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JOSÉ MILTON DE ARAÚJO
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Professor Titular ~ Escola de Engenharia da FURG
Doutor em Engenharia
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CONCRETO ARMADO
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Volume 1
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Editora DUNAS
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CURSO DE CONCRETO ARMADO
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APRESENTAÇÃO
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e Copyright Editora DUNAS
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A663c
Araújo, José Milton de
Curso de concreto armado / José Milton
de Araújo. - Rio Grande: Dunas, 2010. v.l, 3.ed.
Bibliografia
I. Concreto armado. I. Título
CDU 624.012.45
CDD 624.1834
ISBN do volume I: 978-85-86717-09-3
ISBN da coleção: 978-85-86717-08-6
Editora DUNAS
Rua Tiradentes, 105 - Cidade Nova
96211-080 RIO GRANDE - RS - Brasil
www.editoradunas.com.br
e-mail: contato@editorac!unas.col11.br
Este Curso de Concreto Armado é dirigido aos estudantes de
graduação em Engenharia Civil e aos profissionais ligados à área de
projeto estrutural. Para uma melhor apresentação, a obra foi dividida
em quatro volumes, com uma sequência que nos parece apropriada
do ponto de vista didático.
Não é nossa intenção abordar todos os aspectos relativos ao
tema, o que seria impraticável em virtude de sua abrangência, Nosso
único objetivo é apresentar um curso completo e atualizado sobre os
métodos de cálculo das estruturas usuais de concreto armado. Em
particular, o Curso é dedicado ao projeto das estruturas dos edifícios.
Nesta terceira edição de Curso de Concreto Armado, fizemos
diversas alterações, além da inclusão de novos conteúdos e exemplos
numéricos. O leitor irá constatar que novos procedimentos de projeto
foram adotados, em relação à edição anterior. No volume 1, por
exemplo, foram alterados os limites para o dimensionamento à flexão
simples com armadura dupla, para garantir que as vigas tenham uma
maior ductilidade no estado limite último. Diversas inovações sobre
o cálculo de lajes maciças, lajes nervuradas e lajes cogumelo foram
introduzidas nos volumes 2 e 4. No volume 3, incluímos novos
conteúdos
sobre
o contraventamento
dos
edifícios
e o
dimensionamento
dos pilares. No volume 4, acrescentamos
um
capítulo sobre o projeto estrutural em situação de incêndio. Além
disso, foram incorporados ao texto os mais recentes resultados de
nossas pesquisas relacionadas ao projeto das estruturas de concreto
armado. Enfim, esta edição sofreu uma completa reestruturação,
tanto em termos de conteúdo, quanto em termos de procedimentos de
projeto.
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n
3 edição, Novembro/20 J O
Rio Grande, Setembro de 2010.
(
(
José Milton
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C
(
i
SUMÁRIO
PLANO DA OBRA
I.MATERIAIS
Volume 1: Propriedades dos materiais para concreto armado. Funda~entos de segurança. Flexão normal simples: dimensionamento e
venficação de seções retanguiares e seções T. Esforço cortante.
Ancoragem e emendas das armaduras.
)
)
\
/
)
)
)
Volume 2: Cálculo
limites de utilização.
de lajes maciças. Cálculo de. vigas. Estados
Volume 3: Flexo-compressão
normal e oblíqua: dimensionamento e
verificação de seções. Cálculo de pilares curtos e moderadamente
esbeltos. Pilares-parede.
Pilares esbeltos. Ações horizontais nas
estruturas de contra ventamento.
)
)
)
)
)
)
}
)
)
)
Il)
)
V?lume 4: Dimensionumento
à torção. Flexo-tração.
Escadas.
Vigas-parede e consolos. Reservatórios. Lajes nervuradas. Lajes
cogumelo. Fundações. Projeto em situacão
de incêndio .
,
PARA CONCRETO
ARMADO
I
I.I - Introdução
1.2 - Concreto em compressão simples
1.3 - Concreto em tração simples
j.4 - O modulo de deformação longitudinal do concreto
1.5 - Relações tensão-deformação para o concreto
1.6 - Evolução das propriedades do concreto
1.7 - Resistência do concreto sob carga de longa duração
J.8 - Comportamento reoJógico do concreto &
:
J.9 - Fluência do concreto
1.10- Retração do concreto
I. I I - Aços para concreto armado
I.12- Considerações sobre o concreto armado
1.13- A durabilidade das estruturas de concreto armado
I
2
8
]1
16
19
27
30
32
39
.42
.46
.49
2. FUNDAMENTOS DE SEGURANÇA
DE CONCRETO ARMADO
59
DAS ESTRUTURAS
2.1 - Estados limites
2.2 - As ações nas estruturas
2.3 - Ações de cálculo e combinações de ações
2.4 - Resistências de cálculo
2.5 - Avaliação da segurança estruturaL
59
63
65
76
77
3. FLEXÃO NORMAL SIMPLES
Dimensionamento de Seções Retangulares
85
3.1 - Hipóteses básicas do dimensionamento
3.2 - Diagramas tensão-deformação dos materiais
3.3 - Domínios de dimensionamento
3.4 - Diagrama retangular para o concreto
3.5 - Determinação do momento limite para seções
retangulares com armadura simples
3.6 - Dimensionamento de seções retangulares com
armadura simples
85
86
88
92
93
101
(
(
·1'.."
.!:
.. ~-~._
~:
l
_-----
..
!
(
(
(
3.7 - Dimensionamento de seções retangulares com
armadura dupla
3.8· Roteiro para o dimensionamento de seções
retangulares
3.9 - Exemplos de dimensionamento
3.10- Tabelas para o dirnensiouamento de seções
retangulares
3.11- Cálculo da armadura mínima
105
112
113
119
122
4. FLEXÃO NORMAL SIMPLES
Dimensionamento de Seções T
127
4.1 - Geometria da seção transversal.
4.2 - Determinação do momento limite
,'
4.3 - Dimensionamento com armadura simples
4.4 - Dimensionamento com armadura dupla
4.5 - Roteiro para o dirnensionamento de seções T
4.6 - Exemplos de dimensionarnento
4.7 - Determinação da largura efetiva da mesa
127
128
136
140
143
144
147
5. FLEXÃO NORMAL SIMPLES
Verificação da Capacidade Resistente
155
5.1 - Definição do problema
5.2 - Seção retangular com armadura simples
5.3 - Seção retangular com várias camadas ele armadura
5.4 - Outras formas de seção sob f1exão normal simples
155
157
164
172
6. ESFORÇO CORTANTE
175
6.1 - Introdução
6.2 - Treliça generalizada de Mõrsch
6.3 - Treliça clássica de Mõrsch
6.4 - Critério de projeto da NBR-6118
6.5 - Força na armadura longitudinal de tração
6.6 - Peças de altura variável.,
6.7 - Seções próximas aos apoios
6.8 - Armadura de suspensão
6.9 - Armadura de costura
6.10- Lajes sem armadura de cisalharnento
175
179
185
187
193
197
200
202
205
213
7. ANCORAGEM E EMENDAS DAS BARRAS
DA ARMADURA
····..············
..··
217
Ancoragem por aderência
217
7.1 Tensão
de
aderência
·······
..········
.
.·····
220
7.2 223
Tensão
última
de
aderência
··············
·..··..
··
7.3 226
7.4 - Comprimento de ancoragem reta
Barras com ganchos
227
7.5 7.6 - Outros fatores de redução do comprimento de
ancoragem
233
Ancoragem em apoios de extremidade
237
7.7 Armadura transversal nas ancoragens
,247
7.8 Emendas das barras da armadura
249
7.9 REFERÊNCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
(
(
(
(
(
(
~
255
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
.
u,
,
io."
.1:
)
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~ )
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~
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Capítulo 1
1 ~)
MATERIAIS PARA CONCRETO
ARMADO
)
)
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1.1 - Introdução
)
)
)
)
)
)
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J
)
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)
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)
)
)
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)
)
)
,)
~
,
)
Concreto é o material resultante da mistura dos agregados
(naturais ali britados) com cimento e água. Em função de
necessidades
específicas,
são acrescentados
aditivos químicos
(retardadores
ali
aceleradores
de
pega,
plastificantes
e
superplastificantes,
etc.) e adições minerais (escórias de alto-forno,
pozolanas, fíleres calcários, microssílica,
etc.) que melhoram as
características do concreto fresco ou endurecido.
A resistência do concreto endurecido
depende de vários
fatores, como o consumo de cimento e de água da mistura, o grau de
adensarnento, os tipos de agregados e de aditivos, etc. Quanto maior
é o consumo de cimento e quanto menor é a relação água-cimento,
maior é a resistência à compressão.
A relação água-cimento
determina a porosidade da pasta de cimento endurecida e, portanto,
as propriedades
mecânicas do concreto.
Concretos feitos com
agregados de seixos arredondados e lisos apresentam uma menor
resistência do que concretos feitos com agregados britados'!'.
Concreto
armado é o material composto,
obtido pela
associação do concreto com barras de aço, convenientemente
colocadas em seu interior. Em virtude da baixa resistência à tração
do concreto (cerca de 10% da resistência à compressão), as barras de
aço cumprem a função de absorver os esforços de tração na estrutura.
As barras de aço também servem para aumentar a capacidade de
carga das peças comprimidas.
O funcionamento conjunto desses dois materiais só é possível
graças à aderência. De fato, se não houvesse aderência entre o aço e
o concreto, não haveria o concreto armado. Devido à aderência, as
deformações
das barras de aço são praticamente
iguais às
deformações do concreto que as envolve. Em virtude de sua baixa
resistência à tração, o concreto fissura na zona tracionada do
(
(
I"
,~
(
2
Curso de Concreto Annado
elemento estrutural. Desse momento em diante, os esforços de tração
passam a ser absorvidos pela armadura. Isso impede a ruína brusca
da estrutura, o que ocorreria, por exemplo, em uma viga de concreto
simples.
Além de absorver os esforços de compressão, o concreto
protege as armaduras contra a corrosão. Apesar da fissuração, quase
sempre inevitável em uma estrutura de concreto armado, a
durabilidade
das armaduras não fica prejudicada, desde que as
aberturas das fissuras sejam limitadas. Um cobrimento mínimo de
concreto, dependente da agressi vidade do meio, também é necessário
para garantir a durabilidade.
Os coeficientes de dilatação térmica do concreto e do aço são
aproximadamente
iguais. Dessa forma, quando uma estrutura de
concreto
armado
for submetida
a moderadas
variações
de
temperatura, as tensões internas entre o aço e o concreto (geradas
pela diferença entre os coeficientes de dilatação térmica) serão
pequenas. Nos casos em que a estrutura possa ficar submetida a
elevadas temperaturas (incêndios, por exemplo), deve-se adotar um
maior cobrimento de concreto para reduzir a variação de temperatura
no nível das armaduras.
O concreto armado tem inúmeras vantagens sobre os demais
materiais estruturais, como'" : economia; facilidade de execução em
diversos
tipos de formas; resistência
ao fogo, aos agentes
atmosféricos
e ao desgaste mecânico; praticamente não requer
manutenção ou conservação; permite facilmente a construção de
estruturas hiperestáticas (estruturas com reservas de segurança).
Dentre as desvantagens
do concreto armado, podem ser
citadas: o elevado peso das construções;
dificuldades
para a
execução de reformas ou demolições; menor proteção térmica.
Neste capítulo, são discutidas apenas as propriedades dos
materiais que interessam ao projeto das estruturas usuais de concreto
armado. As propriedades
do concreto fresco, os métodos de
dosagem,
as propriedades
térmicas, dentre outras, podem ser
encontradas em bibliografia específica' UI.
3
Materiais para concreto armado
(
alguns regulamentos de projeto, adota-se a resistência cúbica, obtida
em cubos de 15 em ou 20 cm de lado. No Brasil e nas
recomendações do CEB"'I4.5I,adota-se a resistência obtida em corpos
de prova cilíndricos. Em geral, os ensaios são real izados na idade
padrão de 28 dias, convencionando-se
que esta é a idade em que a
(
(
(
estrutura deverá entrar em carga.
Os corpos de prova cilíndlicos devem possuir uma relação
altura/diâmetro igualou
maior do que 2 (em geral, adota-se uma
relação igual a 2). Para concretos feitos com agregados de diâmetro
máximo igualou
inferior a 38 mrn, adota-se o corpo de prova
cilíndrico com 15 cm de diâmetro e 30 em de altura. No caso de
concretos com agregados de diâmetro máximo superior a 38 mm
(concreto
massa),
adotam-se
corpos
de
prova
maiores.
Alternativamente, faz-se o peneiramento do concreto, para eliminar
os agregados com diâmetros superiores a 38 mm, e adotam-se
correlações entre as resistências obtidas nos corpos de prova 15x30
com as resistências do concreto integral'".
Devido a fatores de natureza aleatória, como a falta de
homogeneidade da mistura, graus de compactação diferentes para
corpos
de
prova
diferentes,
dentre
outros,
verifica-se
experimentalmente uma razoável dispersão dos valores da resistência
obtidos em um lote de corpos de prova. Assim, reconhecendo que a
resistência
fe'
do concreto,
é uma
variável aleatória,
compressão
do concreto,
compressão,
fet:.
fem'
A resistência
e a resistência
característica
probabilidades,
...
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
é um valor tal que
inferiores à
normal de
(
(
(
(1.2.1)
1.2 - Concreto em compressão simples
A resistência à compressão do concreto é determinada através
de ensaios padronizados de curta duração (carregamento rápido). Em
(
à
tem-se que
fe/.: = fem -1,645S
(
média à
característica
existe uma probabilidade de 5% de se obter resistências
mesma. De acordo com a equação da distribuição
(
(
deve-se
recorrer à Teoria das Probabilidades para uma análise racional dos
resultados. Usualmente,
admite-se
que a função densidade
de
probabilidade das resistências segue a curva normal de Gauss,
conforme é indicado na figo 1.2.1.
De acordo com a figo I .2.1, definem-se a resistência
(
(
(
" CEB _ Comité ElIro-lnlernational du Bétou foi dissolvido em 1998 e,
juntamente com a FIP, deu origem à FIB - Fédéralion Internationale
du
(
Béton, com sede na Suíça.
\
(
)
, )
4
Curso de COl/creto Armado
onde S é o desvio padrão das resistências,
Materiais para concreto armado
dado por
característica
especificada
no projeto.
5
Neste caso,
.fem pode ser
estimada por
s=
•
(1.2.2)
I. =T.ck +L1f.
e/11
(1.2.3)
•
onde /'0,.1 é um valor definido nas normas de projeto.
t..
sendo
os valores genéricos da resistência
de prova de concreto.
(j)
obtidos em 12 corpos
Os concretos são classificados em grupos de resistência, grupo
I e ogrupo II, conforme a resistência característica à compressão I,«.
Dentro dos grupos, os concretos normais são designados pela letra C
sezuida
do valor da resistência característica à compressão aos 28
<:;>
dias de idade, expressa em MPa.
Os concretos de massa específica normal são aqueles que,
depois de secos em estufa, apresentam uma massa específica
compreendida entre 2000 kz/rrr'
e 2800 kg/rrr', 1Geralmente, para
<:;>
efeito de cálculo, adota-se o valor 2400 kg/m para o concreto
simples e 2500 kg/rrr' para o concreto armado.
Na tabela 1.2.1, indicam-se os grupos e as classes de
resistência padronizados pela NBR-895316l.
t
"O
eu
"O
.s
eu
.o
e
Q.
Q)
"O
Q)
"O
eu
"O
(J)
C
Q)
o
fem
fe
Para concreto
Fig. 1.2. I - Densidade de probabilidade da resistência
à compressão do concreto
Assim, conhecendo-se o valor do desvio padrão S, utiliza-se a
equação (1.2.1) para o cálculo da resistência de dosazern (Ç
) em
<:;>
função do valor de l.k especificado
,
)
)
Em algumas verificações, é necessano fazer referência ao
valor médio da resistência à compressão, associado a uma resistência
i )
L
, )
deve-se
Para
empregar
concreto
a classe C20 ou
protendido,
deve-se
empregar a classe C25 ou superior.
Segundo a NBR-61180l, a classe CI5 pode ser usada apenas
em fundações e em obras provisórias.
)("111
no projeto. Deve ser salientado
que o desvio padrão está intimamente relacionado ao controle de
qualidade adotado na produção do concreto. Quando o desvio padrão
não é conhecido, podem-se adotar valores típicos, estabelecidos em
função do controle de qualidade.
)
armado,
superior( ick :2': 20 MPa).
A resistência à compressão do concreto depende de vários
fatores, corno' ).8):
- composição (consumo e tipo de cimento, fator água-cimento,
etc.);
- condições de cura (temperatura e umidade);
- velocidade de aplicação da carga (ensaio estático ou dinâmico);
- duração do carregamento (ensaio de curta ali de longa duração);
- idade do concreto (efeito do envelhecimento);
- estado de tensões (compressão simples ou multiaxial);
- forma e dimensões dos corpos de prova.
f.
,
'J:O,:
)
)
••s
•.)
8
9
Materiais para concreto armado
Curso de Concreto Armado
)
"
~,
• )
Conforme se observa na figo 1.2.3, as resistências do concreto
I apresentam uma menor dispersão em torno do valor médio. Isto
reflete diretamente no valor da resistência característica, indicando
r)
•
)
;
> j~L2'
~ )
que fck,1
~
, )
média, o concreto I é de melhor qualidade que o concreto 2.
A resistência do concreto dependente do estado de tensões.
Por exemplo, em um estado de compressão biax.ial, verifica-se
.::e~xperimentalmente que ocorre um aumento da resistência'". Para
duas tensões de compressão iguais, a resistência à compressão é
acrescida em cerca de 16%,
Quanto à velocidade de aplicação da carga, observa-se que a
resistência depende da taxa de tensão. Quanto maior for a taxa de
tensão aplicada, maior será a resistência. O conhecimento do efeito
da taxa de tensão na resistência é importante pam a análise dinâmica
das estruturas. A formulação para a consideração desses efeitos pode
ser encontrada no CEB/9015'.
I' )
I.I-:-
I
)
I)
, )
)
, )
)
)
Logo, apesar de possuírem a mesma resistência
1.3 - Concreto em tração simples
)
, )
)
)
: )
)
A resistência à tração do concreto pode ser determinada em
três ensaios diferentes: ensaio de tração axial, ensaio de compressão
diametral ou ensaio de flexão. Normalmente, o termo resistência ri
tração constante nas normas de projeto (NBR-6l18, CEB) refere-se
à resistência
à tração
t.; Na figo 1.3.1,
indicam-se os esquemas dos três ensaios utilizados.
De maneira análoga à resistência à compressão, a resistência à
tração do concreto apresenta uma significativa variabilidade em
torno de um valor médio. Em geral, essa variabilidade é maior do
que a verificada para a resistência à compressão. Assim, podem-se
)
definir um valor médio,
)
forma idêntica ao que foi feito para a resistência à compressão.
Segundo o CEB/90, o valor médio da resistência à tração,
)
)
fCIIIl'
)
)
, )
L
:)
CII/1'
I~
h
e um valor característico,
i,«. de
l--1:Q
.~
Fig. J .3.1 - Ensaios para a determinação
,
t
. ck
= 1,4010
(
)?/"J
' MPa
(1.3.1)
da resistência à tração
O CEB/90 define dois valores característicos
à tração: um valor inferior,
f~.[/( .inf ' e um
Esses valores característicos correspondem
respectivamente, e são dados por
fclk.inl"
.1("/111
diametral
~ r'u
pode ser obtido da relação
)
,
axial (tração direta),
f
Compressão
Flexão de vigas
)
)
~C o;;J~
Tração direta
== cat.;
para a resistência
valor superior,
fr1k .sup .
aos quantis de 5% e 95%,
fc'lk.sup == 1,3 j~'flll
(1.3.2)
Os valores característicos
da resistência
à tração são
empregados no projeto no sentido desfavorável. Por exemplo, o valor
'.lió.
)
~.~~-'"""
...•....~
..
_ .._._-_._
_--~._-~--~_._--~--~~~~----
..
)
)
13
Materiais poro concreto armado
Curso de Concreto Armado
12
)
o módulo secante é dado por
)
)
( IA.2)
)
fc A expressão (1.4.1) é válida para concretos feitos com
agregados de quartzo (granito e gnaisse). Essa expressão deve ser
multiplicada por 1,2 se forem usados agregados de basalto, por 0,9
para agregados de ca1cário e por 0,7 para agregados de arenito.
)
1
1
1
1
)
)
- __ 1_-
)
b) Relação do ACI
)
Segundo o ACI, o módulo secante Ecs é dado por
)
)
~---;----+-.-+
.•
)
Eo
)
Fig. IA. 1 - Diagrama tensão-deformação
(compressão simples)
)
)
)
)
)
)
)
e.; =4730~fck
Eu Ec
do concreto
Considerando
módulo tangente
Diversas
correlações
entre o módulo de deformação
longitudinal e a resistência à compressão do concreto' têm sido
encontradas em trabalhos
de pesquisa, estando algumas delas
recomendadas nas normas de projeto. Essas correlações são válidas
para concretos de massa específica normal e para carregamento
estático. Para cargas dinâmicas, ocorre um aumento no valor do
módulo de deformação longitudinal. A seguir são apresentadas as
17J
relações indicadas pelo CEB/90ISI, pelo ACI1101 e pela NBR-6118 •
)
)
)
)
a) Relação do CEB/90
Segundo o CEB/90, o módulo tangente pode ser obtido através
da expressão
)
f
)1/1
E(' = 21500 ( 1(~'
)
(1.4.1 )
,MPa
I
= I.. + 8 MPa
)
onde
)
estimada a partir da resistência
)
(1.4.2),
f(,/11
é a resistência
característica
média à compressão,
f~'k aos 28 dias.
obtém-se
a expressão
do
(E(' = Ec.\ /0,85), na forma
e, = 5565~fck
' MPa
(lAA)
c) Relação da NBR-6118
A expressão para o módulo de deformação longitudinal do
concreto adotada pela NBR-6118 é derivada do ACl. Na verdade, a
NBR-6118 adota a mesma expressão do ACI, fazendo apenas um
pequeno arredondamento no coeficiente 5565. Assim, a expressão
para o cálculo do módulo tangente, apresentada na NBR-6118, é
dada por
e, = 5600~f~k
' MPa
(1.4.5)
De acordo com a NBR-6118, o módulo secante é obtido com o
emprego da expressão (lA.2).
Observa-se que, nas expressões
)
)
a equação
(lA.3)
' MPa
rnódulo de deformação
do ACI e da NBR-6118,
longitudinal é dado em função de f('k'
o
)
)
(
)
)
I
)
I
)
16
17
Materiais para concreto armado
Curso de Concreto Armado
( 1.5.3)
o módulo de deformação
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
longitudinal do concreto depende de
diversos fatores, sendo a resistência à compressão apenas um deles.
As propriedades elásticas dos agregados, por exemplo, têm uma
grande influência sobre o módulo de deformação do concreto e são
consideradas na formulação do CEB/90.
Assim, nenhum modelo teórico é capaz de prever exatamente
o valor do módulo de deformação longitudinal do concreto. Esses
modelos são empregados na fase de projeto. Durante a execução da
estrutura, é necessário realizar ensaios, na idade especificada no
projeto, para comprovar que o concreto empregado apresenta o
módulo de deformação requerido.
Em vista de todas as considerações apresentadas, e do amplo
estudo realizado pelo Autor (ver ref. [11 J), recomenda-se o emprego
das expressões do CEB/90 (equações (1.4.1) e (1.4.2». Essas
expressões serão util izadas em todos os volu mes desta obra.
'7 = Ee / Eo .
onde, na equação (1.5.1),
Conforme será visto no capítulo 3, essas expressões são
empregadas no dimensionamento
de seções de concreto armado.
Nesses casos, no lugar da resistência média
.tem'
deve ser adotada
uma resistência
reduzida, conforme será mostrado no capítulo
seguinte. Entretanto, aqui será adotado o valor médio da resistência
para fazer uma comparação entre as várias expressões.
b) Equação de Desayi e Krishnan
Desayi e Krishnan(!) propuseram
representar o diagrama tensão-deformação
a seguinte expressão
do concreto:
para
, )
)
(1.5A)
)
Conforme
foi visto anteriormente,
o diagrama tensãodeformação do concreto, obtido em um ensaio de compressão
simples, é não linear desde o início do carregamento. Para efeito de
análise estrutural,
é necessário adotar relações simples que
representem de maneira satisfatória esse comportamento não linear.
Diversas equações têm sido propostas para representar o diagrama
tensão-deformação do concreto, sendo algumas delas apresentadas a
seguir.
)
a) Diagrama parábola-retângulo
)
)
)
)
I
1.5 - Relações tensão-deformação para o concreto
)
onde E; é o módulo de deformação longitudinal
tangente.
Para que a expressão (1.5.4) forneça uma tensão igual a
quando
e, = Eo'
isto é,
L;
77 = 1, é necessário que E; = 2.te111/ Eo .
Assim, a equação (1.5.4) é escrita na forma
.
277
= j el/1---7
(1.5.5)
adota a seguinte relação tensão-deformação
concreto em compressão simples:
para o
CYe
1+7r
)
)
Uma expressão muito simples foi desenvolvida por Hognestad,
admitindo-se que o trecho ascendente do diagrama pode ser
representado por uma parábola do segundo grau. Essa expressão foi
introduzi da na norma brasileira NBR-6118 e no CEB, dando origem
ao denominado diagrama parábola-retângulo.
As equações são as
seguintes:
)
(1.5.1)
)
)
)
c) Equação
o CEBI4")
kTJ
(J",.
)
)
)
(
')
(1.5.2)
do CEB
onde
-7r 1
?
= i.; ( 1 + (k - 2)7]
( 1.5.6)
r)
,I
I)
~)
20
Curso de Concreto Armado
Materiais pará concreto armado
s = 0,20 para cimentos de endurecimento
alta resistência inicial CP V-AR!);
rápido (cimento de
}
s = 0,25 para cimentos de endurecimento
normal (cimento
)
comum CPI e cimento composto CP H) ;
s = 0,38 para cimentos de endurecimento
lento (cimento de
)
)
alto forno CP III e cimento pozolânico CP IV).
)
)
)
)
)
)
Na figo 1.6.1, representa-se a variação da resistência à
compressão do concreto com a idade, de acordo com a equação
(1.6.1). Os pontos indicados na figura correspondern aos resultados
experimentais extraídos da referência [3]. Nesses concretos foi
utilizado cimento pozolânico e, portanto, S = 0,38.
Conforme pode ser observado, a equação (1.6.1) ajusta-se bem
a esses resultados experimentais.
)
1.6
)
)
1.4
)
1.2
5=0,38
)
)
)
)
)
)
o
lCl:l
~
Agre.gado: gnaisse
0.6
IJ)
o:::
0.4
0.2
)
)
)
)
)
)
)
>
)
o
50
100
150 200
250
300
350
400
Idade do concreto (dias)
Fig. 1.6.1 - Variação da resistência à compressão
com a idade
A expressão (1.6.1) é válida para temperatura de cura em torno
de 20°C. Temperaturas de cura inferiores retardam o endurecimento,
enquanto que temperaturas mais elevadas aceleram o processo.
Abaixo de -12°C o concreto não mostra sinais de aumento da
21
°
resistência com
tempo' 1 J. Por isso, são necessanas algumas
precauções ao se fazer a concretagem em dias muito frios. Se a
temperatura ambiente for inferior a SoC, é recomendável suspender a
concretagem.
Caso isto não seja possível, devem ser tomadas
algumas medidas para aumentar a temperatura de lançamento do
concreto, como o aquecimento da água de amassarnento e dos
(? 16)
agregados -. .
.
Quando se deseja acelerar o processo de endurecimento do
concreto, pode-se realizar a denominada cura a vapor. Neste caso,
depois de transcorridas cerca de 4 horas da concretagem, eleva-se
gradualmente a temperatura ambiente (por meio de vapor) até uma
temperatura limite. Essa temperatura é mantida durante um certo
período, reduzindo-se em seguida até atingir a temperatura ambiente.
Por sua natureza, a cura a vapor é adequada para peças préfabricadas.
No caso das estruturas de concreto massa (as barragens são um
exemplo típico), o problema se inverte. Nessas estruturas, não há a
necessidade de uma grande resistência nos primeiros dias, já que as
tensões de compressão no concreto durante a fase construtiva são
muito pequenas. A grande preocupação consiste em reduzir o calor
gerado na massa de concreto devido à hidratação do cimento. Em
vista do grande volume de concreto que é lançado em cada etapa da
concretagem, a temperatura do concreto pode subir muito além da
temperatura ambiente. Ao se resfriar para atingir o equilíbrio térmico
com o ambiente, surgem tensões de tração que podem fissurar o
concreto. Assim, nessas estruturas o que se faz é a pré-refrigeração
do concreto (adicionando gelo à água de amassamento e resfriando
os agregados) para que a temperatura máxima atingida não fique
muito acima da temperatura ambiente.
Para levar em conta a história de temperatura a que o concreto
é submetido
durante o período de envelhecimento,
deve-se
considerar sua maturidade em vez de sua idade real. Concretos com a
mesma idade real, mas que foram curados em temperaturas
diferentes, possuem maturidades diferentes e, portanto, resistências
diferentes.
Em geral, as formulações disponíveis nos códigos de projeto
são limitadas a um valor máximo da temperatura. Por exemplo, a
formulação do CEB/90 para levar em conta os efeitos da temperatura
nas propriedades do concreto é válida até uma temperatura máxima
de 80"C.
i l
,
.~
)
)
__
.'"_·_K~~~-=•.•
~_~_~
~_~
--~~-------
_
)
)
r
)
I
)
24
Curso de Concreto Armado
1.6
1.2
)
1.0
)
o
E
---
..2
..-..
)
W
:::::::..
0.8
O
)
leu
oeu
)
Q)
0.6
O
leu
0.4
~
I
I
I
I
I
Idade equivalente ao
final da cura a vapor
2
3
a:
0.0
O
1
5
6
7
8
Fig. 1.6.4 - Evolução da resistência à compressão do concreto
(cura a vapor)
A evolução da resistência à tração do concreto pode ser obtida,
empregando-se a equação (1.3.1) e ajustando o valor de J;.k para
)
equação
)
(1.6.4 )
)
)
)
)
)
)
)
)
04
de deformação longitudinal
1m
3D
4X)
3D
Idade do concreto (dias)
Idade real (dias)
onde E, é o módulo
06
O
9
)
)
08
00
4
levar em conta a idade e os efeitos da temperatura.
Segundo o CEB/90, o módulo de deformação longitudinal do
concreto em uma idade t dias, E)t), pode ser estimado através da
)
s=0,20
Q2
)
)
s=0,38 •
Q)
:.1
)
)
•
O>
)
)
I
I
o
0.2
)
I
W
o::
)
12
25
•
.:=:.- 1.0
---..2
)
)
••
1.4
)
I
Materiais para concreto armado
aos 28 dias de
idade, obtido por meio da equação (1.4.1 ).
Os efeitos da temperatura são considerados tomando-se a
idade equivalente dada na equação (1.6.3).
Na figo 1.6.5, indica-se a variacão do modulo de deformacão
longitudinal do concreto com a idade, de acordo com a equação
(1.6.4). Os pontos experimentais foram extraídos da referência [3].
Fig. 1.6.5 - Variação do módulo de deformação
concreto com a idade
longitudinal do
Conforme se observa, a equação (1.6.4) superestima o módulo
nas primeiras idades e subestima o mesmo em idades mais
avançadas.
As equações anteriores devem ser usadas apenas como uma
estimativa da evolução das propriedades do concreto com a idade.
Elas são bastante úteis na fase de projeto. Para uma avaliação mais
precisa, é necessário realizar ensaios em várias idades e determinar a
lei de evolução para o concreto a ser empregado na obra.
Exemplo: Durante a execução de uma estrutura, são moldados
diversos corpos de prova para determinação
das propriedades
mecânicas do concreto. O concreto usado deve atender aos valores
especificados
110
projeto para a resistência
característica
à
compressão e para o módulo de deformação longitudinal. Em geral, a
idade de referência é de 28 dias.
Entretanto, se o construtor efetuar a concretagem e esperar 28
dias para realizar os ensaios, ele poderá ter a desagradável surpresa
de constatar que o concreto usado não atende aos valores mínimos
1
)
)
)
)
28
Curso de COI/CreTO Armado
Materiais
para concreto armado
29
)
)
)
)
)
)
)
)
contrariada
pelo
aumento
de
resistência
decorrente
do
envelhecimento. Devido a esses efeitos contrários, a resistência do
concreto passa por um mínimo, cujo valor depende da idade de
aplicação da carga.
No ensaio convencional para a determinação da resistência à
compressão, o concreto é levado à ruína em pouco tempo após o
início do carregamento (ensaio rápido). Se a velocidade de aplicação
da carga for reduzida, resultando em uma maior duração do ensaio,
ocorre uma diminuição da resistência, conforme é ilustrado na figo
1.7.1.
Em uma estrutura
de concreto
armado,
uma parcela
significativa das cargas é aplicada e mantida constante durante
praticamente toda a vida da estrutura. Assim, o projeto deve ser
elaborado de forma a se obter uma situação semelhante àquela
representada pelo ponto B. Em outras palavras, devem-se limitar as
tensões de compressão no concreto em 0,8fcl11 .
Segundo
mantida,
)
o CEB/90,
Limite de
resistência
)
onde
1('111 é a resistência
)
(1.6.2) e Pr.SHS (t,to)
)
duração do carregamento.
\Ensaio
muito lento
)
Deformação
Fig. 1.7.1 - Efeito Rüsch
)
)
)
)
)
)
)
)
" )
média aos 28 dias de idade obtida no ensaio
dada na equação
leva em conta a redução da resistência com a
PC.SlloS (t, to) = 0,96 - 0,12{!n[72(t - to )]y/4
-,
)
(1.7.1)
Ensaio rápido
)
)
sob carga
A função Pe, SlIS (t, to) é dada por
)
)
v.:
flcc (t) é a função de envelhecimento
rápido,
)
à compressão
(t, to) = Pc, (f) PC,SlIS (t,t o
)
)
a resistência
fCI11.slIs (t,to) , pode ser obtida através da expressão
fr/ll,slIs
)
l,
De acordo com a figo 1.7.1, se o corpo de prova for carregado
rapidamente até o ponto A e a tensão for mantida constante, ocorre
um aumento da deformação até ser atingido o limite de resistência,
com a consequente ruptura do corpo de prova. A tensão de ruptura,
neste caso, é inferior à resistência
1('11/
obtida no ensaio rápido
convencional.
Se o corpo de prova for carregado rapidamente até o ponto B e
a tensão for mantida constante, as deformações aumentam (devido à
fluência) até a estabilização. Neste caso, não haverá a ruptura do
corpo de prova.
(1.7.2)
onde t é a idade do concreto no instante considerado e to é a idade
no momento da aplicação da carga.
Na figo 1.7.2, apresenta-se
a variação da resistência à
compressão com a idade, de acordo com a equação (1.7. I). Nessa
figura, o concreto apresenta uma resistência média aos 28 dias
= 20 MPa (obtida no ensaio convencional) e é carregado em
t.;
dois instantes diferentes (to = 28 dias e to = 180 dias).
Conforme se observa na figo 1.7.2, a resistência passa por um
mínimo. A duração
do carregamento,
ocorre é de aproximadamente
f - to'
2,8 dias para to
em que o mínimo
= 28 e de 41 dias para
= 180. Os valores mínimos da resistência são 0,79 fcm e
0,89 f. , conforme a carga sej a aplicada aos 28 dias ou aos 180 dias
to
. n11.
de idade, respectivamente.
•...
i~
I
)
)
'Y .... -,
~cn'
-----.~
)
)
32
Curso de Concreto Armado
r
Materiais para concreto armado
33
)
)
r
)
)
,
)
)
(t) = deformação de fluência no instante f > to;
Ecs (t) = deformação de retração;
EcT (t) = deformação térmica (dilatação).
Ecc
Da
equação
(1.8.1),
observa-se
que
)
deformação total depende da tensão aplicada,
)
é independente-da-tensão,
Em
uma
ECCJ
parcela
da
(t), e outra parcela
(t). Essas parcelas são dadas por
)
(I. 8.2)
)
( 1.8.3)
)
)
A deformação
Em
(t)
é volumétrica,
ou seja,
)
expansão ou contração do elemento estrutural. A deformação
)
pode introduzir
aplicadas.
)
aplicada é .antida
prova
)
,
Em estruturas de grandes dimensões como, por exemplo, as
barragens de concreto massa, a fluência básica é predominante. Em
estruturas esbeltas, como as estruturas usuais dos edifícios, a fluência
por secagem torna-se importante.
Além disso, verifica-se experimentalmente que uma parcela da
deformação de fluência é recuperável (a deformação
elástica
diferida) e outra parcela é irrecuperável (a deformação plástica
diferida).
Na figo 1.9.1, indicam-se as variações da deformaç=ã=o~d=.ce=---=u=m=corpo de prova de concreto carregado no instante to' A tensão
distorções
A deformação térmica,
no elemento
EcT'
e depende
só causa
ECCJ
constante
é descarregado.
deformação
inicial
até o instante ti' quando
Conforme
(imediata
ao
está
o corpo de
indicado
na
figura,
a
carregamento)
é
Eci'
As
deformações aumentam com o passar do tempo, devido ao fenômeno
da fluência.
(t)
das tensões
é dada por
)
(1.8.4)
)
,
)
)
(
)
=
onde a 10-:; ocr é O coeficiente de dilatação térmica do concreto e
tJ..T é a variação de temperatura em "C,
)
)
)
)
)
)
)
)
)
')
1.9 . Fluência do concreto
A fluência do concreto pode ser classificada em fluência
básica e fluência por secagem. A fluência básica é a que se
desenvolve sem transferência de água entre o concreto e o meio
ambiente. Nos ensaios
de laboratório, a fluência básica é
determinada em corpos de prova selados. Para isto, o corpo de prova
é envolvido por uma tira de borracha que é colada com resina epóxi.
Dessa forma, evita-se a perda de umidade para o meio exterior.
Fig. 1.9.1 - Parcelas da deformação de fluência
Quando o corpo de prova é descarregado, ocorre a recuperação
imediata de uma parcela da deformação.
Esta parcela será
aproximadamente
igual a Eci, se a tensão aplicada for pequena em
relação à resistência à compressão do concreto. Com o passar do
tempo, haverá a recuperação da parcela Eed da fluência. Entretanto,
a parcela E pd será residual.
I
I
+--_
)
..•.
_._)..•..•......,.'" ""'.. -""'"' -"'----~--_._------------------.-------)
)
Materiais
Curso de Concreto Armado
36
37
para concreto armado
)
)
Para levar em conta os diferentes tipos de cimento, a equação
, )
(1.9.7) deve ser avaliada com uma idade modificada
to.c' dada por
h; = 600 mm, o que mostra a grande influência das dimensões dos
elementos estruturais no valor desse coeficiente.
)
,
3.0
)
(1.9.12)
).
2.5
CIl
)
onde to é a idade de ap icação
)
equação (1.6.3) para levar em conta os efeitos da temperatura de cura
na maturidade do concreto.
O coeficiente
a vale ·1 para cimentos de endurecimento
lento, O para cimentos de endurecimento normal e 1 para cimentos de
alta resistência inicial. A idade corrigida, dada em (1.9.12), deve ser
)
)
,
·0
)
)
)
)
)
)
usada na equação (1.9.7).
a carga, corngi
a
e acor o com a
A duração do carregamento
to'
)
)
)
carga, to' no coeficiente
valores RH = 70%
o efeito da idade de aplicação
(umidade
relativa) e ho = 150 111m (espessura
da peça). Observa-se que, quanto mais jovem for o concreto quando
da aplicação do carregamento,
maior será o coeficiente final ele
fluência.
\
Na figo 1.9.3, indica-se a variação do coeficiente de fluência
com a espessura do elemento estrutural. Nessa figura, são fixados os
= 28 dias. Observa-se que, quanto mais
esbelto for o elemento estrutural, maior será o valor do coeficiente
final de fluência. Admitindo lima peça de seção quadrada, os valores
)
')
0.5
0.0
O
200
4(X)
600
800
Idade cb cxncreto (das)
Fig. 1.9.2 - Efeito da idade de aplicação da carga
no coeficiente de fluência
110 = 50 mm
= 70%
2.5
de fluência. Nessa figura, foram fixados os
valores RH
)
~
da
)
)
·0
3.0
Na figo 1.9.2, mostra-se
)
)
15
.
fck = 20 MPa aos 28 dias de idade. Nessas figuras, admite-se que a
)
)
t
considerada na equação (1.9.10), é o tempo real sob a carga.
Nas figuras 1.9.2 a 1.9.4, são apresentadas as variações do
coeficiente de fluência com a idade para um concreto com
temperatura ambiente é igual a 20"C e o cimento é de endurecimento
normal. Assim, não é necessário fazer nenhuma correção na idade
)
~
t - to' a ser
)
)
!D-2.
::l
<;::
e to
e ho = 600 mm corresponderiam
a seções de lados
iguais a 10 em e 120 cru, respectivamente. O coeficiente de fluência
para ho = 50 mm é cerca de 60% superior ao correspondente a
CIl
·0
,fii 2.0
::l
<;::
~
Q)
1.5
~
·0
1.0
~
0.5
t0=28dias
0.0
O
200
4(X)
600
800
ldadecbccncreto (das)
Fig. 1.9.3 - Efeito da espessura no coeficiente de fluência
i
)
)
,
P'"
P'
)
)
, )
)
)
)
)
) .
)
)
)
)
(umidade relativa, temperatura, vento, etc.), Na prática, a retração
hidráulica inclui, também, a variação autógena de volume.
Uma cura prolongada retarda o início da retração, permitindo
que o concreto alcance uma resistência à tração satisfatória. Com
isso, pode-se evitar uma fissuração prematura. As armaduras também
são eficientes para a limitação das aberturas das fissuras decorrentes
da retração.
Quando o concreto é colocado dentro d'água, ocorre um
aumento de volume pela absorçao de1igua.
Entretanto, o vaiar-absoluto da expansão dentro d'água é bem menor do que a retração
ao ar (cerca de seis vezes menor para umidade relativa do ar igual a
70%, conforme a referência [I D,
De acordo com o CEB/90, a deformação
)
)
41
Materiais para concreto armado
Curso de Concreto Armado
40
de retração, êes (t) ,
(1.1004)
J3 RH = +0,25 , se RH ~ 99%
(l.10.5)
Conforme se observa na equação (1.1004), até uma umidade
QQ-aJ:P.b.iertte-j,)
ró x.illlU-de...29...%,ocorre retração (J3RH < O).
--l%lat.i.va
Após esse valor, o que ocorre é um aumento de volume do concreto,
como é indicadoia equação (1.10.5).
A função J305(t - t s ), que define o desen vol vimento da
retração com o tempo, é dada por
pode ser calculada por
)
(1.10.6)
(1.10.1)
)
)
onde t é a idade do concreto e tI' é a idade ao final da cura (t > t~).
O coeficiente
)
onde ho é a espessura equi valente do elemento estrutural,
êe,\o é dado por
)
(1.10.2)
)
na equação (1.9.9).
Quando o tempo t tende ao infinito, a deformação
10(',\'00
)
onde fem (em MPa) é a resistência média à compressão
)
aos 28 dias de idade e
do concreto
= êes (t
oo)
tende ao valor
com .f~k = 20MPa
)
)
)
)
)
)
,
l ..
"
)
um concreto
J3se = 5 (cimento de endurecimento
normal),
ê('soo
= -63xl 0-5
para
RH = 50% ;
10('.100
= -48xl 0-5
para
RH = 70% ;
10('05
= -20xI0-5
para
RH = 90%.
( 1.10.3)
)
)
Considerando
de retração
resulta
)
)
e
êno'
definida
O coeficiente
/3~('depende do tipo de cimento e vale J3'\'e = 4
para cimentos
de endurecimento
endurecimento
normal e
lento,
J3.\'(. = 5 para cimentos de
J3sc = 8 para cimentos de alta resistência
inicial.
O coeficiente
dado por
00
J3RH leva em conta LI umidade ambiente e é
A formulação adotada pela NBR-6118
anterior do CEB178(4.181.
é igual à formulação
·
)
'~
)
,"
)
)
44
Curso de Concreto Armado
Materiais para concreto armado
)
)
45
)
propriedade, como fazem as demais normas de projeto. Por isto, em
vista da falta de justificati va para o valor de 210 GPa (ver ref. [20]),
)
neste livro considera-se sempre EI' = 200 GPa.
)
Para o coeficiente de dilatação térmica dos aços, considera-se
o valor 10-5 Dei, que é o mesmo valor adotado para o concreto.
De forma análoga ao que foi apresentado para o concreto,
).
1yk,
)
define-se
)
obtida em um conjunto de corRos de rova submetidos a tração.
Assim, as barras de aço são classificadas nas categorias CA-25, CASO e CA-60, onde o prefixo CA indica aços para concreto armado e o
)
)
número é o valor de '~'k
)
)
Fig. 1.11.2 - Diagrama tensão-deformação- dos aços sem
patamar de escoamento
)
)
)
De acordo com as figuras 1.1 1.1 e 1.11.2, são definidos:
I, = tensão de escoamento;
)
1st = tensão de ruptura;
)
Es = módulo de elasticidade
)
Eu = deformação de ruptura;
)
)
)
)
)
)
longitudinal;
Para os aços que não apresentam um patamar de escoamento, a
tensão de escoamento
I, é o valor convencional
que corresponde a
uma deformação residual de 201 .
100
r71
Segundo a NBR-6118 ,
na falta de ensaios ou valores
fornecidos pelo fabricante, o modulo de elasticidade longitudinal dos
aços para concreto armado pode ser admitido igual a 210 GPa. O
CEB, o ACI, o Eurocode 2 e todas as demais normas internacionais
)
consideram
)
6] I 8 adota o valor de 200 GPa para o módulo de elasticidade dos
aços para concreto protendido (aços para armadura ati va).
Deve ser salientado que essa diferença de 5% no valor do
módulo
de elasticidade
dos aços não ocasiona
alterações
significativas
no dimensionamento
dos elementos de concreto
armado. Entretanto,
é conveniente
padronizar
o valor dessa
)
)
)
)
i,
'\
uma tensão de escoamento
E, = 200 GPa para efeito de cálculo. A mesma NBR-
característica
dos aços,
expresso em kN/cIl12.
Dessa forma, ao ser especificado o aço CA-SO, significa que se
trata de um aço para concreto armado cuja tensão de escoamento
característica é fvk
= 50 kN/cm2•
As barras são das categorias CA-25 e CA-SO e os fios são da
categoria CA-60.
As barras podem ser lisas ou nervuradas. As banas lisas
possuem baixa aderência ao concreto e são restritas à categoria CA25. As barras da categoria
CA-SO devem ser nervuradas,
obrigatoriamente. A configuração geométrica das nervuras é dada na
NBR-7480. Os fios da categoria CA-60 podem ser lisos, entalhados
ou nervurados, para melhorar sua aderência ao concreto.
Além do ensaio de tração, as barras de aço devem ser
submetidas ao ensaio de dobramento a ISO" sem que ocorra ruptura
nem fissuração na zona tracionada.
O diâmetro do pino de
dobramento para cada categoria é indicado na tabela 1.11.2.
A NBR-7480 exige que as barras da categoria CA-50 e os fios
CA-60 nervurados tenham marcas de laminação
em relevo,
identificando o fabricante, a categoria do material e o respectivo
diâmetro nominal. Por exemplo, na marca IF-50, JF é a identificação
do fabricante e 50 é a categoria do aço. A identificação dos fios lisos
e entalhados da categoria CA-60 também deve ser feita por marcas
em relevo. Porém, neste caso, a indentificação do fabricante pode ser
feita por meio de etiqueta. A identificação das barras lisas da
categoria CA-25 deve ser feita por etiqueta.
O comprimento de fornecimento das barras e dos fios deve ser
de 12 m, admitindo-se uma tolerância de ± I% . O fornecimento de
I
f
Il
.0lil;
)
)
••••""'Hi"",d·~351__ "'_"'·-~'"-"'~·
="""'...' ' ' <' -
-
)
)
i
48
Curso de Concreto Armado
Materiais para concreto armado
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
barra de aço escorrega livremente dentro da bainha. A deformação
específica da armadura é nula e (Js O. Nessa situação, o que se
tem é uma viga de concreto simples.
Em uma peça tletida de concreto armado, quando a tensão
máxima de t.ração atinge o valor da resistência à tração do concreto,
surge uma flssu~'a perpendicular à direção da tração. A fissuração é
~m processo. discreto, ou seja, as fissuras estão espaçadas em
Il1te~'valos mais ou menos regulares ao loncro do eixo ,º-ª-peça. Nas
seçoes fissuradas, apenas o aço resiste aos esforços de tração. Essas
s~ções estão no denominado Estádio lI. Porém, nas seções entre
fissuras, o concreto tracionado (não fissurado) continua a colaborar
na resistência. Essas seções estão no denominado Estádio I. A
~ontribuição
do concreto tracionado
entre fissuras pode ser
Importante nas verificações do comportamento da estrutura sob as
cargas de serviço. Entretanto, no dimensionamento, todo o esforço de
tração deve ser resistido pelas armaduras.
.
Na figo ] .12.2, indicam-se algumas disposições usuais das
armaduras das vigas de concreto armado.
seção
transversal
)
)
)
)
armadura longitudinal
de compressão
)
)
)
)
1.13 - A durabilidade das estruturas de concreto armado
=
)
)
49
armadura longitudinal
l
de tracão
>
J
o
estribos para
cisalhamento
)
A durabilidade das estruturas de concreto é um dos aspectos
de maior relevância, dentro da filosofia das modernas normas de
projeto. As exigências relativas à durabilidade estão se tornando cada
vez mais rígidas, tanto na fase de projeto, quanto na fase de execução
ela estrutura.
Essas novas exigências introduzielas nas normas decorrem, em
grande--parte.c-da falta de atenção com que muitos projetistas e
construtores têm tratado esse tema. Esse descuido com a durabilidade
tem contribuído para acelerar a deterioração de diversas estruturas
relativamente novas. Por Ol.Ltrolado, o conhecimento dos diversos
mecanismos de deterioração'e.as estruturas de concreto tem levado a
essa nova concepção de durabilidade introduzida nas atuais normas
de projeto, dentre as quais se inclui a norma brasileira NBR-6118.
As exigências relativas à durabilidade destinam-se a garantir a
conservação das características das estruturas ao longo de toda a sua
vida útil. Durante esse período, não devem ser necessárias medidas
extras de manutenção ou reparo das estruturas.
Geralmente, as normas de projeto consideram uma vida útil
mínima de 50 anos. Para obras de maior importância, pode ser
necessário estabelecer critérios correspondentes
a uma vida útil
maior.
Na consideração da durabilidade, devem ser levados em conta
os mecanismos mais importantes de deterioração da estrutura de
concreto.
Dentre os mecanismos de deterioração relativos ao concreto
incluem-se a lixiviação provocada pela água, a expansão devida à
ação de águas e solos contaminados e expansões decorrentes de
reações entre os álcalis do cimento e certos agregados reativos. A
corrosão é um mecanismo relativo às armaduras.
Além
disso,
há vanos
mecanismos
de deterioração
relacionados às ações mecânicas, movimentações de origem térmica,
impactos, ações cíclicas, etc. Por último, devem-se considerar as
ações físicas e químicas relacionadas à agressividade do ambiente.
)
)
)
)
L,
I
barra dobrada (ver restrições no Cap.6)
Fig. ] .12.2 - Arranjos usuais das armaduras das vigas
Segundo a NBR-6118, a agressividade
classificada de acordo com a tabela 1.13.1.
do ambiente pode ser
,
I'
I
j
j
I,
I'
i
j
)
)
l·""'é~'t.'Y
)
)
Materiais para concreto armado
Curso de Concreto Armado
52
53
)
)
)
)
)
).
)
)
\
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
')
)
o cobrimento
considerar
mínimo
(c mio)'
o cobrimento
O
projeto
e a execução
devem
nominal
(cI/0111)'
que é o cobrimento
mínimo acrescido da tolerância (.0.c). Assim, as dimensões das
barras das armaduras e os espaçadores de formas devem respeitar o
cobrimento nominal.
Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos
limites de tolerância da variabilidade
das medidas durante a
execução, pode ser adotado um valor L1C = O,5-cm. Em caso
contrário, nas obras correntes, esse valor deve ser de no mínimo
L1c=J em.
Na tabela 1.13.4, indicam-se os cobrimentos nominais em
função da classe de agressividade ambiental, para os casos usuais em
que L1C= 1cm.
Tabela 1.13.3 - Exigências de qualidade do concreto em função
.,.,
da azressividade
do ambiente
c
Concreto
Classe de agressividade
(ver tabela 1.13.2)
Tipo
I
11
IJI
IV
0,45
0,65
água-cimento
CA
0,60
0,55
relação
0,45
0,60
0,55
máxima (em massa)
CP
0,50
C20
C25
CA
C30
C2S
CP
C30
C35
CA: elementos estruturais de concreto armado
CP: elementos estruturais de concreto pretendido
classe
.
.
rmmma
de
resistência
C40
C40
Tabela 1.13.4 - Cobrimento nominal (em) das armaduras
para concreto arma d o
Classe de azressividade (ver tabela 1.13.2)
Elemento
II
III
I
IV
2,5
3,5
4,5
Laje
2,0
3,0
4,0
Viga e pilar
2,5
5,0
)
)
)
)
J.
I
Nos casos em que o controle de qualidade for rigoroso, os
valores da tabela 1.13.4 podem reduzidos de O,SCIll, mas a exigência
de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto.
Em todos os casos, o cobrimento nominal de uma determinada
barra deve ser, no mínimo, igual ao diâmetro da própria barra. No
caso de feixes de barras, o cobrimento nominal não deve ser menor
que o diâmetro do círculo de mesma área do feixe (diâmetro
equivalente).
A dimensão
máxima característica
do agregado graúdo
utilizado no concreto,
dmax' não pode superar 20% do cobrimento
nominal, ou seja, dm3x S 1,2c'101I1
•
Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com
argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos do tipo
carpete, madeira, pisos cerâmicos, dentre outros, os cobrimentos
nominais da tabela 1.13.4 podem ser substituídos pelo valor de
l.Scrn. De qualquer forma, esse cobrimento nominal não pode ser
menor que o diâmetro da barra ou que o diâmetro equivalente, no
caso de feixes de barras.
A abertura máxima característica das fissuras, desde que não
ultrapasse valores da ord.
de 0,2 a 0,4 mm, não tem importância
significativa na evolução da corrosão das armaduras para concreto
armado. No caso de peças de edifícios usuais, podem ser adotados os
seguintes limites para a abertura das fissuras, em função da classe de
agressividade ambiental:
Classe de agressividade r: abertura máxima de 0,4 mm;
Classes de agressividade II e IIl: abertura máxima de 0,3 mm.
Classe de agressividade IV: abertura máxima de 0,2 mrn .
Em casos específicos, esses limites devem ser reduzidos. Isto
ocorre, por exemplo, nos reservatórios. Nesses casos, os limites para
a abertura das fissuras devem ser especificados de modo a garantir a
estanqueidade e não afetar a funcionalidade da estrutura.
Um bom detalhamento das armaduras também é necessário
para garantir a durabilidade. As barras devem ser dispostas dentro do
elemento estrutural de modo a permitir e facilitar o lançamento e o
adensamento do concreto. O congestionamento das barras dificulta o
lançamento, propicia a segregação dos componentes do concreto e
impede um bom adensamento, ao dificultar a passagem da agulha do
vibrador. Tudo isto compromete a compacidade final do concreto
endurecido, o que facilita a sua deterioração.
Com o objetivo de garantir a durabilidade das estruturas de
concreto, devem ser tomadas diversas medidas adicionais, como:
!
1
I
.••
'.IiI!
)
)
f )
r
C& h
)
56
Materiais para concreto armado
Curso de Concreto Armado
57
)
)
a' =c+t/J
(1.13.2)
)
)
onde t/J é o diâmetro médio das armaduras.
)
Na tabela 1.13.6, apresentam-se
através da equação 1.13.2.
).
)
)
)
Ta be Ia I 136 - P arametro d' para ales rnacicas cm
Classe de agressi vidade
ÇJ=5mm
t/J= IOmm
A
I
)
II
III
)
IV
\
/
)
)
)
)
)
, )
>
)
)
)
)
)
J
)
)
)
)
)
os valores de d' calculados
de produção e controle da qualidade do concreto. Ao contrário, tal
procedimento pode resultar em um verdadeiro desastre.
Em todo caso, deve-se estar atento para o fato de que os
parâmetros adotados nos exemplos numéricos não servem como
regra geral. Eles devem ser definidos para cada situação particular,
considerando todos os fatores envolvidos.
2,5
3,0
4,0
5,0
3,0
3,5
4,5
5,5
Na maioria dos exemplos numencos apresentados ao longo
desta obra, admite-se a classe I de agressividade ambienta!. Neste
caso, pode-se considerar d' 4 em para as vigas e os pi lares,
ficando-se a favor da segurança para seções armadas com barras de
diâmetro menor que 20 mm (sempre que a armadura puder ser
disposta em uma única camada). Para as lajes maciças dos edifícios,
pode-se adotar d'
2,5cm, pois, em geral, empregam-se barras de
=
=
pequeno diâmetro.
Do mesmo modo, em muitos exemplos numéricos admite-se
um concreto com
= 20 MPa, que é a resistência mínima exigida
t.,
para a classe r. Em alguns exemplos, são feitas variações no valor de
L, para mostrar a influência dessa propriedade do concreto nos
resultados do dimensionarnento.
É importante salientar que um concreto de maior resistência
garante uma maior durabilidade da estrutura. Além disso, o emprego
de um concreto de maior resistência pode resultar em economia da
estrutura como um todo, mesmo que haja um aumento de custo do
concreto. Isto ocorre com os pilares, especialmente nos edifícios
altos. Por outro lado, o projetista deve levar em conta as condições
de desenvolvimento
tecnológico da região onde a estrutura será
executada. De nada adianta elaborar um projeto com base em um
concreto de alta resistência, para uma obra de pequeno porte, que
será executada em uma localidade onde não há adequadas condições
•
)
)
T
)
)
60
Curso de Concreto Armado
Fundamentos
de segurança das estruturas de concreto armado
61
)
)
)
)
não são observados os critérios de projeto definidos na seção 1.13 do
capítulo I.
Assim, em função dos requisitos estabelecidos nos itens (I) e
(2), são definidos os seguintes estados limites:
)
)
I
)
• Estados limites últimos (oiL de ruína): são aqueles relacionados ao
colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural que determine
a paralisação, no todo ou em parte, do uso da estrutura.
ou por uma deformação plástica excessiva das armaduras (esta última
sendo uma ruptura convencional).
De acordo com os procedimentos da NBR-6118 e do CEB,
admite-se que, em uma peça fletida, o esmagamento do concreto
ocorre quando:
a) em seções
parcialmente
comprimidas,
comprimida atinge o valor 3,5
a deformação
da borda
%0 ;
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
No projeto das estruturas de concreto armado, deve-se
verificar a segurança em relação aos seguintes estados limites
últimos:
a) ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais;
b) instabilidade do equilíbrio, considerando os efeitos de segunda
ordem;
c) perda de equilíbrio da estrutura, admitida como um corpo rígido;
d) estado limite último provocado por solicitações dinâmicas;
e) transformação da estrutura, no todo ou em parte, em um sistema
hipostático.
• Estados limites de utilização (ou de serviço): correspondem aos
estados em que a utilização da estrutura torna-se prejudicada, por
apresentar
deformações
excessivas
(incluindo
vibrações
indesejáveis), ou por um nível de fissuração que compromete a sua
durabilidade.
)
)
)
)
)
)
)
)
, )
)
IL. )
I
Assim, no projeto das estruturas usuais de concreto armado,
são considerados o estado limite de deformações excessivas e o
estado limite de abertura das fissuras.
Observa-se que o requisito da segurança está relacionado com
os estados limites últimos, enquanto a durabilidade, a aparência e o
conforto estão ligados aos estados limites de utilização.
Os próximos
capítulos deste livro são dedicados
aos
procedimentos de projeto necessários para garantir um adequado
nível de segurança (portanto, no estado limite último). Os estados
limites de utilização são abordados no Volume 2.
Conforme foi dito, um estado limite último pode ser atingido
por ruptura de uma ou mais partes da estrutura ou por instabilidade
do equilíbrio. A ruptura pode ocorrer por esmagamento do concreto
b) em seções totalmente comprimidas,
a deformação
da fibra situada
a 3h/7 da borda mais comprimida atinge o valor 2
%0' onde h é a
altura da seção transversal da peça.
Esses valores
limites ~ara a deformação
concreto correspondem
Eu que aparecem
aos 'alares
de compressão
médios das deformações
no diagrama tensão-deformação
do
Eo e
da figo 1.4.1 (ver
seção 1.4 do capítulo I).
A deformação máxima de tração das armaduras
é igual a
10%0' Observa-se que esse valor é bem inferior à deformação de
ruptura dos aços (ver tabela 1.11.2 do capítulo I). Entretanto, esse
limite é introduzido para evitar deformações plásticas excessivas.
Na figo 2.1.1, são indicados os três casos possíveis de ruptura
de uma seção de concreto armado.
, '",
.,.
)
fo~
)
s
o
F
)
I
)
64
Curso de Concreto Armado
Fundamentos
de segurança
das estruturas
de concreto armado
65
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
As acões permanentes diretas correspondem ao peso próprio
da estrutura, peso dos demais elementos permanentes da construção
(alvenarias, revestimentos,
etc.), peso de equipamentos
fixos,
empuxos de terra e de outros materiais granulosos não removíveis,
dentre outros.
As ações permanentes indiretas podem ser os recalques de
apoio, a retração e a fluência do concreto, a protensão (no caso do
concreto protendido) e imperfeições geométricas de pilares.
A variabilidade das ações permanentes em torno de sua média
é medida num conjunto de construções semelhantes.
b) Ações variáveis
As ações variáveis são aquelas que ocorrem com valores que
sofrem significativas
variações durante a vida da construção.
Consideram-se como ações variáveis as cargas acidentais que atuam
nas construções em função de sua finalidade, como o peso das
pessoas, móveis, veículos, etc. Outras ações variáveis são as forças
de frenação, de impacto e centrífugas, os efeitos do vento e das
variações
de temperatura,
e as pressões
hidrostáticas
e
hidrodinâmicas, de um modo geral.
Em função de sua probabilidade de ocorrência durante a vida
da construção, as ações variáveis podem ser classificadas em normais
ou especiais. As ações variáveis normais são aquelas com
probabilidade de ocorrência suficientemente elevada para que as
mesmas sejam consideradas
obrigatoriamente
no projeto das
estruturas de um dado tipo de construção (cargas acidentais em
edifícios, por exemplo). Como ações variáveis especiais, tem-se as
ações sísmicas ou algumas cargas acidentais de natureza ou de
intensidade especiais que devem ser definidas para as situações
específicas.
As acões são quantificadas
FI.: ' que são definidos em função de suas variabilidades.
Para as ações variáveis,
os valores característicos
são
indicados em normas específicas e correspondem a valores que têm
de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido
desfa vorável, durante um período de 50 anos. No caso das cargas
acidentais dos edifícios, os valores característicos são fornecidos na
NBR-6120 (Apêndice I do Volume 2).
As ações variáveis que produzem efeitos favoráveis não são
consideradas como atuantes na estrutura.
Os
valores
característicos
das
ações
permanentes
correspondem à variabilidade existente em um conjunto de estruturas
análogas. Para essas ações, o valor característico é o valor médio,
correspondente ao quantil de 50%, seja quando os efeitos forem
favoráveis, seja quando os efei5Js forem desfavoraveis'i".
No caso dos edifícios, as ações permanentes características
podem ser obtidas a partir dos pesos específicos dos materiais de
construção fornecidos na NBR-6 120 (Apêndice I do Volume 2).
No caso das ações excepcionais, os valores característicos são
valores convencionais que devem ser estabelecidos por consenso
entre o proprietário da obra e as autoridades competentes.
Nas verificações relativas aos estados limites últimos, quando
existirem ações variáveis de diferentes origens, adotam-se valores
reduzidos de combinação
dados por lfIoFk . Os coeficientes
c) Ações excepcionais
)
As ações denominadas excepcionais são aquelas que têm lima
duração muito curta e lima probabilidade de ocorrência muito
pequena durante a vida da construção, mas que devem ser
consideradas
no projeto de determinados
tipos de estruturas
(explosões, choques de veículos, incêndios, enchentes, sismos
excepcionais).
, )
, )
)
)
'\
lfI o < 1,
definidos para cada ação variável em varticular, levam em conta que
é pequena a probabilidade de ocorrência simultânea dos valores
característicos de ações variáveis de origens diferentes.
2.3 - Ações de cálculo e combinações
)
)
por seus valores característicos,
As ações de cálculo
valores característicos
Fd são obtidas multiplicando-se
pelos coeficientes
No estado limite último, pode-se
onde rII
de ações
parciais de segurança
ainda considerar
leva em conta a variabilidade
os seus
rf'
r f = r fI rf2 '
das ações e rf2 considera
os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, por exemplo,
por deficiência do método de cálculo empregado.
)
)
r
)
)
68
Curso de Concreto Arnuulo
Fundamentos
)
)
)
atuação da ação principal
sendo
1f/2i
Fqk.l for muito pequeno,
If/oi,ef
= 1f/2i,
dado na tabela 2.3.1.
)
)
)
)
)
)
)
)
Tbl
a e a 231
de com maçao no es t a d o r11111 e u'IfImo
Ações Variáveis
1j12
1jI"
- Fta ores
Variações uniformes de temperatura
Pressão dinâmica do vento
Cargas acidentais dos edifícios quando não há
predominância
de pesos de equipamentos
que
permanecem fixos por longos períodos de tempo,
nem de elevadas
concentrações
de pessoas
(edifícios residenciai s)
Cargas
acidentais
dos edifícios,
nos caSos
contrários (edifícios comerciais e de escritórios)
Cargas acidentais em bibliotecas, arquivos, oficinas
e garaoens
0,6
0,6
0,5
0,3
O
0,3
0,7
0,4
0,8
0,6
)
)
}
)
)
)
)
)
)
~ )
\
desfavoráveis
efeitos
Fd
m
n
= Irg.jFgLj
+ Fq.e.\'c + Irq.ilf/oi.erFqk.i
j=1
os valores de r g recomendados
rg = 1,4 pode ser reduzido para r s = ],3.
Tabela 2.3.2 - Coeficientes parciais para as acoes permanentes
Carregamentos
Para efeitos
Para efeitos
desfavoráveis
favoráveis
Normais
r = 1,0
~o
=1,4
Especiais ou de
construção
Excepcionais
indiretas
2.3.3.
g
rg
(recalques
= 1,3
r, = 1,2
rE
r g = 1,0
rg
=1,0
a serem apl icados às ações permanentes
de apoio e retração)
são indicados
na tabela
Tabela 2.3.3 - Coeficientes parciais para os efeitos de recalques
d e apoIo e d e re t racao
Carregamentos
Para efeitos
Para efeitos
desfavoráveis
favoráveis
Normais
YE =0
1,2
Especiais ou de
construção.
Excepcionais
ré =
ré = 1,2
ré =0
Ye =0
Ye =0
(2.3.3)
i=2
Os
onde Fq.exr é o valor representativo
para a
rg = 1.
pela NBR-6118 para as ações permanentes de um modo geral. Para
as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso
próprio da estrutura, especialmente as pré-moldadas, o coeficiente
Os coeficientes
O carregamento excepcional é transitório, com uma duração
extremamente curta, podendo provocar efeitos catastróficos. Ele
deve ser considerado no projeto quando a ocorrência das ações
excepcionais não possa ser desprezada e quando, na concepção do
projeto, não possam ser tomadas medidas para minimizar os efeitos
dessas ações. Este é o caso, por exemplo, de ações sísmicas em
barragens. Mesmo em regiões de baixa atividade sísmica, essa ação
deve ser considerada, pois a ruína de uma grande barragem pode
causar danos extraordinários.
Nesse caso, a ação de cálculo é dada por
)
)
elas provocam
Na tabela 2.3.2, encontram-se
c) Carregamento excepcional
)
)
rg, majoram as ações
o
)
)
quando
69
parciais de segurança,
estrutura. Em caso contrário, eles são tornados com O valor
, )
)
Os coeficientes
permanentes
)
de segurança das estruturas de concreto armado
da ação transitória excepcional
e os demais termos são os mesmos já definidos anteriormente.
coeficientes
parciais
'lq
rnajoram
os
valores
representativos
das ações
variáveis
que provocam
efeitos
desfavoráveis para a segurança da estrutura. Quando a ação variável
,
'01:<
)
)
"-r-'
,.....
,
)
)
72
Curso de Concreto Armado
Fundamentos
de segurança
das estruturas de concreto armado
73
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Entretanto, se os esforços solicitantes forem obtidos através de
subestrutura, composta por elementos de maior rigidez, tem por
finalidade resistir às ações do vento, bem como servir de
contraventamento para o edifício. Esta é a denominada subestrutura
de contraventamento
(ver Volume 3). A outra subestrutura,
denominada
subestrutura
contraventada,
resiste
apenas
ao
carregamento vertical, devido às cargas permanentes e às cargas
acidentais.
Logo, os esforços na subestrutura de contraventamento devem
ser calculados para as combinações de ações dadas nas expressões
(2.3.4) e (2.3.5). Em muitos casos, os efeitos da retração e da
temperatura podem ser desprezados.
Em geral, para a subestrutura contra ventada, podem-se
considerar apenas as cargas permanentes e a carga acidental. Nestes
casos, a ação normal de cálculo é dada por
urna
análise
os
rI
coeficientes
podem
ser
aplicados
diretamente aos esforços solicitantes característicos. De fato, se a
análise é linear, um esforço solicitante genérico S é diretamente
proporcional ao carregamento dado. Assim, se o carregamento de
cálculo for Pd =
r.r Pk, onde Pk representa as cargas de serviço, o
esforço de cálcu 10 Sd será
Sd = cp d = c rf P"
(2.3.8)
onde c é o fator de proporcional idade entre as cargas e o esforço
sol icitante.
Fazendo
')
linear,
(2.3.6)
a análise com ,s
esforço característico
cargas de serviço
(ou de serviço),
P« . resulta o
Sk ' dado por
)
)
onde
)
estrutura, alvenarias, revestimentos,
';
acidentais (definidas na NBR-6120 em função do tipo de edificação).
)
)
)
)
Fgk
representa
Os coeficientes
as ações
parciais
permanentes
(peso
próprio
da
de
segurança
r g = 1,4
são
Comparando
e obter diretamente
)
)
)
)
)
\
onde Fk é a carga total característica
Deve ser salientado
parciais
rf
devem
ser
(ou de serviço) e
rf = 1,4.
para
ponderar
as
e (2.3.9), verifica-se
que
rI nas cargas de serviço
os esforços de cálculo, quanto obter os esforços
rI'
Quando a análise for não linear, seja pela não linearidade
física, decorrente do comportamento mecânico dos materiais, seja
pela não Iinearidade geométrica,
decorrente das alterações
da
I
I
que, de um modo geral, os coeficientes
introduzidos
(2.3.8)
de serviço e depois introduzir os coeficientes
Assim, quando os cálculos forem feitos para o carregamento
total (sem a separação das cargas em permanentes e acidentais, como
é usual), a carga de cálculo Flf é dada por
(2.3.7)
as equações
Sd = Y.rSk . Neste caso, tanto faz aplicar
e
r'1 = 1,4, como se observa nas tabelas 2.3.2 e 2.3.4.
)
)
(2.3.9)
etc.) e Fqk,l representa as cargas
)
)
S" = cPk
ações
características, como foi feito anteriormente. Após a obtenção das
ações de cálculo é que são determinados os esforços solicitantes de
cálculo, os quais são empregados no dimensionamento da estrutura.
l
geometria da estrutura, resulta Sd :;t. rIS'"
Nesses casos,
rf
deve
ser aplicado diretamente sobre as cargas de serviço.
Para as vigas e as lajes, é suficiente adotar uma análise linear
para o cálculo cios esforços solicitantes, Nesses casos, trabalha-se
com as cargas de serviço, obtendo-se os esforços solicitantes de
serviço. Os esforços solicitantes de cálculo são determinados quando
do dimensionamento das armaduras. No caso dos pilares, para os
quais é necessário considerar as não Iinearidades, deve-se trabalhar
diretamente com as cargas de cálculo.
..
~
)
)
r
)
,
)
76
Curso de Concreto Armado
Fundamentos
de segurança
77
das estruturas de concreto armado
)
)
)
)
onde Wk é a flecha na seção central do pilar, correspondente
à força
Comparando
(2.3.12) e (2.3.13), verifica-se
é a tensão
Os valores
que
M d > r f M k » pois
)
correta é a alternativa I. A alternativa 2 fica contrária à segurança
não deve ser empregada.
b
, )
f"k
de escoamento
característica
Wd > W". Neste caso, a única alternativa
de
e
r c deve ser multipl icado por I, I.
de armadura), o coeficiente
)
As resistências de cálculo dos materiais (.'lÇO concreto) J' são
obtidas, dividindo-se
as resistências
características
por um
coeficiente parcial de segurança. Assim, para o concreto adota-se a
)
resistência de cálculo à compressão
,,~,
onde fck
)
coeficiente de mineração
)
)
I
. cd ---
)
)
I
p
•••..
'-'
Tabela 2.4.1 - Coeficientes
U
•••...•••••••
Carregamentos
Normais
Especiais ou de
construcão
Excepcionais
fed ' dada por'
(2.4.1 )
r.
)
é a resistência
O coeficiente
característica
à compressão
e
r, é o
da resistência.
r('
cobre
os desvios
r
Concreto ( r)
1,4
,1,2
1,2
rr e rs
Aço (rs)
1,15
1,15
1,0
dimensões
dos
elementos estruturais, bem como as diferenças entre as resistências
obtidas em laboratório e as resistências do concreto na estrutura real.
Conforme foi visto no capítulo I, a resistência do concreto
sofre uma redução em virtude da duração do carregamento (efeito
Rüsch). Assim, no dimensionamento dos elementos estruturais devese trabalhar
com uma
resistência
de cálculo
CYcd
transversal, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a
partir desta para a borda comprimida (caso de seções retangulares,
por exemplo). Nos casos contrários, deve-se adotar a = 0,80.
de cálculo dos aços, fw/'
[
- fl'k
. vd --)
)
1
.
rI
rf'
rI" e rs e, por isso, esse método de projeto é
denominado método dos coeficientes parciais de segurança. Nas
estruturas usuais, a segurança é verificada isoladamente em relação a
cada um dos esforços solicitantes (momento fletor, esforço normal,
e momento
torçor). Assim, se Sd representa
os
(2.5.1 )
onde Rd representa os esforços resistentes no estado limite último,
é dada por
(2.4.2)
ponderação
esforços solicitantes de cálculo, a segurança é garantida desde que
)
)
Dentro do que foi apresentado anteriormente, a segurança
estrutural é obtida através da introdução dos coeficientes
de
esforço cortante
a = 0,85 quando a largura da seção
)
A tensão de escoamento
I
= «i,«. onde
a < I . Segundo a NBR-6118,
)
2.5 . Avaliação da segurança estrutural
I
das
)
)
I
parciais
)
)
I
L
t. - fr!.:
)
I
\
são
apresentados na tabela 2.4.1.
Para a execução de peças nas quais estejam previstas
condições desfavoráveis
(como más condições
de transporte,
adensamento manual ou concretagern prejudicada por concentração
2.4 . Resistências de cálculo
)
I
rs é o
rr e rs' indicados na NBR-6118,
)
)
e
coeficiente de mineração.
as equações
)
)
onde
de serviço Pk .
l
obtidos com as resistências de cálculo.
Esse método leva em conta as características probabilísticas do
problema. De fato, os valores representativos
das variáveis
envolvidas no projeto são definidos a partir de suas distribuições de
)
)
' ' -5
C
)
)
80
r
Curso de Concreto Armado
)
)
(2.5.6)
)
)
onde
)
)
)
)
)
)
)
probabilidade
Por
de falha, independentemente
I
onde
P
isso, o índice
f M (s).
da distribuição
é uma medida importante
do nível de
segurança já que, ao menos qualitativamente, ele dá uma ideia sobre
a confiabilidade da estrutura.
Para mostrar como obter o índice de confiabilidade, considerase o caso elementar do dimensionamento de uma seção de concreto
simples submetida a um esforço normal de compressão. Se Pk é a
força normal de compressão
característica, a área
transversal, Ac, obtida no dimensionamento é dada por
da
I
I
~I
r
0,85ird
)
)
r
onde Pd = fPk e
)
)
)
onde
I
Admitindo-se
(2.5.8)
à compressão do concreto e P é a força
ir e P
que
distribuição normal de probabilidades,
são
independentes
a média
11M
)
)
)
de
variação
da
figo
2.5.1,
é a resistência
é obtido da relação
tem-se
(2.5.9) e (2.5.10) e calcular o
apresentam-se
os coeficientes
parciais
os
resultados
de segurança
obtidos
rf = 1,4 e
lima força
normal
característica
variação da força normal é Vp
Pk = 300 kN. O coeficiente
de
= 0,1 e o valor médio correspondente
= 257,62 kN.
do concreto,
l1fi" Isso indica que o método dos coeficientes parciais
de segurança
introduz
diferentes
l1IVelS de confiabilidade,
dependendo da variabilidade das variáveis de projeto.
Entretanto, o Índice de confiabilidade é relativamente alto.
e têm
Para um concreto com Vfr = 0,2, esse Índice é jJ = 3,5. Sabendo
que, neste caso, a margem de segurança também é normalmente
distribuída, a probabilidade de falha pode ser obtida integrando a
é dada por
Pf
= 10-4.
Na figo 2.5.2, apresenta-se a variação da probabilidade de falha
com o índice de confiabilidade
(considerando uma distribuição
normal para a margem de segurança).
média à compressão e Pm é o valor médio
(JM
normal,
!
da força normal solicitante.
O desvio padrão
força
jJ = fi,,Jjf (J fi.! .
equação (2.5.6). Feito isto, resulta
iCIll
da equação
Conforme se observa na figo 2.5.1, o Índice de confiabilidade
diminui com o crescimento do coeficiente de variação da resistência
)
onde
com o emprego
l1fc
I
)
:>
Se
considerando
é P,n
- P
de concreto
= (J!c [t.; é o coeficiente de variação da
resistência, tem-se L; = j~'k /(1-1,64511f(')' Se 11p = (J p/ Pm é o
(2.5.7).
rr = 1,4. Nessa figura, admite-se um concreto com irk = 20MPa e
(2.5.7)
normal solicitante.
)
)
ic é a resistência
área da seção transversal
Na
)
ick e Pk, obtém-se a
Então, dados os valores característicos
Índice de confiabilidade
A margem de segurança é obtida da expressão
)
da força normal solicitante.
obter todos os termos das equações
seção
ird = irdrc .
M = 0,85Arfr
é o desvio padrão da resistência e (Jp é o desvio padrão
P,n = Pk /(1 + 1,64511p ). Dessa forma, dados Vfr e V p podem-se
I
A =
(J[c
coeficiente
)
)
81
de segurança das estruturas de concreto armado
(2.5.10)
jJ = 11M / (JM é o índice de confiabilidade.
Observa-se que, quanto maior for o valor de jJ, menor será a
)
Fundamentos
1
,,•1. '
,
L1
li
)
)
r
")
)
I
Curso de Concreto Armado
84
)
)
)
)
, )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
questão, o CEB178Hl sugere a adoção
constantes na tabela 2.5.1.
dos valores
Capítulo 3
de referência
FLEXÃO NORMAL SIMPLES
T a b eaI 25 I - P roab bilid
I' .
I I a d es d e f a 11
ia impncrtarnente
aceitas
Consequências
Consequências
Número de
Consequências
econôm icas
econômicas
pessoas
econômicas
pequenas
graves
atingidas
muito graves
10--1
lU}
10.5
pequeno
JO--I
10,5
10.6
médio
10,6
10,7
JO'5
grande
Dimensionamento
de Seções Retangulares
3.1 - Hipóteses básicas do dimensionamento
As hipóteses básicas admitidas no dimensionamento
de uma
seção transversal de concreto armado, submetida à f1exão simples ou
composta, são as seguintes:
Nos casos correntes, pode-se aceitar uma probabilidade de
falha da ordem de 10,5, o que requer um índice de confiabilidade
aproximadamente igual a 4. Os atuais procedimentos-de projeto, com
os coeficientes parciais
_ ... _--------_.
rI = 1,4, Yc = 1,4 e rI' = I,J 5, garantem a
a) Hipótese das seções planas
obtenção desse índice na maioria das situações de interesse.
Entretanto, quando necessário, os coeficientes parciais podem ser
ajustados para assegurar o nível de confiabilidade requerido.
,
Admite-se que uma seção transversal ao eixo do elemento
estrutural indeformado, que inicialmente era plana e normal a esse
eixo, permanece nessa condição após as deformações do elemento.
Essa é a hipótese fundamental da teoria de f1exão de banas esbeltas.
Em consequência da hipótese das seções planas, resulta uma
distribuição linear das deformações normais ao longo da altura das
seções transversais. Assim, a deformação em uma fibra genérica da
seção é diretamente proporcional à sua distância até a linha neutra.
)
)
)
)
)
b) Aderência perfeita
)
Admite-se a existência de lima aderência perfeita entre o
concreto e o aço, ou seja, nenhum escorregamento da armadura é
considerado. Com isso, as armaduras vão estar sujeitas às mesmas
deformações do concreto que as envolve. Logo, a deformação em um
ponto da seção transversal será calculada de acordo com a hipótese
independentemente
de este ponto corresponder
ao aço ou ao
concreto.
)
)
)
ª,
)
)
)
)
)
)
j
1
c) Concreto em tração
- ------
-_._------..,..
)
)
~)
)
88
Curso de Concreto Armada
Flexão normal simples - dinrensioncuneuto de seções retangulares
)
89
)
0.2.4)
)
)
(3.2.5)
)
(
)
onde Cs é a deformação
)
correspondente.
(com o sinal positivo) e (Js é a tensão
A deformação de escoamento
)
)
)
cl'd
.
)
sendo
)
de cálculo do aço.
)
Neste
f
E
Es o rnódulo de elasticidade e Iwl a tensão de escoamento
livro,
)
)
)
)
)
)
)
)
)
\
+ .-
traçao
compressao
•
Fig. 3.3.1 - Domínios de dimensionamento
adota-se
E\ = 20.000kN/cm2,
como
já
foi
Além
solicitações:
3.3 - Domínios de dimensionamento
)
(3.2.6)
s
)
)
f
Ivd
discutido no capítulo I.
)
é dada por
=-'-
)
)
cyd,
Eyd
)
)
de cálculo,
h
o estado limite último, correspondente à ruína de uma seção
transversal, pode ocorrer por ruptura do concreto ou por uma
deformação excessi va da armadura. Admite-se a ocorrência da ruína,
quando a distribuição das deformações ao longo da altura de urna
seção transversal se enquadrar em um dos domínios da figo 3.3.1.
Os domínios caracterizam os seguintes tipos de ruína:
disso,
nesses
domínios
distinguem-se
- reta a: tração uniforme;
- domínio I: tração não uniforme (flexo-tração) sem tensões de
compressão;
- domínio 2: f1exão simples ou composta sem ruptura à compressão
(cc < 3,5 %J e com o máximo alongamento permitido
para as armaduras (ê,ç = 1O%J;
do concreto
- domínio 3: f1exão simples ou composta com ruptura à compressão
k\ 2
a) deformação excessi va da armadura: quando a deformação na
armadura mais tracionada atingir o valor 100/00
/
(domínios I e?)'
- ,
do concreto e com escoamento do aço
b) esmagamento do concreto em seções parcialmente comprimidas:
quando a deformação na fibra mais comprimida atingir o valor
3,5
(domínios 3,4 e 4a);
do concreto e o aço tracionado sem escoamento
%0
c) esmagamento do concreto em seções totalmente comprimidas:
quando a deformação na fibra situada a 317/7 da borda mais
comprimida
(domínio 5).
atingir
o valor
20/00'
/
sendo
h a altura da seção
_
as seguintes
cyd );
- domínio 4: f1exão simples ou composta com ruptura à compressão
(CS < E"d );
- domínio 4a: f1exão composta com armaduras comprimidas;
- domínio 5: compressão não uniforme (flexo-compressão),
tensões de tração;
- reta b: compressão uniforme.
sem
Logo, na flexão simples a ruptura pode ocorrer nos domínios
2, 3 e 4. Na flexo-tração, podem ocorrer os domínios I, 2, 3 e 4 e, na
)-
)
-~~~~~~--------~~----~----~~------------------------~--------
)
)
r
92
Flexão normal simples - dimcnsiotunnento
Curso de Concreto Armado
de seções retangulares
93
)
)
3.5 - Determinação do momento limite para seções
3.4 - Diagrama retangular para o concreto
retangulares com armadura simples
)
)
)
Para simplificar o trabalho de cálculo, a NBR-6118 permite
substituir o diagrama parábola-retângulo por um diagrama retangular
de tensões no concreto, como é indicado na figo 3.4.1.
Na figo 3.5.1, indica-se
armado submetida
)
)
O,8x
....:~
)
L
Md:
)
••••••
h
)
1
_______ 1"3..
I
1
)
Fig. 3.4.1 - Disrribuição
I
das tensões
Conforme
se observa
na figo 3.4.1, pode-se admitir
que a
)
tensão no concreto é igual a aed desde a borda comprimida da seção
)
até uma distância 0,8x, onde x é a profundidade da linha neutra.
)
acd
= 0,85 t,«. quando a largura da seção, medida paralelamente
à
linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida
(caso de seções retangulares em flexão normal, por exemplo);
)
= 0,80 i,«. nos casos
contrários
(seções
circulares,
acd
)
outras).
')
A utilização do diagrama retangular simplifica sensivelmente
as equações do dimensionarnento.
Além disso, os resultados são
muito próximos dos obtidos com o diagrama parábola-retângulo. Por
isto, neste livro será adotado o diagrama retangular de tensões para o
concreto.
)
)
Para caracterizar a seção transversal, é introduzida a seguinte
notação:
b = largura da seção; II = altura da seção;
d = altura útil (é a distância do centroide da armadura até a borda
comprimida);
Av = área da seção da armadura tracionada,
dentre
)
)
d
Fig. 3.5.1 - Seção retangular sob flexão normal simples
A tensão ard tem DS seguintes valores:
)
)
As
A
110 concreto
linha neutra
_
1
)
)
eixo de simetria
1
h
)
)
de concreto
M d . O plano de
ação do momento fletor contém um eixo de simetria da seção
transversal e a flexão é dita normal. Assim, a linha neutra é
perpendicular a esse eixo de simetria.
)
)
uma seção retangular
ao momento fletor de cálculo
Conforme já foi salientado, no domínio 4 ocorre uma ruptura
frágil que deve ser evitada. A ruptura nos domínios 2 e 3 é do tipo
dúctil, ou com aviso prévio, o que é sempre desejável.
Entretanto, para garantir uma maior ductilidade das vigas, é
conveniente limitar a profundidade da linha neutra, de modo a se
obter uma ruptura distante do domínio 4. Isto é feito impondo-se a
condição
x::; xlilll ' onde a profundidade
é indicada na figo 3.5.2.
limite da linha neutra,
xlim'
"
'011I:"
)
)
")-...=.-....c.=-=----~~~--~---~-~-~-,r---')
Flexão normal simples - dimensionamento de seções retangulares
Curso de Concreto Armado
96
)
)
É importante ressaltar que as vigas projetadas com
)
)
)
Çjim
= Çb
)
)
)
possuem alguma ductilidade, já que os estribos, sempre existentes,
conferem certo grau de confinamento ao concreto, aumentando a
ductilidade da estrutura. Além disso, sempre existem armaduras de
compressão, mesmo que elas sejam armaduras construtivas, o que faz
com que a linha neutra suba, afastando-se um pouco do domínio 4.
Entretanto, com o uso atual de concretos cada vez mais
resistentes, torna-se necessário um maior cuidado com o tipo de
ruptura das vigas, devendo-se impor restrições mais severas para a
profundidade da linha neutra, como aquelas dadas nas equações
(3.5.1) e (3.5.2). A condição balanceada, que funcionava bem como
um limite entre ruptura dúctil e ruptura frágil para concretos de baixa
resistência, deve ser evitada para os concretos de elevada resistência
utilizados atualmente.
Conforme se demonstra no capítulo 7 do Volume 2, a abertura
das fissuras de uma viga de concreto armado é diretamente
proporcional à deformação da armadura tracionada. Assim, quanto
)
maior for a deformação
)
)
)
)
)
)
E~ da
armadura tracionada,
maior será o
10.00
9.00
-'2
o
8.00
w'"
7.00
o
o
O>
m
o
c
o
1m
O>
m
I
Na figo 3.5.3, apresenta-se
)
profundidade relativa da linha neutra
)
)
)
3.00
2.00
O
1.
Profundidade
Fig.3.5.3
)
adimensional
)
raio de curvatura. A curvatura pode ser obtida diretamente da figo
3.5.2, em função da profundidade da linha neutra ç. O momento
)
reduzido J1 também
ç, como será
)
)
visto mais à frente. Com esses valores, pode-se plotar o gráfico da
figo 3.5.4.
)
\
0.50
ç = xl d , para os aços CA-50.
Conforme se observa, para os valores ç = 0,45 e ç = 0,35, a
)
)
)
)
<P = X d , onde a curvatura
X é igual ao inverso do
pode ser obtido em função de
da linha neutra E,=x/d
- Variação da deformação no aço tracionado com a
profundidade da linha neutra
o gráfico da variação de ês com a
deformação na armadura de tração é aproximadamente
igual ao
dobro e ao triplo da deformação de escoamento de cálculo do aço,
respectivamente. Desse modo, garante-se que a ruptura da peça seja
precedida de uma fissuração intensa, com grandes aberturas de
fissuras, o que permite o seu escoramento e a execução do reforço
estrutural necessário.
Na figo 3.5.4, apresentam-se as relações entre o momento
f1etor reduzido J1 (a ser definido mais à frente) e a curvatura
4.00
Q)
aviso prévio da ruptura, manifestado por uma fissuração intensa.
)
5.00
E
.8
_EC3~,!-
6.00
0.45
0.40
::1.
o
U
·N
~
~
U
o
C
Q)
E
o
::2:
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
o.oo-f---r--r-r-,--,-T-,-f-'---r-;-~
2.0
4.0
Curvatura
6.0
8.0
adimensional
Fig. 3.5.4 - Relações momento-curvatura
mínima
10.0
12.0
14.0
c))=Xd (x1000)
na ruptura e ductilidade
97
)
)
)
)
]00
Curso de Concreto Armado
)
)
11.
M d l.ilU
_
rlll11 -
)
(3.5. I I)
')
bd-(}rd
)
)
)
)
)
Jilim
= O,8Çlim (1- O,4Çlim)
redistribuição, como é usual,
)
)
)
(3.5.12)
j3 = I .
Na tabela 3.5. I, encontram-se
os valores. de
]:1'
SIm
)
0,45
0,35
0,2952
0,2408
Jilim
baseado
= Çb' como
limites reduzidos:
nos valores
de
Jllim
da tabela
3.5.1,
irá fornecer
um
pequeno acréscimo na área total de aço, quando resultar armadura
dupla. Enquanto resultar armadura simples, não haverá alteração na
área de aço.
,
Na figo 3.6.1, representa-se
armado com armadura simples.
t.,
Ç'im
Ç'im
Esses
valores
tradicionais
são maiores
que aqueles
apresentados na tabela 3.5.1, os quais são necessários para garantir
adequada ductilidade às vigas. Desse modo, o procedimento atual,
e fllil11'
válidos para análise linear sem redistribuição de esforços.
)
)
era usual, obtêm-se os seguintes momentos
3.6 - Dimensionamento de seções retangulares
simples
Tabela 3.5.1 - Valores de SIm
]:,. e",·r un
(para análise linear sem redistribuição de esforços)
Concreto
.tek :s; 35MPa
> 35 MPa
)
Se, na equação (3.5.12), for utilizado
101
= 0,372 para aço CA-50;
fl'im = 0,353 para aço CA-60.
A expressão (3.5.12) fornece o momento limite adimensional
o qual depende do concreto utilizado e do coeficiente
de
redistribuição de esforços j3. Se for empregada a análise linear sem
)
Observacão:
de seções retangulares
Jllim
e lembrando que xlim = Çlimd , chega-se a
)
)
í
Flexão normal simples - dimensionamento
cálculo é M d e
com armadura
uma seção retangular de concreto
O momento fletor solicitante de
As é a área da seção da armadura tracionada. As
demais variáveis são as mesmas definidas anteriormente.
)
)
)
Assim, o dimensionamento
acordo com o seguinte critério:
)
- dado o momento
)
solicitante reduzido
à flexão normal simples é. feito de
h
fletor solicitante
)
M ti' calcula-se
(3.5.13)
I
)
)
I+-~ __
- se Ji :s; Jllim ' o dimensionamento
é feito com armadura simples;
- se Ji > Jilim ' o dimensionamento
é feito com armadura dupla.
)
)
)
)
d
o momento
b_--1.1
Fig. 3.6. I - Seção retangular com armadura simples
Na figo 3.6.2, são indicados os diagramas de deformações,
tensões e as resultantes das tensões na seção transversal.
as
)
)
'r
)
104
Curso de Concreto Armado
Flexão normal simples - diniensionamento
)
)
Equilíbrio de forças:
)
)
Conforme
forças é
indicado na figo 3.6.2, a equação de equilíbrio de
)
r
)
de
Rcr
e de R sd
dadas
nas
Observando a equação (3.6.11), verifica-se que
aJ =0,8ç
A1fw/ = 0,8bx<J"cc/
Lembrando que x
)
Neste caso, a tabela fornece o valor de aJ (que independe do
concreto utilizado) com o qual se caJcu Ia a área de aço através da
expressão
= çd , a área de aço é dada por
)
AI = O,8çbd ~cd
)
)
•
(3.6.11)
A =úJbd <J"cd
.f\'d
)
com
S
ç obtido da equação (3.6.8).
Assim, o dimensionamento
com armadura simples fica
reduzido ao emprego das equações (3.6.8) e (3.6.11).
Para a confecção de tabelas para o dirnensionamento,
é
conveniente definir a taxa geométrica de armadura
AI·
P- -- .
bel
)
)
(3.6.12)
as equações (3.6.) I) e (3.6.12), verifica-se que
p
= O 8J: <J"n/
,."
)
)
)
)
)
/~
'\
visto
anteriormente,
é feito com armadura
quando
J1 > ,l1lim
o
dupla, para evitar uma
ruptura frágil. Nesse caso, além da armadura tracionada de área As,
)
)
foi
dimensionamento
)
, )
a taxa mecânica de
3.7 . Dimensionamento de seções retangulares com armadura
dupla
Como
Comparando
(3.6.16)
f
. vd
Algumas tabelas que fornecem diretamente
armadura são apresentadas na Seção 3.10.
)
)
(3.6.15)
(3.6.10)
)
)
empregado,
equações (3.6.1) e (3.6.3), resulta
)
)
105
(3.6.]4)
I
)
Introduzi ndo as ex pressões
Para tornar a tabela independente do concreto
pode-se trabalhar com a taxa mecânica de armadura
I
(3.6.9)
)
de seções retangulares
Logo,
os valores
de
.
.fw/
= pbd .
com área
3.7.1, indica-se a seção transversal considerada.
p podem ser tabelados para uma
determinada
categoria de aço e para uma dada resistência à
compressão do concreto. Entrando na tabela com (, momento
solicitante reduzido J1 ' retira-se o valor de p e calcula-se a área de
aço As
deve-se prever uma armadura comprimida
(3.6.13)
I
1
A;. Na figo
.~
...•.
)
)
r
)
.
Curso de Concreto Armado
I.i
aumentar as dimensões da seção transversal, evitando-se o uso de
armadura dupla no domínio 2. Observa-se que essa situação nunca
irá ocorrer se for adotado f3 == I (análise sem redistribuição de
momentos).
1
108
)
)
';
)
)
).
)
r
í
f
-d')
E~ ==3,5%o(Xlil~
(3.7.2)
.\ lim
)
)
")
Lembrando
geométrico
que
xlim
= ';Iimd
e definindo
O=d'
d
)
o
parârnetro
(3.7.3 )
chega-se a
E: == 3,5 %o(';lilll -
)
0J
(3.7.4)
Ç"lim
A equação (3.7.4) é válida para os casos em que Ç"lim :?':';a e
Ç"lim >0.
)
)
A tensão
a~'d
na armadura de compressão
Tabela 3.7. J - Tensão
Concreto
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,1 I
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
por semelhança de triângulos, resultando
)
Flexão normal simples - diniensionamento
O
E; na armadura de compressão pode ser obtida
A deformação
--~--~
2
, -E
é o módulo de
CYsd
sE s'<i
yd : onde E, = 20.000 kN/cm
,)
elasticidade do aço.
CA-50 e CA-60 e para vários valores do parâmetro
)
Ç"Jim
considerados
são aqueles
da tabela
válidos para análise linear sem redistribuição
O. OS valores de
)
)
\
43,48
42,00
40,44
38,89
38,89
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
ir/.:
1,
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,00
50,00
48,00
46,00
44,00
42,00
40,00
38,00
36,00
34,00
32,00
30,00
43,48
43,48
43,48
42,00
40,00
38,00
36,00
34,00
32,00
30,00
na figo 3.7.2 são
' R:d = A~a~d
(3.7.5)
a seguir.
de esforços.
l
'I
I
1'/1
J
CA-60
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
As equações de equilíbrio são apresentadas
Equilíbrio
I
> 35 MPa
CA-50
43,48
43,48
43,48
3.5.1, ou seja, valores
)
)
CA-60
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
_,17
51,33
49,78
48,22
46,67
45,11
43,56
42,00
40,44
Rwl = A~frd
os valores de (f:'d para os aços
)
I
t.. ~35MPa
CA-50
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
109
na armadura de compressão
Assim, as forças nas armaduras representadas
dadas por
)
')
.
é calculada como
)
Na tabela 3.7. J, encontram-se
a:'d (kN/cm2)
de seções retangulares
de momentos:
Fazendo o equ iIíbrio de momentos em relação ao centroide da
armadura tracionada (ver figo 3.7.2), resulta
1
r
I
~
i
J;
~
,11
I~
l
~
J
I
~
I
~
I
'!
ir
i
II
l
;
lI,
n
I
)
t,
)
______
~~~~_===~.~a~
~
~s
••-------------••••••••••••••••••••••••••
J ~
~
)
)
r
112
Flexão nonnai snnples - dimensionamento de seções retangulares 113
Curso de Concreto Armado
)
)
)
A seguir, apresenta-se um roteiro para o dimensionamento
seções retangulares sob flexão normal simples.
de
Os valores de;/illl
e de fI/illl podem ser lidos diretamente
fJ = I (sem redistribuição
tabela 3.5.1, para o caso
da
de esforços).
)
)
3.8 - Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares
) .
)
)
4) Se fi :; fllim:::::>
armadura simples
Os dados do problema são os seguintes:
A'.1'-.- O
)'(1
b) propriedades dos materiais:
L«. t«.
c) momento f1etor de serviço:
M k (valor característico na hipótese
,)
A .I' = 08;:1)/1
,,:>e'i" a('d.
b , h, d , d';
a) dimensões da seção transversal:
5) Se
u » ,lIlim:::::> armadura dupla
de uma análise linear).
\
)
d'
0= d e ler a,ld da tabela 3.7. I ;
Calcular
Os valores requeridos são as áreas de aço A s e A'S'
I
•
OS cálculos necessários são os seguintes:
I)
L; com ri' = 1,4 em geral,'
J cd = -,
F
r .
~
ard -,- 0851. cd :.
I
A'
= (,lI- ,lI/im )bd aed .
s
(l-O)o-;d
r('
)
+f.I-f.l/im)'
A =(08;:'
fVk
.
fyd = -' - , com r,1 = 1,15 (para o emprego da tabela 3.7.1 );
rs
)
I
I
I
)
,
}
\
S
)
)
)
')
)
)
)
)
~J
I
Observação:
Empregando
resultar
< 0,26
se ;/im
3)
1-0
':>lIm
;lim
bdanl
f"d'
redistribuição
de momentos
e, simultaneamente,
aumentar as dimensões da seção transversal.
2)
I
)
'
Sem redistribuição de esforços:
;/illl = 0,45 , se .1;",
;/im
:; 35 MPa
I
= 0,35 , se t., > 35 MPa
Se usar redistribuição de esforços,
(3.5,3) e (3.5.4) em função de fJ,
,lI/illl = 0,8;/im
(1- O,4;lim ).
:;
fl > fl/illl'
(fJ < 1), se
devem-se
O mesmo deve ser feito
O e u » Plim .
3.9 - Exemplos de dimensionamento
Os exemplos
apresentados
a seguir referem-se
à viga
biapoiada da figo 3.9.1. A viga está submetida a uma carga de serviço
;Iim é dado nas equações
I) k ' uniformemente
1
distribuída
ao longo do vão. A seção transversal
da viga é mostrada na figura.
Nos dois exemplos seguintes, considera-se um concreto com
f~'k
20 MPa e o aço CA-SO. As resistências de cálculo são dadas
=
por:
~
í-- --------
t'J;-
~"'-
------_.
-
-
114
'I
--J
;'
(
(
(
Flexão normal simples - rlimensionamento
Curso de Concreto Armado
(
de seções retangulares
115
(
(
fcd
fck _ 20 == 14MPa
=?
= Yc - 1,4
I
=? CYcd = 1,2 kN/cm2;
CYcd = 0,85 fcd = 12 MPa;
_
•V •
m
1=4m
14
M
.~
40
Ais.
I
As
·1
J1
f.1 =
p,,!-
M" = --
8
Md =YfM"
Md
= 4200?'
=
2
bd CYcd 15x36~ xl,2
°
= 0,2952
(
(
e As = 2,98 crrr'.
(
~
=1,4x70=98kNm
(
(
,
Md =
9800
= 042
2
2'
CYcd 15x36 xl)
=?
(
armadura dupla
(
s:
d'
4
,
= - = 0,11 =?CYc(1 = 43,48 kN/cllY (da tabela 3.7.1)
d
36
..
?
Çlill1
= 0,45 (da tabela 3.5.1)
..,
=.)0 kNm
= J,4x30=
\,
7
U = -
8
(
35x4 ~ = 70 kNm
8
f.J > Jllilll = 0,2952
15x4~
= --
=
(
\
42kNm
_(
<.
Ji-Jililll)bdCYCd
' AI - 0,8<;>11111 + l-o
I,
,_ (P-JilimyX!CYcd.
AI (-0)0-'
I
st!
18
A's
f.1lim
(
43,48
')
_ Pkl2
k8
bd
P; = 15 kN/m
?
-momentofletordecálculo:
°
Md =YrMk
136
Fig. 3.9.] - Viga dos exemplos
- momento f1etor de serviço:
Sx36.x~
fl'd
J
15cm
14
Exemplo 1: Carga de serviço
CYcd = 0,8.xO,25xl
Exemplo 2: Carga de serviço P; = 35 kN/m
Pk
t::.
.
(
50 = 43,48kNlcm2.
1,15
~
AI = 0,8çbd
Logo, A; =
=:fyk
fyd
.t;d = 1,4 kN/cm2;
(da tabela 3.5.1)
(
(
vd
(0,42 - 0,2952)1 5x36xl,2
= 2,09 em"
(
(1-0,11)43,48
(
f.1 :s; f.1lim =? armadura
A.I' = (0,8X0,45
simples
I
ç = 1,25(1- ~I- 2Ji )= 0,25
~...•
1
+ 0,42 - 0,2952)
I - 0,11
15.,\"36xl,2 = 7,46 em"
43,48
('
(
(
(
,
j
'.:.I,
)
"
( )
)
Curso
116
de COI/C/'eto
T
Flexão normal simples - dimensionainento
Armado
de seções retangulares
117
)
)
Observação: Se for utilizado o procedimento
tradicional apresentado
)
na edição anterior
= Çb corresponde
)
limite entre os domínios
)
A; = 0,80cm
)
)
2
deste livro, no qual
e As
)
\
,
,
\
do valor de Ir-k.
Para o exemplo
1, a
os seguintes resultados:
redução no valor de As,
com a passagem
de fck = 20MPa
para
= 8,16 crrr'.
L, = 50 MPa, é de apenas 7%. No exemplo 2, essa redução é de
Observa-se que, pelo processo atual, há uma redução na área
da armadura tracionada e um aumento da armadura de compressão.
A área total de aço,
obtida com o processo atual, é
38% (na prática a redução será menor, pois haverá necessidade de
usar uma armadura construtiva
de compressão
em todos os
exemplos). Entretanto, essa economia em relação ao consumo de aço
será facilmente anulada pela diferença de preço entre os dois
concretos.
Conclui-se que a especificação
de concretos de maior
resistência não resulta em economia significativa, em problemas de
flexão simples. A economia é conseguida nos pilares.ronde se tem
um problema de flexo-compressão, como é mostrado no Volume 3.
Entretanto, o uso de ui concreto de maior resistência é
sempre vantajoso no que se refere à durabilidade da estrutura, como
foi discutido no capítulo 1.
anterior é AS,Iol = 0,80 + 8,16 = 8,96 cnr'.
Logo, o procedimento
atual de dimensionamento,
para
garantir adequada ductilidade às vigas, levou a um aumento de 7%
na área total de aço. Na prática, esse aumento pçderá nem existir,
pois o consumo final de aço da viga vai depender do detalhamento
das armaduras (ver capítulo 5 do Volume 2).
-'
)
)
Exemplo 3: Repetir os dimensionamentos anteriores para diferentes
resistências do concreto, mantendo os demais dados inalterados.
Na
>
tabela
dimensionamento
3.9.1,
apresentam-se
os
resultados
Exemplo 4: Repetir os dimensionamentos
classes de agressividade ambienta!.
do
"
J
necessário variar a resistência
)
)
J
I
)
)
)
\
característica
cobrimento nominal das armaduras,
fck (MPa)
20
25
30
35
40
45
50
Pk =15kN/m
Pk = 35 kN/m
As (em")
AI. (cm ')
7,98
7,91
2,86
2,84
7,81
2,80
7,79
7,46
7,57
7,51
7,26
7,10
6,98
6,89
ambiental é
do concreto,
i«. e o
cnom' de acordo com as tabelas
1.13.3 e 1.13.4 do capítulo I. Um aumento no valor do cobrimento
nominal irá ocasionar uma redução na altura útil d da viga.
Na tabela 3.9.2, apresentam-se os dados que são alterados em
função da classe de agressi vidade ambienta!.
Tabela 3.9.1 - Resultados para vários valores de jcf.:
)
anteriores para diferentes
Para considerar diferentes classes de agressividade
da viga para diferentes valores de .f~-k.
)
)
as áreas de aço sofrem uma pequena
redução com o aumento
As tot = 2,09 + 7,46 = 9,55 em". A área total obtida com o processo
)
se observa,
ao
Çlim
3 e 4, obtêm-se
Conforme
A; (em")
2,09
0,78
Tabela 3.9.2 - Dados alterados conforme a classe de
asressividade ambiental
«;;,
d
Classe de
cnolll
Ick
(em)
agressividade
(em)
(MPa)
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1
I
II
III
IV
20
/,5
25
30
40
3,0
4,0
5,0
36,0
35,5
34,5
33,5
J
t"t
--,.-----~---------------
(,
(
(
(
Flexão normal simples - âimensionomento de seções retangulares
Curso de Concreto Armado
118
119
(
(
3.10 - Tabelas para o dimensionamento de seções retangulares
Os demais dados são mantidos, como indicado na figo 3.9.1.
Evidentemente, seria inviável projetar a seção da viga com 15 crn de
largura para as classes de agressividade mais elevadas, pois não
sobraria espaço para o lançamento e a vibração do concreto.
Entretanto, será rnantida a largura de 15 em, pois isto não altera as
Conclusões a que se pretende chegar.
Na
tabela
3.9.3,
apresentam-se
os
resultados
do
dirnensionamento.
Para facilitar o trabalho de cálculo, foram preparadas as
tabelas 3.10.1 e 3.10.2. Essas tabelas são válidas para o aço CA-50 e
para concretos com I., ~35 MPa e concretos com frk > 35 MPa,
7,98
2,96
3,01
3,05
7,46
7,68
7,96
7,82
(
(
(
respectivamente,
Para entrar nas tabelas, calcula-se o momento reduzido
(
(
Md
fi
Tabela 3.9.3 - R -~_..Itad
_--~~
.....•.
_~--_._~----~-~
---~~-..,
--0-- .......
·' .~-~-..,
Classe de
Pk = 15 kN/m
Pk = 35kN/m
agressi vidade
A's (em")>
As (crn)
As (em")
I
II
III
IV
(
(3.10.1)
2
bd O"rd
Entrando
2,09
0,99
0,16
0,00
mecânicas
com o valor de
de armadura
(j)
(
u , obtêm-se diretamente
as taxas
e to", com as quais são calculadas
áreas de aço
"(
as
,
00cd
A \_=0))(I 1
,
(3.10.2)
Ivd
I
(
(
A's = o/!')(,-I O"ccl
Iwl
Conforme se observa, as áreas de aço calculadas sofrem uma
alteração muito pequena em função da classe de agressividade
ambiental. Isto ocorre porque a redução da altura útil da seção
transversal, em virtude da adoção de um maior cobrimento, é
compensada pelo emprego obrigatório de um concreto de maior
resistência. Desse modo, as armaduras se mantêm praticamente
inalteradas. Logo, o acréscimo no custo da estrutura, em virtude da
consideração de uma classe de agressividade ambiental mais elevada,
é devido, dentre outros fatores, ao custo do concreto de maior
resistência.
Além disso, as dimensões dos elementos estruturais elevem
sofrer alteração
em função da classe de agressividade,
para
possibilitar o lançamento e a vibração do concreto. A viga da figo
3.9.1, por exemplo, deveria possuir uma largura mínima de 25 em,
caso fosse considerada a classe IV de agressividade. Isto também
acarretará um aumento no volume de concreto e na área de formas, o
que se refletirá no custo final da estrutura.
Z
(3.10.3)
(
(
Estão previstos quatro valores do parâmetro 5. Se o valor de
5 do problema não corresponder a nenhum dos valores
considerados,
pode-se fazer uma interpoJação linear ou pode-se
adotar o valor tabelado imediatamente
superior, a favor da
segurança. O mesmo procedimento pode ser adotado em relação ao
momento reduzido fi, As linhas nas quais não são fornecidos os
valores de ú/ correspondem
As
Çlim
tabelas
= 0,45,
para concretos
foram
à armadura simples, ou seja,
preparadas
para concretos
com
com
consiclerando-se
frk ~ 35 MPa, e
A; = O.
os valores
Çlim
= 0,35,
Ick > 35 MPa_ Logo, elas podem ser usadas
quando não é utilizado o recurso da redistribuição
de esforços.
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
.'
~
J;,
(
(
)
-J
.1.:.;
, )
-------
'}
ml-
·1
)
Flexão normal simples - dimensionantcnto
Curso de Concreto Armado
120
121
de seções retangulares
)
I
~
)
I
I
Tabela 3.10.2 - Concretos com
Tabela 3. 10.1 - Concretos com f." ::::;
35 MPa e Aço CA-50
I
f,k > 35 MPa e Aço CA-50
)
I
)
O~
)
JlU
O)
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1 I
0,13
0,15
0,18
0,20
0,23
0,25
0,28
0,31
0,34
0,37
0,39
0,41
0,43
0,45
0,47
0,49
) .
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
<>
)
)
)
)
)
, )
~)
,
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,05
0,51
0,53
0,55
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
,
(l)
0,01
0,03
0,05
0,07
0,09
0,11
0,13
0,15
0,17
0,19
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,10
O)
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1 I
0,13
0,15
0,18
0,20
0,23
0,25
0,28
0,31
0,34
0,37
0,39
0,41
0,43
0,45
0,48
0,50
0,52
0,54
0,57
0,59
0,61
0,63
0,65
0,68
0,70
O)
,
0,01
0,03
0,05
0,07
0,09
0,12
0,14
0,16
0,18
0,21
0,23
0,25
0,27
0,29
0,32
0,34
0,15
O)
0,02
0,04
0,06
0,08
0,11
0,13
0,15
0,18
0,20
0,23
0,25
0,28
0,31
0,34
0,37
0,39
0,41
0,44
0,46
0,48
0,51
0,53
0,55
0,58
0,60
0,62
0,65
0,67
0,70
0,72
O~
0,20
0)'
O)
co
,
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1 I
0,13
0,15
0,18
0,20
0,23
0,25
0,28
0,31
0,01
0,03
0,05
0,08
0,10
0,12
0,15
0,17
0,19
0,22
0,24
0,26
0,29
0,31
0,34
0,36
0,34
0,37
0,39
0,42
0,44
0,47
0,49
0,52·
0,54
0,57
0,59
0,62
0,64
0,67
0,69
0,72
0,74
0,01
0,03
0,06
0,09
0,12
0,15
0,17
0,20
0,23
0,26
0,29
0,31
0,34
0,37
0,40
0,43
!lU
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
ai
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1 I
0,13
0,15
0,18
0,20
0,73
0,25
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,41
0,43
0,45
0,47
0,49
0,51
0,53
0,55
0,57
0,59
0,62
0,64
0,66
0,15
0,10
0,05
(l)'
(l)
(l)'
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1 I
0,13
0,15
0,18
0,20
0,13
0,2S
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,13
0,15
0,17
0,19
0,21
0,23
0,25
0,27
0,29
0,31
0,34
0,36
0,38
0,28
0,30
0,32
0,35
0,37
0,39
0,41
0,43
0,46
0,48
0,50
0,52
0,55
0,57
0,59
0,61
0,63
0,66
0,68
0,20
0,02
0,04
0,07
0,09
0,1 I
0,13
0,15
0,18
0,20
0,22
0,24
0,27
0,29
0,31
0,33
0,35
0,38
0,40
(()
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1 I
0,13
0,15
0,18
0)0
0,23
0,25
0,28
0,30
0,33
0,35
0,37
0,40
0,42
0,44
0,47
0,49
0,51
0,54
0,56
0,58
0,61
0,63
0,66
0,68
0,70
(l)'
0,02
0,05
0,08
0,10
0,13
0,15
0,18
0,20
0,23
0,25
0,28
0,31
0,33
0,36
0,38
0,41
0,43
0,46
O)
0,02
0,04
0,06
0,08
0,11
0,13
0,15
0,18
0,20
0,23
0,25
0,28
0,30
0,33
0,35
0,38
0,40
0,43
0,45
0,48
0,50
0,53
0,55
0,58
0,60
0,63
0,65
0,68
0,70
0,73
to
,
I!
,
II
I
1
':f
1
M
~
W
·1
fl
0,03
0,07
0,11
0,14
0,18
0,22
0,25
0,29
0,32
0,36
0,40
0,43
0,47
0,51
0,54
0,58
0,61
0,65
..
j
t:
-~ rI --
~--
FI~.:6~"om:'·:"I'I'., .
Curso de Concreto Armado
122
Empregando a tabela 3.10.1 para fazer os dirnensionamentos
dos exemplos anteriores, obtém-se:
Exemplo
••
I
I
_o_o
_.
•
o__
h
= 0,20xI5x36x--
1,2
43,48'
,
=> Af = 2,98 em
(
(
As equações de equilíbrio da seção transversal
(
(
(
são escritas na
forma
(
=
áreas das armaduras são
Rcc =Rct
M = e..z
(
(3.11.1)
(
1,2
= O,50x15x36 x--=>A~
43,48
Do diagrama de tensões representado
= 7,45cn,- ,
RCI
A; = úJ'bd O"cd = 0,14xI5x36x~=>
43,48
na figo 3.11 .1 , obtêm-se
(
(
o
2
Z=-11
3
bh
f)'{1
(
Fig. 3.11.1 - Deformações e resultantes na seção
de cotl:reto simples
= 0,42
problema não é tabelado, mas pode-se empregar a tabela 3.10.1 com
t5 = 0,10. Entrando na tabela, obtêm-se úJ = 0,50 e úJ' 0,14. As
O"rd
(
(Jet=Cie
=
As = ax d-f.wl
(
Ret
Neste caso, a solução será com armadura dupla e, portanto,
dependente do parârnetro
ô •
O parârnetro t5 0,11 para este
=40"('1
(3.11.2)
(
(
A;' = 2,09 em"
onde II é a altura e b é a largura da seção.
A fissuração ocorrerá quando a máxima tensão de tração.rr.j
o
for igual
3.11 - Cálculo da armadura mínima
à resistência
à tração
do concreto,
frl'
Substituindo
ao = fel nas equações (3.1 1.1) e (3.11.2), obtém-se
Além do dimensionamento das seções transversais no estado
limite último, conforme foi apresentado, deve-se especificar lima
área mínima da armadura tracionada. Isto se faz necessário para
evitar uma ruptura brusca da seção na passagem do estado não
fissurado (Estádio I) para o estado fissurado (Estádio II). Assim, a
armadura tracionada deve ser suficiente para absorver o momento de
fissuração.
u
(
!
~
~
2: ,LI
(
(
A's =0
f"d
(
(
úI = O. As áreas das armaduras são
O"c/
(
(
1: ,LI = 0,18
As = mbd _l_
(
(
Na fig. 3.11.1, indicam-se as tensões no concreto no Estádio I,
juntamente com as resultantes na seção transversal. Nessa figura, as
armaduras não foram incluídas, para simplificar os cálculos.
=
b
~
deseções"'''''8''/'''·'·' 123
dimensionamento
Neste caso, a solução independe do parâmetro t5 (caso de
armadura simples). Entrando na tabela 3.10.1, obtêm-se m 0,20 e
Exemplo
o.o_.
(
(
(
(
(
'I
bhM,. =-6-fc/
(
,
(3.11.3)
(
(
que é o momento de fissuração da seção de concreto simples.
(
(
m~.
(
)
)
)
)
124
Curso de Concreto Armado
)
)
)
)
A área mínima
da armadura
de tração,
AS.l11ill,
dimensionando-se a seção transversal de concreto
momento fletor M r' como indicado na figo 3.11.2.
é obtida
armado para o
à tração. Assim,
resistência
frr
(3.11.6),
deve-se
adotar
= fefk.sup·
Empregando
)
na equação
as relações
entre
frrk .sup
e
fek
dadas
capítulo I, pode-se escrever
)
f
)
AI"min
z
)
)
onde fek
t J
= (0,0784 /
fyd
(3.11.7)
bh = Pminbh
e f\'(I são dados em MPa.
)
Em todo caso, deve-se respeitar o limite Pmin ?: 0,15% .
)
Na tabela 3.11.1, são fornecidas
)
os aços CA-50 e CA-60
)
Fig. 3.11.2 - Solicitação e resultantes das tensões
após a fissuração
)
Aplicando a equação de equilíbrio de momentos, resulta
tabela, considera-se
fvd
as taxas mínimas
e para diversos
para
Pmin
valores de fel<'
Nessa
= f,,~/1,l5.
Tabela 3.11.1 - Taxas mínimas da armadura de flexão Pl11in (%)
)
)
Al'.lnin
)
)
no
AÇO
=~
fel< (MPa)
(3.1 I .4)
20
0,15
0,15
Zfwl
CA-50
CA-60
e substituindo a ex pressão de M r ' chega-se a
25
0,15
0,15
30
0,17
0,15
35
0,19
0,16
40
0,21
0,18
45
0,23
0,19
50
0,25
0,20
)
)
A
)
.
= bh'2 J;.{
v.mm
62 t'
Logo,
(3.11.5)
.. vil
)
)
)
Adotando
mínima
Z == 0,83h,
obtém-se
dimensionamento
a expressão
da armadura
s.lllin-
- (0"'0 J;., Jbl
,-'- -.
-
inferior
tracionada,
à área
mínima,
As, obtida
deve-se
no
adotar
Nos exemplos apresentados anteriormente, tinha-se uma seção
retangular com dimensões b = 15 em e lz = 40 em. Para um concreto
com fek
A
for
da armadura
AI' =As.l11in·
)
)
se a área
1
= 20 MPa e o aço CA-SO, a armadura mínima de tração é
(3.11.6)
Jnj
A
s.min
= 0,15 bli = 0,15 x15x40 =
100
100
°
'
90 em".
)
)
)
)
'\
Conforme foi salientado no capítulo I, para o cálculo da
armadura mínima, deve-se adotar o valor característico superior da
Esse valor é inferior aos obtidos pelo dirnensionamento
nos
dois primeiros exemplos. Portanto, irão prevalecer as armaduras
efetivamente calculadas.
i
~~:
--_.~
r
(
(
(
(
Ilr
;
I ~
(
(
Capítulo 4
'1
li~
1
11
FLEXÃO NORMAL SIMPLES
Dimensionamento
de Seções T
:J
li,
(
~
It
(
It
l~
"l~
4.1 - Geometria da seção transversal
Apesar de não serem tão usuais quanto as seções retangulares,
as seções em forma de T são bastante empregadas em pontes, em
vigas pré-rnoldadas e mesmo nas estruturas de edifícios compostas
por lajes maciças e vigas. Nesls casos, as dimensões da mesa da
seção transversal são determinadas de acordo com as considerações
da NBR-6118, apresentadas ao final deste capítulo.
Na figo 4.1.1, representa-se
uma seção T submetida ao
11:
(
'f
ht
I
r
d
"I!
:I!I:
il~
~
,
1:
1f
I
i
e------u.-----e
'A's
h
~
t
li,
~
I~~
d'
i
(
(
(
(
(
(
~
,I.
(
(
itl;.c
,Á,
...
As
(
(
p
~
ii
~r
(
,I
(
"
Fig. 4.1.1 - Geometria da seção T
a figo 4.1.1,
t
:~
~
com
(
~
'"'
De acordo
variáveis:
(
t
d
Md
(
l
•
f
(
(
(
b
~
(
'I~~
I l~
momento fletor de cálculo M d .
(
são definidas
~
(
(
as seguintes
!R
(
~,
:11
b",
= largura da nervura;
!~l
,
'I
,li
(
(
(
)
r
)
r
,)
)
128
i
I'
Flexão normal simples
Curso de Concreto Anuado
>
dimensionamento
de seções T
129
)
)
)
bf
= largura da mesa;
h
= altura total da seção;
= espessura da mesa;
Utilizando o diagrama retangular para o concreto, a seção
estará comprimida desde a borda superior até uma profundidade
igual a O,8x(im'
)
hf
)
)
d
As
,
AS
= area da armadura comprimida;
)
"'I'
= distância
)
tracionada:
)
I
)
)
)
)
~ O,8xlim'
apenas a mesa
tratar de uma situação extrema (mesa muito espessa), deve-se estar
atento para esta possibilidade.
Na figo 4.2.1, indica-se a parte da seção que é comprimida com
/
do centroide de AI' até a borda comprimida.
o bloco retangular de tensões, no caso em que h
)
)
que, se IIr
estará comprimida e, neste caso, o dimensionamento é idêntico ao de
uma seção retangular com largura br e com altura 11. Apesar de se
= altura útil da seção;
= área da armadura
Observa-se
r < O,8xlim .
Deve ser salientado que a seção da figo 4.1.1 só funcionará
como uma seção T se o momento fletor solicitante for positivo
(comprimindo a mesa e tracionando a nervura). Se o momento for
negativo, a mesa estará tracionada e, neste caso, Ó que se tem é uma
seção retangular de largura bw e altura h .
Q,8X1im
As hipóteses do dimensionamento das seções T são as mesmas
já discutidas no capítulo 3. Assim, dadas as dimensões da secão
transversal, o dimensionamento,
isto é, o cálculo das áreas de aço, é
feito de maneira análoga ao apresentado para as seções retangulares.
Logo, antes de tudo, é necessário determinar o momento limite,
)
M d lim- entre as soluções com armadura simples e com armadura
)
dupla.
~-~--I
••
)
)
4.2 - Determinação
Fig. 4.2.1 - Parte da seção compri mida com o bloco retangular
(quando x = Xlirn)
do momento limite
I
I
.>
Conforme foi mostrado no capítulo 3, o momento limite, entre
as soluções com armadura simples e com armadura dupla, é obtido
)
considerando a profundidade
)
)
da linha neutra .ri'1111= ':>;:1'1111
donde
'
Ç(im
= 0,45 ,se t.. ::;
35 MPa
Çlim
= 0,35 ,se
Para a obtenção
introduzir as relações
de equações
adimensionais,
(4.2.2)
(4.2.1 )
)
(4.2.3)
.t;./- > 35 MPa
)
)
,
)
Se
considerar
for
realizada
os valores
(3.5.4) do capítulo 3.
i )
')
de
redistribuição
Çlil11
indicados
de
é conveniente
esforços,
devem-se
nas equações
(3.5.3) e
onde /3 J e /3\1' são adimensionais.
De acordo com a figo 4.2.1, tem-se:
I
I;
,
(
k
.----.
----.---..
~~
----r--'
(
-.--_.-
(
(
130
Flexão normal simples-
Cursa de Concreto Armado
Af =bfhf
Introduzindo
(área da mesa);
dimensioncunento
131
de seções T
(
(
Ar e A\I'lim dadas em (4.2.4)
as expressões de
(
e (4.2.5), resulta
Aw1im
(
= bw (0,8Xlim - h( ) (área da parte comprimida da
Rc(' lirn
nervura);
(4.2.9)
= 1~,('lilllbrd (Jed
(
(
h
Zf
= d - "L
(distância do centroide de A l até a armadura
2
.
onde
(
tracionada);
.»:2
= d -0,4xlim
Zwlim
r-. lim = {lI + JJII' (O,8Çlil11- /3f )
(
o momento f1etor M d lim é dado por
(distância do centroide de Awlim até
a armadura tracionada).
Introduzindo
xlim
(
(4.2.10)
as relações
(
M d lim = (A.rZf + AlI'limZlVlilll
(4.2.2) e (4.2.3) e lembrando
que
Substituindo
= Çlimd , obtêm-se
(
(4.2.11)
)O'ed
(
~
(
as expressões (4.2.4) a (4.2.7), chega-se a
(
AI = JJIbrd
M d lim = Jililllbrd
(4.2.4)
2
(4.2.12)
(Jcd
(
(
Awlilll
= JJII,(0,8Çlim - JJr ~ ,d
onde
(4.2.5)
Z, =(1- Ji: }
(
fllim
(4.2.6)
J
(
{
- JJf ( I- 2
JJI + fiw O,8Çlilll - fif \ I- O,4Çlim - 2
J3f
-
J
(
(
~.
(4.2.13)
ZlI'lil11
= ( 1-O,4';lilll
-
fir]2 d
(4.2.7)
Nas tabelas 4.2.1 e 4.2.2 encontram-se
de Jililll'
para diversos
valores de
os valores de "cc lim e
fi/ e de /311" Para identificar a
A resultante de compressão
nesta situação limite,
R('C
Iim : é
Reelim =
onde
(Jcd
(Ar + A\I'lilll Peel
(
(
(
na equação (4.2. I), ou seja, sem levar em conta o recurso
(
ela redistribuição
(4.2.8)
(
de
As tabelas foram preparadas,
Çlim dados
(
(
tabela, é necessário observar se .f~'k ~ 35 MPa ou .t~k > 35 MPa.
dada por
I~
de esforços.
considerando-se
os valores
(
(
(
= 0,85 Icei .
(
~"l'l
(
)
)
')
)
132
Curso de Concreto Armado
133
)
)
Tabela 4.2.1 (a) - Valores de
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Tabela 4.2.1 (b) - Valores de rcclim para seção T (j~k
flfJJ
> 35 MPa)
fl.rJJ
flwD
0,10
0,12
0,14
0,]6
0,18
0,20
0,22
flwD
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,11
0,12
0,12
0,13
0,13
0,14
0,14
0,15
0,15
0,16
0,16
0,17
0,17
0,13
0,13
0,14
0,14
0,15
0,15
0,16
0,16
0,17
0,17
0,18
0,18
0,19
0,15
0,15
0,16
0,16
0,17
0,17
0,18
0,18
0,18
0,19
0,19
0,70
0,20
0,17
0,17
0,18
0,18
0,18
0,19
0,19
0,20
0,70
0,70
0,19
0,19
0,19
0,70
0,20
0,11
0,21
0,21
0,21
0,22
0,22
0,22
0,73
0,23
0,23
0,24
0,24
0,14
0,23
0,23
0,23
0,23
0,74
0,24
0,24
0,25
0,75
0,25
0,25
0,26
0,26
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,]6
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,11
0,11
0,13
0,13
0,13
0,14
0,14
0,14
0,15
0,15
0,15
0,16
0,16
0,16
0,16
0,15
0,15
0,15
0,15
0,16
0,16
0,16
0,17
0,17
0,16
0,17
0,17
0,17
0,17
0,18
0,18
0,18
0,18
0,19
0,19
0,19
0,19
0,18
0,19
0,19
0,19
0,19
0,19
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,21
0,21
0,20
0,20
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,24
0,24
0,30
0,32
0,34
0,36
)
)
'ce lim para seção T u.. ~35 MPa)
0,21
0,71
0,22
0,71
0,71
0,17,
0,22
0,22
0,73
0,23
0,24
O,II
O,I?
0,12
0,13
0,13
0,13
0,14
0,14
0,14
0,15
0,15
o, II
o,rr
0,18
0,18
flrD
flfJJ
flwD
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
flulD
0,24
0,26
0,28
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,24
0,25
0,25
0,25
0,25
0,26
0,26
0,26
0,26
0,27
0,27
0,27
0,27
0,'/6
0,27
0,27
0,27
0,'/7
0,/8
0,28
0,29
0,79
0,29
0,29
0,29
0,29
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,31
0,31
0,31
0,31
0,31
0,31
0,31
0,31
0,32
0,32
0,32
0,37
0,32
0,32
0,32
0,33
0,33
0,33
0,33
0,33
0,33
0,34
0,34
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,25
0,25
0,25
0,25
0,75
0,25
0,25
0,25
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,27
0,27
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,27
0,'/8
0,'/8
0,28
0,'/8
0,28
0,'/9
0,'/9
0,30
0,30
0,33
0,33
0,34
0,34
0,34
0,34
0,34
0,34
0,34
0,34
0,34
035
0,35
0,36
0,36
0,36
0,36
0,36
0,28
Dirnensionar uma seção
retangular com largura
bf e
altura útil d (ver capítulo 3)
.,
(
k
(
----
••.....
. - --
-- _."-- .. - --_._,._----
Flexão normal simples - dimensionamento
Curso de Concreto Armado
134
--_.--"---'.
(
(
135
de seções T
(
(
Tabela 4.2.2(a) - Valores de ).llim para seção T (fck
Tabela 4.2.2(b) - Valores de ,L!lim para seção T (f("k
:s; 35 MPa)
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
022
0,24
0,26
0,28
0,10
0,10
0,11
0,11
0,12
0,12
0,12
0,13
0,13
0,14
0,14
0,14
0,15
0,15
0,12
0,12
0,12
0,13
0,13
0,13
0,14
0,14
0,15
0,15
0,15
0,16
0,16
0,16
0,14
0,14
0,14
0,14
0,15
0,15
0,15
0,16
0,16
0,16
0,17
0,17
0,17
0,18
0,16
0,15
0,16
0,16
0,16
0,16
0,17
0,17
0,17
0,18
0,18
0,18
0,19
0,19
0,18
0,20
0,17
0,18
0,17
0,19
0,17
0,19
0,18
0,19
0,18
0,19
0,18
0,20
0,18
0,20
0,19
0,20
0,19 . 0,20
0,19
0,21
0,20
0,21
0,20
0,21
0,20
0,21
0,22
/3l1'U
0,10
0,20
0,20
0,20
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,10
0,10
0,11
0,11
0,11
0,12
0,12
0,12
0,12
0,13
0,13
0,13
0,14
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
016
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,24
0,21
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,26
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,25
0,28
0,24
0,24
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,26
0,30
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,27
0,27
(
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,12
0,12
0,12
0,13
0,13
0,13
0,13
0,13
0,14
0,14
0,14
0,14
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15..
0,15
0,15
0,15
0,16
0,16
0,16
0,16
0,16
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,18
0,19
0,18
0,18
0,18
0,19
0,19
0,19
0,19
0,19
0,19
0,19
0,19
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,21
0,21
0,21
0,21
0,30
0,32
0,34
0,36
0,14
0,14
0,14
0,14
0,15
0,15
O,ID
0,16
0,16
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
/3fU
/3.r JJ.
p)J
(
/3.rJJ.
/3./" JJ.
s; JJ.
> 35 MPa)
0,32
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,27
0,28
0,28
0,28
0,34
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,29
0,29
0,29
0,29
0,36
/3I1'U
0,24
0,30
0,30
0,30
0,30
·0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,22
0,26
0,28
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,23
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
0,24
tIl
(
(
(
(
1
I
Dimensionar uma seção
retangular com largura bf e
altura útil d (ver capítulo 3)
;,1
II
(
(
(
(
(
-r
:i
(
(
(
(
(
(
;11\
(
)
)
._----------~----------.;-.----- _.
-
- ))
136
Curso de Concreto
---
----------
-------_._-~
Flexão normal simples - ·c!il7ll.?ns;onallll.?nto de seções T
Armado
137
)
)
)
Assim, o dimensionamento
seguinte sequência:
)
a) dado o momento fletor solicitante de cálculo
)
onde
da seção T é feito de acordo com a
(4.3.3)
M d calcula-se o
>
momento reduzido
)
Ji
)
(4.2.14)
)
)
b) com o emprego da equação
)
depende
)
)
)
(4.2.13),
da resistência à compressão
geométricos
calcula-se
,lilim'
o qual
I
do concreto e dos parâmetros
I
I'
/l! e /lw· O valor de ,LIlim pode ser lido diretamente
i!
i!
das tabelas 4.2.2(a) e 4.2.2(b);
li
c) se resultar ,li ~ Jilim' adota-se armadura simples (
A; = O);
il
"
)
)
Fig. 4.3.1 - Mesa comprimida com tensão
)
Logo, se ,LI ~ Pr, significa que a mesa sozinha é capaz de
absorver o momento fletor solicitante de cálculo. Se ,LI> f1 I: torna-
4.3 . Dimensionamento com armadura simples
se necessária a colaboração
)
O primeiro passo do dimensionamento com armadura simples
consiste em verificar se a mesa sozinha é capaz de absorver o
momento fletor solicitante de cálculo. Para isto, é necessário
determinar o momento fletor resistente de cálculo que corresponde à
situação indicada na figo 4.3.1.
Conforme se observa na figo 4.3.1, o momento resistido pela
)
mesa, M d! ' é dado por
)
)
)
)
Neste caso, apenas uma parte da mesa estará comprimida com
o bloco retangular de tensões. A situação é idêntica a de uma seção
retangular com largura bf e com altura útil d. Assim, podem-se
(4.3.1 )
empregar as mesmas expressões
deduzidas
seções retangulares, substituindo
b por br·
O adimensional
)
Substituindo
)
(4.2.4) e (4.2.6), resulta
as expressões
de
I
)
(4.3.2)
no capítulo 3 para as
ç = xl d , que caracteriza a posição da linha
neutra, é dado por
Ar e Z{ dadas nas equações
)
de parte da nervura.
A) Caso 1: f1 < Pr
)
)
(),d
d) se resultar Ji > Jilim ' adota-se armadura dupla.
)
)
,
"
I.
ç = 1,25(1-~1- 2,L1)
COm
u calculado através da equação (4.2.14).
(4.3.4)
I·
Iti
P
!1
J
·'~
.~-----------_
..__ __ ~._.--.
Flexão normal simples - dimensiouamento
Curso de Concreto Armado
138
..
;
~
139
de seções T
(
(
Por semelhança
oi, é definida corno
A taxa mecânica de armadura,
r
(4.3.8)
A'I' = fi,I.(O,8ç - fi ( yJ d
(4.3.5)
-
brd
(
(
A, fwl
úJ=
com as equações (4.2.5) e (4.2.7), tem-se
(
CJrd
(
Z". - ( I-O,4Ç-T fif
e vale
ú.J
Jd
(4.3.9)
(
(
= O,8ç
(4.3.6)
(
As equações de equilíbrio são as seguintes:
Encontrado o valor de
expressão
OJ, calcula-se
(
a área de aço através da
(
I) Equilíbrio de momentos:
As
(
= f"b i==:":
I CJcd
(4.3.7)
lU
.
Observando
fwl
a figo 4.3.2, ter-'se
M d = AfZ(CJcd
(
(
(4.3.10)
+ A,,'z'I·CJed
(
B) Caso 2: f1 > f1.r
Como indicado
Neste caso, uma parte da nervura também estará comprimida
com a tensão CJcd' Na figo 4.3.2, indica-se a parte da seção que é
comprimida
com o bloco retangular
de tensões
profundidade genérica da linha neutra igual a X.
para
momento resistido
na equação (4.3.1),
Substituindo
uma
a
(
as expressões de A,I' e Z\1' na equação (4.3.10),
(
(
M r M'I! ~ fi",(o,sç - fir
{I-O,~- fi; }rd
(
2
cr,"
(
(
(4.3.11)
O,8x
(
Introduzindo
as definições
dos
adimensionais
f.1 e f.1f'
(
resulta a equação do segundo grau
Zw
As
".
C
obtém-se
(O,8x-hf)
Zf
(
é o
parcela do momento solicitante M d - M l(r .
~
hj
= AfZfCJcd
pela mesa. Logo, a nervura deverá absorver
bf
~
Mel(
t
O,32Ç2 - O,8ç + f.1* = O
1"~
Fig. 4.3.2 - Parte da seção comprimida com o bloco retangular
onde
(
(
--(
(4.3.12)
!
(
(
(
--'..t:!
)
)
._------
)
)
í
Flexão normal simples - -dimensionamento
Curso de Concreto Armado
140
-- -----~~~-=-j
------------
14]
de seções T
)
)
J1
)
(4.3.13)
d'
)
)
A solução da equação (4.3.12) é dada por
)
(4.3.14)
)
bW-l
)
)
lI) Equilíbrio de forças:
)
)
<1::::
V d ~d
RSd
Fazendo o equilíbrio de forças (ver figo 4.3.2), tem-se
Fig. 4.4.1 - Resultantes das tensões na seção com armadura dupla
)
(4.3.15)
)
)
)
A força na armadura
Considerando as expressões (4.2.4), (4.3.5) e (4.3.8), obtém-se
a taxa mecânica de armadura
tensão a;d é calculada exatamente
(4.3.16)
e a área de aço é calculada
)
)
)
(4.4.1 )
Nesse caso, a profundidade
)
x = xlim' Assim, o dimensionamento
)
)
)
)
)
)
J = d'] d , são
4.4 - Dimensionamento com armadura dupla
)
)
Ir
novamente reproduzidos na tabela 4.4.1.
Logo, aplicando a equação de equilíbrio de momentos, resulta
a taxa mecânica da armadura de compressão (ver equação (3.7.10) do
capítulo 3)
com o emprego da equação (4.3.7).
dupla é feito com as mesmas
retangular, bastando
da linha neutra é fixada como
da seção T com armadura
equações
adotar as expressões
e fl
deduzi das para a seção
sendo que os momentos
corretas de Rcclim
equações (4.2.13) e (4.2.14), respectivamente.
A área da armadura de compressão é dada por
e de
Mdlim'
Na figo 4.4.1, indica-se a seção transversal
dupla e as resultantes das tensões.
reduzidos
fllilll
são definidos
nas
com armadura
(4.4.2)
I
1
,
,\
iI
l'
Os valores de a~'d' em função do parâmetro
)
)
como foi feito no capítulo 3. A
força na armadura de tração é Rsd = AsfYd .
ai = f3r (J - /l11') + O,8ç /lI!'
)
de compressão é R~d = A.~a~d' onde a
li
lL
li
ji.
ji,
i'0
j
.-z,
Flexão nornutl simples - dimensionamento
Curso de Concreto Armado
142
de seções T
(
(
143
(
(
Aplicando
a equação de equilíbrio de forças e substituindo
a
expressão de Rcc lim dada em (4.2.9), obtém-se a taxa mecânica da
armadura tracionada
capítulo 3)
(ver a semelhança
com a equação
(3.7.14) do
fl- ,ulim
úJ= cc'hm
" . + l-vs:
e a área de aço é As
Tabela 4.4.1 - Tensão (J~d (kN/cm )
d'
,,-~----------------
---
.f~'k ::; 35 MPa
Ó
CA-50
CA-60
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
O,ll
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
43,48
43,48
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
51,33
49,78
48,22
46,67
45,11
43,56
42,00
40,44
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
42,00
40,44
38,89
38,89
(
o dimensionamento de seções T pode ser feito de acordo com
a seguinte sequência de cálculos:
(momento reduzido solicitante)
2
hfd
(
(
Md
a) f1 =
(
(
(Jcd
(
= úJbr d (Jed / fvd .
2
Concreto
(4.4.3)
de seções T
4.5 - Roteiro para o dimensionamento
h
f
/3r. =-,
d
.
/3",
bw
: 0,45 , se fck
Çlilll
=-;; ,
.
{ Çlill1 - 0,35 , se
< 35 MPa
(
fr/( > 35MPa
(
na armadura de compressão
--
-----
--/
fe/( > 35MPa
CA-50
43,48
43,48·
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
43,48
42,00
40,00
38,00
36,00
34,00
32,00
30,00
(
Se
/3f > 0,8Çlill1'
dimensionar
largura bf e altura útil d , com~lO
uma seção retangular
com
(
capítulo 3.
(
CA-60
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,17
52,00
50,00
48,00
46,00
44,00
42,00
40,00
38,00
36,00
34,00
32,00
30,00
(
b) Calcular
rcclill1 e fllill1
através das equações (4.2.10) e (4.2.13),
(
ou ler esses valores diretamente das tabelas 4.2. I e 4.2,2.
c) Dimensionamento
(
com armadura simples ( ,u ::; ,ulill1):
(
(
Calcular J1f ~ p! ( I -
P; }
C
(
Caso I) f.l ::;,uf
Caso 2) fl > ,uI
=>
=>
(
(f)=1-~1-2f1
fl
*
=
,u-flr
/311'
(
(
. +flr
(
.
(
(
ca = /3.r (1-/3\1')+ /311"(1- ~I- 2/)
(
A área da armadura de tração é As = tob rel (Jrd .
.
f"d
,
(
(
(
(
._~j
)
\
)
~f------)
T-----
Flexão normal simples - dimensionameuto
144
Curso de Concreto Armado
d) Dimensionamento
com armadura dupla (f.1 > f.1lim):
de seções T
145
)
)
)
)
Calcular 0= d'] d e retirar a tensão
)
)
áJ' =
(fl- O
fllim ) f:'d
1-
)
(5~d da tabela
4.4.1.
~
36cm
40
(j'sd
)
áJ=r
)
.
+f.1.-f.1.lim
~
1-6.
cchm
)
)
Observacão:
Empregando-se
)
Çlim < 0,26,
ou Çlim ::; O, e f.1 > f.11im' devem-se
)
redistribuição
dimensões da seção transversal
de esforços, se resultar
aumentar
Fig. 4.6.1 - Dimensões da seção T
as
•
(ver capítulo 3).
Neste caso, tem-se:
)
e) Armadura mínima: ALl11in= Plllin Ar' onde Ac é a área da seção
)
transversal, considerando-se
a mesa e a nervura.
)
)
)
)
)
)
Nos casos em que a mesa está comprimida,
podem-se adotar
os mesmos valores de Plllin das seções retangulares, fornecidos na
tabela 3.11. J.
Se a mesa estiver tracionada, o momento de fissuração será
maior que no caso de mesa comprimida. Assim, para seções T com a
mesa tracionada,
multiplicados por 1,5. Evidentemente, se a mesa estiver tracionada, a
seção deve ser dirnensionada como uma seção retangular de largura
)
blV e altura h .
)
)
)
Se As < As.lllin' adota-se As = ALlllin .
4.6 - Exemplos de dimensionamento
)
Os exemplos apresentados
a seguir referem-se à seção
indicada na figo 4.6.1. Em todos os exemplos, adota-se um concreto
)
com fe/.: = 20 MPa e o aço CA-50.
)
I
50
f\'k
o
Os adimensionais
os valores de Pmin da tabela 3.11.1 de.vem ser
)
)
.
j vd = _._. = = 43,48 kN/cm~
.
Ys
1,15
/J
h
que definem a geometria são:
10
=_ f.. =-=028
.f
d 36
'
Çlim = 0,45 , pois fck
::; 35 MPa
/J.r < 0,8Çlim = 0,36
~
Entrando
tabelas
nas
dirnensionamento
como seção T
4.2.1 e 4.2.2 com
/311' = 0,20, obtêm-se 1~'('1i1ll
= 0,30 e ,ulim = 0,25.
/J.f = 0,28
e
.:.:
(
t.e§.
--r-
----------- - ------- _ ..~----'---------
Flexão normal simples·
Curso de Concreto Armado
146
diinensionamento
(
-------J
.-
(
] 47
de seções T
(
(
A) Exemplo
1: M d
= 150 kNm
B) Exemplo
r
=
r
M cI
=
15000
= O 16
2
?'
bjd (Teci 60x36- xl,2
Md
=
/I
1/
M d = 250kNm
2:
=
2
brd (}ed
25000
(
=
2'
°
(
27
(
60x36 x1,2
(
(
Como fi > filim = 0,25, a solução será com armadura dupla.
(
Como fl < fllim' o dimensionamento
~
será feito com armadura
flj
fJr) =0,28
= fJj ( 1-2
(° 8)
7
1- ';
d'
= - 4 = 0,11 => (},d, = 43,48 kN/cm" (da tabela 4.4.1)
d
36
.
(l)'
=0,24
(
o
U = -
simples.
= (fl-
fllim)
l-o
li:
I'
ir
f:'d = (0,27 - 0,25) 43,48 = 0,022
(}sd
1-~,l1
43,48
1:-
fi < fi r'
a mesa
sozinha
é capaz
de resistir
ao
1,2
~2x Ox3 6'x--=>AI'
A') -- OJ 'b j d -(}cd -- 0, 07'6
.
momento fletor de cálculo.
ai = 1- ~l- 2fi
(}al
As = wbjd-
f\'d
= 1- ~1-
1,2
= 0,175x60x36x--=>A,
43,48
Ae = 12x30 + 60xJ
°=
to = r
2xO,J 6 = 0,175
.
= 10,43cm
43,48
f\'d
.
+ fl- fllim =
"hm
, -1,31cm
.
1- o'
° +
30
2
°,
0,27 - 0,25 =
1- 0,11
(
(
I1
I'
Como
(
322
(
(
(
(
(
(
(
2
/.,/-j d (}cd -- O,3-~x
77 '60'x3 6'~
A s -- wu
X=>,
fwl
43,48
A -- 1,920 cm 2
.
(
(
960 em" (área da seção transversal)
Como As
2
> A,.min' adota-se As = 19,20cm •
(
(
Pmin = 0,15%
(tabela 3.11. I)
(
4.7 - Determinação
0,15
efetiva da mesa
;
As,min = Pmill Ac = 100 x960 = 1,44cm- (menor do que As)'
Logo, a solução é As = 10,43cm2.
da largura
I
I
Na figo 4.7.1, indica-se uma seção transversal típica dos pisos
de edifícios constituídos por vigas e por lajes maciças. Havendo uma
ligação adequada entre a laje e a nervura da viga, uma parte da laje
colaborará para a resistência e para a rigidez da viga. Assim, as vigas
podem ser projetadas como vigas T com LImamesa de largura br·
(
(
(
(
(
(
(
'0'.:,;.
)
I-~
)
.-)
..
)
Curso de Concreto Armado
148
-..,...Flexão normal simples - dimensionomellfO
de seções T
149
)
)
mesa colaborante
laje superior
)
)
)
DD
h
)
)
laje inferior
)
)
r:
armadura de costura
)
)
II
seção duplo T
II
j.
J,
)
J
estribos verticais
.]irf
.n
)
I
:"
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
~
Fig. 4.7.1 - Seção típica dos pisos de edifícios
A ligação entre a mesa e a nervura é consegui da através de
uma armadura de costura formada por estribos horizontais, conforme
é indicado na figura. O cálculo da armadura de costura e dos estribos
verticais para cisalhamento é apresentado no capítulo 6.
Conforme já foi salientado, a viga só funcionará como uma
viga T se a mesa estiver comprimida. Assim, nos casos de mesa
superior, como indicado na figo 4.7.1, tem-se uma seção T nos
trechos de momentos f1etores positivos. Nos trechos onde o momento
fletor é negativo, a viga funcionará como uma viga de seção
A solução indicada na figo 4.7.2, apesar de ser ideal do ponto
de vista da capacidade resistente, tem o inconveniente da perda de
formas, além de não permitir uma única concretagem do piso.
Considerando a flexão do conjunto formado pelas nervuras e
pela laje do piso, tem-se uma distribuição variável das tensões de
compressão na mesa, como é indicado na figo 4.7.3.
retangular com largura b.; e altura 11.
Evidentemente,
se a mesa for inferior (caso de vigas
invertidas) tem-se uma seção T nos trechos de momentos negativos e
uma seção retangular nos trechos de momentos positivos. Para haver
o funcionamento como viga T, independentemente
do sinal do
momento fletor solicitante, é necessário executar o piso com laje
dupla, conforme indicado na figo 4.7.2.
y
b/2
Fig. 4.7.3 - Variação das tensões de compressão na mesa
I'
a
t
;;'
1
·
;!!
(
.~
y
.J
(
(
150
Flexão norma/ simples =dimensionamento
Curso de Concreto Armado
11
11
15]
de seções T
ji
,I
(
(
,I
(
11
(
11
tensão sofre uma redução, valendo ar a uma distância y da face da
I'I
(
nervura. Uma vez que o dimensionamento
i:I1
(
Conforme
se observa, a tensão de compressão
nervura, onde ela alcança o valor de cálculo
a('(/.
J
é máxima na
Em seguida, a
~
b,
li
~
da seção é feito com a
lli
tensão máxima ard, torna-se necessário definir a largura efetiva da
}
(
mesa, bf ' de tal forma que a resultante das tensões de compressão
seja igual ao valor obtido considerando
(
(
b2
b4
as variações de CJ.t. Para que
(
isto ocorra, é necessário que
(
bl =
1
b2 /2
-
O"rd
faxdy
(4.7.1)
O
(
,
~
ba
~
~r,
'~
j:
-I!
onde b2 é a distância entre as faces de duas nervuras sucessivas.
b2/2,
para que uma mesma parte da laje não seja considerada
(
para
Os trechos b, e b:, indicados na figo 4.7.4, medidos a partir da
duas nervuras distintas.
De modo análogo, pode-se obter a dimensão
b3 e a largura
face da nervura fictícia, são dados por
efetiva da mesa será dada por
b{ = bl +bw +b1
de
bI,
de acordo
com a NBR-6118,
são definidas
as
ba = largura da nervura fictícia, obtida aumentando-se
valor
2
b
3
igual
ao
menor
cateto
a largura real
da
b2 = distância entre as faces das nervuras fictícias sucessi vaso
Essas dimensões são indicadas na figo 4.7.4.
(
(
::;;
(
{O,la
(4.7.3)
(
b4
em que a representa
a distância entre os pontos de momento fletor
nulo.
A distância a pode ser estimada em função do comprimento
do tramo considerado, como:
- viga simplesmente apoiada: a = I
_ tramo com momento em uma só extremidade:
bw = largura real da nervura;
de
O,la
{ O,5b
'li
(
seguintes variáveis:
para cada lado
correspondente;
bl::;;
(4.7.2)
A largura efetiva da mesa depende de uma série de fatores,
como o tipo de viga (isolada ou contínua), o tipo de carga aplicada
(concentrada ou distribuída), a existência de mísulas, etc. Para o
cálculo
(
(
Fig. 4.7.4 - Largura efetiva da mesa segundo a NBR-6l18
A integral dada em (4.7.1) é feita apenas até uma distância
(
rnísula
- tramo com momentos nas duas extremidades:
a
I
(
(
(
(
a = 0,751
(
= 0,601
(
- tramo em balanço: a = 21
Alternativamente,
a distância a pode ser obtida mediante
exame dos diagramas de momentos f1etores na estrutura,
(
(
o
(
(
(
=:
)
..•.",
.-----~
~--J
)
---_.-
----
-- .~-~._-_
.. _----~--_
---~
..
)
)
I
152
Flexão normal simples - dimensiouamento
Curso de Concreto Armado
de seções T
153
)
)
Portanto, a largura efetiva da mesa é dada por
abertura
)
t:
(4.7.4)
)
I -
Evidentemente,
b f = bt + b({ + b
d
j
)
para
, onde
uma
nervura
central
bt e b(' correspondem
aos valores de bj
medidos a partir das faces esquerda e direita da nervura fictícia,
respectivamente. Para uma nervura isolada, a largura efetiva da mesa
)
é bf = ba + 2b3 .
)
Na figo 4.7.5, indica-se a situação de uma nervura lateral.
Neste caso, a largura efeti va da mesa é bj. = b + bj e a secão é
)
)
')
2
tem-se
)
)
,, 1
-"""'--r-...=.c-
2
)
)
_ -
({
Fig. 4.7.6 - Largura efetiva da mesa na presença de abertura na laje
>
assimétrica. Devido à falta de simetria, a flexão será oblíqua.
Entretanto,
se existirem
vigas transversais de amarração que
impeçam o giro da seção, a mesma pode ser dirnensionada em flexão
normal com os procedimentos já apresentados.
Exemplo: Determinar a largura efetiva da mesa das vigas indicadas
na figo 4.7.7. As vigas são simplesiente apoiadas com vão I = 5 m.
a
)
=
Para todas as vigas, tem-se:
1= 500cm (vigas simplesmente apoiadas);
1zf = 5 em (espessura da mesa);
)
)
/
)
)
b1
,,
,,
,,
,
b2 = 50 em (distância entre nervuras);
r---
bu = b.; = 8 cm (largura da nervura fictícia, pois não há mísulas).
5
<~
)
/
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
'I
Ir ba
30
Fig. 4.7.5 - Nervura lateral
Quando a laje apresentar aberturas ou interrupções na região
da mesa colaborante, a largura efetiva da mesa é calculada como
anteriormente, respeitando-se as limitações impostas pelas aberturas.
Este caso é ilustrado na figo 4.7.6, onde se observa que a variação da
largura efetiva é determinada considerando-se mísulas de inclinacão
1 para 2.
'
V2
V1
viga transversal/
~.
50
.~~4
__
V3
5_0_-.!.~
unidade: em
Fig. 4.7.7 - Piso do exemplo (laje nervurada)
l)j ::;
O,la
= 0,lx500 = SOem
{ 0,5b = 0,5x50 = 25cTIl
2
~
b, = 25 em
..,
J
.{;"
_. ---------.---154
'T'""
(
(
(
Curso de Concreto Armado
(
bf = ba + b, = 8 + 25 = 33 em
Viga VI:
(
Capítulo 5
(
Vigas V2, V3, etc.: br = ba + 2b, = 8 + 2x25 = 58 em
FLEXÃO NORMAL SIMPLES
Verificação da Capacidade Resistente
As seções das vigas são indicadas na figo 4.7.8.
33
~
3011
J
r --~~
I5
.,------J'
viga V1
(
I5
(
5.1 . Definição do problema
(
Os capítulos 3 e 4 foram dedicados ao dimensionamento de
seções de concreto armado submetidas à flexão normal simples.
Conforme
foi apresentado,
o dimensionamento
consiste
em
determinar as dimensões da s,,"ão transversal e as armaduras
necessárias para garantir o equilíbrio no estado limite último
(definido através dos domínios de dirnensionamento).
Na realidade, ao enfrentar esse problema procura-se, de início,
fazer um pré-dimensionarnento
da seção de concreto. Assim,
conhecidas as dimensões da seção, o que se faz é calcular as áreas
(
30
..
~
(
(
58
~
(
~
demais vigas
Fig. 4.7.8 - Seções das vigas do piso (nervuras da laje)
das armaduras para um momento fletor solicitante de cálculo M d . A
segurança global obtida nesse processo é dada pela combinação
coeficientes parciais
dos
Y J' r, e ys·
O dimensionamento constitui o trabalho diário dos projetistas
elas estruturas de concreto armado. Entretanto, em muitas situações,
há a necessidade de resolver um outro tipo de problema: a
verificação da capacidade resistente.
O problema da verificação da capacidade resistente na flexão
normal simples pode ser colocado da seguinte forma: "dada uma
seção transversal de concreto armado com todas as dimensões e as
armaduras conhecidas, procura-se o momento fletor que leva a seção
à ruína". Esse problema surge, por exemplo, em reformas e
ampliações, quando se pretende mudar as condições de carregamento
de vigas e lajes. Interessa saber se a viga já construída resistirá às
novas cargas decorrentes da ampliação.
A princípio, pode-se pensar em realizar um dimensionamento
da seção transversal da viga (com o momento fletor devido ao novo
carregamento)
e comparar
as armaduras
calculadas com as
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
-.--'ol;r
)
)
5-·-----)
156
Curso de Concreto Armado
Flexão normal simples - verificação da capacidade
resistente
157
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
>
\
)
)
)
)
)
)
'>
)
)
)
)
)
I
armaduras existentes na seção. Entretanto, pode ocorrer que a viga
tenha sido projetada com critérios diferentes daqueles apresentados
nos capítulos 3 e 4. Por exemplo, a viga pode possuir armadura
simétrica
(As = A;).
Um dimensionamento
com o novo momento
fletor levará sempre a uma armadura assimétrica (conforme os
capítulos 3 e 4) e a questão poderá permanecer sem resposta.
Suponha uma viga de seção retangular com b = 15 em,
h =40cm,
As = A~ = 6,03 em" (3 barras de 16 mm em cada face),
aço CA-50
e concreto
realizado
para
o novo
com
fck
5.2 - Seção retangular com armadura simples
Na figo 5.2.1, indica-se uma seção retangular submetida à
tlexão normal simples. As dimensões da seção, b e li , a altura útil,
d , e a área da armadura tracionada,
= 20 MPa. O dimensionamento
carregamento
indicou
/\
A~ = 1,15 em". A viga resiste ou não resiste ao novo carregamento?
A resposta não pode ser dada apenas comparando-se as armaduras. É
necessário determinar o momento fletor de ruína da. seção com
As =
= 6,03 crrr' e compará-lo com o novo momento fletor
A;
projeto
estrutural,
As = 6,52 crrr' e
d
h
As = 6,52 cru e
solicitante.
Esse mesmo problema surge nos casos de revisão de projetos.
Considere-se, por exemplo, a ocorrência da ruína da viga anterior
(com As = A; = 6,03 em"). O projetista, chamado para revisar o
As, são conhecidas.
Fig. 5.2.1 - Seção transversal
O diagrama tensão-deformação
do aço é indicado na figo 5.2.2.
refez os cálculos
e chegou
à solução
A's = 1,15 em". Baseando-se
apenas nesses
resultados, ele não pode concluir que a ruína ocorreu devido a um
dimensionamento "errado". De fato, neste exemplo, as duas seções
apresentam a mesma capacidade resistente e a ruína da viga ocorreu
por outro motivo.
De um modo geral, o momento de ruína não pode ser obtido
de maneira
explícita,
mesmo para as seções
retangulares.
Normalmente,
deve-se
empregar
um processo
iterativo para
encontrar a posição da linha neutra e, em seguida, calcular o
momento de ruína. Entretanto, em alguns casos particulares pode-se
obter o momento de ruína diretamente, conforme se apresenta a
seguir.
Fig. 5.2.2 - Diagrama tensão-deformação
No diagrama
escoamento
é
tensão-deformação
representada
do aço
da figo 5.2.2, a tensão de
genericamente
por
I:
Logo,
a
.~
,.~
.-=:>~
(
J
(
(
-4.
(
Flexão normal simples - I'erificaç'r/o da capacidade resistente
Curso de Concreto Armado
158
159
(
(
deformação de escoamento é E)' = i./Es ,onde
E,. é o módulo de
elasticidade do aço.
Analogamente,
a resistência
à compressão
do concreto
fr,
adotando-se
o valor
designada
por
Caso 1) Domínios 2 e 3
0,85 I; no diagrama
(
intervalo
o ~ x ~ xb
se procura o momento de ruína de cálculo,
deve-se trabalhar com as resistências de cálculo, isto é,
t; = fcd'
adota-se
(
Neste caso, a profundidade da linha neutra, x, fica limitada ao
será
retangular simplificado.
Quando
(
Se o momento de ruína característico
(
(5.2.2)
(
M 11'/'
i, = f,.c! e
for de interesse,
A deformação
da armadura é Es ~ E\, e, consequentemente,
tensão na armadura é o, = [;
(
a
(
.
(
I, = I« e .I;, = fck .
Na figo 5.2.3, são representados os domínios correspondentes à
f1exão simples. Observa-se que o domínio 4 também deve ser
considerado, pois a seção dada pode ser superarmada.'
Caso 2) Domínio 4
(
,
~
A profundidade da linha neutra está situada no intervalo
Xli
•
(
<x ~ d
,
(5.2.3)
I
3,5%0
e o aço não atinge o escoamento.
A deformação da armadura é obtida do diagrama indicado na
figo 5.2.4.
Xb
(
i:i
(
·'i
(
3,5%0
(,
~I
:1'
i
I~
11
x
10%0
(
-n
(
Ey
(
(
Fig ;;'2.3 - Domínios em flexão simples
(
A profundidade
da linha neutra, '\b' na condição balanceada é
(
Es
dada por
3,5%11
+ E .v
, /00
xb =.[ 3 5 0/
Jd
Fig. 5.2.4 - Deformação da armadura
(
no domínio 4
(
(5.2.1 )
.A tensão na armadura varia conforme a ruína ocorra nos
domínios 2 e 3 (seção subarmada e normalmente armada) ou no
domínio 4 (seção superarrnada).
De acordo com a figo 5.2.4, tem-se
Es
3.5°/
, 100
d-x
(
(5.2.4)
x
ele onde resulta
:.:.
J
~~
..
(
(
(
"
I
.,~.
(
)
li-
)
.)
---~..,.,..-,,--------
)
Flexão normal simples - verificação da capacidade
Curso de Concreto Armado
160
resistente
161
)
)
)
E.I·
= 3,5 %0 (d~ -xJ
(5.2.5)
Aplicando as equações de equilíbrio, resulta:
)
)
Considerando o diagrama tensão-deformação
na figo 5.2.2, a tensão na armadura é dada por
do aço indicado
a) Equilíbrio de forças:
)
(5.2.10)
)
(5.2.6)
)
Substituindo
as expressões de Rrc e R" chega-se a
)
)
.\
)
)
Logo, dada a profundidade x da linha neutra, empregam-se as
equações (5.2.1) a (5.2.3) para verificar em qual dos casos o
problema se enquadra. Identificado o caso, obtém-se a tensão na
armadura.
Na figo 5.2.5, indicam-se as resultantes das tensões na seção
transversal, juntamente
com o momento de ruína
(5.2_11 )
onde O's = f\.,
(5.2.6»,
M 11'
}
se .r::; x/), e O's é uma função
de x (equação
se X> xb'
b) Equilíbrio de momentos:
)
(5.2.12)
J
z
.>
Substituindo
as expressões de
)
)
Rs
)
)
,)
Fig. 5.2.5 - Resultantes das tensões na seção transversal
A resultante
das tensões de compressão
no concreto,
)
)
')
A equação (5.2.11) fornece a profundidade
da linha neutra, x,
Rr-r-, é
Mil'
Entretanto,
como existem dois casos possíveis para o cálculo da tensão na
armadura, é necessário fazer um teste para saber se a ruptura ocorre
nos domínios 2 e 3 ou no domínio 4.
o seguinte procedimento pode ser empregado:
onde a;
= 0,85f(" e o braço de alavanca é
Z=d-O,4x
(5.2.8)
1) Admite-se que a ruptura ocorre no domínio 2 ou no domínio 3,
isto é, adota-se O's = i...A equação (5.2.11) fornece a posição da
linha neutra, na forma
)
)
(5.2.13)
(5.2.7)
)
(
Mil =0,8bx(d -0,4x)o'c
e a equação (5.2.13) fornece o momento de ruína,
dada por
)
Rrc e de Z , resulta
A força na armadura é dada por
(
--~J
;&
"'r
(
(
(
162
Flexão normal simples,
Curso de Concreto Armado
(5.214)
significa
M ud : adotando os coeficientes
que a hipótese
anterior
estava
(
(
(
parciais de segurança
(
Neste caso, deve-se trabalhar
dos materiais:
3) Se resultar x> xb, significa que a ruptura ocorre no domínio 4 (a
t. =~=--=
. e
v
14
seção é superarmada) e o valor de .x dado em (5.2.14) está errado.
Substituindo (5.2.6) em (5.2.11 ), obtém-se
(
Y(' = 1,4 e Ys = 1,I 5 .
correta, Com este valor de x, calcula-se o momento de ruína através
da equação (5.2.13).
t,
I
c
(
com as resistências de cálculo
(
(
20
14MPa
(
'
(
CY(' = 0,85fc
- 3,SAsE, + .J3,S~E\"
163
f~'k = 20 MPa e o aço é o CA-50. Determinar o momento de ruína
de cálculo
x::; xb,
da capacidade resistente
o concreto possui uma resistência à compressão característica
x = 1,25 Alf,.
bCY c
2) Se resultar
verijicaçào
= 12 MPa :::::::>CY
=e 1,2 kN/cm~
(
(3,SAyE\. + 3200bd(Je)
x=----~~~--~~--~~------~
1600bCY('
Com este valor de .x, calcula-se
da equação (5.2.13).
(
(5.2.15)
fvk
_ 50 = 43,48 kN/cm2
(
'r: -1,15
s
o momento de ruína através
I;
E,
= Es
(
43,48 = 2,174%0
= 20.000
{
{
Exemplo 1:
Da equação (5.2.1), obtém-se
Considere-se a seção retangular indicada na figo 5.2.6.
h=40
d=36
xb
= 22,2 em.
A primeira estimativa da profundidade
por (equação (5.2.14»
.' = I 25 Asfv
.\,
bo;
da linha neutra é dada
= 1')5
,_ 3x43,48
15xl,2
= 906
,
em
x < xb'
que esse resultado está correto
(a
Da
o
A s=3cm2
A
I~b=15cm .I
(
Como
significa
seção não é superarrnada).
momento de ruína de cálculo
MI/d
= 0,8x15x9,06(36
equação
- 0,4x9,06)1,2
(5.2.13),
obtém-se
('
= 4224 kNcm
(
Fig. 5.2.6 - Seção transversal
Logo,
MI/d
= 42,24kNm.
(
_..
("
(
(
)
)
------- --------------------
)
)
164
--"1'"----- -----.----Flexão normal simples> verificação
Curso de Concreto Armado
do capacidade
J 65
resistente
)
)
::\50/00
/
). Assim
devem ser considerados
.
,
E:xemplo2:
-,
)
)
)
r
os dois casos seguintes
'-"'
para o cálculo das deformações nas diversas camadas da armadura.
Resolver
o exemplo
anterior considerando
uma área de aço
As =9cm2.
•
)
•
A primeira estimativa da posição da linha neutra é dada por
)
)
- = 1, 25 Asf\' = I ,~'">59x43,48 = '">7
~ , 2 cn1.
h
X
ba;
)
15xl,2
•
Como resultou x> xb, significa que a seção é superarmada. O
)
valor correto de x, dado na equação (5.2.15), é x
Substituindo
•
= ~3,44cm.
x = 23,44 na equação (5.2.13), resulta
)
MlId
•
I~ b
)
)
•
= 89,87 kNm.
Fig. 5.3.1 - Seção transversal
)
J
)
)
)
)
)
)
r)
)
)
)
)
J
\
5.3 - Seção retangular com várias camadas de armadura
Em geral, o cálculo do momento de ruína de seções com mais
de uma camada de armadura não pode ser feito da forma explícita
apresentada
anteriormente.
Nesses casos, deve-se empregar um
processo iterativo para a obtenção da profundidade da linha neutra.
Considere-se a seção retangular com II camadas de armadura,
indicada na figo 5.3.1. A camada I é a mais próxima da borda
t •.acionada.
Para generalizar a formulação, é conveniente admitir que todas
as camadas da armadura estejam comprimidas. Assim, se uma
camada estiver tracionada, resultará uma deformação negativa e,
consequentemente,
uma tensão negativa nessa camada. Dessa forma,
o sentido correto das forças nas camadas
de aço ficará
automaticamente garantido.
Observando os domínios da figo 5.2.3, verifica-se que no
domínio 2 a deformação
domínios
da camada I é fixada (igual a lO.%u). Nos
3 e 4, a deformação
da borda comprimida
é fixada (igual a
Caso I) Domínio 2
Neste domínio, tem-se
3.5 I
O::;x::;-'-G!
(5.3.1)
13,5
conforme pode ser deduzido da figo 5.2.3.
Na figo 5.3.2, indica-se a distribuição das deformações no
domínio 2.
Empregando a semelhança de triângulos, verifica-se que a
deformação
êsi da camada genérica da armadura
é dada por
(5.3.2)
(
.;:
..J
(
(
166
Cur.HJ de Cal/ereto
Flexão normal simples - verificação
Armado
da capacidade resistente
167
(
(
(
(5.3.4)
E\i =3,5%o(X~di)
(
(
d1
Logo, dada a profundidade da linha neutra, calcula-se a
deformação em cada camada da armadura com o emprego das
equações (5.3.2) e (5.3.4), conforme o caso. Entrando no diagrama
(
tensão-deformação
(
do aço, obtém-se
a tensão CJsi em cada camada
de aço.
Na figo 5.3.4, indicam-se a resultante de compressão
concreto e a força na camada genérica da armadura.
100/00
(
(
no
(
(
Fig. 5.3.2 - Deformação da camada i (domínio 2)
(
Gc
(
Caso 2) Domínios 3 e 4
(
di
A profundidade
3,5
13,5 di < x 50 di
A distribuição
das
representada na figo 5.3.3.
deformações
z
G"
da Iinha neutra varia no intervalo
seção
transversal
(
d1-di
(5.3.3)
na
(
RSi
(
é
(
Fig. 5.3.4 - Resultantes das tensões na seção
3,50/00
(
A resultante
de compressão
no concreto,
Rrr'
e o braço de
alavanca, Z , são dados por
di
(
(
x
Rcr
= 0,8bx<J r
(5.3.5)
(
(
Z=dl-O,4x
(5.3.6)
(
A força na camada genérica de armadura é
(
Fig. 5.3.3 - Deformação da camada i (domínios 3 e 4)
De acordo com a figo 5.3.3, tem-se
R,·i=Ayi<J.\i
onde AYi é a área de aço da camada i.
(5.3.7)
(
(
(
)
)
)
_._-_ _-- - _._--_._-----------------------------------------~--~~
)
..
..
J
....
í
Curso de Concreto Artnado
168
Flexão 1101'/1101 simples - verificação
da capacidade
resistente
169
)
)
Empregando
as equações de equilíbrio, resulta
Em seguida, calcula-se
, )
Se
11
)
s.; + L A1iO"si = O
)
(5.3.8)
i=J
)
11
MlI = RccZ + LA~PsJdJ
)
(5.3.9)
-di)
i='
)
)
)
)
)
)
A equação (5.3.8) fornece a profundidade da linha neutra e a
equação (5.3.9) fornece o momento de ruína. Entretanto, a incógnita
x ~ que define a posição da linha neutra, não pode ser obtida
diretamente da equação (5.3.8). Para encontrar x, deve-se empregar
um algoritmo iterativo.
A equação (5.3.8) pode ser escrita genericamente na forma
f(x)=O,
onde
f(x)=
R('(.(x)+ LAliO"sJr)
)
tol
é uma
foi a1cançada
e
.\,
e testa-se a convergência.
tolerância
preestabelecida,
é considerada
a solução
a
do
problema.
Se a convergência
não for alcançada,
deve-se reduzir o
intervalo solução e iterar novamente. Para isto, avalia-se o produto
p, = fof, . Se resultar p, > O, como indicado na figo 5.3.5, adotamx() = x,
e
.I~= f,.
Se
P, < O, devem-se
fazer
Xu
= x,
e
.I;, = fi'
Com o novo intervalo, desta vez menor que o anterior, repetese o cálculo de
x, com o emprego da equação (5.3.11) e assim,
sucessivamente, até a convergência. Encontrada a profundidade
linha neutra, calcula-se o momento de ruína com o emprego
equação (5.3.9).
1I
)
onde
convergência
se
)
IIJ 1< tol,
I, = f(x,)
da
da
f(x)
(5.3.10)
i=J
)
A raiz dessa equação deve se situar no intervalo
)
)
)
)
)
)
, )
)
)
],
J
que
engloba os domínios da f1exão simples. Para encontrar a raiz, podese empregar o processo da bissecante, ilustrado na figo 5.3.5.
Os limites do intervalo onde se situa a raiz procurada são
Xo
= O e Xu = d, . A função f(.r) nos extremos do intervalo vale
r: = f(xo)
e fu
A primeira aproximação
(xu' fu)
x
= f(xlI)'
xJ
para a raiz da função
tomada como a interseção da reta que passa pelos pontos
)
[O, d
com o eixo das abscissas. O valor de
f (x) é
(.ro'.f~) e
x, é dado por
Fig. 5.3.5 - Processo da bissecante
(5.3.11 )
Exemplo 1:
)
)
)
'\
Determinar o momento de ruína de cálculo da seção
transversal indicada na figo 5.3.6. A seção é armada com 7 barras de
(
_"6-
(
-----T -----
~
(
(
170
Flexão normal simples - verificação
Curso de Concreto Armado
171
da copa cidade resistente
(
x = 21,73 CI11; M ud = 125,54 kNm.
16 mm na zona tracionada e 2 barras de 16 111111na borda
comprimida. O concreto possui t., = 20 MPa e o aço é oCA-50.
(
o momento
-
-
•
1 14 f
-
•
•
k
Considere-se
a seção retangular
com duas
armadura indicada na figo 5.3.7 e os seguintes dados:
36
'-
camadas
de
1
- concreto:
1
(
Irk = 20 MPa;
- aço CA-SO;
- coeficientes parciais:
(
r ( = 1,4; rI" = 1,4; r.1 = 1,15.
(
(
15
Dimensionar
~
Área de 1 barra = 2,01cm2
a seção e calcular
o coeficiente
de segurança
global.
Como se procura o momento
(
A' 5
de ruína de cálculo, deve-se
trabalhar com as resistências de cálculo
(
36
f; = f("(1 e Ir = f\'(I .
Empregando o algoritmo da bissecante (implementado
programa de computador), resulta
(
(
As
em um
(
(
x = 21,43 em ; M ud = 129,14 kNm.
~
toda a armadura
de tração (A~
Mllll
=147,22kNm.
O momento de ruína nesta segunda hipótese é maior do que o
momento de ruína obtido com a disposição real das barras, C0l110era
esperado.
Considerando
a armadura de tração concentrada no seu
centroide (d
3'2,57 em), resulta
=
15
(
.1
= 14,07 crrr')
na camada inferior i d = 36cl11), resulta
x=23,59cm;
(
(
Fig. 5.3.6 - Seção transversal
concentrada
(
(
- momento fletor de serviço: M k = 30 kNm;
4
Considerando
(
(
32
..1
-• • -- ....•
(
(
Exemplo 2:
28
40
de ruína obtido desta forma é igual a 97% do
momento de ruína com a disposição real das barras.
f
(
(,
(
Fig. 5.3.7 - Seção com duas camadas de armadura
a seção, obtêm-se
As = 2,98 em' e
(solução com armadura simples).
O coeficiente global de segurança,
S , é definido por
Dimensionando
A'=O
s
(
(
(
(
s= M{{k
Mk
(5.3.12)
_.(
(
(
)
)
---------_
..
)
)
_-
Flexão normal simples - verijicação da capacidade
Curso de Concreto Armado
172
-,--resistente
173
)
)
)
onde
M k é o momento
solicitante
característico
M uk é o
e
)
momento de ruína obtido com as resistências características.
Logo, para a determinação do momento de ruína, deve-se
)
trabalhar
)
)
)
com
I. = .f~k
e
i, = frk·
Empregando
I
o algoritmo
0c
O,8x
anterior, resulta
h
M uk = 49,29 kNm;
s = 49,29 = 164.
30
'
•...
)
)
I
-
Exemplo 3: Repetir o exemplo anterior com M k = 70kNm.
)
)
- Dimensionamento:
)
)
- Momento de ruína: M ú]: = 115,80 kNm
Caso I) 0,8x S hf ~X
- Coeficiente de sezuranca
to,
S 1,2511f
Neste caso, apenas
constante
)
)
Fig. 5.4.1 - Seção T
A; = 7,46 cm2 e A~ = 2,09 Cl;,2
()c.
As expressões
J 15,80
: S = ---70' = J 65
a mesa está comprimida
com a tensão
necessárias são
Rcc=0,8bfx()c
(5.4.1)
Z = d, -O,4x
(5.4.2)
J
)
)
5.4 - Outras formas de seção sob flexão normal simples
Caso 2) x > 1,25h
)
)
A formulação
apresentada
para as seções retangulares
permanece válida para outras formas de seção transversal, desde que
,)
a resultante de compressão
)
)
)
)
no concreto,
Rcc, e o braço de alavanca,
Z, sejam corretamente
avaliados. Assim, o problema geral fica
representado pelas equações (5.3.8) e (5.3.9).
Considere-se, por exemplo, a seção T da figo 5.4.1.
Para esta seção devem-se considerar dois casos, conforme foi
mostrado no capítulo 4.
r
A nervura também estará comprimida, resultando
(5.4.3)
(5.4.4)
(5.4.5)
)
)
)
)
(5.4.6)
j
A
- -------
- -----
(
(
--~
T
(
i
('
C
(
Capítulo 6
(
(
ESFORÇO CORTANTE
(
(
(
(
6.1 - Introdução
(
Considere-se a viga biapoiada da figo 6.1. J , submetida a duas
cargas concentradas iguais e equidistantes dos apoios. Na mesma
figura estão indicados os diagramas de momentos fletores e de
esforços cortantes na viga.
(
(
(
(
lP
Pl
-..K.
~
a
~~
1-2a
~~ a
(
#-r
(
~I
(
'\\J_{7
+
vQ
M
(
(
(
(
(
(,
Dv
(
(
(
Fig. 6.1.1 - Carregamento
e esforços solicitantes
No trecho entre as cargas, o único esforço solicitante é o
momento fletor M , enquanto nos trechos de comprimento a atuam
o momento fletor e o esforço cortante V .
(
(
(
-(
(
(
)
)
----------------------------------
)
)
176
Curso de Concreto Armado
)
)
)
T
Esforço cortante
177
I
Na figo 6.1.2, estão indicadas as componentes das tensões em
mTI elemento infinitesimal
localizado entre as duas cargas.
)
)
)
)
-
----------------------------
o
)
x
)
)
)
Fig. 6.1.3 - Tensões normais e de cisalhamento
)
Enquanto não aparecer a primeira fissura, a viga se encontra
no Estádio I e a análise pode ser feita com as fórmulas clássicas da
)
)
Resistência dos Materiais.
)
Fig. 6.1.2 - Tensões no trecho entre as cargas
)
)
, )
)
)
)
)
Jx
Logo,
(5.\
componentes
das tensões,
)
'I
A
é a própria tensão principal na direção do eixo da
r\J
)
é positi va (tensão de
viga. Assim, no trecho entre as cargas, as trajetórias das tensões
principais são paralelas ao eixo da viga.
Nos trechos onde há esforço cortante, surgem tensões de
cisalhamento
)
(5.r
tração) e acima da linha neutra ela é negativa (compressão).
componente (5" é desprezada na teoria de vigas esbeltas.
)
)
é obtida em função do momento fletor,
da forma usual. Abaixo da linha neutra,
)
)
I
A tensão normal
Quando a tensão principal de tração,
= 'v.\' conforme
momento fletor e do esforço
Resistência dos Materiais.
As tensões principais
(5.\
é indicado
e rry'
na figo 6.1.3. As
são obtidas em função do
cortante com as fórmulas
clássicas da
(51 e (52 estão inclinadas em relação ao
eixo da viga. Na altura da linha neutra, o ângulo de inclinação
igual a 45°.
() é
(51'
atinge a resistência à tração do concreto, surge uma fissura inclinada
e a viga entra no Estádio lI. No estado fissurado, não mais se aplicam
as fórmulas mencionadas.
Na figo 6.1.4, indicam-se as trajetórias das tensões principais e
as orientações das fissuras ao longo do eixo da viga.
--
compressão
-
-
tração
~ fissuras
Fig. 6.1.4 - Trajetórias das tensões principais e orientação
fissuras em uma viga f1etida
das
(
'.',JI,
Y;.
fi1,;
(
-.d
."'"=-
178
Curso de Concreto A miado
Excluindo-se fatores de natureza aleatória, pode-se dizer que
as fissuras são perpendiculares à direção das tensões principais de
T
I
..=..
(
(
179
Esforço cortante
(
(
bielas de
compressão
estribos
(
?I
(
--
A
tração a). Assim, no trecho entre as cargas as fissuras são verticais,
Ree
pois o esforço cortante é nulo nesse trecho. Entre as cargas e os
apoios, as fissuras são inclinadas devido ao esforço cortante.
Em virtude da baixa resistência à tração do concreto, a
fissuração de uma viga de concreto armado é um processo inevitável.
Dessa forma, a análise deve ser feita sempre no Estádio Il, através de
algum modelo comprovado experimentalmente.
Assim, para o concreto armado, o dimensionamento ao esforço
cortante é feito de acordo com o modelo de treliça idealizado por
Mõrsch. Nesse modelo imagina-se que, após a fissuração, o esforço
cortante é equilibrado pela associação de bielas comprimidas de
concreto e de diagonais tracionadas acompanhando as trajetórias das
tensões principais. As tensões de compressão nas bielas inclinadas
devem ser limitadas, para não haver a ruptura por esmagamento do
concreto. As diagonais tracionadas
são formadas por estribos,
convenientemente
dimensionados
para o esforço de tração de
cálculo.
Na figo 6.1.5, são representadas
as treliças idealizadas no
interior da viga, nos casos em que as diagonais tracionadas são
formadas por armadura inclinada e por estribos verticais. Conforme
se observa, o espaçamento entre as barras da armadura transversal
deve ser limitado a um valor máximo, para que as mesmas possam
costurar as fissuras inclinadas.
No modelo original, Mõrsch admitiu que as bielas de
compressão estivessem inclinadas a 45° em relação ao eixo 'da viga,
acompanhando a inclinação das tensões principais na altura da linha
neutra. A treliça assim formada é conhecida como treliça clássica de
Môrsch. Atualmente, sabe-se que a teoria clássica da treliça fornece
uma armadura transversal superior à necessária. Por isso, o modelo
de Mõrsch sofreu pequenas alterações que permitem considerar
diferentes inclinações para as bielas de compressão. Assim, o
dirnensionarnento atual é feito ele acorelo com a denominada treliça
generalizada de Mõrsch.
(
(
z
(
(
(
Rscl
(
fissuras
banzo tracionado .
(
(
banzo de compressão
,
(
Ree
-r-
(
(
z
(
\
(
(
Rscl
(
(
Fig. 6.1.5 - Analogia da treliça de Morsch
(
\
(
(
6.2 • Treliça generalizada de Morsch
Na figo 6.2.1, indica-se um trecho da viga submetido ao
esforço cortante de cálculo Vd e a trel iça idealizada em seu interior.
O ângulo de inclinação das bielas é igual a () e os estribos
inclinados de um ângulo a em relação ao eixo da viga.
estão
(
\
(
(
(
-- (
(
,
(
)
,
)
) --~--)
--
-
--
Esforço cortante
Curso de Concreto Armado
180
181
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Fig. 6.2.2 - Forças nas barras ela treliça
)
)
Na figo 6.2.3, representa-se
Fig. 6.2.1 - Analogia da treliça generalizada
força de compressão
)
)
)
(Ir
= Z(cotgB+cotga)
S, e S2.
(6.2.1 )
110
= (le senB
As forças atuantes nas barras da treliça são
)
representadas na figo 6.2.2.
As equações de equilíbrio
)
F=~
c
)
são dadas por
senB
(6.2.2)
)
F=~
s
)
(6.2.3)
sena
)
)
)
j
,'\
à
Fc. Essa força atua em u ma área Ac = bwho,
onde Z é o braço de alavanca obtido no dimensionamento à flexão
simples.
As condições de equilíbrio são estabelecidas considerando-se
as seções
)
submetida
dada por
)
)
uma biela simples
onele bw é a largura da viga e 110 é a dimensão normal à força Fe'
A distância ar entre duas bielas sucessivas é dada por
)
)
Seção S2
Seção S1
)
onde F, é a força de compressão
nas diagonais da treliça.
na biela e FI' é a força de tração
Fig. 6.2.3 - Solicitação na biela inclinada
(6.2.4)
.
.,.
J
\:.."
!'!'"
(
(
(
(
Introduzindo
a expressão
de
dada na equação (6.2. I),
{lc
obtém-se a tensão de compressão na biela,
ac = F;. / Ar ' na forma
A tensão dada em (6.2.9) deve ser limitada para evitar o
esmagamento ela biela ele compressão. Para levar em conta a redução
da resistência à compressão do concreto provocaela pelas fissuras
inclinadas, deve-se limitar
r,
a = ----;c-----'-
(6.2.5)
bwZ(cotg8+cotga)sen8
c
183
Esforço cortante
Curso de COl1creLOArmado
182
compressão reduzida.
reduzida é dada por
ar ::;t.», onde
f('(lr
é a resistência
à
De acordo com o CEB/90, essa resistência
(
(
(
(
(
(
(
Substituindo
a expressão de F; dada em (6.2.2), resulta
frdr
(6.2.11)
= Q,60( 1- ;;~ )fcd = 0,60a,J'd
(
(
a =
c
Particularizando
V
d
Empregando
(6.2.7)
,
bllZ(catg8+ l)sen- ()
estribos verticais (a
')
bllZcotg()sen - 8
(
A
calculada
tensão
convencional
de
para a menor largura
cisalhamento
T\\Id
deve
ser
b"J da seção transversal da peça
(quando a largura for variável).
A treliça apresentada na figo 6.2.1 é composta por diagonais de
= 90° ), chega-se a
Vd
bllZ cas ()sen ()
(6.2.8)
por
toelos os seus ramos, é igual a Asl e o espaçamento
longo do eixo da viga és.
de comprimento
{lI'
dos mesmos ao
Logo, a área total da armadura no trecho
é dada por
ar-
Vd
r",d = b ti
11'
A, =-A11
(6.2.10)
(
(
(
(
(
(
(
(
(cotg8 + catga )sen - ()
onde
(
(
altura útil da viga, a expressão (6.2.6) pode ser escrita na forma
,
(
(
{lI"
barras da armadura
transversal.
Assim, é necessário fazer a
correspondência entre o modelo idealizado e a situação real.
Na figo 6.2.4, indicam-se os estribos da armadura transversal
na configuração idealizada e a disposição realmente adotada no
projeto. A área da seção transversal de um estribo, considerados
ar =
(
modelo, foi obtida a força de tração na diagonal. conforme a equação
(6.2.3). Entretanto, o espaçamento real dos estribos deve ser menor
igual a
Comparando as equações (6.2.7) e (6.2.8), verifica-se que a
compressão no concreto é menor quando se utilizam estribos
inclinados a 45°. Entretanto, por razões práticas, empregam-se quase
sempre os estribos verticais.
Adotando como uma aproximação
Z = 0,90d, sendo d a
(6.2.9)
(
A partir desse
com um espaçamento
que aI" para evitar o surgimento de uma fissura não interceptada
l,llrlt'd
(
(
onde r"'1I =0,27al'f~d'
vri
V"
resulta
(6.2.12)
TII'c! ::; T"'II
tração simples,
ar =
(
Fixando () = 45° , a = 90° e fazendo a(' ::; fedI"
a expressão (6.2.6) para a = 45°, obtém-se
'"'"=
Vr
(6.2.6)
bllZ(cotg8 + cotga)sen 2 8
com f~k em MPa.
S
(6.2.13)
(
-(
(
(
)
_-='~
)
---
)
)
184
----._--------~-~------------------~----~======~
Curso de Concreto Armado
....•..
Esforço cortante
185
)
)
lOOV
diagonais
tracionadas
)
estribo
d
= Zfrd (cotgB + cotgzr
)'sen a
A~lI'
21
em m
(6.2,17)
)
Substituindo
)
Z = O,90d e a equação (6.2. J O), chega-se a
)
=
A
)
S\I'
)
IOOb ,(I,llr
frd ( cotgB+cotga
ll
,cm2/m
lld)
)
(6.2.18)
sena
)
)
6.3 • Treliça clássica de Morsch
disposição real
)
modelo
)
Fig. 6.2.4 - Disposição
No modelo da treliça clássica de Morsch, admite-se que as
bielas de compressão estejam inclinadas a 45° em relação ao eixo da
dos estribos ao longo da viga
viga. Substituindo
)
)
A força de tração transversal
comprimento ar-' é igual a
resistida
pelos
estribos,
A m' -
)
B = 45° na equação (6.2.18), resulta
no
,
(6.2.14)
IOOb",(I,II-rwd)
frd
(
)
1+ cotga sen a
2
, em /m
(6.3.1)
)
)
onde fvd
.
)
.
é a tensão de escoamento de cálculo do aco.
A condição de equilíbrio é expressa por
,)
(6.2.15)
)
')
)
)
)
)
onde
Fs é a força de tração solicitante dada na equação
Fazendo
obtém-se
as substituições
As!
s
necessárias
na equação
Vil
Zlw/(cotgB+cotga)sena
(6.2.3).
(6.2.15),
(6.2.16)
Os resultados experimentais indicam que esta equação fornece
uma armadura excessiva. Isto ocorre porque no modelo da treliça
clássica não são considerados diversos fatores que contribuem para a
resistência ao esforço cortante, como a contribuição do concreto
tracionado entre fissuras, o engrenamento do agregado graúdo, a taxa
da armadura longitudinal, a inclinação do banzo comprimido, dentre
outros.
Esses efeitos podem ser considerados, especificando-se
um
e
ângulo
< 45° para a incl inação das bielas de compressão.
Alternativamente,
a armadura transversal pode ser calculada com
uma tensão convencional de cisalhamento reduzida. Adotando-se
esse segundo procedimento, a equação (6.3.1) é escrita na forma
)
)
)
)
)
, ")
(6.3.2)
A equação (6.2.16) fornece a área de aco necessária em um
comprimento s da viga, sendo expressa em cm~/cm. Logo, a área de
aço, Asw, por metro de comprimento
da viga é dada por
onde
.--------~
-.,~
''-
"
'T
(
(
(
187
Esforço cortante
Curso de Concreto Armado
186
(
(
(
rd = 1,11(TlI'd - ri' )
(6.3.3)
e Te é um fator de redução.
Adotando
a = 90° , chega-se a
A
.1'1\'
6.4 - Critério de projeto da NBR-6118
A seguir são apresentadas as considerações da NBR-6118
sobre o dimensionamento ao esforço cortante de vigas de concreto
armado. Essas considerações são aplicáveis às peças lineares com
(
b.; S; 5d , sendo b.; e d a
(
armaduras de cisalhamento
--I OOb ",-.
TlI
- ,cm 2/m
(6.3.4 )
fvd
(
e nas quais
(
(
largura e a altura útil da seção transversal, respectivamente.
A tensão convencional de cisalhamento,
rll'd, é dada por
(
(
e para a
Vd
= 45° , resulta
rwd
= l'J d
(6.4.1 )
\I'
. = 100
Anl'
b
rd
li'
Ir vi!
C'
::>
' em
1m
(6.3.5)
+,
Assim, o dimensionamento
ao esforço cortante consiste na
limitação da tensão de compressão inclinada no concreto (através da
equação (6.2.12») e no cálculo das armaduras transversais (com a
equação (6.3.4) ou (6.3.5».
A armadura transversal pode ser constituída por estribos
inclinados, estribos verticais ou estribos e barras dobradas. Os
estribos incl inados reduzem a compressão na biela de concreto, mas
acarretam dificuldades construtivas associadas à necessidade de um
rigoroso controle para evitar a inversão do sentido de inclinação dos
mesmos.
O uso de barras dobradas (cavaletes) apresenta inconvenientes
relacionados
à concentração de tensões e à possibilidade de
fendilhamento
do concreto, além de exigir maior mão-de-obra.
Segundo a NBR-6 118, as barras dobradas não podem resistir mais
que 60% do esforço cortante de cálculo (os 40% restantes devem ser
resistidos por estribos). Além disso, as barras dobradas devem ser
dimensionadas considerando apenas 70% do valor de cálculo da
tensão de escoamento do aço.
Dessa forma, nas construções usuais, a armadura transversal
das vigas é constituída, quase que exclusivamente,
por estribos
verticais.
onde Vd é o esforço cortante de cálculo.
A dimensão b.; representa a largura das seções retangulares
I
R
(
(
(
(
ou a largura da nervura das seções T. Se a largura da nervura for
variável, deve-se adotar a menor largura ao longo da altura útil.
Para evitar o esmagamento da biela de compressão, deve-se
(
impor a restrição
(
rwd
S; i.;
(6.4.2)
(
(
(
A tensão limite r"'lI é dada por
rlrl!
= 0,27 al..f,d
(
(6.4.3)
(
l
sendo
.t~d a resistência de cálculo à compressão do concreto e
(
(
lck
aI' = 1- 250
com
(6.4.4)
(
(
.t~k em MPa.
(
Se a desigualdade dada em (6.4.2) não for atendida, devem-se
alterar as dimensões da seção transversal da peça.
A tensão rd' para o cálculo da armadura transversal, é dada
(
por
(
Td
=l,ll(r"'d
-r,):2:0
(6.4.5)
(
(
(
)
J
)
f
)
)
Curso de Cal/crera Armado
188
)
)
)
onde
Te
é dado na NBR-61 18 em função da resistência à tração de
cálculo do concreto.
)
Adotando-se
o coeficiente
Ye = 1,4 , pode-se escrever
de
minoração
da
189
- Estribos verticais:
1
)
)
I
cortante
Esforço
A
S\I'-
-] 0017
",--
rd
(6.4.10)
, Clll"/lll
fwl
resistência
- Armadura inclinada a 4So:
)
(6.4.6)
)
(6.4.11)
)
)
)
)
o coeficiente
IJI.."
com a linha neutra cortando a
= 0,09
(6.4.7)
IJI."
armadura mínima,
- Na flexo-compressão:
If/J
)
=0,09(1+
)
borda menos compri mida e M d é o momento fietor solicitante
J
trecho considerado.
)
- Na flexo-tração com a linha neutra fora da seção:
no
2
Os valores
I
= PII'.min
As armaduras
(6.4.10) e (6.4.11).
IJIJ
sendo
= 0,09.
necessárias
são obtidas
com
100bw
.J2
. -O ?f(,//1/
A flexão composta
(flexo-tração e flexo-cornpressão)
é
abordada em outros volumes deste Curso. Assim, nos exemplos que
frl/11
a resistência
-
,-
(6.4.13)
.
(6.4.14)
f vk
média à tração elo concreto e Ivk a tensão
ele escoamento característica elo aço.
Se a largura ela nervura for variável, adota-se
as equações
(6.4.12)
onde
P"'.1Il1ll
se seguem adota-se
/111
- Armadura inclinada a 4So:
(6.4.9)
)
)
!
ASII'.min
)
,\
= Pw.min 1 OOb\.\" cm
Asw.min
onde Mo é o valor do momento tletor que anula a tensão normal na
)
na NBR-6118.
- Estribos verticais:
)
)
especificada
(6.4.8)
Mo )::::;0,18
Md
)
)
A,5H'.min'
de ASII'.min são:
)
)
a ser adotada nos cálculos não
deve ser maior que 43SMPa (igual à tensão de escoamento dos aços
CA-SO), Logo, mesmo que o aço empregado seja o CA-60, o cálculo
dos estribos deve ser feito como se o aço fosse o CA-SO.
A seção da armadura calculada não deve ser menor que a
)
)
fwl
A tensão de escoamento
- Na flexão simples e na flexo-tração
seção:
)
)
tem os seguintes valores:
para bw, nas
equações (6.4.12) e (6.4.13), a largura média ao longo ela altura útil.
1
~,
(
.~
(
1---
._--_ ... _----
_.
-'--"-----
~
(
(
190
191
Esforço cortante
Curso de Concreto Armado
(
(
Na tabela 6A.l,
apresentam-se
os valores de
Pw,min
para
algumas classes de concreto.
Segundo a NBR-61I 8, a tensão de escoamento do aço a ser
adotada nos cálculos não pode ser superior a 435MPa. Logo,
(
f\'d = 435 MPa.
(
(
Tabela 6.4.1 - Valores de PII'.lllin (%) para o aço CA-SO
- Esforço cortante máximo (característico):
iek (MPa)
20
2S
30
3S
40
45
50
Pw,min
0,09
0,10
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
\lk
(
(
Pkl _ 15x4 = 30kN
=2-
2
(
(
- Esforço cortante de cálculo:
Exemplo 1:
Dimensionar os estribos verticais da viga indicada
6.4.1. O concreto é da classe C20 e o aço é o CA-60.
na figo
~
m
/:::,.
1=4m
1
~
.~
A' s
40
I.
A
12cm
- Tensão convencional
36
'\1'd
\ld
= --
42
de cisalhamento:
= 0,097 kN/cm
2
(
(
=> T,,'{f = 0,97 MPa
12x36
(
(
- Tensão de cisalharnento
.1
de serviço
=-
bwd
'Wll
Fig. 6.4.1 - Geometria e carregamento
(
= 42 kN
(
•V •
Pk=1SkN/m
\ld = Y f \lk = l,4x30
(
=0,27
limite:
j~'k)' .
( 250
1--
ted =0,27 (20
1--
(
(
250
) 14=
3 ,5 MPa
(
(
- Verificação da biela de compressão:
Concreto: iek = 20 MPa
2
Aço: i)'k = 60 kN/cm
-7 fl'k = 600 MPa
(
Uma vez que TlI'd = 0,97 MPa é menor que
'11I11
não há necessidade de modificar as dimensões da seção.
- Resistências de cálculo:
= 3,5 MPa,
(
(
(
- Cálculo da armadura transversal:
t. - iek = 14
20 == 14MPa
. cd - r
c
'
(
TI' = 1jf3 (frk
f/3 = 0,09(20 )2/3 = 0,66 MPa
(
(
fVk _ 600 =521MPa
fl'd
= Ys - 1,15
'd = 1,11(Twd - TI') = 1,11(0,97 -0,66)
= 0,34 MPa
(
(
(
(
)
)
)
)
Esforço cortante
Curso de Concreto A rtuado
192
193
)
)
fd
)
Asw = 1OOb 11'--=
frd
I
00
0,34
O9
J
xI2x--~ = , -l cmvrn
8.00
43)
-.§
)
)
Pw min = 0,09% (tabela 6.4.1 )
~
)
)
6.00
;:
Asw,min
= Pw,minIOOblt'
.c
2
=0,09xI2=
1,08cm /m
eu
•....
~ 4.00
(j)
)
(j)
)
)
)
)
)
)
Uma vez que a armadura
armadura
Logo,
mínima,
A.I'II',
calculada,
min > deve-se
a solução é Anl' = 1,08 cmvm.
c:
-
é menor que a
A.I'H"
adotar a armadura
(lJ
•....
(•....
lJ
mínima.
-O:::l 2.00
Com essa área da armadura,
(lJ
E
~
será escolhido o diâmetro da barra de aço e será calculado o
espaçamento dos estribos, respeitando-se um espaçamento máximo
prescrito na NBR-6118. Esse assunto é tratado em detalhes no
Volume 2 deste Curso.
O.OO-l--.....--..-----.---r--,--.,.--,..---,
20
)
)
)
Exemplo 2:
Realizar
o dimensionamento
diferentes
)
Os resultados numéricos são apresentados na tabela 6.4.2.
Esses resultados são apresentados em forma de gráfico na figo 6.4.2.
Tabela 6.4.2 - Armadura transversal
)
, )
)
)
)
I
)
)
)
\
Vk (kN)
30
40
50
60
70
80
90
100
fel;
= 20MPa
1,08
1,94
2,93
3,92
4,92
5,91
6,90
7,89
i., = 30MPa
1,44
1,44
2,30
3,29
4,29
5,28
6,27
7,26
cmvrn
j~1; = 40MPa
1,68
1,68
1,74
2,73
3,72
4,72
5,71
6,70
100
t.,
A~\I"
independentemente
?
A.I'II'
80
Vk (kN)
Conforme se observa na figo 6.4.2, as três retas são paralelas,
exceto quando o dimensionamento
resulta em armadura mínima.
Assim, o aumento no valor ele
ocasiona lima redução constante
no valor de
)
)
60
Fig. 6.4.2 - Variação da área de estribos com a resistência à
compressão do concreto
da viga anterior, considerando
valores para o esforço cortante e para l." .
)
)
40
Esforço cortante
ocorre devido à parcela
.I;."
do esforço cortante
Vk. Isto
t; na expressão (6.4.5).
Entretanto,
no caso do esforço cortante, o aumento do valor de
pode
decisivo
esmagamento
ser
para
garantir
a segurança
contra
o
das bielas, em virtude da equação (6.4.2).
6.5 - Força na armadura longitudinal de tração
Na figo 6.5.1, indica-se um trecho de viga com urna fissura
inclinada passando pelo ponto médio entre duas bielas sucessivas
(ponto A).
(
.'":;
194
(
I
Curso de Concreto Armado
(
j
T
{
Esforço cortante
195
(
(
82
82,,
81
(
Rec
fissura
inclinada
z
-..
J
,,
I
.~l\
i
v,
~
--==== I:
(
(
,
(
Rsd
(
RSd
Zcot
(
z
~
A/
(
Vdr
e
x
(
~
(
Fig. 6.5.2 - Força na armadura longitudinal
(
Fig. 6.5.1 - Viga com uma fissura inclinada
A,
(
situado na seção SI, é RIr! . Entretanto, essa força, juntamente com a
(
A força de tração
Conforme está indicado na figura, a distância
A e a seção S2 é dada por
a, = Zcotg8
sendo
{lI'
a distância
entre
- aI'
bielas
/2
sucessivas,
{I,
entre o ponto
resultante de compressão
na armadura
Rrr'
longitudinal
no ponto
deve equi librar o momento
solicitante na seção S2.
(6.5.1 )
dada na equação
Rsd
(
(
= Md +/).M d
(6.5.3)
Z
(
(
Substituindo a expressão de ar' resulta
Na figo 6.5.2, representam-se
separadas pela distância (f, .
(
(
Logo, a força Rsd é dada por
(6.2.1 ).
Z
a, =-(cotg8-cotga)
2
fletor
onde M d = Vdx é o momento tletor na seção SI e ~
d = Vda, .
(
(6.5.2)
duas seções transversais da viga
Observa-se que a força na armadura tracionada em uma seção
de abscissa x é proporcional ao momento f1etor solicitante em uma
<
seção vizinha, dela afastada de uma distância igual a ai' Assim, ao
(
detalhar
(
a armadura
longitudinal
considerar um diagrama
sentido desfavorável,
I
j
de momentos
de
tração
da
viga,
f1etores deslocado de
conforme é indicado na figo 6.5.3.
deve-se
ai
no
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
Esforço cortan te
Curso de Concreto Armado
196
197
)
)
cot gfJ - cot g a = (
)
)0 + eotga)- 2eot g a
Tlrd
(6.5.8)
Tlrd -T("
)
)
Substituindo
/
/
(6.5.8) em (6.5.7), chega-se a
/
/
,,
)
/
/
/
\
\
)
/
,
)
(6.5.9)
/
"' ,,
\
/
/
/
,
/
)
/~
diagrama
deslocado
)
)
Fig. 6.5.3 - Deslocamento
Segundo
(6.5.9), devendo-se
do diagrama de momentos fletores
)
)
Ao deslocar o diagrama, o momento fletor
abscissa x sofre um acréscimo !J.N1 d dado por
a NBR-6118,
o valor de (/, é obtido da equação
respeitar os seguintes limites:
a) se toda a armadura transversal for inclinada a 45°
na seção de
(6.5.10)
)
b) nos outros casos (estribos verticais)
)
)
)
)
)
)
(6.5.4)
onde
(/, ~ O,5d
dMd
tat/J=-I:>
dx
(6.5.5)
=
)
)
)
)
)
)
,)
)
(6.5.12)
6.6 - Peças de altura variável
)
)
c) para lajes sem armadura transversal calculada
a, [,Sd
é a inclinação do diagrama de momentos f1etores.
Lembrando que Vd = dM d/ dx , resulta
(6.5.11)
Com esse procedimento, a força de tração na armadura
longitudinal será a mesma indicada na equação (6.5.3).
Como uma simplificação a favor da segurança (fazendo
Z = d ), o deslocamento
pode ser escrito na forma
a,
([,= d (cotge-cotga)
Considere-se a viga com altura variável indicada na figo 6.6.1.
A altura da viga e o momento fletor, em valor absoluto, crescem no
mesmo sentido.
A força de tração na armadura pode ser decomposta em uma
componente horizontal Rsd eos f3 e em uma componente vertical
(6.6.1)
(6.5.7)
2
onde d é a altura útil da viga.
Igualando as expressões (6.2.18) e (6.3.2), resulta
onde f3 é o ângulo ele inclinação da face da viga.
(
'I
_..J
"
(
(
198
Curso de Concreto Armado
Esforço cortante
(
199
(
(
s
S
-I
!v~
z
(
~Vdl:!V0
R cc
(
(
RSdCOS~
Md
(
(
(
jCOS~
/).V d
(
RSd
X
(
Vdl
~
(
(
Fig. 6.6.1 - Viga com altura acompanhando
do momento f1etor
o aumento
Fig. 6.6.2 - Viga com altura e momento f1etor crescendo
em sentidos opostos
(
(
Equilibrando o momento
distância x do apoio, tem-se
R sd -.
Md
Z cos f3
f1etor na seção S situada a uma
Md
==
-
d cos fJ
(6.6.2)
o esforço cortante Vrd à direita da seção S é
Vrd
= Vd - /). Vd
(6.6.3)
e considerando as equações (6.6.1) e (6.6.2), chega-se a
Vrd -- Vd __M d to-fJ
b
(6.6.4)
pode
ser feito com o esforço
d
Logo, o dimensionarnento
cortante reduzido Vrd .
Considere-se, agora, a viga da figo 6.6.2, cuja altura diminui no
sentido crescente do momento fletor.
A decomposição
da força de tração na armadura longitudinal é
idêntica ao caso anterior. Entretanto, o esforço cortante na seção S é
dado por
Vrd = Vd + M d tgfJ
d
(6.6.5)
e a variação da altura da viga tem um efeito desfavorável.
Logo, em peças de altura variável deve-se considerar o esforço
cortante corrigido indicado nas equações (6.6.4) e (6.6.5), onde o
momento fletor é dado em valor absoluto.
Nessas expressões, não deve ser considerada uma inclinação
em cada face da viga superior a I :3. Quando o valor absoluto do
esforço cortante tiver sido diminuído pelo emprego da equação
(6.6.4), a armadura transversal deve ser calculada considerando
rc = O. Nas peças curvas também deve ser adotado Te = O.
(
(
(
(
(
(
\
(
(
(
(
Deve ser observado que há a necessidade de se fazer uma
correção nas armaduras longitudinais, calculadas com as equações
dos capítulos anteriores. Isto ocorre porque a componente horizontal
(
R,d cos fJ = A, frd cos fJ . Então, a
(
da força na armadura é apenas
(
(
(
(
)
)
l
)
)
)
)
)
200
1
Curso de Concreto Armado
armadura obtida no dimensionamento
multiplicada pelo fator 1/cos fJ .
à flexão simples
deve ser
Para o caso
indicado
na figo 6.7.1,
201
a NBR-61J8
permite
calcular a armadura transversal com o esforço cortante reduzido Vrd
)
)
Esforço cortante
dj2 da face do apoio. Assim, a tensão
na seção S situada à distância
Td ' empregada
6.7 • Seções próximas aos apoios
no dimensionamento
da armadura, será dada por
)
)
)
)
)
)
)
Considere-se a viga da figo 6.7. J, submetida a uma carga
uniformemente distribuída em sua face superior. A viga está apoiada
em pilares, de forma que a carga e as reações de apoio estão
aplicadas em faces opostas da peça. Este tipo de apoio é denominado
apoio direto.
8
(6.7.1)
;
i
Entretanto, para a verificação da tensão no concreto, não é
permitida tal redução. Logo, essa verificação permanece dada por
,8
(6.7.2)
)
Em geral, a redução do esforço
cortante devido ao
carregamento
distribuído é pequena, não resultando em uma
economia significativa da armadura. Por isso, usualmente essa
redução é desconsiderada no projeto das vigas dos edifícios.
Na figo 6.7.2, indica-se uma viga submetida a duas cargas
concentradas aplicadas próximas aos apoios. Novamente, as cargas e
as reações de apoio estão aplicadas em faces opostas da viga.
Se a distância a do ponto de aplicação da carga até o centro
do apoio for pequena, uma parcela da carga será transmitida ao pilar
através de bielas inclinadas e, portanto, as forças nos estribos serão
reduzidas. Evidentemente,
quando a O, a carga está aplicada
diretamente no pilar e não há necessidade de estribos na viga para
esse carregamento.
Assim, quando a carga concentrada estiver aplicada a uma
distância a::; 2d do centro do apoio, a NBR-6118 permite calcular a
)
)
)
)
)
)
=
)
)
)
)
Fig. 6.7.1 - Seções próximas aos apoios - carga distribuída
)
Fazendo uso da analogia da treliça de Mõrsch, verifica-se que
uma parcela da carga situada entre o apoio e a seção S é transmitida
diretamente ao pilar através de bielas inclinadas. Dessa forma, as
tensões nos estribos serão menores que aquelas calculadas COI11 o
esforço cortante máximo Vd.
)
)
I)
)
\
I
j
I
I
I
)
li'I
armadura transversal com o esforço cortante reduzido Vrd dado por
a Vd
V-s -\1d-<
>
2e1
(6.7.3)
y
(
111:"·
(
(
202
Curso de Concreto Armado
Esforço cortante
203
(
(
:~
B
I
(
P:
Id
t
'B
IL
(
,/
,/
Vdl
hp
(
,
,/
Viga Vs
,/
I
I
(
hs
,/
~
(
(
Vd~Vrd
14
p
b
(
.1
A/
,t------h
Vrd-t--iVd
I Pd
(
•.
Vs
(
3
(
(
(
Fig. 6.7.2 - Seções próximas aos apoios - carga concentrada
(
Fig. 6.8. I - Apoio indireto
(
Para a verificação da tensão no concreto, deve-se adotar o
esforço cortante Vd sem a redução. Portanto, o dimensionamento
pode ser feito com as equações (6.7.1) e (6.7.2).
As reduções efetuadas para as cargas distribuídas e para as
cargas concentradas próximas aos apoios se superpõem.
Essas reduções não são permitidas no caso de apoios indiretos.
j
I
I
6.8 . Armadura de suspensão
I
Na seção anterior, foi salientado que as reduções do esforço
cortante para o cálculo da armadura transversal são permitidas
somente se a carga e a reação de apoio estiverem aplicadas em faces
opostas da peça. Em outras palavras, a viga deve estar sobre os
apoios (geralmente pilares) e a carga deve ser aplicada em sua face
superior. Essa é a condição implícita no desenvolvimento do modelo
de treliça de Mõrsch, conforme se observou na figo 6.2.1.
Na figo 6.8.1, indica-se outra situação em que a viga Vs se
apoia na viga Vp. Os pilares I, 2 e 3 constituem apoios diretos para
as vigas. Porém, no ponto A tem-se um apoio indireto.
j
Esse sistema estrutural
pode ser calculado da seguinte
maneira:
- a viga secundária Vs está apoiada no pilar 3 e no ponto A da
viga Vp e recebe a carga concentrada
~/; a reação no apoio A é
- a viga principal Vp está apoiada nos pilares I e 2 e recebe a
força de cálculo
A força
(
(
V" aplicada no ponto A.
(
Vd é transmitida
(
à viga principal através de bielas
inclinadas, conforme indicado na figo 6.8.1. Entretanto, essa força
este) aplicada no banzo inferior da viga principal e é necessário
transferi-Ia para o banzo superior. através de uma "armadura de
A área da armadura de suspensão,
V
A I = --. d
.
onde fl.d
(
(
igual a Vd;
suspensão".
(
fwl
é a tensão de escoamento
AI' é dada por
7
'
em
(
(
(
(6.8.1)
(
(
de cálculo do aço.
--C
(
~~:
(
)
}
1
)
)
Curso de Concreto Armado
204
)
)
)
)
)
Geralmente, a armadura de suspensão é dimensionada para a
totalidade da reação de apoio Vd. Quando as duas vigas tiverem suas
I
)
(6.8.2)
)
hs é a altura da viga secundária e hl' é a altura da viga
)
onde
)
principal (a viga que serve de suporte).
A armadura de suspensão é constituída preferencialmente por
estribos, devendo ser disposta o mais próxima possível do ponto de
ligação entre as vigas. A armadura do banzo inferior da viga
secundária deve ser ancorada na viga principal e deve ser colocada
sobre a armadura do banzo da viga principal.
)
)
)
6.9 - Armadura
205
de costura
No capítulo 4 foi mostrado que, em pisos de concreto armado,
uma parte da laje colabora como mesa de compressão de uma viga T.
Entretanto, para haver o funcionamento como viga T, essa parte da
laje deve ser ligada à nervura da viga através de uma armadura,
denominada armadura de costura.
Considere-se um elemento infinitesimal tomado ao longo do
eixo de uma viga T, como indicado na figo 6.9. I. Na seção S I atuam
faces superiores no mesmo nível, como indicado na figo 6.8.1, podese considerar uma força reduzida'i'!' dada por
)
Esforço cortante
I
o momento fletor de cálculo
A1 d e o esforço cortante de cálculo Vd .
A resultante de compressão no banzo superior de concreto é Rcr' a
força
de tração
na armadura
longitudinal
é Rsd
alavanca é Z .
82
81
Md+6Md
)
)
Na figo 6.8.2, indica-se a região onde a armadura de suspensão
pode ser distribuída':".
h/2>b/2
)
14
: hi2>b/2
.1
.:~
I
)
)
--C\I
)
)
..Q
o.
A
C\I
(fJ
)
)
..r:
-}-f--I--- --1---1--1
•
•
•
1)
Md(VJ
)
)
•
•
•
}
e o braço de
I~
i
!
Vd+6Vd
dx
·1
I
Ree
E~z
RSd
RSd+6Rsd
r
)
)
Ree+6Rce
Fig. 6.9.1 - Esforços em um elemento de viga
)
)
,)
!
Fig. 6.8.2 - Distribuição da armadura de suspensão
J
I
)
Do equilíbrio de momentos fletores na seção SI, tem-se
í
-"
(6.9.1 )
.J
"
(
(
(
(
206
Esforço cortante
Curso de Concreto Armado
207
(
(
Analogamente,
a equação ele equilíbrio na seção S2 é dada por
M d + 11M d = (R('c + Mc(')(Z
onde 11M d > M('('
+ /).Z)
área-A,
(6.9.2)
X
e t1.Z são variações infinitesimais.
Introduzindo (69.1) em (6.9.2) e desprezando
do braço de alavanca, resulta
(
<>cd
a variação
Rcc=A<>cd
c
111I(
co
o
t1.Z
(
(
(
(
(6.9.3)
Z
(
z
d
/).R ('('= 11M
__ (I
(
I",
e el
.•
(
RSd
onde
(
~
Mcc =..--..cc.
dR
l
cxlx ax
t1.M
(
(6.9.4)
(
Fig. 6.9.2 - Tensões ele compressão no banzo superior
A resultante ele compressão pode ser decomposta
parcela, atuante na nervura, e em outras duas, atuantes
,.{= dM__,I CXI
(6.9.5)
dI;
Lembrando que Vd = dM" / ds , a equação (6.9.3) é escrita na
laterais de área
AI'
A resultante
abas laterais
R('I
= AICJcd
é
(
de compressão em cada uma das
(
(6.9.7),
(
e considerando
a equação
resulta
(
forma
_ AI
(6.9.8)
Rei --Ree
dRc(' = Vd
dx
Z
(
em uma
nas abas
(6.9.6)
A
com a
Na figo 6.9.3, representa-se um segmento infinitesimal de uma
das abas laterais da mesa de compressão.
(
(
(
Na figo 6.9.2, indica-se a seção T e a parte comprimida
tensão constante
profundidade
CJ('d
= 0,85f('d
da linha neutra,
do bloco retangular de tensões. A
é obtida no dimensionamento
XII'
armadura longitudinal, conforme apresentado
A resultante de compressão,
da
sofre uma variação
dx. Considerando
no capítulo 4.
/)'Rcl ao longo do comprimento
(.('
infinitesimal
(
(
R(.(', é dada por
-AO'
-
onde A é a área total comprimida
(
a equação (6.9.8), tem-se
(
/)'R('I
R
RrI
Vd, a força ele compressão
Devido ao esforço cortante
('(
{
com a tensão constante
(
=~
(6.9.7)
O'('d'
A
(6.9.9)
dRcr
dx dx
(
(
o equilíbrio
cisalharnento
só é possível
To nas ligações
na presença
elas tensões
entre a mesa e a nervura
ele
da viga,
.._(
(
(
..!'I
j
"JJ:
,.
)
t.~
)
-_._._-----------~--~..•...
---~--------------"!""!'~
)
)
)
)
)
208
Esforço cortante
Curso de Concreto Armada
209
conforme é indicado na figo 6.9.3. A equação de equilíbrio é escrita
na forma
(6.9.13)
)
(6.9.10)
)
)
o dimensionamento da armadura de costura é feito com base
no modelo de treliça representado na figo 6.9.4.
onde hj é a espessura da mesa.
)
biela
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
~I
Fig. 6.93 - Tensões de cisalhamento na ligação mesa-nervura
estribo
)
)
)
I AI dRcc
r =---() h A (XI
)
AI V
r =--- d
o
A IlIZ
)
)
)
)
Substituindo
Z == O,90d e Vd = rll'dbll,d , resulta
Considerando
um trecho da viga de comprimento
espaçamento entre as bielas de compressão,
equações de equilíbrio:
e considerando a equação (6.9.6), chega-se a
)
,
(6.9.11 )
r
)
)
Fig. 6.9.4 - Treliça na mesa da viga T
Introduzindo a equação (6.9.9), obtém-se
ar igual ao
obtêm-se as seguintes
(6.9.14)
(6.9.12)
(6.9.15)
·..~
..
I
(
,
(
(
I
210
onde
I
Curso de Concreto Armado
Esforço cortante
Pc é a força de compressão na biela, FI é a força de tração na
armadura de costura e a)lf
é a área de contato entre a nervura e a
aba lateral, na qual atua a tensão de cisalhamento
'o'
onde
ho = ac sen () é a dimensão normal à força (ver a semelhança com
a figo 6.2.3). Considerando
compressão,
O'c
I
a equação (6.9.14), a tensão na biela de
= F; / AI' ' é dada por
Ii
Asl
é a área
da
seção
=__ t
Impondo
a
0
I
(J,.::; .t~'d,., fixando()
restrição
= 45°
(6.9.21)
.
F,,. = F.\, chega-se a
onde
Asl
= 1 llb
s
'
~ rwd
li' A j\"d
Essa equação fornece a área de aço em um comprimento s da
viga, sendo expressa em cm2/cm. Para obter a seção da armadura em
Ali' basta multiplicar a equação (6.9.22)
_
AI
AlI - 1001711, ---
e
.
dirnensionarnento
(equação(6.4.3 ».
Considerando
que a expressão
ao
esforço
de
'11'11
cortante
(6.9.19)
A
Td
2
•
jwl
cm 1m
estribos
(6.9.13)
a (6.9.15)
verticais
(6.9.24)
Neste caso, a tensão rd é calculada sem o fator de redução
AI
(
(
(
(
(
(
(
(
Te
e fixando
(
(
(
A armadura calculada deve ser maior que a armadura mínima,
estabelecida na NBR-6118 como
() = 45° , pode-se obter a força de tração transversal
F,., = 1,1l-a,.b
w'lI'd
A
(
(
onde
empregado no dimensionamento ao esforço cortante, já que as bielas
de compressão estão inclinadas a 45".
as equações
(
(
(6.9.23)
é a mesma utilizada no
com
(
(
rd = 1,11rll'd
Observa-se
(6.9.22)
(6.9.18)
= O,27O:I·.t~d
(
(
por 100. Com isto, chega-se à expressão
r
(
(
(6.9.17)
AI b;
'ctI --~'\I'{I
- A h
(
(
e
um metro de comprimento,
'11'11
estribo,
(
(
Fazendo
substituindo a expressão de To dada em (6.9.13), chega-se a
red ::; r!V1I
de um
-
(
(
«:
f
FI". =-Açl. vd
(6.9.16)
sen () cos ()
c
transversal
considerados todos os ramos que fazem a ligação mesa-nervura, e s
é o espaçamento dos mesmos ao longo do eixo da viga, a força de
tração resistente é dada por
S
(J
211
Essa força deve ser resistida pelos estribos colocados
horizontalmente na mesa. Portanto, o cálculo ela armadura de costura
segue os mesmos passos apresentados na seção 6.2.
Se
F; atua na área Ac = hfho,
A força de compressão
~
(
(
(6.9.20)
A,r.l1lin
= I,Scm2/111
(6.9.25)
--C
(
(
)
)
)
)
Curso de Concreto Armado
212
)
)
)
)
)
)
)
Observa-se que o di mensionamento da mesa de uma visa
T é
o
análogo
ao dimensionamento
de sua nervura. A nervura é
dimensionada ao esforço cortante, com o procedimento da seção 6.4.
Desse dimensionamento,
resultam os estribos verticais a serem
colocados na nervura. Além disso, é necessário verificar as tensões
de compressão inclinadas na mesa (equação (6.9.17» e calcular os
estribos horizontais da armadura de costura (equação (6.9.23».
Na figo 6.9.5, indica-se o detalhe das armaduras na seção T.
)
)
estribos horizontais de costura
)
k
I
1
6.10 - Lajes sem armadura
As lajes podem
desde que
ser executadas
sem armadura
valor limite. A tensão limite,
transversal,
'lI"d
seja menor
rH'ul'
depende da
resistência do concreto, da espessura da laje e da taxa de armadura
longitudinal do banzo tracionado.
A NBR-6118 dispensa o uso de armadura transversal nas lajes
quando
(6.10.1)
= Vd /(b ,d)
ll
é a tensão convencional de cisalhamento,
Para lajes submetidas
)
de cisalhamento
a tensão con vencional de cisalharnento
que um determinado
onde rwd
)
213
Esforço cortante
)
'11'111
à flexão simples, tem-se
(6.10.2)
= k(1,2 + 40PI )rrd
)
)
onde 'rd = 0,25f(,ld
)
do concreto, obtida por f('ld
)
Considerando
)
e adotando
)
)
I
Trd
Fig. 6.9.5 - Armaduras da seção T
Na equação
)
= t,« .inf / Y(' .
as expressões
para .fc1k.inr dadas no Capítulo
1
Yc = 1,4, resulta
estribos verticais para
o esforço cortante
)
' sendo f(,ld a resistência à tração de cálculo
= O,038(.rr-k f/3, MPa
(6.10.2),
PI
representa
(6.10.3)
a taxa
de armadura
longitudinal de tração que se estende até não menos que d + [b./le('
)
Quando o dirnensionamento
à flexão simples indicar que a
mesa sozinha é capaz de resistir ao momento tletor solicitante,
)
resultará
da linha neutra.
apoio, PI representa a armadura que chega ao apoio e aí é ancorada,
)
Nesse caso particular, a relação entre as áreas AI e A que aparecem
)
nas equações anteriores é dada por
conforme indicado na figo 6.10.1.
O coeficiente k que aparece na equação (6.10.2) tem os
seguintes valores:
- para lajes onde 50% da armadura inferior não chegam até o
0,8x" :; hr,
onde
xl/
é a profundidade
)
(6.9.26)
I )
)
)
onde bl e b
r são indicados na figo 6.9.5.
além da seção considerada.
apoio: k = I ;
Quando a verificação é feita na seção do
I
II
'I
(
·j.
(
~
(
1
~
- para os demais casos:
215
Esforço cortante
Curso de Concreto Armado
214
k = 1,6 - d 2': I ,onde
T\Vul
d é a altura
= 0,53 MPa
(
útil da laje em metros.
0= Id J ~Id
9
~
.
,
será
I~
As:I
,
bw
I
= rwul ' o esforço cortante de cálculo
para uma
(
faixa de largura unitária, de modo que b.; = 1 m. Assim, adotando
(
solicitantes
nas lajes são calculados
2
resulta Vd.max
(
em kN/m.
Logo,
máximo esforço cortante de cálculo, para o qual ainda
é permitido dispensar o uso de armadura transversal, é dado por
(
bw=lOOcm,
d=7,5cm
e
T\I'/I1
=0,053kN/cm ,
~
°
s 0,02
(
(
= bl!'drl!"ul .
Os esforços
Seção S
p1=A/(bwd)
Vd.max
Tlvd
(
(
= 1,53{1,2 + 40x0,1/100)xO,28
No limite, quando
(
(
(
Vd.max
Fig. 6.10. I - Definição da taxa de armadura longitudinal
= I OOx7,5xO,O~3 = 39,8 kN/m
(
(
O máximo esforço cortante característico
é
(
Exemplo:
Considere-se uma laje retangular de um piso residencial cujo
menor vão de cálculo é I = 5 m. A espessura da laje é h = 10 em e o
concreto
possui uma resistência
característica
à compressão
fck = 20 MPa. Determinar
a tensão de cisalhamento
limite
TII'II
I
Vk.Ill:1X
Vd .max
_
v
-
39,8
1,4
(
= 28,4 kN/m
(
1("
(
Supondo que a laje é simplesmente
a carga
para a dispensa da armadura transversal.
=
uniformemente
distribuída
Pk
apoiada nas quatro bordas,
que corresponde
a esse
esforço cortante será sempre maior que 2Vj.; .1l13X /1 . Logo,
Evidentemente,
TlI'ul
mínima
2Vk .1l1ê1X _ 2 x 284,
PIe >
,
5
= 11,4 kN/m-
?
PI = 0,1 %. Para a altura útil de uma laje nessas condições,
pode-se adotar d
= h - 2,5 = 7,5 em.
Trd
= 0,038(fck)'2/3
= 0,28 MPa
k = 1,6 -d = 1,6-0,075
= 1,53
Como resultou k > I , adota-se o valor calculado k = 1,53 .
(
(
depende da armadura longitudinal da laje
(calculada para os momentos flerores), como indicado na equação
(6.10.2). Entretanto, a favor da segurança, será adotada uma taxa
(
(
(
(
Em uma laje do tipo considerado, a carga de serviço usual é da
ordem de 5 kN/m2 (considerando o peso próprio, o revestimento e a
carga acidental). Essa carga é muito inferior à carga limite e,
portanto, não haverá necessidade de armadura transversal.
Assim, nos casos correntes dos edifícios residenciais e de
escritórios, a espessura das lajes é determinada pela flexão (para
resultar armadura simples e para satisfazer os estados limites de
utilização). Por isso, geralmente não é necessário verificar o esforço
cortante no projeto das lajes maciças dos edifícios.
(
(
(
(
(
-(
(
(
.",
)
)
)
)
)
)
Capítulo 7
)
)
ANCORAGEM E EMENDAS DAS
BARRAS DA ARMADURA
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
7.1 - Ancoragem
por aderência
A ancoragem das barras da armadura pode ser feita por
aderência ou por dispositivos especiais, como placas de ancoragem.
As ancoragens por aderência são mais baratas e por isso são sempre
usadas, quando se dispõe de um comprimento necessário para as
mesmas.
Na figo 7.1.1, representa-se uma barra de aço solidária a um
bloco de concreto e submetida a urna força de tração de cálculo
Devido
à aderência
entre
o concreto
e o aço, surgem
Rsd'
tensões
)
tangenciais
)
força de tração na barra de aço é transferida ao concreto ao longo do
)
comprimento
'rb na interface entre os dois materiais. Dessa maneira, a
lb'
)
)
)
)
)
r
)
)
Fig. 7.1.1 - Tensões de aderência
)
)
)
)
)
As tensões
comprimento
de aderência
de ancoragem
Til
são variáveis
ao longo
do
'b. Entretanto, para efeito de projeto é
suficiente considerar o valor médio de cálculo f"d'
II.
'1
I
_------J
t"f.;
Curso de Concreto Armado
218
Se a tensão na barra é igual à tensão de escoamento de cálculo
1
,
)
,."
\'1 I
)
onde rp é o diâmetro da barra.
o
-+- x
(
~
(
(
I
(
--+
(
RSd
(
(
~
(
+-
(
(7.1.2)
~
(
tração
(
onde Us = 7lrp é o perímetro da seção da barra.
Dessas duas equações, obtém-se o comprimento de ancoragem
compressão
(
Fig. 7.1.2 - Trajetórias das tensões principais na ancoragem
r/J Ivd
(7.1.3)
'& =-4 .fbd.
para que a barra de aço, com uma tensão igual a
ancorada
por
aderência.
O
comprimento
lb
Por último, o comprimento
de ancoragem
maior for a tensão de aderência
de compressão
(5.\,
necessárias
ao equilíbrio,
t «. possa ser
é
do esforço de fendilhamento
denominado
"comprimento básico de ancoragem".
Da equação (7.1.3), verifica-se que uma forma de reduzir o
comprimento de ancoragem consiste no emprego de barras de menor
diâmetro. Se a área de aço efetivamente empregada for superior
àquela exigida pelo cálcu 10, a tensão na armadura será inferior a
I,«. o que também permite reduzir o comprimento
As tensões
(
propagam-se
pelo concreto a partir da extremidade da barra,
conforme indicado na figo 7.1.2. Na direção transversal à barra
surgem tensões de tração, cuja resultante produz o esforço de tração
transversal denominado esforço ele fendilhamento. O valor máximo
A expressão (7. J .3) fornece o menor comprimento necessário
de ancoragem.
será tanto menor, quanto
.hd . O valor da tensão f&d depende
da qualidade da aderência, como será mostrado mais adiante.
Na região da ancoragem, surgem tensões principais de tração e
de compressão, cujas trajetórias encontram-se representadas na figo
7.1.2.
(
..~
~
Essa força deve ser equilibrada pelas tensões de aderência que
atuam na superfície de contato entre o aço e o concreto. Logo, a
equação de equilíbrio é escrita na forma
= Rsd
(
(
+-
I
lI)bfbd
2J9
e emendas das barras da arnuulura
(7. J.I)
R.I'd =A~/\'ll=4fw1
(
(
Ancoragem
do aço, fvd ' a força R,d é dada por
:m/i
(
(
(
(
(
nos
(
casos de ancoragem por aderência':",
Em virtude das tensões ele tração, surge sempre o risco de
aparecerem fissuras longitudinais ou de fenclilhamento na região da
ancoragem. Se o cobrimento ele concreto, c, for pequeno em relação
ao diâmetro da barra, ele pode romper-se, como indicado na figo
7.1.3.
Os efeitos
desfavoráveis
do fendilhamento
podem
ser
eliminados quando existe uma compressão transversal na zona da
ancoragem, como ocorre nos apoios diretos elas vigas. Se essa
compressão
não existir, é necessário
colocar uma armadura
transversal, ao longo do comprimento
de ancoragem, capaz de
absorver os esforços de fenclilhamento.
(
é aproximadamente
igual a Rsd /4,
(
(
(
(
(
(
(
-(
(
(
____
~~----------~J
)
)
2Ç
a
)
i
1
)
Curso de Concreto Armado
Ancoragem e emendas das barras da armadura
)
Por isso, a NBR-611 8 exige que, à exceção das regiões sobre
apoios diretos, as ancoragens por aderência sejam confinadas por
armaduras transversais ou pelo próprio concreto. Neste último caso,
é necessário que o cobrimento da barra ancorada seja maior ou igual
a 3t/l e que a distância entre barras ancoradas também seja no
)
mínimo igual a 3t/l .
ao corte, o que permite uma ligação efeti va entre o aço e o concreto.
A aderência mecânica também ocorre nas barras lisas, devido a
irregularidades superficiais sempre existentes, porém o seu efeito é
bem menor que nas barras nervuradas.
A resistência da aderência é determinada em ensaios de
arrancamento, como ilustrado na figo 7.2.1.
220
221
)
)
)
)
)
)
)
)
)
concreto
fissuras
~ ~
~I======~~--~.----11C
)
ruptura do
cobrimento
)
)
)
)
'/
Fig. 7.1.3 - Fendilhamento
na zona da ancoragem
7.2 - Tensão de aderência
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
,)
Convencionalmente,
a aderência entre o aço e o concreto é
separada em três componentes: a aderência por adesão, a aderência
pOI' atrito e a aderência mecânica. Essa separação serve apenas para
ilustrar o fenômeno, pois não é possível determinar cada uma delas
separadamente" J.
A aderência por adesão decorre das ligações físico-químicas
que se estabelecem no contato entre o aço e o concreto (efeito de
colagem) durante o processo de pega do cimento. Esse efeito é
destruído para pequenos deslocamentos da barra de aço e, portanto,
dá uma contribuição muito pequena para a resistência da aderência.
A aderência por atrito decorre do deslocamento da barra de
aço em relação ao concreto. As forças de atrito dependem da
rugosidade superficial da barra e das pressões transversais às
armaduras. Assim, uma compressão transversal também é favorável
pua aumentar a aderência por atrito.
A aderência mecânica ocorre em barras nervuradas, através do
contato direto entre o concreto e as saliências na superfície da barra.
Nas regiões de contato, formam-se consolos de concreto solicitados
Fig. 7.2.1 - Ensaio de arrancamento
A barra de aço está ligada ao bloco de concreto
comprimento
através do
de ancoragem 10 . A força de tração P é incrementada
até a barra ser extraída do corpo de prova. Durante o ensaio, mede-se
o deslocamento
relativo da barra de aço, ~,
na extremidade
indicada.
A tensão de aderência média, Tb' é dada por
P
P
lI)o
Trt/l1o
T, =--=-)
(7.2.1 )
j
,
t&
""'I
(
(
(
l
(
Ancoragem
Curso de Concreto Armado
222
de
cálculo,
fbd'
é aquela
(
O valor último da tensão de aderência
que
corresponde a um deslocamento convencional da extremidade da
barra, como indicado na figo 7.2.2. Observa-se que, para as barras
lisas, a força última de ancoragem é atingida logo depois de vencida
a adesão e iniciado o escorregamento. Por isso, as normas de projeto
exigem o emprego de ganchos nas extremidades das barras lisas
tracionadas.
de cálculo,
é
(
definido na NBR-6118 em função da qualidade da aderência. Essa
qualidade é medida pela conformação superficial e pelo diâmetro das
barras de aço, pela resistência do concreto e pela localização das
barras na estrutura.
Nos casos ele concretagem sobre formas fixas, consideram-se
em uma situação ele boa aderência, os trechos elas barras que estejam
em uma elas posições seguintes:
(
fbd'
t
Có
(
(
(
(
1
_ horizontais ou com inclinação menor que 45" sobre a horizontal,
desde que localizaelas no máximo 30 cm acima da face inferior da
peça ou da junta de concretagem mais próxima, quando 11::; 60 em,
ou desde que localizadas a mais de 30 em abaixo da face superior ou
da junta de concretagern mais próxima, quando 11 > 60 em,
barr~adas
fbd-
u
(
j
_ com inclinação não inferior a 45° em relação a horizontal;
'Cb
(
(
para as barras nervuradas,
de aderência
223
7.3 - Tensão última de aderência
Na figo 7.2.2, indicam-se as relações entre a tensão de
aderência, Tb' e o deslocamento relativo, .6., para as barras lisas e
A tensão
e entendas dos barras da armadura
Os trechos das barras em outras posições, e quando do uso de
formas deslizantes, devem ser considerados em uma situação de má
(
11
'
(
(
!
O,1mm
os
casos
possíveis
para
fi)(!
A resistência da aderência depende, ainda, da posição das
banas de aço na estrutura. Barras verticais estão sempre em uma
posição favorável, enquanto que barras horizontais podem estar em
uma situação desfavorável, dependendo de sua localização. Devido à
sedimentação do concreto fresco, pode ocorrer um acumulo de água
sob as barras horizontais, com a consequente formação de vazios na
parte inferior das mesmas. Por causa disto, a resistência da aderência
fica reduzida.
r
I
O valor de cálculo ela tensão última de aderência é obtido com
o emprego da expressão
Fig. 7.2.2 - Relação tensão de aderência - escorregamento
(
(
Na figo 7.3.1, são ilustrados
concretagem sobre formas fixas.
11•
(
(
aderência.
I
(
(7.3.1)
= '71772'70, f~ld
11
I
(
( ,
(
(
(
(
onde fcrd é o valor de cálculo da resistência à tração do concreto,
(
obtido a partir da resistência
e os
(
TJ levam em conta os demais fatores que influenciam na
(
coeficientes
resistência da aderência.
característica
inferior
felk.inf'
(
(
(
1
(
)
I
')
J
)
)
)
224
Curso de Concreto Armado
Ancoragem
e emendas das barras da armadura
225
)
® boa aderência
@ má aderência
fe/d
.f~'!I,.inf
rc
M
I!l...::=====~,i Igp P21
E
)
B
)
onde
M
)
E
<.>
O
)
)
O
resistência
escrever
à compressão
a expressão
(7.3. I) em termos da
de cálculo do concreto
Para isto,
fed'
adota-se a relação entre .f~.tk .inf e .t~k dada no capítulo I.
)
)
r e é coeficiente de mineração da resistência do concreto.
É conveniente
l
(7.3.2)
=---
co
1\
.c
Considerando
pode-se escrever
5
_
'1
,
as expressões
fe1k.inf ~ 0,21frk
O
f:3;G~-'-------!, (')
,,
Considerando
os valores
(1.3.1) e (1.3.2) do capítulo
2;:'
I,
(7.3.3)
' MPa
'71 = 2,25 (para barras nervuradas),
'h = 1,0 (para situações de boa aderência), ']o, = 1,0 (para barras com
</J:; 32 mm) e o coeficiente de mineração da resistência do concreto
Yc = 1,4, combinando as equações (7.3.1), (7.3.2) e (7.3.3), e
)
)
lembrando que
J., = r.t,«. chega-se à expressão
Fig. 7.3.1 - Posições de boa e de má aderência
)
(7.3.4)
Esses coeficientes
j
.>
)
)
têm os seguintes valores:
= 1,0 para banas lisas (CA-25 e CA-60 liso);
771 = 1,4 para barras entalhadas (CA-60 entalhado);
771 = 2,25 para barras nervuradas (CA-50 e CA-60 nervurado);
771
A expressão (7.3.4) é válida para barras nervuradas em uma
situação de boa aderência, desde que </J:; 32 mm.
Considerando
as situações de boa aderência, a tensão de cálculo
772 = 1,0 para situações de boa aderência;
.t,bd -
772 = 0,7 para situações de má aderência;
}
773
= 1,0 para barras de diâmetro </J:; 32 111m;
)
)
)
'I
>
132-</J
773 =
100
(com</J em mrn) para </J> 32 mm.
A resistência à tração de cálculo é dada por
apenas os casos usuais em que
.tixf é dada por
" O42(t:. cd )2(>' ' MPa
(7.3.5)
1\,
k = 1,00 para barras nervuradas,
entalhadas e k = 0,44 para barras lisas.
onde
</J:; 32 mm, para
k = 0,62
para
barras
Para as barras em situações de má aderência, a expressão
(7.3.5) deve ser multiplicada por 0,7. Logo, o comprimento de
ancoragem será 43% maior para as barras em posições de má
aderência.
fI~
(
.,
(
(
,
226
Ancoragem
Curso de Concreto Armado
e entendas das barras do armadura
(
227
(
7.4 - Comprimento de ancoragem reta
As barras constituintes de feixes devem ter ancoragem
sem ganchos, e devem atender às seguintes condições:
Quando a área de aço efetivamente
for
superior
à área
de
aço
exigida
adotada no projeto,
pelo
cálculo,
reta,
Ase'
As.cal'
a) quando o diâmetro equivalente do feixe for menor ou igual
a 25 111m,o feixe pode ser tratado como uma barra única, de diâmetro
o
comprimento de ancoragem pode ser reduzido, já que a tensão na
armadura é inferior à tensão de escoamento. Nesses casos, o
r/J11' valendo todas as prescrições para ancoragem de barras isoladas;
comprimento
b) quando o diâmetro equivalente for maior que 25 mm, a
ancoragem deve ser calculada para cada barra isolada, defasando as
suas extremidades
para reduzir os efeitos de concentrações
de
tensões de aderência; essa defasagem das extremidades não deve ser
inferior a 1,2 vezes o comprimento de ancoragem de cada barra
isolada;
.
de ancoragem necessário,
A.Lcal
''',1lec
== 1" ---
'''.Ilec'
é dado por
~ l".min
(7.4.1 )
Ase
(
I
I
I
(
I'
1
I!
,
,
(
(
(
\
(
onde l" é o comprimento básico de ancoragem, obtido' da relação
c) quando, por razões construtivas, não for possível proceder
como recomendado no item (b), o feixe pode ser tratado como uma
r/J f\'(I
1----
dado
Ase
Em geral, na transformação
número
de barras
de
barra única de diâmetro
(7.4.2)
b - 4 f"d
armadura transversal adicional na região da ancoragem.
o
da área de aço calculada em um
determinado
diâmetro,
resulta
comprimento
de ancoragem das barras comprimidas
também é calculado com a expressão (7.4.1). Nesses casos, as barras
só podem ser ancoradas com ancoragem reta.
> As.cal . Logo, o comprimento de ancoragem, dado na equação
(7.4.1), será menor que o comprimento
básico lb' No entanto, se a
7.5 - Barras com ganchos
escolha dos diâmetros das barras é feita com cuidado para evitar
desperdícios, a diferença entre 11> e l",1lec será pequena.
Uma maneira eficiente para reduzir o comprimento
de
ancoragem consiste no emprego de barras com ganchos
de
extremidade. Nesse caso, lima parcela da força na barra de aço é
transmitida ao concreto por meio das pressões de contato no trecho
curvo da barra, conforme é indicado na figo 7.5.1.
De qualquer forma, para evitar a adoção de valores muito
baixos para o comprimento de ancoragem, a NBR-6118 exige um
comprimento mínimo, dado por
l".min ~ 0,31" ; 10r/J ; 10 em
A tensão de compressão
(7.4.3)
tensão na armadura,
diâmetro
a.H/,
a('h
do diâmetro da barra, r/J, e do raio de
ach
para um feixe de II barras de
r/Jo' o diâmetro equi valente é r/J11== r/Jo,J;; .
== k, ~ a,wl
onde k, é um fator ele proporcionalidaele.
j
(
,
(
no plano do gancho depende da
dobramento, R. De lima forma simplificada,
representada por
No caso de feixes de barras, o comprimento básico de
ancoragem lI> é calculado considerando-se o diâmetro do círculo de
mesma área do feixe. Por exemplo,
r/J11; neste caso, é obrigatório o emprego de
essa tensão pode ser
(
(
(
(7.5.1 )
(
--C
(.
(
,.
i
.:J,
•.
,'~
)
~
'J
)
)
228
Ancoragem
Curso de Concreto Armado
e entendas das barras da armadura
229
)
mll111110Sindicados na fig.7.5.2. Para as barras lisas, os ganchos
deverão ser sempre semicirculares.
Nos ganchos dos estribos, os comprimentos mínimos são de
5rjJ ~ 5 em para o Tipo I e o Tipo 2 e de I OrjJ ~ 7 em para o Tipo 3.
)
)
C
O
Este último tipo de gancho não deve ser utilizado
barras e fios lisos.
)
)
::: </
)
B
J.~
i
I
A __
-11 ---.
Cisd
)
)
ct ~8$1LL
)
Fig. 7.5. I -Tensões de contato no gancho
)
}
3
)
)
)
A ancoragem é feita através do trecho reto AB, onde atuam as
tensões tangenciais de aderência, e do gancho BC. O trecho reto CD
não colabora na ancoragem, servindo apenas para aumentar a rigidez
à flexão do gancho, impedindo que ele se abra quando solicitado'<".
Resultados experimentais revelam que o trecho CD fica comprimido,
embora a barra esteja submetida a uma força de tração. Logo, de
nada adianta aumentar demasiadamente o comprimento do trecho
CD.
Além das tensões
)
)
)
)
)
)
)
de compressão
CY('fJ
no plano do gancho,
surgem tensões transversais de tração que podem provocar o
fendilhamento do concreto.
Observa-se que a tensão no concreto na região do gancho é
tanto menor, quanto maior for o raio de dobramento. Assim, para
manter o mesmo nível de tensão no concreto, o raio de dobramento
deverá ser função do diâmetro da barra e da categoria do aço
(expressa na tensão CY.\·d ).
Segundo a NBR-61 18, os ganchos das extremidades das barras
da armadura longitudinal de tração podem ser semicirculares (Tipo
1), em ângulo de 45\) (Tipo 2) ou em ângulo reto (Tipo 3). As
extremidades retas desses ganchos devem ter os comprimentoS
Tipo 3
Tipo 2
Tipo 1
)
para estribos de
Fig. 7.5.2 - Tipos de ganchos
Os diâmetros míni mos de dobramento dos ganchos e estribos
exigidos pela NBR-6118 são indicados na tabela 7.5.1.
Tabela 7.5.1 - Diâmetros mínimos de dobramento
(ganchos e estribos)
Bitola
CA-75
CA-50
CA-60
rjJ< 20
4~
5~
6rjJ
rjJ~ 20
5rjJ
8rjJ
Para estribos de bitola não superior a 10, o diâmetro mínimo
ele dobramento é igual a 3rjJ .
As barras lisas tracionadas devem ser ancoradas com gancho,
obrigatoriamente. Porém, as barras que forem sempre comprimidas
devem ser ancoradas apenas com ancoragens retilfneas, pois os
ganchos aumentam o risco de fendilhamento
na extremidade da
barra. Nas barras sujeitas a esforços alternados de tração e de
compressão, eleve-se fazer a ancoragem sem ganchos. Não é
recomendado o emprego de gancho para barras de ~ > 32 mrn.
i
I
(
y..
..~
(
(
(
230
Ancoragem
Curso de Concreto Armado
e emendas das barras da armadura
231
(
("
Para levar em conta o efeito favorável
comprimento de ancoragem
pode ser reduzido
ancoragem reta, como indicado na figo 7.5.3.
do gancho,
em relação
Devido
o
à
espraiamento
das
tensões
compressão
(
desnecessárias em uma seção situada a uma profundidade x do topo
da sapata ou do bloco (ver capítulo 8 do Volume 4). Ou seja, as
armaduras podem ser efetivamente ancoradas na região superior do
bloco':'!'. Entretanto, por prudência, procura-se garantir que a sapata
ou o bloco permitam que as barras do pilar tenham um comprimento
(
(
(
(
de ancoragem mínimo igual a 0,611>' aproximadamente.
~ Nd
r:..::.:::L. __- //
de
do esforço normal N d ' as armaduras do pilar já seriam
decorrentes
(í y\
ao
:
~ Nd
F1Sd
---.
X
I
Ib.nec
/
V
Fig. 7.5.3 - Ancoragem de barras tracionadas com ganchos
Segundo a NBR-61 18, o comprimento
ancoragem com gancho, 11>.111'(" é dado por
do trecho
I I
I / I
/ / I
/I
\ , '
\ \
'
\
\
I
,
\', '
<O
-
,~
CIIrJ
reto da
Sapata
o
"
~1\
..c
I 11
/ /1
/ 1/
V /;
<O
-, -,
o
",", I 11
1\
I,
t
,"" -,
Bloco
t
Fig. 7.5.4 - Ancoragem das barras de arranque dos pilares
_
A~.('{/I
'b.lIec - a"b
>
.
(7.5.2)
-lb.Jl1JJl
ai tem os seguinte valores:
a, = 0,7 se o cobrimento de concreto na direção normal ao plano do
gancho for maior ou igual a 39 ;
a, = 1,0 se o cobrimento for menor que 39.
Os demais termos
apresentados anteriormente.
na
equação
(7.5.2)
são
os
(
Observa-se que as extremidades
das barras do pilar são
dobradas com ganchos a 90° e apoiadas sobre a armadura horizontal
da sapata ou do bloco. Se a armadura do pilar estiver comprimida,
ela será ancorada no seu trecho superior, de modo que o gancho
estará livre de tensão. Assim, não se está fazendo uma ancoragem de
barras comprimidas
com gancho, pois o gancho tem a única
finalidade de facilitar o posicionamento das barras do pilar.
Por outro lado, se algumas barras do pilar esti verem
tracionadas, devido à presença de momentos f1etores, o gancho
AI'"
o coeficiente
<
mesmos
(
(
(
~
(
(
entrará em ação, permitindo que se adote 'b.II('(' == 0,61b (neste caso,
tem-se a superposição dos efeitos favoráveis do gancho e de um
grande cobrimento de concreto).
Devido à ampliação da área carregada dentro da sapata ou do
bloco, a tensão na armadura do pilar diminui muito rapidamente com
a profundidade x, como se mostra na figo 7.5.5 para um pilar de
Uma situação excepcional ocorre na ancoragem das barras de
arranque dos pilares dentro das sapatas ou dos blocos de fundação
rígidos. Nesses casos, a carga do pilar é transferida para o solo ou
para as estacas, através de bielas de compressão inclinadas, como
está indicado na figo 7.5.4.
(
(
(
,.
_1
(
j
(
)
)
--~------------~~
,
)
)
)
)
)
""""'-
232
Curso de Concreto Armado
seção quadrada
armadura p .
Ancoragem e entendas das barras da armadura
Topo da sapata
)
O
)
2
)
a
..-..
)
E
~
x
)
.D
6
Ib,nec=lb,min
8
a>
-o
Cü
)
10
i
:2
-o
)
c
12
'+o
14
::I
)
o,
l-
)
Fig. 7.5,6 - Ancoragem das barras de arranque do pilar nos blocos
sobre uma estaca
18
7.6 - Outros fatores de redução do comprimento de ancoragem
)
O
)
I
0,0
0,1
0,2
0,3
)
0.4
0,5
Relação
)
)
1,0
Conforme se observa na figo 7.5.5, a uma profundidade
inferior a 5 em, a tensão (J's nas barras do pilar já é menor que
O,3f\'d'
)
A armadura
necessária
bastará adotar o comprimento
nessa seção é As.ml
de ancoragem
todo
)
carregada, quando o diâmetro
o lb.l/ec'
mínimo lb.min ' Assim,
pois só ocorre uma pequena
ampliação
Além dos ganchos, permite-se considerar outros fatores de
redução do comprimento de ancoragem. Dentre os fatores favoráveis
para a ancoragem incluem-se a colocação de barras transversais,
soldadas ou não, o emprego de maior cobrirnento de concreto e a
existência de pressão transversal na região da ancoragem.
No caso do emprego de barras transversais soldadas à bana
que está sendo ancorada, devem ser obedecidas as seguintes
condições, conforme a fig. 7.6.1 :
= O,3Ase'
a partir dessa seção,
a adoção do critério indicado na figo 7.5.4 fica a favor da segurança.
Nos blocos sobre lima estaca, deve-se garantir a ancoragem de
)
'\
0,8 0,9
Gs/fYd
Logo, se as barras do pilar forem ancoradas
)
0,7
Fig. 7.5.5 - Variação da tensão nas barras do pilar dentro da sapata
da área
(jJ da estaca é maior que a largura (/
do pilar, como se observa na figo 7.5.6.
"
0,6
)
)
t
16
)
)
a
o
a>
c
4
)
233
com 20 em de lado e dois valores da taxa de
)
)
I
a) O diâmetro
(jJ, da barra soldada deve ser maior ou igual a 0,6(jJ,
sendo (jJ o diâmetro da barra que está sendo ancorada;
b) a distância da barra transversal
deve ser maior ou igual a Sr/J ;
ao ponto de início da ancoragem
c) a resistência ao cisalhamento da solda deve superar a força
mínima de O,3Asfrd
(isto é, 30% da resistência da barra que está
sendo ancorada).
(
·:;.
234
(
(
Ancoragem e emendas das barras da armadura
Curso de Concreto Armado
(
235
(
~.
I~()""""
~t~O,6<j>
I
()
.......•
•
~5<j>
~
Coeficiente
Ib,nec
ai =1
(
barras com gancho ou laço
ai =0,7 se cd ;:::
3rjJ
(
ai = 1 se cd < 3rjJ
(
a'l : Barras
Coeficiente
transversais
barras retas, com gancho ou laço
l' t~5~l
,
(
barras retas, sem gancho
0---'
---.
(
ai: Forma das barras
~
-::: I
(
Tabela 7.6.1 - Coeficientes de redução do comprimento de
--------..-.----r---- barras tracionadas
aO,: Cobrimento
Coeficiente
soldadas
(
a2 =0,7
(
das armaduras
(
cd -rjJ
barras retas, sem gancho
ao =1-015-.'
Ib,nec
,
(
rjJ
(
com 0,7::; a3 ::;1
Fig. 7.6.1 - Ancoragem
com barras transversais
Segundo o CEB/90, o comprimento
dado por
'b,ner
soldadas
barras com gancho ou laço
a, = 1- O 15 cd - 3rjJ
.
de ancoragem necessário é
As,m/
= ala2a3(;(+cx5Ib -A--;:::
'b.min
'
rjJ
com 0,7::; aO, s 1
Coeficiente
(7.6.1)
a4 : Barras transversais
não soldadas
a4 =J -kÀ
barras retas, com gancho ou laço
se
com 0,7::; a4
Coeficiente
Os cinco coeficientes introduzidos na equação (7.6.1) levam
em conta os seguintes fatores favoráveis para a ancoragem:
as: Pressão
transversal
barras retas, com gancho ou laço
ai : efeito de gancho ou laços;
a2 : efeito de barras transversais
II
(
(
p em MPa
(
as = 1-0,04p
0,7::;as < 1
(
(
soldadas;
Ao
a3: efeito do cobrimento das armaduras;
usar
a
tabela
7.6.1,
deve-se
impor
a
restrição
ao,a4aS ;:::0,7 .
a4: efeito de barras transversais não soldadas;
No caso de ancoragem de barras comprimidas,
as : efeito da pressão transversal.
de redução para barras tracionadas
al e as são permitidas. Neste caso, deveai = aO, = a4 = J . Os coeficientes al e aS são os
mesmos indicados na tabela 7.6.1.
Da tabela 7.6. J, observa-se que barras retas com cobrimento
ld
superior ao diâmetro rjJ permitem redução (CX3 < J ). No caso de
I
...L
"
(
(
só as reduções
relativas aos coeficientes
se considerar
Os valores dos coeficientes
são dados na tabela 7.6.1.
::; I
(
(
(
(
(
(
(
.,·fJ:!,.
.~
.'
)
f
)
f
)
-'------------~----------------------~
)
)
236
Curso de Concreto
)
)
)
banas
com gancho, esse cobrimento
considerar
I'
entendas dos barras da armadura
deve ser superior a 39 para se
aI e a3 se
essa redução, Nesse caso, os coeficientes
sobrepõem
)
)
Ancoragem
AI'/I/{{do
Na figo 7.6,2, indica-se a determinação
do cobrimento
cd
As
i".
-~
A
/
st
para
banas retas, ganchos e laços horizontais,
k=O,1
M
I
I
I
I
I
I
I
k=O,05
)
ganchos
barras retas
)
Fig. 7.6,3 - Valores do coeficiente
laços
237
I
k=O
k
)
Nas ancoragens de telas soldadas compostas por fios lisos ou
com mossas, podem-se adotar os mesmos critérios de barras
nervuradas, desde que o número 11 de fios transversais soldados ao
longo
do comprimento
de ancoragem
atenda - a relação
)
n 2: 4As.co/ / A5(, .
)
)
)
Fig. 7.6.2 - Determinação
)
)
)
o coeficiente
do cobrimento
7.7 - Ancoragem em apoios de extremidade
cli
A que aparece na expressão de a4 (ver tabela
7.6. I) é dado por
)
solicitante em uma seção vizinha, dela afastada de uma distância
A=
)
L As/ - I A.
I·l.min
)
)
(7.6.2)
AI
L
)
dispostas ao longo do comprimento
)
LA
)
O,25As para vigas e
)
As é a área da barra ancorada de maior diâmetro.
As/ é a área
s/.l11m
da seção
das barras
é a área mínima
°
transversais
)
)
, '\
uma força de
de ancorazem
.:>
da armadura
(7.7.1)
não soldadas
11.o.nec .
r
transversal,
igual a
para lajes;
onde Z é o braço de alavanca, que pode ser tomado como sendo
aproximadamente igual à altura útil d da seção transversal da peça.
O incremento de momento, t:.M d ' é igual a
(7.7.2)
)
)
Assim, nos apoios de extremidade deve-se considerar
tração na armadura longitudinal dada por
ai'
onde
)
)
No capítulo anterior, foi mostrado que, em decorrência das
fissuras inclinadas, a força na armadura longitudinal de tração em
uma seção transversal da peça é proporcional ao momento fletor
Os valores do coeficiente
k para a determinação de lZ4 são
indicados na figo 7.6.3. Esse coeficiente depende ela posição da barra
ancorada em relação à armadura transversal não soldada.
onde Vd é o esforço cortante de cálculo (igual à reação de apoio).
Assim, a força a ser ancorada nos apoios de extremidade
vigas e das lajes é dada por
das
I
'"
(
.::
(
-~~~~-~~-----~--~--~~~._._----238
Curso de Concreto Armado
Ancoragem
e emendas das barras da armadura
onde
a,
239
= dVd
(7.7.3)
'h.lIfC
(
(
(
>fR+S,S(,Ó
{lI
Rl'il
(
-l 6cm
(7.7.5)
(
(
é obtido da equação (659) do capítulo anterior.
Portanto,
do comprimento
a armadura calculada,
As.cal'
= Rsd / fYd
(,Ó
o diâmetro da barra e R o raio de dobramento do gancho.
O limite R + 5,5(,Ó tem por finalidade
para a determinação
de ancoragem nos apoios de extremidade,
A\".c({1
sendo
é
(7.7.4)
e Ase é a armadura que realmente chega ao apoio.
o comprimento
de ancoragem é medido a partir da face do
apoio, conforme está indicado na figo 7.7.1.
(
garantir que o início da
(
curva de dobramento do gancho fique dentro da região do apoio,
conforme indicado na figo 7.7.2.
O trecho reto que é exigido antes do início da dobra de
ancoragem tem por finalidade evitar que o gancho atue à plena carga,
possibilitando o fendilhamento do concreto. Na verdade, o gancho
sozinho é capaz de ancorar toda a força de traç50(2.2Il. Em virtude da
compressão transversal existente nos apoios, esse trecho reto pode ter
apenas o comprimento indicado na equação (7.7.5). O mesmo não
ocorre se o gancho terminar fora do apoio e, neste caso, o
comprimento mínimo do trecho reto é dado na equação (7.4.3).
(
(
face do apoio
(
(
(
(
(
(
(
I
~ 'b,nec
~I
,
r;ooc 1
d
(
R),
~//
Vd
(
I
I
I
Il.~
t
(
RSd
1-+
(
4,5~
(
(
R+5,5~ ~ 6 em
~
(
~
(
Fig. 7.7.2 - Gancho nos apoios de extremidade
Fig. 7.7.1 - Ancoragem em apoio de extremidade
O comprimento
(7.6.1), considerando-se
de ancoragem
Ib.lI{'c
(
Quando o apoio de extremidade
é obtido da expressão
resultar I b.nec
os fatores de redução indicados na tabela
da viga for estreito, poderá
> 'IJ.1lisp , onde 'b.llec é o comprimento de ancoragem
7.6.1. No caso de ancoragem reta, o valor mínimo 'b.min é dado na
com gancho, respeitados
equação (7.4.3). Porém, quando a barra termina em gancho no apoio,
deve-se verificar que
comprimento disponível dentro cio apoio. Neste caso, não é possível
fazer a ancoragem
com gancho. Uma alternativa para fazer a
ancoragem é o emprego de grampos adicionais, conforme indicado
na figo 7.7.3.
j
os limites da equação (7.7.5), e lb.disp
é o
(
(
(
(
(
(
(
j
)
)
------------------~---------------------------------------
)
I
)
)
240
Ancoragem e emendas das barras da armadura
Curso de Concreto Armado
241
)
grampos
diâmetro
)
)
de
<1>1
/
AI
)
)
I
)
:I
-l
g
}
/
/
FSd
d
•
Ib,disP I
I
)
r
T,-.-
_
)
----E;:JR
Ib,nec
)
_--
)
)
)
)
~
Fig. 7.7.3 - Grampos de ancoragem em apoios de extremidade de
pequena largura
Os grampos devem
Fsd dada por
ser dimensionados
)
F sei = R sd
)
(1-
para a força mínima
A
J
Rsd,17
Ib,{Ii.~p
(7.7.6)
força
onde
)
chega ao apoio.
Desse modo,
Asl
)
)
)
)
Rsd
é a força total na armadura longitudinal
= Fsd / t«.
empregado
como
os
onde
grampos
fl'd
grampo.
deverão
ter
área
é a tensão de escoamento
O comprimento
de
_ r/JI f\'{I
b.1
-4-r.I bd
= Rsd (1-lb,diSP
/Ib.nec)·
ancorada
Essa
força
igual
a
é
transferi da
aos
a qual está submetida
à
Fc = R sdn / COS (J. A resultante de tração nos grampos é
dos
Considere a viga biapoiada indicada na figo 7.7.5.
A viga se apoia nos pilares Pl e P2, ambos com 20 cm de
largura. O vão livre é 10 = 580 em e o vão de cálculo, definido como
(7.7.7)
)
)
onde r/JI é o diâmetro da barra dos grampos.
uniformemente
)
A expressão (7.7.6) é obtida do modelo de biela e tirante
representado na figo 7.7.4.
transversal também são indicadas na figo 7.7.5.
distribuída
O concreto
)
possui
longitudinal é oCA-50.
)
_"
= 600 em
de apoio, é I
uma carga de
a distância entre os eixos dos pilares
(l = 6 m). A viga é solicitada
por
)
é
Exemplo:
grampos, Ib.l' marcado a partir da face do apoio, é dado por
/
não
total
do aço
ancoragem
força
Fsd = Fc cos (J , de onde resulta a expressão (7.7.6).
de tração que
lima
~
grampos através da biela de compressão,
lb.nec
)
------------
Fig. 7.7.4 - Modelo de biela e tirante para ancoragem com grampos
em apoios de extremidade
)
)
Rsd
sd,n
-<~---------------
)
serviço
P k = 20 kN/m. As dimensões da seção
fck
= 30 MPa e o aço da armadura
",<
,~
(
(
(
242
Curso de Concreto Armado
Ancoragem
e emendas das barras da armadura
(
243
(
p1I,Ir------
61wr
rq
l,l P2
I
.I~O
I
I
I
L=Fi80 em
20 I
.U
~14
I
I
I
_
'
Pk=20 kN/m
I
-
1=600 em
~
(
ser cortada, ficando com um comprimento reduzido, e as outras duas
barras passam corridas de apoio a apoio.
Todas as três barras da viga devem ser ancoradas. Para a barra
mais curta, deve-se fazer uma ancoragem no vão. Para as duas barras
que passam corridas, devem-se fazer as ancoragens nos apoios de
extremidade. Em todos os casos, tem-se ancoragem em zona de boa
aderência. O estudo detalhado do escalonamento das armaduras das
vigas é apresentado no Volume 2.
20 ~
~
seção transversal
(
(
(
(
(
(
C) Ancoragem
no vão
(
~
dimensionamento
A) Dimensionamento
é igual à área obtida no
(
= 5,61 em".
(
à seção das três barras, isto é,
(
Neste caso, a área de aço calculada
Fig. 7.7.5 - Viga biapoiada com carga uniforme
da armadura longitudinal
para o momento f1etor, ou seja, AS.tal
A área de aço existente corresponde
Ale = 6,03 crrr'.
(
O momento f1etor máximo de serviço, no meio do vão da viga,
é dado por
p,,'- 9
- resistência
?
M ,,=--=
8
(
da aderência:
(
OkNm.
- i", = 30 = 21,43MPa
L
1,4
cd -
Dimensionando
a seção da viga para esse momento
resulta As
5,61 cm2 (armadura simples).
(
fletor,
=
Armando a viga com barras de </J
(
1,4
ibd = 0,42(.rcd fi:' =0,42(21,43
= 16 mrn, tem-se:
- comprimento
2
?/:. => ibd =3,24 MPa
(
(
(
básico de ancoragem:
- área de uma ban·a: Asl = 1C</J = 2,01 cm2
(
4
</J ird
,
' .
- numero
de balTaS necessanas:
5,61 =,2 79
II = -2,01
- área de aço adotada: As,adol
= 3x2,0 1 = 6,03 crrr'
'/J
=> 17 = 3 barras
onde
fVd
_~
=4Fbd
J
4
434,8
3,24
=> fb ==S4cm
= 500/1,15 = 434,8 MPa é a tensão de escoamento
(
(
(
de
(
cálculo do aço CA-SO.
B) Escalonamento
das armaduras longitudinais
(
- comprimento
Uma vez que o momento fletor solicitante diminui em direção
aos apoios, não há necessidade de passar as três barras corridas em
toda a extensão da viga. Para economizar no consumo de aço, podese fazer o escalonamento das armaduras. Neste caso, uma barra pode
mínimo ele ancoragem:
(
(
Para ancoragem no vão, reta ou com gancho, o comprimento
mínimo de ancoragem é dado pelo maior dos valores
i
I
(
(
(
)
I~
~'.;.
)
J
)
)
244
Curso de Concreto
e emendasdas barras do annadura
AI/coragem
Al'IIlCIdo
245
)
- armaduras nos apoios de extremidade:
O,3Ib = 0,3x54 = 16,2cm
)
Ib.ll1in
)
2
{
1Oy? = lOx1,6 = 16cm
A área da armadura calcula nos apoios é dada por
lOcm
)
ai
)
Logo,
lb,min
ALcal
== 17 em.
Vâ
=-;; frd
)
)
- comprimento
de ancoragem
reta:
onde
)
)
Ib,lIec
Como
Al',cal
5,61
se
6,03
= lb -A-- = 54x- -
)
)
ai
é o deslocamento
Ib,lIec
> lb.min'
adota-se
simplificação
'b.llec
= 50cm.
Vâ
As.cal
=-f
I
)
o comprimento de ancoragem com gancho é dado na equação
(7.5.2), sendo lb.min = 17 em. Entretanto, não compensa fazer o
viga, tem-se A~e = 2x2,01
gancho nas ancoragens situadas ao longo dos vãos das vigas, pois
nem sempre é possível garantir o cobrimento de 3y? no plano normal
- comprimento
)
)
de ancoragem
)
)
ao gancho, devendo-se adotar
ai = 1,0 como nas ancoragens
=> A s.cal = 1,93 crrr'
= 4,02 em'.
de ancoragem reta:
retas.
A\.("o/
lb.llec
Além disso, nessas regiões não há restrição de espaço para fazer a
ancoragem, como ocorre nos apoios de extremidade.
= 'iJ --
Ale
1,93
= 54x--
4,02
=> lb.l1ec = 26 em
o comprimento mínimo de ancoragem reta é lb.min = 17 em,
D) Ancoragem nos apoios de extremidade
o esforço cortante de serviço nos apoios de extremidade
viga é dado por
Pk1 _ 20x6
Vk =~- 2
')
_
= 60 kN.
)
)
84
43,48
Como apenas duas barras de 16 mrn chegam até os apoios da
como foi visto anteriormente.
)
)
= d , como uma
com gancho:
)
)
ai
. yó
- comprimento
)
de momentos
a favor da segurança. Desse modo, obtém-se
)
)
do diagrama
na seção 6.5 do capítulo 6.
Para as vigas dos edifícios, pode-se adotar
=> lb.llec = 50 em
)
)
horizontal
fletores, conforme apresentado
O esforço cortante de cálculo é Vd = I,4Vk = 84kN.
Como
da
lb.l1ec
> 'b.min
' deve-se adotar 'b.l1('c
= 26 em.
Observa-se que não é possível fazer a ancoragem reta, pois o
pilar tem apenas 20 em de largura. Descontando 3 em do cobrirnento
das barras (supondo a classe II de agressividade ambiental), sobram
apenas 17 em para se fazer a ancoragem, o que é bem menor que
lb.llec
= 26 em. Neste caso, deve-se fazer a ancoragem com gancho.
)
)
'\
I
"..,
,I
k
(
(
(
246
Curso de Concreto Armado
Ancoragem
e entendas dos barras da armadura
247
(
(
- comprimento de ancoragem com gancho:
prática, as barras seriam prolongadas
adotando-se
As,cal
lb nec = 0,71b -,
Ase
= 0,7 x54x--
1,93
4,02'
com gancho,
R é o raio de dobramento do gancho.
b,mlll
6
-
em
que o diâmetro de 'dobramento
=:>
l/J,min
Como resultou lb.nec > lb.min ' deve-se adotar
é
= 18 em.
Observa-se que, mesmo com gancho, não é possível fazer a
ancoragem, já que o comprimento disponível é de apenas 17 em.
Uma alternativa para resolver o problema seria o uso de
grampos adicionais, como indicado na figo 7.7.3.
Outra opção seria passar as três barras corridas por toda a
extensão da viga (sem fazer escalonamento). Neste caso, a área de
aço
ex.istente
nos
apoios
seria
Ase = 3x2,0 1 = 6,03 CI1l~.
O
comprimento de ancoragem necessário seria
lb,nec
"
=
As.cal
0,71b -Ase
1,93
= 0,7 ,,1'54,,1'--....=:> lb.llec = 12cm.
6,0"
Assim, com a opção de três barras corridas, bastaria adotar o
comprimento
mínimo de ancoragem com gancho
Ib,lIer
nas ancoragens
(
Conforme foi indicado na figo 7.1.2, na região das ancoragens
surgem tensões de tração transversais que podem provocar o
fendilhamento
do concreto e, consequentemente,
prejudicar as
condições de ancoragem. O esforço máximo de fendilhamento ocorre
no terço extremo
do comprimento
de ancoragem
e vale
aproximadamente 259c da força ancorada!".
As tensões de tração podem ser eliminadas quando há uma
compressão transversal à barra ancorada, como ocorre nos apoios das
vigas. Entretanto, nos locais onde essa compressão não existe ou é
insatisfatória, deve-se prever uma armadura capaz de resistir ao
esforço de tração transversal. A armadura transversal deve ser
distribuída
= 13 em
lb.llec
transversal
nos
R +5,5rjJ
. :2:
lb,ITIII1
{ 6cm
. >{81>=8XI,6=12,8
(
(
mínimo de ancoragem
apoios de extremidade das vigas, é
I
(
(
=:> lb nec = 18cm
o comprimento
Da tabela 7.5.1, verifica-se
igual a 51> . Logo, R = 2,51> .
do pilar,
todo o comprimento disponível, ou seja, I b.nec = 17 em.
7.8 - Armadura
onde
até a extremidade
= 13 em. Na
ao longo do comprimento
de ancoragem
lb.llec
e deve ser
capaz de resistir a 25% do esforço de uma das barras ancoradas.
Havendo barras de diâmetros diferentes, considera-se a barra de
maior diâmetro.
Em geral, a armadura transversal já existente, como os estribos
para o cisalhamento
ou a armadura de suspensão nos apoios
indiretos, é suficiente para absorver o esforço de fendilhamento.
Porém, quando a armadura longitudinal
é disposta em várias
camadas, é necessário prever uma armadura transversal adicional. Se
os estribos já existentes tiverem um espaçamento pequeno (de no
máx imo 10 em), a armadura transversal pode ser constituída por
barras suplementares,
como indicado na figo 7.8.1. Entretanto, é
sempre preferível o emprego de estribos adicionais, de altura
reduzida, envolvendo a armadura 10ngitudinal'"'I.
Nas ancoragens das barras comprimidas, uma parcela da força
é transmitida ao concreto através da ponta da barra. As pressões de
ponta introduzem um esforço transversal de tração que pode romper
o cobrimento de concreto. O esforço de fendilhamento (igual a 25%
da força ancorada) deve ser resistido por estribos colocados ao longo
do comprimento
lb.l1ec
+ 41>. Pelo menos um estribo deve ser
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
Ancoragem
Curso de Concreto Annado
248
e emendas das barras da armadura
249
)
)
colocado
)
4çb além da extremidade
ao longo do comprimento
)
)
)
)
(
)
)
)
barras
suplementares
)
o
estribos de
costura
)
)
)
)
Fig. 7.8.1 - Armadura transversal nas ancoragens
)
)
)
)
da
7.9 - Emendas das barras da armadura
barra, conforme está indicado na figo 7.8.2.
1
As emendas das barras da armadura devem ser evitadas
sempre que possível. Quando necessário, as emendas podem ser
feitas por traspasse, através de solda, com luvas rosqueadas ou com
outros dispositivos devidamente justificados. As emendas com solda
ou luvas rosqueadas exigem um controle especial para garantir a
resistência da emenda.
A emenda por traspasse é mais barata, por ser de fácil
execução, e faz uso da própria aderência entre o aço e o concreto. De
acordo com a NBR-6118, esse tipo de emenda não é permitido para
barras de bitola superior a 32 (çb > 32 mm), nem para tirantes e
pendurais (peças lineares de seção inteiramente tracionada).
No caso de feixes, o diâmetro do círculo de mesma área, para
cada feixe, não pode ser superior a 45 mm. Além disso, as barras
constituintes do feixe devem ser emendadas uma de cada vez sem
que, em qualquer seção do feixe emendado, resultem mais de quatro
barras.
Nas emendas por traspasse, a transferência da força de uma
barra para outra se faz através de bielas comprimidas inclinadas,
como indicado na figo 7.9.1. A distância livre entre as barras
emendadas deve ser no máximo igual a 4çb.
)
)
)
)
)
)
J:4<P
)
C:============:::J
)
1
)
)
)
)
Fig. 7.8.2 - Armadura transversal nas ancoragens
das barras comprimidas
Fi g. 7.9. I - Emenda por traspasse
---+
t.:.;.
(
(
(
250
Curso de Concreto Armado
(
Ancoragem e entendas das barras da armadura
251
(
o comprimento
do traspasse,
(
101, das barras tracionadas é
101 = aollb.l/e(
onde lb,llec é o comprimento
(7.6.1),
10\
I~
dado por
e aOI
;::::
de ancoragem,
20cm
onde lb é o comprimento
J
(
Da
dado na expressão
condições na região da emenda, em relação à ancoragem de uma
barra isolada.
Segundo a NBR-6118, o comprimento mínimo da emenda de
ban-as tracionadas é dado por
>
(
(7.9.1 )
;::::
lOI.min
J 15@
(7.92)
-1 o,3a~Jb
Na tabela 7.9.1, são indicados os valores de aOI em função da
porcentagem de barras emendadas na mesma seção.
Tabela 7.9.1 - Valores do coeficiente
:::;20%
25%
33%
50%
>50o/c
Valores de aOI
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
(
(
A NBR-6118 estabelece lima proporção máxima de barras
tracionadas que podem ser emendadas na mesma seção, conforme a
tabela 7.9.2_
Quando se tratar de armadura permanentemente
comprimida
ou de distribuição, permite-se que todas as barras sejam emendadas
na mesma seção.
alta aderência
OI
Porcentagem de barras
emendadas na mesma seção
(
Fig. 7.9.2 - Emendas na mesma seção
lisa
a
(
H,
<0,210\
Tabela 7.9.2 - P
Tipo de barra
básico de ancoragem.
(
:---,
, ,
1 é um coeficiente que leva em conta as piores
101.l1lin
~I
•
~
•••••
....,~
"C~~~
•••
_
••••••
de b
-
Situação
em uma camada
em mais de uma camada
rp<16mm
rp;::::16mm
o
comprimento
comprimidas,
do
dad
d
Carresamento
estático
dinâmico
100%
100%
50%
50%
50%
25%
25%
trecho
de
traspasse
25%
das
barras
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
loe' é dado por
(
Consideram-se como na mesma seção transversal, as emendas
que se superpõern ou cujas extremidades mais próximas estejam
afastadas de menos que 20% do comprimento do trecho de traspasse,
conforme indicado na fig. 7.9.2. Assim, para reduzir o comprimento
das emendas, elas devem ser distribuídas de maneira defasada ao
longo do eixo da peça.
lor
= lb.nel" ;::::loc.min
(7_9.3)
(
(
com o valor mínimo dado por
(
20Cm
loc.l1lin;::::
{
lSrp
0,61/)
(7.9.4)
(
(
(
(
(
ii
)
..
-~
)
.....
-.--
)
)
Curso de Concreto Armado
252
Ancoragem
..---
..
-------------~_"lI
e emendas das barras da armadura
253
)
)
)
Para as barras comprimidas,
O:oe = I, resultando
Zoe = 'b.lIl'c'
porque uma parte da força é ancorada pelo efeito de ponta.
)
)
)
)
)
Na região das emendas por traspasse surgem esforços de
tração que devem ser resistidos por lima armadura transversal. A
armadura transversal melhora a ductilidade na região da emenda,
evitando uma ruptura brusca por descolamento do cobrimento de
concreto, como indicado na figo 7.9.3.
)
)
,
,
I,
,
)
-_'I
I1
,"
/
c) Se a < I04J,
a é a distância entre as duas barras mais
onde
próximas de duas emendas na mesma seção, como na figo 7.9.2, a
armadura transversal de costura deve ser constituída por estribos
fechados, como indicado na figo 7.8.1.
A armadura
transversal
deve concentrar-se
nos terços
extremos da emenda e seu espaçamento, medido na direção das
barras emendadas, não deve ser maior que 15 em. No caso de
emendas de banas comprimidas, pelo menos uma barra da armadura
transversal deve ser colocada ao longo do comprimento 44J além da
extremidade da emenda.
Na figo 7.9.4, indicam-se as disposições
transversais nas emendas por traspasse.
das
armaduras
)
)
)
)
)
Ruptura do cobrimento
pela falta da armadura
transversal
Emenda costurada por
armadura transversal
Fig. 7.9.3 - Ruptura do cobrimento na região da emenda de um
elemento tletido
)
De acordo com a NBR-6ll8,
)
AS" é calculada com os seguintes critérios:
)
)
)
)
a área da armadura transversal,
a) Quando 4J < 16 111me a proporção de barras emendadas na mesma
igual a fvd'
)
barra emendada. Em geral, a armadura transversal já existente por
outras razões, como os estribos para cisalhamento, é suficiente para
funcionar como armadura de costura.
)
b) Quando 4J 2: 16 mm ou quando a proporção de barras emendadas
)
na mesma seção for maior ou igual a 25%, a armadura transversal
deve ser capaz de resi stir a 100% da força atuante em uma das barras
emendadas.
)
I
r
~
m
m
: .
:
I
lotf3
I
I
lo!
~
lotf3
I
Barras tracionadas
:1
AI./ deve ser igual a 25% da área da seção de uma
)
)
Astf2
~
H
seção for menor que 25%·, a armadura transversal deve ser capaz de
resistir a 25% da força atuante em uma das barras emendadas.
Assim, se o aço da armadura de costura for da mesma categoria da
armadura emendada, e se a armadura emendada está com tensão
)
)
~15cm
Barras comprimidas
Fig. 7.9.4 - Armadura transversal nas emendas
i
J
'f
~"":i
(
(
"
C
(
(
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(
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(
(
(
(
(
--C
1
(
)
..,.
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
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