Controle PI, PD e PID – Analógico e Digital Eng. Me. Rafael Alex Vieira do Vale Conceitos • Para Araújo (2007), o principal objetivo de estudo de sistemas de controle é resolver o chamado “Problema de Controle”; • Para entender o problema de controle é necessário ter em mente alguns conceitos: • Planta; • Processo; • Sistema e Sistema Físico; • Especificações de Desempenho; • Modelo; • Controle e Controlador; • Sistemas de Controle: Malha Aberta ou Malha Fechada; Formulação do Problema de Controle • Segundo Araújo (2007), um problema de controle consiste em determinar um modo de afetar um dado sistema físico para que atenda as condições especificadas; • Mas, não é possível alterar a estrutura do sistema físico e as especificações são atingidas com o projeto e implantação de controladores (Compensadores); Formulação do Problema de Controle Fonte: Araújo (2007) Ações Básicas de Controle • Aplicar um controlador em um certo sistema visa alterar a sua dinâmica modificando a relação da variável de entrada e saída; • A mudança na dinâmica ocorre com a modificação dos parâmetros do controlador para satisfazer as condições, previamente, definidas para a saída; • Os parâmetros que são alterados com a ação do controlador são as Variáveis Manipuladas; • Já os parâmetros que se deseja conseguir as mudanças para as especificações adequadas são as Variáveis Controladas; Ações Básicas de Controle • Uma das ações que podem ser aplicadas aos controladores é a Ação ou Controle Proporcional; • O controle Proporcional (P) é, simplesmente, a razão entre a variável de saída e a variável de entrada do compensador; • Essa relação é denominada Ganho Proporcional (Kp); • Quanto maior a constante proporcional menor será o erro de estado estacionário; • Porém, o tempo de acomodação aumenta e em certos casos os sistemas podem ser desestabilizados; Controle Proprocional • Este tipo de compensador não acrescenta polos e zeros ao sistema e o ajuste ocorre em seu ganho original; • Matematicamente, o controle Proporcional no domínio do tempo e da frequência é: π’ π‘ = πΎπ π π‘ π π = πΎπ πΈ π • Em que e(t) = r(t) – y(t) Fonte: Araújo (2007) Controle Proporcional • Considerando uma entrada em degrau e o processo em regime permanente o erro em estado estacionário será: • Resumidamente: 1 ππ π = 1 + πΎπ • O controle proporcional é um amplificador de ganho ajustável; • O aumento de K reduz o erro em regime permanente; • Mas, o aumento de K pode gerar oscilações e instabilizar o sistema; • Melhora o regime, porém, piora a resposta transitória; Controle Proporcional • A ação do controle proporcional atua do seguinte modo: Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas Controle Proporcional-Integral • A ação integral, segundo Araújo (2007), corresponde a ter uma taxa de variação do sinal de saída com relação à entrada; • Essa ação atua reduzindo o erro em regime permanente; • Mas, também prejudica o regime transitório, pois acrescenta um polo ao sistema; • Matematicamente: πΎπ π‘ ΰΆ± π π ππ π’ π‘ = ππ 0 πΎπ πΈ(π ) π π = ππ π Controle Proporcional-Integral • Assim, o controle Proporcional-Integral é a junção dos controles proporcional e integral em um só controlador: • Podemos definir o controle Proporcional-Integral dos seguintes modos: πΎπ π‘ ΰΆ± π π ππ π’ π‘ = πΎπ π π‘ + ππ 0 Fonte: Araújo (2007) πΎπ πΎπ π + πΎπ πΈ(π ) ππ π π = πΎπ πΈ π + = πΈ(π ) ππ π π Controle Proporcional-Integral • Considerando uma entrada em degrau e o processo em regime permanente o erro em estado estacionário será: • Em resumo: ππ π = 1 1 + πΎπ 1 + 1 π1 π • O erro em regime estacionário tende a zero; • Adiciona um polo na origem e um zero em z = -Kp/Ki; • Aplicado quando a resposta transitória é cabível e a resposta estacionária é instável; • Com o acréscimo do polo na origem, aumenta a ordem do sistema provocando possíveis instabilidades; Controle Proporcional-Integral • A ação do controle proporcional-integral atua do seguinte modo: Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas Controle Proporcional-Derivativo • O controle derivativo não pode ser aplicado na prática sozinho e deve está sempre associada ao controle proporcional; • A implantação do controle derivativo tem por característica adicionar um zero ao sistema; • A sua atuação é aplicada a correções no regime transitório que tende a aumentar a estabilidade do sistema, reduz o Overshoot e o tempo de acomodação; • Mas, aumenta o tempo de subida poderá amplificar o ruído em alta frequência e não corrige o erro em regime permanente; Controle Proporcional-Derivativo • A ação proporcional-derivativa pode ser definida das seguintes formas: ππ(π‘) π’ π‘ = πΎπ π π‘ + πΎπ ππ ππ‘ Fonte: Araújo (2007) π π = πΎπ πΈ π + π πΎπ ππ πΈ(π ) = πΈ(π )πΎπ 1 + ππ π Controle Proporcional-Derivativo • Em resumo; • Leva em consideração a taxa de variação de erro durante o regime transitório; • Adiciona no sistema um zero na origem; • Aplicado quando a resposta em regime permanente é aceitável, mas o comportamento transitório é insatisfatório; • É um controle considerado preditivo, pois antecipa as variações do erro no regime transitório de modo a tentar corrigi-las; • Poderá amplificar ruído de alta frequência; Controle Proporcional-Derivativo • O controle proporcional-derivativo atua do seguinte modo: Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas Controle Proporcional-Integral-Derivativo • O Controle Proporcional-Integral-Derivativo tende a utilizar as melhores características de cada uma das suas ações; • Pode ser definido no domínio do tempo e da frequência: π’ π‘ = πΎπ π π‘ + πΎπ π‘ β« ππ π π Χ¬β¬+ πΎπ ππ π 0 π ππ(π‘) ππ‘ πΎπ πΈ(π ) + π πΎπ ππ πΈ(π ) π π = πΎπ πΈ π + ππ π Fonte: Araújo (2007) Controle Proporcional-Integral-Derivativo • O Controle PID, embora utilize as melhores características das ações proporcional, integral e derivativa torna-se complicado ajustar a amplitude de cada ação; • O processo de ajuste dos parâmetros do PID é denominado de Sintonia PID; • O controle PID adiciona um polo e dois zeros ao sistema resultado das ações integral e derivativa; Controle Proporcional-Integral-Derivativo • A atuação do controlador proporcional-integral-derivativo atua do aplicando o melhor sinal possível sobre o processo: Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas Controle PID Digital • Até o momento, as ações proporcional, integral e derivativa foram aplicadas a sinais analógicos; • Mas, com o uso de computadores e maior capacidade de processamento o controle pode ser realizado utilizando sinais digitais; • O Controlador Digital é um sistema de dados amostrados concebido em hardware com o intuito de cumprir que executa uma lei de controle; • A Lei de Controle é um programa destinado a atuação nos parâmetros do controlador a fim de cumprir as especificações determinadas pela malha controlada; Controle PID Digital • O PID digital utiliza as mesmas definições do PID analógico, porém, as informações a serem recebida pelo controlador devem ser discretizadas; • Após lido e interpretado pelo hardware o sinal é reconvertido em um sinal adequado para a leitura a ser realizada na planta; Fonte: Aulas Professor Marcelo Guerra (2016) Controle PID Digital • O controlador PID digital converte os sinal no domínio do tempo para o domínio da frequência utilizando a Transformada Z; • Assim, a interpretação do PID Digital pode ser vista como: π π§ = πΈ(π§)(πΎπ + πΆπ π§ + πΆπ (π§) Fonte: Aulas Professor Marcelo Guerra (2016) Integração Digital • O termo integral do modelo geral para o controlador PID remonta a área sob a curva do erro em t = 0 e t = t; • Com discretização do sinal contínuo transforma o sinal em valores de erros bem definidos em um tempo T entre as amostra denominado Tempo de Amostragem; Fonte: Aulas Professor Marcelo Guerra (2016) Integração Digital • Uma aproximação pertinente da integração digital é organizando o sinal discretizado em faixas retangulares e depois somando todas as áreas até t = t; • Então a definição de integração digital para o controlador PID será: π‘ π πΎπ πΎπ ΰΆ± π π ππ = ΰ·(Áππππ πππ π − éπ ππππ ππππ₯ππ ) ππ 0 ππ π=1 Integração Digital • Cada faixa tem largura de tempo T e a faixa precedente ao instante kT tem uma área, aproximadamente, igual ao valor do erro no começo do intervalo T da amostra; • Assim, a integração digital pode ser aproximada por: π‘ π πΎπ πΎπ ΰΆ± π π ππ = ΰ· π ππ − 1 π ππ 0 ππ π=1 Derivação Digital • O termo derivativo do PID analógico pode ser encarado como a inclinação da função do erro em relação ao tempo, em um determinado instante de tempo; • Para uma série de pulsos discretizados é razoável que a inclinação da curva do sinal atuante do controlador é dada pela linha que une dois pulsos consecutivo; • Se esses pulsos tem amplitudes e(kT) e e(kT-1) e o intervalo entre os pulsos é T: ππ(π‘) ππ π ππ − π(ππ − 1) πΎπ ππ = πΎπ π ππ‘ Aproximações do PID Digital • É possível determinar varias soluções para o controlador digital dependendo de qual aproximação é utilizada; • As ações Integral e Derivativa podem assumir formas diferentes a depender da aproximação; • Três destas aproximações são interessante para as análises: • Forward Differences; • Backward Differences; • Regra do Trapézio ou Aproximação Bilinear; Forward Differences • A aproximação Forward Differences utiliza como referência o valor do erro no instante (k-1)T; π’ π = π’ π − 1 + ππ(π − 1) Fonte: Aulas Professor Marcelo Guerra (2016) Forward Differences • Partindo, agora, da primeira derivada é possível realizar as seguintes aproximações: ππ(π‘) π π‘ + π − π(π‘) ≈ ππ‘ π π§πΈ π§ − πΈ π§ πΈ(π§)(π§ − 1) = π πΈ π ≈ π π π§−1 π ≈ π Forward Differences • Assim, pode-se determinar as componentes integral e derivativa para esta aproximação como: π§−1 π πΎπ ππ πΈ π ≈ πΎπ ππ πΈ π§ = πΈ π§ πΆπ (π§) π πΎπ πΎπ π πΈ π§ = πΈ π§ πΆπ (π§) πΈ π ≈ ππ π ππ π§ − 1 Backward Differences • A aproximação backward diferences tem como ponto de referência o valor do erro em kT; π’ π = π’ π − 1 + ππ(π) Fonte: Aulas Professor Marcelo Guerra (2016) Backward Differences • Partindo, agora, da primeira derivada é possível realizar as seguintes aproximações: ππ(π‘) π π‘ − π(π‘ − π) ≈ ππ‘ π πΈ π§ − π§ −1 πΈ π§ πΈ(π§)(1 − π§ −1 ) = π πΈ π ≈ π π π§−1 π ≈ π§π Backward Differences • Assim, pode-se determinar as componentes integral e derivativa para esta aproximação como: π§−1 π πΎπ ππ πΈ π ≈ πΎπ ππ πΈ π§ = πΈ π§ πΆπ (π§) π§π πΎπ πΎπ π§π πΈ π§ = πΈ π§ πΆπ (π§) πΈ π ≈ ππ π ππ π§ − 1 Regra do Trapézio • A regra do trapézio calcula a saída do controlador como a aproximação do trapézio forma pelos e(k-1) e e(k): π’ π =π’ π−1 + Fonte: Aulas Professor Marcelo Guerra (2016) π 2 π π + π(π − 1) Regra do Trapézio • A aproximação equivalente entre a transformada de Laplace e a transformada Z aplicando a primeira derivada será: 2π§−1 π = ππ§+1 • E as componentes integral e derivativa serão: 2π§−1 πΈ π§ = πΈ π§ πΆπ (π§) π πΎπ ππ πΈ π ≈ πΎπ ππ ππ§+1 πΎπ πΎπ π π§ + 1 πΈ π ≈ πΈ π§ = πΈ π§ πΆπ (π§) ππ π ππ 2 π§ − 1 Controlador PI Digital • Para determinar a equação no domínio da frequência do controlador digital do controle proporcional-integral basta aplicar os resultados de Ci em cada um das aproximações estudadas na equação geral da controlador: • Forward Differences: π π§ = πΈ(π§)(πΎπ + πΆπ π§ ) πΎπ π π π§ = πΈ(π§) πΎπ + ππ π§ − 1 Controlador PI Digital • Backward Differences: πΎπ π§π π π§ = πΈ(π§) πΎπ + ππ π§ − 1 • Regra do Trapézio ou Aproximação Bilinear πΎπ π π§ + 1 π π§ = πΈ(π§) πΎπ + ππ 2 π§ − 1 Controlador PD Digital • Para o controlador proporcional-derivativo a parcela integral Ci(z) é nula restando a parcela proporcional e derivativa (Cd(z)): π π§ = πΈ(π§)(πΎπ + πΆπ π§ ) • Forward Differences: π§−1 π π§ = πΈ(π§) πΎπ + πΎπ ππ π Controlador PD Digital • Backward Differences: π§−1 π π§ = πΈ(π§) πΎπ + πΎπ ππ π§π • Regra do Trapézio ou Aproximação Bilinear 2π§−1 π π§ = πΈ(π§) πΎπ + πΎπ ππ ππ§+1 Controlador PID Digital • O controlador PID digital engloba todas as ações estudadas até o momento sendo a soma da ação proporcional com as componentes integral Ci(z) e derivativa Cd(z): π π§ = πΈ(π§) πΎπ + πΆπ π§ + πΆπ (π§) • Forward Differences: πΎπ π π§−1 π π§ = πΈ(π§) πΎπ + + πΎπ ππ π ππ π§ − 1 Controlador PID Digital • Backward Differences: πΎπ π§π π§−1 + πΎπ ππ π π§ = πΈ(π§) πΎπ + ππ π§ − 1 π§π • Regra do Trapézio ou Aproximação Bilinear πΎπ π π§ + 1 2π§−1 π π§ = πΈ(π§) πΎπ + + πΎπ ππ ππ 2 π§ − 1 ππ§+1 Sintonia PID • Quando o controle PID é aplicado uma desvantagem é determinar quais os ganhos, Kp, Ki e Kd que devem ser selecionados para que o controlador envie um sinal satisfatório para a planta; • Alguns métodos empíricos são utilizados para determinar estes ganhos a partir de dois processos de análises da: • Curva de Reação; • Sensibilidade Limite; Análise por Reação da Curva • A análise baseada na reação da curva é relativo a resposta experimental da planta, em malha aberta, com aplicação de um sinal degrau; • Na possibilidade da planta não apresentar polos complexos, a resposta da planta apresentará uma curva em “S”; Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas Análise por Reação da Curva • A curva pode ser caracterizada, matematicamente, por um ganho estático K, pelo atraso para conseguir o regime permanente L e a constante de tempo T; • A função de transferência pode ser aproximada a um sistema de primeira ordem seguindo a definição: π(π ) πΎπ −πΏπ = π (π ) ππ + 1 • O tempo exponencial da função representa o atraso temporal da resposta ao sinal degrau; Análise por Reação da Curva • A análise consiste em determinar os valores de L e T a partir da curva; • É traçada uma reta tangente ao ponto de inflexão da curva, de modo que, L é a distância horizontal entre t = 0 e o tempo registrado em que a reta tangente cruza o eixo do tempo; • A constante de tempo T é o tempo registrado entre a intersecção da reta no eixo do tempo e o valor de t quando a imagem da reta for igual a K Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas Análise da Sensibilidade Limite • Este método utiliza a resposta do sistema em malha fechada, de inicio, somente com a ação proporcional levando o sistema a uma resposta não- amortecida; • O intuito é determinar a constante proporcional que leva a resposta do sistema estabilidade critica o Kcr e o período critico de oscilação sustantada; Fonte: Angelico, Scalassara e Vargas Métodos de Ziegler-Nichols • Um dos métodos estudados baseado na análise da reação da curva e da sensibilidade limite o Método de Ziegler-Nichols; • As amplitudes de Kp, Ti e Td utilizando a análise da reação da curva, segundo Ziegler e Nichols, será: Controlador P Kp Ti PI π πΎπΏ 0,9π πΎπΏ 1,2π πΎπΏ ∞ PID πΏ 0,3 2πΏ Fonte: Adaptado de Angelico, Scalassara e Vargas Td 0 0 0,5πΏ Métodos de Ziegler-Nichols • O segundo método de Ziegler-Nichols determina os parâmetros Kp, Ti e Td de acordo com as seguintes relações: Controlador Kp Ti Td P 0,5πΎππ ∞ 0 PI PID 0,45πΎππ 0,6πΎππ 0,5πππ 1,2 0,5πππ Fonte: Adaptado de Angelico, Scalassara e Vargas 0 0,125πππ Referências Bibliográficas • ARAÚJO, Fábio Meneghetti Ugulino de. Sistemas de Controle. DCA, UFRN, 2007; • Notas de Aula Professor Marcelo Guerra. Controle PI, PD e PID Digital. UFERSA, 2016; • ANGELICO, B. A.; SCALASSARA, P. R. e VARGAS, A. N. Projeto de Sistemas de Controle. UTFPR.
