Il modello di Solow (1956)
Solow R. (1956). “A contribution to the theory of economic growth”
Quarterly Journal of Economics, 70, 65-94.
• L’instabilità nel modello di Harrod-Domar
dipende crucialmente dall’ipotesi di
proporzioni fisse nella F. di P. (v fisso)
• E’ sufficiente consentire una certa
sostituibilità fra fattori perché i risultati
circa l’instabilità cambino radicalmente
Mod. di Harrod
Mod di Solow
1) Yt = min{K/v ; L/λ}
1) Yt = F(Kt,Lt)
2) St = s Yt
3) dKt/dt = It –δKt
4) 1/L dLt/dt = n
5) St = It
2) St = s Yt
3) dKt/dt = It –δKt
4) 1/L dLt/dt = n
5) St = It
Il modello è estremamente semplificato, omette del tutto caratteristiche ovvie del
Mondo reale, alcune delle quali sicuramente importanti per la crescita
Ma lo scopo del modello no è il realismo. Il modello è una parabola che vuole far luce
su caratteristiche particolari del mondo reale
Se le ipotesi semplificatrici fanno si che il modello dia risposte sbagliate alle domande
a cui vuole rispondere, allora la mancanza di realismo è un difetto
Ma se il modello risponde in maniere corretta alle domande per cui è pensato , la
“mancanza di realismo” è una virtù: isolando l’effetto di interesse più chiaramente, la
semplificazione lo rende più comprensibile.
Mod. di Solow:
F. di P. in forma intensiva
• Ipotesi: la F presenta rendimenti di scala costanti:
F(cKt, cLt) = cF(Kt,Lt)
( l’economia ha esaurito tutti i possibili guadagni derivanti dalla
specializzazione. Input diversi da quelli considerati sono poco importanti)
• E’ quindi possibile esprimere la F. di P. in forma
intensiva, dividendo tutto per Lt:
Yt/Lt = F (Kt/Lt, 1) ovvero
1’) yt = f(kt)
(la scala dell’economia non conta: y dipenda solo da k e non dalle
dimensioni complessive dell’economia)
Dinamica di yt?
Dipende dalla dinamica di kt.
Dinamica di kt
• dkt/dt = d/dt (Kt/Lt) =[LtdKt/dt –KtdLt/dt]/Lt2
sostituendo le espressioni 2, 3, 4 e 5, e data la
1’ otteniamo:
dkt/dt = sf(kt) – (n+δ)kt
Soluzione di tale equazione dinamica è il sentiero
temporale di kt (da cui deriviamo il sentiero
dinamico di yt)
Dinamica di kt
dkt/dt = sf(kt) – (n+δ)kt
• Se sf(kt) > (n+δ)kt, kt cresce (dkt/dt>0)
• Se sf(kt) < (n+δ)kt, kt decresce (dkt/dt<0)
• Se sf(kt) = (n+δ)kt, kt costante (dkt/dt=0)
equilibrio di stato stazionario
(crescita bilanciata =0)
Ipotesi neoclassiche sulla f
1) f(0) = 0
2) f ‘> 0 (produttività marginale del cap. positiva)
3) f ‘‘< 0 (produttività marginale decrescente)
e Condizioni di INADA
4) limk→0 f ‘=∞
5) limk→ ∞ f ‘=0
Esempio:
F. di P. Cobb-Douglas: f(kt) =ktα , 0>α<1
Stabilità dell’equilibrio di stato
stazionario
Con tali ipotesi sulla f:
• Esiste un UNICO equilibrio di stato
stazionario, in cui kt = k* per ogni t
• Tale equilibrio di stato stazionario, k*, è
STABILE (kt raggiunge k* qualsiasi sia k0)
Esistenza e stabilità dell’equilibrio
dipendono dalle ipotesi sulla f
• Se non tiene l’ipotesi 3 non è garantita
l’unicità dell’equilibrio, nè la stabilità dei
vari equilibri possibili.
• Se non tengono le condizioni di INADA
può non esistere un equilibrio di stato
stazionario
Proprietà dello stato stazionario:
Crescita Bilanciata
• k è costante (tasso di crescita pari a 0)
• y è costante
• K cresce al tasso n
• Y cresce al tasso n
→ Il sistema converge al tasso di crescita naturale di
Harrod (tasso di crescita garantito è pari al
tasso di crescita naturale!)
• Il sentiero di crescita bilanciata nel modello è coerente con i
maggiori “fatti stilizzati” della crescita (Kaldor (1961); nella gran
parte delle economie industrializzate nell’ultimo secolo, i tassi di
crescita di L, K, e Y sono stati grosso modo costanti, e che i tassi di
crescita di K e Y sono stati trosso modo uguali (rapporto K/Y
costante)
Dinamica di transizione
Tasso di crescita di k:
gk = (1/kt)dkt/dt = [sf(kt)/kt] – (n+ δ)
k converge a k* a tassi di crescita
decrescenti. (v. figura)
gy= gk f’(k)(k/y) = gk (PMaK/PmeK)
nel caso Cobb-Douglas: gy= α gk
y converge a y* a tassi di crescita
decrescenti
Livelli di stato stazionario con
funzione di produzione
Cobb-Douglas
• Se y = kα
• k*→ s kα = (n+d) k
k* = [s/(n+d)]1/(1-α)
• y* = [s/(n+g)] α /(1-α)
Effetti di variazione del tasso di
risparmio (s)
(vedi grafici)
Un aumento del tasso di risparmio s:
• Aumenta permanentemente il livello di k* e
y*.
• Aumenta i tassi di crescita di k e y solo
temporaneamente, durante la dinamica di
transizione verso il nuovo stato stazionario
(Quando il sistema raggiunge il nuovo
equilibrio il tasso di crescita di k e y è
tornato a 0)
L’accumulazione incide sul
livello di produttività
• Variazioni del tasso di risparmio (del ritmo
dell’accumulazione) modificano
permanentemente il livello di produttività
di stato stazionario
Ma
• Non hanno effetti permanenti sul tasso di
crescita della produttività.
Effetti di un aumento di s sul livello
di consumo in stato stazionario
• Se s aumenta, che cosa accade al livello
di consumo pro capite in stato stazionario
(c*) ?
• c* = f(k*)-sf(k*)= f(k*) -(n+ δ)k*)
con f(k*) = f(s, n,δ)
∂c*/∂s = [f’(k*(s,n,, δ))-(n+ δ)] ∂k*/ ∂s
∂c*/∂s>0 se f’(k*)>n+ δ
∂c*/∂s<0 se f’(k*)<n+ δ
∂c*/∂s=0 se f’(k*)=n+ δ
Regola aurea dell’accumulazione
• Se f’(k*)=n+ δ e ∂c*/∂s=0 il consumo di
stato stazionario è al livello massimo
possibile sul sentiero di crescita bilanciata
• Il livello di k* tale che f’(k*)=n+g+ δ
definisce la “regola aurea”
dell’accumulazione.
Quanto incide il tasso di risparmio?
calibrazioni
• y*=[s/(n+δ)]α/(1-α)
• ln(y*) = [α/(1-α)] ln(s) – [α/(1-α)]ln(n+g+δ)
• Elasticità di y* a variazioni di s:
dln(y*)/dln(s) = α/(1-α)
• Che cos’è α?
Data la forma della f. di p., α è la quota di reddito che va
a remunerare il capitale. La quota del capitale nella
maggior parte delle economie si aggira attorno a 1/3.
• Quindi l’elasticità di y* a variazioni di s potrebbe aggirarsi
attorno a (0,333/(1-0,333))= 0,499 ovvero circa 0,5
Quanto incide il tasso di risparmio?
calibrazioni (continua)
• Se l’elasticità è pari a 0,5, un aumento del tasso
di risparmio del 10% (ad esempio dallo 0,2 al
0,22) implica un aumento della produttività in
stato stazionario (y*) del 5%.
• L’impatto è tanto maggiore quanto più grande è
α
→variazioni anche significative di s hanno effetti
tutto sommato moderati su y*
→ tali effetti potrebbero richiedere un periodo di
tempo molto lungo per esplicarsi (quanto dura la
dinamica di transizione?)
Effetti di variazioni di n
(Vedi grafici)
Un aumento di n:
• Riduce permanentemente il livello di
produttività, y*
• Riduce il tasso di crescita della produttività
solo temporaneamente, durante la
dinamica di transizione verso il nuovo
stato stazionario (Quando il sistema
raggiunge il nuovo equilibrio il tasso di
crescita di k e y è tornato a 0)
Quanto dura la dinamica di transizione?
Velocità di convergenza verso lo stato stazionario (1)
1 dkt
 sk  1  ( n   )
k dt
Può essere riscritta come:
t
d log kt
 e log( s )  ( 1) log( kt )  ( n   )
dt
Approssimazione (ai log) in serie di Taylor attorno allo stato stazionario:
d log kt
log( s )  ( 1) log( k *t )
 0  (  1) e
(log(kt )  log(k * ))
dt
e, poiché in stato stazionario log(s)+(α-1)log(kt)= log(n+δ) :
d log kt
 (  1)( n   )(log( kt )  log(k * ))
dt
Quanto dura la dinamica di transizione?
Velocità di convergenza verso lo stato stazionario (2)
In termini di produttività, ricordando che log(ye) = α log(ke) (e dunque
dlog(ye) = α dlog(ke)):
d log yt
 (  1)( n   )(log( yt )  log( y* ))
dt
d log yt
  (log( yt )  log( y* )) dove   (1   )( n   )
dt
→tasso di crescita proporzionale alla distanza dallo stato stazionario
Risolvendo l’equazione differenziale:
log( yt )  log( y * )  e  t [log ( y0 )  log( y * )]
ovvero:
log( yt )  e  t log ( y0 )  (1  e  t ) log( y * )
Al crescere di t yet converge allo stato stazionario ye* (con tassi
di crescita decrescenti)
λ→Velocità di convergenza (as es. se α= 0,3 e (n+δ)=0,06 λ=0,042 e yet
impiegherà 16 anni per percorrere metà della distanza dallo stato
stazionario.
IL MODELLO ANCORA NON SPIEGA
LA CRESCITA SOSTENUTA DELLA PRODUTTIVITA
NEL LUNGO PERIODO: la crescita di Y/L in stato
stazionario è nulla
Il modello di Solow con progresso
tecnico
1) Yt = F(Kt, AtLt) Rendimenti di scala Costanti
2) St = s Yt
3) dKt/dt = It –δKt
4) St = It
5) 1/L dLt/dt = n (Lt = L0ent)
6) 1/A dAt/dt = g (At = A0egt)
Funzione di produzione
in forma intensiva
• Poiché la F ha rendimenti di scala
costanti:
Yt/AtLt = F (Kt/AtLt, 1) ovvero
1’) yet = f(ket)
Dinamica di yet?
Dipende dalla dinamica di ket.
Dinamica di ket
dket/dt = d/dt (Kt/AtLt) =
=[AtLtdKt/dt –Kt (AtdLt/dt +LtdAt/dt)]/At2Lt2
sostituendo le espressioni 2, 3, 4 5 e 6, e
data la 1’ otteniamo:
dket/dt = sf(ket) – (n+g+δ)ket
Dinamica di ket
dket/dt = sf(ket) – (n+g+δ)ket
• Se sf(ket) > (n+g+δ)ket, ket cresce (dkt/dt>0)
• Se sf(ket) < (n+g+δ)ket, ket decresce
(dket/dt<0)
• Se sf(ket) = (n+g+δ)ket, ket costante
(dkt/dt=0)
stato stazionario
Esistenza e unicità dell’equilibrio di
stato stazionario
•
•
Se valgono le usuali ipotesi neoclassiche
sulla funzione f, allora:
Esiste un unico equilibrio di stato
stazionario, ke*tale eche ket = ke* per ogni t
Tale equilibrio è stabile.
(vedi grafico)
Livelli di stato stazionario con
funzione di produzione
Cobb-Douglas
• ke*→ s keα = (n+g+δ) ke
ke* = [s/(n+g+ δ)]1/(1-α)
• ye* = [s/(n+g+ δ)] α /(1-α)
• k*=At ke*
• y*= Atye*
Proprietà dello stato stazionario:
Crescita Bilanciata
• ke è costante (tasso di crescita pari a 0)
• k cresce al tasso g
• K cresce al tasso n+g
e
• ye è costante
• y cresce al tasso costante g
• Y cresce al tasso n+g
Nel lungo periodo (sul sentiero di crescita
bilanciata) la forza che traina la crescita della
produttività è il tasso di progresso tecnico.
Effetti di variazioni del tasso di
progresso tecnico g
Un aumento esogeno del tasso di
progresso tecnico:
Aumenta PERMANENTEMENTE il (livello
e il) tasso di crescita della produttività
(vedi grafici)
Effetti di variazioni di s o n analoghi al modello senza progresso tecnico
Il modello di Solow e le domande
centrali sulla crescita
Che cosa determina le differenze nei livelli di
produttività (Y/L) (per un singolo paese nel
tempo o tra paesi diversi)?
2 possibili fattori,secondo il modello di Solow(56)
1. Differenze nei livelli di capitale per lavoratore
(K/L) (a loro volta determinate da differenze in
s e in ( n+g+δ): paesi con maggior s e minor
(n+g+δ) dovrebbero avere maggior k e
maggior y)
2. Differenze nell’efficienza del lavoro (A) (livello
tecnologico)
Il livello di produttività
su un sentiero di crescita bilanciata
con f. di p. Cobb-Douglas
• ke* = [s/(n+g+δ)]1/1-α; ye* = [s/(n+g+δ)] α /1-α
• ln(ye*) = (α /(1-α))ln(s) - (α /(1-α))ln(n+g+δ)
Ovvero, in termini di prodotto per lavoratore:
ln(y*) = ln(At) +(α /(1-α))ln(s) - (α /(1-α)) ln(n+g+δ)
(si ricordi che ln(ye*)=lny*-ln(At))
Sappiamo che At = A0egt, quindi:
ln(y*) = ln(A0)+gt +
+ (α /(1-α))ln(s) - (α /(1-α))ln(n+g+δ)
Differenze nei livelli di k spiegano le
differenze nei livelli di y?
CALIBRAZIONI
In Italia: (y1995/y1900) = 11
(corrisponde circa al rapporto odierno tra yUSA e
YIndia).
Quale k1995/k1900 genererebbe tale differenza?
Con α=0,33: k1995/k1900 = 111/0,33= 1331
Ma: semplicemente non ci sono differenze così
gigantesche nei livelli di k né per singoli
paesi nel tempo né tra paesi.
(Si noti che tanto maggiore è α, tanto minore è la differenza
implicata negli stock di capitale: con α=0,6 nell’esempio di sopra il
rapporto tra stock di capitale si riduce a un più plausibile 58)
Le differenze (nel tempo e tra paesi) nei livelli di k spiegano in
buona misura le differenze nei livelli di produttività e PIL pro capite,
solo assumendo valori di α molto più elevati di quanto il modello
implica (share del capitale (0.3)
E allora?
• O k in realtà è più importante di quanto implicato dal modello (i suoi
rendimenti “sociali” potrebbero essere maggiori dei suoi rendimenti
privati; α potrebbe non rappresentare la share del capitale ed essere
anche molto maggiore di 1/3)
• O il concetto di capitale non è ristretto al capitale fisico, ma esiste ad
esempio qualche altro input cumulabile (ad esempio il capitale
umano) oltre al capitale fisico di cui bisogna tener conto
• O si attribuiscono le differenze a differenze nei livelli tecnologici A
(ma che cos’è A? per il modello è un dato esogeno…. )
risultati sono promettenti per le “parabole” della crescita in generale (teorie basate
su poche variabili facilmente osservabili sembrano funzionare), ma non supportano
il modello di Solow in particolare.