GEOMETRÍA Y
TRIGONOMETRÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN”
CENTRO PREUNIVERSITARIO
GEOMETRÍA ANALÍTICA
CEPU CICLO II- 2021
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Q( x1 ; y1 )
I. PLANO CARTESIANO
n
eje Y
M ( x; y )
m
abscisa
P(a; b)
x=
ordenada
P( x2 ; y2 )
x1.m + x2 .n
m+n
x=
Si M es punto medio :
O
eje X
y=
x1 + x2
2
y1.m + y2 .n
m+n
y=
y1 + y2
2
origen de coordenadas
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA
d = x− y
Q( x1 ; y1 )
Y
d
Q( y )
P( x)
m=
m = tanq
d
y2 − y1
x2 − x1
L
medida del ángulo de
inclinación de L
P( x2 ; y2 )
d = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
( x2 ; y2 )
( x1 ; y1 )
q
2
X
ÁREA DE UNA REGIÓN POLIGONAL
A( x1; y1 )
II. ECUACIÓN DE LA RECTA
P( xn ; yn )
L
Y
( x1 ; y1 )
B( x2 ; y2 )
E ( x5 ; y5 )
C ( x3 ; y3 )
Forma punto-pendiente
y − y1 = m( x − x1 )
Ecuación general
Ax + By + C = 0
D( x4 ; y4 )
X
RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES
A=
x1
y1
x2
y2
1 x3
2
xn
y3
x1
y1
L1
L2
yn
1
=  ( x1 y2 + x2 y3 + ... + xn y1 ) − ( x2 y1 + x3 y2 + ... + x1 yn ) 
2
L1
L1 L2  m1 = m2
1
L2
L1 ⊥ L2  (m1 )(m2 ) = −1
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Práctica 09
II. CIRCUNFERENCIA
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL
Ecuación canónica
AL EJE X
Ecuación ordinaria
Y
Y
Y
Y
(h; k )
r
Eje focal
r
(0;0)
Eje focal
(h; k )
(h; k )
X
X
x +y =r
2
2
( x − h) + ( y − k ) = r
2
2
2
2
Ecuación general
X
X
( y − k ) 2 = 4 p ( x − h)
( y − k ) 2 = −4 p( x − h)
IV. ELIPSE
x + y + Ax + By + C = 0
2
2
Sea F1 y F2 dos puntos fijos del plano (llamados focos) y
“a” un número real positivo.
III. PARÁBOLA
Una elipse es el conjunto de todos los
puntos P del plano tal que,
Sea F un punto fijo del plano (llamado foco) y L una recta
fija (llamada directriz).
d(P,F)+
d(P,F2 )= 2a
1
Una parábola es el conjunto de todos los
puntos P del plano tal que d(P,F) = d(P,L)
Y
ELIPSE
P
Y
F2
P
L
V
p
F
F1
PARÁBOLA
2a
p
X
X
directriz
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
* “p” se llama parámetro de la parábola.
* Una cuerda es cualquier segmento de recta cuyos
extremos son puntos de la parábola. La cuerda
perpendicular al eje focal y que pasa por el foco, se llama
lado recto y su longitud es: Lr = 4 p
Y
lado recto
B2
cuerda focal
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL
Y
V2
L2
F1
Eje focal
F2
AL EJE Y
c
Y
c
b
(h; k ) Eje focal
C
directriz
B1
V1
diámetro
X
L1
directriz
* VV
1 2 se llama eje mayor, tiene longitud 2a.
(h; k )
* BB
1 2 se llama eje menor, tiene longitud 2b.
X
X
( x − h) 2 = 4 p ( y − k )
( x − h) 2 = −4 p( y − k )
* Se cumple: a 2 = b 2 + c 2 ; a  b ; a  c
* Lado recto: Lr =
2
c
2b2
; excentricidad: e =
a
a
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL
Y
Práctica 09
Longitud del lado recto y excentricidad
AL EJE X
a
Lr =
b
Eje focal
2b2
a
e=
c
a
; e 1
Distancia entre las directrices
(h; k )
d( L1 , L2 ) =
2a2 2a
=
c
e
Hipérbola cuyo eje focal es
X
( x − h)
( y − k)
+
=1
2
a
b2
2
al eje X
2
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL
(x − h)2 (y − k)2
−
=1
a2
b2
Y
AL EJE Y
Eje focal
b
Y
a
(h; k )
F1
b
a
c
C a
F2
k
h
X
Asintotas son: y − k =
X
( x − h) 2 ( y − k ) 2
+
=1
b2
a2
b
b
(x − h) , y − k = − (x − h) .
a
a
Hipérbola cuyo eje focal es
al eje Y: La ecuación de una
hipérbola con centro en C(h,k) y eje focal paralelo al eje
V. HIPÉRBOLA
Sea F1 y F2 dos puntos fijos del plano (llamados focos) y a
un número real positivo.
Y es,
(y − k)2 (x − h)2
−
=1
a2
b2
Una hipérbola es el conjunto de todos los
puntos P del plano tal que,
Y
d(P,F)
− d(P,F2 ) = 2a
1
F2
a
b
C
Y
c
P
k
F1
F2
h
2a
Asíntotas: x − h =
F1
HIPÉRBOLA
X
Relación pitagórica
a2 + b2 = c2
3
X
b
b
(y − k) , x − h = − (y − k) .
a
a
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Práctica 09
3. Del gráfico, halle la excentricidad de la elipse de focos
PROBLEMAS RESUELTOS
E y F.
1. En la figura, AB=BC. Si A(0;2) y C(7;1). Halle las
coordenadas del punto B.
12
Y
A) (4;5)
B) (5;3)
c) (6;3)
D) (6;4)
Círculo
E) (7;5)
5
B
E
A Elipse
F
Hipérbola
Parábola
A) 1 3/17
B) 17/21
C) 12/13
D) 13/15
E) 15/17
C
O
X
RESOLUCIÓN:
RESOLUCIÓN:
7
m +1
B
P
m
12
5
m
m +1
A ( 0;2 )
2
C ( 7;1)
O
X
2c
E
F
2c = 13
En el triángulo EPF:
Por propiedad: d ( PE ) + d ( PF ) = 2a
En la congruencia: m + 1 + m = 7  m = 3
2a = 17
 B ( 4;5 )
Por propiedad la excentricidad es: e =
2. Del gráfico mostrado, determine la distancia PQ
c
a
e =
B(8,15)
4. Determine el área de una región triangular cuyos
n
vértices son A(3; 2), B(7;4) y C( 2;5).
P
A) 1
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
2n
Q(9,7)
A(2,3)
A) 2
D) 3
B) 5
E) 8
Por propiedad:
C) 7
RESOLUCIÓN:
Por fórmula:
RESOLUCIÓN:
P=
P=
1( 2 ;3 ) + 2 ( 8 ;15 )
3
( 2;3) + (16;30)
P = ( 6 ;11)
A=
3
3
2
1 7
2 -2
3
4
Hallamos la distancia PQ:
( 9 − 6) + (7 − 11)
2
5
2
1
(12 + 35 − 4 ) − (14 − 8 + 15 )
2
1
A = 22
2
A=
dPQ =
13
17
2
A = 11
d PQ = 9 + 16
 dPQ = 5
4
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Práctica 09
PROBLEMAS PROPUESTOS
5. Si el punto P(8;6) es el centro de una cuerda en la
circunferencia x + y − 12x − 4 y − 60 = 0 .
Determine la ecuación de la recta, que contiene a
dicha recta.
2
2
1. Del gráfico, OABC y CDEF son cuadrados. Calcule el
producto de las pendientes OD y BF.
A) 2x + y = 10
B) 2x − y = 10
C) x + 2y = 10
D) x + 2y = 20
E) x − 2y = 20
RESOLUCIÓN:
L
A) 0
D)
P ( 8;6 )
C ( 6;2 )
1
2
C) −1
B) 1
E)
2
2
2. En el gráfico, P: x − 8y + 32 = 0 y Q : 8x − y − 4 = 0
Calcule la ecuación de la recta R.
Resolvemos:
x 2 − 12 x + 36 − 36 + y 2 − 4 y + 4 − 4 − 60 = 0
( x − 6 ) + ( y − 2 ) = 102
Centro: C ( 6, 2 )
2
→
Radio:
Hallamos la pendiente:
mCP =
2
r = 10
6−2 4
= =2
8−6 2
A) x − 2y = 0
C) 24x − 33y = 0
E) x = y
Por propiedad:
mCP . mL = −1
→ mL = −
1
2
B) 35x − 41y = 0
D) 65x − 16y = 0
3. Si P = (4;3) , la medida del arco AP es 90º y AB=2(BC),
Luego la ecuación es:
1
y − 6 = − ( x − 8)
2
2 y − 12 = − x + 8
halle la coordenada de C.
 x + 2 y = 20
5
A) ( −6; −1 )
B) ( −6; −2 )
D) ( −8; −2 )
E) ( −8; −3 )
C) ( −6; −3 )
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Práctica 09
4. En el gráfico, 2(AB)=3(BK)=12 y la región cuadrada
7. Determine la medida del ángulo que forman las
ABCO y región rectangular BKLS son equivalentes.
Halle la ecuación de LB.
asíntotas de la hipérbola.
x2 − 3y2 − 8x − 18y − 14 = 0
A) 30º
B) 37º
C) 45º
D) 53º
E) 60º
8. Según el grafico, A y B son puntos de tangencia y
OA=10. Halle la ecuación de la circunferencia.
A) 4x − 9y − 40 = 0
B) 4x − 9y + 30 = 0
C) 4x − 9y − 50 = 0
D) 4x − 9y − 60 = 0
E) 4x + 9y − 40 = 0
5. En el gráfico, ABCD es un cuadrado. SI N es un punto
medio de CM; además, I es incentro del triángulo MNE
y AD=20, halle las coordenadas de N.
A) ( x − 10 ) + ( y − 4 ) = 16
2
2
B) ( x − 10 ) + ( y − 5) = 25
2
2
C) ( x − 10 ) + ( y − 6 ) = 36
2
2
D) ( x + 10 ) + ( y − 5) = 25
2
2
E) ( x − 9 ) + ( y − 9 ) = 16
2
2
9. Según el grafico, ABCD y DPQR son cuadrados. Halle la
ecuación de L si las regiones sombreadas son
equivalentes.
A) (12;16 )
 35 

2 

C) (10;15 )
B)  15;
D) ( 8;14 )
E) (14;17 )
x2
y2
+
=1,
6. ¿para qué valores de n la cónica
9+n 5+n
representa hipérbolas?
x
2
x
B) y =
3
A) y =
A) −5; +
B) −; −5
D) −9; +
C) y = x
D) y = 4x
E) −9; −5
E) y =
C) −; −9
6
x
4
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Práctica 09
10. Del grafico mostrado, calcule el área de la región
13. Según el grafico, calcule MN si F1 y F2 son los focos y L
sombreada.
F: foco de la parábola.
A) 6u2
D) 10u2
B) 8u2
E) 12u2
la recta directriz de la elipse.
C) 9u2
A) 2
D) 5
B) 3
E) 6
C) 4
14. En el gráfico, FMNP es un cuadrado. Además, F y V1 V2
11. En el gráfico, F es el foco y V es el vértice de la parábola
son foco y eje mayor de la elipse E de centro O. Si
OP=4, calcule QE.
P. Si LR=12 y AF=5, calcule el área de la región
sombreada.
5 −2
D) 6 − 2
A)
2
A) 8 6u
2
B) 4 6u
6 −1
E) 5 − 1
B)
C)
3 −1
2
C) 6 6u
2
15. Del gráfico mostrado, calcule el área de la región
D) 4 3u
sombreada.
2
E) 8 3u
12. Del gráfico, halle el área de la región sombreada si C y
F1 son el centro y el foco de la elipse, respectivamente.
A) 1u2
D)
3u2
B) 2u2
E)
C)
A) 8u2
D) 20u2
5u2
2u2
7
B) 16u2
E) 12u2
C) 10u2
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Práctica 09
16. En el gráfico ABCD es un romboide. Si B=(4;7) y
19. En el gráfico, halle la ecuación de la elipse si F es foco
C=(7;b),calcule el área de la región sombreada.
A) 6
D) 10
B) 8
E) 12
y AB es eje focal, además, 3(AF)=3(AC)=FB, BC= 2 17
y A es punto de tangencia.
C) 9
( x − 4 ) + y2 = 1
A)
2
8
6
2
( x − 4 ) + y2 = 1
B)
16
12
2
( x − 4 ) + y2 = 1
C)
6
5
2
( x − 4 ) + y2 = 1
D)
12
10
2
( x − 4 ) + y2 = 1
E)
15
12
17. Según el grafico, P, Q, T y S son puntos de tangencia y
O2 es centro del cuadrado ABCD. Hallar la ecuación de
de O1O2
20. El cable que une dos postes tiene forma de una
A) x − 5y + 8 = 0
C) 2x − y + 8 = 0
E) x − 3y = 0
parábola. Si los postes tienen una altura de 5m y el
punto más bajo del cable se encuentra a 3m del piso,
¿a qué altura se encontrará una paloma ubicada en el
cable y a 1m del poste más cercano a ella?
B) x + y − 8 = 0
D) 3x − 5y − 4 = 0
18. En el gráfico, T y P son puntos de tangencia, TL=10 y
LH= 2 5 , halle la ecuación de la circunferencia menor.
A) 3,75m
B) 3,25m
C) 4,75m
D) 4,125
E) 4
A) x − 24x + y − 12y + 176 = 0
2
2
B) x − 24x + y − 12y + 144 = 0
2
2
C) x − 24x + y − 12y + 146 = 0
2
2
D) x + 24x + y + 12y + 176 = 0
2
2
E) x + 24x + y − 12y + 176 = 0
2
2
8