manual
de
fórmulas
técnicas
Kurt Gieck / Reiner Gieck
• Manual electrónica cun
fórm ulas prediseñadas
• Potente editor de fórm ulas
• Función de graficado
Alfaomega
I/APLICACIONES BASICAS
METROLOGIA •
EL S .l.
M ATEM A TIC A S •
ESTADISTICA
U nidades
A
S uperficies
C uerpos
A lg eb ra
T rig o n o m e tría
G eo m etría A n a lític a
Funciones H iperbólicas
C álculo D iferen cial
Cálculo in teg ral
P robabilidad y Estadística
B
C
D
E
F
G
Estática
C in em ática
D in ám ica
K
L
M
H idráulica
T érm ica
Resistencia d e M a te ria le s
N
FISICA •
INGENIERIA
TECNOLOGIA
INDUSTRIAL
H
1
J
0
P
E lem entos de M áq u in as
M á q u in as-H erram ien ta
Electrotecnia
O p tica e Ilu m in ación
Q u ím ic a
S
T
U
Tablas
Z
MATERIALES •
PROPIEDADES
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Q
R
II/APLICACIONES AVAN ZAD AS
MATEMATICA
A nálisis V e c to ria l
Funciones Racionalles
T ran sfo rm ad as de Funciones
E cuacio nes D ife re n c ia le s
A n álisis E s ta d ís tic o
M a te m á tic a s F in an cieras
T eo ría d e E cuaciones
A'
B'
C'
D'
E'
F'
G'
TECNOLOGIA
E lem en to s de M áquinas
A nálisis d e Esfuerzos
M aq u in aria y E lem entos
M a n u fa c tu ra y Procesos
S is te m a s E lé c tric o s
R adiaciones
In g e n ie ría de C ontrol
O'
P'
Q'
R'
S'
T
U'
Tablas
Z'
TABLAS
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Traducción:
Dr. Víctor Gerez Greiser
Universidad Nacional Autónom a de México
U niversity of C alifornia (Berkeley)
Ing. José de la Cera Alonso
Universidad Autónom a Metropolitana
Technische Hochschule München
Con la colaboración de:
Ing. Quím. Virgilio González Pozo
Revisión, adaptación y complemento:
Ing. Francisco Paniagua Bocanegra
Universidad Nacional Autónom a de México
Revisión técnica:
Francisco Javier Rodríguez Cruz
Universidad Autónom a M etropolitana-Iztapalapa
Versión en español de la edición electrónica en alemán de la obra titulada:
Technische Formelsammlung, por Kurt Gieck y Reiner Gieck
© 2000 by Gieck Verlag,
D-82110 G erm ering, Germany
ISBN 39203 79 21 7
75a. edición conjunta
© 2003 A lfaom ega Grupo Editor, S.A. de C.V.
Pitágoras 1139, Col. Del Valle 03100, México, D. F
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro No. 2317
Reservados todos los derechos. Prohibida su reproducción parcial
o total por cualquier medio, mecánico, eléctrico, de fotocopiado,
térm ico u otros sin perm iso expreso del editor
ISBN 970-15-0840-8, Alfaomega
ISBN 84-267-1330-0, Marcombo
IM PRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN
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PREFACIO
Miles de estudiantes de diversas áreas, técnicos e ingenieros han encontrado por
muchos años en esta bien conocida obra: Manual de fórmulas técnicas, de
Gieck, una útil herramienta para consultar las fórmulas técnico-científicas más
usuales en sus campos de acción, de manera clara, concisa y ordenada. Por las
completas explicaciones que se proporcionan y mediante la aclaración de los
conceptos implicados, es posible entender bien las fórmulas, aun sin ser
especialista en el tema.
Esta nueva edición revisada, corregida y aumentada, basada en la 30a edición del
clásico texto de bolsillo -además de conservar todas las cualidades de contenido y
forma que lo han mantenido como el best-seller de los manuales técnicos y de
ingeniería- incluye también un editor de fórmulas que le permitirá diseñar sus
propias ecuaciones y graficarlas en un plano cartesiano, mediante la apertura de
hasta 20 ventanas de cálculo, que pueden ser de parámetros variables o de
resultados.
Se conservan, entre otras cosas, la impresión de texto en una sola cara del papel
de la mayoría de las páginas, para que el usuario pueda efectuar anotaciones
complementarias y observaciones en la otra; la clasificación e identificación de los
temas con una letra mayúscula de gran tamaño en la esquina superior derecha, y
la sección de tablas, ya que no siempre se puede llevar consigo una computadora.
En la parte de Aplicaciones avanzadas se han incluido los siguientes temas:
Teoría de ecuaciones
Elementos de máquinas
Ingeniería de control
En la Teoría de ecuaciones se exponen los conceptos fundamentales del álgebra
superior, con lo que se da por completado el tema de álgebra. En la sección
Elementos de máquinas se incluye lo relacionado con el diseño de engranes, y la
sección Ingeniería de control proporciona de manera cabal los elementos
conceptuales y algorítmicos necesarios para el análisis de un sistema.
Damos las gracias a los profesores M. Otto y H. W. Zimmer, quienes colaboraron
en la ampliación y reelaboración de los temas.
Kurt Gieck
Reiner Gieck
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Colaboraron en esta obra:
Al cuidado de la edición
G onzalo Ferreyra Cortés
Programación de fórmulas
Francisco Javier R odríguez Cruz
Diagram ación
Jesús García A lva re z
Procesos gráficos
M iguel A ng e l Ferreyra Cortés
Diseño de cubierta
Javier P erdom o M .
Producción
G uillerm o G onzález Dorantes
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O BSER VAC IO NES SOBR E L A S FO RM U LAS
Magnitud de las cantidades físicas
La magnitud de una cantidad física es el producto de su valor numérico y la
unidad física seleccionada. Por lo tanto, el valor numérico es el cociente de
la magnitud y la unidad. Entonces, por definición,
Magnitud =
Valor numérico x
Unidad
Si se selecciona una unidad n veces mayor, el valor numérico se reduce en
la fracción 1/n; recíprocamente, si se adopta una unidad 1/n veces menor, el
valor numérico es n veces mayor. El producto de valor numérico y unidad es
constante, y la magnitud dada de una cantidad física es invariante en el cam­
bio de unidad. Por ejemplo:
/ = 15 m = 15 x 1 0 -3 km = 15 x 103 mm
I = 3 /t A =
3 x 10- 3 mA = 0.003 mA
TIP O S DE FORMULAS
Fórmulas de cantidades. Estas son las fórmulas normales en las que los
símbolos corresponden a cantidades físicas. Permiten evaluar una cantidad
sustituyendo las restantes por su magnitud (valor numérico por unidad). Al efec­
tuar el cálculo se obtiene la magnitud de la cantidad por determinar. Por ejem ­
plo, si en la fórmula t = 2 s lv se sabe qué s = 8 0 m y v = 8 m/s, resulta
entonces:
' = -IT
“
S X m /P
-
T
3 ■ 20S
( ^ m u la /2 3 )
Fórmulas de cantidades ajustadas. En estas ecuaciones cada símbolo de
cantidad aparece dividido entre su correspondiente unidad. Por ejemplo, la
fórmula s 78:
F" s 40( f í h P ) N - 40( P x f ( W ) N - 162 N
Estas fórmulas son útiles en diversas aplicaciones.
Fórmulas de unidades. Conversión. Estas ecuaciones presentan la rela­
ción de equivalencia entre unidades. Por ejemplo:
1 m =
100 cm
1 N =
1 kg • m/s2
Para efectuar la conversión de unidades, la equivalencia se expresa como un
factor de valor numérico igual a la unidad. Así, de las fórmulas anteriores,
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1
100 cm
1 m
1 kg • m
1 m
100 cm
1 N • s2
_
1 N • s2
1 kg • m
Lo anterior permite obtener una magnitud en la unidad deseada, a partir de
una ecuación de cantidades físicas. Por ejemplo, de la fórmula m 1:
F = ma
si m = 30 kg y a = 4 cm/s2, se tiene que para obtener F en newtons:
F = 30 kg x 4 cm/s2 = 30 kg
=
11 m
4 cm
w ji i
111
s2 \ 100 cm
1.2 N
Unidades en las fórm ulas. La designación EU significa “ ejemplo de unidad.”
En varias fórmulas se indican ejemplos de unidades. En tales casos, la pri­
mera unidad indicada es la SI. Las demás unidades son de otros sistemas que
todavía se emplean en algunos países. Por ejemplo, del sistema técnico mé­
trico o del sistema técnico inglés.
La gran mayoría de las fórmulas presentadas en este manual son las normales
de cantidades físicas, en las que se aplican las unidades compatibles que co­
rresponden a las cantidades.
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N O M E N C LA TU R A G EN ER AL
Espacio y tiempo
a. /3, y ángulos (planos)
ángulo sólido
n
/
longitud
b
anchura
h
altura
s
espesor
r, R
radio
d .D
diámetro
perímetro
P .P
A
área, sección transversal
A,
área lateral
A,
área total
1/
volumen
s
recorrido
t
tiempo
V
velocidad
a
aceleración
aceleración
debida a la
9
gravedad
10
velocidad angular
a
aceleración angular
Probabilidad y estadística
A, B . . .. eventos (simples o
compuestos)
U
evento universa!
0
evento nulo (o vacío)
A + B unión de los evento A y B
AB
intersección de los eventos
A y 6
P(A)
probabilidad del evento A
P¡A\B) probabilidad (condicional)
de A dado B
X
variable aleatoria
P*(X0) probabilidad de que X tome
el valor X0
E[gr(X) ] esperanza (matemática) de
9(X)
X
media (o valor medio) de X
a
desviación estándar
a2
variancla
r
coeficiente de correlación
Fenómenos oscilatorios y similares
T
f
n
oí
A
(i,
periodo
frecuencia
número de revoluciones
por unidad de tiempo
frecuencia (velocidad)
angular
longitud de onda
ángulo de fase,
defasamiento
Mecánica
m
P
V
P
J
F
G
M
P
G
T
e
y
E
G
Q
1
S
F
Fo
V
V
W
masa
densidad
volumen específico
cantidad de movimiento
(o ímpetu)
momento de inercia de
masa
fuerza
peso (fuerza de gravedad)
momento de fuerza
presión
esfuerzo axial (o normal)
esfuerzo cortante (o
tangencial)
deformación axial
deformación angular
módulo de elasticidad axial
módulo de elasticidad
angular
momento estático de área
momento de inercia de
área
módulo de sección
coeficiente de fricción
dinámica
coeficiente de fricción
estática
viscosidad dinámica
viscosidad cinemática
trabajo, energía
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P
r¡
potencia
eficiencia
Z
X
Y
S
Pa
P
Pr
flujo magnético
densidad de flujo
magnético, inducción
magnética
intensidad de campo
magnético
inductancia
fuerza magnetomotriz
tensión magnética
reluctancia
permeancia
permisividad dieléctrica
permisividad dieléctrica
del vacío
coeficiente dieléctrico
(constante dieléctrica)
permeabilidad magnética
permeabilidad magnética
del vacío
coeficiente magnético
(permeabilidad relativa)
número de pares de polos
número de conductores
número de vueltas o
espiras
impedancia
reactancia
admitancia
susceptancia
potencia aparente
potencia activa
potencia reactiva
Optica
(radiación visible)
c
velocidad de la luz en el
vacío
intensidad luminosa
flujo lumínico
cantidad de luz
iluminación
luminosidad (brillo)
índice de refracción
potencia (o vergencia) de
una lente
distancia focal
amplificación, aumento
distancia visual.
4>
B
Térmica
t
T
a
fi
Q
Q
<t>
K
cp
Cv
k
tf
/v
/,
R
H
temperatura
temperatura
termodinámica
coeficiente de dilatación
longitudinal
coeficiente de dilatación
volumétrica
calor
calor por unidad de masa
flujo de calor
densidad de flujo de calor
conductividad térmica
calor específico a presión
constante
calor específico a volumen
constante
relación de calores
específicos
calor de fusión
calor de vaporización
calor de sublimación
constante de un gas
Electricidad y magnetismo
/
V
E .S
R
P
a
G
7
Q
C
D
E
corriente
tensión (voltaje),
diferencia de potencial
tensión inducida o
generada (fuerza
electromotriz)
resistencia
resistividad
coeficiente de temperatura
de la resistencia
conductancia
conductividad
carga
capacitancia
flujo eléctrico
densidad de flujo eléctrico
intensidad de campo
eléctrico
L
0
<U
01
0
€
£r
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P
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N
lv
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8
f
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s
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PARTE I
APLICACIONES BASICAS
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El S .I.-U n id a d e s
^
^
I. La metrología internacional *
En la actualidad se ha adoptado casi en todo el mundo el S iste m a In ­
te rn a c io n a l d e U n id a d e s, que se simboliza por SI y es el resultado mo­
derno de la evolución del sistema físico llamado MKS. El nombre oficial
del SI es Système International d ’Unités, y las normas respectivas las
establece y actualiza el Bureau International des Poids et Mesures (BIPM),
con sede en Sèvres, París, Francia.
UNIDADES BASICAS
El SI tiene siete unidades básicas que corresponden a las cantidades
físicas fundamentales del sistema, y son como sigue:
C antidad fun dam ental
Longitud (?)
Masa (m)
Tiempo (t)
Temperatura termodinámica (T)
Corriente eléctrica (i)
Intensidad luminosa (I)
Cantidad de sustancia (n)
Nom bre
de la unidad
Sím bolo
de la unidad
metro
kilogramo
segundo
kelvin
ampere
candela
mol
m
kg
s
K
A
cd
mol
El símbolo de cada unidad se halla estandarizado y es el mismo en to­
dos los países; no deben usarse otros símbolos fuera de normalización.
D e fin ic io n e s . La definición de cada una de las unidades básicas se
expresa en seguida:
metro: Longitud del trayecto recorrido por la luz en el vacío durante
un intervalo de tiempo igual a la fracción 1 /2 9 9 792 458
de 1 s.
kilogramo: Masa del Kilogramo Prototipo Internacional conservado en
la sede del BIPM.
segundo: Duración de 9 192 631 770 ciclos de la radiación correspon­
diente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del
estado fundamental del átomo de cesio 133.
kelvin: Fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica (o ab­
soluta) del punto triple del agua (273.16 K).
* Mayores detalles pueden verse en la obra Manual TEC Las unidades
SI y otros sistemas, F. Paniagua (Apdo. 30-488, México D.F. 06470).
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A2
El S .l.-U n id a d e s
ampere: Intensidad de la corriente eléctrica constante, que mante­
nida en dos conductores rectilíneos paralelos, de longitud
infinita y sección transversal despreciable, y situados a la
distancia de 1 m en el vacío, produce una fuerza de
2 x 10~7 N/m entre los conductores.
candela: Intensidad luminosa en una dirección dada, correspondiente
a una energía de 1/683 W/sr, de una fuente que emite una ra­
diación monocromática de frecuencia igual a 540 x 1012 Hz.
mol: Cantidad de entidades elementales (átomos, moléculas, io­
nes, etc.) en un sistema material, igual al número de áto­
mos existente en 0.012 kg de carbono 12. (El número es
6.0220 x 1023, la constante de Avogadro.)
UNIDADES COM PLEM EN TA R IA S
Como unidades que complementan a las básicas se tienen las dos si­
guientes:
Cantidad com plem entaria
Nom bre
de la unidad
Sím bolo
de la unidad
Angulo plano ( 0 )
Angulo sólido ( f i )
radián
estereorradián
rad
sr
Sus definiciones son como sigue:
radián: Angulo comprendido entre dos radios de una circun­
ferencia y que determina en esta curva un arco de
longitud igual a la de su radio.
estereorradián: Angulo sólido con un vértice en el centro de una es­
fera, y que intercepta en ésta una superficie cuya área
es igual a la de un cuadrado con lado igual al radio
de la esfera.
M ULTIPLOS Y SU BM U LTIPLO S: PREFIJOS
Para ampliar o reducir el tamaño de una unidad SI se utilizan los múl­
tiplos y submúltiplos de la misma, que se obtienen aplicando como fac­
tores, potencias del número 10. Para los múltiplos se tiene una sucesión
que aumenta en 103 cada vez, y para los submúltiplos la reducción pro­
gresiva es en 10-3. A fin de indicar lo anterior se utilizan prefijos que
se aplican al nombre de la unidad SI. Tales prefijos son:
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j¡^ g
El S.I.-Unidades
N o m b re
S ím b o lo
V a lo r m u ltip lic a tiv o
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
E
P
T
G
M
k
10 1®
1015
1012
109
106
103
(Múltiplos)
mili
micro
nano
pico
fento
ato
m
vn
P
f
a
IO“ 3
10-6
10-9
10"12
(Submúltiplos)
10-15
10-18
Ejemplos: metro: m; kilómetro: km; milímetro: mm
ampere: A; miliampere: mA; microampere: /¿A
watt: W; kilowatt: kW; megawatt: MW; gigawatt: GW
1 mm2
1 ns~1
1 PW
= 1 ( 1 0 -3 m)2 = 10~6 m2 = 0.000 001
= 1(10-9 s)" 1= 109 s_1
= 1 (1015W) = 1015W = 1012 kW
m2
En el casó del kilogramo, sus múltiplos y submúltiplos se forman to­
mando como base la unidad auxiliar gramo (g), igual a 10~3 kg. Por ejem­
plo, miligramo (m g) ( = 10_3g = l 0- 6 kg), microgramo (/* g ) ( = 10-« g
= 10-9 kg), etc.
UNIDADES DERIVAD A S
Para la mecánica se tienen las siguientes unidades derivadas de las
básicas y que tienen nombre especial:
Fuerza (y peso)
newton (N): Fuerza que al ser aplicada a una masa de 1 kg le imparte
una aceleración, en su misma dirección y sentido, igual
a 1 m/s2.
Presión y esfuerzo
pascal (Pa): Intensidad superficial de fuerza aplicada equivalente a
1 N/m2.
Frecuencia o periodicidad
hertz (Hz): Variación periódica equivalente a un ciclo por segundo
(c/s).
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ES S.L-U nidades
Trabajo y energía
joule (J): Trabajo realizado por una fuerza de 1 N, cuando su punto
de aplicación se desplaza una distancia de 1 m en la di­
rección y sentido de la fuerza.
Potencia y flu jo de energía
watt (W ): Potencia o flujo de energía que se desarrolla a razón de
1 J/s.
La unidad de energía joule (JJ se aplica también a los fenómenos tér­
micos y de cualquier otra clasé. Lo mismo corresponde al watt (W). Las
unidades derivadas térmicas se determinan considerando el joule y el
kelvin (K) o el grado Celsius (°C). Asimismo, las unidades derivadas eléc­
tricas [volt (V), henry (H), etc.] y magnéticas [weber (Wb), tesla ( T ), etc.]
se establecen a partir del ampere, el joule, el metro y el segundo.
UNIDADES A UXILIA R ES DEL SI
Se admite indefinidamente el empleo, junto con las del SI, de las siguien­
tes unidades: de tiempo [minuto (min), hora (h), etc.] y de ángulo [grado
( ° ) , minuto ( ' ) y segundo ( " ) ] . De este modo, la tonelada (t), igual
a 103 kg, y el litro (L), equivalente a 10-3 m3.
Cuando no es necesario considerar temperaturas termodinámicas (a par­
tir del cero absoluto) se utiliza el grado Celsius (°C), llamado anterior­
mente “ centígrado” . La escala Celsius va desde 0 °C (p. cong. del agua)
hasta 100 °C (p. eb. del agua).
La relación con la escala Kelvin es
T (en kelvins) = t (en °C) + 273.15
También se admite la unidad de presión b a r (b), igual a 105 N/m2. Se
tiene que
1 b = 105 p a = 100 kPa
1 mb = 100 Pa = 105 mPa
NORM AS DE USO DEL SI
1. Los valores numéricos con cinco cifras o más deben separarse a cada
lado de la marca decimal (punto o coma) en grupos de tres, mediante
un espacio pequeño. Ejemplos: 61 154, 61 354 000, 0.982 03. En el
caso de valores numéricos menores que la unidad se usa siempre
el cero antes de la marca decimal. Ejemplo: 0.152, 0.000 13.
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El S .l.-U n id a d e s
2.
A
5
En las unidades compuestas los símbolos se combinan con los sig­
nos de producto ( • ) o de cociente ( / ) . Para mayor claridad pueden
utilizarse exponentes negativos y no se debe usar más de una raya
diagonal en la expresión. Ejemplos: N • m, m/s, kg ■m is2, J/(kg • K);
o bien, m • s~1, J ■kg-1 • K~1, etc.
II. Las metrologías técnicas métrica e inglesa *
En algunos países de habla española aún se utilizan en la industria las
unidades de los llamados Sistema Técnico (ST) y Sistema Inglés (US),
que van desapareciendo a medida que se extiende el uso obligatorio
del SI.
U nidades ST. Son las de uso antiguo en ingeniería. Se basan en la
unidad gravitacional denominada kilogram o fuerza (kgf), que es una uni­
dad fundamental junto con el metro y el segundo. Su definición es: Peso,
en el vacío, del kilogramo (kg) al nivel del mar) y a 45° de latitud, donde
g 0 = 9.806 65 m /s2.
Es decir,
1 kgf = 1 kg ■9.806 65 m/s2 = 9.806 65 kg ■m /s2
= 9.806 65 N = 9.8 N
Aproximadamente, 1 kgf ~ 10 N
Las unidades derivadas principales son:
Fuerza (y peso): tonelada fuerza (tf) =
103 kgf
Presión y esfuerzo: kgf/m 2, kgf/cm2, tf/m 2, tf/cm 2, etc.
Trabajo y energía: kilográmetro (kgf • m)
Potencia: kilográmetro por segundo (kgf • m/s).
La unidad de masa, denominada unidad técnica de masa (utm) se de­
fine como:
1 utm =
1 k?f,
1 m /s2
= 9.806 65 kg = 9.8 kg
Aproximadamente, 1 utm = 10 kg. (No se emplea en la práctica la uni­
dad técnica de masa.)
Unidades US. La denominación proviene del nombre U.S. Customary
Units, que se emplea en Estados Unidos de América para designar a
este antiguo sistema de unidades originado en Inglaterra. Aquel país
Mayores detalles pueden verse en la obra citada en A 1.
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^ 0
El S .l.-U n id a d e s
es prácticamente el único del mundo que no ha adoptado como obli­
gatorio el SI. La institución denominada United States Metric Association (USMA), promueve intensamente el conocimiento y la adopción
general del SI en todos los campos: educativos, comerciales, tecnoló­
gicos, etc.
Estas unidades son también las de uso antiguo en ingeniería en los paí­
ses de habla inglesa. Se fundan en la unidad gravitacional de nombre
libra fuerza (Ibf), que es una unidad básica junto con el pie (pie) y el
segundo (s). Su definición original era: Peso, en el vacío, de la libra (masa)
(Ib) al nivel del mar y a 4 5 ° de latitud, donde g 0 = 32.1740 pie/s2.
Es decir,
1 Ibf =
1 Ib • 32.1740 pie/s2 =
32.1740 Ib ■pie/s2
a 4
En la actualidad, el pie, la libra y la libra fuerza se definen en función
de las unidades métricas:
1 pie = 0.3048 m
1 Ib
= 0.4536 kg
1 Ibf
= 0.4536 kgf
a 5
a 6
a 7
= 4.4482 N
A continuación se expresan las equivalencias principales de las unida­
des US dentro del mismo sistema:
1 pulgada (plg) =
pie, 1 yarda (yd) = 3 pie, 1 milla (mi) =
5 280 pie
1 tonelada (ton) =
2 000 Ib, 1 kilolibra fuerza (kip) = 1 000 Ibf
a 8
a 9
La unidad de masa, denominada slug, tiene por definición:
1 slug =
a
y
1 pie/s2
Aproximadamente, 1 slug *
práctica el slug.)
= 32.1740 Ib « 32.2 Ib
10
32 Ib. (Tampoco se emplea mucho en la
La unidad de temperatura, el grado Fahrenheit (°F), es la fracción 1/180
del intervalo entre 32 °F (p. cong. del agua) y 212 °F (p. eb. del agua).
La conversión a grados Celsius (°C ) es
t(°C ) =
f ( °F ] ~ 32
= |
[Í(° F ) -
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3 2]
a 11
El S .l.-U nidades
III.
7
Equivalencias de unidades métricas usuales
LONG ITUD
12
1 m = 10 dm =
= 1012 pm
100 cm =
10-3 km
=
1000 mm =
106 ¿im =
a 13
1m =
a 14
1 mm = 10-3 fi m
a 15
1 m2 =
a 16
1 km2 = 106 m2 = 100 ha (hectárea)
a 17
a 18
1 m3 = 103 dm3
= 106 cm3 = 103 L (litro) =
1 km3 = 109 m3 = 1012 L
a 19
1 kg =
103 g =
a 20
1 Mg =
103 kg =
a 21
1 utm = 9.8066 kg
a 22
1 s = 103 ms
a 23
1 h = 60 min
a 24
1 d = 24 h =
109 nm
10-6 Mm = io~9 Gm = 10~12 Tm =
1 0 -15Pm
= 106nm = 109pm = 107Á (angstrom) = 1010mÁ
AREA
104 cm2 =
106 mm2
VOLUM EN
10 hL (hectolitro)
MASA
106 mg =
109 ^g (microgramo)
1 t (tonelada métrica)
TIEM PO
)6 ¡iS =
109 ns =
1012 ps = -¿ r- min
60
FUERZA
a 25
1 kgf =
a 26
1 dina =
9.8066 N =
10-5 n
=
10~3 tf (tonelada fuerza)
0.01 mN = 0.102 x
10“ 5 kgf
* Para pasar de las unidades indicadas a la derecha del primer signo
= . a la del primer término, se divide entre el factor expresado. Por
ejemplo,
1 cm ~
lUU m = 10-2 m¡ 1 mm = 10-3 m; 1 km = —^
1Oóm = 103 m
1 g = 10-3 kg; 1 N
W
= 0.102 kgf
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^ g
El S .l.-U n id a d e s
PRESION Y ESFUERZO
1 kgf/cm2 =
98.066 kN/m2 = 98.066 kPa
1 b (bar) =
10* Pa =
1 torr (mm Hg) =
100 kPa =
133 Pa =
a 27
a 28
1.02 kgf/cm2
1.33 mb
a 29
10-2 kcal (kilocaloría)
a 30
1.33 x
10~3 b =
TR A BA JO Y ENERGIA
1 kgf • m = 9.8066 J = 0.239 x
1 kcal = 4 186.8 J = 4.187 kJ
a 31
1 kW • h = 3.6 x
a 32
106 J = 3.6 MJ
POTENCIA
1 k g f m /s
= 9.8066 W = 9.81
1 kcal/h =
1.16 W =
IV.
1.16 x
x
10“ 3 kW
10" 3 kW
a 33
a 34
Equivalencias métricas de unidades inglesas usuales *
LO NG ITUD
1 pie (pie) = 0.3048 m
a 35
1 pulgada (plg) = 0.0254 m = 25.4 mm (por definición)
a 36
1 yarda (yd) = 0.9144 m
a 37
1 milla (mi) =
1 609 m =
1 milla náutica (nmi) =
a 38
1.609 km
1 852 m =
1.852 km
a 39
AREA
1 pie2
= 0.0929 m2 = 929 cm2
a 40
1 plg2
= 6.452 x
a 41
10~4 m2 = 6.452 cm2
1 yd2 = 0.8361 m2 =
8 361 cm2
a 42
VOLUM EN
1 pie3 = 0.0283 m3 = 28.3 L
a 43
1 plg3 = 1.6387 x
a 44
10“ 5 m3 = 16.387 cm3
1 galón (gal) = 3.7854 x
10~3 m3 = 3.785 L (líquidos)
* Se aplica el mismo procedimiento indicado para las unidades métri­
cas en la interconversión de las unidades.
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a 45
El S .I.— Unidades
g
MASA
a 46
1 lb = 0 .4536 kg =
453.6 g
a 47
1 tonelada (ton) =
a 48
1 slug =
a 49
1 onza (oz) = 0.02835 kg = 28.35 g
a 50
1 lbf = 4.4482 N = 0.4536 kgf
a 51
1 kip = 4 .4482 kN = 453.6 kgf
a 52
1 tonf = 8.8964 kN = 907.2 kgf
a 53
1 Ibf/plg2 (psi) = 6 .8947 kPa = 0.07031 kgf/cm2
a 54
1 Ibf/pie2 (psf) = 47.8802 Pa = 4.8825 kgf/m2
a 55
1 kip/pig2 (ksi) = 6.8947 M Pa =
a 56
1 kip/pie2 (ksf) = 47.8802 kPa = 4.8825 x
a 57
1 pig Hg = 3.3768 kPa = 33.768 mb = 25.4 torr =
907.18 kg = 0.9072 t
14.594 kg
FUERZA
PRESION Y ESFUERZO
70.3081 kgf/cm2
TR A BA JO Y ENERGIA
a 58
1 pie • lbf =
a 59
1 Btu =
1.3558 J =
1 055 J =
0.1382 kgf • m
1.0550 kJ = 0.252 kcal
POTENCIA
a 60
1 pie • Ibf/s =
a 61
1 caballo (hp) = 746 W = 0.746 kW
a 62
1 Btu/s =
1.3558 W = 0.1382 kgf • m/s
1.0550 kW = 0.252 kcal/s
V. Equivalencias de diversas unidades
a 63
1 gal (Gran Bretaña) = 4.546 m3 = 4.546 L
a 64
1 long ton (GB) = 2 240 Ib =
a 65
1 quilate (métrico) = 200 mg
1 016 kg
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103 kgf/m2
0.0345 kgf/cm2
Superficies
B
Cuadrado
A — a2
a =
d =
aV Y
Rectángulo
A = ab
d = V a 2 + b2
Paralelogramo
A = a h = a b sen
d, = v
(a + h cot a )2 + h2
d2 = V (a - b cot a ) 2 + h2
—
Trapecio
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i
Superficies
B
2
Triángulo equilátero
b 14
*
=
b 15
*
=
y v '3 ’
b 16
A
=
— r* V 1O + 2V ?
b 17
a
=
y r \ / l 0 - 2 y f5
b 18
p = — r V 6 + 2\/~5
4
Construcción:
AB = 0.5 r, BC = BD, CD = CE
b 19
f * 2 > /3
b 20
2a
2
b 21
\/3
b 22
b 23
A
=
b 24
s-
Hexágono regular
1.155 s
d = 0.866 d
Octágono regular
2 a s = 0.83 s2 s V d2 — s-
b 25
s tan 2 2.5 ° =- 0.415 s
b 26
d cos 22 .5 ° ==0.924 d
b 27
Pentágono regular
8
d
=
A
=
1.083 s
cos 22.5c
Polígono
b 28
A, + A2 + A:i
a h i + b h 2 + b h3
b 29
~
2
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b 30
b 31
b 32
b 33
b 34
b 35
b 36
A =
360
br
b 37
b 38
b 39
b =
180
180
Sector circular
r 2 a = — r2
r a
a (a = a en radianes)
b 40
s = 2 r sen
b 41
A = — (3h2 + 4sa) — — (.fi—sen a)
6s
2
_h_
s2
b 42
b 43
b 44
b 45
b 46
b 47
r ~ T
Segmento circular
+ 8h
h — r (1 - cos — ) = — tan —
2
2
4
5 : Ver fòrmula b 39.
Elipse
A = — D d = ir a b
4
D + d
P=TT
1
1
1
= 7T (a + b) [ 1 + — A2 + — A4+ — — \ 6 +
4
64
256
25
a - b
—— — A8 + . . . ] , donde A = ---------16 384
a + b
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Cuerpos
C
CD
2
Cilindro circular (recto)
= — d ¿h
4
'
= 2 ir r h
= 2 ir r ( r + h)
' - V
r "
Cilindro hueco
= — h ( D 2 - c f ¿)
4
Cono circular (recto)
= — r2 h
3
= 7r r g
= rr r(r + g)
= V * 2 + r2
: >4, = x2 : h2
1/ = — h (D2 + Dd + d2)
Cono truncado
— g (D + d) = 2 ir p h
= V [ ( D - d ) / 2 ] * + h2
1/ =
4
3
7Tr =
1
6
7Td 3
4.189 r3
4-7T r 2 =7T d2
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Esfera
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Cuerpos
C
Toro
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4
Algebra
D
Potencias y raíces
1
FORMULAS PARA POTENCIAS Y RAICES
Ejemplos
General
1
p • an ± q • an = (p ± q) an
2
am • an = am*n
3
— = aro-n
4
3a4 + 4a4 = 7a4
a8 • a4 = a 12
a8
am
— — a«-2 _ a®
an
a2
(a3)2 = (a2)3 = a3"2 = a«
(am)n = (an)m = amn
1
a-4 = —
a4
1
a-n = —
an
5
an
6
/a \n
— = ( —y
b8
\ b /
t r \ b )
7
p ^ /Y ± q V T
8
n -----V 3 •b
= fp ± q )J fT
n—
= V a
4
n—
+ 7 V ^ T = 11 V x "
V 16 x 81 = \ / T 6 x v ^ 8 Í
9
v
na?.___
n
V amœ= V am
11
J>
12
V — a = i \/a ~
= v t= 2
6 ---3 (---\ / a 8 = x / a 4^
Ï
10
t
II
II
= ( v ? ) S = a*
*N o es válida en algunos casos; p. ej.,
^ T g - = i x / 9 ”= i 3
V ( — 2)2 = + 2
f / = ~ 2 ) 2= - 2
A/ofa: Los exponentes para potencias y raíces
deben ser escalares.
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Algebra
D2
Potencias y raíces
L O G A R IT M O S
Base del
sistema
Sistema
Denominación
a
Logaritmo de base a
log™ =
log*
10
Logaritmo común
d 15
loge =
In
e
Logaritmo natural
2
Logaritmo binario
d 16
II
log„
d 14
fio
d 13
En log,, x = b se llaman
a, base
x, logáritmando
b, logaritmo
Reglas para el cálculo con logaritmos (de base cualquiera)
d 17
log (x ■y) = log x + log y
d 18
log y
= log x - log y
d 19
log xn
= n log x
d 20
log \/x ~
= y
log x
Igualdad entre expresiones con exponentes
d 21
ax = b = exlna
log b
d 22
de donde: x =
= > /F
log
Transformación de logaritmos
d 23
d 24
d 25
log™ x = log», e • In x = 0.434294 • In x
logtux
In x =
= 2.302585 • log™ x
log,o e
Base de los logaritmos naturales: e = 2.718 281 8 3 ...
Características de logaritmos de base 10
d 26
d 27
d 28
d 29
log 0.01
log 0.1
log 1
log 10
= - 2
= -1
= 0
= 1
d 30
log 100
=
o bien,
o bien,
8 ... -1 0
9 ...-1 0
2
N ota: El logaritmando (o antilogaritmo) debe ser un valor numérico.
*También se usa la notación Ig.
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Algebra
D
Potencias y raíces
3
TRANSFORMACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS USUALES
(a ± b )2 = a2 ± 2 ab 4 b2
(a dt b):l = a* ± 3 a2 b 4- 3 a ba
(a 4 « " = a" 4 - y a"'1 + nt"
11 a«> b2
i n | n 7 1> (n, - 21
, + b>
1-2-3
(a + b + c )2 = a2 4 2ab 4 2ac 4 b2 + 2bc 4 c2
(a — b 4 o)2 = a2 — 2ab 4 2ac 4 b2 — 2bc 4 c2
a2 — b- = (a 4 b) (a — b)
a3 4 b» = (a 4 b) (a2 - ab 4 i>2)
a» - b3 = (a — b) (a2 4 ab 4 b2)
a« — b“ = (a — b) ¡a“-' 4 ar t ¿ 4 a“' 3 b2 4 . . ,
4 ab- 2 4 b - 1)
Ecuación cuadrática o de segundo grado
Forma normal
x2 4 px 4 q =
p
xI ; x 2 = —
Raíces
Teorema de Vieta
0
FfP
—g
p = — (xt 4 x2); q — x, • x2
Cálculo aritmético de la raíz cuadrada
Explicación
Ejemplo
Los valores entre paréntesis se refieren al ejemplo.
V 21 43.69 = 46.3 a) Hacia la derecha y hacia la izquierda del punto
16
r- — |
decimal form ar grupos de dos cifras.
5 43 : 86
J b) Obtener la raíz cuadrada del primer grupo
516
r
(21). Registrar como primera cifra del resultado
27 69 : 923
el número entero así obtenido (4), elevarlo al
27 69
cuadrado (16) y restarlo dei primer grupo para
0
tener un residuo(5).
c) Bajar el siguiente grupo (43), y dividir entre el doble dei resultado
obtenido hasta el momento ( 2 X 4 = 8) las cifras anteriores me­
nos la última (5 4 :8 — 6). Registrar et cociente (6) como siguien­
te cifra de la raíz. Agregar este número al doble del resultado an­
terior (8) Multiplicar el divisor así obtenido (86) por la última
cifra del resultado (6) (516 = 86 X 6)- Calcular la diferencia (27).
d) Repetir el procedimiento hasta terminar.
Determinación aproximada de una raíz
Si x = \/~A , entonces x = —
(n — 1) x„H------ — ■
n L
Xo* 1 J
donde x„ es el valor estimado de x . Sustituciones de valores sucesivos
de x„ aumentarán la exactitud del valor de x.
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A
D
l g e b r a
Teorema del binomio
4
B INOM IO DE NEWTON
"TI
d 44
< • + « ■ = © - *
( ; ) - - » +
o
—
' +
C
| a«-:í . b * + . . .
n tiene que ser un número entero
/ n\
n (n — 1) [n — 2) . . . n — k + 1
'k'
1-2-3
d 45
.. k
4
4-3
4-3-2
' ■)
1 -2
1-2-3
a* :l * b3 + jb4
= a' + 4a3 ■ft + 6az • b ‘ + 4a • fia + fi4
Resolución esquemática. Coeficientes por el Triángulo de Pascal
d 46
(a + i ) 1'
d 47
(a + « '
d 48
(a + ft)2
d 49
(a + ft)2
d 50
(a + ft)4
d 51
(a + ft)2
d 52
(a + ft)e
1
1
1
1
1
1
1
3
1
3
4
10
15
1
4
6
5
6
1
2
10
20
1
5
15
1
6
1
Se continúa de manera que cada renglón empiece y termine en 1.
Los números restantes son la suma de los dos números situados
inmediatamente arriba a la derecha y a la izquierda.
Exponentes
La suma de los exponentes de a y 6 en cada término es igual al
exponente n del binomio. Cuando disminuye el exponente de a au­
menta el de ft.
Signos
En (a + 6 ) todos son positivos.
En (a — ft) se empieza con -|- y luego se van alternando.
Ejemplos
d 53
(a + ft)2 =
d 54
(a — fi)5 = ( + ) a5 -
a2 + 5a4 ft + 10aa fi2 - f 10a2 ft2 + 5afi4 +
5a4 6 + 10a3 fi2 -
ft2
10a2 fi3 + 5afi4 — b-'
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Algebra
rj
Permutaciones, combinaciones y ordenaciones
®
PERMUTACIONES
Número de permutaciones de n elementos*:
P„ = n! = 1 x 2 x 3 . . . x n
Ejemplo: Los n = 3 elementos a, b, c pueden permutarse de las seis
maneras siguientes:
abe
acb
b ac
bea
cab
cba
P3 = 3! = 1 x 2 x 3 = 6 permutaciones
Caso especial: Si al permutar n elementos existen n, elementos del
tipo 1, n-¿ elementos tipo 2
y n K elementos del tipo k, entonces:
n!
0 ,1 X n 2! X . . . X n »!
Ejemplo: Los n — 3 elementos a, a, b pueden permutarse de tres
maneras diferentes:
aab
aba
baa
En este caso n = 3, ni = 2, n2 = 1: por lo que
P
3!
= ----- !— =
1 x 2 x 3
2! x 1!
1 x 2 x 1
= 3 permutaciones
C O M BINACIO NES Y ORDENACIONES
El número de modos diferentes en que pueden asociarse los elemen­
tos de un conjunto de n de ellos tomando k cada vez, sin tener en
cuenta su orden, se llama número de com binaciones. Hay que especi­
ficar si los elementos se repiten o no.
Considerando el orden de los elementos se Pabla de ordenaciones.
La tabla D 6 presenta las fórmulas de combinaciones y ordenaciones,
con y sin repetición de elementos.
n i recibe el nombre de fa c to ria l n .
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Número de ordenaciones
Número de combinaciones
sin
|
sin
con
C*=Fórmulas
n!
k\ [n — k)
o l = c l p* = ( n
k)
r( ; )
Posibi­
lidades
Cálculo del
número de
posibi­
lidades
(n - k)\
O : número de ordenaciones posibles
C : número de combinaciones posibles
n : número de elementos dados
k : número de elementos seleccionados de entre n elementos dados
n = 3 elementos; a, b. c
k = 2 elementos seleccionados del conjunto de 3
ab
ac
be
aa
.
ab
bb
ac
be
cc
3x2
1X 2
ba
ca
ab
.
cb
ac
be
:= © 2 !
'2 í
■c>
-= 3
=G)
4X 3
1X 2
Observa­
ciones
'Ot = n*
Los grupos ab y ba, por ejemplo,
pertenecen a la misma combinación
aa
ba
ca
ab
bb
cb
ac
be
cc
' 0 2 = 3"
3!
3!
(3-2)!
ÍT
1X2X3
= e
1
Los grupos ab y ba, por ejemplo,
pertenecen a ordenaciones dife­
rentes
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Algebra
Datos
con
ni
r con repetición
Significado
de ios
símbolos
|
repetición
Combinaciones y ordenaciones
repetición
a
O)
Algebra
Determinantes
Determinantes de dos renglones o filas:
au ■x + a12 • y = rx
* tr -i- S22 • y — r¡,
d 63
[3)1 (
1^21 '
D
— 8 1 1 3 22 — «*21 3 12
’+
Poner la columna de r en vez de la
columna de x
r ^
1
d 64
^1 2
0i =
/*
822
columna de y
— ri a22
— r'¿812
aM
y 'i
821
T2
— r2 8n
D2 =
— r 1 a2i
N+
N_ 0 i
02
X~ D
Determinantes de tres renglones (regla de Sarrus):
d 65
iü
d 66
8 u • X + 812 • Y -f- 813 •
a 2i • x -f- 822 y + 823 *
831 • x -f- 832 • y -f- 833 *
D =
811
812
813^
\
X
'y
821
822
831
832
a2s
'833
= fl
= r2
= rs
811
812
821
822
831
= 8 ll • 822 • 833+ 8 12 4 823 * 831
+ 8 1 3 * 821
* 832 — 8 j 3 * 822 * 8 31
— 8 1 1 ’ 823
’ 8 32 '— 8 12 • 8 2 1 • 833
=
4 822
4 833 -f- 8 12 * 823 * f 3
-f-813 • r2
• a32— 813 • 822* *3
832
''-1-
^=g
d 67
Sustituir la columna de x por la de r:
fj
812^
813
812
/1
0i =
a28
832
33;
/2v 822
'^3 832
N-
f1
— r i • 823 • 832 — 812 • r2 • 833
Desarrollar D2 y 0 3 de igual manera, sustituyendo la columna de y o z
por la de r; por lo tanto,
0i
x ——
D
y=www.FreeLibros.me
Algebra
Ds
Determinantes
Determinantes de más de dos renglones:
(En un determinante de más de 3 renglones también puede aplicarse
la regla de Sarrus, de acuerdo con D 7).
Formar una matriz y mediante adición o sustracción de dos o más
renglones, transformados previamente por multiplicación o división.
introducir elementos nulos.
Desarrollar el determinante por renglones o columnas con el mayor
número de elementos nulos, e introducir signos alternadamente (co­
menzar con -j- en a u ).
Ejemplo:
+
a41
d\2
+
913
Ò
a42
a43
...á34
:+
0
Desarrollo para la cuarta columna:
d 70
—
+
+
a n ­------ a i 2 — —a i»
a-¿ 4 sai
a 33
a4i
a4«
a 43
+
3n
— a34
--- - 3 l2 ---- ■3i+3
-
a22
a42
a2i
a4i
a23
a43
Debido a que no se pueden introducir ceros como en el caso anterior,
puede hacerse el siguiente desarrollo. Por ejemplo, con los primeros
renglones:
d 71
/
I a¿2 a33
D — a2 4^ a »
'
1 a42 a43
i
a3i a33
— 3l2
a4j a 43
a3i a32 I
+ 3l8
a4i a421
Para los determ inantes inferiores D x, D2
introducir las columnas
de rd e acuerdo con la página D 7 y luego desarrollar com o el d e te r­
minante D.
Obtención de las n incógnitas u x, . . . , un con las fórmulas:
d 72
ui =
D1
U2 =
, U, = -
N ota: Para un determinante de n renglones se hará el desarroHo hasta
obtener determinantes de tres renglones.
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I
Algebra
D9
Series
SERIE ARITMETICA
La sucesión 1, 4, 7, 10, etc., se llama progresión aritmética. (La diferencia
d entre dos términos consecutivos es constante.) La suma de una progre­
sión se llama serie.
n,
,
n (n
1) d
.
. .
en donde d = an - an_t
Sn = , (a1 + an) = a 1n + -
2
2
a„ = a , + ( n - 1)d
Media aritmética: cada término amde una progresión aritmética es la me­
dia aritmética de sus términos adyacentes am_ , y am +
am_ •) + am+ 1
Asi, el m-esimo termino es am =
para
1<m<n
(por ejemplo, en la serie anterior a3 ¡
4 + 10
= 7).
SERIE GEOMETRICA
La sucesión 1 ,2 , 4, 8 , etc., se llama progresión geométrica. (El cociente q
de dos términos consecutivos es constante y se llama “razón" de la serie.)
q" - 1 q . a„ - a,
a„
sn = a
,
—
para
q = - -----q -1
q -1
a„_,
an=ai-qn"’
Media geométrica: cada término am de una serie geométrica es la media
geométrica de sus términos adyacentes am . , y am+ ,.
Así, el m-ésimo término es am= -fam_ , . amt1
para
1<m<n
(por ejemplo, en la serie anterior a3 = V2 • 8 = 4)
Para las series geométricas infinitas (n -> « , Iql < 1), se aplican las si­
guientes ecuaciones:
an = lím a„ = 0 ;
sn = lím s„ = a, — ~
n - .»
n -,1-q
SERIE GEOMETRICA DECIMAL
Aplicación al cálculo de seríes normalizadas de números.
El cociente de dos términos consecutivos se llama “relación progresiva ip".
ip = 'TÍO
b > 1, entero,
b determina la cantidad de términos o números normalizados de una serie
en una década. Los valores de los términos que se deben redondear se cal­
culan de acuerdo con d 77:
a„ = a, ( V io ) " - 1 = an(101*)« -1
o
II
o
es
Ejemplos:
o
Comenzando con a 1 =
n = 1 ...b
a, = 100 o . . .
h
designación
nota
6 ,1 2 ,2 4 , . . . E 6 , E12, E 2 4 , . . . serie E internacional, ver Z 2
5 ,1 0 ,2 0 , . . . R 5, R 10 , R 2 0 , . . .
serie DIN, ver R' 1
a t : término inicial
an: término final
d : diferencia de dos términos
consecutivos
n : cantidad de términos
sn: suma hasta n términos
q : cociente de dos términos
consecutivos
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Algebra
D 10
S e r ie s
SERIE BINOMICA 0 B INOM IAL
d 82
f(x) = (^ ± x ) a = ^ ±
Q x +
Q* +
Q x * ±
"
a es un número cualquiera, positivo o negativo, entero
o fraccionario.
Fórmula del coeficiente binómico.
arfa— 1) (a — 2) (a — 3) . . . ( a — n
W-
-f
1)
1• 2 • 3 ... • n
Ejem plos:
d 83
para
= (1 ± x r 1
d 84
\/1 ± x
d 85
1
1
= ( 1 ± x )2
M
l*l<*
= 1 + x + x2 =¡= x3 + . . .
77
x/T±T (1+*>
1
1
1
= 1 ± — X ------- x2 ± — X3 —
2
8
16
1
3
5
-
1-
2 )í+
8 )í2 - i 6 ít8
|x|<7
+
Ix I < 1
SE R IE D E TAYLOR (S E R IE DE M A C L A U R IN )
f (a)
f(x) = f[a ) + —— (x -
d 86
a) +
f " (a)
- - - - - (x -
a )2 + .
De aquí que la forma de Maclaurin, cuando a = 0 es
d 87
r (0)
f X = /(O) +
1!
x+
r
(0)
2!
x2 + . . .
Ejem plos:
d 88
d 89
d 90
d 91
d 92
para
toda
x
X
X2
X3
©* — 1 -|--------1--------1------+ • • ■
1!
2!
3!
x • In a
(x • In a)2
3' - 1 + ' 1!
'
2!
+
Ä- 1 1 1
l„ x - 2 r x - i
i ( x- i y
Lx + 1
3 vx+ 1/
,
,
x2
X*
X4
X5
m (i + x ) = x — _ + _ + _ +
(x • In a )3
'
3!
+
+
toda
x
"
i ( jí- i y'4
5 ^ x + 1'
J
x > 0
— 1<x
x ^ + 1
'
In 2 = 1 ----------1-----------------1----------. . .
2
3
4
5
.
(Continúa en D 11)
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A
D
l g e b r a
S e r ie s
1 1
SERIE DE TA.YLOR
(Continuación)
para
E jem plos:
X3
d 93
X5
toda
X7
sen x = x ----------1-----------------1- . . .
3!
5!
7!
X'2
X4
X
X6
toda
d 94
oo sx = 1 - -
+ - - - + . . .
d 95
,a n x = * + - i * 3 + l x » + J l x ’ +
...
l * l < f
d 96
1
1
1
2
COt X = ------------ X -------- X 3 ------------ X5 — . . .
x
3
45
945
0 < Ix ¡
| X | < 7T
1 x3
1 • 3 x5
1 - 3 - 5 x7
1---------------- 1--------------------1- . . .
2 -4 5
2-4-6 7
d 97
sen_1x = x 4
d 98
cos_1x = — — sen_1x
2
2 3
X3
X
1* 1 ^ 1
|X | ^ 1
Xo
X7
X9
d 99
tan-7x = x ----------1-----------------1----------. . .
3
5
7
9
|X | ^ 1
d 100
cot_1x = — — tan_1x
|X | ^ 1
X3
d 101
X7
toda
X9
senh x = x H-------- 1-------- 1-------- 1-------3!
5!
7!
9!
X2
d 102
X5
coshx = 1 + — +
X4
X6
X
X«
toda
X
7r
d 103
ta n h x = x - ^ x 3 + ^ x 3 - 1 ! l . x 7 +
...
i i
l* l< 2
d 104
1 1
1 .
2
.
coth x = ------— x ----------x3 H---------- x5 — . . .
x
3
45
945
0 <|x|
d 105
| X | < -jr
1 x3
1 • 3 xa
1 • 3 • 5 x7
senh_1x = x -------------- |---------------------------------------- h . .
2 3 2 - 4 5
2 -4 -6 7
1
d 106
1
1-3
2 2 x2
X3
X*
1
2 - 4 4x4
X7
l * l <1
1-3-5
1
2-4-6
6 x8
|x|>1
X9
d 107
tanh-1x = x H--------1--------1---------1--------\ - . . .
3
5
7
9
IX I< 1
d 108
1
1
1
1
coth 'x = ----- 1----------- 1------------1----------- h • • •
x
3x3
5xr>
7x7
|X I > 1
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Algebra
Series
Generalidades: Toda función
periódica f(x ), que puede des­
componerse en el intervalo de
periodicidad — ir ^ x
t t en
un número finito de intervalos
continuos, podrá descomponer­
se en ese intervalo en una serie
convergente de la forma (x =
S E R IE S D E F O U R IE R
y,
y
-n
0
x
2X
3X
X
o ,t ):
d 109
f(x ) = ------1- V la» eos (n x ) 4 - bn sen (nx)]
2
n— J
Los coeficientes de cada término se forman como sigue:
=-1
-J
d 110
7r «/
- t í ;f(x ) sen (/ex) d x
f(x) eos (/ex) dx
para k = 0 . 1. 2
en uno y otro caso
Simplificación del cálculo de los coeficientes:
Funciones pares: f(x ) = f [ — x)
d 111
2 C*
ak = — I f(x ) eos (/ex) dx
TT «-'o
para k = 0. 1, 2 , . . .
d 112
-X
bk = 0
0
X
2X
3X
X
Funciones impares: f(x ) = — / ( — x)
y-
d 113
a*; = 0
d 114
2 C*
bk =
J f(x) sen (kx) dx
V
0
o
para k = 0 , 1. 2, . . .
\ y
Función par
) = f ( - x) y
d 116
\- x) = —
d 117
4
— I f(x) eos (kx)dx
d 118
d 119
Función impar
Si f(x) = - / ( - xj y
d 115
TT
x
\
j
— x) entonces
o
para k = 1. 3 , 5 . . . .
0 para /c = 0, 2, 4___
0 oara /( = 1. 2 . 3 ___
f(— 4- x) = — f(— — x) entonces
2
2
* /2
* , =
i j f(x) sen (/ex) d x
7T
n
para k = 1, 3 , 5 , . .
ak = 0 para k = 0 , 1, 2, . .
b k = 0 para k = 2, 4, 6, . .
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Algebra
S e rie s
TABLAS DE DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER
d 120
y=
d 121
y= —a
a
y
para 0 < x < -rr
p a r a 7T < x < 27r
K
0
4a f
sen (3 x)
t = — sen x 4
^ L
3
d 122
d 123
y—
d 124
y= — a
a
sen (5 x)
I
5
t
a
m
1 3Æ
t
o|
i
i
■4-1 I
1-
p a ra« < x < t t — a
p a r a i r + o i< x < 2 tt— a
4a (~
r= —
\c
cosa sen x -J- — cos (3a) sen (3x)
7T L-
d 125
H
d 126
y = a
d 127
y = /( 2 , + X)
5
cos (5a) sen (5x) -
para a < x < 27t— cv
I
i
a I i
2a I" 7r — a
d 128
IT L
sen [ tt—
a]
—°0
2
. s e n 2 (7T— La)
,
cos x H
4
c o s (2x)
1
sen 3 [ tt— a)
d 129
y = a x/b
para 0 < x ^ b
d 130
y= a
para b < x £ 7r — b
d 131
y = a[ir— x )/b
para 7r — 6 < x < x
cos (3x) + .
v J
r = it± b± [_12
[Ì sen b sen x - f — sen (3b) sen (3x)
.... + 0;se
b n(5i,Jsen(5x>+
d 132
d 133
ax
y= —
d 134
y = /( 2r r + x)
d 135
Y
2ir p a ra 0 < x < 2rr
a
"i n
a [" sen
~ï~ü L~T
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X
I
Algebra
Series
SER IE S DE FO U R IE R (C o n tin u a c ió n )
d 136
y = 2ax/7r
p a ra 0 < x S
d 137
y = 2a(?r— x ) / i r
p a r a jr / 2 £ x
d 138
y = -f[n + x )
8r
d 139
rr/2
sen (3x) ^
y — a x/ tr
para 0 < r < »
d 141
y = a(2 ir— x ) / i r
para 7r £ x £ 2 ir
d 142
y - f( 2n+x)
a
d 144
d 145
4a [" co:
cos x
cos (3x)
p
H
y =
a sen x
sen (5x)
3“
d 140
d 143
/i
-f
\ / \ x
cos (5x)
^
I
^
]
H
para 0 < i S j r
para tr £ x £ 2 rr
y = — a sen x
d 146
d 147
y =
2a _ 4a !" cos (2x 1 ,
7T 7T L 1 ■3
'
d 148
d 149
y= a s e n (x -y )
d 150
y = f( 27r + x)
3 -5
pa ra 0 < x < n /2
X
3n
para — < x < —
P
P
| d 151
d 152
d 153
cos (4x ) ,
r+
'
y
\
\
\
ji 0
“2
cos (2x)
2-’ — 1
y = x2
para — tr £ x £ tr
y = ( ( - x) = f{2 t r + x)
d 154
y= _ - 4 [
1*
d 155
d 156
d 157
cos (2x)
y = f(2 7 r+ x )
^
a
2a
4
7T-
cos x
1*
sen x
1
'
YWV
X. ji Ì7l 2Ji 571 771, X
2
2
2
2
-1
cos (4x)
cos (6x)
42 _ 1
63-1
0 X Z7C
cos(3x)
22
~
para 0 £ x £ 7r
y = a x /t r
,
5 -7
MAAA;
-X
COS X
cos {6x|
1
fix
Z L iZ .
cos (3x)
cos (5x)
32
'
52
' '
sen (2x)
sen (3x) _
2
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3
ì
Algebra
D 15
Números complejos
Generalidades:
z = r e' ®
a = parte real de z
b = parte imaginaria de z
r = módulo (valor absoluto) de z
<f>= argumento (áng.en rads.) de z
(a y b son reales)
¡= v ^ T
d 158
d 159
i‘ = + i
|-‘ = - i
d 160
F>= —1
¡-2= _ 1
d 161
i® = — i
H>= + ¡
d 162
¡‘ = + 1
M = + 1
d 163
i5 = + i
|- ® = - i
etc.
N ota: Para evitar confusiones, en la electrotecnia se sustituye i por /.
En coordenadas cartesianas:
d 164
z = a + ib
d 165
Zi + *2 — (a i + a-¿) ■+■ i(b,
d 166
Zi — Z z = (3j — a=) + i(b| - b2)
d 167
Zl * Z s = (3l 02
d 168
d 169
d 170
Zi
Zl '
bz)
b l 62) ~h i(3l b z
01 02 "I" b l bz ^
0s2 í bi
^ — 3j bz
02 bl
02® * b z’
a2 + b2 = (a - f ib) (a -
ib)
I a +
—
+ 02 b l)
/- a + V a í+ W
i—
—
Si a i = a2 y b i = b s, entonces z{ = z2.
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i—
Algebra
Números complejos
£n coordenadas polares:
d 171
z = r(cos <p 4 - ¡ ■sen <f> ) = a + id
d 172
r = + V a2 + b*
d 173
<*>= t a r r - Q
b
tan <p = —
a
d 174
sen <p = —
d 175
z , • z2 = r, ■ra [eos (<£j +<t>2) + 1 .sen (<#>i+<£2)]
d 176
hí
Z,
eos <f> = -
fi
— = — [COS (<¿>, - (f> ü)
Z2
r2
d 177
+ i • sen (<f>, — <£2)i (z2=^ 0)
z” = r” (cosn</>+ i • sen n</>)
(n > 0. entero)
d 178
-rrk\
o
“
/
<t>+ 2rrk
< f >- 2
2-rrk
\/~z = | \ / 7 | [e o s -----------------1- i • sen
\
n
n
)
27TÍC
277*
d 179
v T = c o s — — + ¡ ■s e n
n
n
*
( raíz n-ésima de la unidad)
En las fórmulas d 178 y d 179 se tiene k = 0 , 1 , 2
d 180
e' 4 = eos <f>+ i • sen <f>
d 181
e-“(>= eos <f> — i - sen c
d 182
j er‘4>| = ’y/ eos2
1
eos <f> + i • sen <p
sen2 <p = 1
e ^ - id 183
d 184
eos <f> =
2
e1* — e-1^
|
In z = In r + i (<¿>+ 2ir k )
^
2i
(fe = 0. =fc 1, ± 2, . . .
Si ri = r2 y <p, = <f>2 + 27t/c. entonces z, = z2
Nota: d> es el ángulo en radianes (arco)
k es un número entero cualquiera.
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n - 1
Algebra
Aplicación de la serie geométrica
Cálculo del interés compuesto
kn = k 0 . q•
kn
log —
logg
Cálculo de rendimientos
,
,
„
q” —
1
K=ko - Q n —r,q ^ —f
(k0 . q " — <r„) (q — 1)
(g " —
1) q
r . q — fc„(q — 1)
log
' ó— M g
log q
— 1>
Si k n — 0 se obtendrán las fórmulas de amortización.
Cáicuto de depósitos
Fórmulas para cuentas de atiorro
+ z
ku = k0
z =
qn — 1
-
a— 1
( k „ - k 0 . q " ) (q — 1)
q“ — 1
Mg —1) + *
log
M q -1 J + *
n —-
lo gq
Significado de los símbolos
k„
Capital inicial
n
k„
Capital a los n años
r
Anualidad
p Tipo de interés, en fracción
<p. ej„ 0.06, o sea, 6 %)
z
Depósito
q = 1 +P
Número de años
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17
Algebra
D 18
Resolución geométrica de ecuaciones
d 193
d 194
d 195
d 196
d 197
x = V a •b
a : x = x :b
d 198
x = media proporcional
x2 = a2 + b 2
d 199
d 200
por tanto,
x = y / a2 + b'¿
x = hipotenusa de un triángulo
rectángulo.
d 201
x = — \/3
2
x = altura de un triángulo equilátero.
d 202
d 203
a : x = x : (a — x)
y
x = porción mayor de un segmento
dividido
0|<N
V.
Según la se cció n á u re a :
d 204
x = y ( y / 5 - 1) = 0 .6 1 8 a
-m
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.. . a
I
Trigonometría
E1
Fundamentos
MEDIDA DE ANGULOS PLANOS
Representación:
La medida de un ángulo puede ex­
presarse en unidades comunes (gra­
dos) o en unidades de arco (radia­
nes). Se representa a veces, respec­
tivamente. por a y a .
Unidades comunes (sexagesimales): grado (°), m inuto ('),
segundo (").
1o = 60'; 1' = 60"
Unidad de arco:
1 radián (rad) es el ángulo central
de una circunferencia de radio uni­
tario que intercepta un' arco tam­
bién unitario. Por lo tanto.
1m
1 rad = --------= 1 (numero adimensional)
1m
Con frecuencia no se indica específicamente la unidad, como en la
siguiente tabla.
a
a
0°
30°
45°
60°
75°
90°
180°
270°
0
7t /6
7T/4
tt/3
5tt/1 2
tt/ 2
7r
3 tr/2
27T
0
0.52
0.78
1.05
1.31
1.57
3.14
4.71
6.28
360°
Equivalencias. Por definición:
360° = 27r rad
1o=
— rad
180
a — -------- a
180
a = are a = -
----------------
57.2967
longitud de arco
radio
180°
1 rad = -------
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= 57.2967°
Trigonometría
Fundamentos
Longitud de un arco
La longitud de un arco (£>) es el pro­
ducto del radio r y el ángulo central
2 (en radianes) de la circunferencia:
b = ra
Funciones trigonométricas. En un triángulo rectángulo:
cateto opuesto
a
sena = ------------------------- = —
hipotenusa
c
eos a =
ta n a =
cateto adyacente
b
hipotenusa
c
cat. op.
c
a
1
— ; coi a = -------- ; seca =
b
tana
1
1
cosa
; cosec a = ------sena
0o
sen a
eos a
tan a
cot a
0
1
0
X
co
o
Valores de las funciones de ángulos importantes
a
45°
60°
75°
90°
180°
270°
360°
0.500
0.866
0.577
1.732
0.707
0.707
1.000
1.000
0.866
0.500
1.732
0.577
0.966
0.259
3.732
0.268
1
0
00
0
-1
0
-1
0
X
0
1
0
0
X
0
X
Relaciones entre las funciones seno y coseno
Ecuaciones fundamentales:
Función seno
y = A sen (k a — (f>)
Función coseno y = A eos (ka — <|>)
1
Seno de amplitud
A = 1 y k = 1
Seno de amplitud
A = 1.5 y k = 2
Coseno de amplitud >4 = 1 y k = 1
o bien, seno con defasamiento <f> = -------
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Trigonometría
Variaciones en los cuadrantes
e 15
e 16
e 17
e 18
sen ( 90° — a
eos [
tan [
"
cot
- f eos a
+ sen a
+ COt a
- f tan a
sen
eos
tan
cot
90° +
a
— + eos a
= — sen a
= — cot a
= — tan a
e 19
e 20
e 21
e 22
sen (180° — a = - f sen a
*
= — eos a
eos í
= — tan a
tan
= — cot a
cot
sen
eos
tan
cot
180° +
’
a
= — sen a
= — eos a
= - f tan a
= - f cot a
e 23
e 24
e 25
e 26
sen
eos
tan
cot
(270° — a = — eos a
(
'
= — sen a
/
*
= + cot a
= + tan a
(
sen
eos
tan
cot
270° +
*
a
=
=
=
=
e 27
e 28
e 29
e 30
sen
eos
tan
cot
(360° —a = — sen a
(
= + eos a
i
*
= — tan a
= — cot a
<
’
sen
eos
tan
cot
360° +
*
*
a
= + sen a
= 4- eos a
= 4 - tan a
= 4- cot a
e 31
e 32
e 33
e 34
sen (
eos /
tan (
cot
_a
*
*
=
=
=
=
=
=
=
=
— sen a
+ eos a
— tan a
— cot a
sen c t ± n •360°
‘
eos
tan a ± n •180°
cot
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=
=
=
=
— eos a
- f sen a
— cot a
— tan a
4- sen a
4- eos a
4- tan a
4- cot a
Trigonometría
E4
Transformaciones trigonométricas
e 35
e 36
RELACIONES FUNDAMENTALES
tana • cot a = 1
sen2 a + eos2 a = 1
1 + tan2a =
1 + cot2 a = —
eos2a
Funciones de sumas y diferencias de ángulos
e 37
e 36
e 39
e 40
sen la ± p) = sen a • eos p ± cosa • sen p
eos (a ± p) = eos a • eos p
sen a • sen ;¡
tana ± tan p
tan ( a ± p) =
1 — ta n a - tan p
cota • cot (3 + 1
cot l a ± p) =
cot p ± c o ta
Operaciones con funciones trigonométricas
a + ß
sen a + sen ß =
2 sen
e 42
sen a — sen ß =
2 cos
e 43
c o s a -f- c o s ß =
2 cos
e 44
cosa — cos ß = — 2 sen
e 45
tan a ± tan p = -
e 46
cot a ± cot ß =
e 47
sen a • eos p = — sen ( a + P) + — sen (a — p)
e 48
COS a
2
a + ß
2
a + ß
2
ot+ß
2
sen ( a ± p)
eos
a - ß
e 41
2
sen
cos
sen
a - ß
2
a - ß
2
a - ß
2
cosa - eos p
sen lp ± a )
sena • sen p
1
1
1
1
• COS ß — ' Y C0S (“ + / * ) + Y c o s
1
— ^
1
e 49
s e n a - sen p = — co s ( a — p ) — — c o s ( a - f /S)
e 50
tan a ■ tan p
e 51
cot a • cot p :
e 52
cot a • tan p =
tana + tan p
tana — tan ß
cot a + cot ß
c o ta + cot ß
cota — cot p
cota — cot p
tan a 4 - tan p
cot a + tan p
ta n a — tan ß
cota — tan ß
tan a + cot p
tana — cot/5
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Trigonometría
Es
Transformaciones trigonométricas
RELACIONES ENTRE FUNCIONES DE ANGULO SIMPLE,
ANGULO DOBLE Y ANGULO MITAD
e 53
e 54
e 55
e 56
e 57
sena =
eos a =
ta n a =
c o ta =
e o s (90° — a )
s e n (90° — a )
c o t (90° — a )
ta n (90° — a )
y/ 1 — COS2 a
a
2 sen —
2
a
eos —
2
a
a
e o s 2 ----- s e n 2 —
2
2
1
CO t a
ta n a
sena
cosa
cosa
sena
ta n a
C O ta
sena
cosa
1 + ta n -a
y / 1 -}- CO t2a
\ / 1 — sen'-’ a
y/ 1 — CO S2 a
y / CO S2 a — e o s 2 a
1 — 2 sen2 —
2
yV C O S■1- a
V
/1 — e o s 2 a
e 58
V
2
/1
V
/1 + e o s 2 a
2
COS a
1
V 1 + c o t 2a
V 1 - f ta n 2a
2 ta n —
2
1 — ta n 2 —
2
e 60
1 +
ta n 2 —
2
11
+ eos 2 a
1
e 59
e 61
y/ 1 — s e n 2 a
1
- /
1
i
sen 2a
/ 1 — s e n 2a
V
a
2 ta n —
2
sen a
c o t2 — —
2
1
a
a
1 + ta n 2 —
2
1 — ta n - —
2
2 CO t —
2
sen 2 « =
eos 2 a =
ta n 2 a =
cot 2 a =
2 s e n a • COS a
eo s2a — sen 2a
2 ta n a
c o t 2a — 1
1 — ta n 2a
e 62
2 e o s2a — 1
2
2 cot a
1
1
— c o t a --------- t a n a
e 63
1 — 2 sen 2a
c o t a — ta n a
a
eos — =
2
a
ta n — =
2
a
sen — =
2
v
/ 1 — eos a
z
...
/
V
e 66
2
a
cot — =
2
sen a
sen a
1 4- e o s a
1 — COS a
1 + eos a
1 — eos a
1 -f eos a
2
sen a
e 64
e 65
2
/ I — eos a
1 4- e o s a
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sen a
/
1 4 - COS a
1 — cosa
Trigonometría
Ee
Teoremas o leyes principales
TRIANGULO (OBLICUANGULO)
Teorema de los senos
sen a : sen p : sen 7 = a : b : c
b
c
a = ----------- sen a = -----------sen a
s en p
sen 7
a
c
b =
sen p = ----------- sen p
sena
sen 7
a
b
sen 7 = ---------- sen 7
sen a
sen p
Teorema de los cosenos
a2 = b- + c- — 2 be eos a
b- = c2 + a2 — 2 ac eos /í
c2 = a- + b2 — 2 ab eos 7
(El coseno es negativo en el caso de ángulos obtusos)
Teorema de las tangentes
<*+p
a+7
0+7
b + c
a+ b
c c -p
0 -7
Relaciones para el ángulo mitad
tan — = — -—
2
s—a
f
0
tan — :
s—b
,anl = T +
Area, radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, y
semiperimetro
A = ~ be sen a = ~ ac sen p =
ab sen y
A = V s(s — a) (s — b) (s — c) = p s
_ y ( s ~ a) Ts — ó) (s -~cy
1
2 sen a
a H- b + c
2 sen 0
2 sen 7
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Trigonometría
Funciones inversas
Notaciones: sen ' x — are sen x = áng sen x
Definición:
Equivalente a
Intervalo de
definición
sen- 1 x
eos-1 X
tan-1 x
cot-1 X
x = sen y
x = eos y
x = tan y
x = cot y
- 1^ x ^ + 1 - 1^ x ^ + 1 — » < X < - f » — X < x < - f »
7r
Valor principal
en el intervalo
7r
2 - ^
7r
+ 2
7T
7T > K > 0
2 < |,< + 2
Relaciones fundamentales
eos 1 x = — — sen-1 x
2
cot-1 x = — — tan-1 x
2
|
Relaciones entre funciones inversas
* Para x positiva ( > 0)
sen
1x =
eos- 1 x
ta n
=
1x =
COt
1X =
•
eos- '
1 —
X2
sen-
i
X
•
V
ta n - 1
X
1
P a r a x n e g a t iv a ( <
1 +
-,
x2
*c o t
\/1
*
1
V 1
X
%
c o r 1
>
X
'x
- * 2
i
1
>
i
V
X
>
ta n -1 — j X
*
+
-f *2
n/ 1
1
1—
+ **
1
ta n
X
1—
X
s e t ie n e
0)
s e n - ' (— x )
=
— sen- 1 x
t a n - ' (— x )
=
-
t a n -1 x
e o s -1
x)
=
7r — e o s - ' X
c o r 1 ( - x)
=
7T
(—
— C O t“ ' X
Teorema de adición
sen-1 a ± sen-1 b =
sen- ' (a \ J 1 — b 2 ± b \ / 1 — a2)
eos-1 a ± eos-1 b — eos-1 (a t \ / 1 — a2 • > /1 — ó2)
a ± b
tan-1 a ± tan-1 ó = tan- 1 ---------1 + aö
ab — 1
cot-1 a ± cot-1 ó = cot- ' — —
b ± a
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X2
*
Geometría analítica
p 1
Recta y triángulo
^
RECTA
mx + b
f
1
Ecuación
y =
f
2
Pendiente
y¿ - V\
m = --------------- = tan a
*2 — *1
Forma simétrica para a ^ O y f t ^ O
f
3
x
y
a
b
- + f -
1=0
Pendiente de la perpendicular AB
—
1
m An = ------Forma en función de dos puntos: P x (x,. y i) y P¿ (x-2, y>)
f
5
Y — Vi _
V* ~ Yi
X — Xi
X¿ — X!
En función del punto P, (x,. y,) y la pendiente m
f
6
7
y — Y\ = m (x — X\)
Xi)*‘+ [y2 - Vi)2
d =
Distancia entre dos puntos
Punto medio entre dos puntos
f
Ym = -
8
Punto de intersección de dos rectas
/l +
(ver la figura del triángulo)
b¿ — bi
f
9
¡ f 10
y.i = m, x3 + ó, = m¿ x3 +
rr?i — m> |
. .. 4
,
m2 — m x
/ ver la figura \
Angulo entre dos rectas (<*>): tan <f> = T + fr) j . m|
^ e i triángulo)
TRIANGULO
y
W ft
y
*1 + *2 + X;,
f 11
Centroide
(punto G)
f 12
l0
V\ + y2 + Vi
Ya =
-
1
r—
f 13
Area
A -
(X, y.. -
X-J y ,)
+
x <¡— »
(x,. V2 - x 3 y2) + ( x 3 y , — x, / , )
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Geometría analítica
Circunferencia — Parábola
p 9
■
“
CIRCUNFERENCIA
Ecuaciones de la circunferencia
Centro
en el origen
en otra posición
14
x2 + y2 = r2
(x - x,,)2 + (y - yu)2 = r2
Ecuación fundamental
15
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Radio
16
r = ^ x „ 2 + y ,2 - c
Coordenadas del centro C
f 17
Tangente T en el punto P, (x,. y,)
f 18
r2 -
(x - Xii) (x, Yi -
x„)
-+ K«
K«
PARABOLA
Ecuaciones de la parábola (en esta torma pueden apreciarse directa­
mente la posición del vértice y el parámetro p)
Vértice
en el origen
en otra posición
19
*2 =
20
x 2 = - 2py
2py
(X -
X . ,) 2 =
(X
X , ,) 2 =
-
apertura
hacia
vo)
arriba
- 2p(y - Yoí
abajo
2 p (y
-
Ecuación fundamental
f 21
y = Ax~ + Sx - f C
f 22
Radio de curvatura r = p (parámetro)
f 23
Propiedad básica PF = PQ
Tangente T en P, (x ,. y,)
f 24
2 (yi -
y —■
y0) (x - x,)
Xi -
x0
1
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F: foco
L: directriz
S: tangente
|
en el vértice
Geometría analítica
F3
Hipérbola
HIPERBOLA
Ecuaciones de la hipérbola
Punto de intersección de las asíntotas
en otra posición
en el origen
x
I
II
o
a-
I
1=0
I
xy------- — abr
><
í
f 25
b-
Ecuación fundamental
A x¿ + By- + Cx + Dy + E = 0
Propiedad básica
F S - F ^ F = 2a
Distancia focal
c — \ / a- + b Pendiente de las asíntotas
tan a — m = ± —
a
bRadio en el vértice p = —
a
(parámetro)
Tangente 7 en P, (x,. k,)
b~ (x, - x„) (x - x.)
K = — * ------------------------------- h / i
a -
Ki -
HIPERBOLA EQUILATERA
En las hipérbolas equiláteras a = b.
por lo tanto :
Pendiente de las asíntotas
ta n a = m = ± 1 ( a = 45°)
Ecuaciones (cuando las asíntotas son
paralelas a los ejes x y y):
Punto de intersección de las
asíntotas
f 32
en el origen
en otra posición
x • y = c-
(x - x») (y - /o) = c-
Radio de curvatura
f 33
p = a
(parámetro)
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Ko
Geometría analítica
Elipse — Curva exponencial
F4
ELIPSE
Ecuaciones de la elipse
Punto de intersección de los ejes
en el origen
f 34
en otra posición
xy2
-+ ¿ T - 1=0
afi­
(x - x„)‘
a2
(y - y„)«
1
i
fi=
Radios de curvatura
f 35
Distancia focal
f 36
c = \ / a- — b'¿
Propiedad básica
f 37
F^P + P P = 2a
Tangente T en P, (x,. y,)
f 38
b- (x » - x„) (x - x,)
- +
y= - V\ - V»
/I
CURVA EXPONENCIAL
Ecuación fundamental
f 39
y = ax
a es una constante
positiva ^ 1
Nota:
Todas la§ curvas exponencia­
les pasan por el punto de coor­
denadas x = 0. y = 1.
La curva que en este punto
tiene la inclinación de 45° (tana
= 1). da por derivación la misma curva. La constante a se convierte
en este caso en e (número de Euler), base de los logaritmos naturales:
e = 2 718 281 828 459
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Funciones hiperbólicas !
Directas
Otras notaciones: Sh. Ch. Th. Cth
Definiciones
g
1
senh x =
g
2
cosh X =
g
3
tanh X =
g 4
coth X =
g 5
g 6
g
7
2
e' + e"
2
e» — e-'
e2' — 1
e ' + er'
e' + e•*
e2' + 1
e2' + 1
e» _ fr
e2' — 1
Relaciones fundamentales
cosh2 X — senh2 x = 1
tanh x •
coth x = 1
senh x
tanh x = cosh X
1 — tanh2 x =
Relaciones entre las diversas funciones
Para x positiva:
senh x =
g
8
g 9
g 13
g 14
coth x —
senh x
y 's e n h 2 x + 1
V senh2 x 4- 1
senh x
± \ / cosh2 x — 1
**
\ / senh2 x + 1
tanh x
1
\ / cosh2 x — 1
cosh x
\ / 1 — tanh2 x
\ / 1 — tanh2 x
cosh x
V cosh2 x — 1
1
I coth x I
1
1
\ / coth2 x — 1
V coth2 x — 1
coth x
tanh x
g io
g ii
g 12
(anh x =
cosh x =
Para x
negativa:
II senh ( - x) = — senh x
II tanh ( — x) = — tanh x
tanh a ± tanh ó
tanh (a ± b) =
g 16
coth (a ± ó) ;
1 ± tanh a tanh ó
coth a coth ó ± 1
coth a ± coth ó
*EI exponente x debe ser numérico
**EI signo + para x > 0; - para x < 0.
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**
cosh ( — x) = + cosh x
coth ( - x) = — coth x
Teoremas de adición
senh (a ± ó) = senh a cosh ó ± cosh a senh ó
cosh (a ± ó) = cosh a cosh ó ± senh a senh ó
g 15
**
Funciones hiperbólicas
Inversas
G 2
Otras notaciones: Arg Sh, Arg Ch, Arg Th. Arg Cth
Definiciones
Función: y =
senh_1x
cosh 'x
ta n h 'x
c o t h ’x
g 18
Equiva­
x — senh y
x = coth y
x =; cosh y
x = tanh y
lente a
Relacio­
1
1+ X
1
x + 1
In
nes con = l n ( * + v ' * - + 1 ) = ln (x + v /* -'—1) = — In ---------- =
2
x
- 1
2
1
x
In
g 19
Dominio
—0C <X<+X
1 È x < + 30
g 20
Contra­
dominio
—» < / < + *
—* < r < + « >
9 17
l* l < 1
M >1
Iv | > 0
Relaciones entre las diversas funciones
Para x positiva.
cosh_1x =
senh-1 x =
coth-íx =
tanh-’x =
1
X
9 21
\/1
V x 2-
X
g 22
g 23
V l+ x 2
*
-
X2
1
1
v /1 -x !
X
X
> /1 + x 2
coth-1-------------- + coth-1------------X
\ / x 2- '\
g 25
tanh-1 ( — x) = — tanh-1 x
X
X
coth-M— x) = — coth^x
Teoremas de adición
g 26
senh-’a ± s e n h -'b = senh-^a \ / b 2 + 1 ± b \J a 2 + 1)
g 27
cosh-Ja ± cosh-’ó = cosh-^aó ± \J [a2 — 1) (ó2 — 1)1
g 28
ta n h -’ a ± ta n h _1ó = ta n h -1
g 29
coth-1a ± c o th _16 = coth-1
a ± b
1 ± ab
ab ± ,\
a ± b
* V e r n o ta e n G 1
v X2 1
tanh-1—
senh-1! — x) = — senh_1x
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1
X
1
c o t h 1—
Para x negativa:
g 24
\ / X 2 -
1
Cálculo diferencial
u
1
Relación de cambio: Derivada
PENDIENTE EN UN PUNTO. RELACION (O INTENSIDAD) DE CAMBIO
Pendiente de una curva
En una curva y = f(x ), la pendiente
m varía en cada punto. La pendien­
te de la curva en un punto P es
también la pendiente de su tangen­
te en dicho punto:
h
1
m = ta n a =
a y'
Relación media de cambio (cociente incremental)
La intensidad media de variación
de la función y = f(x) es la relación
de los incrementos A y / A x corres­
pondientes al segmento de curva
PP,:
Ay
h
2
/(X +
A X )-/(x )
AX
Derivada (cociente diferencial)
Cuando a x tiende a cero, el punto
P, tiende al punto P. y ia secante
PP,, a la tangente a la curva en P.
De manera que la relación de in­
crementos se convierte en la re­
lación de diferenciales, que es la
derivada (o intensidad de cambio)
de la función en P:
Ay
h
3
y' =
lím
dy
— = — = f'(x)
a x - o AX
dx
dy
Notaciones: y' = — = f'(x),
dx
dy'
y" = —:— = f" (x ).
dx
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etc.
Cálculo diferencial
u 2
Significado de la derivación
*
*
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Curvas de derivadas sucesivas
Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) co­
rrespondiente y' como ordenada, se obtendrá la curva de y' =
f'(x ), o de la primera derivada de la curva dada y = f(x). Si se deriva
la curva y1 = f'(x) se obtendrá y " = f” (x). o la segunda derivada
de la curva dada y = f(x ), etc.
Ejemplo: y = A x ' + Bx- + Cx - f D
I
\
/
Mínimo
local
Radio de curvatura P en un punto dado x
v d + r-r
Coordenadas del centro de curvatura C correspondiente a un radio p
h
5
a = x —
r
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Cálculo diferencial
u
Aplicaciones de la derivación
I
«
■
O
DETERMINACION DE LOS VALORES M AXIMOS, M IN IM O S
Y PUNTOS DE INFLEXION
Valores máximos y mínimos
Hágase y' = 0, y sea a el valor obtenido de x. Sustitúyase ahora
x = a en y".
h
7
Si y " (a) > 0 habrá un m ínim o en x = a.
h
8
Si y " [a] < 0 habrá un máxim o en x — a.
h
9
Cuando y” (a) = 0. véase h 19.
Punto de inflexión
Hágase y " = 0, y sea a el valor obtenido de x. Sustitúyase ahora
x - a en y"'.
h 10
Si y " ' (a)
0. habrá un p un to de in fle xió n en x = a.
Forma de la curva y = f(x)
Crecimiento y decrecimiento
h 11
Y* (x) > 0
h 12
Y (x) < 0
y(x) cre ce si aumenta x
y(x) decrece si aumenta x
h 13
y' (x) = 0
y(x) tiene en x una tangente
paralela al e¡e x.
Curvatura
h 14
y” (x) < 0
h 15
y" (x) > 0
y(x) será cóncava hacia arriba
h 16
y " (x) = 0
con| cambio de signo | punto de inflexión
y(x) será cóncava hacia abajo
sin | y(x) tendrá en x I máximo o mínimo
Otros casos
Si para x = a
h 17
Y (a) = y" (a) = y"' (a) = . . . = y < - " (a) = 0, pero
h 18
y" (a) y t 0. pueden presentarse los 4 casos siguientes:
n par
h 19
y (n) (a) > o
v t v jy
o
n im p a r
y « "' (a ) <
vt / £
T
o
K,nl (a ) > 0
0
\
v
"7
?
o
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Tt
y in) (a ) < 0
O
mx
Cálculo diferencial
u
Fórmulas básicas
DERIVADAS DE FUNCIONES
Reglas fundamentales
Derivada
Función
x:
II
_c
h 22
1+
h 21
II
h 20
/
y = c x" + C
= c ■ n ■xn-‘
y" = u'(x) ± / ( x )
y7 = u' • v + u • v’
u (x )
h 23
K ~
*
V (x)
h 24
y = \T T
h 25
y = u(x)°w
--
u' • v — u • v'
..
V“
1
^ ~ 2 v r
/ u' • V
y' = u‘i ----------- F
'
u
\
• In u )
'
Derivada de una función de función
h 26
y ' = f'(u ) ■ u 'tx )
_ ay _ dy du
y = /[u (x |]
dx
du dx
Derivadas de funciones paramétricas
h 27
V = f(x)
j x = /(O
\ y = /(O
h 28
^
dy dt
y
dt
x
dx
d- y
xy — yx
^ — dx- —
i'1
Derivadas de funciones inversas
Si de la ecuación y = f(x) se despeja x, resulta la función
inversa x = <f> (y).
h 29
x =<f>(y)
r (x) =
<#>' (x)
Ejemplo:
h 30
y = f(x) = eos*' x
h 31
x = <¿>(y) = eos y
r (x) = -
— sen y
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VT-
-
Cálculo diferencial
H 5
Fórmulas básicas
DERIVADAS DE FUNCIONES
Funciones exponenciales
Función
Derivada
h 32
y = ex
h 33
y = erx
y' = - erx
h 34
y = e“A
y ' — a • eax
h 35
y = x • ex
y ' = ex -{1 + x )
h 36
y =
y' = ex = y " = . . .
h 37
y = ax
/ = ax' In a
h 38
y = anx
y’ = n - anx • In a
h 39
y = ax~
y' = ax~ • 2x- In a
Funciones trigonométricas
h 40
y = sen x
y' = eos x
h 41
y = eos x
y' = — sen x
h 42
y = tan x
1
y' = ---------- = 1 + tan- x
eos- X
h 43
y — cot x
- 1
i = ---------- = sen- x
h 44
y = a • sen kx
y1 = a • k ■ eos kx
h 45
y = a • eos kx
/ = — a ■k ■ sen kx
h 46
y = sen"x
y' = n (sen“-'x ) (eos x)
(1 + cot- X)
h 47
y = eos" x
Y' = — n (cos”- ‘ x) (sen x)
h 48
y = tan" x
Y' = n (tan"-’ x) (1 + tan2 x)
h 49
y = cot" x
Y = — n (c o t'-'x ) (1
h 50
h 51
1
y —
— eos x
sen x
1
eos X
sen-’ x
y'
_ sen x
eos- X
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cot-' x)
Cálculo diferencial
u
Fórmulas básicas
I
DERIVADAS DE FUNCIONES
Funciones logarítmicas
Función
Derivada
h 52
y = In x
V = -
h 53
y = log„x
Y =
h 54
Y = In (1 ± x)
Y =
h 55
Y — In x"
y =
x • In a
± 1
1± x
n
h 56
y = In \ T x
Funciones hiperbólicas
h 57
h 58
h 59
h 60
y = senh x
y" = cosh x
y = cosh x
Y' = senh x
Y
y = tanh x
Y
y = coth x
Y =
1
cosh- x
— 1
senh2 x
Funciones inversas (trigonométricas e hiperbólicas)
h 61
1
y = sen-* x
V 1 — x2
h 62
y = cos->x
1
y = V
1
h 63
y = ta n -'x
y =
h 64
y - - c o t-'x
/ = -
h 65
y = senh-' x
1 —
1+ x 2
1
1 + X!
1
y =
\Z * 2 + 1
h 66
h 67
y — c o s h -'x
1
1^ =
x / x 3 — *1
1
y = tanh-*x
1 -
h 68
y - c o th -'x
X2
1
/ = 1 — x-
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X2
■
O
Cálculo integral
ii
SIGNIFICADO DE LA INTEGRACION
La integral, función inversa de la derivada
Por integración se entiende el encontrar una función F (x ) a partir
de una función dada y = f(x) de manera que la derivada F (x)
sea igual a la función original f(x). Por lo tanto.
i1
F '(x ) =
dF(x)
— — = f(x)
dx
La integral indefinida
i2
Jf(x)dx= F(x) + C
C es una constante indeterminada que desaparece al derivar, ya
que la derivada de una constante es igual a cero.
Significado geométrico de la integral indefinida
Como muestra la figura, hay
una infinidad de curvas y =
F(x) con pendiente o deriva­
da y' = F (x ). Todas las curvas
y = f(x) son iguales pero
desplazadas paralelamente y
en la dirección del eje y. La
constante C fija una curva
determinada. Si la curva de­
be pasar por el punto x,„ y„
se tendrá:
C = y, -
i3
F(x„)
La integral definida
La integral definida tiene la forma:
i4
X
/(x )d x = F(x) I. = F(6) - F(a)
En la integral resultante se sustituye primero el límite superior y
luego el inferior, y se resta el segundo resultado del primero.
Desaparece así la constante C.
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Cálculo integral
Reglas de Integración_____
I 2
Reglas fundamentales
xn+1
r
JI x” dx = -------------1n4-1 C. donde n ^ — 1
fd x
I — =
J x
In x +
C
J"(u(x) ± v(x)] dx = J u(x) dx ±
r u ' (x)
— — dx =
J u(x)
In u(x) +
i
v(x) dx
C
Ju<x)t/(x)dx = l[u(x)]2+ C
Integración por partes
J u (x ) • ir'(x) dx =
u (x )-v (x ) — j" u '(x ) ■v(x) dx
Método de sustitución
J f(x) dx = j f [4>(z) )• <£'(z) dz
donde x =
<f> (z) y dx = </>' fz) dz
Ejemplo:
F(x) =
J V 3x — 5 dx
dz
Haga 3x — 5 = z; la derivada e s z ' = — = 3.
dx
dz
Por tanto, dx = —
Expresando la integral enfunción de zqueda.
F(x) = —
~
zóz
—
z \Tz
C. En la última expresión
sustituye el valor de z: F(x) = — (3x — 5) V 3x — 5 +
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C
se
Cálculo integral
I 3
Fórmulas básicas
INTEGRALES
(No se indica la constante de integración C)
i 13
¡ 14
i 15
í eJ dx
eJ
y In x dx = x • In x — x
J
ax
In a
J
a1 dx
dx
1
J ü(x T- a) (x - b)
a —b
i 17
i 18
i 19
f 20
¡ 21
J
1
(x — a)"
(o — 1) (x — a)’ -'
dx
1
x'¿
x2 —
- a,¿
a¿
J
J
dx
a2 — x2
dx
s
dx
J
¡ 22
J V 7 dx
i 23
Jf \ / a dX
2 — x2
I 25
(x > a )
(x < a)
x dx
1
--------------- = —- liIn (x2 + a2)
J
x 2 + a2
1
2a3
dx
V x2 — a2
dx
+ a2
dx
2n — 3
r+ :
2a2 (o =
y
1) (x2 + a2)“- 1
f-^ L = 2 V T
-n n -1 *
a
1
1
f
d*
I Vax + h
cosh-1 — = In (x + V x2 — a 2)
a
senh-1 — =
a
x
= — i / a 22
in (x + \ / x 2 + a2)
a2
x
sen-1 —
a
i 26
í v a2 — x2 dx
i 27
x
— V x2 — a2
2
a2
J V x2 — a2 dx
X
3^
X
i 28
J* v / x2 + a2 dx
— V x2 + a2 H
2
2
senh-1 —
a
x2 4
2
2
x
cosh-1 —
a
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—1) Jf-(x2 + a2) - 1
2a2 (n -
U
U
n/ x 5
2
x
tan-1 —
dx
(x2 + a2)'
¡ 24
(o *1 )
1
x
1
a + x
— tanh“1 — = — In ---------a
a
2a
a —x
-—
2a2 (x2 + a2)
(x2 + a2)2
In (x - a)
x
1
x — a
coth-1 — = — In a
2a
x + a
1
x
— tan-1 —
a
a
x2 - f a2
=
x —a
0 *0 )
dx
J
i 16
x - a
- In x —b
dx
(0 *1 )
2 . r^ -r-a
a k
'
Cálculo integral
I 4
Fórmulas básicas
INTEGRALES
(No se indica la constante de integración C)
i 29
5
sen x dx
i 30
sen2 x dx
í
i 31
J* sen3 x dx
i 32
í sen"x dx
i 33
í sen ax dx
=
— eos x
x
1
= ------------ sen 2x
2
4
3
1
=
eos x H
eos 3x
4
12
1
n—1 c
=
eos x sen"-1 x -\--------------- I sen"-2 x dx
n
n
J
=
1
eos ax
i 34
| eos x d x
i 35
J* eos2 x dx
x
1
.
T + T sen2x
i 36
J* eos3 x dx
3
1
sen x H
sen 3x
4
12
¡ 37
J eos"xd x
i 38
eos ax dx
s
= J_ sen x e o s "1 x + —— — I eos"-2 x dx
n
n
J
=
i 39
) tan x dx
— In cos x I
i 40
J tan2 x d x
tan x — x
i 41
í tan" x dx
i 42
cot
í 43
cot2 x d x
i 44
cot" x dx
i 46
x dx
dx
i 45
sen x
•
=
tan'-1 x
In sen x
i 48
eos x
(n *1 )
|| J cot ax dx = — In sen ax
— X — cot X
c o t'-1X
=
In tan
J* cot"-2x dx
I If
ln,an
( n * 1)
dx
eos x
n — 1 sen"-1 x
dx
i 47
| tan" 2 x dx
dx
sen" x
J tan ax dx = — — In cos ax
n —2
+
dx
sen"_2x
/ Xx
7T \
II
C
( t
+ t )
||
J eos2
^ 7 x = ,a n jí
dx
1 e o s "1x
(n ^ 1 )
dx
dx
n - 2 r
dx
—
n - 1 J s e n "2x
f
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[ n * 1)
Cálculo integral
I 5
Fórmulas básicas
INTEGRALES
(N o s e in d ic a la c o n s t a n t e d e in t e g r a c ió n C )
dx
---------------- — ta n
. f - + sen x
,
\ 2
(t - t4 )
dx
x
---------------- = ta n —
. Í T + eos x
2
( • _ £ ! _
= _ c o t( * _ J L )
J 1 — sen x
V 2
dx
x
l ------------------- = — c o t —
1 - eos x
2
s e n (a x + b x )
S
px
y —
y\
s ef in I(a
— hbx)
1- -----------------------.
í s e n a x s e n bx d x = ---------------------------2 (a - f b )
2 (a - b)
J
s e n a x e o s bx d x =
—
e o s (a x - f bx)
5
x" se n a x dx
í-
=
eos ax dx
co s ax H
a J
n
=
=
x sen
x e o s -' x — \ / 1 — x-
senh x dx
=
2
x c o t -1 x + — In (1 + x-)
cosh x
— senh 2x — —
4
2
senh" x dx =
—
senh ax dx =
— c o sh ax
cosh x dx
senh x
=
(¡*l ^ 1*1)
In (1 + x -)
sen h - x d x =
í
1*1)
1 x + v ' 1 — x-
í ta n -' x d x = x ta n -' x
=
(la l *
/•
— s e n a x ---------l x " - 1 s e n a x d x
a
a J
=
x dx
ó)
l x "-' e o s ax dx
a
| sen 1xdx
cot
l*l)
r
xn
| e o s-' x dx
J -1
2 (a -
n
xB
(l»l *
e o s (a x — bx)
2 (a + b )
s e n (a x + b x )
s e n (a x — ó x )
— — — — 7 -;----- 12 (a + b )
2 (a - ó)
e os ax eos ó x dx =
í
c o s h x s e n h "-1 x
senh" - x dx
f
1
x
c o s h - x d x = — s e n h 2 x H-----4
2
I
l cosh" x dx — —
J
n
J
cosh ax dx =
4 /
r
senh x c o sh - 1 x - f
— senh ax
a
n
-1
n
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( c o s h - “ x dx
J
C
á l c u l o
in t e g r a l
Fórmulas básicas
U
INTEGRALES
(No se indica la constante de integración C)
i 68
f tanh x dx =
In cosh x
i 69
j* tanh2 x dx = x — tanh x
i 70
J* tanh" x dx = ---------ta n h "1 x - f J tanh"-* x dx
i 71
J* tanh ax dx = — In cosh ax
I 72
J coth x dx =
i 73
J* coth2 x dx = x — coth x
i 74
i 75
¡ 76
¡ 77
i 78
¡ 79
i 80
(n ^ D
In senh x
coth" x dx =
-------- — —coth"-1 x -f- J*coth" 2 x dx
l ñ * 1)
J* coth ax dx = — In senh ax
r
dx
1 ---------J senh x
r
dx
i ---------J senh2x
r
dx
1 ---------J cosh x
f
dx
1 ---------J cosh2x
x
= In tanh —
2
=
— coth x
= 2 tan 1ex
= tanh x
J* senh-1 x dx = x senh'1x — y / x- + 1
i 81
J c o s h 1 x dx = x cosh'1 x — \ / x - — 1
i 82
J tanh'1 x dx = x tanh 1 x + -i- In (1 — x2)
i 83
J c o th 1 x dx
i 84
( senmx eos" x dx = --------- sen"4 ' x eos" ' x - f
«'
m
n
n —1 r
---------- | sen" x eos" -’ x dx
m -f n
=
x coth'1 x + ~ In (x2 — 1)
Si n es impar, para la integral del residuo se cumple que:
i 85
f
senm+ 'x
| senmx eos x dx = ------------•'
m + 1
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Cálculo integral
I
Aplicaciones de la integración
MOM EN TO S ESTATICOS
Diferencial de arco
ds = \/d x -
+ d y 2 = \ J I + ( — Y dx
'ddx
x />
Area de la superficie generada por el giro
de una curva alrededor del eje x
Longitud de arco
• = / V 1 + y’- dx
A„ = 2rr J ' y n / 1 + V ! dx
Momento estático de una curva
con respecto al eje x con respecto al eje y
= J" y \ J 1 + y'2 dx *#, = J
x \ / 1 -I- y'2 dx
Coordenadas del centroide G
Area de una
superficie
A = J " ' y dx
Volume n de un
sólido generado por el gi­
sólido cuya sección
ro de la superficie A alre­
transversal Ai es fun­
dedor del e¡e x
ción de x
V = 7r J*
y2 dx
Momento estático de una su­
perficie con respecto al
e¡e x
eje y
90
C ” Y2
O r = 1 — dx
Ja 2
Q , = J" xy dx
Coordenadas del centroide
91
Q,
X" = A
x„_
0r
A
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V = J
A, (x) dx
I8
Cálculo integral
Aplicaciones de la integración
Momento estático del volumen de un
cuerpo (con relación al plano y 2 )
= v J*
x y 2 dx
Coordenada del centroide
x » = ——
Regla de Guldlnus (o Pappus)
Area de la superficie de un sólido de revolución
A r = Longitud de arco s multiplicada por el recorrido del centroide.
= 2 n s Ye
(fórmulas I 86 e I 88)
Volumen de un sólido de revolución
VR = Area A multiplicada por el recorrido del centroide
=
2 n
Ayc
(fórmulas I 89 e ¡9 1 )
Integración numérica
Se divide la superficie en un número
y,
par n de franjas de igual ancho
b —a
h = ---------El área se calcula entonces con la
Fórmula trapecial A = — (y„ + 2y, + 2y2 + . .
+ 2yn_, + 2y„_, + y j
Regla de Simpson
Para curvas hasta de 3er. grado
A' = J
(F» + 4/ i
K 2)
para curvas de grado mayor que el 3 o
A — ~
yo +
yn +
2 (y 2 +
y4 +
... +
y n_2) -f- 4 ( y i +
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ya +
•••+
K n - i)J
Cálculo integral
Aplicaciones de la integración
MOM ENTO S DE INERCIA
Definición general
Momento de inercia con respecto a un eje X o un punto O, es
la suma de los productos de elementos de longitud, área,
volumen o masa, por el cuadrado de su distancia al eje o
punto:
J =
i 100
fI x- dm
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos (ver M 2 )
Para cualquier momento de inercia (de longitud, área, volu­
men o masa), axial o polar, se verffica que:
J = JG -f- m /G
i 101
Momentos de inercia de una curva plana con respecto al
eje y
e|e x
c= /
i 102
J
y- V
1 + y"- dx
Momento de inercia con respecto al eje de referencia
J G Momento de inercia con respecto al eje que pasa por el
centroide G
m
Magnitud considerada (longitud, área, volumen o masa)
la
Distancia del centroide al eje o punto de referencia.
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Cálculo integral
Aplicaciones de la integración
I 10
M OM ENTO S Y PRODUCTOS DE INERCIA DE SUPERFICIES PLANAS
El m om ento de ine rcia a xia l de una superficie plana respecto a un
eje x o y, situado en su plano, es igual a la suma de los productos
de los elementos de área dA y el cua­
drado de las distancias a los ejes res­
pectivos, y o x. respectivamente
i 103
/. = JV d/1;
/y = J x - d A
Si se da la función y = f(x), entonces:
Con respecto al
eje x
eje y
/»b y3
i 104
' ■ = [ T dx
l y = J x2 y dx
El m om ento de ine rcia p o la r de una superficie plana respecto a un
punto O situado en su plano es igual a la suma de los productos
dA
de los elementos de área ÓA y el cua­
drado de su distancia r a dicho punto
(poto):
0 = J r- ÚA
i 105
Si loss ejes de referencia de los momentos de inercia / , e /, son
sndicular« y se cortan en O. existe entre el momento polar
perpendiculares
y los axiales Ir
la relación:
¡ 106
/,(„ =
J r- dA = j (y2 + x-) dA = l , + l y
El p ro d u cto de ine rcia de una superficie plana respecto a los ejes
situados en su plano es igual a la suma de
los productos de los elementos de área
dA y las distancias x y y a ambos ejes:
I 107
I, , =
f x y dA a 0, o bien - - 0
Si uno de los e¡es de referencia coincide con un e¡e de simetría
de la superficie, entonces
= 0.
Transform ación a un e/e inclina d o x': Si se conocen para los ejes
perpendiculares x y y las cantidades
/,
y,
e /„ , entonces el momento de inercia
axial /,. con respecto a un eje inclinado
un ángulo a con respecto al eje x, es
igual a:
¡ 108
/,, = /, cos2a + /, sen-a —
sen 2a
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Cálculo integral
I 11
Aplicaciones de la integración
EJEMPLOS DE CALCULO DE M OM EN TO S DE INERCIA DE
SUPERFICIES PLANAS
Rectángulo
109
X
I.
A
[- wi -|
110
111
112
113
V2 /
b h3
12
b :'h
L = -
A
K ^ dK = / > [ - ] o = —
b:'h
V = -
3
12
b h*
bsh
lo - / . + /, = —
+ —
=
l „ _ lx, y, +
b h
bb
3 -(b= + b=);
/0 = _
bb
(b2 + b2)
Como x' y /o y' son ejes de simetría,
/, - y = 0, y entonces:
A
b h
/ bb \2
— (b *)= (—
)
2 2
114
Círculo
¡ 115
lo
=
l
r- dA =
Jo
¡ 116
i 117
i 118
=
2
'[ í l- f 1
/„
/,
/»«
\ r'¿ (2 ir r) dr
Jo
= /,
2~~“
nR*
2
“
nD4
64
/,„ = 0, puesto que x y y son ejes de simetría
y
Semicírculo
i 119
I, = f
I.
i 120
i
121
|.| i'jjj
i 122
= 2J
y2 (2 x)dy
v ¡
— y2 dy = —— =
1/ / / /
-R
y2 d/1 = f
y2
rrí?«
7r R*
/0 = 2 -------= -------- ;
8
4
\ VJ
R x
= 0, porque y es eje de simetría.
Polígono regular de n lados
'* ='>=T = T ÍT 8(12'2+ al',:'" = 0
r
a
Radio de la circunferencia
inscrita
Longitud del lado
R Radio de la circunferencia
circunscrita
n Número de lados
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Cálculo integral
Aplicaciones de la integración
M OM EN TO S DE INERCIA DE VOLUMENES
Prisma rectangular recto
/ b h:t
b3 h \
Si I
1
I es el momento de
V 12
12 /
inercia polar centroidal de un rec­
tángulo (ver 111), entonces, con
relación al e)e z, queda:
J
i 123
“ , bb bh3
3
a bh
b3 h \
)d z = --------{/,»12 /
12
_|
0 \~12~
h1)
Cilindro circular recto
Con respecto al e¡e z:
ir r 4
i 124
ir r 4 h
~4~ d Z _
2
Con respecto al e¡e x:
+ * r ’ z’ ) d z
i 125
= -
- (3rJ + h 3)
12
Momento de inercia de masa
Este momento, J. es el producto del momento de volumen J l r , por la
densidad />:
i 126
J — J lin p
[k g -m 2]
I 127
m
y
donde / j = — = —
V
9
i 128
m
irr4 h m
Ejemplo: Para un cilindro J = J m — = — — — —
V
2
7tt~ h
Otros momentos de inercia de masa se tienen en M 3.
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[kg ■m *]
m r2
= ——
2
Probabilidad y e sta d ís tic a
J1
PRINCIPIOS DE CONJUNTOS
j
1
j
2
j
3
Los e ventos son conjuntos de resultados posibles. Se
representan por colecciones de puntos de un espacio
llamado m uestra!.
©
Evento unive rsa l es la colección de todos los puntos en
el espacio muestral. Se representa por U.
0
Evento n ulo (o vacío) es el que carece de puntos. Se representa por 0 .
La unión de dos eventos A y B es la colección de todos
los puntos de A y de B Se representa como A + B. o por
A U B.
J 5
OD.
La in te rse cció n de dos eventos A y B es la colección de
puntos que se encuentran simultáneamente en ambos
eventos. Se representa como AB, o por A C i B.
Eventos m u tuam ente exclu ye n te s son aquellos que no
tienen puntos en común.
j A t si i = ¡
j
6
At A ,
0
si / ^ /
Eventos co le ctiva m e nte e xha u stivo s son aquellos cuya
unión es el evento universal.
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Probabilidad y e s ta d ís tic a
AXIOMAS DE PROBABILIDAD [P(
) = PROBABILIDAD DE (
j
8
P(A) a 0, para cualquier evento A
j
9
P(U) = 1
j 10
J 2
)]
P(A + B) = P(B) si AS = 0
Probabilidad co nd icion a l
j 11
P(A|S) = P(AB)/P(B)
Independencia de eventos
Dos eventos A y B son independientes (estadísticamente) si
j 12
P(A|S) = P(A)
Variables aleatorias
Una variable aleatoria se define como una función que asigna un
valor a cada resultado de la lista compuesta por resultados mu­
tuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos de un expe­
rimento.
Las variables son d iscre ta s si el número total de valores que
pueden tomar es fin ito . En caso contrario son continuas.
Función masa de probabilidad
Es la función que asigna una probabilidad a cada valor de la varia­
ble aleatoria.
P,v (X„) = probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome
el valor X„.
j 13
O S P , (X„) £ 1 y £ x< Px (X„) = 1
Función densidad de probabilidad
Es una función para variables aleatorias continuas, tal que
j 15
O S fx (X„)
00
y
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Probabilidad y e s ta d ís tic a
J 3
Distribución de probabilidad acumulada
2
X„ discreta
p.v (x„)
P.Y (X„) =
/•Xo
f
X„ continua
dx„
1.Vo= - «
P .V
( 00 ) =
1 ,
P.v { — 00 ) =0 0
P(a < X g b) = P.v(í>) -
d
dX„
P.vO)
para 1 S ¡
P.v (X„) = ¡x (X„) para variables aleatorias continuas.
Función masa de probabilidad conjunta
0 S P.v. v.z (X,„ y,„ Z„) g 1
2
2
Xo l'o
2
Pv.v.r (Xo,/o. Z 0) = 1
Zo
Función densidad de probabilidad conjunta
o s fi.v .jix ,, y„,z0) < 00
J ”
dX „J
Vo: - «
d /„ J
V i,- »,
dZ„
f.v.r.r (X,„ y„. Z„) = 1
*<. = - »
Función masa de probabilidad condicional.
P x Ir
( x „ |/„ ) = -
Px . y ( X o . Y o )
Py ( Yo)
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Probabilidad y estad ística
J 4
Función densidad de probabilidad condicional
'Y [Yo)
Esperanza (matemática)
X 3<x*) px(X„)
E [g (X)] =
f " g(x„) M X „ ) d x 0
J Xo= - «
X, variable aleatoria
discreta
X, variable aleatoria
continua
Media (aritmética)
X X „ P *(X 0)
ro
X, discreta
f
X„ f x (X„) dX„
“ Xo=- »
X, continua
X = E(X) =
Variancia (o varianza)
X (X. — X )2 Pa (X0)
X, discreta
J
X. continua
<t*2 = E[(X - X )2] :
<7,2 = EfX2) -
(X„ - X)2 M X .) d X .
[E(X)]2
Desviación estándar
o> =
V E ( X 2) - [E(X)]2
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Probabilidad y estad ística
J5
FUNCIONES MASA DE PROBABILIDAD MAS COMUNES,
SU M EDIA Y SU VARIANCIA:
De Bernoulli
P j ( X 0) =
P
X„ = 7
1—P
X„ = 0
0
0 < P < 1,
cualquier otro caso
E (X )= P ,
,rf = P ( 1 - P )
Binomial (o binómica)
' (n) P-r» (1 -
P )-*°
X„ = 0. 1
n
P.v(X0)
0
0 < P < 1
cualquier otro caso
n = 1 ,2 ,3 ,. . .
E (X) = nP
oi= = n P ( 1 - P )
Geométrica
X0 = 1 , 2 , 3 , . . .
P.Y (Xo) =
0
0 < P < 1
cualquier otro caso
E (X) = 1 /P
<r,> = (1 _ P )/p í
De Pascal
( n"_ i ) p " ,1
X0 = n ,n + 1 ,n + 2 ___
P ,(X J =
cualquier otro caso
0 < P < 1
E (X) = n /P
<r,2 = n (1 - P )/P 2
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Probabilidad y estad ística
J 6
De Poisson
j 39
X„ = 0 , 1 . 2 , . . .
X„!
Pa (X„)
cualquier otro caso
j 40
H> 0
E (X )= /i
< V = /u.
Funciones densidad de probabilidad más comunes, su media y su
va riancia:
Beta
j 41
0 S X .S 1
X/-> (1 - X„)'
tx (X„) =
cualquier otro caso
J«
(r — 7)! (í — r — 1)!
B = - -------- — ---------------— E(X) = r /t
( t - 1)!
r(t - r)
» i2 =
t2 (t + 1)
De Cauchy
j «
¡ 44
— 00 < X„ < oo
rr a2 + (X„ - b)2
a > 0
— oo<b<oo
E(X) ■ b
o>2
De Erlang
a” X.”-'e -« jr.
j 4 5 -4 6
M X „) :
X„>0
cualquier otro caso
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Probabilidad y e stad ística
a> 0
n = 1 ,2 ,...
J 7
(T.v2 = n /a 2
E (X )= n /a
Exponencial
Í
j 48
x„>o
xe A
/.v (Xo)
cualquier otro caso
.
j 49
A >
0
E(X) = 1/A
(t x '¿ =
1/ A 2
Normal
j 50
1
r
f,(X „) = - = = - e x p
\vi?»'
/ Z i a<r
L
j 51
< r> 0
E (X )= p .
( X „ - / a)2 -|
r i­
<r'
J
OO
< Xn <
00
I
<r.,2 = (T 2
Uniforme
j 52
fx (X„) =
a < X 0< b
b —a
cualquier otro caso
j 53
a < b
E(X) = (a + b )/2
<rx2 = (b -
Regresión lineal
j 54
y - mx + b
j 55
donde
N = total de observaciones
X„ / , = i-ésimas observaciones de X y de /
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a )V 12
Probabilidad y estad ística
J 8
1 ¿
x- = —
y x,
j 56
N í= .
1
*
j 57
y =
- 2 yi
N <= i
j 58
b = V —m X
Variancia de los valores de X
<r.v= = - ¿ ( x ? - X 2 )
n ,=A
'
j 59
Variancia de los valores de V
j 60
<rv’ = - £ ( / ? - ? * )
N / =i '
'
Coeficiente de correlación
r = m o x/<t y
j 61
Desigualdad de Chebyshev
p ( | X - E ( X ) | S í ) SS
j 62
Convergencia estocástica
Una secuencia (o sucesión) de variables aleatorias X„ = X ,. X
se dice que converge estocásticamente a L si para cada c > 0. se
verifica la condición
j 63
lím
p (|X „ -L |> í ) =
0.
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Estática
Conceptos generales
La estática analiza las fuerzas externas (o cargas) y las condiciones
de equilibrio de cuerpos rígidos, así como la determinación de fuer­
zas desconocidas (por ejemplo, fuerzas de apoyo). El contenido de
las páginas K 1 a K 14 se refiere a fuerzas en un plano.
Longitud /
Es una magnitud base; véanse las explicaciones al principio.
Fuerza F(V e r las explicaciones en M 1)
Representación mediante un vector.
Longitud de la flecha: Magnitud
Angulo director:
Dirección
Posición (P)
Punto de aplicación:
Peso G
Definición:
Punto de aplicación:
Dirección:
Magnitud:
Atracción gravitatoria
Centro de gravedad
Vertical hacia abajo
(al centro de la Tierra)
Se determina mediante
un dinamómetro
Fuerzas de apoyo F ,, F „
Son las reacciones sobre el cuerpo
ejercidas por los apoyos (A, B).
Fuerza resultante F R
Es la fuerza calculada que produce
por sí sola el efecto de otras fuerzas.
I
\F
ATrA
Ti
Magnitud del momento de una fuerza F
respecto de un punto O
Momento
M = F¿
Efecto equivalente de una fuerza F con respecto a un punto O
El efecto de una fuerza F respecto al
punto O se puede sustituir por el del
par de fuerzas F, F " y la fuerza F'.
F ' = F\
F" = -
Magnitud del momento del par de fuerzas
M = F/
Teorema de los momentos: El momento de la fuerza resultante €
igual a la suma de los momentos de las fuerzas componentes.
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ÍP
Estática
K2
Composición de fuerzas
METO DO GRAFICO
Sistemas de fuerzas
Polígono de las fuerzas
Paralelogramo de las fuerzas
\
\
\
\
~F2
Fuerzas concurrentes
‘t
Polígono
funicular
C on stru cció n d e l p olígono funicular-. Trace el polígono de las fuerzas.
Seleccione el polo 0 de modo que no haya rayos polares colineales,
y trace éstos. Dibuje los hilos del funicular paralelamente a los rayos.
A cada triángulo en el polígono de las fuerzas debe corresponder un
punto de Intersección de dos hilos consecutivos en el funicular. (Por
ejemplo, al triángulo F,-1-2 le corresponde el punto de intersección
en F, de los hilos 1 y 2.)
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Estática
K3
Composición de fuerzas
METODO ANALITICO
Descomposición de una fuerza
Fx = F eos a
F„ = F sen a
F = + V fT + F ^
F,
tana=—
Fx
(Ver el signo de las funciones trigo­
nométricas en la tabla siguiente).
Momento M„ de una fuerza respecto a un punto 0
k 10
y,
M„ = + F / = F„ x - Fx y
w
M
(Determinación de Fx y F y de acuer­
do con k 8)
J0
y
X
*
r
X
.
<
Resultante F * de fuerzas cualesquiera
Componentes
F», = S Fx \ F * y = S F,
Magnitud
F h = +WV rf *I ., -t+ rf*I„,
Angulo
director a „
F Ry
F Ry
F rX
Í ta n a * = -----; s e n a * = — —; cosa« = ——
F rx
Distancia
f-\
/* =
Fr
', -
(Teorema de los mom
Signo de F * • /» = Signo de S M „
Signos de las funciones trigonométricas de coordenadas y componentes
k 16
k 17
k 18
k 19
Cuadrante
a . ajt
I
II
III
IV
0“ - 90°
90“ -1 8 0 “
1 8 0 °-2 7 0 “
270“ - 360“
F Rx I F Ry
*
-Y
a . ocr
I
Ir
c o s a s en a ta n a
+
+
+
—
•
—
+
—
+
—
X, Fx. F r x
y* Fy, FRy
+
+
+
■
—
—
Componentes de F en las direcciones x y y
Componentes de F„ en las direcciones x y y
Coordenadas del punto de aplicación de F
Angulo director de F y F r . respectivamente
Distancia de F y F „, respectivamente, al punto de referencia
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Estática
Equilibrio
CONDICIONES DE EQUILIBRIO
Un cuerpo está en equilibrio si la resultante y la suma de los mo­
mentos de las fuerzas exteriores respecto a un punto cualquiera
son iguales a cero.
Fuerzas
Condiciones gráficas
Condiciones analíticas
k 20
Concurrentes
Polígono de fuerzas
cerrado
2 Fx = 0; 2 Fy = 0
k 21
Paralelas al
eje y
k 22
2 Fy = 0; 2 M = 0
Polígono de fuerzas y
funicular cerrados
Cualesquiera
2 Fx = 0; 2 Fy = 0
k 23
2M = 0
Ejemplos
Viga con dos apoyos — Incógnitas: Reacciones F Á. F B
Solución:
M máx = k M • ymáx (momento flexionante máximo)
k M = k F - k L - H (escala de momentos)
k 24
[N • m /m . kgf • m/mm|
k F : escala de fuerzas
[N/m . kgf/mm|
k L : escala de longitudes
(m /m , m/mmj
H : distancia polar
=
+
Grúa de pared:
F b = [ f x+ F * ) - F a
Ejemplo de 3 fuerzas. Incógnitas: FÁ. FB
Solución:
Datos:
k 25
C a rg a
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Estática
Ks
Armaduras planas
DETERMINACION ANALITICA DE LAS FUERZAS EN LAS BARRAS
(F„, F c. F d)
Método de Ritter o de secciones
Miembros
S : Del cordón superior
U : Del cordón inferior
Obtenga las reacciones en los apoyos por medio de K 4 (viga con
dos apoyos)y pase una sección X — X en la armadura, tal que corte
a la barra en estudio y no seccione más de tres barras. Considere
que todas las fuerzas son de tensión; entonces las que si lo sean
resultarán positivas, y las de compresión, negativas.
Aplique la ecuación de momentos J M = 0 a las fuerzas externas
e internas, referida al punto de Intersección de dos fuerzas descono­
cidas. Los momentos de cada una de éstas se anularán.
Regla para los signos de los momentos:
Momento en el sentido del reloj:
Momento en sentido contrario:
—
+
Ejemplo para la armadura anterior
Determinar la fuerza F,-¿ en la barra U2
Solución:
Pase la sección X — X de modo que corte S2, D2, U2. Como
SL> y D , se cortan en C, se elige este punto como centro de m o­
mentos. Con ésto se logra que los momentos de S2 y D2 se anulen
y, por tanto, no aparecerán en la ecuación de momentos.
De modo que S M c = 0. Por lo tanto,
+ a F v2 + b F¿ — c (F a — Fi) = 0
- b F 2+ c (F „ -F ,)
F u i — --------------------------------
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E stá tic a
Armaduras planas
Ke
DETERMINACION GRAFICA DE LAS FUERZAS EN LAS BARRAS (Fb)
Todas las barras van de nudo a nudo. Las fuerzas externas sólo
se aplican en los nudos.
P rocedim iento
Establezca la escala de fuerzas y determine las reacciones en los
apoyos. Como un polígono de fuerzas puede tener sólo dos incóg­
nitas debe empezar en el punto A. En todos los nudos debe seguir­
se el mismo sentido de recorrido. Por ejemplo.
F a - Fi - Fbl - Fb.,.
Nudo A.
Polígono de fuerzas: abcda
La clase de fuerza (tensión o compresión) debe anotar­
se en un croquis o tabla.
Nudo C:
Polígono de fuerzas: dcefd, etc.
Comprobación
Las fuerzas que concurren en un nudo de la armadura deben for­
mar un polígono en el diagrama de Cremona.
Las fuerzas que concurren en un punto en el diagrama de Cre­
mona deben corresponder a un triángulo en la armadura.
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Estática
Centroides
K7
Arco de circunferencia
r (sena) (180°)
rs
k 28
y —-
k 29
k 30
k 31
Y = 0.6366 r si 2 a = 180°
Y = 0.9003 r si 2 a = 90°
Y = 0.9549 r si 2 a = 60°
n (a°)
~~~b
Triángulo
k 32
1
Y= j h
C está en el punto de intersección
de las medianas.
Sector de círculo
k 33
2r (sen a) (180°)
/ = 3 7T( of)
2 rs
k 34
k 35
k 36
Y = 0.4244 r si 2 a = 180°
Y = 0.6002 r si 2 a = 90°
Y = 0.6366 r si 2 a = 60°
~3/T
Trapecio
k 37
h
a + 2b
Y ~~3
a + b
Segmento de corona circular
R3 — r3
sen a
k 38
k 39
V
3
R- — r-
Segmento de círculo
s3
k 40
Y = :
12A
Para el área A véase B 3.
Para la determinación del centroide C (o Cg) véase también I 7
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Estática
Ks
Centroides
DETERMINACION DEL CENTROIDE DE SUPERFICIES COMPUESTAS
Método gráfico
Descomponga la superficie total A en superficies parciales A ,. A¿.
. . . , A h. cuyos centroides sean conocidos. La dimensión del área
de cada superficie se considera como una fuerza aplicada en el
centroide del área correspondiente. Con la ayuda del polígono
funicular (K 2) se determina ahora la posición del punto de aplica­
ción de las componentes A „ y A*, en dos direcciones cualesquiera
(de preferencia que formen un ángulo de 90°). El punto de inter­
sección de las líneas de acción de estas componentes da la posi­
ción del centroide C.
Descomponga también la superficie total A en superficies parcia­
les A i. A-¿.........A„. Entonces se tiene:
Coord.
Caso general
2 ) x, A
xc =
i= l
Xi Ai -j- X2 A* + X3 As
A
A
2 V< A
¡= i
Yc =
Para el ejemplo anterior
Vi A i
Yi A i
A
A
En el ejemplo, x t , y2 y y3 son nulas.
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Yz As
Estática
K9
Fricción
FUERZA APLICADA PARALELAMENTE AL PLANO DE
DESLIZAMIENTO
Fricción estática
Valor límite
Fricción dinámica
k 44
v= 0
k 45
F/i = — F, = G tan0,
k 46
v= 0
k 48
Ffo = — F0 = G tan 0o Ff = — F = G tan 0
N = —G
k 47
C < 0 i (variable) < 0 „
v> 0
N = —G
N = —G
fii) = tan 0o > f
H = tan 0 < /no
0o = const. > 0
0 = const. < 0o
Si Fi aumenta lentamente, también
lo hará F/,, sin que el cuerpo se mue­
va. Si F, alcanza el valor:
F0 = G fto.
k 49
entonces empieza a deslizar el cuer­
po. y F disminuye al valor Gfx. El valor
excedente de la fuerza F se emplea
ahora exclusivamente para acelerar
el cuerpo.
FUERZA APLICADA OBLICUAMENTE RESPECTO AL PLANO
DE DESLIZAMIENTO
Fuerza F necesaria para mantener el
deslizamiento del cuerpo con peso G:
k 50
sen 0o
-= GF = Gsen a — fMt CO S a
sen (a — 0»)
Para el movimiento con velocidad
constante se determina la fuerza nece­
saria sustituyendo/no por/a. No es po­
sible el movimiento si F resulta ne­
gativa.
F u F0. F
F/i, F/o. Ff
N
Fuerza aplicada
Fuerza de fricción
Reacción normal
R
Reacción total
/x«* F
Coef. de fricción (ver Z 20)
0 i.0 o , 0 Angulo de fricción
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I
Estática
K 10
Fricción
ROZAMIENTO EN UN PLANO INCLINADO
Generalidades
El ángulo a para el cual un cuerpo desliza baiando con velocidad
constante en un plano inclinado, es igual al ángulo de fricción <f>.
de donde:
k 51
ta n c r= tan</> = fí
Aplicación a la determinación expe­
rimental del ángulo de fricción o del
coeficiente de fricción.
¡x = tan <f>
k 52
P la n o h o r i z o n t a l
Condición para la Inmovilidad
a < <f>
Condiciones de fricción:
Movimiento
hacia
Fuerza aplicada F para lograr una velocidad
constante paralela al
plano inclinado
plano horizontal
arriba
0 < o < a*
k 53
abajo
0 <a<<£
k 54
F = G tan
—
aba|o
<t> < a < a *
k 55
F = G
sen (a - <f>)
eos ip
F — G tan (o — <p)
Observación: Para el caso de fricción estática sustituya ¡x por ¡u, y
(f> por </>„, respectivamente.
a * Angulo de volteo del cuerpo.
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Estática
K 11
Fricción
CUÑAS
A
'" A -
\ /
X
^ J
Al intro­
ducir:
F ,= F
k 57
Al soltar
F2 = F
k 58
Autosujeciôn
k 56
tan (a i + t a ï + tan (a 2 i <p‘/¡
F i = F tan (a-(- 2<f>)
1 — tan<&, ■tan (a 2 + </>2)
tan (a , — ta ) + t a n (a 2 — ta )
1 + ta n ta ' tari(a2 — t a )
a i -f a2S t a i
F2 — F tan ( a — 2<¿>)
01
TORNILLOS DE FUERZA
M
k 59
Momento
para
k 60
M
k 62
Eficiencia
de un tor­
nillo para
k 63
í
subir
M , = F r tan (a + < £ )
M , = F r tan (a -f-0 ')
bajar
= F r tan ( a —<f>)
M 2 = F r tan ( a — <f>')
Condición de autosujeción al bajar
k 61
M
A
a < <t>
subir
tan a
V — ----------------tan (a 4- 0 )
bajar
tan (a — <p)
1 = -----------------tan a
tan o
v — --------------- —
tan (a -f<p')
tan (a —</>')
n = -----------------ta n a
M , Momento para subir
M 2 Momento para bajar
k 64
k 65
a
Angulo del tornillo
<f>
Angulo de fricción (tan<£ = ¡x)
I tan a = h /2 -rrr )
<f>'
Angulo de fricción en rosca
triangular, diente de sierra o
trapecial [ tanta = /¿ /(e o s p /2 ) ]
k 66
r
Radio medio de la rosca
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Estática
Fricción
FRICCION DE CHUMACERAS
Chumaceras comunes
Chumaceras de empuje
0 de carga radial
0 de carga axial
7777Z
/
M,
&
k 67
k 68
k 69
vÍÍ'
/
f'z K -
Amf —f
___+
M
i a r2¿r
F
Mf
fxr
/x„
0 5
F
momento de fricción.
coeficiente de fricción para carga radial (no existe valor fijo)
coeficiente de fricción para carga axial (no hay valor fijo)
O bservación: f i r y f i a se determinan experimentalmente como fun­
ciones de la holgura, de la lubricación y del estado de la chu­
macera.
En chumaceras ya rodadas: fi„ as f i r as f i a
Por lubricación debe tomarse siempre r, > 0.
FRICCION RODANTE
Rodamiento de un cilin dro macizo
k 70
k 71
F = — N ^ — G
r
r
Condición de rodamiento: Ff <
N
Ff Fuerza de fricción rodante.
f
Brazo de palanca de la
fuerza de fricción rodante.
Valores en Z 20. (Causado
por deformación de la rueda y la superficie.)
fio Coeficiente de fricción estática entre rueda y superficie de
apoyo.
M ovim iento de una placa sobre rodillos,
k 72
(fi -f- ft) Gi + n f-. G j
F= 2r
k 73
Si f i= f . ¿ = f y nG2 < 61:
k 74
f
F = — Gi
3
157
1
1
- J &
Gi, G-> Peso de la placa y de un cilindro, respectivamente.
F
Fuerza de tracción
f i . f 2 Brazos de palanca de la fuerza de fricción rodante
r
Radio del cilindro
| n
Número de cilindros.
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Estática
Cables y bandas
FRICCION EN CABLES
Ü ¡¡
Fuerzas de tracción y de fricción para
bajar
subir
k 75
F, = eMGG
k 76
Ff = (eM
fa— 1) G
F¿ = e'MGG
Ff = (1 — e'MG) G
la carga G
Estas leyes son válidas si el cilindro está fijo y el cable se mueve
con velocidad uniforme; o si el cable está fijo y se mueve el cilin­
dro; por ejemplo: freno de banda, cabrestante.
k 77
C ondición de equ ilib ro :
F¿ < F < F, || G e~Ma < F < G e*1“
(F Fuerza de equilibrio sin fricción)
Transm isión de banda o correa
£
k 78
FP = —
r
k 79
Fn = F
£
"
Im p u ls o ra
k 81
F,
eua
F, = F , -------------e"a- 1
k 82
Fa
k 80
en reposo
c
c
Fa (eMa -F 1)
F0 = F t = -----------------2 (eMa - 1)
e Ma - f 1
II
Fo
FP
f„= —
:—
e“° — 1
T en s, m a y o r
Im p u lsad a
f\
en movimiento
a*n
Fuerzas
T en s, m e n o r
e^G — 1
FP Fuerza periférica
F f Fuerza de fricción
M i Momento de impulsión
k 83
Angulo de contacto en radianes Debe emplearse siempre en las
fórmulas su valor más pequeño
Coeficiente de fricción de deslizamiento. (Valor empírico para
bandas de cuero sobre poleas de acero. /1 = 0.22 4- 0.012 v )
Velocidad de la banda (m /s)
2.718281 . .. (Base de los logaritmos naturales)
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Estática
Poleas
POLEAS Y POLIPASTOS
Los valores indicados toman en cuenta sólo la rigidez de los
cables y no la fricción en los cojinetes.
k 88
Ventaja mecánica
F,
F„
F
k 89
i =
Fuerza
F0
Carga
G
Fuerza para subir la
carga (sin fricción)
Fuerza para bajar la
carga (sin fricción)
Fuerza sin considerar la rigidez del cable ni la fricción
e= —
1
n
Factor de pérdida por la rigidez del cable (para cables métálicos y cadenas ar 1.05)
Eficiencia
I
s Recorrido de la fuerza
Número de poleas
|
h Recorrido de la carga
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Cinemática
Conceptos generales
GENERALIDADES
La cinemática estudia ei movimiento de los cuerpos en función del
tiempo.
C antidades m ás im po rta n te s de ia cine m á tica y sus unidades
L o n g itu d t, ver K 1
A ngulo, ver E 1
Tiem po t
Véanse las explicaciones al principio del libro. Unidades: s. min, h
Frecuencia t
La frecuencia de una oscilación es el número de ciclos (alternacio­
nes completas) por unidad de tiempo.
l
Número de oscilaciones
I = ---------------------------------------Tiempo de observación
1
Unidades: Hz (hertz) = c /s = 1 /s (c = ciclo)
P eriodo T
El periodo es el tiempo en que se efectúa una oscilación (o rota­
ción) completa. Es el recíproco de la frecuencia
/
1
2
T= —
f
Unidades: s
Fre cu en cia de ro ta ció n o núm ero de revolu cio n e s p o r u nid a d de
tie m po
La frecuencia de rotación de un cuerpo giratorio es la relación entre
el número de vueltas o revoluciones y el tiempo de observación.
t
3
Número de revoluciones
n — ----------------------------------- —
Tiempo de observación
Unidades; 1 /s , 1/m in; rev/s, rpm.
El recíproco de n es la duración de cada vuelta o revolución.
Si una oscilación o vibración está relacionada directamente con
una rotación y sus periodos son iguales, entonces n = f.
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Cinemática
Conceptos generales
L 2
V elocidad v
La velocidad v es la primera derivada de la distancia recorrida s
con respecto al tiempo t:
ds
v= — = s
dt
Si la velocidad es constante en el tiempo se tiene:
s
~
t
Unidades: m /s, km /h
V elocidad ang u lar o>. fre cu e ncia a ng u lar o>
La velocidad angular o e s la primera derivada con respecto al tiem ­
po del ángulo de giro o rotación:
„ =
d<#>
- = <#»
Si la velocidad angular es constante en el tiempo:
<t>
0) = —
t
En el caso en que f = n ( v e r /
frecuencia angular o>
3)
la velocidad angular w es igual a la
i» z = 2 ir f = 2 n n = <f>
Unidades: 1/s , rad/s
A ce le ra ción a
La aceleración a es la primera derivada de la velocidad v con res­
pecto al tiempo :
t
3
“
dv
d as
dt ~ V ~
d t-
~S
Unidades: m /s 1-*, (k m /h )/s
A ce le ra ción a ng u lar a
La aceleración angular a es la primera derivada de la velocidad
angular o> con respecto al tiempo t :
d<->
_
da<^>
° _ d
Unidades: 1 /s 2, rad /s2
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Cinemática
D ia g r a m a s
L3
DISTANCIA RECORRIDA, VELOCIDAD Y ACELERACION DE UN
PUNTO MATERIAL EN M O VIM IEN TO
Diagrama recorrido-tiempo (curva s -t)
Una gráfica s-f se traza a partir de la for­
ma del movimiento en función del tiempo.
La primera derivada de esta función e x ­
presa la velocidad v en un instante d e ­
terminado.
AS
At
/1 1
ds
v = — = s
di
Diagrama velocidad-tiempo (curva v -t)
La variación de la velocidad se representa
en una gráfica v -t. La primera derivada de
la función respectiva da la aceleración a
en un instante determinado. Por lo tanto,
es también la segunda derivada de la fun­
ción que corresponde a la distancia re­
corrida s.
AV
~
Aí
dv
/ 12
a — — — V— S
di
La superficie hachurada representa el re­
corrido s(í).
Diagrama aceleración tiempo (curva a -t)
La variación de la aceleración se repre­
senta en una gráfica a -i, que permite
determinar valores extremos.
/ 13
a > 0
/ 14
a < 0
La aceleración positiva correspon­
de a aumento en la velocidad,
La aceleración negativa (retarda­
ción o desaceleración) correspon­
de a disminución en la velocidad.
afo)
t t
Nota para las figuras
Las literales entre paréntesis corresponden al movimiento angular
o de rotación (ver L 2 y L 6).
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Cinemática
Movimientos principales
TRASLACION O M OVIM IEN TO RECTILINEO
Las trayectorias son rectas (ver L 5). Todos
los puntos de un cuerpo describen trayec­
torias idénticas.
Movimientos rectilíneos especiales
uniforme
I 15
v = v0= const.
| uniformemente acelerado
|
a = a0 = constante
^ = vB = vc
ROTACION O M O VIM IEN TO CIRCULAR ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
Las trayectorias son circulares (ver L 6) es­
tando el eje en el centro. El ángulo de giro
<f> . la velocidad angular cu y la aceleración
angular a tienen igual valor en todos los
puntos.
Movimientos circulares especiales
________uniforme
1 16
cu = cu0 =
I uniformemente acelerado
constante |
a = a 0 ^constante
La distancia recorrida s. la velocidad v y la
aceleración tangencial a t son proporciona­
les al radio:
/ 17
/ 18
s = r<f> :
v — rcu ; a = r a = at
Aceleración normal (o centrípeta)
v7
a„ = u rr = —
r
M OVIM IEN TO ARMONICO
Las trayectorias son circulares (ver M 7 ) o
rectas (ver L 7. M 6). El cuerpo se mueve
a uno y otro lado de su posición de equili­
brio. El máximo desplazamiento con respec­
to a esta posición se llama am plitud.
En el caso de las oscilaciones armónicas la
posición, la velocidad y la aceleración son
funciones senoidales del tiempo.
A m p litu d
R e s o rte
d e e q u il
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Cinemática
Movimiento rectilíneo
M OVIM IEN TO S UNIFORME Y U NIFORM EM ENTE ACELERADO
N ota:
Las regiones hachuradas representan la distancia recorrida s
en un intervalo de tiempo t.
La tangente del ángulo 0 representa la aceleración a.
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Cinemática
Movimiento circular alrededor de un eje fijo
M OVIM IEN TO S UNIFORME Y U NIFORM EM ENTE ACELERADO
N ota:
Las regiones hachuradas representan el ángulo descrito <f> (en
radianes) en un intervalo de tiempo t.
Angulo de giro: <p = 2 w Núm. de vueltas
0° = 360° • Núm. devueltas
La tangente del ángulo p representa la aceleración a.
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C i n e m á t ic a
L7
Movimiento oscilatorio
OSCILACIONES ARMONICAS RECTILINEAS
El movimiento de un cuerpo suspendido de un resorte helicoidal es
una oscilación de esta clase. Las funciones del tiempo s, v, a en este
movimiento son iguales a las proyecciones sobre un diámetro fijo, de
las cantidades s, v y an correspondientes al movimiento circular uni­
forme de un punto material.
Movimiento circular
uniforme________
Oscilaciones armónicas
Desplazamiento
<^»= tot -f- tfioi b = r[o>t - f 4>»)
s = A sen (o>í -f- <£„)
Velocidad
Diagrama velocidad-tiempo
ds
v = — = Ato eos (tot - f <t>„)
df
Diagrama aceleración-tiempo
a — — = — Au>- sen («>t 4- <f>0)
a = 0; an = — = r or1
df
r
Ecuación diferencial de una oscilación armónica
d2s
a = ------- = —<»)2 s
d f2
<A, Posición angular cuando f = 0
<P Posición angular al tiempo t
an Aceleración centrípeta
r
Radio (vector) de posición
B .C Límites de la oscilación
s
A
r
b
Desplazamiento lineal
Amplitud (despl. máx.)
Radio de la trayectoria
circular
Arco de trayectoria
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Cinemática
L8
Caída líbre y tiro
CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL
Magnitud
a calcular
Tiro
(hacia arriba
vertical (hacia abajo
Caída libre
v„ = 0
Nivel de
/ 35
9
Vo + v
v „ t — — t2 = ----------- 1
2
2
h =
g t= —
/ 34
= ^ h
v0 — g t
= y / V * — 2gh
2h
t =
Magnitud
a calcular
Tiro horizontal
a =0
v„ > 0
v„ t = v„
2_h_
9
2h
Tiro
(hacia arriba (o > 0)
inclinado(hacia abajo ( a < 0)
v„ > 0
Vj
V V.;- + g - t3
EU
V baci* a rrib a
m
cm
COS a
v„t sen a
/ 37
/ 38
m /s
km/h
v„ - f v
TIRO HORIZONTAL E INCLINADO
y Vç
/ 36
EU
Nivel de
partida
partida
/ 33
(v„ > 0)
(v„ < 0)
2
1-
y / v 2 — 2gh
m /s
km/s
ALCANCE L Y ALTURA SUPERIOR H EN EL TIRO OBLICUO
/ 40
/ 41
/ 42
v,?
v,.-
/ 39
Valores
cuales­
quiera
9
2 v„
t L = — — sena
9
cuando a = 45°
Valores
máximos
9
v .,^ 2
2g
v„
tH=
—
m
cm
sena
s
min
cuando a = 90°
Hmáx= ^ L
2g
m
cm
s
t Hmáx = —
min
9
9
a
Angulo de tiro (respecto a la horizontal)
tH Tiempo para la altura H
|
t L Tiempo para el alcance L
.
l L,náx —
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C i n e m á t ic a
Movimiento en el plano inclinado
L9
DESLIZAMIENTO
Magnitud
a
calcular
/ 43
sin
I
fricción
con
/a > 0
/* = o
g sen a
/ 44
g (s e n a — fx cosa)
sen (a - ó )
o bien, g
eos <f>
-----2s
a t = — = v 2as
t
vt
at-
/ 45
/ 46
~2
~2
2a
<f>
a*
RODAMIENTO
/ 47
/ 48
/ 49
/ 50
/ 51
/ 52
a*
Angulo de volteo (centro de gravedad Cg verticalmente sobre la
arista de volteo)
fi.
Coeficiente de fricción dinámica (ver Z 20)
fío Coeficiente de fricción estática (ver Z 20)
/ 53
/ 54
<J> Angulo de fricción dinámica (/x = tan <£)
<f>„ Angulo de fricción estática (/a,, = tan <f>0)
f
Brazo de momento en la fricción dinámica (ver Z 20 y k 70)
/i Radio de inercia (o de giro)
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Cinemática
L io
Mecanismos
BIELA Y MANIVELA (O CIGÜEÑAL)
/ 55
s = r( 1 — eos <f>) + ~ r sen*</>
l 56
v = u>r sen <f> (1 -f- a cos<f>)
! 57
a
r(cos<f> + a eos 2</>)
r
! 58
1
1
~ 7 ‘~ T
_6
/ 59
<f>= o>t = 2 7r n t
( a e s la r e la c ió n
m a n iv e la a b ie la )
de
lo n g it u d e s d e
MANIVELA Y CORREDERA
/ 60
l 61
s = r sen (wf)
v = w r eos M )
! 62
a = — or r sen (wf)
! 63
o) = 2 7r n
(Movimiento: oscilación armónica)
TRANSMISION DE CARDAN
Con entrada uniforme, la salida es
no uniforme
uniforme, con eje o árbol auxiliar H
Entrada
OJ2
\ _ / ^ í
Salida
A -----Si todos los ejes o árboles están en un plano entonces se cumple que:
/ 64
tan <p2 — tan 0 , • eos fi
j ! 65
I»2 = C)¡ 1 - sen2 /* • sen2 <£,
ta n <f>3 =
ta n </>,
COS f i
sen2 ¡i ■eos fi • sen 2 <pt
/ 66
(1
sen2 /i ■sen20 ,) 2
Las dos líneas ejes A de las articulaciones del
árbol auxiliar deben moverse paralelamente
Cuanto mayor sea el ángulo f i de inclinación, tanto mayor será la
aceleración máxima a y. asimismo, el momento (o par) acelerante.
Por lo que en la práctica debe tomarse f i ^ 45°.
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Dinámica
Conceptos generales
M 1
D efin ició n
La dinámica estudia las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en
movimiento y los concentos afines de trabajo, energía y potencia.
P rincipales cantidades de la d in ám ica y sus unidades
M asa m (es una cantidad fundamental; ver las Explicaciones ge­
nerales)
Unidades: g, kg, Mg (=t)
1 kg es la masa de un prototipo internacional. En una balanza
común se mide la masa de un cuerpo y no su peso.
m
m
1
Fuerza F y peso G
El vector fuerza es igual al producto de la masa por el vector acelera­
ción. En términos de su magnitud, la fuerza F e s igual al producto de
la masa m y la aceleración a.
F = ma
2
El peso G es el efecto de la aceleración de la gravedad g sobre
la masa m.
G = mg
Con una balanza de resorte se mide directamente el peso como
una fuerza.
Unidades: N, kgf
1 N es la fuerza que imparte a un cuerpo con una masa de 1 kg
(o sea, 1 N • s- • rrr1) una aceleración de 1 m /s-\
1 kgf ( = 9.81 N) se define como la fuerza que el campo gravitacional terrestre ejerce sobre una masa de 1 kg en una locali­
zación estándar donde g = 9.81 m /s-\
Trabajo W
El trabajo (mecánico) es el producto escalar del vector fuerza por el
vector desplazamiento. Si la fuerza es constante y se ejerce sobre un
cuerpo con movimiento rectilíneo en la dirección de la fuerza. W = Fs.
Unidades: joule (J) = N • m = W - s ; kgf-m ; kcal; cv • h; hp • h
Si una fuerza de 1 N se ejerce a lo largo de una trayectoria de
1 m, efectúa un trabajo (energía) de 1 N • 1 m = 1 J.
P otencia P
La potencia P es la rapidez de variación del trabajo. Si el trabajo
(energía) es uniformemente creciente o decreciente, la potencia
será el cociente de trabajo y tiempo (P = W /t).
Unidades: watt (W) = J /s ; kgf • m /s; kcal/h; cv; hp
1 W es la potencia constante en el tiempo que corresponde a
una transformación o transferencia de energía igual a 1 J/s .
1 W = 1 J /s
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Dinámica
Masa y momento de inercia de masa
M 2
DEFINICION DEL MOMENTO DE INERCIA DE MASA J
El momento de inercia de la masa de un
cuerpo con respecto a un eje que pase
por C es la suma de los productos de los
elementos de masa y el cuadrado de su
distancia al eje de rotación C.
J = 2 r- &m = 5 r- dm
kg • m-, utm • m-
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
(ver también I 9)
Si el momento de inercia de una masa
con respecto a un eje que pasa por su
centro de gravedad C es J c. entonces el
momento de inercia J con respecto a un
eje paralelo al anterior y que pasa por
O, situado a una distancia / v. es
J = J c + m /c £
kg • m-, utm • m-
Radio de inercia (o radio de giro) r¡
El radio de inercia r( es el radio de un cilindro idealinfinitesimal­
mente delgado, en el cual se puede suponer concentrada toda la
masa del cuerpo y que tiene el momento de inercia J con respecto
a su eje.
m rf = J
de donde
r¡ =
/—
V m
m, cm
Efecto de inercia (o de volante)
m
6
m
7
m
8
Efecto de inercia =
Masa reducida
m 9
m 10
m 11
m 12
m 13
m 14
N • m- , k g f • m2
G d¡2 = 4 g J
di2 = 4 r¡2
(Ver fórmulas en M 3)
(para cuerpos que ruedan)
—J
kg, utm
rFórm ulas básicas
Movimiento rectilíneo
Movimiento circular
Fórmula
Unidades
Fórmula
Unidades
N - m , kgf • m
F = ma
N. kgf
M = Ja
W =M <f> (M cte.)
W — F s (F = const.) J, k g f • m
J. k g f • m
1
1
Ec = — m vEr = — Jio2
2
2
o» = 2nn (rps)
Ep = G h
rps, rpm
1
1
Er = — F a /
Er = — M a «
J, kgf • m
2
2
dW
dW
P = -------- F v
P = -------= Mo)
W. kW. cv
W. kW. cv
dt
dt
Para los símbolos de las fórmulas ver M 4
mr,tt
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Dinámica
M 3
Momentos de inercia de masa
Con re»specto al
eje ó-£>
eje a-a
(que pasa por el
(de revolución)
centro de masa C)
m 15
J
m 16
d ? = 4 r-
m 17
J
m 18
d¡2 = 2 r 2
J
= m r-
Aro circular
1
= — m r2
2
dt2 = 2 r*
1
= — m r2
J
m
= — (3 r 2 + h-)
12
= j
1
= — m (R 2 + r 2)
m 19
J
m 20
d? = 2 (ft-1+ r2)
m ¿1
J
J
«
-f-
h 2)
1
d¡2 = — (3 R2 + 3 r2 + h2)
3
3
J = — m(4 r 2 h 2)
80
-j-
3
= — m r2
10
2
3
d,2 = — (4 r + h 2)
20
4
J = — m r2
10
m 24
8
d¡2 = — r 2
5
8
d i2 = — r 2
m 25
J
m 26
d i2 = 4 R 2 + 3 r2
m 27
J
m 28
4
di2 = — / 2
3
d,2 = -
*Si d, c «
/ J = (m /3 )/2
rfíi
Cilindro
(3 r 2 + h 2)
rrt
= — (3 R2 + 3 r*
12
6
ó? = — r2
5
4
J = — m r2
10
m 22
Cuerpos
3
= m [ R 2 + — r 2)
4
1
*
= — m {d 2-\- 4/2)
12
J
4 R2 -f 5 r 2
= m ----------------8
1
d,2 = — (4 R2 f 5 r 2)
2
m
j
= _ lc /2 + c 2 )
(cP + c2)
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i k
Cilindro hueco
Cono
T
f
Esfera
S
¿\
o
A
Tore
\b _
r
f
i
Prisma rectangular
Dinámica
M 4
R o ta c ió n
Energía cinética total de un cuerpo
1
1
E ' = — m v 2 + — Jr o,2
2
2
J. kgf • m
Energía cinética de un cuerpo que rueda sin resbalar
1
Er = — [m + m ret) v2
2
v
J, kgf • m
m /s
=u>r
Momento de rotación
P
M —— =
®>
— 973.4
P
-------------2 irn (rps)
P (kW)
n (rpm)
N -m . k g f• m
kgf • m = 716
P (cv)
n (rpm)
kgf • m
Relaciones de transmisión
Elemento
impulsor
Relación de transmisión
d2
z,
n,
oii
d,
Zt
n _•
orí
©
Relación de momentos
Momento aplicado
M,
1
Momento resistente
M,¡
ii¡
Eficiencia
Potencia de salida
17 = -----------------------------------Potencia de entrada
Eficiencia global de varias transmisiones
V = Vi • v * ■V -'
m rcá
v
F
M
Er
E„
Er
4/
a/3
'
f
i^
/\
Elemento
impulsado
■•
(Ver m 8)
Velocidad del centro de masa (traslación)
Fuerza aplicada
Momento de fuerza en rotación
Energía cinética
Energía potencial
Energía elástica de un resorte helicoidal
Deformación longitudinal del resorte
Deformación angular de un resorte espiral
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m /s
N. kgf
N • m, k g f• m
J, kgf • m
J, kgf • m
J. kgf • m
m. cm
rad
)
Dinámica
Fuerza centrífuga y esfuerzos
M 5
FUERZA CENTRIFUGA
m v2
F cfg. = mío2 r = -------
N, kgf
= 4 ir2 m n2 r
N, kgf
v
=2irrn
m /s, km /h
w
= 2 7 rn
rps. rpm
ESFUERZOS POR EFECTO CENTRIFUGO EN CUERPOS ROTATORIOS
Disco
o) r~p
v-p
N /m 2, k g f/c m 2
Anillo
v
o>¿p
= — - (rr + r, r¿ - f r f )
N /m -, k g f/c m 2
le
e
Elongación máxima del péndulo
m, cm, mm
m. cm, mm
m, cm, mm
Distancia del centro de gravedad
f
Elongación del péndulo
Fcfg.
Jo
Fuerza centrífuga
Momento de inercia de masa con respecto a O
Je
Mi
Momento de inercia de masa con respecto a C
Momento al girar un resorte espiral un ángulo
a d> = 1 rad
T
VE
Vf
EcE
N. kgf
kg • m2. utm • m2
kg • m2. utm • m2
N • m. k g f • m
Esfuerzo de tensión
N /m 2, kgf/cm 2, kgf/m m 2
Periodo de oscilación (tiempo del movimiento
s, min
de B a B ' y a B)
m /s, c m /s
Velocidad en E
m /s. cm /s
Velocidad en F
J, kgf • m
Energía cinética en E
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Dinámica
Me
Oscilaciones armónicas
OSCILACIONES MECANICAS
(Ver también L 4 y L 7)
Determinación de la
constante de carga
de un resorte, c
Generalidades
m 43
Periodo
; 2 rr ! —
m 44
Constante de resorte
G
: —
s, min
N /m , kgf/cm
A!
f
m 45
Frecuencia
m 46
Frecuencia angular
- — (ver L 1 )
2 -rrl =
c /s (Hz)
/ —
V m
rad /s
Velocidad crítica (por flexión) de un eje de transmisión, nk
nk =
m 47
m 48
1
fc 7
2 tt v m
= 300
(kgf/cm )
- rpm
m (kg)
Constante de carga elástica c t para ejes
con 2 soportes
con soporte movible
-czf
48 E l
m 49
3 El
A/
Deflexión, o bien, distensión de un resorte
I
Momento de inercia de la sección transversal de un eje (o árbol)
m
Masa Al determinar la velocidad crítica se considera la masa
(por ejemplo, la de una polea) concentrada en un punto. La
masa del eje o árbol se toma en cuenta aumentando la anterior,
c,
Constante de resorte para oscilaciones elásticas transversales
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Dinámica
Oscilaciones armónicas
M 7
M O VIM IEN TO PENDULAR
(Ver también L 4)
P éndulo có n ico (o ce ntrífu g o )
m 50
m 51
T
/eos C
=2
s. min
ta n a = V_
m 52
h =
P éndulo sim ple
Masa oscilante concentrada en un punto
Brazo del péndulo con masa cero
m 53
T
= 2 77
m 54
m 55
F,. = m g —
2/
P éndulo físico
=2
Je
m 56
T
m 57
Jo — Jc + n i/ (,-
m 58
Jr
— G /.
G /,
kg • m-
\ 47r-
g /
kg • m-
Si un cuerpo con centro de gravedad en
C a una distancia (c de O. se suspende
de O y se pone a oscilar, su periodo de oscilación T se determina
experimentalmente, y con la fórmula m 58 se puede calcular su
momento de inercia Jr con relación a C.
P éndulo de to rsión
m 59
T
= 2 tr
A
! My
Vea el significado de los símbolos en M 5
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Dinámica
Ms
Choques
CHOQUE O IMPACTO
m 60
m 61
Si dos cuerpos con masas m, y
y velocidades v u y v2X chocan
entre sí. la cantidad total de movimiento p = m v permanece cons­
tante durante el choque (las velocidades cambian a v VJ y vT>):
p = m, • v u -f- m-. v-j, =
• v y. + m¿ • vT¿
Tipos de choques
Directo y
central
Oblicuo y
central
Oblicuo y
no central
Velocidades paralelas a las
normales al área de choque
Las normales pasan
por los centros de
masa de los cuerpos
Velocidades en direcciones
cualesquiera
Normales en
posiciones
cualesquiera
Clases de ch oques
Velocida­
des relati­
vas
m 62
m 63
m 64
Velocida­
des des­
pués del
choque si
es directo
y central
Coeficiente
de resti­
tución
Elástico*
Plástico
Son de igual magnitud antes
y después del choque
Son nulas después
del choque
Vu (m, — m ¿) + 2m¿ • v2X
m, + m-.
v_m (m ¿ — m ,) 4 - 2m, • vn
m i - v n + m 2 ' v2i
v»¿ = ----------------------------m, -|- m<¿
m x -f- m¿
€ = 0
€= 1
C o e ficie n te de re s titu c ió n c
Mide en qué grado varían las velocidades relativas antes (vrl) y
después del choque (vr2):
m 65
Vrl
donde
vr\
*En el choque elástico oblicuo y cen­
tral. el vector velocidad se descom­
pone en sus componentes normal y
tangencial. La componente normal
v„ ocasiona un choque directo, pero
la componente tangencial vt no in­
fluye en el choque.
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1
Hidráulica
Conceptos generales - Hidrostática
GENERALIDADES
La hidráulica estudia el comportamiento de los líquidos. Estas sus­
tancias pueden considerarse como incompresibles en la mayor
parte de los casos; es decir, sus cambios de densidad, al variar la
presión, son despreciables.
M agn itu d es
Presión p. Ver O 1
Densidad p . Ver O 1
Viscosidad dinámica 77. (EU: Pa • s = kg • n r 1 • s-1)
La viscosidad dinámica es una característica de los fluidos para la
cual se cumple que:
n
1
r¡ = f{p . f)
Con frecuencia puede despreciarse la dependencia de la presión,
en cuyo caso
n
2
v = n t)
(Los valores numéricos)
pueden verse en Z 16)
Viscosidad cinemática v. (EU: m Vs)
La viscosidad cinemática es la relación entre la viscosidad diná­
mica r/y la densidad p:
n
3
HIDROSTATICA
Distribución de la presión en un líquido
n
4
Pi = P « + g p h x
n
5
pa = px + g p ( h 2 -
P2
h })
= p i + g p A/7
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Hidráulica
Hidrostática
P resión de un líquido sobre una su p e rficie plana
Por fuerza de presión
hidrostática F de un lí­
quido sobre una super­
ficie, se entiende la fuer­
za que ejerce el líquido
exclusivamente, es de­
cir, sin tomar en cuenta
la presión p„.
n
6
F = g p yr A c o s a — g p h c A
n
7
Yo =
F
Ye A
- Ye-1-
lo
Ye A '
xD= Ye A
Presión de un líq uid o sobre una su p e rficie curva
La fuerza de presión
que ejerce un líquido
sobre la superficie cur­
va 1-2, se descompone
en una componente ho­
rizontal F h y otra verti­
cal F r . La componente
F i es igual al peso del
líquido contenido en el
volumen V en (a) o en
(b). La línea de acción
pasa por el centroide
del volumen.
n
/////
\Fv\ = g p v
8
y/ / ////}
N, kN
La componente F „ es la fuerza debida a la presión del líquido sobre
la proyección de la superficie 1-2 sobre el plano perpendicular a
Fh- L o s cálculos se realizan mediante las relaciones n 6 y n 7.
C
D
/
/,.
Centroide de la superficie A
Centro de presión (punto de aplicación de F )
Momento de inercia de A con respecto al eje x
Momento de inercia de A con respecto a un eje por C paralelo
al eje x (ver 110 y P 3)
Producto de inercia de A con respecto a los ejes x y y (ver 110)
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Hidráulica
Hidrostática
EMPUJE ASCENSIONAL
El empuje hidrostático ascensional F\
es numéricamente igual a la suma de
los pesos de los líquidos desplazados
por el cuerpo sumergido, y cuyas den­
sidades son p y p ', respectivamente.
n
9
F a — g p V - f g p 'V '
Si el fluido con densidad p 'e s un gas
puede considerarse que
n 10
Fa = g p V
Si pc es la densidad del cuerpo sumergido resulta que si:
n 11
n 12
n 13
p > p c. el cuerpo flota
) en el líquido
p = pc. el cuerpo esta suspendido V m - s densQ
p < pc. el cuerpo se hunde
)
Determinación de la densidad p de cuerpos sólidos y líquidos
Para sólidos con
densidad
mayor
|
menor
que el líquido
empleado
Para líquidos se considera pri­
mero F ’ y m con un cuerpo
cualquiera dentro de un líquido
de densidad conocida p'.
1- -
n 14
In 15
p = p ¡.-
Í> = P l
m g
n 16
m g
P=P
F .-F
i +■
mg
1 -
-
mg
F IF '
t.P
-z 7 ^ :
m
Masa del cuerpo suspendido en el líquido
F
Fuerza de equilibrio
F„
Fuerza de equilibrio en el experimento con el cuerpo auxiliar
pL
Densidad del líquido en que se pesa
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Hidráulica
Hidrodinámica
FLUJO ESTACIONARIO
Teorema de c o n tin u id a d (Principio de conservación de la masa)
Ecuación de continuidad:
n 17
A, v ,p , = A v p = A , v2p2
Flu¡o de masa:
m = Vp
n 18
kg/s. g /s
Flujo de volumen (gasto):
V = Av = 2
n 19
m:,/s , c m '/s
Teorem a de B e rn o u lli (Principio de conservación de la energfa)
Flujo ideal (sin fricción):
n 20
Pi
v ,2
p
— + 9 ¿i + — — TT
v2 p 2
7T" —
®
p
energía de presión por
unidad de masa
g z
energfa potencial
unidad de masa
por
v2
~ñ
energía
cinética
unidad de masa
por
v22
J /k g
V 7 7 7 7 7 7 7 ?
Flujo real (en el que hay rozamiento)
n 21
Pi
v,p2
v22
— + g T, + — — — 4 g z 2 - f — -F xr/1|2
w ,i, 2 pérdida de energía por fricción desde 1 hasta 2
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J /k g
Hidráulica
Hidrodinámica
P otencia de una m áquina h idráulica
n 22
P = m w cí2
W. kgf • m /s, cv
Trabajo de conversión por unidad de masa:
1
i
w c1.2 = — [pt — P¿) -f- Q (Zi — z 2 ) -f- ~ (v,2 — v22) — Wfi.z
n 23
n
24
para máquinas generatrices (o impulsoras)
w cl2 > 0
n
25
para máquinas motrices
wci.2 < 0
Teorema d e l m o m e n tu m (o Ím petu)
En el caso de un fluido (incompresible) que circula por un "vo­
lumen de control” fijo en el espacio se cumple la siguiente ecua­
ción vectorial:
n 26
2 F = m (¡£ -y ? )
2F
N. kgf
son las fuerzas que actúan sobre el fluido en el volumen de
control. Pueden ser
fuerzas de volumen (por ejemplo, el peso)
fuerzas de presión
fuerzas de fricción.
v£
Velocidad de salida del fluido del volumen de control
y\
Velocidad de entrada del fluido al volumen de control
Teorema d e la c a n tid a d d e m o m e n to a n g u la r
Sobre un fluido (incompresible) que circula a través de un volumen
de control fijo se ejerce el momento rotacional M.
n 27
M = rh (v2.„ r 2 — vÍM r x)
N • m. kgf • m
v-¿.„ y vXu son, respectivamente, las componentes tangenciales de
las velocidades de salida y de entrada del fluido en el volumen
de control.
r 2 y r x son, respectivamente, los radios correspondientes a v2 y v x
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Hidráulica
Hidrodinámica
PERDIDA DE ENERGIA POR FRICCION EN EL FLUJO A
TRAVES DE UN TUBO
n 28
n 29
Pérdida de energía por I
unidad de masa
j
wf ¡ 2 = i (£a —
Pérdida de presión
).
de donde
A p ,,= p w „ .2
D eterm in a ció n d e l fa c to r de re sisten cia fric c io n a l f y del fa c to r de
form a a -.
Tubos de sección circular
n 30
Re =
Tubos de sección no circular
v dp
Re :
n 31
Si Re < 2320, al flujo es laminar
n 32
Si Re > 2320, el flujo es turbulento
Flujo
laminar
n 33
Flujo
turbulento“
laminar
n 34
a = — en tubos rectos
d
n 35
a = 1
turbulento*
64
£ = f(fle .-Í)
d
f = —
Re
v d „p
^~ ^ R e
í = nRe, L )
dh
a = — en tubos rectos
A
en conexiones
D eterm in a ció n d e l fa c to r
n 36
Para secciones anulares
D /d
n 37
I 10
70
Para secciones rectangulares
c /b
<t>
n 38
I 5
I 1 I 3
I 7
| 30 I 50 1
1 100 | 00
11.50 11.47 11.44 | 1.42 | 1.40 11.32 11.29 11.27 | 1.25 11.00
10
11.50
0.1
1.34
0.2
1.20
0.3
1.10
0.4
1.02
0.5
0.97
0.6
0.94
0.7
0.92
0.8
0.90
1.0
0.89
d
Diámetro interior libre del tubo I /
Longitud de! tubo
di,
( = 4 A /P „ ) Diámetro hidráulico I Re Número de Reynolds
A
Sección transversal perpendicular ala dirección del flujo
P„
Perímetro mojado
k / d (y k / d „ ) Rugosidad relativa
k
Altura media de todas las asperezas (ver Z 16)
* El valor de f se obtiene del diagrama en Z 15
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Hidráulica
N
Hidrodinámica
SALIDA DE LIQUIDOS EN RECIPIENTES
Con orificio en el fondo
v = 4 > \/2 g H
V = <f>(A \Z~2g~H -
3
Con orificio lateral pequeño
S7
r ~
s = 2 \Z~H~h
V = < f,e A s /T fH = 3
i
•c
F = pV v
------------L J
t
Con orificio lateral grande
V = — c b \ / Y g {H-,'« - H,
Con presión interior (p¡) sobre la superficie libre
v = 4, J
2
(g H
V = cf>( A ¡ 2 (g H + — )
V
P
1
t
<t4 1 i
W -+ T
(
Con presión interior sobre la descarga
v = <t>
V = d>cA
v
p¡
<f>
€
F
V
b
V
2—
p
Velocidad de descarga
m /s
Presión interior (mayor que la externa)
Coeficiente de fricción del líquido (para el agua (J>= 0.97)
Coeficiente de contracción ( c = 0.62 para orificios con bordes
agudos; c = 0.97 para orificios con bordes redondeados)
Fuerza de reacción
Flujo volumétrico (gasto. 2 )
m Vs, m Vh. lit/m in
Ancho de orificio
mm, cm
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Térmica
Variables termodinámicas de estado
O l
Variables de estado son la presión p, la temperatura absoluta T y
la densidad p, o bien, el volumen específico v.
P resión p (EU: N /m 2 = Pa, bar, kgf/cm 2)
La presión es la relación de la fuerza F al área de la superficie. A:
o
1
F
P = —
A
La presión absoluta de un fluido puede interpretarse como la fuerza
total que ejercen las moléculas al chocar contra las paredes del
recipiente. La presión p' medida con un manómetro es la diferencia
entre la presión absoluta y la presión exterior o atmosférica p„\
cuando p' > 0 se denomina "presión efectiva", o simplemente
"presión". Si p' < 0 se llama entonces "vacío" o "depresión". De
ahí se obtiene que la presión absoluta p es:
o
2
p = p„ + p'
T em peratura T. t (Magnitud básica: ver Explicaciones generales)
La unidad de temperatura absoluta T, el kelvin (o anteriormente,
grado Kelvin) K, se define por:
o
3
1K = - T"‘
273.16
donde Tpt es la temperatura (absoluta) del punto triple del agua
pura. Además de la escala Kelvin se emplea también la escala
Celsius; la temperatura Celsius t se define internacionalmente
como:
o
4
t = 7 -2 7 3 .1 5
D ensidad p (EU: kg/m 3)
La densidad es la relación de la masa m al volumen V :
o
5
p ——
V
Volum en espe cífico v (EU: m;Vkg)
El volumen específico es la relación del volumen V a la masa m :
o
6
v= ^ = l
m
p
Volum en m olar VM (EU: m '/rnol)
El volumen molar es la relación del volumen a la cantidad de sus­
tancia (1 mol) contenida en él:
0
7
VM = -
V
Cantidad de sustancia (moles) n (Magnitud básica; ver Explicaciones
generales)
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I
Térmica
Calentamiento de cuerpos sólidos y líquidos
02
CALENTAMIENTO DE SOLIDOS Y LIQUIDOS
C alor O (EU: J, kcal)
Calor es la energía que se transmite a través de la frontera de
sistemas que están a diferente temperatura, cuando se ponen en
contacto por medio de paredes d ia té rm ica s
C alor p o r u nidad de masa q (EU: J /k g , kcal/kg)
El calor q referido a la unidad de masa es la relación de la cantidad
total de calor O a la masa m del cuerpo considerado.
O
q ——
m
C alor e spe cifico c [EU: J /(k g • K), kcal/(kg ■C)]
El calor específico (o capacidad térmica específica) c es el calor
Q que hay que suministrar o sustraer de una masa m para cambiar
su temperatura en M.
Q _ Q
m M
at
El calor específico es función de la temperatura. (Ver vafores nu­
méricos en Z 5 a Z 9.)
C alor de tra n sfo rm a ció n (p o r u nidad de m asa) t (EU: J /k g . Valores
numéricos en Z 12.)
El calor de transformación (o "latente") es aquel que al ser sumi­
nistrado o sustraído de un cuerpo cambia su fase sin que cambie la
temperatura. Se distinguen los siguientes calores "latentes".
un cuerpo sólido en
uno líquido, a la tem ­
peratura de fusión
Calor de
fusión
(0
CO Calor de
E
<D vaporización
T3
co
CO
C
3
0
1
Calor de
sublimación
un líquido a la tempe­
ratura de vaporización
(dependiente de la pre­
Es el calor
sión), en vapor satu­
necesario
rado
para
transfor­
un cuerpo sólido a la
mar
temperatura de subli­
mación
(dependiente
de la presión) directa­
mente en vapor satu­
rado. (Temperatura in­
ferior a la del punto
triple.)
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sin que
cambie
su
tem ­
pera­
tura
Térmica
Dilatación de cuerpos sólidos y líquidos
03
D ila ta ció n té rm ica de sólidos
Un cuerpo sólido cambia sus dimensiones al variar su temperatura.
Utilizando el coeficiente a de dilatación longitudinal (o lineal), que
es dependiente de la temperatura (ver sus valores en Z 11), se
tiene que:
Longitud:
= / i [1 + a (f2 — t,))
A / = / 2 - Z , = / , a(t2 - t , )
Area:
A , sr A, [1 + 2 a (t2 -
f,)]
AA = A 2 — A i — Ai 2 ot(t2 — ti)
Volumen:
V2 =« V, [1 + 3 a (t2 — f,)]
AV = V2 -
V, se V, 3 a (f2 - f,)
D ila ta ció n té rm ica de líquidos
Con ft, el coeficiente de dilatación volumétrica (o cúbica) — depen­
diente también de la temperatura— se tiene:
V2 = V, [1 + n (t2 - t,)J
aV
= V 2 - V , = V , / j (t2 -
f.)
D efle xió n té rm ica A
Una deflexión térmica se presenta en elementos bimetálicos, los
cuales se flexionan por calentamiento hacia la cara donde está
el metal con menor coeficiente de dilatación. Designando con S la
"deflexión térmica específica" (pueden verse sus valores en la
norma DIN 1715) se obtiene para la deflexión térmica total A:
S l 2 Af
/¡
Longitud a ti
A,
Area a ti
Z2
Longitud a f2
A2
Area a f2
V,
Volumen a t,
f,
Temperatura inicial
V2
Volumen a t2
t2
Temperatura final
s
Espesor
At
Incremento de temperatura
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Térmica
Estados y cambios de estado de gases y vapores
04
Ecuación de estado para gases ideales
El estado de un gas se determina por dos variables termodinámi­
cas, de manera que la tercera puede calcularse empleando la
ecuación de estado. En el caso de gases ideales es válida la ecua­
ción siguiente, en la que la constante de gas R depende del tipo
de sustancia (ver Z 12):
p v = RT
o bien,
p V = m R T
o bien,
p = pRT
Si se refiere la constante del gas a la cantidad de sustancia (1 mol)
entonces se cumple para todos los gases ideales, con RM = 8314.3
J /(km o l • K) como constante universal de los gases (ideales), que
pV» = RmT
Si M es la masa molar (ver Z 12) se tiene:
Rm = M R
Estado de gases no ideales y vapores
El estado termodinámico de gases reales y vapores se determina
empleando ecuaciones o diagramas especiales.
C am bios de estado o procesos
Los cambios de estado en un sistema son inducidos por sus inte­
racciones con el medio que lo rodea. Dichas interacciones se
calculan empleando la primera y la segunda leyes de la termodi­
námica.
Segunda ley en
Primera ley en el caso de un
el caso de
sistema
cualquier
cerrado
abierto
sistema
- IV| 2 — U2 — u 1
Q 1.2 — Wet. 2 — h 2 — h i
q. * =
j
+ Ae
En estas fórmulas se emplean los
símbolos con el significado que
se indica, y referidos a la unidad
de masa.
h
u
tur*. 2
we \.2
s
Ae
Q< o
W< o
entalpia específica
energía interna específica
trabajo (discontinuo, proceso con cambio de volumen) (ver O 7)
trabajo (continuo, proceso en régimen permanente) (ver O 7)
entropía específica
cambios en energía cinética o potencial
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Térmica
Cambios de estado en gases y vapores
O 5
Procesos en gases ideales
Las relaciones deducidas de las fórmulas o 25 a o 27 para dife­
rentes cambios de estado se muestran en la tabla de la página O 6.
A esta tabla corresponden las siguientes explicaciones. Cada pro­
ceso puede representarse en ia forma siguiente:
p v" = const.
En la primera columna se Indican la magnitud constante y el valor
del exponente politróplco n.
Las capacidades térmicas (c„ y c„) a presión constante y a volumen
constante, respectivamente, se consideran por lo general en su va­
lor medio entre las temperaturas t, y t2. Son válidas las siguientes
relaciones (los valores de c , (ó c^,) pueden verse en la página Z 13):
Cp
(C );^ (2
(C p m )o , 12 ' L ì —
(C p m ) o , t i ' f l
f2 - t l
c„ = ( c , tj = cp — R
k = l k j ly H = c , / c v
El cambio de entropía asociado al cambio de estado está dado por:
s2- s , = c,.n( I i ) - « ln( g ) = c „ l n g ) + R in g )
C am bios de estado de gases reales y vapores
La tabla que sigue muestra las relaciones para diversos procesos
deducidos de las fórmulas o 25 a o 27. Las variables de estado
básicas p , v , T y las variables de estado energéticas u, h, s se rela­
cionan con los diagramas apropiados.
Cantidades por unidad de masa
Proceso
(magnitud
constante)
Trabajo (discontinuo)
IV, j =:J^ p d v
o 33
Isomètrico
v = const.
o 34
Isobàrico
p = const.
0 35
Isotèrmico
T = const.
0 36
Isen tròpico u, — u2 =
s = const. (fi! — h-2) — (PlV! — p2v2)
0
P = (v2 -
Trabajo (continuo)
iv„i
.„= - j V d p
v(p, - p-A
V,)
0
Calor
Q1.2
U-i — Ut =
(h2 - h t) v(Pi - Pi)
h 2 — hi
T(s2 — s,) — (u2 — u,) =
T(s2 — s,) — (p2 — h,) T(s 2 — s,)
T(S2 - S , ) - ( f j 2 - / 7 , )
+ (P2 v2 — p, V,)
fi, - h .
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0
Térmica
Procesos en gases ideales
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Térmica
Cambios de estado de gases ideales
07
D iagram a p ~ v
En procesos reversibles, el área en­
tre la curva de cambio de estado y
el eje v representa el trabajo por
variación de volumen o discontinuo
(por unidad de masa), y el área entre
la curva y el eje p representa el tra­
bajo continuo (por unidad de masa).
D iagram a T - s
En procesos reversibles, el área en­
tre la curva y el eje s representa el
calor transmitido (por unidad de
masa).
C alor to ta l tra n sm itid o
El calor total transmitido (entrante o saliente), una sola vez,entre
un sistema cerrado y los alrededores está dado por:
o 42
Qi.,¿ = m d i,2
J
El calor total transmitido continuamente (flujo de calor) entre un
sistema abierto y los alrededores está dado por:
o 43
<|>i,2 — C i.2 —- m Qi' 2
W. J /s
donde m es el flujo de masa (EU: kg/s).
Trabajo to ta l realizado
El trabajo total realizado (entrante o saliente), una sola vez, entre
un sistema cerrado y los alrededores es:
o 44
f V , j = miVi.2
J
P otencia
La potencia total suministrada o cedida continuamente entre un
sistema abierto y los alrededores es:
o 45
P, , = m w el 2
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W , J /s
Térmica
0 8
Mezclas de gases
Masa m de una mezcla con componentes m u m ¿,. . .
i=n
+ ... + m„ = ^ m,
i= l
m = m¡ +
Proporción o fracción de masa £, en una mezcla
¡X
S,"í<=
m,
£. = — y
m
<=i
1
Número de moles n en una mezcla con
componentes n u n ¿ ,. . .
n
= n,
+
n2 - t - . . . + n„ =
£n,
<=1
Proporción o fracción molar «/<, en una mezcla
¡5,"
•h= —n,n y 1=1
¿ *1 = 1
Masa molar (peso molecular en unidades de masa) aparente M de
una mezcla
Para la masa molar se tiene que
rrii
m
M( = — y M = —
n
n
donde M es la masa molar aparente de la mezcla. El valor de M se
calcula como sigue:
M = ¿
£
(Ai, • *,) o bien, — = Y
M
£
)
\ M tJ
Cálculo de la fracción de masa a partir de la fracción molar
M,
= M *
Presión total p de la mezcla y presión parcial p¡ de cada componente
i= n
p = 2 P< de donde
<=i
p< = \p{ • p
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09
Térmica
Mezclas de gases
Proporción o fracción volumétrica r, en una mezcla
V¡
i=”
r¡ = — = ii¡ y V r¡ = 1
ir
Si
o 54
Se llama volumen parcial V, al volumen que un solo componente
ocuparía a la temperatura T y a la presión total p de la mezcla.
Para gases ideales se tiene:
„
m ,R ,T
n¡ R „ T
= ---------- = ------------- V X v <= v
P
P
í=i
o 55
Variables termodinámicas energéticas de una mezcla
o 56
u =
X & *u<)'
h =
hJ
A partir de estas fórmulas puede determinarse la temperatura de la
mezcla. Para gases y vapores reales, de diagramas, y en el caso
de gases ideales por las relaciones siguientes:
o 57
Sistema
c v1 1 1 m i -j- cr 2 m¿ + . . . -1- c, „ t n m„
cerrado
adiabá­
o 58
tico
c Pi ti m i + cP2 f2 m¿ + . . . 4- cp„ f„ m„
abierto
Las capacidades térmicas específicas (medias) de la mezcla se
determinan como sigue:
o 59
cv = cp — R
o 60
c , = 2 (í< • cr¡)
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Térmica
O 10
Transmisión de calor
Debido a la diferencia de temperatura entre dos puntos fluye calor
del de mayor temperatura al de menor. Se distinguen las siguientes
formas de transmisión de calor:
Conducción térmica (en superficies sólidas)
=
en paredes de tubos:
fuií
tw l
Ó
K A
---------
<f> = Ó = #cA,
El área media logarítmica es:
=ndm L; por lo tanto dm =
de - di
>(S)
- — en pared plana
—
en tubo
L longitud de tubo
Convección térmica (transmisión en película de fluido)
Esta transmisión consiste en el traspaso de calor de un fluido a
una pared sólida o viceversa. Las moléculas, como elementos de
masa, transportan la energía debido a su flujo. Si la corriente
de fluido se forma por sí sola (como en el
ascenso del aire en la atmósfera) se habla
de convección libre, en tanto que si el
flujo es forzado, la convección se deno­
mina forzada.
cj> = Q = c tA (t — tw)
Radiación térmica
Este tipo de transmisión de calor no está ligado a la presencia de
masa (por ejemplo, en la transmisión de calor radiante del Sol a la
Tierra a través del vacío). Los cálculos se realizan como en o 64.
Transmisión total de calor
Con esta expresión se designa la
totalidad de los procesos que parti­
cipan en un proceso de transmisión
de calor:
<i>= ó = ua (u - y
Considerando el coeficiente total de
transmisión de calor U se tiene que
(sus valores aproximados se pueden
ver en Z 13):
en i
i paredes de tubos
w
"1
1=1 ' " ' /
1
1
/=» / s \
1
------ = ---------- j- V (
) -\--------UA
k
a
a i Ay
é*, ' x A m/
ct.A¿
Conductividad térmica (ver sus valores en Z 5 a Z 10)
Coeficiente de convección térmica (para su cálculo ver O 12)
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Térmica
Transmisión de calor
Cambiadores de calor
Los cambiadores (o intercambiadores) de calor sirven para efec­
tuar el paso de calor de un fluido a otro. El flujo de calor es:
o 68
<|> = Ó = k A At>„
donde atm es la diferencia media logarítmica de temperaturas. En
el caso de aparatos con flujos (o corrientes de fluido) en igual senti­
do, o bien, a contracorriente, se tiene:
o 69
Afm
In -
En cambiadores que trabajan a contracorriente pueden encontrar­
se (Afinayor), o bien (Afme„o.), en otros sitios del dispositivo.
Símbolos para las fórmulas de O 12:
o 70
Ay
Superficie del cuerpo menor
A>
Superficie del cuerpo mayor
d
Diámetro interior de tubo
D
Diámetro exterior de tubo
H
Altura de placa
L
Longitud de tubo
Cu C-2 Constantes de radiación de superficies que intercambian
calor por radiación (sus valores pueden verse en Z 14)
K 0 ^ 5.67 x 10~8 W /(m - • K4), constante de radiación del cuerpo
negro.
Pr
Número de Prandtl, Pr = (*/ c p ) / k
Af = |fu> —
|. diferencia de temperaturas entre la pared y el lí­
quido (o el gas), en la región no afectada térmicamente
Temperatura del medio no alterado
Velocidad
Viscosidad dinámica a la temperatura media del líquido
Viscosidad dinámica a la temperatura de la pared
r/w
Conductividad térmica del fluido (los valores pueden verse
en Z 5 a Z 10)
Coeficiente de dilatación volumétrica (ver Z 11 y o 77)
Factor de temperatura
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Térmica
O 12
Transmisión de calor (cont.)
CALCULO DEL COEFICIENTE DE CONVECCION TERMICA
En convección libre (según Grigull)
o 71
¡ o 72
o 73
o 74
o 75
o 76
en una
placa
vertical
en un
tubo
hori­
zontal
Nu K
“ ~H~
Nu k
~~D~
Nu = 0.55 \/G r Pr si
1700 < Gr Pr < 108
Nu = 0.13 v^GrPr si
gfiAtH *
Gr = ----- ------
f = viscosidad cinemática (v/p)
Gr Pr > 108
Gr Pr < 105
Nu = 0.41 v G r Pr si
g li At D3
Gr = -----------
Los valores de los materiales deben referirse a la temperatura de
tw + t K
referencia t H = -----------En el caso de los gases se cumple para el coeficiente de dilatación:
o 77
o 78
/38as = 1 /T »
En convección forzada en tuberías (según Hausen)
Nu K
~~d~
0.0668 ( Re Pr-2.)
o 79
laminar
3.65 +
d Ÿ3
1 + 0.045 /^Re Pr —J
Re < 2320
si 104 > Re Pr— > 10-1. donde Re =
o 80
r)w
vdp
Flujo
turbulento
o 81
i (Re3* _ 125) Pr'/* j^l -h ( ^ )
] (^ 7 )
Re > 2320 Si 2320 < Re < 106; 0.6 < Pr < 500;
1 < L/d < 00
Con excepción de i/w todos los valores de los materiales se refieren
a la temperatura media del líquido.
En gases no se emplea el factor (^uq/T/«>)"14
0 82
En la radiación (coeficiente de transmisión por radiación: r )
r = ¡i* C li2
0 83
Entre
0 84
0 85
paralelas
super
envol­
ficies
ventes
1+
1
C,
C2
K„
C,
/t2\C 2
K „)
Las explicaciones de los símbolos de las fórmulas se dan en O 11
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I
Resistencia de materiales
Conceptos básicos
P1
GENERALIDADES
Esfuerzo
El estuerzo en un cuerpo con carga es el cociente de la fuerza
interna (de tensión, compresión o cortante) y el área considerada
en el cuerpo.
ir — —
A
EU: N /m 2; k g f/c m 2, kgf/m m 2
Diagrama esfuerzo-deformación en el caso de acero dúctil
o>
Límite de proporcionalidad
os
Limite de elasticidad
ir .
Esfuerzo de fluencia
o>,
Lfm. de fluencia en tensión
<rFc
LIm. de fluencia en
compresión
(Tu
Resistencia última
un
Esfuerzo de ruptura
Diagrama para tensión
Esfuerzo permisible
Debe ser inferior al limite de elasticidad. Se determina como sigue:
rr0
n
Resistencia última del material
Factor de seguridad que es siempre mayor que 1. Su magnitud
depende del tipo de carga
Clases de carga
<
Deformación (por unidad)
8
Elongación (a la ruptura)
A0 Area transversal inicial ( c = 0)
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R esisten cia de materiales
Tensión y compresión
____
P2
Esfuerzos de tensión o de compresión trt, oc
<*c —
-
A
<*c (perm .)
=
Módulo de elasticidad (axial) E
(T
E = —
c
Módulo de deformación (axial) D
1
€
Deformación axial total a /
a / = / „ D a = / ¡ — /„
(ver también o 13 y o 14)
Deformación axial (por tensión o compresión)
A/
€ — — — D (J
Elongación (a la ruptura) S
a /-
8 =
100
/»
(T
% = — 100 % = D rr 100 %
E
8 5 para /„ = 5 d. S,„ para /„ = 10 d)
Elemento de compresión de esfuerzo
constante (incluyendo su propio peso)
A una distancia cualquiera x desde
su parte superior, el área necesaria
A se obtiene como sigue:
A =■
<Tc (perm.)
(Tr iperai. i Esfuerzo permisible de tensión
<rC(p«nn > Esfuerzo permisible de compresión
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(Ver valores en Z 18)
(Ver valores en Z 18)
R e s is te n c ia de m ateriales
Flexión
P3
ACCION FLEXIONANTE
Módulo de sección (resistente) S
/
S = —
e
Esfuerzo por flexión oy
_ Me
iTf
—
---
=
(Tf i pe,™. »
En caso de que e = ei = e>, eje neutro :
eje de simetría
M
Momento flexionante máximo M
M —F l
Momentos axiales de inercia de áreas, módulos
de sección y esfuerzos máximos por flexión
Momento de
área
/
Módulo de
sección
S
Esfuerzo
máximo por
flexión
^ (m áx.)
bh'
bh*
6M
~ \2 ~
~6~
~b~ÍF
7re/4
7r d :l
~64~
32 _ 10
d:{
1
10 M D
I
D
Q
32
I
d4)
-Ü H
~ ~dr
^3
Q
— (D 4 64
10 M
5 \/F s4
5 \/3 s '
24 \ / 3 M
144
72
5 s:<
7ra;‘ b
ir a -b
4M
4
4
7ror Ó
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
neutro
I BB — I “f- A d ~
I BB Momento de inercia con respecto al eje BB
I
Momento de inercia con respecto al eje
centroidal (neutro) paralelo al eje BB
(ver 111)
e
Distancia de la fibra superficial al eje neutro
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Forma de
la sección
transversal
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Resistencia de materiales
Pe
Cortante
ACCION DE CORTE O CIZALLAMIENTO
Esfuerzo cortante
p 32
T
=
Módulo de elasticidad
angular G
p 33
p 34
G = — = 0.385
E
y
Módulo de deformación angular B
&
1
y
Deformación angular
(ángulo de deslizamiento)
y —Bt
~ ~ G ~ T
Esfuerzo cortante último tv
p 35
Esfuerzo cortante permisible rperm.
constante
pulsante
Clase de carga
(ver P 1)
I * « /1 .5
-
I
alternante
S « /2 .2
o Ft¡ 3.0
Fuerza de corte F
Herramienta de corte
(punzonado, etc.)
Guillotina o
cizalla
p 36
F ^
F ~ 1.7 t c p s
1.7 tv / s
"i
V7S777T
i
P
F
Esfuerzos cortantes en la práctica
Los esfuerzos de corte se presentan siempre en combinación con
los esfuerzos por flexión. En la fórmula p 32, por lo tanto, siempre
aparece un coeficiente, de acuerdo con la forma de la sección.
(Solamente en vigas muy cortas es posible despreciar los esfuer­
zos por flexión).
Forma de la sección
transversal
Esfuerzo cortante r
p 37
Tperm.
F
/
m
0
-
3 F
__
4 F
2 A
3~Â~
Esfuerzo cortante permisible
Fuerza de corte
I
F ^
Longitud de corte
|
p
0
F
2—
A
(Ver valores en Z 18)
Fuerza máxima o de ruptura
Perímetro de corte
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Resistencia de materiales
P7
Torsión
GENERALIDADES
Esfuerzo de torsión t,
p 38
M
Tt —— _ = Tt (perm. )
Momento torsionante T
p 39
P
P
T = — = --------= F a
o>
2 wn
Módulo de sección en torsión S t
p 40
T í(m á x )
s, = ±
a
Distancia entre la fibra extrema y el centroide C
Angulo de torsión
p 41
T/
4> =
- 4 í-
Z g
Características de elementos en torsión
p 42
p 43
Momento
polar de
inercia
'p
Módulo
polar
de sección
K rf*
7Td3
T
32
16
tf*
s,
— (O4 - d ')
32
TT
D4 - d4
16
|?45
en 2
Tabla de valores de
p 46
0.5
T
Forma y
dimensiones de
la sección
J
1
D 1 1 - 64
D
en 1
p 44
d
5 = —
D
1
Esfuerzo
cortante
máximo
TV(máx)
9r
2
— b hr
9
2
— b- h
9
2 b h9T
2_
2 b- h
i6
-
i
5 para secciones anulares
0.6
0.7
0.8
0.9
0.95
1.6194
2.9136
5.3908
1.1489
1.3159
1.0667
1 — ¿4
Tt (perm.) Esfuerzo cortante permisible en torsión (Ver valores en Z 18)
P
Potencia transmitida por rotación
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Resistencia de materiales
P8
Pandeo de columnas
Tipos de soportes
/„ = 0.5 /
/„ = /
= 0.7 /
/ 0= 2 /
Dimensionamiento preliminar
Primero se supone que para el caso de pandeo es aplicable la
fórmula de Euler y se calcula el momento de inercia del área
transversal:
F /,r Pe
I= r- E
Después se determina la forma de la sección y las dimensiones
provisionales según P 3.
Dimensionamiento final
Relación de esbeltez
Esfuerzo por pandeo. Se obtiene el límite
de la siguiente tabla:
abajo de los límites se calcula
Si A
entre
o, o bien. <rp por la
está
arriba de fórmula
Fórmula de Tetmajer: ap = a -
9
Material
Acero
St 37
Acero
St 52
Hierro fundido
GG 14
Madera (pino)
Madera (encino)
Fórmula de Euler: <r„ = -
289
589
776
30
37
-E l
/. r A
b
N/m m 0.818
3.818
12.000
0.20
0.25
*^c(perm .) ^ E =
A
c
Límites
de A
0
0
0.054
0
0
6 0 — 100
6 0 — 100
5 — 80
2 — 100
0 — 100
Pe
En caso de que op < — p . repetir el dimensionamiento final con
A
medidas más grandes.
~op
Esfuerzo efectivo por pandeo
|
F Carga efectiva
<7c(perm.) Esfuerzo permisible de compresión
(Ver valores en Z 18)
pT
Factor de seguridad (intervalo de Tetmajer):
3— 5
pfí
Factor de seguridad (intervalo de Euler)
para máquinas pequeñas:
6— 8
para máquinas grandes:
4— 6
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Resistencia de materiales
Esfuerzos combinados
COMBINACION DE ESFUERZOS NORMALES
Por el principio de superposición, los esfuerzos normales a xia l y por
fle x ió n se suman algebraicamente para obtener el esfuerzo resultan­
te. Los esfuerzos de tensión son p o sitivo s y los de com presión,
negativos.
Por desplazamiento del e¡e neutro, o sea, variando la sección
transversal, pueden obtenerse en A¡ y A , esfuerzos de tensión o
de compresión de igual magnitud (es decir, con e, yt e2). En el
caso de barras largas conviene revisar por pandeo.
Sección límite (núcleo central) para esfuerzos de igual naturaleza
SI actúa una fuerza axial (tensión o compresión) dentro del área del
núcleo central (marcada con puntos), habrá en toda la sección trans­
versal un esfuerzo de la misma clase (tensión o compresión). De
otra manera se producirán simultáneamente esfuerzos por flexión,
esto es, de tensión y de compresión.
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R esisten cia de materiales
Esfuerzos combinados
P 10
COMBINACION DE ESFUERZOS CORTANTES
Por el principio de superposición, los esfuerzos tangenciales de co rte
d ire c to y p o r to rsión se suman algebraicamente para obtener el
esfuerzo resultante.
T
Tt
T
F
Esfuerzo cortante directo
Esfuerzo cortante por torsión
Momento torsionante
Fuerza de corte directo
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R esisten cia de materiales
P 1 1
Esfuerzos combinados
COM BINACION DE ESFUERZOS NORMALES Y TANGENCIALES
Cuando se presentan simultáneamente esfuerzos normales y tangen­
ciales se determinan para los cálculos
el esfuerzo equivalente
<Je
o el momento equivalente
Me
El primero (llamado también esfuerzo ideal por flexión) es aquel es­
fuerzo flexional que produce el mismo efecto — por ejemplo, rup­
tura— que los dos esfuerzos aplicados.es decir, por flexión y torsión
combinadas. Para el momento equivalente es válido el mismo co­
mentario.
Ejes o árboles
Esfuerzo equivalente
<je ^¡o>(perm.)
(perm .)
(je =y/oy2+ 3(a„ rt)*
Momento equivalente
Me= y / M f
0.75 (a„ M )2
Para el dimensionamiento de elementos estructurales debe calcu­
larse primero el módulo resistente de la sección:
s =
- * ( J f (perm .)
Después de la selección de la sección transversal se obtienen las
dimensiones según P 3.
(Tf
Esfuerzo real por flexión
t,
Esfuerzo real por torsión
M
Momento flexionante real
T
Momento torslonante real
a„
Relación de esfuerzos, donde
a „a? 1
en casos en que la torsión y la flexión correspondan al
mismo tipo de carga
a„
cuando la torsión es constante o pulsante y la flexión
es alternante.
0.7
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R esisten cia de materiales
Barras curvas
ESFUERZOS EN UNA BARRA EN HERRADURA
En esta barra curva, la sección
de máximo esfuerzo es la A, en
el caso de las cargas F indica­
das: los momentos M son los
debidos a dichas cargas F. Los
esfuerzos en la superficie u, y
<t2 se calculan con las fórmulas
p 63 y p 64. Dependiendo de
las direcciones los valores
de F y M se considerarán po­
sitivos o negativos.
F
p 63
~A
F
p 64
~Â
■
■
-1
r
M
Mr
Ar
K
r + e,
M
Mr
e_.
A r
K
^
<Tt(penn.t
Fórmulas para calcular«::
1 / e \2
1 / e \ 1
1 / e\ “
p 65
* = 3 (7 ) + 7 l 7 ) + 7 ( 7 ) + •
p 66
" - 7 (7 ) + 7 l 7 ) + 64 (7/ + "
1 le
p 67
1 /e \4
(3 + 6 ) 8
r + e1
In —
r — e2
b H
5 / e \»
a—b
— (r + ei)
(a -b )
(Para la ubicación del centroide C, ver la sección K 7)
Valores calculados de k
e
p 68
r
p 69
p 70
x
@
0.1
0.3
0.5
0.7
0.8
0.9
0.95
0.0033
0.0317
0.0986
0.239
0.373
0 636
0.928
0.0025
0.0236
0.0718
0.167
0.250
0.393
0.524
M = F ■/ ; (t /(perm.) Esfuerzo permisible de tensión (ver valores en Z 18)
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Resistencia de materiales
Círculo de Mohr
P 13
Esfuerzos principales
(T x + V y
J
Esfuerzo cortante máximo
Orientación de los planos principales
tan 2 <t> = -
2T
Se debe tener siempre que
2<t> < 90°
Orientación del plano del esfuerzo rmíx
2r
cot 2<t> = ----------Los esfuerzos cortantes son n ulos en los planos principales (donde
se presentan los esfuerzos ir, y <r2).
Los esfuerzos cortantes máximos se presentan en planos a 45° con
respecto a los planos principales.
*La solución da dos ángulos, uno para ir, y otro para ir2. Los esfuerzos
principales y los cortantes máximos se producen, respectivamente,
en planos perpendiculares entre sí.
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Elem en to s de m áquinas
Engranes cilindricos rectos
Qi
DIENTES CON PERFIL DE EVOLVENTE (O INVOLUTA)
Cálculo por resistencia. Dimensiones básicas
y
Paso
30t t t
\J
_
( perm . ) ß Z
= 407
y
V
\ l (Jf i perm. ) ß Z H
15p
^ (p e r m .) ß R
(mm)
[P en cv; ír/(penn.i en kgf/m m 2; n en rpm]
b =ß t
Ancho axial
q
4
q
5
Dimensiones principales de un engranaje de dos elementos
7r d
Paso
m
Módulo
t
d
Q 6
Diám. de paso
d = mz
q 7
Altura de diente
h = 2.166 m
q
8
Adendo
ha — m
q 9
Dedendo
hd = 1.166 m
q 10
Diám. de adendo
da = m [z -f- 2)
q 11
Diám. de dedendo
d j = m{z - y )
q 12
Dist. entre ejes
q 13
Grueso de diente
Zl + Z2
s = 0.4875 t
Espacio entre dientes f = 0.5125 í
3/5.1 M
/ ---------
q 14
Diám. del eje (o árbol) d =
q 15
Diám. ext. del cubo
q 16
Largo del cubo
(o mamelón)
/ ^ 1.5 c/
q 17
Número de brazos
i
q 18
Grueso de la corona
V
, perm. )
D = 1.8 d + 20 mm
= 0.166 \/ m z
0.5 t
V.! I
Número de dientes
T Momento de rotación
(ver P 7)
Esfuerzo cortante permisible por torsión (ver valores en Z 18)
Factor de diseño:
para dientes sin acabado,
2 — 2.5
para dientes con acabado. 2.5 — 3
para dientes pulidos,
3—5
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Elementos de máquinas
Q 2
Engranes cilindricos rectos
ENGRANAJES DE EVOLVENTE DE DOS ELEMENTOS
Proceísado
Angulo de
presión
c on
sn
herram enta espec al e interfe rencia
Núm. m ín im o 'v ^ a
de dientes
15°
20°
15°
20°
en un engrane
14
11
20
13
en el par de engranes
38
27
50
30
Estudio por interferencia
Como los puntos de contacto
£, y E j quedan fuera de los
puntos de tangencia G, y G¿.
existe interferencia, la cual
puede evitarse con el uso de
dientes en V.
Relación de contacto c
€— Distancia de acción —---Paso reducido
t sen
Dientes en V según Fólmer
Se obtienen con herramientas normales para
Límites de los números de dientes:
a = 15°
z , 2 8 y z2 S 26
Dimensiones de
Piñón, zi
Rueda, z2
q 22
Diám. circ. adendo
dai = (z, + 3) m
da-j = (Zo
1.8) m
q 23
Diám. circ. dedendo
dJt = (z, -
driJ = (z2 -
2.334) m
q 24
Grueso de diente
s, = 1 89 m
q 25
Dist. entre ejes
1.134) m
s2 = 1.57 m
/ z , + z2
'
4o
s
6o
8o
1oo
2
2o
Grueso de diente (ver figura en Q 1)
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14o
S um a d e d ientes en el
e n g ra n a je (p a r d e e ngranes)
Elementos de máquinas
Qs
Engranes cónicos rectos
ENGRANAJE CONICO DE DOS ELEMENTOS
! r ii
l Fr<
Determinación de los ángulos de paso<¿>, y <£_.
Piñón a,
Rueda z j
Zi
q 26
^ 9 0 °
C O t <f>, = -
q 27
ip = 90°
c o t <£, = -
cot <j>¿ =
— I- eos y»
z-,
sen i/.
sen ^
cot
= —
Z2
Dimensiones de los dientes
q 28
El ángulo de a dendo y se obtiene de
q 29
El ángulo de dedendo 8 se obtiene de
q 30
Longitud de cono
ta n y = —
A
1.166m
tan 8 = A
z2 m
z, m
A —
2sen<#>,
2sen<£2
Dimensiones
exteriores
medias
q 31
Paso
q 32
Módulo
q 33
q 34
Ancho de diente
Diám. circ. paso
( Como las fórmutm = < las para t en
( Q 1. q 10
t,„
m,„ =
—
7T
bm =
dm =
pt,n
d — b sen 4>
t
b sen <f>
m = m„, H---------------z
b = p t
d = m z
Fuerza axial y radial
F„ = F tan a ■sen
F r = F tan o • eos <f>
2nT
q 35
q 36
Fuerza axial
Fuerza radial
q 37
Fuerza sobre los flancos
~ t„ ,z
a Angulo de presión (ver Q 2)
Los demás símbolos pueden verse en Q 1
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b sen <f>
= t„, H----------------rr
2
Elementos de máquinas
Engranaje de tornillo sin fin
Q4
SISTEMA DE SINFIN Y RUEDA
Relación de transmisión
ni
Zi
Número de dientes de la rueda
n¿
z¿
Número de filetes del sinfín
Cálculo del sinfín (o gusano) por resistencia
Paso
t = 407
i &f( perm.)
Zj
[P en cv. ír/(perm.) en kgf/mrn2, n, en rpm, t en mmj
=J
1
W
Ai °!f(perm.) Ÿ ? l
é
Arco en la rueda
W l
15 P
^ 1 <ty(perm .) */* ^ 1
b = >¡/t
Dimensiones del sinfín y la rueda
Rueda (o corona)
Sinfín (o gusano)
q 43
Módulo
q 44
q 45
q 46
q 47
q 48
q 49
Diám. de paso
Diám exterior
Diám. de fondo
Longitud
Fuerza axial
Fuerza radial
q 50
Eficiencia
t
D
m —— = —
7r
D = m z¿
De = m (Zjj + 2)
Df = m (z2 - 2.33)
—
d = 2 *m
de = d + 2 m
df = d — 2.33 m
( = 2 m (x /i:+ 1 )
F' = F tan [p 4- </>')
F = 2 T-/D,
F, = f tana«,
tan (i
tan (p — <p)
•r¡2 = ----------------Vi = ------------- —
tan p
tan (p + # )
Factor k para el caso más favorable de conexión
q 52
q 53
Número de filetes zL
Factor k
I
1 I 2
I 3.4 I 4.2
Condición de autoafianzamiento
/«
Angulo de avance
3
4.8
4 I
5.3 I
tan p ^ p '
>
(se obtiene de tan p = — )
2K
(ta
<f> Angulo de fricción deslizante
(ver valores en Z 20)
p
Coef. de fricción deslizante
(/x' ss 1.034 n = tan <f>' )
p ' Coef. de fricción total
\f> Para hierro fundido, bronce fosforado, aluminio: 2.5
*r/,. si el elemento impulsor es el sinfín
*r¡2, si el elemento impulsor es la corona
Para los símbolos restantes de las fórmulas ver Q 1
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Ï7
Elementos de máquinas
Engranajes epicíclicos
Q 5
TRENES DE ENGRANES PLANETARIOS CON DOS O MAS ELEMENTOS
RELACIONES DE VELOCIDADES
nn = 0
ns = 1
(a es fijo)
n b = 1 -f-
(a es fijo)
na
ns:
n &— 1 —
(a es fijo)
nc = 1 + —
= 0
(a es fijo)
= 1
= nd = 1 +
nb= 1 —
ad
c b
:0
ns: i 1
(a es fijo)
nA: = 1 +
=1 +
nd : : 0
ns : : 1
= 1 +
- 1 -
(d es fijo)
nd = 0 (d es fijo)
na = 1
a ( b - d \
~b\a + d)
a+ d
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Elementos de máquinas
Qe
Cálculo de pasadores y tornillos______
UNION DE CUÑA TRANSVERSAL
Margen de seguridad para la fuerza F
Debido al esforzamiento adicional en
la cuña cuando se aprieta en su alo¡amiento, en las fórmulas se ha con­
siderado un aumento de 25% .
r— ^ Z 2 \
—¿>i—
Cálculo por aplastamiento o presión p
Presión de contacto entre
Barra de tracción y
cuña
q 82
P
1.25 F
,__, = °atperm.l
oa
Ojo de paso y cuña
1.25 F
P — "" ....
:— íTat|,eiui.|
b(D — d)
Cálculo por flexión
q 83
h = 0 .8 7
q 84
f 0.625 F(D + d)
h, = h-2 = (0.5 a 0.75) h
Cálculo por cortante
1.5 F
q 85
= 77T = Tp'
Fuerza F, para introducir la cuña
(Para el cálculo vea K 8)
UNION POR TORNILLOS
Diámetro del núcleo de la barra roscada, d„
después del apriete
durante el apriete
4F
q 86
d„ =
F
o*«(perm.), rr,
j. t (
,
/
4F
rr (0.75) cr((
Fuerza de tracción o carga a transmitir
Esfuerzos permisibles (ver Z 18)
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Elementos de máquinas
Resortes
RESORTE O MUELLE DE HOJA RECTA
Sin carga y deflexión iniciales (carga F)
q 87
Deflexión máx. perm.
q 88
Carga máx. perm.
4
—
Deflexión
2 / 2 <Tf( p e r
b h 3E
Con carga y deflexión iniciales (F,, f x)
Para fmáx, F máx y f son válidas las mismas
fórmulas que antes. Además,
q 90
Deflexión
q 91
Deflexión inicial
(levantamiento)
f = f x + f2 = f2- F
F — F\
F\
U = f* F — Fx
Muelle de hojas rectas apiladas
q 92
Deflexión máx. perm.
q 93
Carga máx. perm.
q 94
Deflexión
/ ' <Tf(perm.)
b h 3N E
Para la forma teórica de una hoja ver p 20 y p 28
Resorte helicoidal de torsión
(El ángulo de torsión a se debe expresar en grados)
q 95
q 96
q 97
Torsión máx. perm.
ormáx =
Carga máx. perm.
Fmáx =
IE
S f <rf(penn.)
a
(57.3) F a /
Torsión (desplaz. angular)
Longitud de una espira
(57.3) / S f ( T f (perm .)
IE
/
al E
= (57.3) F a
Ver en Q 8 la explicación de los símbolos
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Q7
Elementos de máquinas
Resortes
Qs
RESORTE ESPIRAL (ANGULO a EN GRADOS)
99
Desplazam. ang. perm.
q^lOO
Mom. de torsión perm.
q
114.6 lo /(p e r m .)
hE
bh-
rmix = —
a /(P e „
687.6 T I
q 101
Desplazam. angular
a
q 102
Momento de torsión
T
q 103
Empotramiento en H
F\
q 104
Articulación en H
E\
q 105
Distancia entre espiras
a
q 106
Número de espiras
N
= ----------------
E b h :i
aE b h¿
687.6/
T
re
2 [e
{re* - r¿)rr
i
= longitud media de espira
Resorte de impulso
En general, se supone conocido el diámetro interior D h de la caja
del resorte y se corrige después según los resultados de los cálculos.
q 107
q 108
Diámetro del núcleo
dk
Grueso del resorte
h
~
3
Di,
100
(redondear h a valores normalizados)
D/, -f- d
q 109
Longitud del elemento
/
q 110
Número de vueltas
¿
nmáx = N¿ — N y
¡ q 111
Estado del
resorte
Número de
espiras
Suelto
Dh — d
Ni = -
= A/, ir
Momento de la fuerza*
E b h* 7r
------------- 3
6/
E b h :i ir
Tmáx ^
------ (N-¿ - N, + 3)
Tmín
2 /7
|q
112
Esforzado
N-, =
d - d„
6/
2 /7
^Descontar de 10% a 30% por fricción
F Empuje de trabajo
T Momento de la fuerza
Sf Módulo de sección
<r/(perm.)
E
Esfuerzo permisible por flexión
(ver Z 19)
Módulo de elasticidad
(ver Z 19)
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Elementos de máquinas
Resortes
Q 9
RESORTES HELICOIDALES DE TENSIO N O COMPRESION
Sin deformación inicial
Calibre del alambre
d
Número de vueltas
N
Carga máxima permisible
Fmix
Cambio de longitud
f
=
8 AI D J F
ttN
d‘ G
D - t ,,,
dG
Con deformación inicial
Emplear las mismas fórmulas anteriores. Además
Cambio de longitud
f
= f„ + f, -f-
—*
F
= f2
Predeformación
f,
= f*
Fuerza de predeformación F „
= F
F — Ft
> -
(f. +
>2 )
Resorte de barra de torsión
Torsión max. permisible
a,,,.,, =
Momento máx. permisible
f
5 7 .3 / Sp Tr IIIITIII. I
i,u
S ,r. ......
57 3 T /
Torsión (ángulo en grados) a
Momento torslonante
r
Ip G
a lp G
5 7 .3 /
f„
Deformación total Inicial producida al enrollar elresorte
lp
Momento polar de inercia del área transversal A
Sp
Módulo polar de sección del área transversal A
Tt<perm.i Esfuerzo cortante perm. por torsión
(Ver valores en Z 19)
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Elementos de máquinas
Q 10
Ejes de transmisión
EJES, ARBOLES O FLECHAS
Según el tipo de carga los ejes se calculan considerando:
Esfuerzo permisible del material
q 126
5.1 T
En torsión simple:
—
T t (perm.)
En torsión y flexión combinadas: Ver P 7 y P11
Cambio de forma por flexión
Se presenta por efecto de la tensión en bandas de transmisión,
por presión de dientes de engranes y por acción electromagnética
en máquinas eléctricas. Si la variación de forma es fuerte se
presenta trabamiento en los cojinetes o chumaceras y una dis­
minución irregular (unilateral) del entrehierro en máquinas eléc­
tricas. El cálculo por flexión se verifica según P 4.
Cambio de forma por torsión
Para obtener una marcha uniforme, sobre todo en el caso de
y a ino
iv u
u i / v ser
O ü. u
u n iu
cigüeñales, el ángulo de torsión <£ con carga
debe
dema­
siado grande.
q 127
<f> =
n (en radianes)
f\~
1
G— D '-
G /„
Velocidad angular (frecuencia) crítica nk para vibraciones torsionales
Se presenta en ejes de gran longitud, grandes distancias entre
apoyos y altas velocidades de rotación (rpm).
La frecuencia crítica nk se calcula según M 6
q 128
Velocidad angular de trabajo
n ss k n k
(k = 0.80 a 0.90)
Velocidad angular crítica n 'k para vibraciones flexionales
q 129
Carga
simétrica
nk = 6550
q 130
Carga no
simétrica
nk' = 1637
d
/
/
lp
E
G
F
FP
rpm
ÍU L rpm
V F a2 b2
Diámetro del eje (mm)
Longitud del eje (mm)
Momento de inercia delárea(transversal) (mm4)
(ver
P 3)
Momento polar de inercia del área (mm4)
(ver P 7)
Módulo de elasticidad axial (kgf/m m 2)
(ver Z 18 y Z 19)
Módulo de elasticidad angular (kgf/m m 2)
(ver Z 19)
Carga flexionante (kgf)
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Elementos de máquinas
Guías-Acoplamientos
Q 11
GUIA
En el caso de uno de estos elementos se tiene
/
ta n a <
- , o bien
( 2 h + / ) /a
la relación de longitudes
F e o se*
l
2 u ta n a
— = À > — - ---------h
1 — /x tan a
q 132
V777Z7777A 1 / «
f 'Cj . È
l/i.-
U.
Si no se tienen las condiciones anteriores para ta n a , se presentará
trabamiento o efecto de abrazadera.
ACOPLAMIENTOS DE FRICCION
Copie simple de discos
q 133
p,F
D3 - ( f
3
O- — <t‘
T, = -
\ fíF r
q 134
D + d
q 135
Copie múltiple de discos
/¿F N
q 136
Tfr. = -
q 137
3
D* - cP
D‘ -
■-
cf-
y
q
‘- I x F r N
Copie cónico
q 138
fiF r
Tfr. = Para que no haya agarre excesivo
se debe tener
tan a £ p
Tfi.
r
Momento de fricción
Radio medio
F
N
Coef. de fricción
(ver Z 20)
Núm. de zonas de contacto
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Elementos de máquinas
Q 12
Recipientes de presión
TAMBOR CILINDRICO
q 139
Espesor de pared en el caso de junta:
pDN
Remachada s as —
1-1 mm
2 V <T((perm .)
pDN
Soldada
q 140
0-3 Of (perm.)
q 141
Dimensiones del remachado (d = diám. remache)
t—d
d = \/5 0 s mm — 4 mm
q 142
q 143
t = 3 d + 5 mm
e = 0.8 í
e, = 0 .6 1
Esfuerzos de tensión en:
Junta circunferencial
7r D- p
q 144
q 145
Junta longitudinal
Dpi
4 s{n D — n d)
a ‘ ~ 2(t - d)s
Revisión de la placa (o lámina): (t — d)s° “ per—1' ^ 0.5 D p t
N
Revisión de las remachadoras por
7r
q 146
cortante
simple
2 — d 2Tn
4
7r
3 — d 2Tn
4
q 147
¿L
; 0.5 D p t
7T
--- d 2Tn
q 148
cortante
doble
4
r 4 ^ F Í7 5 ir
7T
3 — d 2Tn
4
q 149
Valores permisibles de r„ en N /m m - (C. Bach)
Remachadura
q 150
q 151
q 152
1 fila
2 filas
3 filas
P
perm .)
Cortante simple
60 — 70
55 — 65
50 — 60
Cortante doble
100 — 120
95 — 115
90 — 110
Número de agujeros en una línea circunferencial
Factor de seguridad dependiente de la temperatura:
N as 2 para una temperatura de pared t = 250°C
N sí 5 para una temperatura de pared t = 250°C
Presión interna (manomètrica) del recipiente
Esfuerzo permisible de tensión
(Ver valores en Z 18)
Coeficiente de debilitamiento as 0.8
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Elementos de máquinas
Anillo de contracción
Q 13
ANILLO (O ZUNCHO) DE CONTRACCION
En el caso de un elemento de esta clase
que debe mantener fija una parte de una
máquina rotatoria, por ejemplo, un volan­
te o el devanado de un motor.la fuerza de
contracción F r deberá ser al menos el do­
ble de la fuerza centrífuga F c':
q 153
Fe = 2 Fc
Fuerza centrífuga, Fc'
Fc' = m r s o? = A i r 2 m r s n 2
q 154
_
2R
q 155
7r
G
m = —
q 156
g
Area transversal del anillo, A
A
q 157
Fc
= -------------2 (Ta (perm .)
Grado de contracción a
Es el grado en que debe ser menor el diámetro interior del anillo,
que el diámetro exterior del elemento a fijar.
1
q 158
A
—
~ ~ D (Jt (p e rm .)
Ancho s de un anillo delgado
D írt(perm.)
q 159
S
R
D
G
cTaíperm.)
perm.»
=
-----------------2 (T t (p e rm .)
Radio medio
Diámetro medio
Peso de medio anillo
Esfuerzo permisible de aplastamiento (Ver valores en Z 18)
Esfuerzo permisible de tensión
(Ver valores en Z 18)
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Máquinas-herramienta
Escalonamiento de velocidades
DIAGRAMA PARA LAS VELOCIDADES DE ROTACION
Construcción del diagrama en
"diente de sierra". Para cada
velocidad de giro n dada (en
L
rpm) se traza la gráfica de
la velocidad periférica v
de la herramienta o de la pie­
za trabajada, en función del
diámetro d. según la relación
v = tt n d
Lo anterior da un haz de rec1
tas que parten del origen. Se
^
traza luego una recta hori­
zontal L correspondiente a
una v determinada. De sus
puntos de intersección con las líneas de velocidad se trazan seg­
mentos verticales hasta cada una de éstas. Cuanto más uniforme
sea su longitud tanto mejor será el escalonamiento de velocidades.
Escalonamiento.
Los mejores intervalos de velocidad de giro (revoluciones) se ob­
tienen cuando, como se ve en la figura, todas las longitudes a v
son iguales. La anterior condición se satisface con una serie geo­
métrica de valores de velocidad:
Cada velocidad se calcula como sigue
r
2
n 2 = r)i<t>
n 3 = n 1<|>:í
r
3
Número de pasos
r
4
etc.
n 4 = n <|>3
* = 1 H------------logi|>
Valores estándares de <t> :
1 .0 6 -1 .1 2 —
1.41 -
m
nk
Velocidad mínima (rpm)
Velocidad máxima (rpm)
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1 .2 6
1 .5 8 -2 .0 0
Máquinas-herramienta
R2
Escalonamiento de velocidades
CALCULO DE ESC ALON AM IENTOS
Poleas escalonadas
Para emplear una misma banda de transmisión, los diámetros de
los pasos o escalones deben ser los mismos, pero en orden inverso,
en las poleas impulsora e Impulsada.
Hay que elegir primero el diámetro mayor d i. En el caso de tornos,
su valor lo determina el volteo o altura de puntos.
r 5
r 6
di : d2 —
di
r íf
\A|ñ 1
d ,1 .: «d4, =
—
*
:■t1
d 2 : da = V *
:1
v
j!t
di V<F
d* = ^ ~ 7 T — T
2 V ^ -1
r 7
r 8
r 9
d,
a,
d, : d5 = <l>2 : 1
M '
: 1
d i : d:¡ =
d¿ dq — <|)
di - f d5
di + d3
r 10
d4
I1
di =
d2— -
m j
di
r 11
-
2
da -4- d5
d4 = -
ds d3
di
Poleas escalonadas con impulsión de engranes
(/ = relación de transmisión)
r 12
Para engranajes se emplea la fórmula
di
T-
= F*T
r 13
i =
r 14
/i =
cf) k /2 = -
Z4 Z 6
= z3Z5
¡2— <1)2^3— :* 2 * 6
r 15
Zi z5
r 16
z3 = z4 (valores seleccionados)
F,,
k
Tensión máx. en la banda
Número de pasos (ver R 1)
I
|
r,„is.
<}>
Mom. máx. de rotación
Factor de la serie
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Máquinas-herramienta
Rs
Fórmulas diversas
Impulsión de una máquina-herramienta
Potencia del motor
P
2nr n F
—vF
V
Diámetro del eje o árbol
d
5.1 T
=
Z f í perm .)
D
T = F—
Momento de rotación en
el eje de trabajo
2
Fuerza de corte (presión de viruta) F
En tornos
F
= A K
En fresadoras
F
= -
Carga sobre el árbol de fresado
F ' = 1.4 F
b tf K
v
Resistencia específica del acero. K
K
Resistencia a la
tensión <r« en N /m m 2
a
—
3 fjh
400
500
600
700
800
900
1000
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.2
Transmisión por banda
2 T
P
d
vh
Tensión en la banda
Fb
Velocidad de la banda
vt = n d , n
Relación para el ancho B
de una banda IN /m m )
F t = B ,n (por unidad de grueso)
Anchura 6 en mm
50
60
70
80
100
120
150
Esfuerzo permisible
de tensión <r„ en N/mm-'
10
12
12
13
15
15
16
Ver en R 4 la explicación de los símbolos.
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Máquinas-herramienta
Potencias necesarias
CALCULO APROXIMADO DE LA POTENCIA
Tipo de máquina
r 30
Potencia aproximada en kW
(1 kW = 1.34 hp = 1.36 cv)
ligero
0.015 x Volteo (altura de puntos) (mm)
mediano
0.030 x Volteo (mm)
r 32
pesado
0.045 x Volteo (mm)
r 33
Torno
ligero
0.080 x Alimentación de material (mm)
r 34
revólver
pesado
0.120 x Alimentación de material (mm)
un husillo
Igual que en el torno revólver (de torreta)
r 31
Torno
r 35
r 36
automático
varios husillos
Igual que en el torno revólver, mul­
tiplicando por el núm. de husillos
de trabajo.
normal
0.080 x Diámetro de barreno (mm)
r 37
Taladro
r 38
alta potencia
r 39
ligera
0.150 x
Diámetro de barreno (mm)
0 001 x Area de mesa (cm2)
Fresadora
r 40
pesada
0.002 x Area de mesa (cm2)
r 41
Cepillo de codo
0.010 x Carrera máxima (mm)
r 42
Cepilladora (de mesa)
0.006 x Anchura de corte (mm)
r 43
Rectificadora redonda
0.018 x
Diámetro de disco (mm)
r 44
Rectificadora plana
0.012 x
Diámetro de disco (mm)
Símbolos de R 3;
A
b
f
di
D
t
V
V
T t(perm .)
n
Area transversal de viruta
Anchura de fresa
Avance o alimentación
Diámetro de polea principal
Diámetro del material en tornos
Diámetro del cortador en fresadoras
Esfuerzo máx. permisible en bandas
Profundidad del corte
Velocidad de corte
Eficiencia mecánica entre el motor y el husillo de trabajo
Esfuerzo cortante permisible por torsión
Velocidad de giro (rps o rpm)
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Electrotecnia
Conceptos generales
MAGNITUDES PRINCIPALES Y SUS UNIDADES
s
1
Empleo de mayúsculas y minúsculas en símbolos
En electrotecnia se emplean letras mayúsculas para designar can­
tidades constantes, y las correspondientes letras minúsculas — o
las mayúsculas con el subíndice t— para designar cantidades que
varían en el tiempo.
E|emplos:
Excepciones:
Fórmulas s 8, s 9. s 13
f. oí, l m. Um, p FeW. etc.
Trabajo eléctrico W
El trabajo eléctrico equivale al trabajo mecánico definido en M 1.
Al transformar energía, sin embargo, se presentan pérdidas.
Unidades:
W • s (watt-segundo), kW • h, M W ■h
1 W • s = 1 joule (J) = 1 N • m
Con las definiciones dadas en S 1 y S 2 se cumple que
s
U2
W = 1U t = — t = P R t
R
2
Potencia eléctrica P
La potencia eléctrica equivale a la potencia mecánica definida en
M 1. Sin embargo, al transformar potencia se presentan pérdidas.
Unidades: W (watt), kW, MW
s
s
Con las definiciones dadas en S 1 y S 2 se cumple que
s
UP = — = í2 R
R
3
Frecuencia t
Período T
Ver L 1
Ver L 1
Frecuencia angular o> Ver L 1
Intensidad de corriente eléctrica I
Es una cantidad fundamental. Ver Explicaciones generales
Unidades: A (ampere), mA, kA
La intensidad de corriente de 1 A se define en función de la
fuerza de atracción entre dos conductores paralelos por los que
circula corriente en uno y otro sentidos.
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Electrotecnia
S 2
Conceptos generales
Densidad de corriente eléctrica J
1
= ~Á
Esta fórmula es válida solamente si la corriente / está distribuida
uniformemente en el área A.
Unidades: A /m 2, A /m m 2
Tensión eléctrica U (o bien V)
P
U = —
1
Unidades: V (volt). mV. kV
1 V es igual a la diferencia de potencial o tensión entre dos
puntos de un circuito donde una corriente (directa o continua)
de 1 A desarrolla una potencia de 1 W
W
J
N •m
1 ------ = 1 -------= 1 A • ll = 1 A
s -A
s •A
1V =
Resistencia eléctrica R
U
R - —
(ley de Ohm)
Unidades: n (ohm). kit, M$t
1 12 es la resistencia eléctrica de un conductor por el que pasa
una corriente de 1 A cuando se le aplica una tensión de 1 V.
z
->
<
•
(0
I"
I!
II
II
II
Spc
>l<
m
•A 2
Conductancia eléctrica G
La conductancia eléctrica es el recíproco de la resistencia:
1
G = —
R
Unidades: 1 S (Siemens) (anteriormente, mho)
Carga eléctrica Q
q =
i dt
J
(ver s 1)
Si la corriente es constante i es igual a 1, y entonces
Q = lt
Q es también proporcional al número de electrones que posee un
cuerpo en exceso a los que le corresponden en estado neutro.
Unidades: C (coulomb). m C .^ C , pC; A • h
IC = 1 A s
1 A
h = 3 .6 K C
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Electrotecnia
Conceptos generales
Capacitancia eléctrica C
La capacitancia (o capacidad) eléctrica C de un condensador o
capacitor es la relación de su carga Q a la diferencia de potencial
U entre sus placas.
s 10
C
Q
ii
Unidades: F (farad).^F, n F , pF
1 F es la capacitancia de un condensador que adquiere una
carga de 1 C al aplicarle una diferencia de potencial de 1 V.
C
A s
A“ • s
1 F = 1— = 1
= 1
= 1
V
V
W
A2 • s2
J
A2 ■s2
= 1■
N -m
Flujo magnético <l>
1 /•
i|>i = — f ee d t
N J
s 11
(ver s 1)
donde N es el número de vueltas o espiras de una bobina y e la
tensión autoinducida (fuerza electromotriz) que se produce, si
varía en el tiempo el flujo <I>concatenado por la bobina.
Unidades: Wb (weber) = V • s = 10* Mx (maxwell)
1 Wb es el flujo magnético que al disminuir uniformemente a cero
en 1 s induce en la bobina de una espira que lo concatena una
tensión de 1 V.
Densidad de flujo magnético (o inducción magnética) B
Para una densidad de flujo B en una área A se tiene:
e =±
s 12
donde A es el área atravesada perpendicularmente por el flujo
uniforme <l>
Unidades:
T (tesla), /jT, nT, V - s / m 2; Gs (gauss)
V •s
V •s
Mx
1 T = 1 -------- = -10-4---------= 104 Gs = 104 -------m2
cm2
cm2
1 T es la densidad de flujo producida por un flujo uniforme de
1W b al atravesar perpendicularmente una superficie de 1 m2.
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Electrotecnia
Conceptos generales
S4
(Auto) Inductancia electromagnética L
<l>
4>(
L = N — = N —
1
/
(ver s 1)
donde / es la corriente que pasa por un inductor o bobina de N
vueltas concatenada con un flujo magnético 4>.
Unidades: H (henry), mH
1 H es la (auto) inductancia de una bobina de una espira en el
vacío, por la que al pasar una corriente de 1 A produce un flujo
concatenado de 1 Wb.
Wb
V •s
1 H = 1 -------= 1 -------A
A
Intensidad de campo magnético H
B
H = ---------Unidades: A/m . A/cm, A/mm (anteriormente ampere-vuelta/metro, etc.).
Fuerza magnetomotriz 0
0 = NI
Unidades: A. kA, mA (anteriormente ampere-vuelta, etc.).
Tensión magnética <?/■
En el /-ésimo tramo de un circuito magnético:
úi l i = H í - / í
donde/, es el recorrido del flujo magnético en dicho tramo.
=
& (>ey de la fuerza magnetomotriz)
Reluctancia magnética gfr
En un circuito magnético uniforme:
0 1=
—
(ley de Ohm para el circuito magnético)
Unidades: 1/H = A /V • s
0>
Permeancia magnética
En un circuito magnético uniforme:
1
~ á? ~
<|>
Unidades: H = V • s/a
Ver el significado de los símbolos de las fórmulas en S 16.
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E le c tro te c n ia
Circuitos eléctricos
LEYES BASICAS DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS
Marcas de polaridad y flechas de sentido
s 20
Polaridad de terminales y sentido positivo de la corriente en
Fuente:
— — ► -fCarga:
s 21
-f
— * —
Polaridad de tensión y sentido positivo de caída de potencial
s 22
Polaridad de tensión y sentido de corriente
Si el cálculo da un resultado con valor
Caracterís­
ticas de una
fuente de
energía o
una carga
Polaridad
de tensión
y sentido
de corriente
s 23
conocidas
indicar (como
se señaló antes)
-
s 24
desconocidas
suponer
correctos
positivo
|
negativo
entonces las marcas de pola­
ridad de la tensión y el senti­
do de la corriente son
los contrarios
Recomendación adicional:
En el caso de una caída de potencial en un resistor hay que
señalar igual sentido para la corriente y la tensión (/? > 0).
Ley de Ohm
Corriente en un resistor
U
I ——
R
s 25
(ver también s 6)
Resistencia de un conductor
p /
/
R = — = -----A
yA
Resistencia de un conductor a una temperatura 6
R = R ¿0 [1 - j- a ( f l- 2 0 ° C ) ]
s 27
Calentamiento eléctrico de una masa m
s 28
U I t - q— c m A0
a
y
p
c
t
R20
a0
Coeficiente de temperatura de la resistencia
Conductividad eléctrica
Resistividad eléctrica
Capacidad térmica o calor específico
Tiempo
Resistencia a 6 — 20°C
Incremento de temperatura
r/ Eficiencia
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(ver Z 1)
(ver Z 1)
(ver Z 1)
(ver o 9 y Z 5)
Electrotecnia
Circuitos eléctricos
1a. Ley de Kirchhoff (regla de las corrientes)*
En un nodo de una red, la suma algebrai­
ca de todas las corrientes es nula.
2/ = 0
corrientes que llegan son positivas
donde las corrientes que salen son negativas
Relaciones entre corrientes (conexión en paralelo)
En una conexión en paralelo de resis­
tores, la corriente total y las corrientes
de las ramas guardan entre sha misma
relación que el recíproco de la resis­
tencia equivalente y los recíprocos de
las resistencias conectadas.
1
1
1
1
' 2 ' '~ ~ R
División de la corriente
En dos resistores conectados en pa­
ralelo:
G,
h = l
G, + G j
R>
- = /Ry + R,
2a. Ley de K irchh o ff (regla de las tensiones)4
En un circuito cerrado o malta de una
red, la suma algebraica de todas las ten­
siones es nula.
2 U= 0
donde las tensiones cuyo sentido corres­
ponde al sentido de recorrido son positi­
vas, y las de sentido contrario son nega­
tivas.
Relaciones entre tensiones (conexión en serie)
En una conexión en serie de resistores,
las caídas de tensión en las resisten­
cias guardan entre sí la misma relación
que las resistencias conectadas.
Uy : U-> :U A = Ry: R> : /?„
División de la tensión
En dos resistores conectados en serie:
Ut = U
_
Gy + G,
Ri
■= U ' R\ + R-2
*V e r otras observaciones en la página S 8
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Se
Electrotecnia
S 7
Conexiones de resistores
Conexión en serie*
Resistencia equivalente Rs
(ver también s 33)
En general,
s 35
R„ = R l + /?2 + /?, + . . .
Con n resistencias iguales R se tiene
s 36
Rs = n R
Conexión en paralelo*
Resistencia equivalente Rp
(ver también s 30)
En general,
1
1
1
# 1
Rp
Ri
^'2
Rn
s 37
Gp = G i -f- G¿
s 38
G3 -|- .
con n resisten­
cias iguales /?
con 3
con 2
resistencia! diferentes
R
R —
P
n
R\ R 2
Rl
"
+ «2
" P
Rx R¿ + R-, Ra + /?, f?»
1
1
1
G i -f- G 2
G, - f G 2 - f G3
nG
Conexión en serie-paralelo*
Una conexión mixta en serie-paralelo de resistencias conocidas se
descompone de dentro hacia afuera en conexiones simples en para­
lelo y en serie. Estas se transforman individualmente y se vuelven a
componer después. Por ejemplo:
I
+ P
=
u = --------------------- u
G i -}- G¿
Ri ^2 “f* ^1 ^3 “t- ^2 ^3
*2
^1 ^2 “f"
8 43
u =
^3 “f" ^2
U2 =
G, G 3
l¡
u =
Pi Pü -P T?i Pa “p 7?2 P s
*V e r la observación en la página S 8
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u
M
<
Gi -f- G 2 -f- G3
G,
/?2
l
G»
U
Electrotecnia
S8
Conexiones de resistores
TRANSFORMACION DE CONEXIONES
Estrella (Y) a delta (A) y viceversa*
R 1« * «20 I R.U ■Roo + Rao ' Roo
R,a =
Rio ' Rao 4 Rlo ' Roo 4" Rao ’ Roo
R,3 =
RÜi
Rio ' Rao 4“ Rio " Roo 4 ' Rao ’ Roo
Rao =
Ría • Rio
Rao 4 “ Rio + R 13
Rio = -
Rao —
Rao ' Ría
Rao + R,a + Rio
Roo =
Rao • Rio
Rao 4 - Ría 4 - Rio
Divisor de tensión (potenciómetro)
Este dispositivo permite subdividir una tensión dada.
Ra R,
-U
R , Ra 4- R | R , 4- Ra R<
Uc = -
Si en aplicaciones de metrología es
necesario tener una proporcionalidad
aproximada entre Uc y s entonces:
Rc a
s
10 (R, 4 - Ra)
Desplazamiento desde 0 del contacto deslizante (cursor)
*Nota: En todas las fórmulas de las páginas S 6 a S 9 puede sustituir­
se la resistencia R por la impedancia Z, y la conductancia G
por la admitancia Y.
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Electrotecnia
S9
Conexiones de resistores
APLICACIONES EN M ETR O LO G IA*
Ampliación del intervalo de medición de un voltímetro
s 49
U Valor deseado ) Intervalo final
U „ Valor disponible) de medición
R „ Resistencia interna del instrumento
lt i
I—
Ampliación del intervalo de medición de un amperímetro
s 50
Rp — R \¡
I \¡
I -
I - h,
I Valor deseado
/,, Valor disponible
Intervalo final
de medición
Puente de Wheatstone para medir una resistencia R,
Se emplea para determinar una resistencia entre 0.1 y 10“ n. La
con los valores a /( / — a).
Se mueve el contacto hasta
que sea cero la corriente del
puente //.. Entonces
s 51
Rr
a
R
/-a
de donde
s 52
Puente de Wheatstone como comparador de un valor medido
Se emplea el puente para evaluar diferencias de potencial repre­
sentativas en gran número de instrumentos de medición.
R i Resistencia que varía
___________ d _____________
según la cantidad x por
R\—R-j+AR
R2
medir (por ejemplo, tem ­
peratura. desplazamien­
to, ángulo de giro, etc).
R'¿ Valor base de R,
IoAproximadamente se cum­
ple que
s 53
UM ~
A fl ~
X
1---------H
^3
V er la nota en la página S 8
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-c u -
Electrotecnia
S 10
Campo eléctrico
Capacitancia C de un capacitor
f-r A
C = ---------a
Carga eléctrica Q (ver s 8)
Energía almacenada en un campo
eléctrico Ec
S
55
Ec = — C U-
ir
2
u
Conexión en paralelo de capacitores
■I
II
La capacitancia total o equivalente
aumenta a
S
56
C
IIIIC;
— i!
C, + C¿ + C :t
=
Ci
Conexión en serie de capacitores
La capacitancia equivalente dismi­
nuye a
1
1
1
C,
C2
C3
HI—II—Ih
1
c~ “ c \ + e l + c¡
Capacitancia de dos conductores
c„ Permisividad dieléctrica del
vacío (o aire)
A Area de una placa (una cara)
a Espesor del aislamiento
r, Radio del cilindro interno
r¿ Radio del cilindro externo
/ Longitud de los cilindros
(€„ = 8.85 x 10-12 A • s /V • m)
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Electrotecnia
Relaciones electromagnéticas y mecánicas
S 11
REGLAS
Movimiento de una aguja magnetizada
El polo norte (N) de la aguja es atraído por un polo magnético sur
(S) y repelido por un polo magnético norte (N). Con el polo
sur sucederá lo contrario.
Conductores y bobinas fijos
Campo alrededor de un conductor recto con
corriente
Si se supone que un tirabuzón en el eje del
conductor avanza en el sentido de la corriente,
su movimiento de giro indicará el sentido de
las líneas de flujo circulares concéntricas.
Campo en el interior de una espira o bobina con
corriente
Si se considera que un tirabuzón está coloca­
do perpendicularmente al plano de una espira
o en el eje de una bobina, y su giro de avance
corresponde al sentido de la corriente, su des­
plazamiento dará la dirección del campo mag­
nético. En el lado o extremo de salida del flujo
estará un polo N, y en el opuesto un polo S.
Conductores y bobinas movibles
Conductores paralelos
Dos conductores paralelos que conducen co­
rrientes constantes en el mismo sentido, se
atraen, y en sentido contrario, se repelen.
Bobinas alineadas
Si por dos bobinas colocadas de frente pasan
corrientes en el mismo sentido, las bobinas
se atraen; si las corrientes tienen sentidos
contrarios, las bobinas se repelen.
Máquinas
- ) ( -
*B I
Reglas de los tres dedos perpendiculares:
De la mano derecha (para generadores)
Si el índice apunta en la dirección del flujo
magnético y el pulgar en el sentido de rotación,
el cordial (o medio) indicará el sentido de la
tensión generada (FEM) o de la corriente.
De la mano izquierda (para motores)
Si el índice apunta en la dirección del flujo
magnético y el cordial (o medio) en el sentido
de la corriente, el pulgar indicará el sentido
de la rotación.
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*
Electrotecnia
Campo magnètico
12
MAGNITUDES EN CIRCUITOS M AGNETICOS
s 67
Flujo magnético i}>
3
NI
<t> :
m
Densidad de flujo magnético (inducción) B
<I>
B = — = fí, fi,,H = ¡iH
s 68
(ver s 11)
(ver s 12)
Inductancia L
<|>
L = N — = N- 3
N= —
I
¡X
(ver s 13)
Para el cálculo de L ver también s 140 a s 146
s 70
Intensidad de campo magnético H
_ B _W ,
p
(ver s 14)
<¡
Fuerza magnetomotriz - /
3 = N I = '% W t
s 71
s 72
(ver s 15)
Tensión magnética / / . en la i-é sima porción de un circuito magnético
(ver s 16)
Reluctancia magnética - // de un circuito uniforme
x - 'T <p
s 73
'
(ver s 18)
ytLA
1 de
Permeancia magnética
s 74
3 --
1
•R ~ 3
s 75
s 76
s 77
un circuito uniforme
1
<1>
~
(ver s 19)
N-
/
Energía magnética (almacenada en un campo) Em
1
1
Em = — N lt p = — L I2
2
Flujo magnético disperso <p¿
Parte del flujo magnético total <|>„ se dispersa por el aire exterior
y resulta así inefectivo. De modo que <)>,, está referido a <|>, el flujo
efectivo. Por lo tanto,
<l>d
Coeficiente de dispersión S = —
(0.1 a 0.3)
>l>
Flujo total
<!>.. = <l> + <l'j = (1 + 8) i|>______
La explicación de los símbolos puede verse en S 16
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Electrotecnia
Campo magnético
S 13
FUERZAS MAGNETICAS
Fuerza entre dos polos magnéticos
En la dirección del flujo magnético se produce
una fuerza de atracción Fa dada por
1 B¿A
Fa =
. o bien, F„ =* 40
2 /xFuerza sobre un conductor con corriente
Sobre un conductor que lleva una corriente /, el campo magnético
ejerce en una longitud /d el conductor que lo atraviesa, una fuerza
transversal Fv.
En una armadura o inducido de máquina de corriente continua (CC)
se produce el momento de rotación interno
\F¡
i
p
M i — —— <J>/ — ;
2 7T
a
o bble
ien
n .,
b-4
M
M ¡i = -----— 1 -( (—— 11
U —— | )——z z NN•-m
27r \ V - s / \ A J a
Conductor
Tensión inducida
(ley de la inducción de Faraday)
Si una bobina (con N espiras y resistencia interna /?,) enlaza o
concatena un flujo magnético <j> variable en el tiempo, se induce
en ella una tensión o fuerza electromotriz (FEM)
rc+r .
e= N
d<|>(
(ver s 11)
dt
que hace circular corriente por su
circuito conectado.
W )
Tensión inducida por
el movimiento de un
rotación de una espira I rotación de la armaconductor normal a
o d e una bobina
|dura de un generador
un flujo magnético
en un campo magnético
e =
B L u
= U # mix ■ Sen { u t )
$máx
~
Tensión o FEM de autoinducción:
Ver la explicación de la página S 16
Ld B
= l d B
2k o .
,
e = L- d i/ á t
| Ver símbolos en la página S 16
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Electrotecnia
S 14
Corriente alterna
CONCEPTOS GENERALES
Fasor
Un fasor es un segmento representativo de una magnitud alterna
que gira en sentido contrario al del reloj. Angulos en igual sentido
se consideran positivos, y en sentido contrario, negativos.
\
^ .R o ta c ió n positiva
l
s 86
s 87
<Pi -
<p2 = 3 6 0 ° = 0
equivale a <p2
Amplitud o valor máximo (ver s 1)
Una magnitud alterna (corriente, i, o tensión, u) varía periódica­
mente. en general, en forma
Diagrama
Variación en el tiempo
de onda senoidal. Los valo­
res máximos /„, y Um reciben
el nombre de amplitud. Con
una frecuencia angular o =
2 n f, el ángulo descrito en
un tiempo t está dado por:
s 88
a — o)t =
2 tt f t
y en este momento los valores instantáneos son:
s 89
de la corriente
i = lm sen w t = /„, sena
s 90
de la tensión
u = Umsen o t = Um sen a (cuando 0 = 0)
Valor eficaz (o r.c.m., raíz del cuadrado medio)
Estos valores son los que se emplean en la práctica y los que
indican generalmente los instrumentos de medición.
En general
s 91
s 92
' ='■■' V
y
J
ü = u 'J =
/ 7
Para ondas armónicas
>
p
dí
' = ''f
= Jj 2
ü = ^
= í f
Con estos valores se tiene también en circuitos de corriente al­
terna:
s 93
P = UI
(en el caso de eos 0 = 1 , ver s 105)
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Electrotecnia
Corriente alterna
S 15
CONCEPTOS GENERALES
Defasamiento. ángulo de fase <t>
En presencia de impedancias de diversos tipos (resistiva, induc­
tiva o capacitiva) en un circuito de corriente alterna ocurre un
desplazamiento en fase o defasamiento, 4 >. entre la corriente y la
tensión. El ángulo de fase <f> se mide en el diagrama fasorial de
la corriente a la tensión, y en el diagrama de variación en el tiem ­
po. de la tensión a la corriente.
94
Factor de calidad Q, factor de pérdidas tan 8 y ángulo de pérdidas 8
El factor Q de un circuito se define como
s 95
O = 2 7TEm/ w p
donde
es el valor máximo de la energía almacenada en el circui­
to y w,, la pérdida de energía en un periodo.
El recíproco del factor de calidad se conoce como factor de pér­
didas.
96
tan 8 = 1 /Q
(8 es el ángulo de pérdidas)
Para un circuito de resistencia e inductancia (s 115 y s 118) y un
circuito de resistencia y capacitancia (s 116 y s 119) se obtienen
de esta definición las siguientes relaciones sencillas:
s 97
s 98
s 99
Q = |tan<#)|
I tan 8 = 1 /Q = 1/|tan <¿> |
= 90“ — |</>| |
= U R/U x (en la conexión en serie)
= / « / / a- (en la conexión en paralelo)
Pueden verse fórmulas de tan 8 en S 17 y S 18.
Para el caso de circuitos resonantes se tienen las fórmulas más
complicadas s 128 y s 129.
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Electrotecnia
S 16
Corriente alterna
Ecuaciones básicas para circuitos monofásicos
s 103
s 104
s 105
s 106
Impedancia
Admitancia
Tensión en una
impedancia
Corriente en
una impedancia
Potencia aparente
Reactancia
Potencia activa
Potencia reactiva
s 107
Factor de potencia
s 100
s 101
s 102
s 109
= 1 /Z
(Ver :
U
= IZ
P„
X
P
P,
~ T
= U I = \ / P 2 + P,.2 =
= Z sen <f>
= U 1 eos 4> = I 2 R
= U 1 sen <#> = í2 X
U
p
p
eos o = -------= —
Ul
P„
Pr
P,
sen d> = -------= —
Ul
Pa
Factor reactivo
s 108
Z
Y
Ul
Flujo alterno a través
de una bobina
4.44 N I
fi„
fir
Permeabilidad magnética del vacío (fx„ = 47r x 10-7 V • s /A • m)
Coeficiente magnético (permeabilidad relativa):
para el vacío, gases, líquidos y la mayor parte de los sólidos
se tiene/Ar = 1;
para los materiales magnéticos ver la página Z 3
a Número de pasos en paralelo en el devanado
/ Longitud de la trayectoria del flujo magnético
N Número de espiras en una bobina o devanado
p Número de pares de polos
z Número de conductores
serie
Rs
Resistencia en
paralelo
serie
Ls
En los circuitos de impedancias en
S 17 y S 18
Inductancia en
L,,
paralelo
Explicación para la página S 13 (FEM de autoinducción)
Ley de Lenz. Si a través de una bobina pasa una corriente / que
varía en el tiempo, entonces varía también el campo magnético
producido por la corriente. Se induce así en la bobina una tensión
instantánea e. que tiene siempre una polaridad tal que con­
trarresta magnéticamente la variación de la corriente.
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Diagrama
fasorial
Tipos de
componentes
Relación
de fases
Defasamiento
Ur
Resistiva +
capacitiva
Xc
/ adelante
de U
menos
de 90°
vrX'J I
-n -
en serie
Resistiva - f
inductiva
K
en paralelo
Resistiva +
inductiva
/ atrás
de U
en paralelo
Resistiva ■+
capacitiva
en paralelo
/ adelante
o atrás de
U según
las compo­
nentes
1
/
RP ( —
l o,Lr
—<»C)
V IT O
oiLP
I adelante
de U
Para un reactor (o bobina de reactancia) los valores dados de R y L
son por lo general las cantidades R s y L s. in d e p e n d ie n te s d e la fre
c u e n c ia , en el circu ito equivalente en serie (ver s 115). En conexiones
en paralelo de reactores y capacitores se recomienda usar los valores
del circu ito equivalente en paralelo (ver s 118) Las cantidades Rp y
L P. d e p e n d ie n te s d e la fre c u e n c ia , de este circu ito se calculan a partir
de R s y L s em pleando las fórmulas:
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(«*-,)*
Rs
Lp = L s
Rf
o,2Ls
(/)
00
Electrotecnia
S 19
Corriente alterna
CIRCUITO RESONANTE
Diagramas de
conexiones y
fasoriales
Diagrama fasorial en caso
de resonancia
en serie
en paralelo
Ver s 113
Ver s 117
Ui\
U\ J e _______
tI - I R k
u -u R
Uc
1
s 122
UL = Uc
1
Condiciones
de resonancia
= Ir
1
0 )r Lp
0ir c
w r- L r C = 1
o>r- L,, C = 1
s 124
s 125
Frecuencia
de resonancia
s 126
Corriente en la
resonancia
1
fr
1
2 tt \ J L p C
[Cuando f (frec. de línea; — f r. ocurre la resonancia]
s 127
s 128
s 129
Factor Q
° RFactor de
pérdidas
s 130
Lonaitud
de onda
s 131
Periodo en la
resonancia
U
U
lr = —
Rr
Ub = U L 0 =0
Rr C U
¡r
Rr
Lr
K--= l L - l c = 0
0 = 0
Uc = 0
<Or L r _
1
Rp
R*
ü)r C R r
0 )r Lp
1
tan 8« —
—
Qr
Rr
, R
0>r L r
tan 8,
c
300 x 10“ m /s
fr
fr
1
1
Qp
0)r C Rp
a =
Tr = 2 TT\J~LpC
T, = 2 7 r x / L „ C
F iltro . Un circuito resonante en paralelo tiene impedancia máxima
Z mi¡y a su frecuencia de resonancia. De modo que puede actuar
como filtro eliminando corrientes de esa frecuencia.
s 132
Z m¿x = RP =
Ver los símbolos en S 16
LH
R,<C
y además
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/ = -
U
Electrotecnia
S 20
Corriente alterna
PUENTE DE M EDICION PARA CORRIENTE ALTERNA
Se emplea para determinar la capacitancia de condensadores y la
inductancia de bobinas. Para hacerlo deben ajustarse el capacitor
variable C¿ y el resistor R¿. hasta que la señal en el audífono K haya
alcanzado un mínimo o desaparecido. Los circuitos mostrados no
dependen de la frecuencia.
Medición de
capacitancias
inductancias
R*R<
Rx =
tan 8* =
R x o) C x
R¿
Rx
ti) L.y
Determinación de una impedancia desconocida. Se obtiene midien­
do la caída de tensión en esa impedancia y una resistencia auxiliar:
R_
^
i
- U,? - Uy?
■
o
-® “ I
Py = 2R
@
COS
U yl
Uy
Z = -
k 3 nw GH
a
La resistencia auxiliar debe seleccionarse de manera que
Un S \Uy\.
Cx
Capacitancia desconocida
8.v
Lx
Inductancia desconocida
R¿. R3. R a
Angulo de pérdidas
(ver S 15)
Resistencias cono­
cidas
Rx
Resistencia desconocida del capacitor o del inductor
C >, C4 Capacitancias calibradas ajustables
Z
Impedancia desconocida (inductiva o capacitiva)
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Electrotecnia
Corriente alterna
INDUCTANCIA L DE BOBINAS CON NUCLEO DE AIRE
Cálculo de L a partir de la impedancia y la resistencia.
s 140
141
Se hace pasar una densidad de corriente (J = l/ A
3 A /m m -) y
se mide la tensión terminal U, la corriente I y la potencia activa P.
Impedancia Z :
s 142
Resistencia R = —
s / Z - - RCálculo de L para una bobina toroidal (de anillo)
s 143
L =
ix„ h N 2 7r
r->
in - r,
Cálculo de L para una bobina de disco con sección rectangular
D
u
Inductancia
s 144
< 1
s 145
> 1
L = 1.05
S 146
>3
Los valores ya no son aceptables
V -s
= 10-«-------
S 147
s 148
a
A
b
de
D
/i
/m
N
p
Ancho radial de la bobina
Area transversal del conductor
Grueso axial de la bobina
Diámetro exterior del conductor con aislamiento
Diámetro medio de la bobina
Longitud del contorno interior del hueco
Longitud media del enrollamiento Um =
+ na)
Número de espiras o vueltas
Perímetro de la sección transversal de la bobina
Relación a : b
i
3b
Y
N de2 /
Grado de aflojamiento en la bobina I p = -
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Electrotecnia
2 2
Corriente alterna
CALCULO DE BOBINAS CON NUCLEO DE AIRE
PARA UNA IN D UC TANCIA DADA
Bobinas de alta frecuencia
D
Fórmula
/D \“
< 1
> 1
_ ]
N 3-25
a
\m /
1
donde:
/ d„ Y 5 / L \ —
39 V m /
\m / '
©
—
— x
2 \/Ñ
d0 =
10
\H /
55 ©
- 5
■ (ïï)
x
= de (1 + « )
10'
Bobinas de baja frecuencia
Suponiendo que
fi = 1
y
D = u,
entonces
— Æ X1)
a = - 1 (u ± x / u 2 -
16 N d ,2) ;
b = -íi_ ¡
Cálculo del número de espiras de una bobina
A partir de la sección transversal de la bobina:
N=
ab
~dj
i
A partir de la resistencia:
RA
-b —
PL
T
Mediante una bobina patrón o de referencia.
Se coloca la bobina con el número desconocido de espiras
y la bobina con número conocido de vueltas N0, lo más cerca posi
ble una de otra sobre un marco de
acero, como se indica. El sistema
Entrehierro
se energiza o excita con una bo­
bina magnetizante N,. de CA, a la
que se aplica la tensión Ue. Se mi­
den las tensiones U x y U 0 con vol­
| Nx
I I
tímetro de alta impedancia. De ue
manera que
I ü
I
ÍA
(A
Ver símbolos en página S 21.
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i :K
Electrotecnia
Corriente alterna
HISTERESIS M AGNETICA
Inducción magnética remanente Br
Magnetismo que permanece en el
material (hierro o acero) cuando
desaparece la intensidad magnéti­
ca externa aplicada H.
Intensidad magnética coercitiva H c
Campo que debe aplicarse para
anular la inducción magnética Br.
Trabajo de magnetización WH (energía disipada por histéresis)
Al describir una sola vez el ciclo de histéresis se disipa una ener­
gía WH igual al producto del área del ciclo de histéresis w H y el
volumen de la muestra de hierro. VFe:
—
S 157
Potencia de magnetización P „ (potencia disipada por histéresis)
S
158
PH =
f =
WH ^F e f
Corrientes parásitas o de Foucault
Por la inducción electromagnética debida al cambio de flujo tam ­
bién se originan tensiones alternas en el hierro que. dependiendo
de la conductividad eléctrica del material, producen unas corrientes
turbulentas llamadas parásitas o de Foucault. La construcción la­
minar de los núcleos y las armaduras (con láminas de acero de 0.3
a 1 mm de espesor y aisladas entre sí) las reduce en alto grado.
Pérdidas magnéticas (en el hierro)
Potencia disipada en el hierro por unidad de masa p Fe
Comprende las pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas.
Se mide con una amplitud de la inducción Bm = 1 T = 1 0 kGs. o
bien. 1.5 T = 15 kGs. a una frecuencia de 50 Hz. lo que da las
cantidades p Fel 0 o p Fel5. respectivamente. Los valores pueden
verse en Z 4.
Potencia total de pérdidas en el hierro P Fe
s 159
Pv, = Pr,
m Fe
í(—
[V
T )—
/(50 Hz) ]
Masa del material magnético (hierro)
I x
|
(1 “F X)
Aumento por rebordes del troquelado, etc. (0.1 a 1.0)
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Electrotecnia
Corriente alterna
S 24
REACTOR O BOBINA DE REACTANCIA
Impedancia reductora de tensión
Se emplea un reactor en el circuito de una carga puramente re­
sistiva Rc para reducir la tensión de entrada de un valor U a un
valor UcUr = Zr I
Uc = Rcl
Impedancia
del
reactor
I circuito total
Z, = x/FV + lo ,U -
z =V(R. + «J- +
Inductancia requerida
Para un cálculo aproximado de Ls se puede despreciar la resis­
tencia aún desconocida Rs del reactor. Una vez diseñada la bobi­
na, se conocerá Rs y podrá calcularse Z con precisión. Luego se
revisa U, empleando la fórmula
UR,
U, = -----Z
Eventualmente se requerirá un segundo cálculo con el valor
modificado de la inductancia requerida.
Reactor sin núcleo de hierro y con inductancia constante
El diseño se efectúa según S 21. Se suponen inicialmente los
valores de r¿, r, (bobina toroidal), o de D, u (bobina de disco). Si
el espacio disponible para las bobinas resulta insuficiente o se
obtiene un número inadecuado de espiras o un calibre impropio,
deben repetirse los cálculos con otras dimensiones. Finalmente se
calcula la resistencia de la bobina mediante s 26.
Reactor con núcleo de hierro e inductancia constante
El núcleo de hierro sirve fun­
Entrehierros
damentalmente para confinar
el flujo magnético y debe te­
ner el mayor número posible
de entrehierros simples, S,.
Estos deben llenarse con ais­
lante y su espesor total no
debe ser mayor que 1 cm. La
Se distribuye <
fuerza magnetomotriz (FMM)
bobinado en las dos columnas
requerida por el hierro puede
despreciarse. Los cálculos se realizan con los valores máximos
de H y de B.
(Continúa en S 25)
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Electrotecnia
g ,
á
C orriente alterna
Una medida de la variación de la inductancia Ls es la máxima va­
riación relativa de la inductancia dependiente de la corriente:
|í-«tot. — M
9l =
Ls
1
A FeBmiFe)B
— = —
:
— + 1
gL
Hm{yr ) /fe fXo Ay,
;
Si gL > 0 Mreq.) repítase el diseño aumentando AFe y disminuyendo
Bm(pe), pero manteniendo constante el producto A Fe Bm(Fe).
Dimensionamiento. Dados: Ls. f. g n ™q.>. UL(et ) o let. entonces se
obtienen las siguientes:
Dim e nsiones
d e fin itiv a s
provisio na le s
s 165
S ección e fe ctiva
del n úcleo de
h ierro
s 166
s 167
N úm ero de espiras
s 168
A rea de entreh ierro
L o n g i­
tu d del
e ntre h ierro
s 169
s 170
to ta l
individu a l
D iá m e tro del c o n ­
d u cto r
Area tra nsve rsa l
del bobinado
L on gitu d de las
co lum na s del
núcle o
s 171
s 172
A Fe — n /K let. ULet.
, ^ i
U Leidon de et = ----------
A Fe
(o b te n er de DIN 41 302)
2 ir t L ,
N A e = a b + (5 cm ) (a + b )
_ N *h o A
b
Ls
Si' =
s'/n < 1 cm
U l"
A g — a b + 5 (a + b ) Si
a b n N ^ fi,,
S_ n L , - S N Ji ^ ( a + b )
S,
=
S/n < 1 cm
ó al v a lo r e stá n da r sig uien te
d e in clu ye el aisla m ie nto
A b = 1.12 de2 N
Determ ínese / c a p a rtir de las dim e nsion es
del n ú cle o y de A B■
Bobina de reactancia con núcleo de hierro e inductancia dependiente de la corriente.
Esta bobina cuenta con un núcleo de acero, pero no tiene entrehierro. Sólo se
emplea para fines especiales, por ejem plo, como a m plificador magnético.
K
C o e ficie n te de p ote ncia de la bobina:
=- 0.24 cm 4/V A para b ob in as co m u ne s (en aire) \ v e r S 24 para la form a de
=“ 0 .1 5 c m 4/V A para b ob in as en a ceite
>
se cción del núcle o
para la form a de sección del núcle o | D □ ) a plicar valores
75% m ayores
J'
D ensidad p ro visio na l de c o rrie n te :
para b obinas co m u ne s J ' = 2 A /m m 2
para b obinas en a ceite / a 3 a 4 A /m m 2
Sm(Fe) In d u cción en el h ie rro (a lre d ed o r de 1 a 1.2 T)
R m(Fe) Inte nsida d de ca m p o en el h ie rro para B m(Fe). S egún el tip o
de h ie rro debe o b te n e rse de Z 3.
n
N ú m e ro de e n tre h ierro s. Su a um ento re d uce el flu jo de d ispe rsión
R Cu
R esistencia del bob in ad o (según s 26)
Rs
R esistencia de la bobina, in clu ye n d o pérdid a s en el h ie rro
(R s as 1.3 Rcu)
/ Fe
L on gitu d media de la tra y e c to ria de flu jo en el n ú cle o de h ierro
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Electrotecnia
26
Corriente alterna
TRANSFORMADOR
Designación de los bobinados
Clasificación según
la función en el circuito
(sentido de la transmisión de energía)
la tensión nominal
Bobinado que
Bobina do con
recibe
tensión nominal
mayor
menor
Alto
Bajo
voi aje
|
energía
entrega
Primario
Secundario
(Indice 1)
(Indice 2)
Datos nominales (índice N)
s 173
Capacidad (VA)
PaS = U 1N • /in = U-¿N • /2N
S 174
Relación de transformación
n
=
= /2X/ / 1N
Como tensión nominal secundaria U¿s no se toma la correspon­
diente a carga nominal sino la de vacío, es decir, U>s = U>oPérdidas en el hierro P Fe y prueba de vacío (circuito abierto)
^ 1 ^ 2
U
u
U2c
Las pérdidas en el hierro PFe dependen sólo de la tensión primaria
U i y de la frecuencia f, pero no de la carga.
s 175
P ío =
P Fe
Dichas pérdidas en el hierro, así como la relación nominal de
transformación n, se determinan mediante una prueba de vacío.
(Ver el diagrama de conexiones, secundario abierto, datos con
el índice 0). La componente activa / R(Fe) de la corriente primaria
corresponde a las pérdidas en el hierro; la componente reactiva
es la corriente de magnetización /M- Las pérdidas en el cobre son
despreciables. Las pérdidas en el hierro P Fe se utilizan para calcu­
lar las pérdidas en operación normal y la eficiencia.
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Electrotecnia
S 27
Corriente alterna
TRANSFORMADOR
Pérdidas en el cobre PCu y prueba de corto circuito
Diagrama fasorial
U
Q>
N,
|
ü«
I
D
El valor de PCu sólo depende de la co­
rriente primaria l x y se determina me­
diante una prueba de cortocircuito (ver el diagrama de conexio­
nes, datos con el índice K). En esta prueba con el secundario en
corto se ajusta la tensión primaria U\ al valor Um. con el cual se
hacen circular por los bobinados sus corrientes nominales; UiK
es tan pequeña que pueden despreciarse los valores de /u(Fe> e
/m. La potencia primaria de cortocircuito P iK resulta entonces
igual a la pérdida nominal total en los dos bobinados, PCuN, a las
corrientes nominales. Ese valor se emplea en el cálculo de las
pérdidas de operación y de la eficiencia.
S 176
s 177
P ik = P e uN
Con los valores medidos se determina la relación de cortocircuito,
que se indica a veces en la placa de transformadores grandes.
r K = 100 {UlK/U w ) %.
Del diagrama fasorial se obtienen:
p _
s 178
^cu =
í7 r//in ; L =
L/i./w/in ;
COS <^>ik — U r/ U i k --
uN
r KPaI
Comportamiento en operación
Para determinar la ten­
sión secundaria de traba­
jo U j para cada caso de
carga, se refieren prime­
ro todas las cantidades
secundarias a las de un
transformador de igual
capacidad, pero con una
relación de transforma­
ción n = 1 :1
(valores
con la marca ')
Circuito equivalente
simplificado
/,
Rs
i
s 179
U¿ = r¡ U-¿',
I 2' — I 2'
R / = n2 P;
Cambio a U de U { dependiente de la carga
(Aproximación para r K = 4%)
s 180
a U as U \k (eos <P\k eos <f>2 -f- sen <f>m sen <f>-¿) /2/ / 2N
Tensión secundaria U 2
s 181
U2's s U x - AU ;
U¿ — U ¿/n
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ti
Electrotecnia
Corriente alterna
CONEXIONES TRIFASICAS
R
Estrella (Y)
S 182
U = Uf \ Í 3
s 183
I
S
Uy
Uy.
— /F
T
N
Delta ( a )
R
S
s 184
U = UF
s 185
I = l F s/ 3
T
Medición de potencia trifásica
Cargas simétricas (equilibradas)
Conexión
sin neutro
(sistema de 3 hilos)
con neutro
(sistema de 4 hilos)
Linea
I
r
Carga
Línea
s
U
\
P
r
U
N
s 186
Potencia total
R
1
fív)
r
Carga
s
ÛP
P = 3 P r = \ / 3 U I eos <p
Cargas asimétricas (desequilibradas). Método de Aron. Con dos
wattímetros.
Línea
Carga
De aplicación general y
—
para redes con neutro y sin
neutro.
¡j
s 187
Potencia total
lF
I
R .S .T
N
Pr
P = P, + P2
Corriente de fase
I
U , Tensión de fase
Corriente de línea
|
U Tensión entre líneas
Conductores principales de línea(o bien: L, L 2 L ,)
Hilo de neutro (o punto común)
Potencia de fase (activa)
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Electrotecnia
S 29
Corriente alterna
CALCULO DE POTENCIAS TRIFASICAS
Para cargas simétricas:
s 188
Potencia reactiva
Pr = \ f z u ! sen <f>
s 189
Potencia activa
P = \ / 3 U I eos <f>
s 190
Factor de potencia
P
eos <t> =
n/ 3 U
/
Corrección del factor de potencia (FP)
(en el caso de cargas inductivas)
Generalidades
Para reducir las pérdidas y el costo de la energía consumida pue­
de mejorarse el FP hasta un valor de 95% aproximadamente.
En el caso de cargas grandes la corrección debe hacerse direc­
tamente en cada carga. Tratándose de cargas pequeñas la co­
rrección se hará en la subestación o centro de distribución.
Cálculo de la potencia capacitiva (en VAr) necesaria
El FP se calcula por medio de s 107 o s 190. La potencia se
determina con wattímetros (ver las conexiones en S 28) o con un
watthorímetro.
Potencia capacitiva
necesaria
Pérdidas en el equipo
corrector de FP
Pr = (tan <pi — tan 0_.) P
p c Sí 0.003 Pr
Tabla de valores para la corrección del FP
COS 0
tan 0
COS 0
tan 0
COS 0
tan 0
eos 0
tan 0
0.42
0.44
0.46
0.48
0.50
0.52
0.54
0.56
0.58
0.60
2.161
2.041
1.931
1.827
1.732
1.643
1.559
1.479
1.405
1.333
0.62
0.64
0.66
0.68
0.70
0.72
0.74
0.76
0.78
0.80
1.265
1.201
1.138
1.078
1.020
0.964
0.909
0.855
0.802
0.750
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
0.90
0.724
0.698
0.672
0.646
0.620
0.593
0.567
0.540
0.512
0.484
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
0.455
0.426
0.395
0.363
0.329
0.292
0.251
0.203
0.142
0.000
Los valores de tan 0 t y tan 0 2 se obtienen correlativamente de la
tabla anterior donde eos <p2 es el FP deseado y eos 0 i es el FP
real de la carga.
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Electrotecnia
S 30
Máquinas
LA MAQUINA DE CORRIENTE CONTINUA
Dínamo (molor o generador)
Generalidades
Constante del momento de rotación
PZ
Cm — 2 ira
Tensión inducida en la armadura (FEM)
$ a
Momento de rotación
M = CM<I>/Q
j
Corriente de armadura
= C m <I>o) =
_ ± ( U -
2 7t C m ^ n
é°a)
*
«a
Tensión terminal
U
= <
Velocidad de rotación (rps)
~
Potencia
mecánica
S 201
*
2 i r CM ^
=Mi0)=Sala
Potencia interior
s 200
± l„ R„
U + l„ R „
recibida por el generador
1
PG = — U
V
entregada por el motor
P „ = r¡U l M
Motor con excitación "shunt”
(Ver el diagrama de conexiones en S 31)
Buen arranque, la velocidad permanece casi constante con carga,
y dentro de ciertos límites, puede ajustarse con facilidad.
Motor con excitación en serie
(Ver el diagrama de conexiones en S 31)
Buen arranque con alto par inicial. La velocidad depende de la
carga. Sin carga, existe el peligro de desbocar la máquina.
Motor con excitación "compound"
(Ver el diagrama de conexiones en S 31)
Trabaja aproximadamente como un motor "shunt". El bobinado
serie garantiza un alto par de arranque.
a
Número de pasos en parale­
lo en la armadura
p
Número de pares de polos
<l> Flujo magnético
*
El signo + corresponde a un
motor
El signo — corresponde a un
generador
z
Número de conductores
H
Resistencia de la armadura
* * El signo — corresponde a un
motor
El signo + corresponde a un
generador
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co
co
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co
Electrotecnia
S 32
Máquinas
MOTORES DE CA TRIFASICOS
Velocidad de sincronismo
Según el número p de pares de polos y la frecuencia f (en Hz). se
tiene
s 205
f
60 f
Velocidad de sincronismo ns = — =
(en rpm)
P
P
Conexión
Si todas las terminales del devanado del estator se llevan al ta­
blero de conexiones, entonces el motor puede conectarse en del­
ta o en estrella.
Tensión por fase
en delta
en estrella
U
s 206
UF = U
U r~ ^ 7 ?
Un motor con la designación 660/380 V opera con sus valores
nominales de corriente, par y potencia conectado a una tensión
5 207
U = 380 V en A;
s 208
U — 660 V en Y;
entonces UF = 380 V
U
entonces UF =
660
— 380 V
Conexión delta-estrella
Los motores de altas potencias operan generalmente en delta.
Para evitar corrientes excesivas de arranque, en redes de baja
potencia se les arranca conectados en estrella, y posteriormente
se operan en delta. Si, por ejemplo, un motor con tensión nominal
de 660/380 V se arranca en estrella conectado a una red de 380/
220 V, entonces se le aplica por fase 1 /\^ T d e su tensión nominal.
M otor asincrono (o de inducción)
En el devanado del rotor se inducen tensiones y corrientes por el
campo magnético giratorio producido por la corriente en el esta­
tor, por lo cual se le denomina también motor de inducción. La
velocidad de operación es aproximadamente de 3% a 5% (des­
lizamiento) menor que la del campo giratorio (velocidad de sin­
cronismo). Con carga su velocidad permanece constante.
M otor síncrono
Requiere corriente continua para su excitación. Se arranca con
ayuda de su devanado amortiguador (de jaula) hasta alcanzar la
velocidad de sincronismo. Puede funcionar también reversible­
mente como generador síncrono o alternador.
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E le c tr o te c n ia
S
T ransf ormadores
3 3
GRUP OS DE CC)N EXIONE S
D esic; in a c ió n
Fa ses
G ru p o
I n d ic e
C o n e > ( io n e s
AV
AV
BV
R e la c ió n
(r a tio )
BV
U , : U.
T r a n s fo r m a d o r e s tr if á s ic o s
s 209
0 d
0
s 210
s 211
V
0
|Y y
0|
0 2
0
|D y
5 1
|Y d
5 1
s 214
[Y z
5 1
s 215
0 d
6
Y
6
S 213
5
¥
6
y
s 217
D z
6
s 218
D y
11
11
s 219
Y d
Y
z
U
V w
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V
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U ¥ W
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U
U
V w
U
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V
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U
r> N i
Ni
2 N,
V fN ,
11
:> »
u ^w
V
s 220
U
U
u ^w
V
s 216
V w
n /i/i
u ^w
V
V
s 212
U
V
U&W
V
11
u ^w
¥
V
W
w
¥ W
L L I
IM M 1
U
V w
U
L L I
w
¥
W
3*2
Ni
T r a n s f o r m a d o r e s m o n o f á s ic o s
u
0
s 221
I
i
í
0
I
V
AV
BV
A l t o v o lt a j e
B a j o v o lt a j e
V
ID I
| d D e l, a
|
U
u
iV
1
IVI
y E s t r e lla
| ¡
( <f>
Ni
1— 1
| 2 | Z ig z a g
E l í n d i c e s ir v e p a r a c a l c u l a r e l d e f a s a m i e n t o
= I n d ic e x 3 0°) e n ­
t r e la c o n e x i ó n d e A V y la d e B V . P o r e j e m p lo , e l d e f a s a m i e n t o
p a r a e l g r u p o D y 5 e s <f> = 5 x 3 0 ° = 1 50 °.
N o ta :
L o s g r u p o s e n m a r c a d o s s o n p r e f e r ib le s .
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Símbolo
0
Û
Q
Tipo de
dispositivo
Construcción
Bobina móvil en el campo radial uni­
Bobina móvil forme de un imán permanente; dos
resortes espirales o de torsión como
Bobina móvil conexiones y para el contramomento
con rectifi­
torslonal
cador
Bobinas perpendiculares, rígidamente
unidas, en el campo no uniforme de
Bobinas en
un imán permanente; dos conexiones
cruz
sin contrapar o contramomento
El alambre calefactor del termopar,
Bobina móvil soldado o en estrecho contacto. La
con termopar tensión termoeléctrica alimenta la
bobina móvil
0
n
U
Cantidad
primaria medida
Escala
Valor continuo
(media aritmé­
tica)
Lineal
Valor continuo
(rectificador)
h
Para
medir
<11
Lineal
No lineal
1y U
/,
121
h
Valor eficaz
Casi cua­ (21
drática
(21
Hierro dulce
Dos piezas de hierro dulce, una móvil
y una fija; bobina fija y resortes espira­ Valor eficaz
les para el contramomento
No lineal
Electrodiná­
mico
Bobina móvil, bobina fija y dos resor­
tes espirales o de torsión para el con­
tramomento y la conexión; pantalla
magnética
Cuadrática
para / y U-.
lineal para (21
P
/ 1 • /2 eos <£
/ y U
(21
f2
/ y U
1y U
(4)
1. U. P
V
eos <f>
U (desde
una placa fija y una móvil en el con­
No lineal (2)
Valor eficaz
100 V)
densador
"'Tam bién para cantidades alternas no senoidales
" 'S ó lo para cantidades alternas senoidales
“ >/ < 500 Hz
"'Tam bién para altas frecuencias
= J =
Electrostá­
tico
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Optica e Iluminación
Iluminación. Fotometría
CANTIDADES BASICAS EN LUM INOTECNIA
Símbolos
y relaciones
Unidad
Explicación
Intensidad
luminosa
lv
candela
cd
Angulo
sólido
Í1
estereorradián
/„ es una magnitud fun­
damental. Ver Explica­
ciones generales.
Í2 e s la relación del área
As de la superficie esfé­
rica interceptada, al cua­
drado del radio de la es­
fera rs. Para un ángulo
sólido completo se tiene
Í2 = 47rsr = 12.56 sr
<!>„ es el producto del
ángulo sólido Í2 y la in­
tensidad luminosa l v
Magnitud
As
1 msr = ------1 m-
r's
Flujo lumínico
(potencia
lumínica)
=
Cantidad de
luz (energía
lumínica)
Q v = <t>v t
lumensegundo
Im • s
Qv es el producto del flu­
jo lumínico y el intervalo
de tiempo í
Iluminación
Ev
lux
Ev es el cociente del flujo
lumínico incidente y la
superficie iluminada A =
A * /eos a
lumen
lv
/„ eos a
r2
Im = c d s r
Im
Ix = ------m2
Lv
Luminosidad
(brillo)
cd
lv
m2
A i cose
L v es la relación de la in­
tensidad luminosa /,. a la
proyección de la superfi­
cie iluminada sobre un
plano perpendicular a la
dirección a los rayos.
Flujo lumínico requerido para la iluminación (Ver valores en Z 21)
Una superficie A sobre la que hay una iluminación Ev requiere un
flujo lumínico
V
Equivalente fotomètrico de la radiación
t
8
1 watt = 680 Im a una longitud de onda de 0.555 /xm
Definición de la unidad fundamental candela
Un radiador perfecto (cuerpo negro) con una superficie de
1 /(6 x 10®) m2 tiene a una temperatura de 2 043 K una intensidad
luminosa de 1 candela.
Ver los símbolos en T 2
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Optica e Iluminación
Iluminación. Refracción
LEY DE LA ILUM INACION
La iluminación de una superficie es inversamente proporcional ai
cuadrado de su distancia a la
fuente de luz:
Evi
*2
A*
Ev 2 ~ r r
' A,
«T""-
*2
Para igual iluminación de una superficie las intensidades de dos
fuentes de luz están en relación directa al cuadrado de sus distan­
cias a la superficie:
Superficie
lv1
rr
~u
r22
------------- r2 ---------- í
Refracción de la luz
nb
na
i v2
Medio
menos
denso
sena
sen ($
= constante para todo ángulo
na
cuando sen f i ^ — , hay reflexión total
nb
Indices de refracción (para luz amarilla de sodio, a = 589.3 nm)
Sólidos
|
Líquidos
(con relación al aire)
Plexiglass
1.49
Cuarzo
1.54
Vidrio (crown) 1.56
Diamante
2.41
Agua
Alcohol
Glicerina
Benzol
Gases
(con relación al vacío)
1.33
1.36
1.47
1.50
Hidrógeno
Oxígeno
Aire
Nitrógeno
1.000139
1.000271
1.000292
1.000297
Superficie iluminada
Superficie luminosa
Angulo entre el rayo incidente y la perpendicular a la superficie
iluminada A
Angulo entre el rayo emitido y la perpendicular a la superficie
luminosa Aj
Indice de refracción del medio menos denso
Indice de refracción del medio más denso
Distancia entre la fuente luminosa y la superficie iluminada
Eficiencia de la iluminación (Ver tabla Z 21)
J3 x 10H m /s (velocidad de la luz)
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Optica e Iluminación
T3
Longitudes de onda. Espejos______
LONGITUD DE ONDA EN AIRE ATMOSFERICO
t
14
Rayos X
Luz y
adyacentes
Tipo de radiación
Longitud de onda À
duros
suaves
ultrasuaves
0.0057
0.080
2.0
ultravioleta, corta
ultravioleta, larga
violeta
azul
verde
amarilla
roja
infrarroja
100
280
315
380
420
490
530
650
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0 08
2.0
37.5
nm
nm
nm
280
380
380
420
490
530
650
780
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
Longitud de onda À. = -
t 16
Espejos
Espejo plano
La imagen es virtual, derecha
y está a una distancia (d’ )
numéricamente igual a la del
objeto [d):
t 17
d — — d'
Espejo cóncavo
t 18
1
1
1
f
d
d’
La imagen será real o virtual
dependiendo de la distancia
del objeto:
d
d'
Imagen
oo
1
puntiforme
real, invertida, menor
real, invertida, igual tamaño
real, invertida, mayor
nula
virtual, derecha, mayor
1 <
>2 f
21
2 1
> d > 1
d' < 2 1
2 f
> 2 1
oo
1
negativa
< t
Espeio convexo
Sólo produce imágenes vir­
tuales, derechas y menores.
Similar al espejo cóncavo
r
con / = ------- .
2
Ver símbolos en T4
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Optica e Iluminación
Lentes
LEYES DE LAS LENTES
Potencia (o poder refractivo) 6 de una lente
1
Unidad: dioptría (dpt) = -
1
Pórmula de las lentes delgadas
1 _
1
1
T~ d7+ V
= (n — 1)
(i+ i)
h’
d'
m = — = —
h
d
Si dos lentes con distancias focales f x y f > están inmediatamente
una a continuación de la otra, la distancia focal total es
Lupa o lente de aumento
En general
s
m
=
------- \-
f
1
Microscopio
Ampliación total
ts
UU
— m, m-j
Macrofotografía
F
f
d
d'
h
h'
Extensión de cámara
a = f (m + 1)
Distancia del objeto
c = — = f (1 + — )
Foco (o punto focal)
[ stancia focal
Distancia del objeto
Distancia de la imagen
Tamaño del objeto
Tamaño de la imagen
n
r
t
m
s
Indice de refracción
(ver T 2)
Radio de curvatura
Longitud óptica de tubo
Amplificación o aumento
Distancia visual normal ( = 25 cm en
el ojo normal)
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Química
1J 1
E le m e n to s
Masa
atómica
(en urna)
Manganeso
Mn
54.9381
Aluminio
Al
Mercurio
200.59
Antimonio
Sb
Hg
Mo
95.94
Molibdeno
Argón
Ar
Nd
Neodimio
144.240
Arsénico
As
Ne
20.183
Neón
Astato
At
Nb
92.906
Niobio
Azufre
S
Ni
Níquel
58.71
Bario
Ba
N
Nitrógeno
14.0067
Berilio
Be
Au
196.967
Oro
Bismuto
Bi
Os
Osmio
190.2
Boro
B
Oxígeno
O
15.9994
Bromo
Br
Pd
Paladio
106.4
Cadmio
Cd
Plata
107.870
Calcio
Ca
Ag
Pt
Platino
195.09
Californio
Cf
Pb
Plomo
207.19
Carbono
C
Plutonio
Pu
242
Cerio
Ce
K
Potasio
39.102
Casio
Cs
Praseodimio
Pr
140.907
Cloro
Cl
Ra
Radio
226.04
Cobalto
Co
Renio
Re
Cobre
186.2
Cu
Rh
Rodio
Cromo
Cr
102.905
Rubidio
Rb
Elnsteinlo
85.47
Es
Rutenio
Ru
Erbio
Er
101.07
Samario
Sm
Escandio
150.35
Se
Selenio
Se
Estaño
Sn
78.96
Silicio
Si
Estroncio
Sr
28.086
Sodio
Na
Europio
Eu
22.9898
Flúor
Talio
TI
204.37
Fe
Tantalio
Ta
Fósforo
P
180.948
Gadolinio
Telurio
Gd
Te
127.60
Galio
Titanio
Ga
Ti
47.90
Torio
Th
Germanio
Ge
232.038
Helio
Tulio
He
Tm
168.934
W
Hidrógeno
H
Tungsteno
183.85
Hierro
Uranio
U
Fe
238.03
Indio
V
In
Vanadio
50.942
Iridio
Ir
Xenón
Xe
131.30
Kriptón
Kr
Yodo
1
126.9044
Lantano
Yterbio
La
Yb
173.04
Litio
Li
Ytrio
Y
88.905
Lutecio
Lu
Zinc
Zn
65.37
Magnesio
Mg
Zirconio
Zr
91.22
urna, u = Unidad de masa atómica (igual a 1 /12 de la masa de un
átomo del isótopo 12 del carbono, 12C) (1 uma = 1.66 x 10- 27 kg)
Nombre
Símbolo
Masa
atómica
(en urna)
26.9815
121.75
39.948
74.9216
210
32.064
137.34
9.0122
208.980
10.811
79.909
112.40
40.08
251
12.0112
140.12
132.905
35.453
58.9332
63.54
51.996
254
167.26
44.956
118.69
87.62
151.96
18.9984
30.9738
157.25
69.72
72.59
4.0026
1.008
55.847
114.82
192.2
83.80
138.91
6.939
174.970
24.312
Nombre
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Simbolo
Química
Productos químicos
NOMBRE
común
Acetileno
Acetona
Acido cianhídrico
Acido clorhídrico
Acido fluorhídrico
Acido fosfórico
Acido nítrico
Acido sulfhídrico
Acido sulfúrico
Agua
Alcohol etílico
Alcohol metílico
Amoníaco
Anilina
Bauxita
Bórax
Bromuro de plata
Bromuro de potasio
Cal viva
Cal apagada
Carbonato de calcio
Carbonato de plomo
Carbonato de sodio
Carbono
Carburo de calcio
Carburo de silicio
Cianuro de potasio
Clorato de potasio
Cloruro de amonio
Cloruro de calcio
Cloruro de estaño
Cloruro de hierro
Cloruro de potasio
Cloruro de sodio
Cloruro de zinc
Cromato de potasio
Dicromato de potasio
Dióxido de carbono
Dióxido de manganeso
Eter etílico
específico o comercial
(sólo cuando difieran)
dimetilcetona
ácido prúsico
ácido ortofosfórico
aceite de vitriolo
etanol
metanol
aminobenzol
óxido de aluminio
tetraborato de sodio
óxido de calcio
hidróxido de calcio
caliza
plomo blanco
carburo
carburundum
sal amoníaco
cloruro ferroso
sal común
anhídrico carbónico
pirolusita
éter
»Normalmente en solución acuosa
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Fórmula
C2H2
(CH3)2 • CO
HCN
HCI
HF
H3PO,
HNO j
H2S
h 2s o ,
h 2o
C .H ,O H
CH3OH
nh3
c 6h 5 ■n h 2
Al20 3*
Na2B70 7*
AgBr
KBr
CaO
C a(O H )2
C aC 03
2PbCO;t • Pb(OH)2
Na2C 0 s*
C
CaC2
SiC
KCN
k c io 3
NH4CI
CaCI2
SnCI2*
FeC I-*
KCI
NaCI
ZrtCI2*
KÆ rO,
K.C r«07
co2
M n02
(C2H„)20
Química
Productos químicos
común
NOMBRE
específico o comercial
(sólo cuando difieran)
Fenol
Ferricianuro de potasio
Ferrocianuro de potasio
Glicerina
Glicol
Grafito
Hidróxido de amonio
Hipoclorito de calcio
Magnesia
Metano
Minio (plomo rojo)
Nitrato de calcio
Nitrato de plata
Nitrato de plomo
Oxido de estaño
Oxido de plomo
Oxido de manganeso
Oxido de nitrógeno
Oxido de zinc
Potasa
Potasa caustica
Propano
Sosa (soda)
Sosa caustica
Sulfato de cadmio
Sulfato de calcio
Sulfato de cobre
Sulfato de hierro
Sulfato de magnesio
Sulfato de sodio
Sulfato de zinc
Sulfuro de hierro
Sulfuro de mercurio
Sulfuro de plomo
Sulfuro de zinc
Tetracloroetileno
Tiosulfato de sodio
Tricloroetileno
Urea
Yoduro de potasio
ácido carbólico
trihidroxipropano
polvo de blanquear
óxido de magnesio
gas de los pantanos
óxido plumboso-plúmbico
óxido estannoso
óxido plumboso
dióxido manganoso
gas hilarante
blanco de zinc
carbonato de potasio
hidróxido de potasio
óxido de sodio
hidróxido de sodio
vitriolo azul
vitriolo verde
sal de Glauber
vitriolo blanco
sulfuro ferroso
cinabrio
sulfuro plumboso
blenda
carbamida
* Normalmente en solución acuosa
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U3
Fórmula
C«H,OH
K,[Fe(CN)«J
K4[Fe(CN)„]
C3H8(O H ),
CH2OH-CH,.OH
C
NH.OH
CaOCI2
MgO
ch4
P b (0 4
C a(NO:,)2
AgNO,
Pb(NO.,)2
Sn02
PbO
MnO:»
N-.O
ZnO
K_.CC>:,
KÒH
C ,H h
Na,.0
NaOH
CdS04
C a S 0 4*
CuSO,*
FeSO,*
M g S 0 4*
Na2S 0 4*
Z n S 0 4*
FeS
HgS
PbS
ZnS
C,.CI4
Na-.S20 :,*
C-.HCI:,
CÓ(NH..)_>
Kl
Química
Valores pH. Indicadores
VALOR pH
El logaritmo decimal con signo negativo de la concentración de
iones hidrógeno c „ - es el valor pH de una sustancia:
pH = — logio c „ *
Cn
+
pH
u
1
10-*
10-*
10-’
10-12
10-13
10-“
0
1
2
7
12
13
14
neutra
Indicadores ácido-base
Indicador
Intervalo
del pH
Cambio de color
Azul de tlmol
4-dimetilamlnoazobenzol
Azul de bromofenol
Ro¡o congo
Anaranjado de metilo
1.2 -2 .8
2.9 - 4.0
3.0 - 4.6
3.0 - 5.2
3.1 - 4.4
rojo - amarillo
rojo - amarillo naranja
amarillo - rojo violeta
azul violeta - rojo naranja
rojo - amarillo naranja
Verde de bromocreosol
Rojo de metilo
Tornasol
Púrpura de bromocreosol
Rojo de bromofenol
3.8 - 5.4
4.4 - 6.2
5.0 - 8.0
5.2 - 6.8
5.2 - 6.8
amarillo - azul
rojo - amarillo anaranjado
rojo - azul
amarillo - púrpura
anaranjado amarillo - púrpura
Azul de bromotimol
Rojo de fenol
Rojo neutro
Rojo de creosol
m-creosolpúrpura
6.0 - 7.6
6.4 - 8.2
6.4 - 8.0
7.0 - 8.8
7.4 - 9.0
amarillo - azul
amarillo - rojo
azul rojizo - anaranjado amarillo
amarillo - púrpura
amarillo - púrpura
Azul de tlmol
Fenolftaleina
Amarillo de alizarina GG
8.0 - 9.6
8.2 - 9.8
10.0 -12.1
amarillo - azul
sin color - rojo violeta
amarillo claro - castaño
amarillento
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1
Química
R e a c tiv o s. P ro d u c to s q u ím ic o s . M e z c la s frig o rífic a s
REACTIVOS
Clase de sustancia
u
u
u
2
3
4
u
u
u
5
6
7
Base
u
8
Ozono
u 9
u 10
u 11
Cambio de color
o efecto
Indicador o reactivo
papel tornasol azul
fenolftaleina roja
anaranjado de metilo
amarillo
Acido
Acido sulfhídrico
Solución de amoniaco
Dióxido de carbono
rojo
incoloro
rojo
papel tornasol rojo
fenolftaleina incolora
anaranjado de metilo
rojo
azul
rojo
amarillo
papel con yoduro de
potasio
papel plomo
ácido clorhídrico
hldróxido de calcio
azul - negro
castaño-negro
vapores blancos
sedimentación
Obtención de productos químicos
Producto a obtener
Reacción
u 12
u 13
u 14
u 15
u 16
u 17
u 18
u 19
Acido carbónico
Acido sulfhídrico
Amoniaco
Cloro
Cloruro de amonio
Hidrógeno
Hidróxido de amonio
Hidróxido de sodio
CaCO:,
FeS
CO(NH,.)
CaO Cl2
NH,OH
H ,SO,
NH:1
Na20
+
+
+
+
+
+
+
+
2HCI -» H,C O a -j- CaCI2
2HCI - * H,S
-f- FeCI2
H20 -» 2NH;t + co.
2HCI - * Cl2
+ C aCI, + H ,0
H CI -> NH.CI + h 2o
Zn
-» H ,
+ ZnSO,
H ,0 -> NH,OH
H20 -> 2NaOH
u 20
Oxígeno
2KCIO:1
4 30,
+
u 21
u 22
u 23
Sulfuro de cadmio
Sulfuro de plomo
Sulfuro de zinc
CdSO,
+ H,S
Pb(NO;t), + H ,S
ZnSO,
+ H ,S
-» Cd S
Pb S
-> ZnS
+ H , SO,
+ 2HNO;,
+ HjSO,
2KCI
Preparación de mezclas frigoríficas
Reducción de
temperatura (°C)
u 24
u 25
u 26
u 27
u 28
u 29
u 30
+ 10
+ 10
+ 8
0
0
0
+ 15
- 12
- 15
- 24
- 21
- 39
- 55
-7 7
Mezcla
(los números indican proporciones en peso)
4 H .O 1 1 KCI
1 H ,0 + 1 NH.NO.i
1 H ,0 + 1 NaNO:, + 1 NH.CI
3.0 Hielo picado + 1 NaCI
1.2 Hielo picado + 2 C aCI, • 6H20
1.4 Hielo picado + 2 C aCI, • 6 H ,0
1 Metanol -j- C 0 2 sólido (hielo seco)
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Química
H um edecim iento y secado del aire. D ureza del agua
ESTABLECIMIENTO DE HUMEDAD CONSTANTE EN EL AIRE DE
RECIPIENTES CERRADOS
Humedad relativa a 20°C
(por encima de la superficie
de la solución)
Solución acuosa saturada
92 %
86
80
76
63
55
45
35
u 31
u 32
u 33
u 34
u 35
u 36
u 37
u 38
N a.CO ;i • 10 H.O
KCI
(NH4) .S 0 4
NaCI
N H4NO;{
Ca(NO.{)2 • 4 H.O
K .C O , • 2 H.O
Ca C l. • 6 H.O
Elementos secantes para desecadores
Elemento secante
Agua residual después del
secado a 25°C. m g/lit (aire)
Nombre
Fórmula
1.4
0.8
0.14 - 0.25
0.16
0.008
0.005
0.003
0.002
0.001
0.000025
Sulfato de cobre, anhidro
Cloruro de zinc, fundido
Cloruro de calcio, granulado
Hidróxido de sodio
Oxido de magnesio
Sulfato de calcio, anhidro
Oxido de aluminio
Hidróxido de potasio
Oxido de silicio (Kieselgel)
Pentóxido de fósforo
CuSO,
ZnCI.
CaCI.
NaOH
MgO
C aS04
A I.O ,
KOH
(S iO ,)x
p,o 5
39
40
U 41
U 42
U 43
u 44
u 45
u 46
u 47
u 48
U
U
Dureza del agua
1o en la escala alemana (deutsche H ärte. dH)
= 10 mg (C aO )/litro (agua)
Intervalos de dureza (en dH)
0o - 4o muy blanda
4o - 8o blanda
8o - 12° medio blanda
12° - 18°
algo dura
18° -3 0 °
dura
más de 30° muy dura
Intercambiadores de iones para suavizar el agua
Zeolita:
Permutita:
Wofatita:
silicatos naturales de sodio y aluminio
silicatos artificiales de sodio y aluminio
resinas orgánicas sintéticas
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u 49
u 50
u 51
Tablas
Propiedades eléctricas
RESISTIVIDAD p Y CONDUCTIVIDAD y
DE CONDUCTORES (A Z0°C)
Material
P
n- mmVm
Acero dulce
Aluminio
Antimonio
Cadmio
Carbón
Cobre (eléc.)
Constantan
Cromo-Ni-Fe
Estaño
Hierro fundido
Hierro (puro)
Grafito
Latón Ms 58
0.13
0.0278
0.417
0.076
40
0.0175
0.48
0.10
0.12
1
0.10
8.00
0.059
1
7=7
Material
7.7
36
2.4
13.1
0.025
57
2.08
10
8.3
1
10
0.125
17
Latón Ms 63
Magnesio
Manganina
Mercurio
Níquel
Niquelina
Oro
Plata
Plata alemana
Platino
Plomo
Tungsteno
Zinc
P
n • m mVm
0.071
0.0435
0.423
0.941
0.087
0.5
0.0222
0.016
0.369
0.111
0.208
0.059
0.061
1
y=7
14
23
2.37
1.063
11.5
2.0
45
62.5
2.71
9
4.8
17
16.5
RESISTIVIDAD p DE AISLANTES
Material
n • cm
Material
n • cm
Aceite de parafina
Agua de mar
Agua destilada
Ambar comprimido
Baquelita
Caucho (hule) duro
Mármol
10,s
10«
10T
10,s
1011
10'«
10"’
Mica
Parafina (pura)
Plexiglás
Polistireno
Porcelana
Tierra húmeda
Vidrio
1017
101R
1015
101S
1014
10*
1015
COEFICIENTE TERMICO DE RESISTENCIA a ,,, (A 20°C)
Material
(°C \ K >)
Material
r e - 1, K -1)
Acero dulce
Aluminio
Carbón
Cobre
Constantan
Estaño
Grafito
Latón
- f 0.00660
+ 0.00390
- 0.00030
+ 0.00380
- 0.00003
- f 0.00420
- 0.00020
+ 0.00150
Manganina
Mercurio
Níquel
Niquelina
Plata
Plata alemana
Platino
Zinc
± 0.00001
- f 0.00090
+ 0.00400
+ 0.00023
+ 0.00377
+ 0.00070
+ 0.00390
+ 0.00370
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Tablas
Z 2
Propiedades eléctricas
CONSTANTE DIELECTRICA ef
Material aislante
£r
Aceite de oliva
3
Aceite de parafina
2.2
Aceite de ricino
4.7
Aceite mineral p/transf.
2.2
Aceite vegetal p/transf.
2.5
Agua
80
Aire
1
Aislam. p/cable alta
tensión
4.2
Aislam. p/cable
telefónico
1.5
Araldita
3.6
Baquelita
3.6
Cartón comprimido
4
Material aislante
£r
Material aislante
£r
Caucho (hule) duro
Caucho (hule) suave
Compuesto (compound)
Cuarzo
Ebonita
Esteatita
Fibra vulcanizada
Gutapercha
Laca (shellac)
Mármol
Mica
Micanita
Papel
Papel impregnado
4
2.5
2.5
4.5
2.5
6
2.5
4
3.5
8
6
5
2.3
5
Papel Kraft
Papel pescado
Parafina
Petróleo
Pizarra
Plexiglás
Poliamida
Polistireno
Porcelana
Resina fenólica
Teflón
Tela
Trementina (aguarrás)
Vidrio
4.5
4
2.2
2.2
4
3.2
5
3
4.4
8
2
4
2.2
5
SERIE DE POTENCIALES ELECTROQUIMICOS
Diferencia de potencial referida a electrodo de hidrógeno
Material
Volts
Aluminio
Berilio
Cadmio
Calcio
Cobalto
Cobre
Cromo
Estaño
-1.66
-1.85
-0.40
-2.87
-0.28
+0.34
-0.74
-0.14
Material
Volts
Material
0.00 Platino
Hidrógeno
Hierro
Magnesio
Manganeso
Mercurio
Níquel
Oro
Plata
Volts
+1.20
-0.13
-2.93
-2.71
-0.58
-0.76
-0.41 Plomo
-2.37 Potasio
-1.19 Sodio
+0.85 Tungsteno
-0.23 Zinc
+1.50
+0.80
Números estandarizados mediante una razón
progresiva de acuerdo con la serie E
(Ejem plo para E 6 a E 24)
Serie E 6 (= V io;
1.0
2.2
4.7
Serie E 12 ( = % ) )
1.0
1.2
1.5
3.3
6.8
1.5
1.8
10
22
etc.
47
10
2.2
2.7
3.3
3.9
22
4.7
5.6
6.8
8.2
47
Serie E 24 (= 2\fÍ0)
1.0
2.2
4.7
1.1
2.4
5.1
1.2
2.7
5.6
1.3
3.0
6.2
1.5
3.3
6.8
1.6
3.6
7.5
1.8
3.9
8.2
2.0
4.3
9.1
10
22
47
etc.
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etc.
Tablas
Z3
Propiedades magnéticas
INTENSIDAD DE CAMPO H Y PERMEABILIDAD RELATIVA ¡xr EN
FUNCION DE LA INDUCCION M AGNETICA B DESEADA
Inducción o
densidad de flujo
Hierro fundido
Acero fundido y
lámina tipo
''dynamo''
Lámina de
acero aleado
pFel0 = 3.6 W /kg PFetu = 1.3 W /kg
B
H
tesla
gauss
T = V -s /m 2) (Gs)
A /m
\X.r
H
H
A/m
A /m
/¿r
0.1
0.2
0.3
1 000
2 000
3 000
440
740
980
181
215
243
30
60
80
2 650
2 650
2 980
8.5
25
40
9 390
6 350
5 970
0.4
0.5
0.6
4 000
5 000
6 000
1 250
1 650
2 100
254
241
227
100
120
140
4 180
3 310
3 41 0
65
90
125
4 900
4 420
3 810
0.7
0.8
0.9
7 000
8 000
9 000
3 600
5 300
7 400
154
120
97
170
190
230
3 280
3 350
311 0
170
220
280
3 280
2 900
2 550
1.0
1.1
1.2
10 000
11 000
12 000
10 300
14000
19 500
77
63
49
295
370
520
2 690
2 360
1 830
355
460
660
2 240
1 900
1 445
1.3
1.4
1.5
13 000
14 000
15 000
29 000
42 000
65 000
36
26
18
750
1 250
2 000
1 380
890
600
820
2 250
4 500
1 260
495
265
1.6
1.7
1.8
16 000
17 000
18 000
3 500
7 900
12 000
363
171
119
8 500
13 100
21 500
150
103
67
1.9
2.0
2.1
19 000
20 000
21 000
19 100
30 500
50 700
79
52
33
39 000
115000
39
14
2.2
2.3
22 000
23 000
130 000
218000
13
4
Limite práctico
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Tablas
Propiedades magnéticas
VALORES PARA LAMINA TIPO "D YNA M O ”
(DE LA NORMA DIN 46 400)
Lá nina de a eación
Clase
Lámina
normal
baja
mediana
alta
Tipo
I 3.6
II 3.0
III 2.3
IV 1.5 IV 1.3
Tamaño
mm x mm
1000 X 2000
750 X
1500
Espesor, mm
0.5
0.35
7.6
Densidad, kg/dm 3
7.8
7.75
7.65
Valor
máximo
de las
pérdidas,
W /kg
Pt'elO
3.6
3.0
2.3
1.5
1.3
Pl'elO
8.6
7.2
5.6
3.7
3.3
tesla
gauss
1.53
15 300
1.50
15 000
1.47
14 700
1.43
14 300
tesla
gauss
1.63
16 300
1.60
16 000
1.57
15 700
1.55
15 500
B io o
tesla
gauss
1.73
17 300
1.71
17100
1.69
16 900
1.65
16 500
B ; îih ,
tesla
gauss
1.98
19 800
1.95
19 500
1.93
19300
1.85
18 500
S 25
Valor
mínimo
de la
inducción
Br.ii
Explicaciones
B 25 = 1.53 tesla significa que una inducción o densidad de flujo
mínima de 1.53 T se alcanzará con una intensidad de campo de 25
A /cm . Para una línea de flujo de, p. e¡.. 5 cm, se necesitarán pues:
5 X 25 = 125 A.
Pn-io
Preis
pérdidas magnéticas por unidad
de masa con las inducciones de
10 000 Gs = 1.0 tesla
15 000 Gs = 1.5 tesla
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Tablas
Propiedades de materiales sólidos y líquidos
Los valores corresponden a las siguientes condiciones*:
Densidad a t = 15°C
Temperaturas (o puntos) de fusión y de ebullición para p = 1.0132 bar
= 760 Torr
Los valores entre paréntesis indican sublimación, o sea, cambio
directo del estado sólido al gaseoso
Conductividad térmica a 20°C
Capacidad térmica específica (o calor específico) para el intervalo de
temperaturas 0 < í < 100°C
Puntos de
Conduct.
Calor
Densidad fusión ebulli­
térmica
específico
(soldf.)
K
c
ción
P
kg/dm :'
°C
°C
W /(m -K )(" KJ/(kg-K)12'
Sustancia
Aceite de colza
Aceite de linaza
Aceite para calefacción
Aceite para máquinas
Aceite para transforms.
0.91
0.94 «a» 0.92 «a» 0.91
0.87
-
Acero
Acero colado
Acero dulce
Acero de alta velocidad
Acetona
3.5
20
5
5
5
300
316
175-350
380-400
170
0.17
0.15
0.12
0.126
0.15
1.67
1.84
7.85
~ 1350
7.8
~ 1350
7.85
~ 1400
8.4-9.0 ~ 1650
0.79'3'
2500
47-58
52.3
46.5
25.6
0.46
0.502
0.461
0.498
Acido acético
Acido cianhídrico
Acido clorhídrico 10%
Acido clorhídrico 40%
Acido fluorhídrico
1.08
0.7
1.05
1.20
0.99
118
27
102
0.50
3.14
Acido nítrico
Acido sulfúrico
Acido sulfúrico 50%
Acido sulfúrico conc.
Agata
1.56«' 1.49'5' 1.40
1.84
- 2.6
~
1.3
73
0.53
2.72
1.34
0.5
11.20
1.38
0.80
Agua
Alcohol
Alcohol etílico 95%
Alcohol metílico
1.0<6'
0.79
0.82'3’ 0.8
-
0
130
90
98
0.58
0.17-0.23
0.16
4.183
2.42
16.8
- 15
- 14
- 92.5
2500
2600
56.1
1.97
19.5
86
- 10
10-0
338
1600 -2 6 0 0
100
78.4
78
66
*V er las notas en la página Z 9
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2.51
Tablas
Propiedades de materiales sólidos y líquidos
Sustancia
Punt ds de
Densidad fusión ebulli­
(soldf.) ción
f>
°C
kg/dm :t
°C
Conduct.
térmica
K
Calor
específico
c
W /(m -K )(,) kJ/(kg-K)(2>
Aluminio fundido
Aluminio laminado
Ambar
Antimonio
Arcilla
2.6
2.7
1.0
6.67
1.8-2.6
658 - 2200
658 - 2200
- 300
630
14.40
-1 6 0 0
2980
209.3
209.3
0.904
0.904
22.53
0.84
0.21
0.92
Arena seca
Arenisca
Arsénico
Asbesto
Asfalto (chapopote)
1.2-1.6
1.9-2.6
5.72
- 2.5
1.2
-1 5 5 0
-1 5 0 0
815
2600
2600
(633)
0.33
1.3-1.7
0.80
0.92
0.348
0.816
-
15
300
Azufre cristalizado
Bario
Benceno (benzol)
Bencina
Berilio
1.96
3.6
0.89
0.7
1.85
113
700
5.4
- 150
1279
445
1537
80
50-200
Bismuto
Bórax
Brea (alquitrán)
Bromo
Bronce
9.8
1.72
1.08
3.14
- 8.0
271
741
1480
7.3
900
63
2300
Bronce fosforado
Bronce de aluminio
Cadmio
Calcio
Caliza
8.8
7.7
8.64
1.55
1.8-2.8
Carbón mineral
Carbón vegetal
Carburo de silicio
Caucho (hule) crudo
Caucho (hule) duro
1.2-1.5
0.3-0.5
3.12
0.95
1.2-1.8
Cera
Cloroformo
Cobalto
Cobre
Cobre fundido
0.96
1.53
8.8
8.93
8.8
Cobre laminado
Colofonio
Concreto armado
8.9
1.07
2.4
-
900
1040 321
800
2300
778
851
0.17
0.19
0.27
0.137
0.16
167.5
10.5
0.13
0.996
116-186
0.360
105-116
127.9
92.1
0.364
0.435
0.234
0.63
0.909
0.15-0.23
(3540)
125
64
70
1490
1083
1083
65-70
61
3168
2310
2310
1083
100-130
2310
-
0.75
0.29
1.80
- 2.1
1.880
0.16
0.08
15.2
0.20-0.34
0.17
1.30
0.84
0.67
0.084
3.43
69.8
372.1
372.1
0.435
0.394
0.394
372.1
0.317
0.8-1.7
0.394
1.88
0.88
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Tablas
Propiedades de materiales sólidos y líquidos
Pun os de
Calor
Conduct.
Densidad fusión ebulli­
térmica específico
c
K
(soldf.)
ción
P
°C
°C
W/fm-K)«1* kJ/(kg*K)(2)
kg/dm3
Sustancia
Constantan
Coque
Corcho
Corindón
Cromo
8.89
1.4
0.2-0.3
4.0
6.7
- 1600 - 2 4 0 0
2050
- 1800
2980
2200
Cuarzo
Cuero
Diamante
Diesel (combustible)
Duraluminio
-2 .6
0.9-1.0
3.5
0.88
2.8
- 1550
2590
-
5
650
(3540)
175
2000
Elektron
Esmeril
Estaño fundido
Estaño laminado
Estroncio
1.8
4.0
7.2
7.3-7.5
2.54
650
2200
232
232
797
1500
3000
2200
2200
1366
Esteatita
Eter etílico
Fibra de vidrio
Fibra vulcanizada
Fibracel
2.6-27
0.73 0.1-0.2
1.28
1.5
1650
117
35
Fósforo
Gasóleo (g aso il)
Gis
Glicerina
Grafito
1.83
0.86
1.8-2.6
1.27,4>
- 2.1
44.2
287.3
-3 0
200-350
Grasas
Gutapercha
Hielo
Hierro (fierro)
Hierro de 1a. fusión
0.93
- 0.98
0.9
7.86
7.0-7.8
30-175 - 3 0 0
148
180
0
100
1530 - 3000
1560
2500
Hierro de soldadura
Hierro forjado
Hierro fundido
Hollín
Incrustación (calderas)
7.8
7.8
7.25
1.6-1.7
2.5
1600
- 1200
- 1200
1200
2500
(3540)
2800
Iridio
Ladrillo
Ladrillo refractario
22.4
1.4-1.6
1.8-2.2
2450
4800
- 2000
2900
-2 0
290
(3540)
2500
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23.3
0.183
0.30
0.7
0.410
0.84
2.05
0.96
0.452
1.09
0.17
8.4
0.13
129.1
0.80
1.495
0.3329
162.8
11.6
64.0
64.0
1.00
0.96
0.25
0.25
0.230
2.7-2.8
0.14
0.03-0.07
0.21
1.05
2.26
0.84
1.26
1.357
0.92
0.80
0.15
0.9-1.2
0.29
5.02
0.84
2.43
0.825
0.21
0.63-0.76
17
47-58
52.3
2.09
0.456
0.54
54.7
47-58
48.8
0.07
1.2-3.0
0.515
0.461
0.532
0.84
0.80
59.3
0.8
0.47
0.134
0.92
0.88
Zs
Tablas
Propiedades de materiales sólidos y líquidos
Punt os de
Sustancia
Densidad fusión
(soldf.)
P
ebulli­
ción
kg/dm 3
°C
Latón fundido
Latón laminado
Litio
Madera, abedul
alerce
8.4-8.7
8.5-8.6
0.53
0.5-0.8
0.5-0.8
arce
chopo
encino (roble)
fresno
haya blanca
°C
K
Calor
específico
c
W/ím-K)«1» kJ/(kg-K)<2)
81-105
87-116
301.2
0.142
0.12
0.385
0.385
0.360
1.88
1.30
0.6-0.9
0.4-0.7
0.7-1.0
0.6-0.9
0.6-0.8
0.3-0.5
0.152
0.21
0.3-0.5
0.143
1.59
1.42
2.39
1.59
1.34
haya roja
pino blanco
pino rojo
"pock”
Magnesia
0.7-0.9
0.5-0.8
0.5-0.8
1.28
3.2-36
0.143
0.16
0.1-0.2
0.19
1.34
1.30
1.47
2.51
Magnesio
Magnesio de aleación
Manganeso
Mármol
Mercurio
1.74
1.8
7.3
2.0-2.8
13.6
650
650
1260
1290
38.9
1120
1500
1900
2870
357
157.0
70-145
2.1-3.5
8.4
1.05
1.00
0.46
0.88
0.138
Metal Babbitt
Metal Delta
Metal rojo
Mica
Minio
7.5-10
8.6
8.8
~ 3.0
8.6-9.1
300-400
950
950
~ 1300
900
2100
2300
35-70
104.7
127.9
0.35
0.7
0.146
0.384
0.381
0.88
0.25
Molibdeno
Nieve
Níquel
Oro
Osmio
10.2
0.1
8.8
19.33
22.48
~ 2500
0
1452
1064
2500
3560
100
2400
2610
5300
5.21
5.1
11.5
0.7-1.1
0.9
~ 2200
1565
1549
2200
0.42
0.58
70.9
52
300
0.21
0.75
0.67
0.247
1.336
3.26
1.62
0.67
0.80
20
- 160
70
119
40-70
150-300
0.14
0.159
0.904
1.76
2.09
Oxido de cromo
Oxido de hierro
Paladio
Papel
Parafina
Percloroetileno
Petroéter
Petróleo
900-980 - 2 3 0 0
900-980 - 2300
186
1336
Conduct.
térmica
52.3
308.2
www.FreeLibros.me
0.272
4.187
0.461
0.130
0.130
Tablas
Propiedades de materiales sólidos y líquidos
Pun os de
Densidad fusión ebulli­
(soldf.) ción
P
Sustancia
kg/dm :t
°C
Pizarra
Plata
Plata alem. (alpaca)
Platino
Plomo
26-2.7
10.5
84-8.7
21.4
11.34
~ 2000
960
~ 1050
1764
327
Porcelana
Potasio
Radio
Renio
Rodio
2.2-25
0.86
5
21.4
12.3
1670
63
700
3170
1960
Rubidio
Sebo
Selenio
Silicio
Sodio
1.52
0.9-1.0
4.3-4.8
2.34
0.98
°C
2000
3800
1525
Conduct.
térmica
K
W/ím-K)«1) kJ/(kg-K)<2>
0.42
418.7
29.1
69.8
35.0
0.758
0.234
0.398
0.130
0.130
0.8-1.0
0.92
0.080
762.2
2500
39
696
40-50
350
220
690
—-1415
2400
97.5
880
Calor
específico
c
88.3
0.147
0.243
133.7
0.33
0.88
0.352
0.80
1.26
Tantalio
Telurio
Trementina (aguarrás)
Titanio
Tolueno (toluol)
16.6
6.25
0.87
4.5
0.88
3030
455
-1 0
1800
- 9 4 .5
Torio
Tricloroetileno
Tumbaga
Tungsteno (wolframio)
Turba
11.3
1.47
8.65
19.1
0.64
1845
- 86
900
~ 3350
Uranio
Vanadio
Vidrio plano
Yodo
Zinc extruido
18.7
5.6
2.5
4.95
6.8
1850
1715
700
113.5 (184)
1000
393
139.6
0.117
0.50
0.84
0.218
0.38
Zinc fundido
Zinc laminado
6.86
7.15
419
419
110.5
105.8
0.38
0.38
1390
160
73.3
0.10
110
0.14
0.138
0.201
1.80
0.611
1.59
87
2300
4850
0.16
93-116
11.9
0.06-1.2
0.113
1.30
0.381
0.155
1.88
920
920
0.6-1.0
1 W /(m • K) = 0.8598 kcal/(h • m • C)
<2' 1 kJ/(kg • K) = 0.2388 kcal/(kg • C) = 102 kgf • m /(kg • C)
<3> Para í = 20°C
(4> Para t = 0°C
,6> Para t = - 20°C
(6) Para f = 4°C
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Tablas
Propiedades de materiales gaseosos
Los valores corresponden a las siguientes condiciones.
Densidad a t = 15°C y p = 1.0132 bar = 760 Torr
Temperaturas de fusión y evaporación a p = 1.0132 bar
Conductividad térmica a t = 20°C y p = 1.0132 bar
Calor específico a t = 20°C y p = 1.0132 bar
ebulli­
ción
Conduc­
tividad
térmica
A.
Calor
específico
°C
W/(nvK)
kJ/(kg-K)<'>
Punto de
Sustancia
Densidad fusión
P
Isoldf.)
kg/m 3
°C
cp
cr
Acetileno
Acido clorhídrico
Acido sulfhídrico
Aire (atmosférico)
Amoniaco
1.18
1.64
1.54
1.293
0.77
0.017017
- 84
- 81
- 114
- 85
- 83
- 60.3
0.0221
-1 9 5
- 220
- 78.3 - 33.7 0.01989
1.67
0.80
1.34
0.59
1.00
2.22
0.71
1.72
Argón
Azufre
Butano, isoButano, nCloro
1.78
3.41
2.67
2.70
3.22
- 190
112
- 145
- 135
- 100
- 186
46
10
1
- 34
0.015912
0.006188
0.54
0.67
0.33
0.54
-
0.014365
0.50
0.29
Dióxido de azufre
Dióxido de carbono
Etileno
Gas de alumbrado
Gas de altos hornos
2.93
1.96
1.26
0.55
1.28
- 73
- 57
- 169
- 230
- 210
- 10
- 78.5
-1 0 2
-2 1 0
-1 7 0
0.015912
0.01326
0.034034
0.05525
0.01989
0.63
0.84
1.55
2.14
1.05
0.50
0.63
1.21
1.55
0.75
Gas pobre
Helio
Hidrógeno
Kriptón
Metano
1.22
0.18
0.09
3.7
0.72
- 210
- 272
- 258
- 157
- 184
-1 7 0
- 268.8
-2 5 3
-1 5 2
-1 6 4
0.01989
0.143
0.161993
0.00878
0.028067
1.05
5.23
14.28
0.25
2.22
0.75
3.18
10.13
0.17
1.72
Monóxido de carbono
Neón
Nitrógeno
Oxígeno
Ozono
1.25
0.9
1.25
1.43
2.14
-
- 190
211
249 - 2 4 6
210.5 - 195.7
219 - 183
251 - 112
0.020995
0.043758
0.0221
0.022321
1.05
1.05
1.05
0.92
0.75
0.63
0.75
0.67
Propano
Propileno
Vapor de agua(2)
Xenón
2.02
1.91
0.81
5.8
-
190
0
111
0.016575
0.0051
1.93
1.47
-
(1> 1 kJ/(kg • K) = 0.2388 kcal/(kg • K)
-
45
50
100
- 106
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(2) A f = 100°C
Tablas
Propiedades térmicas de materiales
COEFICIENTE DE DILATACION LONGITUDINAL a EN (10 G) ( K 1)
(para t de 0 a 100°C)
Sustancia
a
Sustancia
a
Acero dulce
Acero níquel
( = Invar con 36% Ni)
Aluminio
Bismuto
Bronce
Cadmio
Cobre
Constantan
Cuarzo
Estaño
Esteatita
12.0
1.5
Hierro fundido
Latón
Molibdeno
Níquel
Oro
Plata
Plata alemana (alpaca)
Platino
Plomo
Porcelana
Tungsteno (wolframio)
Zinc
10.5
18.5
5.2
13.0
14.2
19.7
18.0
9.0
29.0
4.0
4.5
30.0
23.8
13.5
17.5
30.0
16.5
15.2
0.5
23.0
8.5
COEFICIENTE DE DILATACION VOLUMETRICA
(para t = 15°C)
Sustancia
Agua
Alcohol
Bencina (gasolina)
Eter
Glicerina
pEN K 1
/ì
Sustancia
fi
0.00018
0.0011
0.001
0.0016
0.0005
Mercurio
Petróleo
Trementina (aguarrás)
Tolueno (toluol)
0.00018
0.001
0.001
0.00108
COEFICIENTE DE TRANSM ISION DE CALOR k EN W (m 2 • K) *
Material de
pared
Caliza
Concreto armado
Concreto de escoria
Concreto de grava
Madera
Ladrillo
Vidrio
0.3
1
Espesor en centímetros
2
5
12
25
4.3
3.8
5.8
4.1
2.4
3.1
3.5
2.7
3.4
1.7
2.9
38
51
2.2
1.7
1.4
1.7
2.3
1.4
1.0
2.0
1.5
1.3
5.3
Ventanas
Vidrio sencillo, amasillado (con mástique)
Vidrio doble, 2 cm de separación, amasillado
Vidrio doble, 12 cm de separación, amasillado
Techo de tejas, sin y con material para ¡untas
5.8
2.9
2.3
11.6 y 5.8,
respectivamente
*Valor aproximado para aire con movimiento ligero en ambos lados
de la pared
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Z 12
Tablas
Propiedades térmicas de materiales
CALOR DE FUSION (POR UNIDAD DE MASA) /,
Sustancia
k J/k g (1)
Sustancia
kJ/kg
205
377
164
38
46
243
172
134
59
113
109
176
335
126
Latón
Manganeso
Mercurio
Metal (aleación) Wood
Naftalina
Níquel
Oro
Parafina
Plata
Platino
Plomo
Potasio
Zinc
168
155
11.7
33.5
151
234
67
147
109
113
23
59
117
Acero
Aluminio
Antimonio
Azufre
Cadmio
Cobalto
Cobre
Cromo
Estaño
Eter etílico
Fenol
Glicerina
Hielo
Hierro colado
CALOR DE VAPORIZACION (POR UNIDAD DE MASA) /„
(a 1.0132 bar = 760 Torr)
Sustancia
Agua
Alcohol
Amoniaco
Cloro
Clorometilo
Dióxido de azufre
kJ/kg
Sustancia
kJ/kg
2250
880
1410
293
406
402
Dióxido de carbono
Hidrógeno
Mercurio
Nitrógeno
Oxígeno
Tolueno (toluol)
595
503
281
201
214
365
CONSTANTE DE GAS Rr¿’ EN J(kg ■K)Y MASA MOLAR M (EN kg/km ol)
Sustancia
Acetileno
Aire
Amoniaco
Dióxido de azufre
Dióxido de carbono
R
M
Sustancia
R
M
319
287
488
130
189
26
29
17
64
44
Hidrógeno
Monóxido de carbono
Nitrógeno
Oxígeno
4124
297
297
260
2
28
28
32
<1> 1 kJ/kg = 0.2388 kcal/kg
<JI 1 J/(kg-K ) = 0.102 kgf m/kg-°C)
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Tablas
Propiedades térmicas de materiales
CAPACIDAD TERMICA ESPECIFICA (M EDIA) c„ DE GASES IDEALES
EN kJ/(k g • K) EN FUNCION DE LA TEMPERATURA t
t
<°C)
CO
0
100
200
300
400
1.039
1.041
1.046
1.054
1.064
500
600
700
800
900
n2
puro
02
SO,,
Aire
1.039
1.041
1.044
1.049
1.057
1.026
1.031
1.035
1.041
1.048
0.9084
0.9218
0.9355
0.9500
0.9646
0.607
0.637
0.663
0.687
0.707
1.004
1.031
1.013
1.020
1.029
1.976
2.008
2.041
2.074
2.108
1.066
1.076
1.087
1.098
1.108
1.057 0.9791 0.724
1.067 0.9926 0.740
1.078 1.005 0.754
1.088 1.016 0.765
1.099 1.026 0.776
1.039
1.050
0.061
1.072
1.082
14.78
14.85
14.94
15.03
15.12
2.142
2.175
2.208
2.240
2.271
1.118
1.128
1.137
1.145
1.153
1.108 1.035
1.117 1.043
1.126 1.051
1.134 1.058
1.142 1.065
0.784
0.791
0.798
0.804
0.810
1.092
1.100
1.109
1.117
1.124
1.195
1.206
1.216
1.225
1.233
15.21
15.30
15.39
15.48
15.56
2.302
2.331
2.359
2.386
2.412
1.160
1.168
1.174
1.181
1.186
1.150
1.157
1.163
1.169
1.175
1.071
1.077
1.083
1.089
1.094
0.815
0.820
0.824
0.829
0.834
1.132
1.138
1.145
1.151
1.156
1.204
1.209
1.214
1.218
1.222
1.241
1.249
1.256
1.263
1.269
15.65
15.74
15.82
15.91
15.99
2.437
2.461
2.485
2.508
2.530
1.192
1.197
1.202
1.207
1.211
1.180 1.099
1.186 1.104
1.191 1.109
1.195 1.114
1.200 1.118
0.837
1.162
1.167
1.172
1.176
1.181
1.226
1.230
1.234
1.237
1.240
1.243
1.275
1.281
1.286
1.292
1.296
1.301
16.07
16.14
16.22
16.28
16.35
16.42
2.552
2.573
2.594
2.614
2.633
2.652
1.215
1.219
1.223
1.227
1.230
1.233
1.204
1.207
1.211
1.215
1.218
1.221
o
o
n2
atm.
h2
H2 0
0.8205
0.8689
0.9122
0.9510
0.9852
14.38
14.40
14.42
14.45
14.48
1.858
1.874
1.894
1.918
1.946
1.075
1.087
1.099
1.110
1.121
1.016
1.043
1.067
1.089
1.109
14.51
14.55
14.59
14.64
14.71
1000
1100
1200
1300
1400
1.131
1.141
1.150
1.158
1.166
1.126
1.143
1.157
1.170
1.183
1500
1600
1700
1800
1900
1.173
1.180
1.186
1.193
1.198
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
1.123
1.127
1.131
1.135
1.139
1.143
Calculada a partir de datos en
E. Schmidt, E infü hru n g in die Technische Therm odynam ik,
9a. edición, Springer, 1962, B erlin/G öttingen/Heldelberg.
www.FreeLibros.me
1.185
1.189
1.193
1.196
1.200
1.203
Tablas
Propiedades térmicas de materiales
CONSTANTE DE RADIACION C EN (10 s) W /m 2 • K 1) A 20°C
Material
Acero mate
Acero pulido
Agua
Aluminio mate
Aluminio pulido
Cobre oxidado
Cobre pulido
Estaño pulido
Hielo
Hollín
Ladrillo
C
Material
C
5.40
0.34
3.70
0.40
0.23
3.60
0.28
0.34
3.60
5.30
5.30
Latón mate
Latón pulido
Madera cepillada
Níquel pulido
Plata pulida
Porcelana vidriada
Vidrio liso
Zinc mate
Zinc pulido
Superficie del cuerpo
negro (radiador absoluto)
1.25
0.28
4.40
0.40
0.17
5.22
5.30
5.30
0.28
5.67
COLORES DE INCANDESCENCIA DEL ACERO Y TEMPERATURAS
CORRESPONDIENTES
Tono
rojo oscuro
ro¡o cereza oscuro
ro¡o cereza medio
ro¡o cereza claro
rojo claro
rojo muy claro
t
(°C)
680
740
770
800
850
900
t
(°C)
Tono
rojo amarillento
amarillo
amarillo claro
blanco
950
1000
1100
1300
o más
COLORES DE ESTIRADO DEL ACERO Y TEMPERATURAS
CORRESPONDIENTES
Tono
t
<°C)
amarillo pálido
amarillo paja
castaño (café)
púrpura
violeta
200
220
240
260
280
t
Tono
re í
azul plumbago
azul claro
gris azul
gris
300
320
350
400
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www.FreeLibros.me
Tablas
Propiedades hidrodinámicas
RUGOSIDAD k
(De Richter, Rohrhydraulik)
Material y
clase de tubería
Estado
k en mm
Tubo de acero sin
costura, laminado
o extruido (cali­
dad comercial),
nuevo
de laminado típico
decapado
galvanizado por inmersión
galvanizado comercial
0.02 - 0.06
0.03 - 0.04
0.07-0.10
0.10-0.16
Tubo de acero,
usado
con oxidación uniforme
aprox. 0.15
normal
con oxidación moderada e
0.15-0.4
incrustación ligera
aprox. 1.5
incrustación mediana
2 -4
incrustación intensa
limpiado después de uso
0.15 - 0.20
prolongado
Tubo de hierro
fundido
de fundido típico, nuevo
embetunado, nuevo
oxidado
con incrustación
limpiado después
de uso prolongado
de tipo medio en
instalaciones urbanas
muy oxidado
VISCOSIDAD DINAMICA »/ EN kg/(m
(Valores aproximados)
t en °C
x 10 5
Aceites
para
motores
SAE
x 10-*
0
179
0 .3 - 1.5
1.2
4.5
aprox. 0.15
soldado, nuevo
remachado, nuevo
con costura ligera
con costura fuerte
limpiado, de 25 años
de uso. severamente
incrustado
Tubo de lámina de
acero soldada o
remachada
Agua
0.2 - 0.6
0.1 - 0.13
1 - 1.5
1 .5 -4
aprox. 1
hasta 9
12.5
s)
10
20
131 100
30
80
40
50
60
100
55
47
70
41
80
65
36
28
79
170
310
430
630
45
95
150
220
310
29
52
86
120
160
20
33
61
72
97
13
22
34
45
59
10
16
24
31
41
6
12
17
22
28
5
7
10
12
15
10 310 120
20 720 320
30 1530 600
40 2610 950
50 3820 1530
www.FreeLibros.me
Prop orcione
en pes o en % (promec ios)
Aleación
Cu
Zn
Pb
Bronce
Bronce fosforado
Bronce de aluminio
80-83
86-90
98-82
Bronce de níquel
Bronce para chumaceras
Cuproníquel
50-70
82
79
Estaño-plata
Latón
Latón duro
80-57
60-56
20-43
38-43
2-1
60
50
32
39.4
0.1
Sb
Al
Fe
Ni
4
50-30
0.5
15
P
Otros
20-17
7-11
0-4
2-18
1
Mn: 2
95
Ag: 5
8
0.5
10
-0.8
Mg: 20
80
Metal antlfricción
Metal Babbitt (o blanco)
Metal Delta
5
5-9
55-63
Metal Monel
Metal rojo
Metal rojo duro
30
82-86
70
0-6
9
Plata alemana (alpaca)
Tumbaga
50
80-95
30
20-5
Aleaciones
16.5
Tablas
Latón de aluminio
Latón de níquel
Magnalio
Sn
85
80-73
10
10-18
0-1
43-36
0-1.5
-0.06
-0.01
Mn: ~
1
70
0-0.1
7
16-8
9
N
5
20
www.FreeLibros.me
->i
Material
Módulo
elástico
E
Clase
de
carga*
Esfuerzo
de aplas­
tamiento
CTa(perm .)
Acero dulce
Esfuerzo
de ten­
sión
&t (perm.)
Esfuerzo
de com­
presión
Esfuerzo
por
flexión
Esfuerzo
cortante
CTc(perm .)
0 / (perm .)
T (perm.)
Esfuerzo
por
torsión
Tt (perm.)
N
00
210 000
I
II
III
80-120
50- 70
27- 33
100-150
65- 95
45- 70
100-150
65- 95
45- 70
110-165
70-105
50- 75
72-100
48- 75
35- 50
65- 95
40- 60
30- 45
210 000
I
II
III
100-150
70-100
36- 50
140-210
90-135
65- 95
140-210
90-135
65- 95
150-220
100-150
70-105
96-144
64- 96
32- 48
85-125
55- 85
40- 60
220 000
I
II
III
80-100
53- 67
27- 33
60-120
40- 80
20- 40
90-150
60-100
90-120
60- 80
30- 40
72- 95
48- 64
24- 32
36- 48
24- 32
12- 16
■O
o
o.
Q>
CL
<D
I
II
III
—
100 000
—
35- 45
27- 37
20- 30
85-115
55- 75
20- 30
40- 55
25- 40
20- 25
35- 50
25- 35
20- 25
30- 45
20- 30
15- 20
3
30- 40
20- 27
10- 13
St 37-11
Acero dulce
St 50-11
Acero fundido
GS-38
Hierro fundido
GG-14
—
—
I
II
III
50- 80
33- 53
17- 27
45- 70
30- 47
15- 23
60- 90
40- 60
—
45- 70
30- 47
15- 23
__
110 000
I
II
III
35- 50
23- 50
12- 17
40- 54
27- 36
13- 18
40- 54
27- 36
40- 54
27- 36
13- 18
__
_
—
__
—
—
I
II
III
50- 75
33- 50
17- 25
60- 90
40- 60
20- 30
60- 90
—
60- 90
40- 60
20- 30
45- 70
30- 47
15- 23
45- 70
30- 47
15- 23
Hierro maleable
GTW-35
Cobre laminado
D-Cu F20
Bronce fosforado
90 000
CuSn6 F56
—
*V e r explicaciones en P1
www.FreeLibros.me
—
—
o
o fi>
o
Q)' C [
D
O
0) fi>
(0
</>
CL
<D
3
<
D
pt
0)
Material
Acero para resortes
C75, templado y
revenido
Módulo
elástico
axial
E
Módulo
elástico
angular
G
Esfuerzo
por
torsión
T t (perm.}
150
120
80
80 000
650
500
350
100
80
50
40
30
20
42 000
120
100
80
300
250
200
150
120
100
50
40
30
55 000
200
180
150
200
150
100
100
80
50
40
30
20
42 000
120
100
80
A
B
C
210 000
1
II
III
1000
750
500
500
350
250
110 000
1
II
III
200
150
100
142 000
1
II
III
110 000
1
II
III
Latón
CuZn37 HV150
Plata alemana
CuNi18 Zn20 HV160
Bronce
CuSn6 Zn HV190
(J f (perm .)
r3 2
m2
- c
z o
■o
o m
30 m
h £
og
JO H
50 - O
m
o —
w So
°5 0 °s
S m<
U1 2 m
? -• 3
=
2
3 m
a ni
,i >
N
~ 6 a
Bronce
117 000
CuSn8
Esfuerzo por flexión
Clase
de
carga*
HV190
1
II
III
300
220
150
150
110
80
50
40
30
*V er explicaciones en P1
Para resortes sencillos (factor de seguridad FS a 1.5)
Para resortes curvos y enrollados (FS a 3)
Para resortes sin efecto secundario (FS at 10)
www.FreeLibros.me
45 000
200
180
150
¡aS
JO
en 2
=! (/>
o ?
(o m
■o"
> -O
a o
> 7)
Tablas
Z 20
Fricción y rodamiento
0.10
0.06
0.08
0.07
encino ||
encino 4 =
0.50
0.30
Hierro
fundido(gris)
h. fund.
acero
0.18
Caucho
(hule)
asfalto
concreto
0.50
0.60
0.30
0.50
0.20
0.30
Cuerda de
canamo
madera
(común)
Banda de
cuero
encino
h. fund.
0.40
0.40
0.40
0.20
Acero
encino
hielo
acero
0.014
0.10
con
lubricante
con
lubricante
0.20
0.18
0.18
Bronce
con agua
con agua
bronce
h. fund.
acero
Material
en contacto
en seco
sobre
en seco
COEFICIENTES PARA FRICCION CINETICA (/i) Y
FRICCION ESTATICA (¿t,,)
0.11
0.19
0.60
0.50
0.31
0.16
0.10
0.33
0.08
0.50
0.40
0.26
0.10
0.50
0.25
0.65
0.30
0.027
0.15
0.12
RESISTENCIA AL RODAMIENTO
Materiales en contacto
Factor f en m m *
Caucho sobre asfalto
Caucho sobre concreto
Madera lig n u m vitae sobre madera 1. vitae
Acero sobre acero (duro: cojinetes)
Acero sobre acero (suave)
Olmo sobre madera 1. vitae
1.0
1.5
5.0
0.05
0.5
8.0
|| Movimiento en la dirección de las fibras de ambos cuerpos
=|= Movimiento perpendicular a las fibras
*Brazo de palanca de la fuerza resistente.
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Tablas
Z 2 1
Luminotecnia
ILUMINACION MEDIA Ev (lux)
Sólo para
alumbrado
general
Tipo de instalación
Talleres,
de acuerdo
con la clase
de trabajo
rudo
normal
preciso
muy preciso
80
160
300
600
Habitaciones,
en que el
alumbrado es
débil
moderado
brillante
40
80
150
Alumbrado
público, en
sitios con
tránsito
escaso
mediano
intenso
muy intenso
5
10
20
40
Patios de
fábricas, con
tránsito
ligero
pesado
5
20
Alumbrado general
y localizado
General
Localizado
100
400
1000
4000
20
40
80
300
EFICACIA DE ILUMINACION rj
Tono de colo r en la superfl ele iluminada
claro
mediano
oscuro
Tipo de alumbrado
Directo
Indirecto
0.50
0.35
0.40
0.20
0.30
0.05
Con reflector
Público
profundo
amplio
alto
0.45
0.40
0.35
FLUJO LUMINICO <t>v (kilolúmenes, klm)
Lámparas
incandescentes,
de tipo normal
(al voltaje de 220 V)
Pe1.
W
40
60
75
100
<K
klm 0.12 0.23 0.43
W
150
300
200
klm 2.22 3.15 5.0
0.73
0.96
1.38
500
1000
2000
8.4
18.8
40.0
Pei.
<I>,
Lámparas fluorescentes,
tubulares de 38 mm
de diámetro. Para tipos
' blanco claro” y
"luz de día”
Lámparas de vapor de
mercurio, alta presión
Peí
Peí.
<K
W
klm
W
klm
15
25
15
20
65
1.22
25
1.71
40
0.59
2.98
4.78
125
250
400
700
1000
2000
5.6
12
21
37
52
125
Peí. Potencia eléctrica (en watts)
www.FreeLibros.me
Tablas
Funciones trigonométricas
a
en
cj
0
1
SENO
50’
60’
0
0
0
0
0
0 029
0204
0 378
0552
0 727
0
0
0
0
0
0058
0233
0407
0581
0756
0
0
0
0
0
0087
0262
0436
0610
0785
0
0
0
0
0
0116
0291
0465
0640
0 81 4
0
0
0
0
0
0145
0 320
0494
0 669
0843
0175
0349
0 52 3
0698
0872
0
0
0
0
0
0901
1074
1249
1421
1593
0
0
0
0
0
0929
1103
1276
1449
1622
0
0
0
0
0
0958
1132
1305
1478
1650
0
0
0
0
0
0987
1161
1334
1507
1679
0
0
0
0
0
1016
1190
1363
1536
1708
1045
1219
1392
1564
1736
13
14
0
0
0
0
0
1765
1937
2108
2278
2447
0
0
0
0
0
1794
1965
2136
2 306
2476
0
0
0
0
0
1822
1994
2164
2334
2504
0
0
0
0
0
1851
2022
2193
2363
2532
0
0
0
0
0
1880
2051
2221
2391
2560
1908
2 07 9
2 25 0
2 41 9
2588
15
16
17
18
19
0
0
0
0
0
2616
2784
2952
3118
3283
0
0
0
0
0
2644
2812
2979
3145
3311
0
0
0
0
0
2672
2840
3007
3173
3338
0
0
0
0
0
2700
2868
3035
3201
3365
0
0
0
0
0
2 728
2896
3062
3228
3393
2756
2924
3090
3256
3420
20
23
24
0
0
0
0
0
3448
3611
3773
3934
4094
0
0
0
0
0
3475
3638
3800
3961
4120
0
0
0
0
0
3502
3665
3827
3987
4147
0
0
0
0
0
3529
3692
3854
40144173
0
0
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5 7 -2 9 0
2 8 -6 3 6
19-081
14-301
1 1 -4 3 0
89
98
87
86
85
1 1 -0 5 9
9 2 553
7 9530
6 9682
6 1970
1 0 -7 1 2
9 0098
7 7703
6 8 269
6 0844
1 0-38 5
8 7769
7 5957
6 6912
5 9758
1 0 -0 7 8
8 5556
7 4287
6 5605
5 8708
9
8
7
6
5
5144
1443
1154
3137
6713
84
83
82
81
80
5 5764
5 0 658
4 6382
4 2 747
3 9616
5
4
4
4
3
4845
9894
5736
2193
9136
5
4
4
4
3
3955
9152
5107
1653
8667
5
4
4
4
3
3093
8430
4494
1126
8208
5 2 25 7
4 7729
4 3897
4 0611
3 7759
5 1446
4 7046
4 3315
4 0108
3 7320
79
78
77
76
75
3 6891
3 4495
3 2371
3 0475
2 8770
3 6470
3 4124
3 2041
3 0 17 8
2 8502
3
3
3
2
2
6059
3759
1716
9887
8239
3
3
3
2
2
5656
3402
1397
9600
7980
3
3
3
2
2
5261
3052
1084
9319
7725
3 4874
3 2709
3 0777
2 9042
2 7475
74
73
72
71
70
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6746
5386
4142
2998
1943
2
2
2
2
2
6511
5172
3945
2817
1775
2
2
2
2
2
6279
4960
3750
2 63 7
1609
2 6051
2 4751
2 3558
2 2460
2 1445
69
68
67
7228
5826
4545
3369
2286
6985
5605
4342
3183
2 113
7882
3450
2 68 7
4348
7694
9
8
7
6
5
66
65
2 1283
2 0 353
1 9486
1 8676
1 7917
2 1123
2 0204
1 9347
1 8546
1 7796
2 0965
2 0057
1 9210
1 8418
1 7675
2 0809
1 9912
1 9074
1 8291
1 7556
2 0655
1 9768
1 8940
1 8165
1 7438
2 0503
1 9626
1 8807
1 8040
1 7320
64
63
62
61
60
1 7205
1 6534
1 5900
1 5301
1 4733
1 7090
1 6426
1 5798
1 5204
1 4641
1 6977
1 6318
1 5697
1 5108
1 4550
1 6864
1 6212
1 5597
1 5013
1 4460
1 6 75 3
1 6107
1 5 497
1 4 919
1 4 370
1 6643
1 6003
1 5399
1 4826
1 4281
59
58
57
56
55
1 4193
1 3680
1 3190
1 2723
1 2276
1 4106
1 3597
1 3111
1 2 647
1 2 203
1 4019
1 3514
1 3032
1 2572
1 2131
1 3934
1 3432
1 2954
1 2497
1 2059
1 3848
1 3351
1 2876
1 2 423
1 1988
1 3764
1 3270
1 2799
1 2349
1 1918
54
53
52
51
50
1 1847
1 1436
1 1041
1 0661
1 0295
1 1778
1 1369
1 0 97 7
1 0 59 9
1 0235
1 1708
1 1303
1 0913
1 0538
1 0176
1 1640
1 1237
1 0850
1 0477
1 0 11 7
1 1571
1 1171
1 0786
1 0416
1 0 05 8
1 1504
1 1106
1 0724
1 0 355
1 0000
49
40
47
46
45
50'
30’
TANGENTE
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o
<
or
O
PARTE II
APLICACIONES AVANZADAS
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Análisis vectorial
Magnitud, dirección y componentes de vectores
Vector: Representación de una cantidad física con magnitud y dirección
Coordenadas del punto inicial A del vector a : x ,, y ,, z,
Coordenadas del punto final B del vector a : x2, y2, z2
V ectores unitarios sobre los ejes
OX, OY, OZ: i ,j , k
C om ponentes escalares
l \ \ oz
a'1
a2
a '3
a'4
a'5
a'6
M agnitud de un vector:
a'7
| a~| =
Va\ (o bien, a)
I a l siempre > 0)
|/a » 2 + Qy7 +
Cosenos directores de un vector: c o s a , cos/3, eos y
a , p , y son los ángulos entre el vector ~a y los ejes OX, OY y
OZ. ( a , p , Y = 0° . . . 180°).
a'8
a'9
co sa
con
= —
- ;
e o s /? = — £ - ;
M
lal
co s2a
+ e o s 2 /? + e o s 2 y
eos y =
3>
1
Cálculo d e las c om pon en tes. Si se conocen | a |, a , /?, y
a'IOi
a , = | a l-c o s o ;
a , = la l-c o s £ ;
az = Pal-eos y
Observación: Operaciones vectoriales como la determinación de magni­
tudes, cosenos directores, sumas y productos, se llevan a cabo con
las componentes de los vectores a lo largo de los ejes OX, OY y OZ.
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Análisis vectorial
Adición y sustracción de vectores
Sum a vectorial s de dos vectores libres a y ?
s
a '1 1
s = a -
S x -i
+
j
+ S , 'A
a'12
s* = a .
Sy —
Sy + by
Sy -
a '13
IS |=
y
Qy + by
Vsx2 + s / + sz2
D iferencia v ectorial ? de dos vectores libres a y ?
a '14
s = a + (-b)
a'15
Sx =
a* — b x l
a '16
|s | =
14/ + 5
a '17
a'18
(-b )tjb * \
Sy
=
Qy— b y j
a y — bj
270°
180°
90°
0o; 360°
9
Valores
importantes
Is I para
2 vectores
Sy =
\
1ó."7>—
l / | 3 M b | ?'
1a l * | b | 1T | + 1b | l/l5 |M b l2 ' I a 1 - | F |
2l a|
in -i7 i
0
|a |^
\t\V T
Sum a vectorial s de vectores libres a , b , —c , etc.:
a'19
s = a + ¿> - c + . . . = s *-i + Sy-j +
a'20
S x " ~ & X ' * ' b x ~ ’ C x ' * ' m"
a'21
IT I =
Vsy
+ Sy
• S y — Qy + t ) y — C y + . . .
•
— Q¿ +
~ C ¿ + ...
+ S Í
Producto de un escalar por un vector
Escalar: Magnitud física sin dirección.
El producto del escalar k con el vec to r
a'22
c*=
a ’23
c , = k ■ a» ; Cy = k ■ ay ;
cz = k
Si k > 0, entonces c
a , por lo que
k- a
(ft
tí
a da
= 0)
az
c = A•
0
k < 0 , entonces ~c T I a , por lo que
Ejemplo: Fuerza =
a'24
m > 0;
masa x
F ¿ fta ;
el vector c .
aceleración
F¿ = m -a ;
IT] ( c = 0 !
% __________ i .
«
F = m- a
Fa = m • a
’ ) El símbolo TI significa que los vectores (~T>) y T> son paralelos y de sentido
contrario.
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f ^'3
A nálisis vectorial
Productos de dos vectores libres
El producto escalar de dos vectores libres a y B da el escalar k.
Símbolo del producto escalar: punto
^
a'25
k = a ■ b = b ■ a = a ■b ■ eos <p = I a M b |-cos r
a'26
A — Qjf * b x + 3 y ‘ b y +
_—1 3 * ’
a'27
¡p = eos
a'28
Valores
impor­
tantes
(k |
0)
^ & y b y + S íz 'b z
180
90”
0 ; 360 ;
<p
ni*i
& eos 9
270
eos <p
Ejemplo: Trabajo W de una fuerza F en el
desplazamiento s
a'29
IV =
a'30
W = F s eos?
Fuerza x
Desplazamiento = F ■s
(IT |
0 ; F, s l
s eos ?>
0)
El producto vectorial de dos vectores libres a y
a'31
a'32
a'33
a'34
a'35
a '3 6
a'3 7
Valores
impor­
tantes
0 ; 360
90”
a |-l b | sen ÿ
Ejemplo: Momento M de una fuerza F
respecto a un punto O:
a'3 8
M = Radio vector x fuerza = 7 ^ ? * = - ( F
r) g
a'39
M
0)
~ r
F sen
(#
= 0;
r, F i
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fT da el vector c
Funciones racionales
d '.
Función de fracciones racionales. Descom posición
Función de fracciones racionales
(
= P ( * ) _ a„ + a, x + a ¡ jc ! + . . . ± amx m
n>m
y
Q (x )
b0 + b, x + b 2 x 2 + . . . + b„ x"
n y m enteros
Los coeficientes a v. ¿V pueden ser reales o complejos. Si n¡ son las raíces
de Q(x), se obtiene la forma factorizada:
b'1
i
u(r)
= _________ _____________ P ( x ) ___________________________
Q (x )
a ( x - n , ) kl - ( x - n , ) k2. . . ( x - n , ) l“<
En esta expresión pueden presentarse raíces de multiplicidad k 1t k2, ... *q de
Q(x), las que pueden ser reales o complejas; a es un factor constante.
Descomposición en fracciones parciales
b'2
Para lograr un manejo más sencillo de y(x) -po r ejemplo, para su integraciónes conveniente descomponer y(x) en fracciones parciales:
,.r _ \
P (.x )
_
4 ,, .
Au
.
n , k,
y ( x ) - " o í r T - 7 i ^ 7 + U Z iu y
+- " +
.
A 11 .
.
+
x -rt;
( x - n 2) 2
4q1
^q2
+ x-riq + ( x - a q) 2 + , ‘ *
b'3
+
KX___
( x - n 2) k2
^q *<q
( x - n q) kq
Si los coeficientes de Q (x) son reales, aparecen raíces complejas por parejas
(raíces complejas conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan
estas parejas en fracciones parciales reales. Si en b'1, n2 = n , (compleja
conjugada de n1t) y debido a su aparición por parejas /c, = k2 = k, entonces
las fracciones parciales de b'2 con las constantes A u . . . A 2*2 pueden agru­
parse en las siguientes fracciones parciales;
fin x + Cu
B j 2 x + C\z
By k x + C\ k
xz + ax + b
(x 2 +ax + b )2
**•
( x 2 + ax + b ) k
Las constantes A u . . . Aqkq, Bn . . . B1k y Cu . . . C1k se determinan igualando
los coeficientes de igual potencia en x en ambos miembros de la ecuación,
después de que en la parte derecha, descompuesta ésta en fracciones par­
ciales, se toma el común denominador Q(x).
Ejemplo:
/ \
2 x —1
_ 2 x —1 B11X+C11 /qi
^q7
_ (x + 1 - 2 i ) (x + 1 + 2 i) (x + 1 )2 “ Q ( x ) ~ x2+ 2 x + 5 + x + 1 + (x + 1 )2
2 X -1 _B1tx ( x + l ) 2+Cn ( x - f l) 2-F>4qi(x-fl) (x 2-f2x-F^)-f^q2( x 2-t-2x-F5)
Oí7 7 "
q TT)
2 x —1= (^q!+ B n ) x 3 + ( 3^q1 + Áq2 + 2¿?i i + Ci 1 ) X 2 +
+ (7 ^ q l + 2 / q2 + B 11 + 2 C n ) x + 5^q1 + 5^q2 + Cu
Al igualar los coeficientes de las partes izquierda y derecha se obtiene;
Bu = - 1 /2 ;
C ,, = 1 / 4 ;
i4qi = 1 / 2 ;
Aq2 = - 3 / 4 .
Cuando se tienen raíces sencillas n¡, las constantes A 11t A2i
ecuación b'2 pueden calcularse como sigue:
b'4
Au = P ( n i ) / Q #( n i ) ;
¿ 2 1 = P { n j ) / Q ' { n 2) ¡
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Aq1 de la
. . A q = P ( n q) / Q ' ( n q)
Transformadas de funciones
Transformada de Fourier
Generalidades
C 1
Con la transformada de Fourier
se lleva a cabo, con ayuda de la
integral de Fourier, un desarrollo de la función tiempo s(t) en un espectro
continuo (densidad espectral) S(co), en el cual la frecuencia corresponde
a la densidad del espectro; s(t) debe tener las siguientes propiedades:
a) ser divisible en un número finito de intervalos en los cuales s(f) sea
continua y monótona.
b) poseer valores definidos en las discontinuidades s(t + 0) y s (f-0 ) de
modo que pueda expresarse
c'1
c'2
+ 0) + s(t) + 0)]
+00
c) sartal que J W ) I df converja.
-00
s(t) » 1¿ [s (f
La transformada Inversa F ~ '{S ( a>)} conduce a la función tiempo.
c'3
Definiciones
F { s ( t )}
= S ( u ) = J s ( f ) e ""r - d f ;
i.yz?
-co
c'4
c'5
c'6
c'7
c'8
F-1{S(ív)} = s ( t ) = - J - / s ( < v ) e '" '
i =1/1?
du ;
}
7 l » < ‘ M* ' « = ¿ 7 U < *> r • *
Reglas de operación
Desplazamiento en tiempo F { s ( f - r ) } = S ( < v ) e " ' " T i = 1 / - T
Convolución
s , ( f ) » S 2( t ) = Js,(r ) ■s j( t - r) ■
dr
-00
+00
= J s 2( r )
t ■d r
-00
espectral
-S |(
c'9
F { s t( f ) * S ít t ) }
= Si(<v) S i (iv )
c'10
F {s (t)}
= S (u )
c'11
F (s (a f)}
c’12
F { s i ( t ) + s2( f ) }
1
t
)
|a|
= - ^ - 5 (^ s ie m p re que a > 0
a
= Si(<v) +
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(continúa en C'2)
Transformadas de funciones
Transformadas de Fourier
^
(continuación de C'1)
En seguida se indican las densidades espectrales calculadas para algunas
mportantes funciones del tiempo.
c'13
*( t )
=
J S (a /) e i“' ■ do, ;
S(«u) = J°s( t )• e 1" ’ • dt
-0 0
Función tiempo
Función rectángulo >1 •
Densidad espectral .Vf<»)
(t )
'S (t)
2 >4 r * sen ( u T ) / ( u f T )
S(iu)
ARr (t)
T
t
Función impulso de Dirac / • ó ( í )
s(t)
5 (w )
= >1
(Densidad espectral
constante sobre u>)
c'14
-unción rectán-1 A . R
( t-T /2 )
lulo con cambio
1,1
de signo
r
u T
s(t)
S (w )
c'15
= - j 2 A T --
üi T
2
s (t)
c'16
4
-3T
c'17
S { u )
-T
T
= 4 A T ■c o s ( 2 u T ) —
l ?
ÙJl
—
3T t
W)
) «
s í*;
_
2n
«o- - r“
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f Función ^
rectángulo j
'in
U)
(continúa en C'3)
Transformadas de Funciones q
T ransform adas de Fourier
(continuación de C'2)
c'18
C '1 9
c '2 0
C '2 1
c '2 2
c '2 3
c '2 4
C '2 5
c '2 6
c '2 7
c'28
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~
^
Transformadas de funciones
Transformada de Laplace
^
Generalidades: Con la transformada de Laplace L
transforma) la función f(t), con ayuda de la integral
{f(0} se representa (o
r ( P)
c'29
en una función imagen; fifí debe ser nula para t < 0 y para t > 0 debe estar
totalmente definida; e PI es un factor de amortiguación que hace que la in­
tegral converja para un gran número de funciones del tiempo. Se tiene
que p
o • ioj ( a > ü ) es una variable compleja de operación. En este do­
minio de la imagen pueden resolverse ecuaciones diferenciales y analizarse
procesos no periódicos (por ejemplo, vibraciones). El comportamiento de
la función tiempo se obtiene por medio de la transformada Inversa (véase
la tabla C'6).
Definiciones
c'30
L { /(()}
=f(P)=J?(í) e~pfdí
t ' ’{f(P )}= /W
- 2 H j r ( p ) e p , dp
c'31
(7 ^ -io o
Representación abreviada:
Representación abreviada:
f ( t ) ° ------------------ »/-(p)
r ( P) • --------------- ° / ( f )
Reglas de operación
c'32
Linealidad
C'33
c'34
Teorema
de traslación
c'35
Teorema de
convolución
¿ { /.(O
+f A t ) }
= ñ ( p ) + r 2(p)
i.{ c -/,(t)}
= c - f , (p )
L { f ( t - a )}
= e ~ap ■T ( p )
M t)» M t)
= J/i( í - t ) ■f A r ) ■d r
0
t
= / / i ( t ) / j( t - r ) • dr
c'36
M t ) * f , ( t ) o— - • r , ( . p ) f A p )
c'37
Cambio de
variable
C'38
Diferenciación
c'39
c'40
c'41
‘ (i
'© I
= f(ap)
t { /'(í) }
= p-F(p) - /(O * )
t{ r t o }
= pJf ( p ) - p - / « T ) - / ' ( O * )
H A t) }
= P'’ - r ( p ) - l V w ( 0 * ) p " - * - '
t ( // ( 0 - d t )
- ^ n
A=0
Integración
P)
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Transformadas de funciones q ' 5
Transform ada de Laplace
Empleo de la transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones
diferenciales
Esquem a de operación
c'42
c'43
in ve rsa s e g ú n C '6
c'44
El problema de resolver las ecuaciones diferenciales se reduce al de ha­
llar una transformada inversa; esta operación se simplifica expresando Y(p)
en fracciones parciales ( 'óas< B'1), o en funciones cuyas transformadas
inversas al dominio del tiempo puedan encontrarse ya tabuladas (véase la
tabla en C'6).
Ejemplo:
2y' + y = / ( t ) •
f { t ) es la función de excitación
y ( 0 *) = 2, es la condición inicial
c'38 1
; \ 2 p T ( p ) - 21y ( 0 +) + r ( p ) = F ( p )
c'42 .
1/p+2¡/(0»)
y ( t ).
. y ( p ) , * P ____________
>+W >
c'43
1 + 2p
-
1 + 2p
Según sea f (t) o F (p) se obtienen diferentes soluciones para y
(f). (Supongamos que ((() sea la función escalón. Según C'50 es en­
tonces
F(p) = 1/p).
1 +2p
y según C'6,
y (O
= 1
+ 2 • 2-~ e
= 1
1 + 2p
-P,
Aplicación del teorema de convolución de la transformada de
Laplace a redes lineales
Una función de excitación f,(f) se transforma a través de una red en una
respuesta y(t). La red se caracteriza por la función de transferencia F2
(P): Fz(P) tiene la transformada inversa f2(t)Dominio de p
Dominio de t
c'45
c'4 6
/i(í)
Red
y (t)
F(p)
r,(p )
F2(P>
> F (p) = F , ( p ) ■ F , ( p )
y ( O = / , ( « ) * í t ( O 8La respuesta y(t), para una red dada, depende de ^(f); y(t) puede calcu­
larse según el esquema después de obtener Y(p). La transformada inversa
en el dominio de t puede obtenerse en forma cerrada si F2(p) está dada
como una función racional de p y la transformada Fi(p) puede obtenerse
de la tabla en C'6.
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Transformadas de funciones
Transformada de Laplace
®
Tabla de correspondencia
c'47
r(p) = | ° / ( í ) e " P' d í ;
con
=
i
=
p = io j = i 2 n f ;
Función imag Función del tiempo
F(p)
f( t )
c'48
c'49
c'50
c'51
c'52
c'53
/(í)
Función imagen
F (p )
J í-(p )- e
s e n (A i ) +
2A
o oc
1 para i > 0 ’o «j
0 para t < 0 3 (/)
+j
c o s ( A t)
eos(A i)
1 /p 2
— f
c'54
c'55
c'56
c'57
c'58
c'59
c'60
C'61
c'62
c'63
1 /p °
(n - 1 ) !
1/ ( p - a)
e x p (a i)
1 /( P - a ):
i
p ( p - a)
e x p (a t )
e x p (a i) - 1
para
b * a:
pbt _ „ai
1
( p + a ) 2 - A*
_J__
— e
■ sen ( A i )
yp’
1 ♦ T- p
' exp(- t / T )
•ÏÏ
p V 7
s en h(at )
P
P 2 ~ a*
cosh( a i )
ln
c'68
c'69
sen ( A i )
c'70
c'71
y r v
c'72
_L
cos( A t )
c'73
2Á? Í c o s ^ í >
<.P3 + k ! ) !
Vp
- 1 / ( 2 V F - t J4)
p fp 1
3 / ( 4 V F f v0
p + b
tan"’ ( a /p )
1 / -ai
-6A
r(e - e )
1/ t
sen ( a i )
para a > 0 :
1
2A1
c'74/
c'75
i
( p - a ) ( p - b)
-
sen ( A t )
b - a
c'64
c'65
c'66
c'67
• dp
Función del tiempo
fin
ó ( t ) = Dirac
1/p
pt
2A
sen ( A t )
para a i 0 :
1
- e f lr
— e
P
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er f c
2 r r
Función
de Bessel
Ecuaciones diferenciales
C onceptos generales
Concepto de ecuación diferencial (ED)
Una ED es una ecuación que contiene funciones, derivadas (o diferenciales)
de estas funciones y además variables independientes. Hay que distinguir entre:
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), en las que las funciones bus­
cadas dependen sólo de una variable independiente; por ejemplo.:
d'1
y"
+ 2 x 2y = s e n x
y
= f(x )
Ecuaciones diferenciales parciales (EDP), en las que las funciones busca­
das dependen de diversas variables independientes; por ej.:
d'2
d 2*
d u -d v
= x 2- v w — . —
dw dv
x = f (u, v, \v)
Las EDP no se exponen aquí en forma separada, ya que los métodos de
las EDO pueden aplicarse a ellas.
Ecuaciones diferenciales ordinarias
d'3
Forma: F (x, y ( x ) , y ' ( x ) , ... y (n>(x)) = 0.
En esta expresión y (x ) es la función buscada; y '... y(n) son la primera y su­
cesivas derivadas hasta de orden n, con x como variable independiente.
d'4
Ejemplo: y ' ” ( x ) + m ( x ) y ' ( x ) + n ( x ) y 2( x ) + p ( x ) y = q ( x ) .
d'5
Orden: es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ED. En
el ejemplo anterior, el orden de la ED es 3.
d'6
Grado: es el exponente de la derivada de mayor orden que aparece en
la ecuación al expresar ésta en forma polinomial, o sea, al racionalizarla.
d'7
ED lineal (EDL): es una ED en la que las funciones desconocidas y sus
derivadas aparecen sólo elevadas a la primera potencia; las ED linea­
les son siempre de primer grado.
d'8
ED homogénea: en ésta la función forzante o de perturbación q(x) es igual
a 0; es decir, q(x) = 0.
d'9
ED no homogénea: en ésta, q(x) 4= 0.
d'10
Solución: es una función, y = y(x), que junto con sus derivadas satis­
face idénticamente la ED.
La integración de una ecuación diferencial es el proceso de encontrar
soluciones.
d'11
Integral general de una ED es el conjunto total de sus soluciones. La inte­
gral general de una ED de orden n contiene n constantes arbitrarias: C1(
C2, .... C„. Tales constantes adquieren valores definidos cuando se es­
pecifican las condiciones iniciales y(x0) = y0;
y (x 0) = y'0 . . . / < * - 11 (*o) - y ín~ "La integral particular de una ecuación diferencial es una solución espe­
cifica de la ecuación.
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Ecuaciones diferenciales r y 9
Ecuaciones d iferenciales lineales
^
Métodos para resolver una ED
1. Transformando y ordenando la ecuación de manera que pueda identificarse
con un cierto tipo de ecuación para la cual existan soluciones (Véase D 6,
D '8........D'12).
2. Empleo de una sustitución especial (Véase D'8)
Efectuando tal sustitución, la ED con frecuencia puede reducirse a una de
menor orden o grado para la que exista una solución conocida (Véase D'9,
..., D'12).
3. Empleo del método de los operadores, en especial de la transformada de
Laplace (Véase C' 4 ... C' 6).
Ecuaciones diferenciales lineales (EDL)
d'12
Forma: En esta ecuación, y = y ( x ) es la función buscada; y ' ... y n son la
primera y sucesivas derivadas hasta la de orden rt de y ( x ) ; p , ( x ) ...
P n (x ), son funciones de x.
Solución general de la EDL no homogénea
d'13
y
yhom
y pan
Solución de la ED homogénea: yhom.
La yhom se obtiene resolviendo la ED no homogénea en la que se
hace g(x) = 0. Toda ED lineal homogénea de orden n posee n
soluciones independientes y1f y2
Yn con n constantes arbitra­
rias independientes C^, ..., Cn.
d'14
yhom = C \ y ¡ ( x ) + c 2y 2(x) + ... + C „ y „ ( x )
(En D'9 ... D'12 se dan las soluciones de algunas ecuaciones di­
ferenciales lineales de primero y segundo órdenes).
Solución particular de la ED no homogénea: ypartLa yPart se obtiene para q (x) =*= 0.
En D'3, D'6 y D'7 se indican procedimientos para encontrar estas
soluciones; en D'9 y D'12 se dan algunas soluciones para laypar(
de ED lineales de primero y segundo órdenes.
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Ecuaciones diferenciales
q '3
Ecuaciones d iferenciales lineales___________ _
Solución particular
Obtención con el método de la variación de parámetros
Si se conoce la yhom de una EDL de orden n (véase D'2, D '6), la siguiente
sustitución conduce siempre a una solución particular:
d '15
yp a r, = C 1( x ) y 1 + C2(x )-y 2 + . . . + Cn( x ) y „ .
Método para la determinación de Ci(x), C 2(x),...,Cn(x):
Fórmese el sistema de ecuaciones simultáneas:
d'16
C { ( x ) y , + C [(x )- y 2 + ... + C '„(x)-y„ = 0
C ¡(x )-y ¡ + C2(x )-y 2 + ... + C ; ( x ) y ¡ = 0
C J W -y iM
C l( x ) -y
+
C í(x )-y 2<"~2>+ ...
+ ...
+ C ¿(x)-yn<n-*> =
+ C ;(x )-y a( " - '> =
0
q (x)
d '17
Determínense las C¡'(x) para / = 1, 2 ,... n del sistema anterior de ecuaciones simultáneas.
d'18
Intégrense las C [(x ) para i «
sustitución hecha para y.
1 ,2 , . . . n a fin de obtener las C ¿x) de la
Ejemplo: Encontrar la ypart de la ED:
d'19
d'20
y
+ - r y'
Según d ’111
y hom
=
2 í-
= J c , e f ‘ ax d x + C2 = 0,101x1 + 02
= C r y t (x) + C2 y 2(x)
d'21
en donde y ¡(x ) = Inlxl
d'22
d'23
d'24
Sustitución:
y pa„
y y 2(x) = 1
= C 2(x )-y, + C2(x )-y 2
Sistema de ecuaciones
f C {(x) \níx\ + C2(x) - 1 - 0
simultáneas indicado en d'16
| C ¡(x)- —
+ C2(x)
O = 2x
Resolviendo el sistema se obtiene: C {(x ) = 2x2; C2(x) = - 2 x 2-Inlxl
Integrando C {(x ) y C2(x)
d'25
d'26
C ,(x )
= | x 2;
C2(x) = - | x 2 [inlxl - | ]
La solución buscada
es entonces: y par, = j X J • Inlxl - j X 3 (Inlxl -
1
9
^) • 1 = g *3
Solución general:
d '27
y = yhom + y p a n = c r imxi + c 2
Comprobación:
y' = Q . +
*
x
. y' _
o,
—x2
3
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+
y" =
- Q + 4 x
x2
3
| x 3.
Ecuaciones diferenciales r y .
Ecuaciones diferen ciales lineales
’
Ecuación diferencial lineal de primer orden
d'28
Forma:
y ’ + p (x )y = q (x).
La forma corresponde a la dada en D'2, d'12 para n = 1; la derivada de
mayor orden que aparece es y '. En D'2 y D'9 se dan soluciones para y,
Yhom, Ypart•
d'29
Ejemplo:
y' + \
= sena:
y = y hom + y pm
Según d'100, p (x ) = j
d'30
q (x) = s e n x.
Según d'99, la solución homogénea es:
d'31
yhom = C 1 e - T * dx = C , e lnUI =
con
C ,^ 0 .
Según d'100, la solución particular se calcula con la expresión:
d'32
yPan = Jsen x e J *
d'33
d x ■e J *
=
J (s e n x elnlj:l) dx e lnlíl = J (s e n x •
=
j sen x - eos x
y =
yhom + y par, = | ( C , + sen x ) -
Comprobación: /
-
¿
eos
- S + * c 0 s * - s6n* + S9n *
x2
x2
y ' + 2- = sen x
J
x
d'34
C¡ — 0; C, adquiere un valor definido, si por ejemplo
d'35
y (x j =
1 para * „ = |
d'36
entonces
1 = ^ ( C i +s e n í ) - c o s í,
d'37
por lo que C, = j
- 1.
Ecuación diferencial lineal de segundo orden
d '38
Forma: y " + p 1( x ) - y '+ p 2(x )-y = q (x)
La forma corresponde a la dada en D’2, d 12 para n = 2; la mayor deri­
vada que aparece es y". En D'11 y d ’12 se dan las soluciones para y, ynom
Ypart-
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Ecuaciones diferenciales r y 5
Ecuaciones diferen ciales lineales
**
Ecuación diferencial lineal de segundo orden con
coeficientes constantes
Debido a la gran importancia que tiene este tipo de ED en los problemas de
vibraciones, se presentan a continuación varios casos especiales de ella.
d'39
y " + 2ay' + b2-y = q(x).
Forma:
a y b con constantes,
g(x) es la función de perturbación.
Solución general: Según D'2 y d'15
d'40
d'41
y
~~ yhom
ypart
k2 =
Caso aperiódico:
a2 - b2 >
d'42
yhom = C¡-e<-a+k>x + C2-e<~a~k>x
d'43
a(-a+k)x r
yPan = — 2 £— J e ,a~ ,x ■q(x) dx -
d'44
k2 =
Caso aperiódico límite:
d'45
yhom = C , e - “ + C V x e - “
d'46
y parl
d'47
d'48
=
0
a2 - b2 = 0
- e - ‘“ J ' x e ‘“ q (x )d x + x e ~ ax§ e™ ■q(x) dx *)
k2 =
Caso periódico:
a2 - b2 < 0
yhom = e _ai[C1-sen('cux<) + C2-eos (cox)]
con (o = \Jb2- a 2
d'49
d'50
ypm
= e ~ax'se^ í (ox) ■§ e ax cos(w x) q(x)-<ix -
_ e -^ c o s f c o x ) ¡ ea1.ien(0jx).q(x) üx *)
Cu
*) Observación: Para el caso especial en que q(x) - A0 sen (üt0x),
se obtiene:
y pan
= .4 -sen ( co0 x ~ y),
d'51
en donde
A
=
'4 °
d '5 2
y también
y =cot- ’ 2a
-^-— —
a>0
=
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Ecuaciones diferenciales r y fi
Ecuaciones d iferenciales lineales
®
Ecuación diferencial lineal de orden n con
coeficientes constantes
d '53
Forma:
a„y,n>+ a„-\-y,n~X)+ . . . + a¡y' + a = q(x).
d'54
Solución de la EDL homogénea de orden n con coeficientes constantes,
Q(x) = 0).
d'55
Sustitución:
y = erx; y' = r e " ;
. . . y (n) =
Sustituyendo estas expresiones en la ED homogénea dada en d'53, se ob­
tiene la ecuación algebraica
+ an_ lr n~l + ... + axr + aQ = 0.
d'56
De esta ecuación pueden obtenerse las raíces r1f r2
rn. Dependiendo
del tipo de las mismas, se obtienen diferentes soluciones para la yhom’Caso a): Todas las r1t r2
d'57
yhom
rn son reales y diferentes entre sí:
= C ,e r . r + C2 e '* * + ... +
•)
Caso b): Aparecen raíces múltiples y sencillas:
= r2 =
r¡
d'58
nom
... = r m ;
r m + 1 , r m + 2 ,. . . r „ .
= C j- e ^ r * + C 2 * - e ' < * + C jX 2 e r>x
+
d'59
=
C m -jc m _ 1 - e f >x +
e r' x ( C x +
+
+
C 2 x
C m + ¡ • Q rm * i X
C m + 1 * e r« + i +
+
...
...
+
+
+ ... +
...
+
C m -x m ~ l)
+
C „ - e V x
C n e rn * .
Caso c): Aparecen raíces complejas conjugadas:
rl
d'60
J ’fe m
=a +
r 2 = a - ifi = r\.
= C , - e 'i- * +
C 2 e r- X
= e0*-(A -c o s p x + 5 -sen px)
A = C, + C2;
5 = ¡(C j-C y
Solución particular de la ED no homogénea de orden n con coeficientes
constantes
d'61
y pan =
8 \(x)
+
g 2(x)
+
-
+ g k(x).
Para encontrar soluciones particulares se utilizan expresiones que depen­
den de la forma de q(x). En D'7 se dan algunas de estas expresiones.
Una vez determinada la expresión correspondiente para ypart, se obtienen
ypartí y'part> ®tc-. y se sustituyen en la ED por resolver. Igualando coeficien­
tes similares, pueden determinarse las incógnitas a y p. (Véase el ejemplo
en D'7).
*) Ci, C2l ..., C„ son constantes arbitrarias.
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Ecuaciones diferenciales
q '_
Ecuaciones diferen ciales lineales
*
Ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes
Expresión por sustituir para la ypart =
Forma de g(x)
d ’63
d’64
a
A
d'62
a Q + a xx 4- a ^c2 4- ... 4- a rr^ m
a Q + a x + CI-2X 2 + ... + a mx m
xm
A 0 + A xx 4- A 2 X2 + ... +
a-e**
d'65
d'66
a - e o s m x + /3-sen m x
y4 • eos m x
d'67
B ■sen m x
+
d'68
A • c o s m x + B ■sen m x
4-
d'69
A ■cosh m x
a -c o s h m x 4- /3-senh m x
d'70
B ■senh m x
+
d'71
/ i c o s h m x 4 Æ-senh m x
4-
d'72
A -e ^-co s m x
a -e ^ cos m x 4- /3eAx sen m x
4Æ-e^-sen m x
+
/ l e n cos m x 4 fi-e^-sen m x
d'74
d'75 Ejemplo, y ” - y = cos 2x; según D'6, d'55:
y = erx;
y' = re n \
y " = r 2-erx
d'76
Sustituyendo en la ED homogénea correspondiente (d'75)
d'73
r2—1 = 0 ;
d'77
r 2 = 1;
r x = 1;
d'78
yhom
d'79
La expresión por sustituir es de la forma:
y pan = « e o s 2x + /3-sen2x
d'80
y'parr
= C f e ' 1' +
= —2 a-s e n 2 x 4- 2/?*cos2x
=
d'81
r2 = - 1
= c ,-e * + C2 e -«.
—4 a -c o s 2 x - 4/?-sen2x;.
Sustituyendo las expresiones dadas en d'79 y d'81 en la ED, d'75, se
d'82
d'83
obtiene:
-5 a - e o s 2x — 5/3- sen 2x = eos 2x.
Al igualar coeficientes similares resulta:
0 =
0; a = - i
por lo que
y pa„ = - ¿ e o s 2 *
Solución general:
d'84
? =
^
+ > > < = c i ’ eA: + c 2 e _ " - 5 c o s 2 x
Comprobación:
y ' = C i ex - C i e ~ * + ^ sen 2x • 2
y " = C , e A:+ C 2 e --l!+ ¿ • 4 • cos 2 *
y "-y
= C 1 e-t+ C 2 e - * + ¿ ■ 4 • cos 2 x - C l e x
- C2 ■
+ ¿ e o s 2x = cos 2x
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Suposición
Forma de la ED
y (n ) — f ( y t y ' t ... y ( n~ llJ
(Véase ejemplo A)
y<"> = f ( x , y ', ... y l " - 1))
x no está contenida
explícitamente
y no está contenida
explícitamente
Ejemplo A:
-
y '2 =
ay
y p d £ _ n 2 = 0 - d£ = É y
’P
y
Inlpl = Inlyl + In C
Inlpl = In C y = ^ = óx
'
p
= C y =y'
y'
—C y = 0
y
y .y " - y ' 2
=p
Reducción del
orden n
al n -1
y" =
y
dx:
y (k + l) = p
Reducción del
orden n al n - k
d£
y * +2j = p - = he
=
Sustitución: y " = p ;
y ' = ɣ =
dx
p ' + 2p - 4x = 0,
según d'100
y’ =
- C ¡ ■ e~Cx ■ C
y =
2
= 0
dx ■y = y
J (C p e -2* + 2x - l ) dx + C2
J ( - ^ - e - 2" + x 2 - x + C jd x + C3
V = ± C ,-8 -2 x + C2 x +
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a
3
O)
a
32 £ <0 O
8 £
° o
( i
=:
m r?
= c r e-Cx .c ¡ ■ C 2 ■e~c*
- C i2■ C 2 •e - Cx
£
“
y' = - ^ - e - 2* + x 2 - x + C , = &
2
2
dx
C¡ ■ C2 • e - c »
c
o
o
i.-
p = C y e -2 * + 2x - 1 ■
= C 1-e ~ ^ c ">x= C ^ e - c x
Comprobación: y ' y "
y
fl>
a
Reducción del
orden n
al n - 1
dp
- a
Ejemplo B:
y ” + 2 y" - 4x = 0.
0;
Sustitución: y ' = p ;
dy
/
3)
Observación
y' = 1p - á dzx
= p
y(n) = f ( x , y(k+ l)> ... yí.n-1)) Las derivadas de orden
1 hasta la de orden k,
(Véase ejemplo B)
no están presentes
y .y "
Sustitución
¿ + C3
® 3
5
Q-
a ®
S S
3 5'
g;
o
73
fi>
18
*& •
í®
I So
9L
CD
co
o
oo'
d.v
Solución
Observación
Las variables x así como y
pueden separarse por
el signo igual
J g (y )-d y = f f( x )-d x + C
g(y)
¿6.P
|
1 d'96
De
variables y
separables
a x + Py + y = u
De varia­
bles no di­ y '= f l a x + p y + y) £
= « + /¥
rectamente
separables
y '= L
^ f x - a)
h
=3*
V
1 d’98
ED
similar
i
f
du
i r
dA- J
¡3f(u) + a
r H.
J
=«
[d x _ f
du
Jx
J fM -u
;• - . .
c
Después de integrar
es necesario
resustituir
Revisar si la ED es
transformable en
!
d'99
ED lineal
homogénea y '+ p ( x ) - y = 0
de orden 1
y = C -e 'fp M dx = y hom
y ~ yhom
y p a rt
ED lineal
yp =
no
y '+ p (x ) y = q (x) y't = C '( x )- e 'fpMdjcO homogénea
O de orden 1
-C (x )p (x )-
y = e l plxldx^C + j q ( X) J plx>dx-dx]
Cl
.g-Jp/x) dx
y = f(y')
yP = J q (x)-e ^p<x,dxd x ■e~¡p(x,dx
x _
II
ED implí­
cita de or­
den 1, sin
term. en x
S;
O
en donde
J£M^£ c
+
•X3
Cl
y ~ yhom
y = f(p )
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yhom, véase d'99
Obtención de la sol. part.
por variación de las cons­
tantes; véase D'2 y D'3
Eliminando p
se obtiene la solución
de la representación
paramétrica
Ecuaciones diferenciales
Expresión
por sustituir
Forma
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Tipo
D
<£>'
I d'102
|d'1 0 3
ED implí­
cita de or­
den 1, sin * = f ( y ')
term. en y
ED de d'Alambert, implícita y = x -g (y ') + f ( y ')
de orden 1
Expresión
por sustituir
Observación
Solución
Eliminando p se
obtiene la sol. de
la repr. paramétrica
* = f(p )
y' = p
y = \ p f '( p ) - ¿ p + c
d*
dp
y' = P
g '(P ) x í
f'( P )
p -g (p )
p -g (p )
con Cj = y':
d'104
ED de
Clairaut
y = x y ‘ + f ( y ')
y'
y=
=p
f ( y ') = f(p )
X 'C i-t./fC y )
(Integral
general: familia de rectas)
* = - f '( P )
y = - p - f '( p ) + f(P )
Repr. paramétrica
de x y y. Integral
sing. (envolvente)
por elim. de p
z ' + p (x )-z = - q ( x )
d'105
z = y 1-"
ED de
2 = e'Jft-ntpWdx [ c —("1—
' i
y ' + p (x )y + q (x )y " = 0
Bernoulli
y =
.eJll-nlPWdrjj^]
de orden 1
con n 4= 0; n * 1
1
— *2 ,
y grado n
y' -----------2
l-n
1 —n
y
V r
-J"q(x)- Reducción a una ED
de orden 1 en z;
sol. según D'9, d'100
|
ED no
homogénea en
z; sol. según
y W - y¡<x> + e,([pW +2<(W7l(rt|clx
D'9. Al menos
una
sol. part.
1
debe ser
[C + J g W -e -flp W + ^ W T iW ld r dx]
conocida
y M = « W + y iW z '- [ p W
d'106
ED de
Ricatti de
orden 1
y grado 2
y (x ) es una
sol. part.
conocida
y '+ p (x )y + q (x )y 2= r (x )
zW
= n b
+ 2 q ( x )- y ¡( x ) ]z = <?M
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Ecuaciones diferenciales
Forma
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Tipo
Q. y así como y'
no están y " = m
O
presentes
Solución
y = C, + C 2 x + J [S f(x )-d x ]-d x
y (x ) = C r e v + C2 e ^ = y * * ,
EDL
Q. homogénea
de
orden
y ’ + a ¡y' + a0 y = 0
O
00 2 con coefs.
constantes
y
= e rx
c o n ru = - f 1 ± V j p
o bien
y (x ) = eM ( A c o s p x + B- se n fix )
y ' = r e rx
y " = r 2 erx
Observación
Empezar el
cálculo con la
integral interna
C] y C2 son
constantes
arbitrarias
A = Cj + C2
B = i ( C ,- C 2)
con r, = a + i/3; r2 = a - i/3 =
r
d'109
EDL no
homogénea
de orden / +
2 con coefs.
consts.
y M = C 1-e''“ + C2-e '“ + > -,„
“ ¡ y 1 + “ ay = <iM
y ~ yhom
ypart depende
de <7 (x). Cálculo:
y part
véase D '6 , D '7
y(x) =
c o s p x + B-sen^x) + yp<1„
y Observación d'110
( si r, = a + i/3;
r2 = a - i/3 = F ¡)
(si r,4=r2, véase d’110) o
I
y (x ) = C, x 'i + c ,- x « ; ' ’i * r2
d'110
ED de
y = x r
Euler, lineal
x2- y " + b l x y '+ b0y = 0 y ' = r* x r~ l
homogénea,
y n = r ( r - l ) x r~2
de orden 2
con
r u - ' - * ± y / t o = & - bo
o bien y íx / = x a[.4-C0S(/Hnlxl,) +
+ B-senf/S-inlxl,)]
para r, = a + i/3 y r2 = a - I /)
C, y C2 son
constantes
arbitrarias
A — C, + C2
B = i (Cj - C2)
Ecuaciones diferenciales
Expresión
por sustituir
Forma
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Tipo
I
d'111
EDL
homogénea
de orden y " + p ¡ W - y ' =
2 ; sin y
explícita
y' = u
y = J C j-e -Z /b W ^ -c U + C2 = y t a
o
y
dx
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Sol. por
reducción
primero a una
de orden 1
O
.
N
Solución
Observación
[ d'113
1
1
y' = u
EDL no
Empezar el
y = J [ e-JprW<ix.(c1+ j 9 W - e / ' ,'Wcl' - d i ) ] d i + C 2
homogénea
cálculo con las
y '+ Pi(x)y' = q(x)
= al
de orden 2,
integrales
y
= y* + y„ yp = [éíP>M^-[¡q(x)SP'<‘ >ax-dx)]áx
sin/explícita
internas
EDL
y'
=
u
;
y"
homogénea
=
+ C1
y "+ p ,(x )-f(y ')= 0
d_t
de orden 2,
y = J u - d i + C2
/í y ' ; = f w
sinyexplícita
I
Q.
A
ED
de orden 2,
sin y
y ’ = ufy;
y" = f(y)
ED de orden
y" = / f e y ')
2, sin y '
ED de
Q.
orden 2,
sin x o bien y ' = f(y')
o>
sin y
= f(x, u) ; y = \u(x) dx + C Suele ser irresoluble
Después de elimi­
nar u se obtiene
la solución
/iTy'J = / ( « )
j
ZU.P
^
u
Al final se sust.
„ dM
v
dw
y - s -/r y .« > -« a y « g -/r y ,« ;
u = ufy.)
* -
y = yW
¡ S ) + c
dx
por u
|
I
+ r.
y' = u
y" = «'
/=
y" = f(y.y')
----h- f . . . . . ^y
J V2!f<y)-áy + c,
y '= « W
en
ED de
orden 2,
sin x
r
/■= uW . g
d'118
EDL
homogénea y ” + P iW - y ' +
de orden
+ P2<x)-y = o
2
Después de transformarla en:
y, (x)w +[2y¡(x) + px(x)-yx(x)]w = 0
vW “ y ^ J
v'(X) = w
= —
di
y = y y v(x )
y \(x )
y = h ix ) [ íc W
x f
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yi(x), como sol.
part., debe ser
conocida. Reducir
luego a una lín.
homog. de orden 1.
Para y^x), véase D'9
Ecuaciones diferenciales
Expresión
por sustituir
Forma
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Tipo
Análisis estadístico
p '..
Conceptos g en erales de probabilidad
“
■
Axiomas de probabilidad
e'1
PíA)
= Probabilidad del evento (o suceso) A
Número de eventos en que ocurre A
Número de eventos posibles
e'2
= frecuencia relativa
= 0, el suceso A es imposible
e'3
Pí a )
e'4
I PíA-,)
= 1, la suma de las probabilidades de todos los posibles
eventos A¡ tiene el valor 1.
e'5
P íA v B ) * )
= P(A) + P(B) - P (A n B )*)
Caso especial para eventos mutuamente excluyentes:
e'6
e'7
= P(A) + P(B)
P íA/B)
= P (A n B )/P (B )* \ probabilidad condicional de A (Probabi­
lidad de A dada la probabilidad de 8)
Caso especial para eventos independientes, con P(B)
o bien P(A) * 0:
PíA/B) = P(A)
PíB IA ) = PíB)
e'8
e'9
e'10
e'11
P (A n B )
P (A n A )
= P íA) P(B) para eventos independientes
= P(A) Pí á ) = 0, eventos mutuamente excluyentes.
*) Diagramas de Venn para la representación de eventos
El rectángulo representa la totalidad de los eventos A¡:
Círculo mayor: evento A = IA ,)
Círculo menor: evento B & fA 2)
La superficie sombreada Indica cada caso:
h u b
(A “o" B)
A ^B
(y4 "y" B)
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A ^B
(no A “y" B)
Análisis estadístico
c '2
Conceptos especiales de probabilidad_____
Variable aleatoria A
La variable aleatoria A puede tomar diversos valores x ,; cada valor x, es un
evento o suceso aleatorio. Se diferencia entre valores discretos y valores
continuos de una variable aleatoria.
Función de distribución F(x).
La función de distribución F(x) indica la probabilidad de que el valor de la
variable aleatoria A sea menor que el valor correspondiente de la absci­
sa x. La función F(x) es monótona creciente y
e'12
lím
X-*• 00
©'13
F(x)
-
F ( oo )
r(-°o)
=
O ; F ( x ) crece de O a 1.
F(x) para valores discretos
Función de densidad P¡, o bien f(x).
P, para valores discretos
de una variable aleatoria
=
1
F(x) para valores continuos
de una variable aleatoria
f(x) para valores continuos
de una variable aleatoria
La función de densidad de una variable aleatoria A está dada por p¡ o por
f(x); su relación con la función de distribución es:
»'14/15
F (x )
= Y. P¡
r ^ x '> = / / ( * ) < > *
¡< x
-X
El área de la superficie sombreada de la función de densidad indica la pro­
babilidad de que el valor de la variable aleatoria A se encuentre en el in­
tervalo de Xt a x2 (sin incluir a x2).
e'16
e'17
P ( x , ^ A < x2) = J / ( x ) • dx
xi
= f ( x 2) - F (x ,) = P ( A < X 2 ) - P ( A < x, )
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Análisis estadístico
E '3
Conceptos especiales de probabilidad
M e d ia x y v a lo r e s p e r a d o /x
Variable aleatoria A discreta
Variable aleatoria A constante
m
e'18
e'19
e'20
3c
=
x r p i + x2 p 2 + . . . + xn p„
=
jx ,
+ oo
í1 =
Pt
f x ■ / ( * ) • dx
J
-co
en donde p, y f(x ) son valores discretos y continuos, respectivamente, de
la densidad de probabilidad.
Variancia o 2
Variable aleatoria A constante
Variable aleatoria A discreta
e'21
O2=
( x 1- 3 c ) 2 - p, + ( x2 - x ) 2 - p2 +
+ 00
e'22
e'23
e'24
e'25
♦ . . . +( x n- x ) 2 pn
O2-
= ¿‘ ( x , - x ) 2 . p i
i =1
= £ X2 • Pi
-
J ( X - l¡L ) 2 ■f ( x )
dx
+00
= J x 2 • / ( x ) ■ dx -
n2
-co
X 2
en donde p¡ y f(x) son valores discretos y continuos, respectivamente, de
la densidad de probabilidad.
o = V (variancia) es la desviación estándar.
Teorema del límite central (Ley de la adición).
Si A¡ son variables aleatorias independientes distribuidas cada una arbi­
trariamente con media (x¿), o bien con un valor esperado n¡ y variancia o¡2,
entonces
la variable aleatoria
A
=
£
A¡ tiene
el valor esperado (o media x )
n
=
£ n¡
la variancia
O2
=
£ C2 ;
( 5c
=
£ x ¡)
y además A tiene aproximadamente una distribución normal (véase e'48
y e'54), o sea:
P ( „ Sx) .
* (*£ £ )
Ejemplo: El histograma de 10 mediciones, cada una de las cuales muestra
una desviación estándar o = ± 0.03 /xm (micrómetros), tiene en­
tonces en conjunto una desviación estándar o g
Og2 = 10 a 2 ;
Cg -
t O ]¡To = í 0 , 0 9 5
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Función de
distribución
acumulada
/ ( x ) continua
Valor
esperado ¡i
Media x
Variancia
fx f(x )d x
__
ce
e'32
discreta
¿ x .P ;
Z x, -p, - X :
Forma de la fun­
ción de densidad
Observaciones.
Ambito de
aplicación
k : Número de fallas
n : Tamaño de muestra
x ,: Valor discreto de
var. aleat.
p : Probabilidad de falla
I
pN)N(i-pf
p)
[flm
(!)
P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras de un total de N,
exactamente k resulten defectuosas.
N : Tamaño de
la población
p N : partes defec­
tuosas en N
Cálculo exacto
pero laborioso
I
e'34
»
bino­
mial
p (a ) = ( ; ) p
n p ( 1- p )
w
P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras, exactamente k
de ellas resulten defectuosas.
I e'35
P (A ) =
de
Poisson
l np)k
(np)A
n p
n p
P{k) es la probabilidad de que al tomar n muestras, exactamente k
de ellas resulten defectuosas.
Aplicación: Curvas para la evaluación de muéstreos, véase E'11.
(Continúa en E'5)
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Hipótesis:
Población
sumamente grande.
Durante el
muestreo se
mantiene la
colección
Hipótesis:
Tamaño grande
del muestreo y
número pequeño
de fallas,
n ■p = const.
n - »o ; p - O
estadístico
e'33
A / l r i- A
hipergeométrica
Distribuciones de probabilidad
e'31
Ecua­
ción
de defi­
nición
Densidad de
probabilidad
Análisis
Tipo de
distri­
bución
m
■N
Tipo de
distri­
bución
Ecua­
ción
de defi­
nición
Función de
distribución
acumulada
Densidad de
probabilidad
Valor
esperado n
Media x
/ ( x ) continua F U ) = $ / ( * ) ■ dx
discreta F U ) = £ P
/(*)
Variancia
Forma de la fun­
ción de densidad
f x / ( x ) <¡X J V / ( x ) - d x V
£ * . ■P.
£ X ,2 •p ;
=
expo­
nencial
Aplicación en la teoría de la confiabilidad. Sustitución de a • x por
la tasa de fallas X multiplicada por el tiempo de prueba t (véase E'12).
0,5
f
n : Tamaño del muestreo
x, ; Valor discreto
de una variable
aleatoria
p : Probabilidad de falla
Caso especial de
la distribución
de Poisson para
x = 0. Pregunta
sobre la probabi­
lidad sin falla.
i * n -»»o; p -* 0
Caso especial de
la distribución
binomial.
x
-Ix -u J 2
í
i
'-‘ W
u
normal
J
- 00
Observaciones.
Ambito de
aplicación
c
n —» oo :
a t
p = 0.5 = const.
Aplicación frecuente en la práctica, pues muchos valores medidos
muestran una distribución con forma de campana alrededor de un
valor medio.
para
f U ) = -r—
P ara F {x ) = 0
O—<9
-oo < x < a
-2-1
t(x)
a + b
2
( b - a )2
12
a $x $ b
=
para
= 0 para
b -a
valores de x exter­
a 4 x «í b
nos al intervalo
Se emplea como modelo cuando sólo se conocen valores máximos
y mínimos, y no se tiene información sobre la distribución intermedia.
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0 1 2 x
La variable
aleatoria x puede
tomar valores
sólo en el
intervalo a, b.
Ahí todo valor es
igualmente
probable.
Análisis estadístico
p '6
Determinación de o
^
Determinación de o para valores discretos dados
Método de cálculo
Según la ecuación e'23 se tiene:
e'41
e'42
O 2 = Z (x, - x ) 2 p¡
/■=1
=
¿ x ; 2 p, -
i- 1
en donde x,:
P¡\
con
í
= Z x, - p;
/ =1
X 2
valores medidos de la variable aleatoria A
probabilidad asociada a su ocurrencia.
Método gráfico
Si se supone que los valores medidos x, de la variable aleatoria A están
distribuidos normalmente, a puede determinarse fácilmente con ayuda del
papel para probabilidades. En este papel se escogen las divisiones de las
escalas de manera que se obtenga una línea recta para una distribución
normal.
Desarrollo: El total de los valores medidos de la variable aleatoria A se fija
igual a 100%. Para cada uno de los valores x, se calcula la frecuencia por­
centual. De estos / valores se escogen, por ejemplo, 4, 2 en los bordes, y
2 a la mitad del espectro; en el dibujo son x4, x 6, x7 y x9. Para cada uno
de estos 4 valores se calcula qué % de los valores medidos son menores
que los considerados en cada caso, y este valor porcentual se inscribe en
la red (10% para x4, 38% para x6, etc.). Por estos puntos se traza una recta
que corta a las frecuencias acumuladas de 16% y 84%. A estas abscisas
corresponde un valor 2 a. El valor medio se encuentra en el 50%.
(Distribución acumulada) % menor que X,
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Análisis estadístico
p'
Distribución normal de Gauss
■
Distribución normal de Gauss (Densidad de probabilidad)
La ecuación e'39 da para o 2 = 1 y
¡u = 0 la densidad de probabilidad normali­
zada con medida en X = 0.
e'43
V27F
(f ( \ ) puede leerse en las Tablas Z'5 y Z 6 para valores 0 < A < 1,99 o
también calcularse directamente con la ecuación e'43.
La relación entre la densidad normalizada <¡P(A) y la densidad real f(x),
cuando u 4= 0 y a 2 4= 1, está dada por
e'44
= A
según
/(*)
=
<p(A )
Para calcularla, se busca en tablas un valor determinado de X, el valor
correspondiente de la densidad normalizada (f (X), y se encuentra después
de dividir entre a , el valor de tal densidad f(x) asociada a x.
Los valores de /¿ y o pueden obtenerse con las ecuaciones e'26 y e'58.
En E'6 se muestra un método gráfico sencillo para determinar f(x).
Distribución de Gauss normalizada 4> (X) (Función de distribución)
La ecuación e'39 da para a 2 = 1 y fi = 0,
la función de distribución normalizada de
la distribución de Gauss.
<P( t )
A
e'45
0U )
A
= fv(t) dt
1
f Z íl
= T ñ j= J e 2 - di
Como lím 0 (X ) = 1 para A —» °o, y cp(t) es una función simétrica,
se cumple que
e'46
$ (-*■ )
= i -$ U )
La relación entre la función de distribución normalizada 4>(X) y la función
de distribución real F(x), cuando \i * 0 y a 2 4= 1, está dada por
e'47/48
= A según F ( x )
¿(A)
(rVZ/T
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Análisis estadístico
Integral de probabilidad
p 'g
“ ■
Integral de probabilidad de Gauss
La integral de probabilidad se basa en
la distribución normalizada de Gauss
(e'45) con o 2 = 1 y \i = 0, representa
el área de la superficie entre - x y + x
de la función simétrica de densidad (v>).
e'49
e'50
&>( * )
En las tablas Z'5 y Z'6 se dan valores de <t>0(x) para 0 < x < 1.99;
para valores mayores de x, véase la aproximación indicada en la si­
guiente sección. La relación entre 4>o(x) y la función de error está dada por
® 0(x) = erf (a/V§).
Función de error
e'51
erf ( r )
U x -V ? )
- wy y l e* ' 2 d í
2°
2
-x2 2
-= re
*Z
e'52
• ( 2n + 1)
1 3-
En las tablas Z'5 y Z'6 se dan los valores de erf (x para 0 < x <
1.99. Para x > 2 puede calcularse erf (x) con la serie anterior o también
con la siguiente expresión aproximada:
e'53
con
erf ( x ) = 1 -
El área restante bajo la curva de
campana es igual a:
e'54
erfc(x)
= 1 -
erf ( x )
J
a
a
a
a
= 0.515
= 0.535
= 0.545
= 0,56
•di
4>o(x) y [1 - 4>o(x)] en % del
área total para valores especiales
de x (según e'49):
e'55
X
<t0(x ) l%
± a
± 2 a
± 2.58 a
± 3 o
± 3.29 o
68 26
95.44
99
99.73
99 9
[1 - </>„W]/%
31.74
4.56
1
0.27
0.1
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para 2 < x < 3
para 3 < x < 4
para 4 < x < 7
para 7 < X < OO
Análisis estadístico
p 'g
Muestreo — Distribuciones
^
Muestreo: Por razones de economía se renuncia a menudo a una revisión
en 100% de todos los elementos de una población. En vez de esto se efec­
túan muéstreos. Para que los elementos sean representativos del total, de­
ben ser arbitrarios y tener la misma probabilidad de ser escogidos (ejemplo,
por medio de un buen mezclado).
Objetivo del muestreo: Estimación de la posibilidad de la proporción verda­
dera de elementos defectuosos de una población, con base en el número
de defectuosos o fallas detectadas en una muestra.
Distribución hipergeométrica: La probabilidad P(k) de encontrar exactamente
k elementos defectuosos en una muestra de tamaño n tomada de una po­
blación N, se calcula con la expresión.
e'56
P (k )
pN: número entero
en donde p es la probabilidad supuesta de tener un elemento defectuoso
y pN es, por consiguiente, el número de defectuosos en N. La probabilidad
de encontrar como máximo k defectuosos, o sea 0, 1, 2, ..., k, puede cal­
cularse con la distribución hipergeométrica acumulativa:
e'57
Z p (M = p(o) + p ( i ) + .
P( M
pN: número entero
= I -
ÍS)
Ejemplo:
En una población N de 300 tornillos, pueden como máximo ser desechables p = 3%, oseap/V = 3. Se toman muestras de n = 20. ¿Cuántos
defectuosos son permisibles, si la probabilidad I P(k) es < 90%?
X
P (x )
Z P {*)
X-0
0
2
3
0.508
0.508
J3’39Í~" "'Ó .899j
*0.094*' ‘ * 0.993 ’
0.007
1.000
El cálculo muestra que se tiene sólo 1 defectuoso.
Otras distribuciones especiales: Además de la distribución hipergeométrica,
la cual exige una gran cantidad de trabajo de cálculo, se han obtenido
otras distribuciones especiales para determinadas hipótesis y condicio­
nes de frontera. En E'4 y E'5 se muestran, además de la hipergeométrica,
algunas de dichas distribuciones junto con sus características principales.
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Análisis estadístico
p ' 1Q
Seguridad de un muestreo — Curvas de aceptación
■“
■^
Seguridad de un muestreo: En una muestra de tamaño n tomada de una
población de magnitud N se encuentran k elementos defectuosos. Sea p
la probabilidad de tener un defectuoso en la población. La probabilidad de
encontrar más de k defectuosos en la muestra se obtiene con la ecuación e'57:
e'58
P (i» i)= P (fi+ l)+ P (/i+ 2)+ ... +P (n )s
Z
P(x)
En el supuesto de que N es muy grande y p < 0 ,1 ,-lo cual ocurre en un
gran número de procesos in dustriales- puede efectuarse este
cálculo (ver E'7) con ayuda de la distribución de Poisson:
e'59
p ( x >k ) =
x£
x=*+1
X•
*=0
x '
Esta probabilidad, para valores pequeños de k, se calcula fácilmente con
la siguiente ecuación:
e'60
PU >A) = 1-
, - e-"p [ l +2 £ + í ^ 2 ! + . . . + L ^ í L ]
P ( x > k ) se denomina también seguridad del muestreo. Con ayuda de la ecua­
ción e'60 puede determinarse con qué seguridad P (x > k ), con una muestra
de tamaño n y k defectuosos en ella, el porcentaje de partes defectuosas
en la población total toma el valor p = k/n, o bien cuán grande debe ser
la muestra n para que con k defectuosos aceptables y una cierta seguridad
deseada, la probabilidad de fallas sea igual a p.
e'61
e'62
e'63
Curva característica de aceptación: Un usuario se pregunta si una pobla­
ción de objetos que recibe satisface sus requisitos de calidad, o bien si el
fabricante ha entregado dicha población con la calidad convenida. Una prueba
de 100% de la población es muy costosa y no siempre es posible efectuar
ensayos no destructivos. Si se supone una probabilidad de fallas p ^ p 0 en
la población, hay que determinar si se acepta tal población cuando al efec­
tuar un muestreo de tamaño n se encuentran hasta k = c partes defec­
tuosas. La probabilidad de aceptación L (p. o > 1 - cr. en donde a es el
riesgo del fabricante, puede calcularse en función de la probabilidad simple
P(k)dada por la ecuación e'57.(También se conoce esta curva como “CO".)
L ( p , c ) - P ( 0 ) ♦ P ( 1 ) + . . . «• P { k = c )
Suponiendo una ]
distribución
I _ f
de Poisson,
f ~ ^
según e 44
.
\^ P )
A!
r
¿ nP _ - nP 1
~
\_
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2
( nP> +
2!
"
c!
(Continúa en E'11)
Análisis estadístico
Curvas de aceptación — Valor AQL
En
(Continuación de E'10)
Con esta fórmula pueden calcularse las diferentes curvas características de
aceptación L(p,c) en función del porcentaje de partes defectuosas p en la po­
blación. Se distingue principalmente entre dos tipos de curvas:
____________ Tipo_A__________
Tipo B
Ac: = const, n: parámetro
Ejemplo
-O a)
nj o
.O ni
0
1
2
3
<.
5
6
7
Defects. en pobl. — • - p%
Defects. en pobl.
*- p %
Observación: Cuanto más inclina­
da es la curva de aceptación, tanto
mayor es el tamaño de la muestra.
Como curva límite se obtiene un rec­
tángulo cuando n es el tamaño de
la población. Cuanto más inclinada
es la curva de aceptación, tanto más
estricta es la prueba; n debe ser > c.
Valor AQL (Acceptable quality level = Nivel aceptable de calidad):
El acuerdo entre el fabricante y el comprador implica fijar la posición del
valor AQL sobre la curva de aceptación. Ese punto indica el porcentaje de
defectuosos p0 de una población para el cual ésta es aún aceptable con
base en una muestra cuya probabilidad sea (usualmente) de 90% (co­
mo L (p , c) > 1 - a , es en este caso igual a 0.1, o sea 10%). Con referen­
cia a la curva de aceptación tipo A, esto significa que, por ejemplo, en una
muestra de tamaño n, c2 partes defectuosas serán aceptables como
máximo. Para recibir menos par- L(p,cb
^Aprox. 99%
tes rechazadas, el fabricante man­
tiene su calidad (% de defectuosos
de la población) muy por debajo del
valor AQL prometido por él, p0*. en
donde sólo se permiten c, defec­
tuosos, lo que referido a la curva
original corresponde a una probabi2
lidad de aceptación de aproximada- -g ®
mente 99%. En la práctica se exige -g ro
con frecuencia un valor AQL con ¿ ®
p0 = 0.65%.
Observación: Cuanto menor sea el
número máximo de defectuosos c
en la muestra, tanto más se acerca
la curva de aceptación al porcentaje
de defectuosos <t> en la población;
c debe ser < n.
n: Tamaño de la muestra
c: Número máximo de defectuosos aceptable
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A nálisis estadístico p ^ o
Contabilidad — Definiciones
“ ■
Definiciones generales
t
e'65
Confiabilidad
R(t)
= - --- - = e /
= 1-/?(í)
dfl
e'66
Probabilidad de fallas
F(t)
e'67
Densidad de fallas
/ ( f)
d i
t
-Ja/t; -dr
A(t)-e°
e'68
Tasa de fallas o función de riesgo A ( t ) =
¿y --jy-
MTTF (mean time to failure, o tiempo medio a la falla) es el tiempo pro­
medio que transcurre hasta que ocurre una falla
e'69
MTTF = J / ( 0 - t d t = f f í ( t ) - d t
o
p r o
En sistemas capaces de reparación se emplea en vez del MTTF, el MTBF,
(mean time between failures), que es el promedio entre dos fallas, o sea
MTBF = m. El MTTF y el MTBF tienen iguales valores numéricos.
e'70
MTTF = MTBF = m = f f i ( t ) - d t
o
Teorema del producto de confiabilidades.
Si R1f R2,..., Rn son las confiabilidades de los elementos 1,..., n, la con­
fiabilidad del sistema total está dada por
e'71
Rs = R i R2 ■ . . . -Rn = f j Ri
t
e'72
' =1
♦ A , (t ) . . . A n lT ¡]'< iT
Observación:
Como modelos para la función de confiabilidad R(t) pueden considerarse
las funciones de distribución F(x) dadas en E'4 y E'5 (cálculo según e'66).
La distribución exponencial, de sencillo manejo matemático, cumple en
general de manera satisfactoria los requisitos (A =const.).
n ( f ) : condición en el tiempo t considerado
nQ : condición inicial
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Análisis estadístico F '- iq
Contabilidad — Distribución exponencial
^
Distribución exponencial como función de contabilidad
-x t
e'73
Confiabilidad
e'74
Probabilidad de fallas
r(t)
= 1 - e"
e'75
Densidad de fallas
fit)
= /il e ~x
e'76
Tasa de fallas
A(t)
= e
R(t)
i? K t = * = const(Dimensión: 1/tiempo)
e'77
MTBF (tiempo med. entre fallas) m - l e
X
Producto de confiabilidades
-A it
e'78
e'79
e'80
e'81
= e
Tasa de fallas total
As = Ai
•e
- A 2í
. . . e
ÍA-| + A 2 + .,
Á2 +
- A „í
+ A„>f
. , . + Án —
1
MTBF
Para valores pequeños, la tasa de fallas puede calcularse con la siguiente
expresión aproximativa:
A _ _____________ Fallas______________
(Condición inicial) (Horas de servicio)
Los valores para X se refieren engeneral a horas de servicio:
e'82
Unidad: 1 fit = 1 falla/109 horas
Ejemplos típicos para tasas de
falla A en fit. (IC = Circuitointegrado)
IC digital bipolar (SSI)
IC analógico bipolar (Op
Amp)
Transistor (Si) universal
Transistor (Si) de potencia
Diodo (Si)
Tantalio con electrólito
líquido
Tantalio con electrólito sólido
Aluminio, electrolítico
Capacitor de cerámica;
capas múltiples
Capacitor de papel
Capacitor de mica
Resistor de capas de carbón
100
Resistor de capas de carbón
100
15
100
20
200
5
20
5
20
10
2
1
Resistor de hojas metálicas
1
Resistor de alambre en
bobina
10
Transformador pequeño
5
Inductor de alta frecuencia
1
Cuarzo
10
Diodo emisor de luz (Falla:
dism. de la luminosidad
a 50%)
500
Unión soldada (manual)
0.5
Unión enrollada
0.0025
Unión con abrazadera
0.26
Contacto de clavija
0.3
04
Receptáculo de contacto
Conmutador giratorio
5...30
5
0.5
Observación: Pueden encontrarse numerosos datos sobre confiabilidades en
las normas: DIN 29500, parte 1; DIN 40040, y DIN 41611.
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M atem áticas financieras
Conceptos principales
F'i
1. T a s a s de interés
Tasa de interés:
Monto que se paga en un intervalo de tiempo unitario
por unidad de capital invertido.
Tasa efectiva
de interés:
Tasa actual de incremento por unidad invertida durante
el periodo contratado.
Tasa nominal
de interés:
Tasa del interés total que se paga en un año sobre una
unidad invertida al principio del año, considerando que
cualquier interés percibido durante el año no se reinvierte.
Fuerza de
interés:
Tasa de crecimiento continuo según una cierta operación
de interés.
Notación
/:
Tasa efectiva de interés anual.
¡(m). Tasa nominal de interés por año, pagadera m veces
al año.
5: Fuerza de interés por año.
Relaciones entre i,
(m> y ó .
( (m)
* (1 + /) = (1 +
f'1
m )
2. A c u m u la c ió n a inte rés c o m p u e s to
Interés compuesto :
Notación
Si el tiempo total de inversión se divide en varios perio­
dos y al final de cada uno el interés generado se incre­
menta al capital para ser invertido a la misma tasa, se
tiene una inversión a interés compuesto.
n:
número de periodos de inversión.
P:
valor presente o principal de un capital invertido al inicio
de los n periodos de inversión.
S:
Valor futuro o monto del capital después de n periodos
de inversión.
Relación entre S, P y n.
f'2
f'3
=P (1 + /)"
¡(m)
S = p (1 + ~
ñr)mn
S
f'4
S
f'5
p
= Pe"
para tasa efectiva de interés i
paratasanom
inal
de interés
pagadera m veces al año /(m)
para fuerza de interés ô
= S vn si v = ( i + ir'
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M atem áticas financieras
C o n c e p to s p r in c ip a le s
F2
3. Tasas de descuento
Tasa de
descuento:
Cuando se hacen los pagos de interés por anticipado,
corresponde a la cantidad pagada por anticipado, res­
pecto a la cantidad que se debe entregar al final del
periodo contratado.
Tasa efectiva
de descuento:
Tasa actual de decrecimiento por unidad adeudada du­
rante el periodo contratado.
Tasa nominal
de descuento:
Descuento total efectuado en un año sobre una canti­
dad comprometida para pago al final del periodo, con­
siderando que el descuento se aplica en m exhibiciones.
Fuerza de
descuento:
Tasa de decrecimiento continuo bajo una operación de
descuento.
Notación
d:
dm :
6:
Tasa efectiva de descuento anual.
Tasa nominal de descuento por año, efectuado en m
exhibiciones iguales.
Fuerza de descuento
Relaciones entre
d , d m y S:
e5
= (1 ~ d )
= (1 - 4?r > m
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M atem áticas financieras
F
i '3o
Relaciones diversas
4. Relación entre interés y descuento
Interés y descuento son dos puntos de vista diferentes respecto a un mismo
problema. A cada tasa de interés corresponde una tasa de descuento, y vi­
ceversa. Un pago de / al final de un año corresponde a un pago al principio
del mismo, esto es:
d
de donde,
f'7
d(
‘ -T-h-
1 + i ) = i, o bien / (1 -
f'6
1 -
d) =d
Relaciones entre tasas de interés y de descuento:
f'8
Fuerza de interés o descuento
f'9
Tasa efectiva de interés
Tasa nominal de interés
f'11
Tasa efectiva de descuento
f' 12
Tasa nominal de descuento
* ) v = (1 + i)" 1
e ón
e
V
+
¡(m )\m n
^1 + ~ jf r )
d (m )\-m n
^1 - -fff-J
*"
" *)
(
y
+ ~ n r)
( i - ó)
/
f'13
Valor presente
de una unidad
antes de n años
(i /)
(
f'10
Monto de una
unidad al fin
de n años
d)"
(1 -
d (m )\m n
/
~
m
/
Ecuación de
valor:
Consiste en dos series de obligaciones vinculadas por
un signo de igualdad y valuadas en una misma fecha,
llamada “fecha de valuación” .
Ejemplo:
Una persona adeuda $30 000 000, pagaderos dentro de
5 años y $25 000 000 pagaderos en 8 años. Desea cam­
biar estas deudas haciendo dos pagos iguales al cabo
de 1 y 2 años, a partir de ahora. De cuánto serán los
pagos requeridos si el interés es del 9% anual conver­
tible semestralmente?
Solución:
Sea x la cantidad a pagar al final del primero y segundo
año; i = 0.09.
Se puede tomar como periodo fundamental el semestre
y trabajar entonces con una tasa efectiva semestral
/ = 0.045. La ecuación de valor obtenida tomando como
fecha de valuación el fin del segundo año es:
30 000 000 V6 + 25 000 000 V12 = x + x (1.045)2
30 000 000 (0.767896) + 25 000 000 (0.589664) =
x + (1.092025) x
de donde
x = $18 058 331.04
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Matemáticas Financieras
Anualidades y amortización________
F4
5. Anualidades
Anualidad:
Serie de pagos periódicos, de sumas generalmente igua­
les, que se efectúan durante la existencia de una si­
tuación dada.
Anualidad cierta:
Serie de pagos periódicos que deben efectuarse con cer­
teza e independientemente de cualquier evento o suceso
fortuito durante un cierto tiempo.
Anualidad
contingente:
Serie de pagos periódicos que se efectúan sujetos a
algún evento.
Anualidad
ordinaria:
Serie de pagos unitarios efectuados un periodo después
de su contratación y pagaderos durante n artos.
Notación
a
Valor presente de una anualidad ordinaria pagadera du­
rante n periodos.
A:
Valor presente de una anualidad con serie de pagos
iguales a R.
Sf¡\:
Monto de una anualidad ordinaria pagadero durante n
periodos.
S:
Monto de una anualidad con serie de pagos iguales a fí.
Relaciones entre a^, A, S^ y S.
1 _ vn
f'14
A
= R
f'17
S
= R S„
f'18
Sñ| = ( 1 +
f'15
ñl
(1 + /)" - 1
f'16
f'19
am ~ v "
0 " a„n
s ñi
Ejemplo: Una persona desea disponer de un capital de $1 000 000 000 dentro
de 10 artos, formado mediante depósitos mensuales en un banco que le
ofrece el 9% de interés anual convertible mensualmente ¿De cuánto debe
ser el aporte o renta mensual para lograr su objetivo?
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(Continúa en F'5)
Matemáticas Financieras p ' 5
A nualidades y am ortización
*
®
(Continuación de F'4)
Solución: El depósito mensual debe ser _5íL, con p =
P
do la fórmula del monto se tiene:
c
_
¿
-
Ra
0
.,
S m ñ \r ; i
-p -
=
12, de donde aplican-
0.09
1 2~
SP
Smñi i '
R
m
12 000 000 000
_
12 000 000 000
3 "
193.514281
Sf20l 0.0075
R
y la renta mensual:
$62 010 900
= $5 166 741.66
6. Amortización:
Amortización: Método para extinguir una deuda mediantepagos pe­
riódicos, generalmente iguales, en los que se incluyen
tanto intereses como capital.
Tabla de Registro del destino a intereses y capital del pago peamortización : riódico de una amortización.
Capital insoluto: Capital que se adeuda en cada periodo.
TABLA DE AMORTIZACION PARA UNA ANUALIDAD ORDINARIA
PAGADERA DURANTE n PERIODOS
Distribución del pago
Número del
pago
Capital insoluto
al principio del
periodo
Intereses
contenidos
en el pago
Capital
contenido
en el pago
1
1 - Vn
Vn
2
1 - V " -1
V n- 1
3
1 - v n~2
V n -2
y n -(t-l)
aT = V
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V
M atem áticas Financieras
Casos especiales
F
1 'fi
o
7. Casos especiales de anualidades
Anualidad
anticipada:
Anualidad en la cual el primer pago se efectúa al prin­
cipio del periodo.
Anualidad
diferida:
Anualidad ordinaria en la que se establece que el pri­
mer pago se efectuará después de un cierto número de
periodos.
Perpetuidad:
Anualidad en la que se estipula efectuar pagos en forma
indefinida.
Anualidad
creciente:
Anualidad en la que el monto de los pagos crece pe­
riodo a periodo.
Anualidad
decreciente:
Anualidad en la que el monto de los pagos decrece pe­
riodo a periodo.
Notación
:
:
m /am :
Valor presente de una anualidad unitaria anticipada.
Monto de una anualidad unitaria anticipada pagadera
durante n periodos.
Valor presente de una anualidad unitaria diferida m pe­
riodos.
Valor presente de una perpetuidad unitaria.
a oo
<*>»:
Valor presente de una anualidad unitaria con primer pago
unitario y que crece aritméticamente 1 unidad por periodo.
presente de una anualidad unitaria con primer pago
: nValor
y que decrece aritméticamente 1 unidad por periodo.
a‘S’
Valor presente de una anualidad unitaria con p pagos
iguales por periodo.
■
s (S ■ Monto de una anualidad unitaria con p pagos iguales
por periodo.
Relaciones entre diferentes tipos de anualidades.
- 0+'■)
=1+
S*= ')®
üi
f'20
as
f'21
a ñl
f'22
<1 +
—v ®S1
f'23
f'24
f'25
f'26
f'27
a ñi
1
*ffl = S ñ m ~ 1
m/«ai =
m /añ1 =
3 oo
aM*7P - a m
=
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(Continúa en F'7)
Matemáticas Financieras p ' 7
Anualidades y amortización
■
(Continuación de F'6)
1 - nVn
f'28
f'2 9
(D a)„
f'30
■s
f'31
s®-j
=
T jñ ) a n
Pa ra ta s a e fe c tiv a a n u a l /
—1— Sn
r P)
para tasa efectiva anual /
f'32
I
f'34
* ‘2
f'35
s 'g
f'36
a (P)
1
,(* )
» -i
**'<"
p S p ,. a^
'
m
-
*
f'38
f'39
a (pi
ñl
1
— ____ í__ a — i
m ,-(*)
m >'
cn
5JS
f'37
ñl
para tasa nominal de interés
/'(m>con m = p.
1 Ç
~p~ ñrff¡'
f'33
para tasa nominal de interés
= m k para
i (m) con m < p, y p
k entero.
para tasa nominal de interés
/<m>con m > p y m = kp para
k entero.
1
rI
¡ (m) \mlp
» U1 * t
)
-
(■ • £ ) ’
r/
En lo siguiente:
i
'I
-
para tasa nominal de inte­
rés /, en el cual no coin­
ciden la frecuencia de los
pagos con la convertibilidad
de la tasa de interés.
1
/ (m) \mlp
p [y +"7ñ") " 1
Ejemplo:
Encontrar el valor presente de 4 pagos anuales iguales
de $5 000 000; el primero de ellos se efectúa inmedia­
tamente y la tasa de interés efectivo anual es de 8%.
Solución:
Se desea determinar el valor presente de una cantidad
anticipada a 4 años; >4 = 5 000 000 á^.Esto es:
>4 = 5 000 000
= 5 000 000 [(1 + i) a^J
= 5 000 000 [(1.08) a ^ Qg]
= $17 885 502
= 5 000 000 (1.08) (3.31213)
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Teoría de ecuaciones
Ecuación algebraica de cualquier grado
G 'i
DEFINICION DE UNA ECUACION ALGEBRAICA
Una ecuación algebraica tiene la forma:
/ n(x) = 3nxn + a n -i^ -1 + ... + a2x 2 + a\x + a0.
Todos los términos cuyos coeficientes aMson iguales a 0 cuandon < n se
pueden omitir.
La solución de una ecuación algebraica implica la determinación de los ce­
ros (las raíces) de la ecuación, para los cuales fn(x) = 0.
Características
1. La ecuación algebraica / n(x) = 0 de grado n tiene exactamente n ceros
(raíces).
2. Si todos los coeficientes awson reales, sólo existen ceros reales o com­
plejos conjugados como soluciones.
3. Si todos los coeficientes aw son > 0, no hay soluciones cuya parte real
sea > 0.
4. Si n es impar, cuando menos un cero es real, suponiendo que todos los
coeficientes a wson reales.
5. Las relaciones entre los ceros xMy los coeficientes son:
g'2
= - a n-1/ a n
g'3
2 *1
g’4
para
i = 1 .2 ,
. n
a n -2 /a „ -l
para
donde
i, i = 1 , 2 , . . . n
¡ = ¡
= _ a n-3^a n-2
para
donde
i . i . k = 1 ,2 , . . . n
I = j = k
x, ■
x2■
x3■
... ■
xn - (- 1 ) " • a 0/ a , .
6.
La cantidad de raíces reales positivas de la ecuación en cuestión es
igual a la cantidad de cambios de signo de la serie de coeficientes
an, an-i, an-2, ••• , 32, ai, aoo este valor menos un número par (teorema de Descartes).
Ejemplo: f 2(x) = 2x3 - 15x2 + 16x + 12 = 0 tiene los signos
+
+
+
y debido a los 2 cambios de signo tiene 2 o 0 raíces
reales positivas.
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(Continúa en G'2)
Teoría de ecuaciones
Ecuación algebraica de cualquier grado
G'2
(continuación de G'1)
7.
g'8
La cantidad de raíces reales negativas de la ecuación en cuestión se
determina mediante la sustitución x = - z :
En este caso la cantidad de cambios de signo en la serie de coeficientes
an*, an-S, an_2*..........a2*. ai*, ao* es igual a la cantidad de raíces reales
negativas, o a este valor menos un número par. Aplicado al ejemplo en
G'1,punto6:
f 3(z ) = - 2 z3 - 15Z2 - 1 6z + 12 = 0
g'9
tiene los signos
+
y por consiguiente la ecua­
ción g' 7 únicamente tiene una raíz real negativa, debido a que tiene un
solo cambio de signo.
Solución general
Si es una raíz de una ecuación algebraica de grado r i,fn(x) = 0, el grado
de fn(x) se puede reducir en una unidad a / n-i W = 0 cuando/n(*) se divide
entre (x - *!). Si se conoce también otra raíz * 2, la ecuación se puede
reducir un grado más al dividirla entre (x - x2), y así sucesivamente.
g'10
/n W
=
+
1
- /o W
-
a n.-| j:n_1 + a n_2* n~2 + . . .
g'12
f„/(x-x,) = (x) - a„' x n' 1+ an_ , ' xn~2+... + a¿x + a ,'
fn-i/(x-x2) = /„.2 (x) - a n" x n‘ 2 + an. 2V 3 + . . . + a2" * + a ,"
fn-2/(x-x3) = ... etc.
g'13
/ /( * - * „ )
g'11
a n(n).
Hay un caso especial en el que las raíces son complejos conjugados;
después de la división, el grado de la ecuación se reduce en 2 unidades.
La división de la ecuación algebraicaf n(x) entre (.x - x M) se puede llevar a
cabo fácilmente aplicando el método de Horner que se describe en G'3.
METODO DE HORNER
El método de Horner es un algoritmo que se puede aplicar al polinomio P
de />ésimo grado
g'14
P„(x) - a n xT+ a n_, -jr"“1 + . . . + a, x +a0
para resolver los siguientes problemas:
* Cálculo del valor de P n( x ) para x = x0.
* Cálculo de los valores de las derivadas / V M , P n" ( x ) , etc. hasta
P n)(x) parajr = jr0* Reducción del grado de P „ ( x ) si hay raíces conocidas.
' Determinación de los ceros (las raíces).
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(Continúa en G'3)
+
Teoría de ecuaciones
G '3
Ecuación algebraica de cualquier grado
Método de Horner (ver el esquema abajo):
Se igualan los coeficientes av a av(°) y se escriben los coeficientes del
polinomio Pn(x) -comenzando con el que se relaciona con el exponente
m áximo- en el primer renglón. Las posiciones donde no hay exponentes
tienen el elemento 0.
Esquema
i„a3111 j 0a2(’> Jtoai11’
a„!’>
an:a™
*<>*, t o 3 ®
1V \
io a„.aB .
a n -2
a n -3
m
i 0a„_,|3) ioan-231
am
dn
*0
a
8o(1) - »0 - f n W
✓ _______
i»
x0
a¿«-:
,9>
d n -1
d n -2
*oaj'
a n -3
»oan11”
, («I
'-(n|
- a n - J n -1 /n !■ />nln, (lo)
Ejemplo 1 del método de Horner:
Cálculo de los valores de Pn(x), P„'{x), Pn"(x) y
P»'"M para x = x0; x0 = 4:
Pn W
- X3 - 6 x 2 + 1 1 i - 6
a , <0>
a 2(0>
ao(0)
-6
11
-6
12
4
-8
3
1 ^
-2 ^
I 6
8
4
1
a3<0)
1
4
~
1"^
2
1
| 6 f
I ”
■=
= /*„'( 4)
P „ " (4 )-1 /2 !; P„"(4) -
n" '(4 )-1 /3 !;
P n"'(4) -
1 -2 -6
1 -2 -3 -1
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-
= 6
12
Teoría de ecuaciones
Ecuación algebraica de cualquier grado
G '4
Explicación del método de Horner
Se va a calcular el valor de un polinomio y de sus derivadas en un punto
fijo x = xo.
Los resultados de las multiplicaciones de x0 por los factores an(1), an.iO),
etc., indicadas por las líneas se escriben en el segundo renglón (por ejem­
plo, A0 -an(1) = -toan(1>).
El renglón 3 muestra los resultados de la suma de los renglones 1 y 2.
Por ejemplo
a n- i (1) " a n - i (0) + x o ‘ a n ^ '•
a JV « aan -2J0) +
a
a n -2
+ x 0 a n-1
donde a n(1) = a n(0)
Particularmente
a0(1)
-
a 0(0) + x 0 ■ a 1(1) - *0 - P n (*o )
significa el valor del polinomio en el punto x = x q .
Usando el mismo esquema, partiendo del renglón 3, por medio de mul­
tiplicaciones y adiciones se liega al renglón 5 con
a ,® - 6 , -
P„' (x0)
que es el valor de la primera derivada de Pn(x) en el punto x = x q .
Este procedimiento se puede repetir n veces, puesto que un polinomio
de grado n tiene exactamente n derivadas.
Estos cálculos dan como resultado:
Pn(
x) - a0m +a ,(2) (x-x0) + a2|3) {x-x0f +. ..
+ ...
+ an^ (n) (jc -jto )"'1 + an(n) ( x - x a)"
- P „(x0) + 1/11- />„•(*o) • (*-*<,) + 1/2! • Pn"( x0) ■<¿-x0)2 + . . .
+ . . . 1/(n-1)l • P„|n-1* (jcq) • (i-x 0)"-1 + 1/n! ■ Pn(n|(;c0) • t t - i 0)n
Ejemplo 2 del método de Horner:
Reducción del grado si hay un cero (raíz) conocido x q , es decir, determi­
n a r/^ .! (x) usando:
g'42
= Pfl-1 (x ).
g'43
Datos:
g'44
Esquema:
g'45
g'46
g'47
P n (X) -
X3 - 6 x* + 11jt - 6
a3,0)
a2<°>
a,(0)
1
-6
1
-5
11
-5
6
*0 = 1
1
con la raíz
x0
V
-6
6
I 0
= Pn (1).
Resultado: />n(1) = 0 indica que x0 = 1 es una raíz de Pn{x).
Entonces Pn-i(x) = 1 x 2 - 5x + 6.
Las raíces de esta última ecuación (x1= 2 y x 2 = 3) pueden ser determinadas
fácilmente utilizando d 41.
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Teoría de ecuaciones
Solución aproximada de cualquier ecuación
**
PROCEDIMIENTO GENERAL
Dado que la determinación analítica de los ceros (raíces) de las ecuaciones
algebraicas e incluso de las ecuaciones trascendentes sólo es posible con
restricciones, en G'6 a G'8 se presentarán los siguientes métodos para ob­
tener soluciones aproximadas:
Método de Newton
Método de la secante
Método de la interpolación lineal, falsa posición o regula falsi
i
Comenzando con un valor inicial aproximado, se puede lograr cualquier
grado de exactitud mediante iteración.
Ejemplo de una ecuación algebraica (polinomial):
g'49
xA -
3X2
+ 7 x - 5 = 0.
Ejemplo de una ecuación trascendente:
g'50
x - lg (4 - 1 = 0 .
Procedimiento
•
Determinación gráfica de la aproximación inicial trazando la curva a
partir de una tabla de valores conocidos.
• Seleccionar uno de los tres métodos señalados anteriormente. Ob­
sérvese que la interpolación lineal siempre es convergente. Para los
demás métodos, la convergencia sólo se garantiza bajo las condicio­
nes citadas en G'6 y G'7. La desventaja de este examen adicional será
compensada generalmente por una convergencia bastante más rápi­
da.
• Con frecuencia se puede obtener una mejor convergencia comenzan­
do con un método y continuando con otro; en especial cuando des­
pués de varias iteraciones ya no se observa un mejoramiento en los
resultados.
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Teoría de ecuaciones Q '
Solución aproximada de cualquier ecuación
^
METODO DE APROXIMACION DE NEWTON
El valoreo es la primera aproximación de
la raíz n0 de la ecuación f[x ) = 0. Se traza
la tangente en/fao); la intersección de la
tangente con el eje x es un mejor valor
que el punto de partida x0- El cálculo de
*1 se hace como sigue:
g'51
X i = x a - f ( x 0) / f ' ( x 0).
Se calcula el valor mejorado x2 usando x 1 en forma semejante:
g'52
x 2 = *1 “ / ( * i ) / / ' ( * i )
etcétera.
La repetición múltiple de este método conduce a los resultados de cual­
quier precisión que se desee.
Regla general
g'53
* k+1 = jrk - f ( x k) / f ( * k)
;
k = 0, 1, 2. . . .
Condiciones para la convergencia en este método:
• n0 es un cero sencillo (no múltiple)
• entre x0 y "o no debe haber máximos o mínimos de la función f(x).
Convergencia: Localmente convergente.
Com entario: Los valores f(x k) y f ( x que son necesarios en el método de
Newton se pueden calcular muy fácilmente mediante el método de Horner descrito en G'3.
g'54
Ejemplo: f[x ) = x • log x - 1. El valor inicial para obtener un cero que satis­
f a g a ^ ) = 0 puede ser x0 = 3.
g'55
1er paso: g’ 51 requiere el cálculo de la derivada/'(xo):
g'56
f ' ( x ) = lg(jc) + lg(e) = lg(jc) + 0 .4 3 4 294 .
g'57
28 paso: Determinación de un valor mejorado xy
De acuerdo con g'51, los valores x0 = 3, /( x 0) =0.431364
y / ' ( * 0) = 0-911415 proporcionan el valor x\ = 2.526710.
g'58
3er paso:
g'59
4® paso: Si la exactitud de x2 no es suficiente, se deben efectuar más
iteraciones.
Determinación de un valor mejorado
Usando los valores x^ = 2.526710, f{x \) = 0.017141
y/ ' ( * 1) = 0.8 3 68 4 9 , a partir de la ecuación g'52 se obtiene
x2 = 2.506227; error + 0.000036.
Con jr2 el cero tiene un error de 0.000036.
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Teoría de ecuaciones
r±'7
Solución aproximada de cualquier ecuación
*
METODO DE APROXIMACION DE LA SECANTE
Se sustituye la derivada f'( x ) del método
de Newton por el cociente diferencial: dos
puntos adyacentes, f[x 0) y/(jri), se unen
por medio de una recta. Debe determi­
narse el valor * 2 en la intersección de esa
recta con el eje x\ x2 es la primera aproxi­
mación al cero n0 requerido.
g'60
*2 = * 1
~ / ( * i)
*1 -*0
/te )-/te )
En el siguiente paso se une/(x,) conflx?). La intersección de esta recta con
el eje x es la siguiente aproximación.
Regla general de iteración:
* = 1 ,2 ,..
/ ( * k) * / ( x k_,)
g'61
Comentario: Con frecuencia se puede obtener una convergencia especial­
mente rápida cuando se usan alternadamente los métodos de la secante
y de Newton.
Convergencia: Localmente convergente.
g'62
g'63
Ejem plo:/(x) = x ■Ig x - 1; x 0 = 4; x , = 3.
/ ( x 0) = 1 .4 0 82 4 0 ;
/ ( x , ) = 0.431 364.
1* aproximación:x2 = 3 — 0.431 364(3 —4)/(0.431 364 —1.408 240)
= 2 .5 5 8 4 2 5 .
g'64
Error
/ ( x 2) = 0 .0 4 3 768
2* aproximación calculada con x , , x 2, / ( x , )
y
/ ( x 2):
g'65
x3 - 2.558 425 - 0.043 768 (2.558 425 - 3) / (0.043 768 - 0.431 364)
g'66
Error
= 2 .5 0 8 562
/ ( x 3) = 0.001 982 .
En lugar de continuar con el método de la secante, se puede aplicar aho­
ra el método de Newton:
g'67
g'68
Por esta razón se debe calcular/ '( x 2) : / '( x ) = log x + log (e)
/ ' ( x 2) = Ig (2 .5 5 8 4 25 ) + 0 .4 3 4 2 9 4 = 0 .8 4 2 2 6 7
g’69
* 3 * = *2 - / t e ) //■ t e ) = 2.558425 - 0.043 768/0.842 267 = 2.506 460.
g'70
Error: ./fo*) = 0.000230. -r3* produce un error menor que -r3l el cual
se determinó usando sólo el método de la secante.
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Teoría de ecuaciones
G's
Solución aproximada de cualquier ecuación
METODO DE APROXIMACION POR INTERPOLACION LINEAL.
REGLA FALSA O REGULA FALSI
Se escogen dos valores, xo y xi, de tal
v
modo que/(x0) y /(x i) tengan signos dis­
tintos. Entre esos dos puntos debe existir
cuando menos un cero n0. La intersec­
ción de la recta que pasa por A xo) y /(x i)
con el eje x es la primera aproximación x2.
Para determinar el valor mejorado x 3 , se
traza una recta poryfo) y uno de los pun­
tos que se usaron antes,/(x0) oA x \), y se
calcula la intersección de esta recta con el eje x. ¡Siempre se debe usar el
último de los puntos anteriores que tenga signo distinto al de/(x2)!
g'71
Se debe cumplir que f[x 2) ’ A xi) < 0 o bien f{x 2) ’ A xo) < °Regla general:
g'72
*k + i = *k - / ( * k) • 7 7T T
f M ~ f(x¡)
O S / S H
f M * f(x¡)
Aquí,) es el valor máximo menor que k para el que es válido
A * 2 ) -A * 1) < 0.
Convergencia: Siempre convergente.
g'73
Ejemplo :A X) =
g'74
en este caso se cumple que/(xo) 'A * 1) < 0-
g'75
g'76
g'77
g'78
g'79
g'80
g'81
• log x - 1 ; elección de x0 = 1, conexo) = -1 y
X! = 3 con/txì) = +0.431364
x¡ — - f M
£ l -X p
•3 - 0.431 3 64
/(* ,)- f M
3-1
0.431 3 6 4 + 1
■ 2.397269;
y(x2) = 2.397269 • log 2.397269 - 1 = - 0.089717. Este valor representa
la exactitud con la que x2 se aproxima al cero.
Puesto que/(x2) 'A x 1) <
Ia recta se traza pasando por/(x2) y /(x i).
La intersección de esta recta con el eje x es:
*3 - *2 - f ^ f ( x l ) - f \ x , ) “ 2-501 044; f{X í) " ~ 0 004 281
Puesto q u e /to ) */(x2) > 0 p e ro /fo ) 'Ax 1) < 0, se traza la recta que pasa
p o r/fo ) y A x i)- La intersección de esta recta con el eje x es:
X* - X3 - f(x3) ■ * 3 - * i
f M - /(* 1)
f(xt) - - 0 .0 0 0 1 9 7 5.
2.505947
Para obtener una mayor exactitud, se tiene que calcular la intersección de
la recta que pasa por f[x4) y f{x 1) con el eje x. Dado q u e /fo ) 'A x 3) > 0 yA xa)
’ A x2) > 0, no se pueden usar los valores d e /fo ) yAxz).
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E lem en tos de m áq u in as
0'1
Engranes con dientes de evolvente
ENGRANES CON DIENTES DE EVOLVENTE
Geom etría de engranes cilindricos rectos
o'1
Razón de engrane
o'2
Coeficiente de transmisión
u = —
. Wa = «a__
nb
(O t
za
Coeficiente de transmisión de engranes múltiples
o'3
o'4
.
11 • ¿|| • ¿m •
tot
Función de evolvente
in v a
=
ta n a
a
E squem a de la trayectoria transversal
de co nta cto (Véase IS O /R 1122)
P
A re a d e l fla n co
Si A y E no quedan entre 7i y T2, ha­
brá interferencia y se deberán usar
engranes “modificados” como los de
0 '3 .
1) Negativo para engranes externos
porque la rotación es opuesta. Positi­
vo para engranes internos. En gene­
ral se puede omitir el signo.
Engranes normales de acuerdo con DIN 867
rectos
helicoidales
o'5
o'6
o'7
paso normal
o'8
o'9
o'10
módulo normal
p
-
ji • d
z
Pn
-
=
2.
c.
K
=
m n -n
m n • Ji
Px
fmf i
módulo circular
=
m -7 i
paso circular
m "
d
—
cos ß
=
Z
m< _
0'11
adendo
ha
~
h ap
=
m
o'12
dedendo
/if
=
/ifp
=
m
o'13
claro en el fondo
= 2 ‘ C0S P
m "
COS ß
~
á
Z
+ c
c = (0.1 .. 0.4) m « 0 .2 • m
(Continúa en Q'2)
Véanse los subíndices en Q'6 y los símbolos en Q'9
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Elementos de máquinas
Engranes con dientes de evolvente
0 '2
Engranes normales
rectos
o'14/15
diámetro de paso
o'16
diámetro de adendo
o'17
diámetro de dedendo
o'18
ángulo de presión
d
a
helicoidales
=
= m •z
eos /3
da
d+2-Aa
di
d - 2 - h,
= mt •z
= a n = «t = a p
tan a n
tan a , = ------- g
1
cos ß
o'19
o'20/21
diámetro de la base
o'22
Núm. equivalente de
dientes
d b = d ■cos a
d b = d - cos a ,
1
~n ‘ cos2f t , ■cos ß
ver tabla en DIN 3960
z
cos
o'23
Núm. min. de dientes
o'24
o'25/26
o'27
Para evitar
teoría
socavamiento
producido por
herramienta
de talla
práctica
2
Zq --------« 1 7
9
sen¿ a
+
para a P = 20°
V
29
2gs' Ä 14
14
extensión
=
17 c o s 3ß
= b - tan I p I
Tren de engranes normal
rectos
o'28/29
o'30
o'31/32
distancia entre centros ad
longitud del arco de
contacto (longitud
total)
transversal
o'33
razón de traslape
o'34
razón de contacto
<¡, + ¿2
2
helicoidales
,„21+^2 n
d i+ d i m 21 +
oa 2
2
" 2 cosß
9a = \
22
12 ~ db12 + V da22 - ¿b22 -
- (db , + db2 )-ta n « t ) |
c
a
p -c o s a
£
°
Qa
Px ■cos a ,
£f>
i> -s e n l0 l
m „ ■Ji
ey = ea + eß
(Continúa en 0'3)
Véanse los subindices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9
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Elementos de máquinas
0
Engranes con dientes de evolvente
' 3
Engranes modificados
rectos
helicoidales
P>
P n<
P \<
m , m „, m ,,
o'35/36
o'37/38
o'39/40
o'41
Z,
d,
Zn
db
ver engranes normales
x ■m
desplazamiento del perfil
=
<D
CL
xm „
z-s e n 2 a
2
-*min
z -s e n 2 a ,
2 ■ cos ß
Aa0- Pao (1 - sen a n)
mn
-fmín “
para evitar
interferencia
!
. fcao ■Pao (1 - sen a)
0)
'
m
® u
puede ser hasta 0.17 mm
O o
O F
14 - (z/COS30)
para evitar
co (0
|=
x = 14- z
•*17
17
interferencia ’
N
Q. para obtener deter­
ev
a,)
V)
e
d
i
­
x ix
<z + 2z) ' (
*1 ’ x2
2 • tano,,
-O minada distancia
entre centros (total)
1
(zi + Z2 ) - m x
eos crw t = ■ - p - — 1 • eos a t
o'42
a *, calculado de
o'43
o bien
o'44
distancia entre centros
o'45
coeficiente de modifica­
ción de adendo
k * m n= a - ad - m n ■ (x, + X 2) 2)
o'46
adendo
o'47
dedendo
K = K p + *-m n + k* ■
hf = A,p - x m „
evo»,
= ev« ., 2
3
3
o'48
diámetro externo
da = d + 2 h a
o'49
diámetro de dedendo
df = d - 2 • h,
o'50
longitud del arco de
contacto
9a
=
\
• ta n a n
z; + 4
C0S “ •
d eos a * ,
[y < ¿ a 1 2 - d b1
2+V
da22 ~ d b22 -
- (d b i + d b?) ■t a n a * ,
o'51/52
razón de contacto
transversal
o'53
razón de traslape
-
o'54
razón de contacto
Ey =
fa =
9 a '( P
■c o s a )
]
= P a /(P t ' COSOt)
b•s e n |ß |/(m „-ji)
+fp
Si se desconocen datos de la herramienta, supóngase ctp = 20°.
Observe el signo. Con engranes externos, k x mn < 0! Cuando k < 0.1 se
puede evitar la modificación del adendo.
Véanse los subíndices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9
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Elementos de máquinas Q '*
Engranes con dientes de evolvente
^
DISEÑO DE ENGRANES CILINDRICOS RECTOS
Las dimensiones dependen de
la capacidad de carga del dedendo del diente
la capacidad de carga del flanco del diente
que se deben cumplir en forma independiente.
El diseño del engrane se comprueba de acuerdo con DIN 3990. Mediante
conversión y agrupación de varios factores, es posible obtener algunas fór­
mulas aproximadas a partir de la norma DIN 3990.
Capacidad de carga del diente (cálculo aproximado)
Factor de seguridad S f para el caso de falla del pie del diente por fatiga:
o’55
SF -
g F Ifm -^ S T
l^ r e lT - ^ R r e lT • ^ X
• k a • x v • K fa • x Fp • y Fa • y Sa • r t • y p
= ^Fs
Se suponen las siguientes simplificaciones:
(K Fa. y e. Y p ) ~ 1;
^ st _ 2;
Y NT ~
1;
( ^ ó r e lT * * W l T ‘ ^ x )
o'56
_ (^A ‘ * y ) ‘ ^FB ' ^Fs
b
^F rr
2 • a F |ím
YFs : factor de forma del diente para engrane externo (ver diagrama)
0'5 7
o'58
o'59
K a - Kv = 1 . . . 3, normal­
mente (considerando
choque externo e irre­
gularidades que so­
brepasen al par nomi­
nal, fuerzas dinámi­
cas internas adiciona­
les causadas por erro­
res de dientes y la ve­
locidad circunferen­
cial).
SFmín = 1.7 (valor guía)
z0
o Fiím : ver tabla de valores guía en 0 '5
(Continúa en 0 '5 )
Véanse los subíndices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9
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Elem entos de m áquinas
Q V
Engranes con dientes de evolvente
^
Capacidad de carga del flanco del diente (cálculo aproximado)
Factor de seguridad Sh en el caso de corrosión:
frH lím • ZnT • (¿ L ' Zy ' Z r ) *
^F - ^
’ ZX
ZSu
’• Z h - Z e - z e - z p - V k a - k , - k h<j - k „ (!
En los metales, el factor de elasticidad Z e se simplifica a:
Z E - V o .1 7 5 -£
donde E = ^ £ |
v
£1 + £ 2
Por consiguiente, se obtiene la siguiente fórmula aproximada:
0 .1 7 5 -£ c o s / 3
i Zh-Z£-y /ÍH o -V ^ A ’ /fy • V^HP Sh mfn
(Z L • Z v • Z fí) • (Z^r • Z w • Z x) aH |ím
vero'66
—1
válido sólo para otn = 20°
Valores aproxim ados de resistencia
(Diagramas en DIN 3990, parte 5)
hierro colado
acero al carbón
acero aleado
ASCH: acero aleado cementado
(Continúa
en 0 '6 )
Z H para a n = 20°
ángulo entre ejes para engranes
helicoidales (cilindro de paso)
K a ' K \ j \ ver capacidad de carga del dedendo del
o'63
o'64
o'65
o'66
diente (o'57)
5Hmín - 1.2 (valor guía)
o Hiínv ver tablas de valores aproximados
Z h: factor de zona (ver diagrama)
(Zl • Zv • Z r) « 0.85 para dientes tallados o desbastados
= 0.92 para dientes rectificados o tallados con altura
____________ promedio de cresta a valle/?z1 oo < 4 pm._________
Véanse los subíndices en Q'6 y los símbolos en Q'9
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Elementos de máquinas
Engranes con dientes de evolvente
O 'e
En o'56, o'60 y o'62 se deben conocer b o b y d. Las razones siguientes
son estimativas y se deben usar en cálculos preliminares:
Dim ensiones del piñón
di
de je1
O bien:
a partir de la relación de
engrane i y una distancia
piñón con eje integral
1.2 . . . 1.5 a especificada entre cen­
tros (ver o'28-29-44)
piñón de rotación libre sobre el eje
2
Ya sea:
67
68
Razones de ancho de diente
b_
m
Calidad de dientes y cojinetes
b
d-\
69
dientes bien colados o cortados con
soplete
70
dientes maquinados; cojinetes a cada
lado, en construcción de acero, o piñón
en voladizo
( 6 ) . . . 1 0 . . . 15
71
dientes bien maquinados; cojinetes
soportados a cada lado en la caja del
engrane
1 5 . . . 25
72
dientes con talla de precisión; buenos
cojinetes a ambos lados y lubricación
en la caja del engrane: n^ < 50 s-t
20 . . . 40
73
engrane en voladizo
<. 0.7
74
totalmente soportado
< 1.5
6 . . . 10
Subíndices para O 'l a 0 '8
a : engrane conductor
b : engrane conducido
m : mitad de diente en engranes cónicos
n : normal
0 : herramienta
t : tangencial
v : en cono posterior (o engrane cilindrico virtual)
1 : engrane menor o piñón
2 : engrane mayor
Véanse los símbolos en 0 '9
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Elementos de máquinas Q ' 7
Engranes cónicos
*
ENGRANES CONICOS
Geom etría de engranes cónicos
Se aplican las ecuaciones o'1
a o'3, y también:
R e,
ángulo S del cono:
o'75
tan
senI
o'76
o'77
o'78
,an<52
COS L + 1 /u ’
( I = 90° => tan ó2 = u)
C o n o p o s te r io r
S ó lo s e m u e s tra n la s
o'79
fu e rz a s
a x ia le s y ra d ia le s q u e
o'80
distancia del
a c tú a n s o b re e l p iñ ó n 1
y
sen 8
Del desarrollo del cono posterior para examinar las condiciones de en­
grane y para determinar la capacidad de carga se obtiene el engrane ci­
lindrico virtual (subíndice “v” = virtual) con los valores:
o'81
engrane cónico recto
I
Zv
z
eos 6
I
I
Zv2
“ z »1
I
dm
cos ó
Las fórmulas o'7 y o'10 a o'15 también se pueden aplicar a la superficie
del cono posterior (subíndice “e").
Diseño de engranes cónicos
El diseño se basa en el PUNTO MEDIO DEL ANCHO b (subíndice “m”)
con los valores:
o'82/83
o'84/85
—
2
2 • R m • sen ó
Fm
2 7
dm
(Continúa en 0 '8 )
Véanse los subíndices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9
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Elementos de máquinas
Engranes cónicos
®
Fuerzas axial y radial en el engrane
o'86
fuerza axial
Fa = Fmt • tan a • sen 8
o'87
fuerza radial
Fr = Fmt • tan a • eos 5
Capacidad de carga de la raíz del diente (cálculo aproximado)
Factor de seguridad Sf respecto a falla de la raíz del diente por fatiga:
o'88
S
=
PFIfm*
■
^ST' ^ ó re lT ' ^RrelT*
If- ~
■Y f s
b e F • m mn
^
* V > V ( * A ■K , ■K f a ■K f f J
~
Fmín
Con excepción de V s t , se determinan los factores Y para engranajes rec­
tos virtuales (subíndice “v").
Resulta la fórmula aproximada:
v e r o'9 4
o'89
mmn a
^ ■ Y Fs - Y t - K F a - Y K - ( K ¿ - K S K ^ - r —
°e F
o'90
^
lím
' s r l ' ó r e l T ' 'R re lT r X r a Ffcn
>— ,-----
Í8 5 Í
~ 1
5=1
"T"
¡T i
7
V f s : Sustituir la cantidad de dientes del engrane recto complementario zv.
Así, la gráfica para engranes rectos de la página 0 '4 también se puede
aplicar a engranes cónicos.
Ver todos los demás datos en o'57 a o'59.
Capacidad de carga del flanco del diente (cálculo aproximado)
Factor de seguridad Sh en el caso de corrosión de la superficie del diente.
r
<7h lim * ( Z l * Z v • Z r ) ' Z x
= =
V~
^ o
^ o H mfn
Para los metales, el factor Z e se simplifica como sigue:
o'92
Z E - V o .1 7 5 E
V
con
£
-
2 ¿1 ' ¿2
£, + £2
Obteniéndose la fórmula aproximada:
v e r o '9 5 =
o'93
¿m1 > J 2-Tv*>*h
V
í>eH
0.85-6
o'94
o'95
1
= 1
v e r o'9 4
Q 1 7 5 £ ZH ^ K -ZeV^H g-V^A’ ^ v ’ V^HB'^Hmín,
“v
’
(ZL-Zy-Z^-Zx-aHIfm
v e r o '6 6
*
1
Knp = Kfp = 1.65 para piñón y engrane totalmente soportados
* 1.88 para un elemento totalmente soportado y otro en voladizo
* 2.25 para piñón y engrane en voladizo
Zh: ver diagrama para Zh (página 0'5); sólo es válido para
(xi + X2)(zi + Z2) con (3 = p m.
Z h = 2.495 para a = 20° y engranes normales o modificados.
Véanse todos los demás datos en o'63 a o'66
Véase los subíndices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9
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Elementos de máquinas
Engranes, trenes de engranes
Notación para páginas O 'l a 0 '8 (ver subíndices en 0 '6 )
a
: distancia entre centros (a<j: distancia normal entre centros)
b
: ancho de flanco
bef/ beH •' ancho efectivo de cara (base/flanco) para engranes cónicos
ha0
: adendo de la herramienta de corte
hap
: adendo del perfil de referencia (por ejemplo DIN 867)
bfP
: dedendo del perfil de referencia
k*
: cambio del factor de adendo
z
: número de dientes
F,
: fuerza periférica sobre el cilindro de paso (sección recta)
Ka
: factor de aplicación
/Cv
: factor dinámico (respecto a fuerzas dinámicas adicionales origina­
das por desviaciones del engrane y vibración por flexión de diente)
KfJ K fp : factor de carga transversal/carga en el flanco (esfuerzo en la raíz)
KyvJKnp '■ factor de carga transversal/carga en el flanco (esfuerzo de contacto)
Re
: longitud total del cono de paso o primitivo (engranes cónicos)
Rm
: longitud media del cono de paso o primitivo (engranes cónicos)
T
: par de torsión
VFa : factor de forma del diente (fuerza aplicada en la punta de un diente)
Vps
: factor de forma del diente para engrane externo
Vsa
: factor de corrección
por esfuerzo(aplicadoen la punta del diente)
Vs t
• factor de corrección
por esfuerzo
Ynt : factor de duración
el índice “T es para
^RreiT- factor de superficie relativa
condiciones normales
y 5reít
: factor de sensibilidad relativa
Y¿/Vy ye : factor de tamaño/ángulo de hélice/relación de contacto para el
dedendo del diente
Ze/Zh/Zl : factor de elasticidad/zona/lubricación
Z nt/Z r/Z v : factor de duración bajo condiciones normales/aspereza/velocidad
Zw
: factor de endurecimiento por trabajo
ZK/Z X: factor de conicidad/tamaño
Zp/2^ : factor para flanco por ángulo de hélice/razón de contacto
ocn
: ángulo de presión
ap
: ángulo de perfil de referencia (DIN 867: a p = 20°)
a w,
: ángulo de operación
p
: ángulo de espiral para cilindro de paso helicoidal
pb
: ángulo de espiral para cilindro base de engranes helicoidales
p
: ángulo de fricción dinámica (tan p = p).
pao ' radio de arista de punta de la herramienta.
GFiím : resistencia a la fatiga
oh itm : presión de Hertz (presión de contacto)
Cálculos exactos para engranes rectos y cónicos: DIN 3990.
Términos y
engranes y trenes de engranes rectos DIN 3960
definiciones
engranes y trenes de engranes cónicos DIN 3971
para
engranes de gusano recto
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DIN 3975
o BS 2519
Análisis de esfuerzos p \
Acciones combinadas
Estado de esfuerzo en tres dimensiones
La configuración general de los esfuerzos
puede sustituirse por los:
Esfuerzos principales a1f o2, o3 que
son las soluciones de la ecuación
p'1
ó3 - R C2 + S ó - T = 0
p'2
donde
R -
6* ♦ 6y +
S = Óx Óy ♦ ó y ■Ó / ♦ 6z • Ó, - TXy - T y} ~ T„ 2
P 3
T = ÓjtÓyÓz
P 4
2 .T Xy X y Z T 2X~ ó* 7/z2" 6 / T j x ' ^ z ^ x y
La ecuación cúbica se resuelve como sigue:
La fórmula p'1 se iguala a y (en vez de a 0), y así y = f ( o ) se gráfica.
Los puntos de intersección con el eje o línea cero dan la solución.Tales
valores se sustituyen en p'1 y se obtienen valores más exactos por en­
sayo e interpolación.
El caso en que a, > o2 > o3 da el esfuerzo cortante máximo
7-max = 0.5 «7! - <73).
P 5
Flexión y torsión en ejes o árboles de sección circular
Según la teoría de la energía máxima de deformación:
p'6
Esfuerzo equivalente:
6 f (perm .)
Momento equivalente:
Para determinar el diámetro del eje se calcula el módulo de sección s necesa­
rio a partir de
P'7
°f(perm.)
a,
t,
M
T
a0
:
:
:
:
esfuerzo flexional de tensión
esfuerzo cortante torsional
momento flexionante (o flector)
momento torsionante (o torsor)
se calcula según P'2
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Según la en ergía máxima de deformac ón para
esfuerzo normal
esfuerzo cortante
esfuerzo equivalente
Estado
de esfuerzo
tridimensional
ó, > 0 :
ó„/v = 6 , = óma,
Compr. ó3 < 0 :
( 5 ^ = 63 = ómm
Tens.
ó .rv — ó . — ómáx
<3, ^ 0 .
óvS -
= V ó ,2 + Ó 22 “ Ó, -Ó2
= Vó22+ 6 /2-Ó y 6 y + 3 (a o T ")2
para o
yt
(r
desi­
guales
_
ó p e rm . i>
^
T ’p e rm J »
M
J
ó l(m. «. H. '«I
II. Ill
Fractura seca
2 -rperm.i, ii, ni
A lm . 1.
II. 1 "
a0
=
1
Ó p e r m . I. H* IH
1 .7 3 r perm.i. ii. ni
ó Km.
1. I'. "I
1.73 r „ m.i. 11. ni
Compresión de materia­
Todo esfuerzo de materiales dúctiles:
les frágiles y dúctiles.
acero fundido,
Tensión, flexión y tor­
forjado y laminado;
sión de acero con punto
aluminio, bronce
de fluencia bien definido
Tensión, flexión, torsión de
materiales frágiles:
hierro fundido, vidrio, piedra
Falla esperada
1
2-rum.l. II. III
T Um.l»
Tipo de
acción
Aplica­
y
ción
material
=
ó p e r m . I» H» IH
^
actura con desgarre, fluena, deformación acentuada.
*)Dan la mejor concordancia con los resultados de prueba
°»m. Tiim son valores típicos para los materiales.
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Fractura seca, con desgarre,
separación permanente;
a,, <r2, a3 véase P'1
c o m b in a d a s
1, I I , III
«0
CO
is de esfuerzos
= y ( ó z - 6/ ) 2+ * ( « o r ) 2'
ó^a/ = ó 2 = ómin
«0 = 1
Cargas
£
>
2 7 m á x *6 |“* 6 2
=0.5 [ ( ó ^ ó p - V í ó j - ó ^ + M a o - r f
Iguales
>
3
ó2) ! +
+ ( Ó 2 - ó 3) 2+(Ó3 - ó, )2]'
= 0 .5 [ (ó ?* ó ,) + y ( ó z - ó ,) J+ A (a o 'r )2'] 6vS =
Compr. ó 2 < 0 :
2 7máx = ói ~ 63
ó . = V o ,5 [(6 , -
:ciones
Estado
de esfuerzo
tridimensional
Tens.
"0
10"
Análisis de esfuerzos
D a to s d e s e c c io n e s tra n s v e rs a le s
M o m e n to s d e in e rc ia / y m ó d u lo s d e s e c c ió n S
Para la posición del centroide C (y el eje neutro) véase K 7, Parte I
IK e ly
(valores mínimos)
S„ y SK
(valores mínimos)
b -h *
p8
Sx
12
=
b fe3
P 9
b b3
6
I
’ ir i
7r- d 4
64
7 p rf3
32
S,
=
32’
D
p'11
b b3
36
b -b 2
24
7T O
=
D‘' - d ‘'
10 D
4
tr-g 3 b
p'13
p'15
10
Sj,
S x = 0 .1 2 0 3 • s3
= 0 .6 2 5 0 R3
S y = 0 .1 0 4 2 s 3
= 0 .5 4 1 3 'tf*
ir a b !
S, =
4
ir a 1 b
J , = A, = 0 .0 6 0 1 4 s‘
= 0 .5 4 1 2
p'14
p'16
l- '.K ,
b b2
12
p'10
P 12
Sección transversal
(área A)
6 ]
lx y S, corresponden también a un triángulo irregular
P 17
p'18
p'19
p'20
b3-b
48
b 3 ( a + b ) ¿+ 2 a b
*
36
o + b
b 2g + b
em i* = '5 '
T^~
3 a ♦ fc
_ /i a ♦ 2 6
gm/n
a + b
I, =
Sy=
b1 b
24
Sx =
b 2 ( g + b ) 2+ 2gb
12'
2g + b
Eje centroidal
Teorema de Steiner: (Para valores de / con res­
pecto a dos ejes paralelos; uno es centroidal, x)
P 21
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-
Análisis de esfuerzos p^.
Vigas - Cargas y deflexiones
Viga de sección transversal uniforme
Ecuación de la curva elástica
Lo siguiente se
aplica a cada
tramo de la
viga:
/O ;
!
a
" b<z!
p'22
z
p'23
E J X- y '( z )
p'24
E - I x • y '( 2 ) = - j l / l b(z )(iz *■ Ct
y
~ Mb(z)
E I x y ( z ) = - j j Mb (z) d z d z ♦
p'25
p'26
-
C, • z
C2
9
: Radio de curvatura de la elástica en el sitio z
y ' ( z ) = ta n <p ( z ) :
Pendiente de la tangente a la elástica en el
sitio z.
y ( z ) = Deflexión de la viga en el sitio z
C1 y C2 son constantes de integración a determinar por factores conocidos
P. ej.: y ( z )
0.
En elapoyo.
y (z )¡
= j / ( z ) ; + i . En la unión entre los tramos i e (/ + 1)
y '( z )
y '( z ) ,
=
0. En el empotramiento de una viga en voladizo
y en punto medio de una viga con carga
simétrica.
= y ' ( z ) , + , . En la unión entre los tramos i e (1 + 1)
Energía de deformación U a la flexión
Para una viga de longitud /
z = /
P 27
Ul -
fz;
1 ÍM b*(z)
dz
2 J~£~JT
z =0
r "
i F'
A
; "" -
Para una viga continua:
(n tramos)
L
L
Z,=/i
p'28
Mbl lz )
','"1 M
2 £\J
I
z\ - 0
"
¡n
F '
d z,
♦
. .
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B
1
Acciones
en los apoyos
Tipo de carga
f e
Elástica y deflexión
"Pendiente,~tán~» - V
Mom. máx.
en el punto (...)
f -1
(a)
Defle
xlones
^ =¡ r £ ( 2- 3f +£)
y, te,;
t«x= F - f FS ±
.£
B
(C )
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t"a= ' ’ T
ta n f A
*7
ta n p g
Nota: a >b
Pí
fflx = A- - Rb
w = r I± b .a b
Nota: a > 6
0,171P £ (C )
-0.171A-Z (A )
F l s a b2 z, (.
= 6E l ' l " V i V
I
b
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'
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14
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b5-----------(A ) yite,;
t R x = f ^ ( 3 - 2 |) -A -a fr
t « e = ^ ( 3- 2 f)
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Nota: a < b
(A ) V ,te,;
cuando
y ¡te 2;
6 = 0 ,4 1 4 £ :
C
■l
*A
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Vm
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ym, máx.
(AT£= P í >oV i 2
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= 6 l7 7 -(W
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Vm en el sitio
A* a 2
^3bi22-3a23+2 7 *2j) , _ 2 ¡ b
(B ) y¡te2;
6CJ £2
Zí " S b T T
2^17777 (c) ta n ^ = t a n y>s = 0
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Ve =
3£ J
£3
Tipo de carga
Acciones
en los apoyos
Elástica y deflexión_
Pendiente, tan = y'
Mom. máx.
en el punto (. . .)
-F - a
(B )
9a
¡'
(A )
Defini­
ciones
yc. ©n C
ym, máx.
F a l2
F a l 2( z J z ]
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' ( > E I \ t 3 ' I,
F
jím
en
el
sitio
(2 a I z 2+ 3 a z 23- z 23)
y2(z¡j
b E l
z¡ = 0 .5 7 7 1
/•g ¡
F a l
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'6 E l
^ 'T É l
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(2 Z ♦ 3a)
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1
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j] _
_ 2 .¡3
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,
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(C )
-
7 li
Vm
en el sitio
z = O .A 2 1 5 - i
(?^- - 2 - + — 1
2 4 _V
ta n
i 3 IV
Vm
=
7 t*
384 £ f
0
Las expresiones para y y ym no consideran el efecto del cortante
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o>'
Análisis de esfuerzos p '7
Vigas hiperestáticas
Conversión a isostática - cálculo de reacciones
Una viga hiperestática (o indeterminada
estáticamente) (Fig. 1) se convierte en
una isostástica o determinada (Fig. 2)
sustituyendo un apoyo por su reacción
(flc , en la Fig. 2).
Fig. 1
jm
^P
La isostática se considera formada por
dos subsistemas componentes (I y II).
Se calculan las deflexiones en el punto
o apoyo de hiperestaticidad (véase P'4
a P'6) para cada subsistema, en función
de ReComo no puede ocurrir deflexión real en
el apoyo C.
M
■ M
íS b
Se evalúa entonces Rc y luego las de­
más reacciones en los apoyos.
Resolución de vigas hiperestáticas, simples
Sistema
hiperestático
Sistema
isostático
F’ C
i
¡Fc
à
4
Subsistema 1
Fi
F,
F,
a
8
Subsistema II
A
9
t Fc
A
yc i
A
B
F’ c
¿
■
"IT
4
I e
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i
f
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1
B
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K
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/C2_
r i ic i m i
'—
8
>C1
---------------
¡ ; : Reacciones y momentos en apoyos hiperestáticos.
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i
'U' "* ~~T
V4
C|
Ma
j
" stf'.
B ^'
Maquinaria y elementos
Q i
Ejes y árboles
Ejes y árboles (cálculo aproximado)
Estabilidad
Mód. de secc.
a la flexión
requerido ( Sf )
Ejes
111
q'1
q'2
fijos1>
q3
rotatorios
A
M
9 -
Arboles
Ofperm.
Mód. de secc. a la
torsión requerido
(Sf) (polar)
P ili
Torsión
pura
q4
q5
Torsión
Flexión
q6
Esfuerzo
permisible
a la flexión2)
Diámetro de eje
macizo circular
(S, = d3/10)
_
^
T
T'tpem,
ób Sch
0fpern,_ ( 3 . . . 5 )
d - } / '0 "
'
_
f ófperm. X
fpenT,~
Diámetro
de árbol
macizo
(S, - c/ 3/5)
ó alt
(3...5)
Esfuerzo
permisible
a la tensión2)
r
Tt Sch
d - 1 / 5 - T ' tpem,_ ( 3 . . . 5 )
j_
Tt Sch
1 r tpm,.
tpem,~ ( 10...1 5)
Presión de contacto
(aplastamiento) (p)
En
muñón
lón J Pm '
el I
q'7
(véase Z'4)
Cortante debido a carga transversal: Cálculo innecesario cuando
Para elementos de sección circular (rotatorios) f > d/ 4
Para elementos de sección rectangular (barras fijas) t > 0.325 h.
Deformación por flexión
véase P'5
por torsión
véase P 7 (Parte I)
Vibraciones, véase M 6 (Parte I)
” Para las clases de carga constante (I) y pulsante (II) (véase P 1, Parte I)
y perfiles simples (I, □).
2)
Ofperm. y Tt pem_ consideran los factores de concentración, rugosidad, tamaño,
seguridad y combinación de acciones.
además el momento flexionante.
En t¡ pi
/: distancia de la fuerza F
M, T : momento flexionante, momento torsionante
Pm : esfuerzo de contacto o aplastamiento (para pperm.véase Z'4)
Pmax : véase q'17; para otros casos véase Z'4.
puls : condición pulsante (véase P 1, Parte I)
a lt : condición alternante (véase P 1, Parte I).
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Maquinaria y elementos q ' 2
Uniones de ejes
Uniones de pasador
Unión de abrazadera
Junta ideal sin
demasiada rigidez
Unión de cono
Q9
conicidad 1 : x -
{D -
d)
:
l
De cuña plana (cálculo aproximado)
El cálculo se basa en la presión de contacto o aplastamiento sobre la cara
de la cuña (o chaveta) en el material de menor resistencia. Tomando en
cuenta la curvatura del eje o árbol y el redondeo r1t la altura efectiva del
elemento puede considerarse aproximadamente como fe.
(continúa en Q'3)
El significado de los símbolos está en Q'3.
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Maquinaria y elementos q ' 3
Uniones de ejes
(Continuación de Q'2)
De rebordes múltiples
nara aia
q'13
2 7
dm • h ■f ■ n ■pperm
q'14
D + d
2
q 15
h
=
D 2 d - g - k
i
Rohnrrio rio P/P
2
La carga no se reparte equitativamente entre las ranuras y los rebor­
des, de modo que hay que aplicar un factor de ajuste f :
Elemento
Reborde en eje
Ranura en cubo
0.75
0.9
Dimensiones del cubo
Se utiliza el diagrama de configuración de uniones ranuradas de Q'4.
Ejemplo: Determinar la longitud L y el espesor radial s de un cubo para eje
que transmitirá un momento de rotación de 3000 N • m, hecho de
acero colado y con ranura para cuña plana.
1. Se elige el intervalo apropiado según el tipo de unión “long.
cubo L, AC/AN: grupo e” y se siguen las líneas de “e” hasta
cortar la vertical en el punto base de 3000 N • m. Resultado:
L = (110 ... 140 mm), leído en la escala de L, s.
2. Se selecciona el intervalo apropiado según el tipo de unión ‘‘esp.
radial s, AC, AN: grupo / ” , y se siguen las líneas de *7” hasta
que se logre cortar la vertical en el punto base de 3000 N • m.
Resultado: s - (43...56) mm, leído en la escala de L, s.
Fn : Fuerza normal en la superficie de contacto
/ : Longitud efectiva de la unión
n : Número de ranuras
: Coeficiente de fricción (o rozamiento) deslizante
v : Factor de seguridad
íp : Angulo de fricción (íp = tan-1 p)
Pperm : Presión de contacto (aplastamiento) permisible. Para cálculo
aproximado:
Material
Pperm
HC (hierro colado) (gris)
AC (acero colado),
AN (acero común)
N/m m 2
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(en casos especiales,
se usan valores
mayores)
LU l u
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Maquinaria y elementos q ' 5
Cojinetes de deslizamiento
Cojinete de deslizamiento (chumacera)
Lubricación hidrodinámica entre el muñón y el cojinete
La operación correcta
es a temperaturas no
excesivas y sin un des­
gaste notable. Es de­
cir, con la separación
permanente por pelícu­
la de aceite lubricante
entre muñón y cojinete.
Aceite
Distribución transversal y longitudinal de la presión
Relación anchura a diámetro B/D
- B /D 2.0
0,5
|
y ////////y .
Motores
de
automóvil
o avión
Bombas
máquinas
herra­
mienta,
engrana­
jes
__L
Equipos
y disposi­
tivos
marinos,
turbinas
de vapor
y }//}//}/
Lubrica­
ción con
grasa
Propiedades generales
Chumaceras cortas
Chumaceras largas
Gran caída de presión en cada ex­
tremo; por tanto, enfriamiento efi­
caz; con flujo de aceite adecuado.
Excelente para altas velocidades
de rotación.
Baja capacidad de carga con bajas
velocidades rotacionales.
Baja caída de presión en cada extremo;
por tanto, alta capacidad de carga,
con velocidades de rotación no ele­
vadas. Enfriamiento deficiente. Ex­
ceso posible de carga en bordes.
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(continúa en Q'6)
Maquinaria y elementos
Cojinetes de deslizamiento
Q'6
(Continuación de Q'5)
Presión de contacto (aplastamiento) P. p máx
q'16
media
q 17
máxima
Pre­
sión
de
con­
tacto
P
F
D 'B
Pmax < J
6 dF
La presión máxima depende princi­
palmente del espesor relativo de la
capa de lubricante.
El diagrama muestra la razón de la
presión máxima a la presión media
(Pmáx/ P)
función del espesor re­
lativo de la película lubricante.
Holgura absoluta s y relativa y en la chumacera
q'18
s
= D -
d
;
y/ = s / D
y es básicamente la holgura que se produce durante el funcionamiento
(incluyendo la dilatación térmica y la deformación elástica).
q'19
Valores típicos xp = (0,3 . . . 1 . . . 3) 10-3
Criterios para la selección de y
Valor inferior
Valor superior
suave (p. ej. metal
blanco)
relativamente baja
relativamente baja
relativamente alta
BID < 0.8
autoalineante
duro (p. ej. bronce
fosforado)
relativamente alta
relativamente alta
relativamente baja
BID > 0,8
rígido
Características
Material del cojinete:
Viscosidad:
Velocidad periférica:
Presión de contacto:
Relación ancho/diám:
Apoyo:
q'20
Q 21
q'22
Valores mínimos para plásticos
metales sinterizados
i) para chumaceras lubricadas con grasa
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> ( 3 . . . 4) 10"3
> (1,5. . .2 ) 10"3
xp = ( 2 . . . 3) 10 3
M aquinaria y elem entos
Embragues
Q 7
Guía para elemento deslizante
La guía funciona suavemente sólo cuando
q'23
ta n a <
l
\ 2 h + l )•//
la siguiente relación
q'24
l
h
_
^ >
2 y ta n a
1 - /i ta n a
Si las condiciones anteriores para tan a no se satisfacen hay peligro de
desviación y trabamiento.
Embragues de fricción
Pérdida de energía y tiempo de deslizamiento
E le m e n to im p u ls o r (m o to r )
A,
E m b ra g u e
E le m e n to im p u ls a d o (c a rg a )
II
11
rM, w,
h)
Tl ,
u>2
Un modelo simplificado con las siguientes condiciones basta para un
cálculo aproximado:
Aceleración del elemento impulsado d e u 2 = 0 a u 2 = u , .
cd-i = const.;
T l = const.; T s = const.> T L. Entonces
por operación:
q'25
q'26
Pérdida de energía
Tiempo de deslizamiento
--saLYi
+ -O—})
——
2 \
Ts - r LJ
Wv
= J 2- ^
tr
-
J i -^i
Ts - T .
Cálculo de la superficie de fricción
Embragues de
placas planas
Una
|
Dos
Superficie(s)
1
Embragues
Acción múltiple
ii
ili ili ili
cónico
cilindrico
/
- -
i
ii
'I1
'1' '1'
—
\
El número y el área de las superficies de fricción dependen de la presión
de contacto permisible Pperm. y de la capacidad térmica permisible por
unidad de área (conducción de calor)
rm(continúa en Q'8).
Significado de los símbolos en Q'9
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M aquinaria y elem entos
Q 'g
Embragues
(Continuación de Q'7)
Cálculo para presión de contacto p
Para todos los tipos de superficies de fricción:
7s
Pperm. Pdin '
Superficies
de fricción
planas
Fuerza axial
Fa = A p
para embra­
gues de placas
múltiples
r ta
Para un eje:
Tu
= 0 .6 ... 0 .8
cónicas
cilindricas
Fa = A p sen a
-
Condición
ta n a > / W
si no, habrá
trabamiento
Ra = R¡ = Rm
= rs -
Calentamiento permisible:
Para arranque con carga pesada la temperatura máxima se alcanza en una
operación. Depende de la pérdida de energía, tiempo de deslizamiento,
calor de conducción, calor específico y enfriamiento. Estas cantidades no
pueden incorporarse en una fórmula general.
En el caso de operación continua la temperatura constante se establece sólo
después de varias operaciones. Hay valores empíricos de la conducción tér­
mica permisible por unidad de área, qperm. en la operación continua.
q'32
Potencia friccional:
q'33
Condición:
pf
=
wv ■z
i- A
>
Wy z
Qperm.
Significado de los símbolos en Q'9.
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Maquinaria y elementos Q ' g
Frenos y embragues
Frenos de fricción
Todos los embragues de fricción pueden corresponder a frenos de acción por
rozamiento. (Véase también Q'7 y Q'8)
Frenos de disco
Con elementos auxiliares.
Momento de frenado, TB:
Frenos de zapatas
Se ilustra un dispositivo de acción simplex, indicando las fuerzas actuantes.
de entrada
de salida
Tambor del freno
(sentido de rotación)
q'35
(Servoacción)
Momento de frenado
q 36
Tb =
Fn2)-H
R
Zapata de
salida
(Para la acción de frenado de banda o cinta véase K 13, Parte I.)
Símbolos para embragues y frenos de fricción
A
Area de la superficie de fricción
Tb
Momento de frenado
Tl : Momento de la carga
Tm : Momento del motor
Ts : Momento de operación del embrague
Ttr : Momento de transferencia del embrague
R
Radio de la superficie de fricción
Rm, Ra, R¡
Radios medio, exterior o interior de la superficie
Wy : Pérdida de energía por operación
i
Número de superficies de fricción
j
Número de elementos para disco
z
Frecuencia de operación
(EU: s-1 ; h_1)
n , /idjn , /xest
Coeficiente de fricción, estática y dinámica
ti)
Velocidad de rotación (angular)
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Manufactura y procesos p'.,
Maquinado y herramienta
* *
■
Diseño de máquinas-herramienta: Consideraciones generales.
Las componentes de máquinas que estarán sometidos a esfuerzos (ele­
mentos con superficies guías, piezas deslizantes, correderas husillos con
cojinetes) se diseñan de modo que conserven una elevada exactitud o ajuste
durante largo tiempo. Cuentan con amplias áreas de contacto o apoyo y
son necesarios dispositivos para reemplazar las superficies desgastadas.
La deformación máxima permisible en el filo o borde cortante (punta de for­
mación de la viruta) es de aproximadamente 0.03 mm. La fórmula r'4 da
la fuerza de corte.
Están disponibles elementos impulsores con velocidad de corte v = const.
en todo el alcance de trabajo (diámetros máximo y mínimo de la herramienta
o de la pieza) con velocidades de rotación (en rpm, r/min), en una gama
que va en progresión geométrica:
r'1
nk
=
n, p*~1
La razón progresiva p para las velocidades de rotación n, ... nk, para k ve­
locidades se evalúa por
Valores de p estandarizados: 1.12, 1.25, 1.4, 1.6, 2.0.
20/------
Serie básica R » de velocidades con p = v 10 = 1.12:
100, 112, 125, 140, 160, 180, 200, 224, 250, 280, 315, 355, 400,
450. 550, 630, 710, 800, 900, 1000,. . . r/min.
Dispositivos de corte: Se designan por el número de ejes y las velocidades
de salida.
Ejemplo: Un equipo III/6 tiene 3 ejes y 6 velocidades. Se ilustra como
sigue (para k - 6, p « 1.4, n, « 180, nk = 1000).
Disposición de los elementos
Diagrama de escalas (simétricas)
Diagrama de velocidades
I
Los símbolos se explican en R '5.
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Manufactura y procesos p ' 2
^
de rotación
Maquinado y herramienta
Los símbolos se explican en R'5.
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Los símbolos se explican en R’5.
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Manufactura y procesos
Maquinado y herramienta
R4
Impulsión
Valores en progresión geométrica con
<p = 1 . 1 2 - 1 . 2 5 - 1 . 4 - 1 . 6 - 2 . 0 .
Avances (alimentaciones)
Velocidad de
avance
Observaciones
Torneado (long.,
exterior e interior)
r'16
Taladrado
u = n • sz • zs
r'17
Cepillado
(común y de mesa)
r'18
Fresado, plano y de
extremo
(0
r'15
c
ii
a
Operación
u =
V
u
s z - a • zs
=
Para brocas espirales
= *s = 2
sz = 0.5 s
Tiempos de corte fc
r'19
(j
=
J i- ;
u
donde
¡,
=
¡
+
i'.
Al calcular los tiempos de ciclo y maquinado para cada pieza trabajada, de­
ben considerarse los movimientos de avance o alimentación y los recorri­
dos libres (o un corte), divididos entre las velocidades correspondientes.
Potencia y fuerza de avance
r'20
Potencia de avance
+
Pu
^y)
Vmec ' leléc
r'21
Fuerza de avance
Fv
^
0.2 F,
( Fc según r'4)
r'22
donde mb es la masa de la pieza en movimiento; por ejemplo, en el
caso de fresadoras, la suma de las masas de la pieza y de la mesa.
Hay que determinar si la potencia calculada con r'20 es suficiente para ace­
lerar las partes móviles hasta la velocidad de movimiento rápido uM, dentro
de un tiempo dado tb, (en las máquinas de producción uM = 0.2 m/s). De
esta manera, se explica lo siguiente.
1
pv =
Los símbolos se explican en R 5.
9
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Manufactura y procesos p ' 5
Maquinado y herramienta
u w
Explicación de la simbología
(R'1 a R'4)
a : profundidad
/k : distancia de grano efectiva,
b
: ancho de viruta
según la Tabla 2
M c : momento de la fuerza de corte
bw : ancho efectivo
n : velocidad de rotación (r/min)
desbastado
= BSH A
n ! : velocidad mínima de salida
alisado
¿>w = Bsl 3
n 2 ■ velocidad máxima de salida
B : ancho de fresado
P c : potencia de corte
B), B2 : ancho de fresado medido
desde el centro de la herra­
Pv : potencia de avance
mienta
(alimentación)
Bs : ancho del disco
s
: avance
d : diámetro del barreno
s z : avance por filo
cfw : diámetro de la pieza, exterior o f c : tiempo de aceleración
interior
f c : tiempo de corte
D : diámetro de la herramienta
u : velocidad de avance
Fr : rozamiento (o fricción)
u M : velocidad de avance alta
Fc : fuerza de corte
(movimiento rápido)
Fv : fuerza de avance
v : velocidad de corte
g : aceleración debida a la gravedad z e : número de filos en acción
€s : relación de esbeltez ( = a is)
h : grosor de la viruta
k
: número de velocidades de
i] eiéc : eficiencia eléctrica
salida
v mee : eficiencia mecánica
kc\. v fuerza de corte básica en relación 9
posición angular (ángulo de
presentación)
con el área
K : factor de la operación (de
¡i
: coeficiente de rozamiento
(fricción)
maquinado)
a : ángulo en la punta de la broca
/
: recorrido de corte
P : razón progresiva
/1 : recorrido de la pieza
0 s : ángulo de ataque (en fresado
/ ' : sobrerrecorrido en uno u otro
o rectificado)
extremos con velocidad de
avance u
z s : número de filos o bordes
HM : punta de carburo
HSS : punta de acero rápida
cortantes por herramienta
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M anufactura y procesos p ' 6
Embutido y herramienta
Labrado de lámina en frío - Embutido profundo
Diámetro inicial de la pieza base
D = Vt 'X
7! A n
r
>4m, son las áreas superficiales de las piezas terminadas que pueden deter­
minarse con las fórmulas de las secciones B y C (Parte I): b 30, c 12, c 16,
c 21, c 25, c 27 y c 30. Las áreas según los radios de transición para las
operaciones de embutido y estampado se calculan como sigue:
r'2 5
A rrr
di r , + 4 ( * - 2 ) r , 2
Am=
(2 ti d* + 8 r s ) r s + J d*2
Ejemplo (Considérese que rs = rt
i
D = y d A2+d 62- d 52+ 4 d ih +2 t i r(d,+d<.) + 4 7 irA ^
Primera y segunda etapas
dk
1er. paso
r'27
2o. paso
,
♦
■c
-----------1---------
.i
- d
i
r'28
/
Pymáx = ^ o o + 0 ,1 - ( - | i 0.001 J
r'29
Fz\ = 7 id , s A ^ m )9>, ——
r'30
<P, =
r'31
r'32
r'33
| ln J /0 .6 /?,2- 0 .4 j
--------*-------d ,1 1
^—
di
= —
' ml
»>1
1—
1
di
P 2máx = ^,o o +0 .1
.
.
0.001J
r z i = - 51 + Tid2s k fm 2 <p2- —
92 =
Sin
A
_ tíl
Con
| ln j / o . 6 /922- 0 .4 |
recocido
inter­
medio
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,,
ir
Kfy + k f i
—
fm2~ 92
(Continúa en R'7)
M anufactura y procesos
p'7
Embutido y herramienta
(Continuación de R'6 )
El trabajo específico de deformación (referido a la unidad de volumen) y
la resistencia (o esfuerzo) de fluencia kf se obtiene a partir de las curvas
de deformación para el valor apropiado de la relación de deformación lo­
garítmica 5.
Fuerzas de sujeción de la pieza base F N1 y F N2
1er. Paso
2o. paso
r'34
El desgarre en el fondo ocurre si
p
r'35
Fz^ + 0.1 Fw
P _ FZ2 + 0.1 Fn 2
71 02 s
n cf, s
r'36 Condiciones máximas de embutido, 0 y Rm
Material
P100
Aceros:
St 10
USt 12
USt 13
USt 14
St 37
Acero inox. (18% Cr,
9% Ni)
Al Mg Si (suave)
Con
Sin
recocido intermedio
P2méx
P2máx
Rm
N/mm2
1.7
1.8
1.9
2.0
1.7
1.2
1.2
1.25
1.3
-
1.5
1.6
1.65
1.7
-
390
360
350
340
410
2.0
2.05
1.2
1.4
1.8
1.9
600
150
Explicación de la simbologia (R'6 , R'7)
A
área de la superficie
fuerzas de embutición, 1er. y 2o. pasos,
resistencia de fluencia media, 1er. paso
resistencia de fluencia media. 2o. paso
resistencia de fluencia según 6, y 62
radio
rs
: radio del dado de estampado
radio del dado de embutido
...
trab. de deformación
trab. de deformación especifico = -------------------------------------vol. del elem. deformado
01 , 02 ■relaciones de embutición, 1er. y 2o. pasos
0,0o
: máximas relaciones de embutición para s = 1 mm y d = 100 mm
0i max . P2 máx '■ máximas relaciones de embutición, 1er. y 2o. pasos
vf\ • 1)F2 '■eficacias del proceso de deformación, 1er. y 2o. pasos.
6, , ó2 : relaciones de deformación logarítmicas, 1er. y 2o. pasos
z2
A
kfm-\
kfm2
Kk .F f2
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M anufactura y procesos p ' ft
Extrusión
®
Extrusión (empuje de conformado en matriz)
r '3 7
Fuerza de extrusión
r'38
Trabajo de extrusión
r'39
Resistencia de fluencia media
=
* ■
W
Pa
Extrusión
inversa
Extrusión directa
Cuerpo sólido
Cuerpo hueco
«
= i
-
r'4 3
nF =
■-
1" i
H
r'4 2
/t = -í- (do2 - d , 2)
d°
0.
A
■'ñ
r'41
H *
r'4 0
0. 7 . . . ,0 . 8
%—
^ =T do
i n
- <
In d ? - d 7
=
ln
do - d i’"
V .- 5 - A, (oí,! - d ‘ )
/
nf = 0 . 6 , . . ..0.7
>?F = 0 .5 ,. . .,0 .6
= - ~ d 0 -*o
Relación de deformación logarítmica máxima óA
M aterial
‘ AI99.5
directa
inversa
3.9
4.5
AIMgSi C<0.1% C<0.15% C>0.15%
3.0
4.0
1.4
1.2
1.2
1.1
0.9
1.1
baja
alea­
ción
alea­
ción
0.8
0.95
0.7
0.8
A : área utilizada
óA : relación de deformación logarítmica
vf : eficacia del proceso de deformación
V : volumen del elemento deformado
: trabajo de deformación específico (por unidad de volumen)
Ah : penetración (carrera del empujador)
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Sistem as eléctricos
q '
Circuitos y redes
Resolución de redes lineales
Generalidades: Existen métodos especiales que permiten el cálculo de ten­
siones y corrientes en una red eléctrica, de manera más fácil que por el
análisis de nodos y mallas.
Teorema de superposición: En una red general se consideran aplicadas
sucesivamente en aquélla todas las fuentes de tensión1) y de corriente2),
y se determinan en cada caso las diferencias de potencial y las intensida­
des de corriente originadas por cada fuente actuando individualmente. Se
cumplen las siguientes condiciones:
(a) Las fuentes de tensión restantes se ponen en cortocircuito.
(b) Las fuentes de corriente restantes se ponen en circuito abierto.
La solución final es la suma total de las soluciones parciales.
El procedimiento general para evaluar Vx en una red general con tensiones
de fuente V0, . . . , V„ y corrientes de fuentes /0, . . . , /„.
v,= ac •V „ + o r V, + .
+ av
+ b ~ ,/o + k i / i +
s'2
V xa o + V xoi +
+ V xbo+V xb1 +
• ■• +
V xav
" ■ + V xb n
Cálculo de las soluciones parciales:
s'3
V
s '4
v x = vxbq donde 'o ■■■ ! v
= V
"xaq
donde V0 .. . Vv = 0, con
*
= 0. con ;q *
o, y / 0
o,
y V0
Vv = 0
Ejemplo:
s'5
vx = < V Vo + ° l v l + b 0 I 0
1 + v xbo
Redes equivalentes para el cálculo de cada solución parcial:
s'6
v0 4= 0; V ,= 0; / 0 = 0 Vo= 0 ; V, 4= 0; /„ = 0 V0= 0; V, = 0; /„ 4= 0
s'7
Vvhn = /,
R ] /?2 R
s'8
Tensión requerida Vx V x =
(véase S'5)
21Explicaciones en S’2
+ ^5 + / ) ■—
2
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1
(continúa en S’2)
I
Sistem as eléctricos
Circuitos y redes
q '9
^
Teorema de Thévenin: Considérese una red general que contiene fuentes
de tensión1* y de corriente2*. Se requiere calcular la tensión Vx en la resis­
tencia R de la rama AA'. Para ello se reemplaza el resto de la red por una
fuente de tensión equivalente Ve y el resistor R¡ (de la resistencia interna).
Para determinar Ve y R¡ se elimina la rama AA' en la red, y se le sustituye
por el sistema formado por Ve y R¡ en serie; R, corresponde a la resisten­
cia real entre A y A', y Ve es la diferencia de potencial existente entre
A y A'.
Si R¡ se conoce, entonces Ve = Vx se calcula por Ve = R, /cc, donde lcc es
la corriente de cortocircuito (cc) que fluye al unir A con A'.
Por tanto,
s'9
V„ =
Ve
R
R .
= Icc-R,
R+ R¡
R +R .
Icc
1
'-M R i + M R
I
Ejemplo
s'10
Explicaciones:
a0. . .av coeficientes
de las
b0. . ,bw
tensiones
corrientes
que se determinan mediante
las resistencias de la red
1* Tensión considerada
: Tensión de fuente
25Corriente considerada
: Corriente de fuente
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con resisten­
cia interna
R, = 0
Sistem as eléctricos
e '3
Instalaciones
Corriente Nominal /
Aislamiento de PVC, conductores de cobre no bajo tierra, con medio
de protección contra sobrecarga a una temperatura ambiente de SO'C'1
Area transversal
nominal, mm2
1
1.5
2.5
4
6
10
16
25
35
50
Grupo 1
I en A
/„ en A
11
6
15
10
20
16
25
20
33
25
45
35
61
50
83 103 132
63 80 100
Grupo 2
/ en A
/„ en A
15
10
18 26
102 20
34
25
44
35
61
50
82
63
108 135 168
80 100 125
Grupo 3
/ en A
/„ en A
19
20
24
20
42
35
54
50
73
63
98
80
129 158 198
100 125 160
32
25
Diám. nom. de
1.1 1.4 1.8 2.3 2.8 3.6
Cables
alambre de Cu, mm.
(aprox.)
Grupo 1: Uno o más conductores sencillos en tubo conduit
Grupo 2: Conductores múltiples (incluyendo los de cinta)
Grupo 3: Conductores sencillos en aire (al descubierto), con espaciamiento
de por lo menos un diámetro
El valor de / disminuye (o bien, aumenta) en 7% (aprox.) por cada incre­
mento (o bien, decremento) de temperatura de 5”C. NOTA: No se debe
exceder 50°C.
2)
En el caso de conductores con sólo dos hilos activos, se debe utilizar un
dispositivo de protección contra sobrecarga, con /„ = 16 A.
Interruptores-Conexiones utilizadas
Simple
2 Cargas
1 Posición
Conmutativo
1 Carga
2 Posiciones
Conmutativo con cruzamiento
1 carga
3 Posiciones •)
PE
N
¿1
/„ : Corriente nominal para fusibles o interruptores automáticos (disyuntores)
L,
I : Corriente nominal de conductor. También la corriente máxima permisi­
ble de dispositivos de protección contra sobrecarga (cuando /„ < / )
: Conductor de fase
N: Conductor neutro
PE: Puesta a tierra
• ) Cada posición adicional requiere un cruzamiento extra.
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Radiaciones
T'l
Definiciones y unidades
Radiación ionizante
Esta radiación es la consistente en partículas que produce la ionización directa
o indirecta (excitación) de un gas (permanente).
Cantidad
total
Unidades
Exposición
(radiexposis¡ón)1)
y = -3 m
Absorción
(radiabsorción)
D = f 'J
W
m
■j ^
kg
^ C
kg
1 roentgen = 1 R
1 R = 258 ^
k9
Intensidad
en el tiempo
Unidades
Intensidad
de exposi­
ción
t A
kg
t
1 gray
= 1 Gy
= , V A S . 1 Ws
kg
kg
= A
m
Intensidad
de absorción
i& = , i
s
kg
= 31.56
106 - J —
kg a
= 1A
k9
i rad
=
kg
ó = j = r
t
m
1 rad= 1q mW
s
kg
= o.01 Gy
= 0.01 § *
s .
= 6.242 ■ 1016
1 sievert
= 1 Sv
Absorción
equivalente2)
i y A ? = i Ws
kg
kg
Intensidad de
absorción
equivalente
H = Dq = q - D
= 1 —
kg
[100 rem = 1 Sv]
.
•
Dq
H=Dq = - f
= <7 ' f ’ J
1 B = 258
s
kg
1 R = g 2 pA
a
kg
= qD
1 W- = , Gy
kg
s
1 rem _ ^q mW
s
kg
, rem = 3 i 7 eW
a
kg.
Corriente de ionización /: Flujo de moléculas de aire ionizadas por radiación
que se produce al aplicar una tensión eléctrica o voltaje (en una cámara
de ionización).
Carga de ionización O: Cuando circula una corriente de ionización I durante
un tiempo t se manifiesta una carga total Q.
t'7
Q = I t
______________ _
Las unidades destacadas entre corchetes [ I son las de uso anterior.
1) Valor medido
2) Valor teórico
(Continúa en T'2)
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Radiaciones
Radiactividad
T'2
En ergía de ionización W ¡: E n e rg ía de rad ia ció n q ue p ro d uce la ioniza ció n.
C a d a par de io nes en la m o lé cu la de aire requiere
t'8
W/(aire) = 33.7 eV
t'9
t'10
(ca rg a del electrón (e): 1 e = 1.602 x 10~19 C; 1 C = 1 A • s)
(electronvolt (eV ): 1 e V = 1.602 x 10~19A s x I V = 1.602 x 10_19J )
R adiabsorción D: E s la e n e rg ía ab sorb id a (d o sis de rad ia ció n ) por un id ad de
m asa. (L a ra d ie x p o sició n J e stá re ferid a tam bién a la masa: J = Q /m .)
t'11
R A D IA C T IV ID A D . A ctivida d A : N ú m e ro de átom os d e una su s ta n c ia ra d ia c ­
tiva que se de sinte g ra n por un id ad de tiempo:
A = - d N /d t = A • N
U nidades: b e cq u ere l (Bq). C o rre sp o n d e a una activid a d de 1 átom o por
se g u n d o [curie (Ci): 1 C i = 37 x 109 Bq]
t'12
Constante de actividad (o d eclina ción ) X:
X = fn 2ITyi2
t'13
S em ivida (o “ v id a m e d ia ” ) 7 ^ : T ie m p o en el que una activid a d d a d a se
re du ce o d e clin a hasta la m itad. U n id a d e s: s~ \ m in "1, h_1, d ~ \ a-1 .
Se m ivid a s de a lg u n o s isó top o s naturales y a rtificiales
Número
Número
atómi­
Número
atómi­
Número
Elemento
Semivida
Elemento
de masa2)
co1)
de masa2)
co11
134
55
Cesio
12 a
3
1
Tritio
137
55
Cesio
1.3 109 a
40
19
Potasio
12.4 h
88
Radio
226
42
19
Potasio
232
90
Torio
60
5.3 a
27
Cobalto
92
238
Uranio
90
29 a
38
Estroncio
94
239
P lu to n io
131
8.0 d
Yodo
53
t'14
t'15
t'16
t'17
t'18
Semivida
2.1 a
30 a
1600 a
14 109 a
4.5 • 109 a
24 000 a
E x p lic a c ió n de lo s sím bo lo s
m : m a sa (cantidad base)
N
: can tid ad de su s ta n c ia rad ia ctiva (núm. de átom os)
q : factor de ca lid a d para ra d ia c io n e s
, y, X
q = 1
p ara otras ra d ia c io n e s
q = 1 . . . 20
f
: con stan te de io n iza ció n para los tejidos
f = falfe
p ara los h u e so s
/ = ( f .. . 4) fa,e
f»we '■ con stan te de io n iza ció n para el aire faire = Wa.re/0 = 33.7 V)
S ím b o lo s de la s un id ad e s
t'19
(1 a = 31.56 106 s)
A : a m p ere | C : co u lo m b | J : joule | a: año
A b so rció n equivalente - O b serva ció n : E n el año de 1982, la pe rso na m edia
en A le m a n ia (R. Fed.) tuvo los sig u ien tes va lore s de e xp o sició n eq uivalente
a la rad iació n:
H en
T ip o
[mrem]
mS v
De o rigen natural
Por razo n e s m ó d ica s
Por c a u s a s d iv e rsa s
V alor lím ite perm itido por la ley
1) N úm . p rotónico (Z)
1.1
0.5
< 0.1
< 0.3
110
50
< 10
< 30
| 2) N úm . n u cle ó n ico (de protones + neutrones) (A)
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Ingeniería de control
Terminología de la ingeniería de control
CONTROL
El control es un proceso mediante el cual se registra una cantidad llamada
variable controlada (la cantidad que se debe controlar). Entonces, esta va­
riable controlada se compara con otra cantidad, la variable de referencia. A
continuación la variable controlada es afectada de tal manera que sea igual
a la variable de referencia. La característica principal del control es el cir­
cuito de acción cerrado, en el que la variable controlada influye conti­
nuam ente sobre sí misma (ver más adelante el diagram a de flujo de
control).
Nota preliminar:
Los nombres y definiciones de los términos siguientes se apegan a los
de la norma DIN 1926, versión 2/1994.
Funciones, cantidades y sím bolos que describen el
com portam iento de ios elem entos y sistemas de transferencia
Variable de entrada u
La variable de entrada u e s una cantidad que actúa sobre el sistema con­
siderado sin ser influida por él.
Variable de salida v
Es una cantidad de un sistema que sólo puede ser influida por ella misma
o por sus variables de entrada.
Tiem po de retraso T, constante de tiem po T
El elemento P-T1, que es el elemento de retraso de primer orden, es una
unidad funcional que presenta el comportamiento de transferencia:
'1
v (t) + T v (t) = K p u (t)
donde T es el tiempo de retraso, que también se llama constante de tiem­
po. (Ver la solución de esta ecuación diferencial en D'4, D' 9.)
Frecuencia angular característica o)0, razón de am ortiguam iento ó
El elemento P-T2, que es el elemento de retraso de segundo orden, es
una unidad funcional que presenta el comportamiento de transferencia:
'2
v(t) + (2tf/cu0) v (t) + (1 /co0)2 v ( t ) - K p u (t)
En este caso (o0 es la frecuencia angular característica y ü es la relación
de amortiguamiento. (Ver la solución de esta ecuación diferencial en D'
5, D '11).
Frecuencia angular propia cod
La frecuencia angular propia, o eigenfrecuencia angular <yd se define con
la siguiente fórmula, en la que intervienen la frecuencia angular caracte­
rística (o o y la relación de amortiguamiento i?.
'3
Ver explicación de los símbolos en U'35
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U'2
Ingeniería de control
Terminología de ingeniería de control
Respuesta escalón
La respuesta escalón
es la variación, res­
pecto al tiempo, de la
variable de salida de
un elemento de trans­
fe re n c ia , cuando la
variable de entrada es
una función escalón
(ver figura 1)
S obre m o du la ció n
Tiempo muerto equiva­
lente
El tiempo muerto equi­
valente, Ty, se define
como el tiempo trans­
currido entre t0 y el
punto de intersección
R e s p u e s ta e s c a ló n
de la primera inflexión
d e u n e le m e n to d e tra n s fe r e n c ia
de la respuesta esca­
lón con el eje x (ver la figura 1).
Tu
Tg
Tiem po de transición
El tiempo de transición, Tg, se define como el tiempo que transcurre en­
tre el punto de intersección de la primera inflexión de la respuesta es­
calón con el eje x, y el punto donde esta primera inflexión alcanza el
valor de estado estable.
Sobrepaso vm
Es la máxima desviación de la respuesta escalón respecto del valor de
estado estable.
Respuesta rampa
La respuesta rampa es el desarrollo, en el tiempo, de la variable de sa­
lida cuando una función rampa, con determinada rapidez de cambio, se
usa como variable de entrada (generación de rampa).
Flg. 2
Ur ( t )
yo,
E (t)d t - j r t e ( t )
0
Tr i
G e n e r a c ió n d e ra m p a
T 'J
Tr es el tiempo de rampa, e (t) es la generación de escalón unitario:
e (í)
í 0 cuando t < 0
1 1 cuando t
Respuesta escalón unitario
Una respuesta escalón relacionada con la amplitud escalón de la varia­
ble de entrada origina la respuesta escalón relacionada, llamada res­
puesta escalón unitario h(i).
(Continúa en U'3)
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Ingeniería de control
ir
Terminología de la ingeniería de control
*
h(t) caracteriza el comportamiento dinámico del elemento de transferen­
cia. Ver las respuestas escalón unitario de los elementos más impor­
tantes de transferencia en U'14 a U'17.
Función de transferencia F (j)
Es la relación entre la transformada de Laplace v(s) de la variable de sa­
lida, y la transformada de Laplace u(j) de la variable de entrada de un
elemento de transferencia. Ver las funciones de transferencia de los ele­
mentos de transferencia más Importantes, en U'14 a U'17.
Respuesta en frecuencia F(jtp)
Es la razón de los valores de las variables senoidales de salida y las de
entrada del elemento de transferencia en su comportamiento periódico
estable, en función de m o de f.
A m plitud de la respuesta F(jro)
Es la magnitud de la respuesta en frecuencia, F(jco), en función de la fre­
cuencia angular co.
Fase de la respuesta arco F(jo>)
Es el arco del argumento F(jco) de la respuesta en frecuencia F(jm) en
función de la frecuencia angular co.
C aracterísticas de respuesta en frecuencia, diagram a de Bode
Las características de la respuesta en frecuencia (diagrama de Bode) se
obtienen cuando el valor absoluto (logarítmico o en dB) y la respuesta en
fase (proporcional) se grafican juntas en función de m o de la frecuencia
angular normalizada <»/<ai.
Frecuencia angular de vértice con
La frecuencia angular de vértice <on (n = 1, 2, 3 ,...) es la frecuencia an­
gular (o en la que la asíntota del valor absoluto en el diagrama de Bode
cambia de dirección (hacia arriba o hacia abajo) en un múltiplo entero de
20 dB por década.
El diagram a de control
Este diagrama es la Ilustración simbólica de todas las operaciones en un
sistema determinado.
Elem entos del diagram a de control
Estos elementos son la línea de acción, el bloque de función, la suma y
el punto de ramificación.
Fig. 3
U
Linea
de acción
Bloque
de función
U, U-), l¿2: estímulos de entrada
Suma
v = ± uy ± u2
v : resultado de salida
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T
Punto de
ramificación
'
Ingeniería de control
Terminología de la ingeniería de control
Estructuras básicas del diagrama de control
Las estructuras básicas de este diagrama son las estructuras en serie,
en paralelo y circulares.
Regla para sum ar en un diagram a de control
Una suma tiene una sola línea de acción que sale (variable de salida).
Reglas para representar un sistema m ediante un diagram a de control
Cada ecuación del sistema sólo aparece una vez en el diagrama.
Una negación (cambio de signo, inversión de polaridad) debe indicarse
en un punto de suma existente o adicional. No es válido esconderla en
el coeficiente de un bloque.
En el diagrama de acción de un sistema pasivo no hay retroalimentación
positiva.
Para tener una idea clara del aspecto final de un diagrama de control, el
camino más corto (hacia adelante) entre la variable de entrada (lado su­
perior izquierdo) y la variable de salida (lado superior derecho) debe ser
una recta horizontal.
Deben evitarse los elementos derivados. Para lograrlo, deben reordenarse las ecuaciones del circuito cerrado.
C om ponentes del circuito de control y sus cantidades
La figura 4 muestra un diagrama de control típico de un sistema de con­
trol de circuito cerrado, incluyendo sus unidades funcionales.
D ia g ra m a d e a c c ió n c a r a c te r ís tic o d e u n s is te m a d e c o n tr o l d e c ir c u ito c e rr a d o
Sistema controlado
Es aquella parte del circuito cerrado de control sobre la cual se va a in­
fluir.
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Ingeniería de control
Terminología de ingeniería de control
Punto de medición de ia variable controlada; variable controlada x
E l p unto de m e d ic ió n de la v a ria b le c o n tro la d a e s el lugar, en el s is te m a
c o n tro la d o , d o n d e s e o b tie n e el v a lo r de e s a v a ria b le (fig ura 4). L a v a ria ­
b le c o n tro la d a x e s la v a ria b le de l s is te m a c o n tro la d o q u e s e re g is tra para
s u con tro l, y q u e s e integ ra al s is te m a d e co n tro l a tra v é s d e l e q u ip o de
m e d ic ió n , x e s la v a ria b le de s a lid a d e l s is te m a c o n tro la d o y la v a ria b le
d e e n tra d a del e q u ip o de m e d ició n .
Formación de la variable controlada final; variable controlada final xA
L a v a ria b le c o n tro la d a final, x A, e s una c a n tid a d s o b re la q u e el circu ito
c e rra d o de co n tro l d e b e influir. C u a n d o e s fá c il d e o b te n e r p o r m e d ic ió n ,
*A e s id é n tic a a la v a ria b le co n tro la d a x y s e re tro a lim e n ta a l e le m e n to de
c o m p a ra c ió n a tra v é s d e l e q u ip o d e m e d ic ió n . S ó lo c u a n d o n o e s p o sib le
o b te n e r .vA, o s ó lo e s p o sib le co n g ra n d e s d ific u lta d e s, é s ta e xistirá co m o
c a n tid a d in d e p e n d ie n te a d e m á s d e la v a ria b le c o n tro la d a x.
E n la fig u ra 4 (el d ia g ra m a de flujo c a ra c te r ís tic o de un s is te m a de con tro l
d e c irc u ito c e rra d o ), la fo rm a c ió n d e la v a ria b le c o n tro la d a fin a l *A s e
h a c e c o n la v a ria b le c o n tro la d a x, p o r lo g e n e ra l a g re g á n d o la al s is te m a
co n tro la d o . E n e ste c a s o , la v a ria b le c o n tro la d a fin a l a p a r e c e fu e ra del
c ircu ito d e con tro l, y n o e s p o sib le c o n tro la r la s v a ria b le s p e rtu rb a n te s
q u e in flu y e n d u ra n te la fo rm a ció n .
E je m p lo :
V a ria b le
fin a l co n tro la d a:
T e m p e ra tu ra del c o n te n id o de un
re cip ie n te .
T e m p e ra tu ra d e la p a rrilla .
V a ria b le c o n tro la d a :
L a v a ria b le c o n tro la d a final, -rA. ta m b ié n p u e d e e n c o n tra rs e d e ntro del
s is te m a c o n tro la d o , e s to e s, d e n tro del c irc u ito c e rra d o d e con tro l. E n
e s te c a s o , la v a ria b le c o n tro la d a s e fo rm a a tra v é s d e la v a ria b le c o n tro ­
la d a final; la s v a ria b le s p e rtu rb a d o ra s q u e influye n s e p u e d e n con trolar.
E je m p lo :
V a ria b le
c o n tro la d a final:
R e la c ió n d e m e z c la de d o s líq uid
V a ria b le c o n tro la d a :
R e s is te n c ia e s p e c ífic a .
Equipo de medición, variable r retroalim entada
E l e q u ip o d e m e d ic ió n e s la su m a total d e lo s e le m e n to s fu n c io n a le s para
registrar, tran sferir, a d a p ta r y d istrib u ir la s v a ria b le s (ver fig u ra 4). L a v a ­
ria b le re tro a lim e n ta d a r e s la q u e re su lta de la m e d ic ió n d e la v a ria b le
c o n tro la d a x.
A justador de variable de referencia, variable de referencia w
E l a ju sta d o r d e v a ria b le de re fe re n c ia e s u n a u n id a d fu n c io n a l q u e p ro ­
d u c e u n a v a ria b le d e re fe re n c ia w q u e s e d e riv a d e u n a v a ria b le ob jetivo
w*, d e fin id a por el u su a rio (ver fig ura 4).
L a v a ria b le d e re fe re n c ia w n o e s tá in flu id a po r el circu ito ce rra d o d e c o n ­
trol c o n el q u e s e re la c io n a ; la v a ria b le de s a lid a d e l c ircu ito c e rra d o de
co n tro l d e b e se g u ir a la v a ria b le d e re fe re n c ia c o n la d e p e n d e n c ia e s p e ­
c ific a d a .
Nota: C o n m u ch a fre cu e n c ia , el ob jetivo y la v a ria b le d e re fe re n c ia so n
id é n tico s.
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U 6 Ingeniería de control
Terminología de la ingeniería de control
Dispositivo de conform ación de la variable de referencia; variable ob­
jetivo
El dispositivo de conformación de la variable de referencia produce, a
partir de una variable objetivo w* -aplicada a la entrada- una variable
de referencia w de salida. Este proceso de conformación asegura que
la variable de referencia >v, o sus derivadas respecto al tiempo, no reba­
sarán los valores críticos (ver figura 4). La variable objetivo w* se define
externamente y no está influida por el sistema de circuito cerrado que
se tiene en consideración; la variable controlada final w del sistema de
circuito cerrado debe seguir, con la dependencia especificada, a la va­
riable objetivo.
w*
e
Comparador, variable de error
El comparador produce la variable de error e en función de la variable
de referencia w y la variable retroalimentada r (ver figura 4).
e = w - r.
Elem ento de control, controlador, variable de salidayRdel controlador
El elemento de control, o elemento controlador, produce la variable de
salida yR del controlador utilizando la variable de error e del comparador.
El proceso asegura que la variable controlada * del circuito de control
siga a la variable de referencia w tan rápida y precisamente como sea
posible, aun cuando haya variables perturbadoras presentes. El contro­
lador está formado por el comparador y el elemento de control (ver figu­
ra 4).
Actuador
Es una unidad funcional que usa la variable de salida del controlador,
y R , para formar y . La variable y es necesaria para modular el elemento
de control final (ver figura 4).
Elem ento de control final, variable reguladora y
El elemento de control final está en la entrada del sistema controlado e
influye sobre el flujo de energía. Su variable de entrada es la variable
reguladora y (ver figura 4). Esta señal transmite el resultado de control
del sistema al sistema controlado.
Equipo de control final
El equipo de control final está formado por el actuador y el elemento de
control final.
Sistema de control
Es aquella parte del diagrama de control que debe influir sobre el siste­
ma controlado, a través del elemento de control final.
Punto de regulación
Es el punto de aplicación de la variable reguladora y .
z
Punto de perturbación, variable de perturbación
Es el punto donde la variable de perturbación aplicada externamente,
ejerce la influencia que se pretende en el control de circuito cerrado (ver
figura 4).
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Ingeniería de control
Cantidades y funciones
Cantidades y funciones que describen el com portam iento dinám ico
de circuitos de control
F^s)
Función de transferencia de circuito abierto
Es el producto de todas las funciones de transferencia en serie de un
circuito o un circuito de control.
Ejemplo:
U(s)
v(s)
u'9
F 0 (s) = F , ( s ) - F 2 ( s )
F l( s )
F 2 (S )
Ganancia de circuito abierto V 0
Es el valor de la función de transferencia de circuito abierto, F0(j), cuan­
do la variable de Laplace es .y= 0. Este término sólo se aplica a circuitos
y circuitos de control sin comportamiento I. Mientras mayor sea la ga­
nancia de circuito abierto, más preciso será el control de circuito cerrado.
R(0)
Factor de control f
Este factor se define por la ecuación
u'10
/?F(0) = 1/(1 + V Q)
Frecuencia angular de cruce de ganancia a>o
Es la frecuencia, de circuito
abierto, en la que el valor
absoluto (amplitud) del cir­
cuito de control abierto es J
igual a 1.
H
Frecuencia angular de cruce de fase (o*
Es la frecuencia de circuito
abierto que existe cuando
la fase de la respuesta del
circuito de control abierto
es -1 80 °.
¡
}
%
I
k g
Margen de fase 5
Es la diferencia angular en­
tre la fase de la respuesta
del circuito de control abier­
to, en la frecuencia angular
de cruce de ganancia too,
y -1 8 0 °. El cambio de signo
necesario en el circuito de
control no se toma en cuen­
ta.
M argen
de fase
ú)
- y
ü)o : F recuencia a n g u la r de cru ce de ganancia
g v F recuencia a ng ular d e cru ce de fase
F lg . 5
D ia g ra m a d e v a lo r a b s o lu to y fa s e
d e la r e s p u e s ta (n o lo g a rítm ic a )
d e u n c ir c u ito d e c o n tr o l a b ie r to
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Ingeniería de control
Us
C antidades y funciones
M argen d e g a n a n c ia £
Es el recíproco del valor absoluto (amplitud) del circuito de control
abierto en la frecuencia angular de cruce de fase (o„.
T iem p o p a ra a lc a n z a r la to le ra n c ia inferior, Tinicio
E s e l in te rv a lo d e tie m p o q u e c o m ie n z a c u a n d o e l v a lo r d e la v a ria b le
co n tro la d a x - d e s p u é s d e a p lic a r u n a fu n ció n e s c a ló n d e la v a ria b le de
re fe re n c ia w, o u n a fu n c ió n e s c a ló n d e la v a ria b le de p e rtu rb a ció n z s a le d e d e te rm in a d o c a m p o de to le ra n c ia d e la v a ria b le c o n tro la d a , y
te rm in a c u a n d o e n tra p o r p rim e ra v e z a e s te c a m p o (ver fig u ra s 6 y 7).
S obrepaso
V alor d eseado de d e svia ­
ció n en e stado estable
F ig . 6
V alor deseado |.
V alor de e stado estable
C am po convenido
de tolerancia
V a ria c ió n e n e l tie m p o d e
la v a ria b le c o n tr o la d a ,
d e s p u é s d e a p lic a r u n a
f u n c ió n e s c a ló n d e la
v a ria b le d e re fe r e n c ia w
7",, tiem po muerto
Una función escalón de la variable de referencia también produce un
escalón en el campo de tolerancia de la variable controlada.
S o b r e p a s o x m d e la v a ria b le co n tro la d a
E l s o b re p a s o x m d e la v a ria b le c o n tro la d a a e s la d e s v ia c ió n m á x im a
(m o m e n tá n e a ) re s p e c to al v a lo r d e s e a d o d u ra n te la tra n sició n d e urr e s ­
ta d o e s ta b le a otro, al a p lic a r u n a fu n ció n e s c a ló n d e la v a ria b le d e re ­
fe re n c ia w o d e u n a v a ria b le d e p e rtu rb a ció n z (ver fig u ra 7).
S ob re pa so
F'a- r
„,
Valor d e s e a d o
V alor de e sta d o estable
/
V alor d eseado de desviac ¡ón en e stado estable
R e spuesta e scalón
f 7 / \ ----------------
.
1/
'T----------- V----------
V a ria c ió n e n e l tie m p o
d e la v a ria b le c o n tr o la d a
d e s p u é s d e u n a fu n c ió n
e s c a ló n d e la v a ria b le
d e p e r tu r b a c ió n z
T iem po p ara a lc a n z a r el e s ta d o e s ta b le , 7f¡n
7f¡n e s e l tie m p o q u e c o m ie n z a cu a n d o e l v a lo r de la v a ria b le c o n tro la d a
x - d e s p u é s d e a p lic a r u n a fu n ció n e s c a ló n d e la v a ria b le d e re fe re n c ia
w, o de la v a ria b le de p e rtu rb a ció n z - s a le d e d e te rm in a d o c a m p o de
to le ra n c ia d e la v a ria b le co n tro la d a , y te rm in a c u a n d o en tra en e s e c a m ­
p o p e rm a n e n te m e n te (ver fig u ra s 6 y 7).
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Ingeniería de control
Reglas
U'9
R E G L A S PA RA DETERM IN AR LA FUNCION DE T R A N S F E R E N C IA
DEL CIRCUITO DE CO N TRO L TOTAL
L a fu n ció n de tra n s fe re n c ia c o m p le ta s e fo rm a u s a n d o c a d a e le m e n to de
tra n s fe re n c ia ind ivid ua l.
C o m b in ac ió n en s e rie
u(s)
F 2 ( s)
ñ (s)
v(s)
C o m b in ac ió n en p a ra le lo
u(s)
F i (s)
■
v(s)
12
F ( s ) = F , ( s ) + F 2 (s )
F 2 ( s)
i _
r
R e g la d e retro alim en tación
u(s)
F l (s)
i
v(‘ )
F , ( í)
1 + F , ( i ) - F 2 ( i)
F 2 (s )
N ota: E l s ig n o d e l d e n o m in a d o r d e F(s) e s el c o n tra rio d e l s ig n o e n el p unto
d e su m a del d ia g ra m a d e con tro l.
U n s ig n o “+” en el p unto d e s u m a in d ic a re tro a lim e n ta c ió n p o sitiv a
U n s ig n o
e n el p unto d e s u m a in d ic a re tro a lim e n ta c ió n n e g a tiva
S i F ]{s ) y/o F 2(s) c o n tie n e n c a m b io s d e sig n o , e n to n c e s h a b rá re tro a lim e n ­
ta c ió n n e g a tiv a (p o sitiva) c u a n d o la c a n tid a d d e c a m b io s d e s ig n o e n to d o
el circu ito s e a im p a r (par).
C a s o e s p e c ia l: F 2(s) = 1 (re tro a lim e n ta c ió n d irecta).
u(s)
v(s)
F i (S)
'14
F(s)
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1 + F, ( í)
Ingeniería de control
Reglas
U'10
R e g la a m p lia d a d e retro alím en tación
S i n o h a y p u n to s de su m a e n tre la s ra m a s d e un d ia g ra m a d e con tro l, la
fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia s e p u e d e d e te rm in a r c o n fa c ilid a d m e d ia n te la
s ig u ie n te fórm ula:
v (s ) _
u (s )
fres (J)
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donde Fu
,(*> ■
1 + ifo lW
n F v,
k1v
Foí(í) in d ic a la fu n ció n d e tra n sfe re n c ia F res(j) d e l circu ito o c irc u ito s ú n i­
c o s d e co n tro l en e l d ia g ra m a a p lic a d o d e con trol; té n g a s e en c u e n ta que
e n c irc u ito s d e re tro a lim e n ta c ió n p o sitiva , F 0¡ s e e s c rib e c o n s ig n o n e g a ­
tiv o en la s u m a d e l d e n o m in a d o r d e F ,es.
m
F y res (s) - n ^ v k e s el p ro d u c to d e to d a s la s fu n c io n e s d e tra n s fe re n c ia
d e lo s e le m e n to s d e tra n s fe re n c ia q u e e s tá n en la tra y e c to ria m á s di­
recta.
E l tra s la p e de la s lín e a s d e a c c ió n n o a fe c ta la a p lic a c ió n d e la re g la a m ­
p lia d a d e re tro a lim e n ta ció n .
E je m p lo :
v(s)
u fs j
♦ O -» F y i (S )
F v 2 (S )
F \/3 (S )
F ri ( s )
F r i (s )
F
res U
íM
___
u ( i)
1 + Fv
F y i ( J ) - F V 2 ( J ) - F V 3 (5)
D eterm in ació n d e la fu n ció n d e tra n sfe re n c ia co n el m éto d o d e a n o ta ­
ció n h a c ia a trá s
P a ra u s a r e ste m é to d o s e c o m ie n z a en la s a lid a v(s) y s e s ig u e e l d ia g ra ­
m a d e c o n tro l e n la d ire c c ió n d e la v a ria b le d e e n tra d a o d e l p u n to B de
s u m a d e re fe re n c ia . S e d e te rm in a y s e a n o ta la tra n sfo rm a d a d e L a p la c e
d e c a d a fu n c ió n d e tie m p o c o rre s p o n d ie n te a n te s y d e s p u é s d e c a d a
e le m e n to d e tra n sfe re n c ia . P o r últim o, e n el p unto B de s u m a d e re fe re n ­
c ia s e p u e d e d e te rm in a r la fu n c ió n d e t ra n s fe re n c ia F res(s) u s a n d o la
tra n sfo rm a d a d e L a p la c e q u e s e c o n o c e e n e s te sitio.
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Ingeniería de control
Un
Reglas
Ejemplo:
Para describir el método de anotación hacia atrás se determinan las trans­
formadas de Laplace de las respectivas funciones de tiempo en los puntos
1 a 6 del ejemplo siguiente:
J
+ fy i
ÍV2 • fv3
^V3
u'18
u'19
- F f í¡ ' vl,s)
v ( i);
1
JCo>(s) =
■ V{s)
f V2 ' r v 3
= •=— • v (s )
"V 3
u'20
x ,s) „ ísi£> _
Fv i
3_ f
fv i(i)
1
[F v2 ( s ) - F v3 ( j )
. v(s)
+
f V3w J
( '
En el punto B de suma de referencia se tiene la siguiente relación:
u [s ) - x @{s) - X q¡) (s ) ; para x@ (s) y x® (s) usar los valores que se
obtuvieron anteriormente:
u'21
u'22
u (s) - F m ■v (s ) -
f v i {s) [ F v 2 ( j) . F v 3 (j) + F v 3 ( i j ] • v {s )
La solución F res(s) de esta ecuación es la misma que se determinó en u'17:
u'23
F
, V
res^ ; " u (s )
F V1 ( S ) - Fy2 (s )- Fy3 (s)_____________
1 + F V2( 5 ) - F R1(s) + FV1( 5 ) - F V2( 5 ) - F V3( 5 ) - F R2(5)
R e g la s p a ra la form a n o rm aliz ad a d e la fu n c ió n d e tra n sfe re n c ia F(s)
Si se usa la forma normalizada de la función de transferencia, se podrán
ver co n fa c ilid a d el tip o y la s c a r a c te r ís t ic a s del elemento de trans­
ferencia. Para transformar una función de transferencia en su forma ñor-
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In g en iería de control
Reglas
U'l2
malizada, son necesarios un desarrollo bien fundado y la eliminación y
combinación de paréntesis para asegurar que el n u m e rad o r y d en o m i­
n ad o r de la función de transferencia sean p o lin o m io s d e la v a ria b le de
L a p la c e s, o productos de polinomios de s en los que:
a) n o h ay a p o te n c ia s n e g a tiv a s de s (es decir, que ni el numerador ni
el denominador de la función de transferencia puedan contener una
fracción en la que el denominador contenga s).
b) la p o te n c ia m ínim a d e 5 te n g a c o e fic ie n te 1 , y
c) no haya factor común del polinomio.
Ejemplo:
u'24
F ,(í) =
(1 + a : s + a 2^ + . . .) (1 + c , s + c 2! ? +
y(s) _
u ( s) ~ 3 ° (1 + b , s + b 2S2 + ■ ■ ■) (1 + d ,s + d2j ‘ + . . .)(■■ )
Excepción: Si se encuentra un factor Pl o PID, otra forma en la que se
conserva este factor [1/(7ns) + 1 en el ejemplo] es una forma
normalizada aceptable.
Ejemplo:
u'25
y(s) ,
F 2 ( s)
u (s )
1 / ( r „ j ) + 1 _ Kp
1 + Ts
T ns
1 + Tns
1 + Ts
A partir de ia tabla de los elementos de transferencia más importantes,
se puede determinar el siguiente tipo para esta ecuación:
(Pl) —T-i -» I - (PD) - TV
La siguiente tabla muestra distintos tipos de forma normalizada:
Tipo de forma
normalizada
Producto de forma
normalizada
Suma de forma
normalizada
Mezcla de forma
normalizada
Representación
Aplicación
Denominador y
numerador están en
forma factorizada
Denominador y
numerador están
expresados como suma
Diagrama de Bode y
estabilización en serie
de circuitos de control
Denominador dividido en
factores, hasta donde
sea posible. Numerador
en forma de suma
Criterio de Hurwitz
Determinación de las
respuestas escalón y
rampa
La forma normalizada de producto tiene precedencia sobre las demás
representaciones, ya que éstas se pueden determinar multiplicando los
factores individuales de la forma normalizada del producto. Para que sea
posible hacer reducciones posteriores, se debe posponer lo más posible
la multiplicación de los términos entre paréntesis, si es que acaso se
multiplican.
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Ingeniería de control
Reglas
U'13
E jem p lo d e la d e term in a ció n d e la form a n o rm aliz ad a d e un a fu n ció n
d e tra n sfe re n c ia
Se debe determinar la relación:
F ( s ) - b ( s ) / F k(s)
u'26
para el siguiente diagrama de control
u'27
u'28
u'29
u'30
u'31
u'32
b<,R(s)/Fk(s)
F 2 (s)
y f 3(s )
-
fcR( s ) / F k ( í )
F (s ) = B + F2 ( s ) + F3 ( s )
F ,(s )
F n e (s)
M (n B )
í'qR ( i )
1 +1 ! ( n B ) ■M ( r m s )
¿qR(J)
F2 (s )
‘
M (q R s )
1 + n rm B s 2
_____ 1
qRs + F ^ s )
F k (5)
R s '
1 + qR
rm s 2
q R s + — tü
1
1 + n rm B s 2
1 + n rm B s 2
u'33
q R s [i + n rm B s 2 + r m s /{ q R )]
u'34
u'35
F3 ( s )
F (s )
bp (s )
1/ ( m i )
Fy(s)
1 + R/(ms)
B
1________ _
s
R S [i
m s /R ]
1
1 + n rm B s 2
Rs [i + ms/R]
qRs • [i + rms HqR) + nrmBs2]
Esta descripción de F(s) muestra que el sistema que conduce a este dia­
grama de control es una combinación en paralelo, formada a partir de un
elemento P (B), un elemento I - T, (primera tracción) y un elemento I (PD) - T 2 (segunda fracción).
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U'14
In g e n ie r ía d e c o n tro l
Elementos primitivos de transferencia
Elemento de retraso de primer orden
Identificador
Símb. en el dia­
grama de ctrol.
Ecuación en el dominio
del tiempo
Ejemplos de estructura
Kp
P
t—H-
v = Kp • u
Kp
Elemento proporcional
v = K,
1
u di
«1
I
=
K|
J u d í + v(0)
0
u'36 a u'43
v = K t ■u
Elemento integral
D
v = K 0 ■ú
**
f v d i - K d ■u
Elemento derivativo
1
T,
Tt
v ( t) = u ( t - T,)
1
71
Elemento de tiempo muerto
KP
v + T v = K P ■u
KP
11T
V
P -T ,
T
I
Elemento P -T i
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T
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U'15
Ingeniería de control
Elem ento de retraso de segundo orden
Elem ento Pl de com binación en paralelo
Identificador
Símb. en el diaqrama de ctrol.
Ecuación en el dominio
del tiempo
Ejemplos de estructura
KP
P -T o
2$
KP S ,*0
" + 24 " + (W )2i;!
= Kp-u
■
P -T ,
- a
Kp
Kp
J\/T:
1 /7 ¿ _
«
i
v = K¡ f u d i + Kp-u
Pl
Kp
rn
=Kp {t ~!u ü l +“
donde Tn = K P !K \
Kp / 7 n
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en U'35
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1
Tn
Ingeniería de control
U'l5
Elem ento de retraso de segundo orden
Elem ento Pl de com binación en paralelo
Respuesta escalón unitario, ecuación h(t) =
Función de
transferencia F(s) =
diagrama
[1 - ¡ ¡ f r e H '-cos(cod í-0 )],tt)d -cuo V 1 "
0 - Arcsen #
O < 0 < 90°
h(t)
KP
KP(1 + e -;rta n ® ).
1 + 2 -y -S +
"o
í\ “W
- ) 2 ■*
-6) \
V
z '
3 7 1+ 20
51C+20
Kp.
*<
0 - Arcsen 5
0 < t? < °°
0<&<90°
o
je '
£yd
n+20
¿<0¿
Kp
1-
T, - T,,
T) e
- T2 e
(1 + r , i ) (i + t 2 s )
r 1i 2- J - (^ ± V ^ T )
K p [1-( k + 1 ) k 1~ k ]
> 1
t
K ^ t + Kp -
/C| y
Ki
P |V s
r n -í
JQ £
T JnK . +T + T
’ K- 1
1 K- 1
1
2
K p (1 + = - )
In
+ /Cp
+1J
(1 + T „ s )
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Ingeniería de control
U
Elementos PD, PID de combinación en paralelo
Elementos l-Ti y D-T1 de combinación en serie
' l 6
Identificador
Símb. en el dia­
grama de ctrol.
Ecuación en el dominio
del tiempo
Ejemplos de estructura
Kp
v = K P ■u + K 0 ■ ú
PD
= KP (u + Tv • ú)
KP rv
== Ty
_ Kd
j
H U -^
Kp
U \
o
Kp
i/r n
r ^
Kp
v = K¡
f df+
u
~ ~ 1 7 ~ ------
h
KP u + K 0 ú
PID
Kp 7h,7v
■
4
? y
= Kppp íudf + U+r, •li ]
L•n *
\
T
Kp ,
T
AT, •
v
K°
Kp
^Pk ^"nk
1
^"vk
1
Tnk
1
K|
1
T
K,
H F H 1/r
Al
K\
u^
u
l-T ,
v + T v
-
di
K, J u
T
7"vk
u
* r
«D
I— b — H -
D -T,
v + T v =
kd
K0
ii
u
Y kd
t
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en U'35
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V
Ingeniería de control
Elementos PD, PID de combinación en paralelo
Elem entos l-T 1 y D -Ti de com binación en serie
U'16
Respuesta escalón unitario, ecuación h(f) =
Función de
transferencia F(s) =
diagrama
tfp + K 0 6 ( t )
K p + K q •s
k p (1 + r v -í)
K\ — + Kp + Ko ' s
K , í + K P + K D 6 ( t) -
Kp í— L + 1 + r v í
LT„s
para 0 <
K P | ^ - + 1 + 7V <5(Í)J
■< <» ;
k , [ / + r nk + r vk + r nk ■r ¥k <5 (o ]
o < — < oo
*pk ( ^ l - „ + 1 ) ( 1 + r v k -s)
Tnk ‘ -S
K,
j ( 1 + fnk - í ) (1 + fvk - í )
fnk - { f n d
+ V i - 4 r v /r „ )
f,k
-
- - j f n d
^Pk “
V
1 - 4 7 'v/7'n )
• r nk
k, ( t- r +
T -e ~
l /un
ATi
j (1 +
y -i)
Ko (1 / 7- )e"
1 + Ts
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u'94 a u'102
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Ingeniería de control
E le m en to d e c o m b in a c ió n en s e r ie
E le m en to s (PD)-Ti y (PID)-Ti d e co m b in ació n en g ru p o
U'l7
R e s p u e s ta e s c a ló n unitario, e c u a c ió n h(f) =
F u n c ió n de
tra n s fe re n c ia F(s) =
d ia g ra m a
K p + [ ^ - K P ]e‘ T = K P [ i +
Kp + K q • s
1 + T-s
= Kf
KP
K p T jT _
1 + 7y S
1+ Ts
Kp + Ki
- i ) e tJ
h(t)
0
( 7 V - T)-s
K pTJT
1 + Ts
T
l (,(t)
KP (0.63 + 0.377,/T)
7„ - 7 - T *
K\ / s
+
Kp + Kq • s
Kp - K ,T + K , t +
1 + Ts
„
1 / (Tn • j ) + 1 + T „ s
1+T-S
1
KP 1- X
V ;
J k , T - K P + K D -!r
+ i . + ( X _ 1 + M e~
r„
Vr„
r /
Kp[0.37( — + -^-)+0.63]
Tn ■J + T„
T „ T , - T Tn;
Tn (1 + r - j )
t„
= K p /K ,\
r,
= k0 /k p
r n* = t „ - t
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Ingeniería de control
U'18
Métodos para determ inar la estabilidad
E sta b ilid a d del circu ito d e con trol y c á lc u lo p a ra un c o n tro la d o r
(p ara c irc u ito s lin e a le s de con tro l)
D efin ición d e e sta b ilid a d
L a e s ta b ilid a d s e a lc a n z a d e s p u é s de la a lte ra c ió n d e la v a ria b le d e re­
fe re n c ia o de la a p a ric ió n d e u n a v a ria b le de p e rtu rb a ció n , c u a n d o la v a ­
ria b le c o n tro la d a a lc a n z a un v a lo r e sta b le .
C o m e n ta rio : E l fa cto r de co n tro l Rp{0) e s el q u e re d u ce u n a p e rtu rb a ció n
a p lic a d a en tre la s a lid a d e l e le m e n to c o n tro la d o r y el p unto d e m e d i­
ció n . C o n un e le m e n to c o n tro la d o r P n o s e c o m p e n s a n to ta lm e n te
la s p e rtu rb a c io n e s c o m o e n el c a s o de un e le m e n to c o n tro la d o r PT.
M éto d o s p a ra co m p ro b a r la e sta b ilid a d d e un c irc u ito d e co n trol
S u p o s ic io n e s :
* S e c o n o c e n la fu n ció n d e re fe re n c ia o la d e tra n s fe re n c ia d e la p e rtu r­
b a c ió n d e l c ircu ito c e rra d o d e co n tro l, o la fu n ció n e s c a ló n unitario.
* S e c o n o c e la fu n ció n d e tra n s fe re n c ia d e c ircu ito ab ierto .
1.
C r ite rio d e H u rw itz
L a e s ta b ilid a d s ó lo se p u e d e d e te rm in a r m e d ia n te el c rite rio d e H u rw itz
c u a n d o s e c o n o c e la fu n ció n d e re fe re n c ia o la de tra n s fe re n c ia de p e r­
tu rb a c ió n d e l c ircu ito c e rra d o de c on tro l, en fo rm a de p o lino m io .
L a e s ta b ilid a d s e a lc a n z a c u a n d o lo s c o e fic ie n te s de la e c u a c ió n c a r a c ­
t e rís tic a (c u a n d o el p o lin o m io d e l d e n o m in a d o r d e la fu n ció n d e tra n sfe ­
re n c ia = 0 )
a0 + a-, s + a 2^ + . . . + a nsn = 0
u '1 18
sa tis fa c e n la s s ig u ie n te s co n d ic io n e s:
* T o d o s lo s c o e fic ie n te s a v d e b e n s e r > 0 (ver ta m b ié n G '1 )
* L o s c o e fic ie n te s m is m o s d e b e n c u m p lir d e p e n d e n c ia s e s p e c ia le s .
C o n d ic io n e s p a ra e c u a c io n e s h a sta el g ra d o 5:
E c u a c ió n
1 e r g ra d o
2 d o g ra d o
3 e r g ra d o
4 to g ra d o
5to g ra d o
c o n d ic io n e s d e lo s c o e fic ie n te s
a0 y a 1
> 0
a q, a 1, a 2
^ 0
a 1 a 2 — 33 3 q > 0
a 1 a 2 33 - a^2 3 q — a ,2 34 > 0
A = 3 f a 2 3 3 3 4 + a 0 a-\ 8 4 3 5 — a, a 2 a 5 - a 2 a 2 > 0
B = ag ai a4 a5 + a$ 8 2 a$ a5 - ao a$ a4 - a$ a52 > 0
D n_-, = A - B
> 0
P a ra p o lin o m io s de m a y o r g ra d o ve r “E b e l, Tja rk, R e g e lu n g s te c h n ik , 6 §
e d ic ió n , S tuttg a rt T e u b n e r 1991, pág. 3 8 y ss.”
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(Continúa en U'19)
In gen iería d e co n trol
ii'.
Métodos para determ inar la estabilidad
Ventaja: Este método conduce a una definición rápida y exacta acerca de
la estabilidad de determinado circuito de control.
Desventaja: No proporciona información acerca de la resiliencia de un
circuito de control a la inestabilidad, del resultado de cambios de sus
características ni de su comportamiento dinámico; por estas razones
generalmente se prefieren otros métodos.
2. Reducción a polinomios únicos
Se transforma la función de transferencia de referencia o de perturba­
ción en una suma de polinomios únicos de 2o. orden como máximo (ver
el desarrollo en fracciones parciales en B'1):
En un circuito de control estable sólo hay elementos de transferencia es­
tables. Estos son generalmente elementos puros P o retrasados P y ele­
mentos retrasados PD.
Si hay un elemento I, l-T 1 o l-(PD) el circuito de control se volverá ines­
table.
Ventajas: En los casos estable e inestable, la evaluación de la referencia
transformada o de la función de transferencia de perturbación condu­
ce a una conclusión acerca del grado de estabilidad o inestabilidad
del circuito de control. Para obtener esta información, deben sobre­
ponerse las funciones de transferencia de todos los elementos senci­
llos.
Desventajas: No es posible observar el efecto de la introducción de un
elemento de control definido ni saber cuál de las características se
debe cambiar para obtener el comportamiento requerido de un circui­
to de control. Después de cada cambio al elemento de control se debe
hacer un nuevo cálculo de la transición aritmética del circuito de con­
trol abierto al circuito de control cerrado.
3. Criterio de Nyquist
Este criterio establece que el circuito (cerrado) de control es estable
cuando el lugar geométrico de la respuesta en frecuencia F0(ja>) del cir­
cuito de control abierto - en el sentido de los valores mayores de la fre­
cuencia angular co-s ie m p re tiene a su izquierda el punto crítico -1 en el
plano complejo. Mientras mayor sea la distancia entre el lugar geométri­
co de respuesta en frecuencia y el punto crítico -1, más robusto será el
circuito de control respecto a los efectos de variaciones inesperadas en
los datos característicos.
Una medida de qué tanto se acerca el sistema a la inestabilidad se ex­
presa con dos valores característicos:
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(Continúa en U'20)
Ingeniería de control
E s t a b ilid a d
E l e c c ió n d e l tip o d e e le m e n t o d e c o n tr o l
U 20
M a rg e n d e fa se 5 (ver U'7) y m a rg e n d e g a n a n c ia e (ver U ' 8 )
L a d e te rm in a c ió n d e lo s v a lo re s re a ­
j* lm F0(jo))
le s d e a m b a s c a ra c te r ís tic a s y la o b ­
Re F0(jo>)
t e n c ió n d e s u s v a lo r e s r e q u e r id o s
m e d ia n te la in s e rc ió n de un e le m e n to
a d e c u a d o d e co n tro l s e lo g ra n a tra ­
v é s del d ia g ra m a de B o d e .
F ig . 8
V a lo re s r e c o m e n d a d o s p a ra el m a rg e n de fa s e
5 : de 30° a 60°
V a lo re s re c o m e n d a d o s p a ra el m a rg e n de g a n a n c ia
e : d e 8 a 16 d B
(c o rre sp o n d e a lo s fa c to re s 2 .5 a 6.3)
V e n taja s: E l e x a m e n de la fu n ció n de tra n sfe re n c ia F 0 (.v) d e l c ircu ito de
c o n tro l a b ie rto - e s p e c ia lm e n te la re s p u e s ta en fre c u e n c ia re la c io n a ­
d a F 0 (jío) (su stitu ció n d e s p o r jco) - c o n d u c e c o n m u ch a fa c ilid a d a un
c rite rio de e s ta b ilid a d y m u e stra la r e s ilie n c ia a la in e sta b ilid a d - en
e s p e c ia l c u a n d o ha y c a m b io s in e s p e ra d o s en la s c a ra c te r ís tic a s del
c ircu ito d e con tro l. T a m b ié n s e p u e d e n o b s e rv a r c o n m u c h a fa c ilid a d
lo s e fe c to s d e c a m b io s en el tip o y en la s c a r a c te r ís tic a s de l e le m e n to
d e c o n tro l - u sa n d o u n a in s e rc ió n e n s e rie s e n c illa e n el c ircu ito de
c o n tro l - al ig ua l q u e el c o m p o rta m ie n to d in á m ic o re su lta n te del c ir­
c u ito d e con tro l.
E le c c ió n d e l tip o d e e le m e n t o d e c o n tr o l
General
E n la m a y o r p a rte d e lo s c ircu ito s d e con tro l, el s is te m a c o n tro la d o y el
e q u ip o d e m e d ic ió n so n, en con junto , del tipo (P D )-T n, lo q u e in d ic a una
c o n e x ió n en s e rie de v a rio s e le m e n to s P D y de e le m e n to s d e retraso.
L o s tie m p o s de a c c ió n d e riv a d a Tv = K o /K p de lo s e le m e n to s P D sie m p re
so n e s e n c ia lm e n te m e n o re s q u e lo s tie m p o s d e re tra so d e lo s e le m e n ­
to s d e retraso; en lo s s is te m a s re a le s en un fa cto r m a y o r q u e 1 0 .
Los elem entos de control más im portantes
E n lo s c irc u ito s lin e a le s de c o n tro l s ó lo lo s e le m e n to s P, P l, (P D )-T ! y
(P ID )-T i s o n v e rd a d e ra m e n te im po rta n te s.
Características de un circuito de control con un elem ento de control
P o (P D K H
C u a n d o ha y u n a in flu e n c ia d e la s v a ria b le s de p e rtu rb a c ió n a p lic a d a s
en tre el e le m e n to d e c o n ­
Punto
t ro l y e l p u n t o d e m e d i­
c ió n s ó lo e s p o s ib le una
e xa ctitu d finita. E s a e x a c ­
titu d e s tá e x p r e s a d a por
el v a lo r d e l fa cto r d e c o n ­
trol /?F(0 ).
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(Continúa en U'21)
In gen iería d e co n trol
Determ inación gráfica de un controlador
U '21
C a r a c te rís tic a s d e un circu ito d e co n tro l co n un e le m e n to d e co n tro l
P lo íP ID K T !
Es posible compensar totalmente la influencia de las variables de pertur­
bación aplicadas entre el elemento de control y el punto de medición. Si el
sistema controlado contiene un elemento I sin variables de perturbación
con retroalimentación negativa aplicadas entre la salida del elemento I
en el sistema controlado y el punto de medición, habrá compensación
completa aunque no haya factor I.
Nota: Nunca se pueden compensar las variables de perturbación aplica­
das entre el punto de medición y la salida del elemento controlador.
D eterm inación gráfica de un controlador lineal basada en el
criterio de Nyquist
G e n e ral
El procedimiento se lleva a cabo por medio del diagrama de Bode. Para
este diagrama son necesarias tanto la construcción de la conexión en
serie del sistema controlado como el equipo de medición, al igual que la
construcción del elemento de control.
El diagrama de Bode de todo el circuito se determina sumando (multipli­
cando) la amplitud y la fase de la respuesta de los elementos de transfe­
rencia en serie sencilla (ver U'22 y U'23). Esto es posible debido a la
naturaleza logarítmica de la amplitud de la respuesta, después de la con­
versión a dB.
Para el trazo gráfico se debe usar papel semilogarítmico con 4 décadas
en el eje v.
Procedimiento:
* Determinar el área de la frecuencia angular to para la cual se debe tra­
zar el diagrama de Bode; graficar todos los puntos de cruce de interés.
* Sólo se permiten factores de respuesta en frecuencia del tipo I, P, D,
Tt, P -Ti, PD y P-T2, con atenuación ó < 1 (ver U'22 y U'23)
* Después de extraer el factor I, los elementos Pl se convierten a una
estructura l-PD y los elementos PID con Tn/Tv > 4 se convierten a una
estructura l-PD-PD.
* Todos los coeficientes de acción en serie, el Integral - (Ki), el Propor­
cional - (Kp) o el Derivado (Kd) se resumen en un coeficiente de ac­
ción.
* Se representa la amplitud de la respuesta.
* Se representa la fase de la respuesta.
* Se termina mediante el elemento de control.
Las tablas de las páginas U'22 y U'23 muestran los diagramas de Bode
para elementos P, I, D, T t, P-T1t P-T2 y PD. Estos diagramas se utilizan
para determinar la amplitud y la fase de la respuesta.
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U 22 Ingeniería de control
D ia g r a m a s d e B o d e p a r a e l e m e n t o s b á s i c o s y
e l e m e n t o s P -T i
Sím­
bolo
Amplitud de la resp. F((o) =
Fase de la resp. Are F(ja>) = <p=
Diagrama (Ampi, logarítm.)
Diagrama (fase lineal)
Ko
0
>< n < +oo, entero
F |dB
k
10n 1 0 " * 1 10n t2 10n* 3 10nM
40
P|dB*
(<u)
200
, < n < +<», entero
10" 10M1 10n- 2 10n+3 10"*4
Kr 1 /w
-9 0 °
. F|dB - oo < n < +oo, entero
10n iQ n+1 i p nt2 ^pn*3 ^ n + 4
-2 0 dB/década
{<*>)
>< n < +°°, entero
+90°
>< n < +«>, entero
^IdB - « < n < +°o, entero
‘20 dB/década
{<u}
10n 10n+1 10n+2 10n+3 10n+4
1 0 /1 0 n+11cr+2 10n+3 10n+4
1/Kd =(úd _______________
~TX- co
\rn
f |dB
n /4
1 0 '2 10~1 \ o ^ t
/ k /2
1Q1
102 ^
0
-4!
-90
10'2 10*1 10°
101
102
Kp/ V i + _ ( T ( ü f
-180.
-tan-i(T • (o)
F |dB
P -T i
1
40-
^p|dB
20-
ü -
“ ^ 2 0 d B /d é c
V ^
T ío
1 0‘ 2 1 0 ‘ 1
10°
101^ 1 0 2
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1f12 70;
In gen iería d e control
Diagram as de Bode para elem entos P-T 2 y PD
Sím­
bolo
U'23
Amplitud de la resp. F(cú) =
F a s e de la resp. A re F(jw ) = (p =
Diagrama (Ampi, logarítm.)
D ia g ra m a (fa se lin eal)
0 < & < 00
ta n - 1 •
-M
90°
KP
0
<
1?
<
00
cu >
0
P -T 2
1
<2V2_
40
V dB
20
1
10-2 10‘ 1 10° 10'
102 W>u,
/ — = v a i- ¿a 1
/o
^ _ 0 . 5 / 8 | dB
? 3 : 1 / IES? ~ Aft
40 rlR/riar
d B /d e c .
2V2
<ü/a>0
_
1 Q~2 1 0 'V fo ° >o1 1 0 2
V1-232
W
+ (K o -w f
= Kp
V 1 + (^ c u )2
tan ' T v cu
d o n d e T w = K D/ K P
i F |dB
20 dB/dec.
/H d l
3
10“2 10' 11 10° 101
7>
1o2
10 '2 10 '1 10 °
Tv / K q
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10 1
1o2
Ingeniería de control
U'24
Diagramas de Bode para los elementos
(P D )-T iy (P ID )-T i
Sím ­
bolo
Amplitud de la resp. F{a>) =
Fase de la resp. Are F(jcu) = <p =
Diagrama (Ampl. logarítm.)
Diagrama (fase lineal)
V
K p2 +
( K D 0 ))2
1 + (Tm)2
A rctan (Twio) - A rctan (T a>)
( W
(To>Y
K p il
/V rv/ r
T>T,
H T IdB
10~2
-20dB/dec
3'1
ip °
1Q1
io 2 TI “
r ,e
(PD)-T,
iir2\io-1 io°
io1
io 2
TJT
Id B
I lI
k
1^/1°
T < rv
/ p 7 IdB
40
20dB/dec
r< rv
TyCO
10'2 10‘1
100 / 1o1
r „ /r
10*2 10'1 10°
~
Arctan| í^co -
V
K p
+
(fC D (ú -
I-Arctan (Tcu)
K |lili)
0 <
1 + ( Tío)2
T J Ty <
= Aresen -
°°
0 < 7 ' n/ 7 v < ° °
(PID)-T,
Tn>AT,
<PJdB /
/_ d |
T* > 1
T IdB -20dB/dec
=v f T
v 'n 'v
\4 0
7^
>3dB
Pk r
10
r
10v
10'
i
7nkü>* Kqí/a*
cu > 0
T , ü j - 1/[T n (o)
V i + [ 7 > - 1 /(7 » ]2
- Arctan (Tai)
(Tío)2
P|dB
101 \102
Vrv/ r
101
10*
K|_ _ i
i_
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Tvkr«>* Tco*
cu > 0
In gen iería d e control
Amplitud de la respuesta
U'25
M étodo p a ra re p re se n ta r la am plitud d e la r e s p u e s ta del circ u ito co m ­
p leto
Nota preliminar: los puntos de quiebre de la amplitud de la respuesta se
marcan con flechas en la parte superior de la gráfica.
Una flecha con un a punta hacia abajo caracteriza una pendiente de
- 2 0 d B /d é ca d a que se obtiene mediante un factor P -T ^ (ver U'14) en
el punto 1/7.
Una flecha con dos puntas hacia abajo caracteriza una pendiente de
- 4 0 d B /d é ca d a que se obtiene mediante un factor P-T2 (ver U'15),
con ■& < 1; los factores P-T2 con d > 1 se dividen en dos factores P-T}.
Los factores PD (+20 dB/década en el punto 1/7V) con pendiente po­
sitiva se caracterizan con puntas de flechas hacia arriba.
Después de estimar la variación de la amplitud de la respuesta dentro de
las 4 décadas de la frecuencia angular co, se debe escoger la escala de
tal modo que la zona de interés aparezca con la máxima resolución po­
sible; el origen será definido por el valor máximo esperado de la amplitud
de la respuesta.
A continuación se determina el valor de la amplitud de la respuesta en el
margen izquierdo del dibujo. Si la conexión en serie por representar con­
tiene un factor I o D, el valor y la pendiente iniciales se determinan por I
o D; en cualquier otro caso, por el factor P. El valor inicial se determina
usando Flde = 20 log(ÁVco) (factor I), FldB = 20 log
(factor D) o FldB =
20 log Kp (factor P); véase U'22 y Ú'23.
Comentario: Se deben omitir aquí las unidades físicas de K\, Kq o Kp,
para añadirlas después al hacer la evaluación.
El gradiente de la amplitud de la respuesta hasta el primer quiebre es -20
dB/década (factor I), +20 dB/déc. (factor D) o 0 (factor P). La curva asintótica de la amplitud de la respuesta se traza de un punto de quiebre al
siguiente; para ello se deben considerar los cambios anteriores, que co­
rresponden a las flechas indicadas. El factor T, no influye sobre la ampli­
tud de la respuesta. Por último, se hacen correcciones en los puntos de
quiebre: cuando se usa el factor P-Ti, la curva asintótica se corrige en
los puntos í ú e / 2 y 2 c o e en -1 dB, y en la frecuencia angular de quiebre c d e
en -3 dB.
Cuando se usa el factor PD (inverso del factor P-T0, se deben hacer las
correcciones correspondientes en el punto de quiebre cde = 1/7v. de aba­
jo hacia arriba, (es decir, + 3 dB).
Cerca del punto de quiebre de un factor P-T2 con ü < 1, la curva asintó­
tica se corrige en -10 log [1 -(co/coo)2 + 2 ( d (o/<o0)2].
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Ingeniería de control
Fase d e la respuesta
U'26
R e p re se n ta c ió n d e la fa s e d e la r e s p u e s ta
La fase de la respuesta del circuito completo se determina sumando las
fases de las respuestas individuales de los elementos de transferencia
conectados en serie, o de los factores de respuesta en frecuencia.
Los factores individuales contribuyen con los siguientes valores (ver
también U'22 y U'23):
F a c to r
F a s e de la re sp u e s ta
P
I
D
0o
-9 0 °
+ 90°
Tt
- T\ (o
P -T ,
- t a n - 1 7(o
PD
+ ta n - 1 Tv (o
P - T 2 c o n v> < 1
1 -(G)/C 0 o )2
ta n - 1 —--------------- 90
2 ú co /(o 0
PI = I - P D
- 90° + t a n 1 Tn œ
Tabla A
Comentario: mientras que el factor P no tiene efecto alguno, la contribu­
ción del factor Tx es muy importante y aumenta con w.
Nota: Después de agrupar los factores constitutivos en una suma, a con­
tinuación se determinan los valores de la fase de la respuesta, por
ejemplo, usando la memoria de una calculadora de bolsillo. En gene­
ral, la fase de la respuesta del factor Tt se debe sustituir con el factor
1807n para obtener un resultado en grados.
Por último, se deben elegir la escala y el origen de la gráfica de la fase
de la respuesta de tal manera que la zona de mayor interés aparezca con
la máxima resolución posible. La fase de la respuesta se traza en el mis­
mo diagrama que el de la amplitud de la respuesta. La escala del eje y
se muestra en el margen derecho del dibujo.
D eterm in ació n del ele m en to d e control
Problema: El resultado debe ser tal que se satisfagan los requisitos del
margen de fase 5 y del margen e de ganancia .
Considerando la figura 8 de U'20, esto quiere decir que el indicador de
respuesta en la frecuencia del circuito abierto de control final cerca del
punto crítico -1 debe satisfacer dos requisitos: en frecuencia angular con
amplitud 1 (frecuencia angular de cruce de ganancia) la distancia de fase
en la parte negativa del eje real debe ser cuando menos 8, y a la frecuen­
cia angular donde la fase es -1 8 0 ° (la frecuencia angular de cruce de
fase), la amplitud debe de ser como máximo, 1 /e.
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(Continúa en U'27)
Ingeniería de control
Fase de la respuesta
■
á
Procedimiento
©
Elegir las razones entre los tiempos característicos inherentes al ele­
mento de control y la frecuencia angular de quiebre a>E, la frecuencia an­
gular de cruce de ganancia coD (realización de la instrucción del margen
de fase) o la frecuencia angular de cruce de fase co„ (realización de la
instrucción del margen de ganancia).
Comentario: Debido al eje co con escala logarítmica, se obtienen distan­
cias definidas entre los puntos de quiebre de la amplitud de la res­
puesta y las frecuencias angulares elegidas para la determinación.
En la práctica se aconsejan los siguientes valores:
Tabla B
Tipo del
elemento
de control
T nü ) D
7 vcod
resp.
Tno)„
resp.
7'vkÜ)Q
T n k /T v k
7v<on
1 /(7 -0 3 0 )
resp.
resp.
T s,\¿ú k
1 / ( 7 - cü„)
4 ... 10
8 ... 20
P
Pl
(PDj-Ti
(PID)-T,
4 . . . 10
4 . . . 10
8 ... 20
2 . .. 10
Los valores reales de los tiempos característicos del elemento de control
no se conocen sin calcularlos.
Después de elegir la razón, se fijan las form as de la amplitud y de la fase
de la respuesta.
La posición final de la amplitud y de la fase de la respuesta se determinan
mediante el siguiente procedimiento:
Se hace un corrimiento en la dirección del eje x determinando la frecuencia
angular de cruce de ganancia o d , o la frecuencia angular de cruce de fase
(o*. Se hace un corrimiento en la dirección del eje y (sólo en la curva de
amplitud de la respuesta) determinando la ganancia proporcional tfpR* o el
coeficiente de acción integral tfiR* del elemento de control.
©
Además se conocen la fase 0 r*((od) para el margen de fase y wr*( cd „) para
la determinación del margen de ganancia [en este caso ór*( iod) = cor*( ío „)].
Éstas son las fases que tiene el elemento de control en la frecuencia angu­
lar de cruce de ganancia wd. hasta ahora desconocida, y en la frecuencia
angular de cruce de fase co„, respectivamente. El valor de la fase se deter­
mina calculándolo (ver la tabla A en U'26), o con valores demostrados que
ya contengan la elección de las razones que describimos arriba.
* El subíndice r representa valores que pertenecen al elemento de control.
O Pasos numerados para los ejemplos en U'31 y U'33.
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Ingeniería de control
Condición de m argen de fase
U'28
O b ten ción d e la co n d ic ió n d e m a rge n d e fa s e
El margen de fase S y la fase - 4>r* del elemento de control se utilizan
para determinar
= -ó r * - 180° + 6.
Comentario: Mientras más negativa es la fase <|>r * del elemento controla­
do, menos negativa se permite que sea la <j>y* de la conexión en serie
formada por el sistema controlado y el equipo de medición.
La frecuencia angular con fase <>6 se debe determinar en la fase de la
respuesta <|>y(w)* de la conexión en serie del sistema controlado y el equi­
po de medición. Esta frecuencia angular debe convertirse en la frecuen­
cia angular de cruce de ganancia cods- A esta frecuencia, la amplitud de
la respuesta F0b del circuito abierto de control final determinado debe pa­
sar por la línea de 0 dB.
Este requisito se satisface cuando la amplitud inversa de la respuesta del
equipo de control se gráfica de tal modo que corte la respuesta Fy(to)* de
la conexión en serie del sistema controlado y el equipo de medición en
ü)D6-
La construcción de la amplitud inversa de la respuesta, F r(ü))-1*, del ele­
mento de control se lleva a cabo según U'25; la inversión se alcanza me­
diante la anulación de los valores de la pendiente, mientras permanecen
fijos los puntos de quiebre. La curva se traza hacia ambos lados a partir
de la frecuencia angular de cruce de ganancia íoqLa posición de los puntos de quiebre se determina cuando se aplican las
razones que se eligieron inicialmente a la frecuencia angular de cruce de
ganancia gods determinada a partir del diagrama.
La pendiente de las secciones de la curva asintótica de la amplitud de la
respuesta FR(co)-1* s e traslada por desplazamiento paralelo de dos líneas
auxiliares que se han graficado antes en una parte desocupada del dia­
grama de Bode. Sólo se necesitan correcciones cuando la intersección
queda dentro de su área.
A partir de la amplitud de la respuesta inversa determinada FR(w)-1*del
elemento de control, se puede leer el (A'pr*) proporcional - o el coeficien­
te de acción de integración (F ir*) del elemento de control. Con estos va­
lores se pueden determinar elementos de control de los tipos P, Pl y
(PD )-Ti. Se pueden determinar los coeficientes de acción de conexión
en serie Á>«. Tnk y Fvk para el elemento de control (PID )-T,. Éstos se
transforman en los coeficientes de acción de conexión en paralelo A>r*,
7n y 7v mediante las siguientes relaciones. Para valores grandes de las
razones
(Fnk/’/'vk > 10) se puede omitir la conversión.
is
a PR “
*
O
^ P k ¡rp
, t
\. t*
*
’ W n k + * vk/> 1 n
7* n k
nr
1 TIS
_ ^ P k R . -r- _ ^Vlk
k
^ nk + 7 vk> A IR “
'r
t
1 nk
* n k + i vk
El subíndice r (subíndice y) caracteriza valores pertenecientes al ele­
mento de control (sistema controlado).
Pasos numerados para los ejemplos en U'31 y U'33).
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Ingeniería de control
C o n d ic ió n d e m a r g e n d e g a n a n c ia
1)29
Obtención de ia condición de margen de ganancia
L a d e te rm in a ció n e s m uy p a re cid a a la de la co n d ic ió n de m a rg en de fase:
- D e te rm in a r la fa s e <j>E = - <t>R* - 180°.
- D e te rm in a r la fre c u e n c ia a n g u la r d e c ru c e de fa se , o)„E, d o n d e s e a l­
c a n z a la fa se óe e n la fa se de la re sp u e s ta <py(w)* de la c o n e x ió n en
s e rie del s is te m a c o n tro la d o y el e q u ip o de m e d ició n ; a e s ta fre c u e n c ia
la fa s e de la re sp u e sta <p(co) d e l c ircu ito a b ie rto de co n tro l fin a l d e te r­
m in a d o p a s a a tra v é s de la lín e a d e -1 8 0 ° .
-
D e te rm in a r la u b ic a c ió n d e lo s p u n to s d e q u ie b re c u a n d o s e a p lic a n
la s ra z o n e s a rrib a m e n c io n a d a s al v a lo r de la fre c u e n c ia a n g u la r de
c ru c e d e fa se d e te rm in a d a en el d ia g ra m a .
-
D e te rm in a r la p e n d ie n te mp d e la a m p litu d de la r e s p u e s ta in v e rsa
F R(ü))-1*d el e le m e n to d e con tro l c e rc a d e la fre c u e n c ia a n g u la r de c ru ­
c e de fa se a)ne. S e tra z a u n a s e c c ió n a s in tó tic a c o n e s ta p e n d ie n te , a
tra v é s del p u n to del v a lo r d e a m p litu d de la re s p u e sta d e F y(<u)*del s is ­
te m a c o n tro la d o y el e q u ip o d e m e d ic ió n en la fre c u e n c ia a n g u la r de
c ru c e d e fa se o)„e.
- L a am plitud inversa de la re sp u e sta F r ío ) ) - 1 del e le m e n to de control se
g rá fica y se evalúa en la d ista n cia C|dB (arriba de e sta se c c ió n asintótica)
d e la m ism a form a que se hizo a nte s p ara o b te n er el m a rg en de fase.
- E n el c a s o d e un e le m e n to de co n tro l (P ID )-T i, se s ig u e e l m is m o m é ­
to d o q u e e n (D.
Nota: S e re co m ie n d a , a d e m á s , d e te rm in a r la fre c u e n c ia a n g u la r d e c r u ­
c e d e g a n a n c ia ü>de- E s a fre c u e n c ia e stá en el p unto de in te rse c ció n
d e F y((ú)*de la c o n e x ió n en s e rie d e l s is te m a c o n tro la d o y el e q u ip o
d e m e d ic ió n , y la a m p litu d in v e rsa de la re sp u e s ta F Re(w)-1* d e l e le ­
m e n to d e control.
Elección de uno de los dos elem entos de control que se determinaron
N o s ó lo la o b te n ció n de la c o n d ic ió n de m a rg e n de fa se , s in o ta m b ié n la
d e l m a rg en de g a n a n cia , c o n d u c e a la d e te rm in a ció n de un e le m e n to de
control. S e e s c o g e el ele m e n to con el m e n or co e ficie n te de a cc ió n p ro p o r­
c io n a l - o integral. S a lv o a lg u n a s raras e xc e p c io n e s, c o n e sta e le c ció n el
e le m e n to de control tam b ién cu m p le el otro requisito de la determ inación.
Comparación entre elem entos de control determ inados por medio de
la elección de distintas razones
C o n la e le c c ió n de d istin ta s ra z o n e s s e o b tie n e el m e jo r c o m p o rta m ie n to
d e l e le m e n to d e co n tro l d e te rm in a d o p a ra el e le m e n to c o n el v a lo r m á x i­
m o d e la fre c u e n c ia a n g u la r d e c ru c e d e g a n a n c ia (O0 . E sta fre cu e n c ia
a n g u la r - d e te rm in a d a p a ra el circu ito a b ie rto d e c o n tro l - e s un a c a n ti­
d a d q u e in d ic a la ra p id e z c o n la q u e s e lle g a al v a lo r fin a l e n el circu ito
c e rra d o d e con tro l.
* Ver la explicación de los subíndices R y y en la nota al pie de la página U'28.
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c
8 '
o —
40
-
80
- 120
m
-16 0
■o
o
3
-200
-240
D ia g ram a de B o d e d e l e je m p lo 1
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see a)
10'
(o
Ingeniería de control
-
Ingeniería de control
Ejem plos
U'31
E je m p lo 1 : D eterm in ación d e un ele m en to d e co n tro l Pl o P
Problema: Determinar un elemento de control Pl con Tn = 1 0 / o j d y Tn =
10/con para un circuito de control con la conexión en serie de sistema
controlado y equipo de medición de comportamiento P-T3 (P-T1-T2).
El margen de fase 6 debe ser 40° mínimo, el margen e de ganancia
3.16 mínimo (corresponde a 10 dB).
Fia)
r<s) _ ______________ 4_
y(s)
(1 +1 0 se c -í) ( í +0.8/(5sec)s + 1/(25 see2) j 2]
Solución: De acuerdo con U'13 a U'17, se leen primero los datos carac­
terísticos KPy = 4, T = 10 seg, co0 = 5 seg-1, en la función de transfe­
rencia F(s) de la conexión en serie. A continuación, según U'22, se
deben trazar la amplitud de la respuesta Fy y la fase de la respuesta
Óy de la conexión en serie.
Los siguientes pasos de la determinación están numerados dentro de
un círculo en el margen izquierdo de las páginas U'27 a U'29. Esos
números también se muestran en el diagrama de Bode de U'30 en sus
lugares correspondientes. En esos pasos se determinan los siguien­
tes resultados:
2 <Pr (cud) = <pR (con) = - 9 0 ° + A rctan [(1 0 /coD) • coD] * - 6 o
3
4
5
8
11
12
13
<p6 = - 1 8 0 ° + 4 0 ° + 6o = - 1 3 4 °
cüd6 = 3 .4 sec -1
Debido al Tn = 10/coD- * 1/T nb = 0.34 sec-1 -> Tnb = 2.94 sec
Kpp¿ en dB — 16.5 —►K pp^ — 6 .68 —> ^ir& = 2 .2 3 sec
<pe = - 1 8 0 ° + 6 o = - 1 7 4 °
cunE = 4 .8 sec -1
Debido al Tn = 1 0 /con -> 1 / T ne = (one /1 0 = 0.48 sec-1
14 m F = 0
-> r ne = 2.08 sec
16 /lp Re en dB = 9 —> K.pp^ ~ 2 .82 —►
18 cuDe - 1.2 s e c -1
21 ^pRe < ^PRó
K pft = 2 .8 2 .
— 1.32 sec ^
De acuerdo con esta lista, el controlador requerido tiene los datos ca­
racterísticos: Kpp = 2.82; Tn = 2.08 seg.
La rapidez con la que el circuito controlado que usa este controlador
llega a sus valores finales se caracteriza por wq = 1.2 seg-1.
La determinación de un elem ento controlador P se lleva a cabo en
forma parecida a la del elemento de control Pl:
El resultado de acuerdo con los pasos numerados es:
3 <p6 = -1 80 ° + 40° = -140°
4 wD6 = 3.4 sec-1
8 Kppfo en dB = -1 6.5 —* ^pr6 =
11 <pE = -180°
12 &>„£ - 5 sec"'
16 ^pre en dB = —10-* Kpp¿ = 3.16
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(Continúa en U'33)
^
'
c
60
0
-
80
-
120
- 160
-2 00
- 240
D ia g ram a de B o d e d e l e je m p lo 2
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-►
see o)
Ejem plos
40
Ingeniería de control
-
In g e n ie ría d e c o n tro l
E jem plos
_____________
11'
^
w
18 co0e « 1.3 sec 1
2 1 ^ P R e < ^PR6
^ pr “ 3 .1 6 ;
V0 - K pr • Kpy - 3.16 • 4 - 12.6 -> K f (0) = 1/(1 + V0) - 7.3% .
Los pasos 1, 2, 5, 6, 9 ,1 3 y 14 no son aplicables en la determina­
ción. !Los pasos 7 y 15 sólo se llevan a cabo dentro del diagrama
de Bode!
Comentario: El factor de control /?f (0) es aquel con el que se reduce
una perturbación aplicada entre la salida del elemento de control
y el punto de medición. Con un elemento de control P las pertur­
baciones no se compensan por completo, como es el caso de un
elemento de control Pl.
E je m p lo 2 : D eterm in ació n d e un ele m en to d e co n tro l (PID)-T!
Problema: Para un circuito de control con la misma conexión en serie que
la del ejemplo 1, determinar un elemento de control (PID)-T 1 para los
siguientes valores:
1/^nk6 “ ú W 1 2
1/7vk6 =
1^6 *
6£0D6
1/^nke “
1/ ^vke “
1/^e “
Los márgenes de fase y de ganancia aeben tener los mismos valores
que en el ejemplo 1.
Solución: La amplitud y la fase de la respuesta se pueden tomar del ejem­
plo 1. Se deben llevar a cabo los pasos numerados (en círculos) en el
margen izquierdo de las páginas U'27 a U'29; esos números también
se muestran en la gráfica de U'32. Los resultados de los pasos res­
pectivos son:
2 <Pr& ■ - 9 0 ° + A rctan (12 coD/coD) + Arctan (4 (Oq/ üJq) - A rctan [(1/6) • ((ü h / ^ d)] - 6 2 °
3 <ph ■ - 1 8 0 ° + <5 - q>H = - 1 8 0 ° + 4 0 ° - 62® = - 2 0 2 °
4 cuD5 - 6 .0 sec-1
8 1/T ’nkj - o>dj/12 “ 6 /(1 2 sec) = 0 .5 sec -1 ; r nk6 = 2 sec;
1 / r vks - cüd/4 - 6 /(4 sec) = 1,5 sec ~1; t vk6 - 0 .67 sec;
1 / r 6 = 6 a>D = 3 6 s e c " 1 - » 7 j - 2 8 msec
8 *PkR6 en dB - 12 -> /CpkR6 - 4
9 X p R6 - (4 /2 )-2 .6 7 - 5 .3 4
r n6 - (2 + 0.67) sec = 2.67 sec; r vS = 2 • 0.67 sec/2.67 - 0.5 sec
11 <p, = - 1 8 0 ° -< p R, - - 2 4 2 °
12 ¿ ¿ . - 1 0 s e c '1
13 1 / r nk6 - ct)ne/1 2 = 1 0/1 2 sec -1 - 0 .8 3 sec 1; r nkE = 1.2 sec.
1 / r vke - <unE/ 4 - 1 0 /4 s e c "1 = 2.5 s ec "1; r vkE - 0.4 sec;
1 / r E - 6 ee„E - 60 s ec "1; 7"e = 17 msec
14 m F = - 2 0 d B /D ek.
16 7TpkRE en dB = 17 —* /úpkRE = 7.1
17 K Pfít = 7 .1 /1 .2 -(1 .2 + 0.4) =9.47; T„t = (1 .2 + 0.4) sec = 1.6 sec;
,
Tve = 1.2 • 0 .4 /(1 ,2 + 0.4) sec = 0.3 sec.
18 w Dí = 6. 2 s e c "1
21 K pr6 < K PRt -+ /CPR - 5 .3 4
e
H
(Continúa en U'34)
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Ingeniería de control
Reglas para ajustes
U'34
Continuación de U'33
El elemento de control (PID)-Ti adecuado tiene los datos caracterís­
ticos: K p fí = 5.34, 7>, = 2.67 seg, T = 0.5 seg.
La rapidez con que el circuito de control adecuado llega al valor final
se caracteriza por íoq = 6.0 seg-1.
R e g la s e m p íric a s p ara a ju sta r e le m e n to s d e co n trol P, Pl y PID
Para sistemas controlados con un elemento de retraso de primer orden
y un elemento de tiempo muerto - esto es, sistemas controlados sin la
p a rte I o factores I - ZIEGLER y N ICHO LS recomiendan los siguientes
datos característicos para los tipos de elementos de control arriba citados.
Se conocen K p y, T y y 7ty del sistema controlado:
Tabla C
contro­
lador
P
Pl
KpR
r„
Tv
tï
K p y • T ty
0 9
Ty
3.3 T, y
K p y-T ty
PID
1 2 - Ü K p y • Tfy
2 T ,y
0 .5 7, y
Se d e s c o n o c e n los datos característicos del sistema controlado:
Tabla D
contro­
lador
^PR
P
0 .5 A pR crít *
Pl
0.45 K Pfí crit*
0 .8 3 r cr¡,**
PID
0.6 K PRcrít*
0 .5 r cn1* *
7„
r„
0 .1 2 5 r cn1* *
* A>r crít : Valor de Kpr cuando hay oscilación permanente en el circuito
de control.
** T’crít : Período de oscilación, cuando hay oscilación permanente.
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Ingeniería de control
Abreviaturas y fórmulas
U'35
Tipos de elem entos de transferencia
D: Elemento derivado
D -T 1 : Elemento derivado con retraso de 1er orden
D-T2: Elemento derivado con retraso de 2® orden
I: Elemento integral
I-7V Elemento integral con retraso de 1 er orden
P: Elem ento proporcional
PD: Elemento derivado proporcional
Pl: Elemento integral proporcional
PID: Elemento derivado integral proporcional
P - iy Elemento de retraso de 1er orden
P-T2: Elemento de retraso de 2 8 orden
(P D )-Tv Elemento P D con retraso de 1er orden
(PID)-T 1 : Elem ento PID con retraso de 1er orden
T t: elemento de tiem po muerto
Sím bolos usados para térm inos de ingeniería de control
e : Variable de error
m? : Pendiente de la amplitud de la respuesta en
el diagram a de Bode
Variable de retroalim entación
Variable de entrada
Variable de salida
Sobrepaso de la función escalón unitario de
un elem ento de transferencia
w : Variable de referencia
w ' : Variable objetivo
x : Variable controlada
xa : Variable controlada final
: Sobretiro de la variable controlada
y : Variable reguladora
z
: Variable de perturbación
Frecuencia de la respuesta
m
R s)
Función de transferencia
Reo)
Am plitud de la respuesta
Frecuencia de la respuesta del circuito
F0(jto)
abierto de control
F0(s) : Función de transferencia del circuito
abierto de control
F0(<o): Am plitud de la respuesta del circuito
abierto de control
Fr(co) : Am plitud de la respuesta del elemento
de control
Fy( w ) : Am plitud de la respuesta de la conexión
en serie del sistema controlado y el
equipo de medición
Kq : Coeficiente de acción derivada
K\ : Coeficiente de acción integral
Kp : Coeficiente de acción proporcional
Rp(0)
: Factor de control
Kpk(co) : Coeficiente de acción proporcional en
la representación en serie del elemento
PID con r n > 4 f v
K ir ( co) : Coeficiente de acción integral del
elem ento controlado
Kpr : Coeficiente de acción proporcional del
elemento controlado
T
Tiem po de retraso
Tiem po de crecim iento
Período de vida media
'h
Tiem po de restablecimiento
7n
Tfjn : Tiem po para alcanzar el estado estable
Tjnicio : Tiem po para alcanzar la tolerancia inferior
Tu : Tiem po muerto equivalente
Tv : Tiempo de derivada
7nk.(7vk): Tiem po de restablecim iento (tiem po de
derivada) en la representación en serie
del elemento PID con Tn > 4 Tv.
Tntó, (Tvks):Tiempo de restablecim iento (tiem po de
derivada) en la representación en serie del
elemento PID con Tn > 4 Tv, determ inado
según el requisito de la fase
TnkE. (7vte):T¡empo de restablecim iento (tiem po de
derivada) en la representación en serie del
elem ento PID con Tn > 4 Tv, determ inado
según el requisito del m argen de ganancia
£ : Margen de ganancia
8
: Margen de fase
<P5 : Fase de la conexión en serie (sistem a contro­
lado, equipo de medición) en la frecuencia an­
gular de cruce de ganancia ojo, que cumple
con el m argen de fase 8
<t>e : Fase de la conexión en serie (sistema contro­
lado, equipo de medición) en la frecuencia an­
gular de cruce de fase (%
<j>(o)) : Fase de la respuesta
<j>0M : Fase de la respuesta del circuito abierto de
control
<t>q((o): Fase de la respuesta del elemento de control
4»y(w): Fase de la respuesta de la conexión en
serie del sistema controlado y el equipo
de medición
ü : Frecuencia de am ortiguam iento
(o : Frecuencia angular
co0 : Frecuencia angular característica
W 5 : Frecuencia angular propia
o>D: Frecuencia angular de cruce de ganancia
o>E : Frecuencia angular en el quiebre
coqs : Frecuencia angular de cruce de ganancia al
cum plir con la condición de margen de fase
u)de : Frecuencia angular de cruce de ganancia al
cumplir con la condición de margen de ganancia
o)n : Frecuencia angular de cruce de fase
tone : Frecuencia angular de cruce de fase, cum ­
pliendo con el m argen de ganancia £.
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Tablas
Z 'i
Propiedades térmicas de líquidos
Q
t
Líquidos
°C
106772>
W
m K
Do o
m3
CP
kJ
kg K
k£
Pr3)
Agua
0
20
50
100
200
999,8
998,3
988,1
958,1
864,7
4,217
4,182
4,181
4,215
4,494
0,5620
0,5996
0,6405
0,6803
0,6685
1791,8
1002,6
547,1
281,7
134,6
13,44
6,99
3,57
1,75
0,90
Octano
-2 5
0
738
719
2,064
2,131
0,144
0,137
1020
714
14,62
11,11
Etanol
C2H5OH
-25
0
20
50
100
806
789
763
716
2,093
2,232
2,395
2,801
3,454
0,183
0,177
0,173
0,165
0,152
3241
1786
1201
701
326
37,07
22,52
16,63
11,90
7,41
Benceno (o benzol)
c 6h 6
20
50
100
200
879
847
793
661
1,729
1,821
1,968
-
0,144
0,134
0,127
0,108
649
436
261
113
7,79
5,93
4,04
-
Tolueno (o toluol)
C7H8
0
20
50
100
200
885
867
839
793
672
1,612
1,717
1,800
1,968
2,617
0,144
0,141
0,136
0,128
0,108
773
586
419
269
133
8,65
7,14
5,55
4,14
3,22
Dióxido de azufre
0
20
50
1435
1383
1296
1,33
1,37
1,48
0,212
0,199
0,177
368
304
234
2,31
2,09
1,96
-50
0
20
50
695
636
609
561
4,45
4,61
4,74
5,08
0,547
0,540
0,521
0,477
317
169
138
103
2,58
1,44
1,26
1,10
20
50
100
871
852
820
1,85
2,06
2,19
0,144
0,143
0,139
13060
5490
2000
I68
79
32
20
60
100
866
842
818
-
2,29
2,29
0,124
0,122
0,119
31609
7325
3108
482
125
60
Mercurio Hg
0
13546
0,139
9,304
1558
0,02
Glicerina C3H80 3
20
1260
2,366
0,286
15-106 1,24*1011
^8^18
S02
Amoniaco
nh3
Aceite
lubricante
Aceite para
transformador
1) Conductividad térm.
-
2) Viscosidad (din.)
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3) Núm. Prandtl
7 'o
^
T ab las
P ro p ie d a d e s té rm ic a s d e g a s e s
t
Q
CP
x1)
kJ
kg K
W
mK
Gases (a 1000 mbar)
106rç2) P r 3)
°C
kg
m3
Pa-s
-
Aire (seco)
-2 0
0
20
100
200
400
1,377
1,275
1,188
0,933
0,736
0,517
1,006 0,023
1,006 0,025
1,007 0,026
1,012 0,032
1,026 0,039
1,069 0,053
16,15
17,10
17,98
21,60
25,70
32,55
0,71
0,70
0,70
0,69
0,68
0,66
Dióxido de carbono
C02
-3 0
0
25
100
200
2,199
1,951
1,784
1,422
1,120
0,800
0,827
0,850
0,919
0,997
0,013
0,015
0,016
0,022
0,030
12,28
13,75
14,98
18,59
26,02
0,78
0,78
0,78
0,77
0,76
Cloro
Cl
0
25
100
3,13
2,87
2,29
0,473
0,477
0,494
0,0081
0,0093
0,012
12,3
13,4
16,8
0,72
0,69
0,69
Amoniaco
0
25
100
200
0,76
0,70
0,56
0,44
2,056
2,093
2,219
2,366
0,022
0,024
0,033
0,047
9,30
10,0
12,8
16,5
0,87
0,87
0,86
0,83
Oxígeno
02
-5 0
0
25
100
200
1,73
1,41
1,29
1,03
0,81
0,903
0,909
0,913
0,934
0,963
0,024
0,026
0,032
0,039
16,3
19,2
20,3
24,3
28,8
0,73
0,71
0,71
0,71
Dióxido de azufre
S02
0
25
100
0,586
0,607
0,662
0,0086
0,0099
0,014
11,7
12,8
16,3
0,80
0,78
0,77
Nitrógeno
0
25
100
200
2,88
2,64
2,11
1,23
1,13
0,90
0,71
1,038
1,038
1,038
1,047
0,024
0,026
0,031
0,037
16,6
17,8
20,9
24,7
0.72
0,71
0,70
0,70
-5 0
0
25
100
200
0,11
0,09
0,08
0,07
0,05
13,50
14,05
14,34
14,41
14,41
0,141
0,171
0,181
0,211
0,249
7,34
8,41
8,92
10,4
12,2
0,70
0,69
0,71
0,71
0,71
Vapor de agua (saturado)
0
50
100
200
300
0,0049
0,0830
0,5974
7,865
46.255
1,864
1,907
2,034
2,883
6.144
1) Conductividad tórm.
2) Viscosidad (din.)
0,0165
9,22 1,041
0,0203 10,62 0,999
0,0248 12,28 1,007
0,0391
15,78 1,163
0.0718 19,74 1,688
3) Núm. Prandtl
nh3
n2
Hidrógeno
h2
-
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_
Tablas
Esfuerzos permisibles-Maquinado
¡
Esfuerzos permisibles por flexión o torsión, y módulos E y G
para materiales elásticos, en N/mm2
Mód.
Mód. elást.
elást.
0f(perm.
Material
ang. Tt(perm
axial
Tipo de
carga1}
E
A
B
C
Acero para resor­
I
1000 5 00
150
6 50
tes SAE 1078 tem­
210000
II
750 350
120
8 00 00
500
plado y revenido
III
500 250
80
350
Latón amarillo
l
200
100
40
120
ASTM-B 134(274)
110000
II
150
80
30
42000
100
III
HV 150; DIN 17222
100
50
20
80
Plata alemana
I
300
150
50
2 00
142000
ASTM-B 122 (752);
II
250
120
40
5 50 00
180
III
200
100
30
150
65-18 HV 160
Bronce común
l
2 00
100
40
120
110000
II
150
80
30
CDA-419
42000
100
III
HV 190
100
50
20
80
Bronce fosforado
CDA-529 HV 190
117000
I
II
III
3 00
220
150
150
110
80
50
40
30
4 50 00
2 00
180
150
A: para resortes simples (factor de seguridad = 1.5)
B: para resortes conformados (factor de seguridad = 3)
C: para resortes sin efecto de históresis (factor de seguridad = 10)
1) Véase el significado en P 1, Parte I.
Cantidades características para el maquinado
(para torneado exterior longitudinal)
Material
Aceros:
Resistencia
o dureza
(en N/mm21)
me
1 - me
1.1
N/mm2
ASTM - A572
0 .7 4
520
0 .2 6
1990
UNS - K04600
720
0 .3 0
0 .7 0
2 26 0
SAE - 1045
6 70
0,14
0 ,8 6
2 22 0
SAE - 1060
770
0,18
0.82
2130
SAE - 5120
0.74
770
0 .2 6
2 10 0
SAE - 3140
6 30
0 .3 0
0 .7 0
2260
SAE - 4135
6 00
0,21
0 ,7 9
2 24 0
0,74
730
0,26
SAE - 4140
2 50 0
6 00
0,74
0 ,2 6
2 22 0
SAE - 6150
SAE - L6 (recocido)
0 ,2 4
9 40
0,76
1740
SAE - L6 (revenido)
0
,2
4
ASTME1&-74-HRD54
0 ,7 6
1920
Mehanite A
0,74
3 60
0 ,2 6
1270
Hierro colado c/enfr.
ASTME18-74-HRD60
0 ,1 9
0,81
2 06 0
ASTM - A48-40B
0.7 4
0 ,2 6
1160
ASTME18-74-HRD33
Los valores especificados se aplican directamente al torneado con herramienta
con punta de carburo.
Velocidad de corte v = 9 0 , . . . , 125 m/min.
Grosor de la viruta h: 0.05 mm< h < 2.5 mm.
Angulo lateral normal normal y = 6 o para acero, y = 2 o para hierro colado
Relación de esbeltez €s * 4.
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Tablas
Z4
Presiones de contacto permisibles
Valores de Pc<perm.) en N/mm2
Características de muñones, cojinetes y placas de apoyo:
Material
Acero 37
Carga H
Carga HZ
Pc
210
240
Material
Acero 52
Pc
32Ô
360
Carga H
Carga HZ
Lubricación: Véanse manuales o textos (acción hidrodinámica)
Acción con lubricación mixta, eje o muñón templado y rectificado1} 2)
Material
V
m/s
Hierro colado gris
Latón rojo (836)
1
Bronce común (938) 0.3
...1
Hierro sinterizado
Hierro sinterizado
con cobre
Bronce sinterizado
Bronce común
grafitado
Metal DEVA)
<1
3
<1
3
<1
3
5
<1
Pc
Material
V
m/s
5
3ronce colado CDA 902
8. .12 Lubricación con grasa <0,03
203) Cojinetes de alta calidac
<1
PA 66 (Poliamida)
-»0
153)
en seco
1
1
lubricación con grasa5)
6
—0
1
HDPE (Polietileno
de alta
8
densidad
1
3
12
PTFE (Politetra—0
fluoroetileno,
6
encubierto)
4
1
20
PTFE + plomo
<0,005
+ bronce
0.5..5
90 4) Cojinete DU
Pc
4. .12
60
15
0,09
0,35
2 .4
0,02
30
0,06
80...
1404)
<1
Superficies no deslizantes, de tipo general: Valores máximos hasta el punto
de fluencia o cedencia a la compresión del material son posibles de usar. Los
valores normales para una pc aceptable son inferiores.
Materiales
Acero
Hierro colado
Hierro maleable
Bronce
Metal para cañón
estable
80..150
70... 80
50... 80
30... 40
25... 35
Valores normales de pc para carga
pulsante
de choque
60. .100
30. .50
45. 55
20...30
30. 55
20... 30
20 30
10. .15
15. 25
8 .12
1>El producto (p • uípena está estrechamente relacionado con la disipación de ca­
lor, carga, presión de contacto y tipo de lubricación.
2,Con lubricación hidrodinámica es posible una mayor capacidad de carga (para
todos los metales de cojinetes).
3) Duración limitada de las partes en desgaste.
4)Casos extremos (metales especiales).
5) Para espesor de casquillo de 1 mm.
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Tablas
5
V alo res estad ístic o s
,
2
Función de error
x- t 2
í ; *•<*>- w 0Jr T dt; erfU)=w0 e
i'o W
0.000 000
0.007 979
0,015 957
0,023 933
0,031 907
0,039 878
0,047 845
0.055 806
0,063 763
0,071 713
0,079 656
0,087 591
0,095 517
0,103 434
0,111 340
0,119 235
0,127 119
0,134 990
0,142 847
0.150 691
0.158 519
0,166 332
0,174 129
0.181 908
0,189 670
0.197 413
0,205 136
0.212 840
0,220 522
0,228 184
0.235 823
0,243 439
0.251 032
0,258 600
0.266 143
0,273 661
0.281 153
0,288 617
C.296 054
0.303 463
0.310 843
0.318 194
0.325 514
0.332 804
0.340 063
0.347 290
0.354 484
0.361 645
0.368 773
0.375 866
e rf
X)
0,000 000
0,011 283
0,022 565
0,033 841
0,045 111
0,056 372
0,067 622
0,078 858
0.090 078
0.101 281
0.112 463
0.123 623
0.134 758
0,145 867
0,156 947
0.167 996
0.179 012
0,189 992
0,200 936
0.211 840
0,222 702
0,233 522
0,244 296
0.255 022
0,265 700
0.276 326
0,286 900
0,297 418
0.307 880
0.318 283
0.328 627
0.338 908
0,349 126
0.359 279
0,369 365
0.379 382
0.389 330
0.399 206
0.409 009
0.418 739
0,428 392
0.437 969
0.447 468
0.456 887
0.466 225
0.475 482
0.484 656
0.493 745
0.502 750
0.511 668
-d t
X
<P (X )
*o (x )
e rt (x )
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0.70
0.71
0.72
0,73
0,74
0.75
0.76
0.77
0,78
0.79
0.80
0.81
0.82
0,83
0,84
0.85
0.86
0,87
0.88
0.89
0.90
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
0,352 065
0,350 292
0.348 493
0,346 668
0,344 818
0,342 944
0,341 046
0,339 124
0,337 180
0,335 213
0,333 225
0,331 215
0,329 184
0,327 133
0,325 062
0,322 972
0,320 864
0,318 737
0.316 593
0.314 432
0.312 254
0,310 060
0.307 851
0.305 627
0,303 389
0,301 137
0,298 872
0,296 595
0.294 305
0.292 004
0,289 692
0.287 369
0,285 036
0.282 694
0.280 344
0,277 985
0.275 618
0.273 244
0.270 864
0,268 477
0.266 085
0.263 688
0.261 286
0,258 881
0.256 471
0.254 059
0.251 644
0.249 228
0.246 809
0.244 390
0.382 925
0,389 949
0,396 936
0,403 888
0,410 803
0,417 681
0,424 521
0,431 322
0,438 085
0.444 809
0,451 494
0,458 138
0,464 742
0,471 306
0,477 828
0.484 308
0.490 746
0.497 142
0,503 496
0.509 806
0,516 073
0,522 296
0,528 475
0,534 610
0,540 700
0,546 745
0.552 746
0.558 700
0,564 609
0,570 472
0,576 289
0,582 060
0.587 784
0,593 461
0,599 092
0.604 675
0,610 211
0,615 700
0,621 141
0,626 534
0.631 880
0.637 178
0.642 427
0.647 629
0.652 782
0.657 888
0.662 945
0.667 954
0.672 914
0 677 826
,520 500
,529 244
.537 899
.546 464
,554 939
www.FreeLibros.me
,563 323
,571 616
,579 816
.587 923
,595 937
,603 856
.611 681
,619 412
.627 047
,634 586
.642 029
,549 3^7
.656 628
.663 782
.670 840
.677 801
.684 666
.691 433
.698 104
.704 678
.711 156
717 537
.723 822
.730 010
736 103
742 101
.748 003
.753 811
.759 524
.765 143
.770 668
.776 100
,781 440
.786 687
.791 843
,796 908
.801 883
.806 768
.811 563
.816 271
.820 891
.825 424
.829 870
.834 231
.838 508
Tablas
V a lo re s estad ísticos
i
.2
5= n a e ' ’
X
1 ,0 0
1 .0 1
1 ,0 2
1,03
1,04
1,05
1,06
1.07
1.08
1,09
1 .1 0
1 .1 1
1 .1 2
1.13
1.14
1.15
1,16
1.17
1,18
1.19
1 ,2 0
1 .2 1
1 ,2 2
1,23
1.24
1.25
1,26
1.27
1,28
1,29
1,30
1.31
1,32
1,33
1.34
1,35
1,36
1.37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1.49
<P (x )
0,241 971
0,239 551
0,237 132
0,234 714
0,232 297
0,229 882
0,227 470
0,225 060
0 , 2 2 2 653
0 , 2 2 0 251
0,217 852
0,215 458
0,213 069
0 ,2 1 0 6 8 6
0,208 308
0,205 936
0,203 571
0 ,2 0 1 214
0,198 863
0,196 520
0,194 186
0,191 860
0,189 543
0,187 235
0.184 937
0,182 649
0,180 371
0,178 104
0,175 847
0.173 602
0,171 369
0,169 147
0,166 937
0,164 740
0,162 555
0,160 383
0,158 225
0,156 080
0,153 948
0,151 831
0,149 727
0,147 639
0,145 564
0,143 505
0,141 460
0.139 431
0,137 417
0.135 418
0.133 435
0,131 468
<Po(x)
0,682 689
0,687 505
0,692 272
0,696 990
0,701 660
0,706 282
0.710 855
0,715 381
0,719 858
0,724 287
0,728 6 6 8
0,733 0 0 1
0,737 286
0,741 524
0,745 714
0,749 856
0,753 951
0,757 999
0,762 0 0 0
0,765 953
0,769 861
0.773 721
0,777 535
0,781 303
0,785 024
0,788 700
0,792 331
0,795 915
0,799 455
0,802 949
0,806 399
0,809 804
0,813 165
0,816 482
0,819 755
0,822 984
0,826 170
0,829 313
0,832 413
0,835 471
0,838 487
0,841 460
0,844 392
0,847 283
0,850 133
0,852 941
0,855 710
0,858 438
0,861 127
0,863 776
t2
■ > - í§ íj
e r f (x )
0,842 701
0,846 810
0,850 838
0,854 784
0,858 650
0,852 436
0 , 8 6 6 144
0,869 773
0,873 326
0,876 803
0,880 205
0,883 533
0 , 8 8 6 788
0,889 971
0,893 082
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0,899 096
0,902 0 0 0
0,904 837
0,907 608
0,910 314
0,912 956
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0,918 050
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0,925 236
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0,929 734
0,931 899
0,934 008
0,936 063
0,938 065
0,940 015
0,941 914
0,943 762
0,945 562
0,947 313
0,949 016
0,950 673
0,952 285
0,953 853
0,955 376
0,956 857
0,958 297
0,959 695
0.961 054
0.962 373
0,963 654
0,964 898
Función de error
•di ;
X
1,50
1.51
1.52
1,53
1,54
1,55
1,56
1.57
1.58
1.59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1 ,6 6
1,67
1 ,6 8
1.69
1.70
1.71
1.72
1.73
1.74
1,75
1.76
1.77
1,78
1.79
1,80
1.81
1,82
1,83
1.84
1,85
1 ,8 6
1.87
1 ,8 8
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2
e rf(x )
<P (X)
0,129 518
0,127 583
0,125 665
0,123 763
0 ,1 2 1 878
0 , 1 2 0 009
0,118 157
0,116 323
0,114 505
0 , 1 1 2 704
0 , 1 1 0 921
0,109 155
0,107 406
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0 , 1 0 2 265
0 , 1 0 0 586
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0,087 796
0,086 277
0,084 776
0,083 293
0,081 828
0,080 380
0.078 950
0,077 538
0,076 143
0,074 766
0,073 407
0,072 065
0.070 740
0,069 433
0,068 144
0,066 871
0,065 616
0,064 378
0,063 157
0,061 952
0,060 765
0,059 595
0,058 441
0,057 304
0,056 183
0,055 079
www.FreeLibros.me
w
o(x)
0 , 8 6 6 336
0 , 8 6 8 957
0,871 489
0,873 983
0,876 440
0,878 858
0,881 240
0,883 585
0,885 893
0 , 8 8 8 165
0,890 401
0,892 602
0,894 768
0,896 899
0,898 995
0,901 057
0,903 086
0,905 081
0,907 043
0,908 972
0,910 869
0,912 734
0,914 568
0,916 370
0,918 141
0,919 882
0,921 592
0,923 273
0,924 924
0,926 546
0,928 139
0,929 704
0,931 241
0,932 750
0,934 232
0,935 687
0,937 115
0,938 516
0,939 892
0,941 242
0,942 567
0,943 867
0.945 142
0.946 393
0,947 620
0.948 824
0,950 004
0,951 162
0,952 297
0,953 409
-X
K
•d i
e r f (x )
0,966 105
0,967 277
0,968 414
0,969 516
0,970 586
0,971 623
0,972 628
0,973 603
0,974 547
0,975 462
0,976 348
0,977 207
0,978 038
0.978 843
0,979 622
0,980 376
0,981 105
0,981 810
0,982 493
0,983 153
0,983 790
0,984 407
0,985 003
0,985 578
0,986 135
0,986 672
0,987 190
0,987 691
0,988 174
0,988 641
0,989 090
0,989 524
0,989 943
0,990 347
0,990 736
0,991 1 1 1
0,991 472
0,991 821
0,992 156
0,992 479
0,992 790
0,993 090
0,993 378
0,993 656
0,993 922
0,994 179
0,994 426
0,994 664
0,994 892
0.995 111
INDICE DE LA PARTE I
A c e le ra c ió n
L 2 L 5
angular
L 2
M 1
de la gravedad
- t i e m p o , diagram a
L3
Q 11
A c o p la m ie n to s de fric c ió n
A g u a , dureza del
U 6
A le acio ne s
Z 17
A m p e re
S1
A m p lific a c ió n ó p tica
T 4
E 2
A m p litu d
D 17
A m o rtiz a c io n e s , cá lcu lo de
A n a ra n ja d o de m etilo
U5
E1
A n g u lo (medidas)
de c o n ta c to
K 13
de fase
S15
de pérdidas
S15
T1
sólido
A n illo (o zuncho) de
c o n tra c c ió n
Q 13
grado de c o n tra c c ió n
Q 13
Area
17
integrales para
m o m e n to s de inercia de
1 10
A ro n , c o n e x ió n de
S 28
L 8
A s ín to ta s
A u to in d u c c ió n
e le c tro m a g n é tic a
S 13, S 16
P 12
Barras curvas
Barril
C 4
N 4
Bernoulli, te o re m a de
Biela y m an ive la (o cigüeñal),
m e ca n ism o
L10
B in om io, te o re m a del
D4
Bobinas (o inductores)
con núcleo de aire
S 2 1 , S 22
S 22
de alta fre cu e n cia
de rea ctan cia
(o reactor)
S 2 4 , S 25
en aceite
S 25
S 22
patrón
pérdidas en
S 23
S 21
to ro id a le s (de anillo)
T1
Brillo
Z 17
Bronce fo s fo ra d o
Caída libre
L8
C a le n ta m ie n to de sólidos
y líquidos
0 2
C a le n ta m ie n to e lé ctrico
S5
Calor
0 2
ca m b ia d o re s de,
0 11
de co rrien tes paralelas
0 11
de co rrien tes c o ntrarias
0 11
de tra n s fo rm a c ió n
(o " la te n te " )
0 2
de fu s ió n
0 2
de su b lim a ció n
0 2
de va po riza ció n
0 2
espe c ífico (capacidad
té rm ic a
específica)
0 2, 0 9, Z 13
medio
05
por unidad de masa
0 2
p o te n c ia té rm ic a to ta l
0 7
tra b a jo to ta l (entrante
o saliente)
0 7
tra n s m is ió n de
0 10
c o n d u c c ió n té rm ic a
0 10
c o n v e c c ió n
té rm ic a
0 10, 0 12
radia ción té rm ic a
0 10, 0 12
tra n s m is ió n to ta l de
0 12
Z 11
c o e fic ie n te de
tr a n s m itid o (entrante o
saliente)
0 7
C am po m a g n é tic o
inten sid ad de
S 4, Z 3
T1
Candela
T1
Cantidad de luz
Cantidad de s u stan cia
(moles)
01
C apacidad té rm ic a
0 2, 0 9, Z 13
C ap acita ncia (capacidad
e le c tro s tá tic a )
S 3, S 10
C ap acito r (condensador)
S10
cilin d rico coaxial
S10
en c irc u ito s de C.A.
S 17, S 18
Cardán, tra n s m is ió n de
L10
Carga elé ctrica
S2
P1
Carga, tip o de
C av a lie ri,prin cipio de
C1
Celsius, escala
01
K 1, M 2
C entro de gravedad
www.FreeLibros.me
C en troid e
1 7, K 7, K 8
K 8
de áreas co m p u e s ta s
de un arco circular
K 7
de un se c to r circu lar
K 7
K 7
de un se g m e n to circular
K 7
de un se g m e n to de corona
K 7
de un trap ecio
K 7
de un triá n g u lo
Cilindro (circular recto)
C 2
con c o rte inclinado
C 4
cuña cilindrica
C 4
hueco
C 2
C irc u ito elé ctrico
S 5
resonante
S 19
Circulo
B 3
C ircu nfe ren cia
E 6
circ u n s c rita
F 2
ecua cio ne s de la
E 6
inscrita
P 6
Cizallam iento
C o cie n te diferencial
H 1
C o cie n te increm e nta l
H 1
C o e fic ie n te d ie lé c trico
S 10, Z 2
Z 14
Colores de te m p la d o
C o m b in a cio n e s
D 5, D 6
C o n de nsa d or e lé ctrico
S 10
C o n d u c ta n c ia eléctrica
S 2
Z 1
C o n d u c tiv id a d eléctrica
Cono (circular recto)
C 2
tru n c a d o
C 2
C o n s ta n te d ie lé c trica
S 10, Z 2
C o n v e c c ió n té rm ica
0 10
fo rzada
0 12
libre
0 12
C on verg en c ia e sto c á s tic a
J 8
Cople có nico
Q 11
Cople de discos
Q 11
Corona circu lar
B 3
Correlación, c o e fic ie n te de
J 8
Corrie nte elé ctrica
alterna (CA)
S 14
c irc u ito s de
S 14
c irc u ito s trifá s ic o s
S 22
densidad de
S 2
flu jo m a g n é tic o de
S 16
inten sid ad de
S 1
p ue nte de m ed ició n
S 20
C orrie ntes parásitas
(o de Foucault)
S 23
P 6
C o rta n te (esfuerzo co rta nte)
Coseno(s)
d e fin ició n
E 2
ta bla de valores
Z 2 2 , Z 23
E 6
te o re m a de
C ota n g e n te
d e fin ic ió n
E 2
Z 2 4 , Z 25
ta b la de valores
C ou lom b
S 2
C rem ona, m é to d o de,
o de nudos
K6
B 1
Cuadrado
Cubo
C 1
Cuña cilindrica
C4
K 11
Cuñas (elem entos m ecánicos)
H 3
C urvatura
H 2
radio de
C h e b ysh e v, d esigualdades de
J 8
M 8
Choque o im p a cto
M 8
central
M 8
c o e fic ie n te de re s titu c ió n
M 8
d ire cto
M 8
elástico
M 8
ob lic u o
M 8
p lá stico
M 8
ve lo cid a d e s en el
Chum acera
K 12
c o m ú n (o radial)
K 12
de em p uje (o axial)
fr ic c ió n en
K 12, Z 20
D efasa m ie nto
S 15
D efle xión té rm ic a
0 3
D e fo rm a c ió n angular
P6
m ó d u lo de
P6
D e fo rm a c ió n axial
P2
P2
m ó d u lo de
D e fo rm a ció n (por unidad)
P 1 P 2
Delta, co n e x ió n en
S 28
de tr a n s fo rm a d o re s
S 33
tr a n s fo rm a c ió n a estrella
S 8
Densidad
N 1, 0 1 Z 5 Z 10
d e te rm in a c ió n de la
N 3
D 7
D ep ósito s, cá lcu los de
H 1
Derivada(s)
de fu n c io n e s
H 4
D esaceleración
L 5
Desecadores
U 6
D eslizam ien to , v a lo r lim ite
K9
D esviación e stándar
J 4
D ete rm in a n te s
D 7, D 8,
Diagrama
a ce le ra ció n -tie m p o
L3
e sfu e rz o -d e fo rm a c ió n
P 1
re co rrid o -tie m p o
L3
v e lo c id a d -tie m p o
L3
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"d ie n te de sierra"
(velocidades)
R 1
7
D iferencial de arco
D ila ta ció n té rm ica
0 3
c o e fic ie n te lo n g itu d in a l de
0 3
c o e fic ie n te
v o lu m é tr ic o de
0 3, Z 11
Dínamo (m áquina de C.C. )
S 30
Dioptría
T 4
D istan cia focal
T 4
D ivisor de tensió n
S 8
Dureza (escala
alemana dH)
u 6
Ecuación
c u a d rá tic a o de segundo
D 3
grado
N 4
de co n tin u id a d
t e rm o d in á m ic a de e stado
0 4
Eficacia de ilum in a ció n
Z 21
Eficiencia (o ren dim ie nto)
M 4
Ejes m ecá nico s
("fle c h a s ")
P 11, Q 10
Elasticidad
lím ite de
P 1
m ó d u lo de
P 2, Z 18, Z 19
Elem entos de co m p re s ió n de
P 2
e sfuerzo c o n s ta n te
Elem entos q uím icos
u 1
B 3
Elipse
F 4
ecuaciones
F 4
fo c o s de la
P 2
Elongación a la ruptura
N 3
Empuje ascensional
Energía
M 4
c in é tic a (ecuaciones)
m a g n é tica
S 12
Engranaje epicíclico
(planetario)
Q 5
Engranes
Q 1, Q 2
cá lcu lo de dientes
cilin dricos
Q 1
có nic os
Q 3
ángulos
Q 3
fu erza axial
Q 3
fu erza radial
Q 3
die ntes en v (Folmer)
Q 3
Q 1, Q 2
e v o lv e n te
in te rfe re n cia en
Q 2
Entropía
Q 5
K 4
Equilibrio, co n d icio n e s de
Equivalencias de diversas
A 9
unidades
Equivalencias de unidades
A7
m étricas usuales
longitud
A 7, A 8
A 7, A 8
área
v o lu m e n
A 7, A 8
A 7, A 9
masa
A 7, A 9
tie m p o
A 7, A 9
fu erza
Equivalencias m étricas de
unidades inglesas usuales
A8
Esbeltez, relación de
P8
Esca lon am ien to de
R1
ve lo cida de s
Esfera
C 2
con p e rfo ra c ió n cilindrica
C 3
con p erfora cio ne s có nicas
C3
s e g m e n to esférico
C3
tru n c a d o
C3
P1
Esfuerzo(s)
P13
círculo de M o h r para
P11
co m b in a d o s
P 1, P 6
c o rta n te
P10
c o rta n te s , c o m b in a c ió n de
P 1, P 2
de c o m p re sió n
P1
de flu e n cia
P1
de rup tura
de tensió n
P 1, P 2
P12
en barra curva
norm ales, c o m b in a c ió n de
P9
permisible(s)
P 1, P 2, P 6, Z 18
por fle xió n
P3
por to rsió n
P7
P13
principales
Esperanza m a te m á tic a
J 4
S 22
Espiras, n úm ero de
Espejo
c ó nca v o
T3
c o n ve xo
T3
plano
T3
Estrella, c o n e xió n en
S 28
en tr a n s fo rm a d o re s
S 23
estre lla -de lta, co n e xió n
S 32
tr a n s fo rm a c ió n a delta
S8
Euler
fó rm u la para co lu m n a s
P8
núm ero de
F4
Evento(s)
c o le c tiv a m e n te e xh a u stivo s J 1
m u tu a m e n te e x clu ye n te s
J1
inte rse cció n de
J1
unión de
J1
universal
J1
va cio
J1
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E xpresiones a lg eb raicas
E xpresiones e xp o n e n cia le s
D 3
D 2
Factor
de calidad
S 1S
de pérdidas
S 1S
N e
de fo rm a
de resistencia
N 6, Z 1S
de p o te n cia , c o rre c c ió n de
S 29
de resistencia
N e, Z 1S
Farad
SS
Faraday, ley de
S 1S
Fasores
S 17, S 18, S SS
Flexión
PS
Flujo
con fric c ió n
N 4
laminar
N e
m a g n é tic o
S S, S 12
de dispersión
S12
densidad de
S S, S 12
sin fric c ió n
N 4
n e
tu rb u le n to
T1
Flujo lum ínico
Z 21
de lámparas
Fou cau lt, c o rrie n te s de
S 2S
Fourier, series de
D 12, D 13 D 14
Fracción m olar en una m ezcla
0 8
L1
Frecuencia
crítica
Q 10
de rota ción
L1
Frecuencia angular (circular)
M 6
K 9, K 12
Fricción (o rozam iento)
ángulo de
K9
c o e fic ie n te s de
K 9, K 10, K 20
Q 11
cople de
d in ám ica
K 9, K 12
en cables
K 1S
K 12
en ch um aceras
N e
en líquidos
N e
pérdidas por
e stá tica
K 9, Z 20
fa c to r de resistencia
N e, Z 1S
K 12
p o te n cia de
K 12
rodante
M1
Fuerza(s)
c e n trífu g a
M 5, Q 1S
co e rc itiv a
S 2S
de c o rte
P e, R S
e le c tro m o triz
S S, S 1S
e ntre polos m a g n é tic o s
S 1S
m a g n é tica s
S 1S
m a g n e to m o tr iz
S4
K2
polígono de
radial y axial
(engranes)
Q S, Q 4
sobre c o n d u c to r e lé ctrico S 13
Función(es)
derivadas de
H 4 , H S, H e
exponencial
F 4, H S
hip erbólicas
G1
inversas
G2
D 2, H e
log arítm icas
E2
tr ig o n o m é tr ic a s
E7
inversas
E2
cosenoide
E2
senoide
Funciones densidad de
probabilidad
beta
Je
de C auchy
Je
de Erlang
Je
e xpo ne ncia l
J7
norm al
J7
u n ifo rm e
J7
Funciones masa de
probabilidad
bin om ial
JS
de Bernoulli
JS
de Pascal
JS
de Poisson
Je
g e o m é tric a
Je
Fusión
O 2, Z 12
calo r de
p u n to de
ZS
Gas(es)
O 4, Z 12
c o n s ta n te de un
c o n s ta n te universal de los
0 4
leyes te rm o d in á m ic a s
O4
m ezclas de
OS
y va po re s, e stados de
O4
c a m b io s de
OS
G enerador e lé ctric o
regla de la m ano derecha
S 11
de C.C.
S S0, S S1
Geolibra
AS
E1
Grado, unidad angular
Gravedad
aceleración de la
M1
K1
c e n tro de
K1
fu erza de (peso)
Q 11
Guía recta
G uldinus, regla de (o de
Pappus)
IS
H exágono
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B2
Henry
S4
N 4
H idrod iná m ica
f a c to r de resistencia
friccio n a l
Z 15
N1
H id ro stá tic a
Hipérbola
e cua ció n de la
F3
equilátera
F3
fu n c io n e s h iperbólicas
G 1, G 2
H um edad c o n s ta n te en aire
de recipie ntes cerrados
U 6
S 22
H istéresis m ag né tica
pérdidas por
S 23
Z 14
In can de sce ncia, colores de
,lu m ina ción
ley de la
T 2
Z 21
e ficacia de
T1
unidad de
Z 21
valores de
Im pedancia(s)
S 16, S 17, S 18
d e te rm in a c ió n de
S 20
Im pulso
N5
angular
N5
te o re m a s del
In dicadores quím icos
U 4
In du cción
e le c tro m a g n é tic a
S 13
ley de Faraday
S 13
m ag né tica
S 12
rem an en te
S 23
In s tru m e n to s e lé ctrico s
S 34
Inte gració n
I1
num érica
I8
I2
por partes
In tegral
I 3, I 4 , I 5, I 6
de área y v o lu m e n
I7
definida
I1
indefinida
I1
Intensidad lum inosa
T1
Intensidad m ag né tica
co e rc itiv a
S 23
In te rca m b ia d o re s de iones
U6
D17
In terés, cá lcu lo de
D 17
tip o de
J o ule
M 1, S 1
Kelvin, escala de
K ir c h h o ff, leyes de
0 1
S6
Lámina " D y n a m o "
propiedades m ag né ticas
Z4
Z4
T4
Lentes
fó rm u la s de las
T4
Límite
P1
de elasticidad
P1
de flu en cia
P1
de p ro po rcio na lid ad
P1
de resistencia
N7
Líquidos, salida de
D2
Logaritm o(s)
D2
cá lcu lo con
c o nve rsio ne s
D2
D2
de base e
D2
de base 2
D2
de base 10
D 2, Z 26
naturales
Longitud
c a m b io de (de form ac ió n)
P 2
Lumen
T1
L um inosidad (o brillo)
T1
T4
Lupa
Luz
T1
rayos de
T3
refle xió n de
T3
refra cc ió n de la
T2
M a cla u rin , serie de
D10
T4
M a c ro fo to g ra fía
M anivela y corredera,
m e ca n ism o de
L10
M áq uin as e léctricas
S 11
reglas de los tres dedos
S 11
M áq uin as hidráulicas
N5
Masa
M 1, M 2
a tó m ica
U2
de una mezcla
0 8
flu jo de
0 7
molar
0 4, Z 12
m o m e n to de inercia de
I1 2
M ate ria les, propiedades de los
c a ra cterística s
Z 1, Z 2
e lé ctrica s
ca ra cterística s
hidráulicas
Z 15, Z 16
c a ra cterística s
m a g n é tica s
Z 3, Z 4
c a ra cte rística s m ecá nica s
de m etales
Z 18, Z 19
Z 11
c a ra cte rística s té rm ica s
gaseosos
Z 10
sólidos y líquidos
Z 5 a Z9
M á x im o s , valores
H3
M e d icio ne s
e lé ctrica s
S 9, S 2 0 , S 3 4
www.FreeLibros.me
M e d id o r e lé ctrico
de bobina m óvil
con te rm o p a r
de hierro dulce
e le c tro d in á m ic o
e le c tr o s tá tic o
M e ta l rojo
M é tric a e inglesa
unidades SI
unidades US
M e tro lo g ía s té cn ica s
M ezclas frig o rífica s
M ezclas de gases
capacidad té rm ic a
masa molar
masa to ta l
presiones
p ro po rc io ne s
te m p e ra tu ra
v o lú m e n e s
M ic ro s c o p io
M ín im o s , valores
M ó d u lo s de sección
(o de resistencia)
axial
polar
M ó d u lo elástico
angular
axial
M o h r, círculo de
M o m e n to ce n trífu g o
(p ro d u c to de inercia)
M o m e n to e stá tic o
de un vo lu m e n
de una línea
de una su pe rficie
M o m e n to fle x io n a n te
M o m e n to de fu erza
par de fuerzas
te o re m a de m o m e n to s
M o m e n to de inercia
(axial o polar)
de masa
aro circu lar
cilindro
cilin dro hueco
cono
esfera
prism a recta ng u la r
to ro
de un vo lu m e n
cilindro
prism a re cta n g u la r
S 34
S 34
S 34
S 34
S 34
Z 17
A5
A5
A5
A5
U5
O9
O8
O8
O8
O 8, O 9
O9
O9
T4
H 3
P3
P7
P 6, Z 19
P 2, Z 19
P 13
de una línea
I9
de una su p e rfic ie o área
I 10
círculo
I11
re ctá n g u lo
I 12
te o re m a de los ejes paralelos
o de Steiner
I 9, M 2
M o m e n to resistente
(m ódulo de sección)
P 3, P 7
M o m e n to de ro ta ció n
M 2, M 4
M o to r e lé ctrico
de C .A .
S 32
asíncrono (de ind uc ció n)
S 32
síncrono
S 32
de C.C.
S 3 0 , S 31
" s h u n t"
S 3 0 , S 31
serie
S 3 0 , S 31
"com po un d"
S 3 0 , S 31
regla de la m ano izquierda
S 11
M o v im ie n to
acelerado
L 4, L 5
circu lar (ro ta ció n)
L 4, M 4
diagram as de
L 3, L 5 a L 8
a rm ó n ico
L4
caída libre y tiro
L8
en plano inclinado
L9
o s cila to rio
L7
d in á m ic a del
M1
rectilíneo (traslación)
L4
u n ifo rm e
L 4, L 5
M uelles de hojas
Q7
M ú ltip lo s y s u b m ú ltip lo s
A 2
I1 0
I8
I7
I7
P3
K 1
K 1
K1
I9
I 12
M 3
M 3
M 3
M 3
M 3
M 3
M 3
I1 2
I 12
I1 2
N eu tro (en sistem as
elé c trico s)
N orm as del uso del SI
N úm ero s co m p le jo s
S 28
A 4
D 15, D 16
O c tá g o n o regular
O hm ,
ley de
Onda, lo n g itu d de
O rdenaciones
Oscilaciones
B2
S2
S 2, S 5
T3
D 5, D 6
L 7, M 6
Pandeo de co lu m n a s
Pappus, regla de
Parábola, e cua ció n de la
Paralelogram o
Pascal, triá n g u lo de
Péndulo
c e n trífu g o
c ó n ic o
de to rs ió n
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P8
I8
F2
B1
D4
M7
M7
M7
M 7
físico
M 7
simple
pH, valores
U 4
B 2
Pentágono regular
Permeabilidad
m a g n é tica
S 16, Z 3
Permeancia m ag né tica
S 4, S 12
Perm u tacio ne s
D 5
K 1, M 1
Peso
Pirámide re cta n g u la r
C 1
recta
C 1
tru n c a d a
C1
Plano inclinado
K 10, L 9
K 14
Poleas
R 2
con engranajes
R 2
escalonadas
R1
f a c to r de la serie
K 14
fija y m óvil
fric c ió n en
K 13
R1
núm ero de pasos
K 14
p olipa stos
B2
Polígono cualquiera
K 14
Polipasto
d iferen cial
K 14
P o litró pico , proceso
06
e xp o n e n te
0 5, 0 6
Potencia
A 8, A 9, M 1
de una lente
T 4
para m áquinasR4
h erram ienta
Potencia elé ctrica
S1
a ctiva
S 16, S 29
aparente
S 16, S 29
f a c to r de p ote nc ia
S 16, S 29
f a c to r reactivo
S16
rea ctiva
S 16, S 29
Potencias y raíces,
D1
fó rm u la s para
P o te n ció m e tro
S8
Presión
01
a b so lu ta y m a n o m è tric a
0 1
a tm o s fé ric a
01
de v iru ta
R3
N 1
d is trib u c ió n de la
N 1
en un líquido
parcial
08
N2
sobre su pe rficie s
Presión y esfuerzo
A 8, A 9
Prisma recta ng u la r
C1
oblicuo
C1
recto
C1
Prismatoide
C4
Probabilidad
J 2
fu n c ió n densidad
J3
fu n c ió n masa
J3
Procesos
is e n tró p ic o (o adiabático)
0 6
isobàrico
0 6
iso m è trico
0 6
iso té rm ico
0 6
p o litró p ic o
0 6
P roducto de inercia
1 10
P roductos q u ím ic o s
U 2, U 3, U 5
Proporciones de masa en
una mezcla
0 8
Proporciones v o lu m é tric a s
en una m ezcla
0 9
S 27
Prueba de c o rto c irc u ito
Prueba de vacío
(circu ito abierto)
S 26
Puente
S9
de W h e a ts to n e (C.C.)
S9
de m e d ició n para C.A.
S 20
Punto de e b u llición
Z 5, Z 10
H 3
Punto de in fle xión
Punto triple
01
Q uím icos
e le m e n tos
p ro d u c to s
rea ctivos
U1
U 2, U 3, U 5
U5
Radiación
T1
Z 14
e q u iva le n te fo to m è tr ic o de
Z 14
c o n s ta n te de
Radián
E1
Radianes, m edida en
B 3, E 1
D1
Raíces, fó rm u la s para
Raíz cuadrada
D3
Rayos X
T3
Reactivos
U5
F 1
Recta, ecua cio ne s de la
B1
Rectángulo
R efracción
T2
índices de
T4
poder re fra c tiv o
S11
Regla de los tres dedos
de la m ano derecha
(generador)
S11
de la m ano izquierda
S11
(m otor)
Regla de Sim pson
,8
Regresión lineal
J7
Relación de tra n s m is ió n
M 4
Relaciones e le c tro m a g n é tic a s
S11
y m ecá nica s
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S 4, S 12
R eluctancia m ag né tica
R em achado
Q 12
d iá m e tro de agujero
revisión de placa
Q 12
Q12
tip o s de
D 17
R e n dim ien tos, cá lcu lo de
Resiste ncia
a la te n s ió n (ú ltim a )
P1, R 3
al ro d a m ie n to
K 12, Z 20
fa c to r (friccional)
N 6, Z 15
Resiste ncia
e lé ctrica
S 2, S 17, S 18
c o e fic ie n te
té rm ic o de la
S 5, Z 1
de un c o n d u c to r
S5
Z1
R esistividad elé ctrica
R esistores
S 5, S 6, S 7
Resolución g e o m é tric a
D18
de ecua cio ne s
Resonancia
S 19
c o rrie n te en la
S 19
Resorte
Q 7 a Q 9
de espiral
Q8
de fle xió n
Q7
de hojas (muelle)
Q7
de te n sió n
Q9
de to rs ió n
Q 7, Q 9
helicoidal
Q 7, Q 9
R evoluciones por unidad
L 1
de tie m p o
N6
Reynolds, núm ero de
Ritter, m é to d o de
K5
R od am ien to
L9
K12
resistencia al
R oentgen (o X), rayos
T 3
Rotación
M 5
e sfuerzos por
m o v im ie n to de
L 4, L 6
S14
p o s itiv a (en fasores)
Z16
Rugosidad en tuberías
Salida de líquidos
N7
en recipientes
D18
S ección áurea
B 3
S e c to r circu lar
S e g m e n to circu lar
B 3
Seno(s)
d e fin ició n
E 2
Z 2 2 , Z 23
ta bla s de valores
te o re m a de
E6
Serie a ritm é tic a
D9
Serie b in ó m ica o binom ial
D 10
Serie g e o m é tric a
D9
S im pso n, regla de
,8
Steiner, te o re m a de
1 9, M 2, P 3
S u blim ación
Z5
calor de
0 2
S u s titu c ió n , m é to d o de
,2
(en integración)
Tablas trig o n o m é tr ic a s
Z 2 2 a Z 25
Q12
T a m b o r cilin drico
Tangente(s)
d e fin ició n
E2
Z 2 4 , Z 25
ta bla de valores
te o re m a de
E6
D 10, D 11
T a ylo r,se rie de
T e m p e ra tu ra , c o e fic ie n te de
(en resistencia
eléctrica)
S 5, Z 1
T e m p e ra tu ra , d iferen cia
m edia log arítm ica de
0 11
T en sión elé ctrica
S2
c irc u ito s trifá s ic o s
S 28
de C .A.
S14
d iferen cia de pote ncia l
S2
d iviso r de
S8
inducida (ley de Faraday)
S 13
regla de las te n sio n e s
S6
T en sión e le ctro q u ím ica
Z2
(serie)
T en sión m a g n é tic a
S 4, S 12
T e tm a je r, fó rm u la de
P8
T ie m p o de ascenso (en tiro)
L 8
T ira bu zón , regla del
S11
Tiro
alcance y tie m p o
L8
h orizontal
L8
inclinado
L8
v e rtica l
L8
T orn aso l, papel
U 5
T orn illo de fu erza
K11
T orn illo sin fin , engranaje de
Q 4
T orn illos, unión por
Q6
Toro
C 4
Torsión
P7
P7
e sfuerzos por
M1
Trabajo
e lé ctric o
S1
Trabajo y energía
A 8, A 9
T ra n s fo rm a c io n e s delta-estrella
(conexiones)
S 8, S 28
T ra n s fo rm a c io n e s
tr ig o n o m é tr ic a s
E4
su m a s y d iferen cias
E4
T ra n s fo r m a d o r e lé c trico
S 2 6 , S 27
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co n e xio n e s, g ru po s de
S 33
d elta-estrella
S 33
T ra n s m is ió n de banda o
correa
K 13, R 3
B 1
T rapecio
fó rm u la trapecial
18
B1
Triá ng ulo
F 1
ecua cio ne s del
B 2
e quilátero
E 6
o b tu sá n g u lo
E 2
re ctá n g u lo
Unidades auxiliares del SI
kelvin
Unidades básicas del SI
m etro
kilog ra m o
kelvin
ampere
candela
mol
Unidades co m p le m e n ta ria s
radián
e stereorradián
Unidades derivadas
n e w to n
pascal
hertz
joule
w a tt
Unión de cuña transversal
V a lo r e ficaz (r.c.m . o r.m .s.]
en C.A.
V a lo r m á x im o (en C.A.)
o a m p litu d
V a lores m á x im o s y m ínim o
Va po res
A 4
A 4
A1
A1
A1
A1
A2
A2
A2
A2
A2
A3
A3
A3
A3
A4
A4
Q 6
m ezclas de
08
V a p o riz a c ió n , calor de
E 2, Z 12
Va ria ble aleatoria
J 2
Variables ene rg ética s de una
mezcla
0 9
Variables te rm o d in á m ic a s
de estado
01
Va ria ncia
J4
L 2
V e locid ad
L 2
angular
crítica por fle xió n
M 6
en caída libre y tiro
L8
e sca lo n a m ie n to de
R1
- t i e m p o , diagrama
L3
K 14
V e n ta ja m ecánica
P 4, P 5
Vigas
de se cció n u n ifo rm e
P 4
de igual resistencia
P5
V isco sid a d
cin e m á tic a
N 1
del aceite
Z 16
del agua
Z 16
d in ám ica
N1
V o lt
S2
V o lu m e n
específico
01
fra c c ió n v o lu m é tric a
09
m olar
01
parcial
09
W a tt
W h e a ts to n e , p ue nte de
M 1, S 1
S 9
S14
X, rayos
T 3
S14
H 3
0 4
Y (o estrella), co ne xió n
S 28
Z igzag, co ne xió n
S 32
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INDICE DE LA PARTE II
A n á lisis e stad ístico
F'1
a xio m a s de probabilidad
cu rva ca ra c te rís tic a de
acep tac ió n
E' 10
d e te rm in a c ió n de para
E' 6
valores d is c re to s dados
E' 6
cá lcu lo de
E' 6
m é to d o s g rá ficos
diagram as de V e n n para la
rep re sen ta ció n de e ven tos E' 1
d is trib u c ió n
de Gauss
n orm alizada fu n c ió n de
E' 7
d is trib u c ió n
densidad de
E' 7
p ro babilidad, normal
e x p o ne ncia l c o m o fu n c ió n
de c o n fia bilid a d
E' 13
E' 9
h ip erg eo m é tria
fu n c ió n de error
E' 8
integral de probabilidad de
E' 8
Gauss
m edia X y va lo r
esperado p
E'3 -E' 5
E' 9
m ue streo
te o re m a del lím ite central
E' 3
E' 10
seguridad de un m ue streo
va lo r A Q L
E' 1 1
variable ale atoria A
E' 2
A n á lisis de esfuerzos
P7
co n v e rs ió n a iso s tá tic a
e cua ció n de la cu rv a elástica P 4
energía de d e fo rm a c ió n U
a la fle xió n
P' 4
e stado de esfue rzo en
tres d im en sion es
P'1, P' 2
fle x ió n y to rs ió n en ejes
P 1
m o m e n to s de inercia I y
m od ulo s de se cció n
S, P 3
P1
principales
P3
te o re m a de Steiner
viga de sección tran sversa l
u n ifo rm e
P'4, P'5, P' 6
P7
viga s h ip e re stá tica s
Ecuación algebraica
ceros, raíces,
G' 1
de cu alqu ier grado,
G'1-G' 4
d efin ic ió n ,
G'1
G '2-G '4
m é to d o de Horner,
relación entre ceros y
G'1
c o e fic ie n te s ,
s o lu ción a proxim ad a,
G'5-G' 8
a p ro x im a c ió n por
in terpo lación ,
G'8
m é to d o de la secante,
G'7
m é to d o de N e w to n ,
G'6
regula fa lsi,
G'8
G'2
s o lu ción general,
G'1
te o re m a de Descartes,
Ecuación diferen cial
D' 1
lineal
D'2, D' 3
orden n con co e fic ie n te s
D'6-D' 7
co n s ta n te s
prim er orden
D' 4
D' 4
se gu nd o orden
con co e fic ie n te s
D' 5
co n s ta n te s
D' 1
ordinaria
D' 1
parcial
ED D' 2
reso lu ción de una
s o lu ción general de la EDL
D' 2
no h om ogénea
red ucció n del orden por
s u s titu c ió n de variable
para la reso lu ción de una
ED de orden n
D'8-D' 1
Engranes,
0 '1 -0 ' 9
adendo,
0 '1 , 0 ' 3
capacidad de carga del
d ie nte,
0 '4 , 0 '5 , 0 '7 , 0 ' 8
cilin d rico s rectos,
0 1 ', 0 ' 4
claro en el fo n d o ,
0' 1
có nicos,
0 '7 -0 '8
dedendo,
0 '1 , 0 ' 3
d iá m e tro de
adendo,
0' 2
0 2 ', 0 ' 3
dedendo,
la base,
0' 2
paso,
0' 2
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die ntes de e v o lv e n te
0'1 - 0 ' 6
d im en s ion es del piñón,
0' 6
e x te n s ió n ,
0' 2
m ód ulo
circular,
0' 1
normal,
0' 1
paso
circular,
0' 1
normal,
0' 1
razones de ancho de diente, 0 ' 6
Función de fra c cio n e s
B' 1
racionales
d e s c o m p o s ic ió n en fra c c io n e s
B' 1
parciales
Ingeniería de c o n tro l
U'1 -U '3 5
a c tu a d o r
U' 6
bloque de fu n c ió n
U' 3
c irc u ito
U '2 4
co m p le to
a m p litu d de la
respuesta
U' 3
de c o n tro l
ca n tid a d e s y
fu n c io n e s del
U' 7
c o m p o n e n te s del
U' 4
estabilidad del
U' 18
fu n c ió n de
tra n s fe re n c ia del
U' 9
c o m p a ra d o r
U' 6
c o n tro la d o r
U' 6
cá lcu lo para un
U' 18
lineal, d e te rm in a c ió n
g rá fica
U' 21
variable de salida del
U' 6
criterio
de N y q u is t
U' 19
de H u rw itz
U' 18
diagram a
de Bode
U'3, U'2 2, U' 2 3
U'29, U' 31
de co n tro l
U' 3
e s tru c tu ra s básicas
U' 4
línea de acción
U' 3
p u n to de ra m ific a c ió n
U' 3
regla para sum ar
U' 4
e le m e n to
de c o n tro l
d e te rm in a c ió n del U '2 5 - U '2 6
ele cción del tip o de
U '2 0
final
más im p o rta n te
reglas para P, PI y PID
siste m a s de
de retraso de prim er
orden
(PD)-T 1 y (PID)-T 1 de
c o m b in a c ió n en grupo
equipo
de co n tro l final
de m ed ició n
fa c to r de co n tro l
fre c u e n c ia angular
c a ra cte rís tica
c a ra cte rística s de
respuesta en
de cruce de ganancia
de vé rtic e
propia
fu n c ió n de tra n s fe re n c ia
de c irc u ito abierto
fo rm a norm alizada
m ezcla
p ro d u c to
sum a
g anancia de c irc u ito abierto
p u n to de regulación
regla
a m pliada de
re tro a lim e n ta c ió n
de re tro a lim e n ta c ió n
sis te m a co n tro la d o
variable c o n tro la d a
p u n to de m e d ic ió n de la
sobrepaso de la
sobrepaso
de la variable c o n tro la d a
tie m p o
de retraso
de tra n sició n
in v e n to e qu iva len te
tr a n s fo rm a d a de Laplace
variable
co n tro la d a final
de error
de p ertu rb a ció n
de referencia
reguladora
re tro a lim e n ta d a
M a n u fa c tu ra y procesos
d is p o s itiv o s de c o rte
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U' 6
U' 2 0
U' 33
U' 6
U' 14
U' 17
U' 6
U' 5
U' 7
U' 1
U' 3
U' 7
U' 3
U' 1
U' 7
U' 12
U' 12
U' 12
U' 7
U' 6
U' 10
U' 9
U' 4
U' 5
U' 5
U' 8
U' 2
U' 8
U' 1
U' 2
U' 2
U' 10
U' 5
U' 6
U' 6
U' 6
U' 6
U' 5
R' 1
e m b u tid o s
R'6, R' 7
fuerzas de sujeción
R' 7
de las pieza
de e xtru s ió n
R' 8
resistencia de flu e n cia
media
R' 8
e xp lic a ció n de la
sim b o lo g ia
R'5 (R'1 a R' 4)
R' 6
labrado de lám ina en frío
d iá m e tro inicial de la
R' 6
pieza base
prim era y segunda
R' 6
etapas
m aq uin ad o
R'1 , R'2, R'3, R' 4
p ote ncia y fu erza de
R' 2
co rte
R' 4
de avance
a te m á tic a s fin an cie ras
a m o rtiza ció n
capital in s o lu to
ta bla de
anualidades
cierta
ÍD
a
a quinaria y ele m e n tos
cojines de
d eslizam ien to
Q'5,
c o rta n te debido a carga
tran sversa l
Q' 1
d e fo rm a c ió n
Q' 1
d im en s ion es del cubo
Q' 3
Q' 1
ejes y árboles
e m b ragues
cá lcu lo de la superficie
de fric c ió n
Q' 7
ca le n ta m ie n to
perm isible
Q' 8
de fric c ió n
Q'7, Q' 8
pérdida de energía
Q' 7
Q' 1
estabilidad
fre n o s de fric c ió n de
Q' 9
disco
Q' 9
zapatas
Q' 9
presión de c o n ta c to
Q' 6
Q' 2
uniones de pasador de
Q' 2
abrazaderas
Q' 2
cono
ejes
Q' 3
rebordes m últiple s
Q' 3
ranura
Q' 2
F' 5
F' 5
F' 5
F' 4
F' 4
F' 4
c o n tin g e n te
F' 4
n ota ción
ordinaria
F' 4
relaciones entre
F' 4
casos especiales de
anualidades
F'6, F' 7
F' 6
anticipa da
F' 6
c recien te
F' 6
d ecre cie n te
F' 6
diferida
F' 6
n ota ción
F' 6
p erpetuidad
relaciones entre d iferen te s
F' 6
tip o s de anualidades
F' 2
ta sas de d escu e n to s
F' 2
e fe c tiv a
F'2, F' 3
fu erza de d e s c u e n to
nom in al
F' 3
relación entre d, d * , y X
relación entre interes y
F' 3
d e scu e n to
F' 3
tasa e fe c tiv a de interes
F' 3
de d es c u e n to
nom in al
F' 3
F' 1
ta sas de interes
a cu m u la ció n de interés
F' 1
c o m p u e s to
A' 1
ve c to ria l
F' 1
e fe c tiv a
fu erza
F'1, F' 3
nom in al
F' 1
F' 1
n ota ción
F' 1
relaciones entre i, i * , y X
Radiaciones
carga de ionización
c o rrie n te de ionización
energía de ionización Wi
radiabsorción
radiación ionizante
ra d ia ctivida d
a bsorción e qu iva len te
c o n s ta n te de a ctivid a d
Sistem as elé ctrico s
c irc u ito s y redes
c o rrie n te nom inal
instalacio ne s
in te rru p to re s
reso lu cion es de redes
lineales
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T' 1
T' 1
T' 2
D T' 2
T' 1
T' 2
T' 2
T' 2
S' 1
S' 3
S' 3
S' 3
S' 1
te o re m a de
s u pe rp osición
de T hé ven in
S' 1
S' 2
Tablas
ca ntid ad es ca ra cterístic a s
para el m aq uin ad o
Z' 3
e sfuerzos perm isibles por
fle x ió n o to rs ió n
Z' 3
propiedades té rm ic a s de
líquidos
Z'1, Z '2
s u pe rficie s no deslizantes
Z' 4
valores de pc
Z' 4
valores e sta d ístico s
Z'5 -Z' 6
T ra n s fo rm a d a s de fu n c io n e s
de Fourier
C' 1
de Laplace
C'4-C' 5
reglas de o pe ra ción
C'1, C '3
ta bla de c o rresp on de n c ia
te o re m a de c o n v o lu c ió n
V e c to r
cá lcu lo de los c o m p o n e n te s
de un
c o m p o n e n te
escalar de un
coseno d ire c to r de un
d iferen cia
m a g n itu d de un
p ro d u c to de un escalar
por un
de dos v e c to re s libres
escala de dos ve c to re s
libres
v e c to ria l de dos ve c to re s
libres
suma
unitario
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C' 6
C' 5
A' 1
A' 1
A' 1
A' 2
A' 1
A' 1
A' 3
A' 3
A' 3
A' 2
A' 1