VOL U ME
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RELATIVIDADE
FÍSICA QUÂNTICA
RANDALL D. KNI GHT
Sobre o Autor
Randy Knight leciona Física básica há 25 anos na Ohio State University, EUA, e na Califórnia
Polytechnic University, onde atualmente é professor de física. O professor Knight bacharelouse em Física pela Washington University, em Saint Louis, e doutorou-se em Física pela University of Califórnia, Berkeley. Fez pós-doutorado no Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics, antes de trabalhar na Ohio State University. Foi aí que ele começou a pesquisar sobre o
ensino da física, o que, muitos anos depois, o levou a escrever este livro.
Os interesses de pesquisa do professor Knight situam-se na área de laser e espectroscopia,
com cerca de 25 artigos de pesquisa publicados. Ele também dirige o programa de estudos ambientais da Cal Poly, onde, além de física introdutória, leciona tópicos relacionados a energia,
oceanografia e meio ambiente. Quando não está em sala de aula ou na frente de um computador, o professor Knight está fazendo longas caminhadas, remando em um caiaque, tocando
piano ou usufruindo seu tempo com a esposa Sally e seus sete gatos.
K71f
Knight, Radall.
Física 4 [recurso eletrônico] : uma abordagem estratégica /
Randall Knight ; tradução Clóvis Belbute Peres, Ana Rita de Avila
Belbute Peres. – 2. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre :
Bookman, 2009.
Editado também como livro impresso em 2009.
ISBN 978-85-7780-597-6
1. Física. 2. Relatividade. 3. Física quântica. I. Título.
CDU 530.145
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/1922
R A N DA L L D . K N I G H T
Tradução:
Clovis Belbute Peres
Doutor em Ciências pela UFRGS
Ana Rita de Ávila Belbute Peres
Bacharel em Tradução pela UFRGS
Revisão técnica:
Trieste Freire Ricci
Doutor em Ciências pela UFRGS
Professor Adjunto do Instituto de Física da UFRGS
Versão impressa
desta obra: 2009
2009
Obra originalmente publicada sob o título Physics for Scientists and Engineers, 2nd Edition.
ISBN 0805327363
Authorized translation from the English language edition, entitled PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS: A STRATEGIC APPROACH WITH MODERN PHYSICS, 2ND EDITION by KNIGHT, RANDALL D., published Pearson Education,Inc.,
publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2008. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any
form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system,
without permission from Pearson Education,Inc.
Portuguese language edition published by Bookman Companhia Editora Ltda, a Division of Artmed Editora SA, Copyright © 2009
Tradução autorizada a partir do original em língua inglesa da obra intitulada PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS: A
STRATEGIC APPROACH WITH MODERN PHYSICS, 2ª EDIÇÃO, de autoria de KNIGHT, RANDALL D., publicado por Pearson
Education, Inc., sob o selo Addison-Wesley, Copyright © 2008. Todos os direitos reservados. Este livro não poderá ser reproduzido
nem em parte nem na íntegra, nem ter partes ou sua íntegra armazenado em qualquer meio, seja mecânico ou eletrônico, inclusive
reprográfico, sem permissão da Pearson Education,Inc.
A edição em língua portuguesa desta obra é publicada por Bookman Companhia Editora Ltda., uma divisão da Artmed Editora SA,
Copyright © 2009
Capa: Rogério Grilho, arte sobre capa original
Leitura final: Andrea Czarnobay Perrot
Supervisão editorial: Denise Weber Nowaczyk
Editoração eletrônica: Techbooks
Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à
ARTMED® EDITORA S.A.
(BOOKMAN® COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED® EDITORA S. A.)
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formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na Web
e outros), sem permissão expressa da Editora.
SÃO PAULO
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01227-100 – São Paulo – SP
Fone: (11) 3665-1100 Fax: (11) 3667-1333
SAC 0800 703-3444
IMPRESSO NO BRASIL
PRINTED IN BRAZIL
Prefácio para o Professor
Em 2003, publicamos Physics for Scientists and Engineers: A Strategic Approach. Foi
o primeiro livro didático abrangente concebido com base na pesquisa sobre como os
estudantes podem aprender física de maneira mais significativa. Os desenvolvimentos e
testes que possibilitaram a publicação deste livro foram financiados pela National Science Foundation. Essa primeira edição tornou-se rapidamente o livro didático de física mais
adotado em mais de 30 anos, obtendo reconhecimento crítico geral de professores e de
estudantes. Esta segunda edição, agora traduzida para o português com o título Física:
uma abordagem estratégica, foi escrita com base nas técnicas de ensino introduzidas na
primeira edição e também no feedback de milhares de usuários com o objetivo de proporcionar um aprendizado ainda melhor para o estudante.
Os objetivos
Meus principais objetivos ao escrever o Física: uma abordagem estratégica foram:
■ Produzir um livro que fosse mais focado e coerente, e menos enciclopédico.
■ Trazer resultados-chave da pesquisa em ensino de física para a sala de aula de uma
maneira que permitisse aos professores adotar uma gama de estilos didáticos.
■ Oferecer um equilíbrio entre o raciocínio quantitativo e a compreensão dos con-
ceitos, com especial atenção aos conceitos que costumam causar dificuldades aos
estudantes.
■ Desenvolver de maneira sistemática as habilidades dos estudantes na resolução de
problemas.
■ Promover um ambiente de aprendizagem ativa.
Estes objetivos e os princípios que os embasam são discutidos detalhadamente em
meu pequeno livro Five Easy Lessons: Strategies for Successful Physics Teaching (Addison-Wesley, 2002). Se for de seu interesse (ISBN 0-8053-8702-1), entre em contato com
a editora original, Addison-Wesley.
A organização da obra
Todo o conteúdo desta obra está distribuído em quatro volumes. O Volume 1 trata das
Leis de Newton, das Leis de Conservação e de algumas aplicações da Mecânica Newtoniana, como: Rotação de um Corpo Rígido, A Teoria de Newton da Gravitação e Oscilações. O Volume 2 abrange Fluidos, Elasticidade, Termodinâmica, Ondas e Óptica. O
Volume 3 abrange todo o conteúdo sobre Eletricidade e Magnetismo. O Volume 4 trata
da Relatividade, da Mecânica Quântica e da Física Atômica e Nuclear. Cada tópico é
autoconsistente, e a seqüência dos capítulos pode ser rearranjada para se adequar à preferência do professor ou da universidade.
Dessa forma, quase toda Mecânica Newtoniana se encontra no Volume 1, permitindo
que os professores das diversas universidades brasileiras possam ter maior flexibilidade
na estrutura curricular da disciplina.
As razões para a organização adotada: a termodinâmica foi colocada antes do estudo
das ondas por ser uma continuação das idéias da mecânica. A idéia-chave na termodinâmica é a de energia, e passar direto da mecânica para a termodinâmica promove um
desenvolvimento ininterrupto dessa idéia importante. Além disso, o estudo das ondas
introduz os estudantes a funções de duas variáveis, e a matemática envolvida nos fenômenos ondulatórios é mais afim com a eletricidade e com o magnetismo do que com a
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Prefácio para o Professor
mecânica. Portanto, ir de ondas para campos, e de campos para a física quântica, permite
uma transição gradual de idéias e habilidades.
O propósito de incluir a óptica junto aos fenômenos ondulatórios é oferecer uma
apresentação coerente da física ondulatória, um dos dois pilares da física clássica. A
óptica, como é apresentada nos cursos introdutórios de física, não faz uso das propriedades de campos eletromagnéticos. Existe pouca razão, além da tradição histórica, em
deixar a óptica para depois da eletricidade e do magnetismo. As dificuldades documentadas dos estudantes com a óptica são dificuldades com fenômenos ondulatórios, e não
com a eletricidade e o magnetismo. Todavia, os capítulos de óptica podem ser facilmente postergados para depois da Parte VI por professores que prefiram tal seqüência
de conteúdo.
O que há de novo na segunda edição
Esta segunda edição reafirma os propósitos e os objetivos da primeira edição. Ao mesmo
tempo, o feedback que recebemos a partir dos desempenhos dos estudantes em testes,
enviados pelos professores, resultou em inúmeras alterações e melhorias no texto, nas
figuras e nos problemas de final de capítulo. Estas incluem:
■ Uma apresentação mais “enxuta” do conteúdo. Encurtamos cada capítulo em uma
página tornando a linguagem mais sintética e reduzindo o material supérfluo.
■ Questões conceituais. Por solicitação do público em geral, a parte final de cada ca-
pítulo agora inclui uma seção de questões conceituais semelhantes às do Student
Workbook (Manual de Exercícios do Estudante).
■ Desenhos à lápis. Cada capítulo contém vários esboços feitos à mão, em exemploschave resolvidos, com a finalidade de mostrar aos estudantes os tipos de desenhos
que eles deveriam fazer em suas próprias resoluções de problemas.
■ Problemas novos e revisados ao final do capítulo. Os problemas foram revisados com
o objetivo de incorporar o inédito número de dados e feedback proveniente de mais
de 100 mil estudantes que trabalharam com estes problemas em Mastering PhysicsTM.
Mais de 20% dos problemas de final de capítulo são novos ou foram revisados significativamente, incluindo um número maior de problemas que requerem o cálculo.
As características pedagógicas
O Prefácio para o estudante mostra como essas características foram concebidas para
auxiliar seus estudantes.
O Student Workbook*
Um material adicional ao livro Física: Uma Abordagem Estratégica é o Student Workbook (Livro de Exercícios do Estudante). Esta obra permite vencer o espaço entre o livro
e os problemas para casa dando aos estudantes a oportunidade de aprender e de praticar
suas habilidades antes de usá-las nos problemas quantitativos de final de capítulo, de
forma muito parecida como um músico desenvolve sua técnica separadamente das peças
que apresenta ao público. Os exercícios do Student Workbook, ajustados a cada seção do
livro, concentram-se no desenvolvimento de ferramentas específicas, que vão desde a
identificação das forças e do traçado de diagramas de corpo livre à interpretação de funções de onda.
Os exercícios do Workbook, que geralmente são de caráter qualitativo e/ou gráfico, estão embasados na literatura técnica da educação em ensino de física. Os exercícios tratam
de tópicos conhecidos por causarem dificuldades aos estudantes e fazem uso de técnicas
que se mostraram eficientes na superação de tais dificuldades. Os exercícios do Workbook
podem ser usados em sala de aula como parte da estratégia de ensino e aprendizagem ativos, em seções de argüição oral ou como uma tarefa de casa para os estudantes.
* Disponível apenas no mercado norte-americano.
Prefácio para o Professor
CD-ROM para o estudante
Um CD-ROM contendo inúmeros exercícios interativos e animações em Java é uma
excelente ferramenta de aprendizado. Ele está encartado no Volume 1. Caso você não
tenha comprado o Volume 1 e queira receber o CD, basta preencher a Carta-resposta nas
páginas finais deste volume e enviar para a Bookman Editora.
Suplementos para o professor
Os professores que adotarem a obra e desejarem acesso ao material disponível para
o mercado brasileiro devem entrar na área do professor no site da Bookman editora
(www.bookman.com.br). Lá, encontrarão versões em word e pdf do Instructor Solutions (em inglês), contendo as soluções dos exercícios, além do Test Bank, um banco
de exercícios (em inglês) diferentes dos propostos no livro. Em português, lâminas de
PowerPoint contendo as figuras e as tabelas do texto, excelente recurso e de fácil uso
na sala de aula.
Os demais recursos listados a seguir estão disponíveis nos locais indicados em cada
item.
■ O Instructor Guide for Physics for Scientists and Engineers contém comentários
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detalhados e sugestões de idéias para o ensino de cada capítulo, uma revisão extensa
do que se aprendeu da pesquisa em ensino de física e linhas-mestras para o uso de
técnicas de aprendizagem ativa em sua sala de aula.
O Instructor Solutions Manual, Capítulos 1-19 (ISBN 0-321-51621-4/978-0-32151621-3) e Capítulos 20-43 (ISBN 0-321-51657-5/978-0-321-51657-2), escritos
pelo autor e pelo professores Scott Nutter (Nouthern Kentucky University) e Larry
Smith (Snow College), traz soluções completas de todos os problemas de final de capítulo. As soluções seguem os quatro passos do procedimento Modelo/Visualização/
Solução/Avaliação usado nas Estratégias para Resolução de Problemas e em todos
os exemplos resolvidos do livro. O texto inteiro de cada solução está disponível em
documento Word e em arquivo pdf, editáveis, no Media Manager CD-ROM para
uso próprio ou para seu website protegido por senha.
O Instructor Resource Center online (www.aw-bc.com/irc) oferece atualizações
para arquivos do Media manager CD-ROMs. Para obter um nome de usuário e uma
senha, contate a Pearson Addison-Wesley.
O Mastering PhysicsTM (www.masteringphysics.com) é o mais amplamente usado
e educacionalmente comprovado livro de exercícios de física, tutorial e sistema de
avaliação disponível. Ele foi concebido para atribuir notas, avaliar e acompanhar o
progresso de cada estudante através de uma variedade de problemas extensivamente
pré-testados. Ícones distribuídos através do livro indicam que o Mastering PhysicsTM
disponibiliza tutoriais para todos os Boxes Táticos e todas as Estratégias para Resolução de Problemas, bem como para todos os problemas de final de capítulo, itens
do Test Bank e do Reading Quizzes. O Mastering PhysicsTM oferece aos professores
maneiras rápidas e efetivas de propor tarefas para casa de amplo alcance online com
a duração e o nível de dificuldade adequados. Os poderosos diagnósticos após a atribuição de notas permitem ao professor verificar o progresso de sua classe como um
todo ou identificar rapidamente áreas de dificuldades para estudantes individuais.
O ActivPhysics OnLineTM (acessado através da área Self Study em www.masteringphysics.com) disponibiliza uma livraria com mais de 420 applets provados e testados do ActivPhysics. Além disso, ele disponibiliza um conjunto altamente respeitado de tutoriais baseados em applets, desenvolvidos pelos professores pioneiros em
educação Alan Van Heuvelen e Paul D⬘Alessandris. Os ícones de ActivPhysics, que
aparecem ao longo do livro, direcionam os estudantes para exercícios interativos
específicos que complementam a discussão apresentada no livro.
Os exercícios online foram concebidos para encorajar os estudantes a confrontar
concepções alternativas, raciocinar qualitativamente sobre os processos físicos, realizar experimentos qualitativos e aprender a pensar criticamente. Eles cobrem todos
os tópicos, desde a mecânica à eletricidade e ao magnetismo, da óptica à física moderna. Os livros de exercícios que acompanham a altamente aclamada ActivPhysics
OnLine ajudam os estudantes a operar com conceitos complexos e a entendê-los
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Prefácio para o Professor
mais claramente. Mais de 280 applets da livraria do ActivPhysics OnLine também
estão disponíveis nos Media Manager CD-ROMs do professor.
■ O Printed Test Bank (ISBN 0-321-51622-2/978-0-321-51622-0) e a plataforma
Computerized Test Bank (incluído com o Media Manager CD-ROMs), preparado
pelo Dr. Peter W. Murphy, contém mais de 1.500 problemas de alta qualidade, com
uma variedade de questões para casa do tipo múltipla escolha, falso-verdadeiro, respostas curtas. Na versão para computador, mais da metade das questões têm valores
numéricos que podem ser fornecidos aleatoriamente a cada estudante.
■ O Transparency Acetates (ISBN 0-321-51623-0/978-0-321-51623-7) disponibiliza
mais de 200 figuras-chave do Physics for Scientists and Engineers para uso em sala
de aula.
Suplementos para o estudante*
■ Os Student Solutions Manuals Chapters 1-19 (ISBN 0-321-51354-1/978-0-321-
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51354-0) e Capítulos 20-43 (ISBN 0-321-51356-8/978-0-321-51356-4), escritos
pelo autor e pelos professores Scott Nutter (Northern Kentucky University) e Larry
Smith (Snow College), fornecem soluções detalhadas de mais da metade dos problemas de final de capítulo com numeração ímpar. As soluções seguem o procedimento
das quatro etapas Modelo/Visualização/Resolução/Avaliação usado nas Estratégias
para Resolução de Problemas e nos exemplos resolvidos no livro.
MasteringPhysicsTM (www.masteringphysics.com) é o mais amplamente usado e
educacionalmente comprovado livro de exercícios de física, tutorial e sistema de
avaliação disponível. Ele é baseado em anos de pesquisa sobre como os estudantes
trabalham nos problemas de física e onde precisamente eles precisam de ajuda. Estudos revelam que os estudantes que usam o MasteringPhysicsTM melhoram significativamente suas notas finais em comparação com os livros de exercícios escritos
à mão. O MasteringPhysicsTM consegue tal melhora dando aos estudantes feedbacks
instantâneos e específicos para suas respostas erradas, apresentando subproblemas
mais simples sob requisição quando eles forem incapazes de ir além e atribuindo
notas parciais pelos métodos que eles usaram. Esta orientação socrática e individualizada 24/7 é recomendada aos seus colegas por nove entre dez estudantes como
sendo a maneira de estudar mais efetiva e que ecomomiza tempo.
Pearson Tutor Services (www.pearsontutorservices.com). A assinatura do MasteringPhysics de cada estudante inclui um acesso complementar aos Pearson Tutor
Services, fornecido pela Smarthinking, Inc. Fornecendo seu MasteringPhysics ID e
a sua senha, o estudante estará ligado aos altamente qualificados e-structorsTM, que
disponibilizam orientação online interativa adicional acerca dos principais conceitos
da física. Existem algumas limitações mas oferece a possibilidade de alterações.
ActivPhysics OnLineTM (acessado por www.masteringphysics.com) disponibiliza aos
estudantes uma suíte altamente recomendada de tutoriais autodidáticos baseado em
applets (veja mais acima). Os ícones do ActivPhysics ao longo do livro direcionam
os estudantes para exercícios específicos que complementam a discussão levada à
cabo no texto. Os seguintes livros de exercícios constituem uma gama de problemastutoriais concebidos para usar as simulações do ActivPhysics OnLine, ajudando os
estudantes a operar com conceitos complexos e a compreendê-los mais claramente:
ActivPhysics OnLine Workbook 1: Mechanics ⫺ Thermal Physics ⫺ Oscillations
& Waves (ISBN 0-8053 ⫺ 9060 ⫺ X)
ActivPhysics OnLine Workbook 2: Electricity & Magnetism ⫺ Optics ⫺ Modern
Physics (ISBN 0-8053 ⫺ 9061 ⫺ 8)
Agradecimentos
Tive como base conversas e, especialmente, publicações escritas de muitos membros
da comunidade de pesquisadores em ensino de física. Aqueles cuja influência posso
reconhecer incluem Arnold Arons, Uri Ganiel, Ibrahim Halloun, Richard Hake, Ken
* Os materiais impressos citados estão disponíveis apenas para o mercado norte-americano. Os interessados nos materiais on-line (em inglês) devem acessar os endereços mencionados.
Prefácio para o Professor
Heller, David Hestenes, Leonard Jossem, Jill Larkin, Priscilla Laws, John Mallinckrodt, Kandiah Manivannan e os membros do grupo de pesquisa em ensino de física da
University of Washington, David Mattzer, Edward “Joe” Redish, Fred Reif, Jeffery
Saul, Rachel Scherr, Bruce Sherwood, Josip Slisko, David Sokoloff, Ronald Thornton,
Sheila Tobias e Alan Van Heuvelen. John Rigden, fundador e diretor do Introductory
University Physics Project, deu o impulso que me pôs neste caminho. Os primeiros
desenvolvimentos de materiais foram patrocinados pela National Science Foundation
como parte do projeto Physics for the Year 2000; meu agradecido reconhecimento pelo
apoio dado.
Agradeço também a Larry Smith e a Scott Nutter pela difícil tarefa de redação do
Instructor Solutions Manuals; a Jim Andrews e a Rebecca Sabinovsky pela redação das
respostas para os livros de exercícios; a Wayne Anderson, Jim Andrews, Dave Ettestad,
Stuart Field, Robert Glosser e Charlie Hibbard por suas contribuições aos problemas
de final de capítulo; e a meu colega Matt Moelter por muitas contribuições e sugestões
valiosas.
Eu queria agradecer especialmente a meu editor Adam Black, à editora de desenvolvimento Alice Houston, à editora de projetos Martha Steele e a toda a equipe administradora da Addison-Wesley por seu entusiasmo e pelo árduo trabalho realizado neste
projeto. A supervisora de produção Nancy Tabor, Jared Sterzer e a equipe da WestWords
Inc. e o pesquisador fotográfico Brian Donnely têm grandes méritos por tornar realidade
este projeto complexo. Além dos revisores e dos responsáveis pelas aplicações de testes
em sala de aula, listados abaixo, que forneceram um inestimável feedback, sou particularmente grato a Charlie Hibbard e a Peter W. Murphy pelo escrutínio detalhado de cada
palavra e de cada figura deste livro.
Finalmente, serei eternamente grato à minha esposa Sally, por seu amor, encorajamento e paciência, e aos meus vários gatos (e especialmente à memória de Spike, minha
companhia infalível de redação), por suas habilidades inatas em manter meu teclado e
minha impressora cheios de pêlos e por sempre sentarem bem no meio das pilhas de
páginas de provas cuidadosamente empilhadas.
Revisores e aplicadores de testes em sala de aula
Gary B. Adams, Arizona State University
Ed Adelson, Ohio State University
Kyle Altmann, Elon University
Wayne R. Anderson, Sacramento City College
James H. Andrews, Youngstown State University
Kevin Ankoviak, Las Positas College
David Balogh, Fresno City College
Dewayne Beery, Buffalo State College
Joseph Bellina, Saint Mary’s College
James R. Benbrook, University of Houston
David Besson, University of Kansas
Randy Bohn, University of Toledo
Richard A. Bone, Florida International University
Gregory Boutis, York College
Art Braundmeier, University of Southern Illinois, Edwardsville
Carl Bromberg, Michigan State University
Meade Brooks, Collin College
Douglas Brown, Cabrillo College
Ronald Brown, California Polytechnic State University, San Luis
Obispo
Mike Broyles, Collin County Community College
Debra Burris, University of Central Arkansas
James Carolan, University of British Columbia
Michael Chapman, Georgia Tech University
Norbert Chencinski, College of Staten Island
Kristi Concannon, King’s College
Sean Cordry, Northwestern College of Iowa
Robert L. Corey, South Dakota School of Mines
Michael Crescimanno, Youngstown State University
Dennis Crossley, University of Wisconsin–Sheboygan
Wei Cui, Purdue University
Robert J. Culbertson, Arizona State University
Danielle Dalafave, The College of New Jersey
Purna C. Das, Purdue University North Central
Chad Davies, Gordon College
William DeGraffenreid, California State University–Sacramento
Dwain Desbien, Estrella Mountain Community College
John F. Devlin, University of Michigan, Dearborn
John DiBartolo, Polytechnic University
Alex Dickison, Seminole Community College
Chaden Djalali, University of South Carolina
Margaret Dobrowolska, University of Notre Dame
Sandra Doty, Denison University
Miles J. Dresser, Washington State University
Charlotte Elster, Ohio University
Robert J. Endorf, University of Cincinnati
Tilahun Eneyew, Embry-Riddle Aeronautical University
F. Paul Esposito, University of Cincinnati
John Evans, Lee University
Harold T. Evensen, University of Wisconsin–Platteville
Michael R. Falvo, University of North Carolina
Abbas Faridi, Orange Coast College
Nail Fazleev, University of Texas–Arlington
Stuart Field, Colorado State University
Daniel Finley, University of New Mexico
Jane D. Flood, Muhlenberg College
Michael Franklin, Northwestern Michigan College
Jonathan Friedman, Amherst College
Thomas Furtak, Colorado School of Mines
Alina Gabryszewska-Kukawa, Delta State University
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Prefácio para o Professor
Lev Gasparov, University of North Florida
Richard Gass, University of Cincinnati
J. David Gavenda, University of Texas, Austin
Stuart Gazes, University of Chicago Katherine
M. Gietzen, Southwest Missouri State University
Robert Glosser, University of Texas, Dallas
William Golightly, University of California, Berkeley
Paul Gresser, University of Maryland
C. Frank Griffin, University of Akron
John B. Gruber, San Jose State University
Stephen Haas, University of Southern California
John Hamilton, University of Hawaii at Hilo
Jason Harlow, University of Toronto
Randy Harris, University of California, Davis
Nathan Harshman, American University
J. E. Hasbun, University of West Georgia
Nicole Herbots, Arizona State University
Jim Hetrick, University of Michigan–Dearborn
Scott Hildreth, Chabot College
David Hobbs, South Plains College
Laurent Hodges, Iowa State University
Mark Hollabaugh, Normandale Community College
John L. Hubisz, North Carolina State University
Shane Hutson, Vanderbilt University
George Igo, University of California, Los Angeles
David C. Ingram, Ohio University
Bob Jacobsen, University of California, Berkeley
Rong-Sheng Jin, Florida Institute of Technology
Marty Johnston, University of St. Thomas
Stanley T. Jones, University of Alabama
Darrell Judge, University of Southern California
Pawan Kahol, Missouri State University
Teruki Kamon, Texas A&M University
Richard Karas, California State University, San Marcos
Deborah Katz, U.S. Naval Academy
Miron Kaufman, Cleveland State University
Katherine Keilty, Kingwood College
Roman Kezerashvili, New York City College of Technology
Peter Kjeer, Bethany Lutheran College
M. Kotlarchyk, Rochester Institute of Technology
Fred Krauss, Delta College
Cagliyan Kurdak, University of Michigan
Fred Kuttner, University of California, Santa Cruz
H. Sarma Lakkaraju, San Jose State University
Darrell R. Lamm, Georgia Institute of Technology
Robert LaMontagne, Providence College
Eric T. Lane, University of Tennessee–Chattanooga
Alessandra Lanzara, University of California, Berkeley
Lee H. LaRue, Paris Junior College
Sen-Ben Liao, Massachusetts Institute of Technology
Dean Livelybrooks, University of Oregon
Chun-Min Lo, University of South Florida
Olga Lobban, Saint Mary’s University
Ramon Lopez, Florida Institute of Technology
Vaman M. Naik, University of Michigan, Dearborn
Kevin Mackay, Grove City College
Carl Maes, University of Arizona
Rizwan Mahmood, Slippery Rock University
Mani Manivannan, Missouri State University
Richard McCorkle, University of Rhode Island
James McDonald, University of Hartford
James McGuire, Tulane University
Stephen R. McNeil, Brigham Young University–Idaho
Theresa Moreau, Amherst College
Gary Morris, Rice University
Michael A. Morrison, University of Oklahoma
Richard Mowat, North Carolina State University
Eric Murray, Georgia Institute of Technology
Taha Mzoughi, Mississippi State University
Scott Nutter, Northern Kentucky University
Craig Ogilvie, Iowa State University
Benedict Y. Oh, University of Wisconsin
Martin Okafor, Georgia Perimeter College
Halina Opyrchal, New Jersey Institute of Technology
Yibin Pan, University of Wisconsin-Madison
Georgia Papaefthymiou, Villanova University
Peggy Perozzo, Mary Baldwin College
Brian K. Pickett, Purdue University, Calumet
Joe Pifer, Rutgers University
Dale Pleticha, Gordon College
Marie Plumb, Jamestown Community College
Robert Pompi, SUNY-Binghamton
David Potter, Austin Community College–Rio Grande Campus
Chandra Prayaga, University of West Florida
Didarul Qadir, Central Michigan University
Steve Quon, Ventura College
Michael Read, College of the Siskiyous
Lawrence Rees, Brigham Young University
Richard J. Reimann, Boise State University
Michael Rodman, Spokane Falls Community College
Sharon Rosell, Central Washington University
Anthony Russo, Okaloosa-Walton Community College
Freddie Salsbury, Wake Forest University
Otto F. Sankey, Arizona State University
Jeff Sanny, Loyola Marymount University
Rachel E. Scherr, University of Maryland
Carl Schneider, U. S. Naval Academy
Bruce Schumm, University of California, Santa Cruz
Bartlett M. Sheinberg, Houston Community College
Douglas Sherman, San Jose State University
Elizabeth H. Simmons, Boston University
Marlina Slamet, Sacred Heart University
Alan Slavin, Trent College
Larry Smith, Snow College
William S. Smith, Boise State University
Paul Sokol, Pennsylvania State University
LTC Bryndol Sones, United States Military Academy
Chris Sorensen, Kansas State University
Anna and Ivan Stern, AW Tutor Center
Gay B. Stewart, University of Arkansas
Michael Strauss, University of Oklahoma
Chin-Che Tin, Auburn University
Christos Valiotis, Antelope Valley College
Andrew Vanture, Everett Community College
Arthur Viescas, Pennsylvania State University
Ernst D. Von Meerwall, University of Akron
Chris Vuille, Embry-Riddle Aeronautical University
Jerry Wagner, Rochester Institute of Technology
Robert Webb, Texas A&M University
Zodiac Webster, California State University, San Bernardino
Robert Weidman, Michigan Technical University
Fred Weitfeldt, Tulane University
Jeff Allen Winger, Mississippi State University
Carey Witkov, Broward Community College
Ronald Zammit, California Polytechnic State University, San Luis
Obispo
Darin T. Zimmerman, Pennsylvania State University, Altoona
Fredy Zypman, Yeshiva University
Prefácio para o Estudante
De mim para você
A coisa mais incomprenssível sobre o universo é que ele é compreensível.
—Albert Einstein
No dia em que fui à aula de física, estava morta.
—Sylvia Plath, The Bell Jar
Vamos ter uma pequena conversa antes de começar. Uma conversa unilateral, é verdade, pois você não pode responder, mas OK. Eu venho conversando com seus colegas estudantes por anos a fio, de modo que tenho uma boa idéia do que se passa em
sua mente.
Qual é sua reação ao se mencionar a física? Medo ou abominação? Incerteza? Entusiasmo? Ou tudo que foi mencionado? Vamos admitir, a física tem uma imagem meio
problemática no campus. Provavelmente você já ouviu que ela é uma disciplina difícil,
talvez até mesmo impossível de ser compreendida a menos que você seja um Einstein.
O que você tem escutado por aí, as suas experiências com outras disciplinas e muitos
outros fatores criam suas expectativas sobre como vai ser este curso.
É verdade que existem muitas novas idéias a serem aprendidas na física e que este
curso, como os cursos superiores em geral, terá um ritmo muito mais rápido do que o
dos cursos de ciências que você teve no Ensino Médio. Acho honesto dizer que será
um curso intenso. Mas poderemos evitar muitos problemas e dificuldades potenciais se
deixarmos claro, desde o início, do que tratará o curso e o que se espera de você ⫺ e de
mim!
O que é a física, afinal? A física constitui uma maneira de pensar sobre os aspectos
físicos da natureza. A física não é melhor do que as artes ou a biologia, a poesia ou a religião, que também são modos de pensar a natureza; ela é, simplesmente, diferente. Um
dos aspectos que será salientado neste curso é que a física é uma empreitada humana. As
idéias apresentadas neste livro não foram descobertas em uma caverna ou transmitidas a
nós por alienígenas; elas foram descobertas e desenvolvidas por pessoas reais, engajadas
em uma luta extenuante com assuntos reais. Eu espero conseguir transmitir um pouco da
história e dos processos através dos quais viemos a aceitar os princípios que constituem
as fundações da ciência e da engenharia de hoje.
Você pode estar surpreso em ouvir que a física não trata de “fatos”. Oh, isso não
significa que os fatos não sejam importantes, e sim, que a física foca mais a descoberta
de relações entre os fatos e os padrões existentes na natureza do que o aprender fatos por
seu próprio interesse. Conseqüentemente, não há muito para memorizar quando se estuda física. Há algumas ⫺ como definições e equações por aprender ⫺, mas muito menos
do que nos outros cursos. Em vez disso, nossa ênfase estará na reflexão e no raciocínio.
Este é um aspecto importante de suas expectativas sobre o curso.
E talvez o que seja o mais importante de tudo: a física não é matemática! A física é
muito mais ampla. Iremos examinar os padrões e as relações da natureza, desenvolver
uma lógica que relacione diferentes idéias e buscar as razões pelas quais as coisas ocorrem do modo que vemos. Ao fazer isso, iremos destacar a importância do raciocínio qualitativo, pictórico e gráfico e também daquele que se vale de analogias. E, sim, usaremos
a matemática, mas ela será apenas uma ferramenta dentre outras.
Muitas frustrações serão evitadas se você estiver consciente, desde o início, dessa
distinção entre física e matemática. Boa parte dos estudantes, eu sei, gostaria de encontrar uma fórmula e nela inserir números ⫺ ou seja, resolver um problema de matemática.
Talvez isso funcione em cursos de ciência universitários avançados, mas não é isso que
xii
Prefácio para o Estudante
(a) Padrão de difração de raios X
(b) Padrão de difração de elétrons
este curso espera de você. Certamente realizaremos muitos cálculos, todavia os números
específicos para serem usados geralmente só surgirão como o último, e menos importante, passo da análise.
A física diz respeito à identificação de padrões. Por exemplo, a fotografia superior desta página é um padrão de difração de raios X que mostra como um feixe focado de raios X se espalha após atravessar um cristal. A fotografia inferior mostra o
que acontece quando um feixe focado de elétrons incide no mesmo cristal. O que as
similaridades óbvias nas duas fotos nos dizem a respeito da natureza da luz e da
matéria?
Quando estiver estudando, às vezes você ficará perplexo, intrigado e confuso. Isso
é perfeitamente normal e esperado. Cometer erros é absolutamente OK se você estiver
desejando aprender com a experiência. Ninguém nasce sabendo como fazer física mais
do que como tocar piano ou arremessar bolas de basquete numa cesta. A habilidade em
fazer física vem da prática, da repetição e da luta com as idéias até que você as “domine”
e consiga aplicá-las por si mesmo a novas situações. Não existe maneira de aprender sem
esforço, pelo menos para um bom aprendizado, de modo que se espera que você sinta
dificuldades em determinados momentos futuros. Mas também se espera que haja alguns
momentos de excitação com a alegria da descoberta. Haverá instantes em que os pedaços
subitamente se ajustam aos lugares certos e você terá certeza de ter compreendido uma
idéia poderosa. Haverá ocasiões em que você se surpreenderá resolvendo com sucesso
um problema difícil que você achava que fosse incapaz de resolver. Minha esperança,
como autor, é de que a excitação e o senso de aventura acabem por superar as dificuldades e as frustrações.
Obtendo o melhor de seu curso
Muitos estudantes, eu suspeito, gostariam de conhecer qual é a “melhor” maneira de estudar este curso. Não existe tal maneira. As pessoas são diferentes, e o que funciona para um
estudante é menos eficiente para outro. Mas o que eu desejo destacar é que ler o texto é de
importância vital. O tempo em sala de aula será usado para superar dificuldades e desenvolver as ferramentas para usar o conhecimento adquirido, porém seu professor não deverá
usar o tempo em sala de aula para, simplesmente, repetir a informação que se encontra no
texto. O conhecimento básico para este curso está descrito nas páginas seguintes; a expectativa número um é a de que você leia atentamente o livro para encontrar este conhecimento
e aprenda a utilizá-lo.
A despeito de não existir uma melhor maneira de estudar, eu lhe sugiro uma maneira que
tem sido bem – sucedida com muitos estudantes. Ela consiste nas quatro seguintes etapas:
1. Leia cada capítulo antes de discuti-lo em sala de aula. Não tenho como expressar
quão importante é esta etapa. Sua participação nas aulas será muito mais efetiva se
você estiver preparado. Quando estiver lendo um capítulo pela primeira vez, concentre-se no aprendizado do novo vocabulário, das novas definições e da nova notação.
Há uma lista de termos e notações no final de cada capítulo. Estude-a! Você não
compreenderá o que está sendo discutido e as idéias utilizadas se não souber o que
significam os termos e os símbolos empregados.
2. Participe ativamente das aulas. Faça anotações, faça perguntas, tente responder às
questões propostas e participe ativamente das discussões em grupos. Existe a mais
ampla evidência científica de que a participação ativa é muito mais efetiva no aprendizado científico do que assistir passivamente às aulas.
3. Após as aulas, faça uma releitura do capítulo correspondente. Nesta sua segunda
leitura, preste muita atenção nos detalhes e nos exemplos resolvidos. Procure descobrir a lógica por trás de cada exemplo (eu procurei destacar isso para torná-lo mais
claro), e não, apenas a fórmula usada. Quando terminar a leitura, faça os exercícios
do Student Workbook de cada seção.
4. Finalmente, aplique o que aprendeu nos problemas para casa no final de cada capítulo. Eu recomendo fortemente que você forme um grupo de estudos com dois ou três
colegas de turma. Existe boa evidência de que alunos que estudam regularmente em um
grupo saem-se melhor do que aqueles estudantes individualistas que tentam resolver
tudo sozinhos.
Prefácio para o Estudante
xiii
Alguém mencionou um livro de exercícios? O acompanhamento no Student Workbook
constitui uma parte vital do curso. Suas questões e seus exercícios lhe exigirão que raciocine
qualitativamente, que utilize a informação gráfica e que formule explicações. Espera-se
destes exercícios que você aprenda o que significam os conceitos e que você pratique habilidades de raciocínio apropriadas para cada capítulo. Você, então, terá adquirido o conhecimento básico e a confiança de que necessita antes de se voltar para os problemas para
casa de final de capítulo. Nos esportes e na música, você jamais pensaria em se apresentar
publicamente sem ter praticado; logo, por que deveria tentar fazer diferentemente no caso da
física? O livro de exercícios é onde você praticará e trabalhará as habilidades básicas.
Muitos dos estudantes, eu sei, serão tentados a ir diretamente para os problemas de casa
e, então, se porão a procurar, através do texto, uma fórmula que lhes pareça que funcione.
Essa abordagem não terá sucesso neste curso, e é garantido que, neste caso, eu os frustrarei
e os desencorajarei. Muitos poucos problemas para casa são do tipo “ligue e prossiga”, em
que o estudante simplesmente insere números em uma fórmula. Para trabalhar com sucesso
os problemas para casa, você precisará de uma estratégia melhor ⫺ ou a que foi delineada
acima ou uma própria ⫺ que o ajude a aprender os conceitos e as relações entre as idéias.
Uma orientação tradicional no ensino superior é que o aluno estude duas horas fora
de aula para cada hora gasta em sala de aula, e este livro foi concebido sob tal expectativa. É claro, duas horas em média. Certos capítulos são mais fáceis e neles você irá mais
rapidamente. Outros provavelmente exigirão muito mais do que duas horas de estudo
para cada hora em aula.
Obtendo o melhor de seu livro-texto
Seu livro tem várias características planejadas para ajudá-lo a aprender os conceitos da física
e a resolver problemas de forma mais eficiente.
■ Os BOXES TÁTICOS apresentam procedimentos passo a passo para desenvolver habili-
dades específicas, como a interpretação de gráficos ou o traçado de diagramas especiais. Os Boxes Táticos são explicitamente ilustrados nos exemplos resolvidos que
o seguem, e estes são, com freqüência, os pontos de partida de uma Estratégia para
Resolução de Problemas completa.
BOX TÁTICO
5.3
BOX TÁTICO
Desenhando um diagrama de corpo livre
33.3
Identifique todas as forças exercidas sobre o objeto de interesse. Esta etapa foi
descrita já no Box Tático 5.2.
Faça o desenho do sistema de coordenadas a ser usado. Use os eixos definidos
em sua representação pictórica. Se eles forem inclinados, para o movimento ao
longo de rampas, então os eixos correspondentes no diagrama de corpo livre
também devem ser analogamente inclinados.
Represente o objeto por um ponto na origem do sistema de coordenadas. Este é
o modelo de partícula.
Desenhe vetores que representem cada uma das forças identificadas. Isso foi
descrito no Box Tático 5.1. Certifique-se de ter denotado cada vetor força.
Desenhe e denote o vetor força resultante
. Trace este vetor ao lado do diagrama, e não sobre a partícula. Ou, se for apropriado, escreva
. Depois
verifique se, em seu diagrama de movimento,
aponta com a mesma direção
e sentido do vetor aceleração .
Exercícios 24–29
Calculando integrais de linha
Se for perpendicular à linha em qualquer lugar da mesma, então a integral de
linha de é dada por
Se for tangente à linha de comprimento l em qualquer lugar da mesma, e tiver
a mesma intensidade B em qualquer de
seus pontos, então
Exercícios 23–24
xiv
Prefácio para o Estudante
■ As ESTRATÉGIAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS servem para uma grande classe de pro-
blemas ⫺ problemas característicos de um dado capítulo ou de um grupo de capítulos. As estratégias seguem uma abordagem consistente de quatro passos para ajudálo a adquirir confiança e proficiência na habilidade de resolver problemas: MODELO,
VISUALIZAÇÃO, RESOLUÇÃO E AVALIAÇÃO.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 6.2
Problemas de dinâmica
MODELO Faça hipóteses simplificadoras.
VISUALIZAÇÃO Desenhe uma representação pictórica.
Mostre os pontos importantes do movimento em um esboço, escolha um sistema de coordenadas, defina os símbolos e identifique o que o problema está
pedindo para se determinar. Este é o processo de tradução de palavras em
símbolos.
Use um diagrama de movimento para determinar o vetor aceleração do objeto, .
Identifique todas as forças exercidas sobre o objeto e represente-as em um diagrama de corpo livre.
É normal ir e voltar entre estas etapas enquanto você visualiza a situação.
RESOLUÇÃO A representação matemática é baseada na segunda lei de Newton:
A soma vetorial das forças é determinada diretamente do diagrama de corpo livre.
Dependendo do problema,
Isole a aceleração e depois use a cinemática para encontrar as velocidades e as
posições; ou
Use a cinemática para determinar a aceleração e depois obtenha as forças desconhecidas.
AVALIAÇÃO Verifique se seu resultado está em unidades corretas, se ele é plausível e
se responde à questão.
Espelho
A onda é
dividida
neste ponto.
■ Os EXEMPLOS resolvidos ilustram boas práticas para a resolução de problemas por
Espelho
■
Fonte
Divisor
de feixe
O detector mede a
superposição das 2
ondas que percorreram
caminhos diferentes.
Parafuso
de ajuste
As ondas que
retornam se
recombinam aqui.
FIGURA com anotações que explicam
o funcionamento do interferômetro de
Michelson.
■
■
■
meio do uso consistente da abordagem de quatro etapas para resolver problemas e,
quando apropriado, dos Boxes Táticos. Os exemplos resolvidos com freqüência são
muito detalhados e cuidadosamente o conduzem ao raciocínio por trás das soluções,
bem como aos cálculos detalhados. Um estudo cuidadoso do raciocínio o ajudará a
aplicar os conceitos e as técnicas em novos problemas que encontrará nas tarefas
para casa e nas provas.
NOTAS São parágrafos que o alertarão para erros freqüentes e que dão dicas em
problemas complicados.
As questões do tipo PARE E PENSE ao longo dos capítulos lhe permitirão rapidamente
avaliar se você compreendeu a idéia principal de uma seção. Uma resposta correta
lhe dará a confiança para passar à próxima seção. Uma resposta errada o alertará
para a necessidade de uma releitura da seção anterior.
Anotações em azul, nas figuras, o ajudarão a interpretar gráficos; a obter a equivalência entre gráficos, matemática e desenhos; a compreender conceitos difíceis por
meio de analogias visuais; e a desenvolver muitas outras habilidades importantes.
Esboços a lápis oferecem exemplos concretos das figuras que você deve desenhar
por sua conta quando for resolver problemas.
y
Antes: y0 = 5,0 m
v0 = 20 m/s
5,0 m
Após: y1 = 0 m
y1
0
Determinar: v1
FIGURA desenhada a lápis que mostra uma pessoa descendo
uma rampa e sua energia representada em um gráfico de barras.
Prefácio para o Estudante
■ Os objetivos de aprendizagem e as ligações que iniciam cada capítulo resumem o
foco daquele capítulo e o que você precisa relembrar dos capítulos anteriores.
Olhando adiante lista conceitos-chave e habilidades que você deverá aprender
no capítulo que se inicia.
Em retrospectiva destaca tópicos importantes de capítulos anteriores que você
deve revisar.
■ Resumos de capítulo esquemáticos o ajudarão a organizar o que você aprendeu em
uma forma hierárquica, desde os princípios gerais (parte superior) até as aplicações
(parte inferior). Representações pictóricas, gráficas, discursivas e matemáticas, dispostas lado a lado, são usadas para ajudá-lo a passar de uma dessas representações
para as outras.
■ Os resumos de final e de início das partes do livro descrevem a estrutura global
do que você está aprendendo. Cada parte inicia com um resumo panorâmico dos
capítulos à frente e conclui com um amplo resumo para ajudar você a relacionar
os conceitos apresentados naquele conjunto de capítulos. As tabelas de ESTRUTURA
DE CONHECIMENTO nos Resumos de partes, parecidas com os resumos de capítulo, o
ajudarão a enxergar a floresta, e não apenas as árvores individuais.
RESUMO
ESTRUTURA DE CONHECIMENTO I
O objetivo do Capítulo 28 foi compreender e aplicar a lei de Gauss.
As Leis de Newton
OBJETIVOS BÁSICOS
Partícula, aceleração, força, interação
Como uma partícula responde a uma força? Como os objetos interagem?
PRINCÍPIOS GERAIS
Primeira lei de Newton
CONCEITOS ESSENCIAIS
Princípios gerais
Lei de Gauss
Simetria
Para qualquer superfície fechada que encerre uma carga Qint, o fluxo elétrico resultante
através da superfície é
A simetria do campo elétrico deve corresponder à simetria da distribuição de carga.
Na prática, e é computável apenas quando a simetria da superfície gaussiana
corresponde à simetria da distribuição de
carga.
O fluxo elétrico
Qint.
e
é o mesmo para qualquer superfície fechada que encerre uma carga
A sobre B
B sobre A
ESTRATÉGIA BÁSICA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Use a segunda lei de Newton para cada partícula ou objeto. Use a terceira lei de Newton
Conceitos importantes
para igualar os módulos dos dois membros de cada par ação/reação.
A Carga cria o campo elétrico que é responsável pelo
fluxo elétrico.
Qin é a soma algébrica de todas as
cargas encerradas pela gaussiana.
Esta é a carga líquida que contribui
para o fluxo.
Superfície gaussiana
O Fluxo é a quantidade de campo elétrico
que atravessa uma superfície de área A:
onde
Segunda lei de Newton
Terceira lei de Newton
Um objeto permanecerá em repouso ou continuará movendo-se com
.
velocidade constante (equilíbrio) se e somente se res
m
res
Movimento linear
Movimento em um plano
Movimento circular
As cargas externas à superfície
contribuem para o campo elétrico,
mas não para o fluxo.
As integrais de superfície fornecem o fluxo por meio do somatório dos fluxos parciais através de várias pequenas áreas da superfície:
é o vetor área.
Para superfícies fechadas:
Um fluxo resultante de fora
para dentro ou de dentro para
fora indica que a superfície encerra uma carga líquida. Linhas
de campo que atravessam uma
superfície, mas sem produzir
fluxo resultante através da
mesma indicam que a superfície não encerra carga líquida.
Duas situações importantes:
Se o campo elétrico é tangente à superfície
em qualquer ponto da mesma, então
Se o campo elétrico é perpendicular à superfície em qualquer ponto da mesma e apresenta a mesma intensidade E em cada um de
seus pontos, então
Cinemática do movimento linear e do movimento no plano
Cinemática circular
Aceleração uniforme:
(as constante)
Movimento circular uniforme:
Trajetórias: as mesmas equações são usadas tanto para x quanto para y.
Movimento uniforme:
(a 0, vs constante)
Aplicações
Condutores em equilíbrio eletrostático
• O campo elétrico é nulo em todos os pontos internos ao condutor.
Caso geral
• Qualquer excesso de carga do condutor se distribui inteiramente sobre a superfície exterior.
• O campo elétrico externo é perpendicular à superfície do condutor e tem módulo igual a / 0, onde
densidade de carga da superfície.
éa
• O campo elétrico é nulo dentro de qualquer cavidade fechada no interior de um condutor, a menos que exista
uma carga líquida dentro da cavidade.
vs
ds/dt
declividade do gráfico da posição
as
dv/dt
declividade do gráfico da velocidade
vfs
vis
asdt
sf
si
vsdt
vis
area sob a curva da aceleração
Termos e notação
simétrico
superfície gaussiana
fluxo elétrico,
vetor área,
e
integral de superfície
lei de Gauss
blindagem
si
área sob a curva da velocidade
Agora que você já sabe mais sobre o que se espera de si, o que você espera de mim?
Isso é mais sutil, pois o livro já foi escrito! Mesmo assim, ele foi organizado e preparado
com base naquilo que, eu penso, meus estudantes têm esperado ⫺ e desejado ⫺de um
livro ao longo de meus anos de profissão. Além disso, eu listei o extenso feedback que
recebi de milhares de estudantes, como você, e de seus professores, que usaram a primeira edição da obra.
Você deve saber que estes materiais do curso ⫺ o texto e o livro de exercícios ⫺ são
baseados na pesquisa extensiva sobre como os estudantes aprendem física e sobre os desafios com que se deparam. A efetividade de muitos dos exercícios foi demonstrada pela
aplicação ampla de testes em sala de aula. O livro foi redigido em um estilo informal
que, eu espero, você ache agradável e que o encoraje a realizar a leitura do mesmo. Finalmente, esforcei-me não apenas para que a física, um corpo de conhecimento técnico,
seja relevante em sua profissão, mas também para que a física constitua uma aventura
excitante da mente humana.
Tenho a esperança de que você se divirta durante o tempo que passarmos juntos.
Movimento circular não-uniforme:
xv
Sumário Resumido
VOLUME 1
Parte I As Leis de Newton
Parte III Aplicações da Mecânica
Newtoniana
Capítulo 1
Conceitos do Movimento
2
Capítulo 2
Cinemática em uma Dimensão
Capítulo 3
Vetores e Sistemas de
Coordenadas 72
Capítulo 4
Cinemática em duas Dimensões
Capítulo 5
Força e Movimento
Capítulo 6
Dinâmica I: Movimento ao Longo de
uma Reta 151
Capítulo 7
A Terceira Lei de Newton
Capítulo 8
Dinâmica II: Movimento no Plano
34
90
126
183
Capítulo 12
Rotação de um Corpo Rígido
Capítulo 13
A Teoria de Newton da Gravitação 385
Capítulo 14
Oscilações
Apêndice A
Revisão Matemática
410
A-1
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração
Ímpar R-1
Créditos
C-1
Índice I-1
210
Parte II Princípios de Conservação
Capítulo 9
Impulso e Momentum
Capítulo 10
Energia
267
Capítulo 11
Trabalho
302
240
VOLUME 2
Capítulo 15
Fluidos e Elasticidade
442
Parte IV Termodinâmica
Capítulo 16
Chapter 17
Capítulo 18
Uma Descrição Macroscópica da
Matéria 480
Trabalho, Calor e a Primeira Lei da
Termodinâmica 506
A Conexão Micro/Macro
541
340
Capítulo 19
Máquinas Térmicas e
Refrigeradores 566
Parte V Ondas e Óptica
Capítulo 20
Ondas Progressivas
602
Capítulo 21
Superposição
Capítulo 22
Óptica Ondulatória
670
Capítulo 23
Óptica Geométrica
700
634
xviii
Sumário Resumido
Capítulo 24
Instrumentos Ópticos
739
Capítulo 25
Óptica Moderna e Ondas de
Matéria 763
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração
Ímpar R-1
Créditos
Apêndice A
Revisão Matemática
A-1
Índice
Apêndice B
Tabela Periódica dos Elementos
C-1
I-1
B-1
VOLUME 3
Parte VI Eletricidade e Magnetismo
Capítulo 26
Cargas Elétricas e Forças
788
Capítulo 27
O Campo Elétrico
Capítulo 28
Lei de Gauss
Capítulo 29
O Potencial Elétrico
881
Capítulo 30
Potencial e Campo
911
Capítulo 31
Corrente e Resistência
Capítulo 32
Fundamentos de Circuitos
Capítulo 33
O Campo Magnético
818
850
Capítulo 34
Indução Eletromagnética
1041
Capítulo 35
Campos Eletromagnéticos e
Ondas 1084
Capítulo 36
Circuitos CA
Apêndice A
Revisão Matemática
1114
A-1
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração
Ímpar R-1
Créditos
941
967
Índice
C-1
I-1
998
VOLUME 4
Capítulo 43
Parte VII Relatividade e Física
Quântica
Créditos
Capítulo 37
Relatividade
Capítulo 38
O Fim da Física Clássica
Capítulo 39
Quantização 1208
Capítulo 40
Funções de Onda e Incerteza
Capítulo 41
Mecânica Quântica
Unidimensional 1262
Capítulo 42
Física Atômica
1142
1300
1184
1239
Física Nuclear
1333
C-1
Apêndice A
Revisão Matemática
A-1
Apêndice B
Tabela Periódica dos Elementos
Apêndice C
Dados Atômicos e Nucleares
B-1
C-1
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração
Ímpar R-1
Índice
I-1
Sumário
INTRODUÇÃO
A Jornada na Física xxi
VOLUME IV
PARTE VII Relatividade e física
quântica
PANORAMA
A física contemporânea 1141
38.5 Millikan e a unidade fundamental de
carga 1192
38.6 Rutherford e a descoberta do núcleo 1193
38.7 Desvendando o núcleo 1198
38.8 Emissão e absorção de luz 1199
38.9 A física clássica no limite 1202
RESUMO 1203
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS 1204
Capítulo 39 Quantização
1208
39.1
39.2
39.3
39.4
Capítulo 37 Relatividade
O efeito fotoelétrico 1208
A explicação de Einstein 1212
Fótons 1216
Ondas de matéria e quantização da
energia 1217
39.5 O modelo atômico quântico de Bohr 1221
39.6 O átomo de hidrogênio de Bohr 1224
39.7 O espectro do hidrogênio 1230
RESUMO 1233
QUESTÕES E PROBLEMAS 1234
1142
37.1 Relatividade: Afinal, do que se trata? 1142
37.2 A relatividade de Galileu 1143
37.3 O princípio da relatividade de Einstein 1148
37.4 Eventos e medições 1151
37.5 A relatividade da simultaneidade 1154
37.6 Dilatação temporal 1156
37.7 Contração espacial 1161
37.8 As transformações de Lorentz 1164
37.9 Momentum relativístico 1169
37.10 Energia relativística 1172
RESUMO 1177
QUESTÕES E PROBLEMAS 1178
Capítulo 38 O fim da física clássica
38.1
38.2
38.3
38.4
1184
A física no século XIX 1185
Faraday 1186
Raios catódicos 1187
J. J. Thomson e a descoberta do
elétron 1188
Capítulo 40 Funções de onda e incerteza 1239
40.1 Ondas, partículas e o experimento de fenda
dupla 1240
40.2 Relacionando o ponto de vista ondulatório ao
corpuscular 1243
40.3 A função de onda 1245
40.4 Normalização 1247
40.5 Pacotes de onda 1249
40.6 O princípio da incerteza de
Heisenberg 1253
RESUMO 1256
QUESTÕES E PROBLEMAS 1257
Capítulo 41 Mecânica quântica
unidimensional 1262
41.1 A equação de Schrödinger: a lei da psi 1262
41.2 Resolvendo a equação de Schrödinger 1266
41.3 Partícula em uma caixa rígida: energias e
funções de onda 1268
xx
Sumário
41.4 Partícula em uma caixa rígida: interpretando
a solução 1271
41.5 O princípio da correspondência 1274
41.6 Poços de potencial finitos 1276
41.7 A forma das funções de onda 1281
41.8 O oscilador harmônico quântico 1283
41.9 Mais modelos quânticos 1286
41.10 Tunelamento quantomecânico 1290
RESUMO 1295
QUESTÕES E PROBLEMAS 1296
Capítulo 42 Física atômica
1300
42.1 O átomo de hidrogênio: momentum angular e
energia 1300
42.2 O átomo de hidrogênio: funções de onda e
probabilidades 1304
42.3 O spin do elétron 1307
42.4 Átomos multieletrônicos 1309
42.5 A tabela periódica dos elementos 1312
42.6 Estados excitados e espectros 1316
42.7 Tempos de vida média de estados
excitados 1320
42.8 Emissão estimulada e lasers 1323
RESUMO 1328
QUESTÕES E PROBLEMAS 1329
Capítulo 43 Física nuclear
1333
43.1
43.2
43.3
43.4
43.5
43.6
43.7
Estrutura nuclear 1333
Estabilidade nuclear 1337
A interação forte 1340
O modelo de camadas 1341
Radiação e radioatividade 1343
Mecanismos de decaimento 1349
Aplicações biológicas da física
nuclear 1353
RESUMO 1358
QUESTÕES E PROBLEMAS 1359
PARTE VII RESUMO Relatividade e física quântica 784
Créditos C-1
Apêndice A Revisão matemática A-1
Apêndice B Tabela periódica dos elementos B-1
Apêndice C Dados atômicos e nucleares C-1
Respostas dos exercícios e problemas de numeração
ímpar R-1
Índice I-1
Introdução
A Jornada na Física
Alice disse ao gato Cheshire,
“Gatinho Cheshire, poderia me dizer, por favor, qual o caminho para sair daqui?”
“Isso depende muito do lugar aonde você deseja ir”, disse o gato.
“Não me importa muito onde ...”, disse Alice.
“Neste caso não importa qual o caminho que você pegue”, disse o gato.
— Lewis Carrol, Alice no País das Maravilhas
Talvez você já tenha se indagado a respeito de questões, como:
Por que o céu é azul?
Por que o vidro é um isolante, enquanto um metal é um condutor?
O que é, realmente, um átomo?
Estas são questões das quais a física é feita. Os físicos tentam entender o universo em
que vivemos através da observação dos fenômenos da natureza ⫺ como o céu ser azul ⫺
e da procura por padrões e princípios que expliquem tais fenômenos. Muitas das descobertas feitas pelos físicos, desde ondas eletromagnéticas até a energia nuclear, alteraram
para sempre a maneira como vivemos e pensamos.
Você está para embarcar em uma jornada para o reino da física. Trata-se de uma jornada em que você aprenderá sobre muitos fenômenos físicos e obterá as respostas para
questões tais como as que citamos acima. Ao longo do caminho, você também aprenderá
como usar a física para analisar e resolver muitos problemas práticos.
Enquanto prossegue, você vai conhecer os métodos com os quais os físicos chegam
a compreender as leis da natureza. As idéias e as teorias dos físicos não são arbitrárias;
elas são firmemente alicerçadas em experimentos e medições. Quando você terminar de
estudar este texto, será capaz de reconhecer as evidências sobre as quais está baseado
nosso presente conhecimento sobre o universo.
xxii
Introdução
Por qual caminho devemos seguir?
Aqui, no começo da jornada, somos muito parecidos com Alice no país das maravilhas por
termos de decidir qual caminho seguir. A física é um imenso corpo de conhecimento, e,
sem objetivos específicos, não importaria que assuntos estudássemos. Todavia, diferentemente de Alice, nós temos de fato alguns destinos particulares que gostaríamos de visitar.
A física que constitui o alicerce para toda a ciência e a engenharia modernas pode ser
dividida em três grandes categorias:
■ Partículas e energia
■ Campos e ondas
■ A estrutura atômica da matéria
Um microscópio de varredura por
tunelamento nos permite “ver” os átomos
individuais de uma superfície. Um de
nossos objetivos é compreender como
uma imagem dessas é obtida.
Uma partícula, no sentido em que usaremos este termo, é uma idealização de um
objeto físico. Faremos uso da idéia de partícula para entender como os objetos se movem
e como interagem uns com os outros. Uma das mais importantes propriedades de uma
partícula ou de uma coleção de partículas é a energia. Estudaremos a energia por seu
valor na compreensão de processos físicos e por causa de sua importância prática em
uma sociedade tecnológica.
Partículas são objetos discretos e localizados. Embora muitos fenômenos possam
ser compreendidos em termos de partículas e de suas interações, as interações de ação a
distância da gravidade, da eletricidade e do magnetismo são mais bem-compreendidas
em termos de campos, tais como o campo gravitacional e o campo elétrico. Em vez de
serem discretos, os campos espalham-se continuamente através do espaço. Boa parte da
segunda metade deste livro se concentrará na compreensão dos campos e das interações
entre campos e partículas.
Certamente uma das mais importantes descobertas dos últimos 500 anos é que a
matéria é constituída por átomos. Os átomos e suas propriedades são descritos pela física
quântica, porém não podemos saltar diretamente para este assunto e esperar que ele faça
algum sentido. Para chegar ao nosso destino, vamos ter de estudar muitos outros assuntos ao longo do caminho ⫺ como ter de passar pelas Montanhas Rochosas se deseja ir de
carro de Nova York a São Francisco. Todo nosso conhecimento a respeito de partículas e
campos estará em ação quando, no fim de nossa jornada, estivermos estudando a estrutura atômica da matéria.
A rota a seguir
Aqui, no início, podemos ter uma panorâmica da rota a seguir. Aonde nossa jornada nos
levará? O que veremos ao longo do caminho?
topo
res
res
fundo
As Partes I e II, as Leis de Newton e os Princípios de conservação, constituem a base do
que chamaremos de mecânica clássica. A mecânica clássica é o estudo do movimento.
(Ela é chamada de clássica para que possamos distingui-la da teoria moderna do movimento em nível atômico, que é chamada de mecânica quântica.) Estas duas primeiras
partes estabelecem a linguagem e os conceitos básicos do movimento. A Parte I examinará o movimento em termos de partículas e de forças. Usaremos esses conceitos para
analisar o movimento de qualquer coisa, desde velocistas até satélites em órbita. Na
Parte II, introduziremos as idéias de momentum e energia. Esses conceitos ⫺ especialmente o de energia ⫺ nos darão novas perspectivas acerca do movimento e ampliarão
nossas habilidades de analisar movimentos.
Introdução
xxiii
A Parte III, Aplicações da mecânica newtoniana,
examinará quatro importantes aplicações da mecânica
clássica: a teoria de Newton da gravitação, o movimento de rotação, os movimentos oscilatórios e o movimento de fluidos. Apenas as oscilações constituem um
pré-requisito para os capítulos posteriores.
A Parte IV, Termodinâmica, estende as idéias de partículas e de energia a sistemas tais como líquidos e gases
que contêm um enorme número de partículas. Aqui examinaremos as relações entre o comportamento microscópico de um grande número de átomos e as propriedades macroscópicas de volumes de matéria. Você
constatará que algumas das propriedades dos gases que
você conhece da química, como a lei dos gases ideais, são conseqüências diretas da estrutura atômica subjacente do gás. Também estenderemos o conceito de energia e aprofundaremos o estudo de como a energia é transferida e utilizada.
As ondas são de natureza onipresente, sejam elas oscilações em larga escala como as
ondas oceânicas, o movimento menos óbvio das ondas sonoras ou as sutis ondulações
das ondas luminosas e das ondas de matéria que nos levarão ao coração da estrutura
atômica da matéria. Na Parte V, Ondas e Óptica, enfatizaremos a unidade da física ondulatória e verificaremos que muitos fenômenos ondulatórios diferentes podem ser analisados com os mesmos conceitos e a mesma linguagem matemática. É aqui que começaremos a acumular evidências de que a teoria da mecânica clássica é inadequada para
explicar o comportamento observado dos átomos, e terminaremos esta seção com alguns
enigmas que parecem desafiar nossa compreensão.
Aumentando U
Terminal positivo
Fluxo
de íons
A Parte VI, Eletricidade e Magnetismo, é devotada à força eletromagnética, uma das mais
importantes da natureza. Essencialmente, a força eletromagnética é a “cola” que mantêm os
átomos juntos. Ela é também a força que faz de
nossa época a “era eletrônica”. Iniciaremos esta
parte da jornada com observações simples a respeito da eletricidade estática. Passo a passo, seremos levados às idéias básicas subjacentes aos
circuitos elétricos, ao magnetismo e, por fim, à
descoberta das ondas eletromagnéticas.
Terminal negativo
A Parte VII é sobre Relatividade e Física
Quântica. Iniciaremos explorando o estranho
A escada rolante de cargas as “eleva” do
mundo da teoria da relatividade de Einstein, um
terminal negativo para o positivo. A carga
mundo em que o espaço e o tempo não são o
q adquire energia ⌬U ⫽ q⌬Vbat.
que parecem ser. Depois entraremos no domínio
microscópico dos átomos, onde o comportamento da luz e da matéria é completamente
estranho frente ao que nosso senso comum nos diz ser possível. Embora a matemática da
teoria quântica esteja muito além do nível deste livro, e o tempo esteja acabando, você
verificará que a teoria quântica dos átomos e dos núcleos explica muito do que você
aprendeu, simplesmente, como regras da química.
Não visitaremos toda a física em nossa jornada. Não há tempo suficiente. Muitos
tópicos entusiasmantes, indo desde os quarks até os buracos negros, terão de permanecer
inexplorados para nós. Mas esta jornada particular não precisa ser a última. Quando você
terminar este texto, terá a base e a experiência para explorar novos assuntos em cursos
ainda mais avançados ou por própria conta.
Os átomos são mantidos juntos
por meio de fracas ligações
moleculares, mas podem deslizar
uns sobre os outros.
Líquido
Rarefação
Compressão
Alto-falante
som
Moléculas
Moléculas individuais oscilam de
um lado para o outro com deslocamentos D.
Enquanto fazem isso, as compressões se
propagam para frente com velocidade vsom.
Uma vez que as compressões correspondem
a regiões de pressão mais alta, pode-se
conceber uma onda sonora como uma onda
de pressão.
Este desenho de um átomo precisaria ter 10 m
de diâmetro a fim de estar na mesma escala que
o ponto que representa o núcleo.
Átomo
Núcleo
Núcleons
(prótons e nêutrons)
Relatividade e
VII Física Quântica
P A R T E
Esta seqüência
de três imagens
mostra um gás
com alguns
milhares de
átomos de rubídio
condensandose em um único
estado quântico,
conhecido como
condensado de
Bose-Einstein.
Esse fenômeno
foi previsto por
Einstein em
1925, mas só foi
observado em
1995, quando
os físicos
dominaram o uso
de lasers para
o resfriamento
de átomos a
temperaturas
abaixo de 200
nanokelvin.
PANORAMA
A física contemporânea
Nossa jornada pela física está chegando ao fim. Tudo começou há aproximadamente 350
anos com a descoberta, por Newton, das leis do movimento. A Parte VI nos levou até o
final do século XIX, há pouco mais de 100 anos. Pelo caminho, você aprendeu sobre o
movimento de partículas, a conservação da energia, a física das ondas e as interações
eletromagnéticas que mantêm os átomos unidos e produzem ondas luminosas. Agora, podemos afirmar que estamos muito mais confiantes para começar a última etapa da nossa
jornada.
A mecânica de Newton e o eletromagnetismo de Maxwell foram os dois pilares da
ciência ao final do século XIX e serviram de base para a engenharia e para as ciências aplicadas no século XX. Apesar do sucesso dessas teorias, uma série de descobertas começou a
ocorrer por volta de 1900, estendendo-se até as primeiras décadas do século XX, alterando
profundamente a nossa compreensão sobre o universo em seu nível mais fundamental.
■ A teoria da relatividade de Einstein forçou uma revisão dos conceitos de espaço e tem-
po. Nossa exploração dessas idéias fascinantes culmina na talvez mais famosa equação
2
da física: E mc , obtida por Einstein.
■ Experimentos revelaram que a distinção clássica entre partículas e ondas inexiste em
nível atômico. Às vezes, a luz se comporta como uma partícula, enquanto os elétrons,
e até mesmo átomos inteiros, se comportam como ondas. Precisaremos de uma nova
teoria da luz e da matéria a física quântica para explicar esses fenômenos.
Essas duas teorias compõem a base da física praticada atualmente e já causam impacto
significativo na engenharia do século XXI.
A teoria completa da física quântica, como desenvolvida na década de 1920, descreve
as partículas atômicas em termos de um conceito totalmente novo, chamado função de
onda. Uma das tarefas mais importantes na Parte VII será aprender o que é a função de
onda, quais leis governam seu comportamento e como relacionar funções de onda com dados experimentais. Nossa ênfase será nos modelos unidimensionais, que, apesar de imperfeitos, são adequados para que compreendamos os aspectos essenciais de microscópios de
tunelamento, de vários dispositivos semicondutores, do decaimento radioativo e de outras
aplicações.
Completaremos nosso estudo da física quântica com uma introdução à física atômica
e à física nuclear. Você aprenderá a origem do modelo de camadas eletrônicas usado na
química, como os átomos emitem e absorvem luz, o que forma o núcleo atômico e por que
certos núcleos sofrem decaimento radioativo.
Por mais que pareça estranho e misterioso, com suas funções de onda e probabilidades
o mundo quântico nos fornece previsões mais definitivas e precisas do que qualquer outra
teoria física jamais forneceu. A perspectiva contemporânea da física quântica será a conclusão perfeita para nossa jornada no mundo da física.
37 Relatividade
Estas são as ferramentas fundamentais
para aprendermos sobre o espaço e o
tempo.
O espaço e o tempo parecem ser conceitos simples. Você consegue medir distâncias
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 37 é
compreender como a teoria da
relatividade de Einstein mudou nossos
conceitos sobre o espaço e o tempo.
Neste capítulo, você aprenderá a:
■ Usar o princípio da relatividade.
■ Compreender como a dilatação
temporal e a contração espacial
mudam nossa concepção acerca
do que são o espaço e o tempo.
■ Usar as transformações de Lorentz
para posições e velocidades.
■ Calcular a quantidade de
momentum linear e de energia.
■ Compreender como massa e
energia são equivalentes.
Em retrospectiva
Os tópicos apresentados neste
capítulo dependem da compreensão
do movimento relativo na mecânica
Newtoniana. Revise:
■ Seção 4.4 Referenciais inerciais e
transformações de Galileu.
por meio de uma régua ou de uma trena. Com um cronômetro é possível registrar o
tempo de ocorrência de eventos. Nada poderia ser mais simples.
Isso é o que todos acreditavam até que, em 1905, um jovem cientista desconhecido
teve a coragem de sugerir que essa concepção simples de espaço e de tempo estava em
conflito com outros princípios da física. No século que se seguiu, a teoria da relatividade de Einstein alterou radicalmente nossa compreensão de alguns dos conceitos mais
fundamentais da física.
Apesar de sua reputação esotérica, a relatividade tem conseqüências reais para a
tecnologia moderna. Os satélites do sistema de posicionamento global (GPS) dependem
da relatividade, bem como os sistemas de navegação usados por companhias aéreas. Os
reatores nucleares fazem uso da famosa equação de Einstein, E mc2, para gerar 20%
da eletricidade usada nos Estados Unidos. A aniquilação de matéria em tomografia por
emissão de pósitrons (PET) provê aos cientistas uma nova forma de monitorar a atividade cerebral.
A teoria da relatividade é fascinante, surpreendente e desafiadora. E também é vital
para a compreensão do universo em que vivemos.
37.1 Relatividade: afinal, do que se trata?
O que passa em sua cabeça quando você escuta a expressão “teoria da relatividade”?
Um Einstein de cabeleira branca? A equação E mc²? Buracos negros? Viagens no
tempo? É provável que você tenha ouvido que, por ser tão complicada e abstrata, dá
para contar nos dedos quantas pessoas, no mundo todo, realmente entendem a teoria da
relatividade.
Não há dúvida de que existe certa mística associada à relatividade, uma aura estranha e exótica. A boa notícia é que você é capaz de compreender a relatividade. A teoria
especial da relatividade de Einstein, a parte da relatividade que iremos estudar aqui,
não é, de forma alguma, matematicamente difícil. O desafio é conceitual, pois a relatividade questiona pressupostos sobre a natureza do espaço e do tempo que são fortemente
aceitos por nós. Na verdade, a relatividade é isso: espaço e tempo.
CAPÍTULO 37
De certa forma, a relatividade não traz nada novo. Algumas das idéias sobre a relatividade fazem parte da mecânica newtoniana. Você já foi apresentado a esse assunto no
Capítulo 4, onde foi possível aprender sobre referenciais e transformações de Galileu.
Einstein, no entanto, pensava que a relatividade deveria aplicar-se a todas as áreas da
física, e não somente à mecânica. Como você pode perceber, a dificuldade é que alguns
aspectos da relatividade parecem ser incompatíveis com as leis do eletromagnetismo,
especialmente as leis que governam a propagação de ondas luminosas.
Alguns cientistas de menor importância provavelmente concluíram que a relatividade, simplesmente, não se aplicava ao eletromagnetismo. A genialidade de Einstein está
em sua capacidade de perceber que a incompatibilidade surge dos nossos pressupostos
acerca do espaço e do tempo, pressupostos que ninguém jamais havia questionado, por
parecerem óbvios demais. Em vez de abandonar os conceitos da relatividade, Einstein
mudou nossa compreensão acerca do espaço e do tempo.
Felizmente, você não precisa ser um gênio para seguir o mesmo caminho que alguém
já trilhou. Contudo temos de ter muito cuidado com a lógica e a precisão. É preciso que
se diga precisamente como é que conhecemos as coisas no mundo da física e, então, que
se arque com as conseqüências lógicas. O desafio está em permanecer nessa trilha e não
deixar que antigos pressupostos aqueles já consolidados em nossas mentes nos
desviem do caminho.
O que tem de especial na relatividade especial?
O primeiro artigo de Einstein sobre a relatividade, em 1905, abordou exclusivamente os
referenciais inerciais, aqueles referenciais que se movem com velocidade constante uns
em relação aos outros. Dez anos mais tarde, Einstein publicou uma teoria da relatividade mais abrangente, que levava em consideração o movimento acelerado e sua relação
com a gravidade. Por ter um objetivo mais geral, essa segunda teoria é chamada de relatividade geral. A relatividade geral é a teoria que descreve os buracos negros, a curvatura do espaço-tempo e a evolução do universo. Trata-se de uma teoria fascinante, todavia
dotada de um conteúdo matemático maior e, portanto, fora do objetivo deste livro.
O movimento com velocidade constante é um “caso especial” de movimento qual
seja, um movimento com aceleração nula. A primeira teoria da relatividade de Einstein
foi denominada relatividade especial. Ela foi denominada especial por ser um caso
restrito da teoria geral, e não, uma teoria excepcional ou diferente no sentido usual em
que empregamos a palavra especial. A relatividade especial, com suas conclusões sobre
a dilatação temporal e a contração espacial, é o que iremos estudar neste capítulo.
37.2
A relatividade de Galileu
Se quisermos apreciar e compreender o que há de novo na teoria de Einstein precisamos,
antes, ter uma compreensão sólida acerca da relatividade de Galileu. Assim, começaremos com os conceitos da relatividade presentes na mecânica newtoniana.
Referenciais
Suponha que você e eu estejamos trafegando em uma rodovia no mesmo sentido, e que
seu carro ultrapasse o meu. Meu velocímetro marca 88 km/h, e o seu, 100 km/h. Será
que 100 km/h é a sua velocidade “verdadeira”? Certamente ela é a sua velocidade em
relação a alguém parado no acostamento, entretanto a sua velocidade em relação a mim
é de apenas 12 km/h. E em relação a um motorista que se aproxime em sentido contrário
a 100 km/h, o valor de sua velocidade é 200 km/h.
Nenhum objeto possui uma velocidade “verdadeira”. A definição de velocidade, v x/ t, considera a existência de um sistema de coordenadas em relação ao qual, durante
certo intervalo de tempo t, o deslocamento x é medido. O máximo que conseguimos
fazer é especificar a velocidade de um objeto relativamente, ou em relação, a um sistema
de coordenadas usado para medi-la.
Vamos definir um referencial como um sistema de coordenadas em que observadores, dispondo de réguas, de cronômetros ou de qualquer outro equipamento necessário,
medem a posição e o tempo de objetos em movimento. Três idéias estão implícitas em
nossa definição de referencial:
■ Todo referencial estende-se infinitamente em todas as direções.
■
Relatividade
1143
Albert Einstein (1879-1955) foi um dos
pensadores mais influentes da história.
1144
Física: Uma Abordagem Estratégica
■ Os observadores estão em repouso em relação ao seu referencial.
■ O número de observadores e a qualidade do equipamento usado são suficientes para
medir as posições e as velocidades com qualquer nível de precisão estabelecido.
As duas primeiras idéias são de especial importância. Geralmente é conveniente que
se mencione “o referencial do laboratório” ou “o referencial do foguete”. Essas são formas reduzidas que, de fato, significam “um referencial que se estende infinitamente em
todas as direções, em relação ao qual o laboratório (ou o foguete) e um grupo de observadores encontram-se em repouso”.
NOTA Um referencial não é a mesma coisa que “ponto de vista”, ou seja, cada
pessoa ou cada observador não tem seu próprio referencial. Todos os observadores
que estejam em repouso, uns com relação aos outros, pertencem ao mesmo referencial. Os eixos
de S e S têm
a mesma
orientação.
O referencial S
move-se com velocidade
v em relação ao referencial
S. O movimento relativo
ocorre ao longo dos eixos
x e x.
S
As origens de S e S coincidem no instante
t ⫽ 0. Essa é a nossa definição de t ⫽ 0.
A FIGURA 37.1 mostra dois referenciais chamados S e S⬘. Os eixos de coordenadas de S
são x, y e z; os de S⬘ são x⬘, y⬘ e z⬘. O referencial S⬘ move-se com velocidade v em relação a
S ou, o que é equivalente, S move-se com velocidade ⫺v em relação a S⬘. Não é relevante
se algum deles está “em repouso”. Note que o instante zero, quando os observadores começam a cronometrar o tempo, é aquele instante em que coincidem as origens de S e de S⬘.
Restringiremos nossa atenção aos referenciais inerciais, supondo que a velocidade relativa v seja constante. Do Capítulo 5, você deve se lembrar de que um referencial inercial
é aquele em que é válida a primeira lei de Newton, a lei da inércia. Particularmente, um referencial inercial é aquele em que uma partícula isolada ⫺ sobre a qual não são exercidas
forças ⫺ permanece em repouso ou se move em linha reta com velocidade constante.
Qualquer referencial que se mova com uma velocidade constante em relação a um
referencial inercial também constitui, por sua vez, um referencial inercial. Em contrapartida, qualquer referencial acelerado em relação a um referencial inercial não é um
referencial inercial. Restringir o estudo aos referenciais que se movem com velocidade
constante ⫺ sem aceleração ⫺ é o motivo do emprego do termo “especial” na teoria da
relatividade especial.
NOTA Todo referencial inercial é uma idealização. Um referencial inercial verda-
O referencial S move-se com
velocidade ⫺v em relação ao
referencial S.
FIGURA 37.1 Os referenciais-padrão S e S⬘.
deiro teria de flutuar no espaço, muito distante de qualquer influência gravitacional.
Na prática, um laboratório fixo na superfície da Terra é o que mais se aproxima de
um referencial inercial, uma vez que as acelerações associadas à rotação terrestre e
ao seu movimento em torno do Sol são muito pequenas para influenciar a maioria
dos experimentos. PARE E PENSE 37.1 Entre os itens abaixo, identifique qual deles corresponde a um referencial inercial (ou a uma boa aproximação).
No instante t, a origem de S moveu-se uma
distância vt para a direita. Assim, x ⫽ x ⫹ vt.
Bomba
a. O seu quarto de dormir.
b. Um carro que desce uma ribanceira.
c. Um trem que se move de modo uniforme em um trilho horizontal.
d. Um foguete durante o lançamento.
e. Uma montanha-russa que passa pelo topo de uma subida.
f. Um pára-quedista em queda com a velocidade terminal.
As transformações de Galileu
As origens coincidem em t ⫽ 0.
As distâncias perpendiculares ao movimento não são
afetadas. Assim, y ⫽ y e
z ⫽ z.
FIGURA 37.2 A posição da explosão de uma
bomba é medida nos referenciais S e S⬘.
Suponha que uma bomba exploda no instante t. Observadores no referencial S determinam que a explosão ocorreu na posição x. De maneira similar, os observadores em
S⬘ determinam que a explosão ocorreu em x⬘ com relação ao seu referencial. Qual é a
relação entre x e x⬘?
A FIGURA 37.2 mostra a explosão e os dois referenciais. Observando a figura, você
pode perceber que x ⫽ x⬘ ⫹ vt; portanto
(37.1)
CAPÍTULO 37
Essas equações, já apresentadas no Capítulo 4, são as transformações de Galileu para
posições. Se você conhece a posição medida pelos observadores em um referencial inercial, você pode calcular a posição correspondente que seria medida em qualquer outro
referencial inercial.
Agora suponha que os observadores em ambos os referenciais acompanhem o movimento de um objeto medindo sua posição em diferentes instantes de tempo (FIGURA 37.3).
Os observadores em S constatam que a velocidade do objeto é . Durante o mesmo intervalo t, os observadores em S medem a velocidade como .
■
Relatividade
1145
A velocidade do objeto medida no
referencial S é
NOTA Neste capítulo, usaremos a letra v para representar a velocidade de um re-
ferencial em relação a outro. e serão usados para representar as velocidades dos
objetos em relação, respectivamente, a S e a S. Essa notação difere daquela utilizada
no Capítulo 4, onde V representava a velocidade relativa. Podemos determinar a relação entre e obtendo as derivadas da Equação 37.1 em
relação ao tempo e usando a definição ux dx/dt:
Medida em relação ao referencial
Sⴕ, a velocidade é
FIGURA 37.3 A velocidade de um objeto
A equação para uz é semelhante a esta. O resultado final é
em movimento é medida nos referencias
S e S.
(37.2)
As Equações 37.2 são as transformações de Galileu para velocidades. Se você conhece
a velocidade de uma partícula medida em relação a um determinado referencial inercial,
pode usar as equações 37.2 para determinar a velocidade que seria medida para esta
partícula em qualquer outro referencial inercial.
EXEMPLO 37.1 A velocidade do som
Um avião voa a uma velocidade de 200 m/s em relação ao solo. Uma
onda sonora 1 se aproxima do avião pela frente, e outra onda sonora
2, pela traseira. Ambas propagam-se a 340 m/s em relação ao solo.
Qual é a velocidade de cada onda em relação ao avião?
MODELO Suponha que a Terra (referencial S) e o avião (referencial
S) sejam referenciais inerciais. O referencial S, em relação ao qual
o avião está em repouso, move-se com uma velocidade v 200 m/s
relativa ao referencial S.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 37.4 mostra o avião e as ondas sonoras.
A onda 2 propaga-se
a uma
velocidade u2 340 m/s em relação
ao referencial S.
O referencial S do avião move-se
com uma velocidade v 200 m/s
relativa ao referencial S do solo.
A onda 1 propaga-se a
uma velocidade u1 340 m/s em relação
ao referencial S.
FIGURA 37.4 Os observadores dentro do avião medem velocidades
diferentes daquelas obtidas pelos observadores no solo.
RESOLUÇÃO A velocidade de uma onda mecânica, como uma onda sonora ou uma onda em uma corda, é a sua velocidade em relação ao
meio em que ela se propaga. Assim, a velocidade do som é a velocidade de propagação de uma onda sonora no ar medida com o uso de
um referencial em relação ao qual o ar esteja parado. Este é o referencial S, em relação ao qual a onda 1 propaga-se com velocidade u1 340 m/s, e a onda 2, com velocidade u1 340 m/s. Observe que
as transformações de Galileu relacionam velocidades, com seus sinais
algébricos apropriados, e não, apenas valores de rapidez (os módulos
das velocidades envolvidas).
O avião move-se para a direita junto com o referencial S, a uma
velocidade v. Podemos usar as transformações de Galileu para velocidades e obter as velocidades de duas ondas sonoras em relação ao
referencial S:
u1 u1 v 340 m/s 200 m/s 540 m/s
u2 u2 v 340 m/s 200 m/s 140 m/s
AVALIAÇÃO Isso não nos surpreende. Quando você está dirigindo a
uma velocidade de 80 km/h, e um carro vem em sentido oposto a 88
km/h, ele se aproxima de você a uma velocidade de 168 km/h. Outro
carro que esteja atrás do seu, a 88 km/h, parecerá estar ganhando de
você em apenas 8 km/h. As velocidades das ondas sonoras se comportam da mesma maneira. Observe que uma onda mecânica parece ser
estacionária para uma pessoa que se move com a mesma velocidade
da onda. Para um surfista, por exemplo, a crista de uma onda do mar
permanece em repouso sob seus pés.
1146
Física: Uma Abordagem Estratégica
PARE E PENSE 37.2 Ondas chegam à costa com uma velocidade de 10 m/s. Um barco parte
da costa em direção ao alto mar a 6 m/s. Qual é a velocidade das ondas em relação ao
referencial do barco?
a. 16 m/s
b. 10 m/s
c. 6 m/s
d. 4 m/s
O princípio da relatividade de Galileu
Observadores nos dois referenciais
medem a mesma força.
Força
Aceleração
Observadores nos dois referenciais
medem a mesma aceleração.
FIGURA 37.5 Observadores fixos nos dois
Observadores que usam os referenciais S e S obtêm valores diferentes para a posição e
para a velocidade. E quanto à força exercida sobre a partícula da FIGURA 37.5 e à sua aceleração? A intensidade da força pode ser medida por meio de um dinamômetro. Observadores em ambos os referenciais, S e S, fazem a mesma leitura do dinamômetro (supondo-se que ele seja dotado de um mostrador digital luminoso visível a todos os
observadores). Assim, ambos concluem que a força é a mesma, ou seja, F F.
Podemos comparar as acelerações medidas nos dois referenciais obtendo a derivada
temporal da equação de transformação de velocidades, u u v. (Para simplificar,
consideramos que as velocidades e as acelerações estejam todas ao longo do eixo x.) A
velocidade relativa v entre os dois referenciais é constante, com dv/dt 0; logo,
referenciais testam a segunda lei de
Newton medindo a força exercida sobre
uma partícula e sua aceleração.
(37.3)
Observadores nos referenciais S e S obtêm diferentes valores para a posição e para a
velocidade de um objeto, porém eles concordam quanto ao valor da aceleração.
Se F ma em relação ao referencial S, então F ma também em relação ao referencial S. Em outras palavras, se a segunda lei de Newton é válida em relação a um
referencial inercial, então ela é válida em relação a qualquer outro referencial inercial.
Uma vez que outras leis da mecânica, tais como os princípios de conservação, advêm
das leis de Newton do movimento, podemos reescrever a conclusão acima como o principio da relatividade de Galileu:
PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE DE GALILEU As leis da mecânica são as mesmas em relação
a todos os referencias inerciais.
Colisão observada no referencial S
,
,
,
,
,
Colisão observada no referencial Sⴕ
,
,
,
,
O princípio da relatividade de Galileu é fácil de ser descrito, mas para entendê-lo
devemos compreender o significado da expressão “as mesmas” no enunciado acima.
Como um exemplo específico, considere o princípio de conservação do momentum. A
FIGURA 37.6A mostra duas partículas prestes a colidir. O momentum total em relação ao
referencial S, no qual a partícula 2 encontra-se em repouso, é Pi 9,0 kg m/s. Por ser
um sistema isolado, o princípio de conservação do momentum nos diz que, após a colisão, o momentum será Pf 9,0 kg m/s.
Na FIGURA 37.6B foi utilizada a transformação de velocidades para as mesmas partículas no referencial S, no qual a partícula 1 está em repouso. O momentum inicial em
S é Pi 18 kgm/s. Logo, não é o valor do momentum que é o mesmo em todos os
referenciais inerciais. O princípio da relatividade de Galileu nos diz que é o princípio de
conservação do momentum que é o mesmo em todos os referenciais inerciais. Se Pf Pi
no referencial S, então deve ser verdadeiro que Pf Pi no referencial S. Conseqüentemente, pode-se concluir que Pf será igual a 18 kgm/s após a colisão em relação a S.
Usando a relatividade de Galileu
FIGURA 37.6 O momentum total medido
em dois referenciais.
O princípio da relatividade está relacionado com as leis da mecânica, e não, com os
valores que são necessários para satisfazer tais leis. Se há conservação de momentum
em um referencial inercial, o mesmo irá ocorrer em todos os referenciais inerciais. No
entanto, pode ser que um problema seja mais facilmente resolvido em um referencial
do que em outro.
CAPÍTULO 37
■
Relatividade
1147
As colisões elásticas são um bom exemplo do uso de referenciais. No Capítulo 10,
você aprendeu como calcular o resultado de uma colisão perfeitamente elástica entre
duas partículas em relação ao referencial no qual a partícula 2 está inicialmente em
repouso. Podemos usar essa informação juntamente com as transformações de Galileu
para resolver problemas de colisão elástica em qualquer referencial inercial.
BOX TÁTICO
37.1
Analisando colisões elásticas
Transforme as velocidades iniciais das partículas 1 e 2 no referencial S para o
referencial S, no qual a partícula 2 está em repouso.
O resultado da colisão em S é dado por
Transforme as duas velocidades finais no referencial S de volta para o referencial S.
Exercícios 4–5
Estas referências são do Student Workbook, disponível, em inglês, apenas
no mercado norte-americano.
EXEMPLO 37.2 Uma colisão elástica
Uma bola de 300g, movendo-se para a direita a 2,0 m/s, sofre uma
colisão perfeitamente elástica com uma bola de 100g que se move
para a esquerda a 4,0 m/s. Quais são a direção, o sentido e o módulo
da velocidade de cada bola após a colisão?
,
,
MODELO As velocidades são medidas em relação ao referencial do la-
O referencial Sⴕ move-se
junto com a partícula 2.
,
boratório, que chamamos de referencial S.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 37.7a mostra as duas bolas e o referencial S,
no qual a bola 2 encontra-se em repouso.
A colisão é analisada em relação ao referencial S.
RESOLUÇÃO As três etapas apresentadas no Box Tático estão ilustradas
Transforme as velocidades
para o referencial Sⴕ, em
relação ao qual a partícula 2
está em repouso.
na FIGURA 37.7b. São dados u1i e u2i.. As transformações de Galileu
dessas velocidades para o referencial S, usando v 4,0 m/s, são
u1i u1i v (2,0 m/s) ( 4,0 m/s) 6,0 m/s
,
,
u2i u2i v ( 4,0 m/s) ( 4,0 m/s) 0 m/s
A bola de 100g está em repouso em relação ao referencial S, como
esperado. As velocidades após a colisão são
,
Analise a colisão em
relação ao referencial Sⴕ.
,
A análise da colisão já foi realizada, todavia ainda não terminamos o
exercício porque estas são as velocidades pós-colisão em relação ao
referencial S. Outra aplicação das transformações de Galileu fornece
as velocidades pós-colisão em relação ao referencial S:
u1f u1f v (3,0 m/s) ( 4,0 m/s) 1,0 m/s
u2f u2i v (9,0 m/s) ( 4,0 m/s) 5,0 m/s
A bola de 300g ricocheteia para a esquerda com uma velocidade
de 1,0 m/s, enquanto a bola de 100g é lançada para a direita com
5,0 m/s.
Transforme a velocidade
pós-colisão de volta para
o referencial S.
,
FIGURA 37.7 Diferentes referenciais são usados para resolver um
problema de colisão elástica.
AVALIAÇÃO É fácil verificar que o momentum é conservado: Pf Pi
0,20 kgm/s. Os cálculos apresentados neste exemplo foram fáceis.
O detalhe importante, que merece uma reflexão mais cuidadosa, é a
lógica empregada e a razão por que a empregamos.
1148
Física: Uma Abordagem Estratégica
37.3 O princípio da relatividade de Einstein
O século XIX foi a era da óptica e do eletromagnetismo. Em 1801, Thomas Young demonstrou que a luz é uma onda, e por volta da metade do século os cientistas já haviam
desenvolvido técnicas para medir a velocidade da luz. Faraday descobriu a indução eletromagnética em 1831, desencadeando uma seqüência de eventos que culminaram, em
1862, com a conclusão de Maxwell de que a luz é uma onda eletromagnética.
Se a luz é uma onda, qual é o meio em que ela se propaga? Essa talvez tenha sido
a questão mais importante da segunda metade do século XIX. O meio no qual se supunha que as ondas luminosas se propagavam foi chamado de éter (ou éter luminífero).
Experimentos realizados para se obter a velocidade da luz supostamente mediam sua
velocidade através do éter. Mas afinal, o que é o éter? Quais são suas propriedades?
Podemos coletar um pote cheio de éter para estudo? Apesar da significância dessas perguntas, os esforços feitos para detectar o éter ou medir suas propriedades não produziam
resultados.
A teoria de Maxwell do eletromagnetismo não colaborou muito. O aspecto mais importante dessa teoria foi prever que as ondas luminosas se propagam com a velocidade
Antes de Einstein, pensava-se que a luz
se propagasse com uma velocidade c em
relação ao referencial do éter.
Se tal hipótese fosse verdadeira, a luz
certamente viajaria com outro valor de
velocidade em relação a um referencial
que se movesse através do éter.
FIGURA 37.8 É como se a velocidade da
luz devesse ser diferente de c em um
sistema de referência em movimento
através do éter.
Essa é uma previsão bem específica que não dá margem a muitas interpretações. A dificuldade aqui foi com a implicação de que as leis de Maxwell do eletromagnetismo seriam válidas somente no referencial do éter. Afinal de contas, como mostra a FIGURA 37.8,
a velocidade da luz deveria certamente ser diferente de c (maior ou menor) em um referencial que se movesse através do éter, assim como a velocidade do som também é diferente para alguém que se move através do ar.
Ao final do século XIX, pairava uma sensação de que a teoria de Maxwell não obedecia ao princípio da relatividade clássica. Havia somente um referencial, o referencial
do éter, em relação ao qual as leis do eletromagnetismo pareciam ser válidas. Para piorar
ainda mais a situação, o fato de que ninguém havia sido capaz de detectar o éter significava que nenhum observador poderia identificar o referencial em relação ao qual as
equações de Maxwell “funcionavam”.
Foi em meio a esse cenário confuso que o jovem Albert Einstein deixou sua marca.
Ainda adolescente, Einstein já se perguntava como uma onda luminosa se pareceria para
uma pessoa que “surfasse” essa onda, movendo-se paralelamente a ela com a mesma
velocidade da onda. Isso é possível para uma onda na água ou para uma onda sonora,
mas as ondas luminosas pareciam apresentar uma dificuldade lógica. Uma onda eletromagnética se sustenta porque um campo magnético variável induz um campo elétrico,
e um campo elétrico variável induz um campo magnético. Todavia, para alguém que se
move junto com a onda, os campos não são variáveis. Neste caso, como poderia existir
uma onda eletromagnética se propagando?
Vários anos de reflexão sobre a relação entre o eletromagnetismo e os referenciais
levaram Einstein a concluir que todas as leis da física, e não apenas as leis da mecânica, obedeceriam ao princípio da relatividade. Em outras palavras, o princípio da
relatividade é o postulado fundamental do universo físico. Podemos, então, retirar a
restrição do princípio da relatividade de Galileu e definir um princípio análogo muito
mais geral:
PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE Todas as leis da física são iguais em relação a qualquer
referencial inercial.
Todos os resultados da teoria da relatividade de Einstein baseiam-se nesse postulado
simples.
A constância do módulo da velocidade da luz
Se as equações de Maxwell do eletromagnetismo são leis da física, e há muitas razões
para se acreditar que realmente o sejam, então, de acordo com o princípio da relatividade, as equações de Maxwell devem ser verdadeiras em qualquer referencial inercial.
CAPÍTULO 37
■
Relatividade
1149
Embora aparentemente trivial isso equivale a dizer que a lei de conservação do momentum é verdadeira em qualquer referencial inercial. Contudo, siga a lógica:
1. As equações de Maxwell são verdadeiras em todos os referenciais inerciais.
2. As equações de Maxwell prevêem que as ondas eletromagnéticas, inclusive a luz,
8
se propagam com a velocidade c 3,00 10 m/s.
3. Portanto, a luz se propaga com a velocidade c em relação a todos os referenciais
inerciais.
A FIGURA 37.9 mostra as implicações dessa conclusão. Todos os observadores, não
importa como cada um se mova em relação aos outros, percebem que todas as ondas
luminosas, independentemente de suas fontes, se propagam em relação aos seus respectivos referenciais com a mesma velocidade c. Se a velocidade de Cathy, que se aproxima
de Bill e se afasta de Amy, for v 0,9 c, Cathy, em seu referencial, irá observar que a luz
emitida por Bill aproxima-se dela a uma velocidade de módulo c, e não, c v 1,9c. A
luz que partiu de Amy, com uma velocidade c, atinge Cathy com uma velocidade c em
relação a Cathy, e não, c v 0,1c, como esperaríamos em um primeiro momento.
Embora essa previsão seja contra o senso comum, há forte evidência experimental
em seu favor. Experimentos em laboratório são difíceis, pois mesmo a maior velocidade
obtida em laboratório é insignificante em comparação com c. Contudo, na década de
1930, os físicos R. J. Kennedy e E. M. Thorndike perceberam que podiam usar a própria
Terra como laboratório. A velocidade da Terra ao girar em torno do Sol é de aproximadamente 30.000 m/s. A velocidade relativa da Terra em janeiro difere em 60.000 m/s
de sua velocidade em julho, quando se move em sentido oposto. Kennedy e Thorndike
usaram um interferômetro altamente sensível e estável para demonstrar que os valores
numéricos da velocidade da luz em janeiro e julho diferem em menos de 2 m/s.
Em experimentos mais recentes foram usadas partículas elementares chamadas mésons ␲, que decaem em fótons de alta energia. Os mésons ␲, criados em um acelerador
de partículas, movem-se através do laboratório a 99,975% da velocidade da luz, ou v 0,99975c, enquanto emitem fótons com velocidade c no referencial de mésons ␲. Como
mostra a FIGURA 37.10, esperar-se-ia que os fótons se movessem através do laboratório
com uma velocidade c v 1,99975c. Em vez disso, a velocidade medida para os fó8
tons no laboratório, levando em conta o erro experimental, foi de 3,00 10 m/s.
Resumindo, qualquer experimento realizado para comparar o valor da velocidade da
8
luz em relação a diferentes referenciais revela que a luz se propaga com 3,00 10 m/s
em relação a qualquer referencial inercial, independentemente de como os referenciais
se movem uns em relação aos outros.
Esta onda luminosa se afasta de Amy a uma
velocidade c relativa a Amy e aproxima-se
de Cathy com uma velocidade c em relação
a Cathy.
,
Esta onda luminosa se afasta de Bill com
uma velocidade c relativa a Bill e se
aproxima de Cathy com uma velocidade
c em relação a Cathy.
FIGURA 37.9 A luz se propaga com
velocidade c em relação a todos os
referenciais inerciais, independentemente
de como eles se movam em relação à
fonte de luz.
Um fóton é emitido com uma velocidade
em relação ao méson . Quando medida,
a velocidade do fóton em relação ao
referencial do laboratório também é c.
Referencial
do méson
Como é possível?
Se você é uma daquelas pessoas que acha impossível acreditar nisso, não está sozinho.
Suponha que eu esteja dirigindo a uma velocidade de 30 m/s e, ao passar por você,
lance uma bola para a frente com 50 m/s. Certamente você veria a bola mover-se a uma
velocidade de 80 m/s em relação a você e ao solo. O que dizemos aqui em relação à luz
equivale a dizer que a bola se moveria a 50 m/s relativamente ao meu carro e, ao mesmo
tempo, a 50 m/s relativamente ao chão, embora o carro esteja se movendo a 30 m/s. Parece ser logicamente impossível.
Você deve estar pensando que se trata de um mero problema semântico. Se usarmos
nossas definições e utilizarmos as palavras corretamente, todo esse mistério e confusão
serão esclarecidos. Ou, talvez, a dificuldade advenha da confusão entre o que “vemos” e
o que “realmente ocorre”. Em outras palavras, uma análise mais detalhada do que realmente ocorre mostraria que a luz “realmente” se propaga com diferentes velocidades em
diferentes referenciais.
8
Na verdade, o que realmente ocorre é que a luz se propaga a 3,00 10 m/s em
relação a qualquer referencial inercial, independentemente da velocidade com que os
referenciais se movam uns com relação aos outros. Não se trata de um truque. Nesse
caso só há uma maneira de escaparmos das contradições lógicas.
A definição de velocidade é u x/t, ou seja, a razão entre uma distância percorrida e o intervalo de tempo no qual essa distância ocorre. Suponha que você e eu
estejamos efetuando medições de certo objeto em movimento, mas com você em movimento relativamente a mim. Talvez eu esteja parado em uma esquina, você passe de
Referencial
do laboratório
,
FIGURA 37.10 Experimentos demonstram
que os fótons se movem através do
laboratório com uma velocidade c, e não,
1,99975c, como se poderia esperar.
1150
Física: Uma Abordagem Estratégica
carro e nós dois tentamos medir a velocidade de uma bicicleta. Suponha, ainda, que
nós combinemos previamente que iremos medir a velocidade da bicicleta no percurso
entre uma árvore e um poste, conforme mostra a FIGURA 37.11. O x que você mede difere do x que eu meço porque o seu movimento é relativo ao meu; logo, a velocidade
da bicicleta u, em relação ao seu referencial, será diferente da velocidade u medida
em relação ao meu referencial. Mais uma vez nos deparamos com as transformações
de Galileu.
Em
Em
x e xⴕ não são iguais.
A árvore e o poste
movem-se para a esquerda
no referencial Sⴕ.
Em
Medições realizadas no referencial S,
em relação ao qual a árvore e o poste
estão em repouso. A velocidade da
bicicleta é u x/t.
Em
Medições realizadas no referencial Sⴕ,
que se move para a direita em relação
ao referencial S. A velocidade da bicicleta
é uⴕ xⴕ/t.
FIGURA 37.11 Medindo a velocidade de um objeto utilizando a definição básica u x/t.
Agora vamos repetir as medições, mas desta vez mediremos a velocidade de uma
onda luminosa que percorre a distância entre a mesma árvore e o mesmo poste. Seu x
novamente vai ser diferente do meu x, embora a diferença seja bem pequena, a menos
que seu carro esteja se movendo bem acima do limite de velocidade permitido. A conclusão óbvia é de que a velocidade que você mediu para a luz, u, difere da velocidade da
luz medida por mim, u. Mas isso não ocorre. As observações mostraram que, para uma
onda luminosa, obteremos os mesmos valores: u u.
A única maneira de isso ser verdadeiro é se o t que transcorre para você não for o
mesmo t transcorrido para mim. Se o tempo decorrido para a luz percorrer a distância
da árvore até o poste, em relação ao seu referencial, que a partir de agora chamaremos
de t, for diferente do tempo t transcorrido para a luz se mover da árvore até o poste
em relação ao meu referencial, então poderemos obter x/t x/t. Isto é, u u,
embora você esteja em movimento em relação a mim.
Desde o início deste livro temos afirmado que tempo é simplesmente tempo. Ele
flui como um rio. Todos os observadores e todos os referenciais simplesmente usam o
tempo. Suponha, por exemplo, que a árvore e o poste tivessem relógios bem grandes.
Seríamos capazes de observar o mesmo intervalo de tempo t que a luz precisa para ir
da árvore para o poste, não é mesmo?
Talvez não. É verdade que x x. É possível demonstrar experimentalmente
que u u para ondas luminosas. Algo deve estar errado com as hipóteses que fizemos
acerca da natureza do tempo. O princípio da relatividade não nos deixa outra saída senão
reexaminar nossa compreensão sobre o tempo.
CAPÍTULO 37
■
Relatividade
1151
37.4 Eventos e medições
Questionar algumas de nossas pressuposições básicas sobre o espaço e o tempo requer
extremo cuidado. Temos de estar certos de que nenhuma hipótese será ignorada em nossa análise. Nosso objetivo é descrever o movimento de uma partícula de forma clara e
precisa, utilizando o menor número de hipóteses.
Eventos
A entidade fundamental da relatividade é denominada evento. Um evento é uma ocorrência física em um ponto definido do espaço e em um instante definido de tempo. Uma
bomba que explode é um exemplo de evento. Uma colisão entre duas partículas é também um evento. Uma onda luminosa que chega a um detector é um evento.
Eventos podem ser observados e medidos por observadores que usam diferentes referenciais. A explosão de uma bomba é tão visível para você, que está passando em seu
carro, quanto para mim, parado numa esquina de rua. Podemos quantificar onde e quando um evento ocorre utilizando quatro números: as coordenadas (x, y, z) e o instante de
tempo t. Esses quatro números, ilustrados na FIGURA 37.12, são chamados de coordenadas espaço-temporais do evento.
As coordenadas espaciais de um evento, medidas em relação aos referenciais S e S,
podem diferir entre si. Agora também parece que os instantes de tempo, medidos em S e
S, podem ser diferentes. Logo, as coordenadas espaço-temporais de um evento medidas
por observadores fixos no referencial S são (x, y, z, t), enquanto as de um mesmo evento,
medidas por observadores fixos no referencial S, são (x, y, z, t).
O movimento de uma partícula pode ser descrito como uma seqüência de dois ou
mais eventos. Introduzimos essa idéia na seção anterior quando combinamos medir a velocidade de uma bicicleta e de uma onda luminosa através da comparação da passagem
de um objeto por uma árvore (primeiro evento) com a passagem de um objeto por um
poste (segundo evento).
Um evento possui coordenadas espaço-temporais
(x, y, z, t) em relação ao referencial S e diferentes
coordenadas espaço-temporais (xⴕ, yⴕ, zⴕ, tⴕ) em
relação ao referencial Sⴕ.
FIGURA 37.12 A localização e o instante de
ocorrência de um evento são descritos por
suas coordenadas espaço-temporais.
Medições
Um evento é o que “realmente acontece”. Mas como aprendemos sobre um evento?
Isto é, como os observadores fixos em um referencial determinam as coordenas espaçotemporais de um evento? Esse é o problema associado à medição.
Definimos um referencial como um sistema de coordenadas em relação ao qual os
observadores podem fazer medições de tempo e de posição. É um bom começo, mas
agora precisamos ser mais precisos ao definir como essas medições serão realizadas.
Imagine que um referencial seja formado por uma rede cúbica de réguas e de relógios
como mostrado na FIGURA 37.13. Para cada intersecção existe um relógio, e todos eles
estão sincronizados. Mais adiante discutiremos como sincronizar os relógios, mas, por
ora, vamos admitir que isso possa ser feito.
Com as réguas e os relógios em posição, podemos empregar um esquema de medição em duas etapas:
■ As coordenadas (x, y, z) de um evento são determinadas pela intersecção das réguas
mais próximas ao evento.
■ O instante t do evento é o tempo marcado no relógio mais próximo ao evento.
As coordenadas espaço-temporais deste evento
são medidas por meio da intersecção mais
próxima de réguas e pelo relógio mais próximo.
Relógios
sincronizados
Réguas
Referencial S
O referencial Sⴕ tem suas próprias
réguas e seus próprios relógios.
Se preferir, você pode imaginar que cada evento seja acompanhado por um flash de luz
que ilumina o mostrador do relógio mais próximo, tornando possível sua leitura.
Vários aspectos devem sem observados:
1. Os relógios e as réguas em cada referencial são imaginários; assim, eles não têm
dificuldade em passar um através do outro.
2. As medições da posição e do tempo, efetuadas em relação a um referencial, devem ser efetuadas com os relógios e com as réguas daquele referencial.
3. Não existe nada de especial no fato de as réguas medirem 1m e de os relógios
estarem a 1m de distância um do outro. O espaçamento da rede pode ser alterado
a fim de se obter o nível de precisão desejado nas medições.
Referencial Sⴕ
FIGURA 37.13 As coordenadas espaçotemporais de um evento são medidas em
uma grade formada por réguas e relógios.
1152
Física: Uma Abordagem Estratégica
4. Admitamos que os observadores fixos em cada referencial tenham assistentes
sentados junto a cada relógio, marcando a posição e o instante de ocorrência dos
eventos próximos a eles.
5. Talvez o detalhe mais importante seja: t é o instante em que o evento realmente
ocorre, e não, o instante em que o observador vê o evento ou recebe informações
sobre o mesmo.
6. Todos os observadores fixos em um referencial concordam acerca das coordenadas
espaço-temporais de um evento. Em outras palavras, cada evento possui um único
conjunto de coordenadas espaço-temporais em relação a cada referencial.
PARE E PENSE 37.3 Um carpinteiro está trabalhando em uma casa a duas quadras da sua.
Você observa que existe um pequeno atraso entre o momento que você vê o carpinteiro
martelar o prego e o instante em que você ouve a batida. Em que momento ocorre o
evento “martelo bate no prego”?
a. No instante em que você escuta o som da martelada
b. No instante em que você vê o martelo bater no prego
c. Pouco antes de você ver o martelo bater no prego
d. Pouco depois de você ver o martelo bater no prego
Sincronização de relógios
Este relógio foi pré-ajustado para
1,00 µs, o tempo que leva para a
luz percorrer 300 m.
Relógio fixo na origem
Uma luz pisca na origem e o relógio
posicionado na origem começa a
marcar o tempo, iniciando em t 0 s.
Frente de onda
O relógio começa a marcar o tempo quando
a onda luminosa chega ao mesmo. Ele, então,
estará sincronizado com o relógio fixo na
origem.
FIGURA 37.14 Sincronização de relógios.
É importante que todos os relógios de um referencial estejam sincronizados. Isso significa que todos os relógios daquele referencial fornecerão a mesma leitura em um determinado instante de tempo. Para isso, precisamos de um método de sincronização. Uma
idéia possível é nomear o relógio fixo na origem de relógio-mestre. Poderemos, então,
percorrer toda a rede e ajustar todos os relógios pelo relógio-mestre e, finalmente, levar
o relógio-mestre de volta para a origem.
Esse seria um método perfeito de sincronização na mecânica newtoniana, em que
o tempo transcorre suavemente, de forma igual para todos. Mas estamos reexaminando
a natureza do tempo, considerando a possibilidade de que o tempo seja diferente em
referenciais que se movem relativamente entre si. Uma vez que o relógio-mestre está em
movimento, não podemos considerar que ele mediria o tempo da mesma forma que um
relógio estacionário.
Precisamos de um método de sincronização em que não exista a necessidade de
mover relógios. Felizmente, é fácil desenvolver tal método. Cada relógio está posicionado na intersecção das réguas; assim, ao olhar para as réguas, um assistente sabe, ou
consegue calcular, a distância exata de cada relógio em relação à origem. Uma vez que a
distancia é obtida, o assistente é capaz de calcular quanto tempo uma onda luminosa leva
para percorrer a distância entre a origem e cada relógio. Por exemplo, a luz levará 1,00
␮s para atingir um relógio a 300 m da origem.
NOTA Na maioria dos problemas de relatividade é importante que se saiba que a
velocidade da luz é c 300 m/␮s. A fim de sincronizar os relógios, os assistentes começam ajustando cada relógio
para levar em conta o tempo de propagação da luz a partir da origem, mas eles ainda
não acionam os relógios. A seguir, como mostra a FIGURA 37.14, uma luz pisca na origem e, simultaneamente, o relógio na origem começa a marcar o tempo, iniciando em
t 0 s. A onda luminosa se espalha em todas as direções com a velocidade c. Um detector de luz em cada relógio reconhece a chegada da onda luminosa e, prontamente,
aciona o relógio. O relógio já havia sido ajustado previamente com o tempo de propagação da luz. Assim, todos os relógios estarão sincronizados após a passagem da onda
luminosa por eles.
Este relógio foi pré-ajustado para 1,00 ␮s, o tempo que leva para a luz percorrer 300 m.
CAPÍTULO 37
■
Relatividade
1153
Eventos e observações
Mencionamos anteriormente que t é o instante de tempo em que o evento realmente
ocorre. Esse é um aspecto importante, que demandará futuras discussões. Ondas luminosas levam algum tempo para se propagar. Mensagens, sejam elas transmitidas por
pulsos de luz, por telefone, por correspondência ou a cavalo, levam tempo para chegar ao destino. Um observador observará um evento, como a explosão de uma bomba,
por exemplo, somente um pouco depois, quando as ondas luminosas chegarem aos seus
olhos. Mas nosso interesse está concentrado no evento em si, e não, na observação feita
por quem o observou. O instante de tempo em que o observador vê o evento, ou é informado do mesmo, não é o instante em que ele realmente ocorreu.
Suponha que, em t 0, uma bomba explode na posição dada por x 300 m. O flash
de luz proveniente da bomba alcançará o observador na origem em t1 1,0 ␮s. O som
da explosão chegará a um observador que não viu a explosão em t2 0,88 s. Nenhum
desses tempos é o instante tevento da explosão, embora o observador possa usar velocidades de onda conhecidas para determinar tevento. Neste exemplo, as coordenadas espaçotemporais do evento a explosão são (300m, 0m, 0m, 0s).
EXEMPLO 37.3 Obtendo o tempo de ocorrência de um
evento
Um observador A, fixo no referencial S, está posicionado na origem
e olhando no sentido positivo do eixo x. Outro observador B, posicionado em x 900m, olha no sentido negativo do eixo x. Uma bomba
explode em algum ponto entre A e B. O observador B vê um flash de
luz no instante t 3,0 ␮s. O observador A vê o flash de luz em t 4,0 ␮s. Quais são as coordenadas espaço-temporais da explosão?
A luz é recebida em 3,0 ␮s e em 4,0 ␮s, respectivamente; portanto,
ela foi emitida pela explosão em t 2,0 ␮s. As coordenadas espaçotemporais são (600 m, 0 m, 0 m, 2,0 ␮s).
A frente de onda chega a
A no instante t = 4,0 µs.
A
A frente de onda chega a
B no instante t = 3,0 µs.
B
MODELO Observadores A e B estão fixos no mesmo referencial e am-
bos possuem relógios sincronizados.
Explosão na
posição x e
no instante t.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 37.15 mostra os dois observadores e a explo-
são que ocorre em uma posição desconhecida x.
RESOLUÇÃO Os dois observadores visualizam os flashes de luz em dois
instantes distintos, mas o evento foi um só. A luz viaja a 300 m/␮s, de
modo que o tempo adicional de 1,0 ␮s necessário para a luz chegar ao
observador A implica que a distância (x 0m) é 300 m maior do que
a distância (900m x), ou seja,
(x 0 m) (900 m x) 300 m
Essa equação de fácil resolução fornece x 600 m como a coordenada da posição da explosão. A luz leva 1,0 ␮s para percorrer 300 m
até o observador B e 2,0 ␮s para percorrer 600 m até o observador A.
x
0m
900 m
FIGURA 37.15 A onda luminosa chega aos observadores em
instantes diferentes. Nenhum desses tempos é o tempo em que
o evento realmente ocorreu.
AVALIAÇÃO Embora os observadores vejam a explosão em instantes
distintos, eles concordam que a explosão de fato ocorreu em t 2,0 ␮s.
Simultaneidade
Dois eventos 1 e 2 que ocorrem em diferentes posições x1 e x2, mas no mesmo instante t1 t2 medidos em algum referencial, são ditos simultâneos naquele referencial. A simultaneidade é determinada inquirindo-se quando o evento realmente ocorreu, e não, quando foi
visto ou observado. Em geral, eventos simultâneos não são vistos ao mesmo tempo devido
à diferença dos tempos de propagação da luz entre os locais dos eventos e o observador.
EXEMPLO 37.4 As explosões foram simultâneas?
Uma observadora no referencial S se posiciona na origem, olhando no
sentido positivo do eixo x. Em t 3,0 ␮s, ela vê a bomba 1 explodir
em x 600 m. Pouco tempo depois, em t 5 ␮s, ela vê a bomba 2
explodir em x 1200 m. As duas explosões ocorreram simultaneamente? Em caso contrário, qual das bombas explodiu primeiro?
MODELO A luz proveniente de ambas as explosões se propaga a 300
m/ ␮s em direção à observadora.
RESOLUÇÃO A observadora vê duas explosões diferentes, mas as percepções dos eventos não são os eventos em si. Quando a explosão
realmente ocorreu? Usando o fato de que a luz se propaga a 300
m/␮s, pode-se verificar que a bomba 1 explodiu em t1 1,0 ␮s e que
a bomba 2 também explodiu em t2 1,0 ␮s. Portanto, os eventos
foram simultâneos.
1154
Física: Uma Abordagem Estratégica
PARE E PENSE 37.4 Uma árvore e um poste estão a 3000m de distância um do outro. Repentinamente, ambos são atingidos por raios. Mark, que se encontra parado a meio caminho
entre a árvore e o poste, vê os dois raios no mesmo instante de tempo. Nancy está em
repouso embaixo da árvore. Defina o evento 1 como “o raio atinge a arvore” e o evento 2
como “o raio atinge o poste”. Para Nancy, o evento 1 ocorreu antes, depois ou ao mesmo
tempo que o evento 2?
37.5 A relatividade da simultaneidade
“As bombas deixarão marcas queimadas
onde explodirem no solo.”
Luz sinalizadora
Sensor luminoso
Agora que já estabelecemos uma forma de medir o tempo de um evento em relação a
um referencial, começaremos a investigar a natureza do tempo. O seguinte “experimento
mental” é bastante semelhante ao sugerido por Einstein.
A FIGURA 37.16 mostra um vagão comprimido que se move para a direita a uma velocidade v que pode ser uma fração considerável da velocidade da luz. Uma bomba é
amarrada a cada extremidade do vagão, logo acima do chão. Cada bomba tem poder
suficiente para deixar uma marca de queimado no chão, no local da explosão.
Ryan está fixo no solo, olhando o vagão passar. Peggy está parada exatamente no
centro do vagão, com uma caixa especial aos seus pés. A caixa tem dois detectores de
luz, voltados para sentidos opostos, e uma luz sinalizadora na tampa. A caixa funciona
da seguinte maneira:
1. Se o detector da direita receber um flash de luz antes do detector da esquerda,
uma luz verde acenderá na tampa da caixa.
2. Se o detector da esquerda receber um flash de luz antes do detector da direita,
ou se os dois flashes chegarem simultaneamente, uma luz vermelha acenderá na
tampa da caixa.
FIGURA 37.16 Um vagão ferroviário
deslocando-se para a direita com
velocidade v.
As bombas explodem no momento em que o vagão está passando por Ryan, que vê,
simultaneamente, os dois flashes de luz oriundos da explosão. Ryan, então, mede as distâncias entre as duas marcas deixadas pela explosão e descobre que estava posicionado
exatamente na metade da distância entre as duas marcas. Sabendo que a luz percorre
distâncias iguais em intervalos de tempo iguais, ele conclui que as duas explosões ocorreram simultaneamente em relação ao seu referencial, fixo no solo. Uma vez que Ryan
estava posicionado a meia distância entre as duas extremidades do vagão, ele estava na
posição diretamente à frente de Peggy no momento da explosão.
A FIGURA 37.17a mostra a seqüência de eventos registrados no referencial de Ryan. A
luz se propaga a uma velocidade c em relação a todos os referenciais. Independentemente do movimento das bombas, as frentes de onda luminosas são esferas centradas nas
marcas deixadas no solo. Ryan determina que a onda luminosa proveniente da direita
chega a Peggy e à caixa antes da onda luminosa proveniente da esquerda. Logo, de acordo com Ryan, a luz sinalizadora que irá acender na tampa da caixa é a verde.
O que acontece em relação ao referencial de Peggy, um referencial que se move para a
direita a uma velocidade v relativa ao solo? A FIGURA 37.17b mostra que Peggy vê Ryan se
movendo para a esquerda com velocidade v. A luz se propaga a uma velocidade c em relação a todos os referenciais inerciais, de modo que as frentes de onda luminosas são esferas
centradas nas extremidades do vagão. Se as explosões foram simultâneas, como determinado por Ryan, as duas ondas luminosas chegam simultaneamente a Peggy e à caixa. Logo,
de acordo com Peggy, é a luz sinalizadora vermelha que acende na tampa da caixa.
A luz deve ser verde ou vermelha. Não pode ser ambas! Mais tarde, quando o vagão
já estiver parado, Ryan e Peggy podem examinar a caixa. A lâmpada que estará acesa
será verde ou vermelha. Ryan não pode ver uma cor e Peggy outra. Deparamo-nos com
um paradoxo. É impossível que ambos, Peggy e Ryan, estejam certos. Mas quem está
errado e por quê?
O que sabemos com absoluta certeza?
1. Ryan detectou os flashes simultaneamente.
2. Ryan estava a meia distância entre os dois artefatos quando eles explodiram.
3. A luz ocasionada pelas duas explosões se aproximou de Ryan com os mesmos
valores de velocidade.
CAPÍTULO 37
■
Relatividade
1155
A conclusão de que as explosões foram simultâneas no referencial de Ryan é indiscutível. A luz é verde.
Os eventos no referencial de Ryan
As explosões são simultâneas.
As marcas da explosão estão a
iguais distâncias de Ryan.
As frentes de onda são esferas
centradas nas marcas porque a
velocidade de propagação de
ambas as ondas luminosas é c.
Peggy está se movendo para a direita
As ondas chegam simultaneamente
a Ryan. A onda proveniente da
direita já passou por Peggy e já
foi detectada. A onda proveniente
da esquerda ainda não chegou a ela.
Os eventos no referencial de Peggy
As explosões ocorrem nas extremidades do vagão.
As frentes de onda são esferas
centradas nas extremidades do
vagão porque a velocidade de
ambas as ondas luminosas é c.
As ondas chegam à Peggy e aos
detectores simultaneamente.
FIGURA 37.17 Explosão de artefatos vista em dois referenciais diferentes.
Peggy, no entanto, elaborou uma hipótese. Uma hipótese bastante simples, daquelas
que parecem tão óbvias que você provavelmente nem notaria, embora não deixe de ser
uma hipótese. Peggy considera que as explosões foram simultâneas.
E quanto a Ryan? Ele acha que as explosões foram simultâneas? A resposta é afirmativa, mas vejamos o seguinte. Chamemos o referencial de Ryan de S, o evento da
explosão direita de D e o evento da explosão da esquerda de E. Ryan registrou que tD
tE no referencial S, entretanto Peggy tem de usar um conjunto diferente de relógios,
fixos em seu referencial S, a fim de medir os tempos tD e tE em que as explosões ocorreram. O fato de que tD tE no referencial S não nos autoriza a concluir que tD tE no
referencial S.
De fato, a bomba da direita deve ter explodido antes da bomba da esquerda em relação ao referencial S. A Figura 37.17b, que mostra essa hipótese sobre simultaneidade,
estava incorreta. A FIGURA 37.18 mostra a situação registrada no referencial de Peggy, em
que a bomba da direita explodiu primeiro. A onda proveniente da direita chega primeiro
até Peggy e à caixa, exatamente como Ryan havia concluído, e a luz verde acende na
tampa da caixa.
Uma das conclusões mais desconcertantes da relatividade é a de que dois eventos
que ocorrem simultaneamente em um referencial S não são simultâneos em qualquer outro referencial S em movimento relativo a S. Chamamos esta conclusão de
relatividade da simultaneidade.
A bomba da direita explode primeiro.
A bomba da esquerda
explode depois.
A onda luminosa
proveniente da direita
chega primeiro a Peggy.
As ondas chegam simultaneamente até
Ryan. A onda da esquerda ainda não
chegou até Peggy.
FIGURA 37.18 A verdadeira seqüência de
eventos no referencial de Peggy.
1156
Física: Uma Abordagem Estratégica
As duas bombas realmente explodiram no mesmo instante de tempo no referencial
de Ryan. E a bomba da direita realmente explodiu primeiro no referencial de Peggy. O
momento em que eles vêem os flashes não é o que importa. Nossa conclusão refere-se
aos tempos em que as explosões realmente ocorrem.
O paradoxo de Peggy e Ryan contém a essência da relatividade e merece uma reflexão. Primeiramente, reveja a lógica até você se certificar de que existe um paradoxo,
uma impossibilidade lógica. Então, se convença de que a única maneira de resolver o
paradoxo é desistir da hipótese de que as explosões são simultâneas no referencial de
Peggy. Se você compreender o paradoxo e sua solução, terá dado um grande passo para
entender o que, afinal, é a relatividade.
PARE E PENSE 37.5 Uma árvore e um poste distam 3000m um do outro. Cada um é atingido
por um raio. Mark, parado na metade da distância entre o poste e a árvore, vê os raios chegarem no mesmo instante de tempo. Nancy dirige seu foguete a uma velocidade v 0,5c
no sentido árvore-poste. O raio atinge a árvore no momento em que Nancy passa por ela.
Defina evento 1 como o “raio atinge a árvore” e evento 2 como o “raio atinge o poste”.
Para Nancy, o evento 1 ocorre antes, depois ou ao mesmo tempo que o evento 2?
37.6 Dilatação temporal
17.1
Relógio de luz
Espelho
Mostrador
do tempo
Fonte de luz
Detector de luz
O relógio está em repouso em
relação ao referencial Sⴕ
O referencial Sⴕ
é o referencial
de repouso do
relógio.
FIGURA 37.19 Os “tiques” de um relógio de
luz podem ser medido por observadores
fixos em dois referenciais diferentes.
O princípio da relatividade nos levou à conclusão lógica de que o tempo não é o mesmo
em relação a dois referenciais que se movem um em relação ao outro. Nossa análise até
aqui tem sido basicamente qualitativa. É hora de começarmos a desenvolver algumas
ferramentas quantitativas que permitam comparações entre as medições feitas em um
referencial e as efetuadas em outro.
A FIGURA 37.19a mostra um relógio especial chamado de relógio de luz. O relógio de
luz é uma caixa dotada de uma fonte luminosa na base e de um espelho no topo, separados por uma distância h. A fonte luminosa emite um pulso de luz muito curto que se
propaga até o espelho e é refletido de volta para um detector de luz localizado ao lado da
fonte luminosa. Cada vez que o detector recebe um pulso o relógio produz um “tique” e,
imediatamente, faz com que a fonte luminosa emita seu próximo pulso.
Nosso objetivo é comparar duas medições do intervalo entre dois “tiques” do
relógio: uma obtida pelo observador posicionado ao lado do relógio e a outra obtida
pelo observador que se move em relação ao relógio. Para sermos mais específicos,
a FIGURA 37.19b mostra o relógio em repouso no referencial S, chamado, portanto,
de referencial de repouso do relógio. O referencial S move-se para a direita com
velocidade v relativa ao referencial S.
A relatividade requer que meçamos eventos, de modo que vamos definir o evento 1
como sendo a emissão do pulso de luz e o evento 2 como a detecção desse pulso. Os observadores fixos em ambos os referenciais conseguem medir onde e quando esses eventos ocorrem em relação ao seu referencial. No referencial S, o intervalo de tempo t t2 t1 corresponde a um “tique” do relógio. Da mesma forma, um “tique” no referencial
S corresponde a t t2 t1.
Para termos certeza de que realmente entendemos o resultado da relatividade, vamos
inicialmente fazer uma análise clássica. No referencial S, o referencial de repouso do
relógio, a luz se propaga em linha reta para cima e para baixo, percorrendo uma distância
total 2h com velocidade c. O intervalo de tempo é t 2h/c.
A FIGURA 37.20a ilustra o funcionamento do relógio de luz como observado em relação ao referencial S. O relógio se move para a direita com velocidade v em relação a S;
logo, o espelho percorre v(t) durante o tempo (t) em que o pulso de luz vai da fonte
luminosa até o espelho. A distância percorrida pela luz durante esse intervalo é uluz(t),
onde uluz é a velocidade da luz em relação ao referencial S. A partir da adição de vetores
da FIGURA 37.20b é possível observar que a velocidade em relação ao referencial S é uluz
2
2 ½
(c v ) . (Lembre-se: essa é uma análise clássica, em que a velocidade da luz depende do movimento do referencial em relação à fonte luminosa.)
CAPÍTULO 37
■
Relatividade
O teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo na Figura 37.20a é
1157
Espelho no
momento em que
a luz é detectada
Espelho no momento
em que a luz é emitida
Espelho
O caminho
percorrido
pela luz em
relação ao
referencial S
(37.4)
luz
O termo ( vt) aparece nos dois lados da equação, cancelando-se. Isolando t, obtemos t 2h/c, idêntico a t. Em outras palavras, uma análise clássica mostra que os
“tiques” do relógio estão sincronizados em ambos os referenciais S e S. Isso não nos
surpreende. Há somente um tipo de tempo na física clássica, medido igualmente por
todos os observadores, independentemente de seus movimentos.
O princípio da relatividade muda apenas um aspecto dessa análise, mas essa mudança tem conseqüências profundas. De acordo com o princípio da relatividade, a luz
se propaga com a mesma velocidade em relação a todos os referenciais. No referencial
S, o referencial de repouso do relógio, a luz simplesmente percorre uma linha reta para
cima e para baixo. O tempo de um “tique”,
2
Detecção
Emissão
O relógio percorre uma distância v⌬t.
Velocidade
da luz no
relógio
éa
luz
velocidade da luz no
referencial S.
(37.5)
permanece o mesmo da análise clássica.
A FIGURA 37.21 mostra o relógio de luz tal como observado em relação ao referencial S.
A diferença em relação à figura 37.20a é que, agora, a luz se propaga ao longo da hipotenusa com uma velocidade c. Podemos, novamente, usar o teorema de Pitágoras para escrever
Velocidade do relógio relativa ao referencial S
FIGURA 37.20 Análise clássica do relógio
de luz.
(37.6) A velocidade da luz é
a mesma em relação a
ambos os referenciais.
Isolando t, obtemos
Espelho
(37.7)
O intervalo de tempo entre dois “tiques” em relação ao referencial S não é o mesmo em
relação ao referencial S.
É útil definir ␤ v/c, ou seja, a velocidade como uma fração da velocidade da luz.
8
Por exemplo, um referencial que se mova com v 2,4 10 m/s corresponde a ␤ Emissão
0,80. Em função de ␤, a Equação 37.7 torna-se
Caminho
percorrido
pela luz em
relação ao
referencial S
Detecção
O relógio percorre uma distância v⌬t.
(37.8)
NOTA A expressão (1 v /c )
(1 ␤ ) ocorre com freqüência na relatividade.
O valor da expressão é 1 quando v 0 e decresce gradativamente a 0 quando v → c
(ou ␤ → 1). A raiz quadrada será um número imaginário se v c, o que tornaria t
imaginário na Equação 37.8. Os intervalos de tempo certamente têm de ser números
reais, o que sugere que v c não é fisicamente possível. Uma das previsões da teoria
da relatividade, da qual você certamente já deve ter ouvido falar, nos diz que nada
se move mais rapidamente do que a luz. Agora você já pode começar a perceber por
quê. Examinaremos essa questão com mais detalhe na Seção 37.9. Enquanto isso,
consideraremos que v seja menor que c. 2
2 ½
2 ½
Tempo próprio
O referencial S tem uma característica importante. Ele é o único referencial inercial em
relação ao qual o relógio está em repouso. Conseqüentemente, ele é o único referencial
inercial em que os tempos de ocorrência de ambos os eventos a emissão e a detecção
da luz são medidas pelo mesmo relógio. Perceba que, no referencial de repouso do
relógio, Figura 37.19, o pulso de luz inicia e termina na mesma posição, podendo ser
medido por um único relógio. Na Figura 37.21, a emissão e a detecção ocorrem em diferentes posições no referencial S e devem ser medidas por relógios diferentes.
FIGURA 37.21 Análise do relógio de luz
quando se considera que a velocidade da
luz é a mesma em todos os referenciais.
1158
Física: Uma Abordagem Estratégica
O intervalo de tempo entre dois eventos que ocorrem na mesma posição é denominado tempo próprio ␶. Existe apenas um referencial inercial em que se mede o tempo
próprio, e isso é feito por um único relógio presente na posição de ambos os eventos.
Com relação a um referencial inercial que se mova com velocidade v ␤c em relação ao
referencial do tempo próprio, deve-se usar dois relógios para medir o intervalo de tempo,
pois os dois eventos ocorrem em posições diferentes. O intervalo de tempo entre os dois
eventos, com relação a esse referencial, é
(dilatação temporal)
(37.9)
O “encompridamento” do intervalo de tempo mostrado na Equação 37.9 é denominado dilatação temporal. A dilatação temporal, às vezes, é descrita dizendo-se que
“relógios em movimento andam mais devagar”. No entanto, essa não é uma afirmação
precisa, por sugerir que alguns referenciais “realmente” estejam em movimento enquanto outros estão “realmente” em repouso. O aspecto principal da relatividade é que todos
os referenciais inerciais são igualmente válidos e tudo o que sabemos a respeito dos
referenciais é como eles se movem uns em relação aos outros. Uma descrição melhor
da dilatação temporal é que o intervalo de tempo entre dois “tiques” é o mais curto
possível no referencial em que o relógio encontra-se em repouso. O intervalo de tempo entre dois “tiques” é mais longo (i.e., o relógio “anda mais devagar”) quando ele é
medido em relação a qualquer referencial em que o relógio esteja em movimento.
NOTA A Equação 37.9 foi derivada usando-se um relógio de luz, pois o funcionamento de um relógio de luz é mais fácil de analisar. Mas a conclusão refere-se ao
tempo propriamente dito. Qualquer relógio, independentemente de seu mecanismo
de funcionamento, comporta-se da mesma maneira. EXEMPLO 37.5 Do Sol a Saturno
Saturno dista 1,43 1012 m do Sol. Um foguete viaja em linha reta
do Sol a Saturno com uma velocidade constante de 0,9c relativa ao
Sistema Solar. Quanto tempo levará para o foguete realizar o percurso
em relação a um observador que está na Terra? E em relação a um
astronauta que está no foguete?
MODELO Vamos definir que o Sistema Solar esteja em repouso em
relação ao referencial S e que e o foguete esteja em repouso com relação ao referencial S que se move com velocidade v 0,9c relativamente a S. Os problemas de relatividade devem se basear em eventos.
Considere que “o foguete e o Sol coincidem” seja o evento 1 (o observador na Terra diz que o foguete passa pelo Sol; o astronauta no fo-
A viagem do foguete em
relação ao referencial S
Evento 1
A viagem do foguete em
relação ao referencial Sⴕ
Evento 1
guete diz que é o Sol que passa pelo foguete) e que “o foguete e Saturno coincidem” seja o evento 2.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 37.22 ilustra os dois eventos como observa-
dos em relação aos dois referenciais. Note que, com relação a S, os
dois eventos ocorrem na mesma posição, a posição do foguete, e, conseqüentemente, podem ser medidos por um único relógio.
RESOLUÇÃO O intervalo de tempo medido no referencial do Sistema
Solar, incluindo a Terra, é, simplesmente,
A relatividade não abandonou a definição básica v x/t, embora
tenhamos de ter certeza de que x e t são medidos com relação ao
mesmo referencial e correspondem aos mesmos dois eventos.
O que ocorre em relação ao referencial do foguete? Os dois eventos ocorrem na mesma posição em S e podem ser medidos por um relógio, localizado na origem. Logo, o tempo medido pelos astronautas
é o tempo próprio ␶ entre os dois eventos. Podemos usar a Equação
37.9 com ␤ 0,9 para obter
AVALIAÇÃO O intervalo de tempo entre esses dois eventos, medido pe-
O tempo decorrido entre
esses dois evento é ⌬t.
Evento 2
O tempo decorrido entre esses
dois eventos é o tempo próprio
⌬␶.
Evento 2
FIGURA 37.22 Representação pictórica da viagem do foguete, tal
como observada em relação aos referenciais S e S.
los astronautas, corresponde a menos da metade do intervalo de tempo
medido pelos observadores na Terra. A diferença não tem nenhuma relação com o momento em que os astrônomos na Terra vêem o foguete
passar pelo Sol e por Saturno. t é o intervalo de tempo entre o instante em que o foguete realmente passa pelo Sol, medido por um relógio
fixo no Sol, e o instante em que o foguete passa por Saturno, medido
por um relógio sincronizado em Saturno. O intervalo decorrido entre
ver os eventos a partir da Terra, levando-se em conta os tempos de
propagação da luz, seria um pouco diferente de 5300 s. Os intervalos
t e ␶ são diferentes porque o tempo transcorre diferentemente em
relação a dois referenciais em movimento, um em relação ao outro.
CAPÍTULO 37
■
Relatividade
1159
PARE E PENSE 37.6 Molly voa em seu foguete e passa por Nick a uma velocidade constante
v. Molly e Nick medem o tempo decorrido para o foguete, do nariz até a cauda, passar
por Nick. Qual das sentenças abaixo é verdadeira?
a. Ambos, Molly e Nick, medem o mesmo tempo.
b. Molly mede um intervalo de tempo mais curto que Nick.
c. Nick mede um intervalo de tempo mais curto que Molly.
Evidência experimental
Existem evidências que corroborem a estranha idéia de que relógios em movimento relativo marquem horários diferentes? De fato existem, e são muitas. Em um experimento
realizado em 1971, um relógio atômico foi colocado em um avião a jato e enviado para
uma viagem ao redor do mundo, enquanto um relógio idêntico permaneceu no laboratório.
Tratou-se de um experimento difícil, pois a velocidade do relógio no avião era muito baixa
comparada a c. Além disso, medir pequenas diferenças entre intervalos de tempo estava
no limite de precisão dos relógios atômicos da época. O experimento era mais complexo
do que aquele que analisamos anteriormente porque o relógio tinha aceleração ao moverse ao redor da Terra. Contudo, ao retornar, o relógio “viajante” estava atrasado 200 ns em
relação ao relógio do laboratório, exatamente o valor previsto pela relatividade.
Estudos mais detalhados têm sido feitos envolvendo partículas instáveis chamadas
múons, que são criadas na alta atmosfera, a uma altura em torno de 60 km, quando
raios cósmicos de alta energia colidem com moléculas do ar. Experimentos realizados
em laboratório revelaram que múons estacionários decaem com uma meia-vida de 1,5
␮s, isto é, a metade dos múons decai em 1,5 ␮s, enquanto a metade dos que restaram
decairá no próximo 1,5 ␮s e assim por diante. Os decaimentos podem ser usados como
um relógio.
Os múons movem-se pela atmosfera a uma velocidade bem próxima da velocidade
da luz. O tempo necessário para alcançar o solo, admitindo-se que v 艐 c, é t 艐 (60.000
8
m)/(3 10 m/s) 200 ␮s. Esse valor corresponde a 133 meias-vidas, portanto a fração
133
1040, ou seja, apenas 1 em 1040 múons
de múons que chega ao solo deveria ser 艐
deveria chegar ao solo. Todavia, de fato, os experimentos revelaram que aproximadamente 1 em cada 10 múons chegava ao solo, um resultado experimental que difere de
39
nossa previsão inicial por um fator igual a 10 .
Essa discrepância deve-se à dilatação temporal. Na FIGURA 37.23, os dois eventos “um múon é criado” e “um múon chega ao solo” ocorrem em dois lugares diferentes
no referencial da Terra. Esses dois eventos, no entanto, ocorrem na mesma posição em
relação ao referencial do múon. (O múon é como o foguete do Exemplo 37.5.) Logo, o
relógio interno do múon mede o tempo próprio. O intervalo de tempo dilatado, t 200
␮s no referencial da Terra, corresponde ao tempo próprio ␶ 艐 5 ␮s no referencial do
múon. De outra forma, o tempo decorrido entre a criação na alta atmosfera e a chegada
do múon ao solo é de apenas 5 ␮s no referencial do múon. Esse valor corresponde a 3,3
3,3
0,1 ou 1 entre
meias-vidas, de modo que a fração de múons que chega ao solo é
10. Não fosse pela dilatação temporal, não detectaríamos múons no solo.
Os detalhes estão além do objetivo deste livro, todavia vários aceleradores de partículas de alta energia usados para estudar quarks e outras partículas elementares já
foram planejados e construídos, em todo o mundo, com base na teoria da relatividade de
Einstein. O fato de funcionarem exatamente da maneira como planejado constitui uma
prova inegável da realidade da dilatação temporal.
O paradoxo dos gêmeos
Um dos paradoxos mais conhecidos da relatividade é o paradoxo dos gêmeos. George e
Helen são gêmeos. Ao completarem 25 anos, Helen parte em uma viagem intergaláctica
até uma estrela distante. Para sermos mais específicos, vamos imaginar que a nave de
Helen acelere quase instantaneamente para uma velocidade de 0,95c, e que ela viaje para
uma estrela que dista 9,5 anos-luz (9,5 a.l.) da Terra. Chegando lá, Helen descobre que
os planetas que circundam a estrela são habitados por terríveis alienígenas. Imediatamente, ela dá meia volta e retorna para casa a 0,95c.
Múon é
criado
Um múon percorre ⬇450 m em
1,5 µs. Não detectaríamos múons
no solo se a meia-vida de um múon
em movimento fosse de 1,5 µs
Devido à
dilatação
temporal, a
meia-vida de
um múon em alta
velocidade com
relação ao referencial
da Terra é longa o suficiente para que 1 a cada
10 múons chegue ao solo.
Múon alcança o solo.
FIGURA 37.23 Não fosse pela dilatação
temporal, não detectaríamos múons no
solo.
1160
Física: Uma Abordagem Estratégica
Um ano-luz, abreviado a.l., é a distância percorrida pela luz durante um ano. Um
ano-luz é muito maior que o diâmetro do Sistema Solar. A distância entre duas estrelas
vizinhas é, tipicamente, de alguns anos-luz. Para nosso propósito aqui, vamos escrever a
velocidade da luz como c 1 a.l./ano, ou seja, a luz viaja 1 ano-luz por ano.
Esse valor para c nos permite determinar, de acordo com George e todos os outros
habitantes da Terra, quanto tempo Helen levará para ir e voltar. A distância total é de 19
a.l. e, devido a sua rápida aceleração e ao fato de que ela retornou imediatamente, Helen
viaja basicamente todo o percurso a uma velocidade v 0,95 a.l./ano. Logo, a duração
de sua viagem, de acordo com George, é
(37.10)
O sistema de posicionamento global
(GPS), que permite a localização
em qualquer lugar do mundo com
precisão de alguns metros, emprega
um conjunto de satélites em órbita. Por
estarem em movimento, os relógios
atômicos dos satélites medem o tempo
diferentemente dos relógios fixos na Terra.
Para determinar uma posição precisa, o
programa do receptor do GPS deve corrigir
cuidadosamente os efeitos da dilatação
temporal.
Helen se move em relação a
mim com 0,95c. Os relógios
dela andam mais devagar do
que os meus e, quando retornar,
ela estará mais jovem do que eu.
,
, a.l.
George se move em relação a
mim com 0,95c. Os relógios
dele andam mais devagar do
que os meus e, quando eu
retornar, ele estará mais
jovem do que eu.
FIGURA 37.24 O paradoxo dos gêmeos.
George terá 45 anos quando sua irmã Helen voltar cheia de aventuras para contar.
Enquanto Helen está fora, George tem aulas de física e começa a estudar a teoria da
relatividade de Einstein. George percebe que a dilatação temporal fará com que o relógio de
Helen “ande” mais devagar do que seu relógio, que se encontra em repouso em relação a ele.
O coração dela um relógio irá bater menos vezes e o ponteiro dos minutos de seu relógio irá girar um número menor de vezes. Em outras palavras, ela envelhece mais devagar do
que se irmão. Embora sejam gêmeos, ao regressar Helen será mais nova que George.
Não é difícil calcular a idade de Helen. Basta identificar seu relógio como aquele
que mede o tempo próprio ␶, uma vez que está sempre com ela durante a viagem. Da
Equação 37.9, temos,
(37.11)
George terá recentemente celebrado seu 45° aniversário quando der as boas-vindas à sua
irmã gêmea de 31 anos e 3 meses.
Tudo isso parece muito estranho, pois vai contra o senso comum que temos da noção
de tempo, mas não se trata de um paradoxo. Não há inconsistência lógica neste resultado. Então por que ele é chamado de “paradoxo dos gêmeos”? Leia o que segue.
Sabendo que teria tempo de sobra em sua viagem, Helen levou muitos livros de física para ler. À medida que aprende sobre a relatividade, ela começa a pensar em George
e em todos os amigos que ficaram na Terra. Em relação a ela, todos estão se afastando a
0,95c. Mais tarde, eles estarão se aproximando dela a 0,95c. A dilatação temporal fará
com que os relógios deles andem mais devagar do que os relógios de Helen, que estão
em repouso em relação a ela. Em outras palavras, como ilustrado na FIGURA 37.24, Helen
conclui que as pessoas na Terra envelhecem mais devagar do que ela e que ela será mais
velha do que eles ao retornar à Terra.
Finalmente chega o grande dia. Helen aterrissa na Terra e desce de sua nave. George
acha que sua irmã está bem mais nova do que ele, enquanto Helen espera que George
esteja bem mais novo do que ela.
Eis aqui o paradoxo. É logicamente impossível que cada um deles seja mais novo
do que o outro no momento em que se reencontram. Onde, então, está a falha de nosso
raciocínio? Parece que nos deparamos com uma situação simétrica Helen move-se relativamente a George, e este se move em relação a Helen todavia o raciocínio baseado
na simetria nos leva a um impasse.
Será que as situações são realmente simétricas? George leva sua vida normalmente,
dia após dia, sem notar nada de estranho. Helen, por sua vez, passa por três períodos distintos desde o momento em que o motor da nave é ligado, seu corpo é pressionado contra
o assento e as partículas de poeira que flutuavam livremente dentro da nave, ou seja, no
referencial da nave, deixam de estar em repouso ou deslocando-se em linha reta com
uma velocidade constante. Em outras palavras, George permanece o tempo todo fixo em
um mesmo referencial inercial, mas não Helen. A situação não é simétrica.
O princípio da relatividade se aplica somente a referenciais inerciais. Nossa discussão sobre dilatação temporal foi destinada a referenciais inerciais. Nesse caso, a análise de George e seus cálculos estão corretos, enquanto a análise e os cálculos de Helen
não estão corretos, pois ela estava tentando aplicar um resultado do referencial inercial
a um referencial não-inercial.
Ao retornar, Helen tem idade menor do que George. Isso parece estranho, mas não se
trata de um paradoxo; é uma conseqüência do fato de que o tempo transcorre diferentemente em relação a dois referenciais que se movem relativamente um ao outro.
CAPÍTULO 37
■
Relatividade
1161
37.7 Contração espacial
Já vimos que a relatividade nos faz repensar nossas idéias acerca do tempo. Agora vamos
voltar nossa atenção para os conceitos de espaço e de distância. Você está lembrado do
foguete que viajou do Sol até Saturno no Exemplo 37.5? A FIGURA 37.25a mostra o foguete movendo-se através do referencial S do Sistema Solar com velocidade v. Definimos
L x xSaturno xSol como a distância entre o Sol e Saturno medida em relação ao
referencial S ou, de maneira mais geral, como o comprimento do intervalo espacial entre
dois pontos. A velocidade do foguete é v L/t, onde t é o tempo medido em relação
ao referencial S para a viagem do Sol a Saturno.
Referencial S: o Sistema Solar está estacionário.
Referencial Sⴕ: e foguete está parado.
O foguete percorre uma
distância L durante o tempo
⌬t. Essa é a distância entre
o Sol e Saturno medida com
relação a S.
xSol
17.2
Saturno percorre uma distância Lⴕ
durante o tempo ⌬tⴕ = ⌬␶. Essa é a
distância entre o Sol e Saturno
medida em relação a Sⴕ.
xSaturno
FIGURA 37.25 L e L’ são as distâncias entre o Sol e Saturno nos referenciais S e S’,
respectivamente.
A FIGURA 37.25b mostra o que ocorre no referencial S, em relação ao qual o foguete
está em repouso. O Sol e Saturno se movem para a esquerda com velocidade v L / t,
onde t é o tempo, medido no referencial S, para Saturno percorrer a distância L.
A velocidade v é a velocidade relativa entre S e S e tem o mesmo módulo em relação aos observadores fixos em ambos os referenciais. Logo,
(37.12)
O intervalo de tempo t medido no referencial S é o tempo próprio ␶, pois ambos
os eventos ocorrem na mesma posição em relação ao referencial S, e pode ser medido
por um único relógio. Podemos usar a dilatação temporal, Equação 37.9, para relacionar
o ␶ medido pelos astronautas com o t medido pelos cientistas na Terra. A Equação
37.12 torna-se, então,
(37.13)
Cancelando t, obtém-se a distância L em relação ao referencial S:
(37.14)
Para nossa surpresa, a distância entre dois objetos, em relação ao referencial S, não é
a mesma distância entre os mesmos dois objetos em relação ao referencial S.
O referencial S, em relação ao qual a distância é L, apresenta uma diferença fundamental. Ele é o único referencial inercial em que os objetos estão em repouso. Os observadores fixos no referencial S têm todo o tempo do mundo para medir L, pois os dois objetos
não vão a lugar algum. A distância L entre dois objetos, ou entre dois pontos de um objeto,
medida em relação ao referencial em que os objetos estão parados, é denominada distância própria 艎. Somente em um referencial inercial podemos medir a distância própria.
Podemos usar a distância própria l para escrever a Equação 37.14 na forma
(37.15)
O Acelerador Linear de Stanford (SLAC)
é um acelerador de elétrons com um
comprimento de aproximadamente 3,2 km.
No referencial dos elétrons, o comprimento
do acelerador é menor do que 1 m.
1162
Física: Uma Abordagem Estratégica
O “encurtamento” da distância entre dois objetos, medido por um observador que
se move em relação aos objetos, é denominado contração espacial. Embora tenhamos
derivado a contração espacial para a distância entre dois objetos, o conceito se aplica
perfeitamente bem a qualquer objeto físico que se estenda entre dois pontos ao longo dos
eixos x e x. O comprimento de um objeto é máximo com relação ao referencial em que
o objeto se encontra em repouso. O comprimento do objeto é menor (i.e., o comprimento está contraído) quando é medido em relação a qualquer referencial em que o objeto
esteja em movimento.
EXEMPLO 37.6 A distância do Sol até Saturno
No Exemplo 37.5, um foguete viaja em linha reta do Sol até Saturno com velocidade constante de 0,9c relativamente ao Sistema
12
Solar. A distância Saturno-Sol é de 1,43 10 m. Qual é a distância entre o Sol e Saturno medida em relação ao referencial do
foguete?
RESOLUÇÃO Podemos usar a Equação 37.15 para obter a distância medida em relação ao referencial S do foguete:
MODELO Saturno e o Sol, ao menos aproximadamente, encontram-se
AVALIAÇÃO A distância Sol-Saturno medida pelos astronautas corres-
em repouso no referencial do Sistema Solar, S. Logo, a distância fornecida é a distância própria ᐉ.
ponde a menos da metade da distância medida pelos observadores
fixos na Terra. L e ᐉ são diferentes porque o espaço é diferente em
relação a dois referenciais que se movem um em relação ao outro.
A conclusão de que o espaço é diferente em relação a referenciais que se movem um
em relação ao outro é uma conseqüência direta do fato de que o tempo é diferente neste
caso. Observadores fixos em ambos os referenciais concordam em relação à velocidade
relativa v, resultando na Equação 37.12: v L / t L/ t. Já aprendemos que t
t por causa da dilatação temporal. Logo, L tem de ser menor do que L. Esta é a única
maneira de os observadores fixos nos dois referenciais conciliarem suas medidas.
Para ser mais específico, os experimentos realizados na Terra, apresentados nos
Exemplos 37.5 e 37.6, concluem que o foguete leva 5300 s para percorrer a distância de
12
8
1,43 10 m entre o Sol e Saturno. A velocidade do foguete é v L/t 2,7 10
m/s 0,9c. Os astronautas do foguete concluem que Saturno leva somente 2310 s para
chegar até eles depois de já terem passado pelo Sol. Todavia não existe conflito porque
12
eles também descobrem que a distância é de apenas 0,62 10 m. Assim, a velocidade
12
8
de Saturno em relação a eles é v L/ t 0,62 10 m)/(2310s) 2,7 10 m/s
0,9c.
Outro paradoxo?
Sua régua é mais curta que a minha.
Ocorreu contração espacial porque
você está se movendo relativamente
a mim.
Réguas
Não pode ser. A sua régua é
que sofreu contração espacial.
Ela é a régua mais curta.
FIGURA 37.26 Carmem e Dan medem o
comprimento de suas réguas ao mesmo
tempo em que se movem um em relação
ao outro.
Carmem e Dan estão em um laboratório de física preparando-se para realizar um projeto
que lhes garantirá um bônus na nota. Cada um seleciona uma régua. Eles colocam suas
réguas lado a lado e verificam que elas têm exatamente o mesmo comprimento. Então os
dois saem do laboratório e passam um pelo outro correndo, em sentidos opostos, com
uma velocidade relativa v 0,9c. A FIGURA 37.26 mostra o experimento e uma parte do
que eles conversam.
A régua de Dan não pode ser simultaneamente mais longa e mais curta do que a
régua de Carmem. Será que temos aqui outro paradoxo? Não! O que a relatividade nos
permite comparar são eventos iguais quando registrados em relação a dois referenciais
diferentes. Você se lembra do caso de Peggy e Ryan no trem? Naquele caso realmente
havia um paradoxo. A luz sinalizadora da caixa fica verde (um único evento) ou não; e
Peggy e Ryan têm de concordar. Mas os eventos pelos quais Dan mede o comprimento
(em seu referencial) da régua de Carmem não são os mesmos eventos pelos quais Carmem mede o comprimento (em seu referencial) da régua de Dan.
Não há conflito entre as medições de Dan e Carmem. Em relação ao referencial
de Dan, a régua de Carmem sofreu uma contração espacial e mede menos de 1m de
comprimento. Em relação ao referencial de Carmem, foi a régua de Dan que sofreu
uma contração espacial e mede menos de 1m de comprimento. Se esse não fosse o
caso, se ambos concordassem que uma das réguas é menor do que a outra, teríamos
certeza sobre qual referencial está “realmente” em movimento e qual está “realmente”
em repouso. Entretanto o princípio da relatividade não nos permite tal distinção. Cada
CAPÍTULO 37
qual se move em relação ao outro, portanto cada qual deve obter a mesma medida para
o comprimento da régua do outro.
■
Relatividade
1163
Medições feitas no sistema xy
O intervalo espaço-temporal
Esqueça a relatividade por um instante e pense na geometria tradicional. A FIGURA 37.27
ilustra dois sistemas de coordenadas tradicionais. Eles são idênticos, exceto pelo fato de
que um gira em relação ao outro. Utilizando o sistema xy, um aluno associa ao ponto 1
as coordenadas (x1, y1), e ao ponto 2, (x2, y2). Outro aluno, usando o sistema x y, mede
(x1, y1) e (x2, y2), respectivamente.
Os alunos logo percebem que não existe concordância entre as medidas, ou seja, x1
⫽ x1 e assim por diante. Mesmo os intervalos são diferentes: x ⫽ x e y ⫽ y. Cada
um dos sistemas de coordenadas é perfeitamente válido, portanto não há razão para se
dar preferência a um ou a outro; porém, cada um fornece diferentes medidas.
Mas será que existe algo a respeito do que os alunos possam concordar? Sim, existe.
A distância d entre os pontos 1 e 2 independe das coordenadas. Podemos expressar isso
matematicamente como
d (x) (y) (x) (y)
2
2
2
2
2
2
2
A distância d
é a mesma.
(37.16)
A grandeza (x) (y) (x) (y) é chamada de invariante na geometria, pois
tem o mesmo valor em qualquer sistema cartesiano de coordenadas.
De volta à relatividade, indagamos: será que existe um invariante nas coordenadas
espaço-temporais, alguma grandeza que possua o mesmo valor em todos os referenciais
inerciais? Sim, existe; e para obtê-la voltaremos ao relógio de luz da Figura 37.21. A FIGURA 37.28 mostra o relógio de luz como visto com relação aos referenciais S e S . A
velocidade da luz é igual em ambos os referenciais, embora eles se movam um em relação ao outro e também em relação ao relógio.
Note que a altura h do relógio é a mesma em ambos os referenciais. Logo,
2
Os valores das
coordenadas e
dos intervalos
são diferentes.
2
(37.17)
Medições feitas no sistema xⴕyⴕ
FIGURA 37.27 A distância d é a mesma em
ambos os sistemas de coordenadas.
Caminho percorrido
h é a mesma em
pela luz em Sⴕ
ambos os referenciais.
Espelho
Espelho
em Sⴕ
em Sⴖ
Caminho
percorrido
pela luz
em Sⴖ
O fator é cancelado, o que nos permite escrever
c2(t)2 (x)2 c2(t )2 (x )2
(37.18)
Vamos definir o intervalo espaço-temporal s entre dois eventos como
Emissão
s c (t) (x)
2
2
2
2
EXEMPLO 37.7 Usando o intervalo espaço-temporal
Uma bomba explode na origem de um referencial inercial. Após 2,0
␮s, uma segunda bomba explode a uma distancia de 300 m da origem.
Astronautas que passam em um foguete medem a distância entre as
explosões como sendo 200 m. De acordo com os astronautas, quanto
tempo decorreu entre as duas explosões?
MODELO As coordenadas espaço-temporais dos dois eventos são
medidas em relação a dois referenciais inerciais diferentes. Vamos
chamá-los de referencial do solo, S, e referencial do foguete, S. O
intervalo espaço-temporal entre esses dois eventos é o mesmo em ambos os referenciais.
RESOLUÇÃO O intervalo espaço-temporal (ou melhor, o seu quadrado)
no referencial S é
2
2
2
2
2
2
Detecção em Sⴖ
(37.19)
O que mostramos com a Equação 37.18 é que o intervalo espaço-temporal s tem o
mesmo valor em relação a todos os referenciais inerciais, ou seja, o intervalo espaçotemporal entre dois eventos quaisquer é um invariante. Trata-se de um valor sobre o qual
todos os observadores, usando seus referenciais, concordam.
s c (t) (x) (600 m) (300 m) 270.000 m
Detecção em Sⴕ
2
FIGURA 37.28 O relógio de luz visto pelos
observadores dos referenciais S e S .
onde usamos c 300 m/␮s para obter ct 600 m. O intervalo
espaço-temporal tem o mesmo valor no referencial S. Logo,
2
2
2
2
2
s 270.000 m c (t) (x)
c2(t)2 (200 m)2
Trata-se de uma equação de fácil resolução, que nos fornece t 1,85 ␮s.
AVALIAÇÃO Os dois eventos estão mais próximos um do outro em rela-
ção ao referencial do foguete, tanto no espaço quanto no tempo.
1164
Física: Uma Abordagem Estratégica
De acordo com a cultura popular, o legado de Einstein foi a descoberta de que “tudo é
relativo”. Mas não é bem assim. Intervalos de tempo e intervalos espaciais são relativos, tais
como os intervalos x e y da analogia puramente geométrica que nos serviu de exemplo
no início deste capítulo. No entanto, algumas coisas não são relativas. O intervalo espaçotemporal s entre dois eventos, por exemplo, não é relativo. Trata-se de um número bemdefinido, sobre o qual concordam os observadores fixos em todo e qualquer referencial.
PARE E PENSE 37.7 Beth e Charles estão em repouso relativo. Anjay passa correndo por eles
com uma velocidade v, carregando consigo
uma haste paralela ao seu movimento. Anjay,
Beth e Charles, cada qual, medem o comprimento da haste no instante em que Anjay passa por Beth. Ordene em seqüência decrescente
os comprimentos LA, LB e LC.
37.8 As transformações de Lorentz
A transformação de Galileu x x vt da relatividade clássica nos permite calcular
a posição x de um evento em relação ao referencial S se soubermos sua posição x no
referencial S. A relatividade clássica, é claro, considera que t t. Será que existe uma
transformação semelhante que nos permita calcular as coordenadas espaço-temporais
(x, t) de um evento no referencial S se soubermos os valores (x, t) no referencial S? Tal
transformação teria de satisfazer a três condições:
1. Concordar com as transformações de Galileu no limite de baixas velocidades, v
c.
2. Transformar não apenas as coordenadas espaciais, mas também a coordenada
temporal.
3. Assegurar que a velocidade da luz seja a mesma em todos os referenciais.
Um evento possui coordenadas
espaço-temporais (x, t) no referencial S,
e coordenadas (x, t) no referencial S.
Evento
As origens coincidem
em t tⴕ 0.
FIGURA 37.29 As coordenadas espaço-
temporais de um evento medidas em
relação aos sistemas de referência S e S´.
Continuaremos a usar referenciais com a orientação padrão mostrados na FIGURA 37.29. O
movimento é paralelo aos eixos x e x e, por definição, t 0 e t 0 no instante em que
as origens S e S coincidem.
A condição para que a nova transformação concorde com a transformação de Galileu
quando v
c sugere que a transformação seja da forma
x ␥ ( x vt) e x ␥ ( x vt)
(37.20)
onde ␥ é uma função adimensional da velocidade que satisfaz à condição ␥ → 1 quando
v → 0.
Para determinar ␥, consideremos os dois seguintes eventos:
Evento 1: Um flash de luz é emitido da origem de ambos os referenciais (x x 0)
no instante que eles coincidem (t t 0).
Evento 2: A luz chega até um detector. As coordenadas espaço-temporais deste evento
são (x, t) em relação ao referencial S e (x, t) em relação ao referencial S.
A luz se propaga com uma velocidade c em relação a ambos os referenciais; logo,
as posições do evento 2 são x ct em S e x ct em S. Substituindo essas expressões
para x e xna Equação 37.20, obtemos
ct (ct vt) ␥(c v)t
ct ␥(ct vt) ␥(c v)t
(37.21)
Dividindo a primeira equação por c, isolamos t; substituindo este resultado na segunda
equação, obtemos:
CAPÍTULO 37
Com isso, t é cancelado, e ficamos com
Logo, o ␥ que “funciona” na transformação proposta na Equação 37.20 é
(37.22)
Podemos verificar que ␥ → 1 quando v → 0, como esperado.
A transformação entre t e t é obtida da condição de que x x quando se usa a
Equação 37.20 para transformar uma posição relativa a S em uma posição relativa a S e,
então, de volta para uma posição relativa a S. Os detalhes são deixados como exercício
para casa. Um próximo problema permitirá que você demonstre que as medições de y e z,
quando essas distâncias são perpendiculares ao movimento relativo, não são afetadas pelo
movimento. Tacitamente, admitimos essa condição em nossa análise do relógio de luz.
O conjunto completo de equações é chamado de transformações de Lorentz. Elas
são dadas por:
(37.23)
As transformações de Lorentz relacionam as coordenadas espaço-temporais de um mesmo evento. Compare as equações acima com as transformações de Galileu dadas pelas
Equações 37.1.
NOTA Essas transformações foram assim denominadas em homenagem ao físico
holandês H. A. Lorentz, o primeiro a derivá-las antes de Einstein. Lorentz chegou
perto de descobrir a relatividade especial, mas não percebeu que nossos conceitos
de espaço e tempo teriam de ser revistos antes que essas equações pudessem ser
adequadamente interpretadas. Usando a relatividade
A relatividade está estruturada em função de eventos; portanto, a solução dos problemas
de relatividade passa por sua interpretação em função de eventos específicos.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 37.1
Relatividade
MODELO Esquematize o problema em função de eventos, ou seja, coisas que acontecem
em um lugar e um instante específicos.
VISUALIZAÇÃO Defina os referenciais por meio de uma representação pictórica.
■ Faça um esboço dos referenciais, mostrando o movimento de um em relação ao outro.
■ Indique os eventos. Identifique os objetos que estão em movimento em relação aos
referenciais.
■ Identifique qualquer intervalo de tempo próprio e de espaço próprio. Eles devem ser
medidos em relação ao referencial em que o objeto está em repouso.
RESOLUÇÃO A representação matemática é baseada nas transformações de Lorentz, toda-
via nem todo problema requer todas as equações de transformação.
■ Problemas que envolvam intervalos de tempo geralmente podem ser resolvidos atra-
vés do uso da dilatação temporal: t ␥␶.
■ Problemas que envolvam distâncias geralmente podem ser resolvidos através da con-
tração espacial: L ᐉ/␥.
AVALIAÇÃO Os resultados são consistentes com a relatividade de Galileu quando v
c?
■
Relatividade
1165
1166
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 37.8 De volta ao problema de Ryan e Peggy
Peggy está parada no centro de um vagão longo e plano com uma
bomba fixa em cada extremidade do mesmo. O vagão passa por Ryan,
que está parado no solo, com uma velocidade v 0,8c. Ele vê os flashes provenientes da explosão da bomba simultaneamente 1,0 ␮s após
Peggy ter passado por ele. Mais tarde, Ryan vê marcas queimadas no
trilho a 300 m de ambos os lados do local onde ele estava parado.
a. De acordo com Ryan, qual é a distância entre os locais das duas
explosões e quando elas ocorreram em relação ao instante em que
Peggy passa por ele?
b. De acordo com Peggy, qual é distância entre os locais das duas
explosões e quando elas ocorreram em relação ao instante em que
Ryan passa por ela?
MODELO Vamos definir a explosão que ocorre à direita de Ryan, o
sentido em que Peggy se move, como o evento D, e a explosão à sua
esquerda, como o evento E.
VISUALIZAÇÃO Peggy e Ryan estão fixos em referenciais inerciais.
Como mostra a FIGURA 37.30, o referencial de Peggy, S, move-se
com velocidade v 0,8c em relação ao referencial S de Ryan. Os referenciais são definidos de modo que Peggy e Ryan estejam situados
nas origens. O instante em que eles se cruzam, por definição, é t t
0 s. Os dois eventos estão ilustrados no referencial de Ryan.
Peggy passa por
Ryan em t ⫽ tⴕ⫽ 0
Referencial Sⴕ
RESOLUÇÃO a. As duas marcas de queimado indicam a Ryan que
a distância entre as explosões é L 600m. A luz se propaga com
c 300 m/␮s, e as marcas estão a 300 m de Ryan, de cada lado,
de maneira que ele consegue determinar que cada explosão ocorreu 1,0 ␮s antes de ele ver o flash. Mas esse é o instante de tempo em que Peggy passou por ele, portanto Ryan conclui que as
explosões ocorreram simultaneamente e que ocorreram quando
Peggy passava por ele. As coordenadas espaço-temporais dos
dois eventos no referencial S são (xD, tD) (300 m, 0 ␮s) e (xE, tE)
( 300 m, 0 ␮s).
b. Com base em nossa análise qualitativa feita na Seção 37.5, já
sabemos que as explosões não são simultâneas no referencial
de Peggy. O evento D ocorre antes do evento E em S, porém
não sabemos como esses tempos se relacionam com o tempo
em que Ryan passa por Peggy. Podemos agora usar as transformações de Lorentz para relacionar as coordenadas espaçotemporais desses eventos, medidas por Ryan, às coordenadas
espaço-temporais obtidas por Peggy. Usando v 0,8c, obtemos ␥ com o valor
Para o evento E, as transformações de Lorentz são
xE 1,667 (( 300 m) (0,8c)(0 ␮s)) 500m
tE 1,667 ((0 ␮s) (0,8c) ( 300 m)/c ) 1,33 ␮s
2
E para o evento D,
xD 1,667 ((300 m) (0,8c)(0 ␮s)) 500m
tD 1,667 ((0 ␮s) (0,8c) (300 m)/c ) 1,33 ␮s
2
Evento E
Evento D
Referencial S
De acordo com Peggy, as duas explosões ocorrem a 1000 m uma
da outra. Além disso, a primeira explosão, à direita, ocorre 1,33
␮s antes de Ryan passar por Peggy em t 0, e a segunda, à esquerda, ocorre 1,33 ␮s após Ryan passar.
AVALIAÇÃO Eventos que são simultâneos no referencial S não são si-
(xE , tE) ⫽ (– 300 m, 0 s)
(xD , tD) ⫽ (300 m, 0 s)
multâneos no referencial S. Os resultados das transformações de Lorentz corroboram nossa análise qualitativa feita anteriormente.
FIGURA 37.30 Representação pictórica dos referenciais e dos
eventos.
Vale a pena discutirmos a respeito do Exemplo 37.8. Uma vez que Ryan move-se
com uma velocidade v 0,8c 240 m/ ␮s em relação à Peggy, ele percorre 320 m durante o 1,33 ␮s entre a primeira explosão e o instante em que passa por Peggy e, então,
mais 320 m antes da segunda explosão. Juntando todas essas informações, a FIGURA 37.31
mostra a seqüência de eventos medidos no referencial de Peggy.
As bombas definem as extremidades do vagão, portanto a distância de 1000 m entre
as explosões, no referencial de Peggy, é o comprimento L do vagão medido em relação
ao referencial S. O vagão encontra-se em repouso com relação ao referencial S, portanto
o comprimento L é o comprimento próprio: ᐉ 1000 m. Ryan mede o comprimento de
um objeto em movimento; logo, ele deve medir o comprimento do vagão contraído para
E, de fato, essa é exatamente a distância que Ryan obteve ao medir a distância entre as
duas marcas de queimado.
CAPÍTULO 37
Finalmente, podemos calcular o intervalo espaço-temporal s entre os dois eventos.
De acordo com Ryan,
■
Relatividade
,
1167
Evento D
Peggy obtém o intervalo espaço-temporal como
Os cálculos de Peggy e de Ryan para o intervalo espaço-temporal estão em concordância, o que mostra que s é, de fato, um invariante. Note, porém, que s é um número
imaginário.
Ryan passa por
Peggy em t ⫽ tⴕ ⫽ 0.
Comprimento
Já introduzimos a idéia de contração espacial, todavia não definimos precisamente o que
queremos dizer por comprimento de um objeto em movimento. O comprimento de um
objeto em repouso é claro, pois temos todo o tempo necessário para medi-lo com uma
régua, uma trena ou com qualquer outro instrumento. Mas como podemos obter precisamente o comprimento de um objeto em movimento?
Uma definição razoável do comprimento de um objeto é a distância L x xD
xE entre suas extremidades direita e esquerda quando as posições xD e xE são medidas
ao mesmo tempo. Em outras palavras, comprimento é a distância ocupada pelo objeto
em um instante de tempo. Medir o comprimento de um objeto requer medições simultâneas de duas posições (i.e., são necessários dois eventos); neste caso, o resultado não
será obtido até que as informações das duas medições, separadas espacialmente, sejam
confrontadas.
A FIGURA 37.32 mostra um objeto que se move em relação ao referencial S com uma
velocidade v; portanto, o comprimento dele em relação ao referencial S é seu comprimento próprio ᐉ, ou seja, x´ xD xE ᐉ em relação ao referencial S´.
No instante t, um observador (e seu assistente) fixo no referencial S efetua medições
simultâneas das posições xD e xE das extremidades do objeto. A diferença x xD xE é o
comprimento do objeto no referencial S. As transformações de Lorentz para xD e xE são
Evento E
,
FIGURA 37.31 A seqüência de eventos
como observada no referencial de Peggy.
O objeto encontra-se em repouso
no referencial Sⴕ. Seu comprimento
é Lⴕ ᐉ, que pode ser medido a
qualquer instante.
(37.24)
onde é importante observar que t é o mesmo em ambas equações porque as medições são
simultâneas.
Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos
Devido ao objeto estar em movimento no
referencial S, a fim de que possamos encontrar
seu comprimento L no referencial S devemos
efetuar medições simultâneas de suas extremidades.
Isolando L, obtemos, em concordância com a Equação 37.15,
(37.25)
Essa análise atingiu dois objetivos. Em primeiro lugar, ela nos forneceu uma definição
precisa de comprimento; agora estamos mais seguros quanto ao nosso resultado para a
contração espacial. Segundo, ela nos permitiu uma boa prática do raciocínio relativístico
através do uso das transformações de Lorentz.
NOTA A contração espacial não mostra como o objeto deve parecer. A aparência
visual é determinada pelas ondas luminosas que chegam simultaneamente ao olho.
Essas ondas foram emitidas por diferentes pontos do objeto em tempos diferentes
(i.e., não simultaneamente) porque tiveram de percorrer distâncias diferentes até
chegarem ao olho. A análise necessária para determinar a aparência visual de um objeto é muito mais complexa. Comprimento e contração espacial estão relacionados
apenas ao comprimento real do objeto em um instante de tempo. FIGURA 37.32 O comprimento de um
objeto é a distância entre medições
simultâneas das posições de suas
extremidades.
1168
Física: Uma Abordagem Estratégica
A aproximação binomial
A aproximação binomial
Se x
1, então (1 x)n 艐 1 nx
Você já teve contato com a aproximação binomial em capítulos anteriores e também nas
suas aulas de cálculo. A aproximação binomial é útil quando desejamos calcular uma
c. Devido ao
expressão relativística no caso de uma velocidade não-relativística, v
2 2
1, neste caso podemos escrever
fato de que v /c
(37.26)
O exemplo a seguir ilustra o uso da aproximação binominal.
EXEMPLO 37.9 O ônibus escolar encolhido
O valor da contração espacial é
Um ônibus escolar de 8,0 m de comprimento passa a 30 m/s. Qual é o
valor de sua contração espacial?
MODELO O ônibus escolar está em repouso em relação a um referencial inercial S, e em movimento com velocidade v 30 m/s com
relação ao referencial S fixo no solo. O comprimento dado, 8,0 m, é o
comprimento próprio 艎 medido no referencial S.
RESOLUÇÃO No referencial S, o ônibus escolar tem seu comprimento
contraído para
A velocidade do ônibus v é muito menor do que c; logo, podemos
usar a aproximação binomial para escrever
15
onde 1 fm 1 fentômetro 10
m.
AVALIAÇÃO O ônibus “encolhe” pouco mais do que o diâmetro do nú-
cleo de um átomo. Não nos surpreende que não percebamos a contração espacial no dia-a-dia. Se você tivesse tentado calcular exatamente
esse número, sua calculadora teria indicado 艎 L 0, pois a diferença entre 艎 e L só é percebida na 14ª casa decimal. Uma calculadora
científica determina números com 10 ou 12 casas decimais, mas não é
suficiente para mostrar a diferença. A aproximação binomial fornece
uma ferramenta valiosa para encontrarmos diferenças muito pequenas
entre números que são quase idênticos.
As transformações de Lorentz para velocidades
Velocidade do
referencial Sⴕ
relativamente ao
referencial S
u no referencial S
A FIGURA 37.33 mostra um objeto que se move em relação a ambos os referenciais S e S.
Observadores fixos no referencial S determinam que a velocidade do objeto é u, enquanto observadores fixos no referencial S medem uma velocidade u. Para simplificar, consideremos que o objeto se move paralelamente aos eixos x e x.
A transformação de Galileu para velocidade, u u v, foi obtida através da derivada temporal da transformação de posição. Podemos fazer o mesmo com a transformação de Lorentz se usarmos a derivada com relação ao tempo em cada referencial. A
velocidade u em relação ao referencial S é
(37.27)
Velocidade do
referencial S
relativamente ao
referencial Sⴕ
onde usamos as transformações de Lorentz para a posição x e para o tempo t.
Diferenciando, obtemos
uⴕ no referencial Sⴕ
(37.28)
Porém dx/dt é u, a velocidade do objeto no referencial S, de modo que
FIGURA 37.33 A velocidade de um objeto
em movimento vale u em relação ao
referencial S e u’ em relação a S’.
(37.29)
Você pode ver que a equação 37.29 reduz-se à transformação de Galileu u u v
c, como esperado.
quando v
CAPÍTULO 37
■
Relatividade
1169
As transformações de S para S são encontradas invertendo-se o sinal de v. Assim,
(37.30)
As Equações 37.30 são as equações das transformações de Lorentz para velocidade.
NOTA É importante que se faça com cuidado a distinção entre v, a velocidade relativa entre dois referenciais, e u e u, as velocidades de um objeto medidas com
relação a dois referenciais diferentes. EXEMPLO 37.10 Um projétil muito rápido
Um foguete passa pela Terra com uma velocidade 0,90c. Ao passar
pela Terra, o foguete lança um projétil para a frente com 0,95c em relação ao foguete. Qual é a velocidade do projétil em relação à Terra?
MODELO O foguete e a Terra são dois referenciais inerciais. Definimos
a Terra como o referencial S e o foguete como o referencial S. A velocidade do referencial S em relação ao referencial S é v 0,90c. A
velocidade do projétil com relação ao referencial S é u 0,95c.
RESOLUÇÃO Podemos usar as transformações de Lorentz para velocidades para obter
A velocidade do projétil em relação à Terra corresponde a 99,7% da
velocidade da luz.
NOTA Os cálculos relativísticos ficam muito mais fáceis de efetuar
quando as velocidades são especificadas como uma fração de c. AVALIAÇÃO Na mecânica newtoniana, as transformações de Galileu
para velocidades resultaria em u 1,85c. Aqui, apesar das altas velocidades do foguete em relação à Terra e do projétil em relação ao
foguete, a velocidade do projétil em relação à Terra é menor do que
c. Isso constitui uma evidência de que as velocidades dos objetos não
podem exceder a velocidade da luz.
Suponha que o foguete no Exemplo 37.10 lançasse um raio laser para a frente ao
passar pela Terra com velocidade v. O raio laser afasta-se do foguete com uma velocidade u c em relação ao referencial S do foguete. Qual é a velocidade do raio laser
em relação ao referencial S da Terra? De acordo com as transformações de Lorentz para
velocidades, ela deve ser
(37.31)
A luz se propaga com uma velocidade c em relação a ambos os referenciais S e S. Essa
conseqüência importante do princípio da relatividade está “incorporada” nas transformações de Lorentz.
37.9 Momentum relativístico
Na mecânica newtoniana, o momentum total de um sistema é uma grandeza conservada.
Como já vimos, a lei de conservação do momentum, Pf Pi, é verdadeira em relação a
todos os referenciais inerciais se as velocidades das partículas em referenciais diferentes
estiverem relacionadas pelas transformações de Galileu para velocidades.
A dificuldade, é claro, reside no fato de que as transformações de Galileu não são
consistentes com o princípio da relatividade. Elas constituem uma aproximação razoável
quando todas as velocidades são bem menores do que c, mas falham tremendamente à
medida que as velocidades se aproximam de c. Não é difícil mostrar que Pf ⫽ Pi se as
velocidades das partículas no referencial S estiverem relacionadas às velocidades das
partículas no referencial S através das transformações de Lorentz.
Existem duas possibilidades:
1. O chamado princípio de conservação do momentum não é, de fato, uma lei da
física. Ele é quase verdadeiro para baixas velocidades, todavia falha quando as
velocidades se aproximam da velocidade da luz.
2. O princípio de conservação do momentum é uma lei da física, entretanto a expressão p mu não é a equação correta para calcular o momentum quando a
velocidade da partícula torna-se uma fração significativa de c.
1170
Física: Uma Abordagem Estratégica
A conservação do momentum é um aspecto tão central e importante da mecânica que
parece improvável que não seja válida na relatividade.
No caso de um movimento unidimensional, o momentum clássico é dado pela relação p mu m(x/ t), onde t é o intervalo de tempo decorrido para percorrer a
distância x. Isso parece bem claro no pensamento newtoniano, todavia já aprendemos
que observadores fixos em referenciais diferentes discordam com relação ao intervalo de
tempo necessário. Então, que t devemos usar?
Uma possibilidade é usar o tempo medido em relação à partícula. Este é o tempo
próprio ␶, pois a partícula está em repouso em relação ao seu próprio referencial e necessita de um relógio apenas. Com isso em mente, vamos redefinir o momentum de uma
partícula de massa m que se move com uma velocidade u x/ t como
(37.32)
Podemos relacionar essa nova expressão para p com a conhecida expressão newtoniana
usando o resultado da dilatação temporal ␶ (1 u2/c2)1/2 t para relacionar o intervalo de tempo próprio medido pela partícula com o intervalo de tempo t, mais prático
de ser medido pelos observadores no referencial S. Com essa substituição, a Equação
37.32 torna-se
(37.33)
É possível ver que a Equação 37.33 se reduz à expressão clássica p mu quando
c. Essa é uma condição importante, mas para que a
a velocidade da partícula é u
equação 37.33 seja a expressão “correta” para p, o momentum P deve ser conservado
quando as velocidades de um sistema de partículas forem transformadas pelas equações
das transformações de Lorentz para velocidades. A prova é bastante longa e tediosa,
portanto consideraremos, sem apresentar uma prova, que o momentum definido pela
Equação 37.33 transforma-se corretamente. A lei de conservação do momentum ainda
será válida em relação a todos os referenciais se o momentum de cada partícula for
calculado por meio da Equação 37.33.
O fator que multiplica “mu” na Equação 37.33 se parece muito com o fator ␥ contido
nas equações das transformações de Lorentz para x e t, todavia existe uma diferença fundamental. O v contido nas equações das transformações de Lorentz é a velocidade de um
referencial. Por sua vez, a velocidade u contida na Equação 37.33 é a velocidade com a
qual uma partícula se move em relação a um referencial.
Com essa distinção em mente, vamos definir a grandeza
(37.34)
onde o subscrito p indica que se trata de ␥ para uma partícula, e não, para um referencial.
No referencial S, em relação ao qual a partícula se move com velocidade u, a expressão
correspondente pode ser representada por ␥p. Com essa definição de ␥p, o momentum
de uma partícula é
p ␥pmu
EXEMPLO 37.11 Momentum de uma partícula subatômica
Em um acelerador de partículas, elétrons atingem uma velocidade de
0,999c relativamente ao laboratório. A colisão de um elétron com um
alvo produz um múon que se move para a frente com uma velocidade
igual a 0,95c em relação ao laboratório. A massa do múon vale 1,90 28
10 kg. Qual é o momentum do múon em relação ao referencial do
laboratório e em relação ao referencial do feixe de elétrons?
(37.35)
RESOLUÇÃO O fator ␥p para os múons no referencial do laboratório é
Logo, o momentum do múon em relação ao laboratório é
MODELO Definimos o laboratório como o referencial S. O referencial
S do feixe de elétrons (i.e., um referencial em que os elétrons estão
em repouso) move-se no sentido dos elétrons com v 0,999c. A velocidade do múon no referencial S é u 0,95c.
O momentum relativístico é 3,2 vezes maior do que o momentum
newtoniano, mu. Para determinar o momentum em relação ao refe-
CAPÍTULO 37
rencial do feixe de elétrons, devemos primeiramente usar a equação
de transformação da velocidade para obter a velocidade do múon em
relação ao referencial S:
Com relação ao referencial do laboratório, os elétrons mais rápidos
superam os múons mais lentos. Assim, a velocidade do múon em relação ao referencial do feixe de elétrons é negativa. O fator ␥p para o
múon no referencial S é
■
Relatividade
1171
O momentum do múon em relação ao referencial do feixe de elétrons
é
AVALIAÇÃO Da perspectiva do laboratório, o múon move-se um pouco
mais devagar do que o feixe de elétrons. Mas em relação aos elétrons,
descobrimos que o múon move-se mais rapidamente do que em relação ao laboratório, embora em sentido oposto.
O limite cósmico de velocidade
A FIGURA 37.34a é um gráfico momentum versus velocidade. Para uma partícula newtoniana, com p mu, o momentum é diretamente proporcional à velocidade. A expressão
c, mas p
relativística para o momentum concorda com a expressão newtoniana se u
tende a quando u → c.
As implicações desse gráfico ficam claras quando relacionamos o momentum à força. Considere uma partícula sujeita a uma força constante, como no caso de um foguete
que nunca fica sem combustível. Se F for constante, a partir da equação F dp/dt
podemos ver que o momentum é dado por p Ft. Se a física newtoniana fosse correta,
uma partícula se moveria cada vez mais rapidamente, e sua velocidade u p/m (F/m)
t aumentaria sem limite. Mas o resultado relativístico, ilustrado na FIGURA 37.34b, mostra
que o módulo da velocidade da partícula se aproxima assintoticamente do valor da velocidade da luz (u → c) quando p tende a . Assim, a relatividade fornece um resultado
totalmente diferente daquele dado pela mecânica newtoniana.
A velocidade c é um “limite cósmico de velocidade” para partículas materiais. Uma força não pode acelerar uma partícula até uma velocidade maior do que c porque o momentum
da partícula torna-se infinitamente maior à medida que o módulo da velocidade tende a c.
O esforço necessário para cada incremento adicional da velocidade torna-se cada vez maior
até que nenhuma quantidade de trabalho seja capaz de aumentar ainda mais a velocidade.
Na verdade, em um nível mais básico, o valor c constitui um limite de velocidade
para qualquer influência causal. Se eu jogar uma pedra e quebrar uma vidraça, o fato de
eu ter atirado a pedra é a causa da quebra da vidraça, e a pedra é a influência causal. Se
eu emitir um raio laser em direção a um detector de luz acoplado a uma bomba, a onda
luminosa será a influência causal que produz a explosão. A influência causal pode ser
qualquer tipo de partícula, de onda ou qualquer informação que se mova de A para B,
permitindo que A seja a causa de B.
Para dois eventos não-relacionados uma bomba que explode em Tóquio e um balão
que estoura em Paris , a relatividade da simultaneidade nos diz que os dois eventos podem ser simultâneos em relação a um referencial, mas não em relação aos outros. Em um
determinado referencial a bomba pode explodir antes que o balão exploda, mas em algum
outro referencial o balão pode explodir primeiro. Essas possibilidades violam o senso comum da percepção do tempo, mas não estão em conflito com o princípio da relatividade.
Para dois eventos relacionados de forma causal A causa B , seria um absurdo se
um observador fixo em algum referencial constatasse que B ocorre antes de A. Nenhum
observador, usando qualquer referencial e sem que importe como esteja se movendo,
constatará que você nasceu antes de sua mãe. Se A causa B, então tA tB deve ser verdadeiro em relação a todos os referenciais.
Suponha que exista algum tipo de influência causal que possa se mover com uma
velocidade u c. A FIGURA 37.35 mostra um referencial S em que o evento A localiza-se
na origem (xA 0). A influência causal mais rápida do que a luz talvez algum tipo de
“raio Z” ainda por ser descoberto deixa A no instante tA 0 e desloca-se até o ponto
em que causará o evento B, chegando a xB no instante tB xB/u.
Como os eventos A e B aparecem no referencial S que se move a uma velocidade
ordinária v c relativamente ao referencial S? Podemos usar as transformações de Lorentz para descobrir isso.
O momentum relativístico
tende a quando u c.
Momentum
newtoniano
,
A expressão do momentum
newtoniano é válida quando
u c.
Velocidade
newtoniana
A velocidade de
uma partícula não
pode exceder c.
FIGURA 37.34 A velocidade da partícula não
pode alcançar a velocidade da luz.
Admite-se que uma influência
causal vá de A até B com
velocidade u c.
A influência causal chega
no instante tB xB/u.
FIGURA 37.35 Admita que uma influência
causal possa ir de A até B com uma
velocidade u c.
1172
Física: Uma Abordagem Estratégica
É fácil notar que xA 0 e tA 0, pois xA 0 e tA 0, ou seja, as origens de S e S coincidem no instante em que a influência causal sai da posição do evento A. Mais interessante
ainda é o tempo que a influência leva para chegar até B em relação ao referencial S. A
transformação de Lorentz para o evento B é
(37.36)
onde primeiro colocamos em evidência tB e, depois, utilizamos o fato de que u xB/tB
em relação ao referencial S.
Estamos admitindo que u c, portanto consideramos u ␣c onde ␣ 1 é uma
2
constante. Assim, vu/c ␣v/c. Agora, siga a lógica:
1. Se v c/␣, o que é possível porque ␣ 1, então vu/c2 1.
2
2
2. Se vu/c 1, então o termo (1 vu/c ) será negativo, e tB 0.
3. Se tB 0, o evento B ocorrerá antes do evento A em relação ao referencial S.
Em outras palavras, se uma influência causal pode se mover com velocidade maior do
que c, haverá referenciais em que o efeito ocorre antes da causa. Entretanto sabemos que
isso não pode ocorrer, portanto nossa hipótese de que u c deve ser errônea. Nenhum
efeito causal, de nenhum tipo partícula, onda ou os raios Z-ainda-não-descobertos podem se mover com velocidade maior do que c.
A existência de um limite cósmico de velocidade é uma das conseqüências mais interessantes da relatividade. A “dobra espacial” das histórias de ficção científica, em que uma
espaçonave repentinamente é impulsionada a velocidades maiores do que a da luz, é, simplesmente, incompatível na teoria da relatividade. Viagens super rápidas às estrelas ainda
vão permanecer no âmbito da ficção científica a menos que futuras descobertas científicas
encontrem falhas na teoria de Einstein e abram novas portas para teorias nunca antes sonhadas. É difícil afirmar que uma teoria jamais será ultrapassada, todavia atualmente não existe
uma única evidência, por menor que seja, que vá contra a teoria da relatividade especial.
37.10 Energia relativística
A energia é o tópico final deste capitulo sobre relatividade. Espaço, tempo, velocidade e
momentum são transformados pela relatividade, portanto parece inevitável que também
precisemos de uma nova concepção da energia.
2
Na mecânica newtoniana, a energia cinética de uma partícula, K mu , pode ser
2
escrita em função do seu momentum p mu como K p / 2m. Isso sugere que a expressão relativística para a energia de uma partícula envolva o quadrado de p, bem como
a massa da partícula. Também esperamos que a energia se conserve na relatividade; assim, um ponto de partida razoável é a grandeza que descobrimos ser a mesma em todos
os referenciais inerciais: o intervalo espaço-temporal s.
Uma partícula de massa m move-se ao longo de uma distância x durante um intervalo de tempo t medido em relação ao referencial S. O intervalo espaço-temporal é
s c (t) (x) invariante
2
2
2
Podemos transformar a expressão acima em uma expressão que envolva o momentum
multiplicando-a por (m/␶)2, onde ␶ é o tempo próprio (i.e., o tempo medido em relação a um referencial fixo na partícula). Fazendo isso, obtemos
(37.37)
onde usamos p m(x/␶) da Equação 37.32.
Como t, o intervalo de tempo medido com relação ao referencial S, relaciona-se
com o tempo próprio pelo resultado da dilatação temporal, t ␥p␶, a Equação 37.37
assume a forma
2
2
(␥pmc) p invariante
Finalmente, por razões que ficarão mais claras logo a seguir, multiplicamos esta expres2
são por c para obter
(␥pmc2)2 (pc)2 invariante
(37.38)
CAPÍTULO 37
■
Relatividade
1173
Dizer que o lado direito é um invariante significa que a equação tem o mesmo valor
em todos os referenciais inerciais. Podemos facilmente determinar a constante avaliando-a em relação ao referencial no qual a partícula está em repouso. Com relação a esse
referencial, onde p 0 e ␥p 1, obtemos
(␥pmc ) (pc) (mc )
2 2
2
2 2
(37.39)
Vamos refletir um pouco sobre tudo isso antes de prosseguirmos. O intervalo espaçotemporal s tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais. Em outras palavras, c2(t)2
(x)2 c2(t)2 (x)2. A Equação 37.39 foi derivada a partir da definição de intervalo
espaço-temporal; logo, a grandeza mc2 também é um invariante, assumindo o mesmo valor
em relação a todos os referenciais inerciais. Em outras palavras, se observadores fixos nos
referenciais S e S efetuarem medições dessa partícula de massa m, eles constatarão que
(␥pmc2)2 (pc)2 (␥pmc2)2 (pc)2
(37.40)
Observadores fixos em referenciais diferentes medem diferentes valores para o
momentum, todavia eles concordam que o momentum é uma grandeza conservada. As
Equações 37.39 e 37.40 sugerem que a grandeza ␥pmc2 também corresponde a uma propriedade importante da partícula, uma propriedade que muda com p da maneira certa
para satisfazer à Equação 37.39. Mas que propriedade é essa?
A primeira pista vem da verificação das unidades. O fator ␥p é adimensional, e c é uma
velocidade, de modo que ␥pmc2 tem a mesma unidade da expressão clássica mv2 uma
2
unidade de energia. Como segunda pista, vamos examinar como o termo ␥pmc se comporta
no limite de baixas velocidades, u
c. Usando a aproximação binomial para ␥p, obtemos
(37.41)
2
O segundo termo, mu , é a expressão da energia cinética K para baixas velocidades.
Trata-se de uma energia associada ao movimento. Entretanto o primeiro termo sugere
que o conceito de energia é mais complexo do que pensávamos. Parece que existe uma
energia inerente associada à massa.
Tendo isso como possibilidade sujeita à verificação experimental, vamos definir a
energia total E de uma partícula como
E ␥pmc2 E0 K energia de repouso energia cinética
(37.42)
Essa energia total consiste em uma energia de repouso
E0 mc
2
(37.43)
e uma expressão relativística para a energia cinética
K (␥p 1 )mc (␥p 1)E0
2
(37.44)
2
c; todavia, de acordo
Essa expressão para a energia cinética reduz-se a mu quando u
com a FIGURA 37.36, ela difere significantemente do valor clássico para velocidades muito
altas.
A Equação 37.43 é a famosa expressão E mc2 de Einstein, talvez a mais famosa
equação de toda a física. Antes de discutirmos o seu significado, precisamos mencionar alguns pontos que ficaram pendentes. Primeiro, note que o lado direito da Equação
37.39 é o quadrado da energia de repouso E0. Logo, podemos escrever uma versão final
daquela equação:
E (pc) E0
2
2
2
(37.45)
A grandeza E0 é um invariante, tendo o mesmo valor mc2 em relação a todos os referenciais inerciais.
Em segundo lugar, note que podemos escrever
A energia cinética relativística
tende a quando u c.
Energia
cinética
newtoniana
,
,
A expressão para a energia
cinética newtoniana é válida
quando u
c.
FIGURA 37.36 Energia cinética relativística.
1174
Física: Uma Abordagem Estratégica
Mas ␥pmc2 é a energia total, E, e u/c ␤p, onde p, como em ␥p, indica que estamos nos
referindo ao movimento de uma partícula em relação ao referencial usado, e não, ao
movimento de dois referenciais um em relação ao outro. Portanto,
pc ␤pE
(37.46)
A FIGURA 37.37 mostra o triângulo velocidade-energia-momentum, um modo conveniente
de memorizar as relações entre essas três grandezas.
Velocidade, u
Momentum, p
Energia, E
FIGURA 37.37 O triângulo velocidade-energia-momentum.
EXEMPLO 37.12 Energia cinética e energia total
Calcule a energia de repouso e a energia cinética (a) de uma bola
de 100g que se move a 100 m/s e (b) de um elétron que se move a
0,999c.
MODELO A bola, para a qual u
c, é uma partícula clássica. Não
precisamos usar a expressão relativística para calcular sua energia cinética. Já o elétron é altamente relativístico.
b. Para o elétron, começamos pelo cálculo do fator
Então, usando me 9,11 1031 kg, obtemos
RESOLUÇÃO a. Para a bola, com m 0,100 kg,
AVALIAÇÃO A energia cinética da bola tem um valor típico. Sua ener-
gia de repouso, por outro lado, é um número incrivelmente grande.
Já para o elétron relativístico, a energia cinética é mais importante do
que a energia de repouso.
PARE E PENSE 37.8 Um elétron se move em um laboratório com 99% da velocidade da luz.
O referencial do laboratório é S, e o do elétron é S. Em que referencial a massa de repouso do elétron é maior?
a. Em S, o referencial do laboratório.
b. Em S, o referencial do elétron.
c. Tem o mesmo valor em ambos os referenciais.
Equivalência massa-energia
FIGURA 37.38 A colisão inelástica entre
duas bolas de argila realmente parece não
conservar a energia total E.
Agora estamos prontos para explorar o significado da famosa equação de Einstein E 2
mc . A FIGURA 37.38 mostra duas bolas de argila de mesma massa e mesma energia cinética que se aproximam uma da outra. As bolas colidem entre si em uma colisão perfeitamente inelástica, formando uma grande bola de argila em repouso. Na mecânica newtoniana, diríamos que a energia inicial 2K é dissipada e se transforma em uma quantidade
igual de energia térmica, aumentando a temperatura da bola maior formada. Contudo, a
Equação 37.42, E E0 K, não nos diz nada acerca da energia térmica. A energia total
■
CAPÍTULO 37
Relatividade
1175
antes da colisão é Ei 2mc2 2K, com o fator 2 aparecendo porque existem duas massas. Parece que a energia total após a colisão, quando a argila está em repouso, deve ser
2
2mc , entretanto com este valor a energia total não se conserva.
Existe grande evidência experimental de que energia é conservada, portanto deve
haver algum problema com nosso raciocínio. A equação da conservação de energia é
Ef Mc Ei 2mc 2K
2
2
(37.47)
onde M é a massa de argila após a colisão. Isso exige que
(37.48)
Em outras palavras, a massa não é conservada. Após a colisão, a massa de argila é maior
do que a massa de argila anterior à colisão. A energia total pode ser conservada apenas se
a energia cinética for transformada em uma quantidade “equivalente” de massa.
O aumento de massa em uma colisão entre duas bolas de argila é incrivelmente pequeno, muito além da capacidade de qualquer cientista detectá-lo. Então, como saberemos se essa idéia maluca é verdadeira?
A FIGURA 37.39 mostra um experimento já realizado inúmeras vezes, nos últimos 50
anos, em aceleradores de partícula por todo o mundo. Um elétron que foi acelerado até u
艑 c é direcionado para um alvo. Quando o elétron de alta energia colide com um átomo
do alvo, ele pode facilmente expulsar um elétron do átomo. Assim, esperaríamos ver
dois elétrons saindo do alvo: o elétron que colidiu e o elétron que foi ejetado. Em vez
disso, quatro partículas emergem do alvo: três elétrons e um pósitron. O pósitron, ou
elétron positivo, é a antipartícula associada ao elétron, idêntico a um elétron em todos os
aspectos exceto por sua carga, q e.
Em notação de reações química, a colisão é representada por
As trajetórias de partículas elementares em
uma câmara de bolhas revelam a criação
de um par elétron-pósitron. Em presença
de um campo magnético, o elétron,
negativamente carregado, e o pósitron,
com carga oposta, efetuam movimentos
espiralados em sentidos opostos.
Elétron com alta
velocidade
e (rápido) e (em repouso) → e e e e
Elétron alvo e–
Foram criados um elétron e um pósitron, aparentemente, do nada. A massa 2me anterior
à colisão tornou-se a massa 4me após a colisão. (Note que a carga foi conservada na
colisão.)
Embora a massa tenha aumentado, ela não apareceu realmente “do nada”. Ocorreu
uma colisão inelástica, tal qual a colisão entre as bolas de argila, pois a energia cinética
após a colisão é menor do que antes da mesma. Na verdade, se você medir as energias
antes e depois da colisão, verificará que a redução de energia cinética é exatamente igual
2
à energia equivalente da massa das duas partículas que foram criadas: K 2mec . Assim, as novas partículas foram criadas a partir da energia!
Partículas podem ser criadas a partir de energia e podem se transformar em energia.
A FIGURA 37.40 ilustra um elétron que colide com um pósitron, sua colega antipartícula.
Quando uma partícula e sua antipartícula se encontram, se aniquilam. A massa desaparece e a energia equivalente a ela é transformada em dois fótons de luz altamente energéticos. A conservação do momentum exige dois fótons, em vez de um, e determina que os
dois fótons tenham a mesma energia e que sejam emitidos em sentidos opostos.
mc2, então E1 艐 E0 mc2.
Se o elétron e o pósitron são lentos de forma a que K
Neste caso, a conservação da energia requer que
Ef 2Efóton Ei 艐 2mec
2
Alvo fino
Par elétron-pósitron
criado.
FIGURA 37.39 Uma colisão inelástica entre
elétrons pode criar um par elétron-pósitron.
Um elétron e um
pósitron se encontram.
Eles se aniquilam.
(37.49)
No Capítulo 25, você aprendeu que a energia de um fóton de luz é Efóton hc/␭, onde h
é a constante de Planck. (Os fótons e suas propriedades serão discutidos novamente no
Capítulo 39.) Assim, o comprimento de onda do fóton emitido é
Fóton
Fóton
A energia equivalente
à massa é transformada
em fótons de radiação
gama.
FIGURA 37.40 Aniquilação de um par
(37.50)
Este é um comprimento de onda extremamente pequeno, menor do que o comprimento de onda de raios X. Nessa faixa de comprimentos de onda, os fótons são chamados de
raios gama. E de fato, a emissão de raios gama de 0,0024 nm é observada em vários expe-
elétron-pósitron.
1176
Física: Uma Abordagem Estratégica
A aniquilação pósitron-elétron (em uma
tomografia por emissão de pósitrons)
fornece uma avaliação não-invasiva do
cérebro.
rimentos nos quais pósitrons colidem com elétrons e se aniquilam mutuamente. Recentemente, com o advento dos telescópios de raios gama instalados em satélites, os astrônomos
detectaram fótons de 0,0024 nm oriundos de vários lugares do universo, especialmente de
centros galácticos uma evidência de que os pósitrons são abundantes no universo.
A aniquilação elétron-pósitron é também a base do procedimento médico conhecido
como tomografia por emissão de pósitron (PET scan). O paciente ingere uma pequena
quantidade de uma substância radioativa que decai por emissão de pósitrons. A substância é absorvida por certos tecidos do corpo, especialmente aqueles de alta taxa metabólica. À medida que a substância decai, os pósitrons emitidos colidem imediatamente com
elétrons, aniquilando-se e gerando dois raios gama que se movem em sentidos opostos.
Os raios gama, que facilmente escapam do organismo, são detectados, e suas trajetórias
são traçadas retroativamente ao ponto de onde se originaram dentro do corpo. A superposição de muitas dessas trajetórias mostra claramente o tecido do qual a emissão do pósitron se originou. Os resultados geralmente são fotografias em “cores falsas” em que as
áreas mais vermelhas indicam regiões de onde provém uma alta emissão de pósitrons.
Conservação da energia
A criação e a aniquilação de partículas dotadas de massa, um processo estritamente proibido na mecânica newtoniana, é uma prova real de que nem a massa e nem a definição
newtoniana de energia é conservada. Mesmo assim, a energia total a energia cinética
mais a energia equivalente à massa permanece como uma grandeza conservada.
LEI DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA TOTAL A energia E ΣEi de um sistema isolado é
conservada, onde Ei (␥p)imic é a energia total da partícula i.
2
Massa e energia não são a mesma coisa, mas, de acordo com os últimos exemplos que
vimos, elas são equivalentes, pois a massa pode ser transformada em energia e a energia
pode ser transformada em massa, desde que a energia total seja conservada.
Provavelmente, a aplicação mais conhecida da conservação da energia total seja a
236
fissão nuclear. O isótopo de U, contendo 236 prótons e nêutrons, não existe na nature235
za, mas pode ser criado quando um núcleo de U absorve um nêutron, aumentando sua
236
massa atômica de 235 para 236. O núcleo de U rapidamente se fragmenta em dois núcleos menores e em vários nêutrons extras, em um processo denominado fissão nuclear.
O núcleo pode se fragmentar de diversas formas, uma das quais é
n 235U → 236U → 144Ba 89Kr 3n
A massa dos reagentes é 0,185 u
maior do que a massa dos produtos.
A massa de 0,185 u foi
convertida em energia.
FIGURA 37.41 Na fissão nuclear, a energia
equivalente à massa perdida é convertida
em energia cinética.
Ba e Kr são os símbolos atômicos para o bário e o criptônio, respectivamente.
Essa reação parece uma reação química comum, até você verificar as massas. As
massas de isótopos atômicos são conhecidas com grande precisão devido a muitas décadas de estudos com a utilização de aparelhos denominados espectrômetros de massa.
Somando as massas em ambos os lados, verificamos que a massa dos produtos da reação
235
é 0,185 u menor do que a soma da massa do nêutron inicial com a do U você deve
27
kg é a unidade de massa atômica. Em quiloestar lembrado de que 1 u 1,66 10
28
gramas, a perda de massa é de 3,07 10 kg.
A massa foi perdida, todavia a energia equivalente à massa, não. A ilustração da FIGURA 37.41 mostra que a massa foi convertida em energia cinética, fazendo com que os dois
núcleos e os três nêutrons fossem ejetados com altas velocidades. A energia cinética é
2
11
facilmente calculada: K mperdidac 2,8 10 J.
Trata-se de uma quantidade muito pequena de energia, mas essa é a quantidade de
energia liberada em uma única reação de fissão. O número de núcleos de uma amostra
macroscópica de urânio é da ordem de NA, o número de Avogadro. Desse modo, a energia total liberada se todos os núcleos sofrerem fissão será enorme. Essa energia, claro, é
a base para os reatores nucleares e para as armas nucleares.
Iniciamos este capítulo com a expectativa de que a relatividade mudaria nossa noção
básica do espaço e do tempo. Terminamos descobrindo que a relatividade muda a nossa
compreensão acerca da massa e da energia. O mais interessante disso tudo é que cada
uma dessas idéias tem origem em uma única e simples sentença: as leis da física são as
mesmas em relação a todos os referenciais inerciais.
CAPÍTULO 37
■
Relatividade
1177
RESUMO
O objetivo do Capítulo 37 foi compreender como a teoria da relatividade de Einstein
muda nossos conceitos acerca do espaço e do tempo.
Princípios gerais
Princípio da relatividade Todas as leis da física são as mesmas em todos os sistemas de referência.
• O módulo da velocidade da luz, c, é igual em relação a todos os sistemas de referência inerciais.
• Nenhuma partícula ou influência causal pode deslocar-se com uma velocidade maior do que c.
Conceitos importantes
Espaço
As medições espaciais dependem do movimento do experimentador em
relação aos eventos. O comprimento de um objeto é a diferença entre as
medidas simultâneas das posições de suas duas extremidades.
Tempo
As medições de tempo dependem do movimento do experimentador em relação aos eventos. Eventos que são simultâneos em um sistema de referência S não o são no sistema de referência S⬘ que se move em relação a S.
O tempo próprio ᐉ é o comprimento de um objeto medido em relação
a um sistema de referência no qual o objeto esteja em repouso. O comprimento de um objeto em um referencial no qual o objeto se move com
velocidade v é
O tempo próprio ⌬␶ é o intervalo de tempo entre dois eventos medido
no sistema de referência em que os eventos ocorrem na mesma posição.
O intervalo de tempo entre os eventos medido em um referencial que se
move com velocidade relativa v é
Este resultado é conhecido como contração do comprimento.
Este resultado é conhecido como dilatação temporal.
Momentum
O princípio de conservação do momentum
é válido em relação a todos os sistemas de
referência inerciais se o momentum de uma
partícula de velocidade v é dado por p =
␥pmu, onde
Energia
O princípio de conservação da energia é
válido em todos os sistemas de referência
inerciais se a energia de uma partícula com
velocidade u é
O momentum tende a ⬁ quando u → c.
Invariantes são grandezas que têm o mesmo valor em relação a todos os
sistemas de referência inerciais.
Energia de repouso E0 ⫽ mc2
Energia cinética
Equivalência massa-energia
Uma massa m pode ser transformada em uma energia E = mc2.
Intervalo espaço-temporal:
Energia de repouso de uma partícula:
Uma energia pode ser transformada em uma massa
Aplicações
Um evento ocorre em um lugar do espaço e em um instante de tempo
específicos. As coordenadas espaço-temporais são (x,t) no referencial
S e (x⬘,t⬘) no referencial S⬘.
Um sistema de referência é um sistema de coordenadas dotado de
réguas e cronômetros para medir eventos. Cada experimentador encontra-se em repouso em relação a todos os outros que compartilham do
mesmo sistema de referência.
As transformações de Lorentz relacionam as coordenadas espaço-temporais e as velocidades relativas aos sistemas de referência S e S⬘.
Evento
no S
no Sⴕ
Movimento
no S
no Sⴕ
onde u e u⬘ são os componentes da velocidade em x e x⬘.
1178
Física: Uma Abordagem Estratégica
Termos e notação
relatividade especial
sistema de referência
sistema de referência inercial
princípio da relatividade galileana
éter
princípio da relatividade
evento
coordenadas espaço-temporais
(x, y, z, t)
sincronizado
simultâneo
relatividade da simultaneidade
relógio de luz
referencial em repouso
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics,
acessar www.masteringphysics.com
tempo próprio, ␶
dilatação temporal
ano-luz
comprimento próprio, ᐉ
contração do comprimento
invariante
intervalo espaço-temporal, s
Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
transformações de Lorentz
influência causal
energia total, E
energia de repouso, E0
princípio de conservação da
energia total
fissão nuclear
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. A FIGURA Q37.1 mostra duas bolas. Quais são o módulo e a orientação da velocidade de cada bola (a) em relação ao referencial que se
move junto com a bola 1 e (b) em relação ao referencial que se
move junto com a bola 2?
FIGURA Q37.1
,
,
2. Os adolescentes Sam e Tom estão
jogando o “jogo do medroso” em
Raio laser
seus foguetes. Como ilustra a FIGURA Q37.2, um observador que
Terra
se encontra na Terra constata que
FIGURA Q37.2
os adolescentes se aproximam um
do outro a 0,95c. Sam emite um raio laser em direção a Tom.
a. Qual é a velocidade do raio laser em relação a Sam?
b. Qual é a velocidade do raio laser em relação a Tom?
3. Uma bomba A encontra-se a 300 m de você. Outra bomba B está a
600 m de você, na mesma direção e no mesmo sentido da primeira.
Você vê ambas as bombas explodirem ao mesmo tempo. Defina o
evento 1 como sendo “a explosão da bomba A” e o evento 2 como
“a explosão da bomba B”. O evento 1 ocorre antes, depois ou simultaneamente ao evento 2? Explique.
4. Duas bombas A e B estão separadas por uma distância de 600 m.
Você se encontra parado exatamente a meio caminho entre as bombas. Seu colega de laboratório está a 300 m do outro lado da bomba
A. Você vê dois flashes de luz provenientes das explosões no mesmo instante de tempo. Defina como evento 1 “a explosão da bomba
A” e como evento 2 “a explosão da bomba B”. Com base nas medições de seu colega de laboratório, o evento 1 ocorre antes, depois
ou simultaneamente ao evento 2? Explique.
5. A FIGURA Q37.5 mostra Peggy
em pé no centro de um vagão
que passa por Ryan, que está
fixo no solo. Bombas acoFIGURA Q37.5
pladas às extremidades do
vagão explodem. Pouco tempo depois, os flashes provenientes das
explosões chegam simultaneamente até Peggy.
a. Em relação ao referencial de Peggy as explosões foram simultâneas? Em caso negativo, qual delas explodiu primeiro para
Peggy? Explique.
b. As explosões foram simultâneas em relação ao referencial de
Ryan? Em caso negativo, qual delas explodiu primeiro para
Ryan? Explique.
6. A FIGURA Q37.6 mostra um foguete que se move da esquerda para a
direita. No momento em que o foguete se encontra exatamente na
metade da distância entre duas árvores, um raio as atinge simultaneamente (em relação ao referencial do foguete).
a. O piloto do foguete vê simultaneamente os flashes de luz emitidos?
Em caso negativo, qual dos flashes ele vê primeiro? Explique.
b. Um estudante está sentado no chão exatamente na metade da
distância entre as árvores quando o foguete passa acima de sua
cabeça. De acordo com o estudante, os raios atingem as árvores
simultaneamente? Em caso negativo, qual das árvores é atingida
primeiro? Explique.
FIGURA Q37.6
7. Uma amiga sua viaja de Los Angeles a Nova York. Ela possui um
cronômetro bastante preciso com o qual pode medir o tempo de
vôo. Você e seu colega de laboratório, que estão no solo, também
medem o tempo de vôo.
a. Identifique os dois eventos associados a esta medição.
b. Quem, se for o caso, mede o tempo próprio transcorrido?
c. Quem, se for o caso, registra o menor tempo de vôo?
8. Quando a régua ilustrada na FIGURA
Q37.8 passa por você, você mede simulRégua
taneamente as posições de ambas extreFIGURA Q37.8
midades e determina que L < 1 m.
CAPÍTULO 37
a. Para um observador fixo no referencial S’, o referencial da régua,
você faz as duas medições simultaneamente? Explique.
b. Os observadores em relação ao referencial S’ podem explicar por
que você obteve uma medida inferior a 1m?
9. Um trem de 100 m de comprimento dirige-se para um túnel de 80
m de comprimento. Caso o trem se mova suficientemente rápido, é
possível que, de acordo com os observadores no solo, todo o comprimento do trem fique dentro do túnel em um dado instante de
tempo? Explique.
■
Relatividade
1179
10. Uma partícula A tem a metade da massa e o dobro da velocidade de
outra partícula B. O momentum pA é menor, maior ou igual a pB?
Explique.
11. Um evento A ocorre nas coordenadas espaço-temporais (300m, 2
␮s).
a. Um evento B ocorre nas coordenadas espaço-temporais (1200m,
6 ␮s). É possível que A seja a causa de B? Explique.
b. Um evento C ocorre nas coordenadas espaço-temporais (2400 m,
8 ␮s). É possível que A seja a causa de C? Explique.
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
Seção 37.2 A relatividade de Galileu
1. | Em t 1,0 s, uma bomba explode na posição dada por x 10 m
no referencial S. Quatro segundos mais tarde, uma segunda bomba
explode em x 20 m. Um referencial S move-se na direção x a 5,0
m/s. Quais são as posições e os tempos correspondentes aos dois
eventos no referencial S?
2. || Uma bomba explode em t 1,0 s em relação ao referencial S.
Uma segunda bomba explode na mesma posição em t 3,0 s. Em
relação ao referencial S, que se move na direção x com velocidade
v, a primeira explosão é detectada na posição x 4,0 m, e a segunda, em x – 4,0 m.
a. Qual é a velocidade do referencial S em relação ao referencial S?
b. Qual é a posição das duas explosões em relação ao referencial S?
3. | Uma corredora cruza a linha de chegada. O barulho da torcida
que está à sua frente a atinge com uma velocidade de 360 m/s. O
barulho da torcida que está às suas costas chega à corredora a 330
m/s. Quais são a velocidade do som e a velocidade da corredora?
4. | No beisebol, um arremessador consegue lançar uma bola com a
velocidade de 40 m/s. Ele se encontra na carroceria de uma picape
que se distancia de você e lança a bola em sua direção. A bola se
aproxima a 10 m/s. Qual é a velocidade do veículo?
5. || Um entregador de jornal pedala sua bicicleta a 5,0 m/s. Ele joga
o jornal a uma velocidade de 8,0 m/s. Qual será a velocidade do
jornal em relação ao solo se o entregador jogar o jornal (a) para a
frente, (b) para trás e (c) para o lado?
Seção 37.3 O princípio da relatividade de Einstein
6. | Uma espaçonave alienígena fora de controle move-se de encontro
a uma estrela com uma velocidade de 1,0 108 m/s. Com que velocidade relativa à espaçonave a estrela se aproxima?
7. | Uma espaçonave passa pela Terra a 2,0 108 m/s. Logo após
passar pela Terra, um raio laser é emitido da traseira da espaçonave.
Com que velocidade o raio laser se aproxima Terra?
8. | Um pósitron se move no sentido positivo de x a 2,0 108 m/s e
colide com um elétron em repouso. O pósitron e o elétron se aniquilam, produzindo dois fótons de raios gama. O fóton 1 se move no
sentido positivo de x, e o fóton 2, no sentido oposto de x. Qual é a
velocidade de cada fóton?
Seção 37.4 Eventos e medições
Seção 37.5 A relatividade da simultaneidade
9. | Você é incumbido de sincronizar os relógios fixos em um referencial. Para tanto, você emitirá um pulso de luz da origem em t 0 s.
Para qual horário um relógio localizado em (x,y,z)(30 m, 40 m, 0
m) deve ser pré-ajustado?
10. || Bóris está parado em x ⴝ 600 m. Uma bomba 1 explode na origem, e outra bomba 2 explode em x ⴝ 900 m. Os flashes emitidos
em ambas as explosões chegam a Boris em t ⴝ 3,0 ms. Em que
instante explodiu cada bomba?
11. || Bianca encontra-se parada em x 600 m. Uma bomba 1, localizada na origem, e outra bomba 2, em x 900 m, explodem simultaneamente. Bianca vê o flash proveniente da primeira explosão no
instante t 3,0 ms. Em que instante Bianca vê o flash proveniente
da segunda explosão?
12. || Você está parado na posição x 9,0 km. Um raio 1 atinge o ponto
x 0 km, e outro raio 2 atinge o ponto x 12,0 km. Você vê os dois
flashes ao mesmo tempo. Sua assistente está parada em x 3,0 km.
Ela também vê os flashes ao mesmo tempo? Em caso negativo, qual
deles ela vê primeiro e qual é a diferença de tempo entre os dois?
13. || Você está parado em x 9,0 km e sua assistente está parada em x
3,0 km. O raio 1 atinge o ponto x 0 km e o raio 2 atinge o ponto x 12,0 km. Você enxerga o raio 1 no instante t 5,0 ms. De
acordo com a sua assistente, os raios chegaram simultaneamente?
Em caso negativo, qual deles chegou primeiro e qual foi a diferença
de tempo entre os dois?
14. || José está olhando para o leste. Um raio 1 atinge uma árvore a 300
m de onde José está parado. Outro raio 2 atinge um celeiro a 900 m
de José, na mesma direção da árvore. José enxerga o raio que caiu
na árvore 1,0 ␮s antes do raio que atingiu o celeiro. De acordo com
José, os raios ocorreram simultaneamente? Em caso negativo, qual
deles ocorreu primeiro e qual é a diferença de tempo entre os dois?
15. | Você está voando no seu foguete pessoal a 0,9c, indo da Estrela A
para a Estrela B. A distância entre as estrelas, medida no referencial
das estrelas, é de 1,0 ano-luz. Ambas as estrelas explodem simultaneamente em relação ao referencial do seu foguete, no instante
em que sua espaçonave se encontra exatamente a meia distância
entre elas. Você enxerga simultaneamente os flashes emitidos na
explosão? Em caso negativo, qual deles você vê primeiro e qual é a
diferença de tempo entre os dois?
Seção 37.6 Dilatação temporal
16. || Observadores posicionados na Terra constatam que um raio cósmico percorre 60 km através da atmosfera terrestre em 400 ␮s.
Quanto tempo dura o percurso de acordo com o raio cósmico?
17. || Com que velocidade, como fração de c, um relógio em movimento marca o tempo com a metade da freqüência de outro relógio
idêntico, porém em repouso?
18. | Um astronauta viaja para um sistema estelar a uma distância de
4,5 anos-luz a uma velocidade de 0,9c. Considere que o tempo necessário para acelerar e desacelerar seja desprezível.
a. Qual á a duração da viagem de acordo com o Controle da Missão
na Terra?
b. Qual á a duração da viagem de acordo com o astronauta?
1180
Física: Uma Abordagem Estratégica
c. Quanto tempo transcorre entre o lançamento e a chegada da primeira mensagem de rádio do astronauta, informando que ele chegou ao destino?
19. || a. Com que velocidade um foguete deve se mover durante uma
viagem de ida e volta a uma estrela distante de modo que ele
envelheça 10 anos enquanto os Controladores da Missão na
Terra envelhecem 120 anos?
b. De acordo com o Controle da Missão, qual é a distância até a
estrela longínqua?
20. || Você atravessa os Estados Unidos de avião e percorre 5.000 km
a 250 m/s. Dois dias depois, você retorna mantendo a mesma velocidade.
a. Você envelheceu mais ou menos que seus amigos que não viajaram?
b. Em caso positivo, quanto?
Dica: Use a aproximação binomial.
21. || De acordo com observadores da Terra, com que velocidade, em
m/s, um relógio em movimento atrasaria 1,0 ns durante 1,0 dia?
Dica: Use a aproximação binomial.
Seção 37.7 Contração espacial
22. | Com que velocidade, como fração de c, um bastão em movimento
terá 60% do comprimento de um bastão idêntico em repouso?
23. | Jill afirma que seu novo foguete tem 100 m de comprimento.
Quando o foguete passa sobre sua casa, você mede seu comprimento e obtém apenas 80 m. Jill pode ser “acusada” de exceder o limite
de velocidade de 0,5c?
24. || Um múon percorre 60 km através da atmosfera a uma velocidade de
0,9997c. De acordo com o múon, qual é a espessura da atmosfera?
25. || Um cubo em repouso no laboratório tem densidade de 2.000 kg/
m3. Qual será a densidade do cubo medida por um observador no
laboratório quando o cubo se mover pelo laboratório a 90% da velocidade da luz em uma direção perpendicular a uma das faces?
26. | Nossa galáxia, a Via Láctea, tem 100.000 anos-luz de diâmetro.
Uma espaçonave que cruza a galáxia mede seu tamanho como sendo somente 1,0 ano-luz.
a. Qual é a velocidade da espaçonave em relação à nossa galáxia?
b. Quanto tempo a espaçonave leva para cruzar a galáxia, medido
em relação ao referencial da galáxia?
27. | Um cabelo humano tem diâmetro de aproximadamente 50 mm.
Movendo-se a que velocidade, em m/s, um metro padrão estaria
encolhido para o equivalente a um fio de cabelo”?
Dica: Use a aproximação binomial.
Seção 37.8 As transformações de Lorentz
28. | Um evento tem coordenadas espaço-temporais (x,t) (1.200 m, 2,0
ms) no referencial S. Quais são as coordenadas espaço-temporais do
evento (a) no referencial S que se move no sentido positivo de x a 0,8c
e (b) no referencial S que se move no sentido negativo de x a 0,8c?
29. || Um foguete se move sobre o eixo x a 0,6c em relação à Terra. Um
cientista que se encontra no foguete observa uma colisão entre dois
cometas e determina que as coordenadas espaço-temporais da colisão são (x, t) (3,0 1010 m, 200 s). Quais são as coordenadas
espaço-temporais da colisão em relação ao referencial da Terra?
30. || No referencial da Terra, uma árvore localiza-se na origem, e um
poste, em x 30 km. Um raio atinge a árvore e o poste no instante
t 10␮s. Os raios são observados por um foguete que se move na
direção x a 0,5c.
a. Quais são as coordenadas espaço-temporais desses dois eventos
em relação ao referencial do foguete?
b. Os eventos são simultâneos em relação ao referencial do foguete? Em caso negativo, qual deles ocorre primeiro?
31. || Quando um foguete passa pela Terra com velocidade de 0,8c, um
projétil é lançado de sua extremidade traseira, no sentido oposto ao
do movimento do foguete. A velocidade de lançamento do projétil
com relação ao foguete é de 0,9c. Qual é a velocidade do projétil
em relação à Terra?
32. || Em um experimento de laboratório, um elétron é lançado para a
esquerda a 0,9c. Qual é a velocidade do elétron em relação a um
próton que se move para a direita a 0,9c?
33. || Um quasar distante afasta-se da Terra com uma velocidade de
0,8c. Uma galáxia próxima à Terra, e na mesma linha de visão,
afasta-se de nosso planeta a 0,2c.Qual é a velocidade de afastamento do quasar medida por astrônomos que estão na outra galáxia?
Seção 37.9 Momentum relativístico
34. || Um próton é acelerado até 0,999c.
a. Qual é o momentum do próton?
b. Por qual fator o momentum do próton excede o seu momentum
newtoniano?
35. | Uma partícula de 1,0 g possui um momentum de 400.000 kgm/s.
Qual é a velocidade da partícula?
36. || Para que valor de velocidade o momentum da partícula é duas
vezes maior do que seu valor newtoniano?
37. || Qual é a velocidade de uma partícula cujo momentum é igual a mc?
Seção 37.10 Energia relativística
38. || Quanto valem as energias cinética, de repouso e total de uma partícula de 1,0 g que se move com uma velocidade de 0,8c?
39. | Um hambúrguer, com todos os ingredientes que o compõem, tem
uma massa de 200 g. A energia nutricional do hambúrguer (480
calorias) é 2MJ.
a. Qual é a energia de massa do hambúrguer?
b. Por qual fator a energia de massa excede a energia nutricional?
40. | Com que velocidade um elétron deve se mover de modo que sua
energia total seja 10% maior do que sua energia de repouso?
41. || Para que velocidade a energia cinética de uma partícula é duas
vezes maior do que sua energia de repouso?
42. || Para que velocidade a energia total de uma partícula é duas vezes
maior do que sua energia de repouso?
Problemas
43. | Uma bola de 50 g, movendo-se para a direita a 4,0 m/s, colide com
uma bola de 100 g que também se move para a direita, porém a 2,0
m/s. A colisão é perfeitamente elástica. Use o referencial e o resultado obtido no Capítulo 10 para colisões perfeitamente elásticas a fim
de determinar o módulo e a orientação da velocidade de cada bola
após a colisão.
44. | Uma bola de 300 g move-se para a direita a 2,0 m/s quando colide
com uma bola de 100 g que se move para a esquerda a 8,0 m/s, em
uma colisão perfeitamente elástica. Use o referencial e o resultado
obtido no Capítulo 10 para colisões perfeitamente elásticas a fim
de determinar o módulo e a orientação da velocidade de cada bola
após a colisão.
45. || Uma bola de bilhar colide com outra, de mesma massa, em uma
colisão perfeitamente elástica. Após a colisão, a primeira bola
desloca-se para a esquerda a 2,0 m/s, e a segunda, para a direita a
4,0 m/s. Use o referencial e o resultado obtido no Capítulo 10 para
colisões perfeitamente elásticas a fim de determinar o módulo e
orientação da velocidade de cada bola antes da colisão.
46. | Uma granada de 9,0 kg move-se para a direita a 100 m/s quando
explode repentinamente e se divide em dois fragmentos, sendo um
deles duas vezes mais pesado do que o outro. Medições efetuadas
CAPÍTULO 37
revelam que são liberados 900 J de energia na explosão e que o
fragmento mais pesado move-se à frente do mais leve. Calcule a
velocidade de cada fragmento em relação ao solo analisando a explosão em relação ao referencial (a) da Terra e (b) da granada. (c) É
mais fácil resolver o problema em um desses referenciais?
47. || O diâmetro do Sistema Solar é de 10 horas-luz. Medições realizadas na Terra revelam que uma espaçonave cruza o Sistema Solar
em 15 horas. De acordo com os passageiros da espaçonave, quanto
tempo, em horas, ela leva para fazer o percurso?
Dica: c 1 hora-luz por hora.
48. || Um vagão de um trem bala, com 30 m de comprimento, trafega
de Los Angeles para Nova York a 0,5c quando uma luz pisca no
centro do vagão. Quando a luz atinge a frente do vagão, ela imediatamente faz soar um sino. Quando a luz atinge a traseira do vagão,
ela imediatamente faz soar uma sirene.
a. Para os passageiros sentados no vagão, o soar do sino e da sirene
são eventos simultâneos? Em caso negativo, qual deles ocorre
primeiro e qual é a diferença de tempo entre eles?
b. Para um ciclista esperando para cruzar os trilhos, o soar do sino e
da sirene são eventos simultâneos? Em caso negativo, qual deles
ocorre primeiro e qual é a diferença de tempo entre eles?
49. || A estrela Alfa torna-se uma supernova. Dez anos mais tarde, e a
100 anos-luz, segundo medições de astrônomos na galáxia, a estrela
Beta explode.
a. É possível que a explosão de Alfa seja, de alguma forma, responsável pela explosão de Beta? Explique.
b. Uma espaçonave alienígena que passa pela galáxia descobre que
a distância entre as duas explosões é de 120 anos-luz. De acordo
com os alienígenas, qual é o tempo transcorrido entre as duas
explosões?
50. || Em relação ao referencial S, dois eventos ocorrem no mesmo
ponto do espaço separados por um intervalo de tempo de 10␮s. A
distância entre os dois eventos é de 2400 m, medida em relação ao
referencial S.
a. Qual é o intervalo de tempo entre os eventos em relação ao referencial S?
b. Qual é a velocidade de S em relação a S?
51. ||| Uma espaçonave viaja para um planeta a 10 anos-luz de distância. Os exploradores lá permanecem por 1 ano, depois retornam à
mesma velocidade da ida e chegam à Terra 26 anos após a saída.
Admita que os tempos necessários para acelerar e desacelerar a espaçonave sejam desprezíveis.
a. Qual é a velocidade da espaçonave?
b. Quanto tempo transcorreu de acordo com os cronômetros dos
astronautas?
52. || Na Seção 37.6, vimos que os múons podem atingir o solo por causa da dilatação temporal. Mas como é vista a situação em relação ao
referencial do múon, em relação ao qual sua meia-vida é de apenas
1,5␮s? Como é possível a um múon viajar 60 km e chegar à superfície da Terra antes de sofrer um decaimento? Resolva esse aparente
paradoxo. Seja o mais quantitativo possível em sua resposta.
53. || O Acelerador Linear de Stanford (SLAC) acelera elétrons até
uma velocidade v 0,99999997c em um tubo retilíneo de 3,2 km
de comprimento. Se os elétrons percorrem o comprimento do tubo
com a velocidade máxima (o que realmente não ocorre, pois eles
estão acelerando), qual é o comprimento do tubo medido em relação ao referencial dos elétrons?
54. || Na tentativa de reduzir os tempos extraordinariamente longos para
chegar a estrelas distantes, alguns cientistas sugeriram que a viagem
fosse feita com uma velocidade próxima à da luz. Suponha que você
decida visitar a estrela vermelha gigante Betelgeuse, que está a 430
anos-luz da Terra, e queira que seu foguete de 20.000 kg mova-se tão
rapidamente que você envelheça apenas 20 anos durante a viagem.
■
Relatividade
1181
a. Com relação à Terra, qual deve ser a velocidade do foguete?
b. Qual é a quantidade de energia necessária para acelerar o foguete
até essa velocidade?
c. Compare essa quantidade de energia à energia total usada pelos
Estados Unidos durante o ano de 2005 (aproximadamente 1,0 1020 J).
|
55. Um foguete viajando a 0,5c dirige-se à estrela mais próxima, Alfa
Centauri, que está a 4,25 anos-luz da Terra. O foguete retornará à Terra imediatamente após chegar à Alfa Centauri. Qual é a distância que o
foguete percorrerá e quanto tempo levará essa jornada de acordo com
(a) terráqueos em suas casas e (b) a tripulação do foguete? (c) Quais
das respostas estão corretas, as respostas do item a ou as do item b?
56. || A estrela Delta torna-se uma supernova. Um ano mais tarde, e a 2
anos-luz de distância medidos por astrônomos da galáxia, a estrela
Épsilon explode. A explosão da estrela Delta ocorre em xD 0 e tD
0. As explosões são observadas por três espaçonaves que cruzam
a galáxia, indo de Delta para Épsilon, com velocidades v1 0,3c, v2
0,5c e v3 0,7c.
a. Quais são os tempos das duas explosões medidos pelos cientistas
em cada uma das três espaçonaves?
b. Em alguma das espaçonaves se acredita que as explosões foram
simultâneas? Em caso afirmativo, em qual delas?
c. Em alguma das espaçonaves se acredita que a Épsilon explodiu
antes do que a Delta? Em caso afirmativo, em qual delas?
d. As suas respostas para os itens a e b violam o conceito de casualidade? Explique.
57. || Dois foguetes se aproximam um do outro. Cada um move-se a
0,75c em relação ao referencial da Terra. Qual é a velocidade de um
foguete em relação ao outro?
58. || Um foguete passa pela Terra e lança um projétil a uma velocidade
de 0,95c. Um cientista na Terra mede a velocidade do projétil como
0,90c. Qual é a velocidade do foguete?
59. || Qual é a diferença de potencial a que um elétron em repouso deve
ser submetido a fim de adquirir uma velocidade de 0,99c?
60. || Qual é a velocidade de um próton após ser acelerado, desde o
repouso, sob uma diferença de potencial de 50 106 V?
61. || A meia-vida de um múon em repouso é de 1,5 ␮s. Múons acelerados até velocidades muito altas e mantidos em um anel de armazenamento possuem meias-vidas de 7,5 ␮s.
a. Qual é a velocidade dos múons no anel de armazenamento?
b. Qual é a energia total de um múon no anel de armazenamento?
A massa de um múon é 207 vezes maior do que a massa de um
elétron.
62. || O material de uma erupção solar, viajando a 0,9c, atinge um foguete que se afasta do Sol a 0,8c. De acordo com a tripulação a
bordo, com que velocidade o material se aproxima do foguete?
63. || Neste capítulo, considerou-se que comprimentos perpendiculares
à direção do movimento não são afetados pelo movimento, ou seja,
o movimento na direção x não causa contração espacial ao longo dos
eixos y e z. Para descobrir se isso é realmente verdadeiro, considere
dois bocais de tinta spray acoplados a bastões perpendiculares ao
eixo x. Sabemos que, quando ambos os bastões estão em repouso,
ambos os bocais estão exatamente 1 m acima da base do bastão. Um
bastão é colocado em repouso
Bocal da
Bocal da
no referencial S, com sua base
tinta vermelha tinta azul
sobre o eixo x; e o outro é posicionado em repouso no referencial S, com sua base sobre
o eixo x. Como ilustrado na
FIGURA P37.63, os bastões pas,
,
sam um pelo outro e cada qual
em S
em
emite um jato de tinta que pinta
uma linha ao longo do outro.
FIGURA P37.63
1182
Física: Uma Abordagem Estratégica
Daremos uma prova por contradição. Admita que objetos perpendiculares ao movimento sejam contraídos. Um cientista fixo no referencial S observa que o bocal S, ao passar por ele, encontra-se a
menos de 1 m acima do eixo x. O princípio da relatividade diz que
um experimento realizado em dois referenciais inerciais diferentes
terá o mesmo resultado.
a. Usando essa linha de raciocínio, mostre que você obterá uma
contradição lógica, correspondente a duas situações mutuamente
incompatíveis.
b. A partir deste resultado contraditório, o que você pode concluir?
64. | Derive as transformações de Lorentz para t e t’.
Dica: Veja o comentário que segue a Equação 37.22.
65. || a. Derive a equação de transformação para as velocidades uy e
uy. Admita que os referenciais estejam orientados na forma
padrão, com o movimento paralelo aos eixos x e x’.
b. Um foguete passa pela Terra a 0,8c. Ao passar, o foguete lança
um projétil a 0,6c, perpendicularmente à direção do movimento da espaçonave. Qual é a velocidade do projétil em relação
ao referencial da Terra?
66. | Qual é o momentum de uma partícula com velocidade de 0,95c e
energia total de 2,0 10 –10?
67. || Qual é o momentum de uma partícula cuja energia total é quatro
vezes maior do que sua energia de repouso? Sua resposta deve ser
expressa como um múltiplo de mc.
68. || a. Qual é o momentum e qual é a energia total de um próton com
velocidade de 0,99c?
b. Qual é o momentum do próton em relação a um referencial
diferente, no qual E’ = 5,0 10 –10 J?
69. || Para que valor de velocidade a energia cinética de uma partícula
é duas vezes maior do que seu valor newtoniano?
70. || Qual é a velocidade de um elétron cuja energia total é igual à
massa de repouso de um próton?
71. || Uma usina nuclear típica gera eletricidade a uma taxa de 1.000
MW. A eficiência ao transformar energia térmica em energia elétrica é 1/3, e a usina opera com capacidade máxima durante 80% do
ano. (As usinas nucleares não operam por um período equivalente a
20% do ano para manutenção e reabastecimento.)
a. Qual é a quantidade de energia térmica que a usina gera durante
um ano?
b. Qual é a massa de urânio transformada em energia durante um
ano?
72. || O Sol irradia energia a uma taxa de 3,8 1026 W. A fonte dessa
energia é a fusão, uma reação nuclear em que massa é transformada
em energia. A massa do Sol é igual a 2,0 1030 kg.
a. Quanto o Sol perde de massa por ano?
b. Essa massa perdida pelo Sol equivale a quanto por cento da massa total do Sol?
c. Estime o tempo de vida do Sol.
73. || O elemento radioativo rádio (Ra) decai por meio de um processo
conhecido como decaimento alfa, em que o núcleo emite um núcleo
de hélio. (Quando a radioatividade foi descoberta, esses núcleos de
hélio ejetados em altas velocidades foram denominados partículas
alfa, muito antes de ser estabelecida a identidade das partículas.) A
reação correspondente é 226Ra → 222Rn 4He, onde Rn é o elemento
radônio. Os valores precisos das massas atômicas dos três elementos
são 226,025 u, 222,017 u e 4,003 u. Qual é a quantidade de energia
liberada em cada decaimento? (A energia liberada nos decaimentos
faz com que o lixo nuclear seja considerado “quente”.)
74. II A reação nuclear que energiza o Sol é a fusão de quatro prótons
em um núcleo de hélio. O processo envolve várias etapas, mas a
reação resumida é simples: 4p → 4He energia. A massa de um
núcleo de hélio é igual a 6,64 10 –27 kg.
a. Qual é a quantidade de energia liberada em cada reação de fusão?
b. Que fração da energia de repouso corresponde a esta energia?
75. || Um elétron que se move para a direita com velocidade de 0,9c
colide com um pósitron que se move para a esquerda a 0,9c. As
duas partículas se aniquilam, produzindo dois fótons de raios gama.
Qual é o comprimento de onda dos dois fótons?
76. || A Seção 37.10 apresenta a colisão inelástica e– (rápido) e– (em
repouso) → e– e– e– e.
a. Qual é a energia cinética limiar do elétron rápido, ou seja, qual é
o mínimo de energia cinética que um elétron deve ter para que o
processo ocorra?
b. Qual é a velocidade de um elétron com energia cinética limiar?
Problemas desafiadores
77. Dois foguetes, A e B, aproximam-se da Terra em sentidos opostos,
cada qual a 0,8c. Cada foguete tem 100 m de comprimento, medidos em um referencial no qual ele se encontra em repouso. Qual é o
comprimento do foguete A medido pela tripulação do foguete B?
78. Dois foguetes medem 100 m em um referencial no qual se encontram em repouso. O foguete Órion, que desloca-se a 0,8c em
relação à Terra, está para alcançar o foguete Sírius, que se move
com uma velocidade de meros 0,6c. De acordo com a tripulação do
Sírius, quanto tempo será necessário para que o Órion os ultrapasse completamente, ou seja, qual será o tempo transcorrido desde o
instante em que o nariz de Órion está emparelhado com a traseira
do foguete Sírius até o instante em que a traseira do foguete Órion
está emparelhada com o nariz do Sírius?
79. Alguns aceleradores de partículas permitem que prótons (p) e antiprótons (p–) circulem com velocidades de módulos iguais e sentidos opostos em um dispositivo chamado anel de armazenamento.
Os feixes formados por essas partículas se cruzam em vários pontos, causando colisões p p–. Em uma dessas colisões, o resultado da reação é p p– → e e– ␥ ␥, onde ␥ representa um
fóton de raio gama com alta energia. O elétron e o pósitron são
ejetados da colisão com velocidade de módulo igual a 0,9999995c
e os comprimentos de onda dos fótons de raios gama são identificados como sendo 1,0 10–6 nm. Quais eram as velocidades do
próton e do antipróton antes da colisão?
80. Os foguetes dos Godos e
1.000 m no referencial
Canhão
dos Godos.
dos Hunos medem, cada um,
de laser
1.000 m em um referencial
Godos
em relação ao qual eles estejam em repouso. Os foguetes
Hunos
passam um pelo outro, praticamente se tocando, ambos
1.000 m no referencial
movendo-se com velocidades
dos Hunos.
de 0,8c. Os Hunos dispõem de
FIGURA PD37.80
um canhão a laser na traseira
de seu foguete. O canhão dispara raios laser mortais em um ângulo
reto ao movimento do foguete. O capitão do foguete Huno quer
mandar uma mensagem de ameaça aos Godos. Para tanto, ele pretende “disparar um raio na proa do foguete”. O capitão diz ao seu
primeiro imediato: “o foguete dos Godos tem contração espacial de
600m. Dispare o laser no instante em que o nariz de nosso foguete
passar pela cauda do foguete deles. O raio laser passará a 400 m da
proa do foguete Godo”. Contudo, as coisas são um pouco diferentes
no referencial dos Godos. O capitão Godo raciocina da seguinte
maneira: “o foguete Huno está espacialmente contraído em 600 m,
400 m mais curto, portanto, do que nosso foguete. Se eles lançarem
o raio laser quando o nariz do foguete deles estiver passando pela
cauda de nosso foguete, o raio letal atingirá nossa lateral”.
O imediato Huno executa a ordem de seu capitão. O foguete
Godo é atingido ou não? Resolva este paradoxo. Mostre que, quan-
CAPÍTULO 37
do a situação é analisada de forma correta, os Godos e os Hunos
concordam quanto a seus resultados. Sua análise deve incluir cálculos quantitativos e explicações escritas.
81. Um atleta de salto com vara, bastante ágil, mora próximo a uma
fazenda. Certo dia, enquanto treinava, o atleta reparou em um celeiro de 10 m de comprimento com as portas da frente e dos fundos
abertas. Ele decide correr e passar por dentro do celeiro a uma velocidade de 0,866c, carregando consigo uma vara de 16 m. Ao avistar
o atleta correndo em direção ao celeiro, o fazendeiro diz: “Aha! A
vara está contraída espacialmente, medindo 8,0 m. Haverá um pequeno intervalo de tempo em que a vara caberá completamente no
interior do celeiro. Se eu for rápido, poderei fechar as duas portas
simultaneamente enquanto o atleta ainda estiver lá dentro”. O atleta vê o fazendeiro parado ao lado do celeiro e diz para si mesmo:
“esse fazendeiro é maluco. O celeiro está espacialmente contraído
e mede somente 5,0 m. A vara de 16 m não cabe em um celeiro de
5,0 m. Se o fazendeiro fechar as portas quando a extremidade da
■
Relatividade
1183
vara chegar na porta dos fundos, a porta da frente quebrará a vara
e um pedaço dela de 11,0 m ficará do lado de fora do celeiro”.O
fazendeiro conseguirá fechar as portas sem quebrar a vara? Mostre
que, quando a situação é analisada de forma correta, o fazendeiro
e o atleta concordam em seus resultados. Sua análise deve conter
cálculos quantitativos e explicações escritas. É obvio que o atleta
não pode parar instantaneamente, portanto você deve admitir que as
portas sejam finas como papel de modo que o atleta possa atravessá-las com a vara sem reduzir sua velocidade.
Fazendeiro
Vara de 16 m
FIGURA PD37.81
,
Celeiro de 10 m
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 37.1: a, c e f. Estes são referenciais que se movem com velocidades constantes, ou bem próximo disso. Os outros estão acelerados.
Pare e Pense 37.2: a. u’ = u – v = –10 m/s – 6 m/s = –16 m/s. A velocidade é de 16 m/s.
Pare e Pense 37.3: c. Mesmo a luz gasta um pequeno tempo de percurso. O evento é a batida do martelo no prego, e não, você enxergando o
martelo bater no prego.
Pare e Pense 37.4: Ao mesmo tempo. Mark está a meio caminho entre
a árvore e o poste, de modo que o fato de ele ver os raios ao mesmo
tempo significa que eles ocorreram ao mesmo tempo. É verdade que
Nancy vê o evento 1 ocorrer antes do evento 2, mas os eventos realmente ocorreram antes que ela os visse. Mark e Nancy compartilham do
referencial, pois ambos estão em repouso um em relação ao outro; ademais, todos os observadores em um referencial, após terem ajustados
seus relógios de maneira a levar em conta os atrasos, concordam quanto
às coordenadas espaço-temporais do evento.
Pare e Pense 37.5: Após. Este é o mesmo caso de Peggy e Ryan. No
referencial de Mark, bem como no de Ryan, os eventos são simultâneos.
Nancy vê o evento 1 primeiro, mas o momento em que o evento é visto
não é o instante em que ele realmente aconteceu. Uma vez que todos os
observadores no referencial concordam quanto às coordenadas espaçotemporais de um evento, a posição particular de Nancy em seu referencial não pode afetar a ordem dos eventos. Se Nancy estivesse passando
por Mark no instante em que o raio ocorreu no referencial de Mark,
então Nancy seria equivalente a Peggy. O evento 2, tal como a explosão
de uma bomba na parte dianteira do vagão de Peggy, ocorre primeiro no
referencial de Nancy.
Pare e Pense 37.6: c. Nick mede o tempo próprio porque seu relógio
está presente tanto no evento em que “o nariz passa por Nick” quanto
no evento em que “a cauda passa por Nick”. O tempo próprio é o menor
intervalo de tempo medido entre dois eventos.
Pare e Pense 37.7: LA > LB LC. Anjay mede o comprimento próprio
do poste, pois este está em repouso em seu referencial. O comprimento
próprio é o maior comprimento medido. Bete e Charles talvez vejam o
poste de forma diferente, mas eles compartilham o mesmo referencial e
suas medidas do comprimento estão em concordância.
Pare e Pense 37.8: c. A energia de repouso E0 é invariante, seu valor é
o mesmo em relação a todos os referenciais inerciais. Assim, m = E0/c2
independe da velocidade.
38 O Fim da Física Clássica
As pesquisas sobre a luz emitida por
tubos de descarga de gás contribuíram
para o fim da física clássica.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 38 é
compreender como ocorreu a
descoberta das propriedades atômicas
e como essas descobertas revelaram
a necessidade de uma nova teoria da
luz e da matéria. Neste capítulo, você
aprenderá sobre:
■ Como o elétron foi descoberto e
como sua carga foi medida.
■ Como o núcleo foi descoberto e
como suas propriedades foram
identificadas.
■ Como utilizar o modelo nuclear do
átomo de Rutherford.
■ Como os átomos emitem e
absorvem luz.
Em retrospectiva
O material apresentado neste capítulo
depende da compreensão de vários
conceitos da física clássica. Revise:
■ Seção 16.2 Massas atômicas e
número de massa.
■ Seções 22.3 e 25.1 Redes de
difração e espectroscopia.
■ Seções 29.2 e 29.6 Potencial
elétrico e energia potencial.
■ Seção 33.7 Partículas carregadas
em presença de campos
magnéticos
Com exceção da relatividade e de uma breve introdução à física quântica apresenta-
da no Capítulo 25, tudo o que estudamos até agora já era conhecido por volta de 1900.
A mecânica newtoniana, a termodinâmica e a teoria de Maxwell do eletromagnetismo
formam o que chamamos de física clássica. É um imenso conjunto de conhecimento
com grande poder explanatório. Ao final do século XIX, muitos dos cientistas acreditavam que podiam usar essas teorias para explicar qualquer fenômeno. Alguns estudiosos
até chegavam a pensar que não havia mais nada a ser descoberto.
No entanto, por volta de 1900, em um intervalo de poucos anos os estudos sobre
a estrutura da matéria culminaram em surpreendentes descobertas que estavam em
desacordo com a física clássica. Descobertas para as quais não se dispunha de explicações e que eram fruto de investigações tão simples quanto medir o espectro da luz
emitida por tubos de descarga em gás. Não tardou para que as leis da física clássica
caíssem por terra ao serem aplicadas a sistemas atômicos. No início do século XX,
os físicos tiveram de reexaminar suas hipóteses mais básicas sobre a natureza da
matéria e da luz.
Temos dois objetivos a alcançar neste capítulo. O primeiro é aprender como os cientistas do século XIX e do inicio do século XX descobriram as propriedades atômicas.
Em sua época, Michael Faraday já observava que “falar de átomos” era fácil, mas compreendê-los era outra história.
Nosso segundo objetivo é perceber que muitas das descobertas recentes relacionadas às propriedades atômicas não estão em consonância com a física clássica. Antes de
entrarmos na física quântica, é importante que saibamos em que a física clássica falhou
e por que uma nova teoria da luz e da matéria se tornou necessária.
CAPÍTULO 38
■
O Fim da Física Clássica
1185
38.1 A física no século XIX
Os questionamentos dos cientistas do século XIX relacionavam-se a três assuntos principais: matéria, eletricidade e luz.
Matéria
A idéia de que a matéria consiste de pequenas partículas indivisíveis remonta a Leucipo
e a seu aluno Demócrito, na Grécia Antiga, por volta de 440 ⫺ 420 a.C. Essas partículas
foram chamadas de átomos, palavra grega que significa “não-divisível”. O atomismo
não foi amplamente aceito, em parte pela falta de evidência associada à existência dos
átomos. Todavia as idéias atomísticas conseguiram sobreviver na obscuridade durante a
Idade Média. Somente na época de Newton, com o surgimento de uma concepção mecanicista do mundo, o interesse pelos átomos cresceu.
Newton observou que a lei dos gases de Boyle ⫺ segundo a qual pV permanece
constante em um processo isotérmico ⫺ podia ser explicada se o gás fosse composto de
partículas. Em 1738, Daniel Bernoulli amadureceu a idéia de que gases são compostos
por partículas minúsculas, similares a átomos, em movimento aleatório. Contudo, as
evidências acerca da existência de átomos eram muito incipientes para que as idéias de
Bernoulli fossem consideradas mais do que uma curiosidade.
Esse cenário começou a mudar no inicio do século XIX. O químico inglês John
Dalton preconizava que muito do que então se sabia sobre as reações químicas poderia
ser explicado se a matéria de um elemento químico em particular consistisse de átomos
idênticos e indestrutíveis. Dalton tentou determinar as massas relativas dos átomos de
diferentes elementos ⫺ a única característica de seu trabalho que mais se aproximou de
um estudo cientifico, em vez de mera especulação. As idéias de Dalton foram ampliadas
pelo químico italiano Amedeo Avogadro, que postulou que os átomos poderiam se ligar
uns aos outros para formar entidades mais complexas, as quais ele chamou de moléculas, e que volumes iguais de gases a uma mesma temperatura contêm um mesmo numero
de moléculas.
As evidências tornaram-se mais fortes com o surgimento da termodinâmica e da teoria cinética dos gases, desenvolvidas em meados do século XIX. Pequenos desvios da lei
dos gases ideais em altas pressões, que poderiam ser compreendidos com a hipótese de
que os átomos começavam a ficar mais próximos um dos outros nesta situação, levaram
a uma estimativa aproximada dos tamanhos atômicos. Por volta de 1890, a existência de
–10
átomos com diâmetros em torno de 10 m começou a ser amplamente aceita.
Eletricidade
Desde a antiguidade já se sabia que esfregar âmbar em pele de carneiro gerava eletricidade estática. Mas a descoberta de correntes elétricas, por volta de 1800, despertou novos
e interessantes questionamentos, como por exemplo: a “substância elétrica” é um fluido
contínuo ou consiste de partículas granulares de eletricidade? Não havia evidência direta, mas o fluxo de corrente sugeria alguma forma de fluido. Essas suposições corroboravam a crença então vigente de que o calor também seria um fluido chamado calórico.
Passados menos de dois meses da invenção da pilha elétrica por Volta, em 1800,
descobriu-se que uma corrente elétrica, ao atravessar a água, a decompõe em hidrogênio
e oxigênio em um processo chamado eletrólise. O experimento básico, realizado hoje
em dia em aulas de química, está ilustrado na FIGURA 38.1. Os terminais positivo e negativo de uma bateria são ligados a duas peças metálicas denominadas eletrodos. O eletrodo negativo é chamado de cátodo, e o positivo, de ânodo. Bolhas de gás, então, surgem
nos eletrodos ⫺ de hidrogênio em uma placa e de oxigênio na outra ⫺ e podem ser coletadas em tubos.
Hoje em dia, o resultado desse experimento não nos surpreende mais, todavia lembre-se de que, na época em que o experimento foi realizado pela primeira vez, a água era
considerada como um dos elementos básicos da natureza. A decomposição da água forçou os cientistas a reconsiderarem a questão dos constituintes básicos da matéria. Além
disso, os efeitos da nova descoberta sugeriam uma conexão, nunca antes suspeitada,
entre a eletricidade e a matéria.
Ânodo
Cátodo
Corrente
FIGURA 38.1 Uma corrente elétrica
através da água decompõe o liquido em
hidrogênio e oxigênio.
1186
Física: Uma Abordagem Estratégica
Tela
Fenda dupla
Feixe de laser incidente
FIGURA 38.2 A experiência da dupla fenda
de Young mostrou que a luz é uma onda.
Luz
A pergunta “o que é a luz?” motivou debates por muito tempo. Como já sabemos,
Newton era favorável a uma teoria corpuscular segundo a qual corpúsculos de luz se
moveriam em linhas retas. Newton baseava-se principalmente nas sombras geradas pela
luz solar, em contraste com a difração das ondas da água ao passar por barreiras. A visão
de Newton predominou durante todo o século XIX.
Tudo começou a mudar rapidamente na virada do século XIX. Em 1801, o lingüista,
médico e cientista inglês Thomas Young demonstrou a interferência da luz em sua famosa experiência da dupla fenda, ilustrada na FIGURA 38.2. Em 1818, o físico francês Augustin Fresnel deu uma base matemática mais rigorosa para o modelo ondulatório da luz. A
teoria de Fresnel previa um punhado de efeitos da difração que ainda não haviam sido
observados. De inicio, tais efeitos receberam muitas críticas por contrariarem o senso
comum. A subseqüente comprovação experimental da teoria de Fresnel validou o modelo ondulatório da luz.
38.2 Faraday
As três linhas de questionamento ⫺ matéria, eletricidade e luz ⫺ vieram a convergir em
1801 na pessoa de Michael Faraday, um dos maiores gênios da historia da ciência. Faraday conduziu três investigações de particular interesse para o nosso estudo.
Condução elétrica em líquidos
Outros cientistas já haviam começado a estudar a eletrólise, mas foram os cálculos sistemáticos e minuciosos de Faraday que revelaram as leis que governam a eletrólise. Faraday mostrou que é mais fácil entender a eletrólise se nos basearmos em uma teoria atômica da matéria. Ele descobriu que existe uma carga associada a cada átomo presente na
solução. Atualmente essas cargas são chamadas íons positivos e negativos.
As descobertas de Faraday implicavam que
Nas células de combustível, que
fornecerão energia para os carros em um
futuro próximo, oxigênio e hidrogênio são
combinados para produzir água e corrente
elétrica. Trata-se do processo inverso à
eletrólise ilustrada na Figura 38.1.
Brilho do
cátodo
Cátodo
Brilho colorido
do gás
Ânodo
1. Os átomos existem.
2. De alguma forma, cargas elétricas estão associadas a átomos.
3. Há dois tipos diferentes de carga, a positiva e a negativa.
4. A eletricidade é “granulada”, e não, um fluido contínuo, ou seja, a eletricidade
existe em quantidades discretas, múltiplas de uma unidade básica de carga.
Condução elétrica em gases
Faraday também investigou se as correntes elétricas seriam capazes de atravessar o ar.
Ele fixou eletrodos metálicos no interior de um tubo de vidro lacrado, baixou a pressão
utilizando uma bomba a vácuo rudimentar e conectou um gerador eletrostático aos eletrodos. Quando o gerador foi ligado, o gás dentro do tubo começou a brilhar em um tom
de roxo vívido. O dispositivo de Faraday, chamado de tubo de descarga de gás, está
ilustrado na FIGURA 38.3.
As investigações de Faraday mostraram que
1. A corrente flui através de um tubo de gás a baixa pressão, na forma de uma descarga elétrica.
2. A cor da luz emitida pela descarga depende do tipo de gás no tubo.
3. Independentemente do tipo de gás, existe um brilho constante em volta do eletrodo negativo (i.e., o cátodo), chamado de brilho catódico.
FIGURA 38.3 O tubo de descarga em gás
de Faraday.
Hoje em dia, sabemos que a luz roxa emitida é característica do nitrogênio, o principal componente do ar. Você está mais acostumado com a cor laranja-avermelhada dos
tubos de descarga de neônio usados em letreiros luminosos, porém o neônio só foi descoberto bem mais tarde. Contudo, as investigações de Faraday mostraram que existe
uma conexão inesperada entre a cor da luz e o tipo de átomos no tubo.
CAPÍTULO 38
Campos eletromagnéticos
Talvez uma das contribuições mais importantes de Faraday para a física tenha sido no
âmbito do magnetismo e da luz. Lembre-se de que foi Faraday quem introduziu o conceito de campo elétrico e campo magnético. Embora esses campos tenham sido inicialmente idealizados como uma forma simples de visualizar processos elétricos e magnéticos, em estudos posteriores sobre indução eletromagnética Faraday mostrou que eles
realmente existem e possuem propriedades reais. Essas pesquisas abriram caminho para
a descoberta, 30 anos mais tarde, de que a luz é uma onda eletromagnética.
Os estudos de Faraday representaram um grande avanço para a descoberta de evidências reais quanto à existência dos átomos. Faraday, ao mesmo tempo, comprovou que
os átomos estão associados à eletricidade e que diferentes cores de luz estão associadas
a diferentes tipos de átomos, preparando o caminho para a descoberta de que a luz está
associada à eletricidade e ao magnetismo.
Matéria, eletricidade e luz ⫺ três idéias anteriormente consideradas estanques ⫺
estavam inter-relacionadas. Ainda assim, Faraday percebeu que nada mais havia feito do
que “arranhar a superfície” e que ainda seria necessária muita pesquisa até se dispor de
uma compreensão plena dos átomos.
■
O Fim da Física Clássica
1187
Embora não saibamos nada sobre o que é
um átomo, ainda assim não podemos resistir
a formar uma idéia acerca de uma pequena
partícula que o represente mentalmente; e
embora sejamos tão ignorantes, se não mais,
a respeito da eletricidade, assim como incapazes de dizer se ela é formada de um tipo
ou de tipos de matéria particulares, ou se é
mero movimento de matéria comum, ou algum terceiro tipo de energia ou agente, ainda
assim existe uma imensidade de fatos que nos
justificam crer que os átomos constituintes da
matéria são, de alguma maneira, dotados ou
associados com poderes elétricos aos quais
eles devem suas qualidades proeminentes, e
entre elas suas afinidades químicas mútuas...
Michael Faraday
38.3 Raios catódicos
A invenção do tubo de descarga de gás, por Faraday, teve duas grandes repercussões.
Um conjunto de pesquisas, que logo será abordado na Seção 38.8, levou ao desenvolvimento da espectroscopia e, conseqüentemente, da física quântica. Outro conjunto de
investigações resultou na descoberta do elétron.
Na década de 1850 houve um grande avanço tecnológico com o aprimoramento das
bombas a vácuo. Nessa década, o cientista alemão Julius Plücker começou a estudar os
tubos de descarga de gás de Faraday utilizando gases a baixas pressões. Plücker observou dois aspectos importantes:
1. À medida que a pressão era reduzida, o brilho colorido do gás diminuía e o brilho
catódico se tornava mais alongado.
2. Se a brilho catódico se estendia até a parede de vidro do tubo, o vidro emitia um
brilho esverdeado no local.
Alguns anos mais tarde, um aluno de Plücker descobriu que, quando um objeto sólido é colocado dentro do tubo, produz uma sombra na parede do tubo, como ilustrado na
FIGURA 38.4. Essa descoberta sugeria que, de alguma forma, o cátodo emite raios que se
movem em linhas retas, mas que são facilmente bloqueados por objetos sólidos. Esses
raios invisíveis, que ao se chocarem com o vidro produzem um efeito brilhante, foram
denominados raios catódicos. Esse nome ainda é empregado atualmente para designar
o tubo de raios catódicos que compõe o tubo de imagem de muitos televisores e monitores de computador. Todavia, dar um nome aos raios nada fez no sentido de explicá-los.
Mas afinal, o que eram esses raios?
Tubos de Crookes
O estudo mais sistemático sobre os novos raios catódicos foi desenvolvido durante a
década de 1870 pelo cientista inglês Sir William Crookes. Ele desenvolveu um conjunto
de tubos de vidro (FIGURA 38.5) que podia ser utilizado para estudos minuciosos dos raios
catódicos. Suas principais inovações consistiram em alongar o tubo, introduzir um colimador para a passagem dos raios e obter pressões ainda mais baixas. O resultado obtido
foi um feixe bem-definido de raios catódicos que formava um pequeno ponto brilhante
no local onde o raio atingia a extremidade final do tubo. Atualmente chamamos essa invenção de tubo de Crookes.
Os trabalhos realizados por Crookes e outros cientistas mostraram que:
1. Existe uma corrente elétrica no tubo quando os raios catódicos são emitidos.
2. Os raios são desviados por um campo magnético como se fossem cargas negativas.
3. Cátodos metálicos produzem raios catódicos. Além disso, as propriedades dos
raios independem do metal do qual é feito o cátodo.
Objeto sólido
Sombra do objeto
Brilho catódico
Cátodo
O tubo de vidro brilha
com cor verde
FIGURA 38.4 Um objeto sólido colocado
na região do brilho catódico produz uma
sombra.
Orifício
colimador
Extremidade
Feixe de
do tubo
raios catódicos
Cátodo
Ânodo
Mancha verde
FIGURA 38.5 O tubo de Crookes.
1188
Física: Uma Abordagem Estratégica
4. Os raios podem exercer forças sobre objetos e transferir energia para eles. Por
exemplo, uma folha metálica fina, colocada no caminho de feixe de raios catódicos, brilha com uma coloração vermelho escuro.
Os experimentos de Crookes suscitaram mais questões do que respostas. Será que
os raios catódicos são formados por algum tipo de partícula? Ou de onda? Seriam os
próprios raios os portadores da corrente elétrica ou alguma outra coisa é emitida toda vez
que existe corrente? Essa última questão merece especial atenção, pois ela sugere que os
raios catódicos talvez sejam uma entidade fundamental, e não, uma parte do elemento
do qual são emitidos.
Hoje em dia, embora as respostas para tais questões possam ser encontradas em
livros, é importante que você perceba a dificuldade que elas representavam na época e
como as evidências experimentais foram usadas para respondê-las. Crookes sugeriu que
as moléculas do gás colidiam com o cátodo, de alguma forma adquiriam carga negativa
(ou seja, tornavam-se íons negativos) e, então, eram rebatidas em altas velocidades ao
serem repelidas pelo cátodo negativo. Essas “moléculas carregadas” percorriam linhas
retas carregando consigo energia e momentum, podiam ser desviadas por um campo
magnético e causavam um brilho no tubo, ou fluorescência, no local em que se chocavam com a parede do mesmo. A teoria de Crookes previu, é claro, que os íons negativos
também deveriam ser desviados por um campo elétrico. Crookes tentou demonstrar essa
deflexão colocando eletrodos dentro de um tubo de gás e gerando um campo elétrico
em seu interior, mas seus esforços foram inconclusivos. Apesar de toda a dificuldade, o
modelo de Crookes parecia explicar as observações.
No entanto, Crookes e sua teoria foram atacados imediatamente. Os críticos observaram que raios catódicos poderiam percorrer um tubo de 90 cm de comprimento em linha
reta sem sofrer desvios perceptíveis. Mas o livre caminho médio de moléculas, devido
às colisões com outras moléculas, é de apenas 6 mm na pressão usada em um tubo de
Crookes. De modo algum moléculas poderiam percorrer em linhas retas distâncias 150
vezes maiores do que seu livre caminho médio! Mais tarde, descobriu-se que os raios
catódicos poderiam até mesmo atravessar chapas de metal muito finas (com ⬇ 2 ␮m de
espessura), algo que nenhuma partícula do tamanho de um átomo poderia fazer. A teoria
de Crookes, embora parecesse adequada na época em que foi proposta, tornou-se amplamente inconsistente com observações subseqüentes.
Mas se os raios catódicos não eram partículas, o que seriam então? Uma teoria alternativa postulava que os raios catódicos eram ondas eletromagnéticas. Afinal a luz se
propaga em linha reta, produz sombras, carrega energia e momentum e pode, sob certas
circunstâncias, fazer com que alguns materiais brilhem. Já era sabido que materiais,
quando aquecidos, também emitem luz ⫺ o que chamamos de incandescência ⫺; logo,
parecia plausível que o cátodo emitisse ondas. Um longo percurso através do gás não
representava problema algum e, além disso, já se sabia por volta de 1890 que ondas de
rádio podiam atravessar chapas metálicas finas. O grande obstáculo para a teoria das
ondas era quanto aos desvios sofridos pelos raios catódicos em presença de um campo magnético. Naquela época, a teoria das ondas eletromagnéticas era muito recente
e muitas das características dessas ondas ainda eram desconhecidas. A luz visível não
era desviada por um campo magnético, mas não era difícil conjecturar que isso pudesse
ocorrer com algum outro tipo de onda eletromagnética.
A controvérsia entre partículas e ondas foi intensa. Cientistas britânicos, em geral,
favoreciam as partículas, mas seus colegas do continente davam preferência às ondas.
Essas controvérsias fazem parte da ciência, pois estimulam as mentes mais brilhantes a
elaborar novas idéias e novos experimentos.
38.4 J. J. Thomson e a descoberta do elétron
Pouco depois que Wilhelm Röntgen descobriu os raios X em 1895, o jovem físico inglês
J.J. Thomson começou a utilizá-los para estudar a condução elétrica em gases. Thomson
observou que os raios X podiam descarregar um eletroscópio e concluiu que eles talvez
ionizassem as moléculas do ar, tornando-o condutor.
Essa simples observação teve profunda significância. Até aquela época, a única forma
de ionização conhecida era o aparecimento de íons positivos e negativos em soluções,
onde, por exemplo, uma molécula de NaCl dividia-se em dois “pedaços” menores e carre-
CAPÍTULO 38
gados. Embora o processo que havia por trás dessa experiência ainda fosse desconhecido,
o fato de que dois átomos podiam adquirir carga a partir da divisão de uma molécula não
alterava em nada a idéia de que os átomos eram indivisíveis. Após observar que até mesmo
os gases monoatômicos, como o hélio, por exemplo, podiam ser ionizados por raios X,
Thomson percebeu que o átomo provavelmente possuía constituintes dotados de carga
elétrica que podiam ser separados! Essa constituiu a primeira evidência direta de que o
átomo é uma estrutura complexa, e não uma unidade fundamental, indivisível da matéria.
Thomson também conduziu experimentos para investigar a natureza dos raios catódicos. Um de seus principais objetivos foi comprovar, de uma vez por todas, que os raios
catódicos eram partículas carregadas. Utilizando tubos de Crookes como o ilustrado na
FIGURA 38.6a, outros cientistas já haviam medido a corrente elétrica correspondente a um
feixe de raios catódicos. Embora a presença dos raios parecesse demonstrar que se tratasse de partículas carregadas, os precursores do modelo ondulatório argumentavam que
a corrente poderia ser um evento em separado e independente que, por acaso, também
percorreria a mesma trajetória em linha reta juntamente com os raios catódicos.
Thomson percebeu que podia usar a deflexão magnética dos raios catódicos para resolver esse impasse. Construiu um tubo modificado, ilustrado na FIGURA 38.6b, em que o eletrodo coletor foi posicionado fora do centro em uma das extremidades do tubo. Sem a presença
de um campo magnético, os raios catódicos se chocavam com o centro, na extremidade do
tubo, produzindo um ponto esverdeado no vidro. Sob essas circunstâncias, não era possível
identificar qualquer tipo de corrente no eletrodo. Thomson, então, colocou o tubo em presença de um campo magnético com a finalidade de desviar os raios catódicos para um dos
lados do tubo. Determinou a trajetória dos raios orientando-se pela localização do ponto verde à medida que este se movia na extremidade do tubo. No exato momento em que o campo
estava com intensidade suficiente para defletir os raios catódicos em direção ao eletrodo
coletor, a corrente era detectada. Utilizando um campo ainda mais intenso e desviando os
raios catódicos completamente para o outro lado do eletrodo, cessava a corrente.
Esta foi a primeira demonstração conclusiva de que os raios catódicos realmente são
constituídos por partículas carregadas negativamente. Mas então por que eles não eram
desviados por um campo elétrico? Os primeiros esforços de Thomson para desviar os
raios catódicos por meio de um campo elétrico apresentaram os mesmos resultados inconclusivos que outros cientistas já haviam encontrado. Porém, sua experiência em ionização de gases por meio de raios X logo lhe revelou onde estava a dificuldade. Thomson
se deu conta de que as partículas dos raios catódicos, movendo-se em altas velocidades,
provavelmente colidiam com algumas poucas moléculas de gás que restavam no tubo
com energia suficiente para ionizá-las ao dividi-las em partículas carregadas. O campo
elétrico gerado por essas cargas, então, neutralizava o campo produzido pelos eletrodos
e, assim, não ocorria desvio.
Felizmente, a tecnologia do vácuo melhorava cada vez mais. Utilizando as técnicas
mais sofisticadas de sua época, Thomson conseguiu baixar a pressão a um nível tal que a
ionização do gás deixaria de interferir. E então, como esperado, os raios catódicos foram
desviados por um campo elétrico!
O experimento de Thomson representou uma vitória decisiva para o modelo de partícula carregada, mas não dava qualquer indicação da natureza das partículas. O que
seriam essas partículas?
■
O Fim da Física Clássica
Orifício colimador
Raios catódicos
Cátodo
Eletrodo
coletor
Trajetória em
campo de alta
intensidade
FB ⫽ qvB
(38.1)
Trajetória em
campo de média
intensidade
Cátodo
Existe uma corrente apenas
quando o raio catódico atinge
o eletrodo coletor.
Trajetória
sem a
presença
de campo
FIGURA 38.6 Experimentos para medir
a corrente elétrica em tubo de raios
catódicos.
O experimento de Thomson com campos cruzados
Thomson mediu a deflexão de raios catódicos para campos elétricos de diferentes intensidades. A deflexão magnética depende tanto da razão carga-massa da partícula, q/m, quanto de sua velocidade. Medir a razão carga-massa e, assim, aprender um pouco mais sobre
as partículas exige meios para se determinar suas velocidades. Para tal objetivo, Thomson
desenvolveu um experimento que faz seu nome ser lembrado até hoje.
Thomson construiu um tubo que continha eletrodos metálicos paralelos, como ilustrado na FIGURA 38.7a, e o posicionou entre os pólos de um ímã. A FIGURA 38.7b mostra que
os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si, produzindo, assim, o que se
tornou conhecido como experimento com campos cruzados.
O campo magnético, sendo perpendicular à velocidade da partícula carregada ,
exerce sobre a mesma uma força magnética cujo módulo é dado por
1189
J. J. Thomson.
1190
Física: Uma Abordagem Estratégica
Por si só, o campo magnético tende a fazer com que a partícula carregada negativa descreva um longo arco circular ascendente. Ela não chega a descrever um circulo completo
porque a velocidade é grande e o campo magnético é limitado espacialmente. Como já
estudado no Capítulo 33, o raio do arco é dado por
(38.2)
Eletrodos
O resultado é um desvio do feixe para cima. Trata-se de um problema geométrico simples determinar o raio de curvatura r a partir do desvio medido.
A inovação de Thomson foi criar um campo elétrico entre eletrodos de placas paralelas que exercia uma força orientada para baixo sobre as cargas negativas, empurrando-as
de volta para o centro do tubo. O módulo da força elétrica sobre cada partícula é
Mancha esverdeada
em presença de
apenas
FE ⫽ qE
Campo
magnético
(38.3)
Thomson ajustou a intensidade do campo elétrico até que o feixe de raios catódicos, em
presença dos campos elétrico e magnético, não sofresse deflexão e incidisse exatamente
no centro do tubo.
Nenhum desvio ocorre quando forças elétricas e magnéticas se equilibram, como
mostra a FIGURA 38.7c. Neste caso, os vetores força apontam em sentidos opostos, e seus
módulos são iguais se
A mancha esverdeada
não sofre desvio em
presença de e
FB ⫽ qvB ⫽ FE ⫽ qE
Note que a carga q é cancelada. Ajustando os valores de E e B, uma partícula carregada
atravessará campos mutuamente perpendiculares sem sofrer deflexão quando sua velocidade tiver módulo igual a
A partícula carregada
se move em linha reta
quando as forças elétrica
e magnética se equilibram.
(38.4)
Equilibrando as forças elétrica e magnética, Thomson conseguiu determinar a velocidade das partículas carregadas do feixe. Conhecendo v, ele pôde aplicar a Equação
38.2 para determinar a razão carga-massa:
FIGURA 38.7 O experimento de Thomson
com campos cruzados para medir a
velocidade dos raios catódicos. A foto
mostra o tubo original e as bobinas usadas
para produzir o campo magnético.
(38.5)
Thomson descobriu que a razão carga-massa dos raios catódicos é q/m ⬇ 1 ⫻ 1011
11
C/kg. Isso parece totalmente impreciso em comparação ao valor atual de 1,76 ⫻ 10 C/
kg, mas temos de considerar as limitações experimentais da época e o fato de que, antes
de Thomson, ninguém tinha qualquer idéia de qual fosse esse valor.
EXEMPLO 38.1 Um experimento com campos
perpendiculares
,
Arco circular
Um elétron é lançado entre duas placas paralelas com 3,0 cm de comprimento e distantes 5,0 mm uma da outra. Uma diferença de potencial ⌬V é aplicada entre as placas, produzindo um campo elétrico
entre as mesmas. Um campo magnético de 3,0 cm de largura e intensidade de 1,0 mT é sobreposto aos eletrodos, perpendicular ao campo
elétrico. Quando ⌬V ⫽ 0 V, o elétron sofre um desvio de 2,0 mm ao
passar entre as placas. Que valor de ⌬V permitirá que o elétron passe
por entre as placas sem sofrer desvio algum?
MODELO Admita que os campos sejam uniformes entre os eletrodos e
nulos fora dos mesmos.
Centro do círculo
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 38.8 mostra um elétron que passa pelo campo
magnético entre as placas quando ⌬V ⫽ 0 V. A curvatura foi exagerada para tornar a visualização mais clara.
RESOLUÇÃO Podemos obter o campo elétrico de que precisamos e,
conseqüentemente, ⌬V se soubermos qual é a velocidade do elétron.
Podemos determinar essa velocidade a partir do raio da curvatura do
arco circular descrito por ele em presença de um campo magnético. A
Figura 38.8 mostra um triângulo retângulo de hipotenusa r e largura
L. Usando o teorema de Pitágoras, podemos escrever
(r ⫺ ⌬y) ⫹ L ⫽ r
2
2
2
FIGURA 38.8 A trajetória do elétron do Exemplo 38.1.
onde ⌬y é o desvio do elétron devido ao campo magnético. Facilmente isolamos o raio do arco:
CAPÍTULO 38
A velocidade de um elétron que se move ao longo de um arco com
este raio é obtida a partir da Equação 38.2:
■
O Fim da Física Clássica
1191
O campo elétrico de um capacitor de placas paralelas com espaçamento d é E ⫽ ⌬V/d. Portanto, a diferença de potencial necessária é
⌬V ⫽ Ed ⫽ (40.000 V/m) (0,0050 m) ⫽ 200 V
Assim, o campo elétrico que permite ao elétron passar sem sofrer
desvio é
AVALIAÇÃO Uma pequena diferença de potencial é suficiente para contrabalançar a força magnética.
E ⫽ vB ⫽ 40.000 V/m
O elétron
Apesar do sucesso de suas descobertas, Thomson não encerrou suas pesquisas. Além
dos experimentos já citados, ele decidiu medir a razão q/m para diferentes materiais
metálicos usados como cátodo. E obteve sempre o mesmo resultado. Todos os metais
emitiam os mesmos raios catódicos. Thomson, então, comparou seu resultado com o
valor da razão carga-massa do íon hidrogênio, conhecido a partir da eletrólise, de ⬇ 1 ⫻
8
10 C/kg. Tal valor era quase 1000 vezes menor do que o valor dessa mesma razão para
os raios catódicos. A descoberta indicava que os raios catódicos têm carga muito maior
ou massa muito menor do que a do íon hidrogênio ou, ainda, uma combinação de ambas
as possibilidades.
Os experimentos de eletrólise sugeriam a existência de uma unidade de carga básica, de modo que era tentador crer que os raios catódicos e o íon hidrogênio tivessem a
mesma carga. Contudo os raios catódicos eram tão diferentes do íon hidrogênio que essa
hipótese não poderia ser justificada sem outra evidência. Para encontrar essa evidência adicional, Thomson voltou sua atenção para experimentos anteriores que já haviam
demonstrado a capacidade dos raios catódicos de atravessar chapas metálicas finas, ao
contrário dos átomos, que não possuíam tal capacidade. Isso só poderá ser verdade, argumentou Thomson, se os raios catódicos forem muito menores e, conseqüentemente,
dotados de massa muito inferior à dos átomos.
Em um artigo publicado em 1897, Thomson juntou todas as evidências de que dispunha para anunciar a descoberta de que os raios catódicos são partículas carregadas
negativamente, com uma massa muito inferior à dos átomos (艑 0,1%) e idênticos entre
si, mesmo quando produzidos por elementos diferentes. Em outras palavras, Thomson
havia descoberto uma partícula subatômica, um dos constituintes dos quais os átomos
são formados. Em reconhecimento ao papel que essa partícula desempenha na eletricidade, foi-lhe dado o nome de elétron.
As experiências de Thomson e de outros cientistas nos anos que se seguiram mostraram que partículas negativas emitidas por fios de metal aquecidos (um processo descoberto por Thomas Edison ao desenvolver a lâmpada elétrica) apresentavam a mesma
razão q/m; que um tipo de decaimento radioativo (atualmente chamado radiação beta)
consistia de partículas dotadas da mesma razão q/m; e que certas alterações do espectro
atômicos, produzidas por um campo magnético, podiam ser compreendidas se os átomos contivessem um constituinte carregado com a mesma razão q/m. Por volta de 1900,
os elétrons já eram reconhecidos como peças importantes na constituição dos átomos.
Thomson ganhou o Premio Nobel de 1906.
PARE E PENSE 38.1 Em que observação Thomson se baseou para concluir que os raios catódicos são constituintes fundamentais dos átomos?
a. Eles possuem carga negativa.
b. Eles são sempre iguais, independentemente do material do cátodo.
c. Sua massa é muito inferior à do hidrogênio.
d. Eles atravessam folhas metálicas muito finas.
1192
Física: Uma Abordagem Estratégica
38.5
Placas
paralelas
Gotas de óleo Pulverizador
Luz
Ocular
Baterias
A força elétrica orientada
para cima sobre uma gota
carregada negativamente
equilibra a força gravitacional
orientada para baixo.
FIGURA 38.9 O aparato utilizado por Millikan
Millikan e a unidade fundamental de
carga
Thomson mediu a razão carga-massa do elétron e inferiu que a massa do elétron deveria
ser muito menor do que a massa do átomo. Certamente seria bem melhor se a carga q
fosse medida diretamente. Isso foi realizado em 1906 pelo cientista norte-americano
Robert Millikan.
A FIGURA 38.9 ilustra a experiência de Millikan, atualmente chamada de experimento
da gota de óleo. Com um pulverizador, Millikan borrifou gotas de óleo e observou que
algumas delas tornavam-se carregadas devido à fricção ocorrida no interior do pulverizador. As gotas carregadas caíam lentamente na região entre um par de placas paralelas
horizontais, depois de atravessarem um pequeno orifício localizado na placa superior.
Millikan podia ver as gotas que caíam incidindo luz sobre elas e observando os reflexos
por meio de uma ocular. Ele, então, estabelecia um campo elétrico entre as placas aplicando uma voltagem entre as mesmas.
Qualquer gota permanecerá suspensa entre as placas, sem se mover para cima ou
para baixo, se o campo elétrico exercer uma força orientada para cima sobre a gota carregada de modo a equilibrar exatamente a força gravitacional orientada para baixo. As
forças se equilibram quando
mgota g ⫽ qgotaE
(38.6)
e, assim, a carga da gota é
no experimento da gota de óleo para
medir a unidade fundamental de carga.
(38.7)
Observe que m e q são, respectivamente, a massa e a carga da gota de óleo, e não, de um
elétron. Mas, uma vez que a gota é carregada pela aquisição (ou perda) de elétrons, sua
carga deve ter alguma relação com a carga do elétron.
A intensidade do campo E pode ser determinada com precisão a partir da diferença
de potencial aplicada às placas. Logo, o fator limitante para medir qgota era a capacidade
de Millikan em determinar a massa dessas gotas minúsculas. Idealmente, a massa poderia ser encontrada medindo-se o diâmetro de uma gota e utilizando-se a densidade do
óleo, já conhecida. Contudo, as gotas eram muito pequenas (⬇ 1 ␮m) para que seus diâmetros pudessem ser medidas com precisão apenas por observação através da ocular.
Em vez disso, Millikan desenvolveu um método bastante engenhoso para obter o
tamanho das gotas. Objetos tão pequenos não estão em queda livre no ar. As forças de
resistência do ar são relativamente tão intensas que as gotas caem com uma velocidade
muito pequena, porém constante. O movimento de uma esfera em um meio viscoso é
um problema que já havia sido resolvido no século XIX. Já se sabia que a velocidade
terminal da esfera depende de seu raio e da viscosidade do ar. Assim, em vez de segurar
as gotas paradas, Millikan usou o campo elétrico para movê-las lentamente para cima e
para baixo ao longo de uma distância conhecida. Medindo o tempo com um cronômetro,
ele poderia, dessa forma, determinar as velocidades das gotas; e, usando a viscosidade
do ar, já conhecida, calcular os raios, as massas e, finalmente, os valores das cargas. Embora o procedimento fosse um tanto “braçal”, Millikan conseguiu medir a carga de uma
gota com uma precisão de ⫾0,1% (uma parte em mil).
Millikan observou centenas de gotas, algumas durante muitas horas, sob uma variedade de condições. Observou que algumas delas eram positivamente carregadas, enquanto outras eram negativamente carregadas, mas todas possuíam cargas que eram
múltiplos inteiros de um valor de carga mínima. Millikan concluiu que “todas as
cargas elétricas encontradas nos íons tinham o mesmo valor absoluto ou eram um múltiplo inteiro daquele valor”. Esse valor, a unidade fundamental de carga, que atualmente
chamamos de e, é igual a
e ⫽ 1,60 ⫻ 10⫺19 C
Podemos, então, combinar o valor obtido de e com a razão carga-massa e/m para descobrir a massa do elétron:
melet ⫽ 9,11 ⫻ 10
⫺31
kg
CAPÍTULO 38
■
O Fim da Física Clássica
1193
Os experimentos de Thomson, Millikan e outros cientistas forneceram evidências
indiscutíveis de que a carga elétrica existe em unidades discretas e de que todas as cargas encontradas na natureza são múltiplas de uma unidade de carga fundamental que
chamamos de e.
EXEMPLO 38.2 Suspendendo uma gota de óleo
3
O óleo tem uma densidade de 860 kg/m . Uma gota de óleo com 1,0
␮m de diâmetro adquire 10 elétrons extras ao ser borrifada. Que diferença de potencial, entre duas placas paralelas distantes 1,0 cm uma
da outra, fará com que a gota fique suspensa no ar?
MODELO Considere um campo elétrico E ⫽ ⌬V/d entre as placas.
RESOLUÇÃO O valor da carga na gota é qgota ⫽ 10e. A massa da carga
está relacionada à sua densidade ␳ e ao seu volume V por
onde o raio da gota é R ⫽ 5,0 ⫻ 10 ⫺7 m. O campo elétrico que suspende essa gota em oposição à força da gravidade é
Para estabelecer esse campo elétrico entre duas placas que distam d ⫽
0,010 m, é preciso uma diferença de potencial
⌬V ⫽ Ed ⫽ 27,6 V
AVALIAÇÃO De um ponto de vista experimental, trata-se de uma diferença de potencial bastante conveniente.
38.6 Rutherford e a descoberta do núcleo
Por volta de 1900, já havia um consenso de que os átomos não são indivisíveis, e sim,
formados por partículas carregadas. Também já se sabia que os tamanhos atômicos são
⫺10
da ordem de 10 m, todavia os elétrons, comuns a todos os átomos, são muito menores
do que isso e possuem uma massa muito menor do que a do menor dos átomos. Como
eles “se ajustam” em átomos maiores? Qual é a carga positiva do átomo? Onde estão
localizadas as cargas dentro dos átomos?
Foi Thomson quem propôs o primeiro modelo atômico. Devido ao tamanho minúsculo e à leveza do elétron em relação ao átomo, parece razoável que se pense que a
parte carregada positivamente ocupe quase todo o restante do espaço. Thomson sugeriu que o átomo consistisse de uma “nuvem” esférica de carga positiva, com diâmetro
⫺10
m, onde os elétrons negativos menores estariam incrustados. A carem torno de 10
ga positiva equilibraria exatamente a carga negativa e, portanto, o átomo não possuía
carga líquida. A FIGURA 38.10 mostra claramente porque o modelo atômico de Thomson
tornou-se conhecido como o “modelo do pudim de ameixas” ou “modelo do bolo de
passas”.
Thomson não conseguiu fazer nenhuma previsão que viabilizasse um teste de seu
modelo, que não resistiu ao teste do tempo. Hoje em dia, o modelo atômico de Thomson
desperta a atenção apenas por nos lembrar de que os atuais modelos atômicos de forma
nenhuma são óbvios. Ao longo dos tempos, os avanços científicos têm se deparado com
muitos deslizes e impasses.
Um dos alunos de Thomson foi um neozelandês chamado Ernest Rutherford. Enquanto Thomson e Rutherford estudavam os efeitos da ionização dos raios X, em 1896,
o físico francês Antoine Henri Becquerel anunciou a descoberta de um novo tipo de
“raios”, até então desconhecido, emitido por cristais de urânio. Esses raios, semelhantemente aos raios X, podiam velar um filme, atravessar objetos e ionizar o ar; e eram emitidos continuamente pelo urânio sem nada “causar” a ele. Estamos falando da descoberta
da radioatividade, um tópico que estudaremos no Capítulo 43.
Com os raios X recém celebrando seu primeiro aniversário e os raios catódicos ainda
envoltos em mistério, não foi possível saber se todos esses tipos de raios eram completamente diferentes uns dos outros ou se eram meras variações de um mesmo tipo. Rutherford imediatamente começou a estudar os novos raios e logo descobriu que todo cristal
de urânio emitia pelo menos dois tipos diferentes de raios. Os do primeiro tipo, que ele
denominou raios alfa, eram facilmente absorvidos por um simples pedaço de papel; os
do segundo, os raios beta, podiam atravessar pedaços de metal com até uma polegada
de espessura.
Como dissemos, Thomson logo descobriu que os raios beta apresentavam a mesma
razão carga-massa dos raios catódicos. Os raios beta seriam elétrons em alta velocidade
emitidos pelo cristal de urânio. Usando técnicas similares, Rutherford mostrou que os
As partículas alfa emitem pequenas
cintilações ao se chocarem com o
anteparo.
Esfera de
carga
negativa
FIGURA 38.10 O modelo atômico “pudim
de ameixas” de Thomson.
1194
Física: Uma Abordagem Estratégica
raios alfa são partículas positivamente carregadas, e por volta de 1906 ele já havia medido a razão carga-massa dessas partículas como
onde mH é a massa de um átomo de hidrogênio. Esse valor indicava tratar-se de uma úni⫹
ca molécula ionizada de hidrogênio, H2 (q ⫽ e, m ⫽ 2mH) ou de um átomo duplamente
⫹⫹
ionizado de hélio, He (q ⫽ 2e, m ⫽ 4mH).
Em um experimento engenhoso, Rutherford vedou um tubo de vidro contendo uma
amostra de rádio ⫺ um emissor de radiação alfa. Os raios alfa não podiam atravessar o
vidro, assim as partículas ficaram retidas no interior do tubo. Muitos dias depois, usando
eletrodos para produzir uma descarga, Rutherford observou o espectro de luz emitido.
Descobriu comprimentos de onda característicos do hélio, mas nada quanto aos do hidrogênio. Os raios alfa (ou partículas alfa, como são chamados atualmente) consistem
de átomos de Hélio duplamente ionizados (núcleos de Hélio “nus”) emitidos a altas
7
velocidades (艐 3 ⫻ 10 m/s) a partir da amostra.
A conclusão de que os átomos não são indivisíveis e possuem uma estrutura interna já
havia sido um choque. Agora, com a descoberta da radioatividade, parecia que alguns átomos nem mesmo são estáveis, podendo “cuspir” vários tipos de partículas carregadas! A partir da simples idéia de átomo de Demócrito os físicos haviam trilhado um longo caminho.
A primeira experiência de física nuclear
As partículas alfa emitem
pequenas cintilações ao se
chocarem com o anteparo.
Blocos de chumbo
Pequeno
desvio
Fonte radioativa
de partículas alfa
Grande
desvio
Lâmina Anteparo
de ouro de sulfeto
de zinco
FIGURA 38.11 A experiência de Rutherford:
lançar partículas alfa em alta velocidade de
encontro a uma fina lâmina de ouro.
Não demorou muito para Rutherford perceber que podia usar essas partículas de alta
velocidade para investigar outros átomos. Em 1909, ele e seus alunos Hans Geiger e
Ernest Marsden realizaram o experimento ilustrado na FIGURA 38.11, em que partículas
alfas eram lançadas contra lâminas de ouro muito finas. Algumas delas atravessavam a
lâmina, mas o feixe de partículas espalhava-se um pouco. Isso não constituiu surpresa. A
partícula alfa possui uma carga e, ao atravessar a lâmina de ouro, sofre influência das
forças exercidas pelas cargas positivas e negativas dos átomos. De acordo com o modelo
do “pudim de ameixas” de Thomson, era esperado que as forças exercidas pelas cargas
atômicas positivas sobre a partícula alfa eram, grosso modo, canceladas pelas forças
exercidas pelas cargas negativas dos elétrons, fazendo com que as partículas alfa sofressem apenas um pequeno desvio. E essa foi realmente a constatação inicial.
Seguindo a sugestão de Rutherford, Geiger e Marsden montaram o aparato para verificar se algumas poucas partículas alfa seriam defletidas em ângulos consideráveis. Os
cientistas não precisaram de muitos dias para obter a resposta. Algumas partículas alfa
eram realmente desviadas em grandes ângulos, e algumas delas eram até mesmo refletidas quase diretamente de volta para a fonte!
Como seria possível explicar esse resultado? A FIGURA 38.12a mostra que, de acordo com o modelo de Thomson, a partícula alfa não sofreria uma grande deflexão ao
atravessar o átomo. Mas se o átomo tivesse uma parte central pequena e positivamente
carregada, como ilustra a FIGURA 38.12b, algumas delas poderiam chegar muito perto do
centro do átomo. Uma vez que as forças elétricas variam com o inverso do quadrado da
distância, a imensa força produzida pela grande aproximação pode fazer com que as
partículas sejam espalhadas em ângulos consideráveis ou refletidas de volta para a fonte.
Era isso o que Geiger e Marsden estavam observando.
Alfa
A partícula alfa é minimamente desviada por
um átomo de Thomson, pois as forças das cargas
positivas e negativas espalhadas praticamente se
cancelam.
Alfa
Se o átomo contivesse um núcleo positivo e de grande
massa específica, algumas partículas alfa chegariam
muito perto do núcleo e sofreriam, assim, uma força
repulsiva muito intensa.
FIGURA 38.12 As partículas alfa interagem com núcleos concentrados e positivos de maneira
diferente de como interagem com a carga espalhada do modelo de Thomson.
CAPÍTULO 38
A descoberta do espalhamento de partículas alfa em grandes ângulos levou Rutherford a conceber um modelo atômico em que elétrons negativos orbitariam um núcleo
incrivelmente pequeno, de massa relativamente grande e positivamente carregado, muito
semelhante a um sistema solar em miniatura. Esse é o modelo nuclear do átomo. Observe que a maior parte do átomo é espaço vazio ⫺ vácuo!
■
O Fim da Física Clássica
1195
19.1
EXEMPLO 38.3 Uma experiência de física nuclear
RESOLUÇÃO Neste caso, não estamos interessados no tempo de dura-
Uma partícula alfa é lançada horizontalmente com uma velocidade de
7
2,0 ⫻ 10 m/s em direção ao centro do núcleo de um átomo de ouro.
Qual é a menor distância rmin a que a partícula pode se aproximar do
núcleo?
ção da colisão e tampouco nos detalhes da trajetória. Assim, é mais
apropriado utilizarmos a conservação de energia em vez das leis de
Newton. Inicialmente, quando a partícula alfa ainda está muito distante, o sistema possui apenas energia cinética. Na aproximação máxima, pouco antes de ela ser refletida, as cargas estão em repouso e o
sistema possui somente energia potencial. A conservação de energia,
Kf ⫹ Uf ⫽ Ki ⫹ Ui, equivale aqui a
MODELO Em interações elétricas, a energia é conservada. Considere
que o núcleo do ouro, dotado de uma massa muito maior do que a da
partícula alfa, não se mova. Lembre-se de que o campo elétrico e o
potencial externo produzidos por uma esfera carregada podem ser determinados considerando-se a carga total como uma carga puntiforme
localizada no centro da distribuição.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 38.13 é uma ilustração do movimento de en-
trada e de saída ao longo de uma mesma linha reta.
qa = 2 e
Antes:
onde q␣ é a carga da partícula alfa. O núcleo de ouro foi considerado
como uma carga puntiforme qAu. A massa m é a da partícula alfa. A
solução para rmin é
qAu = 79e
Núcleo do ouro
vi
A partícula alfa é um núcleo de hélio, portanto m ⫽ 4 u ⫽ 6,64 ⫻
⫺27
⫺19
10 kg e q␣ ⫽ 2e ⫽ 3,20 ⫻ 10 C. O número atômico do ouro é
⫺17
79, logo qAu ⫽ 79e ⫽ 1,26 ⫻ 10 C. Podemos, então, calcular
ri
⫺14
rmin ⫽ 2,7 ⫻ 10
Isso corresponde a aproximadamente 1/10.000 do tamanho do átomo!
vf = 0
Após
Quando a partícula ␣ se
aproxima ao máximo do
núcleo, sua velocidade é nula.
AVALIAÇÃO Neste exemplo, os elétrons do átomo foram ignorados.
rmin
FIGURA 38.13 Ilustração de uma partícula alfa antes e após a
colisão com um núcleo.
Na verdade, eles não interferem em nada na trajetória da partícula
alfa. A partícula alfa é muito pesada se comparada ao elétron. Além
disso, os elétrons estão espalhados a uma distancia significativa em
comparação ao tamanho do núcleo. A partícula alfa empurra facilmente os elétrons sem que haja nenhuma alteração perceptível em
sua velocidade.
Rutherford prosseguiu observando minuciosamente o espalhamento de partículas
alfa em diferentes ângulos. Com base nesses experimentos, deduziu que o diâmetro do
⫺14
⫺15
núcleo atômico é ⬇ 1 ⫻ 10 m ⫽ 10 fm (1 fm ⫽ 1 fentômetro ⫽ 10 m), sendo um
pouco maior para elementos com maior número atômico e massa atômica.
Você pode achar estranho que o modelo atômico de Rutherford, com sua analogia
ao Sistema Solar, não tenha sido a escolha de Thomson. Mas temos de ter em mente
que os cientistas da época não concebiam que a matéria pudesse ter a densidade de
altíssimo valor correspondente a um núcleo tão pequeno. E tampouco entendiam o que
manteria o núcleo coeso e por que as cargas positivas não seriam repelidas umas pelas
outras. O modelo de Thomson, em que a carga positiva está espalhada e equilibrada pelos elétrons negativos, realmente fazia mais sentido na época. Somente muitas décadas
mais tarde os cientistas começaram a compreender as forças de coesão nuclear, mas as
descobertas de Rutherford mostrando a existência de um núcleo muito pequeno eram
incontestáveis.
PARE E PENSE 38.2 Sabendo-se que a partícula alfa possui
uma carga positiva, em que orientação a partícula alfa
da figura será desviada em presença do campo magnético representado ao lado?
a. Para cima
b. Para baixo
m
c. Para dentro da página
d. Para fora da página
Há dois ou três dias, lembro-me bem, Geiger
veio até mim bastante entusiasmado e disse:
“conseguimos fazer com que algumas partículas alfa fossem completamente refletidas”.
Foi a coisa mais incrível que já aconteceu em
toda a minha vida. É como se você lançasse
um projétil de 35 cm contra um pedaço de
papel de seda e ele ricocheteasse e o atingisse... Foi então que concebi a idéia de um
átomo com um centro minúsculo e massivo,
dotado de carga.
Ernest Rutherford
1196
Física: Uma Abordagem Estratégica
O elétron-volt
O elétron chega aqui
com K ⫽ 1 eV
O elétron inicia
em repouso
O joule é uma unidade apropriada em mecânica e termodinâmica, quando estamos trabalhando com objetos macroscópicos, mas trata-se de uma unidade praticamente inútil
para as necessidades da física atômica. Seria útil ter uma unidade de energia mais adequada para eventos atômicos e nucleares.
A FIGURA 38.14 mostra um elétron acelerado (no vácuo). Ele inicia em repouso e depois cruza um capacitor de placas paralelas sob uma diferença de potencial de 1,0 V.
Qual é a energia cinética do elétron ao chegar à placa positiva? Da conservação da energia, sabemos que Kf ⫹ qVf ⫽ Ki ⫹ qVi, onde U ⫽ qV é a energia potencial elétrica. Ki ⫽
0 porque o elétron parte do repouso e a carga do elétron é q ⫽ ⫺ e. Portanto,
Kf ⫽ ⫺ q(Vf ⫺ Vi) ⫽ ⫺ q⌬V ⫽ e⌬V ⫽ (1,60 ⫻ 10⫺19 C) (1,0 V)
⫽ 1,60 ⫻ 10
,
J
Vamos definir uma nova unidade de energia, denominada elétron-volt, como
1 elétron-volt ⫽ 1eV ⬅ 1,60 ⫻ 10⫺19 J
FIGURA 38.14 Um elétron acelerado por
uma diferença de potencial de 1 V adquire
1 eV de energia cinética.
⫺19
Com essa definição, a energia cinética obtida pelo elétron no nosso exemplo é
Kf ⫽ 1eV
Em outras palavras, 1 elétron-volt é a energia cinética obtida por um elétron (ou
próton) acelerado por uma diferença de potencial de 1 volt.
NOTA O símbolo eV usa a letra “e” minúscula, mas a letra “V” em maiúsculo.
3
6
9
Unidades como keV (10 eV), MeV (10 eV) e GeV (10 eV) são comumente
usadas. O elétron-volt é uma unidade que pode trazer problemas. Uma das dificuldades é o
seu nome incomum, que pouco se assemelha ao de outras unidades como, por exemplo,
“metro” ou “segundo”. Outra dificuldade bem mais significativa é que o nome elétronvolt sugere uma relação com volt. Mas volts são unidades de potencial elétrico, enquanto
essa nova unidade ⫺ com um nome um tanto quanto estranho ⫺ é uma unidade de energia! É importante que saibamos distinguir o potencial V, medido em volts, da energia,
que pode ser medida tanto em joule quanto em elétron-volt. Agora você já pode usar
elétron-volts em todos os cálculos previamente realizados em joules, da mesma forma
como a unidade de pressão pascal é convertida para atmosfera e vice-versa.
NOTA Não se esqueça de que o elétron-volt é uma unidade de energia, que pode
ser convertida para joule, e não, uma unidade de potencial. O potencial é sempre medido em volt. O SI, contudo, admite o joule como unidade de energia. Será bastante
útil expressar a energia em eV, mas você deve converter essa energia para joule antes
de efetuar a maioria dos cálculos. EXEMPLO 38.4 A velocidade de uma partícula alfa
Agora, podemos determinar a velocidade:
As partículas alfa são geralmente caracterizadas por sua energia cinética em MeV. Qual é a velocidade de uma partícula alfa de 8,3 MeV?
RESOLUÇÃO Partículas alfa são núcleos de hélio, com m ⫽ 4 u ⫽ 6,64
–27
6
⫻ 10 kg. A energia cinética dessa partícula alfa é de 8,3 ⫻ 10 eV.
Inicialmente, convertemos a energia para joules:
Essa é a velocidade da partícula alfa do Exemplo 38.3.
CAPÍTULO 38
EXEMPLO 38.5 Energia de um elétron
■
O Fim da Física Clássica
1197
Fazendo a conversão para elétron-volt, obtemos
Em um modelo atômico simples do hidrogênio, o elétron orbita o
6
⫺11
m.
próton a 2,19 ⫻ 10 m/s em um círculo com raio de 5,29 ⫻ 10
Qual é a energia do átomo, em eV?
MODELO O elétron possui uma energia cinética, e o sistema elétron ⫹
próton, uma energia potencial elétrica.
RESOLUÇÃO A energia potencial é a de duas cargas puntiformes, com
qpróton ⫽ ⫹e, enquanto qelet ⫽ ⫺e. Logo,
AVALIAÇÃO A energia negativa reflete o fato de que o elétron está ligado ao próton. Você teria de adicionar energia a fim de remover o
elétron.
Usando o modelo nuclear
O modelo nuclear do átomo facilita a compreensão e a visualização dos processos
de ionização. Uma vez que os elétrons orbitam um núcleo positivo, um fóton de raio
X ou uma partícula em rápido movimento, como outro elétron, por exemplo, pode
expulsar do átomo um dos elétrons em órbita, criando um íon positivo. A saída de um
elétron gera um íon de carga única, com q ⫽ ⫹e. A saída de dois elétrons cria um íon
duplamente carregado, com q ⫽ ⫹2e. Esse é o caso do Lítio (número atômico 3) na
FIGURA 38.15.
O núcleo tem
carga ⫹3e.
Li neutro
Li⫹ uma vez carregado
Li⫹⫹ duplamente carregado
FIGURA 38.15 Diferentes estágios de ionização de um átomo de lítio com Z ⫽ 3.
O modelo nuclear também nos permite entender por que, durante as reações químicas ou quando um objeto é eletrizado por atrito, os elétrons são facilmente transferidos,
e os prótons, não. Estes estão fortemente ligados ao núcleo e “blindados” pelos elétrons,
porém os elétrons mais externos podem escapar facilmente. O modelo nuclear de Rutherford tem o poder explanatório que faltava ao modelo de Thomson.
EXEMPLO 38.6 A energia de ionização do hidrogênio
Qual é a energia mínima necessária para ionizar um átomo de hidrogênio? O elétron órbita o próton a 2,19 ⫻ 106 m/s em um círculo com
raio 5,29 ⫻ 10⫺11 m.
RESOLUÇÃO No Exemplo 38.5, verificamos que a energia do átomo é
Ei ⫽ ⫺ 13,6 eV. Ionizar um átomo significa remover dele um elétron
e mandá-lo para bem longe. Quando r → ⬁, a energia potencial torna-se nula. Além disso, ao utilizarmos a menor energia possível para
ionizar o átomo, faremos com que o elétron, quando estiver bem
longe, esteja se movendo bem próximo do repouso. Assim, a energia
do átomo após a ionização é Ef ⫽ Kf ⫹ Uf ⫽ 0 ⫹ 0 ⫽ 0 eV (13,6 eV
a mais que Ei). Logo, a energia mínima necessária para ionizar um
átomo de hidrogênio é 13,6 e V ⫺ chamada de energia de ionização
do átomo. Se o elétron recebe ⱖ 13,6 eV (2,17 ⫻ 10⫺18) de energia
de um fóton, em uma colisão com um elétron ou, ainda, por outros
meios, ele será ejetado do átomo, deixando para trás um íon H⫹.
PARE E PENSE 38.3 O carbono é o sexto elemento da tabela periódica. Qual é a quantidade
⫹⫹
de elétrons contida em um íon C ?
1198
Física: Uma Abordagem Estratégica
38.7 Desvendando o núcleo
No Capítulo 43 discutiremos a física nuclear mais detalhadamente, todavia um breve
panorama do núcleo seria útil nesse momento. As massas relativas de muitos dos elementos foram obtidas a partir de resultados de experimentos químicos realizados em
meados do século XIX. Em 1872, ao organizar os elementos em ordem crescente de
massa e observar regularidades recorrentes em suas propriedades químicas, o químico
russo Dmitri Mendeleev propôs a tabela periódica de elementos. Mas o que ele tinha
em mente ao estabelecer que o hidrogênio corresponda ao número atômico 1, o hélio ao
número 2, o lítio ao 3 e assim por diante?
Não demorou muito para que fosse descoberto que o hidrogênio só pode ser ionizado
⫹
⫹⫹
uma única vez, produzindo o H . Uma ionização dupla, H , nunca foi observada. O
⫹
⫹⫹
hélio, por outro lado, pode ser ionizado uma ou duas vezes, gerando o He e o He ,
⫹⫹⫹
nunca foi observado. Após Thomson ter descoberto
respectivamente, enquanto o He
o elétron e Millikan ter estabelecido a unidade fundamental de carga, parece óbvio que o
átomo de hidrogênio possui um elétron apenas e uma unidade de carga positiva somente;
que o hélio tem dois elétrons e duas unidades de carga positiva e assim sucessivamente.
Logo, o número atômico de um elemento ⫺ que é sempre um número inteiro ⫺ descreve o número de elétrons (de um átomo neutro) e o número de unidades de carga positiva
contidas em seu núcleo. O número atômico é representado por Z; assim, o hidrogênio
corresponde a Z ⫽ 1, o hélio a Z ⫽ 2 e o lítio a Z ⫽ 3. Os elementos estão dispostos na
tabela periódica por ordem crescente de número atômico.
A descoberta do núcleo por Rutherford rapidamente levou à conclusão de que a
carga positiva está associada a uma partícula subatômica positiva chamada de próton. A
carga do próton é ⫹e, de valor absoluto igual ao da carga do elétron, mas de sinal contrário. Sabendo-se que praticamente toda a massa atômica está contida no núcleo, concluise que o próton é muito mais massivo que o elétron. De acordo com o modelo nuclear
de Rutherford, átomos com número atômico Z consistem em Z elétrons negativos, com
uma carga total igual a ⫺Ze em órbita ao redor de um núcleo relativamente pesado que
contém prótons, com uma carga total ⫹Ze. Por um bom tempo, o átomo de Rutherford
foi suficiente para explicar a tabela periódica.
Mas havia um problema. O hélio, com número atômico 2, contém duas vezes mais
elétrons do que o hidrogênio. O lítio, Z ⫽ 3, contém três elétrons. Mas com base em
experiência químicas, já se sabia que o hélio é quatro vezes mais pesado do que o hidrogênio, e o lítio, sete vezes mais pesado do que o hidrogênio. Se um núcleo contém Z
prótons para equilibrar os Z elétrons em órbita, e se praticamente toda a massa atômica
está contida no núcleo, então o helio deveria ser apenas duas vezes mais pesado do
que o hidrogênio, e o lítio, três vezes mais pesado. O núcleo deve conter alguma outra
coisa que torna a massa dos átomos maior do que a prevista pelo nosso modelo nuclear
simples.
O nêutron
Corrente iônica
Íons com diferentes
razões carga-massa
são detectados a
voltagens distintas.
Voltagem aceleradora
FIGURA 38.16 O espectro de massa do
neônio.
Por volta de 1910, Thomson e seu aluno Francis Aston desenvolveram um dispositivo
chamado espectrômetro de massa para medir a razão carga-massa de íons atômicos. (O
espectrômetro de massa foi assunto do problema 64 proposto no Capítulo 33.) Aston
começou a coletar dados e logo descobriu que muitos elementos eram compostos de
átomos com massas diferentes! Ao neônio, por exemplo, havia sido atribuída uma massa
atômica 20, todavia Aston descobriu, como mostra a FIGURA 38.16, que 91% dos átomos
de neônio têm m ⫽ 20 u, 9% deles têm m ⫽ 22 u e uma pequena porcentagem tem m ⫽
21 u. Foi observado que o cloro é uma mistura de 75% de átomos de cloro com m ⫽ 35
u e 25% de átomos de cloro com m ⫽ 37 u, ambos de número atômico Z ⫽ 17.
Essas dificuldades não foram superadas até a descoberta, em 1932, de uma terceira
partícula subatômica. Essa partícula possui, basicamente, a mesma massa de um próton,
contudo não possui carga elétrica. Ela foi denominada nêutron. Os nêutrons residem
no núcleo junto com os prótons; eles contribuem para a massa, mas não para a carga do
átomo. Como você constatará no Capítulo 43, os nêutrons ajudam a fornecer a “cola”
que mantém os núcleos coesos.
O nêutron era o elo que faltava para explicar por que átomos de um mesmo elemento
podem ter massas diferentes. Sabemos agora que cada átomo com número atômico Z
CAPÍTULO 38
■
O Fim da Física Clássica
1199
tem um núcleo contendo Z prótons com carga ⫹Ze. Além disso, como ilustra a FIGURA
38.17, o núcleo contém N nêutrons. Diferentes números de nêutrons podem ser associa-
dos a um mesmo número Z de prótons, gerando uma série de núcleos com o mesmo valor de Z (i.e., todos são o mesmo elemento químico), mas com massas diferentes. Os
núcleos dessa série são chamados de isótopos.
O comportamento químico é determinado pelos elétrons em órbita. Todos os isótopos de um elemento têm o mesmo número Z de elétrons em órbita (se os átomos
forem eletricamente neutros), bem como as mesmas propriedades químicas. Além disso,
o comportamento macroscópico que dependa da massa, tal como a difusão de um gás,
pode favorecer um isótopo em detrimento de outro.
O número de massa de um átomo, A, é definido como A ⫽ Z ⫹ N. Ele é igual ao
número total de prótons e de nêutrons de um núcleo. O número de massa, que é adimensional, não é a mesma grandeza que a massa atômica m. Por definição, A é um número
inteiro. Devido ao fato de que as massas dos prótons e dos nêutrons são ⬇ 1 u, o número
de massa A é aproximadamente igual à massa do átomo quando expressa em unidades
de massa atômica.
A notação utilizada para representar um isótopo é AZ, onde o número de massa A é
um sobrescrito anteposto ao símbolo. O número de prótons Z não é especificado por um
número, mas, o que é equivalente, pelo símbolo químico daquele elemento. O isótopo
mais comum do neônio tem Z ⫽ 10 prótons e N ⫽ 10 nêutrons e, portanto, um número
de massa A ⫽ 20, sendo representado como 20Ne. O isótopo 22Ne do neônio possui Z ⫽
10 prótons (o que faz dele o neônio) e N ⫽ 12 nêutrons. O hélio tem dois isótopos, ilustrados na FIGURA 38.18. O raro 3He tem uma abundância de apenas 0,0001%, mas pode
ser isolado e tem importantes aplicações na pesquisa cientifica.
PARE E PENSE 38.4
O carbono é o sexto elemento da tabela periódica. Quantos prótons e
14
quantos nêutrons existem em um núcleo do isótopo C?
Próton
Nêutron
FIGURA 38.17 O núcleo de um átomo
contém prótons e nêutrons.
0,0001% de
abundância
99,9999% de
abundância
FIGURA 38.18 Dois isótopos do hélio. O
3
He
tem uma abundância de apenas 0,0001%.
38.8 Emissão e absorção de luz
Enquanto alguns cientistas investigavam a estrutura da matéria, outros se ocupavam em
pesquisar a maneira como a matéria emite e absorve a luz. Suas descobertas também
contribuíram para as discussões acerca da estrutura atômica.
O padrão característico de comprimentos de onda emitidos por uma fonte luminosa
é chamado de espectro. A FIGURA 38.19a mostra como se mede um espectro. Ao final do
século XIX, os cientistas já haviam descoberto dois tipos distintos de espectros:
■ Objetos quentes, emissores de luz própria, tais como o Sol ou uma lâmpada incandescente, possuem espectros contínuos, semelhantes a um arco-íris, emitindo luz
em todos os comprimentos de onda possíveis. A FIGURA 38.19b ilustra um espectro
contínuo.
■ Por outro lado, a luz emitida por um dos tubos de descarga de gás usados por Faraday contém certos comprimentos de onda discretos e individuais. Esse tipo de espectro é denominado espectro discreto. Cada comprimento de onda de um espectro
discreto é chamado de linha espectral devido à sua aparência nas fotografias, como
mostra a FIGURA 38.19c.
Espectro contínuo e radiação de corpo negro
Quando está fria, a lava vulcânica é preta; todavia, quando aquecida a altas temperaturas, ela se torna vermelha, e quando atinge temperaturas muito altas, ela é
amarela. Um fio de tungstênio, de cor cinza escuro à temperatura ambiente, emite uma luz branca e brilhante quando aquecido pela passagem de uma corrente ⫺
transformando-se no filamento brilhante que vemos nas lâmpadas incandescentes.
Esta emissão de ondas eletromagnéticas dependente de temperatura foi denominada
radiação térmica no Capítulo 17, em que foi estudada como um dos mecanismos de
transferência de calor.
Medindo um espectro de emissão
Filme ou
fotodetector
Tubo de
descarga de
gás
Lente Fenda
Rede de difração
Lâmpada incandescente
Violeta Azul Verde Amarelo Laranja Vermelho
Espectro de emissão do neônio
FIGURA 38.19 Um espectrômetro de rede
usado para estudar a emissão de luz.
1200
Física: Uma Abordagem Estratégica
Lembre-se de que a energia térmica Q irradiada por um objeto de área A, à temperatura
absoluta T, durante um intervalo de tempo ⌬t, é dada por
(38.8)
A lava negra brilha quando está quente.
Objetos a uma temperatura maior emitem com
maior intensidade e apresentam um pico em
comprimentos de onda mais curtos.
onde ␴ ⫽ 5,67 ⫻ 10 ⫺ 8 W/m2 K4 é a constante de Stefan-Boltzmann. Observe a forte
dependência da temperatura, que aparece elevada à quarta potência.
O parâmetro e contido na equação 38.8 é a emissividade da superfície, uma medida
de sua efetividade em irradiar. O valor de e varia de 0 até 1. Um objeto que seja um absorsor perfeito ⫺ e, conseqüentemente, um emissor perfeito ⫺, com e ⫽ 1, é chamado
de corpo negro. A radiação térmica emitida por um corpo negro é chamada radiação de
corpo negro. Um pedaço de carvão constitui uma excelente aproximação de um corpo
negro.
Nosso principal interesse no Capítulo 17 foi obter a quantidade de energia irradiada.
Agora, desejamos examinar o espectro dessa radiação. Se medirmos o espectro de um
corpo negro a três temperaturas, 3500 K, 4500 K e 5500 K, obteremos os resultados apresentados na FIGURA 38.20. Os espectros apresentam quatro importantes características:
Intensidade
■ Todos os corpos negros emitem exatamente o mesmo espectro às mesmas tempera-
Comprimento de onda (nm)
FIGURA 38.20 Espectros de radiação de
corpo negro.
turas. O espectro depende apenas da temperatura do objeto, e não, do material
do qual ele é feito.
■ O aumento da temperatura causa um aumento da intensidade em todos os comprimentos de onda. Aumentar a temperatura do objeto faz com que ele emita mais
radiação ao longo de todo o espectro.
■ O aumento da temperatura faz com que o pico de intensidade do espectro desloquese para comprimentos de ondas mais curtos. Quanto maior for a temperatura,
menor será o comprimento de onda do pico do espectro.
■ O arco-íris visível que observamos corresponde apenas a uma pequena porção do espectro contínuo do corpo negro. A maior parte da emissão ocorre no infravermelho;
objetos muito quentes também irradiam no ultravioleta.
O comprimento de onda correspondente ao pico do gráfico da intensidade é dado por
(38.9)
onde T deve estar em kelvin. A Equação 38.9 é conhecida como Lei de Wien.
EXEMPLO 38.7 Encontrando os comprimentos de ondas
dos picos
Quais são os comprimentos de onda de pico e as regiões espectrais
correspondentes à radiação térmica do Sol ⫺ uma bola de gás que
brilha a uma temperatura superficial de 5800 K ⫺ e da Terra, cuja
temperatura média de superfície é de 15° C?
MODELO O Sol e a Terra são boas aproximações de corpos negros.
RESOLUÇÃO No caso do Sol, o comprimento de onda associado ao
pico de intensidade é dado pela Lei de Wien:
Ele está bem no centro do espectro visível. No caso da Terra, o comprimento de onda de pico é
onde convertemos a temperatura da superfície para kelvin antes de
efetuar os cálculos. Esse comprimento de onda está na região do
infravermelho, o que não nos surpreende, pois não “vemos” a Terra
brilhar.
AVALIAÇÃO A diferença entre esses dois comprimentos de onda é bas-
tante significativa para que possamos explicar o efeito estufa da Terra. A maior parte da energia proveniente do Sol ⫺ o seu espectro é
bastante similar ao representado pela curva mais alta da Figura 38.20
⫺ chega a nós como luz visível. A atmosfera da Terra é transparente
aos comprimentos de onda visíveis; logo, essa energia atinge o solo
e é absorvida. A Terra, por sua vez, deve devolver para o espaço uma
mesma quantidade de energia, mas o faz sob a forma de radiação infravermelha de longo comprimento de onda. Tais comprimentos de
onda são fortemente absorvidos por certos gases da atmosfera. Assim,
a atmosfera atua como um cobertor que mantém a superfície da Terra
mais aquecida.
■
CAPÍTULO 38
Que todos os corpos negros emitam o mesmo espectro à mesma temperatura foi uma
descoberta inesperada. Mas por quê? Parecia que uma combinação da termodinâmica com
a nova teoria de Maxwell das ondas eletromagnéticas devesse fornecer uma explicação
convincente. Contudo, a maioria dos grandes cientistas do final do século XIX tentou e não
conseguiu encontrar uma justificativa teórica para as curvas apresentadas na Figura 38.20.
(38.10)
Filme ou
fotodetector
Recipiente de
vidro contendo
uma amostra
de gás
Luz
branca
Espectros de absorção e de emissão do sódio
Absorção
Emissão
Ultravioleta
(38.11)
Atualmente, nos referimos à Equação 38.11 como a fórmula de Balmer, embora ele
tenha concluído somente a versão original, a Equação 38.10, correspondente a m ⫽ 2.
Com exceção de medições muito precisas, a fórmula de Balmer descreve acuradamente
todos os comprimentos de onda do espectro de emissão do hidrogênio.
A fórmula de Balmer constitui o que denominamos conhecimento empírico. Trata-se
de uma representação matemática precisa, obtida empiricamente ⫺ isto é, por meio de
evidência experimental ⫺, que não se baseia em princípios ou leis da física. A fórmula
de Balmer foi útil, mas ninguém era capaz de derivá-la a partir da mecânica newtoniana
Visível
FIGURA 38.21 Medindo o espectro de
absorção.
As linhas espectrais se estendem
até o limite da série, de 364,7 nm.
410,3
434,2
486,3
656,5
Espectro de emissão do hidrogênio.
FIGURA 38.22 Espectro de emissão do
hidrogênio.
Para maiores detalhes sobre a vida de Balmer, você deve consultar a Seção 25.1 deste livro.
Evidências experimentais posteriores, obtidas com o desenvolvimento da espectroscopia nas regiões ultravioleta e infravermelha do espectro, comprovaram que o resultado
de Balmer poderia ser generalizado para
1201
Medindo um espectro de absorção
Espectros discretos
Um espectro de emissão discreto de um gás quente e com baixa densidade, como o espectro do neônio mostrado na Figura 38.19c, apresenta contrastes marcantes em relação ao
espectro contínuo de corpo negro produzido por um sólido incandescente. Os cientistas
não tardaram a descobrir que os gases não só emitem, mas também absorvem comprimentos de onda discretos. A FIGURA 38.21a mostra um experimento de absorção em que a
luz branca passa através de uma amostra de gás. Na ausência do gás, a luz branca apareceria no filme como um espectro contínuo, do tipo arco-íris. Em presença do gás, um
comprimento de onda que tenha sido absorvido pelo gás não reage com o filme, deixando
uma linha negra correspondente àquele comprimento de onda. A FIGURA 38.21b mostra,
para o caso do vapor de sódio, que apenas certos comprimentos de onda são absorvidos.
Embora os espectros de emissão e de absorção de um gás sejam ambos discretos,
temos de considerar que existe uma diferença significativa: cada comprimento de onda
absorvido pelo gás é também emitido por ele, mas nem todo o comprimento de onda
emitido é absorvido. A Figura 38.21b mostra que os comprimentos de onda do espectro
de absorção formam um subconjunto dos comprimentos de onda do espectro de emissão.
Todos os comprimentos de onda de absorção são observados no espectro de emissão, mas
para um bom número de comprimentos de onda de emissão não ocorre absorção.
Mas o que faz com que os átomos emitam e absorvam a luz? Por que existem espectros discretos? Por que cada elemento emite um espectro diferente dos demais? Os
físicos do século XIX se depararam com todas essas questões e não conseguiram respondê-las. Essa incapacidade de chegar a uma resposta fez com que os cientistas, a contra
gosto, concluíssem que a física clássica era, simplesmente, incapaz de fornecer uma
compreensão dos átomos.
O único sinal encorajador veio de uma fonte um tanto quanto improvável. Enquanto
o espectro de outros átomos apresentava dezenas, e até mesmo centenas, de comprimentos de onda, o espectro de emissão do hidrogênio, ilustrado na FIGURA 38.22, era simples
e regular. Se algum espectro pudesse ser compreendido, não poderia ser outro senão o
espectro do primeiro elemento da tabela periódica. A grande descoberta só ocorreu em
1885, não pelo trabalho de um cientista reconhecido e estabelecido, mas de um professor
de uma escola secundária, o suíço Johann Balmer. Ele descobriu que o comprimento das
linhas espectrais do hidrogênio poderia ser representado pela seguinte fórmula simples
O Fim da Física Clássica
1202
Física: Uma Abordagem Estratégica
ou da teoria eletromagnética. Mesmo assim, todos concordavam que a fórmula, sendo
tão simples, deveria ter uma explicação simples. Trinta longos anos se passaram para
que essa explicação fosse encontrada.
PARE E PENSE 38.5
Estes espectros são de um mesmo elemento. Qual deles é um espectro de
emissão e qual é o de absorção?
38.9 A física clássica no limite
Elétron
Núcleo
De acordo com a física clássica, o elétron
descreveria um movimento em espiral
ao encontro do núcleo enquanto emitiria
energia em forma de onda eletromagnética.
FIGURA 38.23 O destino de um átomo de
Rutherford.
No início do século XIX, poucos cientistas acreditavam que a matéria fosse formada
por átomos. Ao final do século, já havia evidências substanciais não só da existência dos
átomos, mas também da existência de partículas subatômicas carregadas. As pesquisas
sobre a estrutura atômica culminaram no modelo nuclear de Rutherford.
O modelo atômico nuclear de Rutherford corroborou as evidências experimentais
sobre a estrutura dos átomos, mas falhou em explicar dois aspectos fundamentais. De
acordo com a teoria de Maxwell da eletricidade e do magnetismo, os elétrons em órbita
em um átomo de Rutherford deveriam se comportar como pequenas antenas, irradiando
ondas eletromagnéticas. Isso parece encorajador, pois sabemos que os átomos podem
emitir luz. Mas foi fácil demonstrar que um átomo de Rutherford irradiaria em um espectro contínuo, semelhante ao arco-íris. Uma das falhas do modelo de Rutherford foi
sua incapacidade de prever a natureza discreta dos espectros de emissão e absorção.
Alem disso, os átomos perderiam energia continuamente à medida que irradiavam
ondas eletromagnéticas. Como ilustra a FIGURA 38.23, isso faria com que os elétrons espiralassem de encontro ao núcleo! Cálculos demonstraram que um átomo de Rutherford
poderia durar em torno de um microssegundo. Em outras palavras, a mecânica clássica
newtoniana e o eletromagnetismo prevêem que um átomo, cujos elétrons orbitam um
núcleo, seria altamente instável e, imediatamente, se autodestruiria. Mas isso certamente
não ocorre.
Os experimentos realizados nos últimos anos do século XIX foram impressionantes,
e não pairava nenhuma dúvida sobre a existência dos elétrons, sobre a existência de um
núcleo pequeno e positivamente carregado e sobre o espectro discreto e único emitido
por cada átomo. Mas o referencial teórico que forneceria uma perfeita compreensão dessas observações ainda estava longe de ser obtido. Na virada do século, os físicos ainda
não conseguiam explicar a estrutura dos átomos, a estabilidade da matéria, os espectros
discretos ou a radiação de corpo negro e também não sabiam explicar a origem dos raios
X e da radioatividade.
No entanto, poucos físicos estavam dispostos a abandonar as teorias da física clássica ⫺ reconhecidas e bem-sucedidas há muito tempo. Muitos consideravam esses “problemas” com os átomos como anomalias insignificantes que logo seriam resolvidas.
Mas não resta dúvida de que a física clássica já havia chegado ao seu limite e de que
uma nova geração de físicos brilhantes, e com novas idéias, estava prestes a surgir. Entre
esses cientistas estava um modesto jovem que na época vivia na cidade de Berna, na
Suíça. Com um currículo acadêmico mediano, o melhor emprego que encontrara fora o
de auxiliar em uma repartição, examinando solicitações de patentes. Recém-casado com
uma colega estudante ⫺ o casamento ocorrera, em parte, devido ao fato de a moça estar
grávida ⫺, ele precisava do emprego. Seu nome era Albert Einstein.
CAPÍTULO 38
■
O Fim da Física Clássica
1203
RESUMO
O objetivo do Capítulo 38 foi compreender como os cientistas descobriram as propriedades dos átomos e
como tais descobertas levaram à necessidade de uma nova teoria da luz e da matéria.
Conceitos importantes/experimentos
Os cientistas do século XIX concentraram-se na compreensão da matéria, da eletricidade e da luz. A invenção do tubo de descarga, por Faraday, proveu duas avenidas de pesquisas.
Raios catódicos e estrutura atômica
Espectros atômicos e a natureza da luz
Thomson descobriu que os raios catódicos são partículas subatômicas negativamente carregadas. Elas logo foram denominadas
elétrons. Os elétrons são
Os espectros emitidos pela descarga em um gás contido em um tubo
são formados por comprimentos de onda discretos.
• Constituintes dos átomos.
• Cada linha espectral no espectro de absorção de um elemento está
presente em seu espectro de emissão, mas nem todas as linhas de
emissão são vistas no espectro de absorção.
• As unidades fundamentais de carga negativa.
Rutherford descobriu o núcleo atômico. Seu modelo nuclear do
átomo propõe
• Cada elemento tem um único espectro.
Absorção
Emissão
• Um núcleo denso, muito pequeno e positivamente carregado.
• Elétrons negativos em órbita do núcleo.
Mais tarde, reconheceu-se que isótopos diferentes contêm diferentes números de nêutrons
em um núcleo com o mesmo número de prótons.
Balmer descobriu que os comprimentos de onda do espectro de
emissão do hidrogênio são dados por
O fim da física clássica . . .
Os espectros atômicos foram relacionados à estrutura atômica, mas ninguém conseguia entender como.
A física clássica não podia explicar
• A estabilidade da matéria.
• Os espectros atômicos discretos.
• O espectro contínuo da radiação de corpo negro.
Aplicações
O experimento de Millikan com gotas de óleo permite medir a
unidade fundamental de carga:
e = 1,60 ⫻ 10
-19
C
Um elétron-volt (1 eV) é a energia que um elétron ou próton (carga
⫾e) adquire ao ser acelerado sob uma diferença de potencial de 1 V:
1 eV = 1,60 ⫻ 10
–19
J
Termos e notação
eletrólise
tubo de descarga de gás
brilho do cátodo
raios catódicos
tubo de Crookes
experimento de campos cruzados
partícula subatômica
elétron
experimento de Millikan com
gotas de óleo
radioatividade
raios alfa
raios beta
núcleo
modelo nuclear do átomo
elétron-volt, eV
número atômico, Z
próton
espectrômetro de massa
nêutron
isótopo
número de massa, A
espectro contínuo
espectro discreto
linha espectral
radiação de corpo negro
lei de Wien
fórmula de Balmer
1204
Física: Uma Abordagem Estratégica
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relevante de capítulos anteriores.
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. a. Faça um resumo das evidências experimentais anteriores à pesquisa de Thomson através das quais você pode concluir que os
raios catódicos são formados por algum tipo de partícula.
b. Faça um resumo das evidências experimentais anteriores à pesquisa de Thomson através das quais você pode concluir que os
raios catódicos são formados por algum tipo de onda.
2. Thomson observou o desvio dos raios catódicos em presença de
campos elétricos e magnéticos, mas não observou desvio algum devido à gravidade. Por que não?
3. Qual foi a significância do experimento de Thomson, em que um
eletrodo posicionado fora do centro do tubo foi utilizado para coletar a carga desviada por um campo magnético?
4. Que evidência nos revela que um dos elétrons de um átomo de ferro
é idêntico a um dos elétrons de um átomo de cobre?
5. a. Descreva a evidência experimental através da qual concluímos
que o núcleo não é formado apenas por prótons.
b. Não é fácil isolar ou controlar um nêutron porque ele não possui
carga elétrica que permita sua manipulação. Que evidência possibilitou aos cientistas determinar que um nêutron possui uma
massa quase idêntica à de um próton?
6. Rutherford estudou as partículas alfa usando a técnica dos campos
perpendiculares inventada por Thomson para estudar os raios ca-
tódicos. Admitindo-se que valfa 艐 vraio catódico (o que é verdadeiro), o
desvio de uma partícula alfa por um campo magnético será maior,
menor ou igual ao desvio de um raio catódico pelo mesmo campo?
Explique.
7. Uma vez que Thomson mostrou que os átomos eram compostos por
elétrons negativos muito leves e por uma carga positiva de maior
massa, por que os físicos não pensaram imediatamente em um
modelo semelhante ao Sistema Solar, com elétrons orbitando um
núcleo positivo? Por que os físicos se opuseram a esse modelo em
1900?
8. Explique por que a observação de partículas alfa espalhadas em ângulos muito grandes levou Rutherford a rejeitar o modelo atômico
de Thomson e a propor um modelo nuclear.
9. Identifique o elemento, o isótopo e o estado de carga de cada átomo
da FIGURA Q38.9. Responda usando símbolos tais como 4He⫹ ou
8
Be–.
FIGURA Q38.9
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
Seção 38.3 Raios catódicos
Seção 38.4 J.J Thomson e a descoberta do elétron
1. | Em um tubo de Crookes, a corrente é igual a 10 nA. Quantos
elétrons colidem com a superfície do tubo a cada segundo?
2. || Um elétron de um feixe de raios catódicos passa por entre eletrodos em forma de placas paralelas com 2,5 cm de comprimento que
distam 5,0 mm um do outro. Um campo magnético de 2,0 mT e 2,5
cm de largura é perpendicular ao campo elétrico entre as placas.
Se a diferença de potencial entre as placas for de 600 V, o elétron
passará entre os eletrodos sem ser desviado.
a. Qual é a velocidade do elétron?
b. Se a diferença de potencial entre as placas for reduzida a zero,
qual será o raio de curvatura do elétron no campo magnético?
3. | Elétrons passam entre eletrodos
paralelos com uma velocidade
,
de 5,0 ⫻ 106 m/s, como ilustra a
,
FIGURA EX38.3. Que intensidade
e que orientação do campo magFIGURA EX38.3
nético permitirão que os elétrons
passem sem sofrer desvio? Suponha que o campo magnético esteja
confinado à região entre os eletrodos.
Seção 38.5 Millikan e a unidade fundamental de carga
4. | Uma gota de óleo de 0,80 ␮m de diâmetro é observada na região
entre dois eletrodos paralelos e distantes 11 mm entre si. Se o eletrodo superior for 20 V mais positivo do que o eletrodo inferior, a
gota permanecerá suspensa, sem se mover. A densidade do óleo é
de 885 kg/m3.
a. Qual é a massa da gota?
b. Qual é a carga da gota?
c. A gota possui um excesso ou uma deficiência de elétrons? Em
que quantidade?
5. || Uma gota de óleo com 15 elétrons em excesso é observada na
região entre dois eletrodos paralelos distantes 12 mm entre si. Se o
eletrodo superior for 25 V mais positivo do que o eletrodo inferior,
a gota permanecerá suspensa, sem se mover. A densidade do óleo é
de 860 kg/m3. Qual é o raio da gota?
6. | Suponha que, em um experimento hipotético que utiliza gotas de
óleo, você tenha obtido os seguintes valores de carga para as gotas:
3,99 ⫻10 –19 C, 6,65 ⫻ 10 –19 C, 2,66 ⫻ 10 –19 C, 10,64 ⫻ 10 –19 C e
9,31 ⫻ 10 –19 C. Qual é o maior valor da unidade fundamental de
carga consistente com suas medidas?
CAPÍTULO 38
■
O Fim da Física Clássica
1205
Seção 38.6 Rutherford e a descoberta do núcleo
Seção 38.8 A emissão e a absorção da luz
Seção 38.7 Desvendando o núcleo
19. | A Figura 38.22 identificou os comprimentos de onda de quatro
linhas do espectro do hidrogênio.
a. Determine os valores de n e m da fórmula de Balmer correspondentes a esses comprimentos de onda.
b. Faça uma previsão do comprimento de onda correspondente à
quinta linha do espectro.
20. | A Figura 38.22 identificou os comprimentos de onda de quatro
linhas do espectro do hidrogênio.
a. Determine os valores de n e m da fórmula de Balmer correspondentes a esses comprimentos de onda.
b. A Figura 38.22 ilustra uma característica denominada limite da
série, embora não tenha sido apresentada nenhuma linha espectral associada a esse limite. Determine qual é o comprimento de
onda do limite da série.
21. | Os comprimentos de onda do espectro do hidrogênio correspondentes a m = 1 formam uma série de linhas espectrais denominada
série de Lyman. Calcule o comprimento de onda correspondente às
quatro primeiras linhas da série de Lyman.
22. | Dois dos comprimentos de onda emitidos por um átomo de hidrogênio são iguais a 102,6 nm e 1876 nm.
a. Quais são os valores de m e n correspondentes a cada um desses
comprimentos de onda?
b. Para cada um desses comprimentos de onda, a luz correspondente é infravermelha, visível ou ultravioleta?
23. | Qual é a temperatura, em °C, de um corpo negro cujo espectro de
emissão tem um pico em (a) 300 nm? e em (b) 3,00 ␮m?
24. || Uma esfera de metal de 2,0 cm de diâmetro brilha em tom avermelhado, mas seu espectro de emissão tem um máximo no comprimento de onda infravermelho de 2,0 ␮m. Que valor de potência é
irradiada pela esfera?
25. || Um cubo de cerâmica de 3,0 cm de lado irradia calor a uma taxa
de 630 W. Em que comprimento de onda, em ␮m, localiza-se o
máximo do espectro de emissão?
7. | Determine:
a. A velocidade de um elétron de 100 eV.
b. A velocidade de um nêutron de 5 MeV.
c. O tipo específico de partícula que possui 2,09 MeV de energia
cinética quando se move a uma velocidade de 1,0 ⫻ 10 7 m/s.
8. | Determine:
a. A velocidade de um próton de 6 MeV.
b. A velocidade de átomo de hélio de 20 MeV.
c. O tipo específico de partícula que possui 1,14 KeV de energia
cinética quando se move a uma velocidade de 2,0 ⫻ 10 7 m/s.
9. || Expresse em eV (ou em keV ou em MeV, se for mais apropriado):
a. A energia cinética de um elétron que se move com uma velocidade de 5,0 ⫻ 10 6 m/s.
b. A energia potencial de um elétron e de um próton distantes 0,10
nm um do outro.
c. A energia cinética de um próton que, tendo partido do repouso,
atravessou uma região onde existe uma diferença de potencial de
5.000 V.
10. || Expresse em eV (ou em keV ou em MeV, se for mais apropriado):
a. A energia cinética de um ion Li⫹⫹ que, tendo partido do repouso,
acelerou através de uma diferença de potencial de 5.000 V.
b. A energia potencial de dois prótons distantes 10 fm um do outro.
c. A energia cinética de uma bola de 200 g, que foi solta de uma
altura de 1,0 m, exatamente antes do impacto com o solo.
11. || Um capacitor de placas paralelas separadas por 1,0 mm é carregado a 75 V. Com que energia cinética, em eV, um próton deverá ser
lançado a partir da placa negativa a fim de que possa apenas tocar a
placa positiva?
12. || Um próton é lançado com 520 eV de energia com uma orientação
radial que aponta para fora da superfície de uma esfera de vidro
de 1,0 mm de diâmetro e que foi carregada com 0,20 nC. Qual é a
energia cinética do próton, em eV, quando ele estiver a 2,0 mm da
superfície?
13. | Quantos elétrons, prótons e nêutrons existem nos seguintes átomos ou íons: (a) 9Be, (b) 14N⫹ e (c) 13C⫹⫹?
14. | Quantos elétrons, prótons e nêutrons existem nos seguintes átomos ou íons: (a) 10B, (b) 13N⫹ e (c) 17O⫹⫹⫹⫹?
15. | Escreva o símbolo de um átomo ou íon com:
a. quatro elétrons, quatro prótons e seis nêutrons.
b. quatro elétrons, seis prótons e cinco nêutrons.
16. | Escreva o símbolo de um átomo ou íon com:
a. um elétron, um próton e dois nêutrons.
b. sete elétrons, oito prótons e dez nêutrons.
17. | Considere o isótopo197Au do ouro.
a. Quantos elétrons, prótons e nêutrons existem em um átomo neutro desse isótopo?
b. O núcleo do ouro tem um diâmetro de 14,0 fm. Qual é a densidade de matéria neste núcleo?
c. A densidade do chumbo é de 11.400 kg/m3. Quantas vezes essa
densidade é maior do que aquela obtida no item b?
18. | Considere o isótopo 207Pb do chumbo.
a. Quantos elétrons, prótons e nêutrons existem em um átomo neutro desse isótopo?
b. O núcleo de chumbo tem um diâmetro de 14,2 fm. Qual é o potencial elétrico e qual é a intensidade do campo elétrico na superfície de um núcleo de chumbo?
Problemas
26. || Qual é a energia total, em MeV, de
a. Um próton que se move a 99% da velocidade da luz?
b. Um elétron que se move a 99% da velocidade da luz?
Dica: Este problema requer o uso da relatividade.
27. || Qual é a velocidade, como uma fração de c, de
a. Um próton com energia total de 500 GeV?
b. Um elétron com energia total de 2,0 GeV?
Dica: Este problema requer o uso da relatividade.
28. || No Capítulo 37, você aprendeu que a toda massa corresponde
uma quantidade equivalente de energia. Quais são as energias equivalentes, em MeV, às massas de repouso de um elétron e de um
próton?
29. || Na teoria da relatividade, o fator ␥ aparece em diversas expressões. Um valor ␥= 1,01 implica que a relatividade altera os valores
newtonianos correspondentes em cerca de1% e que os efeitos relativísticos não podem ser ignorados. A que valor de energia cinética,
em MeV, corresponde o fator ␥ = 1,01 no caso de (a) um elétron, (b)
um próton e (c) uma partícula alfa?
30. || O processo de fissão n + 235U → 236U → 144Ba + 89Kr + 3n converte 0,185 u de massa em energia cinética dos produtos da fissão.
Qual é a energia cinética total, em MeV?
31. || Um elétron de um feixe de raios catódicos passa entre dois longos eletrodos em forma de placas paralelas, distantes 5,0 mm um
do outro. Um campo magnético de 1,0 mT e com 2,5 cm de largura
é perpendicular ao campo elétrico entre as placas. Quando a dife-
1206
Física: Uma Abordagem Estratégica
rença de potencial entre as placas for de 150 V, o elétron passará
pelos eletrodos sem ser desviado. Se a diferença de potencial entre
as placas for nula, segundo que ângulo o elétron será desviado ao
passar pelo campo magnético?
32. || Os dois eletrodos em forma de placas paralelas, ilustrados na FIGURA P38.32, possuem 5,0 cm de comprimento e distam 1,0 cm.
Por um dos lados das placas, um próton penetra na região entre os
eletrodos a meia distancia dos mesmos. Uma diferença de potencial
⌬V ⫽ 500 V entre os eletrodos desvia o próton e faz com que ele se
choque com a outra extremidade do eletrodo inferior. Quais são a
intensidade e a orientação de um campo magnético que permitirão
que o próton atravesse a região entre as placas sem sofrer desvio algum quando existir uma diferença de potencial de 500 V entre elas?
Considere que tanto o campo elétrico quanto o campo magnético
estejam confinados à região entre os eletrodos.
,
,
Trajetória quando V 500V
FIGURA P38.32
33. || Uma partícula carregada atravessa um campo magnético e um
campo elétrico, perpendiculares entre si e com intensidades de
187.500 V/m e de 0,127 T, respectivamente, sem ser desviada. Depois, a partícula deixa o campo elétrico, mas continua em presença do campo magnético. Ela, então, descreve um semicírculo com
25,05 cm de diâmetro. Qual é a razão carga-massa da partícula?
Você consegue identificar de que partícula se trata?
34. || Em um dos seus experimentos, Thomson colocou uma folha
metálica fina perpendicularmente a um feixe de elétrons e mediu
o aumento da temperatura ocorrido. Considere um tubo de raios
catódicos em que os elétrons são acelerados sob uma diferença
de potencial de 2.000 V e, depois, colidem com a folha de cobre
de 10 mg.
a. Quantos elétrons colidem com a folha de metal durante 10 s se a
temperatura da folha aumenta em 6° C? Suponha que não ocorra
perda de energia por irradiação ou por outros meios.
b. Qual é a corrente correspondente ao feixe de elétrons?
35. || Um átomo de lítio neutro possui três elétrons. No Capítulo 42,
você verá que dois desses elétrons formam um “caroço interno”, enquanto o terceiro – o elétron de valência – gira em torno do núcleo
em uma órbita de raio muito maior. Sob a perspectiva do elétron
de valência, ele orbita uma esfera de carga líquida total igual a +1e
(ou seja, os três prótons do núcleo e os dois elétrons que formam o
caroço interno). A energia necessária para ionizar o átomo de lítio é
de 5,14 eV. De acordo com o modelo nuclear de Rutherford, quanto
valem o raio orbital e a velocidade do elétron de valência?
Dica: Considere a energia necessária para remover o elétron e a
força necessária para dar ao elétron uma órbita circular.
36. || O diâmetro de um átomo é igual a 1,2 ⫻ 10–10 m, e o diâmetro de
seu núcleo, 1,0 ⫻ 10–14 m. Que porcentagem do volume do átomo
é ocupada por matéria e qual porcentagem corresponde a espaço
vazio?
37. || Balmer descobriu a fórmula famosa que leva seu nome através
da observação e de tentativa e erro. Verifique se você é capaz de
descobrir a fórmula para cada uma das séries de comprimentos de
onda. Cada fórmula envolve um inteiro n, mas, como na fórmula de
Balmer, n pode não começar com o valor 1.
a. 125,00; 31,25; 13,89; 7,81; e 5,00nm.
b. 375.900; 1.575; 2.400; 3.375; e 4.500nm
38. || O diâmetro de um átomo de alumínio é aproximadamente 1,2 ⫻
10 –10 m. O diâmetro do núcleo de um átomo de alumínio é apro-
ximadamente 8 ⫻ 10 m. A densidade do alumínio sólido é de
2.700 kg/m3.
a. Qual é a densidade média de um átomo de alumínio?
b. A sua resposta para o item anterior foi similar, porém maior do
que a densidade do alumínio sólido. Isso sugere que existem espaços vazios entre os átomos do alumínio sólido; ou seja, que
eles não estão “espremidos”. Qual é o volume médio por átomo
do alumínio sólido? Se o volume é o de uma esfera, qual é o raio
correspondente? O que você pode concluir acerca do espaçamento médio entre os átomos em comparação com o tamanho dos
átomos?
Dica: O volume por átomo não é a mesma coisa que o volume de
um átomo.
c. Qual é a densidade do núcleo de alumínio? Por qual fator a densidade nuclear é maior do que a densidade do alumínio sólido?
39. | A razão carga-massa de um núcleo, em unidade de e/u, é q/m =
Z/A. Um núcleo de hidrogênio, por exemplo, corresponde a q/m =
1/1 = 1.
a. Faça um gráfico da razão carga-massa versus número de prótons
Z para núcleos com Z = 5, 10, 15, 20,...., 90. Para A, use as massas atômicas médias fornecidas no Apêndice B. Represente cada
um dos 18 núcleos com um ponto, mas não conecte os pontos
para formar uma curva.
b. Descreva qualquer tendência que você percebe em seu gráfico.
c. O que acontece aos núcleos que gera essa tendência?
40. || Se o núcleo tem diâmetro de alguns fm, a distância entre os centros de dois prótons deve ser de 艐 2 fm.
a. Calcule a força elétrica repulsiva entre dois prótons que distam
2,0 fm entre si.
b. Calcule a força gravitacional atrativa entre dois prótons que distam 2,0 fm entre si. É possível que a gravidade seja a força que
mantém o núcleo coeso?
c. As suas respostas aos itens a e b sugerem que deve haver alguma
outra força que une o núcleo e que faz com que os prótons não
se empurrem para fora. Com base nas discussões deste capítulo
sobre o átomo e o núcleo, que características dessa força você
poderia deduzir?
41. || Em uma colisão frontal, a menor distância do centro de um núcleo que é atingido por uma partícula alfa de 6,24 MeV é igual a
6,00 fm. Este núcleo pertence ao átomo de qual elemento? Suponha
que o núcleo permaneça em repouso.
42. || Através de qual diferença de potencial deveríamos acelerar uma
partícula alfa, a partir do repouso, de modo que ela consiga apenas
tocar a superfície de um núcleo de 235U com diâmetro de 15 fm?
43. || O núcleo 16O do oxigênio tem um raio de 3,0 fm.
a. Com que valor de velocidade um próton deve ser lançado em
direção a um núcleo de oxigênio para que ele atinja o ponto de
retorno a 1,0 fm da superfície? Considere que o núcleo permaneça em repouso.
b. Qual é a energia cinética do próton, em MeV?
44. || Para dar inicio a uma reação nuclear, um físico nuclear experimental quer lançar um próton em direção a um núcleo de 12C. O
próton deve colidir com o núcleo com uma energia cinética de 3,00
MeV. O raio nuclear é igual a 2,75 fm, e você pode considerar que
o núcleo se mantém em repouso durante a colisão.
a. Com que valor de velocidade o próton deve ser lançado em direção ao alvo?
b. Qual diferença de potencial deve acelerar o próton, a partir do
repouso, para que ele adquira tal velocidade?
45. || O isótopo 137Cs do césio, com Z = 55, é radioativo e decai por
meio de decaimento beta. Em um laboratório, uma partícula beta
com 300 keV de energia cinética é observada. O núcleo de um áto–15
CAPÍTULO 38
137
mo de Cs possui um diâmetro de 12,4 fm. Com que energia cinética a partícula beta foi ejetada do núcleo de 137Cs?
Problemas desafiadores
197
46. Uma partícula alfa se aproxima de um núcleo de Au com uma
velocidade de 1,50 ⫻ 107 m/s. A FIGURA PD38.46 mostra que a partícula alfa é desviada em 49° com uma velocidade mais baixa, de
1,49 ⫻ 107 m/s. Em que direção e sentido ocorre o recuo do núcleo
de 197Au, e com que valor de velocidade?
Núcleo
Au
FIGURA PD38.46
47. Em suas primeiras tentativas de compreender o átomo de hidrogênio, os físicos aplicaram as leis da física clássica. Considere um
elétron de massa m e carga – e em uma órbita circular de raio r em
torno de um próton de carga ⫹e.
a. Use a física newtoniana para demonstrar que a energia total do
átomo é
b. Mostre que a energia potencial é igual a –2 multiplicado pela
energia cinética do elétron. Este resultado é denominado teorema
virial.
c. A energia mínima necessária para ionizar um átomo de hidrogênio (i.e., para remover seu elétron) foi determinada experimentalmente como sendo 13,6 eV. Com base nessa informação, qual
é a velocidade do elétron e qual é o raio de sua órbita?
48. Considere uma gota de óleo de massa m e carga q. Desejamos determinar a carga da gota com base no experimento de Millikan.
Teremos de seguir vários passos. Para simplificar, considere que
a carga seja positiva e que o campo elétrico entre as placas aponte
para cima.
a. Um campo elétrico é estabelecido aplicando-se uma diferença de
potencial entre as placas. Sabe-se que um campo de intensidade
E0 fará com que a gota fique suspensa, sem qualquer movimento.
■
O Fim da Física Clássica
1207
Escreva uma expressão para a carga da gota em função do campo, E0, e do peso da gota, mg.
b. O campo E0 é facilmente determinado conhecendo-se a distância
entre as placas e a diferença de potencial aplicada entre elas. O
maior desafio é determinar a massa de uma gota microscópica.
Considere uma massa m em queda em um meio viscoso onde ela
experimenta uma força de atrito ou arrasto. Para partículas muito
pequenas, a força de atrito é dada por Fatrito = – bv, onde b é uma
constante e v é a velocidade da gota. O sinal negativo indica que
o vetor da força de atrito aponta para cima enquanto a gota cai (v
negativa). A gota em queda logo atinge uma velocidade constante, chamada de velocidade terminal. Escreva uma expressão para
a velocidade terminal, vterm, em função de m, g e b.
c. Sabe-se que um objeto esférico de raio r, movendo-se lentamente no ar, experimenta uma força de atrito
,
onde ␩ é a viscosidade do ar. Use essa equação e a resposta ao
item b para mostrar que uma gota esférica de densidade ␳, em
queda com uma velocidade terminal vterm, deve possuir um raio
dado por
3
a. O óleo tem uma densidade de 860 kg/m . Uma gota de óleo é
mantida suspensa entre duas placas distantes 1,0 cm uma da outra. A diferença de potencial entre elas é de 1.177 V. Quando a
voltagem é removida, a gota cai e logo adquire uma velocidade
constante. O cronômetro indica que a gota desce 3,00 mm durante 7,33 s. A viscosidade do ar é igual a 1,83 ⫻ 10 –5 kg/ms. Qual é
a carga da gota?
b. Quantas unidades de carga elétrica fundamental possui a gota?
49. Em um modelo clássico do átomo, um elétron orbitando com a
freqüência f deveria emitir ondas eletromagnéticas de freqüência
f, pois a órbita do elétron, vista de lado, se parece com um dipolo
elétrico oscilante.
a. Com que valor de raio, em nm, o elétron que orbita o próton em
um átomo de hidrogênio emitiria luz de comprimento de onda
igual a 600 nm?
b. Qual seria a energia mecânica total desse átomo?
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 38.1: b. Essa observação significa que os elétrons são
todos iguais.
Pare e Pense 38.2: b. A partir da regra da mão direita, com apontando
para a direita e , para fora da página.
++
Pare e Pense 38.3: 4. O carbono neutro tem seis elétrons. No C faltam
dois elétrons.
Pare e Pense 38.4: 6 prótons e 8 nêutrons. O número de prótons é
igual ao número atômico, que, neste caso, é 6. Temos, então, 14 – 6 =
8 nêutrons.
Pare e Pense 38.5: a corresponde à emissão e b, à absorção. Todos
os comprimentos de onda do espectro de absorção estão presentes no
espectro de emissão, mas nem todos os comprimentos de onda do espectro de emissão estão presentes no espectro de absorção.
39 Quantização
Imagem de um “curral quântico”,
formado por 60 átomos de ferro, obtida
por um microscópio de tunelamento.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 39 é propiciar
uma compreensão da quantização da
energia para a luz e para a matéria.
Neste capítulo, você aprenderá a
■ Compreender o efeito fotoelétrico
em termos de quanta de luz.
■ Utilizar o conceito de fóton.
■ Compreender como a noção de
ondas de matéria, de de Broglie,
levou à quantização da energia.
■ Utilizar o modelo de quantização
de Bohr para átomos (modelo
atômico de Bohr).
■ Calcular as energias e os
comprimentos de onda para o
hidrogênio e íons hidrogenóides.
Em retrospectiva
Muitas das idéias deste capítulo já
foram introduzidas no Capítulo 25,
que é pré-requisito essencial para este
capítulo. Revise:
■ Seções 22.2, 22.3, e 22.6
Interferência e interferômetros
■ Capítulo 25 Fótons, ondas de
matéria e quantização
■ Seção 38.6 Elétron-volts e o
modelo nuclear de Rutherford para
o átomo
A imagem mostrada aqui, denominada “curral quântico”, foi obtida por meio de um
microscópio de tunelamento, um dispositivo cujo funcionamento estudaremos no Capítulo 41. A imagem representa a densidade eletrônica na vizinhança de um círculo formado por 60 átomos de ferro que foram cuidadosamente depositados em uma superfície
de carbono. Porém não é o círculo de elétrons ao redor dos átomos de ferro o que mais
impressiona. Note as perturbações em forma de anéis circulares no centro do curral. O
que se observa é uma onda estacionária eletrônica, muito semelhante a uma onda estacionária formada em um tambor em vibração.
Do Capítulo 25, recorde-se que a distinção clássica entre partículas e ondas, apesar de útil no caso de sistemas macroscópicos, não existe no mundo microscópico dos
elétrons e átomos. Matéria e luz exibem características tanto de partículas quanto de
ondas. Essa nova dualidade onda-partícula desafia nosso senso comum. Contudo, modernos dispositivos de engenharia, tais como lasers de poço quântico, fazem uso explícito da dualidade onda-partícula.
Este capítulo explorará duas idéias importantes: a proposta da natureza corpuscular
da luz, por Einstein, e o desenvolvimento de um modelo quântico do átomo, por Bohr.
Começaremos a conceber e a descrever a matéria e a luz em termos de um modelo
quântico em vez de um modelo clássico. Além disso, as idéias deste capítulo serão nossos últimos passos antes de introduzirmos a mecânica quântica, no Capítulo 40.
39.1 O efeito fotoelétrico
Em 1886, Heinrich Hertz foi o primeiro a demonstrar que ondas eletromagnéticas podem ser geradas artificialmente. Ao comprovar as previsões da teoria eletromagnética
de Maxwell, Hertz assentou os últimos blocos da física clássica. Contudo, em uma dessas ironias sempre presentes na história, Hertz descobriu acidentalmente o fenômeno
CAPÍTULO 39
que iria dar início à revolução quântica. No curso de suas investigações, ele notou que
um eletroscópio negativamente carregado podia ser descarregado através da incidência
de luz ultravioleta.
A observação de Hertz chamou a atenção de J.J. Thomson, que concluiu que a luz
ultravioleta causava a emissão de cargas negativas pelo eletrodo, desta forma restaurando a neutralidade elétrica do eletroscópio. Em 1899, Thomson demonstrou que as cargas
emitidas eram elétrons. A emissão de elétrons por uma substância devido à incidência
de luz em sua superfície tornou-se conhecida como efeito fotoelétrico. Os elétrons emitidos eram freqüentemente chamados de fotoelétrons a fim de indicar sua origem, mas
eram idênticos, em todos os aspectos, a todos os outros elétrons.
Embora essa descoberta pareça ser uma nota de rodapé na história da ciência, ela
rapidamente se tornou um, ou talvez, o evento-chave que abriu a porta para idéias novas.
Estudaremos o efeito fotoelétrico em detalhe. Nossos objetivos são estudar como a física
clássica foi incapaz de explicar os detalhes desse experimento simples e tomar consciência do conceito novo e impressionante introduzido por Einstein.
■
Amperímetro
Cátodo
1. A corrente I é diretamente proporcional à intensidade luminosa. Se a intensidade
dobrar, a corrente também dobrará de valor.
2. A corrente surge assim que a luz incide, sem qualquer retardo. Para Lenard, isso
significava que a corrente surgia durante o intervalo de 艐 0,1 s de resposta do
equipamento. Experimentos posteriores demonstraram que a corrente surge em
menos de 1 ns.
3. Fotoelétrons são emitidos apenas se a freqüência da luz exceder uma freqüência
limiar f0. Isso é ilustrado no gráfico da FIGURA 39.2.
4. O valor da freqüência limiar f0 depende do tipo de metal que constitui o cátodo.
5. Se a diferença de potencial V for positiva (ânodo positivo com relação ao cátodo), a corrente não variará com o aumento de V. Se V tornar-se negativa (ânodo negativo com relação ao cátodo) pela inversão da bateria, a corrente decresce
até atingir o valor nulo em um determinado valor de voltagem V – Vcorte. O
valor de Vcorte é denominado potencial de corte. Esse comportamento está ilustrado na FIGURA 39.3.
6. O valor de Vcorte é o mesmo para intensidades luminosas fracas ou fortes. Luz mais
intensa gera corrente maior, como mostra a Figura 39.3; todavia, em ambos os
casos a corrente cessa quando V – Vcorte.
NOTA Definimos Vcorte como um número positivo. A diferença de potencial que
pára os elétrons é V – Vcorte, com um sinal negativo explícito. 1209
A luz ultravioleta faz o cátodo
metálico emitir elétrons. Esse é
o efeito fotoelétrico.
Os fotoelétrons
Luz
formam uma
corrente entre o
cátodo e o ânodo.
Ânodo
Características do efeito fotoelétrico
Não foi a descoberta do efeito fotoelétrico em si que significou o golpe fatal na física
clássica. O golpe se originou de características específicas do efeito fotoelétrico descobertas, por volta de 1900, por um dos estudantes de Hertz, Phillip Lenard. Lenard construiu um tubo de vidro, representado na FIGURA 39.1, dotado de dois eletrodos opostos e
uma janela. Após remover o ar do tubo a fim de facilitar a movimentação dos elétrons
entre os eletrodos, ele iluminou o eletrodo através da janela.
Lenard descobriu que uma corrente de sentido anti-horário (elétrons fluindo em
sentido horário) se formava sempre que o cátodo era iluminado por luz ultravioleta.
Não existem nós neste circuito, de modo que a corrente deve ser a mesma em todo o
percurso. No espaço entre o cátodo e o ânodo, a corrente consiste de elétrons que se
movem livremente através do espaço (ou seja, não em um fio) à mesma taxa (mesmo
número de elétrons por segundo) que a corrente do fio. Não surge corrente se os eletrodos são mantidos no escuro, portanto os elétrons não partem do cátodo espontaneamente. Ao contrário, a iluminação causa a ejeção de elétrons, a partir do cátodo, a uma
taxa constante.
Lenard usou uma bateria para estabelecer uma diferença de potencial ajustável V
entre os eletrodos. Ele pôde, então, estudar como a corrente I variava em função da
diferença de potencial, da freqüência e da intensidade da luz. Lenard fez as seguintes
observações.
Quantização
A diferença de
potencial pode
ser alterada ou
invertida.
A corrente pode ser medida
enquanto a diferença de
potencial, a freqüência da luz
e a intensidade luminosa são
variadas.
FIGURA 39.1 Dispositivo experimental de
Lenard para estudar o efeito fotoelétrico.
Independentemente da
intensidade da luz, não
existe corrente se f ⬎ f0.
Freqüência limiar
Independentemente da intensidade
luminosa, existe corrente quando f ⬎ f0.
FIGURA 39.2 A corrente fotoelétrica em
função da freqüência luminosa f.
Luz mais intensa gera
corrente mais intensa.
Nenhuma corrente
flui se
Vcorte.
Luz intensa
Luz fraca
⫺Vcorte
A corrente independe de
⌬V quando ⌬V ⬎ 0.
O potencial de corte é o mesmo
para luz fraca ou forte.
FIGURA 39.3 A corrente fotoelétrica em
função do potencial da bateria.
1210
Física: Uma Abordagem Estratégica
A energia mínima necessária para remover
uma gota de água da piscina é mgh.
Água
Para remover essa
gota é necessário
mais energia do que
a energia mínima.
Adicionando mais
energia à água e gerando
ondas, pode-se causar
liberação de algumas
gotas mais energéticas.
FIGURA 39.4 Analogia com uma piscina
para os elétrons em um metal.
TABELA 39.1 A função-trabalho
para alguns elementos
Elemento
E0(eV)
Potássio
2,30
Sódio
2,75
Alumínio
4,28
Tungstênio
4,55
Cobre
4,65
Ferro
4,70
Ouro
5,10
Cátodo
Ânodo
⌬V ⫽ 0: os fotoelétrons deixam o cátodo
em todas as direções. Poucos deles chegam
ao ânodo.
A interpretação clássica do efeito fotoelétrico
A mera existência do efeito fotoelétrico não constitui uma dificuldade para a física clássica. Você aprendeu no Capítulo 26 que os elétrons são os portadores de carga nos metais
e que eles se movem livremente nestes materiais como se formassem um “mar” de partículas negativamente carregadas. Os elétrons estão ligados ao metal e não são espontaneamente liberados de um eletrodo à temperatura ambiente. Porém um pedaço de metal
aquecido a temperaturas suficientemente altas emite elétrons, em um processo denominado emissão térmica. O tubo de elétrons dos antigos televisores ou monitores de computador utilizam a emissão térmica a partir de um filamento de tungstênio aquecido.
Uma analogia útil, ilustrada na FIGURA 39.4, envolve a água de uma piscina. Moléculas de água não saltam espontaneamente para fora da piscina se a água está calma.
Para remover uma molécula de água você precisa realizar trabalho a fim de levantá-la,
contra a força gravitacional, até a borda da piscina. Uma energia mínima é necessária
para extrairmos uma molécula de água: aquela necessária para elevar uma molécula
que está bem na superfície. Remover uma molécula do meio da água requer mais do
que essa energia mínima. Pessoas brincando na piscina adicionam energia à água, gerando ondas. Se a energia adicionada dessa maneira for suficiente, uma pequena fração
das moléculas de água poderá ganhar energia suficiente para se chocar com a borda e
sair da piscina.
Analogamente, é necessário uma energia mínima para liberar um elétron de um metal. Para extrair um elétron, você precisa exercer uma força sobre ele (ou seja, realizar
trabalho sobre o elétron) até que sua velocidade seja suficientemente grande para que
ele escape. A energia mínima E0 necessária para liberar um elétron é denominada função-trabalho do metal. Alguns elétrons, à semelhança das moléculas mais profundas da
água, podem necessitar de mais energia do que E0 para escapar, mas todos os elétrons
precisarão ao menos de E0. Metais diferentes possuem diferentes funções-trabalho; a
Tabela 39.1 fornece uma pequena lista. Note que as funções-trabalho são dadas em elétron-volts.
Aquecer um metal, de maneira análoga à geração de ondas em uma piscina, aumenta
a energia térmica dos elétrons. Em temperaturas suficientemente altas, a energia cinética
de uma pequena percentagem dos elétrons pode exceder o valor da função-trabalho.
Esses elétrons podem, então, “sair da piscina” e deixar o metal. Na prática, são poucos
os elementos, como o tungstênio, para os quais a emissão térmica torna-se significativa
antes de o metal se fundir!
Admita que possamos elevar a temperatura apenas dos elétrons, e não, da rede cristalina. Um possível modo de conseguir isso é iluminar a superfície metálica. Como as
ondas eletromagnéticas são absorvidas pelos elétrons de condução, e não, pelos íons
positivos, a onda luminosa aquece apenas os elétrons. Após algum tempo transcorrido,
os elétrons transferirão energia para a rede cristalina; entretanto, se a luz for suficientemente intensa, a temperatura eletrônica pode se tornar substancialmente maior do que
a temperatura do metal. Em 1900, era plausível pensar que uma luz intensa causasse a
emissão térmica dos elétrons sem fundir o metal.
O potencial de corte
⌬V ⬎ 0: um ânodo positivo atrai todos os
fotoelétrons para si.
Os fotoelétrons deixam o cátodo com uma energia cinética. Dentro do metal, um elétron
com energia Eelétron perde energia E ao escapar, ou seja, emerge como um fotoelétron
. A energia da função-trabalho, E0, é a energia
com energia cinética
mínima necessária para remover um elétron; logo, a energia cinética máxima de um
fotoelétron é
(39.1)
Após deixarem o cátodo, os fotoelétrons se movem em todas as direções. Alguns
chegam ao ânodo, gerando uma corrente mensurável, mas muitos não conseguem fazêlo. A FIGURA 39.5 mostra que:
⌬V ⬍ 0 : um ânodo negativo repele os
elétrons. Apenas os mais rápidos conseguem
chegar ao ânodo.
FIGURA 39.5 A corrente fotoelétrica
depende do potencial do ânodo.
■ Um ânodo positivo atrai todos os fotoelétrons para si. Uma vez que todos os fotoe-
létrons consigam atingir o ânodo, um aumento em V não gerará qualquer aumento
na corrente I. Eis a razão para as linhas horizontais no lado direito do gráfico da
Figura 39.3.
CAPÍTULO 39
■
Quantização
1211
■ Um ânodo negativo repele os elétrons. Contudo, os fotoelétrons que partem do cáto-
do com energia cinética suficientemente grande conseguem atingir o ânodo. A corrente diminui uniformemente à medida que a voltagem se torna mais e mais negativa, até atingir o potencial de corte, quando todos os elétrons retornam e a corrente
cessa. Esse é o comportamento observado à esquerda da Figura 39.3.
Consideremos o cátodo como o zero da energia potencial, conforme ilustrado pela
FIGURA 39.6. Um elétron emitido pelo cátodo com energia cinética Ki possui uma energia
total inicial
Antes: Ki
Após: Kf
Ui
Uf
Cátodo
Ânodo
Quando o elétron atinge o ânodo, que está a um potencial V com relação ao cátodo, ele
e energia total final igual a
possui energia potencial igual a
A energia cinética é transformada em potencial
à medida que o elétron move-se do cátodo para
o ânodo.
Da conservação de energia,
a energia cinética final do elétron é
FIGURA 39.6 A energia é conservada.
(39.2)
O elétron acelera
caso V seja positiva, e desacelera caso V seja negase Ki for suficientemente
tiva, mas ainda assim o elétron atingirá o ânodo
grande.
Um elétron com energia cinética inicial Ki parará exatamente ao alcançar o ânodo se
A diferença de potencial que faz com que os
a diferença de potencial for
elétrons mais rápidos, aqueles com K Kmax, retornem ao cátodo, cessando a corrente,
é igual a
Por definição, a diferença de potencial que faz cessar a corrente é
Vcorte é o potencial de corte. O potencial de corte é igual a
onde
17.3
(39.3)
Portanto, o potencial de corte determina a energia cinética máxima dos fotoelétrons.
EXEMPLO 39.1 O efeito fotoelétrico clássico
A energia cinética máxima quando ele deixa o cátodo é
Um experimento de efeito fotoelétrico é realizado com um cátodo de
alumínio. Um determinado elétron dentro do cátodo possui uma velo6
cidade de 1,5 10 m/s. Se a diferença de potencial entre o ânodo e o
cátodo for de – 2,00 V, qual será a mais alta velocidade com que esse
elétron atingirá o ânodo?
onde E0 4,28 eV é a função-trabalho do alumínio. Portanto a energia cinética no ânodo, dada pela Equação 39.2, é
MODELO A energia é conservada.
RESOLUÇÃO Se o elétron escapa com a máxima energia cinética pos-
sível, sua energia ao chegar no ânodo é dada pela Equação 39.2 com
A energia cinética inicial do elétron é
Note que o elétron perde 2,00 eV de energia ao se mover através da
diferença de potencial de –2,00 V, o que nos permite calcular a energia
cinética final em eV sem ter que convertê-la para joules. Contudo, devemos converter Kf para joules a fim de encontrar a velocidade final:
1212
Física: Uma Abordagem Estratégica
Os limites da interpretação clássica
Uma análise clássica baseada na emissão térmica de elétrons por um metal explica as
observações 1 e 5 listadas antes. Porém nada nessa explicação sugere que deveria existir
uma freqüência de limiar, como aquela encontrada por Lenard. Se uma luz de baixa
intensidade e com freqüência levemente superior a f0 pode gerar uma corrente, por que
não poderia ocorrer o mesmo com uma luz de intensidade alta e freqüência um pouco
inferior a f0?
E quanto à observação de Lenard sobre a instantaneidade da corrente? Se os fotoelétrons se originam da emissão térmica, deveria haver um intervalo de tempo para que
a luz pudesse elevar a temperatura dos elétrons até que eles pudessem escapar. De fato,
cálculos bastantes simples demonstram que deveríamos ter de esperar vários minutos até
que a carga começasse a fluir! Mas a evidência experimental estava em radical discordância com isso.
Finalmente, luz mais intensa deveria aquecer os elétrons a temperaturas mais altas.
Isso elevaria a energia cinética máxima dos fotoelétrons e aumentaria o potencial de
corte Vcorte. Contudo, Lenard descobriu que o potencial de corte é independente da intensidade luminosa.
Embora a simples presença dos fotoelétrons não seja surpreendente, a física clássica
era incapaz de explicar o seu comportamento observado. A freqüência de limiar e a instantaneidade da corrente pareciam especialmente anômalas.
39.2 A explicação de Einstein
FIGURA 39.7
O jovem Einstein.
Albert Einstein, cuja fotografia aparece na FIGURA 39.7, era um jovem de 26 anos pouco
conhecido em 1905. Tinha recentemente obtido seu doutorado em física pelo Instituto
Politécnico de Zurique, Suíça. Apesar do reconhecido brilhantismo matemático, seu histórico acadêmico era medíocre. Ao invés de seguir carreira acadêmica, Einstein aceitou
um emprego no Escritório de Patentes de Berna. Foi uma escolha fortuita, que lhe provinha com o tempo necessário para pensar sobre a física de modo único.
Em 1905, Einstein publicou seu artigo inicial sobre a teoria da relatividade, o assunto pelo qual é mais conhecido pelo público em geral. Ele também publicou outro artigo
neste ano, sobre a natureza da luz, e é neste segundo trabalho que repousa nosso interesse agora. Nele, Einstein propõe uma idéia ousada, mas extremamente simples, para
explicar os dados de Lenard sobre o efeito fotoelétrico.
Alguns anos antes, em 1900, o físico alemão Max Planck havia tentado entender
em detalhes o espectro de corpo negro da luz emitida por um objeto incandescente.
No capítulo anterior, aprendemos que esse problema resistia a uma análise clássica e
que Planck encontrara um modo de calcular perfeitamente o espectro se incorporasse
uma hipótese pouco usual. Os átomos em um sólido vibram ao redor de uma posição
de equilíbrio com freqüência f. No Capítulo 14 você aprendeu que a energia de um
oscilador harmônico depende de sua amplitude e pode assumir qualquer valor. A fim
de deduzir o espectro corretamente, contudo, Planck teve de supor que os átomos oscilantes não tivessem a liberdade de possuir qualquer valor de energia. A energia dos
átomos que vibrassem com uma freqüência f tinha de assumir um dos valores específicos E 0, hf, 2hf, 3hf,..., onde h é uma constante, ou seja, as energias vibracionais
seriam quantizadas.
Planck determinou o valor da constante h comparando seus cálculos com os resultados experimentais. Atualmente ela é conhecida como a constante de Planck. Seu valor
é
h 6,63 10–34 J s 4,14 10–15 eV
O primeiro valor, em unidades do SI, é apropriado para a maioria dos cálculos, mas você
notará que o segundo é útil quando as energias estão expressas em eV.
CAPÍTULO 39
■
Quantização
1213
Einstein foi o primeiro a considerar seriamente a idéia de quantização de Planck. Ele
foi ainda mais longe e sugeriu que a própria radiação eletromagnética fosse quantizada! Ou seja, a luz não seria uma onda continua, e sim, incidiria em pequenos pacotes
ou feixes de energia. Einstein denominou cada pacote de energia de quantum de luz e
postulou que a energia de um quantum de luz é diretamente proporcional à freqüência
luminosa. Dessa forma, cada quantum de luz possui uma energia igual a
E hf
(39.4)
onde h é a constante de Planck e f é a freqüência da luz.
A idéia de quanta de luz é sutil, portanto vamos fazer uma analogia com as gotas
da chuva. Embora concebamos a água como um fluido, como, por exemplo, a água
em um copo, a chuva consiste de água que cai em pacotes chamados de gotas de
chuva. As gotas de chuva são os análogos dos quanta de luz. Uma chuva torrencial
traz uma corrente de gotas, mas em uma chuva fraca as gotas são poucas. A diferença
entre chuva “fraca” e “forte” reside na taxa com que as gotas de chuva caem. Uma
chuva intensa produz um ruído continuo no telhado, impossibilitando o discernimento individual das gotas; durante uma chuva fraca, todavia, elas podem ser distinguidas facilmente.
Analogamente, quando a luz é intensa, muitos quanta de luz se deslocam por segundo, enquanto que luz de baixa intensidade é formada por poucos quanta por segundo. Da
mesma forma como as gotas aparecem em diferentes tamanhos, as de maiores massas
tendo as maiores energias cinéticas, os quanta de freqüências mais altas possuem maiores energias. Embora essa analogia não seja perfeita, ela fornece uma imagem útil dos
quanta de luz em incidência sobre uma superfície.
EXEMPLO 39.2 A energia de um quantum de luz
Para a maioria das fontes de luz, os quanta
não são mais distinguíveis do que as gotas
individuais durante uma chuva torrencial.
Um quantum de luz possui uma energia
Qual é a energia de um quantum de luz com comprimento de onda
de 500 nm?
RESOLUÇÃO A luz de comprimento de onda igual a 500 nm possui uma
AVALIAÇÃO Uma vez que 500 nm é um comprimento de onda típico da
freqüência
luz visível (percebida como luz verde), você pode notar que o elétronvolt é uma unidade de energia mais apropriada, neste caso, do que o
joule.
Os postulados de Einstein
Einstein enunciou três postulados sobre os quanta de luz e suas interações com a matéria:
1. A luz de freqüência f consiste em quanta discretos, cada qual com energia E hf.
Cada fóton viaja à velocidade da luz, c.
2. Os quanta de luz são emitidos ou absorvidos integralmente. Uma substância
pode emitir 1, 2 ou 3 quanta, mas não 1,5 quantum. Analogamente, um elétron
de um metal não pode absorver meio quantum, e sim, apenas um número inteiro
deles.
3. Um quantum de luz, quando absorvido pelo metal, transfere a totalidade de sua
energia a um único elétron.
NOTA Esses três postulados – que a luz incide em porções, que as porções não
podem ser divididas e que a energia de uma porção é entregue a um elétron apenas
– são cruciais para a compreensão das novas idéias que originaram a física quântica. Eles estão em total oposição aos conceitos da física clássica, segundo a qual a
energia pode ser continuamente subdividida e compartilhada; portanto, merecem
atenção especial. 1214
Física: Uma Abordagem Estratégica
Vamos entender como os postulados de Einstein foram aplicados ao efeito fotoelétrico. Se Einstein estiver correto, a luz com freqüência f que ilumina o metal é uma
torrente de quanta de luz, cada um com energia hf. Cada quantum é absorvido por um
elétron, cedendo ao elétron uma energia Eelétron hf. Isso gera várias conclusões interessantes:
Um quantum de luz com
E0.
energia
1. Um elétron que recém absorveu um quantum de luz possui Eelétron hf. (A energia
térmica do elétron à temperatura ambiente é tão menor do que hf que podemos
desconsiderá-la.) A FIGURA 39.8 indica que esse elétron pode escapar do metal,
tornando-se um fotoelétron, se
(39.5)
Função-trabalho E0
Em outras palavras, existe uma freqüência de limiar
Um elétron absorveu
completamente a energia de
um quantum de luz e escapou.
FIGURA 39.8 A criação de um fotoelétron.
(39.6)
para a ejeção de fotoelétrons. Se f for menor que f0, mesmo por uma pequena diferença, nenhum elétron terá energia suficiente para escapar, independentemente de
transquão intensa seja a iluminação. Todavia, mesmo uma luz fraca com
ferirá energia suficiente para que alguns elétrons escapem, pois cada quantum
de luz transfere toda a sua energia para um único elétron. Esse comportamento limiar é exatamente o que foi observado por Lenard.
NOTA A freqüência de limiar é diretamente proporcional à função-trabalho. Metais
com função-trabalho elevada, tais como o ferro, o cobre e o ouro, exibem o efeito
fotoelétrico somente quando iluminados com luz ultravioleta de alta freqüência. Para
metais com valores de E0 menores, como o sódio e o potássio, a fotoemissão ocorre
para freqüências mais baixas, no visível. 2. Uma iluminação mais intensa transfere maior quantidade de quanta de luz para a
superfície. Esses quanta ejetam um número maior de fotoelétrons e geram correntes mais intensas, exatamente conforme observado.
3. Há uma distribuição de energias cinéticas, pois diferentes fotoelétrons necessitam
de diferentes energias para escapar, mas a energia cinética máxima é
(39.7)
Pedra
Como se pode notar na Equação 39.3, o potencial de corte Vcorte é diretamente
proporcional a Kmax. A teoria de Einstein prevê que o potencial de corte está relacionado com a freqüência luminosa através de
(39.8)
Água
Classicamente, a energia da pedra é
dividida entre todas as moléculas da
água. Uma pedrinha causa apenas
ondas pequenas.
Se a pedra pudesse transferir toda a sua
energia para uma gota, a gota poderia
facilmente escapar da piscina.
FIGURA 39.9 Uma pedra transfere energia
para a água.
O potencial de corte não depende da intensidade da luz. Tanto iluminações fracas
quanto intensas apresentarão o mesmo potencial de corte, conforme Lenard observara, mas sem a explicação anterior.
4. Se cada quantum de luz transfere sua energia hf para apenas um elétron, esse
elétron imediatamente adquire energia para escapar. A corrente deve, então, ser
instantânea, sem retardos, exatamente como observado por Lenard.
Novamente, através da analogia da piscina, a FIGURA 39.9 ilustra uma pedrinha lançada à água. A pedrinha aumenta a energia da água, mas tal acréscimo é dividido entre todas as moléculas da água da piscina. O aumento de energia da água é suficiente para
gerar apenas marolas, nem perto de ser suficiente para lançar água para fora da piscina.
Admita, porém, que toda a energia da pedra pudesse ser transferida para uma gota de
água que não precisasse reparti-la. A gota de água obteria facilmente a energia para sair
da piscina. A hipótese de Einstein de que um quantum de luz transfere toda a sua energia
para um único elétron é equivalente à pedra que transfere toda a sua energia para uma
única gota de água.
CAPÍTULO 39
■
Quantização
1215
Uma previsão
A hipótese de Einstein explica não apenas as observações de Lenard, mas faz uma nova
previsão. De acordo com a Equação 39.8, o potencial de corte deveria ser uma função linear crescente da freqüência luminosa f. Podemos reescrever a Equação 39.8 em termos
da freqüência de limiar f0 E0/h como
(39.9)
Um gráfico do potencial de corte Vcorte versus freqüência da luz f deveria partir do zero,
em f f0, e aumentar linearmente com declividade h/e. De fato, a declividade do gráfico
fornece um método de mensuração da constante de Planck.
Lenard não havia medido o potencial de corte para diferentes freqüências, de modo
que Einstein propôs isto como uma previsão não-testada de sua teotia. Robert Millikan,
já então bem-conhecido por seu experimento da gota de óleo para medir e, aceitou o
desafio. Alguns dos dados de Millikan para um cátodo de césio estão reproduzidos na
FIGURA 39.10. Como podemos notar, as previsões de Einstein sobre a existência de uma
relação linear entre f e Vcorte foram confirmadas.
Millikan mediu a declividade de seu gráfico e a multiplicou por e (cujo valor ele
havia medido alguns anos antes com o experimento da gota de óleo) a fim de determinar
h. O valor obtido concordava com o valor que Planck determinara em 1900 em um experimento totalmente distinto. Os quanta de luz, gostassem os físicos ou não, eram reais.
EXEMPLO 39.3 A freqüência de limiar do efeito
fotoelétrico
Vcorte
Declividade ⫽ 4,124⫻10⫺15 V/Hz
,
FIGURA 39.10 Um gráfico dos dados de
Millikan para o potencial de corte em
função da freqüência luminosa.
Essas freqüências podem ser convertidas para comprimentos de onda
resultando em
via
Quais são as freqüências limiares e os comprimentos de onda de fotoemissão para o sódio e para o alumínio?
RESOLUÇÃO A Tabela 39.1 fornece a função-trabalho do sódio como
E0 2,75 eV. A do alumínio é E0 4,28 eV. Podemos usar a Equação
39.6, com h expresso em eV, e calcular
EXEMPLO 39.4 Velocidade máxima dos fotoelétrons
Qual é a máxima velocidade dos fotoelétrons se o sódio for iluminado
com luz de 300 nm?
AVALIAÇÃO O efeito fotoelétrico pode ser observado com sódio para
Isso inclui a luz visível azul e a violeta, mas não inclui
o vermelho, o laranja, o amarelo ou o verde. O alumínio, com maior
função-trabalho, necessita de comprimentos de onda situados no ultravioleta, ␭ < 290 nm.
Como K ½ mv2, onde m é a massa do elétron, e não, a massa de um
átomo de sódio, a velocidade máxima para um fotoelétron que sai do
cátodo é
RESOLUÇÃO A freqüência da luz é
portanto cada quantum de luz possui energia hf 4,14 eV. A energia
cinética máxima dos fotoelétrons é
Observe que tivemos de converter Kmax para a unidade do SI, o joule,
antes de calcular a velocidade em m/s.
PARE E PENSE 39.1 A função-trabalho de um metal A é 3,0 eV. Os metais B e C possuem
funções-trabalho de 4,0 eV e 5,0 e V, respectivamente. Luz ultravioleta ilumina os três
metais, gerando fotoelétrons. Ordene em seqüência decrescente os potenciais de corte
de A, B e C.
1216
Física: Uma Abordagem Estratégica
39.3 Fótons
Oscilação do campo
eletromagnético
FIGURA 39.11 Um pacote de ondas tem
propriedades ondulatórias e corpusculares.
Ao contrário do que muitos pensam, Einstein recebeu o prêmio Nobel em 1921 não pela
teoria da relatividade, mas pela explicação do efeito fotoelétrico. Embora Planck tenha
sugerido inicialmente, foi Einstein quem mostrou de forma convincente que a energia
é quantizada e que a luz, apesar de exibir interferência, comporta-se como se fosse formada por pacotes de energia. Tais unidades fundamentais de energia luminosa foram
denominadas, mais tarde, fótons.
Mas o que são exatamente os fótons? Embora eles possuam características de partículas, os fótons claramente não se ajustam à idéia clássica associada a uma partícula. Ao
incidir em um aparato de fenda dupla de Young, uma partícula clássica atravessaria um
orifício ou outro. Neste caso, se a luz fosse constituída de partículas clássicas, veríamos
dois pontos brilhantes na tela. Em vez disso, observamos franjas de interferência no
experimento de fenda dupla. No Capítulo 25, observamos que o padrão de interferência pode ser construído fóton a fóton quando a intensidade da luz é muito baixa. Esse
comportamento indica que o fóton deve, de algum modo, passar por ambas as fendas e
interferir consigo mesmo! Os fótons parecem revelar, ao mesmo tempo, comportamento
ondulatório e comportamento corpuscular.
Às vezes visualizamos os fótons como pacotes de ondas. A onda eletromagnética
mostrada na FIGURA 39.11 possui comprimento de onda e freqüência definidos, mas ela é
discreta e localizada. Todavia ela não pode ser exatamente um fóton, pois neste caso um
pacote de ondas demoraria um tempo finito para ser absorvido ou emitido. Em vez disso,
fótons são emitidos ou absorvidos instantaneamente; não existe qualquer instante de
tempo correspondente a uma “meia absorção”. A idéia do pacote de ondas, apesar de
útil, ainda é muito clássica para representar um fóton.
Em resumo, não existe um modelo mental “verdadeiro” do fóton. Analogias com
gotas de chuva ou com pacotes de onda são úteis, mas nenhuma delas é perfeitamente
precisa. Podemos detectar fótons, medir suas propriedades ou utilizá-los na prática, mas
sua natureza permanece um mistério. Parafraseando Gertrude Stein, diríamos: “Um fóton é um fóton é um fóton”.
A taxa de emissão de fótons
Na analogia com gotas de chuva, a luz consiste de uma enxurrada de fótons. No caso
de luz monocromática de freqüência f, N fótons possuem energia total Eluz Nhf. Normalmente estamos mais interessados na potência luminosa ou na taxa (em joules por
segundo) segundo a qual a energia luminosa é transmitida. A potência é igual a
(39.10)
onde R dN/dt é a taxa segundo a qual os fótons incidem ou, equivalentemente, o número de fótons por segundo.
EXEMPLO 39.5 A taxa de emissão de fótons por um laser
Fotodetectores de silício podem ser ativados
por fótons com energias tão baixas quanto
1,1 eV, o que corresponde a comprimentos
de onda no infravermelho. O chip sensível
à luz de uma câmera digital pode detectar o
sinal infravermelho gerado por um controle
remoto. Pressione um botão de seu controle
remoto, mire em sua câmera digital e tire
uma foto. A fotografia revelará claramente o
infravermelho emitido pelo controle remoto,
embora o sinal seja invisível a olho nu.
O feixe luminoso de 1,0 mW de um laser de hélio-neônio (␭ 633 nm) ilumina uma tela.
Quantos fótons atingem a tela por segundo?
RESOLUÇÃO A potência do feixe de luz, ou energia transmitida por segundo, é P 1,0
mW 0,0010 J/s. Trata-se de um valor realista. A freqüência da luz é igual a
O número de fótons que atingem a tela por segundo, ou seja, a taxa de emissão dos fótons, é
AVALIAÇÃO Isso é um monte de fótons por segundo. Por isso não os notamos individualmente!
CAPÍTULO 39
■
Quantização
1217
Fotodetectores
NOTA A duração do pulso, de 0,3 ns, não é indicação da duração de um fóton. A
absorção do fóton é instantânea, mas como a cascata de elétrons cresce em número,
a repulsão elétron-elétron faz com que o feixe de elétrons se espalhe um pouco. A
largura do pulso é uma característica do PMT, e não, do fóton. PARE E PENSE 39.2 A intensidade de um feixe de luz aumenta, mas a freqüência permanece
constante. Qual ou quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
a. Os fótons viajam mais rapidamente.
b. Cada fóton tem maior energia.
c. Os fótons são maiores.
d. Há mais fótons por segundo.
39.4 Ondas de matéria e quantização da
energia
Em 1924, Louis-Victor de Broglie era um estudante francês de doutorado. Aos 19 anos,
Einstein havia abalado o mundo da física ao esmaecer a distinção entre uma partícula e
uma onda. Ao refletir sobre o assunto, parecia a de Broglie que a natureza deveria possuir alguma forma de simetria. Se ondas luminosas revelavam comportamento corpus-
Um tubo fotomultiplicador
Voltagens dos eletrodos
Elétrons
Corrente I
Cátodo
Fóton
Tubo a
vácuo
Ânodo
O feixe de elétrons aumenta após
cada colisão com um eletrodo.
Sinal de saída produzido por um único fóton
Voltagem de saída (20 mV/div)
Os fotodetectores modernos são descendentes do efeito fotoelétrico. Eles variam desde
simples “olhos elétricos” até complexos conjuntos de detectores em câmeras de vídeo.
A maioria dos detectores utiliza fotodiodos, nos quais os fotoelétrons são emitidos internamente por um semicondutor. Ainda assim, esses dispositivos possuem uma freqüência
de corte, um potencial de corte e outras características do efeito fotoelétrico.
Níveis de iluminação muito baixos podem ser detectados fóton a fóton através de um
aparelho denominado tubo fotomultiplicador (PMT, do inglês photomultiplier tube). A
FIGURA 39.12a mostra que um PMT consiste de um cátodo, um ânodo e um número de
eletrodos intermediários, selados em um tubo de vidro sem ar. O cátodo é recoberto com
um material de baixa função-trabalho, o que lhe permite responder à grande maioria dos
comprimentos de onda visíveis. O cátodo é mantido em uma voltagem relativamente
alta, e o ânodo, essencialmente, a zero volt. Potenciais continuamente decrescentes são
aplicados aos eletrodos intermediários.
Um fóton de luz ejeta um fotoelétron do cátodo. O campo elétrico entre o cátodo e
o primeiro eletrodo acelera esse elétron através de uma diferença de potencial de 300V,
fazendo-o chegar ao eletrodo em alta velocidade. Quando o elétron veloz colide com a
superfície de um metal, ele retira do material dois ou três outros elétrons, ditos elétrons
secundários. Os elétrons secundários oriundos do primeiro eletrodo são acelerados até
o segundo eletrodo, onde liberam mais elétrons, que se deslocam até o terceiro eletrodo,
onde liberam outros elétrons, e assim por diante. Forma-se uma reação em cadeia de
multiplicação de elétrons – 1, 2, 4, 8, 16,... – à medida que eles se movem do cátodo
6
7
para o ânodo. Em um PMT típico, um único elétron emitido pelo cátodo gera 10 ou 10
outros elétrons, que acabam por chegar ao ânodo.
Os elétrons são coletados pelo ânodo e passam por um resistor. Como são cargas
condutoras negativas, podemos dizer que uma corrente positiva flui pelo resistor em
durante o temsentido contrário. Isso cria uma voltagem negativa no resistor,
po que dura a passagem da corrente. A FIGURA 39.12b, reprodução de uma medição real,
mostra um pulso gerado por um único fóton. A escala horizontal é de 0,2 ns/divisão, e
a vertical, de 20 milivolts (mV)/divisão. Você pode verificar que a largura do pulso é de
艐 0,3 ns e que a altura (medida para baixo a partir da base) é de 艐 120 mV 0,12V.
Não se trata de uma voltagem grande, mas ela é facilmente mensurável com a eletrônica
moderna.
Voltagem da
fonte:
⫺3000V
Tempo de subida: 150 ps
Tempo de descida: 360 ps
Largura do pulso: 300 ps
Tempo (0,2 ns/div)
FIGURA 39.12 Um tubo fotomultiplicador
pode detectar fótons individuais.
1218
Física: Uma Abordagem Estratégica
cular, por que partículas materiais não poderiam apresentar comportamento ondulatório?
Em outras palavras, existiriam ondas de matéria?
Sem evidência experimental para prosseguir, de Broglie raciocinou por meio de anapara o fóton e idéias oriundas da teoria
logias, usando a equação de Einstein
da relatividade. Não precisamos nos preocupar com os detalhes, mas eles levaram de
tivesse comBroglie a postular que, se uma partícula material com momentum
portamento ondulatório, seu comprimento de onda deveria ser dado por
(39.11)
onde h é a constante de Planck. Esse comprimento de onda é denominado comprimento
de onda de de Broglie.
EXEMPLO 39.6 O comprimento de onda de de Broglie de
um elétron
Qual é o comprimento de onda de de Broglie de um elétron com 1,0
eV?
RESOLUÇÃO Um elétron com 1,0 eV 1,6 10
–19
Apesar de veloz para os padrões macroscópicos, trata-se de um elétron lento, pois ele ganha velocidade através de um potencial de apenas 1,0 V. Seu comprimento de onda de de Broglie é
J de energia cinéti-
ca possui uma velocidade
AVALIAÇÃO O comprimento de onda do elétron é pequeno, mas é maior
do que o comprimento de onda dos raios X e do que o espaçamento
entre os átomos de um cristal, aproximadamente.
FIGURA 39.13 Um padrão de interferência
de fenda dupla gerado por elétrons.
O que significa associar um comprimento de onda à matéria – um elétron, um próton
ou uma bola de beisebol? Essas ondas obedeceriam ao princípio da superposição? Elas
exibiriam interferência e difração? Essas questões foram examinadas no Capítulo 25, onde
verificamos que a matéria de fato exibe interferência. A FIGURA 39.13, por exemplo, mostra
um padrão de intensidade obtido pela passagem de elétrons de 50 keV através de duas
fendas separadas por 1,0 ␮m. Vê-se claramente um padrão de interferência de fenda dupla,
e o espaçamento entre as franjas corresponde ao predito para um comprimento de onda
dado pela fórmula de de Broglie. O feixe de elétrons é de baixa intensidade, com um elétron atravessando o aparelho de cada vez, o que aparentemente significa que, de alguma
forma, cada elétron passa por ambas as fendas e interfere consigo mesmo!
Os elétrons são partículas subatômicas fundamentais. Talvez partículas subatômicas possuam comportamento ondulatório. E quanto aos átomos, formados por muitas
partículas fundamentais? Surpreendentemente, pesquisas realizadas durante os anos
1980 demonstraram que átomos, e até mesmo moléculas, podem produzir padrões de
interferência.
A FIGURA 39.14 representa, esquematicamente, um interferômetro atômico. Você
aprendeu no Capítulo 22 que um interferômetro, como o de Michelson, funciona pela di-
A onda atômica é dividida em A por difração
através de uma onda luminosa estacionária.
Espelho
Onda luminosa estacionária
Detector
Átomos
Laser
Divisor de feixe
Partes da onda viajam por
diferentes caminhos
FIGURA 39.14 Um interferômetro atômico.
As ondas são
recombinadas em D
CAPÍTULO 39
■
Quantização
1219
visão de uma frente de onda em duas ondas, que seguem caminhos distintos e depois são
recombinadas. No caso de ondas luminosas, a divisão é feita pelo envio da luz através
de uma rede de difração de fendas periódicas. Em um interferômetro atômico, a onda
de matéria associada ao átomo é dividida pelo envio do átomo através das modulações
periódicas de intensidade de uma onda luminosa estacionária.
Na figura, note que um laser cria três ondas luminosas estacionárias paralelas, cada
qual com nodos separados por uma distância ␭/2. O comprimento de onda é definido de
maneira que as ondas luminosas exerçam pequenas forças sobre um átomo que atravesse
o feixe de laser. Como a intensidade ao longo da onda estacionária alterna entre máximos, nos antinodos, e zeros, nos nodos, um átomo que cruze o laser experimentará uma
força periódica. Enquanto um átomo, comportando-se como partícula, fosse desviado
por tal força periódica, uma onda seria difratada. Após ser difratado pela primeira onda
estacionária em A, o átomo desloca-se, de alguma maneira, na direção de ambos os
pontos B e C.
A segunda onda estacionária difrata as ondas atômicas novamente nos pontos B e
C, direcionando-as para D, onde, em uma terceira difração, elas são recombinadas após
percorrerem caminhos distintos. Dependendo das fases das ondas ao se recombinarem, o
detector registrará átomos (interferência construtiva) ou não (interferência destrutiva). A
alteração de um dos caminhos através, por exemplo, da aplicação de um campo elétrico
na região próxima a B, e não, na região próxima a C, muda as fases das ondas atômicas
e produz franjas de interferência no detector.
O interferômetro atômico é fascinante, pois ele inverte completamente tudo o que
aprendemos sobre interferência e difração. Os cientistas que estudaram a natureza da
luz no século XIX faziam incidir luz (uma onda) sobre uma rede de difração (estrutura
periódica de matéria) e constatavam que a luz era difratada. Atualmente, podemos lançar
átomos (matéria) sobre uma onda estacionária (estrutura periódica de luz) e constatar
que os átomos são difratados. Os papéis da luz e da matéria foram invertidos!
Quantização da energia
De Broglie concebia uma onda de matéria como uma onda progressiva. Admita, porém,
que uma “partícula” de matéria fosse confinada a uma pequena região do espaço e não
pudesse deixá-la. Como se manifestariam as propriedades ondulatórias da matéria?
Esse é o problema da “partícula em uma caixa” que estudamos no Capítulo 25. Resumiremos nosso estudo anterior. A FIGURA 39.15 representa uma partícula de massa que
ricocheteia entre os extremos de uma caixa de comprimento L. Entre os extremos, a
partícula move-se com velocidade v. Chamaremos isso de caixa unidimensional; sua
largura é irrelevante.
Uma onda que se reflete entre dois extremos fixos gera uma onda estacionária. No
Capítulo 21, você aprendeu que uma onda estacionária de comprimento L deve possuir
um comprimento de onda dado por
(39.12)
Ondas de matéria se deslocam em
ambos os sentidos.
Se a partícula confinada possui propriedades ondulatórias, ela deve satisfazer tanto à
, ou seja, uma partícula confinaEquação 39.12 quanto à relação de de Broglie
da em uma caixa deve obedecer à relação
Isto só pode ser verdadeiro se o módulo da velocidade da partícula for dado por
(39.13)
Em outras palavras, a partícula não pode deslocar-se dentro da caixa com uma rapidez
qualquer. Em vez disso, ela pode ter somente os valores de velocidade dados pela Equação 39.13, para os quais o comprimento de onda de de Broglie gera uma onda estacionária na caixa.
FIGURA 39.15 Uma partícula em uma caixa
gera uma onda de de Broglie estacionária
enquanto se desloca e se reflete nos
extremos.
1220
Física: Uma Abordagem Estratégica
Portanto a energia da partícula, puramente cinética, é igual a
(39.14)
A hipótese de de Broglie sobre o comportamento ondulatório da matéria nos leva à fantástica conclusão de que a energia de uma partícula confinada é quantizada. A energia
ou
ou
porém não
da partícula na caixa pode ser
pode assumir valores intermediários.
Os valores possíveis para a energia da partícula são denominados níveis de energia,
e o inteiro n que os caracteriza é denominado número quântico. O número quântico
pode ser encontrado contando-se os antinodos, como você aprendeu no caso das ondas
estacionárias em uma corda. A onda estacionária da Figura 39.15 corresponde a n 3,
portanto sua energia é E3.
Podemos reescrever a Equação 39.14 na forma usual
(39.15)
onde
(39.16)
é o quantum fundamental de energia de uma partícula confinada em uma caixa unidimensional. Ela é análoga à freqüência fundamental f1 de uma onda estacionária em uma
corda.
EXEMPLO 39.7 Os níveis de energia de uma gotícula de óleo
Qual é a quantidade fundamental de energia para uma gotícula de óleo usada por Millikan
com 1,0 ␮m de diâmetro, quando confinada em uma caixa de comprimento 10 ␮m? A densi3
dade do óleo é de 900 kg/m .
RESOLUÇÃO A massa de uma gotícula é m ␳V, onde o volume é igual a
. Uma rápida
O
estimativa mostra que uma gota de 1,0 ␮m de diâmetro possui massa
–5
comprimento de confinamento é L 1,0 10 . Da Equação 39.16, o quantum fundamental
de energia é
AVALIAÇÃO Essa quantidade de energia é tão diminuta que não há esperança de distinguir-
mos entre E1, ou 4E1, ou 9E1. Para quaisquer partículas macroscópicas, mesmo as menores,
as energias permitidas parecem formar um contínuo. Nessas situações, não observaremos a
quantização.
EXEMPLO 39.8 Os níveis de energia de um elétron
Quais são as três primeiras energias permitidas para um elétron confinado em uma caixa unidimensional de 0,10 m de comprimento, o
tamanho aproximado de um átomo?
primeiras energias permitidas para um elétron em uma caixa de 0,10
nm de comprimento são
RESOLUÇÃO Podemos usar a Equação 39.16, com melétron 9,11 –31
–10
10 kg e L 1,0 10 m para determinar que o quantum de energia
–18
fundamental é igual a E1 6,0 10 J 38 eV. Portanto, as três
Aprendemos que o confinamento de uma partícula gera uma onda estacionária de
de Broglie e que uma onda estacionária possui apenas determinados comprimentos de
onda discretos. Portanto, descobrimos que uma partícula confinada pode assumir apenas
certos níveis de energia discretos, ou seja, o confinamento de uma partícula conduz
CAPÍTULO 39
■
Quantização
diretamente à quantização de sua energia. Embora uma partícula em uma caixa não
constitua um modelo realista do átomo, trata-se de um exemplo simples e ilustrativo.
Um elétron confinado em um átomo real deve corresponder a uma onda estacionária
tridimensional bem mais complexa, mas, tal como uma partícula em uma caixa, ele possuirá energias quantizadas. Ademais, esperamos que a diferença típica entre os níveis de
energia seja de alguns elétron-volts.
Esse é um resultado intrigante. Descobrimos que fótons de luz visível ou ultravioleta possuem energias de alguns elétron-volts. Também sabemos que os átomos emitem
comprimentos de onda discretos no visível e no ultravioleta. Agora, vemos que o espaçamento entre os níveis de energia de um elétron confinado em um átomo é da ordem de
alguns elétron-volts. Haverá alguma conexão entre esses fenômenos? Exploraremos esse
tópico na próxima seção.
PARE E PENSE 39.3 Qual é o número quântico desta partícula confinada em uma caixa?
39.5 O modelo atômico quântico de Bohr
O elétron de Thomson e o núcleo de Rutherford indicaram que o átomo possuía algum
tipo de estrutura. O desafio do início do século XX era deduzir, a partir das evidências
experimentais, a estrutura correta. A dificuldade não pode ser exagerada. As evidências
sobre átomos, tais como as observações dos espectros atômicos, eram indiretas, e os
equipamentos de medição, muito rudimentares. Usando as observações como guias, os
físicos tentavam construir um modelo de átomo que pudesse explicar os vários experimentos.
O modelo nuclear de Rutherford era o mais bem-sucedido, mas não explicava por
que átomos são estáveis e seus espectros são discretos. A peça do quebra-cabeça que
permaneceu sem ser notada por alguns anos era o conceito de quanta de luz, introduzido
por Einstein em 1905. Se a luz existe em pacotes de energia discretos, que atualmente
denominamos fótons, e se átomos emitem e absorvem luz, o que podemos afirmar sobre
a estrutura desses átomos?
Essa foi a questão proposta por Niels Bohr. Bohr, cuja fotografia quando jovem aparece na FIGURA 39.16, nasceu, foi educado e passou a maior parte da vida na Dinamarca.
Posteriormente, ele fundou um instituto em Copenhague que, por muitas décadas, foi o
grande centro de desenvolvimento da física quântica. Embora poucas descobertas estejam associadas ao nome de Bohr, ele foi a força intelectual direcionadora dos desenvolvimentos em mecânica quântica e o mentor de muitos jovens físicos que reformularam a
física nas décadas de 1920 e 1930.
Após obter seu doutorado em física em 1911, Bohr viajou para a Inglaterra e trabalhou no laboratório de Rutherford. No ano anterior, Rutherford acabara de finalizar o
desenvolvimento de seu modelo atômico nuclear. O modelo de Rutherford certamente
possui um cerne de verdade, mas Bohr queria entender como um modelo do tipo sistema
solar poderia ser estável, em vez de irradiar toda sua energia. Ele logo reconheceu que
os quanta de Einstein trariam profundas implicações para a estrutura dos átomos. Em
1913, Bohr propôs um modelo radicalmente novo de átomo, no qual ele adicionava a
quantização ao modelo nuclear de Rutherford.
As hipóteses básicas do modelo atômico de Bohr são as seguintes:
1. Um átomo consiste de elétrons negativos em órbita em torno de um núcleo positivo e muito pequeno, como no modelo de Rutherford.
2. Os átomos existem apenas em certos estados estacionários. Cada estado estacionário corresponde a um conjunto especifico de órbitas eletrônicas ao redor do
núcleo. Estes estados são distintos e podem ser numerados por n 1, 2, 3, 4...,
onde n é o número quântico.
18.1
FIGURA 39.16 Niels Bohr.
1221
1222
Física: Uma Abordagem Estratégica
3. Cada estado estacionário possui uma energia discreta e bem-definida En, ou seja,
as energias atômicas são quantizadas. Os estados estacionários de um átomo são
numerados em ordem de energia crescente: E1 < E2 < E3, E4 <....
4. O estado de energia mais baixo do átomo, de energia E1, é estável e pode existir
indefinidamente. Ele é denominado estado fundamental do átomo. Outros estados estacionários com energias E2, E3, E4...... são denominados estados excitados do átomo.
5. Um átomo pode “saltar” de um estado estacionário para outro através da emissão
ou absorção de um fóton de freqüência
(39.17)
Emissão e absorção de luz
Elétron no estado Órbitas permitidas
excitado
O elétron salta para
um estado estacionário
de energia mais baixo
e emite um fóton.
Fóton
incidente
O elétron absorve o
fóton e salta para um
estado estacionário de
energia mais alto.
Excitação colisional
Partícula incidente
A partícula perde
energia
Na colisão, a partícula
transfere energia para
o átomo, excitando-o.
FIGURA 39.17 Um átomo pode mudar
de estado estacionário pela emissão ou
absorção de um fóton ou por colisões.
Ei e Ef são, respectivamenonde h é a constante de Planck e
te, as energias dos estados inicial e final. Este salto é chamado de transição ou, às
vezes, de salto quântico. A FIGURA 39.17a traz uma visão esquemática da emissão
e absorção de fótons em um átomo com estados estacionários.
6. Um átomo pode mudar de um estado de menor energia para um de maior energia
em uma colisão inelástica com
pela absorção de uma energia
um elétron ou com outro átomo. Este processo, denominado excitação colisional,
é ilustrado na FIGURA 39.17b.
7. Átomos tendem ao estado fundamental. Em um estado excitado e deixado por sua
conta, um átomo saltará para estados de energias cada vez mais baixos, até atingir
o estado fundamental.
O modelo de Bohr foi construído a partir do de Rutherford, mas adicionou duas idéias
novas que se originaram da noção de quanta, de Einstein. A primeira delas, expressa no item
2, afirma que apenas algumas órbitas são “permitidas” ou podem existir. A segunda, expressa na hipótese 5, afirma que o átomo pode saltar de um estado para outro pela emissão
ou absorção de fótons com a freqüência exata para que a energia seja conservada.
De acordo com Einstein, um fóton de freqüência f possui energia Efóton hf. Se um
átomo saltar de um estado inicial de energia Ei para um estado final de energia mais baixo
Ef, a energia será conservada se o átomo emitir um fóton com Efóton Eátomo. A fim de
carregar a quantidade de energia correta, esse fóton deve possuir a freqüência dada exatamente pela equação 39.17. Analogamente, um átomo pode saltar para um estado de energia mais alto, para o que necessita de energia adicional, através da absorção de um fóton
de freqüência Efóton Eátomo/h. A energia total do sistema átomo + luz é conservada.
NOTA Quando um átomo é excitado para um nível mais alto pela absorção de um
fóton, o fóton desaparece. Portanto a conservação da energia requer Efóton Eátomo.
Quando um átomo é excitado para um nível mais alto através da colisão com uma
partícula, como por exemplo um elétron ou outro átomo, essa partícula ainda existirá
após a colisão e possuirá uma determinada energia. Portanto, neste caso, a conservação da energia se traduz em uma condição menos estrita: Epartícula Eátomo. As implicações do modelo de Bohr são profundas. Em especial:
1. A matéria é estável. Não existem estados de energia mais baixos se um átomo se
encontra em seu estado fundamental. Ele pode permanecer neste estado indefinidamente.
2. Os átomos emitem e absorvem um espectro discreto. Somente os fótons cujas
freqüências correspondam aos intervalos de energia entre os estados estacionários podem ser absorvidos ou emitidos. Fótons de outras freqüências não podem
ser absorvidos ou emitidos sem violar a conservação de energia.
3. Espectros de emissão podem ser produzidos por colisões. Em um tubo de descarga de gás, os elétrons portadores de corrente que se movem através do tubo
colidem ocasionalmente com os átomos. Uma colisão transfere energia para um
átomo e pode conduzi-lo a um estado excitado. Uma vez no estado excitado, ao
retornar a estados de energia mais baixos, o átomo emite um fóton de luz – espectro de emissão discreto.
4. Os comprimentos de onda de absorção formam um subconjunto dos comprimentos de onda do espectro de emissão. Lembre-se de que todas as linhas obser-
CAPÍTULO 39
■
Quantização
1223
vadas em um espectro de absorção estão também presentes em emissão, mas muitas
linhas de emissão não estão presentes em absorção. De acordo com o modelo de
Bohr, a maioria dos átomos passa a maior parte do tempo no estado mais baixo
de energia, o estado fundamental n 1. Portanto, o espectro de absorção consiste
apenas das transições 1 → 2, 1 → 3,... nas quais o átomo salta de n 1 para valores
mais altos de n através da absorção de um fóton. Transições tais como 2 → 3 não são
observadas pois quase não existem átomos em n 2 a qualquer instante. Em contrapartida, os átomos que foram excitados para o estado n 3 por colisões podem
emitir fótons que correspondem às transições 3 → 1 e 3 → 2. Portanto, o comprimento de onda correspondente a Eátomo E3 – E1 é visto tanto em emissão quanto
em absorção, mas transições com Eátomo E3 – E2 ocorrem apenas em emissão.
5. Cada elemento da tabela periódica possui um espectro próprio. As energias
dos estados estacionários são as energias dos elétrons em órbita. O átomo não
possui outra forma de energia. Elementos diferentes, com diferentes números de
elétrons, possuem órbitas estáveis distintas e, conseqüentemente, distintos estados estacionários. Estados com diferentes energias emitem ou absorvem fótons de
comprimentos de onda diferentes.
EXEMPLO 39.9 O comprimento de onda de um fóton
A freqüência do fóton é
emitido
Um átomo possui estados estacionários com energias Ej 4,00 eV e
Ek 6,00 eV. Qual é o comprimento de onda de um fóton emitido em
um salto quântico do estado k para o estado j?
O comprimento de onda desse fóton é
MODELO Para que a energia seja conservada, o fóton emitido deve pos-
suir exatamente a energia perdida pelo átomo em seu salto quântico.
RESOLUÇÃO O átomo pode saltar de um estado de energia mais alto
para um estado de energia mais baixo através da emissão de um fóton.
A variação de energia do átomo é igual a Eátomo – 2,00 eV, de
modo que a energia do fóton deve ser igual a Efóton 2,00 eV.
AVALIAÇÃO Um comprimento de onda de 621 nm pertence à luz visível.
Diagramas de níveis de energia
Um diagrama de níveis de energia, tal como o da FIGURA 39.18, é uma representação pictórica útil das energias dos estados estacionários. Um diagrama de níveis de energia é mais
próximo de um desenho do que de um gráfico. O eixo vertical representa a energia, mas o
eixo horizontal não representa uma escala. Pense nele como a representação de uma escada
em que as energias são os degraus. O degrau mais baixo, com energia E1, é o estado fundamental. Degraus mais altos são identificados por seus números quânticos, n 2, 3, 4,...
Aumento de
energia
Estas são as energias permitidas. O
átomo não pode assumir energias
entre esses valores.
Estados
excitados
Estas são
transições do
espectro de
absorção.
Nessas transições,
a partir de n ⫽ 4,
fótons são
emitidos.
Estado fundamental
FIGURA 39.18 Um diagrama de níveis de energia.
Os diagramas de níveis de energia são especialmente úteis para mostrar as transições,
ou saltos quânticos, nos quais um fóton de luz é emitido ou absorvido. Por exemplo, a Figura 39.18 representa transições para cima nas quais um fóton é absorvido por um átomo
1224
Física: Uma Abordagem Estratégica
originalmente no estado fundamental (n 1); ela também mostra transições para baixo,
nas quais um fóton é emitido a partir de um estado excitado, correspondente a n 4.
EXEMPLO 39.10 Emissão e absorção
Um átomo possui estados estacionários com energias E1 0,00 eV,
E2 3,00 eV e E3 5,00 eV. Quais comprimentos de onda são observados no espectro de absorção e de emissão desse átomo?
RESOLUÇÃO Esse átomo absorverá fótons nas transições 1 → 2 e 1 →
3, com E1 → 2 3,00 eV e E1 → 3 5,00 eV. Usando as relações
e
determinamos os comprimentos de onda do
espectro de absorção como
MODELO Um fóton é emitido quando um átomo sofre um salto quântico de um nível de energia mais alto para outro, mais baixo. Um fóton
é absorvido em um salto quântico de um nível de energia mais baixo
para outro, mais alto. Porém a maioria dos átomos encontra-se no
estado fundamental, n 1, de modo que os únicos saltos quânticos
observados na absorção partem do estado n 1.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 39.19 representa um diagrama de níveis de
energia para o átomo.
,
,
O espectro de emissão também apresentará os comprimentos de onda
414 nm e 248 nm oriundos das transições 2 → 1 e 3 → 1, dos estados excitados 2 e 3 para o estado fundamental. Adicionalmente, o
espectro de emissão apresentará o salto quântico 3 → 2 com E3 → 2
–2,00 eV, que não é observado em emissão porque existem poucos
átomos no estado n = 2 no caso da absorção. No Exemplo 39.9, aprendemos que uma transição de 2,00 eV corresponde a um comprimento
de onda de 621 nm. Então, os comprimentos de onda do espectro de
emissão são
,
As transições de absorção
devem partir de n ⫽ 1.
As transições de emissão
podem partir e terminar
em qualquer estado.
FIGURA 39.19 Diagrama de níveis de energia de um átomo.
PARE E PENSE 39.4 Um fóton com um comprimento de
onda de 414 nm possui energia Efóton 3,00 eV.
Você espera observar uma linha espectral com ␭ 414 nm no espectro de emissão do átomo representado por este diagrama de níveis de energia? Em
caso afirmativo, qual ou quais transições emitirão
fótons? Você espera observar uma linha espectral
com ␭ 414 nm no espectro de absorção? Em
caso afirmativo, qual ou quais transições absorverão o fóton?
,
,
,
,
39.6 O átomo de hidrogênio de Bohr
A hipótese de Bohr era uma idéia nova e audaciosa, mas ainda havia uma enorme pedra
no caminho: o que seriam os estados estacionários de um átomo? No modelo de Bohr
tudo se apoiava na existência de estados estacionários, na existência de apenas algumas
órbitas permitidas. Nada na física clássica, porém, fornecia uma razão para a existência
de tais órbitas. Ademais, o modelo de Bohr descrevia apenas as conseqüências da existência de estados estacionários, mas não, como encontrá-los. Se tais estados realmente
existissem, teríamos de avançar para além da física clássica para encontrá-los.
A fim de atacar o problema, Bohr analisou o átomo de hidrogênio. Com apenas
um elétron, o átomo de hidrogênio era já conhecido como o mais simples dos átomos.
Aprendemos nos Capítulos 25 e 38 que Balmer descobrira uma fórmula relativamente
simples que fornecia os comprimentos de onda do espectro de emissão do hidrogênio.
Qualquer modelo bem-sucedido de um átomo teria de poder derivar a fórmula de Balmer para o átomo de hidrogênio.
CAPÍTULO 39
■
Quantização
1225
O artigo de Bohr seguiu uma linha de raciocínio tortuosa, o que não surpreende, pois
havia pouco em que se apoiar na época. Nosso objetivo aqui é apresentar uma explanação clara das idéias, e não, um estudo histórico do método de Bohr, portanto seguiremos
uma linha de análise que utiliza as ondas de matéria de de Broglie. Tais ondas não foram
propostas antes de 1924, 11 anos após o artigo de Bohr, mas olhando em retrospectiva,
notamos que o tratamento do elétron como uma onda torna mais direta uma análise do
átomo de hidrogênio. Embora nossa rota seja diferente daquela seguida por Bohr, atingiremos o mesmo objetivo e ainda estaremos em melhor posição para compreender os
trabalhos que se seguiram ao dele.
NOTA A análise de Bohr do átomo de hidrogênio é também chamada de átomo de
Bohr e se aplica exclusivamente ao átomo de hidrogênio. É importante não confundila com os postulados mais gerais do modelo atômico de Bohr. Aqueles postulados,
que estudamos na Seção 39.5, aplicam-se a todos os átomos. A fim de tornar clara
a distinção mencionada, chamaremos a análise de Bohr do átomo de hidrogênio de
átomo de hidrogênio de Bohr. Os estados estacionários do átomo de hidrogênio
A FIGURA 39.20 representa um átomo de hidrogênio de Rutherford, com um único elétron
em órbita em torno de um núcleo constituído por um único próton. Consideraremos que
a órbita é circular, de raio r, e que a velocidade é v. Além disso, para simplificar a análise, admitiremos que o próton permaneça estacionário enquanto o elétron orbita. Essa
hipótese é razoável, pois a massa do próton é aproximadamente 1800 vezes maior que a
do elétron. Portanto, a energia do átomo é dada pela soma de sua energia cinética com
sua energia potencial devido à interação elétron-próton, isto é,
(39.18)
elétron
FIGURA 39.20 Um átomo de hidrogênio
de Rutherford. O tamanho do núcleo está
exagerado.
onde utilizamos qelétron = – e e qpróton = + e.
NOTA m é a massa do elétron, e não, do átomo inteiro. O elétron, como já antecipamos, possui propriedades corpusculares e ondulatórias.
Primeiro, tratemos o elétron como uma partícula carregada. O próton exerce uma força
elétrica coulombiana sobre o elétron:
(39.19)
Essa força imprime ao elétron uma aceleração elétron
elétron/m que aponta para o centro
em todos os instantes. Ela é a aceleração centrípeta, que mantém a partícula em uma
órbita circular. A aceleração centrípeta de uma partícula que se move com velocidade v
2
em uma órbita circular de raio r deve se igualar a v /r, de modo que
(39.20)
Rearranjando os termos, obtemos
(39.21)
A Equação 39.21 é uma restrição ao movimento. A velocidade v e o raio r devem
obedecer à Equação 39.21 a fim de que o elétron se mova em uma órbita circular. Essa
restrição não é exclusiva dos átomos. Descobrimos uma relação similar entre v e r em
nosso estudo de órbitas de satélites.
Agora tratemos o elétron como uma onda de de Broglie. Na Seção 39.4, aprendemos
que uma partícula confinada em uma caixa unidimensional gera uma onda estacionária
ao refletir-se nas extremidades. Lembre-se de que uma onda estacionária consiste de
1226
Física: Uma Abordagem Estratégica
Onda estacionária eletrônica
Órbita clássica
Próton
FIGURA 39.21 Uma onda estacionária
duas ondas progressivas que se movem em sentidos opostos. Quando a distância percorrida na viagem de ida e volta se iguala ao número de comprimentos de onda (2L n␭),
as duas ondas opostas interferem construtivamente, formando a onda estacionária.
Admita que, ao invés de se propagar para a frente e para trás em uma dimensão, nossa partícula ondulatória se desloque sobre a circunferência de um círculo. À semelhança
da partícula em uma caixa, nossa partícula gerará uma onda estacionária se houver ondas
viajando em ambos os sentidos e se a distância de ida e volta for igual a um múltiplo
inteiro de comprimentos de onda. Essa é a idéia que pretendemos transplantar do estudo
de uma partícula confinada em uma caixa. Por exemplo, a FIGURA 39.21 mostra uma onda
estacionária com n 10 comprimentos de onda ao longo de um círculo.
A condição matemática para uma onda estacionária circular é encontrada substituindo-se a distância de ida e volta em uma caixa, 2L, pela distância, 2␲r, ao longo de uma
circunferência. Portanto, uma onda estacionária circular ocorrerá quando
eletrônica, correspondente a n 10, ao
redor da circunferência da órbita.
(39.22)
Contudo, o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula deve ser igual a
Então, a condição de onda estacionária para uma onda de de Broglie é
Esta condição será válida apenas se a velocidade do elétron for dada por
(39.23)
A grandeza h/2␲ ocorre com freqüência tão grande na física quântica que é costume
dar-lhe designação especial. Definimos a quantidade , pronunciada “h barra”, como
Utilizando essa definição, podemos escrever a Equação 39.23 como
(39.24)
Analogamente à Equação 39.21, essa fornece outra relação entre v e r. Essa restrição
surge do tratamento do elétron como uma onda.
Se o elétron pode se comportar como partícula e como onda, ambas as Equações
2
39.21 e 39.24 são restrições a serem obedecidas, ou seja, v na restrição oriunda da
2
análise corpuscular, Equação 39.21, deve ser igual a v na restrição oriunda da análise
ondulatória, Equação 39.24, de modo que
Podemos resolver essa equação e encontrar o raio r como
(39.25)
onde adicionamos o subscrito n ao raio para indicar que ele depende do inteiro n.
2
O lado direito da Equação 39.25, exceto por n , é apenas uma coleção de constantes.
Agrupando-as, definimos o raio de Bohr aB
CAPÍTULO 39
Usando essa definição, a Equação 39.25 para o raio da órbita eletrônica torna-se
(39.26)
Os primeiros valores permitidos de rn são
Acabamos de descobrir os estados estacionários! Ou seja, um átomo de hidrogênio
somente pode existir se o raio de uma órbita eletrônica assumir um dos valores dados
pela Equação 39.26. Órbitas com raios de valores intermediários, tais como r 0,100
nm, não podem existir, pois o elétron não poderia gerar uma onda estacionária ao longo da
circunferência. As órbitas possíveis são quantizadas, sendo permitidas apenas algumas.
O passo crucial que levou à Equação 39.26 foi a exigência de que o elétron deve possuir propriedades ondulatórias, além das corpusculares. Essa exigência levou às órbitas
quantizadas, ou ao que Bohr denominou como estados estacionários. Assim, o inteiro n
é o número quântico que identifica os vários estados estacionários.
Os níveis de energia do átomo de hidrogênio
A partir de agora nosso progresso será mais rápido. Conhecendo os raios possíveis, podemos retornar à Equação 39.23 e determinar que as possíveis velocidades para o elétron são
(39.27)
onde
é o módulo da velocidade do elétron na órbita com
n 1. A velocidade decresce à medida que n aumenta.
Finalmente, podemos determinar as energias dos estados estacionários. Combinando
a Equação 39.18, para a energia, com as Equações 39.26 e 39.27, para r e v, obtemos
(39.28)
Você pode demonstrar que essa expressão complicada pode ser reescrita como
(39.29)
Vamos definir
Podemos, então, escrever os níveis de energia dos estados estacionários do átomo de
hidrogênio como
(39.30)
Depois de muita matemática, convém revermos até onde avançamos e o quanto
aprendemos. A Tabela 39.2 explicita os valores de rn, vn e En correspondentes aos números quânticos n de 1 a 5. De fato, determinamos os estados estacionários do átomo de
hidrogênio. Cada estado, caracterizado pelo número quântico n, possui raio, velocidade
e energia únicos. Essas quantidades estão representadas graficamente na FIGURA 39.22, na
qual as órbitas estão desenhadas em escala. Observe que o diâmetro atômico aumenta
rapidamente com n. Simultaneamente, a velocidade do elétron decresce.
■
Quantização
1227
1228
Física: Uma Abordagem Estratégica
,
,
TABELA 39.2 Raios, velocidades e energias dos primeiros
cinco estados do átomo de hidrogênio de Bohr
,
,
n
,
,
,
,
1
2
3
4
5
rn(nm)
vn(m/s)
0,053
0,212
0,476
0,846
1,322
2,19 10
1,09 106
0,73 106
0,55 106
0,44 106
En(eV)
6
–13,60
–3,40
–1,51
–0,85
–0,54
FIGURA 39.22 Os quatro primeiros estados estacionários
ou órbitas permitidas do átomo de hidrogênio de Bohr,
desenhados em escala.
EXEMPLO 39.11 Os estados estacionários do átomo de
hidrogênio
Em um átomo de hidrogênio, o elétron pode possuir velocidade igual a
5
3,60 10 m/s? Em caso afirmativo, quais são a energia e o raio de sua
5
órbita? O elétron pode possuir uma velocidade de 3,65 10 m/s?
RESOLUÇÃO A fim de estar em um estado estacionário, o elétron deve
possuir a velocidade
onde n é um inteiro. Uma velocidade de 3,60 10 m/s corresponderia a um número quântico
5
que não é um inteiro; portanto, o elétron não pode ter essa velocidade.
5
Todavia, se v 3,65 10 m/s,
Esta é a velocidade de um elétron no estado excitado n 6. Um elétron nesse estado possui energia
e o raio de sua órbita é igual a
Energia de ligação e energia de ionização
É importante compreender por que as energias dos estados estacionários são negativas.
e o zero da energia
A energia potencial de duas partículas carregadas é
potencial ocorre em r , quando as partículas estão infinitamente separadas. O estado
correspondente ao zero de energia total ocorre quando o elétron está em repouso (K 0)
e infinitamente distante do próton (U 0). Essa situação, característica de duas “partípara o qual
e
culas livres”, ocorre no limite
Um elétron e um próton ligados em um átomo possuem menos energia do que quando as duas partículas estão livres. Sabemos disso porque precisamos realizar trabalho
(ou seja, adicionar energia) a fim de separar o elétron do próton. Se o átomo ligado possui menos energia do que as duas partículas livres, e se a energia total de duas partículas
livres é nula, então o átomo deve possuir uma energia negativa.
é a energia de ligação do elétron no estado estacionário n. No estado
Portanto,
fundamental, para o qual E1 – 13,60 eV, teríamos de adicionar 13,60 eV ao elétron
para liberá-lo do próton e para que ele atingisse o estado de energia nula associado a
duas partículas livres. Podemos dizer que, no estado fundamental, o elétron está “ligado
por 13,60 eV”. Em uma órbita correspondente a n 3, mais distante do próton e na qual
a velocidade é menor, o elétron está ligado por 1,51 eV apenas. Essa é a quantidade de
energia que devemos suprir para remover o elétron da órbita correspondente a n 3.
+
A remoção completa do elétron gera um íon positivo, H no caso do átomo de hidro+
gênio. (O fato de que H é um próton não altera o fato de que ele também é um íon.) Uma
vez que quase todos os átomos estão em seus estados fundamentais, a energia de ligação
do estado fundamental é denominada energia de ionização do átomo. A análise de
CAPÍTULO 39
Bohr prevê que a energia de ionização do hidrogênio é igual a 13,60 eV. A FIGURA 39.23
ilustra as idéias de energia de ligação e de energia de ionização.
Podemos testar essa previsão lançando um feixe de elétrons sobre átomos de hidrogênio. Um elétron incidente é capaz de remover um elétron atômico se a energia
cinética K do elétron incidente for maior do que a energia de ionização do átomo. Esse
experimento é de fácil realização e mostra que a energia de ionização do hidrogênio é,
de fato, 13,60 eV.
■
Quantização
1229
A energia de ligação é a energia
necessária para remover um elétron de
sua órbita.
Quantização do momentum angular
O momentum angular de uma partícula em movimento circular, seja ela um planeta ou
um elétron, é igual a
L mvr
Você deve se lembrar de que o momentum angular é conservado nesse movimento orbital porque a força direcionada para o centro não exerce torque sobre a partícula. Bohr
utilizou explicitamente a conservação da energia em sua análise do átomo de hidrogênio,
mas que papel desempenha o momentum angular?
A exigência de que uma onda de de Broglie para um elétron forme uma onda estacionária ao longo da circunferência foi dada, na Equação 39.22, por
Podemos reescrevê-la como
(39.31)
Porém, mvr é o momentum angular L de uma partícula em uma órbita circular. Portanto, o momentum angular de um elétron em órbita não pode assumir qualquer valor.
Ele deve satisfazer à relação
(39.32)
Ou seja, o momentum angular também é quantizado! O momentum angular do elétron
deve ser um múltiplo inteiro da constante de Planck .
A quantização do momentum angular é uma conseqüência direta da natureza ondulatória do elétron. Descobriremos mais adiante que a quantização do momentum angular
é fundamental no comportamento de átomos mais complexos, conduzindo à noção de
camadas eletrônicas, um tópico que você provavelmente já estudou em química.
PARE E PENSE 39.5
Qual é o número quântico deste átomo de hidrogênio?
A energia de ionização é a energia
necessária para gerar um íon através
da remoção de um elétron do estado
fundamental.
FIGURA 39.23 Energia de ligação e energia
de ionização.
1230
Física: Uma Abordagem Estratégica
39.7 O espectro do hidrogênio
Nossa análise do átomo de hidrogênio revelou a existência de estados estacionários, mas
como podemos ter certeza de que os resultados fazem sentido? A evidência experimental
mais importante sobre o átomo de hidrogênio é seu espectro, portanto o teste primário do
átomo de hidrogênio de Bohr é se ele prevê corretamente tal espectro.
O diagrama de níveis de energia do hidrogênio
Muitos níveis de
energia amontoados.
Limite de ionização.
emissão
,
,
absorção
Estado fundamental
A FIGURA 39.24 é um diagrama de níveis de energia para o átomo de hidrogênio. Anteriormente observamos que as energias são como os degraus em uma escada. O degrau mais
baixo corresponde ao estado fundamental, com E1 –13,60 eV. O mais alto, com E 0
eV, corresponde a um íon hidrogênio no limite n → . Esse último degrau é denominado
limite de ionização. Em princípio, existe um número infinito de degraus, mas somente
alguns poucos, mais baixos, estão representados. Os valores mais altos de n estão todos
amontoados logo abaixo do limite de ionização, com n .
O espectro de emissão
,
De acordo com a quinta hipótese do modelo atômico de Bohr, a freqüência do fóton
emitido em uma transição n → m é
FIGURA 39.24 O diagrama de níveis de
(39.33)
energia de um átomo de hidrogênio.
Podemos usar a Equação 39.29 para as energias
fóton emitido será
para prever que a freqüência do
(39.34)
A freqüência é um número positivo, pois m < n, ou seja, 1/m2 > 1/n2.
Estamos mais interessados no comprimento de onda do que na freqüência, pois os
comprimentos de onda são as quantidades medidas experimentalmente. O comprimento
de onda do fóton emitido em um salto quântico n → m é
(39.35)
Essa expressão parece horrenda, mas note que o numerador é, simplesmente, um conjunto de constantes. O valor do numerador, que podemos designar por ␭0, é
Com essa definição, nossa previsão para os comprimentos de onda do espectro de emissão do hidrogênio assume a forma
(39.36)
Essa expressão parece familiar. Trata-se da fórmula de Balmer obtida no Capítulo 38!
Contudo, com uma sutil diferença: a análise de Bohr do átomo de hidrogênio previu ␭0 CAPÍTULO 39
■
Quantização
1231
91,12 nm, enquanto Balmer descobriu experimentalmente que ␭0 ⫽ 91,18 nm. Será que
Bohr chegou tão perto de prever a fórmula de Balmer corretamente, mas falhou?
Na verdade, o problema está em nossa hipótese de que o próton permaneça em repouso enquanto o elétron orbita ao seu redor. De fato, ambas as partículas giram em torno de um centro de massa comum, de maneira análoga à rotação de um haltere com uma
extremidade leve e outra muito pesada. O centro de massa está muito próximo do próton,
cuja massa é muito maior que a do elétron, entretanto o próton não está em repouso. A
boa notícia é que análises mais avançadas incluem o movimento do próton. Este movimento altera a energia dos estados estacionários minimamente – cerca de 1 parte em
2000 –, mas isso é exatamente o necessário para resultar em um valor revisado:
␭0 ⫽ 91,18 nm quando o movimento nuclear é considerado
Limite de ionização
Funciona! Diferentemente de todos os modelos atômicos anteriores, o átomo de hidrogênio de Bohr prevê corretamente o espectro discreto do átomo de hidrogênio. A
FIGURA 39.25 ilustra as transições da série de Balmer e da série de Lyman em um diagrama
de níveis de energia. Somente a série de Balmer, com transições para o estado m ⫽ 2,
fornece comprimentos de onda no visível; essa foi a série inicialmente analisada por Balmer. A série de Lyman, terminando no estado fundamental, correspondente a m ⫽ 1,
pertence à região ultravioleta do espectro e só foi estudada mais tarde. Essas séries, assim
como outras situadas no infravermelho, são observadas em um tubo de descarga quando
as colisões com elétrons excitam os átomos, a partir do estado fundamental, para outros
estados excitados n. Esses átomos, então, decaem, emitindo fótons. Somente a série de
Lyman é observada no espectro de absorção, pois, conforme notamos previamente, quase
todos os átomos em um gás em equilíbrio encontram-se no estado fundamental.
Série de Balmer
visível
Série de Lyman
ultravioleta
Estado fundamental
FIGURA 39.25 Transições que produzem
a série de Balmer e a série de Lyman do
espectro do hidrogênio.
EXEMPLO 39.12 Absorção pelo hidrogênio
Sempre que os astrônomos observam uma galáxia distante, eles verificam que sua luz é fortemente absorvida no comprimento de onda
correspondente à transição 1 → 2 da série de Lyman do hidrogênio.
Essa absorção indica que o espaço interestelar é preenchido com vastas nuvens de hidrogênio, remanescentes do Big Bang. Qual é o comprimento de onda da absorção 1 → 2 do hidrogênio?
RESOLUÇÃO A Equação 39.36 fornece o espectro de absorção do hidrogênio se fizermos m ⫽ 1. A absorção detectada pelos astrônomos
provém da transição do estado fundamental (m ⫽ 1) para o primeiro
estado excitado (n ⫽ 2) do hidrogênio. O comprimento de onda correspondente é
AVALIAÇÃO Esse comprimento de onda situa-se no ultravioleta distan-
te. Astrônomos posicionados no solo não conseguem observar essa
região do espectro porque os comprimentos de onda são fortemente
absorvidos pela atmosfera. Contudo, através de telescópios espaciais,
usados em larga escala primeiramente em 1970, os astrônomos detectam a absorção em 121,6 nm em quase todas as direções em que
eles observam.
Íons hidrogenóides
Um íon dotado de um único elétron em órbita de Z prótons de um núcleo é chamado de
íon hidrogenóide. Z é o número atômico e descreve o número de prótons no núcleo. O
+
++
He , com um elétron em órbita de um núcleo com Z ⫽ 2, e o Li , com um elétron e um
+91
núcleo com Z ⫽ 3, são íons hidrogenóides. Da mesma forma, classificamos o U , com
um único elétron em órbita de um núcleo de urânio com Z ⫽ 92.
Todo íon hidrogenóide é, simplesmente, uma variação do átomo de hidrogênio de
Bohr. A única diferença entre um íon hidrogenóide e o hidrogênio neutro é que a energia
, em vez disso, torna-se
O hidrogênio pode ser visto
potencial
como o caso correspondente a Z ⫽ 1. Se repetirmos a análise das seções anteriores com
essa única modificação, encontraremos:
(39.37)
1232
Física: Uma Abordagem Estratégica
Quando a carga nuclear aumenta, o elétron passa a se mover em órbitas de menor
aumenta significativamente, e
diâmetro e maior velocidade. A energia de ionização
o espectro desloca-se para comprimentos de onda mais curtos. A Tabela 39.3 compara
o diâmetro atômico no estado fundamental 2r1, a energia de ionização |E1| e o primeiro
comprimento de onda 3 → 2 da série de Balmer para o hidrogênio e para os dois primeiros íons hidrogenóides.
TABELA 39.3 Comparação entre íons hidrogenóides com Z 1, 2, e 3
Diâmetro 2r1
Energia de
ionização
Comprimento de
onda para 3 → 2
H (Z 1)
He (Z 2)
0,106 nm
0,053 nm
13,6 eV
54,4 eV
656 nm
164 nm
Li (Z 3)
0,035 nm
125,1 eV
73 nm
Íon
Sucessos e falhas
A análise de Bohr do átomo de hidrogênio parecia ser um sucesso retumbante. Introduzindo as idéias de Einstein sobre os quanta de luz, Bohr conseguiu obter um primeiro
entendimento a respeito dos espectros discretos e deduzir a fórmula de Balmer para
os comprimentos de onda do espectro do hidrogênio. O átomo de hidrogênio de Bohr,
diferentemente do modelo de Rutherford, é estável. Certamente havia mérito na idéia de
estados estacionários.
Contudo, Bohr falhou seriamente em explicar os espectros de todos os outros átomos
neutros. O método não funcionava sequer para o hélio, o segundo elemento da tabela periódica e com apenas dois elétrons. Algo inerente às hipóteses de Bohr parecia funcionar
muito bem para o hidrogênio e não funcionar nos casos envolvendo dois ou mais elétrons.
É importante fazer uma distinção entre o modelo atômico de Bohr, descrito na Seção
39.5, e o modelo do átomo de hidrogênio de Bohr. O modelo atômico de Bohr considera
que existam estados estacionários, mas não indica como encontrá-los. Encontramos os
estados estacionários de um átomo de hidrogênio exigindo que um número inteiro de
ondas de de Broglie ajustem-se à circunferência da órbita, formando ondas estacionárias. A dificuldade na extensão dessa idéia para átomos mais complexos não se origina
do modelo de Bohr, mas do método utilizado para encontrar os estados estacionários. O
modelo atômico de Bohr continua válido, e continuaremos a utilizá-lo, mas o procedimento de ajuste das ondas estacionárias é simplório demais para funcionar em átomos
mais complexos. Necessitamos de um procedimento melhor.
Einstein, de Broglie e Bohr conduziram a física por mares nunca antes navegados. O
sucesso desses pioneiros deixou claro que o mundo microscópico da luz e dos átomos é
governado pela quantização, pelo caráter discreto e pelo esmaecimento da distinção entre partículas e ondas. Embora Bohr estivesse no caminho correto, sua incapacidade em
estender o seu modelo do átomo de hidrogênio a átomos mais complexos também mostrou claramente que a teoria correta e completa ainda era desconhecida. A teoria de Bohr
tornou-se o que hoje denominamos “semiclássica”, um híbrido da mecânica newtoniana
clássica com as novas idéias dos quanta. Faltava ainda uma teoria sobre o movimento e
a dinâmica em um universo quantizado – uma mecânica quântica.
CAPÍTULO 39
■
Quantização
1233
RESUMO
O objetivo do Capítulo 39 foi compreender a quantização da energia para a luz e para a matéria.
Princípios gerais
A luz possui propriedades corpusculares
A matéria possui propriedades ondulatórias
• A energia de uma onda de luz
vem em pacotes discretos chamados de quanta de luz ou fótons.
• O comprimento de onda de de Broglie de uma “partícula” de massa m
.
é
• Para luz de freqüência f, a energia
de cada fóton é E hf, onde h é a constante de Planck.
• Para uma onda de luz que transfere potência P, a taxa de
fótons R é tal que P Rhf.
• Fótons são “corpúsculos”, mas não são partículas clássicas.
• A natureza ondulatória da matéria é observada nos padrões de interferência de elétrons, nêutrons e átomos inteiros.
• Quando uma partícula está confinada, ela gera uma onda de de Broglie
estacionária. O fato de a onda estacionária só
ter determinados comprimentos de onda permitidos conduz à conclusão de que uma partícula confinada assume apenas algumas energias permitidas, ou seja, a
energia está quantizada.
Conceitos importantes
Modelo de Einstein para a
luz
• A luz consiste de quanta de energia
com E hf.
• Os quanta são emitidos ou absorvidos integralmente.
• Quando um quantum de luz é absorvido, ele transfere toda a sua energia
para um único elétron.
Modelo atômico de Bohr
• Um átomo pode existir somente em determinados estados estacionários. As energias permitidas são quantizadas. O estado n
possui energia En.
• Um átomo pode saltar de um estado estacionário para outro
através da emissão ou absorção de um fóton com Efóton hf
Eátomo.
Emissão
Absorção
• Os átomos podem ser excitados por colisões inelásticas.
• Os átomos tendem ao estado fundamental n 1. Na maior parte do tempo, a maioria dos átomos está no estado fundamental.
Aplicações
Efeito fotoelétrico
O átomo de hidrogênio de Bohr
A luz pode ejetar elétrons de um metal apeonde E0 é a funçãonas se
trabalho do metal.
Os estados estacionários são encontrados exigindo-se que um número
inteiro de comprimentos de onda de
de Broglie se ajuste à circunferência
da órbita eletrônica:
O potencial de corte que freia até o repouso até mesmo os elétrons mais rápidos é
igual a
corte
Partícula em uma caixa
Uma partícula confinada a uma caixa unidimensional de comprimento L
gera ondas estacionárias de de Broglie. As energias permitidas são
Isso leva à quantização da energia,
com
onde aB 0,0529nm é o raio de Bohr. O átomo de hidrogênio de Bohr prevê com sucesso a fórmula de Balmer para
o espectro do hidrogênio. O momentum angular também é
quantizado, com
1234
Física: Uma Abordagem Estratégica
Termos e notação
efeito fotoelétrico
freqüência de limiar, ƒ0
potencial de corte, Vcorte
emissão térmica
função-trabalho, E0
constante de Planck, ou
quantum de luz
fóton
pacote de onda
onda de matéria
comprimento de onda de de
Broglie
quantização
nível de energia
número quântico, n
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics,
acessar www.masteringphysics.com
quantum fundamental de energia, E1
modelo atômico de Bohr
estado estacionário
estado fundamental
estado excitado
transição
salto quântico
Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
excitação colisional
diagramas de níveis de energia
raio de Bohr, aB
energia de ligação
energia de ionização, |E1|
limite de ionização
íon hidrogenóide
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. a. Podemos descarregar um eletroscópio carregado negativamente
fazendo incidir nele luz ultravioleta.. Como isto ocorre?
b. Talvez tenha lhe ocorrido que uma luz ultravioleta, incidindo
sobre um eletroscópio descarregado, faria com que ele se tornasse
carregado positivamente, pois são emitidos fotoelétrons. Na
verdade, a luz ultravioleta não exerce nenhum efeito perceptível
em um eletroscópio descarregado. Por que não?
2. a. Explique por que os gráficos da Figura 39.3 são horizontais para
V > 0.
b. Explique por que fotoelétrons são ejetados do cátodo com diferentes energias cinéticas, em vez de todos eles terem a mesma
energia cinética.
c. Explique o raciocínio em que nos baseamos para afirmar que o
potencial de corte Vcorte determina a energia cinética máxima dos
elétrons.
3. Como seria o gráfico da Figura 39.2 se a física clássica fornecesse
a descrição correta para o efeito fotoelétrico? Desenhe o gráfico e
explique seu raciocínio. Admita que a intensidade da luz permanece
constante enquanto a freqüência e o comprimento de onda variam.
4. Como seria o gráfico da Figura 39.3 se a física clássica fornecesse a
descrição correta do efeito fotoelétrico? Desenhe o gráfico e explique seu raciocínio. Inclua as curvas para luz fraca e luz intensa.
5. A FIGURA Q39.5 mostra o gráfico da corrente versus diferença de
potencial em um experimento de efeito fotoelétrico com um metal
desconhecido. Se a física clássica fornecesse a descrição correta
para o efeito fotoelétrico, qual seria a aparência do gráfico caso:
a. A luz fosse substituída por outra de mesma intensidade, mas com
menor comprimento de onda? Esboce o gráfico.
b. O metal fosse substituído por outro com menor função-trabalho?
Esboce o gráfico.
maiores, menores ou iguais à velocidade com que os fotoelétrons
são emitidos pelo metal 2? Explique.
7. Um elétron 1 é acelerado a partir do repouso por meio de uma diferença de potencial de 100 V. Outro elétron 2 é acelerado desde o
repouso por meio de uma diferença de potencial de 200 V. Após a
aceleração, qual dos dois elétrons terá maior comprimento de onda
de de Broglie? Explique.
8. Um elétron e um próton são acelerados a partir do repouso por meio
de uma diferença de potencial de 100 V. Após a aceleração, qual das
partículas terá maior comprimento de onda de de Broglie? Explique.
9. Imagine que a caixa horizontal da Figura 39.15, de fato, esteja
orientada verticalmente. Imagine também que a caixa esteja em
uma estrela de nêutron onde o campo gravitacional é tão intenso
que a partícula na caixa reduz a velocidade significativamente, quase parando, antes de colidir com o topo da caixa. Faça um esboço
qualitativo da onda estacionária de de Broglie correspondente a n
3 para uma partícula nesta caixa.
Dica: Os nós não estão separados de maneira uniforme.
10. Se um elétron se encontra em um estado estacionário de um átomo,
o elétron está em repouso? Em caso negativo, o que significa o termo estado estacionário?
11. A FIGURA Q39.11 mostra o diagrama de níveis de energia de um
elemento X.
a. Qual é a energia de ionização do elemento X?
b. Um átomo no estado fundamental absorve um fóton e, depois,
emite um fóton com comprimento de onda de 1240 nm. Que conclusões você pode tirar acerca da energia do fóton absorvido?
c. Um átomo no estado fundamental colide com um elétron e emite
um fóton com comprimento de onda de 1240 nm. Que conclusão
você obtém acerca da energia cinética inicial do elétron?
,
,
FIGURA Q39.5
6. Um metal 1 possui maior função-trabalho que outro metal 2. Ambos
são iluminados com a mesma luz ultravioleta de curto comprimento de onda. Os fotoelétrons emitidos pelo metal 1 têm velocidades
,
FIGURA Q39.11
,
CAPÍTULO 39
■
Quantização
1235
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
Seção 39.1 O efeito fotoelétrico
Seção 39.2 A explicação de Einstein
1. | Quantos fotoelétrons são ejetados por segundo no experimento
representado pelo gráfico da FIGURA EX39.1?
13. | Uma lâmpada de 100 W emite aproximadamente 5 W de luz visível. (Os outros 95 W são emitidos como radiação infravermelha
ou perdidos em forma de calor para o ambiente.) O comprimento
de onda médio da luz visível está em torno de 600 nm; portanto,
para simplificar, admita que toda a luz tenha este comprimento de
onda.
a. Qual é a freqüência da luz emitida?
b. Quantos fótons de luz visível a lâmpada emite por segundo?
Seção 39.4 Ondas de matéria e quantização da energia
FIGURA EX39.1
2. | Quais dos metais apresentados na Tabela 39.1 exibem o efeito fotoelétrico para (a) luz com ␭ = 400 nm e (b) luz com ␭ = 250 nm?
3. | Fotoelétrons são observados quando um metal é iluminado por
luz de comprimento de onda inferior a 388 nm. Qual é a funçãotrabalho do metal?
4. || Em um experimento do efeito fotoelétrico, elétrons emergem de
uma superfície de tungstênio com energia cinética máxima de 1,30
eV. Qual é o comprimento de onda da luz?
5. | Você precisa confeccionar um fotodetector capaz de responder a
todo o espectro visível da luz. Qual é a máxima função-trabalho
possível para o cátodo?
6. | Use dados de Millikan sobre o efeito fotoelétrico, na Figura 39.10,
para determinar:
a. A função-trabalho do césio, em eV.
b. Um valor experimental para a constante de Planck.
7. | Em um experimento de efeito fotoelétrico determina-se um potencial de corte de 1,93 V quando é utilizada luz de 200 nm para
iluminar o cátodo.
a. De que metal é feito o cátodo?
b. Qual será o potencial de corte se a intensidade da luz for duplicada?
Seção 39.3 Fótons
8. | a. Determine a energia, em eV, de um fóton de comprimento de
onda de 700 nm.
b. Determine o comprimento de onda de um fóton de raio X com
5,0 keV.
9. | Qual é o comprimento de onda, em nm, de um fóton com energia
de (a) 0,30 eV, (b) 3,0 eV e (c) 30 eV? Para cada caso, o comprimento de onda correspondente é de luz visível, ultravioleta ou
infravermelha?
10. | Qual é a energia, em eV, de (a) um fóton de radiofreqüência 100
MHz, (b) um fóton de luz visível com comprimento de onda de 500
nm e (c) um fóton de raio X com comprimento de onda de 0,10 nm?
11. | Uma estação de rádio FM transmite com potência de 10 kW e
freqüência de 101 MHz.
a. Quantos fótons a antena emite por segundo?
b. A transmissão deveria ser considerada como uma onda eletromagnética ou como formada por fótons discretos? Explique.
12. | Um laser de luz vermelho de comprimento de onda de 650 nm
e um laser de luz azul com comprimento de onda de 450 nm emitem feixes com a mesma potência luminosa. Como se comparam
as taxas de emissão de fótons dos dois lasers? Responda obtendo a
relação Rverm/Razul.
14. || Qual é a velocidade associada a um elétron cujo comprimento
de onda de de Broglie é de (a) 1,0 pm, (b) 1,0 nm, (c) 1,0 ␮m e (d)
1,0 mm?
15. || Através de que diferença de potencial um elétron deve ser acelerado desde o repouso para atingir um comprimento de onda de de
Broglie de 500 nm?
16. || O diâmetro de um núcleo é cerca de 10 fm. Qual é a energia
cinética, em MeV, de um próton com comprimento de onda de de
Broglie igual a 10 fm?
17. | Qual é o número quântico de um elétron confinado em uma caixa
unidimensional com 3,0 nm de comprimento se o comprimento de
onda de de Broglie do elétron é de 1,0 nm?
18. | O diâmetro de um núcleo é cerca de 10 fm. Um modelo simples
do núcleo considera que os prótons e os nêutrons estejam confinados em uma caixa unidimensional com 10 fm de comprimento.
Quais são os primeiros três níveis de energia para um próton nesta
caixa, em MeV?
19. || Qual é o comprimento de uma caixa unidimensional em que um
elétron no estado n 1 possui a mesma energia que um próton de
comprimento de onda igual a 600 nm?
Seção 39.5 O modelo atômico quântico de Bohr
20. | A FIGURA EX39.20 é um diagrama de níveis de energia para um
simples átomo. Quais são os comprimentos de onda que aparecem
no (a) espectro de emissão desse átomo e (b) em seu espectro de
absorção?
,
,
FIGURA EX39.20
,
21. || Um elétron com 2,00 eV de energia cinética colide com o átomo
apresentado na FIGURA EX39.20.
a. O elétron é capaz de levar o átomo a um estado excitado?
b. Se a sua resposta para o item a for positiva, qual será a energia
cinética do elétron após a colisão?
22. || As energias permitidas de um simples átomo são 0,00 eV, 4,00
eV e 6,00 eV.
a. Desenhe o diagrama de níveis de energia do átomo. Identifique
cada nível por sua energia e seu número quântico.
b. Quais são os comprimentos de onda que aparecem no espectro
de emissão?
c. Quais são os comprimentos de onda que aparecem no espectro
de absorção?
1236
Física: Uma Abordagem Estratégica
23. || As energia permitidas para um simples átomo são 0,00 eV, 4,00
eV e 6,00 eV. Um elétron, movendo-se com velocidade 1,30 106
m/s, colide com o átomo. O elétron é capaz de excitar o átomo para
o estado estacionário correspondente a n 2? E para o estado estacionário n 3? Explique.
Seção 39.6 O átomo de hidrogênio de Bohr
24. | Por meio de cálculos, mostre que o raio de Bohr é igual a 0,0529
nm e que a energia do estado fundamental do hidrogênio é de
–13,60 eV.
25. || a. Para que número quântico do átomo de hidrogênio a órbita
eletrônica correspondente está mais próxima de 100 nm de
diâmetro?
b. Qual é a velocidade do elétron e sua energia neste estado?
26. || a. Calcule o comprimento de onda de de Broglie do elétron nos
estados do átomo de hidrogênio correspondentes a n 1, 2 e
3. Use as informações fornecidas na Tabela 39.2.
b. Mostre numericamente que a circunferência da órbita correspondente a cada um desses estados estacionários é exatamente
igual a n comprimentos de onda de de Broglie.
27. | Qual é a quantidade de energia necessária para ionizar um átomo
de hidrogênio que se encontra no primeiro estado excitado?
28. | Através de cálculos, mostre que os primeiros três estados do átomo de hidrogênio têm momenta angulares , 2 e 3 , respectivamente.
29. | Mostre que a constante de Planck tem unidade de momentum
angular.
Seção 39.7 O espectro do hidrogênio
30. | Determine os comprimentos de onda de todos os fótons que podem ser emitidos a partir do estado n 4 do átomo de hidrogênio.
31. | Qual é o terceiro comprimento de onda mais longo do espectro de
absorção do hidrogênio?
32. | No espectro de absorção do átomo de hidrogênio, é observada a
linha espectral de comprimento de onda igual a 656,5 nm? Em caso
afirmativo ou negativo, explique por quê.
33. || Determine o raio da órbita do elétron, a velocidade do elétron e
a energia do átomo para os três primeiros estados estacionários do
He+.
Problemas
34. || Para que comprimento de onda de luz um laser de 100 mW libera
2,50 1017 fótons por segundo?
35. || Um laser de rubi emite um intenso pulso de luz que dura somente
10 ns. A luz tem um comprimento de onda de 690 nm e cada pulso
possui uma energia de 500 mJ.
a. Quantos fótons são emitidos em cada pulso?
b. Qual é a taxa de emissão de fótons, em fótons por segundo, durante os 10 ns em que o laser está “ligado”?
36. || Em um experimento de efeito fotoelétrico, o comprimento de
onda da luz que incide sobre o cátodo de alumínio é reduzido de
250 nm para 200 nm. Que diferença podemos observar no potencial
de corte?
37 || Cátodos de potássio e de ouro são usados em um experimento de
efeito fotoelétrico. Para cada um desses cátodos, determine:
a. A freqüência de limiar.
b. O comprimento de onda limiar.
c. A velocidade máxima com que um fotoelétron será ejetado se a
luz possuir comprimento de onda de 220 nm.
d. O potencial de corte se o comprimento de onda for igual a 220 nm.
38. ||| A energia cinética máxima dos fotoelétrons é de 2,8 eV. Quando o comprimento de onda da luz é aumentado em 50%, a energia
máxima decresce para 1,1eV. Quais são (a) a função-trabalho do
cátodo e (b) o comprimento de onda inicial da luz?
39. || Em um experimento de efeito fotoelétrico, o potencial de corte
para um comprimento de onda de 400 nm corresponde a 25,7% do
potencial de corte para um comprimento de onda de 300 nm. De
que metal é feito o cátodo?
40. || O gráfico da FIGURA P39.40 foi obtido em um experimento do
efeito fotoelétrico.
a. Qual é a função-trabalho (em eV) do cátodo?
b. Qual é o valor experimental da constante de Planck obtido a partir desses dados?
corte
corte
,
,
FIGURA P39.40
FIGURA P39.41
41. || A FIGURA P39.41 mostra o potencial de corte versus a freqüência
da luz para o catodo metálico usado em um experimento de efeito
fotoelétrico, Suponha que esse cátodo seja iluminado com 10 ␮W
de luz de 300 nm e que a eficiência de conversão de fótons em fotoelétrons seja de 10%.
a. Qual é a corrente I quando o ânodo é positivo?
b. Desenhe um gráfico que mostre a corrente I versus a diferença de
potencial ΔV para valores de diferença de potencial entre –3 V a
3 V. Indique a escala numérica para cada um dos eixos.
42. || Em um experimento de efeito fotoelétrico, o potencial de corte
foi medido para diferentes comprimentos de onda de luz incidente.
Analise os dados apresentados na tabela e determine:
a. O metal utilizado para confeccionar o cátodo.
b. Um valor experimental para a constante de Planck. Você deve
usar todos os dados fornecidos a fim de obter esse valor.
43. || Na teoria da relatividade de Einstein,
␭ (nm) Vcorte (volts)
a relação entre o momentum e a energia
2
2
2
é E – (pc) E0 , onde, neste contexto,
500
0,19
E0 mc2 é a energia de repouso em vez
450
0,48
da função-trabalho.
400
0,83
a. O fóton é uma partícula sem massa.
350
1,28
Qual é o momentum p do fóton em
300
1,89
função de sua energia E?
250
2,74
b. Einstein também afirmava que a energia de um fóton está relacionada à sua freqüência por E = hƒ. Use
esta equação e o resultado obtido no item a para escrever uma
expressão para o comprimento de onda ␭ de um fóton em função
de seu momentum p.
c. Seu resultado para o item b é válido para uma “onda com características corpusculares”. Suponha que você pensou que essa
expressão também pudesse ser válida para uma “partícula com
características ondulatórias”. Qual é a sua expressão para ␭ se
você substituir p pela expressão da mecânica clássica para o momentum de uma partícula de massa m? Essa expressão lhe parece
familiar?
CAPÍTULO 39
FIGURA P39.45
Intensidade do nêutron
44. || O padrão de interferência eletrônica da Figura 39.13 foi obtido quando dois elétrons com 50 keV de energia cinética foram
lançados através de duas fendas distantes 1,0 ␮m entre si. As
franjas foram gravadas por um detector posicionado 1,0 m atrás
das fendas.
a. Qual era a velocidade dos elétrons? (Trata-se de uma velocidade
suficientemente alta para justificar o emprego da relatividade; todavia, para simplificar, efetue um cálculo não-relativístico.)
b. A Figura 39.13 foi aumentada significativamente. Qual é a distância real, no detector, entre as franjas brilhantes adjacentes?
45. || O padrão de interferência de nêutrons da FIGURA P39.45 foi obtido quando nêutrons com uma velocidade de 200 m/s foram lançados através de duas fendas distantes 0,10mm uma da outra.
a. Qual era a energia, em eV, dos nêutrons?
b. Qual era o comprimento de onda de de Broglie dos nêutrons?
c. O padrão foi registrado por meio de um detector de nêutrons que
mede a intensidade em diferentes posições. Observe a escala
100 ␮m da figura. Ao fazer medições apropriadas diretamente
na figura, determine a que distância o detector estava atrás das
fendas.
46. || Em um tubo de raios catódicos, o feixe de elétrons é acelerado
por meio de uma diferença de potencial de 250 V. Os elétrons, então, atravessam um pequeno orifício circular e são observados em
um anteparo. Você observa que o ponto brilhante central do anteparo é a base de um cone com o vértice no orifício. A linha mais
externa do cone faz um ângulo de 0,50° com a direção original do
feixe de elétrons. Qual é o diâmetro do orifício?
47. || Um elétron confinado em uma caixa unidimensional é observado,
em diferentes instantes de tempo, dotado de energias iguais a 12 eV,
27 eV e 48 eV. Qual é o comprimento da caixa?
48. ||| Um elétron confinado em uma caixa unidimensional emite um
fóton de 200 mm durante um salto quântico de n 2 para n 1.
Qual é o comprimento da caixa?
49. ||| Um próton confinado em uma caixa unidimensional emite um
fóton de raio gama de 2,0 MeV durante um salto quântico de n 2
para n 1. Qual é o comprimento da caixa?
50. || O espectro de absorção de um átomo consiste de comprimentos
de onda iguais a 200 nm, 300 nm e 500 nm.
a. Desenhe o diagrama dos níveis de energia desse átomo.
b. Que comprimentos de onda são observados no espectro de emissão do átomo?
51. || Os três primeiros níveis de energia de
,
um elemento X fictício são apresentados
na FIGURA P39.51.
,
a. Qual é a energia de ionização do ele,
mento X?
b. Que comprimentos de onda são ob,
servados no espectro de absorção do
elemento X? Expresse suas respostas
FIGURA P39.51
em nm.
■
Quantização
1237
c. Indique se cada um dos comprimentos de onda do item b corresponde à luz ultravioleta, visível ou infravermelha.
d. Um elétron com uma velocidade de 1,4 106 m/s colide com um
átomo do elemento X. Logo a seguir, o átomo emite um fóton de
1240 nm. Qual é a velocidade do elétron após a colisão? Admita
que, devido ao átomo ter massa muito maior que a do elétron, o
recuo do átomo é desprezível.
Dica: A energia do fóton não é a energia transferida para o átomo
durante a colisão.
52. || Partindo da Equação 39.28, derive a equação 39.29.
53. || Qual é a energia de um átomo de hidrogênio com 5,18 nm de
diâmetro?
54. || Calcule todos os comprimentos de onda de luz visível do espectro
de emissão do átomo de hidrogênio.
Dica: Existem infinitos comprimentos de onda no espectro, de
modo que você precisará desenvolver uma estratégia para esse problema em vez de recorrer um processo de tentativa e erro.
55. || Um átomo de hidrogênio no estado fundamental absorve um fóton de 13,06 eV. Imediatamente após a absorção, o átomo sofre um
salto quântico correspondente a n 2. Qual é o comprimento de
onda do fóton emitido neste salto quântico?
56. || a. Que comprimento de onda emite um átomo de hidrogênio durante uma transição 200 → 199?
b. Qual é a diferença entre os comprimentos de ondas emitidos
em uma transição 199 → 2 e em outra transição 200 → 2?
57. || a. Calcule o raio da órbita e a velocidade de um elétron correspondentes aos estados n 99 e n 100 do hidrogênio.
b. Determine a freqüência orbital do elétron em cada um desses
estados.
c. Calcule a freqüência de um fóton emitido durante uma transição 100 → 99.
d. Compare a freqüência do fóton obtida no item c com a média
de suas duas freqüências orbitais do item b. Por qual porcentagem eles diferem?
58. || Desenhe um diagrama de níveis de energia, similar ao da Figura
39.24, para o íon He+. Em seu diagrama:
a. Indique os primeiros cinco níveis de energia e identifique cada
um deles pelos correspondentes valores de n e En.
b. Indique o limite de ionização.
c. Indique todas as transições de emissão possíveis que comecem
no nível de energia n 4.
d. Calcule o comprimentos de onda (em nm) correspondente a cada
uma das transições do item c, mostrando-os junto às flechas indicativas.
59. || Quais são os comprimentos de onda correspondentes às transições 3 → 2, 4 → 2 e 5 → 2 do íon hidrogenóide O+7? Em que faixa
do espectro eles se encontram?
60. || Dois átomos de hidrogênio colidem frontalmente. A colisão leva
os dois átomos ao repouso. Imediatamente após a colisão, ambos
os átomos emitem um fóton de 121,6 nm. Qual era a velocidade de
cada átomo no instante que antecedeu a colisão?
61. || Um feixe de elétrons incide em átomos de gás hidrogênio.
a. Para que valor mínimo de velocidade o elétron irá causar a emissão
de luz de 656 nm, gerada na transição 3 → 2 do hidrogênio?
b. Através de que diferença de potencial o elétron deve ser acelerado a fim de atingir tal velocidade?
1238
Física: Uma Abordagem Estratégica
Problemas desafiadores
62. O tubo fotomultiplicador (PMT) da Figura 39.12a consiste de um
cátodo, sobre o qual incide o fóton; um ânodo, onde os elétrons são
coletados; e vários eletrodos intermediários, denominados dinodos.
O tubo ilustrado na figura possui nove dinodos, mas considere um
PMT com N dinodos. O cátodo, quando atingido por um fóton, ejeta
um único fotoelétron. O elétron é acelerado para o primeiro dinodo,
onde causa (em média) ejeção de ⑀ elétrons secundários. A grandeza ⑀ é chamada de coeficiente de emissão secundária. Cada um
desses elétrons causa, em média, ejeção de ⑀ elétrons pelo segundo
dinodo, e cada um desses elétrons, por sua vez, produz ejeção de ⑀
elétrons pelo terceiro dinodo e assim sucessivamente, até que um
pulso grande de elétrons seja coletado pelo ânodo.
a. Escreva uma expressão em função de ⑀ e N para o número médio
de elétrons que chega ao ânodo depois de um único fóton chocarse com o cátodo. Isso é chamado de ganho do PMT.
b. O gráfico da Figura 39.12 mostra o pulso de voltagem gerado
quando uma corrente de elétrons flui por um resistor de 50. A
referência do pulso é zero volts e a escala de voltagem é de 20
mV por divisão. Qual é a corrente máxima desse pulso?
c. Uma vez que I dQ/dt, a quantidade de carga liberada em um
pulso de corrente é
Este valor pode ser interpretado
geometricamente como a área abaixo da curva I versus t. A área
do pulso pode ser aproximada razoavelmente bem pelo produto
de sua altura por sua largura a meia altura. Estime o número de
elétrons do pulso de corrente mostrado na Figura 39.12b.
d. O PMT que produziu esse pulso contém 14 dinodos. Comparando suas respostas aos itens a e c, determine o coeficiente de
emissão secundária desse TFM.
63. Luz ultravioleta de comprimento de onda igual a 70,0 nm ilumina
um gás de átomos de hidrogênio no estado fundamental. Alguns
desses átomos são ionizados pela luz. Qual é a energia cinética dos
elétrons liberados no processo?
64. No experimento do interferômetro de átomos da Figura 39.14, técnicas de resfriamento a laser foram usadas para resfriar um vapor
diluído de átomos de sódio até uma temperatura de 0,0010 K 1,0
mK. Os átomos ultra-resfriados passam por uma série de aberturas
colimadoras até formar o feixe atômico que entra pela esquerda da
figura. As ondas de luz estacionárias foram criadas a partir de um
feixe de elétrons de comprimentos de onda iguais a 590 nm.
a. Qual é a velocidade rms vrms de um átomo de sódio (A 23) em
um gás mantido à temperatura de1,0 mK?
b. Considerando o feixe de laser como uma rede de difração, calcule o ângulo de difração de primeira ordem de um átomo de sódio
se movendo com a velocidade rms do item a.
c. Qual será a distância entre B e C se a segunda onda estacionária
estiver a 10 cm da primeira?
d. Devido à interferência observada envolvendo os dois caminhos,
cada átomo, individualmente, aparenta estar em ambos os pontos, B e C. Com palavras próprias, descreva o que esse experimento demonstra acerca da natureza da matéria.
65. Considere um átomo de hidrogênio no estado estacionário n.
a. Mostre que o período orbital do elétron é T n3T1 e encontre um
valor numérico para T1.
b. Em média, um átomo permanece no estado n 2 por 1,6 ns
antes de sofrer um salto quântico para o estado n 1. Quantas
revoluções o elétron efetua, em média, antes do salto quântico?
66. Considere um elétron em movimento ciclotrônico em presença de
um campo magnético. De acordo com Bohr, o momentum angular
do elétron deve estar quantizado em unidades de .
a. Mostre que os raios permitidos para a órbita do elétron são dados
por
, onde n = 1, 2, 3,......
b. Calcule os quatro primeiro raios permitidos em presença de um
campo magnético de 1,0 T.
c. Encontre uma expressão para os níveis de energia permitidos En
em função de e da freqüência ciclotrônica ƒcic.
67. O múon é uma partícula subatômica com carga igual à de um elétron,
mas dotado de massa 207 vezes maior:
Os físicos consideram os múons como “elétrons pesados”. O múon, contudo, não
é uma partícula estável; ele decai em um elétron e dois neutrinos,
tendo meia-vida de 1,5 ␮s. Múons originados de raios cósmicos são,
às vezes, “capturados” pelos núcleos de átomos de um sólido. Um
múon capturado orbita esse núcleo, como se fosse um elétron, até
decair. Uma vez que um múon capturado freqüentemente ocupa uma
órbita excitada (n > 1), sua presença pode ser detectada pela observação dos fótons emitidos em transições tais como 2 → 1 e 3 → 1.
Considere um múon capturado por um núcleo de carbono (Z =
6). Por causa de sua grande massa, o múon orbita inteiramente no
interior da nuvem eletrônica e não é afetado pelos elétrons. Dessa
forma, o múon “sente” a carga total nuclear Ze e se comporta como
um elétron em um íon hidrogenóide.
a. Qual é o raio orbital e a velocidade de um múon no estado fundamental n = 1? Note que a massa de um múon difere da massa de
um elétron.
b. Qual é o comprimento de onda associado à transição 2 → 1 do
múon?
c. O fóton emitido na transição 2 → 1 está na faixa do infravermelho, do visível, do ultravioleta ou de raios X?
d. Quantas órbitas o múon completará durante 1,5 ␮s? Esse número
é suficientemente grande para que o modelo de Bohr “faça sentido”, apesar de o múon não ser estável?
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 39.1: VA > VB > VC. Para um dado comprimento de onda
de luz, os elétrons são ejetados com maior energia cinética pelos metais
com menor função-trabalho, pois é necessária uma energia menor para
remover um elétron. Elétrons mais rápidos necessitam de uma voltagem
mais negativa para serem parados.
Pare e Pense 39.4: Não na absorção. Na emissão correspondente à
transição de n = 2 para n = 1. A energia do fóton deve coincidir com
a diferença de energia entre os dois níveis de energia envolvidos. A absorção advém do estado fundamental, em E1 = 0,00 eV. Não há nível de
energia de 3,00 eV para o qual o átomo possa saltar.
Pare e Pense 39.2: d. Os fótons se movem sempre com a velocidade c.
A energia do fóton depende apenas da freqüência da luz, e não, de sua
intensidade.
Pare e Pense 39.5: n = 3. Cada antinodo corresponde à metade de um
comprimento de onda; logo, essa onda estacionária possui três comprimentos de onda completos ao longo de uma circunferência.
Pare e Pense 39.3: n = 4. Existem quatro antinodos.
Funções de Onda
e Incerteza
40
Imagem de uma superfície de grafite,
com resolução atômica obtida por
um microscópio de tunelamento.
As saliências hexagonais indicam as
localizações mais prováveis dos elétrons.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 40 é introduzir
a descrição da matéria em termos
de funções de onda e aprender a
interpretá-la. Neste capítulo, você
aprenderá a:
■ Relacionar a descrição ondulatória
Nos dois capítulos anteriores, você aprendeu que a mecânica clássica e o eletromag-
netismo foram incapazes de explicar o novo fenômeno associado à luz, aos elétrons e
aos átomos. As teorias científicas que triunfaram nos séculos XVIII e XIX falharam ao
tentar explicar os fenômenos envolvendo os menores constituintes da matéria. Muitos
cientistas se recusaram a aceitar essas limitações e afirmaram que seria só uma questão
de tempo até alguém descobrir como aplicar as idéias clássicas aos átomos. Suas esperanças, contudo, nunca se tornaram realidade.
Ao mesmo tempo em que a física clássica atingia seu limite, as novas idéias lançadas por Einstein, Bohr e de Broglie começavam a apontar na direção de uma nova
teoria para a luz e a matéria. A mecânica quântica, como ficou conhecida essa teoria,
só alcançou sua forma completa em meados de 1920, porém, desde então, tem provado
ser a teoria física mais bem-sucedida já criada.
Este capítulo e o seguinte introduzirão as idéias básicas da mecânica quântica em
uma dimensão. Embora a teoria completa esteja além do objetivo deste livro, podemos
explorar ao máximo a mecânica quântica de modo a aprender como ela soluciona problemas sobre as estruturas atômica e nuclear. Nosso objetivo neste capítulo é introduzir
o conceito de função de onda. A função de onda, que reconcilia os aspectos ondulatório
e corpuscular da matéria, caracteriza as partículas microscópicas em função da probabilidade de elas serem encontradas em vários pontos do espaço. A imagem de grafite
ilustrada acima, obtida com um microscópio de tunelamento, mostra que os lugares
mais prováveis onde os elétrons podem ser encontrados situam-se ao longo das estruturas anelares criadas por ligações carbono-carbono.
e a descrição corpuscular da
matéria.
■ Usar idéias básicas de
probabilidade.
■ Usar a função de onda para
calcular as probabilidades de
detectar uma partícula.
■ Tomar consciência das limitações
impostas pelo princípio da
incerteza de Heisenberg.
Em retrospectiva
As idéias desenvolvidas neste
capítulo dependem amplamente da
compreensão do experimento de
interferência de fenda dupla com a luz
e com a matéria. Revise:
■ Seções 21.8 e 22.2 Interferência,
batimentos e experimento de
fenda dupla
■ Seções 25.3 e 39.3 Fótons
■ Seções 25.4 e 39.4 Ondas de
matéria, comprimento de onda
de de Broglie e dualidade ondapartícula
1240
Física: Uma Abordagem Estratégica
40.1 Ondas, partículas e o experimento de
fenda dupla
Franjas de interferência em um
experimento óptico de interferência de
fenda dupla.
Talvez você esteja surpreso por abordarmos a mecânica quântica de forma tão lenta.
Por que não colocar tudo no papel e, simplesmente, começar a usá-la? Há duas razões
para isso: primeiro porque a mecânica quântica explica fenômenos microscópicos que
não podemos sentir ou experimentar diretamente. Antes de tudo, é importante aprender
como se comportam a luz e os átomos. De outra forma, como você saberia se a mecânica
quântica realmente explica alguma coisa? Segundo, os conceitos que você vai utilizar na
mecânica quântica são muito abstratos. Antes de nos lançarmos na realização de cálculos, precisamos estabelecer uma conexão entre a teoria e o experimento.
Para realizarmos tal conexão, teremos de relembrar o experimento de interferência
de fenda dupla – uma experiência que vai ao cerne da dualidade onda-partícula. A significância do experimento de fenda dupla se baseia no fato de que tanto a luz quanto a
matéria exibem o mesmo padrão de interferência. Independentemente do que passa pelas fendas – se elétrons, fótons ou nêutrons –, o detector registrará eventos associados a
partículas, ou seja, ele registrará um conjunto discreto de pontos. Nossa compreensão
sobre como a interferência funciona está baseada em propriedades das ondas. Nosso
objetivo é obter a relação entre a descrição ondulatória e a descrição corpuscular da
interferência.
Interferência – uma análise sob o ponto de vista ondulatório
Frentes de onda se aproximando
Fenda dupla
Anteparo
As cristas se
sobrepõem
Amplitude de onda ao longo do anteparo
Franjas de interferência
A interferência da luz pode ser analisada a partir de dois pontos de vista: o ondulatório
ou o corpuscular (fótons). Começaremos pelo ponto de vista ondulatório. A FIGURA 40.1
mostra ondas de luz que passam por duas fendas. A distância entre as fendas é d. Você
deve estar lembrado de que as linhas em um diagrama de frentes de onda representam
cristas de ondas que distam um comprimento de onda umas das outras. As franjas brilhantes de interferência construtiva ocorrem onde duas cristas (máximos) ou dois vales
(mínimos) se superpõem. Os gráficos, alinhados verticalmente, mostram o resultado do
experimento.
Nos Capítulos 21 e 22, você estudou a interferência e o experimento da fenda dupla.
As duas ondas que partem das fendas em direção ao anteparo são ondas progressivas
correspondentes a deslocamentos do meio dados por
onde a é a amplitude de cada onda,
é o número de onda e r1 e r2 são as distâncias entre cada fenda e o anteparo. O “deslocamento” correspondente a uma onda luminosa não é um deslocamento material, como no caso de uma onda na água, por exemplo,
e sim, uma variação do campo eletromagnético.
De acordo com o princípio da superposição, essas duas ondas se adicionam no ponto
do anteparo onde elas se encontram, formando uma onda correspondente ao deslocamento total D D1 + D2. Anteriormente (ver Equação 22.12), obtivemos a amplitude da
superposição
(40.1)
Posições de chegada dos fótons
FIGURA 40.1 O experimento de fenda dupla
com luz.
onde x é a coordenada horizontal sobre o anteparo, medida a partir da posição x 0
localizada no centro.
A função A(x), o gráfico superior da Figura 40.1, é chamada de função amplitude e
descreve a amplitude A de uma onda luminosa em função da posição x sobre o anteparo.
A função amplitude atinge valores máximos onde as duas cristas das ondas individuais
se superpõem, adicionando-se construtivamente e formando uma onda maior, de amplitude 2a. A(x) é nula nos pontos em que as duas ondas individuais estão fora de fase e
interferem destrutivamente.
Se você realizar o experimento de fenda dupla no laboratório, observará a intensida2
de da luz no anteparo, e não, a sua amplitude, ou seja, I A , onde o símbolo significa
CAPÍTULO 40
■
Funções de Onda e Incerteza
1241
“proporcional a”. Usando a Equação 40.1 para a amplitude em cada ponto, obtemos a
intensidade I(x) em função da posição x no anteparo como
(40.2)
onde C é uma constante de proporcionalidade.
O gráfico inferior da Figura 40.1 representa a intensidade em função da posição ao
longo do anteparo. Este gráfico mostra as franjas de interferência brilhantes e escuras
alternadas que você vê no laboratório. Em outras palavras, a intensidade da onda é a
realidade experimental que você observa e mede.
Probabilidade
Antes de começarmos a discutir a respeito dos fótons, precisamos introduzir algumas
idéias sobre probabilidade. Imagine que você jogue dardos com os olhos vendados. A
FIGURA 40.2 mostra como o alvo poderia estar após os primeiros 100 lançamentos. Com
base nesta informação, e considerando que todos os dardos atinjam o alvo, você seria
o
capaz de prever onde acertaria o seu 101 lançamento?
Não. A posição de qualquer dardo individual é imprevisível. Não importa o quanto
você se esforce para reproduzir seu lançamento anterior, você não acertará o dardo seguinte no mesmo lugar. No entanto, há um padrão geral no posicionamento dos dardos.
Mesmo estando com os olhos vendados, você tem uma percepção global da localização
do centro do alvo, de modo que há maior probabilidade de que cada dardo incida próximo ao centro do alvo do que próximo às bordas.
Embora não seja possível prever onde cada dardo individual incidirá, podemos usar a
informação da Figura 40.2 para determinar a probabilidade de que, no próximo lançamento, o dardo incidirá na região A, B ou C. Uma vez que 45 dos 100 lançamentos incidiram
na região A, podemos dizer que a chance de acertar a região A é de 45 em 100, ou 45%.
Mas pense bem, 100 lançamentos não é um numero muito grande. Se você lançar o
dardo outras cem vezes, talvez apenas em 43 delas acertará a região A. Em outros 100
lançamentos, talvez 48. Imagine que o número total de lançamentos, Ntot, torne-se extremamente grande. A probabilidade de que um lançamento em particular incida na região
A é definida por
(40.3)
Em outras palavras, a probabilidade de que o resultado seja A é igual à fração dos resultados A obtidos em um número muito grande de tentativas. De maneira análoga, PB NB/Ntot e PC NC/Ntot à medida que Ntot → . Podemos expressar probabilidades tanto
em forma de frações decimais quanto em percentagem. Neste exemplo, PA 艐 45%, PB
艐 35% e PC 艐 20%. Usamos o símbolo 艐 (aproximadamente), em vez do símbolo (igual), porque um total de 100 lançamentos não é suficiente para determinar as probabilidades com grande precisão.
Qual é a probabilidade de um dardo acertar a região A ou a região B? O número de
dardos que acerta a região A ou B é NA ou B NA + NB; logo, podemos usar a definição de
probabilidade para obter
(40.4)
Ou seja, a probabilidade de que um resultado seja A ou B é a soma de PA e PB. Essa
conclusão importante é uma propriedade geral das probabilidades.
Cada dardo acerta algum lugar do alvo. Conseqüentemente, a probabilidade de um
dardo acertar em A ou B ou C deve ser 100%. E, de fato,
Palgum lugar PA ou B ou C PA + PB + PC 0,45 + 0,35 0,20 1,00
Outra importante propriedade das probabilidades é: a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser igual a 1.
45 na região A
34 na região B
20 na região C
FIGURA 40.2 Cem lançamentos de dardos
em um alvo.
1242
Física: Uma Abordagem Estratégica
Suponha que exaustivas tentativas tenham estabelecido que a probabilidade de um
dardo acertar a região A é PA. Se você jogar N dardos, quantos deles você espera que
acertem em A? Este valor, chamado de valor esperado, é
NA esperado NPA
(40.5)
O valor esperado é a melhor previsão possível para o resultado de um experimento.
Se PA 0,45, sua melhor previsão é de que 27 em 60 lançamentos (45% de 60) acertarão A. É claro que prever 27 é uma coisa, e realmente acertar 27, é outra. Você poderia
prever 30 caras em 60 vezes que você jogasse uma moeda, todavia não seria surpresa se
obtivesse 28 ou 31. De forma análoga, o número de dardos que incidirá na região A pode
ser 24 ou 29 em vez de 27. Em geral, a concordância entre os valores reais e os esperados
aumentará à medida que mais dardos forem lançados.
PARE E PENSE 40.1 Suponha que você jogue um dado 30 vezes. Qual é o número esperado
dos algarismos 1 e 6?
Interferência – uma análise sob o ponto de vista de fótons
O número de fótons nesta faixa
estreita, quando ela está na posição
x, é N(com ␦x centrado em x).
Eixo x
Posição x
N(com ␦x centrado
em x1) 12
N(com ␦x centrado
em x2) 3
Eixo x
Prob(com ␦x centrado Prob(com ␦x centrado
em x1)
em x2)
FIGURA 40.3 Uma faixa de largura ␦x
centrada na posição x.
Agora vamos dar uma olhada nos resultados do experimento de fenda dupla sob uma
perspectiva corpuscular. As evidências experimentais nos ensinaram que o padrão de
interferência é formado fóton a fóton. A ilustração inferior da Figura 40.1 mostra o
padrão apresentado por um detector após a chegada de algumas dúzias de fótons. Sem
dúvida, trata-se de um padrão de interferência de fenda dupla, mas que foi construído
como uma foto de jornal, por meio da deposição de pontos em algumas áreas, e não,
em outras.
A posição de chegada de um fóton particular é imprevisível, ou seja, a forma como
o experimento foi conduzido ou elaborado não nos permite prever exatamente onde o
ponto produzido por um fóton individual aparecerá no detector. Mesmo assim, ainda há
um padrão geral claramente definido. Existem algumas posições em que o fóton tem
maior probabilidade de ser detectado, e outras posições nas quais é menos provável que
o fóton seja encontrado.
Se registrarmos as posições de milhares de fótons, poderemos determinar a probabilidade de um fóton qualquer ser detectado em uma determinada localização. Se 50
entre 50.000 fótons atingirem uma pequena área do anteparo, então cada fóton tem uma
probabilidade de 50/50.000 0,001 0,1% de ser detectado nesse local. A probabilidade será nula nos mínimos de interferência, pois nenhum fóton chega a tais pontos.
Analogamente, a probabilidade será máxima nos máximos de interferência e terá um
valor intermediário nos lados das franjas de interferência.
A FIGURA 40.3a mostra uma faixa estreita com largura ␦x e altura H. (Admita que ␦x
seja muito pequeno em comparação com a distancia entre as franjas. Dessa maneira, a
intensidade da luz sobre ␦x será muito próxima de uma constante.) Pense nessa faixa
como um detector bem estreito que pode registrar e contar os fótons que ali chegam.
Suponha que a faixa estreita tenha sido colocada na posição x. Usaremos a notação
N(com ␦x centrado em x) para indicar o numero de fótons que chegam ao detector nessa
posição. O valor de N(com ␦x centrado em x) varia de região para região. Caso x esteja
próximo do centro, N(com ␦x centrado em x) será um valor grande; se x estiver em uma
franja escura, N(com ␦x centrado em x) será pequeno.
Suponha que Ntot fótons sejam lançados em direção às fendas. A probabilidade de
um fóton qualquer atingir a faixa na posição x é
(40.6)
Conforme ilustrado pela FIGURA 40.3b, a Equação 40.6 é um método empírico para determinar a probabilidade de os fótons atingirem um determinado local do detector.
CAPÍTULO 40
De forma alternativa, podemos calcular as probabilidades a partir de uma teoria.
Nesse caso, o valor esperado para o numero de fótons que incidem em uma faixa estreita
na posição x é
N(com ␦x centrado em x) N Prob(com ␦x centrado em x)
(40.7)
Não podemos prever o que fará cada fóton em particular, mas podemos prever a fração
de fótons que deveria incidir nessa pequena região do espaço. Prob(com ␦x centrado em
x) é a probabilidade de que isso aconteça.
40.2 Relacionando o ponto de vista
ondulatório ao corpuscular
O modelo ondulatório da luz descreve o padrão de interferência em termos da intensidade
de onda I(x), que é uma função contínua. O modelo corpuscular descreve o padrão de interferência em termos da probabilidade Prob(com ␦x centrado em x) de detectar um fóton.
Esses dois modelos são muito diferentes; mesmo assim, a Figura 40.1 mostra uma correlação clara entre a intensidade de onda e a probabilidade de detecção de fótons, ou seja, os
fótons possuem maior probabilidade de serem detectados nas regiões onde a intensidade
da onda é maior, e menor probabilidade de detecção onde a intensidade da onda é baixa.
A intensidade de uma onda é I P/A, a razão entre a potência luminosa (joules por
segundo) e a área A sobre a qual a luz incide. A faixa estreita da Figura 40.3a tem área A
H␦x. Se a intensidade da luz na posição x for I(x), a quantidade de energia luminosa
que incidirá nessa faixa estreita, a cada segundo, será
E(com ␦x centrado em x) I(x)A H␦x
(40.8)
A notação E (com ␦x centrado em x) refere-se à energia depositada nessa faixa estreita
centrada na posição x.
Do ponto de vista corpuscular, a energia E deve-se à chegada de N fótons, cada qual
com energia dada por hf. O número de fótons que incidem na faixa a cada segundo é
(40.9)
Podemos, então, empregar a definição de probabilidade – Equação 40.6 – para escrever a
probabilidade de um fóton incidir na faixa estreita ␦x centrada na posição x na forma
(40.10)
A Equação 40.10 é um elo fundamental entre o modelo ondulatório e o modelo corpuscular de fótons.
2
Finalmente, lembre-se de que a intensidade da luz I(x) é proporcional a |A(x)| , o
quadrado da função amplitude. Conseqüentemente,
(40.11)
onde as constantes da Equação 40.10 foram incorporadas à constante de proporcionalidade não-especificada da Equação 40.11.
Em outras palavras, a probabilidade de detectarmos um fóton em um ponto particular é diretamente proporcional ao quadrado da função amplitude da onda luminosa naquele ponto. Se a amplitude da onda no ponto A for duas vezes maior do
que no ponto B, será quatro vezes mais provável que um fóton atinja uma faixa estreita
localizada em A do que uma faixa de mesma largura localizada em B.
NOTA A Equação 40.11 é a conexão entre a perspectiva corpuscular e a perspectiva ondulatória. Ela relaciona a probabilidade de observarmos um evento de natureza
corpuscular – a chegada de um próton – à amplitude de uma onda clássica contínua.
Esta conexão será a base para interpretarmos os resultados de cálculos em física
quântica. ■
Funções de Onda e Incerteza
1243
1244
Física: Uma Abordagem Estratégica
Densidade de probabilidade
Precisamos de mais uma definição. Lembre-se de que a massa de um fio ou de uma
corda de comprimento L pode ser expressa em termos da densidade linear de massa ␮
como m ␮L. De forma análoga, a carga ao longo do comprimento L de um fio pode
ser expressa em função da densidade de carga linear ␭ como Q ␭L. Se o comprimento
fosse muito pequeno – e neste caso o denotaríamos por ␦x – e se a densidade variasse de
ponto para ponto, poderíamos ter escrito
massa(no comprimento ␦x centrado em x) ␮(x) ␦x
carga(no comprimento ␦x centrado em x) ␭(x) ␦x
A densidade linear de
massa em x é µ(x).
onde ␮(x) e ␭(x) são as densidades lineares na posição x. Ao escrevermos a massa e a
carga dessa forma, separamos os papéis exercidos pela densidade e pelo pequeno comprimento ␦x.
A Equação 40.11 parece similar. Usando as densidades de carga e de massa como
analogias, como mostra a FIGURA 40.4, podemos definir a densidade de probabilidade
P(x) tal que
Prob(com ␦x centrado em x) P(x)␦x
eixo x
(40.12)
–1
A massa deste pequeno segmento
de corda é massa(com ␦x centrado
em x) µ(x) ␦x
.
Em uma dimensão, a densidade de probabilidade tem unidade de m no SI Logo, a
densidade de probabilidade multiplicada pelo comprimento, como na Equação 40.12,
resulta em uma probabilidade adimensional.
A densidade de probabilidade em x é P(x).
eixo x
A probabilidade de um fóton
atingir este pequeno segmento do
anteparo é Prob(com ␦x centrado
em x) P(x)␦x
NOTA P(x) não é uma probabilidade, assim como a densidade linear de massa ␭ não
é, sozinha, uma massa. Você deve multiplicar a densidade de probabilidade por um
comprimento, como mostra a Equação 40.12, a fim de obter a probabilidade real. Ao comparar a Equação 40.12 com a Equação 40.11, você percebe que a densidade
de probabilidade do fóton é diretamente proporcional ao quadrado da amplitude da onda
luminosa.
P(x) |A(x)|
FIGURA 40.4 A densidade de probabilidade
é análoga à densidade linear de massa.
2
(40.13)
Ao contrário da probabilidade, a densidade de probabilidade independe da largura ␦x,
dependendo apenas da posição x.
Embora inspirados no experimento de fenda dupla, nada em nossa análise depende
da geometria da fenda dupla. Conseqüentemente, a Equação 40.13 é completamente
geral. Ela significa que, para qualquer experimento em que haja detecção de fótons, a
densidade de probabilidade de detecção de um fóton é diretamente proporcional ao
quadrado da amplitude da onda eletromagnética correspondente. Agora temos uma
conexão explicita entre as propriedades corpuscular e ondulatória da luz.
EXEMPLO 40.1 Calculando a densidade de probabilidade
Em um experimento, 6000 de 600.000 fótons são detectados em uma
faixa com 1,0 mm de largura, centrada na posição x 50 cm. Qual é
a densidade de probabilidade em x 50 cm?
Logo, a densidade de probabilidade P(x) Prob(com ␦x centrado em
x)/␦x correspondente a essa posição é
RESOLUÇÃO A probabilidade de um fóton atingir essa faixa é
PARE E PENSE 40.2 A figura mostra fótons detectados em um experimento óptico. Ordene,
em seqüência decrescente, os valores da
função amplitude da onda eletromagnética
ao quadrado correspondentes às posições A,
B, C e D.
CAPÍTULO 40
■
Funções de Onda e Incerteza
1245
40.3 A função de onda
Agora, estudaremos a interferência envolvendo matéria. Elétrons que passam através de
um anteparo com uma fenda dupla geram os mesmos padrões de interferência obtidos
com fótons. O padrão é construído elétron a elétron, todavia não é possível prever onde
um elétron especifico será detectado. No entanto, se medirmos as posições individuais
de vários elétrons, poderemos estabelecer a probabilidade de um elétron atingir uma
faixa estreita de largura ␦x.
Para a luz, é possível relacionar a densidade de probabilidade para fótons, P(x), com
a amplitude de uma onda eletromagnética. Porém no caso de elétrons não existe uma
onda análoga à onda eletromagnética para o caso da luz. Então, como determinaremos a
densidade de probabilidade para elétrons? Chegamos a um ponto em que teremos de dar
um salto para além da física clássica. Vamos supor que exista algum tipo de função contínua ondulatória para a matéria que desempenhe um papel análogo àquele exercido pela
amplitude eletromagnética A(x) para a luz. Chamaremos essa função de função de onda
␺ (x), onde ␺ é a letra grega minúscula psi. A função de onda é uma função de posição,
e é por esse motivo que a denotamos por ␺(x).
Para relacionar a função de onda ao mundo real das medidas experimentais, interpretaremos ␺(x) em termos da probabilidade de detectar uma partícula na posição x.
Se uma partícula de matéria, um elétron, por exemplo, for descrita pela função de onda
␺(x), então a probabilidade Prob(com ␦x centrado em x) de encontrarmos uma partícula
em uma região estreita de largura ␦x centrada na posição x é
Prob(com ␦x centrado em x) | ␺(x)| ␦x P(x) ␦x
2
Elétrons geram franjas de interferência
após passarem por uma fenda dupla.
(40.14)
Ou seja, a densidade de probabilidade P(x) de encontrar a partícula é
P(x) |␺(x)|
2
(40.15)
Com as Equações 40.14 e 40.15 definimos a função de onda ␺(x) para desempenhar,
no caso de partículas materiais, o mesmo papel que a função amplitude A(x) desempenha
2
no caso de fótons. A única diferença é que P(x) |␺(x)| vale para partículas, enquanto a
2
Equação 40.13 para fótons é P(x) |A(x)| . A diferença deve-se ao fato de que a amplitude do campo eletromagnético A(x) foi definida previamente por meio das leis da eletrici2
dade e do magnetismo. A grandeza |A(x)| é proporcional à densidade de probabilidade
para encontrar um fóton, mas não é de fato a densidade de probabilidade. Por outro lado,
não temos uma definição prévia para a função de onda ␺(x). Assim, estamos livres para
2
definir ␺(x) de modo que |␺(x)| seja exatamente a densidade de probabilidade. Esta é a
razão pela qual usamos em vez de na Equação 40.15.
A FIGURA 40.5 mostra o experimento de fenda dupla realizado com elétrons. Desta vez
trabalharemos em ordem inversa. A partir da observação da distribuição dos elétrons,
que representa a probabilidade de incidência dos elétrons em uma região particular, po2
demos deduzir que |␺(x)| possui máximos e zeros alternados. A função de onda oscila2
tória ␺(x) é a raiz quadrada de |␺(x)| obtida em cada ponto. Observe a analogia com a
função amplitude A(x) da Figura 40.1.
NOTA |␺(x)|
é determinada unicamente pelos dados, mas a função de onda ␺(x)
não é única. A função de onda alternativa ␺’(x) –␺(x) – uma versão de cabeça para
baixo do gráfico da Figura 40.5 – seria igualmente aceitável. Elétrons
Fenda dupla
Comprimento
de onda de de
Broglie
2
A FIGURA 40.6a constitui um exemplo diferente de função de onda. Após elevar a função de onda ao quadrado em cada ponto, como mostra a FIGURA 40.6b, notamos que ela
representa uma partícula que tem maior probabilidade de ser detectada nas proximidades
2
de x – b ou x +b. Estes são os pontos onde se situam os máximos de |␺(x)| . A probabilidade de uma partícula ser encontrada exatamente no centro é nula. É mais provável
que detectemos uma partícula em algumas regiões do que em outras, mas não podemos
prever sua localização exata.
NOTA Uma das dificuldades para aprender a usar o conceito de função de onda
reside no fato de que não há “algo” em oscilação. Não há uma perturbação associada
a algum meio físico. A função de onda ␺(x) é, simplesmente, uma função ondulatória (i.e., que oscila entre valores positivos e negativos) que pode ser usada para fazer
previsões probabilísticas a respeito de partículas atômicas. Posições de incidência de elétrons no detector
Franjas de interferência
Função de onda do elétron
FIGURA 40.5 O experimento da fenda dupla
realizado com elétrons.
1246
Física: Uma Abordagem Estratégica
Um pouco de metodologia científica
A Equação 40.14 define a função de onda ␺(x) de uma partícula em termos da probabilidade de encontrarmos a partícula em diferentes posições x. Todavia, na verdade, nosso
interesse vai além de uma mera caracterização de dados experimentais. Gostaríamos de
desenvolver uma nova teoria da matéria. Mas o que é uma teoria? Embora este não seja
um livro sobre metodologia científica, podemos dizer a grosso modo que uma teoria física precisa ter dois ingredientes básicos:
(a) Função de onda
(b) Densidade de probabilidade
A partícula tem a
maior probabilidade
de ser detectada onde
é um máximo.
A partícula tem probabilidade nula
de ser detectada onde
FIGURA 40.6 O quadrado da função de
onda é a densidade de probabilidade de
detectar o elétron para diferentes valores
da posição x.
1. Um descritor, uma grandeza matemática usada para descrever nossa compreensão
acerca de um objeto físico.
2. Uma ou mais leis que governam o comportamento do descritor.
Por exemplo, a mecânica newtoniana é uma teoria do movimento. O descritor primário
na mecânica newtoniana é a posição x(t) de uma partícula como função do tempo. Esse
descritor expressa o que sabemos sobre a partícula em todos os instantes. A posição é
governada pelas leis de Newton. Essas leis, especialmente a segunda, são enunciados
matemáticos sobre como o descritor varia em resposta às forças. Se obtivermos uma
previsão de x(t) para o caso de um conjunto de forças já conhecido, acreditamos que um
experimento efetuado no instante t encontrará a partícula exatamente onde foi previsto
que ela esteja.
A teoria de Newton do movimento considera que a posição de uma partícula seja
definida em cada instante de tempo. A dificuldade enfrentada pelos físicos no inicio do
século XX foi a descoberta de que a posição de uma partícula de tamanho atômico
não é bem-definida. Em um experimento de fenda dupla, para que se obtenha um padrão de interferência cada elétron deve, de alguma forma, passar através de ambas as
fendas. Ele simplesmente não possui uma posição bem-definida quando interage com as
fendas. Mas se a função posição x(t) não é um descritor válido para a matéria em nível
atômico, qual será?
Afirmamos que a função de onda ␺(x) é o descritor de uma partícula na mecânica
quântica. Em outras palavras, a função de onda nos informa tudo o que podemos saber
sobre a partícula. Na mecânica quântica, a função de onda ␺(x) desempenha o mesmo
papel crucial que a função posição x(t) desempenha na mecânica clássica.
Não saberemos se essa hipótese tem algum mérito até que nos certifiquemos de
que ela leva a previsões que possam ser confirmadas. E antes de seguir em frente,
precisamos aprender qual é a “lei da psi”. Que nova lei da física determina a função
de onda ␺(x) para uma dada situação? Responderemos a essa pergunta no próximo
capítulo.
À medida que avançarmos, pode ser que você ache que estamos, simplesmente,
“inventando” idéias. De fato, você está parcialmente certo. Os inventores de novas teorias utilizam conhecimentos prévios como guia, mas em determinado momento esses
cientistas têm de fazer algumas “conjecturas” inspiradas acerca de como a nova teoria
deve ser. Tanto Newton quanto Einstein fizeram suas apostas, e os inventores da mecânica quântica, também. Podemos tentar fazer com que novas idéias sejam plausíveis,
mas, ao final, uma nova teoria nada mais é que uma nova hipótese ousada que deve ser
confrontada com a realidade experimental. A teoria da função de onda da mecânica
quântica passou no único teste que importa em ciência - ela funciona!
PARE E PENSE 40.3 Esta é a função de onda de um nêutron. Em que valor de x há maior probabilidade de
encontramos o nêutron?
CAPÍTULO 40
■
Funções de Onda e Incerteza
1247
40.4 Normalização
Em nossa discussão sobre probabilidade foi possível concluir que um dardo tem de atingir algum lugar da parede. O enunciado matemático dessa idéia é a exigência de que PA
+ PB + PC ⫽ 1, ou seja, a soma das probabilidades de todos os resultados mutuamente
exclusivos deve ser igual a 1.
De forma análoga, um fóton ou um elétron tem de atingir o detector em algum lugar
após ter passado por um aparato experimental. Conseqüentemente, a probabilidade de
ele ser detectado em alguma posição é de 100%. Fazendo uso dessa exigência, considere
um experimento em que um elétron seja detectado no eixo x. De acordo com a FIGURA
40.7, podemos dividir a região compreendida entre as posições xE e xD em N faixas estreitas adjacentes, cada qual de largura ␦x.
A probabilidade de que um elétron qualquer atinja a faixa estreita i centrada na posição xi é dada por
N faixas estreitas de largura ␦x
Prob(com ␦x centrado em xi) ⫽ P(xi) ␦x
onde P(xi) ⫽ |␺(xi)| é a densidade de probabilidade em xi. A probabilidade de um elétron incidir na faixa centrada em x1 ou x2 ou x3 ou... é igual à soma
2
(40.16)
eixo x
A probabilidade de que uma
partícula incida na faixa i é
Prob(com ␦x centrado em xi) ⫽ P(xi) ␦x.
FIGURA 40.7 Dividindo o detector inteiro
em várias faixas estreitas de largura ␦x.
Ou seja, a probabilidade de que um elétron atinja algum lugar entre xE e xD é a soma
das probabilidade de que ele atinja cada uma dessas faixas estreitas.
Se as faixas se tornarem cada vez mais estreitas, então ␦x → dx e a soma se tornará
uma integral. A probabilidade de encontrar as partículas dentro do intervalo xE ⱕ x ⱕ xD é
Prob(no intervalo xE ⱕ x ⱕ xD) ⫽
(40.17)
A FIGURA 40.8a mostra que podemos interpretar Prob(no intervalo xE ⱕ x ⱕ xD) como a
área situada abaixo da curva da densidade de probabilidade entre xE e xD.
NOTA A integral da Equação 40.17 será necessária quando a densidade de proba-
bilidade for variável no intervalo entre xE e xD. Em intervalos suficientemente pequenos, nos quais P(x) for constante, a expressão Prob(com ␦x centrado em x) ⫽ P(x) ␦x
ainda será válida e mais fácil de ser utilizada. Agora consideremos que o detector seja infinitamente grande de modo que a probabilidade dos elétrons o atingirem em algum lugar seja de 100%. O enunciado de que o
elétron tem de chegar em algum lugar no eixo x é expresso de forma matemática como
(40.18)
A Equação 40.18 é denominada condição de normalização. Qualquer função de
onda ␺(x) deve satisfazer a essa condição, do contrário não teríamos como interpretar
2
⏐␺ (x)⏐ como uma densidade de probabilidade. Como ilustra a FIGURA 40.8b, a Equação
40.18 significa que a área total abaixo da curva da densidade de probabilidade deve ser
igual a 1.
NOTA A condição de normalização é a integral do quadrado da função de onda.
Não dispomos de qualquer informação acerca de qual deva ser o valor da integral de
␺(x). A área abaixo da curva entre xE e
xD é a probabilidade de encontrar a
partícula entre xE e xD.
A área total abaixo
da curva deve ser
igual a 1.
FIGURA 40.8 A área abaixo da curva
da densidade de probabilidade é uma
probabilidade.
1248
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 40.2 Normalizando e interpretando uma função
b. A função de onda é
de onda
A FIGURA 40.9 mostra a função de onda de uma partícula confinada à
região delimitada por x 0 nm e x L 1,0 nm. Fora dessa região,
a função de onda é nula.
a. Determine o valor da constante c.
b. Desenhe o gráfico da densidade de probabilidade P(x) correspondente.
c. Trace uma figura com pontos que indique onde as primeiras 40
ou 50 partículas podem ser encontradas.
d. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula em uma região
com largura ␦x 0,01 nm centrada nas posições x1 0,05 nm, x2
0,50 nm e x3 0,95 nm.
Logo, a densidade de probabilidade é
A densidade de probabilidade está representada no gráfico da FIGURA 40.10a.
,
,
FIGURA 40.9 A função de onda do exemplo 40.2.
Anteparo
MODELO A probabilidade de encontrar a partícula é determinada
pela densidade de probabilidade P(x).
VISUALIZAÇÃO A função de onda é ilustrada na Figura 40.9.
RESOLUÇÃO a. A função de onda é ␺ (x) c(1 – x/L) entre 0 e L
e nula fora desse intervalo. Trata-se de uma função que decresce
linearmente de ␺ c, em x 0, para ␺ 0 em x L. A constante c corresponde à altura dessa função de onda. A partícula
tem de estar na região 0 x L com probabilidade 1; somente
um valor de c fará com que isso ocorra. Podemos determinar
c usando a Equação 40.18, a condição de normalização. Uma
vez que fora do intervalo entre 0 e L a função de onda é nula, os
limites de integração são 0 e L. Assim,
FIGURA 40.10 A densidade de probabilidade P(x) e as posições
das partículas detectadas.
c. As partículas têm maior probabilidade de detecção na borda esquerda do intervalo, onde a densidade de probabilidade P(x) é
máxima. A probabilidade decresce gradativamente ao longo do
intervalo, tornando-se nula em x 1,0 nm. A FIGURA 40.10b
ilustra como um grupo de partículas descritas por essa função de
onda pode aparecer no detector.
d. P(x) é praticamente constante ao longo do pequeno intervalo ␦x
0,01 nm. Podemos, então, usar
Prob(com ␦x centrado em x) P(x) ␦x ⏐␺ (x ⏐ ␦x
)
2
para calcular a probabilidade de encontrar a partícula em uma
região de largura ␦x centrada na posição x. Precisamos avaliar
2
⏐␺ (x)⏐ nas três posições x1 0,05 nm, x2 0,50 nm e x3 0,95 nm. Obtemos, então,
A solução para c é
Prob(com 0,01nm com centro em x1 0,05 nm) c2(1 x1/L)2 ␦x
0,0270 2.70%
Prob(com 0,01nm com centro em x2 0,50 nm) c (1 – x2/L) ␦x
2
Observe a unidade pouco usual de c. Embora essa unidade não
pertença ao SI, podemos calcular probabilidades com precisão
desde que ␦x esteja expresso em nm. Uma constante multiplicativa como c geralmente é chamada de constante de normalização.
2
0,0075 0.75%
Prob(com 0,01nm com centro em x3 0,95 nm) c2(1 – x3/L)2 ␦x
0,00008 0,008%
CAPÍTULO 40
EXEMPLO 40.3 A probabilidade de encontrar uma
partícula
Uma determinada partícula é descrita pela função de onda
onde L 1 nm
a. Determine o valor da constante c.
b. Desenhe os gráficos de ␺ (x) e da densidade de probabilidade
P(x).
c. Calcule a probabilidade de encontrar uma partícula na região x
1 nm.
MODELO A probabilidade de encontrar a partícula é determinada pela
densidade de probabilidade P(x).
,
,
,
■
Funções de Onda e Incerteza
RESOLUÇÃO a. A função de onda é a exponencial ␺(x) ce
1249
– x/L
,
que se estende desde x 0 até x + . A Equação 40.18, a condição de normalização, assume a forma
Podemos resolver esta equação e obter a constante de normalização c:
b. A densidade de probabilidade é
P(x) ⏐␺ (x)⏐ (2,00 nm )e
2
–1
– 2x/(1,0nm)
A função de onda e a densidade de probabilidade estão representadas no gráfico da FIGURA 40.11.
c. A probabilidade de encontrar a partícula na região x 1 nm é
igual à área sombreada abaixo da curva de densidade de probabilidade da Figura 40.11. Devemos usar a Equação 40.17 e integrála a fim obter um valor numérico. A probabilidade é
A área abaixo
da curva é
Prob(x 1 nm).
AVALIAÇÃO Há 13,5% de chance de encontrarmos a partícula além de 1
FIGURA 40.11 A função de onda e a densidade de probabilidade
do Exemplo 40.3.
PARE E PENSE 40.4
nm e, conseqüentemente, 86,5% de chance de encontrarmos a partícula no intervalo 0 x 1 nm. Neste caso, não podemos fazer uma previsão exata da posição da partícula como fazemos na física clássica.
O valor da constante a é
a. a 2,0 nm – 1
–1
b. a 1,0 nm
c. a 0,5 nm –1
d. a 2,0 nm–½
e. a 1,0 nm –½
f. a 0,5 nm –½
40.5 Pacotes de onda
As idéias de partícula e de onda da física clássica são mutuamente exclusivas. Um objeto pode ser uma ou outra, mas não ambas. Esses modelos clássicos não são capazes
de descrever a dualidade onda-partícula observada ao nível atômico. Um modelo alternativo, com características tanto de onda quanto de partícula, é denominado pacote
de onda.
1250
Física: Uma Abordagem Estratégica
Um pacote de onda pode representar
tanto uma partícula material (função
de onda ␺) quanto um fóton (campo
eletromagnético E).
ou
O pacote de onda oscila, o que
é uma característica das ondas.
Duração do pacote de onda ⌬t
O pacote de onda é localizado,
o que é uma característica das
partículas.
FIGURA 40.12 Gráfico-história de um pacote
de onda de duração Δt.
Deslocamento
Observe a onda ilustrada na FIGURA 40.12. Diferentemente das ondas senoidais consideradas anteriormente, que se estendem através do tempo e do espaço, essa onda é “aglomerada” ou localizada. A localização é uma característica corpuscular. As oscilações são características das ondas. A esse tipo de onda localizada dá-se o nome de pacote de onda.
Um pacote de onda move-se com velocidade constante v, tal qual um fóton de uma
onda luminosa ou um elétron em uma região livre de forças. Um pacote de onda tem
comprimento de onda; logo, sofrerá interferência e difração. Mas por ser localizado, um
pacote de onda tem a capacidade de deixar um “ponto” marcado ao atingir um detector.
Podemos visualizar a onda luminosa como um grande número desses pacotes de onda
que se movem juntos. De forma similar, podemos pensar em um feixe de elétrons como
uma série de pacotes de ondas espalhados ao longo de uma linha.
Os pacotes de onda não constituem um modelo perfeito de fótons ou elétrons (é
preciso um tratamento completo da física quântica para chegarmos a uma descrição mais
precisa), mas fornecem um modo de conceber fótons e elétrons que é bastante útil em
diversas circunstâncias.
Talvez você tenha notado que o pacote de onda da Figura 40.12 é bastante semelhante a um ciclo de um padrão de batimentos. Você deve estar lembrado de que os batimentos ocorrem quando duas ondas de freqüências ƒ1 e ƒ2 são superpostas e as duas freqüências são similares, ƒ1 艐 ƒ2. A FIGURA 40.13, que foi copiada do Capítulo 21, onde
aprendemos sobre batimentos, mostra que o padrão alto, baixo, alto, baixo,... dos batimentos corresponde a uma série de pacotes de onda.
No Capitulo 21, a freqüência de batimentos (número de pulsos por segundo) foi
obtida como
ƒbatimento ƒ1 – ƒ2 ƒ
Duração ⌬t
(40.19)
onde ƒ é a faixa de freqüências superpostas para formar o pacote de onda. A Figura
40.13 define t como a duração de cada batimento ou de cada pacote de onda. Esse intervalo de tempo é equivalente ao período Tbatimento do batimento. Uma vez que o período
e a freqüência são inversos, a duração t é igual a
baixo alto baixo alto baixo alto
Podemos reescrever esta equação como
FIGURA 40.13 Os batimentos constituem
ƒ t1
uma série de pacotes de onda.
(40.20)
A Equação 40.20 não traz nenhuma novidade, simplesmente escrevemos o que já
sabíamos. A Equação 40.20 é uma combinação de três elementos: a relação ƒ 1/T
entre período e freqüência, a expressão de Tbatimento como t e o conhecimento específico
de que a freqüência de batimentos ƒbatimento é a diferença ƒ entre as duas freqüências
que contribuem para o pacote de onda. À medida que a diferença entre as freqüências
diminui, a duração de cada batimento aumenta.
As ondas estão todas em fase
neste instante de tempo.
Aumento da freqüência
As ondas a serem adicionadas variam
em freqüência desde
até
FIGURA 40.14 Um único pacote de onda
é composto pela superposição de várias
ondas de comprimentos de onda e
freqüências semelhantes.
A superposição das várias
ondas em um intervalo de
freqüências gera um
pacote de ondas.
CAPÍTULO 40
■
Funções de Onda e Incerteza
1251
Quando duas freqüências são superpostas para gerar batimentos, os pacotes de ondas
se repetem indefinidamente. Um tratamento mais avançado para as ondas, chamado de
análise de Fourier, revela que um único pacote de onda, que não se repete, pode ser criado
por meio da superposição de várias ondas de freqüência muito parecida. A FIGURA 40.14
ilustra essa idéia. Em certo instante de tempo, todas as ondas interferem construtivamente
para produzir a amplitude máxima do pacote de onda. Em outros instantes de tempo, entretanto, as ondas individuais estão fora de fase e sua superposição tende a zero.
Suponha que um único pacote de onda não-repetido, de duração t, seja criado pela
superposição de várias ondas cujas freqüências se situem em um intervalo ƒ de freqüências. Não provaremos aqui, mas a análise de Fourier mostra que, para qualquer
pacote de onda, vale a relação
ΔƒΔt 艐 1
(40.21)
A relação entre ƒ e t para um pacote de onda não é tão precisa quanto para batimentos, dada pela Equação 40.20. Há duas razões para isso:
1. Pacotes de onda assumem diversas formas. A relação exata entre ƒ e t depende
do particular formato do pacote de onda.
2. Ainda não fornecemos uma definição precisa de t e de ƒ para um pacote de
onda qualquer. A grandeza t é “a duração aproximada do pacote de onda”, enquanto ƒ é a “faixa de freqüências superpostas aproximada necessária para produzir o pacote de onda”. Para nossos propósitos, não necessitamos de uma precisão maior.
A Equação 40.21 constitui um resultado puramente clássico válido para qualquer
tipo de onda. Ele nos fornece a faixa de freqüências que temos de superpor a fim de obter
um pacote de onda de duração t. Além disso, a Equação 40.21 nos diz que um pacote
de onda obtido a partir da superposição de ondas de diferentes freqüências não pode ser
arbitrariamente curto, mas deve ter duração de um intervalo de tempo t 艐 1/ ƒ.
EXEMPLO 40.4 Criando pulsos de radiofreqüência
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 40.15 ilustra o pulso.
Uma estação de rádio de ondas curtas transmite a uma freqüência de
10,000 MHz. Que faixa de freqüências de onda deve ser superposta a
fim de transmitir um pulso de onda de rádio com a duração de 0,800␮s?
RESOLUÇÃO O período de uma oscilação de 10.000 MHz é de 0,100
␮s. Um pulso com a duração de 0,800 ␮s possui 8 oscilações da onda.
Embora a estação de rádio transmita a uma freqüência nominal de
10,000 MHz, esse pulso não é uma oscilação de 10,000 MHz pura.
Em vez disso, o pulso foi criado pela superposição de varias ondas
cujas freqüências se situam em um intervalo
MODELO Um pulso de ondas de rádio é um pacote de ondas eletromagnéticas; logo, ele deve satisfazer à relação ΔƒΔt 艐 1.
,
Essa faixa de freqüências tem seu centro na freqüência de transmissão
de 10,000MHz, portanto as freqüências que devem ser sobrepostas
para gerar o pulso se localizam no intervalo
9,375 MHz ƒ 10,625 MHz
,
FIGURA 40.15 Um pulso de ondas de rádio.
Largura de banda
Pulsos de curta duração, como o apresentado no Exemplo 40.4, são usados para transmitir informação digital. Sinais digitais são enviados através de linhas telefônicas como
breves pulsos elétricos; através de satélites, por meio de breves pulsos de rádio, como
apresentado no exemplo; ou através de fibras óticas, como breves pulsos de laser. Independentemente do tipo de onda e do meio através do qual ela se propague, qualquer
pulso de onda deve obedecer à relação fundamental ƒ t 艐 1.
1252
Física: Uma Abordagem Estratégica
Enviar dados a uma alta taxa de transferência (i.e., a vários pulsos por segundo)
requer que a duração do pulso seja menor. Mas um pulso de curta duração só pode ser
criado pela superposição de uma faixa maior de freqüências. Assim, o meio pelo qual
um pulso de curta duração se propagará deve ser fisicamente capaz de transmitir todas as
freqüências contidas na faixa de freqüências.
A faixa de freqüências que pode ser transmitida através de um meio é chamada de
largura de banda ƒB do meio. O pulso mais curto possível que pode ser transmitido
através de um meio é
(40.22)
Um pulso mais curto que este exigiria uma faixa de freqüências maior do que o meio
poderia comportar.
O conceito de largura de banda é extremamente importante na comunicação digital.
Uma largura de banda maior permite a transmissão de pulsos mais curtos e, conseqüente, uma maior taxa de transmissão de dados. Uma linha telefônica padrão não tem uma
largura de banda muito larga, razão pela qual o modem usado está limitado a enviar
dados a uma taxa de aproximadamente 50.000 pulsos por segundo. Um pulso de 0,80 ␮s
não poderia ser enviado pela linha telefônica simplesmente porque a linha não transmite
a faixa de freqüências correspondente necessária.
A fibra ótica é um meio cuja banda é larga. Uma fibra tem, tipicamente, banda de
largura ƒB > 1GHz e, conseqüentemente, pode transmitir pulsos de laser com duração
9
t < 1 ns. Assim, uma fibra ótica pode transmitir mais de 10 pulsos por segundo, razão
pela qual as redes de fibra ótica são a espinha dorsal da Internet.
Incerteza
Este pacote de onda tem uma grande
incerteza ⌬f em freqüência.
Este pacote de onda tem uma
pequena incerteza ⌬f em freqüência.
FIGURA 40.16 Dois pacotes de onda com
diferentes t.
Há outra maneira de interpretar a relação ƒ t 艐 1. Suponha que você deseje determinar
quando um pacote de onda atinge um ponto específico do espaço, como um detector, por
exemplo. Você poderia dizer em qual instante de tempo o pacote de onda será detectado?
Talvez quando a parte frontal do pacote atingir o instrumento? Ou quando a amplitude
máxima o atingir? Ou, ainda, quando a parte traseira do pacote atingir o detector? Como
um pacote de onda possui uma largura temporal, não há um instante t, preciso e definido,
que caracterize sua chegada. Tudo o que podemos dizer é que ele atinge o alvo em algum
intervalo de tempo t. Não temos certeza do exato instante em que ele chegará.
De forma análoga, suponha que você desejasse saber a freqüência das oscilações de
um pacote de onda. Não há um valor preciso de ƒ, pois o pacote de onda é formado por várias ondas cujas freqüências se situam em uma faixa de freqüências ƒ. Podemos apenas
afirmar que a freqüência pertence a essa faixa. Não temos certeza da freqüência exata.
A relação tempo-frequência ƒ t 艐 1 significa que nossa incerteza acerca do tempo
de chegada do pacote de onda está relacionada à nossa incerteza sobre a freqüência do
pacote. Quanto mais precisamente for nosso conhecimento sobre uma grandeza, menos
preciso será nosso conhecimento acerca da outra.
A Figura 40.16 mostra dois pacotes de onda distintos. O pacote de onda da FIGURA
40.16a é muito estreito e, conseqüentemente, bem localizado no tempo. À medida que ele
se move, podemos saber quase precisamente o instante especifico de sua chegada. Entretanto, uma larga faixa de freqüências ƒ é necessária para produzir um pacote de onda
com um t muito pequeno. O preço a pagar para obtermos uma grande confiança sobre
o tempo é uma incerteza ƒ muito grande acerca da freqüência desse pacote de onda.
A FIGURA 40.16b ilustra uma situação oposta. O pacote de onda oscila muitas vezes e
a freqüência dessas oscilações é bem clara. Sabemos bem qual é a freqüência, com um
mínimo de incerteza ƒ. Mas esse pacote de onda tem uma duração tão grande que há
uma grande incerteza t quanto ao instante de sua chegada.
Na prática, a relação ƒ t 艐 1 constitui, de fato, um limite inferior. Limitações
técnicas podem gerar incertezas ainda maiores em ƒ e t. Conseqüentemente, é melhor
escrevermos
ƒ t
1
(40.23)
Uma vez que ondas são espalhadas, não faz sentido especificar, simultaneamente, a freqüência e o tempo de chegada exatos. Trata-se de uma característica de todas as ondas.
CAPÍTULO 40
■
Funções de Onda e Incerteza
1253
PARE E PENSE 40.5 Qual é a banda mínima de um meio para que se possa transmitir através
dele um pulso de 100 ns?
a. 1 MHz
b. 10 MHz
c. 100 MHz
d. 1.000MHz
40.6 O princípio da incerteza de Heisenberg
Se a matéria possui aspectos ondulatórios e um comprimento de onda de de Broglie,
então a expressão ƒ t 1 deve ser, de alguma forma, válida para ela. Mas como? E
quais são as implicações?
Considere uma partícula que se mova com velocidade vx ao longo do eixo x com
comprimento de onda de de Broglie ␭ h/px. A Figura 40.12 mostrou o gráfico-história
(␺ versus t) de um pacote de onda que pode representar a partícula quando esta passa
por um ponto do eixo x. Seria mais útil obtermos um gráfico-instantâneo (␺ versus x) do
pacote de onda que se desloca ao longo do eixo x.
O intervalo de tempo t é a duração do pacote de onda quando a partícula passa por
um ponto no espaço. Durante esse intervalo, o pacote move-se para a frente
17.6, 17.7
(40.24)
onde px mvx é o componente x do momentum da partícula. A grandeza x, mostrada
na FIGURA 40.17, é o comprimento ou a extensão espacial do pacote de onda. Podemos,
então, escrever a duração do pacote de onda em função de seu comprimento como
ou
(40.25)
Você deve estar lembrado de que qualquer onda com oscilações senoidais deve satisfazer à condição ␭ƒ v. Para uma partícula material, para a qual ␭ é o comprimento de
onda de de Broglie, a freqüência ƒ é
Pacote de ondas de largura Δx
Uma pequena faixa de freqüências ƒ está relacionada a um pequeno intervalo de momenta px pela relação
(40.26)
onde consideramos que ƒ
ƒ e px
px (uma hipótese plausível) e tratamos os pequenos intervalos ƒ e px como se fossem diferenciais dƒ e dpx.
Multiplicando essas expressões para t e para ƒ, obtemos
(40.27)
Uma vez que ƒ t 1 vale para qualquer onda, um último rearranjo da Equação 40.27
mostra que uma onda de matéria deve satisfazer à condição
(princípio da incerteza de Heisenberg)
(40.28)
Esta relação entre a posição e o momentum de uma partícula foi proposta por Werner
Heisenberg, criador de uma das primeiras teorias quânticas bem-sucedidas. Os físicos
costumam chamar essa desigualdade de princípio da incerteza.
FIGURA 40.17 Um gráfico-instantâneo de
um pacote de onda.
1254
Física: Uma Abordagem Estratégica
NOTA Em algumas versões do princípio da incerteza, o lado direito é, muitas vezes, escrito como h/2, tal como aparece neste texto, mas em alguns casos temos
somente h ou outros fatores adicionais envolvendo π. O número específico não é de
especial importância, pois depende exatamente de como ⌬x e ⌬px são definidos. O
aspecto relevante aqui é que o produto de ⌬x por ⌬px para uma partícula não pode ser
significativamente menor que a constante h de Planck. Uma relação similar para ⌬y
e ⌬py também vale ao longo do eixo y. O que ele significa?
O princípio da incerteza de Heisenberg é um enunciado sobre nosso conhecimento acerca das propriedades de uma partícula. Se quisermos saber onde a partícula está localizada, medimos sua posição x. Essa medida não é absolutamente perfeita, mas carrega uma
incerteza ⌬x. De forma análoga, se quisermos saber quão rapidamente se move uma
partícula, temos de medir sua velocidade vx ou, equivalentemente, seu momentum px.
Essa medida também carrega incertezas.
As incertezas estão associadas às medidas experimentais, mas procedimentos e técnicas melhores podem reduzir essas incertezas. A física newtoniana não impõe limites
ao tamanho dessas incertezas. Uma partícula newtoniana, a qualquer instante de tempo,
tem uma posição exata x e um momentum exato px e, com um pouco de dedicação, poderemos medir tanto x quanto px com tamanha precisão que o produto ⌬x⌬px → 0. Não há
limites inerentes sobre o que sabemos sobre uma partícula clássica ou newtoniana.
Heisenberg, entretanto, enunciou com originalidade e confiança que nosso conhecimento tem limitações reais. Não importa quão esperto você seja ou quão bem-realizado
seja seu experimento, você não pode medir x e px simultaneamente com precisão arbitrariamente boa. Qualquer medição que você faça estará limitada pela condição ⌬x⌬px ⱖ
h/2. Nosso conhecimento sobre uma partícula é intrinsecamente incerto.
Por quê? Por causa da natureza ondulatória da matéria. A “partícula” está espalhada
no espaço; simplesmente não existe um valor preciso para sua posição x. De forma similar, a relação de de Broglie entre momentum e comprimento de onda implica que não
podemos saber qual é exatamente o momentum de um pacote de onda, da mesma forma
como não conhecemos precisamente seu comprimento de onda ou sua freqüência. Nossa
crença de que a posição e o momentum possuem valores precisos está atrelada ao nosso
conceito clássico de partícula. À medida que revisamos nosso entendimento sobre o que
realmente são as partículas atômicas, teremos também de rever nossos antigos conceitos
sobre posição e momentum.
EXEMPLO 40.5 A incerteza de uma partícula de poeira
Uma partícula de poeira com 1,0 ␮m de diâmetro (m 艐 10 –15 kg)
está confinada em uma caixa de 10 ␮m de comprimento. Podemos
afirmar, com certeza, que a partícula encontra-se em repouso? Em
caso negativo, em que faixa de valores é mais provável que meçamos
a velocidade da partícula?
o quanto nos esforcemos para fazer com que a partícula esteja em
repouso, nossa incerteza sobre o momentum da partícula será ⌬px 艐
h/(2 ⌬x) ⫽ h/2L. Consideramos aqui a medida mais precisa possível,
de modo que ⱖ no princípio da incerteza de Heisenberg torna-se 艐.
Conseqüentemente, a faixa de valores possíveis para a velocidade é
MODELO Toda a matéria está sujeita ao princípio da incerteza de Hei-
senberg.
RESOLUÇÃO Se soubermos com certeza que a partícula está em repouso, então px ⫽ 0 sem qualquer incerteza, ou seja, ⌬px ⫽ 0. Todavia, de
acordo com o princípio de Heisenberg, a incerteza que temos acerca
da posição da partícula teria de ser ⌬x → ⬁. Em outras palavras, não
saberíamos absolutamente nada sobre a posição da partícula – que
poderia estar em qualquer lugar! Mas este não é o caso. Sabemos que
a partícula está em algum lugar dentro da caixa; logo, nossa incerteza sobre sua posição é, no máximo, ⌬x ⫽ L ⫽ 10 ␮m. Com um ⌬x
finito, a incerteza ⌬px não pode ser nula. Não podemos saber com
certeza se a partícula está em repouso dentro da caixa. Não importa
Essa faixa de velocidades possíveis estará centrada em vx ⫽ 0 m/s se
tivermos feito o possível para deixar a partícula em repouso. Assim,
tudo que podemos saber com certeza é que a velocidade da partícula
situa-se no intervalo –1,5 ⫻ 10 –14 m/s ⱕ v ⱕ 1,5 ⫻ 10 –14 m/s.
AVALIAÇÃO Por razões práticas, você pode considerar satisfatória esta
definição de “em repouso”. Afinal, uma partícula com uma velocidade de 1,5 ⫻ 10 –14 m/s precisaria de 6 ⫻ 1010 s para mover-se apenas
1 mm. Isto equivale, mais ou menos, a 2000 anos! Ainda assim, não
podemos ter certeza se a partícula está “realmente” em repouso.
CAPÍTULO 40
EXEMPLO 40.6 A incerteza de um elétron
Que faixa de velocidades pode ter um elétron se ele estiver confinado a uma região com 0,10
nm de comprimento, o tamanho aproximado de um átomo?
MODELO Os elétrons estão sujeitos ao princípio da incerteza de Heisenberg.
RESOLUÇÃO A análise é a mesma efetuada no Exemplo 40.5. Se soubermos que a posição do
elétron está localizada no intervalo x 艐 0,1 nm, então o máximo que podemos saber sobre
sua velocidade é que ela se encontra na faixa de valores
Uma vez que a velocidade média é nula, tudo o que podemos dizer é que a velocidade do
6
6
elétron está na faixa de valores –2 10 m/s v 2 10 m/s. É simplesmente impossível
conhecer a velocidade desse elétron com maior precisão do que isso.
AVALIAÇÃO Diferentemente da situação apresentada no Exemplo 40.5, em que
v era tão pequeno que não haveria nenhuma conseqüência prática, aqui nossa incerteza acerca da velocidade do elétron é enorme – o equivalente a cerca de 1% da velocidade da luz!
Novamente, verificamos que mesmo os menores objetos macroscópicos se comportam como partículas clássicas newtonianas. Talvez uma partícula de 1 ␮m seja um
tanto difusa e possua uma velocidade incerta, mas mesmo os melhores instrumentos de
hoje não conseguiriam detectar o comportamento ondulatório associado a tal objeto. Em
contrapartida, os efeitos do princípio da incerteza são estupendos sobre as partículas
de tamanho da ordem da escala atômica. Não conseguimos determinar a velocidade de
um elétron em um recipiente de dimensões atômicas com precisão menor do que 1% da
velocidade da luz.
PARE E PENSE 40.6
Qual das partículas, A ou B, você pode localizar com maior precisão?
■
Funções de Onda e Incerteza
1255
1256
Física: Uma Abordagem Estratégica
RESUMO
O objetivo do Capítulo 40 foi introduzir a descrição da matéria em termos
de uma função de onda e aprender a interpretá-la
Princípios gerais
Funções de onda e densidade de probabilidade
Não podemos prever a trajetória exata de uma partícula atômica como um elétron, por exemplo. O melhor
que podemos fazer é prever a probabilidade de que a partícula seja encontrada em uma dada região do
espaço. A probabilidade é determinada pela função de onda ␺(x) da partícula.
• ␺(x) é uma função ondulatória contínua.
• A probabilidade de uma partícula ser encontrada em um intervalo estreito ␦x centrado em uma posição x é
Prob(com ␦x centrado em x) ⫽ ⏐␺ (x)⏐2 ␦x
• |␺(x)| é a densidade de probabilidade P(x).
2
• Para que a interpretação probabilística de ␺ (x) faça sentido, a função de onda deve satisfazer a condição
de normalização:
E
D
Ou seja, é certo que a partícula encontre-se em algum ponto do eixo x.
• Para um intervalo extenso,
área sob a curva
em
Princípio da incerteza de Heisenberg
Uma partícula com características ondulatórias não possui um valor preciso de posição x ou um valor preciso
para o momentum px. Ambos são incertos. A incerteza da posição, ⌬x, e a incerteza do momentum, ⌬px, estão
relacionadas por ⌬x⌬px ⱖ h/2. Quanto mais você tenta obter o valor de um deles com precisão, menos preciso
torna-se o valor do outro.
Comprimento ⌬x do pacote de onda
Conceitos importantes
A probabilidade de uma partícula
ser encontrada em uma região A é
Se a probabilidade é conhecida, o
número esperado de resultados A
em N tentativas é NA ⫽ NPA.
Um pacote de onda de duração
⌬t pode ser criado pela superposição de várias ondas de freqüências situadas em uma faixa de
freqüências ⌬ƒ. Elas são relacionadas através de
ou
⌬ƒ⌬t 艐 1
Região A
Duração do pacote de onda ⌬t
Termos e notação
mecânica quântica
densidade de probabilidade, P(x)
pacote de onda
probabilidade
função de onda, ␺ (x)
largura de banda, ⌬ƒB
valor esperado
condição de normalização
princípio da incerteza
CAPÍTULO 40
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics,
acessar www.masteringphysics.com
■
Funções de Onda e Incerteza
Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
1257
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. A FIGURA Q40.1 mostra a densidade de probabilidade para fótons
que são detectados sobre o eixo x.
a. Onde é mais provável que um fóton seja encontrado: em x 0 m
ou em x 1 m? Explique.
b. Um milhão de fótons são detectados. Qual é o número esperado
de fótons em um intervalo de 1mm centrado em x 0,25 m e em
x 0,75 m?
a. Para qual(is) valor(es) de x a densidade de probabilidade do elétron é máxima? Explique
b. Você pode afirmar em qual(is) valor(es) de x a função de onda
␺ (x) do elétron é mais positiva? Em caso afirmativo, onde? Em
caso negativo, por que não?
FIGURA Q40.4
5. Qual é o valor da constante a da FIGURA Q40.5?
FIGURA Q40.1
,
,
,
2. Qual é a diferença entre probabilidade e densidade de probabilidade?
3. Para a função de onda do elétron mostrada na FIGURA Q40.3, em
qual(is) posição(ões) há maior probabilidade de que o elétron seja
encontrado?
FIGURA Q40.5
6. A FIGURA Q40.6 mostra pacotes de onda para as partículas 1, 2 e 3.
Para qual dessas partículas conhecemos a velocidade com maior
precisão? Explique.
FIGURA Q40.3
4. A FIGURA Q40.4 ilustra um padrão de pontos que representa os elétrons que atingem um detector.
Partícula 1
Partícula 2
Partícula 3
FIGURA Q40.6
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
Seção 40.1 Ondas, partículas e o experimento de fenda dupla
1. | Um dado experimento tem quatro resultados possíveis, denominados A, B, C e D. A probabilidade de A é PA 40% e a de B, PB
30%. O resultado C é duas vezes mais provável que o resultado
D. Quais são as probabilidades PC e PD?
2. || Suponha que você jogue três moedas para cima. Ao caírem no
chão, cada uma delas mostrará cara ou coroa.
a. Faça uma tabela listando todos os resultados possíveis desse experimento. Identifique as moedas pelas letras A, B ou C.
b. Qual é a probabilidade de obter duas caras e uma coroa? Explique.
3. | Suponha que você escolha uma carta qualquer de um baralho de
52 cartas.
a. Qual é a probabilidade de você obter um ás?
b. Qual é a probabilidade de você obter uma carta do naipe espadas?
4. | Você recebe 1 carta de cada um de 1000 baralhos. Qual é o número de cartas com figuras (valete, rei ou rainha) que você espera
receber?
5. || Construa uma tabela que liste todos os resultados possíveis do
lançamento de dois dados. Identifique os dados pelas letras A e B.
Qual é a probabilidade de obter (a) um 7, (b) um duplo qualquer e
(c) um 6 ou um 8? Você pode expressar as probabilidades em frações como, por exemplo, 3/36.
1258
Física: Uma Abordagem Estratégica
Seção 40.2 Relacionando o ponto de vista ondulatório ao
corpuscular
6. | Em um experimento, 2000 fótons são detectados em uma faixa
com 0,10 mm de largura onde a amplitude da onda eletromagnética
é de 10 V/m. Quantos fótons são detectados em uma região próxima, com 0,10 mm de largura, onde a amplitude é 30 V/m?
7. || Em um experimento, 6000 fótons são detectados em uma faixa
com 0,10 mm de largura onde a amplitude da onda eletromagnética
é de 200 V/m. Qual é a amplitude da onda em uma região próxima,
com 0,20 mm de largura, onde 3000 fótons foram detectados?
8. || 1,0 1010 fótons atravessam um aparato experimental. Quantos
fótons chegam a uma faixa com 10 mm de largura onde a densidade
de probabilidade é igual a 20 m – 1?
9. | Quando 5 1012 fótons atravessam um aparato experimental, 2,0
109 deles incidem em uma faixa com 0,10 mm de largura. Qual é
a densidade de probabilidade no ponto central da faixa?
Seção 40.3 A função de onda
10. | Quais é a unidade de ␺? Explique.
11. || A FIGURA EX40.11 representa a densidade de probabilidade
,
de um elétron que atravessa um
aparato experimental. Se 1,0 106 elétrons são usados, qual é o
número esperado de elétrons que
FIGURA EX40.11
incidem em uma faixa com 0,010
mm de largura centrada (a) em x 0,000 mm e (b) em x 2,000
mm?
12. || Em um experimento de interferência com elétrons, você constata
que a franja mais intensa está centrada em x 7,0 cm. Há franjas
ligeiramente mais fracas centradas em x 6,0 cm e em x 8,0 cm,
franjas ainda mais fracas centradas em x 4,0 cm e x 10,0 cm e
duas franjas muito fracas centradas em x 1,0 cm e x 13,0 cm.
Nenhum elétron é detectado em x < 0 cm ou x > 14 cm.
a. Desenhe um gráfico que represente ⏐␺ (x)⏐2 correspondente a
esses elétrons.
b. Desenhe um possível gráfico de ␺ (x).
c. Existem outros possíveis gráficos de ␺ (x)?
13. || A FIGURA EX40.13 representa a densidade de probabilidade de um
elétron que atravessa um aparato experimental. Qual é a probabilidade desse elétron incidir em uma faixa com 0,010 mm de largura
centrada em (a) x 0,000 mm, (b) x 0,500 mm, (c) x 1,000
mm e (d) x 2,000 mm?
,
FIGURA EX40.13
c. Qual é a probabilidade de o elétron estar localizado entre x 1,0
nm e x 2,0 nm?
FIGURA EX40.14
FIGURA EX40.15
15. || A FIGURA EX40.15 é um gráfico de ⏐␺ (x)⏐2 de um nêutron.
a. Qual é o valor de a?
b. Desenhe um gráfico da função de onda ␺ (x). (Há mais de uma
resposta aceitável).
c. Qual é a probabilidade do nêutron estar localizado em uma região com ⏐x⏐ 2 fm?
16. || A FIGURA EX 40.16 mostra a função de onda de um elétron.
a. Qual é o valor de c?
b. Desenhe um gráfico de ⏐␺ (x)⏐2.
c. Qual é a probabilidade de o elétron estar localizado entre x –1,0 nm e x 1,0 nm?
FIGURA EX40.16
FIGURA EX40.17
17. || A FIGURA EX40.17 mostra a função de onda de um nêutron.
a. Qual é o valor de c?
b. Desenhe um gráfico de ⏐␺ (x)⏐2.
c. Qual é a probabilidade de o nêutron estar localizado entre x –1,0 nm e x 1,0 nm?
Seção 40.4 Pacotes de onda
18. | Qual é a largura de banda mínima necessária para transmitir um
pulso que consiste de 100 ciclos de uma oscilação de 1,00 MHz?
19. || Um amplificador de radiofreqüência amplifica sinais na faixa de
freqüências entre 80 MHz e 120 MHz. Qual é a menor duração de
um pulso de radiofreqüência que pode ser amplificado sem que haja
distorção?
20. | Duas ondas sonoras de 498 Hz e 502 Hz são superpostas quando a
temperatura do ar é tal que a velocidade do som vale 340 m/s. Qual
é o comprimento x de um pacote de onda?
21. || Um pulso de laser de comprimento de onda igual a 1,5 ␮m é
transmitido por meio de uma fibra ótica com largura de banda de
2,0 GHz. Quantas oscilações há no pulso de laser de mínima duração que pode ser transmitido pela fibra?
Seção 40.4 Normalização
14. || A FIGURA EX40.14 é um gráfico de ⏐␺ (x)⏐2 de um elétron.
a. Qual é o valor de a?
b. Desenhe um gráfico da função de onda ␺ (x). (Há mais de uma
resposta aceitável.)
Seção 40.4 O princípio da incerteza de Heisenberg
22. || Qual é a incerteza na posição, em nm, de um elétron cuja velocidade está entre 3,48 105 m/s e 3,58 105 m/s?
CAPÍTULO 40
23. || Andréa, cuja massa é igual a 50 Kg, considera-se em repouso
em seu quarto, onde faz seu tema de física. Será que ela pode ter
certeza de que está em repouso? Em caso negativo, qual é a faixa de
velocidades mais provável para a velocidade de Andréa?
24. || Uma barreira sólida e fina situada no plano xy possui um orifício
com 10 ␮m de diâmetro. Um elétron que se move na direção z com
vx 0 m/s atravessa o orifício. Logo após, a velocidade vx ainda
será nula? Em caso negativo, em que faixa de velocidades é mais
provável que se encontre vx?
25. || Um próton está confinado em um núcleo atômico de 4,0 fm de
diâmetro. Use um modelo unidimensional para estimar a mínima
faixa de velocidades que você pode obter para o próton no núcleo.
Problemas
26. || Uma esfera de 1,0 mm de diâmetro oscila entre duas paredes localizadas em x 0 mm e em x 100 mm. As colisões são perfeitamente elásticas e a esfera repete o movimento indefinidamente
sem perder velocidade. Em um instante de tempo qualquer, qual é a
probabilidade de o centro da esfera estar
a. Exatamente em x 50,0 mm?
b. Entre x 49,0 mm e x 51,0 mm?
c. Em x 75 mm?
27. || Uma antena de radar emite ondas eletromagnéticas com período
de 0,100 ns. Que intervalo de freqüências seria utilizado na superposição das ondas a fim de gerar um pulso de radar com 1,0 ns de
duração?
28. || Pulsos de ultra-som de freqüência 1,000 MHz são transmitidos
pela água, onde a velocidade do som é de 1500 m/s. O comprimento espacial de cada pulso é de 12 mm.
a. Quantos ciclos completos estão contidos em um pulso?
b. Que intervalo de freqüências deve ser usado na superposição a
fim de gerar cada pulso?
29. || A FIGURA P40.29 mostra um
trem de pulsos. Seu período é T 2 t, onde t é a duração de cada
Período T ⫽ 2⌬t
pulso. Qual é a máxima taxa de
transmissão de pulsos (pulsos por
FIGURA P40.29
segundo) através de um sistema
eletrônico com largura de banda de 200 kHz? (Esta é a largura de
banda destinada a toda estação de rádio FM.)
30. || Considere um experimento de difração de fenda única usando
elétrons. (A difração de fenda única é descrita na Seção 22.4).
Usando a Figura 40.5 como modelo, desenhe
a. Um diagrama de pontos que mostre as posições de incidência
dos primeiros 40 ou 50 elétrons.
b. Um gráfico de ⏐␺ (x)⏐2 dos elétrons sobre a tela do detector.
c. Um gráfico de ␺ (x) dos elétrons. Tenha em mente que ␺, por
possuir caráter ondulatório, oscila entre valores positivos e negativos.
31. || Um experimento detecta elétrons uniformemente distribuídos em
uma faixa 0 cm x 2 cm sem que nenhum outro elétron incida
fora dessa faixa.
a. Desenhe um gráfico de ⏐␺ (x)⏐2 para esses elétrons.
b. Qual é a probabilidade de que um elétron incida na faixa compreendida entre 0,79 e 0,81 cm?
c. Se 106 elétrons são detectados, quantos deles incidem na faixa
compreendida entre 0,79 e 0,81 cm?
d. Qual é o valor da densidade de probabilidade em x 0,80 cm?
32. || Em um experimento com 10.000 elétrons que incidem simetricamente de ambos os lados de x 0, 5000 elétrons são detectados na
faixa –1,0 cm x +1,0 cm, 7500 deles são detectados na faixa
–2,0 cm x +2,0 cm e todos os 10.000 elétrons são detectados
■
Funções de Onda e Incerteza
1259
na faixa –3,0 cm x +3,0 cm. Desenhe o gráfico de uma densidade de probabilidade consistente com esses dados. (Pode haver
mais de uma resposta aceitável.)
33. || A FIGURA P40.33 representa ⏐␺ (x)⏐2 para os elétrons usados em
um experimento.
a. A função de onda de um desses elétrons é normalizada? Explique.
b. Desenhe um gráfico de ␺ (x) que cubra esse mesmo intervalo.
Defina uma escala numérica para cada um dos eixos. (Pode haver
mais de uma resposta aceitável.)
c. Qual é a probabilidade de que um elétron seja detectado em uma
região com 0,0010 cm de largura centrada em x 0,00 cm? E
centrada em x 0,50 cm? E em x 0,999 cm?
d. Se 104 elétrons são detectados, quantos deles são esperados incidir na faixa compreendida entre –0,30 cm x 0,30 cm?
FIGURA P40.33
FIGURA P40.34
34. || A FIGURA P40.34 mostra a função de onda de uma partícula confinada entre x 0 nm e x 1,0 nm. A função de onda é nula fora
dessa região.
a. Determine o valor da constante c definida na figura.
b. Desenhe um gráfico da densidade de probabilidade P(x) ⏐␺
(x)⏐2.
c. Desenhe um diagrama de pontos que mostre onde as primeiras
40 ou 50 partículas poderiam ser encontradas.
d. Calcule a probabilidade de uma partícula ser encontrada na faixa
0,0 nm x 0,3 nm.
35. || A FIGURA P40.35 mostra a função de onda de uma partícula confinada entre x – 4,0 nm e x 4,0 nm. A função de onda é nula fora
dessa região.
a. Determine o valor da constante c definida na figura.
b. Desenhe um gráfico da densidade de probabilidade P(x) ⏐␺
(x)⏐2.
c. Desenhe um diagrama de pontos que mostre onde as primeiras
40 ou 50 partículas poderiam ser encontradas.
d. Calcule a probabilidade de uma partícula ser encontrada na faixa
–2,0 nm x 2,0 nm.
FIGURA P40.35
FIGURA P40.36
36. || A FIGURA P40.36 mostra a densidade de probabilidade para encontrar uma partícula na posição x.
a. Determine o valor da constante a definida na figura.
b. Para qual valor de x há maior probabilidade de a partícula ser
encontrada? Explique.
c. Baseado na sua resposta ao item b, para que faixa de posições
você tem 75% de chance de encontrar a partícula?
d. Interprete sua resposta para o item c desenhando um gráfico da
densidade de probabilidade e sombreando a região apropriada.
1260
Física: Uma Abordagem Estratégica
37. || Um elétron confinado a x
lizada
0 nm tem função de onda norma-
onde x está em nm.
a. Qual é a probabilidade de encontrar o elétron em uma região com
largura de 0,010 nm centrada em x 1,0 nm?
b. Qual é a probabilidade de encontrar um elétron no intervalo 0,50
nm x 1,50 nm?
38. || Uma dada partícula é descrita pela função de onda
onde L 2,0 mm.
a. Desenhe os gráficos da função de onda e da densidade de probabilidade em função de x.
b. Determine a constante de normalização c.
c. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula a uma distância
máxima da origem de 1,0 mm.
d. Interprete sua resposta para o item b sombreando a região que representa essa probabilidade no gráfico apropriado para o item a.
39. || Considere a função de onda de um elétron
onde x está em cm.
a. Determine a constante de normalização c.
b. Desenhe um gráfico de ␺ (x) correspondente ao intervalo –2 cm
x 2 cm. Escolha escalas numéricas para ambos os eixos.
c. Desenhe um gráfico de ⏐␺ (x) ⏐2 correspondente ao intervalo –2
cm x 2 cm. Escolha escalas numéricas.
d. Se 104 elétrons são detectados, quantos deles possivelmente são
encontrados no intervalo 0,00 cm x 0,50 cm?
40. || Considere a função de onda de um elétron
a. Determine a constante de normalização c. A resposta deve ser
expressa em função de L.
b. Desenhe um gráfico de ␺ (x) correspondente ao intervalo –L x
2L.
c. Desenhe um gráfico de ⏐␺ (x) ⏐2 correspondente ao intervalo –L
x 2L.
d. Qual é a probabilidade de encontrar esse elétron no intervalo 0 x L/3?
41. || A densidade de probabilidade de encontrar uma partícula na posição x é
e nula em qualquer outro lugar.
a. Você aprenderá no Capítulo 41 que a função de onda deve ser
contínua. Considerando que seja este o caso, o que você pode
concluir a respeito da relação entre a e b?
b. Desenhe um gráfico da densidade de probabilidade correspondente ao intervalo –2 mm x 2 mm.
c. Determine valores de a e b.
d. Qual é a probabilidade de que a partícula seja encontrada à esquerda da origem?
42. || Um pulso de luz gerado pela superposição de várias ondas com
freqüências compreendidas na faixa ƒ0 – 1/2 ƒ ƒ ƒ0 + 1/2 ƒ,
onde ƒ0 c/␭ é denominada freqüência central do pulso. A tecnologia do laser é capaz de gerar um pulso de luz com um comprimento de onda de 600 nm e duração de apenas 6,0 fs (1 fs 1
femtosegundo 10 –15 s),
a. Qual é a freqüência central desse pulso de luz?
b. Quantos ciclos ou oscilações completas da onda luminosa ocorrem durante o pulso de 6,0 fs?
c. Qual é a faixa de freqüências que deve ser superposta a fim de
gerar esse pulso?
d. Qual é o comprimento espacial do pulso de laser enquanto ele se
move através do espaço?
e. Desenhe um gráfico-instantâneo desse pacote de onda.
43. ||| Qual é a menor caixa unidimensional em que podemos confinar
um elétron se quisermos saber com certeza que a sua velocidade
não ultrapassará 10 m/s?
44. || Uma pequena partícula de poSuperfície
sem atrito
eira com massa de 1,0 10 –13 g
caiu em um poço conforme ilus,
trado na FIGURA P40.44 e parece
estar em repouso. De acordo com
o princípio da incerteza, a partícula teria energia suficiente para
FIGURA P40.44
sair do poço? Em caso negativo,
qual é o poço mais profundo, e dessa mesma largura, do qual a
partícula teria boa chance de escapar?
45. || Os físicos usam feixes de laser para gerar uma armadilha atômica, com a qual átomos são confinados em uma região esférica com
1 mm de diâmetro. Os cientistas resfriaram átomos na armadilha
atômica a uma temperatura de aproximadamente 1 nK, o que é extremamente próximo do zero absoluto, mas seria interessante saber
se essa temperatura é próxima a algum limite estabelecido pela física quântica. Podemos explorar esse problema usando um modelo
unidimensional de um átomo de sódio, como uma caixa de 1,0 mm
de comprimento.
a. Estime a menor faixa de velocidades com as quais você poderá
detectar um átomo de sódio nesta caixa.
b. Mesmo que façamos o possível para deixar um grupo de átomos
de sódio em repouso, os átomos individuais terão velocidades
dentro da faixa que você determinou no item a. Uma vez que
existe uma distribuição de velocidades, suponha que estimemos
que a raiz quadrática média da velocidade, vrms, dos átomos presos na armadilha é igual à metade do valor que você obteve no
item a. Use este valor de vrms para estimar a temperatura dos átomos quando eles tiverem sido resfriados até o limite estabelecido
pelo princípio da incerteza.
46. || No Capítulo 38 você aprendeu que, exceto para o hidrogênio, a
massa de um núcleo com numero atômico Z é maior que a massa
de Z prótons. Sabe-se que a massa adicional deve-se aos nêutrons.
Contudo, antes da descoberta dos nêutrons, pensava-se que um núcleo de número de massa A poderia conter A prótons e (A – Z) elétrons. Esse núcleo teria a massa de A prótons, mas sua carga líquida
seria apenas Ze.
a. Sabe-se que o diâmetro de um núcleo é de aproximadamente
10 fm. Considere o núcleo como uma caixa unidimensional e
determine a faixa mínima de velocidades para um elétron nesta
caixa.
b. Quais as implicações de sua resposta quanto à possibilidade de o
núcleo conter elétrons? Explique.
CAPÍTULO 40
47. || a. Partindo da expressão ƒ t 艐 1 para um pacote de onda, obtenha uma expressão para o produto E t no caso de um fóton.
b. Interprete a expressão obtida. O que ela diz?
c. O modelo de Bohr de quantização atômica considera que um
átomo em um estado excitado pode transitar para um estado de
menor energia por meio da emissão de um fóton. O modelo de
Bohr não menciona quanto tempo dura tal processo. No Capítulo 42 você aprenderá que o tempo durante o qual um átomo
permanece no estado excitado, antes de emitir um fóton, é imprevisível, porém o tempo de vida médio t de vários átomos
pode ser determinado. Pode-se conceber t como a incerteza
acerca do tempo durante o qual o átomo permanece no estado
excitado. Um valor típico é t 艐 10 ns. Considere, então, um
átomo que, ao passar para um estado de menor energia, emite
um fóton com um comprimento de onda de 500 nm. Qual é a
incerteza na energia do fóton? Expresse sua resposta em eV.
d. Qual é a incerteza percentual E/E na energia do fóton?
Problemas desafiadores
Partícula de
48. A FIGURA PD40.48 mostra partí1,0 ␮m
culas de poeira com 1,0 ␮m de
diâmetro (m 1,0 10–15 kg) em
Orifício de
uma câmara de vácuo. As partícu1,0 ␮m
las de poeira são soltas, a partir
do repouso, sobre um orifício de
1,0 ␮m de diâmetro (de tamanho
Círculo de detecção
suficiente para que as partículas
FIGURA
PD40.48
o atravessem), caem através do
mesmo e atingem um detector situado a uma distância d.
a. Se as partículas fossem inteiramente clássicas, cairiam todas
em um mesmo círculo com 1,0 ␮m de diâmetro. Mas os efeitos
quânticos impedem que isso ocorra. Se d 1,0 m, em quanto o
diâmetro do círculo no qual a maioria das partículas cai supera o
valor clássico? Esse aumento do diâmetro pode ser detectado?
b. Os efeitos quânticos seriam observados se o diâmetro do círculo
de detecção aumentasse em 10%, para 1,1 ␮m. A que distância
■
Funções de Onda e Incerteza
1261
d seria preciso posicionar o detector para observar o aumento de
diâmetro?
49. A função de onda de uma partícula é
onde b é uma constante positiva. Determine a probabilidade de que
a partícula esteja localizada no intervalo – b x b.
50. A função de onda de uma partícula é
e nula em qualquer outro lugar.
a. Você aprenderá no Capítulo 41 que a função de onda deve ser
contínua. Admitindo que este seja o caso, o que você pode concluir sobre a relação entre b e c?
b. Desenhe um gráfico da função de onda, e outro, da densidade de
probabilidade, correspondentes ao intervalo –2 mm x 2 mm.
c. Qual é a probabilidade de que a partícula seja encontrada à direita da origem?
51. Considere a função de onda de um elétron
onde x está em nm.
a. Determine a constante de normalização c.
b. Desenhe um gráfico de ␺ (x) correspondente ao intervalo –5 nm
x 5 nm. Escolha escalas numéricas para ambos os eixos.
c. Desenhe um gráfico de ⏐␺ (x)⏐2 correspondente ao intervalo –5
nm x 5 nm. Indique as escalas numéricas.
d. Se 106 elétrons são detectados, quantos deles são detectados no
intervalo –1 nm x 1 nm?
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 40.1: 10. A probabilidade de sair o algarismo 1 é P1 1/6. Analogamente, P6 1/6. A probabilidade de sair 1 ou 6 é P1 ou 6
1/6 +1/6 1/3. Logo, o número esperado é 30(1/3) 10.
Pare e Pense 40.2: A > B ⴝ D > C. ⏐A (x)⏐2 é proporcional à densidade de pontos.
Pare e Pense 40.3: xc. A probabilidade é máxima no ponto onde o quadrado de ␺ (x) é máximo.
Pare e Pense 40.4: b. A área
deve ser igual a 1.
Pare e Pense 40.5: b.
. A banda é
Pare e Pense 40.6: A. O pacote de onda A tem a menor extensão espacial x. O comprimento de onda é irrelevante.
41 Mecânica Quântica
Unidimensional
Um exemplo de engenharia atômica.
Trinta e cinco átomos de xenônio foram
colocados em posições específicas
por meio da ponta de prova de um
microscópio eletrônico de varredura.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 41 é propiciar a
compreensão e a aplicação das idéias
essenciais da mecânica quântica.
Neste capítulo, você aprenderá a:
■ Empregar estratégias para
determinar e interpretar funções
de onda.
■ Fazer esboços de funções de onda
específicas.
■ Usar funções de energia
potencial para criar modelos
quantomecânicos.
■ Compreender e usar modelos
quantomecânicos importantes.
■ Calcular a probabilidade de
tunelamento em mecânica
quântica.
Em retrospectiva
A mecânica quântica será
desenvolvida em torno de duas idéias
fundamentais: diagramas de energia
e funções de onda. É importante que
você faça uma revisão dos diagramas
de energia apresentados no Capítulo
10. Revise:
■ Seção 10.7 Diagramas de energia
■ Seções 39.4 e 39.5 Ondas de
matéria e modelo quântico de Bohr
■ Seções 40.3 e 40.4 Funções de
onda e normalização
A mecânica quântica não é mais uma disciplina exclusiva dos físicos. Ela é a ferramenta
fundamental no projeto de dispositivos semicondutores como os lasers de diodo. Classes
inteiras de dispositivos, denominados dispositivos quânticos, foram projetadas e criadas
com base nos níveis de energia quânticos. Veremos exemplos disso neste capítulo.
Nas fronteiras da engenharia estão os projetos e a fabricação de nanoestruturas – pequenas máquinas ou outros dispositivos com tamanhos de apenas algumas centenas de
nanômetros. Muitos cientistas e engenheiros sonham com um futuro próximo em que as
nanoestruturas serão construídas átomo por átomo, literalmente. Em dispositivos com tais
dimensões, os efeitos quânticos serão importantes. A foto mostrada aqui – de uma estrutura
criada pelos cientistas do laboratório da IBM através da manipulação de átomos de xenônio
sobre uma superfície metálica – constitui um primeiro exemplo de “engenharia atômica”.
Nosso objetivo nesse capítulo é introduzir as idéias fundamentais da mecânica quântica. Apesar de o mundo real ser tridimensional, limitaremos nosso estudo à mecânica
quântica em uma dimensão. Isso permitirá que nos concentremos nos conceitos fundamentais da física quântica, sem nos preocuparmos excessivamente com as complicações
matemáticas. Discutiremos alguns aspectos presentes na descoberta e na utilização de
funções de onda e, em seguida, apresentaremos várias aplicações da mecânica quântica.
Concluiremos o capítulo com o estudo de um fenômeno quântico chamado tunelamento
quântico, um dos fenômenos mais surpreendentes da física quântica.
41.1 A equação de Schrödinger: a lei da psi
No inverno de 1925, pouco antes do Natal, o físico austríaco Erwin Schrödinger pegou alguns livros e viajou para uma cabana nos Alpes Suíços. Ele tinha ouvido falar recentemente sobre a sugestão feita por de Broglie, em 1924, de que a matéria apresenta características ondulatórias. Schrödinger buscava livrar-se de distrações para refletir sobre o assunto.
Antes do fim da viagem, ele havia descoberto a lei fundamental da mecânica quântica.
O objetivo de Schrödinger era prever o resultado de experimentos atômicos, algo que
até então escapara à física clássica. A equação matemática que ele desenvolveu é atualmente chamada de equação de Schrödinger. Ela é a lei base da mecânica quântica, tal
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
como as leis de Newton o são para a mecânica clássica. Poderíamos chamá-la de lei de
Schrödinger, mas, por tradição, ela é chamada, simplesmente, de equação de Schrödinger.
No Capítulo 40 você aprendeu que uma partícula material é caracterizada na física
quântica por sua função de onda (x). Se você conhece a função de onda da partícula, é
capaz de prever a probabilidade de detectar a partícula em uma dada região do espaço.
Tudo bem, mas o Capítulo 40 não forneceu qualquer método para a determinação de
uma função de onda. A equação de Schrödinger é a peça final do quebra-cabeça. Ela é a
equação usada para determinar a função de onda (x) ao longo do eixo x.
Considere uma partícula atômica de massa m e energia mecânica E cuja interação
com o ambiente possa ser caracterizada por uma função energia potencial U(x). A equação de Schrödinger para a função de onda dessa partícula é
(a equação de Schrödinger)
(41.1)
Trata-se de uma equação diferencial cuja solução é a função de onda (x) que procuramos. Nosso objetivo é aprender o que essa equação significa e como usá-la.
Justificando a equação de Schrödinger
A equação de Schrödinger não pode ser derivada ou provada. Ela não constitui o subproduto de alguma teoria anterior. Seu sucesso depende de sua capacidade de explicar os
vários fenômenos que permaneciam refratários à física clássica e de fazer novas previsões, que foram subseqüentemente verificadas.
Apesar de a equação de Schrödinger não poder ser derivada, existe para ela um argumento de plausibilidade. De Broglie postulara uma natureza ondulatória para a matéria,
na qual uma partícula de massa m, velocidade v e momentum p mv possuía um comprimento de onda associado dado por
(41.2)
O objetivo de Schrödinger era descobrir a equação de onda cuja solução seria uma função de onda com o comprimento de onda proposto por de Broglie.
Uma função oscilatória com características ondulatórias e com um comprimento de
onda é
(41.3)
onde 0 é a amplitude da função de onda. Tomando a derivada segunda de (x), obtemos
Podemos usar a definição de (x), a partir da Equação 41.3, para escrever a derivada
segunda como
(41.4)
A Equação 41.4 relaciona o comprimento de onda com a função de onda (x) e sua
derivada segunda.
NOTA Tais manipulações não são específicas da mecânica quântica. A Equação
41.4, conhecida para ondas clássicas, aplica-se igualmente bem a ondas sonoras e a
ondas em uma corda. O insight de Schrödinger consistiu em identificar com o comprimento de onda de
de Broglie de uma partícula. Podemos escrever o comprimento de onda de de Broglie
em função da energia cinética K da partícula como
(41.5)
Erwin Schrödinger
1263
1264
Física: Uma Abordagem Estratégica
Note que o comprimento de onda de de Broglie aumenta com a diminuição da energia cinética da partícula. Essa observação terá papel fundamental no que segue.
Elevando ao quadrado essa expressão para e substituindo na Equação 41.4, obtemos
(41.6)
onde
A Equação 41.6 é uma equação diferencial para a função (x). A solução dessa equação é a função ondulatória senoidal dada pela Equação 41.3, onde é o
comprimento de onda de de Broglie para uma partícula com energia cinética K.
Nossa derivação da Equação 41.6 considera que a energia cinética K da partícula
seja constante. O diagrama de energia da FIGURA 41.1a nos lembra que a energia cinética
da partícula permanece a mesma enquanto ele se move ao longo do eixo x apenas se a
energia potencial U for constante. Neste caso, o comprimento de onda de de Broglie é o
mesmo em todas as posições.
Energia
A energia cinética
K E U é constante.
Energia total
A energia cinética decresce
Energia com o aumento de x.
Energia total
Energia potencial
O comprimento de onda
de de Broglie é constante.
A energia potencial U(x)
é uma função da posição.
O comprimento de onda
de de Broglie aumenta
enquanto K diminui.
FIGURA 41.1 O comprimento de onda de de Broglie varia com a energia cinética da partícula.
Diferentemente, a FIGURA 41.1b mostra o diagrama de energia para uma partícula cuja
energia cinética não é constante. Tal partícula acelera ou desacelera à medida que se
move ao longo do eixo x, transformando energia potencial em cinética e vice-versa.
Conseqüentemente, seu comprimento de onda de de Broglie varia com sua posição.
Considere que a energia potencial – gravitacional, elétrica ou de outro tipo – de
uma partícula seja descrita pela função U(x) ou U(y), ou seja, a energia potencial é uma
função de posição ao longo do eixo de movimento. Por exemplo, a energia potencial
gravitacional perto da superfície da Terra é dada pela função
Se E for a energia mecânica total da partícula, sua energia cinética na posição x é
(41.7)
Usando essa expressão para K na Equação 41.6, ela se transforma em
Esta é a Equação 41.1, a equação de Schrödinger para a função de onda da partícula,
(x).
NOTA Isso não constitui uma derivação da equação de Schrödinger. Apenas apresentamos um argumento de plausibilidade, baseado na hipótese de de Broglie sobre
as ondas de matéria, mas somente as evidências experimentais demonstrarão o mérito dessa equação. CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
PARE E PENSE 41.1 Três ondas de de Broglie são mostradas para partículas de mesma massa.
Ordene em seqüência decrescente os módulos dessas velocidades.
Modelos quantomecânicos
Em nosso estudo da mecânica newtoniana, você aprendeu a importância dos modelos.
A fim de compreender o movimento de um objeto, propomos hipóteses simplificadoras:
que o objeto pode ser representado por uma partícula, que o atrito pode ser descrito de
forma simples, que a resistência do ar pode ser desprezada, entre outras. Os modelos
nos permitem entender as principais características do movimento de um objeto sem nos
perdermos em detalhes.
O mesmo vale na mecânica quântica. A descrição exata de um átomo ou de um
sólido é extremamente complexa. A única esperança de podermos usar efetivamente a
mecânica quântica em tal descrição é propor um número de hipóteses simplificadoras –
ou seja, criar um modelo quantomecânico da situação. A maior parte desse capítulo é
dedicada à construção e à utilização de modelos quantomecânicos.
O teste do sucesso de um modelo é sua concordância com os resultados experimentais. Experimentos em laboratório não podem medir (x) e raramente medem
probabilidades diretamente. Portanto, será importante relacionar nossos modelos a
grandezas mensuráveis, tais como comprimentos de onda, cargas, correntes, tempos
e temperaturas.
Há uma grande diferença entre modelos na mecânica clássica e na mecânica quântica. Os modelos clássicos são descritos em termos de forças, e as leis de Newton relacionam força e movimento. A equação de Schrödinger para a função de onda é escrita
em termos de energias. Conseqüentemente, na mecânica quântica a modelagem envolve
a obtenção da função energia potencial U(x) que descreve a interação da partícula com
sua vizinhança.
A FIGURA 41.2 nos lembra como devemos interpretar um diagrama de energia. Usaremos diagramas de energia extensivamente neste e nos capítulos subseqüentes a fim de
descrever modelos na mecânica quântica. Uma revisão da Seção 10.7, onde os diagramas de energia são introduzidos, é altamente recomendável.
A curva de energia
potencial U(x) é uma
função de posição.
Energia
Linha de energia total
x xE é uma
região proibida
pela física
clássica.
x xD é uma
região proibida
pela física
clássica.
A energia cinética
éKEU
Energia
potencial
neste ponto
xE
Ponto de velocidade máxima
Pontos de retorno
FIGURA 41.2 Interpretando um diagrama de energia.
xD
20.1
1265
1266
Física: Uma Abordagem Estratégica
41.2 Resolvendo a equação de Schrödinger
A equação de Schrödinger é uma equação diferencial de segunda ordem, isto é, uma
equação diferencial para (x) que envolve sua derivada segunda. Contudo, este livro não
parte do pressuposto de que você saiba resolver equações diferenciais. À semelhança de
nosso procedimento para as leis de Newton, nos restringiremos àquelas situações em que
as habilidades envolvidas são aquelas desenvolvidas em um curso de cálculo.
A solução de uma equação algébrica é um número. Por exemplo, x 3 é a solução
da equação 2x 6. Diferentemente, a solução de uma equação diferencial é uma função.
Você já se deparou com essa idéia na seção anterior, onde a Equação 41.6 foi construída
para que (x) 0 sen(2 x/) fosse uma de suas soluções.
A equação de Schrödinger não pode ser resolvida até que a energia potencial U(x)
seja especificada. Diferentes energias potenciais geram diferentes funções de onda, do
mesmo modo que diferentes forças levam a diferentes trajetórias na mecânica clássica.
Depois da especificação de U(x), a solução da equação diferencial é a função (x). Normalmente descreveremos a solução por um gráfico (x) versus x.
Restrições e condições de contorno
Nem todas as funções (x) são soluções aceitáveis da equação de Schrödinger. Algumas
podem satisfazer à equação de Schrödinger, mas não possuir um significado físico. Anteriormente nos deparamos com soluções de equações algébricas que possuíam restrições.
Por razões físicas, exigiremos que as massas sejam grandezas positivas, que as posições
sejam números reais e assim por diante. As soluções matemáticas que não obedecerem a
esses requisitos serão rejeitadas como não-físicas.
Uma vez que desejamos interpretar
como uma densidade de probabilidade,
devemos exigir que a função (x) seja tal que possibilite essa interpretação. As condições,
ou restrições, acerca das soluções possíveis são chamadas de condições de contorno. Nos
próximos exemplos você verá como as condições de contorno nos ajudam a escolher a
solução correta (x). As principais condições a que a função de onda deve obedecer são:
1. (x) é uma função contínua.
2. (x) 0 se x pertence a uma região onde é fisicamente impossível que a partícula
seja localizada.
3. (x) → 0 quando x → e x → .
4. (x) é uma função normalizada.
A última condição não é, estritamente falando, uma condição de contorno, e sim uma condição auxiliar exigida a fim de obtermos uma interpretação útil. A condição de contorno 3
seja convergente.
é necessária para garantir que a integral de normalização
Uma vez estabelecidas as condições de contorno, existem várias abordagens para solucionar a equação de Schrödinger: usar técnicas gerais para equações diferenciais de segunda ordem, resolver a equação numericamente em um computador ou adivinhar a solução.
Cursos mais avançados usam as duas primeiras abordagens amplamente. Nós não
pressupomos que o estudante tenha conhecimento prévio sobre equações diferenciais,
portanto você não será obrigado a usar as primeiras abordagens. A terceira, embora pareça um engodo, é amplamente utilizada em situações nas quais argumentos físicos simples nos permitem inferir a forma funcional da função de onda. Os próximos exemplos
ilustrarão essa abordagem.
Uma equação algébrica quadrática possui duas soluções diferentes. Analogamente, uma
equação diferencial de segunda ordem possui duas soluções independentes 1(x) e 2(x).
Usamos aqui o termo “independentes” para significar que 2(x) não é apenas um múltiplo
de 1(x), tal como 31(x), mas que 1(x) e 2(x) são funções totalmente diferentes.
Suponha que 1(x) e 2(x) sejam duas soluções independentes da equação de
Schrödinger. Um teorema que você verá em seu curso de equações diferenciais garante
que a solução geral dessa equação pode ser escrita como
(41.8)
onde A e B são constantes cujos valores devem ser determinados pelas condições de
contorno. A Equação 41.8 é um enunciado poderoso, que fará mais sentido após sua
aplicação nos exemplos a seguir. O ponto principal é que se pudermos encontrar duas
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
soluções independentes ␺1(x) e ␺2(x) por tentativa e erro (adivinhação), então a
Equação 41.8 fornecerá a solução geral para a equação de Schrödinger.
Quantização
Já afirmamos que a equação de Schrödinger é a lei básica da mecânica quântica. Todavia,
até então, nada mencionamos sobre a quantização. Apesar de a energia total da partícula E
aparecer na equação de Schrödinger, ela é tratada como uma constante não-especificada.
Porém veremos que não existem soluções aceitáveis para a maioria dos valores de E, ou
seja, funções (x) que satisfaçam à equação de Schrödinger e às condições de contorno.
Soluções aceitáveis existem apenas para certos valores discretos de E. As energias para as
quais existem soluções são as energias quantizadas do sistema. Portanto, como você verá,
a equação de Schrödinger possui a quantização como uma característica intrínseca.
Resolução de problemas de mecânica quântica
Nossa estratégia para resolução de problemas de mecânica clássica baseava-se na identificação e na utilização de forças. Na mecânica quântica, estamos interessados em energias
em vez de forças. O estágio crítico na resolução de um problema de mecânica quântica
é a determinação da função energia potencial U(x) da partícula. Identificar as interações
que resultam na energia potencial constitui a física do problema. Uma vez que a função
energia potencial seja conhecida, determinar a função de onda é “mera matemática”.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 41.1
Problemas de mecânica quântica
MODELO Determine a função energia potencial que descreve as interações da partícula. Proponha hipóteses simplificadoras.
VISUALIZAÇÃO A curva de energia potencial é uma representação pictórica.
■ Desenhe a curva de energia potencial.
■ Identifique as informações conhecidas.
■ Estabeleça as condições de contorno a que a função de onda deve satisfazer.
SOLUÇÃO A equação de Schrödinger é a representação matemática usada.
■
■
■
■
■
Utilize as condições de contorno.
Normalize a função de onda.
2
Desenhe os gráficos de (x) e |(x)| .
Determine os níveis de energia permitidos.
Calcule as probabilidades, os comprimentos de onda e outras quantidades específicas.
AVALIAÇÃO Verifique se os resultados possuem as unidades corretas, se eles são plau-
síveis e se respondem à questão proposta.
As soluções da equação de Schrödinger são os estados estacionários do sistema.
Bohr havia postulado a existência de estados estacionários, mas não sabia como determiná-los. Agora, possuímos uma estratégia para descobri-los.
A idéia de Bohr sobre transições ou saltos quânticos entre estados estacionários permanece de grande importância na mecânica quântica de Schrödinger. O sistema pode
saltar de um estado estacionário, caracterizado por função de onda i(x) e energia Ei,
para outro, caracterizado por função de onda f(x) e energia Ef, através da emissão ou
absorção de um fóton de freqüência
Portanto, as soluções da equação de Schrödinger nos permitirão prever os espectros de
emissão e absorção de um sistema quântico. Tais predições servirão como teste de validade da teoria de Schrödinger.
1267
1268
Física: Uma Abordagem Estratégica
41.3 Partícula em uma caixa rígida: energias e
funções de onda
Paredes perfeitamente rígidas
FIGURA 41.3 Uma partícula em uma caixa
rígida de comprimento L.
20.2
A FIGURA 41.3 mostra uma partícula de massa m confinada em uma caixa unidimensional
rígida de comprimento L. Consideramos aqui que as paredes da caixa sejam perfeitamente rígidas e que a partícula sofra reflexões perfeitamente elásticas em ambas. Esse
problema é conhecido como “partícula em uma caixa”.
A partícula vai e vem entre as paredes da caixa. Não há restrições quanto à velocidade ou à energia cinética de uma partícula clássica. Diferentemente, uma partícula com
características ondulatórias e com comprimento de onda de de Broglie gera uma onda
estacionária ao se refletir nas paredes. Nos Capítulos 25 e 39, descobrimos que uma
onda estacionária de de Broglie conduz automaticamente à quantização. Apenas certas
energias discretas são permitidas. Porém nossa hipótese sobre uma onda de de Broglie
estacionária era apenas isso, uma hipótese sem justificativa real, pois não possuíamos,
então, uma teoria sobre como uma partícula com características ondulatórias deve se
comportar.
Revisitaremos este problema (partícula em uma caixa) sob a nova perspectiva da mecânica quântica. As questões principais a serem respondidas neste caso e em quaisquer
outros problemas quantomecânicos são:
■ Quais são os estados de energia permitidos para a partícula?
■ Qual é a função de onda associada a cada energia?
■ Em qual parte da caixa é maior a probabilidade de encontrar a partícula?
Podemos usar a Estratégia para Resolução de Problemas 41.1 para responder a essas
questões.
Modelo: identifique a função energia potencial
O termo caixa rígida significa que as paredes são tão fortes que podem confinar a partícula independentemente de quão rapidamente ela se mova. Ademais, as paredes são
tão inflexíveis que não cedem ou flexionam quando a partícula ricocheteia. Nenhum
recipiente normal possui tais qualidades, o que torna a caixa rígida um modelo para a
situação em que a partícula se encontre fortemente confinada. Nossa primeira tarefa é
caracterizar a caixa rígida em termos de uma função energia potencial.
Estabeleçamos um eixo de coordenadas em que as extremidades da caixa se localizem em x 0 e x L. A caixa rígida possui três características importantes:
1. A partícula pode se mover livremente entre 0 e L com velocidade constante e,
portanto, com energia cinética constante.
2. Independentemente de quanta energia cinética a partícula possua, os pontos de
retorno localizam-se em x 0 e x L.
3. As regiões x < 0 e x > L são proibidas. A partícula não pode sair da caixa.
A função energia potencial que descreve uma partícula nesta situação é
A energia potencial torna-se
infinita neste ponto.
(41.9)
Energia total
da partícula
Região
proibida
Região
proibida
Dentro da caixa, a partícula possui apenas energia cinética. As barreiras infinitas de
energia potencial impedem que a partícula atinja as regiões x < 0 e x > L, independentemente de quanta energia cinética ela possua. Essa é a energia potencial para a qual
pretendemos resolver a equação de Schrödinger.
Visualização: estabeleça as condições de contorno
Fora da
caixa
U 0 dentro
da caixa
Fora da
caixa
FIGURA 41.4 Diagrama de energia de
uma partícula em uma caixa rígida de
comprimento L.
A FIGURA 41.4 é o diagrama de energia de uma partícula em um caixa rígida. Você pode
notar que, dentro da caixa, U 0 e E K. As setas voltadas para cima, acompanhadas
pelo símbolo , indicam que a energia potencial torna-se infinitamente grande nas paredes da caixa (em x 0 e x L).
NOTA A FIGURA 41.4 não é o desenho da caixa. Trata-se de uma representação gráfica da energia cinética e da energia potencial da partícula. CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
1269
Em seguida necessitamos estabelecer as condições de contorno a que a solução deve satisfazer. Como é fisicamente impossível para a partícula estar fora da caixa, exigimos que
(41.10)
Ou seja, a probabilidade de encontrarmos a partícula fora da caixa é igual a zero.
Mais ainda, a função de onda deve ser uma função contínua, isto é, ela não pode
conter saltos em quaisquer pontos. A solução deve ser nula fora da caixa, portanto a
condição de continuidade exige que a função de onda dentro da caixa obedeça às duas
condições
(41.11)
Em outras palavras, a FIGURA 41.5 mostra que a função de onda oscilatória dentro da caixa
deve tender a zero nas extremidades a fim de garantir a continuidade com a função de
onda fora da caixa. Tal requerimento equivale a dizer que uma onda estacionária em uma
corda deve apresentar um nó em cada extremidade da corda.
1. Dentro da caixa, oscila de alguma
maneira, ainda a ser determinada.
2. 0 fora da caixa.
Resolução I: determine as funções de onda
Para todos os pontos do interior da caixa, a energia potencial é igual a U(x) 0. Portanto, dentro da caixa a equação de Schrödinger assume a forma
(41.12)
Dois aspectos merecem atenção na solução dessa equação:
3. A continuidade de requer
que (em x L) 0
FIGURA 41.5 Aplicação das condições de
1. Para que valores de E a Equação 41.12 possui soluções com significado físico?
2. Quais são as soluções (x) para os valores de E?
2
2
Começaremos simplificando a notação, definindo 2mE . A Equação 41.12,
então, torna-se
(41.13)
Vamos resolver esta equação diferencial por adivinhação! Você consegue imaginar uma
função cuja derivada segunda seja uma constante negativa multiplicada pela própria
função? As duas únicas funções que satisfazem a essa condição são
(41.14)
Ambas são soluções da Equação 41.13 porque
Ademais, elas são soluções independentes, pois 2(x) não é um múltiplo ou um rearranjo de 1(x). Conseqüentemente, de acordo com a Equação 41.8, a solução geral da
equação de Schrödinger para a partícula em uma caixa rígida é
(41.15)
onde
(41.16)
As constantes A e B devem ser determinadas através da utilização das condições de contorno da Equação 41.11. Primeiro, a função de onda deve tender a zero em x 0, ou seja,
(41.17)
contorno para a função de onda de uma
partícula em uma caixa.
1270
Física: Uma Abordagem Estratégica
Essas condições de contorno só podem ser satisfeitas se B 0. O termo cosx pode satisfazer matematicamente à equação, mas não possui significado físico para este problema, pois não satisfaz às condições de contorno. A solução dotada de significado físico é
A função de onda também deve tender a zero em x L, ou seja,
(41.18)
Essa condição poderia ser satisfeita se A 0. Entretanto, neste caso, não teríamos uma
função de onda! Felizmente essa não é a única possibilidade. A condição de contorno
também é satisfeita se L 0, o que requer que
(41.19)
Note que n inicia em 1, e não, em 0. O valor n 0 geraria 0 e tornaria 0 em
todo o espaço, o que não representa uma solução fisicamente aceitável.
Assim, as soluções da equação de Schrödinger para uma partícula em uma caixa
rígida são
(41.20)
Encontramos toda uma família de soluções, cada qual correspondendo a um valor diferente do inteiro n. Essas funções de onda representam os estados estacionários da partícula na caixa. A constante A ainda precisa ser determinada.
Resolução II: determine as energias permitidas
A Equação 41.16 definiu . A Equação 41.19 estabeleceu as restrições sobre os possíveis valores de :
(41.22)
onde o valor de e o da energia associada ao inteiro n foram rotulados por, respectivamente, n e En. Podemos isolar En elevando ao quadrado ambos os lados:
(41.22)
Energia
As energias permitidas
aumentam com o quadrado
do número quântico.
onde, no último passo, utilizamos a definição h/2. Para uma partícula em uma
caixa, essas energias são os únicos valores de E para os quais existem soluções da
equação de Schrödinger com significado físico.
Descobrimos que a energia da partícula é quantizada! É útil escrever as energias dos
estados estacionários como
(41.23)
A energia E1 do estado
fundamental é maior do que 0.
FIGURA 41.6 Diagrama de níveis de energia
para uma partícula em uma caixa.
onde En é a energia do estado estacionário correspondente ao numero quântico n. A ener2
2
gia mais baixa E1 h /8mL é a energia do estado com n 1 ou estado fundamental. As
energias permitidas são mostradas no diagrama de níveis de energia da FIGURA 41.6. Do
Capítulo 39, lembre-se de que um diagrama de níveis de energia não é um gráfico (o
eixo horizontal nada representa), e sim, uma “escada” de energias permitidas.
A Equação 41.22 é idêntica à da energia encontrada no Capítulo 39, obtida através
da exigência de que as ondas de de Broglie para uma partícula em uma caixa formem
uma onda estacionária. Agora, contudo, possuímos uma teoria que não apenas nos fornece as energias, mas também as funções de onda.
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
1271
EXEMPLO 41.1 Um elétron em uma caixa
Um elétron está confinado em uma caixa rígida. Qual é o tamanho
da caixa se a diferença entre as energias do primeiro e do segundo
estados é igual a 3,0 eV?
O comprimento da caixa para o qual E 3,0 eV é
MODELO Considere o elétron como uma partícula em uma caixa rígida
unidimensional de comprimento L.
RESOLUÇÃO Os dois primeiros estados quânticos, com n 1 e n 2,
possuem energias E1 e E2 4 E1. A diferença entre as energias desses
estados é
AVALIAÇÃO A expressão para E1 está em unidades do SI, portanto as
energias são dadas em J, e não, em eV.
Resolução III: normalize as funções de onda
Podemos determinar a constante A pela exigência de que as funções de onda sejam normalizadas. A condição de normalização, que obtivemos no Capítulo 40, é
Essa é a expressão matemática do fato de que a partícula deve estar em alguma posição
ao longo do eixo x. Os limites de integração se estendem desde , mas precisamos
integrar apenas de 0 a L, pois a função de onda é nula fora da caixa. Portanto,
(41.24)
ou
(41.25)
Usamos um subscrito n em An porque a constante de normalização pode ser diferente
para cada função de onda da família. Trata-se de uma integral conhecida. Deixaremos
para você, como tarefa, mostrar que o valor da integral, para um valor qualquer de n, é
(41.26)
Agora possuímos a solução completa do problema. A função de onda normalizada para
a partícula no estado quântico n é
(41.27)
41.4 Partícula em uma caixa rígida:
interpretando a solução
Nossa solução do problema quantomecânico de uma partícula em uma caixa nos mostra
que:
1. A partícula deve possuir energia En n2E1, onde n 1, 2, 3,... é um número quâné a energia do estado fundamental, correspondente a n 1.
tico.
2. A função de onda para a partícula no estado quântico n é
Esses são os estados estacionários do sistema.
1272
Física: Uma Abordagem Estratégica
3. A densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição x dentro
da caixa é
(41.28)
FIGURA 41.7 Funções de onda e densidades de probabilidade para uma partícula em uma
caixa rígida de comprimento L.
Eixo x para a função
de onda 3(x).
Energias
permitidas
Funções
de onda
FIGURA 41.8 Forma alternativa de
representar o diagrama de energia
potencial, as energias e as funções de onda.
Uma representação gráfica deixará nossos resultados mais claros. A FIGURA 41.7 moscorrespontra a função de onda (x) e as densidades de probabilidade
dentes aos estados quânticos n 1, 2 e 3. Note que as funções de onda tendem a zero
nos extremos e se juntam de forma contínua com 0 fora da caixa.
As funções de onda (x) para uma partícula em uma caixa rígida são análogas às
ondas estacionárias em uma corda cujas duas extremidades estão fixas. Você pode notar
que ␺n(x) possui (n – 1) nós (zeros), excluídos os extremos, e n antinodos (máximos e
mínimos). Este é um resultado geral para qualquer função de onda, não apenas para uma
partícula em uma caixa rígida.
A FIGURA 41.8 indica outra forma em que as energias e funções de onda podem ser
representadas graficamente na mecânica quântica. Primeiramente, o gráfico mostra a
função energia potencial U(x)da partícula. Em segundo lugar, as energias permitidas são
representadas por linhas horizontais (linhas de energia total). Essas linhas são identificadas com os números quânticos n e com as energias En. Em terceiro lugar – e requerendo
um pouco mais de cuidado –, temos as funções de onda para cada n desenhadas como se
a linha de energia fosse o zero do eixo y. Dito de outra maneira, o gráfico de n(x) é desenhado sobre a linha de energia En. Isso permite que energias e funções de onda sejam
desenhadas simultaneamente, mas não significa que 2 está “acima” de 1. Ambas oscilam de forma senoidal ao redor de zero, como mostra a Figura 41.7.
EXEMPLO 41.2 Níveis de energia e saltos quânticos
Um dispositivo semicondutor conhecido como poço quântico é projetado para “prender” elétrons em uma região de largura igual a 1,0 nm.
Considere este como um problema unidimensional.
Energia
,
a. Quais são as energias dos três primeiros estados quânticos?
b. Que comprimentos de onda estes elétrons podem absorver?
MODELO Considere um elétron em um poço quântico como uma partí-
,
cula confinada em uma caixa rígida de comprimento L 1,0 nm.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 41.9 representa os três primeiros níveis de
,
energia e as transições através das quais um elétron no estado fundamental pode absorver um fóton.
FIGURA 41.9 Níveis de energia e saltos quânticos para um elétron
em um dispositivo do tipo poço quântico.
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
1273
RESOLUÇÃO a. A massa da partícula é
As energias permitidas, em J e em eV, são
b. Um elétron passa a maior parte do tempo no estado fundamental n1. De acordo com o modelo de estados estacionários
de Bohr, o elétron pode absorver um fóton e sofrer uma transição, ou salto quântico, para n 2 ou n 3 se a luz possuir
Os comprimentos de onda, dados por
freqüência
são
AVALIAÇÃO Na prática, muitas complicações normalmente fazem
não seja observada, mas os poços quâncom que a transição
ticos de fato exibem forte absorção e emissão no comprimento de
. Neste exemplo, que é típico de dispositivos do tipo poço
onda
quântico, o comprimento de onda localiza-se na porção infravermelha do espectro de radiação. Tais dispositivos são utilizados na construção dos lasers de semicondutores usados em reprodutores de CD
e em impressoras a laser.
NOTA Os comprimentos de onda emitidos ou absorvidos por um sistema quântico
são determinados pela diferença entre duas energias permitidas envolvidas no processo. Saltos quânticos envolvem dois estados estacionários. Movimento de ponto-zero
O estado de mais baixa energia do Exemplo 41.2, chamado de estado fundamental, posNão existe estado estacionário com E 0. Diferentemente de uma
sui
partícula clássica, uma partícula quântica em uma caixa não pode estar em repouso!
Independentemente de quanto a energia tenha sido reduzida, como, por exemplo, através de resfriamento que tende ao zero absoluto, a partícula não pode apresentar energia
menor do que
O movimento da partícula associado à energia , chamado de movimento de ponto-zero, é uma conseqüência do princípio de incerteza de Heisenberg. Como a partícula
Se
encontra-se em alguma lugar dentro da caixa, a incerteza de sua posição é
a partícula estivesse em repouso, sua velocidade e seu momentum seriam exatamente
Com isso,
violaria o princíiguais a zero, sem qualquer incerteza:
pio de incerteza de Heisenberg. Uma das conclusões do princípio de incerteza é de que
uma partícula confinada não pode estar em repouso.
Apesar das incertezas da posição e da velocidade da partícula, sua energia em cada
estado pode ser calculada com grande precisão. Tal distinção entre energias precisas e
velocidades e posições incertas parece estranha, mas aparece graças à nossa velha amiga onda estacionária. A fim de formar um estado estacionário, as ondas de de Broglie
devem dar origem a ondas estacionárias. Apenas para freqüências muito específicas,
e, portanto, para energias muito específicas é que podemos obter um padrão de ondas
estacionárias.
EXEMPLO 41.3 Energias nucleares
Prótons e nêutrons se ligam fortemente no núcleo de um átomo. Se
usarmos o modelo unidimensional de um núcleo, quais serão os primeiros três níveis de energia para um nêutron em um núcleo de 10 fm
–15
de diâmetro (1 fm 10 m)?
MODELO Considere que o núcleo seja uma caixa unidimensional de
comprimento L 10 fm e que o nêutron esteja confinado na caixa.
RESOLUÇÃO Para L 10 fm e m mn 1,67
de energia são
10
–27
kg, os níveis
AVALIAÇÃO Um elétron confinado em um espaço do tamanho de um
átomo possui energia de alguns poucos eV. Um nêutron confinado em
um espaço do tamanho de um núcleo possui energia de alguns poucos
milhões de eV.
1274
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 41.4 As probabilidades de localização de uma
partícula
b. Para uma pequena largura ␦x, a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo ␦x centrado em x é
Uma partícula em uma caixa rígida de comprimento L encontra-se no
estado fundamental.
a. Onde existe maior probabilidade de encontrar a partícula?
b. Quais são as probabilidades de encontrar a partícula em uma região de largura 0,01L centrada em x ⫽ 0,00L, 0,25L e 0,50L?
c. Qual é a probabilidade de encontrar a partícula na metade central
da caixa?
MODELO As funções de onda para uma partícula em uma caixa rígida
O intervalo
é suficientemente pequeno para que essa
aproximação seja válida. As probabilidades procuradas são, portanto,
Prob(com 0,01L centrado em x ⫽ 0,00L) ⫽ 0,000 ⫽ 0,0%
já foram determinadas.
Prob(com 0,01L centrado em x ⫽ 0,25L) ⫽ 0,010 ⫽ 1,0%
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 41.10 mostra a densidade de probabilidade
Prob(com 0,01L centrado em x ⫽ 0,50L) ⫽ 0,020 ⫽ 2,0%
associada ao estado fundamental.
Probabilidade
máxima
c. A metade central da caixa estende-se desde x ⫽ L/4 até x ⫽ 3L/4.
A probabilidade de que a partícula esteja neste intervalo é igual à
área sob a curva de densidade de probabilidade:
A probabilidade de estar na metade
central da caixa é igual à área sob a
curva entre L/4 e 3L/4.
FIGURA 41.10 Densidade de probabilidade para uma partícula no
estado fundamental.
RESOLUÇÃO a. A maior probabilidade de encontrar a partícula
ocorre no ponto onde a densidade de probabilidade P(x) é máxima. Pode-se ver, da Figura 41.10, que o ponto de probabilidade
máxima para n ⫽ 1 ocorre em x ⫽ L/2.
AVALIAÇÃO Se a partícula em uma caixa estiver no estado fundamental
n ⫽1, a probabilidade de encontrá-la na metade central da caixa é de
81,8%. A probabilidade é maior do que 50% porque, como podemos
observar na Figura 41.10, a densidade de probabilidade P1(x)é maior
no centro do que nas extremidades da caixa.
A apresentação do problema da partícula em uma caixa foi bastante longa. Ela,
porém, foi importante a fim de explorar o método de solução de maneira completa.
Exemplos futuros serão menos detalhados porque muitas questões não precisarão ser
rediscutidas.
PARE E PENSE 41.2 Uma partícula em uma caixa rígida no estado estacionário n ⫽ 2 pode
ser encontrada com maior probabilidade
a. No centro da caixa.
b. A um terço de qualquer dos extremos.
c. A um quarto de qualquer dos extremos.
d. É igualmente provável encontrá-la em qualquer ponto da caixa.
41.5 O princípio da correspondência
Suponha que confinemos um elétron em uma caixa microscópica e que, depois, aumentemos progressivamente as dimensões da caixa. O que iniciou como uma situação quantomecânica deve, quando a caixa tornar-se macroscópica, acabar tornando-se uma situação da física clássica. Analogamente, uma situação inicialmente clássica, tal como duas
partículas carregadas, cada qual orbitando ao redor da outra, exibirá um comportamento
quântico à medida que as dimensões da órbita forem progressivamente reduzidas.
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
1275
Esses exemplos sugerem que devem existir tamanhos ou energias intermediárias
para os quais a solução da mecânica quântica corresponde, de alguma maneira, à solução
da mecânica clássica. Niels Bohr propôs a idéia de que o comportamento médio de um
sistema quântico deve tender ao comportamento clássico no limite de números quânticos
Como o raio do átomo de hidrogênio é igual a
muito grandes – ou seja, quando
o átomo se torna um objeto macroscópico à medida que n torna-se muito grande. A idéia de Bohr, de que o mundo quântico deve transformar-se, de maneira suave, no
mundo clássico no limite de grandes números quânticos, é atualmente conhecida como
princípio da correspondência.
Nosso conhecimento sobre a mecânica quântica de uma partícula em uma caixa é
dado pela densidade de probabilidade
(41.29)
Com qual quantidade clássica estará relacionada esta probabilidade à medida que
Curiosamente, podemos definir uma densidade de probabilidade clássica
Toda partícula clássica segue uma trajetória bem-determinada, mas vamos admitir, por
ora, que observemos a partícula em instantes aleatórios. Por exemplo, admitamos que a
caixa contendo a partícula possua uma janela transparente. A janela normalmente está
fechada, mas, em certos instantes aleatórios, selecionados através de um gerador de números aleatórios, a janela se abre por um breve intervalo ␦t durante o qual podemos
medir a posição da partícula. Ao abrir a janela, qual é a probabilidade de que a partícula
esteja localizada em um intervalo estreito ␦x centrado na posição x?
A probabilidade de encontrar a partícula clássica em um pequeno intervalo ␦x é igual
à fração do tempo que ela leva para cruzar ␦x, ou seja, é mais provável encontrar a partícula em intervalos ␦x onde é maior seu tempo de travessia do que naqueles intervalos
em que ela gasta menos tempo.
Se a partícula retorna a um dos extremos da caixa após um período T, o tempo de
Ao se mover entre os extremos, a partícula perpercurso entre os extremos é igual a
corre o intervalo ␦x centrado na posição x em um tempo ␦t. Portanto, a probabilidade de
encontrar a partícula dentro desse intervalo é
Probclass(com ␦x centrado em x) ⫽ fração do tempo gasto em
Partícula em uma caixa vazia
Diagrama de movimento
(41.30)
O tempo necessário para atravessar ␦x é
onde v(x) é a velocidade da partícula na posição x. Portanto, a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo ␦x
centrado na posição x é
Probclass(com ␦x centrado em x) ⫽
Velocidade uniforme
(41.31)
A probabilidade de encontrar a partícula
em ␦x é uma fração do tempo que ela
gasta em ␦x.
Velocidade não-uniforme
No Capítulo 40, você aprendeu que a probabilidade está relacionada à densidade de
probabilidade através de
Partícula presa a uma mola
Probclass(com ␦x centrado em x) ⫽ Pclass(x) ␦x
Então a densidade de probabilidade clássica de que uma partícula seja encontrada na
posição x é dada por
Diagrama de movimento
(41.32)
onde a velocidade v(x) é expressa por uma função de x. Classicamente, uma partícula
possui maior probabilidade de ser encontrada onde ela se move mais lentamente e
menor probabilidade onde ela se move mais rapidamente.
NOTA Em nossa derivação da Equação 41.32, a única hipótese feita sobre o movimento da partícula foi de que ele seja periódico. A expressão obtida é a densidade de
probabilidade clássica para qualquer movimento periódico. A FIGURA 41.11a representa o diagrama de movimento de uma partícula clássica em
uma caixa rígida de comprimento L. A velocidade da partícula é uma constante
A probabilidade de
encontrar a partícula
é maior onde ela se
move lentamente...
... e menor onde
ela se move
rapidamente
FIGURA 41.11 A densidade de
probabilidade clássica é indicada pela
densidade de pontos em um diagrama de
movimento.
1276
Física: Uma Abordagem Estratégica
durante o movimento entre os extremos. A partícula percorre a distância 2L em um peConseqüentemente, a densidade de probabilidade clássica para uma
ríodo
partícula em uma caixa é
(41.33)
A densidade Pclass(x) é independente de x, ou seja, a probabilidade de encontrar a partícula é a mesma em qualquer posição na caixa.
Diferentemente, a FIGURA 41.11b representa uma partícula com velocidade não-uniforme. Uma massa presa a uma mola tem sua velocidade reduzida à medida que se
aproxima dos pontos de retorno; daí ela despender mais tempo junto aos extremos do
que no meio da caixa. Portanto, neste caso, a densidade de probabilidade clássica para
a partícula é máxima nos extremos e mínima no centro. Voltaremos a essa densidade de
probabilidade mais adiante neste capítulo.
EXEMPLO 41.5 A probabilidade clássica de localizar uma
partícula
Uma partícula clássica se encontra em uma caixa rígida de 10 cm de
comprimento. Qual é a probabilidade de, em um dado instante aleatório de tempo, localizarmos a partícula em um intervalo de 1 mm de
largura no centro da caixa?
RESOLUÇÃO A densidade de probabilidade para a partícula é igual a
A probabilidade de a partícula ser encontrada em um intervalo de largura x 1,0 mm 0,10 cm é igual a
Prob(em x centrado em x 5 cm) P(x)x (0,10 cm )(0,10 cm)
–1
0,010 1,0%
AVALIAÇÃO A probabilidade clássica é igual a 1,0% porque 1,0 mm
equivale a 1% de 10 cm, o comprimento da caixa.
A FIGURA 41.12 representa as densidades de probabilidade quântica e clássica para
os estados quânticos correspondentes a n 1 e n 20 de uma partícula em uma caixa
rígida. Note que:
■ A densidade de probabilidade quântica oscila entre o mínimo 0 e o máximo 2/L, ou
seja, ao redor da densidade de probabilidade clássica 1/L.
■ Para n 1, as densidades de probabilidade quântica e clássica são muito diferentes.
O estado fundamental do sistema quântico é completamente não-clássico.
■ Para n 20, o comportamento médio de uma partícula quântica se parece muito com
o de uma partícula clássica.
As densidades de probabilidade clássica
e quântica são muito diferentes.
Pquant para n 1
Em média, a densidade de probabilidade
quântica é igual à correspondente clássica.
Pquant para n 20
Pclass
FIGURA 41.12 As densidades de probabilidade clássica e quântica para uma partícula em uma
caixa.
À medida que n aumenta, cresce o número de oscilações e, conseqüentemente, a probabilidade de encontrarmos a partícula em um intervalo (x) torna-se igual entre a partícula
clássica e a quântica, desde que o intervalo (x) seja suficientemente grande para conter
várias oscilações da função de onda. De acordo com a predição de Bohr, a solução quantomecânica “corresponde” à solução clássica no limite
41.6 Poços de potencial finitos
A Figura 41.4, o diagrama de energia potencial de uma partícula em uma caixa rígida, é
um exemplo de um poço de potencial, assim denominado porque a forma do gráfico lem-
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
bra a de um poço. A caixa rígida equivale a um poço de potencial infinito. Não há possibilidade de escape para uma partícula enclausurada por essas paredes infinitamente altas.
Nenhuma caixa, porém, é infinitamente forte. Um modelo mais realista de partícula
confinada é o de um poço finito, como o da FIGURA 41.13a. Uma partícula com energia
total E < U0 está confinada no interior do poço, refletindo-se entre os extremos localizados em x 0 e x L. As regiões x < 0 e x > L são regiões classicamente proibidas
para uma partícula com E < U0. Mas a partícula escapará do poço se, de alguma maneira,
obtiver energia E > U0.
Lembre-se de que o zero da escala de energia é arbitrário. A Figura 41.13a define U 0
como a energia potencial no interior do poço. A FIGURA 41.13b reposiciona o zero de energia
no nível dos “platôs de energia” em ambos os lados do poço. As Figuras 41.13a e 41.13b representam o mesmo poço de potencial. Ambos possuem largura L e profundidade U0, assim
como as mesmas funções de onda e as mesmas energias permitidas (relativas à escolha de
E 0). Qual deles usaremos será apenas uma questão de conveniência.
Não fizemos qualquer menção à força responsável por esse poço de potencial. Um
elétron confinado em um semicondutor por forças elétricas possui uma energia potencial
que pode ser modelada por um poço de potencial finito. O mesmo vale para um próton
confinado ao núcleo pela força nuclear. A equação de Schrödinger depende da forma da
função energia potencial, e não, de sua causa. Portanto, qualquer situação em que uma
partícula esteja confinada pode ser modelada por um poço de potencial finito.
Embora seja possível resolver de forma exata a equação de Schrödinger para o poço de
potencial finito, o resultado é complicado e pouco esclarecedor. Por isso, apresentaremos
os resultados de cálculos numéricos. A derivação das funções de onda e dos níveis de energia não são tão importantes quanto a compreensão e a interpretação dos resultados.
Nosso primeiro exemplo será o de um elétron em um poço de potencial de 2,0 nm de
largura e de profundidade igual a U0 1,0 eV. Tais parâmetros são razoáveis para um
elétron em um semicondutor. A FIGURA 41.14a é uma representação gráfica dos níveis de
energia e das funções de onda permitidos. Em comparação, a FIGURA 41.14b mostra os três
primeiros níveis de energia e funções de onda para uma caixa rígida (U0 → ) com os
mesmos 2 nm de largura.
Poço de potencial finito
,
,
A função de onda
estende-se para dentro
da região classicamente
proibida.
,
Partícula em uma caixa rígida
U 0 no interior do poço
U0 é a profundidade do
poço de energia potencial.
A energia da
partícula é E U0.
Região
classicamente
proibida
Pontos de retorno
U 0 no exterior do poço
O zero da escala de energia
foi mudado, mas esse poço
ainda possui largura L e
profundidade U0.
U U0 no interior da caixa
FIGURA 41.13 Um poço de potencial finito
de largura L e profundidade U0.
A função de
onda é nula nos
extremos da
caixa.
,
,
,
FIGURA 41.14 Níveis de energia e funções de onda no caso de um poço de potencial finito.
Para comparação, são mostrados também os níveis de energia e as funções de onda para
uma caixa rígida de mesma largura.
A solução quantomecânica para uma partícula em um poço de potencial finito possui
algumas propriedades importantes:
■ A energia da partícula é quantizada. A partícula, neste caso, deve estar em um dos
estados estacionários correspondentes aos números quânticos n 1,2,3,....
■ Existe apenas um número finito de estados ligados – quatro no caso de nosso exem-
plo, embora esse número varie em outros exemplos. Essas funções de onda represen-
Região
classicamente
proibida
U 0 no interior da caixa
,
,
1277
20.3
1278
Física: Uma Abordagem Estratégica
tam elétrons confinados, ou ligados, ao poço de potencial. Não há estados estacionários para E > U0, pois tais partículas não permaneceriam no poço.
■ As funções de onda são qualitativamente semelhantes àquelas de uma partícula em
uma caixa rígida, todavia as energias são um pouco menores. Isso se deve ao fato de
as funções de onda serem um pouco mais espalhadas. Uma onda de de Broglie com
comprimento de onda ligeiramente maior corresponde a uma velocidade menor, daí
sua energia ser menor.
■ O mais interessante, talvez, seja a extensão da função de onda na Figura 41.14a para
dentro da região classicamente proibida. É como se, em uma partida de tênis, a bola
penetrasse parcialmente o encordoamento da raquete com a qual colide, sem rompêlo, antes de ser rebatida.
EXEMPLO 41.6 Espectro de absorção de um elétron
Que comprimentos de onda de luz são absorvidos por um semicondutor no qual há elétrons confinados em uma região de largura 2,0 nm e
com profundidade de energia potencial igual a 1,0 eV?
MODELO O elétron se encontra em um poço de potencial finito cujas
Os comprimentos de onda de absorção
são
Para este exemplo, encontramos
energias e funções de onda foram representadas na Figura 41.14a.
RESOLUÇÃO Como a maioria dos elétrons encontra-se no estado
fundamental n 1, as transições de absorção são 1 → 2, 1 → 3,
e 1 → 4.
AVALIAÇÃO Todas essas transições correspondem a comprimentos de
onda na região do infravermelho.
PARE E PENSE 41.3 Esta é a função de onda de uma partícula em um poço de potencial finito. Qual é o número
quântico da partícula?
A região classicamente proibida
A extensão das funções de onda de uma partícula para dentro da região classicamente
proibida é uma importante diferença entre as físicas clássica e quântica. Examinemos
da Figura 41.13a. Na região clasmais atentamente a função de onda na região
sicamente proibida, a energia potencial é U0; portanto, a equação de Schrödinger para
assume a forma
Estamos considerando que a partícula esteja confinada, com E menor que U0, de modo
que E – U0 é uma quantidade negativa. Isso será útil para efetuar a seguinte troca de
ordem na equação e reescrevê-la
(41.34)
onde
(41.35)
é uma constante positiva. Como tarefa de casa, você deve mostrar que está expresso
em metros.
A equação de Schrödinger na forma da Equação 41.34 pode ser resolvida por adivinhação. Basta pensarmos em duas funções cujas derivadas segundas sejam iguais a elas
mesmas multiplicadas por uma constante positiva. Tais funções, como você mesmo pode
e
. De acordo com a Equação 41.8, a solução geral da
verificar facilmente, são
é
equação de Schrödinger para
(41.36)
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
1279
Uma exigência para a função de onda é que
quando
. A função
, de modo que a única maneira de satisfazer à exigência é fazendo
diverge quando
A 0. Daí obtemos
(41.37)
Esta é uma função que decresce exponencialmente. Note que todas as funções de onda
da Figura 41.14a apresentam essa diminuição exponencial para x > L.
A função de onda também deve ser contínua. Admita que uma função de onda no
) possua o valor borda quando na fronteira clássica
interior do poço de potencial (
em x L. Devido à continuidade, a função de onda da Equação 41.37 deve possuir o
mesmo valor em x L, ou seja,
(41.38)
A condição de contorno em x L é suficiente para determinar o valor da constante B
como
(41.39)
Substituindo o resultado da Equação 41.39 para B na Equação 41.37, obtemos a função de onda na região classicamente proibida de um poço de potencial finito:
(41.40)
Em outras palavras, a função de onda oscila até atingir o ponto de retorno clássico
em x L; a partir daí, ela diminui exponencialmente dentro da região classicamente proibida. Uma análise similar pode ser feita para
A FIGURA 41.15 representa a função de onda na região classicamente proibida. Você
diminuiu para o valor
pode observar que a função de onda em
A função de onda é oscilatória
dentro do poço de potencial
As funções de onda se
ajustam em x L
Embora uma diminuição exponencial não possua um extremo final bem-definido,
o parâmetro mede “o quanto” a função de onda se estende além do ponto de retorno
clássico antes que a probabilidade de encontrar a partícula tenha diminuído para um valor muito próximo de zero. Essa distância é denominada comprimento de penetração:
borda
borda
,
Comprimento
de penetração borda
(41.41)
Na posição x L, uma partícula clássica inverteria o sentido de seu movimento, porém
partículas atômicas não são clássicas. Devido à dualidade onda-partícula, uma partícula atômica é “difusa”, sem limites bem-definidos. Assim, uma partícula atômica pode se estender
em um comprimento aproximado de para dentro da região classicamente proibida.
O comprimento de penetração é muitíssimo pequeno no caso de massas macroscópicas, mas pode ser significativo no caso de partículas atômicas. Note que o comprimento
a distância em energia entre
de penetração depende inversamente da grandeza
o nível de energia considerado e o topo do poço de potencial. Você pode observar na
Figura 41.14a que é muito maior para o estado n 4, que está mais próximo do topo
do poço de potencial, do que para o estado n 1.
NOTA Ao usar a Equação 41.41, você deve usar as unidades do SI, J s para
para energias. O comprimento de penetração será dado, então, em metros. Região classicamente proibida
Ponto de
retorno Função de onda que diminui
clássico exponencialmente na região
classicamente proibida.
FIGURA 41.15 A função de onda na região
classicamente proibida.
eJ
EXEMPLO 41.7 Comprimento de penetração de um elétron
RESOLUÇÃO O estado fundamental possui
Um elétron encontra-se confinado em uma região de largura 2,0 nm e
com profundidade de potencial igual a 1,0 eV. Qual é o comprimento
de penetração na região classicamente proibida para um elétron nos
estados n 1 e n 4?
. Analogamente,
para o estado n
4. Podemos utilizar a Equação 41.41 para calcular
MODELO O elétron encontra-se em um poço de potencial finito cujas
energias e funções de onda estão representadas na Figura 41.14a.
AVALIAÇÃO Esses valores são consistentes com aqueles mostrados na
Figura 41.14a.
1280
Física: Uma Abordagem Estratégica
Dispositivos de poço de potencial quântico
Na Parte VI desenvolvemos um modelo de condutividade elétrica em que os elétrons de
valência de um metal constituem um “mar” de elétrons fracamente ligados. A velocidade
típica de um elétron é a velocidade rms
onde kb é a constante de Boltzmann. Portanto, à temperatura ambiente, em que
, o comprimento de onda de de Broglie típico de um elétron de condução é
Laser de poço quântico
Corrente
Luz do laser
Contato metálico
,
,
,
,
FIGURA 41.16 Um laser de diodo
semicondutor com um único poço
quântico.
Existe uma gama de comprimentos de onda, pois os elétrons possuem uma gama de
velocidades, mas o valor mostrado é um valor típico.
Agora você deve estar notando que os efeitos ondulatórios são significativos apenas
quando as dimensões das estruturas físicas são comparáveis a ou menores que o comprimento de onda. Eis por que a difração e a interferência da luz são difíceis de observar
e por que a natureza ondulatória da matéria torna-se importante apenas em escalas microscópicas. Como o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons de condução é de
poucos nm, os efeitos quânticos são desprezíveis em dispositivos eletrônicos com mais
de 100 nm. Em dispositivos macroscópicos, os elétrons podem ser considerados partículas clássicas, fato que utilizamos na análise da corrente elétrica feita no Capítulo 31.
Todavia, dispositivos menores do que 100 nm exibem efeitos quânticos. Alguns dispositivos semicondutores, tais como os lasers semicondutores usados em fibras óticas,
incorporam características com dimensões de poucos nm. Nestes dispositivos, os efeitos
quânticos têm papel importante.
A FIGURA 41.16a ilustra como é confeccionado um laser de diodo semicondutor. Embora os princípios operacionais dos diodos estejam fora do objetivo deste livro, podemos
notar na figura que uma corrente atravessa o dispositivo da esquerda para a direita. No
centro existe uma finíssima camada do semicondutor arseneto de gálio (GaAs). Essa
camada é cercada, de ambos os lados, por camadas de arseneto de gálio-alumínio
(GaAlAs) que estão, por sua vez, embebidas pela estrutura do diodo. Os elétrons da camada central de GaAs começam a emitir a luz laser quando a corrente no diodo excede
um determinado valor de corrente limiar (ou corrente de corte).
Em um curso de física do estado sólido ou de engenharia dos materiais você aprenderá que a energia potencial de um elétron é ligeiramente menor no GaAs do que no
GaAlAs. Isso torna a camada de GaAs um poço de potencial para elétrons; as “paredes”
de alta energia potencial são criadas pelas camadas de GaAlAs. Os elétrons ficam confinados na camada de GaAs. Tal dispositivo é denominado laser de poço quântico.
A FIGURA 41.16b mostra um dispositivo de poço quântico com uma camada de 1,0
nm de largura de GaAs na qual a energia potencial do elétron é 0,300 eV menor do que
nas camadas envoltórias de GaAlAs. A solução numérica da equação de Schrödinger
mostra que este poço de potencial possui um único estado quântico, correspondente a
Cada elétron confinado nesse poço quântico tem a mesma
n 1, com
energia – um resultado bastante não-clássico! O fato de as energias dos elétrons serem
tão bem-definidas, em contraste com a gama de energias eletrônicas nos materiais
macroscópicos, é o que torna esse dispositivo tão útil. Da densidade de probabilidade
, você pode notar que a probabilidade de encontrar elétrons é maior no centro da
camada do que nos extremos desta. Essa concentração de elétrons facilita o início da
operação do laser.
Física nuclear
O núcleo de um átomo consiste na união incrivelmente densa de prótons e de nêutrons.
Os prótons, positivamente carregados, exercem intensa força elétrica repulsiva uns sobre
os outros. Pode-se, então, indagar como o núcleo consegue sobrepujar essa iminente
explosão. Durante a década de 1930, os físicos descobriram que os prótons e os nêutrons
também exercem uma força atrativa entre si. Uma das forças fundamentais na natureza,
essa força foi denominada interação forte. É ela que mantém o núcleo coeso.
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
A principal característica da interação forte, além de sua intensidade, é o seu curto
alcance. A interação forte, atrativa, entre dois núcleons (um núcleon pode ser tanto um
próton quanto um nêutron; a interação forte não os distingue) decresce a zero se eles são
separados por mais de 2 fm. Isso é muito diferente da natureza de longo alcance da força
elétrica.
Um modelo razoável do núcleo pode ser formulado considerando-se prótons e nêutrons como partículas confinadas em um poço de potencial criado pela interação forte.
A FIGURA 41.17 mostra a energia potencial de um nêutron ao longo de um eixo x que
passa pelo centro do núcleo. Note que o zero da energia foi escolhido de forma que um
nêutron “livre”, isto é, fora do núcleo, possua E 0. Portanto, a energia potencial no
interior do núcleo é igual a –50 MeV. O diâmetro de 8,0 fm é adequado para um núcleo
tal como o argônio ou o potássio. Núcleos mais
com número de massa igual a
leves são menores; os mais pesados, um pouco maiores. (O diagrama de energia potencial para um próton é semelhante, mas um pouco mais complexo, devido à energia potencial elétrica.)
A solução numérica da equação de Schrödinger produz os quatro estados estacionários representados na Figura 41.17. As funções de onda foram omitidas, mas são praticamente idênticas àquelas da Figura 41.14a. O ponto mais importante é que as energias
permitidas diferem entre si por milhões de elétron-volts! São energias enormes quando
comparadas àquelas dos elétrons em um átomo ou em um semicondutor. Lembre-se
, são prode que as energias de uma partícula em uma caixa rígida,
Nossos exemplos anteriores, com caixas da ordem de nanômetros,
porcionais a
correspondiam a energias na escala de eV. Quando o tamanho da caixa é reduzido a
fentômetros, as energias deslocam-se para a escala de MeV.
O decaimento radioativo nuclear geralmente produz um nêutron em um estado excitado. A Figura 41.17, por exemplo, mostra um nêutron que ficou em um estado n 3
devido a um decaimento anterior. Agora esse nêutron pode sofrer um salto quântico para
o estado fundamental n 1 através da emissão de um fóton com energia
e comprimento de onda
Esse fóton é 艐 107 vezes mais energético, e seu comprimento de onda é 艐 107 vezes
mais curto do que o dos fótons de luz visível! Fótons tão energéticos assim são chamados de raios gama. A emissão de raios gama é, na realidade, o principal processo de
decaimento radioativo dos elementos.
Nosso modelo unidimensional não fornece resultados precisos para os níveis de
energia ou para as energias dos raios gama emitidos por um núcleo particular. Contudo,
o modelo oferece um cenário razoável para a compreensão da estrutura de níveis em
núcleos e prediz, corretamente, que os núcleos podem emitir fótons com energias de
milhões de elétron-volts. Esse modelo, quando estendido para três dimensões, torna-se
a base do modelo de camadas para os núcleos, no qual prótons e nêutrons são agrupados em várias camadas em analogia com as camadas eletrônicas de um átomo, vistas
na química. Você aprenderá mais sobre física nuclear e sobre o modelo de camadas no
Capítulo 43.
41.7 A forma das funções de onda
Funções de onda de estados ligados são ondas de de Broglie estacionárias. Além das
condições de contorno, dois outros fatores determinam a forma das funções de onda:
1. O comprimento de onda de de Broglie é inversamente proporcional à velocidade da partícula. Portanto, o espaçamento entre os nodos é menor (comprimentos de onda menores) onde a energia cinética for maior e é maior (comprimentos de onda maiores) onde as energias cinéticas forem menores.
1281
Um decaimento radioativo deixou o
nêutron em um estado excitado n 3. O
nêutron salta para o estado fundamental
n 1, emitindo um fóton de raio gama.
Níveis de energia para
um nêutron em um núcleo
,
,
O diâmetro do
núcleo é de 8 fm.
,
,
,
Emissão de
raio gama
FIGURA 41.17 Existem quatro níveis de
energia permitidos para um nêutron neste
poço de potencial nuclear.
1282
Física: Uma Abordagem Estratégica
2. Uma partícula clássica tem maior probabilidade de ser encontrada onde se move
mais lentamente. Na mecânica quântica, a probabilidade de encontrar uma partícula aumenta com o aumento da amplitude da função de onda. Portanto, a amplitude da função de onda é maior onde a energia cinética for menor e é menor onde
a energia cinética for maior.
Podemos usar essa informação para fazer esboços de funções de onda correspondentes às diferentes energias permitidas em um poço de potencial.
BOX TÁTICO
41.1
Desenhando funções de onda
Esboce o gráfico da energia potencial U(x). Represente as energias permitidas E
por linhas horizontais. Localize os pontos de retorno clássicos.
Desenhe a função de onda como uma função contínua e oscilatória entre os pontos de retorno. Para o estado quântico n, a função de onda possui n antinodos e
(n – 1) nós (excluindo-se os extremos).
Use comprimentos de onda maiores (maiores espaços entre os nós) e amplitudes
maiores em regiões onde a energia cinética for menor. Use comprimentos de
onda menores (menores espaços entre nós) e amplitudes menores em regiões
onde a energia cinética for maior.
Desenhe a função de onda se anulando nos extremos, ou “paredes”, de um poço
de potencial infinito.
Faça com que a função de onda diminua exponencialmente no interior de uma
O comprimento de penetração auregião classicamente proibida, onde
menta à medida que E se aproxima do topo do poço de potencial.
Exercícios 10–13
EXEMPLO 41.8 Esboçando funções de onda
VISUALIZAÇÃO Os passos delineados no Box Tático 41.1 foram segui-
A FIGURA 41.18 representa um poço de potencial e as energias permitidas para os estados quânticos n 1 e n 4. Esboce as funções de
onda para estes estados.
dos no esboço das funções de onda mostradas na FIGURA 41.19.
Comprimentos de onda
menores e amplitudes
menores onde K for maior.
Comprimentos de onda
maiores e amplitudes
maiores onde K for menor.
u(x)
4 antinodos
para n 4
E4
0 em
uma parede
infinitamente
alta.
Localize
os pontos
de retorno.
E1
x
FIGURA 41.18 Um poço de potencial.
1 antinodo
para n 1
Decaimento exponencial
no interior da região
classicamente proibida.
FIGURA 41.19 Funções de onda correspondentes aos estados n 1 e n 4.
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
1283
PARE E PENSE 41.4 Qual das energias potenciais é adequada à função de
onda correspondente a n 4 representada ao lado?
41.8 O oscilador harmônico quântico
O movimento harmônico simples é extremamente importante na física clássica, onde
serve como protótipo de oscilações mais complexas. Como esperado, um oscilador microscópico – o oscilador harmônico quântico – é igualmente importante como modelo
de oscilações em nível atômico.
A característica que define o movimento harmônico simples é a existência de uma
força restauradora linear: F –kx, onde k é a constante de uma mola. A correspondente
função energia potencial, conforme visto no Capítulo 10, é dada por
(41.42)
onde consideramos que a posição de equilíbrio seja xe 0. A energia potencial de um
oscilador harmônico é mostrada na FIGURA 41.20. Trata-se de um poço de energia potencial com lados curvos.
Uma partícula clássica de massa m oscila com freqüência angular
Energia
(41.43)
entre os dois pontos de retorno onde a linha de energia cruza a curva de energia potencial
parabólica. Conforme você aprendeu, essa descrição clássica falha se m representa uma
partícula atômica, como um elétron ou um átomo. Neste caso, precisamos resolver a
equação de Schrödinger para determinar as funções de onda.
A equação de Schrödinger para um oscilador harmônico quântico é
(41.44)
onde usamos
Sem dedução, apresentaremos as funções de onda correspondentes aos primeiros três estados
(41.45)
onde
(41.46)
D
E
Região
classicamente
proibida
Pontos
de retorno
clássicos
Região
classicamente
proibida
FIGURA 41.20 A energia potencial de um
oscilador harmônico.
1284
Física: Uma Abordagem Estratégica
A constante b possui dimensão de comprimento. Deixaremos para você, como tarefa, demonstrar que b é o ponto de retorno clássico de um oscilador no estado fundamental n 1. A1, A2 e A3 são constantes de normalização. Por exemplo, A1 pode ser
determinada impondo-se a condição
(41.47)
A finalização do cálculo ficará como tarefa.
Os estados estacionários de um oscilador harmônico quântico existem apenas para
certos níveis discretos de energias, os estados quânticos do oscilador. As energias permitidas são dadas pela equação simples
(41.48)
onde é a freqüência angular clássica, Equação 41.43, e n é o número quântico.
NOTA A energia do estado fundamental do oscilador harmônico quântico é
Uma massa atômica ligada a uma mola não pode ser levada ao repouso,
uma conseqüência do princípio da incerteza. A FIGURA 41.21 mostra os três primeiros níveis de energia e as funções de onda de
um oscilador harmônico quântico. Note que os níveis são igualmente espaçados por
Esse resultado difere daquele encontrado para uma partícula em uma caixa,
onde os níveis de energia se afastam gradualmente. Note também que as funções de
onda, analogamente àquelas do poço de potencial finito, estendem-se além dos pontos
de retorno clássicos e invadem a região classicamente proibida.
Energia
Os níveis de energia são
igualmente espaçados
Ponto de retorno
clássico para n 1
Ponto de
retorno
clássico
FIGURA 41.22 As densidades de
probabilidade clássica e quântica para o
estado n 11 do oscilador harmônico
quântico.
FIGURA 41.21 Os três primeiros níveis de energia e as correspondentes funções de onda de
um oscilador harmônico quântico.
A FIGURA 41.22 representa as densidades de probabilidade
para o estado correspondente a n 11 de um oscilador harmônico quântico. Note que o espaçamento
entre os nós aumenta à medida que a partícula se afasta do ponto de equilíbrio x 0.
Isso é consistente com o item 3 do Box Tático 41.1. A partícula desacelera à medida que
se afasta da origem, o que aumenta seu comprimento de onda de de Broglie e a probabilidade de encontrá-la.
, e lá se notou
A Seção 41.5 introduziu a densidade de probabilidade clássica
que a probabilidade de encontrar uma partícula clássica é maior onde ela se movimenta
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
1285
mais vagarosamente. A Figura 41.22 mostra
para uma partícula clássica com
a mesma energia total do estado quântico n 11. Pode-se observar que, em média, a
se assemelha à densidade de probabilidade
densidade de probabilidade quântica
clássica. Isso é o que esperaríamos a partir do princípio da correspondência.
EXEMPLO 41.9 Emissão de luz por um elétron oscilante
Ao saltar de um dado nível para o próximo nível mais abaixo, um
elétron em um poço de potencial do tipo oscilador harmônico emite
luz de comprimento de onda igual a 600 nm. Quanto vale a constante
de mola da força restauradora?
MODELO O elétron constitui um oscilador harmônico quântico.
RESOLUÇÃO Um fóton é emitido quando o elétron sofre uma transição
Podemos usar a Equação 41.48 para os níveis de
quântica
energia e determinar a energia perdida pelo elétron como
A relação
vale para todas as transições, independentemente do valor de n, pois os níveis de energia do oscilador harmônico
quântico são igualmente espaçados. Precisamos distinguir as oscilações harmônicas eletrônicas das oscilações associadas às ondas luminosas, razão para a existência do subscrito e em
O fóton emitido possui energia
O comprimento de onda da luz é
gular clássica do elétron em oscilação é
Logo,
então a freqüência an-
A freqüência angular do elétron é relacionada à constante da mola da
força restauradora por
Portanto,
Vibrações moleculares
Já utilizamos de muitas maneiras o fato de que os átomos formem moléculas por meio de
ligações do tipo mola. Temos sempre admitido que as ligações podem ser modeladas por
molas clássicas. O modelo clássico é aceitável para certos fins, mas falha em explicar
importantes características das vibrações moleculares. O oscilador harmônico quântico
gera um modelo de ligação molecular mais adequado.
A FIGURA 41.23 representa a energia potencial entre dois átomos conectados por uma
ligação molecular. Os átomos vizinhos se atraem através de forças de polarização, à semelhança da atração de pequenos papéis por um bastão eletrizado. Se os átomos se aproximarem muito uns dos outros, uma força repulsiva entre as nuvens eletrônicas os afastará. A
separação de equilíbrio, para a qual as forças repulsiva e atrativa se igualam, é dada por r0,
e dois átomos clássicos estariam em repouso nessa posição. Partículas quânticas, no entanto, mesmo no estado de energia mais baixo possível, possuem E 0. Consequentemente,
a molécula vibra, com os dois átomos oscilando ao longo do eixo da ligação.
representa a energia com a qual a molécula se dissocia e os dois átomos
O símbolo
seguem seus caminhos em separado. A dissociação pode ocorrer a temperaturas muito altas
ou após a molécula ter absorvido um fóton de alta energia (ultravioleta, por exemplo); todaEm outras palavras, a
via, em condições normais, uma molécula possui energia
molécula se encontra em um nível de energia próximo ao fundo do poço de potencial.
Você pode notar que a parte mais funda do poço de potencial é quase uma parabólica. Por isso, podemos considerar a ligação molecular como um oscilador harmônico
quântico. A energia associada com uma vibração molecular é quantizada e pode assumir
somente os valores dados por
(41.49)
onde é a freqüência angular na qual os átomos vibrariam se a ligação fosse efetivada
através de uma mola clássica. A curva de energia potencial molecular não é exatamente
a de um oscilador harmônico, daí o símbolo 艐. Mas o modelo é bastante adequado para
valores pequenos do número quântico n. Os níveis de energia calculados pela Equação
41.49 são chamados de níveis de energia vibracional da molécula. Os primeiros estão
representados na Figura 41.23.
À temperatura ambiente, a maioria das moléculas encontra-se no estado vibracional
fundamental, correspondente a n 1. Seus movimentos vibracionais podem ser excita-
Ligação
Níveis de
energia
permitidos
A transição
é
responsável pela
absorção no
infravermelho.
,
,
,
A parte mais funda Separação de equilíbrio
do poço de potencial
é quase uma
parabólica.
FIGURA 41.23 A energia potencial de uma
ligação molecular e algumas das energia
permitidas.
1286
Física: Uma Abordagem Estratégica
Transmissão (%)
Transição
de
uma ligação C–CH3
Transição
de
uma ligação CO
FIGURA 41.24 O espectro de absorção da
acetona.
dos através da absorção de fótons com freqüência
Essa freqüência localiza-se
na região infravermelha do espectro de radiação, e essas transições vibracionais geram o
espectro infravermelho de absorção que caracteriza e individualiza cada molécula.
A FIGURA 41.24, por exemplo, representa o espectro infravermelho de absorção da
acetona. O eixo vertical indica a percentagem da intensidade da luz que atravessa a
amostra. Para a maioria dos comprimentos de onda, a amostra é praticamente transparente (transmissão 艐 100%), mas existem duas características relevantes de absorção. A
e para meros 7% em
A absortransmissão cai para 艐 75% em
ção em 3,3 m deve-se à transição de n 1 para n 2 dos estados de vibração da ligação carbono-metila, C–CH3. A absorção em 5,8 m deve-se à transição 1 → 2 dos estados de vibração da ligação dupla carbono-oxigênio, CO.
Espectros de absorção são conhecidos para milhares de moléculas; os químicos utilizam rotineiramente a espectroscopia de absorção para identificar os compostos químicos de uma amostra. Uma ligação especifica possui o mesmo comprimento de onda de
absorção independentemente da molécula em que está presente; com isso, a presença
de um determinado comprimento de onda de absorção constitui uma “assinatura” da
presença da ligação correspondente na molécula.
PARE E PENSE 41.5 Qual das densidades de probabilidade mostradas abaixo representa um
oscilador harmônico com
41.9 Mais modelos quânticos
Nesta seção, trataremos de mais dois exemplos de modelos quantomecânicos.
Uma partícula em um capacitor
Elétron
ejetado da
placa
esquerda
Ponto de retorno
Placa
esquerda
Placa
direita
Energia
potencial
linearmente
crescente
Muitos dispositivos semicondutores são projetados para confinar elétrons em uma camada de apenas alguns nanômetros de largura. Se uma diferença de potencial for aplicada
através da camada, os elétrons se comportarão como se estivessem confinados em um
capacitor microscópico.
A FIGURA 41.25a representa duas placas de um capacitor separadas por uma distância
L. A placa esquerda é positiva, portanto o campo elétrico aponta para a direita e possui
Devido à sua carga negativa, um elétron lançado a partir da
intensidade
placa esquerda é desacelerado por uma força retardadora. Ele atingirá a placa da direita
se possuir suficiente energia cinética. De outro modo, atingirá um ponto de retorno e, em
seguida, retornará à placa positiva.
Essa análise clássica é um modelo válido de um capacitor macroscópico. Porém,
quando L torna-se suficientemente pequeno, comparável ao comprimento de onda de de
Broglie de um elétron, as propriedades ondulatórias do elétron não podem ser ignoradas.
Precisamos de um modelo quantomecânico.
Estabeleçamos um sistema de coordenadas em que x 0 para a placa esquerda e x L para a placa direita. Definamos o potencial elétrico como nulo na posição da placa positiva. O potencial diminui no sentido de orientação do campo, de modo que o potencial
no interior do capacitor (ver Seção 29.5) é dado por
O elétron, com carga q – e, possui energia potencial
(41.50)
FIGURA 41.25 Um elétron em um capacitor.
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
Essa energia potencial aumenta linearmente com x na região 0 x L. Se admitirmos
que as placas do capacitor atuam como as paredes de uma caixa rígida, então
em x 0 e x L.
A FIGURA 41.25b ilustra a função energia potencial do elétron. Ela é composta por um
potencial do tipo partícula em uma caixa rígida mais uma “rampa ascendente” devido
ao campo elétrico. A figura também mostra a linha de energia total E de um elétron no
capacitor. A energia é puramente cinética em x 0, quando K E, e é convertida em
energia potencial à medida que o elétron avança para a direita. O ponto de retorno ocorre
onde a linha de energia E cruza a curva de energia potencial U(x). Se o elétron fosse uma
partícula clássica, ele deveria inverter seu movimento nessa posição.
NOTA A mesma forma de energia potencial aparece no caso de uma bola microscópica que ricocheteia entre um piso, localizado em y 0, e um teto, em y L. É fisicamente impossível para o elétron sair do capacitor, portanto a função de onda
deve tender a zero para x 0 e x L. A continuidade de requer as mesmas condições
em x 0
de contorno presentes no caso de uma partícula em uma caixa rígida;
e em x L. As funções de onda dentro do capacitor são muito complexas para serem
descobertas por adivinhação, por isso decidimos resolver a equação de Schrödinger numericamente e apresentar os resultados graficamente.
A FIGURA 41.26 mostra as funções de onda e as densidades de probabilidade para os
primeiros cinco estados quânticos de um elétron confinado em uma camada de 5,0 nm
de largura submetida a uma diferença de potencial de 0,80V. Cada energia permitida é
representada por uma linha horizontal, com os valores numéricos das energias indicados
à direita. As energias variam de E1 0,23 eV até E5 0,81 eV. Um elétron deve possuir
uma das energias permitidas ilustradas na figura. Ele não pode ter E 0,30 eV nesse
capacitor, pois nenhuma onda de de Broglie com essa energia satisfaz às condições de
contorno necessárias.
,
,
,
,
,
,
,
,
Região
proibida
,
Ponto de retorno clássico para
um elétron com E 0,41 eV
,
,
FIGURA 41.26 Níveis de energia, funções de onda e densidades de probabilidade para um
elétron em um capacitor com 5,0 nm de largura submetido a uma diferença de potencial de
0,80 V.
NOTA Lembre-se de que cada função de onda e cada densidade de probabilidade é
desenhada como se sua linha de energia correspondesse a y 0. Podemos fazer algumas observações sobre as soluções da equação de Schrödinger:
1. As energias En tornam-se mais próximas à medida que n aumenta. Tal comportamento é o oposto daquele de uma partícula em uma caixa, para a qual os níveis En
se tornam mais espaçados à medida que n aumenta.
1287
1288
Física: Uma Abordagem Estratégica
2. O espaçamento entre os nós da função de onda não é constante, mas aumenta para
a direita. Isso ocorre porque, na parte direita do capacitor, um elétron possui menos energia cinética e, daí, menor velocidade, tendo, portanto, um comprimento
de onda de de Broglie maior.
aumenta para a direita, ou seja, temos
3. A altura da densidade de probabilidade
maior chance de encontrar um elétron na parte direita do capacitor do que na
esquerda. Isso também faz sentido de um ponto de vista clássico, pois o elétron
se move mais lentamente na parte direita, despendendo aí mais tempo do que na
parte esquerda do capacitor.
4. O elétron penetra além do ponto de retorno clássico, entrando na região classicamente proibida.
EXEMPLO 41.10 O espectro de emissão de um elétron em
um capacitor
Quais são os comprimentos de onda dos fótons emitidos por elétrons
no estado n 4 da Figura 41.26?
As energias associadas aos saltos quânticos, que podem ser determinadas a partir da Figura 41.26a, são
Portanto,
e
RESOLUÇÃO A emissão de um fóton ocorre quando elétrons sofrem os
saltos quânticos 4 → 3, 4 → 2 e 4 → 1. Em cada caso, a freqüência do
, e o comprimento de onda correspondente é
fóton emitido é
AVALIAÇÃO Nesse dispositivo, os elétrons no estado n 4 emitem luz
com três comprimentos de onda diferentes, todos no infravermelho.
A ligação covalente
Modelo unidimensional simples
de um átomo de hidrogênio
,
,
,
Próton
Modelo da molécula de H2 considerada
como um elétron ligado a dois prótons
separados por 0,12 nm
,
,
,
,
FIGURA 41.27 Uma molécula pode ser
considerada como dois poços de potencial
muito próximos, cada qual representando
um átomo.
Você provavelmente se lembra, das aulas de química, que a ligação molecular covalente, presente entre dois átomos que formam uma molécula de H2 ou de O2, é uma ligação
em que os elétrons são compartilhados pelos dois átomos. A física básica da ligação
covalente pode ser entendida através de um modelo quantomecânico unidimensional.
A molécula mais simples, o íon de hidrogênio molecular H2 , consiste de dois prótons e um elétron. Embora pareça surpreendente que tal sistema seja estável, os dois prótons formam uma ligação molecular com um elétron. Esta é a mais simples das ligações
covalentes.
Como podemos modelar o íon H2 ? De início, a FIGURA 41.27a apresenta um modelo
unidimensional de um átomo de hidrogênio no qual a energia potencial coulombiana do
elétron, com sua dependência do tipo 1/r, foi modelada como um poço de potencial finie profundidade de 24,2 eV. Você aprendeu no
to com largura igual a 0,10 nm
Capítulo 39 que um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio de Bohr gira
(o raio de Bohr) e energia E1 ao redor de um próton em uma órbita de raio
–13,6 eV. Uma solução numérica da equação de Schrödinger mostra que a energia do
estado fundamental desse poço de potencial finito é E1 –13,6 eV. Tal modelo do átomo
de hidrogênio é bastante simplificado, mas apresenta os valores corretos de tamanho e
de energia do estado fundamental.
Podemos modelar o H2 aproximando esses dois poços de potencial. O comprimento
de ligação molecular do H2 é conhecido como 艐0,12 nm, de modo que a FIGURA 41.27b
representa dois poços de potencial cujos centros distam 0,12 nm entre si. Trata-se de um
modelo de H2 , e não, de uma molécula de H2 completa, pois a energia potencial corresponde à energia de um elétron. (A modelagem de H2 é ainda mais complexa porque a
repulsão entre os dois elétrons também deve ser considerada.)
A FIGURA 41.28 representa as energias, funções de onda e densidades de probabilidade
permitidas para um elétron com essa energia potencial. A função de onda com n 1
apresenta uma alta probabilidade de o elétron ser encontrado dentro da região classicamente proibida entre os dois prótons, ou seja, nesse estado quântico, o elétron é “compartilhado” pelos prótons e passa a maior parte de seu tempo entre eles.
Em contrapartida, um elétron no nível de energia n 2 possui probabilidade muito
pequena de ser encontrado entre os dois prótons porque a função de onda correspondente
a n 2 possui um nó a meia distância dos prótons. A densidade de probabilidade indica
que um elétron com n 2 é “possuído” por um ou outro próton, e não, compartilhado.
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
Orbital antiligante
Orbital ligante
,
,
,
,
O elétron
pertence a um
próton ou ao
outro.
O elétron é
compartilhado
pelos prótons.
,
,
,
,
FIGURA 41.28 As funções de onda e as densidades de probabilidade do elétron em H2 .
A fim de aprender mais sobre essas funções de onda, precisamos calcular a energia
total da molécula: Emol Epp Eelet. As energias para n 1 e n 2, mostradas na Figura 41.28, são as energias Eelet do elétron. Por sua vez os prótons repelem-se mutuamente
e possuem energia potencial elétrica Epp. Não é difícil descobrir que Epp 12,0 eV
para dois prótons separados por 0,12 nm. Portanto,
A energia molecular para n 1 é menor que zero, indicando que se trata de um estado ligado. A função de onda para n 1 é chamada de orbital molecular ligante. Apesar de os prótons se repelirem, o elétron compartilhado provê a “cola” necessária para
manter o sistema coeso. A energia molecular para n 2 é positiva, portanto o estado
associado a este número quântico não é um estado ligado. O sistema seria mais estável
na forma de um átomo de hidrogênio e de um próton distante. A função de onda para n
2 é chamada de orbital molecular antiligante.
Ambas as energias, Eelet e Epp, dependem da separação entre os prótons, que admitimos ser de 0,12 nm neste cálculo. Se fôssemos esboçar o gráfico de Emol para valores
diferentes de separação entre os prótons, obteríamos uma curva semelhante à da energia
molecular de ligação da Figura 41.23. Uma ligação molecular possui uma energia mínima devido à inter-relação entre Eelet e Epp.
Embora as funções de onda moleculares reais sejam mais complexas do que nosso
modelo unidimensional, a função de onda com n 1 apresentada ilustra as idéias essenciais de uma ligação covalente. Note que uma molécula “clássica” não pode formar
uma ligação covalente, pois o elétron não poderia existir na região classicamente proibida. As ligações covalentes podem ser compreendidas apenas no contexto da mecânica
quântica. De fato, a explicação das ligações moleculares foi um dos primeiros sucessos
da mecânica quântica.
1289
1290
Física: Uma Abordagem Estratégica
41.10 Tunelamento quantomecânico
20.4
A FIGURA 41.29a mostra uma bola rolando em direção a uma barreira. Com suficiente
energia cinética, uma bola é capaz de transpor a barreira, diminuindo sua velocidade
durante a subida e aumentando-a ao descer pelo outro lado da elevação. Uma bola com
energia insuficiente se elevaria até certa altura, e, após inverter o sentido de movimento,
desceria a rampa.
Uma bola com essa energia
desacelera durante a subida, mas
consegue transpor a barreira.
A bola possui
energia cinética K
Uma bola com essa
energia inverte seu
movimento no ponto
de retorno.
Ponto de retorno
FIGURA 41.29 Aqui a barreira representa uma barreira de energia para uma bola que rola.
Podemos pensar na barreira como uma “barreira energética” de altura
Como ilustrado na FIGURA 41.29b, uma bola que se aproxima da barreira pela esquerda com
energia E > U0 é capaz de transpor a barreira de energia (ou seja, de transpor a barreira
análoga), mas uma bola com E < U0 se refletirá na barreira ao atingir o ponto de retorno.
De acordo com as leis da física clássica, uma bola com energia E < U0 que incide pela
esquerda em uma barreira energética jamais será encontrada do lado direito da barreira.
NOTA A Figura 41.29b não é uma “foto” da barreira energética. Quando dizemos
que uma bola com energia E > U0 pode “transpor” a barreira, não devemos pensar
que a bola é lançada de uma elevação superior. A bola mantém-se sobre o solo todo
o tempo, conforme ilustra a Figura 41.29a; a Figura 41.29b descreve as energias
cinética e potencial da bola enquanto ela rola. Uma energia total maior significa uma
energia cinética inicial maior, e não, uma maior elevação. A partícula se aproxima pela
esquerda com energia E U0.
decai exponencialmente
na região classicamente
proibida.
A partícula emerge com o
mesmo comprimento de onda de
de Broglie após o tunelamento
através da barreira energética.
FIGURA 41.30 Uma partícula quântica é
capaz de penetrar uma barreira energética.
A FIGURA 41.30 mostra a situação anterior sob a perspectiva da mecânica quântica. Já
vimos que as partículas quânticas podem penetrar em regiões classicamente proibidas de
barreiras energéticas, onde a função de onda diminui exponencialmente. Agora imagine
que a barreira seja bastante estreita. Embora a função de onda decresça dentro da barreira, a partir do ponto de retorno clássico, ela não terá se anulado quando atingir o outro
lado da barreira, ou seja, há alguma probabilidade de que a partícula quântica atravesse
a barreira e apareça do outro lado!
No contexto da Figura 41.29a, veríamos a bola atingir o ponto de retorno e, em vez
de inverter seu movimento e descer, ela tunelaria através da colina e emergiria do outro
lado. Embora isso seja estritamente proibido do ponto de vista clássico, é um comportamento aparentemente aceitável para partículas quânticas. O processo é chamado de
tunelamento quantomecânico.
O processo de tunelamento através de uma barreira de energia potencial é uma das
previsões mais estranhas e inesperadas da mecânica quântica. Ainda assim, ele ocorre.
Mais ainda, você verá que esse processo possui muitas aplicações práticas.
NOTA A expressão “tunelamento” é usada como uma metáfora. Se uma partícula
clássica realmente sofresse tunelamento, deveria despender energia e emergiria do
outro lado com energia menor. O tunelamento quântico, no entanto, não demanda
qualquer gasto energético. A linha de energia total possui a mesma altura em ambos
os lados da barreira. Uma partícula que tunela através de uma barreira emerge do
outro lado sem perda de energia. Daí o comprimento de onda de de Broglie ser o
mesmo em ambos os lados da barreira de potencial da Figura 41.30. CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
A fim de simplificar nossa análise, a FIGURA 41.31 representa uma barreira de energia
idealizada, de altura U0 e largura w. Fizemos a superposição da função de onda sobre o
diagrama da barreira para que pudéssemos visualizar como a função de onda se alinha
com a energia potencial. A função de onda à esquerda da barreira é oscilatória, senoidal
e possui amplitude AE. A função de onda no interior da barreira é a exponencial decrescente dada pela Equação 41.40:
1291
A barreira
possui largura w.
Barreira
de energia
Amplitude AD
(41.51)
Tunelamento
onde admitimos que ␺borda ⫽ AE. O comprimento de penetração ␩ foi dado na Equação
41.41 como
Amplitude AE
FIGURA 41.31 Tunelamento através de uma
barreira energética idealizada.
NOTA Ao calcular os valores de ␩, você deve usar unidades do SI. Energias devem
estar em J, e ប em J.s. Neste caso, o comprimento de penetração ␩ será obtido em
metros. A função de onda diminui exponencialmente no interior da barreira, mas, antes de
cair a zero, emerge no lado direito (x > w) como uma onda oscilatória de amplitude
AD⫽ ␺dentro(em x ⫽ w) ⫽ AEe–w/␩
(41.52)
A probabilidade de encontrar a partícula no lado esquerdo da barreira é proporcional a
2
2
|AE| , e a probabilidade de encontrá-la no lado direito, é igual a |AD| . Portanto, a probabilidade de uma partícula que se aproxima de uma barreira pela esquerda ser encontrada
à direita da barreira é igual a
(41.53)
Essa é a probabilidade de a partícula tunelar a barreira de energia.
Nossa análise não foi rigorosa. Por exemplo, admitimos que as funções de onda, à
esquerda e à direita, atingem seu máximo quando encontram a barreira em x ⫽ 0 ou x ⫽
w. Não há justificativa para tal. Outras liberalidades foram utilizadas e serão facilmente
detectadas por especialistas, mas – felizmente – elas não modificam os resultados significativamente. A Equação 41.53 é perfeitamente adequada para a maioria das aplicações
envolvendo tunelamento.
Por ser uma função exponencial, a probabilidade de tunelamento é fortemente dependente dos parâmetros w e ␩. A probabilidade de tunelamento pode ser substancialmente reduzida por meio de um pequeno aumento da largura da barreira. O parâmetro ␩,
que mede a distância que a partícula pode penetrar, depende da massa da partícula e de
U0 – E. Uma partícula com E ligeiramente menor do que U0 apresentará um grande valor
de ␩ e, portanto, uma probabilidade de tunelamento maior do que a de uma partícula
idêntica com menor energia.
EXEMPLO 41.11 Tunelamento de elétrons
a. Determine a probabilidade de um elétron tunelar através de uma
barreira energética de 1,0 nm de largura se a energia do elétron
for 1,0 eV menor do que a altura da barreira.
b. Determine a probabilidade de tunelamento se a largura da barreira do item a for aumentada para 3,0 nm.
c. Determine a probabilidade de tunelamento se o elétron do item a
for substituído por um próton com a mesma energia.
RESOLUÇÃO a. Um elétron com energia de 0,10 eV abaixo da altu-
ra da barreira possui
tanto seu comprimento de penetração é igual a
Por-
Continua
1292
Física: Uma Abordagem Estratégica
A probabilidade de esse elétron tunelar através de uma barreira
de largura w 1,0 nm é
c. A massa de um próton é muito maior do que a de um elétron. Porpossui
tanto, um próton com
Sua probabilidade de tunelamento através de uma barreira de 1,0
nm de largura é
b. A alteração da largura para w 3,0 nm não tem efeito sobre . A
nova probabilidade de tunelamento é
Na prática, a probabilidade de um próton tunelar essa barreira é
nula.
AVALIAÇÃO Como a probabilidade de tunelamento de um próton atra–64
Aumentar a largura por um fator de 3 reduz a probabilidade de
tunelamento por um fator de 660!
vés de uma barreira de 1 nm é de apenas 10 , você pode entender
por que objetos macroscópicos “nunca” tunelam através de distâncias
macroscópicas.
O tunelamento quântico parece tão obscuro que é difícil imaginar aplicações práticas
para ele. Surpreendentemente, existem várias. Discutiremos aqui duas delas: o microscópio de tunelamento e o diodo túnel.
O microscópio de tunelamento
A difração limita a resolução de um microscópio óptico a objetos maiores do que o
comprimento de onda da luz visível – aproximadamente 500 nm. Isso é mais do que
1.000 vezes o tamanho de um átomo; portanto, não podemos ter esperanças de observar
átomos ou moléculas via microscopia ótica. Os microscópios eletrônicos são também
limitados, neste caso pelo comprimento de onda de de Broglie dos elétrons usados. Sua
resolução é muito maior do que a dos microscópios ópticos, mas ainda insuficiente para
que possamos observar átomos individualmente.
A situação mudou radicalmente em 1981, com a invenção do microscópio de tunelamento (STM, do inglês scanning tunneling microscope). O STM permitiu aos
cientistas “examinar” superfícies átomo a átomo, literalmente. A FIGURA 41.32 reproduz
duas imagens obtidas com o STM. Em uma delas você pode identificar átomos de
carbono individualmente na superfície do grafite. A outra é uma imagem menos ampliada de uma superfície de silício. Essas imagens são estupendas, porém como foram
obtidas?
Átomos de carbono na
superfície do grafite
A superfície do silício
FIGURA 41.32 Duas imagens obtidas com um microscópio de tunelamento.
A FIGURA 41.33a mostra como funciona um microscópio de tunelamento. Uma sonda condutora dotada de uma ponta muito fina, com largura de apenas alguns poucos
átomos, é posicionada a poucas dezenas de nanômetros da superfície. A confecção da
ponta e o controle do espaçamento entre ela e a superfície constituem desafios técnicos, mas os cientistas aprenderam a dominá-los. Uma vez posicionada, a sonda varre a
superfície.
Quando analisamos o efeito fotoelétrico, aprendemos que elétrons estão presos nos
metais por uma quantidade de energia denominada de função-trabalho E0. Um valor
típico da função-trabalho é de 4 ou 5 eV. Essa energia deve ser fornecida – por um fóton
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
ou de algum outro modo – a fim de que um elétron seja removido do metal, ou seja, a
energia de um elétron em um metal é E0 menor do que sua energia fora do metal.
Esse fato é a base do diagrama de energia potencial da FIGURA 41.33b. A fina camada de
ar entre a amostra e a ponta da sonda constitui uma barreira de energia. A energia de um
elétron no metal da amostra ou da sonda é menor que a energia de um elétron no ar por 艐4
eV, isto é, a função-trabalho. A absorção de um fóton com Efóton > 4 eV faria o elétron
transpor a barreira, deixando a amostra e chegando à sonda. Isso seria o efeito fotoelétrico. De forma alternativa, elétrons podem tunelar a barreira se esta for suficientemente estreita. Isso gera uma corrente de tunelamento no sentido da amostra para a sonda.
Durante a operação do equipamento, a corrente de tunelamento é registrada à medida
que a ponta da sonda varre a superfície. Você já aprendeu que a corrente de tunelamento
é extremamente sensível à largura da barreira. Quando a ponta passa pela posição de
um átomo, a largura da camada diminui em 艐0,1 nm, e a corrente aumenta. A largura é
maior quando a ponta encontra-se entre átomos, momento em que a corrente diminui. Os
STM atuais são capazes de detectar variações da largura da camada de ar tão pequenas
quanto 0,001 nm, ou cerca de 1% do diâmetro de um átomo! Imagens semelhantes às da
Figura 41.32 são geradas por um computador a partir da medição da corrente em cada
posição da sonda.
O STM revolucionou a ciência e a engenharia dos objetos microscópicos. Os STMs
agora são utilizados para estudar como superfícies são corroídas e oxidadas, um tópico
importante em engenharia, e como moléculas biológicas são estruturadas. Eis mais um
exemplo de como a mecânica quântica trabalha para você!
O diodo túnel ressonante
4. Uma imagem mostra a
corrente em função da
posição da ponta da
sonda, revelando o perfil
da superfície.
3. A corrente é
monitorada à medida
que a sonda é movimentada para a frente
e para trás, varrendo
toda a amostra.
Monitoramento
da corrente
Ponta da
sonda
Camada
de ar
,
1. A amostra pode ser
considerada como um
conjunto de caroços
iônicos positivos
imersos em um
“mar” de elétrons.
à temperatura ambiente. O tunelamento pode parecer um fenômeno estranho, todavia a
,
conservação da energia deve ser satisfeita. Ao se aproximar da barreira com
um elétron não pode tunelar para o interior do poço a menos que lá exista um estado quântico permitido com essa energia.
Elétrons aproximam-se pelo
exterior com energia Eterm.
Uma diferença de potencial faz
com que a energia potencial
aumente com a distância.
Elétrons
,
Camada
de ar
Ponta da
sonda
FIGURA 41.33 Um microscópio de
tunelamento.
O tunelamento pára quando as
energias deixam de ser iguais.
Eterm
Energia
Eterm
Corrente de tunelamento
A energia do poço quântico se iguala à energia do
elétron, o que permite que os elétrons tunelem.
FIGURA 41.34 Energia potencial de um elétron em um diodo túnel ressonante.
2. Uma pequena
voltagem positiva faz
os elétrons tunelarem
através da fina camada
de ar entre a ponta da
sonda e a amostra.
Nível de energia para
um elétron da sonda
ou da amostra.
Amostra
Nível de energia E1 do poço quântico
Sistema de
imagem
Amostra
O laser de diodo estudado na Seção 41.6 possui uma camada fina de GaAs envolvida por
camadas largas de GaAlAs. Como a energia potencial de um elétron no GaAs é 艐0,3
eV menor que a de um elétron no GaAlAs, essa estrutura constitui um poço quântico no
qual os elétrons são confinados em um único nível de energia.
Suponha que você confeccione um dispositivo no qual a camada fina de GaAs é
envolvida por camadas ainda mais finas de GaAlAs, com apenas alguns poucos nanômetros de largura. A FIGURA 41.34a representa o diagrama de energia potencial para um
elétron em um dispositivo como esse. Uma vez que as camadas de GaAlAs são muito
finas, um elétron dentro do poço quântico é capaz de tunelar para o exterior.
Inversamente, um elétron proveniente do exterior e que incide sobre a barreira de GaAlAs pode ser capaz de penetrar dentro do poço quântico. Contudo, o tunelamento para
dentro do poço é bloqueado pelo descasamento das energias. Dentro do poço, um elétron
deve estar em uma das energias permitidas. Normalmente, existe um único estado permiElétrons do exterior possuem energia térmica
tido no poço, com
,
1293
Eterm
1294
Física: Uma Abordagem Estratégica
,
Corrente de tunelamento
para
0,25 V
,
,
,
,
,
,
,
,
FIGURA 41.35 Medidas experimentais da
curva característica corrente-voltagem de
um diodo túnel.
A FIGURA 41.34b ilustra o efeito da aplicação de uma diferença de potencial V ao
longo das três camadas do dispositivo. A diferença de potencial aumenta, atingindo um
valor Vres para o qual a energia do nível permitido dentro do poço quântico se iguala à
do elétron que dela se aproxima pela direita. Obtemos, desta forma, uma ressonância,
em analogia com a situação em que uma freqüência externa é igual à freqüência natural
de um oscilador.
Uma vez que as energias sejam iguais, os elétrons provenientes da direita podem
facilmente tunelar para o interior do poço quântico. A seguir, eles tunelam através da
, ou seja, haverá
barreira oposta e emergem à esquerda com energia cinética
uma corrente através do dispositivo quando a diferença de potencial aplicada nele for
Vres. Tal dispositivo é denominado diodo túnel ressonante.
Uma voltagem muito alta destrói a ressonância. Na FIGURA 41.34c, nota-se que um
valor alto de V reduz muito a energia do nível do poço quântico, impedindo, pelo descasamento das energias, que os elétrons incidentes pela esquerda tunelem. A carga flui
em um diodo túnel apenas para uma faixa estreita de voltagens próximas a Vres.
A FIGURA 41.35 é um gráfico experimental voltagem-corrente de um dispositivo com
um poço quântico de 4 nm de GaAs envolto por barreiras de 10 nm de GaAlAs. Há uma
faixa estreita de voltagens, ao redor de 0,25 volts, para os quais a corrente aumenta por
um fator de 10. Esse valor é Vres, e a corrente se deve aos elétrons que tunelam através
do diodo. A corrente despenca para zero quando o potencial atinge V 0,40 V. (O
aumento da corrente para V 0,7 V é parte do comportamento normal do diodo. Um
diodo túnel não operaria a voltagens tão altas.)
A habilidade de mudar tão bruscamente a corrente por meio de uma pequena variação da voltagem torna o diodo túnel um dispositivo muito especial em circuitos digitais
de computadores. Esses diodos também podem ser utilizados em osciladores ultra-rápidos, capazes de gerar voltagens oscilatórias com freqüências de até 500 GHz.
PARE E PENSE 41.6 Uma partícula com energia E se aproxima de uma barreira de energia de
altura U0 > E. Se U0 diminui lentamente, a probabilidade da partícula ser refletida pela
barreira
a. Aumenta
b. Diminui
c. Não é alterada
CAPÍTULO 41
■
Mecânica Quântica Unidimensional
1295
RESUMO
O objetivo do Capítulo 41 foi compreender e aplicar as idéias fundamentais da mecânica quântica.
Princípios gerais
Equação de Schrödinger (“a lei de psi”)
Essa equação determina a função de onda (x) e, através dela, as probabilidades de encontrar uma partícula de massa m sujeita a uma energia
potencial U(x).
Condições de contorno
Formas das funções de onda
• (x) é uma função contínua.
• (x) → 0 quando x →
.
• A função de onda oscila em uma região situada entre os
pontos de retorno clássicos.
• (x) 0 em uma região onde é fisicamente impossível uma partícula ser
encontrada.
• O estado n possui n antinodos.
• (x) é normalizada.
• (x) diminui exponencialmente em uma região classicamente proibida.
• O espaçamento entre os nós e a amplitude aumentam à
medida que a energia cinética K diminui.
Modelos quantomecânicos são caracterizados pela função energia potencial U(x) da partícula.
• Existem soluções para a função de onda apenas para determinados valores de E. Logo, a energia é quantizada.
• Fótons são emitidos ou absorvidos durante saltos quânticos.
Conceitos importantes
Tunelamento quantomecânico
Uma função de onda pode penetrar uma região classicamente proibida na qual a função de onda tem a forma
e onde o comprimento de penetração é dado por
A probabilidade de tunelamento através de uma barreira
de largura w é
O princípio da correspondência afirma que
o mundo quântico se ajusta continuamente
ao mundo clássico no caso de números
quânticos grandes. Isso pode ser observado
à densidade de prose comparamos
babilidade clássica
Esta expressão para Pclass significa que a
probabilidade de encontrar uma partícula
clássica é maior em uma região na qual ela
se move mais lentamente.
Aplicações
Partícula em uma caixa rígida:
Oscilador harmônico quântico:
Outras aplicações foram estudadas através de soluções numéricas da equação
de Schrödinger.
1296
Física: Uma Abordagem Estratégica
Termos e notação
equação de Schrödinger
modelo quantomecânico
condições de contorno
movimento de ponto-zero
princípio da correspondência
poço de potencial
regiões classicamente proibidas
estado ligado
comprimento de penetração, laser de poço quântico
raios gama
oscilador harmônico quântico
níveis de energia vibracionais
ligação covalente molecular
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics,
acessar www.masteringphysics.com
orbital molecular ligante
orbital molecular antiligante
tunelamento quantomecânico
microscópio de tunelamento (STM)
diodo túnel ressonante
Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. O princípio da correspondência afirma que o comportamento médio
de um sistema quântico deve se assemelhar à correspondente solução newtoniana no limite em que os números quânticos se tornam
muito grandes. O que significa “comportamento médio” de um sistema quântico?
2. Uma partícula se encontra no estado quântico n 5 de um poço
de potencial. Quantos picos existem na densidade de probabilidade
3. Qual é o número quântico da partícula da FIGURA Q41.3? Como
você obteve sua resposta?
a. O que ocorre com o espaçamento entre os nós da função de onda
quando aumenta? Por quê?
b. O que ocorre com a altura dos antinodos da função de onda quando aumenta? Por quê?
c. Esboce um gráfico razoavelmente preciso da função de onda n 8 de um oscilador harmônico quântico.
6. A FIGURA Q41.6 mostra duas funções de onda possíveis para um
elétron em uma molécula triatômica linear. Qual delas corresponde
a um orbital ligante, e qual a um orbital antiligante?
FIGURA Q41.3
FIGURA Q41.6
4. Ordene em seqüência decrescente os comprimentos de penetração
de a a c das funções de onda correspondentes aos três níveis de
energia mostrados na FIGURA Q41.4.
FIGURA Q41.4
7. Quatro partículas quânticas, cada uma com energia E, se aproximam das barreiras de energia potencial apresentadas na FIGURA
Q41.7 da esquerda para a direita. Ordene em seqüência decrescente
as probabilidades de tunelamento de (Ptúnel)a a (Ptúnel)d.
Barreira a
5. Considere um oscilador harmônico quântico.
Barreira b
Barreira c
,
Barreira d
FIGURA Q41.7
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
Seções 41.3–4 Uma partícula em uma caixa rígida
1. || Em uma caixa rígida, um elétron absorve luz. O comprimento
de onda mais longo do espectro de absorção é de 600 nm. Qual é o
comprimento da caixa?
2. | Em uma caixa rígida, os elétrons emitem fótons de comprimento
de onda de 1484 nm durante a transição 3 → 2.
a. Qual é o tipo de fótons emitidos – infravermelho, visível ou ultravioleta?
b. Qual é o comprimento da caixa em que os elétrons estão confinados?
CAPÍTULO 41
3. | A FIGURA EX41.3 mostra a função de onda de um elétron em uma
caixa rígida. A energia do elétron é de 6,0 eV. Qual é o comprimento da caixa?
■
Mecânica Quântica Unidimensional
1297
b. Esboce as funções de onda correspondentes a n 3 e n 6.
Desenhe-as como funções oscilatórias ao redor de uma linha de
energia apropriada.
FIGURA EX41.4
FIGURA EX41.3
4. | A FIGURA EX41.4 mostra a função de onda de um elétron em uma
caixa rígida. A energia do elétron é de 12,0 eV. Qual é a energia do
estado fundamental do elétron?
FIGURA EX41.13
FIGURA EX41.14
14. | Esboce as funções de onda correspondentes a n 1 e n 7 para
a energia potencial representada na FIGURA EX41.14.
Seção 41.6 Poços de potencial finitos
5. | Mostre que a unidade do comprimento de penetração é o m.
6. | a. Esboce os gráficos da densidade de probabilidade
correspondentes aos quatro estados do poço de potencial finito da
Figura 41.4a. Posicione um gráfico abaixo do outro (verticalmente), de maneira semelhante aos gráficos de
da Figura
41.4a.
b. Qual é a probabilidade de uma partícula no estado n 2 do
poço de potencial finito ser encontrada no centro do poço? Explique.
c. A sua resposta para o item b é consistente com o que você sabe
sobre ondas? Explique.
7. | Para uma partícula em um poço de potencial finito de largura L e
profundidade U0, qual é a razão entre a probabilidade Prob(para x
centrado em x L ) e a probabilidade Prob(para x centrado
em x L)?
8. | Um poço de potencial finito tem profundidade U0 2,00 eV.
Qual é o comprimento de penetração de um elétron com energia de
(a) 0,50 eV, (b) 1,00 eV e (c) 1,50 eV?
9. || Em um poço de potencial finito, um elétron apresenta um comprimento de penetração de 1,0 nm em uma região classicamente
proibida. Em quanto a energia do elétron é menor do que U0?
10. | Um átomo de hélio se encontra em um poço de potencial finito. A
energia do átomo é 1,0 eV menor do que U0. Qual é o comprimento
de penetração do átomo na região classicamente proibida?
Seção 41.7 A forma das funções de onda
11. | Esboce a função de onda correspondente a n 6 para a energia
potencial representada na FIGURA EX41.11.
Seção 41.8 O oscilador harmônico quântico
15. | Ao sofrer um salto quântico 3 → 2 em um poço de potencial harmônico, um elétron emite um fóton com um comprimento de onda
de 300 nm. Qual é o comprimento de onda de um fóton emitido em
um salto quântico 3 → 1?
16. || Um elétron se encontra confinado em um poço de potencial harmônico para o qual a constante da mola é igual a 2,0 N/m.
a. Quais são os primeiros três níveis de energia do elétron?
b. Qual é o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron
efetua um salto quântico 3 → 1?
17. | Um elétron que está confinado em um poço de potencial harmônico emite um fóton de 1200 nm ao sofrer um salto quântico 3 → 2.
Qual é a constante de mola do poço de potencial?
18. | Um elétron é confinado em um poço de potencial harmônico
correspondente a uma constante de mola de 12,0 N/m. Qual é o
comprimento de onda luminosa mais longo que o elétron pode absorver?
19. | Sabe-se que dois níveis de energia adjacentes de um elétron em
um poço de potencial harmônico correspondem a 2,0 eV e 2,8 eV.
Qual é a constante de mola do poço de potencial?
Seção 41.10 Tunelamento quantomecânico
20. || Qual é a probabilidade de um elétron tunelar através de uma camada de ar com espessura de 0,45 mn, a partir do metal do qual
é feita a sonda de um microscópio de tunelamento, se a funçãotrabalho correspondente é de 4,0 eV?
21. || Um elétron se aproxima de uma barreira de energia potencial
com 5,0 eV de altura. Qual será a energia do elétron se sua probabilidade de tunelamento for de (a) 10%, (b) 1,0% e (c) 0,10%?
Problemas
FIGURA EX41.11
FIGURA EX41.12
12. | Esboce a função de onda correspondente a n 8 para a energia
potencial representada na FIGURA EX41.12.
13. | O gráfico da FIGURA EX41.13 mostra a função energia potencial
U(x) de uma partícula. A solução da equação de Schrödinger determina que o nível correspondente a n 3 possui E3 0,5 eV e que
o nível correspondente n 6 possui E6 2,0 eV.
a. Refaça essa figura adicionando as linhas de energia para os estados correspondentes a n 3 e n 6.
22. || Uma gota de água com diâmetro de 2,0 m se move com uma
velocidade de 1,0 m/s no interior de uma caixa com 20 m de
comprimento.
a. Estime o número quântico da partícula.
b. Use o princípio da correspondência para determinar se a mecânica quântica é necessária para a compreensão do movimento da
partícula ou se é “seguro” usar a física clássica neste caso.
23. || Suponha que
e
sejam, ambas, soluções da equação
de Schrödinger para uma mesma energia potencial U(x). Prove que
a superposição
também é uma solução
da mesma equação de Schrödinger.
1298
Física: Uma Abordagem Estratégica
24. || Na Figura 41.26a, um átomo de hidrogênio é considerado como
um poço de potencial finito de bordas retangulares. Um modelo
mais realista de um átomo de hidrogênio, embora ainda unidimensional, seria a energia potencial eletrostática do sistema unidimensional elétron próton:
a. Desenhe o gráfico U(x) versus x. Centralize seu gráfico em x 0.
b. Apesar da divergência em x 0, a equação de Schrödinger pode
ser resolvida para um elétron neste potencial obtendo-se os níveis de energia e as funções de onda. Trace uma linha horizontal
que cruze o gráfico do item a aproximadamente a um terço da
altura, de cima para baixo. Identifique essa linha por E2. Depois,
sobre essa linha, esboce um gráfico plausível da função de onda
correspondente a n 2.
c. Refaça seu gráfico do item a e adicione uma linha horizontal a
dois terços da altura, de baixo para cima. Indique essa linha por
E3. Então, sobre essa linha, esboce um gráfico plausível da função de onda correspondente a n 3
25. || a. Derive uma expressão para
o comprimento de onda da
luz emitida por uma partícula em uma caixa rígida durante um
salto quântico de n 2 para n 1.
b. Qual é o comprimento de uma caixa rígida na qual um elétron,
ao sofrer uma transição 2 → 1, emite luz com um comprimento de onda de 694 nm? Este é o comprimento de onda de um
laser de rubi.
26. || Considere um átomo de hidrogênio como sendo um elétron em
uma caixa rígida de comprimento 0,100 nm, cerca do dobro do raio
de Bohr.
a. Quais são os quatro níveis de energia mais baixos do elétron?
b. Calcule todos os comprimentos de onda que seriam observados
no espectro de emissão desse átomo devido a saltos quânticos entre esses quatro níveis de energia. Para identificar cada transição,
use um subscrito no comprimento de onda, como em
.
c. Esses comprimentos de onda estão em que porção do espectro:
infravermelho, visível ou ultravioleta?
d. Os estados estacionários do átomo de hidrogênio de Bohr possuem energias negativas. Já os estados estacionários deste modelo atômico possuem energias positivas. Trata-se de uma diferença significativa? Explique.
e. Compare esse modelo atômico ao modelo de Bohr do átomo de
hidrogênio. Em que aspectos os dois átomos são semelhantes?
Além dos sinais algébricos das energias dos níveis, em que outros aspectos eles diferem?
27. || Mostre que a constante de normalização An para as funções de
onda de uma partícula em uma caixa rígida possui o valor dado pela
Equação 41.26.
28. || Uma partícula confinada em uma caixa rígida unidimensional
com 10 fm de comprimento possui um nível de energia En 32,9
MeV e um nível de energia adjacente En1 51,4 MeV.
a. Determine os valores de n e de n 1.
b. Desenhe um diagrama de níveis de energia indicando todos os
níveis de energia de 1 a n 1. Denote cada nível e escreva a
energia ao lado de cada um.
c. Esboce a função de onda n 1 do nível de energia n 1.
d. Qual é o comprimento de onda de um fóton emitido na transição
n 1 → n? Compare-o com um comprimento de onda típico da
luz visível.
e. Qual é a massa da partícula? É possível determiná-la?
29. || Considere uma partícula em uma caixa rígida de comprimento L.
Para cada um dos estados correspondentes a n 1, n 2 e n 3:
a. Esboce os correspondentes gráficos de
Identifique os
pontos correspondentes a x 0 e x L.
b. Onde, em função de L, estão as posições onde há maior probabilidade de a partícula ser encontrada?
c. Onde, em função de L, estão as posições em que há menor probabilidade de a partícula ser encontrada?
d. Examine seus gráficos de
e determine se a probabilidade de encontrar a partícula no terço esquerdo da caixa é menor,
igual ou maior do que 1/3. Explique seu raciocínio.
e. Calcule a probabilidade de a partícula ser encontrada no terço
esquerdo da caixa.
30. || Para o laser de poço quântico da Figura 41.16, estime a probabilidade de um elétron ser encontrado em uma das camadas do GaAlAs
em vez da camada do GaAs. Explique seu raciocínio.
31. || Em um experimento em física nuclear, um próton é lançado em direção a um núcleo Z 13 com o diâmetro e os níveis de energia apresentados na Figura 41.17. O núcleo, que estava inicialmente em seu
estado fundamental, emite um raio gama com comprimento de onda
1,73 10 –4 nm. Qual era a velocidade mínima inicial do próton?
Dica: Não despreze a colisão próton-núcleo.
32. | Use os dados da Figura 41.23 para calcular os primeiros três níveis de energia vibracional de uma ligação dupla entre carbono e
oxigênio na molécula CO.
33. | Verifique que a função de onda n 1,
, do oscilador harmônico quântico realmente é a solução da equação de Schrödinger, ou seja, mostre que os lados direito e esquerdo da equação de
Schrödinger são iguais se você usar a função de onda 1(x).
34. | Mostre que a constante b usada nas funções de onda do oscilador
harmônico quântico (a) possui unidades de comprimento e (b) é o
ponto de retorno clássico de um oscilador no estado fundamental n
1.
35. || a. Determina a constante de normalização A1 para a função de
onda no estado fundamental de um oscilador harmônico quântico correspondente a n 1. Sua resposta será em função de b.
b. Obtenha uma expressão para a probabilidade de um oscilador
harmônico quântico, no estado fundamental correspondente a
n 1, ser encontrado na região classicamente proibida.
c. (Opcional) Use um programa de integração numérica para avaliar sua expressão para a probabilidade requerida no item b.
Dica: Simplifique a integral efetuando a troca de variável de x para
u x/b, o que tornará o cálculo mais simples.
36. || a. Derive uma expressão para a densidade de probabilidade clássica Pclass(x) para um oscilador harmônico simples com amplitude A.
b. Represente graficamente sua expressão na região entre x –A
e x A.
c. Interprete seu gráfico. Por que ele tem esta forma?
37. || a. Derive uma expressão para a densidade de probabilidade clássica Pclass(y) de uma bola que quica entre o solo e uma altura h.
As colisões com o solo são perfeitamente elásticas.
b. Represente graficamente sua expressão na região entre y 0 e
y h.
c. Interprete seu gráfico. Por que ele tem esta forma?
38. || A Figura 41.17 mostrou que um raio nuclear típico vale 4,0 nm.
No Capítulo 43, você verá que a energia típica de um nêutron ligado
a um poço de potencial nuclear é En –20 MeV. A fim de descobrir
quão imprecisa é a definição da extensão de um núcleo, estime o
comprimento de penetração na região classicamente proibida como
uma fração do raio do núcleo.
39. || Mesmo os espelhos mais finamente polidos apresentam superfícies não-uniformes quando observados em uma escala de 100 nm.
Quando dois metais muito polidos são colocados em contato, a distância real entre as superfícies varia desde 0, com alguns pontos de
contato efetivo, até 艐100 nm. A distância média entre as superfí-
CAPÍTULO 41
cies é 艐 50 nm. A função-trabalho do alumínio vale 4.3 eV. Qual é
a probabilidade de um elétron tunelar entre duas peças de alumínio
que distem 50 nm uma da outra? Expresse sua resposta como uma
potência de 10.
40. ||| A energia de um próton está 1,0 MeV abaixo do topo de uma
barreira de energia com 10 fm de largura. Qual é a probabilidade do
próton tunelar através da barreira?
■
Mecânica Quântica Unidimensional
1299
de elétrons se movem através dessa rede. A FIGURA PD41.44 é um
modelo unidimensional de uma rede cristalina. Os íons possuem
massa m e carga e, com separação de equilíbrio b.
a. Suponha que a carga central seja deslocada ligeiramente
de sua posição de equilíbrio, enquanto as outras permanecem fixas. Mostre que a força elétrica resultante exercida sobre a carga
central é dada, aproximadamente, por
Problemas desafiadores
41. Considere uma partícula em uma caixa rígida de comprimento L,
com paredes localizadas em x – L/2 e x L/2.
a. Qual é a função de onda
para x < –L/2 e para x > L/2? Explique.
b. Escreva a equação de Schrödinger na região –L/2 x L/2 para
uma partícula de energia E.
c. Escreva uma solução geral da equação de Schrödinger na região
–L/2 x L/2.
d. Quais são as condições de contorno a que esta função de onda
deve satisfazer?
e. Aplique as condições de contorno e determine os níveis de energia permitidos. Note que existem duas maneiras distintas de
satisfazer às condições de contorno, cada qual fornecendo um
conjunto diferente de funções de onda e de níveis de energia.
f. Compare seus resultados com os resultados para a caixa rígida
que foram obtidos neste capítulo. Em que aspectos eles se parecem e em que aspectos diferem? Existe alguma diferença fisicamente significativa?
42. Um elétron típico de um fragmento de sódio metálico possui energia –E0 comparada a um elétron livre, onde E0 é a função-trabalho
do sódio, igual a 2,7 eV.
a. A que distância exterior à superfície do metal a densidade de probabilidade do elétron equivale a 10% de seu valor na superfície?
b. Como se compara essa distância ao tamanho de um átomo?
43. Uma partícula de massa m tem a função de onda
quando se encontra em um nível de energia permitido com E 0.
a. Desenhe o gráfico
versus x.
b. Em que valor ou valores de x é mais provável encontrar a partícula?
c. Determine e represente graficamente a função energia potencial
U(x).
44. Na maioria dos metais, os íons atômicos formam uma estrutura regular denominada rede cristalina. Os elétrons de condução do mar
Em outras palavras, a carga experimenta uma força restauradora
linear.
b. Suponha que este cristal seja composto de íons de alumínio com
uma distância de equilíbrio de 0,30 nm. Quais são as energias
dos quatro estados vibracionais mais baixos dos íons?
c. Qual é o comprimento de onda dos fótons emitidos durante os
saltos quânticos entre níveis de energia adjacentes? Esse comprimento de onda está em que porção do espectro: infravermelha,
visível ou ultravioleta?
FIGURA PD41.44
45. a. Qual é a probabilidade de um elétron tunelar através de uma camada de ar com 0,50 nm, a partir de um metal e em direção à
sonda de um microscópio de tunelamento, se a função trabalho
for de 4,0 eV?
b. A sonda passa sobre um átomo que tem 0,050 nm de “altura”.
Em quanto aumenta a corrente de tunelamento?
c. Se uma variação de corrente de 10% for detectável com confiança, qual é a menor alteração da altura que um microscópio de
tunelamento é capaz de detectar?
46. Bolas de tênis que se movem a mais de 100 mph são rebatidas por
raquetes. A uma velocidade suficientemente alta, contudo, a bola
arrebenta o encordoamento da raquete e prossegue em movimento.
A raquete constitui uma barreira de energia potencial cuja altura é
igual à energia da bola mais lenta que arrebenta o encordoamento. Suponha que uma bola de 100 g, movendo-se a 200 mph, seja
suficiente para arrebentar um encordoamento com 2,0 mm de espessura. Estime a probabilidade de uma bola a 120 mph tunelar
através da raquete sem arrebentá-la. Expresse sua resposta como
uma potência de 10, e não, como uma potência de e.
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 41.1: va ⴝ vb > vc. O comprimento de onda de de Broglie
é
; logo, as partículas mais lentas possuem os comprimentos
de onda mais longos. A amplitude da onda não é relevante.
Pare e Pense 41:2: c. O estado n 2 tem um nó no meio da caixa. Os
antinodos estão centralizados nas metades direita e esquerda da caixa.
Pare e Pense 41.3: n 4. Há quatro antinodos e três nós (excluindo-se
as extremidades).
Pare e Pense 41.4: d. Na direita, a função de onda torna-se nula de
forma abrupta, indicando uma parede de energia potencial infinitamente
alta. A diminuição exponencial observada na esquerda revela que a pare-
de esquerda de energia potencial não é infinitamente alta. Tanto a distância entre os nós quanto a amplitude aumentam gradualmente da direita
para a esquerda, indicando uma diminuição gradual da energia cinética
e, conseqüentemente, um aumento gradual da energia potencial.
Pare e Pense 41.5: c.
; logo,
é a energia do estado
correspondente a n 3. Tal estado possui três antinodos.
Pare e Pense 41.6: b. A probabilidade de tunelamento através da
barreira aumenta à medida que diminui a diferença entre E e U0. Se
a probabilidade de tunelamento aumentar, a probabilidade de reflexão
diminuirá.
42 Física Atômica
Os raios laser figuram entre as
aplicações mais importantes das
propriedades quantomecânicas dos
átomos e da luz.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 42 é
compreender a estrutura e as
propriedades dos átomos. Neste
capítulo, você aprenderá a:
■ Utilizar um modelo
quantomecânico do átomo de
hidrogênio.
■ Compreender o conceito de spin
do elétron.
■ Aplicar a teoria quântica
de Schrödinger a átomos
multieletrônicos.
■ Interpretar os espectros atômicos.
■ Compreender o funcionamento
dos lasers.
Em retrospectiva
O conteúdo deste capítulo depende
da compreensão do modelo de
quantização atômica de Bohr e da
mecânica quântica unidimensional.
Revise:
■ Seções 39.5 e 39.7 O modelo de
quantização de Bohr e o átomo de
hidrogênio
■ Seções 40.3 e 40.4 Interpretando
e usando as funções de onda
■ Seções 41.1 e 41.2 Os conceitos
básicos da mecânica quântica
A descoberta da estrutura dos átomos é um assunto que voltaremos a abordar conti-
nuamente. O primeiro modelo atômico que estudamos, o modelo do tipo sistema solar,
de Rutherford, era totalmente clássico. Esse modelo incorporou a descoberta de Rutherford acerca da existência de um núcleo muito pequeno, mas não era nada consistente
com as evidências experimentais sobre os átomos. Ele não explicava o espectro discreto
e nem mesmo esclarecia por que os átomos são estáveis!
O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio foi um grande avanço. O conceito
de estados estacionários forneceu meios para a compreensão da estabilidade dos átomos bem como dos saltos quânticos que originam o espectro discreto. A derivação da
fórmula de Balmer para o espectro de hidrogênio, feita por Bohr, indicou que ele estava
trilhando o caminho certo. Mesmo assim, como já observamos, o modelo de Bohr não
foi bem-sucedido para outros átomos além do hidrogênio.
Chega, então, a vez de Schrödinger. Será que a teoria de Schrödinger para a mecânica quântica explica melhor a estrutura atômica do que os outros modelos? A resposta,
provavelmente você já imagina, é um categórico sim. Este capítulo traz um panorama
sobre a mecânica quântica e sobre como ela finalmente nos forneceu uma compreensão
da estrutura atômica e das propriedades atômicas.
42.1 O átomo de hidrogênio: momentum
angular e energia
Vamos começar com um modelo da mecânica quântica para o átomo do hidrogênio.
A FIGURA 42.1 mostra um elétron a uma distância r de um próton. O próton tem massa
muito maior do que a do elétron; logo, consideraremos que o próton permanece em
repouso na origem.
CAPÍTULO 42
■
Física Atômica
1301
No Capítulo 41 você já aprendeu que o procedimento para a resolução de problemas
de mecânica quântica consiste de duas etapas básicas:
1. Especificar a função energia potencial.
2. Resolver a equação de Schrödinger para obter as funções de onda, os níveis de
energia permitidos e outras propriedades quânticas.
A primeira etapa é fácil. O próton e o elétron são partículas carregadas com q ± e;
assim, a energia potencial de um átomo de hidrogênio em função da distância r do elétron é
Próton
Elétron
(42.1)
A dificuldade surge na segunda etapa. A equação de Schrödinger do Capítulo 41
destina-se a problemas unidimensionais. Os átomos são tridimensionais, e a equação
tridimensional de Schrödinger é uma equação diferencial parcial cuja solução está além
do objetivo deste livro. Conseqüentemente, apresentaremos os resultados sem derivação
ou prova. A boa noticia é que você já aprendeu o suficiente sobre mecânica quântica para
interpretar e usar os resultados.
Os estados estacionários do hidrogênio
Em uma dimensão, a quantização de energia surge como uma conseqüência das condições de contorno impostas sobre a função de onda, ou seja, as soluções para a equação
de Schrödinger satisfazem às condições de contorno somente para certas energias discretas, caracterizadas pelo número quântico n. Em três dimensões, a função de onda
deve satisfazer a três condições de contorno diferentes. Conseqüentemente, as soluções
para as equações de Schrödinger tridimensionais envolvem três números quânticos e três
parâmetros quantizados.
As soluções da equação de Schrödinger para a energia potencial do átomo de hidrogênio existem apenas se três condições forem satisfeitas:
1. A energia do átomo deve assumir um dos valores dados por
(42.2)
onde
é o raio de Bohr. O número inteiro n é chamado de número quântico principal. Essas energias são as mesmas energias fornecidas pelo modelo atômico de Bohr do hidrogênio.
2. O momentum angular L da órbita do elétron deve assumir um dos valores dados
por
(42.3)
O inteiro l é chamado de número quântico orbital.
3. O componente z do momentum angular, Lz, deve assumir um dos valores dados
por
(42.4)
O inteiro m é chamado de número quântico magnético.
Em outras palavras, cada estado estacionário do átomo de hidrogênio é caracterizado por
três números quânticos (n, l, m). Cada um deles está associado a uma propriedade física
do átomo.
NOTA A energia de um estado estacionário depende apenas do número quântico
principal n, sendo independente de l ou m. FIGURA 42.1 Em um átomo de hidrogênio,
o elétron se encontra a uma distância r do
próton.
1302
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 42.1 Listando os números quânticos
Faça uma lista de todos os estados possíveis do átomo de hidrogênio
que tenham energia E –3,40 eV.
1, então o átomo poderia corresponder a m – 1, m 0 ou m 1. Assim, os números quânticos possíveis são
RESOLUÇÃO A energia depende apenas do número quântico principal
n
l
m
n. Os estados com E –3,40 eV correspondem a
2
0
0
2
1
1
2
1
0
2
1
–1
Um átomo com número quântico principal n 2 poderia corresponder a l 0 ou l 1, entretanto l 2 está descartado. Se l 0, o
único valor possível para o número quântico magnético é m 0. Se l
TABELA 42.1 Os símbolos
usados para representar o
número quântico l
l
Símbolo
0
1
2
s
p
d
3
f
Estes quatro estados têm a mesma energia.
O hidrogênio é único. Para todos os outros elementos, as energias permitidas dependem tanto de n quanto de l (mas não de m). Conseqüentemente, é importante que os estados estacionários sejam identificados por seus valores de n e l. As letras minúsculas
que aparecem na Tabela 42.1 são geralmente usadas para representar os vários valores
do número quântico l. Estes símbolos se originam da notação espectroscópica utilizada
antes do aparecimento da mecânica quântica, quando algumas linhas espectrais eram
identificadas pelos nomes sharp, principal, etc.
Utilizando estes símbolos, designamos o estado fundamental do átomo de hidrogênio correspondente a n 1 e l 0 de estado 1s. O estado 3d corresponde a n 3 e l 2. No Exemplo 42.1, encontramos um estado 2s (com l 0) e três estados 2p (com l 1), todos com a mesma energia.
O momentum angular é quantizado
O vetor momentum angular
tem uma inclinação em
relação ao eixo z idêntica à
inclinação do plano da órbita
em relação ao plano xy.
Se o átomo de hidrogênio fosse clássico, a órbita do elétron seria uma elipse, como a
órbita de um planeta do sistema solar. O plano da órbita poderia não coincidir com o
plano xy. A FIGURA 42.2 mostra uma órbita clássica inclinada a um ângulo θ abaixo do
plano xy.
No Capítulo 12 introduzimos o vetor momentum angular . Será útil chamar de
momentum angular orbital de modo a distingui-lo, mais tarde, do momentum angular de
spin. A Figura 42.2 serve para você se lembrar de que o vetor é perpendicular ao plano
da órbita do elétron. O vetor momentum angular tem um componente z, Lz Lcosθ, ao
longo do eixo z.
Classicamente, L e Lz podem assumir quaisquer valores. Na mecânica quântica não
é assim. As condições quânticas 2 e 3 nos dizem que o momentum angular orbital do
elétron é quantizado. Seu módulo deve assumir um dos valores discretos dados por
Núcleo
Elétron
Órbita
elíptica
clássica
FIGURA 42.2 Momentum angular de uma
órbita elíptica.
onde l é um número inteiro. Simultaneamente, o componente z, Lz, deve assumir um dos
onde m é um número inteiro que assume valores entre – l e
valores dados por
l. Nenhum outro valor de L ou Lz permite que a função de onda satisfaça às condições
de contorno.
A quantização do momentum angular impõe restrições à forma e à orientação da órbita do elétron. Para que você possa visualizar isso, considere um átomo de hidrogênio com
número quântico orbital l 2. Neste estado, o módulo do momentum angular do elétron
O vetor momentum angular deve apontar em uma direção tal
deve ser
onde m é um dos cinco números inteiros situados no intervalo –2 m 2.
que
A combinação dessas duas condições permite que aponte apenas em certas orientações no espaço, como mostra a FIGURA 42.3. Trata-se de uma ilustração um tanto incomum, e a compreensão dela requer um pouco de reflexão. Suponha que m 0, de modo
que Lz 0. Sem um componente z, o vetor momentum angular deve estar em algum
lugar do plano xy. Ademais, como o comprimento de deve ser igual a 2,45, a ponta de
deve situar-se no círculo indicado por m 0. Os valores de correspondem a órbitas
clássicas em um plano vertical.
Analogamente, m 2 obriga a situar-se em um cone cuja altura é 2 e cujo lado
tem comprimento igual a 2,45. Esses valores de correspondem a órbitas clássicas le-
CAPÍTULO 42
vemente inclinadas em relação ao plano xy. Note que não pode apontar diretamente
quando m l, é
Pona direção do eixo z. O maior valor possível para
obtemos (Lz)max L. O vetor momentum angular deve posrém, como
suir um componente x ou y, ou ambos. Ou seja, a órbita clássica correspondente não
pode situar-se no plano xy.
Um vetor momentum angular inclinado de um ângulo em relação ao eixo z corresponde a uma órbita inclinada de um ângulo para fora do plano xy. A quantização do
momentum angular restringe os planos orbitais a apenas alguns valores de ângulos de
inclinação. Para um estado quântico dado por (n, l, m), o ângulo de inclinação do vetor
momentum angular é
■
Física Atômica
1303
Se m ⫽ 2, situa-se em algum lugar na
superfície deste cone com Lz ⫽ 2
(42.5)
Os ângulos 22, 21 e 20 estão indicados na FIGURA 42.3. Planos orbitais com outros ângulos de inclinação não são permitidos, pois não satisfariam às condições de quantização
para o momentum angular.
EXEMPLO 42.2 O ângulo do vetor momentum angular
Qual é o ângulo entre
m) (4,2,1)?
e o eixo z para um átomo de hidrogênio no estado estacionário (n, l,
RESOLUÇÃO O ângulo 21 está indicado na Figura 42.3. O estado (4,2,1) corresponde a l 2
e m 1; logo,
Se m ⫽ 0, situa-se em algum
lugar deste disco sobre o plano
xy. A órbita clássica associada ao
elétron estaria em um plano
vertical.
FIGURA 42.3 As cinco orientações possíveis
do vetor momentum angular para l 2. Todos os vetores momentum angular
possuem comprimento
AVALIAÇÃO Este estado quântico corresponde a uma órbita clássica inclinada em 65,9° em
relação ao plano xy.
NOTA O estado fundamental do hidrogênio, correspondente a l 0, não possui
um momentum angular. Uma partícula clássica não pode estar em órbita sem possuir
algum momentum angular, no entanto uma partícula quântica aparentemente não
sofre essa restrição. Examinaremos este assunto na próxima seção. Os níveis de energia do átomo de hidrogênio
A energia do átomo de hidrogênio é quantizada. Somente aqueles valores de energia
dados pela Equação 42.2 permitem que a função de onda satisfaça às condições de contorno. As energias permitidas para o hidrogênio dependem apenas do número quântico
principal n, mas para os outros átomos elas dependem tanto de n quanto de l. Antecipando o uso de ambos os números quânticos, a FIGURA 42.4 mostra um diagrama dos níveis
de energia do átomo de hidrogênio, em que as linhas são caracterizadas por n, e as colunas, por l. A coluna da esquerda contém todos os estados s, correspondentes a l 0; a
coluna seguinte, os estados p, correspondentes a l 1; e assim sucessivamente.
Uma vez que a condição quântica dada pela Equação 42.3 requer que n l, os estados s começam com n 1, os estados p com n 2 e os estados d com n 3, ou seja, o
estado d com nível de energia mais baixo é 3d, pois l 2 não é permitido para os estados
correspondentes a n 1 ou n 2. No caso do hidrogênio, onde os níveis de energia não
dependem de l, o diagrama de níveis de energia mostra que os estados 3s, 3p e 3d possuem a mesma energia. A Figura 42.4 apresenta somente os primeiros níveis de energia
para cada valor de l, mas há um número infinito de níveis, n→ , aglomerados abaixo de
E 0. A linha pontilhada em E 0 representa o limite de ionização do átomo, a energia
de um átomo de hidrogênio do qual um elétron foi infinitamente afastado para formar
um íon H .
O estado mais baixo de energia, o estado 1s, com E1 – 13,60 eV, é o estado fundamental do hidrogênio. O valor ⏐E1⏐ 13,60 eV é a energia de ionização, a mínima
energia necessária para se formar um íon hidrogênio, removendo-se o elétron que estava
no estado fundamental. Todos os estados correspondentes a n > 1 são estados excitados.
Número quântico l
Símbolo
Limite de ionização
,
,
,
Estado fundamental
,
FIGURA 42.4 Diagrama dos níveis de
energia do átomo de hidrogênio.
1304
Física: Uma Abordagem Estratégica
PARE E PENSE 42.1
Quais são os números quânticos n e l para um átomo de hidrogênio com
42.2 O átomo de hidrogênio: funções de onda
e probabilidades
Você aprendeu no Capitulo 41 que a probabilidade de encontrar uma partícula em um
pequeno intervalo de largura x centrado na posição x é dada por
Prob(com x centrado em x) ⏐ (x)⏐ x P(x) x
2
onde P(x)⏐(x)⏐ é a densidade de probabilidade. Essa interpretação de ⏐ (x)⏐
como uma densidade de probabilidade reside no âmago da mecânica quântica. Contudo,
P(x) foi determinada no caso de uma função de onda unidimensional. Uma vez que, agora, estamos lidando com um átomo tridimensional, temos de considerar a probabilidade
de encontrar uma partícula em um volume de espaço pequeno, V, centrado na posição
descrita pelas três coordenadas (x, y, z). Essa probabilidade é dada por
2
2
Prob(com V centrado em x, y, z) ⏐ (x, y, z)⏐ V
2
A cor avermelhada desta nebulosa se
deve à emissão de luz pelos átomos de
hidrogênio. Excitados pela intensa luz
ultravioleta oriunda da estrela ao centro,
os átomos emitem luz vermelha ( 656
nm) gerada na transição 3 → 2, a qual
faz parte das linhas espectrais da série de
Balmer emitidas pelo hidrogênio.
(42.6)
Ainda podemos interpretar ⏐ (x, y, z)⏐ como uma densidade de probabilidade.
Na mecânica quântica unidimensional, poderíamos simplesmente representar P(x)
versus x em um gráfico. Já representar a densidade de probabilidade de uma função de
onda tridimensional é um desafio bem maior. Uma das maneiras, apresentada na FIGURA
42.5, é usar sombras mais intensas para indicar as regiões onde é maior a densidade de
probabilidade, ou seja, nas regiões onde o sombreamento é mais escuro, a amplitude de
é maior e é mais provável que os elétrons sejam encontrados. A figura mostra as densidades de probabilidade dos estados do hidrogênio 1s, 2s e 2p. Como você pode perceber,
a densidade de probabilidade em três dimensões cria o que geralmente chamamos de
nuvem eletrônica em torno do núcleo.
2
Um elétron no estado 1s
tem maior probabilidade de ser encontrado
na origem.
Um elétron no estado 2s tem maior
probabilidade de ser encontrado
tanto na origem quanto em uma
camada esférica que a circunda.
A probabilidade de encontrar
elétrons p é maior em algumas
direções do que em outras.
FIGURA 42.5 As densidades de probabilidade de um elétron nos estados 1s, 2s e 2p do
hidrogênio.
Essas figuras contêm muita informação. Note, por exemplo, como os elétrons p possuem propriedades direcionais. Essas propriedades direcionais permitem que os elétrons p
“alcancem” átomos vizinhos, formando com eles ligações moleculares. A mecânica quântica das ligações está além de nosso objetivo neste livro, mas as figuras das nuvens eletrônicas dos elétrons p revelam indícios de como podem ser formadas as ligações atômicas.
Funções de onda radiais
Representações como as da Figura 42.5 nos permitem “visualizar” as nuvens de elétrons; contudo, são difíceis de ser utilizadas. Geralmente, o que desejamos saber é, simplesmente, a probabilidade de encontrar um elétron a certa distância do núcleo. Isto é,
qual é a probabilidade de localizar um elétron em um pequeno intervalo de distâncias r
com centro a uma distância r?
CAPÍTULO 42
■
Física Atômica
1305
Felizmente, as soluções da equação tridimensional de Schrödinger podem ser escritas de forma a priorizar a distância radial r entre o elétron e o próton. A porção da função
de onda que depende somente de r é chamada de função de onda radial. Essas funções,
que dependem dos números quânticos n e l, são designadas por Rnl(r). As três primeiras
funções de onda radiais são
(42.7)
onde aB é o raio de Bohr.
As funções de onda radiais podem parecer misteriosas, pois ainda não mostramos
de onde surgem, mas, essencialmente, elas são equivalentes às funções de onda unidimensionais (x) que você encontrou no Capítulo 41. Na verdade, essas funções de onda
radiais são matematicamente similares às funções de onda unidimensionais do oscilador
harmônico simples. Uma diferença importante, contudo, é que r varia desde 0 até .
Para funções de onda unidimensionais, x varia desde – até .
A FIGURA 42.6 representa as funções de onda radiais para os estados 1s e 2s. Observe
que a função de onda radial não se anula em r 0, a posição do núcleo. Isso talvez o
surpreenda, mas é consistente com o que se pode observar na Figura 42.5, onde os elétrons 1s e 2s apresentam grande probabilidade de serem encontrados na origem.
Podemos entender um pouco mais as funções de onda do estado s considerando o
momentum angular. Uma partícula clássica, para a qual L mvr, só pode assumir o
valor L 0 se o raio de sua órbita reduzir-se a zero. Isso é impossível para uma partícula
clássica, mas o momentum angular zero é possível para partículas quânticas, pois o princípio da incerteza implica que uma partícula quântica não esteja localizada em um único
ponto. As funções de onda do estado s da Figura 42.6, com seus valores máximos em r 0, são análogos quânticos de uma partícula clássica em órbita com r 0.
Nosso objetivo ao introduzirmos as funções de onda radiais foi determinar a probabilidade de encontrar o elétron a uma dada distância do núcleo. A FIGURA 42.7 mostra
uma camada esférica de raio r e espessura r centrada no núcleo. A probabilidade de
encontrar o elétron a uma distância r do núcleo é equivalente à probabilidade de o elétron estar localizado em algum lugar desta camada. O volume de uma camada esférica
fina é a área de sua superfície multiplicada por sua espessura r. A área da superfície de
2
uma esfera é 4r ; logo, o volume dessa camada fina é
V 4 r2r
Função de onda radial 1s
Função de onda radial 2s
FIGURA 42.6 As funções de onda radiais 1s
e 2s do hidrogênio.
Área da
superfície 4r2
Espessura
r
(42.8)
Podemos afirmar, mesmo sem provas, que a probabilidade de encontramos um elétron nesta camada esférica é
Prob(com r centrado em r) ⏐Rnl(r)⏐2V 4 r2⏐Rnl(r)⏐2 r Pr(r)r
(42.9)
onde
Pr(r) 4 r2⏐Rnl(r)⏐2
(42.10)
é denominada densidade de probabilidade radial para o estado nl.
A densidade de probabilidade radial determina a probabilidade relativa de encontrar
2
um elétron a uma distancia r do núcleo. O fator volumétrico 4r reflete o fato de que
há mais espaço em uma camada com r maior e de que este espaço adicional aumenta a
probabilidade de encontrar um elétron a essa distância.
A probabilidade de encontrar um elétron entre rmin e rmax é
(42.11)
FIGURA 42.7 A densidade de probabilidade
radial fornece a probabilidade de encontrar
o elétron em uma camada esférica de
espessura r e raio r.
1306
Física: Uma Abordagem Estratégica
,
,
,
,
,
,
,
,
,
FIGURA 42.8 As densidades de
probabilidade radial para n 1, 2 e 3.
A órbita circular possui o
maior momentum angular. O
elétron mantém-se a uma
distância constante do núcleo.
Ambas as órbitas
têm a mesma
energia total E.
Em comparação à órbita circular, a
órbita elíptica possui menor momentum
angular. O elétron tanto se afasta quanto
se aproxima do núcleo.
FIGURA 42.9 Órbitas circulares têm maior
momentum angular.
O elétron deve estar em algum lugar entre r 0 e r ; logo, a integral de Pr(r)
entre 0 e deve ser igual a 1. Esta condição de normalização foi usada para determinar
as constantes que antecedem as exponenciais das funções de onda radiais dadas pelas
Equações 42.7.
A FIGURA 42.8 mostra as densidades de probabilidade radiais para os estados n 1, 2
e 3 do átomo de hidrogênio. Os gráficos foram elaborados em uma mesma escala para
que você possa compará-los uns com os outros. A escala horizontal está em unidades de
raio de Bohr aB.
Note que os estados 1s, 2p e 3d, com máximos em aB, 4aB e 9aB, respectivamente,
2
seguem o padrão rpico n aB. Estas distâncias são exatamente os raios das órbitas do
modelo de Bohr do átomo de hidrogênio. Nós simplesmente ajustamos uma onda unidimensional de de Broglie a um círculo com este raio. Obtemos, então, uma função de
onda tridimensional para a qual o elétron tem maior probabilidade de estar a esta distância do núcleo, embora possa ser localizado em outros valores de r. A situação física
é muito diferente na mecânica quântica, mas é importante que percebamos que vários
aspectos do átomo de Bohr podem ser reproduzidos.
Por que é justamente o estado 3d que concorda com o átomo de Bohr, e não, os estados 3s ou 3p? Todos os estados correspondentes a um mesmo valor de n formam um
conjunto de “órbitas” de mesma energia. Na FIGURA 42.9, o estado l n – 1 tem o maior
momentum angular do grupo. Conseqüentemente, o estado com l máximo corresponde
a uma órbita clássica circular e coincide com as órbitas circulares do átomo de Bohr.
Note que as densidades de probabilidade radial para os estados 2p e 3d possuem um
único pico, que corresponde a uma órbita clássica a uma distância constante.
Estados de menor l correspondem a órbitas elípticas. Observando a Figura 42.8 é
possível perceber que a densidade de probabilidade radial de um elétron 3s tem um pico
próximo ao núcleo. O elétron 3s também tem boa chance de ser encontrado mais distante
do núcleo do que um elétron 3d. Isso sugere a existência de uma órbita que alterna entre
uma posição mais próxima do núcleo e outra mais distante, mantendo a mesma energia.
Esta distinção entre órbitas circulares e elípticas vai ser importante quando discutirmos
os níveis de energia de átomos multieletrônicos.
NOTA Na mecânica quântica, nada está realmente em órbita. Contudo, as densidades de probabilidade para o elétron estar ou não estar a uma dada distância do núcleo
imitam certos aspectos das órbitas clássicas e fornecem analogias úteis. Observando a Figura 42.8, você pode notar que a distância mais provável entre um
elétron n 1 e o núcleo é, aproximadamente, aB. A distância mais provável para encontrar um elétron n 2 está entre 3 aB e 7 aB. Um elétron n 3 tem mais chance de ser
encontrado entre, aproximadamente, 8 aB e 15 aB. Em outras palavras, as densidades de
probabilidade radiais fornecem a impressão clara de que a cada valor de n está associado
um intervalo bem-definido de raios onde há maior probabilidade de um elétron ser encontrado. Esta é a base do modelo de camadas do átomo usado na química.
Contudo, resta uma questão intrigante. Na Figura 42.5, a esfera difusa que representa
o estado fundamental 1s é mais densa no centro, onde há maior probabilidade de o elétron
ser encontrado. Esta densidade máxima em r 0 concorda com a função de onda radial
1s da Figura 42.6, com máximo em r 0, mas parece não concordar em nada com o gráfico de 1s da Figura 42.8, que possui valor zero no núcleo e mostra um pico em r aB.
A resolução desse quebra-cabeça requer que façamos a distinção entre a densidade
2
de probabilidade ⏐ (x, y, z)⏐ e a densidade de probabilidade radial Pr(r). A função de
onda 1s e, portanto, a densidade de probabilidade 1s, realmente tem um pico no núcleo.
2
Mas⏐ (x, y, z)⏐ é a probabilidade de o elétron ser localizado em um pequeno volume
V, como uma pequena caixa com lados x, y e z, enquanto Pr(r) é a probabilidade de
o elétron estar em uma camada esférica de espessura r. A densidade de probabilidade
2
⏐ (x, y, z)⏐ é menor em r 0 do que em qualquer ponto correspondente a r aB. Mas
o volume conjunto de todos os pontos com r ≅ aB (i.e., o volume da camada esférica em
r aB) é tão grande que a densidade de probabilidade radial Pr possui um máximo a
essa distância.
Para usar uma analogia mecânica, considere uma bola difusa e mais densa no centro.
Apesar de a densidade decrescer a partir do centro, uma camada esférica com raio r pode
ter mais massa que uma camada um pouco mais interna e de mesma espessura simplesmente porque a mais externa possui maior volume.
CAPÍTULO 42
EXEMPLO 42.3 Probabilidade máxima
Mostre que um elétron no estado 2p tem maior probabilidade de ser
encontrado em r 4aB.
■
Física Atômica
1307
O valor mais provável de r ocorre no ponto onde a derivada de
Pr(r) é nula:
RESOLUÇÃO Podemos usar a função de onda radial 2p da Equação
42.7 para escrever a densidade de probabilidade radial,
onde C (24aB5) é uma constante. Essa expressão para Pr(r) é representada no gráfico da Figura 42.8.
–1
Essa expressão será nula somente se r 4aB; logo, Pr(r) é máximo
em r 4aB. Um elétron no estado 2p é mais provável de ser encontrado a essa distância do núcleo.
PARE E PENSE 42.2 Quantos máximos há no gráfico da densidade de probabilidade radial
para o estado 4s do hidrogênio?
Um elétron em órbita
equivale a uma corrente
circular.
42.3 O spin do elétron
Recapitulando o que vimos no Capitulo 33, você deve estar lembrado de que um elétron
em órbita ao redor de um núcleo gera um momento magnético A FIGURA 42.10 serve
para você recordar que o momento magnético, tal qual a agulha de uma bússola, possui
pólos norte e sul. Conseqüentemente, em um campo magnético externo um momento
magnético experimentará forças e torques. No início da década de 1920, os físicos alemães Otto Stern e Walter Gerlach desenvolveram uma técnica para medir os momentos
magnéticos dos átomos. O aparato utilizado, ilustrado na FIGURA 42.11, prepara um feixe
atômico ao evaporar átomos através de um orifício de um “forno”. Esses átomos, deslocando-se no vácuo, atravessam um campo magnético não-uniforme. O campo é mais
forte na parte de cima do ímã e mais fraco na de baixo.
Placa coletora
Uma corrente circular gera um momento
magnético com pólos magnéticos norte e sul.
FIGURA 42.10 Um elétron em órbita gera
um momento magnético.
Átomos com pólos norte para
cima são desviados para cima.
Ímã
Colimador
Aumento
de B
Forno
Um feixe atômico colimado atravessa
um campo magnético não-uniforme.
Átomos com pólos sul para
cima são desviados para baixo.
FIGURA 42.11 O experimento de Stern-Gerlach.
Todo momentum magnético experimenta uma força resultante não-nula em presença de um campo magnético não-uniforme, pois o campo exerce forças de diferentes
intensidades sobre os pólos norte e sul do momentum. Um átomo cujo vetor momentum
experimenta, em seu pólo norte, uma
magnético seja inclinado para cima
força orientada para cima que é maior do que a força orientada para baixo sobre seu pólo
sul. Conforme ilustra a figura, o átomo é desviado para cima ao passar pelo ímã. Um
1308
Física: Uma Abordagem Estratégica
Placa coletora
Sem campo magnético: não
ocorre deflexão; todos os
átomos atingem o centro.
Átomos clássicos: Lz assume valores em um intervalo
contínuo; logo, há uma
gama contínua de desvios.
Átomos quânticos com l ⫽
1: há três valores possíveis
de Lz e, conseqüentemente,
três grupos de átomos.
FIGURA 42.12 Distribuição de átomos na
placa coletora.
Centro da placa
FIGURA 42.13 O resultado do experimento
de Stern-Gerlach para átomos de
hidrogênio.
momentum magnético inclinado para baixo
experimenta uma força resultante
orientada para baixo, sentido em que é desviado. Um momentum magnético perpendicunão experimenta qualquer força resultante e passa pelo ímã sem
lar ao campo
sofrer desvio. Em resumo, o desvio de um átomo ao passar pelo ímã é proporcional a
o componente z de seu momentum magnético.
Não é difícil demonstrar, embora não apresentemos a prova, que o momento magnético de um átomo de hidrogênio é proporcional ao momentum angular orbital de seu
Uma vez que o desvio de um átomo depende de z, medir os desvios
elétron,
produzidos em um campo não-uniforme fornece informações a respeito dos valores de
Lz dos átomos que formam o feixe atômico. Os átomos são coletados em uma placa posicionada na extremidade final do aparato, e, dessa forma, se realizam as medições. Após
o experimento prosseguir por muitas horas, a placa coletora é removida e examinada
para que se saiba como os átomos foram desviados.
Com o ímã desligado, os átomos passam sem sofrer desvios e se concentram no centro da placa, formando uma linha estreita, conforme ilustrado na FIGURA 42.12a. Se os
elétrons em órbita fossem partículas clássicas, eles deveriam mostrar um espectro contínuo de momentum angular. Com o ímã ligado, esperaríamos observar uma série contínua de desvios verticais, como ilustra a FIGURA 42.12b. Porém se o momentum angular é
quantizado, como Bohr sugerira anos antes, os átomos serão defletidos para posições
discretas da placa coletora.
Por exemplo, um átomo no estado l 1 possui três valores distintos de Lz, correspondentes aos números quânticos m –1, 0, 1, o que leva à previsão de três grupos distintos
de átomos na tela, como mostrado na FIGURA 42.12c. Deve sempre existir um número
ímpar de grupos, pois existem 2l 1 valores de Lz.
Em 1927, com o advento da nova teoria quântica de Schrödinger, a técnica de SternGerlach foi usada para medir o momentum magnético dos átomos de hidrogênio. O estado fundamental do hidrogênio é o 1s, com l 0; portanto, os átomos não deveriam
possuir momenta magnéticos e não deveriam sofrer quaisquer desvios. Contrariamente
ao esperado, o experimento produziu a distribuição bimodal mostrada na FIGURA 42.13.
Como os átomos de hidrogênio eram desviados, eles deveriam possuir um momentum magnético. Contudo, qual é a origem desse momentum se l 0? Ainda mais estranho era o aparecimento de dois grupos, ao invés de um número ímpar deles. A deflexão
, onde m varia em intervalos inteiros desde – l até l. Os
é proporcional a Lz, e
de modo que m assumiria dois
resultados experimentais fariam sentido apenas se
e
Na teoria de Shrödinger, porém, os números quânticos l e m
valores possíveis,
devem ser inteiros.
Logo foi sugerida uma explicação para tais observações, que foi confirmada: o elétron possui um momentum magnético intrínseco. O elétron já possuía uma característica
gravitacional intrínseca, sua massa me, e uma característica elétrica intrínseca, sua carga
qe e. Tais características definem apenas parcialmente o que é o elétron. Portanto, é
plausível que um elétron também possua uma característica magnética intrínseca, descriUm elétron clássico, considerado como
ta por um momentum magnético intrínseco
uma pequena bola carregada, poderia girar em torno de seu próprio eixo enquanto orbita
o núcleo. Essa bola de carga giratória teria um momentum magnético associado ao seu
momentum angular. O momentum magnético intrínseco do elétron é a causa do desvio
anômalo observado no experimento de Stern-Gerlach.
Se um elétron possui um momentum magnético intrínseco, ele deve possuir também
um momentum angular intrínseco. Tal momentum angular é chamado de spin do elétron
e é denotado por
O resultado do experimento de Stern-Gerlach revela que o componente z do momentum angular de spin é
(42.12)
A grandeza ms é chamada de número quântico de spin.
O componente z do vetor momentum angular de spin é determinado pela orientação
do elétron. O estado
, com
, é chamado de estado de spin up (para
cima), e o estado
é chamado de spin down (para baixo). É conveniente visualizar um pequeno vetor de momentum angular que possa ser desenhado como para um
estado
, e como para um estado
. Usaremos essa notação na próxima
CAPÍTULO 42
■
Física Atômica
1309
seção. Uma vez que o elétron possui spin up ou spin down, o átomo de hidrogênio no
experimento de Stern-Gerlach será defletido para cima ou para baixo, respectivamente,
dando origem aos dois grupos de átomos vistos na Figura 42.13. Nenhum átomo possui
, portanto não existem átomos no centro (que não foram desviados).
NOTA O átomo possui um momentum angular de spin além do momentum angular
orbital que seus elétrons possuem. Apenas nos estados s, para os quais l 0, é que
podemos observar os efeitos ”puros” devido ao spin. O momentum angular de spin S satisfaz a uma equação análoga à Equação 42.3 para L.
(42.13)
onde s é um número quântico com valor único
. S representa o momentum angular
intrínseco do elétron. Devido ao valor único de s, os físicos normalmente dizem que o
elétron possui “spin um meio”. A FIGURA 42.14, que deve ser comparada à Figura 42.3,
mostra que os termos “spin up” e “spin down” se referem a Sz, e não, ao momentum angular de spin total. Analogamente a
não pode apontar na direção do eixo z.
Para um estado spin up,
situa-se em algum lugar
da superfície deste cone.
NOTA O termo “spin” deve ser usado com cautela. Embora uma partícula clássica
carregada possa gerar um momentum magnético ao girar, o elétron definitivamente
não é uma partícula clássica. Ele não gira em nenhuma das acepções do termo. Simplesmente ele possui um momentum magnético intrínseco, da mesma forma como
possui uma carga e uma massa intrínsecas. Tal momentum magnético faz com que o
elétron pareça girar. Trata-se de uma figura de linguagem conveniente, mas não de
um fato real. O elétron possui um spin, mas não gira. O spin do elétron possui outras implicações importantes para a estrutura atômica. As
soluções da equação de Schrödinger podem ser descritas por três números quânticos n, l
e m, todavia o experimento de Stern-Gerlach sugere que essa não é a descrição completa
de um átomo. Saber que um átomo no estado fundamental possui números quânticos
n 1, l 0 e m 0 não é suficiente para prever o desvio que ele sofrerá, para cima
ou para baixo, em um campo magnético não-uniforme. Precisamos adicionar o número quântico spin, ms, para completar a descrição. (Rigorosamente, deveríamos também
adicionar o número quântico s, mas este não traz nenhuma informação adicional, uma
vez que seu valor é sempre o mesmo.) Assim, necessitamos apenas de quatro números
quânticos (n, l, m, ms) para caracterizar os estados estacionários de um átomo. A orientação do spin não afeta a energia do átomo; logo um elétron no estado fundamental de
como no estado
um átomo de hidrogênio pode estar tanto no estado spin up
.
spin down
O fato de s ter um valor único
tem implicações interessantes. O princípio
da correspondência significa que uma partícula quântica começa a “se comportar” de
forma clássica no limite de números quânticos grandes. Porém s não pode se tornar
grande! O spin do elétron é uma propriedade quântica intrínseca dele, sem análogo clássico.
PARE E PENSE 42.3 O vetor momentum angular de spin pode estar situado no plano xy? Em
caso positivo ou negativo, explique.
42.4 Átomos multieletrônicos
A solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio concorda com a evidência experimental, mas o mesmo ocorria também com o modelo de Bohr do átomo
de hidrogênio. O verdadeiro teste para a teoria de Schrödinger reside na descrição de
átomos com muitos elétrons. Um átomo multieletrônico neutro consiste de Z elétrons ao
redor de um núcleo dotado de Z prótons e carga Ze. O número atômico Z representa a
ordem na qual os elementos estão listados na tabela periódica. O hidrogênio corresponde
a Z 1, o hélio a Z 2, o lítio a Z 3, etc.
O módulo de é
Para um estado spin down,
situa-se em algum lugar
da superfície deste cone.
FIGURA 42.14 O momentum angular de
spin possui duas orientações possíveis.
1310
Física: Uma Abordagem Estratégica
A função energia potencial de um átomo multieletrônico origina-se da interação de
Z elétrons com o núcleo e dos Z elétrons entre si. A interação elétron-elétron torna a
descrição da estrutura atômica um problema mais complexo que seu equivalente para o
sistema solar, contribuindo para a derrocada do modelo de Bohr. Os planetas do sistema
solar exercem forças gravitacionais mútuas, mas como suas massas são muito menores
do que a massa do Sol, as forças entre os planetas são insignificantes, exceto no caso dos
cálculos mais precisos. O mesmo não ocorre com os átomos. A carga do elétron é igual
à de um próton, portanto a repulsão elétron-elétron é tão importante para a estrutura
atômica quanto a atração elétron-próton.
O valor da energia potencial oriunda das interações elétron-elétron flutua rapidamente enquanto os elétrons se movem e variam as distâncias entre eles. Em vez de estudarmos essa interação detalhadamente, podemos considerar que cada elétron se move em
presença de um potencial médio gerado por todos os outros elétrons, ou seja, o elétron i
possui energia potencial
Aumento de energia
Limite de ionização
(42.14)
Átomo multieletrônico
Hidrogênio
FIGURA 42.15 Diagrama de níveis de
energia para elétrons em um átomo
multieletrônico.
Um elétron com alto valor de l corresponde a
uma órbita circular. Ele permanece fora do
“caroço” formado pelos elétrons mais internos
e sente uma carga líquida igual a +e,
comportando-se, portanto, como um elétron de
um átomo de hidrogênio.
Elétrons
internos
Estado com alto valor de l
Um elétron com baixo valor de l corresponde a
uma órbita elíptica. Ele penetra o “caroço”
formado pelos elétrons mais internos e interage
fortemente com o núcleo. A força elétronnúcleo é atrativa, o que reduz a energia do
elétron.
Estado com baixo valor de l
FIGURA 42.16 Orbitais com alto e baixo
valor de l em um átomo multieletrônico.
onde o primeiro termo representa a interação do elétron com os Z prótons do núcleo, e
Uelet a energia potencial média associada a todos os outros elétrons. Uma vez que cada
elétron é considerado independentemente dos outros, essa abordagem é denominada de
aproximação de partícula independente (IPA, do inglês independent particle approximation). Essa aproximação permite que a equação de Schrödinger seja transformada em
Z equações separadas, uma para cada elétron.
A consequência mais importante da IPA é que cada elétron pode ser descrito por
uma função de onda com os mesmos quatro números quânticos n, l, m, ms usados
para descrever o único elétron do átomo de hidrogênio. Ainda podemos utilizar apenas n e l para caracterizar o elétron, semelhantemente ao que utilizávamos para o hidrogênio, pois os números quânticos m e ms não afetam a energia do elétron.
Uma grande diferença na descrição da energia dos elétrons em um átomo multieletrônico é que ela depende de n e de l. Enquanto os estados 2s e 2p do hidrogênio
possuem a mesma energia, elas serão diferentes no caso de um átomo multieletrônico. A
diferença advém da interação elétron-elétron, que inexiste no caso do átomo de hidrogênio que possui apenas um elétron.
A FIGURA 42.15 mostra um diagrama de níveis de energia para os elétrons de um átomo multieletrônico. As energias do átomo de hidrogênio são mostradas à direita da figura. A comparação é bastante interessante. Os estados de um átomo multieletrônico que
correspondem a baixos valores de l possuem energias significativamente mais baixas do
que aquelas dos estados correspondentes do hidrogênio. Para cada valor de n, a energia
aumenta até o estado de máximo l, que possui energia muito próxima daquela de um
estado com mesmo n do hidrogênio. É possível compreender este padrão?
Sim, podemos. Lembre-se de que os estados com baixo valor de l correspondem a
órbitas elípticas clássicas, e aqueles com valores altos de l, a órbitas circulares. À exceção
dos menores valores de n, um elétron em uma órbita circular passa a maior parte de seu
tempo fora da nuvem formada pelos elétrons restantes. Isso é ilustrado pela FIGURA 42.16.
O elétron externo orbita um “caroço” com carga constituída pela carga de Z prótons e de
(Z – 1) elétrons, uma região com carga líquida qliq e. Dessa maneira, o elétron externo “sente” como se estivesse orbitando um próton. Em um estado de máximo valor de l,
um elétron é praticamente indistinguível de um elétron em um átomo de hidrogênio; sua
energia é muito próxima daquela correspondente no caso do hidrogênio.
Os estados de baixos valores de l correspondem a órbitas elípticas. Um elétron com baixo valor de l penetra a nuvem e se aproxima do núcleo, não mais blindado pelos outros elétrons. A interação entre esse elétron com os Z prótons do núcleo é muito mais forte do que
a interação que ele sentiria no caso de um núcleo de hidrogênio com um único próton. Essa
interação reduz sua energia em comparação com o estado correspondente do hidrogênio.
Conforme observamos anteriormente, um elétron quântico, de fato, não se encontra
em uma órbita. Contudo a densidade de probabilidade associada a um elétron 3s possui
picos internos que não estão presentes na densidade de probabilidade de um elétron 3d,
conforme podemos notar na Figura 42.8. Portanto, um elétron com baixo valor de l realmente possui maior chance de ser encontrado a pequenas distâncias r do núcleo, onde a
interação com Z prótons é forte, enquanto elétrons com alto valor de l são encontrados
mais freqüentemente a distâncias maiores do núcleo.
CAPÍTULO 42
■
Física Atômica
1311
O princípio de exclusão de Pauli
Por definição, o estado fundamental de um sistema quântico é o estado de energia mais
baixa. Qual é o estado fundamental de um átomo com Z elétrons e Z prótons? O estado
1s é o de menor energia na aproximação de partícula independente; esperar-se-ia que o
estado fundamental correspondesse a todos os Z elétrons no estado 1s. Contudo, essa
idéia não é consistente com a evidência experimental.
Em 1925, o jovem físico austríaco Wolfgang Pauli formulou a hipótese de que
dois elétrons de um sistema quântico não podem ocupar um mesmo estado quântico.
Em outras palavras, não pode haver dois elétrons com o mesmo conjunto de números quânticos (n, l, m, ms). Se um elétron ocupa um dado estado, ele exclui todos
os outros de estar nesse estado. Tal enunciado, chamado de princípio da exclusão
de Pauli, mostrou-se uma verdade extremamente profunda acerca da natureza da
matéria.
O princípio da exclusão não se aplica ao hidrogênio, que possui um único elétron.
No caso do hélio, porém, temos de garantir que os dois elétrons estejam em estados
quânticos diferentes. Isso não é difícil. Para um estado 1s, correspondente a l 0, o
único valor possível para o número quântico magnético é m 0. Porém, há dois possíveis valores para ms, 1/2 e 1/2. Se um primeiro elétron estiver no estado 1s de spin up
(1, 0, 0, 1/2), um segundo elétron 1s pode ser adicionado ao átomo, desde que esteja
no estado de spin down (1, 0, 0, 1/2). Isso é mostrado esquematicamente na FIGURA
42.17a, em que os pontos representam elétrons nos degraus da “escada energética” e as
flechas representam estados de spin up ou spin down.
O princípio da exclusão de Pauli não impede que os dois elétrons do hélio ocupem
o mesmo estado 1s, desde que possuam valores opostos de ms, de modo que podemos
deduzir que este seja o estado fundamental. Uma lista com os estados energéticos ocupados de um átomo é denominada configuração eletrônica. A configuração eletrônica do
2
estado fundamental do hélio é escrita como 1s , onde o sobrescrito 2 indica a existência
de dois elétrons no nível de energia 1s. Um estado excitado do átomo de hélio pode
possuir a configuração eletrônica 1s2s. Tal estado é ilustrado na FIGURA 42.17b. Neste
caso, como os dois elétrons possuem valores diferentes de n, não há restrições sobre os
valores de ms.
Os estados (1, 0, 0, 1/2) e (1, 0, 0, 1/2) são os únicos dois estados com n 1. O estado fundamental do hélio possui um elétron em cada um desses estados,
de onde concluímos que todos os estados correspondentes a n 1 estão ocupados.
2
Conseqüentemente, a configuração eletrônica 1s é chamada de camada fechada.
Uma vez que os momentos magnéticos dos dois elétrons possuem sentidos opostos,
podemos concluir que o hélio não possui momento magnético líquido e que não será
defletido pelo aparelho de Stern-Gerlach. Essa previsão, de fato, é confirmada experimentalmente.
O próximo elemento, o lítio, possui Z 3 elétrons.Os dois primeiros podem ocupar os estados 1s, com valores opostos de ms, mas e quanto ao terceiro elétron? A ca2
mada 1s está fechada, e não há estados quânticos adicionais correspondentes a n 1.
A única opção para o terceiro elétron é o próximo nível de energia, correspondente a n
2. Os estados 2s e 2p possuem a mesma energia no átomo de hidrogênio, mas não
em um átomo multieletrônico. Conforme a Figura 42.15, um estado de mais baixo valor de l possui energia menor do que um estado de alto valor de l e mesmo n. O estado
2s do lítio possui energia menor do que o estado 2p, portanto o terceiro elétron do estado fundamental do lítio ocupará o estado 2s. Isso requer que l 0 e m 0 para o
terceiro elétron, mas o valor de ms não é relevante porque há somente um elétron em
2s. A FIGURA 42.18a mostra a configuração eletrônica com o elétron 2s com spin up, mas
ele poderia muito bem estar com spin down. A configuração eletrônica do estado fun2
damental do lítio é escrita como 1s 2s. Ela indica a presença de dois elétrons 1s e de
um único elétron 2s.
A FIGURA 42.19a representa as densidades de probabilidade de elétrons no estado fun2
2
damental 1s 2s do lítio. Observe a camada 2s ao redor do caroço mais interno 1s . Para
fins de comparação, a FIGURA 42.19b mostra o primeiro estado excitado do lítio, no qual o
elétron 2s foi excitado para o nível de energia 2p. Isso gera a configuração eletrônica
2
1s 2p, também mostrada na FIGURA 42.18b.
Estado fundamental do He
As linhas
horizontais
representam as
energias permitidas.
Cada círculo
representa um
elétron naquele
nível de energia.
Estado excitado do He
A flecha indica se o
elétron possui spin
up
ou spin
down
FIGURA 42.17 O estado fundamental e o
primeiro estado excitado do hélio.
Estado fundamental do Li
Estado excitado do Li
FIGURA 42.18 O estado fundamental e o
primeiro estado excitado do lítio.
Estado fundamental
do Li 1s22s
Estado excitado
do Li 1s22p
Caroço central formado por dois elétrons 1s
FIGURA 42.19 Nuvens eletrônicas
correspondentes às configurações
eletrônicas 1s22s e 1s22p do lítio.
1312
Física: Uma Abordagem Estratégica
A equação de Schrödinger prediz de forma precisa as energias das configurações1s22s
2
e 1s 2p do lítio, mas não fornece informação sobre quais estados os elétrons ocupam de
fato. O spin do elétron e o princípio da exclusão de Pauli são as peças finais do quebracabeça. Incorporados à teoria de Schrödinger, a fase inicial da mecânica quântica estava
completa. Os físicos finalmente possuíam uma teoria bem-sucedida sobre a estrutura
atômica.
42.5 A tabela periódica dos elementos
Durante o século XIX, cientistas descobriam novos elementos e estudavam suas propriedades químicas. Na década de 1860, muitos químicos começaram a perceber uma
regularidade recorrente nas propriedades químicas dos elementos. Por exemplo, existem
semelhanças óbvias entre os metais alcalinos lítio, sódio, potássio e césio. Contudo,
tentativas de organização com base nessa regularidade eram frustradas pelo número de
elementos que ainda não haviam sido descobertos.
O químico russo Dimitri Mendeléev foi o primeiro a propor, em 1867, uma organização periódica dos elementos. Ele o fez apontando para “vazios” onde existiriam,
de acordo com sua hipótese, elementos ainda por serem descobertos. Ele pôde, assim,
prever as propriedades esperadas dos elementos que ainda seriam descobertos. A subseqüente descoberta desses elementos validou o esquema organizacional de Mendeléev,
esquema que mais tarde tornou-se conhecido como a tabela periódica dos elementos.
A FIGURA 42.20 representa a tabela periódica moderna. Uma versão maior encontrase no Apêndice B. A importância da tabela periódica em física advém da indicação que
ela traz de uma regularidade ou periodicidade intrínseco à estrutura dos átomos. Qualquer teoria atômica bem-sucedida deve explicar a regularidade encontrada na tabela
periódica.
Período
Elementos de transição
Lantanídeos
Actinídeos
Elementos de transição interna
FIGURA 42.20 A moderna tabela periódica dos elementos, mostrando o número atômico Z de cada um deles.
CAPÍTULO 42
■
Física Atômica
1313
As primeiras duas linhas
A mecânica quântica explica a estrutura da tabela periódica. Precisamos de três idéias
básicas para sua compreensão:
1. Os níveis de energia de um átomo são determinados resolvendo-se a equação de
Schrödinger para átomos multieletrônicos. A Figura 42.15, muito importante para
se compreender a tabela periódica, mostrou que a energia depende dos números
quânticos n e l.
2. Para cada valor l do número quântico orbital, existem 2l1 valores possíveis do
número quântico magnético m, e para cada um desses, dois estados possíveis do
número quântico de spin ms. Portanto, cada nível de energia na Figura 42.15 representa 2(2l 1) estados diferentes. Cada um deles possui a mesma energia.
3. O estado fundamental de um átomo é sua configuração eletrônica de mais baixa
energia, consistente com o princípio da exclusão de Pauli.
Usamos as idéias na seção anterior para tratar os elementos hélio (Z 2) e lítio (Z 3). O berílio, com quatro elétrons, é o nosso próximo alvo. Seus dois primeiros elétrons
ocupam os estados 1s, formando uma camada fechada, e o terceiro ocupa o 2s. Há espaço no 2s para um quarto elétron desde de que seu spin seja oposto ao do primeiro elétron
2s. Portanto o terceiro e o quarto elétrons ocupam os estados (2, 0, 0, 1/2) e (2, 0, 0,
1/2). Existem apenas dois estados 2s possíveis. Todos os estados com os mesmos valores de n e l são denominados subcamadas; logo, o quarto elétron completa a subcamada 2s. (Diz-se que os dois elétrons externos compõem uma subcamada, pois eles preenchem apenas os estados 2s. Ainda há lugar para os elétrons 2p.) O estado fundamental do
2 2
berílio, mostrado na FIGURA 42.21, é dado por 1s 2s .
Os princípios podem ser aplicados para os outros elementos. Existem 2l 1 valores
Isso corresponde
de m associados a cada valor de l, e cada um desses pode ter
a 2(2l 1) estados quânticos distintos para cada subcamada nl. A Tabela 42.2 lista o
número de estados em cada subcamada.
O boro (1s22s22p) inaugura a subcamada 2p. Os estados 2p que ainda permanecem vagos são preenchidos à medida que avançamos pela segunda linha da tabela
periódica. Os elementos da segunda linha são mostrados na FIGURA 42.22. No caso do
2
2
6
neônio (1s 2s 2p ), que possui seis elétrons 2p, a camada n 2 está completa, outro
caso de camada fechada. A segunda linha da tabela periódica possui oito elementos,
pois os dois elétrons 2s mais os seis elétrons 2p são necessários para preencher a
camada n 2.
FIGURA 42.22 Preenchendo a subcamada 2p com elementos que vão do boro ao neônio.
Elementos com Z > 10
A terceira linha da tabela periódica é similar à segunda. Os dois estados 3s são sucessivamente preenchidos no sódio e no magnésio. As duas colunas à esquerda da tabela
periódica representam os dois elétrons que podem preencher uma subcamada s. A seguir,
os seis estados 3p são preenchidos, um a um, desde o alumínio até o argônio. As seis
colunas da direita representam os seis elétrons da subcamada p. O argônio (Z 18,
2 2
6 2
6
1s 2s 2p 3s 3p ) é outro gás inerte, embora isso surpreenda, uma vez que a subcamada
3d ainda está aberta.
Estado fundamental do Be
FIGURA 42.21 O estado fundamental do
berílio.
TABELA 42.2 Número de estados em cada
subcamada de um átomo
Subcamada
l
Número de estados
s
p
d
0
1
2
2
6
10
f
3
14
1314
Física: Uma Abordagem Estratégica
A quarta linha marca o início da complicação na tabela periódica. Você poderia esperar que o fechamento da subcamada 3p no argônio fosse seguida pelo preenchimento
sucessivo da subcamada 3d, iniciando pelo potássio (Z 19). Porém, se você observar a
Figura 42.15, onde as energias dos diferentes estados nl são mostradas, verá que o estado
3d possui energia ligeiramente superior à do estado 4s. Como o estado fundamental é
o estado de menor energia consistente com o princípio da exclusão de Pauli, o potássio preenche o estado 4s antes de preencher o 3d. Portanto, a configuração do estado
2 2
6 2
6
2 2
6 2
6
fundamental do potássio é 1s 2s 2p 3s 3p 4s em vez da configuração 1s 2s 2p 3s 3p 3d
esperada.
Podemos notar o inicio da competição entre o aumento de n e o decréscimo de l.
As características fortemente elípticas da órbita associada ao estado 4s levam-na tão
próxima ao núcleo que sua energia se torna menor que a do estado 3d, de órbita mais
circular. O estado 4p, contudo, inverte essa tendência e faz retornar o padrão “esperado”.
Encontramos, portanto
E4s E3d E4p
de modo que os estados para os elementos da quarta fila são preenchidos nessa ordem:
4s, 3d e, finalmente, 4p.
Como não havia qualquer estado d anteriormente, a subcamada 3d “quebra” a tabela
periódica para formar um grupo de elementos de transição com 10 elementos de largura. A maioria dos metais é composta por elementos de transição, e suas propriedades
metálicas são determinadas pela subcamada d parcialmente preenchida. A subcamada
3d fecha com o zinco, Z 30; os próximos seis elementos preenchem a subcamada 4p
sucessivamente até chegarmos ao criptônio, com Z 36.
A complexidade aumenta a partir da sexta fila, mas as idéias envolvidas são semelhantes. A subcamada l 3 (elétrons f) torna-se viável quando n 4, mas os estados 5s,
5p e 6s ainda possuem energia menor que o 4f. Não é energeticamente favorável adicionar um elétron 4f antes do bário (Z 56), que fecha a subcamada 6s [e do lantânio (Z
57) que adiciona um elétron 5f]. Imediatamente após o lantânio, você deve descer na
tabela para chegar aos lantanídeos, que preenchem os estados 4f.
A subcamada 4f torna-se completa com o lutécio (Z 71). Do háfnio, Z 72, até
o mercúrio, Z 80, completa-se a subcamada 5d dos elementos de transição; segue-se
a isso o preenchimento da subcamada 6p pelos seis últimos elementos da sexta fila, do
tálio ao radônio. O radônio, o último gás inerte, tem Z 86 elétrons e configuração eletrônica do estado fundamental dada por
2
2
6
2
6
2
10
6
2
10
6
2
14
10
6
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p
Essa expressão assusta, mas já pode ser compreendida!
EXEMPLO 42.4 O estado fundamental do arsênio
Preveja a configuração eletrônica do estado fundamental do arsênio.
RESOLUÇÃO A tabela periódica mostra que o arsênio possui Z 33, portanto precisamos identificar os estados dos 33 elétrons. O arsênio está na quarta fila, após o primeiro grupo de
elementos de transição. Primeiramente, o argônio (Z 18) completa a subcamada 3p; depois,
o cálcio (Z 20) completa a subcamada 4s. Os próximos 10 elementos, até o zinco (Z 30),
completam a subcamada 3d. A subcamada 4p começa a ser preenchida com o gálio (Z 31);
o arsênio é o terceiro elemento dessa seqüência, portanto terá três elétrons 4p. Com isso, a
configuração eletrônica do arsênio resulta em
2
2
6
2
6
2
10
3
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p
A tabela periódica inteira é bem-explicada pela mecânica quântica. A FIGURA 42.23
resume os resultados, mostrando as subcamadas à medida que são preenchidas. É importante notar a significância do spin do elétron. Embora a introdução do spin e do
momento magnético do elétron tenha parecido uma manobra obscura e desnecessária,
descobrimos que o número quântico magnético de spin, ms, é absolutamente essencial
para a compreensão da tabela periódica.
CAPÍTULO 42
FIGURA 42.23 Resumo da ordem na qual as subcamadas são preenchidas na tabela periódica.
Energias de ionização
A energia de ionização é a menor energia necessária para remover um elétron do estado
fundamental de um átomo, gerando um íon positivo. A energia de ionização do hidrogênio é de 13,60 eV porque sua energia do estado fundamental é E1 –13,60 eV. A FIGURA
42.24 mostra as energias de ionização dos primeiros 60 elementos da tabela periódica.
Energia de ionização (eV)
FIGURA 42.24 Energias de ionização dos elementos até Z 60.
A energia de ionização é diferente para cada elemento, mas existe um padrão claro
em seus valores. As energias de ionização são de 艐5 eV para os metais alcalinos, na
parte esquerda da tabela periódica, e aumentam gradualmente até 15 eV para os gases
inertes, antes de voltar bruscamente aos 艐5 eV. A teoria quântica consegue explicar esse
padrão na energia de ionização?
Sim, consegue. Os gases inertes (hélio, neônio, argônio,...) na coluna mais à direita
da tabela periódica possuem camadas fechadas. Uma camada fechada é uma estrutura
muito estável, razão pela qual esses elementos são quimicamente não-reativos (ou seja,
inertes). Precisamos de uma grande quantidade de energia para remover um elétron de
uma camada fechada; portanto os gases inertes possuem as energias de ionização mais
altas.
Os metais alcalinos, na coluna mais à esquerda da tabela periódica, possuem um
único elétron s fora de uma camada fechada. Esse elétron é facilmente removido, o que
torna esses elementos altamente reativos e com baixas energias de ionização. Entre os
2 2
extremos da tabela periódica localizam-se elementos como o berílio (1s 2s ), com uma
subcamada 2s fechada. Você pode notar, da Figura 42.24, que devido à subcamada fechada, o berílio possui energia de ionização mais alta que aquela de seus vizinhos, o lítio
2
2
2
(1s 2s) e o boro (1s 2s 2p). Porém, a subcamada fechada não é tão fortemente ligada
quanto uma camada fechada, portanto a energia de ionização do berílio ainda é muito
menor que aquela do hélio ou do neônio.
■
Física Atômica
1315
1316
Física: Uma Abordagem Estratégica
Em suma, você pode notar que as idéias básicas de camada e subcamada, que se originam a partir dos níveis de energia da equação de Schrödinger e do princípio da exclusão de Pauli, fornecem uma boa compreensão das características associadas às energias
de ionização dos elementos.
A configuração eletrônica 1s22s22p43s corresponde a um estado fundamental ou a um estado excitado?
PARE E PENSE 42.4
a. Estado fundamental
b. Estado excitado
c. Impossível responder sem saber de qual elemento se trata.
42.6 Estados excitados e espectros
Os pontos de luz são emitidos por dois
átomos de berílio confinados em um
dispositivo denominado armadilha de íons.
Cada íon, excitado por radiação ultravioleta
invisível, emite cerca de 106 fótons de luz
visível por segundo.
18.2
Energia (eV)
Limite de ionização 5,14 eV
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Primeiro estado
excitado
As energias para cada
nível estão em eV.
,
Estado fundamental
com E ⫽ 0
Níveis 1s, 2s e 2p preenchidos
FIGURA 42.25 O estado fundamental
[Ne]3s do átomo de sódio e alguns
estados excitados.
A tabela periódica organiza as informações sobre os estados fundamentais dos elementos. Esses estados são os mais importantes quimicamente porque a maioria dos átomos
passa a maior parte do tempo no estado fundamental. Idéias como as de valência, ligação, reatividade, entre outras, são conseqüências das estruturas atômicas em seus estados
fundamentais. A tabela periódica, porém, nada indica sobre os estados excitados dos
átomos. Os estados excitados constituem a peça crucial na compreensão dos espectros
atômicos, tópico que abordaremos as seguir.
O sódio (Z 11) é o átomo multieletrônico que utilizaremos como modelo. Sua
2 2
6
configuração eletrônica no estado fundamental é dada por 1s 2s 2p 3s. Os primeiros 10
elétrons preenchem completamente as camadas n 1 e n 2, criando com isso um “caroço” semelhante ao neônio, enquanto o elétron 3s é um elétron de valência. Costuma-se
representar essa configuração como [Ne]3s, ou, de forma ainda mais simples, 3s.
Os estados excitados do sódio são produzidos elevando-se o elétron de valência a
níveis de energias mais altas. Os elétrons do caroço de neônio não são afetados. Dessa
maneira, os estados excitados podem ser denotados por [Ne]nl, ou simplesmente, nl.
A Figura 42.25 mostra, em um diagrama de níveis de energia, o estado fundamental e
alguns estados excitados do sódio. Note que os estados 1s, 2s e 2p do caroço de neônio
não estão ilustrados no diagrama. Esses estados estão preenchidos e não se modificam,
de modo que apenas os estados acessíveis ao elétron de valência estão representados.
A FIGURA 42.25 traz uma novidade: o zero de energia foi alterado para o estado fundamental. Conforme salientamos inúmeras vezes, o zero de energia pode ser escolhido
onde for mais conveniente em cada situação. Quando resolvemos a equação de Schrödinger, foi mais conveniente associar o zero de energia à energia de um elétron infinitamente distante. Na análise dos espectros, contudo, é mais conveniente associar o estado fundamental a E 0. Com essa escolha, as energias dos estados excitados indicam o
quanto suas energias estão acima da energia do estado fundamental. O limite de ionização ocorre quando atingimos a energia de ionização do átomo, que, no caso do sódio,
equivale a 5,14 eV.
O primeiro nível de energia acima de 3s é 3p, portanto o primeiro estado excitado
2
2
6
do sódio é escrito como1s 2s 2p 3p ou [Ne]3p ou, mais simplesmente, 3p. O elétron
de valência é excitado, enquanto os do caroço não são afetados. Seguem-se, em ordem
crescente de energia, os estados [Ne]4s, [Ne]3d, e [Ne]4p. Note que a ordem dos estados
excitados (3p 4s 3d 4p) é exatamente aquela que explica a quarta linha da tabela
periódica.
Outros átomos com um único elétron de valência possuem diagramas de energia
similares ao do sódio. A situação se complica quando existe mais de um elétron de valência, estudo que deixamos para cursos mais avançados. O que devemos lembrar é que
a mecânica quântica fornece o arcabouço para a classificação e compreensão das muitas
interações que ocorrem nos átomos. Você pode utilizar a informação mostrada em um
diagrama de níveis sem ter de entender precisamente por que cada nível possui determinada energia.
Excitação por absorção
Deixado por conta própria, um átomo permanecerá em seu estado de energia mais baixa.
Como, então, ele pode atingir um estado excitado? Tal processo é denominado exci-
CAPÍTULO 42
■
Física Atômica
1317
tação, e ocorre através de dois mecanismos básicos: absorção e colisão. Iniciaremos
estudando a excitação por absorção.
Um dos postulados básicos do modelo simplificado de Bohr é o de que um átomo
pode saltar de um estado estacionário, de energia E1, para outro, de energia E2, pela absorção de um fóton de freqüência
(42.15)
Como estamos interessados em espectros atômicos, é mais útil escrever a Equação 42.15
em função do comprimento de onda:
(42.16)
A expressão final, em que aparece o valor hc 1240 eV nm, fornece os comprimentos de onda em nanômetros se Eátomo for dado em elétron-volts.
Os saltos quânticos postulados por Bohr permanecem como parte integral de nossas
interpretações de resultados com a mecânica quântica. Ao absorver um fóton, um átomo
salta de seu estado fundamental para um estado excitado. Contudo, uma análise cuidadosa de como os elétrons de um átomo interagem com uma onda luminosa mostra que nem
todas as transições imagináveis podem ocorrer. As transições permitidas são aquelas
que satisfazem a uma ou mais regras de seleção.
A única regra de seleção que nos interessará aqui é a que determina que uma transição (seja ela absorção ou emissão) de um estado em que o elétron de valência possui
número quântico orbital l1 para outro, com número quântico orbital l2, somente será
permitida se
(regra de seleção para emissão ou absorção)
(42.17)
Ou seja, o número quântico orbital do elétron deve variar em apenas uma unidade. Assim, um átomo em um estado s (l 0) pode absorver um fóton e ser excitado para um
estado p (l 1), mas não para outro estado s ou para um estado d. Um átomo em um
estado p (l 1) pode emitir um fóton ao baixar para um estado s de mais baixa energia
ou para um estado d de mais baixa energia, mas não para outro estado p.
EXEMPLO 42.5 Absorção pelo hidrogênio
O comprimento de onda da transição é
Qual é o maior comprimento de onda do espectro de absorção do
hidrogênio? Qual é a transição associada?
RESOLUÇÃO O maior comprimento de onda corresponde à menor va-
riação de energia Eátomo. Como o átomo está inicialmente em seu
estado fundamental, 1s, a menor transição energética ocorre, via absorção, para o primeiro estado excitado com n 2. A variação de
energia correspondente é
Esse comprimento de onda situa-se no ultravioleta. Por causa da regra
e não,
de seleção, a transição é
Eátomo
EXEMPLO 42.6 Absorção pelo sódio
O comprimento de onda correspondente é
Qual é o maior comprimento de onda do espectro de absorção do
sódio? Qual é a transição associada?
RESOLUÇÃO O estado fundamental do sódio é [Ne]3s. O estado excita-
é permitida ( l 1); logo,
do mais baixo é o 3p. A transição
ela corresponderá ao maior comprimento de onda. Você pode notar na
Figura 42.25 que, para essa transição, Eátomo 2,104 eV.
AVALIAÇÃO Esse comprimento de onda (cor amarela) é uma caracte-
rística evidente no espectro do sódio. Como o estado fundamental
corresponde a l 0, a absorção deve ser para um estado p. Os estados
s e d do sódio não podem ser excitados por absorção.
1318
Física: Uma Abordagem Estratégica
Excitação por colisão
6
Um elétron que se move a 1,0 10 m/s possui energia cinética de 2,85 eV. Se ele colidir com um átomo de sódio no estado fundamental, parte da energia do elétron pode ser
usada para excitar o átomo para seu estado 3p. Esse processo é denominado excitação
por colisão de um átomo.
A excitação por colisão difere da excitação por absorção em um aspecto fundamental. Na absorção, o fóton desaparece. Conseqüentemente, toda a energia do fóton deve
ser transferida para o átomo. A conservação da energia requer que Efóton Eátomo. Em
vez disso, um elétron ainda está presente após a excitação por colisão, e pode levar
consigo parte de sua energia cinética inicial, ou seja, o elétron não tem de transferir
toda sua energia para o átomo. Se o elétron possui uma energia cinética de incidência
igual a 2,85 eV, ele pode transferir apenas 2,10 eV para o átomo de sódio, excitando-o
5
para o estado 3p, e sair da colisão com uma velocidade de 5,1 10 m/s e uma energia
de 0,75 eV.
Para excitar um átomo, basta que a energia incidente do elétron (ou de qualquer outra
partícula) exceda Eátomo, ou seja, Epartícula Eátomo. Existe um limite inferior de energia
para excitar o átomo, mas não há um limite superior para isso. É tudo uma questão de
conservação de energia. A FIGURA 42.26 ilustra essa idéia.
A excitação por colisão com elétrons é o método de excitação predominante nas
descargas elétricas em lâmpadas fluorescentes, iluminação pública e letreiros de neônio.
Um gás é colocado em um tubo, com pressão reduzida (艐1 mm Hg), e uma voltagem
alta (艐1000 V) é aplicada aos extremos do tubo a fim de ionizar o gás, gerando uma corrente em que ambos, íons e elétrons, são os portadores de carga. O livre caminho médio
dos elétrons entre colisões é suficientemente grande para que eles adquiram vários eV
de energia cinética ao acelerarem no campo elétrico. A energia é transferida aos átomos
do gás nas colisões. O processo não ocorre à pressão atmosférica, pois o livre caminho
médio entre colisões é muito curto para que os elétrons adquiram energia suficiente para
excitar os átomos do gás.
O fóton desaparece. A conservação
da energia exige que Efóton E2 – E1.
Fóton
Absorção
Partícula
Excitação
por colisão
A partícula leva consigo parte da energia
original. A conservação da energia exige
que Epartícula E2 – E1.
FIGURA 42.26 Excitação por absorção de
um fóton e por colisão com um elétron.
NOTA Diferentemente da absorção de fótons, não existem regras de seleção para a
excitação por colisão. O átomo poderá ser excitado para qualquer estado desde que a
partícula incidente possua energia suficiente. EXEMPLO 42.7 Excitação do hidrogênio
6
Um elétron que se move a 2,0 10 m/s pode provocar a emissão da
linha vermelha ( 656 nm) tão evidente da série de Balmer?
MODELO O elétron deve ter energia suficiente para excitar o estado de
rie de Balmer é emitida no salto quântico de n 3 para n 2, correspondente a Eátomo 1,89 eV. A fim de gerar essa emissão, o elétron
deve excitar um átomo de seu estado fundamental, correspondente a n
1, para o nível n 3. A energia de excitação necessária é
mais alta energia correspondente à transição.
RESOLUÇÃO A energia do elétron é
Ela é significativamente maior do que 1,89 eV, a energia de um fóton de comprimento de onda igual a 656 nm. Porém não devemos confundir a
energia do fóton com a energia de excitação. A linha vermelha da sé-
O elétron não possui energia suficiente para excitar o átomo até o
estado a partir do qual a emissão ocorreria.
Espectros de emissão
A absorção de luz é um processo importante, mas é a sua emissão que mais nos
chama a atenção. A maioria das informações sensoriais que percebemos ocorre através da luz. A apreciação da luz e das cores embasou a arte e a estética desde a préhistória. Com a exceção pequena dos raios cósmicos, toda a nossa compreensão do
cosmos deriva de processos envolvendo a emissão de luz visível e de outras radiações
eletromagnéticas.
A descoberta dos espectros de emissão discretos ajudou na queda da física clássica,
e sua compreensão tornou-se um dos maiores triunfos da mecânica quântica. Os espectros de emissão são mais do que curiosidades científicas. Atualmente, muitas fontes
CAPÍTULO 42
artificiais de luz, desde lâmpadas fluorescentes até LEDs e lasers, são aplicações dos
espectros de emissão.
A compreensão da emissão se baseia nas três idéias ilustradas na FIGURA 42.27. Uma
vez determinados os níveis de energia de um átomo, através da solução da equação de
Schrödinger, podemos imediatamente prever seu espectro de emissão. De outro modo,
podemos usar as medições do espectro de emissão para determinar os níveis de energia
de um átomo.
A FIGURA 42.28a mostra algumas das transições e dos comprimentos de onda observados no espectro de emissão do sódio. Esse diagrama ressalta que cada comprimento de
onda corresponde a um salto quântico entre dois níveis de energia bem-definidos. Note
é obedecida pelo espectro do sódio. De um nível 5p pode
que a regra de seleção
haver saltos quânticos para os níveis 3s, 4s ou 3d, mas não, para 3p ou 4p.
A FIGURA 42.28b mostra o espectro de emissão do sódio registrado por um espectrômetro. (Muitas das linhas vistas nesse espectro têm origem em estados mais excitados,
que não são vistos no diagrama mais limitado da Figura 42.28a.) Comparando o espectro
ao diagrama de níveis de energia, você pode identificar que as linhas espectrais em 589
nm, 330 nm, 286 nm, e 268 nm formam uma série de linhas oriundas de todas as possíveis transições np → 3s. Elas formam a característica do espectro do sódio.
A característica visual mais óbvia na emissão do sódio é sua luz amarela viva, produzida pela emissão em 589 nm. Em química, essa é a base para o teste da chama, utilizado
para acusar a presença de sódio: uma amostra é colocada na chama de um bico de Bunsen;
a presença de um brilho amarelo vivo indica a existência do elemento. A emissão em 589
nm também aparece no brilho amarelo-rosado das lâmpadas de vapor de sódio responsáveis
pela iluminação de ruas. Essas lâmpadas operam através de uma descarga elétrica no vapor
de sódio. A maioria das lâmpadas de vapor de sódio opera a pressões altas para gerar mais
luz. A alta pressão, porém, gera moléculas de Na2, que emitem a porção rosada da luz.
Algumas cidades próximas de observatórios astronômicos usam lâmpadas de sódio
a baixas pressões, que emitem uma luz característica em 589 nm. O brilho das cidades
é um grande problema para os astrônomos, mas o padrão característico de 589 nm pode
ser facilmente removido por meio de um filtro de sódio. A luz que entra pelo telescópio
passa por um recipiente que contém vapor de sódio, e os átomos deste elemento absorvem a linha indesejada de 589 nm, deixando intactos os outros comprimentos de onda!
Contudo, esse belo truque não funciona para os outros comprimentos de onda emitidos
por lâmpadas de sódio a alta pressão e por outras fontes de luz.
■
Física Atômica
1319
O átomo é excitado do
estado fundamental para um
estado excitado, seja por
absorção ou por colisão.
O átomo possui níveis
de energia discretos
O átomo excitado
emite um fóton
durante um salto
quântico para um
nível mais baixo.
Mais de uma
transição pode ser
possível.
Estado fundamental
FIGURA 42.27 Produção de um espectro de
emissão.
Energia (eV)
Comprimentos
de onda em nm
A cor dos sólidos
Vale a pena concluir essa seção com algumas observações a respeito da cor apresentada
pelos sólidos. Do colorido multivariado dos vitrais às cores vivas das plantas e obras de
arte ou à profunda luminescência dos rubis, a maioria das cores que percebemos diariamente têm origem em sólidos, e não, em átomos livres. Os princípios são os mesmos,
mas, no caso dos sólidos, os detalhes são diferentes.
Um átomo excitado em um gás pouco pode fazer além de liberar sua energia através
da emissão de um fóton. A única outra opção, rara no caso de átomos de gases, é colidir
com outro átomo e transformar sua energia em energia cinética de recuo. Em sólidos,
porém, cada átomo está constantemente em contato íntimo com seus vizinhos. Embora
um átomo excitado pertencente a um sólido possa emitir um fóton, é mais provável que
sua energia seja liberada por meio de interações com os átomos vizinhos, na forma de
energia térmica do sólido. Um processo no qual o átomo relaxa sem emitir radiação é
denominado transição não-radiativa.
É o que acontece com os pigmentos, como os contidos em pinturas, plantas e tintas.
As moléculas do pigmento absorvem apenas determinados comprimentos de onda da luz.
A estrutura de níveis de uma molécula é complexa, e a absorção envolve “bandas” de
comprimento de onda, e não, linhas espectrais discretas. Em vez de re-irradiar a energia
pela emissão de um fóton, o que faria um átomo livre, a molécula do pigmento sofre uma
transição não-radiativa e converte sua energia em aumento de energia térmica. Eis por que,
sob o Sol, os objetos mais escuros se tornam mais quentes do que os objetos mais claros.
FIGURA 42.28 Espectro de emissão do
sódio.
1320
Física: Uma Abordagem Estratégica
As cores de um vitral se devem à absorção
seletiva da luz.
Muitos níveis
excitados
Transição
não-radiativa
Absorção em
600nm
Emissão em
690 nm
Estado fundamental dos átomos de
cromo
FIGURA 42.29 Absorção e emissão em um
cristal de rubi.
Quando a luz atinge um objeto, ela pode ser absorvida ou refletida por ele. Se todos
os comprimentos de onda forem refletidos, o objeto é percebido como branco. Qualquer
comprimento de onda absorvido pelo pigmento é removido da luz refletida. Um pigmento com propriedades de absorver o azul converte a energia de fótons com comprimentos
de onda azul em energia térmica, enquanto fótons com outros comprimentos de onda são
refletidos sem modificação. Um pigmento que absorva no azul refletirá o vermelho e o
amarelo, gerando a percepção de que o objeto é de cor laranja!
Alguns sólidos, porém, são um pouco diferentes. A cor de muitos minerais e cristais
se deve a átomos de impurezas. Por exemplo, a pedra preciosa rubi é um cristal de óxido
de alumínio simples e comum, chamado corindo (ou coríndon), mas que possui átomos
de cromo na concentração aproximada de uma parte em mil. O corindo puro é transparente, portanto a cor de um rubi advém de suas impurezas, os átomos de cromo.
A FIGURA 42.29 ilustra o que acontece quando um rubi é iluminado por luz branca. Os
átomos de cromo possuem um grupo de estados excitados que absorvem todos os comprimentos de onda inferiores a 600 nm – ou seja, toda luz, exceto laranja e vermelho.
Diferentemente dos pigmentos de um vidro vermelho, que convertem toda a energia
absorvida em energia térmica, os átomos de cromo dissipam apenas uma pequena fração
como calor ao sofrerem uma transição não-radiativa para outro estado excitado. Desse
(vermelho escuúltimo estado, eles emitem um fóton com
ro) quando retornam ao estado fundamental.
O efeito líquido é que fótons com comprimentos de onda curtos, em vez de serem
completamente absorvidos, são re-irradiados como fótons de comprimentos de onda
mais longos. Essa é a razão pela qual os rubis brilham em cores tão intensas, enquanto
o vidro vermelho emite uma cor vermelha sem grande atrativo. As cores dos outros minerais e pedras preciosas se devem a átomos de impurezas diferentes, mas o princípio é
o mesmo.
PARE E PENSE 42.5 Tomando por base o átomo hipotético da figura, qual é a energia Efóton do fóton de
maior comprimento de onda emitido por átomos no
estado 5p?
Energia (eV)
a. 1,0 eV
b. 2,0 eV
c. 3,0 eV
d. 4,0 eV
42.7 Tempos de vida média de estados
excitados
A excitação de um átomo, por absorção ou colisão, o deixa em um estado excitado. Desse estado ele salta novamente para um nível de energia mais baixa pela emissão de um
fóton. Quanto dura este processo? De fato, há duas questões presentes aqui. Primeiro,
por quanto tempo um átomo permanece no estado excitado, antes de sofrer um salto
quântico para um estado de energia inferior? Segundo, quanto dura a transição durante
o salto quântico?
Nossa melhor compreensão da física quântica dos átomos diz que os saltos quânticos
são instantâneos. A emissão ou absorção de um fóton é um evento do tipo tudo ou nada,
de forma que não há um momento em que o fóton foi “emitido pela metade”. A afirmação de que os saltos quânticos são instantâneos tem perturbado muitos físicos, mas testes
cuidadosos nunca revelaram qualquer evidência de que os saltos ocorressem durante
algum intervalo de tempo mensurável.
CAPÍTULO 42
Com relação ao tempo gasto em um estado excitado aguardando o salto quântico, a
situação é diferente. A FIGURA 42.30 apresenta os intervalos de tempo em que átomos de
xenônio duplamente ionizados, Xe , permanecem em um dado estado excitado. Nesse
experimento, um pulso de elétrons foi utilizado para excitar os átomos. O número de
átomos no estado excitado foi monitorado pela detecção – um a um! – dos fótons emitidos à medida que os átomos excitados saltavam de volta para o estado fundamental. O
número de fótons emitidos em um tempo t é diretamente proporcional ao número de
átomos no estado excitado que existe naquele instante. Conforme indica a figura, o número de átomos no estado excitado decresce exponencialmente com o tempo, tendo
praticamente todos decaído após 25 ms de sua criação.
A Figura 42.30 tem duas implicações importantes. Primeiro, os átomos ficam algum
tempo no estado excitado antes de sofrer em um salto quântico que os leve a um estado de
menor energia. Segundo, o intervalo de tempo em que permanecem em um estado excitado
não é constante, mas varia de átomo para átomo. Se cada íon excitado de xenônio ficasse
por 5 ms no estado excitado, não detectaríamos fótons nos primeiros 5 ms, veríamos um
pico ao final dos 5 ms, quando todos decairiam e, finalmente, nenhum fóton após esse tempo. Diferentemente, os dados mostram que existe uma gama de tempos de permanência no
estado excitado. Alguns sofrem o salto quântico e emitem um fóton após 1 ms, outros após
5 ms ou 10 ms e uns poucos esperam mais de 20 ou 25 ms antes de sofrer a transição.
Considere um experimento no qual N0 átomos excitados são criados no instante t 0. Conforme mostra a curva na Figura 42.30, o número de átomos excitados sobreviventes no instante t é bem-descrito pela função exponencial
■
Física Atômica
1321
Número de fótons
(milhares)
A linha continua é
um “ajuste” dos
dados do tipo
relaxação
exponencial.
FIGURA 42.30 Dados experimentais da
taxa de emissão de fótons a partir de um
estado excitado do Xe.
(42.18)
dos átomos originais continuam no
onde é o instante em que
estado excitado. Portanto, 63,2% dos átomos, quase dois terços deles, já emitiram um
. O intervafóton e saltaram para um estado de energia mais baixa antes do instante
lo de tempo é denominado tempo de vida média do estado excitado. Da Figura 42.30
concluímos que o tempo de vida desse estado do Xe é 艐4 ms, pois esse é o instante no
qual a curva já decaiu para 36,8% de seu valor inicial.
O tempo de vida média do Xe é anormalmente longo, razão por que o estado foi
estudado. Os tempos de vida média de estados excitados são, tipicamente, da ordem de
alguns nanosegundos. A Tabela 42.3 traz valores medidos dos tempos de vida média de
alguns estados excitados. Qualquer que seja o valor de , o número de átomos no estado
excitado diminui exponencialmente. Por quê?
A equação de relaxação
A mecânica quântica trata de probabilidades. Não podemos dizer exatamente onde um
elétron está localizado, mas podemos usar a mecânica quântica para calcular a probabilidade de que o elétron seja localizado em um pequeno intervalo x centrado na posição
x. Semelhantemente, não podemos afirmar quando um elétron excitado sofrerá um salto
quântico e emitirá um fóton. Contudo, podemos usar a mecânica quântica para determinar a probabilidade de que o elétron sofra um salto quântico durante um intervalo t que
inicia no instante t.
Vamos admitir que a probabilidade de que um átomo excitado emita um fóton durante um intervalo t seja independente de quanto ele já esperou no estado excitado. Por
exemplo, um átomo excitado recentemente pode ter 10% de probabilidade de emitir um
fóton no intervalo de 1 ns entre 0 ns e 1 ns. Se ele sobreviver até t 7 ns, consideraremos que a probabilidade de ele emitir um fóton no intervalo de 1 ns entre os instantes 7
ns e 8 ns ainda será igual a 10%.
Tal hipótese, que pode ser justificada em uma análise detalhada, é semelhante àquela
presente no lançamento de uma moeda. A probabilidade de obter cara no primeiro lançamento é de 50%. Se você lançar a moeda sete vezes seguidas e obtiver sete caras, a probabilidade de obter cara em um oitavo lançamento ainda será de 50%. É pouco provável que
você obtenha sete caras seguidas, mas tal ocorrência não tem influência sobre o oitavo
lançamento. Do mesmo modo, pode ser improvável que um átomo excitado permaneça
assim por 7 ns, mas tal ocorrência não afeta a probabilidade de emissão de um fóton no
próximo 1 ns.
Se t for pequeno, a probabilidade de emissão de um fóton durante o intervalo t
será diretamente proporcional a t, ou seja, se a probabilidade de emissão em 1 ns é de
TABELA 42.3 Alguns tempos de vida de
estados excitados
Estado
Tempo de vida
média (ns)
Hidrogênio
Sódio
Neônio
2p
3p
3p
1,6
17
20
Potássio
4p
26
Átomo
1322
Física: Uma Abordagem Estratégica
1%, será de 2% em 2 ns e de 0,5% em 0,5 ns. (Essa suposição falha se 1 for muito grande. Se a probabilidade for de 70% em 20 ns, não podemos dizer que a probabilidade será
de 140% em 40 ns, pois uma probabilidade maior do que 1 não faz sentido.) Estaremos
interessados no limite t → dt para que o conceito seja válido e possamos escrever
Prob(emissão durante t, a partir de t) r t
(42.19)
onde r é denominado taxa de relaxação, pois o número de átomos excitados decai (di–1
minui) com o tempo. Trata-se de uma probabilidade por segundo, com unidade de s ,
sendo, portanto uma taxa. Por exemplo, se um átomo tem 5% de probabilidade de emitir
um fóton em um intervalo de 2 ns, a taxa de relaxação é igual a
NOTA A Equação 42.19 é a análoga direta de Prob(encontrar em x centrado em
–1
x) P x, onde P, que possui unidade de m , é a densidade de probabilidade. Nexc átomos estão em um estado excitado.
A FIGURA 42.31 representa Nexc átomos em um estado excitado. Durante um intervalo
pequeno t, o número desses átomos que, esperamos, sofram saltos quânticos e emitam
um fóton é Nexc multiplicado pela probabilidade de relaxação, ou seja,
número de fótons em t no tempo t Nexc
Prob(emissão em t centrado em t)
rNexc t
O número de fótons emitidos
durante t é rNexct.
Cada fóton emitido representa a
perda de 1 átomo excitado. Portanto,
Nexc rNexct.
Agora, a variação em Nexc é igual ao negativo da Equação 42.20. Por exemplo, suponha
que 1.000 átomos excitados estejam presentes no instante t e que cada um deles tenha
uma probabilidade igual a 5% de emitir um fóton no próximo 1 ns. Em média, o número
de fótons emitidos durante o próximo 1 ns será igual a 1000 0,05 50. Em conseqüência, o número de átomos excitados varia em Nexc 50, onde o sinal negativo
indica diminuição.
Portanto, a variação do número de átomos no estado excitado é
Nexc (durante t a partir de t)
FIGURA 42.31 O número de átomos
que emitem fótons no intervalo t é
diretamente proporcional ao número de
átomos que estão excitados.
(42.20)
Agora considere que
Nexc
Prob(decaimento durante t a partir de t)
rNexc t
Neste caso,
(42.21)
, e a Equação 42.21 torna-se
(42.22)
A Equação 42.22 envolve uma taxa, pois descreve a taxa na qual a população de
estados excitados varia. Se r for grande, a população diminuirá a uma taxa rápida e terá
vida curta. Diferentemente, um pequeno valor de r indica que a população diminuirá
lentamente e viverá por um longo tempo.
A equação é semelhante à equação diferencial de circuitos RC, tratados no Capítulo
32. Primeiro, reescrevemos a Equação 42.22 na forma:
Depois, integramos ambos os lados desde t 0, quando a população inicial de estados
excitados é N0, até um instante qualquer t, quando a população é igual a Nexc, ou seja,
(42.23)
Ambas são integrais bem-conhecidas, resultando em
Podemos encontrar o número de átomos excitados em um instante t encontrando a exponencial de ambos os lados da equação e multiplicando o resultado por N0. Disso resulta
(42.24)
CAPÍTULO 42
■
Física Atômica
1323
Note que Nexc N0 em t 0, como esperado. A Equação 42.24, a equação de relaxação, mostra que a população de estados excitados decai exponencialmente com o
tempo, em concordância com os dados apresentados na Figura 42.30.
É mais conveniente escrever a Equação 42.24 como
(42.25)
onde
tempo de vida média do estado excitado
(42.26)
Essa é a definição de tempo de vida média que usamos na Equação 42.18 para descrever
os resultados experimentais. O tempo de vida média é o inverso da taxa de relaxação r.
EXEMPLO 42.8 O tempo de vida média de um estado
RESOLUÇÃO a. O tempo de vida média é igual a
excitado do mercúrio
O átomo de mercúrio possui dois elétrons de valência. Um deles está
sempre no estado 6s, o outro em um estado correspondente aos números quânticos n e l. Um dos estados excitados do mercúrio é designa8 –1
do como 6s6p. A taxa de relaxação desse estado é de 7,7 10 s .
a. Qual é o tempo de vida média desse estado?
10
b. Se 1,0 10 átomos de mercúrio são criados no estado 6s6p em
t 0, quantos fótons serão emitidos durante o primeiro 1,0 ns
posterior?
b. Se existem N0 1010 átomos excitados em t 0, o número remanescente deles em t 1,0 ns é
Esse resultado indica que 5,37
109 átomos sofrem um salto
quântico no primeiro 1,0 ns. Cada átomo emite um fóton, de
modo que o número de fótons emitidos durante o primeiro 1,0 ns
9
é igual a 5,37 10
As taxas de relaxação r para estados excitados podem ser calculadas através da mecânica quântica e comparadas com os tempos de vida média dos estados excitados, medidos experimentalmente. A concordância é bastante boa, fornecendo outra validação da
descrição quantomecânica dos átomos.
PARE E PENSE 42.6 No instante t 0, cria-se um número idêntico de átomos A excitados e
de átomos B excitados. A taxa de relaxação dos átomos B é o dobro daquela dos átomos
(ou seja, depois de transcorrido um tempo de vida média
A: rB 2rA. No instante
dos átomos A), a razão NB/NA entre o número de átomos B excitados e o de átomos A
excitados é
a. 2
b. 2
c. 1
d. ½
e. ½
42.8 Emissão estimulada e lasers
Aprendemos que um átomo pode saltar de um estado de energia mais baixa E1 a outro
de energia mais alta E2 pela absorção de um fóton. A FIGURA 42.32a ilustra o processo de
absorção básico, com um fóton de freqüência f Eátomo/h desaparecendo quando o átomo salta do nível 1 ao nível 2. Uma vez no nível 2, como ilustra a FIGURA 42.32b, o átomo
pode emitir um fóton com a mesma freqüência, retornando ao nível 1. Essa transição é
denominada emissão espontânea.
Em 1917, quatro anos após a proposta de Bohr dos estados atômicos estacionários,
mas antes dos trabalhos de de Broglie e de Schrödinger, Einstein estava intrigado com o
seguinte problema: como átomos quânticos atingem o equilíbrio termodinâmico em presença de radiação eletromagnética? Einstein descobriu que absorção e emissão espontânea não eram suficientes para levar um grupo de átomos ao equilíbrio termodinâmico.
18.3
1324
Física: Uma Abordagem Estratégica
Absorção
Fóton
Emissão espontânea
Fóton
Emissão estimulada
Fóton
Dois fótons
idênticos
FIGURA 42.32 Os três tipos de transições
radiativas.
Para sanar essa dificuldade, Einstein propôs um terceiro mecanismo de interação entre
os átomos e a luz.
A parte esquerda da FIGURA 42.32c representa um fóton com frequência f Eátomo/h
que se aproxima de um átomo excitado. Como um fóton pode induzir a transição de absorção 1 → 2, Einstein propôs que o mesmo fóton seria capaz de induzir a transição 2 →
1. Essa seria uma transição de absorção inversa. Para sofrer uma absorção inversa, porém, o átomo deveria emitir um fóton de freqüência f Eátomo/h. O resultado final,
ilustrado na Figura 42.32c, seria um átomo no nível 1 mais dois fótons! Uma vez que o
primeiro fóton induziu o átomo a emitir o segundo fóton, o processo é chamado de emissão estimulada.
A emissão estimulada somente ocorrerá se a frequência do primeiro fóton for exatamente igual à diferença de energia E2 – E1 do átomo. Essa é precisamente a mesma
condição a que a absorção deve satisfazer. O interessante é que o fóton emitido é idêntico ao fóton incidente. Isso significa que os dois fótons que deixam o átomo possuem
exatamente a mesma freqüência, o mesmo comprimento de onda, se deslocam no mesmo sentido e estão em fase um com o outro. Em outras palavras, a emissão estimulada
produz um segundo fóton que é um clone perfeito do primeiro.
A emissão estimulada não possui importância prática na maioria das situações. Tipicamente, os átomos permanecem apenas alguns nanosegundos em um estado excitado
antes de sofrer emissão espontânea. Seria necessário submeter o átomo a uma radiação
luminosa de intensidade muito grande para que a emissão estimulada ocorresse antes
da espontânea. A intensidade das fontes de luz normais torna a emissão estimulada um
efeito de importância menor; daí terem decorrido muitos anos antes que as previsões
de Einstein fossem confirmadas. Ninguém duvidava de Einstein, pois ele demonstrou
claramente a necessidade do efeito para que as equações de conservação de energia estivessem corretas, porém o efeito era análogo ao produzido por centavos no fechamento
do balanço de um milionário. Finalmente, em 1960, surgiu uma invenção revolucionária
que usava o efeito explicitamente: o laser.
Lasers
N2 átomos no nível 2. Fótons de energia
Efóton E2 E1 podem induzir esses
átomos a sofrerem emissão estimulada.
Nível 2
Emissão
estimulada
Absorção
Nível 1
N1 átomos no nível 1. Esses átomos podem
absorver fótons de energia Efóton E2 E1.
Níveis de energia 1 e 2 com
populações N1 e N2.
FIGURA 42.33
A palavra laser é uma sigla em inglês para luz amplificada pela emissão estimulada de
radiação (em inglês, light amplification by stimulated emission of radiation). O primeiro
laser, um laser de rubi, foi confeccionado em 1960, e muitos outros tipos apareceram
em poucos meses. O propulsor da maior parte da pesquisa inicial foi o físico norte-americano Charles Townes. Ele recebeu o prêmio Nobel em 1964 pela invenção do maser,
um dispositivo anterior que utilizava microondas, e pelo trabalho teórico que levou ao
desenvolvimento do laser.
Atualmente, lasers são utilizados como fonte de luz em comunicação via fibra ótica,
em medições de distâncias astronômicas, em reprodução de CDs e em cirurgias oftalmológicas delicadas. O que é um laser, porém? Basicamente, trata-se de um dispositivo
que produz um feixe de luz altamente coerente e praticamente monocromático (uma
cor) como resultado da emissão estimulada. Luz coerente significa luz em que todas
as ondas eletromagnéticas possuem mesma fase, mesmo sentido e mesma amplitude.
É a coerência de um feixe de laser que permite que ele seja focalizado, ou rapidamente
modulado, para uso em comunicações.
Vamos examinar rapidamente como funciona um laser. A FIGURA 42.33 representa um
sistema de átomos que possui um nível de energia menor, E1, e um maior, E2. Suponha
que existam N1 átomos no nível 1, e N2 no nível 2. Deixados por conta, todos os átomos
ocupariam o nível 1 devido à emissão espontânea 2 → 1. Para evitar essa situação, imaginemos que algum tipo de mecanismo de excitação, talvez uma descarga elétrica, produza continuamente novos átomos excitados no nível 2.
Suponha também que um fóton de freqüência f (E2 E1)/h incida sobre o grupo
de átomos. Como a freqüência está ajustada corretamente, ele pode ser absorvido por
um dos átomos no nível 1. Outra possibilidade é que ele cause a emissão estimulada de
de modo que a abum dos átomos que se encontram no nível 2. Normalmente,
sorção supera a emissão estimulada. Os poucos fótons que fossem gerados pela emissão
estimulada seriam absorvidos pelo vasto grupo de átomos no estado 1.
Se conseguíssemos, de alguma forma, excitar cada átomo para o nível 2, tornando N1
0, a situação seria diferente. Neste caso, nosso fóton incidente, ao encontrar o primei-
■
CAPÍTULO 42
Física Atômica
1325
ro átomo, produziria uma emissão estimulada. Onde havia um fóton com freqüência f,
agora existiriam dois. Estes incidiriam sobre outros átomos excitados, gerando emissão
estimulada e quatro fótons. Como ilustra a FIGURA 42.34, ocorreria uma reação em cadeia
de emissões estimuladas até que cada um dos N2 átomos previamente excitados tivessem
emitido um fóton de freqüência f.
Fóton
incidente
Produção de muitos
fótons idênticos
Charles Townes
Estágio 1
Estágio 2
Estágio 3
FIGURA 42.34 A emissão estimulada gera uma reação em cadeia de fótons emitidos a partir
de átomos excitados.
Na emissão estimulada, cada fóton emitido é idêntico ao fóton incidente. A reação
em cadeia ilustrada na Figura 42.34 gerará não apenas N2 fótons de freqüência f, mas N2
fótons idênticos, todos se propagando no mesmo sentido e com a mesma fase. Se N2 for
um número grande, como ocorre em dispositivos reais, o fóton inicial será amplificado,
dando origem a um pulso de luz coerente gigantesco! Uma coleção de átomos em um
estado excitado é denominada amplificador ótico.
Como mostra a FIGURA 42.35, a emissão estimulada é sustentada colocando-se o meio
que gera o laser – isto é, a amostra de átomos que emite a luz – em uma cavidade óptica
formada por dois espelhos posicionados face a face. Um dos espelhos transmite luz parcialmente a fim de que o feixe de laser possa emergir.
Embora a Figura 42.34 ilustre bem a reação em cadeia, não é necessário que cada átomo esteja no nível 2 para que a amplificação ocorra. Apenas necessitamos de que N2 N1
para que a emissão estimulada supere a absorção. Tal situação é denominada inversão de
população. O processo de obtenção da população invertida é conhecido por bombeamento
(pumping, em inglês) e nós o estudaremos em dois exemplos específicos. O bombeamento é
a parte tecnicamente difícil do projeto e da construção de um laser, pois os mecanismos normais de excitação não produzem inversões de população. De fato, é possível que os lasers
tivessem sido descobertos bem antes de 1960 se fosse fácil inverter populações.
O laser de rubi
O primeiro laser desenvolvido foi o de rubi. A FIGURA 42.36a ilustra a estrutura de níveis
dos átomos de cromo, responsáveis pelas propriedades ópticas do rubi. Normalmente, o
número de átomos no estado fundamental E1 supera enormemente o número de átomos
N1 Sob tais circunstancias, a luz de 690
no estado excitado de energia E2, ou seja, N2
nm é absorvida, ao invés de amplificada. Admita, porém, que possamos rapidamente
excitar mais da metade dos átomos de cromo para o nível E2. Neste caso, teremos uma
inversão de população (N2 N1) entre os níveis E1 e E2.
Podemos atingir nosso objetivo por meio do bombeamento ótico do rubi com um
pulso muito intenso de luz branca produzido por uma lâmpada de flash. A lâmpada de
flash usada é parecida com a de uma câmera fotográfica, porém bem mais intensa. No
arranjo da FIGURA 42.36b, uma lâmpada de flash com forma helicoidal circunda uma barra
de rubi que possui espelhos colados em ambas as faces extremas. A lâmpada é acionada
pela descarga de um capacitor de alta voltagem, gerando um intenso pulso de luz de
alguns microssegundos de duração. A luz intensa excita quase todos os átomos de cromo
do estado fundamental para os níveis de energia mais altos. De lá, eles rapidamente (艐
–8
10 s) decaem de modo não-radioativo para o nível 2. Uma vez que N2 N1, conseguimos uma inversão de população.
As ondas que se propagam em sentido
inverso interagem repetidamente com
os átomos, aumentando o nível de
intensidade luminosa.
Meio do laser
Refletor
Átomos excitados
total
Refletor Feixe
parcial de laser
FIGURA 42.35 Fenômeno laser ocorrendo
em uma cavidade.
A ação do laser ocorre
se N2 N1, condição
conhecida como
inversão de população.
Transição
não-radiativa
Níveis excitados
Bombeamento
óptico
Emissão laser
em 690 nm
Estado fundamental
Espelho
Barra
de rubi
Lâmpada de flash
Capacitor de armazenamento de energia
Espelho
parcial
Laser
gerado
Fonte de energia
FIGURA 42.36 Um laser de rubi alimentado
por uma lâmpada de flash.
1326
Física: Uma Abordagem Estratégica
Depois que um fóton dá início ao pulso de laser, a intensidade da luz aumenta rapidamente, gerando um pulso de luz de curta duração, mas incrivelmente intenso. Um
pulso de laser típico dura 10 ns e libera 1 J de energia. Isso corresponde a uma potência
de pico de
Cem megawatts de potência luminosa! Isso é mais do que a potencia elétrica usada
por uma pequena cidade. A diferença, obviamente, reside na duração: a cidade consome
essa potência continuamente, enquanto o pulso de laser dura apenas 10 ns. O laser não
pode ser disparado novamente até que o capacitor seja recarregado, e a barra, resfriada.
A taxa de disparo típica é de poucos pulsos por segundo, de modo que o laser “fica ligado” apenas alguns bilionésimos de segundo em cada segundo.
Os lasers de rubi foram substituídos por outros lasers pulsados que, por várias razões práticas, são mais fáceis de operar. Contudo, todos funcionam baseados na mesma
idéia básica: rápido bombeamento óptico para estados de maior energia, relaxação nãoradiativa para o nível 2, com a formação de inversão de população, e incidência de um
rápido e intenso pulso ótico.
O laser de hélio-neônio
Mistura de He/Ne
Feixe
de laser
Refletor
parcial
Refletor
total
Tubo de descarga
Eletrodo
Fonte de energia
Transferência de excitação
Inversão de
população
Excitação
eletrônica
Hélio
Emissão laser
em 632,8 nm
Emissão
espontânea
rápida
Neônio
Estado
fundamental
FIGURA 42.37 Um laser de HeNe.
O laser vermelho comumente usado em palestras, laboratórios e leitoras de código de
barras em supermercados é um laser de hélio-neônio, geralmente chamado de laser
HeNe. Sua luz, de 632,8 nm, é contínua, isto é, não-pulsada. O meio de um laser HeNe
consiste de uma mistura de dois gases, com 艐 90% hélio e 艐10% de neônio. A FIGURA
42.37a representa esquematicamente o dispositivo. Os gases são confinados em um tubo
de vidro e uma descarga elétrica é aplicada ao tubo. Dois espelhos são colados nas extremidades do tubo, sendo um deles totalmente refletor, e outro que transmite apenas 艐2%
da luz a fim de permitir a emissão do feixe de laser.
Os átomos que geram o fenômeno laser são os átomos de neônio, mas o método de
bombeamento envolve os átomos de hélio. Os elétrons da descarga elétrica excitam os
átomos de hélio, por colisões, para o estado 1s2s. Esse estado possui uma baixa taxa de
relaxação espontânea (ou seja, um elevado tempo de vida média). Portanto é possível
gerar uma grande população de átomos de hélio em estados excitados (mas não uma
inversão). A energia do estado 1s2s é de 20,6 eV.
Curiosamente, um estado excitado de neônio, o estado 5s, também possui uma energia de 20,6 eV. Se um átomo de hélio no estado excitado 1s2s colidir com um átomo
de neônio no estado fundamental, o que ocorre freqüentemente, a energia de excitação
poderá ser transferida de um átomo para o outro! Na forma de uma reação química, podemos descrever o processo como
onde o asterisco indica que o átomo encontra-se em um estado excitado. Esse processo, denominado transferência de excitação, é muito eficiente para o estado 5s, pois o
processo é ressonante – um perfeito casamento de energias. Portanto, a excitação por
colisão do hélio, em dois estágios, seguida da transferência de excitação entre o hélio
e o neônio, bombeia os átomos de neônio para o estado excitado 5s. Isso é ilustrado na
FIGURA 42.37b.
O nível de energia 5s no neônio está 艐1,95 eV acima do estado 3p. O estado 3p está
quase vazio, por não ser eficientemente populado através da descarga elétrica e porque
sofre uma rápida emissão espontânea para os estados 3s. Portanto o grande número de
átomos bombeados para o estado 5s gera uma população invertida com respeito ao estado 3p inferior. Essas são as condições necessárias para a ação do laser.
Como o estado inferior na transição laser está normalmente não-populado, basta
uma pequena fração de átomos de neônio no estado 5s para que obtenhamos uma inversão de população. Com isso, mesmo um bombeamento modesto é suficiente para gerar
a inversão e iniciar a operação do laser. Ademais, um laser HeNe pode manter a inversão
continuamente e, assim, sustentar o processo de emissão laser. A descarga elétrica gera
continuamente os átomos excitados no estado 5s via transferência de excitação, enquan-
CAPÍTULO 42
to a relaxação espontânea rápida mantém a população do nível inferior suficientemente
baixa para sustentar a inversão.
–3
Um laser de hélio-neônio típico gera uma potência de 1 mW 10 J/s em 632,8 nm
15
para um feixe de 1 mm de diâmetro. Isso corresponde à emissão de 3,2 10 fótons por
segundo. Outros lasers operam continuamente com base em princípios semelhantes, mas
geram potências mais elevadas. Um laser de argônio, largamente utilizado em pesquisa
cientifica, pode gerar até 20 W de potência em comprimentos de onda azul e verde. O
laser de dióxido de carbono produz uma potência de saída acima de 1.000 W no comprimento de onda do infravermelho igual a 10,6 m. Ele é usado em aplicações industriais
de corte e de solda.
EXEMPLO 42.9 Um laser ultravioleta
Um laser ultravioleta gera um pulso de luz de 10 MW com duração de 5,0 ns em 355 nm.
Quantos fótons são emitidos em cada pulso?
RESOLUÇÃO A energia de cada pulso de luz é a potência multiplicada pela duração:
Cada fóton do pulso possui uma energia
Como Epulso NEfóton, o número de fótons emitidos é igual a
■
Física Atômica
1327
1328
Física: Uma Abordagem Estratégica
RESUMO
O objetivo do Capítulo 42 foi compreender a estrutura e as propriedades dos átomos.
Conceitos importantes
O átomo de hidrogênio
Átomos multieletrônicos
A equação tridimensional de Schrödinger terá soluções estacionárias para a energia
potencial do átomo de hidrogênio somente se três condições forem satisfeitas:
A energia potencial é do tipo elétron-núcleo mais
elétron-elétron. Na aproximação de partícula independente, cada elétron é descrito pelos mesmos
números quânticos (n, l, m,
ms) usados para o átomo de
hidrogênio. A energia de um
estado depende de n e l. Para
cada n, a energia aumenta à
medida que l aumenta.
• Energia En – 13,60 eV/n2
n 1, 2, 3,...
• Momentum angular
• Componente z do momentum angular
Cada estado é caracterizado pelos números
quânticos (n, l, m), mas a energia depende somente de n.
A probabilidade de encontrar o elétron em um pequeno intervalo r com centro a uma distância r é
Prob(com r centrado em r) Pr(r)r
onde
babilidade radial.
• Estados com alto valor de l
correspondem a órbitas circulares e situam-se fora do
caroço central.
,
• Estados com baixo valor de
l correspondem a órbitas Órbita
Órbita de
elípticas e penetram o caro- de l alto l baixo
ço central, interagindo mais
fortemente com o núcleo. Essa interação baixa a
energia do átomo.
é a densidade de pro-
O gráfico de Pr(r) sugere que os elétrons são arranjados em camadas.
Spin do elétron
O elétron possui um momentum angular intrínseco e momento magnético
como se estivesse girando. O momentum angular de spin tem um módulo fixo
onde s ½. O componente z é
onde ms ±1/2. Esses
dois estados são chamados, respectivamente, de spin up e spin down. Cada estado atômico é caracterizado de forma completa pelos quatro números quânticos (n, l, m, ms).
O princípio de exclusão de Pauli determina que
cada estado quântico não pode ser ocupado por
mais de um elétron. A tabela periódica dos elementos é baseada no fato de que o estado fundamental
é a configuração eletrônica de mais baixa energia
compatível com o princípio de Pauli.
Aplicações
Espectros atômicos são gerados por uma excita-
ção seguida de um salto quântico com a emissão
de um fóton.
Tempos de vida média de estados excitados
A população de estados excitados diminui exponencialmente quando
• Excitação por absorção ou por colisão
• Regra de seleção para um salto quântico
Excitação
Emissão
Caroço
onde
é o tempo de vida média e r é a taxa
de relaxação. Não é possível prever quando um átomo
em particular sofrerá relaxação, mas a probabilidade
correspondente é dada por
Prob(durante t a partir de t) rt
A emissão estimulada de um estado excitado pode
ser causada por um fóton de energia Efóton E2 – E1.
O fenômeno laser pode ocorrer se N2 N1, uma condição que é denominada inversão de população.
CAPÍTULO 42
■
Física Atômica
1329
Termos e notação
número quântico principal, n
número quântico orbital, l
número quântico magnético, m
energia de ionização
nuvem eletrônica
função de onda radial, Rnl (r)
densidade de probabilidade
radial, Pr (r)
modelo de camadas
spin
número quântico de spin, ms
spin-up
spin-down
aproximação de partícula independente (IPA)
princípio de exclusão de Pauli
configuração eletrônica
camada fechada
subcamada
excitação
transição permitida
regra de seleção
excitação por colisão
transição não-radiativa
tempo de vida média, taxa de relaxação, r
emissão espontânea
emissão estimulada
laser
coerente
cavidade óptica
inversão de população
bombeamento
transferência de excitação
Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics,
acessar www.masteringphysics.com
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
Placa coletora
1. Considere os dois estados 5d e 4f do átomo de hidrogênio. Qual
deles possui maior energia? Explique
2. Qual é a diferença entre a densidade de probabilidade e a densidade de probabilidade radial?
3. Qual é a diferença entre l e L?
4. Qual é a diferença entre s e S?
5. A FIGURA Q42.5 mostra o resultado de um
experimento de Stern-Gerlach realizado
com átomos de um elemento X.
a. Os picos representam valores diferenLinha central
tes do momentum angular do átomo ou
valores diferentes do componente z de
seu momentum angular? Explique.
b. Que número quântico caracteriza o
momentum angular desses átomos?
6. Cada uma das configurações mostradas
na FIGURA Q42.6 representa uma configuNúmero de átomos
ração eletrônica possível de um elemenFIGURA Q42.5
to? Em caso afirmativo, (i) identifique o
elemento e (ii) determine se ele está no estado fundamental ou no
estado excitado. Em caso negativo, explique por que não.
7. O que é a energia de ionização de um átomo? Em outras palavras,
se você sabe quanto vale a energia de ionização de um átomo, o que
você sabe realmente acerca desse átomo?
8. A Figura 42.4 mostra que a energia de ionização do cádmio (Z 48) é maior do que a energia de ionização de seus vizinhos. Por que
isso ocorre?
9. Um tubo de descarga de neônio emite um espectro brilhante laranjaavermelhado, mas um tubo de vidro com neônio é completamente
transparente. Por que o neônio no tubo não absorve os comprimentos de onda correspondentes ao laranja e ao vermelho?
10. A função de onda 1s do átomo de hidrogênio tem um máximo em
r 0. Todavia a densidade de probabilidade radial 1s, mostrada na
Figura 42.8, possui pico em r aB e é nula em r 0. Explique esse
paradoxo.
11. Em um átomo multieletrônico, para cada valor de n (2s, 3s, 4s, etc),
o estado correspondente ao valor mais baixo de l é significativamente menos energético do que o estado do hidrogênio correspondente
ao mesmo valor de n. Porém o estado com valor de l mais alto para
cada n (2p, 3d, 4f, etc) é praticamente igual em energia ao estado do
hidrogênio com o mesmo valor de n. Explique
12. Na FIGURA Q42.12, um fóton com energia 2,0 eV incide em um
átomo no estado p. A transição que o átomo sofre é por absorção, é
estimulada ou nenhuma das duas? Explique.
,
Estado s
Estado p
,
Fóton
FIGURA Q42.6
FIGURA Q42.12
,
Estado s
1330
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
Seções 42.1–2 O átomo de hidrogênio
1. | Qual é o momentum angular de um átomo de hidrogênio (a) no
estado 4p e (b) no estado 5f? Expresse sua resposta como um múltiplo de .
2. | Liste os números quânticos, excluindo o de spin, de (a) todos os
estados 3p possíveis e (b) de todos os estados 3d possíveis.
3. | Um átomo de hidrogênio tem momentum angular orbital de 3,65
10–34 Js.
a. Qual é a letra (s, p, d ou f) que descreve esse elétron?
b. Qual é a menor energia possível para o átomo? Explique.
4. | Qual é o máximo momentum angular L possível (como um múltiplo de ) para um átomo de hidrogênio com energia de –0,544 eV?
5. | Determine E e L (como múltiplos de ) de um átomo de hidrogênio no estado 6f.
Seção 42.3 O spin do elétron
6. || Quando todos os números quânticos são levados em conta, quantos estados quânticos diferentes existem para um átomo de hidrogênio com n 1? Com n 2? Com n 3? Liste os números
quânticos correspondentes a cada estado.
7. | Quantas linhas de átomos você esperaria encontrar na placa coletora de um aparelho de Stern-Gerlach se o experimento fosse realizado com (a) lítio e com (b) berílio? Explique.
Seção 42.4 Átomos multieletrônicos
Seção 42.5 A tabela periódica dos elementos
8. | Faça uma previsão das configurações eletrônicas dos estados fundamentais de Mg, Sr e Ba.
9. || Faça uma previsão das configurações eletrônicas dos estados fundamentais de P, As e Sb.
10. | Identifique o elemento correspondente a cada uma das configurações eletrônicas listadas abaixo. A seguir, determine se a configuração considerada corresponde ao estado fundamental ou a um estado
excitado.
a. 1s22s22p5
b. 1s22s22p63s23p64s23d104p
11. | Identifique o elemento correspondente a cada uma das configurações eletrônicas listadas abaixo. A seguir, determine se a configuração considerada corresponde ao estado fundamental ou a um estado
excitado.
a. 1s22s22p53d
b. 1s22s22p63s23p64s23d6
Seção 42.6 Estados excitados e espectros
12. | Demonstre que hc 1.240 eV nm.
13. | Qual é a configuração eletrônica do segundo estado excitado do
lítio?
14. | Um elétron, partindo do repouso, acelera ao longo de uma diferença de potencial de 12,5 V e colide com um átomo de hidrogênio,
excitando o átomo para o nível de energia permitido mais alto. Liste
todas as transições possíveis por salto quântico, pelas quais o átomo
excitado poderia emitir um fóton, e determine o comprimento de
onda (em nm) de cada um desses fótons.
15. | a. A transição 4p → 4s é permitida para o sódio? Em caso afirmativo, qual é o comprimento de onda (em nm) emitido? Em
caso negativo, explique por que não.
b. A transição 3d → 4s é permitida para o sódio? Em caso afirmativo, qual é o comprimento de onda (em nm)? Em caso negativo, explique por que não.
Seção 42.7 Tempos de vida média e estados excitados
16. || Um átomo em um estado excitado tem 1,0% de chance de emitir
um fóton em 0,10 ns. Qual é o tempo de vida do correspondente
estado excitado?
17. | Um estado excitado de um átomo possui um tempo de vida média
de 25 ns. Qual é a probabilidade de esse átomo excitado emitir um
fóton durante um intervalo de 0,50 ns?
18. | Um número de átomos de sódio igual a 1,0 106 é excitado para
o estado 3p em t 0 s. Quantos deles permanecem no estado 3p
nos instantes (a) t 10 ns, (b) t 30 ns e (c) t 100 ns?
19. || Um número de átomos igual a 1,0 106 é excitado para um nível
de energia superior em t 0 s. Ao final de 20 ns, 90% deles saltaram para o estado fundamental.
a. Quantos fótons foram emitidos?
b. Qual é o tempo de vida média do estado excitado?
20. || São excitados simultaneamente para os estados 3p e 4p, respectivamente, 1,0 108 átomos de sódio e 1,0 108 átomos de potássio. Quantos átomos de potássio permanecem no estado 4p quando
80% dos átomos de sódio excitados tiverem relaxado?
Seção 42.8 Emissão estimulada e lasers
21. | Um laser de hélio-neônio de 1,0 mW emite um feixe de luz visível com um comprimento de onda de 633 nm. Quantos fótons são
emitidos por segundo?
22. | Um laser de dióxido de carbono emite 5,0
1022 fótons/s no
comprimento de onda infravermelho de 10,6 m. Qual é a potência
do laser?
23. | Um laser emite 1,0 1019 fótons por segundo a partir de um estado excitado com energia E2 1,17 eV. A energia do nível mais
baixo é E1 0 eV.
a. Qual é o comprimento de onda da luz do laser?
b. Qual é a potência do laser?
Problemas
24. || a. Elabore um diagrama semelhante ao da Figura 42.3 para
mostrar todas as orientações possíveis do vetor momentum
angular para o caso l 3. Identifique cada com o valor
apropriado de m.
b. Qual é o ângulo mínimo entre e o eixo x?
25. || Existem partículas subatômicas cujo spin é caracterizado por s 1 em vez de s ½, como no caso dos elétrons. Essas partículas são
conhecidas como tendo spin igual a um.
a. Qual é o módulo (como um múltiplo de ) do momentum angular de spin S para uma partícula de spin igual a um?
b. Quais são os valores possíveis do número quântico de spin?
c. Desenhe um diagrama vetorial semelhante ao da Figura 42.14
para mostrar as possíveis orientações de .
26. || Um átomo de hidrogênio está em um estado correspondente a l
2. Quais são os valores (a) mínimos (como múltiplos de ) e (b)
máximos da expressão (Lx2 Ly2)1/2?
■
CAPÍTULO 42
27. | Um átomo de hidrogênio, em seu quarto estado excitado, emite um fóton com um comprimento de onda de 1282 nm. Qual é
o maior momentum angular orbital possível do átomo (como um
múltiplo de ) após a emissão?
28. | Calcule (a) a função de onda radial e (b) a densidade de probabilidade radial em r ½ aB para um elétron no estado 1s do hidrogênio. Expresse a resposta em função de aB.
29. || Para um elétron no estado 1s do hidrogênio, qual é a probabilidade de estar em uma camada esférica com 0,010 aB de espessura, a
uma distância (a) ½ aB, (b) aB e (c) 2aB do próton?
30. || Prove que a constante de normalização da função de onda radial
1s do átomo de hidrogênio é
dada pela Equação 42.7.
Dica: Uma integral definida bastante útil neste caso é
31. || Prove que a constante de normalização da função de onda radial
2p do átomo de hidrogênio é
como dado pela Equação
42.7.
Dica: Ver a dica do Problema 30.
32. || Prove que a densidade de probabilidade radial possui um pico em
r aB para o estado 1s do hidrogênio.
33. || a. Calcule e represente graficamente a função de onda radial
R2p(r) do hidrogênio no intervalo 0 r 8 aB.
b. Determine o valor de r (em função de aB) para o qual R2p(r)
apresenta um máximo.
c. O Exemplo 42.3 e a Figura 42.8 mostram que a densidade de
probabilidade radial para o estado 2p possui um máximo em r
4aB. Explique por que existe uma diferença em relação à sua
resposta ao item b.
34. || Em geral, um átomo pode possuir um momentum angular orbital
bem como um momentum angular de spin. O momentum angular
total é definido como
Esta grandeza é quantizada da
mesma forma que e , ou seja,
onde j é o número quântico de momentum angular total. O componente z de
é
onde mj assume valores inteiros desde j até
j. Considere um átomo de hidrogênio em um estado p, correspondente a l 1.
a. Lz tem três valores possíveis e Sz, dois. Liste todas as combinações possíveis de Lz e Sz. Para cada uma, calcule Jz e determine o
número quântico mj. Apresente os resultados em uma tabela.
b. O número de valores de Jz obtido no item a é grande demais para
um único valor de j, mas você deve ser capaz de dividir os valores de Jz em dois grupos que correspondam a dois valores de j.
Quais são os valores permitidos de j? Explique. Em um átomo
clássico não haveria restrições acerca de como os dois momenta
angulares e podem ser combinados. Na mecânica quântica é
diferente. Agora você já sabe que existem somente duas maneiras permitidas de somar esses dois momenta angulares.
35. | Desenhe uma série de figuras semelhantes à Figura 42.22 para o
estado fundamental dos elementos K, Ti, Fe, Ge e Br.
36. || Desenhe uma série de figuras semelhantes à Figura 42.22 para o
estado fundamental dos elementos Ca, V, Ni, As e Kr.
37 || a. Para um átomo de sódio no estado 6s, quais são as transições
possíveis para níveis inferiores?
38. | A transição 5d → 3p do espectro de emissão do sódio tem um
comprimento de onda de 499 nm. Qual é a energia do estado 5d?
39. | Um átomo de sódio emite um fóton com comprimento de onda
igual a 818 nm logo após colidir com um elétron. Qual é a velocidade mínima do elétron antes da colisão?
40. || Sabe-se que a energia de ionização de um átomo é de 5,5 eV. O
espectro de emissão desse átomo contém apenas os seguintes compri-
Física Atômica
1331
mentos de onda: 310,0 nm, 354,3 nm, 826,7 nm e 1240,0 nm. Desenhe um diagrama de níveis de energia com o menor número possível
de níveis e que seja consistente com dados experimentais. Identifique
cada nível por um valor apropriado do número quântico l.
Dica: Não se esqueça da regra de seleção para l.
41. || A FIGURA P42.41 mostra os priEnergia (eV)
,
meiros níveis de energia do átomo
,
,
de lítio. Desenhe uma tabela que
,
mostre todas as transições permitidas do espectro de emissão. Para
cada transição, indique:
,
a. O comprimento de onda correspondente, em nm.
A energia de cada
b. Se a transição está na parte innível está em eV.
fravermelha, visível ou ultravio,
leta do espectro.
c. Se a transição poderia ou não
FIGURA P42.41
ser observada no espectro de absorção do lítio.
42. || A FIGURA P42.42 mostra alguns níveis de energia do átomo de
mercúrio.
a. Desenhe uma tabela que mostre todas as transições permitidas do
espectro de emissão. Para cada transição, indique o comprimento
de onda do fóton correspondente, em nm.
b. Qual é a velocidade mínima que o elétron deve ter para excitar
a linha de emissão azul, de comprimento de onda 492 nm, do
espectro do Hg?
Energia (eV)
,
,
,
,
,
,
A energia de cada
nível está em eV.
FIGURA P42.42
,
43. || Suponha que você coloque cinco elétrons em uma caixa rígida de
0,50 nm de largura (i.e., em um poço de potencial infinito).
a. Use um diagrama de níveis de energia para mostrar a configuração eletrônica do estado fundamental.
b. Qual é a energia do estado fundamental?
44. || Três elétrons se encontram confinados em uma caixa rígida unidimensional (i.e., em um poço de potencial infinito) de comprimento igual a 0,5 nm. Dois deles estão no estado n 1, e o terceiro,
no estado n 6. A regra de seleção para uma caixa rígida permite
apenas as transições nas quais n é um número ímpar.
a. Desenhe o diagrama de níveis de energia correspondente. No
diagrama, indique quais são os níveis preenchidos e todas as
transições nas quais podem ser emitidos fótons.
b. Quais são todos os comprimentos de onda possíveis que poderiam ser emitidos por esse sistema?
45. || a. Qual é a taxa de relaxação do estado 2p do hidrogênio?
b. Durante que intervalo de tempo uma amostra de átomos hidrogênio no estado 2p relaxará 10%?
46. || Um átomo de hidrogênio está no estado 2p. Quanto tempo deve
transcorrer para que existe 1% de chance de que esse átomo sofra
um salto quântico para o estado fundamental?
1332
Física: Uma Abordagem Estratégica
47. ||| Em determinado estado excitado, um átomo tem 1,0 % de chance de emitir um fóton em 0,20 ns. Quanto tempo levará para que
25% de uma amostra desses átomos excitados relaxe?
48. || a. Obtenha uma expressão em função de para a meia-vida t1/2
de uma amostra de átomos excitados. A meia-vida é o tempo no qual metade dos átomos excitados devem sofrer saltos
quânticos e emitir fótons.
b. Qual é a meia-vida do estado 3p do sódio?
49. || Uma descarga elétrica em um tubo que contém neônio mantém
uma população constante de 1,0 109 desses átomos em um estado
excitado para o qual 20 ns. Quantos fótons por segundo são
emitidos pelos átomos neste estado?
50. || Um laser de rubi emite um pulso de luz de 100 MW e 10 ns de
duração em um comprimento de onda de 690 nm. Quantos átomos
de cromo sofrem emissão estimulada a fim de gerar esse pulso?
Problemas desafiadores
51. Dois níveis de energia excitados são separados por uma diferença
de energia muito pequena E. Uma vez que átomos em tais níveis
sofrem saltos quânticos para o estado fundamental, os fótons que
eles emitem possuem comprimentos de onda quase idênticos.
a. Mostre que os comprimentos de onda diferem por
b. Na série de Lyman do hidrogênio, qual é a diferença de comprimento de onda entre fótons emitidos em transições de n 20 para
n 1 e fótons emitidos em transições de n 21 para n 1?
52. Qual é a probabilidade de encontrar um elétron 1s do hidrogênio a
uma distância r 1/2aB do próton?
53. Qual é a probabilidade de encontrar um elétron 1s do hidrogênio a
uma distância r 1/2aB do próton?
54. Prove que a distância mais provável (em relação ao próton) para
encontrar um elétron no estado 2s do hidrogênio é 5,236 aB.
55. Determine a distância, em função de aB, entre os dois picos da densidade de probabilidade radial do estado 2s do hidrogênio.
56. Suponha que você disponha de uma máquina que lhe forneça balas
quando você pressiona um botão. Em oitenta por cento das vezes,
você aperta o botão e recebe duas balas. Em vinte por cento delas,
você recebe 10 balas ao pressionar o botão. O número médio de
balas recebidas a cada vez que o botão é pressionado é Nmed 2
0,80 10 0,20 3,6, ou seja, pressionar o botão 10 vezes
lhe garantirá, em média, 36 balas. Matematicamente, o valor médio
quando as probabilidades diferem é Nmed (Ni Probabilidade
de i). Podemos fazer a mesma coisa na mecânica quântica, com a
diferença de que essa soma corresponde a uma integral.
Em uma grande amostra de átomos de hidrogênio, se você medir a
distância de um elétron em relação ao próton, obterá vários valores,
como indicado pela densidade de probabilidade radial. Mas o valor
médio de r será dado por
Calcule o valor médio de r em função de aB para elétrons nos estados 1s e 2p do hidrogênio.
57. Em 1997, Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji e William Phillips
ganharam o Prêmio Nobel de Física pelo desenvolvimento de técnicas para desacelerar, parar ou “aprisionar” átomos por meio de
laser. Para entender como isso funciona, considere um feixe de átomos de rubídio (massa de 1,4 10 –25 kg) que se movem a 500 m/s
após serem evaporados em um forno. Um feixe de raios laser de
780 nm é direcionado de encontro aos átomos. Esse é o comprimento de onda da transição 5s → 5p do rubídio, sendo 5s o estado
fundamental. Os fótons do feixe de raio laser são, então, facilmente
absorvidos pelos átomos. Após um tempo médio de 15 ns, um átomo excitado emite espontaneamente um fóton de comprimento de
onda igual a 780 nm e retorna ao estado fundamental.
a. A relação energia-momentum-massa da teoria da relatividade de
Einstein é E2 p2c2 m2c4. Um fóton é desprovido de massa;
logo, seu momentum é p Efóton/c. Considere que os átomos se
movam no sentido positivo do eixo x, e o feixe de laser, no sentido negativo. Qual é o momentum inicial de um átomo recémsaído do forno? Qual é o momentum de um fóton de luz?
b. O momentum total do sistema átomo fóton deve ser conservado no processo de absorção. Em conseqüência, quantos fótons
devem ser absorvidos para levar o átomo ao repouso?
NOTA Também ocorre conservação de momentum nos processos de emissão. Contudo, os fótons emitidos espontaneamente são
lançados em direções aleatórias. Medindo-se seus recuos durante
vários ciclos de absorção/emissão, o recuo resultante será nulo e
poderá ser ignorado. c. Admita que o feixe de laser seja tão intenso que um átomo no
estado fundamental absorva um fóton instantaneamente. Quanto
tempo é necessário para deter os átomos?
d. Use a segunda lei de Newton na forma F p / t para calcular
a força que os fótons exercem sobre os átomos. A partir daí, calcule a aceleração dos átomos freados.
e. Qual é a distância que o feixe de átomos percorre até parar?
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 42.1: n 3, l 1, ou um estado 3p.
Pare e Pense 42.2: 4. Você pode observar na Figura 42.8 que o estado
ns possui n máximos.
Pare e Pense 42.3: Não. Como ms ± ½, que o componente z, Sz não
pode ser nulo.
Pare e Pense 42.4: b. O átomo teria menos energia se o elétron 3s estivesse no estado 2p
Pare e Pense 42.5: c. A emissão é um salto quântico para um estado de
energia mais baixa. A transição 5p → 4p não é permitida porque l 0
viola a regra de seleção. A transição de mais baixa energia permitida é
5p → 3d, com Efóton Eátomo 3,0 e ev.
Pare e Pense 42.6: e. Como rB 2rA, a razão é e –2/ e –1 e –1 ½.
43 Física Nuclear
Uma emulsão fotográfica registra os
movimentos das partículas alfa emitidas
por uma pequena quantidade de rádio.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 43 é ajudá-lo
a compreender a física do núcleo e
apresentar-lhe algumas aplicações
da física nuclear. Neste capítulo, você
aprenderá a:
■ Interpretar a estrutura básica do
núcleo.
■ Entender como o núcleo é mantido
coeso por uma interação forte.
■ Compreender por que alguns
núcleos são instáveis e sofrem
decaimento radioativo.
■ Calcular a meia-vida de um
decaimento radioativo.
■ Aplicar a física nuclear na biologia e
na medicina.
Em retrospectiva
O conteúdo deste capítulo depende
da compreensão da estrutura atômica
básica e dos níveis de energia
quantizados em poços de potencial.
Revise:
■ Seções 38.6 e 38.7 O modelo de
Rutherford
■ Seção 41.6 Poço de potencial finito
O núcleo do átomo é algo que está muito distante de nossa experiência do dia-a-dia.
Por isso ficamos surpresos ao ver como a física nuclear tornou-se parte de nossa tecnologia moderna e do vocabulário contemporâneo: energia nuclear, armas nucleares,
medicina nuclear, lixo nuclear, fissão e fusão nucleares.
A descoberta do núcleo atômico por Rutherford marcou o início da física nuclear.
Outros físicos logo projetaram experimentos para sondar o núcleo e, assim, compreender as propriedades da matéria nuclear. Neste capítulo final vamos explorar a física do
núcleo e algumas aplicações da física nuclear.
43.1 Estrutura nuclear
A década de 1890 foi a época dos raios misteriosos. Os raios catódicos começaram a ser
estudados em vários laboratórios e, em 1895, Röntgen descobriu os raios X. Em 1896,
após tomar conhecimento da descoberta de Röntgen, o cientista francês A. H. Becquerel
indagou se certos cristais minerais, conhecidos por ficarem fluorescentes após exposição ao Sol, emitiriam raios X. Becquerel colocou um filme dentro de um envelope
opaco, posicionou um cristal acima do envelope e o expôs ao Sol. Para sua felicidade, o
cristal impressionou a película fotográfica.
Becquerel pensou ter descoberto a emissão de raios X por cristais, mas sua alegria
durou pouco. Logo ele percebeu que o filme fotográfico era igualmente impressionado
quando guardado junto com os cristais no fundo de uma gaveta. Outros experimentos
revelaram que o cristal, um mineral que contém urânio, emite um tipo de raio ainda des-
1334
Física: Uma Abordagem Estratégica
Esta ilustração de um átomo precisaria ter 10 m
de diâmetro se fosse desenhada na mesma
escala do ponto que representa o núcleo.
conhecido. Em vez de encontrar raios X, Becquerel havia descoberto o que mais tarde
denominou-se radioatividade.
Não demorou muito para que Ernest Rutherford levasse adiante as investigações
e encontrasse não apenas um, mas três tipos distintos de raios que eram emitidos por
cristais que continham urânio. Sem saber exatamente o que eram esses raios, Rutherford
decidiu nomeá-los com base em seu poder de penetração na matéria e de ionização do ar.
Os primeiros, que causavam maior ionização e que tinham menor poder de penetração,
foram chamados de raios alfa. Os segundos, com penetração e ionização intermediárias, foram denominados raios beta, enquanto os terceiros, com o mais baixo poder de
ionização, porém com o maior poder de penetração, tornaram-se conhecidos como raios
gama.
Alguns anos mais tarde, Rutherford mostrou que os raios alfa são constituídos por
núcleos de hélio emitidos do cristal com altas velocidades. Em 1909, Rutherford usou
raios gama como projéteis para investigar a estrutura do átomo. Esse experimento, como
já vimos no Capítulo 38, levou Rutherford a concluir que os átomos possuem, em seu
centro, um núcleo muito pequeno e denso.
A descoberta do núcleo por Rutherford esclareceu em muito a estrutura atômica,
todavia gerou novas linhas de pesquisa científica. Entre os questionamentos surgidos se
destacam:
■ De que se constitui a matéria nuclear? Quais são suas propriedades?
■ O que mantém o núcleo coeso? Por que a força eletrostática repulsiva não causa sua
Átomo
desintegração?
■ Qual é a relação entre o núcleo e a radioatividade?
Essas questões foram o começo da física nuclear, o estudo das propriedades do núcleo
atômico.
Núcleo
Núcleons
Núcleons
(prótons e nêutrons)
O núcleo tem uma extensão espacial relativamente
bem-definida.
FIGURA 43.1 O núcleo é um pequeno grão
no centro de um átomo.
TABELA 43.1 Prótons e nêutrons
Próton
Número
Carga q
Spin s
Massa, em u
Nêutron
Z
⫹e
N
0
1,00728
1,00866
O núcleo é um pequeno “grão” no centro de um átomo relativamente imenso. Como
–14
mostra a FIGURA 43.1, o diâmetro nuclear, de aproximadamente 10 m, equivale a
1/10.000 do diâmetro do átomo. O que chamamos de matéria é, em sua vasta maioria,
espaço vazio!
No Capítulo 38 você aprendeu que o núcleo é composto por dois tipos de partículas:
prótons e nêutrons. Conjuntamente, eles são conhecidos como núcleons. O papel dos nêutrons, que certamente não é manter os elétrons em órbita, é um assunto importante a ser tratado neste capítulo. A Tabela 43.1 resume as propriedades básicas de prótons e nêutrons.
Como você pode perceber, os prótons e os nêutrons são praticamente idênticos; o
próton, porém, tem uma unidade de carga fundamental e, enquanto o nêutron é eletricamente neutro. O nêutron possui uma massa um pouco maior que a do próton, mas a
diferença é muita pequena – em torno de 0,1%. Note que o próton e o nêutron, analogamente ao elétron, possuem um momentum angular intrínseco e um momento magnético
. Conseqüentemente, os prótons e nêucorrespondente ao número quântico de spin
trons obedecem ao princípio de exclusão de Pauli.
O número de prótons, Z, é o número atômico do elemento. Na verdade, um elemento é identificado pelo número de prótons em seu núcleo, e não, pelo número de elétrons
em órbita. Elétrons são facilmente adicionados a e removidos dos átomos, formando
íons positivos e negativos, mas, quando isso ocorre, o elemento não muda. O número de
massa A é definido como A ⫽ Z ⫹ N, onde N é o número de nêutrons. O número de
massa é o número total de núcleons existentes em um núcleo.
NOTA O número de massa, que é adimensional, não é a mesma coisa que a massa
atômica m. Mais tarde daremos uma olhada nas massas atômicas reais. Isótopos e isóbaros
No início do século XX descobriu-se que nem todos os átomos de um mesmo elemento
(com o mesmo Z) possuem a mesma massa. Núcleos com o mesmo número Z de prótons
(ou seja, de um mesmo elemento químico) podem perfeitamente conter diferentes números de nêutrons e, portanto, diferentes valores de A. Os átomos de um elemento com
diferentes valores de A são chamados de isótopos do elemento.
O comportamento químico é determinado pelos elétrons em órbita. Todos os isótopos de um elemento possuem o mesmo número de elétrons em órbita (se os átomos
estiverem eletricamente neutros) e, portanto, as mesmas propriedades químicas. Contudo, diferentes isótopos de um mesmo elemento podem diferir quanto às propriedades
nucleares.
A
A notação utilizada para identificar os isótopos é Z, onde o número de massa A é
indicado sobrescrito antes do símbolo. O número de prótons Z não é especificado por
um número, mas, o que é equivalente, por um símbolo associado ao elemento químico.
Assim, o carbono ordinário, que tem seis prótons e seis nêutrons no núcleo, é descrito
12
como C e pronunciado “carbono doze”. A forma radioativa do carbono utilizada na
14
datação arqueológica é o C – que possui seis prótons, o que o torna carbono, porém
oito nêutrons.
Mais de 3000 isótopos são conhecidos. A maioria é radioativa, o que significa que
o núcleo não é estável – após certo período de tempo fragmenta-se ou emite algum tipo
de partícula subatômica, na tentativa de atingir um estado mais estável. Muitos desses
isótopos radioativos são criados por reações nucleares em laboratório e sua existência
é muita curta. Somente 266 isótopos são estáveis (i.e., não-radioativos) e ocorrem na
natureza. Começaremos a explorar a estabilidade nuclear na seção seguinte.
Os núcleos que ocorrem na natureza incluem os 266 isótopos estáveis e alguns isótopos
radioativos que, por terem meias-vidas muito longas, medidas em bilhões de anos, também
ocorrem naturalmente. O exemplo mais conhecido de um isótopo radioativo de ocorrência
238
natural é o do isótopo de urânio U. Para cada elemento, a fração com que cada um de
seus isótopos ocorre na natureza é denominada abundância natural desse isótopo.
Embora existam muitos isótopos radioativos do iodo, esse elemento ocorre de for127
127
ma natural apenas como I. Neste caso, dizemos que a abundância natural do I é
de 100%. Muitos elementos possuem isótopos com múltipla ocorrência na natureza.
14
A abundância natural do N é de 99,6%, ou seja, 996 entre 1000 átomos de nitrogênio
14
que ocorrem naturalmente são do isótopo N. Os outros 4 de 100 átomos de nitrogênio
15
encontrados na natureza são do isótopo N, com um nêutron a mais.
Núcleos com o mesmo valor de A (o mesmo número de massa), mas diferentes valo14
14
14
res de Z e N, são chamados de isóbaros. Os três núcleos C, N e O, por exemplo, são
14
isóbaros com A ⫽ 14. Somente o N é estável; os outros são radioativos.
Massa atômica
No Capítulo 16, você viu que as massas atômicas são especificadas em unidades de
12
massa atômica u, definida de tal maneira que a massa atômica do isótopo C seja exatamente igual a 12 u. A conversão para unidades do SI é
1 u ⫽ 1,6605 ⫻ 10– 27 kg
Uma forma alternativa é usar a equação de Einstein, E0 ⫽ mc2, para expressar as massas
em função de sua energia equivalente. A energia equivalente a 1 u de massa é
E0 ⫽ (1,6605 ⫻ 10– 27 kg) (2,9979 ⫻ 108 m/s) 2
(43.1)
⫽ 1,4924 ⫻ 10 – 10 J ⫽ 931,49 MeV
Portanto, a unidade de massa atômica pode ser escrita como
1 u ⫽ 931,49 MeV/c2
2
Pode parecer estranho, mas a unidade MeV/c é uma unidade de massa.
NOTA Estamos usando mais dígitos do que o usual, pois muitos cálculos em física
nuclear envolvem massas muito próximas, que devem ser estimadas com quatro ou
cinco algarismos significativos a fim de que suas diferenças possam ser evidenciadas. Quando a água congela e se formam os cristais de neve, a fração de moléculas con18
tendo O é maior no caso de neve que se forma a temperaturas atmosféricas mais elevadas. A neve acumulada por mais de dezenas de milhares de anos formou uma espessa
camada de gelo na Groenlândia. Uma mostra desse gelo fornece um registro da compo-
Variação de 18O em relação à
média (%)
CAPÍTULO 43
■
Física Nuclear
1335
,
,
,
,
Anos anteriores
Quando a água congela, formando cristais
de neve, a fração de moléculas que
contém 18O é maior para a neve que se
forma a temperaturas atmosféricas mais
altas. A neve acumulada por dezenas e
centenas de anos formou uma espessa
calota de gelo sobre a Groenlândia. Uma
amostra de núcleo de gelo recolhida deste
gelo constitui um registro da composição
isotrópica da neve que caiu durante este
período de tempo. No gráfico, números
maiores correspondem a temperaturas
médias mais elevadas. Tendências gerais,
tais como o aumento da temperatura no
final da última idade do gelo, são vistas
claramente.
1336
Física: Uma Abordagem Estratégica
TABELA 43.2 Algumas massas atômicas
Partícula
Massa
2
Símbolo Massa (u) (MeV/c )
Elétron
Próton
Nêutron
Hidrogênio
Deutério
e
p
n
1
H
2
H
0,00055
1,00728
1,00866
1,00783
2,01410
0,51
938,28
939,57
938,79
1876,12
Hélio
4
4,00260
3728,40
He
sição isotópica da neve que caiu durante esse período. Os números maiores no gráfico
correspondem a temperaturas médias mais altas. Tendências gerais, como o aumento da
temperatura no final da última era glacial, são nitidamente perceptíveis no gráfico.
A Tabela 43.2 mostra as massas atômicas do elétron, dos núcleons e de três elementos leves importantes. O Apêndice C fornece uma lista mais completa. Observe que a
massa de um átomo de hidrogênio é a soma das massas de um próton e de um elétron.
Um cálculo rápido mostra que a massa de um átomo de hélio (2 prótons, 2 nêutrons e 2
elétrons) é 0,03038 u menor do que a soma das massas de seus constituintes. A diferença
se deve à energia de ligação do núcleo, um tópico que estudaremos na Seção 43.2.
2
O isótopo H é um átomo de hidrogênio em que o núcleo não se constitui de um
simples próton, mas de um próton e de um nêutron. Embora o isótopo seja uma forma do
hidrogênio, ele é chamado de deutério. A abundância natural do deutério é de 0,015%
ou, aproximadamente, de 1 em cada 6.700 átomos de hidrogênio. Água composta por
deutério (às vezes escrita D2O em vez de H2O) é chamada de água pesada.
NOTA Não deixe que o nome deutério o induza a pensar que se trata de um elemento diferente. O deutério é apenas um isótopo do hidrogênio, cujo comportamento
químico é exatamente igual ao do hidrogênio ordinário. A massa atômica química apresentada na tabela periódica dos elementos é a média
ponderada das massas atômicas de todos os isótopos desse elemento que ocorrem na35
turalmente. O cloro, por exemplo, tem dois isótopos: o Cl, com m ⫽ 34,97 u e abun37
dância de 75,8%, e o Cl, com 36,97 u e abundância de 24,2%. A média ponderada pela
abundância vale 0,758 ⫻ 34,97 ⫹ 0,242 ⫻ 36,97 ⫽ 35,45. Este é o valor apresentado
na tabela periódica, e o valor correto para a maioria dos cálculos, mas não é a massa de
nenhum isótopo do cloro em particular.
NOTA As massas atômicas do próton e do nêutron são ambas 艐 1 u. Conseqüen-
temente, o valor do número de massa A é igual, aproximadamente, à massa atômica
expressa em u. A aproximação m 艐 A u é suficiente em muitos contextos como, por
exemplo, quando se calcula as massas dos átomos na teoria cinética dos gases. Em
física nuclear, no entanto, geralmente necessitamos de valores mais precisos de massas, apresentados na Tabela 43.2 ou no Apêndice C. Tamanho nuclear e densidade
Diferentemente da nuvem eletrônica do átomo, que é bastante difusa, o núcleo tem uma
extensão muito bem-definida. Experimentalmente, o raio de um núcleo com número de
massa A é dado por
r ⫽ r0A
1/3
(43.2)
onde r0 ⫽ 1,2 fm. Lembre-se de que 1 fm ⫽ 1 fentômetro ⫽ 10–15 m.
1/3
De acordo com a FIGURA 43.2, o raio é proporcional a A . Conseqüentemente, o vo3
lume do núcleo (proporcional a r ) é diretamente proporcional a A, o número de núcleons. Um núcleo contendo o dobro de núcleons ocupará o dobro do volume. Essa descoberta tem três implicações:
■ Os núcleons são incompressíveis. Adicionar mais núcleons a um núcleo não comprir é proporcional a A1/3
me os núcleons mais internos para um menor volume.
■ Os núcleons se encontram em formação bastante compacta, como no desenho da
Figura 43.1,
■ A matéria nuclear possui uma densidade constante.
V é proporcional a A
Número de massa A
FIGURA 43.2 Raio nuclear e volume nuclear
em função de A.
Na verdade, podemos usar a Equação 43.2 para estimar a densidade da matéria nuclear. Considere um núcleo com número de massa A. Sua massa, com precisão de aproximadamente 1%, corresponde a A unidades de massa atômica. Logo,
(43.3)
CAPÍTULO 43
Como A se cancela em todos os termos, todos os núcleos possuem essa densidade.
4
Trata-se de um valor de densidade espantosamente grande, em torno de 10 vezes maior
que a densidade dos líquidos ou sólidos conhecidos. A matéria não poderia ter uma densidade tão grande – e essa foi uma das primeiras objeções ao modelo atômico de Rutherford.
Embora não tenhamos contato direto com a matéria nuclear, essa é, de fato, sua densidade.
A FIGURA 43.3 mostra os perfis de densidade de três núcleos. A densidade é constante
até próximo da borda, analogamente ao que ocorre com uma gota de um líquido incompressível. De fato, um dos modelos bem-sucedidos na descrição de várias propriedades
nucleares é o chamado modelo da gota líquida. Observe que a variação dos raios nucleares, desde o pequeno hélio até o grande urânio, não atinge um fator igual a 4. O fato de
56
o Fe ser um átomo típico no centro da tabela periódica é a base para nossa afirmação
–14
inicial de que o diâmetro nuclear mede em torno de 10 m, ou 10 fm.
■
Física Nuclear
Imagine que o núcleo seja uma gota de um dado
líquido. A densidade é constante até próximo da
borda da gota.
Núcleo
de 4He
Núcleo
de 56Fe
Núcleo
de 238U
Todos os núcleos
possuem a mesma
densidade até próximo
da “borda”.
6
PARE E PENSE 43.1
1337
Três elétrons orbitam um átomo neutro de Li. Quantos elétrons orbitam
7
um átomo neutro de Li?
,
43.2 Estabilidade nuclear
Menos de 10% dos núcleos conhecidos são estáveis (i.e., não-radioativos). Como os núcleos são caracterizados por dois números independentes N e Z, é conveniente descrevêlos em um gráfico do número de nêutrons N versus o número de prótons Z. A FIGURA
43.4 apresenta um exemplo desse gráfico. Os núcleos estáveis são representados pelos
losangos azuis, e os núcleos instáveis, ou radioativos, pelos pontos cinza.
Bismuto, Z ⫽ 83
Número de nêutrons N
Isótopo estável
Isótopo instável
Os núcleos instáveis
situam-se à esquerda e
à direita da linha de
estabilidade.
Os núcleos estáveis se
agrupam muito
próximos à linha de
estabilidade.
Linha onde N ⫽ Z
Linha de estabilidade
A linha de estabilidade segue
a linha N ⫽ Z para Z ⬍ 16.
Número de prótons Z
FIGURA 43.4 Núcleos estáveis e instáveis representados em um gráfico do tipo número de
nêutrons N versus número de prótons Z.
Com base neste gráfico, podemos fazer inúmeras observações.
■ Os núcleos estáveis se agrupam bem próximos à curva chamada de linha de estabilidade.
■ Não existem núcleos estáveis com Z ⬎ 83 (Bismuto).
■ Núcleos instáveis estão agrupados em bandas situadas à esquerda e à direita da linha
de estabilidade.
■ Os elementos mais leves, com Z ⬍ 16, são estáveis quando N 艐 Z. Elementos como
4
He, 12C e 16C possuem o mesmo número de prótons e de nêutrons.
■ À medida que Z aumenta, o número de nêutrons necessários para haver estabilidade
aumenta bem mais do que o número de prótons. A razão N/Z vale 1,2 quando Z ⫽ 40,
mas aumenta para 艐 1,5 quando Z ⫽ 80.
,
,
,
FIGURA 43.3 Perfis de densidade de três
núcleos.
1338
Física: Uma Abordagem Estratégica
Essas observações – especialmente a de que N 艐 Z para valores de Z mais baixos e
de que N ⬎ Z para Z maiores – requerem uma explicação. O modelo nuclear da mecânica quântica, que estudaremos na Seção 43.4, fornecerá as respostas que buscamos.
PARE E PENSE 43.2
Os isóbaros correspondentes a um valor específico de A são encontrados
no gráfico da Figura 43.4 ao longo de
a. Uma linha vertical.
b. Uma linha horizontal
c. Uma linha diagonal que d. Uma linha diagonal que se
se estende para cima e
estende para cima e para a
para a esquerda.
direita.
Energia de ligação
A energia de ligação é a energia
necessária para separar um núcleo
em núcleons individuais.
Energia
Núcleo
Núcleo separado
FIGURA 43.5 A energia de ligação nuclear.
19.2
Um núcleo é um sistema ligado, isto é, você teria de fornecer energia para dispersar os
núcleons, quebrando as ligações nucleares entre eles. A FIGURA 43.5 ilustra esquematicamente essa idéia.
Você aprendeu algo semelhante na física atômica. Os níveis de energia do átomo de
hidrogênio são números negativos porque o sistema ligado é menos energético do que
um próton e um elétron livres. A energia que você deve fornecer a um átomo para remover dele um elétron é denominada energia de ionização.
De maneira muito similar, a energia necessária para separar um núcleo em prótons
e nêutrons individuais é denominada energia de ligação. Enquanto as energias de ionização dos átomos são de apenas alguns eV, as energias de ligação dos núcleos podem
atingir dezenas ou até mesmo centenas de MeV – energias tão altas que as massas equivalentes não são desprezíveis.
Considere um núcleo de massa mnuc. Experimentalmente, sabe-se que mnuc é menor
que a massa total Zmp ⫹ Nmn dos Z prótons e dos N nêutrons que formam o núcleo, onde
mp e mn são, respectivamente, as massas de um próton e de um nêutron, isto é, a energia
2
2
equivalente mnucc do núcleo é menor do que a energia equivalente (Zmp ⫹ Nmp)c dos
núcleons individuais que o formam. A energia de ligação B de núcleo (não do átomo
correspondente como um todo) é definida como
B ⫽ (Zmp ⫹ Nmn – mnuc ) c
2
(43.4)
Esta é a energia necessária para separar o núcleo.
A dificuldade prática é que, no laboratório, os cientistas utilizam espectroscopia de
massa para medir massas atômicas, e não, massas nucleares. A massa atômica, matom
é igual à mnuc mais a massa Zme dos elétrons em órbita. (Rigorosamente, deveríamos
6
incluir a energia de ligação dos elétrons, mas ela é, aproximadamente, 10 vezes menor
do que as energias de ligação nucleares e, portanto, pode ser desprezada em todos os
cálculos que não exijam maior precisão.)
Felizmente, podemos passar da massa nuclear para a massa atômica usando o simples truque de adicionar e subtrair a massa de Z elétrons. Começamos escrevendo a
Equação 43.4 na forma equivalente
B ⫽ (Zmp ⫹ Zme ⫹ Nmn – mnuc – Zme) c
2
(43.5)
onde mnuc ⫹ Zme ⫽ matom é a massa atômica; Zmp ⫹ Zme ⫽ Z(mp ⫹ me) ⫽ ZmH e mH é
a massa de um átomo de hidrogênio. Finalmente, usamos o fator de conversão 1 u ⫽
2
2
931,49 MeV/c para escrever c ⫽ 931,49 MeV/u. A energia de ligação é, então,
B ⫽ (ZmH ⫹ Nmn – mátomo) ⫻ (931,49 MeV/u)
(energia de ligação)
onde todas as três massas estão em unidades de massa atômica.
(43.6)
CAPÍTULO 43
EXEMPLO 43.1 A energia de ligação do ferro
56
Qual é a energia de ligação do núcleo de Fe?
Fe tem Z ⫽ 26 e N ⫽ 30. A massa atômica de
Fe, fornecida no Apêndice C, é de 55,9349 u. A diferença de massa
56
entre o núcleo de Fe e seus constituintes é
RESOLUÇÃO O isótopo
56
56
B ⫽ 26(1,0078 u) ⫹ 30(1,0087 u) – (55,9349 u) ⫽ 0,529 u
Energia de ligação (em MeV) por núcleon
Física Nuclear
1339
onde, da Tabela 43.2, 1,0078 u é a massa do átomo de hidrogênio.
56
Logo, a energia de ligação do Fe é
B ⫽ (0,529 u) ⫻ (931,49 MeV/u) ⫽ 493 MeV
AVALIAÇÃO Essa energia de ligação é extremamente grande, equivalente a mais da metade da massa de um próton ou de um nêutron.
A energia de ligação nuclear aumenta à medida que o valor de A aumenta devido
às ligações nucleares. Uma medida mais útil em comparação entre núcleos é a grandeza B/A, denominada energia de ligação por núcleon. O ferro, com B ⫽ 493 MeV
e A ⫽ 56, corresponde a 8,80 MeV por núcleon. Essa é a quantidade de energia que,
em média, seria necessária para remover um núcleon deste núcleo. Núcleos correspondentes a maiores valores de B/A são mais coesos do que núcleos com menores
valores de B/A.
Máximo de 8,8 MeV por núcleon
Número de massa A
FIGURA 43.6 A curva da energia de ligação.
A FIGURA 43.6 é o gráfico da energia de ligação por núcleon versus o número de massa A. A linha que liga os pontos é geralmente denominada curva de energia de ligação
e apresenta três características importantes:
■ Na curva de energia de ligação existem picos em A ⫽ 4, 12 e 16. O pico em A ⫽ 4,
4
■
correspondente ao He, é mais pronunciado. Como você pode perceber, esses picos,
que representam núcleos mais fortemente ligados, devem-se à existência de camadas
fechadas, de forma análoga ao que ocorre no gráfico das energias de ionização atômica (ver Figura 42.24), que apresenta picos correspondentes a camadas eletrônicas
fechadas.
■ A energia de ligação por núcleon torna-se aproximadamente constante e igual a 艐
8 MeV por núcleon para A > 20. Isso sugere que, à medida que o núcleo aumenta,
haverá um certo momento em que as ligações nucleares se tornarão saturadas.
Cada núcleon interage apenas com seu vizinho mais próximo, aquele com quem
ele tem contato direto. Esse fato, por sua vez, sugere que a força nuclear é de curto
alcance.
■ A curva possui um pico largo em A 艐 60. Isso é importante para que possamos
compreender a radioatividade. Em principio, núcleos mais pesados poderiam tornar-se mais estáveis (mais energia de ligação por núcleon) quando quebrados em
pedaços menores. Núcleos mais leves poderiam ficar mais estáveis através de sua
fusão para formar núcleos maiores. Nem sempre existe um mecanismo para que
ocorram tais transformações nucleares, mas se houver um mecanismo, ele será
favorecido energeticamente.
1340
Física: Uma Abordagem Estratégica
43.3 A interação forte
A descoberta de Rutherford do núcleo atômico não foi aceita imediatamente por todos
os cientistas. A principal objeção feita por eles foi a de que os núcleos explodiriam, com
seus prótons saindo em altas velocidades por causa das forças eletrostáticas extremamente fortes existentes entre eles a uma distância de alguns fentômetros.
Logo ficou claro que uma força da natureza até então desconhecida operava no interior
dos núcleos, mantendo-os coesos. Essa nova força tinha de ser mais forte do que a força
repulsiva eletrostática. Devido a essa característica, ela foi denominada interação forte.
A interação forte possui quatro características importantes:
1. Trata-se de uma força atrativa entre quaisquer dois núcleons.
2. Ela não é exercida sobre os elétrons.
3. Trata-se de uma força de curto alcance exercida em distâncias nucleares.
4. No alcance em que é exercida, ela é mais forte do que a força eletrostática que
tende a afastar dois prótons.
A interação
forte atrativa é
igual para
quaisquer dois
núcleons.
Dois prótons também estão
sujeitos a uma pequena força
eletrostática repulsiva.
FIGURA 43.7 A interação forte é igual entre
quaisquer dois núcleons.
Energia potencial de dois núcleos
Energia potencial eletrostática
de dois prótons
A interação forte
desaparece em r 艐 3 fm.
A força máxima ocorre
em r 艐 1,5 fm, onde a
declividade é máxima.
Ponto de equilíbrio estável
FIGURA 43.8 Diagrama de energia potencial
para dois núcleons que interagem um com
o outro por meio da interação forte.
O fato de a interação forte ser de curto alcance, em contraste com as forças elétrica,
2
magnética e gravitacional – que são de longo alcance, ou seja, do tipo 1/r –, é aparente,
pois não temos evidencias de forças nucleares fora do núcleo.
A FIGURA 43.7 resume as três interações que ocorrem no interior de um núcleo. Se a
interação forte entre dois prótons tem a mesma intensidade que a força entre dois nêutrons ou entre um próton e um nêutron é uma questão importante que só pode ser respondida experimentalmente. O principal meio de investigação da interação forte consiste em
acelerar um próton até uma velocidade muita alta, usando um cíclotron ou algum outro
acelerador de partículas, e, então, analisar o espalhamento do próton nos diversos materiais usados como alvo.
A conclusão resultante de muitas décadas de pesquisa é a de que a interação forte entre dois núcleons independe do fato de eles serem prótons ou nêutrons. A carga é a base
para a existência de interações eletromagnéticas, mas ela não é relevante para a interação
forte. No que diz respeito às forças nucleares, prótons e nêutrons são idênticos.
Energia potencial
Infelizmente não existe uma fórmula simples para se calcular a interação forte ou a energia potencial de dois núcleons que interagem entre si através da interação forte. A FIGURA
43.8 é um diagrama de energia potencial determinado experimentalmente para dois núcleons que interagem a uma distância r entre os centros. A energia potencial mínima que
ocorre em r 艐 1 fm corresponde a um ponto de equilíbrio estável.
Lembre-se de que a força é igual ao negativo da declividade do gráfico da energia
potencial. A declividade acentuada para r ⬍ 1 fm representa uma interação fortemente
repulsiva, isto é, os “caroços” dos núcleons se repelem quando estão muito próximos.
A força é atrativa para r ⬎ 1 fm, quando a declividade é positiva, e mais forte onde a
declividade for mais acentuada, em r 艐 1,5 fm. Para r ⬎ 1,5 fm, o módulo da força
diminui bruscamente e torna-se nulo para r ⬎ 3 fm, ou seja, a interação forte representada por essa energia potencial é efetivamente exercida apenas quando as distâncias
são muito curtas.
Observe como é pequena a energia eletrostática de dois prótons em comparação à
energia potencial devido à interação forte. Ao redor de r 艐 1,0 fm, que corresponde ao
ponto de equilíbrio estável, o módulo da energia potencial nuclear é 艐 100 vezes maior
do que a energia potencial eletrostática.
Mas por que o núcleo possui nêutrons, afinal? A resposta para essa questão, mencionada anteriormente, está relacionada ao curto alcance da interação forte. Por todo
o núcleo, os prótons exercem forças eletrostáticas repulsivas entre si, mas, devido ao
curto alcance da interação forte, um próton sente a força repulsiva exercida apenas por
aqueles poucos prótons com os quais ele tem contato direto. Embora a interação forte no
seu máximo seja maior do que a força eletrostática, não haveria ligação nuclear atrativa
suficiente para que um núcleo constituído somente de prótons fosse estável. Por participarem da interação forte e não exercerem forças eletrostáticas repulsivas, os nêutrons
constituem a “cola” adicional que mantém o núcleo coeso. Em núcleos pequenos,
CAPÍTULO 43
■
Física Nuclear
1341
em que a maior parte dos núcleons está em contato, um nêutron por próton é suficiente
para garantir a estabilidade. Assim, núcleos pequenos possuem N 艐 Z. Mas em núcleos
maiores, as forças repulsivas aumentam mais rapidamente do que a energia de ligação e,
conseqüentemente, mais nêutrons são necessários para manter a estabilidade, o que faz
com que os núcleos mais pesados tenham N ⬎ Z.
43.4 O modelo de camadas
A Figura 43.8 mostra a energia potencial de dois núcleos que interagem um com o outro.
Para resolver a equação de Schrödinger para o núcleo, teríamos de conhecer a energia
potencial total de todos os pares de núcleons que interagem no interior do núcleo, incluindo a interação forte e a força eletrostática – um problema um tanto quanto complexo.
No caso de átomos multieletrônicos, nos deparamos com o mesmo problema. Calcular a energia potencial exata de um átomo é tarefa bastante complexa. Para simplificar,
usamos um modelo atômico em que cada elétron se move independentemente dos demais, com uma energia potencial média que se deve ao núcleo e a todos os outros elétrons. Embora não seja perfeito, esse modelo prevê corretamente as camadas eletrônicas
e explica a tabela periódica dos elementos.
O modelo de camadas nucleares, que usa átomos multieletrônicos como analogia,
foi proposto em 1949 por Maria Goeppert-Mayer. O modelo considera que cada núcleon
se move independentemente dos demais, com uma energia potencial média devido à
interação forte com todos os outros núcleons. Para os prótons, temos de incluir também
a energia potencial eletrostática devido às interações repulsivas com os outros prótons.
A FIGURA 43.9 mostra a energia potencial média de um nêutron e de um próton. Aqui,
r representa a distância a partir do centro do núcleo, como na Figura 43.8, e não, a
distância núcleon-núcleon. Em geral, as interações de um núcleon com seus vizinhos
independem de sua posição dentro do núcleo, o que explica a energia potencial constante no interior do núcleo. É possível perceber que, em boa aproximação, um núcleon se
comporta como uma partícula em um poço de potencial finito, um problema de mecânica quântica que você aprendeu a resolver no Capítulo 41.
nêutron
próton
O potencial eletrostático
decresce suavemente
Poço de energia
potencial finito
A energia potencial média de um
nêutron deve-se à interação forte.
A energia potencial média de um próton se deve à
interação forte e à força elétrica. Essa profundidade
do poço de potencial é para Z ⬇ 30.
FIGURA 43.9 Energia potencial média de um nêutron e de um próton.
Três observações importantes:
1. A profundidade do poço de potencial para o nêutron é de 艐 50 MeV para todos os
1/3
núcleos. O raio do poço de potencial é o raio nuclear R ⫽ r0A .
2. Para os prótons, a energia potencial eletrostática positiva “eleva” o poço de potencial. Para elementos muito leves, esse aumento é quase nulo; e para elementos
muito pesados, é uma fração significativa da profundidade do poço. A energia
potencial apresentada na figura seria apropriada para um núcleo com Z 艐 30.
3. Fora do núcleo, onde a interação forte desaparece, a energia potencial de um próe se deve à interação eletrostática com os outros (Z
ton é
– 1) prótons existentes no núcleo. Essa energia potencial positiva diminui suavemente com a distância.
Maria Goeppert-Mayer mostra seu Prêmio
Nobel.
1342
Física: Uma Abordagem Estratégica
A tarefa da mecânica quântica é calcular os níveis de energia e as funções de onda
dos núcleons nos poços de potencial. Quando os níveis de energia são encontrados,
construímos o estado nuclear colocando todos os núcleons nos níveis mais baixos de
energia compatíveis com o princípio de Pauli, exatamente como fizemos para os átomos.
Da mesma forma que afeta os elétrons, o princípio de Pauli afeta também os núcleons,
pois eles são partículas de spin 1/2. Cada nível de energia pode conter certo número de
partículas com spin up e com spin down, dependendo dos números quânticos. Núcleons
adicionais devem ocupar níveis mais altos de energia.
A distância radial
do nêutron é
medida à
esquerda.
Quando o valor de Z é baixo,
a energia potencial do próton
é quase idêntica à energia
potencial do nêutron.
nêutrons
Estes são os três
primeiros níveis de
energia permitidos.
Eles estão separados
por muitos MeV.
prótons
Estes são os
números máximos
de núcleons
permitidos pelo
princípio de Pauli.
FIGURA 43.10 Os três níveis de energia
mais baixos de núcleos com baixo Z.
Os níveis de energia do nêutron estão à
esquerda, e os do próton, à direita.
Núcleos com baixo valor de Z
Como exemplo, vamos considerar os níveis de energia de núcleos com baixos valores de
Z (Z ⬍ 8). Uma vez que esses núcleos possuem tão poucos prótons, podemos usar uma
aproximação que despreze a energia potencial eletrostática decorrente da repulsão prótonpróton, levando em conta apenas a energia potencial nuclear, que é muito maior. Neste
caso, os poços de potencial e os níveis de energia para prótons e nêutrons são idênticos.
A FIGURA 43.10 mostra os três níveis de energia mais baixos e o número máximo de
núcleons permitidos pelo princípio de Pauli. Os valores de energia variam de núcleo para
núcleo, mas a distância entre os níveis é de muitos MeV. É comum desenhar-se diagramas para a energia potencial e para os níveis de energia de prótons e nêutrons lado a
lado. Observe que o eixo radial para o poço de potencial do próton aponta para a direita,
enquanto o do nêutron aponta para a esquerda.
Vamos aplicar este modelo para o isóbaro A ⫽ 12. Lembre-se de que um isóbaro é
uma serie de núcleos com mesmo número total de nêutrons e prótons. A FIGURA 43.11
12
12
12
ilustra os diagramas de níveis de energia de B, C e N. Primeiro vamos voltar nossa
12
atenção para o C, um núcleo com seis prótons e seis nêutrons. Percebemos que exatamente seis prótons são permitidos nos níveis de energia n ⫽ 1 e n ⫽ 2. O mesmo ocorre
12
para os seis nêutrons. Logo, o C tem uma camada fechada de prótons, n ⫽ 2, e uma
camada fechada de nêutrons, n ⫽ 2.
NOTA Prótons e nêutrons são partículas diferentes uma da outra. O princípio de
Pauli não será violado se um próton e um nêutron tiverem os mesmos números
quânticos. Um núcleo de 12B poderia baixar sua energia se um
nêutron pudesse se transformar em um próton.
nêutrons
prótons
nêutrons
prótons
nêutrons
prótons
FIGURA 43.11 O isótopo A ⫽ 12 deve conter 12 núcleons nos níveis de energia mais baixos
disponíveis.
O 12N tem sete prótons e cinco nêutrons. O sexto próton preenche a camada n ⫽ 2
para prótons; o sétimo próton, por sua vez, tem de ocupar o nível de energia n ⫽ 3. A
camada n ⫽ 2 para nêutrons tem uma vaga, pois há somente cinco nêutrons presentes.
12
Com o B ocorre exatamente o oposto: o sétimo nêutron ocupa o nível de energia n ⫽ 3.
12
12
Observando os diagramas, é possível perceber que os núcleos B e N possuem muito
12
mais energia – muitos MeV a mais do que o C.
Em átomos, os elétrons dos níveis de energia mais altos relaxam para níveis mais
baixos através da emissão de um fóton durante um salto quântico. O mesmo não pode
12
ocorrer para os núcleons, pois o núcleon de mais alta energia de B é um nêutron, enquanto o nível vazio de menor energia é o de um próton. Entretanto poderia ocorrer um
processo análogo se, de alguma forma, um nêutron pudesse tornar-se um próton. E é
12
exatamente isso que acontece! Estudaremos os detalhes na Seção 43.6. Tanto o B quan12
12
to o N decaem para o C em um processo conhecido como decaimento beta.
CAPÍTULO 43
■
Física Nuclear
1343
O 12C é apenas um dos três núcleos de baixo Z cujas camadas de prótons e nêu4
trons são fechadas. Os outros dois são o He (em que ambas as camadas correspon16
dentes a n ⫽ 1 estão preenchidas porque Z ⫽ 2 e N ⫽ 2) e o O (em que ambas as
camadas correspondentes a n ⫽ 3 estão preenchidas porque Z ⫽ 8 e N ⫽ 8). Se a
analogia com camadas fechadas eletrônicas for válida, esses núcleos deveriam ser
mais fortemente ligados do que núcleos com valores de A semelhantes. Realmente, já
observamos que a curva da energia de ligação (Figura 43.6) tem picos em A ⫽ 4, 12 e
16. O modelo nuclear de camadas explica satisfatoriamente esses picos. Infelizmente,
o modelo logo se torna mais complexo à medida que vamos além de n ⫽ 3. Núcleos mais pesados possuem camadas fechadas, todavia isso não se reflete na curva de
energia de ligação.
Núcleos com alto valor de Z
Podemos usar o modelo de camadas para dar uma explicação qualitativa para mais uma
observação, embora os detalhes ultrapassem o objetivo deste texto. A FIGURA 43.12 ilustra
os poços de potencial dos nêutrons e dos prótons de um núcleo com alto valor de Z. Em
um núcleo que contém muitos prótons, a energia potencial eletrostática eleva o poço de
potencial do próton mais do que o do nêutron. Prótons e nêutrons ficam, assim, com diferentes níveis de energia.
Quando um núcleo é “construído” através da adição de prótons e nêutrons, os
poços de energia dos prótons e dos nêutrons devem ser preenchidos aproximadamente até a mesma altura. Se houvesse nêutrons em níveis de energia acima dos níveis
vazios dos prótons, o núcleo reduziria sua energia por meio do decaimento beta,
transformando, assim, um nêutron em um próton. De maneira similar, o decaimento
beta transformaria um próton em um nêutron se houvesse um nível de energia vazio
do nêutron abaixo de um nível cheio do próton. O resultado final do decaimento
beta é manter os níveis preenchidos em ambos os lados com alturas aproximadamente iguais.
Uma vez que o poço de energia potencial do nêutron possui energias mais baixas,
mais estados quânticos estão disponíveis para os nêutrons do que para os prótons. Conseqüentemente, um núcleo com alto valor de Z conterá mais nêutrons do que prótons.
Essa conclusão é consistente com o que observamos na Figura 43.3, em que N ⬎ Z para
núcleos pesados.
prótons
nêutrons
FIGURA 43.12 Em um núcleo com alto
valor de Z, os níveis de energia dos prótons
são deslocados para cima.
Radiação e radioatividade
Em 1896, Becquerel percebeu que cristais de urânio emitiam “raios”. Essa descoberta desencadeou uma série de pesquisas. Na França, Marie Curie e Pierre Curie se
juntaram a Becquerel e concentraram esforços para isolar o elemento ou os elementos responsáveis por essa radiação. Durante a pesquisa, eles descobriram o elemento
rádio.
Na Inglaterra, J.J. Thomson e seu aluno Ernest Rutherford trabalharam na identificação desses raios, até então desconhecidos. Usando combinações de campos elétricos e magnéticos, de modo muito semelhante àquele usado por Thomson em suas
pesquisas sobre os raios catódicos, eles identificaram três tipos de radiação. A Figura
43.13 mostra o procedimento experimental básico usado e a Tabela 43.3 resume os
resultados.
As partículas alfa são desviadas
minimamente; elas são positivas
e relativamente pesadas.
Marie Curie
Os raios gama não são desviados;
logo, não possuem carga.
Fonte
radioativa
Blindagem
de chumbo
Campo
magnético
As partículas Beta sofrem desvios
significativos em direção oposta.
Elas são negativas e leves.
FIGURA 43.13 Identificação da radiação através de seu desvio em um campo magnético.
Os nêutrons e prótons
preenchem os níveis
de energia até a
mesma altura. Para
que isso ocorra, são
necessários mais
nêutrons que prótons.
1344
Física: Uma Abordagem Estratégica
TABELA 43.3 Os três tipos de radiação
Rastro
ionizado
ou
Elétron
ejetado
Radiação
Identificação
Carga
Blindada por
Alfa, Beta, Núcleo de 4He
Elétron
⫹2e
–e
Folha de papel
Folha de alumínio de alguns mm
Gama, Fóton de alta energia
0
Muitos cm de chumbo
Em poucos anos, à medida que Rutherford e outros cientistas revelavam a estrutura
básica do átomo, tornou-se claro que essas emissões de radiação provinham do núcleo
atômico. Hoje, definimos radioatividade ou decaimento radioativo como a emissão espontânea de partículas ou de fótons de alta energia por núcleos instáveis, quando estes
relaxam desde estados de alta energia para estados de baixa energia. A radioatividade
não tem nenhuma relação com os elétrons de valência em órbita.
NOTA O termo “radiação” significa que algo é irradiado para fora, originando-se
da palavra “radial”. As ondas eletromagnéticas são geralmente chamadas de “radiação eletromagnética”. As ondas infravermelhas emitidas por um objeto quente são
denominadas “radiação térmica”. Não nos surpreende que esses novos “raios” também tenham sido chamados de radiação. Infelizmente, o público em geral começou
a associar a palavra “radiação” com radiação nuclear, algo muito temido por todos.
No entanto é importante que você esteja atento quando for utilizar o termo, para não
passar a impressão errada ao seu ouvinte ou ao seu leitor. Radiação ionizante
FIGURA 43.14 As partículas alfa e beta
deixam rastros ionizados quando
atravessam a matéria. Este é o princípio de
funcionamento de uma câmara de bolhas
de hidrogênio.
1. Elétrons ejetados causam uma reação
em cadeia de ionização do gás.
Ponto de ionização
Elétrons
ejetados
Molécula
de gás
Milhares de elétrons
chegam ao fio,
dando origem a uma
corrente elétrica.
Um pico de
voltagem negativa
no fio ocasiona
um “clique” do
contador Geiger.
Janela delgada
Radiação
Rastro formado por Gás neônio
centenas de íons
ou argônio
Fio metálico
rígido central
FIGURA 43.15 Um contador Geiger.
As ondas eletromagnéticas, desde as microondas até a radiação ultravioleta, são absorvidas pela matéria. A energia absorvida aumenta a energia térmica de um objeto e sua
temperatura, razão pela qual os objetos aquecem quando expostos ao Sol.
Em contraste com as energias dos fótons da luz visível, de alguns poucos eV, as energias das partículas alfa, beta e dos fótons de raios gama, oriundos do decaimento nuclear,
6
variam entre 0,1 e 10 MeV, um fator aproximadamente 10 vezes maior. Essas energias
são muito mais altas do que as energias de ionização dos átomos e das moléculas. Além
de, simplesmente, ser absorvida e aumentar a energia térmica de um objeto, a radiação
nuclear ioniza a matéria e rompe as ligações moleculares. A radiação nuclear (bem como
os raios X, que se comportam de maneira muito semelhante na matéria) é chamada de
radiação ionizante.
Quando atravessa a matéria, uma partícula alfa ou beta gera um rastro ionizado,
como mostra a FIGURA 43.14a. Sabendo-se que a energia de ionização de um átomo é de
艐 10 eV, uma partícula com 1 MeV de energia cinética pode ionizar 艐 100.000 átomos
ou moléculas antes de parar por completo. Os elétrons, com massa pequena, são “chutados” para os lados, entretanto os íons positivos com massas bem maiores quase não se
movem e, conseqüentemente, formam o rastro. Esse comportamento constitui o princípio de funcionamento de uma câmara de ionização e de uma câmara de bolhas de hidrogênio, onde gotas de água microscópicas ou bolhas de gás hidrogênio coalescem em
torno dos íons positivos, deixando visível um rastro. A FIGURA 43.14a é uma foto de rastros ionizados produzidos por partículas de alta energia em uma câmara de bolhas. A
curvatura das trajetórias se deve à presença de um campo magnético.
A ionização também constitui o princípio de funcionamento de um contador Geiger,
um dos mais conhecidos detectores de radiação nuclear. A FIGURA 43.15 ilustra o funcionamento do contador Geiger. É importante lembrar que o contador detecta apenas radiação ionizante.
A radiação ionizante danifica materiais. Os íons produzidos desencadeiam reações
químicas que não ocorreriam em outra situação. A quebra de ligações moleculares altera
o funcionamento molecular, especialmente em moléculas biológicas grandes. É através
desses mecanismos – ionização e quebra de ligações – que a radiação pode causar mutações e tumores. Estudaremos as implicações biológicas da radiação na Seção 43.7
NOTA A radiação ionizante causa danos estruturais nos materiais, mas os objetos
irradiados não se tornam radioativos. A ionização desencadeia processos químicos que envolvem elétrons. Um objeto torna-se radioativo apenas se seus núcleos se
modificarem de alguma forma, mas isso não ocorre no caso mencionado acima. CAPÍTULO 43
PARE E PENSE 43.3 Uma lâmpada forte direcionada para um contador Geiger fará com que
o aparelho emita “cliques”?
Decaimento nuclear e meia-vida
Rutherford foi o primeiro a descobrir que o número de átomos radioativos em uma amostra diminui exponencialmente com o tempo. Esta é a dependência temporal esperada se
o decaimento for um processo aleatório. Mas dizer que um processo é aleatório não significa que não exista um padrão. O lançamento de uma moeda para o alto é um processo
aleatório, pois não podemos prever o que vai resultar do lançamento. Mesmo assim, se
você jogar 1.000 moedas, com certeza obterá 500 caras e 500 coroas aproximadamente.
Com o decaimento nuclear é semelhante.
Seja r a probabilidade de um núcleo sofrer decaimento durante o próximo 1 s, emi–1
tindo uma partícula alfa ou beta ou um fóton de raio gama. Por exemplo, r ⫽ 0,010 s
significa que um núcleo tem 1% de chance de decair durante o próximo segundo. Note
–1
que r, chamada de taxa de decaimento, tem unidade igual a s , que é precisamente a
unidade de uma taxa.
A probabilidade de um núcleo decair durante um pequeno intervalo de tempo t é
Prob(durante ⌬t) ⫽ r⌬t
(43.7)
–1
Um núcleo com r ⫽ 0,010 s , por exemplo, tem 0,1% de chance de decair (Prob ⫽
0,001) durante um intervalo de 0,1 s. Se houver N núcleos independentes, o número
esperado de núcleos que sofrerão decaimento durante ⌬t é
número de decaimentos ⫽ N ⫻ probabilidade de decaimento ⫽ rN ⌬t
(43.8)
Isto equivale a dizer que se espera 500 caras quando se lança 1.000 moedas, tendo cada
moeda 50% de probabilidade de dar cara.
Cada decaimento reduz o número de núcleos radioativos na amostra. A variação do
número de núcleos radioativos ocorrida durante ⌬t é
N ⫽ –rN ⌬t
(43.9)
O sinal negativo significa que N, o número de núcleos, diminui devido aos decaimentos.
Finalmente, fazendo ⌬t → dt, a Equação 43.9 assume a forma
(43.10)
A taxa de variação do número de núcleos radioativos depende tanto da taxa de decaimento radioativo (uma probabilidade de desintegração por segundo maior significa que
ocorrem mais desintegrações por segundo) quanto do número de núcleos radioativos
existentes (um número maior de núcleos significa que há mais núcleos disponíveis para
decair). Uma vez que N está diminuindo, a taxa dN/dt é negativa.
A Equação 43.10 é a mesma equação que foi resolvida no Capítulo 32, com símbolos diferentes, para a diminuição da voltagem em um circuito RC. Primeiro separamos as
variáveis nos lados opostos da equação:
(43.11)
Precisamos integrar esta equação, iniciando com N ⫽ N0 núcleos em t ⫽ 0. Assim,
(43.12)
Efetuando a integração, obtemos
(43.13)
■
Física Nuclear
1345
1346
Física: Uma Abordagem Estratégica
Agora podemos calcular N tomando a exponencial de ambos os lados da equação e multiplicando tudo por N0. O resultado é
N ⫽ N0e
– rt
(43.14)
A Equação 43.13 prevê que o número de núcleos radioativos diminui exponencialmente,
uma previsão confirmada por inúmeros experimentos realizados durante os últimos cem
anos.
É importante definir a constante de tempo como
Com essa definição, a Equação 43.13 torna-se
(43.15)
Número de núcleos restantes
NOTA Um aspecto importante do decaimento exponencial é que você pode escolher
o instante que desejar como t ⫽ 0. O número de núcleos radioativos presentes naquele
instante será N0. Se em certo instante você tiver 10.000 núcleos radioativos cuja constante de tempo é ⫽ 10 min, você terá por volta de 3680 núcleos 10 minutos mais tarde. O fato de haver mais de 10.000 núcleos no momento anterior não é relevante. ,
,
,
A meia-vida é o
tempo durante o
qual decai a
metade dos
núcleos originais.
A FIGURA 43.16 mostra a diminuição de N com o tempo. O número de núcleos radioa–1
. Em termos práticos, o
tivos diminui de N0, em t ⫽ 0 para e N0 ⫽ 0,368N0 em
número diminui em, aproximadamente, dois terços durante um intervalo de tempo igual
a uma constante de tempo.
A constante de tempo é
o instante de tempo em
que o número de núcleos
é e–1, ou 37% do número
inicial.
FIGURA 43.16 O número de átomos
radioativos diminui exponencialmente com
o tempo.
A Equação 43.14 tem relevância teórica, pois com ela podemos relacionar diretamente à probabilidade de decaimento. Mas, na prática, é muito mais fácil medir o tempo
em que metade da amostra decaiu do que medir o tempo em que 36,8% decaiu. Vamos,
então, definir a meia-vida t1/2 como o intervalo de tempo no qual decai a metade da
amostra de átomos radioativos. A meia-vida é representada na Figura 43.16.
A meia-vida pode ser facilmente relacionada à constante de tempo , pois sabemos, por
em t ⫽ t1/2.. Logo, de acordo com a Equação 43.15, temos
definição, que
(43.16)
Os fatores N0 se cancelam e, então, podemos tomar o logaritmo natural de ambos os
lados, obtendo
(43.17)
Com um arranjo final, obtemos
t1/2 ⫽ ln2 ⫽ 0,693 (43.18)
Como tarefa para casa, deixaremos para você demonstrar que a Equação 43.15 pode
ser escrita em função da meia-vida na forma
(43.19)
Logo, N ⫽ N0/2 em t ⫽ t1/2, N ⫽ N0/4 em t ⫽ 2t1/2, N ⫽ N0/8 em t ⫽ 3t1/2 e assim sucessivamente. Não importa a quantidade de núcleos existentes, o número decairá pela
metade durante a próxima meia-vida.
NOTA A metade dos núcleos decai durante uma meia-vida, mas não caia na armadilha de pensar que toda a quantidade de núcleos terá sofrido decaimento após duas
meias-vidas. CAPÍTULO 43
■
Física Nuclear
A FIGURA 43.17 ilustra graficamente a meia-vida, além de ilustrar outros dois aspectos
importantes:
Existem N0
núcleos em t 0
Núcleo que não
sofreu decaimento
1. Ao decaírem, os núcleos não desaparecerem; eles são transformados em outro
tipo de núcleo.
2. O decaimento é um processo aleatório. Podemos prever que metade dos núcleos
decairá durante uma meia-vida, mas não podemos prever quais serão os núcleos
que decairão.
Cada isótopo radioativo, como o 14C, por exemplo, tem sua própria meia-vida. Ela
não muda com o tempo à medida que a amostra sofre decaimento. Se você lançar uma
moeda 10 vezes e, contra todas as chances, obtiver 10 caras, talvez você pense que, no
próximo lançamento, haverá maior probabilidade de obter coroa. No entanto, a probabilidade de obter cara no próximo lançamento ainda é de 50%. Após 10 meias-vidas, ainda
restarão (1/2)10 ⫽ 1/1024 da mostra radioativa. Não há nada de especial com esses núcleos e, apesar de sua longevidade, cada núcleo restante tem exatamente 50% de chance
de decair durante a próxima meia-vida.
EXEMPLO 43.2 O decaimento do iodo
1347
Núcleo-filho
FIGURA 43.17 Metade dos núcleos decaem
durante cada meia-vida.
Para isolar t, primeiro escrevemos
O isótopo do iodo 131I, com uma meia-vida de oito dias, é usado na
131
12
medicina nuclear. Uma amostra do isótopo I contendo 2,00 ⫻ 10
átomos é criada em um reator nuclear.
A seguir, tomamos o logaritmo de ambos os lados. Tanto os logaritmos naturais quanto os de base 10 podem ser usados. Neste caso,
usaremos o logaritmo natural.
a. Quantos átomos de 131I restam 36 horas após a amostra ser entregue a um hospital?
b. A radioatividade da amostra enfraquece constantemente, mas ela
11
ainda pode ser usada desde que haja nela pelo menos 5,0 ⫻ 10
131
átomos de I. Qual é o prazo máximo para a amostra tornar-se
sem utilidade?
MODELO O número de átomos de
Isolando t, obtemos
131
I diminui exponencialmente.
t ⫽ 2,00 t1/2 ⫽ 16 dias
RESOLUÇÃO a. A meia-vida é t1/2 ⫽ 8 dias ⫽ 192 horas. Após 36 horas,
AVALIAÇÃO A amostra mais fraca ainda utilizável corresponde a um
⫽ 1,76 ⫻ 1012 núcleos
quarto da amostra inicial. Na Figura 43.17 você pode observar que
uma amostra radioativa decai para um quarto de sua quantidade inicial em 2 meias-vidas.
b. O instante posterior à criação no qual restam 5,0 ⫻ 1011 átomos
131
de I é dado por
Atividade
A atividade R de uma amostra radioativa corresponde ao número de decaimentos que
ocorrem por segundo. Ela é igual, simplesmente, ao valor absoluto de dN/dt, ou
(43.20)
onde R0 ⫽ rN0 é a atividade em t ⫽ 0. A atividade de uma amostra diminui exponencialmente da mesma forma que o número de núcleos restantes.
No SI, a unidade da atividade é o becquerel, definido como
1 becquerel ⫽ 1 Bq ⬅ 1 decaimento/s ou 1 s
–1
Uma unidade de atividade mais antiga, mas que ainda continua a ser amplamente
utilizada, é o curie. O curie foi originalmente definido como sendo a atividade equivalente a 1 g de rádio. Atualmente, o fator de conversão é dado por
1 curie ⫽ 1 Ci ⬅ 3,7 ⫻ 1010 Bq
1348
Física: Uma Abordagem Estratégica
Um curie é uma atividade substancial. As amostras radioativas utilizadas em experimentos laboratoriais tipicamente apresentam atividades de 艐 1 Ci, ou, o que é equivalente, 艐 40.000 Bq. Essas amostras podem ser manipuladas com algumas precauções.
Fontes de radioatividade mais ativas exigem proteção de chumbo e cuidados especiais
para evitar exposição a altos níveis de radiação.
EXEMPLO 43.3 Uma fonte de laboratório
Então,
O isótopo 137Cs é uma fonte-padrão de raios gama. A meia-vida do
137
C é de 30 anos.
a. Quantos átomos de 137Cs existem em uma fonte com atividade de
5,0 Ci?
b. Qual será a atividade dessa fonte 10 anos mais tarde?
MODELO O número de átomos de
Logo, o número de átomos de 137Cs é
137
Cs diminui exponencialmente.
RESOLUÇÃO a. O número de átomos pode ser obtido calculando-se N0
⫽ R0/r. A atividade, expressa em unidade do SI, é
Para obter a taxa de desintegração, primeiro convertemos a meiavida para segundos:
b. A atividade diminui exponencialmente, assim como o número de
núcleos radioativos. Após 10 anos, teremos
AVALIAÇÃO Embora N0 seja um número muito grande, trata-se de uma
–10
fração muito pequena (艐 10 ) de um mol. A amostra possuirá, en137
tão, aproximadamente 60 ng (nanogramas) de Cs.
Datação radiométrica
A técnica conhecida como datação por
carbono utiliza o decaimento radioativo
do isótopo 14C, que ocorre naturalmente
na natureza, para determinar a idade de
fósseis e artefatos arqueológicos.
Grande parte das amostras arqueológicas e geológicas pode ser datada através da medição do decaimento de isótopos radioativos que ocorrem naturalmente na Terra. Uma vez
que não temos como saber qual é o valor de N0, o número inicial de núcleos radioativos,
a datação radiométrica depende do uso de proporções.
14
A técnica de datação mais conhecida é a datação por carbono. O isótopo C tem
14
meia-vida de 5730 anos; logo, o C presente na formação da Terra, há 4,5 bilhões de
14
anos, já deveria ter se desintegrado por completo há muito tempo. Contudo, o C está
presente no dióxido de carbono atmosférico. Raios cósmicos de alta energia colidem
com as moléculas da atmosfera; esses raios possuem energia suficiente para produzir nú14
cleos de C por meio de reações nucleares com núcleos de nitrogênio e oxigênio. A cria14
14
12
ção e a desintegração do C atinge um estado de equilíbrio em que a proporção C/ C
–12
14
é de 1,3 ⫻ 10 , ou seja, o dióxido de carbono atmosférico contém C na concentração
de 1,3 parte por trilhão, uma quantidade que, mesmo pequena, é facilmente mensurável
por meio de técnicas químicas modernas.
Todos os organismos vivos trocam constantemente dióxido de carbono com a atmos14
12
–12
fera, de modo que a proporção C/ C nestes organismos também é igual a 1,3 ⫻ 10 .
14
Assim que um organismo morre, o C presente em seus tecidos começa a decair, só que
agora ele não mais será reposto. Os objetos são datados comparando-se a proporção
14
C/12C com o valor de 1,3 ⫻ 10–12 correspondente a um ser vivo.
A datação por carbono é utilizada para datar esqueletos, madeira, papel, pêlo, alimentos e tudo que for composto de matéria orgânica. A técnica tem alta precisão para
14
idades de até 15.000 anos ou, aproximadamente, três meias-vidas do C. A dificuldade
em medir uma proporção tão pequena e as incertezas acerca do fluxo de raios cósmicos
no passado são fatores que, combinados, reduzem a precisão da datação por carbono.
Mesmo assim, objetos podem ser datados em até 50.000 anos com um grau de precisão
bastante razoável.
Outros isótopos com meias-vidas mais longas são usados para datar amostras geoló40
gicas. A datação pelo método potássio-argônio, que utiliza o K, com meia-vida de 1,25
bilhão de anos, é especialmente útil na datação de rochas de origem vulcânica.
CAPÍTULO 43
EXEMPLO 43.4 Datação por carbono
Ao escavarem um acampamento milenar de caçadores, arqueólogos
encontram um pedaço de 5,0 g de carvão proveniente de uma fogueira. Após efetuaram medições na amostra, os cientistas determinam
14
que a atividade devido ao C é de 0,35 Bq. Qual é a idade aproximada do acampamento?
MODELO O carvão, oriundo da queima da madeira, é quase carbono
14
puro. O número de átomos de C presentes na madeira diminuiu exponencialmente desde que o galho caiu da árvore. Sabendo-se que a
madeira apodrece, é razoável supor que não tenha decorrido muito
tempo entre o momento da queda do galho da árvore e o momento em
que a madeira foi queimada pelos caçadores,
C/12C era de 1,3 ⫻ 10–12 quando o galho
caiu da árvore. Primeiro temos de determinar o valor atual dessa pro14
porção e, então, usar a meia-vida do C, que sabemos ser t1/2 ⫽ 5730
anos, para calcular o tempo decorrido necessário para atingir o valor
12
atual da proporção. O número de núcleos de C na amostra é
RESOLUÇÃO A proporção
14
■
Física Nuclear
1349
Logo,
e a proporção atual 14C/12C é N(14C)/N(12C) ⫽ 0,36 ⫻ 10–12. Uma vez
que tal proporção vem diminuindo exponencialmente com uma meiavida de 5730 anos, o tempo necessário para que a proporção atual seja
atingida é obtido a partir de
Para calcular t, reescrevemos a equação na forma
Agora podemos tomar o logaritmo de ambos os lados:
Logo, a idade do acampamento de caçadores é
O número de núcleos de 14C pode ser obtido por meio da atividade,
14
N( C) ⫽ R/r, todavia precisamos determinar a taxa de decaimento
14
r do C. Após a conversão da meia-vida para segundos, t1/2 ⫽ 5730
11
anos ⫽ 1,807 ⫻ 10 s, podemos calcular
AVALIAÇÃO Este é um exemplo real que ilustra como é realizada a datação radiométrica.
PARE E PENSE 43.4 Uma amostra possui inicialmente 1.000 átomos radioativos. Quantas
meias-vidas decorrerão a fim de que 750 átomos sofram decaimento?
a. 0,25
b. 1,5
c. 2,0
d. 2,5
43.6 Mecanismos de decaimento
Nesta seção estudaremos mais detalhadamente os mecanismos dos três tipos de decaimento radioativo.
19.4
Decaimento alfa
Uma partícula alfa, símbolo , é um núcleo de 4He, isto é, um sistema fortemente ligado
de dois prótons e dois nêutrons. Um núcleo instável que emite uma partícula alfa perderá
dois prótons e dois nêutrons. Portanto, podemos representar o decaimento da seguinte
forma
A
XZ → A – 4 YZ – 2 ⫹ ⫹ energia
(43.21)
A FIGURA 43.18 ilustra o processo de decaimento alfa. O núcleo X original é chamado
de núcleo-pai, e o núcleo Y, produto do decaimento, é o núcleo-filho. Esta reação pode
ocorrer somente quando a massa do núcleo-pai for maior do que a do núcleo-filho mais
a massa da partícula alfa, condição que é satisfeita por núcleos pesados com altos valores de Z, situados bem acima do máximo da curva de energia de ligação da Figura 43.6.
Núcleo-pai
Antes
Depois
A partícula alfa, um
núcleo rápido de hélio,
leva consigo a maior
parte da energia liberada
durante o decaimento.
O núcleo-filho, com dois prótons e quatro
núcleons a menos, pouco recua.
FIGURA 43.18 Decaimento alfa.
1350
Física: Uma Abordagem Estratégica
Para tais núcleos, é energeticamente favorável emitir uma partícula alfa porque o núcleofilho é mais fortemente ligado do que o núcleo-pai.
Embora essa condição relacionada às massas seja baseada nas massas nucleares, podemos expressá-la – tal como fizemos com a equação da energia de ligação – em função
das massas atômicas. A energia liberada em um decaimento alfa, cuja maior parte se
torna a energia cinética da partícula alfa, é dada por
⌬E 艐 K ⫽ (mx – my – mHe)c
2
(43.22)
EXEMPLO 43.5 Decaimento alfa do urânio
O isótopo de urânio 238U sofre decaimento alfa, tornando-se 234Th. As
238
massas atômicas correspondentes são 238,0505 u para o U, e 234,0436
234
para o Th. Qual é a energia cinética, em MeV, da partícula alfa?
MODELO Basicamente toda a energia liberada ⌬E torna-se a energia
cinética da partícula alfa.
RESOLUÇÃO A massa atômica do hélio é de 4,0026 u. Logo,
Uma partícula alfa pode tunelar através da
barreira coulombiana e escapar.
Barreira coulombiana
Esta é a energia cinética
com a qual a partícula
alfa escapa.
Níveis de energia ligados
FIGURA 43.19 O diagrama de energia
potencial de uma partícula alfa no núcleopai.
AVALIAÇÃO Esta é a energia típica de uma partícula alfa. Observe
2
que o fator c se cancela durante o cálculo, portanto não precisamos
avaliá-lo.
O decaimento alfa é um efeito puramente quantomecânico. A FIGURA 43.19 mostra a
4
energia potencial de uma partícula alfa, cujo núcleo de He é tão fortemente ligado que
podemos considerá-lo como um “pacote” pré-existente dentro do núcleo-pai. Tanto a
profundidade do poço de energia quanto a altura da barreira de coulombiana são duas
vezes maiores que a energia do próton, pois a carga de uma partícula é 2e.
Devido à alta barreira coulombiana (o decaimento alfa ocorre somente em núcleos com alto valor de Z), pode haver um ou mais níveis de energia permitidos
com E ⬎ 0. Neste caso, os níveis de energia com E ⬎ 0 são completamente ligados,
mas uma partícula alfa em um nível de energia com E ⬎ 0 pode tunelar através da
barreira coulombiana e escapar do núcleo. É exatamente dessa forma que ocorre o
decaimento alfa.
A energia deve ser conservada, de modo que a energia cinética da partícula que
escapa corresponde à altura do nível de energia acima de E ⫽ 0, ou seja, a energia potencial é transformada em energia cinética quando a partícula escapa. Observe que a largura
da barreira diminui à medida que E aumenta. A probabilidade de tunelamento depende
sensivelmente da largura da barreira, como você já viu quando estudamos o microscópio
eletrônico de tunelamento. Assim, uma partícula alfa em um nível de alta energia deveria
ter uma meia-vida mais curta e escapar com mais energia cinética. Uma análise completa ultrapassa o objetivo deste livro, mas essa previsão está em muito boa concordância
com as energias e as meias-vidas medidas.
Decaimento beta
O decaimento beta foi inicialmente associado à emissão de um elétron e–, a partícula beta. Mais tarde descobriu-se que alguns núcleos podem sofrer decaimento beta ao
⫹
emitirem um pósitron e , a antipartícula do elétron, embora este modo de desintegração
não seja tão comum. Um pósitron é idêntico a um elétron exceto pela sua carga, que é
positiva. Para sermos precisos, chamaremos a emissão de um elétron de decaimento
beta-menos, e a emissão de um pósitron, de decaimento beta-mais.
14
Um exemplo típico de decaimento beta-menos ocorre com o isótopo C do carbono,
14
14
–
que passa pelo processo de decaimento beta representado por C → N ⫹ e . O carbono possui Z ⫽ 6, e o nitrogênio, Z ⫽ 7. Uma vez que Z aumenta em 1 no decaimento,
enquanto A não se altera, podemos imaginar que um nêutron do núcleo transformou-se
em um próton e um elétron, ou seja, o processo básico de decaimento beta-menos aparentemente é
⫹
–
n→p ⫹e
(43.23)
CAPÍTULO 43
O elétron é ejetado do núcleo, mas o próton, não. Assim, o processo de decaimento ilustrado na FIGURA 43.20a é
XZ → AYZ⫹1 ⫹ e– ⫹ energia (decaimento beta-menos)
A
(43.24)
Um nêutron livre é, na verdade, uma partícula instável que decai transformando-se
em um próton e um elétron e apresenta uma meia-vida de, aproximadamente, 10 min.
Além de conservar energia, essa desintegração é energeticamente permitida, pois mn ⬎
mp ⬎ me.
Se um nêutron dentro do núcleo pode sofrer decaimento depende não só das massas
do nêutron e do próton, mas, também, das massas do núcleo-pai e do núcleo-filho, pois a
energia tem de ser conservada para o sistema nuclear inteiro. O decaimento beta ocorre
14
14
14
14
apenas se mx > my. O C pode sofrer decaimento para N porque m( C) ⬎ m( N). Con12
12
12
tudo m( C) ⬍ m( N); logo, o C é estável e seus nêutrons não podem decair.
O decaimento beta-mais é a conversão de um próton em um nêutron e um pósitron:
p⫹ → n ⫹ e ⫹
(43.25)
O processo completo de decaimento, ilustrado na Figura 43.20, é
⫹
XZ → Y Z– 1 ⫹ e ⫹ energia (decaimento beta-mais)
A
A
(43.26)
O decaimento beta-mais não ocorre para um próton livre porque mp ⬍ mn. Mas ele pode
ocorrer no interior de um núcleo desde que haja conservação de energia para o sistema
nuclear inteiro.
12
No início de nossa discussão sobre a Figura 43.11, observamos que os núcleos B
12
e N podem atingir um estado de baixa energia se um próton puder transformar-se em
um nêutron e vice-versa. Agora podemos concluir que tal transformação pode ocorrer se
12
as condições energéticas forem favoráveis. E, realmente, o B sofre decaimento beta12
12
12
menos para C, enquanto o decaimento beta-mais para C ocorre com o N.
Em geral, o decaimento beta é um processo utilizado por núcleos com muitos nêutrons ou muitos prótons para que possam se aproximar da linha de estabilidade, apresentada na Figura 43.4.
NOTA O elétron emitido no decaimento beta-menos não tem nenhuma relação com
os elétrons orbitais do átomo envolvido. A partícula beta é criada no interior do núcleo e é ejetada diretamente a partir do núcleo quando um nêutron se transforma em
um próton e um elétron. Uma terceira forma de decaimento beta ocorre em alguns núcleos que possuem muitos prótons, mas não possuem massa suficiente para um decaimento beta-mais. Neste
caso, um próton “captura” um elétron da camada mais interna de elétrons em órbita
(um elétron correspondente a n ⫽ 1), transformando-se em um nêutron. O processo é
descrito por
⫹
–
p ⫹ e orbital → n
(43.27)
Essa forma de decaimento beta é chamada de captura eletrônica, abreviada por CE. O
A
A
resultado, XZ → Y Z– 1, é o mesmo do decaimento beta-mais, mas sem a emissão do
pósitron. A captura eletrônica é o único mecanismo de decaimento nuclear que envolve
os elétrons orbitais.
A interação fraca
Apresentamos o decaimento beta como se fosse perfeitamente normal para um tipo de
matéria transformar-se espontaneamente em outro tipo de matéria completamente diferente. Por exemplo, seria energeticamente favorável para um caminhão transformar-se
em um Cadilac e um Fusca, ejetando o Fusca em alta velocidade. Contudo isso não
ocorre.
⫹
–
Se você parar para refletir, achará que o processo n → p ⫹ e parece absurdo, não
porque viole a conservação massa-energia, mas porque não temos a mínima idéia de
■
(a) Decaimento
beta-menos
Antes:
Física Nuclear
1351
Um nêutron se
transforma em um
próton e um elétron. O
elétron é ejetado para
fora do núcleo.
Depois:
(b) Decaimento
beta-mais
Antes:
Um próton se
transforma em um
nêutron e um pósitron.
O pósitron é ejetado
para fora do núcleo.
Depois:
FIGURA 43.20 Decaimento beta.
1352
Física: Uma Abordagem Estratégica
como um nêutron pode transformar-se em um próton. O decaimento alfa pode ser um
processo estranho porque, em geral, o tunelamento vai contra nosso senso comum, entretanto ele é um processo quantomecânico perfeitamente normal. Agora estamos sugerindo que um dos blocos básicos que constitui a matéria pode, de alguma forma, tornarse outro bloco básico completamente diferente.
Para piorar ainda mais a situação, experimentos realizados nos anos 1930 revelaram
que parece não haver conservação de energia e de momentum no processo de decaimento beta. Em face dessas duas dificuldades, o físico italiano Enrico Fermi ousou fazer
duas suposições:
1. Uma força fundamental da natureza, previamente desconhecida, é responsável
pelo decaimento beta. Essa força, que ficou conhecida como interação fraca, é
capaz de transformar um nêutron em um próton e vice-versa.
2. No processo de decaimento beta uma partícula é emitida, a qual, até aquele momento da história, não havia ainda sido detectada. Essa nova partícula tem de ser
eletricamente neutra de modo a conservar a carga, e deve possuir uma massa muito menor do que a de um elétron. Fermi chamou essa partícula de neutrino, que,
em italiano, significa “pequeno nêutron”. A energia e o momentum são realmente
conservados, mas o neutrino carrega consigo um pouco da energia e do momentum do núcleo que sofre decaimento. Mas como os experimentos de então detectavam apenas o elétron, parecia que os princípios de conservação eram violados.
O neutrino é representado pelo símbolo v, a letra grega minúscula “nu”. Os processos de decaimento beta propostos por Fermi são
⫹
–
n→p ⫹e ⫹
(43.28)
p⫹ → n ⫹ e ⫹ ⫹
Antes
depois
Se apenas o elétron e o núcleo-filho fossem
detectados, pareceria não haver conservação de energia e momentum. A energia e o
momentum “perdidos” são levados pelo
antineutrino não-detectado.
FIGURA 43.21 Uma descrição mais precisa
do decaimento beta inclui neutrinos.
O símbolo representa um antineutrino, embora a razão pela qual uma das partículas é
um neutrino e a outra um antineutrino não nos interesse no momento. A FIGURA 43.21
mostra que o elétron e o antineutrino (ou o pósitron e o neutrino) compartilham a energia
liberada durante o decaimento.
O neutrino interage com matéria de uma forma tão fraca que é capaz de atravessar
a Terra inteira com pouquíssima chance de colisão. Milhares de neutrinos, criados por
fusões nucleares no centro do Sol, atravessam nosso corpo a cada segundo. As interações
que envolvem neutrinos são tão raras que só foi possível detectá-los em laboratório em
1956, mais de 20 anos após a proposta de Fermi.
Inicialmente se pensava que o neutrino tivesse carga e massa nulas. Contudo,
experimentos desenvolvidos nos últimos anos revelaram que a massa do neutrino,
embora muito pequena, não é exatamente nula. A melhor evidência atual deste fato
sugere que sua massa equivale a cerca de um milésimo da massa do elétron. Em experimentos ainda em andamento tenta-se determinar um valor mais preciso. O resultado
terá um significado muito maior do que simplesmente o de entender o decaimento
beta. Entre todas as partículas, os neutrinos são as mais numerosas do universo. É
provável que se conclua que a massa do neutrino tenha relevância cosmológica na
evolução do universo.
EXEMPLO 43.6 Decaimento beta do
14
C
14
Que valor de energia é liberado no decaimento beta-menos do C?
MODELO O decaimento é representado por
14
14
RESOLUÇÃO Do Apêndice C, obtemos m( C) ⫽ 14,003242 u e m( N) ⫽ 14,003074 u. A diferença de massa é de apenas 0,000168 u, mas esta é a massa que é convertida em energia
cinética das partículas ejetadas no processo. A energia liberada é, portanto,
E ⫽ (m) c – (0,000168 u) ⫻ (931,5 MeV/u) ⫽ 0,156 MeV
2
AVALIAÇÃO Essa energia é compartilhada entre o elétron e o antineutrino.
CAPÍTULO 43
■
Física Nuclear
1353
O detector de neutrinos Super Kamiokande, no Japão, detecta neutrinos emitidos por
reações de fusão nuclear no centro do Sol.
Decaimento gama
O decaimento gama é o tipo de decaimento de mais fácil compreensão. Você já aprendeu
que um sistema atômico pode emitir um fóton com Efóton ⫽ Eátomo quando um elétron dá
um salto quântico de um nível de energia excitado para um nível de energia mais baixa.
Para os núcleos, não há diferença. Um próton ou um nêutron em um estado nuclear excitado, como ilustrado na FIGURA 43.22, podem efetuar saltos quânticos para estados de baixa energia emitindo fótons de altas energias. Este é o processo de decaimento gama.
O espaçamento em energia entre níveis atômicos é de apenas alguns eV. Por outro
lado, as diferenças de energia entre os níveis nucleares são, tipicamente, de 1 MeV. Por
essa razão, os fótons de raio gama possuem Egama 艐 1 MeV. Fótons com essa quantidade
de energia têm um poder de penetração imenso e liberam uma grande quantidade de
energia no ponto em que são finalmente absorvidos.
Os núcleos existentes na natureza geralmente se encontram em seu estado quântico
fundamental e, portanto, não podem emitir fótons de raios gama. Contudo, os decaimentos alfa e beta geralmente deixam o núcleo-filho em um estado nuclear excitado. Por isso
uma emissão gama geralmente acompanha uma emissão alfa ou beta.
137
137
O isótopo Cs é um bom exemplo disso. Já vimos que o Cs é usado como fonte
137
de raios gama em laboratórios. Na verdade, o Cs passa por um decaimento beta-menos
137
137
e se transforma em Ba. A FIGURA 43.23 ilustra todo o processo. Um núcleo Cs sofre
decaimento beta-menos, e o elétron e o antineutrino emitidos dividem entre si a energia
liberada total, que é igual a 0,51 MeV. A meia-vida desse processo é de 30 anos. Isso dei137
xa o núcleo-filho, o Ba, em um estado excitado situado 0,66 MeV acima de seu estado
fundamental. Em alguns segundos, o núcleo excitado de Ba decai para o estado funda137
mental, emitindo um fóton de raio gama de 0,66 MeV. Uma amostra de Cs constitui,
portanto, uma fonte de raios gama, mas, de fato, os fótons são emitidos pelos núcleos de
bário, e não, pelos de césio.
Decaimento beta
,
Estado
excitado
Decaimento
gama
Nível
excitado
Nível
baixo
O salto é acompanhado
Um núcleon efetua pela emissão de um fóton
um salto quântico com Efóton 艐 1 MeV.
para um nível de
energia mais baixo.
FIGURA 43.22 Decaimento gama.
,
O decaimento alfa reduz o valor de A
em 4, e o de Z, em 2. O decaimento
beta aumenta o valor de Z em 1.
,
Estado
fundamental
137
Cs envolve tanto o decaimento beta quanto o gama.
Séries de decaimentos
Um núcleo radioativo decai em um núcleo-filho. Na maioria dos casos, o núcleo-filho
também é radioativo e, por sua vez, decai para produzir seu próprio núcleo-filho. O processo prossegue até produzir um núcleo-filho que seja estável. A seqüência de isótopos
envolvidos, que se inicia com o isótopo instável original e termina com o isótopo estável,
é chamada de série de decaimentos.
As séries de decaimentos são particularmente importantes no caso de núcleos muito
235
pesados. A FIGURA 43.24 mostra a série de decaimentos do U, um isótopo do urânio
com meia-vida de 700 milhões de anos. Isto é muito tempo, mas equivale a apenas15%
235
da idade da Terra. Assim, quase todos os núcleos de U (mas não todos) que estavam
presentes na formação da Terra já decaiu. Há muitos núcleos instáveis, mas todos os
235
207
núcleos de U terminam como o isótopo Pb do chumbo, que é um núcleo estável.
Observe que alguns núcleos decaem tanto por decaimento alfa quanto por decaimento beta. Logo, há uma variedade de “caminhos” para um dado decaimento, mas todos
terminam no mesmo ponto.
Número de massa, A
FIGURA 43.23 O decaimento do
Fóton de raio
gama
Alguns núcleos
podem sofrer tanto
o decaimento quanto o .
O 207Pb é estável.
Número atômico, Z
FIGURA 43.24 A série de decaimentos do
235
U.
1354
Física: Uma Abordagem Estratégica
O isótopo 60Co do cobalto (Z ⫽ 27) decai para o isótopo 60Ni do níquel
(Z ⫽ 28). O processo de decaimento envolvido é
PARE E PENSE 43.5
a. Decaimento alfa.
d. Captura de elétron.
b. Decaimento beta-menos.
e. Decaimento gama.
c. Decaimento beta-mais.
43.7 Aplicações biológicas da física nuclear
A física nuclear trouxe riscos e promessas à sociedade. A radiação pode causar tumores,
mas também pode ser usada para curar algumas formas de câncer. Esta seção apresenta
um breve estudo sobre as aplicações médicas e biológicas da física nuclear.
Dose de radiação
A radiação nuclear, que é ionizante, desorganiza os mecanismos celulares, alterando e
danificando as moléculas biológicas. As conseqüências dessa interferência vão desde
mutações genéticas até a multiplicação celular descontrolada (i.e., tumores), levando à
morte celular.
As radiações beta e gama podem penetrar no corpo inteiro, danificando órgãos internos. A radiação alfa, apesar de seu menor poder de penetração, deposita toda sua energia
em um volume muito pequeno e localizado. Os órgãos internos geralmente não são afetados pela radiação alfa, mas a pele é bastante suscetível, bem como os pulmões no caso
em que poeira radioativa seja inalada.
Os efeitos biológicos da radiação dependem de dois fatores. O primeiro – o fator
físico – é o valor da energia absorvida pelo corpo. O segundo – o fator biológico – corresponde à maneira como os tecidos reagem às diferentes formas de radiação.
A dose absorvida de radiação é a energia da radiação ionizante que é absorvida por
um quilograma de tecido. A unidade do SI para a dose absorvida é o gray (Gy), definido
como
1 gray ⫽ 1 Gy ⬅ 1,00 J/Kg de energia absorvida
TABELA 43.4 Eficácia biológica relativa da
radiação
Tipo de radiação
RBE
Raios X
Raios gama
Partículas beta
Partículas alfa
1
1
1-2
10-20
A dose absorvida depende apenas da energia absorvida. Ela em nada depende do tipo de
radiação envolvida ou mesmo do tipo do material absorvente.
Biólogos e biofísicos descobriram que uma dose de raios gama de 1 Gy e uma dose
de partículas alfa também de 1 Gy causam conseqüências biológicas diferentes. Para
levar em conta tais diferenças, a eficácia biológica relativa (RBE, do inglês relative
biological effectiveness) é definida como o efeito biológico causado por uma dada dose
em comparação com o efeito biológico causado por uma mesma dose de raios X.
A Tabela 43.4 apresenta a eficácia biológica relativa de diferentes formas de radiação. Os valores mais altos correspondem a efeitos biológicos maiores. As radiações alfa
e beta correspondem a faixas de valores porque seus efeitos biológicos variam de acordo
com a energia da partícula. A radiação alfa tem a maior RBE, uma vez que sua energia é
depositada no menor volume.
O produto entre a dose absorvida e a RBE é chamado de dose equivalente. A dose
equivalente é expressa em sieverts (Sv). Para ser preciso,
dose equivalente em Sv ⫽ dose absorvida em Gy ⫻ RBE
Uma radiação de 1 Sv produz o mesmo dano biológico, sem que importe o tipo de radiação. Uma unidade mais antiga para expressar a dose equivalente, mas ainda bastante
utilizada, é o rem, definido por 1 rem ⫽ 0,010 Sv. Pequenas doses de radiação são expressas em milisievert (mSv) ou milirem (mrem).
CAPÍTULO 43
EXEMPLO 43.7 Exposição à radiação
Um técnico de laboratório de 75 kg, ao trabalhar com o isótopo ra137
137
dioativo Cs, foi exposto acidentalmente a 100 mrem. O Cs emite
fótons de raios de gama de 0,66 MeV. Quantos desses fótons foram
absorvidos pelo corpo do técnico?
■
Física Nuclear
1355
de corpo inteiro, a energia total depositada no corpo do técnico corresponde a 0,075 J. A energia de cada fóton absorvido é 0,66 MeV,
mas este valor deve ser convertido para joules. O número de fótons
correspondentes a uma energia de 0,075 J é
MODELO A dose de radiação é uma combinação da energia depositada
e da eficácia biológica. Para raios gama, a RBE vale 1. Os raios gama
são muito penetrantes, de modo que se trata de uma exposição de
corpo inteiro.
RESOLUÇÃO A dose absorvida é a dose expressa em Sv dividida pela
RBE. Neste caso, como RBE ⫽ 1 e 100 mrem ⫽ 0,010 Sv, a dose é
igual a 0,0010 Gy ⫽ 0,0010 J/kg. Como se trata de uma exposição
AVALIAÇÃO A energia depositada, de 0,075 J, é muito pequena. A ra-
diação não provoca danos por efeitos térmicos, o que exigiria bem
mais energia; seus danos ocorrem por ionização.
A Tabela 43.5 fornece informações básicas sobre a exposição à radiação. Todos nós
somos expostos continuamente à radiação natural devido aos raios cósmicos e aos átomos radioativos que ocorrem naturalmente (urânio e outros átomos de sua série de decaimentos) no solo, na atmosfera e, até mesmo, nos alimentos que ingerimos. Essa radiação
corresponde, em média, a 300 mrem por ano, embora existam variações regionais que
dependem do tipo de solo e do relevo. (Lugares mais altos sofrem maior exposição aos
raios cósmicos.)
Os raios X médicos variam significativamente. Nos Estados Unidos, uma pessoa
recebe, em média, 60 mrem por ano devido aos vários tipos de exames médicos.Todas as
outras fontes, tais como cinzas de testes nucleares atmosféricos conduzidos há décadas,
operação de usinas nucleares e usos industriais da radioatividade somam menos de 10
mrem por ano.
Então, uma pergunta inevitável vem à tona: quanto é uma dose segura? A resposta
ainda gera controvérsias e segue sendo estudo de pesquisas correntes. Os efeitos de altas
doses de radiação são facilmente observáveis. Os efeitos de pequenas doses são difíceis
de distinguir de outras causas naturais e ambientais. Portanto não existe ainda uma definição clara e simples do que seja uma dose segura. Uma política prudente seria evitar
exposição desnecessária à radiação, mas não há motivo para nos preocuparmos com casos de exposições menores que as naturais. É importante observar que os Ci absorvidos
das fontes radioativas usadas em experimentos de laboratório causam exposições muito
menores do que as naturais, mesmo quando usadas regularmente.
TABELA 43.5 Exposição à radiação
Fonte de radiação
Tomografia
Origem natural (1 ano)
Mamografia
Raio X do tórax
Raio X dentário
Exposição típica
(mrem)
1000
300
80
30
3
Usos medicinais da radiação
Podemos fazer um bom uso da radiação para matar as células cancerígenas. Esta área da
medicina é denominada terapia com radiação. Os raios gama constituem a forma mais
60
comum de radiação, geralmente oriunda do isótopo Co. A FIGURA 43.25 mostra os raios
gama emitidos ao longo de várias direções que se intersectam no tumor. O objetivo é
fornecer uma dose letal às células cancerígenas sem que haja superexposição dos tecidos
vizinhos. O paciente e a fonte de radiação giram um sobre o outro sob cuidadoso controle computacional de modo que a dose adequada seja irradiada.
Outros tumores são tratados por meio da implantação cirúrgica de “sementes” radioativas no interior do tumor ou próximo dele. As partículas alfa, que causam danos
localizados significativos, mas que não possuem grande poder de penetração, podem ser
usadas nesse tipo de tratamento.
Os isótopos radioativos também são utilizados como traçadores em procedimentos
diagnósticos. Essa técnica baseia-se no fato de que todos os isótopos de um elemento
têm um comportamento químico idêntico. O isótopo radioativo do iodo, por exemplo, é
utilizado no diagnóstico de certas doenças da tireóide. O iodo é um elemento essencial
para o organismo e está concentrado na glândula tireóide. Ao suspeitar que seu paciente
sofra com o mau funcionamento da glândula tireóide, o médico prescreve uma pequena
127
dose de iodeto de sódio em que alguns átomos normais de I foram substituídos por
131
átomos de I. (O iodeto de sódio é inofensivo, sendo solúvel em água e fácil de ingerir.)
131
O isótopo I, com meia-vida de oito dias, sofre decaimento beta e, subseqüentemente,
emite um fóton de raio gama que pode ser detectado.
A radiação gama é direcionada ao longo de
varias direções que se intersectam no tumor.
FIGURA 43.25 A terapia baseada em
radiação utiliza uma dose letal no tumor a
qual não danifique os tecidos vizinhos.
1356
Física: Uma Abordagem Estratégica
O iodo radioativo acumula-se no interior da glândula tireóide em algumas horas. O
médico monitora as emissões dos raios gama durante os dias subseqüentes para ter certeza de que o iodo esteja sendo processado na tireóide e descobrir com que velocidade
ele é eliminado pelo corpo.
51
Outros traçadores radioativos bastante úteis na medicina são o isótopo Cr do cromo, que é absorvido pelas hemácias e que pode ser usado para monitorar o fluxo sanguí133
neo, e o isótopo Xe do xenônio, inalado para revelar o funcionamento dos pulmões.
Os traçadores radioativos são não invasivos, isto é, o médico pode monitorar o interior
do organismo sem precisar realizar uma intervenção cirúrgica.
Ressonância magnética
A terapia com radiação é uma forma de
uso benéfico da física nuclear.
Assim como o elétron, o próton possui momentum angular e momento magnético próprios. Você pode conceber o próton como uma agulha de bússola que pode possuir uma
de duas orientações possíveis. No caso do próton, elas são chamadas de spin up (para
cima) e spin down (para baixo).
A agulha de uma bússola se alinha com um campo magnético externo, assumindo a
posição de mais baixa energia. Girar a agulha da bússola com a mão é como fazer uma
bola rolar morro acima: você está fornecendo energia, mas, quando isso deixar de ocorrer, a agulha voltará a se alinhar com o campo, tal como a bola, que novamente descerá
a colina. Contudo, há uma posição de equilíbrio instável em que a agulha está contraalinhada com o campo, analogamente a uma bola no cume de uma colina. A menor interferência trará o sistema de volta à configuração estável, entretanto ele pode permanecer
indefinidamente na posição de equilíbrio instável.
Em presença de um campo magnético, um próton se comporta de maneira análoga,
mas com uma diferença: por ter energia quantizada, o próton não pode assumir uma
orientação intermediaria. Ou o spin do próton está alinhado com o campo magnético
(spin up) ou anti-alinhado com ele (spin down). A FIGURA 43.26a ilustra esses dois estados
quânticos. Ligar o campo magnético reduzirá a energia do próton spin up e aumentará a
energia de um próton anti-alinhado, spin down. Em outras palavras, um campo magnético cria uma diferença de energia entre esses estados.
(a) Aumento de
energia
Spin down, anti-alinhado
com o campo
Fótons de radiofreqüência
fazem cada próton ir e vir
entre estes dois níveis de
energia.
O campo magnético está
desligado. Os prótons com
spin up e com spin down
possuem a mesma energia.
Estes são os níveis de
energia quando o campo
magnético está ligado.
Spin up, alinhado
com o campo
Absorção
Ímã
Amostra
Bobina
Oscilador
Freqüência da ressonância
nuclear magnética
FIGURA 43.26 A ressonância nuclear magnética é possível porque, em um campo magnético,
prótons spin up e spin down possuem uma pequena diferença de energia entre si.
A diferença de energia é muito pequena, da ordem de 10–7 eV. No entanto um fóton
com energia igual a essa diferença faz um próton oscilar entre os dois estados ao ser
absorvido ou emitido pelo sistema. De fato, os fótons fazem com que os spins dos prótons oscilem muito rapidamente. A freqüência do fóton, que depende da intensidade do
campo magnético, é tipicamente de 100 MHz, próxima às freqüências de FM.
CAPÍTULO 43
A FIGURA 43.26b mostra como esse comportamento é colocado em uso. Uma mostra
contendo prótons é colocada em um campo magnético. Uma bobina é enrolada em torno
da amostra e uma fonte de freqüência variável AC faz circular uma corrente na bobina.
Os prótons absorvem energia da bobina apenas quando a freqüência atinge o valor necessário para fazer os spins dos prótons trocarem de orientação. Outras freqüências não
resultam em absorção de energia. A ressonância é obtida variando-se a freqüência da
corrente na bobina ao longo de uma faixa de freqüências.
Esta técnica de observar os giros dos núcleos em presença de um campo magnético
é denominada ressonância magnética nuclear, ou rmn. (A técnica também funciona
com outros núcleos além do hidrogênio.) Ela tem diversas aplicações em física, química
e ciências dos materiais. Seu uso médico explora o fato de que os tecidos são formados
basicamente por água, e de que dois entre três núcleos da molécula da água são prótons.
O corpo humano, na verdade, é uma “amostra” de prótons, com a densidade de prótons
variando de acordo com a densidade dos tecidos.
O procedimento médico conhecido como imageamento por ressonância magnética (MRI, do inglês magnetic resonance imaging) ou, simplesmente, ressonância magnética expõe o paciente a um campo magnético variável no espaço. As variações do
campo fazem variar a freqüência de absorção dos prótons de ponto para ponto do espaço. A partir do conhecimento da forma espacial do campo e da determinação das freqüências que são absorvidas, um sofisticado programa de computadores transforma esses dados brutos em imagens tão detalhadas quanto as mostradas na FIGURA 43.27.
Um fato interessante é que, na época em que foi introduzida na medicina, a técnica
ainda era chamada de ressonância magnética nuclear. Infelizmente, logo desde o inicio, os médicos perceberam que os pacientes tinham medo de se submeter ao exame
devido à palavra “nuclear” usada. A alternativa foi suprimir o termo e denominar a técnica apenas como ressonância magnética ou imageamento por ressonância magnética.
Realmente, a percepção do público sobre a tecnologia nuclear nem sempre é positiva,
mas também é verdade que a física nuclear trouxe contribuições significativas e benéficas à sociedade.
■
Física Nuclear
1357
FIGURA 43.27 A ressonância magnética
revela os órgãos internos com grande
riqueza de detalhes.
1358
Física: Uma Abordagem Estratégica
RESUMO
O objetivo do Capítulo 43 foi compreender a física do núcleo e algumas das aplicações da física nuclear.
Princípios gerais
O núcleo
Estabilidade nuclear
O núcleo é a parte central e densa de
um átomo, carregada positivamente.
prótons
Z prótons: cada qual com carga ⫹e e
spin
nêutrons
N nêutrons: cada qual de carga nula
e spin
Muitos núcleos não são estáveis.
Um núcleo instável sofre decaimento radioativo. Núcleos estáveis estão aglomerados em torno
da linha de estabilidade do gráfico de isótopos.
Núcleos com
baixos valores
de Z podem se
aproximar da
Linha de estabilidade
linha deestabilidade por meio do
decaimento beta.
O número de massa é A ⫽ Z ⫹ N.
O decaimento alfa
é energeticamente
favorável para núcleos
com altos valores de Z.
O raio nuclear é r ⫽ r0A , onde r0 ⫽.2 fm.
1/3
Raios típicos são de alguns fm.
Os três mecanismos por meio dos quais um núcleo instável sofre decaimento são:
Forças nucleares
A interação forte, atrativa
A força elétrica, repulsiva
Decaimento Partícula
• É exercida entre dois núcleons quaisquer
• É exercida entre dois prótons
• Tem curto alcance, menor
do que 3 fm
• Tem longo alcance
núcleo de He tunelamento
e–
n → p⫹ ⫹ e –
⫹
e
p⫹→ n ⫹ e ⫹
γ
fóton
• É efetiva entre os núcleons
vizinhos mais próximos
• É efetiva ao longo de todo
o núcleo
Mecanismo
4
Energia
Penetração
alguns MeV baixa
艐 1 MeV
média
艐 1 MeV
média
salto quântico 艐 1 MeV
alta
Conceitos importantes
O modelo de camadas
Cada núcleon se
move em presença de uma
energia potencial
média resultante
de todos os outros núcleons.
Gráfico da energia de ligação
Energia coulombiana
Nêutrons
Prótons e nêutrons
preenchem os níveis
até a mesma altura;
logo, N Z.
Prótons
Níveis de energia dos prótons
Níveis de energia dos nêutrons
A energia de ligação
média por núcleon
tem um pico largo em
A 艐 60.
MeV por núcleon
Aplicações
Decaimento radioativo
Medição de radiação
O número de núcleos que não decaíram diminui exponencialmente com
o tempo t:
A atividade R ⫽ rN de uma amostra radioativa, medida em becquerels ou curies, é o número de desintegrações que ocorrem
por segundo.
A dose absorvida é medida em gray, onde
,
,
A constante de tempo τ é igual a 1/r,
onde r é a taxa de decaimento. A
meia-vida
t1/2 ⫽ τ ln2 ⫽ 0,693τ
é o tempo decorrido até que metade de qualquer amostra sofra desintegração.
1 Gy ⬅ 1,00 J/kg de energia absorvida
A eficácia biológica relativa (RBE) é o efeito biológico de uma
dose em relação aos efeitos biológicos causados por raios X.
A dose equivalente é medida em Sv, onde Sv ⫽ Gy ⫻ RBE.
Um Sv de radiação produz o mesmo efeito biológico independentemente do tipo de radiação. A dose equivalente também é
medida em rem, onde 1 rem ⫽ 0, 010 Sv.
CAPÍTULO 43
■
Física Nuclear
1359
Termos e notação
física nuclear
núcleon
número atômico, Z
número de massa, A
número de nêutrons, N
isótopos
radioativo
estável
abundância natural
isóbaro
deutério
modelo da gota líquida
linha de estabilidade
energia de ligação, B
curva da energia de ligação
interação forte
modelo de camadas
decaimento alfa
decaimento beta
decaimento gama
radiação ionizante
contador Geiger
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics,
acessar www.masteringphysics.com
série de decaimentos
dose absorvida
gray, Gy
eficácia biológica relativa
(RBE)
dose equivalente
sievert (Sv)
rem
ressonância magnética nuclear
imageamento por ressonância
magnética (MRI)
taxa de decaimento, r
constante de tempo, τ
meia-vida, t1/2
atividade, R
becquerel, Bq
curie, Ci
núcleo-pai
núcleo-filho
captura de elétrons
interação fraca
neutrino
Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
16
18
18
18
20
1. Considere os átomos O, O, Fe, Ne e Ne. Algumas das questões abaixo podem ter mais de uma resposta. Forneça todas as respostas possíveis.
a. Quais desses elementos são isótopos?
b. Quais deles são isóbaros?
c. Quais dos átomos possuem as mesmas propriedades químicas?
d. Quais dos átomos possuem o mesmo número de nêutrons?
2. a. A energia de ligação de um núcleo com A ⫽ 200 é maior, menor
ou igual à energia de ligação de um núcleo com A ⫽ 60? Explique.
b. Um núcleo com A ⫽ 200 é mais coeso, menos coeso ou igualmente coeso em comparação com um núcleo com A ⫽ 60? Explique.
3. a. Como sabemos que a interação forte existe?
b. Como sabemos que a interação forte tem curto alcance?
4. Cada diagrama de níveis de energia ilustrado na FIGURA Q43.4 representa um estado nuclear fundamental, um estado excitado ou um
núcleo impossível?
Nêutrons Prótons
Nêutrons Prótons
d. 33P (Z ⫽ 15) → 32S (Z ⫽ 16) ⫹ e –
6. Um determinado núcleo A decai em outro núcleo B com meia-vida
de 10 s. Em t ⫽ 0 s, existem 1000 núcleos A e nenhum núcleo B.
Em qual tempo haverá 750 núcleos B?
7. Qual tipo de decaimento, caso exista algum, pode ocorrer para os
núcleos apresentados na FIGURA Q43.7?
Nêutrons Prótons
Nêutrons Prótons
Nêutrons Prótons
FIGURA Q43.7
8. A maçã A da FIGURA Q43.8 recebe radiação nuclear intensa durante
uma hora. Outra maçã B não recebe radiação alguma. Ao final, qual
é a diferença entre as maçãs A e B?
Nêutrons Prótons
FIGURA Q43.4
5. Os decaimentos representados abaixo são possíveis? Em caso negativo, por que não?
a. 232Th (Z ⫽ 90) → 236U (Z ⫽ 92) ⫹ b. 238Pu (Z⫽ 94) → 236U (Z ⫽ 92) ⫹ c. 11B (Z ⫽ 5) → 11B (Z ⫽ 5) ⫹ γ
FIGURA Q43.8
9. Os três isótopos 212Po, 137Cs e 90Sr decaem da seguinte forma 212Po
→ 208Po ⫹ , 137Cs → 127Ba ⫹ e – ⫹ γ e 90Sr → 90Y ⫹ e –. Qual desses isótopos seria o mais útil como traçador biológico? Por quê?
1360
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Para dados relacionados a massas atômicas, abundância isotópica, modos de decaimento radioativo e meia-vida, consulte o Apêndice C.
Exercícios
Seção 43.1 Estrutura nuclear
1. | Quantos prótons e quantos nêutrons existem no (a) 3H, (b) 40Ar,
(c) 40Ca e (d) 239Pu?
2. | Quantos prótons e quantos nêutrons existem no (a) 6Li, (b) 54Cr,
(c) 54Fe e (d) 220Rn?
3. | Calcule os diâmetros nucleares do (a) 4He, (b) 40Ar e (c) 220Rn.
4. | Qual é o núcleo estável que tem um diâmetro de 7,46 fm?
5. | Calcule a massa, o raio e a densidade do núcleo de (a) 7Li e (b)
207
Pb. Expresse todas as respostas em unidades do SI.
6. || Estime o número de prótons e o número de nêutrons presentes
em 1 m3 de ar.
7. || Qual seria a massa de uma bola de gude de 1,0 cm de diâmetro se
o material tivesse densidade nuclear?
Seção 43.2 Estabilidade nuclear
8. | Usando dados fornecidos no Apêndice C, faça sua própria tabela
de núcleos estáveis e instáveis – similar à Figura 43.4 – para todos
os núcleos com Z ⱕ 8. Use um ponto azul ou preto para representar
os isótopos estáveis, um ponto vermelho para representar os isótopos que sofreram decaimento beta menos e um ponto verde para
os isótopos que sofreram decaimento beta mais ou decaimento por
captura eletrônica.
9. | a. Qual é o menor valor de A para o qual existem dois núcleos
estáveis? Quais são esses núcleos?
b. Para que valores de A menores do que o valor determinado
acima não há núcleos estáveis?
10. | Determine a energia de ligação total (em MeV) e a energia de
ligação por núcleon para o 3H e o 3He.
11. | Determine a energia de ligação total (em MeV) e a energia de
ligação por núcleon para o 58Fe e o 58Ni.
12. | Determine a energia de ligação por núcleon (em MeV) para o 3He
e o 4He. Qual é o mais coeso?
||
13. Determine a energia de ligação por núcleon (em MeV) para o 12C
e o 13C. Qual é o mais coeso?
14. || Determine a energia de ligação total e a energia de ligação por
núcleon (em MeV) para (a) 12C, (b) 60Co e (c) 226Ra.
15. | Determine a massa atômica química do neônio.
16. | Determine a massa atômica química do magnésio.
Seção 43.3 A interação forte
17. || Use o diagrama de energia potencial da Figura 43.8 para estimar
a intensidade da interação forte entre dois núcleons separados por
1,5 fm.
18. || Use o diagrama de energia potencial da Figura 43.8 para esboçar
o gráfico da interação forte entre dois núcleons em função da distância r entre seus centros.
19. || Qual é a razão entre a energia potencial gravitacional e a energia
potencial nuclear de dois nêutrons separados por 1,0 fm?
Seção 43.4 O modelo de camadas
20. | a. Desenhe diagramas de níveis de energia, similares aos da Figura 43.11, para todos os núcleos com A ⫽ 10 listados no Apêndice C. Mostre todos os níveis de prótons e nêutrons ocupados.
b. Quais desses núcleos são estáveis? Qual é o modo de decaimento dos que são radioativos?
21. | a. Desenhe diagramas de níveis de energia, similares aos da Figura 43.11, para todos os núcleos com A ⫽ 14 listados no Apêndice C. Indique todos os níveis ocupados de prótons e nêutrons.
b. Quais desses núcleos são estáveis? Qual é o modo de decaimento dos que são radioativos?
Seção 43.5 Radiação e radioatividade
22. | O isótopo 226Ra do rádio tem uma meia-vida de 1.600 anos. Uma
determinada amostra tem uma quantidade inicial de 1,00 ⫻1010 átomos de 226Ra. Quantos deles restam após (a) 200 anos, (b) 2.000
anos e (c) 20.000 anos?
23. | O isótopo 109Cd do cádmio tem uma meia-vida de 462 dias. Uma
determinada amostra tem uma quantidade inicial de 1,00 ⫻ 1012
desses átomos de cádmio. Quanto deles restam após (a) 50 dias, (b)
500 dias e (c) 5.000 dias?
24. || O isótopo radioativo do hidrogênio 3H é chamado de trítio.
a. Quais são o modo de decaimento e o núcleo-filho do trítio?
b. Quais são a constante de tempo e a taxa de decaimento do trítio?
25. | Uma amostra contém 1,0 ⫻ 1010 átomos que decaem por emissão
alfa e possuem uma meia-vida de 100 min. Quantas partículas alfa
são emitidas entre t ⫽ 50 min e t ⫽ 200 min?
26. | A atividade de uma amostra de 60Co é de 3,50 ⫻ 109 Bq. Qual é a
massa da amostra?
27. || Qual é a meia-vida, em dias, de uma amostra radioativa que contém
5,0 ⫻ 1015 átomos e que apresenta uma atividade de 5,0 ⫻ 108 Bq?
Seção 43.6 Mecanismos de decaimento nuclear
28. | Identifique o isótopo desconhecido X dos seguintes decaimentos:
a. 230Th → X ⫹ ␣
b. 35S → X ⫹ e– ⫹
c. X → 40K ⫹ e⫹ ⫹ v
d. 24Na → 24Mg ⫹ e– ⫹ → X ⫹ ␥
29. | Identifique o isótopo desconhecido X dos seguintes decaimentos:
a. X → 224Ra ⫹ ␣
b. X → 207Pb ⫹ e– ⫹
c. 7Be ⫹ e– → X ⫹ v
d. X → 60Ni ⫹ γ
30. || Qual é a quantidade de energia (em MeV) liberada no decaimento alfa do 239Pu?
31. || Um núcleo instável sofre um decaimento alfa acompanhado da
liberação de 5,52 MeV de energia. A massa combinada do núcleopai com a do núcleo-filho é de 452 u. Qual é o núcleo-pai?
32. || Qual é a energia total (em MeV) liberada no decaimento beta
menos do 3He?
Dica: O núcleo-filho AYZ – 1 é um íon positivo. As massas tabuladas
são para átomos neutros.
33. || Qual é a energia total (em MeV) liberada no decaimento beta
menos do 19O? Ver a dica fornecida no Problema 32.
34. || Qual é a energia total (em MeV) liberada no decaimento beta de
um nêutron?
CAPÍTULO 43
Seção 43.7 Aplicações biológicas da física nuclear
35. | Radiação gama de 1,5 Gy é direcionada para um tumor de 150 g
durante uma sessão de radioterapia. Qual é a quantidade de energia
absorvida pelo tumor?
36. | Ao planejar um tratamento com radioterapia, um médico determina que um tumor de 100 g deve receber 0,20 J de radiação gama.
Quanto vale essa dose em gray?
37. || O funcionário de um laboratório, com peso de 50 kg, é exposto a
20 mJ de radiação beta com RBE ⫽ 1,5. Qual é a dose recebida, em
mrem?
38. || Quantos grays de fótons de raios gama causam o mesmo dano
biológico que 30 Gy de radiação alfa com RBE de 15?
Problemas
39. ||| a. Qual é o módulo da velocidade inicial de uma partícula alfa
que apenas toque levemente a superfície de um núcleo de
197
Au antes de ser repelida? Admita que o núcleo permaneça
em repouso.
b. Qual é a energia inicial (em MeV) da partícula alfa?
Dica: A partícula alfa não é puntiforme.
40. ||| Aceleradores de partícula lançam prótons em direção a núcleosalvo a fim de que os cientistas possam estudar as reações nucleares
que ocorrem. Em um experimento, um próton precisa ter 20 MeV de
energia cinética ao se chocar com um núcleo de 207Pb. Com que energia cinética inicial (em MeV) o próton deve ser lançado em direção
ao núcleo de chumbo? Admita que o núcleo permaneça em repouso.
Dica: O próton não é puntiforme.
41. || A fonte de energia das estrelas são as reações nucleares que convertem o hidrogênio em hélio. O destino de muitas estrelas, quando
grande parte do hidrogênio já foi consumida, é colapsar sob a ação
gravitacional, transformando-se em uma estrela de nêutrons. A força da gravidade nestes casos é tão forte que os prótons e os elétrons
se fundem em nêutrons através da reação p⫹ ⫹ e – → n ⫹ v. A
estrela torna-se uma esfera densa de nêutrons com a densidade da
matéria nuclear.
a. Suponha que o Sol colapse em uma estrela de nêutrons. Qual
será o seu raio? Expresse sua resposta em km.
b. Atualmente, o período de rotação do Sol é de 27 dias. Qual será
o seu período de rotação após o colapso?
As estrelas de nêutrons com rotação rápida emitem pulsos de ondas de
rádio com a freqüência de rotação e são conhecidas como pulsares.
42. || O elemento gálio possui dois isótopos: o 69Ga, com uma massa
atômica de 68,92 u, e o 71Ga, com massa atômica de 70,92 u. A
tabela periódica indica que a massa atômica química do gálio é de
69,72 u. Qual é a abundância percentual do 69Ga?
43. || No Capítulo 42, você aprendeu que a energia de ligação do elétron em um átomo de hidrogênio vale 13.6 eV.
a. Qual é a diminuição que ocorre na massa quando um átomo de
hidrogênio é formado a partir de um próton e um elétron? Expresse sua resposta em unidade de massa atômica e em percentual da massa do átomo de hidrogênio.
b. Qual é a diminuição de massa que ocorre quando um núcleo de
hélio é formado a partir de dois prótons e dois nêutrons? Expresse sua resposta em unidade de massa atômica e em percentual da
massa do núcleo de hélio.
c. Compare suas respostas aos itens a e b. Por que ouvimos dizer
que ocorre “perda” de massa em reações nucleares, mas não, em
reações químicas?
44. ||| Use o gráfico da energia de ligação para estimar a energia total
liberada quando um núcleo com número de massa 240 sofre fissão
e se transforma em dois núcleos de número de massa 120.
■
Física Nuclear
1361
45. ||| Use o gráfico da energia de ligação para estimar a energia total
liberada quando três núcleos de 4He se fundem para formar um núcleo de 12C.
46. || É possível ocorrer a fissão de um núcleo de 56Fe em dois núcleos
de 28Al? Sua resposta, que deve incluir alguns cálculos, deve se basear na curva de energia de ligação.
47. | a. Quais são os símbolos isotópicos de todos os isóbaros com A
⫽ 17?
b. Quais deles são núcleos estáveis?
c. Para aqueles que não são estáveis, identifique o modo de descaimento e o núcleo-filho produzido.
48. | a. Quais são os símbolos isotópicos para todos os isóbaros com
A ⫽ 19?
b. Quais deles são núcleos estáveis?
c. Para aqueles que não são estáveis, identifique o modo de descaimento e o núcleo-filho produzido.
49. || Derive a Equação 43.19 a partir da Equação 43.15.
50. ||| Qual é a energia (em MeV) de uma partícula alfa que possui um
comprimento de onda de de Broglie igual ao diâmetro de um núcleo
de 238U?
51. || Qual é a atividade, em Bq e em Ci, de uma amostra de 2,0 mg de
3
H?
52. || Qual é a idade, em anos, de um osso para o qual a razão 14C/12C é
1,65 ⫻ 10 – 13?
53. || A atividade de uma amostra do isótopo 137Cs, com meia-vida
de 30 anos, é de 2,0 ⫻ 108 Bq. Muitos anos mais tarde, quando a
amostra houver se desintegrado completamente, quantas partículas
beta terão sido emitidas?
54. || Um traçador radioativo de 115 mCi é elaborado em um reator
nuclear. Dezesseis horas mais tarde, quando ele é entregue a um
hospital, sua atividade é de 95 mCi. O nível mais baixo de atividade
ainda utilizável é de 10 mCi.
a. Qual é a meia-vida do traçador?
b. Após chegar ao hospital, por quanto tempo ele permanecerá utilizável?
55. || O isótopo do rádio 223Ra, que é um emissor alfa, tem meia-vida de
11,43 dias. Suponha que você disponha de um cubo de 1,0 g de 223Ra
e que decida usá-lo para ferver a água do chá. Você coloca 100 mL de
água a 18° C em uma vasilha bem-isolada junto com o cubo.
a. Quanto tempo levará para que a água ferva?
b. Este método de fervura altera a água de alguma forma? Em caso
afirmativo, de que maneira?
56. || Quantas meias-vidas devem transcorrer até que (a) 90% e (b)
99% de uma amostra radioativa de átomos sofra decaimento?
57. || Uma amostra contém átomos radioativos de dois tipos, A e B.
Inicialmente, existem cinco vezes mais átomos A do que átomos
B. Após duas horas, as quantidades dos dois átomos são iguais. A
meia-vida de A é 0,50 hora. Qual é a meia-vida de B?
58. || Isótopos radioativos geralmente ocorrem juntos em misturas. Suponha que uma amostra de 100 g contenha 131Ba, com meia-vida de 12
dias, e 47Ca, com meia-vida de 4,5 dias. Se inicialmente houver duas
vezes mais átomos de cálcio do que átomos de bário, qual será a razão
entre as abundâncias dos dois átomos após decorridas 2,5 semanas?
59. || A técnica conhecida como datação pelo potássio-argônio é usada
para datar antigos fluxos de lava. O isótopo 40K tem uma meia-vida
de 1,28 bilhão de anos e é encontrado na natureza em níveis muito
pequenos. O 40K decai por emissão beta para 40Ar. O argônio é um
gás e não está presente na lava, pois escapa da Terra. Com a solidificação da lava, todo o argônio produzido na desintegração do 40K
fica aprisionado no material, sem poder escapar. Um geólogo lhe
traz um pedaço de lava solidificada e você descobre que a razão
40
Ar/40K vale 0,12. Qual é a idade da lava solidificada trazida pelo
geólogo?
1362
Física: Uma Abordagem Estratégica
235
60. || A meia-vida do isótopo U é de 700 milhões de anos. A Terra foi
formada há aproximadamente 4,5 bilhões de anos. Que quantidade
de 235U havia a mais do que existe atualmente, quando a Terra foi
formada? Expresse sua resposta usando a razão entre a quantidade
que havia antes e a quantidade existente atualmente.
61. || Um paciente de 75 kg engole um emissor beta de 30 Ci que
será usado como traçador. A meia-vida do isótopo é de 5,0 dias. A
energia média das partículas beta vale 0,35 MeV, com RBE de 1,5.
Noventa por cento das partículas beta emitidas são absorvidas pelo
corpo do paciente e 10% delas escapam. Qual é a dose total (em
mrem) recebida pelo paciente?
62. || Qual é a dose de radiação gama, em Gray, que deve ser absorvida
por um bloco de gelo a 0° C para transformá-lo inteiramente em
água a 0º C?
63. || Um raio X de tórax usa fótons de 10 KeV com RBE de 0,85.
Uma pessoa de 60 kg recebe uma dose de 0,30 mSv de raio X que
atinge 25% de seu corpo. Quantos fótons de raios X são absorvidos
pelo corpo do paciente?
64. || A taxa com a qual um traçador radioativo se perde no corpo do
paciente é a taxa de decaimento do isótopo mais a taxa em que ele é
expelido pelo corpo. Experimentos médicos revelaram que os isótopos estáveis de um elemento são expelidos com meia-vida de 6,0 dias.
Um isótopo radioativo do mesmo elemento tem meia-vida de 9,0 dias.
Qual é a meia-vida efetiva do isótopo no corpo do paciente?
65. || O isótopo 239Pu tem uma meia-vida de 24.000 anos e decai por
emissão de uma partícula alfa de 5,2 MeV. O plutônio não é muito
perigoso de manusear porque sua atividade é baixa e a radiação alfa
não penetra na pele. Contudo, existem certas preocupações relacionadas à saúde, no caso de o plutônio ser inalado e suas partículas,
mesmo que muito pequenas, se alojarem nos pulmões. Isso pode
ocorrer após um incêndio ou uma explosão que espalhe o plutônio
como poeira. Vamos determinar o nível de risco.
a. Partículas de fuligem possuem aproximadamente 1 m de diâmetro. Sabe-se que essas partículas podem se alojar no interior
dos pulmões. Qual é a quantidade de átomos presentes em uma
partícula de 239Pu com 1 m de diâmetro? A densidade do plutônio vale 19,800 kg/m3.
b. Qual é a atividade, em Bq, de uma partícula com 1 m de diâmetro?
c. A atividade da partícula é muito pequena, mas o poder de penetração das partículas alfa também é muito pequeno. Todas as
partículas alfa são impedidas de seguir em frente e cada uma
delas deposita sua energia em seu entorno, que é uma esfera
com 50 m de diâmetro. Qual é a dose recebida, em rem/ano,
por essa pequena esfera de tecido dos pulmões? Use uma RBE
média de 15 e considere que a densidade do tecido seja a mesma da água.
d. É provável que essa exposição seja significativa? Como ela se
compara à exposição radioativa natural?
Problemas desafiadores
238
66. O isótopo U ocorre naturalmente, em pequenos níveis, em vários
tipos de solo. Um dos núcleos da série de decaimentos de 238U é o
isótopo 222Rn, que decai ao emitir uma partícula alfa de 5,50 MeV
com t1/2 ⫽ 3,82 dias. O radônio consegue penetrar através do alicerce
de uma casa e se misturar ao ar. A Agência de Proteção Ambiental
dos EUA recomenda que os proprietários de imóveis tomem medidas
para remover o radônio, mantendo ventilado o interior de sua residência caso a atividade do radônio exceda 4 pCi por litro de ar.
222
3
a. Quantos átomos de Rn estão presentes em 1 m de ar quando a
atividade atinge 4 pCi/L?
b. O alcance no ar das partículas alfa é de 艐 3 cm. Vamos considerar uma pessoa como um cilindro de 180 cm de altura, 25 cm de
diâmetro e 65 kg de massa. Somente decaimentos distantes no
máximo 3 cm do cilindro podem causar exposição, e somente 艐
50% dos decaimentos ocorrem na direção da pessoa. Determine
a dose em mrem por ano recebida por uma pessoa que passe um
ano inteiro em uma sala onde a atividade é de 4 pCi/L. Considere
uma RBE médio de 15.
c. A recomendação da APA parece apropriada? Por que ou por que
não?
67. Estime a distância de parada no ar de uma partícula alfa de 5,0
MeV. Admita que a partícula perde, em média, 30 eV por colisão.
68. Um decaimento beta-mais é representado por AXz → AYz⫺1 ⫹ e⫹ ⫹ v.
a. Determine o limiar de massa para o decaimento beta-mais, ou
seja, a massa atômica mínima mx para que esse decaimento seja
energeticamente possível. Expresse sua resposta em função da
massa atômica mY e da massa me do elétron.
Dica: Inicie com as massas nucleares e, depois, adicione um número igual de elétrons a ambos os lados da reação para obter as
massas atômicas.
b. O 13N pode sofrer decaimento beta-mais para 13C? Em caso afirmativo, qual é a quantidade de energia liberada no decaimento?
69. Todos os átomos encontrados na Terra foram criados há muito tempo por meio de reações de fusão nuclear em uma supernova, uma
estrela que explodiu. Os fragmentos arremessados pela supernova
mais tarde se aglutinaram, formando gases a partir dos quais foram
formados o Sol e os planetas de nosso Sistema Solar. Os físicos
235
238
nucleares sugerem que os isótopos U e U do urânio devem ter
sido criados em número igual. Sabemos que, atualmente, 99,28%
do urânio consiste de 238U, e apenas 0,72% é 235U. Há quanto ocorreu nossa supernova?
70. Pode parecer estranho que no decaimento beta um próton, que é
positivo e repelido pelo núcleo também positivo, permaneça no núcleo, enquanto o elétron, que é negativo e atraído pelo núcleo, seja
ejetado. Para entender o decaimento beta, vamos analisar o decaimento de um nêutron em repouso em um laboratório. Vamos igno⫹
–
rar o antineutrino e considerar o decaimento n → p ⫹ e . A análise
requer o uso das equações relativísticas da energia e do momentum,
vistas do Capítulo 37.
a. Qual é a energia cinética total, em MeV, do próton e do elétron?
b. Escreva a equação que expressa a conservação da energia relativística para esse decaimento. A equação deve ser escrita em
função das três massas mn, mp e me e dos fatores de Lorentz relativísticos γp e γe.
c. Escreva a equação que expressa a conservação do momentum
relativístico para esse decaimento. Vamos estabelecer que v represente o módulo da velocidade e que os sinais negativos devem
ser escritos explicitamente.
d. Você tem duas equações simultâneas para duas incógnitas, vp e
ve. Para facilitar a resolução do sistema de equações, demonstre
primeiro que γv ⫽ (γ2 – 1)1/2c.
e. Isole vp e ve. (É mais fácil obter γp e γe primeiro e, depois, v a
partir de γ.) Primeiro, obtenha uma expressão algébrica para cada
uma das velocidades consideradas em função das massas. Depois, avalie cada um, escrevendo v como uma fração de c.
f. Determine a energia cinética, em MeV, do próton e do elétron.
Verifique se a soma das duas é consistente com a resposta ao
item a.
CAPÍTULO 43
g. Agora explique por que o elétron é ejetado no decaimento beta
enquanto o próton permanece no núcleo.
71. O decaimento alfa ocorre quando uma partícula alfa, por efeito túnel, atravessa uma barreira coulombiana. A FIGURA PD43.71 mostra
um modelo unidimensional simples do poço de energia potencial
para uma partícula alfa em um núcleo com A 艐 235. A largura do
poço de energia potencial, de 15 fm, é o diâmetro do núcleo. Para
deixar o modelo ainda mais simples, a barreira coulombiana será
modelada como uma barreira de energia potencial retangular de 20
fm de largura e 30 MeV de altura. O objetivo desse problema é
calcular a meia-vida de uma partícula alfa que esteja no nível de
energia E ⫽ 5,0 MeV.
,
■
Física Nuclear
1363
a. Qual será a energia cinética da partícula alfa enquanto ela estiver
no núcleo? Qual será a sua energia cinética após ela ter escapado
do núcleo?
b. Considere a partícula alfa no núcleo como uma partícula puntiforme que se move de um lado para o outro com a energia cinética que você determinou no item a. Qual é a taxa de colisão da
partícula e o número de vezes que a partícula colide, por segundo, com uma das paredes da barreira de energia potencial?
c. Qual é a probabilidade de tunelamento, Ptúnel?
d. Mais precisamente, Ptúnel representa a probabilidade de que, em
uma colisão qualquer com a parede, a partícula alfa tunele a barreira em vez de ser refletida. A probabilidade de não ocorrer o
tunelamento, neste caso, é igual a 1 – Ptunel. Assim, a probabilidade de a partícula alfa ainda estar no interior do núcleo após
N colisões com uma das paredes é dada por (1 – Ptúnel)N 艐 1 –
NPtúnel, onde usamos a aproximação binomial porque Ptúnel ⬍⬍
1. A meia-vida é o tempo em que metade dos núcleos ainda não
decaiu. Use essa informação para determinar (em anos) a meiavida desse núcleo.
FIGURA PD43.71
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 43.1: 3. Isótopos diferentes de um elemento possuem diferentes números de nêutrons, mas o mesmo número de prótons. O número de elétrons em um átomo neutro é igual ao seu número de prótons.
Pare e Pense 43.2: d. Para manter A constante quando N aumenta em 1,
é necessário que Z diminua em 1.
Pare e Pense 43.3: Não. Um contador Geiger responde somente à radiação ionizante. A luz visível não é uma radiação ionizante.
Pare e Pense 43.4: c. Resta um quarto dos átomos. Isso equivale à metade da metade, ou (1/2)2.
Pare e Pense 43.5: b. Ocorrerá um aumento de Z sem que haja alteração de A quando um nêutron se transformar em um próton mais um
elétron, e o elétron for ejetado.
P A R T E
RESUMO
VII Relatividade e Física Quântica
Niels Bohr não podia estar mais certo quando disse que
“quem não ficar espantado com a teoria quântica é porque não
conseguiu entendê-la”. A mecânica quântica é realmente surpreendente. A previsibilidade da física newtoniana deu lugar a um
mundo misterioso onde entidades físicas que deveriam ser ondas
às vezes se comportam como partículas. De alguma forma, elétrons e nêutrons produzem interferência consigo mesmo. Essas
descobertas contrariam totalmente nosso senso comum.
De acordo com a mecânica quântica, a função de onda e as
probabilidades com ela associadas são tudo que podemos saber
ESTRUTURA DO CONHECIMENTO VII
CONCEITOS ESSENCIAIS
OBJETIVOS BÁSICOS
PRINCÍPIOS GERAIS
acerca de uma partícula atômica. Essa idéia é tão perturbadora
que muitos cientistas renomados relutaram em aceitá-la. Einstein estava errado ao proferir sua frase famosa “Deus não joga
dados com o universo”. Por mais estranho que possa parecer, é
assim que a natureza realmente é.
Ao concluir nossa jornada pelo mundo da física, o conhecimento estruturado da Parte VII resume as idéias importantes da
relatividade e da física quântica. Esteja você chocado ou não,
essas são as teorias cientificas por trás da tecnologia emergente
do século XXI.
Relatividade e física quântica
Referencial, evento, átomo, fóton, quantização, função de onda, densidade de probabilidade
Quais são as propriedades e as características do espaço e do tempo?
O que podemos aprender sobre a luz e os átomos?
Como os fenômenos atômicos e nucleares são explicados por meio de níveis de energia, funções de onda e fótons?
Princípio da Relatividade
Todas as leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais.
Equação de Schrödinger
Princípio da exclusão de Pauli
Princípio da incerteza
No máximo um elétron pode ocupar um mesmo estado quântico.
⌬x⌬p ⱖ h/2
RELATIVIDADE O princípio da relatividade estabelece que:
• A velocidade da luz, c, é a mesma em relação a todos os referenciais
inerciais. Nenhuma partícula ou influência causal pode se mover com
velocidade maior do que c.
• Contração espacial: é o comprimento de um objeto em relação a um
referencial em que o objeto se move com velocidade v
onde ᐉ o comprimento próprio e ⫽ v/c.
• Dilatação temporal: o intervalo de tempo próprio ⌬τ entre dois
eventos é aquele medido em relação a um referencial em que os dois
eventos ocorrem na mesma posição. O intervalo de tempo ⌬t em relação a um referencial que se move com velocidade relativa v é
• E ⫽ mc2 é a energia equivalente à massa. Massa pode transformarse em energia, e energia, em massa.
FISICA QUÂNTICA Sistemas quânticos são descritos por uma função
de onda (x).
• A probabilidade de uma partícula ser encontrada em uma faixa estreita de largura x centrada na posição x é Prob(com x centrado em
2
x) ⫽ P(x) x. A densidade de probabilidade é P(x) ⫽ |(x)⏐ .
• A função de onda deve ser normalizada.
• A função de onda pode penetrar uma região classicamente proibida
com distância de penetração
• Uma partícula pode tunelar uma barreira de energia de altura U0 e
– 2w/η
largura w com uma probabilidade Ptúnel ⫽ e
Propriedade da luz
Propriedades dos núcleos
• Um fóton de luz de freqüência ƒ possui energia Efóton ⫽ hƒ.
• Os fótons são emitidos e absorvidos por inteiro.
• O núcleo é mantido coeso pela interação forte, uma força atrativa de
curto alcance entre dois núcleons.
• Os núcleos são estáveis apenas se os números de prótons e de nêutrons estiverem na linha de estabilidade.
• Núcleos instáveis decaem por meio de decaimento alfa, beta ou
gama. O número de núcleos diminui exponencialmente com o tempo.
Propriedades dos átomos
• Níveis quantizados de energia, obtidos por meio da equação de
Schrödinger, dependem dos números quânticos n e l.
• Um átomo pode saltar de um estado para outro através da emissão
ou da absorção de um fóton de energia Efóton ⫽ ⌬Eátomo
• No estado fundamental, a configuração eletrônica é a de mais baixa
energia consistente com o princípio de Pauli.
UM PASSO ALÉM
ALÉM
A Revolução dasquânticos
Telecomunicações
Computadores
Todos os sistemas que estudamos na Parte VII foram considerados como
estando em um estado quântico único e bem-definido. Um átomo de hidrogênio, por exemplo, estava no estado 1s ou, talvez, no estado 2p. Mas
há outra possibilidade. Alguns sistemas quânticos podem existir como
uma superposição de dois ou mais estados quânticos.
Levantamos a possibilidade de superposição quando examinamos
o experimento da dupla fenda à luz da física quântica. Observamos que
um fóton, ou um elétron, deve, de certa forma, atravessar ambas as fendas e, então, interferir consigo mesmo de modo a produzir um padrão
de interferência no anteparo. Suponha que um elétron que tenha passado
pela fenda superior na figura esteja no estado quântico a. Já um elétron
que tenha passado pela fenda inferior está no estado b.
O elétron que tenha atrevessado a fenda superior
está no estado ␺a.
Elétron
incidente
O elétron atrás das fendas está
no estado de superposição ␺ ␺a ␤␺b.
O elétron que tenha atrevessado a fenda inferior está no
estado ␺b.
FIGURA VII.1 O elétron que emerge da dupla fenda encontra-se em
um estado de superposição.
Dizer que um elétron atravessa ambas as fendas é o mesmo que dizer
que o elétron emerge da dupla fenda no estado de superposição ⫽ a
⫹ b, onde os coeficientes e devem satisfazer à condição 2 ⫹ 2
⫽ 1. (Note que isso se parece com a determinação do módulo de um vetor a partir de seus componentes.) Se fôssemos detectar o elétron, 2 e 2
seriam as probabilidades de encontrar o elétron no estado a ou no estado
b, respectivamente. Mas até que detectemos esse elétron, ele existe em
um estado de superposição de ambos os estados a e b. É justamente a
superposição que permite ao elétron interferir consigo mesmo e produzir
o padrão de interferência.
Mas qual é a relação disso tudo com os computadores? Como você
já sabe, tudo o que um moderno computador digital faz, desde surfar na
Internet até cálculos pesados, é realizado por meio da manipulação de
seqüências binárias de 0s e 1s. O conceito de computação com bits binários remonta a Charles Babbage, a meados do século XIX, mas somente
na metade do século XX os cientistas e engenheiros desenvolveram a
tecnologia que provê uma representação física para esse conceito.
Todo bit binário é sempre um 1 ou um 0, não existe outro estado
intermediário. Isso é representado em um microprocessador moderno
por pequenos capacitores que estão carregados ou não-carregados.
Suponha que desejemos representar informações não por meio de capacitores, mas por meio de um sistema quântico que possua dois estados. Podemos dizer, então, que este sistema representa um 0 quando
encontra-se no estado a, e um 1, quando no estado b. Esse sistema
quântico equivale a um bit binário qualquer desde que o sistema esteja
em um dos estados.
Contudo, ao contrário do bit clássico, o sistema quântico tem a possibilidade de estar em um estado de superposição. Usando 0 ou 1, em
lugar de a e b, poderíamos dizer que o sistema pode estar no estado ⫽ ⋅ 0 ⫹ ⋅ 1. Essa unidade básica da computação quântica é chamada
de qbit. À primeira vista, pode parecer que poderíamos realizar a mesma coisa com um sistema clássico ao permitir que a carga do capacitor
varie, mas um capacitor parcialmente carregado ainda se encontra em
um estado único e bem-definido. Em contraste, um qbit – analogamente
ao elétron que atravessa ambas as fendas – encontra-se no estado 0 e no
estado 1 ao mesmo tempo.
Para ilustrar as possibilidades, suponha que você tenha três bits clássicos e três qbits. Os três bits podem representar oito números diferentes
(de 000 a 111), mas apenas um de cada vez. Os três qbits representam
todos os oito números simultaneamente. Para realizar uma operação matemática, você tem de efetuá-la oito vezes com os três bits para obter
todos os resultados possíveis. Com três qbits, entretanto, você teria todos os oito resultados simultaneamente a partir de uma só operação. Em
geral, calcular com n qbits fornece teoricamente uma melhoria da ordem
de 2n em relação ao mesmo cálculo efetuado com n bits.
Dizemos “teoricamente” porque a computação quântica se encontra ainda no estágio conceitual, tal como os computadores digitais há
150 anos. Que tipo de sistema quântico pode realmente ser colocado
em estado de superposição adequado? Como manipularemos os qbits?
Como as informações de entrada (in) e de saída (out) serão lidas? Que
tipos de cálculos seriam significativamente mais rápidos com o uso da
computação quântica?
Todas essas questões estão sendo investigadas ativamente nos dias
de hoje. A computação quântica ainda está engatinhando e a tecnologia
para um computador quântico real ainda é desconhecida. Assim como
Charles Babbage jamais poderia ter imaginado os computadores de que
hoje dispomos, o uso dos computadores quânticos no futuro ainda é difícil de prever. Porém certamente existem muitos usos que algum de
vocês poderá ajudar a inventar.
FIGURA VII.2 Esta seqüência de íons de berílio mantidos em
uma armadilha de íons está sendo estudada como um possível
computador quântico. Os estados quânticos dos íons são
manipulados por meio de feixes de laser.
Créditos
INTRODUÇÃO
Cortesia da International Business Machine Corporation. O uso não-autorizado
não é permitido.
CAPA
Ilustração de Yvo Riezebos Design e foto de Bill Frymire/Masterfile.
PARTE VII RELATIVIDADE E FÍSICA QUÂNTICA
Página 1140: National Institute of Standards and Technology.
CAPÍTULO 37
Página 1142: John Y. Fowler. Página 1143: Topham/The Image Works. Página
1160: U.S. Department of Defense Visual Information Center. Página 1161:
Stanford Linear Accelerator Center. Página 1175: Science Photo Library/Photo
Researchers. Página 1176: Wellcome Dept. of Cognitive Neurology/Science
Photo Library/Photo Researchers.
CAPÍTULO 38
Página 1184: Car Culture/Getty Images. Página 1186: DaimletChrysler.
Página 1189: Science Photo Library/Photo Researchers. Página 1190: Science
Museum/Science and Society Picture Library. Página 1199: Gerard Herzberg/
Atomic Spectra and Atomic Structure, Prentice-Hall, 1937. Página 1200 T:
Digital Vision/Getty Images. Página 1200 B: Ted Kinsman/Photo Researchers.
CAPÍTULO 39
Página 1208: IBM. Página 1212: Bettman/Corbis. Página 1213: DPA/HM/
The Image Works. Página 1216: Creatas/agefotostock. Página 1218: Dr. Claus
Jonsson. Página 1221: Bettman/Corbis.
CAPÍTULO 40
Página 1239: Digital Instruments Inc. Página 1240: Dr. Claus Jonsson.
CAPÍTULO 41
Página 1262: IBMCorporateArchives.Página 1263: Bettman/Corbis. Página
1292 L: Digital Instruments Inc. Página 1292 R: Prelim Ed., from G. Binnign
and H. Rohres, Surface Science, 144, p. 321, 1984.
CAPÍTULO 42
Página 1300: RichardWainscoat/Alamy.Página 1304: TomPantages. Página
1316: Courtesy National Institute of Standards and Technology. Página 1320:
Archivo Iconografico, S.A./Corbis. Página 1325: Meggers Gallery/American
Institute of Physics/Science Photo Library/Photo
Researchers.
CAPÍTULO 43
Página 1333: C.Powell,P.Fowler&D.Perkin/PhotoResearchers. Página 1335:
British Antarctic Survey/Photo Researchers. Página 1341: Bettman/Corbis.
Página 1343: Hulton/Getty Images. Página 1344: Kevin Fleming/Corbis.
Página 1348: Landmann Patrick/Corbis SYGMA. Página 1352: ICRR Institute
for Cosmic Ray Research. Página 1356: Lonnie Duka/Index Stock. Página
1357: Howard Sochurek/Corbis.
Revisão Matemática
APÊNDICE
A
Álgebra
Usando expoentes:
Frações:
Logaritmos:
A expressão ln (a ⫹ b) não pode ser simplificada.
Equações lineares:
O gráfico da equação y ⫽ ax ⫹ b é uma linha reta. O
coeficiente a é a declividade da reta, e b, sua intersecção
com o eixo y.
Proporcionalidade:
Para expressar que y é proporcional a x, escreva y ⬀
x, significando que y ⫽ ax, onde a é uma constante. A
proporcionalidade é um caso especial da linearidade. O
gráfico correspondente a uma relação de proporcionalidade é uma reta que passa pela origem. Se y ⬀ x, então
Equação quadrática:
Declividade
altura
base
intersecção
com y
A equação quadrática ax2 ⫹ bx ⫹ c ⫽ 0 possui duas soluções dadas por
Geometria e trigonometria
Áreas e volumes:
Retângulo
Caixa retangular
Triângulo
Cilindro circular reto
Círculo
Esfera
A-1
APÊNDICE
A
Comprimento
de arco e ângulo:
O ângulo em radianos é definido por ⫽ s/r.
O comprimento de arco que subtende o ângulo é s ⫽ r.
2 rad ⫽ 360°
Triângulo retângulo:
Teorema de Pitágoras
Triângulo qualquer:
⫹ ⫹ ⫽ 180° ⫽ rad
Lei dos cossenos c2 ⫽ a2 ⫹ b2 ⫺ 2ab cos Identidades:
Expansões e aproximações
Expansão binomial:
Aproximação binomial:
Expansões
trigonométricas:
Aproximação de
pequenos ângulos:
A-2
Se 1 rad, então sen ⬇ tg ⬇ e cos ⬇ 1.
A aproximação de pequenos ângulos é excelente para ⬍ 5° (⬇ 0,1 rad) e geralmente aceitável até ⬇ 10°.
Nas seguintes derivadas e integrais, as letras a e n representam constantes.
Derivadas
A
APÊNDICE
Cálculo
Integrais
A-3
Período
,
,
,
,
,
,
Actinídeos
Lantanídeos
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Símbolo
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Elementos de transição interna
,
,
,
,
,
,
,
,
Elementos de transição
Massa atômica
Número atômico
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
APÊNDICE
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Tabela Periódica dos Elementos
,
,
B
B-1
Número
atômico (Z)
Elemento
Símbolo
Número
de massa (A)
Massa
Percentual de
atômica (u) abundância
Modo de
decaimento
Meia-vida t1/2
C
APÊNDICE
Dados Atômicos e Nucleares
C-1
APÊNDICE
C
C-2
Número
atômico (Z)
Elemento
Símbolo
Número
de massa (A)
Massa
Percentual de
atômica (u) abundância
Modo de
decaimento
Meia-vida t1/2
Elemento
Símbolo
Número
de massa (A)
Massa
Percentual de
atômica (u) abundância
Modo de
decaimento
Meia-vida t1/2
C
APÊNDICE
Número
atômico (Z)
C-3
APÊNDICE
C
C-4
Número
atômico (Z)
Elemento
Símbolo
Número
de massa (A)
Massa
Percentual de
atômica (u) abundância
Modo de
decaimento
Meia-vida t1/2
Respostas
Respostas dos exercícios e problemas de numeração ímpar
Capítulo 37
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13. O raio 2, 20 ␮s antes do raio 1
15. Sim
17. 0,866c
19. a. 0,9965c b. 59,8 anos-luz
21. 46 m/s
23. Sim
25. 4600 kg/m3
27. 3,0 ⫻ 106 m/s
29. x ⫽ 8,3 ⫻ 1010 m, t ⫽ 330 s
31. 0,36c no sentido negativo do eixo x
33. 0,71c
35. 0,80c
37. 0,707c
39. a. 1,8 ⫻ 1016J b. 9,0 ⫻ 109
41. 0,943c
43. u50 final ⫽ 1,33 m/s para a direita; u100 final ⫽ 3,33 m/s para a esquerda
45. u1 inicial ⫽ 4,0 m/s para a direita; u2 inicial ⫽ 2,0 m/s para a esquerda
47. 11,2 h
49. a. Não b. 67,1 anos
51. a. 80c b. 16 anos
53. 0,78 m
55. a. 8,5 anos-luz, 17 anos b. 7,4 anos-luz, 15 anos c. Ambos
57. 0,96 c
59. 3,1 ⫻ 106V
61. a. 0,98 c b. 8,5 ⫻ 10⫺11J
63. b. Comprimentos perpendiculares ao movimento não são afetados.
65.
67. 3,87mc
69. 0,786c
71.
73.
75. 1 pm
77. 22 m
79. 0,85c
81. Sim
Capítulo 38
1.
3. 5,0 ⫻ 10⫺3 T, para fora da página
5. 0,52 ␮m
7.
c. Partícula alfa
9.
11. 75 eV
13. a. 4 elétrons, 4 prótons, 5 nêutrons
b. 6 elétrons, 7 prótons, 7 nêutrons
c. 4 elétrons, 6 prótons, 7 nêutrons
15.
17. a. 79 elétrons, 79 prótons, 118 nêutrons b. 2,29 ⫻ 1017kg/m3
c. 2,0 ⫻ 1013
19.
21.
23.
25. 2,42 ␮m
27.
29.
31. 8,4°
33. 9.58 ⫻ 107 C/kg, próton
35. a. 0,140 nm b. 1,34 ⫻ 106m/s
37.
39. b. Diminui pouco
c. O número de nêutrons aumenta mais rápido do que Z
41. Alumínio
43.
45.
47.
49.
Capítulo 39
1. 6,25 ⫻ 1013 elétrons/s
3. 3,20 eV
5. 1,78 eV
7. a. Alumínio b. 1,93 V
9. a. 4.140 nm; infravermelho b. 414 nm; visível
c. 41,4 nm; ultravioleta
11. a. 1,5 ⫻ 1029 b. Onda
13. a. 5,0 ⫻ 1014Hz b. 1 ⫻ 1019 fótons/s
15. 6,0 ⫻ 10⫺6V
17. 6
19. 0,427 nm
21. a. Sim b. 0,50 eV
23. n ⫽ 2: sim; n ⫽ 3: não
25.
27. 3,40 eV
31. 97,25 nm
33.
35. a. 1,7 ⫻ 1018 fótons b. 1,7 ⫻ 1026 fótons/s
37.
39. Sódio
41. a. 0,24 ␮A
43.
51.
c. Ambos ultravioleta
R-2
Respostas
⫺1/2
53. ⫺0,278 nm
55. 1282 nm
57.
39. a 0,866 cm
b.
59. 3 → 2: 10,28 nm, 4 → 2: 7,62 nm, 5 → 2: 6,80 nm; todos ultravioleta
61.
63.
65.
67.
c. raios X d. 7,3 ⫻ 1013; sim
Capítulo 40
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
c.
d. 3440
41. a. a ⫽ b
b.
b.
c.
43. 18 ␮m
45.
47.
c. 0,75
17. a. 0,354 mm⫺1/2
b.
c. 0,25
19. 25 ns
21. 1,0 ⫻ 105
23.
25. 0 até 2,5 ⫻ 107 m/s
27.
29. 1,0 ⫻ 105 pulsos/s
31. a.
b. A energia de um fóton não pode ser conhecida
precisamente.
49. 50%
51. a.
b.
c.
d. 2,5 ⫻ 105
b.
33. a. Sim
b.
Capítulo 41
1. 0,739 nm
3. 0,75 nm
7. 0,135
9. 0,038 eV
11.
c.
35.
b.
13. a.
Pontos de retorno
c.
d. 0,125
37. a. 0,27%
b. 31,8%
15. 150 nm
17. 2,25 N/m
Respostas
19. 1,35 N/m
21. a. 4,95 eV b. 4,80 eV
25. a.
29.
c.
Eixo z
c. 4,55 eV
Mais provável
Menos provável
Prob de estar na terça parte
esquerda a partir do gráfico
Prob calculada de estar
na terça parte esquerda
27.
29.
33.
31. 4,77 ⫻ 107 m/s
35.
b. 2aB
37. a.
35.
b.
⫺463
39. 10
43.
37.
b.
c.
39.
41.
45.
Capítulo 42
1.
3.
5.
7.
9.
11. a. Estado excitado do Ne b. Estado fundamental do Fe
13.
15. a. Sim; 2,21 ␮m
17. 2,0%
19.
21.
23.
25.
43. a. Energia
b.
Círculo de raio
R-3
R-4
Respostas
b. 28,7 eV
45. a. 6,25 ⫻ 108 s⫺1 b. 0,17 ns
47. 5,7 ns
49. 5,0 ⫻ 1016
51. b. 0,021 nm
53. 8,03%
55. 4,472aB
57. a. pátomo ⫽ 7,0 ⫻ 10⫺23 kg m/s; pfóton ⫽ ⫺8,5 ⫻ 10⫺28 kg. m/s
b. 82.400 fótons
c. 1,24 ms
d. 4,05 ⫻ 105 m/s2
e. 31 cm
Capítulo 43
1.
3.
5.
7.
9. a. 36S e 36Ar
11.
13. 12C: 7,68 MeV; 13C: 7,47 MeV; o 12C é mais coeso (mais fortemente
ligado)
15. 20,18 u
17. 8000 N
19. 2,3 ⫻ 10⫺38
21.
Nêutrons
Nêutrons
Prótons
Nêutrons
Prótons
⫺
Prótons
⫹
b. o N é instável; o C sofre decaimento ␤ ; o O sofre decaimento ␤
14
14
14
23.
25.
27. 80 d
29.
228
31. Th
33. 4,82 MeV
35. 0,225 J
37. 60 mrem
39.
41.
43.
45. 6,0 MeV
17
17
17
17
47. a. N, O, F b. O
17
⫺
17
17
17
c. N decai por ␤ para O; F decai por captura eletrônica para O
11
51. 7,16 ⫻ 10 Bq ou 19,4 Ci
53. 2,73 ⫻ 1017
55. a. 19s b. Não
57. 1,2 h
59. 210 milhões de anos
61. 70 mrem
12
63. 3,3 ⫻ 10
10
7
65. a. 2,6 ⫻ 10
b. 0,024 Bq c. 1,4 ⫻ 10 rem/ano d. Sim, ~ 50 milhões
de vezes maior do que a radioatividade natural de fundo
67. 15 cm
69. 艐 6 bilhões de anos atrás
21 ⫺1
71. a. Kdentro ⫽ 65,0 MeV; Kfora ⫽ 5,0 MeV; b. 3,7 ⫻ 10 s
⫺39
c. 6,6 ⫻ 10
d. 650 milhões de anos
Índice
A
D
Absorção
de luz, 1224
de sódio, 1317
do hidrogênio, 1231, 1317
por excitação, 1317
Abundância natural de isótopos, 1335
Água pesada (deutério), 1336
Aniquilação elétron-pósitron (PET scan),
1176
Ano-luz, 1160
Antimatéria, 1175, 1352
Antinodos, 1272
Aproximação binomial, 1168
Aproximação de partícula independente, 1310
Atividade de amostra radioativa, 1347-48
Átomos, 1184, 1222, 1228-29. Ver também
Elétrons; Física nuclear; Hidrogênio; Núcleo
Datação pelo método do potássio-argônio,
1361
Datação por carbono, 1348-49
Datação radiométrica, 1348-49
De Broglie, Louis-Victor, 1217-18
Decaimento. Ver também Radioatividade
exponencial, 1279
nuclear, 1345-47
séries de, 1353
taxa de, 1322, 1345-47
Decaimento alfa, 1182, 1349-50, 1363
Decaimento beta, 1207, 1342, 1350-51, 1352,
1362
Decaimento gama, 1353
Densidade de probabilidade radial, 1305-07
Densidade nuclear, 1336-37
Deutério, 1336
Diagrama de níveis de energia, 1223-24
para elétrons multieletrônicos, 1310
para o átomo de hidrogênio, 1230, 1303
Dilatação temporal, 1156-60
evidência experimental da, 1159
paradoxo dos gêmeos, 1159-60
tempo próprio, 1157-59
Diodo túnel ressonante, 1293-94
Dispositivos de poço quântico, 1280
diodo túnel, 1294
lasers, 1208, 1280
Dose absorvida, 1354
Dose equivalente, 1354
Dualidade onda-partícula, 1208
B
Bernoulli, Daniel, 1185
Bohr, Niels 1221, 1232, 1275
C
Camadas atômicas fechadas, 1311, 1315-17
Campos eletromagnéticos, 1187
Captura de elétron, 1351
Cavidade óptica, 1325
Comprimento de onda de De Broglie, 1218,
1225-26, 1281-83
e equação de Schrödinger, 1263-65
Comprimento de penetração, 1279
Comprimento próprio, 1161-62
Computadores quânticos, 1365
Condições de contorno para funções de onda,
1266-69
Condições elásticas e referenciais, 1147
Condução elétrica, 1186
Configuração eletrônica, 1311
Conservação do momentum, 1169-72
Constante de Planck, 1212-13
Constante de tempo e meia-vida, 1346
Contador Geiger, 1344
Contração espacial, 1161-64, 1167
Coordenadas espaço-temporais, 1151
Cor em sólidos, 1319-20
Corrente de tunelamento, 1293
Cristais, 1335
Curva da energia de ligação, 1339
E
Edison, Thomas, 1191
Efeito fotoelétrico, 1208-12
características do, 1209
explicação de Einstein para o, 1212-15
freqüência de limiar para o, 1214, 1215
interpretação clássica do, 1210, 1212
potencial de parada, 1209, 1210-11, 1215
Eficácia biológica relativa (RBE), 1354
Einstein, Albert, 1140, 1148, 1202, 1212,
1213-14, 1216, 1323-24
Elementos, 1198, 1223, 1315-17
Ver também Tabela periódica dos elementos
Elementos de transição, 1314
Eletrodos, 1185
Eletrólise, 1185, 1191
Elétron-volt, 1196-97
Elétrons, 1192-93
confinado em um capacitor, 1286
de comprimento de onda de de Broglie,
1218
descoberta do, 1188-91
elétrons secundários, 1217
energia de ligação, 1228-29
energia do, 1197, 1220
massa do, 1192-93
spin, 1307-09
Elétrons de valência, 1316
Emissão espontânea, 1323
Emissão estimulada, 1323-27
Emissão térmica, 1210
Emissão, espontânea e estimulada, 1323-24
Energia. Ver também Energia cinética;
Energia potencial
de fótons, 1213
de ionização, 1228-29, 1303, 1315-17
de ligação, 1228-29, 1338-39
de quanta de luz, 1213
de repouso, 1173
nuclear, 1273
quantização de, 1219-21
relativística, 1172-76
Energia cinética, relatividade da, 1173-74
Energia potencial. Ver também Diagrama de
níveis de energia
de átomos multieletrônicos, 1310
de núcleons, 1340-41
e interação forte, 1340-41
Energia total, 1173-74, 1176
Equação da taxa, 1322
Equação de Schrödinger
condições de contorno, 1266-67
quantização na, 1267
resolução, 1266-68
Equação do decaimento, 1321-23
Equações de Maxwell, 1148
Equivalência massa-energia, 1174-76
Espectro contínuo, 1199-1201
Espectro de absorção, 1223-24, 1231, 1278,
1317
Espectro de emissão, 1222-23, 1318-19
do hidrogênio, 1230-31
Espectro discreto, 1199, 1201-02, 1222
Espectro do corpo negro 1200
Espectro do hidrogênio, 1230-32
Espectrômetro de massa, 1198-99
Estado fundamental, 1222, 1273, 1311, 1313
Estados estacionários, 1221-22, 1224
do hidrogênio, 1225-27, 1228
Estados excitados, 1222, 1316-20
tempos de vida dos, 1320-22
I-2
Índice
Estados ligados, 1277-78
Éter, 1148
Eventos, 1151-54, 1158, 1165
e observações, 1153
tempo do, 1153
Excitação, 1316-17
por colisão, 1222, 1318
Experimento da fenda dupla de Young, 1186,
1365
Experimento da gota de óleo de Millikan,
1192-93
Experimento de Stern-Gerlach, 1308-09
Experimento de Thomson (campos cruzados),
1189-91
Exposição à radiação, 1354
energia e, 1268-71
equação de Schrödinger, 1262-65
esboço, 1282-83
formas de, 1281-83
normalização da, 1247-49, 1271
oscilador harmônico quântico, 1283-86
partícula em uma caixa rígida, 1268-74
radial, 1304-07
Função-trabalho, 1210, 1214
G
Gases, condução elétrica em, 1186
Gráfico-história, 1253
F
H
Faraday, Michael, 1184, 1186-87
Feixe atômico, 1238, 1307
Feixes de laser, 1325, 132
Física atômica, 1300, 1328
átomo de hidrogênio, 1300-1303
átomos multieletrônicos, 1309-12
espectro de emissão, 1230-31, 1318-19
estados excitados, 1320-22
lasers, 1324-25
spin do elétron, 1307-9
tabela periódica dos elementos, 1198, 1223,
1312-16
Física clássica, 1184
limites da, 1202
Física nuclear, 1280-82, 1333-57. Ver também
Núcleo
aplicações biológicas, 1353-57
estrutura nuclear, 1333-34
interação forte, 1340-41
mecanismos de decaimento, 1349-53
modelo de camadas, 1341-43
primeiro experimento, 1194-95
radiação, 1343-49
ressonância magnética, 1355-57
Fissão nuclear, 1176
Fluorescência, 1188
Força nuclear, 1340
Fórmula de Balmer, 1201, 1224-25
Fotodetectores, 1216, 1217
Fotoelétrons, 1209, 1215
Fótons, 1216-17
absorção de, 1224
comprimento de onda dos, 1223
emissão de, 1224
energia dos, 1213
interferência e, 1242-43
Franjas de interferência, 1242
Freqüência de limiar no efeito fotoelétrico,
1209, 1214-15
Função de onda, 1141, 1239, 1245-46
condições de contorno, 1268-69
do átomo de hidrogênio, 1304-07
Hertz, Heinrich, 1208-09
Hidrogênio
absorção, 1231, 1327
diagrama dos níveis de energia, 1230
energia de ionização do, 1318
espectro de emissão, 1230-31
estados estacionários do, 1225-27, 1228,
1301-02
excitação do, 1318
função de onda do, 1304-07
modelo do átomo de hidrogênio de Bohr,
1224-29
momentum angular do, 1229
níveis de energia do, 1227-28, 1303
I
Imageamento por ressonância magnética
(MRI), 1355-57
Incerteza, 1252-53
Indução eletromagnética, 1187
Influência causal, 1171-72
Intensidade luminosa, 1240-41
Interação forte, 1280-82, 1340-41
Interferência
análise em termos de fótons, 1242-43
luminosa, 1240-41
Interferência de fenda dupla, 1240
Interferômetro
atômico, 1218-19
de Michelson, 1218-19
Intervalo espaço-temporal, 1163-69, 1173
Inversão de população, 1325
Ionização, 1188-89
Íons, 1197
hidrogenóides, 1231-32
Isóbaros, 1334-35
Isótopos, 1199, 1334-35, 1355
Isótopos estáveis, 1335
Isótopos radioativos, 1355
L
Largura de banda, 1251-52
Lasers, 1324-25
de diodo semicondutor, 1280
de hélio-neônio, 1326-27
de poço quântico, 1280
de rubi, 1325-26
taxa de fótons em, 1216
Lei de Boyle, 1185
Lei de Wien, 1200-1201
Ligações covalentes, 1288-89
Ligações moleculares covalentes, 1288-89
Limite de ionização, 1230
Linha de estabilidade nuclear, 1337
Linha espectral, 1199
Líquidos, condução elétrica em, 1186
Luz. Ver também Lasers
absorção de, 1201
coerente, 1324
emissão de, 1199-1201
interferência de, 1240-41
modelo ondulatório da, 1243-44
ondas estacionárias de, 1219
quantum de, 1213-14
velocidade da, 1148-49
M
Massa
atômica, 1335-36
equivalência energia e, 1175-76
Mecânica quântica, 1239
equação de Schrödinger, 1262-65
funções de onda, 1245-46, 1281-82
ligações covalentes, 1288-89
modelos, 1265
oscilador harmônico quântico, 1283-86
partícula em um capacitor, 1286-88
partícula em uma caixa rígida, 1268-74
poços de potencial finitos, 1276-81
princípio da correspondência, 1274-76
resolução de problemas de, 1267-68
tunelamento, 1290-94
Mecanismos de decaimento, 1349-53. Ver
também Radioatividade
decaimento alfa, 1182, 1349-50, 1363
decaimento beta 1207, 1342, 1350-51,
1352, 1362
decaimento gama, 1353
interação fraca, 1351-52
séries de decaimento, 1353
Meias-vidas, 1345-47, 1348-49
Microscópio de tunelamento, 1208, 1292-93
Millikan, Robert, 1192-93, 1215
Modelo
atômico de Bohr, 1221-22
atômico do pudim de passas, 1193-94
Índice
de camadas, 1281, 1306, 1341-43
nuclear do átomo, 1195, 1197
ondulatório da luz, 1243-44
quantomecânico, 1265
Modelo atômico quântico de Bohr, 1221-22
estados estacionários, 1221-22
saltos quânticos, 1222
Modelo da gota líquida do núcleo, 1337
Modelo do átomo de hidrogênio de Bohr,
1224-29
energia de ionização, 1228-29
energia de ligação, 1228-29
estados estacionários, 1225-26
níveis de energia, 1227-28
quantização do momentum angular, 1220
Modelo nuclear dos átomos, 1195, 1197
Modelo ondulatório da luz, 1243-44
Modelos quantomecânicos, 1265
Momentum angular, 1229-1303, 1334
do hidrogênio, 1229, 1300-1303
quantização do, 1229, 1302-3
Momentum relativístico, 1169-72
Movimento de ponto-zero, 1273-74
MRI (imageamento por ressonância
magnética), 1357
Múons, 1159, 1238
N
Neutrinos, 1352
Nêutrons, 1198-99, 1280-82, 1334, 1341
Newton, Isaac, 1185, 1186
Níveis de energia, 1220, 1272, 1284,
1285-86
de núcleos de baixos valores de Z,
1342-43
do átomo de hidrogênio, 1227-28, 1303
Níveis de energia vibracionais, 1285-86
Normalização, 1247-49
Núcleo, 1198-99, 1334
descoberta do, 1193-97
energia de ligação, 1338-39
estabilidade, 1337-39
-filho, 1349-50
modelo de camadas do, 1281
núcleos com altos valores de Z, 1343
núcleos com baixos valores de Z, 1342-43
-pai, 1349-50
tamanho e densidade, 1336-37
Núcleons, 1334
energia potencial de, 1340-41
Número atômico, 1198, 1309, 1334
Número de massa, 1199, 1334
Número de nêutrons, 1334
Número quântico, 1220
de spin, 1308-09
magnético, 1301
orbital, 1301
principal, 1301
Nuvem eletrônica, 1304
O
Ondas de matéria, 1217-19
Ondas luminosas estacionárias, 1219
Órbita geossíncrona, 1139
Orbital molecular antiligante, 1289
Orbital molecular ligante, 1289
Oscilador harmônico quântico, 1283-86
P
Pacotes de onda, 1216, 1249-53
incerteza e, 1252-55
largura de banda dos, 1251-52
Paradoxo dos gêmeos, 1159-60
Partícula confinada em um capacitor, 1286-88
“Partícula em uma caixa”, 1268-1274
condições de contorno para, 1268-69
diagrama de níveis de energia para, 1270
energias permitidas para, 1270-71
função energia potencial para, 1268
funções de onda em, 1269-70
interpretação da solução, 1271-74
movimento de ponto-zero, 1273-74
Partículas alfa, 1194-95, 1196, 1344
Partículas beta, 1344
Partículas subatômicas, 1191
Partículas, probabilidade de localização, 1249,
1274
Poços de potencial, 1276-81
Poço de potencial finito, 1276-81. Ver também
Dispositivos de poço quântico
regiões classicamente proibidas, 1277-81
Pósitrons, 1175
Potencial de parada, 1209, 1210-11, 1215
Princípio da correspondência, 1274-76
Princípio da exclusão de Pauli, 1311-12,
1334, 1342
Princípio da incerteza, 1253-55, 1273-74
Princípio da incerteza de Heisenberg, 125355, 1273-74
Probabilidade, 1241-42
de detecção de fótons, 1242-43
de localização de partículas, 1249, 1274
de saltos quânticos, 1321-22
do elétron em um átomo de hidrogênio,
1304
Probabilidade de densidade, 1244
do átomo de hidrogênio, 1304
Prótons, 1198, 1280-82, 1334, 1341
Psi, lei de, 1246. Ver também Equação de
Schrödinger
Pulsar, 1361
Q
Quanta de luz, 1213-14
Quantização
atômica, 1221-24
da energia, 1219-21
do momentum angular, 1229, 1302-03
na Equação de Schrödinger, 1267
Quantum fundamental de energia, 1220
R
Radiação, 1343-49
decaimento nuclear, 1345-47
do corpo negro, 1199-1201
ionizante, 1344
usos medicinais da, 1355
Radiação térmica, 1199-1200
Radioatividade, 1193, 1334, 1343-49.Ver
também Mecanismos de decaimento
Raio de Bohr, 1226-27
Raios alfa, 1193-94, 1334
Raios beta, 1193-94, 1334
Raios catódicos, 1187-91
Raios gama, 1175-76, 1281, 1334
uso medicinal, 1355
Raios X
ionização por, 1188-89
médicos, 1355
Rede cristalina, 1299
Referenciais, 1143-55
Referencial em repouso, 1156
Regiões classicamente proibidas, 1277-81
Regras de seleção, 1317
Relação tempo-frequência, 1251
Relatividade, 1142-43. Ver também
Relatividade galileana
contração espacial, 1161-64
dilatação temporal, 1156-60
dos eventos, 1151-54, 1158, 1165
energia e, 1172-76
especial, 1143
geral, 1143
influência causal, 1171-72
medições em, 1151-54
momentum e, 1169-72
princípio de Einstein da, 1142-50
simultaneidade e, 1153-56
tempo próprio, 1157-59
transformações de Lorentz, 1164-69
Relatividade galileana, 1143-47
definida, 1146
sistemas de referência, 1143-44
Relógio de luz, 1156
Ressonância magnética nuclear, 1356-57
Röntgen, Wilhelm, 1188
Rutherford, Ernest, 1139-97, 1202, 1334,
1343
S
Saltos quânticos, 1222, 1272, 1316-19
Schrödinger, Erwin, 1262-63
Série de Balmer, 1231
I-3
I-4
Índice
Séries de Lyman, 1231
Simultaneidade, 1153-56
Sincronização de relógios, 1152
Sistema ligado, 1338
Sistemas de posicionamento global (GPS),
1160
Sistemas de referencial inercial, 1144, 1149,
1157-59, 1160, 1163-64
Sódio
espectros de absorção e emissão do, 1201
estado excitado do, 1316
Sólidos, cor dos, 1319-20
Som, velocidade do, 1145
Subcamada, 1313-15
Superposição, computadores quânticos e, 1365
T
Tabela periódica dos elementos, 1198, 1223,
1312-16
duas primeiras filas, 1313
elementos com Z > 10, 1313-15
Temperatura e radiação de corpo negro, 1200
Tempo
de eventos, 1151
medição do, 1156
relatividade e, 1150-53
Tempo de vida do estado excitado, 1321-23
Tempo próprio, 1157-59
Teorema do Virial, 1207
Teoria eletromagnética de Maxwell, 1148
Terapia por radiação, 1355
Thomson, J.J., 1188-91, 1198, 1209, 1343
Townes, Charles, 1324
Transformações de Galileu
para posição, 1144
para velocidade, 1145
Transformações de Lorentz, 1164-69
aproximação binomial para, 1168
contração espacial e, 1167
para velocidades, 1168-69
Transições, 1222, 1316-20
não-radioativas, 1319-20
permitidas, 1317
vibracionais, 1286
Trem de pulsos, 1259
Tubo de Crookes, 1187-88
Tubo de raios catódicos, 1187
Tubos de descarga de gás, 1184, 1186,
1187-88
Tubos fotomultiplicadores, 1217, 1238
V
Velocidade
momentum e, 1171-72
transformações de Galileu, 1145
transformações de Lorentz, 1168-69
Velocidade do som, 1145
Vibração molecular, 1285-86
Viscosidade, 1207
Y
Young, Thomas, 1186
R A N DA L L D . K N I G H T
Este livro está dividido em quatro volumes. O primeiro volume contém um CD-ROM com inúmeros exercícios
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DA DOS DE I DE NTI F IC A ÇÃ O
Nome completo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CPF: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Endereço completo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
No . . . . . . . . . . .
Apt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bairro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cidade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
UF: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Telefone: (
CEP:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data de aniversário: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E-mail: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Escola em que estuda: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cidade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Disciplina: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Professor da disciplina: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E-mail do professor:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Calor específico molar de gases
Gás
Gases monoatômicos
Gases diatômicos
Índices de refração
Material
vácuo
ar
água
vidro
diamante
Índice de refração
elétron
próton
nêutron
Dados úteis
Massa da Terra
Raio da Terra
Aceleração de queda livre na Terra
Constante gravitacional
Constante de Boltzmann
Constante dos gases
Número de Avogadro
Zero absoluto
Constante de Stefan-Botzmann
Atmosfera padrão
Velocidade do som no ar a 20 °C
Massa do próton (e do nêutron)
Massa do elétron
Constante eletrostática da lei de Coulomb
Permissividade elétrica do vácuo
Permeabilidade magnética do vácuo
Unidade fundamental de carga
Velocidade da luz no vácuo
Constante de Planck
Constante de Planck racionalizada
Raio de Bohr
MT
RT
g
G
kB
R
NA
T0
␴
patm
vsom
mp
me
K
⑀0
␮0
e
c
h
ប
aB
Prefixos comuns
Prefixo
Significado
femtopiconanomicromilicentiquilomegagigatera-
1015
1012
9
10
106
3
10
102
103
106
9
10
1012
5,98 1024 kg
6,37 106 m
2
9,80 m/s
6,67 1011 N m2/kg2
23
1,38 10 J/K
8,31 J/mol K
23
6,02 10 partículas/mol
273°C
8
2 4
5,67 10 W/m K
101.300 Pa
343 m/s
1,67 1027 kg
9,11 1031 kg
9
2
2
8,99 10 N m /C
12
2
2
8,85 10 C /N m
6
1,26 10 Tm/A
1,60 1019 C
8
3,00 10 m/s
34
4,14 1015 eV s
6,63 10 J s
34
16
6,58 10 eV s
1,05 10 J s
11
5,29 10 m
Fatores de conversão
Tempo
1 dia 86,400 s
1 ano 3,16 107 s
Pressão
1 atm 101,3 kPa 760 mm de Hg
1 atm 14,7 lb/pol2
Rotação
1 rad 180°/␲ 57,3°
1 rev 360° 2␲ rad
1 rev/s 60 rpm
Comprimento
1 pol 2,54 cm
1 mi 1,609 km
1 m 39,37 pol
1 km 0,621 mi
Velocidade
1 mph 0,447 m/s
1 m/s 2,24 mph 3,28 ft/s
1 km/h 0,278 m/s
1 m/s 3,6 km/h
Massa e energia
27
1 u 1,661 10 kg
1 cal 4,19 J
19
1 eV 1,60 10 J
Aproximações matemáticas
Aproximação binomial: (1 x)n ⬇ 1 nx se x
1.
Aproximação de pequenos ângulos: sen␪ ⬇ tg␪ ⬇ ␪ e cos␪ ⬇ 1 se ␪
1 radiano.
Letras gregas usadas na física
Alfa
Beta
Gama
Delta
Épsilon
Eta
Teta
Lambda
␣
␤
␥
␦
⑀
␩
␪
␭
Mu
Pi
Rô
Sigma
Tau
Fi
Psi
Ômega
Σ
␮
␲
␳
␴
␶
␾
␺
␻
Tabela das estratégias para resolução de problemas
CAPÍTULO
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
PÁGINA
Capítulo 37
37.1
Relatividade
1165
Capítulo 41
41.1
Problemas de mecânica quântica
1267