Introducción
En este trabajo voy a responder a la pregunta: “Cómo varía el rendimiento de un
transformador al variar la resistencia interna de ese mismo transformador?” usando
un simulador de circuitos. Simularé un circuito simple con un transformador con una
resistencia interna variable, los resultados muestran que al aumentar la resistencia
disminuye el rendimiento. Los transformadores son componentes vitales de los
circuitos para el transporte de la electricidad de las centrales eléctricas a los centros
urbanos, por ello es importante saber cuánta potencia se pierde por culpa de la
resistencia interna del transformador y si realmente vale la pena intentar crear
transformadores con rendimientos más altos. Circuitos es uno de los temas de física
que más me interesa y pensé que sería una buena idea investigar en más
profundidad uno de sus muchos componentes.
Introducción teórica
transformador es un componente formado por un rectángulo hueco hecho de algún
material conductivo enrollado por dos cables como en el siguiente esquema:
imagen creada por el usuario Kundalini Zero de wikipedia
Como se puede ver en el esquema, el cable que pasa de ser negativo a positivo
mueve la electricidad y el que va de positivo a negativo cierra el ciclo. El objetivo del
componente es aumentar o reducir el voltaje de la electricidad que lo recorre, para
ello se puede ver que en uno de los dos lado hay más vueltas que en el otro, el ratio
de vueltas de uno de los lados respecto al otro es lo que determina el voltaje
resultante con la siguiente fórmula:
𝑁
𝑣2 = 𝑣1 · 𝑁1 (formula 1)
2
en la que 𝑣1 y 𝑣2 son los voltajes inicial y final, mientras que 𝑁1y 𝑁2 son el número
de vueltas en el devanado primario y secundario, de forma que el voltaje se verá
incrementado o reducido dependiendo del ratio de vueltas entre las dos bobinas. En
este caso el rendimiento será el porcentaje de la potencia que es conservara en el
circuit, la cual es defineix com las siguientes fórmulas:
𝑃
η = 𝑃 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 (formula 2)
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑃 = 𝑉 · 𝐼 (formula 3)
𝑄
𝐼 = 𝑡 (formula 4)
𝑉 = 𝐼·𝑅 (formula 5)
Como el circuito será en serie, ya que solo tendrá un solo transformador, la
intensidad será constante, de forma que la potencia será directamente proporcional
con el voltaje. Ya que si se duplica, o cuadruplicar la potencia, vemos como el
conjunto de voltaje e intensidad también aumentan por la misma magnitud, y como
la intensidad es constante solo se modifica el voltaje:
2𝑃 = 2𝑉 · 𝐼
4𝑃 = 4𝑉 · 𝐼
Ahora que ya hemos determinado la proporción entre potencia y voltaje, deberíamos
de predecir cómo se relacionan la resistencia interna y el voltaje para así poder
formular una hipótesis de como se ve afectado el voltaje el aumentar la resistencia
interna, el voltaje se define, de nuevo, con la fórmula 3, en cambio, la resistencia
interna se define por la siguiente:
ε = 𝐼(𝑅 + 𝑟) (formula 6)
Podemos desenvolupar estas dos fórmulas para encontrar la relación entre las dos
variables
ε = 𝐼𝑅 + 𝐼𝑟
𝑉 = 𝐼 · 𝑅 ; ε = 𝑉 + 𝐼𝑟
𝑉 = ε − 𝐼𝑟
Podemos sustituir la intensidad multiplicada por la resistencia por el voltaje, y al
aislarlo vemos como, en teoría, como más aumente la resistencia interna se reduce
el voltaje, la intensidad de nuevo es constante, esta vez podemos imaginar, que el
voltaje se irá reduciendo de forma lineal al aumentar la resistencia interna, de forma
que mi hipótesis es la siguiente:
“El rendimiento de un transformador se irá reduciendo de forma continua al
aumentar la resistencia interna en él.”
Metodología del experimento
Para realizar el experimento, voy a usar un simulador de circuitos en internet, en los
que se puede dibujar circuitos y establecer sus características, como el voltaje de
los generadores o la resistencia interna del sistema, en específico voy a usar
circuitlab ya que es es el único que he encontrado donde se puede ajustar la
resistencia interna del transformador, en vez de ajustar el rendimiento directamente
como el resto. El circuito en sí es relativamente simple, ya que las únicas piezas que
necesitamos son dos generadores que cierran el circuito, un transformador, que
para este ejercicio tendrá un ratio de vueltas de ½ (una bobina tiene el doble de
vueltas respeto la otra) y un voltímetro, que detectara el voltaje saliente de el
transformador, y sabiendo el voltaje creado por el generador nos permitirá compara
el voltaje ideal con el indicado. Entonces éste será el circuito:
imagen de creación propia con circuitlab
en cada extremo del circuito hay un generador con una toma de tierra para cerrarlo,
un transformador que está ajustado a tener el ratio de vueltas a ½ lo que quiere
decir que el voltaje que entre por un lado será reducido por la mitad el salir, los
voltímetros detectaron el cambio de voltaje.
Durante el experimento completar una tabla que contenga la resistencia, el voltaje,
la intensidad y la potencia de cada réplica
Análisis de resultados
Después de realizar el experimento, he conseguido la siguiente tabla, los valores
son expresados con un decimal:
Tabla 1:
Resistencia
Voltimetro
Intensidad
Potencia (W)
(Ω)
(V)
(A)
1
50.0
50.0
2500.0
2
50.0
25.0
1250.0
3
50.0
16.6
833.3
4
50.0
12.5
625.0
He obtenido el Voltaje del el voltímetro en el circuito y he calculado la intensidad y
potencia con las fórmulas 3 y 5
con la ayuda de chat gpt he creado los siguientes gráficos donde en cada uno se
compara la resistencia interna con una de las otras tres variables
Como podemos ver el gráfico de voltaje secundario vs resistencia es constante,
manteniéndose en 50, lo que indica que la resistencia interna no parece tener efecto
en el voltaje.
En el gráfico de corriente vs resistencia se puede ver como tiene una forma
exponencial, ya que la fórmula de el gráfico es la siguiente:
𝐼(Ω) =
50
Ω
Podemos ver como tiene dos asíntotas, una en x=0 y otra en y=0 ya que si la
resistencia fuese 0, entonces según la fórmula 3, la intensidad no sería real
la intensidad crece de forma proporcional hasta llegar a infinito cuanto más
disminuye la resistencia, de forma que si la resistencia fuese 0 I sería infinitamente
grande y crearía un cortocircuito.
Por el otro lado, la asíntota en y=0 se debe a que si el la intensidad fuese 0 según
las fórmulas 3, 4 y 5:
𝑄
0= 𝑡
𝑉=0 ·𝑅
𝑃=𝑉 ·0
Como la intensidad es la carga dividida por el tiempo, que sea 0 significa que no hay
carga atravesando en circuito, lo que por consecuencia también indica que el voltaje
y potencia también serían 0.
En el gráfico de potencia vs resistencia se puede ver cómo, de nuevo, tiene una
forma exponencial, esta vez su gráfico es:
( )
3
𝑃(Ω) =
50
2
Ω
La función tiene dos asíntotas,de nuevo, una en x=0 y otra en y=0 ya que si la
resistencia fuese 0, entonces según la siguiente fórmula, de nuevo el circuito
cortocircuitaría y la potencia tenderá a infinito.
En cambio, si la potencia llegase a ser 0, la fórmula 3 sería:
0 =𝐼 * 𝑉
Entonces la intensidad será 0, ya que el voltaje aún es 50V, lo cual, de nuevo, quiere
decir que no hay carga atravesando el circuito, de forma que el experimento no
estaría ocurriendo.
Calculo de el rendimiento
Entonces, para calcular el rendimiento se debe de observar que la variable que
causa el cambio en la potencia es la intensidad, ya que en un circuito en paralelo el
voltaje es constante (en cada lado del transformador) y la intensidad es la variable
dependiendo de la fórmula 5.
Por lo tanto, se puede ver que como vaya disminuyendo la intensidad y el voltaje se
mantenga constantemayor será la resistencia, son indirectamente proporcionales, lo
cual refleja la tabla y gráficos obtenidos. Esto quiere decir que, en realidad, el
rendimiento tampoco depende del voltaje, sino de la potencia, la cual se definió con
la siguiente fórmula:
𝑃
η = 𝑃 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 (formula 7)
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
La fórmula 7 también podría ser expresada de la siguiente manera:
2
η=
𝐼 ·𝑅
2
𝐼0·𝑅
;η =
2
𝐼
2
𝐼0
La resistencia puede ser quitada, al estar multiplicando el denominador y
numerador, entonces, para encontrar la intensidad inicial antes de que la corriente
atraviese el transformador, se puede usar la siguiente fórmula:
𝑁𝑝
𝐼0 = 𝐼 · 𝑁𝑠 (formula 8)
Donde Np es el número de vueltas primario y Ns el número de vueltas secundario,
con estas dos fórmulas he calculado la intensidad primaria y el rendimiento, para
obtener la siguiente tabla, el rendimiento ha sido tomado con dos figuras
significativas, y la intensidad primario con una sola figura significativa :
Tabla 2:
Resistencia (Ω)
Intensidad primaria (A)
Rendimiento
1
100.0
96.15
2
50.0
48.07
3
25.0
24.03
4
12.5
12.01
Como podemos ver, la intensidad primaria y el rendimiento tienen pendientes
extremadamente parecidas, ambas siendo funciones exponenciales. Esto quiere
decir que al aumentar la resistencia el rendimiento disminuye de forma exponencial,
con una asíntota en y=0 y x=0, ya que si el rendimiento fuese 0 entonces la
corriente no atravesaría el transformador, y si la resistencia fuese 0, como ya he
dicho antes, se produciría un cortocircuito.
Cálculo y propagación de los errores
Aunque el experimento haya sido realizado en un simulador, que, hipotéticamente
debería de dar un valor exacto y sin incertidumbres, pero para ver cómo se aplicaría
este experimento en un contexto real se debe de ver el error que obtendremos.
Como este experimento no tiene distintas réplicas, ya no tiene ningún sentido que el
resultado del experimento cambie entre réplicas, no hay un error aleatorio, sino un
único error sistemático, el error del voltaje, que debería ser ±0.1V, una unidad de la
magnitud más pequeña que puede medir el simulador. Para propagar el error del
rendimiento se puede usar las siguientes fórmulas entonces:
𝑎
δ𝑦
𝑦
𝑆𝑖 𝑦 = 𝑐 ;
𝑛
𝑆𝑖 𝑦 = 𝑎
δ𝑎
𝑎
=
δ𝑦
𝑦
+
δ𝑏
(fórmula 9)
𝑏
δ𝑎
= || 𝑎 || (fórmula 10)
En específico, deberíamos de realizar los siguientes cálculos:
δ𝐼
𝐼
=
δ𝑉
𝑉
+
δ𝑅
𝑅
; δ𝐼 = 𝐼 𝑉 ; δ𝐼 = 50 50
δ𝑉
=
δ𝐼
𝐼
2
δ𝐼
𝐼
2
δ𝐼𝑜
𝐼𝑜
2
; δ𝐼
2
=
δ𝐼𝑜
𝐼𝑜
; δ𝐼𝑜
δη
η
=
δ𝐼
2
2
𝐼
0.1
2 0.1
50
= 50
= 100
2 0.1
100
=
=
± 0. 1𝐴
± 5𝐴
=
± 10𝐴
2
+
δ𝐼𝑜
2
𝐼𝑜
; δη =± 0. 28%
Entonces, el error del rendimiento debería de ser de ± 0. 28%
Conclusiones
En conclusión, mi hipótesis es incorrecta, inicialmente creía que el voltaje iba a
decrecer de forma constante al aumentar la resistencia interna, pero en cambio he
visto que el voltaje secundario y la resistencia interna no tienen nada que ver, este
error en la hipótesis se debe a un error que tuve al considerar que el circuito era en
serie, lo que haría que el voltaje sea variable y la intensidad paralela, en cambio, el
transformador convierte el circuito en uno en paralelo, donde la intensidad no es
constante.
El error obtenido es de ± 0. 28% , como es varias magnitudes menor que cualquier
rendimiento calculado no es lo suficientemente grande como para ser significativo,
aunque si el experimento fuese realizado en un contexto real la incertidumbre
obtenida seguramente sería mucho mayor.
Evaluación
Después de haber realizado este trabajo, he visto que el hecho de usar un
simulador ha severamente restringido a mi trabajo, decidí de usarlo ya que no tenía
suficiente tiempo como para realizar un experimento práctico, y si se me presentara
la oportunidad de repetir el trabajo, lo realizaría con un circuito real, también me
gustaría poder expandir el estudio para ver como otras variables podrían afectar al
rendimiento de un transformador, como la temperatura ambiente o el material del
cable. Aún así, creo que los resultados obtenidos son fiables, al ser obtenidos con
un simulador correcto, encajar con los conceptos teóricos y tener un bajo error.
Referencias
-
Bowen-Jones, M., & Homer, D. (2014). Oxford IB Diploma Programme:
Physics Course Companion (2014a ed.). Oxford University Press.
-
Simulador de circuitos “circuit lab”
-
Chat GPT (para la creación de los gráficos)
-
Esquema de un transformador creado por De KundaliniZero
(https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=274077)