UNIVERSIDAD SAN FRANCISCO DE QUITO Colegio de Ciencias e Ingeniería Ingeniería Mecánica Laboratorio de Mecánica de Materiales NRC: 5147 Flexion en vigas Integrantes: Nicolás Valdivieso – 325735 Alejandro Sanchez– 211633 Fecha de entrega: 2023/10/29 Resumen Esta práctica analiza el esfuerzo de flexión en base a una simulación y una parte experimental, por medio del programa Inventor simulamos 4 vigas con diferentes formas sometidas a fuerzas y apoyos los cuales nos dejará ver la relación entre la forma de la viga y su tendencia a la falla. La parte experimental aborda 3 diferentes tipos de vigas(acero,aluminio y perfil de ventana) las cuales serán analizadas teóricamente y por medio de un programa que procesa fotos de las vigas, se busca comparar los resultados obtenidos por medio de la prueba de flexión teóricamente obteniendo datos fuerza desplazamiento y posición, para obtener el desplazamiento máximo. En el caso de la viga de aluminio el desplazamiento máximo fue 4,48 mm en la viga de acero fue 1,45 mm y en el perfil de ventana 0,689 mm estos resultados fueron calculados bajo la ecuación de desplazamiento máximo, donde los valores como la distancia entre apoyos que es de 162,02 mm o la inercia del objeto analizado influencian en el resultado. De esta manera se puede analizar cómo cambia el esfuerzo máximo de flexión dependiendo del material que se usa o de la forma que tiene la viga de análisis donde un cambio en su plano neutral o inercia afectará directamente al esfuerzo de flexión. Por medio del procesamiento de fotos de las vigas obtenemos gráficas de la curva para hacer una regresión lineal la cual nos dará una ecuación de la curva que nos permitirá comparar los valores de desplazamiento teóricos. Índice General Resumen. 2 Índice General 3 Índice de Figuras. 4 Índice de Tablas. 4 Nomenclatura. 5 1 Introducción. 6 1.1 Objetivo general 6 1.2 Objetivos específicos. 6 2 Métodos Experimentales y Procedimientos. 7 2.1 Descripción del experimento. 7 2.2 Procedimiento. 7 3 Teoría y Análisis. 8 4 Datos y Cálculos. 9 4.1 Datos de la práctica. 9 4.2 Ejemplo de cálculos. 9 5 Resultados y Discusión. 10 5.1 Resultados. 10 5.2 Discusión. 10 6 Conclusiones y Recomendaciones. 11 Bibliografía. 12 Anexos. 13 CONTENIDOS Índice de Figuras Figura 1: Viga en I Figura 2: Viga rectangular Figura 3: Configuración de la máquina Figura 4: Viga de aluminio flejada Figura 5: Elemento a flexion pura. Figura 6: Elemento después de la flexión Figura 7: Plano neutro Figura 8: División del elemento en elementos cúbicos. Figura 9: Diagrama de distribución de esfuerzos Figura 10: Viga inventor Figura 11: Viga rectangular inventor Figura 12: Viga en I inventor Figura 13: Viga Riel de tren inventor Figura 14: Gráfica Fuerza vs Deformación (Perfil ventana de aluminio) Figura 15: Gráfica Fuerza vs Deformación (viga de aluminio) Figura 16: Gráfica Fuerza vs Deformación (viga de acero) Figura 17: Gráfica Esfuerzo vs Posición (viga de perfil) Figura 18: Gráfica Esfuerzo vs Posición (viga de aluminio) Figura 19: Gráfica Esfuerzo vs Posición (viga de acero) Figura 20: Valores reemplazados en la ecuación y(x) Figura 20.1: Diagrama de cortante y momento viga de acero. Figura 20.2: Diagrama de cortante y momento viga de aluminio y perfil. Figura 21: Viga de aluminio Figura 22: Valores reemplazados en la ecuación y(x) Figura 23: Viga de acero Figura 24: Valores reemplazados en la ecuación y(x) Figura 25: Viga del perfil de una ventana Figura 26: Ecuación de la curva de la viga de aluminio Figura 27 : Ecuación de la curva de la viga de acero Índice de Tablas Tabla 1: Datos de las vigas de Aluminio y Acero estructural. Tabla 2: Longitud de las vigas y la distancia entre apoyos. Nomenclatura Símbolos P tasa de transferencia de calor [W] I Inercia [mm4] a Distancia entre apoyos [mm] x Longitud en la que se desea calcular la deflexión [mm] E Módulo de elasticidad [mm] L Longitud de la viga [mm] Letras griegas σ Esfuerzo de flexión ε Deformación 1 Introducción En el mundo de la Ingeniería, el diseño y análisis de vigas sometidas a flexión son conceptos de gran importancia para entender y prever el comportamiento de las estructuras. Las vigas, como uno de los elementos principales en diferentes tipos de construcción, como edificios, puentes y otros tipos de infraestructura, deben ser calculadas y diseñadas con precisión para que estas sean capaces de soportar cargas a las cuales estas estarán sometidas y también deformaciones en su vida útil. La flexión es uno de los fenómenos más comunes de carga a los que se enfrentan las vigas, y su estudio es esencial para garantizar la seguridad y eficiencia de las estructuras. Por otro lado, el software de diseño que se utilizara para esta práctica, juega un papel crucial. Autodesk Inventor se ha convertido en una herramienta importante para los ingenieros de diferentes campos y diseñadores que buscan modelar y analizar estructuras complejas, o simples como las vigas. Lo que hace este software es darnos la posibilidad de crear modelos virtuales detallados que pueden simular el comportamiento de las vigas sometidas a diferentes tipos de cargas y configuraciones del sistema. El propósito de esta práctica de laboratorio es indagar el uso de Inventor en el diseño y análisis de vigas. Se abordarán aspectos como la creación del modelo de la viga, luego en la práctica, la aplicación de cargas puntuales y la evaluación de las deformaciones.Esto nos permite adquirir habilidades en el uso de Inventor y también entender la importancia del uso de diferentes softwares que nos simplifican de una manera increíble el trabajo, siendo eficaces con el tiempo y el análisis en la ingeniería mecánica, con aplicaciones directas en la configuración de elementos de estructuras. 1.1 Objetivo general Se debe incluir el objetivo general de la práctica En la práctica se busca evaluar las capacidades de inventor como una herramienta complementaria en el estudio y diseño de vigas en el campo de la ingeniería estructural, también se quiere analizar el comportamiento de vigas con diferentes configuraciones y como estas configuraciones afectan al comportamiento de las vigas, entendiendo las causas y buscando posibles mejoras o soluciones 1.2 Objetivos específicos Listar los objetivos específicos, estos deben ser medibles, realizables, realistas, considerando el tiempo que se tuvo en la práctica. Tomar en consideración que estos deben ser respondidos en el informe y ser vinculados con las conclusiones. · Objetivo específico 1: Introducir nuevas herramientas tecnológicas en nosotros los estudiantes, que nos permiten aprovechar el tiempo, para diseñar y modelar estructuras con cualesquiera sean las propiedades y dimensiones de las mismas, siempre teniendo presente parametros de gran importancia como el material del que está hecho la viga y sus dimensiones. · Objetivo específico 2: Realizar una práctica experimental en el laboratorio para comparar el comportamiento de la viga sometida a flexión en cuatro puntos, dos apoyos de tipo rodillo y dos cargas puntuales, que nos permitirán medir deformaciones resultantes para poder comparar la teoría con lo experimental. · Objetivo específico 3: Analizar y calcular la deflexión, es decir la posición que nos da la máquina y compararla con la deflexión obtenida con la ecuación proporcionada por la profesora y ver cual es la variación. Esta práctica se basa en el análisis detallado de los esfuerzos internos en la viga y el estudio del comportamiento cuando es sometida a cargas, lo que es de vital importancia para nosotros ingenieros para comprender la distribución de las tensiones a lo largo de la viga y cómo afectan su resistencia y deformación. Al comparar los resultados arrojados por el programa Inventor con los cálculos teóricos, se evaluará la capacidad del software para predecir con precisión los esfuerzos internos en una estructura sometida a flexión. 2 Métodos Experimentales y Procedimientos 2.1 Descripción del experimento La sección debe describir el aparato y los procedimientos experimentales. Se requiere un diagrama esquemático y el diagrama debe identificar el equipo y la instrumentación. En algunos casos en que se requiere la documentación completa, una lista de equipos debe ser incluida. Incluya una breve descripción narrativa relacionada con aspectos importantes del procedimiento, incluyendo parámetros específicos utilizados como voltaje, termocuplas, etc. Recuerde que usted debe proporcionar suficientes detalles para que otra persona pueda reproducir los experimentos. La Figura 1 es un ejemplo. Figura 1 Diagrama de funcionamiento MATERIALES: - Máquina de ensayo de flexión - 2.2 Vigas Micrómetro Cámara Inventor Procedimiento La práctica se la realizó en dos partes, por lo que se procederá a explicar cada una de ellas, siendo lo más precisos posibles: SIMULACIÓN En la parte uno de la práctica se adquirieron habilidades para el uso de inventor, el cual es un software de diseño que permite crear modelos 3D de piezas o ensamblajes. En lo que se refiere a nosotros, se diseñaron dos vigas, una en I y otra viga rectangular. Figura 1: Viga en I Figura 2: Viga rectangular Se estudió cada pestaña, indicando la utilidad de las mismas para tener un conocimiento general del uso de Inventor. No podremos trabajar con estructuras en 2D por lo que una vez dibujada la figura, hay que transformarla a 3D con la función de “Extrude”. Al momento de diseñar la viga, una de las cosas más importantes es definir el material de la viga, para analizar el comportamiento de esta. Se definirán características como de qué está hecho el material, comportamiento isotrópico, módulo de elasticidad, módulo de poisson, módulo de rigidez, densidad, Yield strength y tensile strength. Una vez definido el material, es necesario definir el sistema con el que se trabajará, en nuestro caso el sistema métrico, a continuación definimos los apoyos, la simulación siempre exige un empotramiento, por lo que se trabajó con un empotramiento en ambos extremos de la viga. También se añadirán cargas y se elegirá en donde estas serán aplicadas, con el comando “Loads” dándoles magnitud. Al momento de definir las cargas, se hará un análisis de elementos finitos (mallado), dividiendo la viga en elementos finitos, entre más elementos tengamos, más preciso el análisis pero le toma más tiempo al equipo. Por último, para ver el comportamiento de la viga, se da click en “simulate” > “run” y se lo puede visualizar. Es importante definir la escala de colores en base a como queramos trabajar, para ver en qué secciones está a tensión o a compresión bajo esfuerzos de flexión. EXPERIMENTAL Lo que se realizó en esta parte del laboratorio fue flejar una viga realizando un sistema de cuatro apoyos, dos apoyos simples que actúan como rodillos, es decir que pueden moverse en el eje “x”, situados en la parte inferior de la máquina, y dos fuerzas aplicadas en la parte superior de la máquina. Figura 3: Configuración de la máquina El sistema es simétrico, lo que quiere decir que la deflexión máxima se dará en la mitad de la longitud, la cual la máquina la medirá. Se analizaran dos vigas de aluminio, una siendo un perfil de una ventana, la otra fue una viga recta y por último una viga de acero estructural. Se inició calculando las inercias de las vigas, lo cual fue un reto calcular la inercia del perfil de la venta, ya que, al ser una viga bastante irregular y con varios cambios de secciones y huecos, se optó por modelar en Inventor, poniendo en práctica la parte uno del laboratorio. Se tomaron las medidas de cada parte de la viga. Acto seguido se tomaron medidas de la configuración del sistema (máquina), como la distancia entre los cilindros. Una vez tomados los datos importantes para cálculos futuros, se colocó cada una de las vigas, centradas correctamente en el sistema y se le aplicó las fuerzas de la máquina a una velocidad de 0.5 mm/min, para poder al mismo tiempo observar la gráfica fuerza vs posición y detener las fuerzas dentro del rango elástico, es decir que al momento de retirar las cargas puntuales, estas regresaran a su posición inicial sin presentar fallas. Se repitió el proceso con todas las vigas y por último se capturaron fotografías al momento en el cual la viga estaba flejando para comparar con los valores obtenidos con la máquina y con la ecuación dada. Figura 4: Viga de aluminio flejada Para la obtención de la ecuación de la curva, se toman las imágenes como la de la figura 1 y se carga la imagen, una vez abierta la foto, se procederá a definir puntos de X1 (Esquina izquierda inferior de la viga), X2 (Esquina inferior derecha de la viga), Y1 (Origen x1) y Y2 (Altura de la viga) y se definen las dimensiones de la viga, longitud entre los rodillos y el espesor de la viga. Una vez hecho eso, se trazó la viga con la función “pen”, esto después se podrá corregir en cada punto de la línea trazada, se toma también el color de la viga. Por último analizamos en “View data”, el cual es un archivo csv. Que nos permite hacer una gráfica de dispersión tomando en cuenta sólo los puntos dentro del rango de la longitud trabajada, con esto obtenemos la ecuación de la recta en excel, con la ecuación dada, se trabajará. 3 Teoría y Análisis Cuando un elemento está sometido a un par de igual de momentos opuestos en los extremos de la figura bajo un mismo plano longitudinal, se dice que el elemento se encuentra en flexión pura. Figura 5: Elemento a flexion pura. El momento que produce el par se llama momento flector dependiendo de la forma en que flexione el elemento se determina su signo si es convexa la concavidad es positivo si es en viceversa el signo es negativo, un elemento prismático sometido a momentos M y M” se flexionara de una manera uniforme siempre y cuando el par ese4te en el mismo plano. Figura 6: Elemento después de la flexión La suma de sus fuerzas internas deben ser igual al momento para tener a la viga en equilibrio flexionado con una curvatura constante donde se establece un plano neutro que cruza en la mitad de la viga y la distancia C desde aquel plano neutro hasta las fuerzas de compresión o tensión. Cualquier sección transversal perpendicular al eje del elemento permanece plana Figura 7: Plano neutro Si a la viga se le divide en un gran número de elementos cúbicos antes de flexionarla estos elementos concedieron a los ejes coordenados después que la viga se somete a flexión estos elementos conservaran su forma cúbica. Figura 8: División del elemento en elementos cúbicos. El radio de curvatura lo forman los extremos de la viga al momento de ser flexionada cuando estos elementos se encuentran a una distancia desde el eje neutro se relaciona con la deformación axial que ocurre mediante la siguiente ecuación. επ₯ = −π¦ π Donde: Ex: es deformación axial Y: es la distancia desde el eje neutro P: es el radio de curvatura De la ecuación anterior deducimos que la deformación alcanza un valor máximo llegando a C la distancia máxima a la superficie desde el plano neutro: π επππ₯ = π Así demostrando que el esfuerzo varía de una forma lineal con la distancia al eje neutro, el esfuerzo y deformación sigan la curva mostrada en la figura 6 Figura 9: Diagrama de distribución de esfuerzos La expresión que junto al momento flector con el esfuerzo axial denominada el esfuerzo de flexión es: σπ₯ =− ππΆ πΌ 4 Datos y Cálculos 4.1 Datos de la práctica Ancho(cm) Espesor (cm) Perfil de ventana 5,013 Aluminio 2.76 0.33 Acero estructural 3.78 0.43 Tabla 1: Datos de las vigas de Aluminio y Acero estructural. Longitud (mm) Aluminio 162.02 Acero 162.02 Ventana 162.02 Distancia entre apoyos 162.02 Tabla 2: Longitud de las vigas y la distancia entre apoyos. Simulación 1. Mediante simulación de esfuerzos en Inventor analizar flexión en 4 puntos en las siguientes vigas (incluir fotos de cada simulación) Figura 10: Viga inventor Figura 11: Viga rectangular inventor Figura 12: Viga en I inventor Figura 13: Viga Riel de tren inventor 2. Analizar mediante comparación entre esfuerzo, deformación, deflexión, factor de seguridad ¿cuál viga es más resistente? Explicar mediante forma gráfica, en cual viga la flexión es más crítica. Figura 13.1: Deflexión, deformación y factor seguridad Comparando los datos de esfuerzo, deformación, flexión y factor de seguridad arrojados por Inventor, se ha determinado que la viga de riel de tren será más resistente. Esto coincide con la teoría ya que la estamos comparando con vigas que tienen configuraciones las cuales arrojan valores menores de inercia, también es importante tener en cuenta que la viga de riel de tren tiene un esfuerzo máximo mayor a las demás. Experimental 3. Determinar los valores de desplazamiento máximo de manera experimental. PERFIL DE VENTANA: Desplazamiento máximo: 0.689 mm Figura 14: Gráfica Fuerza vs Deformación (Perfil ventana de aluminio) ALUMINIO: Desplazamiento máximo: 4.48 mm Figura 15: Gráfica Fuerza vs Deformación (viga de aluminio) ACERO: Desplazamiento máximo: 1.45 mm Figura 16: Gráfica Fuerza vs Deformación (viga de acero) 4. Mediante una gráfica de dispersión de esfuerzo vs. desplazamiento determine la relación existente entre estas dos variables. Explique la relación existente ¿hay proporcionalidad entre las variables? PERFIL DE VENTANA: Figura 17: Gráfica Esfuerzo vs Posición (viga de perfil) ALUMINIO: Figura 18: Gráfica Esfuerzo vs Posición (viga de aluminio) ACERO: Figura 19: Gráfica Esfuerzo vs Posición (viga de acero) Al momento de relacionar ambos conceptos, se puede determinar que ambos son directamente proporcionales, ya que a medida que el esfuerzo aumenta, la posición también. En estas gráficas también se puede visualizar y determinar en donde se encuentra la región elástica del material. 5. Obtener de manera analítica los diagramas de Cortante y Momento (Incluir procedimiento) Para optimizar el tiempo se hizo uso de una herramienta vista en clases de teoría, la cual es MDSolids, en esta se aplicaron las cargas respectivas a las distancias a las cuales se las aplico en el laboratorio, obteniendo diagramas de momento y cortante. Acero Figura 20.1: Diagrama de cortante y momento viga de acero. Aluminio Figura 20.2: Diagrama de cortante y momento viga de aluminio y perfil. 6. Obtener el momento y el esfuerzo máximos del sistema planteado de manera analítica, considerando que el material es acero inoxidable. Aluminio Momentos(N*M) Aluminio σ= ππππ₯*πΆ πΌ Acero σ= ππππ₯*πΆ πΌ Acero Perfil de ventana Perfil de ventana σ= ππππ₯*πΆ πΌ 7. Calcular el desplazamiento teórico, mediante la ecuación y(x) La ecuación y(x), la cual se utilizará para resolver el literal es: 1 2 π¦(π₯) = πΈπ ( πππ₯ 2 3 − ππ ππ πΏπ₯ + 2 6 ) Donde: E = Módulo de elasticidad I = Inercia P = Carga Maxima x = Longitud en la que se desea calcular la deflexión a = Distancia entre apoyos L = Longitud de la viga ALUMINIO: β E = 68900 MPa β π΅*π» I= 12 β I = 4.85e-7 mm β B = 162.02 mm β H = 3.3 mm 3 = 4. 85 * 10 −10 m β P= 252 N β x= 81.01 mm β a= 162.02 mm β L= 162.02 mm Figura 20: Valores reemplazados en la ecuación y(x) Figura 21: Viga de aluminio ACERO ESTRUCTURAL: β E = 200000 MPa β I = 1.07e-6 mm β B = 162.02 mm β H = 4.3 mm β P= 814 N β x= 81.01 mm β a= 0.16202 m β L= 162.02 mm Figura 22: Valores reemplazados en la ecuación y(x) Figura 23: Viga de acero PERFIL VENTANA: β E = 68900 MPa β I = 0. 000522 ππ β B = 162.02 mm β H = 3.3 mm β P= 252 N β x= 81.01 mm β a= 162.02 mm β L= 162.02 mm 4 Figura 24: Valores reemplazados en la ecuación y(x) Figura 25: Viga del perfil de una ventana 8. Determinar la ecuación de la curva de la viga mediante fotos y comparar con la ecuación y(x) obtenida en el literal 7. Ecuación de la curva viga aluminio 2 π¦ = 17. 417π₯ − 27. 66π₯ + 0. 7613 Figura 26: Ecuación de la curva de la viga de aluminio Ecuación de la curva viga acero 2 π¦ = 0. 0001π₯ − 0. 0261π₯ + 1. 0713 Figura 27 : Ecuación de la curva de la viga de acero 9. Comparar los resultados experimentales con los teóricos. Hacer énfasis en la forma de la viga luego de colocada la carga, los valores de desplazamiento y esfuerzo máximo. 4.2 Ejemplo de cálculos Ejemplo de cálculo para la deflexión de la viga de aluminio: Con la ecuación proporcionada, se calculó la reflexión, haciendo una división de términos para no cometer errores. 2 π¦(π₯) = 1 πππ₯ ( 2 πΈπ 3 − ππ ππ πΏπ₯ + 6 2 ) Se la dividió en los siguientes términos: 1er termino 1 πΈπΌ 1 = 68900*4.87π−7 = 7. 04π − 12 2do termino 2 2 πππ₯ 2 = 252*162.02*81.01 2 = 133972739 3er termino ππ 252*162.02*81.01*162.02 πΏπ₯ = 2 2 = 267945479 4to termino 3 ππ 6 3 = 252*162.02 6 = 178630319 Una vez obtenidos todos los términos, solo queda reemplazarlos en la ecuaciones de la siguiente manera: πππππππ π’ππ ( π‘ππππππ πππ − π‘ππππππ π‘πππ + π‘ππππππ ππ’ππ‘ππ) 7. 04π − 12 ( 133972739 − 267945479 + 178630319) = 0, 00031435 5 Resultados y Discusión 5.2 Discusión En la parte de simulación la viga número 4 en forma de riel de tren es la mas resistente debido a su configuración podría soportar más fuerza sin llegar al fallo, por lo que esta fleja más que las demás vigas, la primera viga que tiene menor área transversal al igual que se encuentra como acostada es la que tiene menos resistencia. De manera experimental se observa que la viga con forma de perfil de venta será la que más resista a la flexión por ende al desplazamiento debido a la forma que tiene su inercia es mucho mayor a la de la viga de aluminio y de acero. Al momento de procesar la foto del perfil de la ventana fue de mucha dificultad por la manera en la que la imagen fue procesada y las medidas que se tomaron en el laboratorio a la hora de manipular el software con el que se procesaron las fotos se tiene grandes distancias entre los puntos que leía el programa para poder arrojar datos en un formato CSV por lo que había que completarlos manualmente lo que generaba un error para poder sacar finalmente la data. 6 Conclusiones y Recomendaciones El material que se use para construir la viga es uno de los parámetros más importante a la hora del diseño este mismo viene acompañado de la configuración geométrica de la viga y como esta esté alineada, los apoyos que tenga la misma también influenciaron su capacidad a la resitencia, programas de simulación como Inventor son un gran herramienta para simular casos de vigas sometidas a diferentes cargas hechas de materiales distintos empotradas en diferentes apoyos y la capacidad de correr una simulación donde veremos el esfuerzo flexión así mismo como el desplazamiento de la viga. Otros recursos como el procesamiento de fotos son herramientas menos precisas por que el análisis viene no de una construcción ficticia y más certera si no de un análisis de puntos mientras la viga fleja dependiendo de una regresión lineal y polinómica que nos de datos para ser comparados teóricamente, el análisis pudo ser más rápido y efectivo si las vigas de la parte de simulación se hacian en el programa inventor. Bibliografía Guevara, E. (2022) Mecánica de Materiales 8° Edición - Russell C. Hibbeler, Academia.edu. Available at: https://www.academia.edu/73149085/Mec%C3%A1nica_de_Materiales_8_Edici%C3 %B3n_Russell_C_Hibbeler (Accessed: 05 November 2023). Óscar, M.S.J. and Beer, F.P. (2021) Mecánica de Materiales. Ciudad de México: McGraw Hill Education.
