Financial Mathematics
Problem Set 5
3/4/24
Name: Leif Harvey
1. 3)
(a) Y ∼ N (0, σ 2 )
(b) Z ∼ N (µ, σ 2 )
2. 7) Given X ∼ N (0, ∆t), show E((∆x)2 ) = ∆t.
V ar(∆x) = E((∆x)2 ) − E(∆x)2
∆t = E((∆x)2 ) − 0
E((∆x)2 ) = ∆t
3. 9) Given ∆S = 2S∆t + 2S∆X, what is the form of Ito’s Lemma?
f (s, t) ≈ σS
h df
df
1
df i
d2 f
(∆x) + µS + σ 2 S 2 2 +
∆t
ds
ds 2
dS
dt
h
1 i
∆ln(S) = σ∆x + µ + − σ 2 ∆t
2
h
1 2i
∆ln(S) = 2∆x + 0.2 − · 2 ∆t
2
∆ln(S) = 2∆x − 2.2∆t
4. 12)
(a) Y ∼ N (a, σ 2 )
(b) b)
√
√
P (Y ≤ y) = P (x2 ≤ y) = P (− y ≤ x ≤ y) =
d
f (y) =
dx
Z √y
Z √y
√
− y
1 −1 2
√ e2x
2π
1 −1 x2 1 −1 y 1 −1 1 −1 1 −1 y 1 1 1
√ e2 = √ e2
y2 + y2 √ e2
= √ √ e2y
√
2
2
y 2π
2π
2π
2π
− y
1 1 1
f (y) = √ √ e 2 y
y 2π