'
A Lei de Direito Aotornl
(Lei no 9.610 d e 19/2/98)
no Títu lo VII, Cnpftulo II di;r.
INTRODUCÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS
- Dns Snnçõcs Civis:
A1·t. 102 O titulnrcojrt ohrn scjn frnudulc:ntamenrc n:produ2.ida.. divul11odn CXJ de qunfqut'r
ron nn u til iznc..l1t. pndc1'1t requerer a nprcansnn dos cxcmplnrcs rcprodu'lldos ou
n suspc;:nitlO da divulgnçRo, sem p•<cjultn dn lndcniY...oçl\o cnbrvcl.
A r i. :t 03 Quem cditnr obm li terMia. urtlstlcn ou c:icntlfica, ~cm nutoriz..a,çfto do dlulnr,
pçrderU ptll'U esro os çxcmpl nre~t que !iG npreonüercm o pa~;ur~l h e.. t\ o preço dos
que tiver vendido.
Pt\l•ttgu ro \i nico. Nno se conhecendo o número tlc cxc1nplnrcs que constituem n
cdiÇftO (rn.udulentn, pngn1'1l O trnn,J:I'C$80(0 Vl\)Or tJC tres mil C1<Cillplorc•, o.lém
dos uprcendidos.
A1·t. 104 Quem vender, expuser à vcndn, ocullnr, adquirir. tliMtribuir. tiver om dcpósho
ou utilizar obra ou fonngr:uno rcprodux.idos com fraude, com n linaHdodc de
vender. obter sanho. vnntnscm. proveito. lucro dirc1o ou lndireto, pnm si ou
p~1m outrem. ~crrl snlidndumcnlO rcsllDUslívcl com o conlrorntor, nos termo$
dos urtigas precedentes. respOndendo como conrrorntoi'C:S o imr)Qnndor o o
d islribujdor cm caso de rcproduçi\o ltP exterior.
EDITORA BUJCHER
www. blucher. com. br
thulo original:
JNTRODUCTION TO MECHANlCS OF SOLtOS
A ediç.i lo em llngua inglesa foi publicnda
pela PRENTICE-~IALL, INC., EUA
copyríght C 1968, by Prcntice-Hall, Jnc., Englewood Cliffs, New Jersey, EUA
CON T EÚDO
direitos reservados pa111 a llngua portuguesa peln
Editam Bluchcr 1978
PRHÁCJO Xtn
J• edição- 1978
7" reimpressão- 2008
CAPf'ruLO I
INTRODUÇÃO I
1.1
Propósito e C5copo I
1.2
M~todo das seç!!es 3
I .3
SoluyKo bá5Jeo 4
é proibida a reprodução total ou parcial
por qunisquer meios
sem autorização escrita. da editora
EDITORA BLUCHER
Rua Pedroso Alvarenga, 1245 - 4° andar
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ISBN 978·85·212·0094·9
CAPI'rULO 2
PORÇAS AXIAL E CORTANTE, E MOMENTO fLETOR 6
j
I
t
I
I
FICHA CATALOGRÁFICA
P865i
Popov, Egor Pnul
lntroduçno h onecnnico dos s61ido•/Egor Paul Popov; tmduçilo
Mauro O . C. Amorclli; revis fto técnica Arno Blass - - S 3o Paulo:
Blucher, 1978.
ISBN 978-85·212-0094- 9
7&-0051
1. Mecünica aplicada 2. Resistência dos materiais I. Titulo.
17. CDD-620.1
I S.
-620.1 OS
17. e 18.
-620.112
lndices para canUogo sistemático:
I. MecAnica dos sólidos: Engenharia 620. 1 (17.) 620.1 05 (18.)
2. Resistfncia dos moteriais: Engenharia 620. JJ2 (17. e 18.)
I
I
I
2.1
2.2
Introduylo 6
Conslder:oçllcs gerais 7
Parti! A
CÁLCULO DAS R.EAÇ0ES 9
2.3
Convonçllos dlogramátlcas paro suporte• 9
2.4
Convenç!les dlagram:!.tlcas para carregamento
2,5
Cln sslfleaçl!o das vigas 13
2.6
Cd leulo das reaçOes nos vigas 14
lO
l'artt! R ·
DIAGRAMAS DE FORÇAS AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS:
MSTOOO DIR.ETO I 8
2.7
Aplicnçlo do m~todo das seções 18
2.8
Força cortante nas vigas 18
2.9
Força nx.laJ nas vigas 20
2.10 Momento flctor nas vigas 20
2.1 I
Diagramas de forças cortantes e ax:iais. e de momentos netores 2 1
2.!2 Procedimento passo a passo 28
l'artttC
DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO F LETOR :
~TODO 00 SOMATORIO 29
2.13 Equaçlles diferenciais de equilíbrio 29
2. 14
Diogramas de fo rça cortante por somotório 30
2. 1s
'2. 16
• 2.17
4.10
• 4.11
Diagramu de momento fietor por meio do somatório 32
Consldera~s sobre a construção dos diagramas de força cortante
c momento fietor 38
Diagrama de momento o a curva el4stico 41
PllrteC
RELAÇÕES CONSTJTUTIYAS PARA TENSOBS UNIAXIAIS lO I
4.12 Oiagramu \onslo-<ioforrnaçlo 101
4.13 Obsorva~saobre os dlalll'amu tenslo·doformaçlo 103
4.1 4
Dillll'&miSIOnslo-dc(ormaçfo durante retirada de cara• e invor!Oos da
carroaamento 105
4.15 Diagramas idoaliudos do tenslo-deforrnaçlo 107
4.16 Materiais viaooelístlcosllneam 108
ltmeD
FUNÇÕES DE SINGULARIDADE 43
2.18 Notaçlo e lntegraçlo de funç!!es de singularidade 43
Problemas 48
CAPl'rULO 3
TENSÃO E CARGAS AXIAIS 57
3.1
lntroduçiO 57
!'arre A
TENSÃO 57 .
3.2
Definição de tonslo 57
3.3
Tensor das tenSOcs 59
• 3.4
Equaç!!es diferenciais do equlhôrio 62
I
I
f
Parte B
TENSÕES EM MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL 63
3.S
Carga axial; tenslo normal 63
3.6
Cargs axial; tenslo de apoio 66
3.7
Tensão m4dla do cisalhamento 66
3.8
TensO os permissíveis; fator de segurança 74
3.9
Projeto de membros o pinos com c&rrogamento axial 71
Problemas 81
CAPI'rUL04
DEFORMAÇÃO, LEIS CONSTITUTIVAS E DEFORMAÇÃO AXIAL 86
4.1
lntroduçlo 86
!'arre A
DEFORMAÇÃO 86
4.2
Significado füico da deformação 86
4 .3
Deftnição matemitica de deformação 88
• 4.4
Tensor 'dns deforrnaç!!es 89
Lei de Hookc para materiais anisotróplcos 91
Lei de Hooke para materiais isotrópicos 93
Razão ou coeficiente de Poisson 94
Deformaçlles térmicas 97
. .
Ene rgia de deformação elástica para tenslo untaxaal 97
ParteD
DEFORMAÇAO DB MEMBROS A:XlALMBNTB CARREGADOS I 14
4. I 7 DeOoxlo do membros axlalmento carropdos I 14
4.18 Concont111çllol de tonsOu 12l
Problemas 126
CAPfrULO S
TORÇAO 13S
S.l
lntroduçfo 135
5.2
Apllcaçlo do método du se~• IJS
S.3
Promissu básicas 137
5.4
A fórmula de torçlo 138
S.S
Observa~• aobre a fórmula do toi'Çio 140
5.6
Projeto de membros circulares em torçlo 143
5 .7
Ângulo do torçfo do membros circulares 145
5.8
Tens~s do cisalhamonto e deformuç!!es em eixos circulares na faixa Jnoiástlca 149
• 5.9
Concontraç!lo do tonsOos 153
·s.to Torçmo do barras circulares viscoolbticas 155
• S.ll Me.m bros maciços nlo-clrcularet 157
'5.12 Membros perfurados. de parodes finu 160
Problemu I 63
CAPfrUL06
~~;~~E TENSÃO - DEFORMAÇÃO LINEAR E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 91
• 4.5
4.6
4.7
4 .8
4.9
EnefJla do dcformaçlo elútlca para teruõ?s de ebalhamento 100
BnetJla do deformaçiO para •nados de tendo multiaxial I 01
l
I
TENSÕES DB FLEXÃO NAS VIGAS 169
6.1
Introdução 169
6.2
Algumas llmita~s imponantes da teoria 169
6.3
Premissa cinemática b4sien 170
6.4
Fórmula da OeXl!o elásllca I 73
·6.S
l'lexlo pura de vigas com seçlo assimétrica 177
6 .6
Cálculo do momento de Inércia I 78
• 6.7
Observa~s sobre a fórmula da fiedo 180
6.8
l'lexfo lnelistien de vigas 184
'6.9
Concentraçlles de tens6cs 190
'6. 1O
'6. 11
Vigas de dois materiais 191
Vigascurvas 198
Problemas 203
9.11
9.12
' 9.13
' 9.14
CAPt'rULO 7
TBNSOBS DB CISALHAMENTO EM VI CAS 209
7 .I
lntroduçlo 209
7.2
Preliminares 210
7.3
Fluxo de cisalhamento 213
7.4
Fórmula da tensfo de clsalhamento para vlgu 2 18
• 7 .S
Umitaçl!es da fó rmula da tens.'lo de clsaJhamento 226
.
• 7.6
Outras observaçOes sobre a dlstrlbulç«o do tensllea de cisalhamonto 228
' 7.7
Centro do clsalhamento 230
Problemas 234
260
<:Arn'ULO 9
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO B DEFORMAÇÃO; CRl"rnRIOS DB BSCOAMBNTO
SDBPRATURA 269
9.1
Inttoduçlo 269
.Ftmt A
TRANSFORMAÇÃO DB TENSÃO 170
9.2
O problema básico 270
9.3
Equações para a tnnsformaçlo da tensllo plana 272
9.4
Tensões principals 274
9 .5
TenSOes mAximas de cUalhunento 175
9.6
Importante transformaçlo de terisllo 278
9.1
Círculo de teJUões de Mohr 279
'9.8
Construçlo do clreulo de tenSOes de Mohr 281
!9.9
Cfn:ulo de Mohr pano estado geral de tenSOes 286
l'llrte 8
TRANSFORMAÇÃO DE DEFORMAÇÃO 287
9.1 O ConsideraçOes gerais 287
l'brre C
CRl"rnRlOS DI! BSCOAMI!NTO I! DB FRATURA 299
9.16 Observaçl!es prellmlrtares 299
9.17 Teoria da nW<Ima tenslo de clsolhamento 300
9.18 Teoria d a múlma cncrsla de dlstorçlo 302
9. 19 Teoria da mixlma tens!o normal 306
9.20 Comparaçlo du teorl.os; outres teorlos 307
Proble,mos 309
CAPfrULO l O
PROBLEMAS DE ANÁLISE DI! TENSÕES 315
I0.1
lntroduçio 3 15
CAPfrUL08
TENSOES COMPOSTAS 240
8.1
lnttoduçfo 240
8.2
Superpcuiçlo e suas llmltaçl!es 24 1
8.3
Plexlo obliqua 247
8.4
Membroa oom carrepmcnto exc.'lntrloo 252
8.5
Superposiçlo de tenSOes de clsalhamento 257
• 8.6
Tonllles nu molas helicoidais 158
• 8.7
DofloltlO de molas helicoidais em espiras oompactu
Problemu 262
•9.1 S
Equações para a transformaçlo da deformação plana 288
Deduçlo alternativa da equaçlo 9.13 291
Círculo de deformações de Mohr 292
Medidas de deformaçlo; roootas 294
RelaçOes lineares 1dlcionai1 entre lensJo e defOfJlla~ e entre E, G, e.., 296
l'brtÔA
ANÁLISE DE TENSOES 316
10.2
ln""stfaoçlo das tenSOes em um ponto 316
10.3
Membros em estado do tenslo bidimensional 322
10.4
M~todo fotoeltstloo pua oni!lse de ten~es 322
10.5
Cascas finas de revoluçlo 326
10.6
Equaçéles de equUfbrlo pira cucos finas de revoluçio 318
1 O. 7
ObscrvoçOes sobre vasos de presslo de porede llna 332
l'bruB
,
PROJETO DE MEMBROS PARA OS REQUISITOS DE RESI5ttNClA 333
10.8
Obscrvaçlles gorau 333
10.9
Projeto de membros com c urresornento axial 334
10.10 Projeto dos membros do torçfo 334
10.1 I Critérios do projeto para vigas prbmátlcas 335
10.12 Projeto do vigas prismáticas 337
10.13 Projeto de vips nlo-prlsm4Ucas 342
'1 0.14 Projeto de membros complexos 344
Problemas 347
CAPITULO li
DEFLEXÃO DE VIGAS 360
11.1
lntroduçlo 360
11.2
Relaçlles entre deformoçlo-curvatura e mornentCH:urvatura 361
11.3
Equação diferencial para a deRexfo de vigas elásticas 363
'I 1.4
Deduçlo alternativa da equaçlo 11.10 365
11.5
11.6
1 1.7
Equaçlles dlfo~ncla.il altomativu do Ylps eljstJcu 366
CondlçOCs do contomo 367
Deflexfo dos vlps vlscoelúticas 367
13.4
1 3.S
13.6
13.7
Part•A
MllTODOS DI! INTEGRAÇÃO DIRETA 370
11.8
Soluçlo de problemas do doflex§o do vlau po r melo do lntesraçlo dlreta 370
11 .9
ProbJemaa d• vta•• çl'-ftica& cstatJcamente lndotcnnlnadas 380
1 1.1O Duas funçOu adicionais de sinaularidado 38l
1 1. 11 Consldoraçoes sobro dofloxlo olútlca do vl,p s 384
1 1. 12 DeOoxlo olútlca do via•• com flexlo obHqua 386
1 1.13 Deflexlo lnelútlca de vigas 386
Farte B
MliTODO DE ÃRJ!A DS MOMENTO 390
1 1.14 Jntroduçao ao m6todo do área de momento 390
1 1.I 5 Deduçlo doo toon>maJ de 4roa de momento 390
Próblemu 401
CAPl'nJLO 1 2
PROBLEMAS ESTA TICAMBNTE INDETERMINADOS 409
12.1
Jntroduçllo 409
FarroA
.
ANÃLlSB COM A AJUDA DAS RBLAÇÕES DE DESLOCAMENTO 410
12.2
M6todo aoral 410
.
I 2.3
TenSOos provocadas pela temperatura 416
Par-te .B
•
ANÁLISE PI!LO M1!TODO DASUPERPOSIÇÃO 419
12.4
Método do anlillsc 419
"I 2.5
Método da áron 'do momento para vigas estaticamente indeterminadas 425
12.6
Equaçlo doa trós momentos 4 3 1
12.7
Casosespeclais 433
Farte C
ANÁLISE UMITB DAS VIGAS 436
12.8
FlexJ'o elútica·plástlca de vl&aJ 436
1 2.9
Consldençoe's finais 442
Problemas 443
CAPn'ULO 13
MtiTODO DA ENERGIA 4 SS
13. I
JntroduçNo 4SS
13.2
Energia de defonnaçi o elástica 456
13.3
Deslocamentos pelos métodos da energla 458
713.8
1 3.9
II
Teorema do CutJallano I*• defloxlo 461
Teorema reç/proco 466
O.neral.luçl:o dos teoromu do Cutlallono 467
M6todo do trabalho virtual para defluoes 468
Bqua91!eo do trabalho virtual para slllomu ol,atlcos 470
Problemas estaticamente lndetormfnodoo 476
Problemu 477
CAPITULO 14
FLAMBAOBM DB COLUNAS 487
14.1
lntrodu~o 487
14.2
Natureu do problema do oolune·vip 489
14.3
Equa91!es dlferoncials para cotun...vips 492
14.4
EstabUidado de oquilfbrlo 494
14.S
Carropmonto do llambaJom do Bw er para colunu anlculadu 496
14.6
Flambqem eJ;btiC8 de colunu com diterente1 vínculos naa extremidades 499
14.7
Umltoçfo das fórmulu do nambaaom olútlca 500
14.8
Fórmula aenerall2ada da carp do flambaaem de Euler 501
14.9
Colunas com cariepmonto ex~ntrlco 503
1 4 .10 Projoto do coluna• 505
14.1 I Fórmulas de coluna para carpa ooncentrieu 507
14. 12 M~todo da energia para dotermlnoçlo de carpa do namba&em 51 O
Problemas sn
A~ndlce
521
l
l
PREFÁCIO
I
I
I
I
I
Este livro surgiu de uma tentativa de revisão do trabalho anterior do autor,
Materiais). Tomou·ae logo evidente que,
devido à mudança de atitude em relação ao assunto, em vArias escolas de engenharia,
e a uns poucos novos desenvolvimentos, fozia·se necessário um tratamento mais
rigoroso do texto, para preencher os requisitos correntes. Como resultado, o conteüdo da maioria dos capltulos renovou-se completamente e os outros foram
revistos.
Admite-se que o Jeilor tenha freqnentado cursos regulues de matemática, e
tenha compietndo o curso de estática. Os tópicos particularmente importantes
desses assuntos !lo revistos e ilustrados por exemplos, à medida que vão ocorrendo.
Pretende-se neste livro fornecer o texto básico p!U11 todos os estudantes de
engenharia, no nlvel de graduação. Entretan to, o material apresentado é tão funda·
mental que alguns estudantes de pós-graduação podem julgà·lo útil para tuna
revislo, especialmente porque parte do material não tem nlvel apenas elementar.
Ao longo do texto fnz·ae deliberadamente o desenvolvimento paralelo dos aspectos
Osicos e matemáticos do assunto. Inúmeros problemas, referentes aos vários campos
da engenharia, s4o apresentados para solução.
Na preparaçllo deste texto, o ponto de vista do estudante foi constantemente
considerado. Isso explica, por exemplo, a escolha da convenção de sinais para
cisalhamento e momentos nas vigas. A convenção, aqui, coincide com a familiar
ao estudante em seus cursos anteriores de mlltemática e estática, e é a que será
encontrada posteriormente na elasticidade e na mecânica do continuo. A mesma
convenção de sinais é mantida no desenvolvimento das equaQIIes de transformação
de tensão e para uso com o circulo de Mohr. Esse uso evita muita confusão e
mantém coerência no tratamento do assunto.
De novo, para permitir ao estudante o tempo necessário para assimilar a nova
informação, e ganhar conr,ança na solução de alguns dos problemas simples de
análise de tensão, os capitulas sobre transformação de tensão e deformação são
colocados no meio do livro. Se o assunto fosse tratado simplesmente como um
ramo da matemAtica aplicada, seria mn.is lógica introduzir muis cedo esses tópicos.
M~clta11iCS cf Maurials (Mecânica dos
As relações constitutivas recebem considerável atenção. e o comportamento
dos componentes estruturais sob carregamento, com elasticidade linear e não .. Jinear,
plásticos e sólidos viscoeJÂ.s.ticos, ó descrito em detalhes. O tratamento coiÍlple.to
razoável do critério de escoamento e de fratura para o estado de tensão mu1tiaxia1
é apresentado.
As situaç:Oes estaticamente indetc;rminadas são logo introduzidas, mas o aprofundamento na sotuçlo de tais problemas 6 postergada até que o estudante tenha"
adquirido maior racilidade no cálculo das deflexões.
Os métodos de energia. incluindo os teoremas de CtUtjgliano e do trabalho
virtuêll, são cuidadosamente desenvolvidos, e as aplieaçO:es slo ilustradas por meio
de exemplos. O problema de estabilidade de colunas ê introduzido do ponto de
vista da teoria de grandes defiexões. incluindo-se uma explicação sobre colunas
de vigas.
·
.
O Uvro contêm ma_is matedul do que pode ser coberto em um curso trimestral
ou semestral. Assim sendo. existe o suficiente para um ano de estudo. podendo o
texto estimular cursos d e níveis in termediários nessa área importante da engenharia.
O escopo amplo do livro fornece considerável grau de flexibilidade no projeto de
cursos específicos para preencher os cequis:i tos individuais. Isso tem duas vantagens
adicionais. Primeiro. o leit or adquirirA inadvertidamente um conceito equilibrado
do conteúdo do assunto. Segundo, o livro pode servir como refcrCncia após pre-enchida sua finalidade como texto introdutório.
Na maioria dos capitulas. o material mais espcciaHtado ou complexo pode
ser abandonado sem destruir a continuidade do texto, possibilitando o tQrmlno
do estudo de um tópico particular no nlvcl desejado. Os artigos que podem ser
abandon ados são identificados com um asterisco no conteúdo.
Para o primeiro curso de mecánica dos sólidos, "Dão ~ deve supcrenfadz:ar
os assuntos, tendo~se o cuidado cm adequar o dimensionamento d Q c:onteúdo.
Por exemplo, embo'r a a discusslo sobre runções de singularidade certamente per·.
tença a um texto completo sobre o assunto, a necessidade de estudo desse tópico
no primejro curso bãsico é questionável. A fascinação desenvolvida sObtt) o estudante com essa técnica e o tempo necessário a seu aprendizado, talvez possam ser
usados com mais vantagem na manipulação mais completa de quaisquer das idéias
fu ndamentais da mecânica. Um curso introdutório adequado pode ser realizado
com base nos Caps. 3, 4, 8 e 9, com um suporte mín imo dos Caps. 2. 5, 6 e 7. Tal
curso enfatizaria os conceitos de tensio, deformação e sua transformação, juntamente com a discussão das relações eonstilutivas. Um breve estudo sobre denexões·
de vigas. para os c~sos determinado e indeterminado, no Cap. 11. e uma introdução
ao fenômeno de; nambagem, no Cap. J4, complementaria tal curso.
Embora numerosas alternativas sejam possíveis, na seleção do texto para o
primeiro curso básico de mecânica dos sólidos, a seqOência que $e segue é uma
das possíve.is., consistindo em 28 aulas consecutivas. de uma bora e m eia. exigindo
de duns a três horas de estudo: (I) Soçõcs · L.l a 2.6; (2) Seções 2.7 a 212; (3) Seções
2.1 3 a 2 15; (4) Seções 3.1 a 3.7; (5) Seções 3:8 e 3.9 ; (6) Seções 4. 1 a 4 .8; (7) Seções
4.9 a 4. 16; (8) Scções 4.17 a 4.18; (9) Seções 5.1 a 5.6 ; (10) Seções 5.7 a 5.9; (li) Seções
6.1 a 6.6; (12) Soç!5cs 6.7 a 6.9; (13) Seções 7.1 a 7.3; (14) Seções 7.4 e 7.5; (15) Seções
8.1 a 8.3; (16) Soç!5cs 8.4 e 8.5; (17) Seçlles 9.1 a 9.6; (18) Scçlles 9.7 a 9.11 c 9.14;
(19) Soçõos 9.16 a 9.19; (20) Seçllos 9.20; (21) SeçOca 10.1, 10.2. 10.5, 10.6 0 10.7;
(22) Scçllos 11.1 a 11.3, 11.5 o 11.6; (23) Seçlles 11.8 e 11.9; (24) Scçlles 12.1 e 12.2;
(25) Seçllea 12.3 e 12.4; (26) Seçlleo 13.1 a 13.3; (27) Seç!!-es 14.1 a 14.5; e (28) Seçllos
14.6 a 14.8. Dois ou Ire& problomaa para ool uçao pelo estudante, devem acompanha<
cada aula.
o desenvolvimento deste livro roi (ortemente innuenciado peJos companheiros
~o. autor. por seus estudantes, c pelos numerosos livros. sobre o assunto, publicados
·~ todo o mundo. O prlvil6aio de ter sido aluno de S. Tírnoshenko e T. von Karman
permanece memorável. Entretanto, o autor reserva uma gratidão especial a seus
companheiros da Divisllo de Enaenharia Estrutural e de MecAnica Estrutural da
Universjty of Califomia, Berkeley, que durante um período de vários anos innuenciaram e ajudaram a formar oc pontos de vista registradoa neste livlio. Desse
srupe, &nos de associaçlo e discuuôcs criticas sobre o assunto. oom os professores
R. W. Clough, H. D. Bberhart, K. $. Piatcr e A. C. ScordoiiJ, também eontrlbulram
bastante p~ra a variedade de problema, propostos ao aluno, neste livro. O caloroso
encor~amonto e as sugest!5cs do professor 1. M . Rapha~l foram baotante apreciados.
O autor também se sente reconhecido aos vários outros membros atuais e anceriorM
das direçõcs dos Departamentos de Bnsenharia Civil o Engenharia Mecânica da
Univorsily of California, .Berkeley, que contribulram com discuuOos. ou com formu·
laçao de problema&, ou ambos: F. Baron, V. V. Bertoro, J. Bouwk.a mp. B. BrMier:
C. B. Brown, O. W. Brown, T. Y. Lin, S. J. Medwadowski, C. L. Monismlth, J. Ponzien,
D. Pirtz, M Polivka, C. W. Radc1iffe, J. L. Saekmnn, C. F. Scheffey, R. A. Sebai>,
Ç. M. Smith, R. L. Taylor o E. L. Wilson. O autor, também agradece aos estudantes
cm doutoramento na Divido. 9,ue leram partes do manuscrito e ofereceram vaJiosas
sugestlle$. Entre outros tiveram dcataq11e particular M . Kbojasteb-Balct, Marion
Cottrcll, DaJo Perry, L. Sclna, S. Yaghmai e }t. 1. Evans.
·
O Professor Donald Brandt do Departamento de Bpgenharia Civil do City
College de Nova Iorque leu um rascunho preliminar do manuscrito e fez várias
sugestões significativas para aprimoramento do text~ pelo que o autor é muüo
reconhecido.
A direçii,o da Prentice-Hal1 foi bastante cooperativa. Nicholas R~•nanelli,
Joseph Di Domeníoo e Jam.S Beggs contribulram j)astan tc parà o formato imaginativo do livro e para o excelente trabalho de 1\l"IC. Pamela Fischer merece os agrade~
cimentos por seu cuidado na preparação do manuscrito para a composição.
·
O autor se sente profundamente individado com sua esposa. Irene, por sua
contlnua ajuda na preparaçiQ do manuscrito.
E.P. Popov
EI Cerrico, Califórnia, .EUA
1
INTRODUÇÃ O
1.1
PROPÓSITO E ESCOPO
Em todas as construções, as peças componentes da estrutum devem ter tamanhos
físicos definidos. Tais peças t.êm proporçõe$ adC!J.Uadas para resistirem a rorças
existentes ou prováveis, impostru~ sobre elas. Assim, as paredes de um reservatório
de pressllo t!m resistência apropriada para suportarem a pressio interna; os pavimentos de um predio devem ser suficientemente rortes para suas finalidades; o·
eixo de uma máquil'1a deve ter dimensão adequada para o torque a aplicar; uma
11.'8 de avillo deve suportar com segurança as cargas aerodinâmicas que aparecem
durante o . v6o ou a decolagem. Da mesma rorma, as peças de uma estrutura com-.
posta devem ser suficientemente rigidas para evitar a defiexAo ou flexão excessiva
quando em operaçil.o com carregamentos impostos. Um piso de edifício deve ser
suficientemente rorte. rnas pode defletir excessivamente, o que cm alguns caaos
pode provocar desalinbamento do equipamento de produçllo, ou cm outros casos resultar na fissura de um tcto de gesso do andar in(erior. Finalmente, u.m membro'
pode ser t!lo delgado ou fino que, submetido a um carregamento çoD]pressívo,
a tingirá o colapso na Oambagcm; isto ~ a c.onfiguração ipicial de ur;n membro
pode tomar-se. instável. A habilidade em determil'1ar o máximo carregamento suportável por uma coluna delgada, antes da rlambagero, ou a determil'1açio do
nível seguro de vácuo que pode ser mantido por um recipiente~ de grande import!ncia prâtlca.
.
.
·
Em engenharia, todos os requisitos acima dev~m ser preenchidos com o mlnimo gasto de um dado material. Além do cu~to, algumas vezes - como n o projeto
de satélítcs - a factibilidade e o sucesso da missão podem depender do peso do
conjunto.
No passado, os textos que tratavam dos problemas acima mencionados eram
chamados de R'sistência dos Materiais ou Mecânica dos, Mattriais. Para reOelir o
uso corrente e o tratamento mais rigoroso do assunto, o novo titulo Jntrof/ução
d M ecânicll tios SóUdos foi escolhido para este livro. O assunto também poderia
ser cha mado de mecânico dos sólidos derormáveis. Deve·sc ressaltar, entretanto,
que muito do material apresentado neste texto é uma teoria t~n ica sobre corpos
deform!veís, em contraste com a teoria matemática da elasticidade, ou teoria dos
1
sólidos perfeita ?lente plásticos. Aqu~ no lugar de e,qtabelecer cada etapa com rigor,
do ponto de VISta matem!tico, são introduúdas premissas simplificadoras para
tornar possível uma soluçió razoável dos problemas básicos. É interesunte observar
que a importante teoria de placas e painéis constitui uma extensão da teoria t~ica
discutida neste texto. Independentemente dos detalhes do titulo ou do riaor, esse
assunto _en_volvc os métodos analíticos de determinaçio pa resutincla, rtglfl••
(caractensucas de dcformaçlo) e e•tabllldade dos vários membros.
A mecânica dos sólidos é um assunto bastante a ntigo. É conhecido desde o
trabalho de Galileu, na primeira metade do ~éculo de~ssete. An,tes de sua lnves·
ligação sobre o comportamento dos corpos sólidos .com carregamento, os cons-'
trutores seguiram regras empiricas. Galileu foi o primeiro a tentar a explicaçio'
para o comportamento de alguns membros submetidos a carregamentos,, numa
base racional. Ele estudou membros en1 traçlo e compressão, e notavelmente
vigas usadas na con.struçio de cascos de navios para a marinha italiana. Natu·
ralmente muito progresso ocorreu a partir dal, mas deve>-se observar que o desenvolvimento deste assunto muito deve aos pesquisadores franceses, dentre os quais,
um grupo de homens como Coulomb, Poisson, Navier, S~ Venant e Cauchy, que
trabalharam no final do século dezenove, e deixaram uma impressio indelével
sobre o assunto, que está longe do total conhecimento. A era espacial continuamente apresenta demandas mais exalas e amplas. A mecllnica dos ,sólidos oruu
os diversos setores do engenhari11, com aplicações marcantes. Seus métodos alo
necessários aos projetistl\5 de s ubmarinos; aos engenheiros civis, no projeto de
pontes e edificios; aos engenheiros aeronáuticos; aos engenheiros de minas c aos
arquitetos, cada um que tenha interes5e em estruturas; aos engenheiros meclnicos
e químicos, que $C apóiam nos métodos desse assunto para o projeto de miquinas
c vasos de presclo ; aos metalurgistas, que precisam de oonoeitos fundamentais
sobre o assunto, a fim de compreenderem como melhorar os materiais existentes,
e, fmalmente, aos engenheiros eletricistas, que necessitam dos métodos do assunto,
devido a importância das fases da engenharia mecânica de muitas peças do equipamento elétrico. A mecânica dos sólidos técnica tem seus próprios métodos carac·
teristicos. Ela é uma disciplína definida; assim, ela constitui assunto dos mais fun-:
dament.Us de um currlculo de engenharia. ficando ao lado de outros assuntos
básicos como mecânica dos nui(jos, termodinAmica e um curso básico de eletricidade.
o comportamento ele um membro submetido a forças, depende nlo apenas
das leis fundamentais da mecânica newtoniano que governa o C!}uilíbrio das forças
mas, tambCm. das caracterlstioas mecãnicas dos materiais de fabricação dos membros. A informaçio necessária provém do laboratório onde os materiais slo su-.
jeitos a ação de forças conhecidas, e o comportamento dos corpos de prova é obser-.
vado com particular atenção a tais fen6menos como a ocorTência de ruptura.
deformações, etc. A determinação de tais fenômenos é uma parte vital do assunto,
mas essa parte ê deixada para outros livros. • Aqui, os resultados fmais de tais inves~
• H. E.. Davis, O. E. Troxcll c C. T. Wiskocil, Te~·rtug rmd '"·' t'«dou of Eugineering Malerlals (1• e:d.~
McOraw·HUI Book Co•• Nova York 19SS. TumbCrn C W. Richürds, Engineeriflg M ruerlnb Scl41m:e
Wadsworth Publi•hing Co.• lnc., Belmont, Calir. 1961
2
úgaQ6ca llo de interesse,. c curso se ' r.ofere à parte an,alltica ou .matem6tioa do
assun~o. ~elas razões acuna, \'6..811 que a mectnioa dos &6Udos 6 uma ci!ncia de
expenenCJas c postulados nowtonianos da mectnica anJ)ltica. Da Oltima retira-se
o campo chamado ~státiCQ. auunto que 1e preaupile familiar e do q ual depende
o que ao traua noate U.vro.
.
~te t.oxto ft~ timluado a ióplcoe almplea do assunto, por - oonsi!lerado
mtrodutóno. ~odaVIa, a despeito da relativa aimplicidadj, doe m6todoa aqui cmpre•
aados, as t6cnacu roault~tet alo óteía porque ae aplicam a um vasto número de
problemas tecnicamente importanl4a.
~.. 6 um curso caaenQ!almente de problemas poia o a11unto ~ podo aor e101a.
recldo pela aoluçlo de inómor01 problemas. O n6mcro do fórmulas IICCou6rlu
para a anAIIac QOnvcmcional o 9 projeto de mom broa cstruturals o de mAquina&.
pelos métodos da mecinica d0116lidos nlo é muito grande. Entretanto, durante este
estudo, o eltudante de~ desenvolver a habilidade de olswl,tzar o problema a tratar,
e a natureza das quanudadea calculadas. ~quomas dia&ramitlcoa, culdadoiBmontc
desenha doa o completos, de problemas a acrcm rcsolvidoa, terlo arandca dividendoa
em anili1o rápida o maia completa.
1.2
MéTODO DAS SEÇOES
O principal problema da mecãnica dos sólido~ é a investl aaçlo da resistência
interna o da deformaçlo de um corpo sólido $Ubmctido a carreaamentos. Isso
exige o estudo da natureza das forças que aparecem no interior de um corpo, para
compensarem o efeito das forças externas. Para essa finalidade, emprega-se um
método uniforme de soluçlo. Prepara-se um oaquema diagramitloo completo do
membro a ser inve~tipdo, no qual todu as forças externas que aaem aobre o corpo
slo mostradas em aeus respectivos pontos de aplicaçio. Tal eaquema é chamado
de diagrama dt corpo livre. Todas as forças que agem sobre o corpo, incluindo as
de reaçlo, causadas pelos suporte& o pelo peso• do corpo em si, alo consideradas
forças externas. Além do mais, como um corpo estável em repouso es tâ em equillbrio, as forças que aluam sobre ele utisfuem as equações do equillbrio. Assim
se as forças que agem sobre o corpo tal como o da Fig. l.l(a) satis fazem as equações
do equillbrio estático e todas atua.n sobre ele, o esquema representa o diagrama do
corpo livre. Em seguida, como a determinação das forças internas decorrentes
das externas, é uma das principais preocupações do assunto, uma seçio arbitrária
é passada pelo corpo, separando-:o completamente em duas partes. O resultado
de tal processo pode se.r visto nu Figs. l.l(b) e (c), onde o pi8Jlo arbitrário ABCD
separa o corpo sólido oriainal da Fig. l.l(a) em duas partes distintas. Es5e processo será chamado de mitO!fo tkJs srções. Entilo, se o corpo como um todo está
em equillbrio, qualquer parte dele também deve C3tar em equillbrio. Para tais
partes de um corpo, entretanto, algumas das forças necessárias ao equíllbrio devem
•esuft,amente falando. o peso do corpo. ou de maneira mais sere~ as rorçu inerciais devitW ll
ncel craçlJ~ etc.. alo /04'çcu ~e campo e aaem sobre. o c:orpo de maneira associada com as unidades de
volume do corpo. Em muitas circunstânciat. wu rorç"' de campo podem se.r conaidetAdtu cargu externas
3
agir na aeçllo do corte. Essas considerações conduzcm A seguinte conclusão fun-.
dameotal: as forçu externas aplicadas a um ladó de um corte arbitrArio devem
ser compensadas pelas fotças internas. Posteriormente aen\ visto que os planos
de corte scrlo orientados em uma direçllo particular, para preencher os rt!'[uishos
especi~tis. Entretanto, o conccho acima ~ npficado a todot os problemas em quo
u forças internas sejam investigadas.
.,
,.,
(1>)
"•
t. Por meio de um arranjo particular de elementos estruturais ou de máquinas,
isola-se um membro simples. Tal membro t indicado cm um diagrama, com todu
as forças e reações que agem sobre ele. Esse t o corpo livre do membro.
2. As renções .no determinadas pela aplicação das equações da estáticn ou
das condições de contorno com us equações diferenciais apropriadas. Nos problemas
indeterminados, a estática é suplementada por considerações cincmAricas.
3. No ponto onde a magnitude da tcnolo t desejada, passa-se uma seçlo
perpendicular ao eixo do corpo, e a parte do corpo, de um lado da seçilo o_u da
outra, ê completamente removido.
4. No. seção invc.stigado. o 1istcma de rorçns internos necessário n manter a
parte i•oladn do mctn bro cm cquilibrio é determinado. Em geral, esse sistema de
rorças consisle de uma rorça axial, uma de cisalhamento. de um momento netor
c de um conjugado (torque~ Essas quantidudes são achadas pelo trato de parte
do membro como corpo livre.
S. Com o sistcrt'IO de rorçu na seção resolvido nproprJadamentc. as rórmulu
csta.b elecldas permitem determinar ns tensões nu seçio considerada.
6. Se a magnitude da mhim:> tensão na seçlo é conhecida. pode-se prever
o material apropriodo para tal scçllo, ou, ao contn\rio, se as propriedades Osicas
de um mnterial sAo oonhecida.s. pode-se 1elccionar um membro de dimcnsôcs
ndequados.
1. En1 certos problemas, o conheeimcnto da. detormaçlo de um membro, cm
"'
uma seçlo a.rbitrârla, provocada pelas forças internas, pernúte,..oos prever a dc-
rormaçlo da estrutura como um todo c. desl4 forma, se necessário, projetar membros que n«o serram dcnexllo ou nexão excessiva.
(o)
Ffgttre 1.1
Secclon•mtnlo de um corpo
Na diacuaslo do mitodo du NÇ'Gcs. ~ signincadvo observar que aJaunt corpos, embora
nlo em equUlbtio cst,cico. podc:rn estar eo' equlllbrio dinlmf~ Esses ptOblemas podem
"
tet reduddot a outrot do cquillbrJo uUtico. Primeiro, a acc.Jetaçlo da pane cm qucatlo
6 eah:.ulada. t ntl o 6 muhlplfcada peJa mana do corpo, dçdo um. força. A torça aSiitn ct~l·
culad, •• aplicada ao corpo no uu eentro de mllll. em dJreçlo opotta ' aceloraçlo, reduz'
o probJoma dlnAmlco a outro cstAtico. Eue 6 o flrlm:lplo ti• d'All'mb#rl. Com euc ponto de
vista. todot 01 COf1'ot podem .ser JmeaJnadot corno Jn.u.a.nta.numente Cn'l catado de equl·
llbrio esUtlco. Assim. peta qualquer corpo, em equilíbrio e:tt,tlco ou d.il\lmico, podo-lc
preparv o dlaan-ma de corpo livr' onde sio mott.ndas u (orçu nec:::cs.ártu para manter
o corpo como um todo cm equillbrl~ O passo poJre.rior 6 o mesmo que o discutido oeima.
SOLUÇÃO BÁSICA
O mttodo de ataque de problemas neste texto acgue linhu uoirormes marcantes. Algumas vezes o procedimento t obscurecido por etapas intermediArias,
mas na an61ise final ele t sempre aplicado. Para romecer uma visão gcrru do assunto,
um procedimento tlploo é descrito abaíxo. Uma apreclaçllo mail completa de
muitos dos itens relacionados será feilll à medida que o usunto se desenvolve.
Sugcrc·se que o estudante revejA periodicamente o artiao. após o estudo dos ca'
pítulos posteriores.
1.3
4
(o)
v~•
~v
p
(c)
M
!1>1
F iguro 1,2
~mbto
t
Cótpo livre de um
clun dt suas pattn
A F'ig. 1.2 é uma ilustração esquemática de algumu du etapas acima, para
um problema bidimensional. Dois corpos Uvres isolados do membro, por meio
das seções n·a c b~. respectivamente. estilo mostrados nno F'igs. 1.2(b) c (c).
É CS$Cncial a hnbilídadc de visualização da naturexu das quantidades calculadas. Todas u quantidades consideradas na mccânicu dos sólidos tam significado lisico definido, muitas das quais podem ter interpretação esquemática. Os
diagramas de corpo livre são de auxilio valioso.
5
2
material é necessária antea do estudo dos capllulos seguinteS. O estudo da Parte o
pode ser poster.gado.
2.2
CONSIDERAÇÕES GERAIS
. Para o cquillbrlo de um sólido rlaido, as equações da estática exigem o preenchomento das scaulntes condições:
F.F~ - 0.
r.F, -O,
'EF. - O,
FORÇAS AXIAL E CORTANTE,E
MOMENTO FLETOR
2.1 INTRODUÇÃO
Após algumas observações pi'Ciiminarcs, este capitulo será dividido em quatro
partes principais. A Parte A consiste em uma revisão dos procedimentos de cálculo
para reações. A Parte B discute um método direto, baseado nas equações da estática, para determinaçio da força axial e cortante ou de cisalhamento, e momentos
netores em qualquer seção de um membro estrutural. A construção de diaaramas
parn essas quantidades 6 entilo considerada. As equações diferenciais para o equillbrio da viga são deduzidas na Parte C. e são fornecidas instruções para construção
de diagramas de momentos e forças cortantes. Na Parte O silo introduzidas funções
singularidades para o tratamento de casos descontínuos. Isto nos habilita ao tra-.
tamento annlltico de ioHimeras condiçlles de carregamento descontinuo encontradas
na prática.
Neste capitulo focalizaremos nossa atenção em estruturas bidimensionais ou
planas, e principalmente em vigas, uma vez que inúmeras nplicações de vigas podem
ser encontradas em Clltruturas e em elementos de máquinas. Os membros principais que suportam pavimentos de prédios silo vigas, assim como também o silo
os ehos de automóveis. Muitos ei.~os de mãquinas atuam simultaneamente como
membros de torçllo e como vigas. Com materiais modernos, as vigas passam a
ser importantes nas construções.
As vigas podem ser retas ou curvas, mas dirigiremos neste capítulo maior
atenção ao estudo de vigas retas, que ocorrem mais freqUentemente na prática.
Além do mais, o conjunto de forças que atua em uma seçilo de uma viga reta é o
mesmo que em uma viga curva. Assim, se o comportamento de uma viga reta for
compreendido, pouco restará a adicionar com relação ãs vigas curvas. Além disso,
embora em instalações reais uma viga reta possa estar na vertical, inclinada, ou
na horizontal, as vigas aqui discutidas serão, por conveniência, mostradas na horizontal. Os problemas tridimensionais, mais gerais, serio encontrados nos Caps.
8, 10 e 11.
.
O conte(odo deste capitulo pode ser familiar a alguns estudantes. Todavta é
desejável uma revisão das Partes A, B c C porque a completa compreensão desse
6
r.M. =O,
F.M, -O,
. M~ -O.
(2.1)
A prhneir~ coluna estabelece qu~ a soma das forçu que aaem sobre um corpo
cm qualquer dtrcçlo (x, .v. :) dove aor •a ual a zero. A aeaunda coluna diz que a •oma
dos momentos d11 forçaa, em relaçlo a qualquer eixo paralelo ia dircções (x, y, :),
deve ser iaual a zero para existir o equillbrio. Nos problemas planos, onde todos
os membros e forças estio em um plano único, tal como o plano x-1, as relações
r.F, = O. T.M, - Oe T.M1 - O. ainda que válidas, slo triviais. A Eq. 2.1 jt deveria
ser familiar aos estudantea.
As equações da estática alo dlretamente aplicáveis aos corpos deformáveis,
usando suas dimensOes iniciais. As deformações toleradu nas astruturas sao u•ualmente desprezáveis quando comparadas ils dimensões totais das estruturas. Assim,
exceto em casos raroa, para obtcnçlo doa forças em membroc estruturais, usam-se
nos cálculos as dimensllcs oriainals dos membros, Isto é, anteriores à deformaçJo.
Existem problemas em quo u equações da estática nlo alo suficientes para
determinar as forças que agem sobre o membro. Por exemplo, as reações para uma
viga reta, suportada em tr!a pontos, conforme mostra a Fia. 2.1, nlo podem ser
determinadas apenas pela eat.tica. Neuo problema-plano existem quatro componentes desconhec:ldu, mas apenas trb equações independentes. Tais problemai
sfto denominados tXttrlla e e~tatlcamtntt lmltttrmintlllos. Sua consideraçlo senl
postergada até cheaarmos aos Caps. ll e 12. Neste, e nos oito capltulos que se
seguem, em sua maioria, apenas os membros externa c estaticamente determinados
serão considerados; isto é, todas as reações externas que agem em tais corpos podem
ser determinadas pelas Eqs. 2.1. Existem vários problemas estaticamente determinados de signlf'icaçllo plitica. Uma vez familiarizados com o assunto, serã relativamente simples a cxtcnslo dos procedimentos a situações estat.icamente'
indeterminadas.
Flgu .. 2.1
Viga estaticamente indeterml-
nada
Conforme foi observado anteriormente, as reações em um me.;,bro estaticamente determinado podem ser calculadas por meio da Eq. 2.1. Usualmente é este
o primeiro passo na análise. Na próxima fase, faz-se um corte numa ~çilo para
7
isolar a parte selecionada. Determinam-se as componentes de força necessá'rias
ao equillbrio da parte isolada, pela reaplicação das Eqs. 2.1. Neste texto as com·
'JOntuttJ srrâo drcom osttÍ.t no Ion dt um slstemn dextró iro dt eixos cartt.sionos,
como mostra n F g. 2.2(a). Usunlmenre os eixos x e y compõem o plano do papel,
e o eixo z aponta para o leitor. Em geral, a origem pode ser tomada em qualquer
ponto conveniente ou movida ao longo do membro. Todavia, nas barras a origem
usualmente ~ colocada na e.<tremidade esquerda, no eenttóide da área da seção
transversal.
,
X
t•l
(<l
rr6giro.• Para enfati2.!1r o ponto, empregaremos ocasionalmente o índice duplo
para indicarmos o eixo em torno do qual atua um momento Oetor particular como
M ou M,. Como M, é o conjugado que age sobre um membro, ele serll identificado
1
pela letra T.
Da mesma maneira que um vetor força, o vetor momento M pode ser expresso
por
M • M, i + M,i + M,k
onde M , • T, M 1 • M 11 eM, • M,. são componentes de M, ao longo dos eixos
coordenados, como mostra a Fig. 2.2(d).
Para problemas planos a notação e a representação diagramática das componentes de força, usadu neste texto, são mostradltS nltS Figs. 2.2{e) e (1).
A anélise das forças no Fig. 2.2 relacionadas :i intensidade das forças internas
(tensões) e das deformações por elas causadas nos membros, será dada nos capítulos que se seguem. Como será mostrado, esses problemas básicos são esi.Íitica
e internamente indeterminados. En1 geral, as equações da estática não são suficientes para a solução de tais problemas; devem ser usadas premissas de deformação assim como propriedades de materiais.
PAR TE A
,.
M~ou T
CAL CULO D AS REAÇÕES
2.3 CONVENÇOES OIAGRAMÁTICAS PARA SUPORTES
t•l
(d)
Pfewr• 2.2
Oetlnlo&o dt cornpontntts de rOfça potltlva em tJma seç&o de um corpo
O sentido positivo das componentes na seçAo cortada, visto para a origem,
coincide com as dircções positivas dos eixos coordenados, Fig. 2.2(b). As forças
do equillbrlo do lado mais afnstndo de um segmento (nlo mostrado na Ogura)
agem em direçOes opostas llquelas dos eixos coordenados positivos. Baseado nisso,
na seção mais próxima de um membro, pode-se exprim.ir um vetar força P por
meio de
..
P • P) + P,i + P,k,
onde P•• P1 e P, são as componentes da força P e i, j, k sã o vetares ao longo de
x, .v e :, rêspectivamente.
As tr!s componentes do momento que pode ocorrer em uma seção de um
membro agem nos ltl!s eixos coordenados. como mostra a Fig. 22(c~ Neste texto,
essas quantidades scrlo representadas alternativamente por vetores com duas
setas, como na Fig. 2.2(d~ O sentido desses vetores segue a regra do parafuso dex-
8
No estudo das vigas é imperativo adotar convenções diagramáticas para seus
suportes o carregnmentos, porquanto diversos tipos de suportes e grande variedade
de carga.t slo posslvels. A total compreenslo e adoção de tais convenções eviia
confusOes e diminui os possibilidades de enganos. Essas convenções formam a
linguagem pitoresca dos engenheiros. Como mensionado na introdução, por conveniência, !IS vigas serno mostradas usualmente na posição horizontal.
Trh sao os tipos de suportes para vigas carregadas com forças que agem no
mesmo plano, e sao idontiOcndos pelas renções que oferecem às forças. Um deles
6 fisicamente representado por um rolete ou uma articuloção. É capaz de resistir
a uma força em apenns uma li nha de açl!o específica A articulação na Fig. 2.3(a)
pode resistir a forças na direçl!o da linha AB. O rolete da Fig. 2.3(b) pode resistir
apenas a uma forço vertical, e os roletes da Fig. 2.3(c) podem resistir apenas a uma
força que age perpendicularmente ao plano CD. Uma reação desse tipo corresponde
a uma incógnita na aplicaçl!o das equações da estática Para reac;ões inclinadas a
•·t klçtio entre as duas componentes é fixa.
'
Outro suporte que pode ser usado por uma viga é o pino. Em c-o nstrução real,
~ai suporte 6 efetuado anologamente ao mostrado na Fig. 2.4(a). Neste texto, tais
•um pen.tuw a dlrclla av.nça na direç:lo do vc-tor qu:t.ndo de c girodo no knlido indic:ado por
n.c:io de um mon1ento
9
5Uportcs serão reprcscmados por diagqtmas como o da Fig. 2.4(b~ Um suporte
com pino é capaz de resistir a uma forçu que age em qualquer plano ou direçilo.
Assim, cm geral, a reação em tal suporte pode ter duns componentes, uma na direção
horizontal c outra na vertical. Ao contrário da relação aplicada ao suporte de rolete
ou de articulação, aquela entre as componentes de reaçllo para ~ suporte de pino
nilo é fixa. Para determinar essas duas componentes, devo-se usar duas equações
da estática.
VIa•
~~(b)
• M~
~·j
Roltlt
(•)
rebitado como o da Fia. 2.7(a~ Tais arranjos aplicam a força a uma parcela limitada da visa e sio idealizado., J)lllii lins de análise da viaa, comoJorçn3 conctnrradns:
Rublt t rorçaa
horilont&U t 'f'trUeall
Figuro 2.3 Suportes do articulaclo e de rolett. (A única linha posslllel de açlo da lf!açlo estâ
mo>trada pelos linhas traceladas}
O terceiro suporte usado cm vigas é capaz de resistir a uma força cm qualquer
direção e, também é capaz de resistir a um momento. Fisicamente tal suporte é
obtido pelo engastamento de uma viga em uma parede, em um bloco de concreto,
ou soldando uma viga na estrutura principal. Em tal suporte existe um sistema de
tn's forças, duas componentes de força e um momento. Tal suporte é chamado de
eng11srcrmenro, isto é, uma extremidade embutida ou impedida de girar. A Fig. 2.5
mostra a convenção padroni:tnda de indicação.
Figura 2.4
Supore. t\Xo
A Fig. 2.7(b) mostra os diaaramu correspondentes. Por outro lado, cm várias
circunstâncias, as forças alo aplícadas sobre considerável porçlo da viga. Por
exemplo, em um depósito a mercadoria pode ser empilhada ao longo do comprimento de uma vip. Tais forças alo cltamadu de cargas dlsu·lbuldas. Vários sio
os tipos de tais carregamcntoa, mas dois deles t!m importAncia particular: as cargas
wriformemtnle disll'lbuídas e as cacau unifo,.,ntmtnte uarláurfs. As primeiras poderiam facilmente Sei identilicadu como a idealizaçllo da carga do depósito acima
mencionada. ando a mesma es~ de mercadona é empilhada at6 a meJma altura
ao longo da viga. Da mesma forma, a visa em si, quando de área de seçlo transversal
constante. se constitui em excelente ilustração da mesma espécie de carregamento.
,
,
11
R
(b)
SupOrte de p1no; (a} otual. (b) dte·
Figura 2..5
11
Supont ti.xo
gfamétjco
Para diferenciar os suportes fixos daqueles de rolete e pino, que não resistem
a um tnomcnto, chamamos os dois últimos de ~·uportes simples. A Fig. 2.6 resume
as diferenças entnc os três tipos de suporte. e os tipos de reação impostas. Os engenheiros normalmente ad miten1 um dos três tipos de suporte. por meio de "julgamento" (bom senso), ainda que na construção real os suportes não caiam especificamente nas classificações an teriores. Uma investigação mais refinada desse aspecto
do problema foge ao escopo do presente texto.
2.4 CONVENÇÕES DIAGRAMÁTICAS PARA CARREGAMENTO
As vigas são usadas para s uporte de variadas cargas. Freqüentcmente se transmite uma força à viga através de um pilar, um braço de alavanca, ou um detalhe
10
I I IMIMt'ltOI
Figura Z.l 01 trAI suporttt eomuns
~
~
(•)
hariaanttJI I VNUC&fa
Supor1tsllmpll1
ll)
i <)
Rubtta(o~u
R11t11e apenu a fo~u wrtloalt
B
w
(1)
(b)
Fl9ura 2.7
Rr
Cerregamento concontrodo em uma viga: (1} otuel. (b) ldeoliudo
A Fig. 2.8 mostra uma situaçllo real e um diagrama representativo. Essa carga é
usualmente expressa em kgl'/ m (ou kgf/cm) da viga, a menos que se indique o contrário.
As paredes verticais e inclinadas recebem cargas uniformemente variáveis,
como no caso das paredes laterais de um reservatório com liquido. A Fig. 2.9 ilustra
esse caso, onde se admite que a viga vertical tenha I metro de largura e y (kgffm 3 )
é o peso especifico do liquido. Para esse tipo de carregamento, deve-se observar
cuidadosamente que a mbima intensidade da carga de p kgf/m é aplicável somente
11
ao comprimento infinitesimal da viga Ela é o dobro da intensidade média da pressão.
Dessa forma, a força total exercida por tal carregamento sobre a viga é de 1/2 ph kgf.
Os fundos dos reservatórios, quando na horizontal, são carregados uniformemente.
Os carregamentos aerodinâmicos são do tipo distribuído,
Carct unltnrmemente dJstdbufd-a
met<adortas +vlp Pt ksf/m
vt,ap1 kar/m
(b)
Figura 2.8 Carreg•mento distribuldo em uma viga: {a) atual, (b) idealizado
---
,,
Flguns 2.9 Canegamento hldrosthtieo em
uma parede venlcal
2.5 CLASSIFICAÇÃO DAS VIGAS
As vigas são classi~cadas em diversos grupos, dependendo principalmente
do tipo de suporte. Assim, se os suportes estão nas éxtremidades e são pinos ou
roletes, as vigas são chamadas de slmplesmtlltt apoiadas ou simples, Fig. 2.1 l(a)
e (b). A viga torna-se fixa ou de txtremldtules fixas ou eugastadas, Fig. 2.1l(c) se as
extremidades têm suportes fLxos. Da mesma forma, seguindo esquema análogo .de
nomenclatura, a viga mostrada na Fig. 2.ll(d) é uma viga fixa ou .engastada em
uma extremidade e simplesmente apoiada na outra. Tais vigas também são chamadas
de vigas com restrição porque uma das extremidades é impedida de girar. Uma viga
engastada em uma extremidade e completamente livre na outra tem o nome especial
de viga engastada em balanço, fig. 2.ll(c). Se a viga vai além do suporte, é chamada
de viga com balanço. Assim, a viga mostrada na Fig. 2.ll(Q é uma viga com balanço.
Se existirem suportes intermediários de membros fisicamente continuas que atuam
como viga, da forma mostrada na Fig. 2.ll(g), a viga é denominada continua. Para
todos as vigas, a distância L entre os suportes é chamada de viio. Em uma viga contínua os diversos vãos podem ter comprimentos variáveis.
~
1'' ''1I
I
I I
1"'"""" 11I
(a)
(e)
L
"
p -.,rtm Cmox) • "( · h · 1-lõ=---l
L
Vlps simplesmente apol3da,
Finalmente, t conccblvcl carregar uma viga com um momento concentrado
aplicado à viga, essenclnhncnte em um ponto. Um dos muitos arranjos possíveis
para aplicação de um momento concentrado é mostrado na Fig. 2.l!Xn), e sua
represen tação em diagrama está na Fig. 2.10(c).
w
C.bo
(b)
I
L
I
I
I
<•l
I
w
Polia
(b)
(c)
Figura 2.10 Método de aplicação de um momento concentrado a uma viga
(d)
A necessidade de uma compreensão total da representação simbólica acima
para suportes e forças não pode ser excessivamente enfatizada Observe particularmente o tipo de reação oferecida pelos diferentes suportes e a maneira de
representar forçus em tais suportes. Essas notações serão usadas na construção
dos diagramas de corpo livre das vigas.
se
12
l i ~ II I
7}}1;
I
L
I
Viga com bal11nço nos extremidades
Vlca fixa
(c)
L
Viga em b:tlanço
( t)
.I
L
VIga nxa em urna ex tremidade- e
simplesmente apciada na ou.tn1
A
.I
(g)
k
"'1
I
I
I
7}}1;
L,
L,
L,
Figura 2.11 lipos de vigas
Além da classificação das vigas com base no tipo de apoio, usa-se freqüente·
mente dar alguma descrição relativa ao carregamento. Assim, a viga mostrada na
Fig, 2.ll(a) é uma viga simplesmente apoiada, com carga concentrada, e aquela da
Fig. 2.ll(b) é simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída Outras
vigas podem ser descritas da mesma forma
13
FrcqOentementc também se usa a classificação de vigas estaticamente deter·
minadas c indeterminadas. Se a víga, carregada cm um plano, é estaticamente deter:
minada, o nú mero de inc6gnitas, ou seja de C01nponentes de reaçio desconhecidas,
não excede a três. Essas inCógnitas podem sempre ser determinadas pelas equações
do equillbrio estático. O artigo que se segue, fará uma breve revisio dos métodos
da cst4tica para o cálculo das rcaçOcs de vigas estaticamente determinadas. A investigação sobre as visas estaticamente indeterminadas serà deixada para os Caps.
11 e 12.
2.6 CÁLCULO DAS REAÇOES NAS VIGAS
Na maior parte do trabalho que se segue, a análise dos membros será iniciada
com a determinação das reações. Quando todas as forças são aplicadas em um plano,
três equações do equillbrio estático estarão disponíveis para tal finalidade. A apli·
cação de tais equações a diversos problemas de víga encontra-se ilustrada a seguir
e pretende servir como revisão desse importante procedimento. A deformação das
vigas, sendo pequena, pode ser desprezada durante a aplicação das equações de
equilibrio. Nas vigas estáveis, a pequena deformação que ocorre, muda impercep·
tivelmcntc os pontos de aplicação das forças.
EXEMPLO 2.1
Calcular as reações nos apoios, da vip simples, carregada da forma mostrada na
Fig. 2.12(a~ Desprezar o pe50 da viaa.
Vtr!flcarao:
-10-100-160 + 270 • O.
Ob1orvo que T.F, • O. usa uma du tres equações independentes da utAtica e, dessa
forma. apenu duu oompoaeatea adlclooaiJ ou momentos ocorrem no• 1uportes, traneformando o problema cm um est&tiC141111te indeterminado. Na Fia. 2.11, u vlau mo1tradu
nu panio c. i • g olo eatatica~DC~'- lndoterminada1, eomo podo ocr provado pelo na.,.
do nCmero de componont• duconhtoidu (vorlncar "'' afirmativa~
Obaervo que o momento concentrado aplicado om C ontra·ll apcnu na• oxproulles
para o ao1natório doo momentos. O einal poeilivo de R, indica quo aua direçlo f?i admitida
no sentido correto na Fia. 2.12(b~ O lnvereo ~o cuo de R.,. e a reaç!o vertical em A~ pua
baixo. Obso~ que o dennvolvímento aritmético é verili<:ado se oo cálwlos do feitos eonforme 6 mostrado.
t f1 • Of +.
SOLUÇÃO ALTERNATIVA
No câ1culo das reaçõa. alJUM enpnheiroo preferem eletU6·1oo da maneira indicada
na Fia. 2.13. Fuodamentalmente, luo envot.... o uso dos mesmoo principioc. Apenas oo de·
talhes slo díferentu. AI roações para cada força lllo determinadas uma por vez. A reaçlo
total é obtida poJa aoma dOllsas componentes. E•se procedimento permito verlncar os cólculos
6 medida que llo efctuados. Para cada força. a soma de suas reaçGes é laual ' força em si.
Por exemplo, para a força de 160 kaf, ~ fAc:il de ver que as componentes de 40 kgf c 120 k&f
dlo o total de 160 kaf. Por outro lado, o momento concentrado cm C, sendo um conjuaado,
6 resistido por outro coll.luaado. Elo provoca uma força para cima. de 100 kaf, no apoio da
direita. o uma força para balx.o, do 100 kaf, no apolo da osquordL
100 "''
0,5 m
0,5 m
o.l m
(a)
O,s m
Figuro 2.12
..rw,. oJ
(b)
SOLUÇÃO
O carregamento da vip j:l esté na forma diaaramãtica. A naturezn dos suportes e exa·
minada em seguida e os componentes dcs~nhecidas estão indicadas no diagrama. A viga,
com as componentes de reação desconhecidas e todos as forças aplicadas, t redesenhada
na Fig. 2.12(b) para enfatizar deliberadament<: essa important<: etapa na conStrução do dia·
grama do corpo livre. Em A, podem ui.uir duas compon~tes de reação desconhecidas, uma
vez que a extremidade e articulada. A reação em 8 apenas pode agir na direçil.o vertical,
porque a extremidade estAsobre um rolete. Os pontos de aplicação de toda.• as forças estio
indicados com o devido cuidado. Apôs feito o diagrama do corpo livre da viga. as equações
da esultica nlo·aplicadas para se obter a solução.
r.f, - o.
14
o.l m
RAI -o,
EM .c • OQ +,
200 + 100(1,0) + l60(1,S) - R1 (2.0) • O, R• w + 270 kgff
f.M1 s 00+.
R.c,l2.0) + 200-H)(X1,0) - 160(0,S) • O, R
.c, ; - lO k~f.
o.l m
0.5 m
2
20t)x l/2 • 100k&f
100 x 1,0/l •
160 X Q,l/1 •
40 qf
100 kal
90 "''
so t 1r
R,q•lO ~
f.rM
•.-o
tOO k.lf • 200 x
1/2 (momento)
50kJ{ • IOOxi,Oil (/o1ç•de 100k.lfl
120qf • 160 x t.S/ 2 (/o~ de 160k.lfl
R,- 270 kaC t
Figure 2.13
EXEMPLO 2.2
Achar a.s reações noo apoios da viga com carga parcial uniformemente variâve1, mostrada na fia. 2.14(a~ Desprezar o peso da vigL
SOLUÇÃO
Um exame das condições de supor!<: Indica que existem três componente& desconhecidas,
e dessa forma. a viga 6 estaticamente determinada. Essas componentes e a carp aplicada
15
estio mostndas na Fi~ 2.14(b~ ObsetYe particulumente que, para o cálculo das reaç6et.
a configuraçlo do membro nlo 6 importante. Para resttltar o ponto, indicamos a viga por
um traçado grosseiro nlo parecido com o real Todavi1, es10 noYO corpo 6 apoiado nos
pontos A e 8, da meama maheira que a vip original
cógnha. É conveniente substituir essa ro!ça pelas duas componenles R., c R.... que ne.sse
problema particular são numericamente iguais. Analogamente. ê ntelhor substituir a rorça
inclinada pelu duo componentes mostradu. Essu ctapu reduzem o problema & outro
cm que todas u rorças d o horitontab ou verticais. bao ~ conveniente na a pHcaçio das
equaçiles do equílibrio eotltioo.
tM. = 00+.
+ 4{ 1)- R.,I4) • O.
R.,- I t !•I R,,,I
IM• = 00 +,
+ R.,(4)-4(3)- O.
R., = lt I
tF~ = 0- +.
+R,.It -3-l •O.
'
Vtriflcaçiio:
lm
(o)
Fiou,. 2.14
tm
(b)
tF,•Ot + .
Para o cólculo das reaçõcs, a carga distribuída 6 aubstitulda por uma força concentrada
equivalente. EMa força 6 iauaJ à soma das forcas dlstribuldas que agem aobro a vip. Ela
aac no centróide du forças distribuldas. Etsu quantidadea pertinentes estio marcadas no
esquema de trobalho, Fi~ 2.14(b~ Apôo o preparo do d!.arama do corpo livre, a ooluçfto
b achnda pela apllcaçlo du equações do cqulllbrio 11tjtico.
t F# •
0.
R.., • 0.
IM.•OO +,
tM 1 • 00+,
tF1 •
+ 30,0(0,4)- R.,(l,O) • O,
R1 • 12.0 kaft
R., • 18,0 kafi
- R.1{1,0) + 30,0{0,6) • O,
Of +,
-t s,o + 30,0 - t2,0 -
o.
Determlnu u reaçiles em A o B para a viga ''sem peao• mostrada na Pi~ 2.tS(a~ AI
ca.raas aplicadu sio dadas em toneladas. ou e2n quíloarema-focç.a..
» 4'
~A~~-~~~B
l- í .:· r
41
R... A
51
B
Figura 2.1 5
SOLUÇÃO
A Fig. 2.JS(b) mostra o diagrama do corpo livro. Em A existem duas componentes desconhecidas. RÁll e R.c,· Em B a reaçllo R• ~ normal ao plano do suporte e constitui uma in-·
16
Ocasionalmente são imroduxjdas articulações* ou juntas com fJinos nas vigas.
Uma articu)açlio é capaz de transmi tir apenas as forças horizontais e verticais.
Nenhum momento é transmitido por uma junta articulada. Dessa forma, o ponto
onde está a articulação é particularmente conveniente para separação da estrutura
em seçOes, parn fins de cálculo das reaçOes. Esse processo está ilustrado na Fig. 2.16.
Cada seção da viga assim separada tem tratamento independente. Cada aniculaçlo
fom«e um cbo extra em tomo do qual os momentos podem ser calculados para
determinação da.• reaQIIes. A introduçilo de uma articulação ou de várias articulações
cm uma viga continua, em muitos casos transforma o sistema em estaticamente
determinado. A introduçlo de uma articulnç!o em uma viga determinada resulta
numa viga nio estãvel. Observe que a reaç!o na articulação para uma viga age em
direçfto oposta na outrn viga.
L(2
I!XEMPLO 2.3
{4)
+ 3-4 + I • O.
l
'ip
I
ci
.,;;.
~
I. • I
L
(a)
(b)
AltlcuJaçto
'l /2
{c)
r
I
zf
~
Figura 2.18
r
t:,l
~'
Estruttun sep.~r.c:las po1 an.·
culac;ão Dltl detatmintÇAo das reaçõet peta
111itica
•Outro cjpo de conedo estâ mostr11do na Fig. 11.12
17
PARTE B
DIAGRAMAS. DE FORÇAS AXIAL,
.
CORTANTE E DE MOMENTOS: MÉTODO
DIRETO
2.7
j
APLICAÇÃO DO MITOOO DAS SEÇOES
O principal objetivo deste capitulo ~ estabelecer procedimentos para deter·
minaçlo das forças existentes cm cada seçlo da viga. Para obter essu forQas, apll:
camos o ~todo das seç6e1, que l bbico na mecânica dos sólidos.
A analise de qualquer viga inicia pela preparaçllo de um diagrama do corpo
livre. As roaçôea slo calculadas 1 seguir. liso é sen>pre poulvel desde que a visa
seja estaticamente determinada. Após a determinaçlo das reaçõCI, elas se tomam
forças conhecidas, e nas etap3s subseqQentes da antlisc, nlo hâ necessidade de
distinçlo entre as forças aplicadas e de reaç!o. Ent!o, usa-se o conceito de equi·
librio das partes de um corpo, quando ele como um todo estA em equillbrio.
Para concretiuçllo do que se falou, considere uma viga, tal oomo a mostrada
na Fig. 2.17(a), com certas forças concentradu e cargas distribuídas, agindo junta.
mente com as reaçôes admitidas conhecidas. Qualquer parte da viga, de cada lado
de um corte imagJnário, como .x·x. feito perpendicularmente ao eixo da viga, pode
ser tratada COn>O um corpo livre. Separando essa vip na seçlo X·JC, obtém·sc dois
segmen tos, conforme mostram as Figs. 2. 17(b) e (c). Observe particularmente que
a seção imaginária, atravessa a carga distribuída c a separa em duas. Cada um dos
segmentos da viga está em equilíbrio, cujas condiçôes exi1em a exilt!ncia de um
sistema de (orças na seç!o de corte da viga. Em geral, na scçlo de uqta viga, alo
necessárias uma força venícal. uma horizontal e um momento para manter em
equilíbrio a parte da viga. Essas quantidades adquirem signíficado especial nas
vigas e, dessa forma, serlo discutidas separadamente.
2.8
Plgu.. 2.17 Apllcoçlo do m6rodo du H •
QOt-1 • um• vlg1 lltt11oamen~e Cft ttrmlntc:ll
I
~~
I
'~lt::;;::;~.
I'
(c)
R..,
R..,
R,
Nesse momento pode-se fazer uma observaç.io significativa. o mesmo cisalha·
·~cnto mottrado nu Fiaa. 2.17(b) o (c~ na •eçlo x·x, tem dircçJo oposta nos dois
draan.mas. Corraspondentcmonto ~ parte da carp w,, a esquerda da aeçlo x-x,
a viga oferece uma roaçlo para cima para manter em equillbrio u forçu verticais.
?
t-"Rcaultante: h todu u rotÇN i ttqlillrda datcçlo
l-.-.k1nt
FORÇA CORTANTE NAS VIGAS
Para manter em equillbrio um segmento de viga tal cerno o mostrado na Fig.
2. 17(b). deve haver uma força vertical interna V no certe, para satisfazer a equaçllo
tf' -O. Essa força interna V. agindo perpendicularmente ao eixo da viga. ~ cha·
mada de força cortalltt ou de ciStJihamtllto. A força cortante t numericamente igual
à soma algébrica de todas as componentes verticais das forças externas que agem
no segmento isolado, mas tem direçlo oposta. Com os dados qualitativos na Fig.
2. 17(b) V tem direç!o oposta a carga para baixo, do lado esquerdo da seção. Anal~
gamente, a força cortante, na mesma seç!o, Utmbém é numericamente igual à soma
de todas as forças verticais a direi lA da seçlo e tem dircçilo oposta Fig. 2._17(~)).
Naturalmente, a última soma inclui as componentes de reaç!o verttcal. É rndrferente o uso do segmento direito ou esquerdo para determinar a força cortante na
seção - o que governa é a simplicidade aritmética. As forças ce.ttantes em qualquer
outra seçlo podem ser achadas analoga.mente.
I
!!.-~f~,
C•l
+V
(b)
r
18
(1)
Figuro Z.11
Oofiniçlo da forço e011on1o
I>Oiitlva
19
Ao contrãrio, a parte carregada da viga exerce uma força para baixo, sobre ~ viga
da fig. 217(c). Em uma seção "duas direções" da força cortante devem ser diferenciadas, dependendo de qual dos segmentos da ~íga é considerado. Isso decorre
do conceito familiar de ação e reação da está!lca.
.
A direçllo da força cortante na seção x-x seria invertida em ain?os os diagramas
se a carga distribuída 1+'1 agisse para cima. Freqllcntcmente uma •.nversão anál.oga
na direçllo da força cortante ocorre em uma seçllo ou outra da v1ga, por mo~v~s
que se tomarão aparentes posteriormente. A adoçllo de uma. convenção de stnats
é necessária para diferenciar entre as duas d1reções possive1s da força ~rtante.
A definição de força cortante positiva está ilustrada na Fig. 2.18(a). Uma f~rça tnt~rna
para cima, agindo do lado esquerdo do corte ou uma força para bli_I~O, ag1n~o
do lado direito do mesmo corte, corresponde a uma força cortarilt Jl~stttva. A F1g.
2.18(b) mostra forças cortantes positiv~ para um elemento. O cisalhamcnto na
seção x-x da Fig. 217 é positivo.
2.9
fORÇA· AXIAL NAS VIGAS
Além da força cortante Y, pode ser necessária urna força horizontal, com?, P ~a
Fig. 2.17(b) ou (c), na seção de uma viga, para satisfazer as cond1~ões de equillbno.
A magnitude c sentido dessa força são obtidos da soluçllo particular da equaç!lo
r.F - O. Se a força horizontal P age para o corte, ~ chamada de tmpuxo ou com-.
pre;sào; se age para fora do corte, ê chamada de cra~o axial. O termo força axlnl,
é usado em ambos os casos. A linha 1/e açào da forço axial dtverla ur sempre dlrl·.
.
glda mrnvés tio CPillrôide da uçào transvet·s~l da viga.
As seçOes de uma visll podem ser exatmnadas para obtcnçllo da magnttu~e d.a
força axial, da forma acima descrita. Em concordllncla com a convenção de sana•s
da Fig. 2.2, uma força de traçlo em uma seçlo t positiva.
2.10
MOMENTO FLETOR NAS VIGAS
A exist!ncia de uma força cortante e outra axial em uma seçlo de uma viga
aueaura que dois dos requisitos de equillbrio do segmento de vi~a ?stejam pre-,
enchidos. Com essas forças, as equações I:.F. - O e 'LF1 -O slio salísfeJtas. A outra
condição de equillbrio estático para o problema bidimensional 6 'E-M, - O. Essa.
em geral, pode ser satisfeita apenas por um momtnto lnlmJo ru~lenlt na área de
seção tranversal do corte, para compensar o momento causado pelas, forças extemas.
O momento interno resistente deve agir em direção opOsta ao momento externo,
para satisfazer a equação I.M, =O. Da mesma forma, segue-se da mesma equação
que a mag111tude do momtnlo i111emo rtsisce/ltt se Iguala ao momenco exumo. Esses
momentos tendem a Detir a viga no plano das cargas e são usualmente chamados
de momtntos jlecores.
O momento Oetor interno M é mostrado na Fig. 2.17(b). Ele pode ser desen·
volvido apenas em uma seção transversal da viga e é equivalente a um conjugado.
Para determinar o momento necessário para manter o equilíbrio do segmento,
pode-se tomar a soma dos momentos das forças em relaçllo a qualquer ponto no
20
l
1
plano; naturalmente, todas as forças vezes os seus braços devem estar i.n cluidas
na soma. As forças internas Vc P não são exceções. Para excluir da soma os momentos
provocados por essas forças, geralmente é mais apropriado, em problemas numé·.
ricos, ultciouar o pomo de lncers•çiio dessas duas forças como o pouco em torno do
qual os mom•mos siío clllcularlos. Ambas, V e P, tem braçOS de comprimento zero
nesse ponto, o qual está localizado no centr6ide da área da seção transversal da
viga.
Em lugar de se considerar o segmento à esquerda da seçâo x-x, pode-se usar
o segmento da direita da viga, Fig. 2.17(c), para determinar o momento Oetor interno.
Conforme foi explicado anteriormente, esse momento interno é igual ao momento
externo das forças aplicadas (incluindo reações), contanto que a soma dos momentos
seja tomada em relação ao centróide da seção no corte. Na Fig. 2.17(b), o momento
resistente pode ser fisicamente interpretado como uma puxada nas fibras superiores
da viga e om empurrão nas fi bras inferiores. A mesma interpretação se aplica ao
mesmo momento na Fig. 2. 17{c).
Se a carga W1 na Fig. 217(a) atuasse na direção oposta, os momentos resistentes nas Figs. 2.17(b) c (c) seriam invertidos. Essa situação c outras semelhantes
exigem uma convenção do sinais para os momentos Retores. Essa convenção está
associada com uma açilo fisiCJt definido da viga. Por exemplo, nas Figs. 2.P(b) e (c)
os momentos internos mostrados puxam na parte superior da viga e comprimem o
inferior. Isso tende a aumentar o comprimento da superflcie superior da viga e a
contrair a inferior. A ocprrência continuada de tais momentos no longo da viga,
faz com que esta se deforme (convexa para cima). Tais momentos Oetores recebem
o sinal negativo. Ao contrário, um momento positivo é definido como aquele que
provoca compressão na parte superior e trnção nn parte inferior da viga. Em tais
circunstAncias a viga adquire a forma de "retentor de água". Por exemplo, uma viga
simples que suporta um grupo de forças para baixo, deOete-so para baixo, conforme
mostra a Fig. 2.19(a), de forma exagerada. Tal deflexão segue a intuição fisica. Nessa
viga, a investigação dos momentos Retores ao longo da viga mostra que todos slio
positivos. O significado de um momento Oetor positivo em uma seção da viga está
definido na Fig. 2.19(b). Essa convenção de sinais concorda de novo com aquela
da Fig. 2.2.
2.11
DIAGRAMAS DE FORÇAS CORTANTES E AXlAIS, E OE MOMENTOS
fLETORES
Pelos me~odos discutidos acima, pode-se obter a magnitude e sentido das forças
cortantes e BXllll, c momento Oetor em qualquer seção da viga. Além do mais com
as conven9ões de sinais adotadas para essas quantidades, podem ser traçad~ diagramas scparad.os dessas funções. Em tais diagramas as ordenadas podem ser igualadas ds quantidades calculadas, traçando-as em escala conveniente, a partir de
Uma linha base de comprimento igual ao da viga. A representação gráfica é obtida
atraves da união dos pontos marcados. Tais diagramas, dependendo da natureza
das quantidades que representam, são chamados respectivamente de diagramas
21
de/orça cort<tnre,• de/orça axial ou de momrntojlrror. Com a ajuda de tais diasramas,
as magnitudes e localizações das várias quantidades tomam·se imediatamente
aparentes. É conveniente .fazer tais traçados diretamente abaixo do diagrama de
corpo livre da viga, usando a mesma escala horizontal para o comprimento da viga.
A precisão do traçado de tais diagramas é usualmente desnecessária quando as
ordenadas significativos são marcadas co m seus valor~s numéricos respectivos.
cada caJO eo1oca.... a mearna quectlo: quail alo u rorçu intemu necuárJu para manter
o IOJmento da vlp em aqulllbrldl AI quantldadeo conupondonteo d o roJiatradu noa
respcctivoo diaaramu de co.rpo Uvre do ••amonto de VÍiL Aa ordonadu para euu quan·
lidados estAo lndicadu po.- pontoo fortOI nu Fip. 2.20(h~ (0 e fj). com a devida atençlo
aos alnal1,
.,
c1.---( ---,1)
+M
i
(b)
.,;l~t_,:==*=:::i:Jt~.)lOtm
+M
Sc~nto rB ortp
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Sm
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j 11 )1, 8 m - 4 t•3m ·• tm
I
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L ,,
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Ffgur• 2.19
(a)
OeOniç.io de vm momento
ft1101 po11hVO
Os diagramas de força axial não são usados com tanta freqüencia quanto os
diagramas de força cortante e momento fletor, porque a maio~a das vigas inv~ti·.
gadas na prática são carregadas por forças que agem pc~.endtcularmcnte ao etxo
da viga. Para tais carregamentos, não existem .forças axtats nas seçõ~a.
Os diagramas de força cortante e de momento s~o bastante tmportan.tes.
A partir deles o projetista vê qual o desempenho necessâno em cada seçll~ da vtga.
O procedimento discutido acima, de divisão dn viga em seções e determmação do
sistema de forças na seção, é fundamental, e os estudantes devem aprend!·.lo bem.
Os exemplos que se seguem ilustram tal procedimento.
EXEMPLO 2.4
Construir os diagramas de rorça. cortante. rorça ado.l e de momento netor para a vip
sem peso, mostrada na FitJ. 2.20(a~ sujeita à rorça inclinada de P - 5l.
i
lt
I
I
21
i
(b)
)
..
1 18m
(a)
l
i:f·
I
_:,1..._-_l_t:J~:-::---'.1
I
(c)
1 Forço cort1n1c
II
I
(h)
I
4tm(l~lt
., ..
(d)
I
I
01. -)t-.!
1 - I
lt
-Jt
(i)
I
1
ForçtuW
I
•I
I
I
SOLUÇÃO
A Fig. 2.20(b) mostra um diagrama de corpo livro dn viga. As reações alo determinadas
por ins-peção, após a força aplicada ser deco mposta riU& d~as componentes. Em seauidn.,
slo investigadas ••rios seçl!cs da viga. como mostram u F1g5. 2.20(c~ (d), (e), (Q e (a), Em
li
• Em muitos tutos sobre antli~ estrutural. a dircçAo pos!tiv& da fotÇI oor-~•nle ~ toma di. em o,po.
11ção à aqui adotadL Se forças c:orta.nte:s positivas como delin1dM nc~otc lc:Ato. sa~ Ltaçadu pa~ ba.u:o,
05 contornos dos dittsramu de força cortante pa.r:s as duu convenções de smaJS lornam-to .~ucos
22
(e)
~l
i
I
I
lOtm
!
2tr -)t
I
Sm '
10om
i
4 lm~om
o~~
(j)
FJ.gura 2.20
23
Observe Que os corpos Uvrct monrados nas Figa. 2..l«d) o {g) do a.ltematiVOI uma vez
que romccem a merma informaçlo. e normalmente nlo acriam feitos ambot. Note que a
scçlo imediatamente a es:quc(da da força aplicada tem um ainaJ de cisalhamcnto, Fig. 2.2(Xe).
mas imediatamente à direita. Fig. :2.20(1'), ela tem outro. Iuo Indica a import.Anola da deter·
minaçlo dos cl~alhamentos de cada lado de uma rorça conoe:ntrada.
'
Nes.ae cuo particular, após e.U,a belecidos alguns pontce Individuais nos trfs diaarama~
nas Fias. l.20(h}_ (i) e (j}, t poHlvcl dctcrever o comportamento d.s quantidade• respectivas
ao lonao do c.omprimento da vi&L Auim, emb<>nl o sea,mento da vip mostrada na Fia. l.l«c)
t'e nha 2m de comprimento. seu comprimento pode variar de uro at! Imediatamente j, es·
querda da força aplkada. e nlo ocorre qualquer mudança nu forças cortante e axial. Auim:
a ordenada nu Figs. 2.20{h) e (i} permanece constante para esse segmento da viaa. Por outro
lado. o momento nctor depende diretamente da dittlneia dos 1uportes: nuim, ele va_ria
lincarmen1e conforme mostra a Fia.. 2.20(j). Argumentaçlo temclhante se aplica no Jcamento
mostrado na. Fig. 2.2(Xd), possibilitando a complemcntaçlo dot t'rl!s diagrnmna do lado
direico. O uao do corpo livre da Fig. 2.20(8) para complementaçlo do djasramn d direita
conduz ao mesmo resultado.
FreqOentemente. além de, ou no !usar dos diagramu de rorça cortante ou momento,
slo nccaMriu upressões anaiHic.u para essas funç6es. Para a oriaem de x na cxlrcmidade
p
~~
EXEMPLO :U
(ol
11 -P.v
Traçar ot di•gramu de rorça cortante e de momento Octor pan a viga simples, com
carp uniJormemente distribuida. conrorme mostra a Fi.. 2.2'~&).
24
•
El
-~L..'
ForÇ-D oon ente
I + I
----1
(d)
(b)
•
(c)
~p
_JM-rn
I'
Flgu,.. 2. :n
(c)
t'• ,..,,,.
I' '''''
SOL\)ÇÃO
EXEMPLO 2.6
•
I'
Construir diaaramu de (orça cortante c de momento Oetor para a vip c:at1'CJ&dl. CQm
as forças most.radu na Fia. l.ll(a).
Uma soçlo 1Ubltrtrla. à dilstnncln }( do suporto etquordo bola o segmento de visn mos·
ttado na F1a.l.2t(b). EJs• "çlo t •pilei\ vai pAra qualquer valor do x logo~ etquerdn di' força:
a plicada P. O c:ftalhamento. Independentemente da dlatAnc:la do auportc. permanece con~
ta.ntc e t -P. O momento Oetor vario linearmente a pardr do tuporte, a.tingindo um mAxfmo
de + Pa.
A Fia. 2.21(c) mostra uma tcçlo arbitn'rla entre as duu rorças aplleadu. Nenhuma
força de ciuJhamcnto t necessiria para manter o equlllbrlo de um se,mento nelA parte
da vi&&. Apcnu um momento Oetor conatantc de + Pa devo Je:C resistido pela YÍJ& nessa z.ona..
Tal estado de Oexlo E chamado de jlnciio pura.
Os diaa.ramas de força cortante c momento Octor para eua condição de carregamento
estlo mostrados nas Figs. 2.2l(d) e (e). respeclivamcntc. Nlo é necessário o d iagrnma de
forç-a axial, uma vez que es-ta nfto ex"isle cm qualquer eeçlo da viga.
I.
1
I'
esquerda da vl&l. as seguintes rcJaçôes se aplicam :
v- -2t,
para O < x < S;
V- +21.
para
5 < x < JO;
M- +2xtm,
para
O.; x c; .S;
M-+2x-4(x - 5) - (+20-2x)lm,
para
5~x<IO.
Elns expre11ftos podcn1 ter rncllmente estabelcddaa pela tubstituJçao mentol das dls-:
tlnciu de 2m e 8 m, respectivamente, "" Figs.. 2.20(c) o (a) por um x.
n
•
I.
(•)
J"' '~'""'
~rçacotta.nte
- ,..L/2
(c)
OL---u.=~--~
(d)
Figura 2. 2%
25
SOLUÇÃO
A melhor forma de ~ resolver este problema consiste em se escrever expressões alp .
bricas para as quantidades procuradas. Para em finalidade usa·.se uma seçJo arbitrária
tomada à distAncia x do suporte da esquerda, para isolar o se amonto most.rado na Fig. 2.22(b).
Como a carga aplicada é continuo, essa scçJo é tlplca e se aplica a qualquer scçlo ao lonao
da viaa.
A força cortante (cisalharnento) Y t a nesativa da reaçlo para cima no suporte da es·
querdo, mais a carp a esquerda da soçlo. O momento Detor interno M, resiste ao momento
provocado pela rcaçlo à esquerdo, mena& o momento causado pelas forças em relaçlo a
um eixo na ~çlo. Embora seja costume isolar o segmento da esquerda, podc-sc obter ••·
pressões semelhantes considerando o segmento da direita da viga, tendo·se a devida atenção
i convenção de sinais. Os traçadas das funções v c M estio mostrados na F•i· 2.22(c) e (d).
Considere uma vip curva cujo euo JCOm~lrico 6 Oelido aoaundo um somlclrculo de
raio iaual a 0,25 m, conforme mostra a Fi&- 2.24(a~ Achar u forças axial o cortante e o mO·
monto Oetor na seçlo A~A. « • 45', quando a vip 6 puxada por forças de SOO kaf. nao posições
mollradas. As forças aplicadas o a vip estio em um mesmo plano.
EXEMPLO 2.7
SOLUÇÃO
Determinar os diagramas de força cortante, força axial e momento Octor, para a viga
enaastada. c:arreaada com uma força inclinada na extremidade, Fig. 2.2l(a).
·
Nlo existe diferença essencial entre o mttodo do ataque de$10 problema c aquele da
vlaa rclL O corpo como um todo 6 onmlnado nu condições de equiUbrio. Ou condições
aqui apresentadas, vA·.ae que caso 6 o cuo. Um ••amento da vip t isolado, como mostra a
Fi&- 2.24(b~ A seç!o A~A 6 tomada porpendiC\IIarmente ao eixo da viaa. Anta da ae deter·
minar U quantidades desejadas nO COrto, a força aplicada Pé decompos~ nu eOI'(Iponcntes'
paralela e perpendicular ao corte. l!laas direçõea alo tomadu mpec.tivamcnte como eixos
y e x. E11a decompoaiçJo aubatitul P polu componantoa moatradu na Fi.. 2.24(b). Do T.F - O.
a força axial no corte 6 + 354 kar. Do T.F, • O, a força cortante 6 354 kif na dlreçJo' mootradL O momento Ootor no corta pode IÔr determinado do ditcrontea manoiru . Por ucmplo,
ae tM0 • O 6 uaado, oble,.... que u llabu do açlo da força apllcada P, e da força cortante
na seçlo pasaam por O. Des1a form' aponu a força axial no contróido do corte voz• o raio
necuaita aer conaidorado, o o momonto Oetor reJiatcntc 6 354(0.25) • 88,39 kafm. atuando
na direçlo mostrada. Uma aoiuçlo alternativa podo aor obtida pela ~plicaçJo do T.Mc- O.
Em C, um ponto no contróide, u forçu axial c cortante se lntcrecptam. O momento netor
6 ontlo o produto da força aplicada P e o braço de 0.177 m. Em ambot os métodos de deter·
minaçJo do momento Ootor, o u.o du componentes da força P é evitado devido u lmpli·
caçõea aritmtticu.
L
~'
,y
~==
. ====~
L
p
o
(a)
+
'orça Pill
(d)
~
o
-P
Força coruntt
A Fi&- ~2J(c) moatra WD IO"'*'to ~ viaa; deue ICP\Onto pod•M Vot li
cortanr. o uiaJ permanecem u .mum .... _mdopondonr.mon\8 da diatln<:ia x. Por~......
o momento Ootor 6 uma quantidade vantvol. O aomatório doo momentoa om relaçlo a c
di (PL- Px~ a(uan~o na diroçlo mottrado, roprcaontando um momtlllo negat1110. O momento
no lu porto Ó tamb<\m um momtniO flttor lltgatii!O porque tendo & !racionar U Obru aupe.
rloroa da vfaL Oa trea diaJramu ancontram·•• nu Fias. 2.2l(d), (e) o (1).
·
EXEMPLQ 2,8
(e)
(b)
o~~
[__:..
(I'L f'.Y)
-PI.
(o)
Momento
Flgun Z.2A
(f)
(e)
Figura 2.23
0,177 m
SOLUÇÃO
A força inclinada é substituída pelas duas componentes mostradas na Fig. 2.~b~ •
determina-se a reaçào. As tr!s incógnitas no suporte decorrem das equações da estanca.
26
(b)
27
'
Suacro-se que o estudante complete eue problema em te~oe de ~m lngulo geral «.
Diversas ob.scrvaç&l interessantes podem ser reitu em tal soluçlo geral Ot momentos
nas utrcmidadet serto nuloi para a. - O' e « • 180•, Para « • 9:()-, .• (orça cortante aerl
nula e 8 axJal toma·tc lauaJ a rofça aplicada P. Da mesma rorma. o momento Oetor m'ximo
cstl UJociado a cc ;. 90•.
PROCEDI MENTO PASSO A PASSO
Na anillsc de viau. é ba.s tante importante estar-se apto a determinar a! fo~
cortante e axial, e o momento Oetor em qualquer seção. A tfcnica de obtenç5o
dessas quantidades t direta e sistemitica. Para ulterior Wase. os passos usados
em tais problemas sllo resumidos. Esse resumo pretende ajudar o estudante a uma
antl.lisc ordenada dos problemas. A memoriU>çliO deste procedimento é dcscn-.
corajadL
1. Faur um bom esquema da viga no qual todas as forças aplicadas aparecem
bem indicadas, c localizadas por linhas de dimensllo a partir dos suportes.
2. lndicar as reações dcsoonhecidas (de prefer!ncia com outra eor). Lembre-.s c
que um suporte de rolete tem uma inc6&nita, um suporte articulado tem duas inc6a-.
nitas o um auportc n~o tem trts lnc6gnitu.
3. Subotituir todas as foi'Ç1ls inclinadas (oonhocidas e nlo), por oomponentes
paratohu o porpendlcularea ao ol~ o da viaa.•
4. ApUcar 01 oquaQOCI da estAtico para obter as roaçGes,• •
desej4vel uma
vortncaçlo du roaçl!es calculadas na maneira Indicada noo Exemplos 2.1, 2.2 o 2.3.
$. Cortar a viga na poslçlo desejado., perpendicularmente a sou eixo. Essa
seçfto lmaainArla corta a vlaa e isola as forças que agem sobre o •eamento.
6. Selcclonar um scamcnto pam cada lado da oeçlo proposta e redesenhá-lo,
lndJc::ando todas as rorças externas que agem sobre elo, incluindo todas tu compo...
nentcs do reaçlo.
7. Indicar as trts posalveis quantidades desconhecidas na seçlo do corte, isto
t, mostrar P, V c M, arbitrando suu direçGes.
8. Aplicar os equeçl!es de equ illbrio ao segmento e solucionar para as <tU&nli·.
dodes P, V o M.·
O procedimento acima permite·nos de[erminar as forças cortante c axial, e o
momento Rotor em qualquer seçlio da viga. Os sinais para essas quantidodes de·
correm das dcOniçl!es dados anteriormente. Se se deseja diaaramas para esse sistema
de forças internas, diversas acçôes devem ser investia,ada.s. Não deixe de determinar
2. 12
a
a mudança abrupta na rorça cortante e no momento fletor, nos pontos de concentraçilo de forças e momentos. Algumu vezes neceMitamos de expressões alg6bricas
para as mesmas quantidades.
Na discu&sllo a eonstruçlo dos diagramas de força oortante e momento, foi
j
'
•
exceto para dirccionar os eixos coo-rdenados ao longo do eixo da barra e perpendicular a ele, o procedimento to mesmo. Em sistemas estruturais curyos e no espaçÓ
as direçOes dos eixos concordam com os eixos do membro oo dos membros. Em
taís casos, um dos eixos coordenados é tomado tangencialmente ao eixo do mema
bro - oomo mostra a Fi&- 2.24, por exemplo. Para conformidade com o esquema
diag,r arnitico usado neste texto para vigas horizontais. as ordenadas para l'!lomento
0etor nos Sistemas CUl"VOS e espaciais deveriam ser traçados do lado da compressiO
de uma scçllo.•
PARTE C
DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE E
MOMENTO FLETOR : MÉTODO DO
SOMATÓRIO
EQUAÇ0ES D I FERENCIA.IS DE EQUlLfBRIO
No lugar do m~todo dlreto de corte de uma viga c determinaçlio da força
cortante c do momento neror em uma scçJo pela estática. pod-e-se usar um procedimento altcmadvo eficiente. Para C$Sa rinaJidsdo devem ser' deduzidas certas
rolaQO.. diferenciais tlmdamentai&. Essas podem ser usadas para construçll.o dos
diag:ramas de força cort.a nte e momento fletor assim como para o cálculo das reaçôes.
Considere-se um elemento de viga do comprimento t.x, isolado por . duas
seçGes adjacen t.., perpendiculares a seu eixo, Fig. 2.25(a). Tal elemento estâ mos·
lrado oomo um corpo .livre na Fig. 2.2S(b~ Todas as forças mostradas, atunntes
&obre esse elemento, t!m sentido positivo (para ns dcfmiçOes, veja as Figs. 2.2.
2.18 c 2.19), O sentido positivo da força externo distribulda pé considerado coincidente corn a dlrcclto positivA. do eixo y. Observemos que devido às posslvcís
voriaçOcs de força cortante e nlomento fletor, convenciona-se indicar as respectivas
qunntidades do lado direito do elo•ncnto por V+ t.V e M + t.M.
Pelo condiçdo de equillbrio das forças verticais. obtém-se••
2.13
I:F,•Of+, - V+pl>x+(V+AV)=O ou l>V/l>x •-p.
(2.2)
No equillbrio, n soma dos momentos em relação a A deve ser zero. Assim~
observando-se que o braço da força distribuída em relação a A é igual a l>x/2, temos
tM. -
ou
o;:)+. (M + t.M) + Vt.x- M - (pt.x)(t.x/2) =O
(2.3)
ilustrada principalmente para membros horizontais. Para membros incünados,.
• Maior cri•liwidadc pode w neceullrla ~ra :u ...teu curvas
•• Essa e.tap11 pode tct e.Yhada nu vipa cm bolanço. ptoccdendo.:-: a panir da e:~tremidadc livre
28
• Em •Jauns le.ctOA •obre anjfi~e ettrucural t usacJo o esquema o~to
•• Nenhum• variaeto etc p(Jf) cm 4x ftec:tsjÍIOt ser çonsiderad:t porque. no hmitc. como 6 K- O. a
••rioçto cm p toma._ dcsprc:ziv.:L Eu:a simplir)Qçio nJo ê: utn3 apto~im;rçio
29
,._.,. .
''·'
..
Ar~·+Y
r-- ; ut...
.
+M
y
uma força concentrada. ocorrer... uma descontinuidade ou ..salto" no valor da
+p(x)
força cortant&. O prooouo. do aoma continua permanece vAlido porque a força
~ncentra~. P.od~ ser con~dorada como uma força diJtrlbulda ao longo de uma
d1stâncta mfm1tes1mal da vtga.
Com baS8 .nessa argumcntaçio pod~·.ao estabelecer um diagrâma de força
cortante por m01o do processo do aomat6no simples. Para tal fmalidade, as reaçl!es
+V
CQnvcn;lo de sinats de v~&ai
devem ser sempre determinadu em primeiro lugar. Entio, as componente$ verticais
o
1
Q!).S ~orças o roa90oa alo 10madu aq<:8Ulvamcnte a partir da &xtremidade esquerda
da v1sa. A força cortante em uma aoçlo 6 Igual a soma do todas u forças verticais
at6 aquela seçlo, .e tem sentido oposto à soma deuaa forças.
.
Quando o dl&if&ma do força cortante 6 constnddo do dia11rama de carrega·
m~nto_. u-s ando-.s o o processo ~ soma.tótio, o analista deveria levantar: duas queatOes.'
Pm~eua, 6 a m.udança na força oortante positiva ou negativa no segmento de viga
(b)
Flg.u ra 2 .25
Viga e um elemen1o seu cortado I)Or
duas seçõ•s seoaradas d& Ax
(o)
As E.qs. 2.2 e 2.3 no limite, quando .â.x- O. resulta nas duas seguintes equações
diferenciais bâsicas :
. AV
(2.4)
lun = -c/V • - P
""-o llx
dx
e
lim~ = dM - - v
~x- o 6,)(,
(2.5)
dx
Substituindo a Eq. 2.5 em 2.41 obtém-.se outra relação útiJ:
d (dM)
d>M
7tX
dX
-~=p·
(2.6)
particular considerado? Isto dependerá totalmente do sentido das forças atuantes
se para cima ou para baixo. Se elu agem para cima, a variaç4o 6 ne11ativa. Segundo:
qual a _razllo ~e variaçlo na força cortante? Essa questlo 6 respondida de novo
por meso do dJa1rama de carrepmcnlo, uma vez que a lncUnaçlo do diaarama de
força cortante 6 fi .Tdx - - p. Por exemplo, como na Fig. 2.26(a) a ca(ga p - ~ p 0
age para baixo e tem magnitude constante, a curva de força cortante para esse
segmento é uma linha reta de incllnaçlo constante e positiva. Na Fig. 2.26(b) a
carga variável atua para cima; assim, a variação no cisalbamento da esquerda
para a direita ~ negativa. Como + p 1 < + p1 • a inclinação d.o diagrama de força
cortante· toma..se· mais negativo para a direita A curva que se acomoda nesta
condição é côncava para baixo.
t também útil obtcrvar que a razio de varlaçlo da Inclinação do diagrama
de força cortante iguala a noptiva da n.z.lo de vo.riaçlo da caraa: lato 6,
(d")
-d tlx dx
Essa equação diferencial pode ser usada na determinação das reaç<Ses das vigas
dp
tiV
•--.porque--=
- p·
dx
dx
(2.8)
estaticamente detenninadas, enquanto as Eqs. 2A e 2 .5 são bastante convenientes
para cons(ruç.ão dos diagramas de rorça cortante e de momento fietor. Essas aplicações serão discutjdas a seguir.
2. 14
DIAGRAMAS DE FORÇA CORTANTE POR SOMATÓRIO
A transposição de termos e integração da Eq. 2.4, conduz à relação para .a
força cortante V:
V(x) = - fpd.< + C , ·
(2.7)
JV1 - - PI d.!f
V~-se que, exceto pela posslvel oonstante de integração C,. a força cortante
em umà seção é igual à negativa da integral das forças verticais que agem sobre a
viga, da extremidade esquerda até a sc-çilo considerada. Da ~esmp. rorma~ ~ntre
quaisquer duas seçõcs definidas de uma viga, a mudança no Clsalhamento e 1gual
ao negativo de todas as forças verticais incluidas entre essas seçõcs. Se não existir
força alguma entre duas seções, nílo ocorre mudança na força cortante. Se tivermos
dVftl.x- ..,. -Pl
(•)
(b)
lne~liruçlo do dl.,..n• de força çortant.o - dVJI.v • -p
Figura 2.28
/+ lnçi.Jnoçlo
'--.;:: lndlnaçJo
Relação entre os .d l~g.ramas de carregamento e de força cortame
31
30
Com base nisso, sendo uniforme a carga na Fig. 2.26(a). nenhuma variação
ocorre na inclinaçAo do diagrama da força cortante. Na Fig. 2.26(b), a carga cresce
h rnzão const.,nte e a íntlinaçllo do diagrama de força cortante decrC$ce a uma
tn.xn constante, tornando-se mais negativa.
O leitor nlo deve deixar de observar que o simples somatório sistemâtico
das componentes verticais das forças de sinais opostos, 6 apenas o necessário para
obtençAo do diaarama de força cortM te. Progredindo da extremidade esquerda
da viga, o diagrama deve terminar no extremo direito da vi~ porque logo após a
última força ou reaçAo vertical, nenhuma força cortante age sobre a viga. Esse fato
oferece ímporLMte oportunidade de verilicaçlo dos cálculos aritm6ticos. Essa
verilic:aç&o n&o deve ser ignorada. Ela permite obter soluções independentes, com
quase completa seaurança d e correçlo. O procedimento sem.igrálioc da integraçAo
acima delineada 6 bastante conveniente nos problemas práticos. Ele é bâsico para
rascunhos rápidos dos diaaramu qualitativos da força cortante.
Do ponto de vista nsico. a convençlo de sinais da força oonante não e comple·
tamente consistente.. Sempre que se ane.Usa uma viga. o diagrama traçado a partir
de uma das utremidadC$ tem sinal oposto ao diagrama desenvolvido a partir do
outro extremo. O leitor deveria vetlnear essa afirmativa com alguns casos simples,
coçmo uma viga em balaooo com uma torça cooeentrada oa extremidade. e uma
vip oimpleomente apoiada com uma força concentrada no meio. Para os fins do
traçado, o oinal da torça cortante nlo · 6 usualmente im~rtantê.
·
.
dormente para se passar elo diagrama de carregamento para o de força cortante.
A mudança no momento em um dado segmento de viga ê igual ao negativo da á rea
do dingrama de força cortante correspondente. A inclinação da curva de momento
nctor é deterrninada pela observação da magnitude e sinais correspondentes dn
rorça cortante porque, de ncordo com a Eq. 2.5, dMfdx = - V. A Fig. 2..5 mostra
exemplos de diaaramas de (orça cortante e momento Oetor. onde as forças cortantes
variAveis causam variaçlo nlo·linear do momenre:. Uma força cortante constante
produ'%. uma taxa de variaçio uniforme no momento netor, resultando cm uma
linha reta no diograma de momento nctor. Se nenhuma força cortante cx.iste ao
lonao de uma viaa. nlo ocorre mudança no momento.
OIAORAMAS DE MOMENTO FLETOR POR MBJO OB SOMATÓRIO
A rormuloçAo do procedimento de somatório para estabelecimento dos diagramas de momento Oetor é feita pela trnnsposiçl!o de termos c integração do Eq:
2.5.AIIim,
M(x) - -
f
V clx + C 2 •
(2.9)
onde C2 é unia constontc de intcgrnçfto. Essa cquaçlo é completamente análoga
à Eq. 2.7, desenvolvida para construçôo dos diagramas de força cortante. O termo
dx (correspondente n !' clx do caso anterior) está mostrad o graficamente pelas
arcas sombreadas dos dongrama! dn Fig. 2.27. A soma dessas área! entre seçõcs
dennidns da vign corresponde h integral definida acima. Se as extremidades da
vign estio sobre roletes -com pinos ou livres - os momentos iniciais e os finais
são nulos. Se a extremidade ror embutida, o momento no engastamento é conhecido
pelo cálculo dn reaçlto, no caso das vigas estaticamente determinadas. Se a extremidade roxa da vi,g n está do Indo esquerdo, o momento correspondente com o sinal
apropríado é a constante inicial de integraçlo C 2 •
Prosseguindo continuamente ao longo da viga. a partir da extremidade esquerda.
c tomando o negativo da soma das áreas do diagrama de força cortante. obtêm-se
as ordenadas para o diagrama de momento netor. Esse prOCC$so de dedução do
momento fletor a partir ela rorça cortante é exatamente o mesmo empregado ante·
r
32
- V•
(
.
2.15
v.
~.
}
- MA
'
~
'9:
dM 1 -
~
J
lncllniÇIO do dlqr~~n• di (orço cortAnte - JMJdx - -V
Ffgu r• 2.27
.l
V1 dx
~Jnctln.açllo
~lnc:linaçiiD
Relaçlo anue os diagramas de força conante e de mom•oto lttHOf
Por meio de urn teorema (undamcntaJ de cálculo. a Eq. 2.5 implica que o morncnto máximo ou mini mo ocorra em um ponto onde a rorça cortante seju nu ln
porque a derivada de M é igual R uro. Isso ocorre em um ponto em que a forç~
cortante muda de sinal.
Em um diagrnma de momento netor obtido por soma, na extremidade direita
da viga, dispôc·se de um inestitnâvel meio de verificar o trabalho. As condições
d~ contorno para o momento devem ser satisfeitas. Se a extremidade é livre ou de
pmo, a soma calculada deve ser igual a zero. Se a extremidade é engastada, o mo.
mcnto no cng.A$tnmento calculado pela soma iguala ao inicialme.n te calculado para
a rcaçli.o. Essas sllo as "condições de contorno" que devem ser sempre satisreitas.
33
EXEMPLO 2.9
Traçar os diaaramas de força cortame e momento netor pua a viga com canca~mento
dmttric:o da Fia. 228(&). us.ando o ptocedimemo de soma.
!
/.'t
11/m
SOLUÇÃO
As reaçôas al o la uais a P. P11ra se obter o dlaarama do forçA cortante, Pia. 2.28(b), a
toma das forçai t Iniciada na utremidadc eJQOcrdn. A roaçlo da oaqucrd• atua para cima,
• uma ordenada do d i&Jfarna do força cortante noue ponto deve 10r traçada para baixo
oom o vator -P. Como nlo ubtom outras (orçu a t6 o ponto a um qouto da extremidade_
nenhuma mudança na maanhudc pode ser feita a t6 aquele ponto. Ent•o. uma força para
ba.bp de P traz. a ordenada ~ volta ' li.nha bau, c ctla ordef'lada nro permanece at6 que a
prôaln:ta força P para baixo seja alcançada, onde a força cortante varia p.ara + P. Na cxtre ~
midode dir~ic.a & rcaçlo para cima rocha o dJaanmn e serve do vorincaç4o paro o trabalho:
Eue diagrama do for91 çortante 6 anti11im6trico.
101
c
F c;
- 2,.Sc
S,Sl
Sm
(1)
~'
,,.
r- + s.st
+
- . . .-
-
-...-_ 2'
x,
(b)
o
~+l.Stm
- I
~~'
I
F
-21m
- • tm
L(l
(c)
~ k - d.'t
o
(b)
(1)
- 6tm
.--oT-r:r-r---'--•--'IJ
-1J- ~ I
!I
_,,
I
II
''
F}/
o
1
I I
(d)
l+J'L/4
Figure 2..28
(d)
, O diagrama de momento nator, Fig. 2.28(c~ ~ obtido tomando-.se o valor neaa tjvo ela
tOft'tl das P,rcaa do diagrama do força oorumtc. Como a viga ~ timplcsmenlc suportada. o
momento em ambaa aa cxtremldad• é nulo. A soma da parte ncptiva do dlaarama de força
cortante caUJa um aumento no momento a uma tua oonstante. oo longo da vip até que iC
atinja o ponto a um quarto. onde o momento e + PLJ4~ Esse momento pc:rtl\&nect conatazue:
na metade do meio da viga. Nenhuma mudanqa no momento pode acr Ceita nessa ~ona. porque nio há âre1 de força conante correspondente.
Além da seaunda rorça. o momento dec:rescc de - P px em c:ada ,Jx. Assim. o diaarama
de fo rça cortante nc"a tona tem uma Lnclinaçlo constante c noaatlv•. Como 111 .6rcu positivas e negativas do diagrama de força cort-ante slo iauais.. na extremidade direita o momento
6 uro. Isso é o que deveria ser. porque a extremidade t.e.qs um rolete. Assim, obttm-M uma
vcriftcaçio do trabalho. Esse diaarama de. momento é si!Úlrico.
BX IlMPLO 2. 10
Construir 01 diagramas de força cortante e momento Oet9r pal'a a viga com o carregamento mostrado na Fig.. 2.29(a), usando a operaçao de soma.
(c)
j'
'
I
•'
).llM
SOLUÇÃO
As reaçôca devem ser calculadas ~ pr'imelro luçar, e, antes: de ptot~eauir, a forçn Inclinada ' decompOsta om auu oomponontos boritontaJ o vertical. A rcaçlo horizon\al em A,
~ 61 e a tua para a direita. De r.M.._- O, a reaçio \ICrtic:aJ em Bê a.ch.tda laual a 7.5 t (verificar esse valor). Analopme:ote, a.reaçlo cm A é de s~.s t. A ao ma du componentes de rcaçlo
vertjceJ 6 iaual a 13 t o lauaJ • aoma du rorçu ve.nicais.
.
Com u reaçóel cpnhccid"' a. soma du forças começa 4a c-tttemidadc esquerda da viaa
para •o obter o diagrama de rorça cortante, Fia. 2.29(b~ Primeiro, a caraa distribulda Patru
baixo 6 arandc, cntlo ela decresce. A11im, o dialf&ma de força cor~an&o na zona CA tem
inicialmente uma indinaçlo p-ande e positiva. que dcetCICC araduaJmentc. rc~ultando em
uma lillha curva, que é c:6nea\'ll pua ba!Jo. A força 101al para baixo, de C a A, é de 31, que
é u ordenada positiva do diaarama de rorça cortante. loao l esquerda do J.upone A. Em A.
a reaçlo de .S.S t move a otdenada do cUaJtarna de rorça cortante pata b&lxo de :-2.5 L &se
valor da rorça cortante 10 aplica a uma acçlo atravêa da viga. logo l ditoita d.o suporte A .
A mudança total na rorça cortante e1n A. ~ igual à reaçlo, mas esse total ulo repres,cnta 11
rorça cortante na viga.
35
34
l
Nenhuma força 6 aplícnda i\ viga entre A c D , e nlo h A. mudança no valor da força cor·
tanto. Em D, a compononto para baixo de 8 t. da força çonc:entra.da. e-leva o valor da força'
cortante para + ~.S t. Analo·aamente. o valor d.ll força cortante é diminutdo para - 2t em 8.
Como entre E c. F•.a c:arp uniforme mente distribulda atua para balxo. um aumento na força
corc.arHc ocorre a uma ta_aa conSianle de l t/m. Assim1 cm F a força cortant e toma•le uro.
o que aerve como • crificaçlo final.
'!
j
onde a cons tante k é positiva porque a carga aplicada. o.tua na direç4o pom cima. integrando
essn equaçllo dircrcncial duas vez.e' obtém-se
dM
fi.'< =
kx'
kx
C
+ T+ •
e
M - + Ó + C 1.'C • C1 •
Pua construir o diaarama do momen to mo1trado na .Fia. 2..29(e) pelo m~tod o de toma,
•• 'reu do diaJrama de força cortante na Fia. 2.29(b) devem w c.ontlnuamcmc tomadas
da extremidade esquerda o tomadas oom 1lnais opostos para dar o momento. Para o sc-g·
mcnto C A a fotço. cortante sraduaJmentc aumenta para a dJrcita; dessa forma, no dia&rama·
de momento resulta uma curva cõnc::lva pcLra. baixo. O momento cm A i igual â • rca do dia,.
gtama de rorça cortante Plr& o segmento CA com o sinal invenido. Essa itea cst.6 limitada'
por uma linha cuna. c da pode ser determineda pOr intearaçlo. Esse procedimento ~ via
de rcara tedioso. e no IUJ&r de us6.- la, o momento Oetor em A pode ser obtido da detiniç:lo
rundtunentaJ de um momenlo em uma teçlo. Passando uma aoçlo por A c i1ofando o seg1ncn1o C A., é achado o mamemo em A. AI 6reas restante~ do diagrama de rol'(:ll cortante
neste exemplo slo racihnc.nrc determinados. Dcvc-so ter a atençlo devida para"' ainals de5$as
conveniente dispor o trabalho na rorma tabular. Na extremidade direita da viga.
Areu.
obttm-se a vcriricaçlo costumeira.
M, ••..... -j(3)2(2) - - 6.0 tm
(momento cm re.laçlo a A).
(-I) x (troa de força corunte de A a D).
+ :Z,j(3) - + 1.S
a
Mo •· • •• • ••• • • •• • ••
S.j(l) -
M,. ......... ..... .
+ l,5tm
- S,S
Me ················
-l.O tm
+ i (2)2 - + 2.0
v,r(/larrtlo:
(- I) x (área de força conante de Da&),
(-1) x (irea de força cortante de F. a F).
O,Olm.
M, -
O diagrama de (orça aJCíal estll na Fia. 2.29(d). A rorça do comprcss.fto otua tomente
no ICII'tlento AD dn vla11.
BXI!MPLO 2.11
UJando a Eq. 2.6 submetida às condtç&a: de eontom~ determinar as tunç6cs pe.ra a
força cortante e momento Oetor. para uma vita simplesmente apoiada. c:om o carrcaamento
mostrado na Fia,. 2.30(&). Mos-trar os rctultadOI nos diagramu de (orça oonantc e momento.
A caraa cotaJ aplicada para cima~ Wkar.
SOLUÇ ÃO
Como a ca.rga varia unirormemente. considerar a intensidade de carga p cm x, iguaJ a
lc:c kat/m. A carga total w • kL 2f2 OesA (orm' k - 2WjLJ. Uu_n do a constamo Jc achada.
pode•se eJCprimir a fi..111çlo de ca.riepme.nto p cm term01 da carp aplicada W. Com base
nisso. a Eq. 2.6 faca
d'M
2W
---p•
+ lcx• + -;c.
1
1
dx
36
~
Wfl r---+
Figura 2..30
(bl
(-1) x (área de forço cortante de Da B),
- 4,0hn
+ 2(1)- + :Z.O
k
L
Cot'no tiM/ti."C --V. se o reoçllo da esquerda (oue cont)ecida, a constance C 1 poderia
•er nvallada pela primcfra das equaçôes acima. Enlretanto, podc.-se observar diretamcntc
dat condiçOet de contorno que M • O em .11: • O c c:tn x - L. isto t. M (O) • O c: M(L) - O.
0esn rorma.. como
M(O) - 0. C, - O
~ analogament~ como M(L) - O.
kLl/6 + C ,L • O
ou
C 1 • - kL'l6.
Pode-se vcrlncar facilmente que. exceto pelo sinal esse valor de C, ê a rcaçlo a csquerdL
Aqui ela. foi achada pela soluçlo de um problema de valor de contorno sern o uso do procedhnento convencional da c:sc4tica.
Após a determinaç:lo de C 1 c C 1 • as upre:uõct paro a força cortante o momento netordo conhecidas:
V - - dMfdx - - (k.x'/2) + (k!.'/6)
e
M - + (h'/6)-(kl.'.</6).
Ess.as funçOes sao traçadas nas f'ip. 2.30(b) e (c). O maior momento ocorre em dMfd~"< e
• -V• -k..'C 1{2 + JcL 1/6 =O~ lsto ê:, em x , •
Substituindo esse valor de x 1 na ex·
Pf'CS3âo para o momento, ncha~se que o maior momento M ..- kL31(9.j1).
As caraetcrlsticu atraentes do m~odo de valor de contorno usado na solução desse
problema podem ser aplicadas apenu nO$ proble.mu em qt.ae o carregamento p ~ u ma runçlo
COf)tinua entre os suportes. A eJCtcnaio a casos nlals genisó: dada na Pnrto O deste capitulo;
as vi~as estatic.o mcnte indctetmlnadat slo tra tadas no Cap. 1 J.
Lf../3.
37
2.16
CONSIDERAÇOES SOBRE A CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS OE
FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR
~· deduçAo dos dhigramas do momento necor por melo de soma das treas
dos d1agramas de força oor1ante, nlo foi inclulda a possibilidade de atuaçâo do
um momento c.xtcmo concentrado em um elemento infinitesimal. Dessa tonna..
o processo de soma dedutido aplica-se apenas at6 o ponto de apticaçâo do momento
externo. Em uma seçiio logo após o momemo t'XUnro apllc<tdo, ; n,Cf'lSârlo um momruto fletor para manur o srgmtnto da uloa em tqullfbrio. Por exemplo, na Fig. 2.31
um momento externo M A• no sentido horA rio, atua sobre o elemento da viga em A.
Entlo, se o momento interno horário à esque rda 6 M 0 , para equillbrio do elemento,
o ~omento retíltente anti~horário h direita ~ M • + M .4 ' Situações com outro
senudo dos momentos podem ser analisadas de forma anéloea. No ponto de apll·
caçllo do momento externo, aparece uma descontinuidade ou u m salto igual no
momento concentrado no diagrama de momento. Assim. na aplicaçlo do processo
de soma. deve-se dar o valor devido aos momentos c:onccntrados porque seu efeito
não 6 incl uído no p rocesso de soma da Areado diagrama do rorça cortante. O processo de soma pode ser aplicado a tC o ponto de aplicação de um momento concen·
t.rado. Nesse ponto um salto vertical iauaJ ao momento externo deve ser feito no
diagrama. A direç1o desse aalto vertical no diagrama depende do sentido do momento concentrado c é melhor d eterminado com a ajuda de um esquema anãloao·
ao da Fig. 2.31. Ap6s p assada a descontinuid ade do diagrama de momento, o pro·
c:::csso de soma das áreas do diagrama de força cortante pode ser determinada no"
rcstan te da viga.
Figura 2.31 Momento externo coi\C•nvedo
a tuando 10bre um eftmento ~ vlge
EXEMPLO 2.12
Consuuir o diaanma ôe momento Octor para um11 viga horizontal com o carre.gamento
da Fia- 2.32(a~
SOLUÇÃO
Tomando os momentos em relaçlo a cada extremidade da via,a. as reaç6c1 vertica.iJ
slo achadas iguais a P/6. Em A a reaçâo alua par-a baixo. em C eJa ase para cima. De T.F. - O
$.lbe·sc que em A uma reaç-lo horizontal iauaJ a P atua para a esquerda. O dlaarama de
rorça cortante ê traçado a seguir, Fig.. 2.32(b). Após jsso, usando o processo de 1oma. ê con•
truido o diagrama de momento mostrado na Fig. 2.31{c). O m omento na cxrromidade es:
querda da vig_a ê zero porque o 1uporte e de pino. A mudança total no momento de A a Ji
é dada pela bu do diavama de força corrant.e entre cssu seções tomadas com o ai.Dal in··
vertido: ela é iguala - lPa/3. O di&Jra.m& de momento na zona A.8 tem uma inclinaç:lo nea;ativa
e consta.nte. P&ra a.núHse posterior, um elemento é isolado da viga como mostra a Fig. 232(d~
O momento 3 t$Qutrda deiSO clcrnento é conhecido com o valor -2PQ/3, e o momento con.
38
""'""do pro•ocado pola Corça aplicada P .., rolaçli> oo eixo ...,troldal da v!p t P4. AUim.
para ~ equillbrio, do lado direiCD do elemento o momento dovo ser + Ptl/3. Eql B um aalto
pera 01m1 da +Pa 6 ftho no daq:tlma do momento. aloao a cU roi ta do 8 a ordenada 6 + Pa/3.
AJán do D, a 1oma da &roa do dJap·a.ma dt ro,·ça oortante pronoauo. A trea entre B •
tomada com o llnal invertido 6 iaual a -Pa/1 Ene valor rocha o êliaaracna de momento na'
e;.~tremidade clireh.a da vlp. • u condi~ do contorno d o Md.d'eila.l. Ol»etvc que u Unhu
incUnadu no cliaarama de momeruo elo paralelu, e se a aoma da- h ea do diaarama de força
cortante c:oncinu ~~~~e Hm lntcrrupçlo pelo monle.nto concentrado, a ordenada da direita
aerlo - Pn. Nacuralmante, itto nlo tatilfu a oondiçlo do oontorno do problema.
c
1'
,
JJII.. j
,., ,:!~----~---~-·_ ,-! !.--~·t:
I'
A
...
_________
:'I~
+__________J
(b)
i'
j
~
(c)
(d)
!
EXEMPLO 2.1l
Conl\rulr os diaJramu de força oortantc e momento nctor para o membro mottrado
na Fi~~o 2.33(&). Dotprnar o peso da Ylp.
SOLUÇÃO
Neste cuo. difc.rctuementc do toda& os cuot conrid.crad01 at! o preae.nte. dimensões
dcfinilivu do' esc:olbldu para a ahura da viiL Eua. por almplicidad' ~ cona.idenda n>.
t.angu1ar cm 1ua irea aeccional. con1eqüontemcnte teu ebo longitudinal está 7,Sc:m abai:~o
!lo topo da vi&L Observe: cuidadosamente que es.sa vip nlo 6 suportado crn seu eixo.
Um diaarama de corpo Uvre da viga. com a força aplicada decomposta em componentes
eslâ mostrada na Fia- 2.3J(b~ As reaç6cs do calcu!Adu da maneira usual Além do m.US,
como o di.aarama de força cortante trata apcnu das !ocçu vc:rtica.i~ ele: t racilmentc cons·.
lruldo e enA mostrado na Fia. 2.33(c),
Na construçio do diaara.ma do momento da Fig. 23J(d). devo.ae exercitar especial
~Ma.do. Como roi enfatizado anteriormente. ot momentot netore.s podec.n ser sempre de.
terminado. pela considctaçio de um tcpnento de vip. e des &lo uJculados c:uidadosa.mente~.'
tomando-se oc momcntOI du forçaa externas cn1 rclaçlo a um ponlo aobrc o eixo centroidaJ
da viga. Auhn, pusa.ndo uma aec;ao toao 4 direita de A., e considerando o seamcnt.o da esquerda,
pode<~e ver que um momento poJitivo de 0,215 tm t resjs tido pela vip neua extremidade.
Auim o traçado do di.aarama de momento devo oomeçar com uma ordenada de +0.22S tm.
O outro pon'o da vip. onde um momento concentcado ocom é C. Aqui a componente
horizontal da Corça aplicada induz um momento no sentido horário de 3(12.S/100) • 0,37S tm
em rcJaçâo oo eixo neutro. Logo a direita de C esse momento deve ser rcs.l.stido por um mo-
39
mento pot-itivo adicional. laao causa uma descontinuidade no dh:.srama de momento. O
processo de soma do diltar&m.a de força cortante se aplica a •eamentos da viga onde nenhum
momento ex temo~ aplicado•.O$ cálculos ncoessérios sl o efetuadOt a .seguir na forma tabular.
M • . . ..... .. . .. +
3(7,5/100) - + O.ll5lm
Hl " (ltea ele rorça Cortante ele A • q,
+ 1.5(•7.S/IOO)- +0,713
momento Jogo A eiqucrda de C , + Q,.938 tm
(momento externo em C),
+ J(ll.S/100)- + O,J7S
momento logo 4 direi!• do C ~ + 1,313 tm
(- 1) X (6r01 do (orça COrtOniO dO C I 8),
-l.5(Sl ,S/100) =- 1.3t2
Vrrt/JCllriio:
M. =
O.
Obtervc que na 1ofuçlo des-te problema. as forças do consideradas cm q1111lqu,.,. pomo
dr nworõo .sobrt" o al.gn.. A investipçlo para forças cortutet c momentc. em u.ma aeçlo de
uma vip determina o que a viga ex:pcrimeniA realmente. 1\laumas vezes esse procedimento
di(ete do de determinaçlo das reaçOcs onde n armaçlo atual, ou configuração de um membro.
nilo 6 Importante..
+
~
~
I
1
1
r2,· ~
41,$ cm
<•>
I o.,~·
l,)ll tm
0,2::1:.Stm L +
(bl
(d)
o
~
o
f lgur• 2.S3
Na prática. 6 comum acharem-se vArios membroa rigidamente unidos ror~
mando uma estrutun.. Tal estrutura pode ser tratada pelos métodos jâ d iscutidos
se ela pode ser separndn em vigas individuais estaticamente determinados. Para
ilustração, considere a estrutura da Fig. 2.34(a). Inicituldo no ponto A , os parles
du estrutura AB, BC, e CD podem ser sucessivamenle isoladas em corpos livres..
e o sistema de [orças em cada uma du seçOes pode ser dete rminado. O leitor deveria
verificar essas forços, mostradas na Fig. 2.34(b). Dessa forma, os diasramas de
força conante c momento netor podem ser construidos para cada parte, usando
os procedimentos anteriormente descritos.
40
1--- -- 1.- -- -1
t•l
FJgun~ 2.34
Atmaçlo .Sltticamtn te detetm.in.ada sepertdl por vigas individut11
_,,::1===~~~+----~
(e)
~
,,
2.17
DIAGRA MA DE MOM ENTO E A CURVA ELÁSTICA
Foi dito nn Sec. 2.10 que um momento positivo prov()(:4 uma de(ormaçlo
côncava para cima em uma viaa. e vice-versa ; assim a forma do eixo dene tido de
uma viga pode ser d efinitivamente estabelecida do sinal do diagrama de momenlo
netor. O traço desse eixo de uma viga carregada na posiçio denetida é conhecido
como lfnlm l'ltist lcn. é costume mostrar a curva clá.stícs em um esquema onde as
pequenas ctcnexOes erctivamcntc toleradas na práticn !!lo grandemente t>Xtrgerarfc,s.
Um csquen111 da curva clâstic.~ esclarece bastante a açilo fisiCII du viga. Além do
mais, ele forma u tna bn!e quantitativa. parti os cfllcu!os das dcnc,;ões da viga a
serenl discutidos no Cap. 11. Alguns dos exemplos ante riores para os quais os
diagramas de momento netor rora.m construidos serAo usados para ilustrar a açào
tisica de urna vi,-a.
A Fis. 2.28(c) m~str:a que o momento fletor oo longo da vign ~ pos11ivo; desta
rorma, a curvo elésticn mo.strada na Fig. 2.28(d) f!. cOncava pnra cima, em cada
ponto. As extremidedes da viga sllo consideradas e.stucionérias n os supo rtes imóveis.
No diagrnmn de momento mais complc,;o da F'ig. 2.29(c), ocorrem zonas de
momento positivo e negativo. Correspondendo o. zonas de momento positivo,
tem lugar. uma curvatura definida da curva elbtica côncava para baixo. Fig. 229(c).
Por outro lado, para a zona HJ. onde ocorre o momento posilivo, a concavidade
da. curva elástica 1!: para cima. Nos pontos de uniDo úas curvas, como em H e J,
cx1stern Jinhns ltlllOl'IIUS às dua~ curvns de união, pOrque a viga é fisica mente continua. O bserve tum bém que a extremidade livre FG da viga e tnnscnte ll curva
clàstica em F'. Nllo há curvatura em FG porque o m omento e zero naquele segmen to
dn viga.
Na curva elástica o pOnto de transição na curvatura reversa e chamado pomo
tlco infl~xiio. Nesse ponto. o momento muda de sinal, e a vjga nft.o 6 solicitada a
resistir qualquer momento. Esse rato freqOcntemente faz com que esses pontos
sc;jam desejáveis para conexões de CAm pO e S\13 posição e calculada. O Exemplo
41
2.1~ ilustra ""' p~ocedimento p11ra deter111lnaçlo de pontos de lnnexno, que segue
'•
um resumo da d1seusslo anterior.
O imporrante: procc150 de estabeJecirne:nto qualitativo da curva elútica pode
ser resumido tomo se segue:
2.18
1. desenhar um diagrama de momento fletor;
2. c.squcunatita.r a curva clâstlco, correspondente aos sinais doa momentos
sem referêncin aos supOrtes, no diagrama de momento:
3. se a vip tem dois suportes. eleve a curva e coloq ue--a sobre os suportes:
se ela e uma viaa em balanço, a extremida de da curva ~ tangente la extremidade
engastada.
EXEMPLO 2.14
Achar a posiçlo dos pontot do inflexl.o para a viga analisada no Exemplo 2.1~ Fia. 2.29(a).
SOLUÇÃO
Por dclinlçlio, um ponto do ínnexão corrupondc a um ponlo do vi&a cm que o momento
flctor é nulo. Au im, um ponto de inflexl.o pode •er locatliz:ado por me.io de unta exprenllo
pura o momento no segmen to de viaa onde tal ponto é previsto, c a:olucionnndo easa relaçlo
jaualada a zoro. Medindo-a x a partir da O)ttremidade C da vlaa. Fia. 2.29(e). acha·to o mo-mento netor pua o ..gniento AD da vip iaual a M- -i(l)(l)(x -1) + (5,5)(x-·3~ Uma
10luçlo para x 6 obtida pela 1lmplificaçlo da oxprc.sslo o ia ual&ndo-a a z:ero:
M- 2.~x- !3,.5- O
x- S,4 m.
Desta (armo, o ponto de inlluilo que ocorro no segmento AD da viga é 5.4 - 3,0 = 2,4 m
do suporle A.
Analog.an1ente. escrevcndo.so uma exprcaslo algébrica para o momento Octot no sca·
menta DB. c fazendo-o igual a zero. acha·se a posiç.lo do ponto de innexlo J:
M - - i(J)(Z)(x- I ) + 5,~<- 3)- 8(x- 6) - O.
PARTE D
FUNÇÓBS DE SINGULAR ID ADE*
j
NOTAÇ.I;O E INTEGRAÇÃO DE FUNçOES DE SINGULARIDADE
Como fol apontado anteriormente, as expressões analltlcaa para a força cor·
tanto V(X) c momento netor M(x) de uma dada viga podem acr noeeuárlaa. Se 0
carre~ento p(x) 6 uma fllllçl.o continua entre os suportes, a aqluçlo da equação
difercneaal d 2 M / dx 2 - p(x) 6 um método conveniente para dctcrminaçl.o de V(x)
c M (.x) (veja o Exemplo 2.11). Aaora ls$0 acrá ..,tendido a situações em que a funçlo
carregamento é descontlnuL Para essa finalidade a notaçlo do cálculo operacional
será usadL Para a funçlo p (x) aerlo consideradoa apenu 01 polinómio• com pot~n­
eias inteiras poslrluns do x, incluindo O. -1, o -2. O tratamento do outraa f\Jnçl!ci
foae ao escopo deste texto. Para aa funções consideradas. entretanto, o método 6
perfeitamente aeral. Outras aplleaçõ.., desse m6todo $Crio dadas no Cap. 11 para
o uleulo de dcllexOes de viau.
Considere uma vip com o c:atTellamento da Fia. 2.3S. Como u car&a.s aplicadas &lo pontuais (eonconlladu), existem quatro regiões d.i stimas seguintes, para
quais diferentes expressões de momento• notores se aplicam:
M - R,x,
quando O< x < d;
M- R 1 x-P,(.x-d),
quando d.;; x < b;
M- R 1 .x- P 1(x-d) + M,,
q~U~ndo b < x.;; c;
M- R 1 x-P 1 (x-d) + M, + P 2 (x -c),
quando c.;; x.;; L.
Todas as quatro cquaçêlcs podem ser escritas como uma, contanto que se
delina n seguinte runçlo simbólica:
o< x <a,
para
(2.10)
( x .,)•
- (.x-a)",
para
a<X<CX>.
onde 11 > O (11 - O, t, 2, ...).
{O·
Aàsim, x .., 6,272 111, e n distflnclo AJ - 3,212 m .
Freqücntc•ncnte $C considera mais conveniente um m6todo para determinação dos
pontos de inncx4o, ucilizando·Sc lU relaç6cs conhecidas entre os diagra.mu de força cortante
e momento neto r. Assim.. çomo o 111omcnto em A t de -6 t.m, o ponto de momento nulo ocorre
quando a área do diagrama de força corta.nlc com o sinal invertido de A a H iauala a esse
momenlo, isto ~.
-~ + (-l)(- l,S.x 1 ) ~ O.
Dessa forma. a distância AJ.l • 6/l,S • 2,4 rn. como anteriormente,
Analos,ameme. ç.Omcçando com um mome-nto positivo conhecido de + 1,5 tm cm D,
o scaundo ponto de inncxio t sabklo ocorrer no pomo em que parte do diaara.ma de força
cortante. com o ainal im·ertido cnlre De J. redu:z: seu valor a zero. As.sim, a ditt4ncia DJ •
• 7,5/S.S - 0.272 m, ou a distAncia AJ - 3 + 0 1272 = 3,272 m, Fig. 2.29(c). c:omo antes.
pI
p
~
o
•
7;1 ~
~~
1!,
1!,
b
c
L
A expresslo na chave nlo t existente at6 que x atinja a. Pata x além de a. a
cxprcuão toma-.sc um bin6mio ordinário. Para n - O e para x > a, a função é
Igual à unidade. Assim, as quatro funções separadas para M(x), dadas anteriormente
•essa parte pode aer omitida IC.m destruir a oontinuidndc do texto. Alauns lcilorct podem uchear
vantajOtO o C$tudo dcue material malt tarde, com o C.p. t 1
42
43
para n viga da Fig. 2.35, podem ser co mbinadas em uma e xpressllo aplicável ao
longo de todo o vão;•
M - R 1( x -0) 1 - P 1(x-d) 1 + M,(x -b) 0 + P 2( x - c)'.
Aqui os valores de a sao O, rl, b, e c, respectivamente.
Para trabalhar com essa funçllo 6 conveniente Introduzir duas funç&s simbólicas adicionais. Uma~ paro a carp concentrada, tratando-a como um caso degenerado do carga dlstrihuldn. A outra ê pnro o m omento concen trado, tratando·o
analo gamcnto. Tamb6m devem ser cstabelceidas regras para lntcgraçlo dessu
funções. Nessa ditcusallo 1eri seguido o m~odo he urlstioo (nllo·rigoroso).
Uma força oonccntradn (pontual) pode ser considerada coino "'"" cnrgn
distrlbuida, bastante fo rte, otuando cm um pequeno intervalo ., Fig. 2.36(a). Tro·
tando-se • como uma constante, a seguinte relaçlo é verdadeira,
""-dx
p • P.
[
c-o -tlt li
(2.11)
lim
r
•
r.
(2.13)
[P(x-a);' dx- P(x - a) 0 •
o coeríciente p nessos runçOcs é conhecido como a rtJfsrêllcln da singularidade.
1
p ra p igual h un idade. n funçiio d" ctrr{)O p(}uiUnl w tltárü.? <·~ -tr).- 6 t.am~m
~omada de d~lttt de Dlrnc ou fimçào d~ lmpul.so unitário.
c
Por meio de argumentação análoga. veja a Fi~ 2.36(b), a função de carrega·
mcnto p pnru o n1orncnto concentrado em :c -o e
p- M.(x-a).- 2
(kgf/m].
(2. 14)
Essn runçdo no ser integradn. denne duas regras simbólicas de in tegro.çllo.
r
A segunda integr~l. e• ccto pela mudança de P por M,já foi apresentada peta Eq. :2.13.
•
0 ~---+--~.,
M,(x-n).-'dx- M,(x -n).- 1
(2.1Sa)
M,(.~-a);' dx- M,(x-a) 0 •
(2. 1Sb)
r
•
!!!A
•
Para p essa express~o é dimensiooahnentc correta, em bora (x - o);'. se
•~Jin'tt~ em X= a e por definição seja nula em qualquer outro lugar. Asstm,
torne u• '
i
· di dn ch ~ve Iem bra
ela é uma Junçijo Jlngulnr. Na Eq. 2.12 o nstcr sco como m cc
uc de oeordo com a Eq. 2.ll, a integral dessa expressão se estendo " ." fatxa cm que
q '
l ' 't do. e pela intcgru,.ão
a rorço
pontual
IJ permanece lml 4
_., obtt:m-so
.
.
. em St. Dessa rorma,
deve-se a dotar uma regra simb6hca espectai de mtegração .
••
t
o~.
o
tbl
fllgur• z.ae ForQ.t cot~c.nu act. P • mo·
mento M. : (a) • (b) contJdetados QOtnO
caro t~ dlstribuk:Su: (c) n01-.ç.10 IIMbóllc•
para P • M como p
..
(e)
P(x -n).-
l·<.r- e)•
0~-----------t~~--------·
1
kgffm.
ol
•
I
,<;~.-
•
(~
tbl
(2.12)
· E•• m~lodo ror fnltod utido lniclnlmcllle por A. Clebsch. cm 1 ~1 o Hctvisldo, Cln IUtl obn:t
E./vC'IT(}tlftiOn~lk Tl1rory, iniciou c ar•ndemc:nlc estendcN 05 ~todO. do dk:Uio opcndonat. Em 1919,
W. H. t.beaLday tuacriu c:.tpecif~Cernen&c o ...o de: chaves cspedall pa.n1 01 probkmM de Yip&. O Jcitor
mteruaado C'J'Q ulterior efou m•is rlaoroso dc•cnvolvhncnto denc c6pk:o dcW: consultflr os te..tos sobre
tratomcnto matcmtuico du trarurormadaJ de- Laptocc
44
PJ -JI'I J~
I
Aqui pode-se observar q LlC Pf• tem as d.i mcnsôcs de kgf/m e corresponde k
carga distribuida p(x) no tratamento a nterior. D essa fo rma, como (x-a) 1 - O,
por noalogjo de (.x:-a) 1 corn e, porn u.ma rorça 'concentrada em x -o
p-
:
(o)
PI
(c)
-JI"-tl.r
Fig ura 2.37
lntogreç6es 11plces
1·<·-·~r--I
45
Na Eq. 2.14 a oxpres.sAo ~ dimensiona.Lmcntc correta porq ue p tem u unidades
de kgf/m. P ara M, igual à unidade, obt~m-:se a função de momento pontual unicarlo
(x - o).-•, 9ue tamb~ é ,dcnomlnadn de c/oublet ou dipolo. Essa funçlo também
ê· singular. se!"do infinita cm x .-a c nula em qualquer outro ponto. Entretanto,
após .• d~pla mtevaçlo obtém-se um resultado Umitado. M Eqs. 2.12. 2.14, e 2.15a
são stmbohcas em carãter. A relaçlo dessas equações com as cargas pontuais dadas
é claramente evidente pelas Eqs. 2. 13 e 2.15(a) ou (b).
'
A integral das funções binomiais nns chaves, pam 11 ;;. o é dada pela seguinte
rcarn:
·L'
< - '! )•••
(x - a)•dx ="
IJ
+1
pura
11 . .
1
o.
1
•
Apôs ae.r obtida a aoluçlo. caaa relaçôol alo mail fadhnento interpretadu na rorma
convencional:
V • -iPoL + Po>'
}
quando
o <" < (L./2):
M • + iPot.x-iPo" 1
V • -tPaL + iPoL • + iPal.}
quando
(L/l) < x < L.
(2.16)
M • iPoL'
-·p
Esse processo de integração estA mostrado na Fig. 2.37. Se a é feita igual a
EXEMPLO l-16
EXEMPLO 2. 15
Achar V(x) e M(x) para ut-na vfp carro,aadD como na Pia. 2.39. Uaar a funçlo do atnau~.
(arídndc o tratd~laa como um problema do valor de contorno.
Ull.lldo a notaçlo I'Uncional tsim bôlicn. docerminar V(x) o M(x) provocado• polo c:arrcaamento da Fia. 2.38(a).
SOLUÇ.I.O
Para resolver euo probloma. pode~te uaar a Eq. 2.6. A ca.rga aplicada p(x) atua para
babo e começa em :c - Q. Dessa forma. deve e.xí.stir um tc.rmo p - - p 0 • ou p0 (x- 0)0 , o
que sianifica o mesmo. Easn runçio, entrctarito, se propaaa ao lonao de todo o va.o [vctia
ft Fia. 2.J8(b)]. Para determinar a cnrp dlllribuida cm X • L/l. como~ exigido nesse problcmn. outra funçlo + p 0 (x- L/2}u deve ae.r adicionada. AI duas cxpressOcs j unto& repre·
sentam • carga aplicadL
+)'
+p
SOLUÇÃO
Faz.cndo \110 djreto du Eqa. 2.12 c 2.14. runçl.o p(.~) pode Jer CICrita na fonna timbólicL
Das eondiçllu M(O) - O o AI( L) - O. cem L • ln, as eonstantol de lntegraçAo podem sor
achadu:
'
d1 M/t/.'(J • p - - P(x- a); 1 + Pn(x-2o);~.
dM/<IX • -V - - P(x -a) 0 + Pa(x-2a); ' + C ,
1
1
•
+p,
o
-p,
"
L/2
(b)
M - -P(x-n)' + Pa(x-2a) 0 + C,x
M (O) • c, • O
M(Jo) - - 2Pa + Pa + 3C 1a • O.
assim,
e
ú1M
'Jxr • + p • - p 0 (x - 0) + p0(X- L./2)0 •
tiM
Tx
• -V = -p0 (x-0) 1 + p0 (x- L/2) 1 +C,,
1
M(x) • -!p0 (x- 0) 1 + !Po(x - L/2) + C1x + C1 ,
·" " " •• ('l = o.
M(L) • -tl'oL' + !PJL/2) 1 + C 1 L =O,
+c,.
C, • +tP -!P(x-0) 0
V(x) • - tP(x-0) 0 + P(x-n) 0 -Pa(x-2n); ' ,
M(x)- +tP(x - 0)' -P(x-n)' + Po(x - 2a) 0 •
Flgur• Z.38
y
Pa.ra c.ua vip simple.s1nemc apoiada as condições de contorno do M(O) • O e M(L..) = O.
que slo usadas para determinar as rcações :
46
0 Lx
AI roaçOot podem ••r verittcadu pela oat6tica. Fatendo V • O. podo acr achada a loc.a·
lizaçlo do momento m6ximo. O traçado deuu I"UnQ&es ' deixado para o loitor compJota r.
zero. obtêm-.s c u integrais convenciona.is .
(•)
+iPoL..
V(x) • -I;'Po(x-0) -p0 (x- Lj2)'-iP 0 L,
M(x) • -fp0 (x-O)' + !P0 (x- L/2) 1 + fp 0 Lx.
C, •
assllll,
Figura z.u
r
., ,
•
,.. _.,,- '•
... •
•
"
""'
•
Na cxprusi.o rmal para V(x) o último tenno nlo tem •alor ae 1 expressio ê eac:rita na
forma convencional Tais tonnos do usados apcnu como traçadores durante o procuso
de integraçl.o.
47
Sugere·&e que o leitor verifique a~ rola.çOes por me.io da estética convencional, escreva
desprezar o pe110 dO$ membros. E•n cl'tda
V(x) c M(x) paro as t.rê1 faix~U da viga n*l quni,s essas (unçôea tio continuas. c compareras
com um traçado dos diagramas de força cortante e momento Oetor. conttrutdos pelo pr'o.
ca.so. desenhar um diagrama de corpo livre
da parte- isolada da estrutura e nele mostrar
c:cdimenlo de 10ma.
cJ~nunente o aent.ido du quantidades calcu-
Uma suge5tlo sobre a maneira de representar uma carga uniformemente
variável, Fia. 2.40(a), aluando cm uma parto da viga estll Indicada na Fig. 2.40(b).
Três funções separadas slo necessiiiias pnra definirem completamente n ca rga dada.
Na discusalo anterior admitiu-se Iacitomcntc que as reações estejam nas extre·
midades das vigas. Se tal n§o ~o caso, as constantes desconhecidas (' 1 e C 1 devem
ser introduzidas na Eq. 2.6 como cargas pontuais.. isto 6, como
Cl(x-a).- l
I
~
{.am
Essa é a condição mostrada na Fig. 2.~0(c). Nenhuma constante adicional de
integraçllo ê necessária cm uma soluçllo obtida dessa maneira.
A vantagem de se usar tiS funções de singularidade ficam especialmente evidente
nos capítulos subseqüentes, onde é estudada a soluçllo de problemas e.otaricamente
indeterminados. O Cap. 1l apresenta ilustrações de soluções para problemas de
vign,s estuticnmentc indetennlnadas.
lm.
li
c,(x-b).- 1.
c
ladas. Esco1hor os sistemas de coordenadas
convenientes para a aprescntaçio dos re5ultadoL R••p.: Prob. 2.8 P - 0.8 ~ V • -0,4 ~
M • -O,llS rm; Prol>. 2.9 P • -3,•3 ~ V=
l' ltoo.• 2·2
•oot&r/[l
tOOqf/m
J! '''''
'
!m
+p
l . ,::::f"
PRO&. l-S
i
BII.ITI re.tan,..t.,
.$0 k.& de jM..JO IOtaJ
(b)
(o)
)'
4m
,.
,
fl'lgura 1..40
lluatraçOtt.s ptrl formul8ç4o dat
Jm
tui'\Ç6es de elngularldldt
I"ROil. 2·6
PROB. l-7
(c)
PROBLEMAS
2.1 e2.2 Pnra a.s cstruturns planas mostradas nas [iauru. achar as reaç6es provocadas pelas carau aplicadu Rtsp.: Prob.
2.t R., = 2 t; Prol>. 2.2 R,, • 4,68 t.
2.3 a 2.S. Pana u v•gu moacradas nas
Ogura~ determino.r a força ax.ial, a força
cortante. e o momento Octor a meia-dj_s.
48
"
tAncla entre os auportes, provocados pelu
cargas aplieadn Rosp.: Prob. 2.S V • O.S ~
M - - 2.2Stm.
2.6 a 2.13. Para as estruturas pla.nu
mostradu nu nauras,. determinar a força
axial. a forço cortante, e o momento netor
nas seções o-a. Exceto para o Prob.. 2.7,
lm
P~OB. 2-8
tm
PROB. l·•
49
- - 20 t, V =5 lc. M - - 20 <.m ; Pro/l. 2.13
p - -2.4 .t. y - - 1.2 t, M. = -0,30 ~ - - 300 kgfm.
=· 1,71 ~ M- 18,5 tm; Prob. 2.10 P = -7 ~
v- 1 t, M ,;,. 1,25 t;m.; Prob. 2.11 P = -4$,9 t,
V= 19,35 ~ M = 67 t,m; Prob. 2.12 P
ll.St
3m
2m
Sm
5m
Sm
Sm
PkOB. 2·11
Polla,raio 7,5 cm
Cabo
momettto Oetor oorreapondont,e L R#-IP. O
momento m4x.imo está aos parantaoa da
figura. Pa... coodíoc'Sel adic;iooai. do oarro-&amcnt.o , veja ou~roo problemu deste capitulo.
2.20. EicreVer AI O~U&ÇÕOI &orail para
a rorçe. cortanto 'V(x} o momen\0 Ool,o.r
M(x) para oo dadoa do Prob. :1.3.
· 2.zt. Etonover Y(xl • ~(x} para cada
rea,ilo da vip oom a oarp indicada no
Prob. 2.4.
.
2.2l. O mo1mo Q.t.J:O cm 2.21 pe.ra a.
dadot do Prob. .a.s.
2.11 Bol!lbeleo<~r u 09"~"' ala6brleas gerais para a rorça oort,a.nte. momon.to
Oet.or, e força axiál int.orna da b.arra curva
do E"cmplo 2.8. com o oarreaa.meoto da
Fig. 2.24. Traçar oo rcsult,ados cot up1 dia~
grama pol.,-.
2.24. Uma barra retangular. Oetida em
O,Sm
PROb. 2·2.$
2.26. Uma barra 6 folta na forma do
um inauto rct.o , como mo1t:ra a Oaura. c
' enaaatada om uma do auu extremidade~.
(IÜ Etc:rovcr u ex.proe~OI acrall 'para Y. M,
e .T (torquo) provocadoa pela aplloaç&o do
uma for~ ·p norm«J ao plano da barra
Ootida. Traçar oo retultadoo. (b) So em
adiç&o à força aplicada F o peso da barra p
kaf'/comprimento unitário tamb~ 6 eonsj ..
darad~ qual o siitcma de forças internas
desenvolvido na extremidade cnaastada?
um sem icir<:ulo. ~ cnaasLUda em tuna cxtrcm.idad~ c su.bmetida a ~ma pro11lo radial
interna de p kaf/oomprimonto unitA.rio (v~a
• riau.ra).. Blçrcver .. o.xpreaa&l aor&i.l P4l'&
P(8), Y(O) o M(O). e traçar oo reaultadoo om
um diaa:ram.- pola.r.. Moatrat" u ditoQ001
p04itivas de P, V. o M cm um dlaiJ'&ma
de corpo livro.
pltJ(/m
PltOB. l·U
"':".
I
~
•
! lO t
., .
(SO)
PR.OO. 2· 15
H
6if!11111
I .
I
L
PROB. 2-11
I.
4m
l m
PROU. 2·14
j
PROB. 2·16
lOO kGflm
1J !I !~
~
I 1m ~
PROB. 2· 18
.
tatnbérn os dtasramas
lO t
I'
PROB. 1·16
~ cortante par;\ c~da rcgilo ao
for.,....
tores edo
· · do memb r 0 . Tra'ar
comprimento
-.
longo
.
de Corça cortante c
2.14 a 2.19. Para as visascacregndM na
formo mostrada nas figuras, escrever as
expressões geraiS pnra os momentos O~
I.S m
J
(440)
t
L
PROB. 2- 19
( -Wo/2)
Ralo da b:IJTO • R
PROS. 2·24
2.2.5. Uma armaçlo plana, tendo ••
dimeo.sôea mostradu na raaura. 6 submetida a uma carga horizontal P - 5 000 kgf.
Escrever as cxpreu6es gerais para P. Y, c M
para cada parte da estrutura, usando coordenadas apropriadas. Traçar também o dia..
arama de momento para toda a eatrutura
no lado de compressio dOI membros. Rt..sp.:
M-· • 2 800 kgf.
.
2.27. Um tubo sol <lado 6 montado com
tr& curvas an ângulo reto, corno mostra a
figura. (a) E&crevcr as expressões, serais para
as componentes de torça interna P~,
P:• M _.. M ., cM, para cada parte da nrma ção, provocadas por F~t-tOOkgr e F: ~50
kg( (b) Traçar"" rosultados achados em (a).
P,.
Ao faz~lo, nlo determine a resultanle dos
momentos Oetorcs cm cada aeção, mas
mostre a variaçAo dos momentos nos planos
horizontal e vertical. (c) Se além das forças
aplicadas F11 e F11 sabt>-.sc que o peso do
tubo 6 de S kgf/m e que deve ser conslde·
rado na análise, qual 6 o sistema de oornponenres de forças intcrnu na extremidade
engastada?
51
50
y
2.28. Um motor aciona. um eixo com
A) Sem os cálculos forma.is,. esquema·
ti:t:ar os diagramas de força cortante. e mo·
mento fletor, diretamente abaixo de um
duas polias, como mostra a figure. As tensões nas correias di.S duas poliu de 25 cm
de diêmetro foram determJnadas. (a) Traçu
d iagrama do membro dado.
.8) O me$mo que A),~ em adição, mostrar a for:ma da curva eh\stica.
q Traçnr a dist-ribuiçã.O de força cortante e momento fiet or. sempre que for
s ignificativo, e o d iagruma de força axinl
para os membros horizontais principais.
Determina{ tod:).S as ordenadas criticas.
0) O mesmo que C). e om adição. determinar os pontos de inOexõo e mos-trar a
forma da curva elástica.
,
Resp.: Todos os diagramas de força
cortanle e momento necor devem fechar.
O maior momento é dado nos parênteses
u,m diagrama de momento provocado pelas
componentes de torça vertical, aluando
sobre o clxo. isto 6, traçar o diagrama de
momento para o plano xy. (b) Traçar um
.•.
diagrama do momento provocado pelas
componentes de força bori.zontal, isto ~.
para o plano xz. (c). Traçar o diagrama de
torque. (Observar que de I:M .. O e da
PROS. 2-30
inrormaç!o sobre. as tensões na'S.x correias. o
torquc de entrada Té conhecido. Veja tam ..
~m a Fig. 10.24).
.•.
2.31 a 2.53. Para as vigas com carregamento em um plano como mostm a figura. desprCl:nndo o peso dos membros, resolver como I! indicado a seguir.
:fii,~==L==p
"I r
I. I
~
I
t:±:f
( - 61'nl
PROI.I. ! • .\2
I,ROO. 2-) 1
4 I
"''""
~R-===;);4
I '
I
PROB. 2·3-4
2•
2l
I
PROB. l -3S
j:;J
L/2
( + S,87)
~ L~
PROD. 2-J6
PROB. 2-211
20kgf/m
I I I
229. Um anel circular com rr!s arti·
culações cm A. A e C i submetido a um
carregamento como mostra a figura. Escrever as expressões matcmAtfeas para P(O),
V (8) e M (9) Pllnl n regiijo O < O < n/2.
Mostrar as dlrcções positivas do P, Y c M,
F
cm um diagrama de corpo livre.
2.3Q. So os $0ntidos positivos de p, V,
e M s-lo definidos como mostra a figura,
deduzir as relações C!=JUhalentes para as
ECjs. 2.4, :2.5, c 2.6. [Veja a Fig. 11.2{b)J.
52
PROB. 2-39
PROB. 2-37
20 l/Jn
(-151
20 1/m
2l
PJm
~J.lm ~
P ROD. 2·40
(+ 10)
PitOU. 2·111
(• 176S)
53
6 t/m
J 000 k.ar (total) Ruçlio
+ 8,l$1n .... ~$ ...
/
4 t/m
u ni.fol~rnc.ntc
dbl.ribUfd•
1m
c± Ul)
1
500 ..,
PROB. 2..C6
PROB. l -44
PR08. 1..47
I" -:('"
"'l,Hm
~~r l,S
1 l.S
(+.SOO)
1- . ...
PROl. 245
I
o .I ..
I
:1..•1'-. - l ., ~
~en O,?S
{10,5)
PROI. WS
sramu de força cortante e momento Octor
para o eamfnb&o na poalclo m ottn.dL
Indicar Cll valor• crlticoa. R•1p.: 2.-'l tm
(mAxJmo~
1- 1)
+ I 00 k.rm (vÚUCIII)
~
•
o
1,15 m
I
PROl. 2.$4
W (tot 1l)
soo •.,
(+SOO)
.•
2m
r
.
,
.
t±tJ
PROO. l-"l
o .. J
+ 7,5 t,rm
+M ~at/~
·
1-10)
..,.,
PROl, 1-36
(100)
IU,.da como mo1tra a flaurL N ou c dia~
aram .. o v.cw A r.pr..st:a o pua do
motor, B o P«<IO da ca bine unJformem ente
dlolribuldo, C O pelO da fu&<>laaem ll r6, o D
u força do conttole de cauda. As rorçcu
pua cima B alo duonvolvidu pelas duu
PR.08. 2..48
lonaarinu du uu. Uaando oues dad 01•
PROB. l · S?
PROO. 2.49
(+ $0)
PkOO. l ·SO
PROO. 1-SI
2.58. Uma barca 6 oarrcaada como
motera a Haura. Tr.a çar 01 diaaram. d e
força cortante e momento n otor para o
CJ,rrep.mento aplicadq. Rnp.: -$,3 t (mt~
x imol-, + 1().7 tm (máximo).
I t (\Otal)
PD:at d• QCII\CitiO
l m c:ompr.
100 kgf (lO I~)
PROB 2 Sl
(I OU)
PR08. l·S)
pelas figuras, nas unídades do problema.
Para oondiçôe• de c:urcaamcnto edicionair. vc;ja outrOI problemas deste capi~
tu lo.
2.S4 ft 2.56. Os diagramas de momento
para as vlaa.s suporto.du cm A e 8 estio
IOOilradOI nas fi&Ura.&. Quais 015 carrcp·
mcntos dcssu vigaJ? Todas u (jnhas curvas
representam paribolos. isto 6, traçados das
c.quaçaea do segundo grau. (Suge..sr6o. A
2.$7. Um caminhlo ~ transportado pOr
uma bolsa; ele pesa 3.5 t quando carregado.
Admitir que 0.,1 da cara• total seja suportada individualmente. pc:lu rodas dianteiru.
é 0,4 da mesma forma pclu rodas traseiras.
Admil.lr q ue as duns vigD.B ton;itudinaia
prindpais da balsa est~am separadas de
1,8 m. isto é. cada vip JUport& mcladc do
camjnhD.o. Admitir tamb6m que çada um
dos grupos de poq~Oca rorncçam reaçõcs
conslruçlo dos dia1nunM de força cor-
(empuxo} quo podem seo tra ladu como
tante auxma na solução).
uniformemç.nte distributda.:.a- Traçar os dia·
54
PR08. ! ·.si
PROB. 1-S9
2.$9. Um lubo do aço do Q.l$ m do
dilim~tro ~xtorno, pcaando 7S kaf/m 6 mantido pot meio de ca boa. at.ra:W. de braça~
deira-. e:m uma posiçlo inclinada. como
moslrD a fi.aurL Traçar 01 dfa.Jrarnu do
força cortanto e momento netor para e~~o
tubo. dando 01 valorca do todu .. orde-nadas erlticas. A. junlu A. B, o C do de
pino.
2.60. A dillribulçlo do cup para um
aviio monomotor, etn v6Q. pode ser idea-
E
PR08. l -60
55
2.64 a 2.72 Para as vips çom o carroaamc.nto mostrado nas figuras. ua.a.ado u
fun9ilea do sinsularidade • a n~ :u, (a)
achar V(.x) e M(x~ Verificar aa reaçiles'
pela nt6tka convencional (b) Traçar os
dlaaramaa do for-ça cortante e moment,o
con.struir dia&ramu qualitativos plauiiveis
de força conaote e momc:nto Oetor para a
fuselagem.
~61 a 2.61 Para u Yitu oarrepdu
çorno mostram as figura' u.s.ando a Bq. 2.6.
(a) achar V(x) e M(x~ Verificar as reaç&s
pela est6.tíca convencional. (b) Traç(lf' os
diagramas de força cortante e momento
~~
.o;
'
l
;
~
3
1
fletor.
TENSÃO E C A R GAS AXIAIS
'
3.1
PROB. 2·61
PROO. 1·62
PR.OB. l4)
PROB. l:-+4
PROB. 2-6J
PROB. l-66
INTRODUÇÃO
No Cnp. t. viu·se que a natureza dos rorças internas a um corpo, necessárias
pnrn contrabalançar o efeito das forçns externas aplicadas, é parte do problema
principal dn mecfinic.a dos sólidos. No C np. 2 tratOu·.s e dos procedimentos espe·
cie lizndos pnrn aplícação do método das seçcks a fi.rn de se determinar o sistema
de componentes de (orça em um corte transversal de viga. Neste capitulo. o método
das ~cQCc.t serÁ amprindo a rtm de se isolar um elemento infinitf!lhnaJ c para definir
o conceito de tensdo. Na Parte A, considera-se o cuo geral de tenslo; na Parte B,
slo delineados procedimentos para determina.ça.o de tcnsôc.s em barras com carcepmento axial. Consídera·se, tambéon, 11lsuns exemplos de ctllculo de tensão de
cisalhamento. c introduz.-_sê uma dellniçlo para fator d.e segurança.
JS kaYm
J
~
~
PROB. 1-67
PROB. 2-63
PROB. 2-69
..~
l
PROB. 2·10
56
PROB. 2·71
"
I.
lt
lt
PARTE A
TENSÃO
3.2
Df!FINIÇÃO DE TENSÃO
Em geral. as forças internas. que otuam em áreas ínfinitcsimais de um corte
têm ma,gnitudes e direçôes variadas conforme foi mostrado anceriormente nas Figs:
l.l(b) e (c) e, novamente, na Fig. 3.1 (a~ Essas forças são de natureza vetorinl e mantêm
equilibrio com
forças extem.., aplicadas. Na meclniea dos sólidos é particulamente significativo definir a intensidade dessas forças nas várias pnrtcs do corre
como a resistência à d eformação. .Em geral elas variam de ponro pnra ponto e são
inclinadas cm relação ao plano do corte. é cost ume deoomporem·sc essas forças
em componentes paralelas e perpendiculares à seção investigada. Como exemplo,
a Fig. J .l(b) mostra as componentes de vetor força l!J' que agem sobre 11 área ~A.
Nesse d iogromn particular, o corte no corpo é perpendicular ao eixo x, c as dlreções
de liP.< e do normal a liA são coincidentes.
a.•
1m
PROO. 2·72
lm
lm
57
O..ve·.s e observar que aa tensõeo multlplieada.s pela• re~~poctlvas áreas em que
atuam, resultam cm forçu, e a soma de11u força.t cm uma aeçlo imaaintria ma.n·
t6m o corpo om oquillbrlo.
.
j
l
(b)
(•)
Figura 3 .1
Cofl)O seccicmado : (11) corpo livre eom a lgurntt f OfC.a.J intern a s.. (b t -vlttl empfi~da
j
com c:ompone,t•• de 6~
Como as componentes d3 intensidade da força por un.i dade de área - lsl." ':
da ten.siio - se m antêm verdadeiras apenas em um ponto. a d efim çlo matcmáuu
da tensl!o ~
t"'" -
.
AP
lun ~
A • 't..,, Q
.tA - 0
.
AP
h m ~A
u
3.3 TENSOR DAS TBNSOBS
Se altm do plano do corto Indicado no corpo livro da FJ.a. 3.1, pasúNomoa
ou.t ro plano a uma dlat1ncla inl'mite~~imal, paralelo ao primeiro, i•olarlamoa uma
fatu• elementar. Entlo, ae dou outroa pares de planos fossem pasaadoa normalmente
ao primeiro par, acrfa i1olado do corpo um cubo de dirnen&lles infinitesimais. Tal
cubo t mostrado na F ia. 3.3. Todaa aa tcnsõeo que agem sobre o cubo estl!o identi·
ficadu no djasrama. C.onCorm.e anteriormente descrito, 01 primeiros indicea d e
t associam a ten1lo com o plano perpendicular a um dado eixo; o •eiundo indica
a direçlo da ten.tlo. Nufac•l dq cupo mau afastadas da orlaem, u direQOe. da1
tensões silo positlvu 1e eolncldenteo com as positivas dos eixoo. Nas faces coladu
aoc planos doo oixoc, pelo conceito do açlo o raaçlo, as tensl!es positivas atuam nu
direçl!oo opostu àl doc oixoL (Oboe.-vo que, para u ten•!loo normaia, a mudança
do sim bolo de • para tt eliminou a nocouidade do um Indico} Ao IndicaçOea para
tensões na Fia. 3.3 alo butante uaadu nu taoriu matom, ticu do olastieidade o
plasticidade. A convençl.o de sinais aqui capec:ificada está de acordo com a intro.
duzida anteriormente na Fia. 3.2.
y
•
o
.. A-0
onde 0 primeiro tndice de T (LaU)1 nos t r~ casos, i_ndica que o plano perpendicular
ao eixo x é considerado, e o seaundo deslgfla a d1reçlo da '7'mpo!'e~te da tenslo.
Na Seç. 3.3, scrlo discutidas todas as combinações poss!vClS. de tndaccs.
•
A intensidade da rorça perpendicular o u no rmal • s~o e chamada de trn.wo
uormnl em um ponto. É cost ume referir..sc a tensões norm&JS q u e c&U$&m cra~o na
uperricic do corte por tttJsõe:r de trnçào, P_or o utro lado. aquela~ que co~p~unem
5
corte. sl(o tensões dr compre.ssifo. Neste hvro as tensões norma~ se.rilo and1c~das
0
pela letra" (sigma) no lugar de , com duplo índice. i\ penas um lndace. será su.ficacnte
para desisnar a direção do eixo. As demais componentes da antensadade da força
agem paralelamente ao plan o da área elementar. Essas componentes são chamadas
de unsõt .t de cisalhamento c designadas por t .
.
0 leitor deve formar uma imagem mental clara das tensões de tra.ç ão e c.sa-.
Jhamento. Repetindo as definições, as tensões normais resultam de componentes
de força per pendiculares ao plano da seçâo, e as tensões de casalbamento decorrem
de componentes paralelas ao pla no do corte.
.
.
v e.se das definições anteriores que as tensõe• normaas e d: casalhamonto silo
dimensionais medidos por unidade de força divld ldn por UnJdnde de ârea. No
sistema métrico a medida u•ual t feita em quilograma força por cenLlmetro qua·.
drado (kgf/ cm 1 ) .
•como AA. _ o, e.xi.stc dú'Vida.. do ponto de vista ~nômk:~ na ddiniçJo aprucnladL Entrela.ntO.
f&:Jeure 1.2 úu.do ôt teMto m~~i:s gere.l
lobtt um elemento.. Todas u tensões tlm
ttnndo positivo
I
..,
O exame dos slmbolos de tensão na Fig. 3.2, mostra que existem três tensões
• a,,
normais -r;tt,. = v .. ,"' "
1':: • li• e seis tensOes de cisalhamcnto r~,, 1',•• t,. .
r.,. rU" , t:a . Em oontrute. um vetor rorça P tem apenas tr& componentes P:t , P,
e P,. Essas podem ser cacritas de man eira o rdenada. como um vetoro;coluna :
(~:)
.
, ...)
...
...
)
.,
.
.
,.,.
.,
.
C•••.. ... ...
"• .,,
"·
Analogamentc, a.s componqntes de tenslo podem ser arupadas na rorma:
'
t r.
•
c·
•••
um moctcto homo1ê:rtcO para matcfiail nlo-bomogC:ne<>S s-rccc bom
58
~
(3.1)
T:r
59
Essa é uma matriz de reprcscntaçlo do tm:tor das t~nsões. É um tensor de
segunda ordem ou categoria que nccasita de dois lndices para identificar seus
elementos o u componentes. Um vetor é um tensor de primeira ordem, e um escalar
6 um tensor de ordem zero. A.l gumas vezes. para abreviar, indica-se o tensor daJ
tensOes pela fonna t 11 , onde se entende que l e :f.podem adquirir designações x, y e'
conforme observado na f!q 3.1.
A seguir, será mostrado que o tensor das tensões 6simétrioo, isto ~que r,1 - Tft•
Isso dcc:orrc dirctamcnte dos requisitos do cquillhr!o para um elemento. Para pro-
setas indicativas das tensões de cisalhamento encontram·se cm cantos diametra1
mente opostos de um elemento, para satisfazerem as condições de equillbrio.
Nos casos apresentados a sesuir, mais de dois pares de tensOes de cisalha·
mento raramente atuario silnullaneamente sobre um elemento. Assim. 01 tndices
usados anteriormente para identificaçfto dos planos e das díreções das tensOes de
c.isalhamento tornam-se supérOuos. Em tais casos, as tensões de cisalhamento serlo
indicadas por r, sem qualquer Jndiec. Todavia. deve ser lembrado que as tensOcs
4
•
J
'
.li
vâ·lo tomamos um elemento infinitesimal de dimensões ~ dy e d1 e calculamos'
a soma dos momentos das forças em relnçno ao eixo •· na Fig. 3.2 Desprezando os
infinitesimais de ordem superior,• o processo equivale a tomar o momento em
relaçfto ao eixo : na Fig. 3.3(a) ou, no rep resentação bidimensional da Fig. 3.3(b).
A$Sim,
de cisalhamento sempre ocorrem em dois pares.
Oeve.se observar que o sistema convencional de eixos nlo fornecerá a informação mais s ignificativa sobre a tensão em urn ponto. E.111 alguns casos as tensões'
sl!o e., aminndns cm plano• inclinados, como o ABC da Fig. 3.4(a). Esse processo é
denominado de trafl,if0nrmçiio rle teus?ro de um conjunto de eixos para outro. No
Cnp. 9 estudaremos em d etalhes o coso bidimensional, mostrado M F ia. 3.4(b).
+(<_.)(d.<tlz)(tly)-(<.,H<Iytlz)(dx) =O,
Me= 00+.
onde as expressões entre parê.nteses correspondem. respectivamente, 9 tensllo,
6rea e braço de momento. Simplificando, tem-se
-c,_. - r,.
(3.2)
Analogamente pode-~e mosu·a r que t.,., - t'._.. e 1',_ - 1'.-r Dessa forma, o.
lndfcea para u tensões de c;isa_lha m c:nto alo comutetivos. lato t; aua ordem pode
ter Invertida e o tensor das tensões 6 1 im~trico.
t'liiU,. 3.4
..,
Ftoura 3.2 ElementO de um corpo em clulham•rno puro
(b)
O significado da Eq. 3.2 ~ muito imporUinte, c implica na igualdade das tensões
de clsalhamento em planos mutuamente perpendiculares de um elemento Infinitesimal. Além do mais, é passivei o equillbrio de um elemento apenas com lt'IISÕr~
dt c:lsolltamf'lllo simuhnnenmt~ntl! no:s quatro lados de um 'l""rnto. Isto é, em qualquer
corpo cm que existem tensões de cisalhamento. dois pares de tais tensões atuam
em planos perpendiculares entre si. Dessa forma 'E.M, - O ni!o é satisfeita por um
simples par de tensões de cisalhamento. Em diagramas corno o da Fig. 3.3(b), as
• E!Jl:iatc a possibilidade de uma •ariaçlo lnnnhes-fmal na tenslo. de uma face do cubo patt outra.
e • possibilidade d.a presença de forças de ma•• (fntrda.is). Considera.ndo injciaJmcnte um elem~nto
(4x) (Ayt (At') c veriOatndo o limite. pode-te m01ttar riaorosamcnte que euas quantidades do de ordem
superior, o portanto dcsprczilveis
·
·
60
'
Usando os procedimento» da tronsformoçAo de tensão, alguns dos quais serlo
discutidos posteriormente. pn.ra um conjunto pnrlicuJar de coordcnndus, gero Imente
pode·se d iagonali:tar o tensor das tensões para o caso bidimensional de tcn.stlo.
.•
( 11)
l \.
S•~a incHn• du
dO etem•nto: ( e) caso tridl ~n·
sion•L (b) çuo bklimensionel
,
,,
~r
•
'
j
(f
e
(f
o
Uz
o
plana em que ul c: O. Ob$crve a ausência de tensões de cisalhamento. Para o ca.so
tridimensional. as tensões sl.o chamadas de triaxinl.:s. porque três delas slo necessá·
rias para completa descriçllo do estado de tensllo. Para o caso bidimensional, as
tensões são biaxiais. A tensllo plana ocorre em placas finais (ou delgadas). com
lensao em duas direções difcremes. Para membros com carregamento axial, que
serão discutidos na Parle B deste capitulo, apenas um elemento do tensor das
tensões sobrevive ; tal estado de tensllo é denominado de unitzxúrl. Nos Caps. 9 e 10
será d iscutido o problema. inverso, isto é. de como esse termo pode ser decomposto
para resultar em quat ro elementos de u m tensor das tensões.
61
3.4
!!QUAÇ0ES DI FER!!NCJAIS DE EQUILíB RI O
junto do treo é
U m elemento inlinit.c simal ele um corpo d eve estar cm cqulllbrio. A F ig. 3.5
mostra o caso bidimensional, em que o sisceana de tensOes atua sobre um elemento
infini tesimal (<lx)(d.v)(l). Nesse problema, o elemento 6 considerado com 1 cm d e
espessura. na dircçl!o perpendicular ao plano do papel. Observe que se considera
a possibilidade de um incremento nas tensões. de uma face para outra do elemento,
Por exe~plo, como a razio ele variação ele "• na direçlo de x é lJt,JiJx c se desloca
de dx, o mcrcmcnto 6 (iJ<r, / iJx) dx. A notação de derivada parcia l tem de ser usada
para diatinauir as direç~es.
y
Ftgur• 3..5 Elemento lnflnhealmal
com tena6es • forcu Ot cempo
atu• neto
X
r.F. =o- +.
( u., + lJa" : dx ) (dy x I) - tr., (dy X I)
d.v)<dx x 1)-t..(tlx >< I)+ X(d x dy x I) - 0
Si mpl ificando c lembrando que T.~11 = T,.... é verdadeiro, obtCm·se a equaçlo
básica de cquillbrio parn a direçlo x. Essa equação, juntamente com ou tra análoga
para a dlreção y, dá
lJa,
iJ:.
+~+ X - O
~
i))(
lJy
'
11.v
a:
(3.4)
Observe que, na doduçlo du e"'uaçõcs a.ntcriores. as propriedades mecânicas
do "'ateria! nlo roram usadaa. Iuo •igninca q ue esou eq uaçl!es do aplleAvell
quando um material 6 e!Utico, plAatico ou viocoelútico. I! também multo impor·
cante observar que nlo e,O,stam equações de equillbrio suficiente para a determinaçlo·
das tens6es desconh ecidaa. No cuo b idimensional, nu duaa pan.. da Eq. (3.3),
temos trea tonsOet dcaconhecidu fl~t, cr11 e T,v1 . Para o cato tridimenaional, ex.i.ttem
sais tonaõoa, maa aponaa tr61 oquaç.Ooa. Aaatm, todos ot problenlu na anAUICI do
tensl!ol do oataticamente 11\dettrmln adt>J. N a meelnlca técnica doo o61idoo, tal
como a apreaentada neote texto, OlA indeterminação 6 eliminada pela introduçl.o
de premiuu apropriadaa, que equivalem li exlotblcia d e equaçõeo a dlcionaio.
PARTE B
TENSCES EM MEMBROS ÇOM
ÇARREGAMENTO AXIAL
CARÇJA AXIAL ; TENSÃO N ORMAL
!!m muitas situaçllea, na prl.tlca, se a díreção do plano imaglnúi.o q ue corta
um membro ê judicioaamente acJcoíonada. •• tensões que aaem sobro o corte scrlo
de determlnaçlo particularmonlAI oi,a nincativa e aimploa. Tal caso importante ocorre
cm uma bnrra reta. carregada axialmente em tensão. contanto que ela seja cortada
por um plano perpendicular a seu eiJ<o.• A tenslo de uaçlo que age sobre tal corte
é a tenslo máxima, uma vez q ue qualquer outro corte nlo perpendicular ao eixo
da barra apresenta supcrflcie maior paza resist6ncia à rorça· aplicada. A tenslo
máxima 6 a mais significativa por tender a provocar falha do material .••
Para obtenção de uma cxpreaslo algébrica para a tensil.o mAJC.ima, considere
o ca so ihutrado na Fia. 3.6(a). Se a bana ror considerada sem peso, do necessárias
duas rorçaa iguais opostas P, uma em cada extremidade. para manutcnçlo do
cquillbrio. Assim, como o corpo todo está em equillbrio, qualq ue r porte sua tam·
b6m está em equillbrlo. Ambas as partes do corpo, de cudn lado do corte b-b, estilo
em cquillbrlo. No corte, onde a área da scç§o t ransversal da barra é A, deve aparecer
uma força equivalente a P, como mostram as Figs. 3.6(b) c (c). Dessa forma. pela
(3.3)
iJu,
y
O
+ ôy + - .
O equillbrio dos momentos do elemento, L.M, = O é assegurado por t,. =r,•.
Pode-se mostrar q ue, pa ra o calO tridimensional, uma equ ação típica de um cOn·
62
~x
3.S
As forças inerciais ou de campo, tais como as provocadas pelo peso ou o ereito
magnético, sio dcsignudos po r x e y, f es tio relacionadas com a unidade de volume
do matet'ial. Com essas notaçOca
+(•,. + Ô;;'
iJ<r, + !!,u. + lJt.-. + X -O.
• Ataun• material• aprc.cntam rctl.atlncia rcladva maior a l.c n1ftet normais do que 11. tensõc:a de
cisnlhamcnto. Para 111l1 l'llltcrfais, 1 fa lh.a ocorre cm um plano oblíquo. luo aen1 diacutido no Cap. lO
• •Loao epôt e.ua MÇIO. aJaunt l~lor• podem dc11jat atudv o Scç. tCl.l e o E.aomplo 10.1, onde
do oonsiduadu as tenJ6el 10bn: plan01 l ndina<l~ 1110 pode prcc:edet o~o~ •uccdct ao cst~o~do ~ Par.c
"do cap. 9
63
deliniçllo de tensão, a tenslo nonnal, ou aquela que age perpendicularmente ao
simplificados para se assemelharem aos da Fig. 3.6(h). Todavio, o estudante jamais
deveria perder de vista o aspecto tridimensional do problema em questão.
No corte, o sistema de tensões de trução colculodos pelo Eq. 3.5, equilibra 8
força externa. Quando essas tensões normais são multiplicadas pelas áreas infi nitesimais correspondentes e somadas em toda a superficie do corte, obtém-se a rorço
aplicada P. Assim, o sistema de tensões t estaticamente equivalente à força P. Al~m
disso, a resultante dessa soma deve atul\r no centróide de uma seção. Por outro
lado, para uma distribuiçllo uniforme de tensões na barra, o força axial aplicada
deve agir no centró ide da área da seção transversal inve3tigada.
Por exemplo, na peça mecânica mostrnda na Fig. 3.7(a) as 1cnsões não podem
ser obtidas apenM pcln Eq. 3.5. Aqui, cm um corte ta1 como A · A. um sistemo de
forças estaticamente equivalente. desenvolvido no interior do material, deve cOO·
sistír nlto apenas da forço P mas, também, de um momento Octor M que mantém'
a força externa em equilíbrio. Isso causn distribuição não--uniforme de tensão no
membro, que scnl. tratada no Cap. 8.
corte. 6
p
a- .. A
força
ou
(3.5)
ârêã'
p
p
(0
(d)
(b)
A
A
M-P~
p
~
A
p
( •)
@
SoçloA - A
~)
(o)
(c)
Figura 3.8
(e)
Ao a.eeitar a Eq. 3.~ dcve..se ter em mente que o comportamento do material t idea·
Iludo. Todas as parHculas do corpo sAo c:ontldcrodas com contribuiç.lo igual para a resi,...
tencia da rorço. Tal premissa jmpliea cm J)trrcicn homogeneidade do rnntcrial. Os matcdni ~
roeis. tBis como 01 1nctals, consistem em grande níuncro de grilos, c a madeira 6 fibrosa. Noll
rnaterfnls reais, aJsumas partículas contribuiria 1nt\ÍJ pnra a resistl!ncia n urna força do que
outru. Tensões como as mostrad3S n.as Fip. 3.6(d) e (c) nlo existem na realidade. O dia.·
arama cJ.e disuibuiçilo verd.adcira de ten.sôa vutia em cada caso particular e h bast.anle ir·
rcaular. Todavia., n• m~dia. ou fni::Jndo-se cm termos estáticos. os dlc\IIOS da Eq. l..S s.Ao
correios e. dessa forma. a ten$3o calculada representa uma quantidade altamente tfgniJi.
cati ... a.
•
(h)
E1epos auctulvas de cn•llu dt tendo om um corpo
Essa tenslo normal é di1trlbulda uniformemente na irea da seçlo transversal
A.* A natureza da quantidade calculada pelo Eq. 3.5 pode ser vista graficamente
nas Figs. 3.6(d) e (e). Em geral, a força Pé a resultante da.s forças de um iado ou de
outro do corte.
Se um cone adicional fosse feito, paralelamente ao plano b-b da Fia. 3.6(a),
a seçllo Isolada da barra poderia ser representada como na Fig. 3.6(1), e após cortes
adicionais, resultaria um cubo infinitesimal corno o da Fig. 3.6(8). As tensões normais
são as li nicas que aparecem nns duas superlicies do cubo. Tal estndo de tensão de
um elemento é denominado de ttnSlio tmiaxínl. Na prática. vistas isom6tricns de
um cubo, como mostra a Fig. J.6(g). são raramente empregadas; os diagrnmas são
Argumentaçâo onâloga se aplica nos membros em compre$sfto. A máxima
tensão normal ou de compressão pode ser obtidn pela apiicaçi!o do Eq. 3.5, quando
so corta o membro estruturaJ por um plono perpendicular a seu eixo. A tensão,
assim o btida, teté intensidade uniforme, conquanto que a resultnntc das forças
externas passe pelo centróide da área do corte. Todavia, deve-se ter cuidado adicional
quando os membros em compressão silo considerados. Po r exemplo, uma r égua
comum. submetida a uma pequena forço axial de compr-esslo. tem tendência a
Oambar c a entrar cm colapso. O Cap. 14 trata de tal instabilidade dos membros
• A Eq. l.5 aplica-se ~rita mc.ntc apenas~ o 6.rea da scçiO t,..ntverul ror con~tan&c .o lonto da
barra. Pa,. diJCW.Jio das situa~ em que OC:OtTC uma descontinuidade abrupta aa irea da tc:çlo tl'li-Mo
versai. wja a Scç. .C.. I I
64
...
66
em compressão. A Eq. 3.5 é aplicável apenas aos membros com carregamento
axial bem robus tos, isto é, a blocos curtos. Co mo seni visto no Cap. 14, um bloco
cuja menor d~mcnslo 6 aProximadamente iaual a um d6cimo de seu comprimento,
pode ser cons1derado um bloco curto. Por exemplo, uma peça de madeira doS x 10
cm pode ter 50 an de eomprimcnco e ainda ser considerAda urn bloco curto.
CARGA AXIAL ; TENSÃO OE APOIO
Situações existem, com freq OI!ncia, cm que um bloco é sustentado por outro.
Se a resultante das torças aplicadas coincide com o ccntrólde da áres de contato
entre os dois corpos, n intensidade do rorça, ou da tenslo. entre os doia corpos.
pode de novo ser determinada pela E.q . 3. .5. É costume de1ia:nar essa te.n 1lo nonnal
por trtrséi.o dr apoio ou dto sustentação. A Fig. 3.8. onde um bloco curto se apóia em
um suporte de concreto e o último se a.ssent.a no solo. ilustra tal tenslo. As tensões
de apoio siio obtidas pela divisão da torça P pela área correspondente do contato.
apenas aproximadamente verdadeira. Para oa c:aaos mostrados. u tensões de cisalhamento alo distribuldu de maneira nlo·unlforme pela área do corU~. Assim,
quantidade dada pela Eq. 3.6 representa uma tenslo de clsalbamento media.
a
3.6
p
(ai
i
J
J
~
(d)
!....-+
(o)
Figura • · • COr\diçON d4l cerregamento provoc•ndo ttNOet
de d s•Jh• mento
F igura 3 .8 Tena6u de su•tent•çlo ocorrem
ont'• o bloco • o IYI)Orte
TENSÃO M~OlA OE CISALHAMENTO
Outm situação treqüente; na pr:'lticn, é mosrrada nas Figs. 3.9(a1 (e) o (e~ Em
todos esses casos.. as rorças são Lrnnsmilidas de uma po.rte do corpo para outra,
provocando tensões no plano paralelo d torça aplicada. Para se obter tensões em
tais circunstâncias, planos de corte como A ..A slo selccionados e diagramas• de
corpo livre como nas Fiss. 3.9(b). (d) e (I) são usados. As torças são transmitidas
atravts das áreas respectivas. Assim. admitindo que as tensões que agem no plano
desses cortes sejam uniformemente distribuídas. obtém·se uma relação para a tensão
A
ou
r?rça
a.r ea
[ kgr2
cm
J.
(3.6)
onde t , por definiçlo, 6 a tensão de eisalhamento, P 6 a força total que age atr~vés
e paralela ao cor1e. e A 6 a úea da seçllo transversal do membro no cor1e. Por mouvos
a serem discutidos posteriormente, a tensão de cisalhamento dada pela Eq. 3.6 ê
•cdstc pequeno de~quillbrio de momento, isuaJ a Pr.•, nos dois primeirO$ calOS mostrados na
rig. 3.9, mus sendo pequeno, 6 comumenle lanor~ado
66
(()
I
r
.r
jI
f
l-t •I é' I
(f)
A tendo de dulhamcnto, como a calculada pela Eq. 3.6, 6 mostrada em dia·
grama na Fia. 3.9(&). Obaor vo que, para o caso mostrado na Fia. 3.9(e) e>xlstom dois
planos d o rebito que resistem a força. Tal re bito ou estojo 6 considerado como tendo
duplo ctsallaam,nro.
Era casa. como a. du FIJ&. 3.9(c) c (e~ quando a força P 6 aplicado. uma proUIQ
bastante irreaular ae doacnvolvo entre o estojo e a placa. A intonaldade média nominal
dessa torça 6 obtida pela dlvblo da rorça transmitida pela área projetada do eatojo
sobre a placa. Essa é a chamada unsào dr apolo. A tensão na Fia. 3.9(c) é "• - P/(tá),
onde 1 6 a espessura da placa c d é o diâmetro do rebite. Para o caso da Fig. 3.9(e),
as tensões pura a placa do melo o placas e xternas são a 1 - P/(t 1d) e <1 2 - P(2t 2á),
respectivamente.
3.7
' - J:._
,.
I
EXEMPLO 3.1
A viaa BE da Fig. 3.10(1) 6 ~~~ada em um aparelho de peso. Ela t fixada por dois utojos
em 8, c cm C ela se apóia no parapeito de uma po.tcde. A Fis. 3.10 dá as detalhes e>~Jenciais.
Observe que os eatojoa slo tratad01 na rorma mostrada na Fie. 3.JO(d). eorn d - 1,6c:m
na ruit d u roscas. Sendo o arranjo usado pare. lcv41ntar objetos do 1 t., determinar a tcna.lo
nos cslojos BD e a tenslo de apOio cm C. Admitir que o peso dn viga seja dcspretlvcl cm
comparaçlo c:om as cargas manuseadas.
SOLUÇAO
Para resolver C$lc: problema. idealiza-se a aituaçlo real, c ru·se um diagrama de corpo
livre no qual sGo indicadas as forças CQnhcc:idas c deaconhec:ídas. conrormc mostra a Fia- 3. 1C(b).
67
09m
[~
2,4 m
Área de contato cm C:
~B===iC~·========~E
~
-
Vlaamenlo
0.2 • O.l"' (nomlnll)
A = 0,19 x 0,2 = 0,038 cm ' = 380 ctn 1 .
Tensão de apoio cm C :
f--0,2m
R
3667
.
a., - ~=- 9.65 kgl)lcm
380
~~~~ ~Conttru~o
o
Dob para.filsoJ
de 19 mm
)
P= lOOO kor~
L
.
A tensão calculada para o corpo do estojo pode ser representada na forma da Eq. 3.1.
conto
o
(c)
(a)
1
470,3
o
2,4 m
o nde se admite iil'bitru riamcn te q ue o ei)(o y esteja na direção dn cArga nplic3da. Nos pro·
blemas ordinitrios, o resultado completo rnrnmcnte (: esc::ríto com tais detalhes.
Força d blrlbufdo.
equfv41ente a F
(b)
Figu ro 3 .10
(d)
F
As reaçOes vertic:nis em 8 e C sa.o descon hecidus c s&o Indicadas respecti"amcn le por R,1
c Rc,, onde o primeiro lndlcc identinca a loco l h~açlo c o sosundo a linha d e açllo da. força
desconhecid a. Como os es tojos BD nAo resistem a força horizontal, admite -se apenas uma
força d e reaçlo horixontal em C, indicada pOI" /(c-/( . A rorça aplicada P estA mo.nrad a no
EXEMPLO 3.2
O blo<:o de concreto mostrodo na F'ig. 3.1 1(3) é carreg-ado no topo com uma carg_a uni·
rorme•nente d istríbuida d e 0,3 kgf/cml. Jnvestigttr o estado de tensão em um nivel de 1.2 m'
aeinHl da bnse. O concreto pc.-.a aproximadamente 2 400 kgf/m~.
0,6m
0,6 m
hx:aJ apropriado. Após preparado o diagrnma de corpo livro aa cquaçOes da es1âtica sllo
aplicadas e resolvidas para as forças desconhecidas.
'f.FA • 0
Rc,. • O;
I:M•- 00 + , + 1000 (2,4 + 0,9)- Rc,(0.9) - O, Rc,- 3667 ~gff;
I:Mc- OQ +. + 1000(2,4)- R•1(0,9) = O.
R•r- 2667 kgf ~ ;
V•rlfTc•c·ào:
'E.F,- 01 + . -2667 + 3667-1000- O.
Es.ses pauos complct-.n c verlnoam o trabalho de detc rmtnaç&o det rorçu. As vft.riu
áreas do material que resiste a cssu forças do determinadas em seguida. c a Eq. 3.5 ~ apli·
ca du.
'
A área da seçlo transversal de um estojo de 19 mm ~: A - n(l,9/2) 2 - 2,835 can 2 • Essa
nilo ~ n área mlnimu do estojo: a ros.ca a redu:a;.
A t\rea da seçlto lransvcrs.al de u11' est ojo de !9 mm, na ra iz da rosca é
A,., • n(l.6/2)l =- 2,0 cm
2
1.2'"
(b)
2,4 m
,2m
m
Vbta lotctal
•
Tensão• de Lração mllximn normal em cada um dos dojs estojos BD:
= 2(2667
l
o_, = ~
A
,
) - 663,2 kgf/cm ,
2
2 011
Tensão de traç:ão no corpo dos estojos BD:
l ,S m
(o)
.
l .
o -~
2(2,SJ$) -- 470,3 kgf/cm
• veja também A disc::u~Jttlo 110brc c:onccntru.ções de len${1o. Seç 4.J8
68
F igura 3 .11
(c)
69
SOLUÇ~O
Neilc problema. o peso da esnutura em IJ ~ apredAvcJ o devo sct incluldo nos dlculot.
,. - uoo""'
Peso de todo o bloco:
lm
w- (0.6 + 1,8)0,6(2,4)2400/2 - 4 147 kgf.
Força tOial aplicada:
P • 0,3 • l 04(0,6)0,6 • I 080 kgf.
De l:.F, • O, o reaçlo na buc é :
1m
R • W + P • 5221 klf.
Esau forças estio moatradas esquornatic:amcnfe no. diagrama.t~ como forças concon·
trad~s q\lc agem cm seus centróides rupectivo•. A11im, p~ua determinar a tenl4o no nfveJ·
deseja~o. o cocpo 6 cortado em dua1 partes. Um diagrama de corpo livre para cada parte
t sufictc~tc para re.solver o problema. Para comperaç.lo. o problema é resolvido de ambas
2m
(c)
(b)
(ol
a-s manclttll.
. Usando a p~ric superior do bloco como u1n corpo livre, F ia. 3.1 J(b), o pe5o do bloco
•cun& do corte c :
w, - (0,6 + l,l)0,6(1,2)H00/2- 1 sss k1r.
De I.F,- O. a força no corto: F.- P + W 1 - 2 63S kgr. Assim. usando a Eq. 3.S, a
tcn5io normal no nlvd a-.a 6
F.
a. • -
A
2635
.. - -- - 3 660 k af/lw,
0,6( 1,2)
ou
0.366 kaf/c:m 2 •
Eua tendo t de eompresslo quando ' · awa no corte.
Usando a parte tnrcrior do bloco como um c.orpo livre. FJg. J.ll(e). o peso do bJoço
abaixo do corte é:
w,- (1,2 + 1,8)0,6(1,2)2 400/2 - 2 592 k8 r.
Oc r.r, -O. a força. no corte ê
I
,,,
c
(di
Fr,
lm
(o)
F igu re .3.1 2
{fi
SOJ.,UÇ~O
F.- R -
w,- 2635 kif.
O resto do problema e deunvotvido igualmente. O bloco aq~ conaidcrado tem um eixo
vertical de s imetri", tomando possível a apliençllo da E:q. 3.5· .
EXEMPLO 3.3
A Fia. l. J 2(a) mostra uma articulaçlo de pe.so dcsp.rc~Jve~ carrcpda com uma força p
de I SOO kaf. Para rins de intcrconexAo, as extremidades das bacru tc1m for1na de forquil ha.
As dimens6es pe.ntnc.ntcs e1tlo mostradu na riaura. Achar u ten.sôes norn\ail nos membros
AB e BC eu tenJ6es de apoio c de cisalhamento para o pino C. Todot os pin01têm 9.5 mm
de diãmeuo.
•Estritamenle falando. a JOiuçiO obdda olo é e-u la. quando 01 lados do pa'ct slo iod1nadoa. Se o
tnauio tnltt: dSCS' ladol f: sra.ndc. ~ soluçlo é in~u.ad&. P;an. detalho ultc.riores. 'ftja S. Ti.moshc.nko
c J. N. Goôdict, Th1r0r1 of EIOJtldry. p. 60. Mc;Ora\111"'-,•IJII (}o4)k Company, Nova Iorque; L9SI
70
·~
,.
Em prlmoico Ju aar, prepara-ao um diagrama de corpo livre idealizado que consiste
nu duu barru rsxu nu eXLremldadu [Fla. 3.l2(b)). Como nl o existem forças lntcrmediirlat
aluando nu barru, e a força aao atnv6t da unilo em a. u forças oat barras tio dirig.ldu
ao lonso du linhas A.B c BC s&o carrepdas axialmeote. At maa»iludes das rorçu são dcs·
conhecidas e indícadaa por FA c Fc no d iaara ma• . l!ss:a$ forças podem ser dcterminadts
&ralicamcnto pela çomplecnentaçlo do triAngulo de forças F .oi, F., e P. Enas ·rorçu tamlM:m
podem ser achadas anaHtieamenlc por meio dcduu e.quações limulllneaa I.F1 • Oc r:.F. -O.
escritas e.rn termos du incógnitas F A e Ft:. a rorça conhecida P, e doia lnsulOI eoobec:idos
«c p, Ambos os procedimentos alo pou lvcla. TodavJa. nes1e livro ~c rt usualm ente vanlajOto
proeocler d e maneira dirctcnte. Bm lugar de tratar dlrctamente das fOJ:'ÇU F A e F c, &lo usadu
ruu componentes; e.. no lugar do U • O. I.M - O toma-se a rerramenta principal
Qualquer (orça pode s.or docomposta em componenlu. Por exemplo. F" pode ser de-.
eornposLa cm F"'' c FAy• co mo na f ia. 3. 12(c). Por outro lado, ae qualquer componente do
• Em estruturas com~ é conveniente ednútir que. todas as ro~ sejam do traçla. Uma respouo
Acpliva na aoluçlo lndk:a que a betta ati cm comprcsdo
71
uma rorça ~ conhecida. a rorça em si pode ser determinada. Isto decorre da semelhança de
d imensões e triângulo de rorças. Na .Fig. l.l2(c) O$ triângulos Akm e BAD lio semelhantes
(ambos estio haohurados nO diagrama). Assim. se F "~ for conhecida
F A - (AB/DB)F...
Analogamente. F .., - (AD/DB)FA,t• Entretanto, obs.ervc que AB/DB ou AD/DB são
ratões. c as dimensôes relativas dos membros podem ser usadas. Tais d.imcn~ôes relativas
estilo mostradas em um trl!\nt;ulo pequeno no membro AS e, de novo, em BC. No prohlema
em questAo,
F.,.- (.j5/2)F.,.~
e
F.,.,- F.,."/2
Adotando o procedimento acimn, de dccompo!liç,l o das (orças. é preparado o diagrama
de rorpo livre revisado. Fig. 3.12(d~ São neces~árias duas componentes da rorçn no..'l pinos
dns juntas. Após serem dctermfnnda.,. as (orç.ns peln estática. a Eq. 3..5 é aplicada diversas
vete-s. pensando em termos de um corpo livre de um membro individuo!:
I:Mc- OQ+, + FA,(l + 2)-1 500(2)- O, P .._. • + 1000 kgf,
r-,, - F,,.12 - 1 00012 = 500 k8 r.
I'A T.MA • 00 +,
I 000<-/1'/2) ~ + 1 118 kgf;
As vantagens do método usado no exemplo anterior, para determinação das
forças nos membros estruturais, deveriam ser aparentes. Esse método também pode
ser aplicado com sucesso cm um problema como o mostrado na Fig. 3.13. A força
F,... transmitida pelo elemento curvo AB age nos pontos A e B, porque as forças
aplicadas nesses pontos devem ser colineares. O mesmo procedimento pode ser
seguido com a decomposição dessa rorça em A'. As linhas senoidais sobre F A e F cindi-.
cam que essas forças são substituídas pelas duas componentes mostradas. Alternativamente, a rorça F A pode ser decol'nposta em A e, como F Ay = (xfy)F;.~. da apli-:
eação de t:.Mc ~. o resulta FA.v.
Nas estruturas em que as forças aplicadas não agem em uma junta, proceda,
con1o atima o mais que puder. Então, isole um membro individua l c. usando seu
diagrumn de corpo livre, complete a determinação das forças. Se forças inclinadas
BXEMPLO 3.4
c,-
soo - o.
Uma bl\rrft de 1 crn' e J...cm de coanprimento e suspensn vcrticoJmente. conforme mostra
a Fia- 3.14(a). O peso por unidade de comprimento é l'· Determinar a tensão normal nessa
barra. usando as equaçôcs difercncinis de equilíbrio.
SOLUÇÃO
F..
A.,,
- 2(5)(I22118_ 9 ,S) - 8,94 kaf/mm (traç«o).
2
Tcntlo na barra prlnc:lpnl BC:
Com os CÍ.'<O$ mostrados na Fig. 3. 14(a), r.~,. - O, c apenas a primeira pllrtc da Eq. 3.3
ê relevante. A força de campo X = Jl· Etn virtude da condição de contorno da extremidade
Jivre da barra, o-,,.(L.) = O. Assim. esut belecendo uma equaçllo diferencial, integrando-~. e
determinando A constante de íntegração pelas condições de contorno, obtêm~se
!:s
I 414
A - (l )(0) - 10.71 kaf/mm' (c:ompreas&o).
da
-dx·• + y""' O
e
aJO- - -;x + C 1 ;
CTiL) •-yL + C 1 = O
e
u)t • (L-x)y,
2
No membro em compressão. a scçio liquida em AB nlo necessita de investigaç!o; veja
a Fig. 3.12(0 para a transmissão de rorç~s. A lensão de apoio no pino é mais critica. Apoio
c,n trc o pino C e a barra:
Fc
1414
·
,
"• = - - = (9 ,S)(S)' • 14,89 k8f/mm .
A •JNtr•
Apoio entre o pino C c a chapa principal :
F
I 414
"• = Ac • ( 9 ,5K6) = 24,81 kgf/mm'.
72
2 9 5121
Para uma análise completa des.,.a artlculaç.ão, outros pinos dc:verlam $et investigados.
Entretanto, pode-se ver por inspeçilo que os outros pinos, nesse caso. sofrem tensões de
1nes 1no. magnitude quo as calculadas antericmnente., ou menores.
agean sobre a estrutura. decomponha-as ern componentes convenientes.
Tensfto na barra A8 [F'íg. l.l2(e)):
"•c •
!.c.
1414
z.
A = ,.( ,
, - 9,98 kgf/ rnm .
Fc.., - -I 000 kar (co mpcosslo~
Fc,. - fi'c;. - -I 000 kgf.
I'c - .ji(-1000) - -1 414 ksr.
(a _..),.,M =
<•
+ 1500(2) + F'c.v<J)- O,
E.F,'( - O. F.,.x + Fc"- 2-2- O;
r:F, - o, F , , - F
P - soo- (-I 000)- 1
V~·{flcariio:
Cisathamento duplo no pino C:
Esse resuJtado pode s.er ftu:ihnente verilicado pela Eq. 3.5, aplicada a um corte da barra
(.L - x) nciana da extremidade livre (Fig. 3.J4(b)J. Apenns poucos problemas podem ser anahsndos. usa._ndo-sc upcml$ a Eq. 3.3. Em problemas mais gerais, na análise devem considerai
simulta.neamente ns ddorm açôes.
•Considernndo o ploo em estado de t~n sdo bidimen,ionnl. t ,, = t"' , o tensor representação do!!
resultados rica (
O
9,98
9,98) kgf/l'nm'
o
73
,
ll
~~
p
L
[
( •I
Figure 3.1 3
(b)
(o)
Figu ra 3 .1•
FJgura 3 .11
3.8
TENSO ES PERMTSS!VEIS; FATO R DE SEGURANÇA
A determinaçlo de tensões nlo teria significado nllo fosse o fato do que os
testes de materiais em um laborat6rio fornecem informações sobre a rc.s:isténcia
que eles tê!m, em tennos de tenslo. Em um laboratório, espécimes de um material
conhecido, termicamente tratado, slo cuidadosamente preparados nas dimensões
desejados. Esses espêc;imes são submetidos a forças do magnitude sucessivamen<c
crescente. No teste usual, uma barra cilíndrica ê submctlda a ten$30 c o corpo de
prova 6 carregado a1é a ruptura. A força necessária para causar a r upturu é chamada
do cnron d• rupwra. Dividindo essa carga pela área da seçlio U'ansvcraal ong~~al
do corpo de provas, obtém-se a rrsls1i11cla à rup1ura (o a lcnsão) de um ma<cnal
A Fia. 3. 1S mos<ra uma mAquina de testo usada para cua fmalidadc. A Fia. 3.16 ~
uma fotografia de um corpo de provas para ensaio de traçlio. O ensaio de ~o
~ usado com_ muita freqUência,. Entretanto, também slo ~mpregados cn~a1!>5 .de
compressão, flexão, torção e cisalhamcnto. A Tab. I do Apendtee dá u rcststenctas
de ruptura e ou tras propriedades ·nsico.s de alguns materiais.
Para o projeto de membros estruturais. o nivel do tensão chamnd~ d~ tensão
admlnfvd é fixado cm valor consideravelmente menor do que a rea1a\encta de
ruptura e~contrada no ensaio estitico acima mencionado. ls~ ~ necessirio por
diversas razões. As ma11nitudes exalas da,s forças. que podem a~ .na «trutur;a d:Sejada sllo raramente conhecidas com mutta prCClsão. Os materuus ndo ai~ mteitamente uniformes. Alguns materiajs esticam muito antes da ruptura, n.ssun, paro
74
MtouJna de teatl unlvetnt. (Connle
da B.aldwfn. LIMJ H amilton Corp,)
Figure 3 . 1 1
(b)
CorpO di J)UNaa tf-
plco de en11lo d• tn1çlo de eço
doce: (a) ent.. da fr•tura, (b) apôs
a ffiNrt
baixas d eformações, as tcns6el devem ~~:r mantidas baixas.• Alguns materiais
ocrroem seriamente. O urroe entram cm reaime piAstico com eenas carpa, fen6meno caso chamado de «s<OtT• Qam,nto. Em um lapso de tempo podem ocorrer
grandes deforma~& que nlo slo tolertvcio.
Para aplicações cm ,Que a força atua Intermitentemente, obedecendo a certo
ciclo, os materiais nllo podem supor tar a tcnslo de r uptura de um ensaio estático.
Em taia caaos, a resistência à ruptura depende do número de vez"" que o força é
aplicada, quando o material trabalha cm um nlvcl de tenslo particular. A Fia. 3.17
mostra 01 resultados de cnaaio• • de inúmcrot oorpos de prova de mesma cspêc;ie,
a diferentes tensões. Os pontoa cxperimcnt..U indicam o número de ciclos necessáriO$ para romper o corpo de provas a uma tensão particular, quando submetido
o uma carga flutuante. T ais ensaios são chamados de restts a fadl(}a e as curvas
correspondentes são denominadas de diagramas T-.N (tensllo-,n úmero). Como se
pode ver na Fig. 3.17, com tensões menorC$, o mater ial pode suportar um número
crescente de ciclos de aplicaçlo de carga. Para alguns materiais, notavelmente os
•v.,jo o C.p. • .,... m.Uo,.. detalbcs
..1. L. Zlmbrow eM. O . Fon1a.na, •Mecttaaical Propcrtica, iaduchna Factau-. ol Aircnrt Al)oys a1
Very Low Tcmpcratures", 1'rGitl4dlo"' q lhl AmnlcCflt Soc.I«C)' for Mnnl.s, 41 (1949)-. -'98
75
aços, a curva "f!_
N pam baixas tens5es rica essencialmente horizontal. Isso significa
que, com uma tensilo baixa. um numero inftnitamente grande de reversões de tensilo
pode ocorrer antes que o -material rrature. A tensilo na qual isso ocorre é chamada
de ltmú• de. duração do material. Esse limite sendo dependente da tensfto, ê medido
em quilograma por oentimelro quadrado. ou por miHm.et.ro quadrado.
200
I- ....._ ......
~---
I
~~.....
"':~ -.
oko ...........
i~
~.......
.....
- . . ---- - .
so . .
o
to•
Aço inoxldáftll I 8·8
A
~-
o---~
. -
. . r-...:_
-- - -- ---
--. -
~ - ~ oJ~t~::.:
._- . - - - - -- - .
c
carga admissivel de um membro
~~
- .. . ... . . . ---· ----- -- -.
lO<
to•
-- -. .
10'
Essa relação é chamada de / atar t lt' :segura , çn e deve sempre ser maio r do que
u. unidade. Embora não usado comumente, talvez o termo m elhor fosse fat.or df!
lguorducitl.
.
~
10'
Oclot
F fguf'el ••17
netivo )
Aasislêncle à fadrga do aço inoxidável 18 -8, 1 v'tlas · tampenuur.es (entalo aher-
Na interprctaçlo do diagtama T-N deve-se exercitar alaum cuidado, pnrticuJarmente com relaçlo à fabca da tenii.Ô aplicada. Em a~guns ensaios ocorrem rever."
sOes completas do tenst:o (traç«o para compressl!o), em outros a cargn aplicada
varia de maneira dircrente, tal como tração para carp nula e de novo traç«o. A
maioria dos ensaios t reHa com corpos de prova em fiexlo.
Em alguns casos. outro item merece atençio. Quando os materiais são fabricados, ele.s slo frcqOentemente u~inados. Nos materiais fund.idos o resfriamento·
é desig uat Esses processos estabelc:ccm elevadas tcnaões internas, q~e silo chamadAS
de tl!nsões r~sidunls. Nos casos tratados neste texto, os materiais slo consider·a dos
inteiramente livres de tensões no inicio.
Os fatos acima mencionados. combinados coro a impossibilidade de deter·
minação precisa das tens/los em estruturas e máquinas complicadas, indicam a·
necessidade de redução substancial de tensilo, comparada com a resist!ncia à ruptura
de um material no ense.io estático. Por exemplo, o aço ordinário suportará uma
tensão de ruptura na !ração, de 40 kgr/mm' ou mais. Entretanto ele se derorma
rúpída e severamente com o nível de tensllo de cerca de 25 kgf/mmi. É costume nos
IÕUA, o uso de uma tensilo permissível de cerca de 17 kgr/mm 1 para o trabalho
76
estrutural. Essa tensão permíssivel é reduzida ainda mais, pam cerca de 7 000
kgf/ mml, nas peças submetidas a cargas alternadas pOr causa das caracteristicas de
radiga do material. As propriedades de fadiga dos materiais são de extrema impor·.
tJ!ncin no equipamento mecânico. Muitas rnlhas de peças mecânicas podem decorrer
da inobservilncía dessa Importante consideração. Veja a Seç. 4.18.
Grandes companhias. nssim como auto ridades mun icipais,, estaduais e rederais.
presccevem ou recomendam tensões ad.nissiveis para diferentes materiais, dependendo da apJicação.• Freqüentemcnt.e tais Lensões são chumodas de tensões ad missíveis de fibra. • •
Como pela Eq. 3.5, tensão vezes área é ig ual a u ma rorça, as tensões u.d missiveis
e de ruptura podem ser convertidas em forças o u ..cargas"' admissive.is e de ruptura
que um men"'bro pode resistir. T:unbl:m pode ser rormad a um a relação significativa :
carga de ru ptura de um memb ro
Esse fator é idêntico paro a relação entre os ten$ões de ruptura e admtssivel
pa.ro os membros em trnção. l'a.ra m embros sujeitos a mniore.s comple xidades,
e usada n primeira ddinição, embom a reJaçAo de tensões seja eretivamente usada.
Como ficará evjdente pela leitura subseqü.cote, as dues nl~ s§Q sinónimas Porque
as tensões ra ramente. variw1'1 linearmente com a carga aplicada.
Na indústria de aviões, o termo f mor d i! st'gurauça é substiLuido por outro
definido como
carga d e r-u ptum _
1
carga de projeto
e conhecido como margtttn dt# s'*gurança. Normalmente, esse também se transforma em
tensão de ruptura
tensão tnâxima cousada peJa cargA de projeto J.
3.9
PROJ ETO DE MEMBROS E PTN OS COM CARREGAMeNTO AXJAL
O projeto de metnbros estruturais para. fo rças axinis ê extremamente simples.
Pela Eq. 3.5, Q ân.a necessária de um mem bro é
A - Pfa,..,M.
(3.7)
Em todos os problemas es taticam ente determinados., a (orça ax.iaJ P é d eter-
minada dire tam entc pelas equações de equilíbrio e o uso pretendido do material
estabelece a tensão admissivel. Para membros em trnção, a área A assim calculada é a
• Por e~~:empJoj vc;jQ O códiç.o de çon~t ruç.io ôc edificios de u ma met.t bpolc
. .0 a dj_eti'IO flbm no ~ntido ;u:imet C usuda pol' duas rnz.õcs. M uila.s c:xpcdC.oclas or-lgjnoil rorom
fcitJts com I'OI!dcira, n q unl tem c~.rac=terlst ic:a fi bl'"n$&. Tnmbtm, em diversas dcduc;õd que se seguem, o
conoc.ito de fil amento concfnuo 0\1 fitm• cm urn membro ~ convenic:nl.e para vin•aJi:z.ação de aua uçiio
77
área liquida ou efctiva da 1~0 transversal d e um membro. Para biO<lOI curtos
(robustos) em compressA o. a E!q. 3.7 também é aplicável; entretanto, para membros
delgados, nlo tente usar a·equaçlo acima antes do estudo do eapltulo sobre colunas.
A simplicidade da Eq. 3.7 não se relaciona i sua impottAncia. Na prAtica.
ocorre grande número de problemas que exigem seu u•o. Os problemu que oe seauem
ilustram alaumas aplicações da Eq. 3.7, assim como proporcionam revilio adicional
da estática.
O.'Um
O.U m
'··e-e.,....
e XEMPLO 3.5
Reduzir o peso da barra AB d.o E.xcmpto l.J. UN.ndo um mAicti&J mc~hor, aço cromo-.
desse açO 6 de aproxhnadamo.nte 8S kaflmm.J. Uaar um
facor de scaurança de 1.S.
0,75"'
~van6dlo. A rcaistlnda & r u pUJtl
o..so .. . , •
(o)
(<I
SOLUÇÃO
"......,... - SS/l.S • l4 k&(/nlm 1• Do !ltempla 3.3, " fo tçll na barra AB : P 11 - + I J 18 kat/mm:a.
Arca nccc11Aria.: A_, • 1 118/34 - 32.88 rrun". Adota.r: barra de 6 x 6 .nm.
Essa fornece ume lrca de (crX6) - 36 mm'. que excede Uacirktnenlo a irea neceu6ria.
VArias outru proporç6e8 de barra slo poulvci$..
Com a 'rea de t ec;So transvcn.lll selccionadll. a tcn1io efctíva ou de trabalho ~ ll&cira·
1 118/(36)- 31 kaf/mm'. o fato de seaurança
•nente inferior ' tenslo admissivel:
c(ctivo ~ 8S/(31) - 2.74. o a mar&cm de segurança etctiva 6 de 1.74.
Em uma mudança completa de projetO. barra e pino.s tamWm d everiam k.t reviatOI e.
se po&sivcl, dhninuldll auu dimcna&es.
a.,-
eXEM P LO 3.6
Selecionar 01 me•nbrO$ FC e CB na treHça da Fia. 3.18(a). pan. suporte. de uma força
inclinada P do 70 t. f'h:ar a te.nslo de traçlo admissivel em 14 kaf/mm 1•
• • I
(b)
(d)
Usando o corpo ll•re da F I.. J.IS(b):
EF.., - O
AIJ'lt-56 - 0.
SOI.UÇÃO
T.M• •
Se &odOI 01 mcmbrOJ da udíça fosr.em J.Cr projct.a.dos. de veriam JU achadas u forças
nos mcmbroJ. Na pr.tiea., iJ.iO 6 feito freqOcntcme.ntc pela conatt-u çlo do um diaarama de
T.M 0 • OQ+, + Ra(3) + 5«1,5)-42(2.5) • o,
MaxwcU-Crcrnona• ou pela an6Hse da treliça pelo nl6todo das juntas. Encrcto.nLo, se npeni!$
una poucos membros forem ser projc.t.ados ou vc.rilic:tdOt. o m~todo das seçO-et ê mais r6pldo.
Entende-se aeralmcncc que uma treliça coano a da figura t c&t,vcl na d-ireçJ.o pct"pcndicular ao plano do pGpcl. Pradcamcnte iliO e: conseauido pela introduçlo de b-ra~deiras
de noventa ara.ua corn o plano da treliça. Nea.&<: exernplo. o projeto dos membros c.n'l com~
ptudo é evitado porque setá tr11tado no capitulo sobre colunu.
Para determinar as forças nos membr01 a s.crcm projetadO&. as reaç6d para toda a
c.strutura slo calcula.du cm primeiro lugar. l.uo e feito pelo abandono completo da estrutura
interna. Apenas a.s c01nponc.ntc:s de rea.çlo c de força localiudas ttn 1cus pontos do apti~
caçlo slo indicadas no diagrama de. corpo livre da eJ trulura toda. Fig. 3.18(b). Após aerem
detcrminadu u reaç6c:a. 01 diaaramu de corpo livre de uma parte da e.-uutura .slo usados
5)4-f& determinar as forças n01 membros considerados. Fip. l . l8(c) c (d).
• Por u amplo. vcjM. H~ Sutherl.and c H.. L Oowman, Suucwral Th~ory (4." cd.), p. 47. John Wllc)' &
Son~. lnc., Nova lorq~~eo 1950
78
RPJr- 56t;
OC +, + R.,,(3) - 42(0,S)- S6(1,5) -O.
lt~- 35& :
R 1 ...-7c..
Vtr!flcnrão:
T.F, • O, + 35 - 42 + 7 • O.
UAndo o corpo Uvre da f"í.. 3.18(c):
T. M,. • 00 +, + F,c(0.15) + 3~1) - 56(0,75) • O,
F,c- +9,33t
AI'C • F, cJa_.- 666,7mm 1• (u.r.ar barra de 15mm x SOanm).
u.. ndo o corpo Uvre da Fig. 3. I B(d):
T. F, • O,
-{Fc,), + 35 • O.
(F0 ,), • + 35 1
Fc• • ,/TJ!Fu)/3 • +4ll
Ac, • Fc:Jt1H,.. • 41/(14) • 3003 mm 1 (u,sar duas barra.t de 30mm x 50 mm).
79
'
t
EXEMPLO 3.7
Considere o sistema dinâmico idealizado, mostrado na Fig. 3.19. O eixo AB gira com
velocidade angular conttantc de 600 rpm. Una barra leve CD 6 fixada a esse eht~ no ponto C,
o nn utremidade d~sa ban'a ~colocado um pe.so de~ k,af. Ao descrever um circulo completo, ,
o peso em D gira cm um plano ..sem atrito''. Selecionar o tamanho da borra CD, tal que a
1en.slo nela nlo exceda 7 kaf/mm 1. NOI dlc:ulos., dcsprc:;te o pt.SO da barra.
PROBLEMAS
3.1. Por analogia OOUl a l!q. 3.4, o utra
cquaçlo de equiUbrio para um elemento
tridímcnaíonat. em coordcnftdas ca.rtesi·,anu. podo let escrita
3.4. Determinar as teosões do apoto
cauaadas pela (o(çe aplicada em A, 8 c C
para a estrutura mostrada na riaura.
il<,. +~+ il<., +r- o.
ax
ay
a.
(a) Bscrcver a terceira equaçlo do equi..
Ubdo com Z como força do muJa. {b) Com
a ajuda de um diagrama de um cu bo ele•mentar no qual süo moettadu todas as
tenslk:s perdnentes. vedlic:ar a Eq. 3.4.
3.2. Mostnor que u equaç6es direreocillis de oqulllbrio para um problema de
tcnsilo bidlmen~tJonal em coordenadas p,o.
lares, silo
0 ,) m
8v,
Figura 3.19
riNI
A accleraçlo da arnvidade g - 9,g m./1 quadrado ou 9,8 m/s 1 • A velocidade angular w
t: 600 (ln)/60- 20n rnd/r•. Piua. o movimento dado, W ~ ftcclcrado para o centro de rotoçilo,
com uccleraçlo do 01 1 /~, onde R~ a dlstftncla CD. Multiplicando ~sa aeçlcraç4o n pela massa
m do corpo. 6 ubclda a força. E.ua força aao na dirc9ao opoata • da acclarnelo (pdnclpio
de d'Aiembert~ v~a 1 Fia. 3.19.
F - mn -
êr
Uma barra dlfndrlea de 12 Jl\m rorncoc a ltea de seçlo transversal neccJJ4ria. O esforço
a.dicional em c. cauudo pela massa da barra. nlo considerada aqui, t
onde m, é a massa da b1errn por mctto de comprimento o (m 1 dr) é sua mnun lnnnilesimal
a uma distllncia varii\vel,. da barra vcrlituJ AO. O esforço total em C, causado pela barra
e pelo peso W na e.l l.lrcmidade é F + F 1 •
• 2.11 n.di:snos eorrapondc:m a uma rcvaluçllo completa do ciKo; o número 60 no denominador
wnvcrto rpm em rps
r
*"t-oA_
J.SO mm
P
~----........Pino- lO mm
ditimetro
2S0kaf
k,
- •· +T, dt
60<1,6
A,, - -- -- 86,3 n11n 1•
a..,,,.,
7
estA mostrado na rig.urL CaJculu a tensllo
de cisalhamento no pino A cau.sada por uma
carp de 2SO klf.
Ot tlmbolo• estio dcOnfdOtt rnt figura.
As forçq de mqua Jl.o desprctadas nessa
fotmu laçlo.
$
gw <»' R - 9,8
(201t)'(0,3) - 604,6 kgr,
F
r
(.1) h.+ il<,. + 2,,. - o.
SOLU ÇÃO
80
(')a,... O'r - G""' -0.
'Tr'"+ 7 ãõ+
3.S. Um tncconfamo de alavanca. usado
p•r~ levantar po.tn~i~ de uma ponte pencil~
-n!~~~~t=====~~~~~~= ~
•... - 8'
'"
;
o
PROB. ).1
3.3. Um• barra de seçlo cranversaJ
variá.vcl, enaa~tada cm uma extremidade,
estA subtnctidR a três forçu axJa..i~o como
mostra a nsurtt. Açhar a tcnslto normal
mtJ<ima. R11p.: 34,6 kgf/mm'.
to t
PROB. J.J
PROB J.S
3.6. Calcul:u ft tens.io de ci.so.lhamenro
no pino A do crcuor de lâmina, paro os
rorça3 cotais que nluam na pA. mo.scrada.s
na risurL O,b:terve que e,U..ste um pino de
38 mm de dilmctro de cada lado da IAmin.a..
Cada pino r.st6 sujcho a cisa.lbamenco
si mpJes.
PROB. J..S
3.71 Um posle de modeira. de: IS,Oc:m x
x I.S,O cm tran$mlte uma força de 6 t pnra
81
uma base de conc:ret,o, como mostro n
Fia. 3.8.
(Dl Achar a t.e.ns.llo de supOrtJ= ct..
madeira sobre o çonculo. (b) Sç • prcnl!!
admis-slvcl qo solo~ de O,S kaf/cm", dc~ez<o.,
minar u dimen.sÔ()S ncoessàrias na Y15l,a
plana dn base. Despre-zar o peso da base.
/l..sp.: 167 kaf/cm', 29,S pol.
3.8. Para a cst.rut.u.ra mott.rada na
fisun. calcular o tamanho do e&t_ojo c a
6rca nceeu60.. du placas de a-upor\C.. tendo
u tensões pc:rmlsslvcis de 1 200 kaf/cml.
em lraçlo c lS kaJ/cml. oolapoio. Oesprct:ar
o peso das vigaS.
.rcbit.e \TB.I'Itniit:a um Qit.a vo da rorça apu ...
cada. Desenhar diagram.s Q.e corpo livre
para os elomc:nt.o s isolados ctn cada part,c.
da anlliso. (Obsmx•rllo. Plllatu,.os <1$ alt.a
reslst!nda do.iõi\VO}Ytllm~te ror;u d.a atrito
muhÔ ar·ande1 entro os clomont,o. do unilo.
A análise suserida ~ ra~o ivel apenas lo
usarm01 parafusoe comuns).
3. 10. Um L&nquc clHndriço do l Ji m
do diAmetro 6 aUpoft&do cm CAda extrcml•,
dado por um arranjo como mo1\ra a fi aura.
O poto total au portado em cada auporte •
do 7 \, Ootc~minar u tc.nalSct de cisalha·,
mênto nos pinos de 2S mm de diâmetro, no_s
pontos A e 8, devido ao peao do tanque.
De.•prcznr o pelO dos auport,cs. e admi~r
que o contato entre o t.an~uc o 0$ apOioa
2
seja sem at.ri\o. Re.sp.: _.~46 kgf/mm .
. podrlo de 20 cru, pOilUido 42,-46 ksr/m
(Veja Ap61ldice, Tab. 8~ Deoprcut o peoo
dO$ membro.. Rcsp.:' -3.4,S kaf'/ cm2 •
J.l:Z. o,.oJa·.. . •ori6car a aapt.eldade
,•
c!, e~t,rll,~ll,ta m~~.rad& na naura. Todae 01
' mombrot 1&0 fel~01 de aqo • ~ a muma
j;rea de &eçlo transvers-al do .S 000 mm 3 ,
()ctcrrnlnar a m4#ma C-RTP P41nnit}da F,
10 &f
CCIPJOo•
adllli.atlvoia (OrtiJD. de .1•
karJrnm 1 em t,raolo • IO..S ka!/mm' om
o~rnpreulo. T<>du u u,ru6el alo rol~,&~
com plnot.. ltup.: 9 27~ kat,
F
estrutura.
3.1-<4. Du011 barr~ da alta realal~Dc;l ..
de dlJ•roni,M Í.ar;nanjloa. do Údc-ulad'u om
A e C. o auportam U;M peao W om S. como
rno&-\ta a fiaurL QU;O cara• W pQdo ter
su,port.ada? A resistlncla do ruptura das
barras 6 110 kaf/mm•, • o fator çte seau.·.
rança 6 la)l&l a 4. A barra .(B tem área
A .- 120 mm 2 e a barra BC tem área de
60mm 2 •
I,
PR08. ).1
3.9. oua.s placas de-2!iO mm de largura
por 20 mm ele cspcuura slo unidas por
meio de dutu placas de cqbert).UI. c.a da
uma cOm lS, mm de ctpossura. cop10 mos·.
t ra a Raura. Oito parafuaoa de 22 mm slo
UaadoJ dO eada lado da U!Ji&o, em ruros
jus\Ot. Sendo ciSa unl!o submotJda a. uma
rorÇa de lfaÇiiO p • 10 4 achar (a) 8 t.e nslo
de traç.io aos parafusos. (b) os t,e nsões de
traçilo na placa principal, n&$ scções 1.1.
i.2. 3.3 e 4.4, {c} a máxima t$nsão de: t,raçlo
n-as placus ,d e Cob.ettur~ Admi~r 9 uc <:ada
u,ma carp de ve;pt,o horbont.al sobre o
cart.u. de IQO k,r;m•. Admil,lr li"" t,o du
u U;nlOea ~am conectad.u pw ptnot e QU;o
u.m quarto da rorQ& total u unHhll do vont,o
IIU6 6m S 6 6Ift C ~~~~ á jjôiiibJII.
daele do Oa.mba&ttm dOf rn~br·OI em çOm·
prouL\o. Dolprozar c,ambém o poso da
·--+---9 m•--PROB. l-U
PR.OB. )~lO
). Ll. Achar a tendo no mastro moa.-trado na fia,urL Todos os membros est~lo
3. 13. Um cart,u do 4,$ m x 6 m de
_6rca 6 t~port,ado por dqu ~lf\,\t,u.ru. COGlO
mps~ra a Oau.ra. Todoe 01 mombrot t.ern
S cm )( lO c:m ~ aoçlq lf&ntvc.tsal.. CaJ..
çular a t.c nslo em cada membro. dcvjdo a
Õo mesl)lO p_la..no vert,ical e slo u,nidos por
pÍDOS. 0 m 3Sif0 é reito de IUbo de UÇO"
rRqs. ):14,
3. l.S. Qual o diilmetro do pino 8, do
mccaniJmO mostrado f\8 figura,_ para uma
(orça aplic~ do 6 t om A. compensada
pela força P cm C? A tcn:&io de c-isa.l ha ..
rne.nto pe.rmisslvcJ 6 de lO kgf/mm 2 psi.
Re$p,; IS mm.
e
...
~
o
o
e
~
M
~
Phu:.n do çobculur~ de lS rnm
":::: ::::&
Pl~:~~e;~ princ:ipllhl de 20 mrn
PR08 J.9
82
PROO. }·li
PROB. }.13
PROB. l-15
83
3.16. Achar u ~ireas das seç.ôes. transversais necessária, em todos os membros·
em tração, no Excmpl~ 3.§. A t,ensfio permisslvcl t {Se 14 kaf/mm'.
3.17. Uma torre. usada pam Linha de
alta tcnaAq, está mostrada na fi.g ura.Estando ela submetida a uma força hori.z.orÍtni
de 60 t, .e ~sendo as. tensões permisalvçi$ de
)O,S kgf/mm' em comprcosio o 14 kgf/mm'
em tr~tç4o, ~t;tal .a seçlo t,ransversal nccessó.ria. em cada membro? Todos os rnembros·
slo unidrM por pinos.
{açJo na origem, M coordenadas. medidas
em metros. dos t.rk poot,os de fixaçAo nó
teto silo (0,6;-0.9; .1.8), (().9; 0,6; 1,8! e
c-o.9; 0,0; 1,8~ Se o fio mail aolicit.a do puder
supOrt.ar 25 k~ que pcao H( poderia ser
suspenso?
· 3.20. U ma. junt~ para tra,nsmissdO .de
uma (O(Çil d~ t:raçlo 6 rei~ por meio de um
pir;to como m ost.ra a figuça. Sendo D o
díâmc~ro das barra a, serem conec:~adalt, .
qual deveria JCt o diAmet.ro .d do pino?
Admit.ir que a t.cnsfto de cJsalh~lento per..
m iss.lvel no pino seja iau.a l 'a met.a de da·
m6xima t.ettslo de t.raçilo nas barras. (Na
Soç. 9.17 1e mQ5t.ran\ ~ue cs:5:11 rclaçlo par'a
as tenaôcs perroitsivcjs ê uma excelente
premissa p&J;'a mu.it,os mat.erinis).
Os membros ABe BCseção tranvcrsaJ constante. Resp.; cos 2 « = 1/3 ou a ~ s.s•.
3.22. TrCs pesos iguais ·w S:ilo colocados em uma barra delgada â intervalos
igupis a. Outra peça da barra, d e eornpri ~
· mento a fixa o primeiro peso a um eixo
vertical, de maneira anàloga à mostrada
nn Fia. 3. 19. T endo o conj unto uma velocidade angular (1), em torno de um eixo
vect,ical, Quais $ão os t.e rlsôes nos trés: ses...
mentos da barra? Oe$pret.a..r o peso da
barra e admitir o a trit,o desprezlvel entre
os pesos e o plan~ hori~ontal em que se
movem.
3..2.3. Umn barro de áren transversal
consta nt.c A, girtl ç:m t.orno de uma de suas
extremidades., cm um plano horiz.ontal, com
velocidade an.gu.Jar cons~ant.e OJ. O peso por
onidàdc de comprimento é y. Determinar 1
vnriaçl'lo da t.en.são a ~o longo 'da bar:ra.
3.24. (a) Most.rar ~ue a força de ca mpo
em um disco delgado de massa m por uni..
dade de volu,me do mat.erial c girando com
velocidade angular constnnte co 6 mw 1 r,
(b) Adicionar a iorça de câmpo achada cm
(a) ti primeira equação do Prob. 3.2. e mOs·
trar que a ~U.açã.o d~; e~uilibrio para a·
distribuição de l,e nsno simétrica em relaç!.'lo
a um eixo e
rROH. l-17
3.18. Determinar o diÂmetro neces..
sário das barÍ-as A.B e AC da · cst.rulurn'
most.rada na fisura. para suport,c de u.ma
cn.rp P ~ lO l Oeapre-zac o peso ,d a est.r1-1·.
t.ura, o admit,i.r 9ua as uniões sejam feit.a.s
por pinos. N.l o 6 necessário çansiderttr o
caso de rotc:aa. 1\ t.enalo pctJnisshel na.
tr•ç&o 6 de 12 kJf/mm•.
PROB• .l--20
3.21 • , Uma estruturn unida por pinos,
supo~ um,a fO,tÇ& P CO(nO.mOst.ra. a ngura.
A tensllo a cm,ambos os membros AB c BÇ
d eve 1er a mes-ma, Determinar o Angulo óe
neçes~A.do ao mlnfmo peso de construçlo.
PR.OR. 3·18
3.19. Um peso W é suspenso em um
leto por meio de tr!s fios de igual tamanho.
Tomando-se o ponto comum dç susten-.
84
•v.
l. Fcodosiev, Stuugrll C'[ Mar«-rla&
(J.• ed.~ p. 39, Nauk•, Moscou, 1964
85
4
PJgu r• 4 .1
Oiagtame de um oorpo di provu num1 m•Qull\1 de e t\U io
D EFORMAÇ ÃO, LEIS C ONSTITUTIVAS
E D E FORMAÇÃO AXIAL
Se 10 6 o comprimen to oriafnaJ c I é o observado sob traçlo, o alongamento 6
AI - 1-10 • O alongamento por unidade de comprimento c ~
INTRODUÇÃO
A análise das deformações de um corpo sólido iguala em imporUincla a análise
de tensões e se constituirá no objetivo principal deste capitulo. Isso requer a definição precisa de dcrormação. o que é feito na Parte A. A relação linear entre tcnslo·
c derormaç.ilo na rorma da lei de Hooke gcneruliuda e a energia de dcrormaçlo
de um elemento são consideradas na Parte 8. Na P arte C a d iscussAo se refere a
alguma& relações possiveis entre tcnslo e dcformaçlo para um estado de tenslo
uniaxial, incluindo o comportamento plástico e os efeitos dependentes do tempo.
Na parte O. alguns dos procedimentos dese~volvidos s3o aplicados a membros
com carregamento axial. Por úhimo, são ressaltadas algumas HmitaçOcs adicionais
a serem impostas bs Eqs. 3.5 e 3.7.
r
4.1
AI
dl
· - -I. - ro ·
(4.1)
Esse alongamento por IUiidade de comprimento é chamado de d<fornrarifo
linear c ~ uma q uantidade adjmenaiC?naJ, mat utuaJmcnte ae refere a ela em em/ cm
(mm/mm). Al11umaa vozes ela .6 dado em porcentaacan. A quantidnde • 6 baatante
peq uena. Na maioria du a pllaaçllct de engen haria do tlpo considerado neste texto
ela~ da ordem de grandeza de 0,1 Y.. o que ainda 6 pequena.•
Al~m da deformaçlo linear descrita anteriormente, um corpo em geral também
pode ser deformado linearmente cm duas dircç!les adicionais. No tratamento anoll·
tico as trh dircções slo usualmente orto gonaia entre si, e identificadu pelos indices
y e z. Finalmente, em geral, um corpo tam b6m pode ser derormado como na Fig. 4.2.
x;
PARTE A
D E F O RMAÇÃO
4.2
SIGNIFICADO FlSICO DA DEFORMAÇÃO
Um corpo sólido se deforma quando sujeito a mudanças de tempera tura ou
a uma carga externa. Por exemplo. quando um espécime está submetido a uma (orça
crescente P, como ~ mostrado na. F ig. 4. 1, ocorre mudança no compri'mento do
elemento entre dois pontos. como A e B. Inicialmente, dois desses pontos podcn, ser
seJeclonados u uma distância arbhrAri:L Assim, dependendo do teste. usa-se comumen te a dist!mcia de 50 mm ou de 200 mm. Essa distância inicial entre oo dois pontos
é padrão c denominada disciiucln tlt! calibração. Em uma cxperi~ncia anota ..sc a
variação no comprímento da poçn compreendida entre os marcas. Com urna mc:sma
carga e uma distãncio maior, obscrva·se maior deformaçilo. Dessa rorma. ê mais
rundanltntal a referEncia ao alongamento observado por unidade de comprimento
isto ê, n intensidade de deformaçào.
86
z
•
F f gu,.. 4 ~2
Oeformaç6u possrveis no cfa•lhamemo ct• um elemento
•Quando u dcform.aQOet llo arandc:a. como ne ConrormaçiO de mct.als. é neoctário introdPzir •
c.bmadoa lltl{onm:t#io .ouatlll'cr4 Ela é r.tadonada com • dcnniçlo doula pela Eq. "-1. Simplesmente tem._
que .substilulr 10 na inlcaruJ. por 1, c lnt•»r•r :
' ~
l •
r.•
III
I
T - Ia r - lt~CI +,),
•
Nu pequenas de!ormaçGcs ambas as defil1iQi5a praticÍmente coJncidém
87
Tais deformações cnusnm uma mudança nos ângulos retos iniciais entre as Unhas
imagin:írías do corpo, e essn alteração angular define a dtf~rmação_ dt ~isallr.amento.
Derinições matem6ricu mrús preciso.s das quantidades acrma serao dtscuttdas em
seguida.
4.3
DEFlNIÇÃO MATEMÁTI CA DE DEFORMAÇÃO
Como as deformações ccralmenre variam de ponto para ponto, as definições
de deformaçlo devem relacionar-se a um elemento infinitesimaL Com ís.so cm
mente çansidere uma derormaçllo linear ocorrendo n u.ma direçilo. como mostra a
Fig. 4:J(a). A1auns pontos como A e B movem-se para A' e 8' respectivamente.
,..
(o)
..
11
.1•
+ qJ,
•
_ __ _ ,
r--
•+$;")'
v
o
a
11
.~
"
I - ----- ~
1
,..
I---· --
~
c
ilx
d>t
o
(b)
x,u
(c)
fl lgur• • .3
El•mentot cetregados nas posiçOes inicial e final
Durante a dcrormaçlo. o ponto A !lofre utn deslocamento u. O deslocamento do
pOnto Bê u + 6u porque,. nl~m deu. comum a todo elemento ô.x~ ocorre a d istensão
óu no elemento. Assim, n definiçao de deformação linear é
1t-
,
ôu
c/u
hm - - - ·
Ao.~-o 6x
tlx
(4.2)
Se um corpo sofre deformaçllo em direções ortogonais, como é mostrado na
Fig. 4.3(b) para o caso bidimensional, u deformações decorrentes devem ser dife-.
renciadas po r meio de indices. Pela mesma razão, é necessário mudar as derivadas
ordinArias para parciais. Dessa rorma, se em um ponto do corpo, ti, u e w forem as
trf:s componentes de deslocamento ocorrendo nas d i reções x. y e z respectivamente,
88
Observe que podem ser usados indices dupJos, analogamente àqueles de ten.slo.
(4.4)
onde um dos indices designa o. direção do elemento linear, e o outro a direçio do
desloc:rmento. O sinal positivo aplica-se a alongamentos.
Em acr~cimo d deformação linear, um efemento também pode sofrer uma
deformoçlo angular (transversal). como é mostrado no plano X·y da Fig. 4.J(c).
Jsso inclina os lados do elemento deformado cm relação aos eixos :c e y . Como u é
o deslocamento na direç.,o y, quando se move na diceção x. iJvfiJx é a inclinação
do lado Inicialmente horizontal do elemento infinitesimal Analogamentc, o lado
vcrticaJ sim de um ângulo itu/iJy. Como dccom!ncia., o ângulo inicialmente rcto
CDE redu~·sc de (8v/IJ.~) + (élu/ély). Assim. para pequenas mudançu de ângulo,
a dcfiniçllo da df/ormaçiio atJ{Jufar associad-a com as coordenadas xy ~
y,., =
--f-- - J-:J_
(4.3)
Assím
I
-L.
~ '•
•••
e• =-·
e =· e' = -·-·
iJx '
iJy
iJz
I
I
.1•
·f
D
'--..:: .1' +
,.
I
"
I
I
,
as definições bl1sicas de d~ormaçiio Unear ficam
ou
àv
O(JJ
'\t
' ,~
i3tl
íJu
-iJx+ -iJy ·
(4.5)
Paro se chega.r a essn equação, ndmi1e-se que tangentes de pequenos ângulos
sejam iguais nos ftngulos ern si. medidos ern radianos. O sinal positivo para a defor..
moçlo angular se nplico quando o clcmenro é deformado como na Fig. 4 .3(c). (Essa
deformaç4o eorrc3pondc ás dire:ções positivas das tensões de e:isalhamento, vejo
a Fig. 3.3).
.
As dcfiniçlles de deformações angulal'es para os pl»nos x z e yz são semelhantes
à Eq. 4.5:
i!ro
flu
ôro
av
Y.u - Yu - à~" + i:)z •
Y,.; - Y:-,. = êJ.Y + az ·
(4.6)
Ob!llcrvc que nns Eqs. 4.5 e 4.6 os índ ices de y podem ser permuLados. Lsso ó
permitido porque nenhuma distinção significativa pode ser feita entre as d uas sce1üên ..
cfns de cada indico alternativo.
·
No exame das E<I•· 4.3, 4.5 e 4.6, observe que as seis equações de deforrnaçilo·
-deslocamento dependem apenas de três deslocamentos r~, u e IY. Dessa formn, as
equações não podem ser independentes. Tres equações independentes podem ser
desenvolvidas, mostrnndo n inttr·rclação de e:u, eJ.,., e:r= ' y~,. Y,.:r e Yu· O número
de tais cquaçOcs reduz-se a umn pUia o caso bidimensional. A dedução e a aplicação
dessas equnçOes, oonhecídas corno tqul1çõe:s da compatibilidnd~. são dadas em textos
sobre teoria da elasticidade.
4.4
T ENSOR DAS DEFORMAÇÕES
As deformações linear c angu lar, de(inidas na Seç. 4.3, exprimem o tensor das
deformações, que e bastante análogo ao rensor das tensões já discutido. Entretanto,
89
é ne<:CS$ário modificar as relaçOca para deformaçOcs angulares a fun do se ter um
tensor. uma entidade que deve obedecer a cerras leis de transformaçlo.• Fisicamcnt~
então, n melhor difiniçmo deformação angular como mudança no dngulo y não
e aceitável quando essa deformaçllo angular é componente de um tensor. Isso pode
heuristieamenle ser atribuído ao seguinte fato: na Fig. 4.4(a), o y.,_ positivo é m edido
da direçio vertical; o mesmo Y.~~:, posilivo e medido da direção horiz.onrul na Fia.
4.4(b); na Fig. 4.4(c) a mesma deformação angular é mostrada como duas parcelas
de Y. ,Jl. Os elementos deformados nas Figs. 4,4(a) e (b) podem ser obt.i dos pela
rotação do elemento na Fig. 4.4(c~ como um corpo rlgido, de um Insulo Y.j2
...... ...
(o
y
y
y
O tenaor du deformaçlSos ~ •i.métrico. Matomaticamento a notaçlo emproaada
na ultima cxpreallo 6 particularmente atrativa c tem larp aoeitaçlo na mccAnica
do continuo (claaticldade, plutioidadc, rcologia, etc). Tal como no caso do tensor
das tensões, usando notação com lndlces, podc·,s• escrever •u para o tensor dns
deformações.
·
Analoaamente ao tensor das teosõei, o das deformações pode ser diagona.•
Uzado. tendo ape.nu '•• a, c •J como componentes remanescentes. Para um pro:
blema bídimenalonal, ' • - O, e tem·• o c:aao de Jltiforma~o plang, O tenaor para
essa tituaçlo 6
hYq • •q
1
~,
n
07
CJ~~
I
,I
I!JJq
X
X
(b)
(a)
( <)
Flgur• 4.4
Deformações tanotnclata
O esq uema mostrado na Fig. 4.4(c) é o correto para definição do componente de
deformaçlo angular como um elemento de um tensor. Como nessa dennjçlo o
elemento nlo gira como um corpo rlgido, a defo~ação é dita pura ou lrraracla~•ol.
Seguindo essa sistemática, redefine-se as deformações angulares por
• - • ..._ 1..sz.
2 = ,.!z:t.
2 •
Jey
,_.
(4.7)
e,., • r.., -= k2 - L.t..
2 .
B-u •
lu.
2
r.:u -=- lU..
2 = 1.u.
2 .
.z....
2
1.u..
2
lu.
2
lu.
2
.,
o
3,
( O
o)
e,
(4.9)
A tran&formaçlo de dcformaçlo auaorlda pela E!j. 4.9 aeri considerada no
Cap. 9.
O leitor deveria oboervar quo na diseuasio do conceito de de!orma.ç lo nl o
roram a~volvidaa u propriedad• mec:Anicu do material. N equações slo apll·.
cá veis qualquer que aeja o comportamento mecAnico do material. Todavia. apenas
pequenas deformaçõea llo definidas pelu equações apresentadas. Observe também
que u deformações dlo apenas o deslocamento relativo dos ponto1; deslocamentos
do corpo rlgido nlo afetam as deformações.
PARTE B
LEIS DE TENSÃO - DEFORMAÇÃO
LINEAR E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO*
4.5 L'El DE HOOKE! PARA MATERIAIS ANlSOTRÓPICOS
Como se observou no Cap. 3, existem, em geral, seis componentes possiveis
Dessas equações, o tensor das deformações em representação matricial pode
ser montado como:
••
o
(4.8)
de tenslo e, como foi mostrado na Seç. 4,4, cxisrem também seis componentes de
deformação. A rclaçlo linear eotrc tensio e deformação ~ a mais simples delas.
Por exemplo, pode-se dizer t - Ca ou a - A.t, onde C c A. sio constantes elâstieas,
e A ~ o invel$0 de C. A Parte C deat.e capitulo apresenta a justificativa experimental
para o uso dessas constantes c uma definição precisa do termo ollutlco .
A relação linear das forças e dcformaçOes, ou de tensões c deformações, como
t1. sugerida anteriormente, tornou-se conhecída pelo nome de ltn' ,d e Hooke.•• Como
~:.
•A discuulo ri&Of05l dessa equaçlo c.atnpola o cS<:Opo de11c livro. Uma aprcdaçlo mr.Jhor ser!
dei.envolvida. entretan1o. apôs o etludo do C.p. 9~ ot\dl: te considera a tnnsformaçlo de deformação
pua o caso bidimcnf.to.ul
• Alguns klitorce podem achar ma.i:l conveniente: a~udar as Soça. 4.l2 e 4. 13. ant.ca do estudo dctl"
J)aTlO
••aobc.rt Hooke. ci~:ttüa&a inp:s., trabalhou com n1olas c niO com barru. Êm 1676 de anunciou
um a.n.aarama '"ceiilnouauuv.., Caucc em taljm 6 Ut umlo ;rlc Clll (a força varia como o alongamento)
91
90
existem diversas componentes de tensão c deformação, na formulação geral da
lei de Hooke, utiliza-.: o principio d4 superposiçõo, o qual estabelece ser a tenslo
ou defonnação resultante cm um sistema, sujeito a diversas forças, igual d soma
algébrica de seus efeitos, quando oplicndos seporadamcnte. Isso ~ verdadeiro se
cada deformação ror direta e lincnrmente relacionada com a tensllo que a causa, e
se as deformações decorrentes de uma componente de tenslo nllo causarem grandes
efeitos anormais sobre outra tensão. Felizmente, as deformações na maioria das
estruturas de wgcnharia são pcqucnll8, o que permite a aplicaçlo do principio
da supcrposição. Com base nisso, relacionando cada uma das seis deformaçOcs a
cada uma das sei~ componentes de tensrto. obtem ...se as relações entre tcnslo e
deformnç.lo lineares.
·
+ A 21 t u + A 1 •TX7 + AJS'ty; + A 26 tu,
o,..- 6::: • A.ut,.," + A31 t,,. + A33-r,. + Au-r ..., +A,,,.,: + Au-rr,~.
( 4. JO)
&JI,- Y//C-,/2 • A.u't,.-_,. + A,. 1 t,.,. + A,utn: +A,._.,...,,+ A,.,T,._ + A,. 6 t;-..-,
c,... • Yrfl • A""t._ + A,'J,.n + AHtrr + A,.-1'-'7 + A .u't.rl' + Au'tu
c,,..- .,:.fl• A 61 t'u 7 A 61 r_,.,. + Aur.-. + A 154 T_,.,. + A 6 ,"t,._. + A 66 "t;.x •
11
E~su equaçOea pnrecem tClr 36 possfvef& constantes A, 1 • A 11 ••••• A 06 • Todtwfa,
atrnv~s de consideraçlles de energia, pode-se mostrar" que o ntlmcro de constantes
independentes é Igual a 21. Essas do sim~trlcas de cada lodo da diaaonaJ principal,
isto ~ A 1 2 • A. 2 1 , etc.• ou. cm geral A 11 - A 1,. Todu devem ser determinadas
e xperlmenta1mentc. Admilc--~e que o materialacja homo86neo, isto 6. que ele tenha
as mesmas propriedades eni qunlqucr ponto.• •
A lei de Hooke na forma mais geral, dada pela Eq. <4.10, é aplícévcl a materiais
anísotrópicos bomoaeneos tal eomo cristais simples. Esses materiais possuem
propriedades mcdnlcas diferentes em diferentes dlrcçlles, com relaçlo a seus planos
cristaloarA!ioos; veja a Fig. 4.S. Observe a interessante resposta de deformaçfto à
tensllo, dada pela B~. 4. 10. Por exemJ?lo, o deformaçlo linear a.,.., h cousada nlo
apenas pelas tenaOes normais, mas tamb!m pelas tensOes de cisalhamento. Essa
c<juaçlo estabelece que, mesmo que sejam aplicadas as tenslles de cisalhamento,
ocorre uma deformaçio linear hipot~tica t,... Nos materiais reais, esse efeito ê
usualmente muito pequeno, e por es.a ra.zil.o a forma scrnl da lei de Hooke, dada
pela Eq. 4.10, é raramente usada.
A madeira tem propriedades dírerentes nas direQOes longitudinal, radial c
transversal, isto é, nas tri!s dircções ortogonais. Tau propriedades sil.o ditas orro•t S. Sokolnikoft MctthrmotiÇQ/ TltHHy rQ Elcr.Jtlc:lly, p. 61, McOraw.KiU Bode Company, Nova
lorquc, 19S6
·
H Como d~vido R rlt'l~CI rl.sicas .. E!q. 4.10 ê niO·tlnaular. podftote esc:reYf·ll de rorma inV1:ru·
isto é. c:11d.11 uma. das seis compoocnlet do tensão pode relaeiooar« lhMarmente: com u seis com~
nentcs de dc(ormllçio. Por ~~t:mplo
92
Ffgurn 4 . 1 Vetit~ç4o das ptopriedecfes m<teániCit de um
cristal de ouro. com a dlrec:to (Segundo E. Schmk:tt e W Boas.
Kn·sraJlpiNtllitlt Strvkrur und Ei{)tlfJM:Miren der M•t.,i• Vot
21 T11
1
Y,... -
gada no estudo do comportamento de diversos materiais rabricados como plásticos'
de filumento rerorçndo, prensndos para construçi'to, metais lamjnados• •. etc.
Tais estudos fogem ao escopo deste texto. Nn Seç. 4.6 serão examinadas simpli-.
ficações aceitáveis dn lei.
xvu. p. 201 . Springer a...um. 193S
c.u =E., - A 0 t.n: + A 12 T, + A.,tu + A 1 "t~ 7 + Aut:J"t + A 16 tu,
e,, =g~- A t_...... + A
trópicas. Para esses materiais a Eq. 4.10 se simplifica; pode-se mostrar" que permanecem apenas nove constantes independentes. Nessa forma a lei de Hoolcc é empre-
Cue... +Cu&,,.+ cl.l'H + c,.,_o:, + Cuc,. + Cueu
4.6
LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS
Parn materiais isotrópicos hotnogêneos, Isto~ materiais com as mesmas propriedades ern toda$ us dircçôcs, a Eq. 4.10 $Ünplifica-sc bastante. Pode·sc mostrar"'''""
que. para laloondJçlto A 11 ~ A 12 • A,. A 12 -=
Aa, A ...,. • Au = A 66 , e
eomo antes A 12 • A,,. A,,- Au• A 23 == AJ 1 • Todas as demais constantes desa*
parecem. Essas simplificações conduzem à ltl d~ Hook~ g~nt'Talizada. no sentido
de que ela é a genernliznção da rclaç.'lo inicialmente sugerida para a condição de
tensão uniaxial.
A lei de Hooke gene.raliz.ada paro o materíal isolr6pico pode ser escrita com
tais observações em mente. A notação usual de engenharia scrâ em presada. exisindo
as seguintes mudanças: A 11 - 1/ E. A, 2 ~ - •/E, e A.._. • I/(2G). êntlo
A,, -
~
2.-t
rT-
c.... - E-\i e-"E'
e - -v"·'lf +~-vu=.
'
E
E
E
1;; •
-v7f-v1f + "Í;
{4.11)
Y,., - r,..,JG.
Y,.:- t.,JG,
Y, .• • t,JG.
'SókolníkoiT. MtJtlltmntltxtl Tll~ry of Eltutlclt)'. p. 61
• • A$ opeu~ de leminaç;!O provocam OrientaçiO prcrc:renc:illl dOI
maleriaia
... SokolníkofT. Mddi('IUtftica/ Tltf!Ot'1 ti etoslidty, p. 62. Tam~m. Y.
Mtdmnlcl. p. 128, Prene icc~Hall, lnc., Ena.lc-wood Oirr.s. N. J .. 1965
v•os. cri.tt,atinOI cm cc:rCOI
c Fung. FoundoliOII$ of Soi,HI
93
Ness!l4 equações a constante E ~ chamada de m6tlulo d' ~lastlcltlnd,, módulo
eiAstico ou módulo de Youna.• Para tcnslo uniaxiat. quando todu as te.nsOca
exceto uma. a normal, sllo i,g uais a zero, E e uma constante de proporcionalidade
que relaciona usa tenslo normal à SUM deformação linear. Por exemplo, a - e 1t. •
Grafica mente E ê a inclinaçlo de uma linha no diasrama tensllo-dcrorma"çlo, v,Ja
R Fig. 4.6. Como Fl é adimcnsfonal, E tem t\1 unidade~ do te nallo. No sistema m6trico
de uoidades ela 6 usualmente medida cm kar por em 1 ou pOr mm2 • A teoria
discutida neste texto aplica·se apenas a pequenas derormaçOes. Par" tais caaoa
a é uma quantidade pequena. mas E é bastante grande. Oa valores aproximadoa
de E sllo tabelados para alguns materiais oa T ab. I do Apatldiec. Para a maioria
dos aços, E est6 entre 20 000 c 21 000 kgr;mm 2 • A eonatante de proporcionalidade
G 6 chamada de módulo tle elasticidade tra11sversal o u módulo de riaidez, Aa
dlmensõe.s de G slo as mesmas q ue as de E. A conataoto v é chamada de· r·a•ão
d• Pof.u on.• • A compreenslo de seu signtficado ex.ige alguns comenc6rios adicionais,
que serão reitoa na Seç. 4.7.
A tenslo axial, ele se contrai latoralmonte; por outro lado, se ele ror comprimido,
o material se expande para 01 lados. Com iuo em monto, u W.cç!!ea das derormaçOd laterais ~Ao racilmcnte detcrminadu, dependendo elo sentido da tenslo
normal aplicadL
forAM~ Onal
,.
,.
(b)
Pteur• 4 .7
de Poltton)
Flgur• 4 .1
Aeleç&o lineet tntre tans.IO vnleJCI•I e defo,.
maçlo tine•'
••
A Eq. 4·. 11, t implicada na ox.isténcia de três çonstantes elásticas E. "e G. Todavia.,
como será moatrado na Seç. 9. 15, para um material iootrópico, e.Oste uma relação
entre essas constantes. Dessa forma. para materiais isotrópicos~ existem apenu
duns constantes elâstícas. A equação de conexão é
,.
Porma lnlcill
ContreQi o • u:pe,n ato tete rllf O. c«poe m •cfÇOio eubmetido. • forçea axial• (efeito
Para uma teo ria aeral 6 necessário rererir-se a essas deformações laterais com
base na unidade de comprimento da dimcnslo t[ansvertal, isto ~ com base nas
dororrnações lineares lateraiL Na E.q. 4.11 inciuí·se a provislo para a deacriçlo
matomi tica d.esso ten6meno. Por exemplo, 10 apc·n as "~ " O. • .. - uJE o c - r.. - - • v.JE. O alnal negativo ao rorere à eontração do m aterial nu diroçõ'eo J1 e z,
quando alonsado na diroçlo J<. A relação e ntre o valor a bsoluto da dorormação
na dlreçlo lateral e a derormação na dlreção axial 6 a ra%1o ou coeficiente de
Poiason, ~ to é,
v =- _ ~ __ .!L _ deformaçlo la.toral .
(4.13)
•..
•..
deformaçlo axial
RAZÃO OU COEFICIENTE DE POISSON
Pela experiência, sabe-se que alêm da deror maç!o dos materiais na direção
da tensão nornUll aplíeada, outra propriedade marcante pode ser observada em
lOdos os materiais sólidos, a saber, a expando ou con tração lateral (tronsversal)
que ocorre perpendicularmente a direçlo da tensllo aplicada. Esse fenômeno esul
ilustrado nas Fias. 4.7(a) e (b). onde as dclormações aparecem . exageradas. P~ra
clareza pode-se redescrever assim o renõmeno: se um corpo sólido ror subtneudo
Observe que e.ssa deüniçlo se aplica apenas às derormações causadas pela
tcnslo uniaxi.a l. Como foi estabelecido na Eq. 4.ll, a superposiçilo 6 aplicável à
situaçlo de tendo m ultiaxial; 01 efeitos separados, provoctldos pew vârlas tensões
do somados na dlrcç4o observada. Por exemplo, cada uma du tensõee da tração
nu direçõcs y e: causam uma dclormaçlo negativa na direçio x, como resultado
dO ereito de Poisson.
Pela experi!neía sabe-se que o valor da v Outua, para direrentcs materiais, numa
rai.<a relativamente estreitâ. Geralmente esul na vizinhança do 0,25 a 0,3S. .Em casos
extremos ocorrem valores balx01 como 0.1 (alauna concretos) c elevado• como O.S
{borracha). O último valor ê o maioc posslvel para materiais isotrópicos, e e normalmente alcançado durante o escoamento plútioo significando constância de volume. •
O ercito de Poisson exibido pelos materiais nio cauu tensões adicionais alem
•o ,nódulo de Youna 6. ~a.ulm denominado cm ho11r1 ~ Thomu Youp.&. cion&.íat;a ina~ Suu
Ltcwr"s 011 Nawrot Phltp.soplly, publicadas em 1807, cOnlcm uma denn1çlo do módulo de elut.lcldodc
• • Assim çham•dl ac:uodo S. O. Poinon. cientiata francês que rormuloo o eonceit~ em 1828
• A., Nadai, Th10r1 cf Flpw OJw/ Frot:Jure Q/ Solftl,, VoL I, McOnaw· HIII Book ComJ)IUly, Nova
IO<quo, 19SO
E
G = 2(1 + v)
(4.12)
4.7
94
95
daquelas consideradas anteriormente. a menos que a deformaçllo transversal seja
evitada.
EXEMPLO 4.1
Considere uma c.lpcti6nc:ia condutida cotn cuidado_ na qual uma ba.rra de aluml.nio
de 60 mm de diâmetro~ tracionada cm uma mllquina de ensajo, como na Fia. ~.8. Em çcrto
• t
força aplicada p • ele 16000ka.t enquanto que o alonaamento medido na barra
1
~n~c·~.ri: mm ctn um comprimento de 300m. e o di& metro diminui de 0.01-49 mm. Ca..lcular
as duu constaniCI O.sic.u • e E do material.
,.
EXEMPLO 4.2
Utn cubo de aço de .50 mm 4 .submetido a u tna pressã o uniJormc de 21 kaf/mm 2 , atuando
e.n todas as faces. Determinar a variaçllo na din1cndo entre duM faces paralelas do cubo.
Seja E • 21 x 10, k&f/tnm 1 c v - 1/4.
SOLUÇ~O
Usando a Eq. 4.11 para determinar a defor-maçlo. observando que a preulo ~ una
tenJJo de contprcss4o. c reconhecendo que as dcfonnaçõc:s permanecem constantes com O
intct 'lalo considerado,
(-21)
(-21)
(- 21)
'• - (21)10 1 4(2t)tO'- 4(21) 101
• - (5)10 -• mmJmm
â.~ • u- •,.L. - -(S) JO _., x 50 - -0.02-5 rnm (conuaçlo),
-L
n:
L~
r
F lgut'8 4 .8
[IJ
SOLUC"~O
Dcfornlaçlo tra.nt ve rsal :
A
-0,0!49
m/
- -0,00014 8 m
mm
D
(60)
o nde Af 6 a varlaçl o total na dln1cnaRo do diflmctro da barra.
r. - ~ -
'
o erormaçl o *"la.l:
<I
0,238
r. • - • - - • 0,000793 mm/mm
1..
300
Coencientc c1c l'olnon:
v -
-
~ - 0.000248 - 0,) 1)
••
0,000793
Como n Aren da berra A ... n(60/2}2 • 2 827,4 mm 2 , pela Eq. 3.S.
p
(I - - -
•
A
16000
2821,4
--- -
5,66 kg(/mm
DEFORMAÇ0ES TÉRMICAS
AJ~n das tensões, m1.ldanças na ten'lperatura também podem provocar ddOr·
maçO:o dos matcrfais. Para materiais isotrópicos homogêneos. uma mudança na
tcmpcroturn de 6Tgruus causo deformação Linear uniforme em cada direção. Expressa
na rormn de equoçDo. a d'formação térmica fica
c111 •
1::: - a: ~T
(4.14)
onde cr ~ o coefJclentc de expanslo térmica Jinçar para u m material pu.rticu lur e 6
determinado cxperimen tnlmente. Dentro de u ma fai xa moderado. de variaçio de
tempcrntucn, permanece razonvelmeme constan te. No sisternn métrico de unidade.s,
ele é: dada em centlmetros po r cen tJmetro por grau cen tigrados. Vnlores tipicos
de« pnro alguns mat.er íais são dados na Tab. J do Apêndice.
Pnrn materiais isot'rópicos, uma mudança na temper atura não causa deror.ncaçOes nngulures, isto é, Y....,. - )',.; - Y;.'( - O.
A derormnçilo térmica linear pRm pequenas d efo rmações é direuunenlc ad itdvel às dcrormoçOes lineares decorrentes dn tensão. Assim, u 1na modHico.çito
lípícn da Eq. 4. 11, para incluir u deformação térmica, ~
r.,.-
I
1
S,66
c "
'•
E. • -tt •
• 7 137,5 ,.g,,mm
"
0,000793
Na pr,tica. quando se ru o estudo das quantidades flsicas tais corno E e "' 6 melhor
trabalhar com o diagrama tcns&~erorrnaçlo correspondente. para asseaurar que as qu~n­
tidadcs determinadu estejam associadas com a faixa linear do comportamento do mater&al.
Observe que. como as de(ormaç6e:s do muito pequenas. nio fu diJerença o uso dOIS com·,
primcnto inicial ou final no cAlculo das deformações.
96
- , .......
4.8
O .. 60 mm
•
onde L.. t o comprhnemo do cubo na direç:So .<t. Nesse caso. cm virtude da simetria. u •
v
v
"" -ea., - E"r- Eu: +a bT.
(4.1~)
Um aumento na temperatura 6T é t01nado positivo.
ENERG IA DE DEFORMAÇÃO ELÁSTICA PARA TENSÃO UNIAXIAL
Eln mec4nica. energia ê definida como a capacidade de produzir trabalho, e
tsle to produto de uma rorça pela dislância na dircç.iio do movimento. Nos corpos
aólidos deforrntlveis, tensões mu)riplieadas pOr suas respectivas áreas são forças,
4.9
97
e de/ormaçOe$ sJo distancias. O produto dessas duas quantidades é o trabalho
lnt<rno realizado em um corpo pelas forçaa externas aplicadas. Esse trabalbo interno
~ armazenado em um corpO como ~nrrgln t'l6stlca lnt,rna dr d({ormorõo ou cmrrQln
dr drformação t!lósrictt. A seguir serio diacutidoo m~todos de cálcuÍo deasa encrsia
interna.
Considere um elemento infinitesimal, tal como mostra. a Fig.. 4.9(a), submetido
a uma tcnsJo normal rs, . A força que aac na face direita ou esquerda desse elemento
~ aio dydz, onde dyd: é uma área infinite.simaJ do elemento_ Devido a essa força. o
elemento se alonga da quantidade •.dx, onde a, 6 a deformaçlo na direÇio x. S.. o
elemento C feito de um material elésllco de comportan'lento linear. a tcnslo é pro-porcional à deformação, Fig. 4.9{b). Dessa fonna. se o elemento é inicia.hncnte Uv,.
de tensOes, a força que fi-nalmente nae sobre o elemento aumen ta linearmente de
zero at6 seu valor mâ xhno. A força m~dio. quo otun a-obro o elemento e nquanto
ocorro a deformação é u,dy dr/2. E!ua força média multiplicada pela distância na
qual ela age 6 o trabalho realizado sobre o ele•nento. Para um co rpo perfeitamente
eiAstico, nenhuma energia é dissipado, e o trabalho realizado sobre o elemento é
armaz.enado como energia interna de dcformaçlo recuperável. Assim, a energia de
derormaçlo elástica interna U para um elemento inrmitesimal sujeito a tendo
Essa expreulo pode ser lntetpnotada graficamente como uma irca oob a linba
inclinada do diqrama tenalo-dorormaçlo, Fia- 4.9(b). A irca correspondente, deliJIÚtada pela linha lnclina.d a e 'o eixo vertical 6 chamada de m•l'(lla compl~mtntar:
para materiaú elútioot de comportamento Uncar; as duu irou alo lauaiL Bxpr.,..
.oa anilopa à ~- 4.17 apUcam-• àa tcnsllel normais " • o " • , o àa doforma9GeÕ
Uoea.ret correapondent• c, • '• .
EXEMPLO 4.3
Duas barras foitas de mato.rlaJ elU tJoo da e.omportame.nto Unoar, cuju proporç&ea
e.stlo mostrada• na Fia. 4.10, devo.m ab.lorvar a mesma quantidade d e onerai• tra.nt mltlda
por rorçu a dais. Comparar u ten1011 nu dual barru, provocadu pola moama 1nerala
fornecida.
L
uniaxial t
dU- l/2rs., d.vdz x e,dx - 1/la,a,d.~dyd• - l/2a,a,dV,
força
distAncia
média
trabalho
onde dV é o volume do elemento.
(4.1 6)
(I>)
..........10
(a)
SOLUÇÃO
Fi•
A barra mostrada na
4.10(-> cem •rc.a de scçlo transveru.l unUorme e. cleua forma.
tcnllo normal cr1 11 COQ.ItatUo em toda a barrL lJaando a Eq. •.17. adaptando a !q. 4. 11
1
pa.ra 0 c,aJo uniaxial (v,- E•.~ o lntea.rando ao lonso do volume V da barra. Obli:m•IC a
J_.
eneraí• total:
(1)
0 caso uniaxial e integrando ao lonao da barra. enconun·5C a enera._ total que essa barra
••
absorver! em termos da tendo cr 1
1
1
U, •
1IV•!l
dV+
dV
., 2E
lE '-r"'"LL.
. ., _ -
'
Figura 4.•
U1 •
!l_dV • ~
,2E
2E
í
v
dV- :~(AL),
~
onde A ~ a área dft seçAo lransvcrtal da barra, e L é seu coJnprimcnto.
A bacra moSLrada na Fia. 4.10(b) • de aeçilo transversal varlé.vel. Aulm. H a tcnslo <F,
a-tua na parte inferior da berra. a tendo cm sue pute superior é a.Jl. Usando o Eq. 4.11 para
(a) Elemento em .-nslo • (b) di-or..-ne
1ensao.det0nn,eçto
(l>)
••
Reaarupando a Eq. 4.16, obtém-se a encrgja de defoonação armazenada em
um corpo elástico. por unidade de volume do material. ou sua drnsldadt dr mugia
1/r tlll{ormnrão U 0 • Assim
dU
U
!!b,.
dV- 0 2 .
98
f.
(4. 17)
J. "
f
"8' f
- !l(A'-) + (IJJ?J' (2A ~) • ~ (.1AL.)
2E 4
lE
4
U: '
Se ambu as barras devem absot"'cr a rnearna quaJ\tidadc de ener~a. U, • U, e
i!<AL.l·~H!A'-)
ou
a,=i.26s..,.
99
'ru.
O ala.rpmwco da
da seç&.o transv:cnal em pene da barra. no teaundo caso. t pn:..
judicial. P-ara a muma carp de energia. a cenllo na barra reforçada t 26•.5 X superior i
pclmeira barra. Essa situaçlo nlo 6 verificada oo projeto de membros para carau e.st,cicas. •
4.10
E NERGIA DE DEFORMAÇÃO ELÁSTlCA P ARA TENSOES DE
C ISALHAM BNTO
A e"prcuGo pnra enersia de deformação ei.Utlca para um elemento inrtnltesimal
sob cisalhamento puro pode ser estabelecida de maneira análoga àquela pam a
tensão uniaxial. Aasim. con:siderc um elemento em estado de cisaJhamenlo, como
mostra a F ig. 4. ll(a~ A forma desse elemento defonnado está mostrada na Fis.
4. ll(b), onde se admite que o plano inferior do elemento tenha pooiçGo lixa. ••
Quando esse elemento 6 deformado, a força no plano superior atinae um valor
final de ~,lh<P•· O deslocamento total dessa força para pequenas deformaç6es
do elemento 6 1,,dy, Fia. 4.11(b). Dessa forma, como o trabalbo externo rellliUido
sobre o elemento 6 laual ã eneraia de deformaçlo elutiea interna e recuperável
du,..,. • l/2•,eli"!'' x 1-.dy = 1/h-.y, ,dx!lyfl.•- 1/2r.,y.,,tV,
força
distância
m6dia
onde p-v é o volume do elemento infinlteslmnl .
(4.18)
,
4.11
ENI!RGIA DE DEFORMAÇ ÃO PARA ESTADOS DE TENSÃO
MULTIAXlAL
As expressões de energia de deformação pam o estado de tens4o tridimensional seguem diretaroentc das energiAs de cada componente de tenslo. A densidade do energia de deformação pnra a maioria dos casos gerais 6
,tU/,tV= U0 - 1/2a.n. + 1/la,e, + 1/2a,•,
(4.20)
+ 1/2<,,1,, + 1/2•,.1,. + l / 2r,.y,. .
Substituindo nessa equaçGo as relaç6es para deformaçOcs, dadas pela Eq. 4.11.,
e após algumas manipuJaç6es alafbricu, o btém-se
1
U0 E <<r.
+ .r:)- ~ (a,a , + a,u, + a ,a , )
(4.21 )
2
' + tp
z + t ")
+ WI ('fx,
Jt •
+.r,
como exprcaalo para a energia de derormoção elâstica por unidade de volume de
moteríuis isotrópicos. Para situações em que não exiscem tensões de ciMihnmento,
O último termo da equação dcsnparcoe. Para o caso de tensfl.o plann. com CT, ~ O
e -r , - t 1 ,_ - O. n Eq. 4--.21 simplifica-te bastante.
• A equnçllo para U 0 , análosa ti éq. 4.21, pode ser Olltabelecida em termos das
deformaçOes em lugu das teo.OCS. Juo 6 feito com maior facilidade pela rerormulaçGo das equaç6es da lei de Hookc aeneralizada, para dar as tens6es em terrpos das
deformações. Em geral, para um corpo elA•lioo sob tensão, a eneraia de derormação
total 6 obtida pela integração volum6triea :
u -
fl lgura ... 11 ! Jernemo Ptt• deduçl o de t)Cpttllt O dt
tn•role de defotm•c• o dtvld• • tens6ft de dstlh•merno
(b)
Resrupando a E.q. 4. 18, a densidade de enersia de deformaçllo para o els&lha·
mento fica
=
(4. 19)
EspressOes anilogas aplicam-se
para as tens6es de cisalhamento Tl l. , ' u com
•
as correspondentell deformações angulares 1,. c y,• •
• No final tfejlc caphulo tio dlacutidlu as t,c:nsGes mat tr•nalç&ea de áreas t,rans~rult
.. Essa premi.~&~ nlo torn• a cllptelllo menos serei
100
0
{4.22)
As E.qs. 4.21 c 4.22 são butante importantes. A primeira 6 chave no estabelecimento das leis da plasticidade; o segundo 6 bastante usado na anAlise de tensões
pelo m6todo da energia. Esses Itens 110 dí•eutidos neste texto, principalmente
nos Cops. 9 e 13.
(o)
~
.
(dU)
dV ,_,.
2
JJJU dx dy d..
PARTE C
RE L AÇOE S CONSTITUTIVAS PARA
T ENSÓES UNI AXIAIS
4.12
DiAGRAMAS TS!'ISÃO-pEFORMAÇÃO
Na mec!nica dos sólidos 6 de capital ionportancia o comportamento dos matedais reais submetidos a carregamentos. Experiências. principalmente os testes
de traçâo c compressão. fornecem n ínformaçlo básica sobre cu c comportamento.
Nelas. o comportamcot,o macr·oscópico total dos corpos de ensaio 6 usado pai-~
101
a formulaçlo da• leis emplricas o u ronomenolóaicas. T.US formulaQllel olo l ndlcadu como (~is consritutivtJ.S ou rcloçau constttwJ(vas. Livros sobre ei!ncia doe'
materiais• tentam dar ·as ra..z:Oes para o co.m portamento observado.
Deve ficar aparente da discusslo pr~via q ue, para os prop6si~os scra.is, 6 mal.
fu nda.m ental relatar a defonnaçlo de uma barra sob t.ra * ou compresslo do qu 0
aeu alonpmento. AnaJoaamente. a ten.lo 6 um parl.metro mais sipificativo do qu0
a força, porquo o efeito de uma força aplicada P, sobro um material, deponde principalmente da área da seçlo transversal do membro. Como conseq06ncla, no estudo
experimental das propriedades mecAnieu dos matcdals, 6 costume traçar-oe diaIIT&mas da relaçlo entre tensi!o e deformaçllo cm um ensaio part.i cular. Tais diagramas, na maioria das finalidades práticas, sflo considerados independentes do
tnmnnho do ospccimc c do seu comprimento de toste. Nesses diasramas c costume
o uso dn ordenada para c.o nsio e do abJcilla para dcformaçlo.
Os diagramas tensão-doformnçlo oxpcrlmcn~alment.e determinados diferem
bas lonte para materiais difere-ntes.. Para um mesmo material, eles slo diferente•.
dependendo da temperatura na qual o teste 6 conduzido, da velocidade do testo o
de vád as o utras varlâveis. Todavia, falando de ro rma ampla. dois tipos de diaar ama
resultam das experiências a temperaturas constantes, em materiais que nlo exibem
depend!ncia do tempo. Um tipo, caracter ístico de aço doce e alguns o utroo mat.o-.
riais, estA mostrado na Fig. 4.12(a). Os o utros tipos, peculiares a muitos materiais,
estio moJtrados na Fig. 4.12(b). Materiais dlvenos como aço de ferramenta, con-.
creto o cobre t&n as ronnas gera.iJ: du duu curvu superiores, embora 01 .vaJo re1
extrom oc da deformaçlo suportãvcl por esses matori.US <!iliram drasticamente.
A rorma 4oareme• deu.. curvu varia consideravelmente. Em tormoe num6rloo..
cada material tem sua própria curva. O ponto terminal do diagrama tenalo-deror-
rnaçlo representa a Calha complet;a (ruptura) de um esp6cim... Os ma toriaà capazes
de suportarem granda dcformaç6ea alo chamados de matcriiJú jlúrcU. O oposto
.., aplic& aos matoriiJI.J [rllg.t1.
Aa tcnal!ca alo. uaualmente ealculadu com base na iJ"ea orlainal de um eop6c:in>e ; taia tenaôea alo CreqUeutemento cteuomiuadu de convencional• ou de tng ..
nharla. Por outro lado, aabe-.. que aempre ocorre alguma contraçlo ou expando
transversal de um material. Para o aço doce, ospeclalmente próximo de um pon~o
do ruptura, esse ereito, deuominado de estreitamento ou conrraç<lo, 6 particularmente pronunciad.o , veja a Pia. • .13. Oa materiais rttacls nlo a apreséntam cm
temperaturas usuaiJI, embora 1,4Jnb6m ac contraiam um pouco no enaaio do ~raçlo
e so expandam no onaalo de compreoalo. Oividlndo a força aplicada pela ire& aluai
correspondente,. de um esi*clme em cada instante, tem-se a chamada ttnsdo uordndtlra. O traçado dessa tendo vdrau. derormaçlo 6 chaMado de jllngrama do ttnsllo
~trdndeira dt[ormDçdo, voja a Fia. 4.12(a).
r
,qr/mm,
Oelloeamonto cSo 0,1"
Diagrama~ eanwncklnol
Plgura 4.13
COnUIQio lfploe ~
um et p.clme de aQO dOOI •ob trl•
çto, próldmo do pon&o da ruptufa
o 0,020
(•l
....
-
0.10 t mm/mm
0~--------------~
(b)
• Vcj.a. p0t cu.mplo. Z o. Jattrublk ~ N • •IH'• 1u~ Pl'flfi'Htln 9 Eftgln.rc,.fftg M olulolJ,. John WUcy A
Sona. ln~ No\10 Iorque. 19S9; t.. H. Van Vladc. Elcmv41x o{ Molrrio& StWtff (1_• ed.~ Addiron· Wt:~lty
PubUshlna Co.., lnc..l964; J. Wu1ff. ed... TN Struaurt nttf/ Prt1pcrtlu 01J Morural,s.. Vols. I em. Jonh. Wlley A
Sons, lnc-. Nova IOf'que. 196S
102
•
P.lvur• 4 .14 M6todo do duloc•mento p.ere determlneçJo do ponto de e tcoemento elo mtterlel
4.13
OBSERVAÇ0ES SOBRB OS DIAGRAMAS TENSÃO-_DBPORMAÇÃO
Divc-nos itens importante~ deveriam ser observados juntamenle com os diaaramas tenslo-dcformaçlo. Um doe mail importantes pertenoe ao ponto A , de
definiçlo vaga. veja a Fia. 4.12. l!lse ponto cstâ sobre uma linha reta que pattc da
origem e segue aproximadamente a curva de tenslo-:dcforrnaçllo. O ponto A é
chamado de /imi~ dt propm-cltJnalld4rú do material. A inclinaçlo da linha. de O a A
é o m6dulo de elasticidade E. Fisicamente, E representa a rigi~ do material a um
carregamento imposto.
103
Para todos os materiais reais, pelo menos a cc:r~;a dist,lncia da origem, com certo
grau de precislo oc valores experimentais de \CDslo ou deformaçlo est.Ao essencialmente sobre uma Unha reta. Isto ! verdadeiro QUUC sem reserva para o vidro.
Por out.i o lado. á pa.rtc ret.a da cUrva c-.itt,c r»rá O concret.o. cobre recozido ou
ferro fUndido. Todavia, at.6 um pont.o como A, Fi1- 4.12(b1, a relaçlo entre tenslo
c deformaçlo pode acr considerada linear para todoc oc mat,eriais. I!na ideallzaçAo
e aencrallzaçAo t a base da lei de Hookc. Deua forma, a lei de Hookc aplica-se
soment.e até o limite de proporcionalidade do material. Isso é bast.an~ significativo
porque, no tratamen~o subSCQüellte, as fórmulas desenvolvidas se baseiam nessa
lei. Claramente, cntlo, tais fórmulas estão limitadas aos casos de comportamento
do material na falsa Inferior de tcnslo.
Os pontos maio altoa doo diaJt1Uilaa (8 naa Flp. 4.12(8) e (b>.). correspondem
4 rcsis~@ncia ti rupt.ura de um material. A tenslo auociada ao pa~;amar ob da F ig.
4.12(a)! denominada de po11to Ife escoameuto ou (Imite If• ucoam•nto de um material.
Como sc:rii observado poste_riormente. e.ssa marcant.e propriedade do aço doce e
out,ros materiais dütcis ~ sig.nHlca~iva na anAliso de t,enaOes. Para o prcsent,e.. observe
que, com uma tcns.llo essenc-ialmente constante. durante o escoamento ocor,r em
deformaçllci 15 à 20 vezes maiores do que aquelas "correspon~ent.es ao limite de
proporcionalidade. No ponto de escoamento ocorre arando deformaçllo com tendo
const:nnte. O fenômeno do cscoamen~o nlo ocorro nos materiais frágeis.
O estudo dos dlagramu tc nslo-dc!ormaçl o moatra Que o ponto de ucoamento
6 tlo próximo d o limite do J><opordonalidade que, pi,ra a maioria daa fi nalidades,
os dois d o oonslderadoa juntos. Todavia. 6 multo maia f4cil locallnr o primeiro.
Pam materiais que nlo possuem um ponto de escOamento bem definido, a.rbitra-.se
11!1'· pelo uso do chamado mltoJio Ifo peslocamtnto. A Fig. 4.14 o ilustra, onde uma
Unha ! traçada arbltnulamen te e dC-'Iacada de 0,2Y. em deformaçlo, paralela •
porçlo ret_a do dlaaramo t.cnsllo-deformaçlo Inicial. O ponto C t enti!o tomado
como ponto do e~coamen to do IDateríal .
·
·
·
Finalmente, a dellniçlo ttenica da elnstlcl{lnfl• de u.m material deveria ser dada.
I!m tal uso ela significa !'llle um material estâ apt,O a readiquirir com plet.amente
suas dlmensOes originais opôs remoção dM forçu ·aplicadas, ist.o ~ o corpo recupera comJ?Ietamente sua forma original. Assim, o comport.a mcnt? eldst.ico Implica
na ausõncta de qualquer deformação permanente. Alguns materiais cltlsticos aprosc~tam 11!1'~ ~elaçlo essencialmente linear entre t.e nslo c de!ormaçlo, Fia. 4.15(a).
Ta~s matenalS slo chamados de qn~armente elá.&Ucos. Alguns outros maleriais
eiAstJcos, F ig. 4.15(b). apresent.am curvatura em "seus dlagramas de · tenslo-deformação. Tais s.l o oo mattrlals nào-Hntarmente tldstlcos. A t.e nslo om que ocorre
deformação permanente no material corresponde à do l/mi~ elástico. Para materiais
linearmente eltlsticos, o limite cltlstico corresponde ao i imite de proporcionalidade.
Para a maioria dos materiais. os diagramaa de tensio-deformaçl!o obtido$
para blocos curtos em compressão, são bast.a nt.e próximos daqueles ~m trnçllo.
Entret~nt.o, para algun~ materiais os diagramas diferem drasticamente, dependendo
do sentido da força aplicada. Por el(emplo, o ferro rundido e o concreto silo bastante
[racos em traçl!o mas não o silo em comp~esslo.
·
104
/
'lgu,.. 4 .1 a Meterlala eltati<:os:
(a) l!ne&ttt, (b) nlo-Uneores
,
(a)
(b)
4.14
DIAGRAMAS TENSÃO·DEFORMAÇÃO D URANTE RETIRADA DE
CARGA E INVERSOES DE C ARREGAMENJ"O
Os materiais ineltlsticos e plásticos exibem importantes fenOmenos se o carregamento nllo numenta monotonicamcnte. Durant.e u'm 'processo de retirada de.
carrcgamcnt.o (caracterizado por u.ma linha como a HM da Fig. 4.16(a)), a resposta
é essencialmente elástica linear, com o módulo de elasticidade do mntctiol o riginal,
embora se verin9ue uma deformoçlo permanente. Du,r ant.c o rccarregamento, o
materin_l comport.a ·,s e linear e eln11ticamento. c pode· a t.i ngir outra vez o pon~o H.
Al&n de 11, R o material é ulteriormente carregado, etc gera " continuação da
curva origina.l. Com a retirada de carregamcot.o em R, o material segue de novo
essenclalmenl~ uma linha reta até SJ aUngjndo a condiçilo de nenhuma carga e.,
entlo. prossegue para T. se o carregamento tiver sinal oposto. Observe q ue a orde·
nada absoluta de Té menor do que a de R.. Esse efeit.o llpico foí observado inicial·
mente por Bauschinger• e possui o seu nome.
·
..
Mocerhl mab tenu
.,
O.for n'leÇJo
-...
ecrm.a.Mn te
(•)
,
(b)
Figuro 4.16
Algumas propriedades tfpieas dos 1'1"\ltar\als
•Johnnn D11115ç hlnger { 1 1!133~93) roi profct.lot tJc mec:ilnica do l.nstiuno llollt6enloo de M un ique,
Altmnnha
105
. ~acordo ~om a E!!· 4.17, para o material elást_íco linear, em estado de tenslo
un1u.Jal, a cneqpa do deformação por unidade de volumo é a ...12. Alt.o mativamenté
de acordo ~m a Eq. 4.21, U0 - cr!f2E. Substituindo o valor da tpnslo no limi~ ·
de proporcionalidade, nessa equação, obtém·•• um Indico representativo da habi.
hd~dc do material de absorver energia sem deformação permanente. Á quantidade
a.ss1m. a!'hada é d~ominada de módulo d~ ruiliincia e é usada para. sci.Cionar
matcna1a para aphcaçOcs cm que a energia deve ser absorvida pelos membros. Por
exemplo, o aço com Umit~ de proporcionalidade de 21 kgf/mm• e um E = 21 x to>
kgf/mm 1 tem módulo d~ rcsillcncla ~· ~/(2E}-(~I)~/l(21)10l-O,OÍ05 kgfmrn/mml,
enquanto uma boa vanedade de ptnho, tendo limit_e de proporcionalidade de 4,S
kgf/mm' e E- 13SO kaf/mm' tem m6dulo de resili!ncia de (4.5}'/2(13SO)- 0,007S
kgfmm/ mm•.
Por melo de araumcnt.a ção análop à anterior, a área sob o diagrama tendo-deformação completo, Fii- 4. 16(b) dá uma medida da habilidade de um oiateriai
par:' resistir uma corsa de energia até à fratura, e é cbamada de <enacldad~. Quan~o
ma1or. ror a 'rea total aob o díaarama tcnJio-detormaçio, mais tenaz~ o material.
Na faJxa clútica. apenu pequena parte da energia absorvida por um material ~
recuperável. A maior parte da energia é dissipada em deformação permanente do
material. A eneraia que pode ser recuperada quando o espécime é solicitado até
um ponto tal como A ou D, na Fia. 4. 16(b~ é represent.a da pelos triãngulos ABC B
DOF, respectivamente. A linha 118 do trilngulo ABC é paralela à linha elástica OD.
As áreas intamas aos triângulos respectivos, como mostra a figura. representam a
rrslllincÜI •16stlcn e hlperelâstlcn do material.
Quando um material é carregado ciclicamente na faixa inelástica. a energia
dissipada por ciclo é dada pela llrea incluida pelas linhas não-coincidentes do diagrama tcnsllo-.d cformaçllo, Fig. 4.17. A curva fec hada, ou ciclo, é chamada do ciclo
de histerese. Usual mcnt,e existe tcnd8ncía pal'a un1 pequeno ciclo de histerese ao
longo de uma linha como HM n11 Fig. 4.16(a).
...
DIAGRAMAS IOBAU~OS OB TBNSÃO..DBFORMAÇÃO
Para o tratamento analltioo do comportamento do material é conveniente
Jdoalizat 01 diaaramu tcnllo-deformaçlo expBrimentalmen<e d cotonninadot. A Fia.
4.18 moJtra um arupo do diaaramu do uao corr01>tc para o eotado de tcniAo uniuial.
Na Fia. 4:J8(a) 6 reapr-ntada a tel~o para o material elutioo linear. Como foi
apontado anteriormente, eaaa 6 a buc para a lei de Hooke. Poucoo materiais ae
comportam dcsaa mR!'~ QOQl relaçlo à rcsist!ocia de ruptura. Toda.via; para
quuo todos oa matc.na~t relaçlo &e mantém verdadeira nu pcquenu deformaÇÕC$. Devido à simplicidade da lei de Hooke, é prAtica comum aproximar·••
eom ela a rcopoata nlo-lipcar modcradL
4,15
..
(b) .,.alatl.a! • lú lk:o, ptrCeftlmmte
plútlco
(c:) Ma~rial rf-'do, ,..rr.tlal'tliln1•
plúi.IA:O
t0)~---4-----+---
"
, - .o
o
(d} M11111lal '''•lloo oom onduroclmcnhl
llnUI
fltgu;a 4 ,1 8
1.0
2,0
3Jl
4,0
{e) Dla,;t;.mllll de R:ambara-Osaood
...••
Oiegremll idealiz•dos dt tensio-defofmaçêo
l!natlllt dlulpodt por ctclo
Flgur• 4 .17
106
Ciclo de histerese parti urn meteriBI inelãstJco
Alauna matcriaio, após oxlblrcm uma resposta elástica, deformam-se bastante
com tensllo praticamente conatante. O aço doce e o náilom silo exemplos notáveis.
Uma dcformaçlo illmitada. ou escoamento com tensão constante, defrnc um material plástico ideal ou perfeito. Um material que exibe uma resposta elástica linear
seguida de uma perfeitamente plástica, como mostra a Fig. 4.18(b). Se a faixa elástica
ror despre:ulvcl cm comparaçlo com a plástica; 1: empregada a idcalizaçfto de um
material perfeitamente plâatico Fis. 4.18(c).
Os diagramas tendo-deformaçllo podem, para muitos materiais. ser aproximados por meio de diagramas bitincarcs. como na Fig. 4.18(d). Em tais idealizações
6 comum a rcfer!ncia ao primeiro estAgio como faixa elástica, c ao SC8undo oomo
faixa do endureclmtiiiO por df/ormllçiio ou por tensão. O termo mais geral, tndur<·
cimento lln~or, estA mostrado no diagrama.
107
Uma equação conveniente, capaz de representar uma faixa de curvas tensão-deformação, foi desenvolvida por Ramberg e Osgood.• Essa equação• • ê
.!:... = .!!..._ +
eo
Uo
maior for a razão de deformaçllo, maior a tensão necessária para manter o moviment.o
decorrente da força aplicada. Para res umir, a ta"a de deformação - derivada da
derormação com o l empo - será indicada por e.
3/7.(!!.. .)".
Cio
dos modelos conceituais da Fig. 4.19. Para a m ola linear a tensão é proporc.i onal
à. deformação. Para um elemento com liquido viscoso no amortecedor, quanto
,
onde e0 , a 0 e n são const.antes características para u.m mnt.e rial Ais const.ant.es 8 0 c: <r0
correspondem ao ponto de escoamento que, para os casos diferent.es do correspon-.
dent.e à plasticidade ideal, são achadas pelo método de deslocament.o {veja a Fig.
4.14). O expoente 11 determina a forma da curva. Observe gue a E!!· 4.23 e escrita
em forma adimensional. o que é convenjent.e na a_n âlise ge-:'al. Uma das vant.agens
importantes da E~. 4.23 é o fat.o de ser e1a uma função mat.emat.i camcntc cont,i nu,a.
Por exemplo. um móflulp lnstantt'ineo ou tangeute E,, definido por
E
'
= du •
do
d;T.
'-
(4.24)
tl~/dt e ;
pode ser determinado univocamcote.
Diagramas de tensllo de cisnlbamento-;<Jeformaçllo angu_lar t.a mbém podem
ser obtidos pela experi~ncia com vários materiais... e slo suscetJveis de idealizações
análosaa àquelas da Fig. 4.18. Como ficará claro após o cst.udo do Cap. 5, tais expc-.
rJenc!as alo melhor efetuadas com tubos de parede fina sujeít.os a conjugado cont.ro·.
lado. Exceto para a lei de Hooke, as generalizações das relações t.ens!lo-deformaçllo
pnrn estados de tenslo e deformação biaxial e t;riaxial alo probJe.mas bast.ant~ din-.
ceis e complexos. MuJto ainda deverA ser feito nessa .desana.nt~ área da mecânica.
O Cap. 9 apresenta Informações adicionais sobre esooament,o e fra\u,r a de materiais
em estado• complexos de t.ensAo.
·
(a) Molo h ookc:anu
4.16
(c) Modelo de dois ele mentol do um o1161ldo de Voi;t·KctYin
MATERIAIS VISCOELÁSTICOS LINEARES
Na discussão anterior, sobre as relações entre tensllo e deformaçllo, admite-se
tacitamente que os materiais sejam inv.l scido$, isto é,. eles nlo exibem fenômenOs
de escoamento dependentes do tempo. Entretanto, paviment.os de asfalto, prope-·
lentes sólidos em motores de foguete. alto.s poUmeroe pllaticoe o concretos. assim'
como elementos de mâqulnas a elevada.s temperaturu, gradualmente se deformam
sob tensilo, e tQ.is deformações não t.ê m usualmente recuperaçlo ~otal. Algu mas
noções elementares sobre es.se problema são consideradas a seguir. para o estadô
de tensão uniaxial. Uma investigação mais completa é feita em reologia. ***
Para materiais çh\.sticos, a tensão é dita uma fu_n çlto única da deronnaçilo.
Por outro lado, para materiais viscosos, a tensão n!!o depende apenas da deformação,
mas também da velocidade com que ela ocorre. Isso pode ser esclarecido pelo exame ·
(b) Amorlc:tedot npwconJ•no
'
,,
o L---~~--7.-----~
(d)
~
F igura 4.19
M odelos da resposta do me1erial
•
(c) C'unra do doformaçllo
Nos termos anteriores, para um material elástico, u = u(e); mas para u m material
viscoeiâstico, a tensão é função da deformação e de sua variação como tempo.
11 ~ o(e,ll). A relaçllo mais simples dessas quantidades pode ser escrita
(4.25)
•w. R11-mbers c W. R. Osgood. Dt>Scrlptlon of Stren•.Stroln Curoes by Tlrree Paramet-er;s. Nnt,ionnl
Advisory Committec on Aeron;tut.ics. TN 902. 1943
·
uo eoelidente Jn 4- escolhido um po ueo arbit,rariamcnt.c ; direrent_e s valoru t.ém sido uaados em .
algumas investigações
•••veja, por exemplo, F. R. Eirich. ed., Rlrcolpqy, Aeademic Press, Jnc., Nova lor'9ue. 1956
1 08
onde a constante t](eta) é o coeficiente: de viscosidade. O último tecm.n .relaciona
linearmente a tensão com a raz§o de variação da deformação. como mostra a Fig.
4. .1 9(b). Se esse termo é nulo, obtém-se uma lei de 1-:Iooke ordinária. O comportamento do material, descrito pela Eq. 4.25, está associado com os nomes de Voigt.
109
e KeJvín.• os primeiros a usarem na anáHse dos materiais viscoelásticos. Por essa
razio, . o malerial idealizado da Eq. 4.25 ~ rererido como &6/.ldo de Volgt·K•Ivi•L
. A.nda que não seja fundamenral. ~ convcnicnlc inrroduzir um modeio conCCIIUal para cla«ar o sisnificado da Eq. 4.25. Tal modelo 6 obtido arrav~ de umà
mola e um amorlecedor em p~ralelo, como na Fia. 4. 19(c). Quando a r.cndo u é aplicada., o mesma deformaçlo é md u:z.ida na mola e no amortecedor isto 6,. a - 4 - e·
onde o lndJce (d) rerere-&e ao amortecedor e (1) k mola. A ten.::, tOtaJ ; 6 a ~om~
da tensl.o t14 e u., isto ~ u = u4 + a• . Usando a lei ele H ookc e ua\a relação linear
tensão - laxa de deformação para o liquido newtoniano, obl6m-se a Eq. 4.25, que
pode ser escrita na forma
·
'
t + (E/~) e = u/~
(4.2Sa)
EXEMPLO 4.4
De1oraninar a de(ormaçlo com o compo (O ui nela), d.o um 1ólido de Voiat-KcJvin. t ujclto
a uma tenJ.Io contcancc
Jniciahnentc o modelo csli sem c• t aa.
a•.
SOLUÇÃO
Observando que a lendo f1 - tJo ~ c:onstame, pode-se mostrar que as soluç.ôes homo..
Fnca c parckular da Eq. 4.2$(1) dlo
r • Af''"''E~«W + aJE.
o nde A e uma constante que pode ur achada pela condiçõe$ E(O) • O- A + aofE. isco ~.
A = -aofE. Ousa fo rma,
l -
(força) no amortecedor (11) 6 a mesma que a da mola (•). isto é, "• - <T· - " ·Todavia,
como cada clemenlo do modelo conllibui para a dcfonna.çio to!al, 1 .:. • + 14 , onde
01 lndiees correspondem à mola (s) c ao amorleeedor (.d). respcctivam~te. A raxa
de deformaçlo deve ocr derivada em relaçlo ao lempo, porque noo maroriaís vilcoooo
çonhcce-se apenu a liaaçlo ontR lonalo e taxa de vuiàção da dcfonnaçlo. Por
oulrO laao, para materlala c!Uticot com E conotante tem-ae, pela dlferonclaçlo
da lei de Hoo ko, 6 - lt/B. Adlc:ionando-oo as variaç&eo da detonnaçlo para oo dois
elemenlos o aimplificanclo. obr.w -ae, enrlo a equaçlo diforet~c:ial b4sica para a
· · resposla do 161ido da Maxwell : ·
' - '• + '• • 6/E. + uf~ ou ,; + <EN1<1 - E_l.
(4.26)
Para o sólido de MaxwoU em cloalbamenlo puro apllca•.se uma oxprcodo
adloaa:
y • t/G + t/lf,
(<4.26&)
onde. como anteriormente, OJ pontos sobre u quantidades repro.sent,a m auu dcri:
vada$ em relaçlo ao tempo, o Jj é o cooOciente de viscosidade no cisalhament.o.
(l-f"-UUit)(aJE).
(b)
à medida que o tempo c,re:sce., a d eformação se aproxima as.s intoticarf)entc do valor máximo
anociado com a mofa eiA1tica at~ qu~ finaJmentc.. toda a tendo aplicada seja supOrtada
peta mola_ tornando-se o amortecedor lnativo. Se a. teni40 é removida num elláaio anterior,
como na Fia. 4.19{d), ocor re uma rceupcraçlo a.u lnt6tica.. Pia. 4. 19(c).
A aoluçlo a cima mostra que o material de Voigt·Kclvin exibe uma resposta
elástica atrasada: por essa razão e fc é chamudo de ineltistlco. Seu cotnportamenro
assemelhá-se ao de uma esponja elulica cheia de Ouido víscoso, no qual o estásio
final corresponda à carsa sendo suporlada pelo nucleo elãslico. Baseado na evídfncia
experimental, sabe-se q ue tal comportamento nlo é<tlpico da maioria dos materiais.
Outra combinação.lincar de tensão, taxa de variação de renslo claxa de deformação
pode ser formulada, com maior representatividade.
Submetendo um corpo a uma resposta elbtica instant4nca. juntamente com
um deslocamento dcpendenle do tempo pode-se obter uma aproxilllação razoãvcl
do comportamento de muitos materiais vlscoclásticos. O modelo mais simples
com rals propriedade~ pode ser visualizado pela combinaçlo em s~rie de uma mola
linear e um amortecedor linear, como na Fia. 4.20. Um malerial desse lipo t chamado
de sólido de Maxwt/1.•• No modelo da Fia. 4.20(a~ se uma rensão é aplicada, a tensão
•w. Voigt (lS.$0-)9 19), lisico t.córieo. lec;ionou nn Unlvetsidade de 06uina.cn. Alomo.ntua. Lord
Kelvin (Willlo.m Thorru:on, l8l4- 1901} foi um nsico brhllnlco
.. Jamt:t Clut Muwc.ll U8ll-7.9l rc.nom.do lísko bril4nico, rez Jmpo rtan~;e~ con~rlbuíçOei para
a mecânica dos sõlidos
·
11 o
r
,,
(ç)
(•)
F~ur• 4.20 Mod•lo de dO{I tlt•
mentos de um .OUdo de Maxw•ll
EXEMPLO 4.5
Um s6Jido ele Maxwell 6 aujeho a uma curaa com funç4o ressalto, como mostrn a Fig.
4.20(b); i.-co 6, uma tendo conJta.nte a 0 aao durancc um intervato de ccmpo O< 1 < 1 1 •
Determinar a resposta de deJortnaçlo.
111
SO LUÇÃO
Nesse caso, a tensão aplicada a nlo varia oom o tempo. e 11' ..... O. No instante I • O,
ocorre uma dcfotn\açlo ell.~tic:a instantânea .:0 - aoJE. que 6 a constante inicial de integraçlo.
Apôs retirada a tensão. eua ddonnaçio t completamente recuperada. Assim. usando a
eq. 4.26,
~-q-·
dr
0\1
~l
t--
'I
'I
+c.
c
nodo. D ividindo a(t) por •o• o btêm -se o módulo d~ relaxação .E(t). A Fig. 4.2l(aj
rnostr11 uma curva qualitativa pnra tal experiência. Se os dados de vária.~ experiências
de relaxaçllo feitas com diferentes deformações •o dão o mesmo módulo de relaxaçlo E(t). o material é oiJeo~lrislioo lin•ar.
~ ~
~--+-t
E
11
Essa rclaçlo •• apliço no intervalo O < 1 < t 1 • Em t • t 1 • a dcformaçlo ~e ~o/f e
recuperada. e (qof'l)l t é a dQormariio p"nl6utm, ou ustdunl. Elses resu.t.tad.os estio Jn(hçados
, (r)
na Fig,. 4.20(c). A solnçlo e1emplilica u.m problema elementar de Rucnaa.
EXEMPLO 4.6
(b) Funçlo ddonnalid~e
Qual a variaçAo da tenst'lo corn o te111p0. quando um tólldo de Maxwell softc umn de..
formaçlo inicial de a,.. provocando uma tensl\o inicial de cr 0 • 1cndo mantld.lt!0 1
SOLUÇÃO
Aqui a vnrit~çlo de deronnaçl o ~i • O. porq ue nlo se permite mudança nl'l dcformnçllo.
Esse fato simplinca a E.q. 4.26. Pnrn dc:lcrminur a constante de intcgraçlo, ob!terva·se que
o. a tcnsGo é ., 0 • O. Cena ró rma, n equação direrenclnl que aovernn o fenômeno 6
cm 1 -
dts
dr
E
-+ - a -0.
Figura 4 .%1
Cornponamento d plco dos mat•:l tl1 vl1·
coe'Uticos
~
Resolvendo esta cquaçl o cOU'l a conttantc do intcaraçlo A,
a - Ar-'"'"''• e. como a(O) • a-0 , tt • t10 ~ ... c•fr•1'.
Esse rcsulta.do cslâ trnçu.do na Fia. 4.2<Xd). E! Interessante obdervat como a tensi!lo d iminui
gradualmente com o te mpo, tendendo n.ssintotfc:amontc a tcro. EISa sht.~açlo é c,a ractcrístfc:u
de um para/uso tob tensAo inicial, com elevada temperatura. fixando nanacs de uma m6quinL
ou os arames de aço de ume vip de concuto protendido. Quando o material sofre dd or·
maç.lo permanente. a tcnslo relaxa. Por e11a redo., o material 6 por vet.es charnado de ,,...
trrlnl rt-lnxàut'l. ene problema 6 de grande lfa,nincado pr6tJoo cm mui tu apllcaçOes.
Os proçedimentos OJlterlorC$ podem ser generalizados para vtldos outrO!
materiais. Uma combinaçlo cm s~ rJe dCMt modelos de Maxwell o do Voigt ..Kelvin
estabelece o modelo bAaico. o $Õ/tdD padrão, para estudo do materia.it viscoeiúticot
llnc&rcs. Outru c:<>mbinaçl)eo de molas c amortecedoret, com diferentes constante~,
for·a m efetivamente usadas para representar poUmero.a, fibr as, concret.os, etc. Êxt,e n...
sOes para problemas t ridimensionais tamb6n j á. fo ram (citas.• A ex~enalo da ~eoria
para materiais viscoelástlcos nilo-lineares <:$tá sendo ativamcnto perseguida.
Do ponto de vista fenomenolÓgico, para materiais reais. as cUrva.t de relax.açlo
e deformaçllo devem ser çonsideradas propriedades fundamentais de um dado
material, c detenninadas experimentalmente. I!m uma experi!ncia de relaxaçllo,
uma deformaçllo c:<>nstante e0 é mantida c a tens1lo corr.,pondeot~ a{t) é d et.e rntl-.
o
'•
,
(o) Su pcrpoalç.ll'o do doform~çl o. do .oQrdo com o
prtnc lplo de Bolt ~miJ\n
Em uma experiência de derormaçio mant~m-.sc uma tensão constante o-0 e
a deformação correspondente •(t) ~ obtida. Dividindo t(t) por "•• encontra-.s e a
dqormabllidad~ JJ,1). A Fig. 4.21(b) mosl.r a uma fuoçllo Upica de J,(r). De novo, se
as curvas de dcformabilidade para várias experiências efetuadas com direrentes
niveis de tensA o coincidentes, o material viscoelé.stico é Unem·. Dito de o utra forma,
para materiais viscoelásticos lineares. com ccnslo u0 o u defo rmnç:llo e0 constantes.
tem ..sc
(4.27)
e
Para aplicaçllo d as equações acima, ê importante observar o principio da superposiçAo de Boltzmann,• vAlido po.ru vários maLcriais. Esse principio esto.beleoe que
8 deformação em determinado instante ê a SOnl(l das deformações p rovocadas pehis
cargas aplicadas independentemen te, nos intervalo.s de tempo respectivos. Por
exemplo, se, como mostra a Fig. 4.2 l(c), uma tcnsllo "• é aplicnda em 1 - O, a deformaçio no instante 1 > O é u 0J,(t~ Então, se no instante t 1 outra tensão " 1 é adiei o-.
nada, para t > t 1 a deformaçllo adicional ê .,,J,(c-t 1 ~ Parn a segunda aplicação
1960
•t_ Boltzmann (1844·.J906.l foi um nsico distimo partlculnrmente conhec.i do por aua pes9ulsa em
lcorrn cln611ca dos gaJcll, na medniCIL. C.JU4nticn e na 1t1ed6nic.a est.at)stica. Lecionou em Oraz c Viena,
Áuslria. c cm LcJp:da c Munique. Alcmanhll
112
113
•manei, o. R•• Tllt! T!u:t)I'Y qf Uueor Jli.sco~liiN/Iclly. p. 19 Pcrg~mon Press. lnc.. Lon; Ialand. N. Y.,.
de carga aplica·.s e a mesma função de deformabilidado, mas sua orlacm 6 movida
para t 1 • Em geral
L(t)- a 0 J,(t) + u,J,(t-r 1 ) + a,J,(r-t,) + ...
(4.27a)
O principio de Boltzmann tamb6m ae aplica se ocorre uma suceaslo de dcfor.
mações. Em tal caso, a rolaçllo análoga 4 da Eq. 4.27a é •
·
cr(t) - c 0 E(1) + e 1E(r-1 1) + e,E(I - 1,) + ...
(4.27b)
Relações anilogas às Eqr. 4.27a e b pedem ser escritas para mntorlais virce<>lâsticos lineares cm eisalhamento puro.
·
As constantes de material para derormaçio c rclaxaçlo sio bastante a!etadu
pela temperatura. Nesse particular. é instrutivo examinar os diagramas•• tensão.
·deformação do determinação experimental da Fia. 4.22, para o a lumínio. (Oá
números entro par~nteses referem-se às taxas de doformaçilo mcdidu em cm/cm/s
ou mm/mm/&). Aqui os pronuncia'd os efeitos de variação de deformação e tempe.
ratura, sobre o comportamento mecânico desse material podem aer vistos clara..·
ment.e. Conclusões para materiais vi-s coel6aticos baseadas cm testes de curta duraç-.lo'
a uma dada temperatura. podem ser totalmente cnaanadores.
PAR TE D
DEFORMAÇÃO DE MEMBROS
A XIALMENTE ÇARREGADOS
da barra entro doia pontos A. o B, provocada pela forçu aplicada A q uantidade
de~Cjad~ 6 ~ toma (ou acum ulaçlo) du deformaçôea que ocorrom nos compri·
· mentor !nftrute~lmala da barra. Deua forma. 10 a deformação !lUC ocorro
u ·
el~eoto arbítririo de comprimento {b< é formulada, a aoma ou lotoarai"":!ca:
cfcttO, ao longo de dado comprimento, dá a quantidade procurada.
AJumfnlo6061 - T6
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•• curv t~ de t• ntiO·detormac:l o do
- ·- - · -- -· - - - · - - -.. !1 x 1o-•1
alumlnlo 6061· Te
DEFLEXÃO DE MEMBROS AXlALMENTE CARREGADOS
O método de determinaçilo de deformações ou denexões de membros com
car-r egamento axial se baseia nos procedimentos e equações anteriormen~ di.s cu·.
tidos. Para rorrnular esse problema em termos gerais. considere a barrn axialmente
carregada da f'ig. 4.23(a). Nessa barra, n área da seçl!o transversal varia ao longo
do comprimento, e ro rças do vArias maanitudes silo aplicadas cm vários pontos.
Suponha agora qu~ nesse problema. seja procurada a vadação no comprimento
•
4.17
•x oconcr umo mudou~,ça eorulnua em c(l) a Eq. 4.l1b pode acr acrita oa forma • uma intcp.t
de Ouhafne'l
s
Um elemento arbitrário retirado da barra está mostrado na Fig. 4.23(b~ A parúr
de considerações de corpo livre, esse elen>cnto 6 submetido B uma força de tração
P(x) 9uc, em geral, é uma 9uantidadc variAvcl. A deformaçllo ínfinitesimaJ du que
ocorre nesse elemento, devida à apllcaçilo das forças, é igual à deformaçilo s m ultiplicada pelo compriment!) (b<. A deformaçilo total entre dois pontos quzaisquer
sobre a barra é simplesmente a aoma das deformações dos elementos. Dessa forma,
o deslocamento u de qualquer ponto sobre a barra é dado por uma integral dos
deslocamentos infinitesimais maia uma constante de intearaçio. Esaa constante
C, considera o deslocamento dado a uma das extremidades. A solução da equação
diferencial du/.dx • •. dá
~prc:ulo an61op. também se apUca a t(t):
&(r) -
f..
J ,(r - 1')
~ Jr•
.
...J(. G . Hoac, " lnOucnce of Slra.in Rc.1e on Mcehanical Properciu or 606t-T0 Al~minum Undct
Unlo.xi.AI end Blo.xlal States or Stress", E:.;per(mcmtlt Mtcf~ewics, 6, n.• lO, p. 204, Abril de 1966
114
·- (S4)
· -- ·- - · -(ZJ)
u- J.' çiu+C,- J.'•,dx+ C
1 •
(4.2g)
Observe que a de[lexão de uma barra ê tratada como um problema unidimensional; os deslocamentos de todos os pontos de uma seçl!o, são considemdos os
11 5
mesmos. Assim, uma seçAo inicial mente perpendicular ao eixo de uma barra move-.s e
axialmcntc dC< uma distAncia u, paralelamente a si mesma. •
A magnitude da deformnçllo •. depende da magnitude da tensão "·• . A última
é achada, c:m geral, pela divisão da força variável P(x) pela área correspondente
A(x). isto~ " • P/ A. A rclaçllo, analltiea ou grâfica, entre •. c " • deve ser conhecida
pura se resol~er o problema. Para materiais elásticos lineares. de acordo com a lei
de Hooke para o tcnslo uninx.inl. t .. - crjE. Assim. para esse caso cspeciali aplicável
apenas na faixa el6stica linear do compOrtamento do marerial. tem. . se
u•
.
I.
Ífdx + C 1 •
0
. A(~Edx + C 1 •
(4.29)
L
C•)
___, ,.,
I~
----1-....."" rr-,:c:")
fi( ~)
L.-
8etro com nrrtgamento axlel
p
_I_ ti p
ou
AE dx
AE d'u
=- .
dx 1
P,
(4. 32)
Essa cquaçllo pode ser resolvida pela utilização dos prOCC<Ümentos discutidos
no Cap. 2. As funções com sing ularidade podem ser usadas para rorças concentradas.
Para resolver um problema com a Eq. 4~32. u ou P devem ser prescritas em cada
c:ontomo. A.s re:spost.o.s positivas indicam rorças de tração e extensões. e viec-versa.
Os problemas estaticamente indeterminados podem ser analisados pelo uso dessa
equaçlo: uma diseuudo mais completa desse tópico é a diada até o Cap. 12.
p~
o
/
k&t por unldach ôt
1-.t'-
p
OO I'I'I primt:n.IO
P +tiP
dx
Os tr!s exemplos que se seguem mostram uplicaçéles da Eq. 4.29 ou da Eq. 4.32,
ou de ambas. Um exemplo adicional ilustra a solução de um problema de denexlo
para uma bnrra com carregamento axial, de dois materiais diferentes, incluindo o
comportamento inelll•clco. A aplicação da Eq. 4.32 a situações que requeiram funçélcs
de slngulnridllde 6 deixado. pam o leitor.
Flgu . . 4 .24
No luaar de ftC rcaolver" cquaçfto dircrcncial de primeira ordem pnra u, comó
anceriormento, 6 inetrutivo formular esso problema como uma equação de segundd'
ordem . Tal cqunçlo, purn matcrlnis clàstJcos lineares, decorre de duas obscrvaçéles.
Primelr·o, como. em aerttJ,•• f(~t/dx- 11 - u/E - ·P/(AE), tem~.sc
··
P. • A E(du/ dx).
A segunda rclaçl!o baseia-se nos requisitos de cquilibrio para um elemento
infinitesimal de uma barro com cnrregamento axial. Com tal finalidade, considere
um elemento tlpico, to.l como o da Fig. 4.25, onde todas as forças estão mostradas
•Se uma ~ rra t presa cm um suporte rigido,. o efeito de Poisson tende a variat os dimen sõc~ 1n1n•
ver.. i.s. e~ condiç:So nlo pode lct rlaorosamentc pt""eenchida.FeJivncntc. is.so i.ntrodut a.pcnu pequeno
erro na rcspo.tta de membros a ai1lmcnlc earrc:andos. a m en06 que tais membros ~am bem c:urt~ cm
rcJaçlo a IUU lara ufat. Problemu deste tipo do coo.siderados nO!Ji textos sobre teoria do\ c.lasticid:u.k
. . Por aimpliC'idadc. oa lndiccs for&m e liminados
,, 6
(du) -
•'"•'
"
P lgur• 4.23
.!!._
P:lgura 4.25 Elemento lnfinltesl·
mal de uma berra co.n ct~reoamento
_ ,., II I
(bl
[m
kgmf].
·dP
_. • - P.
(4.3 1)
11
~A equaç«o estnbcleçe que a taxa de vari3çiio da força axíaJ interna. P, com x.
t igual ao negativo do força aplicada Px· Com base nísso, admitindo A.E constante.
dx dx
f.'P()
Em problemu onde a 6rea de uma barra é varihel, uma função apropriada
deve ser substitulda na Eq. 4.29. Na prática, por vezes. é de precisão sulícicnte, em
tais problcmu, aproxim ar a forma da barra por um número ftnito de cle~cntos,
como mostra a F'is. 4.24. As deOexões para cada um dos elementos são adicionada.
até obter-se a dcOcxllo total.
,.,
com sentido positivo. de neordo com a convenção anteriormente: adotada. Como
r.F., • O ou dP + p,dx • O,
EXEMPLO 4.7
Conwlt.lcrc n bnrrn 1'1 8 de Arcu do seçllo transversal constnrue A, o de comprimento L.
mostrudn nn l"'la,. 4 .l6(n). Determinar o dcsloctuuonto relativo dn e.~tcre m idndc A com respeito
nO, qunndo' npllcculn uma (o rça P; Isto ~. achar a. deOe.dto da. extremidade livre, decorrente
dn apllooçn:o de untn rorça concentrada P. O módulo de elasticidade do material e E.
SOLUÇÂO
Nesse problema. 1\ bnrm pot.le ser untada como sem peso. e apen;u o efeito de p $Obre
a dcflcdlo I! itwe!UiSAdO As.sim, independe1Hemenre do local do corte e-c ao longo da barra.
P(.") - P, Fig. 4 .26(b). O$ eleiYicntos infinitesimais. F ig,. 4.26(c}. são os mesmos. sujeitos a
umu P conttante. O. mesma forma. A{:\:) tem valor constante A en l toda a barra. Aplicando
11 Ect. 4.29 e obscrvD.ndo que na origem de :c o deslocamento" é zero, ten}.ose
, _ .!_
AE
r
d'C +
0
•
P.<
c ' =AE
-+C .
I
117
B
l,l m
"
c
L
c
r·-·-·
(a)
'
I•I
l'(xJ - I*
r-
l
<bl
(c)
(<)
( 4.33)
u(L) • ll,- PL/AE.
bso indica que a deOexlo da barca C dlrotamente propo rcional à rorça aplicarla e ao
com t>rimento, c ln\lcrsamenlc pro'p orcional a 11 e E. Euo equnçlo scn\ UIDda om trabalho
subieqOente.. Ela c cquaçOCJ se•n elhantes para casos mail co.npllcados. do neoeuárias em
anAJise de vibrações.. para dolenninação da conua nte de mole k, que representa a rigidez.
de um sistema. a.ondo delínida por k = P/li (kaJ/mm).. Nesse cuo, k =A E/L- A constarue k.
tambêa:n ê c hamada de cO(/Icllntf' dr ltr/lfJi,cln dr rlqide::. Seu inverso define o co~fldrnr•
(de inOuência) tlr Jl~xibilldadr 1- k- •.
EXEMPLO 4,8
Determinar o deslocamento relaaivo doe pontos A e D da barra de aço do i\rca de seçlo
araruvcrsal vnilvcL mostrada na Fig. 4.27(a). quando ela ô sujeita a quauo forças coneen·
tradas P'" P 1 • P J e P,. . Sejo E- 2l )( tOl ka(/mm 1 .
SOLUÇÃO
No ataque a tal problema, deve~$C verincar primeiro se o corpo como um todo CJt6
cu1 equilíbrio. isto é, r:.F - Q. Aqui. por inspeQio. pode..se ver que t.al é o caso. Em seguida
deve ser estudada a vatfaçlo de P ao lonao do comprilnento da barra. luo pode ser feito
convcnient.cmenlc pela ajuda de esquern85 como os moscrados na Fig. 4.27(b). {c) c (d). que
mostram ser a rorça na barra P- + 20000 ka.r. indepcnde.ntemente dn poJiçlo d a seçlo
C ~C entre os pon tos A e o. Analogamemc, entre 8 e C. P- -lOOOO kgr, e ent re C c D,
p '- ~ 10000 kgr. O diagrama de rorÇtt 11Xinl J>tü "à essas quantidades estt\ na Fig. 4.27(c).
A variação de A. está na Fig. 4.l7(a). Nem P nem A ~o funçOcs continuas ao lonao da barro.
pois ambas aprC$.c.nt.am saltos ou mudanças bru~cas em seus valores. Dessa forma. por inte·
aração, a menos que sejam usadas funções com sinaularidadc&. os limitei de intcgraçio
d evem ser desmembrados. As.sim, aplicando a Eq. 4.29 e observando que para a oriaem cm A,
n constante C1 • O, tem·Se
118
l
- -- A(.'()E
I.o -P.,.,.li.Y
f.c -PJtcdx
f.o P,0 dx .
-- +
- - + --,.. A
.,..e
1
A 11cE
-""'
c Ac 0 E
cI
--
0,9 m
- ·rC1
"Lc•
,l • 40000 k&f
20 000 "''
-
20000
(b)
t. P(,oc) d.~
I'a • Jo ooo ~oat~
20 000
J,
Como u(O) • O. C, = O e " - Px/AE.. Na extremidade livre
11 =
D,6m
6JOtom• c, ~ \. c, c~OmmiCoDJ,., • 10000 . .,
'• .. 20000 ~cariA
l pA
TPA
l300 mm1
JO ~ 30 000 ql
F~--
""'
200001oaf
(d)
•>oooo q rl.
+
~-...,.---,1+ 20000k&f
,.
o '-------t~..-_-_-_-_-_.,.Jir_-,-o-ooo
_+.:......-r-'
(<I
Ftgura 4..27
Na.s crê1 óltlmu intoarail P o A llo constante• entre 01 limhca mo1tradoa. 01 lndicea
do p c A denotam a ralxa da apllcabJUdade da runçlo~ assim, P,.., rorcro·to ao Intervalo AB.
otc.. Eltas intearaiJ revertem i aoluQio do eltomplo anterior, islo ~. ' Eq. 4.33. Aplicando-a
c tubsthuindo 01 valores numtrlcoa
PL
2000~1200)
30000(600)
10000(900)
" - I: AE ~ + 63~21)10'
I 300(21)10' + 63~2 1)10' :
• + 1,738-0,639 + 0,659 • + 1.758 mm.
Eua operaçlo adiciona. ou 1uperp6e. u deformações individuais das ues barras em
Kpar·a do. Cada uma dessas barru eati aujc:ita a uma força conallinlc. O ainaJ positivo indica
que: a barra se alonaa. porque eue ainal cstt\ auoc:indo a rorçu de l rnçlo. A iauoldade dos
valores absolutos dll ddormaçOCI not comprimentos BC e CD ~ puramcnle acidental. O bserve que, a de.spoJto das tensões relativamente "randes presentes no. barra, o vaJor de u é
pequeno. Finalmente, não deixe de observar q ue UJ unidades de todas as quanLid11des mu~
darem a bem da conslntncia. M rorç:a&. norma lmente dadas cm toneladas. mudaram para·
kaf. e 01 comprimcntOI pan mm.
EXEMPLO 4.9
Achar a dcflexlo provocada pelo peso próprio da extrcanldocJc livre A do barra AB,
que tem área de seçlo transversal con,tante A c peso p0 kgf/m m, Fig. 4-.28(a).
119
até o momento, a maneira pela qual a resistência à rorça Pé disttibtlida enttc os d ois mnter.iais
nõo é conhecida. Assim, o problema é interna. e estaticamcnlc indeterminado. Os requisitos
de equilíbrio (estático) permanecem válidos, n1:as condições iniciais silo necessárias para
resolver o problema. Uma. dou condições auxiliares decorre dO$ requjsit os de compatibilidade
das dcformnçôes. Todavia.. como os requisitos da c$lÚ.tica envolvem forçcu c deformações
envolvem deslocamento, deve--$0: adicionar uma condição bnsendo na propriedade dos 1110.•
tcrials.
8
t'"")-p,.<
c-~- I~*
·'
t!Jc
Jt
li
li
li
li
___;t__ _ L..J A
(b)
(•)
Figura 4.28
SOLUÇÃO
Ne$sc caso, P(.><) ~ \l'ariAvd. É conveniente exprimi-to como p 0 x. se a origem for tomada
cm A. Assim. de novo, pode ser aplicada a Eq. 4.29: '
u-
r~;~)t~
+ C, - AlE
f.
PoXdX +C, -
~::; + C
lu! - PL + WL = [P + (W/2))L .
2AE
AS
EXEMPLO 4. 10
Uma barra de alumlnio, de 750 mm de comprimento, 6 coloçada no in terior de um tubo
de: liga de aço, Figs. 4.29(n) e (b~ Os doía materiais slo soldadO$. Se os diagramas tensio-de(ormação para os dois materiais puderem ser idealizados na ro[ma mostrada. respectivamente.. na Fig. 4.29(d). qual será a deOexllo da exttemidade livre. para P 1 • 90 t c P 2 ~ 60 t'l
As áreas de seçilo transversal do aço A.rw e do alumlnio A.,_ s.lo as mesmas e iguais a 300 n1m 1.
SOLUÇÃO
Pela aplicnçio do método das seçõe1, pod~se faci lme:nlc determinar a rorça axial em
un1a seção arbitraria, Fia. 4.29(c). Todavia, direrentemente dos problemas considerados
120
""
1•
No contorno 8, onde x • J... o deslocamcnco 6 iauaJ a zero, lato 6. u(L) - o. S..sa condiçl.o deve ser usada para avaliar a const111te do Jntearaçl.o l c, - -p0 L'J/').A E. Assim~ u - ·
- -Pv(L1 -x 1 )/(2At') c H(O) .. -PoL 1 /2A6. o sinal ncaatlvo indica que o deslocamen to,,
estA no. dlreçAo oposta Aquela de .'C positiVo. Se 11' lndlca o peso totAl da barra. 11. deOedo
ml\xlma absoluta~ l•YL/2AE. Compare cs5a cxpte!slo com a Eq. 4.33.
Neste problema. poderia ~er apllcadl\ a E.q. 4.32. no luaar da Eq. 4.29. Com a gravidade
a.tuando paro. boho. c com o sinal positivo do eixo x pata cima. a carga tem sioal negativo
na Eq. 4. 32, ltto •· A Ed2 ufd:< 2 • -(-p0~ Como n.o. toluçlo anterior, uma das condiçOes do
contorno ~ u(L) - O. A aca undB 6 u'(O) - O. onde •l - dufdx; ltto tegt•c do rato de que na
extre midade livre. P- O. (Veja a Eq. 4.30).
Se cm adJçlo ao pcao pr6prío da borra. uma rotço. concentrado P etun.stc .sobtc u butra
AB, na extremidade A, o denexlo total da excremidade livre, de vida a ambas as co.u.sns ~;u:ria.
por superposiçlo,
AE
o.15 rn
li
li
lt
li
11
li
li
"
Aço
(b)
105
.
L..,
li
:I11
11
11
11
t
p
11
I•J
p
.,.
li
1•)
•••
• s 6,67
10 fem 10-) mm/mm
(d )
Ffgur• 4 .29
Con.siderc os lodices á e s cm P. 41 a idcnlificadores dessas quantidades relativQ.S ao
aJumlnio c no nço, re-;S:pectivnmcntc. Entdo, observando que a (orçn aplicada e .suportada
por outra ducnvolvidn no nço e no aluminio, c q ue cm cada &eçâo o d~locamento ou a dcformaçlo dos dob materiats é o mesmo, e \ldmi1indo tenttufvamcnce a resposta elú.stku
de om bos os materiais. 1em-,se:
equHibrio,
P.,_ + P-n- PI
ou
Pl;
ddormaçlo.
""'""' - ""t" ou n.t.... - I!""";
propriedades do matcriaJ, c. ,..... -= tt. 1.,,/E.,..... c t:•r. - t1*'f,/E-<• .
Observando que a,.,. ... =' P,,,,./A,,_ c a c: P.,(,/A,.,.. pode-se resolver as trCs equações.
Pelo dia.gtl'lma, os m6dulos de elostleidadc"';ão E.., .. .... 21 )( 103 k,gf/mm2 c e.,..M = 1000
kgr/m m 2• Assim
e P, ,_ + 3P. ,.... - P, = 40t;
121
Aplicando a Eq. 4..)3 a cada material. encontra-M a dcncxlo da extremidade
P•r• L
" • A..,,.E.,.
P. 11,,..L
10(10J)7SO
A,.1.,100 E11, ,..,, = 300(7)10 3 • 3•57 mm.
luo corresponde a uma deformaçlo de 3,57/7$0-. 4.76 )( ao- s mm/mm. Nena fa ixa.
ambos 01 m:ueriais respondem duticamcnlc. o que satisfaz a premissa do propriedade do
material feita no inicio desu soluçio. De fato. como •c pos;le ver na fia. 4.29(d).. para a res..
posta elástica linear. a deformação pOdo cheaar a$ )( 10'*', mm/mm em amb01 os matorfaJt,
c por proporçlo d ireta. a rorça aplicado P podo ser da ordem de .SO t.
Com P - SO t. a tendia no alumlnio atinge lS kaf/ mm 11 • De a.c ordo com o dlaa:rama
idealitado de tensfo-;deformaçS.o. nenhuma tcttslo superior pode aer resistid.a pelo material.
embora. as dcrormaçõe$ continuem a oume1llar. De.ua forma, al ~m de P - SO t pode-se
contar com que o barra de aluminio rc•ishl a upe'n u P.,..... • A., 1.,,.a.,4. , - 300 )(. 3S/ IO' = IO..S t. A caraa restante • 1uportada pelo tubo de aço. Para PJ - 60 t, $0t dt:vem ser tuportadas pelo tubo de aço. Aulm. cr!'S • $0000/300 • 166.7 kar/mm 11• Neuo nivel de tendo·
r.<>t• .. 166.7/(21 x IOJ) = 7.94 x 10- mm/mm. l>eu.ll forma, a dcOcxlo di extremidade é
li - r.•r•L - 7,94 x 10 ... ,~ x 7.50 - S,9$ mm.
O bserve que nlo é ponfvcl determinar" a pnrtir da derormaçlo no alurnlnio. porque
nlo lu~ uma deformaç.lo !~nica q ue corresponda à tendo de 35 kgJ/mm 11, que é a mAxima
suport,vd pela barra de atumlnio. Eturetanto, nesse caso. o tubo de aço cl~üco rcs·l rinp
o esconmento plâ.ltico. Assirn. as deformações em ambos os materiais slo as mesmas. isto
C, t:, ,. - ~.. ,..m - 1,94 )( 10 '*' 1 mm/mm, voja a fis,. 4.29(d).
Se o carreaamenlo apJlc:ado P 2 - 60 kgf/mm' fone removido, ambo. os mDicriais
na barra encolheriam c.Jasticam.ente. At~im, 5e imaalnumos 1 quebra da unilo entre ot
dois: rnateriais, o tubo de aço retornaria • forma oria,inal Mas uma dcformaçlo pcnnanentc
de (7.94 - S} x lO ... l • 2,94 x 10 '*'J mm/mm ocorreria na barra de alumtnio. Ena incom.
patibllld~tde de dcrormaçlo nlo pode cxl1tir quando os dois mutctiais •IQ unidoa. Em h1;aé
disso, desenvolvem-.se tensões residual•. que manttm as molinas deformações axJaia cm
ambos os matcriai.L Nesse cuo. a barra de a.l uminio permanece lige.íru.mantc comprimida.
e o tubo de aço liaciramente tracionado. A soluçlo de taU problemas e.tatieameoto Indo.-.
tertnlnndo.s ê considerado cm m aiores d etalhes no Cap. 12 O pequeno efeito, devido • re-.
laçlo de Poisson, 6 despreudo na diicus.sfto anterior.
01 6tica da elasticidade. Mesmo naqueles m~odos avançados, apcnu os casos mais
aimpl.. podem ler resolvidos; as dlliculadacs matemáticaa tomam-se muito irande
para muit.os dos problemas de alsnlncado prAtico.• Para o grup(, de problemas
que nlo slo matematicamente tratáveis. foram dcsenvolvidas técnicaa experimentais
" apechw (principalmente a fotoeluticidade, diocutida resumidamente no Cap. tO),
para determinaçlo da dlatribulçlo de tCD$6...
Aqui é siinlllcativo examinar qualitativamente o• rcsu.ltadoo do lnveltliaç6os
mail avançadu. Por oxcmolo, na Pia. 4.30(a), um bloco curto oat4 mostrado com
uma força concentrada P . Eale problema podaria oer rooolvldo pela Bq. 3.5, loto ó,
tt- P/ A. Mu, oe.ria a ""polia correta? Ariumentando qualitativamente, ó
evidente quo u deformaQ6ot dovorn ler mblmu na vizinhança da força aplicada.
c u tensões correSpondentes tam~m devem acr máximas. Aquela é realmente a
resposta dada pela teoria da elastlcldado.•• O o resultados para a dlotrlbulçlo normal
do teno!lcs nao vtl.riu aoç!lea, estio mostrado• noo dlairamas de dlotribulçl.o ele
tcniÕ.. das Fip. 4.30(b), (c) e (d). Para o presente, a intulçlo li•ica ó ouficientc para
jultiflcar esaea resultados. Obaerve particularmente o elevado pico da tenslo normal
cm uma seçlo próxima da força aplicada.••• Observe tam bem c:omo es1c pico
rapidamente se desfaz para a dlatribuiçlo de tenslo uniforme numa acção abaixo
do topo, a uma distAncia Igual à largura da barra. luo ilustra o famosn principio
P.• St. Ytnant, de rápida diuipaçlo das tensões localizadas. Esse principio estAbe-_
Ieee que o efeito das forçu ou tenaÕOI oplicadu em pequena área deve ser lralado
como um sistema ostatic:amcnte oqulvalentc que., a uma di8ti.ncia aproximadamente
igual lo laraura OU eapesoura do um corpo, CIUI& uma dlstribUiçiO de teniÕ.. que
seauo uma lol lll.mplcs. Aalim, a Eq. 3.S ó aproximadamente verdadeira a uma distAncia do ponto de aplicaçlo de uma força concentrada, lauallllar1ura do membro.
p
,.
,.
p
-tn~d
1.)78 'mrd
4.18
CONCENTRAÇ0ES OE TE.NSOES
Dos artigos anteriores, neste capitulo, viu-.s e que as tensões são acom panhadas
de deformações. Se tais deformações ocorrem à mesma razão uniforme em el"'.
mentos adjacentes, não ocorrem tensões adicionais, além daquelas dadas, por cxcm-.
p!o, pela Eq. J.S. Entretanto, se a uniformidade da área da seção transversal de um
membro é interrompida, ou se a lorça é aplicada cm área muito pequena. ocor"'
umn perturbaçAo nas tensões, porque os elementos adjacentes devem ser física:
mente contínuos em um estado ddormado. Eles devem djstcnder ou contrair em
quantidades iguais nos lados adjacentes de todas as panlculas. Essu deformações
resultam das deformações lineares e angulares, envolvendo as propriedades dos
materiais
G c v, e as forças aplicadas. Os métodos de obtenção dessa distribuição
de tensão fÓgem ao escopo deste texto. Tais problemas são tratados na teoria mate-.
e.
122
v,..,.. - 1.021
(c)
tr'lfWII
(d )
(b)
F lgur• UO
Olsttíbutçlo 1M tensão ptóxima a vmt força concentrada
•Procedimentos numérk.w api'OXimadoe, rotrf'lulada. com base nu equaç6c:l do elemcnt01 linhO$
ou do dire.re.nçu nnltu são uudu para totuç.Ao de problcmu eomptcxos. 01 computadorc:s diaitais
do lndltpensá.vela em tal Lrubulho
••s. Timoshe.nkoc J. N. Ooodict, Tltto'l' q EltUlid ry.(l ! ed.), p. Sl, McOraw. HJU Sook Company.
Nova Iorque,. 19$1. A Fig. 4.)0 6 adocact. d.,. fotHe
•• • em UJ.Tl material puramente elisd~ a tct~.sJo é inOntt:a no ponto exa.to de aplicaçio da ror<:oa
concentrada
123
Observe tamb&n que em cada nível cm que a tenslo é investigada com precisão,
a tensão média ainda é dada corrctamentc pela Eq. 3.5. h so ocorre porque as cquaQÕes
da estática devem ser seinpre satisfeitas. Independentemente da natureza irrcau1•r
da distribuição de tensllcs cm uma seção dnda de um membro, a integral (ou soma)
de adA ao longo da área toda deve ser iguul à força apUca da.
Devido à gran de dificuldade encontrada na soluçl o dns tcnslles loc•is ou do
máximo acima mencionado, desenvolveu--se na prático um esquema conveniente.
Bssc esquema consiste simplesmente no cálculo da tensão por meio de equnçOe!
elementares (como a Eq. 3.5), c a multiplícaçlo de aeu valor por um número chamado
dcfator d~ conc~ntrn~(io ti~ t~nsão. Neste texto. esse nó mero será representado por 1<..
Os valores do fator de concentração de tcnslles dependem, apenas das proporçllcs
geométricas do membro. Esses fatores encontram-se disponlveis na literatura
técnica. em virias tabelas c gráficos.•
Usando esse esquema, a Eq. 3.5 pode ser escrita
p
"~·-·- KA·
(4.34)
Pela F ig. 4.30(d~ a uma profundidade igual a 1/4 da largura do mem bro, nbuixo
do topo, K - 2,S1S c rr,....'f • 2.515 rt11. ., .
Dois o utros ratorcs de conccntraçllo de tensllo, particularmente slsnllicativos
para mem bro• planos com carregamento u.lal, es tAo mos trados na Fig. 4.31. Os
fatores correspondentes que podem ser rc tlradoa do grálico, representam uma
rclaçlo entre a tcnalo inAxima e(etiva n.a pequen1. t eçlo do membro. como mostra
a F ig. 4.32, e a tcnslo média na mesma scçlo, dada pela Eq. 3.S.
-fEi~rre>)~J:f- -fi )o ;~·'$r-
.01\
)
2
2,6
,8
2,4
K
2,2 \
2
"'
.o "'
.8
,6
••
:~
o
o_nrrcto <':<"'"
""
--
O, I
"""..
I
._ o flc~o ctrc1utu
0,2
FiteteJ
0,,
0,6
<,7
0,8
0,9
1,0
r(d
Figura 4.31 FatotOJ do con cctf'lttaçâo de tentôes parD birras plan as qm te n s6o. (Segundo M. M.
Frocht "'Facrott .of S.trtet Conoontratlon Photo(tlastlcally Oatermlned". Transacrlons of thtl Amolicln
Society of MKium/cal EnglntJtJr$. 67 (1935), A 46?)
• R. J. Roark. Formu(t&J for Str~:ss twd Strai11. McOra.,....Hill Dc>ok Company, Nova torque. 19S•
124
0,)
0,4
(o)
F igu ra 4 .32
(b)
Significado do f4tor d• con.~nttociO c:t. tentlo I(
Uma considerável oonccntraçlio de tensões também ocorre na raiz de uma
rosca. Essa depende bastante da agudem do corte. Para uma rosca comum .. o fator
de concentração de tensão estA na vizinhança de 2.5. A aplicação da Eq. 4.34 não
apresenta dificuldades, contanto que se di$JlOnha de gréfieos e tabelas apropriadas
para K .
EXEMPI..O 4.12
Achar a lendo mAxima devida :i ~;-oncenlraç4o de tensões no membro AD, na extremidade
do garro A do €1emplo J.J.
SOt..UÇÃO
Ptopor«tcs geotnl!:tricas :
raio do on fielo _ 4,8 = •
0 378
luaura
12,7
Pela Fig. 4.3 t • : K ::= 2,2 para r/ri- 0,378
Tensllo m~in do Exemplo 3.3: a_..- 11/A,.. - 8,94 kar/mml
Tensão máxima, .Eq. 4.33: r1,...,, • Ku,_, = 2,2(8,94) • J9.7 ksf/mm 2 •
Euu rc1postn indico. que um arando numento local na tensão ocorre nos!le orific;io, ralo
esse que podo "er ba.!ltante s;igniricontlvo.
Considerando os ratores de concentração de tensões no projeto, deve-se lembrar
que sua detenninação teórica ou fotoelástica baseia-se na lei de ~looke. Se os membros
rorcm gradualmente solicitados al~m do límite de proporcionalidade do material,
esses ratores perdem sua signir:iclncia. Por exemplo, considere uma barra chata de
aço doce, com proporções mostradas na Fig. 4.33, sujeita a uma rorça gTadualmenle cresc:enle P. A distribuiçio de 1ensôes será geometricamente semelhante
aquela mostrada na Fig. 432, até que o,..""' atinja o ponto de escoamento do material.
Entretanto, com um aumento ulterior na rorça aplicada, u ,..,. permanece o m esmo,
porque umn razoável dcrormação poclc ocorrer quando o IT'Iatcrinl escoa. Dessa
forma, n tensão em A permanece virtualmente estacionár ia no mesmo valor. Toda via.
• ealritfuncnte falando, o eoncclitr1ldo de tonslk:s dcpçndc <la condiçlo do l'uro.. ac vaz..io ou con1
um para(uJo ou pino
125
para o oquillbrio, as tens&. que agern na área liquida devem ser suficientemente
altas para resistirem a P. Como resultado. a disuibuiç;lo de tensOcs começa a se
assemelhar à linho 1-,1 dn Fig. 4.33, depois !L linha 1-2. e finalmente à linha 1-3.
!
.
.
_.
,
.
~--,..........__
J
l
I
~~~:)
,.
FJaur• 4.a3 Comoottamento de um1 ~
ch.t,. de eç:c dO<ll QU t ndo IOIICit.cli •f6m do
conto d• ~t<:oamento
Assim, para materiais dútcis antes da rupturn. a eonccntraçlo de te~ locala
é praticamente eliminada, e antes de ocorrer a dhnlnuiçlo da seçl.o ocorre um•
distribuiç;lo praticamente uniforme de ton•lles. Esse argumento não 6 muito verdadeiro para materiais menos dútcis do que o aço doce. Todavia. a tcnd!neia é naquela'
direçlo, a menos que o material seja fr6gil como o vidro ou algumas ligas de açO.
O araumento apresentado se aplica a situações em que a força seja aplicada aradualmente ou tenha CIU'acterlstica estática. N!o 6 apllcével s cargns flutuantes, como as
encontradas nos ckmentos de máquinas. Ali, o nlvel do tonslo de trnbalho localmente alcançado determina o comportamento do membro la fadia:a. A máximà
tenslo admissivel 6 tirada de um diaarama T-N(Scç. 3.8). A falha da maioria du
peças de máquinas pode ser traçada at~ a ruptura progressiva quo se origina cm
pontos de elevada tensão local. No projeto de m6quinas, entlo, as conccntraçllcs
de tensões s!o de capital importância. embora alguns projetistas de máquinas
sintam que as concentrações teóricas sejam um pouco elevadas. Aparentemente
existe alauma tend~ncia a diminuir os picos de tcnalo. mesmo nos membros 1ujeitot
a carau dinâmicas.
Da. discuulo acima o dos gráfico• quo a acompanham, deve ficar aparente
porque um projctlsta de máquina experimentado tenta suavizar ou arredondar u
juntas e transiçôd de e lementos que compõem uma es-trutura.
Pata ot1abdecer ..,. relaçlo. u,. u
equaçOel de equiUbrio, Eq. 3.3, o aclmíta
QUO IS torou de m .&ll& X - r - o.
.
'
.C.3. Alaumu • - 6 d~hel oocrovor
a Joi .do Hoolre IJAI!ort.llu.do do 1!!1· 4.11
na forma lavtraa.. como
( I I I - .t. + 2p.1.
t11 - Ü + 2~
, f - .l• + 2p•.
oodo .l o I' olo u ' conot.an~• do IAm6 o
• - c..., +a,.+a.·
SoiUGionando u vtt primolru panes
da Eq. 4.ll a:Jmu.l~aP.,mont,c. • uea.ndo' a
Eq. •. ll. D1011for.Ril0o em ~erm os du coo.;
t&ntCI do CD&cnh&tl&
•B
o
p• G.
(I + •HI 2•1
4..C. CQneldere ~I" . COI'Jl!l aolldtado
aJU-timotricameo~ tal como um tubo dr·
cWÚ sob preaalo ln\UD~ AcÍmJdndo qué
em t.el corpo opc~u p<»nm oc9rror de~1o­
camcn~OI r'adiaia. mOJ\I'A,r ~ue. em coord..:
nadu polares, u dof9rmaç&es radial o
l-
t&D,JCDCW o&o. rcspcctlvamcnto,
.. - iwf<lr •
.. - ""
onde u 6 o, dulocamontp radial.
PROL • •,
~,6. VQ) painel !lo aço do 2,0 m x
x. 3.0 m x 6 mm .6 aubmlljdo a um carro:
-onto unlformamonr, clhlllbuJdo '·, na
dltcçlo X, e p1 oa dir.çlo .Y (vqJa a nau.ra).
S. a vatlaçlo t,o\al ao eomprfmont.o, nlo
oolldt.a do, na dJroçlo x, 6 cjo + 1.95 mm, e
na dJroçiO 1 t ,de + 1,7•mm. quais 01
kaf/m? s.,ja
21 "
x lO' kaf/ mm' e G >< lO' kaf/mm' .
R••P·' 141,t2 kaf/mm, 103,79 kaf/ mm.
valo..a """·.'·em &.•
e-
r=t Lt~
'L~ ~
1,011\
PROl.._.
4.7. Um bloco retanaular de liaa de
a1urnjnio tcan as dimenll!ics mollradas na
PROBLEMAS
• .1. N'01 problemas t!ãdimcn&lonais. u
trê$ c:omponenl"c:s de deformaçl o &lo • ... •,
c Yn. Entretanto. como .se \t nu ~.s. 4·.3
c 4.S. euas tt&s quantidades alo runçôes
de apc.nu duas çomP;OnentN do desJoça..
mento u e a Dena ror-ma. as dclormaç6es
nlo podem ser indepc..ndetnes entre ai. de~
vendo haver uma rclo.ç«o entro clai. Mostro
que tal rc.laçio 6
'
8'•. + ~ = 11 7., ,
mentOl do valor• inivoeame:nto detetm.lnadot-.
4,2. A condlçlo de compatibilidade
pato um caso bJdlmcnalonal. expressa no
problw:ma an~crior, eiCá em term01 du
dclormaçilc:s. Unndn a lei do Hoolre para
a tendo plana (Eq. •.n com
0), mott.rar que a mesma condlçio em lermos du
componcl1te.J de tcnJio 6
a,-
1
ar
il~y
Eua 6 a chamada con~içào ~· compa·.
ilx'
tibitldt1de; ela assegura
126
!iUC 01
desloca·
V'(a, +a,! -O.
onde
flaura. As rcauhantcs du 1cnsOcs unirormemcnl<> dls tribu!du alo P. - 20 ~ P, - ·
- 24teP, •18L0eterminara ma.anitude
PROD. ......
4.S. Uma peça do çhapa dp aoo de
SO mm " 25Q mm " 15 mm ó submet.ldo a
tens6es uoiformemen~ dlat,ribuldu ao lon-
a<> de ICIII eixos (veja a naura~ (a) Se
P, - lO\ o
20 ~ qu,el a vatla\)lo de
c1penun dooorrente da apliç&9lo dcuu
forças? (b) Pata proYocar a mesma vatlaçlo
na capessora !lUC cm (a~ apenu dovldo a
P., qual devo ser a ma&JIIt,ude dessa força?
Seja E. - ~~ " 1o•• kaf/mm1 o • - . 0,25.
P,-
PROU. 4-7
127
de um sistema simples de forças de traçio.
aluando apenas na direçlo x., que provo..
caria a mesma dcrormaçlo na diroçio x quê
u rorçns iniciais. Seja E • 7 000 k:gr/m.m 1
c " .... 0,25.
4.8. Um diaarama de lattlo retangulnr,
de 75 mm x 100 mm, ~ solicitado entre
uma estrutum r1a-idn de invar, como mostra
• Ogura. Se oeorrer un1a qlltda dó tém~é­
rnturn de 100 •c. determinar as tc.nsê!les
normais rcsulCant~ no diMrtt.amo. Admillr
que. para o latia; E- 11,1 x lOJ ':&f/mm 1,
G = 4.2 x lO' kaf/mm'... - 6 x Jo-•
mmJrnrC. enquanto que para o invar o
coeftc:ientc de expando cêrmica é igual a
z.ero na fahc.a de temperatura considerada.
mm
• .,.
.- f-
10 ksf/m. Qual d.,.. :stt o limite de propor.
cionalídade do aço_ para resistir elasllca:
mente. com um rator de ~eaurança de 4i
Qual ~ o módulo de resilif.nda de tal ooo7
Seju E • 21 x l O' kgfjmm'.
4.13. Uma barra de aço de I m do eomprhncnao o 50 mm de diâmetro, b IUbme:
tido A um carregamento aldal de 0.4 kaf/rn~
que provoea uma t4n!lo de trnç&o nAborta.'
(R) Determinar a mixima tens«o do troc;Go.
E - l l >< 10' kaf/mm'. (b) Se • meoma
barra for utinada para um diAmctro de
2.S mm na pane central, em e.xtenslo i&u&l
' metade da barra, is-to~ uma diatlnda de
O,.S m. qual o aumento ou dlminuiçlo da
lendo m6xima?
.t, 14. Um pe$0 W cai livremente ao
lonao de uma barra. att atingir a porca no
ru ndo, conrorme ilustra o figur a. (o) Mo.:trnr
Qlle a (orça dínAmica ou de hnpucto P,,;o
tranamltldn para a b1ura 6
PROl._.,
P11• • fi'( I + ../I + 211/6.,)·
onde h 6 a dlltAncla percorrida pelo peJO.
c: 4.- 6 a delledo estitk:a da barra c.ausnda
pela opllcaçlo do peso fV. Na doduçlo
dessa reJaçlo, admitir o seaulnte:
4..9. Rdaz.er o problema anterior subs..
thuindo • estrutufa de: lnvnr por outra dé
nço. Admltlr que, I"' r& o aço 8 • ~Q >< I O'
k&f/mm 2 , e I X - 3,3 )( tQ• • mtnjmmrc.
4. 10. Verlnr:ar a !q. 4.21 \IUtndo u
E!qs. 4.ll e 4.20.
4.1 t. Mostrar que a densidade de ener..
aia de defonnaçA~ cm ccrmos de deror·
mação. é
·
1. 01 materiais 10 comportam elaulcamente o nlo ocorre diulpaçlo de eocrali
no ponto do fmP"C:to ou not •uportca,
2. A fnUc:.Ja de um aistema roslatlndo a um
Impacto pode ler' dc:aprouda,
3. A doOeJCIO de um sJatema 6 dlretamenre
proporcional li ' magnitude da força apli·
enda. quando a força 6 dinl 1nlca ou esta.'
tfc:amente aplicada. (Sugtstao. JauaJar i.
U0 -
Ar'
2 + Jl{l! +
c: + Ç)
' + 'I~
' + Y;.w
').
+ 2I ' (76,
onde as consta.ntcs de L.am~ A e Jl silo as
definidas no Prob. 4.3.
4.12. Uma barra do ligu de nço, de
seçüo quadrada e de 750 mm de comprimento faz parte de uma nu\quinn e deve
resistir a umo carga de energia nxinl de
128
perda de encrJia pelo peso W à cnc.rJia de
deJormac;lo na barra aluando como mola;
li .,. O,$ 11'1, e uma barra de nço de JS 111m,
de dirlmettO e 0.7.5 m de comprintento.
Clllculnr a. mAxitna tensão na barra provo..
cadl.l peln queda do peso. Seja E = 21 w 101
~affmm2. Rr.•p.: 26,7 kgf/mm'.
4.15. Porque do usados par-afusos
longos, c nflo cur1os, cm cilindros pncum'·
uur p.oreru.sos eom e xtremidades rccaleadas"l .. Oc.senvolver alguma justificativa
analltict. para suas resposlas.
t•l
(bl
PR08. -LU
4. 16. Suponho que uma sê:rie de 1es1es
de traçlo seja detulda sobre divc.rsos es~­
cirncs idfntlcoe de material de Maa.wcll.
Em cada cxperl~ncla. a taxa de de(ormaçll:o
f mantida const&uHe. {A) Esquematizar uma
famltia de c utvi1S de tcnsio-deformoç4o
que rcs!Jitarfa dcua t6ric de teStes. (b) Em
c-ado CR.IIO, qunl é o módulo de c lasticldndc
E cm l - O'f (c} Oiscurir as hnplicaçõcr dor
tdU1tndoa.
4.!7. Um IÓiido padeJo porn um n1alc•
rial vbcoeJAstico l: obtido pela c:olocaçlo
em stric do uma unidade de Maxwell c uma
de Kelvin. como mosua a figura (a). Esse
modelo 6 c.apu de represeruar a maioria
du c:aractcrbticas essenciais do comporta·
mento viscoclútico. Esquematiz.ar a rela:çlo derormoçllo·tempo resultante do impul.tO tensllo·tcmpo mos:lrado na figura (b).
•o dlllmctro da barra 6 ttumencndo nu
PROU. 4-14
E,
~jP a 11aura. (b) Aplicar a equação achada
em (a,) para o caso em que H;' - 3 kar:
ulrcmidadn por forjamento,. a fim de monler o
di:lmctro norninal da bftu;~ na raiz do. r05Ca
<•J
(bl
PROL 4.17
4.18.. Êm um dos campos de 61co da
Oahia. um dos longo. tubos de aço usados
na perfuração lic.ou prelO na ars;ila dura
(veja a figura), Foi neceuArío determinar a
profundidade da ocorr~ncia. O engenheiro
encarregado ordenou que o tubo (os.se
s ubmetido a um grnndc c$rorço de trnção
para cüno.. Como resultado dessa op~:r-nçi'lo.
o tubo se deslocou clastlcomente de 0,6 m.
Ao mc:SlTIO tempo, o tubo alongou-se
0.036 mm em um comprimenco de 200 mm.
Qual a prorundiJ•de aproximada do «ubo?
Admitir que o área da aeç.lo transversa)
do tubo seja constan•c.. e que o meio envolvente do tubo sorrn derormação elâstica.
ltt•JfJ.: 3 333 m:
To r to do perr'l.lr::tç!ro
do polróleo
Plt08. • ·li
4.19. Umo barru de aço inoxidável de
0.8 m de comprimento, usAda em um mecanismo de controle, deve transmitir uma
força de 1ra.çlo de SOO kg( se1n distender
mais do que S mm ou exceder uma tensão
admi!Jsível de 14 kgf/mrn 2• QuaJ deve. seco
129
dilmctro da bana1 Dar a resposta cm
t.e rmoa do inccJro (cm milimct-rOt) mais
próximo. E • 20 >< lOl kgf/mm 1 • RUJI.:
7mm.
4.20. Utn dlindro maclQO de 50 nlm
de diAmotro o l m de comprimento e subm etido a uma torça de ttaçlo de 20
kit/ mm 1• Uma parte dcuc cilindr~ de
comprlm•nto 1.. 1 , 6 de aço: a OUU"& parle.
ligada ao aço. 6 de alumlnio, de compri-.
mento 1... 2 • (a) Determinar 011 compr1mcnt.OI
L 1 e L 1 de UlJ forma que os doit motcrlob
tenhQnl a mctnna nlongaçlo. (b) Q~o~ aJ a
alongaçllo totul do cilindro1 B~. • 21 x
• tO' ksf/n>m ; e.,•• - 7" to• kaf/mm'.
as barru tcja unifqrmc. e que u barraa
nlo torram Oambaaem. TraçAr o d.iaa:ra.ma
do deOcxllo ux.ial. Seja
:Zl )( 10 3
B.,. •
kgf/ rnm 2 , C 8 111 _ - 7 X 10) kgf/mn\1 . /{esp.;
,.
32.81.
.SOmm • JO mm
vartaçiO cp~ na dimoot~ t.ta.ntvett:al de
t50 mal., ao nívol "'1' • Ot02 mm, de-terminar
o alon aa.mcn~o tot,&l da ba.r.ra oa dlreQio
tonafcudlnaJ. S~a ~ - ,21 • lO' kaf/mm'
0 ' - 0,2,. Rup.: 0,89 mm.
...
.
I
I
0,1S m
+
0.$ m
o,:u m
T
PROO. f,l J
4.24.. Uma estaca do madeira unlrorme.
que foi martelada a uma prorundidaóe L..
em arailo. auporta uma caraa apUcada F.
na parte superior. Essa carp ~ rc.siltida
inteiramente pelo atrito f na parte lateral
da estaca. que varia de rorma parabólica.
como mostrn a figura (a) Determinar a
dimin uiçlo total ela est-aca. cm te~ r mO& de
F, L, A c li (b) Se P - 4$ ~ 1.. - I m,
A - 700 cm1 c li - 1 000 k,aC/mm 1, quanto
devo encurtar a cstaea? (Sug•Jtdo. Pelo
requisho do equUibrio, dcterminu primeiro
a con&Cance -~ Rnp.: (a) FJ..I(•A~
>
F
i I
I OOmm
I
t.!:.
4.26.. D uas ba.rra.t tio cortadu de uma
chol"' de mecal ~· l' m11> de c&pcNura, cal
quo ambas tenham ._.. mctma. eapcuura
conl'.,lnle. A barra A t'm lara ura conJt&ntc
de 50 mm. A bana D tom 7S mm de laraura
no topo e l.S mm no fundo. Cada barra •
J ubmotida ti moama. c a.rp P. Determinar a
r.loçl o I...JL•• cal que ambu u ba:ru
diltcndam da me•ma quanddada. Delproo
zar o peao da. barre. lt•1p.: 1,0986.
SOmm
.c
1$ "'"'
4'
PR08. 4· 21
L
4.lZ. Usando a Eq. 4.32 e u funç&&
de singularidad~ detenninar a expresaão
geraJ para a dc.Ocdo u no problema acima.
e calcular o deslocamento rnllll) mo "·
4.23. Uma b~rra de aço e uma de alum ínio tem 1111 dimensõ es mo~ilrUdllt na
fi;ura. Calcular a magnitude da rorça P
que provocari. um decrbcitno do eomprip
mento cotai du duu barrai de 0.2S mm.
Admitir que a dis-tribuição de tendo nor·.
maJ de todu osscçõcs uansvcrsais de ambas
130
I
S.SOmm
~·~
t
tlOO .....
I•
!
1
4.21. Uma barra çilí.ndrica de llÇO, çOm
$C-ç-.ãO transversal de 300 mm 1, f; Oa.ada
pelo topo c est4 1Ubmetida a açlo de ub
forças axiais. como mostra a fiaurL Achar
a dc.Oexlo da extremidade livre provocada
pOr essas (orças. Traçar os diagramos de
força c dcnexl.o axiais. Seja E • 21 )( 103
kgf/mm 1• Rup.: u ..,,. =-O ""'~ • 0,99 m m.
I
I
·~
100 1nn\" 100 m.en
um a poio rfaldo.. alo u mott.radu na naur L
Det,erminar a den exlo do topo devido ao
puo do corpo. O J)IJO vni\;irio do malerJal
6 Yi o módulo de chuntcl\Jm.h: é J::. lSuu ~·~t4o.
Conaider~ a orJaom dot olx01 ooordenadot
no v6ttioo dcllocado do cone). Resp.: 160
y/E.
PJIOII. 4-27
4.28. So o cone do problema a nterior
ror invertido. isto 6. tiear ! apoiado pela
bue menor, q uai to r• 1 defloxlo do topo
devido a aeu· próprio po10?
•.29. Achar o alonaamcnt.o t,ot.aJ t. de
urna barra el.. tlc:a delaada, de t rca 6o
MÇio transYertal A., tal como moatra a
na ura. IC ela Pra no plano horfz,ontal çom
velocidade angular de Q) radianos por 10aundo. O pe$0 unitúio do material !. y.
Oe&preu.r a p equena quantidade extra de
materiol do pino. (Sugl'.não. Achar pri·.
meiro a ten5ão na acçlo distant~ de r do
pino. intearando o efeito das rorças do
inércia eot·rc r e L. Veja o Exemplo 3.7:
entio aplicar a Eq.. 4..29. Alternativame,n tc,
usar a Eq. 4.32 com pJl como força de massa).
R<>p.: ~1..'/lgl!.
,
I
PROa 4-l-4
4.2S. Urna placa do aço de I 50 mm do
l'trguru por 2m de eomprimc:nto, o 20 mcn
de cspcuuta t aubmetida u um conjunto
de forçu de atrit.O. uniformcanent,c di.strip.
buidu ao longo de suas duu arcstu, como
mostra a fiau.ra. Se. devido a essas CorÇaS. a
l$ mm
PJIOB. • -16
4.l7. A$ dimen&&ol de ;.m trono<> de
cone n:to. suportado pela bue maior por
f
L
'
PROB, •-1'1
4.3Cl Uma barra de espessura eon ...
tantc t lem rorma de losanao plano. corno
131
mostra a figura. Determinar o alongamento total da barra. provocado pela rota-·
çlo em um plano horf&onlal, com velocidade angulu cu cm torno do pino. oS
outros dados slo os me11110 do problema
anterior.
•I
Usando o cquilibr~ e as premissas da
aeome:tria da deformação., (a) calculas a
tenalo e traçar sua dis1ribuiçlo na barra.
c:m termos da carga P c das dhnensôes da
seçllo transversal, (b) calcular a. alonga-
I,S m
mento da bnrra.
KfQ J
2m
4
JOO ll&r
w
PROM ..t,.J.&
P~OB. .4-Jl
PR08 .a.)l)
4.33. Um pau de carga tem a1 dimen-
4.31. Ooia. aranu::s do Usados a uma
bam rigida. como mostra a fiaura. O
arame da esquerda 6 de 10'\ com A • 60 mm' e E • ll x to> kgf/mm'. O
arame de li,p dê alumlnio. da direita. tem
A- 120mm1 e B .. 7 x tOl ksJ/ mm!. Se
for aplicado o peoo 11;'- 1 000 kgf. qual
uri a deOexlo decorrente do alongamento
dos arames?
'
""
s&:s motert~du na figura. Determinar o
diamctro m'Jdmo d da barra .tB tal que a
dcOedo vertical do ponto B nlo exceda
!i mm. e a tcnalo seja inrerior a 14 kaf/tnm1 ,
quando ~ aplioada a (orça F - .S L Adrni1ir
q t•c a deOe:dlo ax.ial de 8C seja desprozAveJ
c decorra inteira mente da diJtendo da
barra AS. (Veja a sugestlo para o problema
anlcrior),
4,38. Umn barrn com bens de seçOes
trnnftversais diferercnte.s, 6 feitCL de cobre
mncio c estA. sujeita a um c:arreaamento de
1rnç4o como mostra a liautL (•) Oetcr
minAt o alongamento da barra decorrente
da apllcaçlo de uma força P • 2 SOO k&(.
Admilit que a relaçlo tenslo--derormnçlo
ax1al seja
os cg.uemos. como m~tra a figura. Usando
a Eq. 4.l2 c as Cunç6cs de singularidade.
detenninar u reaçôc:s c a dinribuiçào de
rorça axial na barra. Traçar os diagramas
de força c deformaçlo t1xit1is. Seja (a + b) .. L. (OWt,.ll(tfflO. E.ste ~ um problema esta·
ticamente indeterminado).
e= <1/11,250 + (<1/116)'.
onde • t dada em kgf/mm'. (b) Rofatet (a~
admitindo que o cobre seja u1n Jnaterial
eh\stloo linear. com E igoa.l ao módulo na
origem de <t - s cm (a). (c) Se o mntedal
inlciAhnente se coq'lporta como cm (a),
quaJ terâ o alongamento retldua.l após
remoçilo da força P? Re$p.: 1,18 mm.
600 mm
A •
,.
-;:
t1
v
1
.t-JOOmT1
-
I'
~ ....
J
>. >m
PK08, • ·lJ
...
2m
PIWQ,;&.J).
l$0 m!TII .SOO mm
PROB. •·JI
4 .3 ~
4.32. Dois arames ldtn1icoo (A - 60
mm'. E - ll x to> taf/mm') slo dispo..
tos como na fi&utL Determinar a deflexlo
do ponto 8, decorrente da aplicaçlo da
c:up W • I SOO kaf. (Sugmdo. (I) Calcular
o alongamento 6 de cada arame. (b) Com
os centros em A e C. c uJando (I +4) eomo
raio, localizar o ponto 8 que é a posição
defletida de B. (c) Como as deformações
11-ilo pequenas, admitir que â lii:J 6, cosa..
As denex.ões no diagrama aparecem exa
geradas).
4
132
1.01111
PROl. ... Jtl
l.Sm
fi IJI 11'
I •.S m
Qual • ro rça suportado pelot
ararnca. quando uma ca.rp de .soo kar 6
aplicada a uma barra rlgida suspe:n11 por
u~ arames_ como mostra a naura? Os
arames ulc.mos slo de alumlnio (B - 1 000
k,a f/mml). O arame in1erno ~ de aço (E •
- 21 x lO' kaf/mm').lnicialmente 01 ora·
mcs nlo t~ folga. (Sugtsrão. Este t um
problema estaticamente indeterminado. Oeve-so (ormular uma equação suplemcnlar
com base na deformaç:Jo, como no l!xern·
pio 4.10). RtJp.: cada a.rame suporta J67 kar.'
4.35. Uma barra clástic:n de seçJo
transvenaJ constante é engastada em tJnbos
4.36. QuaJ JerA n deOcxalo da e.•dremi·
dade livre d11. bur" do Exemplo 4.9 ( F'ig.
4.28) se, cm lugnr dn lei de Hooke, a [elaç:Ao
lcmliiO·derormliçliO fOUC D -=: /(& 1f"• onde 11
e um nUmero dependente das proprledndC$
do material?
4.37. A barrR nlOscrada no figura tem
1 seguinte relaç•o entre: tenslo c: deformaçlo
cr,(x, y) • H0 (2 - (yfh)' ]t.(.<. y~
,
-
1
<m-1 I
~=;:,
=~~
~ ~ ~
P f
----=--,.--~.!.......... ,.
l--I
I'ROIJ 4-Jl
4. 39. Uma barra de 2S mm doe cspcs-.
IH.Ifl.\ tem orlginaJment.e lOOmm de largurn
e I,S m de comprimento. A meta do centrnl
d" bftrra. 6 usínada de 'a mbot 01 lodos. nt~
que o porte central cenha SO mm de largurn.
Se nas mudanças de seçlo. OJ nletet sllo
fehos de sorte que rfd • l/2 (veja. a Fig.
4.J J~ que rorça axiaJ pode acr aplicada a
barra sem e.xceder a ten.slo de ctcoame.n.to
de 35 kJ(/mm 1, e qual ser6 o alonpmcnlo
tOlo! da borra? Seja E- 20 x 10' k~mm'.
4.40. Uma bana Jonp do J m x
x J!iO mm x 2S mm possui um ruao de
50 mm de largurBt como mostra a figura.
(o) Achar a tensão mA.x.ima ac uma força
taxjoJ de P • 25 t for aplicada ti barra..
Adimitir q ue a curva superior da FI& 4.3 1
scj" npllcável. (,b) Para o mesmo caso, dele r·
min~tt o aJongamenl.o totnl da ba.rm. e des.-
133
l
I
protu.r 01 cfoi~os loctúa du concenttaç6ei
de tcn1J10 c admitir que a •rca t.ransvenal
redu tida ocorra numa e.xtcn.l lo do 0.6 m.
(c:) & tlmar o a.JonpmcnlO da mesma barra
ae p - ao L Admidr q\lie o aço escoe
0.020 mm/mm a \lmt t•ndo de 28lc:af/ mrn 1•
(d) Qual a defl~do retldua~ quando 10
remove 1 carga do (c)? Soja E- 21 x 101
kar/ onm •. Rosp.; (a) 22,5 léar;mm ' · (b)
1,05 mm; (c) 14,44 mm; (d) 11,2 mm.
e&J)<ItaUrL Nu mudançu de 1oçlo, estio
indic11d01 01 ratorea do conconcraçlo do
rensllo apro.dmadoL É aplicada uma força
P. provocando uma mudança \O\al do com.
primento da barra iauaJ a 0.4 mm. Determinar a m6xlma tenalo na bana.. proYOC&cla
por ena rorça. Desprezar o e!e.ho do-oó-.
ncio e dOI concent.raçOe~ de rendo sob~
a dcrormaçlo axial. Soja li - 21 >< lO'
kgr/mm 1 , ltrsp.: rT_._ • 24 kaf/mm 1 •
TORÇÃO
llaltiiO çom .SG mm ctt IIU'JUr.l
t llalos de lS m.m IUlO"'lrcm-ld•dct.J
~
S. l
Noa capltul~ anteriores, al&n dos conceitos acrais da mecânica doe aólldos
' deformáveis, follnv..stlgado cm detalho o comportamento das banas com carrega-
JJROB. 4.•ICI
4.41. A barra mostrada na figura 6
çOrtada ~ uma peça de aço de 2S mm do
INTRODUÇ~O
PROB.4-41
mento axlal. Pela aplleaçlo do método du acções e pela premissa do lsuala deror-·
mao;l!cl na1 Clbru longltudlnaio, foi deaonvolvlda uma fórmula para a tenalo cm
lUTO& bana com caneaamento axiaL Eacabeloc:eu..e, cntto, uma OJC prea~lo para
obtonçlo da deformaçlo &ldal d01 mombroa cs!Zuturala. Nosco caphulo, aerlo
eolabelecidu relaçôes aniloau para membros externa o eotalicamcnto dotormi., nados, eubmetldoo apenu a um conjugado (torquc) em torno de seus cixoa longitudinais. A lnvostip çlo llaar6 restrila ao ofelto do um tipo do açlo, isto é, do um
conjuaado que provoque glro ou torçlo cm um membro. Mombro1 aubmotldos
Jimultanoamento a oonjupdo do torçlo c ncxlo, que ocorrem com froqOtncia
na pr6tlca, aorlo cratadoa no Cap. 10. O Cap. 12 disc:ucc 01 ca101 estaticamente
indeterminados.
Grande parte deste capitulo é dedicada ao tratamcn1o de membros com acções
transversais circulares o tubulares (ou anelares). A3 scçl!es nio-circu.lares cheias
são discutidas apen as supcrlicialmentc. Na prática, os membros que transmitem
torquc, como eixos de motores, tubos transmissores de potencia. etc, t!m predominantemente scções circulares ou anulares. Assim, muitu das importantes apli~
caçl!cs recaem no lmbito du fórmulas desenvolvidas.
·
5.2 APUCAÇ~O DO MlttODO DAS SEÇOES
Na anllise dos mcmbr~ sujeitos a torqucs, sio scguidu a.s tinhas básicas
descritas na Seç. 1.3. Primeiro, o sistema como um todo 6 examinado oeom reloçilo
ao cquillbrio, c a plica-se o método das scçl!ea, passando um plano de corto perpendicular 80 eixo do membro. Imapna-se que tudo o que estiver de um doa lados
do corte seja removido. e detetmina·ac o torque interno ou resistente. neceultrio
ao cquilibrio da parte isolada. Para· se achar esse torquc in terno nos membros
estaticamente isolados, é necessúia apcna.s uma cquaçlo da estática, T.M,. ..;. O,
onde o eixo x é dirigido ao lonao do membro. Aplicando-.s e essa e!luaç!lo a uma
134
135
pnrte isolada de um eixo, determJnn-sc o torque interno resistente desenvolvido
no interior do membro, neces#rio ao balanoeamenlO doo lOr!jUes externos aplicados. Os torques externos e internos silo numericamente iguais mas tem direçOei
opostas.
Neste caphulo, os eixos sedio considerados ""tem peso• ou suportados a ln ter...
valos com freqG!ncia tal que o efeito da noxi!o é desprculvel. As forços oxiais, qué
também podem agir simultaneamente ~obre o membro, não serlo inclulda.s na
presente at16lise.
EXEMPLO 5.1
Achar o tol'quc interno nn JCÇ~:o o-o do eixo mostrado na Fig. S. t(a). solicitado peiOJ
ul.s torques lndlc:ados.
·
SOLUÇÃO
O torquc de ) kgfm em C t compen ..do pelos dois torqucs de 2 kafm e I k&fm em A
e 8, respectivamente. Desta rorma. o corpo como um todo ott' em equillbrio. Em seguida.
passando um p1ano de corte n·a perpendicular ao eixo da barra. c.nlrc A c 8, obt~m~tc o
diagrama de corpo livre de parte do eixo. como mostna A FI& S.J(b). l!m sepid11. de '
t.M,.- O. ou
torquc utct"fto aplicado - torquc Incemo
chcaa·se a conclutao de que o torquc lntcmo. ou reslttanle. dennvolvldo no e:iao. entre
A • B, 6 2 kafm. Utando a rtara do para.ru10 • direita. podo·to representar esse torque que;
••• tobre a Mçlo p.lo vetor mollrado na naura. Conaldtraobot ftnáloau conduzem l con·. . ..,.., _ ..,
olu.1fto do que o lorquo fnlcrno auportado pelo at.o. entre B t C. 6 de 3 k&f'm.
..
,, bntro. com car-regamento axial, c há ~uc desenvol ver meios para determinar as
nsõeS em runçilo do Iorque interno e do tamanho do membro. Nos seçOes a seguir
1
~rio deduzidas as fórmulas necesstrias.
•
.
os membros submetidO! a torques slo bastante usados em euros rotattvos,
ra transmisslo de-potência. Para refer!nda futura. ser6. estabelecida uma (6rmu_la
para a coovcrslto de _potência em torquc otuante sobre um eixo. Por deriniçio,
~·cv eretua trabalho de 7S kgrm/s. ou 4 SOO kgrm/ mln. Da mesma rorma, recordo:.s •
da dinâmica que a potência é igual ao Iorque multiplí~ado pelo Anaulo ~e guo
(medido em radianos} na unidade de tem.po. Para ";~ euo com
rpm, o angulo
6: de 2•N rad/min~ Dessa (onna. se um c:•ao 1ransm1tas5e um conJupdo constante
r, medido em kafm, efctuaria o trabalho de 2nNT kgfm/min. Igualando essa
expressão à p ot!ncia fornecida
.
CV(4 .SOO} ( 1\gfm/min] • 2JtNT(kgfm/mín]
(S.I)
T • 716.20 CV/N k&fm
onde N é o número de rotações do eixo que transmite poténcia (CV) por mJnuto.
Essa equaçio conve-rte a potencia fornecida no eixo em um torquc constante que
oa• sobre ele.
'!
5.3
PREMISSAS BÁSICAS
Para estabelecer uma relaçlo entre o conjugado interno e as tensões decorrentes de sua aplieaç:llo em membros com seções uansversais circulares c tubos
eillndricos, é necessário estabelecer diversas premissas, cuja validado será posteriormen te justiJ'icadL &sas, em adição h homogeoeídodo do metedo.l, são o.s
I OJUÍ.n tes:
1. Uma seçlo plana do material, perpendicular ao eixo de um membro circular,
permanece plana após a aplicaç:lo dos torqucs. isto é. nenhum empenamento ou
d.istorçlto ocorre nos plan os paraJelos. normais ao eixo de um membro. •
2. Em um membro clrculor sujeito h açlo de um conjugado, ns deformac;ões
anaularcs y variam linearmente a pa.r tlr do eixo centrul. Essa premissa está ilustrada na Fig. S.2; isso s ignifica que um plano imaginlitio tal como A0 1 0 1 C move
para A'0 1 0,C, quando o torque é aplicado. Alternativamente, se um raío imagj.
(a)
(li)
n6rio o,c é considerado com direção rura, raios similares em 0 1 B e 0 1 A giram
para as novas posições 0 1 0' e 0 1 A'. Esses raios permanecem retos.
Figura 1 ..1
Oeve·se cnfati7..ar que ciSas prem issas se mantêm apenas para mem bros cir..
Pode-se ver intuitivamente q ue, pnm um membro de área de scçllo
tran ~
versai constante, O mâximO IOrque interno provoca a máxima tcnslo e impOe O
mais severa condiçlio sobro o material. Assim, na investigação de wn membro
em torçlo, vAriu seçõe:s podem ter de ser examinadas para se determinar o maior
torquc interno. A seçlo em que ocorre o maior torquo interno 6 a s~ão crillca.
No Exemplo .S.I a seçio critica cstll cm algum ponto entre B e C. Se o membro
em torção varia em suas dimensões, é mais d iflcil decidir on de o material sofre
tensão crítica. Diversas seçOes podem ser investigadas e as tensões calculadas
para se deter_mínar a seção critica. Essas situações aio análogas ao caso de uma
1 36
culores rurados. Paro essa classe de membros essas premissas silo t4o boas que'
se aplicam além do limJte ellls tico de um material. Essas premissas sento usadrus
de novo na Seç. S.B, onde scnl discutido o distribuição de tensões além do limite
• com efdto t•rnbbn impliCII q~ at planos poralel01 pcr-pendH:utares :~o eixo pcrmanec.em s~tpa­
radOI por uma dittAnafa conttantc. Juo nAo 6 verdadeiro !W! as dcJor.m11çOo são grandc:t. Enlretanlo,
como a.s deformaç&s usuais silo bem pequen:a_s. U$ u~nsôe$ n!o cont1dcrudas aqui sao dcsprczâvciL
PJm dec~ l hcs veja S. Tltn09henko, g, ,.,,.gtll q MQt,.,.lnlt, (3.• ~d..) Pa.rec 11. Adv-.;nad Thcory :a..nd Pr~
bltma. C.p. VI. o . Van Nostn.nd Co.. lnc.. Princeton., N. J.. 19:56
137
de proporcionalidade. Todavia, se a atenção ficar limitada ao caso linearmente
elástico, a lei de Hooke se aplica.
,
3. Seaue-se, então, que a tensno de cisnlhnmento é proporcional à deformação
angular.
onde a integral aoma todos os torqucs desenvolvidos no corte pelu forças innnlt.,.lmals que aaem a uma distAncia p do olxo, O na Fia. 5.3. om toda a área A da
1cçAo transversal, c onde T t o torquc resistente.
Em uma dada seçlo •~- c c slo constantes. e a rclaç![o acima pode ser escrita
~ f p 2 11A - T.
c
(5.2)
J..
l!ntrotanto, fp'jlA, o momonco polar do ínhÇÕ!! do árça do uma oeçlo transversal,
6 uma constante para uma aeçlo tranavorsal particular. Noato texto ole ser6 doala·
nado por J. Para uma aeçlo circular, dA - 21fpf/p, onde 21fp t a clrcun.rerancià
de um anel de ralo p o laraura flp. Aaalm
dA
Figure a.z
VariaçJo cio deformeclo om um
membro clrcullf sob a açlo de um IOfQtJe
Figure 1.3 Variaçio de te ndo em
um membro citcular na ftiJCe el6stica
No interior de um membro, é dificil justilícar u primeiras duas premissas
diretamente. Entretanto, apôs a dedução de fórmulas de tensão e deformação
baseadas nelas., verifica·se uma conoordãncia inquest.íonivd entre as quantidades
medidas e as calculadaS. A16m do mais. suas validades pOdem ser risorosamente
demonstradas pelos m~todos dB teoria da elasticidade, que se bue~nm nos requi-.
sitos de compatibilidade de deformação e da lei de Hooke generabzada.
A FÓRMULA DE TORÇÃO
No caso elástico, como n tens!o t proporcional â deformação c a óhlma varia
linearmente a partir do centro. as tensões variam linearmente do eixo central de
um membro circular. As tensões induzidas pelas deformações admitidas s!o de
cisalhamento e estão no plano pa_ralc1o à seção nonnol ao eixo de uma barra. A
variação da tensão de cisalhamento está il ustrada na Fig. 5.~. Dif~rtntem«:nte do
caso de uma barra axialmente carregada, essa tenS-i.lO nlo tem tntens1dadc umformc.
A máxima tensão de cisathamento ocorre nos pontos mais remotos do centrP O
e é indicado por t-x· Esses pontos, tal como o pont~ C na Fig.. 5.3. es~tto nH .peri·.
feria de uma $ççio. na distAncia c do centro. E. em VIrtude de uma var10ç!o hneár
de tendo, a tenslo de cisalha1nento em um ponto arbitrário à distância p de O
é (pf c)<_,.
Uma vez estabelecida a distribuição de tensOc$ cm uma seç3o, pode ser
expres.sa a resjstência ao torque em termos do tensão. A resistência ao torque
assim desenvolvida deve ser equivalente ao torque interno. Assim, pode ser ror·.
mulada umn igualdade:
5.4
Lf ·-·
liA.
(tensão)
(área)
(força)
(torque)
138
J -
(braço)
=T
f'
nc•
ntr
J. 2np dp - T - n'
3
(5.3)
ondo d é o dilmct.r o do um eixo circular maciço. Se c ou fi forom medidos om mm,
J torá unidadea do mm•.
Usando o slmbolo J pata o momento polar de intrcia de uma 6.rea circular,
a Eq . .5.2 podo ~e~r oacrita de forma mala ç0mpacta:
(.5.4)
<....,- Tc/J.
Essa é a famoaafó,·mu~a fie torção• paro. eixos circulares, 9ue exprime a mAx.imn
tcnslo de cisalhamento cm termos do Iorque resistente e das dim"ensaes de um
membro. Ao apllc.u easa fórmula, o torquc interno T 6 utualmentc expreuo om
kafm, c cm a , c J em m•. Isso faz com que a unidade da tenalo de clsalha mcnto
na torç.lo seja
[kg(m) [m] - (kg(fm']
[m•J
Uma relação mais aeral do que n Eq. 5.4, para uma tensão de cisalhamcnto
T em um ponto distante de p do centro de uma seçllo, é
pc
"t- - t
_ _\'
-
Tp
J
(5.5)
-
As Eqs. 5.4 e .S •.S silo aplicâvcis com igual rigor a tubos circulares, porque as
mesmas premissu usadas anteriormente alo válidas. é nccessArio. entretanto,
modificar J. Para um tubo, como se podo ver na Fig. 5.4, os limites de integração
para a e~. 5.3 vlo de b a c. Assim, para um tubo circular
J -
p
l
2
... p (1A -
i
p'fi.A -
f.
2np 3 dp =
"~· -n~•,
(5.6)
• Foj clcdu::dcbt. por C. A. Coulomb. um ~aenhc.iro rranc:ú. por volra de 1775, em conedet c:om teu
tr.balho sobre inst.rumcnloa clê:trieo&. SeaJ nome roi ilnortalizado por seu u.o cm Ufl'l& unidade pr6tk:a
de quat~tid&de el!:t.ric:a
139
o.u enunciado de outr a forma: J para um tubo circular é igual a J para um eixo
maciço, usando o diâmetro externo. menos J para um eixo que tenha o diâmetro
interno.
·
·
·
na Seç. 3.3. Tensões numericamente iguais devem agir nos planos axiais [ taiis como
aef e bcg na Fig. 5.5(b)) para preencher os requisitos do equilíbrio estático de um
elemento.*
I
I
f
f
I
I~~
.Eixo
.,~.,
"
Flgur • 6.4 V arfaç&o de tenslo e-m um membn:t circ\JI&t perfu.
rado n e faixe eléstica
(b)
/
~
-R
;.
(o)
/o/-"'
1-:/
\
I
\
\
l'"?ib..;1<::;;;J~'
--1'-·. ;.·;
(c)
Para tubos delgados) se b é ·aproximadamente igual a c, e c- b = t, a espessura
do tubo, J reduz-se a uma expressão aproximada simples:
Figu ra 5.5 Tensões de clsalhs.m~nto ocorrem em planos mvtuemento ptHpendicula res. em um
ei)CO submerido a um to rque
J <= 2rrc3 t ,
As tensões de cisalhamento q ue atuanl nos planos axrrus seguem a mesma
variação de lntensidadc que as tensões de cisalhamento nos planos pecpendiiculares
ao eixo da barra. As variações das tensões de cfsalhamento nos planos muturamente
perpendiculares cst.ão mostradas na Fig. 5.5(c), onde uma parte do eixo ro.i remo·.
vida para rins de ilustraçllo.
Neste ponto, é ilustrativo recordar a representação completa do tensor das
tensões, dada pela Eq. 3.1. Nesse problema, os resultados das Eqs. 5.4 ou 5.5 podem
ser escritos••
(5.6a) .
que é suficientemente precisa cm muitas aplicações.
Os conceitos básicos usados na dedução da fórmula de torçlo para membros
circulares podem ser recapit.u lados como .se segue:
I. Os requl.sltos [le equlllb•·lo sllo usados para determinar o torque interno
ou resistente.
2. Ós ~tslpcam~utos considetados 5lo tais que a dcrormaç.lo angular varia
linearmente a part-i r do centro do eixo.
3. As prop•·lellafles do material sllo usadas na forma da lel de Hooke para
relacionar a va.riaçito de deformação com a te.n slo.
Os mesn>Qs conceit.o s foram usados para soluçl!o do Exemplo 4.10 e estilo
impllcitoe """ fórmulas de ~ensl!o e doformnçlo para todos os problemas com
carregamento axial. Eles serllo usados de novo no tratamento do comportamento
inelástJco de ci.xos circulares submetidos a torques. Para a última nnaHdadc,
apenas o item 3 anterior deve ser modificado.
OBSERVAÇ0ES SOBRE A FÓRMULA DE TORÇÃO
Até o momento as tensões de cisalhamento dadas pelas Eqs. 5.4 e 5.5 foram
consideradas como atuando apenas no plano de um cor-te perpendicular à lin ha
de centro do eixo. Ali elas agem de forma a comporem um conjugado resistente
aos tor~ues extemos aplicados. Entretanto, para compreender melhor o problem~,
isola-.se um elet:nen~o cilíndrico infinitesimal, como mostra a Fi.g. S.S(b), do membro
da Fig. 5.5(a). As tensões de cisalhamcnto que agem nos planos perpendiculares
ao eixo da barra são conhecidas da Eq. 5.5. Suas dlreções coincidem com a dircçllo
do t.or!Juc int.c mo r esist.eote. (Isso deve ser bem vísualisado pelo leitor). Em um
plano paralelo próximo de um elemento em forma de disco, essas tensões atuam
cm díreções opost.a s. Ent.ret.an~o, elas não podem existir sozinhas, como se mostrou
5.5
140
~
o
o
(5.7)
Como existem apenas dois elementos do tensor das tensões, nenhuma ambigüidade é provocada pela inexistência de !ndices em 't na Eq. 5.7. Em pr oblemas
geraís da elasticidade, os ln dices como ~" e O são usados em t" para designarem as
direçõcs ax.iaJ e tangencial. Tui como no caso de um elemento cartesiano, para
um elemento cilíndrico 'tJCO = t(l;y ·
Em um material isotrópico faz pouca diferença cm q ue direção as tensões
de cisalhamento atuam. Entretanto, nem codos os materiais usados nas aplicações
de engenharia são isotrópicos. Por exemplo, a madeira apresenta propriedades
dfasticame.n te direrentes de resistência e.t'n diferentes direções. A resistl:11Cia ao
cisalhamento da madeira em planos paralelos aos grãos é muito menor do que
em planos perpendiculares aos mesmos grüos. Assim, embora existam igt.1ais. intensidades de tensão de cisalbamcnto em planos mutuamente perpendicu lares., os
• Observe q ue! ns ten~ moixJmns de cisnlham~nt~ mo-stradas na Fjg. S.S(a), ntu;\,m em planos
perpendiculares no eixo dn barm c cm planos q ue pnssnm pelo eixo <.la burra.t. A n:prc:sc.ntnçâo nlOStrodn
ê puramente es.que1nô.tic~t. A $uperficie livre de 01n cho estó fivr~ de q uaisquer tcnsad:
... Alguns leitores podem achar interessante olh~,r o ExempJo 10.2 neste instante
141
eixos de !Dadejra de tamanho inadequado falham ao lonao de planos axiais. Eix.o.s
de madeua slo oeasionalmenre usados em indústrias de proeessot.
EXEMPLO 5.2
Achar a mbima. tendo de cisalhamcnto torc.ional, no eixo A C. mos-uado na Fia. S.J(a),
Admitir que o eiao tenha diA metrO de 15 mm de A a C.
... '
~/,) 'haa
P lvure • ·•
SOLUÇÃO
Do Exemplo S. I, o máximo torque Interno resistente pelo eixo 6 iguaJ 1 3 kgfm. Anim,
r - 3 kafn>. o c - d/2 - 1,5 mm.
Pela Ect. J.J : J -
•~~'
12 • n-- 4970anm
Pela Eq. 5.4 ; <_ -
n(lst'
Te
J-
•
(3 x JO'K7.S)
- 4,5) kgl'/mm'
4970
E.uo. máxima tcnsâo de císalhamenco a 7,5 mm do ci.xo da barra acua no plano de um
corto perpendicular ao eixo dâ barra c ao longo dos planos Jonahudinaill que passam pelo
eixo do borra [fia. S.S(c)].
SOI..UÇÁO
A tcnsl.o d e claalhamon lo que atua em um ele mento. a uma clb:tlncla p do centro da
.eç4o trnnsvenal~ 6 T._p/c. Entlo, usando a Eq. 4. 18, com t . q - T, .,., • t/G. e lntearando
cm todo o volumo V da barra de comprimento L nlln. i C obt,m,
v -
•.
f.
f. ,.iões
J.
7
2G
- ,.-;;;(i YOI).
SOLUÇÃO
PI
c a Eq . 54
. : t-., •
ft(c• - b 4 )
2
Te
7 •
•
n(d! - dt)
IC(2S~ - 2%.5"')
32
32
- -
-
t 3 188 rnm ...
(4 >< 101 )(12,5)
,__,
,
- 379
• ...ljO,mm .
13 188
Tp = 4 X 10'(22,5/25) • 3•41 ka:1" mm ' .
Pela E q.S..S: t..,,., T
1
13188
Como nenhum material trabalha a uma baba tensão, ~ ImpOrtante observar que um
cubo requer mcnot matcriaJ do que um eixo maciço para uansmh1r um dado torque com a
mesn1u teJ1S3o. Diminuindo o parede do tubo c o.urncn tando o diâmetro, obtém-se n ten!Jlo
de oisalhamento aprox.imadomenle unirorme na parede. Esse rato raz. oom que 05 tubos
delaado' sejam adequados a c x:periinciaa e.m que seja desejado um ..campo" uniforme de
tensSo de cisalhomcnto puro (Seç. 4.1S). Para evitar nambagem locaL a espessura da parede.
cntrctonto, nlo deve ser exccuivamence delgada.
EXEMPLO H
Achar a cncraia absorvida por u.na barre eh\Jtica circular, submclida a um IOrque
constontc, em lermos da máxima tcnsllo de çisalhamcnto e do volutne do materia1, Fia. 5.1.
142
ad
0
P
2.• pJpL
~ 21ft. c•
P -
2G
7
4
Se no Jugnr do eixo maciço, fosse usado um tubo de parede dei&MdA, então
U -
J -
•
t!.,.. lrtL..
-
EXEMPLO S.l
Considere um tubo lonao. de diA metro externo ct0 ... 25 mm. c de diA metro Incemo
d r - l2,S mm, torcido cn1 relaçllo a seu eixo longitudtnal, com um torquo T • 4 kafm. Docermlnar a.s tensôel de cis.alhamento na pnrtc interno. o externa do tubo, Fia- S.6.
Pela Eq. 5.6:
p>
• 2o "v -
,.
ii' Cvol).
Para o mesmo nlvcl de cen1lo mldma. o ma\criaJ uniformemente t~sionado abaorve onerai-a
muíl cncicntemcntc.
5.6
PROJETO DE MEMBROS C IRCULARES EM TORÇÃO
No projeto de membros para resistência., deve-se &elecionar tcnsOes de cisa-.
lhamento admisslvois. Essas dependem da informação disponive~ da experieneia
e da aplicação pretendida. A informação precisa sobre a capacidade dos materiais
paro resistirem b tensões de cisalhamento provém dos ensaios com tubos de parede
fma. Os eixos maciços slo empregados nos ensaios de colina. Além do mais, como
membros em torção alo freqücntemente usados no equipamento de potência,
efetuam-.s e vâriws experienclws de fadiga. Caracteristicamente, a tens!lo de clsnlhn-.
monto que o material pode suportar 6 inferior à tensão normaL O código da AS ME
(American Society or Mechanical Enaineers), de prática recomendável para eixos
de transmiullo, dá válores admisslveis da tens4o de cisalhamento de 5,6 kgl'/mm 1
pora o aço ordjnário.• Nos projetos práticos, os carregamentos de choque e os
de aplicação i.n stantãnea requerem considerações especiais.
•o, livrot tobro projeto do mlq,ulou fomcccrn mullal i.nformaçO.c:s reladvll a o utros materiais..
Por ucmplo, veja v. M. FaiR.t. o~sll/fll
M.chlM ElriHf'flll
c:d.}, p. .sao. Tho M1çmillan Company.
Nova Iorque. 1965
'*
t•··
143
Uma vez conhecido o torque a ser transm itido pelo eixo, c selecjonada a
mi\xi ma tensfto de cisalhamento, as proporções d o membro tomam1" fixas. Assün,
da Eq. 5.4 tem-se
T
-c
t-·-·
J
Pela Eq. 5.8, tern·se
-!J.- IL = 7 162
c
onde J!c ~ o pttrtimctro de dcpendfncla dn re.<istancia elástica de um eixo. Par~
uma barra com carregamento axial, tal pncametro é a área de seçflo transversal
de um membro. Para um eixo maciço, Jfc ,. Jt~'/2, onde c 6 o r:úo externo. Usando
essa expresslo e a Eq. 5.8, pode ser determinado o raio necessário ao eixo. Para um
eixo perfurado, vArios tubos podem romc<>er o mesmo valor num~rioo de Jfc, c
o problema tem um número infinito de pos.s lveis soluções.
c
I
10
1
t-.
'!..i - 1ld
(5.8)
)C
1
1,023 >< to• mm' :
ou
16
t/ 1 = 173.4 mm:
c
d 1 = 17,l~ mm.
Este exemplo ilus-tre. a rad.o para a moderna tend~ncia ao UJO de m&.quinas de alta velo·
ddode no equipamenco mecinico. A diferença ~111 t11manho dos dois eixos~ Ottgra.nce. Ulterior
ccot'lomia de material pode 5cr cfetuada pelo uso de tubos pcl'rurados.
analognmente
ÂNGULO OE TORÇÃO DE MEMBROS CIRCULARES
Até o momento. neste caphulo, foram discutidos os m~todO$ de determinação
de tensões cm eixos circulares maciços c perfurados. subrnccidos a torques. Agora
a ate11çli0 será dirigida para o m~todo de determinação do 5ngulo de torçllo para
eixos com carregnmento torcional. O inlercsse nesse problema justilico.·se por
trfs razões. Primeiro, é importante prcver·se a torção de um eixo em si, porque
nllo é suficiente projetá-lo openos para a resist~ncia : etc tnmbém nlo deve se
dcro rmar exce..\SivRmente. Em seguida.. as masnitudca das rotações anaulares dos
eixos slo ne~.s6rin.s na análise de vibraçOo torcionaJ de mAquinas, embora esse
assunto não seja aqui tr11tato. Pinalmemc. a deOexlo angular dos membros é
necessária no trotamento dos pr·o blemas torcionais cstatfcnmente indeterminados1
discutidos no Cup. 12.
De acordo corn a premissa l, enunciado nn Scç. 5.3. os planos perpendiculares
ao ei:to de uma borra ci rcular n4o empenam. Os elementos de um eixo sofrem
deforonaçllo do tipo mostrado na Fig. 5.8(b). O elemento hachurado est' mostrado
na suo posiçlo ntlo-deforma.dn.. na Fig. 5.8(a). De tal eixo, um elemento tlpico de
comprimento tf:< ~ anostTado isoludnmenlc, na Fig. S.9.
S.1
EXEMPLO S.S
Selecionar um eixo mociço para um molor de 10 CY que opera a I 800 rpnL A mohírna
tendo de c:&.. lhamcnlo é limitada a 5.6 ka(/ nun'.
SO LUÇÃO
Pela Eq. S.l:
T•
716,2CV
716,2(10)
,n L,
8
N
I 800 - ~ • &•m-
Pela Eq. 5.8:
T
J
-c - -t.,,.Jj
l,98 >< lO' - 710 S
,
5,6
• mm
ou
2
J
2{1l0.S)
c' - - - •
• • S2.3 mm'.
• c
"
Assim c • 1,1 mm ou d • 2c- IS.4mm.
Para os nnt prAtfcos um e l~o do J6 mm provavelmente Jcrá o seloclonado.
I!XI!M P LO 5.6
Selecionar ebos maciçot para transmitir 200CV eada um. a.cm ultcaJ)«.nar a tenslo
do ciu.Jhamento de 7 kg(/ mmJ. Um desses cbot opera a 20 rpm e o outro a 20000 rpm.
(•)
SOL U ÇÃO
O indic:e J nplica·sc ao eixo de baixa rotaç4o: o 2 ao eixo de aJta rotaçlo.
Pela Eq. 5.1, tem·>e
T
•
= (CVX716.2) • 200(716,2) = 7
N,
anafogamentc
T 2 .,. 7.162 kgfm.
1 44
(b)
F igura 1. 8
20
k f .
16 2 8 m,
Eixo clteullt (1) antes (b) depois da :~plicnç8o do torqu•
No elemento mostr~do. uma linha ou "'O bra.., tal como AB_,. ínicialmente ê
paralela à linha de centro do eixo. Após a aplicação do Io rque, ela adquire uma
nova posição AD. Ao mesmo tempo, em virt ude da premissa 2, Seç. 5.3, o raio OB
perrnanece reto e gira de um Ung-ulo ''"' pnm a nova posiçilo 00.
lndjcando o pequeno ângulo DAB pot Y_,,.• cem·se. pcln geometria,
arco BD ==- y~c/.'(
ou
arco BD -
dq~c,
145
onde ambos os dnaulos do pequenos e medidos em radjanos. Assim
(5.9)
1,..,dx = dq>c,
' - é válido apenas na zona de um wtubo" Infinitesimal de mbima l<~n..-o de
cisathamento t-.,-· Umitando a ate.nçlo à resposta eiAatica linear, n lêi de Hooke
é aplicável. Dessa forma. de acordo com a Eq. 4.11, o ansulo '•*• é p<oporcionaJ
a t-.._"". isto é, Y•./IIIN - -r• ..,)G. Além do mais. peJa Eq. !í.4. T,__.. - Tc/J. A&llir11
' -· = Tc/(JG). • Substituindo a última expresslo na Eq. S.9 c cancelando c,
dtp
T
Tdx
dX - Jõ ou tlip - Jã'
(5.1~
Flgur• 5.•
•.•
Elemento de um etxo çfrculat
aubmtlldo a um IOrQue
vençi.o de sinais, veja a Fia. 2.2). Para o equillbrio desse elemento infinitesimal
<.dx +dT - O ou
dTfdx - -r•.
Difercnc:iando a Eq . .S.IO cm rclaçilo a x, tem·.• • o reaultado doaojado:
d ' cp
dT
JG ('.12)
1
dx=
dx.- - r...
.:~
As condições de contorno parà essa equaçl.o contlstem da cspcclncaçl.o de
'I ou Tem cada contorno. Pela Eq. .5.10 deve nc:ar claro que T - JGdq>/d><. N eaac
caso. como na Eq. 4.32, podem ompreaadu funçõeo de tinaularldade para
!"omefltOS concontrad~. A Eq. ~.12 pode aer uuda na aoluçlo de problemu
Indeterminados. Uma d11cuaalo mata comp leta de ta.ia problema• 6 dada no Cap. 12.
fllgulfa 8 .10
EJomento fnfinic.tl·
m., de um tlxo sob a • 910 de vm
_ __ .._r_
,_
wQue
Esse é o dnaulo relativo de torçllo de duas seções vizinhas distantes do uma
distAncia infinitesimoJ d-<. Para achar o angulo total de torção <P cncrc quaisquer
duas seções A c 8 sobre o eixo, devem ser somadas as rotações de todos os ele·
mentos. Assim, a expressão geral para o 5ngulo de torçJo em qualquer scçlo para
um eixo de material linearmente elâslico é
q> -
r
T(x)
JWG dx + C.,
_, . .f~.·_.:.,x~<l '• "'" 7"T,+m- •
_!!O,_ ___..J.:..--i.~~-~-~r---~:::.-;;
,-+-
x
5
Os doi.s ex e mplos que ao seguem llust.-am aplicações da .Eq . .5.11.
I!XE MPLO S.7
Aehar a rotaçlo relativa da tcçlo S.B com tc~pcito à teçlo A·A. do eixo maciço mOf.o
Irado na Fia. j _JJ. quando um torqut~ cont\ante T • tra.namhJdo por e lo. O momento d•
lntrola polar da ~·• da a.çlo tran•ve r11l J 6 cont tante.
(S. !I)
0
onde a constante C 1 6 o On aulo de torção nu origem. O conjugodo interno Te
o momen10 poJar de inércia J. podem vurio.r ao longo do comprimento de um eixo.
A c.lireção do iingulo de torção <p coincide com a direçllo do torque aplicado T.
A Eq. 5.11 é válida paro. os ei xos círc:ulores maciços c perfurados, o que se
segue das premissas usadas na deduçAo. O ftngulo 1p 6 medido em radianos.
Observe a arande se melhança entre essa relaçfto e a Eq. 4.29 para n deformaçlo
de borras com carreaamento axial. Aqui, T(x) substitui P(.x), J(x) substituí A(x),
e C é usado cm lugar de E.
Para JG constante, a Eq. S.lO pode ser "'apresentada na fo rma de uma
equação diferencial de segunda orde1n. Anteriormente a essa etapa. considere
um elemento, mostrudo no Fig. 5.10. submetido a conjupdos nas extremidades
Te T + úT e a um torque distribuído t ••• tendo unidades de ksfm/m. Como a
re&ra da mllo direita (parafuso de rosca direita) foi usada para conjugados, todas
essas quantidades estio mostradas na rigura com o sentido positivo (para a con-
•o arg,umc:nto antorJor pode 11cr upi"C5(:ntltdU cm ccrmo1 de qul\lqucr 1. que pragrcssivamcnlc ac
lOI'na menor quando o eixo da barra 6 aproximado. A ii nica difcrcllÇ4 na deduçllo con.sisre c:m te tom;u
um an:o corrapondcl'tc a 00. uma diat&nci:a arbitdriap 6o ce:ntro e usando TpjJ no luaar de Tt:/J p.arn'"
146
...
......, ,,
SOLUÇÃO
Nesse cato. T(x) - T c J(.~) - J; dessa fonna. pela Eq, S.ll
AIP-
f.
L Th
T
---JG
JG
0
r.• d x - - ·
0
TL
JG
(S. I 3)
A Eq. S.l3 é uma 1m portanto relaçlo. que pode .ser usada no projeto de eixos p.~~ro rigidez.
llto t. pa.rà uma torç:lo limitada que podo ocorrer cm tua o• tendo. Para tal aplicaçlo T,
Lo G d.o quantidade~ conhecldu. e a soluçio da Eq. $.13 fornece J. Juo nu o tamanho do
el•o ncc:eaa6rio (veja u Eqs. S.3 o S.6). ObscrYe que, para a rigidez., J ! o parâmetro sianifi·
ealivo e nlo Jjc do rcquísito de rcaist!ncla. Eisa oquaç.llo 6 UJa.da na anilisc de vibraçilo
torc:ionaJ. O termo JO t chamado de rfgltlrJ torolonnl do ei.xo.
Outra aplkaçi.o da Eq. .S.lll cncon1rada cm laboratório. AU. um e.i.xo pode ser submetido
a um conJuaado conhecido T. J pode ser calc:uJado du dlmcna6es da poça, c a rota.ç io an~
aular rolatlva entre dula planoa, dlstantot de L. padc aer medida. Emlo, usando o Eq. S. I),
147
pode ser calculado o módulo de ela.stieidade ao c:italhamcnto na faixa elútica. itto t. G •
NO úhimo grupo de integrais os Te J slo COI'\StantC$ c.n tn: os limiles considerados. e
cada intcval se converte cm uma soluçlo. Eq. S.Jl. Assim
- TL{l<p.
Ao usar a Eq. 5. 13, observe que o ãngulo '11 deve ser expresso em radianos. Obsenoe ·
Iam Mm a semelhanç• e.nlre a Eq. S.13 e a Eq. 4.33. 4 - PL/A.E., formalmente dedut..ldo para <;:;P ii.o'•';'j
barras com carregamento axiul.
V'- T beLtJt + T,p L.çD + T .rLJtÇ + TA,Lt4!-
J ,,o
Considere o e:hto de acçlto variável da FiJ. .S.I2. cnaaatado em umn parede cm e, c de- I·
termine a rotaçD.o do extremidade A. quando do aplicados ot dois torques em n c D. Admitir
que o módulo pura o clt.alhAtnento G seja 8,.S x lOl kar/mm 1• um valor tlpico pa.r11 01 aços,
B
I!
},
To-120q.rm1Xl
JOOmm
$OOm111
(•)
tCOk~;fm
<
1 '
l'(gure 5.12
\ •
o--------~=====2=0=k~1nn===~~==~~~~·~·-·~·~·~·----_J
(b)
SOLUÇÃO
Pela Eq. 5.l :
Pelo Eq. 5.6 :
~ (d:- di) - ; 2 (so•- 2' 4 ) - 575 24.3 mm•.
J lXD - J oc -
onde os indice.s reprcsenlo.m 11 faixa de nplicabilidadc do um dado valor. Bntlo, paunndo
seçOes arbitrflrios X 1 ~ X 1 , .\' 1 ·X~ c X 3 · X 1 , e n cnda lnltarHc considerando unu1 porçlo do
el"o li esquerda de 1011 scçOei, sno achados os torquc..• internos para os vArio• fnccrva loa,
com os valores
'•e -
TA• - O,
T,., Tc o • 20 kafm,
TD11 - 140 kafm.
O diaarama cJe torque. correspondente a e11u quantidades, está apresentado na
Fig. 5.12(b~
Para achar a rotaçlo du extremidade A, t aplicada a Eq. S. I I. com os limilct de intf'o
&ração desmembrados noe pontos em que T ou J muda abruptamente de valor. lntcarando
da direila para a esquerda. porque a extrcmidadl: direita estA engutada, obt~m-·sc C 1 • O.
"' -
A T(.~)d:\'
i
c
- -- =
J(x)G
I.
•
o T D6d.\'
r
TcodX
----- +
----- +
J • •G
0 Jc0 G
J.,. ,.o
- 0,0143 + 0,0012 + 0,01 23
- 0,0278 rad
ou
(360/2•MO,Ol78) • I,S9•.
A parte A 8 do eixo não contribui pMa o valor do ângulo tp porque nenhum torquc interno a ge nela ; cfa gim ta.nto quanto a sc:çllo ern 8. Pouca contribuiçQo para fP ~dada pela
parte CD, porque um pequeno torque interno c um grande J estfjo U!<Jociadoc eom cne segmento: nlo h&\ dúvidas de que e xiste UITUl perturbação nas dcformaçôa: no reuaho. mas
c:S5C: efeito local tem pouca importâ ncia na rotnçio total.
O anaulo calculado seria igualmente verd(tdeiro para uma rocoçllo relotiva d3s seçõc:s.
em um problerna. an61ogo de cotaçlto de eixo.
TENS0ES DE CISALHAMENTO .E DEFORMAÇOES EM EIXOS
CIRCULARES NA FAIXA l NELÁSTICA
A r6rmula da torção para sc:çOes circulares. deduzida anteriormente, baseia-se
na lei de f-Jooke. Dessa forma, ela se apl ica somente até que o limite de propc:)rcionalidnde do material ao c:isaJhamento seja atingido no anel mais externo do
ebo. Aaora a solução será estendida para incluir o comportamento ineJástico de
um rnaterial. Corno anteriormente_ devem ser satisfeitos os requititos de equilíbrio
em uma scçlo. A premissa de deformaç4o com variaçlo linear perma,nece aplicável.
Apenos o diferença nas propriedades do material afctam a soluçlo.
Uma scçilo de um eixo está mostrada na Fig. S. l3(a). A variação linear da
deformaçllo está mostrada esquematicamente na mesma figura, Algumas prO·
priedadcs mecl\nicns dos materiais no cisnlhamento, obtidus, por cxernplo. nas
5.8
experlenclas com tubos delgados em torçllo. estilo mostradas nu Figs. 5.13(b).
(c) c (d). A distribuição da tendo de cisnlhamento correspondenlc está mostrada
à direita, em cada caso. As tensOes $llO detenninadas a pnrrir da.s deformações.
Por exemplo, se, em um anel interior, n deformação é a, F'is. S. I J(a), a tensão
correspondente é achada pelo diosroma de tensão-deformação. Eue procedimento
é aplic4vel a e ixos maciços assim como a eixos feitos de tubos concêntricos de
materiais diferentes, contanto que sejam usados os diagrarn&S tensll~deformação
correspondentes. A d edução pam um m atcriaJ elástico linear ê simplesmente um
caso especial d esse problema.
Após ser con hecida a distribuição de tensões, o torque T é achado como
anleriormcnte, ilao é,
T -
148
J IICG
J40 X 10 3 (500)
20 )( 10 3( 300)
20 )( 10 3 (200)
• 515 243(8.5)101 + 575l4J(S. S) IO' + 38 350(~,5) 1 01 +O
EXEMPLO 5.8
.........
J, ,a
L[
T(rlA)]p.
(5.14)
149
r
nhos de dcformaçlol q ue causam deformaçlo pennanentc no material d esen vol·
vem·so tonJOcs rosidu.UL Eaao progeaao sert Ilustrado em um doa ex~anplos quo
so seguem .
Para detenninaçlo da razio de torçllo de um eixo circular ou tubo, a I!q. $.9
pode ser usada da aeaulnte rorma:
dqJ
(b)
l'-...
Y.
dx- -c-- P. .
(c)
r
(S. IS)
Aqui devo ser usada a máxima deformação angular. em c ou a de(ormaç&o
cm p•• determ inada pe lo diasrama tensão-doformaçllo.
Ol•l.ribu5flo • lútk-a de tentiO
Oh:tdtl4dçlo pl.úlka de tanalo '\..
(a)Vvi•çlo de defOtmiÇIO ..Smitich
(o)
Ftaura ••14 Pata os tubos de parede fina. e diference entre
.. tens6aa el•atic.u • pl•adcu, • pequene
(f)
r
EXEMPL;O 5.9
(d)Ro.la~;5es de tonslo-<Joformaçlo
(g)Dlstrlbulç.lo
"
Um. eixo maciço de a ço, de 2S mm de diâmcuo t tl.o aevera me..nte 1orcldo que apcnu
um nücleo de 8 mm de dfAmetro permanece cl4sdco, Fig. S.t 5(a). Se o matcrflll tem u pro.
prledadCI idealizadas como mostra a Fi .. 5.1~b), que tensões c rotoçlo re1iduais pennano·
c:erlo ap6a o a livio do torque aplicado?
lt.nllo co:TOipDAckiiW
SOLUc:;AO
O procedimento nnalit"ico. o u o grálíco, pode ser usado na avaliação de&sa
integral.
Embora a distribuição de tensão de cisalbamento seja nilo-linear após excedido
o limite elástico, e a fórmula de torção elástica da Eq. 5.4 não se aplique, ela é
usada por vezes na aresta externa do eixo para calcular uma t~slo fictícia para
o Iorque de r uptura. A tensão culculada é chamada de m6d!A/o d• l' llplllra; veja as
linhas tracejadas nas Fig,s. 5.13(1) e (g). E la serve como um Indico grosseiro da
resistência h ruptura de um material em torçllo. Para um tubo de parede delgada,
a d ist ribuiçllo de tensões é bastante próxima da mesma, independent<:mente du
propriedades mecã nicas do material, Fig. S.l4. P or essa razão, silo usadas com
l'reqüêncin, experiências com Lubos de parede delgada. no estabelecimento dos
d iagramas tensão·defo rmação no cisalhamento (t-y).
Se um ci•o é deformado até a faixa plástica e o conjugado aplicado é removido,
todos os anéis imagin ários retornam elasticamente. Devido âs diferenças nos cami-
150
Para inlc;lo devem ser d eterminados a magnitude do torquo inici.aJmenlc apUcado c o
correspondente ãnaulo de torçi.O-. A dltlribuiç4o de tensôe5 correr.pondentc a dada condiçlo
está. mostru.dn na Fia. $. 1S(ç). As ten~ça varianl linearmente de O o J6 kg(/mm 2, quando
O< p < 4 mm; a tenslo ~ constante cm 16 kaf/nun 1 , para p > 4 mm. A Eq. S.J4 pode i'er
U50.da para determinar O IOrQUe &pJic&dO T. 0 alivio do torque T C&U5a lcnfl5cs elàstiCBJ., c
K aplica a Eq. S.<l; Fia. 5. 15(d~ À diferença entre as duas diotribuiçcks ele lens6es, corres·
pondcntc 6 inexistência de torque ule.rn~ dá as tensões rcsid\•Dia.
T•
+
L•pdA - f. 2n<p'tlp = [ [ :
16]2np'dp
S: '·' (
16)2>rp' dp - 1 608 + 63 30S - 64 913 <armm - 64,9 kgfm.
(Observe qutlo pequena é a contríbuiçlo da pri meira intcgrnl).
'f-.. -
r.
64913 " 12.s
,
T- t</J 2 .x 254 - 21,2 kaf/ mm .
161
T
Smm
I
I
o I
l
I
I
/
/
d.P/dz - e
(•)
(b)
- - - -- ---,,-
.5·,2 kaf/mm 1
t6k.~mm~-.,-~.-------------------711-r--------~-------r~cu~
8,8 t.gf/mm~
+
8,8 k;r/ mm 1
(()} AI hfo d l ll
tcn1~1 et&stku
(e) TensOd reddu,alt
SOLUÇÃO
Se om grande to.rqoe é a plicado ao membro, grandes ddor"mações aparecem cm todos
os ponto.s, cxceto próximo do centro. Correspo ndente às g.rnndes deformações do material
idealii;.ado, a tensão de cisalhamcnto para escoamento seril atingida em todos os pontos
exce'o próximo do centro. Entretanto, a resistência ao torque aplicado, orerecida pelo mu·
tedal localizado p róximo do centro do eixo ~ desprczlveJ q\1ando os p correspondentes são
pequenos.. f'ig.. 5. 16(b). (Veja a cootribuiç.ii.o ao Lorque T pela nçlo elã.stica no Exemplo 5.9).
Assim, corn suficien te grau de precisilo, podc:~se admitir que uma tensão constante de dsnlhamento tur atue em todos os pon tos da .seção considerada. O torq ue correspondente a
essa condiçfio pode ser considerado o torqtH!·fim ite 0\1 de ruptura. (A Fig. S. J 6(c) dá uma
bnse lirme para essa afirmativa). Assim,
Ffuur• 1.11
Bm p - 12,5 mm. t,.....J11 _ , - 21.2 - 16,0 - .S,2 kaf/mm 1 , Oois diagramas do te.nsôes re..
sfduaJs aiJ.o mostrados na Fig. 3.1.S(t:). Pa ra c lareza os reaultados inlclai..s Jll.o retraçados dâ
linha horizonta l. Na porç4o hachurada do dingrurnn. o torquo residual~ no sentido hor,rio;
urn torque residual OJiiatamcntc iaual atua nn d ircçlo oposta. na parlo interna do eixo.
A rotaçllo inicial é melhor determinada pelo d .lculo do n úcleo clbtico. Em p - 4 mm,
y- 2 x w · a. A volta elástica do eixo~ dado pela Eq. S.l3. A diferença entre AS torções
elástica c inclástka dá a rotação residual por millmetro de eixo. Se o torqoc fnicinl é rem·
·
plicado na mesma d ircçio, o eixo responde elasticam.ente..
''fi'
dtp
Elástico:
Residual :
,
T
';i; = J O
2 x
Jo - .. ,.,. S >t 10 -.a por mm.
4
64913
25"'(n/32)8,S )( toS - 1,99 X
w-.a por mm.
dtp
dX = (5- 1,99)10-• = 3,01 x 10-' rad/ mm.
EXEMPLO 5.10
Determinar o torque suportado por um eixo circular maciço de aço doce. quo.ndo as
tensões de cisalhnmento ultr(lpassam o limite de proporcionalidade em todos os pontos.
Para o oço doce. o diagrama tensão-ddormação ao cisalhamcnto pode ser idealizado con·
fo rnte lnostra a Fig. S. t6(a). A tendo de cisalhnmento no escoamento T ut é considerada como·
sendo a mesma do limito de pro po rdorHtlidade no t:italhamento.
152
(e)
Fig ura 11.16
1
21,1 ksrtmm -,.- - - --
Inelástico: - • 7- tlx
P.
«:$C
I
(b)
(•)
rUm - 4 /) r
r
··~/
2.5 mm
Auíntoto.
t ,..., . -
I.
t.,.•t ti A p • [ 2npl rr.udP
2Rc
3
=3 - t~~
_ 4
T.,•t nc"'
4
t c1 .,.J
- 3 7 T =3 -c-
(S. I )
6
Observe que, d e acordo com n Eq. S.4, a lr'IÚ)(ill1U ca paéidade de: torq ue elástico de um
eixo sóli?o é: Tt.o,(o • r.,,.,.J f c. Dessa rorma, como
é 4/3 vezes e-sse va lo r. apenas 33'/3 %
dl\ capacidade do torque permanece após a ocorréncin de "'f~.w- nas fib ras extremas de utn eixo.
/to Fig. S.J 6(e} mostra um gráfico de Tm!rsus 8, o ll ngulo de lOrçlio por unidade de d istância,
quando ocorre a pll'\sticidade lotai. O ponto A corresponde nos resultados encon trados no
e xemplo anterior; a lin ha ABé a recuperação e lâ.stica;e o ponto Bé oB residual para o mesmo
pro blema.
Dcve~se observar q ue, em elementos de máquinas. por causa das propriedades de fadiga
dos materiais, a capacidade estática ljmite dos eixos, como n nvnliada a nteriormente, é gera lmente de pouca ímporu"tncia.
r,..,.
5.9
CONCENT RAÇ0 ES DE TENSOES
A_s E q s. 5.4 e 5.8 se aplicam a eixos maciços e t u b ulares, apenas enquanto o
mat~nal se cornportar elasticamente. Al~n do mais. as áreas transversais ao longo
do e1~o devem permanecer razoavelmente constantes. Se ocorrer variação gradual
no dJt\ll'lctro. as equações acima dão soluções sntisfatórias. Por o utro lado, no
cnso de eixos escalonados, em que os diilmclros de seções vizinhas mudem abrupta153
mente, ocorrem grandes perturbaçOes nas tensões de ci.s alhamento. Em tais casos
na junç4o das dou partes próximas do centro do eixo. as tensões de cisalhament~
pennancccm aproximadamente u mcsrnas <.~ue as anteriormente discutidas. Por
outro lado. nos pontos e.xtremos, a parcir do centro, oeorrcm vandes tensões
locais do cisaihamcnto. 0$ m6todos de dotorminaçlo dossa<s concentraçõca de
tensOes fogem ao escopo deste texto. Entretanto, formando-se uma rclaç4o entre
a mAxima tensão de ciJ&lhamento verdadeira o a mUima tenslo dada pela Eq. S.4,
pode-se obter um fator de conccntraçio de tensôes torcionaia. Um m6todo análoao
foi usado na obtençlo dos Iatorct de c:onc:o.ntraçio do ten10es n01 membros CIOin
carrc:gamcnto axial (Seç. 4.18). Os fatores de coneentraçllo de ten&Oes dependem
apenas da geometria do membro. Os fatores do concentraçlo de tensOes paro vAriu
proporçOes de eixos escalonados rcdondoe estio mostrados na Fig. S.l7. •
K
Flgur• 5. 17 Fa:ores de çOneentr~ de mnslo
torcion•l not eixos de aeçlo variivel
o
F igura 1.1 a
Eixo circuJat corn
rttOO de cN~tt
Pnra se obter 11 tcnsilo efetiva em uma descontinuidade geom6trica de um
eixo escalonado, seleciona·se uma curva da Fig. 5.17, para um Djd particular.
Então, o fator de concentração de tensões K, cor.respondente a um dado r/(d/2)
é lido da curva. Finalmente, pela definição de K, obt6m-se a mâxima tensão de
cisalhamento efetiva pela Eq. S.4, isto é,
•~~ = K(Tc/J~
(S.l7)
onde a tensl.o de cisalhamento TC/J é determinada para o eixo menor.
Um estudo dos fatores de concentraç4o de tensõca na Fig. S.l7 enfatiza a
necessidade de um generoso raio de concordAncia r cm todas as seç6es cm que
ocorre n transiçio de diâmcLro do eixo.
•eua llaura~ ad1pcada de um trabalho tkoico do l- S. Jacobsen. '1"orsional-Strea Concentratlons
in ShatlJ o( O.mdar Cross-sution anel Varlable Diameter.., T'tons-etetiolll' t{' AHtn'U.I Sodnyet{ M ulaclnlcol
E"fflne-~s. 41 (1926). 632
154
Conaidcráveio elevadores de tendo tamb6m ocorrem nos oixoo, nos orincios
de tubrifieaçllo e DOI rasaos de chavctu, O. Clltlmos llo neocsaárloa para fia:açlo
de poliu ~de CDJil'enaa""': ao oixo. Um eixo preparado para urna chaveta, Fig. S. IS,
nAo 6 mata um ~ombro ciCcular. O efeito do concentraçllo de tensões é particularmente pronuncaado nu extremidades doa rasaos do c:haveta.s. Numericamente
K para raa1101 do chavetu rotanaulares é bastante elevado. Para detalhes de prO:
jeto o leitor é aconoelhado a procurar Jlvroa 1obre projeto de máquinu.
Oovldo a alauma n~~posta lnolástlca ou nlo-linear doe matorlaã reaia, pelas
razões análogas b aponladu na Soç. 4.18, as conccntraçlles de tenaOes teóricas
baseadu no comportamento do material elilstlco linear tendem a ser de vnlor
elevado.
.S.IO TORÇÃO DE BARRAS CIRCULARES VISCOELÁSTICAS
Em als:umu apllcaçôea 01 membroa torcionaia aprca.entam um con1porta·
menta dependente do tempo. Por oxomplo, uma barra aujeila a um torque con1·
tanto pode continuar a torcer por alaum tempo. Esso 6 o fcnOoncno da nu!ncla.
Como iluatraçllo desso comportamento, con1ldeno uma barra drculor de u.m material linear viscoelbtico, &ubmetida ll açlo do torquo T(x) Do instante r - O. que
permanece constante a partir daquele momento.• O Anaulo de torçlo <p dessa
barra 6 função da poalçlo x sobre a barra c do tempo r, ou simbolicamente tp(x, 1),
O ânaulo de torçlo desu barra por unidade do comprimento é 8(x, r) - iltp(x, t)/~x,
que é uma quantidade maia oonvanicntc de con1iderar na discusllo desse probleonL
lntearando 8 ao lonao da barra, o tnaulo total de torçlo <p pode ..mprc 1cr obtido.
Para qualquor barra citoular de material vi1coelAitloo 1ubmetldo a um torquc,
a premiuu básica clnomAtiea do quo 81 deformações variem linearmente da linha
de centro do eixo (ou da barra) permanece vAlida. Desta forma. recordando que p
é a distAncia radial do centro do eixo, tem-se••
l'(x, t, p) - O(x, t)p,
(S. IS)
que estabelece ser a derormaçlo angular y, para u.n1 dado x e r, simplesmente uona
runção linear de p, como no caao elástico linear.
E.an seguida. volta-te a atençlo para uma relação constitutiva para um material
viscoelbtioo linrar, e por analo(lia completa com a Eq. 4.27, exprime-se a dependência da defonnaçlo angu.l ar com o tempo como
)'(r)= r 0 J,(r).
(S.J9)
onde r 0 é uma tcnsAo de cisalhamento constante, e 1,(1) é a correlaçlo de nuênciu
no cisalhamento. Elsa expresslo pode ser reaarupada como
r 0 = )'(r)/]{r).
(.S.I9a)
• Analltic:amCDtc MM upreulo podt ..-dada por T'(;c.t)- T(x)ll(t,_. onde H(i)' o opcmdor d~:
HcaviJido. que• xcro para 1 < Oo6 ia,ulla um para t > O. Como nessa dlsc:uJilo~ con•idcrado um impulw
airnpaet do T(x) essa notaçlo mail completa niO t ucada
.. Usaodo a notaçlo -.cima. a Eq. 5.9 fornece.,_ - De Para um raio arbildrio p, no ILIJif do'"·
..,. ....,-o fica 1 • Op, OlA, ta~ lboOc>aOI, 'J(x,p) • B(xjp. Na 1!4. S.tlê induldo a depencllncia
adicional de 1 e O com o tempo t
165
Em um problema viscoelá$tico essa equaçlo deoempenha a mesma funçlo
que a relaçil.o ordinária de tensão-deformaçlo exeroc no problema elá$tico. Dessa
forma. se a tenslo t 0 para um elemento é funçlo de aua posição, dada por x e p,
a Eq. S.I9a pode aer generalizada para
y(x, '• p)
O(x, t)
l,(t) • J,(t) p,
t 0 (x, p) e
(5.20)
onde o último resultado 6 obtido pelo uso da cxpresslo pam y, dada pela El!. 5.18.
Na Eq. 5.20, ob!erve especialmente que a tens§o de cisalhamento t 0 6 índe.
pendente do tempo e vnrin linearmente com p, precisamente como o raz no caso
elástico linear. Dessa formn. pode-se concluir que a distribuiçlo de tens6es nas
barras circulares ~ a mesma para os materiais eh\sticos lineares e para os viscoelásticos lineares, e nlo varia com o tempo.
A Eq. 5.20, para a tensfto de cisalhamento pode ser su bstitulda na relaçlo
de equillbrio T • JrpdA. da mesma maneira que foi usada na deduçlo da fórmula
de torção clãsticn, Eq. 5.4. Dessa forma, obtém-.s o
T(x) =
J..(
t 0 (x, p)ptiA
-
r O(J'.~x,( )c) p t/A ,. ~(·r )t) J,.r p dA = O(J'.x,,(r)t) J(x). (5.21)
J...
1
t
2
,
onde. <:orno na soluçao olAsllca, J(x) é o momento polar de inén:la da 6ret1. do
seçlo transversal; é uma funçlo de x. jâ que c pode va.rlar com x.
Reordenando a Eq. 5.21, obtem-.se
fl{x. t) - nx>7.(r)/J(x).
(5.22)
que di o llnauto do torçlo por unidade de <:omprlmento da barra. devido ao torque
apiJcado em funçlo do tempo. No inalante t • 0. como J,(O) • o-•,
fl{x, O) • T(x)f(JG).
(5.22o)
onde G(t) é o môdulo de relaxaçlo no eisalhamento. De acordo com essa relação,
como no caso das barras com carregamento axia~ o Iorque interno T diminui
c:om o tempo.
Deve-se enrntiza.r que as duus soluções anteriores estio limitadas a impulsos
de funçllo salto do torque ou do nngulo de torção, respectivamente, em t • O,
pern1o.necendo. então constantes com o tempo. Se ror aplicada uma seqOSncia de
carregamento ou derormaçào, respectivamente, é necessArio o uso do principio
de superposfçllo de Boltzmann (Seç. 4.16).
Como observado na Seç. 4.16, ~ essencial, nas aplicações prAticas, a cuidadosa
se,LcçAo das constantes de material cm problemas viscoelAstlcos. Elas dependenl
rortel11entc da temperatura Al&n do mais. a idealização line.or para a resposta
viscoc:lhtica pode não ser suncienteme:nte precisa para alguns materiais...
MEMBROS MACIÇOS NÃO-CIRCULARES
O ttatOI'n ento analítico de membros maciços não-circulares cm torção foge
ao escopo deste text·o . O tratamento matemático do problema é complicado.* As
duns primeiras pretraissas enunciadns nn Seç. 5.3 não se aplicom n membros nâo-circulores. As seções perpendiculares no eixo de um membro Cl'npenam quando
~ oplicÍtdo um torque. A natu.re·z a dn.s distorções que ocorrem em uma seção retan·
auiAr pode aer vista. na Fig. 5. 19.•"' Pnra um membro retangular, por estranho
que p3reça. os elementos dos cantos nlo distorcem. AI. tensOa de císalhamento
nos c:nntos slo nulas, e silo mbimfts nos pontos médios dos lados longos. A Fig.
S.lO mostrA a distribuiçlio de tensilo de eisalhamento ao longo de três linhas radiais
que saem do centro. Observe., pa.rticularmenle. a dife.rcnça na distribuiçlo de tensões
con1pamda com aquela de uma seçlo circular. Para a UJtima, a tenslo é máxima
no pOnto ma.ls remoto mas paro a primeira a tensão é nula naquele ponto remoto.
S.ll
g
que <:oncorda completamente com a Eq. 5.10 e dll o Anaulo de torçlo por unlcladc
de comprimento para uma barra elástica linear. Por eua ra:tão, .., O(x, O) • o.~x),
a Eq. 5.22 pode ser reescrita como
B(x, t) = 9,~x)G1,(t),
-ll[tiYif), I I
(5.23)
j
I
FiguN 1.19 Eixo retanguhu ( a )
(b) depois 0• aplicação de
que mostra a rclaçlo clara entre o ãngulo de torçlo elástica 9., e o Angulo O no
inS<ante r, para uma barra de material de nuEnda J,, que deve ser determinada
experimentalmente. Essa solução é aplicável a problemas estaticamente determinados c indeterminados, contanto que o material seja viscoelástico lintol' e as
condições de contorno n§o mudem com o tempo.
É interessante observar que essencialmente pela mesma argumentação se pode
mostrar que, se um üngu lo constant·e de torçll.o tp0 6 imposto na extremidndc livre
de um eixo circular de material viscoeláslico linear, no instan te t - O.
• euo problema permaneceu aem lCOiuçfto tll6 q u\: 8. de St Vcnant, d~acnvolveu umo soluç'Ao paru
lflÍII probfcnllt, cm J8Sl. o problema torci onul sernJ ~.por Vt-'lC$. çhamado de l>fOblcma de St. Vcnant
T(t) = G(t)Jtpof L,
•• • Uma cxper l~ncí.a com uma borracha de lf'I'IUIU. na qual se ttaça Umll a,radc rctonaular, dernon:Hra
ene upo de dl.atorçlo
156
(5.24)
~ntes e
um Iorque
Essa situaçlo pode ser explicada por meio da análise de comportamento de um
elemento de canto, como mostm a Fig. S.21. Se existisse uma tcnsl!o de cõsalhamento t no cnnto da peça, ela poderia ser decomposta cm duas componen tes para··
157
telas àJ arestas da berra. Entrecanto, como oc cisalh4mcncos sempre ocorrem aaa
pares, aluando em platt'?" mutuamente per pendiculares, essas componentes teriam
do ser obtidas nos pltlDos das suporlicies externas. A Oltima situaçlo t impoul""l
po rque as super ficics externas alo livres de tensões. Assim 'T d eve aer n ula. Con.
sideraçOes análog as podem ser aplicadas a outros pontos sobre o conto rno, T odu '
as tensôea de cisalbamcnto no plano de um corte próximo dos contornos atuam
paralelamente a eles.
•
Flgvr• I . ZO Oi.aufb\.tiek de tentto de císa lha·
mento om um e:lxo rttanaul•r aubmndo 6. açiO
1 er convenientemente
solucionado. matematicamente foi idealizado um mécodo
aotAvel.• Ocorre q ue a soluçlo da cquaçlo diferencial parcial do problema da
torçlo eliotJca i mate maticamente a m d rn& que a cquaçlo do uma mombr.na
delgada, tal como uma peUcula do n bllo, llaoiramente distendida cm um oriRcio
·,esse o ri lielo d eve ser a<>ometrica mente ..omelhante 11. aeçlo tranavcraal do eixo e,;
estud o. Love preulo de ar d eve aer mantida de um lado da m embranL Bntlo o1
..,,.,intoa pontos pode m ser moltradoo:
1. A tend o de cln lhament.o em qua lquer ponto 6 propo<Cional i lnellnaçlo
da membrana distendida ao mu mo ponto, Fig. 5.22.
2. A dlreçlo do uma tenal o de cisalhamento particular em um ponto 6
perpendicular l incllnaçlo da mem brana no m esmo ponto, Fia. 5.22.
3. O dobro do volume envolvido pela membrana 6 p roporcional ao Iorque
suportado pela aoçlo.
Flgu r• 1..2'1 A tenalo de dNI._.
m•nto mostr•O• nlo QOde IXlltlr
do um to1que
SoluçOes analltlcas têm sido obtidas J»ra a torçlo de m embros elhticoo
rotangulareo.• O. mttodos uaadoo fogem uo escopo deste livro. O. r esultados
finais de tal análise, entretanto. silo do interesse. Para a mtxima tenslo do cisalhamento (veja a F ig. 5.20)., o ãnaulo de torçlo, esses resultados podem ser colocados
na seguinte> forma:
T
T_. - crbc::l
e
TL
"'= Pbc'G'
(a)
sendo To Iorque aplicado, como antes; b 6 o lado lonao e c 6 o Indo curto da
seção reiangular. Os valores dos parâ metros" e P dependem da relnç~o bfc. Alguns
desses valores siio reaistrados na Tab. 5.1. Parn seções delgadas, quando b é muito
maior do que c, os valores do cr e {J aproximam-se do 1/3.
TABELA '-1 - COEFICIENTES PARA EIXOS RI!TANGULARES
b/c
{J
1,00
1,50
l.OO
3.00
0.208
0.231
0.246
().267
().141
0.196
0.229
0.26J
6,00
0.299
10.0
00
0.312
0.333
0,3U
(),333
Fórmulas como as anteriores encont ram-se disponiveis para muitos ·tipos do
;ireas de seçio transversal em livros mais avançados. Plll'll os casos que não podem
(b)
Flvunt 1.2 2 Analogia d e membra n• : (a ) regiio aimpfesmente COM)C.. (b) regllo multfpla,.nte
toMxl (lubuler)
A analop precedente é chamada de analogia sJa m1mbrana. Alún do seu
valor nu aplieaçOes experimentais, ela con1titui uma ferramenta butante util
para visualizaçlo das tCll.Oes e das capacidades do auportc de torque da merobrana.
Por exemplo, to d as as acções moatradas na Fia. 5.23 podem suportar aproximadamente o mesmo to rquc com a mesma tenallo máxima clc cisalhamcnto (mesmo
inclinaçlo mbima da membrana) porque o volume envolvido pelaa mombranu
seria aproximadamente o mesmo cm todoa os casos. (Para todu essas formas
b - L c c • t na Eq. 5..25). Ent retanto, pouca imagjnaçlo ._.rã nrcesdria para
convencer o lei tor de q ue as lin haa de pollculn de sabão 10 acumularllo em a para
a scção ana ular. A asi.m, naquele ponto ocorreri!o elc vad111 tensO.. locais.
•S. Tõmoohcot o c J. N. Goodicr, Tfl"")' <I{ E:.l<ul ld11 (Z.' cd.~ P. 277. McGra,..HõU 8ook CompaoJ,
Nova Iorque, 19:51
158
159
r - t,r 1 , ou cm geral q ê consta.ntc no pla.no de um corte perpendicular ao
Jx~ do membro. Com base nisso pode-se formular uma analoJio. Os contornos
interno e externo da parede podem ser imaginados como sendo o. contornos de
um eannl. Entllo se pode imaginar uma quantídado constante do taua circulando
1"
(c)
(d)
(e)
(o)
(b)
Figuf'• 5 .23
M•mbrot cl• mtume •r•a da seçlo uena~rl81 • de meSM& u~nora. evporundo
permanentemente nesse canaL Nesse arranjo, a quantidade de úgua que escoa pela
seçllo do cana.l 6 constante. Por causa dessa analogia A qu11ntldade q foi ch..amada
de fluxo 1le clsaiiJamtmto.
o mesmo torqoe
Outra an.aloJia, a do monte Je at-~1~ foi desenvolvida para a iorçlo plhtic:t.•
Espalha-se areia sec:a em uma superfic:ie plana elevada. com a forma da ~o
transverSal do membro. A superfície do monte de areia assim rormado adqu1re
inc:linaçio constante. Por exemplo, um cone 6 formado sobre um disco circular,
ou uma pirlmide sobre uma base quadrada. A mbima inclinaçlo. constontc da
areia corresponde i superMcie limite da membrana na analogia antenor. O volume
do monte de areia c dessa forma o seu peso, 6 proporcional ao t.o rquc ph\stico
suportado _p ela aoçlo. Os domais itena relacionados com • superficie da areia tem
a mesma interpretaçl!o que aqueles da annloaia da membrana.
MEMBROS PERFURADOS DE PAREDES FINAS
Oüe,.,tame nto du membranas maciças nl o-cireulares, os tubos de parede
d elsada do qualquer forma podem ser analludoa o)mploemente pe.ra • masnltudc
das tens!lca de clsalltamc nto c o Ansulo de torçlo provocado pot' um t.orquc
aplicado ao tubo. Aarlm, considere um tubo de forma arbitriria, com espcosura
de parede varihel, tal como o mostrado na Fig. .5.24(a). submetido i açlo de um
torquc T. bole um elemento d esse tubo. como mostrado em escala ampliada na
Fig. S.24(b). Else elemento deve cstnr cm equlllbrlo sob a açlo das forçns F,, F 2 ,
F, c F4 • Essas forças slo Iguais às tensões de elsalhamento que agem no. planos
de corte, multipllcadu pelu rcspoctivas ~reaa.
(b)
(C)
Fio u,. 5.24
.5.12
Deu. - O. P1 - P , : mas F 1 -
o Pf- -r t 1 fl;c., onde t 1 e t'J alou
tensOes de ci.salhamento que atuam nas rc.apect vu ireu tJ.d.x e t 1 flx. Assim,
t 2 t 1 #x
t 2 t 1,!lJC- T 1 t 1 f/x., ou 1' 1 t 1 • 'f 1 t 1 • Entceanto, como 01 plano. longitudinais do corte
foram tomados a distlnciu arbitrliriu, scguc-oc du rela90es acima !lUC o produt.o
da tensllo de eisalhamcnto pela espessura da parede 6 o mesmo, ís~o ~ eorutante
em quaisquer tais planos. Essa .constante serl indicada pot'_q, e se a tenslo de
cisalhamcnto f« medida em kgf/mm 2 e a espessura do tubo em mm. q 6 modldo
cm ksf/mm.
Na Eq. 3.2, ficou estabelecido que u.s tensões de eisalh..,cnto em planos
mutuamente perpendiculares são iguais em um canto de um elemento. Assim, em
um ângulo como A no Fig. 5.24(b), T 2 = T>; onalosamente, T 1 = T 4 • Oeosa forma.
• A. Nadai, T1utory o{ Fim., mrd Frtunu·c- o.t Sulltl:c, Vol. J(2.• cd.). McOraw·Hill Book Comrnny.
NOVA Iorque. 19SO
160
Membro de ~,.de fina de espessufe veritv•l
Considere cm seguida a scçllo transversal do tubo, como mostra a Fig. 5.24(e).
A força por unidade de comprimento do perímetro desse tubo 6 constante, cm
virtude do araumento anterior, c 6 o nuxo de ci,s alhamento q. Esse nuxo multi·.
plicado pelo comprimento ds do perlonetro dá uma força q <h por comprimento
dlfereneiol. O produto dc:ssa força infinitesimal q ds por r, cm torno de algum ponto
conveniente tal como O, Fig. 5.24(c). dA u contribuição de um elemento para a
rcsistencin do torque aplicado T. Somnndo ou integrando, Lemos
r- §rq '''·
onde o proee"'o de integraçilo ê efctundo cm to mo do tubo, ao longo da linha de
centro do perlmetro.
Em luaar de se cfctuar a integruçlo, dispõc·sc de uma interpretação simples
para a intearal anterior. Na Fig. S.24{c) pode-se ver que r <h ~ iaual ao dobro do
valor da 'rca hachurada de um trlangulo infinitesimal. cuja área ê igual à metade
da base vezes o altura. Dessa forma, porquanto q seja constante, a integral eompleia
é igual ao dobro da trea A definida pela linha de centro do peilmetro do tubo.
Dessa forma
r -2Aq
ou
q = T/{2A).
(5.26)
Essa equação• se aplica apenas n tubo• de parede fina. A Mca A é aproximadamente uma média das duas ércas env.o1vidns pelns superrlcies interna e externa'
•A 2'1, ,,%6 6 ch1mnda, por- vn.cs, de r6rmula de Oredt. c:m hora ao cnae.nhciro ulcml5o que 11 desenvolveu
161
de um tubo 011, como observado acima, ela 6 uma ·irea definida pela linha d e centro
do contorno da parede.. A Eq. 5.26 ni!o se. aplica a tuboa rcodidoa ou abcrtoa.
Como para qualquer tubo o fluxo de cisalhamento q, dado pela, Eq. 3.26 &
constante pela dcfinlçAo de fluxo de cisalhomento. a lensllo de eisalharnento em
qualquer ponto de um tubo de espessura de parede t, é
<- q/t
(S.27l
Na raixa elistlca u Eqa. S.26 e 5.27 •lo oplic6vois a qualquer rorma do tubo.
Para o comportamento ineltsticp, a E:q. 5.27 10 aplica aomanto ac a aspoaaur• l
ror constante. A análise doa tu boa de maio do uma célula ultrapassa o escopo do"•
livro.
Para um material elbtico linear, o l .n gulo de torçllo de um rubo perfUrado
pode ser determinado pela aplicação do principio da coose.rvaçllo da energia.
Como o tubo em si 6 uma mola linear. o trabalho ex..,mo 6 T0/2. onde T 6 o
torque aplicado e 8 6 o ansulo de torção a uma distancia unitária, isto 6. 8 - fltp/dx.
A energia de derormaçllo interna é dada pela Eq. 4.22, em que apeou um termo
para a energia de derormaç!o angular 6 aplicável noasc caso. Assim, para um tubo
de comprimento unitário, tom·se
J.v r•
2(icfV,
1
dq> - 1 TO=-T-d
2
2
X
onde para uma distAnc:.ia unitária_ o volumo dV- t tU c 'f - T/2.At. Dcaaa forma
•
T
O -h - 4A 2 G
Ld,•
.
j
("28)
~.
EXEMPLO 5.11
Refaça o E.xemp1o 5.,3, usando as Eqs.. $.26 o 5.27. O tubo tem raios externo • interno
de t1,.S mm e lt,lS mm, rupcc::livamente. e o tOt(jUO o.pliçado ~ de 4 kafm.
SOLUÇÃO
O raio médio do tubo b de 11,87S mm e n espusurn dn parede 6 de 1.25 mm. Anlm
q
T
4 )( 101
-1
t • •- =
lS) • l,6J k.r/mm ,
r
2At
210(11,875) 211.
Observe que. pelo uso das Eqs. .S.26 e S.27 apc.nu uma tendo de ci.s.albame.nto b obtida
e que da f: a média das duu tcns6el calculadas no Exemplo S.l . Quanto mais finu forem as
paredes. mais preciso. alo oa: rcaultados. ou vice-vena.
D
lSmm
162
t
a mm
é. intucuanlo observar que u.m tubo rot.anaulu como o moat.rado na. Fia. 5.25. com
01pouura do parede laual a
1,2$ mm. tori. para o mamo to.rqua_ aproximadamente a mesma
tendo do citalhamenlo quo o nabo circulu acima. Juo ooorro porquo au& 6rea envolvida.
de 4S0mm2 , b da mümã oidom <lõ 11(11.115)2 , do tubo citeulu. Entretanto. alaumu eonçenuaç&u do tcn.Oes loeaJ.& cttaclo proaontca nos cantos de um tubo do aeçlo quadrada:
Aplicando • Eq. 5.28. p~ calcular o Anaulo de torçlo por unidade do dlltAncla
para o tubo circular ou quadrado. Para o primeiro caso, uma tNJ)Otl& H..lramento mal•
pre;eiu pode aet achada pot rneio da Eq. 5.1 1. Dohco.~te par• o Jol tor • vorJftcaqlo do ret ultado.
PROBLEMAS
S. I. Um ehoo circular mac:iço, do SO mm
de dilmctro_ do~ " ' 1ubs:titu.fdo P« um
tubo circulu . So o dilmetro e:atomo do
tubo 6 llmlta.d o a 75 mm, qual deve ter a
oapcu:ura do tubo para o me:amo matorlal
elúlic:o Unoar. com a mdnl& tenllo m6xi·
ma? Dotormlnar a relaçlo entn:~ 01 puoi
dOI dOJI olxOI,
'*"'
j.l. O olxo clllndrico macJ.;o de
manha. vari,và mottrado na fiauca 6 aoU·.'
citado polot torqu• indlcadoa. Qual 6 f.
mt.dma tenalo tordonal no ebo. • entre
qoa.ll poUu ola OOOtTe?
S.l. Um motO< adona umo IIAha de
ebo por melo de. um conjunto CS. .,.,...
"apn.._ como mollra a fiau:ra, a 660 rpm.
Trinta CV 11o fomocidoo i mAqwna da
direita: llO CV ã da eoquordL S.lodonu
um eixo dn;ular maciço de seçlo c.on....
tante. A t•n•lo do citalha.rnonco adml.ulvel
~do 4 kaf/mm'. R••p.; 50 mm do dllmetro.
5.4. (a) Determinar a máxima tenalo
de ciaalha.mento no eixo aubtnetido 101
torqucs rnostrado1 na figurL (b) Achar O
ftnaulo de torçlo cm ar•u.a. entre as duas
oxtremid&dca. Seja a - l5 )( 10' kaf/mm.
R11p.: (O) 0.64 kaf/mm', (b) o.u•.
+f=*• 'I·
PA.OB • .S ...
$. $. Um motor de tOO CV ociona uma
Unha de ci~o atr'av61 do um1 enar·e.nagem
A a 26,.3 rpm. Aa cnarena,p ns cOnicu em
8 e C acionam m.iatucadorcs de. cimento e
borrachL Se a pottncia noce.asiria ao mistu·
rador em B é de 2.5 CV, e cm C de 7S CV,
Flguf'a 5 •.%5
• PROB. $.2
163
quais os dilmetrc. necesáric:. aos eixos?
A tenslo de cisalba01cnto admissivd ê de
4 kgrf mm 1• E.xbte um número suficiente de
mancais de forma a evitar a ncd.o. Se G =
- 8,S X 10' ktlf/mm', qual ~ o ftng u!o de
torçâo na seção dn esquerda do eixo? Dar 1.1
resposta cm gr-aus. RP:Ip.: .t1 1 - 95.3 mm.
rll - 137,5 mm, e ffJ • 3,4•.
8
"·
'
I
4
t
, ..
"B
ci•o 6 impedida de girai! G • 8,$ x tO'
kaf/mm'. Rt~p. : 11,86•.
"' c
•j'8'?1'4~
I )~ I
•-oo.s.s
!5.6. Qual deve •er o ,c ompdmepto do
um acame do alu1nlnfo doS mm de dh'hnctro
Lili que eJe poua tet torcido \Una revoJuçtlo
c:ompleta tem C.IICCdcr uma h:n&I O de çiu.lftamento de 4 ka f/mm'? G • 2. 7 H t Ol.
kaf/mm'.
~.7. Uma barra perfurada de aço de
ISO mm de comprimento 6 uJada como
mola torcionaJ. A relaçlo antre os dil.melrO$
interno o externo 6 lauaJ •
A rigide~
nccesdria a ena mole • de 7 araus por
kafm de torquc, Determinar o dilmetro
uterno de.ua barra. O • 8,!5 x tO' kgf/·
mm 1• Rt>!lp.: 6,3 mm.
~
!5.8. Um eixo çlrcuiA.r perfurado, de
material elútico Hncar, de cotnprJmento L.
tem dift,metro externo d 0 • JOO mro, e di~·
metto interno d1 • 1$ mm. Determinar o
mlnJmo dlimelro ;. par• urn eJ xo maciço
do mesmo material, que tubscltua o eixo
perfurado. sem que a m•~ma tendo ou
lnauto de torçlo excedam u mesmas quan·
tidada do projeto oriafnat
5.9. Duu engrenacen• do fj.x.adas a
dois eixos de aço de .50 mm de dHtmetro,
como mos~ra a llsura. A engrenagem em
8 tem um diâmetro prlmit,ivo de 200 mm;
a cngrcnager.n cm C tem dil\mct.ro primi·.
tfvo de 400 mm. Qual o llngulo ~e deflexão
em A se ne;.$Se pont,o se aplica um torque
de 60 kgfm e n extremidade D do segundo
Jn.
S.12. UO" ci"o maciQO. de aço temperado. é ri.a idamente pre.so a um suporte fixo,
ecn urna du extrcmiclJ.des e supotta um
torque T na outra extremidade (veja a
figura). AchlU' a rotoçlo angular da extrc·
midnde livrea.e{l 1 • 150mm: ,d1 - !50mm;
L - o,s rn; c 1' • 300 ksfm. Admitir que
se • PliC.flm as premiua.J usuais de dcfor·
maçio dos dxo1 circulares prismáticoi
s-ubmetldot tt açAo de torque. e que G •
- s,s x 10' kaf/mm'. R..p.: 0.264•.
S. lS. O carre,gamento cm um tubo de
controle de torquc. para um ollcron de um
avilo, pode ser jdcaliudo por .:neio de um
torque uniformemente vcu1Avcl t" ..: kx
ka.fm/m, onde k ~ uma constantC (veja a.
liaura). Determinar o Anaulo de lorçlo d a
extremidade livre. Admitir JG - constante.
Solucionar o problema usn_n do a Eq. S. li
ou 5.12.
. r
.......
r
PROB. .S.9
$.10. Um eixo de seçlo vnriAvel (E • 20 x JpJ kaf/mm,, G - 8,, )( 10-•
kgf/mm 1) ~OmO O moatradO ntl naura, lU·
porta um torquo T, • 90 n. kafm e T~ • 30 " kaftn. Para euo cbo n .. 4,3 m,
b • 1,5 m. e o diàmet,r o !1, de B a C 6 de
$0 mm. Açbar o mtnimo diA me-tro pcrmitslvcJ t/1 para o eixo. de A a 8, se a tendo dÕ
cisalhatnent.o pemti:s-slvd <6 de • kat/mmJ
c a corçl.o total entre A e C 4: limitada
a J•. R«lp.: 94.,7 mm.
L
T
f:1RQ8• .S..Il
~.J3. Urn eho de diõmerro lautll n
1SO mm. de mMcrfa.l ch\J.tico linear, tem
um furo cOnlco de 0,61n de comprimento,
como mottra a naur._ O eixo~ rialdamente
/bado a um suport~ por uma du extrcml·
dades e suporia um torquc T no extremo
livre. Dctcrmmar a máxima deflexão anau·
lar do eixo.
i
'
,...J>u..::''~o
. ., ..r"''"·
~!@!---~=L
o.6.,
_ r
IDO mm
PROB. S~ l l
Plt08. S-tU, .S. I I, .S..ll
S.J 1. Um elxo de seçlo varlivel, de
material clbdco Unear, como o da fiaun.,
tem u aeguiotes dimensões: a - 0;8"'
b- O.Sm,;,- SOmm,e.d,- 40mm.Se
wn torquc T 1 6 apijcado em B. qual deve
ser o torque T1 para qoe não ocorra rotaçllo
em C? Traçar o t,orque T(x) e o Anaulo de
lorçfto 4'(x) em diagramll!. (Ob•erve que a
soluçllo des.se problema constitui uma aoluçllo de um problema estaticamente lndetec-'
5 .14. Vrn tubo perfurado, em ro rma
de duplo cone. de JnatcriaJ elástico linear,
teen as dimcnaOes mostradas na Oaura.
Oeterminu u roca.çOes relativas das extre-mi~ades. devido a um ~orque unilirio.
CTa.s dlculos slo (reqücntemenlt: ncecs.sários na anlilise de vibrações). A ~spessuta
~ parede do tubo~ de 251(2"~ Rup.: JQIG.
PRO~. l-ll
S.16. Admi\3 que durnntc uma ope.
rnçilo de perfurQçilo, um eixo do rigidez
tot'cional constante JG seja tolicitado por
un1 torque concentrado T 1 - - !500 kgfrn/m,
como mostra a naurn. Achar a roLaçào
anguhtr da e xtremidado livre. Usar as fun.
ções de singularidade e a l!q. S. l2. Traçar
os diagramas de torque T(x) e de ãnguJo
de torçlo <P(x~
)"
~
.......
r,
•
~
I JOmm ISO mm
PROB.
JOOmm
$.,.
S. I 7. Usando as funçOes de singulari·
dade e a Eq. S. J 2, determinar u n:-açõe$
nu extremjdades enanstadu. provocadas
pela aplieaçlo do Iorque T 1• vej a a figura.
Traçar os diagra.rna.s de torque n x) c do
(anaufo de torçlo .,Cx). (Obun•f lrào. Este
minado para um eixo cngastado Cm ambai
as extremidades).
PROB. 5- 1-4
PROB. }.17
164
165
é um problemn e.statieamcntc incietermi·
c O- 4,2 x lO' kgf/mm'. Resp.: (a) 24 673
nado e ·apenas as eondiçôC§ de- contorno
dnemâdcas silo usadas em sua solução).
5.18. U m acoplamento de aço t forjado
inte&ralmente com o ei.xo.. como mostra a
118tll'a. Após e usinagem, oit.o ruros são
reitos na circunforênc:ia de 230 mm de diâmetro, para 1\Jojar -parafusos de JO. mm. (a)
Se esse aooptamento •opera a ~OOrpm, q\lal
a potência cm CV a ser t.ronsmicida pelos
parafusos? Admitir que a capacidade dos
parafusos dopend.a da ~~n15lo de cisalhn·
ment,o admi5sível de 4 kaf/mm 2• (bl Usando
n mesma tensão de cisalhamento a dnliS:JiveJ
que para os parafusos, qual seria o tamanho
do eixo principal pura o projeto balan ~
ceado? (Ob.vetrvaçtfo. Concentrar a llrea dos
parafusos em seus centro•). Re3p.: T- 3 050
kafm.
kgfm, (b) 0,019 rad.
·
5.20. Refazer o Exemplo S.9 (Fia. S.l S),
a dmitindo que o c.ixo maciço de aQO u:nha
50 mm de diâmetro, com um núcJeo elástico
i•Herno de 25 mm de diâmetro.
5.21. Achar- o raio de concordância
para a união çJe um eixo de I SO.mm d~
diâme tro com um segmento de 100 mm do
diilmeuo, se o eixo tratl:smite 110 CV a 100
rpm e a mâxima tenslo de cisalhamento 6
limitada a 6 kgf/ mm:a.
5.22. Um e.ixo de .seçlo variAvol, tal
como o most·rado na naura. tuportl. doi•
torqucs T 1 e T 1 . Sabe·.se que a anaanitude
de T 1 é quatro vezes maior do ~u~ a de Tl,
c que T 1 atua nn direçllo opostB à mostrada
na Cis;ura. A distAncia a • .S m, b - 2.S m,
ri - SO mm, c dl • 25 mm. Se com a l\pJJ~
c~ção simultânea. de T 1 e T2 Q extremidade
livre do eixo gira de 0,062S rad, qual 6 a
máxima tensdo de cisolhamento no rc-s$aJlo
do eixo? Admitlr um fator de conccnttação
do tcnsl!<s K = 1."- E - 20 x 101 kgl'/mm'.
e G • s.s x 101 kgf/ ;nm'. Resp.: 7,44 kaf/·
mm 1 • (Veja a Fig. P r-oP. S.JO).
S.23. Admitir que um ei~o circular de
lnal.erial viscoelástico Hne4r, de çompri·
1nento L., .scjo mantido ria;idamente cm uma
das extremidades. e no ins t.a n.te t 1 seja subo:
metido ao t,orquc T 1 no extremo livre. Em
urn instante t 1 > r 1 o t,o rque •plicado é
au.mentado para um t.ot.al de 1,5 T,. No
instante 1) > l 2 > t 1 o t.orqU;e aplicado ê
removido inteiramente. {a) Admit.i ndo que
o materiaJ ~j a MaxweJiiano, t,raçar um
diagrama mostrandQ o ãnaulo de t,orçlo da
extremidade Uvrc como função do tempo.
{b) Para as mesmas condiçõc5 de Impulso,
traçar outro diagrama para um material
com proPriedades de um SóHdo-padrão·
(veja o PrQb. 4.17).
S.24. Uma b~rra rct.a ngular de material
elástico linear, tendo dimensões de seçlo
transvcrs.o.l de a por 2a (veja figura) deve
ser su bstituida por uma barra cir~ulu.r ma·.
ciça de ~esmo material. Det.e rminar o
minimo diâmetro P de uma ba~a t,a l que,
PROD. $ .18
5.19. Um eixo circular é reito pela
compressti:o d-4 urn tubo de aluminio em
uma barra de latilo, para formar u.ma seção
de dois materiais, qlle então agem coJ'no
uma unidade (vej;s a ligura). {a) Se. devido
à aplicuçlo de um torQue T. aparecer umn
tensão d e cisalhamento de 7 kgf/mm' nas
libras externas do eixo, q uaJ é a magnitude
do torque n (b) Se o eixo tem lll'l de
compriment.o. q ual será o ãnaulo de torção
devido ao torque r? Para o aluminio
E = 1 x JO' kgl'/ mm ' • G • 2,8 x 1O' k&f/·
1
l'llm'; para o lah'lo E.= J 1.2 x tO' kgr/mm
mm
166
um .t,o.r9uc aplicado. a m'x:ima tendo
cia~hamon~o ou o lnauto do to.rçlo nlo
u
quancjdadu corretpondentol
1 do projeto ori&inal.
PR.OBS. S..l4. S..21
5.2.5. Comparar a re~iat.~nci1. t.oraional
o a rigidez dos t.ubos de parede nna de
1oÇ~o 1ramvcrsaJ circulu, de mat,e rlal elb·,
tico li~ear, com e sem rasgo loniitudinal
(voja r.aura). R<sp.: 3R/~ 1~/(JR').
G.
PROB . .S·l5
S.26. A scçlo transversal de um perfil U
do 460 mm, 20.8 kaf, pode aor ldoa.llz&da
por duu placas de na.naet do 16. mm x 9SO
mm c uma alma de 13 mm x 440 mm.
mais. t.o das as partes da scçlo transversal
torcem do mesmo lnaulo rp, dado pela Eq.
5.2.5. Iaualando o lnaulo de torçlo da alma
e.o de um nanae. podo~.. aohar \lrna relaçlo
entro T 1 c T, . A aolUçlo simultlnea du
duas equações conduz ao resull.a do dos~.
jado).
[
PROB. S.l6
s .21. Um eixo agitador, a.tuando como
um membro t,orcionaJ, ~ feit.o pela soldaaem
em um tubo circular doq\lat,ro barru retan·.
&ll.1aroa. como moa(ra a n.aura. O t.ubo tom
di&mctro externo do 100 mm o atpe11ura de
13, mm ; cada uma du barr., rot.anavlaraa:
tem 20 mtJl por 50 mm. So a mAxima c.onalo
de ciaolhamento cilstico, despretando u
concentrações 'de t.cnsõcs:, 6 limlt,a da a
6 kgt'/ mm3, f~Ual O t.orque T que pode ser
aplicado a este membro? (ObJ•,.uaçào. Veja
a sugeatlo para o P rob. S.26. Aqui.
4 T 11.,,.,.. + T,~•• - T . Tambbn igualo ot
Anaulos de torçlo para o t,ubo c para a pá).
(Vej~ a Haura o a Tab. S do Apen_diee}.
Determinar a reluçio do t.orq\IC aplicado
T &uportado JX:l~ part.e s da seçio. admi·.
tinclo o comport,ameat;a elástico. o despre--.
zando as concentrações d«t t.cnsOes. (Suges·,
rào. Cada flange suport.a um tor~ue TJ ; a
alma T 2 • Assim, de acordo com a analogia
da mernbra.oa, 2T, + T 1 - T . Albn do
PROB. S·21
l mm
JOOmm
7Smm
PROB. S-30
PROB. S.ll
PROB. S-l2
167
S.28. Usando a analogia do monte de
areia. determlnrtr o momento torcional do
ruptura. para uma seçlo reiA.Dgular de n por
211 (veja a figura~ (Sugts~iio. Primeiro,
usando e analoaia. verinea.r a Eq. S.l6 para
um eixo circular ntiÔço. onde a altura do
monce 6 c ~-. O dobro do volumo tndufdo
pelo monre romece 01 resultados: desejado.s).
R~sp. : 5n' t.J6.
5.2.9. Solucionar o Prob. S.28 para Umll
se~lo limitada por um rdt\naulo equi16tero
com lados iguais a n.
5.30 a S.32 Para oo membros cuju
seçôes lraniVcra:a.is estio mostradas n.11
fiauru. achar •• rnAJÚ.mu l.en.Oes de a 11..,1
tba.mento e 01 llnaulos de torçlo por u-ni--'
dado de comprimento dcvid01 a um torqué
aplicado do IOI<af'm em cada caso. Despre.
za.r .. concc.ntraçôes de tont~OL Onde ror·
apHcAvel. comcnt.e.r sobre a vantaacm da ae
AUmentar a espessura da parede em parte
da leçlo transversal.
TENSÕES DE FLEXÃO NAS VIGAS
6.1
INTRODUÇÃO
O sislemn de forçns que pode existir cm uma seção de uma viga foi disculido
no cap. 2.. Vcríficou ...se que ele consiste cm uma força uxinl. uma força cortante c
uro momento fletor. O crcito da primeira dessas forças sobre um membro, roi
discutido nos Caps. 3 c 4. Neste capilulo sen\ considerado outro elemento do
sistema do (otça.S que pode estar presente cm uma seçio de uma vig, o momento
nctor interno. Como cm alauns casos um segmento de viga pode estar cm equiHbrio
sob a açlo de apenas um momento, condiçlo essa chamada de fl~xào pur(l, isso
em si representa um problema complelo. Eslc capitulo relaciona o momeniO flctor
interno com as tensOes decorrentes em uma viga. Constdcrum·se os comporta·
menlos clllslico e inclbtico das vigas. Se, cm adição ao momento fletor inlcmo,
uma rorça. axial e um cbalhamcoto também asem simultanc.ament~ aparecem
tensôet complexas. Essu serlo traladat nos Caps. 8, 9 e 10. A discusslo da
deflex.lo de vigas devMa A fle•ilo, baseada na premissa de deformação fundamental
aqui introdutida, sen\ deixada para o Cap. 11. A dedução da f6rmula para a energia
de deformaçllo elástica decorrente da flcx!o das vigas, scn\ feita no Cnp. 13, o nde
ela é usada nos cálculos de deflexão.
A mlllor parte deste capitulo é dedicnda a métodos de determinação da distribuiçlo de lensões eltstlcas e ineltsticas, ou plblicas, provocadas peloo momentos'
flelores em vigas retas de ma1eriais homoa!ncos. Também sllo incluídas discussões
relativas a vigas feitas de doi$ ou mais maleriais, vigas curvas, e concenlraçôes
de tensões.
6.2
ALGU MAS UMITAÇ0ES IMPORTANTES DA TEOR IA
Tal como no caso das barras com carregamen1o axial e no problema de
torção. todas ns forças aplicadas a uma visn serão consideradiiS sem a ocorrência
de c:hoq uc ou impac1o. Além do mais, todas as vigas scrio consideradas es1áveis
sob a açlo das forças aplicadas. Um pon10 análogo foi considerado no Cap. 3,
onde se indicou que uma barra em c:ompre$s.IIO não pode ser muito delgada, ou
que seu comporlamento nfto serà governado pelo cril6rio de rcsistencia à com-
168
169
pressão. Em tais c.nsos, a cstab.lidode do membro 5C torna impOrtante.. Corno
exemplo, considere a pouibllidade de uso de uma folha. de pupel como wna viga.
Tal visa tem uma P<Ofoadidade &ubstanciaJ, mas mesmo quando usa<b para
suportar uma !orQt em pequeno vlo, Oambará pan! o lado ; cotrul om çola !'§o,
O mesmo renõmeno pode ocorrer em membros mais robustos, que entram em
colapso sob a açlo de uma rorçZL T ais vigas i_nstãveis nJ o se incluem no eJCopo
deste capitulo. Todas as vigas aqui eo.uideradas serio admitidas com sufic:ic:ntc
estabilidade lateral em virtude de suas proporçõa. ou suficienrementc reforçadaa
nu direçllo transversal. Uma compreensl o molhor desse hn portu.n te fenômeno
advirâ do eslOOo do capitulo sobre colunas. Felizmente. a maioria du vigas u1adu
nas estruturas e nos elementos de máquinas slo taia qDC a teoria ncxural aqui
desenvolvida é aplicável i a. teoria que governa a estabHidade dos membros 6 mais
complexa.
PREMISSA CINEMÁTICA BÁSICA
Na teoria técnica da. flexão, parti estabelecer a relação entre o momento rJetor
aplicado. aa propriedades da scçlo ltansvcraal de um membro, c as [C.niÕC$ internas
c deformaçlle3, seri de no110 aplicada a motodoloafa zntorlorrnentc cmpreaada.
Isso exige primeiro que uma premissa plauslvel de dcformaçllo reduza o problema
indeterminado inLema e estaticamente a outco detorminadOi segundo, que as
deformaçlles se relacionem com as tensões por meio de expressões apropriudas
entre tcnsilo e deformação; .. finalmente. que os requisitos de cquillbrto de rorças
externas c intcmns seja preenchido. A teoria cincmatica para a deformaçlo de
uma vip, como \1Sada na teoria lécnica 6 disculida oesla. seção. Ê importante
Observar que UrN aenc.raljzaçio deu& prcmÍAa forcna a base para &I tCOriU do
placas e cascas. A aparente complexidade matemática deucs últimoa: assunt.os
decorre de scu.s aspectos bi e tridimensionais. que exigem o uso dus raJnções diferenciais parciais. Por outro lado, o problema da viga. estática se reduz, em si, a'
uma dependência de apenas uma variável Independente. Isso se tomará especial:
mente aparente durante o estudo do Cap. I I sobre deflexão ck: vigas, onde é sufi-.
ciente uma equaçlo diferencial ordinária.
Para o presente con5idere orna viga prismãlica horhontal cujo s:eção trans·.
versai tem um eixo verticnl de simetria, Fig. 6.1(o). Seja a linba que passa pelo
ccntr6idc de tod"s as seçOes coincidente com o eixo da viga. Em seauida, i magine
vários planos passando pela viga. perpendicularmente a seu eixo, e vários planos
horizontais. A Fia. 6.1(a) mostra uma vista lateral desses planos, forma ndo uma
grade retangular. Quando tal viga ~ submetida a moruent.os de Oexão positivos
M em suas extremidades, como na F ig. 6.J(b). a viga nexion11, os planos pcrpen·.
dicularcs ao eixo da viga giram ligeiramente, e os planos horizontais se curvam.
J..inhas como A.8 c DC pennanecem retas.• Essa observação forma a ba.se peru a
Jdpótose• fundamental da teoria da /lcxJo. Ela podo ser CCI Uoclada da seauin te
forma: A..s 3eções ~ncu tk uma: Plja, tornada3 nonrldlfneme a ..,.. .tJco. ,urrncmec:~t~n
·. p/OIIOS ap63 a Vlg<A SCI' 8ilbmttlf/n d n 1xtl0.
o
o
6.3
• 1550 pode kC' dcm~nstrado pc:to' uso de um modelo do bom~cha. com uma grado ne;: d~r;cnh11da.
Ahcrnaü•&rnente, podem .u:t •sadas boarras •ertic::t.is dtlpdaJ que p;w.vn pelo blOClO de borrac~a. 1"C
vizínban(ll Imediata do. momcn tCIII ,plicados a. dd'ormaçl:o é mais c:omJ*cL EntrtUIIftlO. de. aeotdO
c:om St. Venont (Seç. 4.l8). Clõ5e 6 apenas um fe nómeno locaJ que ropidamcntc.&e dissipa
(a)
(b)
lf
r
\
-.•
~
uh.: 1--
Ci
1-.•
I." ' ' ' " " - t"
'-·
(d)
(c)
, ..,r• &.1
Pr..-niua bbice de deformaç~ na fle.-lo
·.,
"
Como demonstrado noc textos sobre teoria da elasticidade, essa premissa é
completamente verdadeira para membros elâstieos retangulai'CI em noxilo pura.
Se, todavia, tambêm existir força cortante, ~ introduzido um pequeno erro.••
Prnticamente, entretanto, essa premis.sa 6 geralmente aplieâvcl com elevado grau
, de precislo quando o material se comporta oluticamcnte ou plasticamente, desde
que a profundidade da visa seja pequena em relação a seu vlo. Noste capitulo
• nníili.se de tensão de todas as visas baseia-se nossa premissa. Como essa premissa
também esta bolc<:e o raio de curvatura p de uma viga, Fig. 6.J(b), ela .seró utilizada
no Cap. IJ para 01 cálcUIOI de deOexõcs de vigas devidas à Oexão.
•Eaaa hlpólC'se. com intprecitao, foi inlc:Lahncnt.c lnltodu:lida por Jacob lkrnoull1 Ct64~ 170S~
• •lemático su lço. Na forn:11. 001'1'et.'- . data dOI trabalhDrl do educadOr rr.andll M. N.aviçr (J78$--1836)
••vcjaa df~C~JSflo do C.p. 7, cm mo.e.do COõll a As. 7.U
171
170
I
Para fins d a aniJie de tensões, é nea:ssârio redefinir a pran.issa c:ine""lic:a
de maneira ligein.mente dif erente. Assim. por ex.cmplo, c:oosidere o elemen to inicialmente sem derormoçlo ABCD, F ig. 6.1(a), e cc>mpare.o com c> elemento deformado'
A 'B'CD', Fig. 6. l(b). Como nesse membro tod<>t <>t. elementos semelhantes entre
os planos inicialmente verticais sorrem a mesma. derormaçllo, é selecionado per0
discussão, pc>r convcni!ncia. um elemento com um plano vertical A'B'. A Fia. 6.1(c}
mostra uma vista ampliada desse elemento. OufJC diagrama, vê.. se que ns librru
ou "lilnrnentos" da visa ao longo de umn Sllpcrrtcie como crb ·nl o mudam de
comprimento. Além do mais. como o elemento selecionado foi arbitrário, as libras
livres de tcnslo c deformaçfto existem continuamente em todo o comprimento e
largura da viga. Eua.s fibr8.$ estio na Sllpr,./ldt~ nf!'utm da viga. Sun inleraoçlo
com uma seção roto acraves da viga é chamada de el:co neutro da viga. Amb<>t os
termos implicam na tocaliz.aç:lo da tensão ou ddonnaçlo nula no membro s ujeito
à flexão.
A Joealizaçllo precisa da superficie neutra na viga será determinada nos seçOes
subseqüentes. Sua loealiuoçio exige considernçio das relações de tenslo-derorma.çi!o do material e dos requisitos de equillbrio do membro todo. Aqui se raz
um estudo da natureza dll! derormações nu fibra& paralelas à superfltle neutra.
Considere uma fibrn genérica (tlpien) .;'paralela à auperflcic neutrn c localizada a uma dist•lncla - y dela. Dura nte a rtcxlo, a fibra se alonga de óu. Se esse
alongamento 6 dividido pelo comprimento Inicial óx da fibr11, de acordo com a
Eq. 4.3, é obtida a dcrormaçio linear •. noq ucla nbra, isto é.
F'r gu:ra &. Z
Seçbtt ttl n$VetSais de VlgU
com e·xo ~rticl1 de simeula
FÓRMULA DA FLEXÃO E LÁSTICA
Nn seç11o precedente foi mostrodo q ue em umu viga nctid~ ns deformações
variAm lineormcn re ~ pnrlir çlo çc!lliV ov dDeixo neutro.
variação do deformação
Unenr ,,. 6 mostrada esq uema ticamente na F ig. 6.3(a). para uma viga fletidn em
rorno do eixo horizontal Lünitando n discussão ao ma terial elltstico linear co m
0 com o o única tensão não--n ula, dce: acordo com a lei de Hookc. t1JO • E,,.. Dessa
r;rma, par a uma viga elãsti~ as tens3d normais a~ rc$ulta ntcs da Clcxio tam~m
devem variar linearmente com suas r espc<:c ívas d istàncias do eixo neu tro. A Fig.
6.3(b) mostra iuo cm um diag.rama : analiticamente. pode~se eJ~pri mir
6.4
'
·rw
(6.2)
onde B é uma constante.• A varí:\ vcl y pode ter valores positivos c negativos.
'
C'cftt16lde
"• -~~L
\ 11
I+•
'\
""
\
. óu ''"·
I! = I am ~
u-o d.,.'( - dx
Como, entretanto, os alongamento.s du dJrcrentee fibras de comprimento
inicialmente igual, varie.m linearmente a partir do eixo neutro, Fig. 6.1(c), a premissa fundamental pode ser reenunciada na forma : Em uma viga submtllda lt[ltxtio.'
tu dt'/ormnçô~.t cm suas jlbrns IJíJriom liutm·ml'nte, ort dlrtltfmflntt', com sua.s rtsptt>
tlt>ns disuinclcr:r lf .ut,nrf/clr neutra. Anali ticamente etsa condiçAo pode ~cr exproui
por r.x - by, onde b 6 uma constante. Essa sítuaçl o 6 an6Joga àquela en contra da
anteriormente no problema de lorçllo, onde as derormações de cisall'lamento.
variavam linearmente da Unha de centro de um eixo circu.far. Em uma vip.. u
deronnações variam lineorrnente da superncie neutra. 1!331. variaçio ~ repn:sentada
esquematicamente na rorma exagerada da Fia. 6,J(d). Essas deformações lineares
estio associadas com as tensões que atuam normalmente à seção de uma viga.
No artigo que se segue. serão consideradas vigas elhtieas com eixo de simetria. Os momentos Oetorcs aplicados serão considerados pertencentes a um planÓ
contendo esse eixo de simetria e o eixo da viga.. P a ra simplicidade na conroeçllo
dos esquemas, o eixo de simetTia será tomado vcrticaJmenre. Diversas seçôes trans,.
versais de vigas que sa tisfazem a essas condiÇIC5es estAo mostradas na Fig. 6.2. A
Seç. 6.5 apresenta uma generalização do problema para incluir seções transversais
arbitrárias.
172
A
(6.1)
\
\
-~
•
'I
<
~-.cm fyt-... -~"
(b) DPt.ribuiç!iQ d• ttntlo
Fig uro 8 .3
(c) Scçlo da vfp.
(d) Oltlribulçllo de ttntlo
Segmento CIO viga. ol.htica em flexAo pura
A constante B , na Eq. 6.2, pode sec relodonada com o momento fletor aplicado c com :as propriedades da seçilo transversal de uma viga. Essn relação constitui a fórmula da flexão elástica: ela pode ser deduzida por meio de considerações
de equilibrio de um segmento de viga.
Ou a~ cond ições de cqttilibrio para um seg.men1o de viga &aJ como o mostrado
na Fig. 6.3(b) cond uzem aos resultados desejados. Uma dessas condições ~ que
a soma de todas as rorças na direçi.o x devem ser iguais a zero. isto é.
'E.F,, = O-+ .,. ,
f.
<1,dA
~ 0,
•ou stç.:I.O unh:rior, po<le-se ver qur 8 • bl!
173
onde o indice A refere-se ao som a tório das forças infini tesimais ao longo de toda
a área transversal A da. viga. A equação anter ior, oom a ajuda da Eq. 6.2, Pede
ser rccscri ta com o
L
B ydA = B
L
LydA•O.
L
onde jl é a dist.â ncin de uma linha base (o eixo neutro no caso considerado) ao
centróide da área A c Ji A = O. Então, como A não é nula, .P d eve ser igual a zero.
Desta forma, a dhtl\ncia do eixo neutro ao cen tróide da área deve ser nuJa. e. entl o,
o eix.o neutro deve passar pelo centróide da seção transversal da viga. Assim, o
eixo neutro pode ser facilmente determinado para. qualq uer viga, símpJeamente
pela determinação do centróide da área da seção transversal.
·
A segunda condição de equillbrio útil ao p roblema é que a soma de todos
os momentos em reJação ao eixo z deve ser nula. P ara o segmento de viga da
Fig. 6.3(b) isso fornece
M
+L
(a,.dA )y - O,
onde y é o br aço de alavanca a partir do eixo neutro até uma força infinitesimal
genérica (q xdA ) atuando sobre utn elemenlO de área fiA . In_icialmente lOdas as
quantidades da integral silo consideradas positivas. Substituindo a Eq. 6.2 na
equação anterior, após al.g umas simplificações, obtérn-se
M -- B
I
y'dA.
.
A in tegral depende apenas das propriedades geométricas da área uansversal.
Na mecânica. essa integral 6 chamada de momento fie lnér·cia da seção transversal
em relação ao eixo q ue passa pelo cen tróide, quando Jl é medido a partir de tal
eixo. Ela 6 uma constante definida para qualquer seção particular, e será desi&nada
po r I . Com essa notação, M = - Bl e B = - M / 1 é uma constante. Substituindo
esse valor da constante B na Eq. 6.2, obtém-se a fórmula de fl<"-xão" elástica para
• uvou-se apro.dmndllmcnec doitt •"-ultA pura &e deS(lnvolver caa cxpresslo simp!es. As prin1e.iros
tentativas parit re&OJuç:lo do pi'Oble rm d6 Rodo foram fchu pot Oõ&.lilc~.t, no ~Cc;ukl dczCSKtc. No forma
em q ue~ tua do hoje. o probl!:ma (oi $Oiuc.ionado n11 parte inic.i41 do têculo dc-u:nove. Ocn:~lmen tc .atribul-a::
a Na vier o c rédito dessa rcaJiaçJo. Ent.-etanto. algum atribuc.m·oo :l Coulomb, que tamb6m deduiiu
\1 fórm uJa da tor:Ça:o
174
(6.3)
(:!o8as equaçõea m ostram !jWI. para um momento fietor positivo M o valores
positivos de y. aa teoa6oc a orma:i• a., alo do comprea:do; pa.ra valores neaathíol de
y aa tensO•• lio de traç&o. Uma il111traçlo desae tipo de distrlbuiç4o de tenslo
está mostrada na Fi&- 6.3(d), l!m multai apiicaç6cs a di reç4o clu tona6ea norm a is
t conhoolda d o contextD do problema, e em tala cuot o lndice de o- t aupérOuo.
Eln u ma dada aeçilo da vip. tanto M quanto I alo constantes, a teosllo normal
fi atinao aeu valor maia elevado ~uando o valor absoluto de y 6 m áximo. É costu me
d'oaignar esse valor de IY
por c. É também prática comum diapensar o sinal
da Eq. 6.3, quando o sentido da teM.lo normal pudor ser achado por inspeç4o.
Em uma seçlo. dada. aa ten•Oes nonnais devem formar um conjupdo estatica·
mente equivalente ao momento resistente, cujo sentido e conhecido. Com base
nisso
Me
1-
ydA = j1A,
rM, - oc: +,
X
ydA = o.
Como, ent.r eta.n to, a constante B não pode sor n ulo. em Unla viaa aob tena.lo,
seaue~sc q uo
Mas, po r definição,
My
" ---I ·
'
a- • - -·
I
(6.4)
As Eqs. 6.3 e 6.4 silo de lmport!ncia Cora do comum na moclnica dos sólidos.
Nessas fórmulas, M é o momento netor interno ou resistente, ~ue 6 numerlcamenco
igual ao momento externo na aeçl.o em que as tensões slo procuradas. No sistema
métrico do unidades é melhor exprimir o momento rlctor em kgfm para uso nessas
f6rmulu. A disUlncia y do eixo neutro da viga ao ponto da scção onde a tensllo
normal ct11 é desejada, ó m edlda porpendicularme.nte ao eixo neutro e de v~ria ser
expressa cm metros. Quando ela atinge aeu máximo v~lor (medida para c1~na ou
para baixo) ela corresponde a c, e quando y se aproxtma desse valor má".' mo, . a
tensllo normal a aproxima-se de a . Nessa equaçlio, I é o momento de mérc•a
da área da sedo transversal da vi&a, em relação ao eixo neutro, Para evitar
confusllo com o momento polar de inércia, I é por vezes chamado de momento
de inércia retangular. Ele tem as dimensões de (m4 ). Sua avaliação para várias
áreas será discutida na Seç. 6.6. O uso d as unidades como é indicado, faz com
que as unidades de tensão o-, sejam [kgfm] [m]/[ m 4 ] - {kgf/m']. Em engenharia
meclnica é mais comum expressar tensões em kgf/mm .
Deve-se enfatizar q ue o-., conforme é dada pela Eq. 6.3, é a única tensão que
resulta da Oexão p u ra. Dessa forma, na representaçiio matricial do tensor das
tensões. tem-.se
o
o
o
Como será apontado nos Caps. 9 e 10, essa tensão podo ser transfo rmada
ou decomposta em tensões q ue atuam em diferentes conjuntos d e eixes coordenados.
175
Concluindo essa dlscussllo, é i.n tercssante observar q ue devido à relaçlo
P o isson, a zona comprimida de uma viga se expande. J8.teratmente• ; a zona
tração se contrai. ~ d~ormaç6u nas d ircçõ<:s de y c z d o ". - -. - - >e,, """e.-~1'.0
•.- aJE e " • é dada pela Eq. 6.3. Esta está em completa concordnocia cono •
soJução rigorosa. O efeito de Poísson, co mo podetá aer m ostrado pelos m6to dos
da elasticidade, dcrorma o elxo neutro cm uma curva de raio grande.. c a superflcie
neutro lica curva cm duas díreçóes o postas, Fig. 6.4. No tratamento prévio, a superfície neutra foi considerads curva em a penas uma direçlo. Esses inrereasantei
detalhea não tãn muito significado na ma.i oría !los problemas.
1- Adm ite-se que a <i<formaçlio dê uma variação linear n partir do eixo ncuu o.
2 ~ propr~dadrs dos mnt ,.,.lab foram usadas para relacio nar a dd'om•ação
e a tenslo .
.
~-.
3- As condições de ~quilibrl(> fornm usada.- para IOClllizar o eixo neutro e para
..,.,,. determ ina r as ten5õcs in ternas.
FLEXÃO P URA DE VlGAS COM SEÇÃO ASSl MITRJ CA
Na scçllo preceden te djs(.:utju~se a O~:do p u ra das vigas elâst1cas com elJto
de simctrirt. Os momentos aplicados foram eonsldernd~ n lUantes no plano de
simetria. e ssas Hm itaçõc.R. e m bora oportunas no d esenvo lvimenlO da teoda ffexurn.l.
slo muito severas e podem ser grandemente relaxadas. As mesmas fórmuras podeiT1
sct usadas para q ualquer viga Clll flexão puro. contanto q ue os momentos n etores
sejam aplicados em um plano paralelo aos eixos prindpais da Arca transversal.
"'l' A deduçlo prtvia pode ser rcpetid.n identicamente. As tensões variam linearm ente
a pnrtir do cüco n eu t ro q ue passa pelo centróidc. Como nnteriormcnte. a tcnsllo
em q ualquer área elementar fiA, F ig. 6.5, é "• = By. Assim, BydA 6 uma rorça
jn!initcsímnl que age sobre o elemento. A soma dos momentos dessas forças internas
em rclaçlo ao eixo z desenvolve o momento interno. _E ntretanto. quando a simetria
~ fraca, essas forças internas podem gerar um momento em torno do eixo y. Isso
d~ve ser conciliado.
,
O$ brnços de a la vanca d110 rorç11• ÇJYQ pgam zobrc 4rcas innnltaalmais, em
~claçio ao eixo y, são Iguais a :. Assim um momento p ossível i\1,.,, em r elaçio
ao eixo y, é
6.5
M,. -
I•>
L
)IZ<IA.
7
t
/""
~
)'! t
(bl
Viga com nçlo tr•nw.rsal asslm•ttlc•
De novo, o leitor observa q ue na ded uc;Do da fórmula básica da flexão, fo ram
aplicados os mesmos conceitos anlcriormentc encontrados. Esses podem ser suma·
riados dn seg uinte ma neira :
·
176
By dA:- B
A última integral representa o produto de inércia da área da seção trans·
versai. Ele é igual a zero se os eixos selecionados são os eixos principais da scçio.
Como esses ehcos sio os usados aqui, M ,., - O. e as fónnulas deduzjdas anterior·
mente se u plicam a uma viga com q ualquer fo rmn de seçllo trnJlsversal. Se u m
momento n e t or é aplicado setn estar paralcJo u um eixo principal~ os p rocedimentos
diJeutidos no Cap. 8 devem ser seguidos.
!'
Ftgur• • ·. 1
L
'
6
''
Figura •·• Area sombrtldl usa ·
dJ na doduclo do teorema do ei.wo
P.,.tlo
1 77
Os c.x~pJoa que 10 seauom ilustram o n16todo de cál 1 elo 1 dJ
CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA
•· ' --··•· do duu ireaa almploa.. Em aeaulda. 6 da<la um.a a U cu:
. rot.amo.nt.c pela intoa urna *roa composta. Valores d4i pan YiKU oomcrciafm:f: ra:~i::~to~ do el~O para~olo
Na aplicação da fórmula da nexlo, deve ser determinado o momento de
'11:;{<1~~ • cubos alo dadoa nu Tabi. 3 a 8 do Aplnditc.
a c aço, cantuneJros
inércia I da área da scçlâ transvcuaJ ean relaçã-o ao eixo neutro. Seu valor é d.cfi~
2
nido pela Integral de y [lA ao lonao de toda a área da seçilo trnnovcrul de uni
membro, e deve-se enfatizar que, para a fórmula de ncxio. o momento de inerei•'
deve ser calculado em relação a.o eixo neutro d~ área da seção transversal. Esse ·
Achar o momclllo de in6rcia cm rclaçl.o ao eixo horizontal que pusa pelo
· ó'd
de uma soç4o retanaular mostr-ada na F{a. 6. 7•
centr 1 a
eixo, de acordo com a Seç. 6.4, passa pelo cen tróide da seçio transversal. Para
seções simétrica$. o eixo neutro é perpendicular ao eixo do simetria.. Tal eixo é
SOLUÇÀO
um dos ~ixos pl'incipau• da seçllo \riUliVenal. A m!lioria dos leitores jâ deve estar
rnmiliarizada com o método de dcicrminaçilo do momento de inércja /. Entrotorn:; ;:~~6~~0 :;;~A.:e,o • " na lnterNçl.o dos doia oixo1 do almotria. Aqui' conveniente
tanto. o procedimento necessário será revisto a seguir.
·
6.6
O primeiro pano na avaliação de 1 para Pma área. con5i11e em so u.cho.r o eenrr6ide
dn Arca. A intcs;raçlo do. .v1 dA é entlo efetuo.da cm reloç:So ao eixo que po.ua pelo oentr6id~
du õreo,, A lntegraçtto ao lon~o do ilrC!us. 6 noccnária apenas para umas pouce.s rormaa olc-mentarea., como lrifmaulet. rotõn;ulos. etc. Após essa opcruçfto. a maioria das scçOes tranJ..;
versais usadas na prélica podem acr dc•membradaa om uma C01nbinaçlo dosau formu
thnples. Oa valore$ doa momentos do inércia p.a rn ala;umaa formas •lrnplu podom tc-r achadoi
em qualquer manual de enaenharia mecânica ou clvH (veja também a 1'ab. 2 do A~•~n,di<:e~ 'R]
Porn se achar 1 pa.ra umo área composta de várias forma& simples., 6 neçcs.st\rio o ttonma ,
elo t•f.'Co p(lm/t'lo (o1gumas ve~cs chamt~do de fOrmula dr sransf;,o•incín). cujo desenvolvimento:
se s,cg_uo.
A 1\rea mostrada na Fie. 6.6 tem momento de inercia I 0 em rcla.çlo ao eixo !~".:::~~~~~~
que passa por seu c:cntr6idc.. Isto t, 10 • JyadA. onck .v h medido a partir d.o eixo
O momento de inercia 1., da mesma 6.rea. em retnçllo a Ol)Lro cix.o boriz.onto.l z:.. z, por
rinição 6
I,.-
f.
1
(ti+ y) dA,
onde, como anteriormente, y é medido a partir do eixo que passa pelo cent:r 6ide. Elevando
oo qundrado ns quarHidades do parêntese e rcLirando da inlesrul as çonstantei
I"= ú'
1
dA+ 2d
I +S.
ydA
y'<IA- Ad
2
+ 2d
f.
i
y ' fiA -
ydA + ' ··
J•.,,
- .tn
A
y'bdy -
bjY'j
••" - blo'.
3
12
Achar o I\101ncnto de ln6rcla cm rclaçlo ao diA metro de uma se••o clrcul•· d
·
Fía. 6.8.
._.....
c ra10 c.
SOLUÇÀO
Como existo alauma oponunidado de ao eonn.&ndir 1 com J, p•ra uma 1 c91o circular
6 bom roCcrir·.ao a 1 como o momento do inércia uranqulcv da •rea neajo caao
•
Para achar I do clr~ulo, observe lnfcfaJmontc que p 2 - ,-a + y''. como se Pode ver na
D&ura.. Uundo-se a dorinJçlo de J, e notando a simetria cm rolaçilo a ambOi 01 eixos. e usando
I Eq. 5.3
J -
i
p1dA -
J..r (y1 + :')dA - tr y'dA + tr •1dA
-lu+ 1,.,• 210
ln • 1,,., •
J{2- JCC4
(6.7)
/4.
l .. , = 10 + Ad 1 •
25mm-
Esse ê o teorema. do eixo paralelo. c podo 5er enunciado da seguinte rorma: o momento
do inêrcia de uma árco e:tn rclaçllo u qualquer eixo b iauaJ ao momento de in6rcia d~t mesma
ó.rea em relaçlo a um eixo paralelo que passa por seu ccntr6ide. mais o produl.o do. área pelo
quadrado da dist!lncia cnlro os dois eixos:.
too mm
SO m1n
~1.5 mm
I
-p
r_25 mm
I
·• Por dcliniçdo. os eixos ptincip;.is .'llo aquele~~ em rclaçl\o aos q_uuis os momentos de inércja reta~.
autores &Ao ii1Aximos ou minin1os. O rroduto de Inércia. definido por JJ•:~A se onula para os eixos pri~
cipais de Inê rela ('o'eja a. Fig. 6.S). Um eixo de sltnctrln de uma scç~o ~ sempre um ehco principAl de lnérell!.'
P:tra mai& detalhes, veja q ualquer )jvro sobre Enacnhtuia Mecãnic:a
(6.6)
- 1111
Allalogamento 1,.,- bll•/12..
Bltu •xprouOa tio u.aacJu fr*1'U•ncomente, devido ao ompro...., comum clu vrao•
rotanautaro• na pr,dca.
•-
A
Entretanto, como o eixo a partir do qual y t medido pusa pelo ccntr6ide da área. f ,1•dA.
ou ,YA C 7,.ero. Anim
r.. - r. -
+·
10.S3
FSgur• 8.8
F lguta 6.&
+m
50:m?'
179
178
Nat apUcAçõcs meclnicas, os eixo' circulares lteqOentemen~e ~ como vi~as. ~a
para uma dada seçilo de uma viga Assim 1/c e uma constan te. Alem do mais,
como
.... relação é apenas un1a fu nção das d imensões transversais de uma viga.
I·
ela po de ser dotermínada univoca rnentc para qualquer seção rransversal Essa
tdnçio é chamada ele módul<> tln • •rão •ltistien de uma seção • sem indicado por
...\· s. Com essa notnçfto, a Eq. 6.4 ficn
eq, 6.7 senil ()(lnaidef•cl.a Odl. Para um eix.o t u bul3r, o momento de mêrcaa do "Wazado tntetior
deve icr aublraldo d~sa eq_uaçlo.
'
EXEMPLO 6.3
Detc:rminnr o momef'IIO d e in«cia 1 em relaçi:o ao eíao hori~ontaJ da irea mostrada.
na Fia. 6.9. par11 UIO na (órmuta de nulo.
"-
SOLUÇÃO
ou. dito de outra (o..-ma,
Como o mornento de intrcia desejado ê para uso na fórmula de nex.l~. de~e achar
aquele cm rcllçlo ao clxo que pessa pelo c:cntróide da irea. Assim o cenuõtde da area de~
-- --- - ·
Me
M
M
I
l/ c
S
momento netor
ICnSIO máxima de 0ex4o = - :-;--:--.,.---:--;-;-::--
sc.r achado cm primeiro lupr. Isto ê feito mais facilmel\te pe!o tratamento da sedo mats
utcrna e cl:cd uçJo do vazado interior. Por conveniência. o uabalbo ~ efctu.ado na rorma de
tabela. Fhu.lmcnte ~ uudo o 1oorema do ebo paralelo pata se obter !.
{6.8)
lllÓdUIO da seção elástico
Se o momento de inêrcia J é medi()o em mm.. c c em mm, S ~ medido
em mrnJ. Da mesma rorma. se M e medido em kgfm, as unidades de ten.são. como
anteriormente. slo d adas kgl'/m 2• Lembre-se que a disliincia c como é usada aqui.
y(mm]
Ay
Área
A [mm']
(da parto lnCer\ot)
6 medida do eixo neutro a[ê a fibra m~is remota da viga. Isso toma 1/c • S um
mfnhno, e conscqOentemente M fS dâ a tensão máxima. As seções eficientes para
I 125000
Áreo. total
IOO(ISO)- ISOOO
75
re:sist&cia â nexlo tbn o major S possível. para uma dada quanlidadc de materiaL
328125
Vaudo inlcrior
- 50(7S) - - ) 750
87.5
Isso
t conseguido pelo localizaç§o da maior quantidade possível de material
I:A y - 796875 mm'
I:A • 11 l50mm'
afastado do cbo neutro.
O uso do termo m6dulo dr srçào rldsrico, na Eq. 6.8, corresponde ao uso do
y . ~ - ~ .. 70.833 mm da pnrte inrerior
lermo A nn Eq. 3.5 (a- P/A). Todavia, apenas a máxjma tensão de nexlo em
:tA
11 2.50
uma seçfto 6 obtida pela Eq. 6.8, mas a tensAo calculada pela Eq. 3.5 manttm-se
Para a 4rea toda:
Para o vazado Interior:
verdadeiro em toda n seçlto do membro.
·
A
Eq.
6.8
6
bnscnntc
usnda
na
pr.ótica,
devido
a
~un
simplicidade.
Para
facilitar
100(150)'
28125
w
lO'
mm'
·
I
-~·50(7SJ'
-l,758
w
IO'mn~';
.
IJII'
I. - I"'
.. •
'
o
12
12
acu uso, os môduJos de scçllo para muitas das scções transversais fabricadas silo
"
.u• • IS11000(7.1-70,83)'
- 0,2604 w 10• mm': Ad' • 3 750{87,5-70,83)' - ~ x to• mm•,,
tabelados noa manuais. As Tat>.. 3 a 8 do Apêndice rom eccm valores para algumas
1 - 2i"3'i;'4
x 10•mrn".
1,, - 2.1997 x to•mm•. ·...,,.,..•.,, acç!!es de aço. A Eq. 6.8 6 pnrlicularmentc convenicnle pa.ra o projeto de vigas.
'
Uma VC'% determinodo o rnôximo momen1o fle tor para uma viga e decid ido sobre
Para e 1eçlo compotla: 1.. • 28,38'4 x to•- 2.7997 x to• - 2,,586 x 10• rnm• •
a lensfto admissivel, a Eq. 6.8 pode ser soh>cionndu para o módulo de seção dese- 2.558,6 ..:m•.
.
jado. Essn informaçlo ~ auncienle pnrn scledonar uma vigai todflvi~ u ma consiOb~ervc quo no npllcor o teore.rna do eixo paralelo, cAda elemento da uen eompo?h•
contribui com dois tormo1 do I tocai. Um termo é o momento de ln6rcia de. uma t\rca ~m
deração dclnlhadn de projeto de vigas será dada no Cap. 1,0. Isso é necessário
rel a~4o u acu próprio eixo centroidal, o outro termo deto~rc .da tran.s ~e.rincta de seu ctxo
porqua_n to umo fo rçn cortante, que por sua vez provoca tensões, usualmente tum ..
para o cenlróldc de toda 11 ân::n. O 1robalho me tódico~ o prmctpal requtslto na soluçlo cor·.
bém alua em uma scçlo da vign. A interação das várias espécies de tensões deve
reta de Uti~ probtcmaa.
ser consJdcrada inicinlmcnrc pam se ter uma visão completa do problema.
A a.pJiençflo dns rónnuJns de nexâo a proble mas particulares causaria pouca
diriculdnde, s:c o significado dos vàrios termos que nelas ocorrem tiver sido total6.7 OBSERVAÇ0ES SOBRE A FÓ RMULA D A F LEXÃO.
men te compreendido, Os seguintes exemplos ilustram as investigações das tensões
A teouio ele Oexlo em qualquec ponto de uma viga é dada pda Eq. 6.3.
de nexao cm seções es pecificas.
" • . - M y/1. A tensllo maior na mesma scção decorre dessa relação, tomando-_se
Lvlcm um máximo, que conduz à Eq, 6.4. "-·· - Mc/1. Na m mona dos ~robl~mas
I!XEMPLO 6 4
práticos a tcnsao máxima dada pela Eq. 6.4 t a quanlldade pr?""rada! ~llTI, t
Uma viga de madeira ~m bnlanço.de JOem >~ 40 cm (escala QOtmd). pesando 74 kgf/ m,
desejável rucr com q ue o processo de dclenninaçlo de " - · SCJII o _m aos Simples
Sl.lport". uma força conc:cntnda de 2000 k&f na c:.xtremidade, ootno mostra a Fi,c. 6 l(){a).
posslvcl. Isso pode ser conseguido pela obseCYaçào de que I e c sao constantes
Dttcnntnar aJ mhlmo1 lens6cs de Oedo em uma .seçlo l! 2 m de sua ext re.ruida dc livre.
180
1 81
..
. '
2000
th•Ocm
I I
(bt
(o)
"•!,.. H lqr/m
(c)
~···
(d)
400õ • 0,4 karm
(o)
(c)
Um d.iaa:rama de corpo livre para um aeamento de 2m da vlp. ~:mostrado na Fia. 6.1Q(e).
Para manter eue ~eamemo em cquillbdo, 6 ncoe11Aria uma força cortante de 2 000- 7~2) •
- l 8$2 kafe um momento Oetor do 2 000(2) -74(2)1 - J 852 kafm no. seçlo do corto. Ambas
u quantidades utl.o rnolttada.s com scu s-emldo apropriado na Fig. 6.10(c). lnspocionando
• acçio transv.naJ. nota•:IO que. dlatlnc:i:a que vai do eixo neutro à.s nbru muremas é do
20 c:m. portanto c - 20 c:m. liso 6 aplfeivel •• fibtu em compraul.o c em tTaçlo,
Pela Eq. 6.6:
'"
bl•'
30(40)'
-u_1_1_- 16
•
2
r
)
1
b
(c)
.u ..."'
(b)
X
Me
3 8$l(IOO)l0
~
O" •
I
I6 • I
Pela E.q. 6.4: ,_, - -
(d)
Plgur• t .11
10" cm".
SOLUçAO
± 48,J S ka (/cm 1 •
Pelo senddo do momento nccor mosttudo M Fia. 6.10{c). verll'iea·IO Clitatctn u fibru
do topO da vira orn c:omprualo, c u infe-rioro. em lr-açlo. Na retpoJta dada. o ainal positivo
to aplica l tonllo do traçlo, o o neaattvo • ten18o de eomproulo. A mbu at tonaau dlrnlnuem
numa ratlo linear com a ditllncia ao eixo neutro, anele a tendo de ncxlo 6 nula. A1tonsõea
normait que a.acm c:m elomentoa inranítedmail ern A e B esslo mostradu na FiJ. 6.10(d).
á importante aprender a 10 fazer tal reprcsonlllQIO do um e1cmcnco. porque ela ser' usada
rreqOc.ntemenle noa Caps. 8, 9 e lO.
SOLUÇÃO ALTERNATIVA
Se 11penas a mhima tons.lio e dcacjada. pode ser usada a cquaçio envolvendo o módulo
de scçlo. O módulo de un\a seçio rcLang~o~1a.r cm forma ~.tlgê:brica. ~
I
bh' 2
bh'
(6.9)
c
11 h
6
O momentp ftot or e a força corta nte do maa,nhudo e. sentido apropriados para mtll'lt•r
o seamonto do mem bro em cquUibrt~ • ti o mostradoa na Fia. 6. 1J(o). Em acaulda devo
ter localbado o eiJto neutro da vip.. lalo 6 f• lto pw melo da loca.Uuçio do centtôide da Une,
mos~cla na Fia. 6.11(b) ["''ia <amWm a Fia. 6.11(d)). En..., 6 calculado o momento do
\ ln6rcaa orn re iAçlo ao obo noutro. Bm ambot 01 c41culot. u abu d.o conaid.radaa rcta.naularot. do1proza.nda~ oa arredondamento•. Bntlo. ma.ntondo ont monco o eonttdo· do
momento fletor roaiatcn to e aplicando a Eq. 6.4_ ob&am ... 01 valor01 dOIHijadoa.
A [mm 1)
I
2$00
187$
1 875
l:.A - 6 2.SO mmS
1
3
Y -
1
NOSIC problema. $ - 30(40) /6 • 8 000 cm•, e pela Eq. 6.8
M
3852(100)
a _ _. - S - 48,1S kgf/cm 1•
8 000
em ambas OJ &o)UÇÔCI. nlo delxe de observar que o mon\cnto Oetor aubsdtuldo 11111
eq"açõu tenha u unidades corretu.
I:Ay
(do ob)
Ay
I:U
31lXI
117187,5
117 187,$
I:A1 ~ 265 625 nt m'
62.$
62,$
16$ 625
•
YA - 6"Eõ - 41,5 mm da ltnha ob
I • I:(lo + Ad')- 100125)' + 1SOOC30)' + (2)25(75)' + 2(1875)(20)'
u
"EXEMPLO 6.5
Achar a.s máximas tens&es de compre.sslo e traçio na scçlo A·A da braçadeira mo..strada
na Fig. 6.1l(a~ cau~&da pela força aplicada de • L
,(mm]
N.• d a • roa
s-------·
182
cy
:U mm
SOLUÇÃO
n
• S '2 1 763 mm ..
Me (4000)400(57,$)
,
• - 1- - 16,66 klf/mn• (compn:olo)
5521763
Me
(• 000)400(42,5)
" - - - 1- •
- 12,.31 kgl'/mm 1 (uaçlo)
5521763
1 83
Essas tensões variam Linearmente. com a d istância do eixo neutco sendo nulas naquele
eixo. Se para as mesrnas braçadeiras a direção da rorça P fosse invertjda, o sentjdo das tensões
acima seria. o oposto. Esses "'u1tedos obtido&. seriam 01 mesmos ae a Jeçlo transYer&al da
braçndcirn tJ ves.se a fo rma de T. como mOslrn a. Pia. 6.1 J(c). Aa: propriedades d esu, t-eçG.o
cm relaçlo ao ei)(O s ianificativo an:o as me:muu que as de um perrtl U. Ambas as aeções lê~
eixos de simetTia.
O exemplo acima mostra que membros resistentes a flexão podem ser propor..
clonados de rorma a terem diferentes tensOcs mê.x:imas cm lraçlo e em compresslo:
Isso é signi ficativo para materiais com di ferentes rcsisteneias à traçlo e compressão.
Por exemplo, o ferro fundido é resis ten te à compresslo c fraoo em tração. A.ssim,
as proporções d e u m mem bto de ferro fu nd ido podem ser fixadas para um valor
baixo da máxima tensão d e tração. A capacidade potencial do material pode ser
melhor utilizada. Isso serâ considerad o no capitulo sobre projeto de vigas_
tração l!p a djstãncia - yl do eixo neutro, at ua oa viga uma tensão de tração al .
Analo1aroente. G.., é a5Soc.iada com -cr..,. uma t.e osão de compressão., O mesmo se
apllca a qualquer outra fi bra da vi.ga. l s.so determina a distribu içl.o de tensão
mostrada· nas Fjgs. 6.12(d) e {e); ela se assemel ha ã fo rma da curva de tensão:defor-.
mação {compare EF com tif por sua r otação de 90').
11"r:-
.. (lraçlto)
.....
-.~·,
-H!-1-.L
dA
unitd.rlo
6.8
FLEXÃO INE.LÁSTI C A D E VIGAS
A fórmula de rlexAo elástica anteriormente deduzida é vAlida apenas enquanto
o te nslo é proporcional 4 deformação. Uma teoria mala acnJ serA d.i scutida agora
para um matorlal q ue nl o qb~(leQO a lei de liool<e.
A premissa cinemático bâsica da teoria da flexlo, como enunciada na Seç. 6.3,
diz que as seções planas permanecem planas após a Oexilo da viga. Essa premissa
é aplicável se o material se comporta inelasticamente. Sem qualquer premissa
posterior, eJn signinca que as deformações nas fibras submetidas à nexão variam1
diretamcntc com s uas respectivas distâncios ao eixo neutro. Tomando isso como·
base, juntamente com os requisitos de equilíbrio e as relações entre tensão c deformação nlo .. lineares. doscnvolve· se a teoria generalizada da nexlo.
.
Considere um segmento de uma viga prismática submetida a momentos
nctores. A ãrea t ransversal d essa viga tem um eixo vertical de simetria, Fig. 6.12(c).
A variaçlo Hncar das deformações a partir do eixo neutr o, para tal viga. 6 repre·
sentada. em um diagrama na Fig. 6. 12(b). N o eixo neut ro, que deve ser determinado;
a deformaçlo é nula. As deformaçtlc$ nos pontos aJaatados do ebo neutro cor~
respondem As dist4ncias horixontai• da linha ab A linha erJ na Fig. 6.!2(b). Por
ex~tnp~o, a ~eformaçlo de uma übra a uma dhst4ncia -y2 do eixo neutro 6 s1 •
Ta1s dJstânCJas definem a deformação ax.ial de cada libra da viga.
Para fazer com que o argumento seja geral, o material será considerado
possuidor de curvas de comportafncn tos difere ntes em tração e compressão. U ma
possivel curva para tal material está mostrada na F ig. 6 .12(a). Tais curvas podem
ser o btidas das experiências com carregamento axial.
Se o efeito de Poisson t desprezado, as fibras longitudinais de uma viga em
flexão se C·O mportam independentemente. Cada uma dessas pode ser imaginada
como uma barra in finitesimal cor:n carregamento axiaJ, solicitada a um nivel dependente de sua deformação. C omo a variação da deformação em u ma viga é fixada
pela premissa, a configuração da tensão pode set formulada pela cu rva tensã~
-deformação, Fig. 6. I 2(a). Po r exem pio, correspo ndendo a uma deformação de
184
(b) 04~tribul~io de deforma.ç3o
AI
(u) Di•p11mu ten.\Jo-defo un.oçiio
Figura 8 .12
um• vlgo
{e) SeçSo da vjg ;a
-j-,-f~,'o] :i
(
-,''·'
<TJ
Fledo lntfbstiea de
>
_!!...
T
' '
DI\Uibui~~ de ten$5o
!d)
C omo a viga atua em ncxão sim ples., as mesmas equações da estática serão
aqui usadas, como o fo r am no estabelecimento da fó rm ula da nexão elástica As
duas relaçõe-s aplicâ veis são. como antes,
E.F, • O
ou
E.M, - O
ou
L
-L
u_,dA - O
(6.10)
u,y.riA - M,
(6.ll)
onde crx é a tensão n or mal q ue age em um elemento i nfi nitesimal dA da área
transversal A. d a viga~ e y é a distância do eixo neu tro n um eleroent.o dA. Deve~se
observar q ue para um M positivo. a integral na Eq. 6. 11 se torna posÚ:iva, porqUe
para. valores posit ivos de .v a tensão a,'C é negativa, enquanto para valores negativos
de y a tensão cr,. e posüiva.
Para resolver o p roblema mais geral de nexDo inelástica, isto ~ para satisfazer
as Eqs. 6.10 e 6 .1 I , é necessário em proced imento por ten tativas e erros. Inicialmente é d esconhecida a localização do eixo neut ro. U m método possível consiste'
em adm.itír uma distrib uiçilo de deformação, localizando assim um eixo neutro
1 85
~rovia6rlo e dando a di•tribuiçlo de ten1lo molt.r ada na Fia- 6.12(d). Tal• tonta,
uvas devem ser continuadas até que a soma das forças C no lado do compreasio'
da viga ~eja iauaJ à soma das forças T no lado de traçlo da vip. Quandq tal
condíçlo é preenchida, o ci><o neutro da viaa <$tA localizado. Oboervo partlculÀrmente que na Ocxlo inelástico, o eixo neutro de uma viga pode nlo coincidir com'
o eixo <:e.ntroidal da área da scçlo tra.navor... t. Isso ocorro apc.naa se a área tra.0 1•
versai tom doi$ eixos de 1imetria e o diaarama tenllo-deformaçlo 6 id!núoo em'
tração e eompreasio.
·
Após locallzo.r o eixo neutro o conhecer as magnitudCJ de C o 't', podem ser
determinadas suas linhas de açlo. luo 6 possível porque a distribuíçlo do tenslo
na área da seçlo transversal ~ conhecida. Finalmente. o momento resittente é
T(a + b) ou C{a + b). O processo acima ~ equivnlente à integração indicada pela
Eq. 6.11. Entretanto. o momento rcsistento assim calculado, com base nu detor..
mações admitidas, podo nlo ser iaual ao momento aplicado. Assim, o processO
de ruptum ~ poquenL Por outro lado, a dlacreptnoia é arande para m a tcrlail com
pro nunciada curvatura na cur~~& de tontl o-deformaçlo.
,.
c
( b)
deve ser repetida_. admitindo infcialme nto uma deformaçl.o maior ou menor nu
fibras extremas. ntA que o momento resistente n~uc igual ao momento aplicado.
O mttodo acima. para soluçlo do problema gera~ ó fastidioso, e prooedirnentos mais rápidos para se chepr a uma solução foram desenvolvidos. • Entre-'
tonto, a discusslo acima deveria ser suficiente: para dar uma visio do comporta:
menta de uma vlaa em flcxllo al~n do li•nilc clútlco. Como um exemplo •implos;
co nsidere uma visa retanaular submetida ti nexllo. Seja o diagrama tenslo-deformação do material da visa semelhante em traçlo e eompreado, como moura a
·Fia- 6.13(a). Entlo, à medida que os momentos tletorea alo proaressivament.o
aplicados na visa, as deformações aumentam, como exemplificado por e1 , a2 e "•
na Fia. 6.13(b). Corr0$pondendo a ess:u deformações e a sua variaçlo Uncar a
partir do eixo neutro, a distribuiçlo de tensão ocorrerá como mostrado na Fig.
6 .13{c). O eixo neutro coincide com o ei xo centroidal nesae caso, porque a acção
ten> dois eixos de aimetrla c o diagrama tensio-deformação é semelhante cm tração
c compresslo.
Se "• corresponde d resist!ncia de ruptura do material em tração axial. o
momento tletor de ruptura que n viga ~ capaz de resistir podo ser previsto. Ele
O$lÀ associado com a di$tribuiçilo de tenJllo dada pela linha curva ab mostrada
na Fig. 6. 1J(c). Uma resist~cia equivalente ao momento tletor, baseada na premissa de distribuição li near da tensão, a partir do eixo neutro. 6 rnostrada peta
linha ctl na mesma figura. Como ambas as dlstribuiçOes de tensões supostamente
resistem ao mesmo momento e no último cuo as tensões menores atuam próximo
do oho neutro. aa maiores tcns6ca devem atuar nas fibras externas. A tcnslo nas
ri bras externas, calculada com ba.so na fórmuln de nexão elástica para o monlento
nctor de ruptura, determinado experimentalmente, é chamado de m6puk> de ruptura
do material em tlexio. Ela é maior do que a tendo verdadeir& Para materiais
cujos d iagramas de tensDo-derormação se aproximam de uma linha reta, até a
resistência de ruptura. a disc'repdneía entre a máxima tensão verdadeira e o módulo
•A. Nadai. nrwr t;/ FJo.w tmt1 Fr«tWT •
Nov" lorqu~ L950
1 86
SoHfls. 901. I. p. 356 McGraw·Hil 8ook Compuy,
(o)
Plvun~ 1 .1»
(a)
(<)
€i=}
w:·
Vlge r• tanouler •m nuto. excedendo o llmhe d• ptoporcionelld•CS. dO m•l•ri•l
(b)
(c)
Como outro exemplo importante de tlex'i o elástica, conaidere uma viga retanauiar de material c!Astico-plástioo, Fi~ 6.14. Em t.aJ idealização de comportamento
do material é poulvel uma nltida aeparaçlo do membro em zonas distintas, eiA.stica
c plástica. Por exemplo, so a deformaçlo nu fibras extremas é o dobro daquela
no inicio do escoamento, apenas a metade central da visa permanece el6stica.
Fig. 6.14(a). Neaso caso, as quartas partes externas da vip escoam. A magnitude
do momento M " correspondente a essa condiçlo pode aer realmente calculada
(veja o Exemplo 6.7). Para eleva das defo rmaçõea a ~ona ellltica ou núcleo diminui.
A distribuição de tenslo corrupondente a. essa situação catA mostrada n u Figs.
6.14(b) c (c).
1 87
EXEMPL O 66
Determ inar a c.pacidadc p l4tt ica ou de ruptura na ncxl o de uma viga do aço doce. do
seçt'io trantvc rlnJ rcrangutât. Considere o mareriuJ c.omo elhtico-_Plá.stiço idel\1.
SOLUÇÃO
O dlaar·a ma ide.aliudn de tenslo-derormaçlo c.at' na Fi&- 6.15(a). Admhc:-te que o
material tenha as mesmas propriedades em tnu;.lo e compreulo. AJ deformaç&M que pouam
ocorrer d urante o escoamento slo muno maiores do que a m'xima d d ormoe-lo elistiea
(IS a 20 vezes a 6hhna qu•nlidade). Dc:ua forma. como dáonnaç6es inaceit:a• rlmente g.raodes
ocorrem ao mesmo tempo q ue arondcs nechus.. o momento piAs·t ico pode ser eon1ideudo
O mo mento nelor resistente de uma "'P de eeção reta.ngulo.r. quando ns r1bcas externas
atinaern (1~· como dndo pela r6rmula de Ocdo elástica. ~
M_,_r - o• .,J/ c- cr-.l bii'J / 6), de!JIL rorma ~\1rfM ._.- 1,,0.
~ relaçao M ,) M . .. depende a pena.! da.s pro prled<tdes da scçtlo crtntvcrsal de um mem bro
c e chamada de fotor (Ir forma. Tni ratar pa ra a viga retangulru- mOJU'O q ue Mur pode .ser
e•ctdido de SOY. antes de te at ingir a capacidade de rupt ura de uma vip ret~autar. • .
Para eauea&mcnto t e.slâlicos.. tal como ocorre nu constCUÇÕCJ. w: c:apactdade:s: lurutct
podem ser det:uminadas por mdo da utHiJ.;,c.l o dos momentos pllstu:os. Os proccdime.ntos
e.se:a.dos cm tais. conceitos do denomin•dos de mrirfls' ou fi'O)tto rio mitodo plàstico. Pa.ra
tal trabalho deJine-110 o módulo d~ $('("iio pM.Hicn Z na rorma :
z
como o momento "de ruptur A.
M , • ~~. ...
~
(
g
BJ
n
'
,
(o)
(c)
(h)
1-!....l
(d)
(6.13)
f'nrn a viga reltUigolor achna enelisndn Z • hh ~/4.
O Ste~l Co11 $truc:<frm M tW itaf• fontec:e umn tabela de m OdulO$ de scçdo plâ.stic:• p::1m
muhos rormns com uns de per(is de aço. A Tnb. 9 do Apêndic:e. d6 uma ll.sra resumida dos
módulos d e seç:iio phbtica para seçôe$ de açO. Pa.rn um dado M~ e D... a JOluçlo da Eq. 6.13
plt'G z ~ bastante simples.
O mttodo da an61i.tc plást ica ou limite t inaceitável no proj eto de mAquinas em sicuac6cs
em que u propriodados de (adiga do material do importantes.
P.XEMI'!.O 6.7
AchM" as ler1:Jtic::3 t'csiduacs em uma vigu rctnnaular npós a ren~oçl\o do momen lO Octor
P:fgure 8,11
d• r uptu ra.
A d l•trlbulol o do tonJio moltrada na Plg. G. l $(b) 10 apUca e pó' ocorrer uma .arande
doforrnaç ll ~ No dleulo do momento resistente, as tcntOct corre•pond-cn tet • • dreoa trlan..
s uhud abc • b''"· podem ser dcaprctJ~das sem afctac Indevida mente a pn:cisl o. Elas contrf·
buem pouco pata a rc.sisttncla ao momento Oc:lor a plicado. devido a seu pequeno braço
d t alavancL AtJJm a ldcaliuçAo da dlnribufçto da ta.nllo daquela mo.strada. na. Fia. 6.lj(c)
• pcrmlu.lvel • tem um slaniOcado Oalco s imples. Toda a parto auperlor da vlaa t submctJda
n uma tendo uniforme d e coJnprc..,lo <~.n , cnquanlo a meta do inferior est'- IOtalmcnre em
tra.çlo unirorme a.flt . A s1metrla aarante que A viga s eja. dividida ig ualmente cm uma tona
de. troçllo o outra de eomprenllo. Nu~neric amentc,
C - T •
, (IJir/2). isto 6, (te n do) )C (Area.)
(I••
Coda. u111u de.,as rorç-a.s oae • uma distância hf.( do ei.llo ne utro. Assim o m omento re-.
.si.ste.nte plástico ou de ruptura. da vis-. 6
·
M 11 "M
....,.
-c(!:..+!!_)-"
bl•'.
4
4
""4
188
L
o-. ,.
1>1,
M,
onde b ~ a aba da viga c lt ê •ua altura.
A mesma soluçlo pode ser oblida pelaJ aplieaçlio dlreta das Eqs. 6. 10 c 6.11. O bservando
o sinal das censôe1, pode-se coocluir q ue a Eq. 6.10 6 u rlafclta, passando-se o eixo neutro
pelo melo da viga. Tomando--se ,IA • brly. e o b$ervando·JO a timetria em' rclnçiro ao eixo
neutco, m ud n·JC a Eq. 6.11 para
'
.~. = M,..~ • - 2
SOLUÇÃO
A distribuiçlo d e tcnsi .o associada com um momento de ru ptura estA mostrada na
Fia. 6.16(•). A mnanltude desse momento foi d eterminada no e~e mplo precedente c é M~ •
• t~,.)1h "/t4.. A pós remoçlo deste momento p16ttlco M ,. cada nbrw. d• vfa• pode voltar
d u tleamcntc. Oc.1pre):k"do o efeito de Bauschlnaer (veja 1 FI&- 4.16). vt~tc que a !a.ix&olUdc:a
du rante a retirada da carp ê o dobro daquda que oconc:ria inic:iulmentc. Dessa forma,
con1o M . M - <t~•tbh 2/6 e o nlomento removido é tt11 .-(blt 1'/4) ou J,S M.H . • mê..Oma \cnalo
calr;u lada com base nn nçno chi!tica 6 l/2
como most ra a FJa. 6. J6(b). Superpondo 01
tcnsOes iniciais a M,, com o alivio eh\stko do tcnsOes, devido ô. rcmoç4o de M,, . ach:am-so
1.1 tensOes residuais, F ia. 6.16(c). Observe que nt tcnsOes microrreaidunl• de t raç-G.o e com·
press!o longitudinal. permanecem na viata. As zonus de tração sio as sombreadas nn figurn.
J.fl"'_.
+(
(
(-c.,..)yb.ty • .,_tJfr l ft..
(6. 1~
L~
'bo
M-0
-
E
(I)
(b)
.....
'fzvrtr:
lh CVu
Figura e.1 0
lc/ !
;?':
(c)
Oi.sttibuicão de tendo rn.auet eiT uma v1ga te tang.,~tar
• A_meric.an huthu~ or Steâ Con.struc.tion. A ISC Stttl Consi ~"W IIo.. M tmwol, pp. 2..6 e 1.9. AlSC.
Jnc., NaYa Iorq-ue, l96l
189
Se tal viz_a rouc usinada. re-d u1:1ndo grad ua tmenlc: l lJD profundidade. o aJ...,io das tenli5c:!
residuais; ca usaria ddnrmaçOe• indcscjávt!ia na barra.
EXEMPLO 6.8
Oetennínar o momento rcsiscc:nte de um.a viga rctangu lar clistico-pl.btiea.
I'
Fig ura 8.17
O:u•tomo el4nloo-p"tUOO\
•
·'--·-
•
......_
1
/
•
,,.
Viga e l~stica-gltul c• em O•l•noo
I'•
lt/Z
J'•
hf l
,.lgura 1 .11 Fatot dtt conoentrtQ6o
de ttnslo em rtedo pura
(b)
Para comar o proble-ma mait dennido. considere uma viaa c:m balanço carregada como
mo.nra a Fta. 6.l7(a), So 1 vi.a1 é rcllo de matetio.l e1Atllco-p14tlico e a rorça aplicada P tun.
eiontcmentc aronde- paro causar escoamento, t.cr1lo fotnu•da.s àS zonas ph\srlcot (sombreadaJÍ
no flaurn). Em uma seçfto arbitn.\rla u•o o dislribuiçfto de tendo correspondente será a mosIrada na; Fia. 6.J7(c). A z.ona chhtica estende-H a umu profundidade de ly0 • Obaorvando'
que na zona clútica u ccnsõcs variam linearmente c q ue em q ualquer lugar na zona plhtica
n tensão o•illl f: ll.u, verifica-se que o momento resístcnte M é
_)<bdy)y-2
bh1
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(-ct-J<bdy)y
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M.-~, 0#--;- •
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(6.14)
onde a última slmpHfleaç.Go C efetuuda de acordo com a Eq. 6.12. É intcrcuante observar
q ue. nC$Sa eq uação ;erol.se .'~'o - O. o momcnlo rJCa iaualao momento p1á$tico ou óc ruptura.
P'or o utro lado. sÇ Jlo - f1/'2. o momento volt& a s-er como no caliO limito ciAstjco. onde M =
- rt~~~~bll 1/6. Quando o momento Oe[or aplicudo no vllo é conhecido, o conlomo eltunico·.
· pi6JtiCO pOde ser delerrninado pela iOiuçlo da eq. 6.14 parn Yo . Enquanto permanecer
\Htlol zona ei,Jtica ou n úcleo. aa detormaçôe.s plásticas não podem proarectir sem limile.
&11e ~ o caJo do escoamento plblico contido. bso foi encontrado arueriormcnle- oo.a Eaem•
pio• 4.10 e 5.9.
·
CONCENTRAÇO.ES OE TENSOES
A teoria da ncxlo d.,.envolvida nos artigo. precedentes a plic:a-sc apenas a
vigas de área de scçll.o transvetSal constante. Tais vigas podem ser chamadas de
pri.smátioo.s. Se a ârea cb seçio transversa) da viga varia gradualmente, não ocorre
6.9
190
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nnm.i:tt•I - M r/1
K- l•-.J roal/1'cr-Jnommal
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SOLUÇ.IiO
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I•J
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n..,hwn desvio slpüicat_ivo da coD.Ilgwaçlo de tenllo anteriormente dlKutida.
Entretanto, se a acçl.o tem entalhei, oncab<es oriflcioa Pllf& puafuaoa, ou mudança
abru pta de dilmotro, aparecem elevadas tenSOes locais. Essa aitua.çl.o é antloga
â9ue!A diacutida anteriormente no c:aao de mem bros udais e do torçlo. De novo
ê muito dilicíl obcer as expres- an•lítica.o para a tenslo real. Grande parte da
infonnaçl.o relatlva 1 d~trlbuiçl.o do tensão rcul vem do ex_Md!ncias rotoelâstica..
precisas.
Felizmente, como em outroS cuos discutidos, apenas as ptoporçõca geomê·
trícas do elemento oatrut,urlll afetam a confiauraçl.o local da tenalo. A.lêm do mais,'
como o interesse eat• na mblma tenalo, a idéia do fator de eoneentraç!o do tenllo
podo oer uaada com vantaaom. A relaçl.o K entro a tcn1lo mâxlma roal e a mbima
nominal na soçlo mlnim1, dt,!IA pqla Eq. 6.4 ê definida como fatoc do concentraçl.o
do tenslo na flaxlo. Esae concoito • Ilustrado na Fig. 6.18. Aulm, em geral.
(c7_,),.,- K(Mc/1).
(6.15)
As Fia& 6.19 e 6.20 slo JtifiCOO dos fatores de concentraçio de tenal!es para
dois calOR representativos.• O fa.tor K podo ser obtido desses dlllJ.C&m&s, dependendo daa propor._ocs dos membros. Uru estudo desses aráficoa indica a vantagem
de raios aencco$01 c a clirninaç!o de entalhes abruptos para eliminar as concentraçõC8 de tensões. Esses rem~dios slo altamente desejáveis no projeto de máquinas.
No trabalho estrutural, particularmente onde são uudos materiais dútcis e as
forças nlo nutuam, as conoentraç&s de tonaôcs são ignoradaa.
Se a seção tranavecsal do uma vip é irreaular. tambhn ocorrem concentrações
de tenslles. Isso ê particularmente significativo se a 6rea transverul tem l nsulos
de reentrância. Por exemplo, tonsl!cs bastante localizadas ocorrem no ponto de
encontro da alrna com a aba•• de uma vig,n /. Para m inlrnizá.-lu, as formus lami·
nadas comerciais têm &enCIT0$001 arrcdondlLmento• em tais pontos.
Alêm das concentrações do tens&s provocadas pelas mudanças do scção
transverso.! de uma viga. outro efeito trunbém é significativo. Forças são freqüenterncntc aplicada.o em ân:as limitadas do uma viga. Além do mais, aa reações atuam'
•es.u figur..s alo r epc01:httid• d8 M. M. Frodat. ""Futot'l ol Str. . Ccmccnlra.tion P hoiOcbstkaJiy
~\crmined•,
Tums. lUM E, 57 (19)j). A-67
••A uln.a t a parta vert:iclll de UlTI:a viga. At purtc-s horitonui!J de uma visa alio chamadu de.flm•!Jil,~
Ou ubot
1 91
I Ebo 6e d.ne tria
apenas localmente em uma viga. oos pontos d e suporte. No trat:amento a n terior ,
todas essas (orças fora m idealizadas com o forças conoDDtradu. Na pritica, a Pres&lo
m~dia no apoio entre o m embro que aplica tal força o a viga é calculada no ponto
de contato de taia fo rças com a vig a. Essa pressl o de a poio ou tendo atua normal ..
mente na aupcdlcie neut ra de uma viga e catA a noven~ graus com as tcntOca de'
ne.ao discutidos ncose capitulo. Um estu do ma.is detalhado do efeito de t o is fo rças
mosu a que eiM causam u ma perturbaçilo em to das as tensões em eocnla local, c
a pressão n o apoio, normalmente calculada. é uma aproximação groueira. AJ
tensôes a lnauloa r etoa com u tensões de flex&o, comportam·.s e aproximadamente
como mostra a Fi .. <4,30. U ma investigaçilo da perturbaçilo provocada na d ialtlbuíçfio d e tensões de apoio foge ao e-.sc;opo deate livro.•
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Fatores de concentrec.to de
tentto p.ere ne.• to do barru ehetas com etltelhe
O leitor d evo lembrar que os fatores do concentr açlo de tenslles ae aplicam
somente enquanto o material se comporta clnst.l ca m ente. O comportamento incltbtlco do m aterial tendo a reduzir esses ratoret.
·
6. 10 VIOAS DE DOIS MATERIA IS
I
Até o momento, as vigas a nalisado.J roram consideradas de material homg.
geneo. Na prâtlca. ocorrem importan tes usot de visas de diferentco materiais:
A.3 vigas de d ois mo lcdais são especial.m entc comuna. As vigas de made-ire silo
rreqüentemenre rerorçadu por tiras de m elai. e vip.s de concreto slo reJorçadu
com vergalhlles de aço. A teoria fundamental q ue aupona a anAlise elbtica de
tais vigas será discutida nesta scção. A exteosio da anAlise na faixa inelbtic::l segue
os p rocedimentos discutidos na Seç. 6.8. Uma soluçlo para uma viga com comporta·
monto elástico é dnda em um dos e xemp los que se seguem.
·
• em vinudo do princlpk'J do Se. Vcnant (Scç. 4. 18). a d iJitnolu a ra1ta.du d.ea forças conc:cnlnidU.
comparhei$ e-om as dimen ~e. LJan.s~rstttl de um m embro, ú (órmulaJ deste texto são p~dau. ma•
ut r6rmuW usuais nlo ..ao aplh:4vdla vlg;M c urta• c groeai1J, ta! como um de-nte de: c:ngr cnt~aem
192
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Olttr~lçlo de cenJ.Jo
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Sc:Ç::Io eq•d,..,flle no materhl J
(d)
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f f gu.ra I . Z1
ViO" do dOIS M.!1Cti&i$
Considere uml\ vig-a simétrica de dojs materiais com uma seçito transversal
como mostra A F ig. 6.2l(a). O mntcrinl C)terno I tem um módulo de elasticidade
E,. e o do material in terno 2 é E 2 • Se tnl viga é s ubmetida ~ Oexno, a premissa
básica de deform aÇ[o usada na teori• uo Oe.ao perma nece v:I lida. As seçOes planas
a Angulos retos com o eixo de uma viga permanecem planas. Dessa forma. ns
deformaçôcs devem variar linearmente o pclrtir do eixo neutro, como mostra a
Fia. 6.21(b~ Para o ea$0 elástico, a tcnslo ~ proporcion al a defonnaçJo, e a d istri·
buição de tendo, admit indo E , > E 2 , t a mostrada na Fig. 6.2 1(c). Observe
nas supcrflc:ics de contat·o dos dois m:ueriais csrá jodicada uma descontinuidade
na intensidade da tensão. Embora a defonnação cm a mbos os materiais em t ais
su~~cies seja iaual. ~es~nvol~se unut tensão maior no material mais rígido.
A ngJdez de um m atcnal c medida pelo módulo de elasticidade E. A informação
acima. ~ sulicienLC para reso!vcr quoJque~ problema de viga de dois (ou m ais)
matena1s, usando urna soluçao p or tcnto.t1vas e erros semelhan te ô d i&eulida n a
Seç. 6.8. Entretunto é possível uma con sidcróvel simplificação do procedi men to.
que
193
Aplicando rormalmente T.F11 • O para localizar o cbco neutrot e l:.M,- O para
obter o momento resistente. apenas as magnitudes corretAI c locall7.aQl5ea du
forc;u resistentes (e nl!o dat tensões) sl.o significati•u. A nova t6cnlca consiste
na c;onstruçlo de uma seç:lo do material na qual as (orças ru:istenta alo u mesmaa
que na seç!o oricinaL Tal scçllo é chamada de seçào tra11svorsal trnl4formafla ou
eq,lvalenre. Após a reduçlo de uma viga de diversos materiais a outra equivalente ·
de apenas um material, a r6rmula usunJ de nexllo elbtica se aplica..
A transrormaçlo de uma &cçl.o ê conscauida alter4ndo as dimensGet de uma
seçlo trans~raal patalc:la ao eixo neutro na rclaçllo do. m6duloo do elasticidade
dos materiais. Por exemplo, se a se~o equi•alente é de&ojada no material I, u
dimensões corre.pondc.ntcs no material 1 nlo li.o aheradu. As dimensões horf,..
~ontais do material 2 slo alteradas pela relaçlo n, onde " - EJE" Fig. 6.21(d):
Por outro lado, soa seçlo transrormadl\ é a do material 2, a d imenalo horizontal
do outro material é alterada pela relaçlo "• = E 1/E 1 , Fig. 6.21(c). A relaçlo 11 1
é inversa a 11.
A legitimidade das oeç6eo transformadas é vista comparando u forças que
otuam nas seçOea originais c, nu equivalentes. A força correspOndente a uma defOr·
maçlo • •• que alua e m uma irea elementar <lzP,y, na Fia. 6.21(a), 6 o,B 1r/zP,y. ô
mesmo elemento de olrea na Fia. 6.21(e) é 11 1 t/1dy. A força que age nele é
1 11 1P,xdy.
Entrotanto, pela d ofiniçlo do "•• 8 1 - n 1 S 1 • Aaaim lU tor911 em a mbot 0 1 ele·
mentOl alo u mesmas. c am~ cm virtude de sua loealluçlo, contribuem igualmente para o momento resistente.
·
Em uma viaa com 4rca transformada. a.s deformaç6cs e tensões varíam linear·.
mente a partir do oixo neutro. AI tensões calculadas de. maneira u.sualalo corretu
para o material do qual a seçlo tra nsrormada é feito. Pam o outro material, a
Lenalo calculada deve ser mulliplicada pclu rclaçlo 1r ou 11 1 da &rea t,r ansronnada
para a atual. Por exemplo, a rorça que •se sobre 11 1 dzdy, na Fig. 6.2i(e), atua sobre
d:dy do material real.
(• )
(11)
A ""'xima tendo na madelra 6
(ti..._.....
)
(r.J- • ""• • :10
SOL.UÇÃO
A reloçlo do1 m6dul0$ do clutiddade li~JB_, - 20. Aulm, u.snndo uma scçllo rransfonnada de madc.ila, a la.raura do.~ pcç:t interior ~ !.5(20) - 300 em. A itrea tranaformada estA
1n011rada na R..,.6~22(b). Seu cctur6ide c momento de inércia cm rclaçio ao eixo ccn1roidal slo
IS(ZS)t2,S + ll-') 300(:!5,7 $) • 1973cm
do tOpo;
'
IS(2S] + (I,S))OO
'
'
1
1,.- 1; 2 + ( IS)2S(7,23)' + 300:~~)' + ( 1,5)300:6.02)'- 55S26cm•.
v •
;>
194
(280 000)(6,77)
SS 526
• 682,8 kaf/o•n'.
SOl.UÇ.ltO ALTBRNATIVA
Uma tn:::a t.ranafonnada em t.rmot do aço podo tamW.m act' usadL Entlo a laraura
equlvalari~ da .... d.Jra • b/lr .. 15/lO. ou 0.73 em. ElA troa lranslormada cstt mtmratla
na Fia. 6.22(<~
' -
(0.H)2S(I4) + IS(I,S)(0,7S) 6 77 cm
(0,75)2S + IS(I.S)
• '
'
lu a
(0.7:~zs> + (0.7$)2$(7,23}' + IS(iiS)' + (I,S)I5(6,02)1 • 2 776.3 cm•:
v
(r••l_ -
Considere uma vi,ga compost.o. com a.s di mensOes da St:çno trnnsvcrll11 mostradas na
Fia. 6.22(a). A par1o sl.lperior ~ de madeira. de IS cm )( 25 cm (le•nanho normal). E,. = tO*
kaf/ ent 2 ; a parto inferior ê de aço, de I,S cm x 15 cm. E_ • lO x lO~ kgf/c:.m 2• Se esa:a viga
suporta um momc.nto netor de 2 800 kJfm crn relaçlo ao eixo horiz.ontal. quais do as cc:tliÕcl
mAximas no a.ç o c na made.ira?
_ Me_ (280000)(!9,73) _
k !' ,
99~5 a,cm .
I
SS516
A mhima tenJio no aço f:
•.E
EXEMPL.O 6.9
(c)
(cr,.....)-
do 1\lndo;
(280 000)(6,71)
1
- 682,1 kaf'/ cm ,
2 n6,J
-~-(..!_)(280000Xt9,73)_ 995 • (''
11
20
'2176,3
1
; ~a ,cm ·
Oblctvo quo 10 a sc:çlo tranaformada ~ a cquJva1cntc da madcitL as tens6es na peça
ruJ ele madeira tio obcidu díretamente. Ao c:ontrirlo, oe a scçlo equivalente 6 de aco. aa
tcnslJa: no aço slo obt.ldu diretamenlo. A tendo cm um material ma.is dgjdo do q~ o da
teçlo transformada aumenta porque 6 ncc:usátia uma lendo maior pura provocnr a mesma
dc(orrnaçlo.
E.XeMPLO 6.10
Oe.te.rmin.ar a mlaima tendo no concreto e no aço para uma v1p de concr-eto armado
com aacçio mostrada na Fia. 6.13(a~ ae. ela suporta um mome-mo Ootor positivo de 7 000 kafm.
O reror90 consiste em duu berru de aço n.• 9. (Euu banu Jlo do 2.8.6 cm do diA metro
e 1.em uma. ãrea tranaveual de 6.4lcm~~ Admitir que a relação entre os módulos do Young:
do aço e do concreto J.eja de JS, isto 6. n ... 1S.
1 95
Assim /c#= l 6.15cm e SO-kd • 33,85cnl ,
l5<m
I---.----'\:-.---I-I--J--T16;~.
I•
(0
lf>-ltd- )) .., ...
-
)
-~
25 1
1 ~iiSl' + 25{ 16. 1SlC 6; 15)' + o+ 96,3(33,85)'- 1 4544~cm'
a~= (700000)(16,15) - n 7 k•"
I
145 44S
Me
a"". • n - - 1
'
15(700 000)(33,85)
,
- 162,9 kgCjcm l,
145 44
SOLUÇÃO AI..Tf!RNATI VA
(b)
Após a dctcrm inaç fto tJc k,t. no luJ&r de calcular 1, po<Jc:..tcc: usar um procedimen~o c~<'i ­
denlc da F'ig. 6.23(d). A forç~ resultamc des.envolvidn pdn.s lcnsôes que RCua.m de maneira
.. hidrostática" do lado de comprcnào da viga dc\lc "er localizada kd/3 nbabo do copo da
n,a. Além do mni.s. se b ~ • largura da viaa. essa força resullanle C = Jf2(G'.)-b(A:d) (tcntio
m!dia veu:s área~ A força de rr-a ção resultante Tatua no centro do aço c~ iaual a A.41., onde
A 6 o Area Lran avcrsaJ do aço. Então. se jd e a d istAncfa entre T e c. e como T= C. o mo.
m'::nto aplicado M ~ rcsislldo por um par igual a Tjd o u Cjtl.
·
F lgura i .D
SOJ..UÇÂO
As seçõa planas slo consideradas como pennanecendo planas cm uma vip de conc;nto
reforçado. M dcformaçõea variam linearmente a partir do ci ,;o neutro, como mostra a !=íg.
6.23(b), pela linha nb. Uma acçlo tranaformada em termos do concreto 6 wada para retolver
esse problema. Entretanto. o concreto 6 tio frnco cm tra çlo que nl o se pode garantir que
pequenos rachaduras não ocorram na 'lOna de troçlo da vi&&o Por essa razio. nlo se dA crt-:
dilo ao conereto para resis1fncia ;l ueçlo. Com bue nessa premissa. o concuto na z.ona de
traçlo de uma Y1aa apenu mantf:m o 190 cm aua pot lçlo• . At tlm ncsn an•Htc, ela virtual-,
n1cnto nl.o existe. o a scçlo trnna:for:mada adquire a forma mottrada na Fia. 6.23(c). A acçlo
lranavanal do concreto tom 1un prOptJa forma acima do ebo neut ro: abal~to dela nenhun1
concreto t mostrado. O a ço, naturalmente. pode rcalstir 4 traçlo e ela 6 moatrada como 6rca
transformada de concreto. Para Orq de d1culo. o aço~ localiudo por uma dlmcnslo simples,.
do eu:o neutro a seu c:entr6idc.. Existe uma diferença desprcza\veJ entre eua distAncia e as
distA nelas verdo.dc:lrM i\s vArJns fibras de aço. A c;:olocaçlo loaca das bnrra1 em ser viçO con~
corre para es.sn prAtica.
• .
At~ o momento foi usada ll id~ta de eb.o neutrOt mas lU.& localiza.çlo ~ desconhceidL
Entretanto. aabe-liC que c.s10 eixo coincide c:om o eb.o que PIIN pelo centróidc da acçlo
trantformad.L S.be-se, tam~m. que o primeiro momento de
(ou cat6dco) de um tado
do ctxo centtoldal 6 Igual eo primeiro momento da ftro. do outro llldo. A11lm. seja. ktl a dls~
tftnclo do topo da viga ao eixo centroldnl. eomo mostra a Fig.. 6.23(c), o ndo Jc 6 uma relnçll:o
detc:onhecída .. c ú ~a distA nela d o topo da viga ao çe.ntro do aço.. A /ormulaça:o aJatbrica
localiza o eixo neutro. cm rclaçlo ao quaJ ~calculado /,e a tensõcs são de.terminadu como
no exemplo anterior.
jd" d -kd/3 • 50-(16.15/J) = 44,61cm
M • Cjd = 1/lb{kdXt~,)_,U,IJ
( )
Ek!!l.
(kd/ll.
Area de
conc:teto
braço de
alavanca
= .J.g_
lu ea transrorrnada de aQO
77 ,7 k a l', cm 1
M
(700000)
1
"• - A ,U'IJ - 96,3(44,61)- 162,9 ksr/cm .
Ambos os m~todos naturalmente dlo a mesmo rcspostL O scaundo mêtodo ~ mais
conveniente nas aplicações pr&cic:u. Como o aço c o concreto tt:m t.ensGc:s odmissiveiJ diferentcJ, diz-se que a vis,a tem reforço bolaoceado. qu&tndo ela ~ projetada de rortna que as
tensOc' rcspccllvns estejam simultaneamente c:m IC\1 nivcl a dmiss i ~<'el. Obtcrve que a viga
most rada ficaria. virlua ltncnte .rem funçtlo se os momentos Octore$ ro.uem apliQdos na di..
reç4o oposta.
EXEMPJ..O 6.11
Determinar o momc.nto de rupturn potra a vign d'!: concreto do e xemplo precedente.
Acfmhir que o teforço de aço ~scoc a 2 800 kgf/cml e que a resist~ncia ã ruptura do concreto
,.ja J;- 180 k&l/ctn'.
braço de
a lavanca
• N• re2Jidade ele f: vsado pan resis.tir 11 (Of'Ql cortaruc e forneoet q ure.nçe conl.ra o rogo ,_,. o IÇO
••essa se ~d•ptl d not3clo utiJII dO livro• sobre cone-relo rctoreado. Nette lcltU. h C gc.ndmc:nla
ur•do pa.ra representftr a alluro ou u prorundld11de da vtp.
2(700000)
l5(16.1SJC••.&IJ -
M • TUdJ = A .li, jd
(50 - k·~
12,S(kd)' • 4 ~ 15 - 96.3(kd).
(kd)' + 7,704(kd) -J8S,2- O.
2M
n, ••· - b(,kdJV<l)
•rea.
196
.,cm
(d)
(c)
25<m
(o)
•
SOLUÇÃO
-
Quando o • ço de reforço cou\C91 a e.scoar~ tern inkio grandes dcform1ç0d. Esa ê conÃ:Ier:.da como a capacidade de ruplú ra do aço: aaim T.,..., - A a ,...,..
No m omento da ruptura. o e\'idêncin expcrimcntnl lndiça q ue as tenst'Jd de -compresslo
podem ser a pro~ohnatfas peln tenrão reuangular u10stradn nu F ig. 6.24. S costume admitir
que a tensão media nesse bloCCI de tens4o de compras4o seja 0.1:15/:. A.ss:im. tendo em nlenle
.
1 97
que T,.., - c,.., . tem --se
libra a rbitrária é (R -r) (d.)/rd4>, e a tendo normal .,. sobre um elemento dA d
r,.,,.,_,..,.- 2 soo x 12.8' = 3.S9.S2 kgf- c.,...
k' d
área da soçio l ran!'versai 6
...S....
9,4) 100I - l c5216tc.1rm
( Kd) • 35932 (SO-T
M,..,.- T,.,. d-2
.•
~
E (R-r)d~
Cl--'01·,
35952
- 0.85/;b - 0.85 x 180 >< 2S - 9•4 cm
P ... uso futuro. o"-"e 11amb4m que
a
(6.16)
:;r::;:·
'"
(6.17)
A Bq. 6.16 dA a. ten•~o normal que alua cm urn elemento de trea da seçlo
uan1ve.nal de uma VJP cUrvL A localfzaçlo do eixo neutro seguo da eondiçlo de
que a 1oma da1 forças pe.rpendicula.re. à sec;Go devam ser jJUai• a ~ro, iato é,
f <1dA - f E( R- r}!lt/J d A - O.
J.
JA
(•)
Figure t.24
r4>
•
Entretanto, como E, R.. 4> e tl4> alo conatantcs em ~ualquer scçlo de uma vip
sob. tendo, elas podem aer retiradas da intearol, obtendo-se a solução para R.
Astlnl !
6.11
VIGAS CURVAS
Nesta scçllo 6 dcscnvolvidn o teoria da ncxl.o paro bnrraa curvns. A a tençlo
fica restrita a vigas com wn eixo de simetria da seção t ransversal. com esse eixo
em um plano ao longo do comprimento da viga. Apenas o caso elutico é tratado• ,
com a condição usual de que o modulo de elasticidade ac:ja o mesmo c:m traçlo
e compresslo. Considere um membro curvo, tal como mostram u Figs. 6.2'(a)
e (b). As fibras externas estio a uma distância ''• do centro de curvatura O. As fibru
internas estilo a uma distAncia
A distA.nda de O ao eixo ccntroidal é r. A
solução• • desse problema baseia-se do novo na premissa. já famlliar, do que as
seçOcs perpendiculares ao eixo dia vip permanecem planas ap6e um momento
fletor M ser aplicado. Isso é representado no diagrama pela linha ef em relaçlo
a um elemento da viga n"cfl. O elemento é definido pelo â ngulo central 4>.
Embora a premissa. de defor mação básica seja a mesma du vigas retas, e,
pela lei de Hooke, a tenslo normal " - Ee, é e.neonrrada uma dificuldade. O comprimento inicial de uma viga tal como gh depende d a distAncia r do centro de curva:
tura. Assim, embora a derormação total das fibras da viga (descritas pelo pequeno
ângulo d4>) siga uma lei linear, as derormaç6es não o fazem. O alongamento de
uma libra genérica glr é (R - r)!/4>, onde R é a dislãncia do O à superllcie neutra
(ainda não conhecida), e seu comprunonto inicial é r4>. A deformaçllo • de uma
r,.
J
!.!!!! r R-r
' 4>
&J,; [ r ,tA f
J. -,.liA- T
R J. -;:-- J. ,IA. -o.
R-FA.
•
(6.18)
dA/r
onde A ~ a àrea da seção transversal da viga, e R localilll o eixo neutro. Observe
q_ue o ClXO neutro assim achado coincido com o eixo ceotroidal. Easa difere da
stluaç!o achada verdadeira nas víau elásticas relAS.
(<)
•P1Wil3 anAllac pléstica de bnrru c:urva1, vojll por c 11cn\plo, H. O. Conw.y, .. EJastlc Pla.s1ic Dcndlna
of Curved Ban ot'Constantand Var-ia bit: Thiekncss'', Jour"of Q[ Appi/NI MI"CI1421fk•. 21, n.• ~ (dez. 1969).
1))-)4
••Eau solu;io &proxi ma<la roi dc$cnvolvicf& por E Win kler cm 1151. A sol~ eu.ta do mcs."'DO
pcoblemn. por métodos da 1,coria. matem<\ti<:tl do elasrlcidadc, d eço rre d4 M. Golovln, que s: apresentou
em ISau
198
P lguro 8. 2.5
·-
Barra eurv• tm tJtxão Dura
199
. U~a vez conhe".!da. a Jcxalização do eixo neutro, 6 o b tida a "9Uação para a
dostnbuoção do tcnsao •aualando-sc o onomenlo externo ao momento intc:mo
resistente, decorrente das tensões dadas pela Eq. 6.16. A soma d"" momentos 6
achada cm relação ao eixo %, normll ao plano da Fia. 6.lS(a).
M, =O,
M
-L
udA
(R -r)-
( orça
braço
-
L
E(R;;)'dtf> JIA.
. • ,,.,.,,m te a v igas cm nexão pum. Paca considerar situações em q ue uma fo rça axial
l.amb!m esteja presente em u ma seção, veja a Sc:ç. 8~
JlXEMPLO 6.12
Comparar :u Lenaões em umn bArn rel3ngular de SO mm :>e SO mm. submetida á ação
de conjugados extrcmQS de ISO kgfm em tr~ cu<H especiais: (u) viga retn. {b) viga curvn
cOm uen raio de 2'0 •., ao longo do eixo cent roida\. i ato ~ F - 2SO rnm, Fig.. 6.26(11). e (c) viga
curva com f • 75 mm.
Lembrando de novo que E, R. <(> c: tld> são constantes em uma leçlo, usando
a Eq. 6.17, e cfctuando u passagens al~bricas indicadas. obt6m·oc o segulnte:
M - Edl/>
t/J
ur
=-R-r
=
l
i
A
A
(R - r)' tiA r
..2.!::..
R-r
i
A
(R - r)' dA'
r
R 2 -Rr-Rr-r2
dA;
r
·
n": ,. [R' 1~A - R 1tiA - R 1 +L
JIA
'
rbl
J
rdA
Como R ~ co~stante, as duas primeiras in tegra.is d eaapa.recem. como se pode
ver na expreulo da ehavo, aparecendo imediatamente antes da E<J. 6.18. A terceira
integral 6 A, c a óltima in tearal, por dellniçlo, t ~A. Assim ·
M •
SOLUÇÃO
O ca10 (aJ dcçorre dit1:tamcntc d• aplieaçto do.s Eqs. 6.9 e~ 6.&, naquela ordem.
bit'
S • -
<T •
M (R-r)
.
rA(J'- RI
My
(6.19)
R • --A- •
L
dA{r
(6.20)
± 7,2 kgf/rnm'
r r.,,,
bh
h
bdrfr -
(6.21)
Essas eq unçl5c:s indicrun que a distribuição de tenslles em uma barra curva
=
~egue uma configuração hl perbôlica. A tensio máxima está sempre do lado interno
(cóneavo) da vip. Uma comparação desse resultado com o !JUC te segue da
fórmula para bar ras retas es!JI most<ada na Fig. 6.25(c). O bsene particularmenlc
que na barra curva o ei xo neutro é empunado para o centro da curvatura da visa.
Isso resulta das altas tcnsGc:s desenvolvidas abaixo do eixo neutco. A teoria aeima
desenvolvida aplica-se, nat u ralmente, a pénas li distribuiçlo de lens!o elást,iea e
ISO x 10'
•
20 833
Eue resultado ati mostrado na Fig. 6.26(c~ ; • co porque um.a bum reta cem um
nio de curn.tu.ra Infinito.
Pera res;olver as porte5 (bJ c (c:). dcve-$e focali r.a.r primeiro o eixo neutro. lsao 6 feito cm
tcrmoe ,gerais peln intcgrnção da Eq. 6. 18. Para u seçlo rctansutar, a área elc:mcnta_r ~ IOmada
como btlr. Fig.. 6.2G(b). A inLoarnçft<J é eretuadl' entre os limite" rl e ~'v • os raios interno c
cJi tcrno. respectivamente.
h
200
SO(SO)'
• - - - • 208JJmm,
6
M
Se Y positivo é medido no sentido do eentto de curvatura, a pertir do eixo
neutro. e F- R - •, a Eq. 6.19 pode ser escri ta em uma rorma que mail te a proxima
da fórmula de nexlo para vigas retas
.
cr = -A """R
t( ,.:....-y..,.)
6
tr.,,.,.., = s-
U I'
'if=r ('A-RA)
e o. tendo normaJ que atua em uma viga curva. i distt\ncla r do centro de
curvatura é
Figure 8 . 28
(c)
h
h
Iln rt; - ln (:.) • 2,30261og (::) •
onde lt é a prorundidade da seção. ln e o logtarit•no nuLuul, e log ê o tosa.riln\O de base LO
{loa.o.rJtmo comum).
Pnre o caso {b). lt = SO tnru. r • 2SOmm.. r 1 • 225 mm, e '• • 275 mm. A soluçlio e
obtida pela a vaJiaçlo das Eqs. Cl.2l c 6 19. O ind1co ~ relere-se à censfto normal o du Obras
201
fn toma$ ; o do.s ribriLli e-:cternn1.
R-
SO
2.3026loall75/225)
6 dada por
so
""""=,..,-.;;,.--.,--,=- 249,2 1nm
K(Mc/1),
(6.22)
~ndo o coelicienle K é obtido da tabela ou artlico e M c/1 6 calculado como na
fórmula de flexlo individual.
Uma expresdo para a dfatlncia do centro de curvatura ao eixo neutro de
um• vip curva de acçlo tranav.,.... circular 6: dada ab.a.ixo, para refedncia futura :
<1 -
2.30!6 (toa 27S -toal25)
• • r - R -250 - 249.2 -0..8 mm
MC R -r,)
, 249,2- 22S
CT, • r 1A.(F- R) - 150 )( 10 ll$(2 S00)(0-8) • 8•06 k,u,r/rnm~
M(R- rJ
> 249,2 - 27S
1
"•- r.Al' R) • UO" 10 27.5(2500)(0.8)- - 7•04 kaf/mm
A - (P + .j1'- c')/2.,
onde r 6 a diatlnda do centro do curvatura ao c:entrólde o c 6 o ralo da i r• da
ocçlo t:ansvera&l circular.
O sinaJ neaa1ivo de t~. indica uma tendo de compresdo. ~au quantldadu e a cona..
pondcntc di•tribufç•o de tcnalo tio mo•tradu 11a Fia. 6.26(c); ,. - 250 n1m.
O caso (c) 6 c:ntc:ulado da mcama monelrn. Aqui, lt - .SO n,m, r - 1$ mm, r 1 - 50rnm,
PROBL EMAS
c r. • 100 mm. 01 resultadOJ doa cAiculos e:at&o mo,;trndo. no Fig. 6.26(c).
so
R • ln (I~SO) •
so
so
tO'
22.13
- 9,2S kgrtmm'
50(2,87)2
17 87
a. • UO x to• 100(2.87)2
• SOO - - .s.u k11rtmm '
soo
Oivenas conclusões importantes, geralmente verdadeiras, podem ser retiradas
do exemplo acin1a. Primeiro, 8 fõrnmla ,tle flt•xão usual é roroapelfnemt- boa para
vigas de cousMt•rdveJ. curuatura. Apenas 7% de erro na máxima tcnsao ocorre no
cuo (b) para P/h - S. um erro tolenlvel para a maioria d..a apUcaçOoa. Para maiores
relações i/h.. euo er-ro diminui. Com o aumento da curvalu.r a da vip.. a tenslo
do lado côncavo aumenta rapidamente em relação à dada pela fórmula de Oexlo
usual. Quando F/h = I,S ocorre 30% de erro. Segundo, n avaliação da integral
pnm R na área da seção transversal pode se tornar bastante complexa. Finalmente,
os c61culos de R devem ser baatnnte precisos porque diferenças entre R c quantidades numericamente comparáveis sio usadas na fórmula de lenslo.
·
As duas últimas dificuldades sugerem o desenvolvimento de outros métodos
de solução. Um desses métodos consiste na expansão de certos termos da solução
em uma série•, ouuo em achar a solução por meio de uma seçilo transformada
cspecínl. Oulro artificio consiste ainda em se trabalhar ..ao invcr10... As vigas
curvas de várias seções tranaversais.. curvaturas e momentos aplicados slo anali·
sedas para as tcnslles; entlo essas quantidades são divididas por uma tcndÓ
ncxuraJ que existiria na mesma viga. se ela fosse reta. Essas relações slo entlo
tabcladas.n Assim, ao contnlrio. se a tens4o em uma viga curva é desejada, ela
•S. Tim01hcnko. Str~ngt/1 I( Mt:tl~'lttls (l,• cd.). Parle I. PP. J.69 c l7l. O. VM Nostt•nd Co.. lnc.,
llrincc.ton. N. J ., JU'
••a. J. Roark. FormufM/01' Strt~ tJittl Suaúr (4.• cd~ T11.b. VJ (, p. 165. Mc;:Gnaw·HIIl Book Comp11ny,
Novu Iorque. 196$
202
6. t. Do acordo cocn a Naciona.l L\lm!Mr
Manur&eturen Auociadon, o tam&J\ho d e
uma vip de. madeira ê:le 6H x 10" 140 mm •
iii2 = õ;69')l • 72.13 mm
r - 7$ - 72,13- 2.17 mm
(6.23)
-
• 241 mm (vc;Ja o Tllb. 10 do Aptndlco~
Verir~ o momt nco do inf.rc:ia I dado na
tabela para tal membro, e., 10 a tendo
pan~ corto tipO do m&dcJnl 6.
0,84 kaf/mm', determinar oua capaddode
adml11tvel
do no.ao.
6.2. A Tob. 4 do Apfndice cü propô&;
dode1 do vigas do aço do nanp IUJOo Con:
1idere o membro mai.l Jovo ali nlaclonado,
6.S. Uma placa de aço corru,.do. do
$ mm ôo Clpott ura. tom • aoçl.o cran•vers:aJ
mo.llOd& na naurL (a) Calcular o m6dulo
de 1..;1.0 P« m de lara.ura. dot a pfac:a..
(b) So tal placa dow ICU" uuda J)&ta auporta.r
uma carga unirormcmcnt.c dittribulda em
um vlo $lmploa., çauaJ a caraa por m 1 de
•rea projetada a sér suportada? Ad.m Jtit que
a mixlma noxlo controle • projeto c que
• ... - 12.65 kaQmm 1• O vlo L- 1.8 m.
(Sugutôo vejo o l!ucnplo 2.6, Fia. 2.22).
quo 6 o 8 WF 17, o vodfiquo 01 momenloa
do ln•rc:l• om reloçl o ao eixo " " /' 5o o
tendo adrniulval 6 de 16,9 k aQmm , achar
o capecldade d - membro cm rol~ o
cada um dos dois dxa&.
6..). Se a troa da seçlo tran.ovenal de
uma barra cem a rorma de uma elipse,
m01trar quo I 6... • JCtJb,/4. A cquaçlo pua
un1a dipse 6 x 2/a 2 + y 2 /b 2 - 1.
6.4. Para um material elhtloo llncar,
com a mesma tenslo mi.xima em um membro qua.drad~ nu du.u posiçlSa dlrctcnteS
mostradas na »aura. detcr-mínar a relaçlo
d01 momentos nctoru. A nedo ocorre om
tomo do eixo horizontal.
PROD. M
.... """
PROB.6-5
6.6 e 6.7. (I) Para as áreas do ..ç;o
transversal mottradu nas nauraa, deter-,
minar o momento de int.rcia de cada seçio
cm relaçlo ao eixo ceouoidal hotiz.ontal.
(b) So o máxima tendo elutN:a dovida ã
llexlo em tomo do cbo horizonl&l 6 + 14
Jcaf/ mm 1• dctcrminua tcnslo n01 pontos A .
6.8. Em uma pequena roprc•a. uma
vip t(pica 6 aubmclida a um carrcaamenLo
b.idr0$1ático como mostra a lia:ura. Determinar a tcnslo no ponto D da seçlo o~
devida ao momento netor. Rersp.: 0.481
kJf/mm 1 •
6.9. Conside-ro o. dadoa rornccidoa no
Prob. 2..35 e sclcclone uma vigo de aço 1
203
200 m,.
,~!'Jr \
12 _.. 20.1
u
.._.
ao eixo neut.co, e 1!.
Resp.: 1,344 t.
do escoa m en to, achar a magnitude da maior
força F a ser aplicadR. a eua viga na d ir-eçfto·
para baixo. usfm como para. eirna. Dqs~ar
,.
~gí=~-SOmm
- o
~
1.so . t~
-n-~;=::2 -so mm..f •§l lsomm
,,..--. - -
..
~11~;.;~~~
Seç!lo •••
toooo ksrtm
PI\OB, 6·1
paddlo com base no mdxjmo momento
Oetor (veja a Tab. 3 do Apêndice). Admitir
t7H,.. .... 20 kgf/mm 1 c dc:.!ptet:ar o peso da
viga . {Observaçd'o. No projeto renl de tais
membros também do investisnda.t a.s tensôes decorrentes de forÇII Cortante, discutidtlS neste capitulo. U.sualmcntc, entrel~nto, corno se-rlt mostrado no Cap. 10, os
requísitos de n exilo governam u seleçfio do
204
/'
r200 tnm
0
I'R08. 6-16
rnou. (). tJ
PROB. 6-12
6.13. Uma visa T é rcita de material
elãstico linear, q ue pode desenvolver uma
compressão m6ximn de 9 kgf/mm 2 , c urna
tco,o1ão máxima de unçAo d e J kg.f/mml ,
E..'>M via-a, c-o m a seçlo transversal m ostro da
nn
deve suportar um momento Oeto r~
poal1ivo puro M . Dcscja·~e nlc-nnÇflr um
ngura.
projeto bal;anoe:o.do do forma que as maiores
tens&es de Oe:~tllo posslvcis aejam atinsidas
aimultaneamcntc. (o) Qual deve ser a dlmen·
do da largura do Oangc w da viga1 (b) Quaf
a capacidade do moment.o M de" a viga?
R t.•p.: (a) 225 mm : (b) 281,25 kgrm.
6.15. Um flRU de carsu tem mj: dimen-
sões nlO$tTada3 na fig ura
No ponto A .
externo 30 me111bro vertical Jocali-z.a-se um
sensor de deformação eiê Lrico q ue indicn
del'ormoç:õcs po~itivns de 600 x 10 - 6• quan·
do é aplicado u m o força "'erticnl P de magnitude desconhecida. Se o membro vertical do
pau de enrgu ~ u.m tubo de aço padrlo de
~O mm,
qunl 6 a. ntnanltudc dt~. rorça apti·
cadu P'l Seja E- 20 >< t()-' kgJ/Ol (ll 1 . (Vejn
a Tab. 8 do Apêndice). R.sp. 256 kgf.
6. !7. Considere u.ma viga clâstica linear
su brnetida a um momento Oetor M em
relação a um de seus eixos principais, ·para
o qual o momentp de i nércia da seç.ilo
trnnsvernJ em rclaçilo d aquele eixo t I .
MOS I nu que para tal viga D orça norrual F,
que nge em q ualqucr pn rtc da seçfto trans.•
versnl A 1 , é
r
F ~ MQ/1
onde
Q=
J
_wiA = jõ A 1
Ao
c Y e u dist.ância do eixo neutro da seç:ão
(rnruvctrsul ao oontrOJdo dn t.rca A 1 , como
mo stru R ngura.
Ccrmõldu dA dro• ;I,
'
1nembro).
·
6.10. Para oo dados do Prob. 2.47,
selec iona.r uma scçlo WF ( veja n Tob. 4 do
Apêndice), com as demais <:ondições anAIogas ao problema antcdor. (OIM~'·voçiio.
Considef'!' I '!fi- Jl<l<n sclcção da seç.~o).
6. 11. Pêra os dados do Prob. 2.46, sele~
cionar uma barra redonda. com base no
momento Octor. Usar uma tensão de nexdo
admisslvd de 10 kg(/mm 1• (Veja a obser·
voçiio do Prob. 6.9~
6.12 Uma viga em T. mostrada na.
figur-a. é relia de, material cujo comporta·
mento pode ser idealizado oorno lendo u m'
limite de proporciooalidade na Iração igual
1250 mm
....-Sen.Jor n.0 2
-': 1J
mm '-sensor n.. I
mAxi mas tensões de Oe:dlo l'rovocnda!
por F.
""=PROB. 6..7
PROB. 6-6
21 x 10" kgfimm'.
;.;.( t 1S nun
rus respottu apenas no considera.çl o de
Gt@mm
'1 4"mm'
a 2 kgf/mm' e de 4 l::s l/mm' na ootnpor.,.,,,,, ,,~
Com um fator de sesurança de J,S no inicin'····~
PR.OU. 6-17
PROB. 6·13
6. 14. A medJda q ue um grampo de nço
grande_ do tipo C, como mostra n figura. é
a pertado em um objcto. • deformaçio na.
direçio horizontal devida ll flexlro é medida
POf um sensor de derormaçlo no ponto 8.
Se ror observa da uma delormaçlto de 900 )(
x so- 6 mm/mm. qual serâ a carga no pau-,
ru.so. oorrespondente ao valor de derormaçilo observado? Seja E - 2 1 x to• ksf/.'
m m.l.. Re~p. : l2.S L
·
PROU. 6·1.5
6. 18. Uma viga com seção retangula r
muciça, com n.s d imensões mostrados na
figura.. C submetjdn a um momeoto netor
6.16. Uma viga. estruturW em T, de
47,6 ksf/m, (SI' 8 WF). uoada em balanço. é
carregada da form11 m ostrada na rigt~rn.
Calcular a magnitude da carga P que provoca as &eguint.es deformações longlt~dinais·
na viga: no scns9r n.ct J, um alonga mentp
de 527 >< IS)- 6 mm/mm: e no sensor n."" 2.
um encurtamen to de 73 x to-• mm/mm
Po ra essa Viga T. I - 2 000 cm"' em rcla.çüo
PROO. 6-1 8
205
poshivo do l CXXI kafm, aluando em torno
do elxo horh;ontal. (a) AchiU' & lorça do
compresdo quo &.Je na área hachurada da
seçlo cra.nsversa~ dt.ICn\'Olvlda pelu tcn
sl!es de Oexlo. (b) Achar a IO<ça d a traçikÍ
que. age aob~ 1 irea quadriculada da soçlo
tr.& ntvcnat.
6.19. Duas vipJ de madolra de SO
mm x ISO mm tio ooladu formando um
T, como m01t..- a naura. Se fOt aplicado
um momcnt.o Oetor posltiYO de 3QO k&fm
a essa vi.._ acuando om como de um eixo
horfz.o.nt.a.L (aJ actuar u c•n•Oc:l nu ftbrat
extremu ( i • 8 125 cm,.). (b) calcular a
força do comprculo total dc.u:nvolvida
pelas tena6el oormaJa acima do eixo neutro
devida ' Ooxlo da vi&a. (c) achar a Corça
total dccorro:ue du rcn iOot de uaçlo n•
ncxao. t m uma aeçlo o oompar•·lu com o
resultado do (b~ lh1p.: (b) 1441 kal.
4
6.21. PCJr meio de int_earaçl~ ~tpr..
.minar a força desenvolvida pclu t.cntea dO
Ocx&o e su.a poa:içlo na á rea haebu,racla da
t(;io t,rantveaal da vip. mostnd.a na
Oau.ra. quando a vip eslJ."e.r submetida t
açiO de u.m mo~to flet,o r nept_ivo de ·
350 kafm. at.u.ando cm t.o rno do ei1o bor;.
w ntal R_up.: S,94l t.
·
PR08. 6-ll
6.22 Aehar o maior mo~JleDl.O Octor
que urna cantoneira de lOO mm • U O
2'
m m )I!
mm.. pOde av pprtac sem exeeder
uma tcn+IO de U kat/mm 11• ( Sug•stdo. O
raio mtn.irno de airaçlo pan o lnau,.to ~
dado pela Tab. 7 do Aptndicc. Pot dcO·
niçlo. 1.-. • Ar!..., onde A ê a irea trant.:
versai. AJ~m do mais. 1.,... + t_ U 1._. +'
+r,,. c 1_,. pOde ser obt.i do} Rt.$p.: 6367
•
6.23. Mottrar q"" a tnhima t_enaão do
nex&o para U;ma vip de seçio rct.anaulat
6.20. Uma vlp \Cm como seçlo tn.ns·
veru.l mn triAngulo isósceles, como mottr&
a riau~a. e estA sujei~ o urn momento Oo\Or
negauvo de 400 karm. cLn relaçlo a um
eixQ hod~on t..al. Octerminu a toc.alb.açGo
e a rnusniLUde du forçu de \raçlo c com ~
pressão resu.Jt,nnt,ca ftU,c at,uam no seç§.o:
(Veja o Tab. 2 do A~ndicc). R_esp.: 4,74 t,
1$0 rNn
Pti.OB ._10
206
• a. r.laçlo eD1J'tl D 11'\0PODKLt,o Oet,Or
pllcaclo • o de llew para .....,om.,tot
1
Solucionar o problema. diret.a mente ICIII
utilizar a Eq. 6.11- R,up.: 1,31.
6,2& (I) Se uaa Yip. ret&nJúlar do
1
rna.tcrlal el••tico IUpo,.. ll.m momtni.O 1 / 1
maior do ~ue u ... , quanto a vJp pe.nna-.
nCCO clutlcaf Qual .... I c:onfi&uraçlo da
...,slo reoldu al apóo a rotlra.da
mcme<np
' elo (a)?
6.17. Pan
flp da ,materW elútlco-Pihtlco, com aoç&o cl<cular. deler·
minar o lator de fotma k- At,JM••• .ltl1p.:
u-
kgfrn.
PRO&. 6-19
-rcai)OI>dtnl!O 11> • - " " ' ' " ' " do matodal.
6 "•• ' - (Mc/l) (2n + 1)/{311) se. no lupr
d• lei do Hooke, a rolaçlo t.e nslo-.d efor·.
maçlo (ossc ti" - k&, onde K b u.ma conl•.
cante c 11 C um número dependente das prcr
Pricdadei dê) mat.e rial. •
·
·
6.24. Admit.a ~u.e u,ma viga ~ s.eçllo
transversal simêtrica seja fei~ de material
homoa,eqco e isotrbpico. com rclaç&o ten·.
$IO·deformaçlo laI • ~ 1. Se. t_al viga au.-.
por41 u,m moment.o Oet;o r M_. em seu plano
de simetria. mostJllf 9;U.e a- M_y1/I 1, onde
I b o t.crccíro momentp de ilrea em rc1açio
3
a.o chio ncul.ro.. Considue ~ue as prcmis._PI
ordinárias da teoria ele v;ga se apliq uem.
6-25. Uma viga com seçio t.ransverul
rcumgulat sopoct.a uma Dedo po.ra. O d ia:·.
ifama t_e tJslo-.deformaçAO para o material
da viga h idealltado como elâstiço ..._ pe:r{ci·.
tamente plástico. Se a máxima d eformaçl.o
de OexÍo na vit;a é o dobro da deformaçlo
poaithu de 8 ()(.X) kafm c-a d L Os ma.teri~is
do juoladOI de fotma que u viS:ali a luam
como u ma uoidade. Detc:r.minar a rn•:xln\4\
tendo de Oexlo erg, cada. material E~· 2
- 21 " 10' l:af/mm ; E.... - 7 " 10'
lc&flmm~. (Suges[ÕO. Para o Prob. 6.34 veja
o Prob. 6.3~ Rup.: Prob. 6.34, a,~ - ±
± 10,63 k:af{mm1 •
elo
1.10.
6.18. P arr. urna flp de ma~al olil-_
\ÍC~plhiJco cOJII aeçJo quadrado. Dotlda
em rei~ a u.~Da d• diaa onala (veja o
Prob. 6.•~ dot4m11nar o latcn de lorma
k - M J M- - /!up.: l.
6.29. Vorl/lcar o módulo plutico para
uma soçlo 8 WF 17. dada na Tab. 9 do
Apbldl..- Achar ~Wm o fat,cw de forma.
6.30 o 6.31. Achar as relaç6cl M,...JM...
para viau de açO doce, rcsíslindo • hoxlo
cm torno do eb01 horbonl,ala._ c;:.uju aeQOcl
tranncraail t,am u dimena&. mOtt.r adu
nu naurOI. Adol.at o dlalf&ma lclealludo
do tenslo-deCormaQio usado no Extmplo
6.6, F ia. 6.L5. R••P·' Prob. 6.30, 1,37; Prob.
PA08. 6-ll
6.31. Uma vip do aeo&o retancular,
b por /4 6 Detida cm relaçlo ao eixo hori·
zootal. O material da viaa apresenta. propriedades üncarc&: clbtlcu na craçlo c
propriedades plúticu Jdeais na comprei·.
d.o. veja a naura. Se o mbimo nivel de
tensão em traçlo e c9mprOMIO 6 ld'ol· ltlo
4 numericamente o muma. qu,al o mo
monto M suportado pela YÍI& em termos
de <10 , b e /o7 Rosp.: {11/S-4) bh'et 0 •
4
,
6.31. 1.015.
'
'
PROB. 6--3S
PROB. 6-J6
6.3~ Admiür ~ue um material tenha
PR08. 6-l0
PROa. 6-31
'"""'elo
6.31. Refoocr o Prob. 6.31,
u
dimens&ltranaveuail dadas no Prob. 6.19.
R.sp.: 1,776.
6.33 o 6.34. Aa Yiau compost.. com
scç6ea uantvenall COm9 u mosttadu nu
Gcuns. Clllo suj•h.u a momentoa Odores
o diagtama mosuado na fiaura. com 2o-0
sendo a resistl.nçi.a li ruptura na troçlo.
Determinar o momento do ruptura M parA
u.ma vip rctanauJat. R~sp.: 1,11 be'a•.
6.37. Uma scçio ret.&eaular de 150
mm x 300 rnra. é iUbmorlda • um momento
nct<or positi"" de 25 000 kafm cm tomo do
eixo •rorte"'. O material da vip é. nlo·J•~
207
trôpôc:o. .~tal que o môdulo de dutlc:idade
na traçlo seja J.$ vc:tct maior do que na
çomprciiiO. vejn. a fia·u rL ~as ten..Oea nlo
cxc:edcm o limite de p<oporc:ionalldade,
•char u teni&ea de traçlo o de compresslo
mlixlmtL.• n,a viaa. Re1p.: ll,J l kaf/mm'.
-9,05 kaf/mm•.
Admitir n • lle que u tens!le$ adiJl~•do
para o ,aço e ooncre~o ••Jom 12 kaf/mm• 0
0,6 lcaf/mm'. reopeeclv&ll'ente. (b} Achar ri
capadclade Uml~!> do momento por tnel!o
de t araura. 4a bana " para o aço, ,._ - .2.~ kaf/mm~ e, para o concreto•. /~ .. 2
k&l'/mm'. (0bftl'll0filo. AI barru cem <1!&!
metro de lO mm c lra. A • 18,5 mm~
,'- TENSOES DE CISALHAMENTO EM
VIGAS
rROD, 6-41l
PAOL~J?
6.38 o 6.39. Determinnr o momento
netor adml1slvd em re1açlo aos aiJtot ncu·
tros horb.ontaiJ das via., C!Ompostu dê
madeira e aço. de djmensOc:s tta.naversaia
moslradu nu nauras.. Ot materfo.ls do
IJDidot de (O.rma I l&item c;;o(nO uma uni-;
dade.. E... • 21 ,c loJ ka(J'mm': E.,.- • 0,114 >< to> kaf/m"''· i\t tens!le$ ~dmis-,
2
IIVcfS nA nexilo do
t4 kaf/mm c
~- - CU ksf/mm'. i111p. : Prob. 6.38,
3 11s karm.
6.41- (a) Vma vlp tern seçlo tran•
versai como mottn a n.aura. c •upona um'
momento flctOC' positivo qu,e provoca uma
tendo de traçlo no eço , dc ll kaf/mm'.
Se n • 1Cl qual o ~&J,or do momento flctor?
(b) Se "•H • H kaf/mm1 eJ:- 2,1 kaf/mm•,
qufll 6 a capacldade limite do. O'IOmcnto da
seç&o7 R.c1p. (a) ~3 858,8 k&fm.
oo ....
a,. -
10 mm " J~ mm
l _Q_O mm
~~
"ifi"
lO mm " t-;?"mm
PRO li. tJ-.38
PROR. 6..tll
6.42. ~e(azero Ex~mplo 6.12. mudando
h para 100 mm.
PROD. b·l9
6.•0. Uma barra de: concreto de 120 mm
de espc~tura ! reforçada longjtudinalmcntc
com barras de aço. como mostra a ligura..
(a) Oecerminu o momento Oet.or pcrmis·
aiVel por metro de laraura detsa bana.
6.43. Deduzir a Eq. 6.;23. .
6..44. Qual • o maJor momcnt.o nc·tor
que pode ...- aplleado a uma barra ourva.
como ,a . moaln.da na FJa. 6.25 (a). com
r - 80 mm. te ela tem 'rea circular de
di! metro de SO mm e torulo adminlvd de
8 kaf/mm'?
7.1
rNTROOUÇÃO
No Cap. 2. mostrou-se que em um problema plano, trêl elementos de um
sistema de forças podem
necessárioc em uma seçilo de uma viga. para manter
o segmento em equiJibrio. Sio eles urna forço nxial, uma cortante e um momento
netor. A tensllo provocada por uma força DJ<ial foi investigada no Cap. 3. No Cap, 6.
roi di.scutida a natureza das tensões provoeadiiJ pelo momento netor. Ao tensões
c:m uma viga provoeadas pela força cortante serllo investigadas neste capitulo.
En1 todns os deduçOes anteriores sobre distribuiçllo de tcnsllo em um membro
cmpreaou-se o mesma argumenta.çlo. Primeiro. admitiu·se uma distribuiçlo de
ddormaçlo : segundo, foi estabelecida a relaçJ.o entn: censio e deformação; e.
finalmente, u eondiçOes de oquillbrio roram usadas para estabelecer as relaçOes
·d....,Jadas. Entretanto, o desenvolvimento da cxpressao que lii!J' n força cortante
e a Aren da seç4o transversal de uma vlp com a lcn.s lo segue uma trajecória diferente. O mesmo procedimento nilo pode ser empregado porque nenhuma premissa
simples pode ser feita para a distribuiç4o de tensões decorrente da força cortante.
: Sn lugar disso, USa·IIC uma forma indircco. Admüc-se a discribuiçl!o de tens!lo
causada pela Oedo, como determinada no capitulo precedente. Ela, juntamente
com os n:quisicos de equilíbrio, soluciona o problema das tensOes de cisalhamcnco.
A consideraçllo da donoxão da viga, devida d força corlance. 6 deixado parn o
Cap. 13.
Neste capitulo, a invcstlgaçllo das tensões ficará limitada !s vigas retas. A
análise das tensões de cisalhnmeoco nos vigas curvas ultrapassa o escopo desce
livro, Na primeira parte deste capítulo serão consideradas opcnns as vigas cotn
seçllo transversal simétrica c as forças aplicadas serão admitidas ncuando no plano
que contém um euo de simetria e o eixo da viga. Uma ilustraçllo da distribuiçilo
de ccosno de cisalhamcnco em uma vigo elãsticn-pláscie~~ cnmbém scnl dada. A lém
das tensões de cisalbamento, 5erd considerado também o problema correlato dos
requisitos de interconedo para a unilo de di..,rsos elementos longitudinais de
ser
vigas compostas.
208
209
.E!m seauida, e.ntea da a nill.se detalhada, pode ser úlil o estudo de uma
de ro~oP'e.naa de. um modelo (Fig. 7.2). O modelo rcp<esenca um segmento da o.uno. ~•11• 1.. Na F1g. 7.2(a), além da viga a:o si, pode-se ver aJauns blocos
almula.nddodia ~~~bul~~d dcdote~ provocada pelO$ momeritoa fletores. O moM' '-·~''" a
TOltL a con.. ora
m&Jor do q ue O da esquerdL E!uc SÍIIemll do fo~U
ettar6 om equlflbrlo co.ntanlo que u f orçu cortantes vertiwa v (nl o moatradu
nOIM viata) tamb6m a t uem 10bn o ..amont o de vip.. Separando 0 modolo ao
lon~o da auperflclo neutra, ob" m-ao d uas parl05 do seamento de vlp, como mostra
a FIJ. 7.2(b). Cada uma du puta deve, novamente, estar em equilíbrio isoladamente.
7.2
PREUMINARES
Por ser o método de solução para as tensões de cisalhamento nas vigas diferente daquele encont rado antedormen te, será dada inicialmente uma descrição·
geral do método a ~er cmpreao.do.
Pr-imeiro. 6 necessário recordar que nas vigas clÚ$te uma relação entre uma. ·
rorçu cortante Y, cm uma scçlo. e a vadnçl.o no momento fietor M . Assim, de
acordo com a Eq. 2.S
(7.1)
dM/ dx --V
ou
dM- - Vdx
.
----- ~
Assim, se houver uma for·ç a cortante a cU8ndo na scç4o de uma vi&:llt bavcct
um momen to Oetor d iferente numa seção adjacente. Quando a força cortante
estA presente. a diferença entre os momentos n eto res nas seções adja.c entes é igual
a - Vdx. Se nenhuma força cortante atua nas seções adjacentes de uma viga. nlo
ocorre mudança no momento nctor. Ao contrário, a taxa de variaçio do momento
netor ao lonao da vip 6 numcrtcamento iaual à força eortantG. Assim, embora
usa força acja tratada neato capllulo conlo uma a.çlo independente aobre a vi&a.
ela ê inscparavelmenle lipda a umA mudança no momento fletor ao longo do
çomprimcnto da viaa.
Paro enfaLiur o significado da Eq. 7.1, reproduz..sc na Fig. 7.1 os diagramu
de força cortante o momento Oetor do Exemplo 2.9. Em duas scções quaisquer,
como A c B, tomodoa cm umo vlaa, omro u fori u aplicadas P, o momooto netor
é o mesmo. Nenhuma rorÇI\ cortante atua nes.s as seçõcs. Por outro Jado. oro duu
seções quaisquer como C c D. próximas do suporte, tem lugar uma variaçlo no
momento nctor. As forças cortantes aluam nessas scções como na Fi&- 7. l(d). N~
discussflo subseqUente deverá ser considerada a possibilidade da existência de
momentos netores iguais o u dircrcntes em duas seções adjacentes.
)--'L-l
o;k[
f
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Flgur• 1 .1
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Re eç6o c.nllo 01 dilgram•s doe força coname e mometllo ftEttor p.ata o cattegamen to
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I f d'' " 1
JJ ! I :'
) !-l~ I
"• ...
•
..
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";~4---- ~ ·--:_·
11'1
F1uu•• 7 .1 Modelo cJ.t fl u.I(O de c!salt'lamonto de um1 viga/. (a) Seom•nto de viga com "''" 681
de fluto moatudu por blocos. ( b) FOI'ÇI ooname transmitida pela ee...ilha. (c) Para determ !l"'&c;~ d a
fOtÇI em uma cavllht, • neca61ãria lp.tNt e v eriaçlo t10 monutnto. (d) A fo1ça eortanto dMd!<tt
Q411t irta dO OOttt d• e tendo de e!..anamtnto. (e) Corte horl:zontel eOai-*> do nano-. pare dtttr·
mfnaçlo da tenllo dt claalhamomo. (fJ Cortt vertic.al no flange. para deu.rrnin.çlo de tendo de
o sell'lamento
21 1
Se em uma viga real os segmentos su perior o ~re_rlor da F ig. 7.~} sl o llgad,,,.,
por um parafuso ou um pino de ajuste, as forças aliJaiS na parte supenor e ínleri<or;:~:i~
provocadM pelas tenslles de<lorrenres dos momentos netor«, ~e~em ser m••m:ta,,s
em equilíbrio por OOUI torça no pi no. A força que deve ser rCSlsttda pode ser ll"-·
lia<la pela soma das forças na direçilo uial, ca usadas pelas lens6es de Oexlo. Ao
efctuar ta l ctllcliiO. podc·Sc usar a parte superior ou a parle in ferior .do scgmcn'tb
de viga. A força horit.ontal transmi tida pelo pino t a força neccssána para com.
pensar aq uela provocada pelas teru6es de ncxl o q ue agem nas duu seçl)es adj,.
centos. Ahernatlvamente, os mesmos resultados podem ser o bl{dos pela subtraç«o
da mesma tenslo de nedo em a mbos os extremos do segmento. Isso está mostrado
esqu.,maticarnente na F ig. 7.2(c~ o nde. a dmitindo-se um m omento nctor n ulo
do lado esquerdo. a penAS as tensões normais . devidas ao incre~e~to no tnomento
no longo do segmento necessilrun sec mostradas do lado direitO.
Se inicialmente a víga I con.sidcrada é uma peça que não requer pa~rusos
o u pi nos. pode· se usar um pla no imaginAria pan. separar o segmento de vtga em
duns portes, como mostro n Fig. 7.2(d). Como anteriormente, pode ser
.
a força liq uidu que pode ser desenvolvida 110 ârea do corte para manter o equlllbno.
D ividindo essa ro rça pela ârea do corte horiumtal imag inA rio obtam-se as ~ensões
de c:it Rihan'e"to n'tdiu que AJ•m ncuo pla_n o. Na anAii•a. 6 de novo mata con·.
venle nte lrnbn lhar con'l n varlnçfto no moanento rtetor do que co tn os momentos
totais na.s seçOes extrem as.
Após serem achadl\t as tens6cs de cisalhamento em um dos planos ( o ho ri·
7.011tnl na Fig. 7.2(d)], os tensões de cisnlhamento nos planos m utua.m cnte perpcn~ ·
dlcularcs de um elemento inflnltesimal tamb6m podem aer co nhecidrua porque
r - r
~e mttodo estabelece as tens&s de eisalham ento no pla.no da seçlo
da viga tomada normal mente a seu eixo.
O processo acimn d iscutido é bastante geral; as Figs. 7.2(e) e (I) mostram d uas
ilustrações adicionais de separaçllo do segmento da viga. No primei ro caso. o
plano horitontal imaginário separa a viga 1080 abaixo do nange. Tanto •. parte
superior quanto o inferior podem ser usadas no cálculo dos ronsOes de c•snlho· •
m ento no cone. Na Fia. 7.2(1) o plano i magint\rio vertical corta Jl"rle do nange.
Isso permite o cãlculo das tenslles de cisalharncnto contldas no plano vcrti<>al da
figura .
Antes de se proceder Ji.nalmcnte ao desenvolvimento das cquaç6es para deter·
minação das tens&s de cisnlbamcnto nos ptU'afusos deliga ç«o c vigas, é bo m o bserva!
um c~cm plo inwilivamentc evidente. Considere uma prancha de madeira colo..
cndn sobre outra, como mostrant os Figs. 7.3(a) c (b). Se essas pranchas agem como
uma viga c não são interligadas, ooorne o deslizamento das s u perficies de contato.
A tendancia para esse deslizamento pode ser visualisad a. considerand o-se as duas
pranchas enrrcgndas da F ig. 7.3(b). É ncccssárln a intorli,llaçl~ dessas pra~~has
com pregos ou cola par a fazê· los funcionar- como uma vtga unica.. Na proxm~a
seção serõ dedu%ida uma equação para a determinaçilo da interligação necessána
entre as partes componentes de uma viga, para que e la.s e tuern oomo o rna unidade.
~,
212
Na 5 eçã o que se segue. essa equação serà modificada poro rorncoer as tensões de
nus vigas ilúcialn1cnte maciças.
Flgur6 7.9 Pfollfdla-s JOS)Irad••· nlo·
.. uo;det , deslizam quando canagad:t-S
tal
tbl
FLU XO D E CJSA LliAMENT O
Co nsidere uma vign fei tn de diversos pranc has continuas cuja seçllo transestâ mostrada na Fig. 7.4(a). Parn simplic.i dadc. a viga Lcm uma seçil.o r etan·
guiar, mas tallimitnçào não é nooessária. Para que essa vigo ntuc como um membro
inteiro, adm ite·SC que ns pranchos sej am unidas n in tervalos por meio de parafusos
verticois. U m ele mento dessa vJaa. isolado por duas s.cçôes puralelas. ambas per·
pcndicular es ao ebo da viga, eStâ mostrado no Fig. 7.4(b).
""""1
EIJ(O nieum.
.•' - ---:--••
- "'~,
I
j
•
t•l
1-
b
•
(
8
A
A
•
!:-l•
R
I-!!
I
--
td)
F,
,...
A
(e)
Figura 7.4
Elem•ntos P•r• deduçlo de um1
o>tpteuão pnra o ttu•o de cisolhamen1o em uma
viga
Se o elemen to mostrado na Fig. 7.4(b) é submetido a um momento netor
+ .JyfA • na extremidade A, e + ;\ti" na extrernidude 8, dese nvolvcm ·se tensões de
fle;<ào normais t\s seçõcs. Essas te nsões varlam linearm ente a part ir de seus res.
pcctivos eixos neutro s. c em qualquer ponto a uma di.stància .v do e L-<o nem ro!
slo - M.yf/ na extrem idade 8, e - M, jr/ 1 na extren>idnde A.
Do elem en to de vign, Fig. 7.4(b), •sole a prancha superior com o na Fi&- 7.4(c).
As fi bros dessa pra ncha. próximii.S do cl\o neutro são localizad:u pela diswncia
·' ', . Entllo, como tensão ve!es Area t igual a uma rorça pode--se detcnninar as forças
que agern perpendicula rme nte ris extccJnidades A e .B dessa prunc ha. Em 8. a
21 3
~orça que: a tua em uma Arca infinilcsínull d A , a um a dis1ãn cia y do eixo neutro.
e (- M • .vfi)dA. A fo rça total q ue atu& na área fuhJ (Arg.~) 6 a i n tegral deSSB!i forças
elementares ao lon go dessa área. C h a mando a força total q ue ngc normalmente
à lltêâ fghj por F0 , e lembrando quo. cm uma iCÇão, .w. c 1 s4o constantes
Obtêm-$<> a SOJIUÍn to relaçãO ;
I
F0 -
~
"'"
M,.y .
Mn ~
- - - dA = - -
foAJ
onde
,_ ·
,,.1
I
Q•
_k.•.lidA = A,.,.p~.
(7.2)
I
(7.3)
l•loJ
A integral que define Q é o momento estático da lueafghj em relação ao eixo
neutro. Por deCiniçlo, Y 6 a distdnciu do eixo n e utro ao oentróide de A
A
Fig. 1.5 ilustra formas de detorminaçlo de Q. A Eq. 7-2 fo m coc moioa convomentoa
para o cálculo da fo rça lo ngitudinal q ue age normalmente a qualq uer p arte selecionada da i rea da seçlo tra nsversal.
·
,_,.r•
/Ccntr6klc de AJtiti
r
!Y
f-
/<
!"
Eo.o~
I
-J
'"I I
:-'\\
:./ \ I,
\
Ali 4fç., JOntbre.adll s5o AAI.J
Fe.,,.. 7~1
A
o.~
,- .. • ,, ........, a caa._r o para
Stgnifludo dOI te.rm~ p ara •• aol'\• r O
•
I
-_
M_.Q
ydA • - - - ·
I
(7.4)
onde o significado de Q é o mesmo que na Eq. 7 .2. já que p ua vigos prismáticas
uma área tal como fghj é igual à área abd~. Assim, se os momentos em A e IJ
fossem iguais. sc:sulr•.se-in que F .._ - F., e o parafuso mostrado na ligura teria uma
(unção n o n1innJ de manter as pranchas unidas, c não seria necessdrio para resistir
quaisquer forças_
Por outro lado. se J\>IA não e igual a M,, o que normalmenle é: o caso quando
se tem fo rças cortantes presentes em seçlles adjaccn tcs. FA não é igual a F •. A!.
duas e xt remidades da pra ncha são solic;ita.das de forma diferente quando a ruam
tensões n o rmais de•iguais nos d o is lad os da seção. Assun, se M A " M 0 , o equ ilíbrio
•A Grca/!JI'II c $CU; podem ~ uadas pa.~ odiar 1<21
214
Se
'
Se M _. ,. M. o o elemento da vip tem comprimen to de apema.a dx, oa momentos net.ores naa scçOea adjacentes vnrhuu de u.ma quantidade inl"initcsimAI.
Assim. se o niOtuento Oet.or <m A é M .. , o momento net or cm B é M - M 4 + dM
Da mesma f?rm~ na mo•m,a dllt4ncia dx, as forças longitudjnals /A e F 11 valia.,;
da força l nfmltesmlal dF', li!O 6, F•- F .. - dP. Subttitulndo essa.s relações nas
exprcs~Ou .da F, e F,. acbadu anteriormente, tomando-se u 6reu fg/JJ e abd•
como •auaJs, obtôm-se u ma expren l o pnra a rorça lonáltudinal d ifere ncial tiF :
tiP • F•-FA • (- M" ; d M) Q -(- ":'") Q - - d~ Q.
Na expressão final para dF slo eliminados oo momentoo Oetores cfetivos nu
seçlles adjacentcs. Permanece na equação apen aa a diferença d os momentos Octores
dM nu oeçlleo a djacentef.
Em lugar d e ao trabalhar com uma força tiF, desenvolvida a uma distãneia
dx., 6 mais sianllieativo obter-ao umo. força similar por unida de de comprimen to
da vigiL Essa quantidade é obtida pela dívislo de dF por Jx. F u icame nte ena
qu~ntidade repre~ta a diferença ~~~~~• F • e F .. pa ra wn elemento d a viga do uma
untdade de compnmcnto. A \IU&nttdade dF/dx sorá dcalgnada por q e será chamada
de fluxo tle clsnlhnnrento. C o mo força é usualmente medida cm ksf. o Ouxo de
ClS&Ihamcnto q tem unidades de kgf/m. Entlo, recordando que tiM/dx =-V,
o bt6m-.s e a scauinte expresslo pa ra o nuxo de cisalhamento em vigas:
Considerando em seguida 11 extremidade A do elemento na Fig. 7.4. pode-se
exprim ir a força total que:: atua normalmente à área a luir como
M_. l
F • - -
10 no plano da p rancha •clfg.•
a fo rya ço.rtant~ que a tua no paratuso ao nivol km, Fii- 7.4(a), rouo inveslipda
as duu pra.ncbu I Uperiorea aetlam consid eradu como uma u nidad e.
M.Q
VIlA = - - - •
1
da!. forças horizo n tais na Fi~ 7.4(c) pOde ser atingido apenu pela força horizontal
resostento R , no parafuso. Se M 0 > M , en tão F • > F , e F + R • F Fia - 4{d)
~ ~ F
F
I> · - - - ' •
OL tu
A
..
••
• I,
•
q -
tlF
{IM 1
-:r::
- -(fxJ
-,....
l
VA
~·
lfJ•J
VQ
nl-A
- :..::.ü!!J.
·
r ·- -I .
(7.5)
Ncssn equação. I t o momento de inércia de toda a ân:a da seçlo transversal
em relaçlo ao eixo neu tro, tal como na fórmula de nexão. A força cortante total
t representada por V, e a integral de y{IA, para determinação de Q, se estende
~penas sobre a á rea da acçlo tranavcrsal da viga. do lado cm q ue q estA sendo
mvestigado.
1!m retrospecto, obse rve cuidadosamente que a E.q. 7.5 roi deduzida corn
base na fó rmula da OexAo elástica, ma.s nllo aparece termo algu m pa ra mome.nto
netor . nas expressões finais. Iuc resultou do fa to de ter sido considerada apena.s
a_ vanação nos momentos Oetores nas seçOes adjacentes, quantidade essa rela·
oonada com a força cortante V. Essa fo rça V foi substit ulda por - f/M /dx, e isso
ml\llcara a oriJICm das rclaç!5CII estabelecidas. A E.q. 1.5 é bastante ú til na deter•A• rocçaa {'•- F .J •lt nlo ~ colincaru. m• o e'-mcnto mostrado 1.\1 Fia. 7."(c:) csti crn equl·
llbrlo-• .Par~ c~tar amblaGidadc. tio oaútklu no diaarama u rorçu cortanta: colin"rca que aacm noa
a:tt1• 'I'Crüca&S
21 5
minaçào dn interligação necessária entre os elementos q ue compõem a viga;
será ílustrado por cxem plos.
Q •
EXEMPLO 7.1
VQ
300(18) 125
q - - ,- • 1.1654 >< l O" • O.t8S kgf/ mrn.
Ou-3$ pranchas de madcil'"l longas fot mam uma seçlo T de uma viga, como mostm ,
Fia. 7.6(a). Se ena vi~ trananthe uma forçn conan1e vertical con5tante. de JOOkgf. acba.r o
espnçamenlo noccuftr io dos pregos entre ns duM pranchas. para que a \'l&a a tue- como l~m
todo. Adn1itir q ue a força cOrl ante admissível por prezo •ejA de 70 kgf.
Fig ura 7.1
-"- u•,J • (15)50:62,5) • 7B 12S mm'.
Se O$ mesm os pregos fossem u 5ndos p<\ra Llnlllo da peça de 2$ nun >< 50 rum à peça de
$0 1111U x 50 mm. çJ~ poderiam fiear separad os de 70/0.t S:.S = 378 mm. Esse espaçamento
de pregos se aplk.."a a llntbas ns actôe: a·a.
Para determinar o fl uxo de ciJo.1hamcnlo enlrc a pcç;;: vert1cal de !)() m111 M 2$0 mm e
c:~~ tJo uma d as peças de SO m m x 50 m m, toda ;a &rca de 75 •ntn x .SO mm deve .ser u sada
parn determ in:tr Q. é a d iferença de soticilaQÕes nesSJt :írea toda.. a qual pro vo<:u o d esba·
htnt:Citmento d a forço que d eve ser lrnnlõfcrido l)l:lrtl n 3uperftdc b· h :
Q = 11 1.,.,1' P (7S)S0:62,5) • 234 375 mm'
VQ
300234 375)
q = -,- ... 1,.26S4 x lO• - ~556 kgf/mm.
SOLUÇÃO
No soluçl o tio tal problenltt o nnnli5-ta deve per&untnr: que prute da vigu tem n tendência
u deslizar lonaltudinaltncn tc ern rclaçã<.l IIQ re~tunte'! Aqui 6 o plano de contRtO dus du11s
l"'rtulchas : a Eq. 7.$ dçvc ser aptic-nda para determínar o fluxo de c-Jsalha.mento nesse plano,
ruu rad-Io. dcv-.n ter e cha d01 o eb:o neutro de tod• • •«l O c seu momen to do intrda
c.n retaç41io ao eh o noutro. Et'Hio. cosno V6 conhcchl1 1 Q • d eOnlct. como o motuento cttilJco
da trea da. prancha I UpetJor en1 rclaçlo ao cbo neutro., pode let determinado q. A distAncia
J'r do topo ao ci~o neutro 6
50(200)25 + 50(200)150
Jf, .5(X 200} + 50(200)
- 87.5 llltn.
I = l;~O)' + (SOj200(67.))' +
Q -
5
0(:~' + (50)200(67,5) 1 •
O ~spaçnm ent o tios pregos ~ de 70/0,SS6 - 126 mm ao longo dn viga. em nmbas as
scçOcs b·b. Esses r>rcgos pcdednru ser CQ I Oc:Jd (~ JUlles e a peça de 25 mnl x SO mtn setia
ju.sllq>Osta depob..
E,X EM PLO 7. 2
Un\a vfga slmph:s. colocada em um vC.o de 6 m, t UPQflct uma ca rp d e 300 kgf/ m Incluindo
seu próprio peso. A 1eçAo da viga C feira de v:lri_.s J>eçrts de maclelrft, c:omo mostra 1:1 Fia. 7.7(a).
Eapcc1ncnr o espn(:nmonco dos pnrn(usm ele ro.sco soberba de lO mm de di(tmel ro mostrndos.,
necusc'irtos d. uníAo de.ua vl,g a. Ad u11tir que um pMafuso, como o dctcrmj nado em ensaio
de l1boratório. seja bom para 225 ka(, qua11do eau\ trunsmirindo uma cargo. paralela à fibra
da tnlldeâra. Paro toda a .seçãa, I ' iauaJ a 2.5 x l O' c:m4 •
1,2654 JC 10° mm•.
hn!UtO M
ro~ MJbe.IO•
;-4, ..,., - (50)200(87,5- 50) - 375 000 "''"'·
VQ
q =* - ,- •
300:375 000)
1,1654 x J O" - 0.889 kg.f/mm.
A
"'
Assim, u u111 força de 0.889 kaf d c't"C ser lrltnsrerlda de U IUI prancha po.n oucr11 tm eada
milhnctro fincar de compri men to d.l viga. J!ntrela nto. doa dados fomeddos_ coda preso 6
capaz de rc.s.istir a uma força de 70 kgt e um prego pode cuidar de 70/().889 - 78.7• milimetrOI
lincores ao longo do cornJ)ti1ncnto da vi ga Con'M1 RS forças cortantes permanecem constantcs
nus seções conncutlvas da vlan.. OJ pregos devem ser espaçados e intervalos de 78,7 mm. ,.
Em u m problcmu p rático. Unl espaçamento de 7S mm seria provavelmente o uudo.
:
>O""
~ o u tesmo dç a n teriorme-nte. A
so Jicitação de um elemento
I
I
cm
I
6m
9oott1 r
I• I
- 900 "''
1,5 m
e (eita d a mesma. maneira que
F IIIIUf'a 7. 7
216
I
I
( bl
SOLUÇÃO PA RA U M ARRANJO ALTERNADO D E PRANCtiAS
Se, no luaar de se usá r d uu pranchas c;omo anlerionnentc. r.ussemos uma viga d e cinco
peço..s., Fia. 7.6(b). ser·ia neces$6rio um arranj o d l(erente de ~.aos .
Pora inicio, o nu :4'o de ciiH11hamento entre u m o das peça; de 50 mm x JOO mm Q o rct·
tnntc da viga ~ nchado. c. emborn a superficic de contato tNJ s~tta vertical~ o procedimento'
-··' :
I
f,
900 tc;..
(c)
217
SOLUÇ~O
P•ro achar o upe.çamcnto dot pararusO$. deve-se determinar o nuxo de cita.l hamonto
na. seçllo n-a, O carrcaamento na vlp cal• mostrado na fi1- 7.7(b); para D'IOitrar a varleçlo
dltUlncl.a Y, do ohco neutro.• A 6.tea da acç.lo transvcnal da vip est' mostrada
na Fia. 7.9(c).
óa rorç:a cortante ao longo da viaa. conatrói·t.c o cUaa,rama da Pi.a- 7.7(c).. Entlo d e vo &er
dete,rminado Q, para aplicar·so a fónnull do nuxo de cisalha.m onto. llao 6 rcho conlidct&ndo.
·SC a irea hachurada de um lado do corte "'"'tt. na F ia.- 7.7(a). O momento eslitioo dona 'rea
é calculado de maneira mais convoni•nt.e mu.ltiplicando._ a 'roa du peçu do .SO mm w
• 100 mm peJa dl&t.Ancil de JeU cenu·ólc:k ao oilto ncvrro da vi. . • 1o.ma.ndo.M a .... produto uma quanudade semelhante. para a poça de SO mm • lOO mm.. O maior nu ao do ciaa.
lhamcn1o oeonc noc suporte&. potquo u maiores forcu conantea. Y de 900 kar. • a•m ali :
Q = Ar_.JJ- l:A,Y,- 2A,Y, + A 1 }72
- 2(5,0)10,0(20,0) + 5,0(20.0)22..5 - 4l50cm';
VQ
900(4 250)
q = - 1- - l,S M lO' - IS.l lcaf/cm.
Nos supoMe.s. o cspaça.mcntO doe parafusos deve 1er de l2_s.IIS•.3 - 14,7 cm. EaJc cspa.
çamento " aplica somente a uma MÇio onde a rorça cor~ ante. V 6 iau&l a 900 kp. alculoa
semcJhances para uma seçAo cm quo V • 450 tat. dio q - 7,6S kaf/cm. c o apaçamento
dos pararusoa nca 22$/1,65 - 29.4 c:m. Assim. é apropriado ospcdlicar o UIO de parafUJ.OI
de 10 mm. eapoçad01 de 14 cm entre ccrt1r01 durante 01 l.Sm próximos d01 supOrtn. • 18cm
para o meio du vla,a.. Maior rcfinamcnco pOde ser dcsej6vcl, om aJaum problemas. pata ra~
a transfçlo de Ul\1 e~paçamc:nto de conctorca para outro. O mo•mo capa.ç:amcnto d01 pararutOI devorla ser undo na seçio b·b o na acçl o a•u.
Do maneira análoga 4 anterior pode ser determinado o espaçamento de rebites
ou parafuso• om viaas rabricadu, fcita.s de perfiS contlnuoc c placas (Fia. 7.8). Os
requisitos do solda slo cstabelecidoc de maneira análoaa. A tensão de cisalhamcnto
nomin.al cm um rebite. é determinada dividindo.tc a força eo.ttante to(aJ trans-mitida pelo rebite cnuxo de cil41hamcnto vezes o espaçamento dos rcbilca) pela
ârea da scçlo transversal do rebite.
I: u•j[
(o)
7.4
Figure 7 .,1
S~601
dplc•• di uml vfga qve coru1tto em
vttlos oomponeme•: (e) vlg• de chapa. (b) vig• I ,.forçada
Pl g u ,.. 7 .•
Se existirem forçu cortantes nu leÇ6cs da viga. atua na aeçlo A um momento
netor diferente do quo na seçAo B. Dessa forma. mail solicitaçlo t desenvolvida
cm um lado da A~ca fglfl. do que no outro c, como anteriormente, a diferença nas
forças lonaitudinais a uma dillância tbc é
dM f
dM
dM
dP - -~ j.r... y,JA A;o>J!J- - -1- Q.
FÓRMULA DA TENSÃO DE CISAI.HAMENTO PARA VIGAS
A fórmula da tcnsl!o de cisalhamcnto para vigOJI pode ser obtida da fórmula
J•"'
~.q-
21 8
dF
dM A0~o~:v
lt ·
"r,..- d'Xi •- dx
Essa cquaçlo pode ser aimptincada pelo rcconbe<:imcnto de que dMfdx - V.
Dessa forma, alternativamente,
tJ
VQ
----·
do rtuxo de cisalhamcnto. Ana1ogamcnte ao procedimento anterior, um elemento
de vig,a pode ser isolado entre cluus seçõcs adjacentes tomadas perpendicularmente
ao eixo da viga. Então, passando outra seção imaginária por esse elemento, parnlela
ao eixo da viga, obtêm·se um novo elemento, que corresponde ao elemento de
uma prancha. usado oas deduQ6cs anteriores. Uma vista lateral de tal elemento
está mostrada na Fig. 7.9(a). onde o corte imaginério longitudinal ê feito a uma
--r
A força que .,quillbra dF é d c..,nvolvlda no plano do corto lonaitudinal.
tomado paralelo ao eixo da viga.•• Dessa fonna. admitindo-lO que a tendo de
cisalhamcnto seja uniformemente diltribulda através do corte do laraura t, a tcnslo
do ciaalhamento no plano lonptudinal pode ~~t:r obtida pela divido de dF pela
ltea td.x. lsso fornece a tendo bori:z.ontal T,,.. Entretanto. como cm um elemento
infinitesimal aluam tenaOes numericamente iguais em planoe: mutuamente perpendiculares. a tensfto de cisalhamento 'tx,. no plano da seçlo vertica_l, ou sejn,
no corte longitudinnl, Fig. 7.9(b), 1ambém fica conhecida. Coon base nosso
com oleeas
(b)
.....
I•)
Oedvçlo dt t•naOea de d aalh 1men1o r._ • r,. .-n um• vig 1
(b)
(o)
'
(7.6)
/t
• como dM/tlx - - V, para um Y poliUvo, o varh1cBo no moml:f•IO 6 riM • - Vti!IC. Por CIAU tDzllo
M.c > Ma r: u maanllude~ d.u1cti.OCI norrnafl n11 Pia. 7.9(a) do adequ•damcnlo mo11raclu
··~ int.crUUJUO obnrver uma rado altunadva para a apllrfAcil de Y na equaç.lo odma. Como i
posk:iona 1 fibra que.
a u..ma diltlnda mtdia do eixo oc:utro na Arca hech1.1rada de umll seçi:O. (11/J)
';/1 di a tensio normal ~la nessa irea
c:at'
219
Essa é o fórmula po1'11 determinaçllo das tensões nas vigas.• Ela as fornece
logo à direita do corte longitudinal. Como antes, V é a força cortante total ern
uma seçiot e I ~ o moniento de in~reia de toda a 'rea da seçlo transversal em
relaç.\o ao eixo neutro. Aqu~ Q é o momento est6tioo da área pardo/ da seçlo
transversal de um lado do corte longitudinal Imaginário em torno do eixo neutro,
e y é a distft nelA do ei•o neutro da vign no ce.n tr6ide da J\rea parcial
Finalmente, 1 é a lorgura do corlc longitudinnl imaginftrio, que é usualmente igual 4
espc$$ura ou largura do membro. Em termos da representação matricial do tensor
das tensõe&, a E.q. 7.6 tem o seguinte significado:
A''"'"
0
( 1'JI.'l
(7.6o)
• ••)·
o
onde'~',,., e T'"' atlo ns tcnsOes de cisalhamento vertical e horizontal. respectivamente;
elas são numericamente lguaiJ. As tensões ver ticaa atuam no plano da seçilo
transversal de uma vip. eh.. desenvolvem a torça cortante vertical v, e dessa
forma é a&tisfeito o requisito da estática t.F, - O. A validade dessa afirmativo. para
um caso especial sem ilustrada no Exemplo 7.3. Em muitas aplicações da E.q. 7.6
os índices de t silo supérnuos e podem ser omitidos.
Deve-se ter cujdado ao ao raz-er os cortes lonailudlnais preparf\tórios ao uso
da Eq. 7.6. O •ecclonamento apropriado de alaumas 6reas das vigas estA mostrado
nas Fip. 7.10(a), (b). (d) e (e). O uso de cortes lnc:Unadoe deYe aer evitado a menoo
que o mesmo seja feito através de uma eapeuura pequenL Para membros dclpdos,
a Eq. 7.6 pode ser usada para determinar as teosôea do c!salbarncnto em um oorto
tal c:omo o f·IJ da Fls- 7.10(b). Essas tcnsOes de c:lsalhamento atu&m em um plano
vertical e do dirigidas perpendicularmente ao plano do papeL Elas aluam cm
planos inteiramente direrentca daqueles obtidos com os cortes borlzontaiJ, tal
como f·g nu Fiaa. 7.JO(a) e (d). (Veja também a Fig. 7.2(1)). Tensôel de cisalhamento co'1)ugadu aluam horizontalmente, Fia. 7.10(c). Taia tenaôea nKo contribuem diretamcnte para a rclisteJ\çia da (orça cortante vertical V; elu terl.o dit.'
cutidas posteriormente na Seç. 7.6.
,.,
F igura 7 .10
(<I
(bl
j
(d)
C.ntiÕkk d•
A
V.a . , _ . . . .
(c)
s.cdonemento eoropriMio ntabtlecetuto tn• p.ttclers da MÇio ttansversa.t. pare
o dkulo dts tentOes ~ cinlhemento em V!Q••
•Essa f6rmul• rol dcdu:xidn por O. L Jouravtlcy, em J8SS. Seu dennvofvimento foi ctetuado pela
oblorvaç!o da• rend"t horiz.ontnil nu uni&c:s de mu.dcim cm v4riu du pontes fenovf,rlu entre Moscou
• Sa. Pctcr.sbura
220
Sem ilustrada agora a aplicação da Eq. 7.6 a dois tipas particularmente
importantes de acções uansvcruis de viau.
EXEM PLO 7.3
DC!dutir um" expressão pnta o disuibuiçtlo de tendo de ciulhamento em uma viga de
scçto tra:nsvcnnl reutngular, transmitindo uma (orçn c:ortanto V.
SOLUCAO
A s.eçio tnnsversal da vip estA mostrada na Fia- 7.11{a). Um corte longitudinal na vi&'
1 uma dis:tAnei11 ,v1 do eixo neutro, isola a 6rea parcial fglif da •cçlo cre.nsverSAI. Aqui. t = b
c 0 ôrea infinitethnnl dn_ seçGo pode ser convenientemente cxpr~sa por b dy. Aplicando a
eq. 7.6, a tendo de cisalhnmento horitonutl 6 ac:ha.dn no nível y, dn viga. No me&mo corte
acuaun tens6es numericamente iauau.s. n.o plano da teçlo.
r
.,
-r
,....
V
• VQ
--Jt
Jt
i
....
I' [ ' bydy
wtA-/h
,.
'""
I'" - ~[(''')- . .:]·
-~I
y'
/]TI
2./
l
VJ,I
,.,
,.,
'"'
Assim.. etn um.a viaa de seçlio rctangular. u tcns6cs de: ci.salhamcnto
F fguf'lll 7. 11
hori~onta.l c vertical
variem parabolicamente. O rnohfmo vaJor da tendo de cisalhamento é obtido quando ~.
6 JauaJ a zero. No plano da .seçlo transversul Faa. 7. 11(b), isso f. npresentado dlaararoatic:a ..
mente por T_ .. no eixo neutro do. visa. A distAnç:in.s crescentes do eixo ncucro. AI tensOes
de clsalhnmcnlO diminuem grndualrnente. Nos contornos superior e inferior d11 viga, a..s
tentôcs de e:isalhomento dcíum de existir quando >'• -- ± lt/2. Esses valorea du tensões
de c:isolhamento nos v4rios nivcit d:t visa podem Kf representados pela par6bola mo:strada
na Fia. 7.Jt(c). Uma vista isomf:trica da vi&L com tens6es do cisatharnenlo horizontal e
vertlca~ é mostrada na Fi~ 7.1l(d).
Para satisratcr a condiçlo da cstáuca. r.F,. • O. cm uma seç5o da vir~ a soma de todas
u tensões de cJaalhrunento vertical '~,,, vel:es .suBI rcspectivu t\rcns de atuaçlo elA deve ser
iaunl A forçn cortontc vcrtic:-al V. Pode·se mo.stror que es-te e o cuJO pela intcacaçAo de '~...,dA
ao longo da 6rea da seçlo transverao.l A da via4. usando a e.xpreulo geral paro ".-,achado
221
anteriormente.
"" 1 -
L'""A- 2~ (]G)' -.vl]hdy, - ~:[(;)' y,-(~)I:: ­
- (2;~12)[C)' h- ~ G)'J - v.
My
M•• rr. - --1- ·
Vy
T-- •
onde V' a força CO.rtantc total c A ' a Area da seçlo tra.navonal 0 mt:J;mo re~uh.ado pode
ser obtido de rorma mais ciircta se oblctvarmot que. pa.n. VQJ(h) Mt ""'-Jtimo. (l doYe atlnair
seu major valor, porque neSJC cuo V. I c 1 d o conna..ntel. O. propried ade cl01 momento•
estAtico1 do &real cm relaçlo a um eixo c~troidol, o mh.hno valor de Q e obddo conaldoo.
rendo-ao mtmado da 4rea da soçlo tranavcrsnl em relaçlo ao obo neutro da viaa. Allin'l,
allcmatlvamantc,
va
v<MI2Xh/4J
(bhs/12lb
3
v
• TA '
;.g: + a,~;· • o.
~
Do l!q. 3.3:
Como a doduçlo d.a Eq. 7.6 roi 1ndlreta. cua prova. motlr'lndo que u teniOa: do ci&.~
lb:amcnto intcaradas na seçlo do iauail' força cortante vertical. 4 atenta.dora.. Albn do maia,
como 1e achou uma concordànc:i.a elo tinais. esse resultado indica quo u direçõn fltu tt~udn
tk cbalhtHfl~fltO "" l'f'ÕIJ da UÍQ4 Mo til mi'SnalU ,,u, nqu,.Jns da forra cortont4' v. ENc rato
pode ser uudo para determinar o acntido du tensõc;t de cbalhamento.
ComO roi Observado ameriormcnte. I ICD$iO de cisalh11n10n to màxima em Uma Vi&a
retans,ular ocorre no eixo ocuuo, o para ouo c:u o. a exprcnllo aeraJ. para T- podo ser •Imo,
p1irícad.o porque ,1• 1 • O.
Vh 1
Vh 1
3 V
3 V
~~
lbhj/ 12 - 2 bh • 2 -;r•
'-..- J, •
± lt/2. ~ achada a 00n1tante de intcaraçl o.
(7,7)
Como as vfps de aeçio traMVCraal retanaular slo frcqOentcmente uu.das na pr6úca.
a Eq.. 1.1 ~bastante Otil. Ela t usada no pro,teto de vips de madeira. po~ue a telialin~a ao
cisa.lhamento da madeira é_ pequena n01 planM paraletos a01 artos. AN•m. embora e~••tam
tenJOes de ciaalhamento iaua.ia em planot mutuamente perpcl"'diculares. as vigas de madeira
tê1n umiL tendencia a ae aeparat em lonJ,itudina.lmente ao lonao do eixo neulto. Obnrvo que
a mâ.dma. tcn5Ao de ciaaJhamcnto h uma vez. o meia n1aior do que a tensão de citalhftrnento
média V/A .
EXEMPLO 7,4
Refaur o exemplo precedente. us.ando as equaçe)a difcrenda.is de equiHbrio. Por convemrnaa. adm1l&t q.uc a vip tenha laraura u:nitáriL
SOLUÇ~O
Oo ponlo de vista elástico. at tcni~Ct internas e as dorormaçOCI nu vigu 110 oltatica·
1:nentc indeterminadas. Entretan to. na \corJa técnicn aqui d isçutida, a int roduçlo de uma
hipó1csc cirlcmjtlca de q ue as seçOe1 planas perauanecem planu após a Jlexrro muda csaa
siLuaçlo. Aqui, na Eq. 6.3. v~se que cm uml.l viga tiA- - M y/1. Oena fot rna. u."'! parte da
Eq. ).3 - aquela que ctâ a cquaçlo dirercnciaJ de cquilibtio para um problema b•duncnslonal
com uma rorca de massa X - O - t Juficience para achar a c~nslo de cilalhamento d~
nhecida. Das condiçOcs de nenhuma tcnslo de cisalhamento no topO e no fundo. t., • O.
o anlm
d<
• a ~. l.Jiiu T + ~ .. o.
Apóa lntoaraçlo •., •
-!fl. +
C1 •
Vh 1
•.,(± l•/2) • O. tom·H C 1 • + 8J
•
•
.,'*
-
f
-
+2
~[(.!!..)'
/2
-y•]·
IMO concorda com o r ..uhado achado a.nteriorm.nt• porque. aqu~ y - y 1 •
Oe acordo com a
de Hooke, u dorormao&• a.na u.lar• devem • tar anociadu com
.. tcl\lhl de cbalhame:nto. o.ua rorma. u ton.ahl 4e c:Ual~e::nto dad u J)cla t claçlo
anterior d evem cauu.r d:eform~ de ciaalhamcnto. Como 6 mostrado na f1• 7.12. u
mbhnu dbtorç&ea elo claalhamento ocorrom om y • O. o nlo ocorrwm d latorç6cl etn y • :t: ltfl. Uso empena a KCIO lnldalmente plana ela vtp e contradiz • promiua bNica da
teOria da nulo. Entretanto, polOI m~todOI da elu dcldado. podo-se mOitfat q uo Clllll d i ..
IOrçOel d u ICÇÔel planu alo dtlprU&YelmcuHO p6QUOnU para metnbrot d elpdoa; a, lcOria
,Lõcnlca 6 completamente ad.quada " o comprimento d t um mem bro • pelo monos duu
ou 1r61 vez• maior d o quo lu.& prof\lndfdade to taL 1!111. concludo 6 d e capital lmportãncia
porqut alp ifica que a ox'ist6nd a de u ma força conanta cm uma IOÇio nlo invaUdl as ex·
pre:asba pan. u ten.O. do n ulo antcriormenUt dedozidaJ. Como roi o blerva do anterior..
mente. lanto no ponto de aplicaçlo da carp c:omo na utremidade enpstada. ocorrem
pot1Ufbolç6el IOQi• adic:!onolo do •-
1•
Plgur• 7 .12
uma vlg e
Oi.storç6<n di oiN ihamento de
EXEMPLO l,j
Usando a teoria t~cnlça., determinar .a di$tribuiçlo da ten.s4o de c:Jsalhamc.nto devida
1\ rorço coruJ,nte V na z.ona c1U t.lco·pl6atica de u ma viga rcLa.nauJa.r.
SOLUÇ~O
A sicua.çlo do problema oco~ por exemplo. em uma viga cnp.st•da carrcaada na
rorma IUOitnda n& fia. 7,1J(a). Na rona eiAstico-plhtica o momento Oetor externo t M =
223
• - Px. enquanto que, de acordo cum a Eq. 6.1 ~ Ô momento lmemo resistente 6 M-M _ ..
- <S..,.by:ll. Obsuvando-se q ue y• voria com "e dire.<D<:i.ando • e<juaç&es ocinu, nota~
a seguinte iv•aldade:
dM • _ p __ 21J,V0 U•~t tl10 •
d~
3
dx
E.s.sa. relação scr6 necesdria ml.is larde. Primeiro. entrelanto. proc_sea:uindo corno no
caso el4steco. considere o equUíbrio de uma vip. c:omo mort ra a Fi.. 7.Jl(b). Do lad<t direito
desse elemento atua.m rorça.s lonaitudlna.ia maioret do que do lado esquerdo. Separando-o
no eixo neu1ro, e iauallndo a rorça no c:orcc A dircrença na força longitudinal. ob t~m-se ·
t 0 dxb - t~• .,tly0 b/2.
onde b ~ a largura dt viaL Apót aubtliluiçio de tly.fJx da relaçlo ant~ior ment e achada
c eliminaçlo de b, a c:h a~to a mâJtima lendo de elta1hamento horizontal -t0 :
T
0
-
~ dyo = ].!... - _!_ !_.
2
d:c
4by 0
2 A0
A F ig. 7.1 4{b) mostn um diagrama de um seamcnto da. viSL Vkc nesse diqruma quo
a rorCI COrtSnle ven:ic:&.l em c;nd:a ~~O ~ de 20 t Q , mo~tos nelOre! não entram d ite. 1amen1e no prescnle probtemt1. O nuxo tlc citõ:tlh3memo nos várk:Js nlvci1 da viga t cnlculado
n• tnbela a. ~aui r. usa.ndo·te: u Eq. 7 .~. Como 't = q/t (Cq. 7.6). as u:ntões de c1Jolha mento
s.Ao obtid~ pela divisão dQI. nu, os d e Clsolhamento pelu respectivas l•rguras da. vip.
I - 1S(JO)' - U•XlS)' e 8 139,3 etn'.
12
12
Para. U!IO no Eq. 1.5, tcm•IC a rdaçilO 11/1 - -20000/8 139,3 • - 2.4S1 ksf/cm ...
Ni..t
A,..i•
H
o
2..2
(7.1!j
onde A0 t 1 Arca da pe1te e14.s:tica da seçlo transversaL A disttibuiçlo de tendo de cisalha.
mento para o caso elúrJco-plâstfco est6 mostrada na Fig.. 7.1l(c). 1110 pode ter contrastado
com o cato elistieo, mOJtndo na Fia. 7.13{d). Como tens6ec normal• iguaJt c opoJIU ocorrem
nas zon11 plbtlcaa., nlo ht\ desbalanccamcnto alaum nu rorçu lona:itudfnab c nenhuma
tensão de clsalh3mcnto 6 des~n\'olvldl.\.
}-)
4-<1
r·
Q • A,,.j
t. kaf'/cm 1
q- VQJI
o
15,.0
o
u
o
I
- 35.6
- 534,4
cs
= 15,0
14,5
211,5
-534.44
(1) 15 = 15,0
U Mll
1.0
(1)15 - IS,O
UX14) = 14,0
14,5
ll.S
2l7.S
IJ,s 231.0
-567,61
-567.6
(4,5
211..s}3os.s
9 1,0
- 758,05
-158.0
(I) IS
-
0,5
• ,.eN~ e a Arca pnrcial da seç.!o transvcrtal acima de um d01do nlw:l em crul..
••y ~a distúncia do eixo neutro ao ccnttóide da área pardlll un crn.
Os tinais negativOÍ de r n1os:tra.tu que, ram a s~ão considerndn. at tensões atuarn para
bnixo. na roce direita dos elementos. O sentido da$ tcns"es de: dsnlhnmenlo que a luam na
•ecRo coincide com o sent i~lo da rorç" cortnnte V. Por cuft razão. umtt nderêncio estrita à
convençllo de sln11ís ~ fteq nentcmente desneo:sdria. é 1cn1pre verdadeiro que J.. r tiA é igual
1 V e I em o mesmo sentido.
•o •
CoJ
(b)
F igu ra 7.1S
20t
Essa solução elementar tem tido refinada pelo uso de um crittrío mais cuidadoso de
es:coamenlo provocado pela açlio aim uhdnea das lcntões nortn:a.il o do cisalhamcnlo.• Als,una
aupcctos rundamenlais da intetaçio de tab ten~ôel aerlo conslderados no Ca p. 9.
I cm
EXEMPLO 7.6
Uma viga I e carrc:sada como na F'i8. 7.l4(a ~ Tendo ela 1. teçlo lransverul mostnLda.
nn Fig. 7. L4(c), determinar at lensl)c:s de cisaJhnmenro nos nlvcis lndi.cadOJ. De•prezar o
peso próprio da vip.
•o . C. Oructer.. ""Tht Errea d Shevon the Plutx: Otnd li&úBeamt.-, Jt~t~rlllfir;f Applf~ M cdwltla.
ll U9S6~ PP. m-c•
224
(dJ
( (J
Figu r a 7.14
(d Ddlr-tiUi~O 4: lendo
4 1 C!U ih.lP\I!D IO
225
Observe que., no nivel 2~2. $do usadas d uas lnraur~ para determinar a tcnslo de ciJa..
lhamcnto - um loao acima da linha l-2, c o utro logo abalxo. Uma largura de lScm c:or.'
responde ao primeiro c:.a.so, é Otltro de 1 cm no s;cgundo. Esse ponto do tnlnajçfo aerA d{a.:
c:ucido no arc1go que se segue. Os re&ulta.dos obtidos. que cn\ vinudo da simetria tambtm'
sio aplicáveis ã metade inrcrior da scçlo, &Ao traçados na Fia. 7.14(d) e {e). Po.r um m6todo
semelhante ao usado no exemplo precedente. podc-&e mancar que u çu.rvas da Fia. 7.J 4(e}
tio part01 de uma padbolD. do scgun.do grau.
A variaçlo da tenalo do ciJalhamcnto in dicada pelo. Fig. 1.14(e.) pode Jer interpretada
como mostra a Fia. 7,14(1'). A m6xhna tensilo de cisolhamcnto oeor~ no eixo neutro; ••
tensôel do cbalhamento vertical •través da alma da viga slo aproximadamente de mnma
masniludc. A.s tCn$6ts de cisalh amcnto que ocorrem nos Oanges .slo bem pequena• c por
cita raVlo, a mbima 1cndo de cisalhamcnto cm uma vi&a I e rrcqO.cntemente eproxil\\&d&
pela divido da Corça cort;~.nle V pela Aren da sec;:io tre.nsvcrsal da alma [érea abcrl da Fia.
7.11(1)]. Assim
(T_ ,..). ,....... - IIIA~"'" •
No exemplo c:onsidcrado, tem•se
h_x).,,..u •
da vla:a. Ias~ 6 o quo ~ev~ria sor porque a superllcle superior da viga b livre de
JensO"ll· Asstm alo aatisfmtas as condições nesse contorno. Uma situaçlo some•
lhanLe foi encontrada na porlforia do uma soçlo rotanaular.• Uma aituaçlo difo•
ronte 6 descoberta quando 110 examlnadu u tensões do cioa.lhamento detorml:
nadaJ para a vlp I llOs nlveís ;2-2. As tensões de cisalhamenro foram achadM com'
o valor do 35.6 kafi'cm 3 para olomontoa como b ou c da figura. Isso exige a concorddnda das twaoca de cisalbamwtQ horizonlal nos planos intcrn111 dos nongcs.
EnUotanto. 08 últlmoa plan01 devam estar livros daa tensôcs do çjJalhamcnto
porque CIO$ aio contornos Uviel ela vlaa. Isso conduz a uma oontradiçlo que alo
pode aor &olucionada poloo m6todoo da mecAnlca t&:nlca dos oólidos. As t~nicas
maJs avançadas da teoria matomltica da eluticidado devem ser uaadis para •o
obter uma soluçlo correta.
·
20000
'
{I)JO = 666,7 kgJ/CI'I'I .
E5sa tenslo d irere de cerca de 12 % dattucla ach ada pela fórmula pre.císa.. Para a maioria
dns scçõ& 1ransvorsais, p(Jde ser obtida um~:~ a.proxlmaçlo mais próxJma da tensão -mh.ima
verdadc:ir41 peJp divisO.o da rorça cortan1e pela ârea do alma. entre os flana;es. Pa.ra o exemplo
acimn. esse procedimento dó uma tcnsio do 7l4,3 k.gf/cm", que aprcscnUL utn erro de apenas
6 ~... Deve fica r dato do que se viu acima que a d ivisão de V pela A.rca da seção tr'ansvcrsnl
da viga para se obter a te-nslio de cisalhamento não é permissíveL
Na Fia. 7. 14(&) está moJtrado um elemento da visa no eixo neutro. Nos níveis 3·3 c 2.. 2,
c.m adiÇ'Io b tcnt6ol do dsalhamonto. tcn,Oca de flodo atuam nAI rac.a VorticaiJ dOI elementOS. Nos nlveis I· I dos elementos, nlo atuam &I de oísaJhamcnto, mu apenas as de Oedo:'
(a)
A máxima tensio de cisalhamento foi achada no eixo neutro, cm ambos os
exen>plos anterio~. Mas isso não ocorre sempre. Por exemplo, se os lados da
ã.rca da seção transversal oão são paralelos. como para uma scção triangular. t
é uma runção de Q e [,e a rnf\xima tensão de cisalhn.mcnto ocorre a meia distância
entre o àpice e a base, que não coincidG com o eixo neutro.
1.5
UMITAÇ0ES DA FÓRMULA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO
A fórmu la da tensão de cisalhamenLo para vigas elásticas baseia-se na fônnu la.
da flexão elãstica. Assim. aplicam-se todas as limitações impostas na fórmula de
nexão. O material ~ considerado eléstico. com o mesmo módulo de elasticidade
cm traçào e compressão. A teoria desenvolvida se aplica apenas ·a vigas retas. Além
do mais~ existem limitações adicionais que não estão presentes na fórmula de
nexào. Algumas delas serão discutidas agora. Considere tuna seção de uma viga
/,analisada no Exemplo 7.6. Alguns dos resultados dessa anlllise são reproduzidos
na Fig. 7.15. As tensões de cisalhamenlo calculadas para o nivel H se aplicam
ao elemento infinitesimal a. A tensão de cisalhamento vertical é zero para esse
elemento. Da mesrna forma, não existem tensões de cisalhamento no plano superior
Figura 7 .11 As condiçttos d•
contorno não são aatisfohn pelos
elethentOt do ftang• nos nlvei• 2..2
Ffcrwa 7 .11 ModíficaçiO pleuafVel de u.me $Oiuçio
baseada na fórmula da tenlio do clnlhemento para
aa1islarer as COf\dleOes de equ111brio
•A riaor'podcm •er mostradas aJaun1 uros;. mumo ncS(oeaso, AI tensi5ea dadas pd& Eq. 7·6 forn.m
cstabc:Jcoidu eocn bue nu condiç6a do cqulllbrio de: urn elemento •cm rc(c:rencllàJ eondiçOca fie' comp•
tibUidadc de tod01 01 componcutca di. doform.açlo Ccleho de Poiuon, etc.). Para .nt.is de.talbcs.. veja
A. E. H. J..ovc, Mculuffnollcal 1Jif'Ory Q/ Blostidty (4,• cd.~ C.p. XV, p. 329. Oovcr PubUcadoM. 'rnc... Nova
lo1que, l944
'
227
226
Fel izmente. esse defeito da f6rmula de tensllo de cisalhamento para vig..
não é mu1to sério. A& tcnsõe$ de ciulhameoto sipilicativu ocorrem na alma, c,
para fi nalidades priticas, .slo dadu correto mente pela Eq. 7.6. Nenhum erro apre.
ciávcl estt envolvido pelo uJo das rclaçõe. dcduzldu oeste Cll pltulo para membros
de pnrede rina. e a 1naioria dR.S vigu usadas onde o cisalhamento 6 signiOcativo
pertence a esse grupo.
Naa aplicaçôct mcc4nlcu. usarn·ae com rreqoanda tlxos elrcu1Rret como vigo1. Assim·,
as vlaas que ctm tcçlo tranavcrsnl circular cheio rormam uma hnpcrtanre elute. E.asas vfgu
nlo cem parede fma, Um exame das condiç&s dt oontorno pua um membro çircutar, F ia.
7.16(a), leva l conduslo de que. quando cltio presentei ten•Oes do ci.salbamento, elaJ d evem
atuar tanaenclalmentc li periferia. Como nlo pode exi11lr a tentfto de clsalhamento co11~
jusndA na supcrOci-e livre da vta-. nenhum:1 compo·nenco de lc:ntlo de claal.harnento podÔ
atuar normalmente ao contorno.. Entretanto. de acordo com a Eq. 7.6. teniOes verllca_b de
· y e 1 são constantes a trav6s da víg~~. o nuxo de cisalhamcnto q, • YQ/1 s~gue 3
(1ldlll• variação. Se a espessura do nan~ pennanece a mesma. a ~tnsl~ de ctsalh;~
mcnto , - VQ/It varia analogamenlc. A me$ma varioçlo de q, e t, eJUS':" de ca
lado do~ eixo de si 1nct ria dR SCÇt1o transversal. Entrctant~ ~sas quonbdades ~~
'p!allO da scç5o transversal a tuao• cm d ireçlles OP""tll.5 dos dots lados, como P
,.. determinado ao se isolar outro elcmcniO de llanJII' do Indo eoquerdo d~ alma
,n . na Fig. 7.L7(b). A voriação dessas 1ensõcs de cisalh~mcnto ou nuxo de ctsalha·
' '" meniO eslâ represenLOda un Fig. 7.17(c1 onde !e adtl\lte que a alrnn seja baslanle
fina.
iaual Intensidade atuam em cada nivcl H\1 como trc na Fia. 7.16(b). h-.so C Jncompntlvel com
ns condiça es de contorno pam clemenlOfl c:orno a e c. e a soluç-lo lndic.,da pela Eq. ?.6 é inconslsccntc. A• mA.dmat tcn.tea de dul hamenco que ocorrem no ebo neutto. entretanto:
satisfoz.cm u condiç6e:t de c:ontorno, e slo bastante próJlimas de seu verdadeiro valor (cm
~rcn
de S %).•·
7.6
OUTRAS OBSERVAÇÕES SOBRE A DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES
OE CISALHAMENTO
l!tn utno •18• 1, • oxlotençm rlo ••n•IIOI do ofu lhamtnlo • rn um «~rl• tonar.
tudlnal tal como c-< na FIJ. 7.J 7(a~ rol Indicada na Seç. 7.2. l!uu tenJOes ile
cisalhamento atuam pecpendicularn>ente no plano do papel, Sua magnitude pode
ser achada peln apllcnçllo da Eq. 7.6, c $CU sentido decorre da análise d0<1 momentos notares nas scçõe$ adjacentes na viga; cm lugar de ee fiXar uma eonvcnçio·
e.spccjal de ainais. c.ss. tem-se mostrado como a melhor a bordagem. Por exempJo,
se, pnrn o soamento de viga do. FJg. 7.17(b), 08 momentos netores positivOS' numen·
tnm no sentldo do leitor, u maiores rorças normais agem na &eçlo mais próxima.
Para os elementos mostrados. Tldx ou qdx deve somar-se 4 força meoor que atua
na área parclol da seçl.o transversal. Isso determina "o sentido dos tensões de
cisalhomenco nos cortes Jongitudinnis. T ensões de clsalhamento numericamente
iguais atuam em planos m utuamente perpendícularcs de um elemento infinitesimal,
e as tensões de eisalhamcnlo em tais planos têm direções oonvergenles ou diver·
gentes nos cnntos. Dessa maneim torna-se conhecjdo o sentido das tensões de
cisaiiÍamento no plano da scçio transversal.
A magmrude das tensões de cisal hamento varia para diferentes cortes verLicais.
Por exemplo, se o corte e-c do Fig. 7. 17(a) cslá na aresta da viga, o área bach urada
da seçio transversal t uio. Ent<ctanto. se a espessura do nange é constante. e o
corte e-c se aproxi ma f>rogressivatncntc da alma, a á rea l11churada aumenta de
zero cm raz3o Iinca r. Além do mais, como y permanece con.stante para qunlquer
área, Q tambêm aumen"> no sentido da alma. a partir de mro. Dessa fo rma, como
C• I
lbl
Fo
v
...!L
Figura 1.17 b lsainclt ôt lttttbo!s O.
cru1htmen10 no "•not dt uma vi~/, que
IQem ~rpencU C\il srmento ao eôlo c:lt $ima trio
·
\lw~ do nü
o 4e d.a. .rlk'ntO
no fl•ncc: Jupe,.._,
(<)
(d)
A& lens~ de cisalbamcnlo nn F1g. 7.1 7(c~ q uando tntegradas ao longo da
ãrca de sun nt uaçâo, são eq uivalentes a umo forço. A mugnitude da rorço hori·
zontal F 1 pom metade do nange. f ig. 7.1 7(d1 é igual à lcnsão de cisalhamento
m~dia multiplicada por melade da área do nangc. isto ~.
FI - (•,-~,/2)(bt/2)
ou
FI ~ (tJ~-..12) (b/ 2).
Essas forças horiton:ais otuam no.~ flanges superior e inrcnor. Devido à aimet.ria
da seção transversnJ, cs.:;as forças igunis cx.."Orrem em pares c se opl5em ent re si ;
assim, elas não causnm efch os exler nos aparentes.
229
Para determinar o nuxo de clsalban1ento na j unção do llange com a alm~
[corte a-<1 na Fis 7.17(a)), deve ser usada a drea total do nanae vezes y no Qlcu;0 ·
do valor de Q. Entretanto, como ao se acbar '~~- já se usou o produto
a soma dos nuxOi de cisalhamcnto horizontal pro veniente dos Jados opostos
o nuxo vertical no corto a-a. Anim, falando de maneira r>gurada. os rtuxos de
dsaJhamento horitonW girãm de 90' e $C fundem. para se tomafcm o fluxo de ~
ci.saJhamcnto venical. Entlo. os Ouxos de daalhamcnto nos vários C:Otiet hor)..
zontais pela alma podem ser de~rminados na maneira explicada nos artiaoo p.._:
d entes. Altm do mais. como a resistâlcia à rorça cortan te vertical V, nu vigas i ·
do parede fina, é desenvolvida principalmente na alma, ela 6 assim mostrada na
Fig. 7.17(d). O sentido du tenal!o& de oiaa.lh11nento e o.o nuxoa do ciuJhamen to
na alma coincidem com a direçlo da (orça cortante V. Obsenoo quo o nuxo de
cisalhamonto vertical ac. separa ao atinafr o nanp inferior. Juo está rcprcacntado
na Fig, 7.17(d) pelas duiU (orças F,, q ue são o reaultado doa nuxos de cioalhamento . ,.
horizontal nos nangcs.
As rorç.as q1.1e aa.em em uma scção de uma viga I estâo most rndas na. Fia.
7.17(d). e, para equllibrio, as (orças vertical• aplicadu devem a&ir no oenttóide
da área da seção transverul, para coincidirem com V. Se a1 forças tdo usim
aplicadas, nlo ocorre torçlo no membro considerado. Iuo 6 verdade para todu
as seçôes trnnsversais que t!m eixo de simotrio. Assim, para evitar corçlo de tais
.nembr01, as fo rças aplicadas devem agir no plano de sin'letria da seçlo trans-.
versai c no eixo da viga. Uma vip com scçâo assim~trica scnl discutida cm seguidL
CENTRO DE CISAL HAM ENTO
Considere uma viga cuja seção traosversui 6 o de um perfil U, Fig. 7.18(a~ As
paredes desse perfil slo admitidM !Ao finas que todos os cAiculos podem se basear
nas dimens&s cm rclaçlo à linha de centro das paredes. A nexio desse perfil ocorre
cm tomo do eixo horiz.ontal. c embora essa seçio t.ransvciSal nio cenha um eixo
vertical de simetria, admite-se que os tensões de nexão sejam dadas pela fó rmula
usual de nexilo. Admitindo que esse canal resistn n um cisa lhomento vert ical, sabe·sc
que os momentos nctorcs variariam de uma scção da viga para outrL
Tomando-se um corte arbitrário como e-c na Fig. 7.18(a~ podo-ae achar q
c r na maneirã usual Ao longo das abas bonzontais do perfil essu quanúdad01
variam linearmente a partir da a resta livre, tal como ocorre cm uro lado do flanF
de umu viga l . A va.riaçlo de q c t é parabólica ao lonao da alma. A variação
dessas quantidades está mostrada na Fig, 7.18(b~ onde elas estio traçadas ao longo
da linha de oentro da seção do perm.
A tensão de cwlhamento mêdía <A multiplicada pe.la ãrea do Oange dá
uma rorça F 1 = (r.Jl)bt, e a soma das tensões de cisalhamen!O vertical ao lon&<>
d a área da alma é a rorça cortante
7.7
v-
•~<~•
f_, ,
ttdy.
,
tdl
Essu forças cottantoa q ue aaem no plano da seçlo transverul alo mostradas
na FIJ. 7.18(c). o Indicam que uma rorça V o um ooJ\iuaado F 1 h alo dcocnvolvldoa
na seçlo atravo!a do perfil Fialcamonto oxíste uma tondancia para torcer o perlil
· em relaçlo a algum eixo lon aitudinal. Para evi tar o. torção, mantendo assim 11
aplicabilidade da dll!ribuiçlo da tenalo do nexi o adanitida inicialmente, .. rorçu
cxlel'llu devem 10< aplicadu de maneira a oompenaarem o conjugado interno
F h. Por exemplo, oon.sidoro o acpento de uma vip om balanço do poso desprc·
dvel, mostrado na FiJ. 7. 18(d~ no qual uma força vertical P 6 aplicada paralela·
mente A alma, a uma d i• t4ncla • da linha do centro da alma. Para manter !>lsa
fo rça aplícada em oquillbrio, do~ oe deaonvolvor uma (orça iaual o contrária V
na alma. Da moama forma, para olinlinu a torçlo do perfi~ o coQjupdo P• dove
ill"alu a F, h. Na mesma seçlo do perfil, o momento netor PL 6 ro&istido pet..
tensllos de ncxlo usuais (nlo mostradas na figura).
~ possível obter, agora, uma exproaslo para a distAncia e, localizando o plano
no q ual a (orça P deve - apücada para eliminar a torção no perfil. Assim,
lembrando que F 1 h = Pe o P- V
F,h
e- P
=
(l/2)r,bth bch VQ bth Vbl(h/2) b'h't
8
P
- 2P l f
2P
/t
= 4f'
(1.JO'
1
O bserve que a distância • independo da magJ1ltude da força aplicada P assim
como de sua tocallzaçlo 110 toogo da viga. A distAncia • é uma propriedade da
' seçio e é medida para fora do oenuo da alma at6 a (orça aplícad!IUma inv01tiga.çlo semelhante pode aer (cita pa.ra localizar o plano no qual
devem ser aplicadu a.s forças horizontaia, para eliminar a t.orçlo no perfil. Entro·.
tanto, para o perfil considerado podo-se ver, cm virtude d a simet ria, ~ue esse plano
coincide com o plano neutrO do cuo an terior. A intersoc;ão dessea dois planos
mutuamente perpendiculares com o plano da ocçio t ransversal localiza um pont.o
chamado de c<!nt"' de cúalhomrnto. Elo 6 de•ignado pela letra O, na Fi& 7.18(c).
O centro de cisaihamento para q ualquer aeção está sobro uma línha longitudinal
paralela ao eixo da viga. Qualq uct força aplicada no centro de cisalhamento nl o
causa to rção d a viga. Uma ln vestlgaçlo detalbada desse problema mostra que,
quando um roembro de q ua!9ue< j\cea seccional é torcido, isto se dá em relação
2 31
230
ao centro de cisalhamcnto, q ue permanece ('ixo. Por essa razão, o ce.nt;ro de cisa.lba- .
mente é chamado por ve7.es de ctntro {ie rorçdo.
··
Para ueos seccionais com um eixo de simetria. o centro de cisalhamento ~
sempre localizado no eixo de simetria. Para aq ueles q ue tbn dois ciJlos de stmctrla,
o centro de cisalhnrnento coi ncide com o centróide da Arca d a seçâo tr ansversal.
Esse é o caso dA vip I con~ iderada na seçllo anterior.
A posiçAo c.xata do centro d e cisalhame,\tO para seções transversais assim~
tricas de material cspcS$0 é díflcil de se obter e é conhecida apenas cm alguns casoS:
Se:: o material t delaado. eo1no se admitiu I'Ul d iscussão precedente. procedimentos
relativamente simples podem sempre ser imaginados para localizar o centro de
cisalhamento da seçlo transversal. O método usual consiste na determ inação d as
forças cortantes. como F, e V acima. em uma· seçlo, achando-se então a loeali.
zaçio da rorçu externa necessária parn manter essas rorças em cquilibr io.
·
EXEMPLO 7.7
Achar a localfuçlo erwo•imad• do centro de clsalhamento êc uma viga com a scçl.o
tranJvenal d o perfil U moatrado na P ia. 7. 19.
t-!
1j..-Vo
r iA
.
u•
h -llO '"'"
46.9 nun-
'o
I
~
SOLUÇÃO
Eua seQI:o l em um eixo horltontal de simetri;a.. e o cenuo de. cisalhamcnto estA sobre
ele: m1a saber C:l\1 que ponto. A ron;a aplicada P causa t ensõcs de OcAâO c de c:i$aJhamento
JiJ"IIíc:alivas apcnos nos na na~. c a eontribuiçao da alma à rcsisaCnàa a força aplicada P
6 desprczA.vrl.
Conside-re V 1 c:on'o a força eora.a nte resistida peto nanye esque-rdo da viga. e v, a re ..
Jitllda pelo nanac direito, P'a.ra o cquilfbrio. v, + V" - P. D:t me!ma ronna. pa ra a vip
""' IOrçlo cern·se, de I. M A " O. P~ = V31' (ou PJ- IIth). A$Sim. res~ a penas V1 pnrn ser
dccerrninedo nm soluçJ.o do problema. liso pode ser feito obsenando-se q ue o Oange dn
direitA t uma viga reaangula.- ordinA.ria. A tensão de cisalhamento (ou o nu.xo de cin1ha·
mento) cm tal via,a ê dittribu1da pnrn.boJicamentc. Fig. 7~2€X"b). e como 3 Arca de \lma p&rllbolo.
6 I&\HI.1 A dois terços dR bnse veze..• a ahthldc màxinu.L v, = 2[3b,(c1 2) .....r Entretanto, çomo
a rorço COt tantc total V • P, peJ:a Eq. 7~5. (q 2) _. • VQ/1 = PQJl. onde Q 6 o momento
dt4tlou c.Jn met.adc superior du nange direico c 1 e o momemo de io~rc:ia da scçlo t.oda. A11hn
tiO nlll'llC. d .. cUrolta
Pr -
• (b)
·----•
b'h 2 t
41
b 2 1r'l
th 3
(h) -12 + 2 ;
1
"'ir+ 2bJ 2
b
tfr1
r, - '2/3b 1(q 2 )..,,.,1t - 2,1311J,lPQ
•
1
1t tJb~
I 12
·- ------3/ Q
31
2 4 -- - - - -I ·
SOL.UÇÃO
Em luaar do H \ltll r n l!q. 7. 10 dlrctnmence, ataumu aimpllftcn.çôes posteriores podem
nr feltAI. O momento do ln6rclo de um perna do rutrodo flna em ret•çAo ao eixo noutro poete ·
Jor achado, com auOclcrHo prec::lstlo, de.• prcundo-se o momento de jn!rcJa dos nana,es om
rclaçfto o aou.a prOprJot cbot (npenns!). Ena cxpre&tlo pa.ra I pode entlo ser subs1itu,da
na Eq. 7.10, e. ap6t aim piiOcaçOet, obtêm-t e uma rõ rmula para r dos perfts U.
·
1
v,
2/tb,
F igure 7.20
, - 1.,... + (A.t/ ),,....,. -
125
- 469
2 ... 2501(3 x Jl5)- • mm.
eXEMPLO 7.8
Achar a posie:lo a proximndta do ccnlro de cisalham ento pan1 aseçii..o da ,. jga I da Fia. 7.20.
Ob&cn-c q ue os nangcs do dcsi&uais
.6 - 11Si mrt1
Fluuro 7. 1 1
-
Oc.~lt for n,a, o eentro de cisalhamentc O ê 46.9 - 1.2-S • 45,65 mm d:J. face vertic.nl
oJI.tcrna do cannl A. rc.Jpos ta n&:J •cria melhorada se fos:se ll$acla_ a Eq. 7.10 nos d.lculos.
r:'luxo <lc duJhamttlto
f
(a)
btfl,
(7.11)
2 + 11/(Jb)
A Eq. 7.1 L mostra que q uando a laraura dos Oanges b é bast&.n.tc grande. r aprOxi.na.-.sc
de seu vâ.lcr mAximo 6{2. Q ua ndo h é bastante grande. e a p:ox:h:n-a-x de iCU v•lor mínimo
igual n u ro De outra (Ofma. e adq uire um valor intermediAria entre esses d ois limiles. Pata
232
011 v~tlorct n urr.éricos dttdos na Fig. 1.19
211{)1 b!tl b l
h/l
(7.12)
onde I 1 6 o ntomcnto de iné;rcia. do Onngc: direito em relação no eixo neutro. Ana lognmente,
podu·IC m o:Jtrnr que f - III .11, ondo I , se aplico ao flnn gc esquerdo. Se u olmn da viga e
dclaudo1 como orla.innJmcntc '' dmllido, I ~ / 1 + J:. c:. " + f - h corno se upcrarla.
Umn nn6 1isc scmcnuuue c.:onduz à conclusão de que o cemro de cjsalhnmento
pnrn umn cau11 oneira. $lmêtrica é localizado na intersecção das linhas de cent ro de
suns nbns, como n ns Fig$. 7.2J(a) c (I>~ porque o fluxo de cisa lhamcnto em cada
scçfto, oo tno , .•c. 6 dirigid o Ao longo da lin ha de: centro d e u ma aba . Esses fluxos
de: c~sa!hamenro corresp? ndem n d uas ro rças idênticas F 1 nas abas. As cornponcn tes
veruccus dessas rorçus Igualam a rorç.n cortante aplicada em Q. Uma situação
nnAJog.~ 6 encont rada em qua lquer cantoneira o u seção T. como nas Fig:s. 7.22(a)
c (b). A posiç.~o do cent ro d . cisa lhamenlo pa ra vários membros é particularmente
i!f~portan tc nus estrul uras de aeronaves; para maiores detalhes o leitor deve proeumr
h vros sob re esse assunto •
•
•E F. Bruhn,. <f'I1Jt1{1oJ:J mt!J Dr~fllt qf f"llgll
V~ lwd., SI,.Clttrdt. Tn...State Of'f!ct Co.. C inc1nnati.
Ohio, 196$. T ambcm. Paul K uhn. Su·n eJ rn Af,.croji ~m_.l Sifr'l Sur.taPru . McOr.n,,.-•·UU Boo'< ComJ)ftny
N<w• IO"'UC. 19J6
•
233
ôc madoira elo S cm do espesou_ra. Doío ~"'<>:
j oiOI pOUI,.U t i O oon jddoca4ot liO fo....
rnot1:r&da. n a ftaura. AI6m do miJa. o P'C~­
je<O mootrodo em (o) pocl. 1« s!rodo 40
9cJo na opUcaçlo. (~ Sclecionar o projoco
quo olli&a • menor 9uant,idade de preao•
(•J
(b)
Centto de citllhamento pare uma t1n1onelre sim êtriu (de a bu lg u•la) 10C411i·
para ltl.\ntm iLir o ci1alhamento, {b) Se a
forço cortantes t.t an1mitjda. por ONil mombro
1o de 300 kat; q~al deve- o eJpa9UJMIIIO dt
preao• pa ra o melhor proja~o? A prt..aaaecn
d.w ..,. (eh.a OQnJ pr•101 9uo at,jam bone
para 20 kllf.oada u.rn.
7..S. U ma vila .n T é \lSada para
w po:tar p ma c.uaa d• lOO t no l!\eic de
u.m vlo Eimpleameate a,poúldo de 1m. A•
dlmea.&Cea da. vf. . alo dad u na naun. cm
uma. vist.a •;ansver~aL S., o dilmcvo d os
pe..car~101 e do 20 mfl). c.om espaçamento
de 120 mm lona;itudtnalm ente. qual a. tendo
de clulhamonto delenvq1vida pelo Carre..
aament,o opllcado? O momonlo de lnerc!Â
da vJaa. om relaç.lo ao eixo 1\0I.ttro 6 d e
aproximada monte 43.0 IC 101 mm •. R,u ,p.:
11,4 k&l'/mm 1•
2.$ tnm-
1-
UOMm
Pk08. >.J
2.50 mm
I onm
UOmMLJ
•b)
ta)
o
(b)
(I)
F ig ura 7.22
Cenno de cisalhamento pat& os soçOea mOS(r•das, tocellx11do em O
PRO BLEMAS
7. 1. Uma barra de latlo de 300 mmJ. 6:
rei ta de liras de 2 mm x 10 mm e é rebitada
com rebites de 3 mm de dia metro. distan\es
20 mm entre cen tros. como moatra a figura.
Se n lcn.s-ão de çisalhamcnto admiu lvel é de
3 kgf/ mm 1• qual o cisalhamcnto vertical a
.ser aplicado a esaa bnrra. utua.ndo como
umu viga cngastadn? Melhoraria o dc,s cnl·
pen ho da bu.rru se ela fosse gjrada de 90,..?
<toe preac. de unilo da tlbua A com u
cibuu B c C na I:cgilo de elevado d aalh•.
mento? (b) Para a m esma reai.lo. qual teria
o eapnçamento lon&iludinal doe proa01 de
unllo da tábUa D com u tâbuu 8 c Cl
NOJ c61cul os. <tesprezat c peso da viaL
(a) 39,5 mm, (b) 236,8 mm.
R•·•P·'
l m
r ROB 1-1
1.2 Urna vip de madeira de 3 m.. tem
2m em balanço e s uporta u ma torça co~>
centrada. de P - .00 k;f na c.xcremidadc,
veja a figu ra. A vlaa é feita de tábt.tas de
SO m m õe espessura prcaa.das com pxea;os
cuja resistência ao cinlh a.mcnto ~de 40 kg(
cada. O momenLO de inêrd a de toda a seçâo
uanS\'ersal ê de aprox.ima..dnmentc ?,4 x l O'
mm". (a) Qual o espaçomc:n\0 longitudina1
234
i)
A
:OO~
m
r
7,4 Uma vip olmpl ..mon ... •a.poloda
t,em l tçlo ttanavoteal qu, conailtp em t.a,m
W dt ~OJ 111n1 M JQ,B k~/11'1 1 do u,m pt~rftl
1 de 4S7,mm x 74,4 tartm u_nldoo "or para·
(usos do 20 mm do dilmet,r o. ctpaçadot
tonaitudin-.lm CI.llto do 150 mm em cada
eamacla, oomo .mostra a lisutL Se eaa vl.aa
t earreaad.a com uma ro:rça concentrada
de SOl no melo do vl o. qual é a \on.., de
cisalhamento na;.. parafusos? .O.sxeur o
peso da YIJL O m omento de ln&cla I de
todo o meq~~ro cm rclaçlo ao ~xp neut.to
6 4,7 x 10• mm•. R,_sp.: 8.22 k:af/mm 1 •
MllttO
2t2JOI'Il
1 110 "''" 1
1 4.S7 mm • 74,4 k4;f1~n
PROB. 7-4
PROB 1-l
7.3. Uma viga oca de seçRo ~uad roda
do 2S cm, deve ser reita de quot.ro peças '
l1J mm
U~mm l
'7~6. Um• vlp O.
re1!1tente àO
cltalhamento•, ~feita de qu"ro cantoneiras
de, .SO mm X 38 mm X 3,2 mm (A ~ 271
mm 2 por c:antonoir-.) o uma a.lma de 1.6 mm.
como most.ra a naura. Ooaprczando a pcli~.
cula. o momento do ln6.rcia c~es .. aoçlo 6
de 4.8 x 10' mm•. O. rebh• A \ lm dil~.
metro de 5 mm o upaçamento lonptudinat
de 30 mm em ctuf:a eamada. Elac:a rebites
d.o bons paR 360 kaf c.ada um. no claalh a·.
mc.nto simples. Se a forÇ* cortante a ser
transmitida por essa aeçlo 6 de l 000 kaí,
qual é o ratar de •eaurança. 10 a.laum. dispo-_
nlvcl nos rcbites'l Noa o41cuiOJ. n1lo consi·
derar rcduçlo nu áreu para. os furos di
rebites.
7.7. Admhl r quo no problema acima.
100 mm de pellcuta J?OIII aer ineJulda no
topo e no f'Und~ no momcn1o de inércia
da oeçio. Entlo. admitindo um espaçamento etc 30 mm para 01 rebites A. SO mm'
::Oo mmuO m•
::J:JOmtn
PROB. 1·S
- - ~o-!
.
• vtlo.
para cada. camada de rcbilOI B. calcular u
tens6:& de cisaJbamcato n01 rebites devido
Q
uma rorça. co rtante v- 3 ocxi kgf.
.
• No projeto de avilo em atsum.u çhapel llo pcriTliddas almus de vip~ pa.ra. cnru aa.mc:nt.o. rcsu-..
tando nas uslm chamadu •fgas ti~ campo .., uMli~IMilo. PIH1l ditcrc:nc:ID.t DI vla4U. 10 • otma n ilo cnrup.
6: use do o tem10 rv.rütemc 1Jt1 cLsallldmitltCO
235
pe!lcul:. de 1.2 mm
150
,.,.j
ISmm
SOmm •
-
t.nl16 1de
A~
so
JOOI
R
; . I'\:!
-
PROBS. ?.6, 1.1
1.8. Uma viga .1:. carrea ada de ronna.
que o diagrama de momcn~o va rie como
mostra a Ogura. (n) Acbe.r a nHixhna força
cQr t.a nte longitudfnaJ nos paurusos de
10 mm de d iametro, espaçado" de 300 mm.
(b) Achar a máxima rensAo de císalha·
mento na junta colada.'
700' kerm
~50 mm
150m
SOmm
(bl
~
1100mml
PwatuiQJ çom
IOmm<kdl•m·
lunt• cohLd•
7.9. Uma viga J de madei-r a é feita com
um nange infc.tior e~t rcit.o devido tts limi·
tações de espaço, como mostra a fi gura.
O flangc i.nfcóor ê unido à al~a por meio
de. preJJO$ espaçados longitudinalmente de
40 mm, enquanto que. as tábuas verticais
são colndaS no Oange i_n(erior. D eterminar
il tensão nas juntas çoladas e a força supOr·
tada pelos pregos na ju nta, se a viga i
submetida a uma (orça cortante vertical de
3 000 kgt Q ·momento de · inércia · pnra a
seção toda., cm relaçao ao eixo neutro é de
11 X 1011 mm". Rt>.sp.: 0,0348 kg.fjnun 1 ;
227,2 kg(.
236
'
60mm
PROB. 7•10
_ 7.11.. Uma viga vazada.. de nço soldado,
tem as dimen.&~ most.radas na figura. c
deve l.ransmJtlr !Jma força cortan1.e vertica!
V - 160 L Determinar as Cen!Oes de dsalhamento' .nu 'seções (2. b ·e c. Para essa'
seção I = 1,87 )( 10 11 <:m 4 •
7.12. Uma viga ~ (abríca da de tubos
de aço-padeJo de 10 cm, rnn hu~ad os e
SQldad.os a uma chapa de 90 çm x I cm.
como most,ra a figura. O . mome.nto de
inéreia da seçio compo.st.a. em rclaç:Jo ao.
e-i ;1(0 ne~.~;t_:ro ê de 39 800 em•. Se em umo
~rt.a seçlo essa viga transrrait.c: uma força
c<>rt.an te ~ert.ical de J 8 ~ dct.erminar a t~nsão
de, cisalhamcnto no t u.bo e na chapa·alma~
determinar n posiçilo do mb jma tensilo de
cis a l h~ men~o causada por um~ força de
cis aJhamcnt.o vert_icaJ V. Es9uemat.iz.nr 11
mnneira pela ~ n al n t.ensão de daalhamcnto
varin ao longo da seçilo. (b) Se b - 15 mm,
i1 • 150 mm, e 't,,,,·"' ê limitnc!a. a O. i kgf/ rnm 2 •
qual 6 n máxima força cortante vertical V
que essa seçito po de suportar? Resp.: (a)
11/2; (b) 375 kg(.
7.13. Mostrar que u ma fórmu la, anà loga a E~. 1.1. para vJgas chei as de scção
~ransvcrsal circular de l\ren A, é r,.,,~ ~
- 4V/3A.
. 7.14. Mos~rnr q ue r_.,.= 2 V/A é uma
fórm ula, análoga à t;q, 1.1, para tu bos
drculnres de parede fina. nt uando OQmo
vigas com Area seccionn! A . ·
'
7.15. Umn . viga de fecro fu ndJdo tetn
scçllo ctn T , como m ost.ra a fig-u ra ( I =
- S2 200c:m"). S: CS$0. viga trans mite umn
força corlantc verticaJ de 2.5 t. a<:hnr as
~ensões ck cisalh amcnto nos niveis lndiU c:m,
I
1
l
:L
•
s
6- -::-
PROB. i- I S
LSl
I • ·I
,,17. U ma vign 6 feita de q\)ntro peça$
de pinho Doua.la.s de S cm x t Oem, coladas
a uma alma de, cont.rap1acnd9 de pinho
PR09. 7-12
15mm
cados. Apl'esem.a r os resuJt-ados em forma
llJlâloga à mostrada na Fis . 7.14{c). Resp.:
2
-t,....r .. 367.~ kgf/em • .
7.16. Uma viga t.em seçdo t.ransvcrsal
rta forma do t.ritlnguJos isósceles de base b
igual à. met,ade da allurB h. (a) Usando o
cálculo e n onálisc de tensões ,oonvencionaJ,
PROO, 7-16
60mm
Pu.rot C'Oitt dlam, SO Mm
PRO&. 7-8
=t=l.lam
7Sm.m•
'
íTl
=f=t.2c:m
PilO li.
lt••P·' ~~~ I, a ~14 k~r>n.
lm
OI#Jromu de morJM:nlO
Eixo neutro
7. 10. Uma viga de rerro fund ido têm
as dimensôes transversais mostradas: · na'
lígur~. Se ~ t.~nsõcs admissi ve{s do de ·
5 .kgrjmm 1 em t.raçlo. 2!,8 kgf/ mm:z em
compresslo, c . S,8 kgf/rnm 2 no cisalhamento, qual 6 ft mt\xima ten-são u dmiSJIVel
no císalhamcnto e o m6.ximo momento
netor admiqívÕI para .essa vign? Considerttr apenu o ca.rregament.o vertical da'·
viga c limitar os c:6.1c:ulos nos oriOcios d:
!!Ç@O d•P,
2fi00karm
{a)
~
-ft.1 ent
~
2~ mm
- - -
1100m~ (1\p~ana..• p.u~~ o r>Tob. 7- 7)
u.rn ntvcl de .25 cm aci..ma d~ ei:Jo neotro.
R.sp.: l,l kgr/mm 1 • 0,46 kgf/mm •.
SOmm
I
I s <m
~
~
~
..::
I
D<Hlglas de 2.5 cm x 4S cm, como mostra
a rigura. Oc t.c~:mi nar a mâxinta força cor·.
tantc admissivel e o tnâximo momento
Oetor admissivel que essa. seçdo podo coo·
duzir, &.c n tensiiO de nextlo admisSÍ\•el é de'
100 kgf/cm 2 : il tensã.o do cisalhamento
admiss ivel na madeira é de 5,6 kgfjcm 1, e
n~ juntas colodns é de 2,8 kgf/cm 2 •
! :Scmx IO<m
~ • .scm x 4S cm
PROS. 7·l7
7. t 8. U ma barra retnngular de 40
mm )( 50 mm, é- unid:J a oma seção U pÔ;
meio de paraf4..1sos usinados de 1O mm,
espaçados de 150 mm entre centros como
mos1ra a seção na llgurn. Para a seçlo toda,
I = 2.,511 x 106 mm". em relaç-Jo ao eb:o
neutro horizontal. Se a scção transmHe uma
força cortante vertical ele 1.5 L, (a) deter-.
minar o tens-ã o de <:isalhamento nos para-
237
ru.sot; (b) determinar • tendo ele eisalha·
monto na jgnta horiz.ontil. da alma eorn OJ
nan,..: (cj achar a mh:lma t•nJio de d ...
lhamonto. Ro1p.: (b) 1,3 l<aJ'/mm'.
lO mm
7.21. Uma viga /, tem as dtmcnaOca
moatradu na lla~ra. llm lcrviço, • ..., ......
pode auponar força& cortantes nu d~
y ou z. 1&1,0 ~ nlo limuhanc.amcnto nu ctuaa
ditc çOca. Com a prcmlau. do compor1""
(A,B,C.D, o E). mootradu na Oauu. o nco
ll(lUomU Indicar codu .. rorçu q ue atuam
noo aepenloL DNpreút U lllll&el de
A (ltea)
cio.alhamonto vcnJcal DOO nanaco.
mento olUtioo Une.ar. comparar • capac,i.' ·
dado- "- c:inJhamcoto 4a vi.sa nu du.a..
dircçltca. Rup.: Y,.- 0.867 V~ ,
tO mm
PROB. 1·11
7.19. Uma vip 14 WF 87 •uporta uma
carp. uniformemente di.atribuida de 6 t/m.
incluindo seu pr6prio peso, como moura
a fiaura Usando " Eq. 7.6, datc.rnúnar u
tops&• de dl&lhamonh> quo atuam no.
c1emcntot em A c 8. Mo.trar o 1cotido du
quantidades calculadu em elementos lnO·
nite1imaJa. So tambbn atuam tcntbc:t do
fle.xlo nessa: olemcnro.,. dctermint-lu. e
fndlcA-Ias n01 olementoa.
·
PROl. 7-U
8
J'R08. 7-Jl
7.22. Uma vitL com a aeçlo traJ\too
vcrsnl monr-ada na riaura. lranamitc uma
força eor1an1e verdc:.al V - 3 t. aplicada no
centro de dJalbameruo. Oetetmlnar u
Ccns:Oea: de cbalhamonto nu ~~- A, 8~
e C. J om relaçlo o.o eixo neutro 4 12.21 "4
1( 106 mm•. A c:tpcuura do material 6 de
10 mm cm Ioda a extendo. R.'lp.: 0.17
kartmm'; 1,8 kai'Jmm'; 2,$ kJI(/mm'.
Pao•. 7-l6
PROL l·ll
7.24. Uma vlp 8 WF 31 t rol'orçada
por duas placu do lS cm M 1 cm, como
mottra • naura. o Olpaçamonto Jon&itu-.
dil\ll doo roblteo de I cm 6 de 5 cm, de
çontro a centro. A vlp tran• mhc uma torça
oonanco ve rtical Y - 10 t. Dttermlnu u
te-ntaea de claalhamenco no Oanp 1 na ~aca
auporlor, pan u 0090eo ""1' o ~ (Obln•,
vaçao. P-.ra a dec,wmi.naç&o d u t_enea. de
clnlhamonro, incJulr a aoçlo toda. •• m
reduçlO de
para eont:idcrar 01 turot:
doo rcbltoo).
'rc:a
PROL 1·U
7.20. Uma vi.ga T ~ c.arr~gada por uma.
força P • 600 k~ como mostra • fiaura.
DeA:It vip itofar u.tn •eamento de lS cm x
x 12..5 Clll x 5 c.m, t,racejado na tiaurL
Entlo. cm um diagrama de corpo Hvrc dcaJC
segmento. indicar a posiçl~ magnitude e
sentido de todas as forças resultantes que
agem aobtc etc. decorrente du tensões de
ficx.lo e de ciulhamelltO. Oetprn.ar o peso
da viaa.
PROB. l·lO
238
PllOB. 1.12
7.23. Uma viga, com u dimcnJ<5cs
mostradu na n&utn. eatA cm umk rcailo
cm quo oxiste uma força cortonlo ~ertícal
positiva c COMt&ntc de lO L(&) CaJc.ular o
Ouxo de cl•alhamcnto 4• que atua em cada
uma du cinco 1cçOa indlc.adN na fia;un.
(b) Admftlndo um momento Octor po.s.itJvo
de 2100 k&f~ em uma seçlo e um mom.c-rno
maior na 1eç!o adjace.nto arasrada de l$
mm. clcacnhar csqucmu iJom~tricos do
c:ada uamcoto da vip isolado pelos scç6cs
.rutadas de 2S mm e das cinco seo;llol
PROB. l.lA
7.~ a 7.2&. Determinar a pos:içlo do
conuo de eitalhamento du vlau quo cem
as dlmcns&cl tra.navcra.ais moatradu nu
Gauru. Noc Probs. 7.26 c 7.27, admhir que
a iru da seçl.o tra.ntvcnal da placa ecja
despreúvd em compa.raçlo com u 6reu
seccionais A dos Oonaca. Rtlp.: Prob. 1.21,
r • f«/scn «) a de O: Prob. 1.18. 1 - a~r
(a-ICO a COla) c •-[(scn «-«coo&)/
/(«- ICn « COI «)) 2<1.
239
8
Neste eapil.do deve-se ter aten~o aos problemas em que ocorrem simuhanea'~)•il"~·!óÍ~· m:nte diversos e lcnlCntos de urn sistema de forças em u ma se:.ç ão de um membro:
O problema completo será discutido de n~oneiro mais completa nos Caps. 9 c 10.
Neslc capitulo persesue-se um o bjeth·o n1u.is hn'litado. Parn ink:io, silo oon.sideradas
as tensões norma is que ap:n·ccem devida.s O a.çAo sunuJtânea da força oxi a.J e da
ne:c:ão. Isso é seguido por u ma d i~cu.Jslo sobre as te nsões nonnais provocndas
por flcxno nsslm6trica e por u ma rorço ••inl. A pó5, os prol>leonall discutidos silo
aqueles cn1 que ocorrem simuhnneamcnte 1ensões de dsalhamento devidns ao
torque c no ci:~al h:.mento d ireto. Fin..,hnente. no final do capítulo, considern-se
um tópico cspc:cinl, n .;."ber, a mol3 helic..·cudnl.
TENSÕE S COMPOSTAS
8.1
INTRODUÇÃO
Todas as rõrmutas da anã1ise clt\s.~~tica de tcntees. da teorla téc;nica de corpos
derormâveis, tc:$Uitantes de um elemento simples de um sistema de rorças atuantes
cm uma seção de um membro ro ram estabelecidns nos capítulos precedentes. Para
materiais Jineormcnle elftsticos, essas são rcsmnidns na tabela n seguir onde, pnru
complementação, também sllo inC'luidns a_.!t exprcs.sOes pl)tl\ n.s derormações t:llfl.sticas,
NenhumQ tabela conveniente como cssu podo acr dnda para membros do
comportamento Inelástico. por cousa dn grande variedade e complcxidndc daa
relações constitutivu. Em problemas incJástíc:os. os CISO$ individuais devem ser
a.nalis.ados por meio dos premissas cinem4tic:as W.slca.s. Juntamente wm as relaç6es
tensão-deformaçlo apropriod.. e as equo~ de equillbrio.
Carrep.mento
Scçlo
Axial
Qua_Jqucr
Torcional
Orculnr
Relansular
Tendo olhtJca
p
"-Tp
'--J
A
T
r_,, • abo5
·--
Fled.o
F'echa<lll
Parcdt fin a
Tubular
Qualquer
Cisnlhamcnto
de viga$
(devtm ser usados os eh os principaiJ)
My
BarraJ curva.s
thnêtricas
At{A - y)
VQ
Qualquer
T
l Ar
Deformaçlo elbtlca
d"
p
dX- AE
/1
". A superposiçn:o de diversas rorças aplicad:as separada mente não se nplica s~ por
' exemplo, a& dcrlcxôes mudarem signití.ca1ivamcn1e os momentos nctores calculados
com base nos membros indefornu\vcis. Nu F ia. S. l (b).. devido d derlexlo v. desenvolve-se um 11\0nlento fJelO r Pu. Em muitos problemas entl'ctanto.. o ereito da
deformoçüo sobre as tensôes ê pequeno c pode $cr desprez.ado. Isso sertL admitfdo
neste capitulo.
r
Figura a.1 A dettexJo de ...;ga$ axiat·
mlll"fte comp1lrnidH Induz. um aumento
no:s momento• IIOioro•
dcp
,.,
I'
--J(}
T
dx
dcp
d.< - Pbc'G
dcp
T
tlx = 4A~G
r
r
.,;
p
h·
\
Dell::do 11
T
f7
(Veja o C.p. III
,_
·--
8.2 SUPERPOSIÇÁO E SUAS LI MITAÇ0ES
A ani\Jise bA"fca de tensões desenvolvida neste tex1o até o presente momenlo
• dtá complctnmcntc calcada nas pequenas dcformnções dos membros. Situações
como as que OCOrre.'tl em barras ncxhe1s. F'ig. 8 I, são consideradas no Cap. J4.
(Veja o Cap. ll)
l
! h)
~03 membros em que as dcformaç6cs totais são pequenas, no Jencido acima
d!SCUlldO, l pcnniulvel a SU!l"rposiçio d O$ efeitOS das rorças a plicadas separada.
mente. Ao se con1id~r isso~~ mais rundamental superpor as deformações do que
as tensões, porque ISSO pernu1e o tratamento dos casos elàstico e ine14stico.
Para um membro submetido simu.haucamente a uma força a.xial p e a um
mom~nto Oetor ,w, n superposição de dcrormaçlo estã mostrada esquematicamente
na Frg. 8.2. ~ara clareza, as deformações fora m bo.sta nte exageradas. Devido 0
~mo força ax!al P, u_ma ~o plana pe.rpendicu lur ao eixo da viga movc-$e para·
etamente- u ~~ pr6p:-a., FJ~ 8.2(a). Dev1do a um momento •"f, aplica do em corno
de um d~ e txos. pnnccpa1s, uma seçõo plano girn, Fíg. 8.2(b~ A superposiç![o de
deformaçoes de'••do a P c A1. move uma scçüo plana axi~tlmeme e a girH nu rorrna
•
240
241
I
mostrada na Fis. 8.2(c). Observe que, se • força axial P caus~ u~~ ~~~:·;a~
maior do que aquela provocada por M, as deformações com 1na
c M não mudaria de sinal no interior do membro.
F1
.
...
-'1 ~
\
+
~
\
L~
UAILlrio
Compr.
unltitio
,j~+t,
•••
vn.ltúio
,,L
Com
(c) DofonMçGot ~Mbtn..S.. J
ckvidMaP•Iti
(b) Oefonn~,.e~» 41 tinia
( o) [)efof11Uo9io IJd&l. devida 11
4evtdUaM
Figura 1.2
1\
'
o etormaç6es co.mblnedu
·• de uma seção plana tal como
Em adição ao momento que c.ausa rola..,..o
d.
,
nn· Cl'pal o eixo
·
l que age em tomo o ctxo P
,
mostra a Fl~ 8.2. oulTO motnen ~ do Esse se undo momento gira o plano em
vertical no. d11gra':'a, P0~ ;'" ap~t;:' axial combfnada com as deformações provo-.
torno do eixO verucat A : orml.a
11'1 torno dos eixos principais é o caso mais
cadas pela rot.a ção da seç.o Pana e
. I
n t' do com, carregamento
&XI& •
geral c&n um mem bro e 1
cinemãUcas básicas coni as relações de
A complomentaç~o da~.~:'~"":'lulllbrlo, eorvo paro aoluoionar problomu
tensll~derormaçlo e us con 1 _
~ so de seções sim~uicas. entre tanto, apena.s;
elAsticOs e inel~sticos. Exoct~ P:'ra o ~o aqui considerados. Os casos mai5 gerais
os problemas bncar~cnte ~ asucos $e
. cetlveis ao mesmo tipo de anális.e. são
de comportamento meh\!uco, emdbora susões de cisalhamento combinado ficarão
bnstante fastidiosos. A dascussão as t.ens
limitadas aos casos l~earmente e:~st_tcos. existe uma relação Hnear entre tcnslo
Nos problemas hncarme~te e asu~ste dos roblema.s inclásticos, não apenas
e deformação. Dessa form:-- difere~~~ podem ~r superpostas. Isso significa C\lle,
as deformações rnas também:: te h .dos no mesmo elemento e para o mesmo
se dois conjuntos de tensões . o con e:,n., onentes do tensor das tensões é pos-t
sistema de coordenadas. a adição das_ . lP decorre do fato de as componentes
.
as componentes
vetor1a1s. sso
- .
. d
swe1' ta1 com0 n
d
. Oes 'dênticas na tnatrt% serem assOCia as
do tensor de tensões localiza as cm poslç
•
lo sentido atuarem na mesma
com os mesrnos elementos de ár.' ::; "doexc':~Ju~t~ de tensõ~ indicadas por uma
dircção Por exemplo, a superposl.,...o
.
,
e duas .linhas, para o problema bidimensional. rc~.u.hana'
..
Fórmulas como •• reauml<lu na soçlo precedonto s«o uaadas para se achar
as componentes das duaa primeiras malrlzos. Com base na discussllo acima, ê
importante observar que a &uperposiçtjo dt umsõts é apl_icduel apenas aos probltmas
tldstfcos em que a.s ~eformaçô.3 são pequtnas.
A seguir silo apresentados tr& problemas ilustrativos do soluções para disuibuíçlo do !enaê!eo om mombrce 1lm6triocs aubmotidoo a caraaa axiais e a 11)0·;
mentol netore5. A soluçlo de um problema elãstlco-p!Astieo ê dada como terceiro·
oxomplo dcsoo arupo,
EXEMPLO 8.1
Uma barra de 'Omm K 7'mm e 1.500mm de coanprimcnto tem petO detpreztvcl,
m6ximu tontôet de compresslo
0 de traçlo. atuando nonnalme.ntc \ IOÇlo ttaJuvcnal da vi&L Admitir rcapoJta elUtica
para o materiaL
0 est6 carropda como mo•tra a Fia. 8.3(a). Oetermlna.r u
SOLUÇÃO
Para enratizar O ml:todo da IUpctpotJÇIO. 0110 problcmll 6 roaoJvido pola sua divislo
em duas parte&. Na Fig. 8.3{b}, a barra b mo.strcul.a &llpottando apenu a (orÇa axial, e na
Fia. 8..3(c) a mesm.& barra e mo1t:rada aob a açlo de apenas uma (orça transversal. Para tl
(orça axial, a te.nslo normal atrav61 da. barra 6
p
7
t' )
~· +
u1
("':
..
1 1."
t;,) ~ ~(o', ++
ri'
1
(t'
G,, )
t")
' ·"
yx
(<" +
·~,.)).
(<f, + 11,1
3000
" • A • S0(7S) • + 0.8 kaf/mm 1
(traç4o).
A Fia. 8.3(d) lncUca oue reauha.do. As toni&CI normail dcvidu i (orça uanrvenal do-,
pendem da m&a:nitude do m.omonto Rotor, e o rnbimo momento flotor ocorro no pOnto
áoapllcaQio da rorça. Como a ra&Çio • u quórda • da lOOx.ar. M ... • 300(J7S) • 112500
k.srmm. P~a fórmula da nexlo, u tc~n.O. mblmas nu nbru extrom" cau~tdaa por oRe
momento lio
Mo
6M
"•-m±lA kaf/mm1 •
I
bh
Essu tensôe.s atuam normalmente i seçio da via:a c decrescem Hnearmcntc no senLido
do cjxo noutro. como na Fia. 8.3(e). Entl~ para se obter • tendo compo:na para qunlquer
elemento particular, u tensõel de Oexlo devem ser adjçjon!ldas algebricamente partl a tensão
do troçlo direta. Assi~ como pode ter visto na Fia. 8.3(1). no pooto A a tcDslo normal rcsul-.
tante e 1,6 kgJ/mm 1 c:m comprenlo o om C. 3,2 kaUmm 1 em tração.
A Fi.g. 8.3(&) mostra vistas latcra.il dos vctorcs de tendo comumentc desenhado&. Em·
bora nesse problema a rorça axial dada •eja maior do que 8 rorça tran.avena~ & nexão causá
m&iorcs tcnaOca. Entretanto. o lejtor deve ter o cuidado de nio considerar membros delandos,
PlrticuJarmenlc membros an compreul~ com o mesmo enfoquc (veja & Fig. 8.L(b)).
Observe que no resultado rmal a Jinha de tcnslo tero, que no çaso da nexilo ~ locaJitada
no ccntr6ide da scçlo. te move para dmL Observe Lam~m que nio [oram consideradas u
tmslics locais çausadu pela rorça concenuada. que atuam normalmente à superfície superior
di'! viga.. Geralmente cuu te.nWcs slo Lral4da& independentemente. como tcnsõc.s de suporte
local.
243
242
Ce.bos de aço de alta resu:t!ncia o u barras puàa ndo pelo interioc de uma ' 'isa. pcesos nfli
extremidades. pr!-cotnprimenl l\5 vtgos de concre10. Tais lotças. nplicadas artificialmente,
evitam o doscnvol\•imem o de tcnll5es de Unçio. &su tCcnica Lambl;nl C usada nu cstruturu
de cor rOl de corrida.
EXEMP LO 8 2
Uma barra dâ5rica. de SO nlm )( 50 mm Oct' crn farrn.., de U, como ne fig. 8.4{a). e sofre
1 ação de duas rorçns opos:1ns P de 1 t cad:.1.. Dclc:fiYHnar a màxüno rorÇ'a normal na s.cç«o A.·B.
(o)
l'
tl1S mm
(bl
0.11
(c)
_r,-1__
'
11, 1 kgf/mm 1 t..:::...fi"'7.ttr/mn•
I h)
( •)
Figura L•
+
+ 2,4 ksf/mm
• o.s ksrtmm'
((I
~
1
-1,6 kaJJmm
.,
+ ~
~
~
p
A seçlo a ter investigada~ uma regi ii o cur,•a 4• born. mas i$sO nllo ruz. diferença csnncial
no procedimento. l'rimciro. é 10mado um segme•no da barra con10 corpo Jivre, conrorrne
mostra • Fia. 8.4{b). Na seç.ã o A-8 do dclermlnodo• n forço axial a pllcnda no ccntróicfe dn
scçâo c o momento necessário p11rn mamer o cq uillbrio. EtHâ~ co"'da. e lemento do si,tcnw de
rorçn é con.a:id.,rado sepnradamerue. A lensilo provocad:t pelas rorçus axiais é
2
(e)
(dt
- EI
~
f'
~~-
• ),l lctf/mm 1
• 1.-4 k&fJmm
• 0.8 kar/mm'
ft9ura 8 . 3
1 tea d
Uma
Eq 8 1 a um demento em ~ d6
aplr::: I~ ~·) ·(~~4 ~ ~) (-. ~6 ~ ~)kgf/mm'.
+
\o
o o
'"'
SOLUÇÃO
=
o
o o
o
o o
A distri buíç.Ao de ccnalo mostrada na Fis. 8.3(1) e _li> mudaria te, pOT" c•cm p::;;;o lu~
(OrÇU axia.is d e U'tt.ÇIO d e ) t. aplicadi!S nas C'-lrcmtdadeJ. atuusan for~ ~ ~U
b
membro. A máxima tenJio de 1raç:lo sena , ÇUu
~de mes•na ma.gmtudc .o re, o
• d jâvel em u.rna vip Seita de material fraco em
1.6 ka.f/mm z de 3,2 kcfjmm • o que ~~~ ~· . utilizada em construções prb-t cnsion:adas•.
p
a =-
..
l 000
'
- -50;50)
- - 0 .4 ,_
...ttf/ mm
- )
(comp:ress.uo •
c cstã mollrnd~t esquematie;unc:tnc n:t primetm pftTlc da Fig:. 8.4{c}. AI tentões normais pro-vocadas pelo momento Oclor p odem str obtidnJ pelo uso da Eq. 6. 19. Entretanto. párn cssn
barr.a.. Octida a um raio de 75 m m, a 1oh•~lio jfl rol dada no Exc111pfo 6. 12 A distribulçllo
de tcnsno corrc.spondcnco n c:;sc caso euA: mostrudlL no segundo esquc::mn du Pig. S.4(c). Pela
superpo&iç4o dos resul tados de;so.s d uas soluções ê obhda a d~stribuiçGo de tcn.sB.o compos1a~
Isso estll mo.s1rado no terccrro C!Querua da Fis. 8.4(1.!). A m,6.xima lens!lo ocorre cm A c ~
uma lenslo de compt"esslio de J1.7 lcsf/ mm 1• Um clcmen1o isolado para o ponto A. cst6
mosuado na Fig. 8.4{d}. As CCI'It5es de cis.alhnme:nlo estão a usente.s nu JC:çio A - B. j6 que
nenhunta força COrt~mt.e ~ ncce$$1\ria para mamer o eqnilfbrio do te•menlo moslra.do na
Fig. 3..4(b}. A reloliva insigniJiclincia da 1ensão provoçada pela forço a xial ê: marcante.
Problemas semelhantes no a n terior ocorrem comumenlc no p_rojeto de m â ..
quinas. Ga ncho•. grampos C. quadros, etc., ilustr am n variedade de situações na•
q uais os- m~todos anterio res de análise: devcn set aplicnda$.
d
EXEMPLO 83
uoçlo, com carreprnenlo Ln.nsveru.J. ~• • 1a e
Con.sidcrc uma vlga r elont:tdat elástico-pl ..stica net.ida em torno do eixo ho~noncal
c simultancrunente IILbmctida a u mi'l forçn <.1.tioJ de lrnção, Dctcrm in ur l:t.~ magnitudes das
244
245
rorç.as axiaia c dos momen tos aa$0Ciados com as c:liitribu.içOa de cendo motuadu nu Flg1.
8.5(a~ (b) c (e~
f'o•em c:tacfot. como • .Uperpotlçi.o n l o 8C a pl."c-, aeda ~Járlo um pcoçcuo b uC&JUO
enfadonho pua clotenninar a dlllrlbulçlo de tendo.
Pan. ao U.noOu dr.d.. au F lp. 8.~(b) o (c) aplica·,. •i mplcamcnto u Eq1. 6.10 c 6.11,
dOKfiYOJvfdu para a flexlo inollltica d1 vip•~ ex:ce1.0 quo na Eq. 6.1~ a aoma du tenaõcl
acnnail elevo
JauaJ i fo:-ça a ldaJ P. OboctYan do que, na lOna elutica, r. lendo pode ••r
expresa alaebric:&IIMDle por fi • (fl_.l))-(a.,.,.yi(J•)J c q ue na. zon.a pl.Uti.cn a - a•n•
•u
t on1~se
P~ PI
Á
....
....
Af-a - -
(bl
(o)
I
b
I
..,.!w,_2bdy+
( 8) f_.,,
I
....!r.r C • ) I_.,,
i
f
cr~A -
3
- '14
a yd..C• -
bh
o._}Jd)' - • - -
h
•1113
1- 2
"
-~ 3
..
I c)
ybdy -
•
•.,.ybdy
..."'.,
3
- 16 "'-bh •.
I
:O-l-1 ::·
~- ~lt!
p-;f
Obtorve que • força axial achada é exatamente taual • força que aao na. área plástJea
d• p.çlo. O momento• ..\1~ ê meJ« do qQe
tt,,.bh 3/6 o menor do que Mn. - M • <t,..bh'/4 (votia a 2q. 6.11~
•
A (orça axial e o momento oorrupondentc ao ç.uo totalmente p16Jtleo moatrado na
F'l1- 8.5(e) e (I) alo do clotc<mlna91o •impiOL Como pode ser vl11o na Fia. 8.5(e), a Iorço axial
6 desenvolvida por <r- atuando na úca ly1b. Devido i aimoLrit~.. c.sau tensões n•o contrl-•
buem pua o momento. As forçu que &_Jtf11 no Iopo e no rundo. nas rupecdvas •reu ab -
I·
M,
u_-
lyl
•
seÇ~o
.....
(()
(di
Flgur• S. I
Tens6es ut ~ • de flexlo comb•~ c1as : (I) d latnbuiçlo O. te nd o etistica; (b) t (c)
di1 trib 1.1ição c:t tendo elbtlca·l'f6sdca: (e) a (f) d i stnbu ~ 6o de t enelo total mente pl6ttic•
<•l
• [(h/2)-y 1]b, Fia. 1.5(d). fOI'mam om conjugado com um braço de momenlo de h-a• (11/ 2) + y 1 . Dessa forma.
•
A fo rça P no e1coamcnto pode ser definida por Pwt = Af'T,, ; pela Eq. 6.8. o momento
no cs~oamcnto t M.,"' • (1/c)a•• . Dividindo a Eq. 8.2 por a•., o fazendo uso d as relaç&cs
para P... e M u.. obt~m ·se
P,
-
p _.
M
•
1
+- I.
A-ff'•r
(8.3)
lsso estabcle<:c uma rcJaçlo c.ru re P 1 eM 1 tal que a máxima. tenslo Jsual:~ a a.~ · A Fig. 8.6
apresenta um uaçado dc-.ua cquaç lo correspondcl'lle a o easo de escoamento jmincnte. Os
t raçados de tab rc:laç6cs do chan\&d Oi de cu-rt'(l;i dr inttwrarM.
A distribuição de tens.ão mot1ra.da nu Figs. 8. .5(b) c (c:) oçorre a pós a ocorr!ncla do
escoamento no quarto inferior da viga CoR\ essa dist ribuição de tensc!!es podc-..se determinar
dirctament.e as magnitudes de P e •1 das condições de e q_uilibrio. Se, por outro Jado1 P e /tlf
P 1 - 2)' 1 1w.,.
ou
M 1 - aba..(h- a) - cr...b
SOLUÇÃO
A distribui~o de tensões mostrada na Fia. 8.S(a) ccrrespondc ao cuo elástico limite,
onde n máxima tend o e.sti no ponto de escoamento iminente. Para esse c.uo pode SCt" usado
o m~todo de superpotição de (enaõcs.. A.11in1,
P1
M,c
(8.2!
tr-..-- "··-A+ -~- ·
24 5
i
3M -
y1 -
P~l(lbcr_)
(~- yr)- M,. - o-,,.bY. -
~
- - 2--•k- .
Entlo, dtvidindo por M, • JM.,Jl- <T• .)h 3f4 e simpllrlCando, obtém-se
3M2
(P::)' -··
-3.111- +p-
(8.4)
Ena 6 a equaoao aeral para a curva de: lnternçlo de P e M, nccesaâria par.1 se chesar
• completa condiçlo pláatica 11t11 Llnl membro retanaular (vc:lja a Fig. 8.6). Diferentemente
ela cquaçio para o cu o elistlco, r. rclaçlo é nl o-Unear.
8.3
FLEXÃO OBLÍQ UA
No Cap. 6, sobn: Oexlo de vigas, cnfalizou. se que a fórmula de Oex.!lo deduzida ! aplic!vel a penas se o momento nelor age cm tomo de um ou outro eixo
principal da seção tra.nsveru l. Como o p lano do momcn Lo aplicado M pode ser
inclinado em relaç.!lo aos eixos principais, é necessário considerar um caso mais
247
geral. Tal caso eslll. mos11ado na Fig. 8. 7(a) e é chamado de fluõo obliqua.• O
pla.no de ncxlo de M 6 localizado por um ângulo cr que 6 positivo quando medido·
na dircçAo nnti-hor6ria. do eixo y parn o eixo z.
MJ M~tr
Flgurw l .t CutWJ de intero~Ç-10 para P t M
em um mtmbro tltongulat
termo d o seaundo membro, corre.spondcn~e às tensões provocadas pela nexAo
·cnl torno do eixo z, é negativo tal como ,n Eq. 6.3 de onde ela vem. P or outro l.udo.
0 1egundo rerrno, embora aoáloso à Eq. 6.3, é rem ado çomo posimo para o bter-se
a correspond ertcia em Jinal entre:: as tensões normais e o sentido do momento
- pos1tivo que arua em 1or oo do eixo y. Com . base nisso, ao aplicaa.r a .Eq. 8.S, se sinais
· ~ positivos si o associados a todas as quantidades ern conformidade com os eixos
coordenados, os l'e$UitadDS positivos indicam lens!les de trnção; os negativos,
tensões de compressão Na maioria d os problemas, ao pensar cm termos da açlo
nsica sobre o membro, pode-se atrib uir dirct nmencc o sínnl de c::nda termo na Eq. 8.5.
embora a disponibilidncle da convenç~ o de sinais seja desejável.
•
O
I
Pnrn resolvi:r o problema enunciado, o momento apllcndo M 6 decomposto
cm duas componentes que atuam nos planos dos eixos principais. Para o« oegnrivo ·., ••'-'ll'>i?\
mostrado na Fig. 8. 7(a). as compooenles do momento Octor que aacm em tomo
dos eiJ<OS : e y sJo positivas (veja a Fig. 2.2). M cos cr 6 a compone.n lc em tomo
do eixo z, c M sen « 6 o compo nente all torno do y. As Figa. 8.7(b) e (c) moslram
representações alternutivns dessns componentes de momento positivo.
A fórmula de OexKo elástica deduzida previamenlc pode se< apticada a cada
uma das componentes de momento que age em relaçio a um eixo principal, e a
tcnsli.o co mbinAda decorre dn superposiçdo. Um exemplo do superposl~o esrá
nn Fig. 8.8 onde, por simplicidade. estA mostrada uma Jcçlo rctana ular. Reaultadot an61oaoJ e.m aeral mantbn-;SO verdadeiro•• e tem·.• o••
·
M,.y
M rf
(/lf -- - J.,- + 1,., '
(a)
(<)
(b)
f 'J our• 1..7 (I) Momento fltt'IOf em um pleno truO n lo ooirtc do com 01 e i,I(05 o rincloais; {b) 1 (C)
componente. dCt mome11to fle tor nos (.llanos de:~ eixos prlnclpnis
1
(8.')
J
o nde os lndices y y e ::cm Me I referem-se aos eixos principa.i s respectivos da irca
da ICÇâo transversal cm relaçilo ao qual ocorre a flexlo. O bserve que o primeiro
•Em mullos tivros t iiJ nello 6 chlmad:t. nu tmhti(;Q. Entretanto. como o problemt considerado ~
uu&i.l aeraJ do que algo que nlo tenft.t. •imelrlt~. a paJavra ob{ÚJfltl 6 usada ncatc texto. tno corresponde
ao UJO das pala•ru sdtitft, cm akmiQ. e .tD.so<, Dn ruM<\ que tipirtam Mclilfitt{lo
+
·· ~ po.,I"CC dcdurlr • fótmula do Oca.lo pe.ra Ol ei•ot 1 e~ arbitrariamCI'Ite direc:ionados. T.. fór-;
ltt UI&I, cq,ulvlliCniC b Sq, 8.$. f
o· •
•
or~dc I e J" .-Ao ot momcnt01 de in!rda. e t ~ ~o ~rod uto de lnhda. Pa11 elxos principais. t" ~ O. c
1 C(IU~ acima ~•cttc lr. Eq, 1.1 Pata m•kvcs de: talhes~-- por uemplo, O. J Peery, Alnr aj!: Srruti!JM.
MeGra·• HlU Boct Compan ), No-r• Iorque. 19'-0
248
{~l
M•
+-"1,
i <)
249
J
Se. em geral, o momento •plicado M age em um plano que fu um Anaulo
pos:ilivo a com o ei~o y , aa componentes do momento fleto.r do .M,. • M. scn «
e M., - M coa ~. o a Eq. I .S podo - dada por
u~ - - M
(L1,, o+ 1,,....!... sen o)·
(8.6)
oos
Dessa relação, pode·5e achar un13 equação qu:. posiciona o eixo neutro
fazendo-se "• ~O. Isso dâ
y -
- z(ljl,)tga
(8.7)
Um estudo dessa cquaçAo, usando o procedimento da geometria analltJca..
moslra que. para a ncxio obliqua. e menos que- I , - 1,.,. o eixo neutro nlo e
perpendicular ao plano do momento aplicado. O eôxo neutro é.. entl~tantO. uma
lin ha reta. e a seção plana gira em torno dela. Como na nexlo sun6tnca, a maJor
tenslo ocorre no ponto mais remoto do eixo neutro. Observo. entretanto. que na
nexlo oblíqua o eixo neutro nio coincide com os eixos principais e ele nlo se
localiza perpondiculnrmentc 1\0 plano de nexlo.
A análise das vigas inoliisticas sob flexAo obliqua é bastante complicada e
ullrapassa o escopo deste texto. •
EXEMPLO 8.4
Uma viaa de mad.ãn. di: 10 cm x l S cm. mostrada. na F1a. 8.9(a.~ 6 usada pa.ra suporta r
·~ ..,P uoirormcmltl'- diocribqlda elo j(ll) ~ (co~ em ""' vlo olmpieo elo 3 111• A corp
apl!eada • 11• em um plano que ru um lnplo de JO" oom a vcrcl:&l, como mo11ra a fiJ. U (b)
c de novo na FiJ. L9(c).. Calculu a mb ia. tendo do ncxlo no melo do vlot o. p•ra a m011na
aeçlo. loc:.allmr o e.íxo aoutro. De:lprezar o pt-iO da vip.
SOl-UÇÃO
A rnhlma nexlo no pl111o da cup apJlcada ocorre no meio do vlo. e do acordo com
o E•emplo 2.6, 4 la11&1 a p 0 1.'/l "" WLJ&. o nde W é a earp cocai no .. o L Aoolm
M- WLf' - l00(3)/8- 187,l kllfm.
AquJ • - -Jo•. e u compontnLea de momenco q uo apm em torno. de aeus respectivos
oiaos slo
M •• - M cooo- 187,5(./J/l) - 162,4 kg/m
M ., • -M MD• • -187,5(-0.!) - 93,8 k,fm.
Conaidetando a natureza da dlstribuiçl o de tonalo de Ooxlo em como do eixo principal
da seçlo tra.nt\'Cr&al. pode-te conduir q uo a máx.irn.a tonalo de craçlo ocorre em A.. O vaJor
deua teo.tlo aca.uo-.se da aplicaçlo da l!q. 1.5 coo' 7- c1 • -7..S cm. o : • c, - + 5 cm.
As tont6es n01 outros AnaulOI da .aeçlo lt&nsver-lal aio dcterminad01 an&lopmento.
M~c ,
6
J:~------~l~m~-------~~
(e)
- ao.a q t1c• 1
l ~· fJ:-
• 10,5 t 1t/c:M1
(d)
11
8
l•l
'
• s.a ~tJe~~~a
cn
A
8
(a)
F fgur• &.1
•M. s . Awhba.biaa c E P. Popo'«', "'lnsymmetrictl Bendina of R...""danJ-.dar Bc:anu ee,o~ tb:
'E.IIL"Io U mh*, Proc.rtdlllf$.. F'rs:. U. $. N oJioual CmtgrtU c'( ApprrM M~l;d!JICJ, 195 L. P. S19·.84(pubhc:aclo
poo ASME)
16 l40(7,l)
9 380(5)
Pa.ra localizar o eixo neutro podem acr usad01 01 diaaramas de diatribuiçlo de tc:nSOes
oo lon10 dos ladoo. du Fias. l.ll(d) ou (1). Do trilnautos semdhances a/(6-a) • 5,8/ 80,&.
ou u • 0.4 cm. luo localiza o e.h.o neutro na Fia. 8.9{e). Alcctnativamc•lte pode ser uaa.da
a Eq. 8.7 com « • - 30•.
(bl
15 cm
'
M.,c,
+--;;;- • lO(lS)iJU + l'(lO)liU;
•c -
,..
c
--;;-
• +43,3 + 37,5- +80,8 kartcm' (traçlo);
•• - +43,3-37,S - +S.8 kaf/con'
(Lraçio);
- 43,3- 37.S - -8CI,I krfJcm'
(eotnpresslo);
•• - -4),) + 37,S- - 5,8 kaf/cm>
(compre$110~
\I )
-s,a a:cttcu&' D
A •
Quando a nexlo obliqua de uma viga t provocada pelas forças transvernis,
como no exemplo anterior, é oonveniento um procedimento equivalente. As rorças
apticadu são primeiro decompon as nu componentes que agem paralelamente
ao ei.xo principal da área da seç1o tranavcrsal. Entil.o alo calculados os momentos
newres provocados por ca11as componentes cm torno dos eixos respectivos, para
cao na fórmula da flexlo. Para o exemplo acima, tais componentes da carga apli·
cada do mostradas na Fig. 8.9(g). P ara evitar tensões torcionais, as forças trOJlS·
versais •aplicadas devem atuat atravl:s do centro de cisalhamcnto. Para scções
bilateralmente simétricu como. por exemplo. um retànJIUIO. um circulo, uma vlga
I, etc, o cencro de dsalhamen10 coincide com o centrôide da seção transversal
Para outras scçiles transversais. tais como perros U, ca.ntoneiras, seções em Z. etc.,
251
2 50
'I
o centro de cisalh amento estâ em algum out ro lugar {veja a Seç. 7.7). Em iais problemas, a força tra nsveual deve ser aplicada no centro de cisalhamento para evitai
temOes torcionais. ~se mhodo c&lá ilustrado na F'!a. 8.Hl Por outro lado, cm
adiç!o às '""sõc• de nexilo, devem ser investigada.s as tensões to rcionais Em taiJ
casos, o torquc aplicado iguala a força multiplicada por aeu braço de momento,
medido a partir do cent ro d e cisalhamcnto.
y
o nde A, B e C são constanles. Isso corresponde à equação de um plano; ela. m ostra
olaramen to a narureu da d inci buiçã,o de tensões. Para o caso elàstico üncar em
discussfto, d i vidindo a Eq. 8.9 pelo módulo de elasticidade E se restabelece a pre·
missa cinemática básica da teoria t6cnica, isto é.
'
(8.10}
o nde 11, b o c são cons1a n1es.
A
p
Cenlto de
c:baltlomonto
t•l
F igura 8 .10
(eI
(b)
,.
ForçN aplicadas no c•ntto de âulhe,.,.nto 1'\lO eaus am tOfçlo
(•)
(b)
/'
/'
p
p
8.4
MEMBROS COM CARREOAMEN'rO EXC~NTRICO
Situações ocuionais aparecem em que uma força P que atva paralelamente
ao eixo do membro t apUcada exccnlricamente em retaçlo ao eixo centroidaJ do
membro, Fig. 8.ll(o). Aplicando duas forças iguais e opostas P no centróide, como
moJtra a Fi.g. S. ll(b). o problema muda para o do uma forço aplicada axiolmento
P c Oexão oblíqua no plano da força P e do eixo do membro. ~se moment.o Oetor
obliquo pode ser decornposlo em duns componentes M ,n - Pz. ; atuando cm
torno do eixo y, e M ,. - - Py,, atuando em torno do eixo .r, F igs. S. ll(d) e (e).
Entno n tensão normal composta em qualquer ponto (y, z) da scçlo rransvenal,
para um membro excentricamente carregado. pode
ach• da pela a diçlo simplc&
de um termo de tcnslo axial à Eq. g,s. Assim
ser
t1
~
-
P
A
M,.y
M. ~
+ _u..,,
lu
1"
----
{8.8)
onde Pé tomada positiva para forças de tração. O restante da convcnçlo ~ igual
aquela para a Eq. 8.S. Contanto que os eixos y e z oejam os eiJ<OS principals. a
Eq. 8.8 é aplicil vel a mem bros prísmâticos de qualquer forma seccional.
Para u ma dada condiçilo de carregamento. a Eq. 8.8 pode ser reescrit.a como
a. - A+ By + Cz,
262
{&.9)
(e)
Figura 8 .11
(d)
<•l
Resoluçlo d9 um PIOblom:s em !r!s outros. ca:ta um doa quora pode SGf solucionado
pelo.s mé1odos anterio rm!)nto diiiCUdd O$
Em olauns meLTJbros carregados exccntricnmeote é possivel loeaJi zar a lin ha
de tensão 7..Cto na área da St!çào trans•,;ersal de um membro, determinando uma hn h..-.
em que a, • O. Essa linha ~ tmáJoga ao eixo neutro e:rn nedo p ura. Ao contrário
do caso an terio r, em cetanto, quando P .. O essa linba nlo passa pelo cent róide
de uma seç~o. Para grandes car gas a >Uais c pequenos mo menLos. ela está fora da
seção. Seu significado cstà no fato de que as tensões normais variam linearmente
a panir dela.
253
Es~ m6todo ê aplicAvcl na comp=são de mem bros, cont.antt> ~oe seua c:omprimcntoa sejam pequenos cm rclaçlo a suu dimcnsOes transversais. Bllr(aa der:
aadas em compreado cxia0m tratamcn~o especial (Cap. l4). Tamb6m próximo
do ponto de aplleaçlo da força a análise âqui duenvolvlda 6 incorra~&. AU a
diSiribuiçl o de tenslles é grandemente perturbada e 6 antloaa a uma conccn~raçlo
a• tan sO. normaú noa ca.nt01 alo :
de tensOes locais (veja a Seç. 4.18 e especialmen te a F ig. 4.30).
Euu ten5ttc:l oetlo mostradu na Fia. L ll(d). AI o.x:trcmidadCI dOIMI quatro vctoro~
detendO em A'. B', C o D' ..tao DO plano A'B'CD'. A dilt&ncia vertlcollfttrc co planoo ABCD
0 A'II'C'IY dcn:no a tonalo composta em qualquu ponto da NÇio u ·antverl&l. A inteneçlo
do plano A'B'C'D' com o plano ABCD 1-llza a ilnba elo tcftslo ..tO FE..
Trilnauloa semolhanteo CB'C' o C'EC podem ser obtidoo pelo traçado de Unhas B'C"
p.arole.lu a BC: &111m a dllta.ncia CB- 1~.7Al 06.7 + 53,.3 )15- lO cm. Analosamcnte. a
dlttAnc:ia ltF 6 achada laual a 12.$ çm, O. pontot E e F loeaHz.am a llnl\a de tcn.alo toro.
EXEM PLO 1.5
Achar a diatribuiçlo elo tens&cs na ~o ABCD pano bloc:o n>ostRdo tia Fl1- B. ll(a)
se p - 6 t. Na mesma seçlo, localizar a linha de tendo uro. Desprezar o peso do bloco.
lO cm
)'
D
r
...
'•
,..., ~~~ .~"·
. ·~ '• .
Ir
'·
I .Sem
"·
(bl
qr/cm'
"• • -L3,3- 80-co- - i33..3 kartcm',
~. - -13,3- ao+ 40- -$3,3 kaJ'/cm'.
"• • ~13,3 + 10 + 40 •
+ 106.7 kJrtcm'.
a• - -13,3 + 10-40- + l6,7 k:af/cm
1
•
I!XEMPLO 8.6
Achar a -z.ona na qual a rorça ve.rt:Jcal para babo 1'0 podo acr aplicada a um bloco r•·
ta naular acm pcoo, mostrado DO FII- 8.t3(a~ ...,, provocar qualq uer tendo elo traçlo na
Mçlo A·B.
SOLUçA O
A (orça p - -P0 • a plicada em um pomo arbhririo no primtirc quadrante do t ittoma
do oootdenadu yo.• mottrado. Entlo a metma araumcntaQio utada no exemplo anttrlor
mostra que. com o11a poaiçlo da força a maior tend!ocla. para uma tcnalo de t.raçAo oxltto
cm A. Com P- - P 0 , M,. • + PoY o M, • -P0 :, re~do a tenslo om A fauala zero preen-
che. condiçlo limito do problema. Utando I eq. 8.&.. tendo Cltl ... pode 101' expteua por:
tT
..
ou
(-PoJ (Po)') (-1>/2) .:.(-_P"':o'f"-)(-_h/2:....:)
-o---+
A
1,,
ln
Po
l'oJI
b'h/6
Po'
- - + -- + --=0
A
blr'/6
·
Flgu:r• &.12
(c)
A6
SOLUÇÃO
D
ro~ que a&em na oeçlo A BCD, Fig. 8.S(c~ olo 1'- -6~ M" - - 6000(U ) =
- - 90000 kacm. e Mtt - - 6000(7,5 + 1.5) - - 90000kacm. A seçlo do bloco A ~ IS(30) •
• 4'0r:m' . 0 os cupce.dvos módulO& de seçlo slo S.., • l fX lS}'/ 6 _. 1 12Scm c S,rM
...., 1S(JO)l/ 6 • 2 l.SO c:ml. As.sim. usando uma rclaçfto equivalente à Eq, 8..8 te mos as tc.n.s6c:i
t1ormais para os elementos doa: c,a ntos:
"
p
M
M
6 000
90000
90 000
- :f ___.:! ±.....!! - - - - ± - - :f - - - -13.3 ± 80 :f 40.
• A
S.,
S,
450
I 115
llSO
Aqui u unidades de tenolo slo kaf/ om 1 • O sentido du forças mos~adu na Fi1- ~~2(~).
d elC.ITOifta 01 s:inaiJ das tens6es. Dessa rorma. se O índice da lc0$.10 Slg.rnrK:Il .au.a Joc:.ahz.açãO
(• )
(b)
255
254
ci1alhamcnto ocorrem.
J •
"i2 • -n:- • 2 03S,7S mm•
A •
"d'l• • l ll,l mmJ:
Jtct•
xtU)•
Te
2 000(6)
,
(1'_),..,~
.... - - - 20)5,75 - S,8.9 k ar/ mm :
1
yg • v
4{2• >
t<-1.- - "
1=
c
J
2
• 1 01 7,88 mm• ;
,
- rr - li'ií33>- 0.28 kaf/mm ;
p~ado no exemplo prooedonlo. A diacu.slo ficará Umilada• a molu fabricadaa
' do arames de seçlo circular. Altm do mais, qualquer espiral do tal mola oerá consi·
derada em um plano perpendicular ao eixo da mola. lsso exige gue as csp~raia'
adjacentOI ac;jam próximas. Com essa limitaçlo, uma scçlo tomada perpendicularmente ao eixo do arame da mola toma-se aproximadamente vertieal.~· Anim;
para manter o oquiUbrio do um aogmento da mola, silo necessários ·apeou uma
(orça cononte V - F e um torquo T - FF cm tQdu u sc~ca do arame, Fia8.16(b).""" Obacrvo quo i' 6 a cliltAncla do eixo da mola ao cent róldc da Atea da
1eçao tr&nJveraal do
,
'• • S,89 + 0.28 • 6,17 kaf/ mm' .
Uma roprc.Htltaçlo plana da tendo de clsalhameruo em E.. com as tcns6cs concordantes
nos ptan01 Jon1hudlnaia. utl. mo.uada na Fi1- 8.1~(). Nenhuma tensio normal atua sobre
et~a elemento quando •'e csti localiu do no eixo neutro.
(l)
,
Plgwr•
e.1•
Mole heUoold•l da eaplr., cornpactu
A máxima ttniiO do dsalhamcnto cm uma seçlo arbitrAria do arame poderia
ser obtida como no exemplo precedente, pela superposiçlo das tensões torclonail
o de ciaalhamento direto. Eua mblma tensilo do cisalhamenlo ocorre no interior
da espira, no ponto E, Fig. 8.16(b~ Entretanto, na análise das molas, t.o rnou-ac
comum admitir que a tenslo do clsalhamcnto provocada pela rorça cort.a nlo seja
unlrormemcntc dlatribulda na ârea da seçlo do aram•· Assim, a t.ensilo de cisalha·
•Para uma dlac:unlo oomplelll aobro molu. \loja A. P.t. Wah~ M~clumlcnl, SpriltfS. Penton PubH•hlna
CO.., ClevolAnd. Oh1o, 1944
·
••1aeo elimino a nea.~Jdadc do • coNJderu uma fo rço axial c um momento nctor n.a U:Çio da mohL
••• em trabf.lho t nt.,-for tem·• nitera.ôo que., 110 uma força
conanto o1dvor prOMn&e. cm uma fcçlo. di~ oc;orrcr mudança no
momen to t\otor 10 Sonao cto membro. Aqui ~tua uma ro~ cor·
{C I
8.6
hll
{c)
Figura 1.1 5
TENS0 e5 NAS MOLAS HEU COIDAJS
As molu helicoidais, como a most rada na F ig. 8.16(a), são freqüent.e mcnte
usadas como elementos de mâquinaL Com certas limitações. essas molas podem
ser analisadas para as tensões elisticas por meio de um método sernelhant.e ao
la•Uc cm cada aoçlo da b.arra. e.mbora ncaftbum mo.OKnto nctor CKI
Mudanc;a ooorrL luo aoo.ntoc:a porque 1 but11 t çu,va. U.m el~
rnen1o da barrL vlato do to po. • mottrado • úaura. Em ambas
11 cat:romid•d• Cl lOtqUCI d O l&ll&iJ a FP C a..&vant n u dircç6cJ
F (pua d ma)
o
m<lliitradU. M componontet duael VtlOrel na d.i:oç!o do ruo da
mola Q. dooomp011• no ponto di lntorHÇllo dOI woc.ton:s. 2Fill.,-z •
• F7 4._ opOe.,_ oo ooojupdo -.olvido pelos rorçu CO<·.
ta.ntca vudcale V - F. que d.iltam de F ~·
259
258
menta direto' nominal para qualquer ponto da soçllo transversal ~ t - .F/A. Â.
superposiçlo dOS$& tenslo c da tenslo de cúalhamcnto t.o rcional cm E, dá
máxima tcnsDo de cisalhnnicn to composta. Assim, como T- Ff, .!f- 2c c J- 1tr/'/32
T
~ F + Te_ Tc(FJ + t)-~(L+
1
l)·
1<d
4r
V~sc dcua equação que, i medida que o diAmctro do nrame jllica pequeno
em rebtÇlo ao raio da espira 1, o efeito da tcnslo de c:isalha.mcoto direto diminui.
Por ouuo lado. se o inverso 6 verdade:iro, o primeiro termo do parf.nteses toma·se
importante. No último caso, os resultados indicados pela E<!· 8.11 do copsld~a­
vchncnte errados, e a Eq. 8.11 nlo deveria ser usada porque ela. se bueia na fórmulà '
da torçllo para ara mes rctos. À medida que ri sc. c:ompara numericamente a P, o
comprimento dns libras internas dn espira diferem do comprimento dns libras
CJ<tcrnas, e a premissa de dcformaçDo usada na deduçllo da fórmula de torç!o
c:lhsica nlo t aplicável. O problema da mola foi rotolvido eutamente• pelos
métodos da teoria matcmlticn da elasúcidade. e. embora. esses resultados sejam
complicados, poro qualquer mola eles podem ..,.. tomados dependentes de um
simples padmctro m - 2i/d, que ê chamado de i11dlc. da mola. AAsim, a Eq. 8. 11
pode ser roescríca como
- •
A
J
J
A Te
(8. 12) •
onde K pode ser interpretado como o fator d e conccn traçllo de tcnsl!es pnra molas
helicoidaJa com espiras feitos de arames circulares. Um traçado de I( cm termos
do Indico da mola esti mostrado na Fig. 8.17.•• P ara. molu pesadas, o indico da
mofa 6 pequenO, C O rator de C0(1Centraçi.O de ten.tôes /( toma-se butante lmpota
tanto. Para todos os calOs, o ratar I{ leva em ooneldera.ç«o a ·correta parcela de
tenslo de ciaalhamento direto. Te.ns6es muito elevadas alo comumcntc permitidas
porque materiais d e elevada resistenela slo usados cm sua fabrlcaçlo. Para aço
de boa qualidade para mola, as tensões de cisalhamento de u abalho estio na faixa
de 20 a 70 kaf/mm 1 •
8.7
DEFLEXÃO OE MOLAS HI!LICOI OAJS COM I!SP TRAS COMPACTAS
Já que o assunto sobre molas helicoidais de csplru compactas foi lntrodutido
acima. para complementaçllo sen\ discutida sua denexlo nesta scçllo. A atençllo
ficará restrita a molas belicoidaia de espiras compectu com um fndicc de mola
grande, isto é, o diâmetro do arame será considerado pequeno em oomparaçllo
•o. Oochncr, ..D ic Bcrechnuna Zyllnclrlxher Schrauben(edern ... Ztltsc:Jir(ft Jvs Vc-nl111
tlf!ftf$dln' lttfJIIIIttur f!,
76. n.• !. (mof'(O. 19)2), p. 169
.. Uma cap~ulo analit~ que cU o v;alor de K dentro de t • 2~ do valor ve rdadeiro 6 rnqOcnlcmct~te usada. Eua expresSiio. cm tcnnoc do lndlOI!. ~mOla'""' K, - [(4m- J~-4M-~)] + (0,61S/ •).
A. M. Wahl deduli" essa u-prcsdo com be" em alaumu prc~ slmptUic:adoru. d• 6 conhcc:id:2
pOr fotqr ~~ ~
Wdl para n rtahua cm motas belicold•'-
*
2 60
corn o rruo da espira. Isso permite o tratamento de um elemento de mola entre
duas scçõcs adjacentes prólÕmas. no arnme, como uma barra circular reta cm
torÇftO. O efeito do cisnlhnmento direto sobre n denex!o da moln será ignorado.
Jsso ê geralmente permissivd quando o último efeito t pequeno.
F
..f ,I,.. J
\
.lJ •
íl
I,
f.l.
J
i
I, ~
.a '· t
! o
I,
2
\.
"
r-r-e1~~.o~ r-d 11
moi~
r-- i -
I.
8
• fncUct• ca• mola"'
- 21'/ J
III
1-
,lgur• 8.1 7 Fator c;frlt oonoenuação de tens6ot
p116 moles hellcold•i• dt •r•me redondo t m c:orn·
prttdo ou uaçl-o
F
Flgur• 1.11 Diagrama usado ne
dWuclo de tl(prosslo da d erlado
do uma mO!I htllc:oldel
Considere uma mola helicoidal ta l como mostra a Fi a.. 8. 18. Um elemento
tlpico AB dessa mola 6 submetido a um Iorque T- F1 ao lo ngo de seu comprimento. E5se torque provoca uma rotaçG.o relaliva e,n tre os doi.J: planos adjacentes
A e B; com sunclente prcclslo a quantidade dCllsa rotaçlo pode ser obtida pelo
uto do Eq. S.JO, d<P - Tdxf (JG). para barnu circulare.s retas. Aqui o torque apli·
cndo é T - FF, dx é o comprimento do elemento, G é o módulo de elasticidade no
cisnlhamento, e J é o momento polar de inércia da llrea da seçlo t ransversal do
arrunc.
Se o plano do arame A t imaginado lixo, a rotação do plano B é dada pela
expres.silo antetior. A contribuição desse elemento para o mo vimento da rorça
F em C t igual à distância BC multiplicada pelo ângulo drp, isto é, CD = BCdrp.
Encretant.o. c::omo o elemen1o AB ~ pequeno, a distância CD 1arnbém é pequena
e essa diseãncia pode acr considerada per pendicular (embora seja um arco) à linha
BC. Alêm do mais, apenas a componente vertical dessa deOedo t significativa,
jA que numa mola que consiste em muila.s espiras. para qualquer elemento de um
lado da mola existe um elemento cquivn lcnte correspondente do outro. Os ele·
mentos diametralmente opostos dn mola contrnbnJançam n componente hori-'
tontnl da dcfledo e permitem npenns a dcnexito vertical da força F . Dessa forma;
achando-se o incremento vertical t.D da deflexllo da força F devido a um elemento
da mola AB e somando tais incrementos pnm todos os elementos da mola. t obtida
a deOedo de toda a mola.
261
Dos triãngulot aemelhantcs CDE c C DH
ou
CD
60- BC HB.
Entretanto, CD • DC!l<A IJD =r, e ED pode ser indicada por !IA
representa. u ma derJex4o verticuJ i.núnitesjmal da mola devida à rotação
elemento AB. ~im. d.ó c: i#tp c
o=
J!itl- Jrdcp- f F~-:;- ~~-
Todavia,. T = F,, e para uma mola de c$pirais próximas. o comprimento L
do arame pode ser tomado com suficiente precisão como 2nFN. onde N ~o núraerõ
de espiras ativas da mola. Auim o defiexllo ti da mola ~
C. = 2rrff' N/JG,
ou se ~ introduzida a cxpress.lo de J para o arame,
S.ÇIO •-•
PROB. 8-3
PltOB. I ·'
8.4. U rna viga incllna.da tem u dlmon-
64_~ff',.:,.:N~
A--
·- d o !Sem do laraura • 30om~ pro/Un-
dJdado. • auporta uma torÇ~a ~caL comO
Gfl"
Aa Bqo. 8 .13 o 8.14 dlo a dofloxlo do umn mola hollcoldal d o eoplrat compaccu
ao longo de $CU eixo, quando utl mola C submetida a uma força F de traçlo ou
compresslo. Nessas fórmulas é desprezado o efeito da tensão de cisalhamento
direto 10bre a deficxlo, isto ~ elu dl.o apenas o ciefto du defonnaçlica torciona.iÍ.
O comportamento de uma mola pode ser convenientemente definido por
uma força necossárin para deflctir n mola do I mm. Essa quont.idado 6 conhocid i
por constante de mola~ Pela Eq. 8.14 a constante k paru uma mola helicoidal dC .,
arame eom seção circular ~
mostra a fta~ra para o Prob. 16. O.ttTmlnll a mAdma &en.tlo qUIIt ana n01mlll;
menLe ._ IOQIO a-o.
·
&.S. Uma vip do aço l l • 35.0 ("''lo. a
Tob. l do A~dico) ouporto uma forço. de
' - 20 t. como m o.tra a n,ura. Delp,....
aando o pe10 da viaa. achar a rnllM tendo
t,2,.
(8.15)
lm
PROBLEMAS
PROR li·)
8.1. Uma orúcul:açl.o de: uma miquina
6 reita do uma barra circular de 25 mm. c
tem a forma mostradA na figu.ra. Se a di~
tància tt - 23 mm c A rendo admh01lvcl i
de 7 kgr;mm', qual a rorço P a 11et aplicada?
••
~
a.a
PROB
8.2 Uma artic:ulaçlo é semclhllJlte
âquefa mosrracb no problema a.ruc-rior mas
é maior c tem seção tm nsversnl na forma de
262
I
normal que Cltua na aoçlo o-c:~. Admlclr
comportamento elútic:o l~neat do material.
r--.-<..1"'---f~
k-!....!!!:__
[mkgfm]·
ti
64F3 N
8. 7. Uma cAntoneira 1em aa dimensOes
moatra.das na naura. Achar a mbima 1endo
n ormal à •colo o-Q. provocada pola aplica.
çt;o <!e P - 70 kÍf. A barta Inclinada 6 d.;
l 2 Mm x ' Omm,, • tarq um retorqo para
ovhar a n.mbaaem. Admltfr que a barra
10 comporto dutioamente.
um T. veja a figu ra. Nu extremidade~ da
articu.lação u força do uaçlo P slo apUClldn$ a 100 mm acima do fundo dos Oanacs.
e n cxccntricidlldc é e - 60 mm da linha de
açlio d as força.t. Achar a mdlima tentlo
IC! P - 20 C.. o o material se comporta elatti·,
Cimente...
~,...
hH _.J
1S mn~
PROl!. S·l
l,lm
PROl . ...
S.6. Calcular a J!'lhlma terulo do oompresslo quo atua qormalmcnte la seçlo a..a.·
para a CS\CUtura mostrada na f'iSUfL O
Jl0$te ,411 tem ICÇio tranovcroal de JO cm ><
" JOan. Dcsprc;ur o pe-. da ...,..... , ..
Rdp.: 47,2 kaf/cm'.
8.&. Calcular a m lxJma tcnü.o de comprudo na ~ ""!'> provoaada pela cara•
aplic:ada na cau-ut'+R moatrada na figura.
A tcçlo tranvenal em a-a é a,qucla de uma
barra circular de .SO mm do dtamotro. Resp.;
-o. 75 lc.&J'/mm ••
8.9. Uma eocada de fib_rica, tendo u
dim e11J6es' da Un h..a de eenrro mouradas na
Raura, é feita de d~ perlla U de aço de
228,6 m m I' 19,9.4 kfll'(m nu arcscas, sepa·
rad01 por uma umaçio entre elê!. O cnr re·.'
pmento &Oixe ca4a pcóll. induind.o seu'
peso próprio, 6 Citimado cm JOO t g(Jm de
263
da alma com o naogc tupcrior atinge o
~::P""""
U_r•onom
vaJor ,_ em comprcsslo. A deformaçio é
1 ero 1 100 mm abab:o do topo da vlp. veja
a fi&Ur&. Cl) Oecerrninar 1 força axiaJ e o
r:no1nento correspondentes ib oondiçôes
admL Admitir v_ • J6 kgf/mm'. e E •
• 20000 kartmm'. (b) Achar e esquem.dur a d iJtribulçt.o do te:nll>ct rc.siduait
rerullaote da rc:llrada du forças de (~
raoe a..t
pcojeçlo horizontal. Admjtindo que a e.d remidade inrcrior da ctceda .c:ja fixada com
pinos o que a perede. forneça apeou o apoio
borltontaJ no topo. achu a maJor tcn.slo
normal noc perfiS 1 I •.S m acima do nlvel
do c:hlo.
- I.S6 kaf/mm'.
11.,.,.,
lOO qrtm
vertical. c:omo mostra a fiJUrL Do lado
c:x.temo da coluna. a uma di.stlnda de
m
do chio. foram medidas u seguintes deformações: em A. ' -~ 600 x lcf mm/mm; c
em S. • - -200 x
mm/mm. Quais
do as maa:nitudcs ds car-p. P c da distAncia
d'l Cooaidenr E- 21000 ksf/mm'.
to-•
PltOB. I· I I
nchAda em (1~ qulll poder' Jer o maior
valor de P'l Admitir quo o efeito do clu·
Jhamcnto nlo aeja ln•lanincarHe. e considerar a tendo normal admb1fvd na vip.
iauaJ a Jl kaf/mm'. Comentar sobre a
prcclslo do crlttrio eatabclccldo em (~
8.11. Uma estrutura dG aço 8 WF 17.
~ fabricada cm rcç6cs e tuporu uma cara•
P a uma diltlnda 11 do centro da coluna
264
urp pata baixo de 8 L O raio do eb. o
('Cntroidal curvo ê de ISO mm. Oeu::rminar
a m•sima censi:o nesse aanc:ho.
t.,
I.Sm
8.10. Um pou do carp 6 feho de uma
via• J do oço, do 203 mm x 27,4 kaf/m c
uma borra de aço do ll1t1 reslttencfa, como
mo11ra a naurt\. (I) Achu a posiçlo da
caraa m6vcl P que provoct.rJa o maior
momento nctor na vigL Oc..t~ptezar o peso
da vraa. (b) UJAndo a poJiçlo da taraa
J.--1
.SOmfl'l
PlOLI-10
,
PROO. 1·9
JtltUil • ·IS
8.12. Uma viga rclan,ular, 111.1 como a
mostrada na Fig. 8.5, de materlnllineur eJI\s..
tlco..pl!&tieo. h subme!:lidn a um momen1o
Octor positivo Ml c 8. UnJQ rorçn uinl Pl.
(r~) Se a deformaçlo na tupcrrlcle superiQr
atinge •-- c a defOI'Jl'Ac;•o no fundo 6 .do
3 ''"''que (orça P, c momento M1 .atuam
sobre a viaa? (b) Se a Yiga e. ti inicialmente
aubmctida à aç:lo du fo rças em (a). quaJ
sc.ri a conüguraçlo da tendo residy.aJ 1p61
sua remoçlo? Cou1derar b - 12 mm. h = 2S
Jl)ksf/mm',e E- 20000
mm,"--
kgrtmm'.
&.Jl. Uma viaa I, do ,material linear
ciAstioo--plbtico,. tem u dimc.nsôes (DOI-.
tradu na fitara. Quan~ csa viga h submo-.
tida dmuJtaneamente a Ull)l. força axitJ e a
um momento fletor, a dcfonnaç:io na unilo
PROO.I-IJ
&.l~ ConJidc:re a Yip do exe1:npJo
anterior sofrendo a maior d:cfonn:.ç4o mos-.
trl<fa n• naum drue problema.. (a) Deter~
mfno.r a forço a.daJ c o momento Octor
correspondente ~ deformaçlo dada. Ocs-prnar a cornt;lo devtcla ' pequena zonA
•J•atlca, e con• ldtrftr o ••c:oamttnto do
macerlal. Mjn cm tracto ou em comprlallo, na tonllo do 36 kaf{mm'. (b) Achar
• etquomaclur 11 dlttrlbu.içllo de tcnsAo
rettdulll que rc.tuh.a tpós a retirada dáJ
forças do (o).
rtwn. tf. ro~
8. 15. Urn11 visa T, do materiaJ linear
clbtico-p16Jtlco. tem aa dimcms6cs moJtradas na fiaurL (n) Se a ddormaçlo ~ ~.,..
no topo do Oange e nro na unillo da alma
com o
que forÇII. ••ial p o momento
Oetor M Atem sobre a via,a? Admhir
"•• • 26 k&f/ mm 1. ( b) Determinar a con(i ..
auraçlo da tonslo residual que seria desc:n•olvida ·opóo o n:moçlo dos forças de (a).
8.l6. Um J&nd'K» de aço, tendo t i
proporç6ct da naura. ê submetido a uma
8. 17. Se um pncho semelha.ntc ao mos-Irado no Prob. 8. 16 t~ seç:lo transversal
circular de ralo lS mm e o eixo oentrofdal
1em raio de cun-a tura do " mm. qual a
força P a ser aplicada ao gMeho sem exceder
a tensão de 9 Jcar/mm 2 '/
8.18. Uma barra de aço do lctn de
diâmetro, Oe:Jdona em um anel clrcula.r
quase completo. de 30 cm de diAmetro
externo, como rnostta a fiaura. (a) Calcular
a máxima tensão nesse a..nel, provocada pela
aplicaçlo de duas forças de I t na extremidade aberta. (b) Ach11r a relaç-o dll mblma
tcnsno achnde em (aJ pnra a maior aenslo
do c:omprcssAo que Atua normaJ à mesma
scçlo. /l..sp. : (a) +2.S ksf/cm'.
nan,c.
PR OH. 8-JX
265
8.19. Uma 'll&a inclinada_ aimplOI·
mcote naportada. com rdaçlo de altura por
laraura do 2 para I, tem um v4o de 4 m o
Juporta uma carp llnilormçmcnlo dinri·
bulda do I SOO k"'m. indllÍl>do oeu peao
próprio, apUcada na forma motuada na
naura. (a) Determinar u 4ftnelliÔCJ ncce.r.
s4riu da vfp ta! que a mixirl)& tendo'
devida à Oulo nlo exceda I k•rtmm•. (b)
Locali.xar o eixo neutro da viga e mostrar
sua po•iç:.lo no diaarama.
I SOO "•""'
l' M:CUI M.l'l
8-21l Uma vi... em balançO, de S c:m ><
)( JO ~:m, projcta•te 1.2 m de uma pa.rodc
om uma poaiçlo lncHnadL como mottn.
a fiaura. Na c.l.UemJdade Uvre,. uma (orça
vertical de 4.5 kaf' 6 aplicada auavfs do
ccntróide da scçlo. Determinar a máximn.
tc.ntlo de nexl~ provocada pala (orça&
aplicada, na cxuemidadc embutida da vip.
e 1ocaliut teu eixo neutro. Ouprcur o
pcao da viaL /losp.: ± 1,02 k&rtcm•: 8,4 cm.
pr6prlo. (Veja a sugclllo do PrQb. 6.2:!),
Rtsp.: 11,4 kaf/mm'; -14,3 k-"mm'.
no lntarlorl junt•1nonto çom um& t'Undaçlo
de concreto de 6 m x
pa 75 L &u
ch""JÚJ6 ao prQjcla 30m acima do cbao,
como moatra a Orura. e 6 fixada por 1\Ja
1\lndaçlo. Conaldor.ando-eo uma proallo
do YcftiO do 100 k&(lm',
úaa projetada
da ohamln6, e uma clinçlo do vento pU&•
laia • um ~00 la doo da rundaçlo quadrada.'
qual t a lllá.dm& prculo "'" rundaçlo?
R#lp.: 6,.28 1/m' ou 0,628 klflm'.
"tQ.
na
ftltOB.. S..ll
8.22. So o bloco mostrado na Fia. 8.11
6. feito de aço com 0,0078 kaf/cm ~. ac:hu a
ma,gnilude da força P necesséria pant pro.
vocar.a tcna:lo tcro cm D . Oe~prcz.ar o pcao
da pequena braçadeira do suporte da caraa.
Para a mama condiçlo., localiur a Unha.
do tendo zoro na aoçlo ABCD. R.tp.:
87,7S kaf.
Lll. Um bloco da rctro rundido i · •
c.arreaado na forma mot~racta na nau.ra.
Desprezando o peso do bloc::o., detcrmln.a.r
as ten10ca normais a un"ll seçl.o a 4SO mm
abaia.o do topo c: local.izat a Unha de
censlo uro.
1S
PJtOII.. &-14
cW: sor apUcada ao topo do bloco Hm pro_ ., qualqu., traçlo Ja " - Daoprczai
o pcto do bloco. lt41p.; Sou• 7.s mm •
112.$ mm do •pico.
l.. ..
1
f .ltl. Um membro curto ;., oom-·
JP • 2.4 x 10• mm•. Detormtnu a dlttl.n·
cu , ao lonao da dlaaonaJ onde uma força
lonaltudlnal I' deveria aar apllçad' taJ quo
o ponlo A caloja sobro a Unha de tonllo
uro. Desprezar o peao do membro. /I<Sp.:
1090 mm.
JOm
I
'if! I
uo ....
alo tem as pcoporç6c:a mostTadu na fia:ura~
A. • 4.5 )t 10' mJllJ, /_. - ,<4,6 x 10' mtn•,
t
t! II
1St
I•RoH. • .u
lr ~
I'RUIJ. ·-2JI
1~~:J-:fl.lm
• m
Llll. ,U ma vi,.. ;., balLnço .<lo 2'0 mm
de oomprimcnlo 6 cureaada com P • S 1
na ut.romidad~ livr,. como moatra a figura.
Detormlnar a 1Jl')Úma \ORIIo de ciaalh~
me.nto 04 utre.mldada ena u tada devido·
ao ci.salbamento dJreto e ao (orquo. Mot·
trar o reaultado em um eaqucma análogo
ao da Fia. B.IS{c~
PROB. ..:U
PROB IJO
8.21. Uma canloncira de aço de 15
cm )t JS cm x 1l mm. com uma de suu
pemu na hori-zontal c a outra dirlaida para
b(L,ixo•.6 uaada oomo viaa cm balanço do
comprimento iguaJ a 1.1 m como mo11ra
a fiaura. Se uma força para cima de
kaf
ê aplicada na extrc.mid11.dc da viaa. quai1
slo as tenslles de !ração e comprenio na
extremidade engulada1 DcsP<eur o poso
soo
266
8.24. Um blooo de üga de olumlnio 6
ú.rrcaado como mostra a naura. "' ~~~
ceçlo deua força produz uma do!ormaçlo
de ltaç4o de SOO x 10- • mm/m•n cm A
medida pot um s.ensor de dcJorrnaçlo.
Calcular a maanitude da rorça aplicada
P. Conoiderar E - 1 000 kgrtmm•. /lup.:
13,12S 1.
.
8.15. Um bloco curto tem u dime.nt6cl
transvcnais: da vis_ta plana mosu•des na
r;gura. Determinar. a faixa ao longo da
Unha A · A na qual uma força •crtical pode;
PIUU' 11-!'1
8.30. Uma mola bcllooidal de com1'1101. &.lo
8.27. Determinar o nilcleo do u,m mcm..
oro de ocçlo tranovcnal circular m ociçL
R•sp.: cf4.
8-28. Uma c;hamln6 do aço, de :Z.4 m de
diâmetro, parcialmen1e rc_vcaljda com tijolo
prcaslo é (citn de oramc de bronx.e (osro ..
r~ Oo J mm de cUlmetro e tem dJAmetro
..lemo de 30 mm. S.. a tcnllo do cisalha·
mon1o pcrmi11lvel 6 de 20 l<af/mm>, qual
a força a ter·apUeada nctaa mola? Corri;l.r
a roapost• para ooncent.raçlo de ten.sl~
8.31. Uma mql~ helicoidal 6 roila de
arame de •oo de 12 mm do diâmetro, enro-
267
lado em um m4ftdril de 120 mm de c.tiAmetro. Se exiitirem dQ espiras ativa;. ~uai
é a constante da mola? G - 870!> lc:gt/mm 2 •
Qual a rorça a. set aplicada à mota para
alongá-la d.c 4Q mm?
8.32. Uma mofa bel.ice>idal de: válvula
é rei ta de a;àmc de aço de 6 mm de.diâmetro,
c tem d i!lmetro eAlerno de 50 mm. Em
operuçG.o, a rorça de compressão aplicada
a essa mota varia de 10 kgf' no minimo, a
35 kgf no mã.ximo. Hnvendo o ito espiras
ativas, quul o elevação da válvu1a (o-u seu
percorso) e qual ~ a máxima ,1 cnsiio de
cisalhn.mento na mola quando em ope ra~
ção7 O - 8 OOQ ksl/mm 2• Resp.: t3 mm.
8.33. Uma m ola hcUcoidaJ pc;sada de
nç9, é feita. P,e uma barra de 2S mm de
djilmetrq e tem diil{Tletro externo de 225
n;tm. Como originalmente ro.bric.nda, eta
tem p:tsso p = 90 mm, veja a fig u(a. Se uma
Corça P, de tal qtagnltudc que o anel ex(emo
da barra de 3 mm de e·spes.su.ra se tome:
pltbtico, 6 nplicad.a a essa mola. es~imnr a
da concentraçlo de tens&:! e do ciaalha.mento direto sob re a dcflexllo, (Sugf',U ào:
Veja .,. Exemplos S.9 e S.JO~
·
8. )4. Se a ton.slo de dsalhammto no.
p:uafusos governa a carga adf'J'Iissivel P que
pode ser ap1icJda â concxSo mostrada na
ngurn. qual ~ • intensidade do força P?
Os parafusos do de 20 mm e a ten$ÍIO de
dsalhcunento admiasivel C de JO kgf/mrn t.
(Sugt"stiio. Concentr-ar as âreas dos pBre.fusos em 1eus rc.spcetlvos centros. Admitir
q ue umtt (orça aplicada no centr6ide das
Arcas dos pararusos t e distribua igualmente
resist~ncia
1l OS me.smos. A
ao Io rque é
ttchada como para um conjug:ado. Prob.
S. IB). R_. p.: S,J L
nr
9.1
100 mm E
E 100 mm
I)
•e
reduçlo do passo d4 mola•Após a remoçl.o
do cara&. Adr,-,.itlr o material ~lé..stlco-.ph\s-,
tlco linear, cont t,.,. • 35 kaf/m m 1, G •
- 8,4 x to~t kgf/m m 1. Desprezar os crcitos
I
PROB. IJ-}4
8.3S. Determinar a mâxima tensão de
cisalhamento nos rebites de uma braçadei ra carreaada como motlru a flgurn..T odos os rebites tem 2S mm de dilhneuo.
(Obse,.vnçifo. Veja a &ugcstlo para o Prob. ,
8.34). R-.p. : 6,9 kgf/mm'.
s
~~~~y
PROB. 8· ll
268
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E
DEFORMAÇÃO; CRITÉRIOS DE
ESCOAMENTO E DE FRATURA
)t
P RO!l. lt·~S
INTRODUÇÃO
Dos capítu los p recedentes evidenciou-se que em muitas circunst._;.ocias as
tensões normal e de cisaJhameoto alu arn Simultaneamen te c:m urn eletnento de
um corpo. Pot exemplo, urn elemento típico A de um membro submetido a fo_rças
axiais e transversais, mostrado na Fig. 9.l(a), experhnenta uma tensão normal tJ'}Il
devida ao csror.;o axial e de flexão, e t.a.m bêm u rna tensão de cisalba.men~o T.~~,
devida R força cor tan te. Usa ndo os procedimentos desenvolvidos atê o momento,
os planos que isolam esse elemento devem ser tomados parn.lela ou perpendicular ..
mente ao eixo do mem bro. P or outro lad o, é possivd descrever o estado de tensão'
em um pon to em termos das tensões que aturun em qualquer plano inclinado,
como mostra a Fig. 9.l(c). Tais tensões são equivalentes ao est.a do de tensão em
um ponto. porque el.as. independen temen te d os planos em q ue atuam. m nt~m
o equilíbrio do elemento. As leis pa:rn a transformaçlo de ta.is tensões em outras
equivalentes, atuando em q ualquer plnno q ue passa pOl' um dad o ponto, co.n stituirão o tópico p rincipal da P arte A deste capitulo. O s planos em que o tensão'
normal, ou a de cisalhamento, atinge sua má xima. intensidade receberA. atenção
especial porque as tensões associadas com esses planos rêm um e[eit.o particular·
mente significativo sobre o s materiais.
·
Na P a rte B deste capitulo serà discutido um tó pico pn.ralelo ao acima, para
transformação d e defo r m ações ass·oci.adas com u m conjunm de eixos para um
conjunto diferente de eixos. Também serão d adus informações adicionais sobre
relações tensão·.deformação par..u m aleriais linearmente elásticos. Isso é suplementar a alguns dos itens discutidos no Ca p. 4.
·
A conclusão deste cap itulo (Parte q é dedicada â d iscussão das propriedades
mec-ânicas d os rnnceriais em estados <!e tensão bi e t riux.ial. Silo enfatizados crité rios
de escoamento de gra nde aceitação , q ue oonstit ucm a base das leis da plasticidade
para materiais d óteis. Essa par te do capítulo su plementa a d iscussão so bre relações
constit u tivas para tensões u nia.xiais vistas no Cap. 4.
269
I
I'
,., tl.-
-
I
I
I
-;f1ll-1;, A
••
. J- . _
·'
-~ ,.•
..-L - - - -- -- - --- -- - - - -- -- -- - -:;..>
Nes~ texto. ao .~ deduz.lr u lelt de trans ronnaçlo ele rendo ""' um ponto,
cvitaNIO·A a s=eraltdadc completa. No lup.r de .., tratar um estado de tensão
Fr ldimcnalona l aeral, • tal oomo moatre. a F ia. 9.2(a), sccto consldoradoa elemen tos
con> u•mllu oom.o mostra a Fis. 9.2(b). Esse lipo de tenslo t particularmente
Jiani(K:&úvo na prtdca.. porqua U51lalonente t posalvel selecion&{ uma face de um
elemento om u!" cont~ oxtem<> do um m embro, como ABCD na F1a. 9.2(b),
que ostl\la pratJcamcnrc 11ento. do ten10es s u pernclais. Por ouu·o ll•do, ao tcnal!ea
atuantes em tais clcmemoa, loao na superfloic de um oorpo, ilo maiom no d lrcçlo
para lela à auperflcio. Com o antes, por ai mplicidado. a1 tensões q ue atuam em tais
elementos serão m ostradas na Fia. 9.2(c~
,
,..
,.,
~
y
,,
OL---------------~
x
'
(cj
(bJ
Figura 9 .1
(o)
E11ado di 1ensão 1tm um ponto sobtt diferentes plt~noa
PARTE A
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
Plgure •.z
270
•m um e lem.n to
_r:->
O PROBLEMA BÁSlCO
No Cap. J. most rou~se que tensão ê um tensor de segunda ordem. Como, por
outro lado, vetares slo tensorcs de primeira ordem, as leis de adiçlo vetorial não
se nplicam a tensões. Entretanto, é possivel m ultiplicar as tensões pelas respectivas
árens de atuaç!o parn se obter u.s forças, que são vetares, c q ue, conse!=)üen temente.
podem ser adicionadas ou &u btra1das vetorialmcnte.. É dessa maneira que o pro-.
blema da combinaçlo de renacks normais e de cisalhamento ê resolvido. Esse
materiaL
( C)
Repteaenta.c:IO dei tensO. que atutm
liKl!MPt.O e .1
ConJiden: o estado de tendo de um clemenlo c:omo mOitra a Fia. 9.3(a). Uma repr~
totltaçlo alter nativa do catado da tcnal.o no me11no ponto pode ser dada cm uma areata
tnOnitesimal com u.m Sna.ulo do « • 2;2,3•, oomo na Fi a. 9.3(b). Achar ., consOes que atuam
no plano AB da arcata. piU'& ma.nt.IC o ol•mcnto em oquillbrio.
9.2
procedimento será ilustrado cm um e~cmplo num~rico. Então. o m!todo desen~.
volvido será generalizado parn se obtct relações nlgt:bricns para a transrormação
de tensão, que permit em a o btenção de tensões em q ualquer plano inclinado em
um d ado estado de tensão. Os métodos U$11d05 nessas deduções nlo envo lvem
pro priedades materiais. Dessa forma, desde q uo as tensões ioiciai5 s ejam dadas,
us relações deduz-idas são aplicáveis ao comportamento elâstico ou plástico do
( b)
A
I
(o)
I
(11)
(C)
fJ6gur• 9.3
•Pera um tr.atamenm maia J11m1. • tna~ ro t'll:l-açi D d. tca!iiO. o lcitcr dew COA.a.uttar livro. sobre
plaalk.id.adl c clutJc::ldlde. Ne doduçlo aq\i ~v oJ.,idil., aJUde •~, 6 oonj:íd::rada • tend o oormaJ o, ,
A thuaçllo de d uas tcna6u normais acnâ encontre® no ptOximo capitulo. cm concJio com caaena dclgadu
271
SOLUÇÃO
A ""nha ABC t pGtle do elemento "" Fia. 9.3(a); deua forma, u tens«s nu faca AC
e BC slo e:onht cidu. AI contOct deaconhecidas. normal e de citalhamento, !lUC: atuam na.
raoc A.B, tio clolianadu na OptA por " • e t'• . tc.tpe:ctivamente. Seus a:ntidoe do acbilr6ri01.
Para d eterminAr • c t. COntldero-, a penu pot COD"ioftirenda a 6re& da raoc d elinida pe11.
linha AB laual a t mm!. Entlo a iru corrospondent4 à tinto. ,4C t Igual a (ll cos « • 0,914
mrn 1 ; e a de BC' lauaJ & (l)aen « • 0.383 mm,, (De maneira. maiJ: riaorou. a •rea corru.
pondcntc i linha A_B de.w:ria ter dA. mu e!l.sa Quantidade te cancela nas subseqüenla ex·
presaGel al&~brieu). At forç.u F., P 1 , F, e F 4 • Fi&- 9.3(c).. podem ser obtid.u pela multi.
plicaç.lo du tcnsOel por auM retpecti•u Arcas. As forças incógnitas equilibrantes. /'1 e S.
aluam. uspectivamentc. normal e tanac.ncialmente ao pCano AB. Então. apl:icando as equa..
çOc:s do equUlbrlo a tAtico u forças q1.1e aaan na •~st.a. obt.em.-ee u forças N c S.
F, • 3(0,~4) • 2.78 t ar
As equações a lgébr icas serão deserw ol vidas pelo U$0 de um elemento mostrado na F ig. 9.4(n), n um estado de tensão plana geral. As tensões de traçilo n~rmais
ílo positives. e as de compress:to são ncgutivas. A tem âo de dsalhamcnto positi va
6 derinid11 c:on1 ctfltn,rào fWIM clnM oo fnc# Jir~ita DE do elem~mo. Os sentidos das
ouun.s tcnsôcs de cisalhamento seguc11í dos requisitos de equiJlbrio. Essa con..
..,nçll.o de slnajJ para as tcMi!es t a adotada no Cap. 3; ela concorda completa;
mente com a dl~cçlio posit.ivn da força aaiaJ e cortante nas barras, como definido
no Cap. 2. Aqut a transformaçl!o de tensões se refe11: à passagan do sistema de
coor.denados ;" ' pora :<:.11. O üngulo H que localiza o ei.•o x é positivo quendo
medtdo do eJ.xo ~"' l':tta o ci.xo y, n;i dire:ção anti.. ho râria..
y
F, - 2(0.924) • t ,BS kg{
F,- 2(0.383) - 0.766tar F.- t (0.383) - Q,383lt&f
N • F, cos «- F 1 seno - F 1 c.os 0: + F,. sen ct
• 2.78(0,924)-I,&S(0,383)-0,766(0,924) + 0,383((),383)
- t,29 klf
S - P t tcnor + F 1 coaa-F~ tenéii: - F4 cosa:
- :1,78(0,383) + 1,85(0.924)- 766(0.38)) - (),383(0.~4)
- 2.t2 kaf.
Aa rorÇ:u N c S atuan1 no pio.no definido por AB. que te conaldcrou iniclalmenle de I mm 1•
r.F11 •
0.
o.
Seus >inais poalllvot Indicam que auu direçi!es admitido o foram corrctamente. Dividindo
CHI-I torçu pela 6re.a n.a qual e.lu atuam. Jllo obtidu u t.en$0es que agem no plano AD.
Assim, a. • J.29 kaf/mm 1 o "• - 2-,1 2 kaJ/mm 1 , que asem na dircç.lo mo.strada na Fig. 9.J(b),
(• )
(b)
(<)
EJemeruos P• l'l cf«JUQ!o de fórmutas par• u tensOe.s em um plano 1n ctinsdo
O proc:edl111onto e n torio r com piela ala~o mB.rca.nto. Efe transpOrtou a dcscriçlo
do estado de tenallo do um conjunto do planos pa.ra outro. Cada sistema de tensões
pertencen te a um elemento fnrtnite!limnl descreve o estado de tendo no mesmo
ponto do corpo.
·
O procedimento de se isoln.r umo aresto e usar as equaçôcs do equiUbrio daS
forças para determinar os tensões em planos inclinados 6 fundamental. As cOn·
vençOcs ordinárias do sinais dtt estética são su(icientes para solucionar q unlqver
problema. O leitor deve vo ltnr n esse método sentpre que aparecerem questões
relnLivns a proccdhncntos n1 uJs nvnnçndos desenvolvidos no restante deste capítulo.
9.3
EQUAÇ0ES PARA A TRA N SFO RMAÇÃO DA TENSÃO P LANA
O uruo expressões nlgebricns, Ullla paro a tendo normal e outra para a de
ci<alhamento. podem ser de$cnvolvidas para o cálculo dt$$as tensões em termos
de outr os ín iciollnen te conhecidos e de um ângulo de inclinação do plano in vesiigado. A depcndencia das tensões so6re a inclinação do plano torna-se evidente.
As derivadas dessas expres.s ões a lgebric.,. em relação no ângu lo de inclinação,
quando igualadas a 1ero, local.ium os planos nos q uais a tensão normal ou de
cisal hamen to atinac seu mlximo ou mínin1o valor. As tensões nesses planos sio
de grande intporlância na prcvis11o do comportam ento de um dado material.
272
Passando um plnno BC normal ao ci~o x ' pelo eleme,n to, é isolada n cunha
da Fls. 9.4(b). O piRno OC fn• um â ngulo O com o eixo vertical, e, .., eS$0 plano
tem urno ó.ren. tiA, ns t\rens dns fnces A C e AD süo JA eos 9 c dA scn 8, respectiva.
mente. Mult ipiJenndo as tensões po r suos respectivas áreas, pode ...se construir um
dlaarruna con• rorças que ngem sobre n cunha, Fig. 9.4(c). Então ~plic·utdo as
equaçôcs de cq uilibrio estâ lico Us fo rças que agem sobre a cunhn ;â'o ob~ticlus as
tensôet rr.~ e t',,.,. :
IF~<:' • O,
- a,c!A cosO cosO- oYdA senO scn (J +
+ 'tz,dA cosO scn O+ T~ydA sen O ccs 8,
a,. • ox cos 2 O+ cr~ sen; O + 2-rx,. senO c:os O
(I + cos 11J)
(I -cos 20)
-= a,,
+
cr,.
+ T_.,,. sen 20,
2
2
CT 11 .dA
a.c. •
a,+o1
o~ -q
· 2
+ ~ cos 20- -t.,, sen 20.
Analoga tncntt, de r.F; -
(9. 1)
o,
cr -a
r ..,
, =-~sen2fJ+~
2
••,. cos'B
- .
(9.2)
273
As Eqs. 9. 1 e 9.2 silo as expressllC$ gemis par:' a tcnsil.o normal e de cisalha-.
mcnto, respectivamente. em qualquer plano denn 1do pelo õngulo O c provocadu
por um sistema de tensões' con hccidas. Essas equaçllcs são aquelas para tranorom1aç.lo de tendo de um conjunlo de eixos coordenados a outro. Obaorve par-..
ticularn1ente que a•. a, e ~".. , slo u tensões inicialmente conhccidu.
9.4. TENSOES PRINCIPAIS
Freqücntcl'ncnto o interesse catA çcntrado na determlnaçft.o da maior tenslo
po<slvcl, dada pei&J Eqs. 9.1 e 9.2, c serAo achado8 " "' prlnlei i'O luaar o• _plano•
em que ocorrem tais tensões. Panl achar o plano para a tendo .normal mént~'la ou
minima. difcrencia-5e a Eq. 9.J cm relação a O c iauala·SC a dertvada a tero, tlto ~
Assim
da~ = _a/E- a, 2 sen 20 + lt..-, cos 20- O.
dO
2
(9.3)
l8 20 1 - (a,-a,)/2 •
onde 0 índice no Ongulo O é usado para designar o dngulo que derine o plano da
tendo normal mâxirna. ou m1nima. A Eq. 9.3 tem d~a.s rai%.es porque o valor da
tangente de um ângulo é o mesmo ctn quadrantC$ dtametralmente opos.'os, como
se pode ver na Fia. 9.5. Essu rallC$ dcfasarn de ISO' e. com? a Eq. 9_.3 e parai unm
a ulo duplo u raltes de 6 dcfasam de 90". Uma dessas rruzes localiza um P a o
c~g que atua' 8 má;w;ima ten~tlo normal; a outrn localiza o plano correspondente
para a tenslo nonnal minhna. Paro distinção entre cssllS duns raizes, usa-se a
notaçlo de uma c duas linho.s.
...
r
scn l0'1 • -sen 20·: r
F 'gLJra ~.5
.j ({(a.. _
;:ns + !,
t
(a.,-<1
Fui'\Ç6et anguJaret l)lfa tensOes póndpiÜ
Arnes de se nva.líar (l S lensOcS acima. observo cuidadosa~ncnte: que se ro~ de~~
jada a locnliuçllo dos planos cm que atuam as tcns~cs de c•s~lh~mc~t~, ~hc~-s~
deve ser feilo iaual a zero. Isso conduz. â mesma relação que a "as ~n~ normail
assim a uma importante concluslo: nos planos "'? que ocorrem
o chamodos
máximas ou minimas nlo existem tensões de C1Sa1hamento~ Esses si . "':rimas
-•
-•- que neles atuam - as normaiS m..
de planos prlnclfXJis de ten...o, e as tcn~ .
.
e mínimas - silo chamadas de unsots pl'mclpcus.
274
M magnitudes daa tcnaõea principais podem ser obtidu pela substituiçio
dOI valoroo das runQ!Ies ~ono e co-aeno, correopondentoo ao &n1ulo d u plo dado
pelo Eq. 9.~ e Eq. 9.1. Ap6o [ei!o i110 c shnplíOcacWI 01 resullo.d oa, a expreu&o
para a mi Jnma tonalo n ormal (Uldicada por a 1) o para a mlnima tontlo normal
(indicada por o-,) llca
(tr• •)::o: • a,- l • ~+a,
l
± )("·-"•)'
2
+ r..•,.,
(9.4)
onde o alnoJ poaldvo na Crente do radical deve ""' uaado para se obter a 1 , c o
tina! noaatlvo para M o bter o-, . O. plano• n01 quai1 ..... ton1001 atuam, podem
ser dctemúna.dos pelo u10 da Eq. 9.3. Uma raiz particular da Eq. 9.3 aubttitulda
na Eq. 9.1 verificari o reaultado da l!q, 9A c ao mesmo tempo locallzarA o plano
em que atua essa tcn1lo principaL
9.5 T!!NS0 ES MÁXIMAS DE CISALHAMENT O
Se tt,.. v, e t ,IQ' alo conhecidas para um olemo:nto. a tonal_o do claulhamen to
em qunlquer plano, definida por um Anaulo O, 6 dada pela Eq. 9.2, e um catudo
semelhante ao fe ito acima para as tenl8t:l oorm.aia pode ser re.oUzado para a tenal o
de oisalhamento. Assim, analogameate, para localizar os planos em que atuom
IS tenaõea de cisalhamento mAxima ou mlnilna, a Eq. 9.l deve ser diferenciada
em relaçlo a O, e a derivada i1ualada a zero. Quando jqo 6 feito, e os resultados
almplificadoa, as o p<>raQõea dlo
ta 202 • -(a, - a,.)/2.
(9.5)
'·•
onde o Indico 2 do O dCiliiJl& o pleno no qual a tensão de claalhamento 6 mblma
ou mlnima. Como a Eq. 9.3, a Eq. 9.5 tem duas raizes. que de oovo devem ser
distinauidu peJa indicaçlo B; ou 6'.'. O. dois planos definidoa por essa equaçlo
s4o mutuamente perpendiculares. Af~m do ma~ o valor de ta 26, dado pela Eq .
9.5 é o lnverw negativo de tg 26 1, na Eq. 9.3. Assim, as ralz01 para os angulos
du plos da Eq. 9.5 dcfasarn de 90' das ralr.ea correspondentes da Eq. 9.3. luo sianifica que 01 lln&ulos que localizam oa planos da tenslo de cisalhamento mbima
ou ndnlma formam ln&ulos de 45• eom os planos du tensllcs principais. A subatituiçio na Eq. 9.2 daa funÇlllc:s seno e co-scno, correspondentes ao ãngulo duplo
dado pela Bq. 9.5 c determinado de maneira análoga i da Fi&- 9.5, dá os valores
mhimo e mlnimo du tenlllcs de cisalhamento. Esses, após simplificaQ!Iea, slo
T::;: • ±
J("•;"•)' + t~r·
'
(9.6)
Aslim, a mâJdma tenslo de cisalhamento difere da miníma apenu pelo sinal.
Além do mais, como u duas r~ dadu pela Eq. 9.5 localizam os planos defasados do 90•, esse resultado também signífica que os valores numéricos das tensões
275
de cisalhamcnto em pla.n os mutuamente perpendiculares são as mesmos. Es,.,
conceito foi .-do repetidamente após reu estabelecim ento na Seç. 3.3. Nessa deduçAo a diferença de sinal dàs d uas rensOes de cisa lhomcnto aparecem da convençAo
pnra loc:allzaçAo dos planos em que • tunm essas tensões. Do ponto de vista rtsico,
esscJ sinais nllo têm signincado e, por essn ra zlo, a ma.ior tcnslo de cisnlbnmento
seril chamada de ltnsdo md:dmo dt clsnlhamt-nro. lndcpcndcntomente do sinal
O sinal dennido da tellslo de cisal hamento pode ser 1emprc deter:rninado por
subrt r tuiç~o direta da raiz particular de 01 na Eq. 9.2. Uma tcnslo de ànlham ento
positiva indica que ela atua na d ireçfto ad m itida na Fig. 9.4(b), e vice-venu. A
clelcrJHinaç&o dn máxima tensflo de cJsalhamento 6 da maior ímportân'c in para
mttteriais rracos na res-istenciu ao eisalhamento. Isso será discutido mais tarde.,
neste capitulo.
Ao contrArio das tcn10es princip•us, para as quais nlo existem tensões de
eisalhomcnto nos planos prlnçípais, as mllximas te naOes de cisnlhamento atuam
etn planos uRnnllnente nllo ll"rcs de tens!Ses normais. A substituiç.tto de 01 da Eq.
9.S, na Eq. 9.1, mostra que a.s tensões normais que aluam nos p lanos d_a s mAXilnas
de cisalhame.nto silo
a'•aJI_ +t!, ,
l.l9 ~íl
l,ll . .
,,, ./I
(b)
I
"m•~
I<)
(9.7)
2
Dessa rorma, uma tens,tto normal ntua simultaneamente com a múxlmn de
cisalhamento a me-nos que ti• + a, se anule.
Se a, e "• na Eq. 9.6 são as tensões principais, T., t zero c a Eq. 9.6
simpiificn·se para
(9.8)
I!XI!MPLO 9.2
Para o estado de ten,lo do E~emplo 9.1, reproduzido na Fia. 9.6(a). rcru-er o problema
1mterlo r para O • - 22.5•, usando as equaçôce s erala p11.ra a tranarorm aqlo de tendo; (b)
ucha.r ns tensões prinelpol& e n'IO&lrar sêus sclllld05 cm um elemonto·a proprJadamCnlc orlc:n.:'
lado: c (c) achar u mâximu lensõc:s de duJ hamento com .. lens6es normais assodadu
moslrar os resultados cm um elemento com oricntaçlo apropriada.
e
Figu, . !l.e
SOI..UÇÂO
Caso(a). P ela aplicaç.llo dlrcta das Eqs. 9.1 c 9.2 pe.rA O- - 22,5 , com "~-= +31cg(/rntnl,
+ J kgl/miT'I 1• c tzr- - + 2 kgf/mm 1 , lcrn~.sc
6
a, -
a,.. - -3 +2- l + -3-2-I coo (-4~ + 2 oen (- 4S")
= 2 + l(0,707) -2(0.707) = l,29 k11r1mm':
3- 1
, _.., • - - -sen(-45") + 2cos(-45")
2
~ +(0.707) + 2(0.707) • +l. l2 kP,Imm'.
o,.
O Jinnl positivo do
indjc:~ tHlçl o ; cnqu.anto u
.
. •
1ensão de cisalhamento alua na ditYÇ<Io + .; c
q c o stnnJ J>C?•Ibvo do r.,y Indica que a
estão mottrados n• Fia 9.0(~ e na Fí& 9.ÓC.c). orno mostra a Fig. 9.4{b). EIS~e.J resultados
c..., (b). A.. ten..XS p.inctp;ú! .ao obtid"' :-neio da
as: tena:llit:s principais do u.chados por me.io da~. .9.3.
Eq. 9.4 Os plano.s CIO que atuam
3+I J(l-1
-2-)' +
o , . ,. l - ~ ±
21 • 2 ± 2.24
o, - + 4,24 ky ;mm' (1.-ação~ o, • - 0,2< k&rtmm' (:ompres.lo)
276
277
Oi -12 1•43'.
.
bso localiza. os doi$ planos principais AB o CD, Figs. 9.6(d) c (c)~ nos quws alu.am tt 1 cu;.
A Eq. 9.1! re&olvida us.ando·se, por exemplo. 0'1 - 31 • 43'. A tcnslo achada por eua e(luaçlo
~a que a tua no plano 118. Em lo, çgmo ~8'1 • 63' 26',
Assim~ - 31•43' c
a - !.ti + ~oos 63• 26' + 2 1c.n 63• 26' •
2
2
Esse re5ultado, além de vedfic:ar os cálculos, mostra que a rnlxima t,e oslo principal
atuu no plano AB. o estado de tendo <:omp1eto em um.dado ponto. em tcrm01 das tensões
principais cst& moilrado na Fia. 9,6(J).
Coso {c). A máxima tanalo do clsalb•monto 6 aeh•da pelo .u•o da 2~. 9.6, O. ?lano1
nos quu.ls cu-as tcns.ôes atuam Slo definidos pela Eq. 9 .5. O scnudo dos ten&Oa de asalha·.
monto 6 dctermlnado pela IUbllitujçlo do uma dai rah:u da Eq. 9.5 na ER,. 9.2. AI t,o n.ea
normais associadas com n mblma tenslo de clulhamento Jlo determin•das pela Eq. 9.7.
+4,24 ka(/mm 1 - cr 1 .
em tensões principais. Para ena finalidade, oonaidcrc um elemento ,ubmetldo 8
tensões do cisalbamento <.,, como na Fig. 9.7(a). Entlo, pela Eq. 9.4, as tensões
principais 0'1 "'2- ± T~,.. isto 6. al• CIJ e T...., slo todas numeiicame.nte jauais,
embora a 1 seja uma tcnalo de traçlo o cr2 wna de compre.salo. Nouo cu o pela
l!q. 9.3, oo planos principais alo dado, por t&28, - co, loto é, 291 • 90" ou '210•.
M•jm, Oí - 4.5" e
lJS•i os planos correspondentes a e1101 lnautos cario
na Fi$. 9.7(b~ Para determinar em que phmo atYil a tcofllo v,, subnitui"'e
90"
na Eq. 9.1. &se cAlculo mostra quo a 1 • + ' e a tenslo de traçio atun perpendicularmente ao pliUIO AB. Ambas u tensõei principais que slo equivalentes à
ff: ..
Ienslo do cisalhamcoto pura estio mostradas nas Figs. 9.7(b) e (c). Th:ssa forma,
sempre que urna tendo de ciaalhamento pura estiver atuando em um elemento.
ontend ...se que ela causa traçlo ao lonao de uma du dlaaonals, e oompresslo
ao lonao da outrL A diaaonal DF na fl JJ. 9.7(a), ao lonao da qual at·u a uma tonslo
de traçio, ~ chamada de dlaQonal d1 cls~lltam410to pos/tiiN}.
~
0í-~ -
t ,_ • J (13 1)/2]' + 2' ~ .j5 • 2,24 kaf/ tnm'
lg 20 =- (l- 1112 - -0.500
'
2
2.0, - JS)' 26'
ou
!5 3" 26' ... !80' - 3l3'26'.
{) /
Assim &'1-76•4)' c O'~= 166•43'.
• 26'
E 92,
Esses planos slo mostrados nas Figs. 9.6(g) c (h). E.ntllo. usando 202 - 1S3
na q. ·
t ~·,
.,_ -
~sen tsJ• 26' + 2cos ts3• 26' = -2,.2 4 ksffmm ,
1
2
quo si&nifica ter 0 çisalhamento ao longo do pln.no EF scnúdo opOsto àquele da Fi&- 9.4(b).
2Dí -
/
(o)
X
{)
(b)
o,- IG,I
I .,.C
(•)
flgur• 9.7 Tendo de cinlh•mtnto pura, equivt!ente e tentbts de triCio·compJesdo Que
atuam em planos iflcllnedot t 46o do. plano. d• oisalhetMnto
II
Da Eq. 9.7
3+ I
.,
,
a ' = -- - 2 k gf1 mm .
l
Os resultados completos estilo mostrados na Fig. 9.6(i).
A descr-içAo do estado de tertsiio pOde aaorll ser elibida cm trés rormGS alternatlv~~
como os dados oriail1almentc fornecidos. e cm termos das tc.nsôes achadu nas _partes
e (c) deste problema. Na representcção matricial do tensor das tensões tem--se
3 2) ou (4,24
O )
O -0.24
(2 1
ou ( 2
- 2,24
- 2,24) kgr/ mm'.
2
Toda; essas descriç6cs do estado de tensio no ponto dado do eq uíva1ontcs. Ob$ct'V'6
que, em umo das rormas apresentadas, a matri~ 6 diagonal.
9.6 IMPORTANTE TRANS FORMAÇÃO DE TENSÃO
Uma lransformação significativa de uma descrição de um estado de ten~~o
em uon ponto para outro ocorre quando a tensão de cisalbamento pura é converto a
278
Do ponto de vista fisico, a transformação do tensão achada concorda completamente com a intuiçio. O material nlo conhece a maneira pela qual o estado do
lensio é descrito, e pouca hnaginaçlo seria necessária para convencer ao leitor
de que as tensões de cisalbam~to tangencial "" con1binam para causar traçio
ao lo ngo da diagonal de cisa.lhamento positivo e compressão ao longo da outra
diagonal.
·
9.7 CÍRCULO DE 1'I!NS0ES DE MOHR
Nesta seção serão reexaminadas us equações básicos 9.1 e 9.2 para a transrorn1ação do tensão cm um ponto, a fim de interpretá-las araficamente. Ao fazê-lo,
serlo perseguidos dois objetivos. Primeiro, pela inter)iretaçio gráfica dessas equações, serâ atingida uma maior compreensão do problema geral da tninsformação'
de tensão. Essa é a principal finalidade deste arti~:o. Segundo, com a ajuda da cons••
Irução gráfica, 6 posslvcl obter, frcq Oentemente, uma soluçio mais rápida paiá
os problemas de transformação de tensão. Isso será discutido na Seç. 9.8.
279
I
:I
"'
Um estudo coidadoso das Eqs. 9.1 e 9.2 mostra q ue elas representam \l m cl reulo
escrito em forma param~trica. A verificação dessa afirmati va é fei ta reescrevendo-_oc
as equnções na rorma
n$. _ a • + cr, = a. -tt, CM 28 + t.-:~ sen 28•
2
2
(9.9)
a -a
-T
sen UI+ r., COI 28.
(9.10)
t.,.,. =
r
o
J!ntão, elevando a.o quadrado ambas o.s equações, somando-.a s e simplincando,
(a ..-a.; a,r+ •!·.· _ ("·;(T·r +•!.·
T
•J
·'
l
(9.11)
(a)
Em cada problema dodo, aJt, o e t,..,. s-ão as tr& eonst nntc:s conh~idas, e ar e
slo a.s variávci5. As:sím, a Eq. ~-11 pode ser escrita cm forma mau compa.c ta,
FJ,gur• 9 .8
como
(b)
(9. 12)
b'.
onde"= (a,+ a~ e
[(a,-a,J/.2] ' + t!, silo corutant~.
E11 a equaçlo ê 1 expre:ssão ramihar do geometria analll.lca para um circulo
(x _ tf)l + yl - b2, de raio b, com seu eent ro em ( + n, 0). Assim, se ro r t-raçado
un"' circulo que sati sfat essa equa.çiio. oa valores simultl\neos de um ponto {x, Y)
nc.stc circulo correspondem a u$. c t Jt'l para uma orient.açlo particular ~e \tn' plano
lncll ondo. A o rdenado do um ponto • obro o circulo 6 a tenslo de o11olhamento
t,.,., a abaciS$3 ~a tensao normal a,.. O circulo assim construido 6 chamado da
t:it·culo dr unsiio ou circulo dr tt'trltfO de Moh;.•
Utn circulo de Mohr baseado na Informação para tenoõcs da das da F ia- 9.8(a).
estA traçado na Fig. 9.8(b). oom a e t como eixos coordenados. O centrO est6 loca-.
lizado em (a, O), e o raio ! igual a b. O ponto A no clrc:ulo corresponde às tensOes
nn roce direita do elemento dado, quando 8 = o•. Para esse ponto, a •. - rSit e
r.,. , • r.,. Como AJ/CJ - <.•,/((a, - u,)/2], de acordo cotn a Eq. 9.3. o fingulo
ACJ é igual a 20 1 •
Com e = 90•, o eixo x' é dirlaido para cima e o eixo y' aponta para a
esquerda. Com essa o r ientação de eixos, as coordenadas do J>C?DIO B no clrC\llo
são a • a e t • - -T • As coordenadas dos pontos B e A samfazem a Eq. 9.11.
...
.,
.,. s'
Jfl
•
de
t
A mesma argumentação pode ser aphcada a qualquer outro par
pon os,
como D ou E. sobre o circulo. As coordenadas de tais pontos dllo as tensões
associados com uma orientação pnr ticula r dos eixos Xy', qoe definem um plano
que pn!!sa pelo elernento. Todas as m(lneiras possíveis de se descrever n,s tensões
cm um elemento pa ra difereo res D são representadllS por pontos sobre o eirculo
de tensllo de Mohr. Dessa forma, podem ser retira dllS llS coneiusões importantes
enumeradas a seguir relativas ao estado de tensi.o cm um ponto.
•l.t ouim dclign•cSo em hon.- do pro(euor Otto Mobr. a.lc:mlo. caue em !89S suacriu •eu 1.1$0 r.OI
problemAS de anãliae 4e ll!ndo
280
l'"rool,.f - "•u.
Cfrc vlo c1e tend o do M oht
I. A maior tensão normal passivei$ é fi 1 ; a menor ~ a J. Nlo existem tensões
de cisalha.mcn to j untamente com qualq uer dessas tensões principais.
2. A. maior tenslo de ciu lhamcnto t"•••" ~ n umcdcamenlc igual ao raio do
círculo, (u 1 - a,)/2. Uma tcotllo normal iguul n (o- 1 + (J,)/2 atun cm cnda um dos
planos de: máxima tensão de ciJalha men to.
3. Se 1'7 1 ""' 11;~:, o dn;ulo do Mohr se degenera cm um ponto, e não se descn·
volvem tcns0e3 de cfsaJhamcnto no plnno XJI.
4. Se t1,. + tT., -
O. o centro do circulo de M o hc c:oincidc com a oógcm dos
çOOrdenadas a-T. c existe o estado de cisalhamento puro.
S. A soma da.s tensões no rmais em quaisque.r dos pl11nOs m utuamente per·
pendicuJares 6 invariante. Jato é,
ux +a., •
IT 1 +a, •
fl,r:·
+ o 1 • • constante.
9.8
CONSTR UÇÃO DO CÍRCULO D E T ENSÕES D E MO HR
O circulo de tensão de Mohr ! bastante u11a~o na pritica para tr ansformaçlo
de lensã.o. P ara ser de \>-alJa, o procedimento deve ser rãpido e sim ptes. Como ajuda
na a plicuçilo, ~ recomendado o procedimento delineado a seguir. Todas as ctapns
de construção do circulo podem ser j ustmcndt\S conl base nas tclnQOes anteriormente desenvolvidas. A Fig. 9.9 mostra um circulo de Mohr tlpico.
L Fazer um d iagramu do elemento para o q ual são conhecidas as tensões
normais e de cis.nlbamento, e tndicar. sobre esse elemento. o sentido a propriado
dessas rc.nsõe.s. Em um probtcmtt real os fdteS desse ~lemento devem ter uma
relação precisa com os eixos do membro em anAlise.
2 Estabelecer um sistem A de cOQrdenadas reL::angularcs, em q ue o eixo horj ..
zontaJ ê a tensão no r:maJ c o c.ixo ''ertical representa a 'ensfto de cisalhamcnto.
281
r
..,,..ria do elemento eslá associada com uma tenslo da ciJalhamento poaitlva:
~,
nolllo reaullado (+a,, -t.) tem o alanificado mo1trado na Fia. 9.9(d).
Procedendo em ordem ínvena, pode ser achado o plano cm quo atuam as
:;,,,nsOos associadu com qualquer ponto no circulo. Anim, traçando uma linha
A a E ou F, illo é, fazendo o ponto correspondenle a 8 coincidir com uma dessas
ttJÍ!'t•.rccptaç;Oe~, d llermina-oo a inclinaçlo do plano no qual atuarn u tensões prin·
reapcctivu. Para e01o cuo • poclal, a dislllneia BS 10 d eacncra cm um ponto.
A tenalo principal, dada pela intenoçlo particular (E ou F). otua normalmcnto
à linha que une e110 ponto com o ponto A. Corno antes, as tonsões potlllvas indicam
8
~ 1[]1 { )
(cl
o
ttllç:lo. o vice·veraa.
Cot:tw.tnçlo do tendo
de eb.llhrunento posJth••
---.~
I
(di
L
.
I
'
~
(bl
Rolo CA -
~~~)) + rJ,
CON.Iru;Jo do çbcuao de c.tulo da M otv
A& ~ir~çOcs doa eixos positlvos slo ton'lodas no ICJ'Itido normal. para cima a para
a d1re•ta.
) , Lcx:aliz.-r o centro do cin;ulo, quç çsr:l no eiJco horizontal a uma disiAncla
de (tJ.- + a)/2 da origem. As tensões de traçio .Ao positivas. e u de comptetslo
são negativas.
4, Da face direita do elemento preparado em (1), ler os valores pura a e <.
e mnrc:ar o pOnto de controle A no circulo. As distâncias coordenadas a esse ...pontÓ
sio medidas a partir da oriaem. O sinal de " • ó positivo oe é de traçlo, c negativo
se de comprcsslo; o de r~ é positivo se parn címa na face dircitn do elemento, e
negativo se para baixo.
S. L.igar o centro do circulo achado elll (J) com o ponto traçado em (4) o
detenninar essa distância. que é o raio do circulo.
6. Desenhar o circulo, usando o raio achado em (S). Se apenas as magnitudes
e sinais das tensões slo de interesse. essa etapa compleca a soluçlo do prob1emL
As coordenadas elos pontos sobre o circulo fornecem n informaçllo necessária.
7. Para determinar a dircç!o e sentido daa tensões que a.tuam em qualquer
plano inclinado, desenhar pelo ponto A uma linha paralela ao plano inclinado
e locali~ar o ponto B sobre o circulo. ~ coordenadas do ponto A, estando vcrticalmcnle no lado oposto do c::lrculo que passa em 8, dão ns tensões que atunm no
plano inclinado. Na Fig. 9.9(b) tais tensões sio idenlificadas por "• c - t,. Um valor
positivo de " indica uma tensão de traçllo, e vice-versa. O sentido da tensio de
cisalhamento pode ser determinado pelo uso da F ig. 9.9(c). A tendência das tenslles
de cisolhamento nas duas faces opostas de um elcmenco cnusarem rotação anú282
Iniciando c:otn o ponlO mais elevado ou o inferior do clrc:ulo, podem Kr deter·
mi:nados os planos nos quait atuam as tensôcs de c:isolhamcnto e aa normaiJ as-*, .soeladus. Por oxomplo, lmaainando que o ponto S so n'ova para r. o plano no
' qual u tensões cm Ta ruam é dado pela nova posiçlo da llnl,. BA, com o ponto
B no posiçlo mait elevada no circulo.
Para resolver os problemu do transromlaçlo de tenslo usando o circulo
. de Mohr, os procedímentot anteriormente deaerilos podem ser aplicados arancamento. Entretanto, recoanenda-so que os eAlcuto.& triaonométrícoa dos valores
erillcoa tejatn usados juntamoniC com a construçlo aráfiea. Enlio o trabalho pode
ser efetuado em um esquema aimpt-. secn uao d e escala.. tanto para disLAnciaa
como para tlnaulos, e ot resultados ter«o prcc.isos. Uaando o circulo de Mohr
delta maneira equivale a aplicar u oquaç!lcs b!Uicat da transrormaç&o de renalo.
EXBMPLoO 9.3
Dado o 011&do do tc.ndo moalndo na FI• 9.10(•~ traruferm6-lo C
-> nu tontõoa princlpait.
e (b) nu tcn.J6ol mtúmu do ctit&lhamento o not rcniOcl normaál aAoc;iadu. Mostrar 01
reauhadoe para ambot ~ euot. em olomontot apropriadamente orlentadot.
SOLU ÇÃO
Para con1truir o dreulo de tendo de Mohr, u soauintta quantidades tio neccnirlu:
cantro de elrculo . no ei,JlO '" {-2 + 4)/2- +I k&f/mm'
ponto A no circulo doo dados da roce direita d<! ~lomcnto: (-2. -4) kaf/mm•
ralo do circulo: CA • .j CDI + DA'-' kaf/mm'
Apól desenhado o drculo. obtêm·• , , - + 6 kaflmm". tS, - - ·4 k,a t/mm'. e t_.. - S
kgr/mm'.
Traçando uma Unha de a 1 em B para A, Jocaliz.a·,IO o plp,no no qual alua a tenslo "L.
Analopme-nte., iniciando no ponto E. e ttiÇIV'Ido uma Unha at.6 A tc..mO& o plano no qual
atua a t6lllio o 2 , A mi.xima te.oalo do cilalbame.nto t - o a tonalo nonnal uaoçiada o tio
dadu pelas c:oorclenadu do ponto F. Dir-ctamente abab:o. no ponto G, • Unha inclinada
+' kat'/m.m e tT • +I kaf/mm,.em elementos
moatrados not diaaramu d& Fia,
AG localiza o plano em ~ue au.aun ,_, •
2
01 rcaultadoa conlplct,OI ea~o
9.1(l(b)
aptopdad.atnente orlont.adot. 01 l.nauloe mostradN do detcrmlnadoa por meio de rolaç6es
triaonomttrieas adequadas. AA!m, çomo <a DBA - ADJDB - 4/8 -O.~ o l naulo DBA - 26' 34'. O plano do c:isalhiUDOiltp m•Jdmo t loealludo a ~ 5" de» plane» do rCNio P<lncipal. Naturalm~nlc. a soluçlo poderia ser obtida lntcíramentc por meio de a.ráfieos.
283
-- ..,,
41q(/mm1
...
~
-l'F~, ~qf/mm'\"
t k.&f/tnm_, :
I!:::=;:.l
':rj..... ___ ....,,j
Compreu.lo
mi..<tlmo Cl')
r
Figura 9.11
Mé·l odo para estimar a di, oçl!o d"$ 101'\JÔH p tincipttl$ máximas absolutas
SOl-UÇÃO
Aqui o c:cn1ro do cSrcufo de Mohr esc:\ em {3 + J)/2 - +.2 kgrjmm 1 sobre o eixo a.
As tensões na ft1c:c direilu do elemento dão (3,3) para coordenadm.s do ponto A sobre o circulo.
()cs$a forma. o raio do circulo ê- igual a 3,16.
I k5t/n.m 1
(b)
F fgur• 1.10
é • illnincn<ivo observac que • direçl'to aproximada do tenslo principal de
maior valor aJg~brlco encontro.dn no o:<;cmplo achna podería ler sido antecipada,
.Em lugar de se pensar cm termos dns tensões de clsalhamcnto e normal, como é
fornecido pelos dados originai&, Fig. 9.Jl(a). pode-se considerar um problema
equivalente, ilustrado na Fig. 9.1J(b~ As tensôes de c(salbamento foram oqui subs·
tituidas por tcn5ôcs equivalentes de lração·comprcssfto, atuondo ao longo das
diugonais apropriadas. Então, por motivos qllaHtativos, o contorno do elemento
origina.l pode ser obliterndo, e a.s tcnsôes de traçlo podem ser destacadas como
no. Fig. 9.ll(cJ. Desse novo diagrama torna-se aparente que. independentemente
das tnagnHudes das tensões parcículares das tensõC:!I en volvidas. a tendo óc tração
m1blmo. resultante deve atuar cm algum lugar entre a tensão de t-raçlo dada e a
diagonnl de ci.salhamento positivo. Em outras pn.lnvras. a Unha d~ nçcio da unsão
principal de motor fJ(t/or algébrfco ; ••atnrgoda" pela ltmsiio normal d~ maior CHtlor
nlgPbrico e dn diagonal de clsallmnumto positivo. O uso da diagonal de cisalha·
menta negativo. localizada a 900 com o diagonal de cisalhamento positivo. ê Utif
na visualização desse efeito pam casos em que ambas as tensões normais dadas
silo de compressão, Figs. 9.11(d) e (e). E..se procedimento rornece uma verificação
quaHtntiva da orientação de um elemento em relação às tensões principais.
EXEMPLO 9.4
Usando o circulo de. Mohr, Ltansrormnr ;a.s tensões mostrado na. Fig. 9.12(a). em tensões
que a.tua.m 1obre o plano a um ângulo c:j(, 22.S' com o eixo vertical.
284
<•I
(b)
Figura 9.12
Um~ linha A.B desenhada paraleln oo plano incHno.do localiza o ponto 8 ; imediata·
mc:nlc: acamo cst4 o poruo D. At. tensões q ue oturu.n no plano examinado do dadas pelas
coor.d~nad.as do ponto D. Es~ solução C facilmente ttlc:ançada por meio de conSLruçlo gráfica ;
anuhttcamente o procedimento é tnenos direto. Esr~e tipo de consttuçll.o gráfica pode ser
us::ado efet.ivamcnr-c parn rornecer uma r6pida veriOca.ç ão qualiw.tiva em trobalho.s a nalilicos
e experímerHais.
Pam trabaJhos num6rJco.s é pOJtívd imaginar dqucmns .trigonométricos especiais paro
cad n ca.s o particul ar. Enaretanto, c.s.se método fteqüentcmente demonstra ser trabalhoso e
a aplicaçlo dJreHl da.ot Eq.s.. 9. 1 e 9.2 e ma.i." fãcil. Ahc.rnativamcnle. pode-se sempre construir
285
uma cunha Um.ic1d1 por dob eixos c o plano lnc.JinadOt c soluciontlf o 'problema. na rorma
llustnct.a no Exemplo 9.1. Em alguns ca.501. o 611imo m~todo 6 a.mblauo.
9.9
dRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DI! TENSOI!S
At~ 0 momento. neste capitulo. se apresentou a transrormaçlo do conde. •
0 c irculo de Mohr associado a ela. para um problema de tens4o planL O tratamento
do problema geral de tra.n&formaçlo de tendo ~ddhncnsionaJ f~gc ao escopo deste
livro. l!ntrelaniO. alguns resultadoo de tal anáhso alo nec":'sànos para uma co!".
preenslo mais completa do assunto. Dessa forma_ serlo feitOS várioc çamonllrios
sobro uan1rormaçlo do estado ele tenslo tridimensional.
Os livros de elas~cidade 0 de plas1ieidade, mostram que qualquer oslado de
·
•
' ou 9.2(• Jl .........._ ser transformado cm
1cnsilo 1ridtmcns1onal
( YCJ& a F'1g. 3...
I' trà
tensões principais que atul\Jn em tres dircçõcs onoaonais. Eu.a é uma gene~ ·~çl~
do ca.so antcr·iormen~ discutido, onde te mostrou ... que duas tens?es. prmc1pa11
aluam cm direç&s oriOIOnais no problema de lenoao. planL Na Fig. 9. 13(n) esti
mostrado um elemento. após a transformação apropnada de tc~slo, comb u . trà
tcns&s principais que atuam sobre ele. Ba.se elemento pode ser vasto cm tr V1SW
dircrcniCS, como na Fia, 9.13(b).
........
Cortospondcndo a cada projeçlo do elemento na Fig. 9.13(b~ podo ser traçado
wn circulo de Mohr, UIWido-oe 01 procedimentO& desenvolvidos anloriormonle.
Por exemplo, para wn c lemao1o situado no plano 1·3, o circulo de Mobr corrct·
pendente paua por " 1 e "• como mostra a Flt~- 9.1J(c~ Clrculoo antloaoo podom
Jer lraQadoa pua 01 planoa l·l o l-3. Os tr& circulo• aarupam... conrorme mollra
a FIJ. 9.13(c).
'
'
'
Em S08Wda, SUponha que, DO lupr de 110 considerar 01 planoa de IIU&~
dat lenoõea princlp&i1, M conaldoro um plano arbilririo 1&1 como o plano 1raco;Jado
K na Fia. 9.13(a). Entlo poda·oe moa1rar• quo u tensecs normal• o de clsalhamonlo
que atuam cm todoa 01 planoo poalwi1, quando lraçadoo como na F'la. 9.1J(c~
caem na parto haehurada do dlaaramL bso •l1111illca quo oa ltfll drculoa Ji deaonhados dlo 08 valorea limitei de todu .. tonalloa poulvois. l!Aiso 6 um ra~o impor:
tante o ton\ usado na discusdo du propriedades do matcrW em um cslado de
tonalo mulliuiaL
Em <:Omparaçlo com o problema aeral acinua. cenl·Se. no problema de tenalo
plana, "• - O. Entrotanlo, meamo ncue problema menos geral, o elen1en1o 6 lrl·
dimonoionaL Oeua rorma. 6 poalvcl catudar u tensõeo em planoa arbitrariamente
orionlados, correspondentes ao plano K da Fig. 9.1J(a~ Isso nlo roi reJ1o anterior·
monto. Com ", - Oalo noccaaârioo t:rta circulos do Mohr para exibir em um grAfico
todu u pouivcia oricntaçllca doo planos. Con&idere, por cxmplo, um olemenlo
com "•
para o qua~ doado um ponto de viola bldimanlrional, o dr<:ulo de
Mohr 10 dca.onera a Ult1 ponto. O mumo olcn'lonto. ob~ervado aeaundo dirorentoa
eixo1. como I c 3, com. por exemplo, " 1 ,. O o " 1 - O. gera um circulo com ralo
iaual a v 1/2. Auim. a direçlo da qual o elemento~ vls1o é da n1aior lmponlneiL
- v,.
PARTE B
T~ANSFORMAÇÃO D E DEFORMAÇÃO
9.10 CONSIDERAÇOES GERAIS
Ncata parle, a transrormaçilo du deformações conhecidas associadas com
..
la)
.,
um conjunto do eixos ou com dircQOa conhecidas seri relacionada com as dcfor·
(c)
mações cm di,.,õea quaiJ<luer. Mollrar·se-é que o transformaçlo das dcformaçõea
..,
Ybtas do cilnwoto aob tlxM pdndpib difaWitU
(b)
Figur• 0 ,13
Estedo ôe 101'\aão uidlmen51Cnll
normal e de ciaalhamcnto se assemelha completamente com 1 transrormação de
tensOcs normal e de cisalharnento apresentada anteriormente. Assim. após o esta·
bclccimcnto das cquaçõea de transfomação da deformação, será inlroduzido o
circulo de deformação do Mo~r. A a~cnção fieQr(l confinada ao calO bidimensional,
ou mais prcciumente ao caso de defonnação plana, o que de acordo oom a Eq. 4.9
si&nifJC& que e, = 7,. - 1, -O. A extensão da tranJ[ormação de dcformaçlo ao
caso geral, cn volvendo o circulo de deformação de Mohr para o problema 1ridi·
'Vejo O. H-•O.Socbl, /M-IM 10 lkn-,t/ rlottldtr for ~ p. U, McOraw·
·.HiU 8oolt Compaoy, No,. lctq... IJSl
287
286
mensional não será considerada. Corno as deformaç(les rn!udmas usunlmenté ·
ocorrem ~as sup:rrícies externas livre de um membro1 o problema bidimensional
t de longe o mais importante.
será romndo conlC aquele mostrado na F ig. 9.15(a) Con1o foi observado na scção
precedente, ISSO conduz a resultados perfeitamente aerais, contanto que as defo r·
[llaç(les scjnm pequenu
Ao se estudar as deformações em um pon~ interessa apenas o dcslocamerno
relAtivo dos ponlos adjacentes. A tra.ns1açlo c rotaçllo de um elemento como um
........
1
A'
todo nlio provocam conseqnancius porque esses dcsloeamcntos sAo de corpo rlgido.
Por exemplo se lor enudada a defonnaç:'lo normal de uma diagonal de compri-
mento d< do ~!emento na Fig. 9.1 4(a~ o elemento em sua condiçlo deformado podé
ser retornado para fins de comparação, como na F ig. 9.14(c~ t imaterial se os
lodos horizontal (tracejados) ou vertical (pontilhados) dos elementos defom1ados
ou nilo-deformados são associados paro detenninnr dó. Para as peque""" dcfor-
-~
o
'· Jx
J
\~_,/
')~ -r
mnções considcruda.s neste texto. a quantidndc releVante, alongação di>. nn dircçlo·
8''
da diagonal, 6 essencialmente n mesma, independentemente do método de com...
pnração empregado.
....
\
8'
o
•
( 1) EJomtiJIIO OtlaiAIII
(b) ElemMIO dc(Otml dO
(c) OlmpatlçiG dos tJtltn~ntot
dtlrormado. c odafnolt.
lbl
foi
Flgw• •· 1 •
Oefo~Tn~Ç6et
engeudn Ct ...~• n!C1i p•., o.du;-1<> d•os. ci4:f01mtç6es ao lof\90
dt tiOYOe tllfO!
Ao se tratar das derormaç6es na forma anterior, apena1 questõea cincmátic:u
r~m rclcvAncia. As propriedades mecãnicns do material nlo entram no problema.
Entretanto, após serem nprcscnto<las as principais caracterlsticM da tranaformaçllo
de deformação, alsumns relnç(lcs adicionais entre lenslo e deformnçAo pura male-.
riais elásticos lineares serlio dadas no final desta parte do capítulo.
9.11
EQU AÇ0ES PARA A TRANSFORMAÇÃO DE DEFORMAÇÃO
PLANA
Ao estabelecer as equt\çOcg para. a transformação de defo rmação 6 necessário
a adoção estrito de uma convenção de sinais. A convenç&o de sinais US4da aqui
foi introduzida no Cap. 4 e se rdac10na com a escolhida. para as tensões. As deforma...A..c.
lineares 1:I e !:~ correspondentes aos alongamentos nas• direçõc.s
x c' y, res-~,._
I
.
pectiva.mcntc, slo consideradas positivllS. A deforn'1açio de C1Sal tamento c considerada positiva se alonga omn diagonu.l com ínclinaçlo positiva no tistcma de
coordenadas xy. Por conveniência, na dedução das equaç~es de transformação
de deformação, o elemento distorcido por meio de deformação angular positiva
288
Ein segujda suponhu que as dcfornu!çôcs t:11 , a,. c Y.. associados com os ci.~os
xy sAo conhecidas e que seja neeessâria uma dcfonnaçllo"Jincar ao longo de algu111
novo eJxo :c'. O novo sistema de dxos :<' y' rcladonn-ec com os eixos xv, como na
Fig. 9. t5(b). NessllS novas coordena das um c::ornpt imento OA. de ta;nanho dx'.
pode ser 1n1aginado como sendo uma diagonal de um elerncnto dHcrcn<:ial retan·
gular d.'C por dv nas coordenadas j nicinis.
Considerando o ponto O fixo no ••paço, pode·se calcular os deslocamentos
do ponto A causados pelas- dcfoumt('ôcs iu:r.posta~ em uma base direrente nos
dois sistemas de coordenadas. O deslocamento na direç.§o x f: AA' - t.~dx ; na
direção y. A'A# - r ,PY· Pua a deformação an!ular, admitindo que da
o
l!esloca mento horizontal mostrado na Ftg. 9.15(~ A"'A "" • y, dy. A ordem na
qual esoes deslocamentos ocorrem 6 orbitrária Na Fig. 9. 1S(bi, o deslocamento
1
AA ê moslrndo em primeiro )ugnr, depois A.A ... e nnnlmen te A"A 111• Projclando
esses deslocamentos no eixo 4v!. encontra-$:: o deslocamento do ponto A ao longo
do eixo .<' Então, reconhecendo que, por definição, •.,.,d.<' também ! o alongamento
eausc
289
I
de OA. no sistema de coordenadas x"y', tem-se a seguinte iaualdade :
&,...d.X- AA' C05 0 +A' A" sen 0 +A"' A"' cos 8.
Substituindo as expressões apropriadas para oc deslocamentos c dividindo
por dx', tem...sc
"x' =- "~r
tlx
dy
tly
;;;; cos O + "" "JXi scn 8 + y,., dii cos O.
Como, entretanto, dX/dx' - cos (I e dv/dx' - s.en O
•..- = • . eos' O+ •, sen' O+ "1., senO cosO.
(9.1 3)
A Eq. 9 .1 3 f: a expresalo bAtica pora a dcron:na.çAo em uma direçlo arbitrAria
derinidn polo eixo ~'(", Paro apUcar essa. equaçlo. do-ve m te.r eonhecidu "·" '~o Y,.- .
Pelo uso daJ Identidades trlgonom~trlcns ]A encontradu na deduQAo da l!q. 9.!,
a Eq. 9.13 pode ser cserita como
•..--
'• +
•, + a,c,
20 + fu
• sen 20.
2
2 eos
2
X
X
- -<•.- •) senO c:os 0-y, sen1 O.
Por meio de argumentação anltloga
p .., -(a,- •) scn O cos Q + y . , cos• O.
Dessa rormn. corno a defonnoçâo o.ngutar Y11 ·~ entre os eixa. x'y' t « + fJ,
tem·se
1
y, ..,. - - 2(c, -•) sen O c:os O + 1.,(cos2 0-scn 0)
ou
sen 20 + 7,, eos 20.
(9.1S)
7••, . Essa é " segunda cquaçAo fundamental para a transformação de de~ormação.
Observe que, quando
é recuperada a deformação angular 86SOCiada eom
-<•.- •)
o - o·.
os eixos xy.
290
9.12
DEDUÇAO ALTERNAn VA DA EQUAÇÃO 11.13
A1auna leitor.. podem elta.r lnteroaaadot em um m41todo dlre.rcnte para deduçlo da
trAntJormaçlo de d.rorm•çl o. Bq. P.13. Sua Nllornadva 6 mal• q_araotori1Uoa dOI m6todot
utadot na .e.tudclda~ • na plutfcldad, 01 quaU podem acr pneraUrado1 para u6e dfmona&OL
. Considere um elemento A.B inicialmente de eomprimenco dJ. Fla- 9.16. Ap61 "' dc-rocmado. euc elemento du loca..... para a pot.lcto A'lr e üca com comprimeJUO d•• . O comprimento lnldal tb 1 - tl.r + lly1 ; enquanto qw o comprimento dcrormado do cJeme.nto
(.t.t• ) 1 - (Jx• ) 1 + (ll'y• p, com dx• - dx + flu o dy• - dy + du.
..,+.
,
(9.14)
Para completar o estudo da tmnsformação de deformação em um ponto,
deve-se estabelecer tamb6m a transrormnçno de dcrormuçilo anaular. Para eua
finalidade. considere um elemento OACB cotn lados OA e OB d irigidos ao lonao
dos cJxos x' o y, como mostra a ria. 9.15(b). Por definiçlo, a deformaçlo de ciu.
lhamento para e"o elemento 6 a mudança no !naulo AOB. Na fijfUfG, a mudança
nesse ãngulo e 11 + fJ.
Para pequenas deformações, o pequeno ângulo '" podo ser determinado pela
projeção dos deslocamentos AA', A' A" o A"A"' cm uma no rmal a OA e dividindo
essa quantido.do por dx'. Ao aplicar""" metodo, a tangente do Angulo 6 con••derada
igual ao ângulo em sl Isso é aceitável ~ u deformac;ões forem pequena~. Assim
- AA' sc.n 8 +A.' A" cos 0-A"A'N sen 0
ll "' tg '" =
rlx'
dx
e/v
dy
0
- - elt- scn O+ 1;1 -d·, cos 0 - ylf'Y -d, son
d;é
As Eqa. 9. 14 e 9.15 pa.ra tran.formaçõca de do!ormaçlo do aniloau às Eqs.
9.1 o 9.2 para tranofor maçlo do tona15eo. Bau caractcrlstic:a scn\ cnfatlu.da pOs·
tcrlormento na dt.eusslo do cln:ulo de deformaçlo de Mohr.
·
•
o
fllgure ·•.1e
0t inctomoniOI lnOnitotimall du delormaçl)ot du o JIJ podom ..r acbadoa formaJmento
poJa repa da cadola da d.ifere:ncJaç.lo para dlfc.rondais tota.la, lato t,
au
au
iJx
iJ)I
·--h+-~
;,,
au
iJx
Dy
• · --··
-~
Uundo aa: ralaçOea acjma., a derormaçlo 6 definida de rorma mai1 convc.nientc pcl•
dlrcrença entro (ds• )1 e dsl. Ena diferença t nro para corpoe: nlo-deformadot.
Para a teoria da pequena dc.rormaçio. na e xpro.,lo para (d,~·• )2. podem ter duprez.adot
01 quadrad05 du pequenu quantidades.. cm conlparaçao com u qua.núd.a.da em •l Assim,
ap6s alaumas manipulações al&'bric:u e simpUncaça.es
(ds• )' -
(t + ~") ~x' + !" dx dJI + (t + ay~) dy' + 2 ax dxdy.
2
2
v.<
2
vy
iJo
Assim
(b • )'-ds' -
2~u dx' + 2~dy' + 2(Du + D•)bdy
~J'
uX
dy
/JX
c. lcanbta.ndo du EqL 4.3 e 4.5. qiJC definem u dctormaç6cs como derin.du d01 desloca·
mento, lcm~so
·
(ds*)'-d•' • :à.rfx + l•,dY' + ly.,dydx.
1
(9.16)
291
PAra pequena• ddormaçôcs. tem-ac. eom elevado p-au de precislo,
(dl "l' -.ts' • (~s · + ds) ('ls'd~ü) d1,. l<.<ls',
{9.11)
{r.,. y, ,f2). Um exame desse circtdo leva a conclusões análogas àquelas tiradas
a.ncedormeru e par a o drcul o de tensão.
rfl
onde a detormaçlo linoat ê '- - {.ti • - ds)/ds peJa ddíniçlo dbsh::a de pequena defonn:açlo,
e conto ds• d.irere 1nulto pouco de d.s. tfs • + d1 ::. 2ds.
laualando-x as Eqs. 9.16 e 9.17, dividlndo tudo por Jr1 • e reconhecendo que e:otO - J:!(jd1 c seno • tly/tll. obtem--..
c.- c_. eosJO + a,. sen: o + 7..,. sen0cos 0.
(9.18)
Essa equaçlo para ddorm1elo llnur t idêntica • Bq. 9.11.
Tomando dois lados inicialmente pe:rpendic:ul1res de um demento e cle:tuando o produto escalar para 01 mesmos dois ladot no cs;ado deformado. pode obter..-se a Eq. 9.JS par•
a ddormaçlo anaular.
ciRCULO D E OEFORMAÇO I!S OE MOHR
As duas cquaç&s bAsícas pam a transformoçlo de deformações, dcduzídu
no artigo precedente. auemelbnm-se matematicamente h eq?a~ para a trans•.
rormoçlo de tensões dedut,idu na Scç.. 9.3. Para se consegutr m;uor semelhança
entre as aparencias dns novas equações c aquelas vistas anteriormente. a Eq. 9.15
~ ree•crha. epó$ dlvlsl o por dois, na forma abaixo, como Eq. 9.19
'•
o
9.13
111, .
1
·";
a,+ •,;e, cos 20 +
lf sen 20,
y,,,, • - ' • -•, sen 20 + !.z
• cos 28.
2
2
2
(9.14)
(9.19)
Essas equações do identicas, na forma matomt\tiça, à transformaçlo de tenslo
du Eqa. 9.1 c 9.2, exceto que os termos y slo divididos po r dois. Como essas
cquoçOc:s deflnen1 a lei de transformaçllo do tensor, os elementos do tensor das
defonnaçOcs devem ser 11tt, e o Yx/2. Essa condiçlo Coi antecipada nas Eqs. 4.7 e
4.8, onde ae contldcrou y_.'ji • '·"~' junttLmentc com r.,. e n.d e nlo y~,. como el~
mentos do um tensor dos deformaçOes.
Como as equaçl!cs de transformaçfto de deformaçlo, com as deformações
angulares divididu por dois, scro mntcmatic;unentc identicas à transformaç!o de
tens!o, pode ser oonstruldo o circulo de dcformoçlo de Mobr. Nessa construção,
cada ponto no circulo dtl dois vlllorcs - um para deformaçio normal o o utro
para deformaç!o ansule.r dividido por dois. As deformaçõ<7 correspondemos ao
alongamento sllo posit.ivu: para contraçilo elas slo nepttvas. As dcCormaçôes
angulares distorcem o elemento, como most ra a Fig. 9.1~a~ Ao tcaçar o. ci.rculo,
os eixos positivos do tomados da 1na.neira usua~ para cama c para a d1re1ta. O
eixo vertical é medido em termos de yf2.
Como ilustra~o do circulo de cleformaçlo de Mohr , considere 9 ue • •• •, o
+y sejam dodos. Enllo, nos eixos •- l/2y na Fia. 9.17, o centro do circulo C
estA''em ((•. + r,)/2. O) e, dos dados fomcciclos. o ponto A no circulo estã cm
r---!.!..;+:;.•!.Fig..,... 1. 17
cr'cu'o de c:leforma,çio ele Mol'lr
. 1: A detormnçlio Uncn.r máximo é r: 1 : u mínima ~ r.2 • E.ssa.s sâo as deformações
prrnc1pais, e nenhumn cletormnção angular estA associada com ela3. As dircções
das deformnçôcs lineares coincidem com as direções das tensões principais. Como
pOde ser dedu:údo do circu lo. o cxpre$$àO analítica. para as deformações principais é
~. + f. ±
(r.,.,.):'~" - ~.~, .,. 2 ... ~
j(r.,-s,)' + (Yx)'
-·-2-
2,
•
(9.20)
onde o &il~oJ positivo c:m rrenlc ao ~:udicaJ deve s~r usado p ura r.- 1 , a máximn detor~
moçllo prmcipul no sentido uliébrico. O sinal negativo deve ser usndo para "'~··
a de(ormnç.tto prl ncJpnJ mlnima. Os planos no~ quajs as deformações principais
otuom podem soe definidos a naliticamen te pc~a Eq. 9.t9, iguala ndo-na zero. Assim
tg 20, ~ -k,
(9.21)
r:.., -e,
porque csao cqua.çi[o tem duau raizes. ela Ç coan plcuuncn te anãJoga ã Eq. 9.3 e
pode ser lratndo dn mc:una mandrn.
2. A moior derormnçllo angular Y..-• ., C igual ao d obro do raio do circulo. ru
deformnçôcs linea res de (<1 + c1 l/2 nas d uas d ireções mutuamente perpendiculares
e.srilo nssoeiada.s com a m:hima dcfonnnçào angular.
3. A soma dos dcfor.naçõcs lineares cm quaisquer d uas éireções mu tuamence
J>erpe?diculllrei é iuvar~an~e. isto é. U1 + .e.: • '"~ + nr =constante. As oucras
propncdndes dos dcfonnaÇÕcs cm um ponto podem ser esta belecidas pelo estudo
pos!erior do circulo.
·
292
293
I
I
EXEMPLO 9.5
Obscrvou-$0 que um o!ery"~c:nto de um c:orpo 10 eot'ltnJ de 0,00050 m m/mm LO
do eixo x. e •e alonga de 0.00030 mm/mm r-. direçio de. )1, e distorec do um l n aUto• do
ra d, como na Fig. 9.18(• ). Achu au dctormaçõa pnn.cipais o determinar • • d.irc~Oca naa
o.ooo6ir
quab: t.s:53.S defo rma ções aluam. Usar o circulo de deform ilçiO de Mo.br para. obter a 10luç1o.
no compt'imen to de medida. Di'l'idiDdo o alonaameoto pelo comprimento do med ida o bt,m -_ae • do(otmaç&o n& cllroçlo e,. que ..,.., incllcado. por ••• ' Efctu&ndo
a m~sma opora çlo com outru llnhu de medlda s!o obtidas •• e o,,. Se •• dlstlnCUOS entre oa pontos elo pequenu, do obtidas medidas prZ~tbnu du dcror-'
mações om um ponto.
,
SOLUÇÃO
o.,,.,-
Os dad01 fornecidos indicam que ••- - 5 x 10- ". c, = +3 • to-•,
-6 x to-•. •
Alsim. em um s i!lema de eixos de c-~ (Ft&- 9. 18) o cc..ntro C do circulo catllocaliudo em
+ t 1 ){2- - 1 x lO .... no ei.110 "' O ponto A csu\ cm (- S )( ro-•. -3 >c to-•). O raio do ·
circulo AC 6 lauaJ a S x 10- ". Aulm $ 1 - + 4 >< 10 "' ... mm/mm ocorro na diccçio porpon.
diculat i linha A - 1 1 : c ~: 1 - - 6 >c. ao - ~ rnm/ mrn ocorre na diroçi.o perpendicular 4 Unhâ
A - 1 J . Pcfa aeomotria da fi aura. (8 ( - ta - I (0.0003~0009) • I r 25',
<•..
.v
~ l( J(l ol
(o)
PlgufW e.1e
(b)
(o)
<•> "ou" de d e torm1çlo a_,..fce, ( b) roNta Cll <l• fOtf'Nç: l o rete,oulet ou •
•a•: (e) to.. l« equlangullt ou delt.t
'•
Ih)
9. 14
F ig u ra t.fl
MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO ; ROSETAS
As n1cdidas de defo r mações lineares são pnnicularmcn te simples de se raz.er.
c técnicas a ltamente confiáveis roram desen volvidas para essa línalidade. Em tal
trabalho as derormaç<~cs lineares são medida.• ao longo de diversas llnhas eoncên-.
tricas, esquematicamente indicadas na l'ig. 9.19(a) pclu linhas n-a, b-b e e-c.
Essa$ linhas de sensores podem ser loc-aliz.adas sobre o membro invesciaado •.
referidos a olguns eixos coordenados (como x c y) pelos respectivos ângulos 01 ,
0 1 c o,. Comparando a distAncia inicial entre qua isquer dois pontos correapon-.
dentes de medida com a distância no mernbro sob tendo, é obtido o alongamento
• essa mcdjda pOde acr tomada pda inscriçAo de urn pequeno quadrado $Obre um ~ cteror-;
1nando-o, e. entl.o. medindo A v:uiaçlo angu lar ocon:idll. Amplla;ôes rotostAficas dt retlculos tem Pelo
usa<las pa.r11 ua Rn&Jidadc
294
Como alter nativa para o prococ:Umcnto experimental antedor. é conveniente
o emprego de sensores ciét ricos. Consistem elu em lios bem finos ou de rólios
colados ao membro lnvesllpdo.. Qu&ndo .., rocças sA.o aplicada• a um membro.
o alongamento ou contcaç4o dos liot o u f61ios OQOrre concorrentemcnlc, c::om
mu.d":."ç~1 ae~hant• no material Buu mud1mças de comprimento alteram a
ra1sterrCla cl~tnca do sensor, q ue pode ser medicla c calibrada para indicar a dcformaçilo ocorrida.
·
Os arranjos do linhas de aensorcs cm um ponto, na forma mostr ada na Pia. 9. 19,
do conhecidos como ros~tar tk dl([ormaçiio. Se do tomadas trb medidas de
derorma.çlo em uma roseta, a informação ~ s olícientc para determinar o estado
completo de deformação plana em um ponto.
Se os ângulos 8 ,, 9, e e,, jun tamente com as correspondentes defor~unções
c.,. •., e .... rosscm conhecidos atravb du medições. poderiam ICt escritas trts
equaçõeo .•imul tãneas delinelldas segundo a Eq. 9.13. Ao se escrever 8$$&$ equações,
é convensente e~npregar a aeauJnte no1açào: •..- • ta,• t."',. t,,, eK.. = e,,.
2
4t, - F.x COS 0 1 + c, aen 1 9 1 + Y._, sen 0 1 C:O$ 0 1 ;
... - •. cos' 01 + •, ....,. O, + 7,, sen 01 cos o, :
(9.22)
't, - Bx COSJ 91 + 87 scnJ 0 3 + y,~ scn 0) cos 9 2 •
Esse conju nto de equações pode oet solucionado para s , • c ., e o problema
se transrormH. nos casos ante.ciormente considerados.
~ ,.
~~~
Para d i minuir o lrabalho de c4Jcu lo, os scruores cm uma rooeta sl!o usualmente arranjados de maneira Ol'denada. Por exemplo, na Fia- 9. 19(b), O - o•:
O, = 45• e 93 = 90°. Esse arranjo de Linhas de seosorcs ê conhecido comoL rcum -
=-
295
Solucionando tSS3S equações s:imultanuroente pasa as tensões pr incipais,
obtém-se as relações desejadas:
gulnr ou rosna de deformação a 4S•. Pela aubstitDiçlo direla na ~· 9.22, acha.,, .;
para essa rose1a
c..
~
!u
(9.23)
.... -2+2+2
ou
Assim 11 , r.
As conslant es elâs:ticM E e " devem ser determinadas de: a lgumas experiências
apro priad as. C om a ajuda de tul tl':tbalho expcrimentul, probtcmas bastante co m~
tornnm-se eanhecidos.
Oui~o ~rrnnJ~ de linhO. do sensores está mostrado na Fig. 9. 19(cl; ~a ~ a
conhecida rosl!to ~ul.nng~lar. ou delta. ou dr W . De novo. pelA substlluiçl.o na
Eq. 9.22 c simplificando,~.• -~:0•• c,.- (âllícr + lc:tlcr-errl/3 e l'x,.- (2/~) (et'O"-ct2c-l·
O utros tipos de rosetas são ocasionahncnre usadas cm e~peri~neias.. Os: dados
de todas as rosetas podem ser annlisados pela aplic•çAo da Eq. 9.22, resolvendo
para e c c y e cntfto aplicando o circulo de dcrormação de M ohr.•
• AÍ~u~as ~etu com mais do que tr~ linhas do ocasionalmente U$adas.
Uma linha adicional de medida fornece uano verificaçlo do trabalho cxpcrbnental.
Pnra essns ro~ems, n invarii\11cin das defornlnções nas direçõcs perpendiculares
pode ser usada para verifieaçl\o dos dados.
A aplícaçl\o dB t~nica da roseta experimental em problemas complicados
d e análise de 1ensões ~ qua&e indispen:JAvel.
R ELAÇ0 ES LINEARES ADICIONAIS ENTRE TENS~O E
DEFORMAÇÃO E ENTRE E. G E •
N ctta aoçJ.o ..o discutida• rclaçôct adicional• entre. tenaao e dero rmaçlo
pura materlah laotrOplcos, llnearmc1Jio oiAstlcoJ, llen• rela9Doa ollo 6tol1 para
obtençlo du tenslles • partir do deformaçOes planu 1 para .., a cha{ mudan.....,
volumttdcas nos materiais elásticos submetidos a uma p ress.lo extema unitor,me,
A relação fu ndamental entre as constantes elbtieas E. O e v tambêm ~estabelecida.
9.1$
l{pfação rurre ll!nSÔP3 prlncipt~l$ P defor•Jtta(.'Õf'S
Em muitas investigações prétícas as deformações na aupcr:ficie de um ntcmbro
silo determinadas por me.io de rosetas. US8ndo o circulo de deformação d e Mohr
ou as equa90es de transformaçlo de deformaçã o, pode-;Se a char as d eforma9Des
principais. Pode-se, ent!o. determinar d ircttamente as tensões principais. Pa.ra. est.ap,
belecer o• equaçÕes apropriadas, dcve· se otmervar que, em um problema de tenslo
plana, o, ~ igual a O. e que a .Eq. 4.11 escrita em termos das t ensões p rincipais se
simplifica para
c
• Fotam c&ctc:n'I'Oiv14M .tOioç&-s atU.cat CIOdwl11cnlcs pana • cltfonna.ç6cll principais. • partir- de
deformaçOa medidas. Vo)l O. Mvr-phy...A Or:aphlc:a! Mcthod ror thc Enluation ot Principal Stnins
frc m Normbl Strains·•, Jmt+mtl qf Appii~J M r:dumln. llll945). A.-209
296
plicados podem ser soltlcionados com suc::esso. •
t i'
eJ(E\4.PLO 96
em um certo ponto do nma J)e('U do aço de uma. mâqulna. u mcdjdal com oma roseta
rctnrlgular el~tricu. incHca q ue t 0• = -0,000.5(). .e",. - + 0,0002, c r, 0. <e: + 0.00030. Admitindo
que E= 2 1 >C lOl tgf/u·u n.t c"= O.J sao su ficientemente precisos. ac;har u tens&;s principais
no pt)OlO Ü1VC:StipdO.
SOL UÇÃO
Dos dados fornecidas ex • -0.00050, &.. = + 0.00(>30. c
•'
1._,- 2t,.,~- t•r + C.crl
- 2( + (),0002) - (- 0,000SO + 0.000:101 e + 0,00060.
As dcfonntu;~s pri n ci ~• ft paru c.S5et dado!l rorrun nchadot no Exeml)fo 9.$ e s4o 11 1
+ 0,00040 c 11 2 - - 0,00060. 1\s:Jirn. pcllt Eq 9.23, llS priocipa.ls tensOes Jl'lo
21( 10) '
(O,J)l ( + 0.00040 + O,J(-0,0006()1]- + 5.01$ k cf/mm'.
1
lJ(1 0) 0
"' -(0.J)I(-0,00060 + D,l(+O,OOO• Ol] - - l t.OKJ kg(/n,01 • ,
1
c:omprutllo o 1
A tenstl:o do lrt~q!o o 1 lliUfl nu d lrodo de c 1 • vcjlt • Fit;. 9. 18. A temlo
atua na direç l o d e ~
"• -
«
R,JnçRo ~ntr~ E, G e "
Foram eat~bdeeidos métodos de t rnt13fonnnçOo de uma descriçio do catado
de tensão o u d e deformação em outro. Na Seç. 9.6 colocou-se enrasc particu lar
no fa to de que as t eru&cs de cisalh.an1ento p uras pod em ser tra nsformadas em
tens~ normais p urn.s.. C essa fo rmR. de~sc concluir q ue as deformações pro vo.
cad ns pelns tensões de cfsalha mentc> p uras devem relacionar-se com as dcfor·
maçOes causad as pelas tensões normais. Com base nessa aeertiYa. pode...se estabe-'
lec::r uma rc laçlo fun dament al ent re E. G c , para mlllcriais isot rópicoS olâstic:os
lineares.
De ac ordo com a Eq. 9. 13, eoon a penas
O, par n um eixo x' com O • 4S•,
a defo rrnaçfto h near t:.•• - Y./2. Essa. defo rmação linear r.~. pode ser relacionada
c:om a tensão de cisalh :unento 'f.q porque, de acordo com a Eq. 4 11, t~ ~ G7lFJ·
y,,,.
--ve;a M. 1-fcttnyi. odir or..e ~ek.. Halttfb«)k nf i!.Jc/"'!Íft!#'tllttl St~t>M ÂNtll~ls, Soeict)'
Sl.r~ "naf~4 John Wile}l & Sons. Jn~ " o\la Iorque. 19SO
ror Experimental
297
Assim
moiras partes da E<j. 4.11 do...., ser ad icionadas. Isi<> conduz a
,
e,. = <r/(20).
1 -2v
Por outro lado, de aCÔtdo com a Seç. 9.6, a tensão de cisalh amento pura T
pode ser c11pr~a altemati vamc:ntc cn1 termos das tensões principais a 1 • T ".;
t1 ~ - - 't.'tJ>' D;:tuo.ndo a 4S• com as direções das teniões de ci&a.l hamcnto (vojX: L ·
F 1g. 9.7). Asstm, usando a Eq. 4 .1 l , vc!~se que a deformação linear ao Jonao do eixo
x', com O =- 45• em termos das tensÕes principais. fica
c• . = B 1
=r-E v --E
DI
<.,
Dl
5'
::.t!.t (1
E
+ v)'
Igualando as duas relações nlternativas para a deformação ao lo ngo da dia- ·
gonal de cisalhamento positiva e simplificando~ tem·se
G-
E
(9.24)
2(1 + v)
Essa e a relação básica entre E, G c v; ela mostra que essas quantidades nllo
são independentes entre si. Se quaisquer duas dessas s ão determinadas experim entai·
m ente, a terceJra pode ser calculada. Observe que o módulo de cisalhamen to G
é sem pre menor do que o módulo de elasticidade E, porque a relação de Poisson
v é uma quantidade positiva. Para a n1aioria dos materiais "" está na vizinhança .
de 1/ 4.
Dilatação; módulo volumétrico
Estendendo alguns dos conceitos escabelecidos, pode-se deduzir uma cquaçlo
para mudanças volumétricas nos materiais elâsticos submetidos a tensões. Nesse
processo. dois termos novos são introduzidos e dennido$.
Os lados dx, d,v e dz de um elemento inlinitesimal após a deformação ficam
{1 + •,)dx, (I + r.,)dy c (I + c,)tlz, respectivamente. Após a subtração do volume
inicial do ch:mento derorm ado, 6 deter•ninnda a -v ariação de volume. Assim
(I + •,)dx.(l + •)tiy(l + e,)tlz- dxdydz "" (t, + •, + • ,)d;<dydz
onde os produtos de deformação exty + l!1B= + e.,ex + e~~:t::;:: • sendo pequenos, slo
desprezados. Dessa forma, na teoria da deformação i nfinJtesimal (pequena). e, a
variação de volume por unidade de volu me. é freqüentcmente denominada ;m.atação.
sendo definida por
(9.25)
onde a última igualdade se segue do fato de que e é um invariante. U m caso mais
restrito de invariância de defo rn'laçào foi encont rado na Seç. 9.13 para o caso,
bidimensio nal, onde se mostro u ~ue e 1 + s 1 = P..:t +
As deformações angulares
não causam variação de volume.
Com base na lei de Hooke generalizada, a dilatação pode ser e~pressa em
termos das tensões e d as constantes do material. Para essa fi nalidade, as três pri-.
s,..
298
• - •. + c, + s, - -y- (u. + u7 + uJ,
(9.2 6)
que significa ser a dilataç!o proporcional 11 soma alg6brica de todas as tensões norma.io. Como oon trapartida dJrot& 110 Invariante do cle!ormaçllc,o, a aoma (a + u + u i
6 utn inva.t iante de ten•5ee.
~
Ji
•
Se um corpo olástioo 6 submetido a uma pressllo ltid tostatlc:a do intensidade
uniforme p, tal q ue a; r - g , - a. - - p, enlio da Eq. 9.26
3(1-2v)
- p
E
" p
ou
- - k .
(9.27)
E
•
3(1 - 2v)
A quantidade k repr.,sent& a relaçlo c,ntre a tenalo de oompreoolo hidroatitica
e o dec~scimo do volume e 6 chamada de nr6dulo dtt ccrnpreu4o ou m6dulo
uo(wnétrlco.
·
·
PARTE C
CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E DE
FRATURA
.
9. 16
OBSERYAÇOES PRELIMINARES
Noa capltuloa anteriores do texto, quando foram consideradas as tensões
devidas a carrega.menlos axiaia ou 11 torçilo pura, as tensões calculadas poderiam
estar relacionadas com a lguma experi~cia amlloaa para o mesmo material. Com
base em tal evid~cia experim ental. o comportament<;> dos membros com relaçlo
ao e~coame nto "• pr ovável frattu'&, pode ser previsto com razQávcl srau de prccislo.
A resposta. de um material A tensão axial ou tendo de cisalbamento pura pode ser
convenientemente mostrada em dia&ramas de tenslo-dcfo rmação. Isso foi discutido n.os Caps. 4 e S. Tal aproximação di reta nlo 6· passivei, ent retanto, para
um estado complexo de tens ões que b característico de muitos elementos de máquinas e d e estruturas. Dessa forma, é importante estabelecer crit6rios para o compo rtamento do• materiais com eatadoc de tendo com binados.
Infelizmente, até o momento, 01 critérios ~ uanlitativo~ para o escoamento
e a fratura dos materiais em estados de len slio m ultia.xial silo incompletos. Várias
qu.,tões permanecem sem resposta c fazem parte de uma área de pesquisa de
materiais. Nilo se pode ainda fornecer uma resposta com pleta por qualquér teoria.
Nessa parte do capítulo, serllo dillCUtidos em primeiro lugar dois critérios bastante
usados para análise do compo rtamento das tensões combinadas em materiais
dúteis. 1880 é seauido pela aprcsontaçllo de um critério de fra tura para materiais
frâgeis. Una poucoa critérios adiciooais do fratura, ou falha, adequados para m uitos
materiais, sllo dados no 6n al do capitulo. Ao se classificar os materiais dessa
ma-
299
neira, estritamente falando. está-se referindo ao estado frágil ou dútil do material,'
porque cua caracteristica. 6 bastante afctada pela lempemtura assim como pe10
est11do de tensao cm ai. Rcopostu mais completas a tais (jllest15eo forem ao ""copo
deste livro.
. do que a ... .. Dessa ronna, o critério conespondente a esse caso é
lo, l .;; ""'
...
TEORIA DA MÁXIMA T ENSÃO DE CISALHAMENTO
A teoria da m'xima tcn.slo de eise lhamento,• ou simplesmente teoria do
cisalhamcnto mbimo, resulta da observaçlo de que, em um material dútil ocorre
9.11
e
(9.29)
ju., ! ,.. "a•'
..,
...
I~
-~-
1
deslizamento durante o eseoame.nto ao longo de planos criticamente orientados.
Juo IUJCI'II que a tenslo de ciaalhamento mbima execute o papel principal, e
admlte•M que o escoamento do material dependa apenas da mbima tenslo de
ci.salhomento alcançada no interior do elem entõ. Dessa fo nna. sempre que u.rn
certo valor crhlco t..,. 6 a lingido, inicia·se o escoamento em um elemen to.•• Para
um dado material, ...., valor usualmente é feito igual à tensão de cisalhamento
no escoamento em trAçlo simples ou c:omprcsslo. Assim, de acordo com a Eq. 9.61
se a10 - ± O' 1 " O e tS, - t 11 , - O.
'I t M.
ii,
rf'
-1±"'1 -tr-,
2
2
...
(9.28)
significando que, se a,"' 6 a tendo encontrada no ponto de escoamento. por
exemplo, cm um teste simples de traç!o. a tcnslo de cisalhamento máxima é a
metade daquele valor. Easa conclusfto tamb~ ~ tirada do círculo de tensão de
Mo hr.
Para aplicnr o crit6rlo dn mbima tendo de cisalhamcn to a um estado de
tonalo biaxlal, n tenslo m6xJmn do clsalh•mcnto 6 determinAda e iaualada a T...,..,
dado. pela Bq. 9.28. Ao rue-lo pora ns tcns!les principais "• c "• com u, - O, devem
ser considerados dois casoi. Em um deles, os sinais de <T 1 o <12 slo ot mesmos. O
caso em que o 1 e "• alo ambo• do troçao estA ilustrado na Fig. 9.20(a). Uma visfto 1
isom~trica juntamente com ns tr~ projeçlles do elemento sobre os eixos de tens15cs
princJpaJs e os correspondentes circulas do Mohr para o estado de tensllo tridi'
mcnsJonal alo mostrado:. no diagrama. Os planos alternativos da máxima lcnsao'
de cisa_lhatncnto no lonso da q ual o desHzamento pode ocorrer estão indicados
na ligura..
.
.
A máxima tenslo do cisalhamento para o caso da Fig. 9.20(a) é a mesma que
pura uma tensão unlaxial. De.ssn fo rma. se ja ,/ > ju 2L de acordo com a E9. 9.28>
lu,j nilo deve exceder "-· Anologamente, se u, j > ru, ~ ja,j não deve ser tnaiC>r
•e.•
ceoria J)areat t ct 1ido orialn~tlmonte proposl.tl pu C A. Coulomb. cm t771 Fm J86l H. TreM:~
apresentou Ot ruull.od01 d•uc trebalho tobto ueoan.wnto de metsis 110b arandet ptts$6es. no. Ac:adeMi:~
FranCC$L Aaora eu. lt«Íii rRqOenlemcncc leva $eU no:mo
.. •em ertata.il t lmplü, o deslium~ to ocorre ao kln,!O de pla.n:01 c~ pc-er.erc:eei&ls. Nos c5111dos
clcuc rcnômcno a compotlt '* clcdw 4& t.cntlo de cita.lbamcmto q..: c:au!1f. detlü:amento deo.e ser cuidado.._tuent• dele.rminmda Admitc:-.tc aqui q_ue, por nwa da oriCDtaçlc alut6ric doe numerosos crbtJ.ia.. o
maccrlal tcnlila proprlcdadca b oirôpic-u, • u.rim. determinando '-~ eoConcra-se a tc:nllo de ciÍaJMmauo crhic:a
·
300
...
(a)
T
...
..,
Figura ~.20
(b)
"t:.;,",.l,:.l_+r t-".:,:
11
r,... • -
Pl ~nos
de
1',. ...
pata material IIO·
HOpicc
Se os sin a~ de o, e a 1 são opostos, a tensão de cisalharnento máxi ma
'·- - [jc ,I +J.,.,IJ/2. Os planos dessas tensões ~ue correspondem aos passiveis
planC>S de desliza mento estão na F ig. 9.20(b),. Como antes, para se o bter o critério
de esçoo mcnto. r~ não deve C::\t edec a máMill'\..a tensão de cisalhamento no escoa·
301
.nen1o no ensaio unia.xial. E;cprea.aa mate.J.naticamentc
I± ;"'ltó 2'
0
cr,
ou, para o escoamento im lnente,
a,
cr
1
~ ---=
ti.,., a ••
±: l.
(9.30)
A Bq. 9.30 podo ser traçada como mostra a Fig. 9.21. Seus resuhadoa tfrn
relevAncia apenu nos aegundo e quarto qua d ra.ntea. No primeiro e no terceiro
quadrantes se aplica o critério expresso pela Eq. 9.29.
Considerando a- 1 e <rJ como coordenadas de utn ponto, pode-se ver que aa
tcnslScs interiores ao hc.xáaono da Fig. 9.21 indicam que nio houve ocorrinci:a
de escoamento do material. isto é, que o material se comporta elasticamente. 0
estado de tendo c:or·r c.spondeote aos pontos quo caem 'obre o hexágono mostra
que o material eltá escoando. Nenhum ponto podo cair fora do bex6gono.
Ú'i,.
div idida em d uu parte• : uma uaociada com as mudança• volumétricas do
e outra caus&ndo diatorçlle& de cisalbamcoto. Jaualando a eneraJa de
~·dist<Ot~~o de cisalhamcn to no pon to do ucoan:~ento li traçlo aimples, com aquela
tcnlio combinada, 6 eitabelecldo o ctiterio de escoamento p ara ten são combinada.
A
de ded uzir a cxpf<>aslo para a condição de escoamento com tenslo
combinada, deve ser emprepdo o procedimento de aoluçlo do estado geral de
tenslo. Eue se bttllllia no conceito ele superposlçlo. P or exemplo, ! posolvel conslcletar o ten50r du lensõel du 11'61 tcns<lcJ principal• - .,., , "• e "• - como
consdtuldo por doia tcnaore~ oompon• tos aditivo&. 01 elemen tos de um tensor
componente alo definidos como a tcnslo "hldrostiLlioa" média
run
11- v, +"3a:+ tr~ .
Os elemen101 do o utro tensor do (cr 1 - "}. (cr;-êJ) e (cr 1 - l1~ Escrevendo em
·roem a matricial, tom-ao
( ~0, ~.
0(- 1,0,-1,0)
P'lgur• 8.11
Crit6tlo de etcoi!mtnto ba·
•••00 ne m •~· me ttneto dt ciult'llm•niO
O bserve que, de acordo com a teoria de cisalhamento máximo, se forem
adicionadas tc.nsOcs de compressão ou tração hidrostática.. isto 6. tensôes toia que
u'1 - tT, = a-'3 , nenhuma variação ~ prevista na resposta do material Adicionar
essas tensões meramente desloca oa círculos de tcnslo, lal como na Fig. 9.20, ao
longo do eixo a, mas t"~ permanece a mesma. Esse assunto ser6 comentado na
próxhna scção.
erit~rio de escoamento acima deduzido é rreqüentemonte denominado
condlçtio tlt tSCOtJmrmo de Trts(lQ c é uma das leis de maior uso cm plasticidade.
o
9.18
T EORIA DA MÁXJMA ENERGIA DE DI STORÇÃO
Oulro critCrio de escoamento de larga aceitação para materiais dúteis, iso-.
trópicos. é base~d o em conceitos de energia.• Nesse mêtodo a energia elástica total
•A primoara tcnUuiv• d: uso dA cnetgb totnl como cth6no de cS.COIU 1'Kinto roi rei~;& por F- Bdtra.mi.
na Jljfia. em IS&S. Etn sw: (Of'ml prcu.ak. • lcorie foi proposl.l per M.. T. Hubcr. da Polónia, em l904,
o roi descn vohid.l pOiteriorm~Uc: c up&ada por ~ YOn Mi:scs (1913) c K Hc.nct:y ( J9lS). ambor d.
Alcmunha. c do• EUA
302
(9.31)
g)- (g ~ g)+ ("'~
11
"•~11
~
) · (9.32)
O
"•
O
O ii
O.
O
cr 0 -iJ
Essa soluçllo do estado de aoraJ tendo catá mostrada esquematicamente na
Fig. 9.22. O caso ..spccial de aoluçlo do catado de tcns~o uniaxlal da figu ra roi
desenvolvido ainda mais. A 110rna das tcn~os nas Fia .. 9.22(1) o (g) correspond e
ao ultimo tensor da Eq. 9.32.
Para o estado de tcnslo tddlmenaional o circulo de Mohr para a primeira
componente de tensor da Eq. 9.32 oe dcaoneta em am ponto localizado cm 11sobre
o eixo tr. Oeua for ma, u tentlSel auooladaa com oue tenaar alo u mesmaa em
cada dlrcçlo poasloel. Por eua ru&o, cue tentor 6 chamado d e t e11sor de ltnsão
tsférlco. Alternativamente, da Eq. 9.26, que estabelece ocr a dilataçlo de um corpo
elástico proporcional a ii, esao tensor também ê cbamado ele toiiJor tle tensão li•
dilatnçQo.
O óllimo tensor da Eq. 9.32 ô chamado de UIISOr dt< ten.s<io desvl11dor ou de
distorção. Uma boa r lU.Io para a escolha desses lermos pode ser vista nas Figs.
9.22(1) e (s). O estado de tenllo q ue consiste em tração o compressão em planos
mutuamente pcrpcnd icularca é equivalente ao de tensão de cisalhamento pura.
Esse Oltimo sistema de tensOes, como se oabe. nl<> causa varia90es volumétricas,
mas apcna.s disto r ções c d esvios do elemento de sua forma cúb1ca iniciaL
Uma vez cstabclccld& a base para a soluçlo ou dccomposiçlo do estado de
tensA<> em componentes de dil&taçlo e dislorçlo, pode-se acluu a energia de defor·
mação devida • distorçlio. Com essa finalidade, a Eq: 4.21 é reescrita em termos
das tensões principais, isto ê. com T_,,. • tr- - t'._..- O. Isso dá uma expressão
geral para a encrp de dclormaçlo to tal por unidade de volume:
u,..1 = ~ (cr! +.r,+ <r.>- ; (<1 1<12 + "•"• + u,cr,).
2
(9.33)
3 03
Para a renslo pla.n a <r • - O. e a Eq. 9.36 na fonna d irncnsionaJ fica
( -"•)' - (- + (-"' )'
"'- -"•)
- I.
(9.37)
a..u tlt!'"'
cres~
Essa é a cquaçfto de u ma elipse, cujo traçado catá mO!Ilrado na Fig. 9.23.
Qualquer tens.lo no interior da elipse in dica que o material se comporta clastica·
mente. Os pontos aa clípse ind icam que o m aurial esrli em cscoamearo. Essa ~
a mesma interprC-laçlo q ue a dada an tcrionncn te par:a a F ig. 9.2L Ao retiraJ' a
o,.,~
=
c~&:t. o
(•)
matenal co mporta-se eJasticnmerue.
(b)
Ffgu ,. S.2.3 C rh••lo de n coamento ba
nado na rtltxima ene-g a W Õ1$10"Çi0
(d)
(f')
(•)
(I)
"C - 1,0,- t ,O}
rltlfldO «QQ141ltaJ dO leftllo
F igure 1 .%1
(dlstorclone lt)
Rtteluelo dn ten11611• principais em etle1fcta (dll•tecJon•la) ou datvlecforft
A energia de derormaçdo por unidade de volume devida às tensões de dila-.
taçio pode ser dctermínada pela Eq. 9.33, i nicialmente ~a.zendo a 1 - a J - a J - p,
e entio substituindo p por 11 - (a 1 + a, + v ,J/3. Alslm
u,,~.K·-
3(1-2v)
28
l - 2v
"
1
p = 6E (a, + cr, +O' v .
(9.34)
Subtraindo a Eq. 9.34 da Bq. 9.33, sitnpliAcando, c observando da Bq. 9.24
que o - E/2(1 + •J. encontra-.s c a energia de derormaçllo de distorçfto para a
tensão combinada :
u...-·~- -120
·- [(a, -a,r + (cr,-cr,)' + (cr, -u,}'].
(9.35)
De acordo com a premissa básica da teoria da energia de disrorçllo, a exprcsdo
da Eq. 9.35 deve ser igualnda à malxima energia de di~rorçll~ n~~; l raçAo simples.
A úhima condição ocorre quando uma das tensões pnnclpaas atmgc o ponto de
escoamen to cr do mater ial. A energia de derormaçlo de disro rçAo para ela 6
2cr'..J120. lgu;Ínndo-a com n Eq. 9..35, após olgumas sim plir.ca96es pequenns,
obÍém-se n lei básícá para o material plástico ideal :
(.- 1 - v 1 )'
304
+(a 2 - a,)' + (a 3 -cr 1 ) 1 - 21r,u.
-r
(9.36)
g importante o b8erVIif ~lie essa teorl• nllo preve mudnnços no resposta do
material quando se adicionam as tensOes de tração c compre.ssllo hidrostAt-ica.
Iuo segue do ra to de que, como apenas D-' d iferenças de tensões estio envolvidas
na Eq. 9.36~ adiciona.n do uma tensão constante a cada uma delas nio se altera a
condição de escoamento. Por essa razio. no espaço de tcnslo tridimensional. a
superfície de escoamen to toma-se urn cilindro cujo eixo tem os tr!s co..senos
direrores igaais a 1/,/i Tal cilindro está nn F ig. 9.24. A elipse da Fig. 9.23 é
simplesmente a fn tcrscçlo desse ciljndro com o plano 0' 1 -u 2 • Pode·.se mostrar
ta..mb6m q ue a super nele de escoamento pnrn o criterio da rnêxima tensão de cisalhamento é um hexágono q ue se adnpco no tubo, Fig. 9.24.
Pode-se den1onstrar que a condiçlo de escoamento expressa pela Eq. 9.36
constitui oulro invRJ'ianrc dru; tensões. é t a mbém uma funç!o contin ua. Essas
c:aracterisricas razem o uso dessa lei de escoamento plástioo paro tensões combinadas. particularmente a trativa do ponto de ,•i.sta reócico. .Essa lei amplamente
utilizada ~ fteq ücntemente denominada. de eotrtlipio tk rs coomrnco de. H uber·Htncky-J.fis, ou simplesmente de oondl~o dr escoamento dr von Mis~s.•
'
As condições de escoamento da máxima tensii.o de cisaJhnmento e da energia
de distorção foram usadas no estudo d os fe nômenos de viscoelns ricidade oom
Cen&Ocs co1nbinadas. A extensão dessas id~ios ao endurecimclltO por deformação
"'Nu pusado euo co ndiçlo cn. Creqlletltcmc:nte <lcnonunac.la t~o,.ln dn ·~•.tikt rlt cl~·nUrom~nto ocrnidrl«t. V4:;jn A. Nadai. ThrtNy c; r~o."' .mjl FI-.Ct lut' I( S<1/(tJ.J, p.. 10""- Mc:Oraw-H111 Oook: Co mp:usy, Nova
Iorque,. 19'3 0 o u F'. 8.. SMfy c J, 0. Smitb. AJocr11ft! .Ut>tfaDitfo q' 1\JatBinJ, t2.• cd,J. p. 61. Job:ft W1ley &
Sou . ln~ Non lo~e. l9:S2
305
dos materiais também é possivel. T ais tópicos, ·entretanto. rogem ao escopo d~te
livro.
"""""•
A (1 ,0.1,0
do c:ontro do dlnd.ro
_..-1,0
.,,,.,,
o
"'
(a)
B ( - 1,0,-1,0)
Figura 8 .2.1
"'--1,0
(b)
Envolt6riu de fratura base•das no c rJtjrlo da mixjma tendo
9.20
Vbt.a ao 'onao do cHto do cilindro
(o)
Fi gure 9.24
Superftcle-s de escoamento par• o estedo de tendo trldlmtn:tlon.tl
9.19
TEORIA DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL
A teoria da máxima tenslo normal o u simplesmente a teoria da máx~ma
tensão• estabelece que a falha ou fratura de um material ocorre qua.t'ldo ~ máxlma
tensão no rmal cm um ponto atinge um valor critico, indcpe~dentemente fts outras
t nsões Apenas a maior tensão principal deve ser deter1nm~da para ap car esse
e.
·
.
. .
é usua.l mente dc.term1nado em un'l.a oxpe·
critério. o vntor educo da tens3 o au...
d
, é d nnida pela rraturo. oU
riencia do tração onde a falha de um corpo e prO\ a
e
. .
pelo alon gament~ excessivo. Usualmente supõe ..se. q.ue oc?rra a pnmetra. . .
A evidência experimental indica que esSI,I teonn se. aphca betn a~s ~ter_s81S
(râgeis em todas as (aixas de tensões, çontanl~ ttuc e;ista um~ tensa~a::;::,~p:!
de Lração A ralha é caracterizada pela separaçao, ou ratura.
se me d d ror
falha di[e;e drasticamente da [ratura dútil, que é acOtl)panhata· por grru;: ~ e. a.
m ações, devidas a deslizamentos ao longo dos planos de m XJma tc_
n s o e cas. ••
lhamento.
.
-A li
aderiam
A teoria de máxima tensão pode ser m terpretad a em g.. ~ ICOS como o P . b
5
ser outras teorias. Isso é feito na fig.. ?.25. A. f~lha o:r~~~:r: :nt~o:s~~e~~ ~~:
s upcrficle. Oi(erentemenle das teonas prevJ.aS, es
8
superfície limitada no espaço de tensão.
• • r.a1
c:redi&.c.cb a w J
Ra.nlcino urn eminente educador britânloo{J82G:_7~
•Es;Sl) Leona"' go mente
· · 50. em lu · ar d3. lc:r\110. como erit~rio b6.sico etc f:alha.
Uma teoria nnáiOI*o baJ.e3d3. na mbl~ d~or:'a.Jc · nt V~nant (J 797·18.S6). A ~vldC:-nda e.xpcrimcnt~
foi propos.ta pelo grande pt$quis.ador ,rances, ~
lU ·
,
,..t.
S
não corrobora o +:altimo método
306
1
COMPARAÇÃO DAS TEORIAS,; OUTRAS TEORIAS
A maioria das inform&QOee aobre eacoamcnto e fratura do matenats sob a
açlo d u tenaOea biaxia.is, vem da expeciencia com cilindroe de parede fina. Um
arranjo tlpico para tal experlancia DSt4 na Fia. 9.26. M extremidadDS de um cilindro
de parede fina do material a lnvestia;a.r slo fechadas por tampu ospeciais. hoo
raz com que o interior ·~· um vuo olllndrico do proaolo. Prouuriundo o Olp&QO
disponlvoJ,• e aplicando simultaneamente umn força adicional de comprcsalo ou
do traçlo P ào tarnpu, obt6m-oe dll'orontcs relaçllea entre u ten.o!los principais.
Mantendo uma relaçlo fixa entre aa tons!les principais at~ atlna;ir·se o escoamento
ou a ralha, obtém-se os dados desejados para o material. Experiências análogas,
com tubos sujeitos simultaneamente a conj ugado, força axial, e à preESão, também
do usadu.
A comparaçlo de alguns resultado$ eJCperimentais cléssic.os com as teorias
de escoamento e fratum acima apresentadas está rnostrada na Fig. 9.27.•• Observe
a ooncordância particularmente boa. entre a teoria da mâxitna energia de distorç·ãO
e os resultados ex perimentais para materiais dúteis. Entretanto, a teoria da máxima
tensão nonnal parece ser a melhor para materiais frágeis e pode ser insegura para
matcriaís dúteís.
Todas as teorias para a lc:nslo uniaxial concordam porque o ensaio de traçã.o
simples é o padrio de comparaçlo. Dessa rorma, se uma das tensões p rincipais
en1 um ponto é grande em comparação com a outra. todas as teorias dão pratica·
mente os mesmo' resultados. A discrepância entre as teorias é maior no segundo
e n.o quarto quadrantes., quando as tensões principais s§o numericamente iguais.
No desenvolvimento das teorias aelma discu.tidas adntitju.se q ue as proprie·
dades do ma.t crial em t ração e compressão silo semelhantes - os traçados das
• Veja 1 Seç. 10;6 para disc:ualio de- vu01 de prea.alo
••Of ponte. uper-imcntait mMtradc» DCllll Oaura S0 baldam nas CXpeTiêncfu c lissJcas de vitri05
lnvcstiao.doru. A liaur&• adaptada de urna compRaçlo relta por O . Murphy, Adoaucq M«:htmia of Mol~
riDls, p. 83. Mc::Oraw.:HiU Book Company, Nova Iorque. 196-1
307
F igs. 9.2 1, 9.23 e 9.25 tem dois elxos de simetria. Pot o utro lado, sa_be-,s~ que alguns
m ateriais, como rochas, ferro fundido, concreto e solos, t!m propnedades d~astlca-.
mente d iferentes, depcndcn'do do sentido da t~rullo aplicada. UO>Il modi!icaçlo
~uguet em 1885, par31
an terior da teo ria do ciaal homento mb.imo. retta pOt
melhor concoc<tAncla com a experiência. está m ostrada na. ~1g. 9.28(a). Essa m~d•~.
nc::açlo reconhece a elevada rctitt~ncia do a lgu-ns, materiaiS quando _aubrncbdos
à compre.,to a•lal. A. A. Orimth,• em certo acnlldo, rcrmou a cxpUcação pua
a observaçlo acima, pela lntroduçlo da id~iA d o energia de aupcrficle nas falhas
microscópicas, mostrando a maior aeriedacle du tensões de traçio, COrnJ?aradaa
com as d e. comprosslo, no que se rerere n ralhas. De aeord~ com essa .teorta, U:ma
ralha existente se propeaan\ rapidamen te se a taxa de. aUvto de energ~a de deror.
maçAo elutíca ror maior d o que o aumento na .cnergm de superfíclc da falh_a. O
conceito oriainal de Oriffilh expandiu~se consideravelmente com G R. Jrw1n.• ..
Otto Moh r, alêm de mostrnr a con str ução do círculo de tensão com seu no me
sugeriu o u tro m6todo para previsão de falhas de materiais. Ensaios di ferentes com~
o do trnçlo simples, de citnlha mcnto puro. c de QOmpresslo slo inici•lm en te era..
tuad os, vejo a Fia. 9.28(b~ Um conj unto desses cl rculos define, então, a onvolt6 ria
de talha. Os clrculoJ tangentes a cs$n cnvoh6ria d lo a condição de fal ha no ponto
de tansencía. Es!:a ap ro:-:hnaçilo e fa vorecida em mecànka d os solos.
c
,,
4
, ,}vn•P
i-
M h un~ IC"ft~lo ftOt m~
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Mb:lm- cae.p. de d iqo
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••
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~~~ Mt~lrnlltf\~'••• ~ !!fi!!lh~n•e
I
"
- 1,11
I
I
Fao ura 8 .21
Au•njo
pat• obttnç:ao do rolt ·
ç64tt controltd ., tti"Unt 11
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I
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Figura 9 •.27
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1.0
•
•l>.:no
O A~-o
• Cob
•Aium(~tlo
"'
308
F•uur• 1.21
Poulve ls ct••f-rioa de h •lur•
PRODI.EMAS
CornJ)4reçJo dos crit~ios clt: escoamento e dt ,
fre1ura com d8dos de ensaio
ctnsC•• P•lncfptlt
•A. A. Grimtk. 1'he Phcnon•ena of Rupturc afld Ftow d Sol.id:s... PhlloJOphktJIT'N:ut.wcOons Q{tir
Rotul St~dtty of LomltM, Strlc A, :2:21 (1920). •61·98
.. O. R. lrwln...f'ra chtN M c:chan1cs'", PYot:N ding3. Flrst Sjl.npo.d.., Gft llacJ Struarual M«hhl•la.
p. H 1. Pccp~ Pm.a. Lona b Jud Oty, Nova Jo rqtk.. 1958. Veja tambbn A. $ympdjfJ.,. "" Fr-.,ctan
~MGII"''" Tt,lhq lllttl tu Apl'llt mfo,.6. Amerfcan Soddy Cor T csdna t nd ~fatcdaJ:s Spccial Teótdc~
Pub-Uad on N.• 3$1. Ama iean Socictr for T cstlna a.nd Maktial! a."ld l'=:2tional At:rona voc.:t and ~
Adrninlstration. 196 S
• .,
Em tu~ar de 1e estudar a respo~la d ?s materiais em diagramas tensão·espaço,
como na F•a. 9.28, pode·se usar o l nvana nrc: de tensão (a + a + a) c i tenslo
dada peJA Eq. 9.36 como eixos coordenad os. Critérios ~atisf:tório; de fratura
rotam cuabolecidoa por meio de estudo! baseados nesse mêtodo. •
A!aumaa YClet oa crMrloo de escoamento c de ftal\lra dl..,utldos adma ato
de nphcaçlo inconvcnicnLe. Em tai~ casos ~em ser usadas curvas de intcraçlo,
como as d.n Fia. 8.6. Cttrvas desse tJpo, expenmentalmcnte dcrc~:minadas a menos
Q~c ~mpllcad~s
fcn6t~·H:~os locais ou de ftambage rn, são equivaJ~ntes aos
Ctít6nos de re!ltllncaa aqua dtscut idos.
No próximo, capitulo, no projeto de membros, serão considerados 11 rastn·
me.nt?S do obedl6ncin esrrha .aos critérios d.c escoamento e de fratura aqui esta.'
belec1do.s, ~mborn essas tconas forneçam 1nquestionnvcJmcnte a base racionof
pam o proJeto.
po:
~&
I
I
I
I
o<~
'
_..-? IJ•
.. l.m'OUÓIRI de- c•.ob p -u
t MOiwJ
9.1. As rJaurft..'f m O.tlram elêmenl~
infinilcsfmnis A, ~ C. D, e 1!. pa r01 dois
(•I
lN
membros. Desenhar sepa radamente ca da
um desses demeotos, e ;ndica.r nos e le--
1 ~, •
• 1
'"8. Br.skr c K. Pi...~cr...F ..Hurc d Plai.n Conl;~~e Uad:r C<lmbi•cd Stt~SIC:I'". Trn1uua;0113 q rfko
A.~t~...,klr" S4ftt"ty qf CI IJII EJ~Wt.-~ Ul ! 19$1}. 1~9
309
- ·
Pata cada cuo duonhu o circulo do
canllo de Mohr, ' enii O!. \ll &ndo a trilo-:
nomoufa. acbar u tentO• prln.c;IJNW é
mo11ru au.u dlroq&u o eentlclaa em e1...
mcm01 ado:qu.adamu ue oriao'-do,. Achai
cambân aa tcne&. do d...Jhamento ~
a.Jmu com aa cena6• nqrm._ auoc:i~
PROI~ .. l , t4. t.l
PR.OS.9-4.M, .. It
PROt..t-). ..... . .10
9.11~ Pan . . dodos do Prob. 9.], (a)
achar as tensôe:5 principa.is o motuv auu
dircç6ele sentidos cm um dem~to adequadamente orientado; (b) deterrrunat a tcn..
t&5 de àsalhamento mixirnu c u tcnl6cs
normais usocladas. Mostrar 01 ra_uh&dot
cm u.m demento adtquad-amento on~ntado.
9.11. O meamo q!Jc o Prob. 9.10 pua
os dados o Prob.
9. 12 a 9.1S. Desenhar o dreulo de l<n·
do do Moht p.a.ra os cst.ad01 de lendo
dados nos G;uras. (a) Mostrar clar.a~en~e
os planos noS (IUa.il 1:1 tentõa pctnctpeq
atuarn. c para cada tendo Indicar com setas
,
dircç6es e sentido1. (b} O mumo quo
1 115
(IJ para as tensões de cilllha.mento mtxJ..
e tensões normais usociadaa. R«lp.:
;;;b. 9.1S. (a) 6 kiJ/m;n'· - 4 kgf/mm': (b)
5 kaf/mml', 1 k&Jf n·un •
•
9 l 6. Um Citado de tertslo bidtmen~
siol\a1. ê dado, em três ponlos diferente!,
em rcprcsenlaçlo matricial. por
mentoa laoladOI a ten..ao qu. a1ua aobre
ele. Para cacb tendo. mottrar dt.ta~c;ntc.
por meio de adas. au. dircçlo • sc.nttdo. a
enunciar a fórmula a 1et unda para aeu
cj]culo. Despr•r.ar o peJO dos membros.
9.1 a 9.4. Pata 01 clomentOI infi.nlteaima.it mottradoa nu nauru. achar u
tcna6c:a normal c do cis.alharncnso que
tuarn noa planot lndinadOI indicados.
11
Uur o ~todo de 1olhH diacutklo no
Exemplo 9.1. lt<lp.: Pro~. 9.3. o - - 0,4
k 11rJ"'m': , . 4,91 tar/mm•.
9.5. Deduzir a Eq, 9.1.
9.6. (a) Para 01 dadoa romocldOI no
Prob. 9.2., trac:ar ff.- o t.·; como ordc·
9.•.
< O<
< 2n. (b) Oencralizar e dla.cucir 01 tcsul·
nadas. COITI O como absdua pRta O
\ado.~t cai)Oda1mcnto com rc1açlo ao• m6.·
•imot c rnSnhnos du funçôe1.
9.7. Rcfncr o Prob. 9.2. uJondo ns
Eq•. 9.1 o 9.2.
9.8. Re~fncr 0 Prob. 9.3. usando as
"'~'· 9.1 • 9.2.
(a)
9 9 Pura 01 dodot do Prob. 9.111 uchar
ai te~IOCI o O • 45- c O • l)S'. Mostrar
OJ ro.~ultados comptctos paro. o c.lcmenLo
com nova oriencaçlo
(12s 6s)
kaf/mm' (b)
(c) ( 3
(-66 - 6)kaf/mm'
8
9
- ) kaf/mm'.
-9 - 12
r·
~·.
-1
- 06kl11
- Oaoltafl
1
0
1
I ,_.
T '-·
I ,...... r•
1
!<III
/mm
u
qf/
/mf!A.,
1
tO k.Jf{rrun
otl
I'AOL t·IZ
PRO&. 9-1)
Pa.OB. 9-14
PR08. 9-IS
• mostrar 01 raultados em •lemontOI adc.quadamonto orientadcn. ltap. : (o) 14,13
klf/mm •, 3.17 kJf/m='• ,,13 ltÃ'JI>m' , 9
taflmm' ;(b)-0,9 klf/mm',-1UltJf/mm•,
6.1 kJVmm•, -71tlf/mm'; C,•l 7,, kJVrnm•,
-1 Ukat/mm'; 1UltJf/mm ,-4,31<aflmm'.
9.17.
S. •• - •• - o. "t - (1', - - ·
1
li:.at/mm • ~aando o c:lrcuto de ten.fio ,de
Moht, achar • ten.o• q\10 aluam an um
plano dellnldo poc I - +30". lt..p.: -1
kaf/mm•, 1,73 ka(/mm•.
9. 11. U•ando o drc:ulo do ......., do
Mohr, pon oa dad .. do Prob. 9.15, achar
u ton.O. quo atu.am em D - 30".
9.19. lu moi'Úludea o dinçllca clu
tctll6es a:n doit pJan01 que te Interceptam
tm q_m ponto alo u mottradu na fiaWL
Dolcrmlnar u dlr.;Ca c mai'Útuda du
tenN)a pdnclpeJt netM ponto. Mottrv 01
....ultado• em um elemento.
PROB. 9.Ja
A an6Ute 41 te.n&lo dcua braçadeira d4 ••
•1ulnt• cornponontol do te.nllo. a tua.ndo
sobre o elemento A: 10 kal/mmt devido•
• nul o, u t.r/mm' dnidoa • força a>do1,
e 6 kaflmm 1 devidot ao áuJhamento.
(Observe que CI5U alo apenu u m aanf·
rudes ck tcnsla. .auu dlrcç6cs o aenddot
de"Yun ser de-terminada por in1peçlo). (a)
lndic:ar u tOMOa re~uJtant• em um tlqu•
ma do elemonto laolado A. (b) U11ndo o
clrculo da Mo.hr para o •• tado da t•Nlo
aeh-.ado om (a). dotormJnar u lcn•&• prfndpais c u m6.x:imas cen~es do d aalha·
mento c<:1m u tensôa normais 11soc:iadaa.
MOJtrv os rcsultadot em elemento. adequadamcnlc oriontadoa. Rt•p,; (b) 9 kllf/·
mm•, - 4 k1f/mm': 6,, k&f/mm•, 2.5 k&(/·
mm'•
PRO&. 9. 19
9.20. No ponto A de uma arelta aem
cara• do um corpo ol..doo~ orientado oomo
mOstra I naur• com reJ•ç(o .101 oixOI XJ11
1 mbima lcnaio do ciaaJhamcnto 6 de
' kaf/mm'. (o) Achar u tcnsG.. prinel~
• (b) determinar o o110do de tcn.ao om um
elemento orientado com au.u armlu par-a·
lelaa aoe eil01 xy. Mollrar 01 reauh.ados
nuan esquema do d emento cm A. (Sug.-.stào.
Uona soluçlo cfellva pode aor obtida pela
eonllruçlo do drculo do tcrulo do Molu~
ltrsp.: (b) ~. - 6.4 k&(/mm 1 •
P.21. Uma unllo tr&lUmlto uma força
F a uma braçadeira. oomo m011ra a fiaura.
PR.Ob. 9.21
9.ll. O carregamento apUcado a uma
viga. lal como mostra 1 fiaura. eauaa u
•eguintes: tensões no elemento A: J kaf/mm 1
do cenllo de dulhamcnco de\'ldo a IV~
4 kaflmm' de tenllo normal devido a IP~ o
2 kaf/n>m' do teosão normal devido a IM ~
311
310
Determinar u tensOa normal c de cisa·
Jhamento que atuom no elemento em um
plano q,ue. rn um l naulo do 36.8• com o
eixo lonajt udina~ como moatro a rlavra.
R#>p.: 0, 214 kaf/mm' l 0.68 kalfmm'.
l
PKOI ,f.ll
9.21. Um eb.o drcul11t maciço ~ can•
gado corno mostr. a naura. Na tcçlo A BCD.
u ten.sacs devidlll ~ rorça c1c 1.29t e ao
peaa do dxo mais o do tambor Jlo as
seauintea:: • m'Aima tendo de nc.xlo ~ de
6 k.Jf/rnm 2 , a mhlma tendo rorclonaJ 6 de
4 kartmm 2, o a mb.fma tendo de dnlha-.
.ncnto deylda a v 6 do I ka!/mm'. (a)
Marcar dc.mc.ntos n 01 poniOI A, B. C. c
D o Indicar u ma,&nltudos c direçbct du
tentOCI que atua..m neloa. Em Cllda CIIO,
dar dlrcçlo de obsetvaQio do elemento.
(b) Uaa.ndo o circulo do Mohr. achar as
di rcçOa e maa.nit\ldet du tcnaOes prin·
clpala o da m'-ahna tonaAo d• ciulhnn1onto
no ponto
(b) 8 kaf/mm •, -2
kaf/mm': 5 kaf/mm'.
rolamento~ Usando "" métodos do elasticidado, pode-se mostrar" que a apllcaçlo
da cataa eaua• a.pcnas tcuaôel rad-iab,, que
"o dadM por
och1do com a dndu pela Eq. 3.5 para
« • 10' e .._, •.
!'
2.P co.s B
'
rc
r
Como essa ~ a única. tenllo. ela 6
principaL Tam.Mm. pa:ra elementos inftnitaimais, a.lo é neces.slrio diJtioJUir entn
os clancntoe carteaiano& e polaret.. Tran ...
rormar tt. em t16 , a., c T,., e trw.çar a diatrl-.
bulçlo. de tens6es re:sultant._ para tr6 e T.q
a uma profundidade constante a abaixo da
aupetflcie.
"-----·
que isso
Plt08. 9-lJ
•
9.26. Uma cunha eh\s,tic:a de eapeuura
unit,tia 6 tubmetida a um& força vtrt:cal
P, como mollr·a a n aura. Para tal c:unha. •
•oluçlo da claulcfdado mo&tro que u iste
apenu uma dlllribuiçlo radi&J de aend'o,
dada• por
*
6, -
.v
A. R•·•P·'
PROl!. 9·1.1
9.24. Considere um corpo scrnl-innnito clâstlco linear. com unltL C-l'lr so conccn.'
truda de P kar/m. vejn a fiaurL Isso t eprc·
.senta aproximadamente um pedestal longo
em uma fu ndoçilo ou o aumc de umo. faca
sobre uma peça platla c arande de metal
(um;t idcsdixaçQio da reaçlo do mancal de
PR08. 9-24
9. 2S. CoruJderer uma cunha cltbtlc:-a
de c.peuura unhAria, s ubmetida a uma
carga concentrada P no Apic~:t como mottra a fisur!L De acordo com a soluçiio da
ela!tfddade•• esse carregamento causa apc·
nas dllttibuiçlo radial de tensfto, que é
-
r(a -
Pcooo
1
/ , scn :b)
Detcrmfnnr OJ tcntOel normaJ e de
clulhamento em uma JCçlo verticnl, à
dlJtAncla x da forçn aplicadA P, e co mparar com lU IOhtçóet elemenan re!'. Se
• • 3D- achat • pcrceruuaem de ditcre·
pAnela das tcn10c! mAximM nns soluç:ôes
altcrnRtivet.
1
fina. ind.ica(~ge g ~)·~:,::~nsio ~
o oo
ortde deve--Je notar que a 1 As O. (Esse cttado
de te.n.sã.o é an61ogO àquele mostrado no
Prob. 4.6). Quajs as teo.s6es de ciaaJhamento
sobre o mate-riaJ. se existem? !lustrar c:om
um diagrama.
9.29. Considerar I, "'- c n como deR·
nindo os co-.sen os diretore.s de um elemento Linear. Usnodo essa notsçllo, n Eq.
9. 18 pode .ser ree."<crlt.a como
tf -
e~'' + t,m2 + rlrt,.tm.
Mostrar que, para. o caso Lridimensionol,
s~ = ~:..12 + e,.m ~ + c:n 2 +
+ Y:r,.lm + Y,,m11 + v,,.nl.
e. -
?. JO. Se as dcronn açôcs unit4rías slo
-120 x to -~. .r,. • + 1120 x 1o· o. e
7."' = -200 x JO.. •, quais $llo u dc(ormta·
çôes principal.$ e em que d ireções clu
ocorrem? Usar as Eqs. 9.20 c 9.2 1 ou o
circulo de deCotmaç.i o de Mohr, Rn,.:
1130 X 10 " ', • 130 X 10"',
9.J l . Se as derotm a.ções unitárias sAo
dnda por
Pcos O
a ' - - r[a + 1/ , sen 2a) •
Com ba5e n:essa fórmula. determinar
a distribuiçlo de tensão vertical em uma
seçio horizontal a uma di stAncia o ababo
do .Aplee. Com parar a mâ.xima ten s~o uslm
•S. TlmO&hcnko c J. N. Ooodier, r•~ory qf Elt:olldly Cl.* e<l.}. p. IS.. McGnw-H.íU 8oot Compur.
Nova Iorque., 19$1
..'limoshcn to e Goodic:r, 'Mt""'? ti( EltUtlclt y. p. 97
te(n~~ ~oi)ei~::::. tesultc em
o o8
Para cue atado de tcn.s lo. qual ~ a
má• ima tensêo de: cisa.lhamento? Ilustrar
o plano ou planos nos quais ela alua.
9.28. Uma investig-ação de tensões na
placa de um vaso de pcc:uão, de parede
,.
..
9.27. Usando as equações de 1rnn$.·
rormaçKo de tcn!lo para um citado de
tctnão uldimcnslonat ••, pode·se diaaona·
Uz.ar qua.Jqutr matriz de tensão. Suponha
PROB. t .J6
.:. = - soo x t o· s. c,. - - 200 x to-es. e
+ 800
JO-•, quaís slo at ddorm.,_
çõcs principais e cm que dJrcçõc:s eJo.s
.,,,r-
x
•Timoshento c: Ooodict, T"..a,., f( ElaYirity, p. 9 7
•• Vejo qualqwr H' ro I!Otw• ela~l!ci;iad~ e pfostíc:ic!'adc.. Para tJ'ma b~"C discu~$~0 des- po ,
"CJ• a Seç 9.9
-- n o
312
313
ocorrem? Vnr M Eqs. 9.20 e 9.2I ou o
circulo de Moht. R#sp.: O. 1 000 JC lo -•.
9.32 Se u medidas de dcrormaçlo
rJadu no problema acima foase rcitas . t10
u m me;~nbro dca.ço(E- 20 x lO~ k &(/rnm,
e • • 0.3). quw do as Lcnl6cl pr1ncip&i.l
c cm que d1rcç.6c:s ehu uuam?
9.33. Os dados pan uma roccta retao-,
gulu colada a um membro do açO solid-
tado JIO Jo·•-220x 10 - •, , ...,.• + I lO x
)C lO'"'' , 'u· •
+ 220 x 10·• Q uab IAo
as tcntOCI principais e cm qu~ direçôes
elns a.nnun1 E • 21 ~ 10, kaJ/ ml'l1 1 c 11 •
- O.l. Rr~p. : ± 4 kgf/mm'. 14' 18'.
9.34. Os dadOi para uma roseta cqui~
ai!&Uiar. colada a um membro aoliciL&da
delipdealumlnoo, sio c,. - +400 x 10-•.
e, .. • + 40() X 10-t, e lutr • -~ X
x to·•. Quais slo iS ten$6d" princ•p1us c
cm que dircç&c' elas atuam? E • 1000
kaffmm, c v • 1/4. Rf3p.: + 4,35 kaf/m m1 •
- 3.11 kaJ/ mm 1• 30•.
9.3S. OJ dados par:a uma tOIOifl do
dero rmaç&o com quatro linhau de tc1110res.
colada a um men\bro de lip de alumimo
sla, •r • -120 x Jo-•. lu· • +400 x
x to· •, c•r • +Jt20x lO'"'', c •ut· • +600 x to-•. Verificar a contist&1àa
dos dado.. Determinar. entlo.. u tc.naões
principiii!~ c as dirt9ães em que elas atuam.
Usnr os v~lorcs de E e v dados no Ptob.
9.34, Ar~p.: .;.8, 19 kgf(mm', 4'3S'.
9.36. Ein um ponlo de uma plata elA"' ·
tica. sollcalad-, é conbcc:ida a teauln1o infor.
maçlo: mblma. defor maçilo angular Y-.. • ·
• s )( 10· •; a. 1oma das tenabos normala ,
em doia pia~~ o• pctpc:ndicularca que Plll&m
pelo ponto SauaJ a 2.8lc:aJ/mm, AI propde- .
dadl!l eiUtlcaJ da placa slo B- 11 x lO"
t,r/mm 1• G • 8,4 )( lOJ k-J(/mm 1• ., • 1/C.
Calcular a mag:nitude daa: tcas6cl prlndpab
no ponto. Rt3p.: cr 1 - S.6 taf/mm'.
9.37. (I) Mostrar que a dilnaçlo no
einlhamento 6 ~t'o. (b) Usando 1 Ect. 9.Z7.
estfl.bclcccr um limilc superior para a rela~
çlo de Poiuon para ma~erials is:otrôpJoos:
9.38. Começando com .., EqL 9.33 c
9.34. deduzir em detalhes a Eq. 9.lS.
9.)9. &:tabcleoec a relaçl.o ~ nu~ U~
(de diltorçlo) c U...., na faiu clúth:a pua
uma batta de aço doce submetida a lra.çlo.
Consídcru E - 21 x 1~ kgfjmm, e ., 0.25.
9.40. As ten.sôes de projeto para um
elemento de uma placa dcla~da lia.~ 1 • 10
•q~r/mm'. "'1.. - - 10 k;Jfmm, (çonaidorar
tt, • 0). Dobrando ONI tonalo ptodU&·.••
esooJmc.IHO no material Se a icnllo de
oompreulo de p rojeto a 2 ! rcdut.ida i
mecadc de ~eu valor a.nteriol', que tenalo
de traçl o pode ser aplicada? Manter o
mesmo ratar de seaurança no escoamento
cm ambol 01 casos c admitir a loi de esola~
mento de Trcsca.
Para problemas adicionais sobre unl·
liso de tensões veja o fina! do Ca.p. 10.
10
PROBLEMAS DE ANÁLISE DE TENSOES
10.1 INTRODUÇÃO
No capítulo anterior loram estabelecidu as leis de translormaçlo de lcnsio,
assim como os cótérioc do coeo&me~~to e do fra tura. Agoa a antlise de tensões
em membros pode oc:r conojdcnda de um ponto do vista mais compreensivo. Em
rmçlo. Í$30, dois tipee do p<obl emas aparecem, . ease capítulo ó dividido adequadamente em duas pertoa. A Parte A discute a anAlise de tensões em membroo dadOS:
tubmetidos a carrea&montot conhocid01. A Parte B m01tra como aolcclonar ou
projetar membro• oatrulurab, do acordo com 01 requisitos do ruiat6ncla, para
conu condlçOoa de carroaamenlo. Em ambu u partoa do capitulo do lratadoo
apenu oo casos utat.icamonto doletmlnados. e a an•!lao e limitada principalmente
lOS CUOI eJástiCOi.
Na Parte A. u 1a>l6el om um ponto om m11111bros com canopmcnto axial
e eixos submetidOI a torques aio inicialmente reexaminadas desde um ponto de
vi!la mais amplo. r..o é aeauido pela anilíse de tcn•Oes nos membroc de nexio
que 1ambém transmitem força cortante. Uma bceve descriçAo do assunto relaclonado, o método fotoelA1tico da anAlise experimental do tensões, é entno dado:
Uma introdução ao imporlante problema de onillsc de lensOes em cascas, com
aplicações a vasos de prcss!o, tarmina a Parte A.
Na Parte B deste capitulo sio considerados rcqubitos de ruíat!ncia como
crotérío de projeto, emboto, como foi n:ssaltodo no C.p. l , o projeto de um membro
possa depender de sua reaist~ncia, ou de sua ri&idez, ou de sua estabtlidado. O
objetívo principal deae uatamc:nto consbte cm ~abctecer pro<:edimenlos simples
o ''pidos q ue pouam JCt uudos nos problemas priticos pora aeleçlo do um
membro de resístancia adequada. D iversas fl>ronulas desenvolvidas nos c:apltulos
a nteriores e a informaçlo sobre crilérios de escoamento e fratura discutidos no
capi tulo ant·e rior formam o base para o projeto de membros. Por es1as razões,
em onuílos aspectos este capitulo servirá como •!emento de revíalo.
315
314
INVESTIGAÇÃO DAS TENSOES EM UM PONTO
Com base nas equações de tra nsformaç:llo ou na represen~açlo do estado
de tensão cm um círculo de Mohr, é evidente q ue o estado de tcrulo em um ponto
pode ser representado de infinitas maneiras, dependendo dos planos de tcnsio sctecionados. Para soluções q uantitativas de problemu, acham·.se, em primeiro lugar,
os tensões nos planos conhecidos, usondo as equaoões anteriormente dedutídas.
Ao restringir a atcnçilo presente aos easos estaticamente determinados, 6
empregado o método familiar delineado na Scç. 1.3. As reaQães slo achadas em
primeiro lugar. Entlo, um segmento do corpO 6 isolado por meio de uma seçlo
perpendicular a seu eixo, passando pelo ponto a investigar, determinando-ao o
sistema de forças necessltdo para manter o equillbrio do aeamento. As maanitudes
das tensões sio determinadas em seguida pelas fórmulas convencionais. Entlo,
cm um elemento isolado do membro, sUo indicadas as tenslles calculadas. O sentido
das tensões calculadas 6 observado ne.•se elemento por melo de setas cujos sentidoa
concordam com O! das rorças internas no corte. Doia lados desse elemento slo
pa.ta.leloa o dois ladoa aio perpendiculares ao eixo do membro a ICf invcatipdo.
A relaçlo definida dos lados dena elemento com o membro real dovc ter claramente
compreendida pelo analista. Após esquematizar um elemento e adicionar aiaebriea·
mente as tensOes de mesma esp«ic, as tensOes podem ter eccontradas em planos
com q ualquer orientaçllo no mesmo ponto. Para tal propósito, alo usadu as
(6rmulas anallticas ou o circulo de tensllo de Mohr, diacutldo no capitulo anterior.
As tensOes principais ou a máxima tendo de clsalhamento slo as quantldo11es
usualmente procuradas.
Nos tr!s exemplos que se seguem. uma barra a.xiatmente carregada, um eixo
circqlar em torçilo, o uma visa retangular com força aplicada transversalmente
&crio examjnados poro. as tensOcs principais e tenst5et que atuam nos pl110os
inclinados.
rt10
=- o Jcn 1 O -=
"
2 - T cos 20•
•
' a - + T sen 2~.
10.2
(10.1)
A Eq. JO. I mo11ra que a lendo m.á_:Um# ou pnncfp.-..1 ocorre q uil.Jldo O- 9()-; a máxima
te:n.slo principal ocorre quando !J =- V Q uando O • (1' ou 9~ a tendo de cisalhameoto
• 2n uta. A~ .ten.sõcs de c:isalhamento a 1inscm seu nlâ.Jimo \'alor de tT/2 quando 9 - ± 4S0.
Pora malt::fl l fl fOr lcS Cnl lrUçtiO OU çoznprc1151l0. ntll$ f rACOS llO CÍSn lhnmeniO, :tS (alhnS tendem
a ser nos planos de 4S"•.
,.
,,
(d )
(c)
t oI
"
,.
EXEMPL.O 10.1
Achar a.s tensões q ue lltuam em um plano inc-linado arbitn.rlamente em uma barra com
carreg,~mc.nl o altial de Aru da aeçlo trans.-ersal constante..
.
• esse pla.no, podem s er caku1adM p:ta~ Eq5. 9.1 c 9.2:
PARTE A
ANÁLISE DE 'TENSOES
'
(b)
(cl
FJg ur• 10.1
SOLUÇÃO
Considere a barra pcism!tiu aubmet.ida ~ tensão axia.l da. Fia,. 10.1(a) Pa.uando uma
scc;lo X -X per pendicular ao cúo do baua pelo ponto &eral O e aplicando • Eq. l..S. encontra·.
•SC a teiÚ::l o q - P/A, onde A é a . _rca da seçlo transvenal da barra. Além do mais, como
e.un lcmilo normal é a única q ue :uua sobre: o clemeniO, F ig. 10.1(b). eln 6 R tensAo prindpal.
Designando asa -tendo poc
e observando que 11_. - O c t:n • 0.. as tens~ norn1ab e
de CJ.salh.mcnto. q ue atuam cm q ualquer plano indjnado. clcrinido pelo eiAo K , oormaJ
q,.
316
SOL.UÇÃO AL TERNA T I VA
Em luaar de s e nsol\·er este p r obltmft pela aplie1çJo da.'il rórmulas J'- desenvolvida. c
lnstrutivG refazê-lo a pn n ir dos princ-ípios bCts-icos, Assim, çon.ddere a mesma barrn. Fig.
"'Em :Jau~l ma;critua. como cont.reto oo dut•fumtnlo. as ralft• nJ o ocorn:m ptc:cis.amcnrc nos
pla~ca ~ dS , pots a ~ ncrmll.l q~.e cu~ simu!taneaD'ICO-.e ' t.er.são de cisalhamc.nto ta..rnblm inOu-
cacta O eol.aptO do mauntl Es.te r1 10 ~ rlloeftQUz.atfo na lc.Orfl de c:otapo de M ob,-
.
317
IO. J(a). e pu.se por ela dolt J)lanot para lelos HJ e Kl...indinadot ele um anaulo 9 com a vc.r-.
lical C?ada nbra w:ntcaJ no bloco HJLK.. monrada l.solad.a na F1J. IO.L(c). scalopp da. me.-ma
quant1dadc. Todas e:uu fibras do submetidltS ' me.sma intcn.aidadc: de forçL DeRa forma,
embora ino nl o tenha tido feito anteriormen te nette texto. • tcnllo 1 que a cua na diroçto
~en.ical em um pla no Inclinado pode ter dada por s - PJ( A/sem 9). porq ue A/ton ()é a ' roa
•nch.nada da barra.. Ena maneira de cxprimlr a ltJ'tõ:o nlo ' U1ual ; ordino.riamc.nLe ela 6
decompotta nas tens6u normal e do cin.lha.mento (Seç. 3.2). rno t feito aqui pela docorn.
posiçl.o dlreta do.s nu compon.o.ntn, Fi.. IO.l(d). porque s. a•, • '• atu:un na muma unldada
de 6reL
Fig. 10.2(&) polu linb aa lrac:ejad u. O. ciJ<oo foit01 de matoriail na Fis. 10.2(1o) pclaa
Jjl)hu tracejada&. O. eixoa feiiOI elo materia.i s de baixa rc.sitU!neia ao ciaalhamcnto
c:omo o • ço doce, quebram p m uroa superfleic ~rpcndic:ular ao eixo. Na reprC:
~~entoçlto matricial a t ransrormaçlo de tenal o acima enfatiza que
(f:
TO) • equivaJcnto • (~' : , }
o 11 - .stenO • (P/A)aenlU
c
r1 -
SCOI 0 •
p
p
-se_n
9C.OI 0 -2A
- IOJ'I 20.
..
EAu rcsulladOf. concordam com a Eq. 10.1 .
é lnttrutivo levar ua aoluçlo a uma eta s- malt avançada. holando o bloco H'J'L'If:
[tracc;jado nll Fia. IO. J(a)J, cuj01 ladoe llo pcrpcndl<!\llares àquol.. do bloco IIJL K, o bt•m--•o
o clemcnco nn. Fia. IO. l(o), T od aa UI tensões normai1 c de c:halhtamen ~o que atuam ncise
elemento podem ser docerminadaa pela comblnaçlo da primctra soluçao com OULnL adi·
clonai pare o bloco 1/'J' L'K '.
'
As tentc)cs prindpai1 para o elemento da Fi• IO.I(c) podem ser obddu pelo drc.ulo
de tenllo de Mohr, como na FiJ,. IO.I(t). Com a ajuda da triaonomctria. podo-se mOitrat
que a tcnilo principal rnAxima t cr, • P/A c otun normalmente â linha •. - e. om d ireçl o Yel"•
Lical, oomo &cria de so cspcnu. A lensllo principnl m lnima no ludo vert iCAl do elemento 6
'lcro. Na rcpresencaçlo n:ut.lricial. 01 rcault•dos 1c:Jma .signlncam que
0
(0
oj
é equ.i\'alontc a
fi
("
' scn'
· 8
1/ln,Mn 28
1/l<J, acn 20)·
•,.coa' O
EXEMPLO 10.2
Oetetminar aa tent6c:l prineipai.s que ocorrem em o.m eixo circular mac:iço submetido
a wn torquo T. FiJ,. IO.l(a).
SOLUÇÃO
e:n Unl e-ixo circ ular, a máxime tcnsã.o de c:isaJhamcnto ocorre na lAmina finn m111i1
extcrnu (mBJ nio rua supcrneie externa.) e. pela Eq. 5.4, ê T _ _.. ,. ícjJ. onde c b o raio do eixo
e. J ~ seu momento polar de inérciL E15c C$tado de tendo pura de ciu.lh•n\cnto é mostrado
a.tuando sobre. um elemento na Fie. 10.2(a). Entretanto. de acordo c.om a Soç... 9.6. um est1do
de tendo de. cisalb.amento puta transforma-se em tc.n.sõe:s principais de rraçlo c de cornpt essio, que sio de melmll magnitude que ;a tensllo de cisalhamonto, e que atua..m ao lonao
das retpcctJvu diagonois de cisnlhnmcnto. Oc-Jia forma. ns tensões principais &ito rT 1 = + Tt/J e o 1 - - T c/J, aluando na dlreçSo mottrada oa fiaura.
A transformac;!o de ten~ acuna permite·nos prever o tipo de falha que
(o)
Ffg ur• 1 0.2 (a)Deacri(IIO aham•tlv• d11 tanJOes per• urn etl(O •m corçi o: (b) amoaHa de pedre
ap6s o ennlo do torçlo. ( EKperl6ncla ruUuda p.lo PtotouOC" o . Piftt)
BXEMPLO 10.3
U ma vlaa retanaular sem peso. tem vlo de 1m, e ~ carreaada com uma força vertical
p.llra ba.lxo P • 8 000 kaf uo meio do vlo, Fie. t0.3(a). Ac:har 81 tcnaôea princi pa.i' nos pontOA
A, B,C. D' o A.'.
SOL UÇÃO
oc:orrcni nos materiais fracos em tração. Tais mat~riais ral ham por ruptura em
uma linha perpendicular à dircçllo de 11 1 • Um exemplo de tal falho, para uma
amo.strn dJ.l ~ra arenosa e mostrado na Fig. 10.2(b): ~ eixos de ferro fundido
falham da mesma maneira.• A folha ocorre ao longo de uma hélice, mostrada na
Na toÇio A.A:• uma rorça eonant.o de 4 000 ktf e um momento Octor de 1000 kgfm slo
ncçesdrio. para manter o cquUlbrio do aepento da viaa.. E.uas quantidades com seus senlidoo nproprladoa estio na fia. IO.J(o~
·
A tenllo principal noo pontos A o A' dc<:orro dlrctamctol< da oplicoç.ilo clll fórm ut• do
nexio, Eq. 6.4, Como u tentôes de cisalbamento slo distribuidu parabolicamente ao Jonao
da. seçlo ua_ns~na.l de uma Yip rctanaular, nenhuma ten-slo de ci.s:a.lhamento atua ncssc::a
•o cr.z. ordmArio • eompona de maneira aoiloc;a. lua pode ser demonstrado cm uma sala de aula
peJa torçlo de uma peça dro Jl:t. •.ct • r~aJh•
318
..
319
de cisBihamcnto é obtfda pela apHa\C:l\0 da Eq. 7.6, '~'..., - VA 1,,.1Y/(It): Pnra uso
elemento., Figs. IO.J(d) e (h~
a•··•·
_ ~ _ u _ ~- 6(l ooo>tr - :1: 1,75 k·"mm'.
1
S
bh'
38(300)
"
L_r-----;8~:--..L---.-=-~~ ]~=
·--c~-- - ----·----
1____:e!;;t::==::_---------~
(u,
~R,
A'
equnçllo. a área Af#'ltl" COO\ o 'i eorre•pondente. ett4 mottrada com sombreado, na
11 mm
~
jo.J{b~
""
,_,. " "'.
~:_p
.
O
m"'
bl
C
~
O ponto C csl.ã sobre o ci.11o neurro d:J. vign. o nenhuma lensllo de Oexilo o.tua Jobre o
~
..
lO na fllce dírcita do elemento em C ntvn np mesma direçno q ue a rorço cortnnlc da'
10. 3(c). SuA magnitude pode ser obtida pcln aplícaçiio da Cq. 7.6, ou pelo UIO dircto
Eq. 7.7. lllo é,
JV
11)
r_. •
A
~lc,r/mm
('J
.)._., ... o
jU§ijf·"" ~tcrtmm:
-
( hl
1
0,011 t&J/mm
v· r
-
I ,U k;IJn:am 2
~o.-
2
k&f/ mm
O.S26 ,
. •s·/'-. ,.,
c
ki:J7m~
l.:t_
F igura 10.3
As tenJlh:s normaÍI que atu.un 50bre 01 elementos B c lT mostrados !KM esquemas das
Fip. IO.J(e) c. (g) sio obeidas pela proporçlo direla du lent6es nonnais q"" otuom nos elo-,
mentos A e A ~ {ou a t!q. 6.l poderia ser usada din:tame-nte). AI tensões de cisa1hamento que
aluam sobre esset elementos slo semelha n tes. SelJ$ sentidos na face direita dos clementot
concordam eotn o sentido da força corLanle na seç,ã o A-A.', na Fia. l 0.3{c). A mnanJtude dc:ssos•.•
320
1,.5(4 000)
1
J8(l 00} - 0.526 kgf/m m .
é signfnctltivo cxami np,r po,teriormen tc 01 reJuh•dos obt1do. do ponto de vistn qualitativo. Pare essa fi nalidade. aa tensões principais: calcuhLda.s que •tuam not pla.noc corre$pondcntea utlo mostradas naa Fip. I O•.d(a) c (b). f!.lta.mJnando a Fia. J0.4{a). pode ter vlatO
· o comportamento cancte r-lte leo da tcn110 principal atgcbrlca mente maior (traç l o~ e m
uma seçlo d o uma visa retanaular. Essa tendo diminui proarcnJvamentc d e maa nhudc,
de um valor midmo em A' at~ ~e ro em .4. Ao mearno tempo, u co rrespondente~ dlreçOes
de f1 1 srudualmenre giram de 90•. Uma o bscr,•n çllo seJT'IelhutHe pode ser rei ta com relnç.fto
~ ten.sfto princlpnl a1gebricnmente menor (comprclldo), mo!ltrndn nn Fig. J OA( b).
1
1• 1
w
2A -
A tensn.o d e cisalhamento purn trn.rtsformndn em tensêks principais, de acordo c:om a
9.6, estA mo:strnd a no .segundo es.quemn dn Fig. J0.3(f).
li;J
ldl
~"'"''"' 0.01 resultados ind icados no segundo uquem• da Fia. 10. 3(8).
~lt~~~~:~~:~~ corresp.omJenle, most rado no primetro esquema do Fig. 10.3(f). A tens.Ro de cisa-
A
,
· Pnn• ae obter as tcn.sO~:s prJnclpaJs cm 8. usa -se o circulo de tenslto de Mohr. Suft cons-uuçiot indicada na Fig. 10.3(i" e os resultad oa obtidos e$t10 m~trRdos no .segundo 4tlquemá
da Fig. 1O.J(c). Observe a invoriftncia da soma d:u tensões normnls. isto f.. a .. • a, - fi l + a 1
ÕU-1.6 1 +O- -1.618 + O.OOC. Uma solução .a.c:me1hanle para 1cns6el: principais no ponto J1'
l .]S. •
kd'im.mJ -
(I)
~ 1,618
.SZ6 k.af/rruft1
o.oo• 2
1
krf/mm
kf(/lnm
A'
(bl
,-o
<•)
Figura 10.4
Coml)orcemento d.- censiO puttc:ip.al elaebricJtnomo mtlllf rr 1 • {b) Compor·
laf11ên1o de 1on•tto prlncipol elgtbr.carneme m !JnOr " '
321
10.3
MEMBROS E:0..1 ESTADO DE TENSÃO BIDIMENSIONJ\L
"''"''n'•
Dentro do escopo das f6.tmulas desenvolvidas ne&te 1exto, os cocpo$ em um
tensão bidimensional podem ser estudados como no exemplo precedente. Um grande
de. po_nt~s de um corpo soljcitado pode $et investiaado pata a. ma.g nitude e diTcção
pnnc•pa1s. ~ntio. para estudar o comportamento geral das tensões. os pontos
podem ser mtc.rconctados para se o bter uma in tcrprcuç:Ao visual dos vários
dados calculados. Por exemplo, os pontos de leni~ê! prineip~s de me&mo valor
independentemente de seus sentidos, quando unidos.. fo rnece-m um mapa dos
de tensão. Qualquer ponto que esteja sobre um çantorno de umslo. tem uma tensão
cipal de mesma magnitude al&!.brica.
Analogamentc, podem ser unido• 08 pontos em que a& dlrcçôos principais .
for1nam um ângulo constan1e com o e ixo x. Alé:m do mais. como as tcnr,Oci pdncipaia
mutuamonto perpondicu.l•roli, a diroçlo du tcm&õoa prinolpait m6 ll:im u no& mosm"'"":,.::~~~~.·:,:;
também Cotma um lna,ulo constante COO'I o eixo x . A linha assim obtida~ o lugar a
d os pontos ao lonao doA quajs as consões principais r&m d ireçOes paralola1. E&sa linha 6
chamada de linlla isôcUna. O a djetivo isócllna venl do grego, lsos sisnUica Igual c kllno tig;
ninc:a lnelinaQio. Três lin~ns is6otinna podem s er ochedaa por lnspoolo do uma vtaa prla~
mât1cn rctàngular submetida a umn cnrga transversal normal a seu eixo. As linhas correa.
pondentes aos contornos superior c inferior de uma vign, rormam duas linhas isóclinas comó
no contorno cm que as tensões de flexAo são ns tensôes principais. e elas atuam paralela~
mente aos contornos. Por ouuo lado, a tensão de Oedo ê· ~ero no eixo neutro, 6 aH aponu
existem tensôei de cisalhamento puro. Esses tensões do cisai hanlcnto puro transformam-se
cm tcnSÕC$ principais. rodas atuando a 4S° COll"' o eixo ela viga. Assim, outra linha inclinada
(a isóclina de 4S 11) se localiza sobre o eixo da viga. As outros linhns isóclina.s slo curvu a
são de determinação mais diOcil.
Outto conj unto de curvas poda ser t raçado para um cor-po solicitado. para o qual a
ma gnilude e o sentido das tensões principais &ão con hecidos em vários ponloi. Uma curva
cuja tange•ne rnuda de direção p.nra se adaptar 1i direç.llo das tcnsad principais 6 c hamadâ
de tr(ljtttória da lf'll.'iÕO principal ou ltuha isostiltica. Como as linhas isõclinas. as tr-ajet6ria.s
da (ensiio principal não unem pontos de iguul tensão. ma~ s im, indicam as direçõca das tensõ~
principais. Como as tensões principais em q uaisq uer pontos são m utuamente perpendicularea.
as trajetórias das duas tensões principais formam uma romilia de eurv~ ortoaonais•. A
Fig. 10.5 mos1ra um exemplo de lrajct6das para uma vi p rcu.. na:ulnr. ciU"rcaada com uma
fo rça conce-nltada no meio do vão. As traJetódas da tendo principal corres pOndente&: às
tensões de tra~o são mostradas na ligura por linhas chcias; aquelas para as tensões de compresstto são mostradas em tra cejado. A confi&uraçlo das t rajctórias (n«o mostrada) t seve-.
ramente perturbada nos suportes e no pon to de ap1icação d a carga P.
10.4
um
po..ra
'•,(oporiomd.au•dd,,.am t~mporanamente u proprte~e• Opttcas do ma~erial. !!ua mudança. paS
•
6p~1cu .POdo 1e.r decetada e rela.çtonJLCia. com as tenWos principait quo a cautam.
n n ill~ t.)(}Minment.a l o aoaUtlca neoould~ P«rG invo•lianr os problomu clciSU mftneira
>t
• conhcctda como m•rotlo fotot ldlltCO d• analbf> de t.st:sõ~s. Apon&J uma breve detcriç&o ..
d~J~IG 1nOtodo 1cr• dada aq,ui. inlclando coan alauma~ ob~erve çôoa,
,,..,,.. 10.a Tr-.Jelórl• • de lendo prlnafp• t
paf• v lg&l re1engul•ral
A luz propap,._se, em qualq\lcr meio dado, em lin ha reta, c:om velocidade constante.
Para a n:nalídado •m foco. o compOr._mento c.la lux pode •r ex.pllçado oonaidorando~ao
um simple& raio como umo drio de ondas caôticu que ao propap.m om v41riot p lanos qUe
cont~m o raio. Roatrin~ndo a vJbraçlo du ondas a um almpl• plano, obt6m ...&c um plano
de luz polarizada. luo 6 roito por melo do um polarizador. que pode ser. uma pilha adcqullda
de placu. um prisma de Nlcol. ou um oJcmc.n to po.l ar6ido comcrcJalmento fabricado. O
plàno do polarizador. atrav9 do qual passam as vibraçOu transversais da luz, é chamado
de ptnuo de polaráa~ão. Um dia.a;rama. csquem6tico das datínJçôes anteriores estA na Fia,
10.6(a.). onde tam bém alá moatrado um .eaundo polarizador, cbamRdO de anal.!~ der. Observe
que. se 01 planos de polarin .çlo dos doil polarizadores &lo pcrpondic::u.lares entre~~ nenhuma
luz pu.sa pelo analllador. EliO arranjo do anaJis~:Ldor, com rolaçlo ao polari;tl.'ldor, é chamado de (.Tuz ado.
'
'
. Se a fon te de luz••• usada é monocromática.. is1o e, de u nto cor, as yjbraçõe$ transversais
da luz polariu.da. plana s.to reautarea porque o comprimento de onda c11"1 um dado meio.
pata uma da.da cor qua lquer. ~ constante. Quaodo estão ~~ propagando no mesmo meio
essas vibrações Lransvcrsais $ãO descritas por uma onda aenoidal de amplitude e rrcqüênda
const·a ntc:a. I nserindo um espêcimc recozido, feito de material tranaparenLc adequado, entre
o polarizador c o analisador no arranjo mostrado na Fig, 10.6(a). não se observa nenhum
MÉTODO FOTOELÁSTICO PARA ANÁLISE DE TENSOES
O estado de tensão de q ualquer problema bidi mensional de tensão pode SCJ' expresso
cm terl'nos dos contornos de tcnslo.. das linhas isôdinas, e das trajetórias da t~nslo principal
discutidos no artigo anrerior. Alêm do mais, é significutjvo que a aplicação das mc&mas forÇP.s
•uma $Í t u~tçlo p arecida é encon trada n.l mecõnica dos n u idos onde: nu problcmai ..bidimerliiooais'"
de e~oamento, m linhas de conente c eq·uipotcnciaS formam um sistema orlosonal de curv:u, a ni(J.Ilta
ilc C$f;()amitmo
322
mesma !"anelra., a q u&laquer doil corpot pometrica men t~ tomolhançu. Coita. de mt\teriaia
diferentes. ca.uaam a. mesma dJslrlbuiçlo de tendo. A distribuiçl.o de censlo nlo
E~~::'.~'.~pe7~las constanta el*sticas de
ma1erlal. Dessa (Ofi'Jla.
determinar expc~i
as lensôcs, em lua-ar de. 10 açhar as leniOes em um m embro real, ê preparad o
de prova de Qua lque~ matcrtaJ adoquado pa ra o tipo de testo a ser ofetoado. Vidro,
Ct patúcularmantc, ccc~os ar1.1.11 de ~quelita t êm a.a propriedades ópticas neçcapara o Cn.belho f~toea..atico. Num ~Jpécime de, um desses materiais, as te-nsões pdn_.
•Para isso &cr vetdodc, estritamente ralando, 0$ <:orrx>s devem ser &i m ple~men te oonec11\do$, isto
~.sem ru.ros n o interior
••Paca mais dct.albel veja M. t..L Fnx:b1. PI<CJI(H(rJit!city, •ola. I c U, John Wiley & Soos, Inc.. Nova
Iorque, 1.941 e 1948
•
.
•••timpadas de vapor de mereUrio do nounahucnte usadas para essa finalidade
323
renOnleno nO\'O. Entretanto. tcnsionando o csp~cime. as propriedades ópticas d o m•ucrí!!l;:'i;
ant•daan. e cxorretn dois fenômenos•.
1. Em cada ponto do éorpo tcnsionado. • onda ~ hr.c polatizada t decomposta ~
duas componentes mutua-mente perpcndicularcJ. q ue Jazem n01 pla:n01 d11:1 tens&s pna...
c;ipai.s q ~ ocorrem naquele ponto.
2. A vclocidndc linear de cada uma dat componentes da onda de lut t retardada.
es~cime tenJiorH,do em proporqlo diretf\ â tcn••o principal.
Fottlc ct. lu& mot\OCIOIMtfca
Oinlçlo dM .n ~ JWinelpat•
om A
.ro13tiudor
Pbno de ta monOCrOmilia
pol.tuda
2.o pot~udor (anall,.dot)
(lt)
(bl
Co••o~••••,., da tua f'lat~a polllriudl
••
Figure 1 O. I Método fotoel.. tlco de
ao6UM de ttmlo
Es.scs fatos constltucm·Je na base do mttodo rotoelbtJco de análise de tens&cs. Uma
rcpres.cntaçlo csquemâtlea do conlportamenlO de uma o nda monoecom,tJea. polarizada
no plano. ela pnua por um corpo tens-ionado c um analisadorcstl na Fig. 1 0.6(b~ No esp6dmc
tcnstona.do, uann. onda poltui:tnda plano. ~ dcco anposta cm dun.s componentes c:ujos plan(ll
coincidem com os plane» dttt~ len.ôes pf'inclpa it , como no ponto A. E3saa eomponent~ do
vlbraçllo aenoldal dojxam o et ~~lmo com 1 mco~ma frcq O~ncla. n1a.t rora do rase. 0 óltamo
efeito é causado peJa quantidade diferente de retardo da lu1. nos: dois planoa pdocipait de
ce.nd.o. Finalmente. as ondaa de lu~o que c mcraem do a nalisador do de no\'O eonduztdu
par.t o mesmo plano, porque apenas oertns coat1ponentc:s da. luz polariuda podem a'ravasar
o analisador. AJ duas ondas de luz monocroanê.tica que deixam o a.naiJandor vibram rQra
de rase no mesmo pt;tno com a mesma rreqUI!ncin. Sueli difercnçu de (àse, q ue lllo d iret_amcnlo
proporcionais d direre.nça nld tensões principe..is cm um pon to como A do corpo tcmtonado.
indicam diversas pouibilidades. que podem ser observadas em uma Id a coiOCIIda no a.na·
li.s.ador. Se 8$ duu ondas dclasam de um comprimento de onda da h~ usada. d as se reforçam
..0 primeiro renórnet'JO enunciado roi dacobcrto por Sir David Brewst.er en'l 11 16. A rda.ç:io
tllllantilativaloi ~us bclecida por O. Wenhcitn em 13$4. O moderno dcrsenvolvímento d:t rotoelas1!ddudc
o JU:I$ t\pfic:açOcs na enaenttaria provavelmente: te dC\It' a dois proressores ingleses, E. O. Co ~r c L. N.
Fllon. çujo lu.lado tobtc o auvnto foi publicado cm 1930
324
si e a luz mais rone é vi$t:a. na leia. Para outrns condições. n l~ll ma i ntc rfcr~ ncia ocorre
ns d uas o ndas do lu~. Uana eliminação completa da lu"t ocorre quando u ampJitude&
ondaJ de htz sl o ia-ua..ise dcfasam de meio.comprimcnto de lutou de
múltiplo inteiro
Dessa fo rma. j.i que um numero inflnalo de ponl05 no corpo tc.ns.onado afeta a luz
plana do maneira a n"o;.a ao ponto A, b.ndas alternadu bt-Hhantca c escuras
iomr,n·•• nparcnlcl na tela. A.J bandas escuru ' !lo c;ha..m:tdas de frotmjns.
Qunnto major for n d ifc:renqa nu ten.saca prlnçipais, maior o dHç.rença entre as duns
de lllf que emergem do amaH.tAdor. Aasim. ac u forças sllo arud uahnemo aplicadas a
""''''''" ··• espécime att Cl\le as tem&s pdnc:ipait: daliram •uriciememenle para causarem uma dife·
rene;• de rue do melo compdmcnto de onda entre os duas ondas de: luz em atauna pontos,
• primeira franja apa rece na tel&. e n ta.~ camo a magnitude du rorçal aplicadftt aumenta,
· primeira franja dctloea·!e pan un1& n:ova pOsJçl o, e ou~a !r• ~Ju de "ordem auperi?r"
na telu. A teaunda franja correspo nde llt tcnsôe, pr•nc:rpou.s Q\le causam uma dtfede flue de I ,S comprimenlos de o nda. Esse processo potlc continuar cnqunnto o cs. s.e comporia eln:uicamcnte: mais c maia rranjo.s aparecem nn tela. Umn ro tografia
eo1n váriu franjas pura uma viga retang-ular c:arrep.da. no meio do vllo está no Fig. 10.7.
AJ (roruu podcn1 ser calibradas c:m um ensa.Jo aeJM rado com uma ban-a em lraçlo ou umn
via• cm Oedo puna. As ums.Oes pa ra eJSe. m embros Simples podem ser calculadas eom pre-_
cisllo. É necessário fn~cr un'la callbr;tçlo de cspêclmcs do mesmo ulrHeriaJ que o do espêc.i me
~ 1tr invest igado. Com os dados dn cnJibraçào, podem ser in vcst isado.t membros complexos
iubUtotldos o ca.rrc.tuunontos cornpliçpdos. l?arn Cindo ordem de rrunjn, u dircrc:nça dat t ensões
ptlnc:lpais. a , - aJ, é CIOn heddJI pcln ea libra.çtto, eu fr:\nja3 represcnuam um mapa da d ifcrcnca du tcnsôe;, pfincipais. A lém do mais. como. do acordo com a l!q. 9.8. • dl(crcnça das
ten.t6cs principa.ia d1vidid.a por do•• 6 Igual â tenl.l'lo de d.salh.nmento máxima. as franjas
tamb6m represc.ntam o lugnr geo•nétrico das 1cnt6cs principnit de cisalha mcnto.
u:n
fll.,r • 10. 7
FOIOOUtlt• dss frnnj oa dt
(Fotografi• tlt11CJa
utne viu• te(•ngulor
pelo Professor A. W Cfough)
Uma foto gr(lfil' de rranjn do OOTJ>O tensionodo c 0 1 dad os 'de cnlibração s4o tuOcfentc!ô
pua a. dclcnn.í.nnqAO da magnitude dns: tensões de c:isulhumemo ru6xirna e principal. A tensllo
prínc::ipol trun~•n pode ser obt ida om qualquer ponte do contorno t em carga: em um contorno lavre, um a du lellsõcs princfpa.ls que otua nonnalmente ao contorno deve ser nula.
c • ordem da rrenjQ 1em relaçio dJrcta com a 1ensao principal Trabalho experimentaJ adi·
àon•l de\'e. ainda. ser cxeetnado pa.ra detennitHirem-.sc QJ teru6c:r normais lonae dos con..
tornos
Uan metodo de 'C c::om p!c:tuc o problema çonsistc na oblençRo de algumas medidas
bem prceisas dn mudança de cspcssun. do esp-êd•n~ aolicüado em vflrios pontos. Euas medidas. que podem ser indic,a do.s: por á l , onde 1 ê _, espessura do e'pécime. sào relacionadas
com as tensões princ:ipa1a. isto é, d:J lei de Hooke aen~raliza:da, Eq, 4.11. com o: -O obtêm·se
4.1
c:o -\l(cr• ;
01
)
;
ou
n 1 + a-1
.,._~ AI,
(1 0.2)
En llo, de um cn.sa.io adicional com o m.:smo mnteria.J cm lroçBo s im ples. o nde rr ~O
1
e n J. • O. pode ser prepo m da uma nOV".J. c ona. de ~al lbruc-J.~ dand<1 o soma. das tc.nsõ~ prin.
325
çipnis 4Jti'SnJ Ar. Oa inrormação obtida d e$$1.\S duas exper iCncia. pode-.se preparar um
dn .s oma das tensões princ:ipaj' pRrn o up!cin1-e invostig!ldo. Superpon do esse
'' das diferençe.s du tensõea prlncipnis obtidas da rocoirafia da fm.nj a. pode-ao de<crn.;;,;ii!
as maanitudos du tensões principais em qualquer ponto do ••p«:imo soliciiado,
1nformaç4o adicional deve ser ach&da na foto das franjas, para determinar a dlo:eÇil&\1.;!
dru; tensões pri~cipais. Essa l nformnçio t dada peta Unha isóclina - u ma lin ha
respondente ao lugar geométrico dos pontos cm qt~e a direção de uma das :.~~:~~~~~:~:.'~
no corpo soljcitado coinc::ldc com o plano da luz. polariinda que deixa o
raios que pnJ.Sam por esses ponlos no esptcimc não $.ÜO deeol'npostos e
pelo nnalisa.dor. Girando o polari zador para d ivctsas posj.çôC$ conhecid as e mant.endo
analisador cruzado, podem ser determinada.; as linhas isóclinu.. Essas linhas totna·~e:
fícil distinguir das fr.1njas, j :l q ue ambas aparecem simultanea mente na cela. IE~:m:'r,;u~m~ ~~~'~f~
de se diferençar as linhos isôclina.s d as franjas us:H>C a h,1z. b ranca no luaar da 11
Usaf1do a luz br<lnca. as isócllnlls aparecem negras. mU$ as franjas s.ão eoloddas e com~•""·'·''
todo o espectro de cores visiveís da ha. branca. Por outro lado, para eliminou ns linhas
clina s, que sio indc.sejâvc:is às fotog.ral'ia5 do franja, duas placas de um quarto de onud:•::.:r::::··-~
ser inseridas no sistema óptico. As plaeti de um quarto de onda decompoem a lu~ p
p l:ana em duas co~nponcntcs l'llUtua.mente perpendiculares: uma dc.uas 6 uma o nda de
quarto toro d e faie com a outra. A. con1 binação desu1 duaa componente~ r~:~a ulta em
"lut circufarmc.ntc pola.rizada... Uma dau plac&Ls de um quaa·to de o nda 6 colocad& entre.
potaríudor c o esptcimo c a outro entre o espé<::jme e o analisador. A fotoa.rafia da franjâ
,
na Fig. 10.1 fo i obtida pelo uso desse mttodo.
Com a ajuda d~ tn~todos anallcicos. uma seqO!ncia de linhas is:6clinas e de fotoaran~
de franj as c s ulic:ienle para resolver o problema J'o toclástiC'Q sem se achar ex~rimentalmen.t'
a son~a das tensões principais. Esses ptoctdimcntt» s!o bastante detathndos e trabalhosos,
e, pata maiore-s infon naQÕe.s, aoonsclha·sc a leitura de livros sobre rotoeJa.sticidndc.
O método fotoelástico de análise de tensões é bastante \'crsátíl c tem sido usado "E\
solt1çã.o de numerosos probfe~mu. Aproximadamente toda.s as soluções para os fatores·dc,
concentração de tensões for11m estabelecidas pela fo1oehlsticidado. A imprccld.o d;u f6rm~las
elementares nas forças conce~Hrada$ ê dnral'!tente rcssaiHtda pelas fotogra fia& das frallJtll.
Por exemplo., na Fig. 10.7, de acordo com as fôrmulas. elc1~1enturcs, a& franj~ na me1ade
superior da viga deveriam itr como aquelas na metade mrenor. O bsc.rve lam bem a perlur.
baçll.o local das te.n sões nos s upo rtes. n3 mesma fo tografia .
. .
•
O mêtodo fo toclàs.tjco ada pta.se melhor aos problemas de tensão btdunenstonaL Os
problemas tridirnen$iOnai' tambêfn foram anatindos por meio de c~nicas cspeciaUta~as.
A extensâo do mêtodo a ptoblemes inclás1icos e pl! sticos permanece sem soluçllo ate o
momento.
Durante u. Ultima t.lêcada o rápido descnvolvtmemo de outro ptocedimento 6priço,
o mét odo de Moirê, tem obtid~ muito s-ucesso. Es. <ie método nãO será desaito equ.i•.
0
10.5
C ASCAS F1NAS DE REVOLUÇÃO
Em inú mera> aplicações silo usadas Folhas finas c urvas como componentes
estruturais. Exemplos de tal construção sl o os vasos de p.ressi1o . cúpulas de telhados,
reservatórios de Uquidos, mís~eis, asas de a\•ião, e tc. Essas cslru t u.ras são usual·.
mcnlc chamadas de cascas. U m método m uito amplo e ba>tame dcsen voJvido
•veja, por exempto, P. S. Theocaris. .. Moité Frin2_cs; 1\ powerful Meruudna De\i cc:"', ,..,,u~
Mc.•''''""ks .R t.!:lllt'll', 15, p. J J3. mnio d e 1962
326 "
imaaiJiad o para ané.Ji!le !las cascas. Aqui a alençlo Jicará limitada à análise
coseu do rcvoluçlo submetidas a cacrepmcotos dlatribuldoa, como o peso
casca ou pressio interna.
Um exemplo do casca do revolução est! mostrado na Fifi' 10.8(a); outros
1t'o>:on11pi<)l são a elfera, o ciUn<ko, ~ o cone. Taia cascas sio acradas pela rotaçlo
curv& pt&Da, cha mac:la de meridiana, em rclaçlo a um eixo pertencente
da curva. A c urva merltlional pode ter qualquer raio de curvatura r 1
arbit1rariart101nle variável, Fia, IO.I(b~ Para definir complotamcnto a ge~mctri~
urna supe.rflcie de cuca. necessita-;ae de outro raio de .curvat-ura r 2 • O centro
curvatura desse raio, como podo ser moatrado pelos 1n6todoa da aeomctda
f ~:~:~c: é locali~ado no ei>oo ela cuoa. Eue raio sora a oupornclo da casca na
i; c
perpendicular & direçlo da W1fl0lllc ao meridiano. Na maioria dos cMos,
entretanto, 6 mais convinc::e:nte tro..baJhar com outro raio de curvatura r 0 • que
reside cm um piano perpendicular ao eixo da casca. Os dois raios r 0 e r·2 são relacionados pO< r0 - r·1 sen <p, veja a Fig. 10.8(b). Sendo conhecidos os raios r0 e r· 1 ,
1c os ã ngulos compreendidot infinitesimais d8 c ptp, os comprimentos de arco
inflniteaimais do elemento de caaca curvilfnco ficam t•0 d6 c; ,.Ldtp, rea~ctivamen~o.
11 Tl:rt&lo mcrldlonoJ
Nota.: ra - '"1 M.n ~
ab-rod8
(•)
(l(/ ... hC" -
PlguN 10.8
Casca "-'1gad.a de revoluç.io
' • t)Y'
(b)
N essa análise, admitir-se-A que a espessura da casca h seja desprezável em
comparaç:lo com r 1 e r1 , · isto é~ nen huma distinÇão será reita entre os raios
interno, médio, e externo da casca. Admitü~se·ê., em seguida que a casca não se
deforme, quando sob carga, ou .que J1S deformações sejam pequenas. Essas premissas permitem tratar a ~ coiOO uma membrana, onde existem apenas tensões"
planas e uniformes. Nenbum momento fletO< o u força cor.t ante transversal de
magnitude significativa se desenvolve nas membranas. Uma membrana é. o anlllogo
bidimensional de uma corda flerú>d, mas ela pode resistir a tensões de compressão.
i·
I
327
I
Essas premissas são conhecidas como bastante razoáveis para cascas
regiões afastadas dos v!n~ulos externos.
Aqui a an61ise se limita às ten~l5es nas cascaa
revoluçllo ~~Cl;:,~:'':~~Ç;~
carregadas. Paf& ..se caso, o caJTegl!Dlento par unldade de superrtci" pede
sistir no carreg_ament'o Pc, atuando normal à •uperncle da casca, e do CBJrre.gamtonto,;<~~
p , aplicado tangenclalmcntc ao meridiano. P11ra um dado ângulo
ddades permanecem oonstantd! ao longo de uma paralela. veja a
.Para condlç&s do carregamento axl-simélricó, C11) virlúde dá si~;~\:~~~~
const~tes as Lensôes tangenciais cr., de ca~a lado de um el.emento h
como mostra a Fig. 10.8(b~ Isso não b geralmente verdadeiro para a tensilo ···-···~~-:,
d ional " • · Uma tensl.o de ci~alham ento plano P!'s&lvel ~.. (nilo mostrada) anula-se
devido i almctrta do problema.
'
de
10.6
EQUAÇOBS DE EQUIL.fBRlO PARA CASCAS FINAS DB
REVOLUÇÃO
Nos problemas axi ..sirnétricos de cascas de revoluçlo. existem apenas doai
tensões conhecidu, "• e;,,, e as equações governantes para essas silo estabelecidas ·
de duas condições de 09uillbrip. Uma das cqua9!5ca de equillbrio ê obtida pela
soma das forças na direçlo normal ao plano tangente do elemento inllniteslmal.
Nessa soma alo envolvidas as componentes das forças que atuam nas arestas do
ele.m ento de casca e a força provocada pelo carregamento aplicado p,. Essas forças
são mostradas nos três diagramas consecutivos da Fig. 10.9.
Como a área da seção transversal ao longo de cada uma das arestas verticais
um elemento inrmitesimal é h r t!i'P e a tensão tangencial que atua nessas áreas
h a,, as forças horizontais no anel infinitesimal são cr,lrr 1 dtp, co.m o mostra a Fig.
!0.9(a). Essaa duas for~ .t angenciais, cada uma inclinada de um Angulo !19/2, com
0 plano tangente, produzem uma componente horizontal 2u.ltr 1 drp(rJB/2), atuando
no sentido do eixo da casca. Essa força horizontal deve ser multiplicada par sen rp
para determinar a componente de força normal que atua na direção do ponto
A, como na Fi.g. 10.9(a).
A (orça normal provocada pelas ienslles merldionals ~ achada de .rorma
anãloga, Fig. 10.9(b). Embora essas tensões meridionais, assim como o comprimento das arestas do elemento possam rnudar do topo para o fundo. nessa projcÇio. essas mudanças são quantidades infinitesilT)ais de ordem superior compa~
radas com es outras quantidades envolvidas, e pOdem ser desprezadas. Finalmente.
tomando a área superficial do elemento infinitesimal como r 0 d9r,drp. a resultante
devida a p., que atua nessa superfície, pode ser achada como na Fig. 10.9(c). A
co_rga tangencial p., nio dá componente de força na d.ireção considerada, e por
essa razio, ela nio ê incluída nesses diagramas.
Para a.s forças acima consideradas, de 'E.F. = O, tem-.sc
cr1 1Jr 1 drpdO scn rp + ".,lar0 d9drp- p,r0 tl9r 1 (lrp - O.
Recordando que r 0 =r~ sen tp e simplificando. obt~rn·se uma das .relações
básicas para as membranas;
·
~ + "• = P, ·
r1
rz
h
(10.3)
Aqui, como antesl 11 é a espessura da case~
Um.a segunda oquaçio para detcrminaçAo da.s tensões desconhecidas na mem·
brana pode ser achada por meio da anlllise do corpo Uvro da casca toda, a.c imà
de um circulo paralelo, como mostra a Fig. JO.IO(a). Aqui, a resultante vertical
R. devjda ao carregamento p, e p., é mantida em equillbrio pela componente
vertical da Corça desenvolvida pela tensAo meridional "• ·
Mantendo em mente que a circunferência do circulo na seçâo da casca ~
2m·0 , de !:.P1 -==- O tem· se
"ltllf·• d8 + b!nno• de ordem tl.lpltlot
(bJ Cbmporwnto nonnlll da fotÇ* meridional
E'bo da easça
h
(a) Componentes normal da forçA t;npncl:al
Figura 1 0.9
328
(c) Result.,te 1',
(10.4)
As .Eqs. 10.3 e 10.4 são suficientes para a determinação das tensões de mem~-rana. na~ cascas de revolução com carregamento axi~si métrico. As respostas nega··
llvas rndtcam tensões de compressão. Observe que, como nenhuma propriedadé
do material foi osada no estabelecimento das relações, elas não são restritas aos
materiais elásticos.
As condições de suporte para cascas de membrana devem ser com'o as da
Fig. JO.lO(b), fornecendo o suporte para a força tangencial de "•h kgf/ m . Uma
329
componente vertical apenas n«o preenche essa condiçio. A menos que t e tenha
um aneJ resistente • eomponcnto bori%-On~aJ de q•h, severas tensões do Oexlo dcaen..
:votv~r-sc-lo na cuea. A lntroduçlo de" tal ano~ emboJa usualmente des<:jável,"
tnfehzmcnlo CllU$1\ (enJOes lOcaU de OcxiO Sig nificativas. 0 tratamento deLalhado
desse problema ro ac ao escopo do livro.
.
-,~~
·.:;
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••
•
.· - ~~-
.
·.
'
... ....
" ,
C•)
r
,
o ' atbltdrio
(bl
,._.. ,. 10..11
V..o uf6rico de p:ra.io
SOLUÇÃO
(o)
Plewr• 10.10 OI•O'•fflat c. eQ!J•IIbtta ( a ) u omento de u.,. c...e a. (b) fa10a ele compr"alo
em um conW)tt'IO
EXEMPLO 10.4
Determinar u tens6c:s provocadu pe:l• prcsaio interna p cm uma casca esftric:a de
porcdc fina.
Para um vaao dllndrico ,, • oo • r 2 - ' · Auim. com 1'.- - p, da Eq. 10.3,
•• - pr/Ir.
(10.6}
QUe 6 o dobro da tendo achada para uma os(cra compuâve.l. Eue rato pode aer comprcan·
dido melhor, con1ldera.ndo-M o olcme.nto dlindrioo na Fia. 10..12(b). Aq,ui. rai.stlndo i preulo
interna p. a tcnllo lonaitudinal • . n&o dounvolve componente de (OTÇ& P•ta dentro. di(orontcmc.nte do quo ocorre na cUQ do curvatu.ra d\lpla..
SOLUÇÃO
Para um va•o de parede fina, o raio ln 1erno r,.,. c o raio c.ttemo r....,Apodem ser conslde·
rodos iguais. Paro uma uter• r 1 •
r 2 ~ de.ua rorn1a
'
A nm de aplicur a l!q. 10.4. o hemisrério tl1oa:trado na f"ia;. 10.11(b) é isolado dn esfera
p<:lr meio de unm sc:.çflo q uc paasn pelo c:cnuo dn esfera. A caraa aplicada p, - p. e para tp - 90''.
tem-ae ''o ... rt ~·· rcauhnnfo R - nr 1p. Coano. pata uma es(cra. qualquet seção que pass.a
pe1o cent ro da\ o n'IC$1\10 1lpo de corpo livre, " • ti• [veja o F ig. JO.II(c)].
a• •
Ap6.s dclcrminaç!o de a• • como r 1 -,., - r. l\ igualdade de "• oom a• podetin tamb6m
.aer catabclccidn pela eq. 10.3.
As rensôca11. c tt• slo os tensOCI prlncipaiJ. Para um eJemcntà de csJern visto do exterior,
o circulo de te.nslo de M ohr te degenera cm um ponto. A máxima tcnslo de eisaJhamento
ê locaiJuda oblervundO·M elemento de lodo. l Vqja 11 Seç. 9.9 e a F"tg. 9.13 para o cst.ndo de
tcnslo triditnenllonal).
Se o coruct)do tem pet0 duprctávcl. urr.a es(cra ó a fotrna ideal para um vaso fechado
do prenlo.
(;)(EMPLO 10.5
Oc-tcrrtlinar u tensões provocadas peJa presdo interna p em \JJ1l vaso eilindri~ Fig. 10.12.
330
<•l
(b)
Pfgura 10.12
(o)
Vato cilhldlleo de preaalo
A maanltudo da tonoiio lonaitlidinal "• aoau• pela aplicaçlo da Eq. 10.4. Na FI&- 10.12(cJ
v6-ao quo D •ftura.ç5o 6 idbotlca Aquela de uma esfera; assim, para um çilindro
"•- pr/(2h).
(10.7)
Ambas, tr, e #I llo u ton10ct prlD:cipaLt porque as condições de simetria e~clue:m a
• de cJ.ulhame:nto nos plano• da& seçôel çons•"deradaa.
~xistencla de tco1.bc1
EXEMPLO lo.6
Dotorminar U toAIÕCI de m~mbrana e.m um domo cs(êrico de raio a. provocadas p<K
do q k&ffmm' (Fia. 10.13).
JeU prôprlo -
SOLUÇÃO
A uca da •uperllcóc do domo odma do "m Anaulo arbitrário 'P é achada cm primeiro
lupr. Multiptieando .... hea por 11. obt~--"" a resulbu>tc R que atua para bai%0. U.O 6,
331
R dcYO ser negativa. Eot,l o, pela ~- 10.4, pode Sêt determinada a tensão moddional q .
Su~lituindo "• conhocida na Eq. 10.3 e simpiH'icando. poc:k>-se avaliar a ten!lo rema.o~
ccntc.u". Fa7.cndo tais cálculos. dcve~se lemb rar q_ue J'l) _, tt. sen. .,: e obser-var que p, .... -q cos fP :
R - -q [
tT
•
=
(2nr.Ja-fllP = - 21la "q
r•
sentp!lqt- - 2na 1(1 - co:s o;t)q;
R
aq
- - - - - --·
2;r.r0 hsen t('
l1(1 + coscp) '
p,a
o, - - (j
11
•
-
nq (
I
h J +rost;'
-
(HI.a)
)
cos tp .
( 10 .9)
Esses resuh:Jdos estão traçados nn Fig. 10. 13. € iptcress.ante obserYar n mudança de
sinal de fi• • q ue s ignifica que, a té rp • 51 ° 49' nenhuma. tendo tangencial se desenvolve
no domo. Esse ! um fato importante para m ateriais fracos à traçAo c explica o s ucesso do
uso de do mos nas construções de telhados d urante a era medieval.
U ma desco nti n uidade na ação da membrana de Ul.l'.a casca oco rre cm todos os
pon[OS de vSnculo externo ou nas uniõ es dos elementos da casca que po ssuem
d iferentes características de r igidez. P or exemplo, essa situa ção oco rre na união
d a parte cilíndrica de u m resen·atório de pressão COOl as extrem idades. Sob a ação
d a p ressã o in terna. o cilind ro tende a se expandir como no diag rama mostrado
pelas Hn has traceja das da Fjg. 10.14, c:nq uan to que as e xt remidades tendem a se
expand ir d e monto rJies diferente~. por causu d as diferenças 1111 lerlslio, Essa inçompati bilidade de deformações ca usa tensões de Oexão e de cisalhamcnto na vizt...
n h nnça da união. pOrque d e,•e ha ver co n tinuid ade nsica ent re us extrem idac;les
e a parede do cili ndro. Por essa razã o, extrem idades cu rvas adequadas devem
ser usadas pota reservatórios de. pr ç::;são. As ex tremid ades plonas são ind esejáveis.
O "' AS ME U nflred P ressure Vcsscl Code"" dâ info rmações p ráticlls sobre o projeto
d os e1ttrCtnidades; a teod a n ecessári.~ fog_e ao escopo deste texto.
F lgou.-a 10.14 U nhas tr&cej Etd,., mQStrondo e ten dânc;a (e)lllgOttJda)
de o cilindro e as eJ(1remidade6 se expalldirem de quantidados d ife ·
rentes sob a açâo da pressão inte m a
F1gure 1 0.13
10.7
OBSERVAÇOES SOBRE VASOS DE PRESSÃO DE PAREDE FINA
O estado de tenslo para um elemento de um vaso de parede fina. confo rme
dado pela ECJ. 10.3 a 10.7, 6 considerado biaxial, embora a preoslo Interna n ormal
à parede cause u ma tenslo de comp_ress.lo lo cal igual à presslo interna. Com efeito.
um estado de tenslo triaxiaJ exjste no lado interno do vaso. EQtretanto, para reservatórios de pressão de parede fina, a terceira tcnsiQ 6 muito menor do que ~
t78 , e por essa razio pode ·ser d esprezad a. O erro cometido com tal apro ximaÇio
pode ser rigo rosamente determinado pela teoria geral !a"" se aplica a cilindros de
parede espessa c fina. Pode-se mostmr, • das soluções baseadas na teoria da ela~
ticidade, q ue a espessura da parede pode chegar a um décimo do raio interno é
o erro na aplicação das fó rm ulas p11m reservatórios de parede fina ma nter-se-à
pequeno. Para a pressão interna. se o raio inte rn o é usad o para ,. na Eq. 10.6, a
tensão ta ngeocial média ta m bém é correta.
e
•s. Timoshenko c J. N. Goodic:r. T~ory t{" E flt:Uiclty, p. 60. {2. ed.) McGraw-Hill Book C Qmplny,
1
Novil Iorq ue. 1951
332
'
A m aioria dos reservatórios de pressão são fa bricad os de rolhas curvas separadas que são u nid as. Um m éto do co m.u m de consegui-lo con~isto r1o soldagem â
arco d o m a terial. Os cn n~is nos quais 6 depositndo o m ctàl da s old a, são prep ara d os
de maneiras bastante di versas., d ependend o da espessura das placas. Os cálculos
d as uniões s~o feitos a partir d e uma tensão de t mção od<Oissl vel da so lda. Essas
slo usualrnente expressas por certa percenta gem da rcsistCnd n da placa maciça
origi nal d o m aterial. Essa percentagem varia bnsta nte, dependendo do trabalhador.
Para trabalho ordinário, pode ser usada u mu •·edução de 20~.{ d a tens.llo adm iss ivel
da placa maciça para a quela so ldada. Para esse fa tor. a ericiência da união é dita
de 80 %. Em t rabal ho de alto gra u. algu mas das especificações permitem !00 %
de eficiência para a jun ta so ldad a.
Em conclusão. d eve.se enfatiz:a.r q ue as fórmulas deduzidas para os reservatórios de pa rede fi na d e\·criam ser usad as apenas para os casos d e pressão interna:
Se um vaso, tal como um tanq ue de vácuo o u um submarino , for p r oj etado para
pressio externa, pode ocorrer instabilidade (flam bagem} d as paredes e os cálculos
de tensão com base nas fó r m ulas anterio res não têm s ig nificado .
PARTE 13
PROJETO DE MEM BROS ~ARA OS
REQUI SIT OS DE R E SISTÊNÇIA
10.8
OBSER VAÇÓES O ERA.!S
O projeto de sistemas estru tur ais baseia-se e.n várias consider ações. Os requ isitos fu ncio najs certame'nte se conslituern no principal rato r para seleção e arranjo·
333
de membros estruturais e elementos de 1nâquinas. A diseussllo dessas questOca
roge ao esc:opo deslc tex-to. Se. cntcetanlo, a configuração geomêtrica de u.rn
membro é dada, e as cargas aplicadas sAo especificadas, os procedimentos d-nvolvidos nos capitulas anteriores permitem-nos sclccionar membros do tamanhO
adequado para satisfaler os requisitos de resiste.ncia em várias sicuaçôes. Como
nesse momento o leitor se toma fanüliar com as transformações de tensio e c:or:q
os critérios de escoamento c fratura. ele deveria estar apto a uma apreciaçl.o mais
profunda do projeto de membros estruturais para satisfazer os requisitos de resistência. Parte da discusslo apresentada a seauir tem o· sentido de revisA o.
·
10.9
PROJETO DE MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL
Os rnetn bros de traçilo com carregamento .axial o os blocos curtos de cOmpressão,• ,são projetndos por meio da Eq. 3.7, isto é, A - P/u..,.,. A seçio criticá
para um membro eom carga axial ocorre em uma seção de ãrea transversal
rn{ni.ma, Se uma desçontinuidado abrupta é imposta na área transversal peJos
requisitos de projeto, o uso da Eq. 4.34, " - - KP/A, é apropriado. O uso da
última fórmula é necessário no projeto das peças de máquinas pam levar em conta
as concentrações de tensões locais, onde a falha por fadiga pode iniciar.
Além das tensões normais, dadas pelas equações anteriores, as tensões do
cisalhamento atuam em planos inclinados, mesmo em um estado do tensão uniaxial.
Assim, se um material é fraco na resistSncia ao cisalhamento, em comparaçio
com sua resistência ol <ração o compressão, ele falha ao tonao d.e plan.os que se
aproximam dos planos de máxima tensão de cisalhamento. Por exemplo, membros
de concreto o u de ferro rundiclo em compressão uniaxial, c membros de duralu~
mlnio sob traçAo uniaxial falham cm planos inclinados il direçi!o da carga. Essa
observação é considerada. pela teoria de falha de Molu, que foi diicutida liaeira·.
m onte na S• 9· 9.~.
.
Ind ..pendentemente do tipo de falha que pode ocorrer, a tcnslo admissivel
para o projeto de membros com carga axial ba.seia.·.•e. usualmente, na t~nslo normal.
Esse procedimento de projeto é consistente. A mãxima tensl!o norml!l que um
material podo supOrtar no ponto de falha é diretamcn te relacionada com a resis-.
tência limite do material. Assim, embora a quebra possa qcorrer em um pJano
inclinado, a máxima tensão normal pode ser considerada como a tensão normal
limite.
10. 10 PROJETO DOS MEMBROS DE TORÇÃO
As fórmulas pertinentes para o projeto de m~mbros de torção foram esY.·.
belecidas no Cap. 5. Para eix~ circulares, a solução da E(j. 5.8, Jfc = TI~-•• em
uma seçi!o crítica dá o pari!mecro J/c necessãrio à resistência ado;(juada de
um membro. Como eixos são principalmente usados como partes de máquinas
(Eq. 5. 17), '-• - KTcjJ deveria ser usada na maioria dos casos. Essa Esl· 5.17,
·Membros delpdos de comprcssio s4o disoutidos no Cap. L4
334
com o facor de concentraçlo de tenalo K, cuida da elevada tenslo de cisalhamento
local nu variaç(Sco de, área da ocçlo transv....sal.
A m!lioria doa mombr,o a do torçlo é projetada pela soloçlo do uma tcnalo
.do cisalbamento admiulvol, quo 6 aubetitulda por .._ nu Eqo. 5.8 ou s.l'i. Iuo
importa no usp dircto da t~ria de falha do cisalbamento máximo. Entretanto,
e bom manter cm mente q1.141 um 01tado de tenslo de cisalbamento pUJ"o, quo. ooorre
na torçlo, podo oor transformado nu tensões principais pela rotaçlo de um elemento do <'IS" {So9o 9.6). Em al&WII materiais. a falha pode ocorrer devil:lo a uma
d.. ten16c1 principalo. por exemplo, um membro feito de ferro fundido, malerlal
forte à comproulo, mu mala fraco à traçl.o do que ao ciaalhamento, falha à traçlo.
10.11 CRITÉRIOS DE PR01BTO PARA VIOAS PRISMÁTICAS
. Em uma viaa oubmetlda • nexlo pura. a seçilo c.rltica e aquela em que .ocorre
o q:~aior momento flctor. Atribuindo uma tenslo admissivel, pode·so determinar
o módulo de seÇAo do tal viga. usando a Eq. 6.8, $ - M/u_. Se o mÓdulo de soçlo
neoesoãrio ê conhecido, podo 1or aoloclonada uma viaa do propOrções corretas
para ter a resiatancia adequada. En.t rotanto, se uma viga resiste ao cisalba.mento
em adiçlo t nexlo, sou projeto toma-re liaeiro.mento mala col)lpllqado.
Comide.re a visa retanau1ar priomi\tica do . Exemplo 1Q.3, em uma seçlo a
250 mm do suporte esquerdo, ondo a viga transmite um momento Oetor e uma
força cortante, Fia. 10.1S(a~ AI tenoõea principais noe pontos A. B, C, B' e A' nessa
seçio foram achadas an~e.riormente e do reproduxipas na Fig. IO.IS(b). Se essa
seçlo fosae a critica., o prójeto desaa viga. baseado na mtxima tenslo. oormal seria
governado pelas tensões nas libras oxuemas porque nenhuma outra tenslo ex-.
cederia aeu valor. Pan uma viaa priam,tica. esou tcm,ões dependem apenu da
maanitudo do momento netor e alo as maiorea cm uma 10çlo onde ocorro o
mjxlmo momento nccor. O.aaa forma. no projeto ordlnárlo nlo 6 ne-úrlo ofotuar
a antll10 do tonalo combinado. para 01 pontos lntorlorea. No exemplo considerado,
Q momento netor máximo ocorre no meio do vão. Isso pode &e\ generalizado em
uma regra bll.sica para o p.r ojeto de vigas: uma seçilo critica pa.ra uma viga prismá-,
rica suportando forças transversais normais a seu eixo ocorre no pOnto em que
o momento netor atin&e seu máximo valor absoluto.•
O critério acima para o projeto de vigas prismâtícas é Incompleto. Em alguns
caso•, as tensões de cisalhamento . provocadas pelo ciaalhamcnto em uma seçio
pedem controlar o projeto. No CJ<emplo oonsjderado, Fig. 10.15, a magnitude do
cisalbamento permanece constante em qualquer seçi!o da viga. A uma pequena
distância a do suporte da direita, o mbímo cisalhamento ainda é 4 000 kgf, e o
momento Oetor, 4000 a kgfmm, é pequeno. A máxima tensAo. de cisalhamento
• Para u ~ tr~onail acm dolf e.laot de slll'l~lria, taJ como vill&l T, rcJtu do matetia.l com
Pf'Opriod:ados difcrenta ml traçio c çemprculo. dovcm ac:t examinados os maior-es momcptoa cm ambos
oa 5enlÍd05 (pOiitivo <tU oeaativo). Em tail drcun1tAncias, um momenlo Oetllr me-nor em um sen1ido
podo cauaar uma tendo mall ctllica. do que wn momento mll01 cm outro ~tnt-ido. A seçlo r.a qvBl 1
tensão na fibra cxtrcca. o maior cm nlor ab.oluto, cm tclllt;lo lt te~pcc:tiva tendo admiu(vc.l. ~ • seçlo
Critiea
335
no eixo neutro, correspondente ' força cortante de 4 000 lcge é a ooesma no ponto
C que no ponto C.• Dessa forma. como Ml um problema geral ,.. tensões ele
ncxio poclem su pequenu, elas podem nllo controlar a selcçlo de oma viaa,.é
outta seçlo critica pe.ra qotlquer viga prismática ocom: onde I força COftant~
Cor mbims. Ao aplicar es!IC crittrio, é costume trabalhar diretamer1tc com a tenslo
de cisalbamento mAxlma, que pode ser otxida da Eq. 7.6, • - VQJ(Ir). c nlo tran..
formar 't'
usim achado nas tensões principaíL Para vigas r etangulares e em
1, a mbG:."a tcnslo de cisalhamcnto dada pela fl!l. 7.6, reduz-."" is E9,s.. 7.7 c 7.9,
, _ • 3 V{lA c (•- } . , • VfA.,_, respectivamente. Com a cxccçlo doo materiais
frâgcis, a tendo de clsalhamcnto admissivel é menor do que a teruio de llexlo
admissivel. Isso é conJistente com os critérios de escoamento e de fratura (veja
a Scç. 9.20).
u"'"'l]
l)oooqr., - ·
~
fiJo IO.l6(.e).. O màdmc moment_o Cletor occrre no meio do vão. Exc:eto pelo sina~ a força
coz<anle é 1 mesma do cada lado da for~ J.plicada. Em uma seção logo A direita ou imediatamente Auqucrda da força a.p(.ícada. o máximo momento e a máxima força çOrtante ocorrem'
ofmultanoamenle. Uma aeçlo imedialamwte ;. c!lql!etdt de P, cem o eorrcspOfideote sistem• de forÇ*S •tuando sobt'e ele. está mostndo na Fig. JQI6(a~ Para essa. seçlo, pode·se·
mou rur q uo •• hsn~Gas nas ribra.s c' rrema.s aio de l.7S4 t gfjm ml'. e as tensOes pdnclplh na
junçlo <11 alma com os Ra.n~ deJprezando as concentrações: de tensão, .sio ± t.97t kaf/tn.m 1
• : o.J$8 kaf/m m 1, aluando na fo rma mostnda na Fig. 10.t6(b) c (c). Como u.su.al, a per·
t urbeçfto local chi~ tensl5d na vi~:inhanç:;a da forQt a plicsdl P é dc.sprcu.da Oeste exemplo.'
'lf:• que a mi cima tendo nCKmaJ nem sempre ocorre- nas fibca! extremas. Todavia. apenas
a.s tc~cs d:a.s fibr•s c-urcma.s c au tensões d.e cis:alhamento no eixo .neutro ai.o invcstipdat
no projeto Ordlnltto. Nos c:ô<haos de projeto. as tensões ad.mis:siveis slo presu.mívclmc:.otc
bem be.iu.s. tal que um ratoc de ~e~:uunça ~dequado penn:ancça. ainda que as tcnsôa
combinadu mais clcvadu Jejam desprezadas. Observe tamW:m que. para a mcsma rorça
apUc:;tdl, aumc:nca.ndo o vl.o. as tem&s de flexão zumeata:m. n.pidamcnte.. e as tcn.6cs de
ciJ:AlhamcniO per~nanecem çonsta.ntes. Na nu.iori:~ d O$ casos. a.s tensões de fkxlo alo pre~
domit.,1 ntn.. e a tendo na flbr3 extrema é a máxir:na tensão normal Apenas para vigas bem
curus. c arranjol nlo usuais precisa ser feita a snáli.sc de tensão combinada.
~=:: ~·ooo~Jr. ~"m•
4000 kaJ
!-+---!
' ' . 1000
- ' '•'•
I
S2
_j::===:?==:::::::;b ,..
,; ~
;ll'! m:
1
SOO mm
1
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u
1
-
- . I ll fNil
I
. • - 111mm
m ....
I•I
rs::;~ ~:~: : : :
•
Figura 1 O.1 8
Os doi• criterios pnra o projeto de vips alo prc.d!OJI • u duas seçaeS eriti.cat ost:to
cm diferentes locais. Entretanto, em alauns c:asos o mbimo momento Oct<lr e a mAxim.a força
çortante ocorrem na mesma scçla da \'i&a.. Em tai.s sitv•~ tensões combinadas maiores
do que tt_ e 1'-·, como dado na! Eq1.. 6.8 e 7.~ podem e.xistjr em pontcx i:nteriorea. P«
exemplo. çoaJidcre uma vip I de peso despreúvd que supona uma força P DO mrio do vlo.
• No ponto C 11o mottrad.as .t!l lcn.OCS cfc: àullt.a.memo miximu. t ra.rulortnadu b8 tcnale!i
336
1,7S4 tartmm 2
J,7S4 kaf/mm'
t .971 tar/mm1
1,291 kjf/mm 1
Usualmente os tens~ de flexfto controlam a scleçAo de uma viga. Apenas
nos vigas com pequenos vllos o cisalhamento controla o JXOjeto, para pequenos
comprimentos de vigAS, as forçi'LI aplicadas e as reaçõcs tam pequenoa bruços de
momento, e os momentos fletores resistentes necessários slo pequenos. Por outro
lado, os rorçno de clulhamonto podem ser grandes se as forças aplicadas forem
grondcs.
priocip.it
~·
1
O,l.SS.It:ar/m~
l , , I katfmm
(bl
- OOOmrn
(b)
1,291 k•"/m.ml
k.cf/tn.m
J.lft
1,97 1 kaf/mtn2
l,75<1 kJsr/nun 2
Flll'4r• 1 e. H;
(c)
PROJETO DE VI GAS 'f'RI SMÁTICAS
·
O projclo ele mt:mb.ros pri:sm~ticos é controlado pelas mAxin1as tensões dc:scn·
'/Olvidas nas seÇ)Oa critiea..111. Como foi apontado na Seç. JO.U. uma seçflo crítica
1 ocorre onde o momenro nctor é máximo, a o utra onde a (orça cortante 6 múxlma.
Para IO(:a líxação das seções criticas, são bastante úteis os diagramas de força cortlnte c .d e m~mento. O m áximo valo r absoluto• do momento é usado no projeto,
~uer
pOStltVO o u negativo. Da rnes'!"' fo nna, a máxima ordenada de cisalha-
••I"
•Jhe nlo 6 aempfc ~rda dciro par• m.;a.rcrQ,~ cem poprtcdade. diferences cn lr•çio e co.mpr~o.
V• a. nota di:: rodap6 de p
lJ'
337
mento absoluto é a siJnificativa. Por exemplo. considere uma viga simples coni
uma carga concentrada. como na F ig. 10.17. O diagrama de força cortante, de"1
p=ando o peso_ da viga, ~st6 mostrado na F ig. 10. 17(a ), na ro nna ordinariamente
construlda, admmndo-se n força concent rada em um ponto. O <hagrama de força
e<~rtantc, na fonn~ cm que ele mais aprOximadamente eXÍ$te, está mostrado na
Ftg. 10.17(b). Aqut, dâ·se uma certa folga para a força aplicada e para as r~
admitind o-as unirormctnenle distribuídas. A premissa de forças concentradas mera~
monto retinoa •• llnhu obUquu do ciaalhaD>cnto. Ern cada c:uo, o valor da força
cortante de projeto é a maior das ordenadas pOsitivas ou nqativas, e não é o valor
total da força aplicado..
tamanho aojam impoaus sob"' a vip, 0
do economia. O procedlmento do aeleçlo
Uva e erro.
Oeve-ac o baorvar também q
aJ
·
.
~>tse nu dellex~ admlüíveía. ;::.. ~as Vll!as devem ser selecionada& com
plCO
t••
,..
•
F 'aura 10..1 7
Oetennina çlo O. uma O«S.n•d•
de ptoJeto do diegraml de cisall\a;.,...nt o
\..-----''
As tcnsOes odmiss1vcis a serem usadas no projeto slo prescritas por vérias
autoridades. Na maioria doa caaoa, o projctistn deve seguir um c;ôdiao, dependendo da localizaçlo da instalaçlo. Nos cOdigos diretos as tens!les admiulveii
direren1, mesmo para o mesmo material e mesmo uso. As tensões admissiveis à
ncxào e ao cisalhamcnlo slo dircrente.s.. com as tensões admissiveis de cisalhamento
usualmente menores.
Alaumos vcz.ea o projeto de visas baseia..se em sua capacidade de momento
limite (plt\stica). (Veja a Soo- 6.8 o a Eq. 6.13, que definem o módulo d o scçlo
plástico). Ern tais problemas. ns eurgas de projeto consid eradas slo multiplicadas
por um rator de cnrgn, que define a curga limite da vlga. Para vigas compactos,
estaticamente determinadas, o código AISC (1963) especifica u m rator de 1,70.
Isso significa q ue o colapso de uma viga ocorreria após as eargu cr escerem de
um fato r 1,70. D essa rorma, o fator de carga é análogo ao fator de segur ança na
;tnálise de tendo elástica. A análise plnstica o u limite das vigas será considerada
posteriormente no Cop. 12.
No projeto elástico. após os valores críticos do momento e da força cortante
sercl'n dcterm_inados, c selccionadas as tensões admissíveis.. a viga é usualmente
escolhida panl resis:tir a um momento máximo. A viga C. então, verificada para
a tensão de ci•ulhamcnto. Como o. maiona das vigas são governadas pelas tensOes
de nc.ao, esse procedimento é convenien te. Todavia, em alguns casos. par ticular·.
mente no projeto de vigamento de nladeira (c concreto), a tensão de cisalhamcnto
freqOentcmente con trola as dimensões da seção t ransversaL
Usualm~nfl txbtem diveno.s clpos ou tamnnltos !Ie n:aembrO.i comercialpumr~
dispo11lv~ís qtU! podtm s.,.- usados para uma viga dada. A m enos que limitaçOes de
aerá tratiido no prólÚmo capitulo.
EXEMPL.O 10.7
Setodonat u - vlp do pbtllo Doualu. do MÇA
conce:nttadu. como mo.tta • Pi,a. l0. l 8(a). A ~~ r:~aular. Pâta auportar duu rorçaa
no dul..._,.to <lo 7 Joaftom' • llO • upone
_
dl • m...lvel oa n .,.ao é d e 84 kartcm',
~'- cu 1llr .., arto da ID&d.,ra 14 kaf/cm'.
11
I
A
M>""":-L--;y,=
. .-;s;:!:!====;;a,:a
·
:f:':mb roman
ma.JSb leéve 6 usado por motivos
ro um processo de tenta·
...
11
,..
d'i,o'"'"
,,,
11
·r---.---------L-~+~Itl
-•~I..__
__.J
Cbl
+
o--========:~~=··='·=~=·====-'"'
m(nlmo
P'Jgura 10.18
SOI.UÇJ'i.O
NuJ Os diagramas de força cortanlc e momento netoc para as forças aplicadas sno prepa·
, 01 om primeiro lugar, e estio mostrados, respecúvame1Hc, nus Fias 10 18(b) c (c) N
F1g. 10.18(c) v<!-ac qllo M,.u - 1 200 kafm. Da Eq. 6.8
· ·
· •
S • .!::!_ - 1 200(IOO) = I 428 6 cm'
D•••
84
•
•
Al!dmiu· ndo--a arbitrariamente q ue a profundidade h <b. viga seja. 0 dobro de .sua largura b
pcIl q • 6.9'
•
bh'
h'
S • T - u - 1 428.6 •
h- 2S,78c:m o b- 12.89 cm.
Da Tab. lO do Aptnd ico, uma ..;.- do m.n-~~es i S êm " 2S =
11 hc
1
quisiLOI. O la manbo 'cJetivo clesR vip! de J4cm x 24cm. c scu. môdu:~cs.cçi~ ;' '::
5
339
338
EXEMPLO 10.8
- 1 344cm,. Para essa vip.
Sclecionar uma viga I ou uma vip de a.ç-o de a lma e Range para suportar a carga dtt
F ia. LO.J9(11). Silo d.ndos.. a.,•• - 16,8 taf/nun'. r,m = HU kgl'/mmJ.
Essa tensão estA dentro dos Hmilcs admiulvelL AJ11m. a viga ~ saUsfa_tóriL Observo
q ue podem ser usadus o utr8J proporções par.a a viga : um mttodo mais dlreto de projeto
COl)Si"e em achot uma vlaa d e rama nho eorreapondanle ao do mód ulo de seçü.o de!le,lnd n
d ire totuente da Tab. 10.
A anólise acima. fel feito. sem c:onsjderar o peso da vlaa. que inicinlmentc era descon hecido.
(Projetistu expcriruenuadOI!I usualmente colocarn uma pe.rccla para o peso da vi~). Todavln,
is~o pode ser con.siderndo aaorL Admirindo que a ":'adelra pctc 6 40 kgf/m:a. ~ VIl.._ seleclo.
nodu pesa 21,6 k&f/m. Eun c:orp uniforme mente: d1Jttibu1da pr~voca um dtaanma rara..
bôlico de momento nctor, mostr•do na fig. lO. ll(d). onde a mAnma ordenada t PoL /8 - Z1.~4,8)'/8- 622 kJ(m (veja., Elrcmpl<> 2.6). Eae dla ara mo & rnome<>to fiel<><. de. .rla
ser adidonado ao diaarama de momento provoado pc:lu forças apheadu. A 1nspcçlo
desses diaa.ramu 11101lra que o momento Oetor miJtlmo devido a ambas ~ causas e 62.2 +
+ 1 200 = 1 262,2 kafm. Oe:Jta. rorma, ornódulode soçlo rea1nl~t~ ~ec:enânoéS- M/o,.,.• 1262,2(100)/(84) - 1502,6cm". A viga de JSczn K 2Scm IOICialmente sc lecionnda (o.""
ncce um s - 1 344 cm,, que estâ cerca de 10,5 % nbolxo do valor necc.ssârlo. Nn malon a
clns circ\mst:1ncios isso 8Crill co nsiderado satlsr,n 6do.
SO t.UÇÃO
Os d i,.arnm ns de (orça oort11ntc: e de momento nct or pa ra a vi"1' c:~tl1o moscrado'S na
F'ia. 10.19(b) e (C), respeccivttme:ntc. O auomemo má;chno é de 3.24 kg(nl.
A=----a-,.4...
14
p
1 000
8
•
71.4 cm.
Essas á reas podem ser o btidas pela espedlicuçao do que as exlremidadcs do viga estejam
pelo menos sdbrc apoios de S enl )( JScm(7Scml): c nas roroas concentradas. podCO<IC usar
orruc!ss de aço de 8,S cm >< 8,S cm(72,2 cm'~
340
192857 m on'
4 0SO
V
( r .....J.,.. u
..
A,..,.., • (S,B*2)2ôl- 3,.;-t kgf/ 111111 l,
Essn lensl1a estri. dentro do valo r Llccitftvel. e a vigu sclc:cionada ~ lll.lfs(a.tória.
N0.1 auportes ou na$ cat@fiS conccrurndu• .,~ vigns cm I c de a lma-nonge devem se!' veri·
neadas pora O C:f1f'Ugn mento das a.Jtnas. E!lse Cenõme.no é iJu.strado na pn.rtc de baixo da Fig.
10. 20(• ). O e nruaame.n to da alma é ma.lt crllfco para os membros com olm&S d elgadas do
que o contato du~to dO$ flang_c:s. que podem ser ln,rcstigados como no uemplo anterior.
Para evitar tal fenô meno a AJSC e.spccirlc:a uma r~ara de projeto. Ela estabelece que a tensão
dj~ta tobrc a 're"- (n + k)t nas ex tremidades ou (a 1 ,.- llc)t nos pontos tntcrnos, nAo deve
c1eceder 0.75a,.,. NessAS expressões_ a c cr 1 do os n:sp:ctivos comprimentos do çontato das
forçus nplfcl'ldas "'" panes cxlcm a c fnlcrna etc uma visa. F ig. J 0.20(b): ; ~ n e:1pessura da
almu j c k ~a dJslll nc.ia d a fa.cc externa do nnngc até u pontu •kl Oleie tJa n ll11•. Os vo.lorcs
de k C I lllo tabeladO$ cm cah\JOgi)S de rnbrfc~IOi es,
Co)
Na construçllo real~ u vign.s nl o sl.o suportndu como na F ia. 10.18(a). A madeira podo
u:r esmagada pelo5 suportes ou peJas rorr;as aplicadat. Por essa enio. deve-ae pr~~r uma
iuca de contato adequada nos suportes e pa_ra aplicaçlo d as forças e~~:ternas. Adm 1undo que
ambas as reações e as rorças aplicadas sejam de I t cada. bto ~ desprezando o peJO da vfp.
acha·sc.. p:la Eq. 3.7. que a Arca de contato necuslria em cada força concentrada 6
J 140 000
16,8
D
O c.sume Uns ·rabs. 3 e 4 do A~ndic:c m~t rn que esse rcqui.sito pnm o môdulo de seçlo
! pr-cenchíd() por umo ";ga I d: 17~ uuu. p:,.2ndo 29,7 'Agf/r.l.. ($ = 19664S mmJ). EnLtetat'lto.
membros mnis leves. Côll come uma \' l P I que pc::u 27.4 krJ/ m ($ - 232 696 mrnl') e uma
seçlo de alma·n•nge de 203 mm. pe&.an\Jc> :l s,J lr.gfJ m (S = 23 1 O.SH mrnJ) can'IW.m pode ser
usada. Para eco nomia de peso serJ m odn a seçlo 8 W F 17. O pe:JO dcssn vip é baslante
pcquçno crn eompar4ç:ao com a rnrgn npi!C8r.ta c ! desp rendo,
!'ela F l11. 10.19(b), v••• = 4,08 L Ouso forma. pela Eq. 7.9,
Cb)
(c)
s
Da eq. 6.8,
,.'
-±f-
,
~-~
. ... ~1
o+k
~
,.,
( b)
f
_:_L----- 1I
tk
C• )
Cbl
F fg ur• 10. 21 Soem
(b) lne1icie"'te 1 fle.do
<•> eficiente e
Flgu na 10..20
2'
Para o problema a cima. a dmitindo tlc·• •
tsr/mm 2, as largurM mlnimus dw suportes.
de acordo com n reg,ro acima. Silo M scauinLcs:
110
su porto A,
18,75(a + k)l - I 920
ou
1 ~.7lia + l ~)($.H4) - l 920n • UJ mm;
3 41
no auporte B.
ti.7S(a , + 2.1:)1 • 7 680
ou
t 8.75(a, + 8)(~.84) - 7 680 o, - 62.t4 mm.
Os dois exemplos anteriores ilustram o projeto de vi&as cujas seções tran._
versais Lêm dois eixos de simetria.. E-rn a.mbos os casos. os momentos Oetores
eontrolo.ram o projclo c. como esse e usualmen te o caso, 6 sigr1ifieativo o bservar
que os m embros d o eficientes na ncxão. U ma concentraçlo da maior quantidade
de material possível (on. do eixo neutro resulta nas melhores seçõea para a rcai...
t!ncia à Oexlo, Fia. 10.21(a). O material concentrado nu libras oxternu uabalha
com tcns&s mais elevadas. Por essa razão. as seções I que se aproximam dcsao
requisito silo bastan te usadas na prAtica.
.
As considecaçôes acima a pheam-se a m ateriais que te.m aproximadamente
as mesmas propriedades em lraçjo e compressllo. Se esse nlo é o cuo, um desto.
camento deliberado do eixo neu tro da posição de meia altura é desejável. Isso
explica o maior uso de seções T e de caOI\1 para vigas de rerro rundido (veja o
Exemplo 6.5).
Finalmente. dois outrOi itens justificam partiçular atet\çlo no projeto do
viga&. Bm muitos cuoa. u carau para aa quais uma vip ~ projetada alo ttan:
sientes em earáter. Elas podem ser colocadas na viga, todas de uma vez, aos poucoa,
ou em diferentes locais. As carsas que não slo parcelas do .. peso morto" da estru.
tura em si são chamadas de cargas ui!JOS. As cargas vivns devem ser colocadas de'
forma a provocarem u maiores tensões po11lveis em uma viaa. Em muitos casoa,
a colocaç!o pode ser determinada por inspeçlo. Por exemplo, em uma viga simples
com uma C'arga móvel, a colocaçio da ca.rp no meio do vão provoca o maior
momento netor. mas colocando a mesma co.rp no suporte provoca o maio r cisa·.
lhamento. Para a maioria do trabalho de const rução, a corp vi va, que suposta-.
mente con tribui com a ma.is: severa oondiçlo de carregam ento, é e11pccificada em
códigos de coostruçlo, com baoe em carp por unidade de área do piso (chio~.
Multiplicando essa carga viva pelo espaçamento das vigas paralelas, obtém·se a
carga uniformemente fli.stribulfla por unidade de comprimento da vigo. Para fins
de projeto, essa carga é adicionada ao peso morto da constTUÇilo.
O segundo item pertence â initabilidade lateral dos vigas. Os nanges. de uma
viga. se nlo contidoo. podem ser tio estreitos em relaçllo ao vão que a "'P pode
nambnr lateralmente e entrar em colapso. O aspecto q ualitativo desse problema
foi discutido na Seç. 6.2. O tratamento analítico de tais problemas foge ao escopo
deste livro.
10.13
nw~na du Ylgat, conforme foi monn.do, u oeçõcs l!anoverula podem ser fcitu
su!ía entemc.'ltc rort.. pam realltlrcm ao momen to correapondente. Tais viaas
slo chamada$ de vigas d~ rubtine1a consrmrl~. A rorça cortante aovema o projeto
das seç~es dessas visas onde o m om ento tlctor t peq ueno.
EXEM PLO 10.9
Prq}ttat uma vi .. ... baJanoo de resfJC.Inda c:onllal'lto pua avport&r uma força con.
·
-tn.da a ptleada na u t....,fdado. O.P<cat o peoo do vip .
SOLUÇÃO
Uma viaa em balanço cÕcn uma força oonoonlra.d.a aplicada na extremidade eat.á mo,.
tnda na Fi a. 10.22(&); o diqrama de m omento corr.. pendonl<o est• traçadO na Fi~ 10.2:1(b~·
Baseando o projeto no m omento Recor. o módulo de scçlo nec:csário em uma seçlo arbitrár ia 6 dado pc~ E.q. 6.8:
'
M
Px
s- ----·
v,.,.
~....
Um aranõe n6mcro de ~ trao.-vcnaia aliaraum a ,.,. requ.ltlto; aulm. primotro.
a dmiti,......_ q ue a vlp tenha Jeçlo tn ns-vaal retanp.lar o altura c::on.ttante h. O módulo
de ~eçlo para essa vip f dado pela E.q. 6,9, pOr bh'/6 • S; u1im
~ - !!...
6
a...
ou
b• [ ,6 P:Jx - ~x,
lt "·~
L.
onde a u prculo na c.ha'ic ~uma oonata.nt t e õ fau&Jada a boiL.. tal qu~ quando x • La lar·
aura 6 b 1 • Uma vi• dt retiattn.ci& çOn.atante, oom altura oonat-.nte em uma vista plana,
a~~emelha.ac l c:uc:aha• da Fi.a. 10..2l(c) Próximo da extnlmldade Uvn 011& cunha dov. ttr
mod incada para ter a re1ltt6ncia adequada l força co rtante.
r..r'
(&I
·1 ~ r"
h:) Vltl• plana
ll
Vf&• do Altura eonttant.lr
1-1'::::::]
- PL
PROJETO DI:! VIG AS NÃ O-PRISMÁTICAS
Da discussão a ntC>tior deve ficar aparente que a seleçAo de u ma vip ptis·
mática se baseia aponns nas tensões em seções criticas. Em todas ns outras s~Oes
da vigJ>. as tensões estariio abaixo do nível admissivel. ~essa forma. ~ cup!Cldadc
potencial de um d ad o material n4o é completamente u uhz.•da. Essa s~~uaçao pode
ser melhorada pelo p<ojeto de uma vip de seção t ransversal vanavcl, lStO 6.
342
tor:'a~do-a n~<>-prismll.tica. Como as tcn"'•• de Oexl o con trolam o pr ojeto da
,..,,.. 10. 22
1~1
Yhta ltCierotl
V'.,a ôc ISfll'r• CQnJtan~ b
"Como csu vJaa. nGo tem acç&o lrlnaVcnQI CC>nlita.n tc, O u-so da rô rmula de nodo elementar nlo 6
inleiramen'- correio. Qu.ndo o â.ftaulo lncluldo pd oe lado. d a. cunl)ll t pequeno. pouco erro esta\ envol'f'idCl. À - dlde ~uc CIMa t na ulo .ac ;or. maíor. o cr.ro pode au coulderhol. Uma .oluçlo cu.ta monra
que. q uaado o lapb tot., formado ê: • 60" a solu~ c:o:stán um erro de apro.ximadamcole 10Y.
343
Se a larguta b da Yiga t constante
Como último exemplo deste capitulo, secá analisado o problema do eixo de
transmissão. O procedimento analítico d ireto é possível neste problema, que é
de ~-ande importlincia no projeto de equi pamentos dç pottncia.
ou
Esu e ~~:presslo indica que uma Y11a em bal1nço de larpra eonstante. ca..rrq:ada na
e•ucmidadc. tamb&n tem res.ist!ncia constanlt ~ sua altura varia pacaboliçarneote • partir
d ft c1tremidade livre, Fig. l0,22(d).
As vigas de resistência constan te s.fio usados em molas e em muitas peças de
ml\qui nas q ue s!o fundidas ou rorjodu. No tf'Rbrt!ho e5trutural, freqüen l emcntc
se raz. uma aproximação de umn vign de resis1encin con.stantc. Por exemplo, o
dingraona de momento para a viga curregodn como na Fig. 10.23(a) é dada pelas
linhas AB e BC na Fig. 10.23(b). Selecionundo uona viga de capacidade é ncxlo
iaunl apenas a M 1 , a parte do meio dn visa é supcr-tcnsionada. Entretanto, placas
de cobertura ou tampas podem ser colocad as pr6'x imas do meio da viga, para
clcvnr a capacidade de nexão da visa composta até o valor neccssârio do mbimo
momento. Para o caso mostrado. aa plncM de cobertura devem se estender pelo
menos do comprimento DE. dn viga, e no prâtíca, elas slo feitas um pouco mais
lonaas.
,.
EXEMPL O tO. tO
Se-lociona.r o ta mpnho do um e.íxo maciço de aço para acionar as duu rodu dentadas
mostradas na Fia. 10.24(a). Essas rodas actonam correntes com 4S mm de pano•, como
n'IOJfn n:q as Fi,&L 1 0.2~b) c {C). 0. diA mctros de pa.sso das rodu dcnt.ada.s n u ri&Uras slo
de um cat,álogo de. fabrieaolc. Uma unidade redutora de \'elocidadc de 20 CV b oco piada
diretl'lmtnle ao eh: o, &clon ando--o o 63 t pm . E!m cada roda sio con~Sumidot 10 CV. A.dmilir
a teoria de falba de ouh.imo cluJhamcn1o, c conside.rar 'r. 1 . - 4,2 kg(/ mrn'.
Efttrttn:t•m dl9dcnl4)1
,.
l8S,'1 1n1t1dl111m. prlrnHlvo
IA
11
.......,
l l O mm
(o\
(b) dh.m.. primi:ftoO
"·r,
Rv
<<I
r,
8
f,
(•I
- 100,61q;fm
(r)
I
~t6,Hpm.
PROJETO DE MEMBROS COMPLEXOS
Em muitas circunstâncias o proj eto de membros complexos nlo pode: ter
feito de maneím rotineira. como nos e:Acmplcn a n teriores. Algumas vezes o tamanho
10. 14
de um membro deve ser levado em conta e u m1 anAlise de tensão completa reaU·
zada nos sc:ç&s em que as tensões parecem criticu. Projc:tos desse tipo exigem
várias revisões e m uito trabnlho. Mesmo os m~todos experime:n.tais de análise .de
tensllo devem ser OCMionalmentc U$&d OS porq ue r6rmolas elcmctllarcs podem
nAo ser suficientemente precisas. No an ll.lise de pi"CCÚilo de peças fabricadas para
máquinas, os critérios de esooamento e rrat ura discutidos no Cap. 9 sio rreq oente·
m cn Lc usados.
344
I
Dlag.umn d: momc:nlol p iiJ"C/1 )
lJl.G ..crm
I
Vari:t~çlo do totque :10 tonao dO ahto
C•I
(&I
Diac.rottrtu de momrnlo p~• 1'1 • 1'1
, ... ,.. 1 0 . 24
SOLUÇÃO
Deaeordooom a Eq, S.!, o torque fO<necldo aoci•o CD é T = 736(CV)/N • (736)20/63 • 233,6 lcg[m. Dessa fonna, os torqucs T , e T, forneddos às rodas silo T/2 • 116,8 k&fm
eada. Como as correntes s&o dl1po11u como n n F igs. 1Q.2te(b) c (c:). a traçlo na con-ence
na roda Bê P, - T .f(0 1 12) • 116,3 K IO'Jt270J2) • 865,2 kaf. Analogamente, P, • 116,8 x
x 10,/( t8 S,?/2)- I 2~8 ksr A rorça P1 na corr-ente e equivaJc.nte o um torque T, e uma
• Palia! c rodu den••du l lmllarct slo cOm\ln•ente us::d• cm biddclaJ
345
(orça vcrdcal om B como mostra a Fia. 10.24(d). Em C a força P~ agr: borh:ontalmcn~ ~
cxcrtlC um totquo T 2 • A Fig. t 0.l4(d) mostra um diapam~~ do cocpo livns: completo pe,ra
o eixo.
' '
'
va.... . do dlaarama do corpq livre que ene eixo ô tubmotldo simul~l.ne.llmen\,1 • fltxlo
c torqu~ Euea efcitot sobre o membro alo atudadoe da melhor CorOla com a -.Juda de d.ia..
gnmas apropri1d00. F;&&- I 0.2<4(e~ (I) a (&). Oboerve cm oaaulda que, embora I Oodo ocorri
em doía planot. pode ser o.sada uma ruulcantc VclorW dat momcmtOI oa fórmula do Dcxl~
pois a vip. tem uma ~ uantvcnal circu.lar.. Mantendo cm mcn1e a tdljma anrmatlva,
ver-sH q<~e a Eq. 9.6 (&enol~ que di 1 tonolo do ci$11hamen10 principal na superllde do e.ixo,
concenttações do tensli.., Na análise de teruões isso exfae o uso de fatores de
concentnçlo d o tenllo na nodo!!"" alo Ulua.lmentc diferentes daqueles d e torçlo.
Dessa forma: o problema de'le - analltado pela consldoraçlo du .tcnslics reait
na Joçlo crlnoa. (V~a a FIJ. 10.25). Bntlo deve aer uudo um procedimento apropriado, lal como o circulo da Mohr do tentl o, para delomllnar a tonalo tl;nlftca:
tlva, depend.c ndo doa critérios de fratura sclccionados.
se rcdU'l neste problema do nulo c torçlo a
•__ J("'~...r+ •!....
ou
. . .. -
J(r,)'+ GY.
Entretanto, ç0mo ~ra. uma teQio tranavcnal circular, J - 21 (Bq. 6.7~ J • rcd•/32
(Eq. S. l~ c c • tl/1 a óltima exprctdo te aimplifica para
T._ •
16 V ' 0011.
...
"'fl
+ r••
EnliO. lndic:ando a r.cn.s.lo de eiaaJ.bamcnto admiulvol por t_.. acha·• que a fónnula
de projet~ bueacb na teoria de ralha d~t du.lhamonto tn'dmo•. pa.ra um eho submetido
Q noxao o torçio é
li • 'l .J}_ .j "'' +
r'.
(lO. lO!
\} ~n•.,.
Ena f6rmul• pode sor un.cb para ae1eeionar o dil mcuo de um ob:o submetido tJmul·,
tanea.mento a ncdo c torçlo. No problema invesliJado. umu poucu rentatlvu conYancem
o leitor que J A(J + fl é maior na roda C; assim. • loçlo etitica está all Dua• ronna
M" + T 1 - (M _.)2 +(AI._)"+ Ta
- (34,6)' + (100,6]' + (23J,6)1
• 6S 886,48 l<gl"m'
~../ 65886,48 >< 10 - 67,78 mm.
.d- v'f 4,2•
1
Deve ser uaado um eixo de 68 mm de dllmetro. que é do tamanho comerciaL
Foi desprcudo na análisc anterior o efei_to de uma carga _de choque oobrc
o eixo. Essa çondição exige consideração especutl 110 cuo de cqu1pamento cm que
a operaçlo seja agitada. A tonslo admissivel inicialmente tomada presumlvolmenle
leva em conta os rasgos do chaveta o a fadiga do materiaL
Embora a Eq. 10. 10 e ouJras sémelhantes. baseadas nos critério• de_ falha,
scjam bastanle usadas na prâlica, o leitor d~ve ser cauleiOS9 em sua aphcaçlo.
Em muitu máquinas, os dilmetros de eixo mudam abruptamente. provocando
• uma lónnu.t& baseada na teoria de. la\ha da rabima walo DOI"'lJJI umb&n C ocuionalmtnte.
usada na pcidu
346
PROBLEMAS
10.1. Em um aaptclma plano polido de
açq doce~ po.sjlvol observar linhu 4a dN~
Ha:ame,Ho a apro:dmaclamenle •ts• em ,..
loçlo i dl>oçlo da aoUclt&çlo. Euu llnhu
alo oa chamodu da bandoo da LOclar. Ex·
plleor 1 razio da ouo 1 parlçlo. ColllulwICUI li vro~ aobre d6ftda dos m&rariail.
10.2. Um cillndtO da CODcnto. wtado
na posiçlo vertlcol, falhou a uma tenolo da
oompreaolo de 2,8 kaf/mm'. A falha ocor·
re.u cm um plano do 3()- com a vertic-al.
Moatrar, cm um osquema claro, u te.nl&ea
norma.iJ e de çisa1hamcnco quo atuam no
plano de falhL Quo ponto e111. cxperilncia
cotobclcce no envolucro do falha do Mohr
(Fia- 9.28(1>))1 Rosp.: a • -0.7 kaflmm'.
t • 1,2U k&f/mm•.
I<U Uma vip de ferro functido tearrcpda como MOitn a ft.&VrL Dolerrninar
•• tens&. ptindpai.l 001 ub poalol A. B
e C provocadu pola força apliçada. O momento de inêrcia da 'r" da leçlo tr&nl•
veraal cm torno do eb.o ne utro ~ laual a
12 S70c:m•. Rtsp.: pm A, 0.-174,2 ~ff cm';
cm B. + 0.42 ksflcm'. -90.78 lt&f•cm'; om
C. + I 53,64 k&f/cm•.
P!Ul& to->
1().4. Umo vlp de madeira retanaut1r
de 10 cm x 4~ cm. tu porta uma carp do
3,6t, como no. naurL Na seçlo twl a nbru
da madeira raz um lnaulo de 200 com o
eixo de vip. Achar a tcnslo de c:italha·
mento ao lonJO da libra da madeira. noa
poDtOI A c B. provoeada pela força c:on·
centrada aplicadL R.,p.: S.76S kaf/cm'
em A.
PllOI. 10.0
347
10.5. Uma VIga I em
balan~.
bem
curta. é carrega.da com() mostra a r.a,ura.
Achar ns tcnsOcs principais e auu direções
no.s pon los A, B e C. O ponto O ctt~ na
n.Jma. na unilo com o O:tnge. Desprezar
o ~ dn \'iaa c i&nocar o efeito du con·
<:entraçôcs de ten.slo. O momento de inércia
em reJaçlo ao eixo nc~ut ro pa11 toda a
seçào é 8 330 cm•. UJu a f6nnula precisa
pa.ra determinar as teni&:s de ciulha·
mcnto. R.~1p. : veja a Fia. 10. 16.
llmm
por essa cer&a. Mostrar- OJ reaul1 1d01 CDl
um elemento com faces horiz.ontal5 e Ver..
tiCG.i-S. O momento de inúcia da aeçlo
uansvenal em relaçlo ao eixo neutro i
i&ual a 6 800c:m". R.~.lp. : - 3.17 kaf/mm' .
0,90 kaf/mm'.
60çm
•ooo tt:1 r.
A
-r
11 MM
10.7. Um guin<!aste especial 6 ••rr6-
gado com uma Carg!!. de 71. sui'J)ensa poi
um cabo corno mostra a figura. Determinar
o caindo do tenslo no ponto A. provocado
,
o"' ~
~
~
•
considerar E- 204 I( JO" k:gfjem 2 e O• 84 x 104 kgr{ crn 1• {b) Estabelecer um
otcmento di(erendal, monrando o c::omploto
Mtmdo de tendo om A R.sp. (a) 4, 181.
10.9. Apó$ n ereçlo do uma u trututa
pesada. estima...sc que o esudo de terulo
na fundaçao de pedra aer6 essencialmente
bidimension al. na forma mostrada na fi.
JUr&. Se a rocha ~ estratificada com um
lnculo de ~ com a vertiCAl. é a dmissivel
o eJtado de 1c:.nllo antecipado? Adtnillr
que o coefiçjente de alriro es(ático d::t
pedrn. seja igual a O.SO, c que ao longo do"
planos de e$t•·:uiúcoçJio a coesão hll i)Orte
<'!' 0,8 kgf'/ <m'.
tO.tt. As c:aroclcriJticas principais de
um cstabil1.Zador pa.ra uma suspensão ttn•
s.eira de .um autom6vcl podem ser ldcn·
lizndas eoruo na fiJ.Ura. A bar-ra tem 2.5 mm
de diâmetro. oon1 curvas de 90•. e t usadu
na posição horitontn.l Se forças iauais e
opostas P de 7~ ksf' atuam sobre essa blll'rt..
qucU ê o atado de tensão na barra junco
ao mancai? Linlitar a invcstipçio a un1
ponto no topo da ba.rra e a um ponto
pr6xinl0 do lodo direilo do mancai. Mos·
trar os rcsuhndos em elementos difer:encinis
clo.ramcncc rclecionados com os pontot
considerados.
C' '
UOmm
1
'
250mm
I'
Jlmm
PRQB, f().J
10.6. A tcntl o de ciselhamcnto mlt~
xlma no ponto A de uma v11a. veja a
.figura. t iaual a 8 ksf/cmJ. Determinar a
maanhudc da força P. Admilir que o visa
nio tenha peso.
,.
liD
,:;
!,4;
I Sc:m
'
+f"-
'
,.
fSO cm
~;f~,:;:mm
j0mm~
S.Çio.,.
cm
PA.OB. l O. l i
I'ROH. 10.7
10.8. Uma cantoneira Tpa.ra um.a m'·
quJna. tem u dimensôes da lia ura (I - $ 320
cm 4 ). Quando 10 aplica uma foi'Ç'a conc;eri.
trada F, q uo nlo provoca torçlo, observa..•
~.se urna deformaçlo longitudJnal du ca.n:
toneira do 184 ~ Jo-• crnfcrn no &ensoT
A. (a) Qual 6 a magni•ude dll rorça F'l
lO.JO. Um eixo verdcal de SO mm de
dllmetro 6 projetado para uma. turbina
para tuporta.r uma força t.xlaJ de traçJ.o
de 81 c aimultanume:nto tran!lmitir um
torquc T. Se a mltxfma tcnslo de dsalha·
men1o admissivel ~ de 6 ka,f/mml, quaJ ~
o torque admisslvel no cb:o'!
10.12. Um suporte de mAquina é car·
regada com uma fo rça inclinada de 200
kgf. como moatna a fi&ura. Achar as tensões
principais no ponlo A. Mostrar os ruul·
lados cm um clcmeniO apropriadrunente
orientado. Ocspretar o peso do membro.
R<Jp.: + 41,2 kQr(cm'. - 322,1 kgf/cm'.
22" 18'.
Plt.OO. 10.12
PROB. )1).10
348
349
10.13. Vn11 manivela tem as dimcn.O.U
mostradu na naura. tendo o eix~ prJnçipa.l
50 mm da dilmctro. Oelerminar a magni·
tudc da rorça p que pode ter aplicada.
aovcrnada pelltendo combinada no pont.o
A.. na Unha do ce.nt.ro do manc:al A tc.na.lo
de clulhamento m'xima nlo poda oxcodcr
s kaf'/mm 2, e a c.enllo norm.. rniatma nlo
podo maiO< do quo 16 ~af/mm 1• CGn·
siderar a rc.açlo conccmrada no m&l'lcal
Comentar &obro as prcmi$SU.
ca,se carroaame..nto nos ponto.t A o D na
oauom1dade en.utadL A.a tent001 prio·
cipaiJ nno alo necessárias. Jndiear os re..
sulcado• ean esquemas de elemcnlOI cor·
cadoJ doi tuboa nesses pontos. Ets.ct et~
mçntOI devon\ ser vistos da parte externa
do tubo. lt#Sp. : Para A : Jl.l kaf/mm~.
1,3 karJmm'; pua B; 7,6 kaf/mm'. 1.3
kal/mm'.
10.15. Um tubo O•tldo. d• l S cm d.e
dilmcttO. 6 uacio para suportar uma rorça
inclinada de F - 3 L como na OaurL De·
termlnát o eStado de tenslo provocado
pela rorça apllçadL Mostrar os reaultodoa
em um eloll'aen to~ AJ tonsOe! prJndpa.il nlo
slo n~Arlaa. A espessura do parede do
tubo b de 1 mm. Por simplic:idad, considerar 01 dllmetros ut.e:rno c mtdlo tauai.L
Dessa rorma. A. • 62.8 cm,, I - 4 457 cm•.
c J- 8 91 4 cm•. Rc>,p.:
-8.73 kaf'/mm~.
a,-
PROS. 10.13
deuc tipo, veja o C a p. l.
10.17. Um
q•adrado perfurado
6 O.rado a uma m6qufna o cacreaado por
uma (orça inclinada da 650 kaf', oomo na
0JUTL Det.crminar o 11La.do de ten.llo no
ponto A. pcovocado pela força o plic:adL
O tubo pode acr conddarado ...delp do•,
iato t,. acm difuenç;~ nu tcn.t6el e-ncrnu.
internu. ou na linha de cenuo do tubo.
••bo
10.14. Um ainlll de tnlnslto de 200 kar.
ê suportado por um tubo de aço de pc:.so·padr&o. de 7Jmm. corno na
naurL A
rorça m6xima do vento borb.ontal que acua
nesse sinal 4 estimada em 4S kaL Deter·.
mínat o catado de- tendO provoÇMIO por
,
lttiJI.: e:m A., a • 1,19 ksf/mmJ, t,q •
- -0.96 kaf/mm 1,
Pua dad01 adJcfon&ia de problema•
,..
Auim, usando •• dimcn.OC. da linh.a de
oc.nt.r o, A.- ll,80cm~. ln- 23~3sem•,
l u - 8~J7arr•, c J • 3'2 1,72cm•. Rrsp.:
a~ - -3~4 Jc:,rtcanJ. "•• •
31,8 k&J/cm 1 •
10.18. O vuo da ellaç:lo nuclear aera,..
dora de San Onofre:, Califórnia. ~ rc.ito ria
for;ma de um he:miaf6rfo com diAmetro de
42.7 m. A chapa de aço tem 25 mm de
capcaaun e peu 191,9 klflm'. (a) Deter·
minar u tcnaôct mlJdmu de traçlo & com·
presslo nessa plaea. provocadas pot seu
pc:a.o próprio. (b) Quo pl'dllo interna adi·
PROS. 10.1$
J ..
10.16. Uma barra de dilmotro de SO
mm. 6 tubmctida. em sua extremidade. a
uma (orça Inclinada F - lh ksf. como na
figura. (A força F na vjs;ta pl&na atu.a na
tl:ireçl.o do oJxo .x). Determinar a maglliludo
e a.s direçtlell du tensões deoorrcntCI de F
nos elemcntOI A e B. na seçl.o o...u. Mo.strat
01 resultados em elementot claramente te'"
)acionados com os pontos da barra. As
tensões princ:ipab nio tio necc:ssirias.
6 .,._ll~~:i:::liiiiijiilf
$0 ....
~
.....
P•o.a. JO.t7
351
350
cional pOde SC< d-.U~ dentro do
vaso. antc:s de se a..tinair uma t.cnsão de
28 kg(Jn-nn 2 ?
10.19 No projeto de utrulura d e
tetas, é comum admitir..se uma carp u n~
formemenle distribulda aplicada na ãrea
proj etada, em adição no p::so do e11 rotura.
Tal carga_~ chamada de carga viu. Mo.strar
que as tc:ns&es em uma placa hc:misrérica.
tal como a mosttada na Fig. 10.13. devidu
a u1na c:ntgA viva p0 kgf/ m 1 de Are& pro·
jctndn. stlo lauajs a
a. • -p0 cr/(2h)
~o • - (p0 0 000 l<;l>)/llh).
10.20. Um conduto (orçado. um rubo
parn condur.ir igua para uma hltbirH\ hi·
droelttrica. opera com uma altur. de carga
de 100m. Se o diâmetro do condu lo é de
7.S em e n tens.lo admiJsJvct ~de 560 kg(/ cm'.
qual a espessura de parede nc-ccuárin1 (A
tendo admiulvd 6 baba pan dar uma
folga para a corrotto c a inclicib1ci-a das
jun1u aoldadu~
10.21. Urn vàso clllndrico para an\ln·
tcnamcr'llo de ambnla (NHJ na tempera-.
cura mbi ma ele SO~ deve ter 2.Sm de
dilmetro. Deter-minar a etpes:sura do parede
nceessária para o cilindro. O oço a ser
uaado tem resistênda oo esooamcnto de
30 kaf'/ mm 2• Admitir um (lltor de seaurança
de 6 no c.KO&mento. mas nlo rcdu.ür a
lensllo para pos;,lvdt J mperfcl~es naa
tofdu.!l, poi.J uta.s .scrlo (ntpecionadas por
meio de raios X A prosslo de vapor de
NH, a SO'C ~ de 20 atm.
10.22. Uma pe"' de .t ubuloçlo de
25 em d e diâmetro, com 2.5 mm de espes-s urn de pa.rede. foi Cechadn. nas extremidades
como most.ra a Fig.. 9. 26. E.ue c:onjunto
f<M entlo colocado cm um!l mAquina de
tcsce e submetido timul[llneamcrlfo e uma
trRçlto axiaJ P, e a uana prC$.SIIO jnterna
de 0,17 kaf/mm•. Q ual a m•lflitude da
força apticadl P. x 01 pontoa A e B ,
inidalmentc aeparadoa pTecisameruc de
•
200 mm. ficaram a 200,0<4 mm •p6o a apt;.
caçl o de toda u fO<~•f'l E- 21 000
k.af/mm 1 c ' - 0,2$. R-..p.: 4..071,
10.23.. Um vuo cillndrico de prado_
de 3m de dllmetro e~temo. usado no
p rooeuamento de borracha, tem l O m de
oompr[mento. Se a parte cltlndrica do vuo
e feh.a de chapa de aço de 25 mm de a..
pesJUra e o vaso opera a pre.s:s.Ao lntcrna
de CU Jctf/mm 1• dete.nninar o alongamento
totld da circunreróncia o o aumento dcs
di1lmetro provocados pela prcsslo de ope.
raçlo. E- 20 000 kaf/mm 2 e • • O.l. R,p.:
2,40 mm, 0.63 mm.
10.24. Pode·se mostrar pelos rn ~ t odos •
da. elasticidade que em um cilindro de
parede delgada 1ubmetido a presslo in.
terna p,. as tcntões radial e tanaendaJ
do, respectivamente,
•
-h')
,,
b')
+-·
r'
ondo 01 talot o. b, e r elo dennídot na
nauu.. Fuc uma compa raç:lo da distrf ..
buiçlo de tc:nslo tangencial provocada por
p(l dada pelu f6rmuiM exatas. aclma oom
a fornecida poli r6rmulo. apro)Ümada pnra
cilindra. de pa.rede del&&dL Invett.i p_r
cuos em qPO b - L ltt. e b - 4tl. Para o
llttJmo caso. eetudar também a varJaçl o
de a#. Traçu ot resulutdOII em dlapamas
apropriad.OI pata I SeçiO 0 ~ 0• OU 180•.
Ek:mon10 delil:n•ol•kto
10.26. Uma chupa oônien de parede
nna 'é cheia até o topO com líquido de pc.so
especifico .,. como na figura.. Mosu-ar que
a~= y)'(le1 - ly) sc:n «/(6/1 cos" o:) e a• •
- 1.v<a - .v) scn a/FI cos 2 «.
PROD. 10.2-$
PROB. 10.16
raoa. 10.2c
JO.lS. Vuos exc:epcionalmcnle leves
foram d escnvoiYicSc. peJo e m pr-~go de. rilamentos de vidro para resistirem a. forças
•Veja. por es.emplo, e. P. Põp0 \1, Mf'C.hauía r!{ Mal•"'tdt. p. •19. PL"*nlieeo-('laiL Jnc.. E.oalt wood
O irr.s. N. J ... IUl ou q.a_tquer testo tobre d.uticidadc:
362
de traçlo e usando resina de e.poxy CQmO
aatucinante. A Iisura mostra. um diagramn
do um cilindro <lc rlfamentó, Se o enrola·
menlo 4 neoess.irio para rcsbtlr apcnaa b
u:nsôes" tangenciai.. o ângulo de htlice
a - 90•. Se. entrcl~n to, o clhndro t fc·
chado. desenvolvcm·se forças fo ngitudinnl
c tangencial, c o AnaoJo de h~Ucc ~rio
dos filamentos é • ::111 ss• ( t& 1 o: - 2). Verificar esse resultado. (StJgttstliO. h:olar um
elemento de Ja rguna. unitário e um eompt i·
mento de.ttenvolvldo de tg Q,. eomo na 11·
aura. Para tal dcmenlo. cada uma dns
seções corln o mesmo n úmero d e filamentos.
Dessa fotll'll\ se F t umn rorçn cm um nln·
mcnto e " é o n \uncro de filomen tos cm
uma seçlo, P, = F11 sc:n a. A rorça P., pode
ser a chada analo gamente. Uma equaQio
corn base na relaç.llo eon hecidft entro o
tensão lonaitudínal c a tangcnciaJ con du~
110 resultado desejado).
10.21. Um va30 de prcs.sJo de aço, ci·
llndrioo rechado, de 2.Sm de diimetro
•néc.Jio, ço1n c:spessurn de parede de I 2.5 ml'n,
tem costur1 soldada to po a to po ao lonco
de u m. Anaulo de h~ lice ~ ~ 30" ("'C'ja •
fis:u ra do Prob. 10.25). D u rante a pret·
surita.çAo, a. medída de dcrormoçfto atta \' ~s
da solda. isto ê, cm uma linha de mc:did&.
ck o: +
é d: 430 J(
nl m/rnm. (a)
cxr.
Jo-•
Q ua1 era a ptessào no vaso1 (bl Qual era
a 1en.slio de cisaJha.mento ao lonao da
costura? Con..sld c:nu 1!. • 20000 kaf/mm 1 ,
e G • 8 000 kgf/mm 1• ksp.,: (o) ().23
kaf/ mm'; (b) 4.96 ltgl'/ mm'.
10.28. Uma colu na vertical de rracio·
n amcnto, de 9 m de altura é fdta de tubo
de aço padrlo de 324 mm. pesando 73.7
k af/m (Y<ja a Tab. 8 do Aptndicc~ Se o
111 \>0 t prc~!!Urb:ado a 0.2 kgf/rnm'. e uma
força d e vento hori:.contal de 30 kaf/m linear
de 1ubo a,sc tobre a coluna. qual~ o es tado
de tensão a l m aama do fundo do lado
do vcn ro7 U•nr as úrc.u intemu eretivn·
1nentc pressurizadas nos cálculos, cm lugar
d o d iA metro mêdio. M ostrar os rc.ullados
cm um elemento. (A aparlncia externa da
coluna de fraeionamcntO a.s5CJT'ICJha·Se •
da chami n~ do 1 Prob, 8.28). Rc<sp.: 3, 1
ka(/ mm 2 • 2.5 kgf/mm 1 •
J0.29. Em uma certa investigaçlo cien·
tlfica sobre • nuencia do chumbo. roi nC>c:enArio conlrolat o esrodo de tentlo para
o elemen to do um tubo. Em tal cu~ um
longo tubo ciUndrico c:om extremos re-.
chados foi prusuriU:do e s:imull8neamente
submetido A um torqu.c. O 1u bo tjnha
100 mm de d i!\mctro externo c 6 mm de
espessura. Quais eram u tensões principais
na supedicle e xterna da perede do cilindro.
se a c:amara estava prc11uriz.ada a 0.14
k;f/mm 1 c o torque eAterno •pHoado era
de 20 kgfm? Usnt' o.s áreas efctivamente
prei5uri7..adas nos cálculos. em lup.r do
dilmclro médio. Rrsp.: 1.48 kgf/mm 1• 0.12
ksffmm'.
10.30. Unl fllnqvc citlndrico de nr com·
prfm id~ de lm de com primen to, tem diA·
metro mêdio de 600 mm c cspeuura de
p.:H·c de de 6 m m. Além d:. prcssuriz..'lç3:o
euc Ianque 6 anbmctldo, cm sua extrcmidnde, 4 solicitdçâo de um cabo. conforme'
ilustra a naura o cabo está no plano
vertical que contém o eb:o vertical do
ta.nque. Se W • 2l c a pressão no Ianque
6 do 0.03 kgf/mm', qual~ o t>'tado de lensão
not pon1os A c 8'1 OeJprcu.r o peso do
Ianque M Oltra.r m rcsullados em d ia·
353
aramAI de elcmentOI innnitcaimais viatot
d:a parte externa..
1.'
peta
w to-' k.af/mm ~. M proprlodadOf ,
das scçOa tran1vernis de todu u viaaa 1
do dadas na Tab. 3 do A~ndlco.
10.33. Uma vlp de madclra do 10
cm x lScm (acndo JScm a altura) atua
como vip rlmpla Qual podo ICt o vl o ~
PROl. tOo)O
10.31 . Um vuo de aço de pru.ao,
tem dilmetto de SOO mm c espessura de
6 mm. o a.ae. tamWm, como uma vip cm
balanCO, cOmO mosttl I 0JUCL Se a J)CcuiO
interna ~ de ().2 k.ar/mm 1 c o peso aplicado
W - l4 t, determinar o aliado de rentlo
no ponto A. Mostra.r 01 r01ultados cm urn
clcn\onto infinitesimal. Ac tcnl6es princíp&Jt
nlo alo nec:c$Áriu. De~prua.r o peao
do vuo. IUJp. ; •. • 4 klflrn.m', o, •
- B kaf/ mm'. < - 3,1 kaf/ mm'.
2.50mm
PROL tO.Jl
JO.l2. Sclecionar quatro vigas •hcr·
nativat de dircrcntct materiais pata resistirem ao mesmo momento do 2 800 k&fm
c comparar selll pesoa.• Uma "iP é de
madeira. baseada na tcrulo admissivel de
1 k&lfmm'. A seçlo lrAIUVcnal de50a .;11
deve tct de tamanho pr6:dmo ao comerciAl
para o membro rctllnJUiar, com sua protundidadc iaual ao dobro d• largura. AI
outrOJ ttf:s vig.u devem ter seçõca I.
urando u seguintes tenl6ei adminiveis:
16 k&lfmm' para o aço o para a lip de
al-umlnio. e a k&f/mm 1 pan o plistic.o
politster reforçado cem fib<a de .;dro, que
e que cara• uniformemente du\ribulda p
(Incluindo o ~o da viaal pode aua vlp
suportar, 10 11 tensOCI admiulvola de a •
• 80 kartcnl' o ' - s kaf/cm 1 110 atlnaidaa
Jimullaneamc.ruo'l R«sp.: 240 cm. .S.l kartcm.
10.3.\, Uma víp do made.iA. do 10
c:ro x 1.5 an deve tu portar uma casp li·
mtuiea.. como mmtra a tlaura. Ootcr·
minar a potlçl.o dOAu c:a rau •
ma,..
nítudc quando forem alcançadas uma ten·
sl o de Ooxlo do lll karjcm' o uma do
clsaJha mc:nto do 1 kafjeml. Oesproz.ar o
10.38, Uma vlp T 6 • uportade ela
mouna m p.neira que a vip do problema
anterior; entro t1.n t~' a - $ m c b • 2,5 m.
lu dlme.DJ6• tr&nl vetl aJl do T NtiO na
fiau.ra~ o momento de lnêrc:ia c:m rdaçlo
t10 eixo ceruroldal I - 32 000 crn 4• S. ...
tcnaO• admi.u{veil alo de 84 kal/em 1 na
nulo • 1 kaf/cm 1 no d oalhamonto. qual
• a maior carp Po em lr:affm qu• aaaa
vlp pode su por1ar'l
•
rltOB. Jolt
•u•
peso da
p~ to ...
X.
I'
~
,"
I
Quem
PROB. IC>-l4
JO.l$. Um carro do quatro rodas. an·
dando aobr• trilhos, devo IOT undo om
serviço lndustrial. leve. Quando c:.arregado.
C$$C carro poa:arf; 2 L Se 01 mancais estio
localiudo:s: em relação aot trllboa como
mostra a fiaura, que tamanho de eixo
deveria s.er usado? Admitir uma tensão
admissível de OcJCio de 7 k:aJ/mm 1 e uma.
de cisaJhamonto de 4 kgl'/mrnl.
~
o
u ..s
-r
via•·
·~ 01 cuS10tt e~livorern dlsponJvci' r11çu. 111.mbân uma comparaçiO <k custot
354
10.36. Uma puedc doWt IC' •uport&da
temporariam ente cqmo mOilt l a ltaura,
para Pt~tmhir a oon.llruçlo de uma nova
rundaçlo. O pc10 da panda 6 ~ 10 tfm.
SeU riPI A de. - - UUdM I cada 3 ID,
quala Mwm ..,. aeus Ulmanl\011 Uaar vip.s
de aÇ(I .V,, u m.a:b l • v• A tanllo de
nu l o admloolvol 6 ~ I~ kaf/mm ' . o a
de clnlhamonto • do 1 kal/ mm 1 •
PR.OI.IC»6
10.31. S.lecionar a 10çl 6 transvenal
noconirla a uma vJp rotanaular de ma~.
dclra q ue dave carrera.r uma carp do
p 0 - I 500 k&l/m. Incluindo aou pcae pr6pria. para o vlo da úaurL A tonalo de
nedo admiulvcl ~ de 100 lt.il/cm2 c I
tendo de clsalharoento admi11lvcl é de
10 kaf/cm'. A vip deve tct altura igual
110 dobro da lara ur:a. Con-1ldorar a - 3m
c b - l ,lm.
*.f
1?. l
I
u""
...
IO.J9. Uma vlp plulica é folta do
duDI peçu do 2.5 cm lC 7,$ cm, co1n vl o
da 60em. e auporta 'Uma e.araa unlfotms ·
monte dJstribulda A apiJcada intermhon·.
temente. As peça~ podem " ' dil:poatu de
duu manei.rat •llerttativu. conforme. fndi·
c:a a fiaura At 1e.na&ca &dmiufveis alo de
JS kaf/om' na nodo. 7 kaf/cm' ao doaJhamontó no J>lúllco. e S t artcm' &O d oa.
lhantenco na co11. Que a"•.nJo do poçu
deve-ria t er usado. o que caraa p pode
~ar aplicada?
PROL JO.lt
10.40. Uma .;a•·•AI•Io 6 labrlcado de
duu poQU de contraplacado do 2. cm c
duu peças de m&ddra madça dei li cm x
• 7.50'D (tamanho ere1ivo}. como moatra
a fi&un. Se c&~& vip for w.ada para aupon.ar
uma. rorça concentrada nc meio do vlo
PROI .JQ-;!1
-- --------PROI..IC»S
PROl. lJ>.olO
356
.simples, (a) qual deve ser a magnitude da
caraa miJÜma aplicada P; (b) qulll pode ser
o comprimento do vl o: 6 (c) qvo tamanho
de placa de a poi o~ neceu6ria para tu port ar
l rorça concent..da'l t>espreur o peso da
vip e edmitir que nl o haja periao ck
nambn.aem lateral. As tcnaOes tdmisslveis
<Jo: lOS ksf/cm' na Oe<Jo. 8 k&f{cm' paro
cisalhamcnto no contnple.eado. • kaf/ctn 2
nu junta colada, e 28 kaf/cm 2 no 11polo
perpendicular li fi bra. Rup.: I 4SJ ka r.
590cm, 52 cm'.
10.41. Detenninar o lt manho neoet·
sfl rlo para uma via,a I q ue serve de trilho
de um aulndu tc de teta.. com capacidade
de 2 L A ,.;p I de>e ser lixada i pa rede
cm vma cuttre:midnde e autpensa por um
suporte conrormc mostra a (igurL Conaidccar a conu lo de pino na parede. c
no1 ctlculos detptez.ar o peso d1 via a. A
tendo admlu fvd na flexJ.o 6 de &.4 kaf/mm 2
e no cit al.hamento 4.9 kaf'/mm 1• Rt.rp.: o
perfil de JS! mm >< 6),8 ksffm (IS/42,9).
na ne.xlo é de 84 Jcgf/cm 2 e a tendo de ' t.-. •
císalhLmento 6 de 7 kaf/cm' . (b) Sdecion., o taman bo nc:cc:n.lrio p ara a vi p de aço A.
Como •• tr~vct de lrantmiulo de
dessa vi.p tem eapa.çamento pc6xima. ao.
mltir qoo a 'lip tenha c:araa u ntrormementt.
dlrtribulda. AI tensôe! admisslveis para o
aço s!o ele 14 kaf/mm' e 9 ka(fmm' na
Oe d.oe d saJhamento respcetivamemc. U• r
uma vip I ou W F, a q ue for mais leve.
Oc.,-preur a larau ra da eolunL R~sp.: (a}
S cm " 25 an (nominal). (b) 14 WF JO
(3SS,6. mm de altura. 44,6 kgf/m).
waa
PR08. IO.. J
·'·' ta
ll-.ocm ,. ,_._.., . ,...,. .
I 8-0 m
PROII. I ~ I
10.42. Uma paru: do plano de umaçio
do piso de um pr~io de es:crit6rios csti
Ll10.Strada na figu rL As travCJ do m adei ra
com viot de 3,6 m. sio cspa_ça clu de
40 r:m e suportam um chio de madetra
acima e um teto de gesso abaixo. Ad mitlr
que o chio possa receber peJO de ocupaçio
à ra>Jo de 366 kaf/m' de ire& de chio
(carga ...; vo~ A d mlllr, ainda. que o chio,
os traves c o teto poocrn 122 ksf/m' de
lrea óc chi o (c-.araa morta~ (a) Determinar
a altura necesdria pa n IIS traves comerciais padrOe~ com espessura nominal de
s cm. Para a madeira a tend.o admissivel
366
do comprimento, coo(orme exigido: eo.ueea.nto. para uma labricaçlo mais flál.
os ,ucetsivCll •egment()S de 1ubo devem se
ajUJtat etHre tL No arranJo dos segmentos
de tubo. dar rarnbém importlnc:ia M con..
,-ideraçõcs de esttdcL Pam sJmpiiC'ldade
de cólculo_ de:Jprezar O peJO dos tubos e
1 prcsslo de vento_nos cubos cm si.
PI\OL 10-42
10.·4). Em muitos probiemu d e projeto de onJenharJa ~ multo dJncíl dotor·.
minar., m aanJtudes du cargas que a.tuarl a
em uma atrutura ou ~ uma peça de
m'quinL O dctempenho satldat6do de
uma inttaJaçlo oxistenWI pode prover base
para c..atrapoi&Çio. Com i.n o em mente.
suponha que um certo linal, tal como
m05lra a fiaura. tenhrt operado &.atlsfatoriaménte com um tubo de a ço padrlo de
100 mm, q u.a.ndo seu oentr6ide está 1 3m
achna d o chio. Qual doveni ler o lamanho
do tubo ae o linal (OAC elevado para 9 m
adma do chio. Admitir que o vento exerça.
na altura mais elevada. uma prcsdo SO%
superior, tob~ o sinal, ' da instohtçlo ori·
afnaL Variar o tamatlho do tubo ao lonao
a carp unslormemente disuibuid, q ue eu a
vian podo 1upor1nr com sca:urença, se a
tcnJ.Io. a.dlnissivel de nc:.xlo' de 100 k af/em~
e a tc::nsio edmiutvel de eis•lhamcnto é de
10 kaf/cm 2 • Oesprct.llf as c:oncc:nuaçôes de
tensfto na m udança de uçlo tta..zuversaL
10.44. Uma placa nsida lira em um
plano horizontal. como mostra a naura.
Umn ba.rra do oço vertlca~ lla•d• d placa,
lUporta uma massa concentrad.\ cm aua
4xtremldade hvre. Quando a phu;:a etté em
movimento, (n) a q ue velocidade nngulu rn
serA iniciado o escoantcnto na barra? e
(b) a que velocidade anaular 01 senfl alin..
Jida a capa.cidade limHGna Oed o da bttrra•t
A borra tem S mm de diAmetro c pesa
S..3.S• x to•' kaf/mm. O pe:10 w no topo
d a barra ~ de &61r )( J0 - 3 kaf. Admitir que
a harrtl se comporte como um maleriaJ
cJiistico linear. e pcdeilameruc pChlico..
com a_ - 28 k&f/ mm 1• Oesprn:ar as forças
verticais. ( Ob."t~rt,o('tio, Euo 6 um problema
direto de análise de tendo. O projeto seria
mais fonao porque seriam neceuãriu soluções por tcnla tivru~ c erros). lte.sp.: (a)
98,5 rnd{s.
IO..~S. A rneLade central de uma viga
aimpla. de oomprimenlo totaJ de 3m ttm
ISan de largura e JOcm de. altur11; os
quartos extremos tem 1S cm de largun por
20 cm de altura. como n1 figura. Dererminar
~~~:!,~~~~~ :lOcm
'
,,..
PR0 8. IQ..tlS
10.46. Uma vip l, de 254 mm c 37,7
kat/m. é coberta por duas placas de 12 mrn
por J SO mm como mostra a Fia. 10.2J(a)
(para a seçlo oompojta I • li 900 cm.&).
e seu vlo é de 6 m. (a) Qual a força concentrada a _.er Aplicada no centro do vl o se a
ten1l0 admissivel na nexlot de 11 kaf/mm'?
(b) l,act • carga acima. onde alio os
pontot teórico' aJ6m dos quai.s •• placas
de cobertura niio ncceuitam se escendc:r7
Dapreur o peso da viga. e admitir que a
1'iga tenha braçadeiras Ja 1craís. Rrsp.: (a)
6.28 t: (b) 1,402 m du excremidadcs.
10.47. Projctaz uma vi&• em batanço
de res:1ste.neia consta.ntc para suportar uma
corA• uniformeme nte distdbuida. Admitir
que 1 laraura da vip seja constante.
10.48. (1) Mostrar que 1 maior censio
principal paro um eixo circular simulcanea-
3 57
mente •ubmetldo a um torquc o a um tno(</IXM + .j M i + T'J.
(b) Mottrar que a fórmula de projeto
p_a rn eixo" cótn b-na teoria do tenslo m6xima éd • ,JI[I6/Iu...,)](M +
+ r't
10.49. O eixo c1e: um dcvador Inclinado
~ ditpollo como na fiJUr&. Ele 6 acionado
em A oom 11 cpm o n.oceuita de 60 cv
pa..ra opcraçlo permanente. Admitindo que
metade da pot&nda fornecida ~a unda
cm cada tambor, determinar o tamanho do
cbo neceuôr1o par;~ que a mb.Jma tcntlo
de clulhamcnto nlo exceda 4~2 kaf/mm.a.
A tenslo leva cm ç0nta os ra.saot de cha-
tnemo neto r 6
"I -
JM"
vetL
raoe. 10-4?
10.50. Um eixo possui polias conrorme
mostrado na OaurL ()a mancais extremos:
slo auco-ajust6vci&. isto t. etc:s nlo JnUodu-zem momenc01 n01 auportcl do eixo.. A
polia 8 ~ a acion&dora. A.s poliu A e C
são as acionade.t c absorvem HU karm e
100 k1 r
20 k 1r
I O...Sl. Um oixo de aclonamonto de
lA kafn1 de torquc. rupoctivamante, A
ua.çlo retultante em cada polia t de 180
kgr. atuando pura baixo. OctoTrnlnar o la·
manho do eixo
duu poUu, 6 arranj ado como mottra a
naura. As ccnJ.aot nu ootraiu do u
"'""'drio par• que i
mo.tradu. D ot.crmlnar o ta manho necu-
qu. "•• - 4 ,2 ~af/mm 2 p&ra 01 eixoe com
chavct.u. AJ6:m do mal, como o eixo oporon em oon diçCeo <1. c:araa apUcada roPI'!·
tJnam_,,., .multJpllcar u car1u dadu por
um Calar ele choque a fadlaa de 1,5.
10.53. Um eixo ele baba velocidade 6
a luado por uma carp P, aplic:ada excentricamente. provocada por uma força de,.
•on\lolvida entre u onaren..a:na. Dotar•
mlnu a maaniludo adm,ufvel da força p
com bue na tooria di mixfma tonllo do
d aa.JhametltOt • "•• • 4.6 kali'mm 1• o d'""
mocto m.nor, do eixo om balMÇO. 6 do
15 mm. Comiderar a ICçlo crllfca uo local
om q ue o eixo muda de dLlmet:ro.. o que
M • 0.075/' k.,... a T - O. UI' kpjm. ObNnoar que. oomo o cfjAmatto muda. abrup.
t am ent-. 01 • ••uint• rator• de conoentr~
ol o da tendo devem 11t cona.tdoradoa: IC, • '
- 1,6 n.a n e.xlo, • K., - 1,2 na torçl.o.
•....._...
\..
JOOmm )00mm 300 a'ltD )00"""
raoa. lO-l O
! O.SJ . Uma armadura de molor. penndo 200 kaf, 6 1up0rtada por um eJxo,'
em mane&11 ••paradOII de .SOO mm. A polia
na e•trem!dado do •Jxo 6 ~ U O mm de
dlAmeuo o tem ba.lanço de J l.S mm em r•
laçlo ao manc.al da díreit.a. como u ri aura.
A potCnc:ia ' transmitida atra vá de um
listema de. c:orrci .. venic:W na poli a: a
traçlo cotai no lado de tonalo 6 de 2AO kaf. ·
e no lado frou xo de 80 Jc:ar. Calcular o
dilmouo do eixo necenárlo c:om bl.ic na
teoria de tcnslo de cisalhamento m•xJmo,
s.e T_.. • 5 k.Jf/mm 2 . Re1p. : 33.3 mm.
lOOk&f
ll.S
l50 mm
2.$0 m.rn mm
mostra a ngura.
drio para o ol•o. Admitir, do c6dl1o AS Mi!.
tcnslo principal de cis.a1h•rncnto nlo exceda 4.2 kal/ mm'. Rt-sp.: Sl mm.
~.
de aeçAo transvent.l, acbu a maior ter,do
de nex&o para a vlp c:urogada como
R.,p,; 1,76 L
PROO. IO.S.
IO.H . V llllt vip ôo ).6 m da compri-
mento t c;arroaad& como moJtra a na un.
atuam perpe:ndi·
a o lonao do eixo da víp o
llo lncUn adu de JO• com a venieal. So
01&&1 lotçaa a tuam acravA• do ce:ntróido da
Ate.a do aoçlo transve r11l, achar a looall·
aaçl o e rnaanhucr. da mb:lma tenslo di
Oexlo. O«prczar o po10 da viaa. RtJrp.l
:t 14,89 kaf/mm 1 •
A.. duu força a pllcadu
cularme~uc
;;I.T
PltOB. 10-Sl
10.$4. Desprcundo o pcao da vip o
u ooncentraç6e:l do tendo oa mudança
so
270k&f
359
358
,,
11
D EFLEXÃO D E VIGAS
as ilustrações servem, principalmente. para os casos elásticos. como a solução
de alguns proble.mas de viga elástica estnticamente indeterminada não .apresent.a
dificuldades mntcmâticas adicionais cm comparaçio com os cn.sos de~er.rointtdos,
o $Olução de .La js p roblemas é d iscu tida neste caphulo. Um trotamento majs completo de sistc:mus cstrt.Hurnis estalicamcnte indeterminados será dado no próximO
capitulo.
Após a dcduçAo das equações di[ercnctais _básicas para as deflexões de vigas
e a apresentaçlo das condições de conto rno, o restante do capitulo é dividido, por
conveniência, em duns partes. Na Parte A, são discutidos o s p rocedimento.s de
integração dire1n : na Parte B~ é apresentado um mC-todo especial, chamado de
mltodo de ártta tlu momt"nto.
11.2
ll.l
INTRODUÇÃO
A açlo de rorças aplicadas provoca denedo do ebo de uma viga em relaçlo
a sua posiçlo inicial. Valores precisos para as denexlles da.s vigas slo procurados
em muitos casos práticos. Elementos de mâquinas devem ser suficientemente rlgldos
para que se evitero desalinhamcntos e para manter a precisão dimensional sob .
a a.ç ão de caraas. Em prédios, as visas dos pavimentos nAo podem derletir excessivamente para evitar ercito.s psicológicos indesejl\vefs. aobre os ocupa.n tes e para'
minimi:ta_r o u evitar si_tuaçôcs de preocupação com os materiais frágeis de acaba,.;
mento, Ofl me:~tn~ forma, " lnrormaçao f!:Qbro oor•ctertaUc;~a.t. de deformnçiQ dO
membros 6 euenclai ao estudo de vlbraçOes do mAqulnu, assim como em estruturu estacionárias e de avimo.
As equaçllcs dlrcrenciais bltsicas para a deOeJtlo do visas serlo desenvolvidas
neste capitulo. A soluçio dessas equações é ilustrada em detalhe. Slo consideradas
apenas u dcOexlles provocadas por rorças que atu- pcrpcndict~larmente ao
eixo de uma viga. SituaçOes cm que forças ax.iais ocorrem simultaneamente serio
discutidas no Cap. 14.
Como ficará aparente do dedução, a teoria btlsica deseqvolvida noste capitu lo
cst.á limitada u deflexõcs pequenns em relaçAo ao comprimento do vlto. Uma
id~ia da precisão envolvida pode ser obtida pela observação, por exemplo, de
que se tem um erro ~e apro:dmadamente J% da aotuçlo exata. ae as dcnoxôa
de um vio simples rorcm da ordem de um vigésimo de oeu comprimento. Dobrando
a deflexilo para um décimo do comprimento do vilo, o que ordinariamente seria
considerada uma defle.do arandc. intolerável. o erro cresce para aproxin,adamentc
4 ~;.. Como na ma.io.r ia dos problemas de engenharia alo empregados membros
rígidos ll Oexão, essa limitação da teoria não ~ s~ri!l. Para clareza., entretan to, as
deflexões das vigas serão mostrndns com bastante ex.ngero em todos os dingramas.
Apenas deflexões provocadas por nexito são considerad as neste capitulo, Aquelas
decorrentes do císalbamento serllo discutidas no Cap. 13 (veja especialmente o
Exemplo J3.4~
Neste capitulo si!:<> con sideradas deflex.lles el!stieas e inelásticas das vigas.
Entretanto, como, os cltlculos para as deflexões inelisticas das vigas slo can sativos,
360
RELAÇ0ES ENTRE DEFORMAÇÃO-CURVATURA E
MOMENTQ..CU RVATURA
.
Para dc:scnvol ver 1\ teoria de ddlcdio de vigas,. devc:-sc considerar a geometria
ou cinemática da deformação de uma viga. A hipótese cinemática fundamental,
de que as scÇC}cs planas permanecem planas durante a dc(ormação. inicialmente
introduzida na Scç. 6.3, romece a base para n teoria. Esse tratamento despreza a
deformação de cisnlhn.mento de uma vlgl\. Felizmente as denexôes devidas ao
cisnlhamento slo usunhnente bem pt:qucnns. (Veja o Exemplo 13.4).
Na Fig. li.J(u) está rnostrado um segmento de uma vign reta na co ndiçdo
dorortnad". E...o dJnar• m• 6 complotamcn tQ lltté!oso A Fig. 6. 1. Ual\dt\ no eatnbel•
cimento d a distrlbulçlo do tenalo em vlgu devido " ne·,.,fto, o eixo d efletldo da'
vlg,., isto é, sun. curvo. ehhtic;.~ estA most r,.dn encurvado n urn raio p. O centro
de curvatura O para o raio de qualquer elemento pode ser achado pelo prolonp.·
mento até a interseçllo, de quaioquer duas seçlles adjacentes, taÍJ como A'B' e D'C.
Para o presente, admitir·se-ã que a nexlo ocorra cm tomo de um dos eixos prin~
c1pais da seçilo transversal.
L
.r
(oI
F ftru,.. 1 1. 1
Otf01'1"MÇ&O de Jm III'Qmlnto Ot viga ne lledo
361
SXl!MPLO 11.1
Na vista a.umenttda do clancnto A'B'C'CJ'. na Fis, ll.l(b). podc-so ver quo.
cm uma vip Octid•. o lngul<> definido polu duas 109ÔC' •<liaeentu t MI. Se u
distAncjas y da auperricie neutra ii fibra~ deformadas $10 medidas da muteira
usua~ positivas pare cima, a derormaç&o 6JJ de qualqU<r fitra pode ser
por
o.6. mm ....
Para o OOr \J • mttaJ, \III.,. l &l'rl • J1ta do 12 ~ dt llrJUTf, •
p. .wa. f:lut f adoA&da _poc d ou pOliu de 400 mm dt diAmeuo. Q ull a mb Jl'l\1. teoalo
da rltJito dqepvoJ~i da M IOCR. t mocücla que cJa p.aaa tobre a potta1 Considcrv E ..
- 21 000 tst,.,m'.
·
•li'-•
li• • - yliO.
(ll.l)
SOLUçA O
Hw• a plic•o, o maurill de'Yt U!: comporurnenlo elútioo. À modida que a Jt,mlna
Para valores nepuvos de .,, isso provoc:a atongamc.ntOi de acordo eo:!J a defor·,
maçlo m01trada ftl fiJUra.
.
•
da •ra p. .a por alma 41 poU.. Ua .._,acomoda 1.0 raio da JD• ma; ut.lto. p 1111f lOO mm.
As fi bm contidas na $Uperricie neutra curva da viga dcformadll, carncterttada
na fig. l l.l(bj pefa Obra ab, nllo sao deformadas. Oc11n rormo., o comprimento
do arco As oom~~pondc a.o eompdmento inicial de todat 01 nbru entre u •eoOes
A' B' e IYC. Mantendo iRo cm mente. c dtvidindo·a Eq. l J.1 por As. pode..,se formar
A f!A, 6.3, • • - M)'/ I,juot.ameniO com a Bq. 11.6. apóo al&umoa ahnpJJncaçOct mcno.....
(orneoa \lmll. relaçJo prtl \)tU:
.
• - -6,/p
(11.71
Com y • ±c, 6 éetemUNda a lendo de tlcx:lo DtbJITII aa Krra:
U ..,uintcs rdiÇi!CI:
• llu
. liB
1 ~o -As - - -~~CI
1 -A.\
"'1m
..1m
(21) 10'(0.]) ll . ...., • '
•- • -lk
• ~ •..,mm .
, lOO
(11.2)
ou
A alt•·tcru.lo delenvolvid& na letra necoqila ela materiait superior•
Pode-se reçonheccr que du/ds 6 a derormaç! o tineM de u1na fibra da vfp
A utna disÍânc:ia v do eixo neutro. Anim,
(11.3)
du/dS • a.
11.3
Em textos sobre aoomc:ui& analltica moslra-4e que. em coordenadas c:arte--
da Fia. u.l(a~ yf..ae que. como lls • pilO
.
liOdOI
•= x.
ds
p
p - [~ + ~rr - [1 + (o')'J'Il •
(11.é)
4 ,-n ós
que t a definição de curvnru•·a• K (kappa).
, ,
'
Com base no a.ntedormente exposto, e após substitUir a.s Eqs. 11.3 e 11.4 na
Eq. 11.2. pode... exprimir a relaçio fUndamental entn: a curvatunt da curva da
linha elástica e a de/armação linear. por
1
•
• K• --·
p
y
(lU)
é. importante observar que, não tendo sído usadl$ QS propriedades do m~tcrlal
na dedução da Eq. ll.S, essa rclaçilo pode sec usada para problemas cluuoos c
inelinicos. No primeiro caso. é interessante observar que, como. • = ' • - oJB. e
fi~-= -My/1.
1
M
-p• E/ .
visa elástica de momento de in~rcla /, em relação ao ci~o ncuuo. COU'l a curvntura
1/p d• curva elhtiea.
362
~ &ec;lo
i
(ll.f)
onde x o v do aa eoordonadu de um ponto sobro a curva. Em terma. do problemll
conalderado. a. distância x localiza um ponto 10bn: a linha ethtlc:a de uma vi.p
ctenetida. e u dl a deficxlo do me~mo ponto em reJaçlo à sua po&içlo inicial.
Se a Eq. !1.8 lo* aubot:ittáda na Eq. 11.5 ou oa 11.6, multaria a equaçlo
cürcrenc:W eu~ da cuna ~ l!m Je<al a ooluçio de to! equaçlo é cüfu:il de
oe obter. Como, eol.rei!Uito, u d.rlcxõeo t,o lentdu oa a<ande maioria daJ estruturas
de cnaenharia slo ba•tan\0 !>O!lt1C11U. a inclinaçlo pu/ri~< da curva eltllica ~btm
é pequena. D<;osa lorma. o quadrado da inclinaçJo ti é u,ma ~uan\idado desprezável
companda com a uniclade. c a Eg, 11.8 ac aimpliúca para
d'•
I
-~·-·
p
flx'
(11~
Com bue Disso, a equaçlo c!ilcRDdal para a deOexio de uma viga elástica•
(11 .6)
E.ua cquaçlo relaciona o momento rtetor M em uma scçlo dada de uma
•Obitne q~ 1 • , li:•oem a cs::u •
I!QUAÇÃO OIFBRBNCIAL PARA A OBFLllXÃO DB VJOAS
ELÁSTICAS
si&nu, a curvatura de uma linha ~ definida por
1
1
~'o/b
"'
O termo 40/h da Eq. 11.2. tem um IÂJniftcado geomitrioo dara. Com a ajU<I&
lim - • -
pu~.,.,. aplkaçio,
deoorro da Eq. 11.6 o '
(11.10)
onde ae compreende quo M. - M" e I • 1.,.
•.t. tquaçlo di. cuM eliacra roi Jormw.da pcx l_.. Bett'IO\Itll. cm o••aa•tlco tuiçQ. cm ag64.
"'-- ~
'-...,!ola 07~ ...-
363
,.
Observe que na Eq. 11.10. 6 empregado o sis~ema de coordenadas xyz P&ra
localiur os pontos materiais cm uma viga, para o cAlculo do momento de in~a
I. Por outro lado, no problema planar, 6 o sistema xo de eixos o usado ~1'1
localizar os pontos sobre a curva clhúca.
.
A direçlo positiva do eixo • 6 tomada no mesmo sentido que a positiva do
eixo y, e a direçllo positiva da carga aplicada p, Fig. l1.2(a). Observe especialmente
que, se ll inclinaçiO positiva dv{dz da CUrva elbtica IC toma mm positiva quando
x a umenta. a curvatura 1/p ""d1 v{d.~1 é positiva. Esse eentido de curvatura con.
corda com a curva1Ura induzida. provocada pelos moment.os positivos apUcadoi
M. Por cua razâo 01 sinais sao positivos em ambos 01 lados da Eq. 11.10.
r +M~
. - H'~~-;...M::\ r·~M~v
·-"'" +AI ,, <270
y-~
'
)-•
+V
+V
ew •• ,..,. ~~V•, >o
/
o.._,...,.,,. ,..,..11 >o
,
•
.•
•
É import,ante c interessante observar que, para a curva elãstica. ao nível de
precislo da Eq. 11.10, se tem d• - !fx. Isso se segue do fato de que, como antes,
o quadrado da inclinaçlo !l•fflx 6 despreuvelmen~ pequeno cm comparaçlo
com a unidade. e
J
J
11• d;oc' + tlu1 =
I + (u)' dx .., tlx.
(11.12)
Ocua forma. na teoria da pequena dcOexlo. nlo IC d~ haver dircrença entre
o comprimento inicial do eixo da viga c o arco da curva ciAsúca. Dito de forma
alternati va. não existe deslocamento horit.ontal u do.• pon tos que CJtlo sobre a
superficic neutra. isto é. em y - O. Essa apro.ximaç:ito pode ser à base de uma
deduçllo nlternativa do Eq. J 1.10, que se segue.
11.4
DEDUÇÃO ALTERNATIVA OA EQUAÇÃO U.IO
Nns 1eo rins clássicas de placas e çaJC-1\.., que trAtam com pequenas dc0ex6CJ. devem ser
esrabelec:idos equações onMogas d Eq. l l. lO. O m~U.1do caractcrlstioo pode aer ilustrado
no problema da vittL
Em uma condiçlo deforma~ um pomo A tobrc o eixo de u1na vip sem c.arrcpm ento,
Fia. ll ~~ de acordo eotn a Eq. t 1.12, est' diretarnentc ac-ima de tua posiçio inicial. A tangente
i curva olhtica no mesmo poru.o gJra de urn Anaulo flu/fl.'C. Uma Joç.Bo plana com ccntróido
em A' 1Atnb6m giro do mesmo ftngulo tlv/.dx.. porque d\lrante " dts(Ormaçllo de nexlo, u
aeçôes perm~tneeem normni.s ao eblo de Oe.11lo de. umn viaa. Ocssn forma. o deslocamento u
de um pOlUO tangente a umll diatAnda.• y da curva eliistica t
''•
., __ , dJC .
I
t•l
ondç o sinal negativo mo.stra que, pa.ru. l' e 11 poahivos, o de1focamemo u ê: no sentído da
origem. Para y - O. nlo hA .desJocomento u. como~ c llía:ido pela Eq~ J 1.12.
(bl
Ftoura 11 .2
(J 1.1))
Mcrnento • sua roiKto com • curva tura em dlfttW.nt" ptenoe de çoon:f•nad•
Ao contrtrio, oc a ne.xlo ocone no plano x._ eneontra·.sc uma situação diferente. Para ilustrar, considere o eixo inicial sirando de 9o•; com u quantidades'
pertinentes tendo ,sentidos poslt,lvoa, como mostra a Fia. 11.2(b). Aqui a curVatura
induzida pelos momentos positivos M é oposto àquela usociada com a curvatura
positiva VP ""d'wfflx 1 da curva elástica. o .....· forma
d1 W
M
dx' = - Ei'
(11.11)
onde M • M,., e I - I 17 ; exceto pela notaçfto e sinal. a f:9Uaçâo ~ a mesma que
a Eq. 11.10.
Em alauns livros c trabalhos técnicos, os eixos da Fi&- 11.2(b) slo preferlveis,
o que con d u~ ao uso da Eq. 11. 11.• Neste texto o estudo detalhado 6 limitado
à Eq. 11.10.
• Junt•menre c:om
e.• equaçtlo deve~tc o~rvar quo • cqu.açGII di!ere:ociais dt cquUibf"io .to
P"lou, . 1 1.3 Oesloce"*"'tos to."'Q tud n14
de uma
aevidos • fOtteao de uma •~lo
plana
'"ge
,
•
"
Se-pC!niO de >ti&a. de-flcl}."•
Em tc:guida. recordn~sc a E~ 4.~ que e.s tabelece c.. - ~''f~.x. Dcutt rorma. pelu: Eq. J 1.13,
'•-= -yd'~ufdx. , porque u 6 apena.s uma fun ção de"·
1
4VJJI.x • - ~
e
~MJ~x- V.
Eqs. i4 c l.S
O lcimr dc'\IC compatU' aua rdaç6c:l: cem •
364
365
A rne1ma deformação lin e~~r tamWm pode ser obtida du Bqs. <t, I J e 6.l dando • ..
- - My/ Et. lau.afa.ndo-se u d u.u c.llpccat6c:s alternativas paa, e-,. e eliminando y de
OJ ladCll da cquaçlo, tem·.s-.
11.6
atDbos
renciait, devem ser preecritas con diQiles de contam o. AI&UJUI tipos de condições
de contorno homogéneaa slo os IOIJUintes:
P'u M
ji;l- Ei'
(A) Suporte jbuJ ou mga!UJJo. Nuse caso, o dcsloca.meoto u e a inclinação
d<•/dx devem ""' nuloa. Aasim na cx~mi"dc considerada. onde x • a,
que • a Eq. ll.IO anteriormente deduzida..
ll.S
EQUAÇ0ES DIFERENCIAIS ALTERNATIVAS 01! VIGAS
t>(a) • O,
ELÁSTICAS
No Cap. 2, roram mostradas várias relaçôeo direrenciais entn: rorça COrlal\le,
mo mento c car&a aplicada {Eqs. 2.4. 2.S e 2.6). Essas podem ser combinadas oom
a Eq. 11.10 para dar a scauint.e acqQéncia útil de equações:
u -=- dencxl.o da curva elástica~
O • !fu -
,~ -. incJinaçio da curva c14stica ;
dx
.
d1u
M-El'-;- Elu";
(11.14!
px
dM
(e d'•)
(eJ ti'•) _
flx.' .
d
v --· - ~ -..:-
1 -
P = _fi V= .d '
dx.
dx1
flx
px.
flx.'
.,'..
'
(E/u'')".
•
El ;i;i-- V(x) ;
(11.16)
d4u
E/ dx• - p{x).
(11.17)•
A escolha da cquaçlo para um easo dado depende da racilidade na rormulaçlo
de uma exprcsslo para carga. força cortante., ou momento. Poucas constantes de
integração silo necessáriu nas cquaQI)cs de ordem mais baixa.
•.so na Eq. l l. l?.o.n concor<Uncia eom o principio de d"Aiembcrt. c (a%1' • -..O. onde ata maaa
d:a. vip por un1d.dc de compnmcnlb e ii - a''"''· obcO:n-tiC a c.quac:io ~ para a 'Yibnção l11cni
de uma vip. &a equaçlo ê EI õ"e{õx4 + '" ifZuJirl - O
(ll.l8a)
t>(a) - O, M (a) • E/ol'(a) - O.
(11. 18b)
Aqui a condição lildoamonto evidente para M é roluoionada com a derivada
de u em re1açlo a X. do uma parto da Eq. 11.14.
(C) Extr•mldadc 1/u, , Tal extRmldade é llvn: de momentos o forças cortantes.
Aaim
M (a) - Elol'(a) - O,
V(a)- -(Elu")~ •• - o.
(11 . 18c)
{O) Suporte gutapo. Ncsac caao é permitido o movimento vertical üvr~ mas
a rotaçlo da exl.tcmidallc 6 evitada. O suporte nlo é capaz de resistir a qualquer
cisalhamento. Dessa rorma
u'(a) - O.
V(o) = - (Elu'')~ • • - O.
(ll.l8d)
- - {Elu'')' ;
d'u
u'(n) - O.
(8) Swpont ri. rol~fl 011 ti• pino. Na o tromfdado cont ldorada nl o podo ox loiÍr
dcfiexlo • nom momento M . Aaslm,
Para vigas com rigidez à nexlo El constante, as Eqs. 11.14 so simplifi<\lm
para três equações altcrnotlvns 'para determlnuçlo da defiexão de uma viga com
carregamento :
d 1o
(11.15)
El - 2 =M(x );
dx
366
COND1Ç0 ES DE CONTORNO
Para a soluçlo doa p roblemaa de deOcxlo do visas. al~m das equações dife-
.,,..
A. meamu condiç6el de cóntomo para El constante. aio re.aumidas na Fia.
11.4. Obaecve 041 doío tipoe basicamente dircrontes de condiçO.. de contorno. Alguns
pertenoem àa rorças e 110 cbarna.daa de copdlçó.s d• co11tol'tlO <Jtdtlca~. O utras
descrevem o comportamento seomttrico ou de derormaçlo de uma extremidade;
essas são as confllções de contorno ctn emôtlau.
CondiçOea de contorno nlo-bomogfneu tamb!m ocorrem nas aplicações,
quando uma dada rorça. cortante,' momento, ou desloeaonento 114o prescritos no
contamo. Em tais casos, 01 zcr01 nu Eqs. 11.18a a 11.!8d àpropriadas silo substituldos por uma quantidade eapccilicada.
·
Em a.taumu aolcçOea, Ql requisit_oo rwooa de continuidade da cu ...... elbtica
devem ser r.razidos a complementar as condiQiles de contorno. X.so significa que
em q~talquer junçlo de duaa zonas de uma vi&a. a dcnex«o e a tanaente à curva
elliatica devem ser as mesmas, Independentemente da dírcçlo de aproximaçlo
do ponto comum. As situaçõeo da F ia. 1l.S slo lmposslveis. Os requlaitos de cquillbrio de rorça e de momento estio contidos implicitamente nas condições de
continuidade.
1 1.7
DEFLEXÃO DAS VIGAS VISCOELÁSTICAS
Se uma vip carrcp<la é viocoelàatica. u defiexOcs variam com o tempo.
Co mo introduçlo a esae l mport,ante tópico, scrlo consideradas neste artigo as
367
Isto é, as o ra o curvat u ra r< e u ma fu nção não apenas d a posição x sobre a viga,
mas tam bém. do tempo r.
P ara urn material viscoeJâsrico Un~r. u ma fonn ulaçio alternativa para eAsa
defonnar;<o pode se basear nã relaçilo constitutiva, dada pela l'lq. 4.27. Assim,
parn umn tensfto nxinl a 0 , que C uan3 runçüo de sua po,íçio :c e y, a Eq. 4.27 pode
ser acnentlizadn. nn. rormn
•
•
•1•)•0
{ N (•) -él•.. C•) - 0
(h) S1:porte simplet
•
l:(x, y,l) = a 0 (x, y)J,(r),
.......
aJ.x, ••) = - (l<(x, r)/J,(r))y.
•
6 (•1-•1•1·0
{ V(o)- .-E/.-- (o) .. o
ld• Suporte cubdo
Fi
11 4 CondiC6et de contomo homoaen. .a p l tl vigas eom EJ constante. Em (a) • ~bot
11 ~~~·diçO~• a&o c:ln«Ntlê.1 : em (o) ambet sto estAticu; em (b) e (d) as c o nd lç:Oes tio rrnstaa
•
r
(b)
P lg u r • 1 1 . 1
S ltuloO•t lmpo11fvela em u~ curva olhdc• continua
Essa relnçlo mostra que a tensão de flexão varia linearmente com y. Al~m
do mnis. ela é indeJ>cnde.nte do tempo. Dess:a forma, a djstri buição de tenslo em
ULna vig.'\ de material linearmente viscoc:Jástioo é identica à de uma viga elástica
Jínear.
Nu Eq. 11.19<: a cxpressllo entre chaves desempenha o mesmo papel que a
constante B na Eq. 6.2, usuda na d eduçilo da fónnula de nexão elástica. De!S$3
rorma. como uma condição de equilíbrio exige que M = - BI (veja a Seç. 6.4),
com B • - [x(x,I)/J..(t)]. tem-se, agora
M (.')
1<(.<, 1) = -1- J,(l).
u(x, 1) = v(x )EJ,(r}.
p('!'
vigrur vlseoelásticu Unearcs. Na análise se consideyarA q ue a 7"rga
é aplicada
no inslante t -o e permanece constante a parhc daquele •nstante,- . .
,
P ara vi,g as clésticas e plásticas, de acord? com a Eq. U .5, as h1poteses cl~o-.
mádca.s fundamentais da teoria de nexAo. relaCJOnando a curvatura da cu-rva elá.Jtlca
corn a dcrortnuçllo linell r, podem ser d adas na rorma
r.(.•. y) • -x(x)y.
Para um m aterial viscoelbtioo, a. m esma hipó tese d á
t(x, y, t) • -l<(x, r)y,
(11.19d)
( 11.19e)
Em poucas etnpn.s.. ficn ni c videm c q ue essa é a esco Jha correta para u (unção
dencxno.
A d eriv•dn segu nda da Eq. I J.l 9e, em relação a x, da a expressão para a
cur vutum da curvn elástica:
a•.~x. r)
a'v(x)
,
- - ,- EJ..(r).
x(x, r)=
il.r
i!x-
(1 1.19a)
E&'kl relnçllo, j un tamente com a Eq. ll . 19d, dá
•como oblec-.,.do na Stç. '-10. e..: e.rre&atM:no pod:: . r e:r;~.o poc f4J~; t) • p(x)H{tl ood:
H(l) • o o peradcc de Hcarilld-c. tct~do o valar un.kârio pan. t > O
..........EJ,(r) - -I - J<(t).
(i."C-
368
(11.19c)
Essa cxpressilo para a c-urva t um da viga fo rnece a base para a determinaçio da
dcflcdlo d e vigns viscoclbtieos Jineares, nas condições de car regamento sustentado.
Como o lad o direito da Eq. I 1.19d ê um produto apen as de uma funçao d e
x. c u ma ru nç.llo de ' • n dencxAo dependente do tempo d o u ma vjga deve ser
ca m bém u m prod u to de d uns fu nções das mesmas d uas variâveis. Dessa fo rm a,
o deflcxfJo dn viga pod e sec su po sta co mo sendo
0~~~========~~--~.
(•I
(I 1.19b)
onde J,/.1) ~ a funçllo de deformação com o tempo.
Eliminando o defonnação • das Eqs. 11. 19a e 11.19b, obtém-se uma expressão
para a tcnsAo de ne.xllo C1 0 em uma viga:
i11 v(.~)
(11.19f)
M (.T)
(J 1.20a)
369
Oifcrencial'ldo essa equação duas vezes em relação a ~ e recordando
de acordo com a Eq. 2.6, p - d' M /d.<\ tem-se
.
a•v(x) EJ ( r) -
õ.x4
c
p(:<) J,(r).
EIP
I
O tcrrno Jt(r) apar-ece cm a mbos os lad os das duas equ ações acima e pode
ser cancelado. Isso red uz as equações a fu nções apenas de x, o que- as torna
idênticas às Eqs. 11. 15 e 11.17, para a deflexão de vigas linearmente elásticas. Desta
rorma., pode-se concluir que vjx) - tt, 1(x). onde v,,(x ) é a deOexi!.o de uma visa..
linearmente elástica com o mesn'lo carregamento e condições de. c.o n torno q ue
aquelas da viga original Com base n isso, usando a Eq. 11:19c. pode·se rormalizar
a deflexão para vigas linearmente viscoeJástica,s, por me1o de
v(x, r) - v.,(.<)EJ,(r).
( 11.21)
Essa im portante equação estabelece que, a fim de deter.runar a dcOexão
dependente do tempo de uma viga. viscoelãsticn linear, m ultipHca-.SC? stmple~rnentc;:
u denexão elástico "~x)
por E. e pela função J ,(t) para o materzal da vtga. As
11
p ropriedades do mate riaJ E e J.: devem ser cot,hecidas d~ ex~riancia . .
A solução expressa pela Eq. I 1.21 é aplicável tanto ~s vtga~ estaticamente
dcte rJninadas como às indeterminadas. EnLrctanto, como fot en unciado, a soluçio
c Jimhado a umQ runçio impulso dn carga aplicada cm t - O. que ~ermanccc.
en[ão. constante. As condições de contorno também não devem v~nar com o
tem po. Se ocorrer umn scqilê-ncia de aplicaçOcl de caraa. 6 ncceaaáno cmproaar
o pri ncip io de superposição de Boltzm a nn (Seç. 4 .16).
PARTE A
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA
1!.8 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE DEFLEXÃO DE VIGAS POR MEIO
DE INTEG RAÇÃO DIRET A
Como um exemplo geral de cálculo de d enexão ~e vigas, considere.:' Eq. '· 1.17,
é / (I'" = p(x}. Por .-neio de quatro integrações s ucesSJvas dessa e xpressao. e o ouda
a solução fo rmal para v. A ssim
E/v"=
3'70
f
f d.~ r +
pdx + C, ;
pcix
C,x +C,;
I' r
d:x:
dx [
pdx + c,x'f2 +
dx
dx [
dx [
=r r
c,x + c,;
pdx + c,x'/31 + c,x'/21 + c.x + c • .
Se. ao cont. rátlo, comoçannoo com a Eq, l l. IS. Elv" = M(x), a soluç!lo seria
após duas integraçiles,
Elu - [
rbr.
r
Mdx + c,x +c..
(1!.23)
Em ambas u equaQOea, u oonstantea c ,. C~, c, e C,., corroapondonte~ à
so lução homoaênca das eq uaçôoe diferenciais. devc:.m ser determinadas pelas condições no contorno. As constantes C 1 e C 2 foram encontradas no Cap. 2, na·
solução das eqoaçilcs diferenciais de equilibrio (Seç. 2. 13). Na .Eq. 11.23 as constan tes -c, , C,, C,/(EI) e C.f(En respectiva mente, sllo, usualmente, • os valores
iniciais de v. M, O e 11 na oriaem.
O primeiro termo do segundo membro da última parte da Eq. 11.22 e o
correspondente na Eq. 1 1.23, ai!.o as soluçiles particulares das respectivas equações
dircrcnciais. O da Eq. 11.22 é especialmente interessante porque depende apenas
do. condiçio de carrcaamcnto da vlaa.. Easc termo pennanece o mes.m o, independen temente daa condiQilea do con torno prescritas. O. último• &lo traltidos ao·
problema pela solução homo,enoa da equaç!o diferencial.
Se u 1\lnçOoa do carreaamento. de rorça cortante o de momento alio continuas
o a rigidez li flcxlo E/ é constante, a avaliação du integrais particulai'OII é baatanto
direta. Quando ocorram dcsc:ontinuldadeo, u 1\lnçlles de síniularldado do Cap. 2
podem acr introduzido com vantapm. luo, entr·e tanto. nlo ~ essenciaL So1uçôes
podem aar achadu para cada segmento de uma vlga cm que as fu.n çiles sao
continuas~ a solução completa é então conseguida pelo cumpri.m ento das condições de contin uídade nos con tornos comuns d os segmentos de viga. Alternativa-·
mente, procedimentos gráric·OS ou numêdcos•• de integrações sucessivas podem
ser usados de forma bastante efctiva na solução de problemas· práticos.
Os procedimentos discutidos acima •ão bastante gerais c são aplicáveis a
vi gas elásticas esta ticamente determinadas e indetenuinadas. Nos quatro exemplos
q ue se seguem, é tratado o caso de um I variável. Vigas estaticamente indeterm inad as .serão consideradas no artigo que se segue.
EXEMPLO l 1.2
Um momeato flet.Ot M_J ~ aplica do na cxltemidade livre de uma viga em balanço de
comprimento L. c: de cigidez Oexural constante E I, Fig. 11.6(a). Achar a equação da curva
E/ v.. = E/ d• v = E/ 3_ (v'") = p(x) ;
dx,!_
tlx
E l t>"' =
Elú -
(I 1.22)
elástica.
•Em cort,o s c !\SOS. quando se uum fuaç6es tr-a:uccodentcs, essas constantes não tpn esse significsdo,
Basic;unente. a funçl o 1od.a. que incluiu con•tant.:a de ilitegra;;lo. de\o""C liatistazcc as condições no cont.o rno
~&.ia procodinMntOI llo de arando fmpor\lnciA cm problemas complit:iidO$. Por exemplo, veja
N . M. Ncwmark, "'Numctit:al Proccdo:ro roc Compuli.nc; Oe.Rcctions. Momcots. e Buckling Londs."'
Trtuu. ASCE, lOS 1161, _(1943)
371
,,,
O sinal poehivo dos re•uhad015 indica q ue a dcOexão devida a •"~ 1 ê parn cima. O maior
..-n.lor de" ocorre em x - L. A inclinação da linha elástica na e.xt remldnde livre é + M 1 L/(6/)
radiano..
A Ect 1l.lo4 rnosLra que a c u rva eld..sticn i! uma parábola. Enwetamo. cada elemento da
vlau cxpcrimciU:l momentos lgu&Us ~ ! c d.e(orm4 cJe rnar1eím análoga. Oe.ssa rorma. a curva
clbliC11 4cvcria &cr pa rte d e um circulo. A tncocréncio. resuJta. do uso de u ma relação aproÃimuda p&rtt a cur.,·a tu ra 1/p. Pode« m<hitrnr q ue o erro cometido é da ordcrn de (p- &.J)'
a p J. Como a <kflcA5o u t m utlo menQf do q ue p. o erro não ê sêrio.
t lmportnntc as~e>eiilr o-.se proc:edlh1ertto de imcgraçlo s ucessiva com uma soluçlo
ou interpretoçlo 1rAfica Isso l most,..do na seqüência das F ip. JL6(c) a (0. I nicialmente
b mostrado o diap oma. de m omento convcnáonal. Entio, das Eqs. 11.9 e 11. 10. 1/p •
"' rtll'/d:cJ. • M I{ ri). e o diapama de curvatura é traçado na Fig. II.E(d). Para o caso elistloo.
esse é simpfnmentc um traçado de M f(EI). Integrando o diagra ma de curvatura. obthn·sc
o diepama O. Nn in1ea:raçlo que se k &UC. ~ obtida. a curva. dástica. NCQe problema. como
a vip 6 n' ada na origem, slo usadas as condiç6es 0(0} - O. c: l(O} = O na cof\Struçilo dOI
di•games Eue mf:rodo srWiico ou .seus equivalen tes nurntrico.s são b3,s;tante 6-ceis na soluçlo
de Pf'Oblema.s com El va riivet.
L
Cdl
,,,
,,,
lbl
I!XEM P LO 11.3
Uma viaa simplet • uporta uma cnryt unitormeme.nte disLribuid3 para baixo P•· A
J
riaide~ nu urnJ El ' constan te. Achar • curva chisdca peJos trb nt~codos scau intet: (a) uto
8
da equaç:&o d ifcreuclal d e seaunda ordem para obter a dcRcxAo da vis,a: (b) u.so da e quuçlo
de qunrttt ordem no lue,u daquela em (a) e (c) ilustrar uma soluçio g râlica do problema.
i
SOLUÇÃO
P:leur• 11 .1
(c)
SOLUÇÃO
.
As condjçOcs do contorno C!llfto rcsistradna próximo da naura. c ~ecorrem da inspeçllo
da.s condições "'" oxtramidadct. Em x - L. Af(L} - + M 1 • uma cond1çiO nAo~homo~nea.
Do dJaarama do corpo livro dR f'lg. J J.6(b). pode-ac obseNo.r que, ao Jongo dll v•&R.. o
momento Octor ~ + M 1 • ApllcRndo a eq. ll.l$, integfando sucessivamente, e fazendo uso
daa condlçOet do contorno, obU:un~.ae. a 10h1~lo pt\fll o:
P0 L ;-r
S ubslh ulndo cuo rclaçlo nu Eq. l i.JS, jntegrando·a duas vc~es suces-sivamente. e fu.
zendo uso d na (."'ndlções de contorno. achlhse n eq uttÇàÕ da curvft. elástica:
E/ tllo
M
Bl - - M 1 ,"< +c,.
~I do
c.
p~:J
-;;;:r-
,,.
Pox'3.
p x1
p L'li·' p x"'
EJu- ~- ;.!& + Clx +C~ .
du
E l - • ,\.f 1 x ,
Mas ..(0) • O. de.,• forma 61<10) - O= C ,. e, como oamb<!m <(L) -
d~
E l u- 1/2 M 1 .'(1 +C• .
Eti(L) - 0 -
c. - O e
o • M 0Jt 1 /(lEI}.
PoL:o;
- -2-- -2- ·
- -1:1 - -06- +C J •
dx
Mas 0(0) • 0: dcasa lormft. cm x -O tem-se E/ú(O) • C~ -O e
M .. •{0) • O: dC$5& lormo. €1 t:\01 -
Po·'--3
M ~--- --·
2
2
d'l1
1!.1--....
d Jc-l - M - MI •
d.'C
372
CRIO (ti). Um dinaramA da vigo. juntamente com a.s condições d e contorno envolvldoJ
e•t' na. Fia. J J.7(n). A eAprcsstlo J)4ra M , pa ro uso na cquc.çüó diferencial de sc:aunda ordem
foi cncon1rndn no Exem plo 2.6. Da Fia. 2.22.
(11. 24)
p
;
L"'
4
JaClL
c
c, ... -
· --~tL':r-,
L.x • -r).
'14 EJ
-
p 0 L'
24
o.
;
(11.2$)
373
{ M>(O)
(O) •• 0
O
r· {
f"•
-Po
Mu M(O) - 0: doaoa lo~ EII"'(O) -O- C1 ; . , como t•mbi:m M(L.) • O,
v((LILI - U
M
O
...,
., m
Elr''(L.) - O •
qp !H IIJIJl
Á. , )
I
•
.
(a)
-~
cn
Cbl
(cl
(J )
•
•
(h)
fl lgur• 11 .7
n.:\·itl•' 1\ shncuiu. n maior dcOexfio ocorre em x. = L/2. Sub&tiluindo e.s..o;e valor de x
no E<a. 1 1.2~ obté•n...sc
( l l.26)
A condiçllo de ~imctrln uunb6m poderia sor usada para determinar a conitante c,.
Como se sn bc que u'(l../2) - O, tcm·.lc
Elu'(!./2) •
Pg/..(~/2)' flsol~)> + c, -O
c, como o.nte&. CJ • - (1/24)t'ol..,,
Ca10 (b). A apllc11ç.IO do. Eq. Ll.J1 4 aoluçllo desse problema ~ dircta. As oonstanles slo
achadas das condiçec• do contorno.
·
d'u
f / dx" -
p •
- Po •
"'•
llt-;;;z; - - Po" + C,.
Jl.o
p X
0
Et ;;;r, --T
+ Csx +C-:.
374
-ar=p /..X
ou
C, - p;L.
~
2 •
O ..-co do problan• ' o m u mo que no C...o (o). Ne~ae mêtodo, nenhum et.lculo pro·
tlmlnu d.u rc.a.ç6ct 6 oecêllldc. Como
moa;trado posteriormente. iao é vantajo.o em
&Jaun.a probJemu ut&t:.k:amente lndotermlna.dos.
Caso (c). AI etap. ncc:a.d.ri.u pua UJn& soluç.lo p ática do problema eomple:to csl!o
nN F1p. t1.7(b) a (f). Na Fi... ll.7(b) a (c). estio mostrados os diagramu convencional•
do força cortante e momento necor. O dlaJf&m& de curva.tura 6 obtido pelo traçado de M/( EJ).
como na 1"1• IJ.1(d).
Como, om vh1udc da t imotria, a indln&Çio da curva elástica em .x - L{2 6 horizontal.
O(Lfl) - O. Dula forA.\' a cOftltru;lo do cüapama O pOdo Iniciar a. p&rlit do centro. NcJM
proc:odlmento, a orct..lada da dlrolu aa l'la. 11 .7(c) deve ser laual ti área da Fia. l1.7(d~ e
vicc--vedL Somando o diap ama de 8, ach...se a dcf\cx.ão elásdc:a o. A área sombrc.ada da
Fia. 11.7(e) é numeric&ment. laual i m•xima dcficxlo. Acima foi empre;:a.da a condiçlo de
sJmotrtL Seauc~ae um procedimento p ralmentc a plicivel.
Apôt.au u1atN1•c:ido o di.,.rama de curvatur' como na Fia. 11.1(d). pode ter con1trufdo
o dlaarama. O, coca um "aJor lntciaJ admitido de O na odacm. Por exemplo. aoja 6(0) - O o
aomo-te & lu o o cUaartma do cutYatura para. o bter o diaar•m& O, Fia. I 1.7(1). Obterve ctuo
a rorma da curva IILOh ada 6 tdtndQI • qiMla da Fta. 1 t.7(o). Somando a Areado d la arama O,
obt~m ...o a curva •l•ntcL NaFta. J 1.7(h) eue cur'f'l ae o1tend~ de O n A. lNO viola a condlçl o
de c:oniorno cm A, onde a dcOod.o dove JCt nula. As: detlcx.ôc& co"etas do dadas. em retanto,
por t ua medida vertical entro u ma Unha rota que pasaa por O e A.. E.ua linha Inclinada. corri ao
u ordanadat de dellu.lo. PfOVoe&du pe.lo valor de 8(0) admitido Jncorretamencc.. Oe Cato,
ap6a 1 con1Uu9ao da F l., 11.7(h~ aabeooao que 0(0) • - !i/L - -p 0 L.'/(24E/~ Quando oue
valor do 0(0, ' u.aa.do, o problema. 10 tranarouna na aoluçlo prec:odont.e ( Pip. 11.7(c} c (C}].
Na F ia. 11.7(h) 1.1 medida• inclinadas nlo tê.m sip1iflcado. O procedimento dc1c:rito 6 aptic;Avc.l a vlaas com bcala.nço. Em tall ca.JOI. a linha-base para medida das de.nexõei deve pnssar
pelos pontos suportes.
wr'
:t;:,.c:·;:r~.
Cdl
d2 u
El-;r;r
_Po;' +c, L
I!XI! MPLO 11.4
U1na via• titnplea auporta uma força concentrada para baixo P. a uma distftnc ia " do
auporte da. caqucrda. F ia. 11.8(a). A rit idcz nexural E / ~ constante. (a) Achar a t qua.çl.o du
curva oliatlcu aem o uto da notaçlo operacional (b) Rcrazet o problema, uundo as funçõei
de •lnaularidadc.
SOLUÇÃO
Cuo (o). A aoluçlo ser6 dada peJo uto da. equação diferencial de segund:~ ordcan. As
reaç.5cl • concUoe-, de contorno alo indicadas na F i'- 1 L8(a). O diagrama de momento
traçado na Fia. ll.l(b) mo•ua daramence Q.UC existes uma dc.scondnuidade em x - n, nn
curva do M(x~ neoeuí tando de duu IUDÇ6e• d lfereoi.OI pua exprelli·la. A ooluçlo procedo,
de jnlcio, iiutepenc:tct.tcmente. para cada segmento da vit;a.
375
A maior denex!o ocorcc no ieKroento mais longo da viga Se a > b, o ponto de mflxima
deflexlo est á em x n(a + 2b)/l. que se obtém igualando a expressão para a ínelinaçlo
a. zero. A dofleA.IO nesse ponto !
i ."·"
J
A
O
l•l.--
(h)
I
.,o, .• oO
{MtU)
r(L) • O
{ MIL) •O
..,
"'"
D
Para o acamcnlo AD:
M
Pb
EJ-
dr,~
Pb X,
Fleu,. 11.1
Para o aesmcnto DB:
M
Po Po.
dx' - E/ - E:/ - E/ L X.
"E'i"L:r..
do
Pn
dx
d' o
E / - = -P(x-n}0 +C
ti•..:•
Pa x 1
E:/
EIL 2
''
Ptt x 1
Pa xl
u - - - - - - - + B,x + B 2 •
E/ 2
EIL 6
E./ ;iXi - -P<x-tr)' + C,.'f +C,.
M at M(O) - O: do1• fornla E!o"(O} -O - C 1 , e. como também J\1(L) - O,
tlp
u(L) •
Pn/..2
O • Tiil + B ,L + B, .
Pa3
/!/t1(L)- O • -
Pb
Pb
a, ----cu
.., +D')
ou
Pb
C, - - 6I (L 1 -b~o)
(11.30)
llXEM I'LO ll.S
Pn'
Urna vlaa timplcsmcnle suport ada, de 2$0 mm de comprimen to, ! carrc:gndo oom umu
rorça do 10 kafpura baiJ~.O.a 200mm do suporte da esquerda, Fig. J1.9(a). A scçiio lran.sversul
da viaa ~ tul que, no &csmcnto AlJ, o momento de inércia é 411 ; no restante dt'l viga ele~
/ 1 ,
A.2 - O,
Determinar o. curva ehbtica.
SOLUÇÃO
Pa1
B,- 6EI .
Com es.sas consta_n tet. por e•cmpl~
da v{p liça
• • (CPbl'(6li/L))(x'-(1. 1 -l>')x] .
376
- + C3 L
+ -Pbt..'
6
b
Por11 o segmento AD e&sa e(Junçilo geral t a mesma que a Eq. 11.27.
. a c:urva dás:tica para o segmento da. esquerda AD
.
6E:IL
Pb'
6
(>E/L
Após a soluçâo sJmuhAnca dus quntro cquaoOes acima. acha·se
6E:IL
-Pb x, + c,."+ C•.
u• ~[x' - CL'-b').•-!:. ( .• - •)']·
2Eii: +A, • El-lE:IL + B,.
A 1 • - - - (!.1 - 6 1)
P
Moa v(O) -O; dc.ssa for ma Elv(O)- O""' C,.. Analogumcme, de v( L.)= O.
Jgunfando.-so as incll naçlJos pora am bot os tegmentos em x -a:
Pn,b
Pb
Ell•- --(xn),. + 6L
6
Jgualundo·sc u denexOCI pAra ambos os segmentos em x-o:
Pn'-b
Pu' Pa4
u0 • t.(n) • 6ifiL. + A 1n - 2Et - 6i/L + B a + B, .
0 0 • u'(a) •
P
Et dx-- 2 (x-a}.,+ 2L .'fl + Ct,
rara determinar as quatrO c:onttentes A 1 , A,. 8 1 e 8 2 , devem ser \ll&du duu eondiç6es
de contorno e duoa de eontln ui dado.
Para o aeamcnto AD :
u(O) • O • A1 •
Para o toarntnto 00:
1.
J l.,
dx
P-"'iiif.'6+A 1 x+A,.
(11.29)
CaJO (b). A soluçllo do rnc$mO problema usa ndo as (unções de singularidade ~ bastante
dueta. e scaue o r»«>ecdimcn to usado anteriormente:
d' o
E t -...... p = - P(."C - n} : ' .
- - - x - - - - +8
)(~
(11.28)
•
J•l- = PL'I(48EI).
d,P
Tx•mT+ A,.
Pb
's .
9,/3EIL
Uaualmcnlc: a dcOe-.:clo no centro do vlo ê bastante pró~ ma. do maior valor nu mt:rico
da. dcfle:d o. Tal dcnc.-.lo é cb cfcterminmçilo mais simples, sendo recome.ndado seu u.so na
pr&tica.. Se a fon;a f" ~ aplicada no mdo do vão, i.sto é. a - b - Lt~ pode-se mo.strar por
aubstituiçlo dirct& na eq. 11.27 ou 11 .28 que. em x = L/2
{ ,.'(o)
(<)
&1 ,
dx1 •
B
l'b(L 1 -b 1)"'
I 11.21}
Uma sol~o anaHtica de"-e problema pode ser obtida por um dos mêtodos usados
no c~empCo anterior. Como. enl~tanto, se deve unr um procedimento e$pecinl rom ns funçOes
de jinaularidade, c:ttc mêtodo sei aqw ifustrado'".
•l)i"cuot esquemas para 010 de fun ç&:s dt 5ínaularid4lde em problemas com I vuihel pockm
lts lm•ainadol. P.ra o proc:~ro ugdo aqui. o a.utQr a p;acko:: â c:onttibu~o do Prolc:asor E. L
WH.aon
377
r··
,r•'·
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I
4E1 1
0
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1
I
4E1 1
100
E/ 1
- s - - - ( x )' - - - (x-200) 2 --(x-200) ' + 0
:J - ~
~-
°'
( + 400(x-200);' -B(x-ZOO); ' + S(x- 250) ; '),
I
d'o
Y400
. a
8
:;::r
- -e/
- (;o:- l OO).' - - (x - l OD) 0 + --(x- 3.50) 0 ,
1?.1
E/
EU
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1
d' u
M
:;::y-E/ dx
•<
1
1
400
8
8
-(x-200) 0 --(x-200) 1 + -(x-250)' .
E/ 1
El ,
El
N oue e"Aaio do inceara o&~ d eve.-ee reconhecer que. cm virt ude dot roquitftOJ da C.Or'l•
tinuidade. o vaalor final de 8 para o Himento AB h o inicial pa.ra o acs.monto BC. Além do'
1nais, cua cx pre1&1o de 8 para o ceamcnto A.B, para x > 8 permanece constante. Dessa forma,
~ posalvol ln teJrar a óltim. ox.proatlo anterior, para o aeamonto BC, e • diclon:ar a o•te o
valor do O do aearno.nto AB. l uo !omoce um• runçlo conUnu.a completa do O para 1oda •
vtaa AC. Nu Jntoara9ôel s ul>teqOontoa. u condiçtSet do oontorno podom t er usadas para
doterminaçio du constantet. Para o acamcnto BCt
dv
400
4
1
(<)
Har
o,C :====Qr+
~
- 2 k;f
(d)
--8- (x - 200) - - (x-200)'.
dx
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El
1
]~&(ln
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·'
4
(<)
- -O-
Sl1
I 100
E/1
c
o
·'
(f)
(h)
Figuro 11.9
A viga e separada no ponto de desconlinuidade em /,e as (orças necessárias ao cqul·.
libdo do.s segmentos slo calculados. Fig. 1J..9(b). A solução C. então. iniciada independente:
mente para cada segmento da viga. com a mesma posiçAo de oriaern em A. As intea;raçc!les
$UCessivas sa:o c:fctuadas atê que as equações de momcnto-.e urvatura sejam acba.dns.. Nc-,
nhum:a constante. de in1c:graçfio aparece nas duas primeiras integrações, quando as Corças
de reaçiio são calcu1odns. Para o segmento AB:
d"v =..!!.. = _l_[ + 2(x);' -2(x - 200);'-400(x - 200)õ'J,
dx.
E/
4EI I
1
Aqui. o último termo da c xpccsslo anterior, sem relcvlPci~ foi abandonado. Adicionando ena exprcsalô com a encontrada a..ntedormcnte para o segmen to AS, tem-,5C pará
toda a vip AC;
+400
·~
378
• '
onde 6 0 t uma conata nto de tntearac;l o nlo oonheeida, Para o aoamento .BC:
,.Ck;rm~ SD mm s ~ca.r
200mm
100
El,
1
1
alçar
2 ktf
l kcr
I
2EI,
d'o
I
100
7.:1
- -E/M - -21!1-I ( x ) ' -21!1
-- ( x- 200) --(x-200)
dx
E/
dx
,.,
A
IIX'
~<ar
"'m
I
2EJ ,
Y
EJ
- , - - - - - --(x) 0 - - ( x - 200) 0 - - ( x - 2oo)-•
h
dx
I
4EJJ
~ll
300
Bl l
E/ 1
--(x)'--(x - 200)' + -
I
4,ll
150
I
I
(x-200)' + 00
• - i'iET(x)' - lil(x - 200)' + m<~ - 200)' +o•• + ••.
I
Mu, corno o(O) - O. lcm·so v0 - O. A oondiçio o(2SO) - O dá 0 0 - -6 000/(E/ 1) . ls•o
compJcta a soluçlo do probÍema.
A cquaçio para a intlinaçio do ••Jmcnto AB ó O • x'/(4EI 1) - 6 000/(E/ 1). Igualando
ess.a quantidade a zer~ .x terâ o valor J SS mm. A maior deflexlo ocorre DCSJO valor de :<.
c lvl- ...- - 619677/(~.f,). C'ara.c:tcrütkamcntc_. a dcflcdo no ccnuo do vlo - isto C. cm
.x • 125 rnm - é apt'oximadamcn to a me~mn. sendo S87 240/(E/ 1 ).
Um proccdimonlo &ráfico aulo-explanatori.o ..ui n .. FI... 11.9(d) a (h~ A variaçi.o
em I nlo causa virtualmente compUCaç6cs na sol uçllo grAiica. o que se consdtui em grande
vantagem nos probJemas complexos.
379
11.9
PROBLEMA S OE VIGAS ELÁSTICAS ESTATICAMENT E
INDET ERMl:-IADAS
Em uma grande c importante classe de problemas de vigu. u
~çOes nlo
podem ser dctertninadu peloa procedimento• convencio.nais da cstádca. Po r cxem ..
pio, para a viga ll10it radn na Fig. 11.1 O(A), quatro componentes de rençl o oto'
desconhecidas. As t~s componentes verticois nfto podem ser achadas das equações
de equlllbrio. O exame pos terior da Fig. ll.l O(a) mostra q ue qualquer uma das
reações verticais pode ser remo\'ida e a viga permaneceria em equillbr1o. Dessa
forma. qu alq uer das reneôes po de ser considerada Jupirflun, ou r.rlundantt, pora a
manutençilo do equillbrio. Os problemas coon fo rçu extru ou redundantes de reação efou momentos slo chamad os de t>stnrlcam,,te (t>Xtm•amt>nte) ln~rtvmluodoi
R, ,
r'· t''
! ;,} ;;;l
t~:~.:=.===!:::=::-j~~R==.:!::===l,t
A
R-.
0
Rc
t'·
+
~
t,
'4:
R.,. o
EXEMPLO 11.6
Achar 11. cq.uaçl o da curvu. dbüca pa ra o c:nrrcga mento unirorme aplicado a uma viga
continua d o d 011 vlo5, mO$Irudll na F ig. l l.J J(n). EJ é co nstnnte.
M
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,)/1 \1
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A
•A l'orço. hoci:zonlal to m a· • impor1·ante cm p(scu rinu . Ve:ja S. TimO!Ihcnko o S. Wo lnowtkY"
· Krieaer, T ht-Ory 4{ P!(Ji n a"d Sltr lb (l..• ed.l. ~ 6. McOrawr-Hilt Boole CGmPQJ1)', No\11 [orquc. 19l9
( o)
Fie",.. ,, .1 1
_,
I I
I
i,.
8 ) _.1 X
~
"·
•
Quando o número de rcnçõcs desco nhecidos excede de um aquele quo pode
ser detenninado pela cstélicn. o membro ! dilo Indeterminado de primeiro OrlfU.
Q unndo o nUmero de incógnitas c resce. o gra u de indeterminaçlo também c resce.
Por exemplo, tendo· se um o u mais su portes do que os JllOSlrados para a vlsa da
Fig. ll.IO(a), a •il!ll locaria indetermin ada de segunda or dem. A viJ!II da Fig. I I. IO(b)
é indc tcrminacb de primeiro grau porque M A o u Rc po de ser considerado red undante.
Como de acordo com a Eq. 11.12 para pequenas dene~ões ds "'d;c, nenh um a
deformação a xial significativa pode ser desenvolvida em uma viga com carr·qamento transversal ' Dessa fo rma, as componentes h o rizontais das r ea çi5es naS
situações de su po rtes i m6veis, tal como mostrn a FIJ, ll.JO(c) e (d1 sllo desprezheis.
Com base nisso. a viga mostrado na Fig. 1 J. JO(c), com pinos em am bas as extrc:-
I I I I
"" '"-
t R,;
FJGu,.. 11.10 lluatraçO" C. lnr;ferermlnaç.ao e tt. tiCII de Ylg ... Em (•) e ( b) as vigesdo lndettr•
min•du .m prfmelto GIIU, Se •• componentes horl~o ntets d,. reeçOet torem conlfdtrtdll d UPft·
z:tvels, a vlge t m (c) t dt,tfmlnada e em (d) ' lndor.tmlnede dt segun da ordem
380
m ida des, 6 uma viga detumin ada. A viga dn F ig. I I.I O(d) é u1determinada de
se!undo grau.
f'ara. determinar a deOex ão clllstica das vigru; estlll1cament~ indeterminadas,
o Jll ocedirnento de:: solução d as eq u ações d i(creociais ~ p ratica mente o mesmo
que o ditcutido onlçrio rmen tc para vigo.t de terminadas. A Unica diferença é q ue
ns co ndições de conto rno cinemftlicns Jubstituem algumns du estática Com o
aumento d o grau de indeterm_
i naçüo, co mo n os memb ros contin u as, o nUmero
de eq uaQOcs ahn uh a nens para dctern1inaçAo das consta ntes o utnentn. Em tais
p ro blemu.s. o n úmero de con u nntcs n serem ach adas n ão ~ mais limitad o a um
máximo de qua t.r o.
_Um ~xemplo .si mples de viga estaticamente indetermjnada ê apresentado a
seg u1r. A pos a soluçilo do pcoblema_ \IJando n equação difCJ;enciaJ de q uana o rdem,
dé-sc um método para aplocaçjlo dn _e quação de segunda ordem.
/_
v.
lb l
SOL UÇI\0
A Eq. l i.J 7. E l o-. - p. pode s.cr usadu n.qul. Aléru das condjçõcs de contorno de m omento e dc0c)lt'IO n uloa n M extremidadee A c C. a deOexlo em B t a.mWm 6 zero. A reação R
11
em B devo ser tratada como l.lma rorça dcJoonhecid.a. A!.sim
,..
E./ d.t:• - p- -pCJ + R• (:r- L) -•
• •
d ') p
El dxl • -Pa~ +- R,( x - L)o + CJ •
ti~,,
PoX"
E.J- , - - - - + R (x - L) ' +C x + C
dx
2
•
•
z•
tio
r 0 x' R
C "'
E:t -d.~ - - - 6 -+ -.!!
2 (x - L.)' + -'"
2 -+ C1x + C.J.
Et u
p :\:.a + _.l.
R ( x- L)l + ~
C x'
• - -L.
24
6
•
6
C ,.\:·'
+ ~ + c~.-.: + c" .
381
AI cinco constamc& Ra, C,,
duas de momento:
c,. c, o c,. tio aohadu de trb condiçO.oa do
u.,. - rJ(O) - 0
"'• • P(L) - O.
llc • u(2L.) • O,
M, • E/11'(0). O
e
M c • E/o"(lL) • O.
doncdo 0
para uma mudança concootrada de inclina.çio AO. em x-ta; c. como
p • âu.EJ(x-n).-•
[ka r/m)
para uma mudança concentrada ou súbita na dcne.xio Av. em x - a.
,.,
•
~~ cOt\diçõea de conto.-no em :x -O ror-neeem diretamcnto c. - O c C 2 - O. As r.-&
condaç:Oes rutant~ "• •
Me: - Q. dlo as Irã equaç6et sfmu.hlnou •c1uint01 :
•c: -
+ t/6L'C 1 + I..C, • l/l4p0 1..• }
+ t/6L'R0 + 4/31.. 1 C, + 1LC1 • l/Jp0 L•
+ l..R 11 + 2LC 1 - 2p(tl.. 2
du quan se ti.-a .lt• - 3f4p0 l... C 1 • 3/ 8p0 L, e C_, - -1/C8p0 t}. 0~11& forma
u- -(Pui(48Eil] [2x• - 3Lx 1 + L':c- tOI..(x - 1..)').
,.,
r
..
(11.3 1)
,
SOLUÇOES ALTERNATIVAS
•••
O problema enunciado é simétrico em rc.Jnçlo ao tu porto em /J. Dc..ua forma. • ta.nacnte
1\ curva clâttlca em B ~ horixont•l. o um problema cquivaJentc. envolvendo metade da vfaa
oriJinnl 1noatrada na Fia. l l.ll(b) pode ser anuH1ado. E.tte novo problema podo aer rc.aoJ.
vido pelo uto d& .quaçlo diforend&l de quarta ordotn oom u aeauint• quatro oondlo&oi
de contorno:
t•t
fiA- o.
M,.- E/o:..(O)- o. "•- o c "·-o.
Altornadvamonlc, doaígnando a reaçRo desconhcçjda cm ,.4. por R,.. pode·IC dar o
momenLo Octor no interJCH' do vlo
M- R,.x-p0 x 2f2,
Substituindo ou• relaçio na. Eq. li .U, lntearando-o duu ''c:t.u, o fazendo wo du ub
condiçOes de contorno cinemlltlc~ acima. ac:ham-10 as conslantes dotcOnhoddu R,.. c, c C,..
11.10
DUAS F'UNÇ0ES ADICIONAIS DE S INGULARIDADE
Em alaumas estruturas de vigas ê necessário inlroduili conex6<:s q uc permitam anovimemo. Um tipo comumence usado, n r6tuln. ntlo pode resistir a momentos netor~ mas pode traos;mitir cisalhamento. Assim. ela 6 uma conexão de
ci.s alhamcnto. Outro tipo, basicnmente di(erentc. a eonexdo do momento. pode
transmitir momento mas nao cisnlbamento. A curva elástica de tnis conexOes nBo
é continua. Em uma rótula ocorre u.na mudança local de ângulo cnt.n: as l&ngcnacs
da curva e16.JtiCL Em uma eonexlo de momento, as extremidades udjacontes dn
cntrva elástica desenvolvem lru.nslações relat ivas. As descontinuidades caracte.ri.tieas nas curvas elásticos cm tais conexões e.sUlo mostradas nn Fig. t L12. 1Jn1a
mudança abruptA de inclinação em uma rótula está l'llOStrada como 68, ~ e uma
mudançn abrupto na dcnexlo em uma concxt\o de momento como C.rt, .
Para a anátiJe de vigas com conexões iauais ds adma. é conveniente introduzir
duas novus runçOes de singularidade, cxpnmindo um carrc-gamcrno fic:cicio que
atua na vip. como
p •
382
Cij,... .U.llct
M.Et(x - cr).->
[kgf/m)
(I 1.32)
..,, .,..1111a1 ,.,, - o
Fle u re 1 1 .12
'"'
N• «~1\Qto l .... - o
Oeaoont1nuld1dn n•• CYrv•• el••tlcaa. em conexC.a
Essas runç6ea, jwltament.e com as definidu antuiormetttc, p(x- o)- • paro
uma rorça conc.onirada c M.(x - n);~ porn um momon to oon;onlr!ldO, •"Ao lnte·
aradu de acordo eom a seauinre noara:
[ (x-a):dx -
(x - o)~··
paro
n < 0:
(ll.:l4)
Como antes, a Eq. 2.16 se aplica para " ;o O.
Os expoentes negativos nu Eqs. I 1.32 c ll.Jl do tomados de rorma que,
nas sucessivas intcaraçõca de Elo''- p. se obtenl\am as quantidades corretas
para inclinação c derlexlo.
. A anilise de visas toma-se tnarcantemcnte vcrdtll quando se dispôe desse
conjunto de quatro runç&s do sinaularidade. As vigas podem ..,. determinadas
ou indetermi.nadu. Em ca da caao, u condiçôca de contorno cm ombas as extremidades devem ser usadas na soluçlo dos problemas. Se cxiltcm conexões, entlo
uma condiçlo adicional M -O aparece e111 cada rótula c V- O em cada conexão
de momento. Nas viaas indeterminadas. para cada vinculo decorrente de uma
rcaçlio redundante, toma·se díapontvel uma condiçlo cinemfltica de deOc.do. A
aoluçlio du vig,.s com a ajuda das runç6es de sin&uJaridade 6 completamente gero L•
O m6todo fica, entretanto, buta.nte iocon~e.nicnte para vip.s com rcasa.Jtos.
• Pane da apr-mra,ç~o dai. aJ'\lF aeaue Jl J. 8rvnsrabet, ··sm,~o~Jarity P'unctloN in ,hc Solutlon
or kam-.Ocncctton Problcm.s'", JOtAmt~l qf BNf}huf'rlil/l Uucull-., SS. n..• 9, 27J..IO. (Malo l {~~t ,-,"~' •
nenhum u.tO poua Mt encontrado na Jheratura, euaa lbnç6ca podem ser UAdu cfcdvamenle na cons~
•I'\IÇlo das liDbas ca. iaQ!;Jfnda ct. 'lipa. &. tópico. enlreta.nco. ro• ao uoopo deJr. livro
383
Como exemplo de método geral, considere a vip
A cquaç«o peninente ê. aqui.
mostrada na Fig. 11.13.
81 ~:~ = p = P{x - a}." ' + ti u6 EI(x. - b); 4 + R0 (x-c).- •..
+ M1(x -d).- 1 + R,(x- f); ' + 1!.00 EJ(x.:.g).- ' -p0 (x-g) 0 ,
onde as cargas P, M 1 e p0 são dadllS. As cond ições de contorno sllo
u" - v(O) • O, M(O) • Elo"(O) • O,
u, - o(L.) • O,
u'(L.) p O.
c
As condições nas conexões slo
Y 0 = Y(b) • O e
M 0 =· M (g) • O.
E as duos condições de restriçlo sllo
Uc = v(c) - O
c
u, - v(f) • O.
.
A in(ormaçi!o anterior e sunciente porn n soluçlo desS<; complexo problema,
que, entretanto~ é indeterminado a penas em primeira ordem.
.r.•
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CO~IIo d• motn•nta
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" I
•
F lgu.r a 11 . 14
das <teho.O.S
Ob•erve q ue nn nplicaçiio da supeq>Osiçllo. a soluçno do Exemplo t l.4 pa ra
uma rorçn concen trada P. em um local osbitrôrio. pode ser usada pata delctmi·
nação das denexões das vigas com as mesmas condições de contorno para qualquer
carregamento. Para cargas distribuldas. P deve ser substitulda por pdx e integrada
cm toda n raixa.
Os procedimentos acima d iscutidos parn determinuç~o da denexAo elástico
de vígas retas podem ser estendidos a sistemas cstruturnis compostos de vários
membros de nexio. Por exemplo, considere a armação simples mostrada na Fig.
11.15(a~ para a quol e procurada a dencxão do pont.o c, devida à forço aplicada
P. Somente a denexllo da perno vertical DC pode ser achada. considerando-se
a viga fixn cm B. Entretamo, devido ao carreanmento a plicado, a j untn 8 se dcCietc
o gira. I Mo 6 determinado pelo estudo do com portamento do membro AB.
t
(a)
L-,
X
Fleura 11 .13
Jl. ll CONSIDI!RAÇOES SOORE DE FLEXÃO ELÁSTICA DB VIGAS
Os procedimentos de integraçlo acima discutidos para obtenç«o das ddlCJtôes
elásticas de vigas com carregamento são geralmente aplicáveis. O leitor deve
conscientizar-se. cntre1an1o , que numerosos problemas com diferentes carregn·
mcntos j6 foram re.solvidos e se encontram disponivcis.• Quase todu as soh•çôes
tabeladns são para condições de carregamento simples. Des!a rorma. na prático.
as deflexões das vigas submetidas a condições de carregam ento compl icado ou
diverso. sllo usualmente sintctizadcs a partir de qrrcgame.ntos simples.. usando--se
o principio da superposiçiio. Por exemplo, o problema da Fig. 11.14 pode ser sepnrado em três casos di(eremes, conrorrne é mostrado. A • o ma algébrica 9as t~s
deflexões separadas, provocadBS pelos carregamelltos separados para o mesmo
ponto, dá a deflexlo total
C>.c:omposfçJo de um problorn.a cc~o\eixo e'" v6t101 problemas llmP'fl no dlc:vto
r·
to>
L
B
la
JI·I ,.
),, .p., '
I'
Flgwe 11.15
C< I
'· -
'··
o
M6todo de a:Uih te ôas deffeAOft de armaçóes
Um diagrama de corp<> livre para o membro AB esc.1 mostrado na Fig. J 1.15(b).
Esse mcm bro resiste d fotça a Kinl P e a um momento M 1 = P<r. Usualmente o
efeito da for.;a a :Ual P sobre as deflexões decorrentes dn flexão pode ser desprezado.• O a longamento RX..ial de um membro é: usualmente bastante pequeno
ern comp3roç«o com os deflexões de nexio. Dessa forma. o problema pode ser
reduzido a o utro de determinaç!o da denexlo e rotaçilo de 8 provocados por
um momeoto M , na extremidade. Isso foi leito no Exemplo 11.2; o ângulo e. pode
ser observado na F ig. l l.l5(c). Multiplicando esse ângulo 08 pelo comprimento
n do membro vertical, é encon trada a deflexão do ponto C devida à rotação da
• veja qualquer m1aual de Ec&enhaflll ci'n1 ou mcdnica
384
385
junta 8. A dcflex.llo da vlgo. em balanço elo mem bro BC, quando tcatada so:dn ba.
e aumentada pela quantidade fJg0. A deflexão ven ical de C 6 igual à dcOcxilo
·
vertical do ponto B.
Na intorpreta.çAo da rorma das ostTUturas deformadas, tal como mo•tra a
Fia. II.IS(c), deYC-_ae manter claramente cm m en te que as dcforma.çol!ea slo srandomcntc exageradas. Na teoria das pequenas deformaç6a aqui discutida. 01 co-senoà
de todos os ângulos pequenos como 00 &!o considerados iguais à unidade. tanto
as denexôe$ quan to as rotações da cur-va eJáslica slo peq uenas.
·
Em l ugar de se usar as fuo çõe$ de singularidade, 6 o~ionahnentc desejável
analísar vigas com balanços da maneira descrita anteriormente. Paro. e$53. finalidade, por exemplo, a parte de uma viga entre os suponca, como AD na. Fig. 11.16(a~
é isolada.• sendo encontrada a rotaçlo da tangente em 8. O resto do problema
é anl.\lbao ao caso d.iJCutido anteriormente.
11. 12 DEFLEXÃO ELÁSTICA DE VIGAS COM FLEXÃO OBLIQUA
Na discussão anterior, a deOexllo das vigas foi considerada como ocorrendo
cm um plano. Ma is p recisamente. a teoria anter ior aplica·sc a dcfloxOes de vigas
qunndo os momento» aplicados atua.m cm torno dos oix"os prinoipaia da aoçio
transversa), e quando a deflexão ocorre cm um plano normal a tal eixo. A menos
que c.sse seja o caso, outro momento 10 desenvolve, te ndendo a nctir a viga em
relaçlo a outro eixo principal {veja a Seç. 6.5). Se a Oc.x.lo assimétrica ocorre. o
problema de deDexilo elástica pode ser resolvido pela superposição. A curva elástica
no plo.no que contém um dos eixos principais é determinada pela consideração
apcnns do efei to d as compo nentCs d as forças q ue at uam paralelamente a esse eixo.
A curva clâstica no plano que cont~m o outro eixo principal é achada de m aneira
anolloga. Uma adiçAo vctorial das dc0ox6es aehadas cm um ponto panicular de
uma viga dá o deslocamento da viga nllq uele pomo. Por exemplo, se uma viga,
reita de scção
e s ub metida à ncxilo assimétrica. c a deflexão em um ponto particular é v 1 na dircçlo y, c w1 na direçüo;:, Fig. 11.17, a deflexão total é •• ++ ,.,, ;
isto é, a distância AA'. Tais dcflexOes, sem torção, ocorrem apenas se os forças
aplicodos passarem pelo cent ro de cisalharnento (vejo a Scç. 7. 7).
z.
I 1.13 DEFLEXÃO l N ELÁSTICA DE VJCAS
Todas as soluçllea pr.,ede.ntes para dcflexões de vip.s se aplicam apenas se
o material se compona elasticamente. Easa limitaçlo resulta da introduçlo da
•o efeito do btt!anço sobre o segmento de <np AJJ de"VC ser ittclu(do pela lntroduçl.o de um momeoto
Oc10r de valor - PCJ no a:uporlo 8
386
lei d e H oolce na relação de d e(orm.çlo-enrvatura. Eq. 11.5, para rorncccr a equação
ele on om onto-.c u;vat u ra, Eq. IJ .6. Oa procedimentos subaeqOentea de apro xim ação
da curvat ur a d v/dx' e 01 CIQUClU do ln tear açlo nl o t&n nada a ver com u
p ropriedades dos materiala.
So a ate.nçAo é limitada a vigu ootatlcamentc inclctcrminadu, os momentos
flctorea ao lonao do um membro podem ocr d eterminados fndopendcntemento dou
proprícdadca do m aterial da viga. Entlo, ao para uma dada scçlo transversal. se
d ispõe da rclaçlo entre mom.e n to n ctor c curva tura. pode ser estabelecido o diagrama elo cur vatura ou runç4o para a vfaa dada. Após duas intearaçOes auceuivas
da rclaçlo de curvat u ra, com aa ~u1taacna das condiçOoo do contorno, pode 1cr
acha da, a d eflcxlo inelutlca de u ma dada. VÍJIL !aso será lluotrado nos doia oxemplot quo 10 aoauem.
A IUperpooiçlo nlo te aplica n oo problemu inclástlcoa, porque as defle>Oes
não slo relacionadas linearmente lis rorçu aplicadas. Como cooseqíléncia disso,
nas vigu indetcrminadu, slo rreqlientemente necessárias, no cálculo das deflcxOes,
m orosas soluções po r tentalívas e erros. Os mo mentos Octores dependem das
coações, c as últimas d ependem ela resposta linear d a viga às d efo rmações. Isso
não será prosseg uid o neste Uvro. Uma aproximação para a análise da resistencia
plástica das vigas estaticamente indeterminadas ierá dada, entretanto, neste capitulo.
EXEMPLO 11.7
Octormi nar c trac;at a rclaçlo momento-curvatura para a vip rcc.anaular pllttica-ideal·
mente elb tica.
SOLUÇli.O
Ern uma vi&& retangular eltltic:....p!btica em y 1,_ veja a Fig. 6.17. onde ocorre a junçlo
d.as t.Onu elblic.& c plblica. a deformaçlo linear é a. - ± •- . Desta forma. do acordo
cem a Eq, 11.3, com a eur•atu:a 1/ p - .-.
I
--K-=
- •P
Ya
e
387
PARTE B
Para deduçlo doo teoromu, Eq. 11 .10. d 2 v/dx~ - M/(ET). pode ser reescrito
nas segllintes fonnu alternativas:
MÉTO DO DE Á R EA DE MOMENTO*
11.14 INTRODUÇÃO AO MéTODO OE ÁREA Dl! MOME!NTO••
Em vi\rias aplícaçOC$ da engenharia onde as dc0exl5es das vigas devem ler
determinadas, o earregamenro é complexo, e u áreas du seçõcs trunaversais da
viga variam. Essa 6 a aituaçlo usual em eixo. de miquinas. onde as variaçllea
araduaJ1 ou por etapal no dll cnotro do ol• o 110 reha• para acomodar totorea.
mancais, golas, retcntores, etc. Do mesma rormo.. vigas cOnicas s!o rreqOcnten'lcnte
emprea.adas cm aviOes e em construções de pontes. Interpretando graOcamente
as operações matemitlcas de soluçlo da equaçlo c!ifcrenclal governante, foi dcacnvolvido um procedimento cfctívo para obtcnçlo da.s d cOexõcs nu aituaçõcs complicadas, Usando esse procedimento alternativo, açha.sc que os problemu coni
descontinuidades do carga e variações arbhr6.rfas na in~rcia da aeçlo transveraal
de uma viga n!o causa complicações e exigem openas um pouco mail de trabalho
aritmético para suas soluções. A solução de tais problemas é o objetivo desta parto
do capítulo sobre método de área de momento.
O método a ser desenvolvido usualmente é emprepdo para obter apenas o
deslocamento c a rotaçlo num unico ponto de uma viga. Ele podo ser usado para
dctermino.r n equaçlo dR curva clistica. mos nenhuma vantagem 6 adquirido cm
comparaçlo com a aoluçlo direta da equa.çlo diferencial. Freqüentcmente. entre>
tanto, 6 a dcOcxlo ou a rotaç!o angular da curva elást;ca cm um ponto particular
de uma v!aa ou ambos que slo de maior interesse na soluçllo de problemas
partieularoa.
O método do 6reaa do momento 6 um m6todo alternativo para ooluç!o do
problema da dcnexlo. Ele ponui as mesmns aproximaçõeo e limitações discutidas
anteriormente em eonexlo com a solução da cquaçlo diferencial da curva elútica.
Aplicando-o, determina-se apenas a de0cx4o devida 6 Oexlo da viga; a deOexlo
devida A força cortante é desprtnada. A nplicnçiio do método ficará aqui limitada
às vigas estaticamente determinadas. As situações estaticamente indeterminadas
serão consideradas no pr6xhno capitulo:
11. 15 DEDUÇÃO DOS TEOREMAS OE ÁREA DE MOMENTO
Os teoremas necessários se baseiam na aeomctda da curva eiAstica e no dia-.
grama a.ssociado Mf(E/). As condições de con torno nfto entram M dedução dos
teoremas porque estes se baseiam apenas no intcrprctaç!o das integrltis definidas.
Como será mostrado poSteriormente, são ncccssárias con•ideraçõcs geométricas
ulteriores para o soluç!o completa do problema.
• Em um curso br4v~ podc·.IC omhlt o restante dulo capitulo
..0 dcte..nvolvimc:nlo do mt1odo do 6rce elo momcnlo pana. deter-minação du dcno>:6cs du v1au
• deve a Charh::t. E. Orocnc. da Unive.nido.dc de Miehlpn. que o cna.lnou a scua ahmo.., cm 187J. Um
pouco mail cedo. cm 186&. Ou.o Molu. de: ~ Alemanha. dttenvohcu um mttodo semelhante
que pan:ce n1o I« tido ôo wnhccimenlo de Greene
390
2
d (d•) d8 M ou
d o
dxi - ;& (i; - dx- Bi'
M
dO- El dx.
(11.36)
Como P?de ~ violo da Fi1- 11.20(a). a quantidade [Mf{El)]dx corresponde
a uma iRa mlírutoalmal do dlaacama M/1.1!1). De acordo c;om a Eq, 11.:16 ena
trea é IJUal i variaçlo no l na ulo entre duas tangente• acljacentos. A contribulçlo
elo uma var!açlo de &naulo em um elemonto para a d oforma;&o da ourva olb tloa
está mostradn na Fia. 11.20(b).
M
EJ
...
•
"''
l•l
l-J
l
(b)
l*leur• 11.2.0
'r>
)1
·~ --
lntorprataçl o de uma pequent mud•nea dt jngulo t m um •tememo
Se a pequena vnrlaçlo de lnaulo 'dO para "m elemento é multiplicada por
uma diattncla x do uma origem arbitriria ao mesmo elemento,. obtém-se uma
disUlneia vertical dt (veja a FII- 11.20(b)). Como apenas pcquenu deOexões llo
conlldoradaa. nl o hi nocoaaldade do dlotlnçl o entro o arco AA' o a distAncia vottlcal
dt. Baseado nessa araumontaçlo aeom6tdca, tom·.• •
M
dl - xJO- Ei xdx.
(11 .37)
A integração formal elas Eqa. 11.36 e 11.37 entre qunlsquer dois pontos, como
A c B de uma viga (veja a F'ig. 11.21). dâ 01 dois teoremiiJI de Arca de momento.
O primeiro é
r
d8- 0.- 0A - t.Ou- [•
~ dx.
(11 .38)
Isso estnbelcoo que a v&rlaçlo no ãngulo medido cm rac!ianoa entre as duas
tangentes on1 q uaisq uer dois ponto. A e 8 sobre a curva clbiiea é iaual a M/(EI),
que é a área limitada pelas ordenadas A e 8 . Dessa forma, oc a incllnaçAo da curva
elástica em um ponto, como A. é conhecida, a inclinaçlo em outro panto da
direita, como B, podo ser detennlnada:
o.- OA + t.O,_..
(1 1.39)
O primeiro teorema mostra que wna avaliação numérica da 6rea M/(EI)
limitada pelas ordenadas que passam por dois pontos quaisquer da curva elástica
391
dá a rotação angular entre u tangentes corn:spondent= Ao eJ<ecutar essa sorna.
as áreas correspondentes aos momen toe fletores positivos são tornadas como
posi tiva~ e as correspondeaites aos momentos ne&ativos s!o toma das negativu.
Se a soma das ãreas entre quaisquer dois pontos., taiJ como A e B, ~ positiva, a
tangente da d ireita gira na d ireçilo anti-horá.r ia; se negativa, a tangente ti d ireita
gim "" direçio horá.r ia (veja a Fig. 11.21(b)). Se a é.rea liquida é nula, as d uu
ta ngentes slo paralelas.
a um_a linh~ vertical q ue p~ por A . Na maioria dos casos. o desvio tangencial
não e em •• a deneJ<ão deseJada de uma viga.
. •us:'ndo a delinição de centro de gravidade de uma área. pode-se por convemcnaa r ccnunonr a Eq. J 1.-10 nas aplicações numéricas de forma simples
' •• - <1>.~.
(11.41)
~n~c <D _é ~ á~ea to:al do diagra ma M .f(EI) entre os dois pon tos considerados. e
.\: e a dlst3~cra hoo.zontal AO oentróJde dessa úrea a partir de A.
Por tneJo de ar gumcntnçfto nnRJoga,. o desvio de utn ponto 8 de uma longente
por A é
'•• • <!l.~, ,
(I 1.42)
o nde a t~esnln ârea M/ (EI) é usada.. mas .~ 1 é medida da linha vertical que passa
por B, f'tg. l 1.22 Observe cuidadosamen te a ordem das letras do "'dice de r nessas
d uas equações. O ponto cujo desvio estn sendo determinado é escrito cm primei ro
luga.r.
(<)
(o)
(•)
(bl
Flgu~ 11 .22
Figure 11..21
RoltQAO e ntro o diagrama M/(EI) • 1 curve e lh11ct
A quantidade rlt no F ig. l1.2l(b) decorre do ereito da curvatura de um elemento.
Somnndo esse ereito para todos os elementos de A a 8. é obtida a distO.ncia vertical
AP. Geometricamente essa d istancia representa. o de.alocamento ou desvio de um
ponto A de uma tangente à curva elútica em 8 . Daqui por diante ele sen\ chamado
de tlt•sulo ttmgf'nclal de um ponto A de uma tangente B e será designado por t,..tt.
Em (Orma matemática. o que foi d h.o nntcriormcntc dá O Segundo teorema de
órea de momento:
t _.
=r
dO.~ • r ~ xdx.
(1 1.40)
Isso estabelece que o desvio lonaencial de um ponto A sobre a curva elástica
de uma tangente a outro ponto B tam bém sobre a eurva elástica é igual ao
momentO cnâtico (ou primeiro) da seçAo limitud3 do diagrama M/(EI) cm relação
392
'"'
S!gnlffcl(;k) dos smsr, pa'a o desv1o tangencfeJ
Nessas duns equações, 01 dist~ncitts X o~ :i 1 são sempre tomados posu 1vas,
C como E e, I tamb~m sao qunnlldades postllvas. o sinal do desvio tangencial
d.epc~d~ do smaJ dos momentos rletores. Um valor positivo paro o tle.svio tA.ngencu\1 mdtca q ue um dndo ponto estó o.clma de uma tangente dn curvo. elástica
desenhada . a lravb do o~t_ro ponto e vice-versa. Fig. 11.22.
Os doa.s teoremas actma slo nplicâvds entre quaisquer dois pontos sobre uma
cur_va e(ásttca co·n tinua de qualquer viga, para qualquer carregamento. E.lcs se
apbcam ent_r~ e além das renç(5es nas vigas em balanço c continuas. Entretanto,
deve-se _cnfau~o1t que n.pc:nas a rol:t.çdo rehuiva das tangentes e os desvios tangenciais
são obtJdos drretamcnte. Uma consideração ulterior da geometria da curva cláS!ica
nos suport"':- para incluir as condições de contorno, é necessária em cada caso
para detera;una: as den~•ões. 1530 será Ilustrado nos exemploe que se seguem.
Na aphcaçao do met<;><~o de 6rca de momento, ! sempre necesSÁria a preparaçi~ de um esquema curdadoao dn cun·a elástica Como nenh uma dcOexlo é
POS!Ivel em um suporte com pino ou de rolete. a curva elástica ! desenhada
pnssando por taJS suportes. Em um suporte ruo não são permitidos deslocamentos
nem rotações da tangente à cu"a elá.!ltica, e a curva elástica deve ser desenhada
393
tangente à d ireção do eixo da vi,g a sem carregamento. Ao pre par ar um esquema
da cur va elástica da maneira enunciada a nteriormente, é costume exagerar-se
as denexões irnàginadas. Em tal esquema. a deOexâo de um ponto. da viga 6 uswiJmence referida como acima ou a baixo de sua posição origina), sem muita êntase'
nos sinais. Para ajuda r na aplicação do mêtodo, propriedades úteis de áreus defin idas pelas c urvas e cent róides são apresentadas na Tab. 2 do Apêndice.
·
EXEMPLO 11.9
Considere uma viga em balanço t1e afumJPio de 400 mrn de comprimento, com uma
forçe aplicada de 300 kgf, a JOO mm da utremidedc livro. como mostra a Fig. 11.23(a). Para
u m a d istAncia de I SO mm da e.xtremidadc fixa, a vig.Q tem maior oltuna do que no reit&nle
de seu comprimento, tendo / 1 - 1 9S3 12-!i mm". Pa~ os rcstuntcs 250 mm de viaa. I a ""' 390 625 mm 4 . Achnr a doflc.do c a rolaçlo angular do excremidade livre. Oesprc:zar o
peSO da viga_ C admitir f pata O aJuminio igual a 1 ()()() kgf/lllmz.
~o)
J
t
I' Is
500 k.a:f
lo
' " l.$0 mm ., .. 150 mm
1 1~ rrun
(c)
- 01,0168/E
-o,o"''~';,.•
,,e L',
~conveniente estender & lin ha« ela. Fia. ll.2J(c) até o pontof, para o cálculo da Arca
do cUaarama ~'4/(BJ). 1.-o di doi• tril.ngul~ cujas treu alo facil meoto calculadas. •
A itea do trilniulo qfc:
·
4> 1 • - 1/2(300)(0.0768)/B- -11,52/B.
A ire& do trltn&ulo f<u:
<1>, - -112(150)(0, 1,36)/1! • - 11.52/E:
e, • 69• "' •
i
t
4
AI
23,04
Bf ""' • Q) 1 + <ba • -fõõõ - - 0,003l9 rad:
•• - '•• - <J>,!f, + <D,!f,- (-11,52/.!.')(300) + (-ll,52/B)(200).
- - 0,8429 nnn.
Observe a pequenez num~rlca de ambos OJ valores acima. O sina) ncg,ativo de !J.O indica
rotação horá ria da tanscn&e em B c.-n .rçJaçio à tanaonte em A. O sinal ncaatlvo de '•" .sia·
nifica que o ponto B euA abaixo de uma taf'lgentc que passa por A.
EXEMPLO 11. 10
Achar a dcflcxlo doviela • força coneentrtda P, ·aplicada como moltra a Fia. 11.24(u),
no centro de uma viga. aJmplcamente apoiada. A d,gídez flcxurul El h constante.
SOLUÇÃO
O diagrama de momento Octor catá na Fia, 11.24(b). Como EI ó constante, o diagrama
M/{EI) nlo neccnilo. ser feito. poia as trcaa dos diagr&mu de momento net,or, divididas por
E./ dio u neceuáriu qua.nc.idadu Q&ra uao not teoremas de Arca de .moO)ento. A curva
ch\stica est• na F i;. ll.24(c). Ela • cóncava para cima ao lonao de seu comprlmellttO porque
os momontoi Octoreaalo positivoJ. Eua ourn de~·e pus ar peJoa pontoa do suporte em A o 8.
(b)
Figura 11.%3
IE c
A
m~
SOLUÇÃ O
0 diagra1na de momento flet or estâ na Fig. I L23(b). D ividindo todas a.s ordenadas
dos diagramas M por f./, obtém-se o dias;rama M/(SI) na Fig. 11.23. Duas ordenadas_apa·.
recem no ponto o. Uma. -0,0384/ E. é aplichel à esquerda de D, a outra. -0.192/~ aphca,..se
logo ã direita de D. Como o momento flctor é neiativo de A a _c. a curva etlua~ca. através
dessa distAncia ~ cônca\'0. para baixo. Fia- 11.23(d). No suporte fuo A a curva el:lSbca. Ueve
começar tangente à direção iniciaJ AB' da viga ~em carrea.amento. O segmento rct.o sem
carregamento CB da 'liga é t,a ngcnt.e à curva dàsuca em ~Após os passos preparatóriO!! anteriores. da geometn~ do esquemn ,da cu~a e iAstka,
pode-se ver que .a distância BB' representa a deJlexio deseJada da cxtrcmtdadc hvre. Entre:
tttnlo, 88' lambem ê o desvio tangencial do ponlO 8 da t~:,ngcntc cm A. Dessa rorma. O~
gundo teor~ma de tueadc momento pode ser us.ad~ para se obter ''!A' que nesse ca~ espect~
representa a dcOed.o d a extremidade livre. T a1nbem. da geometria da curva elást1Ca, se '~
que 0 ângulo inc!uido e.tltte as linhas BC e AS' ê a rot• ção a1_11ular do segmento C8. Ess.e1\.ngulo é o mesmo que o incluldo peLas tangentes à curva clàs-llca nos pontos A.e B, e o pn~.
meiro teorema de i rcl de momci'ILO pode $CI:' usado para cnlcu!ar essa quantidade.
394
:::::::::=;;tt;~2~.~:18
p
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14
8
'""':""'
I
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Ar l
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R,
IM/2 Bg ._,,.,/L
L• ""
(o)
,,,
(b)
Figura 1t .2.4
(~)
•Um pOuço de: enacnboldod.dc cm tal$ cu01 economiza trabalho mccinico. ~ perfcit.amc:nt.e correr o.
neue exemplo. us.ar duu ârcas tri.a.ngularel ~C4! e bff> e um relllncuio obq
395
SOLUÇÃO ALT ERNATI VA
PeJo esquema da cur-va elhtica cvidcneia~se q~~e a quantidade desejada ~ leJII'CkOt.ld.a
pela distAncia CC. Alfm do mai.s_ poc meio de. consit:icraç:Oes puramente pom~ tricas o12
cinemâHca1. CC' • CC'- c·c; onde a distAnda C ' C 6 medida de uma tanpmte l curva
eblstica que paosa p.Jo ponto dó tui>ortc B. Eniret•nto. eomo o desvio de Ufl\ ponto suporte
de uma ta.npnte a\. curva elúlica no outro ~ta porte podo t .r sempre ca.Jeulado pelo ~eaundo
teo rema de Area de momento, uma distância tal como CC' pode ter achnda pela pro porçlQ
da geometria da fiaurL Nesse caso. t.,.4 seauc da mult,lplicaçlo da 'rca de M/(111), ontre _.
c 8, c .Y, medido• de uma vc:rticlll que pana por A, c
l/ 2- t.._• . Por meto do Ou tra
aplicação do seaundo teorema é dcten:ninL'Ido
que 6 igual a C'C. Para este e.-lo. a Area
M/(€/) ê sombreadu na F ia. 11.24(b). e. para ela.. :t é mecUda a partir de C. Como a kttlo
da direita ~ P/~ e a distAncia CB - 2<r. a mh.ima ordenada para o tril ns.ulo ha~ Urftdo 6
+ Paj 2.
A 10 luçlo do problc:ma anterior pode xc baseada em um cono:u.o aeométrico diferente.
Jsso ~ Ilustrado na Fig.. U .2oC(e). onde uma ten ,en~ mcorva elástica ê deun had ~a. cm C. Entlo.
eomo as diJt4nciu A.C a C8 s§o isuili,
"c .... CC' • (t;.< + '•cl/2,
Isto!, a di11Anofa. CC é uma mêdlu de '.te: c t 11 e· O desvio tangencinl t.Ac ~ obtido a través
do prllneiro m omento "da área nll.o hochu rada. de M l ( EI) n3 Fig. 11.24(b) em relaçAo a A.,
c
é dado pelo pdmeiro momento dn Ateu sombrcadã. de M /(EJ) em relnção" B. Os de-talhes num~ricoJ del'!ll .soJuçl o do deh.odos para o leitor completar. êsse procedimento'
6 usualmenle 1na.i.sJongq do q ue o prlmo1ro.
Observe pa.tticularmeote q ue. se 1 c.urva. c:Jástica nfo! lllim~uiea. a 1a.naente no centro
da. Yip nlo ! horizontaL
c c· -
'c• .
'»e
"< - C'C"- c;.. c; - (r,,12) - r<• : .
I (•• 3P•) (a + 4<1)
, ... - d),.'f, - Êi 2 -.l
-
'c. -
Cl)Ji'l -
-
I (2a2 Pn)
2
3
-
E/
-
$Pa 1
t A ,.
(:ln)
-
Pt~'
-
EXEMPLO 11.11
5Pa'
+ 2ET;
P ltrO \l mA vfga prismálica c:om cRtng3ntenlo tmAiogo Rodo ucmpfo anterior, ac-har a
mbimn deRex3o causada pela força npllcado P, Fia. 1 1.25(a~
Pn'
J I PoJ
"c- T-'c•- ~ -ii:;; • "'i"iiT.
Os s.inai• po1ltfvos de 1... e 'c• indicam que 01 pon101 A e C estio ftcima da tanaentc
qu~ passa por D. ConlO pode .ser visto na Fia. ll.24(c). a deOexlo no cenuo da vlp. esLI\ na
dhc:çâo para babo.
A inclinaçlo da curva c:lútica em C pode ser .chada da indinaçlo em uma das utremidades e da Eq. 11.39. Para o ponto B ' d ireha.
o. ·. De+ áO_,.
ou
.Z;;
I: .I
R4 - lP/.ft
.;;
1
SPna Po
=f"<D, • 'iEi'- fii • iÊÍ
Po~
•VeJa a Tth. l do Apê11dicc para rt:!irar o ccn1róldc de toda a ''~ triltnJUI&r. Altcrnl tlvlmctOt
tratando a (Ir~ Mf(EI) como dois t·d ln,plos.
I (• 3P•)
I (l"T.31'•)( .·_ Tl•) + 5P•'
24 ~
r·• • n-r.--T
''lT
3 96
0
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dr
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"tR• - PI~
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D'
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flt~••lt.A 11 1L
:I
8
_! III' O
I)
tlfl,o- 8 11
D'
D
\llotbontal
Tlll procedJmento & aeralmente ·APiichel para 10 nchar a deOed o de um ponto aobrc a
curva el4ttica, Por Clltemplo. ac a cle:Oexlo do ponto E'. Fia,. 11.24{d), a uma dlatê.ncla ,. tle O
é desejada• .a soluçlo pode ser fo rm ulada por
E" E • (,/ L)r... - t. . .
A cquaçlo da curva el4stica pode ser obtida localiundo o ponto E a uma distAncia
variâvd x de um dot su.portcs..
Para simpiH'icat o traba lho aritm~ ico. deve ser eaudtado algum cuidado na sdcçlo
da tangente em um tu porte. A.uim. embora P.c • te.J'l.- te" {nlo mosuado no diatrtJl'Nl).
es.sa soluçio en~ol vcri a o uso da parte nitl hachurada do diasrama de momento nctor para
obter tc14 • o que ~ mais tedioso.
L - ..
I.
...
radiano. anti·.hon\.rios.
~~~ -E E'' -
•
ID
( o)
De- o.- AO~e:
1
Oc •
r
+JE/.'
(b)
(d)
Figura 11 . 25
SOL UÇhO
•
O dias,ama de rno~cn_ao fl.elor e 1 curva clàstica est.ã o nas Fias. t 1.25(bJ c (cJ. respec-
U\'tm en te. A curve. dá.sbca e cõn ca .... para cim1 110 longo de seu eomprimento, e e máxima
~.exlo ocorre onde a tangente '- curva ei4.Jhe:a r horizontal. Eue ponto de tangência t
1nd1e:Jdo na fi1u.ra por D c f Joca htado pela disl9ncia bori:zontaJ deiC'Ofthecld.a d medida
do suponc da diteita B. Ent:lo. desenhando uma tangcnrc à c:~rvn e!Ucica peiÕ ·ponto s
no suporte. ve..~ que oe.~~» =o porque a linho. que pos.:sa pelos suporlcS 6 hori~ontal. Entre·
tanto, a inclinação 0 11 da curv~;~ eló.slica em O pode ser determinada """ln obtençAo de l
, • •
I
•
''""
.An
C SUII d IVISuO pc O COm p n men(O do vno. Por OUtrO (ado. llSaJ\dO O primeiro teorema de ó.rea
de momento, A00 b pede ser expre~so em termos da área ltac:hurada na Fig.' ~1.2S(b). lgua .
lando-,so 60,., a O, e resolvendo parn fi. locnllta·sc a tn.ngenle horizonlal cm D. Então de
novo por cOn!ideraQÕ«:5 geomé:uica.~ ~,-~·se q ue :i má.lima defle.dlo reprc:tentnda por.
Du
397
c! iaud ao d esvio tanpnciaJ lk 8 de um 8 tangen1e hon zontal poc- D. isto !.
3f'a'
l.._. • • t.l't • + l.EJ
t••·
(\1~& o Exemplo U.JO);
o _,.,.,_!,u -~·
•
l.
8EI '
4o
..L(!...
PP)- PP'
IS! 2 4
ó.Ou •
....._ caso. o diagrama M/(1!./) é limttrico cm relaçio a uma tinha vertical q uo passa
pelo oe:nuo. Da• rorma. a cwva elUtlca doft tc:t" sl.ml:trlca. e a l&tl&en•.e a eaa curva, no
cenuo de • l p. 6 horizontal Da na.>"" .e... q ue l>Boc é i aurJ L 8 0 , o a t otaçlo da utreml·
dodc B 6 ~ual i metade da l!oa• elo dla.,.._ MI(El}. A di•tAnci& CC 6 a dofiedo des~ad.;
e pela. aeometria da nau:ra. ~ q ... ele ' lauaJ •
(ou t.,c 1 nlo mostrada).
L L')
I ( l
p
4> - E/ TTT
(área enrre DoS).
8~1
Pd 1
SPa•
ffi • SEI
e
n J1
ti- fin.
4
3
!lEI
Sp 1..•
c:
(!. !!!.)
1
SL
Oc- .,_- t.c • c»!f- ~ ~ - .:L.2.::._,
24E/ 16
384E_I
O va!Of' da defie:do concorda com a Eq. 11.26. que ~xprimo a me.a.ma q uantidade de-duzide pelo m.. odo ele i"'-a~o. Como o poniO B ootA &Cima de tan...,to que pU$10 por
o s inal CS. "c • ptStivo.
.,_ ... - llo • DO" • '•o = <I> .,x.,:
_ _!_
2d _ s./SPo' _ ll,lf'o' .
EJ
L'
-~ ·
p L'
SlJ-Mac •tO• +~ ·
Como O• • 00 + ó010 o ooodo requerido que 0 0 ., O.
AOeo • 9 1 •
'«
p
12EI
Apóa ser achada a dlatAnc:J.a ti, a m6...tma denexao podo aer tambft'n obc:id&,j4 que " - • .
• '~• o• ou u_,.. • (d/l..)t_..-1 011 (nlo mostrado). Observe tambêm que se pode cal&bctec:er
uma equaç.lo para ,S u11ndo a condiç.io '"'o - t 1110 [Fia. 11.25(d)].
De~ .ficar evidenc.c don11 toluçio 9-uc é mail f6c.il c.aJcular 11 dcOcxlo no cencro de vfp,
como fo1 alu, trado no problema do .Exemplo 11.10. do !=IUO dct.e rrninar a denodo mh.ima.
Al6m disso, examinando 0 1 rcsulLados finajs. va...ao quo numericamente u duas dcnoxôe•
diferem pouco: 11,..... • llPCli 1/C1 lE.n contra
11,2Pa 1/(l2~1). Por eua rado. em
muitos problema• pr61icos do via•• timpJosrncnto ·apoladu, onde toclu u forçaJ 11plicadaa
atuam na me1ma diroçl o. 6 rreqae.ntemcnte suriclenus calcular a deJlcxio no centro cm Jup.r
de se tentar- obter o m6dmo verdadeiro.
u...;,.-
EXEMPLO 11.12
Em uma vip simplesmente apOiada, achar a nulxima deOex.io e rotação da curva ehhtica
nu c·xtre:midadcs_ provoc• du pela taplicaçlo de uma carga uniformemente diatribulda
Po kgf/m. Fis- I t .26(a). A rialdcz à Ocx.lo E/ ! conscantc.
EXI!MPLO I t.l l
Achar a d.cflexlo da eKtremict.• livre A. da vi.a;a mostrada na Fia. 11.27(n) provocada
pclu forçu a plicadu; E.1 t conna.nte.
SOLUÇÃO
O dlaatama do momento r\etot para. u rorçu apUcadu eati na. f"la. 1 t .27(b). O mo-.
monto nator tn\lclD de si.n.al em ofl do •upotte d a elq\lerd&. NMIO ponto ocorro uma innexao
na curva eUaliça, CorrMpond•l&• .o mom anto p01hivo. a curva 6 o6ncava para cima.. e
\lice.. venL A curva elástica é aWm traçada. c pusa pd01 supOrtes em B c C. Fig. 11.27(c).
Pará inicio, a jnclinaç:io .d a t.a.n&en ta i curn d àlüea no suport.e B ~ determinada por meio
de ' c• . tomado como momento c&tiúoo du iceu. com os sinail a propriado.. do djagra ma
M I( E/~ ontn: u verticail q .., pusam par C o B crn relaçio a C.
~~.
- C» ,%, + ~3.%-:3 + 4',.fJ
_
SOLUÇÃO
O diagrama de momento Octor está nn Fis. I J.26(b). Como roi cstabclcçido no l!xcmt>lo
2.6, a curva de momento 6 uma p.a.râbola de soaundo arau, ço111 \'a lor máximo no v6rticc
de p 0 L 1 / 8. A c urva elAilie& que passa peJos pon tM do 1uporto A. e B e~tá. mostrada na
Fig. 1 1.26(c).
~~[~ (+Pol ~ + ~ ; ( + f'al (a +T ~) + ~ ; <
-PoJe;+! ;)]
Pa'
- +-6 EI- ·
O &lnal pcsilivo de ta iodico. que o ponto C está acima da t anaentç q ue passa por 8 .
AssifT\ /az,.to um pquem.a corriaiôo da curva elá.nica. F i.a. l l.27(d). onde se vê que a dcflexio
procurada ., dada
dist.I-Dci.a A.Ã' o é Ja uaJ a A A.' - A:' A'". Al~m diuo, como o. triâng-ul01
A' A ''B e CCB alo acmdhant.ea. a di.tanda A' A""' - t.C'J2. Por outro lado, a dblãncia AA..
~ o dei'Yio do ponto A da tanaen~ ' Unha clútica DO suporte 8. Doua forma
Peta
f p,. \J(/m
uA • AA.' - AA"'-A,A"'- r,..-{rc,/2)
(O)
lb)
1At-
(c)
398
F l9 uro 11.21
1
I["
2a]• - l'a'
ii(4>.l'J- EI l (-Po)J
3EI '
•veúl a Tab. 2 de Apfadioe pua obttr a fôtm ula _9ue di umo tru. fnçlulda pDf' Üm. p1ràhola,
auim como un.a cxpccnlo para i
399
onde o sinal ne,ga&ivo si.gnifica que o ponto A t.stâ abaixo da ta.n,enfe que paua. poc 8. 1!s.se
sinal não ~ usado d.aqui pcx diante porque. a FOmet:ria. da corva elástica indica a d ireçio
dos deslocamentos erêcívOL Attim, a deOc:xlo do pOni,O A abaixo da linha QUG possa pelo..
suponc:!l. 6
.EUe exempio iJustra a IJIICCU!idade de s e observar os sinais d.u ~ua ntidades calcuJad~s
nas aplic a~cs do m Ctodo de área de momento.. embora geralmente menos diriculdadc seja
encontrada do que no ex.emplo anterior. Com efeito. se a dcOexlo da extremidade A ~ esta·
bdeclda pc!a d~totminaçlo, pri(ne:iro, d rt rotaçllo d a cu.rva eli.stiea em C. nenhuma ambi·
g!lidnde ocor rc na direçilo d at tans<uHes. .E.ue d qur:mo de: on 4Jise está moslrodo n11 Fig.
ll."27(e). onde u,.. • l / 2t•r - s,..c.
)/'
p
A
c
m117.8
•
1).1~
,.
•
JP
(1)
(b)
L
Os exemplos anteriores ilustram a maneira pclu q u;tl o m=todo de área de
momento pode ser U5ado para se obrc:r a dencdo de qualquer viga estaticamente
determinada. Os procedimen tos anteriores são aplicflveis independentemente da
complcxidnde d os diagrama& M/(F.I~ No prática, qualq uer diagrama M / (EI} pode
set" a pro xima do por vários rctàngulos e t riâng ulos. Tamb~m é po ssível introduzir
mudanças concentradas em il ngulos. nas u rliculações, para levar em eon1a as
descontinuidades nas dlreções das tangen tes em tais ponto s. M 111agnitudes das
conccntraçOes podem ser a chadas dos req uisitos cinemáticos.•
Para condjções cornpücadas de carregB..tnento, as d eflexôes d as vigu elásticas
det:rminadas pelo método de 6rea de mo mento são rreqfientemente mais elegante-mente achadas peJa superposiçlo. Dessa maneit1~ a.s áreas dos diversos diagramas
M /( EI) podem se tomar formas a eomi:trrcll3 simples. No próximo capitulo será
usado a superpc»ição na sol ução de problemas estaticamente indeterminados.
O tn~todo do.scdlo pode ser u11ado de muneirn bastante eretjva na determi·
nação d a denexlo i neJAstica d e vigas. contanto q ue os d iagramAS M f( El) sejam
substit uídos por d1agra.mas npropriados de cur vatura.
---;,,
~
PROBf. EMAS
ll.l. Uma barra rel liltlgular. plana lon.
(c)
&a. de liga d~ a.luminio. rem 12 mm <Se
espeuura c 7S m m de Jaraura. (a~ Deter·
min ar o menor di.l metro de cilindro ao
redCt d o q ual essa h t'ltra poderio ser enro.
fada Jcm ultrapassar o limite c:l.$tico do
ms tedal Seja <1 - 17 ks;f/mm 2 • e E• 7 000 ltgl]mm~(b) Que mOO'n~nto Octor
leria de.seovolvido me barra,. para a con·
diçlo acima?
(d)
I 1.2 Admitir que u nu1 barra. rcton ·
aular reta.. a pós severo trabalho a rrio.
tenha uma distribu jçlo de ten.$00 residual
tal como a aehada no fuem pJo 6.7, '<~cja a
•••
(<)
, ..... ,.. 11.21'
400
Fig. 6.1 6. (aJ Se um seato da cspc:s.sura da
ba.tra C u rinada n o lOpO e no fundo, redu.
~i ndo a barra a dois terçOJ de sua espc11ura
OTI&Jnat. q uaJ sc:rlâ a curvatura p da b u-ra
u.sinuda? E.scolher o.s parfhnctros neces-sário• para J Oiuçllo deste problema em ter·
moa tcrai.s. (b) P ara as condiQ&es a d ma.
se a bnrra tem 600 mm ' , c l m de cornpri·
mculo. tJUtl scrd a dc.OexA:o da barra no
eeo1ro. da cord a até a extremidade'! Seja
n,., .. 38 kaf/rnm 1• e E - 19 x 10, kglj'mmt,
O bser\le que. para pequenas dcnexõa. a
mâxima nccha., desde UUla cordn de COn\•
pd.ncnto L. até u ma curva em um circulo
de u io R, ~. a pro ximadamente.•• L.'/(8R ).
•Para un' tratame-nto sl,tomlufco de probletnu malt w mple1.01 veja. por e.xem plo, A. C. Scor~eHs
e C M . Smilh. ..An AnaJyticaJ P roc:-tdun: roc Caladttlng Tru. Oisptaccmcnlt... r"rr:K~rdi,~ (!{ tlw Am_..
rlo.M Sorlny r{ Ct.t1 Ltgin,..~ t,.•baU~ n." 7)2., 11 (julbn; 19!i')
....,.., doc:-orre ct. manutr:nçAo do pri meiro tcrrno da u pan.JJI.o de R( I- c-os O} onde O ê: me tade
do Anplo inclu!d<l
401
(Sugntôo. A opuaçiio de "'' "aiJCm renl()\OC
at tcna6 c-a imo.rn u mlcrorce6ldu.aú).
ll.J. Cotu.idc:rar um tubo· de material
viscoclbtico lincBr que te coloca na hori·
tont a! ao lonao da diJtAI"cia L &se t ubo
estt\ va.zio durante L6 horas por dia. e
cholo durante 8 ho r~''· A retaçllo emr~: o
pc.so do tubo cheta e vatlo t ia uaJ a S. (a}
Admitindo que o 1nalerioJ aeja max.welliano.
dese.nhat urn diaarrunn que mostre. a de~
Oexio no centro como uma CUnçlo do
tempo, para dois diu tlpieos. (b) Para u
mesmas coodi~ de Ollt.rada. desenhar
ou tiO dias;rama para um material que tenha
as propriedades de um tólido padrio (veja
o Prob. 4. 17).
I 1.4. P&ra muitos maccriais. a promina de vi.scoela&tlcldftde linear nlo é sa~
ri•fat6riL Para tratar tail catO& foram pro-
postu ai.Jumu rcl&~ es. e..-nplricu para a
d.oforma.tto cm rolaçilo a..o tom.PQ. . , r•
&imo porma:nento. Uma d-. relaçOu dt
btic.a.nto ueo 6 i • ~. onde B 6. uma
constante. o o e xpoente n oxpcrlmont&l.
mente determinado e m aior do que um:
Moatrar que. usando en a relaçlo. a mt .
x:imu tonsGo em uma viga rctaii&ulu 6
o ....JO • (M c/1)(2n + 1)/(31t) e quo a. urna
diJtAnc:ia y do eixo cenuoidal t1 • (,'f/c)lf•
o
. TrRÇ&r um esquema da cliJt.ribui91o
d;"lens.lo pa.ra n - 6.
11.~ U sando a cquaçlo diferencial
u.au1, Eq. 11 .8. moitra.J" que a rcl~tçlo1 da
curva elí,stica no Exemplo 11.1 t JC +
+ (11- p)a • p', onde p ê uma constante.
Comparar a $egunda derivada dc11a soluçlo cu ta com e. aproximada. Eq. 11.9.
($u1Jr.~ll1o. Admita d1J{dx - li O e lntoarcl.
·''
11.6 a ll.J .C. Para u ...... •t&tlc&.
menlc dole.NDIJ:3adu. com o cureaame.:tto
mo.lrado n• n.p n.a. IOJ~OG- 'Um& 4u
allernadv•
I teJ Ufr,. conCOCTnl ~ pedtdo.
A. U"undo a equt.çdo difcroaolal do
scau nda ordom. obt« a equa çlo para a
curva • llnico o fucr um diapama cuida·
doso. u- . .. 1\Jnçaes de sinauJarldado.
q_uando neoaaa&rio. Pa.r. todu u vlau E l
h conalantc.
B. O lnctmo q• am A. mu
u.., a
cquaçlo dlferonclal elo quu <a o po.ra
o dellulo da vip.
C O m eamo q~M cm S. e Uuterv a
soJuç:lo oom csqu.m• que molt.Rm ar.
ficamento u ctapu d~ intqn.ç&o.
D. O m01mo que cm 11, o, alf.m dluo,
após c:omplotar duu inu:graç6e:l. calcular
u reaQ&oe dlrctame11to o verificar . . ...
preaO.ot achad11 para Y(Je:) 1 AI(.-), &nltl
de cornplttAT o problemL
Rt~p. Probs. 11.6 o 11.9: veja a T ah ll
no Apfndlcc ; Prob, ll. ll :
El• • -
300
PROEL. li··
PROB. fl ·l
•
•
+ 3 ooo( .. - o, s); • +
(Para dadO$ a dicionais para problemat
doose tipo, vq)a o Cap. 2).
PROB. 11·9
ll.J~. Uaa.ndoum proccdimentoacmJ·
gráfico. tal como o mo&trado nu F I&&.
11.7 c 11..9. achar & dc:llexão da vip no
meio do vlo, veja a liawa. Seja EJ •
PROB. 11·10
6.8 kgfm 1 • Dcopceur o eleito da força aldal
sobro a delledo. ltnp. 2, 13 mm.
,.
'
l Oltcf
PAOL ll· lS
PllOB. 11-12
402
PROB. 11-ll
PROO 11 -1"
p
~~ ·
100
li.I B a J1.2S. Pata u vla u c:arreaadu
como mostram u aavn.a. eoludonar uma
da allemativas enunciad u 1 ae.au1r.
+ 3000(x - 1)'-IOOO(x -1 ) 2 -2250.
LY~2--l-.!:1.!--1
11.17. Uaando u runÇiftea d e rinau·
laridadc. achar a equaçlo d a curva elâs·
ti.c a c ca.lcular a defloxl o da ponta. deV1da â fo rça aplicada P, voja a fiaura.
AdmJtlr E ia ual • uma oonatanco. lhsp. :
u,.,.,. • -10.87$ M 10• 1'1(•1> mm.
tUO """ ISO mm """
Prob. ll. l• :
V(x) -
PRO&. J t -16
PR.OB. 11-11
soo
(x-l)• + T(x-l.s)• +
3
+ HO..'-~ x·
PROl. 11-1
lL.l 6. Us.ando um procedimento se.Fias.
11.7 • ll.t. .di.,. a chiJu:lo d a vip no
po_nto de a.plicaçlo da·earp . veja a fJgu.ra.
Seja / 1 - 1,665 • 10' mm•. 1 2 - 1,25 )C
x lO' mm•. e E- 21 000 lcaC/ mm 2 • R tJp.:
$,148 mm.
miJ;rãlica. bll como o moeu·ado n u
= :UO mm
A. lJsando a cquAçlo dircronciaJ do
quarta ordem, ob1er a equaçlo da curve
oi.6.Jtica c fazer um culdadoto esquema
para da. Uaar u runçôot de Ji.ngulu idade
tempre que nccesdrio. Para todu as vips,
El 6' c:onstante.
8. O me-amo que em A, e traç.a r O$
diaaramu de rorça cortante e momento.
C. O mesmo que em A, m u usando a
equaçlo diCctencial de aeaunda ordem para
a denodo tia viga.
R~sp. Prob. 11 .18 : 2AE1o - -PoX 1 x
>< (!.- x); P'Db. 11.20: Elu • -(3/32)PU< 1 +
+ (I 1/96)Px' -(1/6)P(x - J../2) 1 ; Prob.
11·21: E /v • (M 1/2)(x - J../2) 1 - ( M / ·
·(4J..)).•' + (M 1/8Jx' ; Prob. l 1.24: Elu '-·
- - x' + ( l/6);<' + (:1,13)(x - 2) ' - (1/3)
403
~
,.,..1/m
III I II
I
L
II
m,..1 ~r,t/m
1
:,/1 LBT II
dnçio elástica ~
+ , ..1..-( c, oos Px + c" sen /Jx).
onde cl, C,, cl. c" !!o OODtt&Oles, c p a:
= .j k/(41;:1). (b) Mostror que pua umn
ror·ç a -s 1naular P, cm X - a, para X > o.
• = [PJl/(2k)] r - • •(cos {lx + ••• j)x).
~
l
L
vlk
I
i'))7j
(Sugt-stào. Se x - c:o, então u- O. Essa con~
djçlo elhnina duas da.s constantes dcsco·
nhc<:idu).
1
íb;.
12m lm 13m I
PROB. ll-21
PR08. 11-12
PR08. 11-21
Rótulo~
2m
t.t. I
PR.OB. 11-2.5
(x - 4)': Prob. 11.2St dcOc..o em P 6 lauol
a Pa'!(lEI).
1 t .2.6. Para • vlp. nlOitnde "'. naura,
(G.) determinar a relaçlo entre o momento
na extremidade enJI.\."'tada c o momento
npllcado M. : (b) d cte:rmfniU' a rotatyfto da
extremidade livre. El t con~tanlc. Resp.:
- 1{2: - M.l..f(4EI).
PROB. 11·26
i"
PROB. IJ.l7
•
l'ROB. 11-23
r.t
P'undaçlo clibdt;a
1 1.27. Uma oxtrom{dado de um• visa
ehbtlca b deslocada d o um11. quantldada
relatlvamcntlt ' outr• ax.trcmldado. coma
mostra a naurL Nenhuma rotaçflo du Clt'"
tremidadca 6 permitida. Ocdudr a expresslo
para a curva cltsdca.. c ttac;ar o• diagramos
de rorÇIL cortante o momento flctor. El 6
con.st·a nre.
1 1.28. Considerar uma visa longa inli:
nlte.timaJ de E/ cons·tante. tuportada poi
uma funt;laçlo que 6 capu de exercer uml.t
rorça normal a ela. proporcionaJ ao deslocamento ~ Este 6 o problema clâuico de'
u ms viga em uma rbndaçato clAslica. e usual·
mente 6 representado oomo mostra a fi:
gura. A1 molas linearct cl6Jticas na fundaçlo do capazOJ de resistir a forças de
traçlo e compres.slo. O módulo da fundaçlo ~ k kgl"/m'. A equaçlo diferencial
homogênea para cs.se: problema 6 Elr" •
- - Jm (a) Mostru q ue a soluçuo• da cquo.
4
L
dadas no Apêncficc e o método de s uper·
• - "'·'(C, cosPx + C, sen J)x) +
PROB.I I-20
PROB. 11· 19
PRO&. 11-18
li'
~
çio ~~vemantc pa.ra. UmA viga de UmA run •pa,_ m1.1J dr:-lalhe-. veja S. P. Timoshent~ Smmgtl1 of Mt~urft!ll (J.• ~ Parte Tl, ••Advanc«S
Theory und Problems.., p. 2, O. Voo Nost.rand c0.. Jnc,. Princcto~ N. J. t9S6
.
11.29. Con.sidcrnr a viga mostrada nu
F ig. 11. 16. (il) Usn.ndo a equação dada nu
Tabela J I do Apendjce e aplicando 0
superposiçllo, determinar a dcOexilo da eJl·
lremídadc C. Cb) QunJ deve t.« o valor d•
rorça P pnra que a deOextlo em C .sej a
nulo?
1J.JO. Contidc.rar a estrutura cane-
aada com a fopçu P, eomo mostrt\ a figura,
Que cara.a uniformemente d iurfbufdll p
deve ur aplicado 4 vJga hori:rontaJ AB. d;
rorma q ue o d esJoc:amenao ho rizontaJ do
ponto C volte para sua posiçlo corres·
pondeote à jnexJstWcia. de ctLrs.-?
I 1.31. Usando os resultados achados
DO E;~eemplo 1l.4, para a d eRcxAo de uma
vip d evida a uma fo rça concentrada P,
determinar a deOcxio no centro da viga,
provocada por u ma. c n.rSA uniformemente
dinríbuJda p 0 . (Tratar p 0 d."C como uma
fo rça inrlnitcsimnf concentrada, e integrar).
pos ição, calcular a deOcxão no -centro d o
vão. Seja E= 20000 kgl"/ m m'. Resp.: 14,0
mm.
PROO. li ~1 2
.
~II II~
~,
• m
''"'
3m_
J 1.33. U ma viga de a90 é suponada
e carregada da. rorm=1 mostrada na nsura.
A força P = $ t, cM A - lSOOO kgfm. Com
a fjnha horizontal AC como rererência. determinar a inclinaçfto e a deOexão vertical
na extremidade C. Para eth viga E-=
- 21000 kgfj mma e I = 4 x 10 1 mm". A
mola cm B. quando isolada, exige uma
força d e 400 k.(tf para encurtA- ta de 1 mm.
Usar qual~ ue.- mêtodo para calcular n
inclinação e dcOcdo necess:órias. Rt$p.:
- O.OJOI2 rad. - 40,18 mm.
PROD. 1 1-33
Mola
C
lm
t 1.3-4. A mbjma defrcdo de uma. viga
aímple.s., com vlo de 7 m, e suportando umà
ca(ga tolaJ uniformen1en te dittriblJida de
18 t. incluindo seu peso, to Jimitada a
12 mm•. (8.) Espccific:nr a viga I de aço
neces-sária, Seja E • 21 000 k&f( m m l. ( b)
Qultl o tamDnho da vjga d e Jiga de aiuminio
necessdria ao precnchJmento dw mesmos
requi.sitos? Sejn E -: 7 000 kgf/mm 2• e usur
a Tab. 1 J do Ap~ndice poro 8$ propriedade!~
~- seçio, (o) Oetc-rmim&r as tensões m il·
XJmB.'!I em ambos os casos. R.~:tp.: (a} 18 J 70
{b) 24 I .
•
I L3S. Uma vign de. madej ra de IS
cm x 30cm (tnm3nho nominal). unirorme·
~ente carregada, tem vão de 3m e é con4
!ilde.rada com características do deOexão
.
satidut6ria$. Selecionar uma vjga 1 de
11.32 Uma VJga 8 WF 40 é carregada
liaa de nlumlnio., uma vign 1 de aço e u
como.mosr:a a figura: Usando as equações
vig~ I de plástico poliéster, tendo as mesm'::
Es~ c. um tcqulsrto nutls sevc('Q do que o comumcnt.e usado no
·
de · ·
..
apUcaçlo. a deOcdo ê comument~- limitado a 1/360 do comprimento do ~:~cto
edifica os. Na uJt,l ma
PROB. 1 1·31
404
405
c.arat:-Ct:rl.aticu elo doJloxlo. Ao fauw u ,..
dO mandrll. a 0m do que 01 lerçoa G.Xte-rnOJ
das seç6c1 se tomem pl,sticos, f1to 6, para
que o núcleo elástico tenha 8 mm de pr~
fundidadc por 2.4 mm do laraura? Admhlr
o material inicialmente livre de ten1&1.
oom rs - l8 k.a Qmm'. Seja B - li 000
kaQmm-.: O puao do tnaulo do h6Uoo 6
110 í'C'!Ucil6 O!Uo ipeii&i o Qe•So d• borro
cm um plano noc.aita a.c con1lduada. (b)
QuaJ d.c.w ICT o d~mcuo da CJPÍI1l ·~ o
a.Uvio ciu forçu uadal na sua formac;to?
Allcrnadvamcnlc. d eterminar o dilmcuo
da ctplra a p61: o "torno ela mola eiU dea..
SLJL Uma vt.aa t lmpiN. rotanaular.
sem poso, do material olbclco-plb lloo 11·
neu, 6 C:.l.l'tq&da no meio por uma rorça
P, eomo mostra a fiprL (a) Dolcrminar
a ma&tritude da força P que caunria a
peneuaçlo do 1t0na piUtioo a 1/4 da viaa.
do cada lado. (b) Para a oondiçlo do earregam ento acima. eaq_ue:matizar o diaarama
de. moment·g...curv•tura. mosua.ndo-o cll·
ramente p.ara a ~o na pl6Jtiea. (c) Oeac:rcver
Jeol)ca du viau. dc1pcczar a d.iJc.c-cnçu,
em •••• pr6prioo peooa. Soja E • I 000
taf/mm • para a madolra o o plbdoo do
polibtcr, E • 7 000 kaf/mm' paro o .tuminto, o B - li 000 kartmm' pora o aoo.
Para M proprledad• da HÇio •
todu ••
-lau /, ant 1 Tab. 2 do Ap&ldle6. Rnp.:
110. 17 o III, r"'poetlvamoute (om pol•
a&du~
nos. tl·l l
1'«08. ll·l'f
PROLIS·U
,.
A
.,; ~
~ Jt
"""'
t .s "'
1 "'
•
.
11 .36. Umo vlp om b&ILnQO elo 2m
do cornprlmonc.o • carropda na u trecni·
dado oom umo (Ofllll vwtlcal P • .100 klt
formando um lD.a uJo • oorn • ~utlcal O
mambro 6 umo vi.. I elo oço elo 200 mm,
27,4 kaQm. Determinar o dclluao coco! do
ponta para • • ()-, J()4', 4$• • 90-. ptOV~
codo poJo forço aplicada. Seja 1!. - 20 000
taQmm•.
11.37. Uma barra quadrado elo 24 mm,
de material clbtlco-plú&Jco Unoar, • deve
aet enrolada om um mandrlL como mo.tra
o fiaura. (o) Qual o dllmotro D roqucrido
PROS. ll ... t
PitOU. 11..0
11 WF6S
11
-:0! ~
A
.,; ~
• • • •
PitOU. 11_.1
3m
('mn
raoo. ll·•)
l m
(10,9 mm)
6/ • IJ w to..t q .rmm1
' 't !:! ::li_11,4 1
lm
1.7 m I '"
PROB. ll-44
(2,69 mm)
I
•
"'
''"s.n17 10")
P~OD. 11-AI (
"li"
....
"'
1 ka~
1 kaf
.,
150mm
l,lm
I
~
(1,66 mm)
PROB. 11-SG
PROB. 11_.9
li
•
PROB. ll-4.1
406
(':J•jj)
PROB.II-46
•
J'ROB. 11-47
PROI. II..SI
Pll08. 11-Sl
•
•
lm
3m
2m
PR08. ll..sJ
407
..
•
'
P/2
lU<
PR08. 1l·~·4
como pode ser achada a dd\exlo deJSa
vi!a. Os cjlcuiOI numtricos diS dcnexõcs
não do ncccssirios.
11 .39 a 11.47. tJWidO o mttodo de
!:,:C,dcn:og::~::;~:o: c;;:e~;:o:
a indm•,.lo da curve eJisric.a nos pontos A.
d
Especificar quando a dcnulo ~ pua bma
ou para bailo. Se o tamanho do !'"cm ra
nlo for dado. ad mitir que El leJn const.antc em todo o comprimento. Oea:prc:r:ar
o peso dos membros. Quando necesdno,
•dmitir E • 21 000 k&f/mm'. QuAndo a
respos-ta ror e11 prcssa em termos de E' •
nenhuma ajustaaem deve ter feita pent. u
~.aoidades. Rtlp.: 1 dcncdo proc:urtda !
observada no canto direho lnrerior.
ll.48 a ll .50. Usando 0 m!todo de
ãrca dq momento p0:ra membros carreaados
como na naura, detcrmlnnr a poaiçlo e
magnitude. em mm, da m6.dmA denexlo
entre os supor~es. Ot1pret11r o c•c
' Ito d as
rorças uhda aobra a1 doncxOetl sempre que
esoa condlçl o ocorra. lia oulri\S condições
slo as mesmas dos PrObL 11.39 a 11.47.
Rtsp.: cnnto direito lnrcrlor de cadn ríaurn.
1UI • II.Sl Uundo o m~tõdo de
momento do irca. determinar A deOu&o
da parto cm balanço em A, cm mm, pnra
o.s vfgas cnrreaados conforme 6 Uu4tndo.
As outras condiçOe:s tio os mesmns que
._, dos Probs. ll.48 o I UO. R.-p.: canto
direito inrcrior da fiaura.
II .S4. Oetermin ar • dcOulo no meio
do vlo de uma vip simples. carreaada
como mostra a figuro, pela 10luçio dO$
dois problemas scpandO$ indie:>dos e superposiçlo d01 resullados. Usar o mttodo
de Ar~ de momento. Et t constante. Rrsp.:
;i~!~ ~:o
':':tr:m?l:: d~:~·
a-'- • aplicaçlo de ama força concentrada
ft...tl
yu:o
408
2
de 500 kg( Seja E - g4 000 ...,cm ·
R
u p.:
submetida aum
~
O.OSbl
A Yip AB é
momento na extremidade em A. e a u m
momento concentrado d esconhecido Mt.
como mostra a figura.. Usando o mttodo
.
de área de momento. dctenmnar a mag·
nitude do momento Oetor Mt, de Jorte que
a deOedo DO ponto 8 sc;a i&ual a l.CfO.
F.l ! constante. Rup.: 2 JOO kgfm.
11..57. A viga ABCD ~ inicialmente
1' d
horitontat U1na carga P ~ e.ntlo ap Jca a
em C, como mostra a figur&. Descja·Je
colocar um& ror~ vertical em B, pua tru.e r
a posiç!o da viga em B de volta a seu
nlvel original A.BCD. QuaJ a fo rça nc:ccssâria em 111 Rt&p.: 1Pf8.
•
so k&f
"i P Sela ,
1~ 0
~
A
PROB. 11-ll
N,
PROB. ll·l<l
IIPL'f{168BI).
11.55. Uma stta "'"" ê apenas fixada
em A em u ma vip de madeira de 15cm x
12
PllOB, ll·fl
PROBLEMAS E STATICAMENTE
INDE TERMINADOS
12.1
I NTRODUÇÃO
Os problemas mais sim ples da mecânica dos sólidos são os externa e c:Jtalicamente determinados. Em tais casos. as reaçõcs e a sis1ema interno de rcsuJ.
tantes de tensfto em uma seção podem ser determinados da estática, sem serem
considerados as deformações. No capit ulo anterior, os m~todos para análise de
vigna eJA.sticas estAticamente indeterminadas tornararn·se possíveis apenas intro-.
duzindo-se as equações diferenciais para a deflexão de vigas. Neste capitulo, os
procedimentos para solução de problemas estaticamente indeterminados serão
estendidos para Incluir situaç(lcs adicionais.
Na Parte A dc:Jte capitulo, serão d iscutidos os procedimentos paro análise
de "f.stemn.s estoticntnentc iudetcrmi nsdos aplicáveis ti resposta de materiais lineares
e nlo-Jineares. Mostrnr-se,t\ como as equações do oquillbrio estático poc!em ser
auplcmentndns por o utras adicionais, com base nas considerações da geometria
da deformnçfto. As equações adicionais oece.<sãri"s serão formuladas usando-se
as condiç(lcs de deslocamentos compativeis. Na análise inelástíca dos sistemas
índclerminudos tais procedimentos torna m-se bastante complexos. O mesmo 6
verdadeiro em muitos problemas vi.scoelásticos estaticamente indeterminados.
Um mêtoclo geral bu tan te efetivo para solução de problemas elâsticos altamenle Indeterminados é discutido na P orte B deste capitulo. Para chegar à solução"
dO!! problemas, um sisterrut eslaticamellte indeterminado é reduzido a outro dclerm inndo, pela remoç§o das reaçõcs redundantes. A$ reações redundantes então são
rcaplicadM e aj ustadas em SUM magnitudes, de form a q ue sejam obtidas as deformaçõe$ prescritas nos seus pontos de aplicação. Esse método de análise, de uso
amplo, baseia-se n:~ técnica de superposição, e limita-se à solução de problemas
clásLicos linea res. U ma fórmula de recorrência útil para análise de vigas elásticas
contin uas também ~ dada nessa parte do capitulo.
Na P arte C deste capitulo, trata-se do procedimeoto para determinação do
!imite ou da capacidade de resistência de •igas determinadas e indeterminadas
de material d útil
409
Nas Panes A e B, ocrA dacb. atençlo particu lar ' determinação da m oanitucSe
das reações r."dundantes. A~ conhecjdas as reaçOes redundantes, um membro
toma·se estauca.mente dotetm1nado, c suas caracterl.adcas de reslst!ncia ou riJidez
podem ser analisadas pelos métodoo; anteriormente introduzidos.
P ARTE A
ANÁLISE ÇOM A AJUDA DAS RELAÇÓES
DE DESLOÇAMENTO
MÉTODO GERAL
Em todos os problemas estaticamente indc:lerminados permanecem vdlidu
as equações do ectuiHbrio estático. Essas equações do necessé.rias mas nlo aun.•
cientes para soluçlo dos problemas indeterminados. As equações IUptemcn tares
são estabelecidas d e considerações da geometria da deformaçlo. Nos aistem01
estruturais, por necessidade rísica, cenos elementos ou pa1ies devem deMedr, torcer,
c;'(pa,ndir juntas, e tc., ou permanecerem estnciont\dos. Formulando quanlitativa·
mente tais observações. lica·sc co•n as equações adicionais necessárias. Por C·XClnplo.
u definição de um deslocamento comUm a vAriO$ membros de u ma junta podo
dor a relaçlo desejada. Tais equaçOes cinemáticas lndependem das proprledad01
mecânicas dos materiais c. assim. não se limüam à resposta elástica linear.
Os procedimentos necessários para detenninaçlo da deformaçlo linear de
barras com carreaamenlo axial, da torção angular de cixos e da denexlo do viaas,
fo ram antcrionnente desenvolvidos. Aqui os mesmos procedimentos se aplicam,
e:cc:eto pela dcsignaç«o das rorças desconhecidos que atuam em tais mem bros
por símbolos algébricos apropriados. Como antes, a pequenez das dcfonnaÇ(Ses
cm c.omparação com ns dimensões lineares do corpo ~ tacitamente admitida.
A segui!· são apresentados diversos exemplos ilustrativos do método de suplementação das equações de equillbrio com as relações de d eslocamento.
em P, o btla>o,,. .. d ois GiapU>U do eorpo liYro du Fip. 12.l(b) 0 (c). A puk da csquucb.
da. barn suporte u. . força do tnçlo 11, • 11 aloop. de " •. A parte dirdta 10 contrai do u
tc'a & aclo de. um& Jcrça de cp.m~llo 1t a. O. necaÃdade !blca. 01 valoret abtolutoc da!
d ual doflt•6cl dé- l U 01 l!leiiiiOI:
da at.Otlca,
R 1 +R2 -P;
da aeomotriG.. '
~~~ 1-1 ...1.
12.2
f!XEMPLO 12.1
Umtt barra com reuaiLO ~ ena;utada em ambu •• cxtrcrnjdades. em .supOrtei fi XO&.
Fig. I 2.1(a). A pane da caquerda da banu lcm área de acçlo transvc.tSal A l ; a 'rca di pane
da dircila. t A 3 • (a) Se: o material da barra é cJásd~ com módulo de elasticidade. ~ quais
lio a.s reaçôes R1 c R'll provocadas pcla·apliaa.ção cJc: unw força axial P no pOnto de deacontínuidade da seçio? (b) So A. 1 - 600m:n 3~ A"l- 1 200mrn:a. G -7SOmm. b- SOO mm, e
o macerial é perfeitamente pl'stiço-.lincarmen[e dhtico. como mostra & Fi;. Jl. l (d). deter·
minar o deslocamento u 1 do rcnallo cm runç4o da rorça apHcada P. Considerar E • J I OOÓ
ksf/mm' .
SOLUÇÃO
Caso (a). O ponto aobre & barra, o nde a força Pê a plicada, dellctc da mesma quantldodo,
independentemente de 50 consjderat a parte direita ou esquerda da baNa. Separando a barra.
410
(d)
I'
kat
?56oo·~--------~~--r-----~c~
67lOOI-----or,jf..:::~---lF""6•eoamento
plistloo
conlldo
Domfnio
elútico
o
1.5
•I
"""
(•)
Plgura 12.1
Aplioandi)<IO a Eq. 4.33, u • PL/lAf). a relaçlo acima d6
R ta •
AI S
Resolvendo aimu.lta.noamen.to •
R
I
-
IC 1ô.
A2B
duat oqua.çôes. lbn·.s e
p
I + AA~bA,)
•
p
R, - I + bAIII•A,)
{12.1)
Cuo (b~ Por aubotituiçlD clireta dco dados fornoados na Eq. tl.l, obtem-se
R ,.
I
p
_!_
1 + 750(1 200)/500(600)
4
Auirn. as tensões normais alo
~ 1 - R 1/ A 1 - P/2400
e
e
R
2
_'!!_.
4
~,- R1 / A,- lP/4800 {compreulo).
• Coaslder ~mdo o •lonaamento .da bera. politl\oO c a contraç!o negativa. temootc a1tcrnativamç:ntç
u1 + M1 - O. slpintando 9\ac a ddormaçlo lotai da bura de uma exlremidadc à ouÍ111 6 nula
·
411
Com<> 1~. 1 >~,. a C8l1:& oo csooameoto iminente t ochada q~ I~. I - «l ka(lmm•.
Com e$SS- cars:a. a parto direita 4a bacra atinse o csco.mento c • delOl"a)).çlo alcança a ma.g...
ni,udç &; '~~ -
o,JS. l)epa rorrn--.
p--
4 soo...M/3- 67200 kgr
c
1... 1- 1•.1- •...l>- I mm.
Essas quuntidpdcs Jocalftam o ponto A na Fig. 12. I(c).
Aumentando P •elmo de 67200 kgf. a pf! rto d irelfa da barr. contlnu& a cacoa r, tupor..
11m do uma força de comprctsAo R 1 =- a.~, • SO 400 kaf. No pon to de cseoamento lm1nonte
para toda a barra. 11 parte esq1,.1erda a pena$ alinae o escoamento. Isso ocorre 9uondo R t •
a 11..,A. - 2:$ 2.00kar. 1: a deformaç4o na parle etq uerda f'ica • • r~ • .J~ Desa. forma
1
P ... lt 1 + R 1 • 75600 kg[
c
u, • c_a: - L.S mm.
&s.as quantid1des toc:aUz.am o ponto 8 na Fia. ll.l(e). AJ&ft desse ponto- o nuxo piAs••
tico não é contido, e P - 7S 600 kg(~ a earp limite ou de ruptura da barrL
ObscNc a limpllddade no d.leulo da carp limho que, entretanto. nlo d4 tnrnrmeçlo
sobre as cara.ctcrllticu de deOed o do sistem a. Em Jt.r&~ a anlli.Je do limito p1huco 6 mais
simples do que a anAUte eJAJLica que, por sua vez, 6 mais simples do q ue o traÇtLdo da relaçlo
da carga el6sticowph\tllca e deOexlo.
EXE MPLO 12.2
U ma barra ehbtlca do irea de scçio transvcrul constante A 6cncas.tada nas utremldnd~
a suportes lmôvelt, Fia. 12.2. Usando funçOa de slnaularlda.de. dctermlnu 11 rc.açOcs not
supon~. d cvid.. • aplicaçlo da força uial P.
SOLUÇÃO
A Eq. 4.32 t • c:quaçlo dirercnclal apropriada para a toluç:lo deste problemL A OJtPfetSIO
para a rOTÇa a:inaula.r 6 dada pela Eq. 12.2.. Do enunciado do problema. as çOn<fjç6c:l do co n~.
tomo slo u(O) - u(L..) • O. Observe que a.mbas u condiç6el slo cinem6ticu. o que 6 cara<>,
tedslico dos problcmu estaticamente ln determinadot. C om base nisso
d'u - - p = - P ( x - a) -•
A E.• ,
dx~
~
A EP" • - P( x -a) 0 + C 1 ,
flx
A Eu- -P(x -a) 1 + C,x + C ,,
AEu(O) -O = C,,
A E:u(L) = O - - Pb + C,L ou
C,- Pb/ L.
1
R, • 1'10) = (A E. ")
h
e
R,- f'IL) •
,. o
• ... PbfL
(Ae'")
• -P+C,- - Pa/L.
flx ....
a.
Com A 1 • A 1 , o a + b - L, a Eq. 12.1 di 01 mcamo• r-caultados. É intercmante O~Jc-rvar
que a força P 6 aplicada a um do.do 5U.pór tc e t~~eaue o c~-minho da rigjde7,.. isto 6, lUA maio r
parcela é su port:.da por aqvele apoio.
Se a 5eçAo 1ransve:raal da b arra fosse varit\~el. o p rocedimento ac.Una nlo aeria ~lo bom
quanto o wado no exemplo e.ntcrior.
412
Flg ur8 12.3
F iwura 12...2
Ot elu>c engan ados naa u t-ren1idade1 e sujeitos a torques 1iJO eataticameme indetct·
minadot. A solução de L.à.Ís problem a ~ completamente análoga nos doil exemplos acima.
EXEM P LO 12.J
Uma barra de a ço, de 1 200 m•nl de 1\t'C!a da seção c.-nnsveraal c de 350,06 mm de com ...
prlmcnto ~ in.scrida com folga em um t ubo de cobre, como na F ig. 12.3. O habo de cobre tem
seçl o tr.n•~ersal de 1 800 rnm1 c lSO mm de comprlment.o . Se unlo. (orçn ax.lal,. P ... tO t.
6 apllcoda • travts de uma. tampe rlakJ-. q uais as tcruOa desenvolvidas nos dois materiais?
Aclrrutir que os módulos. de elasticidade d o uço e do cobre sejam E. • 2 1 000 ksf/mm 2 e
E,.,. - l2 000 k&f/m m 2, nespe:cuvomente..
SOLUÇÃO
So & fo rça aplicada p ~ sulicicntcmcntc arando para recha.r. pe-q uena rolga. será dcsen~
volvida u,ma torça P. na barra de aço. e u ma força Pno no tubo de cobre. A16m do mais, com
o c• "taamerno, a barra de aço comprlmrr.1 tudalmeotc " • . que ~ lgufll A derormaçlo u-<,.
do Lubo de cobre m3Js a folga Jnlclal. Au im,
I'• + P,. • 10 000 kgf;
da. est.itlca.
da acÓmct.d a.
"· - "-· + 0,06,
1\ptleando a E!l· 4.33. u • PL/I,AE)
P.L. - ~ + 0.06,
ou
ou
.....e.
A 8 &..,
J$0.06
p
3.10
p
1 200(21 000) •- I 800( 12 ();)!)) o
0.06.
-
P. - 1 .166P~ •
4l 19 kt l.
Rese>lven do simulta neamen te ess.aa cquaçOes, o btêm ~se
c
P. = 7 372 kgf,
e divid indo essa:l (orçu pei~i rcspcclivus t\rt as transveuuís. têm ·sc
P,. • 2 628 kj(
"•• - 2 628/1 800 = 1,46 k&f/mm'
e
•. = 7 372/1 200 • 6,14 kart mm'.
41 3
Se cada uma du tena.Oa acima tt!tnpaaute o limito de proporcion•lid&dt do acu ,.,.
terial, ou se 1 (Ofça aplicada roue tio pequena q ue a loJa~ dci~~roccsse.. a aoluçl-o adma
nlo seria aplicad.L Obtcrvc tambt m que, 4 tunc:!entementc p rcc:lao o u 10 de 1... - Lt.o.r
SOLUÇÃO ALTERNATIVA
A rorça F nocouória para lirar a folgu pode ser achado. inicialmente usando-se 1 Eq, 4.33..
Desenvolvendo CSJ& força, a barra atua eomo "n\ Oia" ~ resitfC a parte da rorça aplicada. A
força restanto P' çauu deRcxôes i.guais fi. c
no1 doia &nateriais.
u:.,
F- u-<.E. • (0.06) l lÔO:ll 000) • 4 Jl9kp
L.
350.06
I" • P- F ~ 10000 - 4 319 • 5681kaf.
Enllo.. se ' . 6 a (otça 1upor,ad.a pola ba rr& ele ac.o. al6m c:la. (orça F, •
pelo 1ubo de c:obce :
P. + P''"'- P' • S68L ;
do estâtiea,
dn aeometria,
P',.L.,.
P'"'L..
- -...- ··
A.. e.
... ~.
350,06
p·
350
P'.
I 200(21 000) • • I 800(12 000) ••
u~-"•
P'.' a 1Upol1ad.a
P'.
~ P'.
u •
EXEMPLO 12.4
Tr& barrnll do mate r:ial clàsdc:o-perreitamcnlc phlnlco são disp-o&tns aime1rlcamcnt~
cm um plano, parat formarem o sist.e mà mostrado na Fia. 12.4(a). .tnvest.i gar ..- carGt.c.rl.slicu
de deOcd.o da juola. C. A trea da seção trn.nsver&o.l A de cada barra é a m esma.
p
~
\' ( I
f
<•I
414
Eaaa. rclaçlo .c m &ntém verdadeira, i ndepende.nt.~meotc da retpoata do matctfal Essa.
.
.
ontrot,a nl,O. dcpe:ado da maanitu,. da doformaçlo.
A eotr utvf4 deformada n tá ro6itUda 1\1 Jiig. .J2.4(a) polu linhu trac<:jadas AC, AB'
c DC. O alonpmento da bana BC 6 6 1 • O alonaame.nto d.u barru tncUna.du ê â 2 . Para
d otlOCUDeiUOI oompa.tlvcis
"'· - "'· • .,. .,
(12.3)
onde 10 admite que,. por eav&a d& pegucnez. d• dcfoÍmaç:Oes: considerado. o arco CC" cOm
cenlro cm A pode ter aubstituldo paÍ uma normal a A.C.
A ~ l l.l • aplica n.u faJa.u di detoun a~o tl,uj ea • lneU.actc.. cont:a.rno que a doro,...
ll\&Çi o permaneça pequena. ~ a fai a elbt1c:.. ob.c.na.odo-te qv.o u barras inclinadas
tlm oomptlm<ll\O Lfcooo, • apUcaac!o • ~ 4.3!, obt,6m-_oe •
(12.4 )
n...ol'l"•ndo ai Eqs. 12.2 o 12.~ dm'-l.llanoamentt. r01uh&
'
Com a carp limite. ambos os matcri&is escoam. deu& forma a pequena cliacrcp6ncia
nos cornprime.ntot iniciais das peças nlo tem eonacqOéncias.
(b)
oq....,..,
F,(Lfcou )
T 1L
.
1
A~
- AB COI«, talO 6, F 3 - F 1 çoa cr,
P._ - (~:raJ.A. + (o,...)..,A., - 46 lOO k g(.
L
Um diapam.a de corpo o- da junca C eslj oa Fla. 1 2.~~ do qual, por. pcq~~e~~u
dororm. _ , • elo oqul!lbrto •
F 1 + 2r1 eou - P.
(12.2)
ou
Resolvendo simultaneamente as d uas equnç&ct apropriadas, acha·.Je quo P',. • 1,62 t
e P.,- ),061, ou P. • P. + F •7,J7L
So (~:r,..,.)• • 2.8 k&(lmmJ. e (~:r_J.,. -1 k&f/mmJ, a carga limite para ctl& eauulllra pode
ser detenninadll por: ·
o
SOLU ÇÃO
F
J -
1
p
+ 2 COIJ a:
O
•
I' J -
1
I'
1
+ 2 COI i« COI «,
(ll.S)
Vke q ue • mlxima torça • ~alo ocorrem nt barra vertical No e.KOi.merno iminente,
F, • •_.A c à 1 • (fi./ E)L. C. F, conh1cida. a máxima .força P que pode ser supOrtada
olurle&aMilte aerue clu .E9a. U .l a I :IA. &la condiçLo, com P - ~-.t(l + 2 oo•' «~
eor-
respon!lo a o pOIIlo A da Fí~ ll.-4Cc).
·
Aumentaodo a fo rça P acima do uc:oamento iminen~ D& barra vcr\(ea.l. a força F 1 ...
• _ _,. perma.na«.conlt.&.n\11. e a Bq. 12.2 tom•-• aufic:ion~ para d e \..-mlnaçlo da torça F 1 .
AJ barru inclinact.s c:omport,am~ eiMdc.a men te a~ que suas tens6ct ati.njam a•• . Isso
ocorre quando F 1 • e1..,A. No CIICC&monto lminent.,e nu barras Inclinada&, wando a~· 12.2,
P • tr,.,A(l + 2 cos ct). ·EaA condiçlo COtrclpondc i çarp Umite pa.ra o 1ilt.e ma.
No etcoemcn~o lminent;c 6. 1 - (G'•.JEXL/cos a). A1sim, pr;:la Eq. 12.3, 6. 1 • (t!.,JE)L/cos"cc.
Eno valor localiu. • a.bsci•• do pon\o B na FIJ~. 12.4(c). Além daue ponto ocorre o escoa.
m e.'ltO p!btic:o inconcro1ado.
'
•
Obter.,. de ttoVO: & Umplicidadl na dot~minaç:lo da. caraa limite quando se trabalhe.
dlrola,DMOto com um siatcrr.a et~tk:a.merue deter:minado.
·
EXEMPLO l2S
Dou vlau em bala.oço ÂD e BB de. metma ógio!a fie<unl E_l - 2,6 1' 1011 k&f/mm',
mollraclu na Fí~ I:Z..I(a), tio into;rliptlu pcx uma barn de aço esticada DC(E = 21 000
kaflmru~ A barra DC t.cm comprilll<(nto de • m, e lOÇão uaruvetul de 300 mmt. Achar a
de!lcdo da vip .tD, em D. devi<!. & ua>a !orça P- S t aplicada em E.
SOL UÇ~O
I'
Figur• 1 2 .4
(C)
a),,.
I
S<;par&nc!o a DStlll\WB..~m D, ~ ob\ldt» Of dois dingr~mu !lo corpo llvr, nu Fip. J2. .1(b)
c (c). Fro ambos os diB&JatnaS 6 roost{ada a ruC$ma força inc;ôgnit,a X. ( UI,IUl condição da
415
estática). A denc.d o do ponto D é a mesma qu&ndo ac considera a viga AD, em D, oo o topo
da barra DC. A <!dlcxlo b 1 , do pont_o D. na f i11- 12.S(bl6 pro•ocada poc X, A clcllc:lllk> à,.
do pont.o D da barra 6 iaull A dolledo •, da >iP BE, PfO"""r.da pela forças P e X. mcmoo
a distendo elAstica da bArra DC.
li\•rcs para e'(Pftndi refUo>se o u c:on t ra (re m ·se. Entretanto. nos sistemas estaticamente
indetern1inados, a expansão ou con traçlo de um corpo pode ser evi tada em certas
d:irec;:ões. Isso pode provocar tet1sões sig-nificativas e deve ser investigado.
Da est_át_ica·
X..,1
X•t••- PC- X.
Da seomet:da:
A,- t.,
ou l•nl -l•ci-A.."...
.
As defle:tOes do. vfae pC>dem ser aehadu us.aodo-to 1pena• um dO! m 6todw discutidos
no capitulo anterior. Da T ab. 11 do Apbldicc. ~m tennos: da notaç-lo deste P.oblema. tem ..ae
X a'
X x I S001
..
tcmnernrura é feita pela Eq. 4.l4. P uro um cor po de compri•ncn to L. com deformação t~r.niCR LJn trormc.. a ddortna.çn.o linen.t ó devida a uma mudança na temperaturu de 6T graus é
·
.- .u-
"" --w -
3 x 2,6 x
•o•t- -...3 3 x •o-•x
,.
•c-:-··• •
(para babo)
+ 4.33 x to -• x
~'c::....-. • ., -
.
· (para clma)
- m[2(2a)' -3(2a)'a + •']- - S,41
mm
(para babo)
x Lce
X4 DOO
6 3'
to-•x
.1. •.,,. • Ac E - 300(2 1 000) • ' ~ X
:
0
•,33 x 10- •
x: - <-'.•t - 4,33 x 10-'x) - 6.35 " to-• x,
x - +3604 kaJ
u~ - -4.33 x to· • x 3 604 - - t,S6 ~m
•
(12.6)
o nde O! t o ,coeficiente de e.:cpansâo t ~rmiea.
A' soluç!lo d 03 problemas indeterminndos que envolvam deformações pela
temperatura segue os concen os thscutidas na Seç. 12.2. Os dois exemplos que se
q uem ilustram alguns dos d etalhes dn solução.
EXEMPI. O 12.6
Um w bo de cobte, de 300 mm~ comprimento e área da seçlo '.ran.svcruJ de 1800mmJ,
e colocado cnuc duas t.a rnpas muit,o r-lgidas. rcilu de lnvar-*, Fig. l2.G(a). Quatro paufusos
de aço de 20 mm slo dispos1ps simelri<.'tlmenl.C. paralelos ao eix.o do r-ubo, e sAo li&eirnmenl.e
aperLndos. Achar a r.em1Ao no 1.ubo ac u l,empcrol uro do coojunlo ror elevada de 30 •c para
70 •c Seja F..... - 12 000 kgffmm 1 , E,.- 21 000 kg(/m m 1, a,.. - 0,000016 por "C. e a., - o,oooo 120 por •c.
c, usando a E~. 4.)3
Entiio
A d eterminação da.; deforrnnçôes lrvres J)tOvoendas por uma mudança de
· (para baixo~
Obacrvc p•rtt cv.llrm en~c q~ a deflçdo do ponto C 6 provoce.da c,anto peta rorça optf..
cada P, na c.-tremidadc da vlp cm balanço, como pela ro~ desconheelda X.·
'
~ ...
(b)
D
"9"·-1·•1
X
/)
A
X
Ll
-
11'
1- 4hnrnt
Ptaur a 12. 1
(b)
(a)
Oaura de n~,
~~mpt. 4 m 1
A - 300 nun
8
SOJ..UÇ.\0
,.e -sc
("
'
B
t;
o -J.s ..
'
1•1
12.3
•-l.Sm
f
Figur a 1Z.5
c
$1
(<)
TENS0:ES PROVOCADAS PELA .TEMPERATURA
Foi possível a bandonar as deformações provocadas pela temperat ura. nos
siscemas estaticamente determinados, · porque cm tais sicuações os mem bros slo
416
Se o t ubo de cobre e os parafusos de aço pudessem CApwldír·sc li vremente. ocorreriam
os a.l onp.mcnto' térmicos axiaís_ mostrados na Fig. 12.6(b). Entretanto. como a dc(onnaçào
axial d o lu bo deve ser a me.sma q ue a d or parafu~ o cubo d e cobre •cnl comprimido e os
.-rafusos traciooados. e as de(ormaç&s Hquidas (resulta ntes) serlo as mc.arns. Al~m do
mais, como podo ser estabelecido consideraDdo um corpo livtc ucima de alaum pJano arbitTlrio da ut n~tu,.a a.o1erior~ como X-X o& F ig. 12.6(a). a força de oompresslo P,. no tubo
de cobra c. a de t raçfto P. nos paralu1os de aço slo iguais. Assim,
da cs~tica.
da geometria,
p<~- P" - P;
A,. - 4... -=t:J
•tnvat f uma llp <.lc aço que a l.emporaturM ordinári;~J 1.cm cc AS O e. JXH" ena un.lo. é usada em
litt$ t motu de re16afo
417
Eua rclaçAo cinemática, com bate na Fia. 12.6(b) c com o auxilio das EqJ. 12.6 c .-.Jl,
Aplicando-ao a Eq. 4.33.
fica :
XL
YL
A 1 E - A:aE'
«,.6 Tl>,. - ~-o 6Th,.+ !6
A..,E,.
"
A.E.
ou. como 6T- •o -c c a '-rca d1 Açlo transvc.rsaJ de um parafuso é 314 mm 2•
0.000016(40)-1
Ro.~o l vondo
simultanoamonte u duu equaçbos.
p
aOC:.lOOO)- 0.00001:1(•0) + <l(li.~ÍI 000
.'1( -
Soludooa ndo simultaneame.oco u duu cquaç6es. 1' - I 900 k.af. DoNa forma. a tendo
no tubo de cobre ê fT,._ - t 90QIIIOO • 1,06 kar/mm2 •
A expreasllo cinem6.tica wada acima. pode taanb~m •cr estabelecida c.om baac no Jt>
guintc : ll cxpanJio dire.renc:iaJ dOI dois materiais dovlda • mudança na u:rnpcratura 6 acomodadn por ou é igua1 U dcformnç6c& ciAstJca.s que ocorrem no• dois mntcrlala.
EXEMI'LO 12.7
Um paraf'uto de aço tem Area aoecional A 1 - 600 m m 21• c 6 usado J)I.J"8 unir duu porcu
de aço. cM apossuna cotai L. tendo cada u ma a lrca A 2 - $400 mrn'. F i1- 12.7(a~ Se o paraJuso
nesse conjunto f: Inicialmente apertado de forma que s ua tcnd.o seja de 14 kaf/ mm 2 • qual
scrt a tcl'lllo fi nal desse parafuso. apól a aplicaçio do uma rorça P - 7 c ao conjunto?
l11o 6,
I + ( .C,!.C ,) •
p
i+9 - O. lP - 700ka r.
Deu ronna, o aumento na tendo do pariÚIIIO ~ .'1(/A, .. 1.17 kaf/mm'. e o lendo no
parafuJO após a apUcaç&o da força P fica U.l7 k&l'/mm,. Elte r .. ulcado marcante indica
que a maior pi:ltccla da (orça apiic:ada' lbsOtvld• pelo dcc:r&:c:imo da (orça de cOmprcaiO
inicial na porca, porque Y- 0,9P.
A aoJuçlo nlo • v•tlda M um dOI matorfal.a doi~a de comportAr••• elaatieamont8 ou 10
1 rorça apUcada 6 tal quo a proaompronlo lnfc5oJ das pcç.u do conjunto 6 d e~truída.
Situ.aç6oa que • • aproximam do problem.t idealizado antor!ormanto alo echad11 om
muiLea apHc:aç601 pr•tfcu. Um rob4te quente, utado na roontaaom de c~pu. dosonvolvo
em 1e\t fntuior. ap61 rMfria menc.o. enorm• ton•O• do tra~QCo, Par·a fu101 completa m onto
apertados. como no caboQotc de um motor do autom6vd ou cm um Oanac de um vuo de.
pre.s.siO. t&n clevadu tena&:s de traçlo inldail; o mesmo ocorre com 01 cabos de açO da
uma viaa de C:Ot\croto pretendido. é cnad almc.nt. import.a..t\tc que. ao 10 aplicar u carau
de trabalho. apcn u um pequ.no aumento ocorra nu tcntOOI do tnçlo Jnldait.
PARTEB
_,,.,
Scç&o
(o)
ANALISE P E LO MÉTODO DA
SUPERPOSIÇÃO
x- x
Figura 1 2.7
y
,, '·
( b)
(c)
SOLUÇÃO
Um corpo livre çOrrespondcntc U condiç6es iniciais do conjunto .;~ti na Fia. ll.7(b).
onde 1, é a força de traçlo inicial no parafuso c '~é a (orça de compreuio inicial nu pon;u.
Da eSli tic.&. 1, - '~ . Um corpo livre do conjunto. após a pUç,eda • rorça P. ~ m01tr~do na
Fig. 12.7(c). onde X indica o aumento na força de traçlo no parart.liO. c Y é o decrbcinlO na
rotça de compressão nu porcas devido a P. Como resultado dONas forças X c Y, teu partes
adjacente• pcrmanc<:em cm contato. o parafuso se alona,a dA mes1na quantidade que AI
porcas ac expandem elallicamcnlo. Auin1, as condiçOcs nnaiJ d.o as scauintcs:
da estática.
ou conlo
da gcornerna.
418
P + (I, - Y) _.(/r + X),
1, - I,.
X+ Y• P;
A,.., = ô,..._ .
12.4
MÉTODO D E ANÁUSE
Os sistemas estruturais de materiais elásticos lineares que experimentam
pequenas derormaçeca slo slstema.a etlruturtW: lineares. Para tais estruturns. o
m6todo da superposiçllo t apHcável, c ae dispOe de un1 procedimento efetívo para
análise de sisccmas estaticamente indeterminados.
Na análise doa sistemas estruturais é necessãrio remover temporariamente
as reac;ões redundantes, que tomam a estrutura cslaticamente determinada. Entlo,
nessa estrutura artincialmente reduxida à delerminaçlo est6tica. ~ passivei acllor
qualquer deflcxlo desejada pelos mélodoc anlcriormenlc discutidos. Por exemplo,
pela remoção da reaçio redundante• em A da viga indolerrninada mostrada oa
Fig. 12.8(a}. pode-se achar a deflexlo o, em A , Fig. 12.8(b). Reaplicando a reaçlo
redundante removida R • á mt$ma viga <lelerminada, Fig. 12.8(c~ a deflcxlo u2 ,
achada como função de R• , tambêm pode ser determin ada. Enllo, superpondo
(somando) as duu dcflexões, corno "• + v, - O aeha·se a soluçio para R• • O
• Na uj)ilc de Yipl. 01 momc:n101 ftetOf'CII n01 a:upcKtca siO ftoqOeftt&couuo tratado~ c:omo redufto.
dantes. Em lugar d11 •nexkt
aa 1U case. u r:ot:açOc:s da tana;e.nÜs Dos nporles
•
eonsldetam:•
419
efeito dessa 1uperposiçllo e que, sob a açilo das forças aplicadas e da reaçlo
redundante, o ponto A nlo se move.
O metodo da auperposiÇio é adequado para an61iso: dos sistemas com elevado
grau de tndeterminaçllo, e é bastante usado na pr6tlea. Como ne- método u
forças rcdundantc.s alo desconhecidas, use proc:edhnentb !. f.reqO:entementc denominado de m#todo da forra. • Observe especialmente qae. após determinadas
as rea.çOes redundantes, um problema se toma estaticamente determinado, c. a
análise ulte.r ioc das tens6e1 e das deformações ocorre na maneira usual.
11
~- JJ&
l ~..
_,_
A
F·lpr• 12.,1
.,
.,
IR.
(b)
l•l
...
pc.las vari1ç6u de te~mpertuur.-.
A tknic:o da aupcrpos-içlo também ~ bnstan te c:onveflicnte na an6iiJC cfot problemu
corc::ion• J• clbdco.s astallcamentc indeterminados. A maa,nitude do lOrquc redundante ~
determinada. tornando-.• tuficiente para rcstttuir a ex.uemidad:t: cortada. do membro ' sua
posiçlo verdadeira.
;J;;. r r r· ;í;.
I'';;;;;;; li'' ;i,
1.-.
a (orça aplicada cm 8, neoessátla para elimjnar o espaça.memo. A soma das duas soluç<les
~ o rc1uJtado procurado. Ao usar esse m~todo podem ser induidas as deformações co.u.sadu
11
A
ll..sttoçk do ,...,,.,. do
(c)
.,
k
:E
c
E X EM PL.O 12.8
Rdaur o 8Jtc1nplo 12..1. uundo o m~todo da auperpodçio. FiJ,. J2.9(•).
p
SOL.UÇ.Z.O
(c)
Jm ..al na~ M a barra toec::lonada no •uport• dA osquardL S.ntl.o. ncsJO membro dettta.
mjnado. n u tremldado corlad& doOcto do u1 dovJdo ' força aplicada P. Fig. l2.9(b). A rc:a~
pUcaçln da rorça 1< 1 , Pia,. J2.9(c). cnuaa uma dcncxlo w1 • Superpondo eau defle-xOe1. a ri.m
de ovitar o movimento do oxtromo esquerdo da barra. aatis(azcndo as condiçôes do problema. d6
'
I!XEMPL.O 12.9
"• +u,. •O.
Uaa.ndo·te a Eq. .....)). u • PL/{,CE), e considerando poallivu as dencxl5ea para A ditelta,
Pb -(R'n. + R 1
c
A1B
AtE
Ffgvr~~
12..1
Figura 12. 10
Traçar 01 dio.grMmas de forÇII cor-tanu: e momento netor para uma viga com carreaa·
mcnco uniforme. rixa em uma cxtreJnidodc e :~implcsmcnte suportada nn outru f"i,. 12 11(1 )
E/ b con1tanta.
•
e-
•
·
.,....,..
b)- O
0
fI I
A2 E
p
R, - I + (n A Jb A 1 )
que 6. o mumo retultado do Exemplo 12.1. A re:açto da. dJreJta. pode :ser achada peJa condiçlo
da estltica: R, + R., • P.
A an6JIK do sistema de Irã: barras do Excmpto 12.A pode ser feita da mesma maneira
que 11 eretua_da no EAemplo a nterior. Prim·eiro. o sis1ema ~ imaginado cortado em B. c a.c
determina o dc.sloca.mento u 1 com tcnslo nula no demento BC. Fi&- 12.1(1 Enlio f: achadn
• um mltodo complttamcnte paRiolo., bueado ncx d.toca.meat.os desconbecidc. c c:ha.m~~do
d. mlt"• 401MJI«•~MJ~toL Um ptOCidfmcnto capocilll com baa a . . ccmeeitp i di.Jcutido na Seç. 12.6.
Pata maia dctdhef ~ por uemplo, t-L C Martin. l"troJwaltM .., M4lrix M.dlto!b ofS_tr~o~crurd{ A.NJipú.
McOtaw· Hill &oot Com,pa.nJ, Nova Iorque. 1966
420
(c)
Ffgu,.a 12. 11
421
•
SO LUÇÃO
Ena voaa ê inde:tcrmin•da cm primeiro p au, mu pode $:r redulid&. A d.ctcrmi"-Cto
pcl& romoçlc> c1t M •. eomo na Pi~ 12.ll(b} Um momento posit!.., M • • ••"""d~ cm "-
na me.srna catrututa., cst• moslr'lldo na Fia. Jl.Jl(c). Aa rota90cs.em A, para ct dou cuoe
determinudol, pode ser achado com o au:dlio da Tab. l l do Ap~ndtcc. ~Veja tarn Wm o Bxom..
pio t t.l~ o requisito de rotaçio nula cm A, na. eslruturc on.ssnal, da a equaçlo ncceniria
para a dtlerminaçlo de M,.. •
o.,- p 1..'/{24Ef)
0
Tomando rowçbcs positivas no sentido horário, ·
24EI
3EI
c
M
•
• _ PoL'.
8
0 sinal nea.-aaivo do re:s.ultado indica quo M,. a t ua na direçlo o posta 6 considerada. Seu
sentid o co rreto está moJtrado na f'ia. 12. ll(d).
..
•
0 restante do probl ema pode aer so1uc;íonado corn o ,.ux1ho da ett6Uca. A~ rcaçOca,
os diagramas de força cortnnt~ e de n\omonto estilo nat F·iaa. l l.l(d), (e) o (0, rcapeetwamonto.
Eue problema t.amW:m pode ser analisado pelo trnlamento ele A., como redundante.
• • ~d
"""""dimento da supcrposiçlo t aplicivcl a •i•temu
C orno ,oJ
Ot~~>erva o, 0 r - .
.
Em ·
~ essencial 1
talS casos,
ed . ' d i
lineues q ue são indeterminados cm grau supeno r.
lembrança de q\le 0 deslocamento em c;ada ponto de uma c.s trutura r U%1 a
determinação estâtica ~ afctado pclu forç•s redundantes reapltcadu. Como exem-.
plo. eonaiderc a vi{IA da Fig. 12.12(a).
w
·1UJ·
,,
(d)
(• I
.;,;;;;=
>]
h
•
(<)
Figun 12.12
4-. -r..x.
c
4,. =
r..x,
(12.8)
e analogamente. no ponto c, por
-r..
-r..
4,.
x. • 4«
x,
(12.9)
onde X, e X , alo fatorei adlmonalonaia que. acndo multlpllcadoe polu r..pcctivaa
rorçu unittriu adquirem u unidadoa du ql.lantidadoo redundanteo. lJoando e11a
no~o, a Eq. 12.7 fica
(12.10)
onde as únicaa quo.ntidadeo dcoconhoc!du slo X, e X,; •• solu~os olmultãnoaa
dessas equac;llcs constituem a soluçlo do problema.
A forma can6niea das equações de auperposiçio • do método de fo rça para
um sistema com 11 redund antoo desconhecidas é:
r.x. + r..x. + ... + r..x. + ""·· - 4 ,
J..x. + r...x. + ... + f..,x. + 4,. - "'·
(12.11)
t_x. +I..X.+··· +t.x. + 4 ,, - 4,.
(<)
;;t;·
4,..
4 11 - â•r + t.._ + Ó.w ... O.
(12.7)
4, - """ + 4,. + 4« - o.
E&saa equa~oa podem 101 roe.terltu de forma mU. •ianillcatlva uaando oo
wrjlcu111~s dr flrxlbilldndrf... f .. , f.. ef,., definido• como u dollexiloa mostradaa
nas Figs. 12.12(b) e (c) devidas às forçu unitárias aplicadas na dircçlo das redundantes. Como ae considera wn sistema estrutural Unoar, a dcllexlo no ponto ti
d evida às redundantes pode a« expreua por:
(horirlo)
o•• • M .LI!lE.l) (hor6rlo~
o,. - o.. ~• o .... . =o.
p,I..' + M.._L. • O
ti.,,
nadas por
o A,,.. re•pcoUvamente. onde o primeiro lndícc denota o llOnto em
que a d onexlo ocorre, e o lell.lnclo a caul.l da denexlo. RcapücaJido R, é mesma
vlp, Fia. 12..12(eJ. podem aoc acbadu u deOexllea ·CIIll b o c, dovidu a R• em b.
EDu detluileo alo d•'-"•clu par .:... o
...,.poctlvamonto. Analoaamonto
podem ser eatabolecldu 4,. o 4 ... r ia. 12.1211), devldu a lt,. Su pcrpondo •• do·
flexões em cada suporte o la ualando a aomn a zero. coDSideraodo os pontos b e c
aeon deOcxlo. o btêm·•• duu cquaçõea :
M6todo de wperpostç60 P',. uma viga continua
• R
R
viga fica d eterminada c as
Removendo as r caçoes redundantes
• e •• a
si d .
deOexilcs cm b e c podem ser calculadas. Fig. J 2. 12(d). Essas dcflexõcs o cs•a~
Em sere i, as ddlexõos dos vâ.rioe pon tos indicados na Eq. 12. 11. como "'··
6,, ... A. nâo necessitam ser nccessar.iamcnlc nulas. Nc.ssas equações, as quantidades fr1, 4, c 4, represen tam dellexõos lineares ou angulares. dependendo do
sua associaçlo com uma !orça ou um motnento.
É importante observar que a matriz dos coeficientes de Ocxibilidadefu é sim6-.
trica. isto ~ r,L •lp· Isso decorro da lei das dcOex~ recip rocas, cuja pro va )>ode
ser vista na Seç. 13.5.
423
422
Soluc:io naodG-se !ÍIUUl taneamente essas cquaç~
EXEMP LO 12.10
Para Vl!a e.ns.•slada nu e.xlrcmjdades.. mostrade na Fia. 12. 13(aà c usa ndo o método
de: rorça. achac os momentos desenvolvidos nos e poios dcYidos A a plicaç.lo da rorça. P. Ef
é con.ttunto.
•
r
(~A ..
'I
~~R,
L
-, x.
j~ )
~· I
I \crm
~ i( ,;.11
!?e
,_ t
onde o.sal n,•is negntivu• dos rnon•cntos netores indicam q ue os direções cons ideradú$ rorum
e.SCQJhidnt incorretamcntc•
&se problema ta m~m pode: acr •oludonado pelo tralo de R• e :<• c:omo redundantes,
porque tuas remoções tempor.hias romam a estrutura dc.terminnda.. T al procedimento é
d e aplfcacl o particularmente convenie:1te se for upeeificado q ue um dos a-uportes se move
vertical mente. Em Lol caso. a dc:Ocdo provocada ,,elas rorçnJ nplicadns. C· os rcdundnntes ê
iaualudn ao movimento do su portct.
(<)
(a}
;L
~
Pob'
Pa'b
x.. - -~
e
x,.- --v·
e$. e ±let
lbl
•
A
;;)};
Cj
/ -.
(dl
P.. J'tJ
lkarM
Flgu . . 12.13
SOLUÇÃO
Et1a vJaa. Jndctc:rmfnada cm aeaundo grau, 6 rcdudd• A determJnaçl o pela rcmoçlo
dos mol'nentot extremo•. Fig. U . IJ(b). Ne:ua via• determinada, as rotaçOet du ca.nsenres
no.t suportei devidaJ A c.arp aplic.da podem ser liradas da soluçlo do Eumplo 11.4. tno dl
Pnb
+
I• 6E/I
I- Pob +
Jó.._J- 'I(d")
dx .. ~..
(o
2b)
- - (b
6EIL
2o).
M rotações dat oxlremidadct do viga.. dcvidat aos conjupdoa unft,rfos mostrados
nas Fiao. 12. 13(c) • (d~ podem ser oehndas na Tab. 11 do Apendlec.
Com M 0 - l. tcm ·t.c
L
JI.. J-I!•• I- i'ii •
L
Jf•• J- li... I- 6lil .
O sentido das rolaçOes acima cst• mostrado nft F1s- 12.13. fato deve s.cr cuidado.samentc
observado no est.abelc.clmenlo dns relações de tuperposiçl o, rot'Tnalmente a presentadas pela
I!Q. 12.{ l. J!m cada equaei.O, OS dc.siOCA.meniO.S positivOS àO medidOS DI d(rcçlo do deslocamento provocado peta correspondente quantidade redundanle. Com baa n i~ duas
equações podem ..,. obdd&$;
125
Mlh'ODO DA ÁREA OE MOMENTO PARA VIGAS
ESTATICAMENT E INOE"fE RMI NADAS*
A uplicoção do método d n áren de momento com o cécnic.:a de su perposiçlo
a vigas indeterminadas pode ser b Astante occferada, de acordo com a seaui nte
argumcntaçlo; as vigo.s vinculadas •• e contínuas dircretn du simplesmente apoiadas
prindpal mente pela presença dos momeniM redundantes nos suportes. Dessa
rorma, os diagl'ama.s de momento netor para essas vjgas podem ser considerados
com d uns po.r tcs indcpendenlo8, uma parte pnra o momento provocado por todo
o cttrrcaa mento B.pfloado etn uma viga, considerada .simplesmente Rpofada.. e a
outra p a rte para os ntomentoa redun d antes. Auim., os crciros dos momentos redundantes extremos slo auperpostos em uma viaa consideradn simp lesmente apoiada.
Fis'icamcnte, essa noç4o pode ser clareado ima~;-inand o--se um corte nos suporte.s:
da viga indeterm inad a . enquanto s.tto mantidos as reaçQcs vert icais. A continuidade
da curva elástica do. viga é p reservada pe:loa momentos redundantes.
Embora nio sejam conhecid&..J as ordenada.s critJcas dos diaaramas do ma.
mento neto r provocado peJos montentos rc:<Jundant~ sutLS formas o slo. A apli·
caçio de um momento redund:.an tc numa extremidade de uma viga simples resulta
n um dia.g rnmn Lr ütngutar de m omento, com u111 má)tirno no momento aplicado
c zero nu outra extre midnde. Da mesma rormu., quando os momen tos extremos
estão presentes em nmbas as c'<trcmidadcs de uma viga s imples, dois diagramas
de momento triangu lares se super~-m em um diagrama de formn trapezoidal
(verificar tais afim1ar.Jva.s}.
As parles conhecida e d escon hecida d o d iagram a de momento netor, juntas
d ão o diogratna comple to de momento rlcro r. Esse d iogrnma pode ser usado nn
apücaçlo dos tcorema.t de área de mome nto â curva ehUtiea-contin ua de uma
viga. As cond ições geomét ricas de um problema. ral como a continuidade da curva
elástica no suporte o u as tangentes nas e'trcm idadd engastadas que não podem
girar, pennllem IJI1\D rápida form u lação de equações para os valores incógnitos
dos momentos redun d untes nos suponcs.
" ' rtt1anle des-. p.t-m do capi1ulo pode- sc:r o:mtid.a
••As \'lgu indeta mJnatdos eom uma ou m11tt u1rtm1d&dc:s fi"as. do ch•m::tda& de ttlgas rc-~trllas
4 24
425
Para vigas de riaid~ â flexão var-iAve.J.. devem ser usados os diaaramaa de
Mf(EI).
ddu ura~.
Doua rorma. ' • "' - o
EXEMPLO ll.ll
Achar q n1hima dcnuto parn baixo. devida n uma rorçu aplic-ada P - .50 kaC. pa.ra a
pequena viga de: alumlnio mostrada na F ig. 11.J4fo). A contlante de risfdez à Ocdo do vip
ê El • 7.2 )( JO" k&f·mm 1•
1'- $0 ...,
M• (
O dlaarama linal de momento ftetor, F I• 11.14(cl). é obtido da manei.-. "'ual. ap6a conbc-
B
A
c
1{.,
UOmm
'
100 ....
UOaun
+216011:.11tnftl
"•
o
-1100
(a)
f; M • • OC + ,
SO(l50) - 11.,(2SO)- l l 00- O,
11, - 2 1,6 klf:
I:M, - 00 + ,
50(100) + 2 100- ll.,(lSO) - O, R, • 21,4 kaf,
Ytr!fJcnpdo: I:F, - OT +, 21 ,6 + 21,4 - SO • O.
A dcnexlo m' aima ococn. qua.ndo a tanaentc â curYa cl'-atiea ' horb.ontaL ponto C
da f"ja. 12.. 14(a.). Au lm. observando que a tan,ent.e em A tamb6m ' horltontal. e uaando o
teorema do primeiro momento de úea. localba-sc o ponto C. luo ocorre quando u itcu
ha d\unadu na Fia- Jl.l~d) d o IJ" al' mu da alnall opolloa, lrco I, a uma dlacAncla ln. • l(l lQOill ,4) - 147,9 mm da A. O doavlo .,. lanpn .. •~ (0<1 t, .J d' a d ollol<lo do po nto c.
P_.. - De - C_.c
- ..!..{173,9)(• 2100)[73,9 t- 2(73.9)] + (73,9)(-2100)(73,9)}
E../
2
3
2
J
• {.5.7 x 10'/el) - 0.796 mm para babo,
+M... -'!
(b)
,11.6 Jc&l
28.4J
(c)
..
-1$00
Co)
o.
Uona aolu~lo de.,a equaçto .U M • • - 2 100 kafmm.
(d)
•
:J
I [(l.lOXJ 000) (250 + 100) (2SOX + M,)
l
'
+
l
213(!30)J -
ii
.,,...,. 11.14
SOLUÇÃO
A soluçio dCSlO problema consisle em duas parles.
Primeiro.~ determinada uana reaçlo redu.ndnnto para c.slabeteccr os valores num~riCOJ
para o diagrama de momento ncror: o procedimento usual de 6ru de mon'tento ~ cntlo,
aplicado para delcrminar a dencxio.
.
o
JmaJlnando a vip aliviada do momento redundante da extremidade. pOde-se cons1ru1r
o di;agrama de momc.nco da vip aUnples acima da linha do base da Fig. 12.. 14(b). O dlaarama
de momento de forma conhecida. devido ao momenlo redunda_ntç incógnita M_. . cs16 mos-Irado no mesmo diapama. abebo da. Unha de base. Adntilc--ac que MA seja positivo, porque
dessa (onna se obtém automalicamente seu stnal correto. de aoordo com a convcnçlo du
vi~a.s. O diagrama compoa&o representa om diaaramo c~mp1cto de mom~to ne1or.
A tangente na extremidade cnga.s.t.ada permanece horttOntaJ após a apl1caçào .d a rorça P.
Animo a condiçA:o acomêtric:a é '•,. - O. Uma cquaçGo formu1ada dessa manc:1ta rornc:co
uma solução pam M_. o• As cq uaçOcs do equillbrio cstAllco ano und~ no có.Jculo das rençi)cso
SOLUÇ.llO A[.TI!RN ATIVA
Uma t oluçlo r6pfda rambbn pode tot obllda pe.lo traçado do dlaarama de momento
çOmo c:m u1n1 vl:p em balanço. lt.ao ca.ti moatrado no Fi&- 12.14(e). Observe que utna du
ordenadu oati em termos de reaçlo rodunda.n&e R • • De novo, ugndo a condiçlo acomitrica
c.,. - O. obcfm-a uma equa.ç:I.O para R• o M outru reaçõel aea uem da utAcica .
O. condJçlo c. ,. - O. IA::m-H
(1/EJ){t(l.l0)(+1.l011 1Ji(2~) + i(l~)(-7 SOO)(IOO +flUO))} • (),
Deua rorm.. R• • 2106 ka( para elmo., c:onrorme admitido.
I.M, • 00 +, M, + 21,6(250)- SO(JSO) • O,
2 100 klfn>m
O rc.sto do trabalho é igual ao da soluçlo antçrior.
M,-
p
exeMI'l.O 12.12
Achar ot momentos nos wpones de uma vfp enp.nacla em ambu u extremidades.
com uma caraa unirormemento distribu1da de p 0
por unidade do comprimento Fia. 12.1 S(a).
tar
SOLUÇ.llO
«
Os momentos nos suportes slo d1a mad01 de monwutos
""gastamtnto. e suas deter·
minaQC5cl alo d o lf&llde importAncia na tootla ottruturaJ. Devido à simetria do problema.
os momentos nos enaut a.mentos d o J.a ua.la. uaim como as reaçôes ven.icala. que do p0 .L/2
cada. O dlaarama de momento pa.ra casa vlaA. considerada simplesmente apoiada. é uma
par6bol11., Fi&. Jl. 15(b), enquanto que 01 morncn tos de engutatnento dlo o diaara ma reta ngu1ar da mesma figura.
•vcj;a " Tab.. 1 do Apbdlcc pal'l a disiAncla ce.ntro(dal do um uiAnaulo compJct.o
427
426
tltft!
.1/,dA'
lt~-
tt
símples, e a. condição t bh duas das equações são
·r
~bAI,
"
...
L
R•j
110
ou
~
0 1~1
~>u~fL2
--Pt~h 1tF
(b)
Figure 12.16
Emborn essa viga sejn indeterminada cnt segunda ordem, devido à simetria, e suficiente
utnn equaçdo simples com base na condiç.ilo aeomttriea. para determinar o~J momentos
redundantes. Pela geometrio dn curva. elá5tica. várias condições podern ser usndas, cotno,
ó.O..~,.,. = O, 1~,. - O. ou 1_., • O. Da condiçlo óO,.,.,. • O,
entfto
M,. = M, = -p0 L 2/1 2.
O diagrama de momento comp0$10 está no F ig. 12.1$(c). Em compttraçlto com o momento nctor méxüuo de uma viga simple$, oÇOrre considerável reduçAo na magnit ude doi
molllentos c r-íticos.
·
EXEMPLO 12.1 3
2
tiA
El
J
L
2
LM•) =O
+ 2
2
A
3
2
3
2MA - M_, = -(Pub/L~)t (.. + b).
Pab 2
•"'A =-~
Pu'lb
e
M,
Esses resuiUldos concordam com os :u.:hado$ no exemplo 12.10.
Traç-.t.r os diagnmas de momento fle1or c de rorçn cort ~nte para a vig.1. contin un. carregndn na form a rnost radtt na Fig. t 2. L?(a}. eJ é constante em toda a viga.
SOLUÇÃO
Essa viga é indeterminado cm segunda o rdem. T ratando ca da vão como u ma viga simples
com momentos redundantes. F'ig. l 2.17(b), obtêm-se o diug,r.una de tnomento da fig. 12.17(c).
Nlo exiuem momentos C1(trcm0$ ern A, j>Ot q uc: C$S:t c;ctremidade tem apoio s i mpl es (com
rolete). O pa.S$'0 para soluçao estã oontido em duns condições geumCtrica.s para a curva elástica
de toda a viga. Fia. ll. l7(d):
(a) 0 8 = Oj. - como a v ip ê lisicamente conlinu~ existe uma lin ha nó suporte 8, tangente
â curva elásti-ca cm cndu vão ;
( b)
'"c= O - porque o 5Upor te D nàQ lSC desvia d~ uma t.angc:nre fixa cm C.
P:ara npJicaC' a. condição ta), t,,11 e tcn silo dc.:terruinudl\.S e, dividindo-as pelos respectivos
comprimentos de vão, obt~m- sc Ou c OQ. . EssC$ :\nsulo!l !'.âo iguais. Entrelnnto, embora 'c•
sejtl eJCpressn por uma quantidade positiva. a t.ançentc que passn pelo ponto 8 est:i ncima
do ponto C. Dessa rorma. esse desvio do·o'C: ser considerado negalivo. Assim, usando a condiçflo (3), obtem-se uma equaçilo c:om mornenlO$ redundnmes.
r
AJJ
SOLUÇÃO
0
rc• = ...!c. [l6) { + 6 6671 (6 + 2) + (6)( + M•) 216) + (6X +Mel (6)]
E/ 2
3
2
3
2
J
= (1/E/)(53 3B + 12M 0 + 6Mc)
Os momentos fcle engast:amento não sAo iguais e resultam no diagrama trapezoidal.
T rês condições geométricas para a curva elástica estio disponiw:is pa_rn a .solução deste
problema indeterminado de 54egunda ordem: (n) 6.0.~, 11 =O, porque as tangentes em A e B
são paralelas ; (b) t~_. ~ ~ porque o su porte B não desvia de uma tan genle lixa cm A; (c)
an~tlogamentc. 1, 11, = O.
Quaisquer dessas condiç.~cs acJma podern ser usada.s; a simplicidade aritmêtico das
l(Jl]
= ...!c.[~(+2 700) (3) + ~{ + M I
El
3
2
2
fi
3
I [
=E/
· 8 100 + )M
- 3- ]
T ratando AB c-omo uma visa simples, temos o diagrama de momento devido a P como
é mostrado acima da linha de base da Fig. 12. 16{b).
equações te.!lul tanlcs governa a escolha. Assim, usando a condlçilo (a), q ue sempre é a mais
=--u·
EXEMPLO 12.14
Refazer o Exemplo 12.10. usnndo o mC:todo da área de momento, Fia, 12.16(a).
428
I..M•
Soluciontlndo shn u ltsne:unenle at d uas e.qu.açôes reduzidas, tem-se
+P,,hfl.
Figure 12.1&
El
=..!c_ [~ P•b (L+ b) + ~ M 2L + LM, ~]=O.
r
ou
<•I
= _!_ (~ ~
2 L +
M. + M. - -Pnb)L
AO
Como IJ 1, = lt,. ou (~_..,il.._..) • -(lcn/Lc,.)
ou
...!c_(8 100 -' JM•) - _ _!_ (53 333 + 12M 0 +
El
3
E.l
6
9M• + 3Mc = - 34 767
6Mc)
429
,2AOO k&(/m
_. l I I
~· I
...,.
-r-
tR,
, _ st
-
c
I t t I L l_B
lm
2m
R,
llc
J
6m
oodc 01 aJnait concordl.nl com a convençlo uaada arn vi.a u. l!ucs momont01, com JCUI
..,.:dos &pl'Oprladoa. •t&o moatn.c:to. na. Fia. ll.L7Cb).
Apôa achados oa m omcntoe roduadantea MA c Me • nl o &lo ncc:enUiu tknicu novu
para con.atruir os diaat'aimu de mo:naato e Corça cortante. Entrcta.ru o, deve-te ter cuidado
espo:cial no lnelusllo dos momcnt()O noa auponea anqYlllll<> 10 proççqa o c6lculo d . . rcn9oc.<
a rorçu cortantel . Uaomlmefltc, viau lao1adaa como u rnostrlil.du na Fia, 12.17(b) slo o 1
corpo• Jivrea m.ai• convonionles para. detorm[naç.lo du forçaa cortante~ AI reaçl)es decorrem
da adrçlo du força oortanlei nas vi..,. adjacentes. Para o corpo Uvrc AJJ, tcm..~e:
(•J
r.N• • 00 +, l<40C())I ,S-l 413-Sit• • O, A. • l 796 klff,
r.M. • 00 + , HOC(J) I,S + 24JJ- J V~ - 0.
4 404 ka1 f .
Pllta o corpo livro BC:
V'• •
T.Mc • 00 + , 5000)2) + 2413-4 349- 6 V~ • O,
Vj; • I 3« kaf f,
T.M• • OQ + , 5000)4) -l-413 + 4 J.l9- 6 Vc - O,
V, • Rc • 3 656 kaf t.
"• + ~"• - 7200 kaf I • V'~ + Rc - .S 000 q t T·
Do Yisto anteriormente, obl6m-ac, R• - v~ +
s 741 kaf f .
Os diaara.mas <1omplctos de momento Oeu)C' c rorça cortante estio nu Fia;s. 12. 17(c}
V'; -
o ((), respcctJv-.mente.
(d )
(()
Ffg urà 12.1 7
Usando a condiçlo (b) para o \olo BC. obt~m~se outra cquaçã(), ·~ • O. ou
1 [ (6)
(6 + 4) (6X T M J (6) (6)( + Mel 216)] 0
2(+6661)-J+
2
T +
2
-3-
El
ou
3M.+ 6Mc • -n 333.
A soluçlo simult!nca das duas equaÇÕC$ re.du7.idas: rcsull:. cm
Me. -4 349 lc&rm,
/;1 0 --2413 kaJm
e
430
12.6 EQUAÇÃO DOS TRES MOMENTOS
Generalizando o procedimento usado no C.l emplo precedente. pode-se deduzir
uma fórmula de recorrtncia. isco 6, uma equaçlo que pode oer aplicada repetidamenCe om cada dolo via. (ou duu aoo&eo) ~djaccnteo de vlgu oonUnuas. Pani
qualquer numero 11 de vilas, podo·h escrever n -1 desau equaQ&ea. Isso fornece
o número auliciente de equações aimultlneas para a soluç.lo dos momentos redundantes nos suportes. Essa fórmula de recorrc!ncia é chamada de r'lunçào dos tr;s
monumtos, porque aparecem nela trat monlentos desconhecidos..
Considere uma vigu contlnua., tal como a da Fig. 12. 18(a). submetida 11 um
carregamento transven;al qualquer. Para doÍ$ vãos adjacentes quaisquer, como
LC c CR, o diagrama de momento neror é considerado composto de duas partes.
AI; áreas Jt~ c Jt 0 à esquerda c direita do suporte central C. Fig. 12.18(b). corres·
pendem aos dia gramas de momento Oeror nos respectivos vãos, ec esses forem
considerados simplesmente apoiados. Esses diagramas de momento dependem
inteiramente da natureza das forças conhecidas ap1icndaa em cada vAo. A outra
pa.r te do diaarama de momenlo de formA coobecida dec:on;e dos momentos incógnitos M. no suporte da esquerda, Me oo •upone centra~ c Ma no da direita.
Em SCIIuída deve ser considerada a curva elástica da Fig. 12.l8(c). Essa curva
é continua para qualquer viga contin ua. Assim, os ângulos Bc c ~~'c• que, desde os
lados respectivos, definem a incJinaçio da rnc.vna tanaenle à curva elústica em
C, são iguais. Usando o teorema de"""" de onomen lo para obtcnçlo de ti.C e I ~~e,
431
esses ângulos ficam defin idos por Oc= ttciLL c 8~-- tttefLtt• o ode LL e L • S!o ·
os compchnen tos dos vãos à esquerda e à di.r eita de C. respectiv• ment<:. O sinal .
negativo d o segundo ângu!o é necessário porque a tangente à linha elâstica no
po nto C passa acimA do su porte R e um desvio poshivo de
localiza uma
tangcnlc abaixo do m e!;mO supone. Ass im. seguindo os passos descritos.
fica
(12.12)
'•c
onde I~,. e I Jt são o5 respectivos momentos d e in~ rcia dos áreas da seçllo transvcrsnl
dn vlgn nos yãos da esquerda c dn direita. 13m cada vlo, I,_ e
são considerados
constantes. O termo RL t a distAncia do suporte d a esquerda L ao centróide da
área A Le RA é uma d istA ncia anAioga para A., medida do suporte da direita, R.
Os termos M L• Me e M"' indicam os momentos desconhecidos nos suportes.
r.
lu
I
I [J I J
I
L
(a)
A Eq. 12. 12 se nplica a vigas contínuas, com s uportes não ctn escoamento,
tendo J constante cm cada vã.o. Em um pro blema purlicolar lodos os termos.,
exceto 01 momentos redu ndantes nos suporccs.. .são conslantes. lmaginando..se
L, C c R suc:c:ssi vam entc como suportes dos vãos adjacentes. como mostra a Fig.
l:Z. I8(d). o btém-se um número de equações su r.cientes para a determinação dos
momentos desconhecidos. Entr:etan to, nessu$ equações. os indicos dos vários mo~
men tos devem corresponder à design ação dos suportes. como A. B. C, etc. O bserve
também que os momentos são n ulos nas e"trcm idadc:s dru vigas com pinos. D a
mesma forma.. se uma viga contin ua rc:m um balanço. o rnomenco no primeiro
suporte ê con hecido dn esllitica. O Exem plo 12.16 discutirá o coso de suportes
fi:<os. Parn vigas simétricas corn ! ime•ria de carregamento, o trabalho~ reduzido
pela o bservação do igualdade d os m o mentos ,os suportes corrc&pondemes.
Na dedução da eq unção dos trEs momentos, os momentos nos suportes foram
considerados poSi tiVOS. Assim~ uma solução :tlgêbcica dus equações simultâneas
dá, automaticam c::mc, o sinaJ correto dos momentos. de acordo com a convençfto
para vign.s.
12.1
CASOS ESPEClAJS
Corno um e~cmp1o especifico da avaliuçAo d os termos constantes do segundo
membro dn equuçilo dos três mo mcotos, considere dojs vitos udjucentcs oom
forçns cor1ocntrPdnl' P 4 c P« (PI,g. 12 19). Con.,Jdernndo esses v(lo' sJmple.smente
apoindos, aendo o mlldtno momento no vfto da esquerda igual a + P ,abjLL e
RL = (L , + n)/3, pode-se escrever
-6(L•)
PLab (L< + a) A -P,ab(l + ~) ·
(12.13)
L,
2
L,
JL,
L,
Analogamcn te, med ind o sempre os n d o suporte c.~ tcrno até a Corça
-6A, !(L-
(b)
I,
.i,_
-6A <~t - - •
( c)
---í·==========::r·====="!·=======~--
t•J
Ftgu,.. 1 ~11
432
a') - ·
-Pxn'b' ( J + -
/L
I 11. L .
LA IA
Quando existem vt\rias forçns concenlrados no intel'ior do vão, a contri b uiçãd
de cada umn delas ia constante acima pode ter tratamento separado. Dessa form a,
um teran o constante para o s.c:gundo m embro da equoç4o dos trb momentos.
aplicável a qua lquer número de forças concentrad,. nos vãos, é
Deduç.it» da OQuKi::. dos -:rts momen.tcs
-IPLnb(J + ;:)-T.P.a'b'(l + :'-) :>
(12.15)
• A cquaQ&odos tris mome.nlas foi orla:JnaJmeale dedundl por E O apc:)'IOn, wn t-nacnbeiro fnu'lc:tl,
cm JS$7, c p« oran l. dcnomin:ub ~qMI! r.l? tf-&! Cldptrrvm
4 33
onde o sinal de soma jndica o fato de a parecer um termo separado para cada força
concentrada PL no vilo da esquerda, e ana!ogamente para cada força PR no vio
da d ireita. Em ambos os casos1 n e a' indicam a d istã.ncia do suporte externo até
a força coneentr4da, e b ou b'. a d istância. da força ao suporte centraL 5o qua1quadas rorças age para citna. o termo de contribuição de tal força tern sinal o_pcato.
kgfm. Aa l!qo. tl.U • 12.16 do uud
mo•nentos do inétci• JL e la slo ip:.paca obtenção. doa tectnos do seaundo m embro. Os
3.6M• + 2(3,6 + 6)M, + 6Mc
J 000(3.6)'
(
- 4
-4000(4,5U, 5 I +7 -6000(3)3 1 +
.c,s)
,., - 5 (
J ,,
P•
~ •
3m
m
3
<&t.
,.,
(b)
PJ • 6 t
3000kaf)m
8
"·
D?lr'''·
I I 1 I I Jlj I J l h
p~ - 4 t
( !}
L--..;....-~=======~---H
••>
(b)
+ I ' NL ,,.Ik
., I"
l
n(1~~v:~:::!-=::!-====1~===1
8
"'• • IS<Haf
Ih)
(b l
Es tabelecimen to das co n.s·
ta ntas do segundo membfO da equaç&o dos
três momentos para carge.s coi'ICOntradas
F igure 1%.19
F igura 12.20 E" tabetec lmonto das cona·
tente& do .$egundo membro do ttQuaç&o do.$
ttê::i 1'1"\0mentot p3ra eatQ·&$ unHo rmemonte
d í$tribuldaJ
Plgura 1 2.Z1
S~bstituindo
2.
_6At h ~ _ 6(2Lc) (PcL~ Lc) __PcLt
(1 16)
-óA lcx•=-p•L!!J,_ .
(12.17)
Lc
·
3
8
2L 1•
4
4
ln
• I• Ln
As constantes para ou1ros Lipos de carregamento podem ser deternúnadas
pelo mesmo procedimento que acima.
EXE MPLO 12.! 5
Achar os momentos cm todos os supor les. c as reações em C e D, para. a "i ga c-cJntlnu•
com o carregamento mo-str.t..do na F ig. 12.2 1(n). A tigidct à ncxão El é const.antc.
SOLU ÇÃO
M,.. - -7 500 kafm c s1mplilicondo, tem~se
não contnbu~ com nenhurn cermo constante para o segundo membro do equaçlo dos trés
momeo COI. Na. extremi dade com pino, Mo- O.
6M1 + 2(6 + 3)Mc + 3M 0
- -400Q;J,S)4.s(t +
e, ana.logamente,
Usando a E.q. 12.12 c tratando o AB como vllo esquerdo e BC como dircit~ escreve-se
uma equação. Da estática. com a convenção de sinais das vigas, J'tf.t • - 5 OOC:X I.S) =- -7 SOO
ll1S ka:t
l9,2M1 + 6Mc • -1 85 242.
Em ~au.ido., a Eq. 12.12 • do novo aplicada aoa vloa BC o CD. O vlo Co, sem caraa.
A constante para o segundo men'lbro da equação dos três momentos é deter·.
m inada de maneira anâlo ga quando são aplicadas cargas uni formemente dist-r.ib uldas a uma viga. Assim, usando o d iagrama da Fig. 12.20.
Rc
(o)
ou
•:)-6o00(3JJ(t + !)
6M, + l 8Mc- - 114 750.
A solução shnultl.nea das equaç6cs redurldas dil
M,- - 8 S46kafm. e
M e - - 3 S26 kgfm.
l~olando o vão CD ~orno na Fia. 12.2 t(b). oblém#se a reaçlo R 0 da estática En1 lugar
de iC Jaolar o vão BC e c,aicuJar V~ para. somar u JIC c achar Rc, como foi feito no Exemplo
12 14, é us.ado o corpo hvre mostr'ado na Fi& 12.2 l(c). Paca o corpo livre CD:
l:Mc - 0 0 +, 3S26-3R 0 - O, R 0 =I 175 kgfl.
Pa ra o corpo livre 8 D ;
F.i\!.- 00 +.
4000(1.5) + 6000(3)-Rc(6) + ll7,5(9)-8 S46 =O. R0 = 4338 kgff.
435
434
EXEMPLO 12.16
Rtraur 0 Exemplo 12.14, u.u .ndo a equaçlio dos t~l m omentos. Fia. 12.22
existem tr6s estágios de c'trregarncn to. P rimeiro, e:dsce tt fnixa de resposta el[\stica
linear [ veja as F igs. 12. l(e) c 12.4(c)). En tão, uma parte da cslrulura escoa enquanto
q ue o restan te eonti nuQ n d efonnar elasl icnmente. Essa~ o faixa de fl uxo pláltico.
rmaJrnc.nte. a cst ru t\lra con tinua a csconr sem a ume nto na carga Nesse estAgio,
SOL UÇÃO
Nenhuma dirlwlda~ t enconuad:l no estabelecimento da equaçt_o d~ trft: mome:ntas
ra 05 vãos A.B e BC. tsm é feito de nu•neira anéloga • do exemplo antenor. Obten-c: que
~fsle um n)omento ine6gn.ito na extremidade ena;;1stad11 c. como o extremo A eu-t sobre
rolcce. M A • O.
J M.+ 2(l +6)M. +6 Mc • -
1
2 400(3)
(
l )
- S000(2)4 l + 7
4
IlM • + 6M c • - 108 600/l,
.
ra.ra estabelecer a próxima equaçlo. lntrodu1.-se um artifido. A.dtciona·te u~ do
hnn,Pnário de co•nprhnento nulo na e.-trcmidade fixa. c esereve--se a. equaçlo dos tres mo.
mentos d n m aneirA usual:
6M• + 2(6 + O)Mc + O(M .,> = -S 000(4)2 (1 + : }
6M0 + 12Mc • - 200000/3.
A soluçio sintultlnea d.as cquaç6a reduzidas dl
M•- -l4U kaf'm
e
M e • - 4 3<49 kafm.
a deformaçio plâ..s:liCA da e.ttrutura. toma-se ihmitada...• Es54 condição corrc.sponde
â carga limite par.a a est nttura.
Como o mesmo coanporta.mento gc.rnl e e ."Cibido pchu vigas elãnico-pléstica.s,
o objctivo agora consisrc. em desenvolver um proced imen to para dcterminnção
das cnrgn5 limites para ela.!, Contornando os primeiros estllgiot de carregamento
e passando di rctamen te 1\ determinação da carga linúte, o procedimento fica re la-
tivamente SiRlples. Algun.i dos resultados anteriormente estnbclecidos serilo reexaminados para formar uma base sobre o as.sun1o.
A Fig. I 2.23 mostra relações t ipica.s de momento-curvatura de vigas e léstico,._pJâst icos, com d iversas seções transvcrsu;s. Ta1s resultados foram estabelecidos
no Exemplo 11.7 p nr11 u ma vign rctaugular (veja a Fig. l l.t 8). O bserve especialmen te n rá pida nscensno das curVas em d ireção a suas respectivas assinlotas á
medida que a s seçõc:s se pfasd ficam. l MO sign ifica que, bem cedo, após exaurir
a capucidnde clástita de uma viga, nt in~ido e mantido um mon1ento constante.
M/ M
e
O restante do problema~ o mesmo que antes.
'd d n
d
I
J ustifica·se 0 uao de um co 1n primcnto nulo de vlo naa extrem• a eJ xas AI v~~
to rocedimento de Area de motnento. E"e expediente equivale ao requisito de doav1o
~lo um suporte próximo da cxue 1nldadc da Langente nuda a ~ste suporte. Por e.xemplo
te a se&unda clu cquaçOes reduddu a cima 6 dividida por 2. 6 obttda a ectuaç-lo conc:spondencc ao EAemplo 12.14~ ali. a Ohlmo condlçAo fo.ra obtida dlretamcnt.e.
:e:
•
Vlodo
2400 t,.rtm
sooo-.r
/1
~ F,mwJ tm
L
OOft'lpti,.,._.to
n,u1o
c
1m
;:1
6m
c
~
c
L
D
R
Plgu,. 1~.22
PARTE C
ANALISE LIMITE D AS VIGAS
ILS
FLEXÃO EI..ÁSTICA-Pl..ÁSTICA DE VIGAS
No início deste capítulo fo ram dados exem plos de eálc~":' de ~gas !im"lcs
.:,.
a ra sistemas de barras com carrcpmento axial. para matena1s elár~co-plásu
fveja os Exemplos !2.1 e 12.4~
import anle observar que cm tAns probleiDDS
e
436
0
J
J
•
~t/K~It
F lg._ra 12.2S Fl"l<teóes df momento e eurvott.~rt pora soç6es Htna'-~vr aela citculares. rocanguhtres
e I M,/Mm .,. k é o retor <10 forma
Essa condiç-d.a é semcJhun te it de uma rótu la plást ica. Em contraste com uma
rótul.a sem atrito capaz de permi:ir grandes rorações sem momento. a r ótula plés--tk:a pc.rmite grandes ro l açõcs .sob u m n'cntenro constante. Esse momento cons-
•em realidade um.a otruwra nlo po~ dc:ronnw c:«:t:Jiiinmen&e e a.penas defotm<Jçõe5 pequ~os
.são eon;ideradu
437
tante é aproximadamente igual a J\1 ~· o momento Hmire ou plástico para uma
seção transversal .
Um número suficiente de r6tulas plásticas pode sor inserido na estrutura,
~os pontos de momento mbimo. para se criar um mec:anismo de colapso cinema.
tlcamontG admlsafvcl Tal mecanismo, que permito o movimento Ilimitado do um
sl.stcma, possibilita determinar o çapacidodo limite de auporte de carga do uma
VJga ou de uma armaçlo. Esse mttodo será ilustrado agora por 1neio de vtrios
e:cemploJ, restrinaindo a discusslo a viaas.
Quando o m6todo de anAl11e limitG 6 usado para 1clcção do mcmbroa, as
cargas do trabalho s! o mu ltiplicadas por um fator maior do que a unidade, para
se obter as carau limiteo para u quais os cAiculot slio efetuadoL !010 ê anAiogo
ao uso do fator de segurança na anãlise olâstiça, No trabalho com estrUtura de
uço, o termo JJNJ)tto pltistlco é comomcntc aplicado a tal método.
EXEMPLO 12.17
• Umtt força P b aplicada no melo 4c uma vi&& slmpletmentc apOiada. Fig. 12.2C(a). Se
a v1aa C feita de material dlhiL qual 6 1 c.arp limilc P,.? Detprnar o peso da vlaa.
(e)
SOLUÇÃO
l•l
(ti
.
! __
_,/..12=--'~1
Ró<ulo plu<lcJ
Figura 12.2•
SOLUÇ1\0
A forma do diaa.-.ma de momento ê a mesma.. indcpe.ndentc•nente da ma.gnitude da
caraa. Para quaJql.ler valor do P. o momento mt_:umo M • Pl./4 c. se M ..; M_. a vip u
c::ocnporla elasticamente. Uma vez. excodido M,w. o escoamento d:a vip comeÇa. e continua
Dtê que seja alcançado o 1nAximo IYIOmento p lfaltioo M • Naquolo instante fonna.aac um.a
rótula pUat.ica no meio do vlo. estabelecendo o mecanf.mo de colaps.o l t'IOitrado na Fig.
12.24(c). Fuendo M,. = PL/41 com P-P,,_. obtEm·• o resultado procurado:
P,.. = 4MJL.
Observe qtie ê desnece.s.a6rio considerar, neste cúlculo a zona plãstiCil efetiva. hachurada
na Fit~- ll.l4(a).
EX EMPLO 12.18
Uma YIS& de material dútil t carregada como mostra a Fia. IUS(o~ Achar a cargo
limite Pu,... Desprezar o peso da vip~
438
Os reJultadoa de uma an~lfle clitdca estio mo1trad01 na FJ.. l2.2$(b). da maneira
usu&J. Oa mcam01 ruultt1-dot elll o tepraentadot na Fta~ U .25(c). conaidorando f"l8 como
llnha-bue botiz.onta1. J!m ambol 01 dJ&If'&mu, 01 valor., d at ordtnadu de momon to alo
01 m• moa. • u p&rtN hac.hurad• doa dlaaramu repruo.ntam 01 nuul1ado. l'lnai.s. Obterve
q.uo 1 ordenada aux.IUat PL/4 tom p~ltamo.nlc o vaJor do momento m'x.fmo de uma viaa
s.unpla. com un1a rorça concentra da no meio.
.
laualand~Je o m'a.imo momento elútico a M_. obtém·5c a carp P_no escoamento
Iminente:
P- • (16/J)M,.JL.
Quando a cuaa aumenta acima do P_ . o momento na cxcromldadc cna.utada pode
jguaJa.r M,., mu nlo uhrapan6·1o. luo também 4 verdade para o momen to no m~:io do
vlo, Enu eondiç!le• limit.. estio mostradas na Fia. t2.:lS(d~ A seqQencia na qoal os momentos M ,. ocorrem nlo ! importanto. Na dclcrmlnaçilo d a carga limite é nc.ce.s.aário lei
apenu u.m mecanismo dncmatkame:n&e adminlvcl Essa condiçlo ' a.uegurada COil\ u
duu articulaçlles plútl<a~ e um rolete i dinila. FI., t2-2S(e).
Na Fia. l l.2S(d) podo-se ver que., pclu propOrçO~ o momento na excremldade M
dA uma ordennda M /2 no me-io do vio. Oc:$$B. forma. a ordcnuda do viga slrnplcs Pu LJ4
no meio do vt.o deve a.cr ip aJada a 3M,12 piU':I obter a au.. li mil e. bso di
•
P11• • 6M,/L.
Comparando cuo rCJuhado com P_, tenN1e
9M
P.., -~P-- 9/BkP_.
'"
439
que mostro 1er o aume.nco cm Pr.. em rel.~o a P.., decorrente de duas causO;': M..r: > M_,
e os momentos mâxim01 slo distribuid01- com mais va.nL&g.em no caso plbuoo. COmparar
os dia&NOm .. de momento d .. F1p. ll.H(<) • (cl).
EXEMPLO 12. 9
Uma ~lp rcst.rita de materiaJ dCitil suporta uma carp unlrormemetne disttibulda. como
mostra a Fia. 12.26(&~ Achar a e<>rp li mil<
P,,.. .
Nos problemas com várias forças concentradas aplicadas a uma vign. .deve
ser pesquisada também a rótula plástica interior. A menor carga para uma rotula
interior suposta submetida a qualquer uma das car_sas constitui a solu~o do problema. O equillbrlo com qualquer carga muior excgc momentos supc~cores a M ,,
0 c, destll ronna, in>po:ulvel. Pnra detettnlnâ·la podem ser nece:ullnllll d1versas
tentativas.
EXEMI't.O 12.20
Umn viga nxo. lle m aterial dUtil, IUportll um~ çargo tmlrortncmen1e distribuida, f'ia,.
12.27(n). Determinar n wrga limite p,..,.
/"'
-
(d)
(a)
lltrtlll
la I
fiJfM
M'
C:, J J ' J J
~~
L-o
(bl
-,~
~/
(c)
"'•
.L'IM
"·
I
(<)
1'1..... 12.241
SOLUÇÂO
Neau. exemplo sAo noce&úrlas duas tótuhu plâstiou para criar um mecanltmo do cohtp5o. Uma dcssu rôlulaJ ettali na e"tremldadc cnaastadL A locallzaQio da rótula u socledi
com o ovtro momento mb:imo nl o ~ conhec,da hnodiacame.nte porqu.e o mom ~tnto próximo
ao meio do vlo muda aradualm~te. Entretanto. pode--JC admitir o mecanismo corno mo11ra
a Fls- 12.26(c~ porque lu o concordario com o diaarama de momento da Fia. 1 2.26(b~
Para nna de anAlise. a viga com rótulas pló.stlcas 6 separado em duas pnrte.l, como nat
Fígs. 12.26(d) e (e). Entfto, observando que nAo 6 poulvcl ocorrer força ooronnce em C. por
•er esse: o ponto de momento máximo de uma curva continua. podo~to escrever du~ equoç6e:s
de equillbrlo est!tico:
I..\1,. • OC+.
M ,-p,...,n 2(2 - O.
tM• -00+. 2M,-p,M(L-n)'f2 •0.
A soluçlo simulc4nea dcssu equaç~ dâ o • (./2-I)L. que locali"' a rótula plb·
tka C. As mesmas equaç6c:s dio a car,. limite
440
1./l
f lou:re 12..27
L/2
c.:t
SOLUÇÃO
Do acordo oom a anàli•e elbclca (vejo o E.otcmplo 12.12 o a Fig, 12.JS(c)) os momentos
mAximos oco rum nas t\lremidadcs cnpsladas. c J.lo iauais D p0 L 1/12 Ocs:sn forrna
M~.._ •
p_t.'/12
ou
!',... = 12M..JL'.
O "umenco da caran provo-a a apnriç41o de r6tulns plóstlctu nos suporLcS. O mecanismo
de colnpso nlo é rormudo, entretanto, P.lê que ocorra uma rOtula plbt.ica, IRmbém, no meio
do vlo, Flp. 12.27(b) c (c).
O momento 1nla.imo para uma vip s•mplcnncnte apoiJda. con' carn:pmc.nto uniforme.
t igual a p0 L 1/8. Oes:aa ronna. como pode xr via to pela Fi&. I 2.27(b). para se obte.r a çarp
limite c:1n uma viga cn;astaôa.. cssn qt•n nlidadc c.leve ser igualada. n 2M 1,, com PQ =- r 11"' .
441
PN..L 1'j8 - 2M~
ou
menores do q ue os momcn.toc míJcim 01 nas vig,as determinadu ac.melhantes. Isso
possi bilita a soleçlo de membros IDCnoreo, e resulta em economia do material.
!!xilltom também alsumas deaYIIn UI(IeDI no uso de mombrae lndclerrninados.
ll l&ll ma lnccrtoza•cmprc cxiala cm nlaçlo • çap&çi<!ade de O!IIUpol'\01 consoauircm
nxar complotamonta as oxtnomldlldtL O. mc1n1a rorma oa suportei podem auentar
p,..,.- 16M J L.l.
Comparando esse rQ:Juhodo CC)m PJW.• tem~n
Pu... -
••.,,
1/3'·
~~
Pu,- •
3J"l
.,..
'
~fJ• .,.
Como Exemplo t l.l8, o aumento de p 11001 nh~1T1 de p_, dependo do raLor de rortna k e
da igualação doa momentos rnáx.imo$.
A análise das viau contin uas é reita do ma.nclra a11âloga à acima. O rdlnariat11ente o colapso de tais vigas ocorre localmente esn apc.na5 um dos vlos. Por
exemplo, para a vip da Fig. 12.28{a), um mccanlaano pode ser ronnado, como
na Fig. 12.28(b), ou como na Fig. 12.28{c). dependendo das magnitudes relativu
das cargas e dos comprimentos dos vios. Tais probtcmas revertem a casos jA
considerados. Os mecanismos de colapso local para os vãos interiores exiaern
n rormação de Lrêa rótulas semelhantes àquelas do eKemplo anterior. Os m eca·
n ismos para armações podcn'l se tom ar bastan te complexos~ o [Catam ento de taia
pa·o blemas roge ao escopo d esta texto."'
p
~"'·
;r
...
~
..
(b)
(<)
Flgur• 1 2.28
12.9
CONSI DERAÇ0ES FINA IS
Na prática~ os membros estaticamente indeterminados ocorrem em virias
situações. Alguns dos métodos de análise desses mem bros foram discutidos neste
capitulo. Algumas vezes, as tensões provocadas pela indeterminaç11o, parttcular·
ruente aquelas d evidu à tem peratura. são i.ndesejt.vcis. Mais rreqüenternent.e.
entretanto os membros estruturais são dispostos deliberadamente de forma a
serem ind~terminados., devido à s ua maior rigidez. o que em m uitos casos é
bastante desejável. Ta1n~m pode ser conseguida. uma redução nas tensões. Por
exemplo, os momên Los neto rcs máximos nns vigas indeterminadas são usualmente
•Para mais detalhct veja. P. (i, Hodge, Pl(lstit Afttlly.sis qf Strlfttur t J, Mc(;raw·Hill Book Comp~~.ny,
No va. 10fque. 1959
442
ou mover-ao. um etn re.laçlo a outro. Neue cuo. as tensOoa elitticu ou u denexoaa
caleuladu podem oatar aerlamonte orradaL Eu ea anuntos cauum pouca preo·
cu paç4o ean uma estru t ura estaticamente determinada. F inalmente, o método de
a ni.Uso e li.atlea torna·oo butan!4 complicado quando o arau de lndotor minaçlo
é elevado. Todavia. esaa situaçlo tom sido su perada por meio de métodos espe·
eialindoo c pelo uso de computadora diaitaia.
O método plú tico de projeto oferece va11tagens nas sltua ç6es em quo as
carau aplicadas ttm carátcr estático, e quando os materiais omprepdos slo dútcis.
PROBLEM AS
12.1. U ma barra. de 300 mm 1 • on~
guiada. cm ambos 01 extremo.. a 1uport01
lmôvci.. I I Upotta duu rorçu p I /"3 ,
como moatn a Oa;ura. A maanhuJe dt P 1
t o dobro da do P 1 • (a) Ad mitindo o
co mportamento el..tlco Unoar, de[ttmlnu
u r ca ~• e a din d buiçlo de força axial
n.a barra. Traçar os dja.a ramu de força e
doformaçlo o.tltL (b) Se "- • 28 k P/mm',
dolamln• • !alxa elo 01coomeoto plb tlco
contido. Traçar d.iapam• m o.trando u
vuioQOea nu tn...,Utudc:i d u forçu 1'1 e P J
em funçlo de n ua respectivos desloca·
mentOL B- li 000 kaf/ mrn-2.
PRO O. 12-1
~ \gg I''
l01J mm
r!ã J
12.3. U ma barra cJifn drica d e scçlo
tran1versAI const ante' enautada em ambos
01 oxtromos, o 6 aub melida a unl torque T, .
conformo lnOIIf ll • naura (a). Admiclndo
o comportamento ol61tioo linear do ma·,
toria.l. dcLormlnar u r.aoOa~ . Tt •çar os
dia.an..mas de torquo T(x) c Anauto de
torçlo ço("~ (b) Se a barro tem ~O mm de
dilmct ro. a • 7.50 mm. c b • SOO mm. d e.•
terminar c u-açe.r a ,.laçlo ontrc o Ana ulo
do torç.lo • om x • 7$0 mm, o o to rquo
aplicado T 1 • Conatrulr c.uo diaaram a ana·.
log.amcntc ao mot trado na Fia. 12.1{e).
Admilir que o nlatcriaJ aeJa el.btiço-perfcitamcni.C plástico. com t • • , • 14 kgf/mm 1 •
c G = 8 000 ksrfm m' .
12.2. Um materi al possui uana r.taçlo
lcnsl o-defor.naçlo nlo~tio e a.r, dada por
tt - Kl", o nde K c n a.io as conatantct do
matori&l. Se uma ba.rn de ãrea conJta.ate: A.
feita dosec mat e â&l~ ê inicialmente fixada
cm a m b&J u
e:XU'emidad e:s c tem o earr...
gam.ento m01tJado n.a figura. que parcela
da fo rça oplic&dl P l absorvida pelo l U•
porte da 01q uerda? R.r. p.: P /[(n/b)" + 1).
PROB.Il·2
PROt. ll-.1
12.4. Um eixo circul•r maciço de latio.
é eneutaclo em ambas u e.xtremidades. c
dois torqucs, T, • 3,14 kafm c T 1 • 6,28
kafm sl o aplic-ados a ele. conrorme é most rado na fi gura. Determinar o torq ue em A ,
e traçar os díasrama.a de to rque e êngulo
d~ torç:lo. Admitir q ue o material tenha
comportamento cliunioo linear. com G •
443
= H OO kgf/mm ' . Os dilmern>s slo d 1 •
= 70 mm e t/1 • 60 mm.
.... ~.
soom..
1 2SO ..... I l50 "''!!.
PROD. I2..
12. ~. Um cbo enptlado cm ambas u
extremidades ~ feito de uma barra qut:t·
dtad11 mflciçn de 2S mm c de um tubo
quudr ~tdo de JS mm. soldados. na junçlo
das duns seçOes, a uma plnca que CormR
um ponteiro PJOjctado aa dlreç:lo hori-..
tontal. oonJor-mo re v! na naur.. o tubo
quodrndo lem c•pe.s.sura de parede de I mm.
De lei' minor o deslocamento vertical do ext remidade do ponteiro. provocada pela
aplicaçlo dos dois torqucs T 1 c 2T1 • quando a m6Aima tendo de cftalhamenco no
eixo ror do 7 kaf/ mm'. Detpreza.r na conconcnçOes de toJ\IIo e conslder1ar O - 8 000
ka~m•n'.
12.6. Um eixo circular com ressalto f.
E - 21 JC Jo' ksflcm 1 e. para o concreto
cnpsudo em ambu u extremidades. e
E - 2.,8 x l O' ks(/emJ.. &JX'OMimadamc::nte.
Se a mudança. na de(ormnç:lio ,0, devida
6. ecntraçJ o e & fiuê' ncia. cm urn doa e•
pkimes de concteto. após. 27 ano.s. é igual
a 0.011 em. qual a mudança na tendo
tem a.s dime.ntôee mot tradl\t n~ fiaura. Primeiro esM ebo b cortado cm doh nâ
1eçl0 tHJ. Entlo-, o extremo direito do t:ea..
mento da esquerda f torcido de um lnsuki
, • 0,060"' om torno do ebo x. e .oldado
10 ugmento da di_reita. Após remoçlo do
torque externo. qual to to rquc resJdual no
eb ~ c qual ~ o lngulo fi nal de torçlo 11
da unilo em relaçlo 1.104 posiçio o ri,sinal?
Admitir
1'- -
k&f/mm• ..
t•1csflmmJ. e c; - l SOO
12. 7.' Um catudo de concreto roi iniciado na Un.ivenidade da C alif6rni L cm'
1930. U ma Krie de u perlf:nc:ias foi completada em 1957. O arra.tljo dpico uaado·
roJ o mostrado na figura: Inicialmente foi
aplicndn um& tendo do comprcasAo de;
.56 ksr/cm 2 aot cilindros de concreto peJo
apeuo de trh barras de aço. A constante
da mola lt&ndo 6 Jc - 1200 k&f/cn\; a
'rea de cada barra 6: A • l,3 cm': o corn·
prlmonto efedvo do cada b•rra 6 L • 60 c m;'
o módulo de elutiàdadc du battaa 6
ooorrlda no coonort101 Qul o bem rot mDn-
ci da. R lensJo constante? Como se t:ompnrn
a deror mac;io cotaJ. no concreto. com til
dáslh...:? Em stus aUeufos. índuir • mu·
dança de tenslo nau b1rru de aço, mas
dQprez.u a deformação dns placas e.aue·
mns. Rrsp.: 6o • 1,181 ksf/cm'.
12 8. Uma plataforma. ttgidn .se npóta
em duiiS barra! de alumlnio (E - 7 x 10,
taf/em~ cada uma de comprimento iaual a
2Scm. U ma t.crceira barra. rc:ita de aço
(E. 2J x 1ot k .Kr/cm 1) ~colocada no tneio,
1cm comprimento de 24,99 cm. (a) Qunl
seri a tensio na barra de aço 5e for aplica da
..ame carga P de SO 000 klf sobre a platarorma'! (bl De qu•nto urlo encur-tadn.~ as
benns de 1tlu n1inlo1 R.l!~p. : (n) 1444,8
tartcm'; (b) 0,0272 em.
JI'R08. 11-9
p
12.10. Um.a carga P- 600 k sf ~ apliCAda a u mtt bttna rigida Juspensa por três
nos. conforme mostra. a risura. Todos os
líoa são de lgun.l tamunho e de tnCJOlO
2
1natertal Para cada l'io, A - 0.6 cm • E =
• 21 x lO' kaf/cm,. e L • 300 c.m. Se nen hum fio c:Jtava inicialmente rrou• o, como
se distriboini n c argn aplicada de 600 kgf
pelos fios'? R...p.: SO kg!, 200 kg!, 350 kgL
e ~
2$ cm
::l
PROD. 12.·10
'
1600 mnt
PR.OB.IU
• .L _ _ ~ r --
r.I'ROB.I2·7
444
.S.$0 tnl'll
600n•m
"
12..11 . Uma. barra rlaida ê suportada
por \lm pino cm A e dois arames ell.stícos
lineares em B c C. corno mostra a figura.
2
1\ ârea. do arame em 8 6 de 0,6 c;:m , e a.
de C é 1.2 crn 1, Oetertnlnar as rea.ç08 ertt.
A, 8 e. C causadas pela carga aplicada
P • 1 ooo kJL Resp.: -s 600 ks/, 4 200 tsr,
a 400 ksf.
,.
PROI. I 2·S
a
PROR. 12·8 '
r 2.9. írCa fios suportam uma cnraa P,
pendur ada em uma barro rígida, como
mostrw. a fiJUIL EstabcJecor um diawama
de earga-ddlexlo para cue sistema com
l. 1 • 250 cm, ,.. 1 • 0,6 c m 1, L~ = J2Scme
A 2 • 1,2 em. O material dO! fios 6 linear-.
mente efâstico-plãstico. E • 1 )( IOJ kcf/cm1 e ffc. a 2 100 kgJ'/cm 1• Mostro.r d~t­
ra.menw a rcajlo de escoa maato plh l ieo
contido no diagrama. Rrsp.: P6 f - 3 780
kar. P,.~ • s o.co ks/.
2m
tm
rJtOB. ll.·ll
lm
I'
1.2 t 2. Se a barra cilada no Prob. 4..34
4
nfto é rlgida. mn:s tem I .. 92000 mm e.
2
sendo de ac;:o tem E- 2 l 000 kgf/mm • que
445
forças serl o c!uenvolvidas em ceda aru.mo'!
R.sp.: 2l4 kaf •o r.ramo do meio.
12. 13. S uponha que no Exeniplo 12."
a área da. acçlo tra.niven:al de cada barr a
seja de 1 200 mm 3 , a di5tê.nc"' I. • 2 SOO
m rll, •• - 30•. AI batraJ !lo reitu de ·~
c:om uma 1enalo de escoamento bem ddi·
nid.a de 28 kaf/mml., Considerar o m6dulo
de :::luticidade E - 21 000 k:a:IJmma. Ourame a rabrlcaqlo, pOr. cnaano- a bacra
do meio foi faha 2,5 mm mail cuna. i"o 4.
ames da mont•aem. as tr& bat'raa alo
vistas como mostra a Fig. ll.LO. (a) Qua.ís
as tensOes residuais desenvolvidas na11 b u.r·
ras. rcaultamcs de uma moncaaem forçada?
Admi1ir que nlo pessa. ocorrer nomba.a em
du barras. (b) No mesmo &r'nco monrar
os dia,aramas de carga-dcllexlo. an6Joaos
aos da Fia. 12.C(c) para o oonjunto inicialme.nte livre de tensão. e o du •ensOcs
residuais echada.s.
12. 14. Cinco barras de aço. cada uma
com àrca daacQlo transversa) de 300 mm 1 ,
são montadu de maneira sJm,lrleo.. c::on·
forme m01tra a tiaura. Ad mitir quo o aço
se comporce como material Linear clhlico-ptl.s.ico, com B - 21 000 ka;J/cm 1 • e o.,.. - 2S kaf/ cma. Dcter:minu c traçar os carac:tcristicu de dclle.xlo de cara• da junta
A. d evidu i aplicaçio d e uma força P
para bn.ixo. Admitir a.s barras inicialmente
livres de tcns.lo.
após • aplicaçlo do d uu rorçu de 300 k&f
às: \dau. no meio dos vlos:. Utar a fórmula
de dc:ne:clo da via,a,. dada na Tab. 1J do
Apêndice. R<".tp.: 4.6l kg(/mm 1 •
l l. l l. Uma. d u uue mi~ de uma
vip 18 WF 50 ~ e.nautada no concn to.
Preteodeu·se tu portar a o u1ra por moio
de uma barra. do açO do 6 c:m 1 o 4 m do
compdmento. como mott-ra. a f'ipara. Du ..
ran.te a instalaçl~ entretanto. a. poTca do
ap erto ficou rolp da • oa oond.içAo d.c:ar..
tcaada ocorre uma fotp de 10 mm e:nt.r.
o t opo da porca • o ll>ndo da Yip. Qual
a t ra9lo d•c.•wolvlda n a ber,.._ de.tc:la a
u ma força c» 6 t apllaedlo • o mo!o da ll!t af
ConJi.dc.riU' e • 2 1 • 10 1 kalj'om2 • ltup.:
876 kgf.
'
12.16. O ponto m~dio do uma vfaa em
balanço do 6m ele eomJ)rlmento 110 apóio
no meio do vlo de uma vi&a aimpl came.rne
apoiada. do 8 m de comprimento. Decerminar a deOcxlo do ponto A, onde as
via~ JC encontram, resultante da aplicaçio
de uma. carp de S t na exltemldade da
vian enanstadL Bl para ambos u vfan• t
o me•mo c constnnco. R.t:Rp.: 6.1 W JO' 'fB I
(cm mm).
''
PI<0 8.1HI
P
.PROB. ll-14
ll. lS. Duas viaas vcrncah. de I.S m
de comprimento sio coneccadu pelos respeccivos meios de va.o. por incerm~dio de
um no esticado, como mostra a nsura. E/
para a vij~ll da c:.5qucrda é 4,4 x IO' kaf/·
mm 2• c porl A vip da direita 0 13,2 K 10 8
kgrmm-:. A Arca da seção ttanJversaJ do
fio ê igual a 60 mm' c: ~u mõdulo E = 1 000 k af/mm1 Achar a 1e:nslo no rao
3~ E//(71.'~
446
·-
lm
·
:
r
.
~
I
I
B=~=="'=·'-~;J;l
I
PROB. ll· t9
42
I
42
12.20. A uma dada temperatura. uma
vip em balanço apeo• toca cm um plano
sem atrito. eonformo mostra a figura. C.al·
eular o momento Oetor mádmo na Yip
a.c: a temperatura da me1ma se elevar da
IT. Desprez.at o pao da viia. e o efeJto
da força axiaJ sobre • denexio na nmo.
As quantidades A, B. 1 c ex. alo dadu.
R.sp.: «LÃT/ ( 1/( AE) + L'f(JE/)) .
12.21. U ma barra qudrada do aoo
••oxidõvd do 25 mm. com l 000 mm de
50 ~l~jm
m -
••
41
12.17. Uma viga el'n balanço de 750
mm, de d&id" à. neJ:âo conJtante E/ = 3,0 x to• k&fmm 1• inicillltnentc tem uma
rolaa de 1 mm entre sua eJCuemld&de livre
e a mola. A constante de mola k • 200
kgf/mm. Se uma força de SO kaf, mo<lrada
na ficura. é apHcada à ettremidade deus.
visa em balanço. qual a pere.cl_a da fotça
suportada pela mola? Rtsp.: 45, 18 kgf.
I
>'
12.19. A viaa AB na cond:i9Jo Mm
carp. aponu toca uma mola no Mo do
vl.o, conforme mottra a lia urL Qul.l 6 a
con11ante de mola k q ue iauaJar' •• (Of9&1
nos trb aupones.. q uando ao aplicar• um a
ca.raa vertical unlfor m.am.nta diat.ribulda
p 0 ? Ulllr a T a bela 11 do Ap~ndlee. /!.up.:
I'ROD. ll- 16
l,S m
...
PROB. l'lol7
comprimcal o, ostl entre dWIS superlicieJ
PROB. ll-20
paralalu •cm aLrilo. Se um lado dessa barra
inlcialmozne: reta 6 mantido a uma temp.
ra.tttra.supc.rior em 300 -c' do lado-opo1to,
qual a denod o d a bana no c:antro da
CIOfd& que puaa por aua1 eJCtn mid ad• ?
Q ue momorHOI aplicad a. no• oxtr•mot tn·
direitariam a b.rr•? Admitir que a c e mpc~
ratu r~ varie linearmente ao Jongo da e•·
pessura da barra. Tomar « • 18 )( to-•
por •c. e E • 19000 kaf/mm~. Pau. uma
rclaçlo Otil na aoluQIO d oaae problema voja
o ?rob. 11 .2.
12.22. thn no de oobn de (,6 mm de
d.Jlmeuo, ~ eolocedo concentricamente em
um tubo de porcelana de 6 mtn de diA metro,
COfl\0 moatr&. a fi &UtL Se O fio ' preto
à porcelaniL, c ac a temperatura do con·
j unto se efen de 60 •c, qual a tendo de
traçAo lonaitudtnal deaenvolvlda no tubo
de porcelana? Para o cobre,. A ,.. • 2,01
mn•'· «•• - 16.8 x to-• •c. E,.. - 10000
kaf/ mm, ; c, para a porcelana. A,_ - ~6,26
mm'. cr - 1,4 k
e E,. • S 600
lo-•rc.
taf/mm'r. Rup.: 0.34 k&f/mm'.
ifii.il
'
. "'"·
_,_
._ ~
.
..
......-
PROB. 12-22
12.23. U1na barra de a.lt.1minio de 17S
mt'l1 de comprimento. tendo duas ~e.r
transversais de Are-u diferentes. é ina.c.rida
cm um elo de aço. como moslta a naurL
Se a 1S •c nlo u íalc (orça axial na barra
de alumtnlo, qual • ma1nitudc dca.sa força.
quando a tem pctatura aa eleva para 70 •cr
S.r -7 000 kaf/mrn' 0 «,r= 21,6 X (Q "•t•C:
B.,. = 21 000 kaf/mm e • ..,. - 11 ,7 x
x 1o· •rc. R..p.: 75&.4 kgf.
L2.24, Trtt aram .. de aoo, fixadoo o
uma barra r fsida. auportam uma ç.araa de
447
in.ic:ialmcnte tem carga {veja a figura). Determinar a tenslo no fio, produz;ida por
uma cup ele 1 000 kg~ aplicada em C, c
uma q ueda de temperat ura. apenas n o fio.
de SO 'C. Para u vi&u ABe CD: E- 21 000
kg(/mrns. e 1- JO' mm•. Para o fio BC:
E- 21000 l:af/mm 2• A - 60 mm 1, e« •
- 10,8 ~
por
Resp.: ~~~ kgr.
to-•
250
mm
J.uo ksr
P'ROB. l2~24
l2.2S. Uma corda de aço do piano, de
7SO mm de comprimento. i: esticada do meio
de uma vil• de alumínio AB at6 um auporte
r iaido C, como moura a naura. Qua.J o
aumento na lcnsio unildria na corda. se
a temperatura ctd do 60 •c1 A á rea dn
seçA.o Lransvcrso.J 4. corda é de 0,06 mm 1 ,
E - 21 000 kgf/mm'. Para a viga de aluminio E/ = 300 000 kgfmm 2, Considerar
"~~~~'" ... 1),7 x to- 6 por
23,2 x
)( 10- 6 por 'C. Re.vp.: 7,67 kgf/mm 2 •
•c. cr:., -
A
'
D
l2S mm
..,..,._
"'
l2S m
c
"
PROB. 12·2$.
l 2.26. Du as vigu de aço cm baJanço,
A..B e CD, sJo conectadas a um rio de aço
esticado BC, de comprimento igual a 4- m.
448
rC
lOOmm
.....
l $0 kaf. JnJcfalmentc essa carsa 6 distri·
buida isuahnente entre os tr!s arames.
Qual serê a parcela suportada em cada
àramc, se a temperatura do arame da direito se elevílt de SO •ct Admitir E • 2 1 000
kgr/ mm 1, A • 7 mmJ e a- 11,7 x to-o;oc.
Re>p.: 35,7 kg(, 78,6 kg!; JS,7 kgr.
l.SO
·•rc.
•c
PROB. 12·:D
mm
tensões induzidas no diafragma? Para a liga
de aJ u mi ni~ ~., - 7 000 kgf/ mm 2• G..r =
- 2 soo kgf/•pm'. c •• , = 23.4 x 10
Poro o diarrogma de oçO E. = 21 000 kgrj mml., G.,-. 8400 kgf/mmi e a.,= J J.7 x
,~~.e~p.: 6,9 kgf/mm:a,
x l0- 6
mm
P'R.OB. J 2.· 26
lODO t gr
12.27. Um arame de qço. de S m de
comprimento, oom scçlo transversal de
ó.rea J60 rnm 2, 6 bom esticado entre o medo
do vlo d.a 'Visa simples e a extremidade
livre da visa em b&.lanço. conrorme ruostra
a figura. Determinar a deflexlo da e't(re,.
mjdnde da viga Cm baJanç~ resultante de
uma queda de temperatura de 2.5 "C Para
o aramo de aço: E • 2 1 ()(X) kgf/mm:~, « - 11,7 x to-o por °C. Para ambas as vigas:
I - 8,, x
mm 4 e E- J O~ kg(/mm 1.
Rr!.Jp.: 0,92 mm.
to-
?Sm
Sm
o 1$ ln
Aromo
J229. Um va.so cilindrico de pressão
é (cito pela moldagem de uma chapa de
latão sobre outra de aço dex:e. Ambos os
cilindros têm espessura da parede de 6 nim.
O diâmetro nomineJ do vaso ~ de ? so' nlm,
e CISe valor deve kr usa4D em lOdos os
cálculos q_ue envolvam o di:lmetro. Q uando
o dJindro de latão ê aquecido a 50 "C
acima da ,lemperatura ambiente, ele se
aJU$ta cxat:unente sobce o cilindro de aço,
que está á tempcratUOl a mbiente Qual ~
a tenslo tangencial no cilindro d e latão,
qua.ndo o conjunto esfria at! a te(nperawn1
ambiente? Para o lacto E,.,.. lt 000 k grtmr11 l
c ;r• - t 9,3 x to· t.rc Pam. o nço E" ..
- 2J DOO ~g(/mm 2 e «... 12 x to-src.
Resp.: 7 kgJj'mm2.
Tubo dtl:ltl5c
PROB. 12·27
12.28. Um aneJ delgado~ a.quctidoem
ôfeo o JSO OC acima da le mpcratur:a am~
biente. Nessa condiç!o, o anel dcsliu sobre
um cilindro maciço, como mostra a figura.
Ad mitindo o cilindrooompletamcnte rigido,
(a} determinar a tcr\llo tangencial de.se:nvolvido no anel após o resrri_a mento, c (b)
determinar a pcesslo. desenvolvida entre
o a nde o ciHndro. To mar a=
e.
E= 7000 ksr/mm'.
to-.lr c.
PROO. 12·30
l80mm
12.3J. Duas tiras de metal de C$pe.s·
5Uf ll.'l igulli$, mn.s de mnteriois diferentes,
s:ã.o unidas e fixadas em uma das extremidad~ para atuarem cOmo uma viga em·
balanço, conforme mostra a figuJa Oetermi nJLr a deOe:<.ilo da ponta, provocada por
urna mudança na temperatura de ~T. Considerar o coeficiente de e-xpan são' de uma
da! ~~rras igual a tr 1 c. o da outra. « 2 •
Admttlr que os m6d4los de elasticidade
sejatn os mesrnos cm a mbos o..o; materiais.
Tais elementos bimctáljcos sâo bas-uuac
usados nos disposili vos de controJe de
lempor-alura. (Sunrstào. Consider;.,_, que existam umn fo rça longitudinal e um rnot,ne,nto, em cada tirn. As derormações na
JUnta sllo as mesmas nos dois materiais. A
fórmt1Ja da deflexão pant uma barra de
çurvatura constunle ê dada no Prob. 1.1.2).
Resp.: J<« , - o,)(6T)L.'/(411).
PROB. 12-29
Tubo de aço
12:.3Q Um diafragma de aço de O, 75 m m
de espessura é esticado em um :.mel de
liga de aluminio. corno mostrn o figura.
o anel e (cito de uma barrn redotlda de
20mm de diâmetro (A e 3 ! 4 mm'~ Se a
temperatura é efevada de 50 '"C. quaís lt$
Pl<OB. 12-31
449
'.
tl.ll. Se no S)eamplo 12.7. no lupr
de um parafuJO. 6 usado um rebite sem
traçlo inic:ial a 900 •c no cof\Junto du
arruela&. qual a tonslo CS. traçlo dcscnvol·
vkia oo rcbhe quando a tcmporat.llra cai
pa,. 35 •c7 Con,iderw E - 21 000 kart1
mm1. " - - 28 ltaf/mm , o •11,7 • to-•t•c.
Admitir E- 21 00P kgl/mm'. G- 8400
kartm m' e, par simplicidade,. I - 4,5 ><
x tO' mm• c J - 9 x 10' mm•. Rl'~p.:
620 ka rm.
SO mm
12.31 Um pequeno vaiO do prudo
foi feito pua um laboratório industrial.
com u d.imonl6oa mo•uadu na naure. O
arrattjo da &aaota • tal que a ptof.llo fn··
terna possa atuar apanu cm uma auper·
nc:ic projot.eda da tampa. quo tem S7S mm
de dilmolro Ex!Jt.cm vlnto pan.ruaoa di•
postoe em wn drcu\o do 62S mm de d16·
metrO; cada pualu10 tem 20 mm di dil~
tro. Controlado pela retlstartcia dOI parafUJo&. podo CJIO vuo operar a uma
prcsdo interna de 0.07 kaf/ mm"? A ,,..
da ICÇI.o u-an•venaJ na ~aiz da ro~ea de
cada parafuiO 6 do 2~ mm 1• Antes da
prcuuriz.açlo 011 parafu101 Hrlo apert&dOI
at6 duenvolvct•Je. om cacSa um. a força
iníciaJ de J 200 kaC. A umdo admit.slvol
para 01 parafutOt am tnçlo • conJidcrada
aathJa.tória a Jl ka('/mm 1 : entretanto • neccssirio con•lderar um fa tCX' de concentra·
çlo de 2.,5 na rail. das rotc.u dOI pa.rarusoa.
12.3S. Um arame de aço de 2.5 m de
comprimento é ellicado da .CJtttomidadc do
cubo de aço padrto de lS mm. A BC. alt
um wporte rta,ido 0.. como mostra a nauriL Calcular as tensões que atuarn no
elemento A.. localizado no suporte DO topo
do tu~ provocades por uma queda de
temperatura no arame de .SO "C Nlo caJ..
cula.r aa tontõca principais. Pua o tubo
21000 kgf/mm'••
&400 ka{/mm';
para o aramo A = 6.4 mm', E - lt 000
kaf/mm', oo - 11,7 )( to·•rc.Rt&p.it~,. ­
- 1,89 kaf/mm'. 'n - 0.47 kg(/mlll .
e-
o-
PltOI. 12.-U
kat/mm1 o a cons tante de mola t
x 10'
- I.J kaf/ mm. O no do lallo • - ~s m ct.
comprimento, uma 6r • A • 6.,4 mm 1, E •
....\'"
I
!
":t
' 1
62$ m.m
..,.__
100 !ftft1
llS mn'
A<•p.: 4.96 •oltu.
1.2..37. A (lm.pe.ratur. em uma romalha
é medida per- mo.io do um
de aço lnoxidhel colocado nela. O fiO 6 efllc:ado do
toto da romalba at6 a axtrem.Jdado do uma
vlp em balanço, u te.ma ' romalha. A
dcfo rmaçlo med ida por um n.n1oc colado na parto de baia.o. da vfaa 6 uma m•
dida de- temperatura. Admitindo que o cOm•
r10
~r-
Pomolh• -
•rc
- I 050 l<af/mm' c c li >< 10O pa·
rafum de. -.ju.-taa ern tem pa.no do l,l, mm.
1'1108. 12-31
primonto total do r10 •-'• aquecido l te mporatu.ra da rom alh lo qual 6 a mudança
n01• tompe.ra.tura 11 o nnsor r·e afatra uma
variaçlo na deformaçlo do -100 >< lO- •?
Admitir que o fio tenha uma lroçlo Inicial
PROO.IWS
PROO.. 12.-33
12.34.. Um cito de a~o. cm rorma ,de
L, de l5 mm do dl4metro, 6 enaucodo em
uma das e.~tlrcmídades a uma parede riaida
e Jimple~mcnt.e apoiado na outr~ como
moscra a naura. No plano. a curva~ de 90•.
Qual o morncnto nctor desenvolvido no
uucmo enau1ado devido ' aplicaçlo de
uma iorça de 1 000 k&r no •naulo do eixo?
450
12.36. .Um alarmo de Cogo ~ c.scttbclocido c01n uma peça do rio de latiO como
elemento sensor, cqn(orme represeotaçlo
esquemàLica mostrada na 6guta. Se a rolga
6 de o..i mm qu:ando nAo há te:nsã.o no fia.
achar o número de voltas do parafuso pata
ajustar o alarttle do rorma que 01 contatos
K abrilll'l a uma e.levaçiD de tem peratura
de 50 -c Para a bana de latão E/ - 1,7S ><
PROB. 12.31
45 1
sulicienlc pe[a fu.ncicnar como o desejado.
A!$ propri edades mednicas d ot materiais
são as ~ egui ntet: «,.1 • 17, t x J0'"" 4 pot "C.
«,.. .- . 21p x lo-• por · c ~- - 21 ooo
kgf/mm', s.,. - 7 000 ksrtm m 1, A ) r.. - 0,3 mm~. 1"1,. • 77P mm". A altura
da viga pequena 6 de 6 mm. R~sp. : 44,9 •ç.
12.38. Oeterminac a (orça lOtai desenvolvida no fio de bronze do auanjo mostrado na figura,. devida à aplicaçlo da fo rça
F • 500 kaf. I nicia.Jmente o fio é trac-ionado
a 18 kgr. O eixo de 090 tem I - 4 )( ros
mm"' e J - 8 I( 10.s mm". Para o eix.~ E - 21 000kgf/mm1 e G - 8400kgffmm 1 •
Parn o fio de bronze, A - 4S mml e E •
• 7 000 kg(/mm'. A viga I de liga de a lu·
tnlnio tem 12j mm tlo altura e as me&mu
dimcnsôee rrn nsversnla que uma vfga I do
125mm, 2 1,9 ksf/m. Pom a v1go, E- 7000
kat/mm 1 • R,,sp.: 143,75 kar.
12.39. Rct'aur o Exemplo U .JO tro•
tando ~c x, como redundantes.. Empreaar
os equaçOcs de Jupcrpos:lçlo, Eq. 12.11.
12.40. UsiJidO A! equaçl!es de super·
posiçlo, Eq. t2.11, determinar as reaçôes
oo.s suportes., p rovocada& pela cargo apU·
cada 11 viga mostredu na ligura. Tratar os
momentos nos suportes como r«tundnntcs
e determinar as rotações na extremidade
da vign simples mente apojada. por qualquer dos métodos anteriormente dcsenvol·
vido$.. (Sogestào. Vejft o E xemplo 2. 1 J. Fig.
2.~?)· R<3p.: M , - kl..'/30, M,- -kL 1/20.
~
.
.
·' fROB.J2..o
'
12.4J e 12.42 Para as vigas carregadas
como moslram as figuras, e usando o melodo de área de momento. determinar 8$
n~ações redundantes e tra çar os diagrama.s
de força cortanrc e momento, (Suge!itàa.
No Prob. 12.42, tratar a rea.çào da direita
c(lmo redundanle). Rrsp.: M., é dada nas
figuras.
12.43. (a) Usand o o melo d o de Arca de
momcn to, decennína.r o momento retlun -
452
tttt
•
f'R OB. ll-41
t- .Pn•
11 " Pf rim
lll m ...• •""
I~
OJ
,
~ROO. ll·42 (- 6766)
dante no extremo engastada. da viga mos·
lrada na f'igur-. c traçar os diagra ma!i de
rorça cort.antc c momento. D esprezar o peso
da viga. (b) SeJccionar uma viga WF, usando
uma ten'slo de nexlo admissivel de 12,6
kgf/mm 2 e uma de cisalhamento de 8,4
k gf/ mm 2. (c) Determinar a defledo mbima
da viga en tre os suportes e no balanço,
Con$idernr E • 20000 kg(/mm 1• Retsp.: (b)
12 WF 27 (305 mm, <10,15 kgr/m).
3600 kj{
moi<> do vão. Resp.: ( b) 6,11 kg(/mm 1 . (c)
equação dos ttês momentos. I!J é constan te.
-3.•4 mm.
R4'sp.: - 1 251 k gfm.
SI
$ t
1, $
J.I'ROB. 1 2~6
3.0m
I ,S
J 2.47 e 12.-1& Para as vigas de rigidC'l:
a Oexão co nstnnte. carregadas oo·mo o mo v
lram as figuras, e usando o método d e
é rea de momento, deternünar os momen tos
nas extremidades fixas.
,, r
M,
L/l
I_,J~
~
~ r~Tf/m
~ 2 ,4 m 1.6 m ,
!
~
1'~0U, Il· C1 f;tM1/~ )
PR OI.\. t.!-f~ (-l ,144)
J2,49. Paw, n vian c:ontJntJ &. çarropdu
'
30m
~l m
como mostra o naufa. determinor o mofRQQ, 1 l~ 3
12.44 e 12.41 Para as viga& e:arregd.deJ
na ro~:ma mottrada nas Oguru, c usando o
mCtodo de érea de momento, (a) dercrminar
os momentos nas extremidades f]x.as e tra.
çar os dia.sramas de rorçn cortante e m o~
mento Oeto r, (d~prezar o peso da.s vigas)
e (b} exprimir a deOexlo mAxirn.a ern termos
das carga1, distAncies e E I. Nl o ê ne-o esMria
qua1qucr -.juste.gem para unidades. Rt'$p. :
para (a) veja u naur.u.
6000 kat 6000 kat
11
~
f
l
p.S m(
l ,lm
PROB. 12..114
~
,;
1, 2m
mento quo atun no suporte intermediârio.
usando o método de drM de momento;
traçAr os diagramas de força cortante c de
momento. O J da viga da dire ita~ o dobro
do da e.'lquerda. Rf:'$p,: M ..,6~ = lO 723 kgfm.
M .... - - 8 ISJ kgfm.
3 t/m
4 ,5 t/m
JTQZ'
'i
I 3.•
•.a
I
PA.OD. J 2-49
m
1
m
1
12.50. Umn viga coan momen1o de
in6ccia variâvel ~ correguda como m os1ra
11 ligura. (a) U$ando o método dc área de
momento, deter111inar o momenro no supor te ~o meio. (b) Ac-h ar todas as rc:.açõcs.
p
/NL'l\
nT
: I
12.46. Uma vig,~l2 WF 36(53,Skgr{m)
é earrcg.eda oomo mostra a figura. Usando
o método de área de momento e desprezando o peJO da viga. determinar (a) os
momentos: nas extremidades fixas, (b) a m é.~
Ai ma te nsio de llexio, {c) a deOexão no
PROB. U -j;O
l2 ..SL Para a viga con tinua cartegad a
como mostra a figura. determinar o momento De!o r no $Upor1e Jntc:rnu;diário U$an ~
do o mêtodo de áre-a de mome nto ou a
PROB. t:M l
o,s m
12. 52. Uma viga de rigidez a Rexão
constante &1 é con tinua em quatro vãos
de comprimento iguais L. Traçar O$ diagramas de força corta nte e momento para
cs53 viga.. se em seu comprjmento ela re111
carregamento uniformemente distribl.Jido
de p0 kgfjm. Usar as- equações: de- três tnomentos para determ inar os momentos nos
suportes. (Sug!'sttio. Tirar vantagem da si·
mct-r'ia~ R<-:Jp. : O momento no suporte do
centro é p0 L:t/t4; as reações nas e.}( tre ~
midadu .sio II JJ0 L./28.
12.53. Refazer o Exemplo 11. 14, Fig.
J 2.17, hpós admitir que ambos os .suportes
A e C sejnnt fixo.. U!ar à equàçl o dos
três momentos. Resp. ~ M ..c .... 19 J ! kg-On,
M 11 -== 2 423 ksrm.
1254, Usando a equação dos trê.o; momentos, d eterminar os UIOmentos nos supor tes da vig_a carregada como mostra a
fig ura. é/ é coustame. Rtt!lp.: - 9 000 kg(m,
- 1 833 kgrm, - 3 568 kgfm e Q.
12.55. Uirt:t viga re!trita de macerial
dútil ê carregada com duas Corças concen ~
tradas P, como mos Ir.a a ligura. Determinar
llil core.as limites P 11,,.. Oe,spretar o peso da
viga (Sugttstào. Deve ser verificada a pos~
sibilidade de u ma a.niculação p lástica pa ra
cada C.' lrga), R~sp,: 4M,1 L.,
L2.56. Usando a análise limite. calcular o valor de P que provocada o colapso
(na Oedo) do. viga mostradtl, A viga tem
seç.lo retangulnr de 100 mm de largura e
:!50 mm de altura. A tensão de e.s coamenco
ê de 25 kgf/ mm 2• Oesrrezêtr o peso da viga.
R • ·'P· : 36 600 kgr.
12.57. Uma \'iga prismática continua
supoflu u mn força <.Vncentrada P no meio
de um vão, e umu carga uniformemente
dislrib uid a p 0 no OUirO vão. Usando o
4 53
' I
PROB. l l:·S.
13
M É TODO DA E N E RGIA
PROl. l l ·.U
jiiRQB. IJ...Sl
13. 1 lNTRODUÇ};Q
i5.8m:;m l*
PRO&. Jl...SS
PROS. l l·$6
m6todo do 3-nAiisc ph\stica. determinar ft re..
laçio entre PoL c P necesdria ao c::olapso
(na Oexl o) simultJnoo cm ambos: os \llos.
Oc1preza.r o pesO da viga.
· J2 $8. Usando o método de o.n4liic
limite. scJecionar uma
de. açO WF
pua a c:ondiç:Ao de ca.rregamcnto mostrada
viGa
?,lt..L
I' •
...
na liaura. ~drnilir a.., -. 28 kgf/mm,, um
fator d~ (orm• de (,10 O \IIIU' um ratOr de
2. Resp.; 14 WF 30(44,6 kcf/m~
12.59. Um• vlaa priam4tica ..sem peso..
ê carreanda como IJlOStra J ligyrL Qual ~
a mag.nitude do momento máximo aover·
oante? Rt6p.: p0 l.,2/ 3.
~ -lJ>..L
""'li"
I
'"')!
L(l
PROIJ.. 12:.SY
I !l!j;;;;A,.
O material apresentado nos capitulas proeedcntea deste texto, bueou-se no
nlétodo newtoniano da mocAnica. quo se apóia nas representações vctoriais das
relaçOco de equillbrio. Al!ornatívamento, a mec4niea pode sor tratada pelo m6todo
laa ranJICilno, USIUldo-oo funçôea escalare$. o qual baseia-se aos conceitos de eneraia
discutidos noate capitulo. Trabalhando com oaclllarM, acha·oo a aoluçto do multoa
problemas complexos do deformaçlo de manelra mais simples do que pelos m6todoa
anteriormente discutidos.
Os métodO<I de cAlculo da enerp interna de deformaçlo cm membros estruturais serão revistos em primeizo luaar. As expressões para o energiu de defor.'
maçlo elástica em barras com C&I"''Cpmcnto axial e luembros aubmctidos atorqucs'
serlo suplementadas por uma relaçlo para eá.lculo da energia de dcformaçlo
na Oexio de vigas. Ent!i.o, usando a lei da conservaçlo da energia e iaualando a
enerala de dcformaçlo interna &O trabalho externo, sen\' obtida a deflexlo de alguns
membros.
A so!uçllo direto dos problemu, igualando-se o trabal ho externo à cneraia
interna de dcformaçl!o, t útil nos casos cm que a penas uma força e aplicada a um
membro. Dessa forma, deduz•.., um teorema aeral, a plicável a sistemas elásticos
$UbmctidOS 8 q ualq uer número de caraas, pata determina.çlo das deflcxões C rotações de qualquer elemento, Ease teorema ê associado com o nome de Castigliano.· ·
A esse se segue um procedimento a.inda mais gorai baseado no conceito do trabalho
vir1 ual. Esse método é aplicA'old na dctem1inação de deformaçOes, independente·
mente de suas causas. Pod- ser determinadas nlo apenas as deformações elásticas
m 8A1 tambétll, aa decorrentes de variaçOcs de temperaturas, as plásticas., e a.q uelas
devida• a duajustea dos elementos fa bricados. As soluçõei dos problemas de
de ncdo de vigas, a rmações, treliças e barr._. curvas scrio dadas como ilustrações
dos métodos diSCOJ cid os.
• A. C»~ IIDO, en.pnbeiro italiano (la.l).,84). 0. CCIUitadc:e b65icos foram obtJdOJ de SUII. ICSC.,
cm 1813
454
•
455
13.2
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ELÁSTICA
Ao se introduzír a rele,ção da d ensidade de energia de dcrormaçll.o, Eq. 4.20,
na Eq. 4.22 é obtida a expressão geral para a energia blt•t·lln total de deformação
cm um corpo elàstlco Unntr:
E>wrgia de deformação na flexão
P ara este caso, de acordo com a fó rmula d a flexão elástica para vigas,
"'• =- My(I, Eq. 6.3. Essa relaçllo deve ser substituida no primeiro termo do
segundo membro da. Eq. 13.3. Então, observa.ndo.se que M e I são funções apenas
de X , e q ue, por defiJtiçi!O, JJy2 dydz a f , tem-se
(13.1)
A integração se estende ao longo do volume de um corpo. Tal expressão
geral e usada cm elasticídade. Na mecilnica têcnica dos sólidos é considerada uma
classe menos geral de problemas, e a Eq. 13. 1 se simplifica bastante. Uma expressão
U =
T Jfi
(u• " ·• + r ..,Y,.,)dxd,vdz
(13.2)
é suficiente para a determinação da energia de derorma.ç lo de barras axialmente
carregadas, assim como em vigas netidA:s e dsalha.das. Além do mais. o último
tecmo da Bq. J3.2, es<:rito nu coordenadas a.propdadas. 6 o ncccasArio no pro-.
blama dR torçlo de t.ltn eixo Circular O pnr• tubOS de pe.rode Ona. Bsses caaoà
incluem e maiorla dos tipo• do problemas tratados nes-te texto.
Para anatcriai! linearmente clAstleos, com tcnslo uniaxia1, t • a JE, c no
cisalhan~ento puro, Y.,, ~ <,JG. Assim, n Eq. 13.2 pode ser reorden~da na seguinte
rorma:
U -
JJL~
tlxd,wlz +
JJL~
dxd.v dr.
(13.3)
U=
ffi ;~dV e JH 2e(-~y)'dxd_wlz ~
r [fl
I.
1
1
= J L 2E/
M 2
v'dwt!]dx =
A '
.
M' dx.
L 2e/
( 13.5)
A Eq. L3.S reduz a integl'al volumêtrica para a energia eJástica de uma viga
em flexão, em uma in tegral simples n.o longo do comprimento L da ' viga.
Ene1·gin d~ tleformaçiio p<wn tubos cil'cufares em torção
Para esse caso. a expressão básica para a energ.ia de dcrormação no cisaJha·
mente é análoga ao úllimo termo da Eq. 13.3. Tal expressão foi usada antetiormentc no E•emplo 5.4. Su bstiLuindo em tal equnção T = Tp/ J, Eq. 5.5, obtém-se,
após o.lgumas simplit1caçôes,
u JJL ;~ dv - 1 2~~
=
tlx.
( 13.6)
A deduçilo d.os' casos especiais adicíonais pa•a a energia de deformação não
será prosseguid a.
EXEMPLO 13.1
A chnr a cncrsin ab:sorvidn por uma viga retnngnl ar eláslicn. em nexilo pura, cm termos
da tnâ:ci ma tensilo e do volume do materíHI.
Jl(tfff c.,•a•m•~~to lt'lllll
• flâx«o , , r:<lfJtU
Diversas c·xpressões ú teis de U, como casos especiais, podem ser desenvolvidas
da Eq. 13.3, pela reduçllo das integrais trlplices a outras simples.
SO]-UÇÃO
O momel'lto lletor em çad..'\ seçl\o da viga C consta nte. Oc$5n formo.. pdn aplicaçllo d ireta
do Eq.
13.S~ 1e: m~se
Et~ergia di!
deformação para barras axlalnumtf' carregadas
Em tais situaçôes, "s • P/A, c em dada seçllo da viga, H dydz- A. Dessa
forma, como P e A podem ser fu nções apenas de x, tem-.se
U =
=
fff. 2EO'~
v
!IV -
Jff. ~
v 2A E
.;_.,
(l>I•L
) - -~;2E.-. (-3l voI)·
2t:
l
dxdydz =
Ul tlyrlz]i/x - Jr.. 2AEP' dx,
Jr.. ~
2A E
U=-- - -
( 13.4)
A
onde u ma integração simples ao longo do comp rimento L da barra, dá a quantidade desejada. Se P, A e E são constantes. a Eq. 13.4 fica U = P 2 L/(2A E).
·
456
Como a~.,·x - Atfc/1 - 6A1fbJfJ e I ,... bfl )/ 12,
Pnra uma dada Lensno mã.xim:.t. o vo lu me do nHateriaJ nessa viga é npcnrui um lcrço
lilo efetivo na a bsorç:l O de energia do q ue o seria em u ma barra com tensão uniforme. onde
U • (t1 ~/2E) (vol}. Isso resulta da existência de tensões variáveis en' u nu1 viga. Se o momento
Oetot t arn bc!:m varia ao longo de uma viga pris lllÂlÍ<:à. o volo me do materiaJ torna-se ainda
menos efetivo. A mesma siwa.ção foi observada anterior m ente no carregamento uinl e
na torç:Ao ("'eja os Exemplos 4.3 e 5.4).
457
13.3
DESLOC AMENTOS PEL OS M ~TODOS DA ENERGI A
intcrn& de defo rm&çllo, de 8001do _, a Eq. 13... 6 U • P'L/(2AI!) .....m., de
O principio da conservação da cncriia. que afirma nlo poder a encrsia ser
criada o u d estrulda, pode ser · adotado na determinação d os deslocamento& dos
sistemu elásticos devidoo às fo rças aplicada.s. A primei!\\ le da termodinlmica
exprime esse principio como
trabalho realizad o - variação n a cncraia.
(13.7)
Para um processo ndiabático• e se1n gera~o de calor no sistema, com as
forças aplicadaa do maneira quase estática, •• a forma especial dcsaa lei p a ra sis~
temas eonservativos se reduz a
w. - u.
(13.8)
onde li!,. ti o trabalho total realizado pelos forças extornM aplicadas duranlc o
processo de carregamento e U é a ener!Pa total d e deformação armuenada no
sistema.
É significativo observar que, alternativamente,
w. +~'V, =0,
isto ó, o trabalho externo
Eqs. 13.8 c 13.9, tom-se
(13.9)
w,, e o interno ~ devem ser nulos. Dessa forma, das
(13. 10)
u- - w,.
onde W, tem sinal negativo porque as de(ormaçOca sofrem ·opotiç.lo du forças
interna$.
O artigo precedente fornece divenu expressOes para detertninaçlo de U.
Pode-se também o bservar que, em sistemas e lásticos lineares. se uma fo rça o u
conjugado é aplicado a um corpo, ela aumenta linearmente de zero a seu valor
global. Dessa forma, o trabalho externo W, é igual à metade da força tot al multi-.
plicada pelo deslocamento na dircção do sua açlo. A possibiHdadc de formulação
de W, c U, fornece a base para Utilizaçlo da Eq. 13.8 na determinaçlo doa
deslocamentos.
·
A seguir serlo a presentados alguns exemploa de aplicação da Eq. 13.8.
P'L
2 • :Ui!
PA
e
w, • u,
P I.
A •-•
AE
q~ I id!otit:a l Eq. 433.
EXI!MJ.>LO 13.3
Achar a ro t&ÇAo da extrcmid.adc de Ul1l cbo àn;ular e.!.latico. a :n telaçlo ao exuemo
cnpatado. q ua.ndo a a pU ca do um tOTqUI T' n.e- e;w:tr.midade Hvrc.
SOLUÇÃO
A medida que o lOfQUC T 6 aradualmentc &plicado ao ob.~ o tra balho o.xtemo w. • Ttp~ onde Cf1 6 a totaQA.o &nl\llat ela e:lllntm!dade li ~ro o.m tadianot. A uprc.ulo pua
a encraia inlerna de do ror ma.çlo U. para. o olxo circu1ur. 6 dacJa na Eq. J 3.6. Com T c J constantes. iaso dâ U • r' {4(2JGI: a. de W, • U
Tr,
1"1.
TL
T - üõ •
'11 - -JG
que ooocorda com a Eq.. S.ll.
EXEMP L O I 3.4
Aeha.r a mAxima dt Oexlo dovJda a Un\1 rorça P aplicada na e.ctromidado de uma vlaa
elhtlca cm be1111ça. t.,do oeçlo t<IJI.-1011 retanaular, Fia. IJ.l(a~ Conoidorar ot cloh oo
das derorrnaO(ta d e nuao • ana utar.
,.
V - 1'
1[2
JJ -~ -P:x .,
"
L
(o)
(b)
EXEMt'I..O 13.2
Achar a defledo d;1 extremidade livre de um11 ba rra elástica de. seçlio tr ansvcrul oon•·.
tante de 'rca A e de comprimento L.. devida a uma fot~ axial P apücadt na exLf'em idJde
livre.
SOLUÇA O
à mcdjda que a força P t ;,radua lmen te: apliçada â barra. o t rabalho externo w. - P~
onde A 6 a c.lcOedo da extroulidade da barro, Com P .:onst.anlo. 1 ex preulo para 4 ene rgJ~
• Ntnrlum uloc e lr,J.Mf.erido pua 011 elo> .nSicm•
.. AJ forç:n t~lo aplicad!l.'l to corpo 1lo lentamente qut a. en~rgla clnétú::a po<le r r dcspte:tada
458
SOLUÇÃO
Como a força P é apüc:ada' vip. o trabalho c.ttc.rno w. - PA/1.. onde 4 6 a dcOcxlo
total da extremlda.dc da viga. A eneraia interna de dorom11,ç&o conslate em duas parcclu.
Uma 6 devida ' ' t.c.n.eea de R.ulo, a outra ê provocada pcJaa tonsaca de cbalhamen to. De
acordo c:om a Eq . Jl.J. euu en eraias de deformaçlo podem ser superpoatu direcame.nte.
A
de deformaçio na llcAIO~obtida da Eq. 13.5, u
M'dxft2EI~ observando-se
que M - -Px. A ene ra.ia de deforrnaçlo no cisalhamento 6 uchada por meio do iCgundo
c:rmo da. Eq. 13.3, dU,fl • (" 1/(lGj] d V. Ncuc problema pn.rtlculor, a força cort&o1c em
cada w;lo t lcual i força a plicada P, enquanto q ue a teaslo de cisal""mento r, de acordo
••••si•
-r
459
com o Exemplo 7.3, é distribuída parabolican>ente como t = [P/t21)] [(hi2)'-J•'J. &n
ctu.n.lquer nf\'cl ~·essa tensão de cisal hamento nilo varja ao longo da largura b ou do compnmento L da v1ga. Oesu forma. o volume inlin iterimaJ ti V na expreuio do encraia de cts.a:
lhamento é t omado como Lb dy. )_g ualando.. sc a lôOma dessas duRS enersias internas ôe de:
fo m,açllo ao trabalho ~~«no, é- obtida a deflexão 1otat
~ -[M dx_ rt.c-Px),dx . ~.
fJ••••
2E.I
Jo 2Ef
6E.I •
1
0
0
u,,.
-L ;~~v- 2~ (~' {~ [G)'- "Jr Lb(ly
- P'Lb h'. P'i./J/1 ' (~)' • ~
8GI' 30
240G
b lr>
u- u,,...~. + ud.
ou
O primeiro termo no resultado, PLJ/(361). é 11 deflexão ordinêria d• viga devida à flc:xlo.
O sesundo termo 6 a deOed:o devida ao cisnlhamcnlo ~ pode ser fnterpret ada da seguinte
rorrna : o relaçlo P/A - V/A é a tcn!llo m~io de chsnlhamento. ~
atrav" da seçlo essA
quanlidnde dhddida pelo módulo de rlgldcr. O dá o dcrormaçio tr::;vcrsaJ .para uma t.e nslo
uniforme. Como, entretanto. a cens4_o de cisnlhnmento varia 10 lonao da aeçlo. 6 'necessArfo
um fa.tor da correQio numerfca. aqui cl\o.mndo de «. Nes:so problema. a • 6/S. Assi m [veja
a FJ&. lJ.J(b)J, para a torça ~ortanrc que ocorre ao longo da vfaa. a dcncxlo da extremidade
podo ser cxprcua nas scgu1ntcs formo.s alternBllvas
·
L
A
"""Y,• •
.,.
-r,...,
I '.,!
.,
1
O método ilustrado nos exemplos acima limita-se à determinação das de·
nexões clá.s1icas provo cadas por uma rorça no po nto de sua aplicação. Por outro·
lado, são obtidas eq uações intratáveis. Por e<emplo, para duas forças, 1/2P 11!. 1 +
+ l/2P 2tJ., = U, onde tJ., c 1!., são as incógnitas. Uma relação adicional entre
~ 1 e .!'. 1 • exccto nos casos de simetria, não se enconua disponlvel. Isso exige o
dcsen voh-imento de mCtodos mais gerais. O restante do capít.ulo discute tais
méto d os baseados no s concei tos de lrabalho ou energia.
5AG '
onde A - M é a ã.re.1 da sc.ção transversal d3 viga. Hnt.Ao•.
~v. -
Yão, a defledo devida à Oexiio aumenta com o ctabo dess'! distância. Dessa forma, à medida
que o comprimento da viga a U;ment' a ~enexão d.evjda. à Rexão se torna rapidamente dominant~ Por essa razão, é geraJmente possh.•el despre'lat a deflcdo devida à (orça cortante.'
Nalura lmentc: taJ gcneraHzação nem sempre é possivcl.
VL
6PL
• o:oL•ocAG-r.:iõ'
O rator a depende da. ~rea da seçlo transversal de um membro estrutural. Em gctB.l, a
força cortante V pode var1a.r ao longo do v:lo.
~ instrutivo rcJormular a exprcsslo par11 a dellexJ:o \Otal A, cÔmo
4-~(l
+ lOG
3E "')·
3EI
TJ
onde, como antes, .o Ultimo termo clé. a dcncxio devida á força c·o rtante.
Para adquirir maior conhecimento do problema, substituir na Ul1ima cxpresdo a re~
Jação EfG por 2,5, um valor tlpico para aços. Erulo
d '""' { t + 0,1Sh 1fL. 1)tJ,J~··•··
Dessn e9~~ção pode-.JC ver que. para ~ma vig.-a cu na. por exemplo. com 1:- = h - a, a
~enexllo tot al e IgUal a 1,75 vezes ~quelu devJdn 8 ne.xilo. Assim, a dellexlo angular e bastante
1mportaot~ nO$ c:a.sos oomparâ\'etS. .Por omro lado. se L-= I Oh., a deOexJo derida à ror('a
O?rta.ntc é menor do que 1 /0' Pequenas deOex()es devidll3 â. força eortante slo ti p(cas para
v1gas delgadas comun~ Es~ rato pode ser observado n.a e!=Juaç.a:o original pare: ó. A l4 en·
TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA DEI'LEXÃO
No cálculo d as dcflcx:ões <lc sistemas elásticos, o seguínte teorema pode ser
Creqüenlemenle aplicado com vantagem: A deritmd<i pareia./ da energia [le {lefor-.
maçllo de um s ist ema elásrfco /J nem_, em relação a qualquer· força sei!JCÍOHada que
13.4
ng' sobre o sist~ma dá o d eslocllinento claqtcela força ntJ {lireçlio de sua lfnha fie ação.
As palavras força e cleslocameut.o têm sentido generalizado e incluem, respectiva-
men te. conjugado c d os.locamento angular. Esse é o (segundo) teorema de Casti:
gtia no. Suo ded ução encon tra-se a seguir.
·
A c~pccsslo para a cnerS;ia interna de deformação para sistemas elásticos
line-a res pode ser coloca.da essencialmente na seguinte forma:
Como foi mostrad o na Seç. L3.2, e ntreta n to. como as tensões dependem das
Corças aplicadas, a energia de defornu~çfto de um dado corpo tamb~m podo ser
expressa por ~ma funçfto quadrática das fo rças externas P 1 • P 1 •. • . , P. , .. . , P" ,
M, , . .. , MJO, lStO é.
U = U(P,. P, ··· P· ·· · P•• M,. M 2 · ··M,).
Suponhamos q ue essa energia corresponda a u.rn corpo como o mostrado na
lrig. 13.2(a). O aumento infinitesimal nessa run ção ~U. para um aumento infinite-
simal cm todas as forças aplicadas fJP• c fJMM , decorre da aplicação da regra dà
cadeia na diferenciação. Isso dó
éJU
au
õP 1
ôP 1
ôU = - óP 1 + -
8P
'
au
+ · ·· + - óP ·· · +iJU- óM,,.
iJP•
•
õM
•
Nessa e<pressão os iJP• e os iJM• são usados no lugar da ootaçíio diferencial
ordinária, para. enfatizar a, independência linear dessas quantidades. Desse ponto
de vista, se apenas a fo rça óP, variasse de uma quantidade óP., Fig. l3.2(b), o
quanto a dcfledo devada a força cortanle aumenta diret&!flonte com o comprimento do·
460
461
incremento de eneraiu de deformação seria
ShnpUiicando, temos
au
õU
6U • õP, 6P,.
(13. 13)
ll, - õP,
-·
Deua forma, como o trabalho das rea9l)c:.s 6 zero. a energia total de deformaçlo
U' correspondente i aplleaçlo de todaa u forças externas e 6P,, F i&- 13.2(c~ 6
U' • U + 6U - U + au 6P, .
Retendo toronoa dlfcrontea na d erivaçlo,
õU
o• - -aM,
·
(13.11)
8P,
(13. 14)
que dA a rcl&çlo do um membro no ponto p. na dlrcçlo do momento aplicado M .
Essu equa9l)oa veraitela eatabolecem a proposiçlo CJtabolocida no inicio desta
1<1çlo. Ao aplicA-lu, a aoluçlc d o um problema n&o ac limita pelo n Om oro d o
forçu aplicadu. A acliçlo de uma força fictícia om um local em quo nenhuma
força é aplicada possibilita o empreao das equações acima em qualquer ponto
de um corpo. Igualando-se a zero a força lictlcia. determina-se o deslocamento
efctivo na utrcmklade.. EatG e outros ilens relacionados à aplicaçl.o do teorema
de deOexlo de CutilJ)iano acrlo Uu.strados pelos exemplos que se seguem.
"·
+
EXEMPLO 13.,
Cbl
Utando o 1ooroma óo CntiJiiano. veri6c::ar os resultados d01 ExomplCII Jl.2. 13.3 ~ 13.·4 .
SOLUÇ~O
Em todOI IUCII problemu ror-.m ronnuladu as cxprcu&s para a cneraJa fntemD de
doformaQto U. O.aaa forma, uma aplio~ dircta da Eq. 13.JJ 1>1! 1;!.14 ~ tudo o q""..,
noccs:aha para a obtonçlo de. ru ultadOI ~:.dOI. Em tod.01 01 c:asot o material obedoc:o
6 lei do Hooko.
Oenuao do uma barra com c:arnaame.nto u.W (P • con.stante):
P'J..
U --2A ll,
(d)
lo I
Flour• 13. 2
P•ra cledue-&o do teoretnl de CastigUano
Umn expressão igual a CJsa será formulada a seguir, invertepdo·se a seqUência
de nplicaç4o da corsa. Flgs. t3.2(a~ (b) c (d). Aplicando-se lJP, primeiro, provoca-se
um deslocamento infínhesimlll /Jó•. Para urn corpo clâstico linear. o correspon-.
dente trabalho externo de 6P,6óJ2 pode ser dc.spremdo por<Jue é de segunda ordem.
Além disso. o trubnlho externo W, reali~ado pelas forças P,, P,, ... , P, , . .. , M,
é afetado pela presença de 6P,. Por outro lado. durante a aplicação dessas forças,
n força 6P, reuliza trabulho ao se mover de ll,, na dirccão de P, . Esse trabalho
adicional é iaual a {6PJil,. Dessa forma, o trabalho total
realizado pelo sistema
externo de carrega mento, Incluindo o trabalho efetuado por 6P, , Fig. J3.2(d). é
W: • W, + (6P,)Il, .
(13.12)
w;
Essa relaçlo pode ser igualada à Eq. 13.11, porque a ordem de aplicação
da carga é imaterial, e o trabalho externo c igual à energia inlcma de deformação:
w, + (.5PJ6, = u + (autaP,J.5P,.
462
ass;im
au
PL
6.- -aP - ·
A.B.
Rotcaçflo anau1a.r de um eixo circular (T- const.ntc):
au
T'L.
auim
U --
UG
TL
~·e--õT -·
JG
OcRoxAo do uma via• totanaular am balanço. devida 11 ~ma carga P nn extrcmidndc:
P'L'
3P'J..
V- -6EI
-+ SAG
assim
l::t.
--=BU
iiP
PJ..'
6PL
·
3E./ +~
SAG
EXEMPL.O 13.6
Uma vi:&& priemllica clúttc:a 6 c::.a.rregada çomo mostra 11 Fig. ll.l. Usando o teotema
de Cutlaliano, achar a deOexJo dovida ' noxão causad• pela força P aplicada no een&ro.
SOLUÇ~O
A cxpresslo para o cnorsla interno de deformaç® na Dedo é dada pelo Eq. 13.,
U -
JM'/(2EJ) dx.
463
,.
onde o smal negath'O mestra. q ue a dcflc:clo ê na direção oposta à ad mitida para a rorça R,...
Se R... , na in tegraçlo acima. ndo fo5#e .nu I ~ seciJI encontrada a dcllexdo da extremidade
devida n Pa e R, .
•
A rotaçlo a.n&ular da vip e m A pode iCf achada de maneira anilop ao visto acimL
Um momento rid fc.o M~ é a pl:cado na c:x•remidade. Fig. J ).4(c). e os ci1cu1os são cfetuados
da mcsrn11 manellu q u: anles;
Plgun 13.S
P x•
2
Como1 de acordo com o teorema de Castigli:ano. a dellexlo necessUia ê uma derivada
dcs"' função, ~ vanlJijOIO dikrcndar a CJ<prtSJio """' U antes do integr'·l&. NO$ problcmu
cm que M ~ urna funçlo comple.u. esse esquema t particularmente útiL NeSse caso, a seguinte
rclnçfi.o torno-se apliehel:
A • iJU
- iJP
J.'
0
iJM
-M -dx.
El iJP
(13 I S)
.
Assim procedendo, t cm ~ se de A pl'lra B:
---·
p
• iJM
iJP
. M - + T -'
CM_.
J.<(- -2x~o
(- J)d~
•
"'
..
p0-
-
0
onde o ainat indico. q~.te o senlido de ro1açlo da extremidade coincide com o admitido para
o momcnro M_..
EXEMPLO 13.8
Dc:rcrminar n deflexão horizontal da e.ttruturo~. c:lâ.stica simples mmu rada na Fís. 13.S(a~
Consic.lcrnr apenas ll defled:o causada pela Oe.\âO. A rigidez El de ambos os me1nbros é
igual e constanlc.
L
-dx - + - - ·
•EI
48E;l
0
El
ôM
-- - 1
ilM•
2
PL'
Jl P:(l
au
1
A •--•-
.._
e
...
"
Substituindo essas relações na Eq. 13. 15, e observando a ahnelria do problema.
ó • 1[
M = - -0- - M
O sinnl positivo Indica que • deOexlo ooorre nn dlreçfto da força apUcada P.
EXEMPL O 13.7
Flgu,.. 13 ,5
Us.ando o teorem1 de CastiaHa.no. determinar a dencd.o e a rolaçlo angular da e:d remidadc de umn viga em balanço unirormc mente eurregada, f'ig. 13.4(a). E/ - constante.'
X
AI f
t
:
11
~
(•J
I
lbl
,. I
I ;
SOL UÇÃO
A funçlo da c:ncrgi• de dc:formaçloê um escoln. Dessa ror ma. as enerGias de dcrormaçlo
pa,ra os difere-ntes elementos de u1n sistema elá.~tic.'O podem ser adicionados aJaçbrJca mente.
Apôs dct:crrrun ad~ a energia totaJ de dd orm:tção. sua derivada parciaJ em relaçlo a uma
força d6 o deslocamento daquela força. Para oo pcoblem,. em qucstio, a Eq. 13. 15 é apropda dL De A a B: ~~ - + !'% e ilMjaP • + -"·
(1.' )
De B a C:
SOI..UÇÃO
Nenhuma força é oplieada na e• tremidode da viga em bafonço, ondo devem ser achados
os d e~iloc: a.m e n tos. Dessa fo rma, 1 rim de so poder a plicar o ~eorema de Ca.stigliano, uma
fo rça fiçticio deve ser adicionado em çorre!pondÇncin no dalocamcnto procurado. Assim.
corno mostrado na f'ig. IM{bl além do carregamento cspedficado, foi introduzida uma
força R•. Isso permite a determina ção do autaR• . que, com R• - O. c!' a delluio vertical
do ponto A. Aplicando a Eq. 13.1S. teiJlose
p0
-" ' + RAx
M ow --
2
c
-íJM· - + x
êR,
1•( px'~O
.. ( + x) dx- -pL•
íJR• E_l
2
·
8E!
ôU= -I
ó. • -
484
(•)
-~ +
~
0
-.
M -
PL
+ -4
e
ôM
L
êJ- + -• ·
6• - :~ =~ r ( + P.<)(+x) i/.x + ~I
f( +:L)( ~ )rlx
+
(I 3.13)
fJP(.'
- + 'i92U'
O lc.ltor devçrim comparar a s implicidade dessn 11olução com os procedimentos discutidos
no C.p. 11 (veja especiaJme:nlc: a Fis,. Jl. IS). Frc:qOen.tc:rncntc: ~ po.ssi'+'d determinar de ma·
ncira si1nples Oi deJJoca..me.ntos em ponlOS 1ndividuats de: çsuut uras complexas por me1o
de um m!todo de energia. '' êompleta liberdade de cseolha nn conveoçao de s inais dos mo··
memos e na locJiiuç.'l o da odacm para C-4da parte ou peça de uma estrulum é umo atraçio
• dicicnal do método.
465
Neste p roblema seria pOs:sivd inci~Ji r. nn avaliaçGo da onerp de deformac;lo eJbtlca.
a energia axial para o membro 8~ c a ener&ia de cisalhamento para o membro A B. Se isso
roase reito, poderiam aer determlnndu u contribuiQaes para a dcflcxllo, devidat a OUUJ cauau.
A quantidade determinada dá a deOexão da estrutura devida e penas é Oexio. UsuaJmcnte
essa e 8 parte dominante do total.
Se fosse pedida a dcOcxlo vertical do ponto ~ deveria ser adicionada uma força fic:tlc:ia.
vertical r~ cm A. Entio, como no exemplo an1erior, ôU/ôF côm F -O daria o resohado
desejado.
i..
·5.,
'
Na anAlise dos sistemas Hne.arcs estaticamente ;nde'lcrmlnado• sempre pode
ser seguido o m6toôo da superposiçllo d iscutido no capitulo an terior (vej a a Seç.
12.4). Em tal mCtodo, o Lcorcn'lu de Castigliano pode ser usado na determinaçlfo
dos desloean~entos em uma estrUt\.lra rcdul.ido. à determinação estática. Alterna·
tlvamente, as redundantes podam ser consideradas como fo rças externas incógni tas'
e identificadas adequadamente pelos símbolos alg6:brico,, Assim sendo. a t'Unçlo
de energia de deformaçilo conterá as quantidades redu ndantes como incógnitas.
Ent retanto, as condições cinemáticas prescritas e u~ cada redundante fon~ecem as
condições necessárias para solução do problema. Isso é . cuelhor ilustrudo em u m
exemplo.
BU
I
A" - aR. - EI
0 ,"C
\
P0 L
/j, - é!P,8P .
1
Todavia, como ·a ordem da diferenciaçlo ~· irrelevante,
!ti - Jj, .
(13.17)
Essa equaçio estabelece quo a deflexão em qualq~ter ponto i devida a uma
força unitár ia em qualquer ponto ), 6 iaual • defloxlo de J. devida a uma força
unitária om 1. contanto que u direçOO& das forças o as dofloxl!ea em cada caso
coincidam. Esse ~ o chamado teormra reciproco ou Ir! d• Maxwell dos dejlexô<J
reciprocas. •
13.6
GENERALIZAÇÃO DOS TEORE MAS DE CASTIGUANO
~ lnrcresu.nte rocx:aminar o tcproma d~ Castl&-liano da Scç. 13.4 cm rc.laçlo a um diagrama de rorça·.d cncd .o para um membro com carregamento axial A ro.posta e-h\stica'
linoa r antociormenc.e conaidorada ati na Fia. 13.6(a). Oblervo ~ue. pua cue cuo, a cncrafa
de deformaç!.o elástica U ~igual â energia de deformaçlo complementar u• (veja a Seç. 4.9).
Deue diaarama podo-u ver que. para utn incremento de carga lJP, o t rabalho externo complementar 6Wt-• e (clP}G.. Ei:se, por 1ua vez. 6 igual a 6u•. ou seja. 6U • • (lJP)t\, que n&
forma sene~ralizada fica
aR"= + x .
J."(- ,,-2-+R•xf+ x)px= - m+ R_.L~
351
duas cxprcsaões
IJ>u
lJP1 •
que diz não ocorrer dcOe:xão e1n A devida d carga BplícRda Po. e RA •
p0 x 1
IJM
1
I gualando
acima, tem ...se
bA1
SOLUÇÃO
A soluçlo e análo&a àquela. do Exemplo 13.7, exccto que R ,. d eve ser trt,ada como
incôgrtittl c nlo desaparece. A condiçlo cinemática chave t
(13.16)
4"- autOR,. =o.
c
ôU
tll--·
ôP1
6 1 cm relaçio n P1, n u
e
e, analoa;amcnto.
EXEMPLO 13.9
Çonsiderar uma viga eJ!stica. uniformCL'IlCntc carregada, lixa cm uma extremidAde c
simplesmente npoiuda na outra, como mostra a Fig. 13.4(b). Oe,terminnr 11 re.açlo em A.
M =-z+ R..x
Se a otierJjl&. da deformaçl!o do sistema devida ã aplicação dessas forças é U
as mesmas q ua ntidades tam bem s!o dadas, de acordo com o sea:undo tcorem~
de Cuti;JiAJto, por
2
au•
A,• --·
BP,
=O.
0
(13.18)
Para o c.a!O elástico linear cm que u- u• , esa-a expresslo Se reduz à Eq. !3.l3, que
é o &cgundo teorema. de Cas.tiaJiwo. A inspeçlo ds. Fig. 13.6(b) mostra. entretanto, que: essa
relação permanece vA.Iida para o material elbtioo nio-Hncar, contanto que seja usado u•
em lu&ar do U.
·
CoD.Jiderando o trabaJbo extctPO 6 We realizado piU'A UJna variaçlo em A, e igualo.ndo ~o
à energia de óefonna.çlo õU. de cada fi&ura. vé·se que 6U • P(dA). Na fo rma generalizad·tl
Dessa rormtl. R"= + 3p 0Lf~ resultado já acha do no Exemplo 12.9.
13.5
T EOREMA RECÍPROCO
Em sistemas estruturais lineares.. a deneMão ll. 1, no ponto i, devida às forças
P, em i e p1 em j pode ser e.< pressa, de acordo com a Eq. 12. I I por
tJ.1 = J1,P1 + f,1P r
Analogamente, a deflexão cm f · é
au
P•- -M,
(13.19)
~- rclaçiO foi. dc.stObcC\Il por J&OOCI Clcrlc M_u....,:ll, cm 1864.0 Có\30 mail seruJ foi demon!ôtrado
tJ. 1 ~ Jj 1P1 + / JJP/'
r e J:ii sa-o os coeficientes de ncx ibilidade de u m dado sistema.
on d c J.11 , j "u • JJi
por E. Stttl, em 1172
467
466
.'
quç f: o primeiro teorema de: Castigliano. Seu sltnificado 6 anlloso ~ do scgun~~ l~rema
çom a deOaão e dealoe,._mento íntercambi:\veis. Eua equaçlo se aplica a mat en111s !tocares
e a nllo-linuru.
A tlplicnç.lo do primeiro lciOrema de Canf&lia.n.o e doa doEs tcorema.t para materiais
elá.stieot não-lincatct nlo ser6 procurada nene texto.•
,
~p
~--"L..-1-.j..-.64
w
~~
Fleura 13.•
Trabelho dlttto 1 comploment~r. • eno•gie dt d tform.çlo direta • comptemenr.r
M éTODO 00 TRADA I..HO VIRTUAl. PARA O EFLEXOES
posslvel imaginar que um tlstcma meeO.nico real ou estrutural em equillbrio
estó.tico seja deslocado arbitrariamente de forma coerente com suas oondiçOes
de contorno ou vinoulos. Durante esse processo, as rorças reals que atuam sobre
o sfstemo se movem cm deslocamentos imnglnérios ou virtuais. Aftema.úvamentc,
rorçttS virtul\ir. ou im oginérioa. cm equilíbrio com o sistema dado. podem provoc,a r
dcslocnmcnto1 reoi1 cinomaticamento admisslvois. Em qualquer dos casos po de-se
formul ar o tr abalhe> imasln,rio o u virt ual realizado. Aqu:i, a discusslo fica rá limi·.
tada à considcrnçllo do fo rçu virtuais com desloumcntos reais.
Para fo rças c deslocamentos que ocorrem da maneira acima. o princípio da
conservaçilo da energia permanece válido. A variaçlo no trabalho total devida
a essas perturbações deve ser n ula. DeMa forma, para um sistema conservativo,
e de acordo com a l!q. 13.9.
Na d~cussilo su bseqCiente, 6 mais conveniente substituir .5W, na Eq. 13.20
por w..,. o trab.1lbo exu~rno DOS elementos internos de um corpo. Essa quantidade
é nurnericnmentc igu al a cS WJ• m as tem sin al oposto. No cálculo de ~W. 1 , cm con·
traste com 6W1• ns deronnaçõe internas ocon em na direção das fo rças internas.
Desta rorma
a
(13.21)
q ue e;cpr unc o princlp10 do tra balho vinu-al. Para sjstemas de corpo rlg.ido. o
termo do seaundo membro se anula. enquanto que nos sistemas elásticos. com n
'l.iuda da Eq. 13.10. pode-se ver q ue C$$C ter mo fica 6U. A restrição do principio
à resposta elutic:a, emreumto, não implica na Eq. 13.21. É a generalidade completa
da equaçllo do trabalho vinuru q ue a toma uma femunenta de análíse particularmente valiosa
Para determinação da denexfto de qoalquec ponto de um corpo, devida o
defo rmaçllcs q uaisquer q ue oeorram em um corpo, a Eq. 13.21 pode ser colocada
cm fo rma ma is adequada. Por c )(emplo-. considere um corpo como o mostrado
na Fig. 13.7, para o qual é procurada a defle•i!o de um ponto A, na dircção A-8,
cau..da pela deformaçiio do corpo. A equação do trabalho virtual pode ser formulada pelo emprego da seguinte seq~ncia de argumentos:
Pdmeiro, aplica r ao corpo sem carga uma rorça huagimiria ou virtuaJ 6F.
aw:.ndo n11 direç.D.o A·B. a qual ca1.1sa rorças intcr,na.s a través do corpo. Essas
rorças Internos, indic•dâs por 6f, F ig. 13.7(a), podem ser achadas nos sistemas
esteticamente determinados.
13.7
t
6W, + 6W, - O
ou
6 W. - - 6W1 ,
(13.20)
onde a notaçlo ~w. c 6W, ~ usada no lugar de tiW, e rHV,, para enfa tb:ar quc •
variação no trabalho é virtual.
• Qs l~ltoru intcru•de» podem consulte T. 1\u, lUnJtmtory Struclur~ Ml'C_
â a/g, lnc.. PJ~
tic:c-H1ll. l:n11e-..ood CliC.. N. J. 1961
468
(O I
Em seauidn, com a Corça virtual sobre o corpo, aplicar as Corças reais. Fig.
13.7Cb). ou rntco dt.Jzir as deformações especific:adas. tal como as devidas a umn
variação na tempem tum • .Wo causa deformações internas reais 61., que podem
ser calcul &das. Devido a es.JA5 deformações, o sistema de força virtual realiza
u abalho.
469
Desta fonna. como o trabalho externo real~ado pela força virtual 6F, mo v..,_
do-se de 6 na direçlo dessa força é iaual ao trabalho total realizado noo olcl1*1toô
internO$ pelas forças virtuais ~/. mo vendo-a> das d ist! nciaa reais reapecrivu AL,
a forma especial da equação do trabalho vir tual licn •
(t3.2l)
Como todns o.s fo rças vlrt-uals alcançam seus valores completos an tes de
impostas as deformaçl5e~ reais, nenhum fator metade (1/ 2) aparece na eq uaçjo.
A soma, ou, em aeral, a integral Ç necessária no seaundo membro da Eq. 13.22
parn indicar que todo o trabalho in terno deve ser incluído.
Observe que óF e ~/ nlo necessitam ser quantidades inrtnitesimais. Na Eq.
13.22 apenas a relnçlo entre ambas é importa nte. Ocua forma, é particularmente
coovcnieote escolher 6F iaual à unidade; nas aplicações, e redcfmir a !!q. 13 .22
como
1 · 6 - 1:,/ · 61..,
(13.23)
onde 41 - deflexlo real de um ponto na dir oçlo da força virtual unitária aplicada,
f - forças internos cauaadas pola força vi rtual unitária.
I:. L- deformaçl!cs internas reais de um corpo.
As deformaçOes reais podem decorrer de qualquer causa. oom as eiAatica•
sendo um caso especial. As forças de tração e os alongamentos dos membros 51o
considerados posilivos. Um resul1ado positivo indica que a deflcxlo ocorro na
mesma direçDo que a força virtual aplicada.
Na determinaçl.o das relações angulares de um membro. é usado um conjugado unitário no lup r da rorça unitária. Na pnltic.a, o procedin>Cnto do uso da
força unitária ou do conjugado unitário, junlamcnte com o tcabalbo vinual, dcnomina·se m~rodo dn cttrqtt unitário flctlcta.
13.8
EQUAÇ0ES DO TRABALHO VIRTUAL PARA SISTEMAS
ELÁSTICOS
Para sistemas elàsticos lineares, a Eq. 13.23 pode ser especializada para faci·
litar a solução dos problc11\as. Isso é fcilo aqui pora cargas axiais c para mombro1
de flexão. As aplicações slo ilustradas po r meio do exconploL Ê interenanle obcorvar
que o teorema de Castigliano ê aplicado na ronna da Eq. 13. 15, sendo o procedi-.
menta de soluçio aproximadamente idêntico ao do trabalho virtual
'(}e/iças
Uma força unitária virtu al deve ser aplicada em um ponto, na direçlo da
denexão a ser determinada.
• E$$,1 c:quaçlo reprcltiHA o produlO cscalnr dOI vctoru
470
Se •• defocmações reais do olhtlcas lineares e decorrem apenas de deformaçõoa ulais, óL- PL/(AB~ o ~ Eq. 13.23 liea
t. p,P,L,
AtE,
1 " 1:. -
(13.24)
J- L
onde p, 6 a força axial em um membro devida à força unitária virtual, e p 1 6 a
força no encamo tnembro devida &01 carroaamentos reaJa. A aoma e-Jtcnde·se a
todos ot m em bros da treliça.
Vigar
Se a deROJtlo de um J)Ont_O d_o uma viga cljatlea 6 deJOÚada pelo método do
trabalho virtual, uma força unlt.ána virtual deve ser aplicada primeiro na direção
?" q ual a deliCJt~O é pesquisadL Essa força virtual provoean momentos Retores
m t•rnoo n u viria~ aeçõco d r. vlaa, d•íanadot PDT
como nr. Fia. JJ.B(a~ Em
seguida, ao se a plicar as forçaa ,...ia á viga. os momentos notores M giram 110
"seçOco planu" da viga de M dx/(Ef) radlanoa (Eq. 11 .36~ Aulm, o trabalho reali·
zado eon um elemento da vlaa peloa momento• virtuais m 6 mMdx/(En Intearando
usa equaçGo ao longo do oontprhnento da viga, obtemos o trabalho externo nos
elementos internos. Assim, a forma upccial da Eq. 13.23 para viaas, lica
n'
I >c 1:. -
f.L mMdx
.
El
(13.25)
0
AI(
Eldoo umo vlgo
fttror. V rtUail m, {b)
tnC"-'10 fte:ot ,..., M- e 1 t OtiQio dei
H ÇCU QUt t ltt CIUMm
F...... 1U
- (•) momento•
) lo(
~
f.A 'tfJx/EI
l•l
tbi
U ma expr«4lo anâloaa pode ser uaada para achar a rotaç!o angular de uma
seçlo particular em uma viga. Para e8le caso, no lugar de se aplicar uma força
unitária virtual, aplica-se um conJuiado unitário virtual na seçlo a ser investigada.
Esse eonjuaa~o virtual dcaoo volvo momentos interno• m ao lonao da viaa. Entlo,
ao &orem aplicadas u fotçu reais. olu cauoatu rotaçõCI Mti.~!(EI) nu aeQOes trana·
versa.iL Assim. a m esma expresslo integral da Eq. 13.25 aplica-se aqui O trabalho
externo realizado pelo cooj updo unit.trio virtual é obtido multiplicando-<> pela
rotaçlo real 6 da viga. Assim,
1 >c O-
r
o
mMdx.
E/
(13.26)
~aa Eqs. 13.25 e 13.211. m ~ o momento netor devido ao carregamento virtual,
e M e o momento netor decorrente das cargas reais. Como m e M usualmente
variam ao longo do comprimento da viga, ambO$ devem ser expressos po r funções
apropr iadas.
471
EXEMPLO 13. 10
~ - l mm (cncurcamcato) pua o membro AB e zero para o membro BC.
Achar a deOcúo vertical do ponto B da treliça de 1190 com junlos. de pino, mOSirado
na Fig. J3.9(a). devida U ~ea·uintes 'c ausas: (n) dcJormaçlo clb1ica dos membros. {b) cnc:ur11 ..
m~n10 de 3 mm do membro A.B por meio de um tcnJor. e (c) queda na tempenu ura de
ocorrendo no m~mbro 8C. O coeficiente de expando t!rmica do aoo é de ~0000 1 2 mm/mm/-c.
Desprcur a ponibiJidn.de: de nambagern lare.raJ do membro cm compresslo.
60-<::
l,ll m
1 " 4 - (-0.8X-3l ... { +0,3)(0) •
t\ - + 2,4 m m para. cimL
o
+ 2,4 k&fmm
CMn (c). Usa.ndo a ~q. 13.23 c o bccr\•ft ndo que, de..·ido à queda na tcnlperatura. â.L •
• -0,000012(60) 1 600 = - l ,I S2 mm no membro BC,
L ~ A • ( +0,8)(- 1,152) = -0,9216 ~gfmm
•
A - - 0,92 1Ci mm pnrn ba i ~o.
Por superposiçSo. a dclluão liquida do ponto 8 devida iLs ub cuusns é - t,l886 + 2.4 - 0.9l16 • + 0.28~ 8 m m para c1ma. Pana achar c~u qua.n.t.idadc, ot Ir~ efeitos poderiam
ser con-siderados simultanea.menlc nca_ equaçilo do t :abaUto virtual
EXEMP I.O ll. ll
uoo klf
lm
ISOO\tAr
1
A •160 rnm
L - l,60 m 0,6245 k
c
Achara dened o no meio do ..,5o de urM vip em baJ&nço.carrca.:•da como na Fig.. 13.JO(a).
O produto El da vig,a ~ eon..~t:.n lc.
fJ I't~--'_:'::_~,= i
,,_,
: :_:.:.
_-.r.
_••_,-.-_......
..
FlttUre13.•
( b)
l•l
SOLUÇÃO
Caso (a}. Uma força unh'r1• vfhuat é aplicada na direçt.o -.ertical. como mostra 1 Fia.
ll.9(b). c: as forçu reJultantca p llo determinado c tcllslradu no mesmo d iavama (vcrifieã..las). Enllo, u forçu em c-ada membro. dccorrenles da força rea.t. tambàn llo deter-'
minadas e {'Ôaittradu. Fia. ll.9(c).A soluçio contfnua por meio da Eq. · tl.24. O trabalhO
é efetuado em forma do tabela.
Membro
p, kaf
AB
BC
+ 0.8
P, ksr
~.mm
+ 1200
-I 200
11500
A.mm 1
100
-ll 360
1600
160
- 91500
pPLfA
Dessa ta bela 'E.pi'L/A • - 24 960. Assim,
p PI.
-24960
I >< 4 •
•
'E.AE • 2 1 000 • - 1,1886 ksfrnm
4 • -1.1886 mm.
O sinal negativo ripilica que o ponto B se deOete para b&i~o. Nesse cuo. '"tra balho
negativo.. é realiudo pela força virtuaJ que atua para cima quando ela se deloea Pftta bo.ixo.
Observe particularmcrtlc as un,id~t des e os sinais de lodu as quantidades. As forças de traçllo
nos membro' ailo tomadtl.l como positivBS e vice-vertl.
Caso (b). A ~: ll.23 6 usad• paro determinar a deOexlo vertical do ponto B dc•ido ao
cncurramen to do membro AD de 3 mm. As rorças dc.scnvoJvidat nu barras. peta (oc~ \IJ rturu
que age na díreç~o da dcOexlo procuradL est.l o mostrodas ~· ,Fiio 1 3.9(b~ Entlo, como t-I.
472
L/2
L/l
~·-.,
~....... ..
{dJ
(c)
Flgur-a13.10
SOL-UÇÃO
A rorçB virtual 6 aplicada no ponto 11, cuja deOcx.ão é procurndn. Fia. !3.1O(b). O.s dia-,
gcarn(la me M esta:o mostrados n ns F'igs. IJ.l~c) e tJ.lfXd). respcc:tlvtuncnte. Para es.sa.s
funç&s, " mcsmR oriaem d~ :r: t tomddn nn e'trcmidndc Hvre du vign cm bnl nnço. Após serent
,., _____ ____
delermin ndos esses momento'-. a Eq. J3.2.S 6 nplie:nda para se achar o dencxao.
P~
X
Po-'CJ
2l.3
6l.
X
m•O
m - - l{x
l xA•
-I.J2•
(0 ..... I.)
(O .. " < L/2)
(L/2 .. " .. l.)
i
" mM dJC
--·1'.1
o
l fUl (O)(- Po"'
)
I (' (-x + L)(
P.X')
49p l.'
ól. .d:c + iii
- 6L ~x • :i"4iiE/
2
• E./ Jo
J<J,
0
kgfmm.
A dctlexlo do poo~o A ê numeilcament.e iauaJ a essa quanddai.le. A dcOexão devida
à força con.ante roi desprezada.
473
Obser ve que se o koccma do Ca.stisliano Co&so uia.do neitc caso. umn (o rça P teria de
iCt apUc.ada em A... EISa. juntamente com p 0 • daria M- - P.X ,/(6L) - P(x-I.J2) para K
;. L/2. c, cnl,lo,
>
~MJ~ P - - (x - L/2),
que ê: precisamente m pora ;;c ~ L./2 Dessa fo rma, r. aplicação da Bq, ll.lS raultaria om uma
intc,a.rtJ ld!ntica a cua anterior.
EXEMPI.O 13.12
Achar u dencdo para baixo, da. extremidade C, provocada pela força do 1 000 kaf apUc~da na ettrutura moatrada rta Fi;. 13.ll(a~ Oesprez.er a deOoxtto cau5ada pela força cor..'
tamc. Conaiderar E - 7 OCO kaf/nun'.
·
O primeiro lermo do SOJUru:lo memb ro duu equaçio ó calculado na tabela a seauir.
Eatl o t aobada a iDt sanJ pam. o trabelbo i•terno virtual devido t tlc.üo. Para as diferante~
ptr15 d.a vip. alo saadu doa orl. - de .a ao a •aevu u oaprc:u6ea para m e. M, Fip.
ll . IIC~l o (o).
Membro
DB
p. ksf
,
P,ic.J{
+ 5000
L, mm
A, mm 1
pPL/A
2 500 -
600
+ 104 167
AB
-4
-4000
2 000
6000
...
r
+
5333
Do tabelo. 'E.p I'LI A • + 109 SOO. ou 'E.p PL/(A.E) • 15,64 k&fmm
r
D
~El
000
~
l- ax'K-2 000.W}dx + J--"
El
•
000
(-,~e,)(-t ()()Ox,)dx,
El
- + 69,U karmm.
o
C'
Dessa forma I x <1. • + 15,64 + 69,26 - 84,9 k&fmm o ponlo C dcOolo-&o 84,9 mm pora
baixo.
ObMrve Q\11 o trabal ho cl• rido 1 0 1 doia dpot de a.çlo fot 1Upt:1"p01to. Ot.c:rvc tamWm
qua u orlacn• para o 11ttema de ooordeoadal podem ao: 1100lhld01 do maDtlta couvenlento;
e n"tlant~ a mc1ma oriaem dcw Mr QN.d.a. pe.ra 01 corrotpondeatu m • N .
J---L"'--Ii--- - =......--...j ,. - 1000 ..,
C•l
2 XI!MPI.O 13.13
c
Ok&f
1 k;f
{IJ)
~
-...,
CauCI1amcnto rui
1000 "•'
lt( l - cot 6)
1
,_, -
-A( I -
,.
,.,
(e)
p PI..
1 + 4•:t--+
AE
J."m Mdx
0
--·
El
M - - PR ..n8
001i ~~~~~==~~r
2
F igura 1S.11
SOLUÇÃO
Umn força virtuo.l uni tária de l kç f é aplicada \'erticalmcntc em C . Essa força çnusn.
lima outro a xial no Jl'lcmbro DB e na parte .~8 da viga. Fig. J3. ll{b). Devido a essa força..
momentos netorcs tamb.em aparecc~n na vip AC. F ii- ll.ll{c) CálcuJo.s semc.Jhantd slo
efctuadOIS e estão mostradOJ na. Fip. lJ.Jl(d) c (e), pau a força real aplicada. A dcnc:do
do ponto C depende du dc:formaçlles provocadl\1 pelas focças axâois. assim como de Oexlo.
c: a equaçllo do trab11.lho virtual ~
4 74
Acbar a deltc.do horizontal, provoc::ada pela força concentrada P. da extremidado da
barra curva moattada na Fig. 13.12(a} A riaide:z à Oc:.do E/ ela. barra t con11ante. Desprc:ur
c orclto d& força cor&&nle tcb!w a dello:dc.
(b)
(C)
SOLUÇÃO
Se o raio de curvatura de uma bana i a.randc em compataçlo com u dimen.sOes da
ltÇIO ltMmversaJ (Sco. 6.11), as fórmulas comuns de dcflcdo do via-as podem ser usados.
•ub&<hulado.se dx por Js. N.,,.. c.u<l, h - R dO.
Aplicando uma lo~ vinuaJ hodzontal aa cxtn:midade. na direç!o da deOcxio desejada, Fi~ 13. 1 2{b~ v&..e que m • - R(l-coo D). Analogamcnlc, para a c:arp rca~ da Fia.
475
1:>.12(c), M =- PR acn O. Dessa forma.
t
lx â •
mM ds
J.o - F:/-
•r•
1
[-R(I -cosO))(-I'R>en O) R d8 •
61
~I<-'
+ 21!./ ..,mm.
A defle)ldo da extremidade para a, direita e numericamente igual a ~sa. C·.ltPt"CUAo.
13.9 PROBLEMAS ESTATICAMENTE INOETERMTNADOS
Problemas estaticamente indeterminados podem ser resolvidos oom a ajuda
do método do trabalho virrual l'am os sistemas elbtioos lineares, o m6todo da
mesmo que o de B. No Exemplo 13.10, essa l\llima qumtidade roi achada igual a I, 1886 mm
pa ra bnixo e ! usim moetrada na Fig; Ll.IJ(b~
O mo vimento do ponto D, m""trado na F1;. 13. 1 l(b~ viclll as condições do problema,
c uma força dn e ser aplicada pal'll •oh.A-la a seu Jupr. De açordo com a Eq. 13.1 1, iuo pode
ser e1Cf1to por
6 o - /00Xn+ A,,. -o
onde o espaço 6 0 ,. • - J,l886 mm.
Pnrn. determinar fot:J• oplica.-se uma. forçn real de I kgf em D c o m!todo do lrnbalho
virtual t usado pan a~:hur a deOedo de"Yida a eua força. A:s rorçáJ desenvolvidas na. atrutut~
pelas forças virtuais c rcai!St s.i:o numericamente as mesmas. Fia. ll.IJ(c:). Para diferençar
entre u duas, as forças nos memb ros proYOCadas por uma força real sio designadu por p',
e pela força virtual por p. ;.. solu~o! obtod4 "" formo de ta.bcla.
superposiçilo discutido na Seç. 12.4 pode ser usado com particular vantagem. Ao
a plicnr essa solução, o método do trnbnlho virtual apenns fornece o meio de deter·
minaçfio das defle<l!es das estrulurns ortir.cialmente reduzidas â determinação
cstfltica. Muita confuslo pode ser evitada se a afirmativa acima for mantida clara·
mente no pensamento.
BXI!MPLO 13.14
A.cha.r at forçu naa barras unidas pOr pinos. da estrutura de •ço mostrada na f'ia. J 3.1 J{o.),
Membro
p, kJ>T
p', kg/
L., mm
A,mm 1
pp'L/A
AB
-0,8
- 0,8
1 600
100
+ 10,24
BC
+ 0,8
+ 0.8
1600
160
+ 6,4()
BD
+ 1,0
- 1,0
I 000
60
+ 16,67
Da. ta bela. I.ptfL/A • +33,3 1. Ocss11 formA. corno
se fo r aplicada uma força de I 500 ksf em ll.
1,1886 m1n
uoo qr
Cure;:'lrncnl4.l ru.l-
Canepmento •ktwiJ ou
IUI- estnatura dett""'IMda
-t:tlrutvn dcbnnfnada
(b)
Figura 1:1.13
(c)
SOLUÇÃO
A. estrutura pode ser considcracla estalicamente delermin•dl pelo CX)rte da barra DB
cm D. EnrAo as rorçu nos membros são o.s mostradas no F ig, 13.13(b). Nessa f:strucura deter.
minada deve ser achado o movimento do pomo D. Isso pode ,.,. leito pela apUcaçÍo de umâ
rorçu vir<uaJ vertical em O, Fig. J:l. l3(e~ e usando o m!todo do trabalho virtual. Entretanto,
como o termo p PL/(AE) pll1l o membro B D! zero, o movlmemo vertical de ponto D ! o
476
21 000
c
0.0016X:0 - t,l886 • O
Para fechar o e-QO da 1.1886mm, a força real de I ksf an D de~ aumentar de X • •
• 1.1886/0,0016 - 743 vt•u O.S.s rorma, a força real no membro DD 6 743 kaf. AJ (orças
nOl: dois o utros membros podem ser dctcrmlnadu da eJtá.tica ou pela supcrposiçllo das
forçu onomadas na Fis. 13.ll(b1 com x. vezes R.< forças p' mom•dos na Fig. 13.ll(c~ Por
ambos oe m~<<>dos, a forç• cm AD cigual a + 606 ksr(tcaçilo),e cm DC, - 606 kg/(compressdo).
D
(a}
+ 33.31
A6
f 00 • 0.0016 m m,
.!_...,.
l,Um
pp'L
)(A • I - - - -- - .. 0,0016 kgrmm
Em qualquer caso1 para se certi ficar de que a análise ehlstica, tal como a do
determinadas as tensões máximas. Para
a soluçlo correta. tais lensõcs devem esta r na faixa eliutic:a lmear do material
usado.
e~ecnplo anterior. é aplicável, devem -
PROBLEMAS
t3.t. Uma viga simples. de ~o re"""&ulal e vio L Suporta uma rorça con·
centrada P no meio do vlo. Oespr~an do
J 3.2.. Determinar o comprimento · do
vao de uma vip I de aço de SOO m_m sim-
o peso da viga e igualando as energias in·
suportando uma carga concentrada no
meio, la) que a. denexão devida à rorça
corram·e seja. iaunl àquela decorrente da
nedo. Consideror E!G = 2,5, e adm itir que
na transmissão da rorça cortante apenas a
âtta da alma seja enca~ para o que« - 1,0.
terna c cxlcrna, (a) dctefmina.r a rnãxima
denexGo p<ovocada pela neKdO; (b) de<er•
minaf a máxima deO.CXão ptOvocad!. pdas
defoJ maç6e< angulares Rr•p.: (o) PL ' I·
{486/).
plesmen~ suporuda, pesando lll,S k&(/m,
477
(Veja O E Ja.emp)o 11.&). TUÇ&t d011 dia·
gramas sepuadoi da Yia,a dellc:lid.a devidos
ês duas c.auiu. Dupreu.r o pciCt· di! vig-.
13.3. U m eixo curto d e aço. de 7 5 mm
d e d l!metro, 1uporta uav. e ngre nagem e m
u m v:So de ISO mm e ntre u linhu d e
contro dos mancal1. como mol tl'tl a fiaura..
lde alfuncio a força do on arcnaacm de fo r·
ma concentrada P, c concenlrn.ndo as reaçõos. determinar a ccla.çl o e nlrt a defled.o
devida às forças cor tante c. de flexl .o. Con·
siderar EJG - 2,.5 c oblervar que,. pa ro uma
seç.io á rcuJ:u. a • J0/9. (Sugutõo.. Veja o
f.l<c mplo 13.4~ R<Jp.: 0,!:1.
,.
13.-10.. Uundo o 1oororna de Cud ·
&(iano. a.eh.ar a ddlca.l o do ponto d e apli·
ca;4o ~ fo rça P/3 tobro a vfp de scçlo
varil\'el moltr&da n a na urL R'sp.: lJPL./ (14SBEn.
t lJ. u ~an do o mêlodo da ene_raia. CS.
term inar a doftt!'!o ve rtica.J dJ; ex.tremld.adc
bvre da VIJ& em balanço. mos1rado na
fi a ura. dovid.a. â apllcaç.lo de uma força.
P - 50 kaf. Considerar apena1 01 ofailoa
da nexlo, lato ê. desprezar "' d c rormaoa e.~
a.naula rcll. E;;,.. 2J 000 k a rfmm a. Rt~.ip.: 3,20$
11\.01. U·"
u . kal. •._ ~~~ódo livre dlo u.m• llt;url de
mm.
"*
15 mm adma do viiiO. oe (a) • vJp
aobTc ouportu rla;icloo, e (b) a vip • aup<>r·
ta.d.a por cnOtu em cada e.:x:t reanid&4e, 4
eonotanOo k pua ca.cla mold de 30 kartmm.
(Sug,.td<l. V'l)1lO Prob. 41 4,oade ~<~ m01U&
qUe o (& \OC de \mp&<\0 pelo q ual a f CKV&
c:st, dc:a deve tcf multiplicada pe ra • ob4.u
u D& forca d lnl miça C!JYJV~~ 6 JJ\1.&1 a
I + .jl+ 'VI{A.., ·. 01 çálc:u.JOI utlm ....
li&ado op l o d o t,O\&IIDOI'l!' ooo!U..U ~u&A·
do aa mauu o dero rmaQOet. loca.iJ ,4a
vlll• 11 0 dpopreudu~ tt ..p.: (o) 2,099 mm.
~J::::::~=====:::::~'~.;-.,. so ....
E
l25 ....
.;;
..
l l.S m~l
Vi.s:•a ~"U;:crlOr
·1,......
1
1000 mm
VlJn lttenJ
PROO.. 13·5
J3..4. U ma vip de 2.5 cm de la r a,u.ra.,
com \•ão de tOOcm. tem con•truçlo do
1ipo de ..sa.ndu:Scbe... conronnc a fiaura. Ai
duu placas exte.mu de b&a de aluminio
tém espes.tll.ta d e 1 m m (E • 1 000 ka,rjm m');
o núcleo leve, d.e 1.5 tm de c•t>t:••u.ra.. tem
um G efelivo jauaJ a. 1 k&rjmm 1• (a) .O cter·
minar a caraa admiutvcl, uniror memcnte
d istribulda. tal que a t;n4.ximn tenift.o. de
Ocxão na.o exceda S kgJ/ mm 1• (b} Achar a
máxima denexilo t.o tnl provocado. pela ncd o e pela força c.orta.ntc. Ad mitir q ue no
nUc.leo atue apenas a lcnalo de cis.albame.n to e nlo a de ned o. (Ob.stl'l'tf.S'ÜO: em
um proble ma real as tcnsOes de susten·
1açio nos s- upOrtes dovc.m ter cuidadosa·
m ente investigadas).
PROB. 114
a
PL01(6Ef}.
13.223 kllf/mm' ; (b) 6,749 mm, 8,7ll kaf/·
13.6. (a) Bm tcun os de P , t:. e li/,
calc:uiiLf a energia de de rormaçl.o oh\ llica
n a ,.raa mo&trada. na fisu.ra.. p.roo;o coda pelu
ca.rau apllc:a daa. (b} fgua.la-ndo o tn balho
realia.do pelu (orças e.xt «;rnu com a VI.-•
riaçlo da encrJia de dcformaçl.o cllltica.
det erminar a dcfiexlo nos pon~ot do a pli·
coç.lo du cups. (SuQcSfiio. Devido l si·
motria.. u d cnuôes de am bu u carau
slo iauail~ Re~p.• (b) PL'f(4&E I ).
CDf!' l •
~·oo~"''"!:;!-1
!. . .., "'- u q t
,
í l. . . . .
J; MF
L - lQOO • m
::L
I
PII.OI . ll.a
U .9. U m bo m= p esando 90 kaf PJI)•
de ~m lramp otjm. de \liDa alt.u.~ dt O.S m.
Se a prti.DCh& tem as Q:imeq.sõca m01trada1
na Gaura. qu&l é a mhima y:n..o, d:
Oex&o? Conol~orat E - ·I 200 k &f/mm ·
UIIJ' qualquer mõtodo para ett.a belecor u
caracicrb lical de ~ da p<ancha.
(SuQt$t<lo. Veja o Prob. l l.l o • (1'1p<)tlft
do P rob. U. U~ tt.sp.: 4,016 l<&flmm':
PROB. IJ--6
l3.7. Para ;t viga mosuad:a na naun..
usando o mêlodo da eo~rgia. determinar a
dctlcJtiO dA via:-. nos p0nt01 de a p llcaçl.o
dai c1rpL O momento de inércia da ICÇ(o
l ra.n•versal na metade de altura fr 6 10 •
ll.<tp.: 0 ,029 PL'f(EI .,).
13.12.. U..ndo o teorema do C...dalia ·
no achar a dcfot1n&Çlo do ponto de apli·
caÇso ela !0191 P. A rl&ídu â n exlo El é
cont w 'Uc ; m todo o comprimento. Conridcnr ape.nu u ctcnox6e:t de nexl o.
R.t •p. : ! 6,2 Pf( Ef}.
ROl-ui•
PROD. ll •ll
1,8 "' .
t .ll m
J3.t3. Usançto o JoO~ma de C~stialia·
no. de-terminar a mhim' dcOell.o em ter·
~s de Po• .L c E.l para yma via.& si mples.
com ca.rrep.ment.o uniforme. tendo E l •
• COO$l0nl c. Rup.: Spof(384Ef}.
U . l 4. • UAndo o teore ma de: Castiglia·
no, delc:immar ' Gcllcx.lo no centro da
tloo
'"(
13.8. Achar as deflCJt6CS mâx,mu.s in,..
tao1Ancas c as tcnsÕÇ$ do fledo para o.
visa quadrad• de aço ll)(l$1Jadj>. no Oaura,
l OO <m
13.11. P a.t'f a o;i.p moact ad.a na fiaura.
uaanclo o teoretna de Cut,IaUano. deter·
minac (a) dclleJllo no oau.ro da vlp. e
(b) a dolle.xlo ela p<>nlO da vi&L Cood dcrar
a penu u deforma;6• de ne.x lo e E l - ccn.,JU'l& Rtlp.: (a) /'L 1/ (3P.l), (b) s-
1'!1.0 8. 13·9
quuudo recebe o impact.o de um pelO de
478
i·
PROB. 13·14
t :'
-
1 42
479
viga carregada como mostra a figura. B1 ~
c:onstan~e. R.up.: Sp,L'1(16881).
13.15. Uma vip eom ,uma pa~ em
balanço, 6 carrega~ eom uma rorç:a coo.
centrada P na extremidodc, como mostra a
figura. Usando o teocema de Cas.t igHano,
acbar a d eOexfto e a rotuçl o da extremidade
em balanÇõ, tAU!ada pelA lorçâ P. EJ 6
constante. R,u p,: 4Po'/(EI~ 8Pn 1 /(3El).
r1----"'"----t-1---'•'-t-1
c
Dptc nninar o movimento boti~ntal da ex·
t rcm i d G d~ A , provocado pc:Ja aplicaçl o da
! OtÇil F cm 8. Considenu apeou AJ deJ]e-xões de Rcxllo. EJ é eonsta:n te. i((f,fp. :
3,2Ff(3EI).
()
5I! jp
PROB. I J-1·1
PRO!. 1).17
H
•
•
PROB. IJ.IS
Ma na e:dTcmi<lndc, como mot tra a ligura.
Usando o leurcmn. de CastiglirtnQ, determinar a deOcdo c a rotaçdo dn. cxtremid11dc
em baJanço devidas o M 0 • (b) Considerar
!.. 1 • 2a. a L 1 - 4. e comR•rar a defle~t ilo
da cxtr:emlda.de pat a um "\Omento M 0 uni·
t.Ario pom a rolaÇIIo da eJUr•mtdade cau5ada
po_r uma força uaitirla f. c:omo no problema anterior. Eue ~ um caiO eapcdaJ
da lei .k Maxwell du defiexlleo reciprocas. R!sp.: (a) M 0 1.. 1(JL 1 + 2L2 )/(6E/~
M 0 [ L 1 + (1/ J)L,)/(6/).
t
13.17. U aando o m6t.o do da energia.
determinar a dcfiulq: horb:ontal do ponto
D p.ara a eslfUIUrt mostrada na figu ra.
devida ã aplicaçlo da fo~ R. El é constante para Ioda a estnuurL Considerar
apenas os efeitos da flcxlo. R.sp.: SHL' I·
..
-
!3.18. Aplicando o teorema de Castlgli ano, determinar a deOexfto horizontal
do p0n19 A , provocad~ pçla lorça F npli·
cada a a rmaçjo, conforme mostra a figura..
Considerar apenas .. dcnexlo devjda a
Oedo. E/ é. constante.
2Fo'/(EJ~
. Rtsp.:
.
13.19. Uma barra de ri&ide2 a Oedo
El - cons~te. ~ modelada em um mem-
F
A
•
D
PitO&. Il-l i
PAO&. I :J-10
13.2 1. Uma borro cm ror!ll• de Z. de
E.! • conacante. 6 çf'la;uutd& cm um.& du
. c.xtremfd •dc-a. como mo~tia 1 fiaura. Dctcr-ml.nu • rot•çlo d• cxtn:mldade Uvrc. c:&U·
aada pela apllcaç!o da to~ vertical P.
O>nsiderar apenas a Oal o. Rcp.: 2.64/(El).
bro plano, como mou ra a fiaura. Ach ar a
deOcdo horlzon t)ll da e•tremídade A provocada pela apllcaçlo da força vcrtlcol F.
Apen as os efcit.o s de ne.xlto neCQJitam ser
considerados. O efei.t_o du forças axiai8 e
corum tet sobre a deflexlo devem acr dcs·
prezados. R••p.; 21'•'/(EI).
13.23. Um m~ m b ro c;m Cor ma .de U, de
/i./ = constante, tem o.s dirnensôes mostra·
das na tigu;a, Detenninru a denedo das for·
çus a plicada.!!, t.e ndcndo a afastar os braços
da peça Considerar apenas os e(ehos da Oc.tAo. (Suot:stão. Ttrar vnntaaem da sirnet:ria).
R<Sp.: (2PL'I3 + PL'R~ + PR'/2 +
;. 4 PLR')I(~;J~
.
p
PROO. 13·23
L
l't\00. 13·21
,
D
PRoa. 1).19
•
<JEn
480
carrepclo da, fo rma tDOSI:nda ua r. jiUr L
L
('
13.16. (a) Uma vip ,c:om um~ parte
cm balanço é c:nrregadu cqm um momento
~M,.
13.20. Um mc:mpro ehlslico plano t
L
13.24. Para se inS\Biar um anel abato,
~sado como retentor em um eixo de mé-
lc
8
•
"
F
13.22. Uma barra fletida na forma
mostrada na ligu r~~t Cengastada rigidamente
no topo. (a) Achar a dcllexão vertical do
pOnto A devida A aplicaçAo da força P.
(b). Oct.c rminar a dcnexão horiton tal do
m c$mO pon ~o. Considerar apenas os de·
Oulleo de flexlo. A barro estfl em um plano
ltt.Sp.: (!) Pu'(2.,/2i3 + J)i(El ); (b) 3Pn'·
(I + J~lEJ).
.s u.ina, e neceosArio nfastA-Io de A. por
meio de rorçaJ P, como mostra. a figura.
Se E./ é const,a nt.e para a scçllo t,r,a nsversal
do anel, del,e rmjnar a m ogt~ltu.dc das rorças
P. R<>p.: P - LIEI/(J•o').
13.25. UmQbarra cm ânau!o 1.e m seçlo
çiçcular, sendo enguta9,a cm uma das extr~midades. e suporta u.mn (orça F no exu~:mo livre;. oomo mostra a ricu.ra. A força F
481
,•
tl.27t Un ndo um mét,Odo de cnera;ia.
det.erminar a deOcz.lo bori.J.onr.J da j uat.a
do t_opo ds t;cliça na. fi auf' dcl>i da A
rorça aplicada P - 12 000 l:lf. Todu u
Ju,n~u alo de pinoa. A b oa d' toçl.o trant- •
vorl&l de cacla ,ba.rra A - 6 SOmm~ c e, ..
- 2J 000 lc:gJ]mm'.
1
13.32. Um sistema com junta de pino,
te.ndo tt!a ~anu de •roa A, suporta uma
torça coalorme mo1rn a ftaura. (a) O.
terminar os d~locam.ento 1 vertical o hod..
zontal dajunta..,S, provoçado• pela caraa P.
(b) Se o compriancnlo do AC • dlmlnoldo
do 10 mm por meio do un1 macaco, qual
! o mowimento da uniiO 111 !Usp.: (11,)
- t PLJ(4AE), - . / ) PL/{llAB) ; (b) 5 mm.
2,9 mn1.
PROa. 1).,4 ,
age nqnnalmc:ntc ao plano da b~ra. Usan..
do o m~ t.odo da cneraja. det.e rminar (a)
as tran•laçOe• da Pt,romiclade livro ao
Jonao d oa oi~oe coordonad.oa, o (b) a ro·
. t;açJo da extremidade livre em rclaçlo 101
me~mo1 eixos.. As connao te~ E, G, I o J
J!o dadu.
,
JIROB. J.J.lO
Pn.OH. U ·l 7
7, 1 "I
13.28. Achar a dc1lcx&o vertical do
ponto 8 ._ devida a F - 6 000 ka~ para a
estrutura mosuada na 6.&J.I.rL Paca o mcm..
bro /fB, a irea A - 320 mm 1 , e E- 21 000
kar/mm 1• Pnra o rncmbro BC, a áreJ A - l S60 mm', /!.,{ - 2,8 • 1011 , ~<armm 1, e
E • 21 000 ka[/ IJlrp ' · u..., om mél.odo de
e.ncraJa. R.t sp.: 2 mn).
Uando um m!to4o de c.noraia.. d atcrmin&r
a doOex.lo v.rtical om C, devida.• ron;a P •
- 800 kar. O..pcczu ~ o:onttlbol\)10 da
deformaçlo anaulu R,sp.: 21 m m.
•
'·
p
PROD.. IJ·Jl
U.Jl. Para o arranjo dt mutro e 01&&
moa.t.ndO na fta ura. (a) dotwminar O lnOVi·
mente vertical ôa ça.raa W, provocado ~lo
au,m:onto de eomprJmcnto da barra AB do
10 mm. (b) Do qoanoo dove a borra BC dl·
mlnuir para quo o pa.o W vi para sua
poaiçlo oripnall 1«-sp.: (I) 3. 34 mm, (b)
6.94 mm.
PllOS. lS.lO
PROl. IJ·U
0.9m
13.26. U ""' b4mllcndo ScçâO CII'Cui&r
t c;fobrada cm u,q:a te.trúc:lrculq, e é enga11ada
nu.ma du cxtremidad~ como m01tr1 a
ligu_ra. Dct,c rrninar a dcOcdo da exucmi-.
daçle livre devida à fpHcaçlo da ro t ça P
normal ao plano do semh:Jrcu)o. Delprc:ur
a contribuiçl.o da deformação ansula r.
Rosp. : A • •Pa'(l/(~0 + 3/(GJ})/2.
482
PRO&.. 13·28
13.29. U nndo um méoodo de eneraia.
dotermlnu os dcsi<H:ãmentos verJ:ical c ho-rizontal da j unta C para a 'Lreliça inostrad.u
na nQu_r, devido• a .u.m.a · força ap1,icada
P - 1 000 kgr. Por sl\nplitida.clo, admiVr
A B - 1 para IOdOS OS membros.
.
13.30, Dois arames de BC c CD
(A - 60 mm1 enda) são dispost.Oi c:omo
mollra a fisuru. Em D o arame CD ~ tipdo
a Unl 1 u porte rSaido; em 8 o arame CD ê
lipdo a oma vip ~ical cm balanço
AB (A - I 200 mm 1, I = 2.~ x !O' mm').
ll.J l . Um pa.u-de~carp 6 dtspos to como moscra • fiprL Para o membro AC a
úea uanavcn aJ A • .600 mm.l; p&ra o
membro BD. A - 3 000 m1n,, c 8J • 1.8 x
x L0 1 1 k,rJmm:~. P1ra um bos oa membros
E - 21 000 kgf,lmm'. A ohaz a dellexlo
vertical do ponto D devida i. aplieaçlo
tirnuhinea. das duu car-ps. Usar um mótodo dlc, encrpa.. Oesprour a coatribuiçlo
da de!otmaçlo ansular. R.rp.; 19,2.1 mm.
PROB.llJl
13.34. Pua a 'Yip. mostrada na figura.
determinar a roa.çlo em A. Usar um mé.1odo
do one.raia ~ lratar a roaçlo como rcdun.
d&llto. Rup.: 3p0 US.
'
i ' *''' ''
D
1 15m
rao.a. ,,._, .
..
,A. q/(m
L
PMOO. 13·34
13..3~. Para a vi.g a moatrada na ri aura.
usando um m~todo de encrJ;i&t. (a) deter·
483
minar a reaçlo em A. u at.ando-a como
rcdundasue. (b) Determinar o mo mento e.m
B. tratando-o como redundante. 1V.sp.: (a)
mento da tceliça mostrada na fiaura. O
maceriol da lrdlça ! elástico llnoar. O valor
de L/A para codaa oo membros! I. Rup.:
lp/3 . (b) -PL/3.
7.S .
PROD. 1)-lS
r r~) rw
t
13.36. Um anel circular de mattrial
ehlstic:o linear a-uporta d uaJ fo rças iauais
e opost u P. corno mostra a fiaura. Par'l
cuc anel. A e I do constanles. (a) Deter·
minw o ma.io.r momeniO ncaor de•ido As
for('as aplicadas c InçAr o dhagrama de
momentc.. (b) Achar o dccr~tcdmo de dil\ ..
mel ru AB d evido lb forças aplicadat. Con..
tfdcrar np~nes as deformações de Oc.dlo.
(SIIQf'ltào. Tirv nntaaern da simetria e
considetat o momento cm A como tedun·
dUIIC~ k>p.: (a) PA/11, (b) PR'(ln - 1/2)/E./.
PROl. 1).)6
PltOB 13·!1
J 3.39. Um &istoma de barrM de aço.
cada uma com soçlo de 120 mm 1• é tlrran·
jado co ano na ngura. A JO ·~ a junta D.
se afasta 2,.S mm do suporte.. (a) Em que
tempecatura podo a concdo ser feito sem
provocar tenll)es em quaiaqucr membros?
Considuw E • l l 000 kaf/mm 2 , o « - 11,7 x
(b) Q ue ccno05 110 desenvolvidas nos membros. se após fefLu es
conc}[ÔC5 cm D, a tempera lura cai pnra
- 2SOC7 Rrtp.: (a) 40 "C
1o·•rc.
Pll0 8. I ).40
de u m Yl\10: <le p res~'io pnra outro, taro-.
bCm serve corno laço de expllnsilo. O tubo
é de açO pndrlo, com dlâ meLto nominal
de 100 mil\ pesando 16,05 kar/m. (E = 20000 taf/cnm'. e .. - 11.7 x 10-•rq.
Em opcraçlo. a temperatura desJe tubo te
eteva de 200 -c. Se L • R • l ,S m, ruer
as investitaçõe5 cnumer&dRI n Jeguir. (a}
Admitindo Que 0 1 supouu du tubo em A
c 8 pou~m resistir apenns a (c>rçfL5 h ori~
zont:ad c vetlieais. aclmr o momento nc\oc
cm C devido ao numento da temperatura
do tu bo.. Traçar o diaga m• do mornenro
Oetor pua o tubo. Usar os resultados do
Pl1>b. 13.23. (b) Estabel_. u equtÇOes
de auperpoJiçlo para e.rte problema., adrnJ..
lindo que o.s suportes do tubo ero A e 8
sejam tio r1gidos q ue a., oxtrcmidpdes do
J., ..
),6i
2.lM
13.38. Determinar a reaçlo em A. t.ra•
tando·ft como redund ante, para o car rega~
484
m
•
!3. 37. Trb barru d e material ell.JUco
Uncar alo unidas em A e apoi•das cm S.
C e O por meio de pinos, c~mo mostra a
tigura. Determinar a forçt. no rncmbro A 8,
devida A carga apUcada. Tratar o me,m bro
AD como redundante. 01 valores de L/A
slo os scguinccs: 7/15 para AD, 7(1Q para
AC, c I para A.B. RrJp.: + 2498.S kaf.
1000 qf
PROB..IJ.:lJ
:? ?h
I • !
•o•
4'
tub:> enejam complccamente fiu.s. Suple·
1 ~40. Uma vis.• continu• dbtica ti ~
near ! c:arrepda com uma força con.oeotrada P, como mostra a liaura. (a} Esta-'
belccer as equa~es dt superpotlçdo, Eq.
!2.11, tra tando os duas (orças d esconhecidas à esquerda oomo redundantes. Fazer
wo dos rcsullados aos P rcbJ- 13.15 e 1 3. 1~
(b) Resol'fa" • equações aefma aimultaneamentc.
13.4 1.• Uma t ubulaçlo. tal como a da
figura, para transporte de llttl.ddo quente
Sol\leionar simultaneamente as equaç6es
acima, e traçu o diagrama de momento
Oe10r POC!I o tubo. nu condições lormulades.
f1l0B. IJ"'l
13.42. Um tubo de aço. de diAmcfro
nominal de tOO mm. pesando 16.0S kaflm
f: netido na ronna de um q uarto de drc~o~Jo
de raio R - 2.S m. e el ti liaado a dois
vasos de prenl'lo, como mostra a figura.
J!m opcraçã~ e.ua tubo pOde aqueccr~sc n
300--c acima dn temperatura de seu ambiente. Paro o material do tubo, E - 20 000
t:af/mm1 , e«- 11,7 "' to- 6rC (a) Admi~
til"<fo que os auponcs do t ubo cm A c ti
dhm eondiQÕel de completa fiuçlo.
tobe~ eoer as equt~~Ç'OCI de tuperposjçlo pua
• J.oluçio dcsto problema. 0$ rcsultadot
encontrados no Bll'e1nplo J3.13, Fig. 13.12,
&4o úteis para esn. nnaUdnde. DeduzJr os
coellcienlcs de ne.dbilidode adicional usan·
do um mêtodo de energia. Considerar
apcnu os eJeitot de fleJllo no estabeleci·
e..
....
PROB. 1~.)9
mentaros resultados do Prob.13.23, usando
um ~odo de ener~a para dedu:dr os
eoel'identes de n exibilida.d e adicionaL (c)
l"'ltOB 13-411
•
l'R.OB. IJ~J
485
menco dess .. quantldadoL (b) Solucionar
.simulraneamenlo as equaçôes acima. o tra·
çar o diagrama de momento netot 'pata o
lubo, devido à variaç«o do temperatura.
13.41 Uma t ubulaçl o !nterliaa dois
'f'U Ot do preialo. como moura a naura.
Admitir q ue om A o ouporto 6 rllfdo o
que cu a oxtrcmidado po1a tor con•ldorada
fiXL Em B o auporto prov6 usn vlnculo
completo contra a tnndaçlo da e xtrc·
midade, o sorvo de bom vinculo para o
momento (torquel em relaçlo ao eixo y.
Em B. o vlncolo de momento cm rcJaçlo
aos eixos x o z Ç pobcc c é considerado
nulo. Estabelecer um <»njunto esquemitioo
do equaç6çs de supa1>9siçlo para a anAlise
do tensio desse ptoblema. A aníü•c de•c
sc.r feita para o pao do tubo o para uma
o!cva* de aua tem~ratYrL Delinear o
proeedlm•nto • • ., n auido pua obt&n91o
doa coaficicntcs de Ood bilidade. O..pruar
O ereito das (orçu axial e COrt&l"'te I Obre
14
PLAMBAGEM DE COLUNAS
a Ou ibi1id1de do sistema. Direr como a
so1uçlo s eria modificada so 01 s uporres
tivessem u i:n deslocamento relativo.
14.1 INT RODU ÇÃO
No inlc:io date textp foi dito Rut a scleçio doa clementot estruturais e de
mtquillu 10 baaeia .,.. trta ~cu IOIIJÚ!Iet: .-.iatbcia, risidc o oatabl·
!ida de. o. procedimontoo da an'llac de tens!o e deformaçio foram diacutidoa com
algum detalhe ooc capltuloc anteciorer. Neste capitulo é considerada a questlo
da posalvel instabilidade dOI liatemiiS estruturais. Em ~ problemas devem ser
obtidos parlmetroe c:rltlc:o. adiclonala que determinem re uma dada conliguraçlo
ou doformaçlo em um dado áatoma ~ posalvel. Eue problema difere daqueles ante·
riormcnto tratadoa.
.
.
,
·
Como um c~templo intuitivo . aimples, coDsldere uma barra do dllmetro D,
submetida a uma foq:a axial comprcaiva. Se esaa bana, a tuando como "coluna•
tivesse apeoaa o comprlmllllto D, ooahUIIIA queatào do instabilidade aparoceríu o
uma força considert.vel poderia - auportada por osm membro curto. Por outro
lado, se a mesma barra tivesse altura, igual a várias vezes o diAmetro, quando subme-.
tida a uma força axial alo da menor do que aquela Cjlle a barra curt.a poderia s uportar,
a barra poderia tornar-se latoralmente instável devido à fiambagem, e eventualmente
entrar em cola pso. U ma vara delgada comum, submetida a uma compressão axial,
ralha dessa maDeira . Apenas a consideração da resist~ncia do material nilo é sufi·
ciente para prever o comporta mento de tal membro.
O mesmo fcnõmeno ocorro em ipúmeras ou~ras situações onde estio presentes
~nsõcs de compresslo. Chapas
embora <:apa= ele sustentarem car:regamentos
do traçlo, silo pobrea transmissores do compressão. Vigas estreitas sem reforços
laterais podem nambar c eattar em colapso quando submetidas à açio do cargas
aplicadas. Tanques de vAcuo, c cascoa de submarinos, a menos CjUe adeCjuadame~te
projeLados, podem distorcer severamente sob a ação da pressão externa, e podem
adquirir formas druticamente diferentes ele sua geometria original Um tubo de
parcele fU\8 pode amassar-se como um lenço ele papel quando submetido d aç§o
de um torque. (Por ettemplo, veja a Fi&- 14.1"). Durante alguns estágios de disparo,
ranas
' Fia••• tomod• de I.. A. Marrír. H. W. Sucu W. T. Stene, " Model !JI.,.tiptiono cl UnttiiTcncd
and SliiTcood O rcular Sboclls", t:x,fflmtwrd U rcltGn la pp. 3 e 5 (Julho, 196.1)
486
487
os lançadores de misseis são criticamente cam:gados <m compn:sslo. E.ucs do
problemas crucialmen te i mportanteS no projeto de engenharia Altm do ma.is.
geralmente os fenômenos de Dam bagem ou de amauamento observados em membros estruturais carregados. ocorrem repent ínamente. Por esSã r.Wio. multes dai
falhas de instabilidade dlrutural são cspelueulares c basta nte pcriaosas.
~
r:
I
I
'I
I
valo res das equ ações diferenciais a propriadas. As autofunções correspondentes
dão as fonnas de tais colunas fiam badas. 1\ nam bagcro clâstica c inel!lstica de colunas
ideaos ser~ d iscutida. Apresen ta r-se-ã. l<~mb!m, alguma informaçllo sobre colunas
e• ocnl ricamenle ear reg•d a..<. l ntmdu>:·sc. no line.l do capitulo, uon método de energia
pa rn dclcrminnção do f.ambagern.
O cap1tulo inclui o projeto de colunas. juntamenle com Uustrnçnes de algumas
fórmuln• llpicn• d e uso pratico.
14.2
NATU REZA DO PROil i. F.MA DA CO LUNA-V IGA
O comportamento das colunas.. \lgas pode ser melhor compreend ido por meio
de um exemplo id c~lizado, m ostrado na F ig. 14.2(a~ Aqui, pa ra simplicidade. uma
barra perfeitomc-nle riglda de compri mento L... é mantida micialmcnte na posição
vcnieal. por meio de uma moln cm 11, com ri&i<!ez to rcion al k. Em seguida, aplica-!C
un1a força vcr ticnl P c outra horizont al F no Lopo da barr.t. Diferentemente do
proec:d.huclHO seguido nos problcm ns a nLcriores, o1s equações de equilibrio devem
ser esctitns pnra o csLado deformado. Tendo cm mente que kO é o momento resistente desenvol vido pela 1no lu cm A, o btêm-se
'
l:.MA = OÇ + ,
ou
P l.scn li + FLc<>sO - kO - 0
P - k.O- Fl.co• O.
l.scn 8
(14.1}
,.
p
<•>
Ffgur-• 14.1
Conflgutaçlo Uplca de nambegem p1111 olllndrot dt parede tina em c:ompreas3o
e.ldal; ( b) conflgureç:Ao llpfct do flembe.gcm para clllndrQJ IOb Pf'(t.nlo em •orçlo. (Contele do
Dr L. A. Harri& d.l'l North Amorlcan A viatlof\ lno,)
O grande n(1mero de problemas de instubiUdnde eslrulunl, sugeridos na lista
antenor. foge no escopo dellte texto.• Aq ui, apenas o problema da coluna scrd
considerado. Usando esse problema çomo exemplo, aprendemos as ea.racterlaticas
essenciais do fenômeno de instabilidade c a laun• dos procedimentos anallticos
básicos de sua anll.lise. Isso será feito pela invcstiaaçlo inicial do comportamento
de barras delgadas com carregllllleo to axial, submetidas simultaneamente à Oe><lo.
Tais membros slo deno minados colunas-ulgas. Os problemas correspondentes,
aJém de seu significado in trlnseco, permicC:m ·nos determinar as magnitudes das
cargas axiais criticas nas qu ais ocorre a nambagem.
A nam bagcm de colunas ideais. com cnrrcgumento concêntrico, será consi··
derada em scguidn. Isso conduz. à discussão dos valores caracter[sticos ou au1o-·
·Veja. por exemplo, S. P. T lrnoshen ko e J. M. Oec-e. Tlt t o, >' t5 I!Jtut(c S1aMUty. Mc:O raw:HIII llook
Company, (2.• «L~ Nova Jorque. 196 1
488
8 a.r111 r (s id u
L
o
(h)
la)
Fiou r• , 4 ~2
Resposta focce· cteform•çlo ds um Si$tame com um grau de I Mu:Sade
As cnntclerís ticas qu alitn<ivM desse resultndo estão mostrados nn F ig. l4.2{b),
e a corvn correspondente é indjcad:l como a solução cxata. J:! intercssnme observar
q ue, ctuando (!) -tt, desde Q\le a molo condnuc cm ação. umo rorçn mui t.o grande
489
P podo •e r a:uportada peJo sistema. Para um o. rorça P aplicada para cima, mostrada
pura baixo na fig ura, o Gngulo 6 diminui oom o aumen to do P. Na análise dos p roblemu do• capltulos prcoedcntes, o termo PL scn O nlo teria aparecido,
·
A aoluçlo oxpro11a pela Eq. 14.1 ao nofero a d oformaçl!es arbhrariamento
l!randcs. Em problemu complexo.., 6 bastante d.ificil cheaar • soluçlo de tal acnenihdade. Al6m do mais, na maioria das aplicações nlo podem ser toleradu arandci
deformaçl!cs. Ne11c problema is4o poderia ser expnouo pela aproximaçlo seo
() "' 11, c cosO "' L Dcua maneira a Eq. 14.1 se simplllica para
P
kiJ- F L
FL
(14.2.1
ou
6 = k PL
LIJ
Para pequenos valores de IJ, cs.<a soluçlo é basLante accitáveL Por outro lado
quando 6 aumenta. a disc:.rcpincia entre essa soluç4o Ur\cariz.ada e a exata torna-~
muito arando, Fig. 14.2(b).
•
Pata uma certa oombinação critica dos parâmetros, k, P e L. o denominad o r
(k - PL) no último termo da Eq. 14.2 Ocaria zor o, •· prosumivclmen~o p rovocaria
umn rotação angular inOnlta O. Is~o é completam en te irreal o resulta çle uma fo rm ulaçlo matemática pobre do problema. Todavia, tal so1uçlo fomece uma boa trilha
para • moanitude da força axlal P na qual as d enexlle• ao tomam intoloravolmcnte
arandes. A a.sslntota doua soluçA o, obtida pelo estabeloclmeotp d<Õ (k- P it) - ô.
deOnc a força critica P.. como
P.. - lc/L·
(14.3)
I! significativo observar q ue nos sistemas reais, os arandes dofo~açl!cs a.ssociu.do.s com as (o rçu da ordem de rnaanhudc de P". uaualmente cau1am ~cnsões
tão elevadas que o sistema fica inoperante. Por outro Indo, a anâliae nGo-linear
dos sistemas estruturais. devido à mudança na acometria e ao comportamento
inel6$tico dos materiais, é proibitivamente oomplcxa. Ocun forma. a determinação
de P.. numa base simplificada, nas mesmll$ linhas da metodologia usada no exemplo
anterior, desempenha um papel fundamental na análise da flambagcm de membros
em compressão.
A seguir. as id6ina enunciada$ anteriormente serâo empregados no solução
de um problema de coluna elástica.
EXEMPLO 14.1
Uma c:olun.a. supona uma Corça aa.ial P o um~ força transvcrnl p;,.ra cima. P, na sua
porto central. conforme mOJCra ll Fia. 14.J(a~ De-terminar a equaçlo da e.lástica. c a força
axial crhiea P~.. . Seja f/ constante.
I'
t o)
f
4 90
..
r
L{2
I
~ ,.
L{2
I
.,
•
Flgur• 14·.3
r
F(2
•
(bl
SOLVC,l;O
O dlaarama de corpo livr. para a coluna denedôa 01t,6 mo1trado oa Ffa;. 14,3(b). l!ac
diaarama permi to a formulaolo do momoato notor total M, quo Inclui o erolto da força ulal P
muldplleada pala tloOodo ., O momoato total dlvldlclo 'poc Bf pododo aor IJUala do '
protllo da curvatura oxata. 8Q. 11.1. BattoL&Dt~ como 6 w ual. oaaa cu.rvat;ura 1erâ tomada
como ~1fl/p1 ; bto 6. Nl"6 acoita a CXPI elo 1t1 - Blrl". & ta !omec:. reaultado. precitot
apcnat para pequena danoxa. • rot&çO... Tal como no exemplo anterior. a aceít&Qio deaa
aproxlmaylo çondu:Çri a de.IJax&• lnfiniw n01 catreJamontOI cr1ticoa..
Anim. u.l-l.lldo a relaçlo M - Ellf'. • obtarvando que. para a parte • s ucrda do vl o,•
M • -(F/l)x- P o, to•n·,IO
1!/tf' - /11, - - Po- (F/2)x
(O 0õ X 0õ Lfl)
ou
Eltf' + Po • -(F/2)x.
Dividindo a equoçlo antoriar E1 o !Uonclo
(14.4)
l 1 • P/(EJ~
•"*.
a cquaçlo diferencial dominante fica. apôl aJaumu l implilicaç&•
1
d u + A1 u - - lP
A'F x
hJ
(O o; x 0õ L/'2).
A .atuy&o homoa,lnoa para eua equaç:lo dJrorenciaJ l am a forma conhecida daquola
para o movtmento bann6nlc:o •lmpl• : a tOiuç.l o puticular • faual ao ••a-undo t•rmo dlvi·
dido por .t•. OcNa forma. a • oluçlo completa nca
o - c, -.U +C,cooh-(F(U')%.
(14.6)
AI c:on1ta.ntes C 1 e C 1 dooorrem da condJçlo de contorno 11(0) • O e de u~ condiçlo
do almotrla u'(L/2) - O. A prlmolra condiçlo
d'
Como
t.(O) • C 1 - O.
ot - C 1lcoa lx-C1 l aeDJ.x-P/(lP),
_ , C, ji sabido i&uol o uro, a aegvnda cor>diçlo di
rfll.fll - c,l ... J.Lfl- FII2PI - o
ou
C, - F/(lPA COI (J.L{ll).
Sub1tituindo essa constante na eq, t4.6
F
I
F
0 • lPA ootlL{2 1cn J.x - 2Px.
A mblmo dellalo ooom: cm " - L/l. Aaalm. apelo. alaumu almplificaç6ca.
(14.8)
•- - (F/12Pl)](tall.fl-J.L(2),
Pod••o. ontlo, concluir que o m_himo momento absoluto. que ocorre no mc.lo do vlo. ~
I
I
FI.
li.
M -• - · ---P•
- -F la-·
4
-u
2
p
lm
s
(14.5)
(14.9)
•Ot.crw cspoc:ialmcnte ClYII a dcOc;d;o ., ..._ c:uo. é môfotl'ldi como uma quaaddacio poeJlivL
Se • .;p ro- dolktldo p&ra b&Ua, ~ + 1'1-..J - -h. que t taool ao , ....... .,.;,.. ' - t par.a 1 prcacrnçlo da lnvarilnela da cquoçlo diferencial
491
\ .o~.scrve que u cxprcuDc:s dadu pelas Ecp. J 4.7, 14.8 c !4.9 tomam·!~: infillitas se J r,..
' multo pio de JC/2. porque im lu cos Af...l2 - O e t•o#W.J,j'' ' " • co, AJ ,e...
~..:._
__ •
-r<
}Uando
u ...-.wcutt ano OCorre
.U.
2 -
"ii
{P L
Assim, as duas cquaçiles de cquilibtio são
:tF, •Of +,
r.M, • OQ+,
""
2- 2'
(14.10)
>nde " ' urn Inteiro. Rc8olwendo a equaç&o parw P, obttm•:IC
p{lx-V + (Y+dV) • O
dx
M. -P~u- Y!fx + pdxl-(M + dM)- O·
A primeira dessns duas cqua9iles di
* masnluu:le de p que rovooa
•J r:rinc.
•
dV
fcne.t:Oa OU tnOITitftlOt netor• infinJto.s. tuo c:orretpOnde • condiçlo do (tv'Ni
,_ para C:Aa barra:
-·r- a.at
que~ i.Untica ! Eq. 2.4. 1\ segunda, dospccuncJo..oe os infinitésimos de o~ em supe-
p.~ .
"
(14.12)
h - - p.
(I~.JJ)
L'
rior, d6
Para a menor força crhJc:a. " • 1 Enc tdiultado foi esta......•---" ... - · · · 1
,rand
i · r - . h rd
•
~ 1nJaa mente pc•o
c: matem ttco -.vn 1
Euler, cm 17S7, c ~ treqOc.nt.cmente denominada de
d
(14. 13)
t tmpor.tarue obscrv1r que a equçto d:lretcnciat. Eq. 14.S. tem tipO diferente: daquela
Ocua forma, pem coluna .. vigas. a forçu cortante V, al~m de depender da razio
de variaçio do momento M, como nas VIgAS, êcpende também da ·rorça axial c da
inclinaçlo da curva el!sticá O 61timo termo é a componente de P ao longo das
seçilcs inclinadas, mostradas na Fig. 14.4.
Nesse desenvolvimento !>Ode ser empregad.1 a relação usual da teoria de nexão
d'ufd"' • M I(Et) pftra a curvatura. Substituindo a Eq. 4.13 na Eq. 14.12 e faundo
uso da relaçllo anterior. obtem·sc duns equações d iferenciais alternativas para as
colunas-.vlaas:
d'M
(1~. 14}
':r.:r
+ A'M- p
cl;t
lambo~tm .t~ E.r~l~r. A Eq. 14-JJ •~" diJCutida em maior profundidade na Seç. t4.~rgo ~
s~d~ para •tJU eom apenas o cattcpmcnto tranaversaL Por ua raz-.la., as runçl)cs de ain.
u andade antcrfotmente apraentadll nlo podem ICt aplicada nesta prob!em u.
4.3
·
EQUAÇ0BS OIFERENC!AlS PARA COLUNAS-VIGAS
cd P.11rn u~n compreensllo mnis compfet., do probicma' dn coluna, ~ instrutivo
u.ur as dtvenas relaQ(Ies diferenciais entre as vatllveU. Para ._ finalidade
>nstdere um elemento Isolado de umn coluno • como mo•ttll a Fi~ 14 4 Ob
'
.'pecJoJ.m~nto RUo eato elemento eat4 JnoJtrudo em Jl u& po.sfçlo dcO~tida.
•••• o~mlri.,, com C1\rrc,.mento tr•novc,.al, 11110 nfto 6 ~--·~rio (veJa 8 l'l
.2~). A> deOcxllcs considcradu ncs,. trat~mcnt.o, en~rct,ant,o, slo pesucnas
~açlo ao vlo da coluna-.vlga, o que permlle a. seguintes aproximaçÕes:
P!::
.!
duf.dx • tg O "' sen 8 "' O,
.,.
•·.r
+p
-
+M
~
+V
I
A
92
fls ,.. {lx.
d:r'
p
E./
( 14. 1~)
vigas com cRrrcgumento trunsvtr$ul. Para 8S novas equações, o enunciado das
condições do contorno~ o mesmo que a ntes (veja a Fig. 1 1 .4~ exceto que • força
cort11nto ~ dodn pela Eq. 14.13.
Para referfncia futum, relaciona-se a seguir a solução homogénea da Eq. 14.1 5
e vllrias de SUM derivadas:
·
V +dV
~
,
,.
F I vun 1' 4.4
colun I •VfijJ8
M +dM
fL
,,
d 1o
onde, por ~implicidndc E/ é considerada constante e, como antes, A'= P/(EI).
Se P • O, 11.1 Eqs. 14.1 4 c 14. 1 ~ revertem, respectivamente, ds Eqs. 2.6 e 11.17, para
[\ \\\.
'
e
d'u
dx'
-+Al ~=- •
dL . - \
t/t•/tl,· I
,.J•
cosO "' 1,
ou
.•
r rltft/~ + Te.-.uc de Ofdtt111•p<tlot
Elemento de uma
I
I
• • C, sen ,t, + C, ce>s h + C,x +C,;
•. - C, ACC>S .L< - c,A sen ).x + c,;
:l' -- C 1 Ã. 1 scn.,t"t-C:a~ 2 cos.l...l ;
v"' - - C ,A1 cos ~ + C2;.l sen .tx.
(14.16a)
(14.!6b)
(14.!6c)
(14.16d)
Essu relações slo n ecess6rla1 em a:guns probletvas. para exprimir as condições
de con torno de a vabaçlo das consrnntes c, , C1 , c,. c c, .
'
493
I
t
I!XEMPLO t4.2
cm sua fabricação toroarin esse equlllbdo imposslvel. Essa espécie de equillbrlo
e dita lnathcl, c e Impera tivo evitar situaçOes análops em sistemas cstrulUrais.
U?la ba1r& fina. de Bl conat.enro. e tubmetida • a çlo sim ultânea de momentos MO nu
cxtremadadc-, e do ,uma forÇA axial P, como m051ra ,a F ia. l4.5{a.}, O:termina.r a mbi 1na.
Para eoclarccer alnd~ ma.lt o problema, considere de novo uma barra riJ[dn
vertical, com uma mola torcional de rlaidez Jt na base. c:omo mostra a Fia. 14.6(a).
O compona monto de tal barra. oujelta a Um<O for;a vertical P e a outra hori1ontal
F, foi conaldert.do na SeQ. 14.2. A -potra dos.. atstema, quando P aumenta. catA
mostrada na Fia. 14.6(b) par& F arande e pequeno. Aparece entllo a sugestlo: qual
o comportamento dusc aütema oe F - fJI Esse e o cuo limite. e corresponde 11
denodo o o m aior momen1o nctor.
I'
;;Q;
1•1
I
I
,.
,J'
ínvesúpçAo de flambaacro pura.
(b)
Para. raapoodcr analiticamente a eaa peq~unta. o sistema deve ser liaeiramcnte
deslocado do pequena 'luantidade fmliniteaimal~ de acordo com as condições de
contorno, Ent&o. ac u (OI'ÇAI restauradoru lia maicreo do que aquelas que tendem
a derrubar o aiatema. •te 6 os~vel, o vicc·ve:na.
F'tJuN 14.5
SOLUÇÃO
Nlo u btc carp tta.naveruJ .o lonao do vlo. Oc.&:s.a forma. o termo do secundo membro
da Fi#- 14.$ ~nulo, o 1 solu~ o homoaf.noa dessa equaçt o, dada pela E4 14.!6(a). 6 a soluçlo
completa. At condiQ6es de contorno alo
~O) - 0.
~L)- 0.
M (O)- -M0 ,
e
M(L)- - M 0
Como M - E.l"''. com o au:x.Uio das J:qs. t~u6(a) e J4.16(c). euas condiç~c:s dlo:
+c,
~O) -
+ c. = O
ti( L) - + C 1 1on AL.
+ C:J COI .tL.
+ C, L+ C• - 0
M (O)-C, Eil'
- -M0
M(L) •
EJAl aen ).L - CJEJJ.' oos .tL
- -J\10 •
I'
M
c,- - C,.- -;;8
·
0
e
F
L
Retolvendo aimultancamontc euu quatro equaçOes
0 (l -cot A.lo~)•
C• • M
P
sen .u.
I
I
-c,
11'
~,- kJL
c, = o.
o ,1
Possn forma, a cq ua.çlo da. curvn chhtiCft 6
7
coon
)
o • M (t -v.on
).L. 11cn ..tx + cos ..tx- I ·
1
(t4.t7)
A mhimn denodo ocorre cm x - L/2. Apôi ul&umas simplificações, verifica-.s e que
0 (
M (scn'lL/2 +cos lL- l) =M.IL- l ) ·
u .::A.
scc N"'
p COI AL/2
2
I'
2
'"'
(t4.18)
F~ur• 14..
(b)
Comport.-nento
da flambagem oe uma b arre tfgida
• A barra rlgida mostrada na Fig 14.6(a) pode experimentar apenas rotação,
mos não pode netir; isto é, o sistema tem um grau de liberdade. Para uma rotaç~o
O admitida o mom.c nto restaurador é k8, o momento de tombamento é PLsen
O"'· PL O. Ôessu forma, se kiJ > PLO o sisteona é estável, e. se k9 < PLO o sistema
ê instável,
·
Exatame.nte no ponto de transição, kO e igual a PLB e o equilíbrio não é estâvel
netn instâvcl mua sim neutro. A força associad a a essa condição é a carga critica
ou de Oa.on ~,aem, q uc serlt de.tignada por P" . Para o sistema considerado.
Pa -Ir/I..
(14.20)
O maior momento Octor tambi:rn ocorre em x = L/2. Seu mâ~imo 3.bsolUlO 6
M,., ':' )- M 0 - Pu,,~ J · M 0 scc.IL./2.
,
(14. t9)
é impOrtante observar que cun membros dçlaado.s os momentO$ Relores podem ser
s ubs lancielmentc aumentados pela pre.sença de forças de. eompres.sio axial. Quando tais
forças exbtcm. a dcOcdo coutada pelo CíUtt:gamento t ran sversal é magnificada. Fjg. 14.5(b)..
Para rorça.s de: traçlo u dcUox6cs do rcdut.ida.s.
14.4
ESTABI LIDADI! DE EQUILIBRIO
Uma aaulha venieal perfeitamente reta. apoiada cm sua extremidade. pode
;er considerada em equilibrio Entretanto, a menor perturbação ou imper(eição
Essa condlçlo eitabelecc a ocor n!ncia de Oambagem. Com essa força. slo
possl,·eis d uas posições de equilibrio, a for ma reta e ourra. inlinítesimalmente
495
494
l
deflellda, próxima dela. Como d11M derivaçõet da soluçlo slo p<»siveis, esae 6 o
chamado de ponto d• blf•rcnçõo da solução de cquilíbdo. Para P > lc/L. o sistema
ê instavêL Como a soluçfo foi lineariuda, não h! p<»sibilidadc de se ter 8 indefinidamente grande com P.,. No sent ido de çandes deslocamentos, CJtiste semprt um
ponto de equtlibrio esiàvd em 9 < a.
O comp0rtamen1o de coluna.f elâstic11S perfeitamente retas com corrcgnmento
concêntrico. isto ~ de colunas idct1is, é b.1stante análogo ao descrito no uemplo
simples anterior. O. uma formulação linearizada do problema pode-se determinar
os carregamentos crltioos de nnmbagcm. As seções seguintes fomeeem alguns
exemplos sobre o problema em anAlise.
Os carrcgamentos ct1ticos nlo descrevem a oçRo da nam'baaem em st Usando--se
êoluna. Para a coluna da Fia 14.S(a). inicialmente reta e articulada na CJtUemídade.
a noYII oonliguraçAo ê a da Fig. !4.8(b).
p 8 , 0 a colu na com ligeirA Oexilo, mostrada no Fig. 14.8(b), o momento netor M
em uma seçlo genhic:a ;:• tgual a - PP. q ue, substituído na equação difer~cial
para a curva cl!utic., dâ
d1v
~
que, numenuwdo Pn- de apcnns J,S %. ocorre umn deflexlo lateral rnâ;cima de 22%
do comprimculo da coluna.• • Por motivm p(6ticos tais denexões enormct raramente podem ser tolernd~s. Al~m do ma is. o m3terial ndo pode usualmente resistir
,.
...
(14.21)
d?
y. o
~
tis tensões de nexão induzjdas. Dessa rorma. as colunas rea.is falham inelasticamente.
....
P
Então, COntO na Eq. 14.4, razendo A' ~ I'JE.l. tem-se
d2 v
I· i. 1r1 • O
uma equação diferencial exnta da curva elllstica pnra grandes denexlles, é pos.lvel•
achar as posições de equillbrio superiores a P a , correspbndentes à força aplicada P.
Os resultados de tal análise estão ilustrados na Pig. 14.7. Observe especialmente
p
M
'JXI • ff •- El o.
~~-
L
Soluçlo exala
I
I
I
/,
I
I
...."!,/
L
,,'•''l/
0,22 L
do nu1crlat
(e)
"''
•"'
F"Jgura 14. 8
o
-·
No grande maioria das aplieaçlles da engenharia, P~ representa a capacidade
limite de uma coluna reta oom carregamento condntrieo.
14.S
CARREGAMENTO DE FLAMBAGEM D E EULER PARA COLUNAS
ARTICULADAS
A fim de formular a relaçlo que govema a deternúnaçlo da carga de nambagem
de uma coluna ideal, deve-se permitir umo pequena denexlo lateral do eixo da
• v.;. Timoshc:oto c OeR. Tfltof7 oJ l!l:uti:' Stttbflity, p 76
••o flllo de um.a cofuntt continuar a auport~r un.a cara-a dem di) e1táJfO de fiambaaem pode Jet
dtmoostrado ptla apli:'açlo de lldll (-orça t vprrior à carp de Oam.baacn a Vtl\l barra l'le.dvd ou Jlla<a.
tal como Ulft ~rrote de carplnta rfa
496
,.
:!li~
'~
l'aJh• fn•l•ulc:a
tb)
•
..,
(6)
(e)
Colune com (IXIremidedt de pino e seu.! lfés primeiu» modos dt flambeoem
Easa equaçio e a parto homogênea da F..q. 14.5 para UnlO coluna articulada
na extremidade. Sua so lução e
(14.22)
u • C 1 scn).x + C1 cosAx.
onde aJ consca.ntes &rbitri.rlas C 1 e C 1 devem sec determinadas pelas condições
de contorno, que são
1.(0) • O c ll(L) • O.
Assim v(O)- O- C, senO~ C, cosO,
ou
C,= O, c
v(L) =o • c, sen .<L.
(14.23)
A Eq. 14.23 pode ser satJSreita considerando-.. C 1 • O. ~?mo isso co~responde
de ínexistencia de flamb•gem. ela é n soluçllo triVIal. Altcrnattvamente,
condição
0
•Se a e11~mfdade' flD, • ineõ~mt• J.f• e Y0 .\ ar-arccem na c..tpressio. Vej:l lamW:m • nota de
rodap6 ela p, 4.YI
497
a Eq. 14.23 tambem é satisfeilll se
AL•
J P/El L- mr,
onde 11 é um inteiro. Dessa equaçio, os valores característicos ou a utovalores dessa
equação diferenc:ial, que tornam possível uma forma na ITambagem, exigem que
P, •
oq~llca, C 1C1 C1 • C, pcdarlOlJI N r la ualadao a
oolt>Çlo trlorial Altemat!<ameltte, pB.Ill se obter uma ~oluçlo pio-.
·trivial, o deteriDÍJianto ele» coellcMm• clu oqu&ç6cs aiJ êbriCIIS clovo M< nulo.• Dwa forma,
com l 1 E.l - 1'.
Para aati.afuer a • • ooctiunto •
uro, o que dara • -
u'n 2 E/
L'
·
o
•., .u.
o
(14.25}
Aqu~ n pode ter quaJqucr valor inteiro. Entretanto, como o interesse central
6 o menor valo r no qual uma forma Oarnbada pode ocorrer, n deve ser considerado
igual ã unidade. Dessa forma, a carga critica ou de Euler para uma coluna articulada
em ambos os extremos é
n'EI
_,. 100
o
1
L
1
o - o.
o
o
o
.u.
A a...U.çlo- c!M«IIÚIIan:e - duza - .U. • O. qe» é p:ecl....,..,te a meama eon.:
diçlo dada pela l!q . 14.23.
Eoac mt:<>do 6 nnUjooo noc problema """' diferentt:s coadiçi!<o de contorno, onde
a torça axial e EJ pG..-maneoem cooataDtta ao loa,o do c:ompciiiiOnto da coluna. O mttodo
nlo pode aet aptkado M a to~ uial ai,. cm parte do mCillbto.
(14.26)
p" - L'·
onde I deve ser o menor momento de inércia da área da seçlo transversal de uma
coluna c L é o seu comprimento. Esse caao, de uma coluna articulada cm ambas
as extremidadu, é chamado com freqüência de caso fundamtmal.
Pela substituiçllo da Eq. 14.24 na Eq. 14.22, com c, igual a zero, é obtida a
forma nambada, ou o modo nambado da coluna:
u • . c, scn nrtx/L.
(14.27)
Essa é a funçllo caractcrlsticn ou autofunçio desse problema c, como n pode
adquirir qualquer valor inteiro, existe um número infinito de tais funções. Nossa
funçio linearizada, a amplitude C 1 do modo de llambaacm perm anece lndeter -.
minada. Para 11 • I, a curva e!Astlca é uma meia-onda senoidal. Essa forma, juntamente com os rnodos correspondentes a " = 2 c 11 s 3, estão mostrados nas f igs:
l4.8(c), (d) e (e). Os modos superiores não t~m significado físico oos problemas
de nambagcm, porque a menor carga critica ocorre com 11 = l.
14.6 FLAMBAGEM ELÁSTICA DE COLUNAS COM DrFERENT ES
VINCULOS NAS EXTREMIDADES
Os metmot procedimentot que oo discutidoo no artigo anterior podem ser
usados para determinar as carsas de Rambagem elástica, com diferentes condtçôes
de contorno. Aa soluções de ta.ls problemas são bastante scnsiveis aos v!ncul.os du
extremidades. Por exemplo, a carp ccítica de Oambagem para uma coluna livre,••
Fia. l4.9(b), com carp no topo 6
p.,- rc2 E//(4L1).
(14.29)
,.
I'
I'
--+''""' L/4
r
L. - 0,1L
Uma soluçlo oltcrnaliva do problema anterior pode !;Ot obtida pelo uso da equação
dirercnch1l de quarta ordetn para colunu-vigas. com canegamento cransvcrsal iauaJ a t.ero.
Da l!q. 14.15, tal equaçlo é
d•u + l 1 fflv = O.
~x•
(14.28)
Jx 1
Para o caso considerado, as condições de contorno sio:
M{O) = f/u"(O) =O
M(.!.J = f/o''{O) = O.
UsaJtdo essas condições com a aoluçlo homoaõnca d.o Eq. 14.28 e suas ckrivadas, dadu
pelas Eqs. 14.16 a c c. obtém-..,
e
1(0) • O,
C, sen.U.
t(.!.) • O.
+c,
+ c, cos.U.
- C,A'EI
- crPEl eos .U.
4 98
+ c,- o,
-C1 L+C, •O,
- 0. .
- o.
p
p
W
FII",. ,..._,
M
W
M
Comprirnen101 efetiYol cM corunas çQm diftrentu tipos de vincul•çlo
•veja. por • ..,..pio, F. B. Hildebnnd. M .. n~ C./,.., fa ..(pp/ic.tllioo~ p. 181, P~ntico-Hall,
to.:. EoJiowood CGllo, N. J. 1961, ou qualquor w:to aobR iiFbra linear
- Um poltc ac:lc0tUca. sem bcaçldeir• atem• : cem wu tt'i-Mior:mador peado no topo. cons-.
LituJ um uaa,plo
499
Nesse caso extremo, a carga critica é apenas um quarto daquela para o caso
fundamental, Eq. 14.26.
•
Para uma col una fixa em uma extremidade e articulada na outra, Fig. 14.9(c):
P., = 2,05n 2 EI/L'.
Para uma coluna fiXa cm ambas as extrem idades, Fig. 14.9(d1
(14.30)
P.,~4n 2EI/L'.
(1 4.31)
... As duas úllimas equações mostram que prendendo as extremidades, as cargas
cn hcas de fiambagem aumentam substancialmente acima daquelas do caso fundamental.
Todas as fórmulas acima podem se assemelhar ao caso fundamental desd'e
~ue no lugar do comprimento real da coluna esteja o ·comprimento efetiv~. Esse
comprimento vem a ser a distância entre os pontos de innexio das curvns elásticas
ou articulações, se houver alguma. O comprimento efetivo da coluna L para o
caso fundamental é L, mas, para os casos acima, tem-se 2L, 0,1L c 0,5L, ~cspecli­
vamente. Para um caso geral, L. - KL, onde K é o fator de comprimento efetivo,
que depende dos vlnculos de extremidade.
Em contraste com os casos clássicos mostrados na Fig. 14.9, os membros de
compressão reais raramente tem articulação de pino verdadeira ou evitam completament~ a rotação nas extremidades. Devido à incerteza relativa à fixaçllo das
e~tremtdades, ·~ colunas silo freqUentemente consideradas com articulação de
pmo nas extremJdade!. Com exceçl!o do caso mostrado na Fig. 14.8(b), onde ele
nao pode ser usado, esse procedimento é conservador.
As equaçOes anteriores tornarn-.se completamente confusas na faixa ineláltlca,
c nl!o devem ser usadas na forma dada (veja Scç. 14,8).
14.7 LIMITAÇÃO DAS FÓRMULAS DE F'LAMBAGBM ELÁSTICA
. Nas deduções anterio;es das ·fórmulas de fiambagcm para colunas, admite-se
taC1ta'?e~te q.ue ~ ~atcnal tem comportamento elástico linear. Para ressal tar
essa ~1gmficat1va hmltaçlo, a Eq. 14.26 pode ser escrita de forma diferente. Por
definrçlo, I • Ar2 , onde A é a área da seçilo transversal c r é seu ralo de giração
A substituição dessa relação na Eq. 14.26, dá
·
ou
n2 EL
~t2EAr 2
P.,
=-y;r- = Li
p
_ !.t_ _ n 2 E
" - A - (L/r)1 '
(14.32)
onde a tensão crítica a,. pará uma coluna ê definida como a tensão mMia na área
da seçã~ transv~rsal A de u'F colu~a com carga critica P"' . O comprimen to• da
c~luna e L.• ~ r e o menor talO de g1ração da área da seção transversal, porque a
formula ongmal de Euler está em termos de I mínimo. A relação L/r, entre compri·
menta da colu na e o menor raio de giraçã? é chamada de índice 1/e esbeltez.
·
• Usando O COm.primcato cretiVO L, 1 a CAprciSãO ltflet'•liztt-,se
500
Pela Eq. l4.32, pode-se concluir que o limite de proporcionalidade do material
ê o limite superior da tenSão, na qual a coluna namba elasticamente. A modificação
ncces:sê.ria da fórmula para incl uir a re!posta iotlástica do material será discutida
na próxima scção.
EXEMPLO t4.3
Achar o menor comprimento L, pata uma coluna de aço simple!mcntG apoiada na
extremidade, com seção 1ransveroal do 50 mm • 7S mm, para a qual a fórmula elástica de
Euler se aplica. Considerar E= 21 000 kp/mm> e admitir que o limite de proporcionalidade
seja 25 ksf/mm'.
SOLUÇÃO
O momento de inêrcia mí nimo da seçào transversal t.,, = 75(50) 3/12 n 781250mm•.
Assim.
rc.. J781S!X 250S) = 14,434 mm.
r= r.,.. e VA~
7
Então, usando n Eq. 14.32. a~ e 1t E/(1../•·)' e, sol ucionando-a para 1./r, no limite de
proporeionalidade.
1
•E· n'21 000 •8290
=-=
(-L)'
r
au
2S
ou
-Lr = 91 ,1
•
!. a 91,1 • 14,434 = 1 314 mm.
Dessa forma, se essa coluna tem comprimento de mais ou meno. 1314 mm. ela nambará
cluticamonte.
14.8 FÓRMULA GENERALIZADA DA CARGA DE FLA~BAGEM DE
EULER
Um diagrama tipico de tensão-deformação na compressão, para um espécime
impedido de Oambar, pode ser representado como na Fig. 14.10(a). Na faixa de tensão
de Oa A, o material se comporta elasticamente. Se a tensão em uma coluna Oambada
não excede essn faixa, a nambagem é elástica. A hipérbole representnda pela Eq.
14.32,"v = n 2 E/(1../r)1 , é aplicavel
em tuI caso. Essa porção da curva está mostrada
•
como ST na Fig. 14.10(b). E importante reconheo:r que essa curva não representa
o comportamento de uma coluna, mas sim o de um minimo infinito de colunas
ideais de diferences comprimen tos. A hipérbole extrapolada para fora da faixa útil
e mostrada tracejada na figura.
Uma coluna com Lfr correspondente ao ponto S na Fig. 14.10(b), é a menor
coluna de um dado material e tamanho que na mbará elasticamente. Uma coluna
menor, com relação L/r ainda menor, não Oa mbará no limite de proporcionalidade
do material. No diagrama compressivo de tensão-deformação, Fig. 14.10(a), isso
significa que o nível de tensão na coluna passou pelo ponto A e atingiu algum ponto 8.
501
coluna ~e material di~e~cntc, porque a rigidez do material nlo é mais representada
pelo modulo de eJasUCJdade. Nesse ponto, a rigidez do material é dada inllantaneameme
pela tangente à curva te,nslo-deformaçlo,
i$1o ~pelo módulo tangencial Et.•
,
.
r--HipÚbo'- do Elolkr
.ç,
0,~--------------~-.,
t•l
Curta
0~--------L-----------------~
L/r
(b)
f 'le u,. 1•.10 ( e) OIIQtlml 11ns10 de compreu.lo·detormiQi o ; (b) ten:sAo crlctce em cotul\lt
em lun9Jo do lndlct de tlbelltt
A coluna permaneoc est6vel se sua nova risidcz á flexão E,/ em B é suficientemente
grande, co ela pode suportu uma carp maior. À medida que a carsa aumenta. o
nivcl de tensão se eleva. enquanto que o módulo tangencial decresce. Uma coluna
de "material coada vez meno' rfgido" sofrendo a açilo de uma carga crescente. A
substituição do módulo de elasticidade E pelo módulo E, é a única modilicaçlo
nec:essllria para tomat aplicáveis u fórmulas de flexão elutica. Assim, a fórmula
de Euler generaliuda pam a carga de Oambascm, ou do módUlo tansencial• fica
n'E
u, • {L/r)Í ·
(14.33)
Como as tensões correspondentes aos módulos tangenciais podem ser obtida.s
do diagrama compressivo tensão-deformação, a relação L/r na qual uma coluna
namború com esses valores pode ser obtida da Eq. 14.33. A Fig. 14.10(b). curva
de R a S, mostra o traçado da representação desse comportamento para relações
pequenas e intermediArias de L/r. Ensaios de colunas individuais conlirmmn essa
curva com marcante precis!o.• •
•A fórmulA do m6dulo c.onacnlc <IIi a capncidadc de CM.rp de uma coluna, dcnnida no instant.c
em que c1a •end~ 11 Oembar. Como o colun~ alndn continua 11 Otmbar, ll.l rtbrts do lado Wncavo contJ..
nuam a u ibir apro.umadamc.ntc o m6dulo tan,enle S.. As tibru do lado con•e..:~ c.ttlrCCI.DlOt. ato alíviadu
de aJaoma Wldo e «:tomw. cem o módo.lo dt das:ticidadc oriJirutl E. f.aa fat05 kv~~tn .o a:rabcfcd..
menta da chamada tl'orlct do IIJÕftlio 1/uplo de capacidade de curp de çolurw. ()r$ tC141ha.dOI finais obcidOt
por ena teoria nao diferem grandemente doquelet obtidos pc:tll tcorill do módulo tanacntc. Pata mni•
dctaJhCI e rcfinomcntossignific:ouiYOS. vcj:t F. Jt. Shtn~y...Jnehutiç Column Theor)'. Jourual of Atro·
nau~h-111 Sd~ 1.C. o.• S (Mti~ &947); e F. 81c.ich, Buddittt~ Strf'IIQtlJ r( UtttM Strw.turn McOraw-HiH
Book Compony, No.. ID<quc, 1952
••veja Bltich, Buclcllt~Q Strtngtlt of Mteal Struaurrs, p. 20
502
Aa oolunas q~ llambam oluUeamcoto tio por vezes, cha.m adaa d~ colunas
lonQtu. Aa colunu, que 16m baixaa relações L/r, oão apresentando, bastcamcnto,
qualquer nambaaem. alo cham&du de co/unaJ cur~tu. Na. pequenu relações L/ r,
os materiais dútcia ~cedem" o podem auport.ar cargu bem elevadas.
Se I., na Bq. 14.33, é tratado como o comprimcoto efetivo do uma coluna.
dirercntes condições de CJttremidadcs podem ser analisadas. Sesuindo esse procedimento alo aprucntad<» na Fia- 14.11, para (ms comparativoo, traçados da ten&lo
crítica 11a em runçlo do ludice do oabcltcz 1./1', ptlrll colunu fixaa naa extremidades
o oom arriculaçlo de pino. É lmporta.oto ob11rvu qll<l a capacidade de auporte
nos dois eu<» eat! na relaçlo de 4 ~ I, apcnu para u colunu oom Indica de
esbeltez (L/r) 1 ou maior. Pam L/r menor, banoOelot prosre11ivamcnte menores
slo obtida. pela vinculação du extremldadoa. Para rclaçll• L/r pequenas, u curvas
se encontram. Faz pouca diferença se um "bloco curto" tem articulação de pino
ou se é cosutado naa extremidades, scndo a rcalst!nc:ia. e nlo a Rambascm. quem
determina o oomportamento.
r
-to
V\ltiplrbolo>
-L~~~~~~,~
\
<k E""'r
OohaMIICOift
t.àtmllldllll• .. plao
~---------,,
( r),
1./'
ffew• 14.11 Comparoçlo do comportomon10 do colunas com dlforontM condíçO.. do extrc·
mlclode
14.9 COLUNAS COM CARREGAMENTO EXCt!NTRICO
Na discussio anterior sobre Oambagem. u colunas roram co~iderad~ ideal·
mente retas. Como na realidade todas u colunas tem algumas 1111perfct~ as
cargas de namba.gem obtidas para colunas ideais slo as melhores posslvcts. Tal
análise apenas romecc limitca para o melhor desempenho posslvel de colunas.
Nlo constitui aurprcaa, entretanto, que o desemPenhO de colunu seja explorad_o
com base em alsumas imperfeições estatisticamente determinada• ou possl~elS
desalinhamcntos daa eargas aplicadas. Como ilustração desse ~étodo, constdc.rar-se-â uma coluna com carregamento excentrioo. Esse problema é tmportante em s•A. Fia- t4.12(a) mostra uma coluna oxocntricamcntc carrcpda. I!ssc carrea:a·
meoto é equivalente a uma· rorça axial P e a momen~os extcrnoc Mo- P1. Tal
503
coluna já foi aoalisada no Exemplo 14.2, onde se verificou que, devido à Oelcibi·
lidade do membro, o maior momento Oetor M..., = M 0 sec M../2, Eq. 14.19. D essa
formu. a mâxima tensão de compressfto, que ocorre a meia-altura do lado c6ncnvo
da coluna, pode ser calculada por
.!..( + ~ - .u;).
P
Me
P
_
-A + M"'fc
Itil_,.. --+-=
A
I
Ar
A
Mas À -
1
r
14.10
2
.j P/( E/) = J P/(EAr1). e
te
L {;h)
I".,--4EA ·
L. AP ( l+ :ys~
r
r
na tensão máxima. Essa nllo é uma medida renl da capacidade de Oambagem de
um membro. Pode-se mostrar que uma carga axial adicional pode ser suportada
além do pouto de tensflo máxima na seção critica. A discussão desse fato toge ao
escopo desse texto.•
(14.34)
t'mu
Para economia, as áreas das ser;ões rrnnsversais dos colunas que não sejam
blocos curtos devem possuir o maior raio mínimo de gi rnção possível. Isso dá uma
pequena relaçlo Ur, o que permite o uso de maior tensão axial. Os tubos forman1
excelente! colunas. Seçl>cs de nangcs largos (que por vezes sllo chamndns de seçÕ<•$ H)
são s uperiores À ser;ões /. Nas colunas feitas ele formas laminadas ou por extrusilo.
:as peça$ individua is são afastadas para obtenção do eleito de.sejado. Seções trllllsvcrsa.is de memb ros em compressão típicos de pontes, estão mostradas nas Figs.
l 4.3(a) e (b), para ·um ondulado na Fig. 14.13(c). e para uma treliça ordinâria na
Fig. J4. JJ(d). As cantoneiras da Fig. 14.1 3(d) são separadas por cspnçodores. As
formas principais das Figs. l4. 13(a). (b) e (c) sao unidas ou intcrlipdns, por meio
de barras leves. como mostram as Figs. 14. 13(e) c (1).
u
(a)
,.
(lj
o
100
lOO
PROJETO DE CO I, UNAS
Reforço
~.f..Rr•rorço
]
- : ;s; ..
Cbi
(.:)
Cbl.
Figura 14.12
Coluna com caNegemento u:clntrlco
[dJ
Essa equaçAo, por conter um termo envolvendo secante, é frcqOentemente
deno~inada de formuko dn uconl• para colunas. Para eu& cquaçAo ser verdadeira,
a máXIma tensllo deve permanecer dentro do limite elástico.
Observe que na Eq. 14.34, r pode não ser mfnimo porque é obtido do valor
de I associado ao eixo em relaçio ao qual a Oex!o ocorre. Em alguns casos, uma
condição mais crllica para Oambagem pode ell.istir numa d ircção que não corres·
ponda a qualquer excenlricidade definida. Observe que, na Eq. H.34, a relação
enlre "•~• e P não é lineat; " - aumenta mais rá pido do que P. Dessa forma. as
tensões mhimas causadas por forças axiais não podem ser superpostas.
A Fig. 14.12(b) apresenta o grâlico .da Eq. 14.34 para virias e.centricidades,"
em colunas de aço doce de mesmo tamanho. Observe a semelhança próxima das
curvas para pequenas excentricidades e as de flnmbagem de colunas Anteriormente
estabelecidas. Deve-se observar, entretanto, q ue essas curvas s!o obtidas com base
1<1
!f i
Flgwa 14.13 SeçóM ttansYtrsais t!p ces
de cotunas
Figure 14.14 Exemplos de ln111bllidade
klcal em colunas:
A. obtenção de um r grande pela colocação de certa quantidade de material
fora do centróide de uma á rea, como foi ilustrado anteriormente, pode atingir
um limite. O material pode se tornnr tão delsncto que se ondula localmente. Esse
comportamento é denominado lmtabilularlr local. Quando a falha cau~da pela
•ficu"' e.o:traA!o de o. A. You•a. '1totio..c DníJ:n cíSt<OI eoru...,..., r,..,.~ ASCI!, 101 ~3 ~ (196J)
504
605
iqstabilidado locJl) ocorre nos Oanges ou nas placas com ponentes de um membro,
o membro em compressão deixa de inspirar confiança para o serviço. A Fig. 14.14
ilustra a nambagem local, que se.car acteriZ!l por uma variação na forma da se~o
transversal. As equações deduzidas anterioTmente silo para a instabiüdade de uma
coluna como um todo, ou para instabilidade primAria. A d iscussão sobre a possibl:
l.i dade de instabilidade torcional, exemplificada pela torção de uma seção (que é
uma forma primária de instabilidade), foge ao escopo deste texto.
Após uma situação ca.órica que e xistiu por muitas anos, com relaçlio às f.ónnúlas
de projeto de colunas, tem·se agQra compreensão mais clara do fenômeno de fiam·
bagem e apenas umas poucas fórmulas silo de uso comum. Nas especificações de
uso mais amplo, um par de fórmulas é dado. Uma fórmula é usada para valores
pequenos e intermediários de L/ r ; a outra para coluna.s esbeltas com elevado Lfr.
Na primeira faixa, é empregada uma parábola ou uma linha reta com um máximo
estipuludo, na definição das tensões criticas. Para grandes valores de L/r, é usad~ a
hipérbole de Euler p~ra a .resposta elástica (Fig. 14.15). AlguJOas vezes as equações
das duas fórmulas complementares t!m uma tangente COJpQm em um valor sele·
cionado de L/r. l)mas poucas especificações faum uso da fór m ula da secante com ·
excentricidade admitida com base nas tqlerãncias de fabricação.
~··
I
lI
PQniO de ton;t-nci;,
Hlpérbo1r di! Euler
Hip;dr'QOl<! do Euler
o
o
L/r
{b )
(o)
Figure 14.15
Curvas trpicas de flambiiQem de coluna p afa u so em projeto
Ao se aplicar as fónn ulas de proj eto, é importante observar os itens enunciados
a seguir . .
1. O material para o qual a fórmula é escrita.
.
2. Q uando a f6nnula dá a C!lflll.l (ou tensão) dç trabalho. o u quando ela eshma
a capacidade de ruptura de um mem bro. Se a fórm ula é do último tipo, deve-.s e
introduzir um fator de segurança.
.
.
3. A faixa de aplicabilidade da fórmula. Algumas fórmulas empiricas, se
usadas além da faixa especificada, podem conduzir a um projeto inseguro (veja a
Fig. l4.15(b)).
.
.
.
.
Deve-se observar que as fórmulas da coluna d tscuudas anteno rmente const·
deram o material inviscido, isto e, !llle o IDaterial r.ão possua propriedades viscoe-
506
14.11
FÓRMULAS DB COLUNA PARA CARGAS CONCSNTRICAS
Como oxemplot do fó nnulu para D projeto de colunu com earrepmcnto nominal·
menta condntcico alo dadaa • MIJU]r • l•umu f6rmulu cepreaentativu para açor Gltruturaia,'
llgu de alumlnlo e pan madeirL Pano. o projeto de oolun(U ex~ntricu, o lç\tor t aeonao·
lhado a cotuullar tivrot 01peciuiudoa.
·
.. FOrnw(as {/• col,ama pa~a oro t.rtrutwa(
A AIS C•• recot"Dc:nda o uto du r6rmulas de coluna conCiauredu no os~ perna da Fig.
14. 15(a~ Como se fabricam açoa de variadas resiatlncias ao escoa,mento, u r6rmulu slo
apreieDt~adu em tennoa de cr... , 9ue varia para diforcntcl aços. O m6dqlo do olut,icidade ~~
para lodoo ao açco 6 aproxfmodament)o o moomo. A f6nnula do nambaaom o)jetlca de Euler
6 eapeeifteada para u coluçu dalp.du, Iniciando com (L/r) 1 • C,, ocorrendo na rolaçlo
da oebel LOZ corre.spoodoat.ei mct;ado da tonJio da etcoamento "~do aço. A rim de preencher
esn. premissa. pela E~. 14.32•. 0 lndlce de esbeltez C,- (L/r) 1 - J2>t'l!.f11_.
·
Usando essa equ,ção, com ll - 20000 kgf/mm 1, a lcnslo admissivel para colunas
com razio de csbe!lR maior do ~Ue C, fica:
lOS 000/(L•/r)1 [kaf/rnm'].
(14.35)
onde L., ó o comprimento ofoUvo de coluoa. Um fator de ICIJUlAnÇl de· 1,92 em n>Jaçl o l
llambaaom 6 incorporado na Fia- 14.35. Nmhuma coluna dOV<O exeedor o valor do L..fr • 200.
Pata uma relaçlo 1-Jr menor do que: c, , a AISC especincil uma fórmula parabólica: ·
a,.. •
verrlcc: do purábQia
I
I
lástic:as o u reol6gicas. EDtretanto, em a]gumas aplicações, a nambagem de colunas"
po r ll~ncia, sob cargaa suatentadaa, p~ ser de conaideraçlo principal.•
. [ 1- (l...Jr·)'/(2C:JJa.,
( 14.36)
"•"" •
F.S.
'
onde F.S., o fator do aosurança, ó: <fclinido por
F.S. • S/3 + :j(L.fr·)/(8C,)- (l...Jr)'I(SC:).
É interes.sancc obacrvar qua F.S. varia. sendo mais conservador para a.s maiores relações
L.fr. A equação escolhida para f.S aproxima-lO de uma curvo de um quarto de seno. com
o valor de 1,67 para L..fr • O, e 1,92 para C,. A Fig. 14.16 mostra curvas de tensão admis·
slvel em funçlo do lndice de csbe1tet para colunas axialmente canegadas de: vários tipos
de aços estruturais.
Fôrmu(as de coJ1mn para Ugas de altlmluio
Um grande número de li&as de aluminio encontra-.s e disponlvel para ·aplicações em
engenharia. As rcsisl.êocias ao esooamento c de cuptura de tais ligas variam em uma faixa
con:Nderável. O módulo de elasticidade para as ligas, entretanto, é razoavelmente constante,
e a Ahuninum Company of Amcrica recomenda o uso de um fator de 71 700 -kgfjmm' para
• veja por exemplo N. J. Holt ,.A Sun-ey ol tfte Thcoriet (I( Cr~ Buckline"', Pl'OCI!edfn()l. Tlllr~
U. S. Nat..,al Cangmr of AMI!!«< M~<h..tc'- p. 29 (pübli<:ado pel~ ASME) 1958
••veja Americu )P..atit~~o ol Stccl Conatructina. A.ISC St~tl. Co.ustrutlon ManwDI, AISC. lnc ..
Nova Iorque. 1963
•
507
rep,.sent" r a quiUitidade ,.1 E.• Assim, usando a Eq. 14.)2, a f6nnul& da roaisll!ncia de ruptu;a
pa.ra colunas lonps. com comprimento creu~·o L•• é
tt"- 71 700/(L,/r)'
( 14.37)
(k&f/mm'J.
Uma linJJa reta Inclinada. como na Fig. l4.lS(b).. ~ usada para a curva de resistência
da coluna, paru valores baixoo e intennedi.irioo de !,.Jr. Para alaumu lipa. ...,a ~nha reta
e escolhida de forma a tanpciar a bipêrbole de Euler. para outras. um ln cu lo ! formado
como na figura. Como exemplo. tirado de um grande nUmero de casos dndos no m11nual
da A LCOA, paru uma liga 2024-T4 extrudada,
(0 <õ(I..Jr) < 64).
( 14.38)
Na apJiC3çiO dessa fórmula panicular, a raz.Jo L.)r nlo deve exoeder 64. As extraf)O':
Jaçõet de tais f6 rmulns. al~m de suM reili.AS de aplic;nbilidadc, nAo silo permitidas porc1ue
.r.. podem dar valores de tensOcs mais elevada> do que lleria passivei com a carga de nam-
m endaçlo. a te:nsã.o ad.tnl !isi'#d é
.-,.. = •'.t:/(2,727(1../r)') = 3,619E/(L/r)'.
Aqui o lendo ad mis!!vel n[o pOde exceder o •olor crltieo para a compressão de blo=
curtos. paralelamente is libcu. p1u·w. as e$])1!cicJ panicularo de madeirL Essas tcns6cs sio
aumentadas p:lta o can eaamento de curta dur:acJo e são diminuídas p11ra os carrea.amentos
sust entados Essa fórmula é ttplicávd a condições de c xlremidades articuladas ou "cng_asrad.u",
Para u colunas de scção tr.ans,·ersal <tuadroda ou rclnngular. o. Eq. l4.39 fica
tt,.. = OJof/(L/dJ'.
tt" = 31,, - 0,22(LJr) ksf/ mm'
baacm de Euler. Um fato~ de ocauraoça deve ser apicado com u l!qs. 14.37 e 14.38.
.;l(;r/mm2
FfV"r• 14.18
Tendo tdmiurvtl para colunas
com C4Hreoamento coneantrico conforme especifi. - s ca AISC
(14.39)
(14.40)
onde J é a menor dimen~lo l:atcrnl de um membro.
EXE \4 1'LO 14.4
Comparar a.s ca.raas de compren!o axial :ulmissiveis para un1a cantoneira de liga de
aluminio, de 7j m m >C SO mm >e- 6.3 m m, de I 091 mm de comprimento (a) quando ela
at~ como coluna com pino na e,;ttemidnde, c (b) quando cln é vinculadn de Corma que seu
c:omprimen10 eft:tivo L.. • 0,.9L Admitir um fa tor de scaur~tnç