65
b) Passando inicialmente os números para a forma retangular,
z 3  2 cos 30º  j 2 sen 30º  1,732  j1,000
z 4  5 cos 70º  j 5 sen 70º  1,710  j 4,698
z 3  z 4  1,732  1,710  j 1,000  4,698 
 3,442  j 5,698
Temos também que:
z3  z 4 
3,4422  5,6982  6,657
 5,698 
θ  arc tg
  58,9º
 3,442 
z3  z4
z4
y
6,7
 Valores obtidos

do gráfico
5
59º
70 º 2
z3
30º
x
0
Fig. 1.23
Exemplo 1.18
Resolva a equação e jθ  1  2 para       e verifique a solução geometricamente3
Solução:
Temos que:
e jθ  1  2 (*)
onde z1  e jθ  cos   j sen  e z 2  1
3
A verificação geométrica da solução talvez seja melhor apreciada após o estudo da subseção 1.14.6.
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
66
donde,
cos   j sen   1  2  cos   1  j sen   2 
cos   12  sen 2   2
cos   12  sen 2   2 
cos 2   2 cos   1  sen 2   2 
=1
2  2 cos   2 
 2 cos   0 
  0
cos   0 
   rad
Substituindo na equação (*), verificamos que somente o valor    rad é
compatível.
A verificação gráfica é imediata, visto que z1  z 2 é a distância entre os pontos
definidos pelos complexos z1 e z 2 .
Sendo z1  e jθ , temos que z1  1 , e o lugar geométrico representado por z1 ,
quando  varia ao longo do intervalo       , é uma circunferência de raio unitário centrada
na origem.
Sendo z 2  1, a situação é a representada na figura a seguir:
y
z1  e j
z1  z2

0
1
z2  1
x
Fig. 1.24
É fácil verificar que teremos z1  z 2  2 quando  assumir o valor  rad .
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c) Multiplicação
A multiplicação de grandezas na forma retangular é dada por:


z1.z 2   x1  jy1 
. x2  jy2   x1 x2  j 2 y1 y2  j  x1 y2  x2 y1 
Lembramos que j 2  1 segue-se que:
z1.z 2   x1 x2  y1 y2   j  x1 y2  x2 y1 
(62)
Já na forma exponencial,
z1.z 2  z1 e j1 . z 2 e j2  z1 z 2 e j 1  2 
o que nos permite então escrever:
z1.z 2  z1 z 2 e j 1   2   z1 z 2
1   2
(63)
Conclusões:
1.ª) Da equação (63) temos que:
z1.z 2  z1 . z 2
(64)
 z1 . z2  1   2
(65)
e
2.ª) Para z  x  jy  z e j e z *  x  jy  z e  j vale então estabelecer a seguinte equação:
z .z *  z e j  . z e  j 
ou seja,
z .z *  z
2
(66)
3.ª) Também não é difícil mostrar que
z1 z2 *  z1* z2*
(67)
67
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
68
Exemplo 1.19
Multiplicar os seguintes números complexos:
a) z1  2  j3 e z 2  1  j 3


b) z3  5e j 3 e z 4  2e  j 6
c) z5  2
30 e z 6  5  45
Solução:
a) z1.z 2  2  j3 1  j3  7  j 9






b) z3 .z4  5e j 3 2e  j 6  10e j 6
c) z5 .z 6  2
30  5
 45   10
15
Exemplo 1.20
5
Passar o número complexo  2e j 6 para as formas polar e cartesiana.
Solução:
Este é uma excelente exemplo, pois, lembrando a forma exponencial de um complexo, z  z e j ,
parece que estamos diante de um absurdo, qual seja um numero com módulo negativo. Acontece
que aí não existe módulo negativo, mas sim uma “multiplicação implícita”, conforme veremos a
seguir:
5
 2e j 6  2
5
6
 2 150 º   12 150 º
 1 180º 2 150 º   2
330º  2
 30º
   
não é usual




 pois devemos 
 ter 180 º  180 º 


que é a forma polar.
A forma cartesiana é facilmente obtida à partir da forma polar, ou seja:
z2
 30 º  2 cos 30º   j 2 sen  30º  
 1,732  j1,000
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
69
Observação: As calculadoras eletrônicas estão em um estágio de desenvolvimento tão elevado
que, aquelas que tem as rotinas RET  POL e POL  RET, assimilariam a transformação
 2 150º diretamente para a forma cartesiana, pois, quando se entra com z  2 , o software da
calculadora entende que isto não é simplesmente módulo, e que existe uma multiplicação
implícita. Está duvidando? Pois então pegue uma e execute a operação!
d) Divisão
A divisão de duas grandezas complexas, z3 
z1
, é definida como z1  z 2 .z3 se z 2  0 .
z2
Em coordenadas retangulares temos:
z1 x1  jy1  x1  jy1  x2  jy2 




z 2 x2  jy2  x2  jy2  x2  jy2 
onde o processo de racionalização foi efetuado utilizando-se o complexo conjugado do denominador.
Finalmente,
z1  x1 x2  y1 y2   x2 y1  x1 y2 

  j

z 2  x22  y22   x22  y22 
e na forma exponencial,
z e j1
z
z1
 1 j2  1 e j 1  2 
z2
z2 z2 e
o que nos conduz a
z1 z1 j 1 2  z1

e

z2 z2
z2
1   2
Conclusões:
1ª) Da equação (69) concluímos que:
z
z1
 1
z2
z2
(70)
e
 z1
 1   2 .
z2
(71)
(69)
(68)
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
70
2ª) Não é difícil mostrar que
*
 z1 
z*
   1* , sendo z 2  0
z2
 z2 
(72)
3ª) Fica então evidente que a multiplicação e a divisão de grandezas complexas são mais
facilmente efetuadas na forma polar, a menos que, conforme já dito anteriormente, se tenha uma
calculadora eletrônica mais sofisticada.
j
4ª) É importante notar que multiplicar uma grandeza complexa por j  e 2  1 90 não altera o
seu módulo, mas soma 90º ao seu ângulo de fase. Raciocinando em termos da representação por
meio de segmento orientado no plano complexo, a multiplicação por j gira o segmento orientado
 j
de 90º no sentido anti-horário. De modo análogo, a multiplicação por  j  e 2  1  90
também não altera o módulo da grandeza mas, neste caso, há uma subtração de 90º na fase, ou
seja, o segmento orientado é agora girado de 90º no sentido horário.
5ª) Similarmente, se multiplicarmos um número complexo por e j  1  , não alteramos o seu
módulo; apenas acrescentamos  ao seu ângulo de fase ou, em outras palavras: giramos o
segmento orientado que representa o complexo de um ângulo  no sentido anti-horário. Se a
multiplicação for por e  j  1   o giro será no sentido horário.
6ª) Das propriedades e definições vistas até então resultam as leis comutativa, associativa e
distributiva usuais:
z1 z 2  z 2 z1
(73)
z1  z 2  z 2  z1
(74)
z1 . z 2 .z3   z1 .z 2 .z3
(75)
z1   z 2  z3    z1  z 2   z3
(76)
z1. z 2  z3   z1.z 2  z1.z3
(77)
z1  z2 .z3  z1.z3  z2 .z3
(78)
Exemplo 1.21
Dividir os seguintes números complexos:
a) z1  4  j 5 e z 2  1  j 2
j
j
b) z3  4e 3 e z 4  2e 6
c) z5  8
 30 º e z 6  2
 60 º
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
Solução:
a)
6
13
z1 4  j5  4  j5  1  j 2   6  j13
 
  j


 
5
5
5
z 2 1  j 2  1  j 2  1  j 2 
j
j
z
4e 3
b) 3  j  2e 6
z 4 2e 6
c)
z5 8  30º

4
z6 2  60º
30
Exemplo 1.22
Determinar o resultado da expressão
z
5002000  30º   250 30º 1000
500  2000  30º
250 30º  1000
Solução:
Temos então:
z
1 000 000  30º
250 000 30º


500  1 732  j1 000 216,5  j125  1 000

1 000 000  30º 250 000 30º


1 216,5  j125
2 232  j1 000

1 000 000  30º 250 000 30º


2 445,8  24,1º
1 222,9 5,9º
 408,9  5,9º  204,4 24,1º 
 406,7  j 42  186,6  j83,5 
 593,3  j 41,5  594,8 4º
e) Potenciação
Consideremos, inicialmente, um número complexo genérico
z  z e j  z cos   j sen  
Procedamos agora a potenciação deste número, ou seja,
zn .
Temos então:

z n  z e j
   z cos   j sen 
n
n
71
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
72
Assim sendo vem que:
n
z n  z e j n  z
n
cos   j sen  n
porém, da identidade de Euler,
e jn  cos n  j sen n
o que nos permite escrever
n
n
n
n
z n  z e jn  z cos n  j sen n  z cos   j sen  
                
(79)
* 
Daí concluímos que se
z  z e j  z

 z cos   j sen  
podemos exprimir a potência nas seguintes formas:
n
z n  z e j n
zn  z
n
(80)
n
(81)
n
z n  z cos n  j sen n 
(82), também conhecida como 1.ª fórmula de De Moivre.
Considerando a parte assinalada com asterisco na equação (79), concluímos também que:
cos   j sen n  cos n  j sen n
(83), que é reconhecida como sendo a identidade
de De Moivre.
Exemplo 1.23
Calcular
 3  j  utilizando (a) a forma exponencial e (b) a 1.ª fórmula de De Moivre.
7
Solução:
a) Temos que:
 
2

3 1  2
z 

1

 30º  rad
  arc tg
6
3

Logo,

6
 3  j   2e .
j
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
73
Assim sendo,
 j 
 27 e j  e 6  





 128cos   j sen  cos  j sen  
6
6

 3  j  2
7
7j
7
6


 3
1
 128
 j   64 3  j
2
 2


z 2

b) 

  6 rad
 3  j   2 cos 76  j sen 76   128cos 2  56   j sen 2  56  
7
7








  5 
3
1
 5 
 128cos    j sen     128 
 j  
2
 6 
  6 
 2

 64 3  j

Exemplo 1.24
Calcular
 2  j 2  utilizando (a) a forma exponencial e (b) a 1.ª fórmula de De Moivre.
10
Solução:
a) Temos que:
   
2
2

2  2 2
z 


  arc tg 1  45º  rad

4
Logo,
j

2  j 2  2e 4
Assim sendo,
 2  j 2  2 e
10
10
j
10 
4
5
j
 j 
 210 e 2  210 e j 2   e 2  




  
  
 1024cos 2   j sen 2cos   j sen  
 2 
 2
 1024 j
z 2

b) 

  4 rad
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
74
 2  j 2   2  cos 104  j sen 104  
10
10


 
2 
2  

 1024cos 2     j sen 2   
4 
4 

 



 1024 cos  j sen   1024 j
2
2

Exemplo 1.25
2
Determinar o resultado da expressão z 
j1001  j 2
tanto na forma polar quanto na
 3  j 4 1  j 
retangular.
Solução:
Inicialmente vamos passar cada um dos fatores para a forma polar:
100 90  5  63,4   100 90 5  126,8  
z
5 126,9  2  135  5 126,9  2  135 
2
 70,9  28,7  62  j 34
Solução Alternativa:
Vamos manter os fatores na forma retangular e racionalizar a fração resultante:

2
2

j100 1  21 j 2    j 2 

 3 1   3 j    j 4 1   j 4 j 
j1001  j 4  4 j100 3  j 4



7 j
3  j 3  j 4  4
z

1004  j 3 1004  j 3  7  j 
 


7 j
 7  j  7  j 

10031  j17 
 62  j 34
49  1
f) Radiciação:
Diz-se que um número w é a raiz n-ésima de um número complexo z se
1
wn z  z n
que é equivalente a
wn  z .
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
75
Para determinar as n raízes distintas do número z vamos considerá-lo em sua
forma trigonométrica
z  z cos   j sen  
e representemos, também em forma trigonométrica, a raiz que desejamos encontrar:
w  w cos   j sen   .
Utilizando a 1.ª fórmula de De Moivre, a equação z n  n assume a seguinte
forma:
n
w cos n  j sen n  z cos   j sen  .
Uma vez que a igualdade dos números complexos requer a igualdade das partes
reais e das partes imaginárias, separadamente, devemos ter:
n
w cos n  z cos 
e
n
w sen n  z sen 
Tais equações, por sua vez, são equivalentes a
n
w  z
e
k  0, 1, 2, , n  1
n    2k
ou seja,
w n z e  
  2k
n
k  0, 1, 2, , n  1
Seque-se então a expressão conhecida como 2ª fórmula de De Moivre:
n
w z 
n
   2 k 

n 
j
    2 k 
   2 k   n
z cos
  j sen
  z e 
 n 
  n 
n z
  2k
n
sendo k = 0, 1, 2, ..., n – 1.
Que também pode ser expressa para o argumento em graus,
  º  k 360º 
 º  k 360º  n
w  n z  n z cos
  j sen
  z
n
n



 
sendo k=0, 1, 2, ..., n – 1.
  k 360
n
(84b)
(84a)
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
76
Esta fórmula produz n raízes distintas w0 , w1 , w2 ,  , wn 1 , todas com o mesmo
módulo e com argumentos
  2k 0  k 360º
, k = 0, 1, 2, ..., n – 1,
k 

n
n
que estão situadas sobre a circunferência centrada na origem e com raio n z , sendo os vértices
de um polígono regular de n lados, conforme ilustrado a seguir:
y
w2
w1
w3
w0



n

0
x

wn1
wn 2

2 360º

n
n
Fig. 1.25
Casos particulares:
1º) Raízes da unidade:
Quando z = 1, o ângulo  assume o valor zero e a fórmula (84) reduz-se a :
 2k 
j

2 k
2 k 

n
w   cos
 j sen
  e  1
n
n 

sendo k= 0, 1, 2... n-1
2k
n
1
k 360º
n
(85)
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
77
Considerando
2
  cos
j
2
2
 j sen
e n ,
n
n
e utilizando a identidade de De Moivre, vemos que as n-ésimas raízes da unidade são dadas por:
1, ,  2 ,  ,  n 1
A figura 1.26 ilustra as raízes no caso n = 6, onde


2
2
 j sen
 cos  j sen  0,5  j 0 ,866  e j 3




j 2 3
*

 e
 0,5  j 0 ,866  
  cos
   e j  1
j
4
   e   0,5  j 0 ,866  

 e
j
5

 0,5  j 0 ,866   
y


3
0
1
4
5
Fig. 1.26
x
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
78
2º) Raízes quadradas:

z e j 2
w0 
z

2
z

º
2
(86)
z
w1 
j    2 
z e
z
180 
3 z
º
3 z
2
3
3 z
360 
3 z
4
3
3 z
720 

z
3 z

 2 

º
2
3º) Raízes cúbicas:
w0  3 z e
3
z
j
3
w1  3 z e j
  2  
w2  3 z e j
  4  
3
3
3
3
3
(87)
3
Exemplo 1.26
Determine os valores das seguintes raízes:
a)
b) 3  8 j ;
j;
c) 8 1
d)
1
1 j 3
2


e represente-as no plano complexo.
Solução:
a)
j
Temos que z  j  e
j
2
 z 1

 e
    90º
2

Pela expressão (86):
w0  1
45   1
45  = cos 45º  j sen 45º  0,707  j 0,707
w1  1 180  45  1 225  1 135 = cos 135º   j sen 135º   0,707  j 0,707
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
79
y
w0
0,707
1
 0,707
45º
x
0,707
0
 135º
 0,707
w1
Fig. 1.27
b)
3
8j
Temos que z  8 j  8 e
 j
2
z 8

 e
     90º
2

Pela expressão (87),
w0  3 8
 30  2cos 30  j sen 30  20,866  j 0,5  1,732  j
w1  3 8
 90  360 / 3  2
90  2cos 90º  j sen 90   2 j
w2  3 8
 90  720 / 3  2
210  2
150
 2cos 150   j sen  150   2 0,866  j 0,5  1,732  j
y
w1
2
 1,732
1,732
0
x
 30º
 150º
w2
2
1
Fig. 1.28
w0
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
c)
8
80
1:
Temos que z = 1 e, pela expressão (85), com n = 8, w  1
 1 k 45 sendo k = 0, 1, 2, ... , 7 no presente caso.
Assim sendo,
w0  1 0  cos 0º  j sen 0º  1
w1  1 45  cos 45º  j sen 45º  0,707  j 0,707
w2  1 90  cos 90º  j sen 90º  j
w3  1 135  cos 135º  j sen 135º  0,707  j 0,707
w4  1 180   cos180º  j sen 180º  1
w5  1 255  1
135  cos 135º   j sen  135º   0,707  j 0,707
w6  1 270   1  90  cos  90 º   j sen  90º    j
w7  1 315  1  45  cos 45º   j sen  45º   0,707  j 0,707
y
1 w2
0,707
w3
w1
1
45º
 0,707
w4
1
0
 45º
 0,707
w5
0,707
1
w7
 1 w6
Fig. 1.29
d)
1
1 j 3 :
2



1
3
 1 2
Temos que z   j
 z  2 
2
2
   3  60º
   1 1
3
2
2
w0
x
k 360

8
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
81
Pela expressão (86),
w0  1 30  cos 30º  j sen 30º  0,866  j 0,5
w1  1 180  30  1 210  1
150  cos 150º   j sen  150º   0,866  j 0,5
y
w0
0,5
 0,866
30º
0
 150º
w1
0,866
x
 0,5
Fig. 1.30
Exemplo 1.27
Determinar o conjunto-solução em C da equação w 4  4  0 .
Solução:
Temos:
w4  4  0  w4  4  w  4  4
isto significa que devemos calcular as raízes quartas de z = – 4. Temos então:
z  4
z  4  4e j  
    180º
  180º  k 360º 
 180º k 360º 
Utilizando a expressão (84), com n = 4, w  4 z cos
  j sen
 ,
4
4



 
sendo k = 0, 1, 2, 3 no presente caso. Assim sendo,
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
82
w0  2
 2
2
  1 j
45  2 cos 45º  j sen 45º   2 
j
2 
 2
w1  2

2
2
  1  j
135  2 cos135º  j sen135º   2  
j
2 
 2
w2  2
255  2
135 

2
2
  1  j
 2 cos 135º   j sen  135º   2  
j
2 
 2
w3  2
315  
 2
2
  1 j
 45  2 cos 45º   j sen  45º   2 
j

2
2


2
Logo o conjunto solução é:
S  1  j ,  1  j,  1  j , 1  j
1.13.5 A Desigualdade do Triângulo
Em alguns trabalhos sobre números complexos, este é um item que aparece logo
no começo, visto que, no mais das vezes, é apresentada uma demonstração para ela baseada
puramente em uma propriedade geométrica dos triângulos. Nesta oportunidade, vamos também
apresentar uma demonstração analítica , pelo que optamos por aguardar um maior
amadurecimento do estudante com relação aos vários conceitos básicos.
Vamos então considerar dois pontos do plano complexo associados aos números
z1 e z 2 , conforme apresentado na figura 1.20.
Temos então:
z1  z2  z1  z 2
(88)
A demonstração geométrica segue o fato de que os pontos 0, z1 , e z1  z 2 são os
vértices de um triângulo de lados z1 , z 2 e z1  z 2 , e um lado não pode exceder a soma dos
outros dois.
É também interessante notar que a desigualdade se torna uma igualdade
quando os pontos 0, z1 , e z 2 são colineares.
Para demonstrar a desigualdade algebricamente vamos escrever, baseados
nas expressões que envolvem complexos conjugados, que
2
*




z1  z2   z1  z2  z1  z2    z1  z 2  z *1  z *2  z1 z1*  z1 z 2*  z 2 z1*  z 2 z *2
porém
 
z 2 z1*  z1* z 2  z1 z2*
*