Econometria II
Exercício 1.a
2
^
log (sal ) = ˆ0 + ˆ1 exp er + ˆ2 exp er 2 + ˆ3educ + ˆ4 negr + ˆ5cas +
+ ˆ negr  cas + ˆ sul + ˆ log (QI )
6
7
8
ˆ0 = E (log saˆl | exp er = 0, educ = 0, negr = 0, cas = 0, sul = 0, log QI = 0)
= 3.612
ou saˆl = exp(3.612) = 37.04
O salário horário médio estimado de um indivíduo com 0 anos de
experiência, sem escolaridade, não negro, não casado, que não exerce a
sua profissão no sul e com um QI=1 é de 37.04 cêntimos – faz sentido?
Exercício 1.a (cont)
3
 log sal ˆ
= 1 + 2ˆ2 exp er = 0.084 − 2  0.0002 exp er = 0.084 − 0.0004 exp er
 exp er
 log sal ˆ
se exp er = 0 
= 1 = 0.084
 exp er
ˆ + 2ˆ exp er = 0.084 − 0.0004 exp er = 0  exp er = 210
1
2
Estima-se que, em média, um ano adicional de experiência se traduza num
aumento de salário horário em cerca de 8.4%, quando os indivíduos partem
de uma situação sem qualquer experiência, todo o resto constante.
Aumentos na experiência têm um impacto positivo sobre o salário para
indivíduos com experiência até 210 anos, a partir daí, o impacto da
experiência sobre o salário horário passa a ser negativo
Exercício 1.a (cont)
4
saˆl
 log saˆl
ˆ3 =
= sal = 0.070
educ
educ
Estima-se que, em média, um ano adicional de educação origine um
aumento do salário horário de cerca de 7%, todo o resto constante.
A variação exacta no salário será de 7.25%.
exp ˆ3 − 1 = exp (0.070 ) − 1 = 0.0725
( )
Exercício 1.a (cont)
5
E (log sal | negr = 0, cas = 0, X ) =  0 + ...
E (log sal | negr = 1, cas = 0, X ) =  0 +  4 + ...
E (log sal | negr = 0, cas = 1, X ) =  0 +  5 + ...
E (log sal | negr = 1, cas = 1, X ) =  0 +  4 +  5 +  6 + ...
 4 = E (log sal | negr = 1, cas = 0, X ) − E (log sal | negr = 0, cas = 0, X )
ˆ4 = −0.120
Estima-se que a diferença de salário horário médio entre economistas
negros e não negros, que não sejam casados, seja de cerca de 12%, a
favor dos não negros, todo o resto igual
Exercício 1.a (cont)
6
 5 = E (log sal | negr = 0, cas = 1, X ) − E (log sal | negr = 0, cas = 0, X )
ˆ5 = −0.029
Estima-se que a diferença de salário horário médio entre economistas
casados e não casados, que não sejam negros, seja de cerca de 2.9%, a
favor dos não casados, todo o resto igual
 5 +  6 = E (log sal | negr = 1, cas = 1, X ) − E (log sal | negr = 1, cas = 0, X )
ˆ5 + ˆ6 = −0.029 + 0.012 = −0.017
Estima-se que a diferença de salário horário médio entre economistas
negros casados e economistas negros não casados seja de cerca de
1.7%, a favor dos negros não casados, todo o resto igual
Exercício 1.a (cont)
7
 4 +  6 = E (log sal | negr = 1, cas = 1, X ) − E (log sal | negr = 0, cas = 1, X )
ˆ4 + ˆ6 = −0.120 + 0.012 = −0.108
Estima-se que a diferença de salário horário médio entre economistas
negros casados e economistas não negros casados seja de cerca de
10.8%, a favor dos não negros casados, todo o resto igual
 4 +  5 +  6 = E (log sal | negr = 1, cas = 1, X ) − E (log sal | negr = 0, cas = 0, X )
ˆ4 + ˆ5 + ˆ6 = −0.120 − 0.029 + 0.012 = −0.137
Estima-se que a diferença de salário horário médio entre economistas
negros casados e economistas não negros não casados seja de cerca de
13.7%, a favor dos não negros não casados, todo o resto igual
Exercício 1.a (cont)
8
E (log sal | sul = 1, X ) =  0 +  7 + ...
E (log sal | sul = 0, X ) =  0 + ...
 7 = E (log sal | sul = 1, X ) − E (log sal | sul = 0, X ) = 1 + ...
ˆ7 = −0.103
Estima-se que a diferença de salário horário médio entre economistas
que exercem a sua profissão no sul e aqueles que a exercem noutra
região seja de cerca de 10.3%, a favor dos que não trabalham no sul,
todo o resto igual
Exercício 1.a (cont)
9
saˆl
 log saˆl
ˆ8 =
= sal = 0.293
 log QI QI
QI
Estima-se que, em média, um aumento de 1% no QI do economista terá um
impacto de cerca de 0.293% no salário horário, todo o resto constante
Exercício 1.b
10
R12 = 0.217  R22 = 0.205
O modelo (1) explica cerca de 21.7% da variação total do logsal em torno
da sua média.
O modelo (2) explica cerca de 20.5% da variação total do logsal em torno
da sua média.
A capacidade explicativa do modelo (1) é maior que a do modelo (2)
R12 = 1 −
(
)
n −1
2060 − 1
(1 − 0.217) = 0.214 
1 − R2 = 1 −
n − (k + 1)
2060 − 9
2060 − 1
(1 − 0.205) = 0.202
 R22 = 1 −
2060 − 8
Também com o coeficiente de determinação ajustado a capacidade
explicativa do modelo (1) é maior que a do modelo (2)
Exercício 1.b (cont)
11
Teste da melhoria da qualidade do ajustamento
Ho : sul = 0
H1 : sul  0
ˆ − 0 − 0.103 − 0
t = sul
=
= −5.72
ˆ
se(sul )
0.018
 = 5% : t(n−(k +1)) = t(2060−9 ) = 1.96
Rejeitar Ho – a inclusão da variável sul melhora a qualidade do ajustamento
Exercício 1.c
12
Teste da significância global
H o : 1 =  2 = 3 =  4 = 5 =  6 =  7 = 8 = 0
H1 : H 0 não é verdadeira
0.217
R2
8
r
F=
=
= 71.05
1 − 0.217
1 − R2
n − (k + 1) 2060 − 9
 = 5% : F(r ,n−(k +1)) = F(8,2051) = 1.94
Rejeitar Ho – o modelo é globalmente significativo
Exercício 1.d
13
Teste sobre um parâmetro individual ( = ao que foi feito em 1.b)
Ho : sul = 0
H1 : sul  0
ˆ − 0 − 0.103 − 0
t = sul
=
= −5.72
ˆ
se(sul )
0.018
 = 5% : t(n−(k +1)) = t(2060−9 ) = 1.96
Rejeitar Ho – o analista político não tem razão. Para um nível de significância de
5%, o exercício da profissão no sul tem uma penalização
Exercício 1.e
14
Para um indivíduo recém-chegado ao mercado de trabalho, o impacto de
uma ano adicional de experiência é dado por:
 log sal
= 1 + 2 2 exp er == 1 + 2 2  0 = 1
 exp er exp er =0
Para um indivíduo recém-chegado ao mercado de trabalho, o impacto de
uma ano adicional de educação é dado por:
 log sal
= 3
educ
Exercício 1.e (cont)
15
Teste sobre uma combinação linear de parâmetros
H o : 1 = 3  1 − 3 = 0
H1 : 1  3
ˆ1 − ˆ3 − 0 0.085 − 0.070
t=
=
se ˆ1 − ˆ3
var ˆ1 − ˆ3
(
)
(
)
Onde:
var ˆ1 − ˆ3 = var ˆ1 + var ˆ3 − 2 cov ˆ1 , ˆ3 = 0.010 2 + 0.005 2 − 2 cov ˆ1 , ˆ3
(
)
( )
( )
(
 = 5% : t(n−(k +1)) = t(2060−8) = 1.96
)
(
)
Exercício 5.a
16
n = 10
Justificação:
1
1
...
1   1 RD1 Riq1 
 1
X ' =  RD1 RD2 RD3 ... RDn   1 RD2 Riq2 


Riq1 Riq2 Riq3 ... Riqn   1 RD3 Riq3  = X


... 
... ...
 1 RDn Riqn 
n

n
RDi


1 + 1 + ... + 1 RD1 + ... + RDn
 
i =1
Riq1 + ... + Riq2
n



2
2
2
X' X = 
RD1 + ... + RDn RD1Riq1 + ... + RDnRiqn  =
 RDi

i =1

 
2
2
Riq1 + ... + Riqn

 




n

 RDi Riqi

i =1

n
2 
 Riqi

i =1
n
 Riqi
i =1
Exercício 5.b
17
Rendimento per capita:
n
 RDi
41.30
i =1
=
= 4.130
n
Riqueza da família per capita:
10
n
 Riqi
414 .30
i =1
=
= 41.430
n
10
Exercício 5.c
18
Modelo: Ci = 1 + 2RDi + 3Riqi + ui
1.
Hipóteses:
H0 :  3 = 0
H1 : 3  0
2.
Valor observado da estatística do teste:
ˆ3
ˆ3
0.439
tobs =
=
=
= 1.326
ˆ
se(ˆ3 )
0
.
11
var (3 )
()
Var βˆ = ˆ 2 ( X ' X )−1
1.46 1.53 − 0.19 
= 0.4106 2 
66.08 − 6.62 


0.66 

0.25 0.26 − 003 
=
11 .14 − 1.12 


0.11 

Exercício 5.c (cont)
19
3.
Valor crítico:
t(c10−3 ) = 2.365
 =5%
4.
Decisão:
tc  tobs , não rejeitar H0
Exercício 5.d
20
(
R 2 = 1 − 1 − R2
)n −n(−k 1+ 1) = 1 − (1 − 0.876 )1010 −− 13 = 0.841
Exercício 5.e
21
10

n
 RDi

i =1

10
2
Matriz inicial: X ' X = 
 RDi
i =1



10

 Riqi 
i =1
414 .30 
 10 41.30
10
 
183 .57 1840 .60 
 RDi Riqi =
 

i =1
 
18456 .69 
10
2 
 Riqi

i =1
11

n
 RDi

i =1

11
2
X' X = 
 RDi

i =1



11

 Riqi 
i =1
451 .8 
 11 44.80
11
 
195 .82 1971 .85 
 RDi Riqi =
 

i =1
 
19862 .94 
11
2 
 Riqi

i =1
Matriz nova:
Exercício 5.e (cont)
22
Da matriz inicial retirase que:
Da matriz nova retirase que:
Para a 11ª observação temos que:
10
 RDi = 41 .30
i =1
11
 RDi = 44 .80
i =1
RD11 = 44.80 − 41.30 = 3.5
10
 Riqi = 414 .30
i =1
11
 Riqi = 451 .80
i =1
Riq11 = 451.80 − 414.30 = 37.5
Exercício 7.a
23
Resposta:
2
2
RA
 RC
2
2
RB
= RD
Nota: Só podemos comparar o coeficiente de determinação de regressões
estimadas com a mesma amostra e com a mesma variável dependente
Exercício 7.b
24
Variável: X1
Modelo: B
dy
 relativa y
d ln y
y
2 =
=
=
= 0.125
 absoluta x dx
dx
Resposta: a afirmação correcta seria “por cada ha adicional de área agrícola
utilizada na cultura do tomate, a respectiva produção crescerá em média,
aproximadamente, 12.5%, todo o resto constante.”
Exercício 7 nota
25
Modelo A
17.308 = quando não se usa mão-de-obra e a superfície usada na cultura do
tomate é nula, a produção média de tomate é de 17.308 toneladas. – não faz
sentido
19.899 = estima-se que, em média, a produção de tomate aumente em 19.899
toneladas por cada ha adicional de superfície agrícola utilizada, mantendo-se
todo o resto constante
0.124 = estima-se que, em média, a produção de tomate aumente 0.124
toneladas por cada trabalhador adicional, mantendo-se todo o resto constante
Exercício 7 nota
26
Modelo B
4.137 = quando não se usa mão-de-obra e a superfície usada na cultura do
tomate é nula, em média, o logaritmos da produção de tomate é de 4.137.
Exp(4.137) = 62.6147 – valor exacto da produção média de tomate
0.125 = estima-se que, em média, a produção de tomate aumente,
aproximadamente, em 12.5% por cada ha adicional de superfície agrícola
utilizada, mantendo-se todo o resto constante
Exp(0.125) – 1 = 0.133148 [13.3%] – variação exacta
0.0008 = estima-se que, em média, a produção de tomate aumente 0.08% por
cada trabalhador adicional usado na sua cultura, todo o resto constante
Exp(0.0008) – 1 = 0.0008 [0.8%] – variação exacta
Exercício 7 nota
27
Modelo C
-336.158 = valor estimado da produção média de tomate quando lnx1=0 (i.e.
x1=1) e a lnx2=0 (i.e. x2=1)
80.203 = estima-se que, em média, a produção de tomate aumente
80.203/100=0.80203 face a um aumento de 1% na superfície agrícola utilizada,
mantendo-se todo o resto constante
63.187 = estima-se que quando a mão-de-obra utilizada na cultura de tomate
aumenta 1%, a produção de tomate aumenta, em média, 63.187/100=0.63187
toneladas (i.e. 631.87kg), mantendo-se todo o resto constante
Exercício 7 nota
28
Modelo D
2.092 = valor estimado da média do logaritmo da produção de tomate quando
lnx1=0 (i.e. x1=1) e a lnx2=0 (i.e. x2=1)
Exp(2.092) = 8.101101
0.535 = estima-se que, em média, a produção de tomate aumente 0.535%
quando a superfície agrícola utilizada aumenta 1%, mantendo-se todo o resto
constante
0.361 = estima-se que um acréscimo de 1% na mão-de-obra utilizada se traduza
num aumento da produção média de tomada de 0.361%, mantendo-se todo o
resto constante
Ficha de exercícios – Exercício 7 nota
29
(A ) Yˆ = 17.308 + 19.899 X1 + 0.124 X 2
(1.048 ) (3.693 ) (2.409 )
R 2 = 0.921
17.308 = quando não se usa mão-de-obra e a superfície usada na cultura do
tomate é nula, a produção média de tomate é de 17.308 toneladas. – não faz
sentido
19.899 = estima-se que, em média, a produção de tomate aumente em 19.899
toneladas por cada ha adicional de superfície agrícola utilizada, mantendo-se
todo o resto constante
0.124 = estima-se que, em média, a produção de tomate aumente 0.124
toneladas por cada trabalhador adicional, mantendo-se todo o resto constante
Ficha de exercícios – Exercício 7 nota
30
(B) ln̂ Y = 4.137 + 0.125 X1 + 0.0008 X2
(35.135 ) (3.246 ) (2.098 )
R 2 = 0.899
4.137 = quando não se usa mão-de-obra e a superfície usada na cultura do
tomate é nula, em média, o logaritmos da produção de tomate é de 4.137.
Exp(4.137) = 62.6147 – valor exacto da produção média de tomate
0.125 = estima-se que, em média, a produção de tomate aumente,
aproximadamente, em 12.5% por cada ha adicional de superfície agrícola
utilizada, mantendo-se todo o resto constante
Exp(0.125) – 1 = 0.133148 [13.3%] – variação exacta
0.0008 = estima-se que, em média, a produção de tomate aumente 0.08% por
cada trabalhador adicional usado na sua cultura, todo o resto constante
Exp(0.0008) – 1 = 0.0008 [0.8%] – variação exacta
Ficha de exercícios – Exercício 7 nota
31
(C) Ŷ = −336 .158 + 80.203 ln X1 + 63.187 ln X2
(− 2.455 ) (3.693 )
(2.542 )
R 2 = 0.929
-336.158 = valor estimado da produção média de tomate quando lnx1=0 (i.e.
x1=1) e a lnx2=0 (i.e. x2=1)
80.203 = estima-se que, em média, a produção de tomate aumente
80.203/100=0.80203 face a um aumento de 1% na superfície agrícola utilizada,
mantendo-se todo o resto constante
63.187 = estima-se que quando a mão-de-obra utilizada na cultura de tomate
aumenta 1%, a produção de tomate aumenta, em média, 63.187/100=0.63187
toneladas (i.e. 631.87kg), mantendo-se todo o resto constante
Ficha de exercícios – Exercício 7 nota
32
(D) ln̂ Y = 2.092 + 0.535 ln X1 + 0.361ln X 2
(2.482 ) (4.694 ) (2.362 )
R 2 = 0.899
2.092 = valor estimado da média do logaritmo da produção de tomate quando
lnx1=0 (i.e. x1=1) e a lnx2=0 (i.e. x2=1)
Exp(2.092) = 8.101101
0.535 = estima-se que, em média, a produção de tomate aumente 0.535%
quando a superfície agrícola utilizada aumenta 1%, mantendo-se todo o resto
constante
0.361 = estima-se que um acréscimo de 1% na mão-de-obra utilizada se traduza
num aumento da produção média de tomada de 0.361%, mantendo-se todo o
resto constante
Ficha de exercícios – Exercício 8 notas
33
Nota: considerar que ˆ 2 = 0.168
Alínea (b):
Teste de significância individual
H0 : sexo = 0
H1 : sexo  0
Alínea (c):
Teste de hipóteses
H0 : sexo = 0
H1 : sexo  0
O valor observado da ET é igual
Só diferem nos valores críticos:
(b) teste bilateral
(c) teste unilateral à esquerda
Ficha de exercícios – Exercício 8 notas
34
Alínea (d):
Significado da matriz X’Y
1
1

1

...
 1
S1
S2
S3
...
Sn
X1 
X2 

X3  = X

... 
X n 
1
1
X ' =  S1 S2

 X1 X 2
1   y1 
S3 ... Sn   y 
  2
=Y
X 3 ... X n 
 ... 
1
...
 
y n 
 n

y

i 

i
=
1
y1 + y 2 + ... + y n


 
n
X ' y = S1y1 + S2 y 2 + ... + Sny n  =   Si y i 


 i =1

 x1y1 + x2 y 2 + ... + xn y n   n
  xi y i 
 i =1

Ficha de exercícios – Exercício 8 notas
35
Salário médio amostral das mulheres
n
 Si y i = 158 .55  salários totais das mulheres
i =1
n
 Si y i
i =1
nmulheres
=
158 .55
= 1.029  salário médio das mulheres
154
Ficha de exercícios – Exercício 9
36
Modelo:
sat = 1 + 2hsize + 3hsize 2 +  4female + 5black + 6female  black + u
E (sat | female = 1, black = 1, X ) = 1 +  4 + 5 +  6 + ...
E (sat | female = 1, black = 0, X ) = 1 +  4 + ...
E (sat | female = 0, black = 1, X ) = 1 + 5 + ...
E (sat | female = 0, black = 0, X ) = 1 + ...
Ficha de exercícios – Exercício 9(a)
37
Teste de significân cia individual :
H0 :  3 = 0
H1 : 3  0
Dimensão óptima :
sat
= 19.30 + 2  (− 2.19 )hsize = 0  hsize = 4.41alunos
hsize
Ficha de exercícios – Exercício 9(b)
38
E (sat | female = 1, black = 0, X ) − E (sat | female = 0, black = 0, X ) =  4
ˆ4 = −45 .09
Teste de significân cia individual :
H0 :  4 = 0
H1 :  4  0
Ficha de exercícios – Exercício 9(c)
39
E (sat | female = 0, black = 0, X ) − E (sat | female = 0, black = 1, X ) = − 5
ˆ5 = 169 .81
Teste de significân cia individual :
H0 :  5 = 0
H1 : 5  0
Ficha de exercícios – Exercício 9(d)
40
E (sat | female = 1, black = 0, X ) − E (sat | female = 0, black = 1, X ) =  4 − 5
ˆ4 − ˆ5 = −45 .09 − (− 169 .81) = 124 .72
Ficha de exercícios – Exercício 9(e)
41
E (sat | female = 1, black = 1, X ) − E (sat | female = 0, black = 0, X ) =  4 + 5 +  6
ˆ4 + ˆ5 + ˆ6 = −45 .09 + (− 169 .81) + 62 .9 = −152 .59
Ficha de exercícios – Exercício 9(f)
42
E (sat | female = 1, black = 0, X ) − E (sat | female = 1, black = 1, X ) = − 5 −  6
− ˆ5 − ˆ6 = −(− 169 .81) − 62 .9 = 107 .5
Para podermos fazer um teste de significância individual:
1) Criar 3 dummies para representar as 4 categorias possíveis.
Categoria base: mulher não negra
Dummies:
mulhernegra = 1 se mulher negra, 0 caso contrário
homemnegro = 1 se homem negro, 0 caso contrário
homemnaonegro = 1 se homem não negro, 0 caso contrário
Ficha de exercícios – Exercício 9(f) (cont)
43
2) Re-especificar o modelo com estas dummies:
sat = 1 +  2hsize + 3hsize 2 +
+  4mulhernegr a + 5 hom emnegro +  6 hom emnaonegro + u
3) Teste de significância individual:
H0 :  4 = 0
H1 :  4  0
Exercício 10.a
44
^
log(peso ) = ˆ1 + ˆ2educm + ˆ3educm 2 + ˆ4 log(rendf ) + ˆ5cigs + ˆ6masc +
+ ˆ7branc + ˆ8masc  branc + u
ˆ1 = E (log pesˆo | educm = 0,log( rendf ) = 0, cigs = 0, masc = 0, branc = 0)
= 7.546
ou pesˆo = exp (7.546 ) = 1893 gr
A estimativa do logaritmo do peso de um recém-nascido do sexo feminino,
não branco, cuja mãe tem 0 anos de escolaridade, não fuma, que vive numa
família com rendimento de €1000/ano é de 7.546
A estimativa do peso de um recém-nascido do sexo feminino, não branco,
cuja mãe tem 0 anos de escolaridade, não fuma, que vive numa família com
rendimento de €1000/ano é de 1893gr
Exercício 10.a (cont)
45
 log peso
= ˆ2 + 2ˆ3educm = 0.020 − 2  0.001educm = 0.020 − 0.002educm
educm
 log peso
se educm = 0 
= ˆ2 = 0.020
educm
ˆ2 + 2ˆ3educm = 0.020 − 0.002educm = 0  educm = 10
Estima-se que, em média, um ano adicional de escolaridade da mãe se
traduza num aumento de peso do recém-nascido em cerca de 2%, quando
as mães não têm qualquer escolaridade, todo o resto constante.
Aumentos na educação da mãe têm um impacto positivo sobre o peso para
mães com escolaridade até 10 anos; a partir daí, o impacto da
escolaridade da mãe sobre o peso do recém-nascido passa a ser negativo.
Exercício 10.a (cont)
46
peso
 log peso
peso
4 =
=
 ˆ4 = 0.013
 log(rendf ) rendf
rendf
Estima-se que, em média, um aumento de 1% no rendimento da família terá
um impacto de cerca de 0.013% no peso do recém-nascido, todo o resto
constante.
Ou, estima-se que a elasticidade do peso do bebé relativamente ao
rendimento da família é de 0.013, todo o resto constante.
Exercício 10.a (cont)
47
peso
 log peso
peso
5 =
=
 ˆ5 = −0.005
cigs
cigs
Estima-se que, em média, um cigarro adicional por dia fumado pela mãe
origine uma redução do peso do recém-nascido de cerca de 0.5%, todo o
resto constante.
A variação exacta no salário será de -0.5%.
exp (ˆ5 ) − 1 = exp (− 0.005 ) − 1 = 0.995 − 1 = −0.005
Exercício 10.a (cont)
48
E (log peso | masc = 0, branc = 0, X ) = 1 + ...
E (log peso | masc = 1, branc = 0, X ) = 1 +  6 + ...
E (log peso | masc = 0, branc = 1, X ) = 1 + 7 + ...
E (log peso | masc = 1, branc = 1, X ) = 1 +  6 + 7 + 8 + ...
 6 = E (log peso | masc = 1, branc = 0, X ) − E (log peso | masc = 0, branc = 0, X )
ˆ6 = 0.067
Estima-se que os rapazes não brancos recém-nascidos pesem, em média,
cerca de mais 6.7% que as raparigas recém-nascidas não brancas, todo
o resto igual
Exercício 10.a (cont)
49
7 = E (log peso | masc = 0, branc = 1, X ) − E (log peso | masc = 0, branc = 0, X )
ˆ7 = 0.067
Estima-se que as recém-nascidas de raça branca pesem em média mais
cerca de 6.7% que as recém-nascidas de raça não branca, todo o resto
igual
7 + 8 = E (log peso | masc = 1, branc = 1, X ) − E (log peso | masc = 1, branc = 0, X )
ˆ7 + ˆ8 = 0.067 + 0.067 = 0.134
Diferença estimada de peso médio dos rapazes recém-nascidos brancos
e os rapazes recém-nascidos não brancos é de cerca de 13.4% a favor
dos brancos, todo o resto igual
Exercício 10.a (cont)
50
 6 + 8 = E (log peso | masc = 1, branc = 1, X ) − E (log peso | masc = 0, branc = 1, X )
ˆ6 + ˆ8 = 0.067 − 0.040 = 0.027
Diferença de peso médio estimado entre recém-nascidos rapazes e
raparigas de raça branca é de cerca de 2.7%, a favor dos rapazes,
todo o resto igual
 6 + 7 + 8 = E (log peso | masc = 1, branc = 1, X ) − E (log peso | masc = 0, branc = 0, X )
ˆ6 + ˆ7 + ˆ8 = 0.067 + 0.067 − 0.040 = 0.094
Diferença de peso médio estimado entre recém-nascidos rapazes
brancos e recém-nascidos raparigas não brancas é de cerca de 9.4%, a
favor dos rapazes brancos, todo o resto igual
Exercício 10.b
51
Formalização do problema: o analista pretende dizer que existem
diferenças de peso entre os recém-nascidos de raça branca e os recémnascidos de outras raças, sejam estas traduzidas na constante ou nos
coeficientes das variáveis explicativas
Como responder à questão? – Teste de Chow recorrendo aos modelos (2),
(3) e (4)
Exercício 10.b (cont)
52
Teste de Chow:
1. Hipóteses:
Ho: igualdade de coeficientes entre recém-nascidos brancos e não
brancos
H1: Ho não é verdadeira
Exercício 10.b (cont)
53
Teste de Chow (cont):
2. Estatística do teste
SQRT − (SQRB + SQRNB ) SQR2 − (SQR3 + SQR4 ) 40.557 − (30.994 + 9.011)
k +1
k +1
6
Fobs =
=
=
= 2.71
SQRB + SQRNB
SQR3 + SQR4
30.994 + 9.011
1191 − 2 x6
n − 2(k + 1)
n − 2(k + 1)
Cálculos auxiliares
SQR2
 SQR2 = ˆ 2 (n − (k + 1)) = 0.1852 (1191 − 6) = 40.557
n − (k + 1)
SQR4
SQR
R2 = 1 −
 0.036 = 1 −
 SQR4 = 9.011
SQT
9.347
ˆ 2 =
Exercício 10.b (cont)
54
Teste de Chow (cont):
3. Valor crítico
F(crítico
= 2.10
6,1179 )
4. Decisão:
F(crítico
= 2.10  Fobs  rej H0
6,1179 )
Resposta: o teste de Chow rejeita, para um nível de significância de 5%, a
hipóteses dos coeficientes entre recém-nascidos brancos e não
brancos serem iguais. Logo, o analista tem razão.
Exercício 10.c - nota
55
Formalização do problema: A equação (5) só é necessária se houver
heteroscedasticidade dos termos de perturbação da equação (2) e se o
padrão de heteroscedasticidade for
 i2 =  2educm 2
Modelo (5): log(peso) = 1 + 2educm + 3cigs + u
Modelo (6): log(peso ) = 1
educm
1
cigs
+  2 + 3
+u
educm
educm
Exercício 10.c - nota
56
Como fazer a interpretação do modelo (6)? – o nosso pbjectivo é
interpretar o modelo original (5), usando as estimativas do modelo (6)
porque estas é que estão corrigidas para o problema da
heteroscedasticidade
0.013 – constante do modelo (6) – deve ser lida como o coeficiente da
variável educm no modelo (5). Isto é, uma ano adicional de educação da
mãe tem um impacto de aproximadamente 1.3% sobre o peso do bebé,
ceteris paribus
Exercício 10.c - nota
57
7.619 – coeficiente de 1/educm do modelo (6) – deve ser lido como a
constante no modelo (5). Isto é, valor médio do log(peso) do bebé quando a
mãe não dispõe de qualquer escolaridade e não fuma nenhum cigarro por
dia.
-0.005 – coeficiente de cigs/educm no modelo (6) – deve ser lido como o
coeficiente de cigs no modelo (5). Isto é, o fumo diário de um cigarro
adicional faz diminuir o peso médio do bebé em cerca de 0.5%, todo o
resto constante.
Exercício 11.a
58
Formalização do problema: A correcção pelo método de Cochrane-Orcutt
só faz sentido se houver autocorrelação dos termos de perturbação e se
esta for do tipo AR(1).
Para testarmos a existência (ou não) de autocorrelação usando o teste de
Durbin-Watson:
1. Padrão de autocorrelação – AR(1)
ut = ut −1 +  t
onde :
ut = termos de perturbaçã o da equação A
Exercício 11.a (cont)
59
Teste de Durbin-Watson (cont):
2. Hipóteses:
H0 :  = 0
H1 :   0
Cálc.aux : ˆ = 1 −
DW
1.07
= 1−
= 0.465  0
2
2
Exercício 11.a (cont)
60
Teste de Durbin-Watson (cont):
3. Estatística do teste
DW = 1.07
4.
Valores críticos
n = 42

d = 1.34

k − 1(n º de regressore s ) = 4  L
dU = 1.72

 = 5%

Exercício 11.a (cont)
61
Teste de Durbin-Watson (cont):
5. Decisão: Rejeitar Ho em favor da autocorrelação positiva. Logo, é
preciso corrigir o problema e o modelo (B) é necessário
?
0
dL=
1.34
?
dU=
1.78
DW=1.07
Rej Ho
Resposta: O analista tem razão.
4-dU=
2.22
4-dL=
2.66
DW