Elementos de Teoría de la
Computación
Clase: Grupos Isomórficos
Depart. de Teoría de la Computación - Facultad de Informática
Universidad Nacional del Comahue
Pablo Kogan
pablo.kogan@fi.uncoma.edu.ar
Contenido
1
Repaso
2
Grupos Isomórficos
3
Bibliografía
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¿Qué vimos?
Función
Dominio - Pre-Imagen
Imagen - Codominio -Rango
Sobreyectiva
Inyectiva o Uno a uno
Biyectiva
Composición de Funciones
Inversa
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¿Qué vimos?
Grafos
Digrafos
Nodo
Grado
Aislado
Simple (en la definición de árbol)
Simple - Completo - Conectado - Subgrafo
Camino - Longitud - Ciclo o Circuito
Camino de Euler (tratable) y Ciclo de Hamilton(hard)
Grafos Isomórficos
Representación Computacional: matriz y lista de adyacencia
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¿Qué vimos?
Árboles
Nodos internos - Hojas
Profundidad
Árboles Binarios
Recorridos
Pre-orden
Inorden
Pos-orden
Representación Computacional: matriz y lista de adyacencia
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¿Qué vimos?
Sistemas Algebraicos
Semigrupo
Monoide
Grupo
Subgrupo
HOY: Grupos Isomórficos
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Grupos Isomórficos
Importante
Cuando tenemos dos grupos isomórficos, toda computación realizada en uno de ellos puede ser simulada en el otro.
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Grupos Isomórficos
¿Qué significa que dos grupos [S, •] y [T , ◦] sean isomórficos?
Que las estructuras son idénticas, excepto por el etiquetado.
Debe existir una biyección desde S a T .
Esta biyección debe preservar los efectos de la operación binaria.
Operar (en el primer conjunto) y mapear debe producir el mismo
resultado que mapear y operar (en el segundo conjunto).
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Homomorfismos - Isomorfismos
Definición
Sean [S, •] y [T , ◦] dos grupos. Una función f : S → T es un homomorfismo de [S, •] a [T , ◦] si:
para todo par s1 , s2 ∈ S, f (s1 • s2 ) = f (s1 ) ◦ f (s2 ).
Si f es biyectiva, entonces f es un isomorfismo.
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Isomorfismos
E JEMPLO : [R+ , ∗] y [R, +] son dos grupos. Sea b un número real
positivo, b ̸= 1, y sea la función f : R+ → R tal que
f (x) = logb x
¿Cuál es la definición de logaritmo?
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Back to ... Logaritmo
bexp = x
¿Cuál es la operación inversa? La radicación, si dejamos fijo el
exponente:
√
exp
x = b
¿Qué pasa si dejamos fija la base?
¿Cuál es la operación inversa?
logb x = exp
¿Cuál es el logb 1? 0
Sin importar la base, dado que b0 = 1
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Back to Isomorfismos en ETC :)
Cuando vimos grafos isomórficos.
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Isomorfismos
E JEMPLO : [R+ , ∗] y [R, +] son dos grupos. Sea b un número real
positivo, b ̸= 1, y sea la función f : R+ → R tal que
f (x) = logb x
f es un isomorfismo de [R+ , ∗] a [R, +].
¿Cómo se prueba y cuál es la utilidad de este ejemplo ?
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Isomorfismos. Ejemplo
E JEMPLO : [R+ , ∗] y [R, +] son dos grupos. Sea b un número real
positivo, b ̸= 1, y sea la función f : R+ → R tal que f (x) = logb x.
Entonces, f es un isomorfismo de [R+ , ∗] a [R, +]?
Debemos probar que f es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva) y que f
es un homomorfismo.
f es sobreyectiva?
H) ∀r ∈ R; T)∃x ∈ R+ f (x) = r
Dem. método directo: para cada r ∈ R, ∃x = br ∈ R+ y f (x) = f (br ) =
logb br = r . Por lo tanto f es sobreyectiva.
f es inyectiva?
H)∀x1 , x2 ∈ R+ f (x1 ) = f (x2 ); T)x1 = x2
Dem. método directo: si f (x1 ) = f (x2 ), entonces logb x1 = logb x2 .
Sea p = logb x1 = logb x2 . Entonces bp = x1 y bp = x2 , x1 = x2 .
Por lo tanto f es inyectiva
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Isomorfismos. Ejemplo (cont.)
E JEMPLO : [R+ , ∗] y [R, +] son dos grupos. Sea b un número real
positivo, b ̸= 1, y sea la función f : R+ → R tal que f (x) = logb x.
Entonces, f es un isomorfismo de [R+ , ∗] a [R, +]?
Por lo tanto como f inyectiva y sobreyectiva es biyectiva.
f es un homomorfismo?
H)∀x1 , x2 ∈ R+ ; T)f (x1 ∗ x2 ) = f (x1 ) + f (x2 )
Dem. método directo: para x1 , x2 ∈ R+ , f (x1 ∗ x2 ) = logb (x1 ∗ x2 ) =
logb x1 + logb x2 = f (x1 ) + f (x2 ). Por lo tanto f es homomorfismo.
Finalmente como f es biyectiva y es un homomorfismo entonces f es
isomorfismo de [R+ , ∗] a [R, +].
Además, notemos que:
logb 1 = 0
logb 1/x = logb 1 − logb x = 0 − logb x = −logb x = −f (x)
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Isomorfismos.
Ejemplo (cont.)
E JEMPLO : R+ , ∗ y [R, +] son dos grupos. Sea b un número real positivo, b ̸= 1, y
sea la función
f : R+ → R tal que f (x) = logb x. Tal como vimos, f es un isomorfismo
+
de R , ∗ a [R, +].
Supongamos que
b = 2. Luego, [R, +] puede ser usado para simular la computación
de 64 ∗ 512 en R+ , ∗ . Primero, mapeamos desde R+ a R:
f (64)
f (512)
=
=
log2 64
log2 512
=
=
6
9
Ahora, ya en [R, +] realizamos la computación
6 + 9 = 15
Finalmente, usamos f −1 (como f es una biyección, sabemos que existe f −1 también
biyectiva) para regresar a R+ y obtener el resultado buscado:
f −1 (15) = 215 = 32.768
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Isomorfismos. Ejemplo (final)
Tal como vimos en este ejemplo, dados dos grupos isomórficos,
cualquiera de ellos puede ser empleado para simular
computaciones en el otro.
En la época AC, antes de las calculadoras, el producto de
números grandes era resuelto por medio de tablas de logaritmos
en base 10. Un problema de multiplicación se convertía en un
problema de suma.
Hoy en día, los logaritmos en base 2 (y sus propiedades) son aún
empleados para el diseño y optimización de circuitos digitales.
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Núcleo de un Homomorfismo
Definición
Sean [S, •] y [T , ◦] dos grupos. Sea it la identidad en [T , ◦] y sea f un
homomorfismo de [S, •] a [T , ◦].
El núcleo de f , denotado Nuc(f ), se define como
Nuc(f ) = {s ∈ S : f (s) = it }
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Núcleo de un Homomorfismo - Ejemplo
E JEMPLO : [R+ , ∗] y [R, +] son dos grupos. Sea b un número real
positivo, b ̸= 1, y sea la función f : R+ → R tal que f (x) = logb x. Tal
como vimos, f es un homomorfismo (isomorfismo) de [R+ , ∗] a [R, +].
¿Cuál es el núcleo de f ?
Nuc(f ) = {r ∈ R+ : f (r ) = 0} = {r ∈ R+ : logb r = 0} = {1}
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Imagen Homomórfica
Definición
Sean [S, •] y [T , ◦] dos grupos. Sea f un homomorfismo de [S, •] a
[T , ◦].
La imagen homomórfica de f , denotada f (S), se define como
f (S) = {t ∈ T : existe s ∈ S y f (s) = t}
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Imagen Homomórfica - Ejemplo
E JEMPLO : [R+ , ∗] y [R, +] son dos grupos. Sea b un número real
positivo, b ̸= 1, y sea la función f : R+ → R tal que f (x) = logb x. Tal
como vimos, f es un homomorfismo (isomorfismo) de [R+ , ∗] a [R, +].
¿Cuál es la imagen homomórfica de f ?
Como f es sobreyectiva..
f (R+ ) = {t ∈ R : existe s ∈ R+ y f (s) = t} = R
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Bibliografía
Mathematical Structures for Computer Science. Capítulo 8.
J. Gersting
Sixth edition
2007
Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación. Capítulo 9.
B. Kolman, A. Busby and S. Ross
3ra. Edición
1997
24 / 25
¿Preguntas?
25 / 25