GEOMETRÍA DEL ESPACIO
SUPERFICIES CUÁDRICAS I
Profesor Titular
Ana Elena Gruszycki
2021
Bibliografía Básica
Geometría Analítica
Lehmann, Ch.1981.
México. Limusa
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
SUPERFICIES CUÁDRICAS
1. Superficies de segundo orden o cuádricas
2. Discusión y trazado de una superficie
3. Cuádricas centradas
4. Cuádricas no centradas
5. Ecuaciones incompletas de cuádricas centradas y no centradas.
1
SUPERFICIES DE SEGUNDO ORDEN O CUÁDRICAS
Considerando en R3 un sistema de coordenadas y dada una ecuación de tres
variables 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 se puede hacer corresponder una superficie que es la
gráfica de la ecuación. Estas superficies reciben el nombre de cuádricas.
En general, una cuádrica es la superficie formada por todos los puntos del
espacio cuyas coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧 verifican una ecuación de segundo grado,
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪𝒛𝟐 + 𝑫𝒙𝒚 + 𝑬𝒙𝒛 + 𝑭𝒚𝒛 + 𝑮𝒙 + 𝑯𝒚 + 𝑰𝒛 + 𝑲 = 𝟎
1
SUPERFICIES DE SEGUNDO ORDEN O CUÁDRICAS
Esta superficie no se altera si, mediante transformación de coordenadas, se lleva
la ecuación a una forma algebraica más simple, dejando sin términos
rectangulares xy, yz, xz, que se suprimen por rotación de ejes, y sin términos de
primer grado que se eliminan mediante una traslación de ejes coordenados.
Por lo que la ecuación puede reducirse a uno de los siguientes tipos de ecuación:
𝑀𝑥 2 + 𝑁𝑦 2 + 𝑃𝑧 2 = 𝑅
𝑀𝑥 2 + 𝑁𝑦 2 + 𝑆𝑧 = 0
1
SUPERFICIES DE SEGUNDO ORDEN O CUÁDRICAS
Sistemas de coordenadas rectangulares en el espacio
Dependiendo si las superficies cuádricas tienen o no centro de simetría se clasifican en centradas y no
centradas y según los signos de los coeficientes involucrados tendremos superficies con diferentes
elementos distintivos: interceptos, ejes de simetría, planos de simetría, centros de simetría, trazas sobre los
planos coordenados, secciones planas paralelos a los planos coordenados, extensión.
Estudiaremos las siguientes cuádricas:
Ecuación de las cuádricas centradas
𝑴𝒙𝟐 + 𝑵𝒚𝟐 + 𝑷𝒛𝟐 = 𝑹 con 𝑹 > 𝟎
Elipsoide
Ecuación de las cuádricas centradas
𝑴𝒙𝟐 + 𝑵𝒚𝟐 + 𝑷𝒛𝟐 = 𝑹 con 𝑹 = 𝟎
Cono Recto
Ecuación de las cuádricas no centradas
𝑴𝒙𝟐 + 𝑵𝒚𝟐 + 𝑺𝒛 = 𝟎 con S≠ 𝟎
Ecuación incompleta de las cuádricas centradas
𝑴𝒙𝟐 + 𝑵𝒚𝟐 + 𝑷𝒛𝟐 = 𝑹 con 𝑹 > 𝟎 y 𝑷 = 𝟎
Ecuación incompleta de las cuádricas no centradas
𝑴𝒙𝟐 + 𝑵𝒚𝟐 + 𝑺𝒛 = 𝟎 con S≠ 𝟎 , 𝑴 = 𝟎, 𝑵 > 𝟎 y 𝑺 > 𝟎
Esfera
Hiperboloide de
una hoja
Paraboloide
elíptico
Paraboloide
circular
Paraboloide
hiperbólico
Cilindro Elíptico
Cilindro circular
recto
Cilindro
Hiperbólico
Cilindro
Parabólico
Hiperboloide de
dos hojas
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
SUPERFICIES CUÁDRICAS
1. Superficies de segundo orden o cuádricas
2. Discusión y trazado de una superficie
3. Cuádricas centradas
4. Cuádricas no centradas
5. Ecuaciones incompletas de cuádricas centradas y no centradas.
2 DISCUSIÓN Y TRAZADO DE UNA SUPERFICIE
Para trazar una superficie nos basaremos en los siguientes puntos:
1.
Interceptos con los ejes coordenados.
2.
Simetría respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y origen.
3.
Trazas sobre los planos coordenados.
4.
Secciones planas paralelas a los planos coordenados.
5.
Extensión.
6.
Representación gráfica.
2 DISCUSIÓN Y TRAZADO DE UNA SUPERFICIE
1. Interceptos con los ejes coordenados
Si la superficie intercepta los ejes coordenados, los puntos de intersección
tienen dos coordenadas nulas y una distinta de cero.
Es decir, si la superficie intercepta al eje x, hacemos 𝑦 = 0 y 𝑧 = 0 en su
ecuación, de tener x un valor real, este será el punto de intersección.
Similarmente se hace con los restantes ejes coordenados.
2 DISCUSIÓN Y TRAZADO DE UNA SUPERFICIE
2. Simetría respecto a los planos, ejes coordenados y origen
Respecto a los planos
coordenados
Una superficie será simétrica,
respecto al plano xy, si al
sustituir en su ecuación 𝑧 por
− 𝑧, la misma no altera.
Similarmente, se prueba con
los restantes planos
coordenados
Respecto a los ejes
coordenados
Una superficie será simétrica
respecto al eje x , si al sustituir
en su ecuación 𝑦 por −𝑦 y 𝑧
por −𝑧, la misma no altera.
Similarmente, se prueba con
los restantes ejes
coordenados
Respecto al origen
Una superficie será
simétrica respecto al origen
de coordenadas, si al
sustituir simultáneamente
en su ecuación 𝑥 por −𝑥, 𝑦
por −𝑦 y 𝑧 por −𝑧, la misma
no altera.
2 DISCUSIÓN Y TRAZADO DE UNA SUPERFICIE
3. Trazas sobre los planos coordenados
La traza de una superficie sobre un plano coordenado es la curva de intersección de
la superficie con el plano en cuestión.
Su expresión analítica está dada por la consideración simultánea de las ecuaciones
de la superficie y el plano coordenado.
En la determinación de las trazas, se identifica la curva plana que se produce en el
plano coordenado, se representa gráficamente y se verifica la coincidencia de los
puntos de intersección de la curva con los interceptos de la superficie sobre los ejes
coordenados.
2 DISCUSIÓN Y TRAZADO DE UNA SUPERFICIE
4. Secciones planas paralelas a los planos coordenados
Las secciones planas determinadas por planos paralelos a los planos
coordenados nos permiten conocer, analizando las curvas de intersección de la
superficie con cada uno de esos planos, la configuración de la misma en el
espacio.
Los planos paralelos a los planos coordenados, tienen en general, ecuaciones de
la forma:
𝑥 = 𝑘1 , planos paralelos al plano yz
𝑦 = 𝑘2 , planos paralelos al plano xz
𝑧 = 𝑘3 , planos paralelos al plano xy
Las curvas de intersección con estos planos se obtienen haciendo las
sustituciones, 𝑥 = 𝑘1 , 𝑦 = 𝑘2 , 𝑧 = 𝑘3 , sucesivamente en la ecuación de la
superficie e identificando dichas curvas.
2 DISCUSIÓN Y TRAZADO DE UNA SUPERFICIE
5. Extensión
En este punto nos proponemos estudiar la localización general de la superficie
en el espacio coordenado, indicando si la misma es cerrada o indefinida en
extensión.
La base de la extensión de una superficie, abierta o cerrada, está dada en el
estudio realizado en las secciones planas paralelas a los planos coordenados,
ya que en ella establecemos claramente los intervalos de variación de los
valores reales que las variables pueden tomar.
2 DISCUSIÓN Y TRAZADO DE UNA SUPERFICIE
6. Representación gráfica
Con los elementos analizados anteriormente, podemos trazar la superficie.
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
SUPERFICIES CUÁDRICAS
1. Superficies de segundo orden o cuádricas
2. Discusión y trazado de una superficie
3. Cuádricas centradas
4. Cuádricas no centradas
5. Ecuaciones incompletas de cuádricas centradas y no centradas.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Mx2 + Ny2 + Pz2 = R, con R > 0
A. Los tres coeficientes positivos: M>0, N>0 y P>0
Dividimos ambos miembros de la ecuación por R:
𝑀 2 𝑁 2 𝑃 2 𝑅
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =
𝑅
𝑅
𝑅
𝑅
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =1
𝑅
𝑅
𝑅
𝑀
𝑁
𝑃
Llevando los coeficientes de las variables, al
denominador:
Puesto que todos los parámetros (M, N, P y R ) son
positivos hacemos la siguiente sustitución:
Y la ecuación queda:
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
+ 𝟐+ 𝟐=𝟏
𝟐
𝒂
𝒃
𝒄
𝑅
𝑅
𝑅
2
2
2
𝑎 = ;𝑏 = y𝑐 =
𝑀
𝑁
𝑃
ELIPSOIDE
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
Representar gráficamente el elipsoide cuya ecuación es: 9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 16𝑧 2 = 144
Para representar gráficamente el elipsoide es conveniente llevar su ecuación a la
forma canónica, la cual se logra dividiendo toda la ecuación por el término
independiente.
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =1
16 36 9
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
Representar gráficamente el elipsoide cuya ecuación es: 9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 16𝑧 2 = 144
Analizaremos:
1.
Interceptos con los ejes coordenados.
2.
Simetría respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y origen.
3.
Trazas sobre los planos coordenados.
4.
Secciones planas paralelas a los planos coordenados.
5.
Extensión.
6.
Representación gráfica.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 16𝑧 2 = 144 o bien
1. Interceptos con los ejes coordenados
Eje x
y=0, z = 0
x = ±4
𝑃1 4,0,0 ; 𝑃2 −4,0,0
Eje y
x=0, z = 0
y=±6
𝑃3 0,6,0 ; 𝑃4 0, −6,0
Eje z
x=0, y = 0
z=±3
𝑃5 0,0,3 ; 𝑃6 0,0, −3
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =1
16 36 9
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
2
2
2
𝑥
𝑦
𝑧
9𝑥 + 4𝑦 + 16𝑧 = 144 o bien
+
+ =1
16 36 9
2
2
2
2. Simetría respecto a los planos coordenados
Plano xy
z por –z
La ecuación no altera, es simétrica
Plano xz
y por –y
La ecuación no altera, es simétrica
Plano yz
x por –x
La ecuación no altera, es simétrica
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
𝑥2 𝑦2 𝑧2
9𝑥 + 4𝑦 + 16𝑧 = 144 o bien
+
+ =1
16 36 9
2
2
2
2. Simetría respecto a los ejes coordenados
Eje x
y por –y
z por –z
Eje y
x por –x
z por –z
La ecuación no altera, es simétrica
Eje z
x por –x
y por –y
La ecuación no altera, es simétrica
La ecuación no altera, es simétrica
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
𝑥2 𝑦2 𝑧2
9𝑥 + 4𝑦 + 16𝑧 = 144 o bien
+
+ =1
16 36 9
2
2
2
2. Simetría respecto al origen
x por –x
y por –y
z por –z
La ecuación no altera, es simétrica
Por tanto, es simétrica respecto al origen de coordenadas, a los ejes y planos
coordenados.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 16𝑧 2 = 144
o bien
3. Trazas sobre los planos coordenados
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =1
16 36 9
Plano 𝒙𝒚
Plano 𝒙𝒛
Plano 𝐲𝐳
𝑥2 𝑦2
ቐ16 + 36 = 1
𝑧=0
Elipse
de semiejes 𝑎 = 4 y 𝑏 = 6, y con
centro en el origen de coordenadas
𝑥2 𝑧2
൞16 + 9 = 1
𝑦=0
Elipse
de semiejes 𝑎 = 4 y 𝑐 = 3, y con
centro en el origen de coordenadas
𝑦2 𝑧2
ቐ36 + 9 = 1
𝑥=0
Elipse
de semiejes 𝑏 = 6, y 𝑐 = 3, y con
centro en el origen de coordenadas
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 16𝑧 2 = 144
o bien
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =1
16 36 9
4. Secciones planas paralelas a los planos coordenados
Al plano 𝐱𝐲
si 𝒛 = 𝒌
𝑥2 𝑦2
𝑘2
ቐ16 + 36 = 1 − 9
𝑧=𝑘
Elipse
k2
1− 9 >0, k <3
o sea −3 < k < 3
Al plano 𝐱𝐳
si 𝐲 = 𝐤
𝑥2 𝑧2
𝑘2
൞16 + 9 = 1 − 36
𝑦=𝑘
Elipse
k2
1 − 36 > 0, k < 6
o sea −6 < k < 6
Al plano 𝐲𝐳
si 𝒙 = 𝒌
𝑦2 𝑧2
𝑘2
ቐ36 + 9 = 1 − 16
𝑥=𝑘
Elipse
k2
1 − 16 > 0, k
<4
o sea −4 < k < 4
3
EJERCICIO
CUÁDRICAS CENTRADAS
9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 16𝑧 2 = 144
o bien
5. Extensión
x -4,4
y -6,6
z -3,3
Es cerrada
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =1
16 36 9
3
EJERCICIO
CUÁDRICAS CENTRADAS
9𝑥 2 + 4𝑦 2 + 16𝑧 2 = 144
o bien
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =1
16 36 9
6. Representación gráfica
ELIPSOIDE
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Elementos característicos de un elipsoide
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
+ 𝟐+ 𝟐=𝟏
𝟐
𝒂
𝒃
𝒄
Ecuación en forma canónica
 corta a los ejes coordenados en (±a,0,0), (0, ±b,0) y (0,0, ±c).
 es simétrica respecto al origen, los ejes y los planos coordenados.
 todas sus trazas (curva de intersección de la superficie con los planos
coordenados) son elipses.
 Al cortar esta superficie con planos, por ejemplo 𝑧 = 𝑘, paralelos al plano xy se
obtienen elipses, para ciertos valores de 𝑘, un punto o nada, lo mismo ocurre
al cortar con planos 𝑥 = 𝑘 e 𝑦 = 𝑘 paralelos a los otros planos coordenados.
 es cerrada.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Mx2 + Ny2 + Pz2 = R, con R > 0
A. Los tres coeficientes positivos: M>0, N>0 y P>0
Cuando los tres semiejes del elipsoide
son positivos e iguales, 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 ,
tenemos una esfera, cuya ecuación
canónica es:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒂𝟐
ESFERA
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Elementos característicos de una esfera
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒂𝟐
Ecuación en forma canónica
 corta a los ejes coordenados en (±a,0,0), (0, ±a,0) y (0,0, ±a).
 es simétrica respecto al origen, los ejes y los planos coordenados.
 todas sus trazas (curva de intersección de la superficie con los planos
coordenados) son circunferencias.
 Al cortar esta superficie con planos, por ejemplo 𝑧 = 𝑘, paralelos al plano xy se
obtienen circunferencias, para ciertos valores de 𝑘, un punto o nada, lo mismo
ocurre al cortar con planos 𝑥 = 𝑘 e 𝑦 = 𝑘 paralelos a los otros planos
coordenados.
 es cerrada.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Mx2 + Ny2 + Pz2 = R, con R > 0
B. Dos coeficientes son positivos y uno negativo: M>0, N>0 y P<0
Dividimos ambos miembros de la ecuación por R:
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =1
𝑅
𝑅
𝑅
𝑀
𝑁
𝑃
Llevando los coeficientes de las variables, al
denominador:
Teniendo en cuenta los signos de los parámetros
(M, N, P y R ) podemos hacer la siguiente
sustitución:
Y la ecuación queda:
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
+ 𝟐− 𝟐=𝟏
𝟐
𝒂
𝒃
𝒄
𝑀 2 𝑁 2 𝑃 2 𝑅
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =
𝑅
𝑅
𝑅
𝑅
𝑅
𝑅
𝑅
2
2
2
𝑎 = ; 𝑏 = y −𝑐 =
𝑀
𝑁
𝑃
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
Trazar la gráfica de la superficie: 5𝑥 2 + 4𝑦 2 − 20𝑧 2 = 20
Para realizar la representación gráfica, es conveniente llevar su ecuación a la
forma canónica, la cual se logra dividiendo toda la ecuación por el término
independiente.
𝑥2 𝑦2
+
− 𝑧2 = 1
4
5
Corresponde a un hiperboloide de una hoja.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
Trazar la gráfica de la superficie: 5𝑥 2 + 4𝑦 2 − 20𝑧 2 = 20
Analizaremos:
1.
Interceptos con los ejes coordenados.
2.
Simetría respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y origen.
3.
Trazas sobre los planos coordenados.
4.
Secciones planas paralelas a los planos coordenados.
5.
Extensión.
6.
Representación gráfica.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
5𝑥 2 + 4𝑦 2 − 20𝑧 2 = 20
o bien
1. Interceptos con los ejes coordenados
𝑥2 𝑦2
+
− 𝑧2 = 1
4
5
Eje x y=0, z = 0
𝑥=± 4
𝑃1 2,0,0 ; 𝑃2 −2,0,0
Eje y x=0, z = 0
𝑦=± 5
𝑃3 0, 5 , 0 ; 𝑃4 0, − 5 , 0
Eje z x=0, y= 0
𝑧 = ± −1
No tiene
Por tanto, el eje del hiperboloide es el eje z.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
5𝑥 2 + 4𝑦 2 − 20𝑧 2 = 20
o bien
𝑥2 𝑦2
+
− 𝑧2 = 1
4
5
2. Simetría respecto a los planos coordenados
Plano xy
z por –z
La ecuación no altera, es simétrica
Plano xz
y por –y
La ecuación no altera, es simétrica
Plano yz
x por –x
La ecuación no altera, es simétrica
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
5𝑥 2 + 4𝑦 2 − 20𝑧 2 = 20
o bien
𝑥2 𝑦2
+
− 𝑧2 = 1
4
5
2. Simetría respecto a los ejes coordenados
Eje x
y por –y
z por –z
Eje y
x por –x
z por –z
La ecuación no altera, es simétrica
Eje z
x por –x
y por –y
La ecuación no altera, es simétrica
La ecuación no altera, es simétrica
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
5𝑥 2 + 4𝑦 2 − 20𝑧 2 = 20 o bien
𝑥2 𝑦2
+
− 𝑧2 = 1
4
5
2. Simetría respecto al origen
x por –x
y por –y
z por –z
La ecuación no altera, es simétrica
Por tanto, es simétrica respecto al origen de coordenadas, a los ejes y planos
coordenados.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
2
2
2
5𝑥 + 4𝑦 − 20𝑧 = 20 o bien
𝑥2 𝑦2
+
− 𝑧2 = 1
4
5
3. Trazas sobre los planos coordenados
Plano 𝐱𝐲
𝑥2 𝑦2
ቐ4 + 5 =1
𝑧=0
Elipse
Eje focal coincide con el eje y, con
centro en el origen de coordenadas.
Plano 𝐱𝐳
𝑥2
൞4
− 𝑧2 = 1
𝑦=0
Plano 𝐲𝐳
𝑦2
2 =1
−
𝑧
ቐ5
𝑥=0
Hipérbola
Hipérbola
Eje focal coincide con el eje y, con
Eje focal coincide con el eje x, con centro en el origen de coordenadas.
centro en el origen de coordenadas
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
2
2
2
5𝑥 + 4𝑦 − 20𝑧 = 20 o bien
𝑥2 𝑦2
+
− 𝑧2 = 1
4
5
4. Secciones planas paralelas a los planos coordenados
Al plano 𝐱𝐲
si
𝒛=𝒌
𝑥2 𝑦2
2
ቐ4 + 5 = 1+𝑘
𝑧=𝑘
Las curvas son elipses con
eje focal paralelo al eje 𝑦.
Al plano 𝐱𝐳
si
𝒚=𝒌
2
𝑥2
𝑘
2
൞4 −𝑧 =1− 5
𝑦=𝑘
Si 𝑘 < 5 son hipérbolas con eje
focal paralelo al eje 𝑥; si 𝑘 = 5 son
dos rectas 𝑥 = ±2𝑧, si 𝑘 > 5 son
hipérbolas con eje focal paralelo al
eje 𝑧
Al plano 𝐲𝐳
si
𝒙=𝒌
2
𝑦2
𝑘
2
ቐ5 −𝑧 =1− 4
𝑥=𝑘
Si 𝑘 < 2 son hipérbolas con eje focal
paralelo al eje y; si 𝑘 = 2 son dos rectas
𝑦 = ± 5 𝑧; si 𝑘 > 2 son hipérbolas
con eje focal paralelo al eje 𝑧.
3
EJERCICIO
CUÁDRICAS CENTRADAS
5𝑥 2 + 4𝑦 2 − 20𝑧 2 = 20 o bien
𝑥2 𝑦2
+
− 𝑧2 = 1
4
5
5. Extensión
𝑥∈ℝ
𝑦∈ℝ
𝑧∈ℝ
Es abierta
3
EJERCICIO
CUÁDRICAS CENTRADAS
5𝑥 2 + 4𝑦 2 − 20𝑧 2 = 20 o bien
6. Representación gráfica
𝑥2 𝑦2
+
− 𝑧2 = 1
4
5
HIPERBOLOIDE
DE UNA HOJA
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Elementos característicos de un hiperboloide de una hoja
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
+ 𝟐− 𝟐=𝟏
𝟐
𝒂
𝒃
𝒄
Ecuación en forma canónica
 su eje es de igual denominación a la variable que aparece con signo negativo,
en este caso el eje z.
 corta a los ejes x e y en (±a,0,0), (0, ±b,0).
 es simétrica respecto al origen, los ejes y los planos coordenados.
 al cortar esta superficie con planos 𝑧 = 𝑘, paralelos al plano xy se obtienen
elipses, mientras que al cortar con planos 𝑥 = 𝑘 e 𝑦 = 𝑘 paralelos a los otros
planos coordenados se obtienen curvas del género de la hipérbola.
 es abierta, puesto que las tres variables pueden tener cualquier valor real.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Formas canónicas de la ecuación de un hiperboloide de una hoja
Otras formas canónicas de la ecuación de un hiperboloide de una hoja pueden
ser:
𝑥2 𝑧2 𝑦2
+ 2− 2=1
2
𝑎
𝑐
𝑏
Eje del hiperboloide de una hoja: eje y
𝑦2 𝑧2 𝑥2
+ 2− 2=1
2
𝑏
𝑐
𝑎
Eje del hiperboloide de una hoja: eje x
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Mx2 + Ny2 + Pz2 = R, con R > 0
C. Dos coeficientes son negativos y uno positivo: M<0, N<0 y P>0
Dividimos ambos miembros de la ecuación por R:
Llevando los coeficientes de las variables, al
denominador:
𝑀 2 𝑁 2 𝑃 2 𝑅
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =
𝑅
𝑅
𝑅
𝑅
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =1
𝑅
𝑅
𝑅
𝑀
𝑁
𝑃
Teniendo en cuenta los signos de los parámetros
𝑅
𝑅
𝑅
2
2
2
−𝑎 = ; −𝑏 = y 𝑐 =
(M, N, P y R ) podemos hacer la siguiente
𝑀
𝑁
𝑃
sustitución:
Y la ecuación queda:
𝒛𝟐 𝒙𝟐 𝒚𝟐
− 𝟐− 𝟐=𝟏
𝟐
𝒄
𝒂
𝒃
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
Trazar la gráfica de la superficie: −4𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑧 2 = 16
Para realizar la representación gráfica, es conveniente llevar su ecuación a la
forma canónica, la cual se logra dividiendo toda la ecuación por el término
independiente, corresponde a un hiperboloide de dos hojas.
𝑦2 𝑥2 𝑧2
− − =1
8
4
4
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
Trazar la gráfica de la superficie: −4𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑧 2 = 16
Analizaremos:
1.
Interceptos con los ejes coordenados.
2.
Simetría respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y origen.
3.
Trazas sobre los planos coordenados.
4.
Secciones planas paralelas a los planos coordenados.
5.
Extensión.
6.
Representación gráfica.
3
EJERCICIO
CUÁDRICAS CENTRADAS
−4𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑧 2 = 16
o bien
1. Interceptos con los ejes coordenados
Eje x 𝑦 = 𝑧 = 0
𝑥 = ± −4
Eje y 𝑥 = 𝑧 = 0
𝑦=± 8
Eje z 𝑥 = 𝑦 = 0
𝑧 = ± −4
No tiene
𝑃1 0, 8 , 0
𝑃2 0, − 8 , 0
No tiene
𝑦2 𝑥2 𝑧2
− − =1
8
4
4
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
−4𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑧 2 = 16
o bien
𝑦2 𝑥2 𝑧2
− − =1
8
4
4
2. Simetría respecto a los planos coordenados
Plano xy
z por –z
La ecuación no altera, es simétrica
Plano xz
y por –y
La ecuación no altera, es simétrica
Plano yz
x por –x
La ecuación no altera, es simétrica
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
−4𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑧 2 = 16
o bien
𝑦2 𝑥2 𝑧2
− − =1
8
4
4
2. Simetría respecto a los ejes coordenados
Eje x
y por –y
z por –z
Eje y
x por –x
z por –z
La ecuación no altera, es simétrica
Eje z
x por –x
y por –y
La ecuación no altera, es simétrica
La ecuación no altera, es simétrica
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
−4𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑧 2 = 16
o bien
𝑦2 𝑥2 𝑧2
− − =1
8
4
4
2. Simetría respecto al origen
x por –x
y por –y
z por –z
La ecuación no altera, es simétrica
Por tanto, es simétrica respecto al origen de coordenadas, a los ejes y planos
coordenados.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
−4𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑧 2 = 16
o bien
𝑦2 𝑥2 𝑧2
− − =1
8
4
4
3. Trazas sobre los planos coordenados
Plano 𝐱𝐲
Plano 𝐱𝐳
Plano 𝐲𝐳
𝑦2 𝑥2
ቐ8 − 4 =1
𝑧=0
𝑥2 𝑧2
൞− 4 − 4 = 1
𝑦=0
𝑦2 𝑧2
ቐ8 − 4 =1
𝑥=0
Hipérbola
Eje focal coincide con el eje y, con
centro en el origen de coordenadas.
Conjunto vacío
Hipérbola
Eje focal coincide con el eje y, con
centro en el origen de coordenadas.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
−4𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑧 2 = 16
o bien
𝑦2 𝑥2 𝑧2
− − =1
8
4
4
4. Secciones planas paralelas a los planos coordenados
Al plano 𝐱𝐲
si
𝐳=𝐤
Al plano 𝐱𝐳
si
𝒚=𝒌
Al plano 𝐲𝐳
si
𝒙=𝒌
𝑦2 𝑥2
𝑘2
ቐ8 − 4 =1+ 4
𝑧=𝑘
𝑥2 𝑧2
𝑘2
൞− 4 − 4 = 1 − 8
𝑦=𝑘
𝑦2 𝑧2
𝑘2
ቐ8 − 4 =1+ 4
𝑥=𝑘
Las curvas son hipérbolas y el eje
focal paralelo al eje 𝑦.
Estas curvas serán elipses siempre
que 𝑘 > 8 o sea k> 8 o k<− 8 ,
un punto o nada.
Estas curvas serán hipérbolas con
eje focal paralelo al eje y.
3
EJERCICIO
CUÁDRICAS CENTRADAS
−4𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑧 2 = 16
o bien
𝑦2 𝑥2 𝑧2
− − =1
8
4
4
5. Extensión
𝑥∈ℝ
𝑦 ≥ 8
𝑧∈ℝ
Es abierta
Es abierta pues las variables 𝑥, 𝑧 pueden tomar cualquier valor real, mientras que la
variable 𝑦 cumple con que 𝑦 ≥ 8 .
3
EJERCICIO
CUÁDRICAS CENTRADAS
−4𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑧 2 = 16
o bien
𝑦2 𝑥2 𝑧2
− − =1
8
4
4
6. Representación gráfica
HIPERBOLOIDE
DE DOS HOJAS
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Elementos característicos de un hiperboloide de dos hojas
𝑦2 𝑥2 𝑧2
− 2− 2=1
2
𝑏
𝑎
𝑐
Ecuación en forma canónica
 solo intercepta al eje y, en dos puntos de coordenadas (0,±b,0).
 es simétrica respecto al origen, los ejes y los planos coordenados.
 Al cortar esta superficie con planos y=k, paralelas al plano xz se obtienen elipses
(o un punto o, nada para y∈ [-b; b ]), mientras que secciones planas paralelas a
los restantes planos coordenados se obtienen hipérbolas.
 es abierta, puesto que las variables x , z pueden tener cualquier valor real y la
variable y cumple con que |y| ≥ b.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Elementos característicos de un hiperboloide de dos hojas
𝒛𝟐 𝒙𝟐 𝒚𝟐
− 𝟐− 𝟐=𝟏
𝟐
𝒄
𝒂
𝒃
Ecuación en forma canónica
 solo intercepta al eje z, en dos puntos de coordenadas (0, 0,±c).
 es simétrica respecto al origen, los ejes y los planos coordenados.
 Al cortar esta superficie con planos z=k, paralelas al plano xy se obtienen elipses
(o un punto o, nada para z∈ [-c; c ]), mientras que secciones planas paralelas a
los restantes planos coordenados se obtienen hipérbolas.
 es abierta, puesto que las variables x e y pueden tener cualquier valor real y la
variable z cumple con que |z| ≥ c.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Formas canónicas de la ecuación de un hiperboloide de dos hojas
Otras formas canónicas de la ecuación de un hiperboloide de dos hojas pueden
ser:
𝑥2 𝑦2 𝑧2
− 2− 2=1
2
𝑎
𝑏
𝑐
Eje del hiperboloide de dos hojas: eje x
𝑦2 𝑥2 𝑧2
− 2− 2=1
2
𝑏
𝑎
𝑐
Eje del hiperboloide de dos hojas: eje y
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Mx2 + Ny2 + Pz2 = R, con R = 0
D. Dos coeficientes son positivos y uno negativo M>0, N>0 y P<0
Como en los casos anteriores, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
+ 𝟐− 𝟐=𝟎
𝟐
𝒂
𝒃
𝒄
CONO RECTO
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
Trazar la gráfica de la superficie: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 = 0
Analizaremos:
1.
Interceptos con los ejes coordenados.
2.
Simetría respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y origen.
3.
Trazas sobre los planos coordenados.
4.
Secciones planas paralelas a los planos coordenados.
5.
Extensión.
6.
Representación gráfica.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒛𝟐 = 𝟎
1. Interceptos con los ejes coordenados
Eje x
𝑦=𝑧=0
𝑥=0
𝑃 0,0,0
Eje y
𝑥=𝑧=0
𝑦=0
𝑃 0,0,0
Eje z
𝑥=𝑦=0
𝑧=0
𝑃 0,0,0
Por lo tanto, tiene un único punto de intersección que es el origen de coordenadas.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒛𝟐 = 𝟎
2. Simetría respecto a los planos coordenados
Plano xy
z por –z
La ecuación no altera, es simétrica
Plano xz
y por –y
La ecuación no altera, es simétrica
Plano yz
x por –x
La ecuación no altera, es simétrica
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒛𝟐 = 𝟎
2. Simetría respecto a los ejes coordenados
Eje x
y por –y
z por –z
Eje y
x por –x
z por –z
La ecuación no altera, es simétrica
Eje z
x por –x
y por –y
La ecuación no altera, es simétrica
La ecuación no altera, es simétrica
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒛𝟐 = 𝟎
2. Simetría respecto al origen
x por –x
y por –y
z por –z
La ecuación no altera, es simétrica
Por tanto, es simétrica respecto al origen de coordenadas, a los ejes y planos
coordenados.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒛𝟐 = 𝟎
3. Trazas sobre los planos coordenados
Plano 𝐱𝐲
Plano 𝐱𝐳
Plano 𝐲𝐳
2 + 𝑦2 = 0
𝑥
ቊ
𝑧=0
𝑥2 − 𝑧2 = 0
ቊ
𝑦=0
2 − 𝑧2 = 0
𝑦
ቊ
𝑥=0
Rectas
𝑥−𝑧 𝑥+𝑧 =0
Dos rectas que pasan por el origen
de coordenadas.
Rectas
𝑦−𝑧 𝑦+𝑧 =0
Dos rectas que pasan por el origen
de coordenadas.
Punto
El origen de coordenadas.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒛𝟐 = 𝟎
EJERCICIO
4. Secciones planas paralelas a los planos coordenados
Al plano 𝐱𝐲
si
𝐳=𝐤
Al plano 𝐱𝐳
si
𝒚=𝒌
2
2
2
𝑥 2 − 𝑧 2 = −𝑘 2
𝑥
+
𝑦
=
𝑘
ቊ
ቊ
𝑦=𝑘
𝑧=𝑘
Estas curvas son circunferencias
Estas curvas serán hipérbolas con
cuyo diámetro aumenta a medida que eje focal paralelo al eje 𝑧 si 𝑘 > 0;
las secciones se alejan del plano xy
si 𝑘 = 0 son dos rectas 𝑥 = ±𝑧.
Al plano 𝐲𝐳
si
𝒙=𝒌
2 − 𝑧 2 = −𝑘 2
𝑦
ቊ
𝑥=𝑘
Estas curvas serán hipérbolas con
eje focal paralelo al eje 𝑧 si 𝑘 > 0;
si 𝑘 = 0 son dos rectas 𝑦 = ±𝑧
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒛𝟐 = 𝟎
5. Extensión
𝑥∈ℝ
𝑦∈ℝ
𝑧∈ℝ
Es abierta
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
EJERCICIO
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒛𝟐 =0
6. Representación gráfica
CONO RECTO
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Elementos característicos de un cono recto
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
+ 𝟐− 𝟐=𝟎
𝟐
𝒂
𝒃
𝒄
Ecuación en forma canónica
 único intercepto con los ejes coordenados es el origen.
 el eje del cono coincide con la variable que en la ecuación aparece con signo
negativo, en este caso, es el eje z.
 simétrica respecto a planos, ejes coordenados y al origen.
 sus trazas con el plano xz e yz son rectas que pasan por el origen.
 Al cortar esta superficie con planos z = k paralelos al plano xy se obtienen elipses
(salvo en el caso k = 0 que se obtiene un único punto ); mientras que las
secciones planas paralelas a los planos xz e yz son hipérbolas.
 superficie abierta.
3
CUÁDRICAS CENTRADAS
Formas canónicas de la ecuación de un cono recto
Otras formas canónicas de la ecuación de un cono recto pueden ser:
𝑦2 𝑧2 𝑥2
+ 2− 2=0
2
𝑏
𝑐
𝑎
Eje coincidente con el eje x
𝑥2 𝑧2 𝑦2
+ 2− 2=0
2
𝑎
𝑐
𝑏
Eje coincidente con el eje y
3
CUÁDRICAS CENTRADAS - RESUMEN
Mx2 + Ny2 + Pz2 = R, con R > 0
𝑀, 𝑵, 𝑷
Lugar Geométrico
Todos positivos
Elipsoide
Todos positivos e
iguales
Esfera
Gráfico Ilustrativo
3
CUÁDRICAS CENTRADAS - RESUMEN
Mx2 + Ny2 + Pz2 = R, con R > 0
𝑀, 𝑵, 𝑷
Dos positivos y
uno negativo
Dos negativos y
uno positivo
Lugar Geométrico
Hiperboloide de
una hoja
Hiperboloide de
dos hojas
Gráfico Ilustrativo
3
CUÁDRICAS CENTRADAS - RESUMEN
Mx2 + Ny2 + Pz2 = R, con R = 0
𝑀, 𝑵, 𝑷
Dos positivos y uno
negativo
Lugar Geométrico
Cono Recto
Gráfico Ilustrativo
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
SUPERFICIES CUÁDRICAS I
GRACIAS POR SU ATENCIÓN
Profesor Titular
Ana Elena Gruszycki