MONO
1/3
CIRCUITS LINEAIRES EN ALTERNATIF SINUSOIDAL
I. REGIME SINUSOIDAL : REPRESENTATIONS.
1.1. Définitions.
u = u(t) = Û.sin(t+u)
u = U 2 sin(t+u).
ou pour un courant
i=i(t) = Î.sin(t+i)
i = I 2 sin(t+i).
* u ,i sont les valeurs instantanées de la tension et du courant .
* Û,Î sont les valeurs maximales ou amplitudes de u et i .
* U,I sont les valeurs efficaces de u et i .
  est la pulsation ou vitesse angulaire en rad./s
 =2..f = 2./T avec f =1/T : fréquence en Hertz (Hz)
et T période en seconde (s).
* t+i ou t+u est la phase à l'instant t exprimée en radian.
 i,u est la phase à l'origine.(t=0)
1.2. Représentation instantanée .
T ou 2 
 =u-i est le déphasage entre u et i ou
u
différence de phases..
i
t
J=t
0
* On mesure le déphasage à l'oscilloscope : règle de 3 :
 (rad) = l. / L
 () = l.180 / L.


remarque : règle des 9 carreaux (voir TP) :
9 carreaux  180 ° soit 20 ° par carreau
1.3. Représentation vectorielle de Fresnel.
u=Û.sin(t+
u)=U 2 sin(t+u).


U module U et phase t+u=u(t=0): U (U, u)
U
U

u


i=Î.sin(t+i)=I 2 sin(t+i)


I module I et phase t+i=i(t=0): I (I, i)
Réf
i

I
I

I ref i=0  =u-i= u
 

 

Somme de grandeurs sinusoïdales : u=u1+u2  U =U 1 +U 2 ou i=i1+i2  I = I 1+ I 2
1.4. Représentation complexe.
Rappels sur les complexes .
- z=[z;]=[a+jb] z module , argument, a partie réelle ,b partie imaginaire
z=[z,]=zcos+j zsin et z = a+jb = [ a 2 + b 2 ; =arctg(b/a)].
- Addition z = z1+z2 = (a1+a2)+ j (b1+b2).
- multiplication z= z1. z2 = [ z1.z2; 1+2] 1 et 2 arguments de z1 et z2.
- Division z= z1/z2= [ z1/z2; 1-2].
Utilisation en électricité : u  U=[U;u] et i  I=[I;i]
Si i est la référence alors i=0 et u=  I=[I;0] et U=[U;]
U=Ucos+jUsin = a+jb = [ a 2 + b 2 ; =arctg(b/a)].
1/6
z
X

R
II. MODELE EQUIVALENT D’UN DIPOLE LINEAIRE .
2.1. Dipôles passifs (U=0 , I=0)
MONO
2/3
2.1.1. Modèle série : Impédance : Z = U/I = R + jX = [Z ;  ]
R : partie réelle de Z → résistance en ohm
, X : partie imaginaire de Z → réactance en ohm
Z = U/I =  (R2+X2) → Impédance en ohm
et  tel que tan  = X/R
 
 = u - i =arg U- arg I = arg Z (  = ( I ,U ) déphasage de i sur u )
Les Dipôles
élémentaires
relation
instantanée
Tension
efficace
Déphasage Tension complexe

Impédance
complexe
La Résistance R
u =R.i
U=R.I
0
U=R.I
ZR=R
L’inductance L
u=Ldi/dt
U=L.I
2
U=jL.I
ZL =jL
Le condensateur C
i= Cdu/dt
U= I/C.
-2
U= -jI/C.
Zc = -j/C
Groupement série
R, L
R, C
R, L, C
Z=Zi
ZRL=R+jL
ZRC=R-j/C
ZRC=R+ j(L−/C)


Remarque : X>0 >0 le dipôle est inductif et I est en retard par rapport à U 
X<0 <0 le dipôle est capacitif et I est en avance parrapport à U
X=0 =0 le dipôle est résistif et I est en phase avec U
Résonance série: Z est minimum si L = 1/C soit LC2=1 → Imax=U/R et =0.
2.1.2. Modèle parallèle : Admittance : Y=1/Z  I = Y . U
Les Dipôles élémentaires
La Résistance R
L’inductance L
Le condensateur C
Admittance
YR= 1/R
YL = 1/jL= -j/L
Yc = 1/-j/C = jC
Groupement parallèle: Y=Yi cas de 2 dipôles Y= Y1 + Y2 ou Z=Z1.Z2/(Z1 + Z2)
Résonance parallèle: Y est minimum si C=1/L soit LC2=1, le déphasage est nul.
2.2. Dipôle actif électromoteur.
2.2.1. Modèle série ou Modèle de Thévenin
Z
U = E – Z.I
I
2/6
I = In - IZ
I
In
U
E
2.2.1. Modèle parallèle ou Modèle de Norton
Z
U
IZ= U/Z
I = In - U/Z
III. ETUDE DES CIRCUITS .
3.1. lois générales .
MONO
3/3
Loi des noeuds : ΣI rentrants =ΣI sortants .
Loi des mailles : ΣU = 0 ou ΣU sens =ΣU sens diff
Lois d’associations des dipôles: en série Z=Zi et en parallèle
Applications : Diviseur de tension: U 2 = Z 2. U1
Y=Yi
Z1
Z1+ Z 2
U1
3.2. Modèle de Thévenin d’un dipôle linéaire .
I A
Zt =ZAB Impédance vue entre A et B source éteinte
A
Et = UAB Tension à vide entre A et B .
I
Dipôles
U
Zc
linéaires
U2
Z2
Zt
U
Zc
Calcul de I : loi de la maille I =. Et
Et
Zt + Z C
B
B
U=Zc.I ou diviseur de tension U =Zc. Et
Zt + Zc
Le modèle de Thévenin permet de déterminer
immédiatement les grandeurs I et U relatives à la charge Zc
en utilisant la loi d'ohm ou le diviseur de tension .
3.3. Puissances en alternatif . Théorème de Boucherot . Facteur de puissance .
Les différentes
puissances:
active (W )
Résistance R
P=UIcos 
réactive (VAR ) apparente ( VA )
Q=UIsin .
S=UI
P=RI2=U2/R
Q=0
S=P
P=0
Q=LI
S=Q
P=0
Q=-U2C
S=-Q
Relations
Triangle des puissances
S
Q

P
Inductance L
Condensateur C
2
S= P + Q
2
2
Q= P. tan 
Théorème de Boucherot : Pour un ensemble de récepteurs : Pt= Pi . et Qt =Qi .
( On présente les résultats dans un tableau et on calcul It et cos t:.)
* tgt = Qt/Pt  cost et It=Pt/U cost ou
2
* S t=
Pt + Q
 It=St/U et cost=Pt/St .
i'
i

2
t
Pour diminuer le courant en ligne , on ajoute un
condensateur en parallèle sur le récepteur .
Q’   S’  I’=S’/U  et cos’ =P’/S’ 
(P’=P) La puissance active reste inchangée car
Pc=0.
Q’ = Q+Qc < Q car Qc = -U2C <0 .
Q’= Q+Qc  P’.tan’=P.tan - U2C
3/6
ic
u
C
Récepteur
Relèvement du facteur de puissance.
U
It
I
Ic
3.4. Exercices de base sur les circuits en alternatif sinusoïdal .
MONO
3Bis
A. Soit le montage ci-contre . L=0,5 H R=100  E=24V 50Hz
A.1. Déterminer les paramètres de Thévenin Et et Zt du dipôle vu
entre A et B
A
R
R
E
I
L
Zt =ZAB Impédance vue entre A et B source éteinte
Zt = R // R = R/2 = 50 = [ 50 ; 0 ]
Et = UAB Tension à vide entre A et B = E .R/ R+R = E / 2
Et = [ 12 ; 0 ]
B
Zt
A.2. Donner le schéma équivalent et en déduire I.
loi de la maille I =
Et
avec ZL = j L = j 157
Z t +Z L
A
V
Et
B
I = [ 12 ; 0 ] / ( 50 + j 157 ) = [ 12 ; 0 ] / [167 , 72°]
I = [ 71,810-3 ; -72 °]
B - Le réseau 220V 50Hz alimente en parallèle un moteur absorbant 2 kW avec un cos  =0.8 et un four de
résistance R=10 . Déterminer la puissance active, la puissance réactive le facteur de puissance et le courant
absorbé par l’ensemble .On présentera les résultats dans le tableau.
cos 
Récepteurs
tan 
P(W)
Q(Var)
Moteur
0,8
0,75
PM = 2000 W
QM = P tan =1500
Résistance
1
0
PR = U2/R= 4840 W
QR = 0
It= Pt/Ucos = 31,8A 0,977
tan =Qt/Pt=0,219 Pt= PM+PR=6840 W
Qt= QM+QR=1500
C - Un moteur absorbe une puissance de 2 kW avec un facteur de puissance de 0,7.Calculer le condensateur
pour relever le cos  de l’ensemble à 0.95 .On présentera les résultats dans le tableau ci-dessous.
Comparer le courant absorbé par le moteur et celui absorbé par l’ensemble.
Récepteurs
Moteur IM= 13 A
cos 
0,7
tg 
P(W)
Q(var)
 1,02
PM = 2000 W
QM = P tan =2040
Pc = 0
Qc = Qt-QM = 1383 =-U2C
Pt= PM+Pc=2000W
Qt = Pt tan =657 Var
Cond : C= 91 µF
Ensemble IM= 9,57A
4/6
0,95
 0,329
I
L
1/2
MESURES EN ALTERNATIF SINUSOIDAL
u
I . IMPEDANCE , DEPHASAGE .
1.1. Définitions .
t
U
J=t
0

i

l
I
Impédance : Z = U/I = R + jX = [Z ; ]
R +X
2
Z = U/I =
Déphasage  :.. = u - i =arg U- arg I = arg Z

L
2
 
(  = ( I ,U ) déphasage de i sur u
)
et  tel que tan  = X/R...
On mesure  avec l’oscilloscope (règle de 3)  (rad) = l. / L  () = l.180 / L.
remarque : règle des 9 carreaux (voir TP) : 9 carreaux  180 ° soit 20 ° par carreau
1.2. Schéma du montage .
24V
V
50Hz
L
r
R
Pince
ampèremétrique
Y1,Y2
Sonde
différentielle
- SD +
A
R=25  , L=0,1H r=12.5  (résistance de la bobine)
- A Ampèremètre alternatif (courant efficace) calibre >1 A..
- V Voltmètre alternatif (Tension efficace) calibre >24 V.
- On observe la tension u en voie I avec une sonde
différentielle (*20 ) , le courant en voie II avec une pince
ampèremètrique et l’oscilloscope : Compléter le schéma .
Y1,Y2
1.3. Manipulation .
Umax
=34 V
* Calculer Z =
Imax
= 0,7A
tan  =
( R + r ) 2 + ( L ) 2 =48,9 .
L
= 0,837  .= 40°.
(R + r )
* Mesurer U =.24 V
I= ..0,5A .
U
et en déduire Z=
.= 48 .
I
* Observer et relever u(t) et i(t) ci-contre et en déduire  .
. .= 1,1 *360/10 = 40°..
*Mesurer UR=.12,5V et UL= 17V
*Tracer le diagramme vectoriel des tensions.
5/6
II. PUISSANCES EN ALTERNATIF SINUSOIDAL .
2/2
2.1. Définitions .
Facteur de puissance : fp= P/S
Puissance apparente : S=.UI ( VA )
Relations : S=
Puissance active
: P=UIcos  (W )
Puissance réactive
: Q=UIsin .(VAR )
P2 + Q2
Q= P. tan 
2.2. Montage et principe de mesure .
i
i
*

W
*
W
*
u
u
* W
*
24V
~
50Hz
- Le wattmètre mesure la puissance moyenne ou active.
- Le circuit intensité est placé en série ou est constitué d’une
pince ampèremètrique à effet Hall.
- Le circuit tension est en parallèle.
- Les astérisques représentent les entrées des enroulements des
circuits : P>0 si u et i sont de mêmes sens par rapport aux
astérisques.
A
L
r
V
W'
On mesure P avec le wattmètre , S=UI avec le voltmètre et
l’ampèremètre et on déduit Q=
R
S −P
2
2
2.3. Manipulation : Réaliser le montage et compléter le tableau
U(V)
I(A)
P(W)
S(VA)
Q(var)
cos
(°)
Mesures: R=25 
X
L=0,1H, r=12.5
Calculs
Z=48
I=U/Z
=0,49 A
P=UIcos
P =9 W .
S=UI
Q=Ptan
S= 11,7
VA
7,76
0,766
=AtanL/Rt
P=(R+r)I2
 = 40°
9W
Mesures: R=25 
X
L=0,2H, r=12,5 
Calcul
6/6
autres
Z=73
I=U/Z
P=UIcos
=0,328 A P =4 W .
S=UI
Q=Ptan
S=
7,8VA
3,5
0,5
=AtanL/Rt
P=(R+r)I2
 = 60°
4W