Jednostką energii pola elektrycznego kon­
densatora jest dżul [J] . Wprowadzimy
jeszcze pojęcie gęstości energii.
Gęstością energii pola elektrycznego
kondensatora nazywamy energię kon­
Rys. 2.17. Obliczanie energii pola elektrycznego
kondensatora
i
Jak wynika z rysunku 2 .17 zmiana warto­
ści ładunku od O do Q powoduje, że war­
tość napięcia zmieni się od O do U, a ener­
gii odpowiada pole trójkąta o bokach Q
oraz U. Pole powierzchni trójkąta utwo­
rzonego z przyrostów energii, a więc
i całkowita energia zgromadzona w polu
elektrycznym kondensatora:
densatora przypadającą na jednostkę ob­
jętości jego dielektryka.
Obecnie rozpatrzymy kondensator płaski.
Gęstość energii kondensatora płaskiego:
We
_ We _ We
-
V
-
Sd
(2.75)
Załóżmy, że po doprowadzeniu niewiel­ przy czym: S pole powierzchni okładziny, d od­
kiego ładunku fl.Q napięcie pozostaje sta­ ległość okładzin.
łe. Zmianie ładunku o fl.. Q , przy U = U1 ,
Po podstawieniu do zależności (2.75)
odpowiada zmiana energii o:
wzoru (2.7 3 ) i wykorzystaniu wzoru
(2.7 1) (2.5 1) - zgodnie z którym w kondensato­
Tę zmianę energii przedstawiono na wy­ rze płaskim U = Ed oraz wzoru (2.55)
kresie w postaci zakreskowanego paska. na pojemność kondensatora, otrzymamy:
Kolejnemu zwiększaniu się ładunku od­
CU2 = cSE2d2 = cE2 (2.76)
=
We
2Sd 2Sd2 2
powiada kolejne zwiększenie energii itd.
-
-
-
www.wsip.com.pl
35
Po uwzględnieniu zależności D = c:E:
ma maksymalne natężenie pola, zwane też
We = 2
maksymalnym naprężeniem elektrycz­
nym. Dlatego też istotne znaczenie ma ob­
DE
1.
(2.77)
Jednostką gęstości energii jest dżul na
metr sześcienny [J/m3 ] .
Wzory (2.76) i (2.77) umożliwiają okreś­
lenie energii za pośrednictwem wielkości
charakteryzujących pole elektryczne
w kondensatorze, a wzory (2.72), (2.73)
i (2.74) określenie energii kondensatora
za pośrednictwem wielkości związanych
nie z polem elektrycznym, lecz z samym
kondensatorem. Z przeprowadzonych roz­
ważań wynika, że kondensator jest ele­
-
mentem zdolnym do gromadzenia ener­
gii w polu elektrycznym.
2 . 1 6.
�
Wytrzymałość
elektryczna
Jed m z podstawowych zastosowań die­
lektryków w elektrotechnice jest izolowa­
nie elementów urządzeń elektrycznych
względem siebie lub względem ziemi.
Dlatego też uszkodzenie izolacji zakłóca
normalną pracę tych urządzeń i prowadzi
do awarii. Najważniejszą własnością każ­
dej izolacji: gazowej , ciekłej i stałej jest
wytrzymałość elektryczna.
liczenie rozkładu pola elektrycznego w ca­
łym dielektryku i w ten sposób ustalenie
punktów o największej wrażliwości.
W zwykłych warunkach temperaturowych
i ciśnieniowych wytrzymałość elektryczna
powietrza wynosi 30 kV/cm, porcelany
elektrotechnicznej 2007300 kV/cm, lakie­
ru izolacyjnego 500 kV/cm. W odniesieniu
do kondensatorów, dla których znana jest
zależność między natężeniem pola elek­
trycznego a napięciem na okładzinach,
możemy na podstawie wytrzymałości
elektrycznej ustalić największą wartość
napięcia, jaką można doprowadzić do jego
okładzin bez obawy przebicia. W konden­
satorach płaskich pole elektryczne jest
równomierne i na podstawie wartości Emax
obliczamy wartość Umax = Emaxd. W kon­
densatorach cylindrycznych pole elek­
tryczne jest nierównomierne i największa
wartość natężenia pola elektrycznego wy­
stępuje przy okładzinie wewnętrznej .
Chcąc zatem sprawdzić wytrzymałość
elektryczną kondensatora cylindrycznego,
wyznaczamy natężenie pola elektrycznego
przy okładzinie wewnętrznej , tzn. dla
r = r1 i porównujemy z wytrzymałością
elektryczną użytego dielektryka.
Wytrzymałością elektryczną dielektryka
nazywamy największą wartość natężenia
pola elektrycznego Emax , która nie wywołu­
je jeszcze przebicia w cieczy albo w dielek­
tryku stałym, lub przeskoku iskry w gazie.
W dielektryku wyładowanie elektryczne
zupełne, a w następstwie przeskok lub
przebicie, zależy od natężenia pola elek­
trycznego. W polu elektrycznym nierówno­
miernym, które charakteryzuje się różnymi
wartościami natężenia pola elektrycznego
w różnych miejscach, wielkie znaczenie
L
36
2.1 7.
Elektryczność
atmosferyczna
Wyładowania atmosferyczne występujące
w trakcie burzy są wywołane energią po­
la elektrycznego. Piorun, będący iskrą
o długości kilku kilometrów, jest wyni­
kiem wyładowania między chmurą i zie­
mią. W górnej części chmury burzowej
gromadzą się ładunki dodatnie, w dolnej
'
t
-u
prą
ład
ok
szą
wii
wa
zac
WSI
osi
�
WSI
wy
głó
loa
Prz
Ob
q=
dur
Bv
Zal
zna
zgo
Prz
- ujemne. Rozrywanie kropel wody przez
prądy powietrzne powoduje powstawanie
ładunków. Wskutek tarcia powietrza
o krople wody tworzy się pył wodny, uno­
szący ładunki - chmura burzowa zawiera
więc ładunki dodatnie i ujemne , Wyłado­
wanie piorunowe przebiega w dwóch fa­
zach. Najpierw rozwija się wyładowanie
wstępne od chmury do ziemi . Potem po
osiągnięciu ziemi przez wyładowanie
wstępne, rozwija się od ziemi do chmury
wyładowanie główne. Prąd wyładowania
głównego wynosi od kilku do kilkuset ki­
loamperów [kA] .
Przykład 2 .1
Zdarzają się pioruny pojedyncze, ale naj­
częściej występują pioruny wielokrotne,
złożone z kilku , a nawet kilkudziesięciu
uderzeń. W każdym uderzeniu występuje
wyładowanie wstępne i główne. Wyłado­
wanie główne odprowadza do ziemi ładu­
nek nagromadzony w czasie wyładowania
wstępnego w dolnej części kanału pioru­
nowego . Ładunek przeciwnego ruchu
przemieszcza się z ziemi do kanału pioru­
nowego. Można więc wyładowanie głów­
ne porównać do zwarcia występującego
między dwiema okładzinami naładowa­
nego kondensatora.
I
Oblicz wartość pracy, jaka będzie wykonana podczas przesuwania w próżni ładunku
2 · 10- 1 2 C od punktu A do punktu B w polu elektrycznym wytworzonym przez ła­
dunek Q = 5 · 10-6 C. Punkt A znajduje się w odległości 100 cm od ładunku Q, a punkt
B w odległości 100 cm od punktu A (rys. 2.18).
q=
a
Q
A
8}------©-
I:
j.
,
ć
) '
p
rA
)8
•
q
B
----4
I
•
Rys. 2.18. Schemat do przykładu 2 . 1
la
Rozwiązanie
ią
Zakładamy, że ładunek q nie wytwarza praktycznie pola elektrycznego , gdyż jest
znacznie mniejszy od ładunku Q. Wobec tego możemy skorzystać ze wzoru (2.14),
zgodnie z którym praca:
Przy czym potencjał:
ce
J()-
a-ą
ni­
ie­
j
we
neJ
I I
Stąd:
�
W
VA
=
Q
-- 4JrcorA
'
ą ( 47r�TA - 4Jr�TB ) = 4��J r� - r� )
1 0 - 12 5 . 10-1 6 ( ! - ! ) 0 45 . 10-7 J
47r . 8,85 . 1 0- 2 1 2 '
W wyniku podstawienia danych otrzymamy:
.6
W
= 2
.
.
www.wsip.com.pl
=
37
Przykład
2.2 I
Wyznacz wartości natężenia pola elektrycznego E1 i E1 w dielektrykach kondensatora
płaskiego dwuwarstwowego, przedstawionego na rysunku 2.19. Napięcie doprowa­
dzone do układu U = 400 V, grubości warstw kondensatora: d1 = 0,2 cm, d1 = 0,4 cm,
a przenikalności względne warstw: Er! = 3, Er2 = 10.
I
Po
pm
Prz
Rys. 2.19. Schemat obwodu d o przykładu 2.2
Rozwiązanie
Ko
Kondensator dwuwarstwowy można traktować jako dwa kondensatory połączone sze­
regowo. Wobec tego napięcie doprowadzone do kondensatora jest równe sumie napięć
występujących na poszczególnych warstwach:
U = U1 + U2
-g
-
p
Na1
ObJ
Roz
Ładunek związany z każdą warstwą jest taki sam i wynosi Q.
Napięcia na poszczególnych warstwach:
czyli:
-p
Poj
U = E1 d1 + E2d2
Indukcja w każdej warstwie jest taka sama, zatem:
D=
Stąd:
Wobec tego napięcie wynosi:
� = E1c1 = E1€2
Ostatecznie natężenia pól elektrycznych:
2 d1
400 = 400 = 1250 :!._
di +�"'21 d2 = ,2 2-10 . O,4 °·32
Ec:1r::1 = 1250 -3 = 375 V
E1 = 10
2
O
cm
+
·
38
Ład
( cc:1 )
E1 c:1
U = E1d1 + E2 d2 = E1 di +
Er =
Na1
cm
'
Po obliczeniu wartości natężeń pól elektrycznych możemy obliczyć wartości napięć na
poszczególnych warstwach:
U1 = E1d1 = 1 250 0,2 = 250 V
·
U = U1 + U1 = 250 + 1 50 = 400 V
Przykład 2.3
I
Kondensator płaski dwuwarstwowy (rys. 2.19) ma następujące parametry:
- przenikalności względne warstw Er1 = 4 (polietylen), c:,2 = I (powietrze) ,
3
3
- grubości warstw d1 = 10- m, d1 = 0,5 · 10- m,
2
- powierzchnia okładzin S1 = S2 = S = 0, 1 m .
6
Natężenie pola elektrycznego w warstwie pierwszej wynosi E1 = 0,2 10 V/m.
Obliczyć napięcie na zaciskach kondensatora.
·
Rozwiązanie
Pojemności warstw wynoszą:
'.
_
5
· 10- 1 2 0,1
8,8
3 54 10 9 F
I - T 3
1012
c- S
C2 = 2 2 = 1 · 8,85 · 1 0- · 0,1 = l ,7? . 1 0_9
d2
0,5 . 10-3
C
_
c 1 S1
_
4·
•
_
'.'rapięcie na warstwie pierwszej :
Ładunek zgromadzony na kondensatorze wynosi:
9
Q = C1 U1 = 3 ,54 · 1 0- · 200 = 0,708 10-6 C
·
Napięcie na warstwie drugiej:
0,708 . 1 0-6 400 V
C2 1,77 . 1 0-9
U2 = Jl =
Napięcie na kondensatorze:
=
U = U1 + U1 = 200 + 400 = 600 V
www.wsip.tom.pl
39
Przykład
2.4 I
Pięć kondensatorów o pojemnościach C1 = 1 200 pF, C2 = 600 pF, C3 = 300 pF,
C4 = 200 pF, C5 = 500 pF połączono jak na rysunku 2.20. Napięcie doprowadzone do
t
Łac
Zat
układu kondensatorów U = 300 V. Oblicz wartości napięć i ładunków na poszczegól­
nych kondensatorach.
o
u
o
)l l ,,
- C2
�!'
'
II
T C5
Na1
ró�
Rys. 2.20. Schemat obwodu do przykładu 2.4
Rozwiązanie
Obliczamy pojemność zastępczą układu . Kondensatory C1 i C2 są połączone szerego­
Stą'
wo, zatem zgodnie ze wzorem (2.67):
Ci, z =
C1 C2
C1 + C2
=
1200 · 600
1200 + 600
=
400 pF
Kot
z ni
Kondensatory C3 i C4 są połączone równolegle , więc zgodnie ze wzorem (2.63):
C3, 4 = C3 + C4 = 300 + 200 = 500 pF
\
Kondensator C3, 4 jest połączony szeregowo z kondensatorem C5 , zatem:
C3 4 5
• •
_
-
C3 , 4 Cs
=
C3, 4 C5
+
Ład
·
500 500
500 + 500 = 250 pF
Kondensator C3, 4, s jest połączony równolegle z kondensatorem C1, 2 , a więc pojemność
zastępcza całego układu:
Cz = C3, 4, 5 + C1, 2 = 400 + 250 = 650 pF
Na zaciskach kondensatorów C1 i C2 połączonych szeregowo występuje napięcie
U = 300 V. Napięcie to rozdziela się na poszczególne kondensatory odwrotnie propor­
cjonalnie do ich pojemności, gdyż przy połączeniu szeregowym kondensatorów, na
każdym z nich występuje ten sam ładunek, czyli:
Q1,2 = C1 U1 = C2 U2 = C1, 2 U
Stąd:
Pyt;
2.1 .
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
40
Ładunek jest równy:
Q1, 2 = 400 · 1 0- 1 2 300 = 1 2 · 10-s C
·
Zatem napięcie:
Q1, 2 = 12 . 10--1s 2 = 100 V
1200 · 10
Q1, 2 = 12 . 10-s 2 = 200 V
U2 =
600 · 10- 1
U1 =
C1
C2
U = U1 + U2 = 100 + 200 = 300 V
Napięcie U = 300 V występuje też na zaciskach połączonych szeregowo kondensato­
rów C3, 4 oraz Cs , czyli:
U = U3, 4 + Us
Stąd wynika, że napięcie:
1
1
U3, 4 = Us = 2 U = 2, 300 = 1 50 V
·
Kondensatory C3 i C4 są połączone równolegle , wobec tego na zaciskach każdego
z nich występuje to samo napięcie:
U3 = U4 = U3, 4 = 150 V
Ładunki na okładzinach poszczególnych kondensatorów:
/
Q 1 = Q1 = Q1 , 2 = 1 2 10-5 C
·
Q3 = C3 U3 = 300 · 10- 1 2 · 1 50 = 4,5 10-8 C
·
1
s
Q4 = C4 U4 = 200 · 10- 2 · 150 = 3 10- C
·
1
Qs = Cs Us = 500 · 1 0- 2 · 1 50 = 7,5 · 1 0-8 C
ie
•r[la
Należy zwrócić uwagę, że Q3 + Q4 = Qs .
Pytania i polecenia li....
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
2 . 1 . Co to jest elektryzacja i w jaki sposób można elektryzować ciała?
2 .2 . Na czym polega prawo zachowania ładunku?
2 . 3 . Co to jest gęstość ładunku elektrycznego i jakie znasz rodzaje gęstości ładunków?
2.4. Co to jest przenikalność elektryczna względna środowiska? Ile wynosi przenikalność elektryczna
próżni?
2 . 5 . Podaj definicję pojęcia natężenie pola elektrycznego.
2 .6. Co to jest pole elektryczne równomierne?
www.wsip.com.pl
41
I
2. 7. Co to jest potencjał elektryczny pola elektrycznego?
2 .8. Co to są linie ekwipotencjalne? Jak przebiegają linie ekwipotencjalne wokół ładunku punktowego?
2.9. Podaj treść twierdzenia Gaussa i je wyjaśnij.
2 . 1 O. Co to jest wytrzymałość elektryczna dielektryka i jakie ma (może mieć) znaczenie praktyczne podaj przykłady.
2 . 1 1 . Czy energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora zależy od pojemności kondensatora?
2 . 1 2 . Od jakich wielkości fizycznych zależy pojemność kondensatora:
a) od napięcia na jego zaciskach
b) od ładunku na jego okładzinach
c) od jego wymiarów i własności dielektryka
d) tylko od własności dielektryka
2 . 1 3 . Jak należy łączyć kondensatory o jednakowej pojemności, aby uzyskać zwiększenie pojemności
układu:
a) szeregowo
b) równolegle
c) w dowolny sposób
d) to zależy od pojemności łączonych kondensatorów
2 . 1 4. W jakich jednostkach mierzymy pojemność:
a) w henrach
b) w faradach
c) w kulombach
d) w henrach na metr
2 . 1 5. W jakich jednostkach mierzymy natężenie pola elektrycznego:
a) w woltach na metr
b) w kulombach na metr
c) w woltach
d) w amperach na metr
2 . 1 6. W układzie kondensatorów pokazanym na rysunku 2.21 : C1 =
pF, C2 = 300 pF.
C3 = 400 pF. Pojemność zastępcza wynosi:
I
3.1
I
�
100
a) C =
200 pF
b) C = 800 pF
c) C =
100 pF
d) C = 400 pF
r��
0
R�. 221. Soh=t obwOOo
do pytania 2 .16
d 1
d
=
ł
Prą1
nym
nycl
a) zj
tę
d1
b) p1
W ;
naz)
ruch
dan;
pod
w ,
naz)
dunl
prze
go (
prze
czas
a je;
prą<
6
kV. Od­
2 . 1 7 . Kondensator płaski o pojemności C = 400 pF jest dołączony do źródła napięcia U
ległość okładzin kondensatora wynosi = cm. Nie odłączając kondensatora od źródła napię­
cia, rozsunięto okładziny o 1 cm, tzn. do odległości
2 cm. Czy energia zawarta w polu elek­
trycznym kondensatora w wyniku rozsunięcia okładzin:
a) wzrośnie
b) zmaleje
c) nie zmieni się
d) zmaleje dwukrotnie
3.
=
ł
.,.. '
choc
żarn:
Prąd
Jedn
[AJ -
t
3.
3.1 .
I
'
(
Prąd elektryczny
Rodzaje prądu
elektrycznego.
Gęstość prądu
elektrycznego
Prąd elektryczny jest terminem używa­
nym w elektrotechnice w dwóch odręb­
nych znaczeniach:
a) zjawiska fizycznego wywołanego wys­
tępowaniem pola elektrycznego w śro­
dowisku,
b) pewnej wielkości skalarnej .
W znaczeniu (a) prądem elektrycznym
nazywamy zjawisko uporządkowanego
ruchu ładunków elektrycznych przez ba­
dany przekrój poprzeczny środowiska
pod działaniem pola elektrycznego .
W znaczeniu (b) prądem elektrycznym
nazywamy stosunek elementarnego ła­
dunku elektrycznego b.q przenoszonego
przez cząstki naładowane w ciągu pewne­
go elementarnego czasu b.t przez dany
przekrój poprzeczny środowiska, do tego
czasu, czyli:
-1::.t
l. = !::.q
(3.1)
a jego wartość nazywa się natężeniem
prądu elektrycznego.
�ę­
lek:
T W dokładnym zapisie, używając po­
chodnej funkcji, prąd elektryczny wyra­
żamy zależnością:
i=
ł
�;
(3 . l a)
•
Prąd elektryczny jest wielkością skalarną.
Jednostką prądu elektrycznego jest amper
[A] - tabela 1 . 1 .
www.wsip.com.pl
Jeżeli natężenie prądu elektrycznego
w funkcji czasu nie ulega zmianie, to prąd
taki nazywamy prądem stałym. Do
oznaczenia prądu stałego stosujemy dużą
literę alfabetu /. Przebieg prądu stałego
przedstawiono na rysunku 3 .la.
Jeżeli prąd elektryczny w funkcji czasu
zmienia swoją wartość (czyli jak mówimy
- natężenie prądu ulega zmianie) , to prąd
taki nazywamy prądem zmiennym. War­
tość prądu w określonej chwili nazywamy
wartością chwilową prądu. Do oznacza­
nia wartości chwilowej prądu zmiennego
stosujemy małą literę alfabetu i.
a}
I t-----b}
o
o
f1
Rys. 3.1. Przebiegi prądów w czasie: a) stałego;
b) zmiennego
Przykładowy przebieg prądu zmiennego
przedstawiono na rysunku 3.lb , na któ­
rym zaznaczono wartość chwilową prądu
w chwili t1 • Z punktu widzenia środowi­
ska, w którym następuje ruch ładunków
rozróżniamy prądy: przewodzenia, prze­
sunięcia i unoszenia.
Prąd przewodzenia jest to prąd elek­
tryczny polegający na przemieszczaniu
się elektronów swobodnych lub jonów
w środowisku przewodzącym, pod wpły­
wem pola elektrycznego.
Z prądem przewodzenia mamy do czynie­
nia w metalach , tzn. przewodnikach
pierwszego rodzaju, w elektrolitach, tzn.
przewodnikach drugiego rodzaju, oraz
w półprzewodnikach.
Prąd przesunięcia jest to prąd elektrycz­
ny występujący w dielektryku, polegający
na przemieszczaniu się ładunków dodat­
nich i ujemnych wewnątrz atomu bez na­
ruszenia struktury atomowej materii.
Jednostką gęstości prądu jest amper na
metr kwadratowy
/
Prąd unoszenia i prąd przewodzenia róż­
nią się znacznie pod względem jakościo­
wym. Należy zwrócić uwagę np. na pręd­
kość ruchu elektronów w obu tych
rodzajach prądu. Na przykład prędkość ru­
chu elektronów swobodnych w przewod­
niku metalowym jest rzędu milimetrów na
sekundę, a w lampie próżniowej , jeśli róż­
nica potencjałów między anodą i katodą
wynosi 1 O V, prędkość ta jest bliska
dwóch tysięcy kilometrów na sekundę.
Do określenia zjawisk związanych z ru­
chem ładunków elektrycznych wprowa­
dzimy, wraz z pojęciem prądu elektryczne­
go, wielkość wektorową zwaną gęstością
prądu.
Gęstością prądu elektrycznego nazywa­
my stosunek prądu I do przekroju po­
przecznego S przewodnika. Gęstość prądu
oznaczamy przez J. Zgodnie z definicją:
I
44
l= s
(3 .2)
.
Wel
Doś
im 1
w Il
krój jest podawany przeważnie w milime­
trach kwadratowych [mm2 ] , dlatego często mierzymy gęstość prądu w
prą1
[ n!2 J .
dzie
la el
Zate
Prąd elektryczny
w przewodnikach
3.2.
Prąd unoszenia, zwany też prądem kon­
wekcji, polega na ruchu ładunków elek­
trycznych niezwiązanych z cząstkami ele­
mentarnymi środowiska, w którym te
ładunki się poruszają. Przykładem prądu
unoszenia jest strumień elektronów
w próżni, ruch ładunków wraz z parą
wodną, strumieniem pyłu materialnego
itp „ a więc jest to ruch naładowanych
cząstek materialnych.
[ :2 J W praktyce prze­
I
3.2.1 .
przy 1
ści, z
jest \1
Prawo Ohma.
Rezystancja
i konduktancja
przewodnika
Kon
Jącą
ka. I'
kośc
tych
nostl
Rozpatrzmy element przewodzący o dłu­
gości Z i przekroju S wykonany z prze­
wodnika pierwszego rodzaju (patrz pod­
rozdz . 1 .5), np. metalu (rys. 3.2). Element
ten stanowi odcinek przewodu dołączone­
go do źródła energii elektrycznej , np. do
ogniwa.
przy c
W p1
wyra
Odw
prze2
teriał
Rys. 3.2. Element przewodzący
Jedm
ność
omor
w p
W przewodzie płynie prąd elektryczny /.
Zgodnie ze wzorem (3 .2) możemy obli-
czyć gęstość tego prądu J. Napięcie na
odcinku o długości l oznaczymy przez U.
Przepływ prądu w przewodzie jest wywo­
ływany przez zewnętrzne pole elektryczne, którego natężenie oznaczymy przez .i .
E
w
Zwrot wektora natężenia pola elektrycznego
wewnątrz przewodu jest zgodny
ze zwrotem wektora gęstości prądu ] .
I
r�
Matei
jako I
ność .
w ten
tale c
kondt
Wektory E i ] są ze sobą ściśle związane. bro ze względu na małą wytrzymałość
Doświadczalnie stwierdzono bowiem, że mechaniczną i wysoką cenę, jest stosowa­
im większa jest wartość natężenia poła E ne tylko do specjalnych celów. Najbar­
w przewodzie, tym większa jest gęstość dziej rozpowszechnionym materiałem
prądu J, gdyż ruch ładunków w przewo­ przewodzącym jest miedź. Z miedzi wy­
dzie jest związany z wartością natężenia po­ konuje się uzwojenia maszyn elektrycz­
la elektrycznego działającego na te ładunki. nych, aparatów, przyrządów pomiaro­
wych, przewody linii przesyłowych, styki
Zatem wektor gęstości prądu wynosi:
itp. Drugim szeroko rozpowszechnionym
(3 .3)
l = rE
materiałem przewodzącym jest alumi­
przy czym 'Y oznacza współczynnik proporcjonalno­
nium. Stal ma dużo mniejszą konduktyw­
ści, zwany konduktywnością materiału, z którego
ność od wymienionych materiałów.
jest wykonany przewód.
Wszelkiego rodzaju dodatki stopowe
Konduktywność jest wielkością określa­ zmniejszają konduktywność materiału.
jącą własności przewodzące przewodni­ W elektrotechnice są też stosowane mate­
ka. Na podstawie równania (3 .3) dla wiel­ riały o małej konduktywności, czyli dużej
kości, napiszemy równanie dla jednostek rezystywności. S ą to tzw. stopy rezystan­
tych wielkości, a następnie określimy jed­ cyjne, wykonywane jako stopy żelaza,
miedzi, manganu, niklu, chromu, srebra.
nostkę konduktywności:
Materiały
te, w zależności od rodzaju sto­
[J]
S
1
=
=
pu, noszą nazwy: manganin, konstantan,
[/] [E] =
V m
chromonikielina, kanthal, megapyr itp. Sto­
przy czym S oznacza jednostkę siemens.
py te są stosowane w przyrządach pomiaro­
W praktyce konduktywność przewodnika wych, w urządzeniach grzejnych i innych.
W tabeli 3.1 zestawiono wartości rezy­
wyrażamy w
= 106 � .
stywności i konduktywności najczęściej
Odwrotność konduktywności oznaczamy stosowanych materiałów przewodzących.
przez p i nazywamy rezystywnością ma­ W elektrotechnice mają zastosowanie rów­
nież materiały o bardzo małej konduktyw­
teriału przewodzącego:
ności
(bardzo dużej rezystywności) należą­
1
(3 .4)
p=
ce do grupy nieprzewodników (izolatorów).
-;:.:;
Jednostką rezystywności p jest odwrot­ Wróćmy raz jeszcze do przedstawionego
ność jednostki konduktywności , czyli na rysunku 3 .2 elementu przewodnika.
Z zależności wiążącej napięcie z natęże­
omometr [O · m] .
W praktyce rezystywność wyrażamy niem pola elektrycznego wynika, że dla
elementu z rysunku:
w
= 10-60 · m .
(3 .5)
U = El
\1ateriały stosowane w elektrotechnice
jako przewodniki mają dużą konduktyw­ Na podstawie wzoru (3 .2):
ność. Najlepsze zdolności przewodzenia
! = IS
(3 .6)
w temperaturze normalnej wykazują me­
tąd po uwzględnieniu wzoru (3 .3):
tale czyste. Spośród metali największą S
l = 1ES
(3 .7)
konduktywność ma srebro. Jednakże sre-
- -
�
·m
mA2 .
�
lt
·-
m2
[ D·mm
J
l
I.
li-
na
U.
'0-
:z-
E.
; z-
'
lny
].
= n·m
I I
[ n ·;:i2
m]
]
www.wsip.com.pl
45
Tabela 3.1. Rezystywność i konduktywność materiałów przewodzących
Nazwa materiału
Rezystywność p (
n .m
·1
Konduktywność 1' l /
n . mm2/m
Sim
m/(D mm2)
·
I
Pr
no
Sre b ro
1 ,62 . 10-
8
0,0 1 62
6
62,5 . 1 0
62,5
M iedź przewodowa
1,75 . 10- 8
0,0175
57 . 1 06
57
Aluminium
2,83 . 10-
8
0,0 2 8 3
35,3 . 1 06
35, 3
Cynk
6,3 . 10-
8
0,06 3
6
15,9 . 1 0
1 5, 9
Platyna
1 1 , 1 . 10-
8
0,1 1 1
6
9 . 10
Cyna
1 2 . 10-
8
0,1 2
6
8,33 . 1 0
8, 3 3
M anganin
44 . 10-8
0,44
6
2,3 . 1 0
2, 3
RE
fUJ
48 . 10-
8
0,48
6
2 ,1 . 1 0
2,1
C h romonikielina
1 1 0 . 10- 8
1 ,1 0
6
0,91 . 1 0
0,91
Rezystancja rezystora jest wielkością
stałą i wyraża się stosunkiem napięcia na
rezystorze do wartości przepływającego
przez niego prądu:
(3 .9)
Jednostką rezystancji jest om [!1] . Prze­
wodnik ma zatem rezystancję 1 oma, je­
żeli pod działaniem napięcia o wartości
1 wolta w przewodniku płynie prąd, które­
go wartość jest równa 1 amperowi.
Odwrotność rezystancji nazywamy kon­
duktancją i oznaczamy przez G, zatem:
(3 . 10)
46
śc
OJ
3.
9
Konstantan
Stosunek napięcia U określonego zależ­
nością (3.5) do prądu I określonego zależ­
nością (3 .7) nazywamy rezystancją prze­
wodnika i oznaczamy przez R, zatem:
Za
Jednostką konduktancji jest simens [S] , bę­
dący odwrotnością oma. Ze wzoru (3.8)
wynika, że rezystancja przewodnika zale­
ży od własności mateńału przewodzącego,
którą określa rezystywność lub konduk­
tywność, oraz od długości przewodnika
i jego przekroju. Element przewodzący
o rozpatrywanych własnościach nazywa­
my rezystorem . Symbol graficzny rezy­
stora przedstawiono na rysunku 3.3.
I R
o4--c::J----o
�
Rys. 3.3. Symbol graficzny rezystora
Związek między napięciem, prądem i re­
zystancją został ustalony doświadczalnie
przez Georga S . Ohma w 1 826 r. i nosi na­
zwę prawa Ohma: napięcie U mierzo ne
na końc ac h przewodnika o rezys tancji R
podczas przepływu prądu I jest równe ilo­
czynowi rezystancji i prądu.
te
te1
RE
WJ
stc:
wi
W(
ter
w
żo
gd;
stai
w
w
w
się
ra1
0,(
alz
me
=
Prawo Ohma zapisujemy w dwóch rów­
noważnych postaciach:
U
Rl
(3 . 1 1 )
l = GU
(3 .12)
temperatury, przy zmianach temperatury
nie większych niż !:lT = 200 K .
Bardzo mały współczynnik temperaturo­
wy rezystancji mają stopy oporowe takie,
jak manganin i konstantan . Przykładowo
dla manganinu a = 0,02 · 10-3 l/K. Dla­
tego też stopy te stosuje się do wyrobu
rezystorów wzorcowych.
Niektóre półprzewodniki, takie jak tlenki
manganu, niklu, miedzi i kobaltu, mają
duży ujemny współczynnik temperaturo­
wy rezystancji. Wobec tego ze wzrostem
temperatury ich rezystancja maleje.
Zależność (3 .3) określająca wektor gęsto­
ści prądu: ] = 1E, jest nazywana prawem
Ohma w postaci wektorowej .
3.2.2.
Zależność rezystancji
od temperatury
Rezystancja przewodników zależy od wa­
runków fizycznych, w jakich znajdują się
te przewodniki, a przede wszystkim od
temperatury.
Rezystancja metali czystych zwiększa się
wraz ze wzrostem temperatury, a rezy­
stancja roztworów kwasów, zasad i soli maleje.
Oznaczymy przez Ro rezystancję przewod­
!
3.2.3.
Załóżmy, że na końcówkach rezystora,
przez który płynie prąd /, występuje róż­
nica potencjałów (napięcie) U. Podczas
przepływu prądu I przez przekrój po­
przeczny przewodnika w czasie t prze­
mieści się ładunek:
nika w temperaturze To = 293 K, co odpo­
�.
wiada tp = 20°C. Jeśli temperatura prze­
1-
Q = lt
wodnika zmieni się i osiągnie pewną
temperaturę T kelwinów, to rezystancję
:a
żonego wzoru:
Rr = Ro [l + a (T - To)]
W = UQ = Ult
(3 . 1 3)
Współczynnik temperaturowy rezy­
stancji a jest to względny przyrost re zy ­
stancj i przy wzrośc ie temperatur y o l K .
IR
Jo�
'
Wymiarem tego współczynnika jest [l/K] .
W obliczeniach praktycznych przyjmuje
się średnią wartość współczynnika tempe­
raturowego rezystancji metali równą
0,004 l/K. Wartość tę ma srebro, miedź,
aluminium, przy czym współczynnik a
można przyjąć za stały, niezależne od
www.wsip.com.pl
(3 . 1 5)
Energia ta wydziela się na rezystorze w po­
staci ciepła. Jednostką energii jest dżul [J] .
Napiszemy równanie jednostek odpowia­
dające równaniu wielkości (3.1 5):
gdzie a oznacza współczynnik temperaturowy rezy­
stancji.
le­
lie
ia­
�e
(3. 14)
Energia zużytkowana na przemieszczenie
tego ładunku:
w tej temperaturze Rr obliczymy z przybli­
l-
Moc i energia prądu
elektrycznego
[W] = [U] [l] [t] = V · A · s = W · s = J
·
Jednostka energii elektrycznej - dżul jest więc iloczynem dwóch jednostek:
wata Uednostka mocy) i sekundy.
Korzystając z prawa Ohma w postaci
(3 . 1 1 ) , otrzymamy wzór na energię:
w = RPt
(3 . 1 6)
47
Natomiast w postaci według wzoru (3 . 1 2)
otrzymamy:
W = GU2 t = lf2t
R
i.
Równanie (3 . 1 6) wyraża prawo Joule'a­
·Lenza (1 842 r.), zgodnie z którym energia
elektryczna przekształcana na rezystancji
w ciepło jest wprost proporcjonalna do
kwadratu prądu I, rezystancji przewodnika
R i czasu t.
Stosunek energii prądu elektrycznego do
czasu nazywamy mocą elektryczną
i oznaczamy przez P, zatem:
w
P= = Ul
t
I
(3 . 1 7)
(3 . 1 8)
Jednostką mocy jest wat [W = J/s] . Jak
wynika ze wzoru (3 . 1 8) moc elektryczna
jest równa iloczynowi napięcia i prądu.
Jeżeli do wzoru podstawimy zależności
(3 .16) i (3.17) , określające energię, to otrzymamy:
oraz
P = RI2
(3 . l 9)
P = GU2
(3 .20)
W obliczeniach układów elektrycznych
stosuje się zarówno wzór (3 . 1 8) , jak rów­
nież wzory (3 . 1 9) i (3 .20). Zjawisko prze­
kształcania energii elektrycznej w energię
cieplną znajduje rozległe zastosowanie
w praktyce. Opiera się na nim budowa
większości przemysłowych i komunal­
nych urządzeń grzejnych.
3 . 2 .4.
Rezystory
i ich charakterystyki
Rezystor należy obok kondensatora i cew­
ki (element składający się z pewnej liczby
zwojów przewodnika nawiniętych na rdze­
niu - patrz s. 60) do najbardziej rozpo48
wszechnionych elementów pasywnych
(biernych) stosowanych w układach elek­
trycznych. Wszystkie wymienione ele­
menty łączy wspólna cecha: pobierają one
energię i albo są zdolne do jej magazyno­
wania, albo do jej przetwarzania w inny
rodzaj energii. Rezystor charakteryzuje
się tym, że podczas przepływu przez nie­
go prądu energia elektryczna zamienia się
w energię cieplną.
Rezystory określa tzw. charakterystyka
napięciowo-prądowa, czyli zależność
napięcia na ich końcówkach od przepły­
wającego prądu .
I
i
t
u
Rys. 3.4. Charakterystyka napięciowo-prądowa
rezystora liniowego
u
3.5) (
zatem
Rezyi
porcj4
prost1
układ
1 , na1
ności
osi m
Stosu
od pl
tyce)
towi 1
micz1
Rezy�
porcje
styczr
prądo
m jes1
zależr
I
Rys. 3.5. Charakterystyka napięciowo-prądowa
rezystora nieliniowego
Jeżeli charakterystyka napięciowo-prądo­
wa rezystora jest linią prostą, to rezystor
nazywamy liniowym. Rezystancja takie­
go rezystora nie zależy od napięcia na je­
go końcówkach i nie zależy od prądu
przepływającego przez rezystor. Charak­
terystykę napięciowo-prądową rezystora
liniowego przedstawiono na rysunku 3.4 .
Jeżeli charakterystyka nie jest linią pros­
tą, tak jak na rysunku 3.5, to rezystor
nazy1;
ku ka
warto
Stosu
warto
staty4
Punkt
wo-p1
ł
T Stc
rezysl
w pm
Rezy�
napię1
tzw. '
du w�
nazywamy nieliniowym . W tym wypad­
ku każdej wartości prądu odpowiada inna
wartość rezystancji rezystora.
Stosunek napięcia do prądu, dla kolejnych
wartości prądu , nazywamy rezystancją
statyczną rezystora nieliniowego.
Punktowi 1 na charakterystyce napięcio­
wa-prądowej rezystora nieliniowego (rys.
3 .5) odpowiada napięcie U1 oraz prąd li ,
u = cJf3
(3 .23)
w którym (3 oznacza współczynnik nieliniowości.
Charakterystykę napięciowa-prądową wa­
rystora przedstawiono na rysunku 3.6.
u
zatem rezystancja statyczna w tym punkcie:
u,
Rs = Y; = mtg a
Rezystancja statyczna rezystora jest pro­
porcjonalna do tangensa kąta nachylenia
prostej przechodzącej przez początek
układu współrzędnych oraz przez punkt
1 , natomiast współczynnik proporcjonal­
ności m zależy od przyjętej podziałki na
osi napięcia i na osi prądu .
Stosunek przyrostu napięcia (przy przejściu
od punktu 1 do punktu 2 na charakterys­
tyce) do odpowiadającego mu przyros­
towi prądu nazywamy rezystancją dyna­
miczną rezystora nieliniowego , czyli:
t;.U
Rd = M = mtg (3
-
(3 .22)
Rezystancja dynamiczna rezystora jest pro­
porcjonalna do tangensa kąta nachylenia
stycznej do charakterystyki napięciowo­
prądowej rezystora w punkcie 1 , natomiast
m jest współczynnikiem proporcjonalności
zależnym od przyjętej podziałki.
oor
ie-
je-
�u
lkora
1.4.
os�or
I
I
(3 .2 1 )
T Stosując pojęcie pochodnej , wyrażamy
rezystancję dynamiczną za pomocą wzoru
w postaci:
(3 .22a)
...
Rezystorem o nieliniowej charakterystyce
napięcia w funkcji prądu jest przykładowo
tzw. warystor. Zależność napięcia od prą­
du warystora jest określona równaniem:
www.wsip.com.pl
Rys. 3.6. Charakterystyka napięciowa-prądowa
warystora
Warystory są stosowane do stabilizacji
napięcia i do ochrony urządzeń elektrycz­
nych przed przepięciami , tzn . napięciami
występującymi w warunkach awaryjnych
i przekraczającymi napięcie znamionowe
urządzenia.
3.2.5.
Zasady g rzejnictwa
rezystancyjnego
Nagrzewanie rezystancyjne (oporowe)
jest to metoda nagrzewania elektryczne­
go , oparta na zjawisku Joule' a w ośrodku
przewodzącym stałym, zasilanym ze źró­
dła napięcia. Już w 1 80 1 r. (tzn. jeszcze
przed sformułowaniem prawa Joule'a­
-Lenza) L. Tenar przeprowadził doświad­
czenie , polegające na nagrzewaniu prą­
dem elektrycznym drutu platynowego.
Kilka lat później skonstruowano laborato­
ryjne urządzenie rezystancyjne do nagrze­
wania bezpośredniego wsadu. Stosowa­
nie metody nagrzewania rezystancyjnego
w przemyśle rozpoczęto w latach 80.
XIX wieku . Metody tej użyto do topienia
rud miedziowo-cynkowych. Jednocześnie
49
nagrzewanie rezystancyjne zaczęto wy­ wystarczającego. Prąd elektryczny nie
korzystywać do celów bytowych. Pojawi­ może powstać , gdyż w próżni nie wystęły się pierwsze ogrzewacze, które szybko 1 pują elektrony swobodne.
zostały rozpowszechnione.
Wobec tego do przestrzeni międzyelek­
Fizycznie zjawisko nagrzewania rezy­ trodowej należy wprowadzić cząstki ob­
stancyjnego można przedstawić w sposób darzone ładunkiem. Można to osiągnąć,
następujący. Jak wiadomo prąd przewo­ wykorzystując zjawisko emisji elektro­
dzenia polega na przemieszczeniu się nów, tj . zjawisko fizyczne umożliwiające
elektronów swobodnych w środowisku otrzymywanie elektronów swobodnych
przewodzącym. Energia niesiona przez z powierzchni ciał stałych.
elektrony w czasie przepływu prądu prze­
wodzenia ujawnia się pod postacią energii
cieplnej . Moc cieplna wywołana zjawi­
skiem Joule' a-Lenza jest, zgodnie ze
wzorem (3 . 1 9) , proporcjonalna do kwa­
dratu prądu , przy czym R jest rezystancją
materiału , z którego wykonano element
grzejny. Do budowy ogrzewaczy stosuje
Rys. 3.7. Obwód składający się z lampy elektro­
się elementy grzejne wykonane z materia­ nowej , ogniwa i rezystora
łu o dużej rezystywności, takiego jak:
manganin, konstantan i chromonikielina Elektron swobodny poruszający się z pew­
(tab. 3 . 1 ) . Procesy zachodzące w urządze­ ną prędkością (mający pewną energię
niach przemysłowych, w których stosuje kinetyczną) może opuścić katodę. W tej
się nagrzewanie rezystancyjne są dość chwili jednak katoda, której zabrakło elek­
złożone i nie będą tu rozpatrywane.
tronów, staje się dodatnia i zaczyna przy­
tv
3.3.
Prąd elektryczny
w próżni
Obecnie omówimy budowę i działanie
lampy dwuelektrodowej , czyli elementu
prostowniczego - diody (rys. 3.7) . Lampa
ta ma dwie elektrody umieszczone w bań­
ce szklanej , w której istnieje próżnia. Jed­
na elektroda, zwana anodą A , jest dołą­
czona do bieguna dodatniego ogniwa,
a druga elektroda, zwana katodą K, jest
dołączona do bieguna ujemnego ogniwa.
Różnica potencjałów występująca między
elektrodami wywołuje w próżni pole
elektryczne . Pole to jest konieczne do po­
wstania prądu , ale nie stanowi warunku
50
I
zwam
możn;
w który
zywane
I
I
�
ciągać elektron. Na elektron oddziałuje też
pole elektryczne wywołane różnicą poten­
cjałów między katodą i anodą, powodując
przyciąganie elektronu przez anodę. Blisko
katody dominuje siła przyciągania katody,
dalej - anody. Jeżeli elektron zdoła do­
trzeć do miejsca, gdzie dominuje oddzia­
ływanie anody, to nie zawróci do katody,
lecz dotrze do anody i popłynie prąd elek­
tryczny. Elektron musi mieć dostatecznie
dużą prędkość, aby zdołał pokonać hamu­
jące działanie katody i wejść w obszar przy­
ciągania anody Uest tu analogia do wy­
maganej prędkości podczas lotu z Ziemi
na Księżyc) . Zamiast mówić o prędkości
początkowej elektronu, możemy mówić
o jego energii, gdyż oddalenie się od kato­
dy wymaga wykonania pewnej pracy,
I
Jedny
wania
grzani
dzięki
ska e
elektr1
tronO\
emite
grzew
Emisj;
pować
tem e1
Na pr.
toemii
promie
konan
Elektr·
kół ni1
ładuru
w pn
elektr:
chmur
sób pe
wym i
uwagę
anodo·
go Z\\
anodo·
SCl ZW
styka I
liniow
od terr
Jeżeli
źródła
nek p<
się, w
przesu
e
ł
>­
f'
>­
:e
:h
I
�­
eż
:n­
iąc
ko
�y,
Io-
ia­
dy,
�k­
nie
llU-
zy­
�)'­
:mi
..ści
wić
ltO­
K:y,
'
zwanej pracą wyjścia. Pracę wyjścia Wo
--- T3
można wyrazić wzorem:
Wo = eUo
--- T2
---- Ti
(3 .24)
w którym e oznacza ładunek elektronu, a Uo jest na­
zywane barierą potencjału.
Jednym ze sposobów ułatwienia emito­
wania elektronów z katody jest jej pod­
grzanie . Wyzwalanie elektronu z metalu
dzięki energii cieplnej nosi nazwę zjawi­
ska emisji termoelektronowej . Źródło
elektronów swobodnych w lampie elek­
tronowej , którym jest katoda, nazywamy
emiterem. Katody (wolframowe) są na­
grzewane do temperatury 1 900-;--2200°C .
Emisja elektronów z katody może nastę­
pować również w inny sposób niż kosz­
tem energii cieplnej .
Na przykład emisja fotoelektronowa (fo­
toemisja) następuje w wyniku działania
promieniowania świetlnego na katodę (wy­
konaną z metalu o małej pracy wyjścia) .
Elektrony emitowane z katody tworzą wo­
kół niej chmurę elektronową o ujemnym
ładunku przestrzennym. Dzięki działaniu
w przestrzeni międzyelektrodowej pola
elektrycznego część elektronów z tej
chmury kieruje się do anody. W ten spo­
sób powstaje prąd zwany prądem anodo­
wym i oznaczany przez la . Należy zwrócić
uwagę na fakt, że zwiększanie napięcia
anodowego nie powoduje nieograniczone­
go zwiększania prądu anodowego; prąd
anodowy jest zwiększany tylko do warto­
ści zwanej prądem nasycenia. Charaktery­
styka prądowo-napięciowa diody jest nie­
liniowa, a jej przebieg zależy dodatkowo
od temperatury katody (rys. 3.8).
Jeżeli dołączamy katodę do zacisku (+)
źródła, a anodę do zacisku ( -), to kieru­
nek pola elektrycznego w lampie zmieni
się, w związku z czym elektrony zaczną
przesuwać się do katody. Wobec tego prąd
www.wsip.com.pl
o
Rys. 3.8. Charakterystyki prądowo-napięciowe
diody dla różnych wartości temperatury katody
w lampie nie płynie. Lampa przewodzi prąd
tylko w jednym kierunku. Należy ona do
grupy elementów zwanych zaworami elek­
trycznymi. Charakterystyka rozpatrywanej
lampy próżniowej jest niesymetryczna. _..
3 4
.
.
Prąd elektryczny
w gazach
Prąd elektryczny w środowisku gazowym
pod wpływem zewnętrznego pola elek­
trycznego przepływa tylko wówczas , gdy
w środowisku tym znajdują się nośniki ła­
dunku elektrycznego, tzn. elektrony lub
jony dodatnie . Gaz znajdujący się w wa­
runkach normalnych ma własności die­
lektryka. Większość atomów i cząsteczek
jest obojętna elektrycznie, a niewielka
liczba elektronów i jonów dodatnich nie
może spowodować powstania prądu
o znaczącej wartości.
Proces podziału elektrycznie obojętnego
atomu lub cząsteczki, polegający na ode­
rwaniu jednego lub większej liczby elek­
tronów od atomu, nosi nazwę jonizacji.
Jonizacja może powstać w wyniku dostar­
czenia z zewnątrz pewnej energii. Jeżeli
energia ta jest zbyt mała, to nastąpi jedy­
nie pobudzenie atomu , polegające na
przejściu elektronu na inną orbitę. Joniza­
cja atomu jest zatem możliwa, jeśli będzie
dostarczona odpowiednia ilość energii,
St
zwanej energią jonizacji. Energia ta jest
różna dla różnych gazów. Ze względu na
sposób dostarczenia energii rozróżnia się
jonizację termiczną, jonizację zderzenio­
wą i fotojonizację.
Jonizacja termiczna gazu jest wywołana
zwiększeniem energii kinetycznej cząste­
czek pod wpływem dostarczonej energii
cieplnej .
Jonizacja zderzeniowa gazu jest wywo­
łana zderzeniami nieelastycznymi elek­
tronów o dużej energii kinetycznej z ato­
mami , w wyniku czego elektrony są
wybijane z orbit atomowych. Elektrony te
uzyskują dużą energię kinetyczną (dużą
prędkość) pod wpływem działania pola
elektrycznego o dużym natężeniu .
Fotojonizacja polega na wytrąceniu elek­
tronów z atomów naświetlanych promie­
niowaniem elektromagnetycznym o dużej
energii, przewyższającej energię jonizacji.
Jonizacja gazu następuje pod działaniem
promieni kosmicznych, promieni rentge­
nowskich i innych rodzajów promienio­
wania, w wysokiej temperaturze i pod
wpływem silnych pól elektrycznych.
W stanie zjonizowanym gaz staje się ga­
zem przewodzącym.
Przepływ prądu w gazie, uzależniony od
procesów jonizacyjnych, nazywamy wy­
ładowaniem elektrycznym . Twórcą teorii
wyładowania w gazach był fizyk angielski
John Townsend ( 1 900 r.). Wyładowania
elektryczne w gazie dzielimy na samoist­
ne (samodzielne) i niesamoistne (niesa­
modzielne) .
Wyładowanie elektryczne w gazie nazy­
wamy niesamoistnym , jeżeli jest ono
uwarunkowane oddziaływaniem na gaz
jonizującego czynnika zewnętrznego
i znika po ustaniu działania tego czynni­
ka. Przykładem wyładowania niesamoist­
nego jest tzw. wyładowanie ciemne. Prze52
pływ prądu wynika tu jedynie z ukierun­
kowanego przez pole elektryczne ruchu
ładunków swobodnych znajdujących się
w obszarze między elektrodami , do któ­
rych doprowadzono napięcie . Wyładowa­
nie ciemne przebiega bez efektów świetl­
nych.
Wyładowanie elektryczne w gazie nazy­
wamy samoistnym , jeżeli po usunięciu
czynnika jonizującego (np. promieniowa­
nia) wyładowanie to utrzymuje się nadal .
W procesie wyładowania samoistnego
istotne znaczenie ma jonizacja zderzenio­
wa. Rozróżnia się kilka rodzajów wyłado­
wań samoistnych: jarzeniowe, iskrowe,
ulotowe i łukowe.
Wyładowanie jarzeniowe charakteryzu­
je się świeceniem gazu. Różne gazy pod­
czas wyładowania jarzeniowego świecą
różnymi barwami. Dlatego też wyładowa­
nie to wykorzystuje się do wykonywania
np. reklam świetlnych.
Wyładowanie iskrowe charakteryzuje
się tym, że pod wpływem pola elektrycz­
nego jonizacja gazu przybiera charakter
lawinowy; przestrzeń wypełniona gazem
staje się przewodząca i między elektroda­
mi, do których doprowadzono napięcie,
przeskakuje iskra. Jeżeli przestrzeń mię­
dzy elektrodami jest wypełniona powie­
trzem, to przy określonej odległości elek­
trod wyładowanie iskrowe następuje przy
ściśle określonej wartości napięcia dopro­
wadzonego do tych elektrod. Zjawisko to
wykorzystuje się m. in. do budowy wyso­
konapięciowych mierników napięcia
elektrycznego, zwanych iskiernikami.
Wyładowanie ulotowe charakteryzuje
się świeceniem gazu w otoczeniu elektro­
dy i występuje w wypadku znacznej nie­
równomierności pola elektrycznego w jej
otoczeniu. Wyładowania ulotowe może­
my obserwować w określonych warun-
'
I
'
kacł
tem1
dów
go I
oraz
maj:
wan
strat
dąż)
nio
i ks;
nycł
pięc
Wył
dużi:
napi
go s
oraz
dost
łuku
np.
np . .
kieg
żąda
czas
elek
mag
nien
rakt1
elek1
„
3.5
Zgrn
pod2
zasa'
zalie
dzaj1
cych
gając
dod2
11-
kach atmosferycznych (mgła i dość niska
ny. Stopień dysocjacji zależy od stężenia
bu
temperatura) w nocy w otoczeniu przewo­
roztworu i jego temperatury.
nę
dów linii elektroenergetycznych wysokie­
Przewodnictwo elektryczne elektroli­
lÓ­
go napięcia, zwłaszcza przy izolatorach
tów ma charakter jonowy. Pod wpły­
ra­
oraz na elementach układu przesyłowego , : wem pola elektrycznego w elektrolicie
tl-
mających budowę ostrzową. Z wyłado­
następuje przepływ prądu elektrycznego,
waniami ulotowymi wiążą się znaczne
polegający na ruchu jonów dodatnich i jo­
straty energii elektrycznej i dlatego też
nów ujemnych. Cechą charakterystyczną
dąży się do ich eliminowania, odpowied­
przewodnictwa jonowego jest występo­
nio
wanie zmian chemicznych w środowisku
,a­
dobierając
przekroje
przewodów
�l .
i kształty elementów urządzeń elektrycz­
przewodzącym, jakim jest elektrolit.
lgO
nych znajdujących się pod wysokim na­
Do naczynia napełnionego elektrolitem
io­
p1ęc1em .
zanurzamy dwie elektrody metalowe, któ­
io-
\Vyładowanie łukowe charakteryzuje się
re łączymy ze źródłem energii elektrycz­
dużą gęstością prądu i małym spadkiem
nej (rys. 3.9).
napięcia. Ze zjawiskiem łuku elektryczne­
zu-
go są związane wyraźne efekty świetlne
00-
oraz cieplne. Podtrzymanie łuku wymaga
ecą
dostarczenia dużej ilości energii. Zjawisko
„ a-
łuku elektrycznego jest wykorzystywane
np. do celów oświetleniowych. Często,
np. w urządzeniach elektrycznych wyso­
u
·===�
- =�-=
------ - -------- -- -
-
llJe
kiego napięcia, łuk elektryczny jest niepo­
ICZ­
żądany. Gaszenie łuku elektrycznego pod­
rter
czas rozwierania styków w aparatach
:em
elektrycznych wysokiego napięcia wy­
Elektrodę dołączoną do zacisku (+) źródła
da-
maga stosowania komór gaszeniowych,
nazywamy anodą , a elektrodę dołączoną
cie,
nieraz o bardzo złożonej konstrukcji. Cha­
do zacisku ( - ) nazywamy katodą . Pod
ruę­
rakterystyka napięciowo-prądowa łuku
wpływem doprowadzonego do elektrod
•·ie­
elektrycznego jest „silnie" nieliniowa . ..6.
napięcia U, w elektrolicie powstaje pole
-
--
Rys. 3.9. Przepływ prądu elektrycznego w elektrolicie
lek­
elektryczne, zwrócone od anody do kato­
rzy
dy. Pole elektryczne działające na jony
Prąd e lektryczny
w elektrol itach
powoduje ich ruch, przy czym jony do­
Zgodnie z dokonanym w podrozdz. 1 .5
się w elektrolicie nie wchodzą w reakcje
3.5.
pro­
o to
�·so­
�ia
podziałem ciał przewodzących, roztwory
WJe
;trO-
me• JeJ
oże-
run-
anody. Jony te podczas przemieszczania
chemiczne . Dopiero po zetknięciu się
zasad, kwasów i soli, zwane elektrolitami ,
z elektrodami stają się obojętne .
zaliczamy do przewodników drugiego ro­
Jony dodatnie po osiągnięciu katody łączą
dzaju. Pod wpływem wody w roztworach
się z elektronami swobodnymi, a jony
tych następuje zjawisko dysocjacji, pole­
ujemne po osiągnięciu anody oddają jej
gające na rozpadzie cząsteczek na jony
nadwyżki elektronów. Zjawiskom tym
dodatnie - kationy i jony ujemne - anio-
towarzyszą procesy chemiczne .
www.wsip.com.pl
I
datnie dążą do katody, a jony ujemne - do
53
I
Podczas elektrolizy na katodzie wydziela
się wodór lub metal , na anodzie przebie­
ga natomiast proces utleniania. Wraz
z ruchem jonów w kierunku odpowied­
nich elektrod jest przenoszona pewna
masa odpowiadająca masie cząsteczko­
wej jonu. Masę tę, wydzieloną w proce­
sie elektrolizy, określa prawo Faradaya,
zgodnie z którym masa m substancji
wydzielonej na elektrodzie podczas elek­
trolizy jest proporcjonalna do ładunku
elektrycznego Q przenoszonego przez
elektrolit:
m = kQ
(3.25)
przy czym współczynnik k nazywamy równoważni­
kiem elektrochemicznym i mierzymy w kilogra­
mach na kulomb [kg/C].
Równoważnik elektrochemiczny jest róż­
ny dla różnych substancji i wynosi przy­
kładowo: dla miedzi 0 ,329 mg/C, dla sre­
bra 1 , 1 1 8 mg/C, dla chromu 0 , 1 8 mg/C,
dla cynku 0 ,339 mg/C. Ładunek, zgodnie
ze wzorem (3. 14) , jest równy iloczynowi
prądu przez czas, zatem prawo Faraday' a
możemy też napisać w postaci:
m = klt
(3 .26)
Elektroliza ma liczne zastosowania prze­
mysłowe. Drogą elektrolizy, w tzw. wan­
nach elektrolitycznych, otrzymujemy
czystą miedź , zwaną miedzią elektroli­
tyczną. Powszechnie jest stosowana gal­
wanoplastyka, polegająca na powlekaniu
cienką warstwą metalu przedmiotów me­
talowych i wyrobów niemetalowych .
W wyniku galwanostegii pokrywamy me­
tale cienką warstwą chromu lub niklu, co
chroni te metale przed korozją, a ponadto
nadaje im estetyczny wygląd. Jedną z me­
tod obróbki metali jest polerowanie elek­
trochemiczne . W wyniku zachodzących
w trakcie elektrolizy procesów chemicz54
nych można również usunąć z przedmio­
tów metalowych drobne nierówności po­
wierzchni.
Zastosowanie zjawiska elektrolizy do wy­
robu ogniw elektrochemicznych i akumu­
latorów omówiono w rozdziale 5 . A
3 .6.
Prąd elektryczny
w półprzewodnikach
Do półprzewodników zaliczamy sub­
stancje krystaliczne, których konduktyw­
ność / w temperaturze pokojowej wynosi
I
t
1 0-7 -;.- 105 Sim. Ze względu na zdolność
przewodzenia półprzewodniki zajmują
pośrednie miejsce między przewodnika­
mi a dielektrykami . Półprzewodniki wy­
kazują jednak specyficzne własności, któ­
re są odmienne od własności metali .
W elektronice są stosowane półprzewod­
niki o regularnej budowie krystalicznej ,
charakterystycznej dla pierwiastków IV
grupy okresowej tablicy Mendelejewa, ta­
kie jak: krzem, german, a także związki
pierwiastków III i V grupy oraz II i VI gru­
py, jak np.: arsenek galu, antymonek indu
itp. Zrozumienie zjawiska przewodzenia
prądu w półprzewodnikach jest niemożli­
we bez dokonania analizy jakościowej ob­
razu procesów zachodzących w kryszta­
łach półprzewodników.
Elektrony w atomie zajmują pewne do­
zwolone orbity, którym zgodnie z teorią
mechaniki kwantowej odpowiadają okreś­
lone poziomy energetyczne. W obrębie
układu nie może być dwóch elektronów
o dokładnie takich samych poziomach
energetycznych. Zajmując daną orbitę,
elektron ma pewien określony stan ener­
getyczny. Przejście elektronu z jednej
dozwolonej orbity na drugą wiąże się ze
skokową zmianą jego energii (poziomy
energ
Możl
W W)
gą n
w sk
może
Skok
zuje
przec
W at
mem
tronc
Rys. �
tyczni
Gdy
dync
z du:
przeI
JąCe
nają
rzyst
sąsie
mów
zajm
na je
Stan)
n ego
W I
wiełt
mów
�a J
wale
'
energetyczne są nieciągłe, tzw. dyskretne). znajdujące się w paśmie walencyjnym.
�ożliwość zmiany energii elektronu Do tego, aby elektron z pasma walencyj­
w wyniku przejścia z jednej orbity na dru­ nego „przeskoczył" do przestrzeni mię­
gą nie oznacza, że elektron wchodzący 1 dzywęzłowej , jest niezbędne dostarczenie
w skład struktury atomowej pierwiastka,
mu pewnej energii, którą oznaczymy
może zająć dowolny poziom energetyczny. przez .ó. W. W przestrzeni międzywęzło­
Skokowa zmiana energii elektronu wska­ wej elektron może zajmować stany w tzw.
zuje na to, że poziomy dozwolone są paśmie przewodnictwa .
przedzielone poziomami · zabronionymi .
W atomie najwyżej obsadzonym pozio­
w
mem energetycznym jest poziom elek­
Pasmo przewodnictwa
i-
si
�
ją
a­
\·-
ó­
li .
.�ej ,
rv
ta­
tki
ru­
du
nia
m­
ob­
rta-
do­
orią
reś.­
(bie
IÓW
iach
•itę ,
ner­
dnej
� ze
omy
tronów walencyjnych (rys. 3.10) .
w
-0--
-0--
8
· - -
-0-+
Pasmo zabronione
Orbita z elektronami
walencyjnymi
}OMy
Rys. 3.11. Położenie elektronów walencyjnych
w paśmie walencyjnym
Jadro atomu
Rys. 3.10. Uproszczony model poziomów energe­
tycznych atomu
Gdy przejdziemy od analizy atomu poje­
dynczego do kryształu , utworzonego
z dużej liczby jednakowych atomów, to
przekonamy się, że na elektrony znajdu­
jące się na orbitach zewnętrznych zaczy­
nają działać siły nie tylko jądra macie­
rzystego, ale również siły jąder atomów
sąsiednich. Elektrony walencyjne ato­
mów położonych blisko siebie mogą
zajmować określone stany położone nie
na jednym poziomie energetycznym, ale
stany z całego tzw. pasma energetycz­
nego z zachowaniem zasady Pauliego.
W próbce kryształu pasmo zawiera
wiele blisko siebie położonych pozio­
mów energetycznych.
:-.ra rysunku 3.11 oznaczono elektrony
walencyjne biorące udział w wiązaniu,
www.wsip.com.pl
Na rysunku 3.12 przedstawiono uprosz­
czony model pasmowy półprzewodnika.
W procesie przewodzenia prądu w pół­
przewodnikach istotną rolę odgrywają za­
tem trzy wymienione pasma energetyczne:
a) przewodnictwa,
b) zabronione ,
c) walencyjne.
+
+
+
+
+
+
Jadra atomów
Rys. 3.12. Uproszczony model pasmowy półprze­
wodnika
W temperaturze zera bezwzględnego
w półprzewodnikach wszystkie poziomy
energetyczne w paśmie walencyjnym są
obsadzone elektronami walencyjnymi,
55
,
/
uczestniczącymi w procesie wiązań che­
micznych . Natomiast w paśmie prze­
wodnictwa nie ma elektronów. Konduk­
tywność półprzewodnika jest więc w tej
temperaturze równa zeru, gdyż jak już
wspomnieliśmy, w paśmie przewodnictwa
brak elektronów, a w paśmie walencyjnym
wprawdzie są elektrony, ale obsadzają
wszystkie wolne miejsca. Ruch elektro­
nów jest niemożliwy, podobnie jak nie­
możliwy jest ruch samochodów na parkin­
gu szczelnie zapełnionym samochodami.
Szerokoś ć pasma zabronionego określa
się ilością energii (w elektronowoltach) ,
jaką elektron musi uzyskać do „przesko­
czenia" tego pasma i przejścia z pasma
walencyjnego do pasma przewodnictwa.
Dla półprzewodników energia ta w tem­
peraturze normalnej (pokojowej) wynosi
ok. 0 ,573 eV.
W temperaturze normalnej (pokojowej)
pasmo przewodnictwa jest wypełnione
przez elektrony swobodne, których ukie­
runkowany ruch jest możliwy pod wpły­
wem działania pola elektrycznego. Czy­
sty german Ge ma w tej temperaturze
pasmo zabronione o szerokości 0,67 eV,
a czysty krzem Si - 1 ,1 2 eV.
Czyste półprzewodniki o budowie ideal­
nej nazywamy półprzewodnikami samo­
istnymi . Schemat obrazujący powiązania
atomów w krysztale germanu przedstawi­
liśmy na rysunku 1 .3 . Każdy atom przez
swoje elektrony walencyjne wiąże cztery
sąsiednie atomy, tworząc strukturę bar­
dzo trwałą i elektrycznie obojętną. Uwol­
nienie elektronów z wiązań wymaga, jak
już wspomnieliśmy, dostarczenia energii
równej co najmniej szerokości pasma za­
bronionego. Jednym z rodzajów energii
jest energia cieplna. W miarę wzrostu
temperatury kryształu, zwiększa się ener­
gia elektronów i coraz więcej elektronów
56
uzyskuje energię odpowiadającą energii
pasma przewodnictwa.
Po przejściu elektronów do pasma prze­
wodnictwa, w paśmie walencyjnym po­
wstają wolne stany energetyczne (rys.
3.13) , gdyż uwolniony z wiązań elektron
pozostawia puste miejsce w wiązaniu .
Puste miejsca powstające w poszczegól­
nych stanach energetycznych mogą być
zajmowane przez sąsiednie elektrony z pa­
sma walencyjnego. Pewna liczba elektro­
nów znajdujących się w paśmie walencyj­
nym może się więc przemieszczać dzięki
pustym miejscom w tym paśmie, tworząc
prąd elektryczny.
Przemieszczające się, jak gdyby, puste
miejsca przyjęto nazywać dziurami.
Pasmo przewodnictwa
Pasmo zabronione
Rys. 3.13. Powstawanie dziur w pasmie walencyjnym
W półprzewodnikach prąd elektryczny
jest wywołany ruchem elektronów swo·
bodnych i dziur (rys 3.14), przy czym
zdolność wytwarzania prądu elektryczne­
go jest zależna od koncentracji elektro­
nów swobodnych i dziur oraz ich ukierun­
kowanego przemieszczania się pod
wpływem pola elektrycznego. Koncentra­
cja elektronów swobodnych, rozumiana
jako liczba elektronów przypadająca na
jednostkę objętości, jest w półprzewodni­
ku mniejsza niż w metalu tysiące, a nawet
miliony razy. Tym można m.in. tłumaczyć
różnice w wartości konduktywności pół­
przewodnika i metalu .
I
w
Ry
nik
zn<
ter
wi
zw
a'
Je�
tw1
la]
rat
wz
dzi
się
ele
kac
dzi
pol
sar
jąc
prą
Ru
wa
dzi
kó'
dzi
Prz
nik
tyn
•w
I
ii
I­
s.
ll1
Il.
l­
rć
a­
:>­
J­
li
te:
te
lll
J
ny
ro­
rm
ie­
ro­
m­
K>d
ra­
ma
na
lni­
wet
eyć
IÓł-
w i--������-... E
Kierunek ruchu elektronów
e
e
e
e
e w pasmie przewodnictwa
Pasmo zabronione
w
e
e
e
e
e
Pasmo zabronione
- - - Poziom elektronu z atomu
domieszki meb1ora,cego
udziału w wia,zamu
8 8
8
e8 e 8 e8 e8 e8
Kierunek ruchu
Kierunek
elektronu walencyjnego ruchu dziury
Rys. 3.14. Rodzaje przewodnictwa w półprzewod­
nikach
Jednakże porównanie półprzewodnika
i metalu wskazuje też na występowanie
znacznej różnicy, jeżeli chodzi o wpływ
temperatury na konduktywność. Jak już
wiemy, w miarę wzrostu temperatury
zwiększa się rezystancja przewodników,
a więc zmniejsza się ich konduktywność.
Jest to wywołane zmniejszaniem się ła­
twości poruszania się elektronów w sieci
krystalicznej w miarę wzrostu jej tempe­
ratury. W półprzewodnikach w miarę
wzrostu temperatury (w pewnych prze­
działach) ich konduktywność zwiększa
się, gdyż zwiększa się koncentracja
elektronów swobodnych. W przewodni­
kach liczba nośników nie zależy w zasa­
dzie od temperatury. Po doprowadzeniu
pola elektrycznego do półprzewodnika
samoistnego elektrony swobodne, znajdu­
jące się w paśmie przewodnictwa, tworzą
prąd elektronowy.
Ruch elektronów walencyjnych w pasmie
walencyjnym, polegający na wypełnianiu
dziur, możemy traktować jako ruch ładun­
ków dodatnich; nazywamy go prądem
dziurowym .
Przewodnictwo elektryczne półprzewod­
ników samoistnych charakteryzuje się
tym, że:
w temperaturze normalnej (pokojowej)
zachodzi ono w wyniku ruchu dziur
i elektronów;
•
www.wsip.com.pl
Pasmo przewodnictwa
Pasmo walencyjne
Rys. 3.15. Uproszczony model pasmowy półprze­
wodnika niesamoistnego typu N
• istnieje taka sarna liczba dziur jak elek­
tronów, gdyż uwolnieniu z wiązań jed­
nego elektronu towarzyszy powstanie
jednej dziury;
• prąd całkowity przewodzenia jest sumą
prądu dziur i prądu elektronów.
W praktyce oprócz omówionych półprze­
wodników samoistnych są stosowane tzw.
półprzewodniki niesamoistne . Półprze­
wodniki niesamoistne, produkowane naj­
częściej na bazie germanu i krzemu, po­
wstają w wyniku wprowadzenia do ich
sieci krystalicznej , atomów pierwiastków
3- lub 5-wartościowych. Wprowadzenie
tych domieszek zwiększa przewodnictwo
albo elektronowe, albo dziurowe. Jest to
wywołane tym, że wiązanie w sieci kry­
stalicznej atomów krzemu lub germanu,
wymaga 4 elektronów walencyjnych,
a atom pierwiastka z V grupy ma 5 elek­
tronów walencyjnych. Elektron niebiorą­
cy udziału w wiązaniu, po otrzymaniu
stosunkowo niewielkiej energii przecho­
dzi do pasma przewodnictwa (rys. 3.15) .
W wyniku wprowadzenia do czystego
chemicznie germanu lub krzemu do­
mieszki pierwiastków 5-wartościowych,
np. arsenu lub antymonu, uzyskuje się
więcej elektronów w pasmie przewodnic­
twa niż dziur w pasmie walencyjnym
(rys. 3 . 15). Otrzymany w ten sposób pół­
przewodnik nosi nazwę półprzewodnika
57
typu N. W półprzewodniku takim elek­
trony są głównym nośnikiem ładunku
elektrycznego, decydującym o elektrono­
wym charakterze przewodnictwa elek­
trycznego. Domieszka stosowana w pół­
przewodnikach typu N jest nazywana
domieszką donorową .
W wyniku wprowadzania do czystego
chemicznie germanu lub krzemu domiesz­
ki pierwiastków 3-wartościowych, np. bo­
ru, indu lub glinu, uzyskuje się w paśmie
walencyjnym nadmiar dziur (rys. 3.16).
w 1------
Pasmo przewodnictwa
1--'1��----
Pasmo zabronione
Poziom wio.zania atomu
i---,i,,.....0-----,l...,..,.,. domieszki niezaj�tego
poczo.tkowo przez elektron
·
..._,.�........
..
....
..
....
.,,
.__
..,,
Pasmo walencyjne
/
Rys. 3.16. Uproszczony model pasmowy półprze­
wodnika niesamoistnego typu P
Przykład
Otrzymany w ten sposób półprzewodnik
nosi nazwę półprzewodnika typu P .
W półprzewodniku takim dziury s ą głów­
nym nośnikiem ładunku elektrycznego,
decydującym o dziurowym charakterze
przewodnictwa elektrycznego. Domieszka
stosowana w półprzewodniku typu P
jest nazywana domieszką akceptorową .
Nośniki ładunku, które decydują o ro­
dzaju przewodnictwa półprzewodnika
niesamoistnego nazywamy nośnikami
większościowymi . Przedstawione roz­
ważania o przepływie prądu elektryczne­
go przez półprzewodnik dotyczą prądu
płynącego w obecności pola elektrycz­
nego. W półprzewodnikach, w pewnych
warunkach, jest możliwy przepływ prądu
dyfuzyjnego, wywołanego ruchem elek­
tronów lub dziur pod wpływem chaotycz­
nych drgań sieci krystalicznej . .6..
3.1 I
Oblicz wartość rezystancji przewodu miedzianego o długości l = 1 O km i przekroju
S = 120 mm2 w temperaturze t1 = 20°C i t2 = 40°C.
Rozwiązanie
Korzystamy z tabeli 3 .1, zgodnie z którą rezystywność miedzi Pcu w temperaturze
t1 = 20°C (T = 293 K) wynosi 0 ,0 175
O · mm2
--
m
Zgodnie ze wzorem (3 .8) rezystancja przewodu w temperaturze t1 = 20°C wynosi:
R1 =
Pcu l 0,0 175 · 10 · 103
=
= l , 46 n
120
s
W celu obliczenia rezystancji tego przewodu w temperaturze t2 = 40°C korzystamy ze
wzoru (3 .13):
R1 = Ri ( 1 + allt) = 1 ,46 ( 1 + 0,004 · 20) = 1 ,58 n
58
I
;
Pyta1
3.1.
3.2.
3.3.
3 .4.
3.5.
3 .6.
3.7.
3 .8.
3.9.
3.1 o.
3.1 1 .
3.12.
3 . 1 3.
I Pytania i polecenia !
L-
,_
o,
fe
ta
p
ę.
O­
ta
r
„i
IZ·
IC­
du
:z­
rch
du
l 1 . W jakich dwóch znaaeniach jest używany w elektrotechnice termin „prąd elektryczny"?
3.2. Czym różni się prąd przewodzenia od prądu przesunięcia i prądu unoszenia?
3 . 3 . W jakich postaciach formułuje się prawo Ohma?
3 .4. Od jakich wielkości zależy rezystancja przewodnika?
3.5. Co to jest rezystor nieliniowy? Podaj przykłady rezystorów liniowych i nieliniowych. Czy ten sam
rezystor może być w jednych warunkach pracy uważany za liniowy, a w innych nie - musi być
traktowany jako nieliniowy?
3 .6. Na aym polega zjawisko emisji termoelektronowej?
3 . 7. Podaj przykłady elementów, które mają niesymetryaną charakterystykę napięciowa-prądową.
3 . 8. Na aym polega zjawisko jonizacji i jakie są rodzaje jonizacji atomów lub cząsteczek?
3 .9. Co to jest wyładowanie elektryane? Jakie wyładowanie elektryane w gazie nazywamy samoistnym?
3 . 1 O. Czym charakteryzuje się przewodnictwo elektryane elektrolitów?
3 . 1 1 . Czym charakteryzuje się przewodnictwo elektryczne półprzewodników?
3 . 1 2 . Jak powstają półprzewodniki niesamoistne?
3 . 1 3 . Co to są nośniki większościowe?
:kcz-
/
roju
orze
iy ze
t
www.wsip.com.pl
4.
4. 1 .
Obwody elektryczne prądu stałego
Elementy obwodu.
Pojęcia podstawowe
Obwód elektryczny tworzą elementy po­
łączone ze sobą w taki sposób , że istnieje
co najmniej jedna droga zamknięta dla
przepływu prądu.
Odwzorowaniem graficznym obwodu jest
schemat pokazujący sposób połączenia
elementów, a same elementy są przedsta­
wione za pomocą znormalizowanych
symboli graficznych.
W skład obwodu elektrycznego wchodzą:
•
elementy źródłowe , nazywane też
elementami aktywnymi (czynnymi),
•
elementy odbiorcze , nazywane też
elementami pasywnymi (biernymi) .
W schemacie obwodu elektrycznego źró­
dła energii elektrycznej oznaczamy rów­
nież za pomocą znormalizowanych sym­
boli graficznych (rys. 4.1).
Rys. 4.1. Symbole graficzne źródeł: a) symbol
ogólny źródła napięcia; b) symbol ogniwa
i akumulatora
Końcówki elementu źródłowego służące
do połączenia z innymi elementami bez­
pośrednio lub za pomocą przewodów na­
zywamy zaciskami. Jeden z zacisków
źródła napięcia stałego ma potencjał wyż­
szy i jest to tzw. biegun dodatni, oznaczo­
ny (+), a drugi ma potencjał niższy i jest
to tzw. biegun ujemny, oznaczony (-) .
60
Różnice potencjałów między zaciskami
źródła napięcia, w warunkach gdy źródło
to nie dostarcza energii elektrycznej , na­
zywamy siłą elektromotoryczną lub na­
pięciem źródłowym i oznaczamy przez E.
Biegunowość źródła oznaczamy za po­
mocą strzałki, której grot wskazuje bie­
gun (+ ). W źródłach elektrochemicznych
(rys. 4 .lb) kreska dłuższa oznacza biegun
(+), a kreska krótsza oznacza biegun ( -) .
Elementami odbiorczymi, czyli pasywny­
mi są:
1 . Rezystory, w których podczas prze­
pływu prądu zachodzi nieodwracalny
proces przekształcenia energii elek­
trycznej w energię cieplną.
2. Cewki i kondensatory , w których
energia gromadzi się odpowiednio
w postaci energii pola magnetycznego
cewki i energii pola elektrycznego
kondensatora.
3 . Różnego rodzaju przetworniki ener­
gii elektrycznej w energię mechanicz­
ną (silniki elektryczne) , chemiczną
(np . elektroliza) , świetlną (promienio­
wanie wyładowcze w gazie) itp.
Ponadto na schemacie obwodu elektrycz­
nego nanosimy niekiedy elementy po­
mocnicze, np. przewody łączące, wyłącz­
niki , przełączniki, elementy prostownicze
lub różnego rodzaju przyrządy pomiaro­
we służące do pomiaru prądu (ampero­
mierz), napięcia (woltomierz) , mocy (wa­
tomierz), energii elektrycznej (licznik).
Symbole graficzne niektórych elementów
odbiorczych oraz elementów pomocni­
czych przedstawiono na rysunku 4.2.
Element, którego własności nie zależą od
biegunowości napięcia występującego na
'
jeg<
prą1
ryc:
tryc
den
dio<
bie!
a p1
jest
I
Rys.
1 prz
Ele
no .
skł:
WZ(
SWJ
'.'J'aj
z je
wa,
rez'
na 1
wia
ami
�iło
na-
1 na­
'l.E.
po­
bie­
tych
:gun
1 -) .
myrze­
alny
:lekrych
dnio
JCg�
Jego
ner­
licz­
czną
:nio-
iyczpo­
łącz­
licze
iaro­
>ero­
\Wa-
�).
ntów
ocni4.2.
i.ą od
� na
jego zaciskach i od kierunku przepływu
prądu, nazywamy elementem symet­
rycznym . Przykładem elementu syme­
trycznego jest rezystor drutowy. Przykła­
dem elementu niesymetrycznego jest
dioda, której rezystancja przy określonej
biegunowości napięcia jest bliska zeru,
a przy przeciwnej biegunowości napięcia
jest bliska nieskończoności.
R
o-----C=:J
-<>
Rezystor
L
�
Cewka
�I
Kondensator
[
--<>
�-o
o--------f;>l
-o
��
flement rezystacyjny
nastawny
flement
prostowniczy
La.czmk
� Amperomierz
� Woltomierz
+
J_
J_ Lub�
Watomierz
Uziemienie
Masa
Rys. 4.2. Symbole graficzne wybranych elementów
i przyrządów stosowanych w obwodach elektrycznych
stawiony na rysunku 4.3 możemy nazwać
obwodem nierozgałęzionym, gdyż wy­
stępuje w nim tylko jeden prąd elektrycz­
ny, taki sam w obu elementach. Schematy
obwodów elektrycznych spotykanych
w praktyce są znacznie bardziej skompli­
kowane. Obwód składa się zazwyczaj
z wielu elementów źródłowych i wielu
elementów odbiorczych. Schemat takiego
obwodu zawiera wiele gałęzi i węzłów.
Gałąź obwodu elektrycznego jest utwo-
f�}
Rys. 4.3. Schemat najprostszego obwodu elektrycz­
nego nierozgałęzionego
rzona przez jeden lub kilka połączonych
ze sobą szeregowo elementów (patrz s. 70).
Oznacza to, że przez wszystkie elementy
danej gałęzi przepływa ten sam prąd elek­
tryczny.
Węzłem obwodu elektrycznego nazywa­
my końcówkę (zacisk) gałęzi, do której
jest lub może być przyłączona inna gałąź
lub kilka gałęzi. Gałąź obwodu jest więc
ograniczona dwoma węzłami.
Obwód złożony z kilku gałęzi (co naj­
mniej trzech) jest obwodem rozgałęzio­
nym (rys. 4.4).
ff}
Element obwodu elektrycznego, zarów­
no źródłowy jak odbiorczy, jest częścią
składową obwodu, niepodzielną pod
względem funkcjonalnym bez utraty
swych własności charakterystycznych.
Najprostszy obwód elektryczny składa się
z jednego elementu źródłowego, np. ogni­
wa, i jednego elementu odbiorczego, np.
rezystora. Połączenie tych elementów, jak
n a rysunku 4.3, stwarza warunki umożli­
wiające przepływ prądu. Obwód przed-
Jeżeli interesuje nas tylko struktura obwo­
du, tzn. chcemy określić liczbę gałęzi i wę­
złów w obwodzie oraz sposób połączenia
gałęzi, rysujemy schemat uproszczony
zwany grafem strukturalnym obwodu
www.wsip.com.pl
61
Rys. 4.4. Schemat obwodu rozgałęzionego o dwóch
węzłach i trzech gałęziach
lub krótko grafem. Graf obwodu wykonu­
jemy w taki sposób , że każdej gałęzi - nie­
zależnie od jej charakteru, tzn. niezależnie
od tego, z jakich elementów gałąź jest zbu­
dowana - przyporządkowujemy odcinek.
Na rysunku 4.Sa przedstawiono schemat
obwodu elektrycznego rozgałęzionego
złożonego z sześciu gałęzi i czterech wę­
złów, a na rysunku 4.Sb graf struktural­
ny tego obwodu. Wprowadzimy także
często używane w teorii obwodów pojęcie
oczka obwodu.
-
a}
b)
2
2
3
3
4
[
4
6
Rys. 4.5. Obwód elektryczny zawierający sześć
gałęzi i cztery węzły: a) schemat obwodu, w którym
zamieszczono elementy poszczególnych gałęzi;
b) graf strukturalny obwodu
Oczkiem obwodu elektrycznego nazywa­
my zbiór połączonych ze sobą gałęzi,
tworzących drogę zamkniętą dla przepły­
wu prądu, mającą tę właściwość, że po
usunięciu dowolnej gałęzi, pozostałe ga­
łęzie nie tworzą drogi zamkniętej .
Obwód elektryczny jest więc zbiorem
oczek. Przedstawiony na rysunku 4.3 ob­
wód, który nazwaliśmy obwodem nieroz­
gałęzionym, jest obwodem mającym tyl­
ko jedno oczko. Obwód przedstawiony na
rysunku 4.5 jest natomiast obwodem skła­
dającym się z trzech oczek. Gdybyśmy
w obwodzie z rysunku usunęli gałąź 5,
wówczas powstałby obwód o dwóch
oczkach (obwód dwuoczkowy). Obwód
62
mający przynajmniej dwa oczka jest ob­
wodem rozgałęzionym. W rozdziale 4.
omówimy prawa i własności obwodów
prądu stałego , tzn . takich obwodów,
w których zarówno napięcia źródeł, jak
i prądy płynące przez poszczególne ele­
menty obwodu są niezmienne w czasie.
Obliczanie obwodów elektrycznych ma
na celu wyznaczenie prądów we wszyst­
kich elementach obwodów oraz napięć
między poszczególnymi parami węzłów.
4.2.
Liniowość
i nieliniowość
obwodu. Zasada
superpozycji
W punkcie 3 .2.4, omawiającym własności
rezystorów, podano definicję pojęcia rezy­
stor liniowy i nieliniowy. Stwierdzono, że
przebieg charakterystyki napięciowo-prą­
dowej rezystora wskazuje na to, czy ele­
ment ten jest liniowy, czy też nieliniowy.
Analizując z kolei obwód elektryczny, mu­
simy wiedzieć, czy elementy wchodzące
w skład obwodu są liniowe, tzn. czy mają
charakterystyki napięciowo-prądowe wyra­
żone linią prostą, czy też są nieliniowe. Je­
żeli wszystkie elementy tworzące obwód
elektryczny są liniowe, to obwód taki nazy­
wamy obwodem liniowym . Jeżeli co naj­
mniej jeden element jest nieliniowy, to ob­
wód ten jest obwodem nieliniowym.
Metody obliczania obwodów liniowych
i nieliniowych są odrębne. W obwodach
liniowych związki między napięciami
i prądami są wyrażane za pomocą równań
algebraicznych liniowych. Istnieją metody
analityczne rozwiązywania układów rów­
nań liniowych, wymagające stosowania
jedynie przekształceń algebraicznych
'
gw;
Roz'ń
todan
teczni
więc
do o
Najb2
obwo
ryczn
Źródł<
dzie
fizyc2
Jeżeli
ze pm
powie
prądu
sieniu
wymu
jest rn
s1ę pn
chanie
miot 2
działa
nia sił
przedr
wymu
stępuje
dzią n:
_\po'
.�Jnoc
_iest rć
wymu
perpo
niesie1
4.3.
Jak juj
elektry
we i 1
prądu 1
ł
b4.
i gwarantujące otrzymanie rozwiązania.
Rozwiązywanie równań nieliniowych me­
todami analitycznymi jest często niesku­
teczne, a prawie zawsze trudne. Z reguły
więc nie stosuje się metod analitycznych
do obliczania obwodów nieliniowych.
Najbardziej przydatne do rozwiązywania
obwodów nieliniowych są metody nume­
ryczne oraz graficzne.
Źródło energii elektrycznej jest w obwo­
dzie elektrycznym przyczyną zjawiska
fizycznego, jakim jest prąd elektryczny.
Jeżeli elementy połączymy w taki sposób ,
że powstaje obwód elektryczny, to możemy
powiedzieć, że źródło wymusza przepływ
prądu. Dlatego też bardzo często w odnie­
sieniu do źródeł posługujemy się pojęciem
wymuszenia. Powstający prąd elektryczny
jest odpowiedzią na wymuszenie. Można
się !Przy tym posłużyć pewną analogią me­
chaniczną. Jeżeli na nieruchomy przed­
miot znajdujący się np. na stole będziemy
działali z pewną siłą, to w wyniku pokona­
nia siły tarcia spowodujemy przesunięcie
przedmiotu. W tym przypadku siła jest
wymuszeniem, pod wpływem którego na­
stępuje ruch przedmiotu, będący odpowie­
dzią na wymuszenie.
Odpowiedź obwodu elektrycznego na
-:dnoczesne działanie kilku wymuszeń
:st równa sumie odpowiedzi na każde
wymuszenie z osobna - jest to zasada su­
perpozycji. Obowiązuje ona tylko w od­
:1iesieniu do obwodów liniowych.
IW
IV,
ak
le­
ic .
na
;t­
ęć
'·
k:i
-;y­
że
rą­
le­
ry.
ll-
�
iją
ra­
Je­
ód
ty­
aj­
lb-
'Ch
�h
mi
4.3.
lań
IÓ'f
--
-
Znakowanie zwrotu
prądu i napięcia
zazwyczaj rezystory lub inne elementy,
które na schemacie można również przed­
stawić za pomocą odpowiednio połączo­
nych rezystorów. Schemat obwodu elek­
trycznego staje się bardziej przejrzysty,
gdy strzałkami oznaczymy zwroty prądu
w poszczególnych gałęziach oraz biegu­
nowości napięć na elementach źródło­
wych i odbiorczych.
W XIX w. James C . Maxwell przyjął, że
istnieje elektryczność dodatnia, a prąd
elektryczny jest ruchem tej elektrycz­
ności dodatniej . Umownie przyjęto więc ,
że zwrot dodatni prądu jest zgodny z kie­
runkiem ruchu ładunków dodatnich, tzn.
od zacisku o wyższym potencjale do zaci­
sku o niższym potencjale. Obecnie wie­
my, że prąd elektryczny w przewodniku
jest ruchem elektronów, tzn. ładunków
ujemnych, i tylko elektrony mogą poru­
szać się w przewodnikach pod wpływem
pola elektrycznego. Elektrony przesuwają
się od niższego do wyższego potencjału.
Niemniej jednak przyjęty umownie przez
Maxwella zwrot dodatni prądu jako zwrot
ładunków dodatnich obowiązuje do dziś.
Na schemacie rysujemy więc strzałkę
zwrotu prądu w odbiorniku od zacisku
o potencjale wyższym do zacisku o poten­
cjale niższym. W źródle napięcia zwrot
prądu jest od zacisku o biegunowości ( -)
do zacisku o biegunowości (+).
Strzałka na schematach, oznaczająca
zwrot prądu, ma grot pierzasty i rysujemy
ją albo na przewodzie, albo też obok prze­
wodu (rys. 4.6).
W podrozdz. 4 . 1 stwierdzono, że strzałkę
oznaczającą biegunowość napięcia źródła
I
I
�
Rys. 4.6. Sposoby znakowania prądu w gałęzi obwodu
\
rysuje się w taki sposób, że grot strzałki
jest zwrócony do zacisku (+) - rys. 4 .la.
Podczas przepływu prądu przez odbiornik
o rezystancji R na zaciskach tego odbior­
nika występuje napięcie zwane spadkiem
napięcia lub napięciem odbiornikowym.
Strzałkę określającą biegunowość napię­
cia odbiornikowego rysujemy tak, aby
grot strzałki wskazywał punkt o wyższym
potencjale .
Przyjmujemy więc jednolity system
strzałkowania napięć źródłowych i od­
biornikowych, zgodnie z którym grot
strzałki wskazuje zawsze punkt o wyż­
szym potencjale.
Przy przyjętych zasadach znakowania
zwrotu prądu oraz napięć źródłowych
i odbiornik.owych, na elementach źró­
dłowych strzałki napięcia i prądu są
zwrócone zgodnie, a na elementach od­
biorczych - przeciwnie.
I
[
ju12
Rz i
R7
2
U23
�------o J
Rys. 4.7. Przykład obwodu elektrycznego, w którym
oznaczono strzałkami: zwrot prądu, biegunowość
napięć źródłowych i odbiomikowych
Na rysunku 4.7 przedstawiono obwód
elektryczny nierozgałęziony, jednooczko­
wy zawierający jeden element źródłowy
o napięciu źródłowym E i dwa elementy
odbiorcze w postaci rezystorów o rezystan­
cjach R1 i R2 . W obwodzie tym napięcia
i prąd oznakowano zgodnie z podanymi za­
sadami. Napięcia na odbiornikach są dodat­
kowo opatrzone wskaźnikami„ przy czym
o
przyjęliśmy zasadę, że wskaźnik pierwszy
jest zgodny z oznaczeniem zacisku o po­
tencjale wyższym, a drugi - z oznacze­
niem zacisku o potencjale niższym.
Rys. 4
elektr)
Prawa obwodu
elektrycznego
4.4.
4.4. 1 .
I Prawo Ohma
W obwodach elektrycznych prądu stałego
będziemy posługiwali się postacią skalar­
ną prawa Ohma wyrażoną równaniem
(3. 1 1 ) lub (3 . 1 2). Na rysunku 4.8 przed­
stawiono gałąź pewnego obwodu elek­
trycznego rozgałęzionego. Przyjmiemy, że
potencjał węzła 1 wynosi Vi I ), a potencjał
węzła 2 wynosi V2 • Gałąź tę opatrzono
strzałkami zwrotu prądu i napięcia.
Ab-4
U12
Rys. 4.8. Wyodrębniona gałąź pasywna obwodu
elektrycznego o rezystancji R
Uwzględniając rozważania podane w pod­
rozdz. 4.3 , stwierdzamy, że potencjał wę­
zła 1 jest wyższy od potencjału węzła 2 .
Prawo Ohma dla rozważanej gałęzi napi­
szemy w postaci:
U12 = RI
przy czym U12 = V1 - V2 .
cjału
zwro1
szy o
od po
zaten
to na
U1 3 =
tu 2 �
tość
.? w z
Stąd:
Po oz
oraz 1
nie (4
(4. 1 )
Jeżeli zamiast rezystancji R podstawimy jej
odwrotność, czyli konduktancję G =
� , to:
w zv.
lub
I = GU12
(4.2)
W literaturze spotyka się również oznaczenie potencjału literą ip .
64
Nieki
elem<
źródł
rysm
Podo
tencji
Rówr
wa O
,
energii elektrycznej . Jeżeli w równaniu
(4.8) podstawimy E = O, to otrzymamy
prawo Ohma w postaci (4.2).
Rys. 4.9. Wyodrębniona gałąź aktywna obwodu
io
l"m
d\
k­
że
jał
no
4.4.2.
_'.;iekiedy gałąź obwodu zawiera nie tylko
element odbiorczy, ale również element
źródłowy. Taką gałąź przedstawiono na
l)·sunku 4.9.
Podobnie jak w gałęzi z rysunku 4.8 po­
tencjał węzła 1 jest tutaj wyższy od poten­
cjału węzła 2 , co wynika z przyjętego
zwrotu prądu. Potencjał węzła 3 jest niż­
szy od potencjału węzła 1 , a także niższy
od potencjału węzła 2 . Jeżeli będziemy się
zatem przesuwać od punktu 1 do punktu 3,
ro nastąpi spadek potencjału o wartości
L'13 = RI, a przejście od punktu 3 do punk­
ru 2 spowoduje wzrost potencjału o war­
tość E. Wyznaczymy potencjał węzła
2 w zależności od potencjału węzła 1 :
W obliczeniach obwodów elektrycznych,
oprócz podanego prawa Ohma, podsta­
wowe znaczenie mają dwa prawa Kirch­
hoffa sformułowane w 1 845 r. i wynikają­
ce z prawa zachowania energii.
Pierwsze prawo Kirchhoffa, dotyczące
bilansu prądów w węźle obwodu elek­
trycznego prądu stałego, jest następujące:
dla każdego węzła obwodu elektrycznego
prądu stałego suma algebraiczna prądów
jest równa zeru:
Stąd:
od­
wę­
l 2.
lpi-
L)
V2 = Vi - U13 + E
Vi - V2 = U1 3 - E
�.2)
(4.3)
(4.4)
Po oznaczeniu:
(4.5)
oraz uwzględnieniu, że U1 3 = RI - równa­
nie (4 .4) przyjmie postać:
U12 = Rl - E
(4.6)
W związku z tym prąd:
I=
. to:
I Prawa Kirchhoffa
elektrycznego
lub
E+
U12
R
I = G(E + Uu)
(4.9)
Wskaźnik a przyjmuje wartości 1, 2, 3 ,
w zależności od liczby gałęzi zbiegają­
cych się w węźle obwodu.
Do równania (4.9) pod symbolem sumy
podstawiamy prądy z różnymi znakami
w zależności od zwrotu prądu względem
węzła. Przyjmujemy umownie, że prądy
zwrócone do węzła mają znak plus (+),
a prądy ze zwrotem od węzła - znak mi­
nus (-). Zgodnie z tą umową dla pewne­
go węzła obwodu, przedstawionego na
rysunku 4.10, napiszemy równanie:
„.
Ii + /2 + h - /4 - /5 = o
(4. 1 0)
(4.7)
(4.8)
Równanie (4.8) stanowi rozwinięcie pra­
wa Ohma dla gałęzi zawierającej źródło
www.wsip.com.pl
Rys. 4.10. Węzeł obwodu elektrycznego , w którym
oznaczono zwroty prądów względem wezła
65
J
Jeżeli prądy ze znakiem minus przenie­
siemy na drugą stronę równania, to otrzy­
mamy:
(4. 1 1 )
Pierwsze prawo Kirchhoffa w postaci
wynikającej z równania (4. 1 1 ) brzmi na­
stępująco:
dla każdego węzła obwodu elektrycznego
suma prądów dopływających do węzła
jest równa sumie prądów odpływających
od węzła.
\
W twierdzeniu tym jest zawarta zasada
bilansu prądów .
Drugie prawo Kirchhoffa, dotyczące bi­
lansu napięć w oczku obwodu elektryczne­
go prądu stałego, jest następujące:
w dowolnym oczku obwodu elektrycznego
prądu stałego suma algebraiczna napięć
źródłowych oraz suma algebraiczna napięć
odbiomikowych występujących na rezy­
stancjach rozpatrywanego oczka jest rów­
na zeru:
(4.12)
Wskaźnik a przyjmuje wartości 1, 2, 3 , ...
w zależności od liczby źródeł należących
do rozpatrywanego oczka, a wskaźnik (3
przyjmuje wartości 1, 2, 3 , ... w zależności
od liczby elementów rezystancyjnych wy­
stępujących w wybranym oczku obwodu
elektrycznego. Jest oczywiste, że liczba
napięć źródłowych nie musi być równa
liczbie napięć odbiomikowych.
Na rysunku 4.11 przedstawiono wyod­
rębnione oczko rozgałęzionego obwodu
elektrycznego z czterema gałęziami. Na­
pięcia źródłowe oznaczono: E1 , E1 , E3 ,
a napięcia odbiomikowe: U1 = R 1Ii ,
U2 = R1h U3 = R3h U4 = R4/4 . Przyj­
mujemy pewien kierunek obiegu oczka,
66
W twie
bilansu
_,ącym 2
napięć c
4.5.
Rys. 4.11. Wyodrębnione oczko obwodu elektrycz­
nego
oznaczony strzałką umieszczoną wewnątrz
oczka. Przesuwając się kolejno od węzła 1 ,
zgodnie z przyjętym kierunkiem obiegu
oczka, podstawiamy do sumy w równaniu
(4.12) napięcia źródłowe z odpowiednim
znakiem: jeżeli zwrot strzałki napięcia
źródłowego jest zgodny z kierunkiem
obiegu oczka, to napięcie źródłowe
podstawiamy ze znakiem plus (+), jeżeli
zaś przeciwny, to ze znakiem minus ( -).
Po oznaczeniu strzałkami w podobny spo­
sób napięć odbiomikowych nadajemy im
odpowiedni znak i podstawiamy do rów­
nania (4.12) . W rezultacie otrzymujemy:
E1 - E1 - E3 - U1 + U2 + U3 - U4 = O
(4. 1 3)
-
Jeżeli napięcia odbiomikowe przeniesie­
my na drugą stronę równania (4 . 1 3) , to:
E1 - Ez
E3 = U1 - U2 - U3 + U4
'
Każde
trycznej
twarzani
oprócz r
je się I
W prąd
wynika •
nych, z
twornik�
stancja v
rów eld
trochem
zależy rn
w miarę
mat zast
nany, że
wnętrzm
'.\ajczęśc
czywiste
-chemat
szechnie
'.\a sche
wiono id
szeregov
(4. 1 4)
Drugie prawo Kirchhoffa w postaci od­
powiadającej równaniu (4.14) brzmi na­
stępująco:
w dowolnym oczku obwodu elektryczne­
go prądu stałego suma algebraiczna na­
pięć źródłowych jest równa sumie alge­
braicznej napięć odbiomikowych.
Rys. 4.12.
I
W twierdzeniu tym jest zawarta zasada
bilansu napięć , czyli w oczku niezawiera1ącym źródeł napięcia suma algebraiczna
napięć odbiornikowychjest równa zeru.
4.5.
cz-
��
�im
�cia
Iem
•we
żeli
).
•po­
im
ów-
'
ty:
o
.13)
�ie­
to:
1.14)
Schematy zastępcze
i stany pracy źródeł
energii elektrycznej
Każde rzeczywiste źródło energii elek­
trycznej , niezależnie od charakteru prze­
twarzania energii w energię elektryczną,
oprócz napięcia źródłowego charakteryzu­
je się pewną rezystancją wewnętrzną.
W prądnicy elektrycznej rezystancja ta
wynika z rezystancji przewodów miedzia­
nych, z których jest wykonane uzwojenie
twornika prądnicy. W akumulatorze rezy­
stancja wewnętrzna jest zależna od wymia­
rów elektrod. Również w ogniwach elek­
trochemicznych rezystancja wewnętrzna
zależy od wymiarów ogniwa i zwiększa się
w miarę jego zużywania. Dlatego też sche­
mat zastępczy źródła musi być tak wyko­
nany, żeby uwzględniał rezystancję we­
wnętrzną. Będziemy ją oznaczali przez Rw.
\'ajczęściej stosowanym schematem rze­
.:zywistego źródła energii elektrycznej jest
..chemat szeregowy, który określa pow­
szechnie źródło napięcia.
\'a schemacie z rysunku 4.12 przedsta­
wiono idealne źródło napięcia E połączone
'>Zeregowo z rezystancją wewnętrzną Rw.
i od1 na-
I
a}
b}
I
R
F!j
u
,
Li
d}
I
Rys. 4.13. Obwód elektryczny, którego odbiornikiem
jest rezystor o rezystancji nastawnej: a) schemat
obwodu początkowego; b) schemat obwodu
po spowodowaniu przerwy w odbiorniku;
c) schemat obwodu ze zwartym odbiornikiem;
d) schemat obwodu obciążonego rezystancją R;
�
e� na­
�ge­
Rzeczywiste źródło napięcia stałoby się
źródłem idealnym, gdyby Rw = O.
Na rysunku 4.13a przedstawiono rzeczy­
wiste źródło napięcia, do którego zacisków
dołączono rezystor o nastawnej , bardzo
dużej rezystancji R. Rezystancję tę można
zmieniać w granicach od zera do R, a na­
stępnie skokowo spowodować przerwę.
e ) schemat obwodu w stanie dopasowania
Rys. 4.12. Schemat rzeczywistego źródła napięcia
www.wsip.com.pl
Stan pracy źródła przy rezystancji R równej
nieskończoności (oo), której odpowiada
przerwa w obwodzie, nazywamy stanem
67
jałowym źródła. W stanie jałowym nie
płynie prąd w obwodzie, a napięcie Uo jest
równe napięciu źródłowemu (rys. 4.13b) .
Stan pracy źródła przy rezystancji R rów­
nej zeru, której odpowiada zwarcie od­
biornika , nazywamy stanem zwarcia
źródła . W stanie zwarcia (rys. 4.13c)
w obwodzie płynie prąd:
(4. 1 5)
Stan pracy źródła przy dowolnej (różnej
od O i oo) wartości rezystancji R nazywa­
my stanem obciążenia źródła . W stanie
obciążenia w obwodzie płynie prąd I,
a napięcie na zaciskach źródła wynosi U
(rys. 4.13d). Zgodnie z drugim prawem
Kirchhoffa o bilansie napięć w oczku stan
obciążenia opisujemy równaniem:
E - Rwl - U = O
(4.16)
Stąd:
U = E - Rwl
(4.17)
· Stwierdzamy więc, że napięcie U na zaci­
skach źródła w stanie obciążenia jest
mniejsze od napięcia źródłowego E o spa­
dek napięcia Rwl występujący na rezy­
stancji wewnętrznej źródła. Tylko więc
w stanie jałowym, gdy prąd I = O, napię­
cie na zaciskach źródła jest równe napię­
ciu źródłowemu.
Równanie (4.17) umożliwia obliczenie prą­
du I płynącego w obwodzie jednooczko­
wym (nierozgałęzionym) złożonym z rze­
czywistego źródła napięcia obciążonego
rezystancją R. Zgodnie z prawem Ohma:
U = RI
(4. 1 8)
Zatem, jeśli przyrównamy równania
(4. 1 8) i (4. 17), otrzymamy:
E - Rwl = RI
68
E = (R + Rw)l
Stąd prąd:
E
l = R + R­w
-
(4 . 19)
Stan pracy źródła, w którym z rzeczywi­
stego źródła napięcia jest pobierana przez
odbiornik największa moc, nazywamy
stanem dopasowania odbiornika do
źródła .
Można udowodnić, że stan dopasowania
występuje, gdy R = Rw (rys. 4.13e). Wte­
dy zgodnie ze wzorem (4. 1 9) prąd płyną­
cy w obwodzie:
(4.20)
Moc pobierana przez odbiornik w stanie
dopasowania:
E2
2
P = Rwld = 4Rw
(4.21 )
Innym stosowanym schematem zastępczym
rzeczywistego źródła energii elektrycznej
jest schemat równoległy określający źródło
prądu . Na schemacie z rysunku 4.14
przedstawiono idealne źródło prądu Iź po­
łączone równolegle z rezystancją wew­
nętrzną Rw. Rzeczywiste źródło prądu
staje się źródłem idealnym, gdy Rw -+ oo .
'
I
!
zwai
nia
zazn
elek1
cy i
albo
prąd
nośc
do r1
do ź
JeżeI
w P'
nętr2
zbliż
Jeże]
ny m
zbliż
Z for
czy"
rów1
prąd
rozm
matai
Rys. 4.14. Schemat rzeczywistego źródła prądu
Wielkością charakterystyczną dla źródła
prądu jest prąd źródłowy oznaczany
przez Iź.
Podobnie jak w przypadku źródła napięcia
możemy tu analizować stan jałowy, stan
Rys. 4
źródłe1
ciążom
źródło
zwarcia, stan obciążenia i stan dopasowa­
nia rzeczywistego źródła prądu. Należy
zaznaczyć , że rzeczywiste źródła energii
elektrycznej , w zależności od rodzaju pra­
cy i typu źródła, wykazują cechy zbliżone
albo do źródła napięcia, albo do źródła
prądu . Na przykład, akumulator w zależ­
ności od stosunku rezystancji obciążenia
do rezystancji wewnętrznej jest zbliżony
do źródła napięcia lub do źródła prądu .
Jeżeli rezystancja obciążenia jest duża
w porównaniu z jego rezystancją wew­
nętrzną, to akumulator charakterem pracy
zbliża się do idealnego źródła napięcia.
Jeżeli natomiast akumulator jest obciążo­
ny małą rezystancją, to charakterem pracy
zbliża się do idealnego źródła prądu .
Z formalnego punktu widzenia każde rze­
czywiste źródło napięcia można zastąpić
równoważnym rzeczywistym źródłem
prądu. Równoważność w tym przypadku
ym
nej
dło
�14
po-
rozumiemy w ten sposób, że w obu sche­
matach napięcie i prąd w odbiorniku pozoa}
� w-
1·-·-·-·1
I
I
I
i
i
i
\(lu
'.Xl .
L_ - · - · - · -'
I
u
R
ięcia
stan
-
E = Rwl + U
(4.22)
Dzielimy obustronnie to równanie przez
Rw (Rw -=/ O) i otrzymujemy:
E
U
�
= I+ ­
Rw
Rw
lub
(4.23)
(4.24)
przy czym: lź
==
: - prąd zwarcia źródła napięcia
w
równy prądowi źródłowemu idealnego źródła prądu;
Iw ==
J: - prąd płynący przez rezystancję Rw;
w
I - prąd płynący przez odbiornik o rezystancji R .
Równanie (4 .24) wyraża prawo bilansu
prądów (I prawo Kirchhoffa) w węźle ob­
wodu przedstawionego na rysunku 4. 1 5b.
Jak wynika z przeprowadzonych rozważań prąd Iź =
:w , będący prądem źródło-
wym źródła prądu, obliczamy jako prąd
zwarcia źródła napięcia. Rezystancję we­
wnętrzną Rw, włączoną szeregowo z ide­
2
b}
ódła
mny
stają bez zmiany. Na rysunku 4.15a
przedstawiono rzeczywiste źródło napię­
cia, do którego zacisków dołączono od­
biornik o rezystancji R, a na rysunku
4.15b
równoważne źródło prądu. Ele­
menty należące do elementu źródłowego
otoczymy linią kreskową. Dla schematu
z rysunku 4.15a, zgodnie z drugim prawem
Kirchhoffa, napiszemy równanie:
Rys. 4.15. Sposób zastępowania źródła napięcia
zródłem prądu: a) rzeczywiste źródło napięcia ob­
.:iążone rezystancją R; b) równoważne rzeczywiste
źródło prądu obciążone tą samą rezystancją R
www.wsip.com.pl
alnym źródłem napięcia (rys . 4. 15a), łą­
czymy równolegle z idealnym źródłem
prądu (rys . 4 . 1 5b) . Zarówno źródło napię­
cia, jak i źródło prądu , których schematy
pokazaliśmy na rysunkach 4 . 1 2 i 4.14 są
zaliczane do tzw. źródeł niesterowanych
(niezależnych). Istnieją też źródła, któ­
rych napięcia źródłowe i prądy źródłowe
są zależne od napięcia lub prądu występu­
jącego w innej części obwodu . Źródła te
69
nazywamy źródłami sterowanymi lub
zależnymi . Schematem zastępczym takie­
go źródła jest układ czterozaciskowy
zwany czwórnikiem.
Rozróżnia się cztery rodzaje źródeł stero­
wanych (rys. 4.16):
a) źródło napięcia sterowane prądowo,
b) źródło napięcia sterowane napięciowo,
c) źródło prądu sterowane prądowo ,
d) źródło prądu sterowane napięciowo .
a)
b)
�:+,
·
t
na
o
!J---------:
L - - · - - - · - - -·
c)
o-+-o
.
i__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ J
d)
- · - - ·:
o-L,- - · ---·
L--·--- · ---·
L-- · ----- · J
!i-
Rys. 4.16. Schematy źródeł sterowanych
Źródła te występują w schematach ukła­
dów elektronicznych i elektromaszyno­
wych. Przez k oznaczono na rysunku 4 . 1 6
współczynnik określający zależność mię­
dzy napięciem lub prądem źródłowym
a wielkością sterującą, którą jest prąd lub
napięcie w innej części obwodu . Przykła­
dowo, źródło napięcia sterowane prądowo
(rys. 4.16a) ma napięcie źródłowe E = kl ,
tzn. napięcie źródłowe jest proporcjonalne
do prądu I płynącego w innej gałęzi. Z ko­
lei, źródło prądu sterowane napięciowo
(rys. 4.16d) ma prąd źródłowy Iź = kU pro­
porcjonalny do napięcia występującego na
zaciskach innej części obwodu.
70
Obwody
nierozgałęzione
4.6. 1 .
Połączenie szeregowe
rezystorów i źródeł
napięcia
Prąd
­
Rozpatrzymy obwód nierozgałęziony,
czyli obwód jednooczkowy, zawierający
elementy źródłowe i elementy odbiorcze.
W obwodzie tym, przedstawionym na ry
sunku 4.17, elementy źródłowe są repre­
zentowane przez źródła o napięciach
E1 , E1 , E3 , a elementy odbiorcze - przez
rezystory o rezystancjach R1 , R2 , R3 .
W obwodzie nierozgałęzionym wszyst­
kie elementy są połączone szeregowo.
1
Ilf � I: JJ:,f � i :
o
4.6.
Jak \I
wodz
kich
źródł.
dła E
się ła
wzgl�
wych
ze pr;
li pr:
a wię
Zgru1
l
WSi
many
4.18a
-U 7
Ozna
rezys
zgod1
RJ
Rys. 4.17. Schemat obwodu nierozgałęzionego
(jednooczkowego) zawierającego trzy źródła
napięcia i trzy rezystory
Cechą wyróżniającą połączenie szerego­
we jest to, że przez wszystkie elementy
przepływa ten sam prąd elektryczny /.
Przyjmijmy kierunek obiegu oczka zgod­
ny z ruchem wskazówek zegara i napisz­
my równanie bilansu napięć zgodne
z drugim prawem Kirchhoffa:
Rezy:
gowo
połąc
rówrn
rezys1
Stąd:
(4.25)
lub
E1 - E2 + E3 = (R1 + R2 + R3)l
Stosu
(4.26)
zastęi
torów
I
Prąd w obwodzie:
I=
ny,
lCY
:ze.
ry-
ire-
ach
7fZ
R3 .
rst-
ł
l
E1 - E2 + E3
R 1 + R2 + R3
(4.27)
Jak wynika z równania (4.27), prąd w ob­
wodzie jest wywołany działaniem wszyst­
kich źródeł napięcia. Jeżeli na przykład
źródłami napięcia są akumulatory, to źró­
dła Ei i E3 rozładowują się, a źródło Ez
,ię ładuje. Wynika to ze zwrotów prądów
względem biegunowości napięć źródło­
wych. Ponadto z równania (4.27) wynika,
że prąd w obwodzie się nie zmienia, jeże­
li przestawimy elementy w obwodzie,
.J. więc połączymy je w innej kolejności.
Zgrupujmy wszystkie elementy źródłowe
1 wszystkie elementy odbiorcze. Otrzy­
�any obwód przedstawiono na rysunku
-U8a, przy czym obwody z rysunków
.u 7 oraz 4 . 1 8a są sobie równoważne.
Oznaczmy napięcia na poszczególnych
�ezystorach przez Ui , Uz , U3 , przy czym
.'godnie z prawem Ohma:
Ui = Ril
(4.28)
rez;
rÓ\11
nyc
Ko:
cze
pn
ry:
do
nież p0Jęc1e z.�•fP'-�-,.,- Prąd w obwodzie z rysunku 4 . 1 8 nie
zmieni się, jeżeli zamiast trzech źródeł
Ei , Ez , E3 włączymy jedno zastępcze źró­
dło napięcia o napięciu źródłowym:
(4.32)
a}
I
I
b}
u
U3 = R3I
ego­
enty
f /.
god­
pisz­
odne
Rezystory Ri , Rz, R3 są połączone szere­
;owo . Napięcie U na zaciskach układu
:x>łączonych szeregowo rezystorów jest
�ówne sumie napięć na poszczególnych
-ezystorach, czyli:
U = Ui + Uz + U3 =
= (Ri + Rz + R3)/
(4.29)
Stąd:
(4.30)
4.25)
Stosunek
:4.26)
� = R przedstawia rezystancję
1astępczą połączonych szeregowo rezys­
torów Ri , Rz , R3 , czyli:
www.wsip.com.pl
Rys. 4.18. Obwód równoważny obwodowi z rysun­
ku 4.17: a) schemat obwodu ze zgrupowanymi na­
pięciami źródłowymi i rezystancjami; b) schemat ob­
wodu, w którym rezystancje rezystorów R1 , R2, R3
zostały zastąpione rezystancją zastępczą R; c) sche­
mat obwodu, w którym źródła napięcia E E2 , E3 zo­
stały zastąpione źródłem równoważnym napięcia E
1
,
71
Prąd w obwodzie:
+
I = E1 - E2 E3
R 1 + R2 + R3
I)',
�y
st-
(4 .3 1 )
(4.27)
Jak wynika z równania (4.27), prąd w ob­
wodzie jest wywołany działaniem wszyst­
kich źródeł napięcia. Jeżeli na przykład
źródłami napięcia są akumulatory, to źró­
dła Ei i E3 rozładowują się, a źródło E2
się ładuje. Wynika to ze zwrotów prądów
względem biegunowości napięć źródło­
wych. Ponadto z równania (4.27) wynika,
l.e prąd w obwodzie się nie zmienia, jeże­
li przestawimy elementy w obwodzie,
.i więc połączymy je w innej kolejności .
Zgrupujmy wszystkie elementy źródłowe
i wszystkie elementy odbiorcze. Otrzy­
many obwód przedstawiono na rysunku
4.18a, przy czym obwody z rysunków
·U 7 oraz 4 . 1 8a są sobie równoważne.
Oznaczmy napięcia na poszczególnych
rezystorach przez Ui , U2 , U3 , przy czym
zgodnie z prawem Ohma:
Ui = Ri l
(4.28)
U3 = R3I
�
•ty
/.
od­
lsz­
ine
Rezystory Ri , R1 , R3 są połączone szere­
gowo. Napięcie U na zaciskach układu
połączonych szeregowo rezystorów jest
równe sumie napięć na poszczególnych
rezystorach, czyli:
U = Ui + U2 + U3 =
= (Ri + R2 + R3)/
Wzór (4 .3 1 ) można uogólnić na dowolną
liczbę rezystorów szeregowych.
Stwierdzamy więc, że:
rezystancja zastępcza dowolnej liczby
rezystorów połączonych szeregowo jest
równa sumie rezystancji poszczegól­
nych rezystorów.
Korzystając z definicji rezystancji zastęp­
czej , możemy obwód z rysunku 4 . 1 8a
przedstawić w równoważnej postaci na
rysunku 4.18b. Podobnie jak w odniesieniu
do rezystorów, można tu wprowadzić rów­
nież pojęcie zastępczego źródła napięcia
Prąd w obwodzie z rysunku 4 . 1 8 nie
zmieni się, jeżeli zamiast trzech źródeł
Ei , Ez , E3 włączymy jedno zastępcze źró­
dło napięcia o napięciu źródłowym:
.
(4.32)
E = Ei - E2 + E3
a}
I
I
I
E1
U7
E3
U U2 I I R2
E2
U3
I
b}
i 1 R1
I
�
R3
=>
E1
E3
u
E2
(4.29)
Stąd:
25)
.26)
l
(4. 30)
Stosunek
� = R przedstawia rezystancję
zastępczą połączonych szeregowo rezys­
torów Ri , R2 , R3 , czyli:
www.wsip.com.pl
Rys. 4.18. Obwód równoważny obwodowi z rysun­
ku 4.17: a) schemat obwodu ze zgrupowanymi na­
pięciami źródłowymi i rezystancjami; b) schemat ob­
wodu, w którym rezystancje rezystorów R 1 , R2 , R3
zostały zastąpione rezystancją zastępczą R; c) sche­
mat obwodu, w którym źródła napięcia E1 , E2 , E3 zo­
stały zastąpione źródłem równoważnym napięcia E
71
Przy połączeniu szeregowym dowolnej
liczby źródeł napięcia, napięcie źródło­
we zastępczego źródła jest równe sumie
algebraicznej napięć źródłowych posz­
czególnych źródeł. Podczas obliczeń na­
leży zatem uwzględniać odpowiedni znak
wynikający z biegunowości źródeł.
Korzystając z definicji zastępczego źródła
napięcia, obwód z rysunku 4 . 1 8b możemy
przedstawić w równoważnej postaci na
rysunku 4.18c. We wszystkich trzech
przypadkach a, b i c w obwodzie płynie
ten sam prąd.
Dzięki łączeniu szeregowemu źródeł na­
pięcia o jednakowej biegunowości napięcie
na zaciskach układu wzrasta. W szczegól­
nym przypadku, przy połączeniu szerego­
wym n źródeł o napięciu źródłowym każ­
dego źródła wynoszącym En , napięcie
wypadkowe wynosi:
E = nEn
(4.33)
W przeprowadzonych rozważaniach po­
minęliśmy rezystancje wewnętrzne źró­
deł, co pozwoliło uprościć rozważania.
Po ich uwzględnieniu, w mianowniku wzo­
ru (4.27) wystąpi dodatkowo Rw = Rw1 +
+ Rw2 + Rw3 , gdyż rezystancje te są rów­
nież połączone szeregowo i Rw można trak­
tować jako dodatkowy element odbiorczy.
4.6.2.
I Bilans mocy
Ei! - E2I + E3I =
= (Ri + R2 + R3)!2
(4.35)
Zgodnie ze wzorem (4 .3 1) wyrażenie
w nawiasie przedstawia rezystancję za­
stępczą, zatem po wyłączeniu tego wspól­
nego czynnika poza nawias , mamy:
(4.36)
Równanie (4.36) jest równaniem bilansu
mocy dla obwodu przedstawionego na ry­
sunku 4 . 1 8b.
W równaniu (4.36) po lewej stronie wy­
stępuje prąd I jako wspólny czynnik
trzech składników, zatem po wyłączeniu
tego wspólnego czynnika poza nawias ,
otrzymamy:
(4.37)
Sformułujemy teraz bilans mocy dla ob­
wodu przedstawionego na rysunku 4 . 1 7 .
Pomnożymy obie strony równania (4.25)
przez prąd I. Otrzymamy:
Ei! - E2I + E3l =
(4.34)
72
Równanie (4.34) jest równaniem bilansu
mocy w obwodzie:
suma algebraiczna mocy oddawanych
(lub pobieranych) przez źródła energii
elektrycznej jest równa sumie mocy po­
bieranych przez rezystory stanowiące
odbiorniki (patrz wzory 3 . 1 8 i 3 . 1 9) .
Bilans mocy możemy przeprowadzić rów­
nież dla obwodów równoważnych przed­
stawionych na rysunkach 4.18b oraz 4 . 1 8c.
W równaniu (4.34) po prawej stronie wy­
stępuje kwadrat prądu jako wspólny czyn­
nik trzech składników, zatem po wyłącze­
niu tego wspólnego czynnika poza
nawias , otrzymamy:
Zgodnie ze wzorem (4.32) wyrażenie
w nawiasie przedstawia napięcie źródło­
we zastępcze , czyli:
EI = Rf2
(4.38)
Równanie (4.38) jest równaniem bilansu
mocy dla obwodu przedstawionego na
rysunku 4 . 1 8c .
4.6.:
I
ROZf
przec
rębni
i odb
od 1 c
nym
węze:
ru), g
w ob'
sku i:
okreś
poten
zeru 1
źródle
wyzn:
14.27)
szcze
nych.
rencja
przy f
spadel
przeeł
wzras1
4 do .5
wzglę1
.:iwną
przejśc
nnniej
punkt2
RJI. 1V
źródło
obiegu
zwięks
14 nas1
141 i (
potenc.
łencjałi
na wyk
unosi:
:h
�i
O­
ce
„._
d­
ie .
y­
'11 -
�e ,za
�5)
riie
za­
ól36)
nsu
ry-
�·y­
rnik
�iu
ias ,
3 7)
�nie
dło-
i38)
I
msu
1 na
'
Wykres zmienności
potencjału
4.6.3 .
Rozpatrzmy obwód nierozgałęziony
� rzedstawiony na rysunku 4.19a. Wyod­
�ębnijmy zaciski elementów źródłowych
i odbiorczych i ponumerujmy je kolejno
od 1 do 8. W każdym obwodzie elektrycz­
nym wolno nam jeden dowolnie wybrany
węzeł uziemić (nadać potencjał równy ze­
ru ) , gdyż nie wpływa to na wartość prądu
„ obwodzie. Uziemienie wybranego zaci­
,ku powoduje ustalenie się w obwodzie
0kreślonych wartości potencjałów, gdyż
potencjał zacisku uziemionego jest równy
zeru (umownie) . Znając wartości napięć
zródłowych oraz rezystancji, możemy
wyznaczyć prąd /, zgodnie ze wzorem
-i .27), a następnie spadki napięć na po•zczególnych elementach rezystancyj­
::ych. Przy przejściu od punktu 1 do 2 po­
:encjał wzrasta od zera do wartości E1 ,
::rzy przejściu od punktu 2 do 3 następuje
>padek potencjału o wartości R1/. Z kolei
;.-rzechodząc od punktu 3 do 4 potencjał
-. zrasta o E2 , a przy przejściu od punktu
.J do 5
zmniejsza się o wartość R2/. Ze
11. zględu na biegunowość źródła E3 , prze­
.:iwną do biegunowości źródła E2, przy
;rzejściu od punktu 5 do 6 potencjał
zmniejsza się o wartość E3 , a między
;unktami 6 i 7 zmniejsza się o wartość
RJ Między punktami 7 i 8 znajduje się
zródło napięcia, zgodne z kierunkiem
.1 biegu oczka, wobec czego potencjał
zwiększa się o wartość E4 . Na rezystancji
R-4 następuje spadek potencjału o wartości
141 i dochodzimy do punktu I , którego
?Qtencjał jest równy zeru. Zmienność po­
:encjału w obwodzie można przedstawić
'.la wykresie (rys. 4.19b). Na osi rzędnych
nanosimy potencjały poszczególnych
-
www.wsip.com.pl
punktów, a na osi odciętych rezystancje
w odpowiedniej podziałce . W związku
z tym, że rezystancje wewnętrzne źródeł
napięcia przyjęto jako równe zeru, wobec
tego przy przejściu przez źródła wartości
potencjałów zmieniają się skokowo.
a}
I
+-����--ic=J���-�
R4
b} [
4
R
Rys. 4.19. Sposób sporządzania wykresu poten­
cjałów: a) schemat obwodu jednooczkowego
z uziemionym węzłem 1 ; b) wykres zmienności
potencjału w funkcji rezystancji
Analitycznie potencjały poszczególnych
węzłów można wyznaczyć następująco:
V2 = Vi + E1 = E 1 , gdyż Vi = 0
(4.39)
73
l
4. 7 .
4. 7 . 1 .
Obwody rozgałęzione
o dwóch węzłach
Stąd:
Połączenie równoległe
rezystorów i źródeł
Stosunek
Rozpatrzymy obwód o dwóch węzłach
przedstawiony na rysunku 4.20a. Elemen­
ty źródłowe są reprezentowane przez dwa
źródła napięcia E1 oraz E1 . Rezystancje
wewnętrzne źródeł napięcia przyjmiemy
różne od zera i wynoszące Rw1 oraz Rw2 •
Elementarni odbiorczymi są trzy rezystory
o rezystancjach R 1 , R1, R3 połączone rów­
nolegle. Cechą wyróżniającą połączenia
równoległe jest to, że wszystkie elemen­
ty są włączone między tę samą parę wę­
złów, a zatem na zaciskach tych elemen­
tów występuje to samo napięcie U. Prąd I
płynący od źródeł do odbiorników jest,
zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa,
równy sumie prądów płynących przez rezy­
story R1 , R1 i R3 , czyli zgodnie z oznacze­
niami przyjętymi na rysunku 4 .20a:
(4.40)
l = li + Ii + h
Prądy w gałęziach można, zgodnie z pra­
wem Ohma w postaci przewodnościowej
(wzór 4 .2), wyrazić następująco:
Korzy
czej h
czenit
obwó<
staci r
Zajrni
stępc2
równe
stajm�
napięc
prądu
wyzrn
(4.43)
b = G określa konduktancję
zastępczą połączonych równolegle kon­
duktancji G1 , G2 , G3 , czyli:
(4.44)
Wzór (4 .44) można uogólnić na dowolną
liczbę konduktancji połączonych równo­
legle. Stwierdzamy więc , że:
konduktancja zastępcza dowolnej licz­
by rezystorów połączonych równolegle
jest równa sumie konduktancji po­
szczególnych rezystorów .
Jeżeli powrócimy od konduktancji do rezystancji i oznaczymy G =
i, to możemy
1 spor
zystar
zależność (4 .44) wyrazić w postaci:
(4.45)
Możemy sformułować to następująco:
odwrotność rezystancji zastępczej dowol­
nej liczby połączonych równolegle rezy­
storów jest równa sumie odwrotności re­
zystancji poszczególnych rezystorów.
W szczególnym przypadku dwóch rezy­
storów:
li = G1 U
(4.4 1 )
Stąd:
(4.46)
przy czym: G 1 = R;
1
,
1 G
G2 = R;.
3
,
=
R; .
1
P o podstawieniu zależności (4.4 1 ) do
(4 .40) otrzymujemy:
I = G1 U + G2 U + G3 U =
= (G1 + G2 + G3) U
74
(4.42)
Wzór (4 .46) jest często stosowany pod­
czas obliczania obwodów elektrycznych
prądu stałego. Ze wzoru (4 .46) wynika, że
rezystancja zastępcza dwóch rezystorów
połączonych równolegle jest zawsze
mniejsza od wartości mniejszej z rezy­
stancji wchodzących w skład połączenia.
Rys. 4.:
.
pięciu
gałęzią
... źródł
równoVI
..+ 3 )
�cję
ton-
'Olną
1rnolicz­
legle
po­
/
Io re-
iemy
Korzystając z definicji rezystancji zastęp­
..: zej lub konduktancji zastępczej przy połą­
..:zeniu równoległym rezystorów, możemy
obwód z rysunku 4 .20a przedstawić w po­
staci równoważnej na rysunku 4.20b.
Zajmiemy się obecnie wyznaczeniem za­
,tępczego źródła napięcia przy połączeniu
�0wnoległym źródeł. W tym celu skorzy­
'tajmy z zależności pozwalających źródło
'.łapięcia zastąpić równoważnym źródłem
prądu. Zgodnie ze wzorami (4.23) i (4.24)
wyznaczamy prądy źródłowe:
1
lź1 = RE = Gw1 E1
-
wl
(4.47)
: sporządzamy schemat (rys. 4.20c) . Re­
zystancje wewnętrzne na otrzymanym
schemacie są połączone równolegle , dla­
tego zgodnie ze wzorem (4.46):
lub
(4.48)
Idealne źródła prądu są również połączo­
ne równolegle, zgodnie zatem z pierw­
szym prawem Kirchhoffa:
(4.49)
W wyniku zastąpienia dwóch źródeł prą­
du z rysunku 4.20c jednym zastępczym
źródłem prądu , otrzymujemy kolejny
schemat równoważny przedstawiony na
rysunku 4.20d.
Napięcie U na zaciskach gałęzi równole­
głych wyznaczamy z prawa Ohma:
�.45)
o:
I
I
b)
owol­
rezy­
ici re-
u
"· ·
R ::::>
rezy-
I
(.+.46)
' pod­
:znych
�ka, że
starów
:a wsze
: rezy­
czenia.
R ::::>
I
R ::::>
u
R
Rys. 4.20. Kolejne etapy przekształcania obwodu: a) schemat obwodu początkowego o dwóch węzłach
. pięciu gałęziach; b) schemat obwodu równoważnego po zastąpieniu trzech gałęzi pasywnych jedną
�ałęzią zastępczą o rezystancji R; c) schemat obwodu równoważnego po przekształceniu źródeł napięcia
"' źródła prądu; d) schemat obwodu równoważnego po zastąpieniu dwóch źródeł prądu jednym źródłem
równoważnym; e) schemat obwodu równoważnego po przekształceniu źródła prądu w źródło napięcia
www.wsip.com.pl
75
l
(4.50)
Jeżeli ostatecznie źródło prądu ze sche­
matu (rys. 4 .20d) przekształcimy na źró­
dło napięcia o napięciu źródłowym:
(4.5 1 )
to otrzymamy schemat równoważny
przedstawiony na rysunku 4.20e, który
jest także równoważny obwodowi począt­
kowemu pokazanemu na rysunku 4.20a.
Na podstawie przeprowadzonych rozwa­
żań możemy wyznaczać rezystancję za­
stępczą lub konduktancję zastępczą przy
połączeniu równoległym rezystorów oraz
wyznaczać źródło zastępcze źródeł połą­
czonych równolegle .
4.7.2.
I Bilans mocy
Podobnie jak dla obwodu o połączeniu
szeregowym elementów, również dla ob­
wodu o połączeniu równoległym elemen­
tów możemy przeprowadzić bilans mocy.
Wykazaliśmy już, że bilans mocy sprawdza
się dla każdego obwodu oraz to, że podczas
tworzenia schematów równoważnych mo­
żemy formułować bilans mocy dla każdego
kolejnego schematu. Napiszemy równanie
bilansu prądów w węźle, zgodnie z pierw­
szym prawem Kirchhoffa, dla obwodu
przedstawionego na z rysunku 4.20d:
(4.52)
Prąd Iw == GwU, a prąd I == GU, zatem prąd
źródłowy:
(4.53)
76
Pomnożymy obie strony równania (4.53)
przez napięcie U i otrzymamy:
Równanie (4.54) wyraża bilans mocy
w obwodzie . Składnik IP przedstawia
moc dostarczoną przez źródło prądu ,
Na zi
cie u
jaki s
a) ja1
zy:
składnik GwU
moc traconą na konduk­
tancji wewnętrznej źródła prądu, a skład­
U=
=
(4.54)
2
-
2 moc pobieraną przez odbiornik.
nik GU
4.8.
4.8. 1 .
-
Obliczanie obwodów
metodą
przekształcania
Połączenie szeregowe
elementów
Podamy na wstępie podstawową zasadę,
która obowiązuje zawsze przy wszelkiego
rodzaju przekształceniach dokonywanych
w obwodzie elektrycznym.
Zawsze podczas zastępowania danych
układów przez układy równoważne musi
być spełniony warunek niezmienności
prądów i napięć w tych częściach układu,
które nie były objęte przekształceniami.
Wyjaśnimy tę zasadę na przykładzie ob­
wodu nierozgałęzionego, jednooczkowe­
go (rys. 4.21a).
Obwód ten jest złożony z jednego rzeczy­
wistego źródła napięcia o napięciu źró­
dłowym E i rezystancji wewnętrznej Rw
oraz trzech rezystorów, których rezystan­
cje wynoszą Rz, Rz , R3 . Rezystory te trak­
tujemy jako elementy odbiorcze. W ob­
wodzie przedstawionym na rysunku 4.2 1 a
płynie prąd, zgodnie z rozważaniami po­
danymi w podrozdz . 4.6:
b) jak
on
we
pn
Korz)
stancj
szerei
R == R
na ry�
nowa:
woda<
a)
Rys. 4.;
.Jbwodu
równow
(4.55)
ł .53)
rądu ,
�a zaciskach 1-2 źródła występuje napię­
cie U, które możemy wyznaczyć w dwo­
)aki sposób:
al jako sumę napięć występujących na re­
zystorach R1 , R1 i R3 , tzn.:
Kluk­
kl:ad­
U = U1 + U2 + U3 = R i l + R1I + R3I =
= (R1 + R2 + R3)/
nocy
tawia
>mik.
ÓW
e
tsadę ,
!kiego
anych
mych
! musi
mości
i.ładu,
iami.
ie ob­
koweleczy­
u źró­
iej Rw
:y stan­
e trak­
W ob­
l - t2 1 a
mi po-
(4.56)
b) jako
różnicę napięcia źródłowego E
oraz spadku napięcia na rezystancji
wewnętrznej źródła spowodowanego
przepływem prądu /, czyli:
U = E - Rwl
(4.57)
Korzystając ze wzoru (4.3 1), możemy rezy­
>tancje rezystorów R1 , R1 i R3 połączonych
szeregowo zastąpić rezystancją zastępczą
R = R1 + R2 + R3 , a obwód przedstawiony
na rysunku 4.21a zastąpić obwodem rów­
noważnym na rysunku 4 .2lb . W obu ob­
wodach płynie ten sam prąd /, a na zacia)
I
R7
-
U1
R
w
t [
R2
RJ
-
-
Połączenie równolegle
elementów
Rozpatrzymy obwód przedstawiony na
rysunku 4.22a. Obwód ten składa się
z rzeczywistego źródła prądu o prądzie
źródłowym 1ź i rezystancji wewnętrznej
Rw oraz dwóch rezystorów R1, R2 połączo­
nych równolegle. Na zaciskach 1-2 wy­
stępuje napięcie U. Przez elementy od­
biorcze płyną prądy li oraz ]i , a zgodnie
z pierwszym prawem Kirchhoffa prąd do­
pływający do odbiorników:
1 = li + 12 = G1 U + G1 U =
(4.SS)
= (G1 + G1)U
I
1
przy czym: G1 = R; , G1 =
R2 •
I1
b)
I
I =:>
u
2
4.8.2 .
a)
U3
U2
skach 1-2 występuje to samo napięcie U.
Widzimy więc, że operacja przekształca­
nia nie wpłynęła na zmianę wartości prą­
du i napięcia w tej części obwodu, która
nie była objęta przekształceniem.
b)
1 I
=:>
u
2
R
:+I}
2
2
Rys. 4.22. Przekształcanie obwodu: a) schemat obwo­
2
ays. 4.21. Przekształcanie obwodu: a) schemat
Jbwodu początkowego; b) schemat obwodu
iownoważnego
www.wsip.com.pl
du początkowego; b) schemat obwodu równoważne­
go po zastąpieniu dwóch gałęzi równoległych jedną
gałęzią zastępczą; c) schemat obwodu równoważnego
po zastąpieniu rezystancji wewnętrznej źródła i rezy­
stancji odbiornika jedną rezystancją zastępczą
77
Ponadto prąd źródłowy:
4.8.3.
(4.59)
Iź = Iw + I
przy czym Iw = GwU, a Gw =
1
R
w.
Skorzystamy ze wzoru (4.46) i wyznaczy­
my rezystancję zastępczą dwóch rezysto­
rów połączonych równolegle:
(4.60)
Obwód przedstawiony na rysunku 4.22b
jest równoważny obwodowi na rysunku
4.22a, przy czym nie zmienił się ani prąd
I, ani napięcie U na zaciskach 1-2. Na­
/
pięcie U na rezystorze o rezystancji
zastępczej R12 jest takie samo jak na
rezystorach R1 i R1 . W związku z tym, że
rezystory o rezystancjach Rw oraz R11 na
schemacie z rysunku 4.22b są również
połączone równolegle , zatem można wy­
znaczyć schemat równoważny przedsta­
wiony na rysunku 4 22c, w którym:
.
(4.6 1 )
Z prawa Ohma wynika, że:
(4.62)
Mając napięcie U, obliczone zgodnie ze
wzorem (4._62) , możemy obliczyć wszyst­
kie prądy w obwodzie:
(4.63a)
u
I= R
- = G12U
12
(4.63b)
(4.63c)
u
I1 = = G1U
R
z
78
(4.63d)
Połączenie mieszane
elementów
'--���
Rozpatrzymy obwód przedstawiony na
rysunku 4.23a . Obwód ten składa się
z trzech gałęzi. W gałęzi pierwszej mamy
idealne źródło napięcia o napięciu źródło­
wym E (czyli przyjmujemy, że rezystan­
cja wewnętrzna źródła jest równa zeru)
połączone szeregowo z rezystorem R1 .
W gałęzi drugiej występuje jeden element
o rezystancji R1 . W gałęzi trzeciej mamy
dwa elementy R3 oraz R4 połączone sze­
regowo, a zatem - zgodnie z zasadą połą­
czenia szeregowego - przez oba rezystory
płynie ten sam prąd h .
Należy zwrócić uwagę, że przy braku do­
świadczenia w zakresie obliczania obwo­
dów elektrycznych, często zdarzają się błę­
dy polegające na niewłaściwej ocenie
sposobu połączenia elementów. Błędnie
niektórzy twierdzą, że elementy R1 i R3 są
połączone szeregowo. Z rysunku 4.23 wy­
nika jednak, że przez elementy te płyną
różne prądy, a zatem nie mogą być one po­
łączone szeregowo. Podobny błąd polega
na przyjmowaniu, że elementy R2 i R4 są
połączone równolegle. Zgodnie z definicją
elementy połączone równolegle są włączo­
ne między tę samą parę węzłów, tzn. wy­
stępuje na tych elementach to samo napię­
cie; warunku tego nie spełniają elementy
R1 i R4, a więc nie są połączone równole­
gle. Przystąpimy teraz do przekształcania
obwodu, co wpłynie na jego uproszczenie.
Korzystając ze wzoru na rezystancję za­
stępczą przy połączeniu szeregowym rezy­
storów, możemy obliczyć:
R34 = R3 + R4
stawior
tym re;
równolc
na rezy
równolc
W rezu
mat rÓ\:
rezysto1
gowo. I
prąd li .
starem ,
i otrzyn
zany na
W wyn
wód pn
stąpiliśr
a}
I
i
b}
cl
(4.64)
W wyniku zastąpienia dwóch rezystancji
przez jedną rezystancję zastępczą otrzy­
mamy nowy schemat równoważny, przed-
Rys. 4.23.
:>bwodu o
::- 1 . c), d) k1
na
�ię
ny
ło­
an­
ni)
R1 .
ent
my
ze,tą­
ory
/
do-
1.\ 0-
Nę ­
�nie
stawiony na rysunku 4.23b. W schemacie
tym rezystory Rz oraz R34 są połączone
�ównolegle, a więc korzystając ze wzoru
na rezystancję zastępczą przy połączeniu
�ównoległym rezystorów, wyznaczymy:
R1R
R234 = R1 34
+ R34
(4.65)
W rezultacie otrzymamy następny sche­
mat równoważny (rys. 4.23c), w którym
:-ezystory Ri oraz Rz34 są połączone szere­
gowo. Przez oba rezystory płynie ten sam
prąd Ii . Zastąpimy je więc jednym rezy­
'torem o rezystancji zastępczej :
(4.66)
; otrzymamy schemat równoważny, poka­
zany na rysunku 4.23d.
W wyniku kolejnych przekształceń, ob­
·.i. ód przedstawiony na rysunku 4.23a za­
-rąpiliśmy obwodem równoważnym na
Ri
inie
� są
v.-y ­
tyną
: po­
�ega
ti są
nicją
�zowy­
apię­
�nty
nole­
cania
�nie .
� za­
bi
MLed-
(4.67)
z
Zwróćmy uwagę , że w obwodzie z ry­
sunku 4.23c płynie również prąd Ii ,
a więc możemy obliczyć spadek napięcia
na rezystorze R1 oraz na rezystorze o re­
zystancji Rz34 , zatem:
więc napięciem występującym zarówno na
rezystorze Rz34, jak i na Rz oraz R34. czyli:
U2 = Uz34
cl
(4.70)
Obliczymy z kolei prądy płynące w gałę­
ziach równoległych obwodu przedstawio­
nego na rysunku 4 .23b:
d}
/z
4 .64)
otrzy­
Ii = .E...
R
(4.68)
U1 = Ri/i
Uz34 = R234/1
(4.69)
Rezystancja Rz34 jest rezystancją zastępczą
połączonych równolegle rezystorów Rz
oraz R34 (rys. 4.23b), napięcie Uz34 jest
rezy-
tancji
rysunku 4 .23d. Ponieważ w kolejnych
schematach elementy były łączone za­
równo szeregowo, jak i równolegle, mó­
wimy więc , że połączenie ma charakter
mieszany. Zwróćmy jeszcze uwagę, że
została przy tym zachowana zasada nie­
zmienności prądu Ii w gałęzi pierwszej ,
która nie podlegała przekształceniu.
Obliczanie obwodu polega na wyznaczaniu
wszystkich prądów w gałęziach i napięć na
elementach. Musimy więc obliczyć prądy
li , /i, h oraz napięcia U1 , Uz, U3 i U4.
Prąd Ii wyznaczymy na podstawie sche­
matu przedstawionego na rysunku 4 .23d.
Zgodnie z prawem Ohma:
R� s. 4.23. Przekształcanie obwodu: a) schemat
-�wodu o mieszanym połączeniu elementów;
c), d) kolejne fazy przekształcania obwodu
� ·.
www.wsip.com.pl
=
U2
R1
(4.7 1 )
(4.72)
Prąd h w obwodzie przedstawionym na
rysunku 4.23a płynie zarówno przez rezys­
tor R3 , jak i R4, zatem:
79
U3 = R3h
(4.73)
U4 = R4h
(4.74)
Mamy więc wyznaczone wszystkie po­
szukiwane napięcia oraz prądy. Zwróćmy
uwagę, że obliczając prądy oraz napięcia,
korzystamy ze schematów w kolejności
odwrotnej w stosunku do kolejności prze­
kształcania, czyli od schematu (d) do (a) .
4.8.4.
(
I
Połączenie elementów
w trójkąt oraz
w gwiazdę
W obwodach elektrycznych rezystory są
łączone nie tylko szeregowo i równolegle.
Często trzy rezystory tworzą połączenie
w trójkąt, zwane trójkątowym, oraz połą­
czenie w gwiazdę, zwane gwiazdowym.
Przy połączeniu w trójkąt (rys. 4.24a)
kolejne rezystory są dołączone do pary węz­
łów 1 , 2, 3 tworzących wierzchołki trójkąta,
podczas gdy gałęzie tworzą boki trójkąta.
Przy połączeniu w gwiazdę (rys. 4.24b)
jedne końce rezystorów są połączone we
wspólnym punkcie węzłowym, a drugie
końce są dołączone do węzłów 1 , 2, 3.
al
2
'•
3
2
Rys. 4.24. Połączenie elementów: a) w trójkąt;
b) w gwiazdę
80
Podczas obliczania obwodów elektrycz­
nych zachodzi często potrzeba przekształ­
cenia układu trójkątowego w równoważ­
ny układ gwiazdowy lub odwrotnie.
Przy wyznaczaniu układu równoważnego
musi być spełniona zasada niezmienności
napięć i prądów w tej części obwodu, któ­
ra nie podlegała przekształceniu . Waru­
nek ten będzie spełniony, jeżeli w obu
układach równoważnych rezystancje mię­
dzy kolejnymi parami węzłów, przy odłą­
czonym węźle trzecim, są jednakowe.
Rozpatrzymy obwód przedstawiony na
rysunku 4.25a. Rezystory R12, R23 , R31 ,
włączone pomiędzy pary węzłów 1-2,
2-3, 3-1 , tworzą trójkąt. Wyznaczymy re­
zystancje równoważnego połączenia
gwiazdowego, utworzonego przez rezysto­
ry R1 , R2 , R3 , narysowanego linią kresko­
wą. Z zasady równości rezystancji między
kolejnymi parami węzłów, przy odłączo­
nym węźle 3, otrzymamy zależności:
R 12R31
Ri = R + R + R
12 23 31
ł
=>
Rys. 4.25.
(4 .75)
Ze wzorów (4.75) wynika, że:
rezystancja gałęzi gwiazdy jest równa
iloczynowi rezystancji gałęzi trójkąta,
schodzących się w tym samym węźle,
podzielonemu przez sumę rezystancji
wszystkich gałęzi trójkąta . Znając tę za­
sadę, możemy łatwo zapamiętać sposób
wyznaczania rezystancji gwiazdy równo­
ważnej trójkątowi, bez potrzeby uczenia
się wzorów (4.75) na pamięć.
Ma to istotne znaczenie zwłaszcza wów­
czas , gdy wskaźniki użyte na rysunku 4.25
nie odpowiadają wskaźnikom we wzorach
(4.75). W szczególnym przypadku, gdy
.;\ schema
!ączonymi
l.ształcenit
:-;)wnoważ
wszystk
ne z rez:
.:j ach, t
1 -U5) si
z rezyst
a każdą ;
R . W ·
.:zeń do :
"
Gdy gał
:)lancje J
oej gwia
nakowyc
�z-
Rt;.
(4.77)
R;_ = 3
ał­
aż-
Niekiedy zachodzi potrzeba wykonania od­
wrotnego przekształcenia, tzn. przekształce­
nia układu gwiazdy w układ trójkąta. Korzy­
stając z tych samych zasad co poprzednio,
uzyskujemy następujące zależności:
�go
lSCl
lÓ­
R 1 R2
llU­
>bu
tię­
lłą-
R13 = R1 + R3 + lf:
na
R31 = R3 + R i +
R12 = R1 + Rz +
R3 1 ,
r-2,
(re­
mia
'StO­
sko­
:azy
I2
-1E2
2
3
;t,2•
czo-
Rs
N
R�·s. 4.25. Przekształcanie trójkąta w gwiazdę:
schemat obwodu początkowego z elementami po-
US)
0..:zonymi w trójkąt; b) schemat obwodu po prze­
. -ztałceniu trójkąta w gwiazdę; c) schemat obwodu
wnoważnego po wykonaniu dalszych przekształceń
.„
szystkie trzy gałęzie trójkąta są utworzo­
z rezystorów o jednakowych rezystan­
. Jach, tzn. R12 = R13 = R31 , zależności
.! .75) się upraszczają. Oznaczymy każdą
rezystancji gałęzi trójkąta przez Rt:,.,
każdą z rezystancji gałęzi gwiazdy przez
� , . W wyniku podstawienia tych ozna­
: zeń do zależności (4.75) otrzymamy:
-.c
Iwna
tąta,
·ęźle,
ancji
lę za­
)osób
1wno­
zenia
\\'ÓW-
1 -1-.25
orach
� gdy
T
R2R3
·
"
"?
=
R i = Rz = R3 = }R� = 3
R2
Rt;.
(4.76)
. idy gałęzie trójkąta mają równe rezy­
-: .mcje
R6 , wówczas gałęzie równoważ.
-.:.?j gwiazdy również są utworzone z jednakowych rezystancji R;_ , czyli:
www.wsip.com.pl
(4.78)
R3R 1
T
Również w tym przypadku łatwo zapa­
miętać zasadę wyznaczania rezystancji
gałęzi trójkąta przy danych rezystan­
cjach gałęzi gwiazdy, a mianowicie:
rezystancja gałęzi trójkąta jest równa sumie
rezystancji gałęzi gwiazdy (odpowiadają­
cych tej samej parze węzłów) plus iloczyn
tych rezystancji gwiazdy podzielony przez
rezystancję trzeciej gałęzi gwiazdy.
Jeśli rezystancje gałęzi gwiazdy są sobie
równe, czyli R1 = Rz = R3 , to zależności
(4.78) upraszczają się. Oznaczmy, tak jak
poprzednio, rezystancje tworzące gwiaz­
dę przez R;_ , a rezystancje gałęzi równo­
ważnego trójkąta przez Rt:,. . Jest oczywi­
ste , że przy równych rezystancjach gałęzi
gwiazdy, równe są też rezystancje gałęzi
równoważnego trójkąta, przy czym:
R2
Rt:,. = 2R;_ + R ;_ = 3R;_
;_
(4.79)
Wzór (4.79) jest równoważny wzorowi
(4.77).
Wróćmy raz jeszcze do obwodu przedsta­
wionego na rysunku 4.25a. W wyniku prze­
kształcenia układu rezystorów połączonych
w trójkąt w układ rezystorów tworzących
równoważną gwiazdę, otrzymamy schemat
równoważny przedstawiony na rysunku
4.25b. W schemacie tym mamy trzy gałęzie,
81
JTI
przy czym w gałęzi pierwszej rezystory
o rezystancjach Rw1 oraz R3 są połączone
szeregowo, możemy zatem wyznaczyć re­
zystancję zastępczą R4 = Rw1 + R3 . Podob­
nie w gałęzi drugiej rezystory o rezystan­
cjach Rwz oraz Rz są połączone szeregowo,
możemy więc wyznaczyć Rs = Rwz + Rz.
W rezultacie otrzymamy trzeci schemat
równoważny, przedstawiony na rysunku
4.25c. We wszystkich trzech układach prą­
dy Ii oraz [z się nie zmieniają.
Podczas obliczania rozpływu prądów me­
todą przekształcania stosujemy nie tylko
przekształcenia w zakresie elementów od­
biorczych, ale również źródłowych. Zasa­
dy przekształcania źródeł napięcia na źró­
dła prądu podano w podrozdz. 4 .5 .
4.9.
Obliczanie obwodów
metodą praw
Kirchhoffa
Obliczanie rozpływu prądów i rozkładu
napięć w obwodzie metodą przekształce­
nia można przeprowadzać w prosty spo­
sób w takich obwodach, w których działa
jedno źródło energii. Gdy obwód zawiera
kilka gałęzi ze źródłami energii elektrycz­
nej , wówczas stosujemy inne metody.
Wszystkie metody opierają się na dwóch
prawach Kirchhoffa. Można bowiem dla
dowolnego obwodu elektrycznego linio­
wego zawierającego b gałęzi i v węzłów
wyznaczyć rozpływ prądów oraz rozkład
napięć , z tym jednak, że im większa jest
liczba gałęzi i węzłów, tym obliczenia
stają się trudniejsze.
Przedstawimy teraz sposób rozwiązywania
obwodów rozgałęzionych z zastosowaniem
pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa.
Metoda ta jest nazywana często metodą
82
klasyczną. Dalej pokażemy, że dzięki odpo­
wiednim przekształceniom tych równań
uzyskamy zmniejszenie ich liczby oraz po­
stać bardziej dogodną do obliczeń. Jeżeli dla
obwodu zawierającego v węzłów napisali­
byśmy, zgodnie z pierwszym prawem
Kirchhoffa, tyle równań, ile jest węzłów, to
prąd każdej gałęzi wystąpi w równaniach
dwukrotnie z przeciwnymi znakami, gdyż
każda gałąź wiąże ze sobą dwa węzły. Dla­
tego też,jeżeli v napisanych równań dodamy
stronami, to otrzymamy tożsamość (równa­
nia są liniowo zależne). Okazuje się, że dla
obwodu zawierającego v węzłów możemy
-
napisać, zgodnie z pierwszym prawem
Kirchhoffa, v 1 równań niezależnych.
Jeżeli rozpatrywany obwód ma b gałęzi, to
liczba wszystkich prądów wynosi również b,
gdyż w każdej gałęzi płynie inny prąd.
-
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa
można napisać b - (v 1) = b - v + 1
równań niezależnych.
Jako przykład rozpatrzymy obwód przed­
stawiony na rysunku 4.26. Założymy, że
dane są wszystkie napięcia źródłowe, tzn .
E1 i Ez , oraz wszystkie rezystancje R1 , Rz ,
R3 , R4 , Rs i R6 . Obwód ma cztery węzły
- -
(v = 4) i sześć gałęzi (b = 6). Zgodnie
z pierwszym prawem Kirchhoffa możemy
napisać v
1 = 4 1 = 3 równania, przy
R6
R4
a
11
�
14
13
15
R3
b
16
(
Rys. 4.26. Schemat obwodu o sześciu gałęziach
i czterech węzłach obliczany metodą klasyczną
(wg praw Kirchhoffa)
czym ol
napiszer
Zgodnie
żerny n
równani:
nań, któ
niewiadc
w gałęzi
mogą by
oczka i I
oczek, n
stępujerr
Równan
dla węzł
dla węzł
dla węzł
Równani
dla oczk
E1
dla oczk
E2
dla oczk:
o
Z uzyska
-:zamy s2
tern - na
napięć m
�ożemy
równać
z mocą
względu
ziach obi
rzyć , że
błędnie. 1
liczeń ot
kiem mir
stadium c
dów, a m
lpo-
nań
poi dla
�-
i em
• . to
i ach
;Jyż
Dlaamy
�na: dla
emy
Il-em
1)-ch.
ti, to
eż b,
prąd.
ioffa
r+ 1
rzed&'· że
. tzn .
1 . Rz ,
. ęzły
>dnie
�emy
rzy
f
L
t
a:h
Il\
.:zym obojętne jest, dla których węzłów
:lapiszemy te równania.
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa mo­
,'emy napisać b - v + 1 = 6 4 + 1 = 3
1wnania. Łącznie napiszemy sześć rów­
: ań , które pozwolą na obliczenie sześciu
:1ewiadomych prądów. Oznaczamy prądy
·' gałęziach, przy czym kierunki prądów
-:1ogą być dowolne. Następnie wybieramy
�zka i przyjmujemy kierunki obiegu tych
Gek, również w sposób dowolny. Przy­
<ępujemy do układania równań.
."{ównania bilansu prądów są następujące:
.:Ja węzła a
-
-
I
'
.:la węzła b
Ja węzła c
Ii = /4 + h
h = Ii + /z
(4.80)
/5 = /z + /6
:.Zównania bilansu napięć są następujące:
: _ a oczka 1
Ei = R 1 /i + R4h + R3h
. .a
oczka 2
Ez = Rz/z + Rs/s + R3h
(4 .8 1)
dla oczka 3
O = R6/6 + Rsls - R4h
Z uzyskanego układu sześciu równań obli­
czamy sześć niewiadomych prądów, a po­
- na podstawie prawa Ohma - spadki
napięć na poszczególnych elementach.
ożemy sprawdzić bilans mocy, tzn. po­
wnać moc dostarczoną przez źródła
mocą pobraną przez odbiorniki. Ze
-• zględu na to , że zwroty prądów w gałę­
Llach obraliśmy dowolnie, może się zda­
;ć , że niektóre zwroty były przyjęte
---iędnie . W takim wypadku, w wyniku ob-!�zeń otrzymamy pewne prądy ze znauem minus. Musimy zatem w końcowym
�dium obliczeń zmieniać znaki tych prą­
dów, a na schemacie ich zwroty.
www.wsip.com.pl
4 . 1 O.
Obliczanie obwodów
metodą superpozycji
W podrozdziale 4 .2 sformułowaliśmy za­
sadę superpozycji. Zastosowanie tej zasa­
dy umożliwia obliczanie obwodów za­
wierających kilka źródeł napięcia i prądu,
pod warunkiem jednak, że rozpatrywane
obwody są liniowe. Metoda obliczania
obwodów oparta na zasadzie superpozycji
nosi nazwę metody superpozycji.
Tok postępowania podczas obliczania ob­
wodu metodą superpozycji, gdy działa
w nim n źródeł napięcia lub prądu jest na­
stępujący:
a) rozpatrywany obwód zastępujemy
przez n obwodów takich, że w każdym
z nich działa tylko jedno źródło , rezy­
stancje pozostają bez zmiany, pozosta­
łe źródła napięcia zastępujemy zwar­
ciem, a źródła prądu - rozwarciem;
b) każdy z otrzymanych obwodów obli­
czamy niezależnie , stosując prawa
Kirchhoffa lub metodę przekształceń
(w każdym ze składowych obwodów
działa tylko jedno źródło);
c) prąd płynący w dowolnej gałęzi obwo­
du początkowego obliczamy jako sumę
algebraiczną prądów występujących
w danej gałęzi w każdym z n obwo­
dów składowych.
W związku z tym, że nakładamy na siebie
rozpływy prądów uzyskane z obliczenia
obwodów składowych, metoda ta jest
również nazywana metodą nakładania.
Podany tok postępowania zilustrujemy
prostym przykładem. Rozpatrzmy ob­
wód przedstawiony na rysunku 4.27a,
w którym działa jedno źródło napięcia
i jedno źródło prądu. Obwód ten zastąpi­
my dwoma obwodami składowymi , przy
83
czym w obwodzie na rysunku 4.27b
działa źródło napięcia, a gałąź zawierają­
ca źródło prądu jest zastąpiona rozwar­
ciem, w obwodzie na rysunku 4 .27c
działa źródło prądu , a źródło napięcia
jest zastąpione zwarciem. Obliczamy
rozpływ prądów najpierw w obwodzie
z rysunku 4.27b i prądy w gałęziach
oznaczamy dodatkowym wskaźnikiem
w nawiasie , np. li o» a potem w obwo­
dzie z rysunku 4 .27c i prądy w gałęziach
oznaczamy dodatkowym wskaźnikiem
w nawiasie, np. li (Z) · Prądy w poszcze­
gólnych gałęziach obliczamy jako sumę
algebraiczną prądów składowych, np .
a)
Iz
Rz
li = /1 ( 1 ) - li (Z) · W przedstawionym przy­
kładzie rozpływ prądów w obwodach skła­
dowych łatwo jest już obliczyć metodą
przekształcania.
4.1 1 .
Obliczanie obwodów
metodą prądów
oakowych
Jak już wspominaliśmy podczas omawia­
nia metody praw Kirchhoffa, równania
(4.80) oraz (4.8 1 ) można zmodyfikować
i przedstawić w bardziej dogodnej postaci.
Trzy równania prądowe (4 .80) napiszemy
tak, żeby prądy h , 14 oraz /5 wyrazić
w zależności od prądów li , [z oraz /6:
h = 11 + [z
[4 = li - h
[5 = [z + 16
}
Z poró
i (4.85)
ce ozna·
I
.
(4.82)
Podstawimy obecnie prądy h . /4, /5 wyra­
żone równaniami (4.82) do równań napię­
ciowych (4.8 1 ) . W rezultacie otrzymamy:
Ei = Rili + R4(Ii - h) + R3(Ii + /z)
Ez = Rz/z + R5(Iz + /6) + R3(Ii + /z)
O = R6I6 + R5(Iz + 16) - R4(/1 - h)
}
(4.83)
} I
Porządkujemy równania (4.83) względem
prądów:
cl
Ei = (Ri + R3 + R4)!1 + R3/z - R4/6
Ez = R3li + (Rz + R3 + R5)/z + R5h
O = -R4li + R5lz + (R4 + R5 + R6)l6
}
(4.84)
W budowie równań (4.84) występuje prawi­
dłowość pozwalająca zapisać je w postaci:
Rys. 4.27. Ilustracja metody superpozycji:
a) schemat obwodu początkowego; b), c) schematy
obwodów składowych
84
E11 = Rn fi + R12l'z + R n'3
Bzz = Rzifi + Rz2l'z + Rz3'3
E33 = R31I'1 + R32I'2 + R33'3
(4.85)
Eu = E
Poniżej
definicj(
naniach
pięcia źr
wymi w
źródło"
\;apięci1
.;umie �
·'- szystk
W nasz:
żadna g
wego i c
Rezysta
wskaźni
(4.87) , •
nymi oc
.·�ezysta1
:nie rez)
_ � eh oc;
Rezysta1
stępując
my rezy
�ezysta1
� . oznac
:zystan
Z porównania układów równań (4.84)
i (4.85) wynika, że przyjęliśmy następują­
rzy­
kła-
odą
ce oznaczenia:
E1 1 = E1 ,
E22 = E2 ,
E33 = O
Rn = R 1 + R3 + R4
IW
R12 = R1 + R3 + Rs
(4.86)
(4.87)
R33 = R4 + Rs + R6
R12 = R11 = R3
wia­
ania
iy;ać
laci.
emy
azić
R 1 3 = R3 1 = -R4
(4.88)
R13 = R32 = Rs
li = Ii
li = h
'3 = h
')'fa-
(4.89)
wymi wskaźnikami nazywamy napięciami
tpięuny:
.lródłowymi oczkowymi.
Napięcie źródłowe oczkowe jest równe
sumie algebraicznej napięć źródłowych
\\ szystkich
gałęzi tworzących oczko .
W naszym przykładzie w oczku trzecim
żadna gałąź nie zawiera napięcia źródło­
wego i dlatego E33 = O.
f
k83)
rlem
t t
ł.84)
rawi1aci:
L85)
�
zystancja R3 . Znak rezystancji wzajemnej
zależy od przyjętych kierunków obiegu
oczek. Jeżeli kierunki obiegu oczek są
zgodne, to rezystancja wzajemna ma znak
plus , jeżeli kierunki obiegu oczek są prze­
ciwne - znak minus. W rozpatrywanym
przykładzie R13 = R31 = -R4 , gdyż na
rezystancji wspólnej oczka pierwszego
i trzeciego kierunki obiegu oczek są prze­
ciwne. Jeżeli w szczególnym przypadku
oczka się nie stykają, wtedy rezystancja
wzajemna tych oczek jest równa zeru.
Prądy ze wskaźnikiem prim, tzn. li , I� ,
Poniżej wyjaśnimy sens fizyczny i podamy
definicje wielkości występujących w rów­
naniach (4.86), (4.87), (4.88) i (4.89). Na­
pięcia źródłowe typu Ekk z dwoma jednako­
�.82)
W rozpatrywanym przykładzie jest to re­
Rezystancje o dwóch jednakowych
.i. skaźnikach, występujące w równaniach
(4.87) , nazywamy rezystancjami włas­
nymi oczka.
-�ezystancja własna oczka jest równa su­
·1ie rezystancji wszystkich gałęzi tworzą. eh oczko.
Rezystancje o różnych wskaźnikach, wy­
-tępujące w równaniach (4 .88), nazywa­
:ny rezystancjami wzajemnymi oczek .
"::zystancja wzajemna oczka 1 z oczkiem
� . oznaczona przez R12 = R21 , jest równa
:zystancji gałęzi wspólnej obu oczek.
www.wsip.com.pl
'3 występujące w równaniach (4 .89) , na­
zywamy prądami oczkowymi lub cyklicz­
nymi.
Prądem oczkowym nazywamy prąd
umowny płynący przez wszystkie gałęzie
oczka.
Gdy narysujemy graf strukturalny obwo­
du z rysunku 4.26, w gałęziach grafu
oznaczymy prądy gałęziowe zgodnie
z oznaczeniami przyjętymi na tym rysun­
ku, a w oczkach oznaczymy prądy oczko­
we (rys. 4.28), wówczas stwierdzimy, że
w gałęzi należącej tylko do jednego oczka
prąd gałęziowy jest równy prądowi
oczkowemu, a w gałęzi wspólnej dwóch
oczek prąd gałęziowy jest równy sumie
lub różnicy prądów oczkowych, zależnie
od ich zwrotu.
- 00
(ii) (0
I4
a
11I1
Is
l1I3
(
Iz
b
Rys. 4.28. Graf strukturalny obwodu przedstawio­
nego na rysunku 4.26
85
r
Po wyznaczeniu prądów oczkowych mo­
żemy (zgodnie z rys . 4.28) napisać wyra­
żenia na prądy gałęziowe:
Ii = li
h = I'i + fi
(4.90)
Tok postępowania podczas obliczania
prądów gałęziowych metodą prądów
oczkowych jest więc następujący:
1) dla danego obwodu wybieramy oczka
w liczbie b v + 1 , gdzie b jest liczbą
gałęzi, v jest liczbą węzłów obwodu,
i przyjmujemy kierunki obiegu oczek;
4. 1 2 .
Obliczanie obwodów
metodą potencjałów
węzłowych
Metoda potencjałów węzłowych, po­
dobnie jak metoda prądów oczkowych,
opiera się na dwóch prawach Kirchhoffa
i prawie Ohma.
Wyjaśnimy istotę metody na konkretnym
przykładzie, przedstawionym na rysunku
4.29. Najpierw ustalamy liczbę węzłów
w obwodzie: mamy trzy węzły. Ze wzglę­
du na to, że w każdym obwodzie elek­
trycznym można jeden węzeł uziemić , na­
dając mu w ten sposób potencjał równy
zeru, uziemimy węzeł 3 .
2
-
2) dla każdego oczka przyjmujemy prąd
oczkowy zgodnie z przyjętym kierun­
kiem obiegu oczek, a w gałęziach ozna­
czamy zwroty prądów gałęziowych;
3) zgodnie z podaną definicją wyznaczamy
rezystancje własne i wzajemne oczek;
4) zgodnie z podaną definicją wyznacza­
my napięcia źródłowe oczkowe;
5) piszemy równania typu (4 .85);
6) z układu równań typu (4.85) oblicza­
my prądy oczkowe jakąkolwiek meto­
dą rozwiązywania układu równań al­
gebraicznych liniowych;
7) mając wyznaczone prądy oczkowe,
obliczamy prądy gałęziowe, zgodnie
z zasadą podaną we wzorach (4.90);
8) jeżeli zachodzi potrzeba, to obliczamy
napięcia odbiomikowe, stosując pra­
wo Ohma . .A
86
3
h = G:
Is = Gs
= Gs
przy czy
Gs = R; ;
1
złów 1 , 2
Napięc
węzłó"
cjałów,
wskaźn
Podstav
niami (
i otrzyn
-=-
Rys. 4.29. Schemat obwodu obliczanego metodą
potencjałów węzłowych
Oznaczamy zwroty prądów w gałęziach,
odpowiednio /i , /z , h , 14 , Is .
Na podstawie pierwszego prawa Kirch­
hoffa napiszemy dla węzłów 1 i 2 nastę­
pujące równania:
Ii = 12 + h
14 = h + Is
}
Po odp<
ników
otrzyma
(4 .9 1 )
Korzystając z prawa Ohma w postaci (4.2)
dla gałęzi zawierającej rezystancję oraz
w postaci (4.8) dla gałęzi zawierającej źró­
dła napięcia, wyrazimy prądy gałęziowe
w zależności od napięć źródłowych, kon­
duktancji gałęzi oraz potencjałów węzłów:
W budo
widłowe
staci:
E1 GE
Ez GE
=
G1 (E1 + U3i ) = G1 (E1 + V3 - V1) =
G1 (E1 - Vi )
=
G1 U13 = Gz(V1 - V3) = Gz Vi
=
= G3 U12 = G3(V1 - V2)
1 Z porównania układu równań (4.94)
i (4.95) wynika, że przyjęliśmy następują­
ce oznaczenia:
'
E1 GE = G1 E 1
(4.92)
E2 GE = GsEs
1()­
:h ,
lfa
,.m
ku
6w
�ę­
�k­
na­
my
/5
przy czym: G1
G; =
°Ri ' G = Ii; ' G3 = l?; ' G4
rch1.Stę-
1.9 1 )
(4.2)
oraz
I źró­
iowe
kon­
tłów:
G12 = G3 + G4 + Gs
4,
R
G12 = G21 = -G3
(4.97)
(4.98)
i;; Vi , V2 , V3 potencjały odpowiednio wę- Poniżej wyjaśnimy sens fizyczny i poda­
-
rlów I, 2, 3; zgodnie z założeniem V3 = O.
r
;
'\apięcia między poszczególnymi parami
.„ ęzłów wyraziliśmy jako różnicę poten­
.:jałów, uwzględniając ściśle kolejność
wskaźników, zgodnie z zasadą, że:
my definicje wielkości występujących
j w równaniach (4.96), (4.97) i (4.98).
Suma iloczynów konduktancji gałęzi
oraz napięcia źródłowego gałęzi typu
E GE przedstawia wypadkowy prąd źró­
dłowy zasilający odpowiedni węzeł. Ilo­
czyn GE ma znak plus, jeżeli napięcie
źródłowe ma zwrot do węzła, i znak mi­
Podstawimy teraz prądy wyrażone równa- nus , jeżeli napięcie źródłowe ma zwrot
niami (4.92) do układu równań (4 .9 1 ) przeciwny. W rozpatrywanym przykła1 dzie do węzła 1 jest skierowane tylko
i otrzymamy:
i jedno źródło, iloczyn G1E1 jest dodatni,
G1 (E1 Vi ) = Gz Vi + G3(Vi - V2)
gdyż napięcie źródłowe E1 jest zwrócone
do węzła. Podobnie do węzła 2 jest zwró­
G.i V2 = G3(Vi - V2) + Gs(Es - V2)
(4.93) cone napięcie źródłowe E5 i dlatego ilo­
czyn G5E5 w drugim równaniu (4.94) też
Po odpowiednim uporządkowaniu składma znak plus.
ników wchodzących do równań (4.93)
Konduktancje o dwóch jednakowych wskaź­
otrzymamy:
nikach, występujące w równaniach (4.97),
nazywamy konduktancjami własnymi
G1 E1 = (G1 + Gz + G3)V1 - G3 V2
węzła.
GsEs = -G3 Vi + (G3 + G4 + Gs)Vz
(4 .94) Konduktancja własna węzła jest równa
sumie konduktancji gałęzi zbiegających
W budowie równań (4.94) występuje pra­ się w węźle . Konduktancje własne mają
widłowość pozwalająca napisać je w po­ zawsze znak plus.
,taci:
Konduktancje o różnych wskaźnikach,
występujące w równaniu (4 .98) , nazy­
:: 1 GE = G1 1 Vi + G12 V2
(4.95) wamy konduktancjami wzajemnymi
::2 GE = G11 Vi + G12 V2
węzłów .
}
-
ach,
G11 = G1 + Gz + G3
= Gs(Es + U32) = Gs(Es + Vi - V2) =
= Gs (Es - V2)
1 2 I
1
1
=
=
(4.96)
}
}
www.wsip.com.pl
87
Konduktancj a wzajemna węzła 1 z wę­
złem 2, oznaczona G12 = G21 , jest równa
sumie konduktancji wszystkich gałęzi łą"'"
czących bezpośrednio węzeł 1 i 2 .
W rozpatrywanym przykładzie węzły
1 i 2 są połączone bezpośrednio tylko jed­
ną gałęzią o konduktancji G3 .
Niezależnie od wyboru zwrotów prą­
dów gałęziowych konduktancje wza­
jemne mają zawsze znak minus.
W metodzie potencjałów węzłowych pod­
stawowe znaczenie mają równania (4.95) ,
na podstawie których wyznaczamy poten­
cjały węzłów.
Tok postępowania podczas obliczania
prądów gałęziowych metodą potencjałów
węzłowych jest następujący:
1) dla danego obwodu oznaczamy zwro­
ty prądów gałęziowych;
. ,
4. 1 3 . Elementy nielin iowe
prąd u stałego
W punkcie 3 .2.4 stwierdzono, że rezy­
stancja elementów rezystancyjnych nieli­
niowych zależy od wartości przepływają­
cego przezeń prądu. W związku z tym
wprowadzono pojęcie rezystancji statycz­
nej i rezystancji dynamicznej . Podczas
obliczania obwodów zawierających rezy­
stancje nieliniowe będziemy się posługi­
wać charakterystykami napięciowo-prą­
dowymi (lub prądowo-napięciowymi).
Charakterystyki tych elementów uzyskuje
się przeważnie w wyniku pomiarów. Nie­
kiedy przebieg charakterystyki jest taki,
że można ją przedstawić w postaci anali­
tycznej , np . wyrazić równaniem paraboli,
krzywej wykładniczej itp . Zazwyczaj jed­
nak posługujemy się charakterystykami
w postaci graficznej .
2) oznaczamy węzły przez 1 , 2 , ... , przy
czym jeden dowolny węzeł uziemiamy,
Do elementów rezystancyjnych nielinioustalając jego potencjał jako zerowy ;
. wych zaliczamy: termistory, baretery,
3) zgodnie z podaną zasadą zestawiamy
lampy łukowe, prostowniki lampowe
iloczyny typu GE i dla każdego węzła
i półprzewodnikowe, żarówki z włóknem
obliczamy EGE;
wolframowym, rezystory wilitowe lub ty­
4) zgodnie z podaną definicją wyznacza­
rytowe itp .
my konduktancje własne i wzajemne
Na rysunku 4.30 przedstawiono charak­
węzłów;
terystyki kilku typowych elementów re­
5) piszemy równania typu (4.95);
zystancyj nych nieliniowych. Niektóre
6) z układu równań (4.95) obliczamy po­
, spośród tych charakterystyk są syme­
tencjały węzłów;
: tryczne względem początku układu
7) mając obliczone potencjały węzłów,
współrzędnych, a inne są niesymetryczne.
obliczamy prądy gałęziowe korzysta­
Ponadto charakterystyki tzw. elementów
jąc z równań (4.92);
nieliniowych sterowanych można opisać
8) sprawdzamy bilans prądów dla każde­
za pomocą rodziny krzywych, przy czym
go węzła.
parametrem jest wielkość sterująca.
Jeśli zadanie jest prawidłowo rozwiązane , Podczas obliczania obwodów nielinioto zgodnie z pierwszym prawem Kirch­ ' wych korzysta się niekiedy z aproksyma­
hoffa suma prądów dopływających do ! cji liniowej (przedziałami) charakterystyki
węzła jest równa sumie prądów- odpływa­ napięciowo-prądowej elementu nielinio­
! wego (rys. 4.31). Aproksymacja polega na
jących od węzła . .._
88
Rys. 4.30.
..: 1
stabiliza
R�·s. 4.31.
;x)łprzewo1
.,., kierunkt
zastąpier
odcinkie1
rym prze
jest zblii
styka z
'"· haraktE
Przykład
W obwo
R..,.. = 0,5
i sporząd
Ry
do
r-
aJ1l /
bl 11 j
� �
d
)
ą­
i).
lje
l
f--r
,,--J
e)
u
u
o
I
stabilizatora prądu; d) stabilizatora napięcia; e) termistora; t) diody tunelowej
u �-u
u,
iii­
:d­
m.i
io­
:ry,
we
em
ty-
ak-
re­
óre
ne11.du
me.
tów
isać
tym
11io­
m a­
łyki
oio­
� na
llU-u ·
R�·s. 4.30. Charakterystyki elementów nieliniowych: a) diody próżniowej; b) diody półprzewodnikowej;
le-
�.
cJ 1l �
�
Rys. 4.31. Sposób linearyzowania (przedziałami) charakterystyki: a) charakterystyka rzeczywista diody
;ó!przewodnikowej; b) charakterystyka zlinearyzowana z uwzględnieniem skończonej wartości rezystancji
" kierunku przewodzenia i w kierunku zaporowym; c) charakterystyka diody idealnej
zastąpieniu rzeczywistej charakterystyki
xkinkiem prostej w tym zakresie, w któ­
') m przebieg charakterystyki rzeczywistej
_iest zbliżony do linii prostej . Charaktery­
">tyka z rysunku 4.3 1c jest nazywana
.: harakterystyką prostownika idealnego,
Przykład 4.1
gdyż prostownik jest traktowany w tym
przypadku jako element dwustanowy:
w stanie przewodzenia jego rezystancja
jest równa zeru, a w stanie zaporowym
jest nieskończenie wielka, tzn. utożsamia­
my ją z przerwą w obwodzie .
I
W obwodzie elektrycznym przedstawionym na rysunku 4.32a dane są: Ę = 1 30 V,
R" = 0,5 O , Ri = 30 O, R1 = 20 O , R3 = 1 2 O . Oblicz wartość prądu w każdej gałęzi
! sporządź bilans mocy.
a}
I
b}
I
Rys. 4.32. Schematy obwodów
do przykładu 4.1
www.wsip.com.pl
89
Rozwiązanie
Przykła1
Rezystory R 1 , R2 , R3 są połączone równolegle, a więc zgodnie ze wzorem (4.45):
1
1
1
1
1
1
1
1
Rz = R 1 + R1 + R3 = 30 + 20 + 12 = 6
stąd rezystancja zastępcza Rz = 6 n.
Obwód na rysunku 4.32a jest równoważny obwodowi na rysunku 4 .32b. W obwodzie
tym płynie prąd:
E
l = -- = � = 20 A
Rw + Rz
Oblicz '
nego na
R3 = R4
0,5 + 6
Prąd ten płynie przez rezystor o rezystancji Rz , a więc napięcie na jego zaciskach:
U = Rzl = 6 20 = 1 20 V
·
Prądy płynące poszczególnych w gałęziach:
/1 = .!!....
120
Ri = 30 = 4 A
li =
u 1 20
R1 = W = 6 A
u
R3
120
12
h = - = - = lO A
Sprawdzamy pierwsze prawo Kirchhoffa dla węzła:
I = li + li + h = 4 + 6 + 10 = 20 A
Rozwiąz.
Moc dostarczona przez źródło:
P = EI = 1 30 · 20 = 2600 W
Moce pobierane przez poszczególne rezystory:
P 1 = Uli = 1 20 · 4 = 480 W
Przykłac
rezystor:
cjach ga:
P2 = Uh = 1 20 6 = 720 W
·
P3 = Uh = 1 20 · 1 0 = 1 200 W
Moc tracona na rezystancji wewnętrznej źródła napięcia:
Sprawdzamy bilans mocy:
Pw = RwI2 = 0,5 · 202 = 200 W
2600 w = 480 + 720 + 1 200 + 200 = 2600 w.
90
Źródło p
Obwód 1
rysunku .
I
="7}'ktad 4.2
I
•'.:Ilicz wartości prądów płynących w gałęziach obwodu elektrycznego przedstawio­
-:oego na rysunku 4.33a, jeśli dane są: Iź = 5 A , Rw = 4 O, Ri = 6 O, R2 == 3 O,
;
=
R4 = 3 !1.
rie
a)
R3
cJ
6
U13t
R2
3
b)
R4
R3
6
Rs
o
R6
d)
3
Rys. 4.33. Schematy obwodów do przykładu 4.2
R7
[
o·
[
�,J
Rozwiązanie
Przykład rozwiążemy metodą przekształcania. Ze schematu obwodu wynika, że trzy
�zystory R1 oraz trzy rezystory R2 tworzą układy trójkątowe o jednakowych rezystan­
.:Jach gałęzi trójkąta. Wobec tego zgodnie ze wzorem (4.76):
"
RI1 = 3 = 3 = 2 H
R1
6
Zródło prądu można zastąpić równoważnym źródłem napięcia:
E = Rwlź = 4 5 = 20 V
·
Obwód na rysunku 4.33a jest równoważny obwodowi na rysunku 4.33b. Obwód na
rysunku 4.33b jest równoważny obwodowi na rysunku 4 .33c , przy czym:
Rs = R� + R3 + R� = 2 + 3 + 1 = 6 O
www.wsip.com.pl
91
Prądy
R1
= R� Rw R; = 2 + 4 1 = 7 O
+
+
+
Rezystory R5 i R6 są połączone równolegle, zatem zgodnie ze wzorem (4.65):
R5'6
6·6
= RRs s+RR6 6 = =3 O
12
--
Ostatecznie otrzymamy obwód pokazany na rysunku 4 .33d. W obwodzie tym płynie
prąd:
I = R1 + Rs, 6 = �
=2A
7+3
E
Napięcie na zaciskach rezystora o rezystancji R5,6:
U = R5,61
Przykł
=3 2=6V
·
W ob'
Prądy w gałęziach zawierających rezystancje R5 i R6:
/5
W ide
kąta z
WO Ki
4
= Xs = � = 1 A
R3
h=�=�=lA
=
Gałąź o rezystancji R5 składa się z połączonych szeregowo rezystorów R� , R3 , R; ,
zatem przez rezystory te płynie również prąd /5
= 1 A.
Podobnie, przez połączone szeregowo rezystory R� , R4, R; płynie prąd
a przez rezystory R� , Rw, R; płynie prąd
I = 2 A.
h = 1 A,
Obliczymy wartości prądów płynących w gałęziach trójkąta o rezystancjach R1 •
W tym celu najpierw obliczymy wartości napięć w gałęziach zastępczej gwiazdy
(rys. 4.33b):
= RV5 = 2 1 = 2 V
Uo2 = RV = 2 2 = 4 V
·
U10
·
Rozwi;
Zgodn
Zgodn
Potem obliczamy wartości napięć w gałęziach trójkąta:
= U10 + Uo2 = 2 + 4 = 6 V
U32 = Uo2 + U30 = 4 2 = 6 V
U13 = U10 - U30 = 2 - 2 = O
U12
+
92
Po pod
Prądy w poszczególnych gałęziach trójkąta:
U12
/1 2 = R; = 6 = 1 A
ynie
6
W identyczny sposób możemy obliczyć wartości prądów płynących w gałęziach trój­
qta z rezystorami R2•
Przyktad
4.3 I
Ii Ii, h stosując pierwsze i drugie pra­
,1, 0 Kirchhoffa (metodą klasyczną) , jeśli E1 = 80 V, E2 = 64 V, R1 = 6 n, R1 = 4 n,
R3 = 4 n. Sporządź bilans mocy.
W obwodzie jak na rysunku 4.34 oblicz prądy
,
I
!·
Rys. 4.34. Schemat obwodu do przykładu 4.3
Rozwiązanie
Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa:
h = Ii + /2
(a)
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:
Ez = -R2I2
�
R3(li + /z) = -R3fi - (R2 + R3)!2
(c)
Po podstawieniu danych otrzymujemy:
80 = 10/i + 4/z
(d)
64 = -4/i - 8/z
(e)
www.wsip.com.pl
93
W wyniku pomnożenia równania (d) przez 2 i po dodaniu stronami równań (d) i (e)
otrzymamy:
224 = 1 6/i
Stąd:
li = 14 A
]z =
80 - 10/1
4
=
_
Rozwiąz
Oznacza
tencjał o
my ukła1
Wypadki
15 A
Wypadki
h = li + ]z = 14 - 1 5 = - 1 A
Rzeczywiste zwroty prądów ]z oraz h są przeciwne do założonych.
Bilans mocy wyznaczamy ze wzoru:
czyli:
Kondukt
2
2
2
80 . 14 + 64 . 1 5 = 6 . 1 4 + 4(- 1 5) + 4(- 1 )
2080 w = 2080 w
Kondukt
Zasada bilansu mocy jest spełniona.
'Y
Przykład 4.4
Ll<lad r<
wielkośc
I
Oblicz wartości prądów płynących w gałęziach obwodu przedstawionego na rysunku
4.35, stosując metodę potencjałów węzłowych. Dane obwodu:
1
E1 = 30 V, E1 = 200 V, Es = 56 V, lź = "3 A,
R1 = 30 n, R1 = 6 n, R3 = 8 n, R4 = 30 n, Rs = 1 5 n, R6 = 40 n
W celu 1
przez 3 i
stąd Vi
=
Korzyst2
w gałęzi:
Rys. 4.35. Schemat obwodu do przykładu 4.4
94
i (e)
Rozwiązanie
Oznaczamy węzły przez 1 , 2, 3, przy czym węzeł 3 uziemiamy, tzn. nadajemy mu po­
tencjał o wartości równej zeru. W celu wyznaczenia potencjałów węzłów 1 i 2 stosuje­
my układ równań
Wypadkowy prąd źródłowy zasilający węzeł 1:
(4.95).
E1 GE = G1 E1 - G3E3 =
1
1
30 30 - g · 56 = 1
·
-
7=
-6 A
30 30 - !6 200 = -34 A
3 - _!__
Wypadkowy prąd źródłowy zasilający węzeł 2:
E2GE = lź - G1E1 - G2E2 = !
Konduktancje własne węzłów:
Gi I = Gi + Gs + G3 + G6 =
1
I
ł
·
·
1 1
+ 15 + 8 +
1
l
1
=4 S
30
40
1 1 1 1 3
G12 = G1 + Gs + Gz + G4 = 30 + 1 5 + 6 + 30 = 1 0 S
Konduktancja wzajemna między węzłami 1 i 2:
G12 = G11 = -(G1 + Gs) =
(4.95)
- ( 310 + 115 ) = - 110 S
}
Ckład równań
dla obwodu o dwóch węzłach niezależnych, po podstawieniu
wielkości poprzednio obliczonych, przyjmie postać:
- 6 = 4-1 V1 - -110 V2
- 34 = - -110 Vi + -130 Y2
1mku
W celu rozwiązania tego układu równań możemy np. pierwsze równanie pomnożyć
przez i dodać do drugiego równania, w wyniku czego otrzymamy:
3
stąd Vi = -80 V, a V2 =
-140 V.
-52 = (�4 - _!__1 0 ) Vi
Korzystając z prawa Ohma w postaci
gałęziach:
w
(4.2) oraz (4.8) , obliczymy wartości prądów
1
30 (30 - 140 + 80) = -1 A
li = Gz(E2 + U23) = Gz(E2 + Y2 - O) = 6 (200 - 140) = IO A
h = G3(E3 + U13) = G3(E3 + Vi - O) = g- (56 - 80) = -3 A
/1 = G1 (E1 + U21) = G1 (E1 + V2 - Vi ) =
1
1
www.wsip.com.pl
95
/4 = G4U23 = G4V2 = 30 (- 1 40) =
1
-
14
3
1
Is = Gs U12 = Gs(V1 - V2) = 15
(-80 + 1 40) = 4 A
1
h = G6 U13 = G6(V1 - O) = 40 (-80) = -2 A
Znaki minus przy wartościach prądów świadczą o tym, że rzeczywiste zwroty tych prą­
dów są przeciwne do przyjętych na rysunku . •
I
4.1 4. W e
Na1
a) I
b) I
C) I
d) I
4.1 5. w (
ora:
Pytania i polecenia ....
a) l
4. 1 . Co to jest obwód elektryczny? Jak dzielimy elementy obwodu elektrycznego? Czy wszystkie elementy można łączyć ze sobą w dowolny sposób?
4.2. Podaj zasadę tworzenia grafu strukturalnego obwodu elektrycznego.
4.3. Podaj sformułowanie zasady superpozycji.
4.4. Podaj sformułowanie obu praw Kirchhoffa.
4.5. Jaka jest wartość mocy pobieranej przez odbiornik ze źródła w stanie dopasowania?
4.6. Jaka jest różnica między źródłem sterowanym a niesterowanym?
4.7. Jak wyznacza się rezystancję gałęzi gwiazdy przy przekształcaniu trójkąta w gwiazdę?
4.8. Wymień przykłady elementów rezystancyjnych nieliniowych i wykreśl kilka przykładowych cha­
rakterystyk napięciowo-prądowych tych elementów.
4.9. Ile równań niezależnych można napisać dla obwodu o v węzłach zgodnie z I prawem Kirchhoffa:
a) V
b) V - 1
C) V + 1
d)
4.1 O. I le równań niezależnych można napisać d la obwodu o v węzłach i b gałęziach zgodnie
z l i prawem Kirchhoffa:
a) b
b) b - V + 1
c) b - v - 1
d) b - 1
4.1 1 . Przy połączeniu szeregowym rezystorów, rezystancja wypadkowa obwodu :
a ) wzrasta
b) maleje
c) nie zmienia się
4. 1 2 . Przy połączeniu równoległym rezystorów, rezystancja wypadkowa obwodu:
a) wzrasta
b) maleje
c) nie zmienia się
4.1 3 . Metodę superpozycji stosujemy do obliczania obwodów:
a) tylko liniowych
b) tylko nieliniowych
c) zarówno liniowych jak i nieliniowych
d) tylko w obwodach nierozgałęzionych
c) 1
v-2
96
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
b) l
d) l
4. 1 6. w (
R3 :
a) l
b) l
c) l
d) l
-U 4. W obwodzie pokazanym na rysunku 4.36: R1 = 12 n, E1 = 10 V, R2 = 3 n, E2 = 5 V.
Napięcie V na zaciskach ab wynosi:
-o a
...
....
--.
.--
a) U = -5 V
b) U = 1 5 V
c) V =
)Tą-
-
2V
d) V = 8 V
a„. 4.36. Sohom" obwodo
do pytania 4.14
�. 1 5 . W obwodzie pokazanym na rysunku 4.37: Gw1 = 2 S, /ź 1 = 2 A, GW2 = 3 S, lź2 = 4 A
oraz G = I S. Prąd I w gałęzi o konduktancji G wynosi:
a) I = 2 A
, ele-
Iu
'---''----o b
a
b) I = 1 A
c) l = 6 A
d) I = 3 A
b
I
G
Rys. 4.37. Schemat obwodu
do pytania 4.15
! 1 6. W obwodzie pokazanym na rysunku 4.38: R1 = 5 D, E 1 = 1 0 V, R2 = 3 D, E1 = 20 V oraz
R3 = 2 D, U = 30 V. Moc P pobierana przez rezystory R1 , R2, R3 wynosi:
a) P = 40 W
; cha'<Jffa:
b) P = 20 W
c) P = l OO W
d) p = 80 w
Rys. 4.38. Schemat obwodu do pytania 4.16
www.wsip.com.pl
I
5.
Źródła energii elektrycznej
5.1 .
Wiadomości
wstępne
Z fizyki wiadomo, że energia może istnieć
w wielu różnych postaciach: mechanicz­
nej , cieplnej , chemicznej , świetlnej , jądro­
wej oraz elektrycznej , z którą w niniej­
szym podręczniku mamy najczęściej do
czynienia. Energia może być zamieniana
z jednej postaci w drugą dzięki wykorzy­
staniu odpowiednich zjawisk fizycznych.
Z zasady zachowania energii wynika, że
każde źródło energii elektrycznej jest
w istocie przetwornikiem energii. Proce­
sy przemiany energii zachodzące w różne­
go typu przetwornikach są przeważnie
procesami dwukierunkowymi. W rozdzia­
le tym będą opisane jedynie te procesy,
w wyniku których uzyskuje się energię
elektryczną. Energia elektryczna jest naj­
dogodniejszą postacią użytkową energii,
a to z tego względu, że można ją w łatwy
sposób przesyłać na duże odległości oraz
w łatwy sposób doprowadzać do użytkow­
nika. Natomiast wadą tej postaci energii
jest trudność jej magazynowania.
5.2.
Źródła elektro­
mechaniczne
Jako źródło elektromechaniczne będzie­
my rozumieli przetwornik energii mecha­
nicznej w energię elektryczną. Źródłem
takim jest prądnica elektryczna , zwana
też generatorem . Działanie prądnicy jest
oparte na zjawisku indukowania się siły
elektromotorycznej w przewodzie poru­
szającym się w polu magnetycznym.
98
I
I
!
Rys. 5.1. Zasada działania prądnicy elektrycznej
(generatora)
Załóżmy, że między biegunami elektro­
magnesu obraca się zwój w formie ramki
z przewodu miedzianego (rys. 5.1).
Wartość indukowanej w ramce siły elek­
tromotorycznej e zależy od prędkości ob­
wodowej ramki v, długości czynnej l
przewodu znajdującego się w polu ma­
gnetycznym wytworzonym przez elektro­
magnes oraz od wartości indukcji magne­
tycznej B obejmowanej przez ramkę ,
czyli:
e = Blv
W rzeczywistej prądnicy mamy nie jeden
zwój w postaci ramki, lecz cały zespół
zwojów tworzących uzwojenie. Uzwojenie
jest nawinięte na walcu wykonanym
z blach ze stali magnetycznie miękkiej ,
Oś bieguna
Rys. 5.2. Uproszczony model prądnicy elektrycznej
(generatora)
mający
znajduj
Walec 1
tworni
służącą
nego n
nach m
magne�
ści od t
może :
część
prądnic
torem.
modelu
a magn
\1oc p
wynosi
!ÓW. W
wane p
gawató
rozpow
tryczne
prądnic
w elekt
�em el<
prądnic
jo zasil
latorów
5.3.
5.3. 1 .
Ckład
zanurzc
:warzan
�eakcji
Jk.ładzi1
,·hemie
.;. em p:
I
iej
(tro­
amki
elek­
:i ob­
nej l
ma­
ł.tropgne­
bikę ,
jeden
�espół
ojenie
anym
:kkiej ,
mającym na obwodzie żłobki, w których
znajdują się poszczególne zwoje (rys. 5.2) .
Walec ten wraz z uzwojeniem nazywamy
hrnrnikiem prądnicy. Część prądnicy
�łużącą do wytwarzania pola magnetycz­
'.k!go nazywamy magneśnicą. Na biegu­
:iach magneśnicy są nawinięte uzwojenia
:nagnesujące (wzbudzające). W zależno­
.,..; i od typu prądnicy elektrycznej twornik
:noże stanowić jej część wirującą lub
.:-zęść nieruchomą. Część nieruchomą
-:-:idnicy nazywamy stojanem lub stato. a część ruchomą wirnikiem lub ro­
iorem. W przedstawionym na rysunku 5 .2
:nodelu prądnicy twornik jest wirnikiem,
.i magneśnica - stojanem.
\łoc produkowanych obecnie prądnic
„ Ynosi od ułamka wata do milionów wa­
:ó.w. W polskich elektrowniach są stoso­
• ane prądnice o mocach rzędu setek me­
rawatów. Prądnice należą do najbardziej
�zpowszechnionych źródeł energii elek­
trycznej . Znanych jest wiele konstrukcji
prądnic. Oprócz prądnic stosowanych
•. elektrowniach, a więc zasilających sys­
lem elektroenergetyczny, produkuje się
prądnice o innej konstrukcji, stosowane
Jo zasilania spawarek, ładowania akumu­
:...itorów w pojazdach mechanicznych itp.
5.3.
5.3.1 .
1rycznej
Źródła chemiczne
I Ogniwa galwaniczne
lKład utworzony przez dwie elektrody
unurzane w elektrolicie, zdolny do wy­
twarzania energii elektrycznej kosztem
reakcji chemicznej zachodzącej w tym
llkładzie, nazywamy ogniwem elektro­
chemicznym, galwanicznym lub ogni­
•cm pierwotnym. Załóżmy, że do rozwww.wsip.com.pl
Zn
Rys. 5.3. Rozkład ładunków wokół elektrody Zn
zanurzonej w kwasie siarkowym (VI) H2S04
tworu normalnego kwasu siarkowego
(VI) H2S04 wprowadzimy elektrodę cyn­
kową (rys. 5.3) .
Jony cynku zn+ zanurzonego w elektroli­
cie wykazują tendencję do przechodzenia
do elektrolitu. Jony metalu są dodatnie,
w związku z czym elektrolit przyjmuje ła­
dunek dodatni, a cynk na powierzchni
styczności z elektrolitem - ładunek ujem­
ny. W obszarze styczności cynk-elektrolit
powstaje pole elektryczne. W miarę roz­
puszczania się cynku zwiększa się natęże­
nie pola elektrycznego, które z kolei prze­
ciwdziała przechodzeniu jonów cynku zn+
do roztworu i w związku z tym po pewnym
czasie ustala się stan równowagi. Stan taki
następuje więc w wyniku zrównoważenia
sił chemicznych, pod wpływem których
cynk rozpuszcza się, i sił elektrycznych ha­
mujących ten proces. Rozpuszczanie się
cynku ustaje przy określonej wartości róż­
nicy potencjałów między elektrodą cynko­
wą a elektrolitem. Potencjał cynku wzglę­
dem elektrolitu oznaczymy np. przez V1 .
Jeżeli w tym samym elektrolicie zanurzy­
my elektrodę z innego metalu, to opisany
proces również wystąpi, z tym jednak że
dla różnych metali (oraz dla węgla) ustala
się inny potencjał względem elektrolitu,
np. V2 . Wobec tego między dwiema elek­
trodami zanurzonymi w elektrolicie pow­
staje napięcie:
U = Vi
-
V2
(5 . 1 )
99
Na przykład potencjał elektrody miedzia­
nej względem elektrody cynkowej , zanu­
rzonych w roztworze kwasu siarkowego,
wynosi O ,90 V, a potencjał elektrody wę­
glowej względem elektrody cynkowej
wynosi 1,55 V.
Biegunem ujemnym ogniwa jest z reguły
cynk. Ogniwo mające elektrodę cynkową
i elektrodę miedzianą należy do najstar­
szych ogniw i jest nazywane ogniwem
Volty. Siła elektromotoryczna takiego
ogniwa wynosi 0 ,9 V. Podczas użytkowa­
nia ogniwa cząsteczki H2S04 ulegają dy­
socjacji, w wyniku czego jony ujemne
so;- dochodzą do katody Zn i po odda­
niu dwóch elektronów tworzą wraz z Zn
cząsteczki siarczanu (VI) cynku (II)
ZnS04 . Jony dodatnie 2H+ dochodzą do
anody Cu, dobierają brakujące elektrony
i osiadają na elektrodzie w postaci pęche­
rzyków wodoru (rys. 5.4). Osiadanie wo­
doru na elektrodzie miedzianej powoduje
powstanie tzw. napięcia polaryzacji, któ­
re obniża napięcie na zaciskach ogniwa.
R
Zn
0-- --_­
g-_-_-_
o-_-_-_
-_-_-_-_-_Q
�
--- ---�- - --0
6---_------------- ---------------- - ----------------------l_fi--_=_ --__=--__=_=_-o_-o---------- --- -----_ iS_04--__--_--__ --__ --__ --__ --___ --__--__--__--__--__--__--__--__--__---_-__ --__ --__ --__ --__ --__ --__ --__ --__ __ --__--_--__ --__ H
Rys. 5.4. Zasada działania ogniwa Volty
Procesy chemiczne zachodzące w ogni­
wie Volty można określić wzorami:
elektroda cynkowa
Zn2+ + H2 S04 --t 2H+ + ZnS04
elektroda miedziana
2
2H+ + CuS04 --+ Cu + + H2S04
1 00
W celu uniknięcia szkodliwego działania
polaryzacji stosuje się przy elektrodach
dodatnich związki chemiczne oddające
łatwo tlen. W wyniku połączenia tlenu
z cząsteczkami wodoru powstaje woda.
Związki przeciwdziałające zjawisku pola­
ryzacji elektrody nazywamy depolaryza­
torami . Depolaryzatorem jest np. tlenek
manganu (IV) Mn02 .
Innym rodzajem ogniwa galwanicznego
jest ogniwo Leclanchego, w którym za­
stosowano elektrody cynkową i węglową,
a elektrolitem jest roztwór salmiaku, czyli
chlorku amonu NH4Cl. Elektroda węglo­
wa jest umieszczona w płóciennym wo­
reczku napełnionym mieszaniną sprosz­
kowanego dwutlenku manganu i węgla.
Siła elektromotoryczna tego ogniwa wy­
nosi 1 ,5 V.
Procesy chemiczne zachodzące w ogniwie
Leclanchego można określić wzorami:
elektroda cynkowa
2
Zn + + 2N�Cl --+ 2NH� + ZnCh
elektroda węglowa
2N� --+ 2H+ + 2NH3
H2 + 2Mn02 --+ Mn203 + H20
Ogniwa typu Leclanchego są wykonywa­
ne jako ogniwa mokre, ogniwa półsuche
i ogniwa suche (np. popularna bateria).
Z przeprowadzonych rozważań wynika,
że siła elektromotoryczna ogniwa galwa­
nicznego zależy od rodzaju użytych elek­
trod i rodzaju elektrolitu.
Wielkością charakteryzującą ogniwo jest
pojemność elektryczna ogniwa , równa
iloczynowi prądu znamionowego ogniwa
i gwarantowanego czasu jego użytkowa­
nia przy tym prądzie . Pojemność elek­
tryczną ogniwa wyraża się w amperogo­
dzinach [Ah] .
J
Ogniwa
zakres
mogą c
ilości er
niu nie 1
Akumu
y m , je:
znaczon
trycznej
można I
całkowit
ces łado
powtarzi
wania al
źródła e
tryczna
miczną.
magazyr
akumulai
elektryc:z
mieniana
ną. Rozr
f ołowio'-'
zelazo-ni
W akun
wanym)
elektrod<
IV) PbC
1wór kwi
Podczas
Pb) zam
I l ) PbSC
Ją do elek
ru w poł
również �
- ponadto
.:owania 1
�a obu el
-::a się w
t�
•j ące
1enu
ioda.
�la­
Jza­
enek
nego
a za­
ową,
czyli
rglowo­
rosz­
ęgla.
wyLiwie
i:
Ogniwa galwaniczne mają ograniczony
zakres zastosowań. W jednostce czasu
m-0gą one dostarczać tylko niewielkiej
ilości energii elektrycznej . Po rozładowa­
niu nie można ich z powrotem naładować.
5.3.2.
I Akumulatory
\kumulator , zwany też ogniwem wtór­
ogniwo odwracalne, prze­
znaczone do magazynowania energii elek­
� cznej . Akumulator po wyładowaniu
:nożna ponownie doprowadzić do stanu
ii..; owitego naładowania, przy czym pro. , ładowania i wyładowania może być
.\tarzany wielokrotnie. Podczas łado­
. :1ia akumulator jest zasilany z innego
Jła energii, przy czym energia elek­
ana jest zamieniana w energię che­
zną. W tej postaci energia może być
·' :c:azynowana.
Podczas wyładowania
. .1mulator pracuje jako źródło energii
J...:trycznej; energia chemiczna jest za­
;:niana z powrotem w energię elektryczRozróżniamy akumulatory kwasowe
'uwiowe) i akumulatory zasadowe (np .
zelazo-niklowe i kadmowo-niklowe) .
W akumulatorze ołowiowym (nałado­
• anym) elektrodą ujemną jest ołów Pb,
elektrodą dodatnią jest tlenek ołowiu
1 IV) Pb02 , a elektrolitem - wodny roz­
rwór kwasu siarkowego (H2S04 + H20).
Podczas wyładowania elektroda ujemna
• Pb) zamienia się w siarczan (VI) ołowiu
n ) PbS04 , a wolne jony wodoru wędru­
_ią do elektrody dodatniej (Pb02) , tworząc
tu w połączeniu z kwasem siarkowym
również siarczan (VI) ołowiu (II) PbS04
1 ponadto wodę (rys. 5.5) . Podczas wyła­
Jowania siarczan ołowiu tworzy się więc
na obu elektrodach , a na skutek tworze­
nia się wody, gęstość kwasu się zmniej_·
•
) jest
6wna
'1iwa
�)waelek­
ro go-
R
- . · n . jest to
_.
\-Wa­
.u che
B) .
nika,
llwa­
elek-
sza. Podczas ładowania reakcje są od­
wrotne , a zatem zmniejsza się liczba czą­
stek wody i zwiększa się gęstość kwasu
siarkowego . W stanie naładowania płyta
ujemna jest szara, a płyta dodatnia - bru­
natna. Napięcie naładowanego akumula­
tora ołowiowego wynosi ok. 2 V i nie za­
leży od wymiarów elektrod.
www.wsip.com.pl
+
Pb
==504 -==-- -
-
-=-=-=-= 2rr.·=--
- --„ ---- �---
--- - - - =-===========�25q4=+.=BiD_===========- - - - - - -· - - - -
- -
Rys. 5.5. Akumulator ołowiowy pracujący jako
źródło energii elektrycznej
Zwiększenie pojemności elektrycznej
akumulatora ołowiowego uzyskuje się
w wyniku zwiększenia powierzchni elek­
trod. Elektrody akumulatora wykonuje się
więc albo w postaci płyt żeberkowych
mających dużą powierzchnię czynną, al­
bo w postaci płyt masowych, w których
szkielet wykonany w formie kraty z twar­
dego ołowiu wypełnia się masą czynną
zawierającą tlenki ołowiu.
Dalsze zwiększanie pojemności uzyskuje
się dzięki wykonywaniu elektrod wielo­
płytowych . W przypadku akumulatorów
stosuje się terminy sprawności pojemno­
ściowej oraz sprawności energetycznej .
Sprawnością pojemnościową akumula­
tora ołowiowego jest stosunek ładunku
Qwyl wydanego przez akumulator podczas
wyładowania do ładunku Q1ad pobranego
podczas ładowania, czyli:
'r/p
_
-
Qwył
Q1ad
(5 .2)
1 01
Sprawność pojemnościowa akumulatora
ołowiowego wynosi 0 ,85 -;-0,92.
Sprawność .energetyczna akumulatora
ołowiowego jest to stosunek energii Wwyl
wydanej podczas wyładowania do energii
W1ad pobranej podczas ładowania, czyli:
_
Wwyl
T/e - W1ad
-­
(5 .3)
Sprawność energetyczna jest mniejsza od
sprawności pojemnościowej i wynosi
0 ,7-7-0 ,75 .
W akumulatorze zasadowym elektroli­
tem jest roztwór wodny ługu potasowego
KOH o gęstości 1 ,1 9 g/cm3 .
W akumulatorze żelazo-niklowym elek­
troda ujemna jest z żelaza Fe, a elektroda
dodatnia - z wodorotlenku niklu (III)
Ni(OH)3 .
W akumulatorze kadmowo-niklowym
elektroda ujemna jest z kadmu, a elektroda
dodatnia - również z wodorotlenku niklu.
Akumulator zasadowy wykazuje w stosun­
ku do akumulatora ołowiowego większą
odporność na wstrząsy mechaniczne
i przeciążenia elektryczne oraz jest trwal­
szy. Akumulator zasadowy wytrzymuje do
3000 wyładowań, podczas gdy akumulator
ołowiowy - do ok. 1 500. Napięcie pracy
akumulatora zasadowego wynosi 1 ,2 V,
sprawność pojemnościowa 0 ,7-7-0,75 ,
a sprawność energetyczna 0 ,5 -7-0 ,52,
sprawności tego akumulatora są zatem
mniejsze niż sprawności akumulatora oło­
wiowego.
Badania prowadzone nad nowymi typami
akumulatorów idą w kierunku ich minia­
turyzacji, zmniejszenia masy, zwiększe­
nia pojemności , możliwości szybkiego ła­
dowania, co wiąże się z tendencją do ich
używania w napędzie samochodów i za­
stąpienia silnika spalinowego silnikiem
elektrycznym.
1 02
5.3.3.
1 Ogniwa paliwowe
Specjalnym typem ogniwa galwaniczne­
go jest ogniwo paliwowe . Podobnie jak
każde ogniwo galwaniczne, składa się
ono z dwóch elektrod - anody i katody rozdzielonych elektrolitem. Jest to urzą­
dzenie, w którym energia spalania paliwa
(paliwo może być w postaci stałej , ciekłej
lub gazowej) jest bezpośrednio zamienia­
na w energię elektryczną. Ogniwo pali­
wowe można traktować jako ogniwo gal­
waniczne wtórne , różniące się jednak od
akumulatora tym, że substancje czynne,
n.p. wodór i tlen, są poza ogniwem i dlate­
go dzięki możliwości ciągłego ich dostar­
czania do elektrod, ogniwa mogą praco­
wać bez przerwy.
+
-
KOH
02
Rys. 5.6. Schemat poglądowy ogniwa paliwowego
Ogniwo paliwowe najprostszego typu, za­
silane wodorem i tlenem, działa w od­
wrotny sposób do urządzenia produkują­
cego tlen i wodór w elektrochemicznej
reakcji elektrolizy wody. Po doprowadze­
niu wodoru do anody, tlenu zaś do katody
obserwuje się powstanie między nimi róż­
nicy potencjałów. Urządzenie takie moż­
na więc wykorzystać jako źródło energii
elektrycznej (rys. 5.6) .
Energia elektryczna jest wytwarzana bez
zanieczyszczania środowiska.
;
Do zalet
czyć br:
części k1
dużą od
obsługę.
ży zalic2
cy, duży
stosowai
Ogniwa
stosowm
i jego ek
drugorzę
smiczny1
program
ogniwan
chodów
światow'
ku urucl
trownię :
.łj MW.
wa pali�
rue zesp<
IT]
~
Bezpośre
·.i. energi�
:-zystając
-tyku d\\·.i, odnikÓ'
�óżni się
...:: i zespc
'.TIO, liczt
:-adająca
�naczej n
-wobodn
.ach. Po
.\ obodn'
llle­
jak
się
ly
-
rzą­
iwa
kłej
nia13.li­
gal' od
11ne ,
late­
.iar­
aco-
Oo zalet ogniwa paliwowego można zali­
czyć brak ruchomych, ścierających się
.:zęści konstrukcyjnych, długi czas pracy,
Jużą odporność na przeciążenia i prostą
c-,t,sługę. Do wad ogniw paliwowych nale­
zy zaliczyć małą moc , niskie napięcie pra­
.;y. duży koszt urządzeń oraz konieczność
•sowania czystych, drogich paliw.
1 ::niwa paliwowe znalazły praktyczne za­
. 1 sowanie tam, gdzie cena urządzenia
-:go ekonomiczna praca mają znaczenie
-.1gorzędne. Użyto ich w pojazdach ko-� icznych serii Gemini i w pojazdach
- )gramu Apollo . Intensywne badania nad
� niwami paliwowymi do napędu samo­
. · odów są prowadzone w wielu firmach
.;, iatowych. W 1981 roku w Nowym Jor­
a.. u uruchomiono eksperymentalną elek­
trownię z ogniwami paliwowymi o mocy
.łj MW. Również w Japonii pracują ogni­
.,., a paliwowe . Przewiduje się uruchomie­
- c zespołu o mocy 1 1 MW.
·
5 .4.
Źródła cieplne
5.4. 1 . Zjawisko
termoelektryczne
�ego
1 . za-
od­
(ują­
:znej
ldze­
nody
i róż­
moż­
iergii
a bez
Bezpośrednią przemianę energii cieplnej
.,., energię elektryczną można uzyskać , ko­
:zystając ze zjawiska występującego na
-ryku dwóch różnych metali lub półprze­
·>. odników, gdy temperatura miejsca styku
�óżni się od temperatury pozostałych czę­
;.:i zespojonych materiałów. Jak wiado­
:no, liczba elektronów swobodnych przy­
padająca na jednostkę objętości, czyli
inaczej mówiąc koncentracja elektronów
swobodnych, jest różna w różnych meta­
lach. Ponadto koncentracja elektronów
swobodnych zależy od temperatury metalu.
www.wsip.com.pl
W wyniku różnej koncentracji elektro­
nów, na styku dwóch metali powstaje róż­
nica potencjałów, nazywana napięciem
termoelektrycznym . Dwa druty z róż­
nych metali spojone na jednym końcu
tworzą po ich podgrzaniu ogniwo termo­
elektryczne zwane też termoelementem.
Na rysunku 5.7 przedstawiono przykład
termoelementu , w którym dwa metale:
miedź i konstantan zespojono w punkcie 1 ,
natomiast końcówki oznaczone 2 i 2 '
dołączono do zacisków miliwoltomierza.
Cu
1<
Konstantan
'!91
2
2' '!92
mV
n
Rys. 5.7. Schemat poglądowy termoelementu
Napięcie termoelektryczne, które można
zmierzyć miliwoltomierzem, jest propor­
cjonalne do różnicy temperatury spoiny 1
i temperatury końcówek 2 i 2 ':
u = o:(-0 1 - -02) = o:b.-0
(5 .4)
przy czym: a współczynnik w V/K (V/°C) , zależ­
ny od rodzaju materiałów użytych do wykonania ter­
moelementu; 191 temperatura spoiny 1 ; 192 tempe­
ratura końcówek 2 i 2 '.
-
-
-
Utrzymywanie napięcia termoelektrycz­
nego wymaga podtrzymania tej różnicy
temperatur; termoelement można więc
rozpatrywać jako urządzenie bezpośred­
niej przemiany energii cieplnej w energię
elektryczną. Termoelementy wykorzystu­
je się do pomiaru różnicy temperatur.
Końcówkę 1 spojenia metali tworzących
termoelement umieszczamy w punkcie
pomiarowym, a miliwoltomierz, wyska­
lowany w kelwinach, wskazuje tempera­
turę mierzoną. W odróżnieniu od metali ,
1 03
w półprzewodnikach wraz ze wzrostem
temperatury koncentracja elektronów
swobodnych i dziur znacznie się zwięk­
sza. W półprzewodnikach można uzyskać
znacznie wyższe napięcia termoelektrycz­
ne. O ile w termoelemencie wykonanym
z platyny i żelaza przy różnicy temperatur
/j,,_ fJ = 100°c napięcie termoelektryczne
wynosi 1 ,9 mV, o tyle w przypadku zasto­
sowania półprzewodników napięcie 1 mV
można uzyskać już przy /),,.f) = 1 °C .
5.4.2.
Generator
termoelektryczny
Generator termoelektryczny TEL jest
urządzeniem, w którym zjawiska termo­
elektryczne są wykorzystywane do bez­
pośredniej przemiany energii cieplnej
w energię elektryczną. Na rysunku 5.8
przedstawiono schemat generatora termo­
elektrycznego zbudowanego z elementów
półprzewodnikowych.
p
N
+
I
R
Rys. 5.8. Schemat poglądowy generatora termoelek­
trycznego
Generator ten składa się z dwóch kolumn ,
z których jedna jest wykonana z półprze­
wodnika o przewodnictwie elektrycznym
typu N (elektronowym) , druga zaś z pół­
przewodnika o przewodnictwie typu P
(dziurowym) . Po stronie gorącej o tempe­
raturze 7'J 1 , ogrzewanej ze źródła energii
cieplnej , półprzewodniki są połączone
płytką metalową. Drugie końce kolumn
są chłodzone.
1 04
Do zacisków strony chłodzonej o tempe­
raturze 7'J2 może być dołączony odbiornik
energii elektrycznej . Kierunek ruchu elek­
tronów i dziur zaznaczono na rysunku 5 .8
strzałkami .
Wytwarzane obecnie generatory TEL dają
moce od kilku watów do kilku kilowatów.
Charakteryzują się one dużą pewnością
działania. Są to jednak kosztowne źródła
energii elektrycznej i dlatego stosuje się
je do specjalnych celów, np. w urządze­
niach kosmicznych.
5.4.3.
Generator magneto­
gazodynamiczny
W generatorze magnetogazodynamicz­
nym MGD energia wewnętrzna gazu
przewodzącego przekształca się w ener­
gię elektryczną.
Zasada działania takiego generatora jest
podobna do zasady działania prądnicy. Gaz
przewodzący w generatorze MGD odgry­
wa taką samą rolę jak przewód metalowy
w prądnicy. Jeśli czynnikiem przewo­
dzącym jest nieściśliwa ciecz, to generator
nosi nazwę generatora magnetohydro­
dynamicznego MHD.
W najprostszym generatorze MGD w ka­
nale I (rys. 5.9) przepływa gaz o tempe­
raturze 1 700-;.-2700°C z prędkością v
wynoszą ok. 1000 mis . Elektromagnes
I
R
Rys. 5.9. Schemat poglądowy generatora magneto­
gazodynamicznego
1 kanał, w którym przepływa gaz
-
wytwarzc
o indukc
zaciskacł
które w z
nym pow
Cechą ch:
jest brak
nych. Mi
generator
nie pows
rrycznej
strukcyjm
temperatu
generator1
w wielu k
5.4.4 .
�
\fożna w;
pów źródt
na energii
W genen
�nergia cit
gię elekt
zjawiska
po wierzei
w
zakre�
Energię c
tora TEM
l.onwencjc
·.1. a) lub w
:zotopów,
Obecnie I
mające na
rechnolog
strukcją g<:
W gener:
energia cie
elektryczn
80Ści mięci
•iskami n
lpe ­
mik
lek-
5 .8
dają
IÓW.
iścią
ódła
: się
dze-
·,1.-ytwarza w kanale pole magnetyczne
o indukcji magnetycznej B = 3---;- 6 T. Na
z.aciskach elektrod indukuje się napięcie ,
�tóre w zamkniętym obwodzie zewnętrz­
::ym powoduje przepływ prądu /.
Cechą charakterystyczną generatora MGD
�st brak ruchomych części mechanicz: h . Mimo prostej zasady działania ani
. :1erator MGD, ani MHD nie jest obec­
: powszechnym źródłem energii elek­
- :znej ze względu na trudności kon­
Jkcyjne związane z techniką wysokich
·1peratur. Badania związane z budową
: ---:eratorów MGD i MHD są prowadzone
„ wielu krajach, w tym również w Polsce .
_
_
ł-
liczgazu
mer. jest
. Gaz
igry­
lowy
ewo­
:rator
rdro„- ka­
mpe­
�ią V
agnes
5 .4.4 .
I Inne źródła cieplne
Można wymienić jeszcze kilka innych ty­
pów źródeł, w których zachodzi przemia­
na energii cieplnej w energię elektryczną.
W generatorze termoemisyjnym TEM
�rgia cieplna jest przekształcana w ener­
pę elektryczną dzięki wykorzystaniu
Ljawiska emisji elektronów z gorących
powierzchni. Generator TEM pracuje
"" zakresie temperatur 700---;-2200°C .
Energię cieplną dostarczoną do genera­
:ura TEM uzyskuje się ze spalenia paliw
1.onwencjonalnych (węgiel , ropa nafto­
• a) lub w wyniku promieniowania radio­
:.zotopów, z rozszczepienia jądrowego itp .
Obecnie prowadzi się prace badawcze,
mające na celu rozwiązanie problemów
technologicznych, związanych z kon­
iffilkcją generatorów TEM.
beto-
W generatorze termomagnetycznym
energia cieplna jest zamieniana w energię
ktryczną dzięki wykorzystaniu zależ­
ności między zjawiskami cieplnymi a zja­
-.. iskami magnetycznymi . Jak wiadomo,
www.wsip.com.pl
wraz ze wzrostem temperatury namagne­
sowanie materiału ferromagnetycznego
zmniejsza się, a po przekroczeniu tempe­
ratury krytycznej (zwanej temperaturą
Curie) znika całkowicie i materiał staje
się paramagnetyczny. Zależność własno­
ści ferromagnetycznych materiału od
temperatury wykorzystuje się do wytwa­
rzania energii elektrycznej .
W generatorze termodielektrycznym
energia cieplna może być przekształcona
w energię elektryczną w materiałach die­
lektrycznych o specjalnych własnościach.
Zjawisko piroelektryczne , ściśle związa­
ne ze zjawiskiem piezoelektrycznym, pole­
ga na pojawieniu się ładunków elektrycz­
nych na zewnętrznych powierzchniach
kryształów podczas ich podgrzewania. Sieć
krystaliczna materiału po podgrzaniu de­
formuje się, wskutek czego zostaje zakłó­
cona neutralność elektryczna.
Żadne z wymienionych źródeł energii
elektrycznej nie są obecnie powszechnie
stosowane.
5.5.
Źródła świetlne
W generatorze fotoelektrycznym, zwa­
nym też ogniwem fotoelektrycznym ,
w wyniku zjawiska fotoelektrycznego
energia promieniowania świetlnego prze­
mienia się w energię elektryczną.
Zjawisko fotoelektryczne zostało odkryte
przez Heinricha R. Hertza w 1 887 r. Pole­
ga ono na emisji elektronów z powierzch­
ni materiału lub na przeniesieniu nośni­
ków ładunku elektrycznego pomiędzy
pasmami energetycznymi, pod wpływem
promieniowania świetlnego. Zjawisko to
wykorzystano do budowy ogniw seleno­
wych powszechnie używanych w technice
fotograficznej w światłomierzach . Zasto1 05
sowanie półprzewodników w latach 50.
XX wieku pozwoliło na budowę ogniw
krzemowych. Ogniwa krzemowe są uży­
wane przede wszystkim do przemiany
promieniowania słonecznego w energię
elektryczną. Są to ogniwa o prostej kon­
strukcji, praktycznie o nieograniczonym
czasie pracy, niewymagające specjalnych
zabiegów konserwacyjnych. Napięcie
uzyskiwane z ogniwa krzemowego wynosi
ok. O ,6 V. Generatory fotoelektryczne są
najczęściej stosowane jako źródła zasi­
lania w energię elektryczną pojazdów
kosmicznych. Osiągane moce z baterii
generatorów fotoelektrycznych wynoszą
kilkadziesiąt watów.
Pytania i polecenia
5 . 6.
Źródła
piezoelektryczne
D o wytwarzania energii elektrycznej wy­
korzystuje się również zjawisko piezo­
elektryczne polegające na pojawianiu się
ładunków elektrycznych na zewnętrznych
powierzchniach kryształów dielektrycz­
nych podczas działania na te kryształy sił
ściskających lub rozciągających. Własno­
ści piezoelektryczne wykazuje np. kwarc,
blenda cynkowa, tytanian baru itp. Zjawi­
sko piezoelektryczne jest wykorzystywa­
ne m.in. w zapalniczkach do kuchenek
gazowych .
!._------
5. 1 . Podaj przykład źródła elektromechanicznego i opisz zasadę jego działania.
5.2. Jaka jest zasadnicza różnica między ogniwem galwanicznym a akumulatorem?
5.3. Jak określa się sprawność pojemnościową i sprawność energetyczną akumulatora?
5.4. Jak powstaje ogniwo termoelektryczne?
5.5. Na czym polega zjawisko piezoelektryczne?
5.6. Jaka jest przyszłość ogniw paliwowych?
Skutki c
wieka n
1 np . cif
dektroli
tJurzeni�
Prąd sta
prąd zm
nie prąc
rryczny1
komórel
napięci2
.:o prm:
w komó
mórkow
wu prąc
większy
cX:ZekiW
zależy c
mnymi
wowyeł
żenia jo
;irowad;
i>.omórel
stotliwo
zaburze
;.kurczÓ'
....: iach r
Joprow;
'.1. skutek
;mepłyi
Jzo wi1
'
���
� się
..
�
,],
· sił
IS nO-
rarc ,
jawi­
ywa1enek
6.
6.1 .
Działa n ia fizjologiczne prądu
elektrycznego na organizm ludzki
Skutki działania
prądu elektr}'cznego
na organizm ludzki
6.1 . 1 . Wiadomości ogólne
Skutki działania prądu na organizm czło­
C'ka można rozpatrywać jako fizyczne
:<p. cieplne) , chemiczne (np. zmiany
elektrolityczne) lub biologiczne (np . za­
�urzenia czynności).
��d stały działa na człowieka inaczej niż
·:d zmienny. Jedną z różnic jest działa­
:: 1 e prądu na obdarzone ładunkiem elek­
:.;. cznym cząsteczki będące składnikami
„omórek. Pod wpływem przyłożonego
::apięcia cząsteczki te przemieszczają się,
; ) prowadzi do zmian stężenia jonów
·' komórkach i przestrzeniach międzyko­
".'1órkowych. Im dłuższy jest czas przepły­
wu prądu w tym samym kierunku , tym
·� iększych przemieszczeń jonów należy
oczekiwać. Od właściwych stężeń jonów
zależy czynność wielu komórek, między
umymi komórek mięśni i komórek ner­
wowych. Dlatego też zmieniające się stę­
zenia jonów w wyniku przepływu prądu
prowadzą do zaburzenia czynności tych
komórek. Prądy przemienne o dużej czę5totliwości (do 300 kHz) nie wywołują
zaburzeń przewodnictwa w nerwach,
skurczów mięśni i zaburzeń w czynno­
ściach mięśnia sercowego, mogą jednak
doprowadzić do poważnych uszkodzeń
wskutek wytwarzania ciepła wzdłuż drogi
przepływu prądu przez ciało . Prądy o bar­
dzo wielkich częstotliwościach (rzędu
www.wsip.com.pl
MHz) mają stosunkowo małą zdolność
przenikania w głąb tkanek. Im częstotli­
wości są większe , tym działanie prądu
jest bardziej powierzchniowe.
W praktyce najbardziej niebezpieczne
dla człowieka są prądy przemienne
o częstotliwości 50, 60 Hz, a więc czę­
stotliwości przemysłowej .
Progowe wartości odczucia przepływu
prądu przez elektrodę trzymaną w ręku
wynoszą:
• dla mężczyzn
- prąd stały 5,0 mA,
- prąd przemienny (50760 Hz) 1 ,1 mA;
• dla kobiet
- prąd stały 3,5 mA,
- prąd przemienny (50760 Hz) 0,7 mA.
Prąd przemienny, przepływając przez
mięśnie, powoduje ich silne skurcze .
Człowiek obejmujący ręką przewód do­
znaje skurczu mięśni zginających palce ,
co powoduje powstanie zjawiska zwane­
go „przymarzaniem" (nie udaje się ode­
rwać ręki od przewodu). Wartości prądu
„oderwania" (samouwolnienia) wynoszą
w przybliżeniu: dla mężczyzn - 16 mA ,
dla kobiet - 1 0 ,5 mA.
Przyjęto więc górną granicę prądu ode­
rwania wynoszącą 1 0 7 1 2 mA przy prą­
dzie przemiennym 50760 Hz.
Skutki przepływu prądu przez ciało zale­
żą od wartości, drogi i czasu przepływu
prądu oraz stanu zdrowia porażonego.
Decydujący wpływ, gdy chodzi o niebez­
pieczeństwo porażeń, ma wartość prądu
i czas przepływu. Prąd przepływający
przez ciało człowieka wpływa na wartość
rezystancji wewnętrznej ciała.
1 07
6.1 .2.
Działanie prądu
elektrycznego
na krążenie krwi
i oddychanie
Przepływ krwi w naczyniach krwiono­
śnych jest wywołany pracą serca. Mimo
że przez serce przepływa niewielka część
prądu rażenia, może ona spowodować
śmiertelne skutki. Porażenie prądem prze­
miennym o częstotliwości 50--;--60 Hz
najczęściej wywołuje migotanie komór
serca, które polega na nierównomiernych
skurczach mięśnia serca, dokonujących
się z dużą częstotliwością w porównaniu
z normalną jego pracą. Stan ten należy do
najtrudniej odwracalnych. Istotnym czyn­
nikiem decydującym o wystąpieniu migo­
tania komór jest czas przepływu prądu ,
a w przypadku krótkotrwałych przepły­
wów, chwila, w której wystąpił przepływ
prądu. Jeśli przypada on na początek roz­
kurczów (przerwa w pracy serca) , to praw­
dopodobieństwo wystąpienia migotania
jest duże . Jeśli czas przepływu jest krót­
szy niż 0 ,2 s , migotanie komór serca wy­
stępuje rzadko (jeżeli prąd rażenia nie
przekracza 0 ,5 A) .
Podczas rażenia mogą wystąpić również
zaburzenia oddychania. Przepływ prądu
przez mózg może spowodować zahamo­
wanie czynności ośrodka oddechowego
sterującego czynnością oddychania, a po
krótkim czasie przyczynić się do ustania
oddychania, krążenia krwi (z powodu
braku tlenu) i śmierci. Wcześniej już
stwierdzono, że przepływ prądu powodu­
je silne skurcze mięśni. Podczas przepły­
wu prądu przez klatkę piersiową dochodzi
więc do skurczu mięśni oddechowych
i zaniku ruchów oddechowych, co w kon­
sekwencji prowadzi do uduszenia.
1 08
6.1 .3.
Podczas przepływu prądu elektrycznego
przez organizm ludzki następuje pobu­
dzenie, a następnie porażenie układu ner­
wowego. Skutkiem tego jest utrata przy­
tomności. Może być ona spowodowana:
• zatrzymaniem
krążenia wywołanym
niedostateczną pracą serca, migotaniem
komór lub zatrzymaniem serca;
• przepływem prądu bezpośrednio przez
czaszkę i mózg.
Wytworzenie dużej ilości ciepła podczas
przepływu prądów o wysokim napięciu
może w ciągu kilku sekund wywołać nie­
odwracalne uszkodzenie lub zniszczenie
mózgu.
6 . 1 .4.
przerwa
rnczne i
również
smowyc
Działanie prądu
elektrycznego
na układ nerwowy
Uszkodzenie skóry,
mięśni i kości
Przepływ prądu przez ciało powoduje wy­
twarzanie ciepła wzdłuż drogi tego przepły­
wu . Wzrost temperatury może prowadzić
do nieodwracalnych uszkodzeń organi­
zmu człowieka.
Najczęściej spotyka się uszkodzenia skóry.
W miejscu „wejścia" prądu powstają opa­
rzenia: od zaczerwienienia skóry, powsta­
nia pęcherzy oparzeniowych, po martwicę
skóry i zwęglenie. Produkty rozpadu opa­
rzonych tkanek mogą spowodować śmierć
porażonego nawet w kilka dni po wypadku.
Innym rodzajem uszkodzeń skóry są tzw.
znamiona prądowe , które występują
w czasie przepływu prądu, jeśli jest dobra
styczność z przewodnikiem.
Przepływ prądu elektrycznego może spo­
wodować również uszkodzenia mięśni .
W wyniku gwałtownych skurczów następuje
I
I
ł
I
ł
Często :
wołane
:rycznei
:iało. D:
elek try
zwarcia
Łuk ele
:haniczi
;ląd rat
., ych. 1
0parzen
enia si1
xywoła
. świetlr
Do Ufa2
'.'rąd nal
,brażeni
..:ości pn
1-zyczy:
. J i urząd
' ażnie s
� rzepisó
Jpowie
- �ządzei
.leja pn
�-:iJeceni
. mejętn
raz nif
Sastępst
- :iej dol
L
aego
obu­
ner-
KLY11a:
nym
niem
K"ZeZ
lczas
ięciu
: nie­
renie
L
: wy­
�pły­
;adzić
�ani�kóry.
i opa1wsta­
rtWicę
l opa­
mierć
>ad.leu.
a tzw.
tępują
dobra
e spo-
11ięśni.
itępuje
przerwanie włókien mięśnia, a więc mecha­
niczne zerwanie mięśnia. Mogą wystąpić
również zmiany w strukturze włókien mię­
.;niowych, a także uszkodzenia kości.
6. 1 . 5 .
Działanie pośrednie
prądu elektrycznego
Często spotyka się uszkodzenia ciała wy­
'.i. ołane pośrednim działaniem prądu elek­
:rycznego , gdy nie przepływa on przez
�iało. Dzieje się to podczas powstania łuku
�lektrycznego , najczęściej w wyniku
zwarcia w urządzeniach elektrycznych.
Łuk elektryczny może spowodować me­
�haniczne uszkodzenia skóry, mające wy­
fląd ran ciętych, kłutych lub postrzało­
,.i. ych. Towarzyszą temu często poważne
c>parzenia skóry powstałe w wyniku zapa­
:enia się odzieży. Łuk elektryczny może
'"' ywołać również uszkodzenie cieplne
r świetlne narządu wzroku .
Do urazów wywołanych pośrednio przez
prąd należy zaliczyć także złamania i inne
c"'lbrażenia wynikłe wskutek upadku z wyso­
i.:ości przy odruchowej reakcji na porażenie.
6.2 .
Przyczyny porażeń
prądem elektrycznym
normalnie lub przypadkowo pod napię­
ciem względem ziemi. Jeżeli dotykający
stoi na ziemi, na przewodzącej podłodze
lub konstrukcji stalowej , to pod działa­
niem napięcia dotykowego nastąpi prze­
pływ prądu przez jego ciało.
Napięcie dotykowe jest to napięcie wys­
tępujące między dwoma punktami, niena­
leżącymi do obwodu elektrycznego ,
z którymi mogą się zetknąć jednocześnie
ręce lub ręka i stopy człowieka.
Podczas przepływu prądu w ziemi, mię­
dzy dwoma miejscami na powierzchni
gruntu oddalonymi o długość kroku może
pojawić się napięcie zwane napięciem
krokowym.
6.3.
Ochrona
przed porażeniem
Środki ochrony przed porażeniem prądem
elektrycznym powinny być zastosowane
w każdej sieci czy instalacji elektroenerge­
tycznej i we wszystkich przyłączonych od­
biornikach energii elektrycznej . Według
obowiązujących przepisów przy eksploata­
cji urządzeń elektroenergetycznych o napię­
ciu do 1 kV należy stosować, w zależności
od zagrożenia, środki organizacyjne i tech­
niczne ochrony przeciwporażeniowej .
Do środków organizacyjnych zalicza się
m.in .:
• szkolenie pracowników użytkujących
i obsługujących urządzenia elektryczne,
• wymagania kwalifikacyjne dla pracow­
ników obsługujących urządzenia elek­
tryczne,
• bezpieczną organizację pracy,
• stosowanie sprzętu ochronnego (m.in.
ochrony indywidualnej).
Przyczyny wypadków podczas eksploata­
�ji urządzeń elektrycznych są różne. Prze­
'"' ażnie są to: nieostrożność, lekceważenie
przepisów, roztargnienie, omyłki, brak
cxipowiedniej konserwacji lub kontroli
urządzeń zabezpieczających, zła organi­
zacja pracy, brak nadzoru, źle zrozumiane
polecenie, niedbałe wykonanie pracy, nie­
umiejętność lub nieznajomość instrukcji
oraz nieszczęśliwy zbieg okoliczności.
'l;astępstwem tych przyczyn jest najczę­
--:iej dotknięcie części znajdujących się
Do środków technicznych zalicza się:
• ochronę przed dotykiem bezpośrednim
(ochrona podstawowa),
www.wsip.com.pl
1 09
•
ochronę przed dotykiem pośrednim
(ochrona dodatkowa) ,
• równoczesną ochronę przed dotykiem
bezpośrednim i pośrednim.
Wybór rodzaju technicznych środków
ochrony powinien być dostosowany
zwłaszcza do wartości napięcia, warun­
ków środowiskowych oraz sposobów
użytkowania i obsługi urządzeń. Istotne
są też kwalifikacje osób mających dostęp
do danego urządzenia elektrycznego .
Urządzenia elektryczne w zależności od
rodzaju zastosowanej ochrony przeciwpo­
rażeniowej są wykonywane w czterech
klasach ochronności: O , I , II i III (różnią
się rodzajami izolacji, wyposażeniem lub
nie w zaciski przewodu ochronnego, war­
tością dopuszczalnego napięcia zasilania) .
Ochrona przed dotykiem bezpośred­
nim ma za zadanie chronić przed dotknię­
ciem części czynnych urządzeń elektrycz­
nych, tj . części, które mogą znaleźć się
pod napięciem w czasie normalnej pracy
urządzeń. Jej celem jest uniemożliwienie
(utrudnienie) dotyku tych części, co z ko­
lei zabezpiecza przed przepływem prądu
rażeniowego przez ciało . Polega ona na
zastosowaniu przynajmniej jednego z nas­
tępujących sposobów ochrony:
- izolowanie części czynnych,
- użycie obudów lub osłon,
- stosowanie barier i przeszkód oraz
ogrodzeń,
- umieszczenie części czynnych poza zasięgiem ręki,
Ważnym uzupełnieniem tej ochrony może
być użycie wysokoczułych urządzeń róż­
nicowoprądowych (o prądzie zadziałania
nie większym niż 30 mA) .
Ochrona przed dotykiem pośrednim
ma na celu niedopuszczenie do porażenia
elektrycznego w razie dotknięcia do czę­
ści przewodzących dostępnych (np. obu11o
dowy urządzenia), które znalazły się nagle
pod napięciem. Pojawienie się napięcia
na tych częściach jest wynikiem uszko­
dzenia izolacji i powstania zwarcia mię­
dzy częścią czynną oraz częścią przewo­
dzącą dostępną urządzenia elektrycznego.
Działanie ochronne w tym zakresie po­
winno polegać na uniemożliwieniu prze­
pływu prądu przez ciało , lub ograniczeniu
wartości prądu rażeniowego albo czasu
jego przepływu. Ochronę tego rodzaju za­
pewnia się przez zastosowanie przynaj­
mniej jednego z następujących środków:
- samoczynnego wyłączania zasilania,
- urządzeń II klasy ochronności lub o izolacji równoważnej ,
- izolowania stanowiska,
- separacji elektrycznej ,
- nieuziemionych połączeń wyrównawczych miejscowych.
Spośród tych środków najszersze zastoso­
wanie w sieciach i instalacjach elektrycz­
nych niskiego napięcia ma ochrona przez
samoczynne wyłączanie zasilania. Zakres
zastosowania pozostałych
środków
ochrony przed dotykiem pośrednim jest
ograniczony i są one wykorzystywane
w obwodach rzadziej .
Równoczesna ochrona przed dotykiem
bezpośrednim i dotykiem pośrednim
polega na zasilaniu urządzeń bardzo nis­
kim napięciem oraz odizolowaniu obwo­
du odbiorczego od innych obwodów, aby
nie mogło być do niego przeniesione nie­
bezpieczne napięcie. Zasilanie odbywa
się za pomocą spełniającego odpowiednie
warunki źródła energii, takiego jak trans­
formator bezpieczeństwa, przetwornica
lub bateria akumulatorów. Ochrona ta
zapewnia duży stopień zabezpieczenia
przed możliwością porażenia prądem
elektrycznym, lecz ze względu na niskie
napięcie obwodu ogranicza moc zasila­
nych odbiorników.
'
6.4.
Elektry
dzeniu s
go znak
obojętn�
czas tar<
drabnim
niektóre
elektryz
pole el(
miot pr
naelektt
tryczną.
uziemio
iskrowe
duża ilo
Człowie
cyjnych
sztuczn3
pięcia [
uziemio
na wyłw
Skutki v
gdy U :::::
w
gdy U :::::
- o:
gdy U :::::
- si
-
Działani
rrostatyc
dektryz1
skach pr
nie jest 1
:ie ma w
..:złowiel
wet słab
co. Odn
agle
ęcia
rko­
nię�wo­
ego.
po­
>rze­
:eniu
:zasu
u za­
� naj­
ów:
ia,
> izo-
rnawHOSO­
trycz­
przez
�es
idków
111 jest
rwane
' Idem
e dnim
w nis­
obwo­
rw, aby
ne nie­
idbywa
�-iednie
t trans­
� omica
"Ona ta
eczenia
prądem
a niskie
zasila-
6 .4.
Niebezpieczeństwa
związane
z działaniem pola
elektrostatycznego
Elektryzacja statyczna polega na groma­
Jzeniu się ładunków elektrycznych jedne­
�o znaku na powierzchni ciał elektrycznie
obojętnych. Zjawisko to występuje pod­
.:-zas tarcia, rozdzielania, rozpylania i roz­
Jrabniania materiałów, jeśli przynajmniej
niektóre z nich nie są przewodnikami. Na­
elektryzowane powierzchnie wytwarzają
pole elektrostatyczne, w którym przed­
:niot przewodzący lub człowiek zostaje
naelektryzowany przez indukcję elek­
tryczną. Podczas zbliżenia do przedmiotu
uziemionego może nastąpić wyładowanie
:skrowe, w czasie którego wydziela się
juża ilość energii ( W � 30 mJ) .
Człowiek chodzący po materiałach izola­
.:yjnych (wykładzina, dywan z tworzyw
>ztucznych) może naładować się do na­
pięcia U � 1 5 kV i po zbliżeniu ręki do
;.iziemionego przedmiotu może narazić się
na wyładowanie iskrowe .
Skutki wyładowań są następujące:
gdy U � 3,2 kV, wówczas W � 1 rnJ
- wyczuwalne ukłucie;
gdy U � 1 0 kV, wówczas W � 10 mJ
- ostre ukłucie;
gdy U � 20 kV, wówczas W � 40 mJ
- silny wstrząs.
Działanie na organizm ludzki pola elek­
rrostatycznego wytwarzanego przez na­
dektryzowane przedmioty na stanowi­
;.kach pracy w przemyśle ( 10-;- 100 kV/m)
'.lie jest dostatecznie zbadane, ale zapew­
:ie ma wpływ na samopoczucie i zdrowie
.:złowieka. Często powtarzające się, na­
""' et słabe wyładowania, działają stresują­
..:o. Odruchowe reakcje człowieka mogą
www.wsip.com.pl
też powodować wystąpienie skutków
ubocznych, np. potłuczeń. Pod działaniem
wyładowania iskrowego może nastąpić
wybuch gazów, par, cieczy i pyłów, nawet
gdy iskry mają małą energię, np.:
W = 0,0 1 1 mJ - acetylen , wodór;
W = 0, 1 5 mJ - pary benzyny;
W = 1 1 ,5 mJ - mąka.
Porównując te wartości z poprzednimi ,
można zauważyć, że w miejscach niebez­
piecznych pod względem wybuchowym
może dojść do wybuchu wskutek elektry­
zacji ludzi.
6.5.
Ochrona
przed działaniem fal
elektromagnetyanych
wielkiej aęstotliwości
Wszelkie urządzenia przemiennoprądowe
wytwarzają pole elektromagnetyczne .
Pole to przenosi określony strumień za
pośrednictwem fal elektromagnetycz­
nych, o częstotliwości f (Hz) lub długości
fali A [m] , wyrażanych zależnością:
(6. 1 )
w której c = 3 · 1 08 mis oznacza prędkość rozchodze­
nia się fali w próżni (w przybliżeniu w powietrzu).
Pole zawiera dwie wzajemnie prostopadłe
składowe: elektryczną i magnetyczną,
i można je opisać, podając natężenie skła;.;
dowej elektrycznej E [V/m] oraz natęże­
nie składowej magnetycznej H [Alm] .
Działanie biologiczne pola zależy od jego
częstotliwości, natężenia (E i/lub H) lub
gęstości strumienia. Pomimo wielu prób
nie udowodniono dotychczas , aby pole
elektryczne o częstotliwości 50 Hz nawet
111
o natężeniu 1 0-;-30 kV/m - poza działa­
niem stresującym (nieprzyjemne podraż­
nienie nerwów) - miało bezpośredni
wpływ na zdrowie człowieka. Jednak
wpływu takiego nie wyklucza się, zwłasz­
cza jeśli mamy do czynienia z oddziały­
waniem długotrwałym. Zatem wskazana
jest ostrożność.
Pole elektromagnetyczne o częstotliwości
przekraczającej 1 04 Hz wywołuje efekt ter­
miczny, zostaje zakłócona termoregulacja.
Najbardziej są narażone wrażliwe organy
zewnętrzne słabo chłodzone przez układ
krwionośny, np. oczy. Miejscowy wzrost
temperatury do ok. 50°C narusza strukturę
białek i wywołuje zmętnienie soczewki
oka. Stałe działanie pola o częstotliwości
1 07 -;- 1 0 1 1 Hz powoduje zespół objawów
zwanych chorobą radiotelegrafistów: za­
burzenia układu termoregulacji, bóle gło­
wy, uczucie przemęczenia, rozdrażnienia
i bezsenność. Zagrożenia ze strony pola
elektromagnetycznego wielkiej częstotli­
wości (w.cz.) są poważne, a zatem należy
im skutecznie przeciwdziałać.
W strefie promieniowania anten nadaw­
czych radiowych, telewizyjnych i radiolo­
kacyjnych określa się przestrzenie, w któ­
rych przebywanie ludzi jest zabronione
lub dozwolone w ograniczonym czasie
i z zastosowaniem określonych środków
ochrony osobistej .
W urządzeniach w.cz. (piece, nagrzewnice)
stosuje się obudowy ekranujące oraz do­
datkowe ekrany pochłaniające . Najbar­
dziej jest skuteczny ekran z blachy. Uzie­
mienia dla prądów w. cz. powinny mieć jak
najmniejszą indukcyjność i małą rezystan­
cję. Części urządzeń wymagające uziemie­
nia oraz ekrany łączy się krótkimi taśmami
miedzianymi z siatką uziemiającą usytu­
owaną wokół urządzenia lub pod nim.
1 12
6.6.
Zasady organizacji
pracy podczas
eksploatacji urządzeń
elektroenergetyanych
Podczas eksploatacji urządzeń elektro­
energetycznych są wykonywane wymie­
nione poniżej rodzaje prac .
1 . Prace bez poleceń:
a) związane z ratowaniem zdrowia i ży­
cia ludzkiego;
b) związane z zabezpieczaniem urzą­
dzeń przed zniszczeniem;
c) eksploatacyjne oraz związane z unik­
nięciem lub likwidacją przerw w do­
starczaniu energii, określone w szcze­
gółowych instrukcjach stanowiskowych
i eksploatacji urządzeń, wykonywane
tylko przez upoważnionych pracow­
ników posiadających odpowiednie
świadectwa kwalifikacyjne.
2. Prace na zlecenie służbowe - eksploata­
cyjne, niewymagające specjalnych środ­
ków organizacyjnych i zabezpieczają­
cych, wykonywane przez uprzednio
przeszkolony personel z odpowiednimi
kwalifikacjami lub umiejętnościami
zawodowymi na stałe do tych prac wy�
znaczony.
3 . Prace na polecenie pisemne - w warun­
kach szczególnego zagrożenia dla
zdrowia i życia ludzkiego, wymagające
specjalnych środków organizacyjnych
i technicznych, oraz prace, które pole­
ceniodawca uzna za niezbędne .
4. Prace na polecenie ustne - wszystkie
z wyjątkiem tych, dla których jest wy­
magane polecenie pisemne.
W celu zapewnienia bezpiecznej pracy
przy urządzeniach energetycznych pracow­
nicy są wyposażeni w sprzęt ochronny.
W zależności od przeznaczenia i potrzeb
sprzęt ochronny dzieli się na następujące
grupy:
1 . Sprz�
uchw
cyjne
2 . Sprz�
np . w
3 . Sprzę
np . p
osłon
bezpi
6�
'
'
Porażen
uszkodz
kich do
nienie u
że doprc
Ratowni
.\ ą jak 1
przybyc
Przede '
• uwoln
napięc
• rozpm
• zastosc
::iodczas
ik jest i
� 1eczeńs
: . Nalej
--'towni1
• bezpoi
townil
• równo
odciąg
Sprzęt t
..a:yjnego,
tębniony.
I . Sprzęt
nro­
mie-
i ży11rząunik­
�- do­
zcze­
AAyCh
wane
ICOW­
ednie
loata­
środ­
czają­
ednio
dnimi
c iami
e wy-.
rarun­
l dla
�ające
rjnych
: pole:ystkie
&t wypracy
racow­
ronny.
10trzeb
pujące
elektroizolacyjny, np. drążki,
uchwyty, rękawice i obuwie elektroizola­
cyjne, izolowane narzędzia monterskie.
2 . Sprzęt wskazujący obecność napięcia1>,
np. wskaźniki, uzgadniacze faz.
3 . Sprzęt zabezpieczający i ostrzegawczy,
np. przenośne uziemiacze, ogrodzenia,
osłony, przegrody, okulary, hełmy, pasy
bezpieczeństwa, tabliczki ostrzegawcze.
6. 7.
I
Sposoby ratowania
porażonych prądem
elektrycznym
6. 7 . 1 . Wiadomości ogólne
Porażenia elektryczne powodują rozmaite
uszkodzenia organizmu - od bardzo lek­
bch do najcięższych, przy których opóź­
nienie udzielenia właściwej pomocy mo­
że doprowadzić do śmierci.
Ratownik powinien podjąć akcję ratunko­
wą jak najszybciej i prowadzić ją aż do
przybycia lekarza.
Przede wszystkim należy:
• uwolnić człowieka porażonego
spod
napięcia,
• rozpoznać stan zagrożenia porażonego,
• zastosować najlepszą metodę ratownictwa.
Podczas uwalniania spod napięcia ratow­
nik jest obowiązany dbać nie tylko o bez­
pieczeństwo porażonego , ale także o swo­
JC · Należy pamiętać , że niebezpieczne dla
ratownika są:
• bezpośrednie zetknięcie gołych rąk ra­
townika z ciałem porażonego,
• równoczesne używanie obu rąk podczas
odciągania porażonego spod napięcia,
Sprzęt ten jest zaliczany do sprzętu elektroizo­
..i.:: yjnego, ale ze względu na funkcję został wyod­
rębniony.
www.wsip.com.pl
•
mokre podłoże,
bliskie sąsiedztwo urządzeń pod wysokim napięciem,
• brak równowagi.
Uwolnienie porażonego spod napięcia
jest nieodzownym warunkiem podjęcia
akcji ratunkowej .
Rozpoznanie stanu zagrożenia jest rów­
nież ważne, ponieważ od tego zależy wy­
bór sposobu ratowania. W celu ułatwienia
oceny stanu porażonego, należy przyswoić
sobie schemat postępowania rozpoznaw­
czego . Jest on oparty na kilku podstawo­
wych pytaniach, na które ratownik musi
znaleźć odpowiedź.
Po pierwsze należy stwierdzić , czy pora­
żony jest przytomny.
Z człowiekiem przytomnym można na­
wiązać kontakt słowny, ma on niewątpli­
wie utrzymane krążenie krwi i czynność
oddechowe . Ratownik powinien zająć się
uszkodzeniami ciała, takimi jak oparze­
nia, złamania itp „ a także przygotowa­
niem transportu.
Jeżeli człowiek jest nieprzytomny, to na­
leży sprawdzić, czy:
• oddycha prawidłowo,
• nie oddycha lub oddycha bardzo słabo,
ale krążenie krwi jest utrzymane ,
• nie oddycha i brak krążenia krwi.
Pierwsza pomoc składa się z dwóch za­
sadniczych elementów:
a) zabiegów ożywiających,
b) opatrzenia obrażeń.
Zabiegi ożywiające dotyczą porażonych,
u których zostały zaburzone funkcje ukła­
dów decydujących bezpośrednio o życiu ,
tj . układu oddechowego, krążenia krwi
i ośrodkowego układu nerwowego. Na
zabiegi te składają się:
• przywracanie i podtrzymywanie droż­
ności oddechowej ,
• sztuczne oddychanie,
• sztuczne
krążenie z równoczesnym
sztucznym oddychaniem.
•
113
Opatrzenie obrażeń polega na zabezpiecze­
niu oparzeń skóry, złamań, zwichnięć, zra­
nień i krwotoków, stłuczeń itd., do chwili
podjęcia właściwego leczenia przez lekarza.
6.7.2.
I Sztuczne oddychanie
Sztuczne oddychanie jest zabiegiem ra­
tunkowym, który ma na celu zapewnienie
dostawy prawidłowej objętości gazów od­
dechowych do płuc. Są znane bezpośrednie
i pośrednie sposoby sztucznego oddycha­
nia. Sposób bezpośredni charakteryzuje
się tym, że powietrze przekazuje się bezpo­
średnio do płuc porażonego. Najkorzyst­
niejszym sposobem bezpośredniego sztucz­
nego oddychania są dwie metody, w których
jest wykorzystywane powietrze wydecho­
we ratownika, takie jak:
1 . Bezprzyrządowa: „usta-usta" , „usta-­
nos", „usta-usta-nos".
2. Przyrządowa - ratownik posługuje się
specjalnymi rurkami ustno-gardłowymi
z ustnikami oraz bardziej złożonymi
urządzeniami zawierającymi samo­
czynnie sterowane zastawki, wmonto­
wane w ustniki lub maski .
Drugą grupę stanowią sposoby pośrednie
sztucznego oddychania, które polegają na
tym, że zmianę objętości płuc , która powo­
duje wdech i wydech, osiąga się w wyniku
zgniatania i rozciągania klatki piersiowej
ratowanego (metoda Holgera-Nielsena) .
Dowodem skuteczności sztucznego oddy­
chania jest zniknięcie sinicy i zaróżowie­
nie się skóry. Objawy te, pojawiające się
podczas wykonywania sztucznego oddy­
chania, są potwierdzeniem utrzymania
krążenia krwi i jego wydolności.
6.7.3.
1 Sztuczne krążenie krwi
Porażeni prądem elektrycznym, u których
wystąpiło zatrzymanie oddychania i krą­
żenia krwi, wymagają jednoczesnego za­
stosowania sztucznego oddychania i wy­
tworzenia w sposób sztuczny krążenia
krwi . Zabiegiem wytwarzającym sztucz­
nie ruch krwi w układzie naczyniowym
człowieka jest masaż serca. Jest to zabieg
jedynie pośrednio pobudzający serce .
Przede wszystkim zastępuje brakujący na­
pęd krążenia krwi, tj . pracujące serce, któ­
re jest albo w bezruchu, albo jego komory
migoczą, albo też pracują niedostatecznie ,
co jest przyczyną ustania ruchu krwi.
Określenie „masaż" nie odzwierciedla
charakteru zabiegu. Omawiana czynność
polega na uciskaniu serca i wyciskaniu
z niego krwi. Wyciskanie krwi następuje
stale w jednym kierunku dzięki obecności
w sercu zastawek. Każde uciśnięcie serca
naśladuje i zastępuje naturalny skurcz ser­
ca oraz powoduje za każdym razem wtło­
czenie do tętnic porcji krwi .
Istnieją dwie metody wykonywania ma­
sażu serca: bezpośrednia i pośrednia.
Metoda bezpośrednia polega na szyb­
kim dokonaniu operacji otwarcia klatki
piersiowej i bezpośrednim uciskaniu ser­
ca. Z tego względu nie może być stosowa­
ne na miejscu wypadku podczas udziela­
nia doraźnej pomocy.
Metoda pośredniego masażu serca pole­
ga na miarowym uciskaniu klatki piersio­
wej porażonego. Zabieg ten można wyko­
nać na miejscu wypadku i może być on
z łatwością kontynuowany podczas trans­
portu porażonego .
7.
I
W podrc
związane
tycznymi
składowt
polu ele
W rozdzi
pola elel
gnetyczn
pole mag
kie pow
trwałych
płynie pr
Pole ma
nie jak p
zuje się t
jest wyi
Energia :
rzenia tei
Cechą w
spośród
siła dzia
ruchom�
w przew
netyczny
tryczne.'
pola ma�
zmieniaj
Badanien
1 wykryw
igły magi
będziemy
PrzypOIDI
lu elektry1
linii sił p<
ri
irych
krą­
!> zawy­
ienia
IUCZ-
1\\·ym
abieg
erce .
·v na­
. któ­
mory
�zrne ,
krw i .
:iedla
rmość
laniu
ępuJe
:JJOŚCi
serca
z ser­
v.tłol ma-
1.
szyb­
klatki
u ser­
sowa­
tziela. pole­
iersio­
r.yko1yć on
trans-
7.
Pole magnetyczne.
Elektromagnetyzm
._1._1 Powstawanie pola
_
7
_
magnetyanego
podrózdziale 1 .6 podano określenia
rwiązane ze zjawiskami elektromagne­
:-: ..:znymi . Rozdział 2 . poświęcono jednej
;iladowej pola elektromagnetycznego ;xilu elektrycznemu stałemu w czasie .
W rozdziale 7 . omówimy drugą składową
;xila elektromagnetycznego - pole ma­
petyczne stacjonarne, inaczej mówiąc:
;:x1le magnetyczne stałe w czasie . Pole ta­
i. i e powstaje w otoczeniu magnesów
::-.\ ałych oraz przewodników, przez które
- r:· n ie prąd stały w czasie.
Pole magnetyczne stacjonarne, podob­
nie jak pole elektrostatyczne, charaktery­
ruje się tym, że do jego podtrzymania nie
:est wymagane dostarczanie energii.
Energia jest potrzebna tylko do wytwo­
:-zenia tego pola.
W
Cechą wyróżniającą pole magnetyczne
'pośród innych rodzajów pól jest to, że
„iła działa w tym polu wyłącznie na
ruchome ładunki elektryczne. Ponadto
". przewodniku ruchome w polu mag­
netycznym indukuje się napięcie elek­
cry·czne. Wreszcie pod wpływem działania
pola magnetycznego, niektóre materiały
zmieniają swoje własności.
położeniem igły magnetycznej wprowadzo­
nej do obszaru, w którym istnieje pole.
Zbiór linii sił pola magnetycznego tworzy
obraz pola magnetycznego. Przedstawimy
kilka najbardziej typowych obrazów pola
magnetycznego. Linie sił pola magnetycz­
nego w otoczeniu przewodu prostoliniowe­
go, przez który płynie prąd elektryczny two­
rzą okręgi koncentryczne z osią przewodu,
leżące w płaszczyźnie prostopadłej do prze­
wodu (rys. 7.1).
Rys. 7 .1. Obraz pola magnetycznego w otoczeniu
przewodu prostoliniowego, przez który przepływa
prąd i objaśnienie reguły śruby prawoskrętnej
Badaniem obrazu pola magnetycznego
: wykrywaniem jego kierunku za pomocą
:gły magnetycznej zajmuje się fizyka. Nie
':>ędziemy tych doświadczeń powtarzać.
Przypomnimy tylko, że podobnie jak w po­
�u elektrycznym, posługujemy się terminem
linii sił pola magnetycznego, wyznaczonej
Jeżeli kierunek prądu jest od obserwatora
do płaszczyzny rysunku, to na przekroju
przewodu stawiamy krzyżyk. Jeśli nato­
miast kierunek prądu jest od płaszczyzny
rysunku do obserwatora, to stawiamy
kropkę.
Kierunek linii sił pola magnetycznego wy­
znaczamy za pomocą reguły śruby prawo­
skrętnej (zwanej też regułą korkociągu):
jeżeli kierunek ruchu postępowego śruby
prawoskrętnej jest zgodny z kierunkiem
prądu płynącego przez przewód, to kieru­
nek ruchu obrotowego śruby wskazuje
kierunek linii sił pola magnetycznego.
www.wsip.com.pl
115
E-E@--9------
I
\
Rys. 7 .4. Reguła prawej dłoni
\
/
Rys. 7.2. Obraz pola magnetycznego magnesu
trwałego
Doświadczalnie stwierdzono, że linie sił
pola magnetycznego są zawsze liniami
zamkniętymi (ciągłymi). Linie te nie
mają swego początku ani końca. Obraz
pola magnetycznego magnesu trwałego
przedstawiono na rysunku 7.2. Duże zna­
czenie praktyczne ma znajomość obrazu
pola magnetycznego cewki cylindrycznej ,
zwanej solenoidem.
Na rysunku 7.3 przedstawiono cewkę cy­
lindryczną nawiniętą jednowarstwowo.
Krzyżykami i kropkami oznaczono zwro­
ty prądu elektrycznego w przekrojach
zwojów cewki . Obraz pola magnetyczne­
go cewki cylindrycznej jest podobny do
obrazu pola magnetycznego magnesu
trwałego z rysunku 7 .2. Zwrot linii pola
solenoidu można wyznaczyć albo regułą
śruby prawoskrętnej , albo regułą prawej
dłoni. W solenoidzie śruba prawoskrętna
(lub korkociąg) obracana zgodnie ze
zwrotem prądu wyznacza swoim posu-
wem (zwrotem ruchu postępowego)
zwrot linii pola magnetycznego, niezależ­
nie od sposobu nawijania zwojów (od le­
wej do prawej czy od prawej do lewej).
Regułę prawej dłoni stosujemy następu­
jąco:
jeżeli prawą rękę położymy na soleno­
idzie tak, aby cztery palce obejmowały
solenoid i były zwrócone zgodnie ze
zwrotem prądu, to odchylony kciuk wska­
zuje zwrot linii pola wewnątrz solenoidu
(rys. 7.4).
7 2
.
.
Siła działająca
na przewód z prądem
umieszczony w polu
magnetycznym.
Indukcja magnetyczna
Obecnie rozpatrzmy przewód z prądem
stałym I umieszczony w polu magnetycz­
nym. Długość przewodu oznaczymy
przez l, przy czym jest to tak zwana dłu­
gość czynna, czyli taka część przewodu,
którą przecinają linie pola magnetyczne­
go (rys. 7.5).
F
Rys. 7.3. Obraz pola magnetycznego cewki cylin­
drycznej
116
Rys. 7.5. Siła działająca
na przewód z prądem
umieszczony w polu
magnetycznym
Jak już
pola ma,
przewód
polu. De
wynosi:
Wielkoś
nazywa1
to podst
ca pole 1
cja ma!
pola. Im
tym wi�
z prąde1
tycznyn
wielkoŚ<
dukcji rr
tern linii
ką indu�
�a pods
ści fizyc
dla jedn1
jednostk
[ B] = Jł
[J]
V
A
Jak wyn
tesla jes
przy czy
ta i seku
ma mag
Wróćmy
jest słus;
sił pola r
kierunku
prąd. We
prostopa
rycznegc
runków
wektoró1
do tych
wać pod;
ł
'
" ego)
zależ­
od le­
rej).
stępu-
�leno-
� ska­
�oidu
„ ...
L ir,,,.,
łem
>lu
:zna
-ądem
:tycz­
zymy
ł dłu­
,„odu,
czne-
Jak już podano, cechą charakterystyczną
?Qla magnetycznego jest działanie siły na
przewód z prądem, umieszczony w tym
polu. Doświadczalnie stwierdzono, że siła
.i. ynosi:
F = Bll
(7 . 1 )
Wielkość B występującą we wzorze (7 . 1 )
'.'lazywamy indukcją magnetyczną . Jest
:o podstawowa wielkość charakteryzują­
.:a pole magnetyczne Mówimy, że induk­
.
.:ja magnetyczna określa intensywność
pola. Im bowiem większa jest wartość B,
:ym większa siła F działa na przewód
z prądem, umieszczony w polu magne­
tycznym . Indukcja magnetyczna jest
wielkością wektorową. Zwrot wektora in­
dukcji magnetycznej jest zgodny ze zwro­
:em linii sił pola magnetycznego. Jednost­
i;ą indukcji magnetycznej jest tesla [T] .
�a podstawie równania (7 . 1 ) dla wielko5.:i fizycznych możemy napisać równanie
Jla jednostek tych wielkości i wyznaczyć
:>ednostkę indukcji - teslę:
[ B] =
=
[F] =
[J][l]
A·
N
m
m
. m =
V·A·s
V·C
=
2 =
A · m2
A·m
J
A · m2 =
V·s
Wb
2
m
=
m2
=T
Jak wynika z przedstawionego równania,
tesla jest to weber na metr kwadratowy,
przy czym weber [Wb] jest iloczynem wol­
ta i sekundy (weber jest jednostką strumie­
nia magnetycznego; patrz podrozdz. 7 .3).
Wróćmy jeszcze do wzoru (7. 1 ) . Wzór ten
jest słuszny tylko wówczas , gdy kierunek
sił pola magnetycznego jest prostopadły do
kierunku przewodu, przez który przepływa
prąd. Wówczas kierunek siły jest również
prostopadły do kierunku sił pola magne­
tycznego. Wzajemną zależność tych kie­
runków można określić za pomocą trzech
wektorów ii , F ,l w przestrzeni, przy czym
do tych trzech wektorów można zastoso­
wać podaną regułę śruby prawoskrętnej:
www.wsip.com.pl
jeżeli obrócimy wektor f zgodnie z ru­
chem obrotowym śruby prawoskrętnej
o . pewien kąt a w kierunku wektora B
to ruch postępowy śruby wskaże kierunek
wektora F (rys. 7.6).
,
Rys. 7.6. Zastosowanie
reguły śruby prawoskrętnej
do wyznaczania zwrotu siły
działającej na przewód
z prądem umieszczony
w polu magnetycznym
�
Zwrot siły F wyznaczamy przeważnie za
pomocą bardzo dogodnej reguły lewej
dłoni:
jeżeli lewą dłoń ustawimy tak, aby linie
sił pola magnetycznego, zgodne ze zwrotem wektora indukcji magnetycznej B
były zwrócone do dłoni, a cztery palce
pokryły się ze zwrotem prądu I (i tym sa-
,
mym zwrotem wektora Z) , to odchylony
kciuk wskaże zwrot siły F (rys. 7.7).
ff \
Rys. 7 .7. Reguła lewej dłoni
Jeżeli kąt między wektorem indukcji ii
a przewodem f nie jest prosty, lecz rów­
ny a, to wzór (7 . 1 ) przybiera postać:
F = Bil sin a
(7 .2)
117
Jeżeli w polu magnetycznym o indukcji B
porusza się ładunek dodatni Q z prędko­
ścią v, to na ładunek ten również działa
siła, którą obliczamy ze wzoru:
F = QvB sin a
(7 .3)
w którym a oznacza kąt między kierun­
kiem wektora indukcji a kierunkiem ru­
chu ładunku . Jeżeli kierunki te są prosto­
padłe , to kąt a =
i wtedy siła:
�
(7 .4)
F = QvB
Podobnie jak w przypadku pola elektrycz­
nego , wprowadzimy tu termin pola ma­
gnetycznego równomiernego.
Pole magnetyczne nazywamy równo­
miernym, jeżeli wektor indukcji magne-
tycznej B w każdym punkcie pola ma ten
sam zwrot i tę samą miarę .
7.3.
Strumień
magnetyczny
Załóżmy, że w polu magnetycznym rów­
nomiernym o indukcji B umieszczono
ramkę w taki sposób, że powierzchnia S
ograniczona ramką jest prostopadła do
kierunku linii pola (rys. 7.8).
Strumieniem magnetycznym przecina­
jącym ramkę nazywamy iloczyn indukcji
B przez pole powierzchni S, czyli:
iJ> = BS
(7 .5)
Strumień magnetyczny jest wielkością
skalarną.
Jednostką strumienia magnetycznego jest
weber [Wb] .
Rys. 7 .8. Ramka
w polu magnetycznym
równomiernym
o indukcji magne­
tycznej B
1 18
W podrozdziale 7 .2 podczas omawiania
jednostki indukcji magnetycznej wspo­
mnieliśmy, że jednostką indukcji jest tesla
[T = :� J W związku z tym, że jednost­
.
ka strumienia magnetycznego jest iloczy­
nem jednostki indukcji magnetycznej (te­
sli) przez jednostkę powierzchni (metr
kwadratowy) staje się oczywiste, że jed­
nostką strumienia magnetycznego jest
weber.
Wyobraźmy sobie, że linie sił pola magne­
tycznego przecinają pewną powierzchnię
zamkniętą. Tą powierzchnią zamkniętą
może być np. powierzchnia kuli. W polu
elektrycznym strumień był równy ładun­
kowi zawartemu w przestrzeni ograniczo­
nej powierzchnią. W polu magnetycznym
jest inaczej .
Strumień magnetyczny przecinający
powierzchnię zamkniętą jest zawsze
równy zeru.
Sformułowaliśmy bardzo ważną wła­
sność pola magnetycznego, zwaną zasa­
dą ciągłości linii pola magnetycznego .
Zgodnie z tą zasadą, linie pola magne­
tycznego są liniami zamkniętymi - nie
mają ani początku ani końca. Wspomnia­
no już o tym podczas omawiania obrazu
pola magnetycznego (podrozdz. 7 . 1 ) .
74
.
.
Prawo Biota i Savarta.
Przenikalność
magnetyczna
środowiska
Załóżmy, że przez przewód prostoliniowy
płynie prąd elektryczny I. W otoczeniu te­
go przewodu powstaje pole magnetyczne .
Linie pola magnetycznego tworzą okręgi
koncentryczne z osią przewodu . Wektor
L
Rys. 7.9.
indukcji
ny do 1
padle d1
której z:
sujemy
styczny
Przyj mi
�B poc
wodu , '
indukcji
na pods
świadcz
Savart.
prawo .
przy czyn
--:i !::.l ; r ­
:ndukcję 1
Jzy kierm
.xlcinek f.
:yczna be
my induk,
Aby ob
:eży po
�l o de
niecznit
..:ząstko'
nie. M1
z przeVI
iania
spo­
tesla
wolnym obwodem elektrycznym. Ze
wzoru (7 .6) wynika, od jakich czynników
zależy indukcja magnetyczna w polu ma­
gnetycznym. Jednym z tych czynników,
dotąd nieomawianym, jest przenikalność
magnetyczna µ , która określa własności
magnetyczne środowiska. Można ją, po­
dobnie jak przenikalność elektryczną,
wyrazić w postaci:
I
tosticzy­
j (te­
metr
jed­
jest
igne­
:hnię
niętą
polu
dunt.:: zooo.ym
�ący
',lrSZe
wła­
rasa­
�go .
•gne­
- nie
nnia­
)razu
a
r
(7.7)
Rys. 7.9. Ilustracja prawa Biota-Savarta
indukcji magnetycznej jest zawsze stycz­
ny do linii pola. Poprowadzimy prosto­
padle do osi przewodu powierzchnię , na
której zaznaczymy jedną linię pola i nary-
sujemy wektor indukcji magnetycznej b.B
styczny do tej linii w punkcie M (rys. 7 .9) .
Przyjmiemy, że indukcja magnetyczna
.:J..B pochodzi od małego odcinka fll prze­
wodu, w którym płynie prąd I. Wartość
indukcji magnetycznej możemy obliczyć
na podstawie prawa, które w 1 820 r. do­
świadczalnie ustalili Jean B . Biot i Felix
Savart. Prawo to znane w literaturze jako
prawo Biota i Savarta ma postać:
"
.w. B =
ID.Z
.
µ 47rr2 sm o:
--
(7.6)
przy czym: µ0 = 411" · 10-7 !!
m
rta.
11owy
łu te­
czne.
uęgi
ektor
stała magnetyczna,
-
Przenikalność magnetyczna próżni jest
jedną ze stałych fizycznych, a jej wartość
została określona w układzie SI i ma wy­
miar henra [H] na metr Uednostka H patrz podrozdz. 7 . 10) .
Przenikalność magnetyczna względna
określa, ile razy przenikalność danego
środowiska jest większa od przenikalno­
ści magnetycznej próżni. Przenikalność
względna jest wielkością bezwymiarową.
W układzie SI iloczyn stałej elektrycznej
i stałej magnetycznej jest równy odwrot­
ności kwadratu prędkości światła, czyli:
1
coµo = 2
c
-
przy czym: I prąd płynący przez odcinek o długo­
-.:i Al; r odległość punktu M, w którym obliczamy
:ndukcję magnetyczną, od odcinka D.l; a kąt rnię­
:.zy kierunkiem przewodu z prądem i prostą łączącą
�:inek D.l z punktem M; µ przenikalność magne­
: :zna bezwzględna środowiska, w którym oblicza­
my indukcję magnetyczną.
-
-
zwana też przenikalnością magnetyczną próżni;
µr
przenikalność magnetyczna względna środo­
wiska.
-
(7 .8)
przy czym c oznacza prędkość światła w próżni.
-
Aby obliczyć indukcję w punkcie M, na­
leży podzielić cały przewód na odcinki
.:J.. l o dostatecznie małej długości (nieko­
niecznie jednakowej), obliczyć indukcje
.:: ząstkowe i dodać je ze sobą geometrycz­
nie . Można tak postępować nie tylko
z przewodem prostoliniowym, ale z dowww.wsip.com.pl
7.5.
Natężenie pola
magnetycznego
Jak wynika ze wzoru (7 .6) w polu magne­
tycznym wytworzonym przez prąd elek­
tryczny indukcja magnetyczna w dowol­
nym miejscu zależy od własności
magnetycznych środowiska, scharaktery­
zowanych przenikalnością magnetyczną.
1 19
'T
Dlatego, aby określić pole magnetyczne,
wprowadzono wielkość wektorową, zwa­
ną wektorem natężenia pola magnetycz­
nego, która nie zależy od własności ma­
gnetycznych środowiska.
Wektor natężenia pola magnetycznego
określamy jako:
-
fi
H= ­
µ
(7.9)
Wektory B i H mają w przestrzeni ten sam
kierunek.
Skalarnie zależność między indukcją ma­
gnetyczną a natężeniem pola magnetycz­
nego określamy wzorem:
B = µH
(7. 10)
[�] . Jednostkę tę wy­
Jednostką natężenia pola magnetycznego
jest amper na metr
znaczamy wg wzoru (7 . 10):
[H]
[B]
T
Wb · m
V• s
A
=
=
= [µ] = H = m2 H
m.n.s
m
76
.
•
m
.
Prawo przepływu
Jak już mówiliśmy, wokół przewodu, przez
który przepływa prąd elektryczny powstaje
pole magnetyczne. W wielu zagadnieniach
praktycznych spotykamy się nie z jednym
przewodem prostoliniowym, lecz mamy
więcej przewodów, lub przewód nawinięty
Rys. 7.10. Cewka
pierścieniowa
(toroidalna)
1 20
jest w postaci cewki cylindrycznej albo
pierścieniowej . Na rysunku 7.10 przedsta­
wiono cewkę pierścieniową, zwaną też to­
roidalną. Na rdzeń o przekroju kołowym
nawinięto uzwojenie składające się z liczby
zwojów wynoszącej N1 l. Zwoje są nawinię­
te jednowarstwowa. Przez każdy zwój
cewki płynie ten sam prąd I.
Iloczyn prądu oraz liczby zwojów nazy­
wamy przepływem prądu i oznaczamy
przez e ' czyli:
()
=
IN
(7 . 1 1 )
Jednostką przepływu prądu jest amper [A]
(liczba zwojów jest bezwymiarowa). W lite­
raturze można też spotkać dawniej używaną
jednostkę - amperozwoje [Az] . W wyniku
działania przepływu prądu w rdzeniu cewki
powstaje pole magnetyczne, którego miarą
jest indukcja magnetyczna lub natężenie
pola magnetycznego. Wyznaczenie jednej
z wielkości pozwala za pomocą wzoru
(7.10) określić drugą wielkość.
Związek między przepływem a natęże­
niem pola magnetycznego określa prawo
przepływu:
suma iloczynów natężenia pola magne­
tycznego i długości odcinków linii pola,
wzdłuż których natężenie się nie zmienia,
tworzących zamkniętą drogę l , równa się
przepływowi prądu obejmowanemu przez
tę zamkniętą drogę:
n
(7 . 1 2)
Wyjaśnimy sens wzoru (7 . 12) na przykła­
dach. Jeżeli zamknięta droga l składa się
z n różnych odcinków 11 , [z , . .. , h, ... , ln ,
przy czym na każdym odcinku h natęże­
nie pola Hk nie zmienia się, to po lewej
t) W literaturze spotyka się również oznaczenie licz­
by zwojów literą z.
I
stronie r,
.'zynów.
. + l2 +
,zych pr
nie zmie
�tronie 1
iloczyn j
Taki prz
nej cewc
2;rr = l
się nie zi
na N raz
muje pr:
rem (7 . 1
i stąd
'.\a podsl
5my wzć
:iatężeni1
nia cewl
drugi pr
wód pre
przez kt<
\f odleg
wadzim�
- j ak wi
:nieniu c
rys. 7.1
:ycznegc
Jlatego ;
Rys. 7.11.
:"Zepływu
=ewodu
aieskończc
albo
lsta­
t to­
rym
:zby
lllię­
:wój
��
. 1 1)
[A]
lite­
rnną
.
niku
�wki
liarą
enie
dnej
zoru
r
�e-
ężewo
�la,
�n�:;�
ez
�
IJ2)
stronie równania (7 . 12) otrzymamy n ilo­
.:zynów. Suma wszystkich odcinków
/1 + 12 + . . . + lk + . . . + ln = l. W najprost­
szych przypadkach, gdy natężenie pola H
nie zmienia się wzdłuż drogi l, po lewej
stronie równania (7 . 1 2) występuje jeden
iloczyn Hl i wówczas:
Hl = ()
Taki przypadek mamy np . w rozpatrywa­
nej cewce toroidalnej . Wzdłuż całej drogi
2n-r = l natężenie pola magnetycznego
się nie zmienia. Zamknięta droga l przeci­
na N razy przewód z prądem /, czyli obej­
muje przepływ () = IN. Zgodnie ze wzo­
rem (7 . 1 3) możemy napisać:
ręże­
ewej
: licz-
Hl = IN
(7 .14)
IN
l
(7 .15)
i stąd
H=
\fa podstawie prawa przepływu otrzymali­
śmy wzór (7 . 1 5) umożliwiający obliczenie
natężenie pola magnetycznego w osi rdze­
nia cewki toroidalnej . Rozpatrzmy jeszcze
drugi przykład. Niech będzie dany prze­
wód prostoliniowy, nieskończenie długi ,
przez który przepływa prąd /. Przez punkt
_\1 odległy o a od osi przewodu przepro­
wadzimy linię pola magnetycznego, która
- jak wiemy - tworzy okrąg koła o pro­
mieniu a, koncentryczny z osią przewodu
1 rys. 7.11). Wzdłuż całej linii pola magne­
tycznego natężenie pola nie zmienia się,
dlatego zgodnie z prawem przepływu:
;kłaa się
., ln ,
(7 .13)
H2n:a = I
. I
Rys. 7.11. Ilustracja prawa
:-rzepływu na przykładzie
::.-rzewodu prostoliniowego
::ieskończenie długiego
•
M
H
www.wsip.com.pl
Stąd:
H = __!____
(7 . 16)
21l'a
Wzór (7 . 1 6) umożliwia obliczenie natęże­
nia pola magnetycznego na zewnątrz
przewodu w odległości a od osi nieskoń­
czenie długiego przewodu prostoliniowe­
go . Jeżeli promień przewodu wynosi ro ,
to wewnątrz przewodu w odległości r
od jego osi - natężenie pola magnetycz­
nego jest równe:
�
(7 . 1 6a)
7. 7.
Własności
magnetyczne
materiałów
We wszystkich materiałach znajdujących
się w polu magnetycznym zachodzą do­
datkowe procesy wewnątrzcząsteczkowe
charakteryzujące się powstawaniem do­
datkowego pola magnetycznego .
Jak już wyjaśniono w rozdziale 1 , elektro­
ny wewnątrz atomu poruszają się po orbi­
tach. Oprócz ruchu orbitalnego dokoła ją­
dra, elektron wykonuje ruch obrotowy
dokoła własnej osi. Ten ruch obrotowy
nazywamy ruchem spinowym , przy
czym część elektronów w atomie ma spi­
ny dodatnie , a część - ujemne, co jest
związane z kierunkiem obrotu elektronu .
Ruch elektronów wewnątrz atomu można
rozpatrywać jako okrężne prądy elemen­
tarne wewnątrzatomowe, a powstające
w wyniku tego ruchu elektronów pole
magnetyczne nazywamy polem prądów
elementarnych (okrężnych) . Jeśli brak
jest pola magnetycznego zewnętrznego,
to prądy elementarne atomów niektórych
materiałów, ze względu na ruch bezładny,
121
wytwarzają pola magnetyczne elemen­
tarne, wzajemnie się kompensujące. W re­
zultacie materiały te nie wykazują na ze­
wnątrz własności magnetycznych. Inne
materiały, których wewnętrzne pola ma­
gnetyczne prądów elementarnych nie są
całkowicie skompensowane, wykazują
własności magnetyczne mimo braku dzia­
łania zewnętrznego pola magnetycznego.
Zawsze jednak zewnętrzne pole magne­
tyczne powoduje dodatkową orientację
magnesów elementarnych pochodzących
od prądów elementarnych, przy czym sto­
pień magnetyzacji różnych materiałów
jest różny. Z tego punktu widzenia mate­
riały dzielimy na trzy zasadnicze grupy:
materiały diamagnetyczne , paramagne­
tyczne, ferromagnetyczne .
W celu zrozumienia procesów zachodzą­
cych w materiałach należących do po­
szczególnych grup , podamy pewne zależ­
ności analityczne i wprowadzimy kilka
pojęć związanych ze zjawiskiem magne­
sowania materiałów.
Własności magnetyczne elementarnego
prądu okrężnego można scharaktery­
zować za pomocą momentu magnetycz­
nego m2! , którego wartość wyznaczamy
jako iloczyn prądu elementarnego okręż­
nego i pola powierzchni wyznaczonej
przez orbitę tego prądu, czyli:
m = IS
(7 .17)
Rys. 7 .12. Ilustracja pojęcia
momentu magnetycznego
Wielkość
Stopień namagnesowania materiału okre­
śla wektor namagnesowania, zwany też
wektorem magnetyzacji ii/l lub wektorem
polaryzacji magnetycznej , zdefiniowany
jako suma geometryczna momentów ma­
gnetycznych prądów elementarnych, przy­
padająca na jednostkę objętości:
-
2: m
H; = -y
(7 . 1 8)
[�] .
Jednostką magnetyzacji jest amper na
metr
Indukcję magnetyczną wyznacza się
w postaci:
(7 . 1 9)
przy czym magnetyzacja jest proporcjo­
nalna do natężenia pola magnetycznego
zewnętrznego ii:
(7 .20)
przy czym "'m nazywamy podatnością
magnetyczną. Podatność magnetyczna
jest bezwymiarowa.
Magnetyzacja ii; określa zatem zdol­
Moment magnetyczny jest wielkością
wektorową, a jego zwrot wyznacza regu­
ła korkociągu:
jeżeli zwrot prądu jest zgodny z kierun­
1
kiem bbrotu korkociągu, to ruch postępo­
wy korkociągu wyznacza zwrot wektora
ność materiału do magnesowania się
pod wpływem zewnętrznego pola ma­
gnetycznego o natężeniu H.
W wyniku podstawienia zależności (7 .20)
do (7 . 1 9) otrzymamy:
momentu magnetycznego m (rys. 7.12).
(7.21)
-
2J W literaturze spotyka się oznaczenie momentu
magnetycznego literą Pm .
1 22
czyli
3l W literaturze spotyka się oznaczenie wektora ma­
gnetyzacji literą J.
określaj�
dowiska
_: netycz1
i objaśni'
Ostatecz
Otrzyma
związek
wadzony
dodatkm
ce magm
J ak już 1
widzenfa
dzielimy
Do grup:
diamagr
le magni
przeciw
przyłożc
łach dia
dukcja n
w próżni
więc 1
7 .22) i
ze przer
na matt
mniejsz:
Do mate
m .in. wo
Zjawisk:
-1ę w m:
:iikalnoś'
:u µ, = c
pojęcia
�go
B = µo( l +
K,m)H
(7 .22)
Wielkość:
(7 .23)
µ, = 1 + ł\,m
f
a okre­
określająca własności magnetyczne śro­
my też
dowiska jest zwana przenikalnością ma­
ktorem
..' n etyczną względną (patrz wzór 7 .7
' wany
ma-
objaśnienie do tego wzoru) .
B > µoH
(7 .26)
(7.22) i (7.23) dochodzimy do wniosku ,
(7 .24)
Otrzymaliśmy podany już poprzednio
".\ iązek
jest większa niż w próżni, tzn.:
a więc na podstawie zależności (7 .21 ) ,
Ostatecznie:
przy-
(7 . 1 8)
Do grupy drugiej zaliczamy materiały
paramagnetyczne. W materiałach tych
pole magnetyczne prądów elementar­
nych współdziała z polem magnetycz­
nym przyłożonym z zewnątrz i wobec
tego wypadkowa indukcja magnetyczna B
że przenikalność magnetyczna względ­
na materiałów paramagnetycznych jest
większa od jedności (µ, > 1 ) .
(7 .9) , z tym że w świetle przepro­
D o materiałów paramagnetycznych należą
rozważań zostały wyjaśnione
m.in. platyna (µ, = 1 ,00027), aluminium
• adzonych
per na
dodatkowe zjawiska fizyczne towarzyszą­
za
Jak już wspomniano, materiały z punktu
przenikalności magnetycznych względnych
Do grupy pierwszej zaliczymy materiały
jest bardzo nieznaczne.
się
- :.'. magnesowaniu materiałów. A.
z przytoczonych przykładowych wartości
.- idzenia ich własności magnetycznych
.:zielimy na trzy grupy.
(7 .19)
porcjo­
cznego
(7 .20)
...
fuością
c1magnetyczne. W materiałach tych po­
le magnetyczne prądów elementarnych
przeciwdziała polu magnetycznemu
przyłożonemu z zewnątrz. W materia­
łach diamagnetycznych wypadkowa in­
dukcja magnetyczna B jest mniejsza niż
w próżni, tzn .:
�tyczna
l
zdol­
nia się
la ma-
i (7.20)
B < µoH
J.
(µ, = 1 ,000020), powietrze . Jak wynika
materiałów paramagnetycznych, odchyle­
nie przenikalności względnej od jedności
Wspólną cechą materiałów diamagnetycz­
nych i paramagnetycznych jest to, że ich
przenikalności magnetyczne nie zależą od
natężenia pola magnetycznego. Dla materia­
łów należących do obu tych grup charakte­
rystyka B = f(H), zwana charakterystyką
magnesowania lub krzywą magnesowania,
jest linią prostą (rys. 7.13).
(7 .25)
więc na podstawie zależności (7 .21 ) ,
- .22) i (7.23) dochodzimy do wniosku,
ze przenikalność magnetyczna względ­
na materiałów diamagnetycznych jest
mniejsza od jedności (µ, < 1).
Do materiałów diamagnetycznych należą
B
.
.
Rys. 7 13 Zależność
indukcji magnetycznej
od natężenia pola magne­
tycznego dla materiałów
para- i diamagnetycznych
H
(7 .2 1 )
Zjawiska diamagnetyczne uwydatniają
bora ma-
nikalność magnetyczna względna bizmu­
Do grupy trzeciej zaliczamy materiały
ferromagnetyczne. W materiałach tych
pole magnetyczne prądów elementar­
nych współdziała z polem magnetycz­
nym przyłożonym z zewnątrz czyli tak,
ru µ, = 0,9998, a miedzi µ, = 0,999991 .
jak w materiałach paramagnetycznych,
�
m.in. woda, kwarc, srebro , bizmut, miedź.
się w małym stopniu. Na przykład, prze­
www.wsip.com.pl
-
1 23
różnica polega jedynie na tym, że wypad­
kowa indukcja magnetyczna B jest dużo
większa niż w próżni, tzn.:
B » µoH
(7.27)
a więc µ, » 1 .
Materiały te wykazują duży stopień ma­
gnetyzacji, przenikalność magnetyczna
względna jest setki i tysiące razy większa
od jedności . Do materiałów tych należą
żelazo, kobalt, nikiel i ich stopy.
Istotną cechą materiałów ferromagne­
tycznych jest to, że ich przenikalność
magnetyczna nie jest stała i zależy od
natężenia pola magnetycznego H. Cha­
rakterystyka B = f(H) jest nieliniowa.
7 8
.
.
Magnesowanie
materiałów
ferromagnetycznych
Materiały ferromagnetyczne są często sto­
sowane w elektrotechnice dzięki swym
własnościom magnesowania się i „wzmac­
niania" zewnętrznego pola magnetyczne­
go. W celu zbadania tych własności prze­
prowadzimy doświadczenie , które pozwoli
nam na wyznaczenie charakterystyki ma­
gnesowania. Uzwojenie cewki pierścienio­
wej nawiniętej na rdzeń wykonany z mate­
riału ferromagnetycznego dołączamy do
źródła napięcia, np. ogniwa lub akumula­
tora, przez rezystor nastawny, którym
zmieniać będziemy wartość prądu płyną­
cego w uzwojeniu cewki (rys. 7.14). Zna­
jąc wymiary cewki i jej liczbę zwojów N
oraz wartość prądu /, możemy obliczyć na­
tężenie pola H ze wzoru (7 .15) . Mierząc
strumień magnetyczny w rdzeniu (odpo­
wiednim przyrządem zwanym strumienio­
mierzem), możemy z zależności (7.5) obli­
czyć indukcję B w rdzeniu.
1 24
s
Rys. 7.14. Schemat układu do wyznaczania charak­
terystyki magnesowania
Aby uzyskać charakterystykę magneso­
wania B = f(H) , zmieniamy wartość prądu
w cewce (począwszy od zera) . W miarę
zwiększania prądu, a więc i natężenia po­
la magnetycznego H, indukcja magne­
tyczna będzie się zmieniała.
Charakterystykę magnesowania rdzenia,
który przed rozpoczęciem doświadczenia
był rozmagnesowany, przedstawiono na
rysunku 7 .15. Krzywa ta, która nosi nazwę
krzywej magnesowania pierwotnego,
ma początkowo charakterystyczną małą
stromość , dalej stromość ta znacznie się
zwiększa, a następnie stopniowo maleje
podczas przejścia w stan nasycenia.
Rys. 7 .1 5 . Charakterystyka magnesowania mate­
riału ferromagnetycznego
Po osiągnięciu stanu nasycenia zmniejsza­
my wartość prądu w cewce (regulując war­
tość rezystora nastawnego), co powoduje
zmniejszenie natężenia pola magnetyczne­
go. Wartości indukcji magnetycznej , które
odpowiadają wartościom natężenia pola
magnetycznego , przy zmniejszaniu go aż
do zera, wyznaczają nową krzywą odbie­
gającą od poprzedniej . Na rysunku 7.16
wykreślono raz jeszcze krzywą magneso-
4
o
Bn
Rys. 7.16. 1
wania p
przebieg
natężeni[
a) zmnie�
zera (1
b) zmian:
cie 3 '
cja B j
c) dalsze
aż do
d) pono"
przez
w pun
Otrzyma
mkniętą,
tycznej.
materiah
my zjaw
Kierunek
opisanycl
nego zaz1
mi. Indul
w rdzeni1
nego rów
dukcją p
ukcją re
'.'J"atężeni
ne do m
gnetyczn
my natę
'OWŚcią�
Natężenie pola magnetycznego oraz od­
powiadającą mu indukcję magnetyczną
w punkcie 1 i 4 nazywamy odpowiednio
natężeniem pola nasycenia i indukcją
magnetyczną nasycenia.
Dla danej próbki materiału ferromagne­
1 �harak-
tycznego można otrzymać dowolną liczbę
pętli histerezy, przy czym każda będzie
odpowiadała innej wartości maksymalnej
tgneso­
ć prądu
r miarę
nia po­
!Tlagne-
µzenia,
:kzenia
>no na
i nazwę
1tnego,
' małą
�ie się
maleje
ia
natężenia pola magnetycznego . Krzywa
poprowadzona przez wierzchołki uzyska­
Rys. 7 .16. Pętla histerezy magnetycznej
wania pierwotnego (krzywa
0-1)
nych pętli histerezy jest zwana charakte­
oraz
przebieg indukcji magnetycznej w funkcji
rystyką podstawową magnesowania
(rys. 7.17) .
natężenia pola magnetycznego podczas:
a) zmniejszania jego wartości od Hn do
zera (krzywa 1-2);
b) zmiany zwrotu H i osiągnięcia w punk­
cie 3 wartości - He , przy której induk­
cja B jest równa zeru (krzywa 2-3);
c) dalszego zmniejszania natężenia pola
aż do nasycenia w punkcie 4;
d) ponownej zmiany zwrotu H i przejścia
przez punkty 5 i 6 do nasycenia
w punkcie 1 .
Rys. 7 .17. Wyznaczanie charakterystyki podstawo­
wej magnesowania materiału ferromagnetycznego
Otrzymaliśmy w rezultacie krzywą za­
mkniętą, zwaną pętlą histerezy magne­
Przebieg charakterystyki podstawowej
cycznej . Samo zjawisko magnesowania ' jest zbliżony do przebiegu krzywej ma­
mate-
liejsza­
� war-
11•oduje
tyczne­
j. które
ia pola
1 go aż
odbie­
ill 7.16
igneso-
materiału ferromagnetycznego nazywa­
gnesowania pierwotnego . Do obliczeń
my zjawiskiem histerezy magnetycznej .
technicznych wykorzystuje się charakte­
Kierunek obiegu pętli histerezy podczas
rystykę podstawową, którą dla różnych
opisanych zmian natężenia pola magnetycz­
gatunków stali można znaleźć w literatu­
nego zaznaczono na rysunku 7.16 strzałka­
rze technicznej lub katalogach.
mi. Indukcję magnetyczną, jaka występuje
w rdzeniu przy natężeniu pola magnetycz­
nego równym zeru (p. 2 i 5), nazywamy in­
dukcją pozostałości magnetycznej lub in­
Jukcją remanencji i oznaczamy przez B,.
Ze względu na nieliniową charaktery­
stykę B = f(H) dla materiałów ferroma­
gnetycznych, stosuje się dwa pojęcia
przenikalności magnetycznej : statyczną
i dynamiczną.
ne do uzyskania w rdzeniu indukcji ma­
Przenikalnością magnetyczną statycz­
ną nazywamy stosunek indukcji magne­
my natężeniem koercji lub natężeniem
w każdym punkcie charakterystyki mag­
'owściągającym i oznaczamy przez He .
nesowania.
�atężenie pola magnetycznego , koniecz­
gnetycznej równej zeru (p . 3 i 6), nazywa­
www.wsip.com.pl
tycznej do natężenia pola magnetycznego
1 25
Dla punktu 1 na charakterystyce magne­
leżnym od przyjętej podziałki. Przebieg
\1ateriał
sowania (rys. 7 .18) indukcja jest równa
pętli histerezy zależy od gatunku materia­
własnoś'
B1 , a natężenie pola H1 . Odpowiednio,
łu ferromagnetycznego . W zależności od
w której
przenikalność
kształtu pętli histerezy materiały dzielimy
równole:
na: magnetycznie twarde i magnetycznie
gnetyczr
miękkie (rys. 7 .19) .
ternpen
magnetyczna
statyczna
wynosi:
1
µs = Hi = mtga
B
(7.28)
· urie i c
grzanie 1
8
Przenikalność magnetyczna statyczna jest
tempera1
proporcjonalna do tangensa kąta nachyle­
przez mi
2
nia prostej przechodzącej przez początek
powoduj
układu współrzędnych oraz punkt 1 , nato­
H
miast współczynnik proporcjonalności m
zależy od przyjętej podziałki na osi in­
dukcji magnetycznej i natężenia pola ma­
gnetycznego .
Rys. 7.19. Pętle histerezy magnetycznej
-
1 materiału magnetycznie miękkiego, 2
riału magnetycznie twardego
-
mate­
Materiały magnetycznie twarde mają
szeroką pętlę
histerezy
magnetycznej
i w związku z tym dużą wartość pozostało­
ści magnetycznej Br i natężenia koercji He.
Do grupy tej należą stale: chromo-wolfra­
Rys. 7.18. Ilustracja przenikalności magnetycznej
statycznej i dynamicznej
He
-
-
ok. 1 T,
ok. 60 OOO � ) , stopy AlNiCo itp.
m
Przenikalnością magnetyczną dyna­
miczną nazywamy stosunek przyrostu in­
dukcji magnetycznej Di.B na wybranym
odcinku charakterystyki (na rys. 7 . 1 8 mię­
dzy punktami 1 i 2) do odpowiadającemu
Materiały te są stosowane do wyrobu ma­
przyrostowi natężenia pola magnetyczne­
koercji. Do grupy tej należą stal elektro­
go Di.H, czyli:
I
mowe, chromo-molibdenowe (Br
B
µd = !!.H = mtg {3
!!.
gnesów trwałych.
Materiały magnetycznie miękkie mają
wąską
pętlę
histerezy
magnetycznej
i w związku z tym małą wartość natężenia
techniczna, żeliwo , stop zwany permalo­
jem. Przykładowo blacha prądnicowa
(7.29)
przy założeniu, że przyrosty te są małe .
Przenikalność magnetyczna dynamiczna
podstaw
gnetyczr
ru (7.10)
tyczną 1
przekroj1
w tym 1
kojarzy
przenika
a co za
zwoju. \
magnet.
l· ewką . '
zwojów,
ny z cał:
zimnowalcowana może być nasycana ma­
A
gnetycznie do wartości Bm = 2 T, a natę-
..
.
koerCJI Hc = 12 m .
.
zeme
jest proporcjonalna do tangensa kąta na­
Materiały magnetycznie miękkie stosuje
chylenia stycznej do charakterystyki ma­
się w obwodach magnetycznych maszyn
gnesowania w punkcie 1 , natomiast m jest
elektrycznych, transformatorów, aparatów
współczynnikiem proporcjonalności za-
elektrycznych, elektromagnesów itp .
126
Dla rozr
roroidalr
Jednost1
jobnie j
jest web
-
�
bieg
m a­
i od
limy
znie
\lateriał'X ferromagnetyczne tracą swoje
, !asności\po nagrzaniu do temperatury,
której ruchy termiczne uniemożliwiają
noległe układanie się momentów ma­
f..(letycznych. Temperatura ta jest zwana
n1peraturą przemiany lub temperaturą
.
, i dla stali wynosi ok. 1 040 K. Pod­
:mie materiału ferromagnetycznego do
peratury przemiany powoduje utratę
.: z materiał indukcji remanencji, a więc
·. oduje odmagnesowanie materiału.
7.9.
mają
�zneJ
rutlo­
ji He .
)(fra ­
,
1 T,
� itp .
1 ma·„
mają
cznej
żenia
�ktro­
rnalo­
icowa
ia ma­
natę-
�!
losuje
�zyn
iratów
I.
Strumień
magnetyczny
skojarzony
.
cewki
Podczas przepływu prądu elektrycznego
przez cewkę powstaje w jej otoczeniu
strumień magnetyczny. Przy określonej
wartości prądu, wartość strumienia ma­
gnetycznego zależy od wymiarów cewki,
jej liczby zwojów i środowiska, w jakim
zamyka się strumień.
Indukcyjnością własną cewki nazywa­
my stosunek strumienia skojarzonego
z cewką lf/ do prądu I pły nącego przez
cewkę .
Indukcyjność własną oznaczamy przez L
i określamy wzorem:
Dla rozpatrywanej w podrozdz. 7 .6 cewki
:oroidalnej (rys . 7 .10) można obliczyć, na
;x.1dstawie wzoru (7 .15), natężenie pola ma­
fnetycznego w rdzeniu. Następnie ze wzo­
cu (7.l O) można obliczyć indukcję magne­
:yczną B, a ze wzoru (7.5), dla danego
:>rZekroju rdzenia - strumień magnetyczny
: tym rdzeniu. Mówimy, że strumień tfJ
kojarzy się z każdym zwojem cewki, tzn.
przenika powierzchnię przekroju rdzenia,
J. co za tym idzie, powierzchnię każdego
zwoju. Wprowadzamy termin strumienia
magnetycznego skojarzonego z całą
cewką . W związku z tym, że cewka ma N
zwojó�, strumień magnetyczny skojarzo­
'.!Y z całą cewką:
'(', I
lf/ = NtfJ
L- p_
I
\ (?
.:..„
(7 .3 1 )
Jednostką indukcyjności jest henr [H] . Na
podstawie równania (7 .3 1 ) możemy napi­
sać równanie dla jednostek:
[L] - [lJi]] = Wb = V s = n s = H
A
A
- [/
.
.
Indukcyjność wielu rzeczywistych cewek
jest określana w jednostkach podwielo­
krotnych, np. 1 mH = 10- 3 H .
Wyprowadzimy teraz wzór n a indukcyj­
ność cewki pierścieniowej . Według wzoru
(7 . 1 5) natężenie pola magnetycznego
w rdzeniu:
H - IN
l
(7 .30)
Jednostką strumienia skojarzonego, po­
Jobnie jak strumienia magnetycznego tfJ,
jest weber [Wb] .
"'±'' ......
7 1 O. Indukcyjność własna
zatem
przy czym: S przekrój rdzenia; l - długość średnia
drogi strumienia magnetycznego; N - liczba zwo­
jów; µ - przenikalność magnetyczna bezwzględna
materiału rdzenia; I prąd płynący przez cewkę.
-
-
1 27
Strumień skojarzony z cewką wnosi:
l{I = N<P = µIN2 S
l
(7 .32)
Zgodnie ze wzorem (7 .3 1) indukcyjność
własna:
L = p_ = N2 µ
I
S
l
(7 .33)
Wzór (7 .33) można również stosować do
obliczania cewki cylindrycznej , jeżeli jej
długość jest dużo większa od średnicy
przekroju (orientacyjnie przy l > 1 OD ,
przy czym l długość cewki , a D - śred­
nica przekroju) . Wzór ten ma duże zasto­
sowanie praktyczne. Wynika z niego, że
indukcyjność własna cewki o rdzeniu
wykonanym z materiałów paramagne­
tycznych i diamagnetycznych nie zale­
ży od prądu płynącego w cewce , gdyż
przenikalność magnetyczna µ tych mate­
riałów nie zależy od prądu płynącego
w cewce (µ = const) . Natomiast indukcyj­
ność cewki o rdzeniu z materiału ferroma­
gnetycznego zależy od prądu, gdyż prze­
nikalność µ zmienia się w zależności od
nasycenia magnetycznego rdzenia.
Odpowiednio do wprowadzonych pojęć
przenikalności magnetycznej statycznej
i przenikalności magnetycznej dynamicz­
nej , otrzymujemy dla cewek o rdzeniach
ferromagnetycznych indukcyjność sta­
tyczną i indukcyjność dynamiczną.
Ze względu na to, że przenikalności ma­
gnetyczne materiałów ferromagnetycz­
nych są setki, a nawet tysiące razy więk­
sze od przenikalności magnetycznych
materiałów para- i diamagnetycznych,
uzyskanie dużej indukcyjności, gdy wy­
miary cewki są małe, stwarza potrzebę
wykonywania rdzeni z materiałów ferro­
magnetycznych. Duży wpływ na indukcyj­
ność własną cewki ma liczba zwojów N
-
1 28
(we wzorze 7 .33 w drugiej potędze). Cechę
posiadania indukcyjności przypisuje się
nie tylko cewce, ale również każdemu
innemu przewodnikowi.
Podobnie jak pojemność kondensatora jest
jego właściwością określającą zdolność do
gromadzenia ładunku elektrycznego , rów­
nież indukcyjność własną cewki należy
traktować jako jej właściwość, określa­
jącą zdolność do wytworzenia strumie­
nia magnetycznego skojarzonego.
7.11 . Indukcyjność
wzajemna
Jeżeli przez przewód, zwój lub cewkę o N
zwojach płynie prąd elektryczny, to
w środowisku otaczającym te elementy
powstaje pole magnetyczne . Jeżeli w polu
tym znajduje się inny element, np . druga
cewka, to strumień magnetyczny wytwo­
rzony przez pierwszy element kojarzy się
również z drugim elementem. Linie pola
magnetycznego wytworzone w jednym
z elementów mogą przy tym przenikać
przez drugi element - całkowicie lub tylko
częściowo .
Dwa elementy usytuowane względem sie­
bie w taki sposób, że pole magnetyczne
jednego z nich przenika, choćby częścio­
wo, element drugi nazywamy elementa­
mi sprzężonymi magnetycznie.
Załóżmy, że dane są dwie cewki usytu­
owane względem siebie tak, jak pokazano
na rysunku 7 .20.
Cewka pierwsza ma N1 zwojów, cewka
druga N2 zwojów. Przez cewkę pierw­
szą przepływa prąd, który oznaczymy
przez Ii . Strumień magnetyczny wytwo-
Rys. 7.20.
rzony pr•
Strumiei
pierwszą
z cewką
Część st:
cą się w
mień ma
pierwsze
zywamy
czarny I
mienia �
drugiej
szenia i
więc na:
wytwon
W zwią2
ka tylko
skojarzo
Dwa w�
mieni s
uzasadn
czy ob"
tyczny
drugi
kojarzy.
'l tosune
: worzon
:-z onego
�
'.echę
� się
lemu
go w cewce pierwszej nazywamy induk­
cyjnością wzajemną cewki pierwszej
z drugą i oznaczamy przez M12 , czyli:
a jest
(7.37)
5.ć do
rów­
ależy
-eśla­
mtle-
Rys. 7.20. Dwie cewki sprzężone magnetycznie
rzony przez prąd Ii oznaczymy przez <1>11 •
Strumień ten obejmuje całkowicie cewkę
pierwszą, a więc strumień skojarzony
z cewką pierwszą:
!li1 1 = N1 <P 1 1
ęoN
y. to
nenty
,, polu
druga
ytwo­
zy się
� pola
dnym
�nikać
1}ylko
�
sieczne
ścionta-
r
usytu­
razano
cewka
pierw­
czymy
rytwo-
(7 .34)
Część strumienia c.P 1 1 obejmuje znajdują­
..:ą się w sąsiedztwie cewkę drugą. Stru­
mień magnetyczny wytworzony w cewce
pierwszej i obejmujący cewkę drugą na­
zywamy strumieniem głównym i ozna­
..:zamy przez Pg1 . Pozostałą część stru­
mienia c.P 1 1 , która nie dochodzi do cewki
drugiej nazywamy strumieniem rozpro­
szenia i oznaczamy przez <Psi . Można
więc napisać , że strumień magnetyczny
wytworzony w cewce pierwszej :
(7 .35)
W związku z tym, że cewkę drugą przeni­
ka tylko strumień główny, zatem strumień
skojarzony z cewką drugą jest równy:
Przypominamy, że zgodnie z definicją po­
daną w podrozdz . 7 .10 indukcyjność wła­
sna cewki pierwszej :
-
www.wsip.com .pl
Ii
(7 .38)
Jeżeli teraz założymy, że cewki znajdują
się w tym samym położeniu, ale prąd pły­
nie w cewce drugiej , a nie płynie w cewce
pierwszej, to przez analogię do przepro­
wadzonych rozważań możemy napisać:
•
strumień magnetyczny wytworzony
w cewce drugiej
P22 = <Pg2 + <Ps2
•
strumień magnetyczny
z cewką drugą
!li22 = N1 c.P22
•
strumień magnetyczny
z cewką pierwszą
!li21 = N1Pg2
•
•
(7.39)
skojarzony
(7 .40)
skojarzony
(7 .4 1)
indukcyjność własna cewki drugiej
lli22
L2 = T;
(7.36)
Dwa wskaźniki przy oznaczeniach stru­
mieni skojarzonych mają następujące
uzasadnienie. Wskaźnik pierwszy doty­
czy obwodu , w którym strumień magne­
tyczny został wytworzony, a wskaźnik
drugi - obwodu , z którym strumień się
kojarzy.
Stosunek strumienia magnetycznego wy­
tworzonego w cewce pierwszej i skoja­
rzonego z cewką drugą, do prądu płynące-
lli1 1
L1 - -
(7 .42)
indukcyjność wzajemna cewki drugiej
z pierwszą
(7 .43)
Jeżeli cewki znajdują się w środowiskach
o takiej samej przenikalności magnetycz­
nej µ, to:
M12 = M21 = Ml
(7 .44)
1 29
4
I
Jednostką indukcyjności wzajemnej , po­
dobnie jak indukcyjności własnej , jest
henr [H] .
Stopień sprzężenia dwóch cewek lub do­
wolnych elementów przewodzących jest
charakteryzowany współczynnikiem sprzę­
żenia.
Współczynnikiem sprzężenia cewki
pierwszej z cewką drugą (drugiej z pierw­
szą) nazywamy stosunek strumienia ma­
gnetycznego głównego cewki pierwszej
(drugiej) do strumienia całkowitego tej
cewki:
k1
P91
Pu '
_
-
P92
P22
k2 = ­
(7 .45)
Współczynnik sprzężenia obu cewek
określamy j ako średnią geometryczną
współczynników ki oraz kz , czyli:
k= �
(7 .46)
Współczynnikiem rozproszenia nazy­
wamy stosunek strumienia magnetyczne­
go rozproszenia do strumienia całkowite­
go , zatem:
P.1
O"j = � ·
'l' J J
Ps2
"'22
a2 = �
(7 .47)
Dla danego elementu współczynnik sprzę­
żenia oraz współczynnik rozproszenia do­
pełniają się do jedności:
k1 + O"j = 1
kz + a2 = 1
(7.48)
Współczynnik sprzężenia k może być za­
warty w granicach 0-;-1. Gdy k = 1 mówi­
my, że sprzężenie cewek jest idealne,
gdy k = O nie ma sprzężenia.
Między indukcyjnościami własnymi ce­
wek a indukcyjnością wzajemną istnieje
związek:
-
M = k�
1 30
(7 .49)
W układach elektrycznych sprzężenia
między elementami występują powszech­
nie. Niekiedy zjawisko to ma charakter
szkodliwy i w celu zapobieżenia sprzęże­
niu magnetycznemu stosujemy tzw. ekra­
nowanie magnetyczne. W wielu urzą­
dzeniach elektrycznych dążymy do
uzyskania możliwie idealnego sprzężenia
uzwojeń. Przykładem takiego urządzenia
jest transformator. Jak już stwierdzono,
środowisko ferromagnetyczne ma zdol­
ność skupiania linii pola magnetycznego,
zatem lepsze sprzężenie magnetyczne
uzyskamy, gdy cewki nawiniemy na
rdzeń z materiału ferromagnetycznego .
.
Zmi
kres
Koli
kole
ka z
prąc
gne1
od c
7 1 2 Energia pola
.
Rys•
.:ewk
magnetyanego cewki
W polu magnetycznym cewki gromadzi
się energia w wyniku pracy, jaką wykonu­
je prąd elektryczny, wytwarzając stru­
mień magnetyczny skojarzony z cewką.
W trakcie wytwarzania strumienia ma­
gnetycznego zmienia się zarówno prąd
płynący przez cewkę , jak i strumień ma­
gnetyczny. Przyjmijmy, że rdzeń cewki
nie jest wykonany z materiału ferroma­
gnetycznego . Wówczas indukcyjność
cewki nie zależy od jej nasycenia
(L = const) , i wobec tego charakterystyka
strumienia magnetycznego skojarzonego
w funkcji prądu , wynikająca ze wzoru
(7 .3 1 ) , jest linią prostą (rys 7.21) .
Załóżmy, że przy niewielkiej zmianie prą­
du, wynoszącej /j,,_/ strumień magnetycz­
ny skojarzony możemy uważać za nie­
zmienny4l . Zmianie prądu o wartość /j,,_/,
przy iJi = lfl1 , odpowiada zmiana energii
pola magnetycznego:
.
(7 .50)
Poli::
z pr
kow
nyrr
Kor
z kt
ene1
w d'
Jedr
jest
Wpt
sato
;::ner
.:eJ
w k
· Gd
01ety
- :i tP
'.!lały
'.!! ałe
-:1 e rr
re ni a
DCC h­
akter
ł/f -------------
ł/11
ręże­
ł.. r.J-
m.ą-
do
renia
ren ia
�no .
wolie go,
czne
, na
:O·
wki
!8dzi
onu­
stru­
v.ką.
ma­
prąd
maewki
)ma­
n ość
:enia
;tyka
nego
'ZOru
. prą­
tycz­
nie­
V Af,
iergii
7 .50)
tyczny. Rozpatrzymy dla przykładu cew­
kę pierścieniową (toroidalną) . Gęstość
energii w cewce toroidalnej o przekroju
rdzenia S i długości średniej drogi stru­
mienia l:
ł/f
o
I I
ltys. 7.21. Obliczanie energii pola magnetycznego
• ki
-
�1ianę energii Ll W przedstawiono na wy­
<-�csie w postaci zakreskowanego paska.
!\.olejnemu zwiększeniu prądu odpowiada
kolejne zwiększenie energii itd. Jak wyni­
ka z rysunku 7 .2 1 , przy zmianie wartości
prądu w cewce od O do /, strumień ma­
gnetyczny skojarzony z cewką zmieni się
,xi O do !Ji.
Pole powierzchni trójkąta utworzonego
z przyrostów energii, a więc energia cał­
�owita, zgromadzona w polu magnetycz­
nym cewki:
. ·
'l}i/
m- 2
w:
(7 .5 1)
Korzystając ze wzoru (7 .3 1 ) , zgodnie
z którym IJi = LI, otrzymamy wzory na
rnergię pola magnetycznego cewki
w dwóch równoważnych postaciach:
z
Wm = T = 'l}i
2L
Lfl
(7 .52)
Jednostką energii pola magnetycznego
_iest dżul [J] .
Wprowadzimy, podobnie jak dla konden­
,,.atora, termin gęstości energii, czyli ilości
energii pola magnetycznego przypadają­
.:ej na jednostkę objętości środowiska,
·.1. którym zamyka się strumień magne·
Gdybyśmy uwzględnili zwiększenie strumienia ma­
ffietycznego skojarzonego, wówczas .6. W = IJ/1.6.I +
- .:::. IJ/ 1.6./. Małemu przyrostowi .6./ odpowiadałby
:nały przyrost .6.IJ/, stąd wyrażenie .6.IJ/1.6./ byłoby
:nałe w porównaniu z IJ/1.6.I tym bardziej pomijal­
'.lie małe, im mniejszy byłby przyrost .6./.
-
www.wsip.com.pl
(7 .53)
Po podstawieniu do zależności (7 .53)
wzoru na energię (7.52) oraz korzystając
ze wzoru (7 .33) na indukcyjność cewki
toroidalnej i wzoru (7 . 1 5), zgodnie z któ­
rym IN = Hl, otrzymamy:
Wm
_
-
Lfl
2Sl
_
-
µN2f2
--:UZ
_
-
µH2
2
(7.54)
Uwzględniając zależność B = µH, wyra­
zimy gęstość energii w polu magnetycz­
nym w postaci:
BH
Wm = 2
(7 .55)
Jednostką gęstości energii jest dżul na metr
3
sześcienny [J/m ] . Wzory (7 .54) i (7.55)
pozwalają na określenie energii za pośred­
nictwem wielkości charakteryzujących po­
le magnetyczne w cewce : Natomiast wzór
(7.52) umożliwia określenie energii zawar­
tej w polu magnetycznym cewki za po­
średnictwem wielkości związanych z samą
cewką. Należy zapamiętać, że cewka jest
elementem zdolnym do gromadzenia
energii w polu magnetycznym.
7.1 3. Oddziaływanie
elektrodynamiczne
przewodów z prądem
Obecnie rozpatrzymy dwa przewody pro­
stoliniowe o przekroju kołowym, usytu­
owane równolegle względem siebie oraz
umieszczone w środowisku nieferro­
magnetycznym. Zakładamy, że długość
1 31
a)
Zgodnie z zależnością (7 .1) siła działają­
ca na przewód drugi z prądem li , wywo­
łana polem magnetycznym przewodu
pierwszego:
b)
(7 .58)
a po uwzględnieniu zależności (7 .57):
cJ
F1 2
Rys. 7.22. Oddziaływanie elektrodynamiczne prze­
wodów z prądem: a) dwa przewody równolegle
o długości l; b) zwroty sił przy jednakowym zwrocie
prądów w przewodach; c) zwroty sił przy różnych
zwrotach prądów w przewodach
przewodu jest bardzo duża - znacznie
większa od odległości tych przewodów,
którą oznaczymy przez a . Założymy rów­
nież, że odległość przewodów a jest dużo
większa od promienia przewodu. W prze­
wodach płyną prądy oznaczone odpo­
wiednio przez Ii oraz Ii (rys. 7 .22a) .
Oddziaływanie elektrodynamiczne prze­
wodów z prądem na siebie polega na
działaniu pola magnetycznego powstałe­
go dokoła jednego z przewodów z prą­
dem, na drugi przewód i odwrotnie.
W celu wyznaczenia siły wzajemnego od­
działywania przewodów założymy zgod­
ny zwrot prądów w przewodach. Natęże­
nie pola magnetycznego w odległości a
od przewodu pierwszego , a więc na po­
wierzchni przewodu drugiego , zgodnie ze
wzorem (7 . 16):
H1 = Ii
27ra
(7.56)
a indukcja magnetyczna:
B1
1 32
-
µ i
f
27ra
(7.57)
-
µ i
f /z l
27ra
(7 .59)
Zwrot tej siły, pokazany na rysunku
7.22b , wyznaczamy z reguły lewej dłoni.
Indukcja magnetyczna na powierzchni
przewodu pierwszego od prądu płynącego
w przewodzie drugim wynosi:
B2
-
µ!2
27ra
(7 .60)
Siła działająca na przewód pierwszy
z prądem Ii , wywołana działaniem pola
magnetycznego przewodu drugiego jest
równa:
(7 .61)
a po uwzględnieniu zależności (7 .60):
F2 1 - µfi [z l
27ra
-
(7 .62)
Zwrot tej siły wyznaczamy również z re­
guły lewej dłoni.
Z porównania wzorów (7 .59) i (7 .62) wy­
nika, że siła F1 2 = F2 1 . Na podstawie
zwrotów wektorów sił, oznaczonych na
rysunku 7 .22b , stwierdzamy, że jeśli
przyjęte zostaną zgodne zwroty prą­
dów w obu przewodach, przewody te
się przyciągają. Na rysunku 7.22c poka­
zano , że przy przeciwnych zwrotach
prądów w przewodach, przewody te się
odpychają.
W wyniku powyższych rozważań stwier­
dzamy, że:
dwa nieskończenie długie przewody rów­
noległe, w których płyną prądy, oddzia­
łują na siebie z siłą proporcjonalną do
I
iloczym
oraz pi
dowisk:
wrotni�
między
Gdy prą
oddział;
rirzyciąi
ne, WÓVI
_ bania .
Dogodn
\vania i:
;ci. Siła
Wzór (
w elekt1
sta się .
miczny<
przepły'
bardzo
w rozdz
pięcia, j
nia urzą
Wzór (7
podaną
przewoc
L)(fległo�
ponadto
'ię prze'
'.Tiagnet)
,iła F' 01
wynosi
przewod
Elektron
stawione
::y nastt;
.taj ą­
·
�"' o­
•·O<iu
75 8)
):
7 59)
1mku
iłoni .
zchni
tcego
- .60 l
wszy
t
I
poJa
jest
r
[7 .6 1 )
I):
[7 .62)
: z re-
�1 wy­
;tawie
eh na
jeśli
prą­
dy te
pqka­
otach
te się
iloczynu prądów, długości przewodów z mateńału ferromagnetycznego jest na­
eraz przenikalności magnetycznej śro­
winięte uzwojenie, przez które przepływa
•n�iska otaczającego przewody i od­ prąd stały. Strumień magnetyczny po­
WTOtnie proporcjonalną do odległości wstający w rdzeniu zamyka się przez
" i �zy przewodami.
zworę, przy czym odległość zwory od
...; .:y prądy mają zwroty zgodne, wówczas
biegunów rdzenia oznaczymy przez .6.x .
oddziaływanie to charakteryzuje się siłą ' Indukcja magnetyczna B występująca
yciągania, a gdy mają zwroty przeciw­ w każdej z dwóch szczelin powietrznych
- · . wówczas charakteryzuje się siłą odpy- , jest w przybliżeniu równa indukcji maHa.
gnetycznej w rdzeniu. Jeżeli pole po­
Dogodnie jest rozpatrywać siłę oddziały­ wierzchni jednego bieguna oznaczymy
- ania przypadającą na jednostkę długo­ przez S1 , to objętość szczeliny powietrz­
.....- i . Siła jednostkowa:
nej : A V = S1 .6.x.
F = µI1h
27ra
(7 .63)
v;zór (7 . 63) ma liczne zastosowania
elektrotechnice . Ze wzoru tego korzy­
>ta się np . podczas obliczania sił dyna­
micznych powstających w warunkach
-zepływu prądów zwarciowych (a więc
.!rdzo dużych) przez szyny zbiorcze
- rozdzielniach wysokiego i niskiego na­
;iięcia, jak również podczas projektowa­
:i.ia urządzeń elektrycznych.
Wzór (7 .63) wiąże się z definicją ampera
�aną w tabeli 1 .1 . Jeżeli bowiem przez
;.-rzewody płynie prąd Ii = Ii = 1 A oraz
·-
Rys. 7.23. Elektromagnes (przekrój poprzeczny)
I - rdzeń, 2 - zwora, 3 - uzwojenie
Zgodnie ze wzorem (7 .55) gęstość energii
w polu magnetycznym szczeliny po­
cxłległość między przewodami a = 1 m, :
wietrznej:
ponadto środowiskiem, w którym znajdują '
BH
B2
' ię przewody jest próżnia, a przenikalność
(7 .64)
Wm = T = 2µo
magnetyczna µ = µo = 47r · 1 0-7 H/m, to
a więc energia zgromadzona w szczelinie
,-iła F oddziaływania między przewodami
o objętości A V (po przekształceniu wzoru
wynosi 2 · 1o-7 N na jeden metr długości
7 .53):
przewodu .
(7.65)
awier-
Elektromagnes.
'Siła udźwigu
f rów­
fdzia­
ną do
Elektromagnes, którego przekrój przed­
�tawiono na rysunku 7.23, jest zbudowa­
ny następująco: na rdzeniu wykonanym
7 . 1 4.
www.wsip.com.pl
W przypadku przemieszczania zwory (do
biegunów rdzenia) o .6.x, praca jest wyko­
nana kosztem energii pola magnetycznego
zawartej w każdej szczelinie. Siła wynosi:
�W
B2
F = ____!!!:. = -S1
·
fu
2µo
(7 .66)
1 33
Rys. 7 .24. Elektromagnes
z rdzeniem trójkolumnowym
(przekrój poprzeczny)
a)
dzącej . Powstaje nierównomierny rozkład
ładunków w płytce, a więc powstaje po­
przeczne pole elektryczne
E skierowane,
podobnie jak siła F, wzdłuż osi y w kierun­
ku wartości ujemnych (rys. 7.25) . Zjawisko
b)
to odkrył w 1 879 r. Edwin H. Hall, stąd jest
nazywane zjawiskiem Halla.
Z natężeniem pola E wiąże się napięcie
UH, zwane napięciem Halla, które wy­
cJ
stępuje w płytce (poprzeczna różnica po­
Po uwzględnieniu istnienia dwóch szczelin,
siła udźwigu elektromagnesu jest równa:
B2
B2 S
2 2S1 =
2
F=µo
-
µo
(7.67)
tencjałów). Wartość tego napięcia zależy
od wartości indukcji B pola magnetycznego ( UH = RH
d
-
i: , gdzie RH - stała Halla,
grubość płytki). Na tej zależności
przy czym S = 2S1 oznacza łączne pole powierzchni
obu biegunów.
jest oparta konstrukcja przyrządu zwane­
Wzór (7 .67) stosuje się dla małych szczelin.
indukcji B lub natężenia pola magnetycz­
go hallotronem, służącego do pomiaru
W przypadku występowania dużych szcze­
nego H.
lin należy uwzględnić dodatkowe czynniki
Natężenie pola elektrycznego E, jakie po­
znacznie komplikujące rozważania.
wstaje w płytce , jest również zależne od
Inną konstrukcję elektromagnesu przed­
rezystywności materiału, z którego jest
stawiono na rysunku 7.24.
wykonana płytka, rezystywność zaś zale­
7 .1 s. I Zjawisko Halla
ży od wartości indukcji pola magnetycz­
Załóżmy, że przez płytkę wykonaną z me­
talu lub półprzewodnika przepływa w kie­
runku osi x prąd elektryczny i .
Płytkę umieszczamy w jednorodnym polu
magnetycznym o indukcji B, skierowanej
wzdłuż osi z. Wówczas na poruszające się
w płytce elektrony działa siła F, skierowa­
na wzdłuż osi y w kierunku wartości ujem­
nych. Siła ta powoduje gromadzenie się
elektronów w dolnej części płytki przewo-
/
8
/
/
Rys. 7.25. Ilustracja zjawiska Halla
1 34
�<tyczne
' ' zbliża
.· dołącz<
:-rądu w
xiległo
�iór. o
'.'UZWOl
:1dukc
:ny ce
nego B. Zjawisko polegające na zmianie
.iołączc
rezystywności materiału pod wpływem
rujące�
pola magnetycznego nazywamy zjawis­
kach te
kiem magnetorezystancyjnym.
7 .1 6. Zjawisko indukcji
elektromagnetycznej
p1erws:
zamy r
zówka
woderr
różnic)
zówki I
odsuw:
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej
że ws
jest jednym ze zjawisk, na którym jest opar­
„„
ta cała elektrotechnika. Zjawisko to zostało
W doś·
odkryte przez Michaela Faradaya w 1 83 1 r.
stror
zastąpi
i przez niego zostało sformułowane prawo
pięcia
indukcji elektromagnetycznej . Dzięki zasto­
magne:
sowaniu tego prawa zbudowano prądnice
(generatory), w których energia mechanicz­
[
R�·s. 7.2j
na jest przetwarzana w energię elektryczną,
możliwe jest przesyłanie energii na duże
gnes b
.:-ewki ,
!.ikże �
rządu �
>Zkład
je po-
IY•ane .
:ierun­
rwisko
� jest
pięcie
e wy­
,
ca po­
iależy
etycz-
al
i-s -,1 -W
V
Halla,
żności
wane-
1miaru
etyczue po­
ine od
fo jest
s zale­
ietycz­
mianie
ływem
ja wis-
i
zn
ej
� cznej
5t opar­
zostało
1 831 r.
prawo
i zasto­
rądnice
hanicz­
ryczną,
ia duże
Rys. 7.26. Ilustracja zjawiska indukcji elektromag­
�tycznej: a) zbliżanie magnesu trwałego do cewki;
zbliżanie cewki, przez którą płynie prąd do cewki
. Jołączonym woltomierzem: c) zmiana wartości
;:ądu w jednej z cewek
xiległości, przesyłanie informacji i ich od5r. Omówimy kilka doświadczeń, które
\Zwolą na wyjaśnienie istoty zjawiska
.dukcji elektromagnetycznej . Rozpatrzymy cewkę cylindryczną, której zaciski
· )łączono do czułego woltomierza wska­
.1jącego różnicę potencjałów na zaciskach tej cewki (rys. 7.26) . Doświadcznie
pierwsze polega na tym, że do cewki zbli­
żamy magnes trwały (rys. 7 .26a) . Wska­
zówka przyrządu odchyla się, co jest do­
wodem powstania na zaciskach cewki
różnicy potencjałów. Odchylenie wska­
zówki przyrządu nastąpi również podczas
odsuwania tego magnesu od cewki, z tym
"�
wskazówka przyrządu odchyli się
stronę przeciwną.
W doświadczeniu drugim magnes trwały
zastąpimy cewką zasilaną ze źródła na­
pięcia stałego, odgrywającą rolę elektro­
magnesu (rys. 7 .26b) . Jeżeli elektroma­
gnes będziemy zbliżali lub oddalali od
.:ewki , do której dołączono woltomierz, to
także stwierdzimy, że wskazówka przy­
rządu się odchyla.
www.wsip.com.pl
W doświadczeniu trzecim obie cewki na­
winiemy na wspólnym rdzeniu, przy czym
cewkę odgrywającą rolę elektromagnesu
dołączymy do źródła napięcia przez wy­
łącznik (rys. 7 .26c) . Podczas zamykania
lub otwierania wyłącznika zmienia się
wartość prądu I w obwodzie cewki, a za­
tem i strumień magnetyczny oddziałujący
na cewkę, do której dołączono wolto­
mierz. I teraz stwierdzamy odchylenie
wskazówki woltomierza, przy czym kie­
runek odchylenia wskazówki zależy od
tego, czy wyłącznik zamykamy, czy też
otwieramy.
W trzech przeprowadzonych doświadcze­
niach otrzymamy ten sam rezultat: poja­
wienie się napięcia na zaciskach cewki.
W każdym bowiem przypadku zmienia
się strumień magnetyczny skojarzony
z cewką.
Powstanie napięcia indukowanego w uzwo­
jeniu - lub inaczej mówiąc , siły elektromo­
torycznej indukowanej - przy jakiejkolwiek
zmianie strumienia magnetycznego sko­
jarzonego z tym uzwojeniem, nazywamy
zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej.
Jeżeli obwód uzwojenia, w którym indu­
kuje się siła elektromotoryczna zostanie
zamknięty, to w obwodzie tym popłynie
prąd elektryczny. Pojawienie się prądu
w uzwojeniu, w wyniku indukowania się
napięcia, jest związane z koniecznością
przekazania do uzwojenia pewnej energii.
W doświadczeniu pierwszym i drugim
energia powstaje kosztem pracy związanej
z przemieszczeniem magnesu trwałego lub
elektromagnesu (np. przy zbliżaniu mag­
nesu strumień magnetyczny prądu induko­
wanego w uzwojeniu odpycha magnes,
a przy oddalaniu magnesu - przyciąga go).
W doświadczeniu trzecim, w którym obie
cewki są nieruchome, energii dostarcza
źródło dołączone do cewki.
1 35
Związek między indukowaną siłą elektro­
motoryczną a zmianą strumienia magne­
tycznego skojarzonego jest określony przez
prawo Faraday' a, zwane prawem induk­
cji elektromagnetycznej , zgodnie z któ­
rym siła elektromotoryczna indukowana
na zaciskach przewodu , pojedynczego
zwoju lub cewki o liczbie zwojów N, jest
równa zmianie strumienia skojarzonego
w jednostce czasu:
e = -
b.
(7 .68)
b.tlJi
-
przy czym: b.lf/ zmiana strumienia magnetycz­
nego skojarzonego z cewką, b.t czas, w którym
nastąpiła ta zmiana.
-
Na podstawie wzoru (7 .30) napiszemy:
(7 .69)
T
Prawo indukcji elektromagnetycznej
w ścisłym zapisie , z użyciem pojęcia po­
chodnej , ma postać:
e =
-
dlJi =
d<I>
dt -N dt
(7 .70)
A
Znak minus w równaniach (7 .68)-;-(7 .70)
wynika z reguły akcji i reakcji, zwanej
regułą Lenza:
w obwodzie zamkniętym zwrot siły elek­
tromotorycznej indukowanej e oraz prądu
indukowanego i jest taki , że wielkości te
przeciwdziałają zmianom strumienia ma­
gnetycznego , będącego ich źródłem,
a więc zmniejszają strumień wtedy, gdy
jest on w stanie narastania, a zwiększają
go, gdy jest on w stanie zanikania.
Reguła ta odpowiada zasadzie zachowa­
nia energii. Wyjaśnimy istotę reguły Len­
za na przykładzie zwoju pojedynczego ,
w którym płynie prąd indukowany. Na
rysunku 7 .27 przedstawiono zwój poje­
dynczy w formie pierścienia, znajdujący
się w polu magnetycznym o zmiennym
strumieniu. Zwrot linii pola magnetycz1 36
a)
X
b)
n
f
X
X
X
X
F
X
X
X
f
X
X
i
X
F
X
X
X
X
X
X
X
+-
Rys. 7.27. Ilustracja reguły Lenza:
a) przypadek
zwiększania się strumienia magnetycznego; b) przy­
padek zmniejszania się strumienia magnetycznego
nego , a więc i wektora indukcji magne­
tycznej oznaczono na rysunku krzyżyka­
mi, czyli są one zwrócone od obserwatora
za płaszczyznę rysunku .
Pod wpływem zwiększającego się stru­
mienia magnetycznego skojarzonego ze
zwojem,
��
> O, w zwoju indukuje się
prąd i o takim zwrocie, że siły F działają­
ce na zwój powodują zmniejszenie jego
obwodu, aby w ten sposób zachować po­
przednią wartość strumienia skojarzone­
go z tym zwojem (rys . 7 .27a) .
Gdy strumień magnetyczny skojarzony ze
zwojem zmniejsza się,
�� < O, to pow­
stające siły powodują powiększenie ob­
wodu zwoju. Prąd indukowany ma zwrot
przeciwny.
7.1 7.
Indukowanie się siły
elektromotorycznej
w przewodzie
z prądem porusza­
jącym się w polu
magnetycznym
Rozpatrzmy prostoliniowy przewód o dłu­
gości Z, poruszający się z prędkością v
w polu magnetycznym równomiernym
o indukcji magnetycznej B (rys. 7.28).
Przewód z prądem porusza się w płasz­
czyźnie prostopadłej do kierunku linii
pola magnetycznego. Po przemieszczeniu
Rys. 7 .28.
-�
równom
przewod
gnetyczn
nia się o:
Wobec t(
kowana '
e = -
;irzy czy
:uszania
W przeds
wodu odl
padłej do
Jeżeli kie
�netyczn
motoryc2
v•zoru:
Wzory (7
;:-rzypade
•tywane 1
Zwrot inc
ę tdi wy
\ w tak
. wał kie
• i in ie p<
iły do
.:lee wsl
::ktromc
Należy jeszcze zwrócić uwagę na to, że
o indukowaniu się siły elektromotorycznej
decyduje względna zmiana strumienia
magnetycznego, tzn. ten sam rezultat
pridek
przy­
aego
igne �
- kaatora
'stru-
:o
ze
ie się
tłają­
jego
ć po­
mne-
ny ze
pow­
ob­
�wrot
�
�s. 7.28. Przewód z prądem poruszający się
•
równomiernym polu magnetycznym
· ·lewodu o odcinek b..b , strumień ma_ · etyczny skojarzony z przewodem zmie.: się o:
·
b..<P = Bb..S = Blb..b
b
t,,<I> = - Blt..
e = --- = -Blv
D.t
D.t
-r-zy czym
(7.72)
D.b = v oznacza prędkosc
, , poD.t
·_ ,zania się przewodu .
·' przedstawionym przykładzie ruch prze­
.., odu odbywał się w płaszczyźnie prosto­
;"ldłej do kierunku indukcji magnetycznej .
kżeli kierunki prędkości v i indukcji ma­
?netycznej B tworzą kąt a, to siłę elektro­
'.'.'lotoryczną indukowaną wyznaczamy ze
Olo ZOru:
e = -Blv sin a
(7.73)
Wzory (7 .72) i (7 .73) stanowią szczególny
;:-rzypadek prawa Faradaya i są wykorzy­
' tywane w teorii maszyn elektrycznych.
Zwrot indukowanej siły elektromotorycz­
:iej wyznaczamy za pomocą reguły pra­
\ \ ej dłoni (rys. 7.29) , którą można sfor­
mułować w sposób następujący:
t> dłu1eią V
mym
8).
i>łaszlinii
:zeniu
B
(7.7 1 )
1bec tego siła elektromotoryczna indu­
' ·xana w przewodzie:
···
V
-
��żeli wyprostowaną prawą dłoń ustawi­
my w taki sposób , że kciuk będzie wskaał kierunek poruszania się przewodu,
1ie pola magnetycznego będą wcho­
:1 do dłoni, to wyprostowane cztery
palce wskażą kierunek indukowanej siły
elektromotorycznej .
www.wsip.com.pl
Rys. 7.29. Reguła
prawej dłoni
otrzymamy wówczas , gdy przewód będzie
nieruchomy, a poruszać się będzie pole
magnetyczne na skutek ruchu biegunów
magnetycznych. Ten właśnie przypadek
występuje w maszynach elektrycznych.
7 18
.
.
Zjawisko indukcji
własnej i wzajemnej
Niech będzie dana cewka o N zwojach
i indukcyjności L = const. Załóżmy, że
przez cewkę płynie prąd zmieniający się
w czasie. Wobec tego strumień magne­
tyczny wytworzony przez zmieniający się
w czasie prąd też jest zmienny w czasie.
Strumień ten kojarzy się z całym uzwoje­
niem cewki, zatem w cewce indukuje się
siła elektromotoryczna:
eL = -
gdyż D.lf/ = L!:!.i.
D.lf/ = -L !:!.i
D.t
D.t
(7 .74)
Zjawisko indukcji własnej polega na
indukowaniu się siły elektromotorycznej
w cewce pod wpływem zmian prądu
1 37
płynącego przez tę cewkę . Siłę elektro­
motoryczną indukcji własnej , zwaną
też siłą elektromotoryczną samoindukcji,
wyznaczamy ze wzoru (7 .74) . Wzór ten
jest słuszny przy L = const, tzn. nie doty­
czy cewek mających rdzeń wykonany
z materiału ferromagnetycznego.
T Zależność (7 .74) ma charakter przy­
bliżony - w ścisłym zapisie siła elektro­
motoryczna indukcji własnej cewki o in­
dukcyjności L:
di
eL = -L­
dt
(7 .75)
....
Jeżeli w sąsiedztwie rozpatrywanej cewki
znajduje się cewka druga, sprzężona
z pierwszą, przy czym indukcyjność wza­
jemna wynosi M , to w drugiej cewce
zmienny strumień magnetyczny cewki
pierwszej zaindukuje siłę elektromoto­
ryczną indukcji wzajemnej , zależną od
zmian strumienia skojarzonego w czasie,
czyli:
_
eM -
_
flllF12
fli
M
flt - flt
_
7 19
.
.
1 Prądy wirowe
Siła elektromotoryczna indukuje się we
wszystkich materiałach przewodzących
objętych zmianą strumienia magnetycz­
nego , a więc nie tylko w przewodach lub
cewkach, ale również w materiałach ma­
sywnych, np. elementach konstrukcyj­
nych urządzeń elektrycznych.
W przewodniku masywnym pod wpły­
wem indukowanej siły elektromotorycz­
nej powstają prądy, które ze względu na
kołowy kształt ich drogi nazywamy prą­
dami wirowymi . Zwrot prądów wiro­
wych wynika z reguły Lenza.
I
transfo
ę z cier
.'olowar
zwiększy
�o. a pr•
Przykład
'-'a rdzen
nawinięt<
.J.
strumie
:nagnety<
�dzenia v
Rozwiązc:
Srednia c
Zgodnie
'-'a podst
(7 .76)
gdyż fl!li12 = Mlli.
„
Zjawisko indukcji wzajemnej polega na
indukowaniu się siły elektromotorycznej
w cewce pod wpływem zmian prądu w in­
nej cewce z nią sprzężonej .
T W dokładnym zapisie , odpowiadają­
cym zależności (7 .70) , siła elektromoto­
ryczna indukcji wzajemnej :
di
eM = -M­
dt
(7 .77)
....
Zjawisko indukcji wzajemnej wykorzy­
stuje się do budowy transformatorów,
a indukcji własnej - np . do budowy ukła­
dów zapłonowych świetlówek.
1 38
Rys. 7.30. Droga przepływu prądu wirowego
Ze wzon
powstającego w przewodniku masywnym
Na rysunku 7 .30 pokazano drogę prze­
pływu prądu wirowego powstającego
w bloku metalowym o kształcie prostopa­
dłościanu , na którym nawinięte jest
uzwojenie. Prąd w uzwojeniu zmienia się
w czasie, wskutek czego zmienia się rów­
nież strumień magnetyczny w bloku me­
talowym, a zmiana strumienia powoduje
powstanie prądu wirowego.
W celu zmniejszenia prądów wirowych
w rdzeniach maszyn elektrycznych
Przykład
'-'a rdzeń
:nagnety<
nawinięte
Oblicz v
� = 0,9.
.nsformatorów, rdzenie te wykonuje
· cienkich blach z dodatkiem krzemu ,
. Jwanych i tak ustawionych, aby
• 1ększyć opór na drodze prądu wirowe­
„. a przez to zmniejszyć wartość tego
�ię " ..
iący ,
tetycz­
ich lub
�h ma­
prądu. Zjawisko prądów wirowych wyko­
rzystuje się również do budowy mierni­
ków elektrycznych, np. liczników energii
elektrycznej stosowanych powszechnie
w naszych domach.
ukcyj-
wpły ­
k>rycz­
tdu na
rdzeniu toroidalnym o promieniu średnim rśr = 12,5 cm i przekroju S = 5 cm2 jest
inięte uzwojenie o liczbie zwojów N = 3 14. Przez uzwojenie płynie prąd I = 2 A,
rumień magnetyczny w rdzeniu <t> = 15 · 10-5 Wb . Oblicz wartość przenikalności
�· p r �
wiro-
-
:=netycznej względnej materiału, z którego jest wykonany rdzeń przy nasyceniu
:nia wynikającym z założonych danych.
:wiązanie
_
c
Jnia długość drogi strumienia w rdzeniu:
l = 271Tśr = 27!" . 12,5 . 10-2 = 0 ,785 m
Jdnie ze wzorem (7 . 1 5) natężenie pola magnetycznego w rdzeniu:
H = IN =
Z
2 · 3 1 4 = SOO �
0,785
m
·'"1 podstawie wzoru (7 .5) obliczamy indukcję magnetyczną w rdzeniu:
B=
u wzoru (7 .24) wynika, że przenikalność magnetyczna względna:
ro
r przejącegc
>StopaJes:
::11a sie
·�
le
rów-
[u mewoduje
!Owych
�znych
�-
15 . 10- s
'ł.
= 0, 3 T
=
s
5 . 10-4
=
µr = _!!._
H
µo
ł
»rzyktad
03
= 300
•
47r · 1 0-7 · 800
1 .2 I
\;a rdzeń toroidalny, o promieniu średnim rśr = 48 cm, wykonany z materiału nieferro­
-�agnetycznego, nawinięto uzwojenie o liczbie zwojów N1 = 2000. Na uzwojenie to
nawinięto drugie uzwojenie o liczbie zwojów N2 = 3500. Przekrój rdzenia S = 20 cm2 .
Oblicz wartość indukcyjności wzajemnej uzwojeń, jeśli współczynnik sprzężenia
< = 0,9.
www.wsip.com.pl
1 39
l
1�
Rozwiązanie
Na podstawie wzoru (7 .33) obliczymy wartości indukcyjności własnych każdego
z uzwojeń:
Przy prz1
odpowia1
\foc ele�
obliczym
Lz
=
4 . 10-1 . 20 . 10- 4
z
= 1 O'2 . 10- 3 H
N2 µozS = 35002 7r
27r . 48 . 10-2
czyli L1 = 3,33 mH, L2 = 10,2 mH.
Wartość indukcyjności wzajemnej uzwojeń obliczymy na podstawie wzoru (7.49):
Stąd wyc
mocy jes
M = k yr;E; = 0,9 vf3,33 10,2 = 5,25 mH
·
Przykład
Pytania i
7 .3 I
W jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B = 1 T, prostopadle do linii pola ma­
gnetycznego porusza się przewód o długości l = 1 m i pomijalnie małej rezystancji
(rys. 7.31) . Prędkość poruszania się przewodu v = 30 mis jest stała. Poruszający się
przewód ślizga się po dwóch szynach metalowych o pomijalnie małej rezystancji, po­
łączonych rezystorem o rezystancji R = 0,5 O . Oblicz wartość prądu płynącego przez
rezystor oraz wartość energii wydzielonej na rezystorze w czasie t = 2 s .
I
�, ·
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
F
X
X
X
X
X
X
X
X
X
V
X
Rys. 7.31. Schemat
do przykładu 7 .3
Rozwiązanie
Siła elektromotoryczna indukowana w poruszającym się przewodzie:
E = Blv = 1 · 1 30 = 30 V
·
Pod wpływem tej siły elektromotorycznej przez rezystor popłynie prąd:
30
E
= o,s = 60 A
I= R
Taki sam prąd płynie przez poruszający się przewód, wobec tego siła mechaniczna
działająca na ten przewód:
1 40
F = Bil = 1 · 60 · 1 = 60 N
7 . 1 . Pode
7.2. Jak i
7.3. Wyj<
7 .4. Jak <
mag
7 . 5 . Co t1
wzg I
7.6. Pode:
7.7. Co t1
7.8. Na j<
7.9. Co n
stya
7 . 1 0. Poda
7.1 1 . Poda
7 . 1 2 . Czeg
7.1 3 . Jak s
się 111
7 . 1 4. Co t<
7 . 1 5. W ja
a) 01
b) 0(
c) 01
d) 0(
7 . 1 6. W ja
a) w
b) w
c) w
d) w
każdego
Przy przesuwaniu przewodu wykonamy pracę związaną z pokonaniem tej siły. Moc
odpowiadająca tej pracy mechanicznej:
P = Fv = 60 30 = 1 800 W
·
\foc elektryczną pobieraną przez rezystor podczas przepływu prądu przez ten rezystor
obliczymy ze wzoru (3 . 1 9):
P = R/2 = 0,5 602 = 1 800 W
·
.--l9):
Stąd wyciągamy wniosek, że moc mechaniczna jest równa mocy elektrycznej . Bilans
'" OCY jest spełniony. Energia cieplna wydzielona w rezystorze wynosi:
W = Pt = 1 800 2 = 3600 J
·
Pytania i polecenia!.__
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
ola ma­
ystancji
�cy się
acji, po­
:0 przez
:;
miczna
r
7 . 1 . Podaj cechę wyróżniającą pole magnetyczne spośród i nnych rodzajów pól.
7.2. Jak wyznaczamy kierunek linii pola magnetycznego?
7.3. Wyjaśnij regułę prawej dłoni i podaj jej treść.
7 . 4. Jak określamy zwrot wektora siły działającej na przewodnik z prądem umieszczony w polu
magnetycznym?
7.5. Co to jest przenikalność magnetyczna względna? Ile wynosi przenikalność magnetyczna
względna próżni?
7.6. Podaj treść prawa przepływu prądu elektrycznego.
7. 7. Co to jest strumień magnetyczny skojarzony?
7.8. Na jakie trzy grupy dzielimy materiały z punktu widzenia ich własności magnetycznych?
7 .9. Co nazywamy histerezą? Jak wyznaczamy pętlę histerezy magnetycznej? Podaj charakterystyczne punkty na pętli histerezy.
7 . 1 O. Podaj definicję pojęcia indukcyjność własna cewki.
7 .1 1 . Podaj definicję pojęcia indukcyjność wzajemna.
7 1 2 Czego dotyczy prawo indukcji elektromagnetycznej i przez kogo zostało sformułowane?
7 . 1 3 . Jak się wyznacza kierunek siły elektromotorycznej indukowanej w przewodniku poruszającym
się w polu magnetycznym?
- . 1 4. Co to jest zjawisko indukcji wzajemnej? Wskaż sposób wykorzystania tego zjawiska.
1 5 W jakich granicach jest zawarty współczynnik sprzężenia magnetycznego dwóch cewek:
a) od O do 5
b) od O do 1
c) od 1 do 2
d) od O do 2
- . 1 6. W jakich jednostkach mierzymy indukcję magnetyczną:
a) w weberach
b) w teslach
c) w henrach
d) w a mperach na metr
.
.
�.
.
www.wsip.com.pl
141
I
7 . 1 7 . W jakich jednostkach mierzymy natężenie pola magnetycznego:
a) w amperach na metr
b) w woltach na metr
c) w henrach
d) w teslach
7.1 8. Od czego zależy indukcyjność własna L cewki o zwojach:
a) od prądu płynącego przez cewkę
b) zarówno od materiału rdzenia na którym nawinięta jest cewka, jak i wymiarów cewki oraz
liczby zwojów
c) tylko od liczby zwojów
d) od strumienia magnetycznego w rdzeniu
7 . 1 9. Od czego zależy indukcyjność wzajemna dwóch cewek sprzężonych magnetycznie:
a) tylko od współczynnika sprzężenia
b) tylko od indukcyjności własnych cewek
c) zarówno od współczynnika sprzężenia, jak i indukcyjności własnych cewek
d) od współczynnika rozproszenia
7 .20. Dwa przewody o długości 4 m ułożone równolegle, znajdują się w powietrzu w odległości 1 O cm.
Przez oba przewody płynie prąd o tym samym natężeniu równym 2 A. Przewody oddziałują na
siebie z siłą F wynoszącą:
a) F 47r · 10-6 N
b) F 32 · 10-6 N
c) F 2 · 10-7 N
d) F 16 · 10-6 N
7 .2 1 . Przez przewód prostoliniowy, praktycznie nieskończenie długi, znajdujący się w powietrzu pły­
nie prąd o natężeniu równym 1 O A. W punkcie odległym od osi przewodu o 20 cm indukcja
magnetyczna B wynosi:
a) B 10-5 T
b) B 1000 T
c) B µ0 · 10-5 T
d) B 10 OOO T
N
=
=
=
=
I
I
=
=
=
=
s.
I
9
1 bwode
�pół e
materio
· "tcych 1
"tgnety<
'iałania
/ ródłem
JO UZV
'.'rąd ele
.:iało fe1
magnety<
mo że w
płynie pr
Zależnie
W UZWOJ
gnetyczn
\ Czne c
o strun
\V rozdzi
magnety
w czasie
wykonan
taki naz
n ' m jec
gnetyczn
o różnyc
to obwó<
.:netyczr
Podobnii
elektrycz
nagnety
nagnety
Strumiei
rdzen
zywamy
w
8.
8.1 .
i oraz
Obwody magnetyczne
Definicje. Pojęcia
podstawowe
Obwodem magnetycznym nazywamy
Lespół elementów wykonanych zwykle
z materiałów ferromagnetycznych two­
rzących drogę zamkniętą dla strumienia
magnetycznego , powstającego w wyniku
działania źródła pola magnetycznego .
Źródłem pola magnetycznego może być
lłją na
_,!bo uzwojenie, przez które przepływa
prąd elektryczny, albo magnes trwały
1 ciało ferromagnetyczne, w którym pole
magnetyczne powstało i trwa nadal, mi­
mo że w obszarze na zewnątrz ciała nie
f)łynie prąd elektryczny).
!lJ pły­
Zależnie od charakteru prądu płynącego
uzwojeniu wytwarzającym pole ma­
gnetyczne rozróżniamy obwody magne­
t�·czne o strumieniu stałym w czasie
1 o strumieniu zmiennym w czasie .
IO cm.
·.\
oukcja
W rozdziale tym zajmiemy się obwodami
magnetycznymi o strumieniu stałym
w czasie . Jeżeli obwód magnetyczny jest
·' ykonany z jednego materiału , to obwód
taki nazywamy obwodem magnetycz­
mm jednorodnym . Jeżeli obwód ma­
gnetyczny jest wykonany z materiałów
o różnych własnościach magnetycznych,
to obwód taki nazywamy obwodem ma­
gnetycznym niejednorodnym.
Podobnie jak w przypadku obwodów
elektrycznych, rozróżniamy tutaj obwody
magnetyczne nierozgałęzione i obwody
magnetyczne rozgałęzione.
Strumień magnetyczny zamykający się
w rdzeniu obwodu magnetycznego na­
zywamy strumieniem magnetycznym
�-
www.wsip.com.pl
głównym (w skrócie strumieniem głów­
nym), natomiast strumień zamykający się
w środowisku otaczającym ten obwód, na­
zywamy strumieniem magnetycznym
rozproszenia (w skrócie strumieniem roz­
proszenia). W obwodach magnetycznych
wykonanych z materiałów ferromagne­
tycznych wobec dużej różnicy przenikal­
ności magnetycznej rdzenia i przenikalno­
ści magnetycznej środowiska otaczającego
ten obwód, możemy w wielu obliczeniach
pominąć strumień rozproszenia.
Między wielkościami charakteryzującymi
obwody magnetyczne i obwody elektrycz­
ne prądu stałego istnieje analogia o charak­
terze matematycznym, dzięki której pod­
czas obliczania obwodów magnetycznych
można wprowadzić wiele pojęć stosowa­
nych w obwodach elektrycznych. Należy
jednak pamiętać , że między tymi obwoda­
mi występują też znaczne różnice natury
fizycznej . Rozpływ prądów w obwodzie
elektrycznym zależy od wzajemnego usy­
tuowania gałęzi, węzłów i oczek, lecz nie
jest istotne położenie geometryczne po­
szczególnych elementów w przestrzeni.
Przebieg strumienia magnetycznego w ob­
wodzie magnetycznym zależy nie tylko od
usytuowania gałęzi, węzłów i oczek, lecz
także od położenia w przestrzeni. W obwo­
dzie magnetycznym na strumień rozpro­
szenia może mieć niekiedy wpływ liczba
warstw zwojów nawiniętych na rdzeniu
oraz sposób ich nawinięcia.
Prąd elektryczny płynący w obwodzie elek­
trycznym wykonuje pracę W = Rit. Za­
mykający się w obwodzie strumień mag­
netyczny nie potrzebuje do podtrzymania
żadnej energii.
1 43
Strumień magnetyczny nie wykonuje pra­
cy i nie występuje przy tym przemieszcza­
nie żadnych cząstek.
W celu zrozumienia zjawisk fizycznych
występujących w obwodach magnetycz­
nych i opanowania metod ich rozwiązy­
wania, skorzystamy z wiadomości (praw
i pojęć) zawartych w rozdziałach 4 i 7 . Ze
względu na nieliniowość charakterystyki
magnesowania rdzenia ferromagnetycz­
nego, obwody magnetyczne zaliczamy do
obwodów nieliniowych. Przy rozwiązy­
waniu zjawisk w obwodach magnetycz­
nych będziemy się więc posługiwać rów­
nież metodami graficznymi.
8.2.
I
8.3.
bi
cl
Jednyr
stywar
magne
które '
w pod
prawe1
wali, n
Konstrukcje obwodów
magnetycznych
Z obliczaniem obwodów magnetycznych
mamy do czynienia w maszynach elektrycz­
nych, transformatorach, różnego rodzaju
aparatach elektrycznych, przekaźnikach itp .
Zasadniczym zadaniem konstruktora tych
urządzeń jest uzyskanie dużego strumie­
nia magnetycznego, przy jednocześnie
małym zużyciu materiałów. W tym celu
stosuje się konstrukcje, w których stru­
mień magnetyczny zamyka się przede
wszystkim w środowisku ferromagne­
tycznym, charakteryzującym się bardzo
dużą przenikalnością magnetyczną. Rdze­
nie obwodów magnetycznych wykonuje
się najczęściej z blach wzajemnie odizo­
lowanych, ze względu na konieczność
ograniczenia prądów wirowych. Przykła­
dy różnych obwodów magnetycznych
przedstawiono na rysunku 8.1 . Rdzenie
prostokątne są składane z blach o różnych
wykrojach.
Kilka przykładowych rozwiązań przed­
stawiono na rysunku 8 .2 . Konstrukcja
1 44
obwod
Cła UZ'
mienia
szenia.
pierści
jest w
nym n
rysunk
a)
Rys. 8.1. Przykłady obwodów magnetycznych:
a) przekaźnika; b) maszyny elektrycznej;
c) przyrządu pomiarowego, magnetoelektrycznego
przy CZ)
:iie pola
>;.olejneg
W ob\
b)
cl
.:zynó\
1raz d
równai
gneto11
'
I
I
I
I
I
I
I
Rys. 8.2. Konstrukcja obwodów magnetycznych:
a) uzwojenie nawinięte na części rdzenia toroidal­
nego; b) uzwojenie nawinięte równomiernie
na rdzeniu toroidalnym; c) rdzeń prostokątny
Siła m
bowo 1
lloczy1
na odc
gości c
nazyw
i oznac
Wobec
w obw
obwodu magnetycznego i sposób nawinię­
tomotoryczna jest równa sumie napięć
cia uzwojenia wpływa na stosunek stru­
magnetycznych:
mienia głównego do strumienia rozpro­
n
szenia. Na przykład, w przypadku rdzenia
n
Fm = LHkh = L Umk
pierścieniowego strumień rozproszenia
k=l
jest większy w obwodzie przedstawio­
(8 .3)
k=l
nym na rysunku 8 .2a niż w obwodzie na
Z porównania wzorów (8 . 1 ) i (8 .3) wynika,
rysunku 8 .2b .
ze:
n
8.3.
( 8 .4)
Prawa obwodów
magnetycznych
tzn. w obwodzie magnetycznym prze­
Jednym z podstawowych praw wykorzy­
stywanych podczas obliczania obwodów
magnetycznych jest prawo przepływu,
które zostało zdefiniowane i wyjaśnione
pływ prądu jest równy sumie napięć
magnetycznych występujących na po­
szczególnych odcinkach obwodu mag­
netycznego.
w podrozdz . 7 .6. W związku z tym, że
W celu wyjaśnienia wprowadzonych po­
prawem tym będziemy się często posługi­
jęć i interpretacji podanych wzorów roz­
wali , napiszemy je jeszcze raz w postaci:
patrzymy obwód magnetyczny nierozga­
łęziony, przedstawiony na rysunku 8 .3a.
n
'
(8.1)
�eh:
r.:znego
przy czym: 8 = IN
-
przepływ prądu , Hk
-
al
--�--�
natęże­
równania (8 . 1 ) , nazywamy często siłą ma­
'.!,netomotoryczną i oznaczamy przez
� - -
�
I
I
I
I
I
I
I
.___
_
_, I
_ _ __ _ _ _ _ /
- -
Rys. 8.3. Obwód magnetyczny nierozgałęziony:
a) niejednorodny, b) jednorodny
Siła magnetomotoryczna jest równa licz­
Źródłem strumienia magnetycznego za­
bowo przepływowi prądu.
mykającego się w rdzeniu jest przepływ
: oczyn natężenia pola magnetycznego H1
8 = IN. Obwód magnetyczny składa się
odcinku pierwszym (k = 1 ) oraz dłu­
z czterech odcinków. Przyjmiemy, że dłu­
::- ,)ści odcinka obwodu magnetycznego l 1
gość średnia drogi strumienia magnetycz­
azywamy napięciem magnetycznym
nego lśr
a
·
i oznaczamy przez
oroidal­
Fm ·
t-t-----1
- - -..
�-� \
I
13:
·rnz długości drogi, czyli prawą stronę
mych:
,,.- - - �
I
I
kolejnego odcinka obwodu magnetycznego.
1ynów natężenia pola .magnetycznego
'
.
b)
nie pola magnetycznego wzdłuż drogi lk, k - numer
W obwodach magnetycznych sumę ilo-
'
Um 1, czyli ogólnie:
(8 .2)
= li
+ l2 + l3 + [4 .
Dla każdego
z rozpatrywanych odcinków obliczymy
natężenie pola magnetycznego . W związ­
ku z tym, że rozpatrywany obwód mag­
ie
\Vobec powyższego stwierdzamy, że
netyczny jest nierozgałęziony, strumień
my
w obwodzie magnetycznym siła magne-
magnetyczny <J> wywołany przepływem e
www.wsip.com.pl
1 45
jest taki sam we wszystkich czterech od­
cinkach obwodu . Obliczymy indukcje
magnetyczne w każdym z odcinków ob­
wodu magnetycznego. W ogólnym przy­
padku przekroje poszczególnych odcin­
ków rdzenia mogą być różne; oznaczymy
te przekroje przez S1 , S2 , S3 , S4. Zatem:
B 1 = <I>
S1
B = Hl
B2 = <I>
S2
(8 .5)
B3 = <I>
S3
S4
Dla każdej wartości indukcji magnetycz­
nej możemy wyznaczyć odpowiadające
tej indukcji natężenie pola magnetyczne­
go. Jeżeli odcinek obwodu magnetyczne­
go jest wykonany z materiału ferromagne­
tycznego, to wyznaczenie natężenia pola
magnetycznego H wymaga znajomości
charakterystyki magnesowania materiału.
Jeżeli natomiast odcinek obwodu magne­
tycznego stanowi materiał para- lub dia­
magnetyczny, którego charakterystyka
magnesowania jest liniowa, a przenikal­
ność magnetyczna jest równa lub bliska
µo, możemy natężenie pola magnetyczne­
go obliczyć z równania:
µo
B
=O8
'
4?r 10 - 1
.
·
6
10 B
(8 .6)
W ogólnym przypadku otrzymujemy dla
każdego odcinka obwodu magnetyczne­
go inną wartość natężenia pola magne­
tycznego, tzn. H1 , H2 , H3 , H4 . Na pod­
stawie przytoczonych wzorów można
napisać:
8 = Um1 + Um2 + Um3 + Um4 =
= H1 l 1 + H2l2 + H3/3 + H4/4
1 46
(8 .8)
przy czym natężenie pola magnetycznego:
H = §._ = ±_
µ
µS
B4 = <I>
B
H= =
Równanie (8 .7) stanowi zastosowanie
prawa przepływu dla konkretnego obwo­
du z rysunku 8 .3a.
Gdy w szczególnym przypadku obwód
magnetyczny jest wykonany z materiału
jednorodnego, a ponadto przekrój rdzenia
nie ulega zmianie wzdłuż całej drogi stru­
mienia magnetycznego (rys . 8 .3b) , to
otrzymamy równanie przypływu:
(8 .7)
(8 .9)
W wyniku podstawienia zależności (8 .9)
do (8 .8) przepływ jest równy:
e = ±- z
(8. l O)
µS
Na tej podstawie, po przekształceniu,
strumień:
ifJ
e
(8 . 1 1 )
z
-
Jednostl
porówrn
tyczny 2
ny, to st•
malna
wzoracł
przekrój
jący wh
oporu t
kiem m
lub kon
obwodu
tym jes
�ależy
malna, �
w obwc
magnet)
o czym _
rozdz. �
oporu
w rówrn
-
µS
Oznaczymy mianownik (8 . 1 1 ) przez Rm ,
czyli:
l
µS
Rm = -
( 8 . 1 2)
Wielkość Rm określoną równaniem (8.12)
nazywamy reluktancją lub oporem mag­
netycznym. Jednostką reluktancji jest od­
wrotność henra.
Wynika to z zależności jednostek wielko­
ści wchodzących do wzoru (8.12):
[l
1
[Rm] = [µ] ]S] = ll----;- = H
[
-
m
m
· ID
Odwrotność reluktancji oznaczymy przez A
i nazwiemy permeancją lub przewodnoś­
cią magnetyczną, czyli:
A=
1
Rm
S
= µ
l
Wzór (8
obwodu
dla ob'
tromoto
mu) od]
(lub pr;
odpowie
zystancj
(8 . 1 3)
Ze wzg]
gnesow:
jest nie
od nasy
strumie1
netycz11
obwód
mie
l\\' 0-
"''ód
riału
enia
mu'·
to
[8 .8)
iego:
[8 .9)
(8 .9)
UO)
emu .
Jednostką permeancji jest henr [H] . Jeżeli
porównamy wzór (8. 12) na opór magne­
tyczny ze wzorem (3 .8) na opór elektrycz­
ny, to stwierdzimy, że istnieje analogia for­
malna między tymi wzorami . W obu
wzorach występuje długość odcinka, jego
przekrój oraz współczynnik, charakteryzu­
jący własności materiałowe. W przypadku
oporu elektrycznego tym współczynni­
kiem materiałowym jest rezystywność p
lub konduktywność 'Y, w przypadku zaś
obwodu magnetycznego współczynnikiem
tym jest przenikalność magnetyczna µ .
�ależy zaznaczyć, że analogia jest for­
malna, gdyż zjawiska fizyczne zachodzące
w obwodzie elektrycznym i w obwodzie
magnetycznym są całkowicie odmienne,
o czym już zresztą wspominaliśmy w pod­
rozdz. 8 . 1 . Jeżeli skorzystamy z pojęcia
oporu magnetycznego i uwzględnimy
w równaniu (8 . 1 1 ) wzór (8. 12) , to:
8.1 1 )
� . 1 2)
8.1 2)
,: od-
ielko-
(.8 . 1 3)
(8. 14)
Wzór (8. 14) nazywamy przez analogię do
obwodu elektrycznego prawem Ohma
dla obwodu magnetycznego . Sile elek­
tromotorycznej (lub napięciu źródłowe­
mu) odpowiada siła magnetomotoryczna
1 lub przepływ), prądowi elektrycznemu
odpowiada strumień magnetyczny, a re­
zystancji - reluktancja, czyli:
8 --+ E
<P --+ I
pującej analogii obwodu magnetycznego
do obwodu elektrycznego możemy obwo­
dowi magnetycznemu z rysunku 8 .3b
przyporządkować schemat na rysunku
8 4b , w którym reluktancja jest elemen­
tem nieliniowym. Obwodowi z rysunku
8 .3a odpowiada schemat przedstawiony
na rysunku 8.4a.
.
b}
t/>
El·
Rys. 8.4. Schematy zastępcze obwodów magne­
tycznych: a) obwodu z rysunku 8.3a; b) obwodu
z rysunku 8 .3b
W uzupełnieniu przytoczonych rozważań
i zdefiniowanego prawa Ohma dla obwo­
du magnetycznego podane zostaną jesz­
cze dwa prawa Kirchhoffa.
Pierwsze prawo Kirchhoffa dotyczące bi
lansu strumieni magnetycznych w węźle
obwodu magnetycznego można sformu­
łować następująco:
dla węzła obwodu magnetycznego o licz­
bie gałęzi wynoszących b, suma algebra­
iczna strumieni magnetycznych jest rów­
na zeru, czyli:
­
( 8 . 1 5)
( 8 . 1 6)
Ze względu na to, że charakterystyka ma­
gnesowania rdzenia ferromagnetycznego
jest nieliniowa, reluktancja jest zależna
od nasycenia rdzenia, czyli od wartości
strumienia magnetycznego. Obwód mag­
przy czym w równaniu (8 . 1 6) strumienie
mające zwrot do węzła określamy zna­
kiem plus (+), a strumienie mające zwrot
od węzła określamy znakiem minus ( -).
Dla obwodu magnetycznego na rysunku
8.5 napiszemy:
netyczny należy więc traktować jako
obwód nieliniowy. Na podstawie wystęwww.wsip.com.pl
(8 . 1 7)
1 47
Rys. 8.5. Interpretacja pierwszego prawa Kirchhoffa
dla strumieni magnetycznych
Jeżeli strumienie magnetyczne ze zna­
kiem minus przeniesiemy na drugą stronę
równania, to otrzymamy:
oraz zwrotu prądu w uzwojeniu. Do okre­
ślenia znaku posługujemy się regułą pra­
wej dłoni (patrz podrozdz. 7 . 1 ) .
W celu wyjaśnienia drugiego prawa Kirch­
hoffa wrócimy raz jeszcze do obwodu ma­
gnetycznego przedstawionego na rysunku
8 .3a. Obwód ten jest obwodem nierozgałę­
zionym, a więc jednooczkowym. Drugie
prawo Kirchhoffa dla tego obwodu wyraża
równanie (8.7). Przedstawimy to równanie
w nieco innej postaci. Zgodnie ze wzorem
(8 .9) wyznaczymy natężenie pola magne­
tycznego każdego odcinka obwodu:
(8 . 1 8)
Równanie (8 . 1 8) wyraża zasadę bilansu
strumieni magnetycznych w węźle obwo­
du magnetycznego.
Drugie prawo Kirchhoffa dotyczące bi­
lansu napięć magnetycznych w oczku
obwodu magnetycznego można sformu­
łować następująco:
dla oczka obwodu magnetycznego suma
algebraiczna napięć magnetycznych
wszystkich odcinków oczka jest równa
sumie algebraicznej sił magnetomoto­
rycznych działających w tym oczku, czyli:
(8 . 1 9)
lub
.
(8 .20)
przy czym wskaźnik a przyjmuje wartości
w zależności od liczby odcin­
1, 2, 3 ,
ków obwodu magnetycznego, a wskaźnik
f3 przyjmuje wartości 1, 2, 3 ,
w zależno­
ści od liczby uzwojeń z prądem działają­
cych w oczku. Należy przy tym pamiętać
o znaku siły magnetomotorycznej wytwa­
rzającej strumień magnetyczny. Znak ten
zależy od kierunku nawinięcia uzwojenia
1 48
„
„„
8.4.
Rozpa1
stawio1
przekr1
ferrom
wzdłui
nego jt
wielka.
tycznei
a w sz,
magne1
przez ,
przez
uzwoje
pływa l
mienia
wokół
magnet
jest tak.
H1 = _!Ł_
µ1S1
(8 .2 1 )
gdyż strumień magnetyczny <P dla każdego
odcinka obwodu jest taki sam. Po podsta­
wieniu zależności (8.2 1 ) do (8.7) otrzy­
mamy :
8
-
= <P
[ µ1S111 + µ2S212 + µ3t3 3 + z4 ]
µ4S4
S
e
(8 .22)
+
+
+
+
(8 .23)
Napięcie magnetyczne jest więc iloczy­
nem strumienia magnetycznego i reluk­
tancji odpowiedniego odcinka obwodu
magnetycznego. Istnieje ponadto zgod­
ność między równaniem (8 .23) i schema­
tem przedstawionym na rysunku 8 .4a.
I
o--
Korzystając z pojęcia reluktancji, wyraże­
nie (8 .22) napiszemy w postaci:
8 = <P(Rm1 + Rm2 + Rm3 Rm4) =
= Rmt <P Rm2 <P Rm3<P Rm4<P =
= Uml + Um2 + Um3 + Um4
I
Rys. 8.6.
'
!e szczeli
Jeżeli ZJ
niewiell
.;zeroko
ndukcj;
�ówna i
1.ie . Prz
1.Ia 1 SZC
okre­
ą pra-
8.4.
Kirch­
li ma­
sunku
izgałę­
Obliczanie obwodu
magnetycznego
nierozgałęzionego
ze szczeliną
powietrzną
Rys. 8.7. Ilustracja
wzoru (8 .24)
)rugie
Rozpatrzymy obwód magnetyczny przed­
przekrój rdzenia przez S. Gdy szczelina
�-vraża
stawiony na rysunku 8.6. Założymy, że
jest większa, wówczas wyznaczamy tzw.
Só , który
mame
przekrój rdzenia, wykonanego z materiału
przekrój zastępczy szczeliny
zorem
ferromagnetycznego jednorodnego , jest
przy prostokątnej szczelinie o wymiarach
wzdłuż całej drogi strumienia magnetycz­
a x b (rys. 8 .7) obliczamy ze wzoru:
11.agne-
nego jednakowy, a długość szczeliny nie­
wielka. Długość drogi strumienia magne­
tycznego w rdzeniu oznaczamy przez l,
( 8 .2 1 )
Só = (a + ó)(b + ó)
Dla analizowanego obwodu magnetycz­
a w szczelinie - przez ó. Natężenie pola
nego obliczymy indukcję magnetyczną
magnetycznego w rdzeniu oznaczymy
w rdzeniu oraz w szczelinie.
przez H, a w szczelinie powietrznej -
Indukcja magnetyczna w rdzeniu:
Hp . Na rdzeniu nawinięte jest
uzwojenie o N zwojach, przez które prze­
B = P.
przez
pływa prąd stały /. Przy pominięciu stru­
mienia rozproszenia zamykającego się
lŻdego
IO<lsta­
otrzy-
s
Indukcja magnetyczna w szczelinie:
B
wokół uzwojenia w powietrzu, strumień
magnetyczny w rdzeniu oraz w szczelinie
jest taki sam i równy P .
;--
�--+--+--1
(8 .22)
�r
= <J>
s/j
Natężenie pola magnetycznego H w rdze­
niu określamy, posługując się charakte­
magnetycznego w szczelinie powietrznej
�
I
obliczamy zgodnie ze wzorem (8 .6):
(8.25)
a
Rys. 8.6. Obwód magnetyczny nierozgałęziony
ze
P
rystyką magnesowania. Natężenie pola
s
�Taże-
(8.23)
(8 .24)
szczeliną powietrzną
Na podstawie prawa przepływu w postaci
(8.1) dla n = 2 napiszemy:
8 = Hl + Hpó
(8 .26)
Możemy też, zgodnie z drugim prawem
Kirchhoffa dla oczka, korzystając ze wzo­
Jeżeli zgodnie z założeniem szczelina jest
ru (8 .23) , napisać:
iloczy­
niewielka, ó < 2a , przy czym a oznacza
reluk­
szerokość rdzenia, to można przyjąć, że
bwodu
indukcja magnetyczna w rdzeniu jest
przy czym reluktancja rdzenia ferroma­
zgod­
równa indukcji magnetycznej w szczeli­
gnetycznego:
:hema­
nie. Przyjęliśmy więc , że przekroje rdze­
.
nia i szczeliny są jednakowe . Oznaczymy
.+a.
www.wsip.com.pl
8 = tJ.>(Rm + Rmp )
(8 .27)
z
Rm = ­S
µ
1 49
a reluktancja szczeliny powietrznej :
l
Rmp =
8
-
µosó
Schemat zastępczy obwodu magnetycz­
nego ze szczeliną powietrzną przedsta­
wiono na rysunku 8.8 . W schemacie tym
reluktancja rdzenia jest nieliniowa, a re­
luktancja szczeliny - liniowa.
Rys. 8.8. Schemat zastępczy obwodu magnetycz­
nego z rysunku 8 .6
Podstawę do rozwiązywania obwodu ma­
gnetycznego ze szczeliną powietrzną sta­
nowią równania (8 .26) i (8 .27). W zależ­
ności jednak od sformułowania zadania,
tzn . określenia wielkości danych i wielko­
ści poszukiwanych, można wyróżnić dla
rozpatrywanego obwodu dwa typy zadań:
Zadanie typu I polega na wyznaczeniu
przepływu e' przy zadanym strumieniu
magnetycznym <P;
Zadanie typu 2 polega na wyznaczeniu
strumienia magnetycznego <P, przy da­
nym przepływie e.
Zanalizujemy kolejno oba typy zadań.
Zadanie typu 1 może być rozwiązane bez­
pośrednio bez większych trudności. Jeśli
bowiem dany jest strumień magnetyczny
<P, to zgodnie z przytoczonymi rozważa­
niami obliczamy indukcje magnetyczne B
i Bp , a następnie odpowiednio natężenie
pola magnetycznego H i Hp. Znając wy­
miary geometryczne obwodu magnetycz­
nego i korzystając np. z równania (8.26),
obliczymy poszukiwany przepływ e .
Możemy też skorzystać ze wzoru (8.27) ,
1 50
obliczyć reluktancje Rm i Rmp , a następnie
przepływ e.
Zadanie typu 2 jest znacznie trudniejsze.
Jeżeli dany jest tylko przepływ e oraz
wymiary rdzenia i szczeliny, to w równa­
niu (8 .26) mamy dwie niewiadome: natę­
żenie pola magnetycznego w rdzeniu H
i natężenie pola magnetycznego w powie­
trzu Hp. Ich wyznaczenie jest możliwe
tylko wówczas , gdy znamy strumień ma­
gnetyczny <P, a strumień właśnie jest
wielkością poszukiwaną.
Gdybyśmy chcieli skorzystać z równania
(8.27), to okaże się, że bez znajomości stru­
mienia magnetycznego <P nie możemy wy­
znaczyć przenikalności magnetycznej µ,
a więc i reluktancji Rm. Mamy zatem zno­
wu dwie niewiadome i jedno równanie.
Bezpośrednie rozwiązanie zadania jest
więc niemożliwe . Możemy zastosować
metodę prób. W metodzie tej zakładamy
kolejno wartości strumienia magnetyczne­
go i za każdym razem przeprowadzamy ob­
liczenia, stosując taki sposób postępowania
jak w zadaniu typu I . Jeżeli jedna z przyję­
tych wartości strumienia magnetycznego
prowadzi do wyznaczenia przepływu bli­
skiego założeniu, to przyjmujemy tę war­
tość jako rozwiązanie.
8.5.
Obliczanie obwodów
magnetycznych
rozgałęzionych
W obwodzie magnetycznym rozgałęzio­
nym , podobnie jak w obwodzie elektrycz­
nym rozgałęzionym, rozróżniamy gałęzie
i węzły. W ogólnym przypadku w każdej
gałęzi wystąpi inny strumień magnetycz­
ny. Rozkład strumieni magnetycznych
w obwodzie magnetycznym jest uwarun-
kowan
sił mai
nielinie
na w
tyczny
a więc
wanyc
nych o
Do obl
gałęzio
Podobr
go, roz
gą być
anality1
rystyk
wchod;
nia typ
metody
zastępc
metody
rozgałę
ne. W l
twienie
�a rys
magne1
dzie ty1
W kolu
wietrzr
schema
rym 02
mieni 1
nania ł
w węźl
z dwócl
o-
o-
Rys. 8.9.
tępnie
iejsze.
I oraz
ISwna­
• natę­
niu H
IOWie­
)Zliwe
ń ma­
t jest
mania
;i stru­
� wy­
nej µ,
n zno­
mame.
a jest
5ować
!'(.lamy
yczne­
llly ob­
)wania
�yję­
;znego
rn bli­
� war-
dów
ałęzio­
�trycz­
gałęzie
każdej
11etycz­
cznych
Y.·arun-
kowany łącznym działaniem wszystkich
sił magnetomotorycznych. Ze względu na
nieliniowy charakter reluktancji, nie moż­
na w odniesieniu do obwodów magne­
tycznych stosować zasady superpozycji,
:i więc nie można adaptować metod stoso­
xanych do rozwiązywania rozgałęzio­
nych obwodów liniowych prądu stałego.
Do obliczania obwodu magnetycznego roz­
gałęzionego stosuje się prawa Kirchhoffa.
Podobnie, jak dla obwodu nierozgałęzione­
go, rozróżnia się zadania typu 1, które mo­
gą być rozwiązane bezpośrednio na drodze
analitycznej (z wykorzystaniem charakte­
rystyk elementów ferromagnetycznych
wchodzących w skład obwodu) , oraz zada­
nia typu 2, wymagające stosowania albo
metody prób, albo metody charakterystyki
zastępczej . Trzeba jednak stwierdzić, że
metody te w zastosowaniu do obwodów
rozgałęzionych są znacznie bardziej złożo­
ne. W każdym jednak przypadku duże uła­
twienie stanowi schemat zastępczy.
�a rysunku 8.9a przedstawiono obwód
magnetyczny trójkolurnnowy. W obwo­
dzie tym działają dwa przepływy Eh i 82 .
W kolumnie środkowej jest szczelina po­
wietrzna. Na rysunku 8.9b pokazano
schemat zastępczy tego obwodu, na któ­
rym oznaczono wymiary i zwroty stru­
mieni magnetycznych. Napiszemy rów­
nania bilansu strumieni magnetycznych
w węźle oraz bilansu napięć dla każdego
z dwóch oczek. Równania te mają postać:
(8.28)
(8 .29)
(8.30)
Korzystając z pojęcia reluktancji, równa­
nia (8 .29) i (8 .30) możemy też napisać
w postaci:
82 = Rm2ifh + Rm3<P3 + Rmp<Pp
Dogodniejsze w użyciu są jednak równa­
nia (8 .29) i (8 .30) , dlatego częściej są one
stosowane .
Przyjmiemy teraz takie założenia, które
pozwolą rozwiązać obwód z zastosowa­
niem równań (8.28) , (8 .29) i (8 .30) . Sfor­
mułujmy zagadnienie w taki sposób, żeby
zakwalifikować je jako zadanie typu 1 .
Przyjmiemy więc, że dany jest przepływ 81,
wymiary rdzenia i charakterystyka mag­
nesowania rdzenia. Należy wyznaczyć taki
przepływ Eh , przy którym w szczelinie
powietrznej wystąpi strumień magnetycz­
ny <P3 . Kolejność czynności przy rozwią­
zywaniu postawionego zagadnienia jest
następująca:
�:
a) przy danym strumieniu <P3 wyznacza­
my indukcję B3 =
, a potem z cha­
rakterystyki magnesowania odczytuje­
my wartość natężenia pola H3 ;
b}
a}
(8 .32)
Rm2
Rm1
</J1
t 81
Rm3
Rmp
</J2
t 82
Rys. 8.9. Obwód magnetyczny rozgałęziony trójkolumnowy (a) i jego schemat zastępczy (b)
www.wsip.com.pl
151
J
b) jeśli szczelina jest mała, przyjmujemy,
że indukcja magnetyczna w powietrzu jest
równa indukcji magnetycznej w rdze­
niu, jeżeli zaś szczelina jest duża w po­
równaniu z wymiarami rdzenia, to ko­
rzystamy ze wzoru (8 .24) i obliczamy
przekrój szczeliny i wartość indukcji Bp,
a potem zgodnie ze wzorem (8 .25) obli­
czamy wartość natężenia pola Hp ;
c) na podstawie równania (8 .29) oblicza­
my wartość natężenia pola H1 , gdyż jest
to jedyna wielkość nieznana w tym rów­
naniu, potem z krzywej magnesowania
odczytujemy wartość indukcji B1 , odpo­
wiadającą wartości natężenia pola H1 ,
i obliczamy wartość strumienia <P1;
d) przy danych strumieniach <P 1 i <P3 obli­
czamy wartość strumienia <P2 z równa­
nia (8 .28);
e) przy danym strumieniu <P2 obliczamy
.
.
.
m<lukcJę B2 =
1 z krzyweJ magneso-
<P2
82
.
wania odczytujemy odpowiednią war­
tość H2 ;
f) na podstawie równania (8.30) obliczamy
poszukiwaną wartość przepływu 82 • •
8.6.
...,....
_
_
Obliczanie obwodu
magnetycznego
magnesu trwałego
Zgodnie z definicją podaną w podrozdz .
8 . 1 magnesem trwałym nazywamy ciało
ferromagnetyczne , które zachowuje wła­
sności magnetyczne mimo braku działa­
nia zewnętrznego pola magnetycznego
wywołanego przepływem prądu .
Czynność polegającą na nadawaniu ciału
ferromagnetycznemu własności magnesu
nazywamy magnesowaniem, a czynność
przywrócenia namagnesowanemu ciału
1 52
Rys. 8.10. Obwody magnetyczne magnesu trwałego:
a) magnes w kształcie pierścienia; b) magnes
w kształcie podkowy z nabiegunnikami
ferromagnetycznemu stanu magnetycznie
obojętnego nazywamy odmagnesowa­
niem . Do wyrobu magnesów trwałych
używa się materiałów magnetycznie twar­
dych, mających szeroką pętlę histerezy
(podrozdz. 7 .8). Magnesy trwałe stosuje
się w technice, w budowie maszyn elek­
trycznych, przyrządów pomiarowych,
przekaźników itp . Magnesy trwałe są wy­
konywane z reguły w postaci otwartego
obwodu magnetycznego . Obwód magne­
tyczny tworzy sam magnes i szczelina po­
wietrzna. W najprostszej postaci obwód
taki przedstawiono na rysunku 8.lOa. Je­
śli magnes trwały jest wykonany w kształ­
cie podkowy (rys. 8.lOb) , to umieszcza się
ponadto nabiegunniki, wykonane z mate­
riału magnetycznie miękkiego. W analizie
obwodu magnetycznego przyjmuje się
przy tyr
biegunr
w poró'
magnet�
liśmy, ż,
z mate1
a zatem
nie nast
namagn
usunierr
indukcji
miała w
'tałości
crnnenc
wartość
pola H
wymag�
ujemne�
natężen
,iatężen
Zatem
bez SZC'.i
a jego p1
Wycięci
powodu
wodu r
Rys. 8.11.
magnetyc:
odmagnes
�ego:
iałych
:swar­
terezy
lOsuje
elek­
�•ych ,
ą wy­
artego
iagne11a po­
lbwód
la. Je­
(ształ­
:za się
mate­
lalizie
je się
przy tym, że napięcie magnetyczne w na­
biegunnikach, wobec małej wartości
w porównaniu z pozostałymi napięciami
magnetycznymi , można pominąć . Mówi­
liśmy, że magnesy trwałe są wykonywane
z materiałów magnetycznie twardych,
a zatem magnesowanie i odmagnesowa­
nie następuje po pętli histerezy. Jeśli po
namagnesowaniu rdzenia bez szczeliny
usuniemy źródło pola magnetycznego, to
indukcja magnetyczna w rdzeniu będzie
miała wartość Br, zwaną indukcją pozo­
'tałości magnetycznej lub indukcją reanencji. Na rysunku 8.11 oznaczono
wartość Br, której odpowiada natężenie
pola H = O . Odmagnesowanie rdzenia
wymagałoby doprowadzenia przepływu
ujemnego , który wywołałby w rdzeniu
natężenie pola magnetycznego , zwane
natężeniem koercji i oznaczane przez He .
Zatem namagnesowany magnes trwały
bez szczeliny ma indukcję remanencji Br,
a jego punkt pracy jest oznaczony przez a .
Wycięcie w rdzeniu szczeliny powietrznej
powoduje, że zwiększa się reluktancja ob­
wodu magnetycznego , indukcja mag-
netyczna w rdzeniu zmniejsza się i punkt
pracy przesuwa się po pętli histerezy do
punktu b.
Część pętli histerezy, po której przesuwa
się punkt pracy podczas zwiększania re­
luktancji lub na skutek doprowadzonego
ujemnego natężenia pola magnetycznego,
nazywamy krzywą odmagnesowania.
Jest to część pętli histerezy leżąca w dru­
giej ćwiartce . Na rysunku 8 . 1 1 krzywa
odmagnesowania jest wyróżniona linią
ciągłą. Prawo przepływu zastosowane do
obwodu magnetycznego z rysunku 8 . l Ob
(z pominięciem spadku napięcia magne­
tycznego na nabiegunnikach) ma postać:
(8 .33)
przy czym: HFe - natężenie pola magnetycznego
w rdzeniu stalowym, lFe - długość drogi strumienia
magnetycznego w rdzeniu stalowym, Hp - natężenie
pola magnetycznego w szczelinie powietrznej , lp długość szczeliny powietrznej .
Jeżeli przez SFe oznaczymy przekrój rdze­
nia magnesu trwałego, a przez Sp przekrój
szczeliny, to z zasady ciągłości strumienia
magnetycznego otrzymamy:
(8 .34)
B
I
I
L-
I
I
- - - --
--
.;
/
I
- - -,
I
I
I
I
H
I
Stąd:
SP
BFe - BP SFe
(8 .35)
przy czym
(8 .36)
Rys. 8.11. Pętla histerezy magnetycznej mateńału
magnetycznie twardego z zaznaczoną krzywą
odmagnesowania
www.wsip.com.pl
Przytoczone wzory stosuje się podczas
obliczania parametrów obwodu magne­
tycznego magnesu trwałego i mają one
istotne znaczenie dla konstruktora.
.6.
1 53
Przykład 8.1
I
Na pierścieniu o przekroju S = 6 cm2 jest nawinięte uzwojenie o liczbie ZWOJ OW
N = 200. Promień średni pierścienia rśr = 1 1 cm (rys. 8.12) . Oblicz wartość prądu
4
ł
w uzwojeniu, przy którym strumień magnetyczny w rdzeniu <P = 6 1 0- Wb. Jak nale­
ży zmienić wartość prądu, aby po wycięciu w rdzeniu szczeliny powietrznej 8 = 0,3 cm,
strumień magnetyczny się nie zmienił?
·
Przepły�
8=1
I
Jeżeli lic
; any prą
xz szc;
Przykład
Rys. 8.12. Schemat
do przykładu 8 . 1
Oblicz v
obwodu
tancji pe
w milim
Rozwiązanie
Obliczamy wartość indukcji magnetycznej w rdzeniu:
B= �
=
s
\'a podst
: nie pov
10 -4
= 1 T
6 . 10- 4
6
.
Korzystając z krzywej magnesowania stali, z której jest wykonany rdzeń stwierdzamy,
że jeżeli indukcja magnetyczna B = 1 T, to natężenie pola magnetycznego H = 300 � .
m
Zgodnie z prawem przepływu:
8 = IN = Hlśr = H 27rrśr
·
Stąd wartość prądu wynosi:
2
7r
I = H 2 rśr = 300 27r 1 1 10- - l 04 A
·
N
·
·
200
·
_
'
Po wycięciu szczeliny powietrznej wzór na prawo przepływu przyjmie postać:
8 = Hlśr + Hp8
Jeżeli, zgodnie z założeniem, strumień magnetyczny w rdzeniu ma pozostać bez zmian,
to zarówno indukcja magnetyczna B, jak i natężenie pola magnetycznego H się
nie zmienią. Długość drogi strumienia w rdzeniu też praktycznie się nie zmieni,
gdyż szczelina jest bardzo mała. Z reguły przyjmuje się, że jeśli szczelina jest mała,
to Bp = B.
1 54
Rys. 8.13.
jo przykł<
Rozwiąz,
Obliczar
Strumiei
Na podstawie wzoru (8.25) obliczymy wartość natężenia pola magnetycznego w szcze­
linie powietrznej :
••ojów
prądu
k: nale1;3 cm.
Hp = 0,8 1 06Bp = 0,8 106 1 = 0,8 106 �
·
·
·
·
m
Przepływ równa się:
3
8 = Hlśr + Hpó = 300 27r 1 1 10-2 + 0,8 106 0,3 1 0- = 208 + 240 = 448 A
·
·
·
·
·
·
Jeżeli liczba zwojów N = 200, to do wytworzenia przepływu 8 = 448 A jest wyma­
:;any prąd:
I = f2_ = 448 = 2 ' 24 A
200
N
bez szczeliny wartość prądu wynosiła 1 ,04 A).
Przyktad s.2
1
Oblicz wartość przepływu 8 potrzebnego do wytworzenia w szczelinie powietrznej
obwodu magnetycznego (rys. 8.13) indukcji Bp = 1 ,2 T. Oblicz ponadto wartości reluk­
tancji poszczególnych części obwodu magnetycznego. Wymiary na rysunku podano
w milimetrach. Rdzeń jest wykonany ze stali transformatorowej .
300
1
?- - - - - - - - - I
dzamy,
80
80-
100
� �
.
m
Rys. 8.13. Schemat
2
�
80
200
do przykładu 8 .2
0
- - -
0---------
4
'
I
I
I
I
I
l
0 = 08
'
8(}- - - -b3
Rozwiązanie
Obliczamy wartości średnie długości drogi strumienia magnetycznego w rdzeniu:
zmian,
H się
zmieni,
1 mała,
l 1 2 = [34 = 1 20 + 50 + 40 = 210 mm = 0,21 m
l23 = l14 = 200 + 40 + 40 = 280 mm = 0,28 m
Strumień magnetyczny w obwodzie:
tJ> = BpS1 = 1 ,2 80 80 1 0- = 7680 1 0- Wb
·
·
www.wsip.com.pl
·
6
·
6
1 55
I
Rozwią;
W tej części rdzenia, w której przekrój jest równy przekrojowi szczeliny, indukcja
B1 = Bp = 1 ,2 T. Z krzywej magnesowania dla tej wartości indukcji natężenie pola
Korzyst
czarny i
6
magnetycznego H1 = 560 � . Na odcinku 114 przekrój rdzenia S2 = 100 · 80 1 0- =
m
3 2
= 8 . 1 0- m • Indukcja magnetyczna w tej części rdzenia:
·
B2 = <I> =
S2
7680 . 10-6 = 0,96 T
8 . 10- 3
Zatem:
Z krzywej magnesowania, dla indukcji magnetycznej B2 = 0,96 T, odczytujemy war­
tość natężenia pola magnetycznego dla zastosowanego do wyrobu rdzenia materiału:
H2 = 300 � .
m
Z krzyv
Wartość natężenia pola magnetycznego w szczelinie powietrznej :
jeżeli B
Hp = 0,8 1 06B = 0,8 · 1 ,2 · 1 06 = 0,96 · 106 � .
P
m
·
magnet�
Na podstawie prawa przepływu obliczamy jego wartość:
8 = H1 (11 2 + /23 + 1}4) + H2 l14 + Hpó = 560 (2 · 0,21 + 0,28) + 300 · 0,28 +
·
Na pod�
6 · 0,8 10- 3 = 392 + 84 + 768 = 1 244 A
+ 0,96 1 0
·
e
Zgodnie ze wzorem (8 .14) reluktancja całego obwodu magnetycznego:
Poszuki
1244
4 1
e
=
= 1 6,2 1 0 Rm = -;;;
H
.,, 7680 . 10- 6
·
Reluktancja szczeliny powietrznej (wzór 8 . 1 2):
Rm =
Przykład
__§___ =
µoS
4
0,8 . 10- 3
= 10 . 10 .!.
H
47r l0 7 80 · 80 · 10 6
8.3 I
Elektromagnes przedstawiony na rysunku 8.14 ma przyciągnąć zworę o ciężarze
F = 2450 N, odległą od elektromagnesu o 8 = 0, 1 cm. Przekrój jednej szczeliny po­
4 2
wietrznej równa się S1 = 64 · 1 0 m . Średnia długość drogi strumienia magnetyczne­
-
go w rdzeniu lśr = 1 m. Jaką wartość musi mieć prąd płynący przez uzwojenie elektro­
magnesu o N = 500 zwojach?
Rys. 8.14. Schemat
do przykładu 8 .3
1 56
Pytania
•
I
8.1 . Co t
8.2. Jak I
8.3. Jak I
8.4. Pod<
3 . 5 . Pod<
3.6. Czy
a) t}
b) st
c) m
d) t�
37 . W ja
a) w
b) w
c) w
d) w
Rozwiązanie
indukcja
nie pola
. 1 0-6 =
iny war­
ateriału:
Korzystamy ze wzoru (7 .67) na siłę udźwigu elektromagnesu. Ze wzoru tego wyzna­
..:zamy indukcję:
I
przy czym S = 2Si
Zatem:
2 · 471" 10-7 · 2450 = 0,7 T
2 . 64 . 10-4
·
B=
Z krzywej magnesowania materiału rdzenia (patrz katalogi , poradniki) odczytujemy:
jeżeli B = 0,7 T, to H = 1 70 � . Na podstawie wzoru (8.25) obliczamy natężenie pola
m
magnetycznego w każdej z dwóch szczelin:
+
Hp = 0,8 · 106 B = 0,8 · 106 · O, 7 = 56 · 104
�
�a podstawie prawa przepływu:
8 = Hhr + Hp 2ó = 170 · 1 + 56 · 104 · 2 O 1 · 10- 2 = 1 70 + 1 120 = 1 290 A
·
·
,
Poszukiwana wartość prądu wynosi:
I- �
-
Pytania i polecenia !..__
N
-
-
1 290 = 2'58 A
500
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
ciężarze
�liny po­
etyczne­
elektra-
8.1 . Co to jest obwód magnetyczny?
8.2. Jak określa się napięcie magnetyczne?
8.3. Jak brzmi prawo przepływu prądu elektrycznego dla obwodów magnetycznych?
8.4. Podaj prawo Ohma dla obwodu magnetycznego.
8.5. Podaj prawo Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego rozgałęzionego.
8.6. Czy reluktancja zależy od:
a) tylko materiału rdzenia
b) strumienia magnetycznego w rdzeniu
c) materiału i wymiarów rdzenia
d) tylko wymiarów rdzenia
8. 7. W jakich jednostkach mierzymy reluktancję:
a) w omach
b) w odwrotności henra
c) w henrach
d) w teslach
www.wsip.com.pl
J
9.
Obwody prądu sinusoidal nego
jednofazowego
9.1 .
Powstawanie
prądu sinusoidalnie
zmiennego
Wytwarzanie, przesyłanie i rozdzielanie
energii elektrycznej jest dokonywane za po­
mocą urządzeń prądu zmiennego. Należą
do nich takie urządzenia, jak: prądnice (ge­
neratory), w których następuje przetwarza­
nie energii mechanicznej w energię elek­
tryczną, transformatory przeznaczone do
zmiany wartości napięcia i prądu, linie prze­
syłowe wysokiego, średniego i niskiego na­
pięcia oraz urządzenia rozdzielcze wysokie­
go i niskiego napięcia. Do tej pory energia
elektryczna przy prądzie zmiennym lepiej
nadawała się do przekazywania na duże od­
ległości niż przy prądzie stałym. Obecnie
rozwój energoelektroniki spowodował, że
coraz częściej do przesylania energii stosuje
się także linie prądu sałego (HVDC).
a}
b}
I
c)
o
-I
Rys. 9.1. Przykładowe przebiegi prądów zmiennych
w czasie: a) pulsującego jednokierunkowego; b) pros­
tokątnego (dwukierunkowego); c) sinusoidalnego
1 58
Prąd (lub napięcie) nazywamy zmien­
nym , jeśli zmienia się w czasie jego war­
tość liczbowa przy niezmiennym zwrocie ,
albo zmienia się zwrot przy niezmiennej
wartości liczbowej , lub zmienia się za­
równo zwrot, jak i wartość liczbowa. Na
rysunku 9.1 przedstawiono kilka przykła­
dowych przebiegów prądów zmiennych.
Spośród wszystkich stosowanych w elek­
trotechnice przebiegów zmiennych naj­
bardziej są rozpowszechnione przebiegi
zmieniające się sinusoidalnie w czasie
(rys. 9.l c) . Źródłami napięcia sinusoidalnie
zmiennego, zwanego krótko sinusoidal­
nym, są prądnice. Najprostszym modelem
takiej prądnicy jest zwój w postaci ramki,
wirujący ze stałą prędkością kątową w
w równomiernym polu magnetycznym
(o indukcji B stałej w czasie) - rys. 9.2.
Założymy, że kierunek wirowania ramki
jest przeciwny do kierunku ruchu wska­
zówek zegara. Długość czynną ramki
oznaczymy przez l, a szerokość - przez d.
Jeżeli ramka znajduje się w położeniu po­
ziomym, to strumień magnetyczny prze­
nikający powierzchnię ramki jest naj­
większy:
Pm = Bld
(9 . 1 )
Jeżeli ramka obróci się o kąt CY o d położe­
nia poziomego, to strumień magnetyczny
przenikający ramkę będzie się zmniejszał
i w położeniu pionowym ramki , przy ką­
cie CY = 7r /2 będzie równy zeru. Dalsze
zwiększanie kąta CY, w granicach od 7r /2
do 7r, powoduje zwiększanie się strumie­
nia magnetycznego przenikającego przez
Rys. 9.2. :
:iie zmien
� ,
pojedy1
-:ym polu
powierz
strumie!
.;zego ol
ny pon<
w artości
zwiększ
-, = 27r.
strumiei
ramkę (
.1.:osinus<
poziomą
• Zgod
magnety
toryczna
e = -N
przy czym Em oznacza wartość maksymalną siły
elektromotorycznej indukowanej (napięcia induko­
wanego), zwaną amplitudą siły elektromotorycznej
(napięcia indukowanego).
Iiien
rnejz3�
We wzorze (9.3) korzystaliśmy z operacji
różniczkowania w odniesieniu do funkcji
trygonometrycznej . W związku z tym, że
z operacji tej będziemy jeszcze później
korzystali, zapamiętajmy, że pochodna
względem czasu funkcji sinus jest równa
8
lllllII
b)
.. . Na
�·kła1ych.
·
funkcji cosinus
>0idalde
ramki .
>y• ą ....
�znym
. 9.2.
sinus
Rys. 9.2. Zasada powstawania napięcia sinusoidal­
'.lie zmiennego: a) uproszczony model prądnicy;
� 1 pojedynczy zwój obracający się w równomier�
-:ym polu magnetycznym o indukcji B
wska-
powierzchnię ramki. Wartość <Pm osiągnie
strumień przy kącie a = 7r. W miarę dal­
szego obrotu ramki strumień magnetycz­
ny ponownie będzie zmniejszał się do
ramki
ramki
rzez d.
tiu po, przeIl naj-
(9. 1 )
, .
t
)()łoże:tyczny
tiejszał
rzy ką-
3
.
7r , a następme
2
· "viększał się do wartości <Pm przy
27r . Łatwo można się przekonać, że
strumień magnetyczny przecinany przez
mkę (rys. 9 .2) jest proporcjonalny do
. Jsinusa kąta, jaki tworzy ramka z osią
;:>oziomą, czyli:
wartosc1 zero przy a =
=
<P(t) = <Pm cos a
Dalsze
(9 .2 )
z prawem indukcji elektro­
:nagnetycznej (wzór 7 .70) siła elektromo­
toryczna indukowana w ramce:
Y Zgodnie
od 7r /2
r:rumieo przez
e
= -N
d!�t) =
-
�
d(Pm os a)
= Em sin a
d
(9.3)
www.wsip.com.pl
·
- ·
_!_
(sin a) = cos a, a po­
chodna funkcji cosinus jest równa minus
elek� najebiegi
e
czasi
idalnie
Iem
�
�
(cos a) = - sin a . .A..
Jeżeli do zacisków ramki dołączymy od­
biornik, np. rezystor, to powstanie obwód
elektryczny, w którym płynie prąd o takiej
samej zmienności w czasie, jaką ma indu­
kowane napięcie , a zatem popłynie prąd
sinusoidalnie zmienny. W prądnicy rze­
czywistej występuje nie jeden zwój , lecz
w ogólnym przypadku N zwojów.
9.2.
Wielkości charakte­
ryzujące przebiegi
sinusoidalne
Jako przebieg sinusoidalny będziemy
określali zarówno napięcie sinusoidalnie
zmienne, jak i prąd sinusoidalnie zmienny.
Wielkości i definicje podane dla napięcia
są słuszne również w odniesieniu do prądu .
Przy badaniu przebiegów sinusoidalnych
musimy przyjąć pewną zasadę mierzenia
czasu t. Tak więc czas t będziemy liczyć
od chwili, w której przebieg zaczynamy
obserwować . Chwilę tę przyjmiemy jako
równą zeru (t = 0). W chwili t = O ramka
może znajdować się w położeniu dowol­
nym, dlatego założymy, że kąt odchylenia
ramki względem położenia poziomego
1 59
w tej chwili wynosi 1/J. Ramka obraca się
ze stałą prędkością kątową w, wobec tego
w dowolnej chwili t > O ramka jest od­
chylona od położenia poziomego o kąt:
a = wt + 1f;
(9 .4)
gdzie nazwiemy: a - fazą przebiegu sinusoidalnego
w dowolnej chwili t, 'lj; - fazą początkową odpo­
wiadającą chwili t = O .
I
u
Rys. 9.3. Wykres czasowy napięcia sinusoidalnego
Częstotliwość jest równa liczbie okresów
sinusoidalnego, przypadają­
przebiegu
Napięcie sinusoidalne, gdy faza począt­
czasu, czyli na jedną
jednostkę
na
cych
kowa jest różna od zera, wyrazimy za po­
sekundę. Z przeprowadzonych rozważań
mocą zależności:
wynika, że przebieg sinusoidalny jest
(9.5) przebiegiem okresowym , tzn . takim, któ­
u = Vm sin(wt + 'lj;)
ry powtarza się w równych odstępach
w której: u - wartość chwilowa napięcia, czyli war­
czasu zwanych okresami .
tość napięcia w dowolnej chwili t; Um - wartość
Na rysunku 9.3 przestawiono wykres
maksymalna. zwana amplitudą napięcia, będąca
największą wartością chwilową; w - prędkość ką­
zmienności w czasie napięcia sinusoidal­
towa obrotu ramki, zwana pulsacją.
nego, przy czym oznaczono na nim wiel­
kości charakteryzujące ten przebieg.
Jeżeli przez T oznaczymy czas pełnego
Wymiarem osi odciętych może być albo
obrotu ramki, tzn . obrotu o kąt pełny rów­
czas t, albo kąt wt. Niekiedy, takjak na ry­
ny 21T radianów, to pulsacja:
sunku 9 .3 , podaje się podwójną podziałkę
27r
(9 .6) zarówno czasu, jak i kąta.
w=T
W Polsce oraz we wszystkich krajach eu­
Jednostką pulsacji jest radian na sekundę ropejskich i wielu krajach innych konty­
nentów energia elektryczna jest otrzymy­
[rad/s] .
Wprowadzony do wzoru (9.6) czas T na­ wana w prądnicach synchronicznych
zywamy okresem przebiegu sinusoidal­ wytwarzających napięcia o częstotliwości
f = 50 Hz, co odpowiada w = 3 14 rad/s ,
nego. Jednostką okresu jest sekunda [s] .
Odwrotność okresu oznaczamy przez f T = 0,02 s . Częstotliwość 50 Hz jest nazy­
i nazywamy częstotliwością przebiegu si­ wana częstotliwością przemysłową lub
sieciową. W USA częstotliwość przemy­
nusoidalnego, czyli:
słowa napięcia ! = 60 Hz.
! = 't
I
(9.7)
Jednostką częstotliwości jest herc [Hz] .
Korzystając z określenia częstotliwości
wyrażonej wzorem (9.7) , możemy napisać:
w = 21Tf
(9.8)
Wzór (9.8) wyraża pulsację przebiegu sinu­
soidalnego w zależności od częstotliwości .
1 60
\
9.3.
Wartość skuteczna
i wartość średnia
prądu sinusoidalnego
Oprócz wprowadzonych już pojęć odno­
szących się do przebiegów sinusoidal­
nych, takich jak wartość chwilowa oraz
wartość
obliczar
go posł
skutecz1
idalnegc
du oraz
\\'artoś1
1ego na
:,'. O , któr
rezystan
okresov;
-ezystar
..: ieplnej
mym cz
Zgodnie
wadzon
opiera s
nej . Jeż<
małym ,
nie zmi1
staci cie
�iezale;
wa prąd
energia
wartości
datnia,
przedzia
zmienia
rezystan
jest SUIT.
kich prz
podziel«
wykreśl
sinusoid
przedzi�
wierzch
--�onalm
rem (9
wynika,
w czasit
wierzch
wazan
I
•·ykres
soidal1 wiel­
:ebieg .
'Ć albo
: na ry­
ttiałkę
k:h eu­
konty­
rzymy­
;znych
liw ości
� rad/s.
il nazy­
�ą lub
rzemy1a
i
n ego
e odno-
1soidal­
Jta oraz
wartość szczytowa (amplituda) , podczas
obliczania obwodów prądu sinusoidalne­
go posługujemy się pojęciem wartości
skutecznej prądu oraz napięcia sinuso­
idalnego i pojęciem wartości średniej prą­
du oraz napięcia sinusoidalnego .
\ rartością skuteczną prądu sinusoidal­
nego nazywamy taką wartość prądu stałe­
- ' · który przepływając przez niezmienną
zystancję R, w czasie odpowiadającym
, resowi T, spowoduje wydzielenie na tej
. zystancji takiej samej ilości energii
cplnej , co prąd sinusoidalny w tym sa­
, vm czasie .
Zgodnie z przytoczoną definicją , wpro­
wadzone pojęcie wartości skutecznej
opiera się na równoważności energetycz­
nej . Jeżeli przyjmiemy, że w dostatecznie
małym elementarnym czasie /j,_t prąd się
nie zmienia, to energia wydzielona w po­
staci ciepła na rezystancji R w tym czasie:
/j,_ W = Ri2 /j,_t
(9.9)
�iezależnie od tego, czy wartość chwilo­
wa prądu i jest dodatnia czy też ujemna,
energia jako proporcjonalna do kwadratu
wartości chwilowej prądu, jest zawsze do­
datnia, ale w kolejnych takich samych
przedziałach czasu /j,_t wartość energii się
zmienia. Energia całkowita wydzielona na
rezystancji R w czasie jednego okresu T
jest sumą energii obliczonych dla wszyst­
kich przedziałów czasu /j,_t, na które został
podzielony okres T. Na rysunku 9.4
wykreślono przebieg kwadratu prądu
sinusoidalnego, zaznaczono elementarny
przedział czasu /j,_t i zakreślono pole po­
wierzchni paska, do którego jest propor­
cjonalna energia cieplna określona wzo­
rem (9 .9) . Z przytoczonych rozważań
wynika, że energia całkowita wydzielona
w czasie T jest proporcjonalna do pola po­
wierzchni ograniczonej przebiegiem krzywww.wsip.com.pl
' 2
/, /
2
!m
2
2 !m
1
m
'2
t--ut-�-"\'-�-t-��c---;+'2
Rys. 9.4. Ilustracja wartości skutecznej prądu sinu­
soidalnego
wej kwadratu prądu. Pole to jest równe po­
lu prostokąta o podstawie T i wysokości:
!2 p
m = I2
Gdyby więc prąd przepływający przez re­
zystancję R nie zmieniał się (był stały) ,
a jego wartość wynosiłaby /, to energia
wydzielona na rezystancji R:
W = RI2T
(9.10)
Szukany prąd równoważny I, nazywany
wartością skuteczną, wyznaczamy z za­
leżności:
Stąd:
p=
!2 p
m
I= � = 0,707/m
(9. 1 1 )
Ze wzoru (9. 1 1 ) wynika, że wartość sku­
teczna prądu sinusoidalnego jest równa
amplitudzie prądu podzielonej przez J2 .
Identycznie określa się wartość skuteczną
napięcia sinusoidalnego:
U = 31 = 0,707Um
(9 . 1 2)
Wartości skuteczne oznaczamy wielkimi
literami alfabetu bez żadnych wskaźników.
'Y Energię cieplną wydzieloną na rezys­
tancji R w czasie jednego okresu przy
przepływie prądu zmiennego i można
1 61
,J
również obliczyć , posługując się wzorem
całkowym:
J
i przyr
tokąta
T
W=
Ri2 dt
(9. 1 3)
o
Stąd:
Z kolei energię cieplną wydzieloną na tej
samej rezystancji R przy przepływie prądu
stałego I w tym samym czasie T określa­
my wzorem (9.10). Jeżeli energie te mają
być równe , to:
J
T
RI2 T =
Ri2 dt
(9.14)
o
Stąd:
Rys. 9.5. Ilustracja wartości średniej prądu sinuso­
idalnego
Czas odpowiadający połowie okresu po­
dzielimy na odcinki elementarne !1t tak
małe , że prąd w tym czasie się nie zmie­
nia. Ładunek odpowiadający przepływo­
wi prądu w czasie !1t:
!1Q = i/:1t
(9. 15)
Wzór (9 . 1 5) określa wartość skuteczną
prądu okresowo zmiennego o dowolnym
charakterze zmienności. Jeśli do wzoru
(9 . 1 5) podstawimy i = Im sin wt, to otrzy­
mamy zależność (9. 1 1 ) . �
Dla prądu i napięcia sinusoidalnego okre­
ślamy również tzw. wartość średnią pół­
okresową.
Wartością średnią półokresową prądu
sinusoidalnego o okresie T nazywamy
średnią arytmetyczną tego prądu, obliczo­
ną za połowę okresu , w którym przebieg
jest dodatni .
Pojęcie wartości średniej prądu sinuso­
idalnego (rys. 9.5) opiera się na równo­
ważności ładunku. Wartość średnia pół­
okresowa prądu zmiennego jest to taka
wartość prądu stałego, którego przepływ
przez przekrój poprzeczny przewodnika
w czasie T/2 spowoduje przesunięcie ta­
kiego ładunku elektrycznego, jaki byłby
przesunięty podczas przepływu prądu
zmiennego w tym samym czasie.
1 62
(9 . 1 6)
Na wykresie przedstawionym na rysunku
9 .5 ładunkowi temu odpowiada pole po­
wierzchni prostokąta elementarnego
o podstawie !1t i wysokości i. W kolej­
nych przedziałach czasu ładunki elemen­
tarne będą różne, a ładunek całkowity
odpowiadający przepływowi prądu zmien­
nego i w czasie połowy okresu jest równy
polu powierzchni , ograniczonej połówką
sinusoidy. Wykreślimy teraz prostokąt
o polu powierzchni równoważnej polu
powierzchni ograniczonej połówką sinu­
soidy i o podstawie T/2. Wysokość tego
prostokąta:
-
2
l = Jr lm = 0,637/m
(9 .17)
T Wzór na wartość średnią otrzymamy
również, jeśli pole powierzchni ograni­
czonej przebiegiem prądu w czasie poło­
wy okresu T/2 obliczymy ze wzoru cał­
kowego:
J
T/2
Q=
o
idt
(9. 1 8)
a więc
Wzór 1
ści śre
go okt
zmiern
wimy
ność ('
tość
sinuso
Warto:
zmiern
dla ca
średni:
Jeżeli ·
okresu
.:o w p
przed
.:zonej
połow
wierze
krzyw
..:1wny:
średni:
jest ró
w li
Sredniej
i przyrównamy do pola powierzchni pros­
tokąta o tym samym polu i wysokości J 1 l:
(9 .19)
Stąd:
(9 .20)
IJSO-
I po ­
a więc:
.I tak
mue­
� wo-
unku
e po­
nego
tolej­
men­
:>wity
!llien ­
ówn:
ów ką
.cokąt
polu
s inu ­
' tego
,9 . 1 7 )
nam)
p-am ­
poło­
u cał-
�\
[9. 1 8 )
-
2
I= T
T/2
J
o
.
zdt
(9 .2 1 )
kk =
Wzór (9.2 1 ) umożliwia obliczenie warto­
ści średniej półokresowej prądu zmienne­
go okresowego o dowolnym charakterze
zmienności. Jeśli do wzoru (9 .2 1 ) podsta­
wimy i = Im sin wt, to otrzymamy zależ­
ność (9 .17). Analogicznie określa się war­
tosc średnią półokresową napięcia
sinusoidalnego:
-
2
U = 1F Um = 0,637Um
Przebiegi, których wartość średnia cało­
okresowa jest równa zeru, nazywamy
przebiegami przemiennymi .
Przebiegi sinusoidalne (rys . 9 .lc) należą
do kategorii przebiegów przemiennych.
Natomiast przebieg prądu, przedstawiony
na rys . 9.la, będący prądem wyprostowa­
nym, nie jest prądem przemiennym. Sto­
sunek wartości skutecznej do wartości
średniej nazywamy współczynnikiem
kształtu przebiegu kk . Dla prądu sinuso­
idalnego:
(9 .22)
•
Wartość średnią przebiegów okresowo
zmiennych można zdefiniować również
dla całego okresu. Jest to tzw. wartość
średnia całookresowa.
Jeżeli prąd zmienny ma w drugiej połowie
okresu przebieg o tym samym kształcie,
co w pierwszej połowie okresu, tylko znak
przeciwny, to pole powierzchni ograni­
.::zonej przebiegiem krzywej w pierwszej
połowie okresu jest równe polu po­
wierzchni ograniczonej przebiegiem.
krzywej w drugiej połowie okresu z prze­
.:: iwnym znakiem. Wobec tego wartość
średnia całookresowa takich przebiegów
jest równa zeru .
W literaturze spotyka się oznaczenie wartości
;redniej prądu okresowo zmiennego /śr.
www.wsip.com.pl
9.4.
1 � 2;m = zJz =
=
.
1 . 1 1 (9.23)
Przesunięcie fazowe
przebiegów
sinusoidalnych
Napięcia i prądy sinusoidalne występują­
ce w obwodzie badanym mają często jed­
nakową częstotliwość , lecz różnią się am­
plitudą i fazą początkową .
Przebiegi sinusoidalne o jednakowej czę­
stotliwości nazywamy przebiegami syn­
chronicznymi .
Przesunięciem fazowym przebiegów
sinusoidalnych nazywamy różnicę faz
początkowych dwóch przebiegów o tej
samej częstotliwości .
Na rysunku 9.6 przedstawiono wykres
czasowy dwóch napięć sinusoidalnych
OJf
Rys. 9.6. Wykres czasowy dwóch napięć sinusoi­
dalnych przesuniętych w fazie
1 63
�
r
o fazach początkowych 'l/J1 oraz 'l/J2 . Prze­
sunięcie fazowe tych przebiegów wynosi
'l/J1 - 'l/J2 .
I
Ponadto stwierdzamy, że napięcie u 1 wy­
przedza w fazie napięcie u2 lub , co ozna­
cza to samo, napięcie u2 opóźnia się w fa­
zie względem napięcia u1 . Wyprzedzający
jest więc przebieg o większej fazie po­
czątkowej .
Podczas badania obwodów prądu sinuso­
idalnego istotną rolę odgrywa przesunię­
cie fazowe między prądem i napięciem na
danym elemencie obwodu. Przesunięcie
fazowe prądu względem napięcia ozna­
czamy zwykle przez <p.
Przykładowo, dla dwóch przebiegów si­
nusoidalnych mających postać (rys. 9.7):
u = Um sin wt
i = Im sin(wt + <p)
(9.24)
stwierdzamy, że prąd wyprzedza napięcie
o kąt fazowy <p, przy czym faza początko­
wa napięcia jest równa zeru . Określeniem
równoważnym jest stwierdzenie , że na­
pięcie opóźnia się względem prądu o kąt
fazowy <p.
Wykres, na którym przebieg napięcia lub
prądu zmiennego jest przedstawiony jak�
zależność wartości chwilowej w funkCJI
czasu t lub kąta wt, nazywamy wykresem
czasowym . Mówimy, że na rysunku 9.7
prąd i napięcie są przedstawione w posta­
ci wykresu czasowego.
U, i
wf
Rys. 9.7. Ilustracja przesunięcia fazowego prądu
względem napięcia na wykresie czasowym
1 64
9.5.
Przedstawianie
przebiegów sinuso­
idalnych za pomocą
obracających się
wektorów
Podczas analizy obwodów prądu sinuso­
idalnego mamy zazwyczaj do czynienia
z dodawaniem, odejmowaniem, mnoże­
niem i dzieleniem wielkości sinusoidalnie
zmiennych o różnych amplitudach, róż­
nych fazach początkowych, lecz o jedna­
kowej częstotliwości. Zadanie tego typu
można łatwo rozwiązać , jeżeli przebiegi
sinusoidalne przedstawimy w postaci ob­
racających się wektorów. Związek między
wektorem obracającym się a funkcją sinu­
soidalną znamy z geometrii i korzystamy
z niego podczas wykreślania sinusoidy.
Poszczególne rzędne sinusoidy dla odpo­
wiednich kątów odpowiadają rzutom na
oś rzędnych wektora wirującego ze stałą
prędkością kątową przeciwnie do kierun­
ku ruchu wskazówek zegara, dla tych sa­
mych wartości kątów. Niech będzie dane
napięcie sinusoidalne o amplitudzie Um ,
pulsacji w, fazie początkowej r/;
u = Um sin(wt + 'l/J)
(9.25)
Napięcie to przedstawimy na wykresie
czasowym (rys. 9.8) . Po lewej stronie
wykresu czasowego w układzie współ­
rzędnych prostokątnych rysujemy okrąg
o promieniu Um .
Rys. 9.8
wirujący
idalnym
Jo osi
w pun1
tern O,
rzędny
nej ai
wzglęc
tożenit
chwili
wartoŚ1
Punkt I
:1 1 dla i
idę i l
równo}
OkrfgU
c1dpowi
w z ględ
-·t1 + 'i/J
l.4 1 wy
p1ęcrn c
W chwili t = O, argument wt = O i wartość
chwilowa napięcia:
uo = Um sin 'ljJ
(9 .26)
z punktu przecięcia przebiegu napięcia
z osią rzędnych, odpowiadającego wartości
chwilowej u0, rysujemy prostą równoległą
Rys. 9.9.
� ykresen
l wyk:res1
Rys. 9.8. Związek między wektorem
()­
a/
" ;rującym (a) a przebiegiem sinuso­
.!alnym (b)
<ą
inuso­
nienia
moze­
idalnie
I. róż­
jedna­
l> typ u
�biegi
�i ob­
niędz:­
Ił sinu­
,stam:­
asoidy.
I odpo­
na
:e stałą
lierun­
ych sa­
ie dane
osi odciętych, która przecina okrąg
" punkcie A0 • Łączymy punkt Ao z punk­
·:m O, czyli początkiem układu osi współ­
_:l1
-iędnych. Odcinek OA0 , o długości rów­
·�cj amplitudzie Um , jest nachylony
' zględem osi odciętych pod kątem 'lj;. Po­
, 1Żenie odcinka OA0 odpowiada więc
. hwili to = O. Dla dowolnej chwili t1 > t0
"' artość chwilowa napięcia:
(9.27)
()ffi
tie Um .
•
(9.25)
\ kresie
stronie
w spół­
' okrąg
Punkt odpowiadający wartości chwilowej
1 • dla argumentu wt1 nanosimy na sinuso­
Ję i podobnie jak przednio, rysujemy
�,)wnoległą do osi odciętych, która na
'kręgu wyznacza punkt A1 . Odcinek OA1 ,
-Opowiadający chwili t1 , jest nachylony
osi odciętych pod kątem
·' zględem
+ 'lj;, a kąt między odcinkami OAo oraz
1.-1 1 wynosi wt1 • Z kolei , amplitudzie na­
pięcia dla chwili t2 będzie odpowiadał od_·t1
a/
y
r•artość
cinek OA2 położony na osi rzędnych. Dal­
szym wartościom chwilowym napięcia
dla t1 > t2 będą odpowiadały odcinki , po­
łożone w drugiej ćwiartce okręgu, następ­
nie w trzeciej i czwartej ćwiartce . Rzuty
poszczególnych odcinków OAo , OA1 , OA2
itd. na oś rzędnych odpowiadają warto­
ściom chwilowym napięcia .
Z przeprowadzonych rozważań wynika,
że rzuty pewnego wektora o module
równym amplitudzie przebiegu sinuso­
idalnego na oś rzędnych, obracającego
się z prędkością kątową w równą pulsa­
cji tego przebiegu, odpowiadają warto­
ściom chwilowym przebiegu.
Dlatego też rozpatrywanie funkcji sinuso­
idalnych można zastąpić rozpatrywaniem
obracających się wektorów.
Zbiór kilku wektorów położonych na tej
samej płaszczyźnie odwzorowujących
wielkości sinusoidalnie zmienne jednako­
wej częstotliwości nazywamy wykresem
wektorowym .
b}
(9.26)
iapięcia
11 artości
moległą
Rys. 9.9. Związek między
� ykresem wektorowym (a)
a wykresem czasowym (b)
o
www.wsip.com.pl
1 65
Na wykresie wektorowym rozpatrywane
wielkości sinusoidalnie zmienne odwzo­
rowujemy dla chwili t = O. Na rysunku
9.9a przedstawiono wykres wektorowy
prądów, odpowiadający wykresowi cza­
sowemu z rysunku 9.9b.
Ze względu na to , że w teorii obwodów
posługujemy się przeważnie nie amplitu­
dami, lecz wartościami skutecznymi, wy­
kresy wektorowe wykonujemy zatem w od­
niesieniu do wartości skutecznych. W tym
celu moduły obracających się wektorów
odwzorowujących odpowiednie przebiegi
sinusoidalne dzielimy przez J2 (patrz
równania 9 . 1 1 i 9.12) . Ponadto w dalszych
rozważaniach, rysując wektory będziemy
opuszczali wykreślanie okręgów o promie­
niach równych odpowiednim amplitudom,
jak również nie będziemy wykreślali ukła­
du współrzędnych, lecz tylko punkt O za­
czepienia wektorów.
I
9.6.
Dodawanie
przebiegów
sinusoidalnych
W praktyce bardzo często mamy do czy­
nienia z działaniami na przebiegach sinu­
soidalnych. Załóżmy, że należy dodać dwa
napięcia sinusoidalne o tej samej często­
tliwości:
u 1 = Um1 sin(wt + \b 1 )
u2 = Um2 sin(wt + \b2 )
Napięcie wypadkowe jest równe:
(9.28)
U = U] + U2 =
= Um 1 sin(wt + \b1) + Um2 sin(wt + 'l,b2 ) =
= Um sin(wt + 'l,b)
(9.29)
Zadanie sprowadza się do wyznaczenia
amplitudy Um i fazy początkowej lft na­
pięcia wypadkowego. Zagadnienie można
rozwiązać w różny sposób . Jeśli wykona­
my wykresy czasowe u 1 oraz u2 , to moż­
na dla kolejnych argumentów dodawać
rzędne , w wyniku czego otrzymamy prze­
bieg napięcia wypadkowego u (rys.
9 . lOa) . Napięcie wypadkowe ma również
przebieg sinusoidalny i tę samą częstotli­
wość , co napięcia składowe .
Drugi sposób polega na rozwiązaniu za­
dania na drodze analitycznej . Korzystając
ze wzorów trygonometrycznych na sinus
sumy kątów, możemy równanie (9 .29) na­
pisać w postaci:
Um 1 sin wt cos 'l,b 1 + Um 1 cos wt sin 'l,b1 +
+ Um2 sin wt cos \b2 + Um2 cos wt sin \b2 =
= Um sin wt cos 'l,b + Um cos wt sin 'l,b
(9 .30)
W wyniku porównania wyrażeń przy
sin wt oraz cos wt obu stron równania
(9.30), otrzymamy dwa równania:
aJ
Każde z
mi do
w wynil
u2m = u
Stąd OS1
Um =
=
/U2n
Wzór ('
wypad1
fazowe
(9 .3 1b)
tg 'lj;
Trzeci
wypadl
wego j1
na we
o modi
przebie
wykres
Um2 i 1
o modt
odcięty
wiadon
rzącycł
Um =
= fo
X
Rys. 9.10. Dodawanie
przebiegów sinusoidalnych:
a) na wykresie czasowym;
b) na wykresie wektorowym
1 66
W celu
jemy z
ma rzt
rzutow
Um1 cos 'l/J1 + Um2 COS 'l/J2 = Um cos 'ljJ
(9.3 1 a)
Um1 sin 'l/J1 + Um2 sin 'l/J2 = Um sin 'ljJ
(9 .3 1b)
Każde z równań (9 .3 1 ) podnosimy strona­
mi do kwadratu i dodajemy stronami,
w wyniku czego otrzymujemy:
U� = U� 1 + U�2 + 2Um1 Um2 cos('l/J1 - 'l/J2)
Stąd ostatecznie:
Um =
=
Ju� 1 + U�2 + 2Um1 Um2 Cos('l/J1 - 'l/J2)
(9 .32)
Wzór (9.32) określa amplitudę przebiegu
wypadkowego . W celu wyznaczenia kąta
fazowego 'ljJ dzielimy stronami równanie
(9.3 1b) przez (9.3 1 a) :
(9 .33)
Trzeci sposób wyznaczania amplitudy
wypadkowej i wypadkowego kąta fazo­
wego jest najprostszy i wynika z działań
na wektorach. Wykreślamy wektory
o module Uni1 oraz Um2 odpowiadające
przebiegom czasowym (rys. 9 . l Ob) . Na
wykresie dodajemy wektory Um1 oraz
Um2 i otrzymujemy wektor wypadkowy
o module Um i nachyleniu względem osi
odciętych pod kątem 'ljJ. Z matematyki
wiadomo , że suma dwóch wektorów two­
rzących kąt ostry 'l/J1 - 'l/J2:
rów. Zatem dodając rzuty wektorów Um1
i Um2 na oś odciętych i na oś rzędnych,
otrzymujemy rzuty na te osie wektora wy­
padkowego. Tangens kąta nachylenia wek­
tora wypadkowego względem osi odcię­
tych jest równy stosunkowi jego rzutu na oś
rzędnych do rzutu na oś odciętych, czyli:
(9.35)
Wzór (9.35) jest zbieżny ze wzorem
(9.33) otrzymanym na drodze analitycz­
nej . Jak widzimy wzory otrzymane z ope­
racji geometrycznych wykonanych na
wektorach odwzorowujących przebiegi
sinusoidalne są łatwe do uzyskania i nie
muszą być poprzedzone żmudnymi prze­
kształceniami trygonometrycznymi.
Rozpatrzmy jeszcze kilka szczególnych
przypadków wzajemnego położenia wek­
torów. Jeśli dwa wektory, które zamie­
rzamy dodać , są przesunięte względem
siebie o kąt n /2, czyli 'l/J1 - 'l/J2 =
lub
'l/J2 - 'l/J1 = � , to:
�
(9.36)
Um =
=
Ju� 1 + U�2 + 2Um1 Um2 Cos('l/J1 - 'l/J2)
(9.34)
W celu znalezienia kąta fazowego 'ljJ stosu­
jemy znane z geometrii twierdzenie, że su­
ma rzutów dwóch wektorów jest równa
rzutowi sumy geometrycznej tych wektowww.wsip.com.pl
Rys. 9.11. Dodawanie wektorów: a) przesuniętych
o kąt 7r/2; b) zgodnych w fazie; c) będących
w przeciwfazie
1 67
Jeśli ponadto, tak jak na rysunku 9.lla,je­
den z wektorów ma fazę początkową rów­
ną zeru ('l/J1 = 0), to wtedy wektor drugi ma
fazę początkową równą
1 czyli 'l/J2 = 1
·
·
Po podstawieniu tych wartości do wzoru
(9.35):
Um2
tg 'fl = ­
Um1
,1,
(9.37)
Jeśli dodawane wektory są zgodne w fa­
zie (rys. 9.llb), czyli 'ljJ 1 = 'l/J2 , to:
oraz
(9.38)
Jeśli dodawane wektory są w przeciwfa­
zie (rys. 9.llc), to:
(9.39)
9.7.
9. 7 . 1 .
Analiza obwodów
elementarnych
z elementami R, L, C
Elementy rzeczywiste
i elementy idealne
Podczas analizy obwodów prądu stałego
dokonaliśmy podziału elementów na ak­
tywne i pasywne. Spośród elementów pa­
sywnych w obwodach prądu stałego zajmo­
waliśmy się jedynie rezystorami, w których,
jak wspomnieliśmy, następuje przekształ­
canie energii elektrycznej w energię cieplną.
W obwodach prądu sinusoidalnego mamy
do czynienia ze wszystkimi elementami
pasywnymi, czyli z rezystorami o rezy­
stancji R, kondensatorami o pojemności C,
cewkami o indukcyjności L. Każdy ele­
ment rzeczywisty jest tak zbudowany, że
dominujące znaczenie ma jeden z wymie-
nionych parametrów. Nie można jednak
pominąć występowania pozostałych para­
metrów, chociaż w wielu wypadkach mają
one znaczenie drugorzędne . Na przykład,
rezystor o uzwojeniu spiralnym jednowar­
stwowym charakteryzuje się przede wszyst­
kim rezystancją R, jednakże nie może być
całkowicie pominięta indukcyjność L,
a niekiedy nawet pojemność C. Rezystor
o uzwojeniu bifilarnym ma pomijalnie ma­
łą indukcyjność , ale dość znaczną pojem­
ność między warstwami. W rezystorach
drutowych pojemność i indukcyjność, ma­
jące charakter pasożytniczy, zależą od
konstrukcji rezystora. Pomijalnie małą in­
dukcyjność i pojemność mają rezystory
ceramiczne. Każda cewka nawinięta
z drutu charakteryzuje się dużą indukcyj­
nością, ale rezystancja cewki nie może
być całkowicie pominięta.
a}
0--
0--
Rys. 9.12
o
i rezysto
� I kondeTI
I
1bwod�
:xipowi(
\"a rys11
zraficzIJ
Jlnych:_
: u idea
ednej t:
lOSCl, p
'chema1
.\ istego
; dyż 0(
jealnyc
, ,
.\ OSC pr
.v zwii
) dwócl
Większość kondensatorów ma dielektryk
częściowo przewodzący, w związku z tym
nie może być pominięta tzw. rezystancja
upływowa, odpowiadająca stratom w die­
lektryku. Ujawnianie się poszczególnych
własności, a więc i parametrów schematu
zastępczego rzeczywistego urządzenia,
zależy w znacznym stopniu od częstotli­
wości, napięcia i prądu związanego z da­
nym elementem (ten sam element może
mieć, w zależności od częstotliwości, na­
pięcia i prądu , różne schematy zastępcze).
Na schemacie obwodu znajdują się więc
przeważnie wszystkie trzy parametry R, L
i C, a często również indukcyjność wza­
jemna M. Jednakże wpływ każdego z tych
parametrów na prąd w obwodzie jest róż­
ny. W celu zanalizowania zjawisk i ustale­
nia związków między napięciem i prądem
dla każdego z elementów, zajmiemy się
na wstępie analizą elementarnych obwo­
dów zawierających tylko jeden z poda­
nych parametrów. Takie obwody nazwiemy
1 ikami
iiu zja·
-.'.wójnik
-:i kami
'.'Ołączo1
.:oniec I
-:ież dw
:lement
,-ym i r'
9.7.2.
[
-�ałóżm�
. i i R wl
:ys. 9.1
.\-artość
·ezystor
1 68
l
JR �l �[
a}
b}
cJ
•
rezystora idealnego; b) cewki idealnej;
. kondensatora idealnego
iJwodami z elementami idealnymi
xipowiednio R, L, C.
\"a rysunku 9.12 przedstawiono symbole
;raficzne wymienionych elementów ide­
.:.lnych. Z symbolem graficznym elemen­
: u idealnego kojarzymy występowanie
�dnej tylko cechy: rezystancji, indukcyj­
::ości, pojemności . Niekiedy wyznaczenie
--.:: hematu zastępczego elementu rzeczy­
·' istego lub urządzenia nie jest łatwe,
;dyż od sposobu połączenia elementów
. jealnych w schemacie zależy prawidło­
.\ ość przyjętego schematu.
W związku z tym, że są to elementy
1 dwóch zaciskach, nazywa się je dwój­
i ikami (jednowrotnikami). Po omówie1iu zjawisk i ustaleniu zależności dla
�wójników idealnych zajmiemy się dwój­
:-.ikami o dwóch elementach idealnych
:'Ołączonych szeregowo i równolegle. Na
..:oniec przedmiotem rozważań będą rów­
nież dwójniki zawierające wszystkie trzy
: lementy idealne w połączeniu szerego­
xym i równoległym.
-
9.7.2.
.
(9.42)
Wykorzystując zależność między ampli­
tudą a wartością skuteczną w odniesieniu
do prądu i napięcia, otrzymamy:
Jl! =
1
�u
Zatem, przy G = -1{
GU
I = !!_
R =
Załóżmy, że rezystor idealny o rezystan­
:ji R włączono na napięcie sinusoidalne
rys. 9 . 13a):
(9.40)
Wartość chwilową prądu płynącego przez
�czystor wyznaczamy z zależności:
www.wsip.com.pl
(9.43)
Ze wzorów (9.42) oraz (9.43) wynika, że
dla rezystora idealnego o rezystancji R
jest spełnione prawo Ohma zarówno
w odniesieniu do amplitud, jak i warto­
ści skutecznych napięcia i prądu .
Z porównania zależności (9 .40) oraz
(9.41 ) wynika ponadto , że w obwodzie
b}
u. i
j Dwójnik o rezystancji R
UR = Urn sin wt
(9 .41 )
w której amplituda prądu wynosi:
R�s. 9.12. Symbole graficzne elementów idealnych:
�
UR
Umsinwt
. Wt
lR = R = R = ImSlll
a>f
cJ
--�I
rp= o
U
Rys. 9.13. Dwójnik o rezystancji R: a) schemat
obwodu; b) wykres czasowy napięcia i prądu;
c) wykres wektorowy napięcia i prądu
1 69
z rezystorem idealnym napięcie i prąd są
Na rysunku 9.13b poka­
w fazie (<p
zano wykres czasowy, a na rysunku 9.13c
wykres wektorowy napięcia i prądu.
= O).
-
9 .1, 3,J Dwójnik o indukcyjności L
'-.....
Załóżmy, że przez cewkę idealną o induk­
cyjności L (rys. 9.14a) płynie prąd sinu­
soidalny:
iL = Im sin wt
(9.44)
'Y Wskutek zmienności prądu w czasie,
w cewce indukuje się siła elektromoto­
ryczna indukcji własnej , która zgodnie ze
wzorem (7 .75):
(9 .45)
Napięcie na zaciskach cewki jest równe
sile elektromotorycznej ze znakiem prze­
ciwnym, czyli:
Stąd:
I
·
Uwzględniamy w równaniu (9.47) wyra­
żenie na prąd określone równaniem
(9 .44) , czyli:
UL = L� (lm sin wt)
(9 .47)
Zależność (9 .47) określa związek między
prądem przepływającym przez cewkę
a napięciem na jej zaciskach, zgodnie
z którym napięcie jest proporcjonalne
do prędkości zmian prądu w czasie.
b)
U, i
...
Napięcie na zaciskach cewki wynosi (rów­
nanie otrzymane na podstawie wzoru 9 .48
w części ponadprogramowej):
Jednost:
simens
Po uwz
wo Oh11
Z równania (9 .49) wynika, że:
Z poró'
wynika,
napięcii
.:; = 7f ; :
\la rysll
sowy, a
:orowy •
:ze do ·
reaktaJJ
porcjo11
w przy]
aktancj
zeru, a
cyjna d.
UL = wLlm cos wt = Um cos wt =
(9 .49)
= Um sin (wt + � )
(9 .50)
a po podzieleniu obu stron równania
przez J2 otrzymamy równanie w wartoś­
ciach skutecznych:
(9.5 1)
U = wLl
Wprowadzimy oznaczenie:
cyjną lub oporem biernym indukcyjnym.
Jednostką reaktancji indukcyjnej jest om
[O]. Po uwzględnieniu wzoru (9 .52), równa­
nie (9.5 1) możemy przedstawić w postaci:
XL
Równanie (9.53) nazywamy prawem
Ohma dla wartości skutecznych cewki
idealnej .
c)
ur .
I
Rys. 9.14. Dwójnik o indukcyjności L: a) schemat obwodu; b) wykres czasowy napięcia i prądu; c) wykres
1 70
ł
(9.53)
I = !!_
b:!
wektorowy napięcia i prądu
\ odnoś
(9 .48)
(9 .52)
XL = wL = 27rfL
(9.46) Wielkość XL nazywamy reaktancją induk­
UL -- L ddth
Odwrot
wamy s
Załóżm:
_iemnośc
pięcie si
Rys. 9.15
.:> pojemno
i l schema
' 1 wykres
::.ipięcia i
: • wykres
c.apięcia i
f
Odwrotność reaktancji indukcyjnej nazy­
wamy susceptancją indukcyjną lub prze­
wodnością bierną indukcyjną, czyli:
1
1
(9.54)
=
BL =
XL wl
Jednostką susceptancji indukcyjnej jest
simens [S] .
Po uwzględnieniu zależności (9 .54) pra­
wo Ohma możemy ująć w postaci:
(9.55)
Z porównania zależności (9 .49) i (9 .44)
wynika, że w obwodzie z cewką idealną
napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy
.p
= 1f /2.
Na rysunku 9 .14b pokazano wykres cza­
sowy, a na rysunku 9.14c wykres wek­
torowy napięcia i prądu . Nawiązując jesz­
cze do wyrażenia (9.52) stwierdzamy, że
reaktancja indukcyjna jest wprost pro­
porcjonalna do częstotliwości f, a więc
w przypadku granicznym gdy f= O, re­
aktancja indukcyjna cewki jest równa
zeru, a gdy f � oo, reaktancja induk­
cyjna dąży również do nieskończoności.
-
9 .7.4. I Dwójnik o pojemności C
u e = Um sin wt
(9.56)
b.. Q = Cb.. u
(9.57)
Każdej zmianie napięcia o b.. u , towarzy­
szy zmiana ładunku na okładzinach kon­
densatora o wartość b.. Q .
Zgodnie ze wzorem (2.48), między zmia­
ną ładunku a zmianą napięcia istnieje re­
lacja:
Z kolei zmiana ładunku na okładzinach
kondensatora wiąże się z przepływem
prądu w przewodach łączących kondensa­
tor ze źródłem napięcia, przy czym:
�Q
z.e = Tt
(9.58)
z.e = c � ut
(9.59)
Prąd określony zależnością (9 .58) nazy­
wamy prądem ładowania kondensato­
ra . Jeżeli rozważylibyśmy zjawiska za­
chodzące w dielektryku kondensatora
podczas jego ładowania, to stwierdziliby­
śmy, że w dielektryku występuje prąd
przesunięcia (patrz podrozdz. 3 . 1 ) rów­
ny co do wartości prądowi ładowania.
W wyniku podstawienia zależności (9.57)
do (9.58) otrzymamy:
�
Stąd wniosek, że prąd w obwodzie z kon­
Załóżmy, że kondensator idealny o po­ densatorem jest proporcjonalny do
jemności C (rys. 9.15a) włączono na na­ , prędkości zmian (w czasie) napięcia na
pięcie sinusoidalne:
I okładzinach kondensatora.
bi
U, I
Rys. 9.15. Dwójnik
o pojemności C:
a ) schemat obwodu;
'.:>) wykres czasowy
napięcia i prądu;
;; ) wykres wektorowy
napięcia i prądu
cl
!lei_
u
www.wsip.com.pl
171
·
� W przypadku elementarnych zmian
ładunku wzór (9 .59) uzyska postać róż­
niczkową:
(9 .60)
Uwzględnimy w równaniu (9 .60) wyraże­
nie na napięcie określone równaniem
(9.56) , stąd:
(9.6 1 )
A
Prąd ładowania kondensatora można
przedstawić również w postaci (równanie
otrzymane na podstawie wzoru 9 .6 1
w części ponadprogramowej):
ie = wCUm cos wt = Im cos wt =
(
= Im sin wt + }
)
(9.62)
Z równania (9 .62) wynika, że:
(9.63)
Po podzieleniu obu stron równania (9 .63)
przez yf2 otrzymamy wartość skuteczną
prądu:
lub
I = wCU
(9.64)
I = -u1-
(9 .65)
wC
Wprowadzimy oznaczenie:
1
1
Xe =
wC = 27rfC
(9.66)
Wielkość Xe nazywamy reaktancją po­
jemnościową lub oporem biernym po­
jemnościowym.
Jednostką reaktancji pojemnościowej jest
om [S1] .
1 72
Po uwzględnieniu wzoru (9 .66) równanie
(9 .65) przyjmie postać:
u
I= -
(9 .67)
Xc
Równanie (9 .67) nazywamy prawem
Ohma dla wartości skutecznych konden­
satora idealnego. Odwrotność reaktancji
pojemnościowej nazywamy susceptancją
pojemnościową lub przewodnością bierną
pojemnościową, czyli:
Be =
1
e
X
(9.68)
= wC
Jednostką susceptancji pojemnościowej
jest simens [S] .
Po uwzględnieniu zależności (9 .68)
w równaniu (9 .64) otrzymujemy prawo
Ohma w postaci:
(9 .69)
I = BeU
Z porównania równania (9.56) z (9 .62)
wynika, że w obwodzie z kondensatorem
idealnym napięcie opóźnia się wzglę­
dem prądu o kąt fazowy r.p = -Jr /2.
Znak minus wynika stąd, że kąt r.p liczymy
jako kąt od wektora prądu do wektora na­
pięcia, a więc w rozpatrywanym przypad­
ku w kierunku przeciwnym do przyjętego
dodatniego kierunku wzrostu kątów. Na
rysunku 9.15b przedstawiono wykres
czasowy, a na rysunku 9.15c
wykres
wektorowy napięcia i prądu.
Nawiązując jeszcze do wyrażenia (9 .66)
stwierdzamy, że reaktancja pojemno­
ściowa jest odwrotnie proporcjonalna
do częstotliwości f, a więc gdy f ___, oo ,
reaktancja pojemnościowa dąży d o ze­
ra, a gdy f ___, O , reaktancja ta dąży do
nieskończoności.
Dla prądu stałego kondensator stanowi
więc przerwę w obwodzie, a przy nies­
kończenie wielkiej częstotliwości prądu stanowi zwarcie.
-
W punk
w odnie
Pierwsi
bilansu
zmienrn
dla każe
prądu z
wych p1
Wskaźn
w zale2
cych si\
(9.70) p
prądy z
zwrotu
zwróco1
kiem pl
przyjmt
Dla wę
9.16 na1
Jeśli prą
na praw
czyli dl:
nego su
dopływ:
Rys. 9.16
W
węźle I
9.8.
Prawa Kirchhoffa
w obwodach prądu
zmiennego
W punkcie 4.4.2 podano prawa Kirchhoffa
w odniesieniu do obwodów prądu stałego.
Pierwsze prawo Kirchhoffa dotyczące
bilansu prądów w węźle obwodu prądu
zmiennego brzmi następująco:
dla każdego węzła obwodu elektrycznego
prądu zmiennego suma wartości chwilo­
wych prądów jest równa zeru:
(9.70)
Wskaźnik a przyjmuje wartości 1, 2, 3 ,
w zależności od liczby gałęzi zbiegają­
cych się w węźle obwodu . Do równania
(9 .70) pod symbolem sumy podstawiamy
prądy z różnymi znakami w zależności od
zwrotu prądu względem węzła. Prądy
zwrócone do węzła przyjmujemy ze zna­
kiem plus (+), a prądy o zwrocie od węzła
przyjmujemy ze znakiem minus (-).
Dla węzła przedstawionego na rysunku
9.16 napiszemy:
„.,
I
ex
,
(9.73)
f3
Wskaźnik a przyjmuje wartości 1, 2, 3 ,
w zależności od liczby źródeł należących
do rozpatrywanego oczka, a wskaźnik (3
przyjmuje wartości 1, 2, 3 ,
w zależno­
ści od liczby elementów pasywnych wy­
stępujących w obranym oczku obwodu
elektrycznego .
„.
„.,
Jeśli prądy ze znakiem minus przeniesiemy
na prawą stronę równania, to otrzymamy:
(9.72)
czyli dla każdego węzła obwodu elektrycz­
nego suma wartości chwilowych prądów
dopływających do węzła jest równa sumie
'
L ecx = L u13
(9.7 1 )
ii + i2 + i4 = i3 + i5
I
wartości chwilowych prądów odpływają­
cych od węzła. W sformułowaniu tym jest
zawarta zasada bilansu prądów w węźle.
Drugie prawo Kirchhoffa dotyczące bi­
lansu napięć w oczku obwodu elektrycz­
nego prądu zmiennego brzmi następująco:
w dowolnym oczku obwodu elektryczne­
go prądu zmiennego suma wartości chwi­
lowych napięć źródłowych jest równa
sumie wartości chwilowych napięć na
elementach R, L, C występujących w roz­
patrywanym oczku:
Rys. 9.17. Ilustracja drugiego prawa Kirchhoffa
w oczku obwodu prądu zmiennego
Dla oczka obwodu przedstawionego na
rysunku 9.17:
ei + e2 + e3 = u1 + u2 + u3 + u4
Rys. 9.16. Ilustracja pierwszego prawa Kirchhoffa
w węźle obwodu prądu zmiennego
www.wsip.com.pl
(9 .74)
Podane prawa Kirchhoffa są słuszne dla
dowolnej zmienności napięć i prądów.
1 73
· · ··-- - - · ····-- -·-------
9 .9 .
r
Dwójnik szeregowy RL
-
-
Załóżmy, że schemat zastępczy urządze­
nia może być przedstawiony za pomocą
rezystora idealnego o rezystancji R i cewki
idealnej o indukcyjności L, połączonych
szeregowo (rys. 9.18a). Rozpatrywany
dwójnik szeregowy RL jest włączony na
napięcie sinusoidalne u, a przez elementy
obwodu płynie prąd sinusoidalny. Przyj­
miemy dla uproszczenia rozważań, że fa­
za początkowa prądu w obwodzie jest
równa zeru, czyli:
przy czym u jest napięciem źródłowym.
Oznac'
Z rozważań przeprowadzonych w punk­
cie 9.7 .2 wynika, że napięcie UR na rezy­
stancji R jest sinusoidalne
pozostaje
w fazie z prądem, czyli:
Wielkc
danej i
ka szer
Jednos1
jak rez:
W wyr
wzoru
(9.77)
UR = Rlm sin wt
Na podstawie rozważań przeprowadzo­
nych w punkcie 9.7 .3 (wzór 9 .49) stwier­
dzamy, że:
W wyniku przepływu prądu sinusoidalne­
go na poszczególnych elementach ideal­
nych powstaną napięcia, które oznaczymy
a)
przez '
napięci
(9.76)
(9.75)
i = Im sin wt
Po pod
odpowiednio: uR napięcie na rezystan­
cji R, UL napięcie na indukcyjności L.
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:
(
UL = wUm sin wt +
�)
(9.78)
W wyniku podstawienia równań (9.77)
i (9 .78) do równania (9 .76) otrzymamy:
R
Równa
Ohma
dwójni
znaczei
skorzy1
( �) =
= URm sin wt + ULm sin (wt + � ) =
u = Rlm sin wt + wUm sin wt +
= Um sin(wt + <p)
przy czym: Um amplituda napięcia wypadkowego,
cp faza początkowa napięcia wypadkowego. jedno­
cześnie kąt przesunięcia wektora napięcia względem
wektora prądu, URm amplituda napięcia na rezy­
stancji, Urm amplituda napięcia na indukcyjności.
-
b)
-
-
-
c)
d)
Rys. 9.18. Dwójnik szeregowy RL: a) schemat
obwodu; b) wykres czasowy napięć i prądu;
c) wykres wektorowy napięć i prądu (trójkąt napięć);
d) trójkąt impedancji
1 74
tg
(9 .79)
W związku z tym, że napięcia składowe ,
tzn . napięcie na rezystancji oraz napięcie
na indukcyjności, są przesunięte względem siebie o kąt 7r/2, więc na podstawie
1 wzoru (9.36) otrzymamy:
1
I
Um =
Ju'.m + u',,,.
I oraz ULm = wLim = XLim:
Stąd po uwzględnieniu, że
Um =
(9.80)
URm = Rlm
J(Rlm)2 + (XLlm)2 = JR2 + XiIm
(9.8 1 )
l
l
ł
ł
Na rys
biegi c:
stancji
kres "'
prądu c
pokaza
Zgodni
ry naz)
··, i a (w�
wszystl
obrazuj
Przypo1
du prz)
wartośc
stancji
wektor:
.::j i jest
Po podzieleniu obu stron równania (9 .8 1 )
przez y2 otrzymamy wartość skuteczną
napięcia:
U=
Oznaczymy:
JR2 + X�!
(9.82)
(9.83)
Wielkość Z nazywamy modułem impe­
dancji lub po prostu impedancją dwójni­
ka szeregowego RL.
Jednostką modułu impedancji, podobnie
jak rezystancji i reaktancji, jest om [O] .
W wyniku podstawienia wzoru (9.83) do
wzoru (9 .82) otrzymamy:
U = Zl
(9.84)
Równanie (9 .84) nazywamy prawem
Ohma dla wartości skutecznych (dla
dwójnika szeregowego RL) . W celu wy­
znaczenia kąta przesunięcia fazowego rp
skorzystamy ze wzoru (9 .37):
(9.85)
'.\la rysunku 9 .18b przedstawiono prze­
biegi czasowe prądu oraz napięć na rezy­
stancji - uR i na indukcyjności - uL. Wy­
kres wektorowy wartości skutecznych
prądu oraz napięć wykonujemy w sposób
pokazany na rysunku 9.18c.
Zgodnie z kierunkiem osi odciętych, któ­
ry nazywamy kierunkiem osi odniesie­
nia (względem tego kierunku odnosimy
wszystkie wektory) , rysujemy wektor
obrazujący wartość skuteczną prądu I.
Przypominamy, że fazę początkową prą­
du przyjęliśmy jako równą zeru. Wektor
wartości skutecznej napięcia UR na rezy­
stancji rysujemy równolegle do kierunku
wektora prądu , gdyż napięcie na rezystan­
cji jest w fazie z prądem. Prostopadle do
www.wsip.com.pl
kierunku wektora prądu rysujemy wektor
wartości skutecznej napięcia UL na induk­
cyjności. Napięcie to wyprzedza w fazie
prąd o kąt 7r /2. Napięcie UL możemy na­
rysować w ten sposób, że wektor UL za­
czepiamy w punkcie, w którym jest grot
napięcia UR. W wyniku dodania wekto­
rów UR oraz UL otrzymujemy wektor na­
pięcia wypadkowego U, którego faza po­
czątkowa rp jest jednocześnie kątem
przesunięcia fazowego wektora napięcia
na zaciskach dwójnika względem prądu
płynącego przez elementy dwójnika. Tan­
gens tego kąta określa wzór (9 .85).
Otrzymany na rysunku 9. l 8c trójkąt o bo­
kach UR, UL, U nazywamy trójkątem na­
pięć dwójnika szeregowego RL. Z prze­
prowadzonych rozważań wynika, że
dodawaniu wartości chwilowych napięć
zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa,
odpowiada dodawanie geometryczne
wektorów odwzorowujących poszcze­
gólne napięcia. Zasada ta jest ujęta anali­
tycznie w postaci zależności (9.80).
Dodawanie geometryczne napięć oraz
prądów przy przebiegach sinusoidalnych
stanowi cechę charakterystyczną obliczeń
obwodów prądu sinusoidalnego i z tego
względu tok obliczeń jest odmienny niż
przy prądzie stałym, a zakres trudności
większy.
Jeżeli następnie każdy bok trójkąta napięć
przedstawionego na rysunku 9. l 8c po­
dzielimy przez I, to otrzymamy trójkąt
prostokątny o bokach równych R, XL, Z
(rys. 9.18d) . Trójkąt ten nazywamy trój­
kątem impedancji lub trójkątem oporów.
Przyprostokątnymi trójkąta impedancji są
rezystancja R oraz reaktancja indukcyjna
XL, a przeciwprostokątną jest moduł im­
pedancji Z. "S;( trójkącie impedancji jest
zaznaczony kąt. rp.
1 75
I
'
Z zależności dla tego trójkąta wynikają
następujące relacje:
R = Zcos cp
XL = Z sin cp
X
tg 'P = .;
(9.86)
Kąt cp w dwójniku RL jest dodatni , zawar­
ty w granicach O � cp � 7f /2.
Przypadek graniczny gdy cp = O odpowia­
da XL = O; wtedy dwójnik RL sprowadza
się do dwójnika idealnego R.
il
l,
-�J
'
a)
Przypadek graniczny cp = 7f /2 odpowiada
R = O, wtedy dwójnik RL sprowadza się
do dwójnika idealnego L.
stancji, U
b)
W zwi<
u, tzn. 1
cie na 1
dem sit:
wzoru (
U, I
c)
Stąd po
I
Ucm =
Rys. 9.19. Dwójnik szeregowy RC: a) schemat
Założymy, że schemat zastępczy układu
zawiera połączone szeregowo: rezystor
idealny o rezystancji R oraz kondensator
idealny o pojemności C (rys. 9.19a). Roz­
patrywany dwójnik szeregowy R C jest
włączony na napięcie sinusoidalne u,
a przez elementy obwodu płynie prąd si­
nusoidalny i. Podobnie jak w podrozdz .
9 .9 przyjmiemy, że faza początkowa prą­
du jest równa zeru, czyli:
i = Im sin wt
(9.87)
Na poszczególnych elementach idealnych
powstaną napięcia, które oznaczymy od­
powiednio: uR napięcie na rezystancji R,
uc napięcie na pojemności C.
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:
-
-
U = UR + Uc
(9 . 88)
przy czym u jest napięciem źródłowym na zaciskach
dwójnika.
Z rozważań przeprowadzonych w punk­
cie 9 .7 .2 wynika, że napięcie uR na rezy1 76
przy czyr
p - faza I
cześnie k
wektora J
obwodu; b) wykres czasowy napięć i prądu; c) wykres
wektorowy napięć i prądu; d) trójkąt impedancji
stancji R jest sinusoidalne
w fazie z prądem, czyli:
UR =
Rlm sin wt
pozostaje
(9 .89)
Z rozważań przeprowadzonych w punkcie
9.7 .4 (wzór 9.62) wynika, że napięcie na
zaciskach kondensatora idealnego opóźnia
się w fazie względem prądu o kąt 7f /2,
a jego amplituda, zgodnie ze wzorem
(9 .63), jest iloczynem reaktancji pojemnościowej
wlC przez amplitudę prądu, zatem:
(9 .90)
W wyniku podstawienia równań (9 .89)
i (9 .90) do równania (9 .88) otrzymamy:
Rlm sin wt + w1c lm sin (wt - 1 ) =
= URm sin wt + Ucm sin (wt - 1 ) =
u=
= Um sin(wt + cp)
(9.9 1 )
Po pod;
przez \
napięci;
Oznacz
Wielko:
clancji
Analog
nostką
jest om
W wyn
(9 .94) (
Równai
(9 . 84),
wartoś1
nika sz
W celu
zowegc
;rrzy czym: Um - amplituda napięcia wypadkowego,
•·
- faza początkowa napięcia wypadkowego, jedno­
�ześnie kąt przesunięcia wektora napięcia względem
"'ektora prądu, URm - amplituda napięcia na rezy­
>tancji, Ucm - amplituda napięcia na pojemności.
W związku z tym, że składowe napięcia
u, tzn. napięcie na rezystancji oraz napię­
cie na pojemności, są przesunięte wzglę­
dem siebie o kąt 7r /2, więc na podstawie
wzoru (9 .36) otrzymamy:
(9.92)
Stąd po uwzględnieniu, że URm = Rlm oraz
1
im = Xcim. mamy:
Ucm =
wC
Um =
J(Rlm)2 + (Xclm)2 = VR2 + X�Im
(9.93)
Po podzieleniu obu stron równania (9 .93)
przez y'2 otrzymamy wartość skuteczną
napięcia:
U=
VR2 + X�I
(9.94)
Oznaczymy:
Z=
JR2 + x�
(9.95)
Wielkość Z nazywamy modułem impe­
dancji lub impedancją dwójnika RC.
Analogicznie jak w dwójniku RL, jed­
nostką modułu impedancji dwójnika RC
jest om [O] .
W wyniku podstawienia wzoru (9 .95) do
(9.94) otrzymamy:
U = Zl
(9.96)
Równanie (9.96), tak samo jak równanie
(9.84) , nazywamy prawem Ohma dla
wartości skutecznych (tutaj dla dwój­
nika szeregowego RC) .
W celu wyznaczenia kąta przesunięcia fa­
zowego cp, skorzystamy ze wzoru (9 . 35),
www.wsip.com.pl
w którym podstawimy 'lj.;1 = O, 'lj.;z =
stąd:
_
1
w C1m
-
7r
/2,
Ucm = - -- = - tg cp = - URm
Rlm
1
w CR
(9 .97)
Jak widzimy, w odróżnieniu od dwójnika
RL, w dwójniku RC kąt fazowy cp jest ujem­
ny i zawarty w granicach -7r /2 � cp � O.
Przypadek graniczny cp = O odpowiada
Xc = O.
Przypadek graniczny cp = -7r /2 odpowia­
da R = O.
Na rysunku 9 .19b przedstawiono wykres
czasowy prądu i, napięcia ur na rezystan­
cji i napięcia uc na pojemności . Wykres
wektorowy wartości skutecznych prądu
oraz napięć przedstawiono na rysunku
9.19c. Wykres ten wykonujemy tak, jak
w przypadku dwójnika RL. W rezultacie
otrzymujemy trójkąt napięć dla dwójnika
RC, a po podzieleniu każdego boku trój­
kąta napięć przez I - trójkąt impedancji
(rys. 9.19d).
I
Z zależności dla trójkąta prostokątnego
wynikają następujące relacje:
R = Zcos cp
Xe = -Z sin cp
tg cp =
9.11 .
(9.98)
Xe
-R
Dwójnik
szeregowy RLC
W schemacie zastępczym różnych ukła­
dów elektrycznych najczęściej występują
wszystkie trzy elementy pasywne W tym
rozdziale zajmiemy się dwójnikiem RLC,
którego elementy są połączone szeregowo
(rys. 9.20a) .
1 77
I
al
Rlm sin wt
UL = wLim sin (wt + 1 )
uc = w1c lm sin (wt - 1 ) =
= w1c lm sin (wt + 1 )
Po po
UR =
bl
R
U= ZI
cl
(9. 1 05)
(9. 10 1 )
Oznac2
a napięcie wypadkowe:
u=
Um sin(wt + cp)
dl
I
Rys. 9.20. Dwójnik szeregowy RLC: a) schemat
obwodu; b) wykres wektorowy dla XL > Xe ;
c) wykres wektorowy dla XL < Xe;
d) wykres wektorowy dla XL = Xe
Do zacisków dwójnika dołączono źródło
napięcia sinusoidalnego u, a przez ele­
menty przepływa prąd sinusoidalny:
i = Im sinwt
(9.102)
Tak jak w poprzednich przypadkach wy­
znaczymy tu amplitudę m , wartość sku­
teczną oraz fazę początkową cp napięcia
wypadkowego. Wobec założenia fazy po­
czątkowej prądu równej zeru, faza po­
czątkowa napięcia wypadkowego jest jed­
nocześnie kątem fazowym dwójnika
RLC, tzn. kątem przesunięcia fazowego
wektora napięcia względem wektora prą­
du. Podstawimy zależności (9. 1 0 1 ) do
równania (9.100) i po uwzględnieniu wzo­
ru (9. 102) otrzymamy:
U
U
(9.99)
przy czym, tak samo jak w poprzednich
przypadkach, przyjęto fazę początkową
prądu równą zeru. Na poszczególnych
elementach idealnych powstaną napięcia
uR , uL, uc. Na podstawie drugiego prawa
Kirchhoffa:
Um sin(wt + cp) =
= Rlm sin wt + wLim sin (wt + 1 ) +
-w1-I
C m sin (wt + 2 )
u=
:!I.
czyli:
Um sin(wt + cp) = URm sin wt +
+ (ULm - Ucm) sin (wt + 1 )
(9.103)
Na podstawie wzoru (9.36) możemy zapi­
sać amplitudę napięcia:
Um = Ju�m + ( ULm - Ucm)2 (9.104)
Stąd po uwzględnieniu, że URm = Rlm,
(9. 100) ULm = Xdm . Ucm = Xclm. otrzymamy:
Zgodnie z rozważaniami przeprowadzo­ Um = V(Rlm)2 + (XLim - Xclm)2 =
nymi w podrozdz. 9.9 i 9 . 10 napięcia na
elementach są następujące:
1 78
l
skutec2
(9.105)
Z=
Wielko
dancji
wego Ii
nazywE
uwzglę
ności (
dla WaJ
szereg<
Reaktar
w zależ
• dodat
• ujem
• równ:
Zgodni'
tg cp
zatem j
X>O
X< OX= O ·
W dwć
wypad�
'
Po podzieleniu obu stron równania
(9 . 105) przez J2 otrzymamy wartość
skuteczną napięcia:
(9.106)
Oznaczymy:
I
Z=
JR2 + (XL - Xe)2 = VR2 +X2
(9.107)
Wielkość Z nazywamy modułem impe­
dancji lub impedancją dwójnika szerego­
wego
a wielkość:
RLC,
(9. 1 08)
RLC.
nazywamy reaktancją dwójnika
Po
uwzględnieniu w równaniu (9.106) zależ­
ności (9. 107) otrzymamy prawo Ohma
dla wartości skutecznych (dla dwójnika
szeregowego RLC):
U = Zl
(9.109)
Zgodnie ze wzorem (9.37):
ULm - Ucm - XLlm - Xclm _
uRm
Rfm
XL Xe X
=
=
R
R
(9. 1 1 0)
zatem jeśli:
X > O kąt fazowy <p jest dodatni, ob­
wód ma charakter indukcyjny;
X < O - kąt fazowy <p jest ujemny, obwód
ma charakter pojemnościowy;
X = O kąt fazowy <p jest równy zeru,
obwód ma charakter rezystan­
cyjny.
W dwójniku szeregowym
napięcie
wypadkowe może wyprzedzać prąd, może
tg <p =
_
Dwójnik
równoległy RLC
9.1 2.
Na rysunku 9.21a przedstawiono dwójnik
złożony z trzech elementów idealnych
i połączonych równolegle. Do dwójnika
doprowadzono napięcie sinusoidalne:
R, L
RLC C,
Reaktancja X dwójnika szeregowego
w zależności od wartości
może być:
• dodatnia, jeśli XL > Xe;
• ujemna, jeśli XL < Xe;
• równa zeru, jeśli XL = Xe.
L, C, w,
się opóźniać w fazie względem prądu
i może pozostawać w fazie z prądem. Na
rysunkach 9.20b, c , d przedstawiono wy­
kresy wektorowe prądu oraz napięć , odpo­
wiadające trzem wymienionym przypad­
kom. W pierwszych dwóch przypadkach
otrzymujemy trójkąty napięć. W przy­
padku trzecim napięcie na indukcyjności
jest równe napięciu na pojemności, napię­
cia te są równe co do wartości i pozostają
w przeciwfazie, tzn. są przesunięte wzglę­
dem siebie o kąt 7r. Przypadek ten odpo­
wiada powstaniu w obwodzie zjawiska re­
zonansu napięć . Zjawisko to będzie
omówione w podrozdz. 1 1 .2.
-
-
-
RLC
www.wsip.com.pl
u = Urn sin
wt
(9.1 1 1)
o fazie początkowej równej zeru.
Przez poszczególne elementy idealne pły­
ną prądy sinusoidalne, które oznaczymy
odpowiednio przez iR , iL, ie. Zgodnie
z pierwszym prawem Kirchhoffa:
(9. 1 1 2)
Jak wynika z rozważań przeprowadzo­
nych wcześniej , prądy płynące w posz­
czególnych elementach są następujące:
iR = GUm sin
1
.
wt
.
lL = wL um sm
=
ie =
-
(wt 7r ) =
-
2
�L Um sin (wt + 1 )
(9 . 1 1 3)
wCUm sin (wt+ 1 )
1 79
al
bi
11 =
I=
czyli:
B1U I
lc= BcfJ
YU
Zgodn
wiążą<
Im sin(wt + '!/J) =
( 1)
= IRm sin wt + (Iem - hm) sin wt +
(9 . 1 15)
u
przy czym: lRm = GUm - amplituda prądu w gałęzi
z rezystancją, Iem = w CUm = Be Um amplituda prą-
I
1.
-
dl
cl
du w gałęzi z pojemnością, Irm = _!_ Urn = BLUm -
I
U <p =O
Ic BcfJ
=
wL
I1 = B1U
I = lR = GU
fi
el
amplituda prądu w gałęzi z indukcyjnością.
Na podstawie wzoru (9.36) możemy zapi­
sać amplitudę prądu:
Im =
G
� B<O
Rys. 9.21. Dwójnik równoległy RLC: a) schemat
obwodu; b) wykres wektorowy dla Be > BL;
c) wykres wektorowy dla Be < BL; d) wykres
wektorowy dla Be = BL ; e) trójkąt admitancji
dla Be > BL; t) trójkąt admitancji dla Be < BL
(9 .1 14)
Wyznaczymy amplitudę Im . wartość sku­
teczną I oraz fazę początkową 'ljJ prądu
wypadkowego . W związku z tym, że zało­
żyliśmy fazę początkową napięcia równą
zeru, dlatego faza początkowa prądu wy­
padkowego jest kątem przesunięcia fazo­
wego wektora prądu względem wektora
napięcia.
Podstawimy zależności (9 . 1 1 3 ) do równa­
nia (9 . 1 1 2) i po uwzględnieniu równania
(9 . 1 14) otrzymamy:
i = Im sin(wt + 'ljJ) =
(
)
= GUm sin wt + wCUm sin wt + � +
- :L Um sin (wt + � )
1 80
(9 . 1 1 6)
W
Im =
tg r.p =
=
Jccum)2 + (BcUm - Bi Um)2 =
(9 . 1 17)
Po podzieleniu obu stron równania (9 . 1 1 7)
przez j2 otrzymamy wartość skuteczną
prądu:
I=
JG2 + (Be - Bi)2 U
(9. 1 1 8)
fOZJ
prze su
wekto
dwójn
liczon
nap1ęc
r.p = -
czyli:
a prąd wypadkowy:
i = Im sin(wt + 'l/J)
JI;m + (Iem - hm)2
Kąt 'l/J
Susce1
RLC,
moze
• dod1
ujen
• rów1
•
Ze wz
B>O
Oznaczymy:
Y=
JG2 + (Bc - BL)2 = -/G2 + B2
(9 . 1 1 9)
Wielkość Y nazywamy modułem admi­
tancji lub po prostu admitancją dwójnika
równoległego RLC, a wielkość:
(9 . 1 20)
nazywamy susceptancją tego dwójnika.
Po uwzględnieniu w równaniu (9 . 1 1 8) za­
leżności (9. 1 19), otrzymamy dla dwójni­
ka równoległego RLC prawo Ohma
w postaci admitancyjnej :
I = YU
(9. 1 2 1 )
B<O
B=O
w
d�
w dw
wyprz
dem p
Na ry:
wykre
dów, c
przyp:
padka
W prz
dukcyjnością jest równy prądowi w gałę­
zi z pojemnością, prądy te są równe co do
wartości i pozostają w przeciwfazie, tzn.
są przesunięte względem siebie o kąt 7r .
Przypadek ten odpowiada powstaniu
w obwodzie zjawiska rezonansu prądów.
Zjawisko to będzie omówione w pod­
rozdz. 1 1 .3 . Podobnie jak z trójkąta na­
pięć , w wyniku podzielenia jego boków
przez I otrzymaliśmy trójkąt impedancji,
tak i tu z trójkąta prądów, w wyniku po­
dzielenia jego boków przez U, otrzymuje­
my trójkąt admitancji.
Na rysunkach. 9.21e, f przedstawiono trój­
kąty admitancji odpowiadające trójkątom
prądów odpowiednio z rysunków 9 .21b, c.
Z zależności trygonometrycznych dla trój­
kątów prostokątnych wynika, że:
Zgodnie ze wzorem (9.37) , który jest
wiążący również dla prądów:
tg 'l/J =
Iem - hm
fRm
Kąt 'I/; jest fazą początkową prądu, czyli
w rozpatrywabym przypadku jest to kąt
przesunięcia , wektora prądu względem
wektora napięcia. Stąd kąt fazowy <p
dwójnika równoległego RLC Uako kąt
liczony od wektora prądu do wektora
napięcia) ma znak przeciwny. Wobec tego
<p = -'lj;, a więc:
(9 .1 22)
Susceptancja B dwójnika równoległego
RLC, w zależności od wartości L, C, w,
może być:
• dodatnia, jeśli Be > BL ;
• ujemna, jeśli Be < BL;
• równa zeru, jeśli Be = BL.
G = Ycos <p
B = -Ysin r.p
B
tg =
r.p
Ze wzoru (9. 1 22) wynika, że jeśli:
B > O kąt fazowy <p jest ujemny, obwód
ma charakter pojemnościowy;
B < O kąt fazowy <p jest dodatni, ob­
wód ma charakter indukcyjny;
kąt fazowy r.p jest równy zeru,
B =O
obwód ma charakter rezystan­
cyjny.
-G
9.1 3 .
Obliczanie obwodów
prądu sinusoidalnego
metodą liczb
zespolonych
9. 13.1.
Metoda liczb
zespolonych
-
-
-
(9 . 1 23)
ł
W dwójniku równoległym RLC, tak jak ' Podczas analizowania obwodów prądu si­
w dwóiniku sreregov-rym, na\)ięcie moż.e , nusoidalnego olaes\i\ism'j 'Z.wią'Z.ek. z.acb.o­
wyprzedzać prąd, może się opóźniać wzglę- dzący między przebiegiem sinusoidalnym
a wektorem wirującym z prędkością ką­
dem prądu i może być w fazie z prądem.
Na rysunkach 9.2lb, c, d przedstawiono tową w przeciwnie do kierunku ruchu
wykresy wektorowe napięcia oraz prą- wskazówek zegara. Wspomnieliśmy, że
dów, odpowiadające trzem wymienionym i wykresy wektorowe są znacznie bardziej
przypadkom. W pierwszych dwóch przy- przejrzyste od wykresów czasowych i że
padkach otrzymujemy trójkąty prądów . działania algebraiczne na wektorach są
W przypadku trzecim prąd w gałęzi z in- dogodniejsze niż działania na wartościach
1
www.wsip.com.pl
181
_j
I .
chwilowych. Wykorzystamy obecnie wza­
jemną jednoznaczność wektora wodzące­
go , punktu na płaszczyźnie liczbowej
i liczby zespolonej , za pomocą której spo­
rządzimy zapis matematyczny wektora
wodzącego. Inaczej mówiąc: działania na
we�torach obrazujących poszczególne
prz;ebiegi sinusoidalne, przeprowadzamy
w postaci działań na liczbach zespolonych,
za pomocą których wektory te zapisujemy.
Metodę obliczeniową polegającą na za­
stosowaniu rachunku liczb zespolonych
do obwodów elektrycznych prądu sinuso­
idalnego nazywamy metodą liczb zespo­
lonych lub metodą symboliczną.
Jak wiadomo, każdą liczbę rzeczywistą
a można przedstawić graficznie. W tym
celu określimy prostą, na której obieramy
punkt odniesienia O. Następnie przyjmu­
jemy na tej prostej pewien odcinek jed­
nostkowy. Na otrzymanej w ten sposób
osi liczbowej odmierzamy w prawo od
punktu O odcinek a razy dłuższy od jedy
B
b
---------
r
<P
a
f1
I
I
I
I
I
A
X
Rys. 9.22. Położenie wektora na płaszczyźnie licz­
bowej
nostkowego . Punkt końcowy tego odcin­
ka jest obrazem liczby rzeczywistej do­
a można
datniej a. Liczbie ujemnej
przyporządkować odcinek o tej samej
długości, lecz odmierzony w lewo od
punktu O. Przyjmiemy teraz układ osi
współrzędnych prostokątnych (rys. 9.22)
-
i narysujemy wektor oM położony na
płaszczyźnie. Wektor ten charakteryzują
dwa rzuty: rzut a na oś Ox i rzut b na oś Oy.
1 82
Każdemu punktowi M na rozpatrywa­
nej płaszczyźnie odpowiada dokładnie
jeden wektor wodzący oM.
Wektorowi jednostkowemu o długości 1
położonemu na osi Ox odpowiada liczba
rzeczywista 1 . Natomiast wektorowi o dłu­
gości 1 położonemu na osi Oy przypo­
rządkujemy liczbę j , którą nazwiemy jed­
nostką urojoną2l.
Obrazem geometrycznym wektora o dłu­
gości a jest punkt A leżący na osi Ox od­
dalony o a w prawo od początku układu
współrzędnych. Obrazem geometrycz­
nym wektora o długości jb jest punkt B
leżący na osi Oy, oddalony o b w górę od
początku układu współrzędnych. Wektor
.,.----t
OM płaszczyzny można przedstawić jako
sumę dwóch wektorów M i oB . Wektoro.,.----t
wi OM można jednoznacznie przyporządkować liczbę zespoloną w postaci:
� = a + jb
1. w
wzc
czę:
2. W J
któ1
met
gar:
3. W J
Z zale2
kają w
dzenie
(9. 1 24)
Liczby rzeczywiste a i b są równe rzutom
rozpatrywanego wektora na osie współ­
rzędnych, przy czym a nazywamy częścią
rzeczywistą liczby zespolonej , b - częś­
cią urojoną liczby zespolonej . Długość
OM nazywamy modułem lub wartością
bezwzględną liczby zespolonej , kąt cp,
pod którym wektor wodzący jest nachylo­
ny względem osi Ox, nazywamy argu­
mentem liczby zespolonej . Oś Ox nazy­
wamy osią rzeczywistą , a oś Oy - osią
urojoną płaszczyzny liczbowej , którą bę­
dziemy nazywać płaszczyzną liczb zes­
polonych. Oś rzeczywistą oznacza się Re
(fr. reel - rzeczywisty) , a oś urojoną - Im
(fr. imaginaire - urojony).
2J Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi kwa­
dratowemu z liczby - 1 , czyli j = J=l.
Liczba
tor wo<
dym pu
!onej , v
części t
Liczbę
w trzec
Dwie l
żonyrr
gumen
mają f
że sir
zatem
nej lic
z nią s
równe
kiem.
dem c
oznac'
strony
Liczba zespolona i odpowiadający jej wek­
tor wodzący mogą znajdować się w każ­
dym punkcie płaszczyzny zmiennej zespo­
lonej , w zależności od wartości oraz znaku
części rzeczywistej i części urojonej .
Liczbę . zespoloną można przedstawić
w trze'fl równoważnych postaciach:
1 . W postaci algebraicznej określonej
wzqrem (9. 124), którą charakteryzują
część rzeczywista i część urojona
2. W postaci wykładniczej :
a
b.
(9 . 1 25)
którą charakteryzują moduł r i argu­
ment cp, przy czym e jest podstawą lo­
garytmu naturalnego3l .
3. W postaci trygonometrycznej :
� = r(cos cp
+ j sincp)
(9 . 1 26)
Z zależności dla trójkąta (rys. 9.22) wyni­
a + jb = rejrp
l = a - jb = re-jrp
(9.128)
Interpretację geometryczną liczby zespo­
lonej i liczby z nią sprzężonej przedsta­
wiono na rysunku 9 .23.
Im
b
o
-b
r
' <p > o a
) fi' < o
f1(a, bi
Re
r
W(a, -b}
Rys. 9.23. Interpretacja geometryczna liczby zespo­
lonej i liczby zespolonej sprzężonej
Ja2 + b2
eirp = cos cp + j sin cp
(9. 1 27b)
cp = arctg -
(9 . 1 27c)
a = r cos cp
(9.127d)
Liczbę zespoloną ei'P, tzn. liczbę zespolo­
ną o module równym jedności, nazywa­
my operatorem obrotu . Położenie tej
liczby zespolonej na płaszczyźnie zależy
od kąta cp. W wyniku pomnożenia liczby
zespolonej przez operator obrotu, uzysku­
jemy obrót danej liczby zespolonej o kąt
wynikający z argumentu cp. Z równania
(9 . 1 27b) wynika, że jeśli:
(9. 1 27e)
cp = O, to ei0 = 1 ;
kają wzory, które pozwalają na przecho­
dzenie z jednej postaci do drugiej :
r=
b
a
b = r sin cp
(9 . 127a)
Dwie liczby zespolone nazywamy sprzę­ cp = � · to e H = j ;
żonymi , jeżeli ich moduły są równe, a ar­
cp = n, to ei7f = - 1 ;
gumenty są równe co do wartości, lecz
2
mają przeciwne znaki. W związku z tym, cp = 2n, to ei 7f = l .
że sin(-cp) = - sin cp , cos(-cp) = cos cp , Z przeprowadzonych rozważań wynika
zatem przy zapisie w postaci algebraicz­ jeszcze następujący wniosek:
nej liczby zespolonej i liczby zespolonej dwie liczby zespolone wyrażone w po­
z nią sprzężonej ich części rzeczywiste są staci algebraicznej są sobie równe, jeśli
równe, a części urojone różnią się zna­ równe są ich części rzeczywiste i równe
kiem. Liczbę zespoloną sprzężoną wzglę­ są ich części urojone, lub dwie liczby
dem danej liczby zespolonej będziemy
oznaczać za pomocą gwiazdki z prawej
3l ln - logarytm naturalny, czyli logarytm, którego
strony, a więc:
, podstawą jest liczba e = 2,7 1 828 .
.„
www.wsip.com.pl
'
g-; =
1 83
io
i '
zespolone wyrażone w postaci trygono­
metrycznej są sobie równe, jeśli równe
są ich moduły i argumenty.
Mnożenie liczb zespolonych wyrażonych
w postaci wykładniczej wykonujemy na­
stępująco:
Załóżmy, że dane są dwie liczby zespolo­
ne: & 1 = a1 + jb1 oraz &2 = a1 + jb2 .
Suma dwóch liczb zespolonych & 1 i &2
jest liczbą zespoloną &3 , której część
rzeczywista jest równa sumie części
rzeczywistych liczb & 1 i &2 , a część uro­
jona równa się sumie ich części urojo­
nych, czyli:
&3 = (a1 + a1) + j(b1 + b2)
(9 . 1 29)
Różnica dwóch liczb zespolonych &1 i &2
jest liczbą zespoloną &4' której część
czyli moduł iloczynu dwóch liczb zespo­
lonych jest równy iloczynowi modułów
poszczególnych liczb zespolonych, a ar­
gument jest sumą argumentów posz­
czególnych liczb zespolonych .
W szczególnym przypadku, w wyniku
mnożenia liczby zespolonej & i liczby ze­
spolonej z nią sprzężonej l otrzymamy
liczbę rzeczywistą, czyli:
rzeczywista jest równa różnicy części
rzeczywistych liczb & 1 i &2 , a część uro­
jona równa się różnicy ich części urojo­
nych , czyli:
&4 = (a1 - a1) + j(b1 - b2)
lub
2
2
�· = (a + jb)(a - jb) = a + b
(9 .1 35)
(9 . 1 30)
(9 . 1 36)
Suma liczby zespolonej i liczby zespolo­
nej z nią sprzężonej jest liczbą rzeczywi­
stą, gdyż:
W celu wyznaczenia ilorazu dwóch liczb
zespolonych wyrażonych w postaci alge­
braicznej wykonujemy działanie eliminu­
jące liczbę zespoloną w mianowniku.
Licznik i mianownik ilorazu dwóch liczb
zespolonych & 1 i &2 mnożymy przez liczbę
zespoloną sprzężoną z liczbą &2 , czyli:
& + l = a + jb + a - jb = 2a
(9 . 1 3 1 )
Działaniu dodawania i odejmowania liczb
zespolonych odpowiada na wykresie do­
dawanie i odejmowanie wektorów na za­
sadzie równoległoboku. Mnożenie liczb
zespolonych wyrażonych w postaci alge­
braicznej wykonujemy tak, jak mnożenie
dwumianów w zwykłej algebrze:
z = Z1Z2 = (a1 + 1'b1 )(a2 + 1'b2) =
- -(9 1 32)
= (a1a2 - b1b2) + j(a1b2 + b1a2)
·
9. 13.2.
• Zasa
zesp(
Z rozw
9.13.1 .
płaszcz:
da liczb
pienia c
cych pr
liczbacl
śmy, w
wykom
nych ty1
czenia ;
spolon)
wartośc
Napięc
spolom
tecznyr
mi skt
skutec:z
różnian
Gdy liczby zespolone &1 i &2 są wyrażone
w postaci wykładniczej , wówczas obli­
czenie ilorazu tych liczb jest łatwiejsze:
gdyż j 2 = - 1 .
Mnożenie liczb zespolonych jest prze­
mienne:
(9. 1 33)
1 84
(9. 1 37)
rów1
dwóch
zespole
razowi
argum
Z
& = � = r1 eJ'P I = :2.eiC'P1 rpz )
Z2
r2 el'P2
r1
-
(9 . 138)
Rys. 9.2'
dzenia o<
sinusoid�
zespolon
Z równania (9. 138) wynika, że iloraz
dwóch liczb zespolonych jest liczbą
zespoloną, której moduł jest równy ilo­
razowi r1 i r1, a argument jest różnicą
argumentów <p1 i <p2 .
literowego odpowiedniej wielkości,
a więc w ogólnym przypadku:
9.13.2. Zastosowanie metody
Posługując się napięciami na rezystancji R,
indukcyjności L, pojemności C, wartości
skuteczne zespolone napięć oznaczamy
odpowiednio przez !l_R , Uv Uc . Stosujemy
liczb zespolonych
do obliczania obwodów
z elementami R, L, C
• Zasada znakowania w metodzie liczb
zespolonych
Z rozważań przeprowadzonych w punkcie
9 .13 .1 wynika, że każdemu wektorowi na
płaszczyźnie zmiennej zespolonej odpowia­
da liczba zespolona. Daje to możność zastą­
pienia działań na wektorach odwzorowują­
cych przebiegi sinusoidalne, działaniami na
liczbach zespolonych. Jak już wspominali­
śmy, wykresy wektorowe napięć i prądów
wykonujemy z reguły dla wartości skutecz­
nych tych wielkości. W związku z tym obli­
czenia z zastosowaniem rachunku liczb ze­
spolonych przeprowadzamy również dla
wartości skutecznych.
Napięcia i prądy wyrażone w postaci ze­
spolonej , odpowiadające wartościom sku­
tecznym, będziemy nazywali wartościa­
mi skutecznymi zespolonymi . Wartość
skuteczną zespoloną napięcia i prądu wy­
różniamy przez podkreślenie oznaczenia
Il_ - wartość skuteczna zespolona
napięcia,
l - wartość skuteczna zespolona prądu .
też termin amplituda zespolona napięcia,
którą oznaczamy !lm oraz amplituda ze­
spolona prądu lm . Również impedancje
i admitancje zespolone będziemy wyróż­
niać przez podkreślenie, czyli
Z
-
impedancja zespolona,
X - admitancja zespolona.
W literaturze z dziedziny elektrotechniki
są stosowane również inne zasady znako­
wania wielkości zespolonych. Napięcia,
prądy, impedancje i admitancje zespolone
wyrażamy w postaci algebraicznej lub
wykładniczej . Postać trygonometryczna
jest stosowana rzadko, raczej jako postać
pośrednia przy przechodzeniu od postaci
wykładniczej do algebraicznej .
Wyjaśnimy jeszcze, w jaki sposób prze­
chodzimy od wartości chwilowej przebie­
gu sinusoidalnego do wartości skutecznej
zespolonej (rys. 9.24) .
Niech dane będzie napięcie sinusoidalne
o fazie początkowej 'ljJ nie równej zeru, czy­
li u = Um sin(wt + 'ljJ) . Przyjmiemy kon­
kretne parametry tego przebiegu. Załóżmy,
Im
Rys. 9.24. Ilustracja sposobu przecho­
u
mt
dzenia od wartości chwilowej napięcia
sinusoidalnego do wartości skutecznej
zespolonej napięcia
www.wsip.com.pl
1 85
że Urn = 325 V, w = 3 14 rad/s , 'ljJ =
(
czyli u = 325 sin 3 14t +
� rad, (9 .10 1), z których wynika, że napięcie na
rezystancji jest w fazie z prądem, napięcie
� ) . Przebiegowi na indukcyjności wyprzedza prąd o kąt
sinusoidalnemu odpowiada obracający się
z daną prędkością kątową w = 3 14 rad/s
wektor o module Urn = 325 V, nachylony
w chwili t = O względem osi odniesienia
pod kątem 'ljJ =
rad. Jeśli wektor ten
�
umieścimy na płaszczyźnie zmiennej ze­
spolonej, to możemy go zapisać w postaci
zespolonej:
Il,,, = Urnd,p = 325d �
Po podzieleniu modułu amplitudy przez
J2 przejdziemy od amplitudy zespolonej
do wartości skutecznej zespolonej :
Q = 230d �
Chcąc przedstawić wartość skuteczną ze­
spoloną w postaci algebraicznej , skorzy­
stamy ze wzoru (9.127b):
(
= 230 ( f + j D = (200 + j l 15)
U = 230 cos � + j sin � ) =
V
Część rzeczywista napięcia wynosząca
200 V jest rzutem na oś rzeczywistą, a część
urojona 1 15 V rzutem na oś urojoną.
7r /2, a napięcie na pojemności opóźnia się
względem prądu o kąt 7r /2.
Napięcia w postaci zespolonej zapiszemy
zatem następująco:
:o: z
w oma<
rzony v
QR = R[
rz_-L = wL[eiI = jwLl = jXL[
(9. 1 39)
__1 /e-H = -j -w-1e-/ = -J"Xc-l
Uc = we-
Napięcie Q na zaciskach dwójnika jest su­
mą geometryczną napięć na poszczegól­
nych elementach, zatem:
(9.140)
Równanie (9 .140) wyraża drugie prawo
Kirchhoffa w postaci zespolonej :
suma wektorów wartości skutecznych napięć
źródłowych występujących w oczku równa
się sumie wektorów wartości skutecznych
napięć na wszystkich elementach oczka.
Po podstawieniu zależności (9.1 39) do
(9.140) otrzymamy:
U = R[ + jXL[ - jXcl = [R + j(XL - Xe)][
(9. 14 1 )
Wzór
(9 .107)
W wyn
do (9. 1
nazyw:
skutec'
Odwro
warny
wodno
my zal
z
Y = _!_ :
-
= R1
R
= t2
Wyrażenie w nawiasie kwadratowym ozna­
czymy:
w której
• Dwójnik szeregowy RLC
Z = [R + j (XL - Xe)] = R + jX
Wszystkie napięcia i prądy występujące
w dwójniku wyrazimy w postaci zespolo­
nej . Ustalimy zależności między tymi
wielkościami i wykonamy wykresy wek­
torowe na płaszczyźnie zmiennej zespolo­
nej . Podobnie jak w podrozdz. 9 . 1 1 ,
przyjmiemy tu fazę początkową prądu
równą zeru. Napięcia na poszczególnych
elementach wyrazimy w postaci zespolo­
nej , przy czym skorzystamy z zależności
i nazwiemy impedancją zespoloną lub
oporem pozornym zespolonym dwójnika
szeregowego RLC. Część rzeczywistą im­
pedancji, czyli R, nazywamy rezystan­
cją , a część urojoną, czyli X, nazywamy
reaktancją dwójnika.
Jeśli wyrazimy impedancję zespoloną
w postaci wykładniczej :
Modul
lony w
-
1 86
Z = Zd'P
(9 . 142)
(9 .143)
suscepti
Możm
w post
limy a
ność i
wzore1
to: Z - moduł impedancji mierzony
w omach, 'P - argument impedancji mie­
rzony w radianach, przy czym:
Z = yfR2 + X2
(9 .144)
1
wL - wC
X
tg = =
'{J R
R
(9 .145)
R = Zcos 'P
X = Z sin 'P
(9.146)
Wzór (9.144) jest zbieżny ze wzorem
(9 .107), a wzór (9.145) ze wzorem (9 .1 10).
W wyniku podstawienia wyrażenia (9 . 142)
do (9 .141) otrzymamy równanie:
Moduł admitancji jest zatem równy
odwrotności modułu impedancji, a jej
argument jest równy argumentowi im­
pedancji zespolonej ze znakiem prze­
ciwnym.
Ponadto ze wzoru (9 .148) wynika, że za­
równo konduktancja, jak i susceptancja
dwójnika szeregowego RLC zależy od
wszystkich parametrów obwodu oraz od
częstotliwości.
Jeżeli do równania (9 .147) podstawimy
1
X = Z ' to otrzymamy prawo Ohma w postaci admitancyjnej :
nazywane prawem Ohma dla wartości
skutecznych zespolonych .
Odwrotność impedancji zespolonej nazy­
wamy admitancją zespoloną lub prze­
wodnością pozorną zespoloną i określa­
my zależnością:
(9 . 1 5 1 )
l = XU
(9.147)
a)
Im
Jl= lJ..
y - .! - l
R - jX
- - � - R + jX - (R + jX)(R - jX) =
_
_
R + . -X =
Rz + x2 J R2 + X2
.
= R + J -X
=
.B
zi
z2 G + J
w której: G =
(9.148)
� konduktancja, B = �
-
susceptancja.
flR = Rl Re
_
=
-
b)
Im
(9.149)
Można admitancję zespoloną wyrazie
w postaci wykładniczej. W tym celu okreś­
limy admitancję zespoloną jako odwrot­
ność impedancji zespolonej wyrażonej
wzorem (9 .143), stąd:
1
!li =JXil
-
o
Moduł admitancji zespolonej jest okreś­
lony wzorem:
Y = JG2 + B2
. = .! e-jcp = Ye jcp
Y = .!z = z
ZeJ'P
-
(9.1 50)
www.wsip.com.pl
!li =;Xi[
!le = -JXcl
Re
Jl = lJ..
c)
Im
O
l
p = O Re
Rys. 9.25. Wykresy wektorowe na płaszczyźnie
zmiennej zespolonej dwójnika szeregowego RLC:
a) dla XL > Xe; b) dla XL < Xe; c) dla XL = Xe
187
Dla dwójnika szeregowego RLC wykona­
my wykres wektorowy prądu i napięć ,
przy czym wszystkie wielkości wyrazimy
w postaci zespolonej . W związku z tym,
że przyjęliśmy fazę początkową prądu za
równą zeru, zatem wektor prądu umieści­
my na osi odniesienia, czyli zgodnie
z kierunkiem osi rzeczywistej Re. Z za­
leżności (9 . 1 39) wynika, że wektor napię­
cia Il.R na rezystancji ma kierunek zgodny
z kierunkiem prądu, wektor napięcia Il.L
wyprzedza prąd o kąt fazowy n /2, a wek­
tor napięcia Ue opóźnia się w fazie
względem wektora prądu o kąt n /2. Jak
już wiemy, jeśli XL > Xe, to UL > Ue, je­
śli XL < Xe , to UL < Ue, a jeśli XL = Xe ,
to moduły napięć są sobie równe, czyli
UL = Ue. Wykresy wektorowe odpowia­
dające trzem wymienionym przypadkom
przedstawiono na rysunku 9.25. Wykresy
te są identyczne z wykresami wektorowy­
mi na rysunku 9.20, z tym jednak, że wek­
tory na tym rysunku leżą na płaszczyźnie
rzeczywistej , a na rysunku 9 .25 - na
płaszczyźnie zmiennej zespolonej .
• Dwójnik równoległy RLC
Rozpatrzymy obecnie dwójnik zawierają­
cy elementy R, L, C w połączeniu równo­
ległym. Dwójnik ten omówiono w pod­
rozdz. 9 . 1 2 bez zastosowania rachunku
liczb zespolonych. Przyjmiemy fazę po­
czątkową napięcia źródłowego równą ze­
ru. Prądy płynące przez poszczególne ele­
menty wyrazimy w postaci zespolonej ,
przy czym skorzystamy z zależności
(9. 1 13 ) , z których wynika, że prąd płyną­
cy przez idealną gałąź rezystancyjną jest
w fazie z napięciem, prąd płynący przez
idealną gałąź indukcyjną opóźnia się
względem napięcia o kąt fazowy 7r /2,
a prąd płynący przez idealną gałąź pojem1 88
nościową wyprzedza napięcie o kąt fazo­
wy n /2. Zatem prądy w postaci zespolo­
nej zapiszemy następująco:
a)
:m
lR = GU
1
1
U = -J'BLU
ue-g = -J·
IL =
wL wL -
�
le = wCIJ.� = jwCIJ. = jBeil.
o
(9. 1 52)
Prąd l dopływający do dwójnika, tzn .
prąd w gałęzi głównej , jest sumą geome­
tryczną prądów płynących przez poszcze­
gólne gałęzie, zatem:
l = fa + fr + le
(9 . 1 53)
Równanie (9. 1 53) wyraża pierwsze pra­
wo Kirchhoffa w postaci zespolonej :
suma wektorów wartości skutecznych
prądów dopływających do węzła równa
się sumie wektorów wartości skutecznych
prądów odpływających od węzła.
Po podstawieniu zależności (9.152) do
(9.153) otrzymamy:
l = GIJ. + jBeIJ. - jBLIJ. =
(9 . 1 54)
= [G + j(Be - BL)]IJ.
Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest
admitancją zespoloną dwójnika równole­
głego RLC:
X = G + j (Be - BL) = G + jB
1
'
przy czym: Bc = wC , BL = wL G =
1
R
(9 . 1 55)
'
W wyniku podstawienia wyrażenia
(9. 1 55) do (9 . 154) , otrzymamy dla dwój­
nika równoległego RLC prawo Ohma
w postaci admitancyjnej , czyli:
l = XI!.
(9 . 156)
Wykonamy wykresy wektorowe napięcia
i prądów, przy czym wszystkie wielkości
wyrazimy w postaci zespolonej i podob­
nie jak w podrozdz. 9 . 1 2, rozpatrzymy
Rys. 4
zmier
a) dla
trzy
Be <
niku
sami
one
ku <
zmit:
• Sc
rz,
Stwi
wist:
go ,
elerr
niek
Naje
tora
pom
zyst
stęp
i poj
Ści V
a}
Im
l1
= -
j811!
l =I U
lf
kawo uwzględnić indukcyjność L. Ograni­
czymy się do analizy schematów zastęp­
czych kondensatora rzeczywistego zawie­
rających pojemność i rezystancję, przy
czym elementy R i C mogą być połączone
równolegle lub szeregowo (rys. 9.27).
b}
Im
lc=JBc!l
rp > O !l Re
l =I!l
c}
1!
Im
lc =JBcfl
1!
a}
b}
l
lR
Ri
le
1 C1
:_ • ,
I
R2
Uc1r
r
ou
Rys. 9.27. Schematy zastępcze kondensatora rze­
rp = O Re
czywistego: a) równoległy; b) szeregowy
Rys. 9.26. Wykresy wektorowe na płaszczyźnie
zmiennej zespolonej dwójnika równoległego RLC:
a) dla Be > BL; b) dla Be < BL; c) dla Be = BL
trzy przypadki odpowiadające Be > BL,
Be < BL oraz Be = BL (rys. 9.26) W wy­
niku porównania tych wykresów z wykre­
sami na rysunku 9 .2 1 stwierdzamy, że są
one identyczne, z tą różnicą, iż na rysun­
ku 9 .26 wektory leżą na płaszczyźnie
zmiennej zespolonej .
• Schematy zastępcze kondensatora
rzeczywistego
Stwierdziliśmy, że każdy element rzeczy­
wisty łączy w sobie kilka własności. Z te­
go względu schemat zastępczy takiego
elementu rzeczywistego zawiera dwa lub
niekiedy nawet trzy elementy idealne .
Najczęściej schemat zastępczy kondensa­
tora rzeczywistego jest przedstawiany za
pomocą dwóch elementów idealnych: re­
zystancji R, która odwzorowuje straty wy­
stępujące w dielektryku kondensatora,
i pojemności C. Przy wielkiej częstotliwo­
ści w schemacie zastępczym należy dodatwww.wsip.com.pl
W schemacie przedstawionym na rysunku
9 .27 a rezystancja R 1 , odwzorowuje straty
w dielektryku, w związku z tym prąd pły­
nący przez gałąź rezystancyjną nazywamy
prądem upływowym. Prąd płynący przez
gałąź pojemnościową nazywamy prądem
ładowania kondensatora lub prądem
pojemnościowym.
Załóżmy, że napięcie U na zaciskach ukła­
du przedstawionego na rysunku 9 .27a jest
sinusoidalne, przy czym jego faza począt­
kowa jest równa zeru. Prąd upływowy
płynący przez rezystor o rezystancji R1
jest w fazie z napięciem U, zatem:
fR = i = G iif.
(9 . 1 57)
le = jwCU
(9 . 158)
u
Prąd ładowania kondensatora o pojemności
C1 wyprzedza napięcie o kąt Jr/2, zatem:
Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa
prąd dopływający do układu wynosi:
l = lR + le = (G 1 + jwC1 Hl = .Ki.Il
(9 . 1 59)
1 89
Prąd ten wyprzedza napięcie Il. o kąt fazo­
wy <p, którego tangens obliczymy jako
argument admitancji f1 = G1 + jwC1 , ze
znakiem przeciwnym, czyli:
w Ci
tg <p = - 71;" = -wC1R1
1
IR
=
wC1 R 1
Ie
__
(9.1 6 1 )
Odwrotność współczynnika strat dielek­
trycznych, tzn. stosunek prądu pojemnoś­
ciowego do prądu upływowego nazywamy
dobrocią kondensatora rzeczywistego
i oznaczamy przez Qc, czyli:
Qc = �
= Ie = wC1R1
tg u
IR
Wykre
goweg
na rys
kąt str
gens re
pięcia
Napięcie na kondensatorze Cz opóźnia się
w fazie względem prądu o kąt 7r /2, stąd:
uC
-
- J wcl 2 -I
(9 . 1 64)
_
_ . _
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa na­
pięcie na zaciskach układu wynosi:
(
Il. = Il.R + lic = Rz - j
w�J l = Zzl
(9 .165)
Napięcie U opóźnia się w fazie względem
prądu o kąt fazowy <p, którego tangens
obliczymy jako argument impedancji
układu Zz = Rz - j
tg 'P =
a}
(9. 1 62)
Dobroć kondensatora rzeczywistego ,
przedstawionego za pomocą schematu
równoległego z rysunku 9 .27a, jest tym
większa, im większa jest rezystancja R1
(przy danej częstotliwości i pojemności
C1), a zatem im lepsze własności izola­
cyjne ma dielektryk kondensatora.
Prowadząc rozumowanie podobne jak
w przypadku schematu równoległego,
zanalizujemy zależności dla schematu
szeregowego przedstawionego na rysun­
ku 9 .27b.
Jeżeli do zacisków dwójnika doprowadzi­
my napięcie U, to w obwodzie popłynie
1 90
(9. 1 63)
(9 . 1 60)
Kąt 'P jest ujemny, gdyż argument admi­
tancji ma znak przeciwny do argumentu
impedancji. Kąt, który dopełnia do kąta
7r /2 wartość bezwzględną kąta <p, ozna­
czamy przez ó i nazywamy kątem strat
dielektrycznych. Tangens tego kąta (tg ó)
nazywamy współczynnikiem stratności.
Na rysunku 9.28a przedstawiono wykres
wektorowy prądów i napięcia dla schema­
tu z rysunku 9 .27a. Wynika z niego, że
tg ó równa się stosunkowi modułów prądu
IR i prądu Ie, czyli:
tg ó =
prąd I, który spowoduje powstanie napięć
UR oraz Uc na elementach Rz oraz Cz .
Napięcie na rezystorze Rz jest w fazie
z prądem I, zatem:
w�2 , czyli:
- wC12R2
(9 .166)
Im
Im
o
W tym
większ
(przy c
Przy c
z rysut
gdy hr
zespoli
Z rów1
cja zes
Natom
admita
Jl
b}
Dobro<
stawio
czego
I
Re
Jak wi
odwro
a więc
Re
Imped;
Rys. 9.28. Wykresy wektorowe prądów i napięć
dla kondensatora rzeczywistego: a) dla schematu
na rys. 9.27a; b) dla schematu na rys. 9.27b
Wykres wektorowy dla schematu szere­
gowego z rysunku 9 .27b przedstawiono
na rysunku 9.28b . Zaznaczono na nim
kąt strat dielektrycznych ó , którego tan­
gens równa się stosunkowi modułów na­
pięcia UR i napięcia Uc, czyli:
tg ó =
�� = wCzRz
(9.1 67)
Dobroć kondensatora rzeczywistego przed­
stawionego za pomocą schematu zastęp­
czego szeregowego wynosi:
1
Uc
1
Qc = tg 8 = UR = wC2R2
(9 . 1 68)
W tym przypadku dobroć Qc jest więc tym
większa, im mniejsza jest rezystancja Rz
(przy danej wartości Cz i częstotliwości).
Przy określonej częstotliwości schematy
z rysunków 9 .27a oraz b są równoważne,
gdy impedancje zespolone lub admitancje
zespolone obu układów są równe.
Z równania (9. 1 65) wynika, że impedan­
cja zespolona układu szeregowego:
Z = Rz
-
J
. wCz1 = Rz J·xz
-
(9 . 1 69)
Natomiast z równania (9.159) wynika, że
admitancja zespolona układu równoległego:
I1 = G1 + jwC1 = G1 + jB1
(9. 1 70)
Jak wiadomo, impedancja zespolona jest
odwrotnością admitancji zespolonej ,
a więc:
(9. 1 7 1 )
Impedancja Z1 = Zz , jeśli:
G1
_ B1
Rz = r, , Xz y2
-
I
(9 .172)
I
www.wsip.com.pl
Przy danej częstotliwości i znanych para­
metrach Ri (lub G 1) oraz C1 układu rów­
noległego, można wyznaczyć parametry
Rz i Cz układu szeregowego i odwrotnie .
• Schematy zastępcze cewki
rzeczywistej
Jak już wyjaśniono, każdy element rze­
czywisty jest reprezentowany za pomocą
schematu zastępczego, w którym wystę­
pują dwa lub niekiedy trzy elementy ide­
alne. Jeżeli pominiemy w schemacie po­
jemność międzyzwojową i pojemność
względem ziemi, to schemat zastępczy
cewki rzeczywistej zawiera elementy R
oraz L w połączeniu szeregowym lub
równoległym (rys. 9.29) .
a)
b)
I
Rys. 9.29. Schematy zastępcze cewki rzeczywistej:
a) szeregowy; b) równoległy
Zajmiemy się na wstępie schematem sze­
regowym (rys. 9.29a). Rezystor R1 od­
wzorowuje rezystancję przewodu, z które­
go jest nawinięta cewka. Załóżmy, że
napięcie Y._ na zaciskach układu szerego­
wego jest sinusoidalne, a prąd l płynący
w obwodzie ma fazę początkową równą
zeru. Napięcie na rezystorze R1 jest w fa­
zie z prądem, zatem:
(9 . 1 73)
Napięcie na cewce L1 wyprzedza w fazie
prąd o kąt fazowy n /2, więc:
(9 .174)
1 91
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa na­
pięcie na zaciskach układu:
Il = Ib + UL = (R 1 + jwL1 )l = Z.il
(9 . 1 75)
Napięcie Il wyprzedza w fazie prąd l
o kąt fazowy cp, którego tangens obliczy­
my jako argument impedancji układu
Z.1 = R i + jwL1 , czyli:
(9. 176)
Na rysunku 9.30a przedstawiono wykres
wektorowy dla schematu z rysunku 9 .29a.
Dobroć cewki rzeczywistej o schemacie
zastępczym szeregowym jest określona
przez stosunek modułów napięcia na induk­
cyjności i napięcia na rezystancji, czyli:
L UL wL1
Q = UR = R1
(9. 177)
Dobroć cewki rzeczywistej przedstawionej
za pomocą schematu szeregowego jest tym
większa, im mniejsza jest rezystancja Rz
a) Im
o
b) Im
o
oraz fr.
Prąd w gałęzi z rezystancją Rz jest w fazie
z napięciem If., czyli:
-IR = Rz=u = Gz-U
Y.1
I
I
I
LJ I
- 1
I
I
I
I
ui
-�
I
Y.
Re .
Re
(9. 1 78)
Prąd w gałęzi z indukcyjnością Lz opóź­
nia się w fazie względem napięcia o kąt
fazowy 7r /2, stąd:
-
IL = -J· _
i_z-u
wL
(9.179)
Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa
prąd dopływający do układu:
( - j w�) = Xzil
Jl.
l = IR + lL = Gz
Rys. 9.30. Wykresy wektorowe napięć i prądów
cewki rzeczywistej: a) dla schematu na rys. 9.29a;
b) dla schematu na rys. 9 .29b
1 92
(przy danej indukcyjności L1 i częstotli­
wości). Przeprowadzając analizę podobną
jak w przypadku schematu szeregowego,
rozpatrzymy zależności dla schematu
równoległego przedstawionego na rysun­
ku 9 .29b.
Do zacisków dwójnika równoległego do­
prowadzimy napięcie Jl. o fazie początko­
wej równej zeru. Przez elementy Rz i Lz ,
połączone równolegle, płyną prądy fa
(9. 1 80)
'
·JrZt
. yc
czy.
Doł
nej
jest
stan
i CZI
WOŚ
rów
zes1
ukh
Z n'
cja :
Nat<
adm
Przy
Obli
Prąd ten opóźnia się w fazie względem
napięcia o kąt cp (rys. 9.30b ) , którego tangens obliczymy jako argument admitancji
sinu
zespolonej X.z = Gz
w c
przeciwnym, czyli:
tg
cp
=
- j w� ze znakiem
1
wL2 G2
(9 . 1 8 1 )
Kąt cp jest dodatni, gdyż argument admi­
tancji ma znak przeciwny do argumentu
impedancji, a w obwodzie z indukcyjno­
ścią kąt fazowy jest dodatni.
Dobroć cewki rzeczywistej o schemacie
zastępczym równoległym jest określona
Rozi
przy
Zate
przez stosunek modułów prądów płyną­
cych przez indukcyjność i rezystancję,
czyli:
1
h
QL = IR = wLi G2
Rz
=
wLi
Jak wiadomo, impedancja zespolona jest
odwrotnością admitancji zespolonej ,
a więc:
(9.1 82)
_
=
1
G2 + jB2 G2 . Bz
2 = z +J 2
2
y:2
y:2
G2 + B2
(9 . 185)
Impedancja Z1 = Zz , jeśli:
(9.1 86)
Jeśli dana jest częstotliwość i znane są pa­
rametry układu równoległego, to można
wyznaczyć parametry układu szeregowe­
go i odwrotnie. .A
(9 . 1 83)
Natomiast z równania (9 .180) wynika, że
admitancja zespolona układu równoległego:
Przykład 9.1
- 1:'2 -- G2 - jB2 =
zz -
Dobroć cewki rzeczywistej przedstawio­
nej za pomocą schematu równoległego
jest tym większa, im większa jest rezy­
stancja R2 (przy danej indukcyjności L2
i częstotliwości). Dla określonej częstotli­
wości schematy z rysunków 9 .29a, b są
równoważne, gdy są równe impedancje
zespolone lub admitancje zespolone obu
układów.
Z równania (9. 1 75) wynika, że impedan­
cja zespolona układu szeregowego:
I
( 1) .
Oblicz amplitudę i fazę początkową napięcia sinusoidalnego, będącego sumą napięć
sinusoidalnych u 1 = 1 OO sin wt, u2 = 1 OO sin
Rozwiązanie
wt +
1
W celu obliczenia amplitudy napięcia wypadkowego, korzystamy ze wzoru (9.32),
przy czym 'l/J1 = O, 'l/J2 = rad, Um 1 = Um2 = 100 V.
Zatem
=
J10oz + 1002 + 2 100 100 · cos 1 = 100 y13 = 173 V
·
·
www.wsip.com.pl
Na podstawie wzoru (9 .33) obliczamy fazę początkową napięcia wypadkowego:
'P =
tg "''
100 y'3
Um1 sin '!/J1 + Um2 sin '!/Jz
2
=
1
Um1 cos 'lf;1 + Um2 cos '!/J2
100 100 . 2
+
Napięcie wypadkowe ma postać:
- y'31
Przykł
Do ob
o war
płynąc
C2 = :
( �)
u = Um sin(wt + 1/J) = 173 sin wt +
Przykład 9.2
I
Rys. 9�
Jaka jest wartość indukcyjności własnej cewki rzeczywistej mającej schemat szere­
gowy RL, jeśli po włączeniu jej na napięcie stałe U_ = 50 V, płynie przez nią prąd
L = 5 A, a po włączeniu tej samej cewki na napięcie sinusoidalne U� = 50 V o często­
tliwości f = 50 Hz, płynie przez nią prąd L = 0,2 A?
i wykre
do przy
Rozwi
Modu
Rozwiązanie
Po włączeniu cewki na napięcie stałe rezystancja wynosi:
R = u_ =
[_
so
5 = 10 n
Reakt:
Po włączeniu cewki na napięcie sinusoidalne impedancja równa się:
50
Z = U,.__,
/,.__, = 0,2 = 250 O
Prądy
Zgodnie ze wzorem (9 .83) moduł impedancji cewki:
Z=
VR2 +Xi
Stąd reaktancja indukcyjna cewki wynosi:
XL = Jzi - R2 = .j2502 - 102 = 249,8 0
Ze wzoru na reaktancję induk_cyjną cewki:_,
W cel1
napięc
XL = wL = 2trfL
obliczamy wartość indukcyjności:
L = XL =
27rf
1 94
.
249 ,8 = o 8 H
27r 50
'
Oblic:i
Przykład 9.3
I
Do obwodu przedstawionego na rysunku 9.31a doprowadzono napięcie sinusoidalne
o wartości skutecznej U = 230 V i częstotliwości f = 50 Hz . Oblicz wartości prądów
płynących w gałęziach i sporządź wykres wektorowy, jeśli R1 = 10 n, L1 = 3 1,8 mH,
C2 = 265 µF, G3 = 0,03 S .
'
a)
b)
I
u
Rys. 9.31. Schemat obwodu (a)
i wykres wektorowy (b)
do przykładu 9 .3
Rozwiązanie
Moduł impedancji gałęzi zawierającej elementy R1 , L 1 :
V
Z1 = Ri + (wf1 )2 = J102 + (27r 50 · 3 1,8 l Q-3 )2 =
·
·
= J100 + roo = 14, 1 n
Reaktancja pojemnościowa gałęzi zawierającej kondensator C2 :
1XC2 = =
wC2
1
= 12 n
314 . 265 . 10- 6
Prądy płynące w gałęziach wynoszą:
230
li = Z1u = 14,
1 = 16,3 A
u
230
h = Xc2 = U = 19,2 A
h = G3 U = 0,03 · 230 = 6,9 A
W celu sporządzenia wykresu wektorowego obliczamy kąt przesunięcia fazowego
napięcia U względem prądu Ii :
stąd cp 1 =
Obliczamy ponadto wartości napięć na elementach R1 i Xu :
i rad
URI = R 1/i = 10 · 16,3 = 163 V
UxL l = Xu li = 10 16,3 = 163 V
·
www.wsip.com.pl
1 95
fi
...
Napięcie na zaciskach obwodu wynosi:
Przykła
u = Ju�1 + uiu = J163z + 1 63z = 230 v
Z wykresu wektorowego wynika, że prąd Ii opóźnia się względem napięcia U o kąt
cp1
= i rad, prąd [z wyprzedza napięcie U o kąt cpz = �, a prąd h jest w fazie z napię-
ciem U.
Przykład 9.4
I
Gałąź obwodu zawierającą sześć elementów połączonych szeregowo (rys. 9.32) , włą­
czono na napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej U = 10 V i częstotliwości
f = 1000 Hz. Oblicz wartość prądu płynącego w gałęzi i kąt przesunięcia fazowego
napięcia względem prądu. Dane:
50 O,
100 O,
150 O,
0,05 H,
= 0,02 H,
2 _F.
Lz
R1 =
C3 =
Rz =
)u \
'1
�
o
I
Rozwiązanie
Obliczamy wartość pulsacji:
R3 =
Li =
Rys. 9.32. Schemat obwodu
do przykładu 9 .4
ł
Na rys
jemnoś
cji Rz
Wyzna
Rozw i.:
W ukh
Moduł
Zgodn
tu rów
w = 27rf = 27f . 1000 = 6283 rad
s
Rezystancja gałęzi wynosi:
Reaktancja gałęzi jest równa:
X=
wL1 + wLz
-
1
w C3 = 360 O
-
Oznac:
prądu 1
Na po<
- rezy1
Moduł impedancji gałęzi:
Z = JRz + X2 = J3ooz + 360Z = 469 O
Prąd płynący w gałęzi wynosi:
I=
10
u
= 9
Z 46
= 2 1 ,3 mA
Tangens kata przesunięcia fazowego równa się:
36
tg cp = 3000 ,
1 96
- reak1
stąd kąt cp = 50°
Stąd p
T
Przykład 9.5
Na rysunku 9.33a przedstawiono schemat zastępczy równoległy kondensatora o po­
jemności C1 = 0, 1 µF i rezystancji upływowej R1 = 200 kD. Oblicz wartość rezystan­
cji R2 w schemacie szeregowym z rysunku 9.33b , gdy częstotliwość f = 500 Hz.
Wyznacz wartość dobroci kondensatora w każdym z układów.
Rys. 9.33. Schematy
do przykładu 9 .5
Rozwiązanie
W ukłaQZie równoległym admitancja zespolona:
\
1
!1 = G1 + jB1 = G1 + jwC1 = 200 000 + j27r 500 0, 1
= (5 . 10 - 6 + j314 . 10-6)
Moduł admitancji jest równy:
·
·
·
10- 6 =
s
Y1 = )52 + 3 1 42 · 10- 6 � 314 10-6 S
·
Zgodnie ze wzorem (9. 1 62) dobroć kondensatora przedstawionego za pomocą schema­
tu równoległego wynosi:
Qc
=
wC1R1
=
27r 500 · 0,1 · 10- 6 · 2 105 = 62,8
·
·
Oznacza to, że wartość prądu pojemnościowego Ie jest 62,8 razy większa od wartości
prądu upływowego IR.
Na podstawie wzorów (9 . 172) obliczamy wartości:
- rezystancji w schemacie szeregowym równoważnym (rys. 9 .33b)
R2
=
G1
Yi
=
5 . 10 -6
(3 14 . 1 0-6)2
=
5 . 106 =
3 142
50 7 D
'
- reaktancji w schemacie szeregowym równoważnym
3 14 · 10-6
1_ B 1
=
=
X2 = _
2
wC
2
Yi
(3 14 . 10-6 )
=
3 1 84 D
Stąd pojemność:
1
1
=
=
C2 =
wX2 3 140 31 84 O,l µF
·
www.wsip.com.pl
1 97
Pojemność C2 = C1 .
Zgodnie ze wzorem (9 . 1 68) dobroć kondensatora przedstawionego za pomocą schema­
tu szeregowego wynosi:
9.1 1 . V
V
1
Qc = wC2R
1 -2 = 27r . 500 . 0 1 . 10- 6 50 7 = 62,8
,
·
,
Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że dobroć w układzie szeregowym jest równa
dobroci w układzie równoległym. Wartość napięcia na pojemności jest zatem 62,8 razy
większa od wartości napięcia na rezystancji. A
Pytania i polecenia!
....---------------------
9.1 . Wymień wielkości charakteryzujące przebieg sinusoidalnie zmienny.
9.2. Jaki przebieg nazywamy przebiegiem okresowym? Czy przebieg sinusoidalny jest przebiegiem
okresowym?
9.3. Co to jest wartość skuteczna prądu sinusoidalnego? Podaj fizyczną interpretację wartości sku­
tecznej prądu .
9.4. C o to jest wartość średnia prądu sinusoidalnego? Podaj fizyczną interpretację wartości średniej
prądu.
9.5. Jaka jest różnica między prądem zmiennym a prądem przemiennym?
9.6. Co to jest wykres wektorowy, a co to jest wykres czasowy?
9. 7. W jakich maksymalnie granicach może być zawarty kąt przesunięcia fazowego między prądem
i napięciem w dwójniku szeregowym RL:
a) od O do 45°
b) od 45° do 90°
c) od O do 90°
d) od 90° do 1 80°
9.8. Wraz ze wzrostem częstotliwości reaktancja indukcyjna cewki:
a) maleje
b) wzrasta
c) nie zmienia się
9.9. W dwójniku szeregowym RC prąd:
a) opóźnia się względem napięcia
b) jest w fazie z napięciem
c) wyprzedza napięcie
d) wyprzedza napięcie o kąt 90°
9 . 1 O. Kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem w cewce idealnej wynosi:
a) 0°
b) 90°
c) 45°
d) 180°
1 98
9.1 2 . V
I
9.1 3 . V
�
a
(
c
9.14. V
p
a
c
d
9.1 1 . W dwójniku pokazanym na rysunku 9.34: R = 4 n, wL = 3 n, u = 10 sin wt. Wartość chwilo­
wa prądu i płynącego przez dwójnik wynosi :
a ) i = 2 sin(wt
-
37°)
b) i = 5 sin wt
R
c) i = 2 sin(wt + 45°)
u
d) i = 2,5 sin wt
Rys. 9.34. Schemat obwodu
do pytania 9 . 1 1
9.11 . W obwodzie pokazanym n a rysunku 9.35: R = 60 O , wL = 8 0 O , wartość skuteczna prądu
I = 2 A. Wartość skuteczna napięcia na zaciskach dwójnika wynosi:
',
a) U = 140 V
I
b) U = 200 V
R
c) U = 60 V
d) U = 80 V
Rys. 9.35 Schemat obwodu
do pytania 9 .12
9 . 1 3 . W obwodzie pokazanym na rysunku 9.36: R = 1 0, XL = wL = 2 0, Xe = wle = 2 0, U = 20 V.
Napięcie na cewce UL wynosi:
u
n\
[_Jet uc, . .
a) UL = 20 V
b) UL = - 20 V
C) UL = 0
t Ui Rys. 9.36 Schemat obwodu
d) UL = 40 V
do pytań 9.13 i 9.14
9 . 1 4. w obwodzie na rysunku 9.36: R = 1 n. XL = wL = 2 n, Xe = wIC = 2 n, wartość skuteczna
prądu I = 2 A. Napięcie na zaciskach dwójnika wynosi:
a) U = 10 V
••
b) U = 2 V
c) U = O
d) U = 4 V
www.wsip.com.pl
Jak \\
1 0. Moc w obwodzie prądu
wa m
a) sk
sinusoidalnie zmiennego
1 0. 1 .
u,
I Moc chwilowa
Rozpatrzymy obecnie zjawiska energe­
tyczne zachodzące w obwodzie prądu si­
nusoidalnego. Oznaczymy przez u oraz
i odpowiednio wartości chwilowe napię­
cia i prądu w obwodzie.
Mocą chwilową nazywamy iloczyn war­
tości chwilowych napięcia i prądu, czyli:
(10.1)
p = ui
W odróżnieniu od obwodów prądu stałe­
go, w których energia pobierana przez od­
biornik ze źródła jest stała, w obwodach
prądu zmiennego energia dostarczana do
odbiornika jest w kolejnych przedziałach
czasu różna. W związku z tym, że napię­
cie oraz prąd sinusoidalny zmieniają
w zależności od czasu swoją wartość bez­
względną i znak, zatem moc chwilowa
również zmienia się w funkcji czasu za­
równo co do wartości bezwzględnej , jak
i co do znaku.
Na rysunku 10.1 przedstawiono przebie­
gi czasowe mocy, napięcia i pntdu w pew­
nym obwodzie. Faza początkowa napię­
cia jest równa zeru, a prąd opóźnia się
względem napięcia o kąt fazowy ip (ob-
VI
VI
t, (J)f
Rys. 10.1. Przebiegi czasowe mocy, napięcia i prądu
200
b) sk
je1
wód o charakterze indukcyjnym) . Wyzna­
czamy przebieg mocy chwilowej , biorąc
dla każdej chwili czasowej iloczyn warto­
ści chwilowej napięcia oraz wartości
chwilowej prądu. Moc chwilowa jest do­
datnia w przedziałach czasu, w których
wartość chwilowa napięcia u oraz wartość
chwilowa prądu i mają znaki jednakowe ujemna zaś w przedziałach czasu, w któ­
rych znaki wartości chwilowej napięcia u
i wartości chwilowej prądu i są różne.
Jeśli p > O, tzn. moc chwilowa jest dodat­
nia, to energia elektryczna jest dostarcza­
na ze źródła do odbiornika; jeśli natomiast
p < O, tzn. moc chwilowa jest ujemna, to
energia elektryczna jest zwracana przez
odbiornik do źródła. Należy bowiem pa­
miętać, że jedynie elementy rezystancyjne
oraz te odbiorniki, które są zdolne do
przekształcenia energii elektrycznej w in­
ny rodzaj energii, pobierają energię i jej
nie zwracają. Natomiast cewki i konden­
satory mają zdolność gromadzenia energii
odpowiednio w polu magnetycznym i po­
lu elektrycznym oraz jej oddawania w za­
leżności od wartości napięcia i prądu
związanego z tymi elementami.
Wyznaczymy zależność analityczną okre­
ślającą moc chwilową. Do wzoru defini­
cyjnego (10.1) podstawimy u = Um sin wt
oraz i = Im sin(wt - ip), a potem zastosu­
jemy tożsamości trygonometryczne:
WI
�OC I
p = ui = Um sin wt · Im sin(wt - ip) =
1 o.�
=
nie z
stałej
nusoi
poka'
moc
czami
łach
przyj1
�t. V
Grafi
wierz
Jak V
niej
odpo1
biom
powi:
z prz
do źr,
do rn
wiadi
mocy
nienic
zentu
.:zasu
U'2Im [cos ip - cos(2wt - ip)] =
= U/[cos ip - cos(2wt - ip)] =
= Ul cos ip Ul cos(2wt - ip)
-
(10 .2)
W pr
nas z
ł
I
Jak wynika ze wzoru (10 .2) moc chwilo­
wa ma dwie składowe:
a) składową stałą Ul cos <.p;
b) składową sinusoidalnie zmienną
Ul cos(2wt - <p) , której częstotliwość
jest dwukrotnie większa od częstotli­
wości napięcia u oraz prądu i.
Moc chwilowa oscyluje zatem sinusoidal­
nie z częstotliwością 2/ wokół wartości
stałej Ul cos cp, a amplituda przebiegu si­
nusoidalnego wynosi Ul. Na rysunku 10.1
pokazano składową stałą oraz zaznaczono
moc dodatnią i ujemną. Energia dostar­
czana do odbiornika w różnych przedzia­
łach czasu b.t jest różna. Na rysunku
przyjęto trzy jednakowe przedziały czasu
/j.t. W każdym przedziale czasu energia:
b. W1 = p1 b.t
b. W2 = pz b.t
b. W3 = p3 b.t
(10.3)
Graficznie energię ilustruje pole po­
wierzchni paska o szerokości !::.t .
Jak wsporniano mocy chwilowej dodat­
niej odpowiada energia dodatnia, co
odpowiada dostarczaniu energii do od­
biornika, a mocy chwilowej ujemnej od­
powiada energia ujemna, co jest związane
z przekazywaniem energii z odbiornika
do źródła. Energia całkowita dostarczona
do odbiornika w ciągu okresu T odpo­
wiada polu ograniczonemu przebiegiem
mocy chwilowej w okresie T z uwzględ­
nieniem znaku; pole nad osią czasu repre­
zentuje energię dodatnią, pole pod osią
czasu - energię ujemną.
1 0. 2 .
Moc czynna, bierna
i pozorna
W przebiegach sinusoidalnych interesuje
nas zazwyczaj energia pobrana przez od-
www.wsip.com.pl
biornik w czasie jednego okresu lub wie­
lokrotności okresu. Energia dostarczona
do odbiornika w czasie t odpowiada polu
powierzchni ograniczonemu przebiegiem
krzywej p i osią odciętych t (z uwzględ­
nieniem znaku) . Jeżeli energię obliczoną
dla czasu t = T, tzn. dla jednego okresu,
podzielimy przez czas T, to otrzymamy
wartość średnią mocy chwilowej za
okres. Przyjmując czas t = nT, tzn . czas
równy wielokrotności okresu, możemy
w analogiczny sposób obliczyć wartość
średnią mocy chwilowej w czasie rów­
nym wielokrotności okresu.
Ze wzoru (10.2) oraz z rysunku 10.1 wy­
nika, że wartość średnia mocy chwilowej
równa się składowej stałej mocy chwilo­
wej , tzn. P = Ul cos <.p.
Mocą czynną nazywamy wartość średnią
mocy chwilowej i określamy ją wzorem:
P = Ulcos cpZ
( 10.4)
Jednostką mocy czynnej jest wat [W] .
Moc czynna jest zatem równa iloczynowi
wartości skutecznej napięcia i prądu oraz
cosinusa kąta przesunięcia fazowego mię­
dzy napięciem i prądem, zwanego współ­
czynnikiem mocy (cos cp). Jeżeli moc
czynną P pomnożymy przez czas T, to
otrzymamy energię pobraną przez odbior­
nik ze źródła w czasie jednego okresu.
Urządzenia elektryczne, a więc np. ma­
szyny elektryczne, transformatory, aparaty
elektryczne, mają określone wartości zna­
mionowe napięcia i prądu, wynikające
z wytrzymałości izolacji i dopuszczalnych
wartości prądu ze względu na nagrzewa­
nie lub działanie dynamiczne. Dlatego też
dla urządzeń tych istotne znaczenie ma
moc pozorna oznaczana przez S i definio­
wana jako iloczyn wartości skutecznych
napięcia i prądu, czyli:
S = Ul
(10.5)
201
l
Jednostką mocy pozornej jest woltoamper
[VA] . Ze wzoru (10.5) wynika, że moc
pozorna jest równa największej wartości
mocy czynnej , którą można otrzymać
przy danym napięciu U oraz prądzie /.
Tę największą moc osiągniemy przy
COS <p = 1 , tzn. gdy 'P = o.
W obwodach elektrycznych prądu sinuso­
idalnego znajduje zastosowanie jeszcze
trzecia wielkość zwana mocą bierną,
oznaczana przez Q i definiowana jako ilo­
czyn wartości skutecznych napięcia, prą­
du i sinusa kąta przesunięcia fazowego
między nimi, czyli:
Q = U/ sin <p
na są przyprostokątnymi, moc pozorna przeciwprostokątną.
Moc bierna, zależna od sinusa kąta fazo­
wego, może mieć wartość dodatnią, gdy
kąt fazowy <p jest dodatni (odbiornik re­
zystancyjno-indukcyjny) oraz może mieć
wartość ujemną, gdy kąt fazowy <p jest
ujemny (odbiornik rezystancyjno-pojem­
nościowy). W zależności od znaku mocy
biernej otrzymujemy trójkąt mocy przed­
stawiony na rysunku 10.2a lub 10.2b.
1 0.3 .
(10.6)
Jednostką mocy biernej jest war [var] .
Z porównania wzorów ( 1 0 .4) , ( 1 0 .5)
oraz (10.6) wynika, że moc czynna, bier­
na i pozorna są związane zależnością:
S2 = P2 + Q2
czyli:
(10.7)
p
i = Im sin(wt + W;)
u = Um sin(wt + Wu )
(10.8)
b}
�0>0
p
� 0<0
p
Rys. 10.2. Trójkąty mocy: a) dla Q > O ;
b ) dla Q < O
202
�apię1
na W)
a na 1
mocy
kąta rr
=
(10.9)
Na podstawie zależności wiążących po­
szczególne moce, można podać ilustrację
graficzną w postaci trójkąta mocy (rys.
10.2) . W trójkącie tym moc czynna i biera}
przy c
S=
Załóżmy, że napięcie sinusoidalne jest do­
prowadzone do zacisków dwójnika o im­
pedancji zespolonej Z (rys. 10.3a). Jeżeli
dwójnik ma charakter rezystancyjno-in­
dukcyjny, to prąd jest opóźniony wzglę­
dem napięcia o kąt fazowy <p .
Niech faza początkowa prądu wynosi W;,
a faza początkowa napięcia Wu , tzn.:
a ponadto:
Q ' cos 'P = s
tg 'P = p
Postać zespolona
mocy pozornej
Wyraz
palone
Do w2
ślony
gdyż �
Moc 1
więc r,
napięc
teczne
1 0.4
c}
b}
I
Re
Im
1 0.4.
jQ
Re
Rys. 10.3. Ilustracja mocy pozornej zespolonej:
a) schemat dwójnika o impedancji zespolonej
Z = R + jXL; b) wykres wektorowy napięcia i prądu:
c) trójkąt mocy na płaszczyźnie zespolonej
W re•
idalm
zie, t2
go m
warto
ma pr
i
Wyrazimy prąd i napięcie w postaci zes­
polonej:
l = /d'l/J;
U = Ud'l/Ju
przy czym:
( 1 0 . 1 0)
'P = 'l/Ju - 'l/Ji
( 10.1 1 )
u,i,p
R
c:1
Napięcie i prąd zespolony przedstawimy
na wykresie wektorowym (rys. 10.3b),
a na rysunku 10.3c wykreślimy trójkąt
mocy na płaszczyźnie zespolonej . Z trój­
kąta mocy wynika, że:
� = P + j Q = Ul cos 'P + j Ul sin <p =
= U/(cos <p + j sin 'P) = Ufd 'P = Sd 'P
Rys. 10.4. Przebieg mocy chwilowej w rezystorze
idealnym
( 1 0 . 1 2)
Do wzoru (10. 1 2) podstawimy kąt 'P okre­
ślony równaniem ( 10 . 1 1 ) i otrzymamy:
S = Ufd 'P = U/d('l/Ju-7/Ji) =
= ud'l/Ju /e-j'l/J; = u r
(10.13)
gdyż ! = /e-i'l/J; .
.\1oc pozorna w postaci zespolonej jest
więc równa iloczynowi wartości skutecznej
napięcia zespolonego oraz wartości sku­
tecznej prądu zespolonego sprzężonego . .A
10.4.I Przebiegi mocy
1 0.4.1. Moc w rezystorze
idealnym o rezystancji R
W rezystorze idealnym napięcie sinuso­
idalne i prąd sinusoidalny pozostają w fa­
zie, tzn. kąt cp = O (rys. 10.4) . Wobec te­
go moc chwilowa p, będąca iloczynem
wartości chwilowych napięcia i prądu ,
ma przebieg jak na rysunku. W całym zawww.wsip.com.pl
kresie zmienności moc chwilowa jest za­
tem dodatnia, a więc energia jest zawsze
przekazywana do odbiornika, którym jest
rezystor. W rezystorze energia elektrycz­
na jest przekształcana na energię cieplną.
Średnia moc chwilowa, którą nazywa się
mocą czynną, jest równa P = Ul.
1 0 .4.2. Moc w cewce idealnej
o indukcyjności L
W cewce idealnej napięcie sinusoidalne
zmienne wyprzedza prąd o kąt fazowy
cp = n/2 (rys. 10.5) . Moc chwilowa p, ja­
ko iloczyn napięcia i prądu, ma przebieg
pokazany na rysunku. Jak z niego wynika,
moc chwilowa oscyluje względem osi
czasu z dwa razy większą częstotliwością
od częstotliwości napięcia i prądu . Pole
zakreskowane ograniczone przebiegiem
mocy chwilowej nad osią czasu jest rów­
ne polu pod osią czasu. Energia dodatnia
dostarczona do cewki w pierwszej poło­
wie okresu jest równa co do wielkości
energii ujemnej . Energia pobierana przez
203
�·.
f
U, i, p
o
o
+
-
�
1
-
r
Przebi<
o�
.
u. i p
[
--
j
na rys
u
wt
Ul
Ul
Rys. 10.5. Przebieg mocy chwilowej w cewce
Rys. 10.6. Przebieg mocy chwilowej w kondensa­
idealnej
torze idealnym
cewkę w pierwszej połowie okresu zmien­
ności prądu , magazynowana w polu ma­
gnetycznym cewki , zostaje w drugiej po­
łowie okresu oddana do źródła. Wobec
tego moc czynna P = O.
okresu zmienności prądu, zmagazynowa­
na w jego polu elektrycznym, zostaje
w drugiej połowie okresu oddana do źró­
1 0 .4.3 . Moc w kondensatorze
1 0.4.4. Moc w cewce
idealnym o pojemności C
W kondensatorze idealnym napięcie sinu­
soidalnie zmienne opóźnia się względem
prądu o kąt fazowy <p = -rt/2 (rys. 10.6) .
Moc chwilowa p, jako iloczyn napięcia
i prądu, ma przebieg pokazany na rysun­
ku. Wynika z niego , że podobnie jak w ob­
wodzie z cewką idealną, w obwodzie
z kondensatorem idealnym moc chwilowa
oscyluje względem osi czasu z dwa razy
większą częstotliwością od częstotliwości
napięcia i prądu. Pole zakreskowane ogra­
niczone przebiegiem mocy chwilowej nad
osią czasu jest równe polu pod osią czasu .
Zatem energia dodatnia jest równa co do
wartości energii ujemnej . Energia pobiera­
na przez kondensator w pierwszej połowie
204
dła. Wobec tego moc czynna P = O.
rzeczywistej
Obecnie zajmiemy się obliczaniem mocy
dla dwójnika szeregowego RL. Przyjmiemy,
że prąd płynący w dwójniku ma fazę począt­
kową równą zeru, czyli i = Im sin wt, a wo­
bec tego napięcie na zaciskach dwójnika:
oraz 1)
okresu
zmieni
sza od
sinusoi
stotliw
wości J
chwilo
czasu
a ampl
Moc c
mocy <
Z trój1
RL (ry
Po po
wzoru
Stąd I
moc c:
elemer
nia me
definie
u = Urn sin(wt + cp)
Napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy:
wL
'P = arctg R
W wyniku podstawienia wartości chwilo­
wych napięcia i prądu do wzoru (10.1)
otrzymamy moc chwilową:
p = ui = Urn sin(wt + cp) · Im sin wt =
= UI[cos 'P cos(2wt + cp)]
(10.14)
-
U,
ip
l
Rys. 10.
rzeczyw
t
Przebieg mocy chwilowej przedstawiono
na rysunku 10.7. Z zależności (10.14)
oraz rysunku wynika, że w ciągu jednego
okresu prądu moc chwilowa czterokrotnie
zmienia znak. Energia dodatnia jest więk­
sza od energii ujemnej . Moc chwilowa jest
sinusoidalnie zmienną funkcją czasu o czę­
stotliwości dwa razy większej od częstotli­
wości prądu i napięcia. Oś oscylacji mocy
chwilowej jest przesunięta względem osi
czasu o wartość stałą równą Ul cos r.p ,
a amplituda mocy chwilowej wynosi Ul.
Moc czynna będąca wartością średniej
mocy chwilowej wynosi:
Z trójkąta napięć dwójnika szeregowego
RL (rys. 9 . 1 8c) wynika , że:
u cos r.p = uR = Rf
(10.16)
Po podstawieniu zależności (10.16) do
wzoru (10.15) otrzymamy:
P = R/2
(10.1 7)
Stąd możemy wyciągnąć wniosek, że
moc czynna jest pobierana jedynie przez
elementy rezystancyjne. W celu oblicze­
nia mocy biernej skorzystamy ze wzoru
definicyjnego (10.6):
Q = U/sin r.p
R
U sin <p = UL = XL/
(10.18)
�
L
Rys. 10.7. Przebieg mocy chwilowej w cewce
rzeczywistej
www.wsip.com.pl
(10.1 9)
Po podstawieniu zależności ( 10 .19) do
wzoru (10.18) otrzymamy:
2
Q = xa
c 10.20)
Ze wzoru (10.20) wynika, że moc bierna
jest związana jedynie z elementem induk­
cyjnym. Moc pozorna wynosi:
S = Ul
(10.2 1 )
Po podstawieniu U = Z/ otrzymamy:
( 10 .15)
P = Ulcos r.p
i
Z trójkąta napięć dwójnika szeregowego
RL (rys. 9 . 1 8c) wynika, że:
przy czym Z =
s = z/2
jR2 Xz .
00.22)
+
Wzory (10.1 7) , (10.20) i (10.22) są częste
stosowane w obliczeniach praktycznych.
1 0. 5 .
Znaczenie techniczne
i ekonomiczne
współczynnika mocy
Współczynnik mocy (cos r.p) odgrywa dużą
rolę w zakresie efektywności wykorzysta­
nia urządzeń elektrycznych. Odbiorniki
energii elektrycznej, np. silniki elektrycz­
ne, urządzenia grzejne, oświetleniowe i in­
ne, są dobierane pod kątem wartości mocy
czynnej, której odpowiada energia uży­
teczna pobrana przez te urządzenia i prze­
kształcona w energię mechaniczną, ciepl­
ną, świetlną itp. Przykładowo, energia
elektryczna pobrana przez silnik elek­
tryczny jest w nim przekształcana w ener­
gię mechaniczną, energia elektryczna
w urządzeniu grzejnym zostaje przekształ­
cona w energię cieplną. Wartość prądu
w odbiorniku, a zatem też w przewodach
i urządzeniach rozdzielczych łączących
205
odbiornik ze źródłem energii elektrycznej ,
z mocy, jaką jest w stanie dostarczyć tur­
zależy w tym przypadku od wartości
bina napędzająca tę prądnicę. Sprawność
współczynnika mocy (cos cp), gdyż:
wytwarzania energii elektrycznej jest
P = Ul cos cp,
czyli I = u P
-
cos cp
(10.23)
Jeżeli współczynnik mocy odbiornika jest
\
więc mała przy małej wartości cos cp.
Z przytoczonych względów dąży się do te­
go, aby współczynnik mocy odbiorców
energii elektrycznej był bliski jedności.
mały, to dostarczenie określonej mocy P,
W tym celu stosuje się różne metody po­
przy danym napięciu, wymaga przepływu
prawy współczynnika mocy. Wszystkie te
prądu o większej wartości niż w przypad­
metody polegają na kompensowaniu mocy
ku dużej wartości współczynnika cos cp.
biernej indukcyjnej mocą bierną pojemno­
Straty mocy czynnej w przewodach łączą­
ściową. Jedną z powszechnie stosowanych
cych źródło z odbiornikiem wynoszą:
metod jest kompensacja mocy biernej za
przy czym Rp jest rezystancją przewodów.
( 10 .24)
pomocą kondensatorów (baterii konden­
satorów). Wyjaśnimy tę metodę na pro­
stym przykładzie. Załóżmy, że silnik elek­
Składm
pięciem
bierną, ]
I
Jak wyr
Jeżeli r
baterię 1
prąd pe
wynosił
o kąt fa
zwrot p1
ry OpÓŹI
\1ożna 1
sposób:
Jeżeli do wzoru (10.24) podstawimy wy­
tryczny o mocy P i współczynniku mocy
1 . Dobr
Silnik jest urządzeniem, którego schemat
(10.25)
zastępczy można w uproszczeniu przedsta­
2 . Dobr
Strata mocy czynnej w linii jest zatem
(rys. 10.Sa). Wobec tego prąd pobierany
wspó
rażenie na prąd ze wzoru ( 10.23), to:
fj,,,P = R
pl
P U2 cos2 <.p
odwrotnie proporcjonalna do kwadratu
współczynnika mocy.
Zwiększony pobór prądu, wywołany małą
wartością współczynnika mocy, zwiększa
nie tylko straty mocy w liniach zasilają­
cos cp 1 jest zasilany ze źródła o napięciu U.
wić za pomocą dwójnika równoległego RL
W pierv
wynikający z cos cpi (rys. 10.Sb).
\1oc bi
pięcia na jego zaciskach o kąt fazowy cp1
I
al
neratorów) i transformatorów o większej
wartości mocy znamionowej . Moc znamio­
u
nowa prądnic i transformatorów jest bo­
jest iloczynem wartości skutecznej napięcia
b}
0-----4>----'
znamionowego. Gdyby odbiornik pobierał
prądnicy byłaby równa mocy znamionowej
i jej warunki pracy byłyby optymalne. Jeże­
li cos cp < 1 , to moc czynna jest mniejsza
od mocy znamionowej , mimo że prądnica
pracuje przy wartości znamionowej na­
pięcia i prądu. Prądnica w tych warunkach
nie dostarcza mocy czynnej wynikającej
206
f
równa:
{
a odpov
terii:
[
wiem podawana jako moc pozorna, a więc
moc czynną przy cos cp = 1 , to moc czynna
wspó
nową
przez silnik Is jest opóźniony względem na­
cych, ale wymaga stosowania prądnic (ge­
znamionowego i wartości skutecznej prądu
prąd
cl
fQcl
~
Rys. 10.8. Wyjaśnienie zasady kompensacji mocy
biernej: a) schemat obwodu; b) wykres wektorowy
dla układu z odłączonym kondensatorem; c) wykres
wektorowy dla układu z dołączonym kondensatorem
Pytania
1 0. 1 . Je
1 0. 2 . p,
1 0.3. Je
1 0.4. (
ż1
1 0.5. Je
1 0.6. c
Składową prądu Is będącego w fazie z na­
pięciem oznaczymy przez IR, a składową
bierną, prostopadłą do napięcia - przez h.
Jak wynika z wykresu wektorowego:
JR = Is COS 'Pl
h = Is sin <p 1
(10.26)
Jeżeli równolegle do silnika włączymy
baterię kondensatorów o pojemności C, to
prąd pobierany przez tę baterię będzie
wynosił Ie. Prąd Ie wyprzedza napięcie U
o kąt fazowy 7r /2, a zatem prąd ten ma
zwrot przeciwny do zwrotu prądu h, któ­
ry opóźnia się względem napięcia.
Można teraz zadanie wykonać w dwojaki
sposób:
1 . Dobrać tak wartość pojemności C, aby
prąd Ie = h ;
2. Dobrać tak wartość pojemności C , aby
współczynnik mocy cos <p2 układu miał
nową wartość - większą od wartości
współczynnika mocy cos 'PI silnika.
W pierwszym przypadku:
Ie = h = Is sin <p I
( 10.27)
Moc bierna baterii kondensatorów jest
równa:
Qe = Ule = Uls sin 'P I
( 10.28)
a odpowiadająca tej mocy pojemność baterii:
(10.29)
Pytania i polecenia
W rozpatrywanym przypadku uzyskuje­
my kompensację idealną , to znaczy moc
bierna indukcyjna silnika zostaje skom­
pensowana mocą bierną pojemnościową
baterii kondensatorów i wartość współ­
czynnika mocy układu jest równa jedno­
ści. Prąd I dopływający do układu jest
równy prądowi IR .
W drugim przypadku przyjmiemy, że
Ie < h . Z wykresu wektorowego przed­
stawionego na rysunku 10.Sc wynika,
że:
Ie = IR tg <pI - /R tg <p2 =
p
=v
<tg 'P 1 - tg <p2 )
( 10.30)
Moc bierna baterii kondensatorów wynosi:
Qe = Ule = P(tg <p1 - tg <p2 )
( 10.3 1 )
W celu obliczenia wartości pojemności C
baterii kondensatorów można skorzystać
ze wzoru (10.29), który wiąże pojemność
baterii z jej mocą bierną:
C=
P(tg IPI tg rpz )
wU2
-
( 10.32)
Wzory ( 10 .3 1 ) i (10.32) są często stoso­
wane do obliczeń, gdy dąży się do uzy­
skania nowej wartości współczynnika
mocy, różnej od jedności.
I._
-
1 0. 1 . Jakie dwie składo�'rpa moc chwilowa prądu sinusoidalnego?
1 0.2. Podaj zależność między mocą czynną, mocą bierną i mocą pozorną prądu sinusoidalnego.
1 0.3. Jaki znak przyporządkowujemy mocy biernej pojemnościowej?
1 0.4. Co to jest współczynnik mocy i jakie są metody poprawy tego współczynnika? Dlaczego nale­
ży poprawiać ten współczynnik?
1 0.5. Jakie są konsekwencje praktyczne wydzielania się mocy na przewodach elektrycznych?
1 0.6. Czy przy przepływie prądu sinusoidalnie zmiennego przez cewkę rzeczywistą wydziela się ciepło?
www.wsip.com.pl
207
1 0.7. Jaką moc pobiera rezystor idealny:
a) bierną
b) czynną
c) pozorną
d) zarówno moc czynną, jak i bierną
1 0.8. W jakich jednostkach mierzymy moc aynną:
a) w warach
b) w watach
c) w woltamperach
d) w amperach na metr
1 0.9. W jakich jednostkach m ierzymy moc bierną:
a) w woltamperach
b) w watach
c) w warach
d) w woltach na metr
1 0. 1 0. W dwójniku pokazanym na rysunku 1 0.9: R 40 O, Xe = 30 O, u = 200 y'2 sin(314t + 60°) .
Moc aynna pobierana przez dwójnik wynosi:
=
a) P = 2 00 W
b) p = 1 60 w
c) P = 640 W
d) P = 480 W
Rys. 10.9. Schemat obwodu
do pytania 10 .1 O
1 0.1 1 . Silnik o mocy czynnej P = 1300 W jest dołączony do źródła napięcia sinusoidalnie zmiennego
o wartości skutecznej U = 23 1 V. Prąd płynący przez silnik wynosi I = 7 A. Współczynnik
mocy silnika wynosi:
a) cos 'P = 0,6
b) cos 'P
c) cos 'P = 0 ,8
d) cos 'P = 1
=
0,7
11.1
Rezoi
elektr
padkc
wypa1
Obw•
ne oh
puje 2
W st<
zacisi
zgod1
Obwć
biera
ściśle.
mocy
przez
jemnc
cyjne:
dlate�
ta mo
Częst1
padkc
obwo
częsb
na fr ·
Obwć
su, je
do oł
rówm
W zal
mente
pić zj
sko re
1 1 . Rezonans w obwodach
elektrycznych
11 . 1 .
Pojęcia podstawowe
Rezonans jest to taki stan pracy obwodu
elektrycznego , w którym reaktancja wy­
padkowa obwodu lub jego susceptancja
wypadkowa jest równa zeru .
Obwodami rezonansowymi są nazywa­
ne obwody elektryczne , w których wystę­
puje zjawisko rezonansu.
W stanie rezonansu napięcie i prąd na
zaciskach rozpatrywanego obwodu są
zgodne w fazie.
Obwód będący w stanie rezonansu nie po­
biera ze źródła mocy biernej , a mówiąc
ściślej następuje zjawisko kompensacji
mocy. Moc bierna indukcyjna pobierana
przez obwód jest równa mocy biernej po­
jemnościowej . Znaki mocy biernej induk­
cyjnej i pojemnościowej są przeciwne,
dlatego w warunkach rezonansu całkowi­
ta moc bierna obwodu jest równa zeru.
C:: zęstotliwość , przy której reaktancja wy­
padkowa lub susceptancja wypadkowa
obwodu jest równa zeru , jest nazywana
częstotliwością rezonansową i oznacza­
na f,.
Obwód elektryczny osiąga stan rezonan­
su, jeśli częstotliwość doprowadzonego
do obwodu napięcia sinusoidalnego jest
równa częstotliwości rezonansowej .
W zależności od sposobu połączenia ele­
mentów R, L, C w obwodzie może wystą­
pić zjawisko rezonansu napięć lub zjawi­
sko rezonansu prądów.
www.wsip.com.pl
Rezonans, występujący w obwodzie o sze­
regowym połączeniu elementów R, L, C,
charakteryzujący się równością reaktancji
indukcyjnej i reaktancji pojemnościowej ,
nazywamy rezonansem napięć lub rezo­
nansem szeregowym.
Załóżmy, że do dwójnika szeregowego
RLC (rys. 11.la) doprowadzono napięcie
sinusoidalne o wartości skutecznej U i pul­
sacji w = 27rf Dla rozpatrywanego obwo­
du można podać zależności:
UR = Rl
UL = XL/
Uc = Xe!
(11 .1)
Napięcie na zaciskach dwójnika:
U = Zl
przy czym Z =
JR2 (XL - Xc)2 .
(1 1 .2)
+
a}
b}
o
I
Rys. 11.1. Rezonans napięć w dwójniku szerego­
wym RLC: a) schemat obwodu; b) wykres wekto­
rowy dla obwodu w stanie rezonansu
209
Zgodnie z podaną definicją rezonans na­
pięć wystąpi wówczas, gdy X = O, tzn.:
Xi = Xe
(1 1 .3)
l
(1 1 .4)
obwodu przy częstotliwości rezonanso­
wej , czyli:
p = WrL =
lub
wL = ­
wC
Częstotliwość, przy której jest spełniony
warunek ( 1 1 .4) , nazywa się częstotliwo­
ścią rezonansową szeregowego obwodu
rezonansowego:
l
fr = 21r>/LC
(1 1 .5)
Dla obwodu (rys. 1 1 Ja) w stanie rezo­
nansu szeregowego można podać nastę­
pujące zależności:
Z=R
U = UR
( 1 1 .6)
Ui = Uc
W wyniku powyższych rozważań stwier­
dzamy, że w stanie rezonansu napięć:
• reaktancja pojemnościowa równa się
reaktancji indukcyjnej ;
• impedancja obwodu jest równa rezy­
stancji;
• napięcie na indukcyjności jest równe co
do modułu napięciu na pojemności,
a suma geometryczna tych napięć jest
równa zeru;
• wobec X = O, prąd w obwodzie może
osiągnąć bardzo dużą wartość, gdyż przy
małej rezystancji R, źródło pracuje w wa­
runkach zbliżonych do stanu zwarcia;
• duża wartość prądu powoduje powsta­
wanie dużych wartości napięć biernych,
które mogą być niebezpieczne dla urzą­
dzeń i obsługi.
Wprowadzimy kilka pojęć charakteryzu­
jących obwód rezonansowy.
Impedancją falową p nazywamy reak­
tancję indukcyjną lub pojemnościową
210
�
wC=
�
(1 1 .7)
Odpowiednio do wprowadzonych w punk­
cie 9.13.2 (wiadomości ponadprogramo­
we) terminów dobroci kondensatora i do­
broci cewki, wprowadzimy termin dobroci
obwodu rezonansowego . Dla obwodu
szeregowego RLC będącego w warunkach
rezonansu napięć dobroć jest określona:
Q
UL
UC
WrLI _ 1 /
- UR - UR - R/ - WrCR/
_
_
·
_
Rys. 11.
Xe . Z, Cf
( 1 1 .8)
czyli:
Q=
l_
WrL
R = WrCR
_
( 1 1 .9)
Jeżeli uwzględnimy zależność ( 1 1 .7), to
otrzymamy ostatecznie:
Q= R
[!_
ł
( 1 1 .10)
Jak już wykazaliśmy, w stanie rezonansu
napięcie na rezystancji jest równe napięciu doprowadzonemu do obwodu , tzn.
UR = U. Wobec tego z zależności (1 1 .8)
wynika, że dobroć obwodu Q określa,
ile razy napięcie na indukcyjności lub
napięcie na pojemności jest większe od
napięcia na zaciskach obwodu .
Jeśli rezystancja obwodu rezonansowego
jest mała, to dobroć obwodu jest duża
i napięcie na elementach reaktancyjnych
znacznie przekracza wartość napięcia doprowadzonego . Należy więc liczyć się ze
zjawiskiem przepięcia.
Obwód szeregowy RLC może znajdować
się w warunkach bliskich rezonansu.
Wówczas częstotliwość źródła / (lub pulsacja w) jest różna od częstotliwości rezonansowej fr · Mówimy, że obwód jest odstrojony od rezonansu lub posługujemy
się terminem rozstrojenia.
l
I
ł
ł
Roz�b
warny
go rez:
Dobrą
w wan
są tzw
wiając<
w obv
częstot
no cha1
cji czę:
w mia
rezona
maleje
do wru
zbliża :
1 1 .3.
Rezona
noległ)
charakl
cji ind
ściowe.
lub rez•
t
al
b}
o
Rys. 11.2. Charakterystyki częstotliwościowe XL .
Xe . Z, <p , l
Rozstrojeniem bezwzględnym ( nazy­
wamy stosunek reaktancji obwodu do je­
go rezystancji, czyli:
( ;::: ?f.
R ;:::
1
wL - R
we
!u
I
Ii
IR
R
l
I c= Br!J
Ii = B1U
IR =I= GU U
rp = 0
Rys. 11.3. Rezonans prądów w dwójniku równo­
ległym RLC: a) schemat obwodu; b) wykres
wektorowy dla obwodu w stanie rezonansu
W obwodzie rezonansu prądów, przedsta­
wionym na rysunku 11 .3a, rezystancja R
(11.11)
odwzorowuje straty zarówno w konden­
Dobrą ilustracją zjawisk zachodzących
satorze, jak i w cewce. Przyjmujemy więc
w warunkach rezonansu i w jego pobliżu
dla cewki i dla kondensatora schematy za­
są tzw. krzywe rezonansowe, przedstastępcze równoległe.
wiające przebiegi wielkości występujących
Założymy, że do dwójnika równol�głego
w obwodzie rezonansowym w funkcji
RLC z rysunku l l .3a doprowadzono na­
częstotliwości. Na rysunku 11.2 pokazapięcie sinusoidalne o wartości skutecznej
.
no charakterystyki XL, Xe, z, <p, I w funk
zespolonej U i pulsacji w : 27rf. Dla roz­
cji częstotliwości [ z rysunku wynika, że
patrywanego obwodu można podać nastę­
w miarę zbliżania się do częstotliwości
pujące zależności:
rezonansowej f, impedancj a obwodu
IR : GU
maleje do wartości R, prąd zwiększa się
<p
do wartości maksymalnej , kąt fazowy
( 1 1 . 1 2)
zbliża się do zera.
j
·
Ie = BeU
1 1 .3.
j Rezonans prądów
Rezonans, występujący w obwodzie o rów­
noległym połączeniu elementów R, L i C,
charakteryzujący się równością susceptan­
cji indukcyjnej i susceptancji pojemno­
ściowej, nazywamy rezonansem prądów
lub rezonansem równoległym.
www.wsip.com.pl
Prąd dopływający do dwójnika jest rów­
ny:
I = YU
przy czym Y =
J + (Be - BL)2 .
( 1 1 . 13)
CP
Zgodnie z podaną definicją rezonans prą­
dów wystąpi wówczas, gdy B = O, tzn.:
Be : BL
( 1 1 .14)
21 1
lub
1
wC = wL
­
( 1 1 . 15)
Częstotliwość, przy której jest spełniony
warunek ( 1 1 . 15), jest zwana częstotliwo­
ścią rezonansową równoległego obwodu
rezonansowego:
1
fr = 27ry'LC
( 1 1 . 1 6)
Dla obwodu (rys . 1 l .3a) w stanie rezo­
nansu równoległego można podać nastę­
pujące zależności:
Y= G
I = IR
h = Ic
( 1 1 .1 7)
W wyniku powyższych rozważań stwier­
dzamy, że w stanie rezonansu prądów:
• susceptancja pojemnościowa jest równa
susceptancji indukcyjnej ;
• admitancja obwodu jest równa konduk­
tancji;
• prąd w gałęzi indukcyjnej jest równy co
do modułu prądowi w gałęzi pojemno­
ściowej , a suma geometryczna tych prą­
dów jest równa zeru;
• wobec B = O, prąd całkowity ma bardzo
małą wartość, a przy bardzo małej kon­
duktancji jest prawie równy zeru i źró­
dło pracuje w warunkach zbliżonych do
stanu jałowego .
Impedancję falową p dla obwodu rezo­
nansu prądów definiuje się tak samo jak
dla obwodu rezonansu napięć , czyli zgod­
nie ze wzorem ( 1 1 .7) .
Wprowadzimy teraz termin dobroci ob­
wodu rezonansowego:
Ie
Q_ h
IR
_
-
czyli:
212
Jeżeli uwzględnimy zależność (1 1 .7) oraz
G=
1
R
.
, to otrzymamy ostateczme:
Q= R
­
p
( 1 1 .20)
Jak już wykazaliśmy, w stanie rezonansu
prądów dopływający prąd do dwójnika
jest równy prądowi płynącemu w gałęzi
z rezystancją, tzn. I = IR . Wobec tego
z zależności ( 1 1 . 1 8) wynika, że dobroć
obwodu Q określa, ile razy prąd w gałę­
zi z indukcyjnością lub w gałęzi z po­
jemnością j est większy od prądu dopły­
wającego do obwodu rezonansowego .
Jeżeli rezystancja obwodu R jest duża
(konduktancja G mała) , to dobroć obwo­
du jest duża i prądy w gałęziach reaktan­
cyjnych znacznie przekraczaj ą wartość
prądu dopływającego do obwodu . Należy
więc liczyć się ze zjawiskiem przetężenia.
Podobnie jak dla obwodu rezonansu na­
pięć można wprowadzić pojęcia rozstroje­
nia bezwzględnego, które charakteryzuje
obwód w warunkach bliskich rezonansu.
prądó
rysm
wówc
jak i (
tarni
tego <
Rys. I
elemer
wektor
Ozna,
szcze
Rys. 11.4. Charakterystyki częstotliwościowe BL,
Bc , Y
przy '
Rozstrojenie bezwzględne wynosi:
WrCU _ 1 · U
IR - GU - WrLGU
( 1 1 . 18)
_ Be - BL = BL - Be
( = _ !!_
G=
G
G
1_
C _
Q = WrG = rLG
W
( 1 1 . 19)
Na rysunku 11.4 pokazano krzywe rezo­
nansowe obwodu z rysunku 1 1 .3a.
_
T Zł
( 1 1 .2 1 )
Prądy
rówrn
'f Zbadamy jeszcze zjawisko rezonansu
prądów w obwodzie przedstawionym na
rysunku 11.Sa. Obwód taki otrzymamy
wówczas , gdy zarówno dla kondensatora,
jak i dla cewki posłużymy się ich schema­
tami zastępczymi szeregowymi . Analiza
tego obwodu jest nieco bardziej złożona.
a}
l2 = X2!l = G1Jl
�---.----.,
l = l1 + l2 = (G1 + G2 ) U + j (Be - BL)IJ.. =
( 1 1 .24)
= xu
(1 1 .25)
z2 - z22
( 1 1 .26)
I
/
\
Wyznaczymy częstotliwość rezonansową
obwodu . W tym celu do wzoru ( 1 1 .26)
podstawimy:
i
\
\
\
1
Xe = wC
\
I\
( wC1 ) 2
XL = WL
2
I2
Rys. 11.S. Rezonans prądów w dwójniku cztero­
elementowym: a) schemat obwodu; b) wykres
wektorowy dla obwodu w stanie rezonansu
Oznaczymy admitancje zespolone po­
szczególnych gałęzi przez:
X1 =
Be = BL
Xe _ XL
[
'P1 < O
jBL!l
a prąd dopływający do obwodu:
czyli:
- - - - - - -
i-1 = G1 + jBe
R2 +
(1 1 .27)
Z1 = 1
Z22 = R22 + (wL)2
Zatem:
Ri + ( wlC) Rz + (wL)2
WC
2 = 2
wL
( 1 1 .28)
Stąd po przekształceniach:
( 1 1 .29)
( 1 1 .22)
Równanie ( 1 1 .29) ma trzy rozwiązania,
które kolejno poniżej rozpatrzymy.
przy czym:
1 . Jeśli Ri =
Be =
( 1 1 .23)
Zgodnie z podaną definicją, rezonans prą­
dów wystąpi wtedy, gdy B = O, tzn.:
I
u
b}
-
li = X1 U = G1Jl + j Be!l
�· czyli R 1 = p =
f
f to ,
równanie ( 1 1 .29) może być spełnione
X� ,
Z1
tylko wówczas , gdy również R; =
Prądy w poszczególnych gałęziach są
równe:
www.wsip.com.pl
�'
czyli R1 = p . Można udowodnić, że
wówczas impedancja obwodu Z = p,
213
I
tzn. impedancja jest liczbą rzeczywi­
stą; kąt fazowy obwodu t.p = O, stąd ob­
wód spełnia warunek podstawowy re­
zonansu.
2. Jeśli R1 =I p oraz R2 =I p , to w wyniku
rozwiązania równania ( 1 1 .29) otrzy­
mamy częstotliwość rezonansową:
R2z !:_c
fr 27rvfLC R2 !:_
1 c
=
-
1
( 1 1 .30)
-
Tabela 11.1. Obwody rezonansowe i ich parametry
L.p.
Schemat obwodu
[
Ze wzoru (1 1 .30) wynika , że częstotli­
wość rezonansowa jest liczbą rzeczy­
wistą, jeśli:
R1 > p,
R 1 < p,
Wykres wektorowy dla stanu rezonan­
su przedstawiono na rysunku 11.Sb.
3. W trzecim przypadku szczególnym, rezy­
stancje R 1 i R2 mogą być równe sobie, lecz
nie równe impedancji falowej p =
Częstotliwość
rezonansowa f,
Impedancja Z
przy rezonansie
L
RC
L
RC
2
3
�-
R
W2
M
tli1
wi
Rezo
dach
R, L ,
ka w
poda:
rezor
czę st
Jest
dostr
czyw
ze spe
Zjaw
prakt
L
RC
Przył
4
5
6
L
RC
2rr..}LC - (RC)2
R
ROZV1
I
[
Jaką
o ind
tliwo
du re
2rr../LE
Zgoc
1
2rr./LC
Przy
214
----- ----
�-------.....1
Ze wzoru ( 1 1 .30) wynika, że przy
R1 = Rz =I p częstotliwość rezonanso­
wa obwodu czteroelementowego:
fr =
1
27r-jLC
( 1 1 .3 1 )
M a ona taką samą wartość j ak często­
tliwość rezonansowa obwodu przedsta­
wionego na rysunku l 1 .3a.
Rezonans może wystąpić również w ukła­
dach o połączeniu mieszanym elementów
R, L, C. W tabeli 11 .1 przedstawiono kil­
ka wybranych obwodów rezonansowych,
podano wzory określające częstotliwość
rezonansową i impedancję obwodu dla
częstotliwości rezonansowej .
Jest oczywiste, że impedancja obwodu
dostrojonego do rezonansu jest liczbą rze­
czywistą, natomiast argument impedancji
zespolonej musi być równy zeru . .6.
Zjawisko rezonansu ma duże znaczenie
praktyczne zarówno w technice wielkich
Przykład 1 1 .1
częstotliwości, jak i w układach elektro­
energetycznych. Z układami rezonansowy­
mi spotykamy się zarówno w urządzeniach
nadawczych stacji radiowych i telewizyj­
nych, jak również w urządzeniach odbior­
czych. W urządzeniach teletransmisyjnych
dzięki stosowaniu układów rezonanso­
wych jest możliwe przekazywanie wielu
informacji za pomocą jednej linii przesy­
łowej . Układy rezonansowe są stosowane
także w wielu urządzeniach pomiarowych
oraz w filtrach częstotliwościowych. W urzą­
dzeniach elektroenergetycznych kompen­
sacja mocy biernej polega w istocie na
tworzeniu układu rezonansowego.
W wielu urządzeniach układy rezonanso­
we mogą powstać w sposób przypadkowy,
a z tym są związane zarówno dodatnie, jak
i ujemne skutki zjawiska rezonansu. W ukła­
dach rezonansu szeregowego mogą pow­
stać znaczne przepięcia, zwane przepię­
ciami rezonansowymi .
I
Jaką wartość pojemności powinien mieć kondensator połączony szeregowo z cewką
o indukcyjności L = 2 H i rezystancji R = 150 n, aby przy napięciu U = 230 V i często­
tliwości/ = 50 Hz w obwodzie wystąpił rezonans napięć. Oblicz wartości: dobroci obwo­
du rezonansowego, impedancji falowej , prądu w obwodzie i napięcia na elementach.
Rozwiązanie
Zgodnie ze wzorem ( 1 1 .4) pojemność wynosi:
C=
1
1
= 5 ,07 µF
w2L = 31 42 . 2
Przy rezonansie napięć Z = R = 150 n, zatem prąd w obwodzie:
u 230
I = R = 150 = l , 53 A
www.wsip.com.pl
215
Napięcia na elementach są równe:
Rozstrc
UR = U = 230 V
UL = w,LI = 3 14 · 2 1 ,53 = 96 1 V
<;' =
1
Uc = 1 c l =
· 1 ,53 = 961 V
Wr
4
3 1 5,07 10 - 6
Prądy '
·
-
·
·
Dobroć wynosi:
- prąd
- prąd
- prąd
lub zgodnie ze wzorem ( 1 1 .9):
Q=
R
WrL
_
-
3 14 · 2 = 4 1 8
'
150
Wartości napięć na elementach reaktancyjnych (Uc na pojemności i UL na indukcyjno­
ści) są 4,18 razy większe od wartości napięcia U na zaciskach obwodu.
Impedancja falowa wynosi:
Stwierc
...
Przykła
Wykaż
Przykład
rezona.i
1 1 .2 I
Rezystor o rezystancji R = 1 0 n, cewka o indukcyjności L = 16 mH oraz kondensator
o pojemności C = 40 µF są połączone równolegle jak na rysunku 1 1 .3a. Napięcie przyłożone do obwodu wynosi u = 100 .J2 sin 1200t. Oblicz częstotliwość rezonansową, do­
broć obwodu rezonansowego, rozstrojenie bezwzględne oraz prądy płynące w gałęziach.
Rozwią
Rezon2
równa :
Rozwiązanie
Zgodnie ze wzorem ( 1 1 . 1 6) częstotliwość rezonansowa wynosi:
1
=
= 199 Hz
J, = 2
7rvr;c 27r J16 . 10- 3 . 4o . 10-6
-
Zgodnie ze wzorem ( 1 1 .19):
WrC = 27rfr C = 271" 199 40 · 1 0-6 · 10 = 0,5
Q=
G
G
•
Warum
•
Częstotliwość źródła jest równa:
czyli:
1200
J = 27r = 27r = 1 9 1 Hz
J!!__
216
Imped2
Rozstrojenie bezwzględne:
w C - ___!_
wL__
-�G�- =
1200 . 40 . 10- 6 0,1
---1200 . 16 . 10- 3
= 0,04
Prądy w poszczególnych gałęziach w warunkach rezonansu wynoszą:
- prąd w gałęzi z rezystancją
Ie = GU = 0, 1 · 100 = IO A
- prąd w gałęzi z indukcyjnością
1
-u=
h = BLU = wL
- prąd w gałęzi z pojemnością
Ie = BeU = wCU = 1 250 · 40 · 10-6 · 1 00 = 5 A
1
1250 16 · 10- 3
·
1 00 = 5 A
Stwierdzamy ponadto, że:
h = le = 5 = O S = Q
'
10
la la
...
Przykład 1 1 .3
I
Wykaż, że impedancja w układzie podanym w tabeli 1 1 . l (poz. 1 ) , przy częstotliwości
.
. L
RC .
rezonansowej wynosi
Rozwiązanie
Rezonans w obwodzie zachodzi wówczas, gdy reaktancja wypadkowa obwodu jest
równa zeru. Impedancja gałęzi równoległej RC:
(
)
R -j wl
C
R
-jR(RwC + j)
-jR
'!:_Re =
1 - RwC - j - R2w2 c2 + 1 - R2w2 C2 + 1
R -j­
wC
_
_
_
Impedancja wypadkowa obwodu wynosi:
.L
R
-
. R2 w C
J R2w2 C2 + 1
L
.
R2w C
Z
ZRe + JW = 2 r'
-.
- = _:
r'2 + 1 + JW
R w2 v2 + l J R2w2 ._,Warunek rezonansu:
czyli:
www.wsip.com.pl
217
I.
i
1 1 .8.
Stąd:
w2 R2 C2 L = R2 C - L
Pulsacja rezonansowa wynosi:
Wr =
� J�
L
=
Częstotliwość rezonansowa jest równa:
�
- (R
2
(patrz tab. 1 1 . 1 , poz. 1 )
1 1 .9.
Impedancja wypadkowa przy rezonansie jest równa części rzeczywistej impedancji,
gdyż część urojona impedancji jest równa zeru, czyli:
Z=
R
R2w? c2 + 1
Podstawiamy obliczoną wartość Wr i otrzymujemy impedancję:
z-
1 1 . 1 o.
R
R L
R
=
=- RC
,-{) R2C - L + l
R2C - L
R2C
R2
+1
-1+1
L
L
V R2c2L
-
(patrz tab. 1 1 ,1 , poz. l) .A
Pytania i polecenia
I.._---------------------
1 1 . 1 . Wymień cechy charakteryzujące obwód, w którym zachodzi rezonans napięć.
1 1 .2. Co rozumiemy przez rozstrojenie bezwzględne obwodu rezonansowego?
1 1 .3 . Wymień cechy charakteryzujące obwód, w którym zachodzi rezonans prądów.
1 1 .4. Jak wyznaaa się aęstotliwość rezonansową obwodu?
1 1 .5. Czy w stanie rezonansu prądów prąd płynący przez cewkę indukcyjną może być większy od
prądu płynącego przez kondensator?
1 1 .6. W stanie rezonansu napięć:
a) XL jest większe od Xe
b) XL jest mniejsze od Xe
c) XL jest równe Xe
d) XL jest równe zeru
1 1 .7 . W stanie rezonansu prądów:
a) Be jest mniejsze od BL
b) Be jest większe od BL
c) Be jest równe BL
d) Be jest równe zeru
218
1 1 .1 1 .
1 1 .8. W dwójniku szeregowym R, L, C pokazanym na rysunku 1 1 .6: R = 5 n, XL = wL = 5 n,
Xe =
!c
= 5 n . I mpedancja dwójnika wynosi:
a) Z = l 5 n
R
b) Z = 5 r2
c) Z = IO n
d) Z = O
u
Rys. 11.6. Schemat obwodu
do pytań 1 1 .8 i 1 1 .9
1 1 .9 . W obwodzie pokazanym na rysunku 1 1 .6: R = 2 n, L = 0, 1 H, u = IOy'2 sin IOt. Pojemność
C, przy której w obwodzie wystąpi rezonans napięć wynosi:
a) C = 0,2 F
b) C = 0,01 F
c) C = 1 F
d) C = 0, 1 F
1 1 .1 0. W obwodzie pokazanym na rysunku 1 1 .7: R = XL = Xe = 5 n. U = 10 V. Wartość skuteczna
prądu I płynącego w obwodzie wynosi:
aj / = 2 A
I
b) / = 4 A
c) I = O
R
d) I = IO A
Rys. 11.7. Schemat obwodu
do pytania 1 1 .10
1 1 . 1 1 . W obwodzie pokazanym na rysunku 1 1 .8: G = BL = Be = 0,5 S, U = IO V. Wartość skuteczna
prądu I płynącego w obwodzie wynosi:
a) I = 5 A
b) I = 1 5 A
c) I = O
Rys. 11.8. Schemat obwodu
do pytania 1 1 .1 1
d) I = IO A
www.wsip.com.pl
i
1 2 . Metody obliczania obwodów
�
rozgałęzionych prądu
sinusoidalnie zmiennego
�
a}
)u
o--
b}
1 2.1 .
Obliczanie obwodów
metodą
przekształcania
Metoda liczb zespolonych wprowadzona
w rozdziale 9. do obliczania dwójników
RLC jest szczególnie przydatna do anali­
zowania rozgałęzionych obwodów prądu
sinusoidalnego.
Dzięki zastosowaniu metody liczb zespo­
lonych metodyka obliczania obwodów
prądu sinusoidalnego i prądu stałego jest
właściwie taka sama, z tym że działania
na liczbach rzeczywistych będą zastąpio­
ne działaniami na liczbach zespolonych.
Dla każdej gałęzi, zawierającej w ogól­
nym przypadku po kilka elementów ideal­
nych R, L , C, obliczamy impedancję lub
admitancję zespoloną. Po obliczeniu im­
pedancji lub admitancji zespolonej rysu­
jemy schemat zastępczy obwodu, w któ­
rym każdej gałęzi przyporządkowujemy
odpowiednią impedancję lub admitancję
zespoloną. Następnie oznaczamy prądy
w gałęziach i napięcia między odpowied­
nimi parami węzłów, przy czym z reguły
przeprowadzamy obliczenia dla wartości
skutecznych zespolonych. W dalszym to­
ku obliczeń stosujemy prawa Kirchhoffa
dla wartości skutecznych zespolonych,
podane w rozdziale 9, i wyznaczamy roz­
pływ prądów i rozkład napięć. Metodę
przekształcania stosujemy tak, jak w ob­
wodach prądu stałego. Na wstępie wyjaś­
nimy sposób obliczania impedancji zes220
polonej gałęzi, zawierającej kilka elemen­
tów idealnych R, L, C.
Przedstawiona na rysunku 12.1 wyodręb­
niona gałąź pewnego obwodu elektrycz
nego zawiera dwa elementy rezystancyjne
Ri i Rz , dwa elementy indukcyjne L1 i Lz
oraz dwa elementy pojemnościowe C1
i Cz . Rezystancja wypadkowa gałęzi
R = R 1 + Rz , indukcyjność wypadkowa
L = L1 + Li , a pojemność wypadkowa
.
szereC = C1 C2 , gdyz. przy połączemu
C +c
1
, 1 = c1, + C1 •
2
gowym kondensatorow
I
L1
R7
I
C1
C
R2
2
L2
C2
o
1
o
Rys. 12,.;
impedarn
noważny
obwodu I
ważnego
Na pod
do obw
dować
ny na r
Przy p
o admit
cja zast
� �-1 7
1!12
Rys. 12.1. Wyodrębniona gałąź obwodu elektrycz­
nego, zawierająca elementy R, L, C
przy cz:
Impedancja zespolona rozpatrywanej ga­
łęzi:
G=
(
1)
Z = R + j wL - w c = R + jX
Przy połączeniu szeregowym n gałęzi
o impedancjach Z:1 , Zz , Z:3 , . . . , Zn impe­
dancja zastępcza obwodu jest równa:
-
n
z
Z = R + jX = �
L..J =-1<
(12.1)
k=l
przy czym:
n
n
k=l
k=l
( 1 2 .2)
Na pod�
do obw1
dować •
ny na r�
Przy pe
zarównc
ści ( 1 2.'.
sunku 1
tancję 1
gałęzi re
a}
�--:]
lu
a}
o
bl
l
11
12
r,::] �
Rys. 12.2. Zastępowanie obwodu zawierającego n
Rys. 12.3. Zastępowanie obwodu zawierającego n
impedancji połączonych szeregowo obwodem rów­
noważnym o impedancji zastępczej b: a) schemat
obwodu początkowego; b) schemat obwodu równo­
ważnego
admitancji połączonych równolegle obwodem rów­
noważnym o admitancji zastępczej X: a) schemat
obwodu początkowego; b) schemat obwodu równo­
ważnego
Na podstawie wzoru ( 1 2 . 1 ) w odniesieniu
do obwodu z rysunku 12.2a, można zbu­
dować obwód równoważny przedstawio­
ny na rysunku 12.2b .
Przy połączeniu równoległym n gałęzi
o admitancjach Ii . f2 , I3 , .. , L admitan­
cja zastępcza obwodu jest równa:
.
n
I = G + jB =
przy czym:
n
I:tt
k=l
( 12.3)
Na podstawie wzoru ( 12.3) w odniesieniu
do obwodu z rysunku 12.3a można zbu­
dować obwód równoważny przedstawio­
ny na rysunku 12.3b.
Przy połączeniu mieszanym korzystamy
zarówno z zależności (1 2 . l ) , jak i zależno­
ści ( 12.3). Przykładowo dla obwodu z ry­
sunku 12Aa wyznaczymy najpierw admi­
tancję lub impedancję zastępczą dwóch
gałęzi równoległych, zgodnie ze wzorem:
_
-
ul
b)
l1
l.1
l2
l.z
c)
n
(12.4)
y = -1
y + I2 1ub z12
-12
-
a}
Z1Z2
z1 + z2
( 1 2 .5)
www.wsip.com.pl
Rys. 12.4. Przekształcanie obwodu przy połączeniu
mieszanym impedancji: a) schemat obwodu począt­
kowego; b) schemat obwodu po zastąpieniu dwóch
gałęzi równoległych jedną gałęzią c) schemat ob­
wodu równoważnego
a następnie impedancję zastępczą obwodu:
( 12.6)
Przy połączeniu gałęzi obwodu w trój­
kąt lub w gwiazdę stosujemy zasady prze­
kształceń podane w punkcie 4.8.4. A więc
przy przekształcaniu gałęzi tworzących
trójkąt w układ równoważnej gwiazdy
(rys. 12.5):
221
z
-
I
'
.
_
Z12Z°31
1 -
Z12 + Z°23 + Z°3 1
z _
Z12Z°23
-2 - Z12 + Z23 + Z31
z
(12.7)
Z°23Z°31
-
na rysunku 1 2 .4a (określonej wzorem
1 2 .6) i po obliczeniu prądu zgodnie ze
wzorem (12.10) , obliczamy rozkład na­
pięć na impedancjach obwodu przedsta­
wionego na rysunku 12.4b:
-3 - Z1 2 + Z23 + Z31
U12 = Z12l
Q3 = Z3l
a przy przekształceniu gwiazdy w trójkąt:
Rys. 12.t
Jraw Kir'
przy czym:
Z1Z2
Z12 = Z1 + Z2 + ---z­
-3
(12.11)
( 1 2.8)
(12. 12)
fl = U12 + fb
Mając napięcie Q1 2 , możemy obliczyć
prądy w gałęziach Z1 i Z2 :
( 1 2 . 1 3)
a}
...
12.2.
Rys. 12.5. Przekształcenie układu trójkątowego
w układ gwiazdowy: a) połączenie gałęzi w trójkąt;
b) połączenie gałęzi w gwiazdę
Jeżeli Z1 2 = Zi3 = Z3 1 = ZL. , to również
Z1 = Zi = Z3 = ZJ.. , przy czym:
Obliczanie obwodów
metodą praw
Kirchhoffa
Na rysunku 12.6 przedstawiono obwód
zawierający dwa węzły (v = 2) i trzy gałę­
zie (b = 3).
Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa
możemy więc napisać jedno równanie
(v 1 ) niezależne , a zgodnie z drugim
prawem Kirchhoffa - dwa równania
(b - v + 1 ) . Zatem dla węzła a:
-
( 12.9)
Dzięki stosowaniu podanych wzorów,
można obwody pasywne rozgałęzione za­
silane z jednego źródła energii zastępo­
wać obwodem równoważnym, w którym
prąd obliczamy, korzystając z prawa
Ohma w postaci zespolonej :
I = f1
-
z
(12. 10)
Przykładowo, po wyznaczeniu impedan­
cji zastępczej obwodu przedstawionego
222
[3 = l1 + l2
( 1 2 . 14)
a dla oczek 1 i 2:
E.1 = Zd1 + Z3[3
E.2 = Z2l2 + Z3[3
( 1 2.15)
W wyniku rozwiązania tych trzech rów­
nań wyznaczamy szukane niewiadome.
Przeważnie dane są napięcia źródłowe E.1
i E.2 oraz impedancje gałęzi Z1 , Z2 , Z3 ,
J. poszu
..:zeniu
pięć , n
mocy. I
sujemy
powani
W pie1
wzoren
mocy I
zespolo
moc p4
musi b)
z posz1
repreze
Zz , Z3 ,
przy czy
skuteczrn
odbiorcz:
Zarów1
( 1 2 . 1 6)
mamy
część r
czynne�
na moc
rządzor
nej ora:
Drugi s
rządzar
niu od
przez e
l.1
l1
a
T,
l2
dostarczonej przez źródła oraz mocy bier­
nej pobranej przez elementy odbiorcze
i dostarczonej przez źródła. W tym przy­
padku korzystamy ze wzorów (10.4) oraz
( 1 0.6). ...
l.2
l3
t\�)1bj[
l3
Rys. 12.6. Przykład obwodu obliczanego metodą
, ,
Obliczanie obwodów
---. metodą prądów
oczkowych
12 . 3 .
praw Kirchhoffa
a poszukiwane są prądy l1 , l2, l3. Po obli­
czeniu rozpływu prądów i rozkładu na­
pięć , możemy też przeprowadzić bilans
mocy. Do sporządzania bilansu mocy sto­
sujemy praktycznie dwa sposoby postę­
powania.
W pierwszym z nich posługujemy się
wzorem (10.13) i przeprowadzamy bilans
mocy pozornych wyrażonych w postaci
zespolonej. W rozpatrywanym przykładzie
moc pozorna dostarczona przez źródła
musi być równa mocy pozornej związanej
z poszczególnymi trzema odbiornikami
reprezentowanymi przez impedancje 21 ,
Obecnie rozpatrzymy obwód przedstawio­
ny na rysunku 12.7. Zgodnie z podanym
w podrozdz. 4.1 1 tokiem postępowania,
obliczenia przeprowadzamy w następują­
cy sposób:
1 . Dla danego obwodu zawierającego
b = 6 gałęzi i v = 4 węzły wybieramy
oczka niezależne w liczbie b - v + 1 =
= 6 - 4 + 1 = 3 i przyjmujemy kierunki
obiegu oczek.
2. Dla każdego oczka oznaczamy prądy
oczkowe li , f:i , 6 , a dla każdej gałęzi
prądy gałęziowe , odpowiednio [1 , l2 ,
�, Z3 , czyli:
e.di + E2fz
=
[3 , 4, [5 , f-0.
Uif.*i + U2 fz + U3f3
( 1 2.16)
przy czym przez Jl1 , Jl2 , Il3 oznaczono napięcia
skuteczne zespolone, występujące na elementach
odbiorczych Z-1 , Z-2 , Z°3
.
·
Zarówno po lewej stronie równania
( 1 2. 1 6), jak i po jego prawej stronie otrzy­
mamy moc pozorną zespoloną , której
część rzeczywista Re S.. jest równa mocy
czynnej P, a część urojona Im S., jest rów­
na mocy biernej Q . W ten sposób jest spo­
rządzony jednocześnie bilans mocy czyn­
nej oraz bilans mocy biernej.
Drugi sposób postępowania podczas spo­
rządzania bilansu mocy polega na oblicza­
niu oddzielnie mocy czynnej pobranej
przez elementy odbiorcze, mocy czynnej
www.wsip.com.pl
a
(
Rys. 12.7. Przykład obwodu obliczanego metodą
prądów oczkowych
223
l •
•'
L
I···
3 . Wyznaczamy impedancje własne
oczek:
Z1 1 = Z1 + Z6 + b
Z22 = Z2 + Zs + Zti
Z33 = b + b + Zs
( 1 2.17)
oraz impedancje wzajemne oczek:
Z12 = Z21 = Zt;
Zz3 = 2'32 = - Zs
-
( 1 2 . 1 8)
przy czym znaki minus przy Zt; , Zs i bi wynika­
ją stąd, że kierunki obiegu oczek sąsiednich są
przeciwne.
4. Wyznaczamy napięcia źródłowe
oczkowe:
E.1 1 = E.1 + �
E.22 = E.2 + fu
E_33 = E_3 - � - E.s
8 . Napięcia odbiomikowe wyznaczamy
z prawa Ohma dla wartości skutecz­
nych zespolonych:
11.1 = Ztl1 , � = bfA,
U2 = Z2l2 . 11.s = Zsls ,
E.1 1 = Z1 1l1 + Z12l2 + Z13h
(12.20)
E_33 = Z31fi + b2l2 + Z'J3h
6. Korzystając z jakiejkolwiek metody
rozwiązywania układu równań alge­
braicznych liniowych, z układu równań
(12.20) wyznaczamy prądy oczkowe
W miarę potrzeby możemy sporządzić
bilans mocy zgodnie z zasadą podaną
w podrozdz. 12.2. A
2. Ozm
muje
3 . Obli'
we z
przy '
to pr
źródł;
4. Wyz
łów:
Korzystając z pojęć podanych w podrozdz .
4.12 oraz posługując się uprzednio sformu­
łowanym sposobem postępowania, zasto­
sujmy metodę potencjałów węzłowych do
obliczania obwodu prądu sinusoidalnego,
przedstawionego na rysunku 12.8:
oraz
łami
przy
znak
gałęz
5. Ró1
obw
wod
· 'J • '
7 . Zapisujemy prądy gałęziowe w postaci:
224
prą<l
Jl.3 = Z3[3 , 11.6 = Ztik
fi , f2, h ·
l1 = li
l2 = lz
[3 = h
IA = l� - h
ls = l2 - h
l6 = ti - lz
1 . w d�
(12.22)
( 1 2 . 1 9)
5 . Równania (4.85), wyprowadzone dla
obwodu prądu stałego , piszemy dla ob­
wodu prądu sinusoidalnego w postaci:
E.22 = Zz1l1 + Zz2l2 + Zz3(3
W gałęziach, które są opływane przez
dwa prądy oczkowe, prąd gałęziowy
jest równy różnicy lub sumie prądów
oczkowych (zależnie od przyjętych
kierunków obiegu oczek) .
..
( 1 2.21)
przy
Rys. 12.8. Przykład obwodu obliczanego metoda
napięć węzłowych
odni·
napi
I
1 . W danym obwodzie oznaczamy zwroty
prądów gałęziowych .
2. Oznaczamy węzły przez 1 , 2, 3 i przyj­
mujemy węzeł 3 jako węzeł odniesienia.
3. Obliczamy wypadkowe prądy źródło­
we zasilające węzły 1 i 2:
L YE = X1E1 + L,
1
, , .
L YE = X2E2 - l
2
przy czym: _
Y1 =
źl
-
6. Po określeniu napięć międzywęzłowych
obliczamy prądy gałęziowe z równań:
l1 = X1 CE1 .U'1 )
l2 = I2CE2 - Jl� )
[3 = f3Jl21 = f3(1l�
lt = Ld!i
ls = Xsll�
( 1 2 .23)
y
1 i 2:
11 ,
( 1 2 .24)
oraz admitancję wzajemną między węz­
łami:
( 1 2 .25)
przy czym admitancje wzajemne mają zawsze
znak minus (-) , niezależnie od zwrotów prądów
gałęziowych.
5. Równania (4.95) wyprowadzone dla
obwodu prądu stałego piszemy dla ob­
wodu prądu sinusoidalnego w postaci:
L YE = Xull'1 + I1 2.U'2
2: YE = I2 1 JL; + I22.U'2
( 1 2 .26)
2
przy czym !11 , !12 są to napięcia między węzłem
odniesienia a odpowiednio węzłami 1 i 2 , zwane
napięciami międzywęzłowymi.
www.wsip.com.pl
lt = l1 + [3 + fo
l2 = l3 + ls + L.1
to prąd źródłowy występującego w obwodzie
źródła prądu; prąd ten jest zwrócony do węzła 1 . ,
4. Wyznaczamy admitancje własne węz­
łów:
U� )
( 1 2 .27)
7. Sprawdzamy bilans prądów w węzłach
.
1
Z. _2 = b natormast I Jest
I
-
1 2.5.
( 1 2 .28)
...
Obliczanie obwodów
metodą źródła
zastępczego
Metoda źródła zastępczego , zwana też
metodą Thevenina, jest oparta na twierdze­
niu Thevenina, zgodnie z którym dowolny
aktywny obwód liniowy można od strony
wybranych dwóch zacisków ab zastąpić
obwodem równoważnym złożonym z po­
łączonego szeregowo jednego idealnego
źródła napięcia i jednej impedancji .
Obecnie rozpatrzymy obwód przedsta­
wiony na rysunku 12.9a. Pewien odbior­
nik o impedancji Z jest zasilany z obwodu
rozgałęzionego zawierającego kilka źró­
deł i kilka impedancji. Zgodnie z poda­
nym twierdzeniem obwód z rysunku
1 2 .9a jest równoważny obwodowi na
rysunku 12.9b. Równoważność należy
rozumieć w ten sposób, że w obu obwo­
dach prąd l płynący przez impedancję Z
jest taki sam. O ile w obwodzie z rysun­
ku 1 2 .9a wyznaczenie prądu może być
22:5
'
a) 1·- - - -12 -·-·Tz ·-· 1
--;;.-1. ----.-0----,\
i
i
i
i
i
i
b)
a
I
l.
=>
L·-·-·-·-·- · - · -·-·-·-' b
.- ·-·-----,.
I
a
i
i
=> I
I
odłączamy odbiornik o impedancji Z
i uzyskujemy obwód przedstawiony na
rysunku 12.lOb . W obwodzie tym na za­
ciskach ab występuje napięcie:
Ez
-
I
-
�I
7_
z1 + z2 �
-
Do obliczania impedancji zastępczej two­
rzymy obwód z rysunku 12.lOc, który
powstaje w wyniku zwarcia źródła napię­
cia E.1 . Ze schematu na tym rysunku wy­
l.
i
i
i
Wyjaśnimy metodę źródła zastępczego na
prostym przykładzie przedstawionym na
rysunku 12.lOa.
W celu obliczenia napięcia zastępczego E.z
można
sków a
złożon;
go idea
cji . Twi
noważ1
Jeżeli :Z
stąpim;
nika, że impedancja widziana z zacisków
ab jest równa:
Rys. 12.9. Ilustracja metody źródła zastępczego:
a) schemat obwodu początkowego; b) schemat
obwodu równoważnego
kłopotliwe i pracochłonne, gdyż wymaga
wyznaczenia rozpływu prądu w całym
obwodzie, o tyle obwód z rysunku 1 2 .9b
jest obwodem elementarnym, w którym
prąd obliczamy ze wzoru:
I=
-
z
Zz�+ Z
-
Z1 Z2
z
z=
Z1 + Z2
-
W zwi
my ze wzoru ( 1 2.29).
wzorer
a)
-·-·-·-·- a
2. Impedancja Zz jest równa impedan­
cji, widzianej z zacisków ab po zwar­
ciu wszystkich źródeł napięcia i roz­
warciu wszystkich źródeł prądu.
T
Przykła
I
Stosuj�
du pły
l.
b)
'-- ·-·-·-·-· b
a
cl�
E.2 = j l
Qz1 O z2 �
1 . Napięcie zastępcze E.z jest równe na­
pięciu, które wystąpi na zaciskach ab
po odłączeniu odbiornika o impedan­
cji z, tzn. w stanie jałowym zacis­
ków ab.
Odpo\Ą
stawio1
Po wyznaczeniu E.z oraz Zz prąd l oblicza­
( 1 2.29)
Pominiemy tu dowód twierdzenia Theve­
nina. Z dowodu tego twierdzenia wynika
sens i sposób wyznaczenia napięcia zastęp­
czego E.z oraz impedancji zastępczej Zz:
226
W obvi
można
stępCZ)
niem r
niem c
b
LL
b
Rys. 12.10. Wyjaśnienie sposobu wyznaczania napię­
cia zastępczego i impedancji zastępczej: a) schemat
obwodu początkowego; b) schemat obwodu do wyz­
naczania napięcia zastępczego li., ; c) schemat obwo­
du do wyznaczania impedancji zastępczej �z
Rys. 12.
do przyk
W obwodach zawierających źródła prądu
można posługiwać się twierdzeniem o za­
stępczym źródle prądu, zwanym twierdze­
niem Nortona. Zgodnie z tym twierdze­
niem dowolny aktywny obwód liniowy
a
można od strony wybranych dwóch zaci­
sków ab zastąpić obwodem równoważnym
złożonym z połączonego równolegle jedne­
b
Rys. 12.11. Schemat zastępczy układu przedstawio­
nego na rysunku 12.9b
go idealnego źródła prądu i jednej admitan­
cji . Twierdzenie to wynika z warunku rów­
noważności źródła napięcia i źródła prądu.
Jeżeli źródło napięcia na rysunku 12.9b za­
stąpimy równoważnym źródłem prądu, to:
I = E.z
-z
z
-z
1 . Prąd źródłowy lz zastępczego źródła
( 1 2.30)
1
y =z
­
-z
nącemu w obwodzie z rysunku 12.9b przy
zwarciu zacisków ab, możemy wyciągnąć
następujące wnioski:
prądu jest równy prądowi zwarcia
zacisków ab, do których jest dołączo­
ny odbiornik.
(12.31)
-z
Odpowiedni schemat równoważny przed­
stawiono na rysunku 12.11 .
2. Admitancja Xz jest równa admitancji
widzianej z zacisków ab po zwarciu
wszystkich źródeł napięcia i rozwar­
ciu wszystkich źródeł prądu. •
W związku z tym, że prąd lz określony
wzorem ( 1 2.30) jest równy prądowi pły„
Przykład 1 2. 1
Stosując metodę zastępczego źródła napięcia (metodę Thevenina) , oblicz wartość prą­
du płynącego w gałęzi o impedancji Z3 (rys. 12.12a). Dane obwodu: E.1 = 1 0 V,
E.2
=
j 10 v, �1 = ( 1 + j o n , �2 = (3
do przykładu 12.l
j 1 ) n , z3 = -jo,5 n .
,
ED
a)
l1
a
b
I.z
E3f2
b}
Rys. 12.12. Schematy obwodów
-
l
li
a
lz
c}
a
b
www.wsip.com.pl
227
Rozwiązanie
W celu obliczenia wartości napięcia zastępczego li.z robimy przerwę w gałęzi o impe­
dancji Z3 (rys. 12.12b). Wyznaczamy napięcie między zaciskami ab:
13.
Ilib = &.
1 3.1 .
W tym celu najpierw obliczamy prąd:
/J.1 - /J.2
10 - j
10 j
-I = + = 1 + J_ 1 + 3lO- j 1 = -4 l O = (2 S
Z1 z2
'
_
.
J 2' S) A
Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa napięcie wynosi:
Ilib = E.1 - Zi l = 10 - [(1 + j 1 )(2,S - j2,S)] = 10 - S = S V
W doty<
Zatem wartość napięcia zastępczego:
Ez = S V
-
Wartość impedancji zastępczej Zz obliczamy jako impedancję widzianą od strony zacis­
ków ab , po zastąpieniu źródeł napięcia E.1 i E.2 zwarciem (rys. 12.12c):
z = �1�2
+j 3 - j l) = ( 1 + ·o s) n
= O l)C
J '
1
+
+
j1 + 3 -j1
z
�I �2
Korzystając ze wzoru ( 1 2 .29) obliczamy wartość prądu w gałęzi o impedancji Z:3 :
I- = §.z = 1 j0,5
. 5 - j0,5
. =SA
+
�z + �3
Pytania i polecenia
.A
I'----------------------
1 2 . 1 . Podaj sposoby sporządzania bilansu mocy obwodu rozgałęzionego.
1 2 .2 . Jak się wyznacza impedancję własną oczka przy stosowaniu metody prądów oczkowych?
1 2.3. Jak się wyznacza admitancję własną węzła przy stosowaniu metody napięć węzłowych?
1 2 .4. Jak wyznacza się napięcie źródłowe oczkowe?
1 2 .5. Jak wyznacza się prąd źródłowy wypadkowy węzła?
1 2 .6. Omów sposób wyznaczania napięcia źródła zastępczego i i mpedancji zastępczej metodą
Thevenina.
1 2. 7. Omów sposób wyznaczania prądu źródła zastępczego i admitancji zastępczej metodą Nortona .
...
daliśmy
występt
tyczneg1
magnet�
pływu :
e lement
z tym el
był zate
tern, kt<
śmy tyli
definiov
skojarzc
go prze;
żenia, i:
idalneg<
tylko na
Często j
żenia m
do czyn
się w di
pięcia c
tyczneg<
cie. Uvi.
wzajellll
sunek s1
rzonego
go Z Ct
w cewct
Korzyst
le 7 , ola
nej pow
1 3 . Obwody elektryczne
ze sprzężen iami magnetycznymi
13.1 .
Zjawiska występujące
w obwodzie
ze sprzężeniem
magnetyanym cewek
W dotychczasowych rozważaniach zakła­
daliśmy, że w obwodzie elektrycznym nie
występuje zjawisko sprzężenia magne­
tycznego cewek. Oznaczało to , że pole
magnetyczne wytworzone w wyniku prze­
pływu prądu elektrycznego przez dany
element indukcyjny jest związane tylko
z tym elementem. Strumień magnetyczny
był zatem skojarzony tylko z tym elemen­
tem, który go wytwarzał. Uwzględniali­
śmy tylko indukcyjność własną cewki L,
definiowaną jako stosunek strumienia lfJ
skojarzonego z cewką do prądu I płynące­
go przez cewkę . W wyniku takiego zało­
żenia, podczas przepływu prądu sinuso­
idalnego przez cewkę , indukuje się w niej
tylko napięcie indukcji własnej .
Często jednak nie można pominąć sprzę­
żenia między cewkami. Mamy wówczas
do czynienia ze zjawiskiem indukowania
się w danym elemencie indukcyjnym na­
pięcia od zmiennego strumienia magne­
tycznego wytworzonego w innym elemen­
cie . Uwzględniamy wtedy indukcyjność
wzajemną M cewek definiowaną jako sto­
sunek strumienia magnetycznego wytwo­
rzonego w cewce pierwszej i skojarzone­
go z cewką drugą do prądu płynącego
w cewce pierwszej .
Korzystając z pojęć podanych w rozdzia­
le 7 , określimy napięcia indukcji wzajem­
nej powstające podczas przepływu prądu
www.wsip.com.pl
sinusoidalnego przez dwie cewki sprzężo­
ne magnetycznie . Załóżmy, że na wspól­
nym rdzeniu z materiału nieferromagne­
tycznego są nawinięte dwie cewki. Każda
cewka jest zasilana ze źródła napięcia si­
nusoidalnego. Ze względu na wzajemne
usytuowanie cewek, są one sprzężone
magnetycznie (rys. 13Ja) .
Zarówno cewka pierwsza o liczbie zwojów
N1 , jak i cewka druga o liczbie zwojów Nz,
gdy prądy przepływają przez cewki, znaj­
dują się pod wpływem strumieni magne­
tycznych własnych i wzajemnych. Stru­
mień magnetyczny wytworzony w cewce
J oznaczono przez <I>1 1 , natomiast strumień
magnetyczny wytworzony w cewce 2
oznaczono przez .P22 . Strumień wytworzo­
ny w cewce 1 i obejmujący cewkę 2 ozna­
czono przez <I>8 1 , a strumień magnetyczny
Rys. 13.1. Dwie cewki sprzężone magnetycznie,
nawinięte na wspólnym rdzeniu: a) obwody
sprzężone; b) schemat zastępczy
229
wytworzony w cewce 2 i obejmujący cew­
kę 1 oznaczono przez <Pg2 .
Wobec tego całkowity strumień magne­
tyczny skojarzony z cewką 1 :
W1 = N1 (<P1 1 + <Pg2 ) = W1 1 + W21
(13.1)
a całkowity strumień magnetyczny skoja­
rzony z cewką 2:
W2 = N1(<P22 + <I>g1) = W22 + W1 2 ( 1 3 .2)
Strumienie Wu oraz W22 decydują o po­
wstaniu napięć indukcji własnej , a stru­
mienie l[r1 2 oraz l[r2 1 o powstaniu napięć
indukcji wzajemnej , przy czym indukcyj­
ności własne cewek:
-
�1l12 = �21l
2
a indukcyjność wzajemna:
M=
Układowi z rysunku 1 3 . l a odpowiada
schemat zastępczy z rysunku 13.lb,
w którym uwzględniliśmy rezystancje
uzwojeń R1 oraz R2 , indukcyjności własne
L1 oraz Li i indukcyjność wzajemną M.
Schemat zastępczy przedstawia dwa ob­
wody niepołączone elektrycznie, tzn. nie­
mające wspólnego węzła, a jedynie jak
mówimy, sprzężone magnetycznie. Sprzę­
żenie to reprezentuje na schemacie induk­
cyjność wzajemna M.
w postaci napięć indukcji wzajemnej .
Wprawdzie w przykładzie, który rozpa­
trywaliśmy, dwa obwody nie były połą­
czone elektrycznie , ale w wielu innych
przypadkach pojawiają się sprzężenia
magnetyczne między elementami znaj­
dującymi się w tej samej gałęzi lub w ga­
łęziach sąsiednich połączonych elek­
trycznie .
1 3.2.
Zaciski jednoimienne
i ich oznaczanie
W obliczeniach obwodów ze sprzężenia­
mi magnetycznymi istotne znaczenie mają
zwroty strumieni magnetycznych pocho­
dzących od prądu cewki własnej i prądu
cewki sąsiedniej z nią sprzężonej . W roz­
patrywanym na rysunku 1 3 .1 przykładzie
zwroty strumieni magnetycznych były
zgodne. Nie zawsze jednak tak będzie .
O wzajemnym zwrocie strumieni magne­
tycznych decydują bowiem dwa czynniki:
a) kierunek nawinięcia każdej z cewek,
b) zwroty prądów w cewkach.
Jak stwierdzono, istnieje związek między
zwrotem prądu w cewce a zwrotem wy­
tworzonego strumienia magnetycznego.
Związek ten określa reguła śruby prawo-
Analogicznie do pojęcia reaktancji induk­
cyjnej Xu = wL1 , XL2 = wLi wprowa­
( 1 3 .4)
230
przez
zwroty
są zgo
dukcji
Jeśli z1
1 i I' :
mienie
są prze
Na ry
cewki 1
przypa'
dów w•
to stru1
nej są I
a)
'G
2 o--
1'G
Z o-•
Rys. 13.:
w cewka
nym zwr,
jeń cewe
dów wzg
Jeśli Z2
dzimy termin reaktancji indukcji wza­
jemnej:
Podczas obliczania obwodów, w których
występują sprzężenia magnetyczne ele­
mentów indukcyjnych, w równaniach
napięć pojawiają się dodatkowe składniki
skrętm
rys . 7 .L
dwie c
czątki
Rys. 13.2. Zwroty strumieni magnetycznych
w cewkach nawiniętych zgodnie: a) przy zgodnym
zwrocie prądów względem początków uzwojeń ce­
wek (J , 11); b) przy przeciwnym zwrocie prądów
względem początków uzwojeń cewek (J , I')
sków 1
strumie
są zgod
Gdy zg
własnej
te stru
znaku,
zwrota1
induko
t
skrętnej lub reguła prawej dłoni (patrz
rys. 7 .4). Na rysunku 13.2 przedstawiono
dwie cewki o nawinięciu zgodnym . Po­
czątki uzwojeń obu cewek oznaczono
przez 1 i I ' , a końce przez 2 i 2' . Jeśli
zwroty prądów względem zacisków 1 i I'
są zgodne (rys. 1 3 .2a) , to strumienie in­
dukcji własnej i wzajemnej też są zgodne.
Jeśli zwroty prądów względem zacisków
1 i J' są przeciwne (rys . 1 3 .2b) , to stru­
mienie indukcji własnej i wzajemnej też
są przeciwne.
Na rysunku 13.3 przedstawiono dwie
cewki o nawinięciu przeciwnym. W tym
przypadku, jeśli zgodny jest zwrot prą­
dów względem zacisków 1 i I' (rys . 1 3 .3a),
to strumienie indukcji własnej i wzajem­
nej są przeciwne.
Pisząc równania dla obwodów elektrycz­
nych ze sprzężeniami magnetycznymi,
musimy więc pamiętać o odpowiednim
wyborze znaku napięć indukowanych.
Ponadto na schematach obwodów elek­
trycznych elementy indukcyjne rysujemy
za pomocą znormalizowanych symboli
graficznych. Dlatego też, gdy występują
sprzężenia magnetyczne, to należy stoso­
wać oznaczenia dodatkowe informujące
o kierunku nawinięcia cewek.
Dwa zaciski należące do dwóch różnych
cewek sprzężonych magnetycznie nazy­
wamy zaciskami jednoimiennymi i ozna­
czamy jednakowymi wskaźnikami - jeśli
przy jednakowym zwrocie prądów wzglę­
dem tych zacisków, strumienie magne­
tyczne indukcji własnej i wzajemnej
w każdej cewce mają jednakowe zwroty.
Do oznaczania zacisków jednoimiennych
stosuje się zwykle kropki, ale spotyka się
także gwiazdki i inne symbole graficzne.
Na rysunku 1 3 .2 zaciskami jednoimien­
nymi są zaciski 1 oraz I' , a na rysunku
13 .3 - zaciski 1 oraz 2' .
Rys. 133. Zwroty strumieni magnetycznych
w cewkach nawiniętych przeciwnie: a) przy zgod­
nym zwrocie prądów względem początków uzwo­
jeń cewek (1 , J'); b) przy przeciwnym zwrocie prą­
dów względem początków uzwojeń cewek (1 I')
Jeśli zaś zwroty prądów względem zaci­
Zaciski jednoimienne dwóch cewek sprzę­
żonych magnetycznie można wyznaczyć
doświadczalnie. Ma to istotne znaczenie
zwłaszcza wówczas , gdy uzwojenia nie są
dostępne, a na zewnątrz są wyprowadzone
jedynie końce uzwojeń. Z problemem tego
typu spotykamy się np. w transformato­
rach o dużej liczbie uzwojeń.
sków 1 i I' są przeciwne (rys. 1 3 .3b), to
strumienie indukcji własnej i wzajemnej
są zgodne .
Gdy zgodne są zwroty strumieni indukcji
własnej i wzajemnej, indukowane przez
te strumienie napięcia są tego samego
znaku, natomiast przy przeciwnych
zwrotach tych strumieni, również znaki
indukowanych napięć są przeciwne.
Do wykonania doświadczenia potrzebny
jest woltomierz prądu stałego oraz źródło
prądu stałego, np. akumulator lub ogniwo.
Do zacisków jednego z uzwojeń dołącza­
my, przez wyłącznik w oraz rezystor, źró­
dło napięcia, a do zacisków uzwojenia dru­
giego dołączamy woltomierz (rys. 13.4) .
Jeżeli w chwili zamknięcia wyłącznikiem
obwodu ze źródłem napięcia wskazówka
,
www.wsip.com.pl
231
•
'.'l'apięci
jest ró"
a napięcie na zaciskach cewki drugiej
Rys. 13.4. Wyznaczanie zacisków jednoimiennych
drogą pomiarową
woltomierza odchyli się w stronę wskazań
dodatnich, to zaciskami jednoimiennymi
uzwojeń jest zacisk dołączony do biegu­
na dodatniego źródła napięcia i zacisk
dołączony do dodatniego zacisku wolto­
mierza .
Połączenie szeregowe
elementów
sprzężonych
magnetycznie
Założymy, że dwie cewki o rezystancjach
uzwojeń wynoszących R1 i R2 oraz induk­
cyjnościach własnych L1 i Li są połączo­
ne szeregowo. Cewki są sprzężone ma­
gnetycznie , przy czym indukcyjność
wzajemna wynosi M.
Można wyróżnić dwa sposoby połączenia
cewek:
a) połączenie zgodne,
b) połączenie przeciwne .
Gdy połączenie jest zgodne (rys. 13.Sa),
prądy w obu cewkach mają jednakowe
zwroty względem zacisków jednoimien­
nych.
W tym przypadku strumienie indukcji
własnej i wzajemnej w każdej cewce do­
dają się i napięcie indukcji wzajemnej ma
znak plus (+).
Napięcie n a zaciskach cewki pierwszej
jest równe:
232
a napię<
Napięcie na zaciskach układu cewek po­
łączonych szeregowo zgodnie wynosi:
= Zzgl
U2
Napięci
czonycł
( 1 3 .7)
przy czym
Zzg =
1 3.3.
U1
U=
J
= Zp
J<R1 +R2 )2 + (wL1 + wL2 +2wM)2
( 1 3 .8)
przy cz:
Gdy połączenie jest przeciwne (rys.
13.Sb) , w cewce pierwszej prąd dopływa
do zacisku oznaczonego kropką, a w cewce
drugiej prąd odpływa od zacisku oznaczo­
nego kropką, a zatem prądy w obu cew­
kach mają różne zwroty względem zaci­
sków jednoimiennych. W tym przypadku
strumienie indukcji własnej i wzajemnej
w każdej cewce odejmują się i napięcie
indukcji wzajemnej ma znak minus (-).
Zp = '
a)
b)
f1
Porówn
W obu
szerego
szerego
ma inn
R = R1
wa, nat1
różna:
ł
L:::J I
f1
~
Rys. 13.5. Dwie cewki sprzężone połączone szere­
gowo: a) zgodnie; b) przeciwnie
·
;l
)
)
Występ1
przy p
zmniejs
układu,
tancję i
na pods
znaczyć
a miano
Napięcie na zaciskach cewki pierwszej
jest równe:
1 3 .4.
Zasada działania
transformatora
U1 = JRi + (wL1 - wM)2I = Z1/
Transformator jest urządzeniem, w któ­
(13.9) rym następuje przekazywanie energii
a napięcie na zaciskach cewki drugiej:
elektrycznej z jednego obwodu do drugie­
go za pośrednictwem pola elektromagne­
tycznego. Jest on zbudowany z dwóch lub
Z2/
większej liczby uzwojeń sprzężonych ma­
gnetycznie. Uzwojenia transformatora nie
Napięcie na zaciskach układu cewek połą­ są zwykle połączone galwanicznie .
czonych szeregowo, przeciwnie wynosi:
Transformatory mają różne przeznacze­
nie. Transformator energetyczny służy do
. przetwarzania energii elektrycznej o jed­
nym napięciu na energię elektryczną o in­
Zpl
nym napięciu. Oprócz zastosowań energetycznych buduje się różne transformatory
przy czym:
specjalne, jak np. transformatory pomiaro­
we
zwane przekładnikami, transformatory
Zp
spawalnicze i prostownikowe, a także
transformatory miniaturowe stosowane
Porównajmy wyrażenia
i
w układach elektronicznych oraz w ukła­
W obu przypadkach - przy połączeniu dach automatyki i telekomunikacji. Róż­
szeregowym, zgodnym i przy połączeniu norodność typów transformatorów mocy
szeregowym przeciwnym - impedancja oraz różnorodność zakresu ich przezna­
ma inną wartość . Rezystancja układu czenia pociąga za sobą różnorodność ich
R
jest w obu układach jednako­ konstrukcji. Zasada działania transforma­
wa, natomiast reaktancja indukcyjna jest torów jest jednak zawsze taka sama.
różna:
W zależności od liczby uzwojeń sprzę­
żonych magnetycznie rozróżniamy trans­
Xzg
formatory dwuuzwojeniowe i wielouzwo­
Xp
jeniowe. W podręczniku będą omawiane
wyłącznie transformatory dwuuzwoje­
Występowanie indukcyjności wzajemnej
mowe.
przy przeciwnym połączeniu cewek
Uzwojenie transformatora, do którego jest
zmniejsza indukcyjność wypadkową
dołączone źródło energii elektrycznej , na­
układu , a więc zmniejsza również reak­
zywamy uzwojeniem pierwotnym, nato­
tancję indukcyjną wypadkową. Ponadto
miast uzwojenie, do którego jest dołą­
na podstawie równań
można wy­
czony odbiornik, nazywamy uzwojeniem
znaczyć indukcyjność wzajemną M,
wtórnym . Napięcia i prądy związane
a mianowicie:
z uzwojeniem pierwotnym nazywamy
i pierwotnymi, a związane z uzwojeniem
1 wtórnym nazywamy wtórnymi. Wszystkie
U2 = JR; + (wLz - wM)21 =
(13.10)
U = J<Ri +R2 )2+(wL1 +wLz-2wM)21 =
=
(13.11)
= J<R1+R2 )2+(wL1 + wLz-2wM)2
(13.12)
(13.8 ) (13.12).
= R1 + R2
= w(L1 + L2 + 2M)
= w(Li +Lz - 2M)
(13.13)
(13.13)
(13 . 14)
www.wsip.com.pl
233
wielkości i parametry uzwojenia pierwot­
nego opatrujemy wskaźnikiem 1 , a uzwo­
jenia wtórnego wskaźnikiem 2.
W zależności od środowiska, w jakim za­
myka się wytworzony wokół uzwojeń stru­
mień magnetyczny, rozróżniamy transfor­
matory powietrzne oraz transformatory
z rdzeniem ferromagnetycznym.
Do kategorii transformatorów powietrz­
nych są zaliczane także transformatory
o rdzeniach wykonanych z materiałów
nieferromagnetycznych.
Przekładnią zwojową transformatora n
nazywamy stosunek liczby zwojów
uzwojenia pierwotnego N1 do liczby zwo­
jów uzwojenia wtórnego Nz , czyli:
N1
N2
n = ­
( 1 3 . 1 5)
Zasadę działania transformatora wyjaśni­
my na przykładzie transformatora dwu­
uzwojeniowego, którego schemat przed­
stawiono na rysunku 13.6.
Na rysunku 1 3 .6a dwa uzwojenia umiesz­
czone na wspólnym rdzeniu są nawinięte
zgodnie, a na rysunku 1 3 .6b - przeciwnie.
Do uzwojenia pierwotnego o liczbie zwo­
jów N1 dołączono źródło napięcia sinuso­
idalnego. W uzwojeniu pierwotnym płynie
prąd sinusoidalny o wartości chwilowej i1
W wyniku przepływu tego prądu w prze­
strzeni otaczającej uzwojenie pierwotne,
a więc w rdzeniu, powstaje zmienny stru­
mień magnetyczny <P11 o zaznaczonym na
rysunku 1 3 .6a zwrocie. Strumień główny
<Pg1 mniejszy od strumienia <P11 o wartość
strumienia rozproszenia <Psl ' kojarzy się
z uzwojeniem wtórnym o liczbie zwojów
N2 i indukuje w tym uzwojeniu napięcie
indukcji wzajemnej .
Jeżeli do uzwojenia wtórnego jest dołą­
czony odbiornik, to pod wpływem zain­
dukowanego w tym uzwojeniu napięcia
234
popłynie prąd i2 . Zwrot prądu i2 wynika
z reguły Lenza (patrz podrozdz . 7 . 1 6) .
Prąd w uzwojeniu wtórnym iz musi mieć
taki zwrot, aby strumień magnetyczny
wytworzony przez ten prąd miał zwrot
przeciwny do zwrotu strumienia magne­
tycznego wytworzonego przez prąd pier­
wotny i 1 • Strumień magnetyczny wytwo­
rzony przez prąd wtórny oznaczono przez
<P22 . Jak wynika z rysunków 1 3 .6a oraz b ,
w obu przypadkach, przy zgodnym i prze­
ciwnym nawinięciu uzwojeń, strumienie
magnetyczne <P11 i <P22 mają zwroty prze­
ciwne. Na rysunku 1 3 .6 oznaczono też za­
ciski jednoimienne . Niezależnie od kie­
runku nawinięcia uzwojeń, prądy mają
al i1
1.
1'
Ni
</>11
<l>g1
• 2
i2
zwroty
noimie1
Jak ju:ż
transfo
konstn
wa ind
gdy Zl
niem ft
wią się
rdzenii
nej , pr:
Z pun
transfo
• stan
form
• stan
form
nie , 1
• stan
wtór
odbi·
T
1 3.5.
N2
2'
b}
1 . l1
1'
</>11
<l>g1
Rys. 13.6. Schemat transformatora dwuuzwoje­
niowego: a) uzwojenia nawinięte zgodnie;
b) uzwojenia nawinięte przeciwnie
Transf
niowy
zwycz
magne
międz:
cji trar
zbyt d
charak
Warto:
jeń k I
jako s·
główn
całkm
zera d
Schen
wietrz
13.7. ]
zwroty przeciwne względem zacisków jed­
noimiennych.
Jak już wspominaliśmy, zasada działania
transformatora jest niezależna od jego
konstrukcji i wynika z zastosowania pra­
wa indukcji elektromagnetycznej . Jednak
g9f zastosujemy transformator z rdze­
niem ferromagnetycznym, wówczas poja­
wią się skutki nieliniowej charakterystyki
rdzenia, zjawisko histerezy magnetycz­
nej , prądy wirowe w rdzeniu itp.
Z punktu widzenia charakteru pracy
transformatora rozróżniamy:
• stan jałowy , gdy zaciski wtórne trans­
formatora są rozwarte;
• stan zwarcia, gdy zaciski wtórne trans­
formatora są połączone bezimpedancyj­
nie, tzn. zwarte;
• stan
obciążenia , gdy do zacisków
wtórnych transformatora jest dołączony
odbiornik.
1 3.5.
Transformatory
powietrzne
Transformator powietrzny dwuuzwoje­
niowy ma dwa uzwojenia nawinięte za­
zwyczaj na rdzeniu z materiału nieferro­
magnetycznego. Sprzężenie magnetyczne
między uzwojeniami zależy od konstruk­
cji transformatora, ale przeważnie nie jest
zbyt dobre, tzn. transformatory tego typu
charakteryzują się dużym rozproszeniem.
Wartość współczynnika sprzężenia uzwo­
jeń k (zdefiniowanego w podrozdz. 7 . 1 1
jako stosunek strumienia magnetycznego
głównego do strumienia magnetycznego
.:: ałkowitego) jest zawarta w granicach od
zera do jedności.
Schemat zastępczy transformatora po­
.vietrznego przedstawiono na rysunku
13.7. Przez R1 i R1 oznaczono rezystancje
www.wsip.com.pl
uzwojeń, przez L1 i Li - indukcyjności
własne uzwojeń, przez M - indukcyjność
wzajemną, która zgodnie ze wzorem
(7 .49) wynosi k y!L;L;. .
Do zacisków wtórnych dołączono odbior­
nik o impedancji Z0 . Transformator jest
zasilany ze źródła napięcia sinusoidalne­
go o wartości skutecznej zespolonej U1 •
t1
LJLJ�
z
r
Rys. 13.7. Schemat zastępczy transformatora
powietrznego dwuuzwojeniowego
Zwroty prądów względem zacisków jed­
noimiennych są różne, a zatem napięcie
indukcji wzajemnej wystąpi w równa­
niach ze znakiem minus.
Napiszemy równanie bilansu napięć dla
obwodu pierwotnego i dla obwodu wtór­
nego:
Il..1 = Ri l1 + jwL d1 - j wMl2
( 1 3 . 1 6a)
O = R1l2 + j wLil2 - jwMl1 + Zol2
przy czym:
( 1 3 .16b)
( 1 3 . 1 7)
Równania ( 1 3 .1 6a) i ( 1 3 . 1 6b) możemy
napisać w postaci mniej rozbudowanej .
W tym celu wprowadzimy następujące
oznaczenia:
( 1 3 . 1 8)
235
'
J
biornik ma charakter rezystancyjno-induk­
cyjny, czyli Zo = Ro + jwLo. Na kierunku
( 1 3 .1 9a) odniesienia, tzn. zgodnie z kierunkiem osi
Ui = Z11 l1 - ZMl2
rzeczywistej, przyjmujemy położenie wek­
( 1 3 .1 9b) tora prądu l (rys. 13.8). W fazie z prądem
o = 'l:.z2l2 - ZMl1
2
Rol2, a wyprzedza prąd l2
napięcie
jest
l
Jeżeli z równania ( 1 3 . 1 9b) wyznaczymy · 2
prąd wtórny:
o kąt 7r/2 napięcie jwLol2 . Następnie rysu­
jemy, zgodnie z kierunkiem prądu l2 , na( 1 3 .20)
pięcie Rzl2 , a prostopadle do kierunku prą­
i podstawimy go do równania ( 1 3 . 1 9a), to du napięcie jwLzl2 • Jeśli do sumy tych
napięć dodamy napięcie indukcji wzajemotrzymamy:
nej ze znakiem minus, tzn. napięcie
-jwMl1 , to zgodnie z równaniem (13.16b)
Z
U1 = z
-11 /- 1 '!,z� I-1 = z11 z� -1
otrzymamy zero. W związku z tym, że
( l 3 .21) ; prąd l wyprzedza w fazie napięcie
1
Stąd:
-jwMl1 o kąt 7r/2, stąd możemy znaleźć
( 1 3 .22) zwrot prądu l1 •
li = Il.1
Po uwzględnieniu tych oznaczeń równa­
nia ( 1 3 . 1 6) przybierze postać:
_
22 (-
-
Z1 1
- 2Z222
_
22 )1 :
-
-M
Przystępujemy teraz do pokazania na wy­
kresie wektorowym bilansu napięć uzwo­
Jeżeli są dane parametry transformatora jenia pierwotnego zgodnie z równaniem
i jego impedancja obciążenia, to znając ( 1 3 . 1 6a). Rysujemy więc wektor napięcia
napięcie pierwotne Il_1 , możemy wyzna- , R d będący w fazie z prądem l ; następ­
i
i
czyć prąd pierwotny li na podstawie rów- nie prostopadle do prądu li rysujemy na­
nania (13.22). Następnie z równania ( 1 3.20) ! pięcie jwLili i do sumy tych dwóch spad­
wyznaczamy prąd wtórny 12 , a z równania ;
ków napięć dodajemy napięcie indukcji
( 1 3 .17) - napięcie wtórne 2 •
wzajemnej -jwMl2 , opóźnione względem
Wykonamy wykres wektorowy transfor- .
prądu l2 o kąt fazowy 7r /2. W rezultacie
matora powietrznego. Założymy, że odotrzymujemy napięcie U1 •
W ob"
indukc.
które j(
skach '
l2 w ob
ne spac
W stan
czone
IL2 = O.
obwod1
tać jak
Przykła
Do Ob\
Parame
wM = (
;
ll
Im
Rys. 13.8. Wykres wektorowy transformatora
powietrznego
236
J
Rozpatrzymy równanie transformatora
dla stanu jałowego i stanu zwarcia.
W stanie jałowym zaciski wtórne są roz­
warte, co odpowiada l2 = O. Wobec tego
w uzwojeniu pierwotnym nie powstaje
napięcie indukcji wzajemnej , co jest
równoznaczne z brakiem oddziaływania
obwodu wtórnego na obwód pierwotny.
Równanie ( 1 3 . 1 6a) przybiera więc pos­
tać:
( 1 3 .23)
Rozwią
Na ryst
nie ze '
Prąd pł
W obw
Moc cz
W obwodzie wtórnym powstaje napięcie I
i.nuukc)i wz.a)emne):
\
(13.24) ';
12.z = ]wMI1
które jest jednocześnie napięciem na zaci­
skach wtórnych, gdyż wobec braku prądu
l: w obwodzie wtórnym nie występują żad­
ne spadki napięć.
W stanie zwarcia zaciski wtórne są połą­
czone bezimpedancyjnie, co odpowiada
!l.z = O. Ponadto Zo = O. Równanie napięć
obwodu pierwotnego ma taką samą pos­
tać jak w stanie obciążenia:
Przykład 1 3 .1
Q-3 .25\
a równanie nap1ęc obwodu wtórnego
przybierze postać:
O = Rzlz + jwLzlz - jwMl1
( 1 3 .26)
Jak widać zmiany są niewielkie, jednak
w stanie zwarcia zmieniają się wartości
prądów i spadków napięć, co może wpły­
nąć niekorzystnie na pracę transformatora
i doprowadzić do jego uszkodzenia. •
I
Do obwodu przedstawionego na rysunku 13.9 przyłożono napięcie u = 50 y2 sinwt.
Parametry obwodu są następujące: R 1 = 20 O, Rz = 3 0 O, wL1 = wLz =
wM = 0,5wL1 • Oblicz moc czynną pobieraną przez obwód.
w� = 1 0 O,
t1
Rys. 13.9. Schemat obwodu
do przykładu 13 . 1
Rozwiązanie
�
Na rysunku oznaczone są zaciski jednoimienne. Sprzężenie jest ujemne, a wiec zgod­
nie ze wzorem (13.12):
Zp =
/(R1 + Rz)z + (wL1 + wLz - Je - 2wM) z
=
= v<20 + 30)2 + <10 + 10 - 10 - 10)2 = 50 n
Prąd płynący w obwodzie wynosi:
50
u
l = Z = 50 = 1 A
W obwodzie występuje rezonans, czyli obwód ma charakter rezystancyjny.
Moc czynna równa się:
P = Ulcos <p = 50 1 = 50 W
·
lub
P = (R 1 + Rz) z2 = (20 + 30) 1 2 = 50 W
·
www.wsip.com.pl
·
237
T
Przykład 1 3.2
•
j
Pytani,
Oblicz wartości prądów płynących w gałęziach obwodu przedstawionego na rysunku
13.10 oraz wartość mocy czynnej pobieranej przez obwód. Dane: R1 = 8 O, Xu = 8 O,
XL! = Xc1 = 10 n, XM = 8 n, u = 120 V.
I
I2
Rz
Y.
Rys. 13.10. Schemat obwodu
do przykładu 1 3 .2.
Rozwiązanie
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:
l
1 3. 1 . w
ce
1 3 .2. Pe
1 3 .3. Ja
m
1 3 .4. Ci
a)
b)
c)
d)
1 3 .5. 01
a)
b)
c)
d)
Il = Zil1 + ZMl2
Il = Z:il2 + �[,
przy czym impedancje obwodu:
Z1 = j (Xu
-
Xc1 ) = j ( lO - 10) = O
�2 = R1 + jXL2 = (8 + j8) 0
zM = jXM = j 8 n
Wobec tego napięcie wynosi:
Il = �l2
Stąd prąd w gałęzi drugiej:
.
u
120
= -J 1 5 A , /i = l5 A
lz = 2- = y
M J
Prąd w gałęzi pierwszej:
I1
-
_
-
-
Il - 'bl2 _ 1 20 - (8 +j8)(-j l 5) _
- 15 A
ZM
j8
-
Prąd dopływający do obwodu:
l = [1 + l2 = 15 - j 15, I = J1 52 + 152 = 21,2 A
Moc czynna jest pobierana przez rezystancję R2 , a zatem:
238
.' ' t
-,;· f
)
!
Pytania i polecenia ...__.
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
1 3. 1 . Wyjaśnij sens strumienia magnetycznego głównego przy sprzężeniu magnetycznym dwóch
cewek.
1 3 .2. Podaj cel określenia zacisków jednoimiennych i jak je się definiuje?
1 3.3. Jak się wyznacza indukcyjność wypadkową dwóch cewek połączonych szeregowo i sprzężonych
magnetycznie?
1 3.4. Czy przy połączeniu szeregowym zgodnym dwóch cewek sprzężonych reaktancja obwodu:
a) wzrasta
b) maleje
c) nie zmienia się
d) jest równa zeru
1 3.5. Od jakich wielkości zależy reaktancja indukcji wzajemnej:
a) od prądu płynącego w obwodzie
b) tylko od częstotliwości
c) tylko od indukcyjności wzajemnej
d) od częstotliwości i od indukcyjności wzajemnej
www.wsip.com.pl
14. U kłady trójfazowe
14.1 .
ł
Ii
Klasyfikacja układów
trójfazowych
Układem
wielofazowym
).
nazywamy
I
zbiór obwodów elektrycznych, w których
działają napięcia źródłowe sinusoidalnie
zmienne jednakowej częstotliwości, prze­
sunięte względem siebie w fazie i wytwa­
rzane w jednym źródle energii, zwanym
prądnicą lub generatorem wielofazowym.
Zbiór napięć i prądów układu wielofazo­
wego nazywamy wielofazowym układem
prądów i napięć .
l
nych '
następ
spełniający rolę magneśnicy i wirujący ze
stałą prędkością kątową w. Zasada działa­
zowej nazywamy obwodami fazowymi
nia takiej prądnicy polega na przecinaniu
lub krótko fazami . W szczególnym przy­
trzech, przesuniętych przestrzennie o kąt
padku trzech obwodów mamy układ trój­
2n /3, uzwojeń przez stały strumień mag­
fazowy. Fazy układu trójfazowego ozna­
netyczny wytworzony w wirniku . Uzwo­
czamy literami LI , L2 i L3, a napięcia
jenia stojana są umieszczone w żłobkach,
źródłowe , międzyfazowe i fazowe odpo­
przy czym boki każdego zwoju znajdują
Jak w:
napięc
o kąt .
go fa2
fazy L
wiadające poszczególnym fazom - odpo­
się w dwóch przeciwległych żłobkach.
wiednimi indeksami l J . Początki uzwojeń
Uzwojenia poszczególnych faz są wyko­
napięc
kolejnych faz prądnicy oznaczamy U1 ,
nane w jednakowy sposób.
W każdym
o kąt'.
VI , WJ , a końce uzwojeń U2 , V2, W2 .
uzwojeniu indukuje się napięcie źródłowe
Do wytwarzania napięć w układzie trójfa­
sinusoidalne, przy czym ze względu na sy­
zowym służą prądnice (generatory) trój­
metrię układu i przesunięcie przestrzenne
fazowe (rys. 14.1) .
uzwojeń o ten sam kąt, w fazach induku­
również w prądnicy trójfazowej rozróż­
niamy stator
-
zwany także stojanem,
w którym są umieszczone uzwojenia,
oraz rotor - zwany również wirnikiem,
1l
„
Rys. 14.1. Uproszczony model prądnicy trójfazowej
Poszczególne obwody prądnicy wielofa­
Podobnie jak w prądnicy jednofazowej ,
i
Rys. 14
źródło"'
ne w pr
zowej: :
czasowi
wektorc
Według normy PN-EN 60445: 2002 obowiązują­
cymi oznaczeniami faz trójfazowego układu zasilania
są: LI , L2, L3 i N. W podręczniku po stronie odbior­
nika - zgodnie z oznaczeniami jego zacisków - od­
powiednie napięcia międzyfazowe (przewodowe)
i fazowe oraz prądy przewodowe i fazowe oznaczo­
no w celu odróżnienia indeksami A, B, C.
ją się napięcia o jednakowych amplitu­
dach, o tej samej częstotliwości i prze­
sunięte względem siebie o 1/3 okresu.
Prądnica o takiej konstrukcji jest prądni­
cą symetryczną. W prądnicy symetrycz­
nej jest wytwarzany układ napięć syme­
tryczny. Jedną z faz prądnicy przyjmujemy
jako fazę podstawową i względem napię­
cia źródłowego tej fazy określamy pozo­
stałe napięcia źródłowe (rys. 14.2) . Przyj­
mijmy, że fazą podstawową jest faza LI .
Równania napięć źródłowych wytwarza-
Układ
zastos
ciem 1
twarz:
trójfm
ne, op
mator
trójfm
szym
energi
niczrn
tryczn
jak do
równe
nych -
240
L --�-�'
Rys. 14.2. Napięcia
źródłowe wytwarzane w prądnicy trójfazowej: a) przebiegi
czasowe; b) wykres
wektorowy
b}
a}
e
eu
e12
E13
e13
Eu
a
nych w prądnicy trójfazowej zapisujemy
następująco:
14.2.
eu = Em sin
eL2 =
wt
2
Em sin (wt - ; )
eL3 = Em sin
(wt +
2;
)
(14.l)
14.2.1 .
Układy trójfazowe
symetryczne
I Pojęcia podstawowe
Układ trójfazowy nazywamy symetrycz­
nym, jeśli prądnica trójfazowa symetrycz­
na jest połączona z odbiornikiem złożo­
nym z trzech identycznych impedancji .
Jak wynika z wykresów oraz wzoru (14.1)
Fazy prądnicy oraz impedancje odbiornika
napięcie źródłowe fazy L2 opóźnia się
można łączyć w trójkąt lub w gwiazdę.
o kąt 27r /3 względem napięcia źródłowe­
Prądnica jest połączona w gwiazdę, jeśli
go fazy LI , natomiast napięcie źródłowe
końce uzwojeń U2 , V2, W2 trzech faz łączą
fazy L3 opóźnia się o kąt 27r /3 względem się we wspólnym punkcie zwanym punk­
napięcia źródłowego fazy L2 , a wyprzedza tem neutralnym lub punktem gwiazdo­
o kąt 27r /3 napięcie źródłowe fazy L1 .
wym oznaczonym literą N, a początki
uzwojeń
U1 , VI , W1 tworzą zaciski prądni­
Układ trójfazowy został po raz pierwszy
cy.
Również
odbiornik można skojarzyć
zastosowany w 1 889 r. Istotnym osiągnię­
ciem było opracowanie urządzeń do wy­ w gwiazdę, łącząc jedne końcówki impe­
twarzania i przekształcania energii prądu dancji we wspólny punkt, a trzy pozostałe
trójfazowego. Zostały bowiem zbudowa­ końcówki wyprowadzając na zewnątrz.
ne, oprócz prądnicy trójfazowej , transfor­ Na rysunku 14.3a przedstawiono układ
mator trójfazowy oraz silnik indukcyjny trójfazowy gwiazda-gwiazda trójprzewo­
trójfazowy. Silnik taki okazał się najtań­ dowy. Jeśli połączymy bezimpedancyjnie
szym i bardzo dogodnym przetwornikiem lub przez pewną impedancję punkty neu­
energii elektrycznej w energię mecha­ tralne źródła i odbiornika, to otrzymamy
niczną. Również przesyłanie energii elek­ układ trójfazowy gwiazda-gwiazda czte­
trycznej za pomocą linii trójfazowych jest roprzewodowy (rys. 14.3b) .
jak dotychczas - z różnych względów, za­ Przewód łączący punkty neutralne źródła
równo technicznych, jak i ekonomicz­ i odbiornika nazywamy przewodem neu­
tralnym. Pozostałe trzy przewody nazy­
nych - niezastąpione.
wamy przewodami fazowymi.
www.wsip.com.pl
241
UcA
W1
[
V1 18
B
t uB[
Ie
b)
UAB
Rys. 1�
W ukł
pując(
nia) p1
nicy
W1
V1
[
źródłl
odbio
B
kiem l
nika
Rys. 14.3. Układ trójfazowy gwiazda-gwiazda: a) trójprzewodowy; b) czteroprzewodowy
-
UB , U
Prądnica będzie połączona w trójkąt, jeśli
koniec jednej fazy połączymy z począt­
kiem drugiej , koniec drugiej fazy z po­
czątkiem trzeciej , a koniec trzeciej fazy
z początkiem pierwszej . Podobnie od­
biornik też można połączyć w trójkąt. Na
rysunku 14.4 przedstawiono układ trójfa­
zowy trójkąt-trójkąt.
Jeżeli źródło jest połączone w trójkąt,
a odbiornik w gwiazdę, to mamy układ
trójfazowy trójkąt-gwiazda (rys. 14.5);
jeśli natomiast źródło jest połączone
w gwiazdę, a odbiornik w trójkąt, to ma­
my układ trójfazowy gwiazda-trójkąt
(rys. 14.6) .
Zaciski odbiornika oznaczymy odpo­
wiednio A, B, C. W celu odróżnienia na­
pięć źródłowych od napięć pozostałych
występujących w układach trójfazowych,
będziemy oznaczali napięcia źródłowe
przez E, odpowiednio dla poszczególnych
faz: ELI , EL2 , EL3 .
Napię,
dwócł
napięc
nazy"
lub na
ku 14.
we ( U
oznac:
sujem
powia
grot S1
W ukł
dwa
w pm
nicą z
prze"
odbiot
mi. N
B
Ie
Rys. 14.4. Układ trójfazowy trójkąt-trójkąt
242
przew
- prąd
!Be , Ie
Rys. 14.5. Układ trójfazowy trójkąt-gwiazda
jedny1
nym '
A
W1
dwoma indeksami. Zwrot prądów w gałę­
ziach trójkąta przyjmujemy zwykle zgod­
nie z ruchem wskazówek zegara.
B
Rys. 14.6. Układ trójfazowy gwiazda-trójkąt
W układzie gwiazdowym napięcie wystę­
pujące między początkiem fazy (uzwoje­
nia) prędnicy a punktem neutralnym prąd­
nicy nazywamy napięciem fazowym
źródła (Eu , Eu , ELJ) . Napięcie fazowe
odbiornika to napięcie między począt­
kiem fazy a punktem neutralnym odbior­
nika - oznaczamy je odpowiednio UA ,
UB , Uc.
Napięcia występujące między początkami
dwóch faz prądnicy lub odbiornika, czyli
napięcia między przewodami fazowymi,
nazywamy napięciami międzyfazowymi
lub napięciami przewodowymi . Na rysun­
ku 14.3a oznaczono napięcia międzyfazo­
we ( UAB · UBe, UcA ) i napięcia fazowe. Do
oznaczania napięć międzyfazowych sto­
sujemy dwa indeksy. Pierwszy indeks od­
powiada fazie, do której jest zwrócony
grot strzałki napięcia.
W układach trójfazowych rozróżniamy też
dwa rodzaje prądów. Prądy płynące
w przewodach fazowych (łączących prąd­
nicą z odbiornikiem) nazywamy prądami
przewodowymi, a prądy płynące w fazach
odbiornika nazywamy prądami fazowy­
mi. Na rysunku 14.3a oznaczono prądy
przewodowe (/A , IB, Ie), a na rysunku 14.4
- prądy przewodowe i prądy fazowe UAB,
I8c, lcA ) . Prądy przewodowe oznaczamy
jednym indeksem. W odbiorniku połączo­
nym w trójkąt prądy fazowe oznaczamy
www.wsip.com.pl
1 4.2.2. Połączenie odbiornika
w gwiazdę
W poprzednim punkcie stwierdzono, że
z punktu widzenia sposobu połączenia
źródła i odbiornika można wyróżnić pięć
różnych układów podstawowych. Jednak­
że zasadnicze znaczenie dla obliczeń ma
sposób połączenia odbiornika. Dlatego
obecnie zajmiemy się układami trójfazo­
wymi symetrycznymi przy połączeniu
odbiornika w gwiazdę, a w punkcie na­
stępnym zbadamy związki między prąda­
mi i napięciami przy połączeniu odbiorni­
ka w trójkąt. Sposób połączenia źródła
jest dlatego mniej istotny, gdyż przeważ­
nie odbiorniki są dołączone do sieci trój­
fazowej systemu elektroenergetycznego,
w którym punkt neutralny źródła trójfa­
zowego - w zależności od sposobu jego
połączenia - może być uziemiony lub
izolowany. Odpowiednio więc dysponu­
jemy niejako źródłem pozwalającym na
utworzenie układu czteroprzewodowego
lub trójprzewodowego. W praktyce zatem
połączenie punktów neutralnych źródła
i odbiornika następuje przez ziemię.
Na rysunku 14.7a przedstawiono układ
trójfazowy czteroprzewodowy, do którego
dołączono odbiornik połączony w gwiaz­
dę z uziemionym punktem neutralnym.
Ten sam układ może być przedstawiony
z dorysowanym schematem źródła, jak na
rysunku 14.7b. Dorysowanie źródła uła­
twi wyjaśnienie zależności występujących
w tym układzie i przeprowadzenie obli­
czeń, ale w wielu przypadkach napięć źró­
dłowych nie rysuje się, a układ przedsta243
I
aJ
Wobec tego również suma geometryczna
napięć fazowych odbiornika jest równa
zeru. Z rysunku 14.7b wynika, że wobec
równości potencjałów N i N można było
te punkty zewrzeć . Prądy fazowe odbior­
nika wynoszą więc:
L1
L2o-----+--L3 o-----+---1---<-o-------­
'1
b)
[A =
[B =
le =
B
Rys. 14.7. Układ trójfazowy symetryczny z odbior­
nikiem połączonym w gwiazdę z uziemionym
punktem neutralnym: a) odbiornik dołączony do
sieci trójfazowej; b) ten sam układ z dorysowanym
schematem źródła
wia się w postaci pokazanej na rysunku
14.7a. Obliczenie układu polega na wy­
znaczeniu prądów przewodowych, napięć
fazowych odbiornika i mocy pobieranej
przez odbiornik.
Założymy dla uproszczenia, że faza po­
czątkowa napięcia źródłowego fazy LI
jest równa zeru.
Zgodnie z rysunkiem 14.2b napięcia fazo­
we źródła Eu , EL2 , Eu są przesunięte
względem siebie o kąt 27r /3 . Suma geo­
metryczna (wektorowa) napięć fazowych
źródła jest równa zeru. Ponadto, w ukła­
�A
.°{
(14.3)
I
;
�
i Ue są równe co do wartości i przesunię­
te w fazie o kąt 27r /3, to również prądy JA ,
IB , Ie są równe co do wartości i przesunię­
te względem siebie o kąt 27r /3. Każdy
prąd fazowy danej fazy jest przesunięiy
względem napięcia tej fazy o kąt wynika­
jący z argumentu impedancji fazy. Zatem:
JA = IB = Ie = I1
(14.4)
W układzie trójfazowym gwiazda-gwiaz­
da prąd fazowy 11 jest równy prądowi
przewodowemu IP .
Ze schematu przedstawionego na rysunku
14.7b wynika, że napięcie międzyfazowe
jest różnicą geometryczną (wektorową) od­
powiednich napięć fazowych. Moduły na­
pięć międzyfazowych są sobie równe, czyli:
(14.5)
a ich suma geometryczna jest równa zeru.
Z przeprowadzonych rozważań wynika,
że w układzie trójfazowym symetrycznym
dzie trójfazowym symetrycznym gwiaz­
gwiazda-gwiazda tok obliczeń jest taki
da-gwiazda potencjał punktu neutral­
sam dla układów trójprzewodowych (bez
nego źródła jest równy potencjałowi
, przewodu neutralnego) jak i czteroprze­
punktu neutralnego odbiornika i wtedy:
wodowych (z przewodem neutralnym).
Wykonamy wykres wektorowy, na któ­
Eu = UA
( 14.2) rym przedstawimy napięcia fazowe, na­
pięcia międzyfazowe oraz prądy przewo­
dowe (rys. 14.8).
244
Rys. I
Ze względu na to, że napięcia UA , U8 ,
układt
niu od
Wyla
pięć
tworz
znacz
wego
wektc
wektc
ści dl;
wykn
UA o
mam)
wektc
szy ir
UAB \
eony ,
my �
wektc
trójką
Z zale
o bok
wynil<
wego
łu na]
2>
W si·
230 V i
Z zależności (14.6) wynika, że w sieci
o napięciu fazowym U1 = 230 V, napięcie
Rys. 14.8. Wykres wektorowy prądów i napięć dla
układu trójfazowego symetrycznego przy połącze­
niu odbiornika w gwiazdę
Wykreślimy na wstępie trzy wektory na­
pięć fazowych UA , UB , Uc. Wektory te
tworzą gwiazdę symetryczną. W celu wy­
znaczenia wektora napięcia międzyfazo­
wego UAB musimy od wektora UA odjąć
wektor UB lub, co oznacza to samo, do
wektora UA dodać wektor - UB . Z zależno­
ści dla trójkątów wynika, że otrzymany na
wykresie wektor UAB wyprzedza wektor
UA o kąt 7r/6. Ten sam wektor UAB otrzy­
mamy jako bok trójkąta łączący koniec
wektora UB z końcem wektora UA . Pierw­
szy indeks przy napięciu międzyfazowym
UAB wskazuje, że wektor musi być zwró­
cony do wektora UA . Podobnie wyznacza­
my wektory UCA i UBC. Ponieważ trzy
wektory napięć międzyfazowych tworzą
trójkąt, zatem ich suma jest równa zeru.
Z zależności dla trójkąta równoramiennego
o bokach UA , UB , UAB i kątach
2; , � , �
wynika, że moduł napięcia międzyfazo­
wego Up jest J3 razy większy od modu­
łu napięcia fazowego U1 :
2l
Up = J3 u1
(14.6)
międzyfazowe Up = J3 · 400 V ZJ.
Obliczymy moc pobieraną przez odbior­
nik trójfazowy połączony w gwiazdę .
Stwierdziliśmy już, że moduły napięć fa­
zowych są jednakowe, moduły prądów
fazowych są jednakowe, a wobec rów­
nych impedancji każdej fazy kąty fazowe
też są jednakowe . Zatem moc pobieraną
przez odbiornik trójfazowy możemy
obliczyć jako potrójną wartość mocy
pobieranej przez jedną fazę.
Moc czynna pobierana przez jedną fazę
odbiornika:
P1 = UJ11cos c.p = Rf12
(14.7)
przy czym R jest rezystancją jednej fazy odbiornika.
Moc czynna pobierana przez odbiornik
trójfazowy:
P = 3P1 = 3 UjI1 cos <p = 3Rf12
( 14.8)
Jeśli uwzględnimy zależność (14.6) i do
wzoru ( 14.8) podstawimy U1 =
Up oraz
ylJ
f1 = fp (prąd fazowy równy jest prądowi
przewodowemu), to moc czynna:
P=
� Upfp cos c.p
v3
=
yi3 Upfp cos c.p
(14. 9)
Wzór (14.9) jest najczęściej stosowany do
obliczania mocy czynnej pobieranej przez
odbiornik trójfazowy, gdyż uzależnia moc
od wartości UP oraz fp związanych z sie­
cią zasilającą odbiornik.
Podobnie moc bierną Q obliczamy jako
potrójną wartość mocy biernej pobieranej
przez jedną fazę:
}
Q = 3 UJf1 sin c.p = 3Xf
(14.10)
przy czym X jest reaktancją jednej fazy odbiornika.
W sieci trójfazowej przyjmuje się wartości napięcia fazowego i międzyfazowego za równe odpowiednio
230 V i 400 V, choć według obliczeń są to wartości przybliżone.
www.wsip.com.pl
2:45
·'.
,�
,
Po podstawieniu Uf =
�
Stwi<
fazm
ta s<.
tych
na ze
Ze se
14.9
wem
dy pl
oraz ft = fp do
wzoru ( 14.1 0), otrzymamy:
Q = /}Uplp sin cp
( 1 4. 1 1 )
IAB
Moc pozorna S = JP2 + Q2 , zatem:
Ia
( 1 4 . 1 2)
14. 2.3.
Połączenie odbiornika
w trójkąt
Na rysunku 14.9 przedstawiono układ
trójfazowy symetryczny, w którym od­
biornik połączono w trójkąt. Na rysunku
14.9a pokazano , jak do sieci trójfazowej
dołącza się odbiornik trójfazowy, a na
rysunku 1 4 .9b - układ dogodniejszy do
przeprowadzenia obliczeń.
Linią kreskową dorysowano źródło połą­
czone w gwiazdę , przy czym tok obliczeń
nie zmieni się, jeśli źródło połączymy
L1
L2
L3
al
b)
E13
LB --
\
- - -\
JA
Rys. 14.10. Wykres wektorowy prądów i napięć
dla układu trójfazowego symetrycznego przy połą­
czeniu odbiornika w trójkąt
w trójkąt, gdyż punktem wyjścia do obli­
czeń są napięcia międzyfazowe.
Zgodnie z rysunkiem 14.9b napięcia mię­
dzyfazowe (przewodowe) UAB , UBc, UcA
obliczamy jako róznicę geometryczną od­
powiednich napięć fazowych Eu , EL2 , Eu .
Gdyby źródło było połączone w trójkąt,
wówczas napięcia fazowe źródła byłyby
jednocześnie napięciami międzyfazowy­
mi źródła i odbiornika. Napięcia te tworzą
gwiazdę symetryczną (rys. 14.10) . Ich su­
ma geometryczna jest równa zeru, a mo­
duły tych napięć są sobie równe:
( 14.13)
Jeżeli zgodnie z założeniem układ jest sy­
metryczny, to impedancja każdej fazy od­
biornika jest jednakowa i równa:
A
A prądy fazowe odbiornika wynoszą:
UAB
IAB = z
1
_
UBc
BC - z
L2 I e
[
Rys. 14.9. Układ trójfazowy symetryczny z odbior­
nikiem połączonym w trójkąt: a) odbiornik dołączo­
ny do sieci trójfazowej trójprzewodowej; b) ten sam
układ z dorysowanym schematem źródła
246
-
( 14.14)
Eu
I
I
I
I
- IcA - - - -
'
UAB = UBc = UcA = Up = UJ
z
L1 JA
r-B--l E12
L2 la I UAB
t-B--UcA
I Uac
\
\�
\
\
\
UAB
1
twon
W ce
go JA
tor Ie
tora j
dla t
wykr
wekti
otrzy
niec
Poda
le. P
wodc
ma g
leżnc
o bo1
( 14 . 1 5)
wyni
lp jes
_
UcA
CA - z
du f�
Przy czym zgodnie ze wzorem ( 1 4 . 1 3) :
IAB = !Be = IcA = ft
różni
wied
Zilus
wyki
Rysu.
międ
z zal
UAB j
dej f
pięci
wem
( 1 4 . 1 6)
Stwierdzamy więc, że moduły prądów
fazowych płynących w gałęziach trójką­
ta są jednakowe. Suma geometryczna
tych prądów (suma wektorowa) jest rów­
na zeru .
Ze schematu przedstawionego na rysunku
14.9 wynika, że zgodnie z pierwszym pra­
wem Kirchhoffa dla węzłów A, B, C, prą­
dy przewodowe JA, Is , Ie obliczamy jako
różnicę geometryczną (wektorową) odpo­
wiednich prądów fazowych.
Zilustrujemy przeprowadzone obliczenia
wykresem wektorowym (rys. 1 4 . 1 0) .
Rysujemy na wstępie trzy wektory napięć
międzyfazowych , przy czym zgodnie
z założeniem faza początkowa napięcia
UAB jest równa zeru. Prąd fazowy w każ­
dej fazie jest opóźniony względem na­
pięcia fazowego (równego międzyfazo­
wemu) o kąt rp . Wektory IAB· lsc, IcA
tworzą gwiazdę symetryczną.
W celu wyznaczenia prądu przewodowe­
go JA musimy odjąć od wektora h8 wek­
tor IcA lub, co oznacza to samo, do wek­
tora IAB dodać wektor - IcA· Z zależności
dla trójkątów wynika, że otrzymany na
wykresie wektor JA opóźnia się względem
wektora !As o kąt 7r /6. Ten sam wektor JA
otrzymamy jako bok trójkąta łączący ko­
niec wektora IcA z końcem wektora IAB .
Podobnie wyznaczamy wektory JA oraz
Ie . Ponieważ trzy wektory prądów prze­
wodowych tworzą trójkąt, zatem ich su­
ma geometryczna jest równa zeru . Z za­
leżności dla trójkąta równoramiennego
o bokach IAB • IcA . JA i o kątach
2; , � i �
wynika, że moduł prądu przewodowego
fp jest J3 razy większy od modułu prą­
du fazowego ft, czyli:
( 1 4 . 1 7)
www.wsip.com.pl
Podobnie jak dla odbiornika połączonego
w gwiazdę, moc pobieraną przez odbior­
nik trójfazowy połączony w trójkąt obli­
czymy jako potrójną wartość mocy pobie­
ranej przez jedną fazę, a zatem:
2
P = 3Pt = 3 Utf1 cos rp = 3RI1
( 14.1 8)
przy czym R jest rezystancją jednej fazy odbiornika.
1
Jeżeli uwzględnimy zależność ( 1 4 . 17)
i do wzoru ( 1 4 . 1 8) podstawimy Ir =
oraz Ut = Up (napięcie międzyfazowe jest
równe napięciu fazowemu) , to moc czyn­
na jest równa:
(14. 19)
Wzór ( 14 . 19) , wyprowadzony dla odbior­
nika trójfazowego symetrycznego połą­
czonego w trójkąt, jest zbieżny ze wzorem
(14.9) , wyprowadzonym dla odbiornika
trójfazowego symetrycznego połączonego
w gwiazdę .
Podobnie moc bierną obliczymy jako po­
trójną wartość mocy biernej , pobieranej
przez jedną fazę:
}
Q = 3 Utf1 sin rp = 3XI
( 14.20)
Stąd, po uwzględnieniu zależności (14. 17):
( 1 4.2 1 )
Moc pozorna wynosi:
( 14 .22)
Z porównania wzorów na moc pobieraną
przez odbiornik trójfazowy symetryczny
wyciągamy ważny wniosek praktyczny:
niezależnie od sposobu połączenia · faz
odbiornika odpowiednio moc czynną,
bierną i pozorną obliczamy ze wzorów:
247
;�:>--- --+i------
al
S = .j3 Uplp = JP2 + Q2
Do obliczania mocy jest potrzebna znajo­
mość napięcia międzyfazowego , prądu
przewodowego i kąta fazowego odbiornika.
1 4. 3 .
Układy trójfazowe
niesymetryczne
14.3.tl Układ czteroprzewodowy
t t v
N
l
( 14.23)
lA
i
I
I
I_ _ _ _ _ _ _ _ _ J
bi
fu
--1 1
- -e
N
-�- }2
9
__
-=-
[
13
__
N
Zs
rozwi
rozga:
dzywc
Napię
le
u
przy cz
lA
Is
fN
Y.N
�
le
IN
8
·
Rys. 14.11. Układ trójfazowy niesymetryczny z od­
Układ trójfazowy nazywamy niesyme­ biornikiem połączonym w gwiazdę: a) odbiornik do­
trycznym , jeżeli albo niesymetryczne jest łączony do sieci trójfazowej symetrycznej; b) ten
źródło, albo odbiornik, lub też zarówno sam układ z dorysowanym schematem źródła
i uwzględnioną impedancją przewodu neutralnego ZN
źródło, jak i odbiornik.
Źródło niesymetryczne charakteryzuje
przewodowy ma zarówno źródło, jak i od­
się tym, że napięcia źródłowe trzech faz
biornik połącwne w gwiazdę, przy czym
nie tworzą symetrycznej gwiazdy. Niesy­
punkty neutralne źródła i odbiornika są ze
metria źródła może powstać albo na sku­
sobą połącwne za pośrednictwem przewodu
tek nierówności napięć generowanych
lub poprzez ziemię (rys. 14.11). Przyjmie­
w poszczególnych uzwojeniach, albo mo­
my, że impedancja przewodu neutralnego
gą nie być jednakowe kąty przesunięcia
jest równa 'bv, a impedancje faz odbiornika
fazowego poszczególnych napięć.
Odbiornik niesymetryczny charakteryzu­ wynoszą: b . Z.8, Ze ·
je się tym, że impedancje zespolone po­ Układ napięć źródłowych jest symetrycz­
szczególnych faz nie są sobie równe. ny, zatem:
W praktyce najczęściej spotykamy się
li.u = Eu
27r
z niesymetrią odbiornika, natomiast niesy­
-j 3
metria źródła może być spowodowana
( 14.24)
li.12 = Eu e
albo jego uszkodzeniem, albo nieprawidło­
27r
jwym połączeniem uzwojeń. Po wystąpie­
3
e
!i.L3 = Eu
niu awarii źródła zachodzą złożone zjawi- i
ska, które analizuje się innymi metodami. Napięcie występujące między punktem
W związku z tym ograniczymy się do roz­ neutralnym źródła N i punktem neutral­
ważenia przypadków niesymetrii układu nym odbiornika N' nazywamy napięciem
trójfazowego wywołanej obciążeniem nie­ niesymetrii i oznaczamy przez UN· Na­
symetrycznym. Jak wiemy układ cztero-
248
pięcie to można wyznaczyć jedną z metod
Na pc
dla O<
fazie,
fazy c
mi ni
stwiet
Zależ:
nie n:
napięc
zowe
oraz I
Ponac
Kirch
lans p
Wyko
i napi
napięc
czam;
wykn
rozwiązywania obwodów elektrycznych
rozgałęzionych, np. metodą napięć mię­
dzywęzłowych podaną w podrozdz. 12.4.
Napięcie niesymetrii wynosi:
UN =
-
!:_A!i_Ll + !:_B!I.L2 + !:.c!i.L3
_!'A + !'B + re + _!'N
I
I
( 14 .25)
I
I
przy czym: I.i = z- · l's = z · Xc = z · .Ev = z ·
-A
-8
!:C
-N
Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa
dla oczka, obejmującego źródło w danej
fazie, napięcie na impedancji tej samej
fazy odbiornika i napięcie między punkta­
mi neutralnymi (napięcie niesymetrii),
stwierdzamy, że:
lli = E.u - Y.tv
!l._B = E_l.2 - °Y.tv
( 14 .26)
Ue = E_L3 - !l._N
Zależności ( 1 4 .26) pozwalają na oblicze­
nie napięć fazowych odbiornika. Mając
napięcia fazowe, wyznaczamy prądy fa­
zowe równe prądom przewodowym:
u
= Lilli
LA =
ZA
- !ls lB z Xs!ls
-A
-
-
-B
u
le = f7 = Xe!le
( 14.27)
-C
oraz prąd w przewodzie neutralnym:
- JlN -
- INY.tv
Lv - z
N
-
(14.28)
Ponadto na· podstawie pierwszego prawa
Kirchhoffa dla węzła N' sporządzamy bi­
lans prądów:
( 14.29)
Rys. 14.12. Wykres wektorowy prądów i napięć dla
układu trójfazowego niesymetrycznego przy połą­
czeniu odbiornika w gwiazdę
przy czym koniec wektora Y.tv wyznacza
nam potencjał punktu neutralnego odbior­
nika, potencjał punktu N' . W punkcie N'
zaczepiamy gwiazdę niesymetrycznych
napięć fazowych odbiornika lli , Ils, Ile
oraz prądów LA , [8, [c . Wobec niesymetrii
odbiornika, kąty przesunięcia fazowego
napięcia względem prądu fazy są w ogól­
nym przypadku różne Posługując się za­
leżnością ( 14 .29), wyznaczamy prąd lN ,
który jest przesunięty względem napięcia
!l._N o kąt wynikający z argumentu impedancji 'Z_N = zNe)cp .
Z wykresu wektorowego wynika, że na­
pięcia międzyfazowe Jl.48, !l8e , UeA two­
rzą układ symetryczny i mogą być wyzna­
czone albo jako różnica wektorowa
dwóch napięć fazowych źródła, albo jako
różnica wektorów dwóch napięć fazo­
wych odbiornika, czyli:
llis = E.u - E.l.2 = lli - Ils
( 14.30)
i podobnie Ilse oraz IleA .
Wykonamy wykres wektorowy prądów
i napięć. Rysujemy symetryczną gwiazdę
napięć źródłowych E.u , E.l.2 , E.LJ i ozna­
czamy punkt N (rys. 14.12). Z punktu N
wykreślamy napięcie niesymetrii !l._N ,
Do obliczania mocy w odbiornikach nie­
symetrycznych nie mogą być stosowane
wzory podane w podrozdz. 14.2. Moc po­
bierana przez każdą fazę jest w ogólnym
www.wsip.com.pl
249
przypadku różna i wobec tego stosujemy
następujące wzory:
- moc czynna
P = UAh cos 'PA + Usls cos <ps +
04.3 l )
+ Ucfc cos <pe
- moc bierna
Q = UAh sin
�A + Usls sin <ps + 04.32)
+ Uclc sm rpc
W celu obliczenia mocy pozornej posłu­
gujemy się zależnością ( 1 0 . 1 3) i wyzna­
czamy moc pozorną w postaci zespolonej :
S. = !kC. + Il.sf's + Ucfć = P + j Q
( 1 4 .33)
Wzór ( 1 4 .33) służy również do wyzna­
czania mocy czynnej i mocy biernej .
Do obliczenia mocy pobieranych przez
odbiornik stosujemy następujące wzory:
(14.3 1 ) , ( 14.32) i ( 1 4 .33).
j
1 4.3.3 . U kład trójkątowy
Przyjmiemy, że do symetrycznej sieci
trójfazowej jest dołączony niesymetrycz­
ny odbiornik połączony w trójkąt. W roz­
patrywanym przypadku impedancje faz są
różne i wynoszą b , Zs . Ze· Wobec tego
otrzymujemy układ przedstawiony na
rysunku 14.13.
IA
L Jo--_,..._
A
...,
_
_
_
_
_
_
_
14.3.2 . U kład trójprzewodowy
gwiazdowy
Układ trójprzewodowy różni się od ukła­
du czteroprzewodowego tym, że punkty
neutralne źródła i odbiornika nie są ze so­
bą połączone. Punkt neutralny odbiornika
połączonego w gwiazdę jest izolowany.
Między punktami neutralnymi źródła i od­
biornika występuje napięcie niesymetrii:
U - X.AE.Li + X.BE.L2 + XcE.L3
-N
X.A + X.B + Xe
_
( 14.34)
gdyż XN = o.
Dalszy tok obliczeń jest podobny do obli­
czeń przedstawionych w punkcie 14.3 . 1 .
Wyznaczamy napięcia fazowe na podsta­
wie wzorów (14.26), a potem prądy fazowe
według wzorów (14.27) . Prąd w przewo­
dzie neutralnym nie występuje, wobec tego
suma prądów fazowych jest równa zeru:
LA + lB + lc = O
250
(14. 35)
Rys. 14.13. Układ trójfazowy niesymetryczny z od­
biornikiem połączonym w trójkąt
Napięcia międzyfazowe, równe napięciom
fazowym, są symetryczne. Obliczamy prą­
dy fazowe zgodnie z prawem Ohma:
Rys. 14
układu
czeniu •
Wobe,
SZCZe!
we, j;
sobie
wiane
dane '
W ceJ
odbioi
przez
Moc e
P=
natorr
Q:
- !lAB
I
!AB -
ZA
_
-BC - flBc
z
-B
I
_
( 1 4 .36)
MOC ]
I
-CA - z
-C
flcA
Prądy przewodowe wyznaczamy na pod­
stawie pierwszego prawa Kirchhoffa:
LA = Lm - lcA
lB = lBc - LAB
le = lcA - lBc
przy c2
odpowi
W po:
s.
( 14 .37)
1 4.4.
Rys. 14.14. Wykres wektorowy prądów i napięć dla
układu trójfazowego niesymetrycznego przy połą­
czeniu odbiornika w trójkąt
Wobec nierównych impedancji w po­
szczególnych fazach zarówno prądy fazo­
we, jak i prądy przewodowe nie będą
sobie równe. Na rysunku 14.14 przedsta­
wiono wykres wektorowy ilustrujący po­
dane zależności .
W celu obliczenia mocy pobieranej przez
odbiornik wyznaczamy moce pobierane
przez każdą fazę, a następnie je dodajemy.
Moc czynna wynosi:
P = UABIAB cos r.pA + UBclBc cos r.pB+
+ UcAicA cos <pe
(14.38)
natomiast moc bierna:
Q = UABhB sin 'PA + UBclBc sin 'PB+
+ UcAICA sin r.pc
(14.39)
Pomiar mocy
w układach
trójfazowych
Do pomiaru mocy czynnej są stosowane
watomierze. Watomierz ma dwa uzwoje­
nia: uzwojenie napięciowe, zwane często
cewką napięciową, i uzwojenie prądowe,
zwane cewką prądową. Początki uzwojenia
prądowego i napięciowego powinny być ze
sobą połączone. Sposób dołączenia cewki
prądowej i cewki napięciowej watomierza
wynika ze wzorów na moc czynną. Jeśli
przykładowo chcemy zmierzyć w układzie
trójfazowym moc pobieraną przez fazę A
odbiornika połączonego w gwiazdę, to
zgodnie ze wzorem P = UAIA cos (/JA włą­
czamy cewkę prądową tak, aby płynął
przez nią prąd IA , a cewkę napięciową tak,
aby na zaciskach cewki występowało na­
pięcie VA (rys. 14.15).
W układach trójfazowych czteroprzewo­
dowych symetrycznych do pomiaru mocy
czynnej stosujemy jeden watomierz dołą­
czony tak, jak pokazano na rysunku
1 4 . 1 5 . W układach tych, jak wiemy, moc
pobierana przez każdą fazę jest taka sa­
ma. Wynik pomiaru mnożymy przez 3
i otrzymujemy wartość mocy pobieranej
przez cały odbiornik.
przy czym: 'PA , r.p8 , <.pe są argumentami impedancji
odpowiednich faz.
Moc pozorna wynosi:
( 1 4 . 40)
8
W postaci zespolonej :
s. = IiABfA.B + uBclBc + IlcAI'cA =
LJio------'
= P +jQ
( 14.4 1 )
•
www.wsip.com.pl
Rys. 14.15. Sposób dołączenia watomierza w ukła­
dzie trójfazowym do pomiaru mocy czynnej pobiera­
nej przez fazę A odbiornika połączonego w gwiazdę
251
Rys. 14.16. Pomiar mocy metodą trzech watomierzy
W układach trójfazowych czteroprzewo­
dowych niesymetrycznych do pomiaru
mocy czynnej stosujemy trzy watomierze
(rys. 14.16) . Każdy watomierz mierzy
moc pobieraną przez odpowiednią fazę
odbiornika . Dodajemy więc uzyskane
wskazania i otrzymujemy wartość mocy
pobieranej przez cały odbiornik.
W układach trójfazowych trójprzewodo­
wych symetrycznych, bez względu na
sposób połączenia odbiornika (w trójkąt
lub w gwiazdę) , do pomiaru mocy stosuje­
my albo jeden watomierz z dodatkowym
układem rezystorów do utworzenia sztucz­
nego punktu neutralnego (rys. 14.17) , albo
dwa watomierze w układzie pomiarowym
zwanym układem Arona (rys. 14.18). Pod­
czas pomiaru mocy jednym watomierzem
dobieramy tak wartości rezystancji dodat­
kowych Rd, aby w fazie , w której jest włą­
czona cewka napięciowa watomierza,
wartość rezystancji wypadkowej była
równa wartości rezystancji włączonej do
każdej z pozostałych faz. Wtedy potencjał
punktu N utworzonej gwiazdy jest równy
zeru i cewka napięciowa watomierza jest
włączona na napięcie fazowe .
T Metodę dwóch watomierzy stosuje
się zarówno do pomiaru mocy w układach
trójprzewodowych symetrycznych, jak
i niesymetrycznych. Jest ona bardzo roz­
powszechniona.
Do wyjaśnienia sposobu połączenia wato­
mierzy posłużymy się wzorem (14.33) na
moc pozorną zespoloną:
s_ = JhfA + Jl.Bl'B + Uclc = p + j Q
(14.42)
W układach trójfazowych trójprzewodo­
wych, zarówno symetrycznych, jak i nie­
symetrycznych, suma prądów przewodo­
wych jest równa zeru:
fA + lB + lc = O
( 14 .43)
Jest oczywiste, że suma prądów sprzężo­
nych też musi być równa zeru:
fA + l'B + I'c = O
( 14.44)
L1
Odbiornik
12 o----+---1--� symetryczny
13 o---I-+---1f----.N
Rys. 14.17. Pomiar mocy jednym watomierzem
w układzie ze sztucznym punktem neutralnym
(14.45)
Podstawimy zależność (14.45) do równa­
nia (14.42) , w wyniku czego moc pozorna
jest równa:
s_ = fhfA + Jl.Bl'B - Jl.c(fA + l'B) =
= (Jh - !l.c)fA + (Jl.B - !l.c)l'B =
= !hcI'A + !l.Bcl'B = P + j Q
252
( 1 4 .46)
·
Moc czynna jest częścią rzeczywistą mo­
cy pozornej zespolonej , zatem:
P = UAcIA cos /fr + UBcfB cos 1P2 =
= Pr + P2
( 14 .47)
przy czym: <p 1 kąt między napięciem UAc i prądem
JA ; <p1 kąt między napięciem Use i prądem I8 .
-
-
L1<
L2<
L3c
rzy (uk
I'c = - (fA + l'B)
I
tak, j�
pięcia
a) wa1
prą
(za1
CiO'
zac
b) wa1
dm
cisl
wą
zac
Połąc•
Arona
Rys. 14
Z równania (14 .44) wynika:
gdyż : !kc = IlA - !l.c , Il.se = !l.s -. !l.c
Dwa '
Istniej
czania
nowar
z rów1
W ka�
łączan
prądo
wodói
ciowy
fazy.
Wzór
sposoł
być tf
czynni
zarów
tryczn
fazow
to jed
kątów
Dwa watomierze W1 i W2 należy dołączyć
tak, jak na to wskazują indeksy przy na­
pięciach i prądach, a mianowicie:
a) watomierz pierwszy musi mieć cewkę
prądową dołączoną do fazy LI układu
(zacisku A odbiornika), a cewkę napię­
ciową - między fazy LI i L3 (między
zaciski A i C odbiornika);
b) watomierz drugi musi mieć cewkę prą­
dową dołączoną do fazy L2 układu (za­
cisku B odbiornika), a cewkę napięcio­
wą - między fazy L2 i L3 (między
zaciski B i C odbiornika).
Połączenie dwóch watomierzy w układzie
Arona przedstawiono na rysunku 14.18.
L1
L2
L3
LA
J Y.A c
-B
Le
Odbiornik
Rys. 14.18. Pomiar mocy metodą dwóch watomie­
rzy (układ Arona)
Istnieją jeszcze dwa inne warianty dołą­
czania watomierzy (związane z wyelimi­
nowaniem odpowiednio prądu [8 oraz LA
z równania ( 14.44).
W każdym jednak przypadku zasada do­
łączania watomierzy jest jednolita: cewki
prądowe są dołączone do dwóch prze­
wodów fazowych, a końce cewek napię­
ciowych są dołączone do trzeciej wolnej
fazy.
Wzór ( 14.47) ma służyć do wyjaśnienia
sposobu dołączania watomierzy, ale może
być też stosowany do obliczenia mocy
czynnej w układach trójprzewodowych,
zarówno symetrycznych, jak i niesyme­
trycznych. Jeśli są znane napięcia między­
fazowe i prądy przewodowe w układzie,
to jedyną trudność stanowi wyznaczenie
kątów <p1 oraz <p2 . Kąty te najłatwiej wyzwww.wsip.com.pl
\
\
\
-Y.c\
Y.Bc
\
\
Rys. 14.19. Wykres wektorowy prądów i napięć
ilustrujący sposób wyznaczania kątów przesunięcia
fazowego rp1 i rp2 (wzór 14.48) w układzie syme­
trycznym
naczyć z wykresu wektorowego. Wykona­
my przykładowo wykres wektorowy dla
odbiornika symetrycznego rezystancyjno­
-indukcyjnego (rys. 14.19). Napięcie fa­
zowe fazy A odbiornika przyjmiemy na
osi odniesienia. Wobec symetrii układu,
napięcia !l.A , If._8 i Ile tworzą gwiazdę sy­
metryczną, a prąd fazowy (równy przewo­
dowemu) w każdej fazie jest opóźniony
względem swojego napięcia fazowego
o kąt <p, będący argumentem impedancji
zespolonej odbiornika.
Z wykresu wektorowego wynika, że:
W układzie symetrycznym napięcie między­
fazowe są sobie równe ( UAc = UBe = Up )
oraz prądy przewodowe są sobie równe
(JA = IB = fp ), zatem w szczególnym przy­
padku układów symetrycznych wzór (14.47)
przybierze postać:
(<p � )
Uplp cos (<p � ) =
P = Uplp cos
+
-
+
+
( 14 .49)
= P 1 + P2
253
W wyniku dokonania przekształceń trygo­
nometrycznych otrzymujemy zależność:
W ten sposób uzyskujemy potwierdzenie,
że suma wskazań watomierzy włączo­
nych w układzie Arona jest równa mo­
cy czynnej pobieranej przez odbiornik
trójfazowy symetryczny.
Ze względu na to , że kąt cp występujący
we wzorze (14.49) może być zawarty
w granicach od O do 7r /2 i jest dodatni gdy odbiornik ma charakter indukcyjny,
a ujemny - gdy odbiornik ma charakter
pojemnościowy, jedno ze wskazań wato­
mierzy może być ujemne .
Stąd wynika ważny wniosek, a mianowi­
cie: wskazania watomierzy należy do­
dawać algebraicznie, czyli z uwzględ­
nieniem znaku. Podczas wykonywania
pomiaru stwierdzamy wtedy, że wska­
zówka jednego z watomierzy odchyla się
w przeciwną stronę niż wskazówka dru­
giego. Ze wzoru (14.49) wynika drugi
wniosek: w ogólnym przypadku wska­
zania watomierzy są różne; jednakowe
wskazania watomierzy będą tylko przy
cp = O, czyli przy obciążeniu rezystan­
cyjnym.
W układzie trójfazowym symetrycznym,
za pomocą dwóch watomierzy można po­
średnio wyznaczyć moc bierną oraz kąt
fazowy odbiornika. Łatwo wykazać , że:
P1
- P2 = Uplp COS ('P - � ) +
- Uplp (cp + � ) =
cos
= Uplp sin cp
(14.5 1 )
czyli różnica wskazań watomierzy po­
mnożona przez /3 daje wartość mocy
biernej pobieranej przez odbiornik
trójfazowy symetryczny.
2 54
Ponadto, ponieważ
a)
P1 + P2 = /}Uplp cos <p, a
( 1 4 .52)
W układach trójfazowych trójprzewodo­
wych niesymetrycznych do pomiaru mocy
czynnej również stosuje się metodę dwóch
watomierzy. W tym przypadku nie można
już pośrednio wyznaczyć mocy biernej ,
gdyż wzór (14.5 1 ) nie stosuje się odpo­
wiednio . ..&.
1 4. 5 .
Składowe
symetryczne
Do rozwiązywania układów trójfazowych
niesymetrycznych służy też metoda zwa­
na metodą składowych symetrycznych.
Metoda ta jest szczególnie przydatna do
obliczania układów trójfazowych niesy­
metrycznych wówczas, gdy niesymetrię
tworzą niesymetryczne napięcia źródłowe.
W praktyce zdarzają się jednak różne nie­
symetryczne stany pracy, wywołane np.
zwarciem w sieciach elektroenergetycz­
nych. Wtedy, korzystając z twierdzenia
o kompensacji, niesymetryczne elementy
impedancyjne zastępujemy układem na­
pięć niesymetrycznych.
Załóżmy, że trzy napięcia, np. napięcia fa­
zowe odbiornika IfA , Jl8 , Jlc , tworzą
c)
Rys. 14
tryczny1
a) zero\
metod
trzech
pimy
następ
·
1 . Uk
�o
i ni1
zie
2. Uk
�l
przt
o k1
odb
układ niesymetryczny (rys. 14.20) . Istota
!le
O�---�flA
3. Ukł
liA2
fls
prze
o ki
Rys. 14.20. Układ trzech napięć niesymetrycznych
C, l
llo
b}
a}
;>�
llco
cJ
llAt
lla1
Przyjmiemy następujące oznaczenie:
llA2
lla2
(14.56)
211:
3
Rys. 14.21. Zastąpienie układu wektorów niesyme­
I
. zrr
-J 3
!lcz = Jl.Az e
llC2
I
(14.55)
27r
3
trycznych trzema równoważnymi układami:
a) zerowym; b) zgodnym; c) przeciwnym
metody polega na tym, że układ tych
trzech wektorów niesymetrycznych zastą­
pimy trzema układami skonstruowanymi
następująco:
1 . Układ zerowy tworzą trzy wektory
f!.40, J!80, !!co równe co do modułu
i nieprzesunięte względem siebie w fa­
zie (rys. 14.21a) , czyli:
( 14.53)
2. Układ zgodny tworzą trzy wektory
Ilu , !ls1 . !lei równe co do modułu,
przesunięte względem siebie w fazie
o kąt 27r /3, z następstwem faz A , B, C
odbiornika (rys. 14.21b) , czyli:
lli 1 = UA1 ei'PJ
( 14.54)
3. Układ przeciwny tworzą trzy wektory
Jl.Az , !lsz . !lcz równe co do modułu ,
przesunięte względem siebie w fazie
o kąt 27!"/3, lecz z następstwem faz A ,
C , B odbiornika (rys. 14.2lc), czyli:
www.wsip.com.pl
Możemy więc te trzy wprowadzone ukła­
dy i zależności między nimi ująć następu­
jącym zapisem:
a) układ zerowy
Jl.Ao, Uso = Jl.Ao , Uco = llio
( 14.57)
b) układ zgodny
2
.!l.A1 , Us1 = a Jl.A1 • !lei = aJl.A1
(14.58)
c) układ przeciwny
z
Il.Az• !lm = aIl.Az ' !lcz = a Jl.Az
(14.59)
Jeżeli zgodnie z przyjętym założeniem te
trzy układy mają w sumie być równoważ­
ne układowi początkowemu niesyme­
trycznemu , to:
lli = llio + lli1 + Il.Az
!ls = !lso + UBI + !lsz
(14.60)
!le = !leo + !lei + Ucz
Oznacza to, że każdy wektor układu po­
czątkowego (odpowiednio Jl.A , Us , Uc)
musi być równy sumie geometrycznej
trzech wektorów - po jednym z każdego
układu: zerowego , zgodnego i przeciwne­
go. Po uwzględnieniu zależności (14,57),
( 14.58) i (14.59), otrzymamy:
lli = llio + !lA1 + Il.Az
z
Us = llio + a lli1 + a!l.A2
z
!le = llio + alli1 + a lliz
( 14.61)
255
W równaniach ( 14.61) wektory "flA , IlB
wyznaczenie składowych symetrycznych ,
gdy dany jest układ niesymetryczny. W tym
celu rozwiązujemy układ równań (14.63)
względem Jl.o, U1 i Il._2 i otrzymujemy:
i Ile są zależne już tylko od trzech wekto­
rów "flA0, "flA1 i "f1A2 . Wprowadzimy dodat­
kowe oznaczenie:
1
Jl.o = "flAo , Il1 = "f1A1 , U2 = "flA2
Jl.o = 3 � + Jj__B + Il._c)
(14.62)
U1 = 31 � + ail._B + a2 Ile)
Wektory Il._0 , Il._1 i Il._2 nazywamy składo­
wymi symetrycznymi i odpowiednio:
Il._0 składową symetryczną zerową,
U1 - składową symetryczną zgodną,
Il._2 składową symetryczną przeciwną.
( 14.64)
Identyczne rozumowanie można przepro­
wadzić , rozkładając na składowe syme­
tryczne trzy niesymetryczne prądy Li. , In
-
Po podstawieniu składowych symetrycz­
nych do równań (14.6 1 ) , otrzymamy:
i le · Otrzymamy wówczas:
"flA = Jl.o + U1 + Il2
1
(14.63)
Równania ( 14.63) stosuje się wówczas ,
gdy dane są składowe symetryczne i należy
wyznaczyć wektory układu niesymetrycz­
nego. Przeważnie interesuje nas jednak
a}
14.22
na skl
U2 = 31 ("f1A + a2IlB + aJj__c)
-
UB = Jl.o + a2Il._1 + ail._2
Ile = Il.o + aJl1 + a2Il2
Załóż
trycz1
trycz1
Io = 3(1. + lB + le)
1
2
l1 = 3(1. + alB + a le)
1
2
l2 = 3(1. + a lB + ale)
Zgod1
źródł'
źródł:
syme1
z zas
14.22
(14.65)
W celu zilustrowania podanej metody
przeanalizujemy następujące zagadnienie .
b}
z rysi
szy jt:
utwor
rowy,
dło t:
i wre�
źródł<
CiWn)
czam'
W uk
rowej
Kirch
Przy '
Kirch
d
Stąd:
+
+
a wię1
Rys. 14.22. Ilustracja metody składowych symetrycznych: a) niesymetryczny układ zasilania; b) układ
zastępczy; c) trzy układy równoważne układowi z rys. a
256
Załóżmy, że odbiornik trójfazowy syme­
tryczny jest zasilany ze źródła niesyme­
trycznego o napięciach fu , gB , "fi.c (rys.
14.22a) . Rozłóżmy układ napięć źródła
na składowe symetryczne:
1
!l_o = 3 (fu + E_B + "fi.c )
W układzie drugim (dla składowej zgodnej):
1
Zgodnie z istotą metody jedno trójfazowe
źródło niesymetryczne zastąpimy trzema
źródłami utworzonymi ze składowych
symetrycznych (rys. 14.22b) . Zgodnie
z zasadą superpozycji układ z rysunku
1 4 .22b jest równoważny trzem układom
z rysunku 14.22c. A zatem układ pierw­
szy jest zasilany przez źródło trójfazowe
utworzone z napięć tworzących układ ze­
rowy, układ drugi jest zasilany przez źró­
dło trójfazowe tworzące układ zgodny
i wreszcie układ trzeci jest zasilany przez
źródło trójfazowe tworzące układ prze­
ciwny. W każdym z tych układów wyzna­
czamy rozpływ prądów.
W układzie pierwszym (dla składowej ze­
rowej), na podstawie drugiego prawa
Kirchhoffa:
( 1 4 .67)
Przy czym, zgodnie z pierwszym prawem
Kirchhoffa:
( 1 4 .68)
Stąd:
( 1 4 .69)
a więc:
&i
lo = _
Z_
Z_
+_
3_
-
-N
( 1 4 .70)
www.wsip.com.pl
( 14.7 1 )
/1
( 1 4 .72)
E.1
- = z
W układzie trzecim (dla składowej prze­
ciwnej):
E.2 = Z.l2
( 14.73)
12 = z
(14.74)
E.2
( 1 4 .66)
E.2 = 3 C& + a2gB + aE.c)
E.1 = Z.li
Mając obliczone składowe symetryczne
napięć źródłowych E_0 , g1 , E_2 , możemy ze
wzorów ( 1 4 .70) , ( 14 .72) i ( 1 4 .74) obli­
czyć składowe symetryczne prądów k , l1
oraz l2 .
Następnie obliczamy prądy przewodowe
w układzie trójfazowym niesymetrycz­
nym, początkowym (w układzie z rys .
1 4 .22a):
lA = lo + l1 + l2
2
ls = lo + a l1 + al2
2
le = k + al1 + a l2
( 1 4 .75)
Z przytoczonych rozważań, a szczególnie
z analizy wzorów ( 1 4 .64) i ( 1 4 .65) , moż­
na wyciągnąć kilka ważnych wniosków
praktycznych:
1 . W układzie trójfazowym trójprzewo­
dowym składowa zerowa prądów prze­
wodowych jest równa zeru, gdyż zgod­
nie ze wzorem ( 1 4 .35) ich suma jest
równa zeru.
2 . W układzie trójfazowym czteroprze­
wodowym prąd w przewodzie neutral­
nym jest równy potrójnej wartości
składowej zerowej : lN = 3l0 • Jak wyni­
ka ze wzoru ( 1 4.70), składowa zerowa
prądów w układzie czteroprzewodo­
wym zależy od potrójnej wartości im­
pedancji przewodu neutralnego ZN ·
257
3 . W układzie trójfazowym - zarówno
trójprzewodowym, jak i czteroprzewo­
dowym - składowa zerowa napięć
międzyfazowych jest równa zeru, gdyż
suma napięć międzyfazowych za­
wsze jest równa zeru.
4. W maszynach elektrycznych trójfazo­
wych układ zgodny prądów wywołuje
pole wirujące zgodne z kierunkami pręd-
Przykład 1 4. 1
I
kości obrotowej, a układ przeciwny pole wirujące przeciwne do kierunku
prędkości obrotowej .
Należy jeszcze wspomnieć, że w układach
elektroenergetycznych są stosowane urzą­
dzenia, służące do filtrowania określonych
składowych symetrycznych napięć lub prą­
dów. Urządzenia te są nazywane filtrami
składowych symetrycznych. A
Odbiornik trójfazowy rezystancyjny połączony w trójkąt (rys. 14.23a) jest zasilany
z sieci trójfazowej o napięciu międzyfazowym Up = 400 V. Moc czynna pobierana
przez ten odbiornik Pc,. = 6 kW. Jaką moc czynną pobiera odbiornik utworzony z tych
samych elementów, ale połączonych w gwiazdę (rys. 14.23b)? Porównaj wartości prą­
dów przewodowych w obu przypadkach.
b}
al
Rys. 14.23. Schematy układów do przykładu 1 4 .1
Rozwiązanie
Up = Uf.
Gdy elementy są połączone w trójkąt, wówczas
Na podstawie wzoru ( 14. 19),
przy cos 'P = 1 (odbiornik rezystancyjny), prąd przewodowy:
PD.
Prąd fazowy wynosi:
lpt. = J'JUP
=
6000
= 8 ,67 A
J'J . 400
Rezystancja jednej fazy ma wartość:
U1 400
Rf = TJ
= S,Ol = 79,84 O
258
-
(
c
Gdy elementy o rezystancji Rt są połączone w gwiazdę, wówczas na każdym elemen­
cie wystąpi napięcie fazowe:
Ut = UP = 400 = 230 V 2J
0
0
Przy takim połączeniu prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu:
lpJ...
_
-
_
U1
11 - Ri
_
-
230
79,84
_
-
2,88 A
Moc czynna pobierana przez odbiornik połączony w gwiazdę wynosi:
PJ... = yl3UplpJ... cos t.p = yl3 · 400 · 2,88 · 1 = 1 993 W
Stosunek mocy3l:
p!l
PJ...
=
6000 3
1993 =
Stosunek prądów przewodowych jest równy3l:
lp!l
= 8,67 3
fp).. 2,88 =
Przykład 1 4. 2
I
Dany jest układ trójfazowy symetrycz­
ny gwiazda-gwiazda (rys. 14.24). Re­
zystancja każdej fazy odbiornika
R0 = 3 O, reaktancja indukcyjna każ­
dej fazy odbiornika X0 = 4 O, rezy­
stancja przewodu łączącego źródło
z odbiornikiem Rp = 1 O . Napięcie
międzyfazowe źródła Upź = 400 V.
Oblicz napięcia fazowe źródła i od­
biornika, napięcie międzyfazowe od­
biornika, fazowy spadek napięcia,
moc czynną, bierną i pozorną dostar­
czoną przez źródło oraz stratę mocy
w przewodach łączących źródło z od­
biornikiem.
Rp
1 Rp
o-c::=:J
�
"
o-
Ip
„
Uto
Xa
)� R,
�X0
Rys. 14.24. Schemat układu do przykładu 14.2
2l Patrz s. 245.
JJ
Na podstawie obliczeń stosunek ten równa się około 3 ,0 1 , ale wynika to z przybliżenia obliczanych wartości.
www.wsip.com.pl
259
T
Rozwiązanie
Przył
Napięcie fazowe symetrycznego źródła wynosi:
4
U1 = Uvt = 00 = 230 V zi
V1 V1
Impedancja jednej fazy (z uwzględnieniem rezystancji przewodu):
Z = J(R0 + Rp)2 + X� = J42 + 42 = 4}2 n
Kąt fazowy wynosi:
tgcp = X
= 44 = 1 , cp = 45°
R
Odbi1
metl]
Up =
danej
�CA :
mian
Oblic
dów
nia "'
czym
Prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu:
- Uit - 230 - 40 78 A
z - 4 .fl
Ip - If -
'
Rozw
Przyj
Impedancja fazy odbiornika:
Z0 = JR� + X� = J32 + 42 = 5 n
Napięcie fazowe odbiornika wynosi:
Ufo = Zol! = 5 . 40,78 = 203,9 V
Napięcie międzyfazowe odbiornika:
Oblic
Upo = fi.Ufo = y'3 203,9 = 352,74 V
·
Różnica napięć fazowych źródła i odbiornika (fazowy spadek napięcia) równa się:
D.U1 = Ufź - Ufo = 230 - 203,9 = 26, 1 V
Moc czynna dostarczona przez źródło wynosi:
P = yi3Upź · fp cos cp = Jf.400 · 40,78 0,707 = 19,95 kW
·
lub
P = 3RI� = 3 · (R0 + Rp) · I� = 3 · 4 40,782 = 19,95 kW
·
Modu
Moc bierna dostarczona przez źródło:
Q = yl3upźlp sin cp = y'3 400 · 40,78 · 0,707 = 19,95 kvar
·
Moc pozorna wynosi:
S = yi3Upźlp = y'3 · 400 · 40,78 = 28,2 kVA
lub
S = JP2 + Q2 = J202 + 202 = 20}2 = 28,2 kVA
Moc tracona w trzech przewodach równa się:
D.P = 3Rpl� = 3 1 · 40,782 = 5 kW
·
260
Modu
pedan
nia. K
„
Przykład 1 4.3
I
Odbiornik trójfazowy, zasilany z sieci sy­
metrycznej o napięciu międzyfazowym
Up = 400 V, połączono w trójkąt. Impe­
dancje faz bB = (4 + j3) f2 , Z_BC = 5 f2,
ZcA = (3 - j4) n (rys. 14.25). Do po­
miaru mocy włączono dwa watomierze .
Oblicz wartości prądów fazowych, prą­
dów przewodowych, wyznacz wskaza­
nia watomierzy i wykonaj bilans mocy
czynnych.
Rys. 14.25. Schemat układu do przykładu 14.3
Rozwiązanie
Przyjmujemy napięcie międzyfazowe:
Ji.48 = 400 V
(
v/3
Il.Be = 400e- · �3 = 400 - 21 - J T
1
·�
(
.
VJ )
) (-200 - j346)
=
V
Il.cA = 400e1 3 = 400 - 21 + j T = ( -200 + j346) V
Obliczamy prądy fazowe:
AB = 400 = 400(4 - j3) = (64 - J"48) A
I!AB = Il
16 + 9
Z B 4 + ]0 3
-A
IlBc = -200 - j346 = (-40 - " 69,2) A
J
z-BC
5
46
)(3 + j4) = ( - 79 36 + . 9 52) A
= (- 200 +9j+346
-ICA = Jl.ZccAA = -2300-+J_j3
' J '
4
16
I
-BC =
Moduły prądów fazowych wynoszą:
IAB = J642 + 482 = 80 A
!Be = J402 + 69,22 = 80 A
lcA = V79,362 + 9,522 = 80 A
Moduły prądów fazowych są równe, gdyż jak łatwo się można przekonać moduły im­
pedancji faz też są sobie równe , a moduły napięć międzyfazowych są równe z założe­
nia. Korzystając ze wzorów (14.37), obliczamy wartości prądów przewodowych:
www.wsip.com.pl
261
LA. = iA.B - lcA = 64 - j48 + 79, 36 - j9,52 = (143,36 - j57,52) A
Przyj1
lB = lBe - IAB = -40 - j69,2 - 64 + j48 = ( - 1 04 - j21 ,2) A
le = leA - Ise = -79,36 + j9,52 + 40 + j69,2 = (- 39,36 + j78,72) A
Stwierdzamy, że:
fA. + lB + le = O
Wskazania watomierzy wyznaczamy, korzystając ze wzoru (14.46):
P1 = Re[QAcl�J = Re[(200 - j346)( 1 43,36 + j57,52)] =
= 200 . 1 43,36 + 346 . 57,52 = 48 573 w
P2 = Re WBefii ] = Re[(-200 - j346)(- 1 04 + j21 ,2)] =
= 200 . 1 04 + 346 . 2 1 ,2 = 28 1 35 w
Oblic
Moc pobierana przez odbiornik trójfazowy wynosi:
P = P1 + P2 = 76 708 W
Na pc
Moc tę można obliczyć również jako sumę mocy czynnych pobieranych przez ele­
menty rezystancyjne odbiornika, zatem:
P = RAB/A2 B + RBclB2 e + RCAi2eA
przy czym RAB = 4 O, RBe = 5 O , ReA = 3 O, natomiast:
IAB = !Be = IeA = 80 A
Prądy
Zatem wartość mocy wynosi:
p = (4 + 5 + 3) . 80
2
= 76 800 w
Nieznaczna różnica wartości mocy obliczonych dwiema metodami wynika z zaokrą­
glenia niektórych wyników obliczeń. A
'Y
Przykład 1 4.4
I
Stwie
Do sieci trójfazowej symetrycznej o napięciu międzyfazowym Up = 400 V dołączono
odbiornik rezystancyjny połączony w gwiazdę. Rezystancje faz: Ru = 32 O ,
RL2 = RL3 = 1 6 O . Oblicz wartości prądów przewodowych.
Pyta11
Rozwiązanie
1 4.2.
Napięcie fazowe sieci wynosi:
400
U
Uf = Jjv = Jj = 230 V 2)
21 Patrz s. 245.
262
1 4.1 .
1 4.3.
1 4.4.
1 4.5.
Przyjmujemy na osi odniesienia napięcie fazowe fazy Li , zatem:
Eu = 230 V
EL2 = 230e-j ?f
=
(
230 -� - j
f) = (- 1 15 - j 199)
V
Obliczamy wartość napięcia niesymetrii:
- 1 15 - j199) + _!_(-115
__!_
· 230 + _!_(
+ j199)
Y ELI + -B-L2
Y E + -C-L3
Y E
16
3
16
-A2
- -46 V
=
-N 1+1+1
XA + XB + Xe
32 16 16
u
Na podstawie równań (14.26) obliczamy wartości napięć fazowych odbiornika:
Il-A = Eu - QN = 230 + 46 = 276 V
rls = EL2 - rlN = - 1 15 - j 199 + 46 = (-69j199) V
rlc = Ei3 - rlN = - 1 15 + j l99 + 46 = ( -69 + j 199) V
Prądy fazowe (równe prądom przewodowym) wynoszą:
1
lA = LrlA = 3 2 . 276 = 8,62 A
1
=
ls X.srls = 1 6 ( - 69 - j 199) = (-4,31 - j 12,43) A
1
le = X.crlc = 1 6 (-69 + j199) = (-4,3 1 + j 1 2,43) A
Stwierdzamy, że suma prądów przewodowych jest równa zeru. •
Pytania i polecenia !.....
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
1 4. 1 . Określ zależność między napięciem fazowym międzyfazowym w układzie trójfazowym
symetrycznym gwiazdowym.
1 4.2. Określ zależność między napięciem fazowym międzyfazowym w układzie trójfazowym
symetrycznym trójkątowym .
1 4.3. Określ zależność między prądem fazowym i prądem przewodowym w układzie trójfazowym
symetrycznym trójkątowym.
1 4.4. Ile wynosi suma napięć międzyfazowych?
1 4.5. Jak obliaamy moc czynną pobieraną przez odbiornik trójfazowy symetryany?
www.wsip.com.pl
263
1 4.6. W jakim układzie trójfazowym różnica potencjałów między punktami neutralnymi źródła
i odbiornika jest równa zeru:
a) w układzie gwiazda-gwiazda
b) w układzie gwiazda-gwiazda symetrycznym
c) w układzie gwiazda-gwiazda niesymetrycznym
d) zarówno w układzie gwiazda-gwiazda symetrycznym jak i niesymetrycznym
1 4.7. O jaki kąt są przesunięte napięcia w fazach prądnicy trójfazowej symetrycznej:
7r
b) o kąt 27r
a) o kąt
c) o kąt
d) o kąt
2;
I
1 4.8. O jaki kąt są przesunięte w fazie napięcia przewodowe odbiornika symetrycznego połączonego
w trójkąt:
a) o kąt 7r
c) o kąt I
b) o kąt
d) o kąt
2;
27r
1 4.9. W układzie trójfazowym symetrycznym pokazanym na rysunku 1 4.26: R =
V. Prąd przewodowy fp w układzie wynosi:
Up =
400
8A
b) fp = 4 A
a) fp =
A
d) fp ,,/3 A
c) fp = 8 ,,f3
=
Ip
Czwó
Rys. 14.26. Schemat
układu do pytania 14.9
1 4. 1 0. W układzie trójfazowym gwiazda-gwiazda pokazanym na rysunku 1 4.27: Xe =
20 n,
230yl2sin31 4t. Wartość chwilowa prądu iA w fazie LI układu wynosi:
a) iA = 23yl2sin 31 4t
iA
b) iA = 23,,/3 sin 31 4t
c) iA = 23yl2sin (31 4t+ I )
d) iA = 1 1 ,5yl2sin ( 31 4t + I )
Rys. 14.27. Schemat
=
1 4. 1 1 . W układzie odbiornika trójfazowego pokazanego na rysunku 1 4.28: R
Moc czynna P wynosi:
40 kW
b) P = 1 2 kW
a) P =
układu do pytania 14.10
=
40 n, Up.1 = 230 V.
c) P = lOO kW
d) P =
10 kW
Rys. 14.28. Schemat układu do pytania 14.1 1
2 64
Jedny
dów <
sków.
jęcie
eleme
czej n
Rys. 15
tzw. „c:
t
I Up
B
eu
1 5. 1
30 n, XL = 40 n,
A
L1 o--__.,___...,
L2
15.
my u1
dwie
(rys. l
niony
Jedną
sciem
związ:
sem J
indek�
dopro
ciu je�
W do1
maty 1
przedi
Schen
(rys.
czwór
tzw. i
mają
15. Czwórniki i filtry częstotliwościowe
Klasyfikacja
czwórników.
Pojęcia podstawowe
tępczy tranzystora1l również ma strukturę
czwórnika ( patrz rys. 1 5 .3b).
Przedstawiając schemat czwórnika (rys. 15 .1)
w postaci tzw. „czarnej skrzynki", nie wni­
kamy w jego strukturę wewnętrzną. StrukJednym z kryteriów klasyfikacji obwo­ tura ta ma jednak istotne znaczenie i w za­
dów elektrycznych jest liczba par zaci­
leżności od tego, z jakich elementów
sków. W punkcie 9.7 . 1 wprowadzono po­ składają się czwórniki, można przeprowa­
jęcie dwójnika Uednowrotnika), tzn. dzić ich klasyfikację i wprowadzić kilka
elementu mającego dwa zaciski, lub ina­ nowych terminów dotyczących czwórni­
czej mówiąc jedną parę zacisków.
ków. Jeżeli wszystkie elementy wchodzące
w skład struktury czwórnika są liniowe,
Iz 2
1 I
to taki czwórnik nazywamy czwórnikiem
We
Wy
liniowym. Jeżeli czwórnik zawiera chociaż
I
I
i jeden element nieliniowy, zaliczamy go do
1'
Iz 2'
klasy czwórników nieliniowych .
Rys. 15.1. Symbol graficzny czwórnika w postaci
Czwórnik nazywamy symetrycmym, jeżeli
tzw. „czarnej skrzynki
po zamianie miejscami wejścia z wyjściem nie
Czwórnikiem (dwuwrotnikiem) nazywa­ zmieni się rozpływ prądów i rozkład napięć
my układ mający cztery zaciski, a ściślej : w obwodzie poza czwórnikiem, tzn. w obwo­
dzie dołączonym do wejścia i w obwodzie do­
dwie pary uporządkowanych zacisków
(rys. 15.1). Dla czwórnika musi być speł­ łączonym do wyjścia„
Czwórniki dzielimy na odwracalne i nieod­
niony warunek:
(15.1) wracalne. Jeżeli do zacisków wejściowych
/1 = li ' Ii = li
czwórnika odwracalnego doprowadzimy ideal­
Jedną parę zacisków nazywamy wej­ ne źródło napięcia E, które w zwartym obwo­
ściem, a drugą
wyjściem. Wielkości
dzie wyjścia wywoła przepływ prądu /, to po
związane z wejściem opatrujemy indek­ przeniesieniu tego źródła do wyjścia, w zwar­
sem I , a wielkości związane z wyjściem - tym obwodzie wejścia też popłynie prąd /.
indeksem 2 . Przeważnie do wejścia jest Czwórnik, dla którego spełniony będzie poda­
doprowadzone źródło energii, a na wyjś­ ny warunek, zwany warunkiem odwracalności,
ciu jest dołączony element odbiorczy.
nazywamy czwórnikiem odwracalnym.
W dotychczasowych rozważaniach sche­ Czwórniki dzielimy na pasywne i aktyw­
maty niektórych obwodów elektrycznych ne. Czwórnik pasywny jest wtedy, jeżeli
przedstawiano już w postaci czwórników.
Schemat transformatora powietrznego
Trójelektrodowy przyrząd półprzewodnikowy sto­
(rys. 1 3 .7) jest schematem o postaci sowany najczęściej jako wzmacniacz sygnału elek­
Strukturę tranzystora tworzą 3 warstwy
czwórnika. Źródła energii elektrycznej, trycznego.
typu PNP lub NPN, wytworzone w płytce półprze­
tzw. źródła sterowane (rys. 4.16), także wodnika (w półprzewodniku typu N nośnikami ładun­
mają schemat czwórnika. Schemat zas- ku elektrycznego są elektrony, a w typu P dziury.
1 5.1.
fi----J
-
'l
-
www.wsip.com.pl
2 65
; mającego strukturę czwórnika i zawierają­
cego źródło sterowane (rys. 15.3) .
Również tranzystory pracujące w ukła­
dzie o wspólnym kolektorze i w układzie
1'
o wspólnym emiterze mają schematy za­
2'
stępcze zawierające źródła sterowane.
Rys. 15.2. Przykładowy schemat czwórnika pasyw­
Dlatego też schemat zastępczy tranzysto­
nego
ra jest czwórnikiem aktywnym.
a}
Czwórniki pasywne są z reguły odwracal­
1·1
[
[ .
ne, natomiast czwórniki aktywne są prze­
ważnie nieodwracalne.
1
R
L
2
~
czenie
w trój
dziej 2
dzić,
cania,
1
1 5. 3.
.
1 5. 2 .
b}
We
Schematy zastępcze
czwórników
Czwórniki, jako schematy zastępcze wie­
lu urządzeń, można prawie zawsze przed­
stawić za pomocą trzech impedancji two­
rzących strukturę taką, jak pokazano na
Wy
1''o-----+-------o 2 '
rysunku 15.4.
Rys. 15.3. Tranzystor PNP o wspólnej bazie
Czwórnik przedstawiony na rysunku
15 .4a nazywamy czwórnikiem typu
(kształtu) T, a czwórnik z rysunku 15 .4b ­
czwórnikiem typu II. Pierwszy z tych
czwórników jest też nazywany czwórni­
kiem gwiazdowym, gdyż jego gałęzie
tworzą gwiazdę, a drugi jest nazywany
czwórnikiem trójkątowym, gdyż połą-
jako czwórnik aktywny: a) schemat (E - emiter,
C - kolektor, B - baza); b) schemat zastępczy
ze źródłem prądu sterowanym prądem emitera
całkowita energia pobrana przez elementy
czwórnika, po dołączeniu do jego zaci­
sków źródła energii, jest nieujemna, tzn.
dodatnia lub równa zeru. Do chwili dołą­
czenia źródła do zacisków czwórnika pa­
sywnego prąd w nim nie płynie. Czwórnik
a)
pasywny jest zbudowany np. z rezystoI'
rów, cewek i kondensatorów (rys. 15.2).
Czwórnik, który nie spełnia podanych wyy
żej warunków nazywamy czwórnikiem ak­
tywnym. Czwórnik aktywny charaktery- I
z
I1
b)
Iz
zuje się tym, że w jego schemacie li
zastępczym występuje źródło: sterowan.e.J__
lub niesterowane. Na przykład czwórniki
J Yz
przedstawione na rysunku 4.16 są czwórni­
kami aktywnymi. Tranzystor PNP w ukła- !
dzie o wspólnej bazie może być przedsta- Rys. 15.4. Schematy zastępcze czwórników:
wiony za pomocą schematu zastępczego a) typu T; b) typu II
I
1
266
u1 , ju· )u,
)u,
)u,
Do zac
przew
Zacis1
te i w
jałow:
pedan1
<;tane1
do zac
nik zn
W stai
jest r<
prąd
W sta
jest n
równe
StosUJ
do pn
pedar
leżnoi
my V
CZWÓI
jałow:
1 5.4
Pojęci
po<
stero�
cie łut
jest pi
drugie:
w
czenie elementów odpowiada połączeniu
w trójkąt. W praktyce czwórniki o bar­
dziej złożonej strukturze można doprowa­
dzić , dzięki stosowaniu reguł przekształ­
cania, do jednej z podanych struktur.
1 5.3.
Stany pracy
czwórnika
Do zacisków wejściowych czwórnika 1-1 '
przeważnie jest doprowadzone źródło.
Zaciski wyjściowe 2-2 ' mogą być: rozwar­
te i wtedy stan pracy nazywamy stanem
jałowym, zwarte, czyli połączone bezim­
pedancyjnie, i taki stan pracy nazywamy
stanem zwarcia , natomiast po dołączeniu
do zacisków pewnej impedancji Zo czwór­
nik znajduje się w stanie obciążenia.
W stanie jałowym impedancja odbiornika
jest równa nieskończoności , wobec tego
prąd Ii nie płynie - jest równy zeru.
W stanie zwarcia impedancja odbiornika
jest równa zeru , zatem napięcie U2 jest
równe zeru.
Stosunek napięcia na wejściu czwórnika
do prądu na jego wejściu nazywamy im­
pedancją wejściową czwórnika . W za­
leżności od stanu pracy czwórnika może­
my wyznaczyć impedancję wejściową
czwórnika w stanie obciążenia, w stanie
jałowym i w stanie zwarcia.
1 5.4
Czwórniki aktywne.
Źródła sterowane
Pojęcie źródła sterowanego wprowadzono
w podrozdz. 4.5 . Stwierdzono, że źródło
sterowane charakteryzuje się tym, że napię­
cie lub prąd związany z jedną parą zacisków
jest proporcjonalny do napięcia lub prądu
drugiej pary zacisków. Źródła sterowane
www.wsip.com.pl
a}
b}
cl
d}
Rys. 155. Schematy idealnych źródeł sterowanych: a)
źródło napięcia sterowane prądowo; b) źródło prądu stero­
wane napięciowo; c) źródło napięcia sterowane napięcio­
wo; d) źródło prądu sterowane prądowo
będące idealnymi wzmacniaczami możemy
otrzymać w wyniku idealizacji wzmacnia­
czy rzeczywistych2l, polegającej na pomi­
nięciu parametrów rezystancji i pojemności,
a zachowaniu właściwości wzmacniania.
Schemat zastępczy źródła sterowanego jest
czwórnikiem. Na rysunku 15.5 przedsta­
wiono cztery typy źródeł sterowanych.
Cechą charakterystyczną wszystkich czte­
rech typów źródeł sterowanych jest to, że
wielkość wyjściowa, będąca wielkością
sterowaną, jest proporcjonalna do wielko­
ści wejściowej , będącej wielkością sterują­
cą. Współczynnik proporcjonalności mię­
dzy wielkością sterującą a wielkością
sterowaną jest liczbą rzeczywistą lub
zespoloną. Ponadto wielkość sterująca nie
zależy od wielkości sterowanej , a zatem
przekazywanie sygnału następuje tylko
w jednym kierunku. Źródło sterowane jest
więc układem o jednostronnym działaniu.
Z tego względu źródła te są czwórnikami
nieodwracalnymi.
2J
Wzmacniacz jest urządzeniem wzmacniającym
sygnały elektryczne (napięcie, prąd, moc i in.), wyko­
rzystując do tego celu energię pochodzącą ze źródła
zasilania.
267
prądu wejściowego. Współczynnik propor­
Schemat tego źródła przedstawiono na ry­ cjonalności oznaczymy przez o: . Dla rozpa­
sunku 15.5a. Wielkością sterującą jest trywanego źródła można napisać równania:
prąd Ii , a wielkością sterowaną - napięcie
U2 . Napięcie wyjściowe jest proporcjo­
(15.5)
nalne do prądu wejściowego. Współczyn­ Źródło prądu sterowane prądowo jest za­
nik proporcjonalności oznaczymy przez r. tem idealnym wzmacniaczem prądu
Dla rozpatrywanego źródła można napi­ o wzmocnieniu równym o: .
sać równania:
Zwróćmy uwagę, że zarówno prąd /i ,jak
i prąd /z są skierowane do czwórnika we
(15.2) wszystkich czterech schematach. W przed­
stawionych czterech układach moc dopro­
Źródło prądu sterowane napięciowo
wadzona do wejścia jest równa zeru, gdyż
Schemat tego źródła przedstawiono na ry­ albo wejście jest zwarte (schemat a i d)
sunku 15.Sb. Wielkością sterującą jest na­ i napięcie U1 jest równe zeru, albo na wej­
pięcie U1 , a wielkością sterowaną - prąd /z . ściu występuje przerwa (schematy b i c)
Współczynnik proporcjonalności ozna­ i wtedy prąd Ii = O. Źródła sterowane
czymy przez g. Dla rozpatrywanego źró­ wchodzące w skład obwodu wyjścia do­
starczają moc, co formalnie możemy trak­
dła można napisać równania:
tować jako pobór mocy ujemnej. Zgodnie
więc z definicją podaną w podrozdz. 15 . 1 ,
(15 .3) czwórnik taki nazywamy czwórnikiem
aktywnym.
Źródło napięcia sterowane prądowo
Źródło napięcia sterowane napięciowo
/
Schemat tego źródła przedstawiono na ry­
sunku 15.Sc. Wielkością sterującą jest na­ 1 5.5. Filtry
pięcie U1 a wielkością sterowaną - napię­
częstotliwościowe
cie U2 . Współczynnik proporcjonalności
oznaczymy przez µ. Dla rozpatrywanego Filtrem nazywamy układ o strukturze
źródła można napisać równania:
czwórnika, który przepuszcza bez tłumie­
nia lub z małym tłumieniem napięcia
i prądy o określonym paśmie częstotliwo­
(15.4) ści, a tłumi napięcia i prądy leżące poza
Źródło napięcia sterowane napięciowo tym pasmem.
jest idealnym wzmacniaczem napięcia Pasmo częstotliwości, które filtr przepusz­
cza bez tłumienia nazywamy pasmem prze­
o wzmocnieniu równym µ.
pustowym, a pasmo częstotliwości, które
Źródło prądu sterowane prądowo
filtr tłumi, nazywamy pasmem tłumienio­
Schemat tego źródła przedstawiono na ry­ wym.
sunku 1 5 .Sd. Wielkością sterującą jest Częstotliwość, która oddziela pasmo prze­
prąd Ii , a wielkością sterowaną - prąd /z . pustowe od pasma tłumieniowego, nazy­
Prąd wyjściowy jest proporcjonalny do wamy częstotliwością graniczną filtra.
268
Rys. 1
niowe
przepi
W za
stowe
a) do
b) gó
c) pa
d) za1
W za
my n
a) re<
ik
b) be:
wa
c) pie
d) ak1
Dla fi
częst<
teryst
wości
tłumi1
wy b
sygna
wym
być r(
a}
bJ
Pasmo
przepustowe
'j
Pasmo
przepustowe
(J)
mo
Pasmo
przepustowe
mo1
(J)
mo2
d}
Pasmo
przepustowe
Pasmo
przepustowe
zera, natomiast w paśmie tłumieniowym
współczynnik ten powinien być duży.
Znajomość charakterystyki częstotliwoś­
ciowej współczynnika fazowego pozwala
na określenie zmiany fazy napięcia i prą­
du przy przejściu sygnału przez filtr.
Zwyczajowo, charakterystyki częstotli­
wościowe wykonuje się jako funkcje w ,
a nie f, co nie prowadzi zresztą do
sprzeczności, gdyż pulsacja często jest
nazywana częstotliwością kątową lub
krótko częstotliwością (przypominamy,
że w = 21ff) .
I
1 5.5.1 . Filtry reaktancyjne
Rys. 15.6. Położenie pasma przepustowego i tłumie­
niowego w filtrze: a) dolnoprzepustowym; b) górno­
przepustowym; c) pasmowym; d) zaporowym
Filtr dolnoprzepustowy ma pasmo prze­
pustowe zawarte w granicach od O do w0,
gdzie w0 jest częstotliwością graniczną.
W zależności od położenia pasma przepu­ Filtr można zrealizować za pomocą czwór­
nika symetrycznego typu T lub typu 11?
stowego rozróżniamy filtry:
(rys. 15.7) . W obu typach czwórników
a) dolnoprzepustowe,
w
gałęziach podłużnych występują cewki
b) górnoprzepustowe,
idealne,
a w gałęziach poprzecznych c) pasmowe,
kondensatory
idealne.
d) zaporowe.
W zależności od konstrukcji filtry dzieli­ Pasmo przepustowe filtra jest zawarte
my na:
w granicach od O do � , przy czym
yLC
a) reaktancyjne LC, zbudowane z cewek
i kondensatorów;
l
l
al
2
2
b) bezindukcyjne, pasywne RC, zbudowane z rezystorów i kondensatorów;
c) piezoceramiczne;
d) aktywne.
.___
Dla filtrów miarodajne są charakterystyki
częstotliwościowe. Na podstawie charak­
terystyki zmienności w funkcji częstotli­
wości takich wielkości, jak współczynnik
tłumienia sygnału a i współczynnik fazo­
wy b, określamy warunki przenoszenia
sygnałów przez filtr. W paśmie przepusto­
wym współczynnik tłumienia powinien Rys. 15.7. Schematy filtra dolnoprzepustowego:
być równy zeru lub niewiele różnić się od a) typu T; b) typu II
�
O
J
,___
I
www.wsip.com.pl
O
269
Częstotliwość graniczna filtra:
1
Wo = 2.,/LE
( 1 5 .7)
stanowi dolną granicę pasma przepusto­
wego.
Częstotliwość graniczna, takjak dla
O
Pasmo
(J)o
filtra
dolnoprzepustowego,
jest również
przepustowe
taka
sama
dla
czwórników
obu
typów.
Rys. 15.8. Charakterystyki częstotliwościowe
Na
rysunku
15.10
przedstawiono
charak­
współczynnika tłumienia i współczynnika fazo­
terystyki częstotliwościowe współczynni­
wego b filtra dolnoprzepustowego
ka tłumienia i współczynnika fazowego
górna granica pasma jest częstotliwością filtra górnoprzepustowego.
graniczną:
2
b
( 1 5 .6)
Wo =
a
-.,/LE
a.
Częstotliwość graniczna jest taka sama
dla czwórników obu typów T i IT.
Na rysunku 15.8 pokazano charaktery­
styki częstotliwościowe współczynnika
tłumienia i współczynnika fazowego filtra
dolnoprzepustowego.
Współczynnik tłumienia a w paśmie prze­
pustowym jest równy zeru, a zwiększa się
w miarę zwiększania częstotliwości.
Współczynnik fazowy b w paśmie przepu­
stowym zwiększa się od zera (gdy w = O)
do (gdy w = w0) i w paśmie tłumienio­
wym nie zmienia się i jest równy
Filtr górnoprzepustowy ma pasmo prze­
pustowe zawarte w granicach od w0 do
nieskończoności. Filtr można zrealizować
za pomocą czwórnika symetrycznego ty­
pu T lub IT (rys. 15.9) .
W obu schematach w gałęziach podłużnych
występują kondensatory idealne, a w gałę­
ziach poprzecznych - cewki idealne.
7r
2CJ l 2Cl f--o
o- I� L
a}
7r .
b}
o
o
�2L
1
I
[
li
I�21
I
Rys. 15.9. Schematy filtra górnoprzepustowego:
a) schemat typu T; b) schemat typu TI
)
270
o
o
Pasmo
przepustowe
{))
Rys. 15.10. Charakterystyki częstotliwościowe
współczynnika tłumienia a i współczynnika fazo­
wego b filtra górnoprzepustowego
Współczynnik tłumienia dla małych czę­
stotliwości jest bardzo duży i w miarę
zbliżania się do częstotliwości granicznej
maleje do zera, a następnie począwszy od
częstotliwości wo jest stale równy zeru.
Współczynnik fazowy dla częstotliwości
zawartych w granicach od O do w0 jest
równy -7!', a począwszy od w0 maleje do
zera wraz ze wzrostem częstotliwości.
1 5.5.2
.j Filtry pasywne RC
Podczas projektowania filtrów reaktan­
cyjnych największy kłopot sprawia ele­
ment indukcyjny. Cewki nie mogą być
bowiem realizowane w technice scalonej,
co jest dużą niedogodnością, ponadto w ce­
lu uzyskania dużej indukcyjności trzeba
stosować cewki z rdzeniem ferromagne­
tycznym. Cewka taka ma nie tylko rezy-
Rys. l�
b) char
tłumie1
stancj
nież ,
cewk;
małą ,
StOSO'
nich 1
wane
Na r:
mat J
rysm
tliwo
go fil
czym
jak "'
tliwo
Przy
nej '
(deC)
PrzyI
Filtr
na r:
sinm
filtra
reak'
nicz1
a)
�
2
I
o
bi
R
R
2
a
o
w
o
a)
b)
�i �R �
.,.
2(
a
o
\__
Wo
r
w
Rys. 15.11. Filtr dolnoprzepustowy RC: a) schemat;
Rys. 15.12. Filtr górnoprzepustowy RC: a) schemat,
b) charakterystyka częstotliwościowa współczynnika
tłumienia b
stancję uzwojenia, ale w jej rdzeniu rów­
nież występują straty. W związku z tym
cewka z rdzeniem ferromagnetycznym ma
małą dobroć Q . Dlatego też powszechnie są
stosowane filtry bezindukcyjne, a wśród
nich filtry RC. Filtry te mogą być wykony­
wane jako układy zminiaturyzowane.
Na rysunku 15.lla przedstawiono sche­
mat filtra dolnoprzepustowego RC, a na
rysunku 15.llb charakterystykę często­
tliwościową współczynnika tłumienia te­
go filtra. W paśmie przepustowym współ­
czynnik tłumienia nie jest równy zeru, tak
jak w filtrach reaktancyjnych. Jako często­
tliwość graniczną przyjmuje się umownie:
Realizacja filtra górnoprzepustowego jest
możliwa w układzie z rysunku 15.12a.
Charakterystykę częstotliwościową współ­
czynnika tłumienia tego filtra pokazano
na rysunku 15.12b. Jako częstotliwość
graniczną przyjmuje się umownie:
b) charakterystyka częstotliwościowa współczynnika
tłumienia a
1
wo = 4RC
( 1 5 .9)
Przy tej wartości częstotliwości granicznej
współczynnik tłumienia (tak samo jak w fil­
trze dolnoprzepustowym) a = 1 3 ,3 dB .
Oprócz filtrów pasywnych są budowane
filtry aktywne i filtry cyfrowe. Są to ukła­
dy, których głównym zadaniem jest prze­
4
( 1 5 .8) twarzanie sygnałów. Filtry stosuje się po­
Wo = RC
wszechnie w odbiornikach radiowych
Przy tej wartości częstotliwości granicz­ i telewizyjnych, w systemach regulacji
nej współczynnik tłumienia a = 1 3,3 dB automatycznej, przy modelowaniu obiek­
(decybel).
tów dynamicznych.
Przykład 1 5. 1
I
Filtr dolnoprzepustowy, o układzie przedstawionym
na rysunku 15.13, jest zasilany ze źródła napięcia
sinusoidalnego o pulsacji w = 5000 rad/s. Parametry
filtra są następujące: L = 10 mH, C = 4 µF. Oblicz
reaktancje elementów filtra oraz częstotliwość gra­
niczną.
�
J
I
www.wsip.com.pl
Rys. 15.13. Schemat do przykładu 1 5 . 1
271
16.
Rozwiązanie
Reaktancja każdej z gałęzi wzdłużnych czwórnika:
wL 5000
5 10-3 = 25 0
=
·
2
Reaktancja gałęzi poprzecznej:
1
·
1
1 6.t
w e - 5000 . 4 . 10-6
= 50 n
Zgodnie ze wzorem ( 1 5 .6) częstotliwość graniczna filtra wynosi:
2
= 10 000 rasd
Wo =
J10 . 10-3 . 4 . 10 -6
Częstotliwość napięcia zasilającego filtr, wynosząca 5000 rd/s jest mniejsza od często­
tliwości granicznej tego filtra (jest równa połowie częstotliwości granicznej).
Przykład 1 5.2
I
Na rysunku 15.14 przedstawiono filtr górnoprzepustowy. Częs­
totliwość graniczna tego filtra wynosi w0 = 10 OOO rad/s . Oblicz
indukcyjność L filtra oraz reaktancje elementów, jeśli napięcie
zasilające ma częstotliwość w = 5000 rad/s (pasmo tłumienio­
we) , a pojemność C = 5 µF.
Rozwiązanie
1
Xc = wC =
Rys. 15.14. Schemat
do przykładu 1 5 .2
Zgodnie ze wzorem ( 15.7) indukcyjność:
1
= 0'5 mH '
L = 12- =
4wo C 4 108 5 10-6
-
TI
[
·
•
·
1
= 40 0 '
5000 5 10- 6
Pytania i polecenia
·
·
2L = 1 mH
xL = w . 2L = sooo . 1 . 10-3 = 5 n
�1-----
1 5. 1 . Co to jest czwórnik i jak klasyfikujemy czwórniki?
1 5.2. Czym różni się czwórnik pasywny od czwórnika aktywnego?
1 5.3. Zdefiniuj impedancję wejściową czwórnika.
1 5 .4. Jaki czwórnik nazywamy symetrycznym?
1 5.5. Jaki czwórnik nazywamy odwracalnym?
1 5 .6. Wymień znane ci rodzaje źródeł sterowanych.
1 5. 7. Podaj klasyfikację filtrów.
1 5.8. Od jakich wielkości zależy częstotliwość graniczna filtra dolnoprzepustowego?
1 5.9. Od jakich wielkości zależy częstotliwość graniczna filtra górnoprzepustowego?
1 5.1 O. Czy filtr reaktancyjny pobiera moc czynną?
Obw<
który
płyną
cia w
nazy1
W rz,
tryczi
wszy
cech)
kach
prądt
zalic<
ale Zl
przy1
stępu
i z ty1
W k
zmiai
wodr
ry pt
wysc
zmia
sator
kresi1
nego
się I
musi
niow
Przy
nieli1
W ol
odgr
272
)
-------------
----
1 6. Obwody nieliniowe prądu
zmiennego
1 6. 1 .
Charakterystyka
elementów i obwodów
nieliniowych prądu
zmiennego
Obwody elektryczne zawierające elementy,
których parametry zależą bądź od prądu
płynącego przez element, bądź od napię­
cia występującego na zaciskach elementu ,
nazywamy obwodami nieliniowymi.
W rzeczywistości wszystkie obwody elek­
tryczne i magnetyczne są nieliniowe, gdyż
wszystkie elementy rzeczywiste wykazują
cechy nieliniowości. W określonych warun­
kach i w pewnych zakresach zmienności
prądu i napięcia można wiele elementów
zaliczyć do kategorii elementów liniowych,
ale zawsze ma to charakter przybliżony. Na
przykład, przy bardzo dużych prądach na­
stępuje silne nagrzewanie przewodników
i z tym jest związana zmiana ich rezystancji.
W konsekwencji może nastąpić nawet
zmiana stanu skupienia materiału i prze­
wodnik pod wpływem wysokiej temperatu­
ry przechodzi w stan ciekły. Przy bardzo
ry nieliniowe . Indukcyjność cewki z rdze­
niem ferromagnetycznym zależy od prądu
płynącego w cewce, a zatem taka cewka
jest nieliniowa. Również kondensator mo­
że być nieliniowy, jeżeli jego pojemność
zależy od napięcia występującego na okła­
dzinach kondensatora lub od ładunku zgro­
madzonego na tych okładzinach. O ile dla
rezystora do oceny jego właściwości mia­
rodajna jest charakterystyka napięciowo­
-prądowa u(i), o tyle dla cewki podaje się
charakterystykę strumienia magnetyczne­
go skojarzonego w funkcji prądu
lf/(i) ,
a dla kondensatora - charakterystykę ła­
dunku na okładzinie w funkcji napięcia
q(u). Typowe charakterystyki nieliniowe
przedstawiono na rysunku 16.1 .
Zasadniczą cechą obwodów nieliniowych
jest to, że nie spełniają one zasady super­
pozycji, co rzutuje na sposób ich oblicza­
nia. Te metody, które są oparte na zasadzie
superpozycji, nie mogą być stosowane
w obwodach nieliniowych. Dla obwodów
a)
u
wysokich napięciach następują z kolei
zmiany w strukturze dielektryków. Konden­
I
sator może być liniowy w określonym za­
kresie zmienności natężenia pola elektrycz­
nego dielektryka, a poza tym zakresem staje
c)
się nieliniowy. Wiele jednak elementów
musimy zaliczyć do grupy elementów nieli­
niowych w normalnym stanie pracy.
Przykłady elementów rezystancyjnych
nieliniowych podano w podrozdziale 4 . 1 3 .
W obwodach prądu zmiennego istotną rolę
odgrywają cewki nieliniowe i kondensatowww.wsip.com.pl
q
Rys. 16.1.
Charakterystyki
elementów nieliniowych:
a) rezystora; b) cewki;
c) kondensatora
u
273
nieliniowych są słuszne oba prawa Kirch­
hoffa dla wartości chwilowych.
W obwodach, w których płynie prąd
zmienny, trzeba uwzględnić inercyjność
elementów. Istnieją bowiem elementy
nielinibwe , tzw. inercyjne (np . żarówka) ,
w których nieliniowość jest wywołana
zjawiskami cieplnymi . Dopiero podczas
nagrzewania takiego elementu ujawnia
się jego nieliniowość . Obwody nieliniowe
są powszechnie stosowane w technice .
Dzięki elementom nieliniowym i wyko­
rzystaniu ich charakterystyk jest możliwe
realizowanie takich czynności ,jak prosto­
wanie , stabilizacja napięcia lub prądu ,
modulacja i detekcja sygnałów, wytwa­
rzanie sygnałów o różnych kształtach itp.
Elementy nieliniowe są stosowane niemal
we wszystkich urządzeniach elektrycz­
nych i elektronicznych.
Analiza obwodów nieliniowych jest znacz­
nie trudniejsza od analizy obwodów linio­
wych. Charakterystyki wielu elementów
nieliniowych nie mogą być opisane równa­
niem i bardzo często są określone tylko
graficznie. Dlatego też wśród metod anali­
zy obwodów nieliniowych najbardziej są
rozpowszechnione metody numeryczne.
1 6.2.
�·
!
1 6.2.1 .
Obwody nieliniowe
z elementami
ferromagnetycznymi
Cewka z rdzeniem
ferromagnetycznym
Na rysunku 16.2a przedstawiono cewkę
z rdzeniem ferromagnetycznym, często
zwaną dławikiem . Założymy na wstępie,
że charakterystyka magnesowania rdze­
nia ferromagnetycznego ma przebieg taki ,
274
jak pokazano na rysunku 16.2b, tzn. po­
mijamy zjawisko histerezy magnetycznej .
Krzywa B(H) jest jednocześnie krzywą
strumienia magnetycznego skojarzonego
w funkcji prądu lfr(i), gdyż lJ! = N<P = NBS,
tzn. przy określonej liczbie zwojów N
i przekroju rdzenia S, strumień magne­
tyczny skojarzony lJ! jest proporcjonalny
do indukcji magnetycznej B w rdzeniu,
.
a prąd w cewce z =
Hl
.
.
1
Jest proporcJona -
N
ny do natężenia pola magnetycznego H.
b)
c)
B
H
Jeśli
wzor
przy c
Strur
wzgl1
wzgl1
strun
du, p
idaln
ny rn
wyzn
żym)
Na r
rysty
bieg
czast
odpo
na ki
góln�
my �
tyczr
Rys. 16.2. Cewka z rdzeniem ferromagnetycznym:
3, 4,
a) schemat; b) charakterystyka magnesowania rdze­
nia ferromagnetycznego; c) symbol graficzny
się I
rysty
41 , 51
Załóżmy, że napięcie doprowadzone do
zacisków cewki jest sinusoidalne i ma
fazę początkową równą 7r /2, czyli:
(
)
u = Um sin wt + � = Um cos wt
(16.1)
T Zgodnie z prawem indukcji elektroma­
gnetycznej istnieje następująca zależność
między napięciem a strumieniem magne­
tycznym w rdzeniu:
d4>
u = N­
dt
( 1 6 .2)
...
Rys. l
płyną1
magn1
Jeśli napięcie jest określone za pomocą magnetycznego odpowiadają wartości
wzoru ( 1 6. 1 ) , to strumień magnetyczny:
prądów i1 , i2 , i3 , i4, is , przy czym i1 = is ,
( 16.3) i2 = i4 . Sporządzamy charakterystykę i(t).
<P = <Pm sin wt
W tym celu na podziałce czasu nanosimy
Um
przy czym ""m = N
w.
t 1 , t2 , t3 , t4, ts i dla poszczególnych cza­
Strumień magnetyczny jest opóźniony sów rzutujemy wartości prądów i1 , i2 , i3 ,
.
· ·
względem napięcia o kąt fazowy /2. Ze 14,
is , otrzymuJąc punkty I" , 2" , 3" , 4" , 5" .
względu na nieliniową charakterystykę W wyniku połączenia tych punktów otrzy­
strumienia magnetycznego w funkcji prą­ mujemy szukaną charakterystykę prądu
du, prąd płynący w cewce jest niesinuso­ w funkcji czasu. Im więcej przyjmiemy
idalny, czyli jak określa się - odkształco­ punktów podziału czasu t1 , t2 , tym do­
ny od przebiegu sinusoidalnego. W celu kładniej wykreślimy krzywą prądu.
wyznaczenia przebiegu tego prądu posłu­ W identyczny sposób możemy wyznaczyć
żymy się metodą graficzną.
przebieg prądu, jeśli jako charakterystykę
Na rysunku 16.3 wykreślamy charakte­ magnesowania rdzenia ferromagnetyczne­
rystykę <P(i) i obok <P(t) oraz u(t). Prze­ go przyjmiemy pętlę histerezy.
bieg strumienia magnetycznego w funkcji Gdybyśmy cewkę zasilali nie ze źródła na­
czasu rysujemy dla połowy okresu. Czas pięcia, lecz ze źródła prądu, to wymuszony
odpowiadający połowie okresu dzielimy byłby przez to źródło sinusoidalny charak­
na kilka równych odcinków i dla poszcze­ ter prądu. Wtedy napięcie na zaciskach
gólnych czasów t1 , t2 , t3 , t4 , ts wyznacza­ cewki miałoby charakter niesinusoidalny.
my wartości chwilowe strumienia magne­ Z rysunku 1 6.3 wynika, że stopień od­
tycznego <P1 , <P2 , <P3 , <P 4, <Ps (punkty I , 2 , kształcenia prądu zależy od amplitudy
3 , 4, 5) . Punkty te rzutujemy na charakte­ strumienia magnetycznego w rdzeniu fer­
rystykę <P(i), otrzymując punkty I ' , 2' , 3', romagnetycznym, czyli na wykresie od
4' , 51, przy czym punkty I' i 5' oraz 2' i 4' położenia punktu 3 . Przy mniejszej ampli­
się pokrywają. Wartościom strumienia tudzie wpływ nieliniowości jest mniejszy
,._
7r
„„
3'
z/
_
r
I
I
:
--
: 17
: 15
----
I
:
:
I
I
www.wsip.com.pl
_
3
-
__
-
I
I
I
I
I \ I
I
I \I
I
I
I
I
I
I
12 i3 i o f1 f2 f3\ f4 f5
14
\
I i
I
1�2" :
płynącego w cewce z rdzeniem ferro­
magnetycznym
_
I
I
f1 f2 -: -- :
I
f3 --,---+---3"
I
I
f4 1
4"
fs 75I „
1 1"
Rys. 16.3. Wykreślanie krzywej prądu
:_
/?4,---�---.::- I --r4
I
I I I
1 -�...- +--+- s
/ �!I L
I
1 5'
I
I
<P u --rn]\
<P
_
�
---+7
u
',
'...
_
f
275
i dlatego można (w pewnych przypad­ stancyjny. Na rysunku 16.4b wykreślamy
kach) pomijać nieliniowość zjawiska. charakterystykę UL = f(J) cewki oraz
W transformatorze z rdzeniem ferroma­ Uc = f(l) kondensatora. Charakterystyka
gnetycznym przebieg zjawisk jest taki cewki ma taki przebieg, jak charakterysty­
ka z rysunku 16.2b, a charakterystyka
sam jak w cewce.
kondensatora jest prostoliniowa. Przyj­
miemy takie parametry cewki i kondensa­
16.2.2. Zjawisko ferrorezonansu
tora, żeby ich charakterystyki się prze­
cięły. W związku z tym, że napięcia UL
Zjawisko ferrorezonansu powstaje oraz Uc są w przeciwfazie, tzn. są przesu­
w obwodzie, w którym cewka z rdzeniem nięte względem siebie o kąt zatem ich
ferromagnetycznym jest połączona bądź różnica daje napięcie U na zaciskach ob­
szeregowo, bądź równolegle z kondensa­ wodu. Charakterystykę tego napięcia mo­
torem liniowym. Gdy elementy te są połą­ żemy wykreślić. W tym celu dla kolejnych
czone szeregowo, wówczas zachodzi zja­ wartości prądów I odejmujemy od rzęd­
wisko ferrorezonansu napięć, natomiast nych krzywej napięcia na cewce, rzędne
gdy są połączone równoległe - zjawisko charakterystyki kondensatora.
ferrorezonansu prądów. Do badania zja­ Ferrorezonans napięć wystąpi dla ta­
wiska ferrorezonansu jako charakterysty­ kiej wartości prądu I, przy której na­
kę cewki przyjmujemy charakterystykę pięcie UL jest równe napięciu Uc, a na­
z rysunku 16.2b, tzn. pomijamy zjawisko pięcie wypadkowe U osiąga minimum
histerezy magnetycznej.
(punkt 4 na charakterystyce) .
Obwód ferrorezonansu napięć przedsta­ Założymy teraz, że rozpatrywany obwód
wiono na rysunku 16.4a. Dla uproszcze­ jest zasilany ze źródła napięcia sinuso­
nia przyjmujemy, że obwód jest bezrezy- idalnego, którego napięcie źródłowe
,' (wartość skuteczną) możemy regulować
a)
b)
płynnie od zera. W miarę zwiększania
UcfII
u
wartości skutecznej napięcia posuwamy
się po charakterystyce wypadkowej
U = f(l) od punktu O do punktu 1 (zgodnie
ze strzałką). Gdy prąd osiągnie wartość Ii
odpowiadającą punktowi 1 , wówczas róż­
nica napięć UL oraz Uc jest największa.
W wyniku dalszego zwiększania napięcia
cl
u
zasilania osiągamy punkt 2 na charaktery­
styce, przy czym przejściu od punktu 1 do
punktu 2 towarzyszy „skok" prądu od war­
tości Ii do wartości fi . Jednocześnie na­
stępuje zmiana charakteru obwodu, gdyż
o
wówczas napięcie na kondensatorze jest
Rys. 16.4. Ferrorezonans napięć: a) schemat obwodu;
wyższe niż napięcie na cewce.
b) charakterystyki idealnej cewki nieliniowej, kon­
wyz1
wą
Wart<
densatora liniowego i charakterystyka wypadkowa;
c) charakterystyka rzeczywista
Ferr
taki•
I
1r,
I
I
ł'
276
Gwałtowna zmiana wartości prądu
przy niewielkiej zmianie napięcia i jedno-
czes1
naz\\
Punl<
zona
gnięt
prąd1
nia
punl<
zona
ka ju
ny „i
Char
rysu
terys
wani
W u
zaci�
su ni
Na r
się F
szan:
obni:
sunk
prąd1
obw1
prąd1
wym
zjaw
ścior
rakte
Ob'"
staw
tym
legie
muje
Na r
rySt)
h=
czesna zmiana charakteru obwodu nosi
nazwę zjawiska przewrotu .
Punkt 4 odpowiadający zjawisku ferrore­
zonansu napięć nie został przy tym osią­
gnięty. Dopiero w wyniku zmniejszania
prądu, np. od wartości h podczas obniża­
nia napięcia zasilającego, osiągniemy
punkt 4 i odpowiadającą zjawisku ferrore­
zonansu wartość prądu /4 . Dalsza niewiel­
ka już zmiana napięcia powoduje ponow­
ny „skok" prądu od wartości 14 do zera.
Charakterystyka rzeczywista U = f(/) na
rysunku 16.4c odbiega nieco od charak­
terystyki idealnej ze względu na występo­
wanie strat w cewce i kondensatorze
W układach rzeczywistych napięcie na
zaciskach obwodu w chwili ferrorezonan­
su nie jest równe zeru.
Na rysunku 16.4c kierunek przesuwania
się po charakterystyce podczas podwyż­
szania napięcia zasilającego, a potem jego
obniżania, oznaczono strzałkami. Z ry­
sunku tego wyraźnie wynika, że „skok"
prądu następuje dwukrotnie. Jeśli ten sam
obwód szeregowy dołączymy do źródła
prądu sinusoidalnego, a więc wielkością
wymuszającą będzie prąd, to nie wystąpi
zjawisko przewrotu, a kolejnym warto­
ściom prądu odpowiadają punkty na cha­
rakterystyce U = f(/).
Obwód ferrorezonansu prądów przed­
stawiono na rysunku 16.Sa. W obwodzie
tym cewkę nieliniową połączono równo­
legle z kondensatorem liniowym Przyj­
mujemy, że oba elementy są bezstratne.
Na rysunku 16.Sb wykreślamy charakte­
rystyki prądowo-napięciowe: cewki
h = f(U), kondensatora le = f(U) oraz
wyznaczamy charakterystykę wypadko­
wą I = f(U), odejmując dla kolejnych
wartości napięć od rzędnych Ie rzędne h
Ferrorezonans prądów następuje dla
takiej wartości napięcia U, przy której
www.wsip.com.pl
a)
I
cJ I
�3
214�1
1 - -4
o.-.._
�
--+-"-V: i
Rys. 16.5. Ferrorezonans prądów: a) schemat obwo­
du; b) charakterystyki idealnej cewki nieliniowej ,
kondensatora liniowego i charakterystyka wypadko­
wa; c) charakterystyka rzeczywista
prąd h jest równy prądowi le, a prąd
wypadkowy I osiąga minimum (punkt 4
na charakterystyce) .
Załóżmy teraz, że rozpatrywany obwód
jest zasilany ze źródła prądu sinusoidalne­
go, którego prąd źródłowy I (jego wartość
skuteczną) można nastawiać płynnie od
zera. W miarę zwiększania wartości sku­
tecznej prądu I dopływającego do układu,
przesuwamy się po charakterystyce wy­
padkowej I f( U) od punktu O do punktu
1 (zgodnie ze strzałką). Gdy napięcie
osiągnie wartość U1 odpowiadającą punk­
towi 1 , wówczas różnica prądów Ie oraz
h jest największa. W wyniku dalszego
zwiększania prądu zasilania osiągamy
punkt 2 na charakterystyce wypadkowej,
przy czym przejściu od punktu 1 do punk­
tu 2 towarzyszy „skok" napięcia od war­
tości U1 , do wartości U2 . Jednocześnie
następuje zmiana charakteru obwodu.
=
Gwałtowna zmiana wartości napięcia
przy niewielkiej zmianie prądu i jedno­
czesna zmiana charakteru obwodu nosi
nazwę zjawiska przewrotu .
277
Podobnie jak w obwodzie szeregowym,
również w obwodzie równoległym nie zo­
stał osiągnięty punkt 4 odpowiadający
zjawisku ferrorezonansu prądów. Dopiero
w wyniku zmniejszania wartości prądu
osiągamy punkt 4 i odpowiadającą zjawi­
sku ferrorezonansu prądów wartość
względną napięcia U4• Charakterystyka
rzeczywista (rys. 16.Sc) odbiega nieco od
charakterystyki idealnej. Ze względu na
występowanie strat w cewce i w kondensa­
torze, napięcie U4 występuje przy prądzie
różnym od zera. Jeżeli ten sam obwód był­
by dołączony do źródła napięcia i wielko­
ścią wymuszającą byłoby napięcie, a nie
prąd, to zjawisko przewrotu nie wystąpi.
1 6.3.
16.3.1 .
Obwody nieliniowe
z elementami
elektronicznymi
Charakterystyki
elementów
prostowniczych
Rezystancja prostownika zależy od bie­
gunowości napięcia na jego zaciskach.
Rezystancja ta przy zwrocie dodatnim
napięcia jest bardzo mała. Zwrot ten na­
zywamy zwrotem przewodzenia. Przy
odwrotnym zwrocie napięcia - ujem­
nym, rezystancja prostownika jest bar­
dzo duża i zwrot ten nazywamy zwro­
tem zaporowym.
Diodę półprzewodnikową, prostowniczą
stanowi złącze PN. Charakterystykę rze­
czywistą diody półprzewodnikowej
przedstawiono na rysunku 16.7a. Pod­
czas obliczania obwodów zawierających
diody półprzewodnikowe posługujemy
się często tzw. charakterystyką zlineary­
zowaną (rys. 16.7b).
a)
b)
I
u
o
u
+
o
-<>
1>1
Rys. 16.6. Symbol graficzny prostownika
dobrze przewodzące tylko w jednym kie­
runku. Prostowniki są elementami niesy­
metrycznymi, tzn. ich charakterystyki dla
dodatnich wartości napięć i prądów róż­
nią się od charakterystyk dla ujemnych
wartości napięć oraz prądów. Symbol
graficzny prostownika przedstawiono na
rysunku 16.6.
:)
I
278
Rys. J
rzecz�
c) scb
Jeże
w ki
char:
wior
Dla
zwła
towr
przeI
Wóv
na rr
ku l
tern
c)
d) I
Prostownikami pełniącymi funkcję za­
worów elektrycznych nazywamy elemen­
ty obwodu, charakteryzujące się jedno­
stronną przewodnością, tzn. elementy
a)
1 6.3
o
u
Rys. 16.7. Dioda półprzewodnikowa: a) charakte­
rystyka rzeczywista; b) charakterystyka zlinearyzo­
wana; c) schemat zastępczy dla charakterystyki zli­
nearyzowanej; d) charakterystyka idealna
Z przebiegu charakterystyki zlinearyzo­
wanej wynika, że rezystancja w kierunku
przewodzenia jest stała i bardzo mała,
a rezystancja w kierunku zaporowym jest
nieskończenie wielka. Charakterystyce
z rysunku 16.7b możemy przyporządko­
wać schemat zastępczy z rysunku 16.7c.
Prosi
przel
jedrn
zmie
dów
char
16.3
wod:
styct
16.71
wod:
aw
pros
półf:
a}
b}
połówkowym, jest układ przedstawiony
na rysunku 16.9a.
Przyjmijmy, że do zacisków obwodu jest
doprowadzone napięcie sinusoidalne.
W pierwszej połowie okresu zmienności
u
u
o
napięcia, gdy wartość chwilowa tego na­
pięcia jest dodatnia (u > O), prostownik
znajduje się w stanie przewodzenia, prąd
w obwodzie i = N zmienia się też sinuso­
Rys. 16.8. Prostownik rtęciowy: a) charakterystyka
idalnie. W końcu tego półokresu napięcie
rzeczywista; b) charakterystyka zlinearyzowana;
u = O, zatem prąd i = O. W drugiej poło­
c) schemat zastępczy
wie okresu napięcie zmienia znak
(u < O), a więc do prostownika zostaje
Jeżeli pominiemy rezystancją diody doprowadzone napięcie o biegunowości
w kierunku przewodzenia, to otrzymamy ujemnej. W związku z tym prostownik
charakterystykę idealną diody, przedsta­
wioną na rysunku 16.7d.
b}
al i
Dla niektórych typów prostowników,
zwłaszcza dla dawnej stosowanych pros­
towników rtęciowych, charakterystyka
T
przebiega tak, jak na rysunku 16.Sa.
t
Wówczas charakterystyka zlinearyzowa­
na ma przebieg przedstawiony na rysun­
ku 16.Sb i można posługiwać się schema­
c}
tem zastępczym jak na rysunku 16.Sc.
I
�
16.3.2.I Obwody z prostownikami
)
LJ
T
Prostowanie prądu zmiennego polega na Rys. 16.9. Układ do prostowania półfalowego:
przekształcaniu jego przebiegu w przebieg a) schemat; b) przebieg napięcia doprowadzonego;
jednokierunkowy, tzn. w przebieg o nie­ c) przebieg prądu wyprostowanego
zmiennym zwrocie. Do prostowania prą­
dów zmiennych służą prostowniki, których , przechodzi w stan zaporowy i prąd w ob­
charakterystyki omówiono w punkcie i wodzie nie płynie (i = O). Do końca okre­
16.3 . 1 . Przyjmujemy, iż analizowane ob­ ! su prąd w obwodzie jest równy zeru. Powody zawierają prostowniki o charaktery­ nowny przepływ prądu następuje od
styce idealnej, przedstawionej na rysunku początku drugiego okresu, gdy napięcie
16.7d. Założymy zatem, że w stanie prze­ znowu ma wartość dodatnią i prostownik
wodzenia prostownik stanowi zwarcie, przechodzi w stan przewodzenia. Prze­
a w stanie zaporowym - przerwę. Naj­ bieg prądu przedstawiono na rysunku
prostszym układem do prostowania 16.9c. Wartość średnia całookresowa tego
półfalowego , zwanego również jedno- prądu jest o połowę mniejsza od wartości
www.wsip.com.pl
)
O· "
�h,
279
__;____,.,
_ _
zmienności napięcia, przez rezystor pły­
nie prąd o tym samym zwrocie, tzn. zwro­
cie dodatnim. Przebieg prądu w układzie
przedstawiono na rysunku 16.tob. War­
tość średnia prądu wyprostowanego całofalowo I 2;m a więc jest taka, jak dla
rezystor P = RP = R 12:_4 .
prądu sinusoidalnego. Wartość skuteczna
Prostowanie całofalowe , zwane też pros­
a zatem też jest równa wartości
towaniem dwupołówkowym, realizuje się I =
w układzie dwuprostownikowym (rys. skutecznej prądu sinusoidalnego.
16.toa) oraz w układzie czteroprostowni­ Bardzo rozpowszechniony jest układ
kowym (rys. 16.l l a), zwanym układem mostkowy Graetza przedstawiony na
mostkowym Graetza.
rysunku 16.lla. W pierwszej połowie
okresu, gdy biegunowość napięcia zasila­
a}
jącego jest dodatnia, przewodzą prostow­
niki 1 i 2 , płynie prąd i 1 • Temu stanowi
pracy odpowiada schemat z rysunku 16.llb.
średniej półokresowej prądu sinusoidal­
nego (wzór 9 .17) , a więc I = 1:; . Wartość
skuteczna prądu przy prostowaniu półfalowym I = /2 . Moc czynna pobrana przez
=
,
�,
b)
a)
b}
R
Rys. 16.10. Układ dwuprostownikowy do prosto­
Po zr
jąceg
prze'
i2 . P1
czasi
'1
Pyta
1 6. 1 .
1 6.2.
1 6.3.
1 6.4.
1 6.5.
�
wania całofalowego: a) schemat; b) przebieg prądu
wyprostowanego
Układ dwuprostownikowy wymaga sto­
sowania transformatora o wyprowadzo­
nym środku uzwojenia wtórnego (rys.
16.lOa).
W pierwszej połowie okresu przewodzi
prostownik 1 , a prostownik 2 znajduje się
w stanie zaporowym. Przez rezystor R
płynie prąd i 1 • Gdy napięcie zasilające
zmieni biegunowość, prostownik 1 prze­
chodzi w stan zaporowy, natomiast prze­
wodzi prostownik 2 . Przez rezystor R pły­
nie prąd i2 . Z powyższych rozważań
wynika, że w obu połowach okresu
d}
Rys. 16.11. Układ mostkowy Graetza do prostowania
całofalowego: a) schemat; b) droga przepływu prądu
w układzie, gdy u > O; c) droga przepływu prądu
w układzie, gdy u < O; d) przebieg prądu wyprosto­
wanego
280
--
----�---
------
Po zmianie biegunowości napięcia zasila­ W rezultacie przez odbiornik o rezystan­
jącego, tzn. w drugiej połowie okresu, cji R płynie prąd o tym samym Z\\TOCie
przewodzą prostowniki 3 i 4, płynie prąd w obu połowach okresu. Przebieg prądu
i2 . Prostowniki 1 i 2 znajdują się w tym wyprostowanego został przedstawiony na
czasie w stanie zaporowym (rys. 16.llc) . rysunku 16.lld.
Pytania i polecenia
!�------
1 6. 1 . Wyjaśnij, dlaczego w cewce z rdzeniem ferromagnetycznym, zasilanej ze źródła napięcia sinu­
soidalnego, prąd nie jest sinusoidalny?
1 6.2. Na czym polega zjawisko ferrorezonansu napięć? Co to jest zjawisko przewrotu?
1 6.3. W jakich układach można realizować prostowanie całofalowe? Porównaj znane ci układy, wy­
mień ich zalety i wady.
1 6.4. W wyniku prostowania półfalowego otrzymamy prąd:
a) stały
b) zmienny okresowy
c) przemienny
d) nieokresowy
1 6.5. W wyniku prostowania całofalowego otrzymamy prąd:
a) stały
b) zmienny nieokresowy
c) przemienny
d) zmienny okresowy
ł
www.wsip.com.pl
17. Przebiegi niesi nusoidalne
1 7.1 .
Pojęcia podstawowe
Napięcie lub prąd zaliczamy do przebie­
gów niesinusoidalnych lub odkształco­
nych, jeżeli ich zmienność w funkcji cza­
su nie jest sinusoidalna.
Napięcia i prądy niesinusoidalne mogą
być okresowe lub nieokresowe . Na
rysunku 17.1 przedstawiono przykłady
przebiegów prądów niesinusoidalnych.
Przebiegi z rysunków 17.la, b, c, d, e są
okresowe, a przebieg z rysunku 17. l f jest
nieokresowy, wykładniczy malejący.
Przebiegi niesinusoidalne uzyskuje się
w sposób zamierzony, albo są wynikiem
działania niezależnych czynników.
Jeżeli przykładowo, do obwodu z pros­
townikiem (rys. 16.9a) doprowadzimy na­
pięcie sinusoidalne, to otrzymamy w ob­
wodzie prąd wyprostowany półfalowo,
o przebiegu tętniącym, okresowym niesi­
nusoidalnym (rys. 1 6.9c) . Natomiast
w wyniku prostowania całofalowego
otrzymujemy prąd tętniący jak na rys.
17.lc. W układach elektronicznych można
wytwarzać napięcia i prądy o przebiegach
przedstawionych na rysunkach 17.la, b;
przebiegi niesinusoidalne są tutaj wyni­
kiem zamierzonego działania.
Jeśli natomiast, tak jak w cewce z rdze­
niem ferromagnetycznym, do zacisków
cewki doprowadzimy napięcie sinusoidal­
ne, to prąd w obwodzie jest niesinusoidalny
(rys. 16.3). Prądnica prądu przemiennego
może wytwarzać napięcie niesinusoidal­
ne, na skutek niesinusoidalnego rozkładu
indukcji magnetycznej pod biegunami
elektromagnesów. W tych przypadkach
prąd niesinusoidalny pojawia się w wyni­
ku występowania w obwodzie zjawisk
nieliniowych. Takich przykładów, nieko­
rzystnego w pewnym sensie, odkształce­
nia napięcia lub prądu można przytoczyć
znacznie więcej. Tak czy inaczej należy
się liczyć z faktem, że w obwodzie wystę­
pują przebiegi odkształcone.
Na wstępie zajmiemy się przebiegami od­
kształconymi okresowymi i sposobem
obliczania obwodów, w których takie
przebiegi występują.
'
1 7. 2
Prze
prze(
szen
szer1
Każe
prze�
szere
oraz
ściac
stotli
nuso
Dla
Four
f(wt)
lub
przy ,
niczn
harm1
czym
sens 1
faza
F1 sir
d)
podst
harrn
rzęd1
e) I
Q)
Rys. 17.1. Przykłady przebiegów prądów niesinusoidalnych: a) prostokątny; b) piłokształtny; c) tętniący,
wyprostowany całofalowo; d) trójkątny; e) okresowy, o dowolnej zmienności; f) nieokresowy, wykładniczy
malejący; gl) i g2) odkształcony, uzyskany w obwodzie z tyrystorem (przyrządem półprzewodnikowym
o strukturze czterowarstwowej PNPN, z trzema elektrodami: anodą, katodą i bramką, czyli elektrodą
sterującą) i jego harmoniczne (J , 3, 5)
282
Czę:
taka
wyr;
z tr
Fk
==
1 7.2.
Oznaczymy :
Ana l iza harmoniczna
przebiegów
niesinusoidal nych
okresowych
Fk sin 1/Jk = Ak
( 1 7 .4)
Fk cos 1/Jk = Bk
Możemy zatem napisać:
Przebieg okresowy niesinusoidalny
przedstawia się analitycznie za pomocą
szeregu trygonometrycznego, zwanego
szeregiem Fouriera.
Fk sin(kw1t + 'l/Jk) =
= Ak cos kw1 t + Bk sin kwi t
( 1 7 .5)
Z równań ( 1 7 .4) wynika ponadto , że:
Każda funkcja okresowa f(wt) może być
A
tg 1/Jk =
( 1 7 .6)
przedstawiona w postaci sumy wyrazów ,
szeregu. Szereg ten zawiera składową stałą :
( 1 7 .7)
oraz funkcje sinusoidalne o częstotliwo- I
ściach będących wielokrotnościami czę­
Na podstawie zależności ( 1 7 .5) możemy
stotliwości funkcji f(wt). Te składowe si­
szereg Fouriera przedstawić w postaci:
nusoidalne nazywamy harmonicznymi.
Dla niesinusoidalnej funkcji f(wt) szereg
Ak cos kw1 t +
f(wt) = Fo +
Fouriera ma zatem postać: .
i
k= ,
f(wt) = Fo + Fi sin(w1 t + 1/J1} +
n
+ Fz sin(2wi t + 1/J2) +
Bk sin kwi t
+
( 1 7 .8)
(l7.1)
+ F3 sin(3wi t + 1/J3 ) + . . . +
k= i
+ Fn sin(nw1 t + 1/Jn )
Zależność ( 17 .8) jest równoważna zależ­
lub
n
ności ( 1 7 .2) .
Fk sin(kw1t + 'l/Jk)
f(wt) = Fo +
Istnieją wzory matematyczne , które
k= 1
( 1 7 .2) umożliwiają obliczenie współczynników
przy czym: Fo - składowa stała ; k - rząd harmo­ ' F0 , Ak . Bk . jeśli dana jest funkcja f(wt).
B:
L
L
L
(k 1, 2, 3, . . . , n) ; n - rząd ostatniej
harmonicznej (teoretycznie n
oo); Fk - współ­
czynnik szeregu trygonometrycznego mający
sens fizyczny amplitudy harmonicznej rzędu k; 7/Jk
rzędu k;
harmonicznej
początkowa
faza
F1 sin(kw1t + 7/;1) - pierwsza harmoniczna zwana
podstawową harmoniczną; w1 pulsacja pierwszej
harmoniczna
harmonicznej; Fk sin(kw1t + 7/Jk)
nicznej
=
-
-
-
)
-
rzędu k zwana wyż,szą harmoniczną.
Częstotliwość pierwszej harmonicznej jest
taka sama jak częstotliwość funkcji f(wt) ,
wyrażonej za pomocą szeregu Fouriera.
Z trygonometrii wiadomo , że:
Fk sin(kwi t + 1/Jk) =
= Fk(sin kwi t cos 'l/Jk + cos kw1 t sin 'l/Jk)
( 1 7 .3)
Wzory te są oparte na rachunku całko­
wym, nie będziemy ich więc przytaczać .
Natomiast w wielu tablicach matema­
tycznych i technicznych są podawane
współczynniki Fo , Ak . Bk dla typowych,
najczęściej spotykanych przebiegów nie­
sinusoidalnych, lub są określone szeregi
Fouriera dla danych przebiegów.
Przykładowo, dla przebiegu prądu przed­
stawionego na rysunku 1 7 . l a szereg Fou­
riera ma postać:
(
1 . 3
.
4Im
·c
i wt) = -;;r sm w1 t + 3 sm w 1 t +
+
www.wsip.com.pł
)
--------....0.-- --· -- ···
� sin 5w1 t + . . . )
( 1 7 .9)
283
a dla prądu wyprostowanego całofalowo
(rys . 1 7 .lc):
l (Wt) = Jr - Jr
"
+
(
4/m 31 COS 2W1 t +
2/m
1
cos 4w1 t + . . .
15
)
( 1 7 . 10)
Szereg Fouriera prądu o przebiegu trójkąto­
wym (rys . 1 7 . Id) ma postać:
"
z (wt) = -:;r
8/m
+
(
·
sm w1 t
-
1 · 3
9 sm w1 t +
.)
1
sin Sw1 t - . .
25
(17.11)
Należy wspommec , z e szereg Fouriera
zawiera nieskończoną liczbę składowych.
W praktyce, w obliczeniach przyjmuje się
kilka wyrazów szeregu i dlatego we wzo­
rach (17 .2) i (17 .8) oraz w szeregach przyk­
ładowych wyrażonych równaniami (17.9),
( 1 7 . l O) i ( 1 7 . 1 1 ) przyjęliśmy skończoną
liczbę wyrazów wynoszącą n . Takie przy­
bliżenie jest dopuszczalne, gdyż jak wy­
nika z teorii, szereg Fouriera jest szybko­
zbieżny.
Ponadto należy dodać , że istnieją przebie­
gi niesinusoidalne , których opis anali­
tyczny, czyli opis za pomocą znanej funk­
cji, jest niemożliwy. Wtedy posługujemy
się metodami komputerowymi wyznacza­
nia współczynników szeregu Fouriera.
1 7.3.
Symetria krzywych
odkształconych
Szeregi Fouriera wielu przebiegów niesi­
nusoidalnych nie zawierają wszystkich
wyrazów wynikających ze wzorów ( 1 7 .2)
lub ( 1 7 .8) . Jest to spowodowane tym, że
jeśli przebieg niesinusoidalny wykazuje
pewną symetrię, to nie występują niektó­
re składniki szeregu.
284
Wyróżniamy trzy zasadnicze rodzaje sy­
metrii krzywych odkształconych:
a) symetrię względem osi odciętych,
b) symetrię względem osi rzędnych,
c) symetrię względem początku układu
osi współrzędnych.
1 7.3.1 .
Symetria względem
osi odciętych
Przebieg niesinusoidalny jest syme­
tryczny względem osi odciętych, jeżeli
rzędne przebiegu okresowego powta­
rzają się co pół okresu ze zmienionym
znakiem.
Przebieg symetryczny względem osi od­
ciętych przedstawiono na rysunku 1 7 .le.
Charakterystyczne dla tego przebiegu jest
to, że gdyby wykonać zwierciadlane od­
bicie względem osi odciętych pierwszej
połówki przebiegu i przesunąć ją o pół
okresu, to pokryje się ona z przebiegiem
krzywej w drugiej połowie okresu . Zwier­
ciadlane odbicie krzywej z pierwszej po­
łowy okresu wykreślono na rysunku 1 7 .le
linią kreskową.
Jeśli krzywa przebiegu napięcia lub prądu
jest symetryczna względem osi odciętych,
to w rozkładzie na szereg Fouriera nie
występuje składowa stała i nie występują
parzyste harmoniczne. Wobec tego szereg
ma postać:
i(wt) = Im1 sin(w1 t + 'l/J1 ) +
+ lm3 sin(3w1 t + 'l/J3 ) +
( 1 7 . 1 2)
+ lms sin(Sw1 t + 'l/Js ) + . . .
1 7.3.2. Symetria względem
osi rzędnych
Przebieg niesinusoidalny jest syme­
tryczny względem osi rzędnych, jeśli
rzędne przebiegu okresowego dla argu-
men1
argu
Waru
prost
rysm
ujem
li kr
jest s
to w
staci
ki z i
Łat"
nie J
rówr
wani
1 7. 3
PrzE
tryc:
wspi
okr(
rów1
argt
znal
War
o ks
na r
prąd
linią
go p
ła Ol
sam
mentów dodatnich i dla tych samych
argumentów ujemnych są jednakowe.
Warunek ten spełnia przebieg prądu wy­
prostowanego całofalowo (rys. 17 . 1 c) . Na
rysunku przebieg krzywej dla czasów
ujemnych wykreślono linią kreskową. Jeś­
li krzywa przebiegu napięcia lub prądu
jest symetryczna względem osi rzędnych,
to w rozkładzie na szereg Fouriera w po­
staci wzoru ( 1 7 .8) nie występują składni­
ki z sinusami, a więc szereg ma postać:
n
f(wt) = Fo +
L Ak cos kw1 t ( 1 7 . 1 3)
k=I
Łatwo można się przekonać , że taką właś­
nie postać ma szereg Fouriera opisany
równaniem ( 1 7 . 10) dla prądu wyprosto­
wanego całofalowo (rys. 1 7 .1 c) .
Szereg Fouriera podany dla przebiegu prą­
du z rysunku 17 . l a (równanie 17 .9) rzeczy­
wiście nie zawiera składowej stałej i ma
składniki tylko z sinusami harmonicznych
nieparzystych. Brak składników z sinu­
sami harmonicznych parzystych wynika
z jednoczesnego spełnienia warunku syme­
trii względem osi odciętych . Wiele prze­
biegów niesinusoidalnych spełnia podane
warunki symetrii. •
Obliczanie obwodów
-- napięcia i prądu
niesinusoidalnego
okresowego
1 7.4.
Załóżmy, że do dwójnika szeregowego
RLC doprowadzono napięcie odkształco­
ne u(t) rys. 17.2a. Przyjmiemy, że na­
pięcie to jest wyrażone za pomocą szere­
gu Fouriera zawierającego np . pierwszą,
trzecią i piątą harmoniczną, czyli:
-
1 7. 3.3. Symetria względem
początku układu
osi współrzędnych
Przebieg niesinusoidalny jest syme­
tryczny względem początku układu osi
współrzędnych, jeśli rzędne przebiegu
okresowego dla argumentów dodatnich
równają się rzędnym dla tych samych
argumentów ujemnych z przeciwnym
znakiem.
Warunek ten spełnia przebieg prądu
o kształcie prostokątnym, przedstawiony
na rysunku 1 7 . l a. Na rysunku przebieg
prądu dla czasów ujemnych wykreślono
linią kreskową. W szeregu Fouriera takie­
go przebiegu nie występuje składowa sta­
ła oraz nie występują składniki z cosinu­
sami, a więc szereg ma postać:
n
f(wt) =
L Bk sin kw1t
k=I
( 1 7 . 14)
www.wsip.com.pl
u(t) = Ui + U3 + U5 =
= Umt sin(w1 t + -iP1 ) +
+ Um3 sin(3w1t + -iP3 ) +
+ Ums sin(5w1 t + -iPs)
( 1 7 . 1 5)
Można więc traktować, że w obwodzie
działają trzy źródła o różnych częstotli­
wościach /1 , f3 = 3/1 . fs = 5fi . Wobec tego
Rys. 17.2. Dwójnik szeregowy RLC zasilany napię­
ciem odkształconym: a) schemat obwodu początko­
wego; b) schemat obwodu po zastąpieniu napięcia
odkształconego przez trzy źródła
285
obwód z rysunku 1 7 .2a można przedstawić
w postaci jak na rysunku 17 .2b. Jeżeli
wszystkie elementy w obwodzie są linio­
we, to obliczenia można prowadzić metodą
superpozycji i zakładać kolejno działania
poszczególnych źródeł. Należy jednak pa­
miętać o tym, że częstotliwość źródła decy­
duje o reaktancji indukcyjnej i reaktancji
pojemnościowej , a mianowicie: w miarę
zwiększania częstotliwości zwiększa się re­
aktancja indukcyjna, a reaktancja pojemno­
ściowa się zmniejsza. Stwierdzamy zatem,
że dla każdej harmonicznej reaktancja
obwodu ma inną wartość. Ogólnie dla
harmonicznej rzędu k reaktancje wynoszą:
Xu = kw1 L
( 1 7 . 1 6)
1
Xck =
( 1 7 . 1 7)
kw1C
W związku z tym, że rezystancję obwodu
można przyjąć jako niezależną od często­
tliwości, zatem impedancja rozpatrywa­
nego dwójnika szeregowego RLC dla har­
monicznej rzędu k:
Zk =
J
(
R2 + kw1L -
�1 C r
zukk
oraz odpowiednio wartość skuteczną:
h
=
( 17 .2 1 )
Po wyznaczeniu wartości Imk oraz 'Pk
obliczamy wartość chwilową prądu od­
kształconego. Dla rozpatrywanego obwodu
z rysunku 1 7 .2:
-
i(t) = i1 + i3 + is = Im1 sin(w1 t + W1 'P i ) +
+ Im3 sin(3w1 t + 'lj)3 - 4'3) +
+ lms sin(Sw1 t + 1f)s - 'Ps) ( 1 7 .22)
'
W odniesieniu do przebiegów odkształconych stosujemy terminy w�ości skutecz­
nej prądu oraz wartości skutecznej napię­
cia odkształconego.
Wartość skuteczna napięcia oraz war­
tość skuteczna prądu odkształconego
jest równa pierwiastkowi kwadratowemu
z sumy kwadratów składowej stałej i war­
tości skutecznych poszczególnych har­
monicznych , czyli przy n harmonicznych:
Ueff =
2
2
2
2
2
/ 2
= V Uo + ul + U2 + U3 + U4 + . . . + u�
( 1 7 .23)
( 1 7 . 1 8)
kw1L - kw1C
1
tg 'Pk =
R
( 1 7 . 1 9)
Znając impedancję obwodu dla określo­
nej harmonicznej , możemy obliczyć am­
plitudę prądu harmonicznej rzędu k:
�·
)
( 1 7 .20)
286
1 7. 5
Pode
rych
okre:
się p
nej .
kszt:
czyn
nych
przy
p
we ...
cą O<
niki
PrzyI
Napi
zasil
C=
Ums
Dla każdej harmonicznej impedancja
dwójnika ma inną wartość.
Tangens kąta przesunięcia fazowego har­
monicznej rzędu k napięcia, względem
harmonicznej rzędu k prądu wynosi:
„
Wyższe harmoniczne mają przewazme
wartość skuteczną dużo mniejszą od warto­
ści skutecznej pierwszej harmonicznej .
Można się łatwo przekonać, że wpływ
wyższych harmonicznych na wartość
skuteczną przebiegu odkształconego jest
nieduży. Weźmy przykładowo następujące
dane liczbowe: Ii = 10 A, h = 2 A,
Is = 0,5 A. Zgodnie ze wzorem ( 1 7 .24)
wartość skuteczna prądu odkształconego:
czyn
Rozv
Obli
(wzć
Gdy
bien
1 7. 5.
nych harmonicznych. W związku z tym,
że moc czynna jest pobierana tylko przez
elementy rezystancyjne, zatem możemy
ją obliczyć również ze wzoru:
Moc w obwodach
napięcia i prądu
niesinusoidalnego
okresowego
2
p = Rleff
w którym leff oznacza wartość skuteczna
prądu odkształconego określoną wzorem
( 1 7 .24).
Podczas rozwiązywania obwodów, w któ­
rych napięcia i prądy są niesinusoidalne
okresowe , możemy również posługiwać
się pojęciem mocy czynnej i mocy bier­
nej . Moc czynna przy przebiegach od­
kształconych jest równa sumie mocy
czynnych poszczególnych harmonicz­
nych oraz mocy składowej stałej , czyli
przy n harmonicznych:
Moc bierna przy przebiegach odkształ­
conych jest równa sumie mocy biernych
poszczególnych harmonicznych, czyli
przy n harmonicznych:
Q = U1/i sin <p1 + U2fz sin <p2 + . . .
( 1 7 .27)
. . . + Unin sin 'Pn
p = Uolo + U1/i cos 'P I +
+ U2h COS <pz + . . . Unin COS 'Pn
Należy zwrócić uwagę, że w odróżnieniu
od przebiegów sinusoidalnych, przy prze­
biegach odkształconych suma kwadratów
mocy czynnej i mocy biernej nie jest rów­
na kwadratowi mocy pozornej . .A.
( 1 7 .25)
We wzorze (17 .25) składnik Uolo jest mo­
cą od składowej stałej , a pozostałe skład­
niki są mocami czynnymi poszczegól-
Przykład 1 7 .1
( 1 7 .26)
I
Napięcie odkształcone o wartości skutecznej Ueff = 1 00 V i częstotliwości f = 50 Hz
zasila obwód złożony z szeregowo połączonej rezystancji R = 5 O i pojemności
C = 265 µF. Napięcie zasilające zawiera pierwszą i piątą harmoniczną, przy czym
Ums = 0,3 Um I Oblicz wartość skuteczną prądu odkształconego oraz wartość mocy
czynnej pobieranej przez obwód.
•
Rozwiązanie
Obliczamy wartość reaktancji pojemnościowej dla pierwszej i piątej harmonicznej
(wzór 1 7 . 1 7):
1
= 12 O
3 14 265 10- 6
1
12
XCS = _l_ =
5w1 C 5 3 14 · 265 10-6 = 5 = 2,4 O
Xc1 = W1 C =
1
-
·
·
·
·
Gdy występuje pierwsza i piąta harmoniczna napięcia, wówczas wzór (17 .23) przy­
biera postać:
www.wsip.com.pl
I
287
Zatem:
Rea
100 = Jui + (0,3U1 )2
Stąd:
U1 = 96 V
Us = 0,3U1 = 0,3 · 96 = 28,7 V
Korzystając ze wzorów (17.18) i (17.21), obliczamy wartość skuteczną prądu pierw­
szej i piątej harmonicznej :
U1 =
96
li = Z1
j2
s 122 = 7 ,4 A
U
28,7 = S 2 A
Is = s =
Zs js2 2,42
'
+
+
Wa.i
- pi
Na podstawie wzoru (17 .24) obliczamy wartość skuteczną prądu odkształconego:
Ieff =
Moc czynna (wzór 17.26):
� = J7,42 5,22 = 9,04
+
A
- tr
P = RI;ff = 5 9,042 = 409 W
·
Przykład 1 7 .2
Wa.i
I
Do obwodu szeregowego R, L, C przyłożono napięcie odkształcone
u(t) = 20 + 226 sin w1 t + 1 13 sin(3w 1 t + 75°).
Parametry obwodu dla pierwszej harmonicznej wynoszą: w 1 L = 20 n, R = 40 n,
Kąt
ciej
1e = 60 n. Obliczyć wartość skuteczną napięcia odkształconego , wartość skuteczną
W1
prądu odkształconego i moc czynną obwodu .
Pie1
a tr:
WOC
Rozwiązanie
Mo
Wartości skuteczne napięć pierwszej i trzeciej harmonicznej :
m 1 = 226 = 160 V
UI = Uy'2
y'2
m3 = !_!1 = 80 V
U3 = Uy'2
y'2
Pyt
Wartość skuteczna napięcia przyłożonego:
1 7.
17.
1 7.
1 7.
1 7.
Ueff = V202 + 1602 + 802 = 180 V
- W11e = 20 - 60 = -40 n
Reaktancja obwodu dla pierwszej harmonicznej :
X1 = w1 L
288
'
Reaktancja obwodu dla trzeciej harmonicznej:
1
X3 = 3wIL - 3wi
C
= 60 - 20 = 40 O
Impedancja dla pierwszej harmonicznej :
ZI =
JR2 + Xi = J402 + 402 = 40 j2 O
Impedancja dla trzeciej harmonicznej :
Z3 =
JR2 + x; = J402 + 402 = 40 j2 n
Wartości skuteczne prądu dla:
- pierwszej harmonicznej
- trzeciej harmonicznej
h = U3 =
Z3
� = J2 A
40y'2
Wartość skuteczna prądu odkształconego wynosi:
Kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem pierwszej harmonicznej i trze­
ciej harmonicznej jest taki sarn co do wartości, różni się tylko znakiem:
tg 'P I = tg 'P3 = R =
X
40 = l I = 'P3 = 450
'P
40
'
Pierwsza harmoniczna prądu wyprzedza napięcie (pojemnościowy charakter obwodu) ,
a trzecia harmoniczna prądu opóźnia się względem napięcia (indukcyjny charakter ob­
wodu) .
Moc czynna obwodu jest równa:
P = PI + P3 = Ui li cos 'P I + U3h cos r.p3 =
= 1 60 2 yl2 cos45° + 80 j2 cos45° = 400 W
·
Pytania i polecenia
!.._
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
1 7 . 1 . Jakie znasz postacie szeregu Fouriera? Czy każdą krzywą można rozłożyć na szereg Fouriera?
1 7.2. Podaj rodzaje symetrii, które mogą spełniać przebiegi niesinusoidalne (odkształcone) okresowe.
1 7 .3. Jakie harmoniczne ma przebieg odkształcony okresowy symetryczny względem osi odciętych?
1 7 .4. Jakie harmoniczne ma przebieg odkształcony okresowy symetryczny względem osi rzędnych?
1 7 .5. Czy szereg Fouriera przebiegu odkształconego okresowego symetrycznego względem początku układu współrzędnych zawiera składową stałą?
www.wsip.com.pl
289
1 7.6. Jak się wyznacza wartość skuteczną prądu odkształconego okresowego?
1 7 .7. Jak się oblicza moc czynną i bierną w obwodach napięcia i prądu odkształconego okresowego?
1 7 .8. W miarę wzrostu rzędu harmonicznej reaktancja indukcyjna w obwodzie:
a) wzrasta
b) nie zmienia się
c) maleje
d) nie zależy od rzędu harmonicznej
1 7 .9. W miarę wzrostu rzędu harmonicznej reaktancja pojemnościowa w obwodzie:
a) wzrasta
b) nie zmienia się
c) maleje
d) nie zależy od rzędu harmonicznej
1 7 .1 O. Przy przebiegach odkształconych okresowych moc czynna pobierana przez odbiornik zależy:
a) tylko od składowej stałej
b) tylko od wyższych harmonicznych
c) od składowej stałej, harmonicznej podstawowej i wyższych harmonicznych
d) tylko od pierwszej harmonicznej
1 7 .1 1 . Przy przebiegach odkształconych okresowych moc bierna pobierana przez odbiornik zależy:
a) od składowej stałej
b) od harmonicznej podstawowej i wyższych harmonicznych
c) od składowej stałej i wyższych harmonicznych
d) tylko od pierwszej harmonicznej
11
18
Ob
W01
pat
łon
ust:
wa.i
odi
ele
wy
wo
prz
gał
róv
Na
wó
der
dzf
do
zm
te
do1
I
me
gia
zal
ae
tor
na<
wo
zrn
Po
ob
ik
na
/
...
I
I
1a. Stany nieustalone w obwodach
liniowych
18.1.
l
I
Pojęcie stanu
ustalonego i stanu
n ieustalonego
Obwody elektryczne prądu stałego i ob­
wody elektryczne prądu zmiennego roz­
patrywano dotychczas w tzw. stanie usta­
lonym . Charakterystyczne dla stanu
ustalonego jest to, że przy określonych
wartościach napięć i prądów źródłowych
odpowiedź obwodu (prądy i napięcia na
elementach) ma „taki sam charakter" jak
wymuszenie . Jeżeli przykładowo w ob­
wodzie działały wymuszenia stałe , to
przyjmowano, że prądy we wszystkich
gałęziach i napięcia na elementach są
również stałe i nie zmieniają się w czasie.
Należy zdawać sobie sprawę z tego, że ob­
wód elektryczny zawierający cewki i kon­
densatory, tzn. elementy zdolne do groma­
dzenia energii elektrycznej , po dołączeniu
do źródła energii nie może natychmiast
znaleźć się w stanie ustalonym. Elementy
te przed dołączeniem źródła mogły znaj­
dować się w stanie bezenergetycznym lub
mogła być z nimi związana pewna ener­
gia. Energia w polu magnetycznym cewki
zależy od prądu płynącego przez cewkę,
a energia w polu elektrycznym kondensa­
tora zależy od napięcia na jego okładzi­
nach. Załóżmy, że w rozpatrywanym ob­
wodzie przynajmniej jeden z elementów
znajduje się w stanie bezenergetycznym.
Po dołączeniu źródła energii do takiego
obwodu, energia gromadzona w cewkach
i kondensatorach nie może być przekaza­
na ze źródła w jednej chwili. Przekazanie
www.wsip.com.pl
)
energii lub jej zmiana następująca w pew­
nym czasie , wymaga określonej mocy. Im
krótszy jest czas potrzebny na przekazanie
danej ilości energii, tym większa musi być
moc źródła; w granicy nieskończenie krót­
kiemu czasowi, odpowiadałaby nieskoń­
czenie wielka moc . Nie dysponujemy źró­
dłami energii o nieskończenie wielkiej
mocy. Moc każdego źródła ma wartość
skończoną. Dlatego też w pewnym czasie,
w którym następuje przekazywanie ener­
gii, obwód znajduje się w stanie nieustalo­
nym. Stan nieustalony powstaje zawsze
wtedy, kiedy następuje zmiana struktury
obwodu. Może być to wywołane np. dołą­
czeniem elementu dodatkowego, odłącze­
niem elementu lub gałęzi.
Z przytoczonych rozważań wynika, że
zarówno w obwodzie, który zostaje dołą­
czony do źródła energii, jak i w obwodzie,
w którym następuje zmiana struktury, po­
wstaje stan nieustalony.
Pojęcia stanu ustalonego i stanu nieusta­
lonego odnoszą się nie tylko do obwo­
dów, w których działają napięcia i prądy
źródłowe stałe w czasie. Bezpośrednio po
dołączeniu źródeł stałych lub zmiennych
w czasie lub po dokonaniu zmiany struk­
tury obwodu, w obwodzie powstaje stan
nieustalony i w miarę upływu czasu na­
stępuje ustalanie się przebiegów napięć
i prądów.
Teoretycznie stan nieustalony trwa nie­
skończenie długo, ale praktycznie przyjmu­
je się skończony czas jego występowania.
Ze względu na to, że w stanach nieu­
stalonych mogą pojawić się w obwodzie
291
zarówno przepięcia, jak i przetężenia, dla­
tego znajomość zmienności prądów i na­
pięć w funkcji czasu ma istotne znaczenie.
Z reguły napięcia i prądy w stanie nie­
ustalonym charakteryzują się inną zmien­
nością w czasie niż w stanie ustalonym.
Wiele urządzeń jest przewidzianych do
pracy w stanie ustalonym; urządzenia te
znajdują się w stanie nieustalonym tylko
podczas ich załączania lub wyłączania.
Niektóre jednak urządzenia pracują w wa­
runkach ciągłego stanu nieustalonego . Do
tych urządzeń należą silniki elektryczne
o specjalnym charakterze, urządzenia auto­
matyki, urządzenia energoelekroniczne itp.
1 8.2.
t
/
...
Warunki początkowe.
Prawa komutacji
Stanem początkowym obwodu nazywa­
my stan obwodu w chwili, w której roz­
poczyna się badanie zjawisk w tym obwo­
dzie . Zazwyczaj jako stan początkowy
przyjmuje się stan w chwili t = O. Stan po­
czątkowy jest przeważnie stanem ustalo­
nym, poprzedzającym czynności łącze­
niowe prowadzące do powstania stanu
nieustalonego. Może to być stan, w któ­
rym wszystkie napięcia i prądy w obwo­
dzie są równe zeru. Mówimy wtedy, że
stan początkowy jest zerowy lub warunki
początkowe są zerowe . Jeżeli w chwili
t = O na jakimkolwiek elemencie obwodu
występuje napięcie lub płynie przez niego
prąd, to warunki początkowe są niezerowe .
Znajomość warunków początkowych jest
konieczna do rozwiązywania obwodu
w stanie nieustalonym. Poniżej rozpatrzy­
my na przykład obwód przedstawiony na
rysunku 18Ja.
W obwodzie tym płynie prąd przez cewkę
o indukcyjności L i rezystor o rezystan292
al
Prz:
kan
puj1
cza
nie1
dzic
jerr
fiz)
Zgc
cji :
mo:
prz1
jak
w
b}
w
Rys. 18.1. Powstawanie stanu nieustalonego:
w
a) schemat obwodu tuż przed komutacją;
b) schemat obwodu tuż po komutacji
tyc:
zas
mu
nie:
sko
ene
pra
dą
tyc:
Zgc
nar
zm.
kor
cji Ri . Przez rezystor o rezystancji R2 prąd
nie płynie, gdyż wyłącznik W jest otwarty.
Załóżmy, że w pewnej chwili wyłącznik
W zostaje zamknięty (rys. 18Jb) . Chwilę
tę przyjmiemy jako t = O. Prąd płynący
przez cewkę o indukcyjności L i rezystor
o rezystancji R1 w chwili zamykania wy­
łącznika, tzn. w chwili t = O, określa wa­
runki początkowe. Prąd ten oznaczymy
przez io. Po zamknięciu wyłącznika w ob­
wodzie ustala się nowy stan ustalony, od­
powiadający nowej strukturze obwodu.
Przejście od stanu początkowego do sta­
nu ustalonego następuje w pewnym cza­
sie. Wówczas w obwodzie trwa stan nie­
ustalony.
Zmiany stanu, które zachodzące w obwo­
dzie w pewnej określonej chwili nazywamy
komutacją. Komutacja może być wywoła­
na zarówno zamykaniem wyłącznika, jak
i jego otwieraniem; stosujemy zatem odpo­
wiednie symbole graficzne (rys. 18.2).
al
W C
w
ny
zat1
kor
róv
dur
zm
Dn
ne
poj
z
wi�
wie
osi
obi
w
_____
__>
Rys. 18.2. Oznaczanie czynności: a) zamykania
wyłącznika W; b) otwierania wyłącznika W
I
ł
I
/
Przyjmujemy przy tym, że zarówno zamy­
kanie, jak i otwieranie wyłącznika nastę­
puje natychmiast, tzn. nie uwzględniamy
czasu trwania tej czynności. Z zamyka­
niem i otwieraniem wyłącznika w obwo­
dzie z indukcyjnością i w obwodzie z po­
jemnością są związane dwa prawa
fizyczne, zwane prawami komutacji.
Zgodnie z pierwszym prawem komuta.­
cji : prąd w obwodzie z indukcyjnością nie
może zmienić się skokowo i w chwili tuż
przed komutacją ma taką samą wartość
jak w chwili tuż po komutacj i .
W związku z tym, że strumień magne­
tyczny jest skojarzony z cewką IJ! = Li,
zasada niezmienności prądu w chwili ko­
mutacji jest zatem równoważna zasadzie
niezmienności strumienia magnetycznego
skojarzonego z cewką (i niezmienności
energii pola magnetycznego) . Pierwsze
prawo komutacji jest też nazywane zasa­
dą ciągłości prądu i strumienia magne­
tycznego w cewce .
Zgodnie z drugim prawem komutacji:
napięcie na kondensatorze nie może
zmienić się skokowo i w chwili tuż przed
komutacją ma taką samą wartość jak
w chwili tuż po komutacji .
W związku z tym, że ładunek zgromadzo­
ny na okładzinach kondensatora: q = Cu,
zatem zasada niezmienności napięcia na
kondensatorze w chwili komutacji jest
równoważna zasadzie niezmienności ła­
dunku związanego z kondensatorem (i nie­
zmienności energii pola elektrycznego) .
Drugie prawo komutacji jest też nazywa­
ne zasadą ciągłości napięcia i ładunku na
pojemności.
Z przeprowadzonych rozważań wynika
więc , że w obwodzie elektrycznym za:­
wierającym element indukcyjny, prąd
osiąga wartość ustaloną stopniowo i stan
obwodu podczas tego procesu jest stanem
nieustalonym. Tak samo ładunek na każ­
dym elemencie pojemnościowym groma­
dzi się stopniowo i stan obwodu podczas
tego procesu jest stanem nieustalonym.
Tylko w obwodzie czysto rezystancyjnym
prąd i napięcie zmienią się skokowo.
W obwodzie takim odpowiedź jest propor­
cjonalna do wymuszenia (prawo Ohma),
wobec tego zmiana wymuszenia powodu­
je natychmiastową zmianę odpowiedzi
i przejście od jednego stanu ustalonego do
drugiego stanu ustalonego jest natych­
miastowe.
www.wsip.com.pl
293
1 8.3.
Stan nieustalony
w dwójniku
szeregowym RL
1 8.3.1 .
Włączenie napięcia
stałego w obwodzie RL
Załóżmy, że do gałęzi, zawierającej połą­
czone szeregowo elementy RL, w chwili
t = O doprowadzono napięcie stałe . Odpo­
wiada to zamknięciu w chwili t = O wy­
łącznika W w obwodzie przedstawionym
na rysunku 18.3.
Stan początkowy obwodu jest zerowy,
tzn. w chwili t = O z elementem indukcyj­
nym L nie jest związana żadna energia. Po
zamknięciu wyłącznika W w obwodzie
powstaje stan nieustalony. Wyznaczymy
Rys. 18.3. Dwójnik szeregowy RL włączony
na napięcie stałe
przebieg prądu i w funkcji czasu . Prąd ten
zmienia się od zera do wartości ustalonej :
u
i.u = R.
UR + UL
przy czym napięcie na rezystorze R:
( 1 8 .3)
T Napięcie na cewce jest proporcjonalne
do szybkości zmian prądu w czasie:
UL = L­dtdi
.
R R L
u _ l!_ t
u
l = - - -e
(18,1)
gdyż w obwodzie prądu stałego w stanie
ustalonym napięcie na elemencie induk­
cyjnym jest równe zeru.
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa bi­
lans napięć w obwodzie z rysunku 1 8 .3
ma postać:
( 1 8 .2)
U=
UR = Ri
Zgodnie z zależnością ( 1 8 .6) prąd i osta­
tecznie wynosi:
lub
( 1 8 .8)
( 1 8 .9)
'
I
I
Na rysunku 18.4a przedstawiono prze­
bieg w funkcji czasu składowej ustalonej
iu, składowej przejściowej ip oraz prądu
wypadkowego i.
Prąd wypadkowy dąży asymptotycznie
do wartości prądu ustalonego i jego prze­
bieg ma charakter krzywej wykładniczej .
+ L<Jj_dt
ma
i V
zm:
na
zer
do
że ·
cyj
zer,
al
( 1 8 .4)
( 1 8 .5)
A
Rozwiązanie równania ( 1 8 .5) prowadzi
do wyznaczenia prądu i w stanie nieusta­
lonym. Prąd ten można wyznaczyć w pos­
taci dwóch składowych:
a) składowej ustalonej iu,
b) składowej przejściowej Źp ,
a więc:
( 1 8 .6)
Składowa ustalona jest wyrażona wzorem
( 1 8 . 1 ) , a składowa przejściowa:
,, u .
.
( 1 8 .7)
Składowa przejściowa ma w chwili t = O
wartosc - R i w miarę wzrostu czasu t,
asymptotycznie dąży do zera (teoretycz­
nie uzyska wartość równą zeru po czasie
nieskończenie długim) .
b}
Prz
rys
(18
mo
sun
ści
W 1
Po podstawieniu zależności ( 1 8 .3) i ( 1 8 .4)
do wzoru ( 1 8 .2) otrzymamy:
U = Ri
lub
UR, U1
18.
u �----
Zr
ści
noi
w
wo
nie
zw
o
Rys. 18.4. Przebiegi czasowe prądu (a) i napięć (b)
w dwójniku szeregowym RL włączonym na napięcie
stałe
Jeżeli mamy wyznaczony prąd w stanie
nieustalonym, to możemy również wy­
znaczyć napięcie na rezystancji i napię­
cie na indukcyjności
torze R jest równe:
[
uR
uL. Napięcie na rezys­
-1!. 1]
U
uR = Rz, = R RU - Re
L
L
_ l!_ t
= U - Ue
Sta
Po
nia
od1
=
( 1 8 . 10)
294
i
lub
UR =
u( 1
- e
)
(18.11)
!!_ t
( 1 8 . 1 2)
�
- t
Napięcie na indukcyjności:
di
dt
_
uL = L - = Ue L
Przebiegi napięć uR i uL przedstawiono na
rysunku 18.4b . Na podstawie równań
( 1 8 . 10) i ( 1 8 . 1 2) oraz rysunku 1 8 . 1 4b
możemy stwierdzić, że w każdej chwili
suma napięć na rezystancji i indukcyjno­
ści jest równa napięciu doprowadzonemu.
W chwili t = O napięcie na indukcyjności
ma wartość największą wynoszącą U
i w miarę upływu czasu napięcie to
zmniejsza się do zera. Natomiast napięcie
na rezystancji w chwili t = O jest równe
zeru i w miarę upływu czasu zwiększa się
do wartości U. Z powyższego wynika też ,
ż e w chwili komutacji napięcie n a induk­
cyjności zmienia się skokowo od wartości
zero do wartości U.
18.3.2.
. u(
lub
I Stała aasowa obwodu RL
Z równania ( 1 8 .8) wynika, że w zależno­
ści od wartości rezystancji R i indukcyj­
ności L zanikanie składowej przejściowej
w funkcji czasu może być szybsze lub
wolniejsze . W celu zbadania tego zagad­
nienia wprowadzimy wielkość fizyczną
zwaną stałą czasową, określoną wzorem:
t = R 1 - e !.r
_
)
( 1 8 . 1 5)
Jak wynika z równania ( 1 8 . 14) stała cza­
sowa T o czas , po upływie którego war­
tość bezwzględna składowej przejściowej
maleje e razy.
W chwili t = O składowa przejściowa prą-
uw
.
, , lp = du ma wartosc
R.
celu wyzna-
czenia wartości składowej przejściowej
prądu po upływie czasu równego jednej
stałej czasowej podstawimy t = T , a więc
U -I = - U
Re .
.
otrzymamy tp = - R e
Otrzymaliśmy potwierdzenie podanej de­
finicji. W ten sam sposób możemy wy­
znaczyć wartość składowej przejściowej
prądu po upływie czasu t = 2T, t = 3T itd.
Na podstawie tak przeprowadzonych ob­
liczeń zestawiamy w tabeli wartość bez­
względną składowej przejściowej prądu
w procentach składowej ustalonej :
Czas t
o
T
2T
3T ·�
� 100%
1 00
36,78
1 3,53
4,98
Czas t
4T
5T
6T
7T
1 ,83
0,674
0,248
0,091
lu
•.·
Z przytoczonych danych wynika, że po
czasie równym 5T składowa przejściowa
prądu stanowi mniej niż 1% składowej
ustalonej . W praktyce przyjmuje się, że
po
czasie równym 475T obwód znajduje
L
T-­
( l 8 . 1 3)
- R
się w stanie ustalonym. Stała czasowa jest
dogodną wielkością, która pozwala na
Stałą czasową mierzy się w sekundach .
podstawie parametrów obwodu wyzna­
Po uwzględnieniu wzoru ( 1 8 . 1 3 ) , równa­
czyć praktyczny czas trwania stanu nie­
nia ( 1 8 .8) i ( 1 8 .9) możemy napisać
ustalonego. Stałą czasową można zdefiodpowiednio w postaci:
niować również w inny sposób . Można
udowodnić (dowód pomijamy), �e jeśli
( l 8 . 14) .
l =
.
R - Re r
i poprowadzimy styczną do krzywej prądu
. u u _!.
www.wsip.com.pl
J
295
___..,,.
_
r
r
R.
Je­
a więc dla różnych stosunków L do
żeli na przykład założymy, że rezystancja
obwodu jest stała, a indukcyjność może
się zmieniać, to w miarę zwiększania war­
tości L zwiększa się stała czasowa i nara­
stanie prądu jest wolniejsze. Stąd wnio­
sek, że obwody o dużej indukcyjności
wolno osiągają stan ustalony. Z porówna­
nia wzorów ( 1 8 .8) , ( 1 8 .1 1 ) i ( 1 8 . 1 2) wy­
nika, że prąd i napięcia na elementach
mają tę samą stałą czasową.
r
'u A�=o
r
1
I
I
r
I
I
I
r
I
I
I
Rys. 18.5. Wyznaczanie graficzne stałej czasowej
w chwili t = O , to przetnie ona asymptotę
prądu po czasie T (rys. 18.5).
Na podstawie rysunku możemy również
stwierdzić , że jest to słuszne dla stycznej
do krzywej prądu poprowadzonej w do­
wolnym punkcie .
Można więc podać następującą definicję
stałej czasowej: stała czasowa T jest to
czas, po upływie którego prąd nieustalony
osiągnąłby wartość ustaloną, gdyby jego
narastanie miało charakter liniowy, czyli
prędkość zwiększania się prądu była stała
i równa prędkości zwiększania się
w chwili początkowej .
Z wykresu na rysunku 1 8 .5 wynika też, że
po czasie równym 475T prąd praktycznie
jest ustalony. Od wartości stałej czasowej ,
a więc od wartości parametrów obwodu
zależy czas (praktyczny) trwania stanu
nieustalonego. Im jest bowiem większa
stała czasowa, tym łagodniej narasta prąd.
Na rysunku 18.6 przedstawiono trzy
krzywe prądu dla różnych wartości T ,
I
)
na przebieg prądu w stanie nieustalonym
w
Zg
W•
zrr
tu�
i=
żel
się
me
...
wo
wo
na
1 8.3.3. Zwarcie obwodu RL
przy warunku
początkowym
niezerowym
pię
RL
Załóżmy, że dwójnik szeregowy
jest
włączony na napięcie stałe (rys. 18.7).
Wyłącznik W znajduje się w położeniu 1 .
Przez elementy obwodu płynie prąd stały
wz
ma
my
I = �. Jak już wspomniano, z przepły­
w
wem prądu przez cewkę o indukcyjności
L wiąże się istnienie w polu magnetycznym cewki energii WL =
otr:
�LI2. Jeśli prąd
nie zmienia się w czasie , to na elemencie
indukcyjnym L nie indukuje się napięcie,
a więc napięcie doprowadzone U jest
równoważone spadkiem napięcia na ele­
mencie rezystancyjnym
U=
W pewnej chwili, którą przyjmiemy jako
I chwilę zerową (t = O) , wyłącznik przełą-
R:
1
Rys. 18.6. Wpływ wartości stałej czasowej
cz:
ku
no
w
Po
prz
Rf.
Wy
tael
Na1
R
Rys. 18.7. Zwarcie dwójnika szeregowego RL
przy warunku początkowym niezerowym
296
I
czymy z pozycji 1 w pozycję 2 . W wyni­
ku tego dwójnik RL zostanie zwarty i jed­
nocześnie odłączony od źródła zasilania.
W obwodzie powstaje stan nieustalony.
Zgodnie z pierwszym prawem komutacji,
w chwili t = O prąd w obwodzie nie może
zmienić się skokowo, a zatem w chwili
tuż po komutacji zachowuje wartość
i = � , którą miał tuż przed komutacją. Je­
żeli prąd w chwili komutacji nie zmienia
się, to również napięcie na rezystancji nie
może się zmienić i wynosi U.
T W związku z tym, że w zwartym ob­
wodzie RL musi być spełnione drugie pra­
wo Kirchhoffa, zatem w chwili komutacji
na elemencie indukcyjnym powstaje napięcie uL =
L*,
przeciwnie skierowane
względem napięcia na rezystancji, stąd su­
ma tych napięć jest równa zeru. Napisze­
my więc równanie:
O = Rl. + L di
dt
( 1 8 . 1 6)
A
W wyniku rozwiązania równania ( 1 8 . 1 6)
otrzymamy:
.
R L
( 1 8 . 1 7)
u _ !_
( 1 8 .18)
u _ !i t
l = -e
Po podstawieniu stałej czasowej T =
przebieg prądu ma postać:
.
z = Re r
�
Wyznaczymy przebiegi napięć na elemen­
tach o rezystancji R i indukcyjności L.
Napięcie na elemencie rezystancjnym:
( 1 8 . 19)
Napięcie na elemencie indukcyjnym:
( 1 8 .20a)
'Y' lub
( 1 8 .20b)
A
www.wsip.com.pl
a)
b)
u
u
T?
u
�
�t
-uf
o
Rys. 18.8. Przebiegi czasowe prądu (a) i napięć (b)
w dwójniku szeregowym RL po jego zwarciu
Uzyskane wyniki analityczne można zilu­
strować na wykresie (rys. 18.8). Z rysun­
ku 1 8 .8a wynika, że prąd w chwili t = O
ma wartość
� i w miarę upływu czasu,
zgodnie z przebiegiem krzywej wykładni­
czej , asymptotycznie dąży do zera. Źró­
dłem przepływu prądu w stanie nieustalo­
nym jest energia zgromadzona w polu
magnetycznym cewki . Energia ta w wyni­
ku przepływu prądu przez rezystancję R
zamienia się w energię cieplną. Energia
z czasem wyczerpuje się, dlatego wszyst­
kie przebiegi - zarówno prądu , jak i na­
pięć - dążą do zera.
Z rysunku 1 8 .8b wynika, że w każdej
chwili suma napięcia na rezystancji i na
indukcyjności jest równa zeru, o czym
wspomniano już poprzednio .
1 8.4.
Stan nieustalony
w dwójniku
szeregowym RC
1 8.4.1 . Włączenie napięcia
stałego w obwodzie RC
Załóżmy, że do gałęzi, zawierającej połą­
czone szeregowo elementy R i C, w chwili
t = O doprowadzone jest napięcie stałe.
297
Odpowiada to zamknięciu w chwili t = O
wyłącznika W w obwodzie przedstawio­
nym na rysunku 18.9.
Przyjmujemy, że stan początkowy obwodu
jest zerowy, tzn. w chwili t = O napięcie na
pojemności uc = O, a zatem z elementem
pojemnościowym C nie jest związana żad­
na energia.
�(
na napięcie stałe
Po zamknięciu wyłącznika W w obwodzie
powstaje stan nieustalony. Wyznaczymy
przebieg napięcia uc w funkcji czasu . Na­
pięcie to zmienia się od zera do wartości
ustalonej :
Ucu = U
U = Ri + uc
( 1 8 .22)
i = dq = c duc
dt
dt
( 1 8 .23)
gdyż dą = Cduc (ą = Cuc). Ładunek ele­
mentarny jest proporcjonalny do napięcia
elementarnego .
298
-
( 1 8 .24)
...
W wyniku rozwiązania równania ( 1 8 .24)
otrzymamy napięcie uc w stanie nieusta­
lonym. Napięcie to można wyrazić w po­
staci dwóch składowych:
a) składowej ustalonej ucu ,
b) składowej przejściowej ucp ,
a więc:
a,
SI
w
as
( 1 8 .25)
Składowa ustalona jest wyrażona wzorem
(1 8 .2 1 ) .
Składowa przejściowa wynosi:
( 1 8 .26)
Składowa przejściowa ma w chwili t = O
wartość U i w miarę wzrostu czasu t
asymptotycznie maleje do zera.
Zgodnie z zależnością ( 1 8 .25) otrzymamy:
IJ
R
-
uc = U
( 1 8 .2 1 )
Oznacza to, ż e z biegiem czasu napięcie
na kondensatorze osiągnie wartość napię­
cia źródła. Zjawisko zachodzące w rozpa­
trywanym obwodzie nazywamy ładowa­
niem kondensatora przez rezystor ze
źródła napięcia stałego. Zgodnie z drugim
prawem Kirchhoffa bilans napięć w ob­
wodzie przedstawionym na rysunku 1 8 .9
ma postać:
T Prąd ładowania kondensatora:
uc + uc
U = RC ddt
uc = ucu + Ucp
Rys. 18.9. Dwójnik szeregowy R C włączony
'
W wyniku podstawienia zależności
( 1 8 .23) do równania ( 1 8 .22) otrzymamy:
-
1
Ue- Re
t
( 1 8 .27)
lub
( 1 8 .28)
Przez analogię do obwodu z indukcyjno­
ścią wprowadzamy pojęcie stałej czaso­
wej obwodu z pojemnością, przy czym dla
obwodu z pojemnością stała czasowa:
T = RC
( 1 8 .29)
Po wprowadzeniu stałej czasowej , równa­
nia ( 1 8 .27) i ( 1 8 .28) możemy napisać
w postaci:
( 1 8 .30)
lub
( 1 8 .3 1 )
Pierwsza składowa prawej strony równa­
nia (18 .30) jest składową ustaloną napięcia
-
G
R)
go
łac
na1
N
bi
Uc
pi
w:
śc
Pr
o1
•
(1
-
na kondensatorze (patrz równanie 18 .2 1),
a druga składową przejściową napięcia.
Składowa przejściowa ma w chwili t = O
wartość
U i w miarę upływu czasu
asymptotycznie dąży do zera.
-
-U
cJ
b}
O r
O r
Rys. 18.10. Przebiegi czasowe w dwójniku szere­
gowym RC: a) napięcia na pojemności; b) prądu
ładowania kondensatora przez rezystancję ze źródła
napięcia stałego; c) napięcia na rezystancji
ł
Na rysunku 18.lOa przedstawiono prze­
bieg w funkcji czasu składowej ustalonej
ucu, składowej przejściowej ucp oraz na­
pięcia wypadkowego uc. Napięcie to od
wartości O dąży asymptotycznie do warto­
ści ustalonej U.
Przebieg prądu ładowania kondensatora
określa wzór:
z. = Ru e _ !.
T
( 1 8 .32)
T Otrzymano go na podstawie wzoru
( 1 8 .23):
i = c duc
dt
www.wsip.com.pl
Prąd ładowania kondensatora ma w chwili
t = O największą wartość, wynoszącą � .
Rezystor o rezystancji R ogranicza więc
prąd w pierwszej chwili. Mogłoby się wy­
dawać , że gdyby tego rezystora nie było
w obwodzie, to w pierwszej chwili po ko­
mutacji popłynąłby prąd o wartości nie­
skończenie dużej . W obwodzie rzeczywi­
stym nie mógłby popłynąć taki prąd, gdyż
przewody łączące mają pewną rezystan­
cję. Gdyby nawet pominąć rezystancję
przewodów, to mogłaby „dać o sobie
znać" indukcyjność szczątkowa obwodu,
„spowalniając" narastanie prądu . Te za­
strzeżenia mają charakter teoretyczny prąd nie będzie miał nieskończenie dużej
wartości, jednak w praktyce należy liczyć
się z wystąpieniem prądu o bardzo dużej
wartości, choć krótko trwającego . Prąd ta­
ki może spowodować np. uszkodzenie
źródła energii lub elementów półprzewod­
nikowych . W miarę upływu czasu prąd
wykładniczo maleje do zera i w stanie
ustalonym, po naładowaniu kondensato­
ra, nie płynie (rys. 18.lOb).
Po wyznaczeniu prądu możemy obliczyć
napięcie na rezystorze o rezystancji R:
(
UR = R . = R Ru e_ !.T
l
) n _ !.
= ue
T
( 1 8 .33)
Napięcie uR ma wartość największą wy­
noszącą U w chwili t = O i w miarę upły­
wu czasu wykładniczo maleje do zera
(rys. 18.lOc) .
Jak wynika ze wzoru ( 1 8 .29), stała czaso­
wa jest równa iloczynowi rezystancji i po­
jemności kondensatora. Im większa jest
zatem wartość rezystancji R w obwodzie
ładowania i im większa jest wartość po­
jemności C ładowanego kondensatora,
tym wolniej przebiega ładowanie .
299
18.4.2. Zwarcie obwodu RC
przy warunku
początkowym
niezerowym
Załóżmy, że dwójnik szeregowy RC jest
włączony na napięcie stałe (rys. 18.11).
Wyłącznik W znajduje się w położeniu 1 .
W obwodzie nie płynie żaden prąd, gdyż
kondensator stanowi przerwę dla prądu
stałego . Napięcie na kondensatorze jest
równe napięciu źródła, tzn. wynosi U.
W pewnej chwili, którą przyjmiemy za
zerową (t = 0), wyłącznik przełączamy
z pozycji 1 w pozycję 2 . W rezultacie
przeprowadzenia tej czynności obwód RC
został zwarty i jednocześnie odłączony od
źródła zasilania.
Prąd wyładowania kondensatora ma taki
sam charakter jak prąd ładowania i jest
określony wzorem ( 1 8 .23). Po uwzględ­
nieniu tego wzoru, równanie ( 1 8 .34) uzy­
ska postać:
d
O = RC uc + uc
dt
( 1 8 .35)
uc = Ue
_
Re
_!_ t
.
t
Uc = Ue- 1'
r
t
uR = Ri = - ue- r
i
W stanie nieustalonym w miarę upływu
czasu zasób energii w polu elektrycznym
zmniejsza się, a w rezystorze wydziela się
ciepło . Rozpatrywane zwarcie dwójnika
RC odpowiada wyładowaniu kondensato­
ra o pojemności C przez rezystor o rezy­
stancji R.
l
300
( 1 8 .38)
( 1 8 .39)
Uzyskane wyniki analityczne można zilu­
strować na wykresie (rys. 18.12) .
Z rysunku 18 .12a wynika, że napięcie na
kondensatorze ma w chwili t = O wartość U
i w miarę upływu czasu, zgodnie z prze­
biegiem krzywej wykładniczej , asympto­
tycznie maleje do zera.
p
p
2
o
n
n
p
SI
( 1 8 .37)
u _ !_
p
n
re
J;
a po podstawieniu stałej czasowej r = RC
przebieg napięcia ma postać:
a napięcie na rezystorze:
W obwodzie powstaje stan nieustalony.
Zgodnie z drugim prawem komutacji,
w chwili tuż po zmianie położenia wy­
łącznika, napięcie na kondensatorze za­
chowuje swoją wartość, tzn. jest równe U,
a energia zawarta w polu elektrycznym
kondensatora wc = CU2 •
'
( 1 8 .36)
<luc = - e
z = cdt
R
przy warunku początkowym niezerowym
V
W wyniku rozwiązania równania ( 1 8 .35)
otrzymamy:
Prąd wyładowania kondensatora:
Rys. 18.11. Zwarcie dwójnika szeregowego RC
2
d
Bilans napięć w obwodzie zwartym ma
postać:
O = Ri + uc
( 1 8 .34)
I
I
n
p
p
p
d
d
II
el
w
n
e1
b)
c�
z�
tz
m
Rys. 18.12. Przebiegi czasowe napięć (a) i prądu
(b) w dwójniku szeregowym RC przy jego zwarciu
o
w
ni
·-
Z rysunku 1 8 . 1 2b wynika, że prąd wyła­
dowania kondensatora ma wartość największą wynoszącą
-� w chwili t = O,
potem wykładniczo maleje do zera. Znak
minus przy prądzie wynika stąd, że zwrot
prądu wyładowania kondensatora jest
Rys. 18.13. Dwójnik szeregowy RLC włączony
przeciwny do zwrotu prądu ładowania. na napięcie stałe
Z porównania wzorów ( 1 8 .37) i ( 1 8 .39)
oraz wykresu 1 8 . 1 2a wynika, że napięcie Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa,
na rezystorze ma taki sam przebieg jak w każdej chwili t � O jest spełniony dla
napięcie na kondensatorze , z tym że na­ tego obwodu bilans napięć:
pięcia te różnią się znakiem; wobec tego
( 1 8 .40)
U = UR + UL + Uc
suma tych napięć jest w każdej chwili
równa zeru.
Po podstawieniu do równania (18.40) zależ, .
di
Jak wynika z przedstawionych rozważań
nosc1 UR = Rl' oraz UL = L dt otrzymamy:
i analizy obwodów w stanie nieustalo­
di
nym, w stanach tych występują znaczne j
( 1 8 .4 1 )
U = Rz. + L dt + uc
przepięcia i przetężenia. Wzrost napięcia 1
ponad wartość znamionową oraz wzrost Równanie ( 1 8 .41 ) zawiera dwie niewia­
prądu ponad tę wartość w danym urzą­ dome: prąd i oraz napięcie u . Jedną
c
dzeniu może spowodować jego uszko­ z tych niewiadomych można wyelimino­
dzenie. Dotyczy to takich urządzeń jak wać , np . wyrażając prąd zależnością
maszyny elektryczne , transformatory,
duc
elektryczny sprzęt gospodarstwa domo­ i = c dt .
wego, a także kabli oraz przy wysokich Wtedy otrzymamy:
napięciach również urządzeń elektro­
duc
d2uc
energetycznych.
U = R CTt + LC 2 + uc ( 1 8 .42)
·
dt
18.5.
Stan nieustalony
w dwójniku
szeregowym RLC
Wiele obwodów występujących w prakty­
ce przedstawiamy za pomocą schematu
zastępczego , zawierającego trzy elementy,
tzn. rezystor, cewkę kondensator. Otrzy­
mujemy więc obwód szeregowy RLC .
Omówimy zjawiska fizyczne występujące
w dwójniku szeregowym RLC po włącze­
niu napięcia stałego (rys. 18.13).
i
www.wsip.com.pl
Podzielimy obie strony równania ( 1 8 .42)
przez LC, w rezultacie czego po uporząd­
kowaniu otrzymamy:
U = R duc + d2 uc + 1 u ( 1 8 .43)
LC c
LC I Tt dt2
Równanie ( 1 8 .43) jest równaniem roz­
niczkowym drugiego rzędu. Jego rozwią­
zanie analityczne jest możliwe z zastoso­
waniem wyższej matematyki i z tego
względu w podręczniku będzie pominię­
te. Podanych zostanie jedynie kilka zależ­
ności końcowych, które pozwolą na omó­
wienie niektórych zjawisk fizycznych,
381
związanych z występowaniem stanu nie­
ustalonego w dwójniku szeregowym
W rozpatrywanym obwodzie po włącze­
niu napięcia stałego następuje ładowanie
kondensatora przez rezystor i cewkę. Zja­
wiska fizyczne w tym obwodzie są iden­
tyczne, jeżeli kondensator naładowany ze­
wrzemy przez rezystor i cewkę, tzn. przy
zwarciu dwójnika szeregowego
W obu przypadkach zmianie w czasie
prądu oraz napięcia
odpowiada zmia­
na energii pola magnetycznego cewki
RLC.
RLC.
i
a)
R3
sal
b)
CZI
ue
Pr
WL = �Li2 i energii pola elektrycznego
e = �Cu� oraz wydziela­
kondensatora W
nie się energii cieplnej na rezystorze .
Istotne znaczenie dla charakteru zjawisk
zachodzących w dwójniku szeregowym
w stanie nieustalonym ma wzajemna
zależność między parametrami obwodu.
RLC
Gdy rezystancja
R<2
/f;
, wówczas za­
Rys. 18.14. Przebiegi czasowe prądu (a) i napięcia
na kondensatorze (b) w dwójniku szeregowym
RLC włączonym na napięcie stałe, gdy R <
2 /f;
Przebiegi prądu i napięcia na kondensa­
torze w funkcji czasu przedstawiono na
rysunku 18.14.
sadniczą rolę w dwójniku odgrywają pa­
rametry
i dominującym zjawiskiem i Przebiegi mają charakter oscylacji, czyli
jest wymiana energii między cewką i kon­ drgań wywołanych wymianą energii mię­
densatorem. W obwodzie pojawiają się dzy cewką i kondensatorem.
oscylacje, których tłumienie zależy od W miarę upływu czasu drgania zanikają,
prąd maleje do zera, a napięcie na kon­
wartości rezystancji
densatorze osiąga wartość ustaloną wyno­
Prąd w obwodzie wynosi:
szącą U.
.
u
- e-at sm wot
( 1 8 .44)
WoL
Gdy rezystancja > 2
wówczas do­
L, C
R.
.
i=
R
a napięcie na kondensatorze:
Ue
U
= U - fffi e-at Sin(Wot
wovLC
+ cp)
( 1 8 .45)
'
a R współczynm'k tłum1ema;
Jie (::D 2 = Vie - a2 pulsacja
przy czym:
wo =
= 2L
-
-
.
drgań własnych, zwana też pulsacją drgań swobod­
wo
nych; tg <p = c;: ·
302
/f;
cz
Pr
Ct
Stl
Re
w
z;
minującą cechę obwodowi nadaje rezy­
stancja. Przebiegi w obwodzie mają cha­
rakter aperiodyczny, czyli nieokresowy.
Prąd w obwodzie wynosi:
i = /ir_ (es11
- es2 r )
( 1 8 .46)
a napięcie na kondensatorze:
ue = U+ 2� (s2esit - s1 es21) ( 1 8 .47)
St
cz
Przebiegi prądu oraz napięcia na konden­
satorze przedstawiono na rysunku 18.15.
Prąd w obwodzie początkowo zwiększa
się, osiąga wartość maksymalną, a potem
w miarę upływu czasu maleje do zera.
Napięcie na kondensatorze początkowo
narasta łagodnie, potem prędkość narasta­
nia napięcia się zwiększa.
Rys. 18.15. Przebiegi czasowe napięcia na konden­
satorze i prądu w dwójniku szeregowym RLC włą-
czonym na napięcie stałe, gdy R >
2/"f;
-� J( �) 2 L�
W miarę upływu czasu napięcie na kon­
densatorze osiąga wartość ustaloną wyno­
szącą U.
Przy czym:
S1 , 2 =
czyli:
±
= - a ± (3
-
Gdy rezystancja R = 2
=
to mówimy,
że rezystancja ma wartość krytyczną. Taka
wartość rezystancji sprawia, że charakter
zjawisk w obwodzie ulega zmianie. Prze­
biegi mają charakter aperiodyczny, nazy­
wany aperiodycznym krytycznym. A
a = 2L '
R
Przykład 1 8. 1
/"f:,
I
Cewka o indukcyjności L = 0,6 H i rezystancji R = 3 O zostaje włączona na napięcie
stałe . Po jakim czasie prąd w cewce osiągnie 50% swojej wartości ustalonej?
Rozwiązanie
W stanie nieustalonym prąd w cewce włączonej na napięcie stałe zmienia się zgodnie
z zależnością ( 1 8 . 1 5):
Składowa ustalona prądu iu =
*.
. u ( _!.. )
z=R
1 -e
T
Zgodnie z założeniem i = 0,5iu , otrzymamy więc równanie:
0,5iu = iu
Stąd po przekształceniach:
czyli:
(
t
1 - e- f
e7 = 2
www.wsip.com.pl
)
Z definicji logarytmu naturalnego wynika, że:
�
t
= ln 2
T
a więc:
H
H
H
t = rln 2
Stała czasowa równa się:
T=
H
i = 036 = 0,2
H
S
Stąd ostatecznie czas:
t = 0,2ln 2 = 0,2
·
0,7 = 0, 1 4 s
Prąd w cewce osiągnie 50% wartości ustalonej po czasie t = 0, 1 4 s.
Przykład 1 8.2
I
Kondensator o pojemności C = 1 O µF jest ładowany przez rezystor o rezystancji
ze źródła napięcia stałego U = 1 OO V. Rezystancja wewnętrzna źródła
Rw = 1 n . Jaką wartość osiągnie napięcie na kondensatorze po czasie równym dwóm
stałym czasowym? Jaką wartość będzie miał po tym czasie prąd ładowania?
R=9 n
Rozwiązanie
Podczas ładowania kondensatora ze źródła napięcia stałego napięcie na kondensatorze
w stanie nieustalonym zmienia się na podstawie równania ( 1 8.3 1 ):
Zgodnie z założeniem t = 2r, czyli:
Uc
2
= u - ue- : = u - ue-2
=
100 - 1 00 1 = 1 00 - 13,5 = 86,5 V
e2
Prąd ładowania kondensatora obliczamy na podstawie wzoru ( 1 8.32) pamiętając, że re­
zystancja w obwodzie ładowania:
Rz = R + Rw = 9 + 1 = 10 n
Zatem prąd wynosi:
i == � e - f \�0 e-2 1 0:2
=
3-04
ł.
I
=
=
1 0 0, 1 35 = 1 ,35 A
·
H
1 8.1 . Kiedy w obwodzie elektrycznym powstaje stan nieustalony?
1 8.2. Co to są prawa komutacji i jaki jest ich sens fizyczny?
1 8.3. Co to jest stała czasowa?
1 8.4. Jaki jest wpływ rezystancji podczas ładowania kondensatora ze źródła napięcia stalego?
(8.5. Podaj wartość sKfadowej przejściowej prądu w obwodzie szeregowym RL w chwili t O
1 8.6. Podaj wartość składowej przejściowej napięcia na kondensatorze w obwodzie szeregowym RC
w chwili t O
1 8. 7 . Jaki charakter zmienności mają w stanie nieustalonym składowe przejściowe prądów i napięć
w dwójnikach RL i RC:
a) są stałe w czasie
b) są tłumione wykładniczo
c) są zmienne okresowo
d) nie ulegają zmianie
1 8.8. Od czego zależy szybkość zanikania składowej przejściowej prądu w obwodzie szeregowym RL:
a) tylko od rezystancji R
b) tylko od indukcyjności L
c) od stałej czasowej
d) od napięcia źródła
1 8.9. Od czego zależy szybkość rozładowania kondensatora w obwodzie szeregowym RC:
a) tylko od rezystancji R
b) tylko od pojemności C
c) od stałej czasowej
d) od ładunku na okładzinach kondensatora
=
=
.
www.wsip.com.pl
.
fil1
Admitancja (przewodność pozorna) 1 1
-
dwójnika równoległego RLC 1 80
- zespolona 1 85, 1 87
akumulator (ogniwo wtórne) 101
-
kadmowo-niklowy 102
- ołowiowy 101
- zasadowy 102
- żelazo-niklowy 102
amplituda zespolona 1 85
anion 1 3
dielektryk 15, 24, 36
dioda 50, 278
- prostownicza 278
dipol elektryczny 25
dławik 274
długość fali elektromagnetycznej 1 1 1
dobroć cewki rzeczywistej 192
- kondensatora rzeczywistego 190
domieszka akceptorowa 58
atom 12, 54
dwójnik 169, 170, 1 7 1 , 174, 176, 177, 1 86,
Bariera potencjału 51
dysocjacja 53
bilans mocy 72, 76
Cewka 60, 127, 128, 130, 137, 170, 191 , 203 ,
204, 229, 274
charakterystyka diody półprzewodnikowej 278
- magnesowania (krzywa magnesowania)
123
- podstawowa magnesowania 125
- donorowa 58
188, 293 , 297, 301
gn
H�
Elektrolit 53
hru
elektromagnes 133
elektron 13, 54, 121
Im
- walencyjny 13
- swobodny 15
elektryzacja 18
- statyczna 111
- prostownika rtęciowego 279
element aktywny 60
częstotliwość graniczna filtra 268
- symetryczny 61
cząstka 12
inc
- pasywny 60
- przebiegu sinusoidalnego 160
elementy sprzężone magnetycznie 128
część rzeczywista liczby zespolonej 1 82
- fotoelektronowa 51
- rezonansowa 209, 210, 212
-
urojona liczby zespolonej 182
czwórnik 265 , 266, 267
- aktywny 266, 267
- liniowy 265
- nieliniowy 265
- nieodwracalny 265
emisja termoelektronowa 5 1
-
- magnetycznego 1 30
Fala elektromagnetyczna 1 1 1
faza przebiegu sinusoidalnego
- symetryczny 265
filtr 268, 269, 270
- typu T (gwiazdowy) 266
- górnoprzepustowy 270, 271
306
Jo
- prądu elektrycznego 47
ferrorezonans napięć 276
- typu II (trójkątowy) 266
inc
energia pola elektrycznego kondensatora 34
- odwracalny 265
- pasywny 265
gę:
- obwodu rezonansowego 210
anoda 53
argument liczby zespolonej 1 82
L
Depolaryzator 1 OO
- prądów 277
- dolnoprzepustowy 269, 271
160
jor
- cylindryczny 32
filtr pasmowy 269
-
- płaski 3 1
pasywny 270
konduktancja 46, 87
- zastępcza 74
- reak:tancyjny 269
- zaporowy 269
konduktywność 16, 45
Gałąź obwodu 61
generator fotoelektryczny (ogniwo fotoelektryczne)
105
krzywa magnesowania pierwotnego 124
- odmagnesowania 153
- magnetogazodynamiczny MGD 104
Liczba zespolona 1 82
- termodielektryczny 105
- termoelektryczny TEL 104
linie ekwipotencjalne 24
- pola elektrycznego 21
- magnetohydrodynamiczny MHD 104
- termoemisyjny TEM 105
liczby zespolone sprzężone 1 83
- - magnetycznego 1 15
- termomagnetyczny 105
gęstość energii pola kondensatora 35
- - w polu magnetycznym 131
Ładunek elektryczny 13
- objętościowa ładunku 18
- punktowy 18
- liniowa ładunku 19
- powierzchniowa ładunku 19
- prądu elektrycznego 44
-
elementarny 13
- kondensatora 30
Magnes trwały 135, 143 , 152
magnesowanie 152
graf strukturalny 61
,,
magneśnica 99
Hallotron 134
magnetyzacja 122
Impedancja (opór pozorny) 17 5, 177, 179
materiał diamagnetyczny 123
- ferromagnetyczny 123, 124
- wejściowa czwórnika 267
materiały magnetycznie miękkie 126
indukcja elektryczna 26
metoda Arona (metoda dwóch watomierzy)
- - nasycenia 125
- liczb zespolonych (symboliczna) 1 82, 185
harmoniczna 283
maksymalne naprężenie elektryczne 36
- falowa 210
- paramagnetyczny 123
- - twarde 126
- zespolona 185, 1 86
- magnetyczna 117
253
- pozostałości magnetycznej (indukcja
remanencji) 125, 153
- napięć węzłowych 224
- potencjałów węzłowych 86
- praw Kirchhoffa 82, 222
indukcyjność własna cewki 127
- wzajemna cewek 129
- prądów oczkowych 84, 223
- przekształcania 76, 220
Jonizacja 51
- składowych symetrycznych 254
- termiczna 52
- superpozycji 83
- zderzeniowa 52
- Thevenina (metoda źródła zastępczego) 225
- trzech watomierzy 252
jon 13
moc elektryczna 48, 203, 25 1 , 287
Kation 1 3
- - bierna 202, 206, 287
- - chwilowa 200, 203, 204
katoda 53
kąt strat dielektrycznych 190
- - czynna 201 , 287
kondensator 30, 33, 34, 60, 171 , 1 89, 203
- - - zespolona 203
komutacja 292, 293
www.wsip.com.pl
- - pozorna 201
307
moduł (wartość bezwzględna) liczby
zespolonej 182
moment dipola elektrycznego 25
- magnetyczny 1 22
pr:
- paliwowe 102
- Volty 100
okres przebiegu sinusoidalnego 160
operator obrotu 1 83
opór magnetyczny (reluktancja) 146
Nagrzewanie rezystancyjne 49
oś rzeczywista układu współrzędnych 1 82
napięcie dotykowe 109
- urojona układu współrzędnych 1 82
ł
i
- elektryczne 23
- fazowe 243
Pasmo przepustowe 268
- Halla 1 34
- przewodnictwa 55
- krokowe 109
- magnetyczne 145
- tłumieniowe 268
- walencyjne 55
- międzyfazowe 243
- zabronione 55
- niesymetrii 248
pętla histerezy magnetycznej 125
- odbiornikowe 64
podatność elektryczna bezwzględna
- polaryzacji 100
- sinusoidalne 158
- - względna dielektryka 25
- magnetyczna 1 22
- zmienne 158
pojemność elektryczna ogniwa 100
- źródłowe 60
- kondensatora 3 1 , 32
natężenie koercji (natężenie powściągające)
- przewodnika 3 1
- pola elektrycznego 2 1 , 36
- zastępcza kondensatorów 33
polaryzacja dielektryka 24
- - magnetycznego 120
- elektryczna 25
- - nasycenia 1 25
pole elektromagnetyczne 1 6
- prądu elektrycznego 43
pn
dielektryka 25
- termoelektryczne 103
125 , 153
pr:
- elektrostatyczne 1 6
- elektryczne 16, 27+29
Obraz pola magnetycznego 1 1 5
- - stacjonarne 1 6
obwód elektryczny 60, 62, 64, 70, 74, 76,
- - równomierne 22
82, 83, 84, 86, 158, 200, 209 , 220,
229, 273
I
L
- magnetyczne 1 6 , 1 1 5 , 1 16, 1 1 8+1 2 1 , 1 27 ,
128, 1 30, 1 3 1 , 143
- - liniowy 62, 291
- prądów elementarnych (okrężnych) 1 2 1
- - nieliniowy 6 2 , 273 , 274, 278
połączenie gwiazdowe elementów 80
- - rezonansowy 209
- trójkątowe elementów 80
- magnetyczny 143+145, 149
potencjał elektryczny 23 , 5 1 , 73
pn
- - jednorodny 143
powierzchnia ekwipotencjalna 24
pr1
pr:
- - niejednorodny 143
poziom energetyczny atomu 54
ochrona przeciwporażeniowa 107
półprzewodnik 1 5 , 54
oczko obwodu 62, 85
- niesamoistny 57
pr1
odbiornik niesymetryczny układu
- samoistny 56
pr1
- typu N 57
pr:
trójfazowego 248
oddziaływanie elektrodynamiczne 1 32
- typu P 58
odmagnesowanie 152
odpowiedź obwodu 63
prawo Biota-Savarta 1 19
- Coulomba 19
ogniwo galwaniczne (ogniwo pierwotne) 99
- Faraday' a 1 36
- Leclanchego 100
- Joule'a-Lenza 48
- odwracalne 101
- Ohma 46, 64
pr:
pr:
308
•
prawo Ohma dla dwójnika równoległego 1 80
- - próżni 20
- - - - szeregowego 175 , 177, 179
- - względna 20
- - - wartości skutecznych cewki
- - dynamiczna 126
- - - obwodu magnetycznego 147
idealnej 170
- - - - - kondensatora idealnego 172
- - - - - zespolonych 1 87
- przepływu 120
- magnetyczna 1 19
- - próżni (stała magnetyczna) 1 19
- - statyczna 125
- - względna 1 19, 123
przepływ prądu 120
- zachowania ładunku 1 8
przesunięcie fazowe przebiegów
sinusoidalnych 163
prawa Kirchhoffa dla obwodu elektrycznego
65
- - dla obwodu magnetycznego 147
- - w obwodzie prądu zmiennego 173
- - w postaci zespolonej 186, 1 88
- komutacji 293
przewodnik 15, 30, 44
przewodność magnetyczna (permeancja)
146
- właściwa 16
prąd anodowy 51
przewód fazowy 241
- dziurowy 57
pulsacja drgań własnych (pulsacja drgań
- fazowy 243
punkt neutralny (zerowy) 241
- nasycenia 5 1
Reaktancja dwójnika szeregowego RLC 179
- neutralny 241
- dyfuzyjny 58
- elektryczny 15, 43, 44, 47, 50 , 5 1 , 53, 54
- ładowania kondensatora 1 7 1 , 1 89
- oczkowy 85
swobodnych) 302
-
- przesunięcia 44
I
przetwornik energii 60, 98
indukcji wzajemnej 230
- indukcyjna (opór bierny indukcyjny) 170
- przewodowy 243
- pojemnościowa (opór bierny
- stały 43, 60
reguła Lenza 136
- upływowy 189
- prawej dłoni 116, 137
- przewodzenia 43
pojemnościowy) 172
- lewej dłoni 117
- unoszenia 44
- wirowy 138
- śruby prawoskrętnej (reguła korkociągu)
- źródłowy 68
rezonans 209
- trójfazowa 240
- prądów (rezonans równoległy) 2 1 1
- zmienny 43, 158, 173, 200
1 15, 122
prądnica elektryczna (generator) 98
- napięć (rezonans szeregowy) 209
prędkość kątowa (pulsacja) 160
rezystancja 46, 47
prostowanie dwupołówkowe (całofalowe)
-
280
- jednopołówkowe (półfalowe) 279
prostownik (zawór elektryczny) 88, 278
proton 13
przebieg niesinusoidalny (odkształcony)
282+286
dynamiczna 49
- statyczna 49
- wewnętrzna źródła 67
- zastępcza 71
rezystor 46, 48, 60, 70, 74, 169, 203
- liniowy 48
- nieliniowy 48
- przemienny 163
- sinusoidalny 160, 163 , 164, 166
- synchroniczny 163
przekładnia transformatora 234
przenikalność elektryczna bezwzględna 20
www.wsip.com.pl
rezystywność 45
rozstrojenie bezwzględne 2 1 1 , 212
równoważnik elektrochemiczny 54
ruch spinowy elektronów 121
rząd harmonicznej 283
309
Siła elektromotoryczna 60
- - indukcji własnej 138
- - - wzajemnej 138
- - indukowana 1 37
- - samoindukcji 1 38
- magnetomotoryczna 1 45
- udźwigu elektromagnesu 1 33
spadek napięcia 64
sprawność energetyczna akumulatora 102
- pojemnościowa akumulatora 101
sprzężenie magnetyczne 229, 230 , 232
stała czasowa 295, 298
stan jałowy czwórnika 267
- - transformatora 235 , 236
- - źródła 67
- nieustalony obwodu liniowego 291
- obciążenia czwórnika 267
- - transformatora 235
- - źródła 68
- początkowy obwodu liniowego 292
- ustalony obwodu liniowego 23 1
- zwarcia czwórnika 267
- - transformatora 235
- - źródła 68
stojan (stator) 99
strumień indukcji elektrycznej (strumień
elektryczny) 26
- magnetyczny 1 1 8 , 230
- - główny 143
- - rozproszenia 1 43
- - skojarzony 127
susceptancja dwójnika równoległego RLC 1 80
- indukcyjna (przewodność bierna
indukcyjna) 1 7 1
- pojemnościowa (przewodność bierna
pojemnościowa) 172
szereg Fouriera 283
I
Temperatura przemiany (temperatura Curie)
1 27
transformator 233
- powietrzny 234 , 235
- z rdzeniem ferromagnetycznym 234
twierdzenie Gaussa 27
- Nortona 227
- Thevenina 225
twornik 99
3 10
Układ mostkowy Graetza 280
- trójfazowy 240
- - gwiazda-gwiazda czteroprzewodowy 24 1
- - - trójprzewodowy 24 1
- - gwiazda-trójkąt 243
- - niesymetryczny 248
- - symetryczny 24 1 , 243 , 246
- - trójkąt-gwiazda 242
- - trójkąt-trójkąt 242
- wielofazowy 240
uzwojenie pierwotne transformatora 233
- wtórne transformatora 233
Wartość chwilowa napięcia 1 60
- maksymalna (amplituda) napięcia 1 60
- skuteczna napięcia sinusoidalnego 1 6 1
- - - odkształconego 286
- - prądu 43
- - - sinusoidalnego 1 6 1
- - - odkształconego 286
- - zespolona 1 85
- średnia półokresowa napięcia
sinusoidalnego 163
- - - prądu sinusoidalnego 1 62
warystor 49
watomierz 251
wektor namagnesowania (wektor magnetyzacji,
wektor polaryzacji magnetycznej) 1 22
- polaryzacji elektrycznej 25
węzeł obwodu 6 1
wiązanie jonowe 1 4
- kowalencyjne 1 4
wirnik (rotor) 99
współczynnik kształtu przebiegu 1 63
- mocy 205
- rozproszenia 1 30
- sprzężenia cewek 1 30
- strat dielektrycznych 190
- temperaturowy rezystancji 47
- tłumienia 302
wykres czasowy przebiegu 164
- wektorowy przebiegu 165
wyładowanie atmosferyczne 36
- elektryczne iskrowe 52
- - jarzeniowe 52
- - łukowe 53
- - ulotowe 52
I
wyładowanie elektryczne w gazie 52
- piezoelektryczne 106
wymuszenie w obwodzie 63
- piroelektryczne 105
Zasada ciągłości linii pola magnetycznego 118
- przewrotu 277
- rezonansu 209
wytrzymałość elektryczna dielektryka 36
- bilansu prądu 66
- polaryzacji dielektryka 24
- termoelektryczne 103
- Pauliego 55
złącze PN 278
zawór elektryczny 51 , 278
Źródło napięcia 67 , 70
- emisji termoelektronowej 5 1
- - sterowane 70
- - - napięciowo 268
- superpozycji 62
zjawisko dysocjacji 53
-
- ferrorezonansu 276
- niesterowane 69
- - - prądowo 268
- fotoemisji 5 1
- Halla 1 34
- histerezy magnetycznej 124
- indukcji elektromagnetycznej 135
- - elektrostatycznej 30
- - zastępcze 71
- niesymetryczne układu trójfazowego 248
- prądu 68
- - niesterowane 69
- - sterowane 70
- - własnej 137
- - wzajemnej 138
- - - napięciowo 268
- magnetorezystancyjne 134
- - - prądowo 268
www.wsip.com.pl