www.wegcestari.com
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
57
ÍNDICE
SÍMBOLOS............................................................................................ 3
UNIDADES......................................................................................... 4-9
ÁREAS........................................................................................... 10-12
VOLUMES...................................................................................... 13-16
ESTÁTICA...................................................................................... 17-30
Noções.......................................................................................... 17
Composição de forças............................................................. 18-19
Equilíbrio....................................................................................... 20
Sistemas triangulados.............................................................. 21-22
Centro de gravidade................................................................ 23-24
Atrito......................................................................................... 25-29
Polias............................................................................................ 30
DINÂMICA...................................................................................... 31-34
Noções.......................................................................................... 31
Massa, momento de inércia de massa......................................... 32
Momento de inércia de massa...................................................... 33
Rotação......................................................................................... 34
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS................................................... 35-45
Noções.......................................................................................... 35
Tração e compressão................................................................... 36
Flexão........................................................................................... 37
Viga.......................................................................................... 38-39
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
1
ÍNDICE
Cisalhamento................................................................................ 40
Torção........................................................................................... 41
Flambagem................................................................................... 42
Composição de tensões.......................................................... 43-45
TABELAS........................................................................................ 46-48
Resistência dos materiais........................................................ 46-47
Coeficiente de atrito...................................................................... 48
ACIONAMENTOS
Potências exigidas por diversas aplicações................................. 49
2
www.wegcestari.com
SÍMBOLOS
MECÂNICA
m
massa
r
densidade
u
volume específico
p
impulso
J
momento de inércia
F
força
G
peso (próprio)
M
momento
MR momento de atrito
p
pressão (força dividida por área)
s
tensão normal de tração
ou de compressão
t
tensão tangencial ou de cisalhamento
e
estriamento específico
g
escorregamento
E
módulo de elastidade
G
módulo transversal
I
momento de inércia de área
W
momento resistente
H
momento estático de
superfície
m
coeficiente de atrito de
escorregamento
o
m
coeficiente de atrito de
aderência
q
m
coeficiente de atrito de
rolamento
ml
h
l
n
W
P
h
coeficiente de atrito
longitudinal
viscosidade dinâmica
viscosidade estática
trabalho
potência
rendimento
ESPAÇO E TEMPO
a, b, c,.. ângulos
W
ângulo solido
l
comprimento
b
largura
h
altura
r, R raio, raio vetor
d, D diâmetro
s
espaço percorrido
s
espessura
u, U circunferência
A
área, seção
Am área lateral de um corpo
Ao área exterior de um corpo
V
volume
t
tempo
w
velocidade angular
a
aceleração angular
u
velocidade
a
aceleração
g
aceleração da gravidade
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
3
UNIDADES
Grandezas e unidades de base
do sistema internacional de unidades
grandeza de base
unidades de base
nome
símbolo
nome
símbolo
comprimento
l
metro
m
massa
m
quilograma
kg
tempo
t
segundo
s
corrente elétrica
I
ampère
A
temperatura absoluta
T
kelvin
K
intensidade luminosa
IV
candela
cd
nº de moles
n
mol
mol
PREFIXOS E SEUS SÍMBOLOS
4
da
=
deca
=
101
c
=
centi
=
10-2
h
=
hecto
=
102
m
=
mili
=
10-3
k
=
quilo
=
103
m
=
micro
=
10-6
M
=
mega
=
106
n
=
nano
=
10-9
G
=
giga
=
109
p
=
pico
=
10-12
T
=
tera
=
1012
f
=
femto
=
10-15
d
=
deci
=
10-1
a
=
atto
=
10-18
www.wegcestari.com
UNIDADES
UNIDADES DE COMPRIMENTO
mm
m
mm
=
1m
1 mm =
1 mm =
1 cm =
1 dm =
1 km =
1
10-6
10-3
10-2
10-1
103
106
1
103
104
105
109
103
10-3
1
10
102
106
cm
102
10-4
10-1
1
10
105
dm
10
10-5
10-2
10-1
1
104
km
10-3
10-9
10-6
10-5
10-4
1
1 mm =
1 mm =
1 nm =
1 Aº
=
1 pm =
º =
1 mA
mm
1
10-3
10-6
10-7
10-9
10-10
mm
nm
106
103
1
10
10-3
10-4
º
A
107
104
10
1
10-2
10-3
pm
109
106
103
102
1
10-1
º
mA
1010
107
104
103
10
1
m m2
mm2
106
10-6
1
102
104
1012
cm2
104
10-8
10-2
1
102
1010
dm2
102
10-10
10-4
10-2
1
108
km2
10-6
10-18
10-12
10-10
10-8
1
UNIDADES DE ÁREA
1 m2 =
1 m m2 =
1 mm2 =
1 cm2 =
1 dm2 =
1 km2 =
m2
1
10-12
10-6
10-4
10-2
106
103
1
10-3
10-4
10-6
10-7
1012
1
106
108
1010
1018
UNIDADES DE VOLUME
m3
1 m3 =
1
1 mm3 =
10-9
1 cm3 =
10-6
1 dm3 = 1litro 10-3
1 km3 =
109
mm3
109
1
103
106
1018
cm3
106
10-3
1
103
1015
dm3
103
10-6
10-3
1
1012
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
km3
109
10-18
10-15
10-12
1
5
UNIDADES
UNIDADES DE MASSA
kg
1 kg =
1
1 mg =
10-6
1g
=
10-3
1 dt
=
102
1 t = 1 Mg
103
mg
106
1
103
108
109
g
103
10-3
1
105
106
dt
10-2
10-8
10-5
1
10
t = Mg
10-3
10-9
10-6
10-1
1
ns
109
1
103
106
60 . 109
ms
106
10-3
1
103
60 . 106
ms
103
10-6
10-3
1
60 . 103
min
16,66 . 10-3
16,66 . 10-12
16,66 . 10-9
16,66 . 10-6
1
UNIDADES DE TEMPO
s
1s
=
1
1 ns =
10-9
1 ms =
10-6
1 ms =
10-3
1 min =
60
UNIDADES DE FORÇA (PESO)
N
1N
=
1
1 kN =
103
1 MN =
106
1 kp =
9,81
1 dina =
10-5
kN
MN
kp
dina
10-3
10-6
0,102
105
1
10-3
0,102 . 103
108
103
1
0,102 . 106
1011
9,81 . 10-3 9,81 . 10-6
1
9,81 . 105
10-8
10-11
0,102 . 10-5
1
UNIDADES DE PRESSÃO
Pa
1Pa = 1N/m2
1
1 N/mm2
106
1 bar
105
1kp/cm2=1at 98100
1Torr =
133
bar
kp / cm2
N / mm2
-6
-5
10
10
1,02 . 10-5
1
10
10,2
0,1
1
1,02
9,81 . 10-2
0,981
1
0,133 . 10-3 1,33 . 10-3 1,36 . 10-3
1) 1 N = 1 kg m / s / 2) 1 Torr = 1/760 atm = 1,33322 mbar = 1 mm Hg
6
www.wegcestari.com
2)
Torr
0,0075
7,5 . 103
750
736
1
UNIDADES
Comparação de unidades anglo-americanas com as métricas
UNIDADES DE TRABALHO (ENERGIA)
1)
J
kW h
kp m
kcal
HP h
=
1
0,278 . 10-6 0,102
0,239 . 10-3 0,378 . 10-6
1J
1 kW h = 3,60 . 106
1
367 . 103
860
1,36
2,72 . 10-6
1
2,345 . 10-3 3,70 . 10-6
9,81
1 kp m =
1 kcal
=
4186
1,16 . 10-3
426,9
1
1,58 . 10-3
1 HPh
= 2,65 . 106
0,736
0,27 . 106
632
1
UNIDADES DE POT NCIA
W 2)
1W
=
1
1 kW
=
1000
1 kp m/s =
9,81
1 kcal/h =
1,16
1 HP
=
736
kW
10-3
1
9,81 . 10-3
1,16 . 10-3
0,736
kp m/s
0,102
102
1
0,119
75
kcal/h
0,860
860
8,43
1
632
HP
1,36 . 10-3
1,36
13,3 . 10-3
1,58 . 10-3
1
1) 1 J = 1 Nm = 1 Ws
2) 1 W = 1 j/s = 1 Nm/s
Comparação de unidades anglo-americanas com as métricas
UNIDADES DE COMPRIMENTO
1 pol =
1 pé =
1 jarda =
1 mm =
1m
=
1 km =
pol
1
12
36
pé
0,08333
1
3
jarda
0,02778
0,3333
1
mm
25,4
304,8
914,4
m
0,0254
0,3048
0,9144
km
----
0,03937 3281 .10-6 1094 .10-6
39,37
3,281
1,094
39370
3281
1094
1
1000
106
0,001
1
1000
10-6
0,001
1
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
7
UNIDADES
Comparação de unidades anglo-americanas com as métricas
UNIDADES DE ÁREA
pé2
pol2
1 pol2 =
1
-1 pé2 =
144
1
1 jarda2 = 1296
9
jarda2
-0,1111
1
cm2
6,452
929
8361
dm2
0,06452
9,29
83,61
m2
-0,0929
0,8361
1 cm2 =
1 dm2 =
1 m2 =
-0,01196
1,196
1
100
10000
0,01
1
100
0,0001
0,01
1
jarda3
-0,037
1
cm3
dm3
16,39 0,01639
28320
28,32
765400
--
m3
-0,0283
--
1
1000
106
0,001
1
1000
10-6
0,001
1
0,155
15,5
1550
-0,1076
10,76
UNIDADES DE VOLUME
pol3
pé3
1 pol3 =
1
-1 pé3 =
1728
1
1 jarda3 = 46656
27
1 cm3 =
1 dm3 =
1 m3 =
0,06102 3531 .10-8 1,31 . 10-6
61,02
0,03531 0,00131
61023
3531
130,7
UNIDADES DE MASSA
1 dracma
1 onça =
1 lb
=
dracma
1
16
256
lb
0,003906
0,0625
1
g
1,772
28,35
453,6
kg
0,00177
0,02835
0,4536
Mg
----
=
1g
1 kg =
1 Mg =
0,5644
0,03527 0,002205
564,4
35,27
2,205
564,4 .103 35270
2205
1
1000
106
0,001
1
1000
10-6
0,001
1
8
oz
0,0625
1
16
www.wegcestari.com
UNIDADES
Comparação de unidades anglo-americanas com as métricas
UNIDADES DE TRABALHO (ENERGIA)
pé lb
kp m
J
kW h
kcalBtu
1
0,1383 1,356 367,8 .10-9 324 . 10-6 1,286 .10-3
1 pé lb =
1 kp m = 7,233
1
9,807 2,725 .10-6 2,344. 10-3 9,301.10-3
1 J =1Ws 0,7376
0,102
1
277,8 .10-9 239 . 10-6 948,4 .10-6
1 kW h = 2,655 .106 367,1 .103 3,6 . 106
1
1 kcal = 3,087 .103 426,9
4187 1,163 .10-3
1 Btu = 778,6
107,6
1055 293 . 10-6
860
1
0,252
3413
3,968
1
UNIDADES DE POTÊNCIA
hp
kp m/s
1 hp
1
76,04
1 kp m /s 13,15 .10-3
1
1 Js =1W 1,341 .10-3 0,102
Js
kW
kcal/sBtu/s
745,7 0,7457
0,1782
0,7073
9,807 9,807 .10-3 2,344. 10-3 9,296.10-3
1
10-3
239 . 10-6 948,4 .10-6
1 kW
1 kcal/s
1 Btu/s
1000
4187
1055
1,341
5,614
1,415
102
426,9
107,6
1
4,187
1,055
0,239
1
0,252
0,9484
3,968
1
OUTRAS UNIDADES
1 galão americano (US)
1 braça (2 varas)
1 vara (5 palmos)
1 passo geométrico (5 pés)
1 Btu / pé3
1 Btu / lb
1 lb / pé2
1 lb / pol2 (= 1 psi)
=
=
=
=
= 9,547 kcal / m3 =
= 0,556 kcal / kg =
= 4,882 kp / m2
=
= 0,0703 kp / cm2 =
3,785 dm3
2,20 m
1,10 m
1,65 m
39964 Nm / m3
2327 Nm / kg
47,8924 N / m2
0,6896 N / cm2
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
9
ÁREAS
QUADRADO
d
a
RETÂNGULO
d
b
A
= a2
a
= A
d
=a 2
A
= ab
h
= a2 + b2
A
= a h = a b sen a
d1
=
(a + h cot a)2 + h2
d2
=
(a - h cot a)2 + h2
A
=
a
PARALELOGRAMA
d1
h
a
b
d2
a
TRAPÉZIO
a
h
m
m
a+b
h=mh
2
a+b
= 2
A
=
b
TRIÂNGULO
h
c
= (s (s - a) (s - b) (s - c)
b
r+
ah
=rs
2
s
=
a+b+c
2
a
10
www.wegcestari.com
ÁREAS
TRIÂNGULO EQÜILÁTERO
a
h
A
a2
= 4 3
h
a
= 2
3
a
PENTÁGONO REGULAR
C
B
r
A
a
E
r
D
A = 5 r2 10 + 2 5
8
a = 1 r
10 - 2 5
2
r = 1 r
6+2 5
4
Construção: AB = 0,5 r, BC = BD, CD = CE
3 2
a
2
d =2a
2
=
s
3
s = 3 d
2
HEXÁGONO REGULAR
d a
A =
s
OCTÓGONO REGULAR
~
~ 1,155 s
~
~ 0,866 d
A = 2 a s = 0,83 s2
= 2 s d2 - s2
a = s . tan 22,50 ~ 0,415 s
s = d . cos 22,50 ~ 0,924 d
s
d =
~ 1,083 s
cos 22,50
d
s a
3
POLÍGONO QUALQUER
h1
b
A1 a A2
h2
A = A1 + A2 + A3
A3
h3
=
a h1 + b h2 + b h3
2
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
11
ÁREAS
CÍRCULO
d
r
COROA CIRCULAR
b
=
U
=2pr=pd
A
=
b
= D-d
2
A
=
d
D
SETOR CIRCULAR
a
r
b
^
a
b
SEGMENTO CIRCULAR
s
r
a
s
A
h
r
b
h
ELIPSE
A
a
U
b
d
D
12
p 2
d = p r2
4
2
~
~ 0,785 d
A
p 2 2
(D - d )
4
= p (d + b) b
p
^ r2
r2 a = a
3600
2
br
=
2
p
=
ra
1800
p
=
a (a^ = a em radianos)
1800
= 2 r sen a
2
h
=
(3h2 + 4s2) = r2 (a^ - sen a)
6s
2
h
s2
=
+
2
8h
a
s
a
= r (1 - cos ) =
tan
4
2
2
p
Dd=pab
4
D
+d
~
~ p 2
1
1
1 6
= p (a + b) [1 + l2 + l4 +
l+
64
4
256
a
b
25
l8 +....], onde l = a + b
16384
=
www.wegcestari.com
VOLUMES
CUBO
a
V
d
a
A0 = 6 a2
a
PARALELEPÍPEDO
c
d
=
3 a
V
= abc
A0 = 2 (ab + ac + bc)
d
a
= a3
b
d
=
V
= A1 h
V
=
V
=
a2 + b2 + c2
PARALELEPÍPEDO OBLÍQUO
h
A1
PIRÂMIDE
h
A1 h
3
A1
TRONCO DE PIRÂMIDE
A2
h
h
(A + A2 + A1 A2)
3 1
A + A2
~ h 1
2
A1
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
13
VOLUMES
CILINDRO
V
r
h
Am
p 2
d h
4
= 2prh
=
Ao = 2 p r (r + h)
d
CASCA CILÍNDRICA
h
V
d
=
p
h (D2 - d2)
4
D
CONE
h
A2
x
m
r
A1
TRONCO DE CONE
m/2
h
d
m
p
D
p 2
V =
r h
3
Am = p r m
Ao = p r (r + m)
m = h2 + r2
A2 : A1 = x2 : h2
Am
p
h (D2 + Dd + d2)
12
p
=
m (D + d) = 2 p p h
2
m
=
V
=
V
ESFERA
d
r
14
=
(D - d )2 + h2
2
4
1
p r3 = p d3
3
6
3
~
~ 4,189 r
Ao = 4 p r2 = p d2
www.wegcestari.com
VOLUMES
ZONA ESFÉRICA
p
h (3 a2 + 3 b2 + h2)
6
Am = 2 p r h
a
V
h
Ao = p (2 r h + a2 + b2)
r
b
=
CALOTA ESFÉRICA
V
h
Am
r
s
SETOR ESFÉRICO
r
h
V
Ao
3 2
p
h(
s + h2)
4
6
h
= p h2 (r )
3
=2prh
p 2
=
(s + 4 h2)
4
=
2
p r2 h
3
p
=
r (4h + s)
2
=
s
ESFERA SECCIONADA POR UN CILINDRO
h
V
R
=
p 3
h
6
Ao = 2 p h (R + r)
r
ESFERA SECCIONADA POR UM CONE
V
h
r
=
2
p r2 h
3
Ao = 2 p r (h + r2 -
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
h2
)
4
15
VOLUMES
ANEL CIRCULAR OU TORÓIDE
Ao
p2
D d2
4
= p2 D d
V
=
p 2
d h
4
V
=
2 2
r h
3
V
d
=
d
TRONCO DE CILINDRO
h
d
SEGMENTO DE CILINDRO
h
Am = 2 r h
Ao = Am +
r
p 2 p
r +
r r2 + h2
2
2
BARRIL
h
V
~
p
h (2D + d2)
12
A2
V
=
h
(A1 + A2 + 4A)
6
A
Os volumes das páginas 13-16
podem ser calculados por esta
fórmula, bem como a esfera e
suas pares.
D
d
PRISMATÓIDE
h
h/2
A1
16
www.wegcestari.com
Noções
ESTÁTICA
GENERALIDADES
A estática foca as forças externas e as condições de equilíbrio dos corpos
sólidos e determina as forças desconhecidas, ex. as forças de apoio. Aqui
são abordadas as forças agindo no plano.
AS GRANDEZAS IMPORTANTES DA ESTÁTICA
Comprimento l:
É uma grandeza básica.
Força F:
(ver explicação página 31)
r
Representada por um vetor.
valo
a ou
dez
n
Comprimento: grandeza ou valor
a
r
F
g
Direção: ângulo
direção
Ponto de aplicação P: posição
P
Peso G:
linha
de ação
Definição: atração terreste
Ponto de aplicação: centro de gravidade S
S
Linha de ação: vertical do lugar
vertical G
Sentido: para baixo (em direção ao centro da terra)
Grandeza: determinação com a balança
F
F
1
FORÇA DE APOIO FA
Força de reação exercida em A sobre o corpo.
A
2
FA
FR
FB
B
FB
FA
FORÇA RESULTANTE FR
Força calculada de mesma ação que as forças dadas.
MOMENTO M DE UMA FORÇA EM TORNO DE UM PONTO O
F
O
Momento M = F l
l
BRAÇO DE ALAVANCA DE UMA FORÇA F EM TORNO DE UM
PONTO O
O braço de alavanca l é a distância de O à linha de ação de F. F’ e F”
são 2 forças em equilíbrio. O momento pode ser representado por um
vetor. F’ = f; f” = -F’
F’
F
Momento do par de forças: M = F l
O
l
F”
TEOREMA DOS MOMENTOS
O momento da resultante é igual à soma dos momentos das forças
externas.
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
17
ESTÁTICA
Composição de forças
COMPOSIÇÃO DE FORÇAS: GRÁFICOS
Desenho das forças
Polígono de forças
Duas forças concorrentes
F1
F1
FR
FR
F2
F2
Várias forças concorrentes com pontos de aplicação comuns
F3
F1
F1
F4
F2
F3
F2
FR
FR
F4
Forças paralelas
F2
F1
F1
F2
polígono funicular
F3
raio funicular
FR
FR
F3
3
2
1
pólo
O
4
raio polar
Várias forças com pontos de aplicação quais quer
2
F3
F1
3
F2
FR
4
1
F1
FR
F3
4
1
2
3
F2
Construção do polígono funicular
Desenhar o polígono das forças, escolher o pólo O para os raios funiculares se cortem no limite do desenho e desenhar os raios polares. Construir
o polígono funicular cujos raios funiculares sejam paralelos aos raios
polares. A cada triângulo do polígono das forças corresponde um ponto
de intersecção no polígono funicular. Ex. ao triângulo F1 1-2 corresponde
o ponto de intersecção F1 1-2 do polígono funicular.
18
www.wegcestari.com
ESTÁTICA
Composição de forças
COMPOSIÇÃO ANALÍTICA DE FORÇAS
y
DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA
F
Fy
FY = F . sin a
Fx
tan a = FY
a
x
FX
Os sinais das funções trigonométricas de a são dadas na tabela abaixo.
FX = F . cos a
F = + FX2 + FY2
MOMENTO Mo DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO O
y
Mo = +F . l = FY x - FX y
Determinação de Fx e Fy segundo página 24.
Fy
0
y
l
RESULTANTE FR DE QUAISQUER FORÇAS DADAS y
Componentes:
Resultante:
Triângulo
Retângulo aR:
Braço de alavanca:
Sinal de FR . lR
x
FRy
a
Fx
x
F
FR
aR
FRx
FRX = sFX
FRY = sFY
0
2
2
FR = + FRX + FRY
x
lR
FRY
FRY
FRY
tan aR =
sin ar =
cos ar =
FR
FR
FRX
sMo
lR =
FR
= sinal de sMo
Sinais das funções trigonométricas em x, y; FX, FY; FRX, FRY
Quadrante
a, aR
cos a
sin a
tan a x,FX,FRX y,FY,FRY
I
0...90º
+
+
+
+
+
II
90...180º
+
+
III
180...270º
+
IV
270...360º
+
+
Fx, Fy:
FRX, FRY:
x, y:
a, aR:
l, lR:
Componentes de F nas direções de x e y
Componentes de FR nas direções x e y
Coordenadas de F
Ângulo de F ou de FR
Distância de F ou FR do ponto de referência
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
19
ESTÁTICA
Equilíbrio
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Um corpo está em equilíbrio se a resultante e a soma dos momentos de
todas as forças exteriores em relação a um ponto qualquer são nulas.
forças
graficamente
polígono de forças
fechado
concorrentes
paralelas ao eixo y
analiticamente
sFx = 0; sFy = 0
sFy = 0; sM = 0
polígono de forças
e polígono funicular
fechados
quaisquer
sFx = 0; sFy = 0
sM = 0
EXEMPLOS DE CORPOS EM EQUILÍBRIO
Vigas sobre 2 apoios: Procura-se: forças de apoio FA, FB
Dados
Solução
F1
s
FA
1
linha
de fechamento
MB max
kM
kF
kL
H
FR
=
=
=
=
=
=
F2
FR
2
FB
ymax
3
FA
F1
FR FB
F2
1
2
O
s
linha de
fechamento
3
H
kM . Ymax (Momento de flexão máximo)
kF . kL . H (escala dos momentos)
escala de forças
escala de comprimentos
distância polar
resultante
Nm, kgf.m
Nm/m, kgf.m/mm
N/m, kgf/mm
m/m, m/mm
m, cm, mm
N, kgf
Grua de parede - 3 forças (sem atrito): Procura-se: FA, FB
Solução
Dados
FB
B
b
20
FAy
a
A
Intersecção das 3
linhas de ação
FL
FA
www.wegcestari.com
FA
FAy
FL
FL
FAx
FB
FAx = FB =
FAx
a
FL; FAy = FL
b
ESTÁTICA
Sistemas triangulados
Cálculo das forças nAs barras
x
a
Método de Ritter
O: membros superiores
U: membros inferiores
D: barras diagonais
x
F1
b
c
Determinar as forças de apoio conforme p.19 (viga sobre 2 apoios) e
efetuar um corte que passe por três barras desconhecidas. Admite-se que
todas as barras sejam solicitadas à tração; assim, as barras submetidas
à tração são positivas e as submetidas à compressão são negativas.
Calcular a soma dos momentos das forças exteriores e nas barras em
relação ao ponto de intersecção de duas forças desconhecidas. Assim,
o momento destas forças é nulo.
REGRAS PARA O SINAL DOS MOMENTOS
Momentos em sentido antihorário: positivos
Momentos em sentido horário: negativos
EXEMPLOS EM RELAÇÃO À TRELIÇA ACIMA
Problema: valor da força FU2 na barra U2
Solução:
Corte X...X pelas barras O2 - D2 - U2. Escolhe-se C, ponto de intersecção
das barras O2 - D2 como ponto de referência para cálculo dos momentos.
Assim, os momentos das forças das barras O2 e D2 são nulos.
0
Calcular
sMC =
+ a.FU2 + b.F2 - c(FA - F1) =
0
- b.F2 + c(FA - F1)
FU2 =
a
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
21
ESTÁTICA
Sistemas triangulados
Determinação gráfica
das forças nos nós
9
8
c F1
1
7
N 6
F2
e a
11
2
d
5
3
f
4
FA
F3
10
FB
F1
FS1
FA
FS2
F4
F5
HIPÓTESE
Uma barra vai de um nó a outro. As forças exteriores agem unicamente
nos nós.
Método de trabalho
Escolher a escala das forças. Determinar as forças de apoio. Começar
pelo nó A onde duas forças são desconhecidas. Utilizar o mesmo sentido
de rotação para todos os nós (ex. FA - F1 - FS1 - FS2).
Nó A:
polígono de forças a - b - c - d - a
Indicar em um croqui ou uma tabela, se há tração ou compressão nas barras.
Nó C:
polígono d - c - e - f - d, etc.
controle
As forças agem em um nó do sistema triangulado, formando um polígono
no plano de Cremona.
As forças passam por um ponto do plano de Cremona, formando um
triângulo no sistema triangulado.
22
www.wegcestari.com
ESTÁTICA
Centro de gravidade
b
S
s
a
y
a
r
=
=
h
y
=
=
b
s S
a a
y
r
h
S
a/2
y
SEtor circular
2r . sen a 180º
2r . s
y=
=
3.p . a
3b
y = 0,4244 . r
2 a = 180º
y = 0,6002 . r
2 a = 90º
y = 0,6366 . r
2 a = 60º
y=
a/2
b
S
r
TRIÂNGULO
1
y= h
3
S está no ponto de intersecção
das medianas.
TRAPÉZIO
b/2 b/2
=
=
=
Arco de círculo
r . sen a 180º
r.s
y=
=
p.a
b
y = 0,6366 . r
2 a = 180º
y = 0,9003 . r
2 a = 90º
y = 0,9549 . r
2 a = 60º
s
a a
y
r
b
h a + 2b
.
3 a+b
setor de coroa circular
2 R3 - r3 sen a
y= . 2 2 .
3 R - r arc a
2 R3 - r3 s
= . 2 2 .
3 R -r b
SEGMENTO CIRCULAR
S
y
s3
12 A
Superfície A, ver pág. 12
y=
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
23
ESTÁTICA
Centro de gravidade
determinação do centro de gravidade
de superfícies quaisquer
SOLUÇÃO GRÁFICA
Decompor a superfície A em superfícies parciais A1, A2,..An cujos centros
de gravidade sejam conhecidos. Desenhar paralelas aos eixos por estes pontos. As áreas destas superfícies parciais são proporcionais aos
pesos agindo nos centros de gravidade. Determinar as linhas de ação
das resultantes ARX e ARY para duas posições quaisquer do corpo (em
geral duas direções perpendiculares) segundo pág. 18. A intersecção das
linhas de ação destas resultantes dá a posição do centro de gravidade S.
y
A1
A2
s1
y1
ys
5
A3
7
s2
s3
6 5
A2+A3
7
6
ARx
A1
x
ARx
xs
x2
2
1
A1
3
A2 3
4
ARy
x3
ARy
A3
1
2
4
SOLUÇÃO ANALÍTICA
Decompor a superfície A em superfícies parciais A1, A2,..An como abaixo;
obtém-se:
Distância
em geral
n
para o exemplo acima
xs =
s Ai . Xi
i=1
A
A1 . x1 + A2 . x2 + A3 . x3
A
ys =
i=1
s Ai . Xi
A
A1 . y1 + A2 . y2 + A3 . y3
A
n
OBS: No exemplo acima, as coordenadas x1, y2 e y3 são nulas.
24
www.wegcestari.com
ESTÁTICA
Atrito
FORÇA DE TRAÇÃO PARALELA AO PLANO DE ATRITO
Aderência
u=0
Início do escorreg.
u=0
FZ1
G
FZ0
FR
G
FN
FW1
r1
FW1 = -FZ1 = G.tan r1
FN = - G
0 < r1 (variável) < r0
Atrito do escorreg.
u>0
FZ
FR
G
FN
FR
FN
FW
FW0
r
r0
FW0 = -FZ0 = G.tan r0
FN = - G
m0 = tan r0 < m
Q0 = const. > r
FW = -FZ = G.tan r
FN = - G
m = tan r < m0
Q = const. < r0
Se F Z1 aumenta lentamente, F W1 aumenta FZ1; FZ0; FZ
também mas o corpo ainda não se desloca.
Gm0
Se F Z1 vale: F Z0 = Gm 0, o corpo começa a
escorregar, A seguir FZ diminui para Gm.
Gm
Um aumento da força dá uma aceleração
correspondente.
t
força de tração inclinada
a
Força de tração F necessária para pôr em
movimento um corpo de peso G.
m0
sen r0
F = G sen a - m0 cos a = G sen (a - r0)
F
Substituir m 0 por m para obter a força para
deslocar o corpo à velocidade constante. O
movimento é impossível se F é negativo.
FW1, FW0, FW:
FZ1, FZ0, FZ:
Força de atrito
Força de tração
-, m0, m:
r1, r0, r:
G
coeficientes de atrito
ângulos de atrito
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
25
ESTÁTICA
Atrito
PLANO INCLINADO
GENERALIDADES
O ângulo a para o qual um corpo desliza à velocidade constante é igual
ao ângulo de atrito r.
tan a = tan r = m
Método utilizado para determinar
experimentalmente o ângulo de atrito
r ou o coeficiente de atrito.
m = tan r
G
a
Condição de equilíbrio: a < r
Cálculo das forças de tração
sentido do
movimento
para cima
0 < a < a*
para baixo
0<a<r
Força de tração F
para obter uma velocidade constante paralela
ao plano inclinado
à base
F
v
v
F
a
a
G
G
F=G
v
F
G
a
sen (r - a)
F=G
cos r
v
a
para baixo
r < a < a*
sen (a + r)
cos r
F
G
F = G . tan (a + r)
F
v
a
G
F = G . tan (r - a)
v
a
G
F
sen (a - r)
F = G . tan (a - r)
cos r
a* : ângulo de tombamento do corpo
OBS: para o limite repouso, substituir m por m0 e r por r0
26
F=G
www.wegcestari.com
ESTÁTICA
Atrito
CUNHAS
F
F
m3
m2
F2
m
a2
a1
m1
F1
a
F2
F1
m
Encravamento
F1 = F
tan (a1 + r1) + tan (a2 + r2)
1 - tan r3 . tan (a2 + r2)
F1 = F . tan (a + 2r)
Afrouxamento
F1 = F
tan (a1 - r1) + tan (a2 - r2)
1 + tan r3 . tan (a2 - r2)
F2 = F . tan (a - 2r)
Encunhamento
a<
= 2r0
a1 + a2 <
= r01 + r02
PARAFUSOS
h
Momento p/
h
parafusar M1 = F . r . tan (a + r) M1 = F . r . tan (a + r’)
desparaf. M2 = F . r . tan (a - r) M2 = F . r . tan (a - r’)
Condição de trava-mento p/ o parafuso
Rendimen- parafusar
to de um
parafuso p/ desparaf.
M1 :
M 2:
r:
a:
r:
r’:
b
a<r
tan a
tan (a + r)
tan a
h=
tan (a - r)
h=
a < r’
tan a
tan (a + r’)
tan a
h=
tan (a - r’)
h=
Momento de parafusamento (Nm, kgf.m)
Momento de desparafusamento (Nm, kgf.m)
Raio efetivo (m, mm)
Inclinação do passo: tan a = h
Ângulo de atrito: tan r = m 2 p r
Ângulo de atrito do passo do para fuso: tan r’ =
m
cos b / 2
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
27
ESTÁTICA
Atrito
Atrito dos mancais
eixos em um cossinete horizontal
atrito de um eixo vertical
F
r
F
MR
r2
MR
r1
MR = mL r1 + r2 F
2
MR = mq . r . F
MR :
Momento de atrito
Coeficiente de atrito do eixo
mq :
mL :
Coeficiente de atrito do pino (sem valor fixo)
OBS: mq e mL se determinam experimentalmente em função de jogo
do mancal, do engraxamento e do estado de polimento da superfície.
Para superfícies polidas: m0 ~ mL ~ mq. Escolher r1 > 0 para o caso de
engraxamento.
resistência ao rolamento ou atrito de rolamento
ROLAMENTO DE UM CILINDRO CHEIO
F = f FN ~
~f G
r
r
G
F
Condição de rolamento: FW < m0 FN F
r
FW : força resistente ao rolamento
f:
braço de alavanca da resistência
v = const.
ao rolamento (causado pela deformação da roda e do solo). Veja pág.48.
m0 : Coeficiente de aderência entre roda e solo
G
~
~r
FW
FN
f
Deslocamento de uma placa sobre roletes
(f1 + f2) G1 + n f2 G2
f1
F=
F
2r
f
G2
se f1 = f2 = f e n.G2 < G1: F = G1
r
r
f
2
G1
G1 ou G2 : peso da placa de um cilindro
f1 e f2 :
braço de alavanca da resistência ao rolamento
F : força da tração / r : raio de um cilindro / n : número de cilindros
28
www.wegcestari.com
ESTÁTICA
Atrito
Atrito das cordas
1
Força de tração e de atrito, para
levantar
abaixar
F1 = ema^ G
F2 = e-ma^ G
FR = (ema^ -1) G
2
FR = (1 - e-ma^) G
G
Estas fórmulas são válidas se:
O cilíndro é fixo e a corda se desloca à velocidade constante, ex.
cabeçote de amarração.
A corda é fixa e o cilindro em movimento, ex. freio de lonas.
CASO DE EQUILíbrio F2 < F < F1
G e^-ma < F < G e^ ma
(F = força de equilíbrio sem atrito)
ACOPLAMENTO POR CORREIAS
FU = M a
r
FU = FR
Força
F0
F1
F2
FU :
FR :
Ma :
^ :
a
m:
u:
e:
FZ
FU
em movimento
FU
F0 = ma^
e -1
ema^
F1 = FU ma
e^-1
F0
a
distendida
F0
r
a
F1 estendida
F1 conduzida
matriz
FZ
FU
em repouso
F0 = F1 =
F2 (ema^ + 1)
2 - ema^ - 1
ma^
F2 = FU e ma^ + 1
e -1
Força circunferencial
Força de atrito da corda
Momento de acionamento
ângulo de enrolamento. (Utilizar sempre o menor ângulo de
enrolamento)
coeficiente de atrito de escorregamento.
velocidade da correia
2,718281... (base dos logaritmos naturais)
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
29
ESTÁTICA
Polias
POLIAS
As fórmulas abaixo levam em consideração a tensão das cordas. O atrito
das polias é desprezado.
IncógTalhas
Polia fixa Polia móvel
nita
ordinárias
diferenciais
F1(F0)
D
d
F1(F0)
F1(F0)
G
F1
(F0)
G
G
F1 =
e.G
e
G
1+e
F0 =
1 G
e
1
G
1+e
F=
G
1 G
2
1 ( 1 - 1)
en e
G
1 -1
en
1 G
n
s=
h
2.h
n.h
Relação de transmissão i =
F1 :
F0 :
F:
E=1
h
h:
n:
30
e (e - 1)
G
en - 1
n
Força
h
= F =
Carga G
s
G
e -d
D G
e+1
2
e
1 d
( - )G
1 + e e2 D
1 (1 - d ) G
2
D
2
h
1- d
D
Força para levantar a carga sem atrito da polia
Força para abaixar a carga sem atrito da polia
Força sem tensão das cordas sem atrito da polia
Coeficiente de perdas por tensão das cordas
rendimento
s:
percurso da força
número de rodas
h:
percurso da carga
www.wegcestari.com
DINÂMICA
Noções
AS grandezas mais importantes da dinâmica
e suas unidades
MASSA m
Unidades: kg, Mg = ton, g
1 kg é a massa protótipo internacional. A balança de braços mede a
massa m em kg, Mg ou toneladas, ou grama.
FORÇA F e Peso G
A força F é o produto da massa m pela aceleração a: F = m a
O peso G é o produto da massa m pela aceleração da gravidade:
G=mg
O dinâmetro e a balança de travessão medem e peso G como a força
peso.
Unidades: N, kgf
1 N é a força que comunica a um corpo de massa 1 kg em 1 s uma
velocidade de 1 m/s ou uma aceleração de 1 m/s2. 1 kgf =
~ 9,81 N é o
peso de um corpo cuja massa vale 1 kg.
TRABALHO W
O trabalho mecânico é o produto da força F e do espaço percorrido
s, se a força constante F age sobre um móvel em direção do espaço
percorrido s: W = F s
Unidades: Nm = joule = J = Ws, kJ, kgf.m, CVh, kcal
Uma força de 1 N se deslocando sobre um espaço de 1m produz um
trabalho de 1 Nm.
POTÊNCIA P
A potência P é o quociente diferencial do trabalho pelo tempo. Se o
trabalho cresce ou decresce linearmente, a potência é o quociente do
trabalho pelo tempo: P = W / t
Unidades: W (Watt), kgf.m.s, CV (cavalo vapor)
1 W é a potência constante se um trabalho de 1J é produzido em 1s.
P = 3 . U . I . cos j
P: potência elétrica (W)
U : tensão elétrica (V)
I : corrente elétrica (A)
cos j : fator de potência
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
31
DINÂMICA
Momento de inérica da massa
Definição de momento
de inércia de massa: J
O momento de inércia axial de massa J de um corpo em
torno de um eixo é a soma dos produtos dos elementos
de massa pelos quadrados de sua distância ao eixo de
rotação.
J = s r2 Dm = r2 dm
Nms2, kgf m2
dm
S
r
Teorema de Steiner
m
Um corpo de massa e tendo um momento de inércia Js
em relação a um eixo S passando pelo centro de graviS
dade tem um momento de inércia J em relação a um eixo
ls
paralelo O à distância ls.
J = Js + m ls2
Nms2, kgf m2
O
Raio de inércia rj
O raio de inércia rj é o raio de um cilindro de parede delgada de mesma
massa m e do mesmo momento de inércia J que o corpo real.
m, cm, mm
m rj2 = J onde rj = J
m
Momento de inércia de impulso
Momento de impulso =
G dj2 = 4 g J
Nm2, kg cm3 s-2
dj2 = 4 rj2 (veja pág. 33)
Massa reduzida (para corpos rolantes)
J
mred = 2
kg, N m-1s2
r
Fórmulas fundamentais
Movimento retilíneo
Fórmulas
Unidades
N, kgf
Fa = m a
W = F s (F=const.)
W s, kgf m
WK = 1/2 m u2
W s, kgf m
WP = G h
W s, kgf m
WF = 1/2 F dl
W s, kgf m
P = dW / dt = F u
W, kW, CV
32
Rotação
Fórmulas
Ma = J a
W = M j (M=const.)
WK = 1/2 Jv2
v=2pn
WF = 1/2 MDb
P =Mv
www.wegcestari.com
Unidades
Nm, kgf m
W s, kgf m
W s, kgf m
s-1, min-1
W s, kgf m
W, kW, CV
DINÂMICA
Momento de inérica da massa
Em relação ao
eixo a-a
(eixo de rotação)
eixo b-b
passando pelo
centro de gravidade S
Corpos
Arco de círculo
J = m r2
J = 1 m r2
2
dj2 = 4 r2
dj2 = 2 r2
J = 1 m r2
2
J = m (3 r2 + h2)
12
2
dj = 1 (3 r2+ h2)
3
Cilindro
b
a
r
b
J = m (3R2 +3r2 + h2)
12
2
dj = 1 (3R2 +3r2+ h2)
3
Casca cilíndrica
J = 3 m r2
10
dj2 = 6 r2
5
J = 3 m (4 r2 + h2)
80
2
dj = 3 (4 r2 + h2)
20
Cone
J = 4 m r2
10
dj2 = 8 r2
5
J = 4 m r2
10
2
dj = 8 r2
5
Esfera
J = m (R2 + 3 r2)
4
J=m4R +5r
8
dj2 = 1 (4 R2 + 5 r2)
2
Anel circular ou toroíde
J = m (d2 + c2)
12
2
dj = 1 (d2 + c2)
3
Barra a l
dj2 = 2 r2
J = 1 m (R2 + r2)
2
dj2 = 2 (R2 + r2)
dj = 4 R + 3 r
2
2
J = 1 m l2
3
2
dj = 4 l2
3
2
r
a
b
a
b
2
a
r
a
h
h
b
s
a
h/4
a
r
b
h
b
a
a
r
2
a
R
b
b
a
b
b
R a
r
d
b
b
a
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
c
33
DINÂMICA
Rotação
energía cinética total de um corpo
WK = 1 muS2 + 1 Jsw2
2
2
Ws, kgf m
Energia cinética de um corpo rolante
WK = 1 (m + mred) us2
2
Ws, kgf m
u2 = wr
m/s, km/h
momento de um movimento giratório
M= P = P
Nm, kgf m
2pn
w
P
P
= 973,4
kgf m = 716
kgf m
n min kW
n min CV
Relação de transmissão
i = d2 = z2 = n2 = w2
d1 z1
n 1 w1
condutora
d1
n1
relação dos momentos
Momento da força
= MF = 1
Momento da carga ML i h
Rendimento
trabalho ou potência fornecida
h=
trabalho ou potência introduzida
d2
n2
conduzida
rendimento total de várias transmissões
h = h1 . h2 . h3. ...
us : velocidade de translação do centro de gravidade
Fa : força de aceleração
Nm, kgf m
Ma : momento de aceleração
J, kgf m
WK : energia cinética
J, kgf m
WP : energia potencial
WF : energia de uma mola helicoidal esticada
J, kgf m
Dl : alongamento de uma mola helicoidal esticada
m, cm, mm
Db : variação de ângulo de uma mola espiral em radianos
34
www.wegcestari.com
Resistência dos materiais
Noções
tensão mecânica
A tensão mecânica é o quociente da força (força de tração ou de compressão) pela secção.
s=F
(N/mm2)
A
diagrama tensão-deformação do aÇo doce
sP :
limite de proporcionalidade
limite de elastidade
sE :
sF :
limite de escoamento
sS :
limite de alongamento
s= F
sS
sB
sZ
limite de contração
sdF :
A0
sE sP
sB :
resistência à ruptura
sZ :
tensão de ruptura
d:
alongamento de ruptura
A0
e
e:
alongamento específico (e = 0)
A0 :
secção inicial
tensão ou contração admissível
Deve ser inferior ao limite de proporcionalidade.
s zB
Tensão admissível de tração: sz adm =
u
resistência estática à tração
s zB :
u:
fator de segurança, constantemente > 1.
Seu valor é determinado segundo o tipo de solicitação.
tipos de solicitação
Natureza da
carga
Tipo de
solicitação
I
estática
s
II
pulsante
s
alternada
s
III
Diagrama de carga
t
t
t
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
35
Resistência dos materiais
Tração e compressão
Tensão de tração ou compressão sz e sd
sz = F <
= sz adm
A
<
F
sd = = sd adm
A
F
F
Módulo de elastidade E
E= s
e
l1
l0
l1
coeficiente de alongamento a
a= 1 = e
s
e
variação de comprimento Dl
F
Dl = l0 a s = l1 - l0
d
F
alongamento ou encurtamento de ruptura e
e = Dl = a s
lO
alongamento específico de ruptura d
d
d = Dl . 100 % = 100% = a d 100%
e
l0
d5 para l0 = 5d, d10 para l0 = 10d
F
viga de igual resistência *)
A secção necessária A a uma distância
qualquer x se calcula pela relação:
rg
x
A = F e dd adm
sd adm
x
h
*) levando em consideração o peso próprio
sz adm :
sd adm :
e:
36
tensão admissível de tração (valores pág. 46)
tensão admissível de compressão (valores pág. 46)
2,718281
www.wegcestari.com
A
Resistência dos materiais
Flexão
Momento resistente Wb
Wb = I
e
tensão de flexão sb
<
sb = Mb e = sb adm
I
se e = e1 = e2 sb = Mb
Wb
Momento fletor máximo Mb
Mb = F l
e1
F
+sb
e2
fib
ne ra
utr
a
-s b
l
(eixo neutro = eixo de simetria)
Momentos de inércia axiais e momentos resistentes,
tensões ou contrações de flexão máxima
Momento de
inércia l
Momento resis- Tensão de flexão
tente Wb
máx. db max
b h3
12
b h2
6
6 Mb
b h2
p d4
64
p d3 ~ d3
~
32 10
b
~ 10 M
~
d3
p
(D4 - d4)
64
p . D4 - d4
32
D
10 Mb D
D4 - d4
5 3 s4
144
5 3 s3
72
24 3 Mb
5 s3
p a3 b
4
p a2 b
4
4 Mb
p a2 b
Secção
A
h
b
d
d
D
s
a
b
Teorema de steiner
A
Momento de inércia da área: IB = I + A a2 eixo de simetria
I : momento de inércia de superfície
a
IB : em relação ao eixo
e : distância entre o eixo neutro e a borda
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
B
B
37
Resistência dos materiais
Viga
vigas de seção constante
Reação nos apoios
Momento
Momento
Força de apoio
máx. de Flecha f
de engasem B
flexão Mb
em A
-te em A
Fl
F
F
2
F
2
Fb
l
Fa
l
11
F
16
5
F
16
3
Fl
16
1
FV l
2
FV
Fl
l
F l3
3EI
1
Fl
4
F l3
48 E I
Fab
l
F a2 b2
3EIl
3
Fl
16
7 F l3
768 E I
1
FV l
2
Tipo de carga
A
l
=
FV
2
5 FV
8
3 FV
8
1
FV l
8
1
FV l
8
1
FV l
8
A
B
l
a
A
B
l
=
l
FV l3
8EI
f
=
F
A
f
b
F
B
f
f
FV
l
5 FV l3
384 E I
FV l3
185 E I
A
FV
www.wegcestari.com
B
f
l
f
A
FV
F: carga concentrada | FV: carga uniformemente distribuída
38
=
F
A
FV
2
f
F
B
Resistência dos materiais
Viga
vigas de igual resistência à flexão
Seção
Ordenada y
Flecha máx. f
Forma da viga
l
F
h y
h=
6Fl
b s b adm
6Fx
b s b adm
8F l 3
( )
bE h
b
x
l
F
h y
b
x
l
y
b
6Fx
h2 s b adm
6Fl
b= 2
h s b adm
F
6F l 3
( )
bE h
h
x
l
h=
3 FV l
b s b adm
x
3 FV
b l s b adm
h y
b
3 FV l 3
( )
bE h
b=
3 FV l
h2 s b adm
x
3 FV x
h2 l sb adm
FV
l
y
2
h
x
l
h=
3 FV l
4 b sb adm
3 FV l (1-4x2)
4 b sb adm
l2
FV l3
64 E I
b
y
x
h
F: carga concentrada | FV: carga uniformemente distribuída
sb adm: tensão admissível de flexão
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
39
Resistência dos materiais
Cisalhamento
tensão de cisalhamento t
t = FA <= ta adm
Módulo de escorregamento G
A
t
F
g
)
G = t = 0,385 E
g
t
)
coeficiente ao cisalhamento b
g
1
b= =
G t
resistência ao cisalhamento tab
tab = Fmax = 0,8 s zB
A
escorregamento g
g=bt
tensão admissível de cisalhamento t a adm
tipo de solicitação
(veja pág. 35)
estática
pulsante
t a adm ~~
alternada
ss / 1,5
ss / 2,2
ss / 3,0
esforço cortante F
tesouras
F~
~1,7 taB l s
F
estampas
F~
~1,7 taB lu s
s
F
tensão de cisalhamento na prática t
O cisalhamento é sempre acompanhado de flexão. A fórmula acima indicada é afetada de um coeficiente segundo a forma da seção. (A flexão
é desprezada unicamente para vigas curtas):
.
Seção
Tensão de
cisalhamento t
3 .F
2 A
4 .F
3 A
.
2
t a adm : tensão admissível de cisalhamento (valores pág. 46)
F:
l:
40
esforço constante
comprimento do corte
Fmax :
lu :
www.wegcestari.com
F
A
carga de ruptura
perímetro do corte
Resistência dos materiais
Torção
Tensão de torção tt
tt = M =< tt adm
Wt
tt max
F
a
momento de torção M
M= p= P =Fa
w 2pn
tt max
Momento polar de resistência WP
WP = IP (a = distância da borda ao centro de gravidade S)
a
l
Ângulo de torção j
M
j
)
j= Ml
IP G
momentos de inércia polar de superfície e momentos
de resistência à torção em relação a S, tensão máxima
Momento polar
de resistência
de inércia de
Wt
superfície IP
p d3
p d4
16
32
Tensão máxima
de torção
ttmax
p (D4 - d4)
32
~
~ 5,1 m3 . 1 4
d 1-d
em 1: 9 M 2
2bh
em 2: 9 M 2
2bh
Desenho
da
seção
~
~ 5,1 m3
d
p . D4 - d4
16 D
em 1: 2 b h2
9
em 2: 2 b2 h
9
s
d
s.
d
D
1
2
s
h
b
valores de d para as seções circulares
d=d
D
1
1 - d4
tt adm :
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
1,0667
1,1489
1,3160
1,6938
2,9078
5,3910
tensão de torção admissível (valores pág. 46)
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
41
Resistência dos materiais
Flambagem
Tipo de solicitação
F
F
F
Flambagem
F
l
l0 = 2 l
l0 = l
l0 = 0,7 l
l0 = 0,5 l
r
Eule
dimensionamento provisório
Calcula-se o momento de inércia de superfície admitindo que a flamba2
Te
gem se dê no domínio de Euler.
I = F2 l0 uE
tm
sK
aj
p
E
Escolhe-se o perfil e calculam-se as
er
dimensões segundo pág. 36
ruptura
Dimensionamento definitivo
grau de esbeltez l = l0 a
I
fórmula
tensão de flambagem: escolher os
limites de l na tabela abaixo.
p3
p50 p51
abaixo dos limites p3
l
Se l no int.
calcular s
p50
inferior l - limite superior
acima
ou sK com p51
Fórmula de tetmajer: sK = a - bl + cl2 = sd adm ur>=
c
0
0
0,054
0
0
2
>
p
E
I
F
fórmula de euler: sK = 2
= sd adm uE = uE
l0 A
A
Se sK < F u, recomeçar os cálculos com uma secção maior.
A
sK :
tensão de cisalhamento efetiva
F: carga efetiva
sd adm : tensão de compressão admissível (valores pág. 46)
uT :
no domínio de Tetmajer:
3...5
uE :
no domínio de Euler: máquinas pequenas 6...8
máquinas grandes 4...6
Material
aço CA24
aço CA 50
ferro fundido
madeira
carvalho
42
a (N/mm2)
289
589
776
30
37
b (N/mm2)
0,818
3,818
12,000
0,20
0,25
F
ur
A
l - limites
60...100
60...100
5 ...80
2...100
0...100
www.wegcestari.com
Resistência dos materiais
Composição de tensões
composição de tensões normais
Em virtude do princípio de superposição, as tensões resultantes de uma
tração e flexão e respectivamente compressão e flexão se obtêm por
adição algébrica (+ tensões de tração; - tensões de compressão).
Solicitação resultante sres
tração e flexão
compressão e flexão
Posição
A1
A
A2
A1
F
a FB
FZ
e1
e2
A
A2
l
+ FZ - FB l e1 <
= dz adm
A
I
+ FZ - FB l e2 <
= dz adm
A
I
FB = F sen a
A1
A2
FZ = F cos a
e1
e2
F
a FB
FD
l
- FD + FB l e1 <
= dd adm
A
I
- FD + FB l e2 <
= dd adm
A
I
FD = F cos a
As tensões de tração ou de compressão em A1 e A2 podem ser iguais por
uma escolha apropriada da forma da seção, o que desloca o eixo neutro
(neste caso e1 = e2). Controlar
a resistência à flambagem das vigas finas.
/
nó central para tensões de mesma natureza
Se uma força de tração (ou de compressão) age no interior da superfície
pontilhada (nó central), a seção é solicitada somente por tensões de
tração (ou de compressão). Em qualquer outro caso, há simultaneamente
tensões de tração e de compressão.
x=a
6
u=b
6
a
v=h
6
u
x
a
v
r = D [1+( d )2]
8
D
r= d
8
D
b
r
D r
h
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
d
43
Resistência dos materiais
Composição de tensões
composição das tensões tangenciais
Em virtude do princípio de superposição, as tensões resultantes de
cisalhamento e de torção se soman algebricamente:
Tensão tangencial tres
máx. no ponto A
Seção
M
5,1 M 1,7 FS <
= tt adm
+
d2
d3
+tt
A
t
-tt
d
FS
M
5,1 M D 2,55 FS <
= tt adm
+
D4 - d4 D2 - d2
t
-tt
D
d
+tt
A
FS
M
4,5 M 1,5 FS <
= tt adm
+
bh
b2 h
h
+tt
A
t
-tt
b
FS
tt adm :
t:
tt:
M:
44
tensão de torção admissível
tensão de cisalhamento real
tensão de torção real
momento de torção real
www.wegcestari.com
Resistência dos materiais
Composição de tensões
composição das tensões normais e tangenciais
Em presença de tensões normais e tangencicias calcula-se:
a tensão de comparação sV e
o momento de comparação MV
A tensão de comparação, também chamada de flexão ideal, é a tensão
de flexão que tem o mesmo efeito - por ex. ruptura - que as duas tensões
(tensão de flexão e de torção). Mesma observação para o momento de
comparações.
EIXOS
tensão de comparação
momento de comparação
<
sV = ob adm
sV =
sb2 + 3(a0 . tt)2
MV =
Mb2 + 0,75 (a0 . M)2
Para dimensionar o elemento de construção, é preciso calcular inicialmente o momento resistente Wb.
Wb =
MV
sb adm
Escolhe-se um perfil e calcula-se as dimensões segundo página 36.
sb :
tt :
Mb :
M:
a0 :
tensão de flexão real
tensão de torção real
momento fletor real
momento de torção real
coeficiente de contração
a0 ~ 1 para flexão e torção de mesma solicitação
a0 ~ 0,7 para flexão alternada e torção estática
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
45
46
50 ... 80
33 ... 53
17 ... 27
35 ... 50
23 ... 33
12 ... 17
50 ... 75
33 ... 50
17 ... 25
I
II
III
I
II
III
I
II
III
110 000
90 000
Ferro maleável
GTW - 35
Cobre
laminado
D-Cu F20
www.wegcestari.com
Bronze - zinco
CuSn6 F56
*) Explicação, veja página 35
60 ... 90
40 ... 60
20 ... 30
40 ... 54
27 ... 36
13 ... 18
45 ... 70
30 ... 47
15 ... 23
35 ... 45
27 ... 37
20 ... 30
60 ... 90
-----
40 ... 54
27 ... 36
---
60 ... 90
40 ... 60
---
85 ... 115
55 ... 75
20 ... 30
60 ... 90
40 ... 60
20 ... 30
40 ... 54
27 ... 36
13 ... 18
45 ... 70
30 ... 47
15 ... 23
40 ... 55
25 ... 40
20 ... 25
-------
90 ... 150
60 ... 100
---
I
II
III
100 000
Ferro fundido
GG - 14
60 ... 120
40 ... 80
20 ... 40
90 ... 120
60 ... 80
30 ... 40
220 000
Aço fundido
GS - 38
80 ... 100
53 ... 67
27 ... 33
210 000
Ferro fundido
brando
St 50.11
I
II
III
210 000
Ferro fundido
brando
St 37.11
100 ... 150 140 ... 210 140 ... 210 150 ... 220
70 ... 100 90 ... 135 90 ... 135 100 ... 150
70 ... 105
65 ... 95
65 ... 95
36 ... 50
Flexão
sf adm
I
II
III
Pressão
sp adm
100 ... 150 100 ... 150 110 ... 165
70 ... 105
65 ... 95
65 ... 95
50 ... 75
45 ... 70
45 ... 70
Tração
sp adm
80 ... 120
50 ... 70
27 ... 33
Módulo de Tipo de Pressão
elastida- solicita- superficial
ss adm
de E
ção *)
I
II
III
Material
tensões admissíveis em N/mm2
45 ... 70
30 ... 47
15 ... 23
-------
-------
35 ... 50
25 ... 35
20 ... 25
72 ... 95
48 ... 64
24 ... 32
96 ... 144
64 ... 96
32 ... 48
72 ... 110
48 ... 75
35 ... 50
Compressão
sc adm
45 ... 70
30 ... 47
15 ... 23
-------
30 ... 40
20 ... 27
10 ... 13
30 ... 45
20 ... 30
15 ... 20
36 ... 48
24 ... 32
12 ... 16
85 ... 125
55 ... 85
40 ... 60
65 ... 95
40 ... 60
30 ... 45
Torção
st adm
Resistência dos materiais
TABELA
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
110 000
142 000
110 000
117 000
Latão
CuZn37 HV 150
Alpaca
CuNi18 Zn20 HV160
Bronze-zinco
CuSn6 Zn HV 190
Bronze-zinco
CuSn8 HV 190
*) Explicação, veja página 35
210 000
300
250
200
200
150
100
300
220
150
I
II
III
I
II
III
I
II
III
150
110
80
100
80
50
150
120
100
100
80
50
500
350
250
sf adm
B
50
40
30
40
30
20
50
40
30
40
30
20
150
120
80
C
200
180
150
120
100
80
200
180
150
120
100
80
650
500
350
tt adm
(segurança ~ 1,5)
(segurança ~ 3)
(segurança ~ 10)
45 000
42 000
55 000
42 000
80 000
Módulo de
rigidez G
para molas simples
para molas curvas e dobradas
para molas sem deformação plástica
200
150
100
I
II
III
A:
B:
c:
1000
750
500
A
I
II
III
Módulo de elastida- *) Tipo de
de E
solicitação
Aço para molas C 75,
cementado e
temperado
Material
tensões fletoras e torsoras para materiais elásticos em N/mm2
Resistência dos materiais
TABELA
47
TABELA
Coeficiente de atrito
coeficiente de atrito de escorregamento e de contacto
Bronze
Bronze
Ferro fundido
Aço
Atrito de aderência m0
Atrito de escorr. m
molha- engramolha- engraseco
do
xado
do
xado
0,20
0,11
0,06
0,10
0,18
0,08
0,18
0,19
0,07
Madeira
Madeira II
Madeira II
0,50
0,30
Ferro fundido
Ferro fundido
Aço
0,18
Borracha
Asfalto
Concreto
0,50
0,60
Corda
Madeira
Couro
Madeira
Ferro fundido
0,40
0,40
Aço
Madeira
Gelo
aço
0,014
0,10
Substância
II:
II:
sobre substância
seco
0,60
0,50
0,31
0,10
0,30
0,50
0,20
0,30
0,16
0,33
0,50
0,40
0,20
0,26
0,08
0,10
0,50
0,40
0,027
0,15
0,50
0,25
0,65
0,30
0,12
Fibras dos dois corpos paralelas ao movimento
Fibras do corpo que escorrega perpendiculares em movimento
Atrito de rolamento
Substância sobre substância
Braço de alavanca f (mm)
Borracha sobre asfalto
1,0
Borracha sobre concreto
1,5
5,0
Madeira de guáiaco sobre madeira de guáiaco
Aço sobre aço (rolamentos de esfera)
0,05
Aço sobre aço (não-temperado)
0,5
Madeira de olmo sobre madeira de guáiaco
8,0
48
www.wegcestari.com
TABELA
Pot. exigida por diversas aplicações
Elevação
PX :
F:
m:
v:
g:
h:
Potência exigida (kW)
Força (N)
Massa (kg)
Velocidade de elevação (m/s)
Aceleração da gravidade (m/s2)
Rendimento total
rotação
M:
Momento (Nm)
Rotação (rpm)
n:
Rendimento total
h:
translação
Fr :
v:
h :
Força resistente à translação (N)
velocidade de translação (m/s)
Rendimento total
Para sistema sobre rodas
Fv
1000 h
PX =
F=mg
PX =
Mn
9550 h
PX =
Fr v
1000 h
2
d
Fr = mg [ (m +f)+c]
D 2
Para sistema sem rodas (atrito puro)
m:
Massa do sistema (kg)
g:
Aceleração da gravidade (m/s2)
D:
Diâmetro da roda (mm)
d:
Diâmetro do mancal (mm)
m:
Coeficiente do atrito
Braço de alavanca da resistência ao
f:
rolamento (mm)
c:
Adicional de atrito lateral
Fr = m . m . g
Momento de carga
MX :
Momento de carga (Nm)
nM :
Rotação do motor (rpm)
MX =
PX . 9550
nM
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
49
REDUTORES E ACOPLAMENTOS.
Redução duplex
100 a 4.000
Redução simples
10 a 80
Disposição dos eixos
Ortogonais
Engrenagens
Coroa e rosca sem-fim
Torque
960 a 19.000 Nm
Redução duplex
100 a 4.000
Redução simples
10 a 80
Disposição dos eixos
Ortogonais
Engrenagens
Coroa e rosca sem-fim
Motores disponíveis
0,12 a 1,1 kW
Torque
12 a 76 Nm
Redução duplex
100 a 6.400
Redução simples
10 a 80
Disposição dos eixos
Ortogonais
Engrenagens
Coroa e rosca sem-fim
Flexível e torcionamente
elástico, com elementos
em poliuretano.
Admite desalinhamentos
radiais, axiais e angulares
ente os eixos acoplados
e absorve vibrações
da máquina movida ou
motora.
Em 12 tamanhos, com
capacidades de 10.000 a
580.000 Nm e eixos com
diâmetros de 30 mm a
470 mm.
ACOPLAMENTOS
Modularidade e grande diversidade de
montagens.
Torque
10 a 1.300 Nm
Motores disponíveis
3,7 a 22 kW
Fixação
Carcaça, pés, flange, braço de torção
ALUMAG
Motores disponíveis
0,12 a 5,5 kW
Fixação
Carcaça, pés, flange, braço de torção
Eixo de saída
Vazado (padrão), maciço, duplo
MAGMA-K
Fixação
Carcaça, pés, flange, braço de torção
Eixo de saída
Vazado (padrão), maciço, duplo
MAGMA-M
Eixo de saída
Vazado (padrão), maciço, duplo
www.wegcestari.com
50
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
51
Engrenagens
Helicoidais retificadas
Disposição dos eixos
Concêntricos
Reduções 2 ou 3 estágios
4 a 200
Reduções 4, 5 ou 6 estágios
200 a 28.000
Torque
80 a 18.000 Nm
Motores diponíveis
0,12 a 55 kW
Opções de entrada
Eixo Maciço, flange KTR,
flange lanterna, Motor
tipo 1 WEG
Fixação
Pés, flange, pé + flange
Eixo de saída
Maciço
COAXIAL
Eixo de saída
Maciço, oco com chaveta, oco
com disco de contração
Engrenagens
Helicoidais retificadas
Disposição dos eixos
Paralelos
Reduções 2 ou 3 estágios
4 a 200
Reduções 4, 5 ou 6 estágios
200 a 30.000
Torque
115 a 32.000 Nm
Motores disponíveis
0,12 a 55 kW
Opções de entrada
Eixo Maciço, flange KTR,
flange lanterna, motor
tipo 1 WEG
Fixação
Pés, pés + flange, braço de
torção, esticador
VERTIMAX
Engrenagens
Helicoidais retificadas
+ coroa e rosca sem-fim
Disposição dos eixos
Ortogonais
Reduções 2 ou 3 estágios
7,4 a 500
Reduções 4, 5 ou 6 estágios
200 a 23.000
Torque
57 a 1.550 Nm
Motores disponíveis
0,12 a 11 kW
Opções de entrada
Eixo Maciço, flange KTR,
flange lanterna, motor
tipo 1 WEG
Fixação
Pés, pés + flange, braço de torção
Eixo de saída
Maciço, ponta dupla, oco
com chaveta, oco com disco
de contração
MAGMAX
Engrenagens
Helicoidais retificadas
+ par cônico
Disposição dos eixos
Ortogonais
Reduções 2 ou 3 estágios
7,3 a 180
Reduções 4, 5 ou 6 estágios
200 a 20.000
Torque
390 a 18.000 Nm
Motores disponíveis
0,12 a 55 kW
Opções de entrada
Eixo Maciço, flange KTR,
flange lanterna, motor
tipo 1 WEG
Fixação
Pés, pés + flange, braço de torção
Eixo de saída
Maciço, ponta dupla, oco
com chaveta, oco com disco
de contração
CONIMAX
Compactos, modulares e versáteis.
Maior eficiência e desempenho
MOTORREDUTORES.
REDUTORES.
Força e eficiência para os setores mais
exigentes da indústria.
Reduções
Paralelos /ortogonais
Disposição dos eixos
Helicoidais retificadas
Engrenagens
Torque
9 a 35
Reduções
Paralelos
Disposição dos eixos
Helicoidais rectificadas
Engrenagens
4.000 a 132.000 Nm
Torque
6,3 a 18
Reduções
Paralelos
Disposição dos eixos
Helicoidais retificadas
Engrenagens
560 a 20.000 Nm
Torque
6,3 a 25
Reduções
Paralelos
Disposição dos eixos
Helicoidais retificadas
Engrenagens
Fixação
Carcaça
680 a 13.000 Nm
Torque
5,51 a 28
Reduções
Paralelos
Disposição dos eixos
Helicoidais retificadas
Engrenagens
VERTIMAX - extrusora
6,3 a 355
300 a 16.000 Nm
Fixação
Carcaça
Eixo de saída
Vazado especial para
extrusoras
HELICON - extrusora
Torque
Fixação
Carcaça
Eixo de saída
Vazado especial para
extrusoras
HELIMAX - extrusora
2.000 a 600.000 Nm
Fixação
Braço de torção
Eixo de saída
Vazado especial para
extrusoras
HELICON HV
Fixação
Carcaça, braço de torção
Eixo de saída
Vazado
HELIMAX
Eixo de saída
Maciço, duplo, vazado com
chaveta, vazado com disco
de contração
www.wegcestari.com
52
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
95
Completa infraestrutura para oferecer o
melhor atendimento.
CENTRO DE SERVIÇOS.
Pronto atendimento para peças de reposição
Engenharia especializada em projetos especiais,
customização e consultoria
Avaliação de desempenho
Renovação de garantia de fábrica
Assistência em campo
Soluções em manutenção preventiva e revisão
de equipamentos
Testes finais de ruído, vibração e aquecimento
Start-up
Manutenção, reforma e repotenciamento de
redutores de diversas marcas
Serviços de usinagem
Testes de medição
24 horas por dia | 365 dias por ano.
É o centro de serviços com a confiabilidade da marca WEG-CESTARI.
SERVICE WEG-CESTARI.
Novo conceito em serviços para redutores e motorredutores de velocidade.
O Service WEG-CESTARI oferece uma
ampla gama de serviços diferenciados,
de acordo com as exigências e
necessidades do mercado, visando
a total satisfação de seus clientes e
a continuidade de seus processos
produtivos com alto grau de eficiência
em manutenções preditiva, preventiva
e corretiva.
www.wegcestari.com.br
53
ANOTAÇÕES
54
www.wegcestari.com
ANOTAÇÕES
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
55
ANOTAÇÕES
56
www.wegcestari.com
VENDAS | (16) 3244-1000 | vendas@cestari.com.br
SERVICE | (16) 3244-1020 | service@cestari.com.br
| (16) 3244-1018 | sac@cestari.com.br
SAC
www.wegcestari.com
WEG-CESTARI - Manual de Fórmulas Técnicas
Manual Fórmulas - 04/2013 - 2000
FÁBRICA:
Rod. Monte Alto/Vista Alegre, km 3
Monte Alto | SP | Brasil | 15910-000
57