Controle PI, PD e PID –
Analógico e Digital
Eng. Me. Rafael Alex Vieira do Vale
Conceitos
• Para Araújo (2007), o principal objetivo de estudo de sistemas de
controle é resolver o chamado “Problema de Controle”;
• Para entender o problema de controle é necessário ter em mente
alguns conceitos:
• Planta;
• Processo;
• Sistema e Sistema Físico;
• Especificações de Desempenho;
• Modelo;
• Controle e Controlador;
• Sistemas de Controle: Malha Aberta ou Malha Fechada;
Formulação do Problema de Controle
• Segundo Araújo (2007), um problema de controle consiste em
determinar um modo de afetar um dado sistema físico para que
atenda as condições especificadas;
• Mas, não é possível alterar a estrutura do sistema físico e as
especificações são atingidas com o projeto e implantação de
controladores (Compensadores);
Formulação do Problema de Controle
Fonte: Araújo (2007)
Ações Básicas de Controle
• Aplicar um controlador em um certo sistema visa alterar a sua
dinâmica modificando a relação da variável de entrada e saída;
• A mudança na dinâmica ocorre com a modificação dos parâmetros do
controlador para satisfazer as condições, previamente, definidas para
a saída;
• Os parâmetros que são alterados com a ação do controlador são as
Variáveis Manipuladas;
• Já os parâmetros que se deseja conseguir as mudanças para as
especificações adequadas são as Variáveis Controladas;
Ações Básicas de Controle
• Uma das ações que podem ser aplicadas aos controladores é a Ação
ou Controle Proporcional;
• O controle Proporcional (P) é, simplesmente, a razão entre a variável
de saída e a variável de entrada do compensador;
• Essa relação é denominada Ganho Proporcional (Kp);
• Quanto maior a constante proporcional menor será o erro de estado
estacionário;
• Porém, o tempo de acomodação aumenta e em certos casos os
sistemas podem ser desestabilizados;
Controle Proprocional
• Este tipo de compensador não acrescenta polos e zeros ao sistema e
o ajuste ocorre em seu ganho original;
• Matematicamente, o controle Proporcional no domínio do tempo e
da frequência é:
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡
𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝 𝐸 𝑠
• Em que e(t) = r(t) – y(t)
Fonte: Araújo (2007)
Controle Proporcional
• Considerando uma entrada em degrau e o processo em regime
permanente o erro em estado estacionário será:
• Resumidamente:
1
𝑒𝑠𝑠 =
1 + 𝐾𝑝
• O controle proporcional é um amplificador de ganho ajustável;
• O aumento de K reduz o erro em regime permanente;
• Mas, o aumento de K pode gerar oscilações e instabilizar o sistema;
• Melhora o regime, porém, piora a resposta transitória;
Controle Proporcional
• A ação do controle proporcional atua do seguinte modo:
Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas
Controle Proporcional-Integral
• A ação integral, segundo Araújo (2007), corresponde a ter uma taxa de
variação do sinal de saída com relação à entrada;
• Essa ação atua reduzindo o erro em regime permanente;
• Mas, também prejudica o regime transitório, pois acrescenta um polo ao
sistema;
• Matematicamente:
𝐾𝑝 𝑡
න 𝑒 𝜏 𝑑𝜏
𝑢 𝑡 =
𝑇𝑖 0
𝐾𝑝 𝐸(𝑠)
𝑈 𝑠 =
𝑇𝑖 𝑠
Controle Proporcional-Integral
• Assim, o controle Proporcional-Integral é a junção dos controles
proporcional e integral em um só controlador:
• Podemos definir o controle Proporcional-Integral dos seguintes
modos:
𝐾𝑝 𝑡
න 𝑒 𝜏 𝑑𝜏
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +
𝑇𝑖 0
Fonte: Araújo (2007)
𝐾𝑝
𝐾𝑝 𝑠 +
𝐾𝑝 𝐸(𝑠)
𝑇𝑖
𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝 𝐸 𝑆 +
= 𝐸(𝑠)
𝑇𝑖 𝑠
𝑠
Controle Proporcional-Integral
• Considerando uma entrada em degrau e o processo em regime
permanente o erro em estado estacionário será:
• Em resumo:
𝑒𝑠𝑠 =
1
1 + 𝐾𝑝 1 +
1
𝑇1 𝑠
• O erro em regime estacionário tende a zero;
• Adiciona um polo na origem e um zero em z = -Kp/Ki;
• Aplicado quando a resposta transitória é cabível e a resposta estacionária é
instável;
• Com o acréscimo do polo na origem, aumenta a ordem do sistema provocando
possíveis instabilidades;
Controle Proporcional-Integral
• A ação do controle proporcional-integral atua do seguinte modo:
Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas
Controle Proporcional-Derivativo
• O controle derivativo não pode ser aplicado na prática sozinho e deve
está sempre associada ao controle proporcional;
• A implantação do controle derivativo tem por característica adicionar
um zero ao sistema;
• A sua atuação é aplicada a correções no regime transitório que tende
a aumentar a estabilidade do sistema, reduz o Overshoot e o tempo
de acomodação;
• Mas, aumenta o tempo de subida poderá amplificar o ruído em alta
frequência e não corrige o erro em regime permanente;
Controle Proporcional-Derivativo
• A ação proporcional-derivativa pode ser definida das seguintes
formas:
𝑑𝑒(𝑡)
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑑𝑡
Fonte: Araújo (2007)
𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝 𝐸 𝑆 + 𝑠𝐾𝑝 𝑇𝑑 𝐸(𝑠) = 𝐸(𝑠)𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑 𝑠
Controle Proporcional-Derivativo
• Em resumo;
• Leva em consideração a taxa de variação de erro durante o regime transitório;
• Adiciona no sistema um zero na origem;
• Aplicado quando a resposta em regime permanente é aceitável, mas o
comportamento transitório é insatisfatório;
• É um controle considerado preditivo, pois antecipa as variações do erro no
regime transitório de modo a tentar corrigi-las;
• Poderá amplificar ruído de alta frequência;
Controle Proporcional-Derivativo
• O controle proporcional-derivativo atua do seguinte modo:
Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas
Controle Proporcional-Integral-Derivativo
• O Controle Proporcional-Integral-Derivativo tende a utilizar as melhores
características de cada uma das suas ações;
• Pode ser definido no domínio do tempo e da frequência:
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +
𝐾𝑝
𝑡
‫ 𝜏𝑑 𝜏 𝑒 ׬‬+ 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑇 0
𝑖
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
𝐾𝑝 𝐸(𝑠)
+ 𝑠𝐾𝑝 𝑇𝑑 𝐸(𝑠)
𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝 𝐸 𝑆 +
𝑇𝑖 𝑠
Fonte: Araújo (2007)
Controle Proporcional-Integral-Derivativo
• O Controle PID, embora utilize as melhores características das ações
proporcional, integral e derivativa torna-se complicado ajustar a
amplitude de cada ação;
• O processo de ajuste dos parâmetros do PID é denominado de
Sintonia PID;
• O controle PID adiciona um polo e dois zeros ao sistema resultado
das ações integral e derivativa;
Controle Proporcional-Integral-Derivativo
• A atuação do controlador proporcional-integral-derivativo atua do
aplicando o melhor sinal possível sobre o processo:
Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas
Controle PID Digital
• Até o momento, as ações proporcional, integral e derivativa foram
aplicadas a sinais analógicos;
• Mas, com o uso de computadores e maior capacidade de
processamento o controle pode ser realizado utilizando sinais digitais;
• O Controlador Digital é um sistema de dados amostrados concebido
em hardware com o intuito de cumprir que executa uma lei de
controle;
• A Lei de Controle é um programa destinado a atuação nos
parâmetros do controlador a fim de cumprir as especificações
determinadas pela malha controlada;
Controle PID Digital
• O PID digital utiliza as mesmas definições do PID analógico, porém, as
informações a serem recebida pelo controlador devem ser
discretizadas;
• Após lido e interpretado pelo hardware o sinal é reconvertido em um
sinal adequado para a leitura a ser realizada na planta;
Fonte: Aulas Professor Marcelo Guerra (2016)
Controle PID Digital
• O controlador PID digital converte os sinal no domínio do tempo para
o domínio da frequência utilizando a Transformada Z;
• Assim, a interpretação do PID Digital pode ser vista como:
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧)(𝐾𝑝 + 𝐶𝑖 𝑧 + 𝐶𝑑 (𝑧)
Fonte: Aulas Professor Marcelo Guerra (2016)
Integração Digital
• O termo integral do modelo geral para o controlador PID remonta a
área sob a curva do erro em t = 0 e t = t;
• Com discretização do sinal contínuo transforma o sinal em valores de
erros bem definidos em um tempo T entre as amostra denominado
Tempo de Amostragem;
Fonte: Aulas Professor Marcelo Guerra (2016)
Integração Digital
• Uma aproximação pertinente da integração digital é organizando o
sinal discretizado em faixas retangulares e depois somando todas as
áreas até t = t;
• Então a definição de integração digital para o controlador PID será:
𝑡
𝑘
𝐾𝑝
𝐾𝑝
න 𝑒 𝜏 𝑑𝜏 =
෍(Á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠)
𝑇𝑖 0
𝑇𝑖
𝑖=1
Integração Digital
• Cada faixa tem largura de tempo T e a faixa precedente ao instante kT
tem uma área, aproximadamente, igual ao valor do erro no começo
do intervalo T da amostra;
• Assim, a integração digital pode ser aproximada por:
𝑡
𝑘
𝐾𝑝
𝐾𝑝
න 𝑒 𝜏 𝑑𝜏 =
෍ 𝑒 𝑘𝑇 − 1 𝑇
𝑇𝑖 0
𝑇𝑖
𝑖=1
Derivação Digital
• O termo derivativo do PID analógico pode ser encarado como a
inclinação da função do erro em relação ao tempo, em um
determinado instante de tempo;
• Para uma série de pulsos discretizados é razoável que a inclinação da
curva do sinal atuante do controlador é dada pela linha que une dois
pulsos consecutivo;
• Se esses pulsos tem amplitudes e(kT) e e(kT-1) e o intervalo entre os
pulsos é T:
𝑑𝑒(𝑡)
𝑇𝑑
𝑒 𝑘𝑇 − 𝑒(𝑘𝑇 − 1)
𝐾𝑝 𝑇𝑑
= 𝐾𝑝
𝑇
𝑑𝑡
Aproximações do PID Digital
• É possível determinar varias soluções para o controlador digital
dependendo de qual aproximação é utilizada;
• As ações Integral e Derivativa podem assumir formas diferentes a
depender da aproximação;
• Três destas aproximações são interessante para as análises:
• Forward Differences;
• Backward Differences;
• Regra do Trapézio ou Aproximação Bilinear;
Forward Differences
• A aproximação Forward Differences utiliza como referência o valor do
erro no instante (k-1)T;
𝑢 𝑘 = 𝑢 𝑘 − 1 + 𝑇𝑒(𝑘 − 1)
Fonte: Aulas Professor Marcelo Guerra (2016)
Forward Differences
• Partindo, agora, da primeira derivada é possível realizar as seguintes
aproximações:
𝑑𝑒(𝑡) 𝑒 𝑡 + 𝑇 − 𝑒(𝑡)
≈
𝑑𝑡
𝑇
𝑧𝐸 𝑧 − 𝐸 𝑧
𝐸(𝑧)(𝑧 − 1)
=
𝑠𝐸 𝑠 ≈
𝑇
𝑇
𝑧−1
𝑠 ≈
𝑇
Forward Differences
• Assim, pode-se determinar as componentes integral e derivativa para
esta aproximação como:
𝑧−1
𝑠𝐾𝑝 𝑇𝑑 𝐸 𝑠 ≈ 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝐸 𝑧 = 𝐸 𝑧 𝐶𝑑 (𝑧)
𝑇
𝐾𝑝
𝐾𝑝 𝑇
𝐸 𝑧 = 𝐸 𝑧 𝐶𝑖 (𝑧)
𝐸 𝑠 ≈
𝑇𝑖 𝑠
𝑇𝑖 𝑧 − 1
Backward Differences
• A aproximação backward diferences tem como ponto de referência o
valor do erro em kT;
𝑢 𝑘 = 𝑢 𝑘 − 1 + 𝑇𝑒(𝑘)
Fonte: Aulas Professor Marcelo Guerra (2016)
Backward Differences
• Partindo, agora, da primeira derivada é possível realizar as seguintes
aproximações:
𝑑𝑒(𝑡) 𝑒 𝑡 − 𝑒(𝑡 − 𝑇)
≈
𝑑𝑡
𝑇
𝐸 𝑧 − 𝑧 −1 𝐸 𝑧
𝐸(𝑧)(1 − 𝑧 −1 )
=
𝑠𝐸 𝑠 ≈
𝑇
𝑇
𝑧−1
𝑠 ≈
𝑧𝑇
Backward Differences
• Assim, pode-se determinar as componentes integral e derivativa para
esta aproximação como:
𝑧−1
𝑠𝐾𝑝 𝑇𝑑 𝐸 𝑠 ≈ 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝐸 𝑧 = 𝐸 𝑧 𝐶𝑑 (𝑧)
𝑧𝑇
𝐾𝑝
𝐾𝑝 𝑧𝑇
𝐸 𝑧 = 𝐸 𝑧 𝐶𝑖 (𝑧)
𝐸 𝑠 ≈
𝑇𝑖 𝑠
𝑇𝑖 𝑧 − 1
Regra do Trapézio
• A regra do trapézio calcula a saída do controlador como a
aproximação do trapézio forma pelos e(k-1) e e(k):
𝑢 𝑘 =𝑢 𝑘−1 +
Fonte: Aulas Professor Marcelo Guerra (2016)
𝑇
2
𝑒 𝑘 + 𝑒(𝑘 − 1)
Regra do Trapézio
• A aproximação equivalente entre a transformada de Laplace e a
transformada Z aplicando a primeira derivada será:
2𝑧−1
𝑠=
𝑇𝑧+1
• E as componentes integral e derivativa serão:
2𝑧−1
𝐸 𝑧 = 𝐸 𝑧 𝐶𝑑 (𝑧)
𝑠𝐾𝑝 𝑇𝑑 𝐸 𝑠 ≈ 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑇𝑧+1
𝐾𝑝
𝐾𝑝 𝑇 𝑧 + 1
𝐸 𝑠 ≈
𝐸 𝑧 = 𝐸 𝑧 𝐶𝑖 (𝑧)
𝑇𝑖 𝑠
𝑇𝑖 2 𝑧 − 1
Controlador PI Digital
• Para determinar a equação no domínio da frequência do controlador
digital do controle proporcional-integral basta aplicar os resultados de
Ci em cada um das aproximações estudadas na equação geral da
controlador:
• Forward Differences:
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧)(𝐾𝑝 + 𝐶𝑖 𝑧 )
𝐾𝑝 𝑇
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧) 𝐾𝑝 +
𝑇𝑖 𝑧 − 1
Controlador PI Digital
• Backward Differences:
𝐾𝑝 𝑧𝑇
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧) 𝐾𝑝 +
𝑇𝑖 𝑧 − 1
• Regra do Trapézio ou Aproximação Bilinear
𝐾𝑝 𝑇 𝑧 + 1
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧) 𝐾𝑝 +
𝑇𝑖 2 𝑧 − 1
Controlador PD Digital
• Para o controlador proporcional-derivativo a parcela integral Ci(z) é
nula restando a parcela proporcional e derivativa (Cd(z)):
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧)(𝐾𝑝 + 𝐶𝑑 𝑧 )
• Forward Differences:
𝑧−1
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧) 𝐾𝑝 + 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑇
Controlador PD Digital
• Backward Differences:
𝑧−1
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧) 𝐾𝑝 + 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑧𝑇
• Regra do Trapézio ou Aproximação Bilinear
2𝑧−1
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧) 𝐾𝑝 + 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑇𝑧+1
Controlador PID Digital
• O controlador PID digital engloba todas as ações estudadas até o
momento sendo a soma da ação proporcional com as componentes
integral Ci(z) e derivativa Cd(z):
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧) 𝐾𝑝 + 𝐶𝑖 𝑧 + 𝐶𝑑 (𝑧)
• Forward Differences:
𝐾𝑝 𝑇
𝑧−1
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧) 𝐾𝑝 +
+ 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑇
𝑇𝑖 𝑧 − 1
Controlador PID Digital
• Backward Differences:
𝐾𝑝 𝑧𝑇
𝑧−1
+ 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧) 𝐾𝑝 +
𝑇𝑖 𝑧 − 1
𝑧𝑇
• Regra do Trapézio ou Aproximação Bilinear
𝐾𝑝 𝑇 𝑧 + 1
2𝑧−1
𝑈 𝑧 = 𝐸(𝑧) 𝐾𝑝 +
+ 𝐾𝑝 𝑇𝑑
𝑇𝑖 2 𝑧 − 1
𝑇𝑧+1
Sintonia PID
• Quando o controle PID é aplicado uma desvantagem é determinar
quais os ganhos, Kp, Ki e Kd que devem ser selecionados para que o
controlador envie um sinal satisfatório para a planta;
• Alguns métodos empíricos são utilizados para determinar estes
ganhos a partir de dois processos de análises da:
• Curva de Reação;
• Sensibilidade Limite;
Análise por Reação da Curva
• A análise baseada na reação da curva é relativo a resposta
experimental da planta, em malha aberta, com aplicação de um sinal
degrau;
• Na possibilidade da planta não apresentar polos complexos, a
resposta da planta apresentará uma curva em “S”;
Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas
Análise por Reação da Curva
• A curva pode ser caracterizada, matematicamente, por um ganho
estático K, pelo atraso para conseguir o regime permanente L e a
constante de tempo T;
• A função de transferência pode ser aproximada a um sistema de
primeira ordem seguindo a definição:
𝑌(𝑠) 𝐾𝑒 −𝐿𝑠
=
𝑅(𝑠) 𝑇𝑠 + 1
• O tempo exponencial da função representa o atraso temporal da
resposta ao sinal degrau;
Análise por Reação da Curva
• A análise consiste em determinar os valores de L e T a partir da curva;
• É traçada uma reta tangente ao ponto de inflexão da curva, de modo
que, L é a distância horizontal entre t = 0 e o tempo registrado em
que a reta tangente cruza o eixo do tempo;
• A constante de tempo T é o tempo registrado entre a intersecção da
reta no eixo do tempo e o valor de t quando a imagem da reta for
igual a K
Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas
Análise da Sensibilidade Limite
• Este método utiliza a resposta do sistema em malha fechada, de
inicio, somente com a ação proporcional levando o sistema a uma
resposta não- amortecida;
• O intuito é determinar a constante proporcional que leva a resposta
do sistema estabilidade critica o Kcr e o período critico de oscilação
sustantada;
Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas
Métodos de Ziegler-Nichols
• Um dos métodos estudados baseado na análise da reação da curva e
da sensibilidade limite o Método de Ziegler-Nichols;
• As amplitudes de Kp, Ti e Td utilizando a análise da reação da curva,
segundo Ziegler e Nichols, será:
Controlador
P
Kp
Ti
PI
𝑇
𝐾𝐿
0,9𝑇
𝐾𝐿
1,2𝑇
𝐾𝐿
∞
PID
𝐿
0,3
2𝐿
Fonte: Adaptado de Angelico, Scalassara e Vargas
Td
0
0
0,5𝐿
Métodos de Ziegler-Nichols
• O segundo método de Ziegler-Nichols determina os parâmetros Kp, Ti
e Td de acordo com as seguintes relações:
Controlador
Kp
Ti
Td
P
0,5𝐾𝑐𝑟
∞
0
PI
PID
0,45𝐾𝑐𝑟
0,6𝐾𝑐𝑟
0,5𝑃𝑐𝑟
1,2
0,5𝑃𝑐𝑟
Fonte: Adaptado de Angelico, Scalassara e Vargas
0
0,125𝑃𝑐𝑟
Referências Bibliográficas
• ARAÚJO, Fábio Meneghetti Ugulino de. Sistemas de Controle. DCA,
UFRN, 2007;
• Notas de Aula Professor Marcelo Guerra. Controle PI, PD e PID
Digital. UFERSA, 2016;
• ANGELICO, B. A.; SCALASSARA, P. R. e VARGAS, A. N. Projeto de
Sistemas de Controle. UTFPR.