UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE ECONOMÍA
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS II
VALORES CARACTERÍSTICOS, VECTORES CARACTERÍSTICOS
Definición: Valor característico y vector característico
Sea 𝐴 una matriz de 𝑛 × 𝑛 con componentes reales. El número 𝜆 real o complejo se denomina
valor propio de 𝐴 si existe un vector diferente de cero 𝑣 en 𝐶 𝑛 tal que
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣
El vector 𝑣 ≠ 0 se denomina vector propio de 𝐴 correspondiente al valor característico 𝜆.
Teorema: Sea 𝐴 una matriz de 𝑛 × 𝑛. Entonces 𝜆 es un valor característico de 𝐴 si y solo si
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼 ) = 0
La ecuación 𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼 ) = 0 se denomina ecuación característica.
𝑝(𝜆) se denomina el polinomio característico de 𝐴.
Contando multiplicidades, toda matriz de 𝑛 × 𝑛 tiene exactamente 𝑛 valores propios.
Teorema: Sea 𝜆 un valor característico de la matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 y sea 𝐸𝜆 = {𝑣: 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 }.
Entonces 𝐸𝜆 es un subespacio de 𝐶 𝑛 .
Definición: El subespacio 𝐸𝜆 se denomina espacio propio o característico de 𝐴 .
Teorema: Sea 𝐴 una matriz de 𝑛 × 𝑛 y sea 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑚 valores propios de 𝐴, con vectores
característicos correspondientes 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑚 . Entonces 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑚 son linealmente
independientes.
Teorema: Los valores propios de una matriz triangular son las componentes diagonales de
la matriz.
Definición: Multiplicidad geométrica
Sea 𝜆 un valor propio de la matriz 𝐴, entonces la multiplicidad geométrica de 𝜆 es la
dimensión del espacio característico correspondiente a 𝜆.
Multiplicidad geométrica de 𝜆 = 𝑑𝑖𝑚𝐸𝜆
Teorema: Sea 𝜆 un valor propio de 𝐴. Entonces
Multiplicidad geométrica de 𝜆 ≤ multiplicidad algebraica de 𝜆
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Luis Leoncio Barboza Carape
Teorema: Sea 𝐴 una matriz de 𝑛 × 𝑛 , entonces 𝐴 tiene 𝑛 vectores propios linealmente
independientes si y solo si la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su
multiplicidad algebraica. En particular, 𝐴
tiene 𝑛 vectores propios linealmente
independientes si todos los valores propios son distintos.
MATRICES SEMEJANTES
Definición: Matrices semejantes
Se dice que dos matrices 𝐴 y 𝐵 de 𝑛 × 𝑛 son semejantes si existe una matriz invertible 𝑃 de
𝑛 × 𝑛 tal que
𝐵 = 𝑃−1 𝐴𝑃
Teorema: Si 𝐴 y 𝐵 son matrices de 𝑛 × 𝑛 , entonces 𝐴 y 𝐵 tienen el mismo polinomio
característico y por consiguiente, tienen los mismos valores propios.
Definición: Matriz diagonalizable
Una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 es diagonalizable si existe una matriz diagonal 𝐷 tal que 𝐴 es
semejante a 𝐷.
Es decir
𝐴 es diagonalizable si existe una matriz diagonal 𝐷 tal que existe una matriz invertible 𝑃 de
𝑛 × 𝑛 tal que
𝐷 = 𝑃−1 𝐴𝑃
Teorema: Una matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 es diagonalizable si y solo tiene 𝑛 vectores propios
linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal 𝐷 semejante a 𝐴 está dada por
𝜆1 0 0 … 0
0 𝜆2 0 … 0
𝐷 = 0 0 𝜆3 … 0
⋮
[ 0 0 0 … 𝜆𝑛 ]
donde 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 son los valores propios de 𝐴. Si 𝑃 es una matriz cuyas columnas son
vectores propios linealmente independientes de 𝐴, entonces
𝐷 = 𝑃−1 𝐴𝑃
Corolario: Si la matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 tiene 𝑛 valores propios diferentes, entonces 𝐴 es
diagonalizable.
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Luis Leoncio Barboza Carape
FORMA CANÓNICA DE JORDAN
Un 𝜆 −bloque de Jordan o matriz elemental de Jordan de orden 𝑘 y valor propio 𝜆 ∈ ℂ es
una matriz triangular 𝑘 × 𝑘 de la forma
𝜆 1 0… 0
0 𝜆 1… 0
0 0 𝜆 … 0
⋮
1
[0 0 0… 𝜆]
o sea con el valor propio en las posiciones de la diagonal principal, 1en la primera paralela
superior a la diagonal principal y ceros en todas las demás posiciones.
Teorema: Teorema de Jordan
Sea la matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 con 𝑠 valores propios linealmente independientes. Existe una matriz
no singular 𝑃 tal que 𝑃−1 𝐴𝑃 = 𝐵 es una matriz diagonal por bloques
𝐵1 0 0 … 0
0 𝐵2 0 … 0
𝐵 = 0 0 𝐵3 … 0
⋮
[ 0 0 0 … 𝐵𝑠 ]
Cada 𝐵𝑗 es una matriz elemental de Jordan correspondiente a un valor propio 𝜆𝑘 de la matriz
𝐴. Un valor propio 𝜆𝑘 puede aparecer en varios bloques si corresponde a varios vectores
linealmente independientes y cada valor propio aparece sobre la diagonal principal tantas
veces como indique su multiplicidad algebraica.
Forma canónica real de cada matriz real 𝑨
Teorema: Sea 𝐴 una matriz real 𝑛 × 𝑛. Existe una matriz real no singular 𝑃 tal que
𝑃−1 𝐴𝑃 = 𝐵 es una matriz diagonal por bloques
𝐵1 0 0 … 0
0 𝐵2 0 … 0
𝐵 = 0 0 𝐵3 … 0
⋮
[ 0 0 0 … 𝐵𝑠 ]
cada bloque elemental 𝐵𝑗 , 𝑗 = 1 , … , 𝑠 , es una matriz bien de la forma
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Luis Leoncio Barboza Carape
𝜆 1 0… 0
0 𝜆 1… 0
0 0 𝜆… 0
o [𝜆]
⋮
1
[0 0 0… 𝜆]
con 𝜆 valor propio real de 𝐴 , o bien de la forma
[
𝐷 𝐼2 𝑂2 … 𝑂2
𝑂2 𝐷 𝐼2 … 𝑂2
⋮
𝑂2 …
𝐷 𝐼2
𝑂2 …
𝑂2 𝐷
o 𝐷
]
siendo
𝐷=[
𝑎
−𝑏
𝑏
1 0
0
] , 𝐼2 = [
] , 𝑂2 = [
0 1
0
𝑎
0
]
0
con 𝑎 + 𝑖𝑏 , 𝑏 > 0 , valor propio complejo de 𝐴. Cada valor propio real aparece sobre la
diagonal principal tantas veces como indique su multiplicidad algebraica y cada bloque 𝐷
tantas como indique la multiplicidad del valor propio 𝑎 + 𝑖𝑏 , 𝑏 > 0
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Luis Leoncio Barboza Carape
LA EXPONENCIAL DE UNA MATRIZ

La exponencial 𝑒 𝑥 con 𝑥 ∈ ℝ se define como la serie convergente
∞
𝒙
𝑒 =∑
𝑛=0

Si 𝐴 es una matriz de 𝑛 × 𝑛 , con componentes reales la exponencial 𝑒 𝐴 se define
∞
𝑨
𝑒 =∑
𝑛=0

𝑥𝑛
1
1
1
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑘 + ⋯
𝑛!
2!
3!
𝑘!
𝐴𝑛
1
1
1
= 𝐼 + 𝐴 + 𝐴2 + 𝐴 3 + ⋯ + 𝐴 𝑘 + ⋯
𝑛!
2!
3!
𝑘!
La exponencial 𝑒 𝑡𝐴 , donde 𝑡 ∈ ℝ se define como la serie
∞
𝑒 𝑡𝐴 = ∑
𝑛=0
(𝑡𝐴)𝑛
1
1
1
= 𝐼 + 𝑡𝐴 + (𝑡𝐴)2 + (𝑡𝐴)3 + ⋯ + (𝑡𝐴)𝑘 + ⋯
𝑛!
2!
3!
𝑘!
Propiedades de la exponencial 𝑒 𝑡𝐴
−1 (𝑡𝐴)𝑃
1.
𝑒𝑃
= 𝑃 −1 𝑒 𝑡𝐴 𝑃
2.
Si 𝑁 es nilpotente de índice 𝑚 , 𝑚 > 1 , entonces
𝑒 𝑡𝑁 = 𝐼 + 𝑡𝑁 +
3.
1
1
1
(𝑡𝑁)2 + (𝑡𝑁)3 + ⋯ +
(𝑡𝑁)𝑚−1
2!
3!
(𝑚 − 1)!
Si 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴, entonces 𝑒 𝑡(𝐴+𝐵) = 𝑒 𝑡𝐴 𝑒 𝑡𝐵
Ejemplos:
1.
𝜆
Si 𝐵 = [ 1
0
𝜆1 𝑡
0
] entonces 𝑒 𝑡𝐵 = [𝑒
𝜆2
0
2.
Si 𝐵 = [
𝜆𝑡
𝜆 1
] entonces 𝑒 𝑡𝐵 = [𝑒
0 𝜆
0
3.
Si 𝐵 = [
𝑎
−𝑏
0 ]
𝑒 𝜆2 𝑡
𝑡𝑒 𝜆𝑡 ] = 𝑒 𝜆𝑡 [1 𝑡 ]
0 1
𝑒 𝜆𝑡
𝑎𝑡
𝑏
] entonces 𝑒 𝑡𝐵 = [ 𝑒 𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡
𝑎
−𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡
𝑒 𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡] = 𝑒 𝑎𝑡 [ 𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡
−𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡
𝑒 𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡
]
𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡
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Luis Leoncio Barboza Carape