Estructuras Algebraicas
Índice general
Índice general
III
1. Grupos
1. Definición de grupo y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.
Algunas caracterizaciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Subgrupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.
Caracterizaciones de subgrupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.
Construcción de nuevos subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Homomorfismos de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.
Isomorfismos de grupos: Grupos isomorfos . . . . . . . . . . . . . . .
4. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
5
6
6
7
9
12
15
2. Grupos Cı́clicos
17
1. Subgrupos cı́clicos. El orden de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Grupos cı́clicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Grupos de Permutaciones
23
1. Grupo Sn y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Subgrupos de Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Factorización en Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Paridad y Grupo alternado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4. Teorema de Lagrange
35
1. Clases laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2. Teorema de Lagrange y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5. Grupo cociente
39
1. Conjunto cociente y grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2. Subgrupo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
iii
iv
ÍNDICE GENERAL
6. Teoremas de Isomorfı́a
47
1. Primer Teorema de Isomorfı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2. Segundo Teorema de Isomorfı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3. Teorema de Zassenhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4. Tercer Teorema de Isomorfı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7. Producto directo interno y externo de grupos
53
1. Producto directo externo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2. Producto directo interno de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.
Producto directo interno en grupos abelianos . . . . . . . . . . . . . 59
3. Producto semi-directo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4. Complemento a la Teorı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8. Acciones de grupos sobre conjuntos. Teoremas de Sylow
67
1. Grupos actuando sobre conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2. Teoremas de Sylow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9. Clasificación Grupos Abelianos Finitamente Generados
79
1. Grupos finitamente generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2. Grupos abelianos finitamente generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.1.
Libres de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3. Teoremas de clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.
Complemento a la Teorı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.Grupos Libres. Presentaciones de Grupos
93
1. Grupos Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2. Representaciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11. Series de Grupos. Grupos Solubles
103
1. El Teorema de Jordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2. Complemento a la Teorı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12. Clasificaciones de grupos Finitos
113
1. Algunas Familias Clasificables abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2. Algunas Familias Clasificables No abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Bibliografı́a
127
Índice alfabético
128
Capı́tulo 1
Grupos
Objetivos del capı́tulo
Se introduce la noción de grupo y sus propiedades. Se relacionan propiedades de un grupo finito
con propiedades de sus tablas de multiplicar, lo que permite crear las tablas de multiplicar de
grupos con 1,2,3 y 4 elementos.
Se empiezan a estudiar métodos para encontrar grupos nuevos a partir de grupos dados: se estudian subgrupos. En particular subgrupos generados por subconjuntos, haciendo hincapié en los
subgrupos cı́clicos.
Se introduce la noción de homomorfismo de grupo demostrando sus principales propiedades. Se
demuestra que un homomorfismo de grupo induce una aplicación en los retı́culos de sus subgrupos.
Se estudian los isomorfismos de grupo. Se definen la noción de grupos isomorfos y se estudian
ciertas propiedades estructurales.
Se estudian y clasifican los grupos cı́clicos.
1.
Definición de grupo y propiedades
Definición 1 Sea G un conjunto no vacı́o y ∗ una operación en G. Diremos que (G, ∗)
es un grupo si:
● ∗ es asociativa.
● ∗ tiene elemento unidad, normalmente denotado por e.
● Todo elemento de G tiene inverso.
Si además ∗ es conmutativa se dirá que G es un grupo abeliano.
Ejemplos A Sabemos que si (R, +, ⋅) es un anillo, (R, +) es un grupo abeliano. En particular, Z, Q, R, Zn o (P(X), △) son grupos abelianos respecto de la suma. Q−{0} y R−{0}
son grupos abelianos respecto del producto.
Proposición 2 Sea (G, ∗) un grupo. Entonces
1
2
1.1 Definición de grupo y propiedades
(i) Dado a ∈ G, las aplicaciones
λa ∶ G → G
x↦a∗x
ρa ∶ G → G
x↦x∗a
son biyectivas. Es más, si b es el inverso de a en G, λb y ρb son las inversas respectivas
de las aplicaciones anteriores.
(ii) Se verifica las leyes de cancelación:
Si a ∗ b = a ∗ c
Si b ∗ a = c ∗ a
entonces b = c
entonces b = c
(iii) Si G es finito con un número par de elementos, existe e ≠ a ∈ G tal que a ∗ a = e.
Demo: Sea a ∈ G con inverso a−1 . Demostremos que λa es una aplicación inversible con
inversa λa−1 : para todo b ∈ G,
λa−1 λa (b) = λa−1 (a ∗ b) = a−1 ∗ a ∗ b = e ∗ b = b
λa λa−1 (b) = λa (a−1 ∗ b) = a ∗ a−1 ∗ b = e ∗ b = b
(ii) sean b, c ∈ G tal que a ∗ b = a ∗ c. Entonces λa (b) = λa (c) y como λa es biyectiva,
b = c. La ley de cancelación por la derecha se demuestra de forma equivalente.
(iii). Consideremos en G la relación a ∼ b si y solo si a = b o a ∗ b = b ∗ a = e. Veamos
que ∼ es una relación de equivalencia en G. Es claro que ∼ verifica la propiedad reflexiva y
la simétrica. Demostremos ahora la propiedad transitiva: Si a ∼ b y b ∼ c, tenemos cuatro
posibilidades.
(1) a = b y b = c, entonces a = c y a ∼ c.
(2) a = b y b ∗ c = c ∗ b = e, entonces a ∗ c = c ∗ b = e y a ∼ c.
(3) a ∗ b = b ∗ a = e y b = c, entonces a ∗ c = c ∗ b = e y a ∼ c.
(4) a ∗ b = b ∗ a = e y b ∗ c = c ∗ b = e, entonces a ∗ b = c ∗ b y como podemos simplificar a = c,
por lo que a ∼ c.
Si consideramos ahora el conjunto cociente G/ ∼ tenemos que dado a ∈ G, a puede ser
a = {a, a−1 } (si a ≠ a−1 ) o a = {a} (si a = a−1 ). Por lo que como G tiene un número par
de elementos y las clases de equivalencia forman una partición de G, tiene que haber un
número par de clases con un único elemento. Además, como e = {e} tiene que haber, al
menos, otra clase con un único elemento.
∎.
Ejemplos B (Tablas de grupos finitos) Si G es un grupo finito, podemos representar
∗ a partir de una tabla. Veamos que podemos determinar las tablas para grupos de pocos
elementos.
⧫ La proposición anterior nos dice que, por (i) o (ii), que los elementos de una fila o
una columna no se repiten y están todos.
⧫ Si el número de elementos de G es par hay un elemento tal que a ∗ a = e. Estas
propiedades nos van a permitir calcular la multiplicación para grupos de 1, 2, 3, y 4
elementos: juguemos a una especie de sudoku,
⋆ Grupo con un elementos. Sea G = {e}, entonces e ∗ e = e.
Capı́tulo 1. Grupos
3
⋆ Grupo con dos elementos. Sea G = {e, a}
⋆ Si e es neutro, la primera fila y la primera
columna quedan fijadas. Por otro lado, como en
las filas no se pueden repetir elementos, a∗a = e.
Esto demuestra que, en esencia, sólo hay un único grupo con dos elementos (y es conmutativo)
(Z2 , +).
∗
e
a
e
e
a
a
a
e
Al ser e el neutro
Única posibilidad
⋆ Grupo con tres elementos. Sea G = {e, a, b}. Como en el caso anterior, la primera
fila y la primera columna quedan fijadas. Además, a ∗ b no puede ser ni a (hay un a en
esa misma fila) ni b (hay un b es esa misma columna) por tanto a ∗ b = e. Por el mismo
razonamiento, a∗a = b y b∗b = a. Esto demuestra que, en esencia, sólo hay un único grupo
con tres elementos (y es conmutativo) (Z3 , +).
∗
e
a
b
e
e
a
b
(1) Única posibilidad para e
a
a
b
e
(2) Única posibilidad para b
b
b
e
a
Al ser e el neutro
(3) Única posibilidad para a
⋆ Grupo con cuatro elementos. Sea G = {e, a, b, c}. Como en los casos anteriores,
la primera fila y la primera columna quedan fijadas. Además, al tener 4 elementos uno es
inverso de si mismo, supongamos entonces que a ∗ a = e. Entonces a ∗ c = b (no puede ser
ni a ni e porque repetirı́a en la fila, no puede ser c ya que repetirı́a en la columna). Por
tanto a ∗ b = c. De forma similar se completa la columna 2.
∗
e
a
b
c
e
e
a
b
c
(1) Suponer a ∗ a = e
a
a
e
c
b
(2) Única posibilidad para c
b
b
c
?
?
(3) Única posibilidad para b
c
c
b
?
?
Tenemos entonces dos posibilidades para b∗b, que b sea su propio inverso o que b∗b = a.
En este segundo caso, fila y columna 3 quedan fijadas y por tanto la columna 4. El primer
caso es idéntico. Estos dos grupos se conocen como (Z4 , +) (aquı́, e = 0, b = 1, a = 2 y
c = 3), y como (Z2 × Z2 , +), el grupo de Klein (este grupo ha aparecido anteriormente, es
(P(X), △) para X = {x, y}).
∗
e
a
b
c
e
e
a
b
c
(1) Suponer b ∗ b = a
a
a
e
c
b
(2) Única posibilidad para e
b
b
c
a
e
(3) Única posibilidad para a
c
c
b
e
a
4
1.1 Definición de grupo y propiedades
∗
e
a
b
c
e
e
a
b
c
(1) Suponer b ∗ b = e
a
a
e
c
b
(2) Única posibilidad para a
b
b
c
e
a
(3) Única posibilidad para e
c
c
b
a
e
Nota: Con esto no sabemos que estas tablas doten a G de estructura de grupo.
Tendrı́amos que demostrar que estas operaciones verifican las tres propiedades.
Nota: Si tenemos representada una operación a partir de una tabla, la operación será
conmutativa si y sólo si la tabla es simétrica, por lo que todos los grupos con 1, 2, 3 y 4
elementos son abelianos. Se vera que el primer grupo no abeliano tiene 6 elementos.
Corolario 3 Sea (M, ∗) un monoide. Entonces, el subconjunto de las unidades de M ,
denotado por MG , es un grupo respecto de la operación ∗.
MG ∶= {a ∈ M ∣ a es una unidad de M }
Demo: Este resultado es corolario de la proposición ?? (Pag. ??) (Tema recuerdo de la
asignatura Estructuras Básicas del Álgebra). El producto que estamos definiendo en MG
es el que tiene M , por tanto tenemos que demostrar que está bien definido: dados dos
elementos a, b ∈ MG sabemos que a∗b ∈ M tenemos que demostrar que realmente pertenece
a MG y por tanto ∗ define una aplicación de ∗ ∶ MG × MG → MG . Pero la proposición
??(iii) (Pag. ??) demuestra precisamente esto. Como ∗ era asociativa para todo elemento
de M , en particular lo es para elementos de MG . Es mas, e ∈ MG , por lo que ∗ es unitaria
y por la proposición ??(ii) (Pag. ??) si a ∈ MG , a−1 ∈ MG y por tanto todo elemento de
MG es inversible.
∎.
Ejemplos C Este corolario nos proporciona un primer ejemplo de grupo no abeliano.
Sea F un cuerpo y consideremos el anillo (Mk (F), +, ⋅) con k ≥ 2. Entonces (Mk (F), ⋅) es
un monoide no conmutativo y el subconjunto de las matrices inversibles de (Mk (F), ⋅) es
un grupo no abeliano ya que, para k = 2, las matrices
(
1 1
1 0
) y (
)
0 1
1 1
son dos matrices inversibles que no conmutan:
(
1 1
1 0
2 1
)(
)=(
)
0 1
1 1
1 1
(
1 0
1 1
1 1
)(
)=(
)
1 1
0 1
1 2
Ejemplos D Si consideramos, para el ejemplo anterior en cuerpo Z2 nos encontramos
con un grupo con 6 elementos que no es abeliano. Este grupo aparecerá en el tema 2 y lo
denotaremos por S3 .
Capı́tulo 1. Grupos
1.1.
5
Algunas caracterizaciones de grupos
Proposición 4 Sea (M, ∗) un monoide. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) Para todo a, b ∈ M la ecuación a ∗ X = b posee solución.
(ii) (M, ∗) es un grupo.
(iii) Para todo a, b ∈ M la ecuación X ∗ a = b posee solución.
Es mas, para cada par de elementos a, b ∈ G, la solución de la ecuación en (i) o en (iii)
es única.
Demo: Con demostrar (i) ⇐⇒ (ii) habremos demostrado la proposición, ya que las
otras dos implicaciones son simétricas.
(ii) Ô⇒ (i). Supongamos que (M, ∗) es un grupo. Entonces existe a−1 ∈ M , por lo que
a−1 ∗ b es solución de la ecuación. Es mas, si c es solución a ∗ c = b, multiplicando por a−1
por la izquierda, tenemos que a−1 ∗ b = a−1 ∗ a ∗ c = c (y es la única solución).
(i) Ô⇒ (ii). Supongamos que para todo a, b ∈ M la ecuación a ∗ X = b posee solución.
Sea a ∈ M . Veamos que a es inversible: Sea c ∈ M tal que a ∗ c = e y sea c′ ∈ M tal que
c ∗ c′ = e. Tenemos entonces
c′ = (a ∗ c) ∗ c′ = a ∗ (c ∗ c′ ) = a.
por lo que c es inversible con inverso a, lo que demuestra que a es inversible.
∎
Proposición 5 Sea (X, ∗) un semigrupo. Entonces son equivalentes:
(i) Para todo a, b ∈ X las ecuaciones a ∗ X = b y X ∗ a = b poseen solución.
(ii) (X, ∗) es un grupo.
Es mas, la solución de las ecuaciones en (i) es única.
Demo: (ii) Ô⇒ (i) es parte de la proposición anterior. Por tanto supongamos que
para todo a, b ∈ X las ecuaciones a ∗ X = b y X ∗ a = b poseen solución. Demostremos que
∗ es unitaria: Dado a ∈ X existe e ∈ X tal que
a∗e=a
Veamos que e es el elemento unidad (para cada a las hipótesis nos dan un e, pero no
sabemos que sea el mismo para todo elemento de X, por lo que no sabemos que haya un
elemento unidad). Dado b ∈ X existe c ∈ X tal que c ∗ a = b, por tanto
b ∗ e = (c ∗ a) ∗ e = c ∗ (a ∗ e) = c ∗ a = b,
lo que demuestra que e es una unidad por la derecha para ∗. Dado ahora a ∈ X existe
e′ ∈ X tal que e′ ∗ a = a y repitiendo el proceso, e′ es un neutro por la izquierda para ∗.
Por tanto, por el lema ?? (Pag. ??), e = e′ es un neutro para ∗. Por tanto (X, ∗) es un
monoide y por la proposición anterior tenemos (ii).
∎
Nota: Si pensamos en un semigrupo (X, ∗) que verifica que para cada a, b ∈ X se tiene
que la ecuación a ∗ X = b posee solución única. ¿Es (X, ∗) un grupo? La respuesta es que
no. Considerar en un conjunto no vacı́o X la operación a ∗ b = b.
Teorema 6 Sea (G, ∗) un semigrupo tal que:
6
1.2 Subgrupos.
(1) Existe e ∈ G tal que a ∗ e = a para todo a ∈ G.
(2) Para todo a ∈ G existe b ∈ G tal que a ∗ b = e.
Entonces G es un grupo con neutro e.
Demo: Sea x ∈ G. Aplicando el punto (2) existe y ∈ G tal que x ∗ y = e. Aplicando otra
vez el punto (2), para el elemento y ∈ G existe z ∈ G tal que y ∗ z = e. Tenemos entonces
que
y ∗ x = (y ∗ x) ∗ e = (y ∗ x) ∗ (y ∗ z) = y ∗ (x ∗ y) ∗ z = (y ∗ e) ∗ z = y ∗ z = e.
Por último, e ∗ x = (x ∗ y) ∗ x = x ∗ (y ∗ x) = x ∗ e = x lo que termina la demostración, ya
que e es neutro de G e y es el inverso de x en G.
∎
2.
Subgrupos.
Hemos empezado a estudiar la noción de grupo. Vamos a estudiar ahora como obtener
nuevos grupos a partir de los que conocemos. Comenzamos con la noción de subgrupo:
Definición 1 Sea (G, ∗) un grupo y H ⊂ G. Diremos que H es un subgrupo de G, y lo
denotaremos por H ≤ G, si ∗ se puede restringir a H y (H, ∗) tiene estructura de grupo.
Por tanto, se tiene que cumplir:
● La operación ∗ tiene que estar bien definida en H. Es decir, para todo x, y ∈ H,
x ∗ y ∈ H.
● ∗ tiene que ser asociativa en H.
● Debe de poseer un elemento neutro.
● Todo elemento de H debe de poseer un inverso en H.
2.1.
Caracterizaciones de subgrupos.
Nota: En la definición anterior no se ha dicho que la unidad de G sea la unidad de H y
por tanto dado un elemento h ∈ H, su inverso en H podrı́a ser distinto a su inverso en G.
No se deben dar por hecho cosas que en principio no se saben. No obstante, la siguiente
proposición muestra que unidad e inversos coinciden.
Proposición 2 Sea (G, ∗) un grupo y H ⊂ G. Entonces H es subgrupo de G si y sólo si:
(i) Para todo x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H.
(ii) El elemento neutro de G pertenece a H.
(iii) Para todo x ∈ H, x−1 ∈ H.
Por tanto, la identidad del subgrupo es la misma que la del grupo y los inversos del grupo
y del subgrupo coinciden.
Capı́tulo 1. Grupos
7
Demo: Supongamos que H verifica (i), (ii) y (iii). Por (i), la operación ∗ está bien
definida en H. Por (ii), si e es el elemento neutro de G, e ∗ x = x ∗ e = x para todo x ∈ H,
por lo que es el elemento neutro de H y por (iii), dado x ∈ H, x−1 ∈ H y es el inverso
de x en H. Por último, como ∗ es asociativa para los elementos de G, en particular es
asociativa para H, lo que demuestra que (H, ∗) es un grupo.
Supongamos ahora que H ≤ G. Por definición (i) se verifica. Sea e′ el elemento neutro
de H y e el de G. Tenemos entonces que
e ∗ e′ = e′ ∗ e′
y como en G se verifican las leyes de simplificación, e = e′ , lo que demuestra (ii). Por
ultimo, dado x ∈ H sea x′ su inverso en H, entonces
x ∗ x′ = x′ ∗ x = e
por lo que x′ es el inverso de x en G, lo que demuestra (iii).
∎
⧫ Todo subgrupo de un grupo abeliano es abeliano.
⧫ Sea (G, ∗) un grupo. Entonces ({e}, ∗) y (G, ∗) son subgrupos de G, llamados los
subgrupos triviales de G. Los subgrupos no triviales de G se denominan subgrupos
propios.
Proposición 3 (Caracterización de subgrupo) Sea (G, ∗) un grupo y sea H ⊂ G.
Entonces H es subgrupo de G si y sólo si H ≠ ∅ y ∀a, b ∈ H, ab−1 ∈ H.
Demo: Supongamos que H ≤ G. Entonces H posee un elemento neutro, por lo que
H ≠ ∅. Por otro lado, dados a, b ∈ H, el inverso de b en H consiste con el inverso de b en G
por lo que a ∗ b−1 es el producto de dos elementos de H y por ser H subgrupo, pertenece
a H.
Veamos la otra implicación (que es la interesante). Tenemos que H es no vacı́o y para
todo par de elementos a, b ∈ H, a ∗ b−1 ∈ H:
(1). Al ser H no vacı́o, existe a ∈ H por lo que e = a ∗ a−1 ∈ H.
(2). Dado b ∈ H, b−1 = e ∗ b−1 ∈ H.
(3). Dados a, b ∈ H, por (2), b−1 ∈ H y por hipótesis, a ∗ b = a ∗ (b−1 )−1 ∈ H.
Luego, por (3), la operación es cerrada en H. Por (1), e ∈ H y por (2) todo elemento
de H tiene su inverso en H. Lo que demuestra que H es subgrupo de G.
∎
Proposición 4 (Caracterización de subgrupo II) Sea (G, ∗) un grupo y sea H ⊂ G.
Entonces H es subgrupo de G si y sólo si H ≠ ∅ y ∀a, b ∈ H, a−1 b ∈ H.
Demo: Es el ejercicio 3 (Pag. 15).
2.2.
Construcción de nuevos subgrupos
En esta sección vamos a construir nuevos subgrupos a partir de subgrupos ya dados.
8
1.2 Subgrupos.
Subgrupo generado por un conjunto
Proposición 5 Sea (G, ∗) un grupo y sean {Hi }i∈I una familia no vacı́a de subgrupos de
G. Entonces ⋂i∈I Hi es subgrupo de G.
Demo: Tenemos que para cada i ∈ I, e ∈ Hi (en donde e es el elemento neutro de G).
Por tanto, e ∈ ⋂i∈I Hi . Por otro lado, dados a, b ∈ ⋂i∈I Hi , a, b ∈ Hk para cualquier k ∈ I.
Entonces, como Hk es subgrupo de G, a∗b−1 ∈ Hk para todo k y por tanto a∗b−1 ∈ ⋂i∈I Hi .
Lo que demuestra la proposición.
∎
Sea (G, ∗) un grupo y X un subconjunto de G. Nos vamos a plantear encontrar el
menor subgrupo de G que contiene a X:
Proposición 6 Sea (G, ∗) un grupo y X un subconjunto de G. Entonces existe el menor
subgrupo de G que contiene a X, llamado el subgrupo generado por X y denotado por
⟨X⟩. Es más,
⟨X⟩ ∶= ⋂{H ≤ G ∣ X ⊂ H}
Demo: Como X ⊂ G y G ≤ G, lo anterior es una intersección no vacı́a. Por tanto, la
proposición 5 (Pag. 8) demuestra que ⟨X⟩ es un subgrupo de G. Es más, dado H ≤ G con
X ⊂ H, por construcción ⟨X⟩ ⊂ H, lo que demuestra que ⟨X⟩ es el menor subgrupo que
contiene a X.
∎
Nota: Nos encontramos aquı́ con una demostración no constructiva, por tanto, no tenemos
un método estándar para construir el subgrupo generado por un conjunto. No obstante,
si el conjunto tiene un único elemento si que podemos decir algo.
Proposición 7 Sea G un grupo y sea a ∈ G. Entonces ⟨{a}⟩ = {ak ∣ k ∈ Z}, que es un
subgrupo abeliano de G denominado el subgrupo cı́clico generado por a.
Demo: Denotemos por ∆ ∶= {ak ∣ k ∈ Z}. Es claro que si H es un subgrupo de G que
contiene al elemento a, entonces tiene que contener, al ser el producto interno, todas las
potencias positivas de a, debe contener al elemento a−1 y al e al ser un subgrupo y por
tanto ∆ ⊂ H. Por lo que si ∆ es un subgrupo, tiene que ser el más pequeño que contiene
al elemento a.
⋆ Suma interna: dados α, β ∈ ∆, existen r, s ∈ Z tales que α = ar y β = as por tanto,
αβ = ar as = ar+s ∈ ∆.
⋆ Neutro: por construcción e ∈ ∆.
⋆ Inversos: dado α ∈ ∆, α−1 = (ar )−1 = a−r ∈ ∆.
∎
Corolario 8 Sea G un grupo, H es un subgrupo de G y X ⊂ H un subconjunto. Entonces
⟨X⟩ ⊂ H.
Definición 9 Sea (G, ∗) un grupo. Diremos que X ⊂ G es un sistema generador de G
si ⟨X⟩ = G, en este caso se dirá que G está generado por X. Se dice que un grupo G está
finitamente generado si está generado por un conjunto finito.
Nota: Observar que siempre podemos encontrar un subconjunto que genere a G, ya que
⟨G⟩ = G (el menor subgrupo que contiene a G es todo G.
Nota: Z está generado por el conjunto {1}: ya que 1 ∈ ⟨{1}⟩ y por tanto, al ser la operación
cerrada, 1 + 1 + ⋯n + 1 ∈ ⟨{1}⟩, ası́, todo elemento de N pertenece a ⟨{1}⟩. Ahora como los
opuestos de estos elementos y el cero también están, ⟨{1}⟩ = Z.
Capı́tulo 1. Grupos
9
Subgrupo conjugado
Proposición 10 Sea (G, ∗) un grupo y H ≤ G. Entonces para cada x ∈ G,
xHx−1 ∶= {xhx−1 ∣ h ∈ H}
es un subgrupo de G, llamado el subgrupo conjugado de H por x.
Demo: Como e ∈ H, e = xex−1 ∈ xHx−1 . Por otro lado, dados α, β ∈ xHx−1 , existen
a, b ∈ H, con α = xax−1 y β = zbx−1 además,
αβ −1 = xax−1 (xbx−1 )−1 = xax−1 (x−1 )−1 b−1 x−1 = xax−1 xb−1 x−1 = xab−1 x−1 ∈ xHx−1 .
ya que ab−1 ∈ H, lo que demuestra la proposición.
∎
El centro de un grupo
Definición 11 Sea (G, ∗) un grupo. Se define el centro de G, y se denota por Z(G)
como:
Z(G) = {x ∈ G ∣ x ∗ y = y ∗ x para todo y ∈ G}
Proposición 12 Sea (G, ∗) un grupo. Entonces Z(G) es un subgrupo (abeliano) de G.
Demo: Tenemos que para todo a ∈ G, e ∗ a = a ∗ e. Por tanto e ∈ Z(G). Por otro lado,
dados x, y ∈ Z(G),
(x ∗ y) ∗ a = x ∗ y ∗ a = x ∗ a ∗ y = a ∗ x ∗ y = a ∗ (x ∗ y)
Lo que demuestra que ∗ es cerrada en Z(G). Por último, dado x ∈ Z(G), para todo a ∈ G,
a∗x=x∗a
por lo que si multiplicamos a derecha e izquierda por el inverso de x obtenemos
x−1 ∗ a = x−1 ∗ a ∗ x ∗ x−1 = x−1 ∗ x ∗ a ∗ x−1 = a ∗ x−1 ,
lo que demuestra que x−1 ∈ Z(G). Por tanto, Z(G) es subgrupo (abeliano) de G.
3.
∎
Homomorfismos de Grupos
En este tema vamos a estudiar aplicaciones entre grupos. Siempre que en algebra
se introduce un nuevo concepto en una estructura, éste tiene que estar relacionado con
todos los aspectos de dicha estructura. Por ejemplo, en principio los naturales son sólo
un conjunto. En él introducimos una operación, la suma. Cuando se define el producto
se relaciona con la suma por la propiedad distributiva y cuando se introduce el orden, se
relacionan propiedades de la suma y del producto con el orden (la razón de que en Zn
no se haya introducido un orden es que no existe ninguno que se relacione “bien” con su
suma y su producto).
10
1.3 Homomorfismos de Grupos
Definición 1 Sean (G, ∗) y (G′ , ∗′ ) dos grupos. Se define un homomorfismo de G en
G′ como una aplicación f ∶ G → G′ tal que para todo x, y ∈ G,
f (x ∗ y) = f (x) ∗′ f (y)
Además, si f es:
● inyectiva, se dice que es un monomorfismo de grupos.
● sobreyectiva, se dice que es un epimorfismo de grupos.
● biyectiva, se dice que es un isomorfismo de grupos si f .
● un homomorfismo f ∶ G → G se dice que es un endomorfismo. Al conjunto de todos
los endomorfismos de un grupo G se le denota por End(G).
● un automorfismo es un endomorfismo biyectivo. Al conjunto de todos los automorfismos se le denota por Aut(G)
Ejemplos A Las siguientes aplicaciones son homomorfismos de grupos:
⋆ La aplicación identidad Id ∶ G → G es un homomorfismo (biyectivo) de G en si mismo.
⋆ Sea (Z, +) el grupo de los enteros. Entonces para cada λ ∈ Z,
f ∶ Z → Z definida por
f (x) = λx.
⋆ Los reales estrictamente positivos con la multiplicación es un grupo abeliano, denotado
por (R+ , ⋅).
f ∶ (R, +) → (R+ , ⋅) definida por f (x) = 2x ∀x ∈ R.
Proposición 2 Sean G y G′ dos grupos y f ∶ G → G′ un homomorfismo de grupos.
Entonces
(i) f (e) = e′ con e y e′ neutros respectivos de G y G′ .
(ii) f (a−1 ) = f (a)−1 para todo a ∈ G.
(iii) f (ak ) = f (a)k para todo a ∈ G, k ∈ Z.
Demo: (i). Sabemos e = e ∗ e, por tanto
e′ ∗ f (e) = f (e) = f (e ∗ e) = f (e) ∗ f (e)
Simplificando ahora f (e) tenemos que e′ = f (e).
(ii). Tenemos que ver que el inverso de f (a) en G′ es f (a−1 ). vamos a comprobarlo:
f (a) ∗ f (a−1 ) = f (a ∗ a−1 ) = f (e) = e′
f (a−1 ) ∗ f (a) = f (a−1 ∗ a) = f (e) = e′
Por lo que el inverso de f (a) en G′ es f (a−1 ).
(iii). Vamos a demostrar en primer lugar el enunciado para n positivo, la demostración
la haremos por inducción: si n = 1 no hay nada que demostrar (f (a1 ) = f (a)1 ). Supongamos que el resultado es cierto para n−1, es decir, f (an−1 ) = f (a)n−1 y vamos a demostrarlo
para n
f (an ) = f (an−1 ∗ a) = f (an−1 ) ∗ f (a) = f (a)n−1 ∗ f (a) = f (a)n
El caso n = 0 es el apartado i: f (a0 ) = f (e) = e′ = f (a)0 y en caso de n negativo se
demuestra a partir del apartado (ii) y el caso positivo: sea n ∈ N, entonces
f (a−n ) = f ((an )−1 ) = f (an )−1 = (f (a)n )−1 = f (a)−n
∎
Capı́tulo 1. Grupos
11
Proposición 3 Sean G y G′ dos grupos y f ∶ G → G′ un homomorfismo de grupos.
(i) Si H ≤ G, entonces f (H) ∶= {f (h) ∣ h ∈ H} ≤ G′ .
(ii) Si H ′ ≤ G′ , entonces f −1 (H ′ ) ∶= {x ∈ G ∣ f (x) ∈ H ′ } ≤ G.
Nota: en (ii) no se supone que f es inversible, sino que por f −1 (H ′ ) se está denotando
la imagen inversa de H por f (ver anexo A).
Demo: La demostración de esta proposición es una mera comprobación.
(i). Sea f (H) = {f (h) ∣ h ∈ H}. como H ≤ G, e ∈ H y por tanto e′ = f (e) ∈ f (H) con
lo que f (H) ≠ ∅. Por otro lado, dados a, b ∈ f (H) existen h1 , h2 ∈ H tales que a)f (h1 ) y
b = f (h2 ). por tanto
−1
a ∗′ b−1 = f (h1 ) ∗′ f (h2 )−1 = f (h1 ) ∗′ f (h−1
1 ) = f (h1 ∗ h2 ) ∈ f (H)
ya que al ser H ≤ G, h1 ∗ h−1
2 ∈ H.
(ii). Sea f −1 (H ′ ) = {x ∈ G ∣ f (x) ∈ H ′ }. Como f (e) = e′ ∈ H ′ (ya que H ′ ≤ G′ ,
f −1 (H ′ ) ≠ ∅. Por otro lado, dados a, b ∈ f −1 (H ′ ),
f (a ∗ b−1 ) = f (a) ∗′ f (b−1 ) = f (a) ∗′ f (b)−1 ∈ H ′
ya que por hipótesis f (a), f (b) ∈ H ′ que es subgrupo de G′ .
∎
Definición 4 Sean G y G′ dos grupos y f ∶ G → G′ un homomorfismo de grupos. Se
define la imagen de f y se representa por Im(f ) como
Im(f ) ∶= {f (x) ∣ x ∈ G} ≤ G′
Se define el núcleo de f y se representa por Ker(f ) como
Ker(f ) ∶= {x ∈ G ∣ f (x) = e} ≤ G
en donde e′ denota el elemento neutro de G′
Proposición 5 Sean G y G′ dos grupos y f ∶ G → G′ un homomorfismo de grupos.
Entonces:
(i) f es un epimorfismo si y sólo si Im(f ) = G′ .
(ii) f es un monomorfismo si y sólo si Ker(f ) = {e}.
Demo: (i). Es trivial: si Im(f ) = G′ significa que para todo y ∈ G′ existe x ∈ G con
f (x) = y que es exactamente la condición para que f sea sobreyectiva.
(ii). Supongamos que f es un monomorfismo. Por un lado sabemos que f (e) = e′ , con lo
que e ∈ Ker(f ). Por otro, si x ∈ Ker(f ), f (x) = e′ y como f es inyectiva, f (x) = e′ = f (e)
se tiene que x = e, luego el único elemento contenido en el núcleo de f es el elemento
neutro.
Supongamos ahora que Ker(f ) = {e} y sean x, y ∈ G con f (x) = f (y). Entonces,
e′ = f (x) ∗′ f (x)−1 = f (y) ∗′ f (x)−1 = f (y) ∗′ f (x−1 ) = f (y ∗ x−1 )
Por tanto y ∗ x−1 ∈ Ker(f ) y por tanto y ∗ x−1 = e, con lo que multiplicando por x por la
derecha tenemos que y = x, es decir, f es inyectiva.
∎
12
1.3 Homomorfismos de Grupos
Proposición 6 La composición de homomorfismos de grupos es un homomorfismo de
grupos.
Demo: Sean (Gi , ∗i ) con i = 1, 2, 3 tres grupos y sean f ∶ G1 → G2 y g ∶ G2 → G3 dos
homomorfismos de grupos, demostremos que g ○f ∶ G1 → G3 es también un homomorfismo
de grupos: dados x, y ∈ G1 ,
g ○ f (x ∗1 y) = g(f (x ∗1 y)) = g(f (x) ∗2 f (y)) = g(f (x)) ∗3 g(f (y))
= (g ○ f (x)) ∗3 (g ○ f (y))
3.1.
∎
Isomorfismos de grupos: Grupos isomorfos
Proposición 7 Sean G y G′ dos grupos. Entonces:
(i) Si f ∶ G → G′ es un isomorfismo de grupos, entonces f −1 ∶ G′ → G también lo es.
(ii) Para cada a ∈ G la aplicación
σa ∶ G → G
definida por σa (x) = axa−1
es un automorfismo de G, llamado el automorfismo interno de G respecto de a.
Demo: (i). Al ser f un isomorfismo, tenemos que es biyectiva. Por tanto existe la aplicación inversa de f , f −1 ∶ G′ → G. Tenemos que demostrar que esta aplicación es, de hecho,
un homomorfismo de grupos: dados x, y ∈ G′ tenemos que ver que f −1 (a ∗′ b) es igual que
f −1 (a) ∗ f −1 (b). Si aplicamos f a ambos elementos,
f (f −1 (a ∗′ b)) = f ○ f −1 (a ∗′ b) = a ∗′ b
f (f −1 (a) ∗ f −1 (b)) = f (f −1 (a)) ∗ f (f −1 (b)) = f ○ f −1 (a) ∗′ f ○ f −1 (b) = a ∗′ b
nos da el mismo resultado y como f es biyectiva (por tanto inyectiva),
f −1 (a ∗′ b) = f −1 (a) ∗ f −1 (b).
(ii). Veamos en primer lugar que σa es un homomorfismo de grupos: dados x, y ∈ G,
σa (x) ∗ σa (y) = (a ∗ x ∗ a−1 ) ∗ (a ∗ y ∗ a−1 ) = a ∗ x ∗ y ∗ a−1 = σa (x ∗ y)
Por otro lado, veamos que σa−1 es la inversa de σa : dado x ∈ G,
σa ○ σa−1 (x) = σa (a−1 ∗ x ∗ (a−1 )−1 ) = σa (a−1 ∗ x ∗ a) = a ∗ (a−1 ∗ x ∗ a) ∗ a−1 = x
σa−1 ○ σa (x) = σa−1 (a ∗ x ∗ a−1 ) = a−1 ∗ (a ∗ x ∗ a−1 ) ∗ (a−1 )−1 = a−1 ∗ (a ∗ x ∗ a−1 ) ∗ a = x
Lo que demuestra que σa es biyectiva y por tanto un automorfismo de G.
∎
Nota: Dado G un grupo, H un subgrupo de G y a ∈ G, el subgrupo conjugado de H
por a no es más que la imagen de H por el automorfismo interno σa .
aHa−1 = σa (H)
Corolario 8 Sea G un grupo. Entonces (Hom(G), ○) es un monoide. Es más, los elementos inversibles de Hom(G) son precisamente los automorfismos de G, por lo que (Aut, ○)
es un grupo.
Capı́tulo 1. Grupos
13
Definición 9 Se dice que dos grupos G y G′ son isomorfos y se representa por G ≈ G′
si existe un isomorfismo f ∶ G → G′ .
Proposición 10 “Ser isomorfos” es una relación de equivalencia.
Definición 11 Se dice que una propiedad es estructural si se conserva por isomorfismos, es decir, siempre que un grupo verifique dicha propiedad, cualquier grupo isomorfo
a el también la verifica.
Proposición 12 Las siguientes propiedades son estructurales para un grupo G:
(i) Ser abeliano.
(ii) El cardinal de G.
(iii) Que exista X ⊂ G de cardinal ℵ tal que X genere G.
(iv) Tener un subgrupo de cierto cardinal.
(v) Que el subconjunto de los elementos de orden n tenga cierto cardinal.
Demo: Sea G′ un subgrupo isomorfo a G y consideremos f ∶ G → G′ un isomorfismo de
grupos.
(i). Supongamos que G es abeliano. Dados x, y ∈ G′ existen a, b ∈ G tal que f (a) = x y
f (b) = y. Por tanto:
x ∗′ y = f (a) ∗′ f (b) = f (a + b) = f (b ∗ a) = f (b) ∗′ f (a) = y ∗′ x
(ii). Como el isomorfismo es una biyección, por definición, ∣G∣ = ∣G′ ∣.
(iii). Supongamos que G está generado por un subconjunto X. Veamos que G′ está
generado por f (X), que es un conjunto que tiene el mismo cardinal que X: Sea H ′ ∶=
⟨f (X)⟩, entonces X = f −1 (f (X)) ⊂ f −1 (H ′ ). Por tanto f −1 (H ′ ) = G y lo que implica que
H ′ = f (f −1 (H ′ )) = f (G) = G′
(iv). Si H es un subgrupo de G de cierto cardinal, f (H) es un subgrupo de G′ del
mismo cardinal que H.
(v). Sea a ∈ G de orden n. Entonces, por la Proposición 6(iv) (Pag. 19), ○f (a) divide
a ○a. Pero, si consideramos f −1 G′ → G y el elemento f (a), tenemos, aplicando el mismo
resultado que ○a divide a ○f (a) y por tanto un isomorfismo conserva el orden de los
elementos (si a tiene orden infinito, f (a) tiene orden infinito).
Consideremos ahora X ∶= {a ∈ G∣ ∣a∣ = n} y X ′ ∶= {b ∈ G′ ∣ ∣b∣ = n}. Por el apartado
anterior, f (X) ⊂ Y , por lo que podemos considerar la aplicación f ∶ X → Y . De forma
análoga, podemos considerar también la aplicación f −1 ∶ Y → X, que son inversas la una
de la otra y por tanto X e Y tienen el mismo cardinal.
∎
Las propiedades estructurales nos pueden servir para saber si dos grupos no son isomorfos. Ası́, tanto Z6 como el conjunto de las matrices inversible de M2 (Z2 ) son grupos
con 6 elementos. ¿Son isomorfos? La respuesta es NO, ya que Z6 es abeliano y el otro no.
14
1.3 Homomorfismos de Grupos
Los monomorfismos y los subgrupos
Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Entonces la inclusión i ∶ H → G es un
monomorfismo de grupos. Es más, nos encontramos con una especie de resultado inverso,
a saber, si f ∶ G → G′ es un monomorfismo de grupos entonces f ∶ G → Im(f ) es un
isomorfismo de grupos. Por lo que G es isomorfo a un subgrupo de G′ . Por tanto tenemos
el siguiente resultado:
Proposición 13 Los subgrupos de un grupo G quedan caracterizados como imágenes por
monomorfismos sobre G.
Nota: Si los monomorfismos nos caracterizan, en cierta forma, los subgrupos de un
grupo G, ¿Que pasarán con los epimorfismos?
Capı́tulo 1. Grupos
4.
15
Ejercicios del Tema
1 Sea {(Gi , ∗i )}ni=1 una familia de grupos y sea G ∶= Πni=1 Gi el producto cartesianos de
conjuntos. Entonces G con producto
(x1 , x2 , . . . , xn ) ∗ (y1 , y2 , . . . , yn ) ∶= (x1 ∗1 y1 , x2 ∗2 y2 , . . . , xn ∗n yn )
tiene estructura de grupo, llamado el producto directo externo de los grupos Gi . Es
más, G es abeliano si y sólo si (Gi , ∗i ) es abeliano ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}.
2 El grupo (Z2 × Z2 , +) tiene 4 elementos. ¿Cual de las dos tablas dada en teorı́a corresponde a este grupo?
3 Caracterización de subgrupo: Sea (G, ∗) un grupo y sea H ⊂ G. Demuestra que
H es subgrupo de G si y sólo si H ≠ ∅ y ∀a, b ∈ H, a−1 b ∈ H.
4 Sea (M, ∗) un semigrupo. Supongamos que existen e, e′ ∈ M , con e ≠ e′ , tales que
e ∗ a = a y e′ ∗ a = a para todo a ∈ M . Demuestra que M no tiene elemento unidad.
5 Sea G = {a, b, c} definamos en G las operaciones binarias siguientes:
∗
e
a
b
e
b
e
a
a
e
a
b
b
a
b
e
∗
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
a
b
b
e
a
∗
e
a
b
e
e
b
a
a
a
e
b
b
b
a
e
¿Es G con alguna de estas operaciones binarias un grupo?
6 En el conjunto R − {−1} se define la operación binaria a ∗ b = a + b + ab. Demuestra que
(R − {−1}, ∗) es un grupo abeliano. Encuentra la solución de la ecuación 2 ∗ X ∗ 5 = 4.
7 Sea (G, ∗) un grupo, sea H ≤ G y K ≤ H. Demuestra que K ≤ G.
8 Sea A un conjunto, que llamaremos alfabeto. A las n-upla, (a1 , a2 , . . . , an ) de elementos
de A las llamaremos palabras (para n ∈ N variable) y las denotaremos por yuxtaposición
a1 a2 ⋯an (. Introducimos, por convenio, la palabra λ que carece de letras. En el conjunto
de todas las palabras construidas con A definimos una operación:
a1 a2 ⋯ar ∗ b1 b2 ⋯bs ∶= a1 a2 ⋯ar b1 b2 ⋯bs
Demuestra que se trata de un monoide no conmutativo.
9 Demuestra que (Zn − {0}, ⋅), es un grupo abeliano si y sólo si n es un número primo.
10 Sea (G, ∗) un grupo abeliano. Demuestra que H ∶= {a ∈ G ∣ a2 = e} ≤ G
11 ¿Puede contener un grupo (G, ∗) un subgrupo abeliano H no contenido en el centro
de G?.
12 Demuestra que la propiedad: si en un grupo (G, ∗) la ecuación X 2 = e tiene ℵ soluciones, entonces en todo grupo isomorfo también.
16
1.4 Ejercicios del Tema
13 Sea (G, ∗) un grupo y H ≤ G propio. ¿Puede ser H isomorfo a G?
14 Sea (G, ∗) un grupo y sean H, K subgrupos de G. Demuestra que H ∪ K es un
subgrupo de G si y sólo si H ⊆ K o K ⊆ H.
15 Sea (G, ∗) un grupo. Demuestra que la aplicación f ∶ G → G definida por f (a) = a−1
es biyectiva. Es más, f es un automorfismo de G si y sólo si G es abeliano.
16 Sea (G, ∗) un grupo. Demuestra que la relación a ≡ b si y sólo si existe x ∈ G con
a = xbx−1 es de equivalencia. Caracteriza los elementos de G cuya clase de equivalencia
sólo tiene un elemento.
17 Sea (G, ∗) un grupo y sean a, b ∈ G. Supongamos que a7 = b7 y a16 = b16 . Demuestra
que a = b.
18 Sea (G, ∗) un grupo y sean a, b ∈ G. Supongamos que a5 = b5 y a14 = b14 . Demuestra
que a = b. ¿y si a6 = b6 y a15 = b15 , que es lo más que puedes obtener?
∗
19 Sea X un conjunto finito y sea f ∶ X → X tal que f 2 = Id. Demuestra que si el
cardinal de X es impar, existe a ∈ X tal que f (a) = a. Pon un contraejemplo cuando el
cardinal de X sea par.
∗
20 Sea (M, ∗) un monoide. Supongamos que para cada a ∈ M la aplicación ψal ∶ M → M
definida por ψal (x) = a ∗ x es sobreyectiva. Demuestra que M es un grupo. ¿El resultado
es cierto si ψal ∶ M → M es inyectiva?
∗
21 Sea (Inv(Zn ), ⋅) el grupo de los elementos inversibles de Zn . Demuestra que (Inv(Z10 ), ⋅)
no es isomorfo a (Inv(Z12 ), ⋅).
∗
22 Demuestra que (R, +) no es isomorfo a (R − {0}, ⋅).
∗
23 Demuestra que no se puede definir un orden (distinto de la identidad) en Zn tal que
si x ≤ y y z ≤ t, entonces x + z ≤ y + t.
∗
24 Calcula los homomorfismos f ∶ Z7 → Z3 . ¿En general los homomorfismos de f ∶ Zn →
Zm con m. c. d(n, m) = 1? ¿Encuentra los homomorfismo f ∶ Z2 → Zm con m par?
∗
25 Sea (M, ∗) un monoide finito y sea a ∈ M . Demuestra que si a tiene inverso por la
izquierda, entonces a es inversible.
∗∗
26 Sea (G, ∗) un grupo y H un subconjunto finito de G. Demuestra que H es subgrupo
de G si y solo si la operación ∗ es cerrada en H. (Ayuda: si la operación es cerrada en H,
demuestra que para cada x ∈ H existe n ∈ N tal que xn = e)
∗∗
27 Sea (G, ∗) un grupo tal que todo elemento es su propio inverso. Demuestra que G es
abeliano.
∗
28 Sea (G, ∗) un semigrupo con neutro por la izquierda, denotado por e, y tal que para
cada a ∈ G existe a′ ∈ G con a′ ∗ a = e. Demuestra que (G, ∗) es un grupo.
∗
Capı́tulo 2
Grupos Cı́clicos
Objetivos del capı́tulo
Se estudian y clasifican los grupos cı́clicos.
Se estudian los ordenes de los elementos de un grupo cı́clico.
1.
Subgrupos cı́clicos. El orden de un elemento
Ya hemos calculado el subgrupo cı́clico generado por un elemento dentro de un grupo.
Estudiemos estos subgrupos con más detalle.
Proposición 1 Sea (G, ∗) un grupo y sea a ∈ G. Entonces la aplicación fa ∶ Z → G
definida por
⎧
an
n>0
⎪
⎪
⎪
⎪
n=0
f (n) ∶= ⎨ e
⎪
⎪
−1
−n
⎪
⎪
n<0
⎩(a )
es un homomorfismo de grupos. Es más, Im(f ) coincide con el subgrupo cı́clico generado
por a, es decir, ⟨{a}⟩ = {an ∣ n ∈ Z}.
Demo: Dado un número n ∈ Z vamos a denotar por σn el signo de n. Tenemos entonces
que n = σn ∣n∣. Con esta notación, tenemos que para todo n, m ∈ Z,
n + m = σn ∣n∣ + σm ∣m∣
n + m = σn+m ∣n + m∣
f (n) + f (m) = (aσn )∣n∣ ∗ (aσm )∣m∣ = aσn ∣n∣+σm ∣m∣ = (aσn+m )∣n+m∣ = f (n + m)
Además, Im(f ) = {an ∣ n ∈ Z} = ⟨{a}⟩.
∎
Corolario 2 Si (G, ∗) es un grupo cı́clico generado por a ∈ G. Entonces la aplicación
anterior es un epimorfismos de grupo.
∎
Demo: Sin demo.
17
18
2.1 Subgrupos cı́clicos. El orden de un elemento
Ejemplos A
⋆ El subgrupo cı́clico generado por 9 en Z12 es ⟨{9}⟩ = {0, 9, 6, 3}
⋆ El subgrupo cı́clico generado por el 7 en (Z, +) es
⟨{7}⟩ = {. . . , −21, −14, −7, 0, 7, 14, 21, . . . }
⋆ El subgrupo cı́clico generado por 4 en Z8 es
⟨{4}⟩ = {0, 4}
Definición 3 Sea (G, ∗) un grupo. Se define el orden de G y se representa por ∣G∣ como
n si G es finito con n elementos
∣G∣ = {
∞ en caso contrario
Se define el orden de un elemento a ∈ G, y se representa por ∣a∣ (en algunos libros se
denota por ○a) como el orden del subgrupo cı́clico que genera.
Proposición 4 Si (G, ∗) es un grupo y a ∈ G. Entonces:
(i) Si ∣a∣ = ∞, se verifica que ⟨{a}⟩ = {. . . , a−3 , a−2 , a−1 , e, a, a2 , a3 , . . . }. En donde todos
los elementos son distintos. Además, ⟨{a}⟩ ≈ (Z, +).
(ii) Si ∣a∣ = n, se verifica que:
(a) an = e,
(b) ⟨{a}⟩ = {e, a, a2 , ⋯, an−1 }.
(c) Para todo m ∈ Z, si am = e, m es múltiplo de n.
Además, ⟨{a}⟩ ≈ (Zn , +).
Demo: Sabemos que ⟨{a}⟩ = {an ∣ n ∈ Z}.
(i). Si todos estos elementos son distintos, tenemos que ∣a∣ = ∞. Por tanto, por la
proposición 1, la aplicación
f ∶ Z → ⟨{a}⟩
definida por
f (n) = an
está bien definida y es un isomorfismo, al ser sobreyectiva con todas las potencias de a
distintas. Por lo que ⟨{a}⟩ ≈ Z.
(ii) Caso contrario existe r, s ∈ N distintos, por lo que puedo suponer r < s, tales que
ar = as , o lo que es lo mismo, as−r = e. Sea
Λ ∶= {k ∈ N ∣ ak = e} ⊆ N
Por lo anterior, s − r ∈ Λ y por el principio del buen orden, existe un mı́nimo en Λ,
denotemos a este mı́nimo por n. En particular, an = e.
Entonces {e, a, a2 , . . . , an−1 } son todos distintos (repetimos el razonamiento anterior)
si 0 < r < s < n − 1 y ar = as , entonces as−r = e con n > s − r ∈ Λ, una contradicción. Es más,
dado m ∈ Z, por el algoritmo de la división m = cn + r con 0 < r < n y
am = acn+r = (an )c ∗ ar = ec ∗ ar = ar .
Capı́tulo 2. Grupos Cı́clicos
19
Esto demuestra (b), (c) y por tanto (a): ⟨{a}⟩ = {an ∣ n ∈ Z} = {e, a, a2 , . . . , an−1 } con n el
menor natural tal que an = 0.
Ahora, la aplicación
f ∶ Zn → G
definida por
f (n) = an
es un isomorfismo de grupos:
⋆ Al estar definida la aplicación según un representante de clase, tenemos que ver que
está bien definida. Si r = s, entonces r − s = αn, por lo que r = s + αn. Entonces que
ar = as+αn = as ∗ (an )α = as . Por tanto está bien definida.
⋆ f (n + m) = f (n + m) = an+m = an ∗ am = f (n) ∗ f (m), ∀ n, m ∈ Zn .
⋆ Claramente f es sobreyectiva, dado ak ∈ G, ak = f (k)
⋆ La inyectividad. Sean r, s ∈ Zn tales que f (r) = f (s). Entonces ar = as con lo que
ar−s = e y por tanto r − s es múltiplo de n, r − s = αn por lo que r = s.
∎
Lema 5 Sea G un grupo y sea a ∈ G. Entonces el orden de a es n si n es el menor natural
tal que an = e.
Proposición 6 Sean G y G′ dos grupos, f ∶ G → G′ un homomorfismo de grupos y a ∈ G.
Si a tiene orden finito, entonces ∣f (a)∣ divide a ∣a∣.
Demo: Como an = 0, e′ = f (e) = f (an ) = f (a)n por tanto el orden de f (a) divide a
n = ∣a∣.
∎
2.
Grupos cı́clicos
Definición 1 Se dice que (G, ∗) es cı́clico si existe a ∈ G tal que ⟨{a}⟩ = G, en este caso
se dice que a es un generador de G. Observar que en la proposición 12 (Pag. 13) se
demostró que la propiedad “ser grupo cı́clico” es estructural.
Observar que, por la proposición 4 (Pag. 18), ya sabemos como son todos los grupos
cı́clicos: salvo isomorfismos los siguientes.
Teorema 2 Si G es un grupo cı́clico, entonces:
(i) Si ∣G∣ = ∞, entonces G ≅ Z.
(ii) Si ∣G∣ = n, entonces G ≅ Zn .
Corolario 3 Todo grupo cı́clico es abeliano.
Proposición 4 Sea G un grupo cı́clico y H un subgrupo de G. Entonces
(i) H es cı́clico.
Es más, si G es cı́clico con n elementos,
(ii) El orden de H divide al orden de G.
(iii) Para cada divisor k de n existe un único subgrupo con k elementos.
20
2.2 Grupos cı́clicos
Demo: Sea a ∈ G tal que G = ⟨{a}⟩. Si H = {e}, no tenemos nada que demostrar. Por
tanto, podemos suponer que existe e ≠ ar ∈ H. Tenemos entonces que ar y a−r pertenecen
a H, por lo que el subconjunto
∆ ∶= {n ∈ N ∣an ∈ H} ⊂ N
es no vacı́o. Sea k = Min(∆). Veamos que H = ⟨{ak }⟩: Dado am ∈ H, por el algoritmo de
la división, m = ck + r con 0 ≤ r < k por lo que am = ack ∗ ar . Por tanto ar = am ∗ (a−k )c
y como am y a−k ∈ H, ar ∈ H lo que implica, por la minimalidad de k, que r = 0. Luego,
H ⊂ ⟨{ak }⟩ ⊂ H, luego H es cı́clico generado por ak . Es más, hemos demostrado que
si am ∈ H,
m es múltiplo de k
(∗)
Luego, si G es finito con n elementos, e = an ∈ H, por lo que n es múltiplo de k, n = ck
y entonces
H = {ak , a2k , . . . , a(c−1)k , ack = e}
lo que demuestra que ∣H∣ = c y como n = ck, c divide a n. Es más, un generado de H
es an/c con n el orden de G y c el orden de H, por lo que hay un único subgrupo con c
elementos, el generado por ak siendo k = n/c, lo que demuestra (iii).
∎
Estudiemos el orden de los elementos en un grupo cı́clico y finito:
Proposición 5 Sea G un grupo cı́clico con n elementos, supongamos que a ∈ G es un
generador: G = ⟨{a}⟩ = {e, a, a2 , . . . , an−1 }. Entonces:
(i) ⟨{ak }⟩ = ⟨{am.c.d(k,n) }⟩.
(ii) El orden de ak = n/ m. c. d(k, n).
(iii) ak genera G si y sólo si m. c. d(k, n) = 1.
(iv) El número de generadores de G es ϕ(n) (donde ϕ es la función de Euler).
Demo: (i). Denotemos por m ∶= m. c. d(k, n). Como k es múltiplo de m, k = αm,
ak = aαm = (am )α ∈ ⟨{am }⟩.
Por tanto ⟨{ak }⟩ ⊂ ⟨{am }⟩. Por otro lado, aplicando el Teorema de Bezout, existe r, s ∈ Z
tales que rk + sn = m(= m. c. d(k, n)). Ası́,
am = ark+sn = (ak )r (an )s = (ak )r es = (ak )r ∈ ⟨{ak }⟩
y por tanto ⟨{am }⟩ ⊂ ⟨{ak }⟩.
(ii). Seguimos denotando por m = m. c. d(k, n). Sea β ∈ N tal que n = βm. Tenemos
entonces que
⟨{ak }⟩ = ⟨{am }⟩ = {am , a2m , . . . , a(β−1)m , aβm = an = e}
Por lo que ○ak = β = n/ m. c. d(k, n).
(iii)y (iv) son consecuencia directa de (ii).
El siguiente resultado será usado repetidamente a lo largo del curso.
Corolario 6 Sea n ∈ N. Entonces n = ∑d ∣n ϕ(d) donde ϕ es la función de Euler.
∎
Capı́tulo 2. Grupos Cı́clicos
21
Demo:
Consideremos Zn el grupo cı́clico con n elementos. Cada cada divisor d de n existe un
único subgrupo con d elementos y este subgrupo tiene ϕ(d) generadores. Si sumo todos
los generadores de todos los subgrupos de Zn , es decir, ∑d ∣n ϕ(d) son todos elementos
distintos de Zn por lo que ∑d ∣n ϕ(d) ≤ n. Por otro lado, dado k ∈ Zn tenemos que k genera
un subgrupo de Zn de orden d, un divisor de n, por lo que todo elemento de Zn es uno
de los que he contado antes y por tanto n ≤ ∑d ∣n ϕ(d).
∎
22
3.
2.3 Ejercicios del Tema
Ejercicios del Tema
1 Demuestra que (Z7 − {0}, ⋅), es un grupo cı́clico.
2 Sea (G, ∗) un grupo cı́clico con n elementos. Demuestra la ecuación X 2 = e posee
solución no trivial en G si y sólo si n es par. Es más, solo puede existir una única solución
no trivial.
∗
3 Sea (G, ∗) un grupo. Supongamos que G sólo posee los subgrupos triviales. Demuestra
que G es abeliano y finito. ¿Será cı́clico?
Capı́tulo 3
Grupos de Permutaciones
Objetivos del capı́tulo
Se introduce y estudian los grupos de permutaciones SX . Se demuestra que SX ≅ SY si y sólo si
#X = #Y . Como consecuencia se introduce la notación Sn para el grupo de permutaciones de un
conjunto con n elementos.
Se introduce la notación matricial tanto para permutaciones como para ciclos. Se da la tabla de
multiplicar de S3 y se estudian los subgrupos Dn , o grupos de movimientos de un polı́gono regular
de n lados.
Se demuestra que toda permutación se descompone como producto de ciclos disjuntos y que esta
descomposición es única salvo orden.
Se demuestra que toda permutación se factoriza como producto de transposiciones (no de forma
única). Se demuestra que el numeró de trasposiciones en tales descomposiciones puede variar,
aunque conserva la paridad. Se define la paridad de una permutación y se estudia el grupo alternado
An .
1.
Grupo Sn y primeras propiedades
Definición 1 Sea X un conjunto finito. Se define una permutación en X como una
aplicación biyectiva f ∶ X → X. Se denota por SX el conjunto de todas las permutaciones
de X.
Proposición 2 Sea X un conjunto. Entonces (SX , ○), en donde ○ es la composición
de aplicaciones, es un grupo. Es más, si X e Y son dos conjuntos equipotentes (existe
g ∶ X → Y biyectiva) entonces SX ≅ SY .
Demo: Ya ha sido demostrado que (SX , ○) es un grupo, al ser el subconjunto de elementos inversibles en un monoide (el conjunto de aplicaciones de X en X con la operación
composición). Sea g ∶ X → Y una biyección. Veamos que la aplicación
Ψ ∶ SX → SY
definida por Ψ(σ) = g ○ σ ○ g −1
23
24
3.1 Grupo Sn y primeras propiedades
es un isomorfismo de grupos: es claro que Ψ(σ) ∶ Y → Y es biyectiva (al ser composición
de aplicaciones biyectivas), por lo que Ψ está bien definida. Es mas, es un homomorfismo
de grupos:
Ψ(σ) ○ Ψ(σ ′ ) = g ○ σ ○ g −1 ○ g ○ σ ′ ○ g −1 = g ○ σ ○ σ ′ ○ g −1 = Ψ(σ ○ σ ′ )
Y si definimos Φ ∶ SY → SX como Φ(τ ) = g −1 ○ τ ○ g tenemos que
ΨΦ(τ ) = ψ(g −1 ○ τ ○ g) = g ○ g −1 ○ τ ○ g ○ g −1 = τ
ΦΨ(σ) = Φ(g ○ σ ○ g −1 ) = g −1 ○ g ○ σ ○ g −1 ○ g = σ
∎
por lo que Ψ es biyectiva y por tanto un isomorfismo de grupo.
Nota: Dado un natural n, denotaremos por Sn al grupo de permutaciones de un
conjunto con n elementos. Normalmente X = {1, 2, . . . , n}. Los elementos de Sn se denotan
por letras griegas y se representan en forma matricial: por ejemplo,
σ ∶ {1, 2, 3} → {1, 2, 3},
definida por σ(1) = 2, σ(2) = 3 y σ(3) = 1
se denotará por
σ=(
1 2 3
)
2 3 1
con esta notación, si queremos componer dos permutaciones:
(
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
)○(
)=(
).
2 3 1 4
3 1 4 2
1 2 4 3
Es decir, se siguen componiendo de derecha a izquierda al ser aplicaciones.
Ejemplos A Veamos la tabla de multiplicar de S3 , el grupo de permutaciones con tres
elementos: Sean
1
1
1
τ1 = (
1
ρ0 = (
2
2
2
3
3
1
) ρ1 = (
3
2
3
1
) τ2 = (
2
3
2
3
2
2
3
1
) ρ2 = (
1
3
3
1
) τ3 = (
1
2
2
2
2
1
3
)
1
3
)
3
tenemos entonces que la tabla de multiplicar es:
ρ0
ρ1
ρ2
τ1
τ2
τ3
ρ0
ρ0
ρ1
ρ2
τ1
τ2
τ3
ρ1
ρ1
ρ2
ρ0
τ3
τ1
τ2
ρ2
ρ2
ρ0
ρ1
τ2
τ3
τ1
τ1
τ1
τ2
τ3
ρ0
ρ2
ρ1
τ2
τ2
τ3
τ1
ρ1
ρ0
ρ2
τ3
τ3
τ1
τ2
ρ2
ρ1
ρ0
Nota: Como se puede ver, (S3 , ○) no es un grupo
abeliano: ρ1 ○τ1 = τ3 y τ1 ○ρ1 = τ2 . Es más, los órdenes
de los elementos son
○ρ0 = 1,
○ρ1 = 3
○ ρ2 = 3
○τ1 = 2,
○τ2 = 2,
○τ3 = 2
por lo que (como ya sabı́amos) no es un grupo cı́clico.
Capı́tulo 3. Grupos de Permutaciones
25
Proposición 3 Sea n ∈ N. Entonces:
(i) #Sn = n!
(ii) La identidad de Sn es Id = (
1 2 ⋯ n
)
1 2 ⋯ n
(iii) La inversa de una permutación σ ∈ Sn consiste en permutar la fila superior por la
inferior re-ordenando adecuadamente las columnas:
σ=(
1 2 3 4 5
2 5 1 4 3
1 2 3 4 5
)⇒(
) ⇒ σ −1 = (
)
2 5 1 4 3
1 2 3 4 5
3 1 5 4 2
(iv) Si n, m ∈ N se tiene que n ≤ m si y sólo si Sn ≲ Sm .
(v) (Sn , ○) es conmutativo si y sólo si n ≤ 2.
Nota: Dados n, m ∈ N con n ≤ m, Sn no es subgrupo de Sm ya que Sn no es subconjunto
de Sm . No obstante si que existen H ≤ Sm con H ≅ Sn . Esto se denotará por Sn ≲ Sm , o
abusando de la notación por Sn ≤ Sm .
Demo: (i). Sean X, Y dos conjuntos con n elementos. Veamos que el número de biyecciones de X en Y es n! : si n = 1 existe una única biyección. Luego el número de biyecciones
de X en Y es 1 = 1!. Supongamos que el resultado es cierto para n − 1 y sean X, Y dos
conjuntos con n elementos. Dado x1 ∈ X puedo mandar x1 a cualquier elemento de Y , denotemos este elemento por yi . Luego hay n posibilidades, los restantes X − {x1 } elementos
los tendré que mandar de forma biyectiva a los elementos Y − {yi } luego, por la hipótesis
de inducción hay (n − 1)! posibilidades. Ası́, podemos construir n(n − 1)! = n! biyecciones
de X en Y . Tomando ahora X = Y tenemos que #Sn = n!.
(ii). Trivial.
1
2
3
⋯
n
(iii). Sea σ = (
). Por el proceso anterior, si σ manda k
σ(1) σ(2) σ(3) ⋯ σ(n)
a σ(k), tenemos que la permutación que construimos manda σ(k) a k, que es justamente
la definición de la inversa.
(iv) Supongamos que n ≤ m y sea la aplicación Ψ ∶ Sn → Sm definida por
Ψ(σ)(k) = {
σ(k) si k ≤ n
k
si k > n
Es claro que Ψ es un monomorfismo de grupos: observar que si k ≤ n, para todo σ ∈ Sn ,
Ψ(σ)(k) = σ(k) ≤ n. Por tanto
Ψ(σ) ○ Ψ(τ )(k) = Ψ(σ)(τ (k)) = σ(τ (k)) si k ≤ n
Ψ(σ) ○ Ψ(τ )(k) = Ψ(σ)(k) = k
si k > n
Ψ(σ ○ τ )(k) = σ ○ τ (k) = σ(τ (k))
Ψ(σ ○ τ )(k) = k
y
si k ≤ n
si k > n
Luego Ψ(σ) ○ Ψ(τ ) = Ψ(σ ○ τ ), lo que demuestra que Ψ es un homomorfismo de grupos.
Por otro lado, por definición, si Ψ(σ) = Id, entonces σ = Id lo que demuestra que Ψ es
inyectiva (hemos demostrado que Ker(Ψ) = {Id}). Por tanto Sn ≅ Im Ψ ≤ Sm . Observar
que
Im(Φ) = {σ ∈ Sm ∣ σ(k) = k si k > n}.
26
3.2 Subgrupos de Sn
Es más, por comodidad y claridad en la demostración, hemos dejado fijos los m−n últimos
elementos pero podı́amos haber dejado fijos cualquier conjunto de m − n y el resultado
serı́a cierto.
(v) Es claro que S2 tiene dos elementos y por tanto S2 ≅ Z2 es abeliano. Es más, si
consideramos
1 2 3
1 2 3
ρ1 = (
) y τ1 = (
)
2 3 1
1 3 2
1 2 3
1 2 3
) y τ1 ○ρ1 = τ3 = (
). Luego S3 no es abeliano.
3 2 1
2 1 3
ahora, por el apartado anterior, como S3 ≤ Sn si 3 ≤ n, entonces Sn no es abeliano.
∎
Tenemos que ρ1 ○τ1 = τ2 = (
Se deja como ejercicio el siguiente resultado:
Proposición 4 (Ejercicio) El centro de Sn , para n ≥ 3 es {Id}.
2.
Subgrupos de Sn
Vamos a comenzar esta sección demostrando que todo grupo finito es subgrupo de un
cierto grupo de permutaciones:
Teorema 1 (Teorema de Cayley) Sea G un grupo finito con n elementos. Entonces
G es isomorfo a un subgrupo de Sn .
Demo: Dado a ∈ G, la aplicación Φla ∶ G → G es biyectiva y por tanto una permutación
en G. Veamos que la aplicación
Φl ∶ G → SG
definida por Φl (a) = Φla
es un monomorfismo de grupos:
Φl (a ∗ b)(x) = a ∗ b ∗ x = Φla (b ∗ x) = Φla (Φlb (x)) = Φla ○ Φlb (x)
por lo que Φl (a ∗ b) = Φla ○ Φlb y por tanto Φ es un homomorfismo de anillos. Es más, si
Φl (a) = Φl (b), entonces a = a ∗ e = Φl (a)(e) = Φl (b)(e) = b ∗ e = b, por lo que Φ es inyectiva.
Por tanto G ≅ Im(Φl ) ≤ SG .
∎
En principio este teorema puede parecer muy práctico, aunque en realidad es muy
complicado calcular todos los subgrupos de Sn . Es más, en la actualidad no están clasificados los grupos finitos (sı́ que lo están los grupos abelianos finitos). Veamos algunos
subgrupos interesantes de Sn .
Ejemplos A Los subgrupos cı́clicos de S3 son:
⟨ρ0 ⟩ = {ρ0 }
⟨τ1 ⟩ = {τ1 , ρ0 } ≅ Z2
⟨τ3 ⟩ = {τ3 , ρ0 } ≅ Z2
⟨ρ1 ⟩ = ⟨ρ2 ⟩ = {ρ1 , ρ2 , ρ0 } ≅ Z3
⟨τ2 ⟩ = {τ2 , ρ0 } ≅ Z2
Veremos, una vez demostrado el Teorema de Lagrange, que éstos son todos los subgrupos propios de S3 .
Capı́tulo 3. Grupos de Permutaciones
27
Definición 2 Se define una figura P , como una colección de puntos, llamados vértices,
unidos dos a dos por aristas rı́gidas. Un movimiento de P será un cambio de posición
de P en donde los vertices permuten.
Observar que cada movimiento de P queda determinado por la permutación que sufren
sus vertices y que la composición de movimientos es el movimiento que corresponde con
la composición de permutaciones. Por tanto el conjunto de todos los movimientos de una
figura P con n aristas es un subgrupo de Sn .
Definición 3 Sea n ∈ N. Se define Dn , el grupo Diedral de n lados, como el conjunto
de todos los movimientos de un polı́gono regular de n lados.
Ejemplos B ⋆ Veamos que D3 , el conjunto de los movimientos de un triángulo equilátero
es isomorfo a S3 .
Si giramos el triángulo 180 grados según el eje que pasa por 1 y
el centro del segmento formado por los vértices 2 y 3 obtenemos
τ1 = (2, 3) (ver figura). De forma similar podemos obtener τ1 y τ2 .
3
1
2
Si giramos en el sentido de la agujas del reloj el triángulo completo
(según figura) obtenemos ρ1 . Si lo giramos en el sentido contrario
de las agujas del reloj, obtenemos ρ2 . Por último, si no lo movemos,
obtenemos ρ0 . ⧫ Por tanto S3 ≅ D3 .
3
1
2
⋆ Estudiemos en general, el subgrupo Dn :
Sea P un polı́gono regular de n lados. Numeremos los vertices de P
de 1 a n siguiendo el movimiento de las agujas del reloj. Si movemos
P sobre P , y nos fijamos en el vértice 1, tenemos que este puede ir
a parar a cualquier vértice de P , digamos k. Es más, en este caso al
vértice 2 sólo le quedan dos posibilidades: que caiga en el vértice
posterior o en el anterior al vértice 1. Por tanto Dn tiene 2n elementos.
Veamos cuales son:
6
5
7
4
8
3
1
2
Sea ρ el movimiento que consiste en girar 360/n grados el polı́gono P en el sentido de
las agujas del reloj y sea τ el movimiento que consiste en dejar fijo el vértice 1 y mandar
el vértice 2 al vértice n (y por tanto el vértice n va a parar al vértice 2). Tenemos entonces
que los elementos de Dn son
{ρ, ρ2 , . . . , ρn−1 , ρn = Id, τ ○ ρ, τ ○ ρ2 . . . , τ ○ ρn−1 , τ }
En donde ρk consiste en girar k 360/n grados en el sentido de la agujas del reloj. Y en
donde τ ○ ρk consiste en girar k 360/n grados en dicho sentido y luego voltear el polı́gono
180o según el eje que forma el vértice 1 con el lado opuesto (ver figura).
28
3.3 Factorización en Sn
Ejemplo para el polı́gono regular de 8 lados:
6
5
7
4
7
4
8
3
8
3
1
ρ=(
6
5
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8
)
8 1 2 3 4 5 6 7
(
2
1 2 3 4 5 6 7 8
)=τ
1 8 7 6 5 4 3 2
Corolario 4 El elemento ρ ∈ Dn tiene orden n, por lo que Sn contiene un subgrupo
isomorfo a Zn .
Zn ≅ ⟨ρ⟩ ≤ Dn ≤ Sn .
3.
Factorización en Sn
En lo que sigue denotaremos por X al conjunto {1, 2, . . . , n}.
Definición 1 Sea σ ∈ Sn el grupo de permutaciones con n elementos.
● Se dice que i ∈ X es fijado por σ, o queda fijo por σ, si σ(i) = i. Denotamos por
∆σ ∶= {i ∈ X ∣ σ(i) = i}.
● Se dice que i es movido por σ si σ(i) ≠ i. Denotamos por ∆′σ el conjunto de los
elementos que mueve σ, ∆′σ ∶= {i ∈ X ∣ σ(i) ≠ i}.
Lema 2 Sea σ ∈ Sn el grupo de permutaciones con n elementos. Entonces:
˙ ′σ (unión disjunta).
(i) X = ∆σ ∪∆
(ii) Para todo Y ⊂ X tal que σ(Y ) ⊂ Y se tiene: σ(Y ) = Y , σ(Y c ) = Y c . Es mas,
σ∣Y ∶ Y → Y
y
σ∣Y c ∶ Y c → Y c
son biyecciones. Por tanto, σ −1 (Y ) ⊂ Y .
(iii) σ(∆′σ ) ⊂ ∆′σ y ∆′σ−1 = ∆′σ .
(iv) σ∣∆σ ∶ ∆σ → ∆σ y σ∣∆′σ ∶ ∆′σ → ∆′σ son biyectivas.
Demo: (i) es trivial.
(ii) La restricción de σ al conjunto Y , σ∣Y ∶ Y → Y es una aplicación inyectiva y
como Y es un conjunto finito, es sobreyectiva. Por lo que es una biyección (y por tanto
σ −1 (Y ) = Y ). Por tanto todo elemento de Y es imagen de un elemento de Y . Dado ahora
z ∈ Y c , si σ(z) ∈ Y , σ(z) serı́a imagen de un elemento de Y y de un elemento de Y c , lo que
contradice que σ sea inyectiva. Por tanto σ(Y c ) ⊂ Y c . Por ultimo, repitiendo el argumento
para Y c tenemos que σ∣Y c ∶ Y c → Y c es biyectiva.
(iii) Como σ(∆σ ) ⊂ ∆σ , se tiene, por (ii), que σ(∆′σ ) ⊂ ∆′σ . Es más, ∆σ = ∆σ−1 ,
(σ(x) = x si y sólo si σ −1 (x) = x). Por lo que
∆′σ−1 = X − ∆σ−1 = X − ∆σ = ∆′σ
(iv) Se sigue de (ii) y (iii).
∎
Capı́tulo 3. Grupos de Permutaciones
29
Definición 3 Dos permutaciones σ, τ ∈ Sn se dicen que son disjuntas si no hay ningún
elemento de X que sea movido por ambas permutaciones. Es decir, si ∆′σ ∩ ∆′τ = ∅
Proposición 4 Si σ, τ ∈ Sn son dos permutaciones disjuntas, στ = τ σ.
Demo: Denotemos por ∆σ y ∆τ los elementos que quedan fijos respectivamente por σ y
τ y por ∆′σ y∆′τ los elementos que son movidos respectivamente por σ y τ . Por hipótesis,
˙ con Y ⊂ ∆σ ∩ ∆τ . Ası́, ∆′σ ⊂ ∆τ y ∆′τ ⊂ ∆σ y por tanto:
˙ ′τ ∪Y
∆′σ ∩ ∆′τ = ∅, luego X = ∆′σ ∪∆
si x ∈ ∆′τ , ( Ô⇒ τ (x) ∈ ∆′τ ⊂ ∆σ )
si x ∈ ∆′σ , ( Ô⇒ x ∈ ∆τ )
si x ∈ Y,
entonces, σ ○ τ (x) = σ(τ (x)) = τ (x)
entonces, σ ○ τ (x) = σ(τ (x)) = σ(x)
entonces, σ ○ τ (x) = x
de forma similar,
si x ∈ ∆′τ , ( Ô⇒ x ∈ ∆σ )
si x ∈ ∆′σ , ( Ô⇒ σ(x) ∈ ∆′σ ⊂ ∆τ )
si x ∈ Y,
entonces, τ ○ σ(x) = τ (σ(x)) = τ (x)
entonces, τ ○ σ(x) = τ (σ(x)) = σ(x)
entonces, τ ○ σ(x) = x
Por lo que σ ○ τ = τ ○ σ.
∎
Definición 5 Se dice que una permutación σ ∈ Sn es un ciclo de longitud k si existen
a1 , a2 , . . . , ak ∈ X tales que σ(ai ) = ai+1 para i = 1, 2, . . . , k − 1, σ(ak ) = a1 y ningún otro
elemento de X es movido por σ.
Notación: ⧫ Normalmente un ciclo σ ∈ Sn se denota por σ = (a1 , a2 , . . . , ak ), lo que
significa que σ mueve los elementos ai según la definición de ciclo y deja fijo cualquier
otro elemento.
⧫ Observar que al dar una permutación en su forma matricial, sabemos a que Sn
pertenece. Mientras que al dar un ciclo no sabemos en que grupo de permutaciones nos
encontramos.
⧫ Observar que la representación de una permutación en ciclos no es única: (1, 2, 3) =
(2, 3, 1) = (3, 1, 2).
Lema 6 (Ejercicio) Sea σ = (a1 , a2 , . . . , ak ) un ciclo de longitud k en Sn . Entonces:
(i) σ tiene orden k.
(ii) σ −1 = (ak , . . . , a2 , a1 )
Ejemplos A Por ejemplo: ρ1 y ρ2 son ciclos de longitud tres,
ρ1 = (
1 2 3
) = (1, 2, 3),
2 3 1
ρ2 = (
1 2 3
) = (3, 2, 1)
3 1 2
τ1 , τ2 y τ3 son ciclos de longitud dos,
y ρ0 = (
τ1 = (
1 2 3
1 2 3
) = (2, 3), τ2 = (
) = (1, 3),
3 2 1
1 3 2
τ3 = (
1 2 3
) = (1, 2)
2 1 3
1 2 3
) = (1) es un ciclo de longitud uno.
1 2 3
,
30
3.3 Factorización en Sn
Teorema 7 Toda permutación σ ∈ Sn distinta de la identidad se descompone como producto de ciclos disjuntos de longitud mayor o igual que dos. Es más, esta descomposición
es única salvo orden.
Demo: Sea γ una permutación arbitraria de Sn , X = {1, 2, . . . , n} y ∆′γ el conjunto de
elementos de X que son movidos por γ. Vamos a demostrar, por inducción al número de
elementos de ∆′γ , que γ se factoriza como producto de ciclos disjuntos de elementos de
∆′γ :
Si #∆′γ = 2 (nunca puede ser uno) tenemos que ∆′γ = {k1 , k2 } y necesariamente γ es
igual al ciclo (k1 , k2 ). Supongamos que toda permutación γ, con #∆′γ < m, se factoriza
como producto de ciclos disjuntos de elementos de ∆′γ y sea γ con #∆′γ = m. Consideremos
k1 ∈ ∆′γ y el subconjunto
Y = {k1 , γ(k1 ), γ 2 (k1 ), . . . , γ m (k1 ), . . . } ⊂ ∆′γ .
Como ∆′γ ⊂ X es finito, existen r, s ∈ N, con r < s, tales que γ r (k1 ) = γ s (k1 ). Si r ≠ 0,
operando por la izquierda por γ −r tenemos que
k1 = γ −r γ r (k1 ) = γ −r γ s (k1 ) = γ s−r (k1 )
y por tanto podemos considerar m1 el menor natural tal que k1 = γ m1 (k1 ). Tenemos que
Y = {k1 , γ(k1 ), . . . , γ m1 −1 (k1 }. Sea c1 = (k1 , γ(k1 ), . . . , γ m1 −1 (k1 )), ciclo de longitud m1 .
Observar que si x ∈ Y ,
c1 (x) = γ(x)
(1)
Como γ(Y ) ⊂ Y , tenemos, por 2(ii) que
γ∣∆′γ −Y ∶ ∆′γ − Y → ∆′γ − Y
es biyectivo por lo que podemos considerar la permutación:
γ∶X →X
definida por γ(s) ∶= {
γ(s) si s ∈ ∆′γ − Y
s
si s ∉ ∆′γ − Y
Observar que γ toma los mismos valores que γ en ∆′γ − Y , que además tiene menos
elementos que ∆′ γ. por lo que por el proceso de inducción γ = c2 ○ ⋯ ○ cr , producto de
ciclos disjuntos de elementos de ∆′ γ. Por tanto, c1 es disjunto a todos los anteriores (los
elementos de c1 son los de Y ). Veamos que γ = c1 ○ c2 ○ ⋯ ○ cr :
Dado x ∈ X:
☀ si x ∈ ∆′γ − Y , c2 ○ ⋯ ○ cr (x) = γ(x) = γ(x) ∈ ∆′γ − Y por lo que
c1 ○ c2 ○ ⋯ ○ cr (x) = c1 (c2 ○ ⋯ ○ cr (x)) = c2 ○ ⋯ ○ cr (x) = γ(c)
☀ si x ∈ Y , c2 ○ ⋯ ○ cr (x) = x por lo que
c1 ○ c2 ○ ⋯ ○ cr (x) = c1 (c2 ○ ⋯ ○ cr (x)) = c1 (x) = γ(x)
☀ si x ∈ ∆γ ,
c1 ○ c2 ○ ⋯ ○ cr (x) = x = γ(x)
Capı́tulo 3. Grupos de Permutaciones
31
Por lo que hemos “factorizado” la permutación γ. Supongamos ahora que tenemos dos
factorizaciones en ciclos disjuntos.
γ = c1 ○ c2 ○ ⋯ ○ cr = c′1 ○ c′2 ○ ⋯ ○ c′r′
Sea c1 = (k1 , k2 , . . . , ks ). Si aplicamos la primera factorización a k1 (como la factorización es de ciclos disjuntos) nos aparece k2 . Por lo que k1 pertenece a algún ciclo de
la segunda factorización. Es mas, aplicando reiteradamente la primera factorización a k1
obtenemos (por este orden) k2 , k3 , . . . , ks , k1 . Por lo que el ciclo de la segunda factorización
en donde está k1 es exactamente (k1 , k2 , . . . , ks ), es decir, c1 . Si simplificamos ahora c1 de
ambas factorizaciones y reiteramos el proceso obtenemos que los ciclos son los mismos, lo
que demuestra el teorema.
∎
4.
Paridad y Grupo alternado
Definición 1 Se define una transposición como un ciclo de longitud 2.
Nota: Si σ es una transposición, σ −1 = σ.
Lema 2 Cualquier ciclo de longitud n se descompone como producto de n − 1 transposiciones.
Demo: Sea σ = (a1 , a2 , . . . , an ) un ciclo de longitud n. Entonces
σ = (a1 , a2 ) ○ (a2 , a3 ) ○ ⋯ ○ (an−1 , an )
(∗)
Demostremos la igualdad (∗) por inducción a n. Si n = 2 no tenemos nada que demostrar.
Supongamos que la identidad es cierta para n − 1. Entonces
(a1 , a2 ) ○ (a2 , a3 ) ○ ⋯ ○ (an−2 , an−1 ) ○ (an−1 , an ) = (a1 , a2 , . . . , an−1 )(an−1 , an )
pero
(a1 , a2 , . . . , an−1 )(an−1 , an )an = (a1 , a2 , . . . , an−1 )an−1 = a1
(a1 , a2 , . . . , an−1 )(an−1 , an )an−1 = (a1 , a2 , . . . , an−1 )an = an
(a1 , a2 , . . . , an−1 )(an−1 , an )ak = (a1 , a2 , . . . , an−1 )ank = ak+1
Por lo que (a1 , a2 , . . . , an−1 )(an−1 , an ) = (a1 , a2 , . . . , an ).
k ≤n−1
∎
Nota: La siguiente es otra descomposición de un ciclo como producto de transposiciones: (a1 , a2 , . . . , an ) = (a1 , an ) ○ (a1 , an−1 ) ○ ⋯ ○ (a1 , a2 ).
Corolario 3 Toda permutación σ ∈ Sn se descompone como producto de transposiciones
(no necesariamente disjuntas y no de forma única).
Lema 4 (Ejercicio) Sea σ ∈ Sn una permutación. Si σ está descompuesta como producto
de transposiciones: σ = τ1 ○ τ2 ○ ⋯ ○ τn . Entonces σ −1 = τn ○ ⋯ ○ τ2 ○ τ1 .
Teorema 5 Sea σ ∈ Sn . Entonces, si σ se puede descomponer con un número par (impar)
de transposiciones, cualquier otra descomposición de σ tendrá un número par (impar)
de transposiciones.
32
3.4 Paridad y Grupo alternado
Demo: Demostremos en primer lugar esta propiedad para la permutación identidad.
Como Id = (1, 2) ○ (1, 2) (producto de dos transposiciones), tenemos que demostrar que
cualquier descomposición de la identidad se escribe con un número par de transposiciones:
supongamos que
Id = (a1 , b1 ) ○ ⋯ ○ (an , bn )
Sea k un elemento de X que aparezca en alguna de las transposiciones. Supongamos
que (ai , bi ) es la primera transposición en la que aparece k, es decir, ai o bi es igual a k
(supongamos ai = k) y k no aparece en ninguna transposición (ar , br ) con r > i.
● Veamos que i ≠ 1: en caso contrario
k = Id k = (k, b1 ) ○ ⋯ ○ (an , bn )k = (k, b1 )k = b1
una contradicción.
● Por tanto la transposición (k, bi ) no es la primera, con lo que nos podrı́amos encontrar
con los siguientes casos para (ai−1 , bi−1 ) ○ (k, bi ): dados x, y, z ∈ X distintos,
(x, y) ○ (z, b1 ) = (z, b1 ) ○ (x, y)
(x, z) ○ (z, b1 ) = (z, b1 , x) = (x, z, b1 ) = (x, b1 ) ○ (x, z)
(x, b1 ) ○ (z, b1 ) = (b1 , z, x) = (z, x, b1 ) = (z, b1 ) ○ (z, x)
(z, b1 ) ○ (z, b1 ) = Id
Luego, o me desaparecen dos transposiciones (caso cuarto), o puedo acercar la transposición (k, bi ) al primer lugar sin que haya mas apariciones de k en lugares anteriores. Por
tanto, como no puedo llegar al primer lugar, en algún momento desaparecerá.
Repitiendo este proceso para cualquier elemento que aparezca en las transposiciones se
hace desaparecer (de dos en dos), con lo que, quitando un número par de transposiciones
se quitan todas, es decir, n es par.
Hagamos ahora el caso general. Sea σ ∈ Sn y supongamos que
σ = (a1 , b1 ) ○ ⋯ ○ (an , bn ) = (a′1 , b′1 ) ○ ⋯ ○ (a′m , b′m )
Tenemos entonces que σ −1 = (an , bn ) ○ ⋯ ○ (a1 , b1 ) y por tanto
Id = (an , bn ) ○ ⋯ ○ (a1 , b1 ) ○ (a′1 , b′1 ) ○ ⋯ ○ (a′m , b′m )
Por el resultado anterior, n + m es un número par lo que obliga a que n y m sean pares o
n y m sean impares.
∎
Definición 6 Se dice que una permutación σ ∈ Sn es par si se puede escribir con un
número par de transposiciones. En caso contrario se dirá que σ es impar.
Proposición 7 Sea n ∈ N. Entonces An ∶= {σ ∈ Sn ∣ σ es par} es un subgrupo de Sn ,
llamado el subgrupo alternado. Es más, #An = n!/2.
Demo: Es claro que el producto de dos permutaciones pares es una permutación par. Por
tanto la operación es cerrada en An (por uno de los ejercicios de clase An es subgrupo de
Sn , al ser An finito). Ya se ha demostrado que Id ∈ An y por (4), si σ ∈ An , σ −1 ∈ An . Por
último, la aplicación
Ψ ∶ An → Sn − An
definida por Ψ(σ) = σ ○ (1, 2)
Capı́tulo 3. Grupos de Permutaciones
33
⋆ Está bien definida, ya que si σ es par, σ ○ (1, 2) es impar.
⋆ Tiene por aplicación inversa la función Φ ∶ Sn −An → An definida por Ψ(σ) = σ ○(1, 2)
Ψ ○ Φ(σ) = Ψ(σ ○ (1, 2)) = σ ○ (1, 2) ○ (1, 2) = σ
Φ ○ Ψ(σ) = Φ(σ ○ (1, 2)) = σ ○ (1, 2) ○ (1, 2) = σ
Por lo que #An = #(Sn − An ) y por tanto #An = n!/2.
∎
34
5.
3.5 Ejercicios del Tema
Ejercicios del Tema
1 Sea σ = (a1 , a2 , . . . , ak ) un ciclo de longitud k en Sn . Entonces:
(i) σ tiene orden k.
(ii) σ −1 = (ak , . . . , a2 , a1 )
2 Sea σ ∈ Sn una permutación. Supongamos que σ está descompuesta como producto de
transposiciones: σ = τ1 ○ τ2 ○ ⋯ ○ τn . Entonces σ −1 = τn ○ ⋯ ○ τ2 ○ τ1 .
3 Sean σ, τ dos ciclos disjuntos de longitud n y m. Calcula el orden de στ .
∗
4 Encuentra una permutación σ ∈ S10 de orden máximo (demuestralo).
∗
5 Demuestra que el centro de Sn , para n ≥ 3, es {Id}.
∗
6 Descompón en ciclos disjuntos y en transposiciones las siguientes permutaciones:
σ=(
1 2 3 4 5 6 7
),
2 5 7 6 1 4 3
τ =(
1 2 3 4 5 6 7
)
7 5 3 1 2 4 6
7 Encuentra una figura P tal que el conjunto de sus movimientos sea S4 .
∗∗
8 Calcula el subgrupo de movimientos de un rectángulo áureo.
9 Demuestra que la transposición (1, 2) no se puede escribir como producto de ciclos de
longitud 3.
10 Demuestra que D ∶= {σ ∈ S7 ∣ σ(1) = 1, σ(4) = 4} ≤ S7 . ¿A quien es isomorfo?
11 Demuestra que στ y τ σ, permutaciones de Sn , tienen la misma paridad.
12 Sea Bn el conjunto de permutaciones impares de Sn . Definimos en Bn el producto
σ ⋆ τ = σ ○ (1, 2) ○ τ
Demuestra que (Bn , ⋆) tiene estructura de grupo. ¿Es isomorfo a An ?
∗
Capı́tulo 4
Teorema de Lagrange
Objetivos del capı́tulo
Estudio de las clases laterales de un grupo G respecto de un subgrupo H (clases de equivalencia
de una cierta relación de equivalencia en G asociada a H). Se prueba que todas las clases son
equipotentes.
Se demuestra el Teorema de Lagrange que demuestra que el orden de un subgrupo siempre divide
al orden del grupo. Como corolario de obtiene que el orden de cualquier elemento divide al orden
del grupo.
1.
Clases laterales
Lema 1 Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Entonces la relación a ∼ b si y sólo
si ab−1 ∈ H es de equivalencia.
Demo: Demostremos que verifica las propiedades reflexiva, transitiva y simétrica.
● Reflexiva: dado a ∈ G, aa−1 = e ∈ H, por lo que a ∼ a.
● Transitiva: Supongamos que a ∼ b y b ∼ c. Tenemos entonces que ab−1 y bc−1 ∈ H y
por tanto ab−1 bc−1 = ac−1 ∈ H, y por tanto, a ∼ c.
● Simétrica: Supongamos que a ∼ b, entonces ab−1 ∈ H. Como H es un subgrupo
−1
(ab )−1 = ba−1 ∈ H y ası́, b ∼ a.
∎
Lema 2 Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Sea ∼ la relación anterior. Entonces
la clase de equivalencia de un elemento a ∈ G es:
a = Ha = {ha ∣ h ∈ H}
Llamada clase de equivalencia por la derecha de H en a.
Demo: Vamos a demostrar el lema por doble contenido:
Recordamos que a = {x ∈ G ∣ x ∼ a} = {x ∈ G ∣ xa−1 ∈ H}.
Sea x ∈ a. Por definición, xa−1 = h ∈ H, por tanto x = ha ∈ Ha. Es decir, a ⊂ Ha.
35
36
4.2 Teorema de Lagrange y consecuencias
Sea α ∈ Ha, entonces existe h ∈ H tal que α = ha. Tenemos entonces que αa−1 =
haa−1 h ∈ H y por tanto α ∼ a o lo que es lo mismo, α ∈ a y por tanto Ha ⊂ a .
∎
Nota: Observar que la clase por la derecha de H en e es H = He. Es más, Ha = He
(es decir, e = a) si y sólo si a ∈ H.
Lema 3 Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Entonces para todo a ∈ G, #H =
#Ha. Es decir, todas las clases de equivalencia por la derecha de H en G tienen el mismo
cardinal.
Demo: Es claro que la aplicación Ψ ∶ H → Ha definida por Ψ(h) = ha es biyectiva.
∎
Nos hemos centrado en estudiar las clases de equivalencia por la derecha de un grupo
G respecto de un subgrupo H. Es claro que también podrı́amos haber estudiado sus clases
por la izquierda. Enunciamos, aunque no demostramos, los resultados análogos:
Lema 4 Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Para todo a, b ∈ G, la relación a ≍ b
si y sólo si a−1 b ∈ H es de equivalencia.
Lema 5 Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Sea ≍ la relación anterior. Entonces
la clase de equivalencia de un elemento a ∈ G es:
a = aH = {ah ∣ h ∈ H}
Llamada clase de equivalencia por la izquierda de H en a.
Lema 6 Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Entonces para todo a ∈ G, #H =
#aH.
2.
Teorema de Lagrange y consecuencias
Teorema 1 (Teorema de Lagrange) Sea G un grupo finito y sea H un subgrupo de
G. Entonces #H divide a #G.
Demo: Consideremos la relación de equivalencia estudiada en la sección anterior:
a ∼ b si y sólo si ab−1 ∈ H
Tenemos entonces que está relación de equivalencia define una partición en G, por lo
que
G = Ha1 ∪ ⋯ ∪ Hak
es más, como todas las clases de equivalencia tienen el mismo número de elementos #Hai =
#H tenemos que #G = k #H. Lo que nos demuestra el teorema.
∎
Definición 2 Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Se define el ı́ndice de H en
G, y se denota por (G ∶ H) como el número de clases de equivalencia por la derecha de
H en G.
Capı́tulo 4. Teorema de Lagrange
37
Nota: El ı́ndice de H en G coincide con #G/#H. Por tanto, el número de clases de
equivalencia por la derecha y por la izquierda coincide.
Corolario 3 Sea G un grupo finito y a ∈ G. Entonces ○a divide a #G.
Demo: El resultado se sigue del teorema de Lagrange: el orden de a coincide con #⟨a⟩,
el subgrupo generado por a.
∎
Corolario 4 Sea G un grupo finito. Entonces para todo a ∈ G, a#G = e.
Demo: Sea k el orden de a, tenemos entonces que ⟨a⟩ = {a, a2 , . . . , ak = e}, y sea n el
orden de G. Por el corolario anterior n = kc y por tanto an = akc = (ak )c = ec = e.
∎
Corolario 5 Sea G un grupo finito con p elementos (p un número primo). Entonces G
es cı́clico isomorfo a Zp .
Demo: Sea a ∈ G distinto del elemento neutro. Entonces a, e ∈ ⟨a⟩ es un subgrupo de G.
Por el Teorema de Lagrange #⟨a⟩ divide a p y como no puede ser uno, #⟨a⟩ = p, o lo que
es lo mismo, ⟨a⟩ = G.
∎
Corolario 6 Sea G un grupo finito y sean H y K subgrupos de G. Supongamos que
m. c. d(#H, #K) = 1. Entonces H ∩ K = {e}.
Demo: Por el Teorema de lagrange #(H ∩K) divide a #H y #K, por lo que #(H ∩K) = 1
y por tanto H ∩ K = {e}.
∎
Corolario 7 (Teorema de Euler(Fermat)) Sean n ∈ N y a ∈ Z primos relativos. Entonces
aϕ(n) ≡ 1(mod n)
Demo: Sabemos que (Zn , ⋅) es un monoide. Por lo que el subconjunto de los elementos
inversibles, que coincide con {a ∈ Zn ∣ m. c. d(a, n) = 1}, es un grupo con el producto (con
ϕ(n) elementos). Por lo que por el corolario 4, (Pag. 37) aϕ(n) ≡ 1(mod n).
∎
Veamos que ahora si podemos determinar el retı́culo de los subgrupos de S3 . Con poco
esfuerzo, vamos a demostrar algo un poco más general.
Proposición 8 Sea G un grupo de orden pq con p, q dos números primos. Entonces todo
subgrupo propio de G es cı́clico de orden p o q.
En particular, los subgrupos de S3 son:
{ρ0 , ρ1 , ρ2 , τ1 , τ2 , τ3 }
{ρ0 , ρ1 , ρ2 } {ρ0 , τ1 }
{ρ0 }
{ρ0 , τ2 }
{ρ0 , τ3 }
38
3.
4.3 Ejercicios del Tema
Ejercicios del Tema
1 Calcula las clases laterales por la izquierda y por la derecha de H = {ρ0 , τ1 } en S3 .
¿Cual es el ı́ndice de H en S3 ?
2 Sean H y K subgrupos de un grupo G. Supongamos que existen a, b ∈ G tales que
Ha ⊆ Kb. Demuestra que H ⊂ K.
∗
3 Sea G un grupo de orden p2 con p un número primo. Demuestra que o G es cı́clico o
para todo a ∈ G, ap = e.
∗
4 Sea p un número primo.
(a). Demuestra que (Zp − {0}, ⋅), es un grupo.
(b) Demuestra que para cada d que divide a p−1 el numero de elementos de (Zp −{0}, ⋅)
de orden d es menor o igual que ϕ(d).
∗∗
(c) Demuestra que (Zp − {0}, ⋅), es cı́clico.
∗∗
5 Sea (G, ∗) un grupo y sea a ∈ G. Demuestra que ⟨{a}⟩ = ⟨{a−1 }⟩.
Capı́tulo 5
Grupo cociente
Objetivos del capı́tulo
Estudiamos condiciones para poder definir una estructura de grupo en el conjunto cociente de un
grupo G por una relación de equivalencia R.
Introducimos la noción de subgrupo normal dando diversas caracterizaciones.
Introducimos la estructura cociente viendo sus principales propiedades. Estudiamos la proyección
canónica en el cociente.
1.
Conjunto cociente y grupos
Como sabemos, toda relación de equivalencia R en un conjunto X da lugar a una
partición en X y por tanto al conjunto cociente X/R y viceversa. En este tema vamos a
estudiar relaciones de equivalencia “que se lleven bien” con la estructura del grupo. Más
especı́ficamente, relaciones de equivalencia que “induzcan” una estructura de grupo en el
conjunto cociente: buscamos una relación de equivalencia ≃ en un grupo G tal que en el
conjunto cociente G/≃ la operación
a ∗ b ∶= a ∗ b
esté bien definida (se explicará) y dote al cociente de estructura de grupo.
Aunque no nos percatáramos en su momento, ya hemos dado estructura de grupo a
conjuntos cocientes. Si (R, +, ⋅) es un anillo e I es un ideal de R, la relación a ∼ b si y solo
si a − b ∈ I define una relación en el conjunto cociente R/I que lo dota de estructura de
grupo abeliano.
Teorema 1 Sea G un grupo y sea ≃ una relación de equivalencia en G. Supongamos que
en el conjunto cociente G/≃ la operación
a ∗ b ∶= a ∗ b
está bien definida. Entonces:
39
40
5.1 Conjunto cociente y grupos
(i) (G/≃ , ∗) tiene estructura de grupo en donde el elemento neutro de (G/≃ , ∗) es e y
para todo a ∈ G, el inverso de a ∈ G/≃ es precisamente a−1 .
(ii) La clase de equivalencia del elemento neutro es subgrupo de G.
(iii) Dados a, b ∈ G, a ≃ b si y sólo si ab−1 ∈ e.
(iv) Sea H = e. Entonces para todo a ∈ G y h ∈ H, aha−1 ∈ H.
Demo: (i). Dados a, b, c ∈ G,
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ b ∗ c = (a ∗ b) ∗ c
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ b ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
Lo que demuestra que la operación es asociativa. Es claro que
a∗e=a∗e=a
e∗a=e∗a=a
por lo que e es el neutro de (G/≃ , ∗). Por otro lado, dado a ∈ G,
a ∗ a−1 = a ∗ a−1 = e
a−1 a = a−1 ∗ a = e
lo que demuestra que a−1 es el inverso de a ∈ G/≃ .
(ii). Como (G/≃ , ∗) es un grupo, dados a, b ∈ e, es decir a = e = b, se tiene que
a∗b=a∗b=e∗e=e∗e=e
y por tanto a ∗ b ∈ e. Lo que demuestra que la operación es cerrada en e.
Por hipótesis e ∈ e. Por último, sea a ∈ e, entonces
e = a ∗ a−1 = e ∗ a−1 = a−1
por lo que a−1 ∈ e, lo que demuestra el lema.
(iii). Supongamos que a ≃ b. Tenemos entonces que
e = a ∗ (a)−1 = a ∗ (b)−1 = a ∗ b−1
por lo que a ∗ b−1 ∈ e. Por otro lado, si a ∗ b−1 ∈ e, entonces a ∗ b−1 = e y por tanto,
e = a ∗ b−1 = a ∗ b−1 = a ∗ b
−1
multiplicando por la derecha por b obtenemos:
e∗b=a∗b
−1
∗b=a
Es decir, a ≃ b.
(iv). Que la operación ∗ esté bien definida significa que no depende de representantes:
si a′ ∼ a y b′ ∼ b entonces a′ ∗ b′ = a ∗ b
Capı́tulo 5. Grupo cociente
41
o lo que es lo mismo, que puedo cambiar el representante cuando hago un producto en el
conjunto cociente. Por otro lado la clase del elemento neutro es H, e = H. Ası́,
a ∗ h ∗ a−1 = a ∗ h ∗ a−1 = a ∗ e ∗ a−1 = a ∗ a−1 = e
lo que demuestra que a ∗ h ∗ a−1 ∈ H.
∎
Nota: Hemos demostrado que una condición necesaria para poder definir una estructura de grupo en un conjunto cociente G/≃ es que la relación de equivalencia sea la de las
clases por la derecha respecto de un subgrupo H de G que verifica una condición extra:
para todo a ∈ G y h ∈ H, aha−1 ∈ H. En lo que sigue vamos a estudiar subgrupos que
tienen esta propiedad y demostraremos que siempre que tengamos un subgrupo H de G
con esta propiedad vamos a poder definir una estructura de grupo en el conjunto cociente
(de las clases por la derecha de H en G).
Nota: Observar que la última condición nos dice que H es su único conjugado.
2.
Subgrupo Normal
Definición 1 Sea G un grupo. Se dice que un subgrupo N de G es normal en G, y se
representa por N ⊲ G, si para todo a ∈ G, n ∈ N , ana−1 ∈ N .
Proposición 2 Sea G un grupo y N un subgrupo de G. Las siguientes condiciones son
equivalentes:
(i) N es un subgrupo normal de G.
(ii) N es invariante para todo automorfismo interno.
(iii) Para todo a ∈ G, aN = N a (las clases laterales coinciden).
Demo: (i) Ô⇒ (ii). Sea a ∈ G y consideremos el automorfismo interno Φa ∶ G → G
definido por Φa (x) = axa−1 . Tenemos entonces, por definición de subgrupo normal que
Φa (N ) = aN a−1 ⊂ N . Por otro lado, dado n ∈ N ,
a−1 n(a−1 )−1 = n′ ∈ N,
por lo que n = an′ a−1 ∈ Φa (N ) lo que demuestra que Φa (N ) = N .
(ii) Ô⇒ (iii). Supongamos que N es invariante por todo automorfismo interno.
Dado a ∈ G, sea an ∈ aN . Tenemos entonces que Φa (n) = ana−1 ∈ N , por lo que an =
Φa (n)a ∈ N a. Recı́procamente, dado na ∈ N a, Φa−1 (n) = a−1 n(a−1 )−1 = n′ ∈ N , por lo que
na = an′ ∈ N a. Luego para todo a ∈ G, aN = N a.
(iii) Ô⇒ (i) Sea a ∈ G y n ∈ N . Como las clases por la derecha y por la izquierda
coinciden, existe n′ ∈ N tal que an = n′ a. Por tanto ana−1 = n′ ∈ N , lo que demuestra que
N es un subgrupo normal de G.
∎
Ejemplos A ⋆ Los subgrupos triviales siempre son subgrupos normales, es decir, G y {e}
son subgrupos normales de G.
⋆ Sea S3 el grupo de permutaciones de 3 elementos. Entonces N = {ρ0 , ρ1 , ρ2 } es un
subgrupo normal de S3 y H = {τ1 , ρ0 } no lo es.
Proposición 3 Sea G un grupo. Entonces:
42
5.3 Grupo cociente
(i) Cualquier subgrupo de G contenido en Z(G) es normal.
(ii) Si G es un grupo abeliano, cualquier subgrupo suyo es normal.
Definición 4 Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Se dice que un subgrupo H ′ de G
es conjugado con H si existe un automorfismo interno Φa ∶ G → G tal que Φa (H) = H ′ .
Nota: Recordar que la relación de conjugación es una relación de equivalencia en el
retı́culo de los subgrupos de G.
Proposición 5 Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Si H sólo es conjugado a si
mismo, entonces H es subgrupo normal de G. En particular, si no hay subgrupos de G
(distintos de H) con #H elementos, entonces H es normal en G.
Proposición 6 Sea G un grupo finito y H un subgrupo de G de ı́ndice 2. Entonces H es
normal en G.
Demo: Solo hay dos clases por la izquierda de H en G, H y H c . Lo mismo sucede para
las clases por la derecha y por tanto el subgrupo es normal.
∎
Nota: En particular An , el subgrupo alternado de Sn es un subgrupo normal de Sn .
3.
Grupo cociente
Teorema 1 Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G. Entonces:
(i) El conjunto cociente G/∼ con la operación
a ∗ b ∶= a ∗ b
tiene estructura de grupo, que denotaremos por G/N .
(ii) La aplicación π ∶ G → G/N definida por π(a) = a es un epimorfismo de grupos. Es
más, Ker π = N . Esta aplicación es llamada la proyección canónica de G en G/N .
(iii) Si G es abeliano, entonces G/N es abeliano.
(iv) Si G es cı́clico, entonces G/N es cı́clico.
(v) Si G es finito, entonces G/N es finito. Es más, #(G/N ) = (G ∶ N ).
Demo: (i) Veamos en primer lugar que la operación está bien definida: sean a, a′ , b, b′ ∈ G
tales que a ∼ a′ y b ∼ b′ . Tenemos entonces que a′ = ha y b′ = h′ b con h, h′ ∈ N . Es más,
como N es subgrupo normal de G dado ah′ ∈ aH, existe h′′ ∈ H tal que ah′ = h′′ a. Por
tanto
a′ ∗ b′ = hah′ b = hh′′ ab
lo que demuestra que a′ ∗ b′ ∼ a ∗ b. Como el producto está bien definido, tenemos que por
el Teorema 1 (Pag. 39), (G/N, ∗) tiene estructura de grupo.
(ii) consideremos la aplicación π ∶ G → G/N definida por π(a) = a. Es claro que está
bien definida y es sobreyectiva. Veamos que es un homomorfismo de grupos:
π(a ∗ b) = a ∗ b = a ∗ b = π(a) ∗ π(b)
Capı́tulo 5. Grupo cociente
43
Calculemos por último el Ker(π) sea x ∈ Ker(π). Tenemos que π(x) = x = e por lo que
x ∈ e = N e = N . Sea x ∈ N . Tenemos entonces que x = e por lo que π(x) = e.
(iii) Resultado casi trivial: a ∗ b = a ∗ b = b ∗ a = b ∗ a.
(iv) Supongamos que G es cı́clico generado por a. Tenemos entonces que dado b ∈ G/N ,
existe k ∈ Z tal que b = an y por tanto b = an = an . Lo que demuestra que G/N es cı́clico
generado por a.
(v). Ya está demostrado.
∎
Proposición 2 Sean G y G′ dos grupos y f ∶ G → G′ un homomorfismo de grupos.
Entonces el Ker(f ) es un subgrupo normal de G. Es más, si H es un subgrupo normal de
G, existe un homomorfismos de grupos g ∶ G → G′′ tal que H = Ker(g).
Demo: Si N es un subgrupo normal, tenemos la proyección canónica de G en el cociente:
π ∶ G → G/N que es un epimorfismo de grupos, con Ker(π) = N . Supongamos ahora que
f ∶ G → G′ es un homomorfismo de grupos. Veamos que Ker(f ) es un subgrupo normal
de G: dado a ∈ G y n ∈ Ker f ,
f (a ∗ n ∗ a−1 ) = f (a) ∗ f (n) ∗ f (a−1 ) = f (a) ∗ e ∗ f (a−1 ) = f (a) ∗ f (a−1 )
= f (a ∗ a−1 ) = f (e) = e.
Por lo que para todo a ∈ G, n ∈ Ker(f ), a ∗ n ∗ a−1 ∈ Ker(f ).
∎
Teorema 3 Sea G un grupo, N un subgrupo normal de G y π ∶ G → G/N la proyección
canónica al cociente. Entonces:
● Si H es un subgrupo de G, entonces
π(H) ∶= H = {x ∈ G/N ∣ x ∈ H} es un subgrupo de G/N
● Si K es un subgrupo de G/N , entonces K ∶= π −1 (K) es un subgrupo de G con
N ⊂ K ⊂ G y K = K.
Es más, los item anteriores definen una aplicación biyectiva entre el retı́culo de los subgrupos de G/N y el retı́culo de los subgrupos de G que contienen a N .
Φ ∶ {H ◁ G ∣ N ⊂ H ⊂ G} Ð→ {K ∣ K ◁ G/N }
J
z→
J
Demo: Sabemos que si H ≤ G, π(H) ≤ G/N . También sabemos que si K ≤ G/N , entonces
K ∶= π −1 (K) ≤ G. Además, como para cada n ∈ N se tiene que π(n) = 0, N ⊂ π −1 (K).
Veamos ahora que la aplicación Φ es sobreyectiva:
Sea K ≤ G/N y consideremos K ∶= π −1 (K). Por definición si k ∈ K, π(k) ∈ K, por lo
que π(K) ⊂ K. Por otro lado, si w ∈ K como π ∶ G → G/N es sobreyectiva existe v ∈ G con
π(v) = w ∈ K y por tanto v ∈ K con π(v) = w, por lo que K ⊂ π(K).
Veamos ahora que la aplicación Φ es inyectiva:
Sean H y H ′ dos subgrupos de G tales que Φ(H) = Φ(H‘). Dado h ∈ H, π(h) ∈
′
Φ(H) = Φ(H‘), por lo que existe h′ ∈ H ′ tales que h = h , por lo que h − h′ ∈ N y por tanto
h = h′ + n ∈ H ′ . El otro contenido es simétrico.
∎
44
5.3 Grupo cociente
Proposición 4 Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G. Entonces la biyección
del teorema anterior mantiene la normalidad.
Demo: Sea H ◁ G y sea π(H) ≤ G/N . Dados α ∈ π(H) y g ∈ G/N tenemos que existe
h ∈ H con α = h, por lo que
g h g −1 = ghg −1 ∈ π(H). ya que ghg −1 ∈ H
Sea K ◁ G/N y sea K = π −1 (K). Dados k ∈ K y g ∈ G, ¿gkg −1 ∈ K?
π(gkg −1 ) = gkg −1 ∈ K, como querı́amos.
∎
Capı́tulo 5. Grupo cociente
4.
45
Ejercicios del Tema
1 ¿Es H = {ρ0 , τ3 } subgrupo normal de S3 ?
2 Sea G un grupo y H, K son subgrupos normales de G. Demuestra que H ∩ K es un
subgrupo normal de G.
3 Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G. Supongamos que H ′ es un conjugado
de H. Demuestra que H ′ es un subgrupo normal de G.
4 Sea G un grupo con n elementos y sea a ∈ G tal que am = e con m. c. d(n, m) = 1.
Demuestra que a = e.
∗
5 Sea G un grupo y sea H un subgrupo normal de G. Demuestra que π(H) es un
subgrupo normal de G/H y que π −1 (π(H)) es un subgrupo normal de G que contiene a
H.
∗
6 Se dice que un grupo G es simple si G ≠ {e} y los únicos subgrupos normales de G son
los triviales. Demuestra que si G es un grupo simple y abeliano, entonces G es finito con
un número primo de elementos.
∗
7 Sea G un grupo. Se dice que un subgrupo (normal) H de G es maximal si para todo
subgrupo (normal) K de G tal que H ⊆ K ⊆ G se tiene que H = K o K = G. Demuestra
que si H es un subgrupo normal de G maximal, entonces G/H es simple.
∗
8 Sea G un grupo simple. Demuestra que todo homomorfismo f ∶ G → G′ , con G′ un
grupo arbitrario, es inyectivo o nulo.
9 Sea H un subgrupo normal de un grupo G. Supongamos que (G ∶ H) = m. Demuestra
que para todo a ∈ G, am ∈ H.
∗
10 Demuestra que todo subgrupo normal H de G con #H = 2 está contenido en el centro
de G, es decir, H ⊂ Z(G).
∗
11 Sea G un grupo y H ≤ G. Demuestra que N (H) = {a ∈ G ∣ aHa−1 = H} es un
subgrupo de G que contiene a H. Demuestra que H es un subgrupo normal de N (H). ∗
12 Sea G un grupo y H, K subgrupos de G. Supongamos que H o K es un subgrupo
normal de G.
∗
(i) Demuestra que HK = {hk ∣ h ∈ H, k ∈ K} es un subgrupo de G.
(ii) Si ambos son subgrupos normales, entonces HK es normal en G.
13 Sea H un subgrupo de G tal que para todo a ∈ G, a2 ∈ H. Demuestra que H es un
subgrupo normal de G y que G/H es abeliano.
∗
14 Sea G un grupo y H, K subgrupos normales de G tales que H ∩ K = {e}. Entonces
para todo h ∈ H y k ∈ K, hk = kh.
∗∗
46
5.4 Ejercicios del Tema
15 Sea G un grupo y H un subgrupo de G con n elementos. Demuestra que la intersección
de todos los subgrupos de G con n elementos es un subgrupo normal de G.
∗∗
16 Sea H un subgrupo normal de G y K un subgrupo normal de H. Demuestra que
para cada a ∈ G, aKa−1 es un subgrupo normal de H.
∗∗
17 Sea G un grupo. Para todo a, b ∈ G definimos el conmutador de a, b y lo representamos
por [a, b] como [a, b] = aba−1 b−1 . Sea
∗∗
N = {⟨[a, b]⟩ ∣ a, b ∈ G}.
(i) Demuestra que N es un subgrupo normal de G.
(ii) Demuestra que G/N es abeliano.
(iii) Demuestra que si H es un subgrupo normal de G con G/H abeliano, entonces N ⊂ H.
18 Sea G un grupo. H un subgrupo normal de G y K un subgrupo normal de H. ¿Es
K un subgrupo normal de G?
∗
19 Sea G un grupo con n elementos. Supongamos que para cada m ∈ N, la ecuación
X m = e tiene a lo sumo m soluciones. Demuestra que G es cı́clico.
∗∗
Capı́tulo 6
Teoremas de Isomorfı́a
Objetivos del capı́tulo
En este capitulo demostramos los teoremas de Isomorfı́a.
1.
Primer Teorema de Isomorfı́a
Teorema 1 (Primer Teorema de Isomorfı́a) Sean G y G′ dos grupos y consideremos f ∶ G → G′ un homomorfismo de grupos. Entonces G/ ker(f ) ≅ Im(f ) es más, la
aplicación f ∶ G/ ker(f ) → Im(f ) definido por f (a) = f (a) es un isomorfismo que hace
conmutativo el siguiente diagrama:
f
G
(Epimorfismo) π
G′
i (Monomorfismo)
G/ Ker(f )
Im f
f
(Isomorfismo)
Observar que entonces f = i ○ f ○ π con i un monomorfismo, f un isomorfismo y π un
epimorfismo de grupos.
Demo: Sabemos que ker(f ) es un subgrupo normal de G, por lo que tiene sentido
G/ Ker(f ). Sea la aplicación f ∶ G/ ker(f ) → Im(f ) definida por f (a) = f (a).
Veamos que está bien definida: si a = b, entonces b = za con z ∈ Ker(f ), por lo que
f (b) = f (za) = f (z)f (a) = ef (a) = f (a). es más, dado a ∈ G/ Ker(f ), f (a) = f (a) ∈ Im(f ).
Luego está bien definida.
Es un homomorfismo de grupos:
f (a ∗ b) = f (a ∗ b) = f (a ∗ b) = f (a) ∗ f (b) = f (a) ∗ f (b)
Es claramente sobreyectiva: dado f (a) ∈ Im(f ), f (a) = f (a).
47
48
6.2 Segundo Teorema de Isomorfı́a
Veamos que es inyectiva: sea x ∈ G/ Ker(f ) tal que f (x) = e. tenemos entonces que
f (x) = e y por tanto x ∈ Ker(f ) o lo que es lo mismo, x = e.
Por último, el diagrama es conmutativo por construcción.
∎
2.
Segundo Teorema de Isomorfı́a
Veamos algún lema previo para el segundo teorema de Isomorfı́a.
Definición 1 Sea G un grupo y sean H, K subgrupos de G. Definimos H ∨ K como el
menor subgrupo de G que contiene a H y a K.
Sabemos que H ∨ K siempre existe. Es más, H ∨ K coincide con la intersección de
todos los subgrupos de G que contienen tanto a H como a K. Por otro lado, observar que
el conjunto HK ∶= {hk ∣h ∈ H, k ∈ K} contiene a H y a K y está contenido en H ∨ K.
Por tanto, H ∨ K es el menor subgrupo de G que contiene a HK.
Lema 2 Sea G un grupo y sean H, K dos subgrupos de G. Entonces:
(i) Si H es normal en G. Entonces H ∨ K = HK = KH.
(ii) Si H y K son subgrupos normales de G, entonces HK es un subgrupo normal de G.
Nota: Si en (i) H no es normal y K si, el resultado es el mismo.
Demo: (i). Supongamos que H es subgrupo normal de G y veamos que HK es un subgrupo de G. Veamos que la operación es interna en HK: dados h, h′ ∈ H y k, k ′ ∈ K, como
H ≤ G,
hkh′ k ′ = hkh′ k −1 kk ′ = h(kh′ k −1 )kk ′ ∈ HK
Es claro que e = ee ∈ HK. Veamos que HK = KH antes de demostrar que todo elemento
posee inverso: dado hk ∈ HK,
hk = kk −1 hk = k(k −1 hk) ∈ KH
De igual forma, dado kh ∈ KH,
kh = khk −1 k = (khk −1 )k ∈ HK
Por último dado hk ∈ HK, k −1 h−1 ∈ KH = HK es el inverso.
(ii) Supongamos ahora que tanto H como K son subgrupos normales. Entonces, para
todo a ∈ G:
ahka−1 = aha−1 aka−1 = (aha−1 )(aka−1 ) ∈ HK
Luego HK ◁ G.
∎
Teorema 3 (Segundo Teorema de Isomorfı́a) Sea G un grupo, H un subgrupo normal de G y K un subgrupo de G. Entonces:
(i) H es subgrupo normal de H ∨ K y H ∩ K es subgrupo normal de K.
(ii) H ∨ K/H ≅ K/(H ∩ K)
Capı́tulo 6. Teoremas de Isomorfı́a
49
Demo: (i). Dado a ∈ H ∨ K, tenemos que aha−1 ∈ H, ya que H es normal en G, por lo que
H es normal en H ∨ K. Sea k ∈ K y h ∈ H ∩ K. Entonces khk −1 ∈ K ya que es un producto
de tres elementos de K y khk −1 ∈ H ya que H es normal en G. Por tanto H ∩ K ⊴ K
(ii). Sabemos, por el lema anterior, que H ∨ K = HK. Consideremos la aplicación
Φ ∶ HK → K/(H ∩ K)
definida por Φ(hk) = k.
Tenemos que demostrar que está bien definida: supongamos que hk = h′ k ′ , entonces h′−1 h =
k ′ k −1 ∈ H ∩ K, luego k ′ k −1 ∈ H ∩ K y por tanto k ′ ∼ k en K/H ∩ K es decir, k = k ′ en
′
K/H ∩ K. Ası́, Φ(hk) = k = k = Φ(h′ k ′ ).
Veamos que es un homomorfismo de grupos: dados h, h′ ∈ H y k, k ′ ∈ K tenemos que
hkh′ k ′ = hkh′ k −1 kk ′ = (hkh′ k −1 )kk ′ en donde hkh′ k −1 ∈ H y kk ′ ∈ K. Por tanto
Φ(hk h′ k ′ ) = Φ((hkh′ k −1 )kk ′ ) = kk ′ = k ⋅ k ′ = Φ(hk)Φ(h′ k ′ )
luego es un homomorfismo de grupos.
Es claro que dado k ∈ K, Φ(ek) = k, por lo que Φ es sobreyectiva. Es más, si h ∈ H,
h = he ∈ HK y por tanto Φ(hk) = e, es decir, H ⊂ Ker(Φ). Por otro lado, sea hk ∈ Ker Φ.
Tenemos entonces que Φ(hk) = k = e, por lo que k ∈ H ∩ K, y por tanto hk ∈ H. Es decir,
Ker Φ = H.
Aplicando ahora el primer teorema de Isomorfı́a: H ∨ K/ Ker(Φ) ≅ Im(Φ) es decir
H ∨ K/H ≅ K/(H ∩ K).
∎
Nota: La aplicación Φ ∶ K → HK/H definida por Φ(k) = ek es un epimorfismo de
grupos con Ker Φ = H ∩ K.
3.
Teorema de Zassenhaus
Lema 1 (Teorema de la Mariposa o de Zassenhaus) Sea G un grupo y sean H y
K dos subgrupos de G. Supongamos que H ∗ es un subgrupo normal de H y K ∗ es un
subgrupo normal de K. Entonces:
H ∗ ∨ (H ∩ K) = H ∗ (H ∩ K);
H ∗ ∨ (H ∩ K ∗ ) = H ∗ (H ∩ K ∗ );
K ∗ ∨ (K ∩ H) = K ∗ (K ∩ H);
K ∗ ∨ (K ∩ H ∗ ) = K ∗ (K ∩ H ∗ );
H ∗ ∩ K ◁ H ∩ K;
H ∩ K ∗ ◁ H ∩ K;
(H ∗ ∩ K) ∨ (H ∩ K ∗ ) = (H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) ◁ H ∩ K;
(H ∩ K)/(H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) ≅ (H ∗ (H ∩ K))/H ∗ (H ∩ K ∗ )
(H ∩ K)/(H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) ≅ (K ∗ (H ∩ K))/K ∗ (H ∗ ∩ K)
El siguiente grafo, que da nombre al teorema, nos visualiza parte de la información.
50
6.3 Teorema de Zassenhaus
H
K
H ∗ (H ∩ K)
H ∗ (H ∩ K ∗ )
K ∗ (H ∩ K)
H ∩K
K ∗ (H ∗ ∩ K)
(H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ )
H∗
H∗ ∩ K
K∗
H ∩ K∗
Demo: Vamos a usar, reiteradamente, que si U y V son dos subgrupos de un grupo G,
U ∨ V = U V en cuanto uno de ellos es normal en G. Si ambos son normales en G, el grupo
U ∨ V = U V es un subgrupo normal de G.
(a) H ∗ ◁ H y (H ∩ K) ≤ H, por lo que H ∗ ∨ (H ∩ K) = H ∗ (H ∩ K).
(b) H ∗ ◁ H y (H ∩ K ∗ ) ≤ H, por lo que H ∗ ∨ (H ∩ K ∗ ) = H ∗ (H ∩ K ∗ ).
(c) K ∗ ◁ K y (H ∩ K) ≤ K, por lo que K ∗ ∨ (H ∩ K) = K ∗ (H ∩ K).
(d) K ∗ ◁ K y (H ∗ ∩ K) ≤ K, por lo que K ∗ ∨ (H ∗ ∩ K) = K ∗ (H ∗ ∩ K).
(e) H ∩ K ∗ ◁ H ∩ K; H ∗ ∩ K ◁ H ∩ K.
(f) Por el apartado anterior, (H ∩ K ∗ )(H ∗ ∩ K) ◁ H ∩ K.
(g) Por el apartado anterior tiene sentido considerar el primer cociente importante del
teorema G′ ∶= (H ∩ K)/(H ∩ K ∗ )(H ∗ ∩ K). Definamos la aplicación
f ∶ H ∗ (H ∩ K) → G′ definido por f (h∗ x) = x
Como x ∈ H ∩ K, x ∈ G′ . Veamos que la aplicación f está bien definida: supongamos
un elemento α ∈ H ∗ (H ∩ K) tal que lo podemos escribir de dos maneras distintas, existen
u, v ∈ H ∗ y x, y ∈ H ∩ K tales que α = ux = vy. Entonces v −1 u = yx−1 ∈ H ∗ ∩ (H ∩ K) por
lo que yx−1 ∈ H ∗ ∩ K ⊂ (H ∩ K ∗ )(H ∗ ∩ K) y f (ux) = x = y = f (vy) ∈ G′ .
Veamos que es un epimorfismo de grupos: sean u, v ∈ H ∗ y x, y ∈ H ∩ K, entonces
f ((uxvy) = f (uxvx−1 xy) = xy = x y = f (ux)f (vy)
Ya que H ∗ es normal en H y uxvx−1 ∈ H ∗ . Claramente es un epimorfismo.
Veamos que Ker f = H ∗ (H ∩K ∗ ): Si α ∈ H ∗ (H ∩K ∗ ), existen u ∈ H ∗ y existe x ∈ H ∩K ∗
tal que α = ux. por tanto f (α) = x = e ya que x ∈ H ∩ K ∗ ⊂ (H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ). Por otro
lado, para todo u ∈ H ∗ y x ∈ H ∩ K tal que f (ux) = e se tiene que e = x y por tanto
x ∈ (H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) por lo que existen a ∈ H ∗ ∩ K y b ∈ H ∩ K ∗ con x = ab, luego
α = ux = uab = (ua)b ∈ H ∗ (H ∩ K ∗ ). En estos momentos solo tenemos que aplicar el
primer teorema de isomorfı́a.
(h) esta última parte del teorema es similar a la anterior y queda como ejercicio:si
′
G ∶= (H ∩ K)/(H ∩ K ∗ )(H ∗ ∩ K). La aplicación
g ∶ K ∗ (H ∩ K) → G′ definido por f (k ∗ x) = x
es un epimorfismo con ker g = K ∗ (H ∗ ∩ K)
Capı́tulo 6. Teoremas de Isomorfı́a
4.
51
Tercer Teorema de Isomorfı́a
Teorema 1 (Tercer Teorema de Isomorfı́a) Sea G un grupo y sean H, K subgrupos
normales de G. Supongamos que K ≤ H. Entonces:
(i) K es subgrupo normal de H, y H/K es “subgrupo normal” de G/K.
(ii) G/H ≅ (G/K)/(H/K)
Demo: (i). Dado h ∈ H y k ∈ K, hkh−1 ∈ K, ya que K es un subgrupo normal de G. Por
tanto K es subgrupo normal de H. Consideremos la aplicación
i ∶ H/K → G/K
definida por
i(h) = h.
Veamos que i es un monomorfismo de grupos y que Im(i) es un subgrupo normal de G/K.
⋆ Bien definido: si h ∼ h′ en H/K, entonces hh′−1 ∈ K, por lo que h ∼ h′ en G/K.
⋆ es trivial que es monomorfismo de grupos:
i(h ∗ h′ ) = i(h ∗ h′ ) = h ∗ h′ = h ∗ h′ = i(h) ∗ i(h′ ).
Es más, si i(h) = e, entonces h ∈ K y por tanto h = e en G/K.
Dado a ∈ G/K y h ∈ H/K, tenemos que ah(a)−1 = aha−1 ∈ H/K.
Observar: Los elementos de H/K son aquellos que tienen por representantes elementos de H.
(ii) Sea π1 ∶ G → G/K y π2 ∶ G/K → (G/K)/(H/K) las proyecciones canónicas y
definamos
f ∶ G → (G/K)/(H/K) como f = π2 ○ π1
Como π1 y π2 son epimorfismos de grupos, f es un epimorfismo de grupos. Veamos
ahora quien es el Ker(f ): si h ∈ H, f (h) = ē por lo que H ⊂ Ker(f ). Por otro lado, si
f (a) = ē, tenemos que a ∈ H/K, por lo que a = h con h ∈ H y por tanto ah−1 ∈ K. Ası́,
a = kh ∈ H.
El primer teorema de Isomorfı́a nos demuestra (ii).
∎
52
5.
6.5 Ejercicios del Tema
Ejercicios del Tema
1 Sean G y G′ dos grupos y consideremos G × G′ . Demuestra que el conjunto
G × {e} = {(x, e) ∣ x ∈ G}
G×G
es un subgrupo normal de G × G′ y que G×{e}
es isomorfo a G′ .
′
2 Sea G un grupo de orden pq con p, q números primos. Supongamos H, K subgrupos
normales de G de ordenes p y q. Demuestra que G ≅ H × K.
∗
Z/21Z
3 ¿Cuantos elementos tiene G = 7Z/21Z
?. ¿A quien es isomorfo?
∗
4 Sea G un grupo y sean H, K dos subgrupos de G tales que hk = kh para todo k ∈ K y
h ∈ H. Demuestra que H ∨ K = HK.
5 Sea G un grupo con 2n elementos y sea H un subgrupo de G con n elementos. Demuestra que para cada subgrupo K no contenido en H se tiene que H ∨ K = G.
Capı́tulo 7
Producto directo interno y externo
de grupos
Objetivos del capı́tulo
Estudiamos el producto directo externo e interno de grupos.
Caracterizamos el producto directo externo de grupos a partir de su propiedad fundamental.
1.
Producto directo externo de grupos
Proposición 1 Sea {(Gi , ∗i )}ni=1 una familia de grupos y sea G ∶= Πni=1 Gi el producto
cartesianos de conjuntos. Entonces G con producto
(x1 , x2 , . . . , xn ) ∗ (y1 , y2 , . . . , yn ) ∶= (x1 ∗1 y1 , x2 ∗2 y2 , . . . , xn ∗n yn )
tiene estructura de grupo, llamado el producto directo externo de los grupos Gi . Es
más, G es abeliano si y sólo si (Gi , ∗i ) es abeliano ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Nota: El producto en la componente k ha sido denotado en la proposición por ∗k .
Como no hay posibilidad de confusión, ya que en la componente k los elementos son de
Gk y se multiplican con su producto, vamos a denotar todos los productos por ∗.
Demo: Es claro que el producto está bien definido. Veamos que dota a G de estructura
de grupo:
⋆ La operación es asociativa:
(x ∗ y) ∗ z = ((x1 , x2 , . . . , xn ) ∗ (y1 , y2 , . . . , yn )) ∗ (z1 , z2 , . . . , zn )
= (x1 ∗ y1 , x2 ∗ y2 , . . . , xn ∗ yn ) ∗ (z1 , z2 , . . . , zn )
= ((x1 ∗ y1 ) ∗ z1 , (x2 ∗ y2 ) ∗ z2 , . . . , (xn ∗ yn ) ∗ zn )
= (x1 ∗ (y1 ∗ z1 ), x2 ∗ (y2 ∗ z2 ), . . . , xn ∗ (yn ∗ zn ))
= (x1 , x2 , . . . , xn ) ∗ (y1 ∗ z1 , y2 ∗ z2 , . . . , yn ∗ zn )
= (x1 , x2 , . . . , xn ) ∗ ((y1 , y2 , . . . , yn ) ∗ (z1 , z2 , . . . , zn )) = x ∗ (y ∗ z)
53
54
7.1 Producto directo externo de grupos
⋆ Existencia del elemento neutro:
Sea ek el neutro de Gk para todo k ∈ {1, 2, . . . , n}. Veamos que e ∶= (e1 , e2 , . . . , en ) es
el neutro del producto directo externo de grupos.
e ∗ x = (e1 , e2 , . . . , en ) ∗ (x1 , x2 , . . . , xn ) = (e1 ∗ x1 , e2 ∗ x2 , . . . , en ∗ xn )
= (x1 , x2 , . . . , xn ) = x
x ∗ e = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∗ (e1 , e2 , . . . , en ) = (x1 ∗ e1 , x2 ∗ e2 , . . . , xn ∗ en )
= (x1 , x2 , . . . , xn ) = x
−1
−1
⋆ Inverso: dado x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Πni=1 Gi sea x−1 ∶= (x−1
1 , x2 , . . . , xn )
−1
−1
x ∗ x−1 = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∗ (x−1
1 , x 2 , . . . , xn )
−1
−1
= (x1 ∗ x−1
1 , x2 ∗ x2 , . . . , xn ∗ xn ) = (e1 , e2 , . . . , en ) = e
−1
−1
x−1 ∗ x = (x−1
1 , x2 , . . . , xn ) ∗ (x1 , x2 , . . . , xn )
−1
−1
= (x−1
1 ∗ x1 , x2 ∗ x2 , . . . , xn ∗ xn ) = (e1 , e2 , . . . , en ) = e
Por último veamos que G es conmutativo si y sólo si cada Gi es conmutativo:
x ∗ y = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∗ (y1 , y2 , . . . , yn )
= (x1 ∗ y1 , x2 ∗ y2 , . . . , xn ∗ yn )
y ∗ x = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∗ (x1 , x2 , . . . , xn )
= (y1 ∗ x1 , y2 ∗ x2 , . . . , yn ∗ xn )
Por tanto, si todo Gi es abeliano, G es abeliano y viceversa.
∎
Lema 2 Sea {(Gi , ∗i )}ni=1 una familia de grupos y sea σ ∈ Sn . Entonces
G1 × G2 × ⋯ × Gn ≅ Gσ(1) × Gσ(2) × ⋯ × Gσ(n)
Demo: f (a1 , a2 , . . . , an ) = (aσ(1) , aσ(2) , . . . , aσ(n) ) es un isomorfismo.
∎
Hasta este momento sólo hemos visto el producto cartesiano finito de una familia de
conjuntos. En esta sección vamos a introducir la noción de producto directo infinito de
grupos. El resultado clave para esta definición es el lema anterior (conviene preguntarse
la razón).
Teorema 3 Sea I un conjunto y {Gi }i∈I una familia de grupos. Se define el producto
directo externo infinito de los grupos Gi y se denota por ∏i∈I Gi como el conjunto:
∏ Gi = {f ∶ I → ⋃ Gi ∣f (i) ∈ Gi }
i∈I
i∈I
con la operación: dados f, g ∈ ∏i∈I Gi , entonces f ∗ g es la aplicación f ∗ g ∶ I → ⋃i∈I Gi
definida por
f ∗ g(i) ∶= f (i) ∗ g(i)
Capı́tulo 7. Producto directo interno y externo de grupos
55
Demo: Veamos que la operación es asociativa: dados f, g, h ∈ ∏i∈I Gi se tiene que dado
i∈I
(f ∗ g) ∗ h(i) = (f ∗ g(i)) ∗ h(i) = (f (i) ∗ g(i)) ∗ h(i) = f (i) ∗ (g(i) ∗ h(i))
= f (i) ∗ (g ∗ h(i)) = f ∗ (g ∗ h)(i)
Por lo que (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).
Sea E ∶ I → ⋃i∈I Gi definida por E(i) = ei (en donde ei denota el neutro de Gi ).
Tenemos entonces que para todo f ∈ ∏i∈I Gi ,
f ∗ E(i) = f (i) ∗ E(i) = f (i) ∗ ei = f (i)
E ∗ f (i) = e(i) ∗ f (i) = ei ∗ f (i) = fi
Por lo que E ∗ f = f ∗ E = f . Por último, dado f ∈ ∏i∈I Gi sea f −1 ∶ I → ⋃i∈I Gi definido
por f −1 (i) ∶= f (i)−1 . Tenemos entonces que f ∗ f −1 = f −1 ∗ f = E. Lo que demuestra que
el teorema.
∎
Nota: Si I = {1, 2, . . . , n} es un conjunto finito de ı́ndices, cada elemento del producto,
f ∈ ∏i∈I Gi puede denotarse como la n-upla (f (1), f (2), . . . , f (n)) (y viceversa) y en
este caso los productos definidos en la proposición 1 (Pag. 53) y el teorema 3 (Pag. 54)
coinciden, por lo que la estructura que nos sale son isomorfas.
Nota: Recordamos que asociado a cada estructura, en este caso el producto directo
externo (finito o infinito), hay un morfismo.
Proposición 4 Sea {(Gi , ∗i )}i∈I una familia de grupos y sea G ∶= Πi∈I Gi el producto
directo externo de los Gi . Entonces para cada k ∈ I la aplicación
πk ∶ Πi∈I Gi → Gk
definida por
πk (f ) = f (k)
es un epimorfismo de grupos, llamada la proyección canónica de G en Gk .
∎
Demo: Es una mera comprobación.
Lema 5 Sean G1 , G2 y G3 tres grupos. Supongamos que G1 ≅ G2 . Entonces
G1 × G3 ≅ G2 × G3
Demo: Sea f ∶ G1 → G2 un isomorfismo. Entonces la aplicación
Φ ∶ G1 × G3 → G2 × G3
definida por Φ(a1 , a3 ) = (f (a1 ), a3 )
es un isomorfismo, es un homomorfismo de grupos por el corolario 2. (Pag. 64)
∎
Lema 6 Sea I, J dos conjuntos de ı́ndices disjuntos y {(Gi , ∗i )}i∈I y {(Gj , ∗j )}j∈J dos
familias de grupos. Entonces
∏ Gi × ∏ Gj ≅ ∏ Gk
i∈I
j∈J
k∈I∪J
En particular, (G1 × G2 ) × G3 ≅ G1 × G2 × G3 ≅ G1 × (G2 × G3 ).
56
7.1 Producto directo externo de grupos
Proposición 7 Sea {(Gi , ∗i )}i∈I una familia de grupos y sea G = Πi∈I Gi el producto
directo externo de los Gi . Sea Hi un subgrupo de Gi para cada i ∈ I y sea H ∶= Πi∈I Hi .
Entonces
(i) H ≤ Πi∈I Gi .
(ii) H ⊴ G si y sólo si para cada i ∈ I, Hi ⊴ Gi .
Es más, si H ⊴ G,
(iii) G/H ≅ Πi∈I Gi /Hi
Demo: (i) Es una demostración rutinaria: (e1 , e2 , . . . , en ) ∈ Πni=1 Hi ≠ ∅. Es más, dados
(h′1 , h′2 , . . . , h′n ), (h1 , h2 , . . . , hn ), ∈ H
(h′1 , h′2 , . . . , h′n ) ∗ (h1 , h2 , . . . , hn )−1
−1
−1
= (h′1 , h′2 , . . . , h′n ) ∗ (h−1
1 , h2 , . . . , hn )
′
−1
′
−1
= (h′1 ∗ h−1
1 , h2 ∗ h1 , . . . , hn ∗ h1 ) ∈ H
(ii) Hi ⊴ Gi
∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, si y sólo si ∀ a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ G,
(a1 , a2 , . . . , an ) ∗ (h1 , h2 , . . . , hn ) ∗ (a1 , a2 , . . . , an )−1
−1
−1
= (a1 h1 a−1
1 , a2 h2 a2 , . . . , an hn an ) ∈ H
si y sólo si H es subgrupo normal de G.
(iii). Consideremos la aplicación Φ ∶ Πni=1 Gi → Πni=1 Gi /Hi definida por Φ(x1 , x2 , . . . , xn ) =
(x1 , x2 , . . . , xn ). Tenemos que Φ es un epimorfismo de grupos por el corolario 2. (Pag. 64)
Es más, claramente H ⊂ Ker(Φ) y si (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Ker(Φ),
Φ(x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 , x2 , . . . , xn ) = (e1 , e2 , . . . , en )
por lo que xi = ei y por tanto para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}, hi ∈ Hi . Luego H = Ker(Φ).
Ahora, el primer teorema de Isomorfı́a demuestra el apartado.
∎
Nota: No todo subgrupo de un producto directo de grupos es de esta forma. Ası́, si
consideramos G = Z2 × Z2 , los subgrupos que se pueden construir siguiendo el teorema
anterior son:
= {(0, 0)}
{0} × {0}
{0} × {0, 1} = {(0, 0), (0, 1)}
{0, 1} × {0}
= {(0, 0), (1, 0)}
{0, 1} × {0, 1} = Z2 × Z2
Mientras que H = {(0, 0), (1, 1)} ≤ Z2 × Z2 no es ninguno de los anteriores. Es más, si H
es un subgrupo propio de G, por el teorema de Lagrange, H tiene 2 elementos. Por tanto
es cı́clico, lo que demuestra que estos tres son todos los subgrupos del grupo de Klein.
Corolario 8 Sea {(Gi , ∗i )}i∈I una familia de grupos y sea Πi∈I Gi el producto directo
externo de los Gi . Sea J ⊂ I. Entonces Πj∈J Gj ⊲ Πi∈I Gi .
Demo: Para cada i ∈ I definimos
⎧
⎪
⎪Gi
G′i ∶= ⎨
⎪
⎪{ei }
⎩
i∈J
i∉J
Tenemos entonces que Πj∈J Gj ≅ Πni=1 G′i ≤ Πni=1 Gi . Es trivial el ver que es un subgrupo
normal.
∎
Capı́tulo 7. Producto directo interno y externo de grupos
57
Proposición 9 Sea {(Gi , ∗i )}ni=1 una familia finita de grupos y sea Πni=1 Gi el producto
directo externo de los Gi . Sea (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ G. Entonces ○(a1 , a2 , . . . , an ) < ∞ si y sólo
si ○ai < ∞ para todo i. Es más, en este caso,
○(a1 , a2 , . . . , an ) = M. C. M(○a1 , ○a2 , . . . , ○an )
Demo: Supongamos que a = (a1 , a2 , . . . , an ) tiene orden k ∈ N. Entonces
ak = (ak1 , ak2 , . . . , akn ) = (e1 , e2 , . . . , en )
(∗)
Por lo que todo ai tiene orden finito para todo i. Es más, si todo ai tiene orden finito,
denotemos por ki ∶= ○ai , entonces ak1 k2 ⋯,kn = e, por lo que a tiene orden finito.
Supongamos que todo ai tiene orden finito ki . Sea k = ○a y m = M. C. M(k1 , k2 , . . . , kn ).
Por (∗), k es múltiplo de ki para todo i y por tanto m divide a k. Por otro lado, para
cada i ∈ {1, . . . , n}, m = αi ki . Por lo que
α1 α2
k 1 α1
k 2 α2
αn
kn αn
m
m
am =(am
1 , a2 , . . . , an ) = ((a1 ) , (a2 ) , . . . , (an ) ) = (e1 , e2 , . . . , en )
=(e1 , e2 , . . . , en )
Luego m∣k y k∣m y como tanto m como k son naturales, m = k.
∎
El siguiente teorema nos da una condición necesaria y suficiente para saber cuando el
producto directo externo de grupos es cı́clico:
Proposición 10 Sea {(Gi , ∗i )}ni=1 una familia de grupos y sea G = Πni=1 Gi el producto
directo externo de los Gi . Entonces
(i) Si Πni=1 Gi es cı́clico, cada Gi es cı́clico. Es más, si a = (a1 , . . . , an ) ∈ G es un generador
de G, entonces ai es un generador de Gi para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}.
(ii) Zn1 × Zn2 × ⋯ × Znk es cı́clico (e isomorfo a Zn1 n2 ...nk ) si y sólo si m. c. d(ni , nj ) = 1 para
todo i ≠ j.
Demo: (i) Supongamos que a = (a1 , . . . , an ) ∈ G es un generador de G. Entonces, dado
xk ∈ Gk podemos considerar el elemento
x = (e1 , . . . , ek−1 , xk , ek+1 , . . . , en ).
Como a genera G existe n ∈ N tal que an = x y por tanto ak = xk , lo que demuestra que
Gk es cı́clico generado por ak .
(ii) Supongamos que G ∶= Zn1 × Zn2 × ⋯ × Znk es cı́clico y sean ni , nj tales que
m. c. d(ni , nj ) ≠ 1. Entonces, como m. c. d(ni , nj ) M. C. M(ni , nj ) = ni nj , M. C. M(ni , nj ) <
ni nj y por tanto Zi × Zj no es un grupo cı́clico ya que no contiene elementos de orden
ni nj . Por último, como G contiene un subgrupo isomorfo a Zi × Zj , G no es cı́clico (todo
subgrupo de un grupo cı́clico es cı́clico).
Supongamos ahora que m. c. d(ni , nj ) = 1 para todo i ≠ j. Vamos a dar una demostración por inducción a k. Supongamos k = 2 y sean n1 , n2 ∈ Z tales que m. c. d(n1 , n2 ) = 1.
Entonces M. C. M(n1 , n2 ) = n1 n2 y por tanto ○(1, 1) = n1 n2 . Ası́,
Zn1 × Zn2 ≅ Zn1 n2 .
58
7.2 Producto directo interno de grupos
Por inducción supongamos que el resultado es cierto para k − 1. Tenemos entonces que
Zn1 × Zn2 × ⋯ × Znk−1 ≅ Zn1 ⋯nk−1
y por tanto, por el caso k = 2, ya que m. c. d(n1 ⋯nk−1 , nk ) = 1,
Zn1 × Zn2 × ⋯ × Znk−1 × Znk ≅ Zn1 n2 ...nk−1 × Znk ≅ Zn1 n2 ...nk
∎
Lo que demuestra el teorema.
2.
Producto directo interno de grupos
Nos vamos a preguntar en esta sección cuando un grupo G es isomorfo a un producto
directo externo de grupos. Por ejemplo, Z6 puede verse como el producto directo externo
Z2 × Z3 . Normalmente no es fácil, para un grupo concreto, saber si es isomorfo o no a un
producto directo de grupos.
Definición 1 Sea G un grupo y sean {Hi }ni=1 una familia finita de subgrupos de G. Se
dice que G es el producto directo interno de los Hi si la aplicación
Φ ∶ Πni=1 Hi → G definida por
Φ(h1 , . . . , hn ) = h1 ∗ ⋯ ∗ hn
es un isomorfismo de grupos.
Nota: Sea {(Gi , ∗i )}ni=1 una familia de grupos y sea G = Πni=1 Gi el producto directo
externo de los Gi . Entonces cada Gi puede verse como un subgrupo normal de G y por
tanto G puede verse como producto directo interno de los Gi , ver el corolario 8 (Pag. 56).
Por tanto, todo producto directo externo de grupos puede verse como producto directo
interno de los subgrupos vistos en el lema anterior.
Teorema 2 Sea G un grupo y sean H, K subgrupos de G. Entonces G es producto directo
interno de H y K si y sólo si se verifican las siguientes condiciones:
(i) G = H ∨ K.
(ii) hk = kh para todo k ∈ K, h ∈ H.
(iii) H ∩ K = {e}.
Demo: Supongamos que G es el producto directo interno de H y K y sea Φ ∶ H × K → G
definida por Φ(h, k) = hk un isomorfismo de grupos. Tenemos entonces que HK = Im(Φ) =
G, al ser sobreyectiva, por lo que H ∨ K = G. Por otro lado, dado h ∈ H y k ∈ K,
hk = Φ(h, k) = Φ((e, k) ∗ (h, e)) = Φ(e, k) ∗ Φ(h, e) = kh
Por último si x ∈ H ∩ K, tenemos que x = Φ(x, e) = Φ(e, x) por lo que al ser Φ inyectiva
(x, e) = (e, x) y por tanto x = e. Veamos el recı́proco, que es la parte interesante de este
Teorema. Por (ii), como los elementos de H y K conmutan, HK ≤ G y por tanto, por
(i), G = H ∨ K = HK. Sea la aplicación Φ ∶ H × K → G definida por Φ(h, k) = hk. Veamos
que Φ es un isomorfismo de grupos:
⋆ Φ((h, k) ∗ (h′ , k ′ )) = Φ(hh′ , kk ′ ) = hh′ kk ′ = hkh′ k ′ = Φ(h, k) ∗ h(h′ , k ′ ).
⋆ Φ es sobreyectiva ya que HK = H ∨ K = G.
⋆ Veamos que Φ es inyectiva. Sea (h, k) ∈ H × K tal que Φ(h, k) = e. Tenemos entonces
que hk = e y por tanto h = k −1 ∈ H ∩ K por tanto h = e y k −1 = e (luego k = e). Es decir,
(h, k) = (e, e) o lo que es lo mismo Ker(Φ) = {e}.
∎
Capı́tulo 7. Producto directo interno y externo de grupos
2.1.
59
Producto directo interno en grupos abelianos
Este teorema se puede generalizar para un conjunto finito de subgrupos. No obstante a
nosotros nos va a interesar en el caso de G un grupo conmutativo (en donde el enunciado
es mucho más simple). Antes un lema:
Lema 3 Sea (G, +) un grupo abeliano y {Hi }ni=1 una familia finita de subgrupos de G.
Entonces
(i) La aplicación Φ ∶ H1 ×H2 ×⋯×Hn → G definida por Φ(h1 , h2 , ⋯, hn ) = h1 +h2 +⋯+hn
es un homomorfismo de grupos.
(ii) Im(Φ) ∶= H1 + H2 + ⋯ + Hn ∶= {h1 + h2 + ⋯ + hn ∣ hi ∈ Hi , i = 1, . . . , n} que es el
menor subgrupo de G que contiene a todos los Hi con i = 1, 2, . . . , n.
Demo: Dados dos elementos, (h1 , h2 , ⋯, hn ) y (h′1 , h′2 , ⋯, h′n ) con hi , h′i ∈ Hi para todo i,
entonces
Φ((h1 , h2 , ⋯, hn ) + (h′1 , h′2 , ⋯, h′n )) = Φ((h1 + h′1 , h2 + h′2 , ⋯, hn + h′n )
= h1 + h′1 + h2 + h′2 + ⋯ + hn + h′n = (h1 + h2 + ⋯ + hn ) + (h′1 + h′2 + ⋯ + h′n )
= Φ(h1 , h2 , ⋯, hn ) + Φ(h′1 , h′2 , ⋯, h′n )
por lo que es un homomorfismos de grupos. Es más, Im(Φ) = H1 + H2 + ⋯ + Hn que es
claro que contiene a cada Hi : dado hi ∈ Hi , tenemos que
hi = 0 + ⋯ + 0 + hi + 0 + ⋯0 ∈ H1 + H2 + ⋯ + Hn .
Por otro lado, si un subgrupo H de G contiene a todos los Hi , entonces contiene sumas
arbitrarias de elementos y por tanto contiene a la suma de los Hi .
∎
Definición 4 Sea G un grupo abeliano y sea {Hi }ni=1 una familia de subgrupos de G. Al
subgrupo H1 + H2 + ⋯ + Hn se le denomina la suma de los subgrupos {Hi }ni=1 . Cuando para
todo k = {1, 2, . . . , n} se tiene que Hk ∩ (H1 + ⋯ + Hk−1 + Hk+1 ⋯ + Hn ) = {0} se dice la suma
de los subgrupos {Hi }ni=1 es directa y se denota por H1 ⊕ H2 ⊕ ⋯ ⊕ Hn .
Proposición 5 Sea G un grupo y sean {Hi }ni=1 una familia de subgrupos de G. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) La suma de los grupos {Hi }ni=1 es directa.
(ii) Si h1 +h2 +⋯+hn = 0 con hi ∈ Hi para i = 1, 2, . . . , n entonces hi = 0 para i = 1, 2, . . . , n.
(iii) El subgrupo H1 + H2 + ⋯Hn es producto directo interno de los subgrupos {Hi }ni=1
Demo: (i) Ô⇒ (ii). Sean hi ∈ Hi tales que h1 + h2 + ⋯ + hn = 0. tenemos entonces que
para cada k ∈ {1, 2, . . . , n},
⎧
⎪
⎪Hk
hk = −(h1 + ⋯ + hk−1 + hk+1 + ⋯ + hn ) ∈ ⎨
⎪
⎪
⎩H1 + ⋯ + Hk−1 + Hk+1 ⋯ + Hn
Luego hk = 0 para todo k.
60
7.3 Producto semi-directo de grupos
(ii) Ô⇒ (iii). Como G es abeliano, la aplicación Φ ∶ H1 × H2 × ⋯ × Hn → H1 + H2 + ⋯Hn
definida por Φ(h1 , h2 , . . . , hn ) = h1 + h2 + ⋯ + hn por es un homomorfismo de grupos (un
epimorfismo por construcción). Es más, (ii) implica que Ker(ϕ) = 0, por lo que Φ es
inyectiva y por tanto un isomorfismo de grupos.
(iii) Ô⇒ (i). Sea k ∈ {1, 2, . . . , n} y hh ∈ Hk ∩ (H1 + ⋯ + Hk−1 + Hk+1 ⋯ + Hn ) ≠ {0}.
Entonces hk = h1 + ⋯ + hk−1 + hk+1 + ⋯ + hn por lo que
Φ(h1 , ⋯, hk−1 , (−hk ), hk+1 , ⋯, hn ) = h1 + ⋯ + hk−1 + (−hk ) + hk+1 + ⋯ + hn = 0
y por tanto todos los hi = 0 en particular −hk = 0, luego hk = 0.
∎
Corolario 6 Sea G un grupo abeliano y {Hi }ni=1 una familia finita de subgrupos de G.
Entonces, G es el producto directo interno de los Hi si y sólo si
(i) G = H1 + H2 + ⋯ + Hn .
(ii) Hk ∩ (H1 + ⋯ + Hk−1 + Hk+1 ⋯ + Hn ) = {0} para k = {1, 2, . . . , n}.
Es decir, G es la suma directa de los subgrupos {Hi }ni=1 .
3.
Producto semi-directo de grupos
En esta sección vamos considerar dos grupos H y K, el grupo de automorfismos de H,
denotado por Aut(H), (es un grupo con la composición: si consideramos el conjunto de los
homomorfismos de H en H, este es un monoide con la composición y Aut(H) es el conjunto
de los elementos inversibles de este monoide) y un homomorfismo Φ ∶ K → Aut(H).
Proposición 1 Sean H y K dos grupos y sea Φ ∶ K → Aut(H) un homomorfismo de
grupos (para cada k ∈ K denotamos por Φk a la imagen). Entonces el conjunto H × K con
producto: dados h, h′ ∈ H y k, k ′ ∈ K,
(h, k) ∗ (h′ , k ′ ) ∶= (hΦk (h′ ), kk ′ )
Tiene estructura de grupo, llamando el producto semi-directo de H y K respecto de Φ,
que denotamos por H ⋊Φ K.
Demo: Demostremos la propiedad asociativa: Dados h1 , h2 , h3 ∈ H y k1 , k2 , k3 ∈ K,
((h1 , k1 )(h2 , k2 ))(h3 , k3 ) = (h1 Φk1 (h2 ), k1 k2 )(h3 , k3 ) = (h1 Φk1 (h2 )Φk1 k2 (h3 ), (k1 k2 )k3 ))
= (h1 Φk1 (h2 )Φk1 (Φk2 (h3 )), (k1 k2 )k3 ))
(h1 , k1 )((h2 , k2 )(h3 , k3 )) = (h1 , k1 )(h2 Φk2 (h3 ), k2 k3 ) = (h1 Φk1 (h2 Φk2 (h3 )), k1 (k2 k3 )))
= (h1 Φk1 (h2 )Φk1 (Φk2 (h3 )), (k1 k2 )k3 ))
Veamos que si eh es el neutro de H y ek es el neutro del K, entonces (eh , ek ) es el
neutro: dados h ∈ H y k ∈ K,
Nota: Observar que si ek es el elemento neutro de K, su imagen por el homomorfismo
Φ tiene que ser el elemento neutro de Aut(H), es decir, la identidad en H, por lo que
para cualquier h ∈ H, Φek (h) = h.
Capı́tulo 7. Producto directo interno y externo de grupos
61
(eh , ek )(h, k) = (eh Φek (h), ek k) = (eh h, ek k) = (h, k)
(h, k)(eh , ek ) = (hΦk (eh ), kek ) = (heh , kek ) = (h, k)
Nota: Observar que si k ∈ K, como Φ es un homomorfismo Φk−1 = Φ−1
k .
Dados h ∈ H y k ∈ K, el inverso de (h, k) es: como Φk ∶ H → H es biyectiva, existe
h′ ∈ H tal que Φk (h′ ) = h−1 y por tanto,
−1
−1
′−1
h′ = Φ−1
k (h ) = Φk−1 (h ) luego Φk−1 (h) = h
Veamos que el inverso de (h, k) es (h′ , k −1 ):
(h, k)(h′ , k −1 ) = (hΦk (h′ ), kk −1 ) = (eh , ek )
(h′ , k −1 )(h, k) = (h′ Φk−1 (h), k −1 k) = (eh , ek )
∎
Nota: Observar que si la aplicación Φ ∶ K → Aut(H) es el homomorfismo trivial, es
decir, para todo k ∈ K, Φk = IdH (el elemento neutro de Aut(H)) el producto semi-directo
H ⋊Φ K es en realidad el producto cartesiano de grupos que conocemos.
Esta construcción nos ha aparecido anteriormente, aunque algo camuflada.
Proposición 2 Sea G un grupo y sean H, K dos subgrupos de G con H ∩ K = {e} y H
un subgrupo normal de G. Entonces H ∨ K es isomorfo al producto semi-directo de H y
K respecto del homomorfismo Φ ∶ K → Aut(H) tal que para cada k ∈ K su imagen Φk es
el automorfismo Φk ∶ H → H con Φk (h) = khk −1 .
Demo: Veamos en primer lugar que la aplicación Φ ∶ K → Aut(H) definido por Φ(k) = Φk
en donde Φk ∶ H → H con Φk (h) = khk −1 está bien definida y es un homomorfismo de
grupos:
(1) Para cada k ∈ K, Φk ∈ Aut(H):
(1.1) Bien definida, al ser H un subgrupo normal de G, para todo h ∈ H, Φk (h)
= khk −1 ∈ H.
(1.2) Homomorfismo de grupo, Φk (hh′ ) = k(hh′ )k −1 = khk −1 kh′ k −1 = Φk (h)Φk (h′ ).
(1.3) Como Φk es la restricción de un automorfismo de G, Φk es inyectiva.
(1.4) Como H un subgrupo normal de G, para cualquier g ∈ G, gHg −1 = H, en
particular, Φk es sobreyectiva.
(2) La aplicación Φ ∶ K → Aut(H) es un homomorfismo de grupos: dados k, k ′ ∈ K,
¿Φkk′ = Φk ○ Φk′ ? Como estas aplicaciones tienen por dominio y codominio H, solo
tenemos que ver que coinciden en su definición para cada h ∈ H,
Φkk′ (h) = kk ′ h(kk ′ )−1 = kk ′ hk ′−1 k −1 = Φk (k ′ hk ′−1 ) = Φk ○ Φk′ (h)
Veamos por último que la aplicación Ψ ∶ H ⋊Φ K → H ∨ K definida por Ψ(h, k) = hk
es un isomorfismo de grupos:
62
7.4 Complemento a la Teorı́a
(1) Homomorfismo: Ψ((h, k)(h′ , k ′ )) = Ψ(hΦk (h′ ), kk ′ ) = hΦk (h′ )kk ′ = hkh′ k −1 kk ′ =
hkh′ k ′ = Ψ(h, k)Ψ(h′ , k ′ ).
(2) Sobreyectivo: Ψ(H ⋊Φ K) = HK = H ∨ K.
(3) Inyectivo: Si Ψ(h, k) = e, hk = e, por lo que h = k −1 ∈ H ∩ K = {e} y por tanto
h = k = e.
∎
Corolario 3 Sea S3 el grupo de permutaciones de tres elementos y consideremos los
subgrupos H =< ρ1 > y K =< τ1 >. Entonces, como H ◁ S3 , S3 = H ∨ K ≅ H ⋊Φ K en donde
Φ ∶ K → Aut(H) está definido por Φ(k) = Φk en donde Φk ∶ H → H con Φk (h) = khk −1 .
4.
Complemento a la Teorı́a
Veamos que el producto directo externo de grupos queda caracterizado por una propiedad fundamental:
Nota: Aunque las demostraciones de las proposiciones siguientes es esencialmente la
misma en el caso finito e infinito, vamos a dar aquı́ las demostraciones en el caso finito, ya
que la notación es mucho más intuitiva (en cualquier caso, los teoremas se consideraran
ciertos en el caso infinito).
Teorema 1 Sea {(Gi , ∗i )}i∈I una familia de grupos y sea Πi∈I Gi el producto directo externo de los grupos Gi . Entonces para cada grupo G y cada familia de homomorfismos
fi ∶ G → Gi existe un único homomorfismo de grupo f ∶ G → Πni=1 Gi tal que el siguiente
diagrama es conmutativo:
Πi∈I Gi
πk
f
Gk
fk
G
Es más, si G′ es un grupo y existe una familia de homomorfismos πk′ ∶ G′ → Gk tales
que para cada grupo G y cada familia de homomorfismos fi ∶ G → Gi existe un único
homomorfismo de grupo f ∶ G → G′ que hace conmutativo el diagrama,
G′
f
fk
G
entonces G′ ≅ Πni=1 Gi .
πk′
Gk
Capı́tulo 7. Producto directo interno y externo de grupos
63
Demo: Veamos en primer lugar que el producto cartesiano verifica esta propiedad. Normalmente, cuando en una proposición hay que demostrar existencia y unicidad, se demuestra primero la unicidad, dando explı́citamente cual es la única posibilidad, para
luego demostrar que esa única verifica lo que queremos.
Dado a ∈ G, f (a) = (x1 , x2 , . . . , xn ) en donde en principio no sabemos quienes son los
elementos x1 , x2 . . . , xn , etc. Como el diagrama tiene que ser conmutativo,
xk = πk (f (a)) = fk (a)
por lo que la única forma de definir f es:
f (a) ∶= (f1 (a), f2 (a), . . . , fn (a))
Veamos que esta aplicación es un homomorfismo de grupo (ya sabemos que hace conmutativo el diagrama).
f (a ∗ b) = (f1 (a ∗ b), f2 (a ∗ b), . . . , fn (a ∗ b))
= (f1 (a) ∗ f1 (b), f2 (a) ∗ f2 (b), . . . , fn (a) ∗ fn (b))
= (f1 (a), f2 (a), . . . , fn (a)) ∗ (f1 (b), f2 (b), . . . , fn (b))
= f (a) ∗ f (b)
Supongamos ahora que tenemos un grupo G′ que verifica la propiedad del producto
directo de grupos. Entonces, si consideramos los siguientes diagramas, tenemos que:
G′
Triángulo B
Πi∈I Gi
Triángulo A
gk
πk
f
Gk
πk
Πi∈I Gi
g
Gk
Triángulo A
gk
Id = g ○ f
gk
πk
G′
g
Triángulo B
G′
f
Id = f ○ g
Πi∈I Gi
Como G′ verifica la propiedad, existe un único homomorfismo g ∶ Πni=1 Gi → G′ que
hace conmutativo el triángulo A. Es más, como el producto cartesiano verifica la propiedad, existe un único homomorfismo de grupos f ∶ G′ → Πni=1 Gi que hace conmutativo el
triángulo B. Ahora, si nos fijamos en el triángulo formado por los triángulos A y B en
la primera figura, tenemos que la identidad hace conmutativo el diagrama, pero también
g ○ f lo hace, ya que
πk′ ○ (g ○ f ) = (πk′ ○ g) ○ f = πk ○ f = πk′
Por tanto Id = g ○ f . Repitiendo el razonamiento en la segunda figura
(g ○ f ) ○ πk = g ○ (f ○ πk ) = g ○ πk′ = πk
Por lo que al haber un único homomorfismo de grupos que hace conmutativo el triángulo AB de la segunda figura, y la identidad claramente hace conmutativo este triángulo,
64
7.4 Complemento a la Teorı́a
tenemos que Id = f ○ g por lo que tanto f como g son isomorfismo, lo que demuestra que
G′ ≅ Πni=1 Gi .
∎
Esta caracterización nos va a permitir construir homomorfismos entre productos directos de grupos:
Corolario 2 Sea I un conjunto de ı́ndices y {(Gi , ∗i )}i∈I y {(G′i , ∗i )}i∈I dos familias de
grupos. Supongamos que para cada k ∈ I tenemos un homomorfismo fk ∶ Gk → G′k . Entonces existe un único homomorfismo de grupos f ∶ Πi∈I Gi → Πi∈I G′i que hace conmutativo el
diagrama:
Gk
fk
G′k
πk′
πk
Πi∈I Gi
f
Πi∈I G′i
Demo: El teorema anterior nos dice que f es:
f (a1 , a2 , . . . , an ) = (f1 (a1 ), f2 (a2 ), . . . , fn (an ))
Nota: En el caso infinito, dado g ∈ Πi∈I Gi , f (g) será la aplicación:
f (g) ∶ I → Πi∈I G′i
definida por f (g)(i) = fi (g(i))
Que como puede verse es una notación algo engorrosa.
∎
Capı́tulo 7. Producto directo interno y externo de grupos
5.
65
Ejercicios del Tema
1 Sea I un conjunto infinito y {Gi , ∗i ) una familia de grupos. Demuestra que si G = Πi∈I Gi
es un grupo cı́clico, entonces Gi = {e} para todo i salvo un conjunto finito.
∗∗
2 Demuestra que la proyección canónica del producto directo de grupos es un epimorfismo de grupos.
3 Sean {(Gi , ∗i )}i∈I y {(G′i , ∗i )}i∈I dos familias de grupos. Supongamos que para cada
k ∈ I tenemos un homomorfismo fk ∶ Gk → G′k . Entonces existe un único homomorfismo
de grupos f ∶ Πi∈I Gi → Πi∈I G′i que hace conmutativo el diagrama:
Gk
fk
πk′
πk
Πi∈I Gi
G′k
f
Πi∈I G′i
Es más, si cada fk es inyectivo, sobreyectivo, o biyectivo, ası́ lo es f .
4 Sea {(Gi , ∗i )}ni=1 una familia de grupos y sea σ ∈ Sn . Entonces
G1 × G2 × ⋯ × Gn ≅ Gσ(1) × Gσ(2) × ⋯ × Gσ(n)
5 Sea {(Gi , ∗i )}i∈I una familia de grupos y sea Πi∈I Gi el producto directo externo de los
Gi . Sea J ⊂ I. Entonces Πj∈J Gj ⊲ Πi∈I Gi .
6 Sea G un grupo con p q elementos con p y q dos números primos (puede darse la
posibilidad p = q). Demuestra que todo subgrupo propio de G es cı́clico. Demuestra que si
G es abeliano y H ≠ K son dos subgrupos propios de G, entonces G es el producto directo
interno de H y K.
∗
7 Sea G un grupo y sean H1 y H2 dos subgrupos normales de G tales que existe un
automorfismo f ∶ G → G con f (H1 ) = H2 .
Demuestra que H1 y H2 son isomorfos.
Demuestra que G/H1 ≅ G/H2 .
Observar que no es suficiente sólo con que H1 y H2 sean isomorfos para que los cocientes
sean isomorfos. (Ejercicio siguiente)
∗
8 Sea G = Z2 × Z12 y H1 =< (1, 4) > y H2 =< (0, 2) >. Demuestra que H1 ≅ H2 y
G/H1 ≅/ G/H2 .
∗
9 Sean G y G′ dos grupos, H1 un subgrupos de G y sea f ∶ H1 → G′ un homomorfismo
de grupos. Se dice que f se extiende a G si existe un homomorfismo de grupos F ∶ G → G′
tal que para todo x ∈ H1 , F (x) = f (x). Demuestra que no todo homomorfismo de grupos
es extendible.
∗∗
66
7.5 Ejercicios del Tema
10 Sea G un grupo abeliano y {Hi }ni=1 una familia finita de subgrupos de G. Demuestra
que G es el producto directo interno de los Hi si y sólo si
(i) G = H1 + H2 + ⋯ + Hn .
(ii) Hk ∩ (Hk+1 ⋯ + Hn ) = {0} para k = {1, 2, . . . , n}.
11 Sea G un grupo abeliano y {Hi }ni=1 una familia finita de subgrupos de G. Demuestra
que G es el producto directo interno de los Hi si y sólo si para cada x ∈ G existen unos
único hi ∈ Hi tales que x = h1 + h2 + ⋯ + hn .
12 Sea G un grupo finito. Demuestra que el número de elemento de G de orden k es
cero o múltiplo de ϕ(k) (la función de Euler).
∗
13 Sea G producto directo interno de {Hi }ni=1 . Entonces cada elemento de G se escribe
de forma única como un producto h1 ∗ ⋯ ∗ hn . Es más, hi ∗ hj = hj ∗ hi para todo hi ∈ Hi ,
hj ∈ Hj , i ≠ j.
Capı́tulo 8
Acciones de grupos sobre conjuntos.
Teoremas de Sylow
Objetivos del capı́tulo
Comenzamos este capı́tulo introduciendo la noción de acción de un grupo G sobre un conjunto
X. Estudiamos la noción de orbita de un elemento, los subgrupos de isotropı́a ası́ como los subconjuntos de X que quedan fijos por subgrupos de G dando las principales relaciones que existen
entre ellos.
Demostramos tanto el Teorema de Cauchy como los tres Teoremas de Sylow.
1.
Grupos actuando sobre conjuntos.
Definición 1 Sea G un grupo y X un conjunto. Se define una acción de G en X como
una aplicación ∗ ∶ G × X → X tal que
1). ∗(e, x) = x para todo x ∈ X, con e ∈ G el elemento neutro de G.
2). ∗(g1 g2 , x) = ∗(g1 , ∗(g2 , x)) para todo x ∈ X, g1 , g2 ∈ G.
En este caso se dirá que X es un G-conjunto.
Nota: Normalmente la acción de G sobre X se denotará simplemente por yuxtaposición, es decir, dado g ∈ G y x ∈ X, ∗(g, x) lo denotaremos simplemente por gx. Con esta
nueva notación las propiedades anteriores se escriben:
1). ex = x para todo x ∈ X, con e ∈ G el elemento neutro de G.
2). (g1 g2 )x = g1 (g2 x) para todo x ∈ X, g1 , g2 ∈ G.
Lema 2 Sea X un G-conjunto y sea H un subgrupo de G. Entonces X es un H conjunto
bajo la acción inducida por G.
∎
Demo: Trivial.
67
68
8.1 Grupos actuando sobre conjuntos.
Ejemplos A Veamos distintos ejemplos de acciones:
(i) Sea X un conjunto y SX el grupo de permutaciones sobre X. Entonces, la aplicación
SX × X → X definida por ∗(σ, x) ∶= σ(x) es una acción de SX sobre X.
(ii) Sea G el grupo de simetrı́as de un polı́gono P . Entonces G produce una acción tanto
en el conjunto de los vértices como en el conjunto de las aristas de P
(iii) Dado un grupo G, su producto, ∗ ∶ G × G → G definen una acción de G sobre sı́
mismo. Si H es un subgrupo de G, tenemos ∗ ∶ H × G → G
(iv) Dado un grupo G, la aplicación G × G → G definida por ∗(h, g) = hgh−1 (esta
es una de las pocas acciones de grupos sobre conjuntos que no se denotará por
yuxtaposición). Si H es un subgrupo de G, tenemos ∗ ∶ H × G → G
(v) Dado un grupo G, y H ◁ G, la aplicación G × H → H definida por ∗(g, h) = ghg −1
es una acción.
Definición 3 Sea X un G-conjunto y sean Y ⊂ X y K ⊂ G. Se define
XK ∶= {x ∈ X∣ gx = x ∀g ∈ K}, el conjunto de elementos de X que quedan fijos por
todo elemento de K.
GY ∶= {g ∈ G∣ gy = y ∀y ∈ Y }, el conjunto de elementos de G que fijan todos los
elementos de Y .
Nota: Normalmente, a lo largo de esta teorı́a, los conjuntos Y y K tendrán solamente un
elemento, por lo que se denotarán simplemente por Xg y Gx (en vez de la notación más
engorrosa X{g} y G{x} ).
Proposición 4 Sea X un G-conjunto y sea Y ⊂ X. Entonces GY es un subgrupo de G.
Cuando Y = {x} el subgrupo Gx se denomina el subgrupo de isotropı́a de x.
Demo: Dados g, g ′ ∈ GY , (gg ′ )y = g(g ′ y) = gy = y para todo y ∈ Y , luego gg ′ ∈ GY , es
decir, la operación es cerrada en GY . Es más, por hipótesis ey = y para todo y ∈ Y , luego
e ∈ GY . Por último, si g ∈ GY , y = ey = (g −1 g)y = g −1 (gy) = g −1 y para todo y ∈ Y , por lo
que g −1 ∈ GY .
∎
Nota: Dado un subconjunto no vacı́o Y ⊂ X se verifica que GY = ⋂y∈Y Gy . Ası́ GY es
intersección de subgrupos de isotropı́a de G.
Teorema 5 Sea X un G-conjunto. Entonces:
(1) La relación x1 ∼ x2 si y sólo si existe g ∈ G tal que gx1 = x2 es una relación de
equivalencia en X.
(2) La clase de equivalencia de x ∈ X es Gx ∶= {gx∣ g ∈ G}, llamada la órbita de x.
(3) La orbita de un elemento x ∈ X tiene un único elemento si y solo si x ∈ XG
Demo: Veamos que cumple las tres propiedades de relación de equivalencia:
Reflexiva: dado x ∈ X, ex = x por lo que x ∼ x.
Transitiva: supongamos que x ∼ y e y ∼ z, entonces existen g, g ′ ∈ G tales que gx = y
y g ′ y = z. Por tanto (g ′ g)x = g ′ (gx) = g ′ y = z y ası́, x ∼ z.
Capı́tulo 8. Acciones de grupos sobre conjuntos. Teoremas de Sylow
69
Simétrica: supongamos que x ∼ y. Entonces existe g ∈ G tal que gx = y. Por tanto
x = ex = (g −1 g)x = g −1 (gx) = g −1 y, lo que demuestra que y ∼ x.
Veamos ahora que x = {gx ∣ g ∈ G} = Gx. Si y ∈ Gx, existe g ∈ G tal que y = gx por lo
que x ∼ y. Si y ∈ X verifica que x ∼ y, existe g ∈ G con y = gx ∈ Gx.
∎
Ejemplos B Sea G el grupo de movimientos de un rectángulo Áureo.
α
d
c
β
a
b
Para calcular todos los movimientos de este rectángulo nos fijaremos en dónde va a
parar el vértice a. Si a no se mueve, el rectángulo no se mueve y tenemos el movimiento
identidad Id (no hay mas posibilidades de movimiento). Si a termina en b la única posibilidad es que b caiga en a, y c y d permuten (giro de 180º respecto del eje α), y tenemos
el movimiento (a, b)(c, d). Si a termina en c, c cae en a, y b y d conmutan (giro de 180º
grados respecto del eje β), con lo que tenemos la permutación (a, c)(b, d). Por último, si a
termina en d tenemos la permutación (a, d)(b, c) (giro de 180º en el sentido de las agujas
del reloj). Por tanto el grupo de simetrı́as del triángulo Áureo es
G = {Id, (a, b)(c, d), (a, c)(b, d), (a, d)(b, c)}
Tenemos entonces que G induce una acción sobre el conjunto de los vértices, las aris̃ ad,
̃ cd,
̃ cb,
̃ α, β} definida por: si σ ∈ G
tas, y los ejes del rectángulo Áureo, X = {a, b, c, d, ab,
y x ∈ X, σ(x) es donde va a parar x al aplicarle σ. Por ejemplo, si σ = (a, c)(b, d) y
̃ σ(x) = ab.
̃
x = cd,
Tenemos entonces que las órbitas de los distintos elementos son:
a = {a, b, c, d},
α = {α},
β = {β},
̃ = {ab,
̃ cd}
̃
ab
y
̃ = {ad,
̃ cb}
̃
ad
Por lo tanto, las órbitas de la acción nos ha separado, en las distintas clases de equivalencia, los vértices, los lados de igual tamaño y los ejes del triángulo Áureo (luego
propiedades puramente geométricas quedan reconocidas por la acción de G sobre X).
Ejemplos C Veamos un segundo ejemplo: Sea G un grupo y sea X el conjunto formado
por todos los subgrupos de G. Entonces la aplicación ∗ ∶ G×X → X definida por ∗(g, H) ∶=
gHg −1 es una acción de G sobre X. Es más,
(i) Dado H ∈ X, G{H} = {g ∈ G ∣ gHg −1 = H} = N (H), el normalizador de H en G.
(ii) H ⊂ N (H). Es más, H ◁ N (H) y N (H) el el mayor subgrupo de G que contiene a
H como un subgrupo normal.
(iii) La órbita de H ∈ X es el conjunto de todos los subgrupos que son conjugados a H.
70
8.1 Grupos actuando sobre conjuntos.
Nota: Recordamos que si G es un grupo y H es un subgrupo de G, el ı́ndice de H en
G coincide con el número de clases de equivalencia de cualquiera de estas dos clases de
equivalencia:
⋆1 La relación de equivalencia por la derecha de H sobre G,
g ∼ g′
⇐⇒
gg ′−1 ∈ H
y en este caso la clase de equivalencia de un elemento g ∈ G es Hg = {hg ∣ h ∈ H}.
⋆2 La relación de equivalencia por la izquierda de H sobre G,
g ∼ g′
⇐⇒
g −1 g ′ ∈ H
y en este caso la clase de equivalencia de un elemento g ∈ G es gH = {gh ∣ h ∈ H}.
Teorema 6 Sea X un G-conjunto y x ∈ X. Entonces el cardinal de la órbita de x coincide
con el ı́ndice de G sobre Gx , es decir,
∣Gx∣ = (G ∶ Gx ).
Demo: Denotamos por ∆ el conjunto de las clases de equivalencia por la izquierda de G
sobre Gx y la aplicación
Φ ∶ Gx → ∆ definido por Φ(gx) = g = gGx
● Tenemos que ver que está bien definido: si gx = g ′ x, entonces g‘−1 gx = x. Por tanto
g ′−1 g ∈ Gx y siguiendo la definición de ⋆2 , g ′ = g.
● Veamos que es inyectiva. Supongamos gx, g ′ x ∈ Gx tal que Φ(gx) = Φ(g ′ x). Tenemos
entonces que g = g ′ y por definición de ⋆2 , g −1 g ′ ∈ Gx , o lo que es lo mismo x = g −1 g ′ x y
por tanto, gx = g(g −1 g ′ x) = gg −1 g ′ x = x = g ′ x.
● Veamos que es sobreyectiva. Dado g ∈ ∆, tenemos que Φ(gx) = g por lo que Φ es
sobreyectiva.
∎
Nota: Si consideramos ∆′ el conjunto cociente definido por la relación de equivalencia
⋆1 tenemos que la aplicación Ψ ∶ Gx → ∆′ definida por Ψ(gx) = g −1 es biyectiva.
Teorema 7 Sea G un grupo finito y X un G-conjunto finito. Sea r el número de órbitas
de X bajo la acción de G. Entonces
r∣G∣ = ∑ ∣Xg ∣.
g∈G
Demo: Vamos a considerar el conjunto
∆ ∶= {(g, x) ∈ G × X ∣ gx = x}
Si fijamos un g ∈ G el conjunto de pares (g, x) ∈ ∆ es
{(g, x) ∣ gx = x} = {(g, x) ∣ x ∈ Xg }
˙ g∈G {(g, x) ∣ x ∈ Xg } y por tanto, ∣∆∣ = ∑g∈G ∣Xg ∣.
Por lo que ∆ = ⋃
Capı́tulo 8. Acciones de grupos sobre conjuntos. Teoremas de Sylow
71
Por otro lado, dado x ∈ X, el conjunto de los pares (g, x) ∈ ∆ es
{(g, x) ∣ gx = x} = {(g, x) ∣ g ∈ Gx }
˙ x∈X {(g, x) ∣ g ∈ Gx } y aplicando la proposición anterior,
Por tanto, ∆ = ⋃
∣G∣
∣G∣
1
=∑
= ∣G∣ ∑
= ∣G∣r,
x∈X (G ∶ Gx )
x∈X ∣Gx∣
x∈X ∣Gx∣
∣∆∣ = ∑ ∣Gx ∣ = ∑
x∈X
ya que si tomamos {x1 , x2 , . . . , xr } un representante para cada una de las órbitas de la
acción de G sobre X tenemos que :
∣Gxj ∣ veces
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ · ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
r
r
r
1
1
1
1
=∑ ∑
= ∑(
+⋯+
) = ∑ 1 = r.
∑
∣Gxj ∣
j=1 x∈Gxj ∣Gxj ∣
j=1 ∣Gxj ∣
j=1
x∈X ∣Gx∣
2.
∎
Teoremas de Sylow.
Nota: Sea X un G-conjunto finito. Sea r el número de órbitas de X bajo la acción de
G. Sean x1 , . . . , xr ∈ X un representante de cada una de las órbitas en donde {x1 , . . . , xs }
son los representantes de las órbitas con un único elemento. Entonces
(1) ∣X∣ = ∑ri=1 ∣Gxi ∣.
(2) XG consiste exactamente en los elemento de X cuyas órbitas solo poseen un elemento.
(3) Si XG ∶= {x1 , . . . , xs }, entonces
r
∣X∣ = ∣XG ∣ + ∑ ∣Gxi ∣.
i=s+1
(1) Se sigue de ser el conjunto de las órbitas una partición de X. (2) es el Teorema
5(3) (Pag. 68) y (3) se deduce de los dos puntos anteriores.
Nota: Observar que en cualquier caso el cardinal de una órbita siempre divide al orden
de G ya que por el Teorema 6 (Pag. 70), ∣Gxi ∣ = (G ∶ Gxi ) = ∣G∣/∣Gxi ∣.
Sea G un grupo cı́clico con n elementos. Se ha demostrado que G contiene un único
subgrupo de orden k para cada k divisor de n. Es más, G contiene un único subgrupo de
orden k para cada k divisor de n si y sólo si G es cı́clico con n elementos. La situación para
grupos no abelianos es mucho más complicada. Por ejemplo, existen grupos (no abelianos)
de orden 12 que no poseen subgrupos de orden 6, por ejemplo el grupo alternado A4 . No
obstante, los teoremas de Sylow nos van a dar información importante relativa a subgrupos
de ciertos órdenes.
Definición 1 Se dice que un grupo G es un p-grupo si es finito de cardinal potencia de
p para p un número primo. Se dice que un subgrupo H de un grupo arbitrario G es un
p-subgrupo si H como grupo es un p-grupo. Se dice que un subgrupo H de G es un p-grupo
de Sylow para G si H es maximal entre los p-subgrupos de Sylow de G.
Nota: El siguiente resultado será utilizado repetidamente a lo largo de esta sección.
72
8.2 Teoremas de Sylow.
Teorema 2 Sea p un número primo y sea G un p-grupo de orden pn . Sea X un G-conjunto
finito. Entonces ∣X∣ ≡ ∣XG ∣ (mod p).
Demo: Sean {x1 , x2 , . . . , xr } representantes de cada una de la órbitas de X respecto de
la acción de G. Supongamos que XG = {x1 , . . . , xs }. Por el lema 2 (Pag. 71),
r
∣X∣ = ∣XG ∣ + ∑ ∣Gxi ∣.
i=s+1
Por otro lado, para cada i ∈ {s + 1, . . . , r}, ver Teorema 6 (Pag. 70), 1 ≠ ∣Gxi ∣ = (G ∶ Gxi ) =
∣G∣
n
∣Gx ∣ y como ∣G∣ = p , (G ∶ Gxi ) es potencia de p (y no es uno). Por tanto
i
r
∣X∣ − ∣XG ∣ = ∑ ∣Gxi ∣ = ṗ
i=s+1
lo que demuestra que ∣X∣ ≡ ∣XG ∣ (mod p).
∎
Teorema 3 (Cauchy) Sea G un grupo finito y sea p un número primo que divide al
orden de G. Entonces G contiene un elemento de orden p. En particular, G contiene un
subgrupo de orden p.
Demo: ♠ Consideremos el conjunto
p
X ∶= {(g1 , g2 , . . . , gp ) ∈ G× ⋯ ×G ∣ g1 g2 ⋯gp = e}.
Tenemos que el conjunto X tiene ∣G∣p−1 elementos, ya que los p − 1 primeros elementos de
las p-uplas pueden ser arbitrarios, (g1 , g2 , . . . , gp−1 , ?) mientras que el último debe de ser
exactamente (g1 g2 ⋯gp−1 )−1 .
♠ Consideremos el ciclo σ = (1, 2, . . . , p) ∈ Sp , es decir, la permutación en el conjunto
{1, 2, . . . , p} que manda k en k + 1 para k = 1, 2, . . . , p − 1 y manda p al 1. Y sea < σ > el
subgrupo de Sp generado por σ (grupo cı́clico con p elementos).
♠ Dado (g1 , g2 , . . . , gp ) ∈ X tenemos que
σ(g1 , g2 , . . . , gp ) ∶= (gσ1 , gσ2 , . . . , gσp ) = (g2 , . . . , gp , g1 ) ∈ X
Como g1 g2 ⋯gp = e, multiplicando por g1−1 por la izquierda obtenemos g2 ⋯gp = g1−1 . Si
multiplicamos ahora g1 por la derecha, g2 ⋯gp g1 = e. Por tanto podemos definir una acción
< σ > ×X → X
como σ k (g1 , g2 , . . . , gp ) ∶= (gσk 1 , gσk 2 , . . . , gσk p ).
♠ Veamos quién es el conjunto X<σ> , el conjunto de elementos de X que son invariantes
por todo elemento de < σ >. Si (g1 , g2 , . . . , gp ) ∈ X<σ> , entonces
(g1 , g2 , . . . , gp ) = σ(g1 , g2 , . . . , gp ) = (g2 , g3 , . . . , gp , g1 )
por lo que g1 = g2 = ⋯ = gp . Por otro lado, es claro que los elementos de la forma
(g, g, . . . , g) ∈ X con g p = e pertenecen a X<σ> . Por tanto X<σ> = {(g, g, . . . , g) ∣ g p = e}.
♠ Por el Teorema 2 (Pag. 72), ∣X∣ ≡ ∣X<σ> ∣ (mod p). Lo que implica que, como ∣X∣
es múltiplo de p, ∣X<σ> ∣ es múltiplo de p. Por último, (e, e, . . . , e) ∈ X<σ> y por tanto el
número de elementos de X<σ> es múltiplo de p por lo que al menos hay p − 1 elementos
distintos del neutro tal que g p = e. Cualquiera de estos elementos tiene orden p.
∎
Capı́tulo 8. Acciones de grupos sobre conjuntos. Teoremas de Sylow
73
Corolario 4 Un grupo finito G es un p-grupo si y sólo si todo elemento de G tiene orden
potencia de p.
Demo: Si el cardinal de G es pn (G es un p-grupo), el teorema de Lagrange nos dice
que el orden de todo elemento de G divide a pn y por tanto todo elemento de G tiene
orden potencia de p. Por otro lado, si suponemos que todo elemento de G tiene orden
potencia de p y que G no es un p grupo, existe q un número primo que divide al orden
de G y por tanto, aplicando el teorema de Cauchy, existe un elemento de G de orden q,
una contradicción.
∎
Proposición 5 Si p es un número primo y G es un p-grupo. Entonces Z(G) es un
subgrupo no trivial de G.
Demo: Consideremos como conjunto X el propio G y la acción G × X → X definida por
(g, x) = g −1 xg tenemos por el teorema 2 (Pag. 72)
∣X∣ ≡ XG (mod p)
por tanto como XG contiene al neutro, al menos tiene p elementos. Por último
XG = {x ∈ G ∣ g −1 xg = x ∀ g ∈ G} = {x ∈ G ∣ xg = gx ∀ g ∈ G} = Z(G).
∎
Lo que demuestra la proposición.
Recordatorio: Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Entonces se define el normalizador de H en G y se representa por N (H) como:
N (H) ∶= {g ∈ G∣ gHg −1 = H} = {g ∈ G∣ g −1 Hg = H}
♢ Sabemos que el normalizador de H en G es el subgrupo mas grande de G en donde
H es normal (en particular, H ◁ N (H)). Por tanto, H es un subgrupo normal de G si y
sólo si G = N (H).
♢ Si G es un grupo y X es el conjunto de todos los subgrupos de G. Entonces la
aplicación ∗ ∶ G × X → X definida por ∗(g, H) = gHg −1 es una acción de G sobre X tal
que para cualquier H ∈ X,
GH = {g ∈ G ∣ gHg −1 = H} = N (H)
Proposición 6 Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Consideremos X el conjunto de
todas las clases por la izquierda de H en G, X = {xH ∣ x ∈ G}. Entonces, la aplicación
∗∶G×X →X
definida por
∗ (g, xH) ∶= (gx)H
es una acción de G en X.
Demo: ⧫ Veamos en primer lugar que está bien definida: sean x, y ∈ G tales que xH = yH
(es decir, x−1 y ∈ H) y sea g ∈ G. Entonces (gx)−1 gy = x−1 g −1 gy = x−1 y ∈ H y por tanto
gxH = gyH.
⧫ Claramente verifica las dos propiedades de acción: e(xH) = xH y dados g, g ′ ∈ G,
′
g(g (xH)) = (gg ′ )xH para todo xH ∈ X.
∎
El Lema 2 (Pag. 67) nos demuestra este corolario:
74
8.2 Teoremas de Sylow.
Corolario 7 Sea G un grupo y sea H, H ′ dos subgrupo de G. Consideremos X el conjunto
de todas las clases por la izquierda de H en G, X = {xH ∣x ∈ G}. Entonces, la aplicación
∗ ∶ H′ × X → X
definida por
∗ (h′ , xH) ∶= (h′ x)H
es una acción de H ′ en X.
Proposición 8 Sea G un grupo finito y H un p-subgrupo de G. Entonces
(N (H) ∶ H) ≡ (G ∶ H) (mod p).
Demo: Consideremos la acción anterior, es decir, X el conjunto de todas las clases por la
izquierda de H en G, X = {xH ∣x ∈ G} y ∗ ∶ H × X → X definida por ∗(h, xH) ∶= (hx)H.
Vamos a aplicar el teorema 2 (Pag. 72) a esta acción, es decir, ∣X∣ ≡ ∣XG ∣ (mod p). Lo
que nos demostrara el resultado
⧫ El cardinal de X es (G ∶ H), el número de clases laterales de G sobre H.
⧫ Veamos que XH consiste en las clases por la izquierda de G sobre H que tiene por
representantes elementos de N (H): Tenemos que XH consiste en el conjunto de clases por
la izquierda de G en H (los elementos de X) que quedan invariantes por todo elemento
de H. Por tanto si xH ∈ XH , para todo h ∈ H, xH = hxH es decir, x−1 hx ∈ H para todo
h ∈ H. Esto implica que x−1 ∈ N (H) y por tanto x ∈ N (H). Por otro lado, si x ∈ N (H),
x−1 ∈ N (H) y por tanto x−1 hx ∈ H por lo que xH = hxH para todo h ∈ H. Por último, las
clases por la izquierda xH con x ∈ N (H) son precisamente las clases por la izquierda de
N (H) sobre H y su cardinal es (N (H) ∶ H).
Ası́, el teorema 2 (Pag. 72) muestra que (N (H) ∶ H) ≡ (G ∶ H) (mod p).
∎
Corolario 9 Sea G un grupo finito y sea H un p-subgrupo de G. Si p divide a (G ∶ H)
entonces N (H) ≠ H.
Demo: Por el teorema anterior (N (H) ∶ H) ≡ (G ∶ H) (mod p). Es más, con las hipótesis
en las que nos encontramos (N (H) ∶ H) ≡ 0 (mod p). Por tanto (N (H) ∶ H) ≠ 1, lo que
implica que N (H) ≠ H.
∎
Antes de demostrar el llamado primer teorema de Sylow vamos a recordar un resultado
anterior que vamos a tener que utilizar:
Recordatorio: Sea G un grupo y sea H un subgrupo normal de G. Entonces la aplicación
π ∶ G → G/H es un epimorfismo de grupos. Es más,
(i) Si K es un subgrupo (normal) de G, π(K) es subgrupo (normal) de G/H.
(ii) Si K es un subgrupo (normal) de G/K, π −1 (K) es subgrupo (normal) de G.
Además (ii) define una biyección entre los subgrupos de G/H y los subgrupos de G que
contienen a H (con inversa definida por (i)).
Teorema 10 (Primer Teorema de Sylow) Sea G un grupo finito de orden pn m, con
p un número primo que no divide a m, n ≥ 1. Entonces
(i) Todo subgrupo de G de orden pi es subgrupo normal de algún subgrupo de orden pi+1
para i ∈ {1, 2, . . . , n − 1}.
Capı́tulo 8. Acciones de grupos sobre conjuntos. Teoremas de Sylow
75
(ii) G contiene un subgrupo de orden pi para cada i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Demo: Por hipótesis ∣G∣ = pn m con n ≥ 1 y m. c. d(p, m) = 1. Supongamos H un subgrupo
de G de orden pk con k ≤ n − 1. Por la proposición 8 (Pag. 74), tenemos
(N (H) ∶ H) ≡ (G ∶ H) (mod p).
Como k < n, (G ∶ H) es divisible por p por lo que (N (Hk ) ∶ Hk ) es múltiplo de p, en
particular H ⊊ N (H). Aplicando ahora el Teorema de Cauchy al grupo N (H)/H, existe
un subgrupo K de N (H)/H con p elementos, lo que implica que si π ∶ N (H) → N (H)/H
es la proyección canónica, K = π −1 (K) es un subgrupo de N (H) que contiene a H (por
lo que H es normal K) con π(K) = K/H, por lo que ∣K/H∣ = ∣K∣ = p lo que implica que
∣K∣ = pk+1 .
Demostremos el punto (ii) por inducción: Para cada k ∈ {1, 2, . . . , n} encontramos una
cadena de subgrupo de G, H1 ◁ H2 ◁ ⋯ ◁ Hk con ∣Hi ∣ = pi .
Para k = 1: por el Teorema de Cauchy, ver el Teorema 3 (Pag. 72), sabemos que G
contiene un elemento de orden p y por tanto un subgrupo H1 de orden p. Supongamos
que tenemos una cadena de subgrupos de G, H1 ◁ H2 ◁ ⋯ ◁ Hk con ∣Hi ∣ = pi , k < n, el
grupo Hk+1 nos lo proporciona el apartado (ii).
∎
Recordatorio: Sea G un grupo. Un p-grupo de Sylow es un p-subgrupo de G maximal
entre los p-subgrupos de G.
Corolario 11 Sea G un grupo finito de orden pn m, con p un número primo que no divide
a m. Entonces G contiene un p-grupo de Sylow de orden pn . Es más, los p-subgrupos de
Sylow de G tienen orden pn .
Por el corolario anterior, si P es un p-grupo de Sylow y P ′ es un subgrupo conjugado
a P , entonces P ′ tiene pn elementos y por el teorema de Lagrange, P ′ es un p-grupo de
Sylow. El teorema siguiente nos demuestra que realmente cualesquiera dos p subgrupos
de Sylow son conjugados.
Teorema 12 (Segundo Teorema de Sylow) Cualesquiera dos p grupos de Sylow de
un grupo finito G son conjugados.
Demo: Sean P y P ′ dos p-grupos de Sylow. Consideremos X el conjunto de todas las
clases laterales por la izquierda de G sobre P ,
X ∶= {xP ∣ x ∈ G}
Consideremos como grupo G = P ′ y sea la acción
P′ × X → X
definida por
∗ (p′ , xP ) = p′ xP
ver el corolario 7 (Pag. 74). Ahora por el Teorema 2 (Pag. 72), ∣X∣ ≡ ∣XG ∣ (mod p) y como
∣X∣ = pn m/pn = m que no es divisible por p, el conjunto XG posee al menos un elemento.
Sea xP ∈ XG , entonces para todo a ∈ P ′ , axP = xP o lo que es lo mismo, x−1 ax ∈ P para
todo a ∈ P ′ por tanto x−1 P x ⊂ P ′ y como ambos conjuntos tienen el mismo nuúmero de
elementos, x−1 P x = P ′ . Por tanto si consideramos el automorfismo interno Φx−1 ∶ G → G
tenemos que Φx−1 (P ) = P ′ es decir, P y P ′ son conjugados.
∎
76
8.2 Teoremas de Sylow.
Recordatorio Sea G un grupo y sea X el conjunto formado por todos los subgrupos de
G. Entonces X se convierte en un G-conjunto si consideramos la siguiente acción:
∗∶G×X →X
definida por
∗ (g, H) = gHg −1
Por tanto X es un H conjunto para cualquier subgrupo de G, ver El lema 2 (Pag. 67).
Teorema 13 (Tercer Teorema de Sylow) Sea G un grupo finito y sea p un número
primo que divide al orden de G. Sea r el número de p-grupos de Sylow. Entonces
r ≡ 1 (mod p)
y
r∣∣G∣
Demo: Sea X el conjunto de todos los p-subgrupos de Sylow de G y sea P ∈ X.
♣ Consideremos la acción por conjugación de G sobre X, es decir,
∗∶G×X →X
definida por
∗ (x, T ) = xT x−1
Es claro que ∗ está bien definida y es una acción de G sobre X. Por el segundo Teorema
de Sylow, todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados, luego si P ∈ X, la órbita de
P respecto de la acción de G es todo X. Pero el número de elementos de la orbita de P
coincide con (G ∶ GP ) que es un número que divide a ∣G∣. Por lo que ∣X∣ divide a ∣G∣.
♣ Si restringimos la acción anterior al subgrupo P , es decir,
∗∶P ×X →X
definida por
∗ (x, T ) = xT x−1
Tenemos entonces que por el Teorema 2 (Pag. 72),
∣X∣ ≡ ∣XP ∣ (mod p).
(1)
Por construcción ∣X∣ es el número de p-grupos de Sylow de G. Veamos quién es XP .
Por un lado es claro que P ∈ XP ya que para todo x ∈ P , xP x−1 = P . Por otro lado, si
T ∈ XP para cada x ∈ P , xT x−1 = T . Por tanto P ⊂ N (T ) y como T ⊂ N (T ), T y P son
p-subgrupos de Sylow en N (T ). Por el segundo Teorema de Sylow, T y P son conjugados
en N (T ), pero como T es normal en N (T ), P = T . Luego ∣XP ∣ = 1 y por tanto la fórmula
(1) nos demuestra que ∣X∣ ≡ 1 (mod p).
∎
Capı́tulo 8. Acciones de grupos sobre conjuntos. Teoremas de Sylow
3.
77
Ejercicios del Tema
1 Sea G un grupo, X un conjunto y sea SX el grupo de permutaciones del conjunto X.
(i) Demuestra que si ∗ ∶ G×X → X es una acción de G en X, entonces la aplicación Φ ∶
G → SX definida por Φ(g) ∶ X → X la aplicación Φ(g)(x) = gx es un homomorfismo
de grupos.
(ii) Demuestra que si Ψ ∶ G → SX es un homomorfismo de grupos, entonces la aplicación
∗ ∶ G × X → X definida por ∗(g, x) ∶= Ψ(g)(x) es una acción de G sobre X.
2 ¿Cuantos dados distintos de pueden construir colocando en cada cara los números del
1 al 6?
∗
3 ¿Cuantos dados distintos de pueden hacer colocando en cada cara sólo los números 1
y 2 repetidos cada uno de ellos 3 veces?
∗
4 ¿De cuantas formas posibles se pueden colocar 6 comensales en una mesa redonda?
(se considera que es una posición distinta si al menos un comensal tiene sentado a su lado
un compañero distinto)
∗
5 Sea X un G-conjunto y sea Y ⊂ X. Definimos GY ∶= {g ∈ G ∣gY = Y }
(i). Demuestra que GY es un subgrupo de G.
∗
(ii). ¿Que relación existe entre GY y GY ?
6 Sea X un G-conjunto y sea Y ⊂ X. Definimos GỸ ∶= {g ∈ G ∣gy ∈ Y ∀ y ∈ Y }. ¿Es GỸ
es un subgrupo de G.
∗
7 (Esteban Gámez Molina 2021-2022) Sea X un G-conjunto y sea Y ⊂ X. Demuestra que GY ⊂ GỸ . Es más, GY ◁ GỸ
∗
8 En S7 se considera el subgrupo G generado por el ciclo < (1, 2, 5, 7) >. Sea X =
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y
∗∶G×X →X
definida por
∗ (σ, x) ∶= σ(x)
(i). Calcula las distintas órbitas de G sobre X.
(ii). Sea Y = {2, 7}. Calcula GY y GY .
(iii). Sea Y = {3, 4}. Calcula GY y GY .
9 Sea G un grupo abeliano y finito. Demuestra que para cada primo divisor del cardinal
de G existe un único p-subgrupo de Sylow.
10 Sea G un grupo finito y sea p un primo divisor del cardinal de G. Demuestra que
existe un único p-subgrupo de Sylow H si y sólo si H es un subgrupo normal de G.
11 Sea G un grupo finito tal que todos sus p-subgrupos de Sylow son normales. Demuestra
que G es producto directo interno de sus p-subgrupos de Sylow.
78
8.3 Ejercicios del Tema
∣H∣∣K∣
12 Sea G un grupo y sean H, K subgrupos de G con H normal entonces ∣HK∣ = ∣H∩K∣
.
13 Demuestra que un grupo de orden 45 tiene un subgrupo normal de orden 9.
14 Sea G un grupo y sea H un p-subgrupo de Sylow the G que es normal en G. Demuestra
que todo p-subgrupo de G está contenido en H.
15 Sea G un grupo de orden 353 . Demuestra que G posee un subgrupo normal de orden
125.
16 Demuestra que un grupo de orden 255 no es simple.
17 ¿Puedes encontrar un grupo no abeliano tal que todos sus subgrupos de Sylow sean
cı́clicos?
18 Demuestra que todo grupo de orden p2 con p un número primo es abeliano.
∗
Capı́tulo 9
Clasificación Grupos Abelianos
Finitamente Generados
Objetivos del capı́tulo
Clasificar, salvo isomorfismo, los grupos abelianos finitamente generados. Éstos quedan como suma
directa de un grupo de torsión y un grupo libre de torsión.
Se estudian los grupos abelianos finitamente generados de Torsión, que son precisamente los grupos
abelianos finitos. Clasificando estos como producto directo de grupos abelianos cı́clico del tipo Zpn
con p un número primo.
Se estudian los grupos abelianos finitamente generados libres de Torsión. Se clasifican como producto directo de Z. Se demuestra que éstos son precisamente los que poseen base, demostrando
que el número de elementos de cualquiera de sus bases es un invariante del grupo.
1.
Grupos finitamente generados
Definición 1 Recordamos que un grupo G es finitamente generado si existe un subconjunto finito X ⊂ G tal que G =< X >.
Nota: Observar que:
⧫ Un grupo es cı́clico si y sólo si está generado por un único elemento.
⧫ Todo grupo finito está finitamente generado.
⧫ Zn1 × ⋯ × Znk × Z⋯ × Z está generado por
X = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), ⋯, (0, 0, . . . , 1)}.
Luego es finitamente generado (podrı́a ocurrir que tuviera sistemas de generadores con
menos elementos).
Aunque en general no es fácil calcular el subgrupo generado por un subconjunto, si
que podemos dar una construcción teórica de dicho subgrupo:
Proposición 2 Sea G un grupo y ∅ ≠ X ⊂ G. Sea Y = {xi , x−1
i ∣ xi ∈ X}. Entonces
< X >∶= {y1 y2 . . . ym ∣ ai ∈ Y, m ∈ N}
79
80
9.2 Grupos abelianos finitamente generados
es decir, < X > es el conjunto de todos los elementos de G que son productos arbitrarios
finitos de elementos de Y .
Demo: Denotemos por Z = {y1 y2 . . . ym ∣ ai ∈ Y, m ∈ N}. Es claro que el producto de dos
elementos de Z es un elemento de Z. Es más, e = x1 x−1
1 ∈ Z. Por último, si y1 y2 . . . ym ∈ Z
−1 −1
−1
−1
con yi ∈ Y , m ∈ N, entonces (y1 y2 . . . ym ) = ym . . . y2 y1 ∈ Z. Por tanto Z es un subgrupo.
Por construcción Z es el menor subgrupo de G que contiene a X, por lo que Z =< X >. ∎
Nota: Cuidado cuando la notación es la aditiva.
Proposición 3 Sean G, G′ dos grupos y f ∶ G → G′ un epimorfismo de grupos. Entonces
si G es finitamente generado, G′ también lo es.
Demo: Si X = {x1 , . . . , xn } es un sistema generador para G, veamos que el conjunto
f (X) = {f (x1 ), . . . , f (xn )} es un sistema de generadores para G′ : Dado y ∈ G′ existe z ∈ G
tal que f (z) = y y como X genera G existen un producto de elementos de X, junto los
inversos de X, tales que z = a1 a2 ⋯ak con ai ∈ X ∪X −1 y por tanto y = f (z) = f (a1 a2 ⋯ak ) =
f (a1 )f (a2 )⋯f (ak ) lo que implica que y es producto de elementos de f (X) y sus opuestos
(ya que f (x−1 ) = f (x)−1 ).
∎
Corolario 4 Si G es un grupo finitamente generado y H es un subgrupo normal de G,
entonces G/H es finitamente generado.
Proposición 5 Sean {(Gi , ∗i )}ni=1 una familia de grupos y consideremos G = G1 × ⋯ × Gn
el producto directo externo de los Gi . Entonces G es finitamente generado si y sólo si cada
Gi es finitamente generado.
Demo: Si Xi = {xi1 , . . . , xiαi } es un sistema de generadores de Gi , entonces
{{x11 , x12 , . . . , x1α1 } ∪ ⋯ ∪ {xn1 , xn2 , . . . , xnαn }}
Es un sistema de generadores para G. En sentido contrario, si G es finitamente generado,
con sistema de generadores X, como πk ∶ G → Gk es un epimorfismo de grupos, cada Gk
es finitamente generado, con un sistema de generadores πk (X).
∎
2.
Grupos abelianos finitamente generados
Recordamos en este punto que normalmente, cuando se trabaja con grupos abelianos,
se suele usar la notación aditiva:
● La operación se denota por el signo +.
n
● Un elemento operado n veces, a+ ⋯ +a, se denota por na. Observar entonces que el
orden de un elemento a ∈ G es el menor natural m tal que
ma = a+ ⋯ +a = 0.
m
● El inverso de un elemento a se llamaba opuesto y se denotado por −a. El neutro se
denota por 0.
Nota: En este caso, si G es un grupo abeliano y X = {x1 , . . . , xk } ⊂ G, entonces
< X >= {n1 x1 + n2 x2 + ⋯ + nk xk ∣ ni ∈ Z, i = 1, 2, . . . , k}
En toda esta sección usaremos notación aditiva.
Capı́tulo 9. Clasificación Grupos Abelianos Finitamente Generados
81
Definición 1 Se dice que un grupo abeliano G es de torsión si todo elemento de G tiene
orden finito. Si ningún elemento de G tiene orden finito (salvo el neutro), se dice que G
es libre de torsión.
Corolario 2 Cualquier subgrupo de un grupo abeliano libre de torsión es libre de torsión.
Teorema 3 Sea G un grupo abeliano. Entonces
T (G) ∶= {a ∈ G ∣ a tiene orden finito}
es un subgrupo “normal” de G, llamado el subgrupo de torsión de G.
Demo: Veamos que T (G) es un subgrupo de G. Como 0 ∈ T (G) (ya que tiene orden 1),
T (G) es no vacio. Por otro lado, dados a, b ∈ T (G), existen n1 , n2 ∈ N tales que n1 a = 0 y
n2 b = 0. Tenemos entonces que
n1 n2 (a − b) = n2 (n1 a) − n1 (n2 b) = 0 − 0 = 0
por lo que a−b ∈ T (G), lo que demuestra que T (G) es subgrupo de G. Como G es abeliano,
es un subgrupo normal de G.
∎
Proposición 4 Sea G un grupo abeliano y T (G) su grupo de torsión. Entonces G/T (G)
es libre de torsión
Demo: Si a ∈ G/T (G) un elemento de torsión en G/T (G), tenemos que existe n ∈ N tal
que na = 0. Por tanto na ∈ T (G) y existe m ∈ N tal que 0 = m(na) = mna. Luego a es un
∎
elemento de torsión de G, a ∈ T (G) y por tanto a = 0.
Ejemplos A Si G es un grupo abeliano finito, entonces G es un grupo de torsión (ver
Teorema de Lagrange). Si G = Z × ⋯ × Z, entonces G es libre de torsión.
Recordemos el subgrupo generado por un conjunto finito, ver Proposición 5, (Pag. 81)
en un grupo abeliano.
Proposición 5 Sea G un grupo abeliano y X = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ G. Entonces
< X >∶= {α1 x1 + α2 x2 + ⋯ + αn xn ∣ αi ∈ Z}
es decir,
< X >=< x1 > + < x2 > +⋯+ < xn >= Zx1 + Zx2 + ⋯ + Zxn
Corolario 6 Sea G un grupo abeliano generado por X = {x1 , x2 , . . . , xn }. Entonces la
aplicación
n)
Φ ∶ Z× ⋯ ×Z → G definida por Φ(α1 , α2 , . . . , αn ) = α1 x1 + α2 x2 + ⋯ + αn xn
es un epimorfismo de grupos.
Corolario 7 Todo grupo abeliano finitamente generado es cociente de un grupo libre de
torsión.
82
9.2 Grupos abelianos finitamente generados
2.1.
Libres de torsión
Definición 8 Sea G un grupo abeliano. Se dice que X = {x1 , x2 , . . . , xn } es una base para
G si X es un sistema de generadores de G que verifica que si α1 x1 + ⋯ + αn xn = 0 con
αi ∈ Z para i = 1, 2, . . . , n entonces α1 = α2 = ⋯ = αn = 0.
Lema 9 Si G es un grupo abeliano y X es una base para G, entonces G es libre de
torsión.
Nota: No todo grupo posee una base.
Lema 10 Sea G un grupo abeliano y X = {x1 , x2 , . . . , xn } es una base para G. Entonces
para cualesquiera α2 , . . . , αn ∈ Z si sustituimos x1 por y1 = x1 + α2 x2 + ⋯ + αn xn obtenemos
una nueva base de G.
Demo: Sea X ′ ∶= {y1 , x2 , . . . , xn }. Como x1 = y1 − α2 x2 − ⋯ − αn xn , tenemos que cualquier
elemento de X se expresa como suma de elementos de X ′ y por tanto cualquier elemento
de G se escribe como suma de elementos de X ′ .
Supongamos ahora que β1 y1 + β2 x2 + ⋯ + βn xn = 0. Tenemos entonces que
0 = β1 y1 + β2 x2 + ⋯ + βn xn
= β1 (x1 + α2 x2 + ⋯ + αn xn ) + β2 x2 + ⋯ + βn xn
= β1 x1 + (β1 α2 + β2 )x2 + ⋯ + (β1 αn + βn )xn
Ahora, como X es una base de G, β1 = 0. Entonces β2 x2 + ⋯ + βn xn = 0 y por tanto todos
son cero
∎
Lema 11 (Ejercicio) Sea G un grupo y X = {x1 , x2 , . . . , xn } es una base para G. Entonces para cada natural 1 ≤ k ≤ n se tiene que G =< {x1 , . . . , xk } > ⊕ < {xk+1 , . . . , xn } >.
Por tanto, si G es producto directo interno de dos subgrupos H1 , H2 y X1 , X2 son bases
respectivas de H1 y H2 . Entonces X = X1 ∪ X2 es una base para G.
Teorema 12 Sea G un grupo abeliano y X = {x1 , x2 , . . . , xn } es una base para G. Entonces:
(i) Para cada k ∈ {1, 2, . . . , n}, Hk ∶=< xk >≅ Z. Es más,
k)
H1 ⊕ H2 ⊕ ⋯ ⊕ Hk ≅ Z × Z× ⋯ ×Z
(ii) G es suma directa interna de los subgrupos Hi . Es decir,
G = H1 ⊕ H2 ⊕ ⋯ ⊕ Hn
(iii) Cualquier base de G tiene n elementos.
Demo: (i) Sea H ∶= H1 + H2 + ⋯ + Hk . Tenemos entonces que H es un grupo abeliano
generado por el conjunto {x1 , x2 , . . . , xk }. Por lo que por el corolario 6 (Pag. 81) la aplicak)
ción Φ ∶ Z× ⋯ ×Z → H1 + H2 + ⋯ + Hk con Φ(α1 , α2 , . . . , αk ) = α1 x1 + α2 x2 + ⋯ + αk xk es un
Capı́tulo 9. Clasificación Grupos Abelianos Finitamente Generados
83
epimorfismo de anillos. Es más, si (α1 , . . . , αk ) ∈ Ker Φ, entonces α1 x1 +α2 x2 +⋯+αk xk = 0,
por lo que
α1 x1 + α2 x2 + ⋯ + αk xk + 0xk+1 + 0xn = 0
y aplicando que X es una base de G, αi = 0 para i = 1, 2, . . . , n. Ası́, Φ es inyectiva y por
tanto un isomorfismo de grupos.
(ii) Se sigue de (i) para k = n.
(iii) Consideramos K ∶= {2g ∣ g ∈ G}. Tenemos que claramente
K =< 2x1 > ⊕ < 2x2 > ⊕⋯⊕ < 2xn >
y por tanto
G/K = (H1 ⊕ H2 ⊕ ⋯ ⊕ Hn )/(< 2x1 > ⊕ < 2x2 > ⊕⋯⊕ < 2xn >)
≅ H1 / < 2x1 > ⊕H2 / < 2x2 > ⊕⋯Hn / < 2xn >
n)
≅ Z2 × Z2 × ⋯ ×Z2
Luego G/K, que está construido de forma independiente a la base X, tiene 2n elementos,
lo que demuestra el apartado.
∎
Teorema 13 Sea G un grupo abeliano con una base finita y sea H un subgrupo de G. Entonces existe una base X = {x1 , x2 , . . . , xn } de G y unos números naturales m1 , m2 , . . . mk ∈
N con 1 ≤ k ≤ n tales que mi divide a mi+1 para i = 1, . . . , k − 1 con
H =< m1 x1 > ⊕ < m2 x2 > ⊕⋯⊕ < mk xk >
Demo: Vamos a dar una demostración por inducción a n, el número de elementos de
cualquier base de G. Sea m1 el menor natural que aparece como coeficiente de un elemento
no nulo de H en cualquier base de G. Es decir, existe 0 ≠ h ∈ H y X = {y1 , y2 , . . . , yn } una
base de G tal que
h = m1 y1 + ⋯ + αn−1 yn−1 + αn yn
(∗)
y si X ′ = {y1′ , y2′ , . . . , yn′ } es otra base de G (sabemos que todas las bases tienen n elementos)
y h′ ∈ H un elemento no nulo de H con h′ = α1 y1′ + α2 y2′ + ⋯ + αn yn′ , entonces m1 ≤ αi para
todo i.
Propiedad 1: Si h ∈ H y X = {y1 , y2 , . . . , yn } una base de G tal que
h = m1 y1 + ⋯ + αn−1 yn−1 + αn yn
(∗∗)
Entonces todos los αi son divisibles por m1 :
Si aplicamos ahora el algoritmo de la división para cada i = 2, 3, . . . , n, αi = ci m1 + ri
(hemos dividido αi entre m1 ) tenemos que
h = m1 y1 + ⋯ + αn−1 yn−1 + αn yn
= m1 y1 + (c2 m1 + r2 )y2 + ⋯ + (cn−1 m1 + rn−1 )yn−1 + (cn m1 + rn )yn
= m1 (y1 + c2 y2 + ⋯ + cn yn ) + r2 y2 + ⋯ + rn−1 yn−1 + rn yn
84
9.2 Grupos abelianos finitamente generados
Sea x1 ∶= y1 + c2 y2 + ⋯ + cn yn . Tenemos, por el lema 10, (Pag. 82) que
{x1 , y2 , . . . , yn }
(⋆)
es una base de G. Ası́, por la elección de m1 , todos los ri son cero (ya que son coeficientes
de elementos de H en bases de G y son todos ellos menores que m1 ).
Propiedad 2: La base (⋆) verifica que m1 x1 ∈ H.
Propiedad 3: Sea G2 =< y2 , y3 , . . . , yn >. Tenemos, por (el lema 11) (Pag. 82), que
G =< x1 > ⊕G2 . Veamos que H =< m1 x1 > ⊕H2 con H2 = G2 ∩ H.
Dado h ∈ H, h = β1 x1 + β2 y2 + ⋯ + βn yn . Por el algoritmo de la división β1 = c1 m1 + r1 .
Por tanto, como h − c1 (m1 x1 ) ∈ H, ya que m1 x1 ∈ H, tenemos que
h − m1 c1 x1 = β1 x1 − c1 m1 x1 + β2 y2 + ⋯ + βn yn = r1 x1 + β2 y2 ⋯ + βn yn ∈ H
Por lo que, otra vez, por la elección de m1 , r1 = 0 y por tanto h − c1 m1 x1 ∈ H ∩ G2 , lo
que demuestra el apartado.
Aplicando ahora la hipótesis de inducción al grupo G2 que tiene una base con n − 1
elementos y al subgrupo H2 , existen m2 , m3 , . . . , mk ∈ N tales que mi divide a mi+1 para
i = 2, . . . , k con
H1 =< m2 x2 > ⊕⋯⊕ < mk xk >
Por último m2 x2 ∈ H, por lo que m1 x1 + m2 x2 ∈ H y por la propiedad (**), m1 divide
a m2 . Por tanto,
H =< m1 x1 > ⊕H2 =< m1 x1 > ⊕ < m2 x2 > ⊕⋯⊕ < mk xk >
Lo que demuestra el Teorema.
∎
Nota: La demostración anterior sigue realmente un proceso recursivo: por la propiedad
3, G =< x1 > ⊕G1 y H =< m1 x1 > ⊕H1 . En el segundo paso trabajamos con el grupo
G1 y el subgrupo H1 . En principio, parecerı́a natural que nos aparecieran n naturales,
m1 , m2 , . . . , mn . Lo que sucede es que en la propiedad 3,(cuando se haya tenido que reiterar
el proceso un número de veces, supongamos k, puede ocurrir que Hk = 0, lo que harı́a
concluir el proceso.
Ejemplos
● Si G = Z × Z y H =< (0, 2) >. Tenemos que la base X = {(1, 0), (0, 1)} nos vale con
H =< 2(0, 1) >.
● Si G = Z × Z y H =< (2, 2) >. Tenemos que X = {(1, 1), (1, 0)} es una base de G con
H =< 2(1, 1) >. En este segundo ejemplo no nos vale la base del apartado anterior.
● Si G = Z × Z y H =< (4, 6) >. Tenemos que X = {(2, 3), (1, 1)} es una base de G con
H =< 2(2, 3) >.
Nota: En el tercer ejemplo tenemos que m1 = 2 y no nos vale la base canónica para
encontrarlo. En cualquier caso, si nos equivocamos al calcular m1 (pensamos que es uno
Capı́tulo 9. Clasificación Grupos Abelianos Finitamente Generados
85
y luego resulta que es menor), habrá un momento en el que en el proceso encontraremos
una base con un natural menor. Con esta base y este natural comenzarı́amos el proceso
otra vez.
Veamos un último ejemplo de como calcular una base.
● Si G = Z × Z × Z y H =< (5, 7, 19) >. Podı́amos pensar que el escalar mas pequeño es
el 5, pero,
(5, 7, 19) = 5(1, 0, 0) + 7(0, 1, 0) + 19(0, 0, 1) =∗ 5[(1, 0, 0) + (0, 1, 0) + 3(0, 0, 1)]
+ 2(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1) = 5(1, 1, 3) + 2(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1)
=∗∗ 1(1, 1, 3) + 2[2(1, 1, 3) + (0, 1, 0) + 2(0, 0, 1)] + 0(0, 0, 1)
= (1, 1, 3) + 2(2, 3, 8) + 0(0, 0, 1)
∗ Estamos siguiendo la demostración del Teorema 13 (Pag. 83). El Lema 10 (Pag. 82)
nos dice que {(1, 1, 3), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de Z × Z × Z.
∗∗ El Lema 10 (Pag. 82) nos dice que {(1, 1, 3), (2, 3, 8), (0, 0, 1)} es una nueva base
de Z × Z × Z.
Por último, como el coeficiente de (1, 1, 3) es uno, el Lema 10 (Pag. 82) nos dice que
{(5, 7, 19), (2, 3, 8), (0, 0, 1)} es una nueva base del grupo y está sı́, tiene al vector que
queremos.
● Si G = Z × Z × Z y H =< {(2, 2, 2), (−1, −6, 4)} >. Comenzamos al igual que antes
solucionando el primer “vector”
(2, 2, 2) = 2(1, 0, 0) + 2(0, 1, 0) + 2(0, 0, 1) =∗ 2[(1, 0, 0) + (0, 1, 0) + 1(0, 0, 1)]
∗ Estamos siguiendo la demostración del Teorema 13 (Pag. 83). El Lema 10 (Pag. 82)
nos dice que {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de Z × Z × Z.
Con esta base intentamos encontrar una base que solucione al segundo vector: Resolviendo el sistema
α(1, 1, 1) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) = (−1, −6, 5)
tenemos que
(−1, −6, 4) = −1(1, 1, 1) − 5(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)
por lo que
(0, −5, 5) = (−1, −6, 4) + 1(1, 1, 1) = −5(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1) =∗∗ 5(0, −1, 1)
∗ Estamos siguiendo la demostración del Teorema 13 (Pag. 83). El Lema 10 (Pag. 82)
nos dice que {(1, 1, 1), (0, −1, 1), (0, 0, 1)} es una base de Z × Z × Z.
Por último, H =< {(2, 2, 2), (−1, −6, 4)} >=< {(2, 2, 2), (0, −5, 5)} > por lo que
H =< 2(1, 1, 1) > ⊕ < 5(0, −1, 1) >
con lo que conseguimos la base deseada.
86
3.
9.3 Teoremas de clasificación
Teoremas de clasificación
Como corolario al teorema de Lagrange tenemos que todo grupo abeliano finito es
de torsión (y claramente finitamente generado). Veremos en la sección siguiente que los
grupos abelianos finitamente generados y de torsión son precisamente los finitos. Es más,
todo grupo abeliano finitamente generado se podrá escribir como suma directa de un
grupo finito (de torsión) y un grupo libre de torsión.
Teorema 1 Sea G un grupo abeliano finitamente generado. Entonces G es el producto
directo interno de T (G), el subgrupo de torsión de G, y un subgrupo L que es libre de
torsión. Además,
k)
(i) L ≅ Z× ⋯ ×Z con k único, llamado el número de Betti de G.
(ii) T ≅ Zn1 × ⋯ × Znk . Es más, podemos escoger los ni tales que:
⋆ n1 > n2 > ⋯ > nk con ni−1 dividiendo a ni para i ∈ {2, . . . , k}. Siendo esta representación única. A los elementos n1 , n2 , . . . , nk se les denomina los coeficientes
de torsión de G.
⋆ ni = pαi i con pi números primos. En este caso la representación es única salvo
por el orden.
Demo: Por el corolario 6 (Pag. 81) existe un epimorfismo de grupos
n)
Φ ∶ Z× ⋯ ×Z → G
n)
Por tanto, aplicando el primer teorema de Isomorfı́a, G ≅ Z× ⋯ ×Z/ Ker(Φ). Es más,
por el teorema 13 (Pag. 83), existe una base de G′ , X = {x1 , x2 , . . . , xn } y unos naturales
m1 , . . . , mk tales que
Ker(Φ) =< m1 x1 > ⊕⋯⊕ < mk xk >
Por tanto
n)
Z× ⋯ ×Z =< x1 > ⊕ < x2 > ⋯⊕ < xn >
Ker(Φ) =< m1 x1 > ⊕⋯⊕ < mk xk >
Por lo que
n)
G ≅ Z× ⋯ ×Z/ Ker(Φ) =< x1 > ⊕ < x2 > ⋯⊕ < xn > / < m1 x1 > ⊕⋯⊕ < mk xk >
= (< x1 > / < m1 x1 >) ⊕ ⋯ ⊕ (< xk > / < mk xk >)⊕ < xk+1 > ⊕⋯⊕ < xn >
n−k)
= Zm1 × ⋯ × Zmk × Z× ⋯ ×Z
n−k)
Luego G se escribe como suma directa de un grupo grupo libre de torsión Z× ⋯ ×Z
y un grupo de torsión Zm1 × ⋯ × Zmk que claramente es su grupo de torsión. Por tanto
hemos demostrado la existencia de la descomposición (las dos posibles descomposiciones
en (ii) se deducen de la proposición 10. (Pag. 57)
Capı́tulo 9. Clasificación Grupos Abelianos Finitamente Generados
87
En particular, si G es libre de torsión y finitamente generado, G posee una base, ya
que es isomorfo a un producto directo de Z y si G es de torsión y finitamente generado,
G es finito.
Tenemos ahora que demostrar su unicidad.
n−k)
⧫ Por un lado Z× ⋯ ×Z, la parte libre de torsión en nuestra factorización es isomorfa
a G/T (G) y por tanto n − k coincide con el número de elementos de cualquier base de
G/T (G) (que es independiente de la factorización anterior). Por tanto n − k es único.
⧫ Tenemos que T (G) = Zm1 × ⋯ × Zmk . Es más, mk es el máximo orden posible de
cualquier elemento de T (G) (por tanto, este elemento es independiente de la factorización). Vamos a dar una demostración por inducción al número de elementos de T (G):
Si #T (G) = 2, entonces T (G) ≅ Z2 y no hay nada que hacer. Supongamos que la factorización es única para todo grupo de orden menor que n = #T (G). Sea p un número primo
divisor de mk . Consideremos el subgrupo
H = {x ∈ T (G) tales que px = 0} ≤ T (G)
Por construcción sea s el mayor natural tal que ms es divisible por p. Tenemos entonces
que
H = {0} × ⋯ × {0}× < ms+1 /p > ×⋯× < mk /p >
y por tanto
T (G)/H = Zm1 × ⋯ × Zms × Zms+1 /p × ⋯ × Zmk /p
y por la hipótesis de inducción estos números son únicos y por tanto la factorización de
T (G) es única.
∎
Nota: Observar que el número de Betti junto con los coeficientes de torsión determinan, de forma única, al grupo.
Corolario 2 (Ejercicio) Un grupo abeliano G es finitamente generado y de torsión si y
solo si es finito.
Proposición 3 (Ejercicio) Los grupos abelianos finitamente generados libres de torsión
son precisamente los grupos abelianos que poseen base.
Corolario 4 (Ejercicio) Sea G un grupo abeliano libre de torsión y H un subgrupo de
G. Entonces H es libre de torsión y el número de Betti de H es menor que el número de
Betti de G coincidiendo con el numero k en el Teorema 13 (Pag. 83)
Ejemplos A Determina todos los grupos abelianos de orden 72 dando su representación
en las dos formas posibles.
Demo: Sabemos que un grupo con 72 elementos es finitamente generado y de torsión,
por tanto podremos representarlo según la clasificación segunda del teorema 1. (Pag. 86)
En primer lugar descomponemos 72 como producto de primos.
72 = 23 32
88
9.3 Teoremas de clasificación
Ahora sólo queda poner todas las posibilidades (sin repetir grupos isomorfos)
G≅
G≅
G≅
G≅
G≅
G≅
Z23 × Z32
Z2 × Z22 × Z32
Z2 × Z2 × Z2 × Z32
Z23 × Z3 × Z3
Z2 × Z22 × Z3 × Z3
Z2 × Z2 × Z2 × Z3 × Z3
≅ Z72
≅ Z36 × Z2
≅ Z18 × Z2 × Z2
≅ Z24 × Z3
≅ Z12 × Z6
≅ Z6 × Z6 × Z2
Coeficientes de Torsión
72
36, 2
18, 2, 2
24, 3
12, 6
6, 6, 2
Ejemplos B Determina todos los grupos abelianos de orden 60 dando su representación
en las dos formas posibles.
Demo: Sabemos que un grupo con 60 elementos es finitamente generado y de torsión,
por tanto podremos representarlo según la clasificación segunda del teorema 1. (Pag. 86)
En primer lugar descomponemos 60 como producto de primos.
60 = 22 3 5
Ahora sólo queda poner todas las posibilidades (sin repetir grupos isomorfos)
G≅
G≅
3.1.
Z22 × Z3 × Z5
≅ Z60
Z2 × Z2 × Z3 × Z5 ≅ Z30 × Z2
Coeficientes de Torsión
60
30, 2
Complemento a la Teorı́a
Definición 5 Sea G un grupo. Se define la componente p-primaria de G, con p un
número primo, y se denota por G(p) como:
G(p) ∶= {x ∈ G ∣ pn x = 0
para algún n ∈ N}
Se dice que un grupo G es un p-grupo, si G = G(p).
Ejemplos C Sea G = Z3 × Z49 × Z9 . Entonces:
G(3) =Z3 × Z9
G(7) =Z49
G(p) ={0} para p ≠ 3, 7
Teorema 6 (Descomposición p-primaria) Sea G un grupo abeliano con n elementos
y p un número primo. Entonces
(i) G(p) es un subgrupo de G.
(ii) G(p) ≠ 0 si y sólo si p divide a n.
nk
n2
(iii) Si n = pn−1
1 p2 ⋯pk , con pi números primos, entonces
G = G(p1 ) ⊕ G(p2 ) ⊕ ⋯ ⊕ G(pk )
Capı́tulo 9. Clasificación Grupos Abelianos Finitamente Generados
89
Demo: (i) Es claro que 0 ∈ G(p). Es más, dados a, b ∈ G(p), existe n, m ∈ N tales que
′
pm a = 0 y pm b = 0. Por tanto,
pm ab−1 = (pm a)b−1 = 0b−1 = 0.
Lo que demuestra que G(p) es un subgrupo de G.
(ii) Supongamos que p no divide a n y sea a ∈ G(p). Sabemos entonces que existe
m ∈ N tal que pm a = 0. Por otro lado, el teorema de Lagrange nos dice que na = 0 y como
p es primo, m. c. d(pm , n) = 1. Por último, por el teorema de Bezout existen α, β ∈ Z tales
que αpm + βn = 1. Por tanto,
a = 1a = (αpm + βn)a = α(pm a) + β(na) = 0
Por lo que G(p) = 0.
Supongamos ahora que p divide a n. Vamos a dar una demostración por inducción
(generalizada) a n. Si n = 2, entonces p = 2 y G = Z2 , por lo que G(2) = G ≠ 0. Supongamos
que el resultado es cierto para todo grupo de orden < n y sea G de orden n. Dado 0 ≠ a ∈ G
tenemos dos posibilidades: sea k = ○a, el orden de a,
⋆ Que p divida a k. Entonces, ak/p tiene orden p.
⋆ Que p no divida a k. Consideramos entonces G/ < a >, que es un grupo con n/k
elementos. Como p divide a n y no divide a k, entonces p divide a n/k y por el principio
de inducción generalizado, existe b ∈ G/ < a > de orden p. Por tanto, pb = 0, luego pb ∈< a >
y por el corolario al teorema de Lagrange kpb = 0. Por último, si kb = 0, kb = 0 y por tanto
b = 0, una contradicción (como m. c. d(k, p) = 1, existe α, β ∈ Z tales que αk + βp = 1 y por
tanto 1b = (αk + βp)b = 0). Luego kb es no nulo y por tanto es un elemento de G de orden
p.
(iii) Veamos en primer lugar que la suma es directa. Sea xi ∈ G(pi ) para i = 1, 2, . . . , k,
i
por lo que existen mi ∈ N tales que pm
i xi = 0, tales que
x1 + x2 + ⋯ + xk = 0
(∗).
mk
ms−1 ms+1
2
Si multiplicamos (∗) por αs ∶= p1m1 pm
2 ⋯ps−1 ps+1 ⋯pk . Tenemos que
0 = αs (x1 + x2 + ⋯ + xk ) = αs xs
ms
s
y como pm
s xs = 0 y m. c. d(ps , αs ) = 1, xs = 0 para todo s = 1, 2, . . . , k, por lo que la suma
es directa. Por último, como los αi son co-primos (si γ ∈ N divide a todo αi , entonces
γ = 1), aplicando la generalización del teorema de Bezout, ver el ejercicio 8, (Pag. 91)
existen βi tales que
β1 α1 + β2 α2 + ⋯ + βk αk = 1,
luego para todo x ∈ G,
x = 1x = (β1 α1 + β2 α2 + ⋯ + βk αk )x
= β1 α1 x + β2 α2 x + ⋯ + βk αk x
con βi αi x ∈ G(pi ). Lo que demuestra el Teorema.
Ejemplos D
∎
90
9.3 Teoremas de clasificación
Sea G = Z9 × Z3 × Z5 × Z25 × Z27 . Entonces #G = 36 53 por lo que G = G(3) ⊕ G(5)
G(3) = Z9 × Z3 × Z27
G(5) = Z5 × Z25
Sea G = Z15 × Z3 × Z5 × Z42 × Z56 . Entonces #G = 24 33 52 72 por lo que G = G(2) ⊕
G(3)⊕G(5)⊕G(7). Si reordenamos nuestro grupo como producto de grupos potencias
de primos tenemos G = (Z3 × Z5 ) × Z3 × Z5 × (Z2 × Z3 × Z7 ) × (Z8 × Z7 )
G(2) = Z2 × Z8
G(3) = Z3 × Z3 × Z3
G(5) = Z5 × Z5
G(7) = Z7 × Z7
Capı́tulo 9. Clasificación Grupos Abelianos Finitamente Generados
4.
91
Ejercicios del Tema
1 Calcula todos los elementos de orden 5 en Z25 y en Z5 × Z10 .
2 Sea G un grupo y T (G) el grupo de torsión de G. Demuestra que G/T (G) es libre de
torsión.
3 Sean G, G′ dos grupos y f ∶ G → G′ un epimorfismo de grupos. Demuestra que si G es
finitamente generado, entonces G′ también lo es.
4 Sea G un grupo y X = {x1 , x2 , . . . , xn } es una base para G. Entonces para cada natural
1 ≤ k ≤ n se tiene que G =< {x1 , . . . , xk } > ⊕ < {xk+1 , . . . , xn } >. Es más, Si G es producto directo interno de dos subgrupos H1 , H2 y X1 , X2 son bases respectivas de H1 y H2 .
Entonces X = X1 ∪ X2 es una base para G.
∗
5 Demuestra que si G es un grupo finitamente generado y H es un subgrupo normal de
G, entonces G/H es finitamente generado.
6 Sean {Gi }ni=1 una familia de grupos y sea G = G1 × ⋯ × Gn el producto directo externo
de los Gi . Demuestra que G es finitamente generado si y sólo si cada Gi es finitamente
generado.
7 Determina, salvo isomorfismo, todos los grupos abelianos con 675 y con 288 elementos
dado su representación en las dos formas posibles.
8 (Generalización del Teorema de Bezout) Sea, k1 , k2 , . . . , kn ∈ N tales que el mayor natural que divide a todo ki es 1. Demuestra que existen α1 , α2 , . . . , αn ∈ Z tales que
α1 k1 + α2 k2 + ⋯ + αn kn = 1.
∗∗
9 Sea G = Z × Z y sean x, y ∈ Z tales que m. c. d(x, y) = 1. Demuestra que existe una base
de G que contiene a (x, y).
∗
10 Sea G = Z × Z × ⋯ × Z y sean x1 , x2 , . . . , xn ∈ Z tales que m. c. d(x1 , x2 , . . . , xn ) = 1.
Demuestra que existe una base de G que contiene a (x1 , x2 , . . . , xn ).
∗∗
11 Sea G = Z × Z. ¿Puede contener una base de G con un elemento (a, b) tal que
m. c. d(a, b) = k ≠ 1? Ayuda: Demuestra que si X = {(a, b), (x, y)} es una base de G
entonces X ′ = {(a′ , b′ ), (x, y)} también es base, en donde a = ka′ y b = kb′ . Después
escribe de dos formas distintas el elemento (a′ , b′ ) en la base X ′ .
∗∗
12 Sea G = Z × Z.
(i) Encuentra una base para G. ¿Cual es el número de Betti de G?
(ii) Sea H =< {(2, 3} >. Encuentra una base para G, X = {x1 , x2 } tal que H = λx1 con
λ ∈ Z.
(iii) Sea H =< {(2, 6} >. Encuentra una base para G, Y = {y1 , y2 } tal que H = µy1 con
µ ∈ Z.
∗
13 Sea G un grupo y sea X = {x1 , x2 , . . . , xn } una base de G. Demuestra, de forma
elemental, que G no posee elementos de orden finito.
92
9.4 Ejercicios del Tema
Capı́tulo 10
Grupos Libres. Presentaciones de
Grupos
Objetivos del capı́tulo
Introducimos la noción de grupo libre generado por un elemento y demostramos que todo grupo
es cociente de un grupo libre.
Introducimos la noción de presentación de grupo, demostramos la existencia del grupo libre generado por un conjunto X bajo ciertas relaciones. Clasificamos, salvo isomorfismo todo grupo libre
con 10 elementos.
1.
Grupos Libres
En esta sección vamos a construir el grupo libre generado por un conjunto X. A grosso
modo se trata de construir, a partir de un conjunto X, un grupo lo más general (libre)
posible.
Definición 1 Sea X un conjunto no vacio. Definimos el grupo libre generado por X como
un par (i, G(X)) en donde G(X) es un grupo e i ∶ X → G(X) es una aplicación tal que
para todo grupo G y toda aplicación j ∶ X → G existe un único homomorfismo de grupos
f ∶ G(X) → G con f ○ i = j. Es decir, que hace conmutativo el siguiente diagrama:
X
i
G(X)
f¯
f
G
Es resto de está sección se va a dedicar a demostrar la existencia y unicidad del grupo
libre generado por cualquier conjunto no vacı́o X.
Definición 2 Sea X un conjunto.
93
94
10.1 Grupos Libres
A los elementos de X los llamaremos alfabeto.
Se define una sı́laba como cualquier “expresión formal”, xn con 0 ≠ n ∈ Z.
Se define una palabra como cualquier “expresión formal”, xn1 1 xn2 2 ⋯xnr r en donde
xi ∈ X, 0 ≠ ni ∈ Z tales que y xj ≠ xj+1 , para i = {1, 2, . . . , r}, j = {1, 2, ∣ . . . , r − 1}.
El conjunto vacı́o, ∅ que denotaremos por el nuevo signo 1 será también una palabra.
Denotemos por G(X) el conjunto de todas las palabras formadas con el alfabeto X.
Nota: En una palabra las sı́labas no están elevadas a cero y no hay dos sı́labas adyacentes
con la misma “base”.
Teorema 3 La operación ∗ ∶ G(X) × G(X) → G(X) dota a G(X) de estructura de grupo:
(xn1 1 xn2 2 ⋯xnr r ) ∗ (y1m1 y2m2 ⋯ysms ) ∶= (xn1 1 xn2 2 ⋯xnr r y1m1 y2m2 ⋯ysms )⋆
en donde (xn1 1 xn2 2 ⋯xnr r y1m1 y2m2 ⋯ysms )⋆ consiste en aplicar a la expresión
xn1 1 xn2 2 ⋯xnr r y1m1 y2m2 ⋯ysms
las contracciones siguientes:
(i) reemplazar xn xm por xn+m para cualquier x ∈ X.
(ii) reemplazar x0 por 1 si x0 es toda la palabra o quitar x0 de la palabra.
repetir los pasos (i) e (ii) hasta que cumpla la definición de palabra.
Nota: El 1 actúa como elemento neutro para está operación.
Demo: Observar que la operación está bien definida, ya que las contracciones sólo se
pueden aplicar en un orden concreto: Si xr ≠ y1 no hay nada que hacer, en caso contrario
(xr = y1 ) se obtiene la nueva expresión
xn1 1 xn2 2 ⋯xnr r +m1 y2m2 ⋯ysms .
Si nr + m1 ≠ 0 hemos terminado, caso contrario aplicamos (ii) y obtenemos
r−1 m2
xn1 1 xn2 2 ⋯xnr−1
y2 ⋯ysms .
y repetimos el argumento. Podrı́a ocurrir que desaparecieran todas las x y todas las y,
con lo que obtendrı́amos la palabra 1.
No vamos a demostrar el carácter asociativo de ∗ ya que, aunque no parece un resultado
muy complicado, su demostración formal es muy engorrosa.
Por construcción 1 es el elemento neutro para ∗. Por último, el inverso del elemento
−n2 −n1
r
xn1 1 xn2 2 ⋯xnr r es x−n
∎
r ⋯x2 x1
Teorema 4 Sea X un conjunto no vacı́o. Entonces (i, G(X)) es el grupo libre generado
por X. Es más, el grupo libre generado por X es único salvo isomorfismo.
Capı́tulo 10. Grupos Libres. Presentaciones de Grupos
95
Demo: Veamos que (i, G(X)) verifica las propiedades del grupo libre generado por X:
Sea G un grupo y f ∶ X → G una aplicación. Veamos que podemos construir un único
homomorfismo de anillos f ∶ G(X) → G que hace conmutativo el diagrama
X
i
f
G(X)
f¯
G
Estas demostraciones se realizan en dos pasos. (1) Suponemos que existe un homomorfismo f ∶ G(X) → G y demostramos que es único. Esta unicidad nos dice quien es el
homomorfismo y demostramos que esta única posibilidad es correcta.
(1). Supongamos que existe un homomorfismo f ∶ G(X) → G. Como f ○ i = f , dado
x ∈ X tenemos que f (i(x)) = f (x) (tal como hicimos antes, suponemos que X está
contenido en G(X) y que i es la inclusión). Por tanto si que sabemos cuanto vale f en
los elementos de X. Dado ahora un elemento arbitrario de G(X), xn1 1 xn2 2 ⋯xnr r en donde
xi ∈ X, ni ∈ Z y son tales que ni ≠ 0 y xj ≠ xj+1 , para i = {1, 2, . . . , r}, tenemos que, al ser
f un homomorfismo,
f (xn1 1 xn2 2 ⋯xnr r ) = f (xn1 1 )f (xn2 2 )⋯f (xnr r ) = f (x1 )n1 f (x2 )n2 ⋯f (xr )nr
= f (x1 )n1 f (x2 )n2 ⋯f (xr )nr
Por tanto, la única forma de definir f es f (xn1 1 xn2 2 ⋯xnr r ) ∶= f (x1 )n1 f (x2 )n2 ⋯f (xr )nr .
Veamos que esto define un homomorfismo de grupos (ya sabemos que hace conmutativo
el diagrama).
Sean xnr r ⋯xn2 2 xn1 1 y y1m1 y2m2 ⋯ysms dos elementos de G(X). Si los multiplicamos tenemos
que
nt+1 nt +mt mt+1
xnr r ⋯xn2 2 xn1 1 ⋅ y1m1 y2m2 ⋯ysms = xnr r ⋯xt+1
xt
yt+1 ⋯ysms
en donde xi = yi para i = 1, 2, ⋯t, ni + mi = 0 para i = 1, ⋯t − 1 y nt + mt ≠ 0.
Tenemos entonces que
nt+1 nt +mt mt+1
f (xnr r ⋯xn2 2 xn1 1 ⋅ y1m1 y2m2 ⋯ysms ) = f (xnr r ⋯xt+1
xt
yt+1 ⋯ysms )
= f (xr )nr ⋯f (xt+1 )nt+1 f (xt )nt +mt f (yt+1 )mt+1 ⋯f (ys )ms
f (xnr r ⋯xn2 2 xn1 1 ) ⋅ f (y1m1 y2m2 ⋯ysms ) = f (xr )nr ⋯f (x2 )n2 f (x1 )n1 ⋅ f (y1 )m1 f (y2 )m2 ⋯f (ys )ms
Como xi = yi , f (xi ) = f (yi ) y como ni + mi = 0, f (xi )n−i f (yi )mi = e de i = 1 hasta t − 1.
Por tanto,
f (xr )nr ⋅ f (x2 )n2 f (x1 )n1 ⋅ f (y1 )m1 f (y2 )m2 ⋅ f (ys )ms = f (xr )nr ⋅ f (x2 )n2 ⋅ f (y2 )m2 ⋅ f (ys )ms = ⋯
= f (xr )nr ⋯f (xt )nt ⋅ f (yt )mt ⋅ f (ys )ms = f (xr )nr ⋯f (xt+1 )nt+1 f (xt )nt +mt f (yt+1 )mt+1 ⋯f (ys )ms
Lo que demuestra que f es un homomorfismo de grupos. Por último, si (i, G(X)) e
(i′ , G ′ (X)) son dos grupos libres generados por X, Al ser (i, G(X)) un grupo libre, en
96
10.1 Grupos Libres
el triángulo superior del siguiente diagrama existe un único homomorfismo f¯. Al ser
(i′ , G ′ (X)) en el triángulo inferior del siguiente diagrama existe un único homomorfismo
ḡ. Si consideramos el triangulo exterior, al ser (i, G(X)) un grupo libre, en el triángulo
superior del siguiente diagrama existe un único homomorfismo f¯.
G(X)
i
f¯
i′
X
G ′ (X)
i
Id
ḡ
G(X)
Pero ḡ ○ f¯ también hacen conmutativo el triángulo exterior, por ello, ḡ ○ f¯ = Id. Repitiendo este argumento sobre el diagrama
G ′ (X)
i′
ḡ
i
X
G(X)
i
Id
f¯
G ′ (X)
Tenemos que f¯ ○ ḡ = Id, por lo que tanto f¯ como ḡ son isomorfismos de grupos.
∎
Corolario 5 Todo grupo G es cociente de un grupo libre.
Demo: Dado un grupo G siempre existe un subconjunto X ⊂ G tal que < X >= G
(podemos tomar como X el propio G). Ahora si consideramos el grupo libre generado por
X y la aplicación inclusión de X en G tenemos que, por la propiedad de los grupos libre,
existe un homomorfismo de grupos f ∶ G(X) → G que hace conmutativo el diagrama
X
i
f
G(X)
f¯
G
Ahora, como X ⊂ Im(f ) tenemos que f es sobreyectiva y por el primer teorema de
isomorfı́a, G(X)/ Ker(f ) ≈ Im(f ) = G.
∎
Capı́tulo 10. Grupos Libres. Presentaciones de Grupos
2.
97
Representaciones de grupos
En esta sección vamos a estudiar grupos libres “bajo” ciertas relaciones. Ası́, en esta
sección estudiaremos grupos libres generados por un conjunto X que verifican ciertas
relaciones R. A este grupo lo representaremos por {X ∣ R}.
Ejemplos A Si pensamos en un grupo G generado por un único elemento “a” que verifica
la relación a6 = 1, es claro que nos estamos refiriendo a Z6 .
{{a}∣{a6 }} ≈ Z6
Ejemplos B Si pensamos en un grupo G generado por dos elementos {a, b} que verifican
las relaciones a2 = 1, b3 = 1, ab = ba. Por un lado tenemos que como a y b conmutan,
nuestro grupo
G = {{a, b}∣{a2 , b3 , aba−1 b−1 }}
es conmutativo. Es más, a−1 = a y b−1 = b2 por lo que todo elemento de G se escribe como
potencias positivas de a y b, de exponentes menores de 2 y 3 respectivamente. Por lo que
las posibilidades son: {1, a, b, ab, ab2 , b2 }, un grupo abeliano con 6 elementos G ≈ Z6 .
Teorema 1 Sea X un conjunto no vacı́o y sea R ⊂ G(X), el grupo libre generado por X.
Entonces:
(1) Existe el menor subgrupo normal N de G(X) que contiene a R.
(2) Al grupo cociente G(X)/N se le denomina el grupo libre generado por X bajo
las relaciones de R y se le denota por {X ∣ R}. Es más, {X ∣ R} verifica la
siguiente propiedad universal: Para todo grupo G y toda aplicación f ∶ X → G,
................................................................................
Nota: recordemos que existe una aplicación f¯ ∶ G(X) → G (al ser (i, G(X)) el grupo
libre generado por X), que verifica el siguiente diagrama,
i
X
G(X)
f¯
f
G
................................................................................
tal que R ⊂ Ker f¯ existe un único homomorfismos de grupos f̂ ∶ X → G que hace
conmutativo el diagrama:
X
i
f
{X ∣ R}
f̂
G
98
10.2 Representaciones de grupos
Demo: (1) Observar que podemos considerar el conjunto ∆ de todos los subgrupos
normales de G(X) que contienen a R (es no vacı́o, ya que G(X) es uno de ellos). Como la
intersección de subgrupos normales es un subgrupo normal, tenemos que N = ⋂Ni ∈∆ Ni ,
es el menor subgrupo normal de G(X) con esta propiedad.
(2) Como G(X) es el grupo libre generado por X tenemos que existe un homomorfismo
¯
f ∶ G(X) → G que hace conmutativo el diagrama.
i
X
G(X)
f¯
f
G
Por otro lado, como R ⊂ Ker f¯ (subgrupo normal de G(X)) tenemos que N ⊂ Ker f¯
y por la propiedad fundamental de los grupos cocientes, la aplicación f̂ ∶ G(X)/N →
G definida por f̂(α) = f¯(α) es el homomorfismo que estamos buscando, es decir, hace
conmutativo el diagrama:
X
i
f
{X ∣ R}
f̂
G
Nota: Observar que en este grupo cociente cualquier elemento r ∈ R pertenece a N
por lo que r = 1 en G(X)/N .
Definición 2 Dado un grupo G se dice que ⟨X ∣ R⟩ es una presentación de G si G es
isomorfo al grupo libre generado por X bajo las relaciones de R.
Tanto el ejemplo A (Pag. 97) como el ejemplo B (Pag. 97) son representaciones de Z6 .
Es decir,
⟨{a}∣{a6 }⟩ ≅ Z6 ,
⟨{a, b}∣{a2 , b3 , aba−1 b−1 }⟩ ≅ Z6
Los dos ejemplos anteriores nos llevan a la siguiente definición:
Definición 3 Diremos que dos representaciones {X, R} y {X ′ , R′ } son isomorfas si generan grupos isomorfos.
Como hemos visto en los ejemplos anteriores no es fácil saber cuando dos representaciones son o no son isomorfas. Es más, no hay un procedimiento estándar para averiguarlo.
Veamos un ejemplo interesante de como se puede aplicar está teorı́a en el estudio de
los grupos.
Ejemplos C Clasifica, salvo isomorfismo, todos los grupos con 10 elementos.
Capı́tulo 10. Grupos Libres. Presentaciones de Grupos
99
Demo: Tenemos la clasificación de los grupos abelianos finitamente generados, en particular los grupos abelianos finitos. Por tanto sabemos que grupos abelianos con 10 elementos
sólo hay uno, Z10 .
Pensemos pues en los no abelianos. Por el teorema de Cauchy, sabemos que si G es
un grupo con 10 elemento, G posee un subgrupo con 5 elementos y un subgrupo con 2
elementos (ambos cı́clico y por tanto abelianos). Sean a, b ∈ G con ○a = 5 y ○b = 2. tenemos
que < {a, b} > tiene al menos 6 elementos y divide a 10, por lo que G =< {a, b} >. Es
más, a5 = e y b2 = e y el subgrupo generado por a es un subgrupo normal de G al poseer
la mitad de los elementos de G. Por tanto, bab−1 ∈< a > y tiene orden 5 por lo que las
posibilidades son bab−1 = ak para k = 1, 2, 3, 4. Sabemos algo más, como el orden de bab−1
es el orden de a que es 5, el orden de ak tiene que ser 5, por lo que, en este caso, seguimos
teniendo 4 posibilidades. En cualquier caso, como bab−1 = ak , ba = ak b con lo que el grupo
asociado a las representaciones
⟨{a, b}∣{a5 = 1, b2 = 1, ba = ak b}⟩
tiene a lo sumo 10 elementos (en un producto arbitrario de a y b, siempre puedo desplazando las a a la izquierda para obtener al final una expresión as br con s ≤ 5 y b ≤ 2. Por
tanto un máximo de 10 elementos). Luego posibles grupos con 10 elementos tienen por
representaciones:
(1) ⟨{a, b}∣{a5 = 1, b2 = 1, bab = a}⟩
(2) ⟨{a, b}∣{a5 = 1, b2 = 1, bab = a2 }⟩
(3) ⟨{a, b}∣{a5 = 1, b2 = 1, bab = a3 }⟩
(4) ⟨{a, b}∣{a5 = 1, b2 = 1, bab = a4 }⟩
(1) Observa que es precisamente Z10 , ya que bab = a y b2 = e implica ab = ba y por
tanto es abeliano.
(2) Si bab = a2 , ba = a2 b y multiplicando por b por la izquierda, a = ba2 b = (ba2 )b =
4
2
a b = a4 por lo que a3 = e y como a5 = e, a = e. Por tanto (2) es el grupo Z2 .
(3) Por el mismo razonamiento, si bab = a3 , ba = a3 b y multiplicando por b por la
izquierda, a = ba3 b = (ba)b = a3 ba2 b = a6 bab = a9 b2 = a9 por lo que a8 = e y como a5 = e,
a = e. Por tanto (3) es el grupo Z2 .
Por último, conocemos un grupo con 10 elementos no abeliano, el grupo diédrico de
los movimientos del pentágono, por lo que (4) es D5 .
Luego los únicos grupos con 10 elementos, salvo isomorfismo son Z10 y D5 . Es más,
tenemos una presentación para D5 , la (4).
∎
Nota: Observar que si consideramos los homomorfismos de Z2 en Aut(Z5 ) ∼ Z4 , el
elemento 1 ∈ Z2 (respecto a nuestro isomorfismo, a) tiene que ir o al neutro de Z4 (respecto
a nuestro isomorfismo, a) o el elemento 2 ∈ Z4 (respecto a nuestro isomorfismo, a3 )
Este ejemplo nos lleva a recordar la noción de producto semi-directo:
Proposición 4 Sean H y K dos grupos y sea Φ ∶ K → Aut(H) un homomorfismo de
grupos. Entonces el conjunto H × K con producto: dados h, h′ ∈ H y k, k ′ ∈ K,
(h, k) ∗ (h′ , k ′ ) ∶= (hΦk (h′ ), kk ′ )
Tiene estructura de grupo, denotado el producto semi-directo de H y K respecto de Φ,
denotado por H ⋊Φ K
100
10.2 Representaciones de grupos
Que podemos decir ahora de grupos con pq elementos
Si tenemos un grupo G de orden pq con p < q dos números primos. Por el teorema de
Cauchy, sabemos que G posee un elemento a de orden q y un elemento b de orden p y
por tanto dos subgrupos cı́clicos H =< a > y K =< b > de ordenes p y q respectivamente.
Ahora por el tercer teorema de Sylow, el numero de q-subgrupos de Sylow es congruente
con 1 modulo q y divise a pq por lo que de los divisores de pq (1, p, q, pq) solo puede
ser el 1 y H ◁ G. Tenemos entonces que bab−1 ∈ H, con orden q, luego bab−1 = ak con
k = 1, 2, . . . , q − 1. Al igual que en el caso de 10 elementos, esto implica que ba = ak b, por
lo que la presentación
⟨{a, b}∣{aq = 1, bp = 1, bab−1 = ak }⟩
produce un grupo de orden a lo sumo pq: la identidad ba = ak b nos dice que en cualquier producto de a y b, podemos ordenarlo colocando la b a la izquierda lo que da una
posibilidad de
{bk as ∣ k ∈ {1, 2, . . . , q}, s ∈ {1, 2, . . . , q}}
por lo que ya no nos hacen falta más identidades para crear la presentación. Luego en
este momento tenemos q posibles presentaciones para grupos con pq elementos, lo que nos
produce, salvo isomorfismo, a lo sumo q grupos.
Por otro lado, ba = ak b, por lo que
a = bp−1 ba = bp−1 ak b = bp−2 (ak )k p2 = bp−2 (ak )p2 = ⋯ = ak bp = ak
2
p
p
y por tanto k p ≡ 1(mod q).
Aplicando otras técnicas veremos que el número de elementos que verifican esta identidad es justamente o p o 1. Recordamos que como G tiene que ser un producto semi-directo
de H y K esto proviene de un automorfismo Ψ ∶ K → Aut(H) por lo que si: recordamos
que Aut(H) ≈ Zq−1 , y Ψ(k) tiene que tener orden 1 o p, por lo que,
● q ≡/ 1 (mod p) solo tenemos la identidad
● q ≡ 1 (mod q) tenemos p − 1 posibles imágenes para b de orden p.
Corolario 5 Sea G un grupo de orden pq con p < q números naturales primos. Entonces
si q ≡/ 1 (mod p), G ≈ Zpq .
Capı́tulo 10. Grupos Libres. Presentaciones de Grupos
3.
101
Ejercicios del Tema
1 Encuentra todos los homomorfismos del grupo libre generado por 2 elementos en Z4 .
¿Cuantos de ellos son sobreyectivos? ¿Cuantos de ellos son inyectivos?
2 Sean X e Y dos conjuntos no vacı́os equipotentes. Entonces el grupo libre generado
por X es isomorfo a el grupo libre generado por Y .
3 Encuentra representaciones de Z4 con 1, 2 y 3 generadores.
4 Demuestra que la presentación ⟨{a, b}∣{a3 = 1, b2 = 1, ba = a2 b}⟩ produce un grupo con
6 elementos que no es abeliano. ¿Quien es?
5 Determina, salvo isomorfismo, todos los grupos de orden 15.
6 Determina, salvo isomorfismo, todos los grupos de orden 21.
102
10.3 Ejercicios del Tema
Capı́tulo 11
Series de Grupos. Grupos Solubles
Objetivos del capı́tulo
Estudiamos la noción de serie de grupo y demostramos el Teorema de Jordan-Holder junto con
algunos corolarios interesantes.
1.
El Teorema de Jordan-Hölder
Definición 1 Sea G un grupo. Se define una serie normal en G como una cadena de
subgrupos
{e} = G0 ◁ G1 ◁ ⋯ ◁ Gn = G
en donde cada Gi es un subgrupo normal de G. Se define una serie sub-normal de G
como una cadena de subgrupos
{e} = G0 ◁ G1 ◁ G2 ◁ ⋯ ◁ Gn = G
en donde cada subgrupo Gi es subgrupo normal en Gi+1 par i = 0, 1, . . . , n − 1. Tanto en
series normales, como en series sub-normales, a los grupos Gi+1 /Gi se les denomina los
grupos factores de la serie y, si todos los contenidos son estrictos, se dice que n es
la longitud de la serie.
Ejemplos A Tenemos los siguientes ejemplos:
Si G es un grupo con neutro e ∈ G, {e} ⊂ G es una serie normal de G.
Tenemos que {0} ◁ 12Z ◁ 4Z ◁ Z es una serie normal (y sub-normal) para Z.
Sea D4 el grupo de simetrı́as del cuadrado. Si a, b, c, d son los vertices del cuadrado,
tenemos que
{Id} ◁ {Id, (a, c)(b, d} ◁ {Id, (a, b, c, d), (a, c)(b, d), (d, c, b, a)} ◁ D4
es una serie sub-normal que no es normal (recordar que apareció en un ejercicio
anterior).
103
104
11.1 El Teorema de Jordan-Hölder
Si consideramos S4 tenemos que
{Id} ◁ {Id, (1, 2)(3, 4)} ◁ {Id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3))} ◁ A4 ◁ S4
Es una serie sub-normal que no es normal.
Proposición 2 Sea G un grupo y sea {e} = G0 ◁ G1 ◁ ⋯ ◁ Gn = G una serie sub-normal
para G. Sea K un subgrupo normal de G. Entonces:
1. La serie
{e} = G0 ∩ K ◁ G1 ∩ K ◁ ⋯ ◁ Gn ∩ K = K
(∗)
es una serie sub-normal para K. Es más, para cada s ∈ {0, . . . , n − 1}, la aplicación
fs+1 ∶ Gs+1 ∩ K → Gs+1 /Gs definida por fs+1 (x) = x es un homomorfismo de grupo
con Ker fs+1 = Gs ∩ K por lo que cada grupo factor de la serie (∗) es isomorfo a un
subgrupo normal de un grupo factor en la serie original.
2. La serie
{e} = G0 ◁ (G1 ∨ K)/K ◁ ⋯ ◁ (Gn ∨ K)/K = G/K
(∗∗)
es una serie sub-normal para G/K
Demo: (1) Sabemos que para cada s, Gs ∩ K es un subgrupo de G con Gs ∩ K ⊂ Gs+1 ∩ K
para s < n. Por otro lado, dado g ∈ Gs+1 ∩ K y h ∈ Gs ∩ K, ghg −1 ∈ Gs al ser Gs subgrupo
normal de Gs+1 y ghg −1 ∈ K al ser un producto de tres elementos de K. Por lo que la serie
{e} = G0 ◁ G1 ∩ K ◁ ⋯ ◁ Gn ∩ K = K
es una serie sub-normal para K.
Si consideramos ahora la aplicación π ∶ Gs+1 → Gs+1 /Gs tenemos que como Gs ∩ K
es un subgrupo normal de Gs+1 , π(Gs+1 ∩ K) es un subgrupo normal de Gs+1 /Gs y si
restringimos la aplicación fs+1 ∶ Gs+1 ∩ K → Gs+1 /Gs , con fs+1 (x) = x, el núcleo de esta
aplicación es Gs ∩ K y por tanto Gs+1 ∩ K/Gs ∩ K es isomorfo a un subgrupo normal de
Gs+1 /Gs .
(2) Por construcción para todo s, Gs ∨ K ⊂ Gs+1 ∨ K, es más, como K es un subgrupo
normal de G, Gs ∨ K = Gs K. Veamos ahora que Gs K ◁ Gs+1 K: dado g ∈ Gs+1 K y h ∈ Gs K
existen gs+1 ∈ Gs+1 , gs ∈ Gs y k, k ′ ∈ K tales que g = gs+1 k y h = gs k ′ con
−1
ghg −1 = gs+1 kgs k ′ k −1 gs+1
−1
−1
−1
−1
= gs+1 kgs+1
gs+1 gs gs+1
gs+1 k ′ gs+1
gs+1 k −1 gs+1
∈ KGs KK ⊂ Gs K
Por tanto, Gs K/K ◁ Gs+1 K/K.
Corolario 3 Si la serie de la proposición anterior hubiera sido una serie normal, la serie
(∗) serı́a una serie normal de K y la serie (∗∗) serı́a una serie normal de G/K
Definición 4 Se dice que una serie {Hi }ni=0 normal o (sub-normal) de un grupo G es
un refinamiento de otra serie {Kj }m
j=0 si para cada j existe un i con Kj = Hi . Es decir,
todos los subgrupos que aparecen en la serie {Kj }m
j=0 están en la primera serie. Se dice que
n
{Kj }m
es
un
refinamiento
propio
de
{H
}
si
la longitud de la segunda serie es mayor
i i=0
j=0
que la de la primera.
Capı́tulo 11. Series de Grupos. Grupos Solubles
105
Por ejemplo, la serie
{0} ◁ 24Z ◁ 12Z ◁ 4Z ◁ 2Z ◁ Z
es un refinamiento de la primera serie dada en el ejemplo A, (Pag. 103)
{0} ◁ 12Z ◁ 4Z ◁ Z.
Definición 5 Se dice que dos series normales, o sub-normales {Hi }ni=0 y {Ki }nj=0 de un
grupo G son isomorfas si hay una biyección entre las familias de grupos cocientes ∆ ∶=
n−1
′
′
{Hi+1 /Hi }n−1
i=0 y ∆ ∶= {Ki+1 /Ki }i=0 , f ∶ ∆ → ∆ tales que para cada i ∈ ∆, Hi+1 /Hi ≅
Kf (i)+1 /Kf (i) .
Ejemplos B Veamos un ejemplo para comprender la definición: Sea G = Z24 grupo cı́clico
con 24 elementos y consideremos en G las siguientes series:
{0}◁ < 4 > ◁ < 2 > ◁ Z24
{0}◁ < 12 > ◁ < 6 > ◁ Z24
Ambas series tienen por grupos cocientes a Z2 , Z2 , Z6 .
Lema 6 (Teorema de la Mariposa o de Zassenhaus) Sea G un grupo y sean H y
K dos subgrupos de G. Supongamos que H ∗ es un subgrupo normal de H y K ∗ es un
subgrupo normal de K. Entonces:
H ∗ ∨ (H ∩ K) = H ∗ (H ∩ K);
H ∗ ∨ (H ∩ K ∗ ) = H ∗ (H ∩ K ∗ );
K ∗ ∨ (K ∩ H) = K ∗ (K ∩ H);
K ∗ ∨ (K ∩ H ∗ ) = K ∗ (K ∩ H ∗ );
H ∗ ∩ K ◁ H ∩ K;
H ∩ K ∗ ◁ H ∩ K;
(H ∗ ∩ K) ∨ (H ∩ K ∗ ) = (H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) ◁ H ∩ K;
(H ∩ K)/(H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) ≅ (H ∗ (H ∩ K))/H ∗ (H ∩ K ∗ )
(H ∩ K)/(H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) ≅ (K ∗ (H ∩ K))/K ∗ (H ∗ ∩ K)
El siguiente grafo, que da nombre al teorema, nos visualiza parte de la información.
H
K
H ∗ (H ∩ K)
H ∗ (H ∩ K ∗ )
K ∗ (H ∩ K)
H ∩K
K ∗ (H ∗ ∩ K)
(H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ )
H∗
H∗ ∩ K
K∗
H ∩ K∗
106
11.1 El Teorema de Jordan-Hölder
Teorema 7 (Schreier) Dos series normales o sub-normales de un grupo G admiten
refinamientos isomorfos.
Demo: Sean
{e} = H0 ◁ H1 ◁ ⋯ ◁ Hn = G
⋆
{e} = K0 ◁ K1 ◁ ⋯ ◁ Km = G
⋆⋆
dos series normales o subnormales para G. Vamos a empezar construyendo un refinamiento
para la serie ⋆. Dados los subgrupos Hs ◁Hs+1 vamos a construir una cadena de subgrupos
entre ellos:
Hs ◁ Hs (Hs+1 ∩ K1 ) ◁ Hs (Hs+1 ∩ K2 ) ◁ ⋯ ◁ Hs (Hs+1 ∩ Km−1 ) ◁ Hs (Hs+1 ∩ Km ) = Hs+1
Observar que como Kr ◁ Kr+1 , el teorema de la mariposa nos dice que para todo r =
0, . . . , m − 1 tenemos que Hs (Hs+1 ∩ Kr ) ◁ Hs (Hs+1 ∩ Kr+1 ).
Denotemos por Gsr ∶= Hs (Hs+1 ∩ Kr ). Observar que la cadena es Gsr ◁ Gs,r+1 . Si
repetimos este mismo proceso para la serie ⋆⋆, tenemos que para cada Kr ◁Kr+1 podemos
encontrar una cadena
Kr ◁ Kr (Kr+1 ∩ H1 ) ◁ Kr (Kr+1 ∩ H2 ) ◁ ⋯ ◁ Kr (Kr+1 ∩ Hm−1 ) ◁ Kr (Kr+1 ∩ Hm ) = Kr+1
Denotemos por G′sr ∶= Kr (Kr+1 ∩ Hs ). Observar que la cadena es G′sr ◁ G′s+1,r . Por tanto,
si aplicamos el teorema de la mariposa a los grupos Hs ◁ Hs+1 y Kr ◁ Kr+1 tenemos que
(Hs (Hs+1 ∩ Kr+1 ))/(Hs (Hs+1 ∩ Kr )) ≅ (Kr (Kr+1 ∩ Hs+1 ))/(Kr (Kr+1 ∩ Hs ))
Lo que implica que Gs,r+1 /Gsr ≅ G′s+1,r /G′sr y ambos refinamientos son isomorfos.
Observar que si ambas series son normales, todos los subgrupos Gsr y G′sr son también
normales y el refinamiento que hemos construido es normal.
∎
Nota: Observar que aunque parezca que hemos creado una serie de nm eslabones,
muchos de ellos pueden estar repetidos.
Definición 8 Sea G un grupo. Se dice que una serie {Hi }ni=0 es una serie de composición para G si es una serie sub-normal tal que todos los grupos cocientes Hi /Hi+1 para
i = 0, 1, . . . , n − 1 son grupos simples (sin subgrupos normales no triviales). Se dice que
una serie {Hi }ni=0 es una serie principal para G si es una serie normal tal que todos los
grupos cocientes Hi /Hi+1 para i = 0, 1, . . . , n − 1 son grupos simples.
Nota: No todo grupo posee serie de composición (por tanto tampoco tiene que poseer
serie principal). Por ejemplo Z es un grupo abeliano que no posee serie de composición.
Proposición 9 Sea G un grupo y sea {Hi }ni=0 una serie de composición (o principal) para
G. Si {Ki }nj=0 es una serie isomorfa a {Hi }ni=0 , entonces {Ki }nj=0 es también una serie de
composición (o principal).
Proposición 10 Sea G un grupo y sea {Hi }ni=0 una serie normal (o sub-normal) para G.
Las siguientes condiciones son equivalentes:
{Hi }ni=0 es una serie de composición (o principal).
Capı́tulo 11. Series de Grupos. Grupos Solubles
107
{Hi }ni=0 sólo admite refinamientos triviales.
Teorema 11 (Teorema de Jordan-Holder II) Sea G un grupo. Entonces cualesquiera dos series de composición (o principales) de G son isomorfas.
Corolario 12 Sea G un grupo que posee una serie de composición (o principal) y sea N
un subgrupo normal de G. Entonces G posee una serie de composición (o principal) que
contiene a N .
Demo: Sea {Hi }ni=0 la serie de composición (o principal) para G. Podemos considerar la
serie normal {e} ◁ N ◁ G. Ahora, por el Teorema de Schreier existe un refinamiento de
ambas series que son isomorfos. Por tanto el refinamiento de la serie {e} ◁ N ◁ G es una
serie de composición (o principal) que contiene a N
∎
Definición 13 Se dice que un grupo G soluble (en algunos libros resoluble) si posee una
serie de composición {Hi }ni=0 tal que para todo i ∈ 0, 1, . . . , n − 1, Hi+1 /Hi es abeliano
(observar que en este caso Hi+1 /Hi es siempre isomorfo a Zpi para pi un número primo).
Nota: Z aunque es abeliano no es soluble ya que no posee serie de composición.
Proposición 14 Sea p un número primo y G un p-grupo con pn elemento. Entonces G
es soluble.
Proposición 15 Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G. Entonces:
Si G es soluble, G/N y N son grupos solubles.
Si G/N y N son grupos solubles, entonces G es soluble.
Demo: (1). Supongamos que G es soluble y sea {Hi }ni=0 una serie de composición para
G. Por el corolario 12, (Pag. 107) G posee una serie de composición que contiene a N .
Supongamos entonces que {Ki }ni=0 es esta nueva serie de composición, con Ks = N para
s ∈ {1, 2, . . . , n}. Tenemos entonces que {Ki }si=0 es una serie de composición para N en
donde todos los cocientes son simples, por lo que N es soluble y {Ki /Ks }ni=s es una serie
de composición para G/N , ya que (Ki+1 /Ks )/(Ki /Ks ) ≅ Ki+1 /Ki es un grupo simple y
abeliano. Por lo que G/N es soluble.
(2). Supongamos ahora que N y G/N son grupos solubles y sea {Hi }si=0 y {Hi }ni=s
una serie de composición para N y G/N respectivamente en donde los cocientes son
grupos abelianos (simples). Sea π ∶ G → G/N la proyección canónica al cociente y sean
Hi ∶= π −1 (Hi ) con i ∈ {s, . . . , n}. Tenemos, que Hi es un subgrupo normal de Hi+1 , es más,
por el tercer teorema de Isomorfı́a,
Hi+1 /Hi ≅ (Hi+1 /N )/(Hi /N ) = π(Hi+1 )/π(Hi ) = Hi+1 /Hi
lo que demuestra que {Hi }ni=0 es una serie de composición para G con cocientes simples y
abelianos.
∎
Proposición 16 Sea {Gi }ni=1 una familia de grupos. Entonces ∏ni=1 Gi es un grupo soluble
si y sólo si cada Gi es un grupo soluble.
108
11.1 El Teorema de Jordan-Hölder
Demo: Vamos a dar una demostración por inducción a n. Si n = 1 no hay nada que
demostrar. Supongamos que el resultado es cierto para n − 1 y sea G = ∏ni=1 Gi . Entonces
n−1
n−1
n
∏i=1 Gi es soluble si y sólo si ∏i=1 Gi y G/(∏i=1 Gi ) ≅ Gn es soluble (por la proposición
anterior), si y sólo si Gi es soluble para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}.
∎
Teorema 17 Un grupo abeliano es soluble si y sólo si es finito.
Demo: Si G es soluble, existe una serie de composición (realmente principal, ya que G es
abeliano) {Hi }ni=0 tal que cada cociente es simple, por lo que Hi+1 /Hi ≅ Zpi+1 . Por tanto,
#H1 = p1 , #H2 = #(H2 /H1 )#H1 = p2 p1 y por tanto #G = #Hn = ∏ni=1 pi .
Por el contrario, si G es abeliano y finito, por el teorema de clasificación de los grupos
abelianos finitos G ≅ ∏ki=1 Zpni y por la proposición 16, (Pag. 107) sólo hace falta demostrar
i
que cada grupo cı́clico Zpn es soluble. ESto es cierto al ser un p-grupo finito. No obstante,
{0} ⊲< pn−1 >⊲< pn−2 >⊲ ⋯ ⊲< p >⊲ Znp
es una serie de composición para Znp en donde todo cociente es isomorfo a Zp . Por tanto
G es soluble.
∎
El siguiente resultado, será de gran utilidad en asignaturas posteriores.
Proposición 18 El grupo Sn no es soluble para n ≥ 5.
Demo: Recordamos que todo elemento de Sn para n ≥ 2 se puede escribir como composición de transposiciones y que la paridad en esta descomposición es única, denotando
por An el conjunto de transposiciones pares (los elementos que se descomponen con un
numero par de transposiciones). Veamos algunas propiedades:
(a) Para n ≥ 3, An contiene los ciclos de longitud 3 (ya que estos descomponen como
dos transposiciones).
(b) Para n ≥ 3, An esta generado por el conjunto de los ciclos de longitud 3: Dado
σ ∈ An , σ se descompone como un numero par de transposiciones, si consideramos las dos
primeras, puede suceder:
(∗) no tengan elementos en común:
(a, b)(c, d) = (a, c, b)(a, c, d)
(∗) tienen un elemento en común:
(b, c)(a, b) = (a, c, b)
Por tanto, tomando grupos de dos en la descomposición de σ, la podemos escribir como
composición de ciclos de longitud 3.
(c) Fijados r, s ∈ {1, . . . , n} distintos, An esta generado por los ciclos
{(r, s, i) i ∈ {1, . . . , n} − {r, s}}
Veamos que con estos 3-ciclos, tenemos todos:
(a, b, c) = (r, s, a)(r, s, a)(r, s, c)(r, s, b)(r, s, b)(r, s, a)
Capı́tulo 11. Series de Grupos. Grupos Solubles
109
(d) Si N es un subgrupo normal de An que contiene a un 3-ciclo, entonces N = An :
Supongamos que (r, s, a) ∈ N . Entonces, por ser N un subgrupo normal de An ,
(a, k)(r, s)(r, s, a)(r, s, a)((a, k)(r, s))−1 = (a, k)(r, s)(r, s, a)(r, s, a)(a, k)(r, s) = (r, s, k)
Por tanto N contiene todos los ciclos (r, s, k) para k = 1, 2, . . . , n lo que demuestra, por
(c), que N = An .
(e) Si N es un subgrupo normal de An para n ≥ 5, N contiene un 3-ciclo: Sea σ ∈ N
y supongamos σ = τ1 τ2 ⋯τk se descompone en alguna de las siguientes maneras como
productos de ciclos disjuntos:
(*) Si σ es un ciclo de longitud 3 ya hemos terminado.
(*) Si σ factoriza con un ciclo de longitud mayor o igual que 4, σ = τ (a1 , a2 , a3 , . . . , ar ),
entonces,
(a1 , a2 , a3 )−1 σ(a1 , a2 , a3 ) ∈ N
σ −1 (a1 , a2 , a3 )−1 σ(a1 , a2 , a3 ) ∈ N
σ −1 (a1 , a2 , a3 )−1 σ(a1 , a2 , a3 ) = (ar , . . . , a1 )τ −1 (a3 , a2 , a1 )τ (a1 , . . . , ar )(a1 , a2 , a3 )
= (ar , . . . , a1 )(a3 , a2 , a1 )(a1 , . . . , ar )(a1 , a2 , a3 ) = (a2 , a3 , ar ) ∈ N
(*) Si σ tiene dos ciclos de longitud 3, σ = τ (a1 , a2 , a3 )(a4 , a5 , a6 ), entonces,
σ −1 (a1 , a2 , a4 )σ(a1 , a2 , a4 )−1 ∈ N
σ −1 (a1 , a2 , a4 )−1 σ(a1 , a2 , a4 ) = (a6 , a5 , a4 )(a3 , a2 , a1 )τ −1 (a1 , a2 , a4 )τ (a1 , a2 , a3 )(a4 , a5 , a6 )(a4 , a2 , a1 )
= (a6 , a5 , a4 )(a3 , a2 , a1 )(a1 , a2 , a4 )(a1 , a2 , a3 )(a4 , a5 , a6 )(a4 , a2 , a1 ) = (a1 , a4 , a2 , a6 , a3 )
Por lo que terminamos por el apartado anterior.
(*) Si σ tiene un ciclo de longitud 3 y todos los demás de longitud dos. σ =
τ (a1 , a2 , a3 ), entonces, como cada dos trasposiciones se escriben como producto de un
ciclo o de dos ciclos de longitud tres, hemos terminado.
∎
2.
Complemento a la Teorı́a
Definición 1 Sea G un grupo. Se define la serie central ascendente para G como:
G0 ∶= {e},
G1 ∶= Z(G), el centro de G, que es un subgrupo normal de G.
Consideremos la proyección canónica π ∶ G → G/G1 . Sea Z(G/G1 ) que es un subgrupo normal de G/G1 y definimos G2 ∶= π −1 (Z(G/G1 ))
Por inducción, si tenemos construido hasta Gk−1 , se define Gk ∶= π −1 (Z(G/Gk−1 ) en
donde π ∶ G → G/Gk−1 denota la proyección canónica al cociente. Al ser Z(G/Gk−1 )
un subgrupo normal de G/Gk−1 , tenemos que Gk es un subgrupo normal de G.
Definición 2 Se dice que G es un grupo nilpotente si existe un n tal que la serie central
ascendente termina en el paso n,
{e} ◁ G1 ◁ G1 2 ◁ ⋯ ◁ Gn = G
110
11.2 Complemento a la Teorı́a
Nota: Por ejemplo todo grupo abeliano es nilpotente. Su serie central ascendente es
{e} ◁ G
Recordamos un resultado visto en acciones de grupos sobre conjuntos:
Proposición 3 Si p es un número primo y G es un p-grupo finito. Entonces Z(G) es un
subgrupo no trivial de G.
Proposición 4 Si p es un número primo y G es un p-grupo finito. Entonces G es nilpotente.
Definición 5 Sea G un grupo. Para todo a, b ∈ G definimos el conmutador de a, b y lo
representamos por [a, b] como [a, b] = aba−1 b−1 . Se define el subgrupo conmutador o grupo
derivado de G y se denota por
[G, G] = ⟨{[a, b] ∣ a, b ∈ G}⟩.
Proposición 6 El subgrupo conmutador o derivado de un grupo G es un subgrupo normal
de G.
Definición 7 Sea G un grupo. Se define la serie central descendente para G como:
G0 ∶= G,
G1 ∶= [G, G], subgrupo derivado de G.
Gn ∶= [Gn−1 , G]
Proposición 8 Un grupo G es nilpotente si y sólo si existe un n ∈ N tal que el eslabón n
de la serie central descendente de G es {e}.
Capı́tulo 11. Series de Grupos. Grupos Solubles
3.
111
Ejercicios del Tema
1 Sea G un grupo y {Hi }ni=0 una serie sub-normal (normal) sobre G tal que todo cociente
Hk+1 /Hk es abeliano y finito. Demuestra que G es un grupo soluble y finito. ¿Será abeliano?
2 Encuentra refinamientos isomorfos para las siguientes series en Z72 :
{0} ⊲< 8 >⊲< 4 >⊲< 4 >⊲< Z72 >
{0} ⊲< 9 >⊲< 9 >⊲< Z72 >
¿Los refinamientos obtenidos son series principales?
3 Encuentra refinamientos isomorfos para las siguientes series en Z16 :
{0} ⊲< 4 >⊲< Z16 >
{0} ⊲< 2 >⊲< Z16 >
¿Los refinamientos obtenidos son series principales?
4 Encuentra una serie principal para Z100 que contenga al subgrupo < 25 > y otra que no
lo contenga. ¿Es posible?
5 Calcula la serie central ascendente de S3 . ¿Es S3 un grupo soluble?
6 Calcula la serie central ascendente de S4 . ¿Es S4 un grupo soluble?
7 Sea S3 el grupo de permutaciones de tres elementos y sea H ∶= {Id, (1, 2)}. Demuestra
que H no forma parte de ninguna serie en S3
8 Demuestra que Z no es un grupo soluble.
9 Sea G un grupo soluble y sea N un subgrupo normal de G. Demuestra que G/N es un
grupo soluble.
112
11.3 Ejercicios del Tema
Capı́tulo 12
Clasificaciones de grupos Finitos
Objetivos del capı́tulo
Veamos cuantos grupos podemos clasificar con menos de 100 elementos
1.
Algunas Familias Clasificables abelianas
Lema 1 Sea G un grupo con un número primo, p, de elementos. Entonces G ≅ Zp
Demo: Por el teorema de Lagrange, dado un elemento e ≠ a ∈ G, el subgrupo generado
por a tiene al menos dos elementos y divide a p, por lo que G =< {a} >≅ Zp .
∎
Corolario 2 Sea G un grupo con un número primo, p, de elementos. Entonces los únicos
subgrupos de G son los triviales.
Lema 3 Sea G un grupo con p2 elementos, con p un número primo. Entonces G es
isomorfo o a Zp2 o a Zp × Zp . En particular G es abeliano.
Demo: ⧫ Por el teorema de Lagrange los elementos de G tienen orden p o p2 . Si existe
a ∈ G de orden p2 , G ≅ Zp2 . Si no hay elementos de orden p2 sea a ∈ G de orden p y
consideremos H =< {a} >. Sea e ≠ b ∈/ H y sea K =< {b} >. Ahora, por el primer teorema
de Sylow (ii) H y K son subgrupos normales de un subgrupo de orden p2 y por tanto H
y K son subgrupos normales de G. Es más,
● H ∨ K = G, ya que H ∨ K es un subgrupo de G que tiene más de p elementos.
● H ∩ K = {e} ya que si e ≠ a ∈ H ∩ K, H =< a >= K que es una contradicción.
● Para todo h ∈ H y k ∈ K, hk = kh ya que hkh−1 k −1 ∈ H ∩ K = {e} ya que hkh−1 ∈ K
y kh−1 k −1 ∈ H.
Por tanto G = HK ≅ Zp × Zp .
∎
⧫ Veamos una segunda demostración: En primer ligar demostremos que G es abeliano.
Como G es un p-grupo, Z(G) es un subgrupo no nulo de G. Si Z(G) = G, G es abeliano.
En caso contrario G/Z(G) es un grupo con p elementos y por tanto cı́clico, luego G es
abeliano (contradicción). Aplicando ahora el teorema de los grupos abelianos finitamente
generados, G ≅ Zp2 o G ≅ Zp × Zp .
∎
113
114
12.1 Algunas Familias Clasificables abelianas
Corolario 4 Sea G un grupo con p2 elementos para p un número primo. Entonces
1. Si G ≅ Zp2 , G contiene un único subgrupo no trivial de orden p.
2. Si G ≅ Zp × Zp , G contiene p + 1 subgrupos no triviales, todos de orden p
Demo: (1). Sabemos que un grupo cı́clico contiene un único subgrupo para cada divisor
de su orden. Por tanto el retı́culo de sus subgrupos es:
Zp2
< {p} >
{0}
(2). Si consideramos la relación de equivalencia a ∼ b si y solo si < a >=< b >, tenemos
que o a = e y por tanto su clase de equivalencia solo tiene un elemento o a ≠ e y su clase
de equivalencia tiene p − 1 elemento. Por tanto el número de clases de equivalencia con
p − 1 elementos tiene que ser (p2 − 1)/(p − 1) = p + 1, por lo que en G hay p + 1 subgrupos
con p elementos. Es más, si H ◁ Zp × Zp no trivial, tenemos dos posibilidades
● Todo elemento (a, b) ∈ H verifica b = 0 y entonces H = Zp × {0}.
● Todo elemento (a, b) ∈ H verifica a = 0 y entonces H = {0} × Zp .
● Existe (a, b) ∈ H con a ≠ 0 y b ≠ 0. Entonces, como < a >= Zp existe k ∈ Z tal que
ka = 1 y por tanto, k(a, b) = (1, kb). Es más, kb ≠ 0 ya que < (1, kb) >= H y en H no hay
elementos con la segunda coordenada no nula.
Por tanto si denotamos por Hs ∶=< (1, s) > para s = 1, 2, . . . , p−1 junto con Hp = Zp ×{0}
y H0 = {0} × Zp , el retı́culo de sus subgrupos es:
Zp × Zp
H0
H1
⋯
Hp
{(0, 0)}
Nota: Observar que como G es un p grupo, Z(G) ≠ {e}. So Z(G) = G, G es abeliano y si G ≠ Z(G), G/Z(G) tiene p elementos, es cı́clico y por tanto G es abeliano
(contradicción).
Lema 5 Sea G un grupo con pq elementos, con p < q dos números primos tales que
q ≡/ 1 (mod p). Entonces G es isomorfo a Zq × Zp . En particular G es abeliano y cı́clico.
Demo: Por el Teorema de Cauchy existe a ∈ G de orden p y existe b ∈ G de orden q. Sea
H =< {a} > de orden p y sea K =< {b} > de orden q. Por el tercer teorema de Sylow el
numero de q grupos de Sylow divide a pq, por lo que puede ser 1, p, q, pq y congruente con
1 modulo q, por tanto solo hay uno y H es un subgrupo normal de G. Por otro lado el
Capı́tulo 12. Clasificaciones de grupos Finitos
115
número de p grupos de Sylow también divide a pq y es congruente con 1 módulo p. Por
tanto, también hay solo 1 y también es normal en G. Ahora,
● H ∩ K = {e} ya que si a ∈ H ∩ K, el orden de a divise a p y a q y por tanto es 1.
● H ∨ K = G, ya que H ∨ K es un subgrupo de G que tiene al menos de p + q − 1
elementos y divide a pq.
● Para todo h ∈ H y k ∈ K, hk = kh ya que hkh−1 k −1 ∈ H ∩ K = {e} ya que hkh−1 ∈ K
y kh−1 k −1 ∈ H.
Por tanto, el retı́culo de sus subgrupos son:
Zpq
< {p} >
< {q} >
{0}
Por el Lema 1 los números de color rojo (●). Por el Lema 3 los números de color azul
(●). Por el Lema 5 los números de color verde (●). Todos estos grupos son abelianos.
1
21
41
61
81
2.
2
22
42
62
82
3
23
43
63
83
4
24
44
64
84
5
25
45
65
85
6
26
46
66
86
7
27
47
67
87
8
28
48
68
88
9
29
49
69
89
10
30
50
70
90
11
31
51
71
91
12
32
52
72
92
13
33
53
73
93
14
34
54
74
94
15
35
55
75
95
16
36
56
76
96
17
37
57
77
97
18
38
58
78
98
19 20
39 40
59 60
79 80
99 100
Algunas Familias Clasificables No abelianas
Aunque el siguiente lema nos va a clasificar todo grupo con 2p elementos para p un
número primo vamos a recordar de forma independiente los grupos con 6 elementos (en
el Ejemplo C (Pag. 98) tenemos hecho el de 10 elementos):
Ejemplos A Clasifica, salvo isomorfismo, todos los grupos con 6 elementos.
Demo: Tenemos la clasificación de los grupos abelianos finitamente generados, en particular los grupos abelianos finitos. Por tanto sabemos que grupos abelianos con 6 elementos
sólo hay uno, Z6 .
Pensemos pues en los no abelianos. Por el teorema de Cauchy, sabemos que si G es
un grupo con 6 elemento, G posee un subgrupo con 3 elementos y un subgrupo con 2
elementos (ambos cı́clico y por tanto abelianos). Sean a, b ∈ G con ○a = 3 y ○b = 2. tenemos
que < {a, b} > tiene al menos 4 elementos y divide a 6, por lo que G =< {a, b} >. Es más,
a3 = e y b2 = e y el subgrupo generado por a es un subgrupo normal de G al poseer la mitad
de los elementos de G. Por tanto, bab−1 ∈< a > y tiene orden 3 por lo que las posibilidades
son bab−1 = ak para k = 1, 2. Es mas, si bab−1 = ak , ba = ak b con lo que el grupo asociado a
las representaciones
⟨{a, b}∣{a3 = 1, b2 = 1, bab = ak b}⟩
tiene a lo sumo 6 elementos (con lo que no nos tenemos que preocupar de encontrar más
relaciones). Luego posibles grupos con 6 elementos tienen por representaciones:
116
12.2 Algunas Familias Clasificables No abelianas
(1) ⟨{a, b}∣{a3 = 1, b2 = 1, bab = a}⟩
(2) ⟨{a, b}∣{a3 = 1, b2 = 1, bab = a2 }⟩
(1) Observa que es precisamente Z6 , ya que bab = a y b2 = e implica ab = ba y por tanto
es abeliano.
(2) Como conocemos un grupo no abeliano con 6 elementos tiene que ser este otro. ∎
Por tanto conocemos el retı́culo de los subgrupos de un grupo con 6 elementos: Los
subgrupos en rojo no son subgrupos normales, Sabemos que todo subgrupo de S3 es cı́clico,
por el Teorema de Lagrange.
{ρ0 , ρ1 , ρ2 , τ1 , τ2 , τ3 }
{ρ0 , ρ1 , ρ2 } {ρ0 , τ1 } {ρ0 , τ2 } {ρ0 , τ3 }
Z6
< {2} >
< {3} >
{0}
{ρ0 }
Estos dos ejemplos anteriores se pueden generalizar a un teorema que clasifica todos
los grupos con 2p elementos para p un número primo.
Ejemplos B Sea G un grupo con 8 elementos. Entonces:
(1) Si tiene un elemento de orden 8, entonces es cı́clico y por tanto solo puede ser Z8 .
(2) Supongamos entonces que G no tiene elementos de orden 8, pero tiene elementos
de orden 4. Sea a ∈ G de orden 4. Por el primer Teorema de Sylow, H =< a > es un
subgrupo normal de G.
(2.1) Supongamos que existe b ∈ G − H tal que b2 = 0. Entonces, por el teorema de
Lagrange, < {a, b} >= G. Por otro lado, bab = a o bab = a3
(2.1.1) Si bab = a, G es un grupo abeliano y por tanto isomorfo a Z4 × Z2 .
(2.1.2) Si bab = a3 tenemos que la representación de G es (ya que este grupo tiene a
lo sumo 8 elementos)
{{a, b} ∣ {a4 = 1, b2 = 1, ba = a3 b}}
Que corresponde a los movimientos de un cuadrado en donde ρ = (
1 2 3 4
) (el giro
2 3 4 1
1 2 3 4
) (giro por los vertices 1 y 3).
1 4 3 2
Es claro que ρ4 = Id y que τ 2 = Id. Por otro lado,
de 90 grados) y y τ = (
τρ = (
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
)(
)=(
)
2 3 4 1
1 4 3 2
2 1 4 3
3
1 2 3 4
1 2 3 4
ρ =(
) =(
)
2 3 4 1
4 1 2 3
3
ρ3 τ = (
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
)(
)=(
)
4 1 2 3
2 1 4 3
1 4 3 2
Capı́tulo 12. Clasificaciones de grupos Finitos
117
(2.2) Si no hay elementos de orden 2 en G − H, sea b ∈ G − H de orden 4. Dado b ∈/ H,
entonces b3 ∈/ H (en caso contrario b ∈ H) y por tanto los elementos de G tienen que ser
G = {1, a, a2 , a3 , b, b3 , c, c3 }
con
{a, a3 , b, b3 , c, c3 } elementos de orden 4.
un único elemento de orden 2, ya que tiene que caer en H. a2 = b2 = c2 de orden 2.
1 de orden 1
Por tanto a2 = b2 = c2 ∈ Z(G). Por otro lado, < a, b >= G con a4 = 1 y b4 = 1. Veamos quien
puede ser ab:
● Si ab = a2 , a = b, una contradicción.
● ab es un elemento de orden 4
ab = a, entonces b = 1.
ab = a3 , entonces b = a2 , que no coincide en orden.
ab = b, entonces a = 1.
ab = b3 , entonces a = b2 , que no coincide en orden.
ab = c, o ab = c3 , podemos cambiar c por c3 y suponer que ab = c
Podemos calcular ya la tabla de multiplicar:
1
a
a2
a3
b
b3
c
c3
1
1
a
a2
a3
b
b3
c
c3
a
a
a2
a3
1
c3
c
b
b3
a2
a2
a3
1
a
b3
b
c3
c
a3
a3
1
a
a2
c
c3
b3
b
b
b
c
b3
c3
a2
1
a3
a
b3
b3
c3
b
c
1
a2
a
a3
c
c
b3
c3
b
a
a3
a2
1
c3
c3
b
c
b3
a3
a
1
a2
Nota: a2 b = b3 , a2 c = c3 , bc = bab = bb3 a = a, ca = aba = b3 a2 = b, cb = ab2 = a3
Que corresponde al grupo de los cuaternios de Hamilton que es el subgrupo multiplicativo de H de los elementos {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k} (a = i, b = j y c = k).
(3) Si todo elemento de G tiene orden 2, sabemos que G es abeliano y por tanto solo
puede ser Z2 × Z2 × Z2 .
Corolario 1 El retı́culo de los subgrupos de un grupo con 8 elementos:
Demo: ☀ Retı́culo de Z8 :
118
12.2 Algunas Familias Clasificables No abelianas
Z8
< {2} >
< {4} >
{0}
☀ Retı́culo de Z4 × Z2 . Veamos primero el orden de los elementos:
● orden 4: (1, 0), (3, 0), (1, 1), (3, 1).
● orden 2: (2, 0), (2, 1), (0, 1)
● orden 1: (0, 0)
Subgrupos de orden 4 isomorfos a Z4 :
< (1, 0) >=< (3, 0) > < (1, 1) >=< (3, 1) >
Subgrupos de orden 4 isomorfos a Z2 × Z2 :
< (2, 0), (2, 1) >
Subgrupos de orden 2 isomorfos a Z2 :
< (2, 0) >, < (2, 1) >, < (0, 1) >
Z4 × Z2
< (1, 0) >
< (2, 1) >
< (2, 0), (2, 1) >
< (2, 0) >
< (1, 1) >
< (0, 1) >
{(0, 0)}
☀ Retı́culo de Z2 × Z2 × Z2 . Todo elemento tiene orden 2 menos el neutro.
Los subgrupos de orden 4 solo pueden ser isomorfos a Z2 × Z2
● H1 ∶=< (1, 0, 0), (0, 1, 0) >
● H2 ∶=< (1, 0, 0), (0, 0, 1) >
● H3 ∶=< (0, 1, 0), (0, 0, 1) >
● H4 ∶=< (1, 1, 0), (0, 0, 1) >
● H5 ∶=< (1, 0, 1), (0, 1, 0) >
● H6 ∶=< (0, 1, 1), (1, 0, 0) >
● H7 ∶=< (0, 1, 1), (1, 1, 0) >
Capı́tulo 12. Clasificaciones de grupos Finitos
119
Z2 × Z2 × Z2
H1
H2
H3
H4
H5
H6
H7
< (1, 0, 0) >< (0, 1, 0) >< (0, 0, 1) >< (1, 1, 0) >< (1, 0, 1) >< (0, 1, 1) >< (1, 1, 1 >)
{(0, 0, 0)}
☀ Retı́culo de D4 . Veamos primero el orden de los elementos:
D4 = {Id, ρ, ρ2 , ρ3 , τ, τ ρ, τ ρ2 , τ ρ3 }
● Elementos de orden 4: ρ, ρ3
● Elementos de orden 2: ρ2 , τ, τ ρ, τ ρ2 , τ ρ3 , con ρ2 ∈ Z(D4 )
● Elementos de orden 1: Id
Subgrupos con 4 elementos: isomorfos a Z4 , < ρ >, isomorfos a Z2 ×Z2 , (faltan infinitas
cuentas)
H1 ∶=< ρ2 , τ >=< ρ2 , τ ρ2 >=< ρ2 τ, τ >
H2 ∶=< ρ2 , τ ρ >=< ρ2 , τ ρ3 >=< τ ρ, τ ρ3 >
D4
<ρ>
H1
<τ >
< τ ρ2 >
< ρ2 >
H2
< τρ >
< τ ρ3 >
Id
☀ Retı́culo de Q8 . Veamos primero el orden de los elementos:
Q8 = {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k}
120
12.2 Algunas Familias Clasificables No abelianas
● Elementos de orden 4: i, j, k, −i, −k, −k
● Elementos de orden 2: −1, con −1 ∈ Z(Q8 )
● Elementos de orden 1: 1
Subgrupos con 4 elementos: isomorfos a Z4 , < i >=< −i >, < j >=< −j > y < k >=< −k >
Subgrupos con 2 elementos: < −1 >∈ Z(Q8 )
Q8
<i>
<j>
<k>
< −1 >
<1>
Proposición 2 Sea G un grupo y sean H, K subgrupos de G tal que H es un subgrupo
normal de G. Entonces K ∨ H es un producto semi-directo de K y H.
Demo: En primer lugar, al ser H ◁ G, K ∨ H ≅ KH. Consideremos la aplicación Φ ∶
K → Aut(H) definido por Φ(k) ∶= Φk en donde Φk (h) = khk −1 . Es claro que, al ser H un
subgrupo normal de G, Φk ∶ H → H es un automorfismo de H (bien definido). Además,
Φkk′ (h) = (kk ′ )h(kk ′ )−1 = k(k‘hk ′−1 )k −1 = Φk Φk′ (h)
Por último, la aplicación Ψ ∶ K ⋊ϕ H → KH definido por Ψ(k, h) = kh es un isomorfismo
de grupos: dados g, g ′ ∈ K ∨ H, existen h, h′ ∈ N y k, k ′ ∈ H con g = kh y g ′ = k ′ h′ . Además:
gg ′ = khk ′ h′ = kk ′ k ′−1 hk ′ h′ = kk ′ Φk′−1 (h)h′
Lo que demuestra que K ∨ H ≅ K ⋊Φ H.
Veamos si podemos decir algo de los grupos de orden pq con p y q dos números primos.
Este resultado nos llevara a tener que calcular el número de productos semi-directos de
dos grupos.
Proposición 3 Sea G un grupo con pq elementos, con p < q dos numeros primos. Entonces G es isomorfo a un producto semi-directo Zq ⋊Ψ Zp . Es más, una presentación para
G es
{{a, b}∣{ap , bq , ab = Φa (b)a}}
Demo: Por el primer teorema de Sylow sabemos que existe un q-subgrupo de Sylow, y
un p subgrupo de Sylow. Por el Tercer teorema de Sylow, solo existe un único q subgrupo
de Sylow, que denotaremos por H, y por tanto éste es normal en G. Sea K un p grupo de
Sylow de G. Entonces H y K verifican las condiciones del lema 2. Es decir, G = K ⋊Φ H
en donde Φ ∶ K → Aut(H) es la aplicación Φ(x) = Φx en donde Φx ∶ H → H se define
como Φx (y) = xyx−1 . Por tanto, aplicando el teorema de Lagrange, G =< {a, b} con ap = e
y bq = e y bab−1 = Φb (a). Por último la presentación {{a, b}∣{ap , bq , ab = Ψa (b)a}} tiene a
lo sumo pq elementos, por lo que tiene que ser G
Capı́tulo 12. Clasificaciones de grupos Finitos
121
Ejemplos C Sea G un grupo con 21 elementos. Entonces:
Por el Lema de Cauchy sabemos que G tiene un elemento de orden 7, que denotamos
por a con H =< a > y un elemento de orden 3, que denotamos por b con K =< b >. Además,
H es subgrupo normal de G. Tenemos entonces que bab−1 ∈ H y tiene el mismo orden que
a, por lo que bab−1 = ak con k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Sabemos también que las presentaciones
Rk ∶= {{a, b}∣{a7 , b3 , ba = ak b}}
tienen a lo sumo 21 elementos, por lo que entre ellas tienen que estar la presentación de
nuestro grupo G.
(1) Si ba = ab, la representación corresponde a un grupo abeliano y por tanto R1 ≅ Z21 .
(2) Si ba = a3 b,
a = b3 a = b2 a3 b = ba9 b2 = a27 b3 = a6
por lo que a5 = e y por tanto a = e, con lo que R3 ≅ Z3
(3) Si ba = a5 b,
a = b3 a = b2 a5 b = ba25 b2 = ba4 b2 = a20 b3 = a6
por lo que a5 = e y por tanto a = e, con lo que R5 ≅ Z3
(4) Si ba = a6 b,
a = b3 a = b2 a6 b = ba36 b2 = bab2 = a6 b3 = a6
por lo que a5 = e y por tanto a = e, con lo que R6 ≅ Z3
Nos faltan sólo k = 2 y k = 4 (observar que en (Z∗7 , ⋅) tanto 2 como 4 tienen orden 3.
Para k = 2 tenemos la presentación {{a, b}∣{a7 , b3 , ba = a2 b}}, pero si en esta representación cambiamos b por b2 (que es el otro generador de K, tenemos que: b2 a = a4 b2 , por
lo que cambiando en la presentación R2 b por b2 tenemos la presentación R4 , luego estas
presentaciones son isomorfas.
Es decir, parece que tenemos dos grupos no isomorfos con 21 elementos.
Si pensamos ahora en el retı́culo de sus subgrupos, tenemos: Z21 lo conocemos y para
el otro grupo con 21 elementos, tenemos que todos sus subgrupos son p-grupos con un
subgrupo normal de orden 7 y 7 subgrupos de orden 3. Nos volvemos a encontrar aquı́ que
el orden de los elementos son:
● {e} orden 1
● as con s = 1, 2, . . . , 6 de orden 7
● as br con s ∈ {1, . . . , 7}, b ∈ {1, 2} de orden 3
como (as b)2 = a3s b2 tenemos que,
< {a, b} >
< {a} > < {b} > < {ab} >
{Id}
Z21
⋯
< {a6 b} >
< {3} >
< {7} >
{0}
122
12.2 Algunas Familias Clasificables No abelianas
Lema 4 Sea G un grupo con 2p elementos, con p > 2 un número primo. Entonces G es
isomorfo a Z2p o al grupo de movimientos de un polı́gono regular de p lados.
Demo: Por el teorema de Cauchy, sabemos que si G es un grupo con 2p elemento, G
posee un subgrupo con p elementos y un subgrupo con 2 elementos (ambos cı́clico y por
tanto abelianos). Sean a, b ∈ G con ○a = p y ○b = 2. tenemos que < {a, b} > tiene al menos
p + 1 elementos y divide a 2p, por lo que G =< {a, b} >. Es más, ap = e y b2 = e y el
subgrupo generado por a es un subgrupo normal de G al poseer la mitad de los elementos
de G. Por tanto, bab−1 ∈< a > y tiene orden p por lo que las posibilidades son bab−1 = ak
para k = 1, 2, . . . , p − 1. Es mas, si bab−1 = ak , ba = ak b con lo que el grupo asociado a las
representaciones
⟨{a, b}∣{a5 = 1, b2 = 1, bab = ak }⟩ = {au bv ∣ u = 1, . . . , p, v = 1, 2}
tiene a lo sumo 2p elementos (con lo que no nos tenemos que preocupar de encontrar más
relaciones). Luego hay como mucho p − 1 posibles grupos con 2p elementos. Tenemos que
determinar que k ∈ {1, 2, . . . , p − 1} genera subgrupos con 2p elementos:
2
Tenemos que bab = ak y por tanto a = bak b, luego ak = (bak b)k = bak b por lo que
2
2
2
bab = bak b y simplificando a = ak . Es decir, e = ak −1 . Luego k 2 − 1 tiene que ser múltiplo
de p lo que implica que k 2 ≡ 1 ( mód p) y por tanto k = 1 o k = p − 1 (únicas dos posibles
soluciones de k 2 = 1 en el cuerpo Zp . Luego tenemos sólo dos posibles representaciones
para grupos con 2p elementos:
(1) ⟨{a, b}∣{a5 = 1, b2 = 1, bab = a}⟩
(2) ⟨{a, b}∣{a5 = 1, b2 = 1, bab = ap−1 }⟩
Luego (1) es un grupo abeliano con 2p elementos y por tanto isomorfo a Z2p y (2)
es un grupo no abeliano con 2p elementos que tiene que ser isomorfo al único grupo no
abeliano con 2p elementos que conocemos, el grupo Dp de los movimientos de un polı́gono
regular con p lados.
No obstante podemos decir algo más sobre el retı́culo de sus subgrupos. Los subgrupos
de Z2p los conocemos y también sabemos cuantos subgrupos tiene Dn ya que todos ellos
son p-grupos de Sylow (1 de orden p y p de orden 2). Según la presentación (2) los
elementos de Dp tienen la forma bs ar con s ∈ {0, 1}, r ∈ {0, 1, . . . , p − 1} de estos tenemos
que buscar los que tienen orden 2: ar tiene orden o 1 o p y fuera de < {a} > no hay
elementos de orden p, luego
Dp
< {a} > < {b} > < {ba} >
Z2p
⋯
< {bap−1 } >
{Id}
Los nuevos grupos clasificados están en azul.
< {2} >
< {p} >
{0}
Capı́tulo 12. Clasificaciones de grupos Finitos
1
21
41
61
81
2
22
42
62
82
3
23
43
63
83
4
24
44
64
84
5
25
45
65
85
6
26
46
66
86
7
27
47
67
87
8
28
48
68
88
9
29
49
69
89
10
30
50
70
90
11
31
51
71
91
12
32
52
72
92
13
33
53
73
93
123
14
34
54
74
94
15
35
55
75
95
16
36
56
76
96
17
37
57
77
97
18
38
58
78
98
19 20
39 40
59 60
79 80
99 100
Lema 5 Sea G un grupo cı́clico con n elementos (isomorfo a Zn ). Entonces Aut(G) ≅
(Inv(Zn ), ∗)
Demo: Veamos que la aplicación Ψ ∶ Inv(Zn ) → Aut(Zn ) definida por Ψ(a) ∶= λa es un
isomorfismo de grupos. Por un lado, para todo a ∈ Inv(Zn ) la aplicación λa ∶ Zn → Zn
definida por λa (k) = a k es un homomorfismo de grupos biyectivo (es inyectivo al ser a
inversible y es sobreyectivo ya que el orden de a es n. Es más, Ψ(a b) = λa b = λa λb = Ψ(a)○
Ψ(b). Por último, si f ∈ Aut(Zn ), entonces una vez que demos la imagen de 1 tenemos
definido f : Si f (1) = a, entonces f (k) = f (1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1) = f (1) + ⋅ ⋅ ⋅ + f (1) = a + ⋅ ⋅ ⋅ + a = ka. Por
otro lado, al ser f un automorfismo, el orden de a tiene que ser n y por tanto a ∈ Inv(Zn )
(es decir, la aplicación Ψ es sobreyectiva. Claramente es inyectiva.
Era el ejercicio 4 del Tema 4
Lema 6 Sea G un grupo cı́clico con p elementos (isomorfo a Zp ). Entonces Aut(G) ≅ Zp−1
Demo: Sabemos que Aut(G) ≅ (Inv(Zp ), ∗) por otro lado sabemos que en Zp que es
un cuerpo la ecuación X s = 1 tiene a lo sumo s soluciones. Por tanto, si considero H
un subgrupo de Inv(Zp ) con d elementos, todos verifican X d = 1 y por tanto, para cada
divisor de d de p − 1 existe a lo sumo un único subgrupo con d elementos y el numero
elementos de Inv(Zp ) con d elementos es a lo sumo Φ(d). Por último, como todo elemento
de Inv(Zp ) tiene un orden,
p − 1 ≤ ∑ Φ(d) = n
d∣verp−1
Luego para todo d∣n existen elementos de orden d, luego existen elementos de orden p − 1
y Inv(Zp ) es cı́clico.
Proposición 7 Un homomorfismo f ∶ Zm → Zn queda caracterizado por la imagen de
1 ∈ Zm . Es más, si f (1) = k ∈ Zn es condición necesaria y suficiente que mk sea múltiplo
n, y por tanto que el orden de k divida a m.
Demo: Supongamos que f ∶ Zm → Zn es un homomorfismo de grupos. Entonces, dado
x ∈ Zm ,
f (x) = f (1) + ⋯x + f (1) = x ⋅ k.
Ahora, si f ∶ Zm → Zn es un homomorfismo de grupo, 0 = f (0) = f (m) = m⋅k = mk por
lo que mk es múltiplo de n. Por otro lado si mk es múltiplo de n y definimos f ∶ Zm → Zn ,
como f (x) = x ⋅ k, entonces,
(a) f está bien definido: si x = y ∈ Zm , entonces x − y = αm y por tanto (x − y)k =
αmk = βn por lo que
f (x) = xk = yk = f (y)
(b) tenemos entonces que f (u + v) = (x + y)k = f (u) + f (v).
124
12.2 Algunas Familias Clasificables No abelianas
Por último, si km = βn, y tenemos que n = n′ m. c. d(n, k) = ○k y k = k ′ mcd(n, k),
tenemos que k ′ m = βn′ y como n′ y k ′ son primos entre si, n′ divide a m.
Por otro lado, si n′ divide a m, m = n′ β y por tanto (multiplicando por k),
km = n′ βk = n′ βk ′ m. c. d(n, k) = nβk ′
Estudiemos ahora el numero de productos semi-directos posibles para distintos cardinales:
Proposición 8 Sea p un número primo, G un grupo y f ∶ Zp → G un homomorfismo de
grupos. Entonces o f es nulo o f ∶ Zp → G es inyectivo. En particular f ∶ Zp → Im(f ) es
biyectivo.
Lema 9 Si p y q son primos, el numero de homomorfismos de Zp en Aut(Zq ) es:
Si q ≡ 1 (mod p) tenemos p homomorfismos.
En caso contrario solo tenemos el homomorfismo trivial.
Demo: Como Aut(Zq ) es isomorfo a (Z∗q , ∗) que es un grupo cı́clico isomorfo a Zq−1 ,
si q − 1 no es divisible por p no tenemos ningún elemento de orden p en Aut(Zq ) y por
tanto el único divisor de p es el uno y solo tenemos un homomorfismo de Zp en Aut(Zq ),
el homomorfismo trivial.
Por otro lado, si q −1 es divisible por p, como Aut(Zq ) es cı́clico de orden q −1, Aut(Zq )
contiene un único subgrupo de orden p y por tanto, en Aut(Zq ) hay p − 1 elementos de
orden p, que producen p−1 homomorfismos distintos y un elemento de orden 1 que produce
el homomorfismo trivial.
Lema 10 Sean p < q dos números primos con q ≡ 1 (mod p). Entonces existen dos grupos,
salvo isomorfismo con cardinal pq
Demo: Por el Lema 3 (Pag. 120) tenemos que existe un subgrupo normal H de orden q
generado por un elemento a y un subgrupo K de orden p generado por un elemento b tal
que G = K ⋊Ψi H y tenemos p homomorfismos de Zp a Aut(Zq ) ≅ (Z∗q , ⋅).
Recordamos que cada homomorfismo Ψ ∶ Zp → Aut(Zq ) queda fijado una vez que
damos la imagen de b y que el automorfismo Ψb ∶ H → H queda fijado una vez que
damos la imagen de a, por lo que una vez que conocemos Ψb (a) = ak tenemos definida la
aplicación Φ.
Para cada uno de estos homomorfismos el grupo K ⋊Ψi H, si Ψi (b) ∶ H → H verifica
que Ψi (b)(a) = ak , se tiene que la presentación
{{a, b} ∣ {aq , bp , ba = ak b}}
tiene a lo sumo pq elementos, por lo que es una presentación de G.
● Si Ψ ∶ K → Aut(H) verifica que Ψb (a) = a, entonces Ψ es el homomorfismo nulo y
produce como producto semi-directo al grupo Zpq . En este caso la presentación es
{{a, b} ∣ {aq , bp , ba = ab}}
● Si fijamos un homomorfismo no nulo Ψ ∶ K → Aut(H), tiene que ser inyectivo y
su imagen tiene que ser precisamente el único subgrupo de Aut(H) con p elementos. Por
Capı́tulo 12. Clasificaciones de grupos Finitos
125
tanto, si tomamos cualquier otro homomorfismo no nulo de K en Aut(H), que denotamos
por Φ, tenemos que tiene que haber un elemento de K, digamos bs tal que Φbs = Ψb
Respecto de Ψ, si Ψb (a) = ak la presentación es
{{a, b} ∣ {aq , bp , ba = ak b}}
Respecto de Φ, si Φb (a) = am la presentación es
{{a, b} ∣ {aq , bp , ba = ak b}}
pero si denotamos por c = bs , tenemos que c es un nuevo generador de K y la presentación respecto de Φ respecto de c es
{{a, c} ∣ {aq , cp , ca = ak c}}
Por lo que, al igual que los grupos con 21 elementos, el homomorfismo nulo produce Zpq
y cualquier otro produce el grupo que tiene por presentación
{{a, b} ∣ {aq , bp , ba = ak b}}
Tenemos entonces que, por la sección anterior, los números de color rojo (●) son todos
grupos abelianos. Por el Lema 4 los números de color azul (●) son todos productos semidirectos de grupos abelianos (o grupos cı́clicos o grupos de movimientos de un polı́gono
regular de p lados). Por los ejemplos anteriores (●) el de 21 elementos y todos los pq con
p, q numeros primos con q ≡ 1 (mod p) (uno cı́clico y otro no abeliano) y el de 8 elementos
(tres abelianos y tres no abelianos)
1
21
41
61
81
2
22
42
62
82
3
23
43
63
83
4
24
44
64
84
5
25
45
65
85
6
26
46
66
86
7
27
47
67
87
8
28
48
68
88
9
29
49
69
89
10
30
50
70
90
11
31
51
71
91
12
32
52
72
92
13
33
53
73
93
14
34
54
74
94
15
35
55
75
95
16
36
56
76
96
17
37
57
77
97
18
38
58
78
98
19 20
39 40
59 60
79 80
99 100
126
12.2 Algunas Familias Clasificables No abelianas
Bibliografı́a
[1] Frank Ayres and Lloyd Jaisingh. Abstract Algebra. McGraw-Hill, 2004.
[2] P.M. Cohn. Algebra. John Wiley& Sons, 1989.
[3] Juan de Burgos. Curso de Álgebra y Geometrı́a. Alhambra Universidad, 1980.
[4] John B. Fraleigh. A First Course in Abstract Algebra. Addison-Wesley Publishing
Company, 1982.
[5] Thomas W. Hungerford. Algebra. Springer, 1974.
[6] W. Keith Nicholson. Introduction to Abstract Algebra. John Wiley& Sons, 1999.
[7] J. Dorronsoro y E. Hernández. Números, Grupos y Anillos. Addison- Wesley, 1996.
127
Índice alfabético
G-conjunto, 67
H ∨ K, 48
XH , 68
p-Grupo, 88
p-grupo, 71
p-subgrupo de Sylow, 71
Órbita, 68
Acción de G sobre X, 67
Base, 82
Centro de un grupo, 9
Clase de Equivalencia de H en G
Por la Derecha, 35
Por la Izquierda, 36
Coeficientes de Torsión, 86
Componente p-Primaria, 88
Elemento
Fijo, 28
Movido, 28
Figura, 27
Finitamente Generado, 8
Grupo, 1
Abeliano, 1
Cı́clico, 19
de Permutaciones, Sn , 24
Diedral, 27
Libre de Torsión, 81
Torsión, 81
Grupo Libre, 93
alfabeto, 94
palabra, 94
sı́laba, 94
Grupo Libre bajo relaciones, 97, 98
Grupo Soluble, 107
Grupos
Isomorfos, 13
Homomorfismo, 10
Automorfismo, 10
Automorfismo Interno, 12
Endomorfismo, 10
Epimorfismo, 10
Imagen, 11
Isomorfismo, 10
Monomorfismo, 10
Nucleo, 11
Indice de H en G, 36
Movimiento, 27
Número de Betti, 86
Orden
de un Elemento, 18
de un Grupo, 18
Permutación, 23
Ciclica o Ciclo, 29
Disjunta, 29
Impar, 32
Par, 32
Transposición, 31
Producto
Directo Externo, 15, 53
Directo Externo infinito, 54
Directo Interno, 58
Propiedad Estructural, 13
Proyección Canónica, 55
Serie
central ascendente, 109, 110
de Composición, 106
isomorfas, 105
128
ÍNDICE ALFABÉTICO
Normal, 103
Principal, 106
refinamiento de, 104
Sub-normal, 103
Sistema Generador, 8, 19
Subgrupo, 6
de isotropı́a Gx , 68
Alternado, 32
Conjugado, 9
Generado, 8
Normal, 41
Torsión, 81
Trivial, 7
Subgrupo Cı́clico, 8
Subgrupos
Propios, 7
Suma
de grupos, 59
directa de grupos, 59
Teorema de Cayley, 26
Teorema de Isomorfı́a
Primer, 47
Segundo, 48
Tercer, 51
Teorema de Sylow
Primer, 74
Segundo, 75
Tercer, 76
Vértice, 27
129