A PU N T ES D E F Í S I C A M OD ERNA
A PU N T ES D E F Í S I C A M OD ERNA
Gladys Patricia Abdel Rahim Garzón
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
© Universidad Antonio Nariño
© Gladys Patricia Abdel Rahim Garzón
Primera edición, abril de 2017
ISBN: 978-958-5434-11-0
Dirección Sección de Publicaciones Universidad Distrital
Rubén Eliécer Carvajalino C.
Dirección Fondo Editorial Universidad Antonio Nariño
Lorena Ruiz Serna
Coordinación editorial
Miguel Fernando Niño Roa
Corrección de estilo
Editorial UD.
Diagramación
Gladys Patricia Abdel Rahim
Montaje de carátula
Astrid Prieto Castillo
Producción editorial
Editorial UD
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Carrera 24 N. 34-37.
Teléfono: 3239300 ext. 6202
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Bogotá, Colombia
Fondo Editorial
Universidad Antonio Nariño
Carrera 3 Este N. 47A–15. Bloque 4, piso 3
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Correo electrónico: director.editorial@uan.edu.co
Abdel Rahim, Gladys Patricia
Apuntes de física moderna / Gladys Patricia Abdel Rahim. -Bogotá : Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Universidad Antonio Nariño, 2017.
268 páginas ; 24 cm.
ISBN 978-958-5434-11-0
1. Física - Enseñanza 2. Laboratorios de física 3. Magnetismo
I. Tít.
530 cd 21 ed.
A1567780
CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango
Todos los derechos reservados.
Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo escrito de la Sección de Publicaciones de la Universidad Distrital y del Fondo Editorial de la
Universidad Antonio Nariño.
Hecho en Colombia.
Índice general
Introducción
VII
1. Principio de la relatividad galileana
1.1. La velocidad de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. El experimento de Michelson y Morley . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. El principio de la relatividad de Einstein . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Las ecuaciones de transformación de Lorentz . . . . . . . . . . .
1.5. Dinámica Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Energía Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
4
6
12
14
21
2. Interacción entre la luz y la materia
41
2.1. Radiación de cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2. Ley de desplazamiento de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3. Ley de Stefan-Boltzman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4. Efecto fotoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1. Dedución analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5. Efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.1. Estudio analítico de la dispersión Compton . . . . . . . . 51
2.6. Ondas electromagnéticas o radiaciones no ionizantes . . . . . . . 54
2.7. Ley de Beer -Lamber Bouguer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8. Espectros ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.8.1. Espectros discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.8.2. Espectros continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9. Series espectrales del átomo de hirógeno . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.1. Serie de Balmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.9.2. Serie Lyman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9.3. Serie Paschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9.4. Serie Brackett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.9.5. Serie Pfund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.10. El precursor de la M.C Niels Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.11. Los cuatro postulados del átomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . 66
2.11.1. Átomos de hidrogenoides (o de ión hidrogenoide) . . . . . 71
2.11.2. Fórmula de Balmer generalizada . . . . . . . . . . . . . . 72
ÍNDICE GENERAL
3. Onda o partícula
97
3.1. Hipótesis de De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2. Experimentos que evidenciaron el comportamiento ondulatorio de
una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.1. Experimento de la doble rejilla . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.2. El experimento de Davisson - Germer . . . . . . . . . . . 100
3.2.3. Ley de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3. La función de onda de materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4. Principio de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.1. Principio de incertidumbre de la posición y del momento . 104
3.4.2. Principio de incertidumbre energía - tiempo . . . . . . . . 107
4. Ecuación de Schrödinger
129
4.1. La ecuación Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.1.1. Escalón Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.1.2. Barrera de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.1.3. Barrera de potencial de paredes infinitas . . . . . . . . . . 142
4.1.4. Pozo de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.1.5. Pozo de potencial tridimensional de altura infinita . . . . 156
5. Los cuatro números cuánticos
165
5.0.6. Los tres números cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.0.7. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.0.8. Magnitud del momento angular. . . . . . . . . . . . . . . 170
5.0.9. Dirección del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.1. ¿Qué es el momento magnético? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.1.1. Número cuántico de espín . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.1.2. Principio de exclusión de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.1.3. Regla de Hund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.1.4. Configuración electrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.1.5. Ejemplos del Principio de exclusión de Pauli . . . . . . . 179
5.2. Tipos de Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.3. Tabla periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.4. Las funciones para el átomo de Hidrógeno . . . . . . . . . . . . . 184
5.5. Interacción luz - materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.6. Espectros de rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.7. Transiciones atómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.8. Láseres y hologramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6. Elementos de física del estado sólido
199
6.0.1. Monocristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.0.2. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.0.3. Estructuras cristalinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.0.4. Redes tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.0.5. Estructura cúbica centrada en las caras (fcc) . . . . . . . 204
6.1. Dirección y planos cristalográficos . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.1.1. Indices de Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
ÍNDICE GENERAL
7. Laboratorios
211
7.1. Medida de la velocidad de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.2. Experimento de Michelson y Morley . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.3. Difracción de la luz monocromática . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.4. Efecto fotoeléctrico con el electrocopio . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.5. Laboratorio: Efecto fotoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.6. Espectrometro de difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.7. Espectros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.8. Aplicación del efecto fotoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.9. Laboratorio: Contador Geiger-Müller . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.10. Laboratorio: Formación de cristales de sal . . . . . . . . . . . . . 238
7.11. Laboratorio: Interacción luz materia . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.12. Difracción con rayos mircro-ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
7.13. Espectrocopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.14. Espectrómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.15. Ley de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Introducción
Estas notas han sido elaboradas con el fin de que los estudiantes puedan
acceder y contar con una herramienta pedagógica que contribuya al
mejoramiento de la enseñanza-aprendizaje de la física moderna.
Laenseñanzadela física moderna hace evidente que en muchos casos a los
estudiantes se les dificulta la comprensión de los conceptos básicos. De ahí que se
haga necesaria la utilización de varias herramientas pedagógicas que contribuyan
y faciliten el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Entre algunas de las diversas herramientas que debe poseer toda universidad
que imparte esta área del conocimiento están los laboratorios de física, que son
los espacios donde el estudiante observa, manipula objetos, mide, elabora tablas y
g ráficas, analiza comparando variables sirviéndose del cálculo y de la física
teórica obteniendo sus propias conclusiones y permitiendo la comprensión de los
conceptos físicos a través de la práctica.
En este texto se plantean los conceptos de física moderna que se enseña
en el sílabo, donde también se muestran ejercicios resueltos y propuestos y
varios laboratorios virtuales y presenciales. Además de este texto se diseñó
una pág ina web o Blogger (http://pabdelrahim.blog spot.com.co/), donde se
suben los vídeos, talleres o ensayos que se g enerandurante el desarrollo del
curso, convirtiéndose en guía para el estudiante en el desarrollo de sus
compromisos académicos.
Capítulo 1
Principio de la relatividad
galileana
El principio de la relatividad galileana se basa en el hecho de que las leyes de
la física son las mismas para cualquier sistema de referencia inercial. Luego, no
existe un marco de referencia privilegiado. Por ejemplo en mecánica newtoniana
al caer dos esferas desde al mismo tiempo (t) y altura (h) pero, describiendo
trayectorias diferentes (una parabólica y la otra en caída libre). Si despreciamos
√
la resistencia del aire ambas esferas deberían caer con una rapidez de v = 2 2gh
y esto ocurriría para cualquier observador que se encuentre en un sistema de
referencia inercial.
La Figura 1.1 muestra varias cosas entre las cuales son:
1. Dos sistemas de referencias S y S′, donde S es un sistema en reposo con
relación al sistema S′ que se mueven con velocidad constante en dirección
x positiva.
2. La relación entre las coordenadas (x, y, z, t) de un evento vistos por S y
las coordenadas ( x′, y′, z′, t′) vistos por S′.
3. Si algún fenómeno físico ocurre en el sistema S y a su vez en un sistema
de referencia inercial S′, que se mueve con rapidez constante. Como el
sistema S′ se mueve con rapidez constante v a lo largo de xx′ donde v se
mide en relación con S.
Ahora si suponemos que un evento ocurre en el punto P (Figura 1.1) y que los
orígenes de S y S′ coinciden en ti = 0. Las coordenadas del item 2 se relacionan
por medio de las siguientes ecuaciones que se mediría con respecto a S.
x′
y′
z′
t′
=
=
=
=
x − vt
y
z
t
1
(1)
(2)
(3)
(4)
2
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
Figura 1.1:
A estas ecuaciones se le denomina la transformación de coordenadas galileanas,
que se basan en el principio de que el movimiento es relativo (ecuaciones 1,2,3)
y el tiempo es absoluto (ecuación 1) .
Derivando las ecuaciones (1) , (2) y (3) con respecto al tiempo, se obtienen
las ecuaciones de transformación de velocidades galileana [1].
u′x
u′y
u′z
1.1.
= ux − v
= uy
= uz
La velocidad de la luz
En la Fig ura 1.2 observamos dos observadores, uno dentro de un vag ón en
movimiento con velocidad constante ubicado en el sistema S′ y otro observador
estacionario fuera del vagón en el sistema S. Un pulso de luz es enviado por el
observador S, si el pulso de luz tiene una rapidez c en relación a S ′ . De acuerdo
con la ecuación de transformación de velocidades galileana, la rapidez del pulso
relativo al observador estacionario S es c + v. Ahora en la década de 1980
Maxwell desarrolló la teoría electromagnética donde a partir de ellas se obtiene
que la rapidez de la luz es: c = √µ10 εo , donde µ0 es permeabilidad magnética
del vacío y en el SI y se define como: 4π × 10−7 T m A−1 y εo es la constante de
1.1. LA VELOCIDAD DE LA LUZ
3
Figura 1.2:
permitividad eléctricante que el SI y se define como: 8, 854 × 10−12 F m−1 , así
c =
√
1
µ0 εo
1
c =
8, 854 × 10−12 NCm
2
4π × 10−7 TAm
1
c =
111, 26 × 10−19 NCm
2
c =
N
A2m
1
111, 26 × 10−19 C C2 2
(s ) m
2
m2
s2
c = 2, 99792458 × 108 m s−1
c2
= 8, 98 × 1016
determinando que es igual para cualquier observador y que la ecuación de
onda solo es válida en un marco de referencia especial, pero esto no cuadra con
las transformaciones de Galileo.
Luego se presenta una contradicción entre la ecuación de transformación de
velocidades galileana y la teoría electromagnética de Maxwell, ya que
El principio de la relatividad galileana es válido para la mecánica, pero no
para el electromagnetismo.
Las ecuaciones de Maxwell no son correctas.
Existe un solo principio de la relatividad galileana para la mecánica y otro
para el electromagnetismo.
4
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
Para salir de la duda se pensó que si la luz es una onda esta se debería
propagarse en un medio llamado el éter.
En 1887 los físicos Michelson y Morley realizaron un experimento cuyo objetivo era tratar de detectar el viento del éter. Observando efectos de interferencia
de luz esperaba poder medir la rapidez de este viento, o lo que es igual, la rapidez
de la tierra respecto al éter [6].
¿Lo que oscila es el éter?
En el siglo XIX el éter tenía propiedades físicas que podían ser deducidas observando el comportamiento de la velocidad de propagación de una onda en un medio (aire, agua, cuerda), como la velocidad de la luz es enorme
2, 99792458 × 108 m s−1 el éter debería ser algo muy rígido y en consecuencias
la Tierra no podría moverse con facilidad. Si el éter se comportaba como un
fluido viscoso los planetas en órbita perderían energía paulatinamente y
acabarían por caer en el Sol, siguiendo una trayectoria en espiral y como eso no
ocurría los físicos llag arona otra conclusión definitiva sobre el éter. El éter
decían, es un fluido perfectamente móvil sin viscosidad alg una,incomprensible,
transparente que llena todo el espacio. Conociendo tanto sobre él, lo único que
quedaba por hacer era un experimento que fuera claro e irrefutable, esta tarea
fue realiza-do por los físicos Michelson y Morley que montaron éste experimento
usando diferentes materiales y realizado en diferentes condiciones climáticas
durante 40 años, para que al final no obtuvieron respuestas o si algo que ellos no
creían que el éter no existía [6].
Tarea:
Desarrolle el laboratorio que aparece al final del texto titulado: medida de la velocidad
de la luz.
1.2.
E l experimento de Michelson y Morley
El Dr. David L. Goodstein, California Institute of Technolog y describe el
experimento realizado por los físicos Michelson y Morley. El montaje del experimento contenía dos espejos planos y uno semiplano tal como se muestra en
la Fig ura 1.3. Donde un rayo de luz láser sale del punto S, g olpea un semi
espejo transparente que divide el rayo en dos, un rayo que va paralelo al
movimiento de la Tierra (espejo M1) y el otro rayo que va en dirección
perpendicular al movimiento de la Tierra (espejo M2). Estos dos rayos se
superponen formando lineas claras y oscuros [6].
E studio analítico del experimento de Michelson y Morley: Determinamos primero la diferencia de tiempos en que se toma el haz de luz en ir del
espejo M1 al semiespejo y del espejo M2 al semiespejo para, luego determinar el
corrimiento de la franja y finalmente comparar con los cálculos experimentales.
Bueno la teoría dice que no coincidían.
1.2. EL EXPERIMENTO DE MICHELSON Y MORLEY
5
Figura 1.3:
La Figura 1.3 muestra que la distancia entre el semiespejo y el espejo M1 es
L y la rapidez de la luz a medida que se acerca y se aleja del espejo M1 es c − v
y c + v, respectivamente (donde v es la velocidad del viento de eter contrario a
la velocidad de la Tierra). De este modo, el tiempo sería igual a:
t1 =
d
2d
d
2dc
=
+
= 2
c+v c−v
c − v2
c
1−
−1
v2
c2
(1)
Ahora cuando el haz de luz que viaja hacia el espejo M2 , perpendicular al viento
1
del éter. Ya que la rapidez del haz en relación con la Tierra es (c2 − v 2 ) 2 en
d
este caso, el tiempo de viaje para cada mitad de este recorrido es 2 2 1 , y
(c −v ) 2
el tiempo total para el recorrido completo es
t2 =
2d
1 =
(c2 − v2 ) 2
2d
c
1−
v2
c2
− 12
(2)
Luego la diferencia de tiempos es
∆t = t1 − t2 =
2
2d
c
1−
v2
c2
−1
− 1−
v2
c2
− 12
(3)
Debido a que vc2 ≪ 1, esta expresión puede simplificarse empleando el siguiente
desarrollo del binomio después de eliminar todos los términos de orden más alto
que el segundo:
(1 − x)n ≈ 1 − nx
para x ≪ 1
6
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
Luego encontramos que
dv2
(4)
c3
Así, la diferencia de trayectoria que corresponde a esa diferencia de tiempo es
∆t ≃
∆x = c(2∆t)
(5)
2
dv
∆x = 2c
c3
dv2
(6)
∆x = 2
c2
El correspondiente desplazamiento de las franjas es igual a esta diferencia de
trayec-toria dividida entre la longitud de onda de la luz, puesto que un cambio
de longi-tud de onda de la trayectoria de una longitud de onda corresponde al
corrimiento de la franja
∆x
λ
dv2
Corrimiento = 2
λc2
Corrimiento =
(7)
Que al sustituir estos valores con los del montaje experimental estos no
coincidían.
Tarea:
Desarrolle el laboratorio virtual que aparece en la pgina web
(http://pabdelrahim.blogspot.com.co/) titulado: Experimento de Michelson y
Morley_Primer Laboratorio.
Desarrolle el laboratorio que aparece en el ltimo capitulo titulado como: medida de
la velocidad de la luz.
1.3.
E lprincipio de la relatividad de Einstein
Einstein en vez de buscar formas de justificar los resultados inesperados del
experimento de Michelson y Morley trabajó en dos postulados:
1. Las leyes de la física coinciden en cada sistema de referencia inercial. En
particular, los sistemas inerciales resultan indistinguibles, lo que destierra
la noción de sistema de referencia absoluto, e incorpora implícitamente el
principio de inercia.
2. La velocidad de la luz es independiente de la velocidad de la fuente: Por
tanto, la constancia de la velocidad de la luz pasa a ser un principio universal, resultando clave para establecer las transformaciones de coordenadas
entre sistemas inerciales.
1.3. EL PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN
7
Figura 1.4:
Desde un punto de vista experimental el primer postulado nos puede llevar a
concluir que si queremos experimentalmente medir la rapidez de la luz efectuado
en un laboratorio en reposo debe dar el mismo resultado que cuando se realiza en
un laboratorio que se mueva con rapidez constante con respecto al primero. Por
lo tanto, no existe un marco de referencia inercial privilegiado, y es imposible
detectar movimiento absoluto. Observe que el postulado 2 es requerido por el
postulado 1: si la rapidez de la luz no fuera la misma en todos los marcos
inerciales [1].
Aceptada la teoría de la relatividad de Einstein se llega a que el movimiento
relativo no es importante cuando se mide la rapidez de la luz. A la vez se deben
modificar los conceptos de espacio y tiempo [1].
El evento o el suceso
El evento o suceso se define como algo que ocurre en algún punto en el espacio
en un determinado tiempo y en diferentes marcos inerciales suelen describir el
mismo evento con diferentes coordenadas [1].
A continuación estudiaremos tres consecuencias de los postulados de A.
Einstein como son:
1. Principio de la simultaneidad de eventos.
2. Dilatación del tiempo.
3. La contracción de la longitud.g
Recordemos que para la mecánica relativista el tiempo y la longitud absoluta
no existe.
Principio de la simultaneidad de eventos
Para comprender el concepto de simultaneidad plantearemos un ejemplo
experimental mental. Suponga que los sistemas de referencia de Lucho y Patricia
8
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
S y S′, respectivamente. Y Lucho en S está dentro de un cubo de cristal que tiene
dos espejos uno enfrente del otro. Este cubo se mueve con rapidez constante.
Ahora Lucho enciende una bombilla justo en el instante en el que el cubo pasa
por delante de Patricia. La pregunta es, ¿qué mide cada uno de los observadores?
Lucho que está dentro del cubo ve que el espejo de atrás recibe primero la
luz antes que el espejo que está delante y Patricia ve que ambos espejos reciben
la luz al mismo tiempo.
El anterior experimento mental demuestra claramente que los dos acontecimientos, los cuales parecen ser simultáneos para Patricia, no parecen serlo
para Lucho. Depende del marco de referencia de donde ocurra el evento o
suceso.
Dilatación del tiempo
La Fig ura 1.4 muestra dos observadores, uno que está dentro de un vagón de
tren (O1) que contiene dos espejos efrentados (uno arriba y otro abajo) y otro
observador que está fuera del vag ón de tren (O2). El observador que está dentro
del vagón emite un rayo de luz que puede de alguna forma ser detectado cuando
este es reflejado por el espejo (Figura 1.4a). La medida del recorrido de ida y
vuelta es 2d y el tiempo medido por el operario (O1) es:
∆t∗ =
2d
(1)
c
En la Figura (1.4b) se observan tres posiciones del vagón en su desplazamiento de avance según indica la flecha situada encima de la Figura (1.4b). El
vagón se desplaza hacia la derecha con una velocidad (v). Se ha situado un
observador (O2 ), fijo en Tierra, y queremos determinar el tiempo que calculará
este observador para la realización del anterior experimento (emisión y reflexión
del rayo de luz) [1-3, 46].
La Figura (1.4c) muestra la forma de poder calcular el tiempo que tarda el
evento en recorrer la mitad del camino. La hipotenusa de este triangulo es igual
a la mitad del desplazamiento del haz de luz c∆t
2 , la longitud del cateto que
actúa como base es igual a la mitad del desplazamiento del tren v∆t
y d es la
2
distancia de espejo a espejo:
1.3. EL PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN
2
c∆t
2
v∆t
2
=
9
2
+ d2
2
c2 ∆t2 v 2 ∆t
−
= d2
4
4
∆t2 2
(c − v 2 ) = d2
4
4d2
∆t =
c2 − v 2
2d
√
c2 − v2
1
2d
c
∆t =
∆t =
2
1
c 1 − vc2 c
(2)
Debido a que ∆t∗ = 2d
c , podemos expresar la ecuación (2) como
∆t =
2d
c
2
1 − vc2
=
∆t∗
2
1 − vc2
Donde
γ=
1
2
1 − vc2
(3)
Luego
∆t = γ∆t∗
(4)
Donde si gamma γ es mas grande que la unidad. La ecuación (3) nos indica que
el intervalo de tiempo ∆t medido por un observador que se mueve respecto de
un reloj es más largo que el intervalo de tiempo ∆t∗ medido por un observador
en reposo respecto del reloj (esto ∆t ≻ ∆t∗ ). Dicho efecto se conoce como
dilatación del tiempo.
En la siguiente gráfica de γ en función de la velocidad observamos que cuando
la velocidad se aproxima a la rapidez de la luz γ aumenta de manera dramática.
Advierta que para magnitudes de velocidad menores a un décimo de la rapidez
de la luz, γ está muy cerca de ser igual a la unidad. Un ejemplo, el latido del
corazón de un astronauta que se mueve por el espacio mantendría el tiempo con
un reloj dentro de la nave espacial. Tanto el reloj del astronauta como su latido
cardiaco se retrasan respecto de un reloj estacionario allá en la Tierra (aunque
el astronauta no tendrá ninguna sensación de que la vida se está retrasando en
la nave espacial), [1-3, 46].
10
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
Gamma
10
8
6
4
2
0
1
2
2
γ = 1 − v9
3
v(10^8) m/s
− 12
Contracción de la longitud
Otra consecuencia de los dos postulados de A. Einstein es la contracción de
la longitud. La distancia medida entre dos puntos depende también del marco
de referencia. La longitud propia (Lp ) de un objeto es la longitud medida por
un observador que está en reposo respecto del objeto. La longitud de un objeto
medida por alguien en un marco de referencia que se mueve respecto del objeto
siempre es menor que la longitud propia. Este efecto se conoce como contracción
de la longitud [1-5].
Considere una nave espacial que viaja a una rapidez v de un planeta a otro.
Hay dos observadores: uno en reposo en la Tierra y el otro dentro de una nave
espacial que viaja a velocidad constante. El observador en la Tierra, mide la
distancia entre las dos planetas como la longitud propia (Lp ). De acuerdo con el
observador en Tierra, el tiempo que tarde la nave espacial en completar el viaje
L
es ∆t = γp . El viajero espacial afirma que ve el planeta de destino moviendose
hacia la nave espacial a una rapidez v. Como el viajero epacial alcanza el planeta
en un tiempo ∆tp se tiene que
(1)
L = v∆tp
Si de acuerdo con la contracción de la longitud se tiene que el tiempo medido
por un observardor en movimiento es:
∆t = γ∆tp
(2)
Luego sustituyendo ∆tp de la ecuación (2) en la ecuación (1) obtenemos
L=v
∆t
γ
1.3. EL PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN
11
Figura 1.5:
Donde despejando ∆t se obtiene
∆t = γ
L
v
(3)
La longitud medida por un observardor en Tierra es
(4)
Lp = v∆t
Y sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (4) se obtiene
Lp = v γ
L
v
Obtenemos la ecuación (5)
Lp = γL
(5)
Despejando la distancia medida por el observador en la nave L de la ecuación
(4)
Lp
L=
γ
O
1
v2 2
L = Lp 1 − 2
(6)
c
2
1
2
Donde 1 − vc2
≺ 1, advierta que la contracción de la longitud ocurre sólo a
lo larg odel movimiento, Figura 1.5 [1-3, 46].
Tarea:
Desarrolle el laboratorio virtual que aparece en la página web
(http://pabdelrahim.blogspot.com.co/) titulado: Dilatación del tiempo y
contracción de la longitud
12
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
1.4.
Las ecuaciones de transformación de Lorentz
Como la transformación galileanas no es válida para objetos que se muevan
con velocidades que se aproximan a la velocidad de la luz. Luego en esta sección
se presentarán las ecuaciones correctas cuando la magnitud de la velocidad se
encuentran entre el intervalo de 0 ≤ v ≺ c, [1-3, 46].
Posición medida por dos sistemas de coordenadas inerciales
Se tienen dos observadores, uno en el marco de referencia estacionario S
y otro en el marco de referencia que se mueve con velocidad constante (v) en
relación con el estacionario (Figura 1.5). Suponga que un objeto se ubica en la
posición x medida en el sistema S′, donde las ecuaciones de posición son:
x′
y′
z′
t′
=
=
=
=
γ(x − vt)
y
z
v
γ t − 2x
c
(5)
(6)
Las ecuaciones de transformación de velocidad de Lorentz de S → S′
Suponga que un objeto, tiene una rapidez ux medida en el sistema S′, donde
dx′
(7)
dt′
Derivando con respecto al tiempo las ecuaciones (5) y (6), obtenemos (8) y
u′x =
(9)
dx′
′
dt
= γ (dx − vdt)
v
= γ dt − 2 dx
c
(8)
(9)
Al sustituir las ecuaciones (8) y (9) en la ecuación (7) se obtiene la ecuación
(10)
u′x
=
u′x
=
dx − vdt
dt − cv2 dx
1
dt
1
dt
dx
dt − v
v dx
Donde la rapidez medida en el marco S′, teniendo encuenta que ddtx justo la
componente de la velocidad ux del objeto medida por un observador en S, asi
que esta expresión sería igual a
ux − v
u′x =
(10)
1 − ucx2v
1.4. LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ
13
Si el objeto tiene componente de la velocidad a lo largo de los ejes y y z, las
componentes medidas por un observador en S′ son las sigueientes
u′y
=
u′z
=
uy
vu
γ 1 − c2y
uz
z
γ 1 − vu
c2
(11)
(12)
Observe que las ecuaciones u′y y u′z no contienen el parámetro v en el numerador porque la velocidad relativa está a lo largo solo del eje x.
Cuando ux y v son mucho mas pequeñas que c (el caso no relativista) el
denominador de la ecuación (10) se aproxima a la unidad y por ello u′x = ux − v
que corresponden a las transformaciones de las velocidades galileanas. En el otro
extremo, cuando ux = c la ecuación (10) se vuelve
u′x =
c 1 − vc
c−v
=c
cv =
1 − c2
1 − vc
advierta que el resultado se orienta hacia el segundo postulado de Einstein [1-3,
46].
Las ecuaciones de transformación de velocidad de Lorentz de S′ → S
Se tiene dos observadores uno en el marco de referencia estacionario(S) y
otro que mueve con velocidad v en relación con el estacionario (S′). Suponga
que un objeto tiene una rapidez u′x medida en el marco S, donde:
ux =
dx
dt
(13)
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos
dx = γ (dx′ + vdt)
v
dt = γ dt′ + 2 dx
c
(14)
(15)
Al sustituir la ecuación (14) y (15) en la ecuación (13), obtenemos (16)
dx′ + vdt
dt′ + cv2 dx
ux
=
ux
=
dx′
dt′ + v
1 + cv2 dx′
dt′
ux
=
u′x + v
x
1 + vu′
c2
1
dt′
1
dt′
(16)
14
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
Figura 1.6:
1.5.
Dinámica Relativista
La segunda ley de Newton se enuncia como el cambio de movimiento que
es proporcional a la fuerza neta y ocurre según la línea recta a lo largo de la
cual aquella fuerza se imprime, entonces para otro observador estacionario o
en movimiento con rapidez constante, la fuerza permanece invariante bajo las
transformaciones de Galileo [32].
Pero las magnitudes físicas cambian cuando estas se trabajan bajo las transformaciones de Lorentz, cuando el evento se ve en cada uno de los sistemas de
referencia S y S ′ .
Leyes de Newton
De acuerdo a las transformaciones de Galileo las tres leyes del movimiento
de Newton deben permanecer invariantes al cambio de un marco de referencia a
otro. La primera ley vista como el principio de la cantidad de movimiento debe
cumplir que
momentum antes del choque = momentum después del choque
Sin embargo, al utilizar las transformaciones de Lorentz descubrimos rápidamente que la cantidad de movimiento no se conserva invariable al pasar de un
marco de referencia a otro. Esto lo podemos ver mejor considerando un experimento donde hay una colisión inelástica entre dos partículas, como se muestra
a continuación.
La masa relativista
La Figura 1.6 se muestra una colisión entre dos partículas, este evento tiene
lugar en el marco de referencia S ′ que se mueve con velocidad constante u.
1.5. DINÁMICA RELATIVISTA
15
Consideremos que en el sistema S ′ las velocidades de cada una de las partículas
que presetan la colisión iguales a v ′ y si la cantidad de movimiento se conserva.
Donde se cumple en este sistema que la cantidad de movimiento antes del
choque es igual a la cantidad de movimiento despues del choque,
−
→
−
→
P antes = P despúes
Luego
m′ v ′ + m′ (−v ′ ) = 0
(2)
En la Figura 1.6 observamos que en el sistema S, la cantidad de movimiento
antes del choque es igual a la cantidad de movimiento despúes del choque,
donde en este sistema no se puede asegurar que las masas de las partículas ni
su velocidad sean iguales, ya que sus velocidades son diferentes, entonces se
requiere que se cumpla que
mv = M0 v′
(3)
O lo que es lo mismo
mv = (m + mo )v′
(4)
Donde m y M0 son las masas de las partículas en movimiento y mo la masa
de la partícula en reposo y v y v′ son las velocidades de las partículas para antes
y después de la colisión, respectivamente, de acuerdo con las transformación
de la conservación de velocidades se tiene que: la rapidez de un evento físico
que ocurre a una distancia x′ del sistema de referencia S ′ , pero medido por un
observador en el sistema de referencia S ′ es:
v=
v′ + v
2v′
=
2
1 + vv′
1 + v′c2
c2
(5)
Noten que cuando v ≪ c, v = 2v′ y despejamos m de la ecuación (4) se obtienemos que
mv = mv′ + mo v′
m (v − v′) = mo v′
v′
m =
mo
v − v′
(6)
Despejando v′ de la ecuación (5), se obtiene la ecuación (7) de segundo grado
para v′ , así:
v ′2
c2
vv ′2
v+ 2
c
v 2
v′ − 2v′ + v
c2
v 1+
= 2v′
= 2v′
= 0 (7)
16
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
Que corresponde a una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0,de
donde a = cv2 , b = −2, y c = v y cuya solución es la ecuación (8), luego:
v′ =
−(−2) ±
v′ =
2 ± 2 1 − vc2
4−4
v
c2
(v)
v
c2
2
2
v
′
=
2
v
c2
2
1 − vc2
1±
v
c2
2
Factorizando cv , obtenemos
v′ =
c2
1±
v
1−
v2
c2
(8)
Puesto que v ′ debe ser igual a v2 cuando la rapidez involucrada es pequeña son
comparadas con la rapidez de la luz, el signo apropiado en la ecuación (9) es el
signo negativo. Entonces:
v′ =
c2
1−
v
1−
v2
c2
(9)
Ahora remplazando la ecuación (9) en la ecuación (6), obtenemos:
m =


m = 

v′
v − v′
c2
v
mo
1−
2
v − cv 1 −
1−
v2
c2
1−
v2
c2


 mo

Reduciendo esta ecuación en su más mínima expresión obtenemos la ecuación
(10), así:
1.5. DINÁMICA RELATIVISTA


m = 



m = 

c2
v
1−
2

m = 

v2
c2
1−
c2
v

v2
c2
1−
v − cv 1 −
v 1+
17
1−
1−
v2
c2
1+
1−
v2
c2
2
− cv 1 − 1 −

v
v 1+
1−
v2
c2
1− 1−
v2
c2
1+
v2
c2
−v
v2
c2


 mo



 mo


 mo

La ecuación (10 que corresponde a la masa relativista

m = 
1
1−
m = γmo
v2
c2

 mo
(10)
La siguiente gráfica corresponde a la ecuación (11) y muestra a la masa
relativista (m) de una partícula en función de vc . Donde observamos que cuando
la masa relativista aumenta, la velocidad aumenta hasta cuando la velocidad de
la partícula se acerca a la velocidad de la luz, c = 3 × 108 m s−1 y que cuando
la razón entre las velocidades v y c se aproxima a cero, se obtiene el valor de la
masa del electrón m0 = 9,109 × 10−31 kg. (líneas punteadas)
m=
9, 109 × 10−31 kg
1−
v2
c2
(11)
18
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
m [kg]
1.4e-30
1.2e-30
1.0e-30
8.0e-31
6.0e-31
0.0
0.1
0.2
masa relativista vs.
0.3
v
c
0.4
0.5

0.6
0.7
−31
m =  9,1093897×10
2
1−
v
c2
0.8

0.9
1.0
v/c
 kg
Pero la masa no está aumentando. El observador que viaja en el marco de
referencia S ′ junto con el cuerpo verá a dicho cuerpo en reposo (con respecto
a él) y no lo verá aumentar. La materia extra es la que sería detectada por el
observador que está en el marco de referencia S ante el cual el cuerpo se está
moviendo a grandes velocidades.
En realidad esta masa extra tiene que ver con el consumo de energía que
hay que invertir para ir acelerando el cuerpo a velocidad cada vez más cercana
a la velocidad de la luz. La aceleración del cuerpo, el aumento en su cantidad
de movimiento, corresponde a la energía que hay que invertir en el proceso para
aumentar su rapidez de v = 0 a v = 0, 7c. Esta energía va directamente al
aumento en la cantidad de movimiento del cuerpo. En realidad esa masa extra
aparente tiene que ver directamente con la energía invirtiendo en irle subiendo
la rapidez al cuerpo.
Momentum relativista
Definida la masa relativista nos lleva a conceptualizar el momentum relativista, la cual es:
−
→
p =
→
mo −
v
2
1 − uc2
(12)
→
Donde −
v es la velocidad de la partícula.
→
Cuando −
v → 0 el denominador de la ecuación (12) tiende a la unidad por
−
→
→
→
lo que p se reduce a la expresión clásica igual a: −
p = m−
v y la ecuación (12)
1.5. DINÁMICA RELATIVISTA
19
se reduce a:
−
→
→
p = γmo −
v
(13)
Como la cantidad de movimiento es una cantidad vectorial, sus componentes
con respecto a un sistema de ejes x, y y z serán:
px
=
py
=
pz
=
mo vx
2
1 − vc2
mo vy
2
1 − vc2
mo vz
2
1 − vc2
Donde el momentum relativista es:
−
→
p =
mo
2
1 − uc2
vx i + vy j + vz k
(14)
Fuerza relativista
Definida como derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo,
así:
→
−
→
d−
p clasico
d
→
→
F clasico =
v ) = mo −
a
= (mo −
dt
dt
donde mo es la masa en reposo relativista, considerada constante en la expresión
anterior.
La fuerza relativista tambien será la derivada con respecto al tiempo de la
cantidad de movimiento, pero ahora relativista:
−
→
F rel
−
→
F rel
−
→
F rel
→
d−
p rel
dt
d
→
=
(m−
v)
dt
→
d−
v
dm
→
= m
+−
v
(15)
dt
dt
=
Donde m es la masa relativista que depende de la velocidad. Luego la magnitud
20
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
de la fuerza relativista es
Frel
=
d
v2
dv
+ v mo 1 − 2
2
dt
c
1 − v dt
mo
− 12
c2
Frel
=
dv
d
v2
+ vmo
1− 2
2
dt
c
1 − v dt
mo
− 12
c2
Frel
=
mo
dv
1
+ vmo −
2
dt
2
1− v
c2
Frel
=
Frel
=
mo
dv
mo
+
3
2 −
2
dt
1 − vc2
1 − vc2 2
v2
1− 2
c
v2
c2
− 32
2v
− 2
c
dv
dt
dv
dt
1
v2
dv
1+
2
v
2
1 − c2 c2
1 − v2 dt
mo
c
Simplificando
Frel =
mo
dv
v2 dt
1−
1−
c2
v2 v2
+ 2
c2
c
Finalmente, obtenemos la expresión
Frel =
mo dv
dt
2
1 − vc2
3
2
(16)
Donde para velocidades suficientemente bajas en comparación a la velocidad
de la luz, la expresión para la fuerza relativista se reduce a la expresión de la
segunda ley de Newton.
Aceleración relativista
De la ecuación (12) la fuerza relativística se definió como
→
−
→
d−
v
dm
→
F rel = m
+−
v
dt
dt
Y si m = cE2 , diferenciando esta ecuación con relación al tiempo, tenemos
dm
1 dE
1 d
= 2
= 2
m0 c2 + K
dt
c dt
c dt
Esto es
dm
1 dK
= 2
dt
c dt
Si la variación de energía cinética relativística (dK) es el resultado de un trabajo
diferencial (F dr). Por lo tanto,
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA
21
dm
1 dr
1
= 2F
= 2Fv
dt
c
dt
c
Al reemplazar este resultado en la ecuación (12) queda:
−
→
1
→
→
F = m−
a +−
v 2Fv
c
−
→
F
v2
−
→
a =
1− 2
m
c
3
−
→
F
v2 2
−
→
1− 2
(17)
a =
m0
c
Por el principio de correspondencia se tiene que cuando la velocidad v se aproxima a la velocidad de la luz c, la aceleración se anula. Si v es despreciable
frente a c, la aceleración se resume a la segunda ley de Newton, es decir, la
magnitud de la aceleración es
−
→
F
−
→
a =
m0
Y la magnitud de la fuerza relativista seria igual a
F =
am0
2
1 − vc2
3
2
Según la mecánica de Newton, el móvil responde a la acción de la fuerza
acelerándose. Esta es una manifestación de su inercia. A velocidades relativísticas, la inercia crece significativamente, hasta el punto de que una fuerza finita
no causa reacción sobre el móvil. Para obtener una reacción visible en el móvil,
la fuerza deberá también crecer. Por eso la luz cae si el campo gravitacional es
tan intenso como el de un agujero negro.
1.6.
Energía Relativista
Al igual que en la mecánica clásica se debe cumplir que el trabajo realizado
sobre un cuerpo cuando se desplaza entre dos puntos es igual a la integral del
producto punto entre la fuerza y el desplazamiento, así
→
−−→ −
Frel • d l (18)
W =
donde el teorema del trabajo y la energía es igual al cambio de la energía cinética
(W = ∆K) y de acuerdo a la ecuación (18) tenemos que:
K=
→ −
→
d−
p−
rel
·d l =
dt
v
m
0
→
dm
d−
v
→
+−
v
dt
dt
−
→
· d l (19)
22
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
Donde si el cuerpo se desplaza en dirección horizontal, tenemos que:
v
K
=
m
0
v
K
=
dm
dv
+v
dt
dt
dx
mvdv + v2 dm (20)
0
Expresión en la cual tanto m como v son variables. Estas cantidades están
relacionadas la una con la otra a través de la definición de la masa relativista


1
 mo (21)
m=
v2
1 − c2
Elevando al cuadrado la expresión (21) , obtenemos:
v2
c2
v2
m2 − m2 2
c
m2 1 −
= m20
= m20
Y diferenciándola a ambos lados de la igualdad, da
v2
c2
2mdm − 2 (dm) m
v
+ 2m2 2 dv
c
= 0
2mc2 dm − 2 (dm) mv 2 − 2m2 vdv = 0
mvdv + v2 dm = c2 dm
(23)
Que es precisamente el factor que se encuentra en (20). Por consiguiente
v
K
c2 dm
=
0
m
K
K
= c2
dm
m0
2
= mc − mo c2
De modo que la energía cinética se puede expresar como una integral de la
velocidad que cambia desde el estado de reposo hasta que la fuerza deja de
actuar, finalmente tenemos que:
K=
m0 c2
2
1 − vc2
1
2
− m0 c2
(24)
2
Lo que podemos observar es que a baja velocidad K = mv
2 , pero a velocidades
altas la curva de energía creciente comienza a parecerse a la curva de masa
creciente, la ecuación (24) muestra por qué
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA
23
K = γm0 c2 − m0 c2 (25)
A cualquier velocidad la energía cinética es igual a la variación de la masa
multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado
K = (m − m0 )c2
y como m0 es la masa del cuerpo en reposo, la cantidad m0 multiplicada por
la velocidad de la luz al cuadrado recibe el nombre de la energía de la masa en
reposo, E0 = m0 c2 .
Sumando la energía cinética a la energía de la masa en reposo se obtiene la
energía total del cuerpo
E = mc2 (26)
Esta ecuación se confirma rutinariamente mediante experimentos que emplean
aceleradores de partículas de alta energía.
2
.
Si v → 0 la ecuación (24) debe reducirse a la expresión clásica K = mv
2
Podemos verificar esto empleando la expresión del binomio
1
1
(1 − x2 )− 2 ≈ 1 + x2 + ....
2
Para x ≺ 1 donde las potencias de orden mas alto de x se desprecian en la
expresión. En nuestro caso x = vc , de modo que
1
2
1 − vc2
1
2
≈1+
1 v
2 c
2
La sustitución de esta ecuación (24) produce
K ≈ m0 c2 1 +
1 v
2 c
2
− m0 c2 =
m0 c2
2
La cual concuerda con el resultado clásico.
El término m0 c2 es la energía en reposio y es independiente de la velocidad
de la partícula.
El término γmo c2 es la energía total que corresponde a la suma de la
energía cinética más la energía en reposo de la partícula, E = K + m0 c2 .
Aquí lo que se muestra es que la masa es una propiedad de la energía o que
una masa pequeña corresponde a una gran cantidad de energía. Este concepto
es fundamental para gran parte del campo de la física nuclear [1-3].
La siguiente Figura muestra la energía total del electrón (γm0 c2 ) en funcion
de vc . Observando que cuando vc se acerca a cero da el valor de la energia en
reposo del electrón (mo c2 ).
E=
9, 109 × 10−31 kg
1−
3 × 108 ms
v 2
c
2
24
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
ET [J]
1.2e-13
1.0e-13
8.0e-14
6.0e-14
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
v/c
2
ET =
9,1093897×10−31 (2,99792458×108 )
2
1−( vc )
Energía relativista en función del momentum
El momento relativista se relaciona con la energía total por medio de la
ecuación
E 2 = c2 p2 + m2o c4 (1)
Para dar una expresión alternativa de la energía total en términos del momentum
relativista. Se logra a partir del momento relativista, la cual es:
p=
. Despejando
mo v
2
1 − vc2
v 2
c , así
2
v2
p 1− 2
c
p2 1 −
= (mo v)2
v2
c2
p2 c2 − p2 v2
p2 c2
p2 c2
v2
c2
= (mo v)2
= (mo v)2 c2
= p2 v 2 + (mo v)2 c2
= v 2 p2 + m2o c2
=
p2
p2 + m2o c2
(2)
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA
25
2
Sustituyendo vc2 de la ecuación (2) en la ecuación (3),
E
=
E
=
mo c2
(3)
2
1 − vc2
mo c2
2
p
1 − p2 +m
2 c2
1
2
o
E
=
mo c2
p2 +m2o c2 −p2
p2 +m2o c2
1
2
Elevando al cuadrado a ambos lados de la igualdad
E
2
E2
E2
=
mo c2
2
m2o c2
p2 +m2o c2
m2o c4 p2 + m2o c2
m2o c2
= c2 p2 + m2o c2
=
Finalmente se obtiene, la energía relativista en función del momentum
E 2 = c2 p2 + m2o c4
(5)
Ejercicios
1. Una nave espacial es tripulada por un observador que viaja a una velocidad
v cercana a la velocidad de la luz y pasa por un observador terrestre.
Realice una gráfica de la longitud que medida por un observador dentro
de la nave en función de vc , cuando el observador terrestre mide 120 m de
long itud de la nave,
Respuesta
La siguiente gráfica muestra la relación entre la longitud del observador que
esta dentro de una nave y la velocidad v.
26
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
L observada
150
100
50
0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
L = 120 1 −
0.5
v 2
c
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
v/c
1
2
2. Un observador en tierra mide la longitud de una nave espacial de 240 m de
largo que viaja a diferentes velocidades (Tabla 1). Determinar la longiud
de la nave vista por un observador que está dentro de ella.
Respuesta
Los datos de la siguiente Tabla, fueron obtenidos realizando el siguiente
procedimiento:
v2
c2
(0, 2c)2
= 235, 15 m
L = 240 1 −
c2
L = LP
v ms
L [m]
0,2 c
235,15
1−
0,4 c
219,96
0,6 c
192
0,9 c
104,61
3. ¿A qué rapidez tiene que moverse un reloj para funcionar a un ritmo que
es la mitad, la tercera, la cuarta, la quinta, la sexta del correspondiente a
un reloj en reposo?
Respuesta
Desarrollaremos el ejercicio para 2t y se repite el siguiente procedimiento
hasta completar la siguiente Tabla
t [s]
v
m
s
t
2
√
3
2 c
t
3
√
8
3 c
t
4
√
15
4 c
t
5
√
24
5 c
t
6
√
35
6 c
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA
27
Como el tiempo medido por el reloj en reposo, es:
t = γtp
t
t = γ
2
γ = 2
1
2
1 − vc2
= 2
v2
c2
1 = 2 1−
Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad, obtenemos
1 = 4 1−
1
4
3
4
= 1−
=
v
=
v2
c2
v2
c2
v2
c2
√
3c2
3
=
c
4
2
4. Una nave espacial se tarda 0,75µs para pasar a un observador terrestre.
Determine la rapidez de la nave espacial. Si las longitudes que mide un
observador en Tierra son las que se muestran en la siguiente Tabla.
LP [m]
v ms
200
0,68c
300
0,8c
600
0,93c
800
0,96c
Respuesta
Si t = 0, 75µs y la longitud del observador que está dentro de la nave es igual
a L = LP
2
1 − vc2 y además v = tLp , luego
(vtp )2
(vtp )2
(vtp )2 + L2P
v2 t2p +
v2
c2
L2P
c2
v2
c2
v2
= L2P − L2P 2
c
= L2P
1−
= L2P
= L2P
v2
=
L2P
L2
t2p + cP2
28
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
Si la longitud propia es igual a 300 m, tenemos que
v
v
!
!
= "
=
9 × 104 m2
4
9×10
0, 56 × 10−12 + 9×10
s2
16
9 × 104
m
−12
−12
0, 56 × 10
+ 1 × 10
s
3 × 102
c
= 2, 41 × 108
1, 24 × 10−6
c
m
v = 0, 80c
s
5. La longitud propia de una nave espacial es tres veces la de otra, las dos
naves viajan a la misma dirección y, mientras ambas pasan arriba, un
observador en tierra las mide y obtiene la misma longitud. Si la nave más
lenta se desplaza a 0, 35c, determine la velocidad de la más rápida.
v
=
Respuesta:
Sea Lp1 la longitud propia de la primera nave espacial y Lp2 la longitud
propia la de la otra, luego
Lp1 = 3Lp2 (1)
Ahora si la nave lenta que es Lp2 viaja a una velocidad de
v2 = 0, 35c (2)
Entonces las longitudes de las naves son:
v12
v22
y
L
=
L
1
−
P
2
c2
c2
Y como el observador en tierra mide la misma longitud de las naves y aplicando
la ecuación (1) y (2), tenemos
L = LP 1
1−
v2
c2
v2
3 1− 2
c
v2
9 1− 2
c
2
c − v2
9
c2
3LP 2
1−
9 c2 − v 2
9c2 − 9v2
−9v2
−9v2
v
(0, 35c)2
c2
(0, 35c)2
=
1−
c2
(0, 35c)2
= 1−
c2
c2 − (0, 35c)2
=
c2
=
LP 2
1−
= c2 − (0, 35c)2
=
=
=
=
c2 − (0, 35c)2
c2 − 0, 122c2 − 9c2
−8, 122c2
0, 95c
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA
29
6. Imagine un ciclista que se mueve con una velocidades de: 0, 8c, 0, 9c y
0, 99c y que pasa al lado de un observador estacionario. Si el ciclista lanza
una pelota hacia adelante con una velocidad de 0, 7c relativa a sí mismo,
¿cuál es la velocidad de la pelota según el observador estacionario?
Respuesta
En esta situación la velocidad del ciclista respecto del observador estacionario
es v = 0, 7c.
Usamos la siguente ecuación para determinar la velocidad ux , de la pelota
relativa al observador estacionario
′
ux =
ux + v
x
1 + vu
c2
Luego las velocidades ux son respectivamente
ux
=
ux
=
ux
=
0, 7c + 0, 8c
1 + (0,7c)(0,8c)
c2
0, 7c + 0, 9c
1 + (0,7c)(0,9c)
c2
0, 7c + 0, 99c
1 + (0,7c)(0,99c)
c2
=
1, 5
1, 56
c = 0, 96c
=
1, 6
1, 63
c = 0, 98c
=
1, 69
1, 693
c = 0, 99c
7. Si unos astronautas pudieran viajar a la v nosotros en la tierra afirmaríamos que tardan 4,4 años en llegar a alfa centuria. Los astronautas
no estarían de acuerdo. Realice una gráfica que muestre la relación entre
el tiempo que pasa en los relojes de los astronautas y la velocidad.
Respueta
El tiempo que tarda en viajar de 4,4 años que corresponde al tiempo t = γtp ,
luego calculamos el tiempo propio
4, 4 =
tp
tp
2
1 − vc2
= 4, 4 1 −
v2
c2
8. En la Tierra se afirma que tardaran 2, 2 años para llegar a la Luna, a
5, 2 años luz de distancia. Halle el tiempo medido por los relojes de los
astronautas y la distancia que mide los astronautas en cada caso.
Respuesta
Los datos de la siguiente Tabla, se obtuvieron con el siguiente procedimiento,
con v = 0, 2c.
30
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
luz
v años
años
tp [años]
L [años luz]
0, 2c
2, 16
5, 09
0, 4c
0, 6c
0, 8c
0, 9c
Teniendo en cuenta que el tiempo medido por los astronautas es
tp
t
=
γ
=
t
1
2
1− vc2
v2
c2
tp
= t 1−
tp
= 2, 2 años 1 −
(0, 2c)2
= 2, 16 años
c2
Obtenemos la distancia medida por los astronautas
L =
Lp
γ
L = 5, 2 años luz 1 −
(0, 2c)2
= 5, 09 años luz
c2
9. Una nave espacial tarda 0,75 µs en pasar un observador terrestre. Determine la rapidez de la nave espacial. Si las longitudes que mide un observador en Tierra son las que se muestran en la siguente Tabla.
Lp [m]
v ms
200
300
0, 8c
600
800
Respuesta
Si el tiempo que gasta el observador para pasar al observador terrestre es
t = 0, 75 µs y la longitud medida por el observador que está dentro de la nave
es L = Lp
2
1 − vc2 y si el sistema de referencia se mueve a v = tLp , se tiene que
(vtp )2
2
(vtp )
(vtp )2 + L2p
v2
Luego tenemos que para 300 m
v2
c2
v2
= L2p − L2p 2
c
2
v
= L2p 2
c
L2p
=
L2
t2 + c2p
= L2p 1 −
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA
v
!
!
= "
v
=
v
=
31
9 × 104 m2
4
9×10 2
0, 56 × 10−12 s2 + 9×10
16 s
9 × 104 m2
(0, 56 × 10−12 s2 + 1 × 10−12 s2 )
3 × 102 m
m
m
=2, 41 × 108 = 0, 8c
−6
1, 24 × 10 s
s
s
Con este mismo procedimiento se obtuvieron el resto de cálculos para la
velocidad.
10. Una partícula tiene una vida promedio de 26 ns cuando está en reposo.
Para que recorra 10 m ¿qué tan rápido debe moverse?
Respuesta
Si el tiempo propio es tp = 26 × 10−9 s y la longitud propia es Lp = 10 m,
tendríamos que
Lp
Lp
Lp
Lp
= vt
= v(γtp )
vtp
=
2
1 − vc2
vtp
=
2
1 − vc2
Elevando ambos lados de la igualdad al cuadrado, se obtiene
L2p 1 −
L2p − L2p
(vtp )2 + L2p
v2 t2p +
v2
c2
v2
c2
v2
c2
L2p
c2
v2
= (vtp )2
= (vtp )2
= L2p
= L2p
=
L2p
L2
t2p + c2p
(1)
Despejando la rapidez de la ecuación (1), tenemos
√
√
100
100
v = 2 100 =
= 0, 789c
100
tp + c2
(26 × 10−9 s)2 +
m 2
8
(3×10 s )
32
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
11. Un observador en Tierra mide que la rapidez de un evento físico es 0, 75c.
La rapidez ux medida en el sistema S′ como indica en la Tabla 6 y determine la velocidad que mide el en el sistema S. Tome v = 0, 75c.
Respuesta
La rapidez ux medida en el sistema S′ es: ux = 0, 95c y v = 0, 75c, así
u′x =
ux − v
0, 95c − 0, 75c
=
= 0, 696c
x
1 − vu
1 − (0,95)(0,75c)
c2
2
c
Se repite este prcedimeinto para completar la siguiente Tabla.
0,25c
-0,61c
ux
u′x
0,5c
-0,40c
0,75c
0
0,95c
0,69c
0,99c
0,93c
12. La rapidez de un evento físico y la del observador en el sistema S ′ es 0, 25c
y se mueven uno hacia el otro. Halle la rapidez que mide el observador en
Tierra. Repita este procedimiento variando la rapidez de u′x y complete la
siguiente Tabla.
u′x
ux
−0, 25c
0
−0, 5c
-0,28c
−0, 75c
-0,6c
−0, 95c
-0,9c
−0, 99c
-0,98c
Respuesta
La rapidez u′x medida en el sistema S es: u′x = −0, 25c y v = 0, 75c, así
ux =
u′x + v
′
x
1 + vu
c2
=
−0, 25c + 0, 25c
1 + (−0,25)(0,75)
c2
=0
Este procedimiento se repitió para completar la anterior Tabla.
13. Un observador en Tierra mide que la rapidez de un nave A es 0, 75c y que
la rapidez de una nave B es como indica en la siguiente Tabla. Determine la
rapidez de como la mide un observador en el sistema S ′ .
Respuesta
La rapidez ux medida en el sistema S′, si: ux = −0, 75c y v = 0, 75c
u′x =
ux − v
−0, 75c − 0, 75c
= −0, 96c
vux =
1 − c2
1 − (−0,75c)(0,75c)
2
c
Se repite este prcedimeinto hasta completar la siguiente Tabla.
u′x
ux
0, 25c
0, 75c
−0, 96c
0, 99c
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA
33
14. Cierta nave se aleja de la Tierra a una velocidad de v = 0, 87c. Un chorro
de material expulsado de la nave hacia la Tierra se mueven con la velocidad
que se muesran en la Tabla 9, relativo a la nave. Encuentre la velocidad del
material expulsado relativo a la Tierra.
Respuesta
La rapidez u′x medida en el sistema S es: u′x = −0, 55c y v = 0, 87c, así
ux =
u′x + v
vu′
1 + c2x
=
−0, 55c + 0, 87c
1 + (−0,55c)(0,87c)
c2
= 0, 614c
Se repite el procedimiento anterior hasta completar la siguiente Tabla
u′x
ux
-0,55c
0,614c
-0,75c
-0,99c
15. Grafique el momento de la partícula como función de vc , de un electrón
que se mueve con una rapidez de v = 0, 50c.
Respuesta
La siguiente gráfica muestra el momento del electrón en función de la rapidez
v.
p [kg m/s]
2.2e-22
2.1e-22
2.0e-22
1.9e-22
1.8e-22
1.7e-22
1.6e-22
1.5e-22
1.4e-22
0.0
p=
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
9,1093897×10−31 (2,99792458×108 )0,5
√
1−( vc )2
0.7
0.8
0.9
1.0
v/c
34
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
15. Calcule el momento de la partícula, la energía total y la energía cinética
de un electrón que se mueve con una rapidez de v = 0, 50 c.
Respuesta.
Procedimiento realizado para completar la siguiente Tabla
p=
9, 109 × 10−31 kg 0, 5 3 × 108 m s−1
m
#
= 15, 76 × 10−23 kg
2
s
1 − (0, 5)
Empleando el hecho de que la energía en reposo es 0, 511 MeV para el electrón, obtenemos que:
E=
mc2
2
1 − vc2
=
0, 511 MeV
2
1 − (0,50c)
c2
= 1, 154 (0, 511 MeV) = 0, 56 MeV
La energía cinética se obtiene sustituyendo la energía en reposo y la energía
total del electrón asi
K = γmo c2 − mo c2 = 0, 56 MeV − 0, 511MeV = 0,049 MeV
Repita el anterior procedimiento y complete la siguiente Tabla
v ms
p kg ms
E [MeV]
K [MeV]
0, 20 c
0, 40 c
0, 50 c
15, 76 × 10−23
0, 56
0,049
0, 80 c
0, 90 c
16. Determine la rapidez de una partícula cuya energía total es el doble, la
tercera, la cuarta, la quinta y la sexta parte de su energía en reposo.
Complete la siguiente Tabla.
ET
2E0
3E0
4E0
0, 96c
5E0
6E0
Respuesta
Si la energía total de la partícula es E =
la partícula es E = mc2 entonces se tiene que:
mc2
2
1− vc2
y la energía en reposo de
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA
35
mc2
= 4mc2
2
1 − vc2
1
= 4
2
1 − vc2
1 = 16 1 −
v2
c2
v2
1 − 16 = −16 2
c
15
v2
=
16
c2
15
v =
c = 0, 96c
16
17. Muestre que la rapidez de un objeto que tiene un momento p y masa m
es:
v=
c
m2 c2
p2
+1
Respuesta
1. Si el momento relativista esta definido como: p =
mv
2
1−( vc )
la rapidez en esta ecuación, obtenemos
p2 1 −
p2 − p2
2
v
c
v
c
= m2 v2
2
= m2 v2
p2
= m2 v2 + p2
v
c
p2
=
m2 +
p2
c2
v2
p2
=
m2 c2 + p2
v2
c2
v2
=
p2 c2
m2 c2 + p2
2
1
2
y despejando
36
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
Sacando raiz cuadrada a ambos lados de la igualdad obtenemos:
1
v2
=
v2
=
v
=
p2 c2
p2
2
m c2 + p2 p12
c2
m2 c2
p2 + 1
c
m2 c2
p2
+1
18. Hallaremos una expresión para la velocidad relativista de una carga eléctrica que se mueve en un circulo de radio R y un ángulo recto con el
−
→
campo magnético B . Respuesta: sea la magnitud de la fuerza magnética
una fuerza central igual a:
F
qvB
v2
= qvB = m
R

mo  v2
= 
2
R
1− v
c2
qB
m0
=
1−
qB
1−
v2
c2
= mo
v2
c2
v2
qB − qB 2
c
v2
v 2
mo
+ qB 2
R
c
=
v2
=
qB 1 −
=
v2
c2
v
R
v
R
v
R
v
mo
R
mo
2
2
= qB
qB
mo 2
+ qB
R
c2
Finalmente, obtenemos la expresión para la velocidad relativista de la carga
eléctrica que se mueve en un campo eléctrico
v=
qBR/mo
1+
qBR
mo c
2
Taller (incluir todos los procedimientos)
1. Considere una nave espacial que viaja a una rapidez de v = 0, 25c, de una
estrella a otra. El observador en reposo en la Tierra mide la distancia entre
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA
37
las estrellas de 1240 m ¿cuál es la longitud medida por el que esta en la
nave espacial? Ahora cambie la longitud que mide el observador en Tierra
como se indica en la siguiente Tabla y repita el procedimiento anterior.
1100
Lp [m]
L [m]
1500
2500
35000
5500
2. Considere una nave espacial que viaja a una rapidez de v = 0, 25c, de una
estrella a otra. El observador en la nave mide la distancia entre las estrellas
de 1240 m ¿cuál es la longitud medida por el observador en reposo en la
Tierra? Ahora cambie la longitud que mide el observador en Tierra como
se indica en la siguiente Tabla y repita el procedimiento anterior.
1100
L [m]
Lp [m]
1500
2500
35000
5500
3. Considere una nave espacial que viaja a una rapidez como se indica en la
siguiente Tabla, de una estrella a otra. El observador en la nave mide la
distancia entre las estrellas de 1240 m ¿cuál es la longitud medida por el
observador en reposo en la Tierra?
v ms
Lp [m]
0, 25c
0, 50c
0, 75c
0, 99c
0, 999c
4. En la Tierra se afirma que tardarán t = 2, 2 años para llegar a la Luna,
a 8 años luz de distancia. Los astronautas no están de acuerdo. Halle el
tiempo medido por los relojes de los astronautas y la distancia que mide
los astronautas. Tome los valores de la velocidad de la nave como se indica
en la siguiente Tabla.
v ms
L [años luz]
tp [años]
0, 25c
0, 5c
0, 75c
0, 85c
0, 9s9c
5. Considere una persona que viaja a una rapidez como se indica en la siguiente Tabla y lanza una pelota hacia adelante relativo a si mismo con una
velocidad de 0, 5c ¿cuál es la velocidad de la pelota según el observador
estacionario?
ux
u′x
0, 25c
0, 75c
0, 99c
6. Un observador en Tierra mide que la rapidez de una nave A es 0, 25c y que
la rapidez de una nave B es como indica en la siguiente Tabla, viajan a la
misma dirección. Determine la rapidez de como la mide un observador en
el sistema S ′ .
38
CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
u′x
ux
0, 25c
0, 5c
0, 75c
0, 99c
7. Determine el factor Gamma (γ) y el momento relativista del protón y
del electrón que se mueve con una rapidez como se indica en la siguiente
Tabla. Grafique γ en función de la rapidez v.
v ms
γ=
0, 25c
0, 5c
0, 75c
0, 99c
1
2
1−( vc )
p-electrón kg ms
p-protón kg ms
8. Dibuje una gráfica que muestre el efecto relativista de la variación de la
masa con la rapidez para un electrón (m = γm0 ). Tome la rapidez con
valores que vayan desde v = 0 hasta v = 0, 99c. Repita el procedimiento
para el protón
9. Calcule la energía en reposo, la energía total y la energía cinética para un
electrón que se mueve con una rapidez v. Complete la siguiente Tabla.
v ms
E0 [eV]
ET [eV]
K [eV]
0,25c
0,5c
0,75c
0,99c
10. Calcule la energía en reposo, la energía total y la energía cinética para un
protón que se mueve con una rapidez v. Complete la siguiente Tabla.
v ms
E0 [eV]
ET [eV]
K [eV]
0,25c
0,5c
0,75c
0,99c
11. Determine la rapidez de la partícula cuya energía reposo es la mitad,
la tercera, la cuarta, la quinta y la sexta parte de su energía en total.
Complete la siguiente Tabla.
E0 [J]
v ms
12. Un protón en un acelerador de alta energía adquiere una energía cinética que se muestra en la siguiente Tabla. Determine el factor gamma, el
momento y la rapidez.
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA
E [eV]
γ=
25
39
50
75
85
95
100
1000
1
2
1−( vc )
p = γmv
v ms
13. Determine el factor gamma y el momento para valores de la rapidez que
se muestran en la siguiente Tabla.
v ms
γ=
0, 25c
0, 5c
0, 75c
0, 85c
0, 95c
0, 99c
0, 999c
1
2
1−( vc )
p = γmv
14. Un cubo tiene un volumen (propio) de 1000 cm3 . Encuentre el volumen
determinado por un observador S ′ que se mueve a una rapidez de 0, 8c
respecto al cubo, en dirección paralela a una de sus caras.
Capítulo 2
Interacción entre la luz y la
materia
Durante siglos los físicos teóricos y experimentales se han preguntado sobre
¿Cuál es la naturaleza de la luz?, ¿Cuál es el origen de la luz visible?, ¿será que
la luz es una mezcla de todos los colores?, ¿será que los objetos le dan color a la
luz?, ¿Cómo nos puede afectar la luz del Sol? ¿Los rayos ultra violeta se calientan?, ¿Los rayos infrarrojo sirven para calentar la materia o son generadores de
calor? etc... Bueno cualquier cantidad de preguntas nos hemos hecho sobre la
luz y la importancia que le damos es porque la luz nos da soluciones a nuestras
necesidades en materia de energía, educación, agricultura o sea, la luz tiene un
papel vital en nuestra vida cotidiana y es una disciplina transversal, imperativa
de la ciencia en el siglo XXI.
A continuación daré una introducción sobre los aportes que los
físicos han realizado sobre la luz desde Newton hasta Albert Einstein
En 1667 Newton determinó a partir de sus experimentos que el haz de luz del Sol
contenía varios colores visibles para el hombre. Descartes en 1963, sento las bases
fuandamentales sobre fenómenos con la luz como son: la reflexión, refracción
y propagación en línea recta. James Clerk Maxwell probó que una partícula
eléctricamente cargada cuando se mueve a velocidades muy altas irradia energía
en forma de ondas electromagnéticas que se propagan en el vacio con una rapidez
constante de 3 × 108 m s−1 . Thomas Young probó que la luz al pasar a través
de una rejilla muy angosta crea un patrón de interferencia muy similar que se
generaban con ondas mecánicas. Philipp Eduard Anton von Lenard comprobó
que la fotocorriente no dependía de la intensidad sino del color del haz de luz.
Max Karl Ernest Ludwig Planck halló la relación entre la energía de un
fotón y la frecuencia de su onda electromagnética asociada. Albert Einstein
supuso que la energía del fotón no estaba distribuida en una onda si no que
estaba concentrada en paquetes discretos de energía o dicho de otra forma estaba
concentrada en cuantos de luz que tiene una longitud de onda y frecuencia
41
42
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Figura 2.1:
determinada y que esta estaba relacionada con los colores. La diferencia de
esta teoría con la de Planck es que Einstein consideró los cuantos de Newton y
consideró que la cuantización es una característica propia de la luz [47].
2.1.
Radiación de cuerpo negro
A continuación mostramos las teorías que relacionan la radiación
del haz de luz con la temperatura y la frecuencia La Figura 2.1 muestra varias curvas de energía en función de la frecuencia, cada curva tiene un
máximo de energía que se desplaza a frecuencias más altas (longitudes de onda
más bajas) conforme mayor es la temperatura del cuerpo y el sistema cuerpo
radiación debería estar en equilibrio. Entonces los físicos Lord Rayleigh y Sir
James Jeans encontraron lo que se conoce como Ley de Rayleigh - Jeans. El
resultado indica que para longitudes de onda corta la emisión de energía se va a
infinito. De ser esto cierto, cualquier cuerpo emitiría una energía infinita. A este
comportamiento se le conoce como la catástrofe ultravioleta (nombre puesto por
Eherenfest).
Wien encontró que para longitudes de onda altas otra vez se producía una
catástrofe y se encontraba una emisión infinita de energía de nuevo. A esta
se la llamó catástrofe infrarroja. Catástrofe ultravioleta e infrarroja frente al
comportamiento real de un cuerpo negro, la Figura 2.2.
Planck interpoló entre las fórmulas de Rayleigh-Jeans y la de Wien y para
comprobarlo metió una constante nueva que tenía que ser universal, la misma
para todos los materiales y para todas las formas del cuerpo negro, la conocida
como constante de Planck y para interpretar esta fórmula que obtuvo tuvo
2.2. LEY DE DESPLAZAMIENTO DE WIEN
43
Figura 2.2:
que admitir que la radiación se comportaba como paquetes de energía cuando
interaccionaba con la materia. Es decir, la materia sólo podía absorber o emitir
radiación en energías que eran el producto de su constante de Planck por la
frecuencia de la radiación, E = hf . Por lo tanto, todo esto abre una nueva
ventana de la física que no hemos explorado del todo, la mecánica cuántica.
A continuación se nombraran experiencias realizadas en clase sobre este tema: En la página http://pabdelrahim.blogspot.com.co/ encontarás proyectos montados en YouTube sobre la medida de la constante de Boltzmann y en los laboratorios virtuales observarás que al aumentar la temperatura
de un objeto, la curva de intensidad en función de la longitud de onda pico se
corre hacia longitudes de onda más cortas.
Como un proyecto en formativa se podría plantear construir un cuerpo negro
usando cajas de diferentes materiales, a la cual se les aplica cierta cantidad de
calor y una vez alcanzado el equilibrio dentro de la caja se procede a abrir
un pequeño orificio que prácticamente no debe interferir significativamente en
el proceso de enfriamiento de la caja, posteriormente procedemos a medir la
temperatura y la frecuencia a la que se encuentran sus paredes internas. Dirán
ustedes pero ¿Cómo medimos esa frecuencia?
2.2.
Ley de desplazamiento de Wien
En los applets anteriores se puedo observar, que la longitud de onda pico de
la radiación de un cuerpo negro depende de la temperatura, Figura 2.2. Además
se puede comprobar que el producto entre la temperatura y la longitud de onda
44
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
pico máximo, en el cual se emite la radiación es una constante
λmáxT = 2, 897756 × 10−3 m K
Esta Ley es usada actualmente para determinar la temperatura de los cuerpos calientes, ya que permite calcular la longitud de onda para la cual la intensidad emitida por intervalo de longitud de onda es máxima. Más especificamente
se usa para realizar temog rafía, que muestra variaciones de temperaturas en
diferentes regiones de la superficie de un objeto, permitiendo detectar el cáncer,
ya que los tejidos cancerosos tienen temperaturas levemente mayor a los sanos
de su alrededor.
Tarea: Consulte sobre las beneficios del uso de la temografía computarizada
(TC).
2.3.
Ley de Stefan-Boltzman
Esta ley establece que la energía total emitida por un cuerpo por unidad de
área y tiempo es directamente proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta.
E = εσT 4 (1)
Donde ε es la emisividad, es una cantidad adimensional de 0 ≺ ε ≺ 1 que
depende de la temperatura y del acabado de la superficie (la siguiente Tabla
registra la tempetratura y la emisividad de varios metales), σ es la constante de
Boltzman σ = 1, 380 × 10−23 J K−1 y T , la temperatura en unidades de Kelvin.
E se mide en unidades de:
W
[E] = 2
m
La energía definida en términos de la potencia (P ) y del área (A) es:
E=
P
A
(2)
Luego igualando las ecuaciones (1) y (2), se obtiene
P = εσAT 4
(3)
En la siguente Tabla registra la temperatura (en Celsius) y la emisividad para
varios materiales.
2.4. EFECTO FOTOELÉCTRICO
Material
Aluminio laminado
Plomo gris oxidado
Oro pulido
Latón brillante
Acero brillante
Bronce pulido
Cobre
Acero oxidado
Aluminio oxidado
Titanio pulido
2.4.
temperatura [0 C]
170
20
130
200
20
50
20
200-600
50-100
200
45
emisividad
0,04
0,26
0,02
0,03
0,18
0,1
0,07
0,85
0,2-0,3
0,4
Efecto fotoeléctrico
El efecto fotoeléctrico está constituido por un circuito abierto que contiene
dos placas paralelas metálicas, la emisora de rubidio (Rb) y la placa colectora,
dentro de un tubo en el cual se ha practicado vacío. Estas placas son conectadas a
un amperímetro y a una batería con un potenciómetro que permite no solo variar
el potencial entre las placas sino su signo. La placa emisora de Rb se conecta al
terminal negativo de la batería y el colector se mantiene a un potencial positivo.
Cuando el tubo se mantiene en la oscuridad no hay corriente en el circuito y el
amperímetro no registra nada. Pero, cuando un haz de luz monocromática de
gran energía incide sobre la placa emisora, el amperímetro detecta una corriente,
lo que indica que hay flujo de carga a través del entre hierro entre las dos placas.
La corriente asociada a este proceso surge de los electrones emitidos que viajan
desde la placa emisora de Rb hacia la placa colectora.
La Figura 2.2 muestra la corriente fotoeléctrica en función del voltaje aplicado, para dos intensidades luminosas dierentes. Observándose que para grandes
valores de voltaje, la corriente alcanza su valor máximo. Además, la corriente
aumenta cuando la intensidad de luz crece, o sea que al aumentar la intensidad de luz se arrancan mas cantidad de electrones, pero sin importar cuanto
aumente la intensidad la rapidez con que llegen los electrones al cátodo será
siempre la misma.
Al cambiar de signo la batería, la placa de Rb se conecta al terminal positivo
de la batería y el colector se mantiene a un potencial negativo, la corriente cae a
un valor muy bajo debido a que si los electrones no tienen una energía cinética
mayor que la energía del fotón incidente estos no podrían llegar al colector.
Cuando el voltaje de la batería es menor o igual a el potencial de parada (V s),
ningún electrón llega al colector y la corriente es cero. El V s es independiente de
la intensidad de la radiación. La energía cinética máxima necesaria para parar
los fotoelectrones se relaciona con el potencial de parada por medio de la relación
[1 -5].
Kmáx = eVs (5)
46
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Donde e = 1, 602 × 10−19 C que corresponde a la carga eléctrica.
Lo que la mecánica clásica no podía explicar del experimento del
efecto fotoeléctrico
1. Los resultados experimentales muestran que para cada tipo de material
existía una frecuencia de corte (fc ) característica tal que por debajo de
esta el efecto fotoeléctrico no ocurre, sin importar la intensidad del haz
luminoso no se podía explicar por qué según la teoría ondulatoria, el efecto
fotoeléctrico debería ocurrir para cualquier frecuencia de la luz sin importar el tipo de material. Ya que se pensaba que entre más intensa la luz, la
rapidez de los fotoelectrones era mayor, osea su energía cinética era mayor.
2. El tiempo de retraso, que consiste en el instante en que la luz empieza a incidir sobre la superficie y la expulsión del fotoelectrón, nunca se ha medido.
Pero para la teoría clásica la energía luminosa se encuentra uniformemente
distribuida sobre el frente de onda y la energía del haz es absorbida por
los electrones acumulando la suficiente energía para escapar.
2.4.1.
Dedución analítica
Einstein determinó experimentalmente que la rapidez con que salen los electrónes del metal dependía del metal usado y de la energía de la luz que incidian
sobre el metal.
Estos resultados experimentales mostraron que la energía cinética de los fotoelectrones (Kmáx ) debería ser igual a la energía del fotón incidente (Eincidente )
menos la energía de la función trabajo (Wext ).
Kmáx = Eincidente − Wext (1)
2.4. EFECTO FOTOELÉCTRICO
47
Donde, Eincidente es la energía del fotón incidente igual a
Eincidente = hf
(2)
El trabajo de extracción (Wext ) que equivale a la energía necesaria para extraer
los electrones del metal, igual a
Wext = hfc (3)
La siguiente Tabla registra el trabajo de extracción para diferentes metales
Metal
Wext [eV]
Na
2,46
Al
4,08
Cu
4,7
Zn
4,31
Ag
4,73
Pt
6,35
Fe
4,5
Pb
4,15
Ca
2,9
La energía cinética máxima Kmáx se define como la energía capáz de frenar
los electrones que de acuerdo a la Ley de la conservación de la energía se tiene
que:
mv2
Kmáx =
= eVs (4)
2
En otras palabras a energía cinética depende de la frecuencia del fotón inciente
y de la frecuencia de extracción,
Kmáx = hf − Wext (5)
Además se determina que la relación lineal entre la energía cinética (K) y la
frecuencia (f ) como se muestra en la siguiente Figura, donde el punto de corte de
esta recta con el eje horizontal corresponde al punto definido como la frecuencia
umbral o frecuencia de corte (fc ).
Kmax (10E(-15))
16
14
12
10
8
6
4
2
-3
-2
-1
-2
1
2
3
4
5
frecuencia [Hz]
-4
-6
Kmáx = 4,1356692 × 10−15 eV sf − 4,73
48
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Figura 2.3:
Wextr
(6)
h
Si tenemos c = λf , tenemos que la longitud de onda de corte es:
fc =
λc
=
c
c
hc
= Wextr =
fc
W
extr
h
λc
=
hc
Wextr
(7)
donde h = 6, 626 × 10−34 J s, es la constante de Planck y c = 3 × 108 m s−1 es la
velocidad de la luz.
Las longitudes de onda mayores a la λc que inciden sobre el metal no originan
la emisión de fotoelectrones [1-3].
Se sugiere revisar los proyectos de clase que se encuentran en la página,
http://pabdelrahim.blogspot.com.co/, diseñados y desarrollados durante un periodo académico por los estudiantes de la Universidad Antonio Nariño y los estudiantes de la Universidad Francisco José de Caldas sobre "Medición Radiación
Solar en Bogotá".
Aplicaciones del efecto fotoeléctrico
1. El detectores de movimeinto.
2. Celdas solares [37]
3. Los alcoholímetros.
2.4. EFECTO FOTOELÉCTRICO
Figura 2.4:
Figura 2.5:
49
50
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Figura 2.6:
4. Los tubos fotomultiplicadores.
5. Los fotoelectrones espectroscopio.
Tarea: Consulte sobre las aplicaciones del efecto fotoeléctrico para cada uno
de las items anteriores.
2.5.
Efecto Compton
El físico Compton Arthur Holly en 1923 estudió el cambio que se producía
en la longitud de onda de los Rayos X tras colisionar con electrones que conforman un metal, la cual se debía a la transferencia de energía desde el fotón al
electrón; este descubrimiento confirmó la naturaleza dual (onda — partícula) de
la radiación electromagnética.
Experimentalmente Compton observó un corrimiento de la longitud de onda
de los rayos X dispersados a un ángulo determinado, mostrando ser absolutamente independiente de la intensidad de la radiación y de la duración de la
exposición y que sólo depende del ángulo de dispersión. Además la expresión del
efecto proviene del análisis de la interacción como si fuera una colisión elástica
y su deducción requiere únicamente la utilización de los principios de conservación de energía y momento, ya que la energía perdida por el fotón es igual a
la ganada por el electrón y la cantidad de movimiento del fotón original es igual
a la cantidad de movimiento del electrón, más la cantidad de movimiento del
nuevo fotón, Figura 2,6.
La ecuación de corrimiento Compton es:
λ − λ0 =
h
(1 − cos θ) (1)
mc
Donde λ0 es la longitud de onda del fotón antes del choque los y λ la longitud
de onda del fotón despues del choque y θ el ángulo de dispersión.
2.5. EFECTO COMPTON
51
Ahora si sustituimos la longitud de onda Compton del electrón, definida
como
h
λc =
me c
6, 626 × 10−34 J s
λc =
(9, 109 × 10−31 kg) (3 × 108 m s−1 )
6, 626 × 10−34
λc =
m
27, 32 × 10−23
1 nm
λc = 2, 4263 × 10−12 m
10−9 m
λc
= 2, 4263 × 10−3 nm
(3)
0
6
Donde la ecuación (3) se definida como la longitud de onda Compton
La siguiente gráfica muestra el corrimiento Compton (∆λ) en función del
ángulo de dispersión (θ).
Landa (m)
4.0e-12
3.0e-12
2.0e-12
1.0e-12
0.0e+0
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
12
Teta en rad
y=2,42631058 × 10−12 − 2,42631058 × 10−12 cos θ
∆λ = (2, 42631058 × 10−12 − 2, 42631058 × 10−12 cos θ) m
2.5.1.
Estudio analítico de la dispersión Compton
A continuación se desarrolla la demostración analítica para obtener la ecuación
de la dispersión Compton
λ − λ0 =
h
(1 − cos θ)
mc
52
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Figura 2.7:
Inicialmente para esta demostración usaremos la Ley de la conservación
del momento y la Ley de la conservación de la energía. Estas leyes serán utilizadas inicialmente para determinar la cantidad de movimento del fotón antes
del choque, osea p2 .
Aplicando la Ley de la conservación del momento, se tiene que el momento
antes de choque es igual al momentum despues del choque (Figura 2.7).
p = p∗ cos θ + pe cos α (1)
0 = p∗ senθ − pe senα
(2)
despejando p2e cos2 α de las ecuaciones (1) y (2). De la ecuación (1) despejamos
pe cos α y elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad, se tiene que
(−pe cos α)2
=
∗
p cos2 θ − p
2
∗
p2e cos2 α = p2 cos2 θ − 2pp∗ cos θ + p2
Hallamos p2e cos2 α de la ecuación (2)
∗
p2 sen2 θ
∗
p2 sen2 θ
∗
p2 sen2 θ
= p2e sen2 α
= p2e (1 − cos2 α)
= p2e − p2e cos2 α
Despejndo p2e cos2 α, obtenemos que
∗
p2e cos2 α = p2e − p2 sen2 θ
(4)
(3)
2.5. EFECTO COMPTON
53
Igualando la ecuación (3) y (4) despejamos p2
∗
∗
p2 cos2 θ − 2pp∗ cos θ + p2
p2
p2
= p2e − p2 sen2 θ
∗
∗
= p2e − p2 sen2 θ − p2 cos2 θ + 2pp∗ cos θ
∗
= p2e − p2 + 2pp∗ cos θ
(5)
2. Cálculo del momento del fotón incidente (p2 ) usando la ley de la conservación de la energía.
Donde:
La energía relativista del electrón antes del choque E = mc2 .
La energía del fotón antes del choqe E = cp.
La energía del fotón dispersado E ∗ = cp∗ .
La energía del electrón dispersado E 2 = mc2
2
+ (pe c)2 .
Usando la ley de la conservación de la energía tenemos:
Eea + Ef a = Eea + Ef∗d
Elevando ambos lados de la iguldad al cuadrado
mc2 + cp =
cp + mc2 − cp∗
2
=
(mc2 )2 + (pe c)2 + cp∗
mc2
2
+ (pe c)2
Factorizando la velocidad de la luz al cuadrado (c2 )
c2 (p + mc − p∗ )2
=
(p + mc − p∗ )2
=
p2 − 2pp∗ + 2mcp + p2 − 2mcp∗ + m2 c2
∗
p2 − 2pp∗ + 2mcp + p2 − 2mcp∗
p2
=
=
=
∗
2
mc2 + (pe c)2
1
2
mc2 + (pe c)2
c2
m2 c2 + p2e
p2e
∗
p2e + 2pp∗ − 2mcp − p2 + 2mcp∗ (6)
Igulando las ecuaciones (5) y (6) obtenemos la ecuación de corrimiento Compton
∗
p2e − p2 + 2pp∗ cos θ
2pp∗ cos θ
∗
= p2e + 2pp∗ − 2mcp − p2 + 2mcp∗
= 2pp∗ − 2mcp + 2mcp∗
1
1
(2pp∗ cos θ) =
(2pp∗ − 2mcp + 2mcp∗ )
2pp∗
2pp∗
mc mc
cos θ = 1 − ∗ +
p
p
mc mc
cos θ − 1 =
− ∗
p
p
54
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
h
Si p = Ec = hf
c y c = λf, luego p = λ , finalmente
cos θ − 1 =
λ0 − λ =
mc
(λ0 − λ)
h
h
(cos θ − 1)
mc
Donde λ0 es antes del choque y λ despues del choque
λ − λ0 =
2.6.
h
(1 − cos θ)
mc
(7)
Ondas electromagnéticas o radiaciones no
ionizantes
Al hacer pasar un haz de luz del Sol a través de un prisma observamos el
espectro de luz visible. Los espectros se pueden contemplar mediante espectroscopios este mide: la longitud de onda, la frecuencia y la intensidad de la
radiación.
El espectro electromagnético se divide en bandas que van desde la radiación
de los rayos gamman y rayos X, pasando por la luz ultravioleta, la luz visible y
los rayos infrarrojos.
La siguiente Tabla registra las bandas, la longitud de onda (λ), la frecuencia
(f ) y la energía para el espectro electromagnético [11, 12].
Bandas
Rayos gamma
Rayos X
Ultravioleta extremo
Ultravioleta cercano
Luz visible
Infrarrojo cercano
Infrarrojo medio
Infrarojo lejano
Microondas
Radio
Radio onda corta
Radio onda media
Radio baja frecuencia
λ [m]
10 × 10−12
10 × 10−9
200 × 10−9
380 × 10−9
780 × 10−9
2, 5 × 10−6
50 × 10−6
1 × 10−3
3 ×10−2
1
180
650
10 × 103
f [Hz]
30 × 1018
30 × 1015
1, 5 × 1015
7, 89 × 1014
384 × 1012
120 × 1012
6 × 1012
300 × 109
1 × 108
30 × 106
1, 7 × 106
650 × 103
30 × 103
Algunos usos de los ecpectros electromagnéticos
Los espectros electromagnéticos nos permiten:
E [J]
20 × 10−15
20 × 10−18
993 × 10−18
523 × 10−21
255 × 10−21
79 × 10−21
4 × 10−21
200 × 10−24
2 × 10−24
19, 8 × 10−28
11, 2 × 10−28
42, 9 × 10−29
19, 8 × 10−30
2.6. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS O RADIACIONES NO IONIZANTES55
1. Obtener información de las propiedades físico - químicas de los materiales.
Identificar de que esta compuesta los satélites como por ejemplo las estrellas cercanas a los 100 megaParsec (1 megaParsec = 3,08 × 1022 m), supernovas... etc., que conforman nuestra galaxia.
Beneficios de los Rayos X
En 1895 Wilhelm Röntgen con una bobina de inducción generaba alta
tensión que envía a través de dos electrodos metálicos a un amplio tubo sellado
al vacío, en el tubo se produce fluorescencia. Tras años investig ando estas
emisiones de luz al igual que sus coleg as quería descubrir sus causas.
Con el laboratorio a oscuras Wilhelm Röntg en observó que los cristales
de Cianuro de Bario que había en su mesa también se iluminaban, acerco al
tubo una placa recubierta del mismo material y observó que se iluminaba.
Después cubrió el tubo con un papel negro y los nuevos rayos lograban
atravesar el reves-timiento de una puerta hasta una distancia de 2m. Sobre la
placa se observaba la sombra del el revestimiento, se podía ver que los rayos
X podía atravesar la madera y el metal en distinta medida. El no encontró
una explicación de este fenómeno.
Hoy se sabe que los electrones son la causa de la radiación. A causa de
la alta tensión de los electrodos de carg a neg ativa se liberan electrones que al
chocar con los ánodos se orig ina los rayos X, que no son otra cosa que
ondas luminosas con mucha energ ía y de long itud de onda muy corta. En el
espectro de la radiación electromag nética no solo hay rayos visibles como los
rayos X, sino también ondas de radio, rayos infrarrojos, rayos UV o rayos
Gamma.
Este espectro de longitudes de ondas es la causa de que la luz y los rayos X
traspasan la materia de forma distinta el cristal es permeable a la luz pero no
a los rayos X, la madera por el contrario frena la luz, pero los rayos X
pueden transpasarla y los huesos frenan más los rayos X que el tejido que lo
rodean.
En 1896 sus coleg as llamaron a estos rayos los rayos Röntgen por su
descubridor y recibió el primer premio Nobel de física.
Muchos científicos de la época aprovecharon este nuevo descubrimiento. Como fueron los médicos que usaron los rayos X para mirar el interior de sus
pacientes.
En sus inicios hacer una radiografía los pacientes podía durar hasta 15
minu-tos inmóviles y el médico también estaba expuesto a los rayos X. Con el
tiempo los médicos y los físicos se dieron cuenta que el uso despreocupado de
estos rayos tenía efectos neg ativos, causando daños en los tejidos y
enfermedades a partir de entonces se usaron carcasas e bajar las dosis.
También usaron chalecos de plomo para protegerse de los efectos de los rayos.
En 1930 y 1940 se desarrollaron los medios de contraste líquidos que se
administraban oralmente o se inyectaban al pacientes y el médico podía
observan la función intestinal. Además de otros beneficios era que se podían
detectar infección y se podía evitar el desarrollo de la enfermedad.
También se desarrolló la radio terapia sobre todo para el desarrollo del cáncer
permitiendo destruir los tumores mediante radiación controlada.
56
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Figura 2.8:
Junto a los métodos de exploración clásicos han ido surgiendo nuevos, el
principal la tomografía computarizada (TC). A través de un cristal seguro el
médico motoriza la prueba obteniéndose una serie de imágenes individuales con
las que se forma una imagen espacial del interior del cuerpo.
Otros campos en el que se utilizan estos rayos X es un aeropuerto para
observar el interior de una maleta o cuando se quiere ver el contenido de un
contenedor de 12 m de largo y la revisión dura 2 min, la atmosfera nos protege
de los rayos X y esta radiación es investigada por satélites artificiales como
por ejemplo el satélite alemán Rosat, este satélite ha detectado innumerables
estrellas y localizado muchas galaxias que emiten rayos X, como por ejemplo el
Sol. En conclusión Wilhelm Röntgen amplio la visión del hombre de su mundo
interior y del exterior [11, 12, 48].
Daños causados por la radiación
No existe actualmete un estudio de este daño, pero sí hay evidencias reales
como lo que ocurrio en el barrio espeleta con la central de 138 KV donde se
comenzaron a generar casos de cánser debido a las ondas electromagnéticas,
aunque no existe una relación directa entre la central y lo que se produce en
el cuerpo. No existen estudios sobre los niveles de radiación que soportaría el
cuerpo humano y tampoco hay un estudio de la persistencia o la reiterancia de
estas ondas electromagnéticas sobre el cuerpo humano.
Los contadores Geiger usados para medir la radiación de muestras radiactivas
tales como Co-60, Sr-90 y Po-210 son las que se muestran en las fotos 2.8 y 2.9,
los talleres de laboratorio se muestran al final del texto.
Tarea: Consulte sobre otros usos y daños del espectro electrmagnético.
2.7. LEY DE BEER -LAMBER BOUGUER
57
Figura 2.9:
2.7.
Ley de Beer -Lamber Bouguer
Ley de Absorción
La espectroscopia de absorción es una de las técnicas instrumentales más
útiles y utilizadas en química analítica. Se basa en estudiar la interacción de la
radiación electromagnética con la materia, midiendo la cantidad de luz absorbida
en función de la longitud de onda utilizada. La cual nos permite identificar las
sustancias químicas y determinar su concentración.
La absorción de radiación UV-visible se basa en las transiciones electrónicas
entre niveles energéticos de los átomos de la muestra.
Los electrones más externos pueden saltar a otro orbital vacío de mayor nivel
energético si se les comunica la energía adecuada. Esto ocurre por la adsorción de
un fotón cuya energía debe coincidir exactamente con la diferencia energética
entre el estado fundamental y el estado excitado, El tiempo de vida de un
átomo excitado por absorción de radiación es breve. La energía radiante que es
absorbida se disipa cuando los electrones vuelven a su órbita fundamental, lo
que se denomina proceso de relajación, que puede ser no radiantes cuando la
energía se disipa en forma de energía cinética o en forma de calor o procesos de
relajación radiantes cuando esta energía se libera en forma de radiación.
Si hacemos un barrido espectral y representamos gráficamente la intensidad
de absorción de radiación en función de la longitud de onda de la radiación es lo
que se denomina la huella dactilar de un compuesto y se denomina así porque
cada espectro de absorción de cada elemento es único, se presentan máximos de
energía picos a longitudes de onda característicos con distinta intensidad, esto
es muy útil para el análisis cualitativo puesto que estudiando la localización
de los máximos de energía en un espectro se pueden identificar y diferenciar
unos elementos de otros y en el análisis cuantitativo puesto que la intensidad de
absorción de cada elemento a su longitud de onda característica va a ser mayor
cuanto mayor sea su concentración.
58
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Hay una dismiución entre la potencia del haz de luz incidente y la potencia
del haz de luz emergente cuando la luz monocromática atravieza una solución
absorbente y la razón entre estas dos potencias se denomina transmitancia.
T =
P
P0
y absorbancia
A = − log T = − log
P
P0
Luego la Ley de Lambert-Beer nos indica que la absorción de radiación
a una longitud de onda determinada va a ser directamente proporcional a la
concentración de la sustancia absorbente y al espesor de la muestra multiplicada
por una constante de proporcionalidad denominada absortividad (ε)
Aλ = ελ bc
Entonces la Ley de Lambert-Beer (o ley de absorción) nos permite hallar la
concentración de una especie química a partir de medir la intensidad de la luz
absorbida.
Una de las limitaciones es que la sustancia a analizar debe ser pura y la luz
incidente debe ser monocromáticas.
2.8.
Espectros ópticos
Cualquier cuerpo caliente emite radiación electromagnética. La distribución
con respecto a la frecuencia, f, de esta radiación se conoce como espectro. Las
evidencias experimentales permitieron establecer la existencia de varios tipos
de espectros, los cuales son: espectros discretos y espectros contínuos que se
definirán a continuación [11, 12, 48].
2.8.1.
Espectros discretos
Empiricamente se comprobó que la radiación emitida (y absorbida) por sustancias formadas por elementos químicos aislados (en forma de gases) tenía un
carácter discreto; esto es, estas sustancias solo emiten (y absorben) radiación
para un conjunto discreto de frecuencias. Para el caso del hidrógeno se comprobó que su espectro está formado por una familia de líneas espectrales cada una
con una determinada longitud de onda. Determinada por la fórmula de Rydberg - Ritz. Éste espectro son de dos tipo: espectros de emisión o espectros de
absorción.
Espectros de emisión
El espectro de emisión ocurre cuando un haz de luz (emitido por una lámpara
de vapor de algún gas) que pasa a través de un prisma y este forma un espectro
2.9. SERIES ESPECTRALES DEL ÁTOMO DE HIRÓGENO
59
que se ve sobre una pantalla. El espectro formado contiene líneas finas poco
intensas, que se destacan frente al negro de fondo. Los colores y posiciones de
las líneas en el espectro son características de los átomos del gas que emiten esa
radiación. O sea, cada elemento químico en el estado gaseoso posee su proprio
espectro de líneas.
La Foto 2.10 y la Foto 2.11 muestran los montajes que se realizan en el
laboratorio de física moderna de la Universidad Antonio Nario para observar
este fenómeno, al final de este texto se muestran los talleres, respectivos.
En la Figura 2.12 muestra la misma prática para realizar espectros pero con
el equipo de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Espectro en absorción
Este espectro se produce cuando se hace pasar un haz de luz blanca a través
de un gas frío, que pasa a través de un prisma generando el espectro de absorción.
Este espectro de luz se constituiye por líneas negras sobre el fondo colorido del
espectro de la luz blanca. La propiedad importante del espectro de líneas de
absorción es que sus líneas aparecen en el mismo lugar que las líneas de emisión:
el gas absorbe las radiaciones que sería capaz de emitir si fuese caliente.
2.8.2.
Espectros continuos
Estos espectros son independiente de la forma y composición particular de
emisión. En este sentido, el cuerpo neg ro es un emisor de espectro continuo
ya que este no depende ni de la forma y de la composición. La luz blanca
posee un espectro continuo porque se pasa de un color al otro sin
interrupción en la sucesión de colores, los colores que forman esta
composición espectral se muestran en la siguiente Tabla.
Color
violeta
azul
ciano
verde
amarillo
naranja
rojo
2.9.
frecuencia [Hz]
660 - 789
631 - 668
606 - 630
526 -606
508 - 526
484 - 508
400 - 484
longitud de onda [nm]
380 - 450
450 - 475
476 - 495
495 - 570
570 - 590
590 - 620
620 -750
Series espectrales del átomo de hidrógeno
Al hacer excitar una gran cantidad de átomos de hidrógeno, cada uno de estos
átomos se excita diferentes niveles supriores por tanto puede ser que algunos
átomos cuyos electrones pasan al nivel n = 2 que corresponderá al primer estado
excitado, otros átomos cuyos electrones pasan a nivel n = 3 que corresponde al
60
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Figura 2.10:
Figura 2.11:
2.9. SERIES ESPECTRALES DEL ÁTOMO DE HIRÓGENO
61
Figura 2.12:
segundo estado excitado y así sucesivamente. Notándose que a medida que nos
alejamos de núcleo (o el valor de n aumenta) la diferencia entre los distintos
niveles energéticos consecutivos siendo cada vez de menor valor.
En el momento en que dejamos de hacer incidir esta radiación electromagnética externa al átomo de hidrógeno, puesta que los estados excitados son
energéticamente inestables van a emitir energía y esto será lo que se registre
en el espectrofotómetro y lo que se llama espectro de emisión. Esta emisión
de energía se puede introducir desde diferentes niveles superiores a diferentes
niveles inferiores obteniendo así varias posibles transiciones energéticas por lo
que cada una de estas transiciones electrónicas constituirá una línea en el espectro de emisión del átomo de hidrógeno. Así cuando se tiene una serie de líneas
definidas de acuerdo al científico que lo hallo.
Tarea: Construir un espectrofotómetro casero, se dibujó el modelo de la
plantilla mostrada en la Figura 2.13 [52].
2.9.1.
Serie de Balmer
En 1885 Johann Jacob Balmer encontró experimentalmente la ecuación (1),
que predecía correctamente las longitudes de onda de cuatro líneas del espectro
de emisión visible del átomo de hidrógeno, que caen en la región del visible como
son: 410 nm (violeta), 434 nm (azul), 486 nm (verde) y 656 nm (rojo).
1
= RH
λ
1
1
−
22 n2
(1)
62
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Figura 2.13:
donde RH es una constante que recibe el nombre de constante de Rydberg y
que tiene un valor de
RH = 1, 09 × 107 m−1
Para gran deleite de Balmer las líneas espectrales medidas concuerdan con su
fórmula empírica hasta 0,1 %.
Las longitudes de onda de estas cuatro líneas se obtienen sustituyendo n =
3, 4, 5, 6...en la ecuación (2), que corresponde al despejar la longitud de onda
de la ecuación (1) y los resultados son los que se muestran en la siguiente Tabla.
λ=
4n2
RH (n2 − 4)
Despejando la longitud de onda en la ecuación (1), se tiene que
λ=
Nombre
Hα
Hβ
Hγ
Hδ
Hε
Hζ
Hη
4n2
(1, 09 × 107 m−1 ) (n2 − 4)
Color
roja
azul-verde
violeta
violeta
ultravioleta
ultravioleta
ultravioleta
ultravioleta
λ [nm]
656,3
486,1
434,1
410,2
397,0
388,9
383,5
364,6
(2)
Transición de n
3−→ 2
4→2
5→2
6→2
7→2
8→2
9→2
∞→2
2.9. SERIES ESPECTRALES DEL ÁTOMO DE HIRÓGENO
2.9.2.
63
Serie Lyman
La serie Lyman se muestra en la siguiente Tabla y se obtiene sustituyendo
los valores de n = 2, 3, 4..... en la ecuación (4).
1
1
= RH 1 − 2
λ
n
(3)
Despejando la longitud de onda en la ecuación (3), obtenemos
λ=
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
∞
2.9.3.
n2
(1, 09 × 107 m−1 ) (n2 − 1)
Serie
Lyman
(4)
Long itud de onda [nm]
121,6
102,5
97,2
94,9
93.7
93
92,6
92.3
92.1
91.9
91.15
Serie Paschen
La serie Paschen se muestra en la siguiente Tabla y se obtiene sustituyendo
los valores de n = 4, 5, 6.... en la ecuación (6).
1
= RH
λ
1
1
−
32 n2
(5)
Despejando la longitud de onda en la ecuación (5), obtenemos
λ=
9n2
(1, 09 × 107 m−1 ) (n2 − 9)
(6)
64
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
n
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
∞
2.9.4.
Serie
Paschen
Long itud de onda [nm]
1875,1
1281,8
1093,8
1004,9
954,6
922,9
901,5
886,3
875,0
866,5
820,4
Serie Brackett
La serie Brackett se muestra en la siguiente Tabla y se obtiene sustituyendo
los valores de n = 5, 6, 7, .... en la ecuación (8).
1
= RH
λ
1
1
−
42 n2
(7)
Despejando la longitud de onda en la ecuación (7), obtenemos
λ=
n
5
6
7
8
2.9.5.
16n2
(1, 09 × 107 m−1 ) (n2 − 16)
Serie
Brackett
(8)
Long itud de onda [nm]
4030,55
2611,8
2154,5
1934,66
Serien Pfund
Las longitudes de onda correspondientes a la franja ultravioleta del átomo
de hidrógeno se obtienen con la serie Pfund sustituyendo n = 6, 7, 8... en la
ecuación (10).
1
= RH
λ
1
1
−
52 n2
(9)
Despejando la longitud de onda en la ecuación (9), obtenemos
λ=
25n2
(1, 09 × 107 m−1 ) (n2 − 25)
(10)
2.10. EL PRECURSOR DE LA M.C NIELS BOHR
n
6
7
8
9
10
∞
2.10.
Serie
Pfund
65
Long itud de onda [nm]
7476
4664
3749
3304
3046
2279
El precursor de la M.C Niels Bohr
El modelo atómico de Rutherford presentaba un problema, de acuerdo con
las leyes del electromagnetismo los electrones alrededor del núcleo deberían emitir energía constantemente y en consecuencia precipitarse contra el núcleo si
fuera así los átomos no existiría, pero considerando que tenemos un mundo
comparativamente estable el modelo de Rutherford debería ser falso.
Un modelo acertado debería no solamente ser capaz explicar la evidente
estabilidad de los átomos también debería escribir como emiten luz los átomos,
por tanto debería también esclarecer por ejemplo como tenía lugar las líneas del
espectro de hidrógeno.
Niels Bohr adoptó la idea del átomo que parecía un sistema planetario en
miniatura que en el lugar del Sol un núcleo pesado positivo y un electrón en
órbita a su alrededor como si fuera un planeta. Pero como así un planeta es
atraído hacia el Sol por la fuerza de la gravedad el electrón queda atraído hacia
el núcleo por la fuerza de la electricidad, es decir que a pesar de las diferencias
entre los dos ambas tenía la forma de la misma fuerza básica (el inverso del
radio al cuadrado) y ambos tendrían los mismos tipos de orbitas. Segundo, Bohr
clasifico las orbitas de electrones según su energía, una orbita mayor significaba
más energía, una orbita menor significaba menor energía cuando un electrón
cae de una órbita exterior a una interior, pierde energía que desprende en forma
de fotón que se plasma en el espectro del átomo de hidrógeno, y únicamente
se permite que los electrones se ubiquen en las orbitas más cercanas al núcleo
donde por tanto no emiten energía.
En los años 1915 y 1916 el físico Arnold Johannes Wilhelm Sommerfield
amplio el modelo de Bohr cambiando las orbitas de los electrones como elípticas, el conocimiento adquirido sobre la estructura del átomo permitió entender
la base física de los sistemas periódicos de los elementos químicos a partir del
hidrógeno se podía inferir el resto de elementos químicos completando con electrones las capas de la serie, la tabla periódica de los elementos se explicaba con
la ordenación de los electrones.
En el tiempo de la segunda guerra mundial la física nuclear comenzó a perder
la inocencia, fue Bohr defensor de las fuerzas angloamericanas que tomó la
delantera en la construcción del arma más terrorífica de todos los tiempos, la
bomba nuclear. Los físicos pasaron del átomo a ser físicos nucleares
66
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
En 1954 en Ginebra se firmó La CERN (La Organización Europea para la Investigación Nuclear) en ella se reúnen 13 naciones para estudiar conjuntamente
los misterios de la materia, identificando que el núcleo del átomo está compuesto
de partículas de protones y neutrones, ahora todos los esfuerzos se concentraron
en hallar partículas más pequeñas. En aceleradores nucleares enormes partículas cargadas eléctricamente electrones, protones o pequeños núcleos atómicos
que se aceleran a grandes velocidades, alcanzando casi la velocidad de la luz,
imanes gigantes que mantiene las partículas en su órbita, unas instalaciones
especiales detectan las radiaciones emitidas, al chocar con otras partículas permiten extraer información sobre su estructura. Y bueno al tiempo se estudian
otras propiedades de la materia como la superconductividad que es la capacidad
intrínseca que poseen ciertos materiales para conducir corriente eléctrica sin resistencia ni pérdida de energía en determinadas condiciones. Fue descubierto por
el físico Heike Kamerlingh Onnes el 8 de abril de 1911 en Leiden y actualmente
se estudian otras propiedades interesantes de los materiales [31 − 33].
2.11.
Los cuatro postulados del átomo de Bohr
Los cuatro postulados son [1 − 3, 31 − 33]:
1. Un electrón en un átomo de hidrógeno se mueve en una órbita circular
alrededor del núcleo bajo la influencia de la atracción coulombiana entre
el electrón y el núcleo del átomo, obedeciendo las leyes del la mecánica
y de la electricidad, donde la fuerza de Coulomb es ig ual a masa por la
aceleración centrípeta.
ke2
me v2
=
(1)
2
r
r
en la expresión anterior podemos obtener el radio, así
r=
ke2
me v2
(2)
2. En vez de las infinitas órbitas, con cualquier valor de radio, que son permitidas por la física clásica, los electrones pueden tomar únicamente aquellas
órbitas en las que el módulo del momento angular orbital es un múltiplo
h
= ℏ . Este electrón en una de estas orbitas no emite raentero de la ℏ 2π
diación electromag nética. Estas órbitas corresponden por tanto a estados
estacionarios, es decir, estados en los que la energía del átomo es constante
en el tiempo.
L = me vr = nℏ (3)
3. La energía, E, del electrón en una orbita estacionaria (y, en consecuencia
en un estado estacionario) será la suma de la energía cinética, K, más la
energía potencial eléctrica, eV , debido al efecto de carga positiva, de modo
que
1 e2
me v2
−
(4)
E=
2
4πǫ0 r
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
67
4. Si un electrón que inicialmente se mueve en una órbita de energía Ei y
transita hacia una órbita de menor energía Ef se emite radiación electromagnética (un fotón) de frecuencia. Ei − Ef = hf (5) donde Ei ≫ Ef .
Si despejamos la v2 de la ecuación (1) y la sustituimos en la ecuación (4),
obtenemos la energía total del átomo de hidrógeno
E
E
1 e2
1 e2
−
(5)
4πǫ0 me r
4πǫ0 r
1 e2
(6)
= −
4πǫ0 2r
=
me
2
Ahora si despejamos la velocidad de la ecuación (3) y la sustituimos en
(2), obtenemos la ecuación (7), así
v
=
r
=
nℏ
me r
ke2
me
r
=
nℏ
me r
2
ke2 me r 2
me nℏ
Obtenemos una expresión para el radio de las orbitas permitidas
r=
ℏ2
n2
kme e2
(7)
Donde el radio atomico de Bohr es:
ao =
ℏ2
= 0, 0529 nm
kme e2
(8)
Sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (7) obtenemos las orbitas
permitidas del átomo de hidrógeno
r = n2 a0
(9)
Deducción para obtener el valor del radio atómico de Bohr
Si tenemos en cuenta las constantes:
1. La constante de Planck ℏ = 1, 05 × 10−34 J s
2. La constante de Coulomb en el sistema S.I. k = 9 × 10−9 N m−2 C−2
3. La masa del electrón me = 9, 109 × 10−31 kg y la carga del electrón
e = 1,60 × 10−19 C.
68
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Y sustituyendo estos valores en la ecuación (8), obtenemos
a0
=
a0
=
a0
a0
ℏ2
kme e2
(1, 05 × 10−34 J s)2
(9 × 10−9 N m−2 C )(9, 109 × 10−31 kg)(1, 60 × 10−19 C)2
1, 113 × 10−68
1 nm
=
m = 5, 3 × 10−11 m
209, 89 × 10−60
1 × 10−9 m
= 0, 0529 nm
(10)
−2
De acuerdo al número cuántico principal, el cálculo de las distancias a las cuales
se halla cada una de las órbitas permitidas hasta n = 4, son:
r = n2 a0
a0
4a0
9a0
16a0
n
1
2
3
4
r Å
0,53
2,12
4,76
8,46
Deducción para obtener la energía total del atómico de Bohr Para
obtener la energía total del átomo de hidrógeno se sustituye la ecuación (9) en
la ecuación (6) para obtener la ecuación (11), donde n = 1, 2, 3, ........ es decir
En = −
1 e2
4πǫ0 2a0
1
n2
(11)
La expresión (11) puede reescribirse como la ecuación (12), donde
En = −
E0
n2
(12)
Donde
E0 =
1 e2
4πǫ0 2a0
que corresponde a la energía total en el estado base, o sea para n = 1.
El valor de la energía de un átomo de hidrógeno en el estado base utilizando
la ecuación (11) para n = 1.
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
E
E
E
E
E
= −
69
ke2
2a0
9 × 109 N m2 C−2 1, 60 × 10−19 C
2 (0, 0529 × 10−9 m)
23, 04 × 10−29
= −
J
0, 1058 × 10−9
1 eV
= −217, 76 × 10−20 J
1, 60 × 10−19 J
= −13, 606 eV
2
= −
La energía para el n-ésimo nivel, sería igual a:
13, 606 eV
n = 1, 2, 3, 4, 5.... (13)
n2
El nivel de energía más bajo permitido, denominado estado fundamental,
con n = 1 y su energía E1 = −13, 606 eV .
El nivel de energía del primer estado excitado, con n = 2 y su energía:
E2 = − E41 = −3, 401 eV.
El nivel de energía del segundo estado excitado, con n = 3 y su energía:
E3 = − E91 = −1, 51 eV.
El nivel mas alto corresponde a n = ∞ y E = 0, representa el estado para
la cual el electrón se separa del átomo.
En = −
n-ésimo nivel
1
2
3
4
5
En [eV]
−13, 606
− 13,606
4
− 13,606
9
− 13,606
16
En [eV]
−13, 606
−3, 401
−1, 51
−0, 85
∞
− 13,606
∞
13, 606
Los posibles estados de energía con n ≻ 1 se conocen como estados excitados.
El hecho de que la energía de los distintos estados sea negativa debe entenderse en el sentido de que hay que proporcionar energía para sacar el electrón
de esos estados, esto es, el electrón esta ligado al átomo de hidrógeno por esa
cantidad de energía. En este sentido, podemos decir que la energía de ionización
del átomo de hidrógeno es de 13, 606 eV; es decir, hay que dar al menos esa
energía al átomo de hidrógeno en su estado fundamental para poder extraerle
el electrón.
La siguiente gráfica muestra la energía total (E) en función de la distancia
(r).
70
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
ET [J]
2.0e-28
1.0e-28
0.0e+0
1
2
3
4
5
r [m]
-1.0e-28
-2.0e-28
-3.0e-28
9
−19 2
ET = − 9×10 (1,602×10
2r
)
Las siguientes gráficas muestran la energía total (E) en función de la distancia (n) en 2D y 3D
E [eV]
2
1
2
3
4
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
En = − 13,606
[eV]
n2
5
6
7
n
8
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
5
0
0 0
3
2
1
1
4
y
2
-20
71
3
4
5
x
z -40
-60
-80
En = − 13,606
n2
La siguiente Figura muestra el radio en metros en función del número cuántico principal n, en 3D.
1.2e-9
1.0e-9
8.0e-10
z 6.0e-10
4.0e-10
2.0e-10
4
2
4
-2
0.0e+0
0 0
2
x
-2
y
−34
-4
-4
2
(1,054×10
J s)
2
r = (9×109 N m2 C−2 )(9,109×10
−31 kg)(1,602×10−19 C)2 n
2.11.1.
Átomos de hidrogenoides (o de ión hidrogenoide)
Los átomos hidrogenoides pueden ser considerados como sistemas formados
por dos partículas puntuales que interaccionan a través de la atracción coulómbica entre sus cargas: el núcleo de masa M, carga (e) y el electrón de masa m,
72
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
carga (-e), diferentes al átomo de hidrógeno. Así el cálculo del radio y energía
para un átomo hidrogenoide cuyo número atómico es Z,es:
r=
a0 2
n
Z
n = 1, 2, 3, ...
Y la energía es:
E = (−13, 6 eV)
2.11.2.
Z2
n2
n = 1, 2, 3, ...
Fórmula de Balmer generalizada
Realizaremos un procedimiento analítico para obtener la fórmula generalizada de la serie de Balmer. Para esta demostración hacemos uso de los
cuarto postulado de Bohr, así:
hc
Ei − Ef =
(1)
λ
Como la energía total del átomo de Bohr es
E=−
ke2
2a0
1
n2
(2)
n = 1, 2, 3, ..
Se tiene que al sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1) se obtiene la ecuación
(3)
ke2
1
ke2
1
Ei − Ef = −
+
(3)
2
2a0
ni
2a0
n2f
2
ke
, para obtener
Factorizamos 2a
0
Ei − Ef =
ke2
2a0
1
1
− 2
2
nf
ni
(4)
Como Ei − Ef es igual a hf = hc
λ , obtenemos
ke2
2a0
1
1
− 2
2
nf
ni
=
hc
λ
Luego el inverso de la longitud de onda sería igual a
1
ke2
=
λ
2hca0
1
1
− 2
n2f
ni
1
= RH
λ
1
1
− 2
n2f
ni
(5)
O lo que es lo mismo
(6)
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
73
Donde
ke2
2a0 hc
Que al Sustituir el valor de las constantes, obtenemos la constante de Rydberg
que Balmer ya había obtenido experimentalmente.
RH =
RH
RH
9 × 109 N m2 C−2 (1, 6021 × 10−19 C)2
2(0, 5291 × 10−10 m) (6, 626 × 10−34 J s)(3 × 108 m s−1 )
= 1, 097 × 107 m−1
=
Por lo tanto, la ecuación (6) coincide plenamente con la fórmula empírica de
Rydberg -Ritz. Si admitimos que esta sorpredente y total coincidencia no es una
mera casualidad debemos entonces admitir que el modelo de Bohr proporciona
un marco teórico consistente para entender el espectro del átomo de hidrógeno.
Podemos afirmar entonces que el espectro discreto del Hidrógeno es fruto de la cuantización de los estados energéticos de este átomo y de la naturaleza fotónica
de la radiación.
Lo que el modelo atómico de Bohr no pudo explicar
No pudo explicar átomos con más de un electrón.
No pudo explicar el valor de la energía de ionización ni el espectro discreto
del átomo de Helio.
No tuvo en cuenta algunas propiedades de las partículas cuánticas como por
ejemplo el comportamiento ondatorio del electrón.
Tarea:
Elabore y desarrolle un laboratorio con el applet que aparece en
la referencia [8] titulado: radiacin de cuerpo negro.
Desarrolle el laboratorio virtual que aparece en la pgina web
(http://pabdelrahim.blogspot.com.co/) titulado: Radiacin del cuerpo Negro_Segundo laboratorio.
Desarrollar el laboratorio que se encuentra al final del texto titulado Ley de Stefan-Boltzman.
Desarrolle el laboratorio virtual que aparece en la pgina web
(http://pabdelrahim.blogspot.com.co/) titulado Efecto fotoelctrico_Tercer
Laboratorio.
Desarrollar los laboratorios que se encuentra al final del texto como: Aplicación del efecto fotoeléctrico, Laboratorio efecto fotoeléctrico y Laboratorio luz materia
74
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Desarrolle el laboratorio virtual que aparece en la página web
(http://pabdelrahim.blogspot.com.co/) titulado Efecto Compton
Desarrolle el laboratorio virtual que aparece en la página web
(http://pabdelrahim.blogspot.com.co/) titulado: Modelo atómico de
Bohr_Cuarto Laboratorio
Diseñe, elabore y desarrolle una práctica de laboratorio para el
applet que se muestra en la referencia [50].
Desarrolle el laboratorio virtual que aparece en la página web
(http://pabdelrahim.blogspot.com.co/) titulado Espectros ópticos_Qinto
Laboratorio.
Desarrolle los laboratorios que se encuentran al final el texto tit-ulados
como: espectros, E spectrómetro de difracción, Espectrómetros
y espectroscopio.
Desarrolle el laboratorio virtual que aparece mi página web titulado
Modelos del átomo de Hidrógeno_Sexto Laboratorio. Ejercicios
Ejercicios
1. ¿Qué inconvenientes presenta el modelo atómico de Rutherford?
Respuesta
Según la teoría electromagnética, cuando una partícula cargada eléctricamente se mueve, tiene que emitir energía radiante en forma de ondas. Por lo
tanto, el electrón, al irradiar energía, la perdería e iría disminuyendo su velocidad, con lo que describiría órbitas cada vez más pequeñas hasta quedar pegado
al núcleo.
Por otra parte, la discontinuidad de los espectros hacía pensar que la energía se emitía solo en determinadas longitudes de onda, cada una de las cuales
producía una línea en ellos.
2. Calcule la longitud de onda y la temperatura para cada uno de los colores
que se indican en la siguiente Tabla.
color
roja
verde
azul
violeta
λ [nm]
656,3
486,1
434,1
410,2
T [K]
4388
5925
6634
7021
Respuesta:
De acuerdo a la Ley de desplazamiento de Wien
λmáx T = 0, 288 × 10−2 m K
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
75
Despejando la temperatura T en la anterior ecuación
T =
0, 288 × 10−2 m K
= 4388 K
656, 3 × 10−9 m
Lo que se quiere mostrar es el comportamiento inverso de λmáx y T . Los
calculos se repiten hasta obtener la Tabla anterior.
3. Calcule la energía del fotón y la rapidez de cada una de los colores que se
indican en la siguiente Tabla
Color
violeta
azul
verde
amarillo
naranja
rojo
λ [nm]
403
436
546
578
593
651
f [Hz]
7, 44 × 1014
6, 88 × 1014
5, 49 × 1014
5, 19 × 1014
5, 05 × 1014
4, 60 × 1014
E [J]
0, 049 × 10−17
E [eV]
4,9
4,5
3,6
3,4
3,3
3.0
c ms
3 × 108
3 × 108
3 × 108
3 × 108
3 × 108
3 × 108
Respuesta
Para hallar la energía del fotón en unidades Julio o joule, unidad de trabajo
en el SI
E
E
E
E
6, 626 × 10−34 J s (3 × 108 m s−1 )
403 × 10−9 m
19, 86 × 10−26 Jm
=
403 × 10−9 m
19, 86 × 10−26 Jm
=
403 × 10−9 m
= 0, 049 × 10−17 J
=
Convirtiendo la energía de joule a eV
E
= 0, 049 × 10−17 J
E
= 3, 081 eV
1eV
1, 602 × 10−19 J
1nm
10−9 m
La rapidez para λ = 403 × 10−9 m, es
c = λf
c =
403 × 10−9 m
7, 44 × 1014
1
s
c = 2,99792458 × 108 m s−1
La anterior Tabla se completa repitiendo los anteriores procedimientos.
76
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Figura 2.14:
4. En el experimento virtual titulado efecto fotoeléctrico que se encuentra en
la pagina: http://pabdelrahim.blogspot.com.co/, se obtuvo la gráfica de
energía cinética en función de la frecuencia para cinco metales como son:
Na, Ca Zn, Cu y Pt a partir de estas graficas calcule el valor de el trabajo
de extracción, la longitud de onda de corte y la frecuencia de corte.
Respuesta Usamos Excel para realizar el ajuste lineal de cada una de las
rectas de la Figura 2.14 y el punto de corte con el eje y corresponde a el trabajo
de extracción
Metal
eV nm
λc = 1242
Wextr
Wextr [eV]
Na
Ca
Zn
Cu
Pt
504,87
428,27
288,16
264,25
195,59
2,46
2,9
4,31
4,70
6,35
La logitud de onda de corte se define como:
λc =
hc
Wextr
Color
fc s−1
15
0, 59 × 10
verde
violeta
UV
UV
UV
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
77
Para el sodio (Na) se tiene que la longitud de onda de corte es
λc
λc
λc
(6, 626 × 10−34 J s)(3 × 108 m s−1 )
2, 46 (1, 602 × 10−19 ) J
19, 878 × 10−26 Jm
=
3, 94 × 10−19 J
= 5, 045 × 10−7 m
=
O lo que es lo mismo
λc =
1242 eV nm
= 504, 87 nm
2, 46eV
Para determinar la frecuencia del fotón incidente usando la longitud de onda de
corte
c
fc =
λc
fc
fc
3 × 108 m s−1
5, 045 × 10−7 m
= 0, 59 × 1015 s−1
=
5. La máxima longitud de onda con la que se produce el efecto fotoeléctrico
en un metal es de 710 nm. Determine el trabajo de extracción para este
metal y la energía cinética máxima de los electrones emitidos cuando se
ilumina con un haz de luz que tiene longitudes de onda como se indican
en la siguiente Tabla. Grafique la energía cinética (Kmax ) en función de
la frecuencia (f).
λ [nm]
720
700
600
500
400
Kmax [eV]
−0, 02
0, 03
0, 33
0, 74
1, 36
Vs [V]
−0, 02
0,03
0,33
0,74
1,36
El trabajo de extracción es:
Wext
Wext
1242 eV nm
710 nm
= 1, 75 eV
=
78
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Luego, la energía cinética para cada una de las longitudes de onda que se
indican en la tabla anterior son:
1242 eV nm
− 1, 75 eV = 1, 72eV − 1, 75 eV = −0, 03 eV
Kmáx =
720 nm
1242 eV nm
Kmáx =
− 1, 75 eV = 1, 77eV − 1, 75 eV = 0, 02 eV
700 nm
1242 eV nm
Kmáx =
− 1, 75 eV = 2, 07 − 1, 75 eV = 0, 32 eV
600 nm
1242 eV nm
− 1, 75 eV = 2, 48 − 1, 75 eV = 0, 73 eV
Kmáx =
500 nm
1242 eV nm
Kmáx =
− 1, 75 eV = 3, 10 − 1, 75 eV = 1, 35 eV
400 nm
Luego no ocurre el efecto fotoeléctrico para valores menores a 1, 75 eV o para
valores mayores a λ = 710 nm.
El potencial de frenado para λ = 720 nm es:
Vs = −
0, 02 1, 602 × 10−19 C V
= −0, 03 V
1, 602 × 10−19 C
6. Una luz de 400 nm incide sobre cada uno de los metales que se muestran en la siguiente Tabla. Determine la energía cinética máxima para los
fotoelectrones e indique cual de ellos no exhibe efecto fotoeléctrico.
Metal
potasio (K)
sodio (Na)
calcio (Ca)
litio (Li)
mercurio (Hg)
Ef otón
3,1
3,1
3,1
3,1
3,1
Wext [eV]
2,3
2,75
2,9
3
4,5
Kmax [eV]
0,80
0,35
0,20
0,10
-1,4
λc [nm]
540,16
451,77
428,40
414,12
276,08
Respuesta
Para hallar la energía cinética del potasio usamos la ecuación de Einstein
Kmáx = Eincidente − Wext
Sustituyendo los valores de las constantes, tenemos
Kmáx
=
Kmáx
=
Kmáx
=
Kmáx
=
Kmáx
=
6, 626 × 10−34 J s (3 × 108 m s−1 )
− 2, 3 eV
400 × 10−9 m
19, 86 × 10−26 Jm
− 2, 3 eV
400 × 10−9 m
12, 42 × 10−26 Jm
1eV
1nm
400 × 10−9 m
1, 602 × 10−19 J
10−9 m
1242 eV nm
− 2, 3 eV = 3, 1 eV − 2, 3 eV
403 nm
0, 8 eV
− 2, 3 eV
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
79
Esta es otra manera de calcular la energía cinética
Kmáx
Kmáx
1242 eV nm
− 2, 3 eV
400 nm
= 3, 1 eV − 2, 3 eV = 0, 8 eV
=
La longitud de onda de corte del potacio
λc
=
λc
=
λc
=
λc
=
hc
Wext
6, 626 × 10−34 J s (3 × 108 m s−1 )
(2, 3) (1, 60 × 10−19 V)
19, 878 × 10−26
m
2, 3 (1, 60 × 10−19 )
19, 878 × 10−26
m = 540, 16 nm
3, 68 × 10−19
No exhibe efecto fotoeléctrico el Mercurio. La tarea es calcular la rapidez
con que salen los fotones del metal.
5. Rayos X de 0,2 nm de longitud de onda son dispersados en un bloque de
carbono. Determine el corrimiento Compton (∆λ), para cada θ.
θ [grados]
150
300
450
600
750
Respuesta:
Usando la ecuación
∆λ =
∆λ [nm]
8, 28 × 10−5
3, 25 × 10−4
7, 11 × 10−4
1, 21 × 10−3
1, 80 × 10−3
h
(1 − cos θ)
mc
Obtenemos la radiación dispersada
6, 626 × 10−34 J s
(1 − cos 150 )
(9, 109 × 10−31 kg) (3 × 108 m s−1 )
∆λ = 0, 00243 nm (1 − cos 150 )
∆λ = 8, 28 × 10−5 nm
∆λ =
7. La siguiente Tabla se muestra los resultados que se realizaron en el experimento del efecto fotoeléctrico usando los equipos de la UAN que se
muestra en la Figura 2.15.
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Figura 2.15:
Potencial de frenado [V]
80
Potencial de frenado vs frecuencia
1,4 V=(0,31f - 0,95)V
1,2
1,0
0,8
0,6 f
c
0,4
4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5
14
Frecuencia X 10 [Hz]
Figura 2.16:
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
Color
violeta
azul
verde
amarillo
naranja
rojo
longitud de onda
[nm]
403
436
546
578
593
651
frecuencia
[Hz]
7, 44 × 1014
6, 88 × 1014
5, 49 × 1014
5, 19 × 1014
5, 05 × 1014
4, 60 × 1014
81
potencial de parada
[V]
1, 481
1, 170
0, 920
0, 723
0, 655
0, 514
Los datos obtenidos de la frecuencia se obtuvieron usando la ecuación, f = λc
3 × 108 m s−1
= 7, 44 × 1014 Hz
403 × 10−9 m
La pendiente de la recta que se obtuvo realizando el ajuste lineal en Origin.
V
(1, 6 × 10−19 J) = 5, 046 × 10−34 J s,
La Figura 2,16 que es: 3, 154 × 10−15 Hz
calculamos el error porcentual
$
$
$ 6, 626 × 10−34 J s − 5,046 × 10−34 Js $
$ 100 %
$
e% = $
$
6, 626 × 10−34 J s
e % = 23 %
f=
Al extender la recta del ajuste de la Figura 2.16 observamos que esta corta
con el eje horizontal marcando como f ≈ 4, 2 Hz que corresponde a la frecuencia
de corte o umbral, este valor nos permite determinar: la longitud onda de corte
y el trabajo de extracción Wext .
λc
Wext
Wext
3 × 108 m s−1
c
=
= 0, 73 × 10−6 m = 735 nm
fc
4, 1 × 1014 s−1
= hfc = 6, 626 × 10−34 J s 0, 73 × 1014 s−1
1 eV
= 4,85 × 10−20 J
= 3, 03 eV
1, 6 × 10−19 J
=
Que si la comparamos con la siguente Tabla del ejercicio 4, podemos concluir
que el metal usado en el experimento fue calcio.
8. Tome los valores delos ángulos de dispersión (θ) que se indican en la siguiente
Tabla y halle las ecuaciones de la longitud de onda del fotón después del
choque en función de la longitud de onda del fotón antes del choque y
su correspondiente energía.
θ [rad]
λ = (λc + λ0 ) [nm]
E = λ1242
[eV]
c +λ0
π
4, 846 × 10−3 + λ0
1242
4,846×10−3 +λ0
π
4
3π
4
6π
4
82
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Donde para θ = π rad, la longitud de onda del fotón dispersado es:
λ =
λ =
2 2, 4263 × 10−3 + λ0 nm
4, 846 × 10−3 + λ0
nm
Y la energía del fotón dispersado es
E=
1242
eV
4, 846 × 10−3 + λ0
Ahora con θ = π4 rad la longitud de onda despues de choque es:
λ − λ0
= 2, 4263 × 10−3 nm
λ − λ0
= 0, 292 2, 4263 × 10−3 nm
1 − cos
π
4
0, 708 × 10−3 + λ0 nm
λ =
Por lo tanto la energía del fotón sería igual a:
1242
eV
0, 708 × 10−3 + λ0
E=
Con θ = 3π
4 rad la longitud de onda después de choque es:
λ − λ0
= 2, 4263 × 10−3 nm
λ − λ0
= 1, 7 2, 4263 × 10−3 nm
1 − cos
Donde
λ = 4, 12 × 10−3 + λ0 nm
Por lo tanto la energía del fotón sería:
1242
eV
4, 12 × 10−3 + λ0
E=
Con θ = 6π
4 rad se tiene que:
Donde:
h
mc
1 − cos
6π
4
λ − λ0
=
λ − λ0
= 2, 4263 × 10−3 nm
λ = 2, 4263 × 10−3 + λ0 nm
Por lo tanto la energía del fotón sería:
E=
1242
eV
2, 4263 × 10−3 + λ0
3π
4
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
83
La siguiente gráfica se muestra la energía en función de la longitud de onda del
fotón dispersado, que entre mayor es la longitud de onda del fotón incidente
menor es la energía del fotón dispersado para cualquier valor de θ. Además
cambios entre curvas no es notorio.
Las ecuaciones son respectivamente:
1,242
eV,
E = 4,846×10
−3 +λ
0
1,242
eV,
E = 0,708×10
−3 +λ
0
1,242
E = 4,12×10
−3 +λ eV y
0
1242
eV.
E = 2,4263×10
−3 +λ
0
E(eV)
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1,242
1,242
1,242
E = 0,004846+λ
eV, E = 0,000708+λ
eV, E = 0,00412+λ
eV.
0
0
0
9. Calcule la longitud de onda más larga en la serie de Paschen
Respuesta
10
landa (nm)
84
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Para determar la λ mas larga de la serie de Paschen se determina tomando
ni = 4 y ni = 3, así
1
λ
1
λ
1
λ
1
λ
λ
= RH
= RH
1
1
−
32 42
1
1
7
−
=
RH
9 16
144
7
(1, 097 × 107 m−1 )
144
7, 679
=
× 107 m−1
144
= 18, 76 × 10−7 m = 1876 nm
=
Y la energía del fotón sería igual a
E
E
6, 626 × 10−34 J s 3 × 108 m s−1
hc
19, 878 × 10−26
=
=
J
−7
λ
18, 76 × 10 m
18, 76 × 10−7
1 eV
= 1, 059 × 10−19 J
= 1, 059 eV
1,602 × 10−19 J
=
9. Emplee la ecuación
ℏ2 2
n
mke2
Para calcular el radio de la primera, segunda y tercera órbita de Bohr para
el átomo de hidrégeno.
rn =
Respuesta:
Primero sustituimos los valores de las siguientes constantes:
ℏ = 1, 0545 × 10−34 J s.
me = 9, 109 × 10−31 kg.
e = 1, 60 × 10−19 C y
k = 9 × 109 N m2 C−2
rn
=
rn
Para n
Para n
Para n
=
=
=
=
(1, 055 × 10−34 J s)2
(9, 11 × 10−31 kg) 9 × 109 NCm2
(0, 0529 nm) n2
1
r1 = 0, 0529 nm
2
r2 = 0, 2121 nm
3
r3 = 0, 4773 nm
2
(1, 60 × 10−19 C)2
n2
10. Grafique la energía potencial y cinética en función del número cuántico
principal n, para el átomo de hidrógeno.
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
85
Respuesta
Las ecuaciones utilizadas son
ke2 1
ao n2
1 ke2 1
2 ao n2
U
= −
K
=
La gráfica se observa en la siguiente figura
9 × 109 N m2 C−2 1,60 × 10−19 C
n2 (0,529 × 10−10 m)
U (r) = −
9 × 109 N m2 C−2 1,60 × 10−19 C
2 [n2 (0,529 × 10−10 m)]
K(r) = −
2
2
E[J] 5.0e-18
4.0e-18
3.0e-18
2.0e-18
1.0e-18
0.0e+0
1
2
3
4
-1.0e-18
5
n
-2.0e-18
-3.0e-18
-4.0e-18
-5.0e-18
Energía: U (linea continua) y K (linea punteada) vs. n
11. Construya un diagrama de niveles de energía para el átomo de Hidrógeno
b) ¿Cuál es la energía de ionización para el H? y
c) Grafique la energía total en función del número cuántico principal para el
átomo de hidrógeno.
Respuesta:
Para determinar los niveles de energía del átomo de hidrógeno usamos la
ecuación
Z2
n = 1, 2, 3, .....
E = (−13, 6 eV) 2
n
86
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Figura 2.17:
Donde el número atómico es Z = 1 así
n = 3
n = 2
n = 1
E3 = −2, 18 eV
E2 = −3, 40 eV
E1 = −13, 6 eV
El diagrama de niveles de energía correspondiente al átomo de hidrógeno se
muestra en la fígura 2.17
b) La energía de ionización para el átomo de H, es:
E = −13, 6 eV
c) La siguiente gráfica muestra la energía total en función del número cuántico
principal.
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
0
1
2
3
4
5
87
n
6
E[eV]
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
ET = − 13,606
[eV]
n2
Energía total vs. n.
12. Indique los diagramas de niveles de energía de los átomos de Mercurio,
Neon y Sodio.
Respuesta
Diagrama de niveles de energía del átomo de Mercurio (Figura 2.18)
Diagrama de niveles de energía del átomo de Neón (Figura 2.19)
Diagrama de niveles de energía del átomo de Sodio (Figura 2.20)
Taller (incluir todos los procedimientos)
1. Complete la siguiente Tabla y dibuje una gráfica de la energía de Planck
en función de la frecuencia. Explique.
88
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Figura 2.18:
Figura 2.19:
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
89
Figura 2.20:
Bandas
Rayos Gamma
Rayos X
UV extremo
UV visible
Luz visible
Infrarojo medio
Infrarojo lejano
Micro ondas
Radio
Radio alto
Onda corta radio
Onda media
λ
10 pm
10 nm
200 nm
380 nm
780 nm
25 µm
50µm
30 cm
1m
10 m
180 m
650 m
λ [nm]
E [eV]
La energía de Planck es
E
=
E
=
hc
λ
1242 eV nm
λ nm
O lo que es lo mismo
19, 86 × 10−26 Jm
λm
y la rapidez de la luz se calcula como:
E=
c = λf
E [J]
f [Hz]
c
m
s
90
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Un ejemplo de como se deben entregar los cálculos. Usaremos
Rayos Gamma como ejemplo: La longitud de onda de los rayos Gamma
es igual a 10 pm, al convertir pm a nm, es:
λ = 10 pm
10−12 m
1 pm
1 nm
10−9 m
λ = 10−2 nm
La energía del fotón en eV, seria igual a
E
=
E
=
1242 eV nm
= 124200 eV
10−2 nm
12, 42 × 104 eV
La energía del fotón en Joule, seria igual a
12, 42 × 104 eV
E
=
E
= 19, 89 × 10−15 J
1, 602 × 10−19 J
1 eV
La frecuencia en el sistema SI, es:
f=
E
19, 86 × 10−15 J
=
= 3 × 1019 Hz
h
6, 626 × 10−34 J s
La rapidez de los Rayos Gamma en el sistema SI, es:
10−11 m
c =
c = 3 × 108
m
s
3 × 1019
1
s
Este procedimiento se debe repetir (tal cual) hasta completar la anterior Tabla.
2. Dibuje en una gráfique λmáx vs. T −1 y obtenga el valor de la constante
de Wien que es 2, 898 × 10−3 m·K.
T [0 C]
T [K]
T −1 [K−1 ]
λmáx [nm]
100
500
1000
1500
2000
2500
5000
3. Un experimento se realiza con calcio como emisor y se encuentran los
siguiente cálculos:
λ0 Å
f ×1015 [Hz]
V [V]
2536
1,18
1,95
3132
0,958
0,98
3650
0,822
0,50
4047
0,741
0,14
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
91
Calcule la constante de Planck derivada de estos datos.
4. Dibuje una grafica de potencial en función de la frecuencia para el: calcio, aluminio, platino y oro. Las gráficas deben quedar en un solo plano
cartesiano. Explique.
V =
1
1, 602 × 10−19 C
6, 626 × 10−34 J s f − Wext
5. Calcule los rango de frecuencias y los rangos de energía para los rangos de
longitudes de onda que se indidcan en la siguiente Tabla. .
Color
Rojo
Naranja
Amarillo
Verde
Azul
Violeta
f [Hz]
λ[nm]
620-750
590-620
570-590
495-570
450-475
380-450
E [eV]
6. Con las longitudes de onda de corte que se muestra en la siguiente Tabla.
Determine el trabajo de extracción e indique a que material corresponde
λc [nm]
Wext [eV]
metal
380
490
620
700
750
7. Determine cómo cambia la radiación dispersada a medida que aumenta el
ángulo de dispersión.
θ
∆λ [nm]
00
300
450
600
900
1200
1350
′
8. Un fotón de rayo X antes del choque es f0 = 3 × 10 19 Hz, colisiona con un
electrón y es difractado con los ángulos que se encuentran en la siguiente
Tabla. Encuentre la frecuencia del fotón dispersado.
θ
f [Hz]
00
300
450
600
900
1200
1350
9. ¿Cuál es la longitud de onda asociada a los electrones que se mueven
con las siguientes velocidades que se muestran en la siguiente Tabla Si el
material que se ilumina para producir el efecto fotoeléctrico es sodio (Na)?
92
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
v Msm
λ [nm]
2
4
6
8
10. ¿Qué suposiciones hizo Compton al trabajar con la dispersión de un fotón
mediante un electrón? ¿En qué difiere el efecto Compton del efecto fotoeléctrico?
11. Calcule las longitudes de onda máxima y mínima, de las series de: Lyman,
Balmer, Paschen, Brackett y Pfund del átomo de hidrógeno.
Serie
Lyman
Balmer
Paschen
Brackett
Pfund
λmı́n [nm]
λmáx [nm]
12. Un haz de luz visible incide sobre una placa de cesio cuyo trabajo de
extracción es de 1,9 eV. Calcule la energía del fotón incidiente y la energía
cinética para cada color. Las longitudes de onda que conforman el espectro
de luz visible se muetran en la siguienteTabla.
Luz visible
rojo
naranja
naranja
verde
azul
λ [nm]
653
631
600
508
484
Ef [eV]
Kmáx [eV]
13. Los valores del trabajo de extracción (Wext ) de 8 metales se muestran en
la siguiente Tabla. Calcule la longitud de onda de corte para cada caso.
Metal
Al
Cu
Zn
Ag
Pt
Fe
Na
Wext [eV]
4,08
4,70
4,31
4,73
6,35
4,50
2,46
λ [nm]
304,41
14. Un átomo de Helio está en su primer estado excitado (n = 2, 3, 4). Empleando la teoría del átomo de Bohr calcule a) el radio de la órbita, b) el
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
93
momentum lineal del electrón, c) el momentum angular del electron, d)
la energía cinética, e) la energía potencial y f) la energía total. Pinte el
diagrama de niveles de energía.
15. Rayos X de 0,01 nm de longitud de onda son dispersados en un bloque de
silicio. Si la dispersión se detecta a un ángulo θ. Determine el corrimiento
Compton, la energía del fotón antes del choque y despues del choque. Complete la siguiente Tabla y realice tres conclusiones de los datos obtenidos.
θ [grados]
λ [nm]
Efd [eV]
0
15
30
45
60
90
16. Un fotón se emite cuando un átomo de hidrógeno experimenta una transición de estados como se muestra en las siguiente Tabla. Realice tres
conclusiones de los datos obtenidos.
E [eV]
ni
5
6
7
8
λ [nm]
nf
2
2
2
2
f del fotón emitido
[Hz]
17. Calcule los radios y las energías de los siguientes átomos hidrógenoides (o
de ión hidrogenoide). Para los niveles permitidos n = 1, 2. Realizar dos
tablas una para cada nivel.
Átomo
Hidrógeno (H)
Helio He+
Litio Li2+
Berilio Be3+
Boro B4+
# atómico Z
r Å
E [eV]
18. Complete las siguientes Tablas calculando los 5 primeros niveles de energía
permitidos del átomos: H, He, Be y B.
Hidrógeno
Nivel de energía
1
2
3
4
5
Helio
Energía [eV]
Nivel de energía
1
2
3
4
5
Energía [eV]
94
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN ENTRE LA LUZ Y LA MATERIA
Berilio
Boro
Nivel de energía
Energía [eV]
Nivel de energía
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Energía [eV]
19. ¿Cuál es la long itud de onda del fotón emitido cuando un electrón salta
del nivel de energía n = 2 a n = 1 en un átomo de Helio ionizado una vez?
¿Dónde está este fotón en el espectro electromagnético?
20. Calcule la velocidad del electrón, la energía cinética y potencial de las órbitas permitidas para el átomo de hidrógeno. Complete la siguiente Tabla.
Recuerde que
K=
9 × 109 N m2 C−2 (1, 60 × 10−19 C)2
2 (n2 × 0,529 × 10−10 m)
U =−
9 × 109 N m2 C−2 (1, 60 × 10−19 C)2
n2 × 0, 529 × 10−10 m
y
Realice tres conclusiones de los datos obtenidos
n
2
K = 2(nke2 a0 )
[eV]
2
U = − nke
2a
0
[eV]
ET = − 13,606
n2
v
Å
s
[eV]
1
2
3
4
21. ¿Qué valor de n se asocia a la línea de 94,96 nm en las series de hidrógeno
de Lyman?
a) ¿Cuál de las transiciones emite los fotones que tienen la longitud de onda
más corta?
b) ¿Para cuál transición el átomo gana la mayor cantidad de energía.
c) ¿ Para cuales transiciones el átomo pierde energía?
22. Las frecuencias de ciertas líneas consecutivas en la serie de Lyman se
muestran en la siguiente Tabla
2.11. LOS CUATRO POSTULADOS DEL ÁTOMO DE BOHR
frecuencia [Hz]
2, 466 × 1015
2, 923 × 1015
3, 083 × 1015
3, 157 × 1015
3, 197 × 1015
Transición
95
Color
Utiliza estos valores para dibujar esquematicamente el aspecto de esta parte
del espectro de emisión. Asigna cada una de las líneas del espectro a una transición en particular.
23. Construya un diagrama de niveles de energía para el ión Be3+ hasta n = 5
y calcule la energía de ionización.
Capítulo 3
Onda o partícula
En 1803 Thomas Young presentó sus experimentos y cálculos relativos a la
óptica física. En esta última presentaba la demostración experimental de la Ley
general de la interferencia de la luz y una inferencia argumentativa sobre la
naturaleza de la luz. Max Planck relacionó la energía de la luz con la frecuencia
de la onda y De Broglie dio una explicación del modelo atómico de Niels Bohr
considerando los electrones como ondas y no como partículas además de que se
basó en el experimento de la doble rejilla.
3.1.
Hipótesis de De Broglie
De Broglie postuló que debido a que los fotones tienen características de
ondas y corpúsculo, quizá todas las formas de la materia tienen propiedades de
onda, así como de partícula. De acuerdo a De Broglie, los electrones tienen una
naturaleza dual. Acompañado a cada electrón había una onda (no una onda
electromagnética) que guiaba al electrón a través del espacio. Era una teoría sin
confirmación experimental.
El movimiento de la partícula material viene determinado por las propiedades
ondulatorias de propagación de una onda cuya longitud de onda, λ, y frecuencia, f , están asociadas con el momento lineal, p, y la energía, E, de la partícula
según
p=
Si multiplicamos por uno
2π
2π
p=
h
λ
(1)
la ecuación (1), obtenemos
h
2π
2π
λ
= ℏk
E = hf
(3)
Si la energía del fotón
97
(2)
98
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
2π
2π
Ahora, si multiplicamos por uno
la ecuación (3), obtenemos
h
2π
E=
(2πf)
h
Donde si, ℏ = 2π
y w = 2πf se tiene que
E = ℏw (4)
Debe notarse que la onda asociada a las partículas no se cumple que λ = fc
esto es solo válido en ondas electromagnéticas o fotones en espacio libre. Este
hecho podemos relacionarlo con la expresión de la energía de una partícula libre
(partículas sobre las que no se ejercen fuerzas externas) proporcionada por la
relatividad especial.
E 2 = m0 c2
2
+ p2 c2 (5)
Donde la masa del fotón es cero, la expresión anterior se reduce a
E 2 = p2 c2 (6)
En el caso de partículas cuya velocidad es mucho menor que la de la luz, la
energía cinética puede expresarse como:
K=
mv 2
p2
=
(7)
2
2m
Donde el momento se puede reescribir como
√
p = 2mK (8)
La longitud de onda De Broglie de la partícula en función de la energía cinética
estaría dada como:
h
(9)
λ= √
2mK
O lo que es lo mismo
λ=
6, 626 × 10−34 J s
4, 13 × 10−15 eV s
√
√
=
2mK
2mK
(10)
Para escribir la ecuación (7) en función de la longitud de onda De Broglie,
sabiendo que el momento es P = λh , se obtiene la ecuación (11).
K=
h2 1
(11)
2m λ2
Y sustituyendo los valores de las constantes en la ecuación (7) obtenemos: la
energía cinética en función de la longitud de onda de De Broglie al cuadrado,
3.1. HIPÓTESIS DE DE BROGLIE
99
así
2
6, 626 × 10−34 J s 1
2 (9, 109 × 10−31 kg) λ2
1
K ≡ 2, 41 × 10−37 J m2 2
λ
1eV
1 nm2
2 1
−37
K ≡ 2, 41 × 10 J m
2
−19
1, 60 × 10 J
10−′ 18 m2
λ
1
K ≡ 1, 506 eV nm2 2
λ
De acuerdo a la Ley de la conservación de la energía eléctrica, se tiene que
K
≡
me v 2
= qV (12)
2
Al sustituir v =
2V q
me en la ecuación de De Broglie se obtiene,
λ=
h
h
=
2V q
me v
m
e
me
Así, la longitud de onda del electrón es inversamente proporcional a el potencial
eléctrico, ya que
h
λ= √
(13)
2V qme
Donde en la siguiente gráfica muestra la relación entre el λ y el potencial aplicado
lamda [m]
1.6e-9
1.4e-9
1.2e-9
1.0e-9
8.0e-10
6.0e-10
0
1
2
3
4
6,626×10−34 J s
2V (1,602×10−19 C)(9,109×10−31 kg)
λ= √
5
6
V [J]
100
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
Figura 3.1:
3.2.
Experimentos que evidenciaron el comportamiento ondulatorio de una partícula
Las cuales sólo en éste texto se expondrán los tres primeros y el resto se deja
de tarea.
1. El experimento de la doble rejilla.
2. El experimento de Davisson - Germer.
3. Ley de Bragg
4. El eperimento de George Peget Thomson.
5. El experimento de Clinton Joseph Davison y Lester Halbert Germen.
6. El experimento de Gerd Binnig y Heinrich Rohrer.
3.2.1.
Experimento de la doble rejilla
El experimento consiste en lanzar, una a una y en distintas direcciones,
miles de electrones contra una placa atravesada por dos finas renjillas. En otra
placa más alejada vamos a recoger el impacto de las canicas. ¿Qué dibujo habrá
producido este impacto?
En éste experimento se ha observdo que al realizarse con observador, no
ocurre nada inusual, los electrones forman el mismo patrón en la pantalla que
se esperaría de una bola de chicle (o un tomate) que se lanzada para que atraviese
la rejilla. Pero cuando se apagan las luces lo que se observa en la pantalla es
una serie de máximos y mínimos o sea, un patrón de interferencia, Figura 3.1.
Pero cuando se quita la luz y se lanza un haz de electrones y esto lo dejamos
evolucionar durante un largo periodo de tiempo se puede observar un patrón de
interferencia o una superposición cuántica [13, 14].
3.2.2.
El experimento de Davisson - Germer
El experimento de Davisson y Germer demostró la naturaleza ondulatoria
de los electrones. La cual consistía en hacer incidir sobre una muestra de níquel
un haz de electrones a baja velocidad. El montaje experimental permitía la
variación de tres parámetros como son: la energía del electrón, la orientación
del blanco de níquel, α, el ángulo de dispersión, ϕ. Para energías constantes de
los electrones de aproximadamente 100 eV, la intensidad de dispersión disminuía
rápidamente cuando ϕ aumentaba. Pero a alguien se le cayó un frasco de aire
líquido sobre el sistema de tubo vacío, rompiendo el vacío y oxidando el blanco
de níquel, que había estado a alta temperatura. Para resolver el óxido la muestra
3.2. EXPERIMENTOS QUE EVIDENCIARON EL COMPORTAMIENTO
ODULATORIO DE UNA PARTÍCULA
fue reducida calentándola en una corriente de hidrógeno en circulación. Al hacer
nuevamente el experimento observaron fuertes variaciones en la intensidad de
los electrones dispersados con relación al ángulo. El blanco de níquel se había
convertido en un mono cristal. Estas regiones cristalinas proporcionaron la rejilla
que permitía observar la difracción de los electrones. Así Davisson y Germer
(1925) investigaron sobre la dispersión elástica por grandes cristales simples con
la orientación cristalográfica predeterminada.
La idea de que los electrónes se comportan como ondas cuando interactúan
con los átomos de un cristal permitió calcular la longitud de onda de los electrónes a partír de la difracción de Bragg y lo compararon con la longitud de
De Broglie. A fin de calcular la longitud de onda de De Broglie para este caso,
primero se obtiene la rapidez del electrón no relativista, acelerado al electrón a
través de una diferencia de potencial V .
La longitud de onda experimental puede obtenerse si se considera que los
átomos de níquel constituyen una rejilla de difracción por reflexión. Solo se toma
en cuenta la capa superficial de átomos porque los electrones a baja energía, a
diferencia de los rayos X, no penetran profundamente en el cristal.
Si el postulado de De Broglie es válido para toda la materia, entonces
cualquier objeto de masa m posee propiedades ondulatorias y una longitud de
onda igual a λ = hp . Experimentos ulteriores, se observó difracción para átomos
de helio (Estermann y Stern en Alemania) y el hidrógeno (Johnson en Estados
Unidos). Luego del descubrimiento del neutrón en 1932, se demostró que haces
de neutrones de energía idónea también presentan difracción cuando inciden
sobre un blanco cristalino.
3.2.3.
Ley de Bragg
Los primeros experimentos de cristalografía fueron realizados por los Bragg
la cual utilizaron cloruro de sodio observando que este formaba una cantidad de
átomos ordenados regularmente para formar una estructura de elevada simetría.
Ellos ganaron el premio Nobel de física por éste trabajo en 1915. En el cual ellos
concluyeron que si los electrónes se comportan como partículas, entonces, tras
chocar con el monocristal, rebotarían tal como lo harían dos pelotas de billar;
esto es, saldrían rebotados en todas las direcciones sin que haya direcciones
privilegiadas. Además, este efecto es independiente de la energía cinétita de
las partículas por lo que no dependería del potencial V . No obstante, si los
electrones se comportansen como ondas, entonces los electrones dispersados lo
harían mayoritariamente en aquellas direcciones privilegiadas para las que exista
interferencia consecutiva.
Admitiendo que los electrones presentan un comportamiento ondulatorio,
la onda incidente se reflejará en cada uno de los planos atómicos (Figura 3.2),
existiendo una interferencia consecutiva de las ondas reflejadas en planos paralelos consecutivos si se cumple la condición de Bragg; es decir, si la diferencia de
camino entre los rayos es un múltiplo de la longitud de onda:
nλ = 2dsenθ
102
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
Figura 3.2:
Supuesta válida la hipótesis de De Broglie, la longitud de onda, λ, de los electrones que inciden en el monocristal será
λ=
h
h
=√
p
2me eV
Lo que implicaría que el detector mostraría unos máximos de dispersión para
los ángulos φn relacionados con los θn (2θ n + φn = π) que verificasen
senθn = n
h
√
2d 2me eV
El experimento de Davisson y Germer demostró que esta suposición teórica
estaba en excelente acuerdo con la experiencia, conformado fehacientemente
que los electrones (y por ende, todas las partículas materiales) presentaban un
carácter ondulatorio.
Como se sabía que la distancia entre planos d era igual a 2, 15 Å a partir de
las mediciones de difracción de Rayos X. Determinaron que Davisson y Germer
calcularon que λ era
λ = 2, 15Å sen500 = 1, 65 Å
lo que coincide perfectamente con la fórmula de De Broglie (λ = hp ). Para un
chorro de electrones de alta energía debe tomarse la ecuación
2dsenφ = nλ
3.3.
La función de onda de materia
La función de onda es una representación matemáticamente de la función
→
de onda ψ(−
r , t) y por si sola no nos dice nada de sobre la partícula. Pero la
3.3. LA FUNCIÓN DE ONDA DE MATERIA
103
→
probabilidad P (−
r , t)dV de encontrar la partícula en un diferencial de volumen
dV centrado en r nos muestra la probabilidad de encontrar la partícula en alguna
región de espacio. Esto perimite determinar otras magnitudes como por ejemplo
e valor esperanza entre otras.
Esta representación matemática debe ser de extensión infinita, amplitud
constante y compatible con el principio de incertidumbre. Aunque se debe notar
que ésta no representa apropiadamente a una partícula localizada en
movimiento; por lo que se requiere un pulso, g rupo de ondas o paquete de ondas
de exten-sión espacial limitada, el cual puede formarse sumando ondas
sinusoidales con amplitudes de ondas diferentes.
Como se explicó anteriormente la función de onda que describe el estado
cuántico de un electrón que viaja a lo largo del eje x, estaría dada por
ψ(x, t) = A cos (kx − wt)
(1)
Donde en este texto sólo se trabajará en función de la posición, así
ψ(x) = A cos (kx) donde,
ψ(x) = A cos
2π
x
λ
(2)
Siendo el vector de onda igua a k = 2π
λ y λ es el vector de onda de De Broglie no
se conoce de manera exacta se tiene que el momento lineal se conoce de manera
experimental.
Esto es si se midiera el momento de la partícula, el resultado tendría cualquier
valor en un intervalo, determinado por la dispersión de la longitud de onda,
cuanto más grande sea la incertidumbre del momentum, mayor será la ubicación
de la partícula, lo cual se refleja en la densidad de probabilidad incrementada
en la posición de la partícula.
Condiciones de normalización
Dado que la partícula evidentemente debe encontrarse en algún punto en
el espacio, la probabilidad de encontrar dicha partícula en algún punto en el
espacio, debe ser la unidad, por lo que debemos imponer la siguiente condición
→
ψ(−
r , t)dV = 1
(3)
T odo el espacio
Como solo se trabajará en una dimensión la función de onda sería igual a:
ψ(x, t)dx = 1
(4)
T odo el espacio
Que se conoce como condición de normalización. Experimentalmente, siempre
hay cierta probabilidad de encontrar la partícula en algún punto y en cierto
104
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
instante, por lo que el valor de la probabilidad debe estar entre 0 y 1. Si la
probabilidad es 0,3, hay el 30 % de encontrar la partícula.
Ahora si conocemos la función de onda para una partícula, es posible calcular
la posición promedio valor de esperanza de x, definida como:
x =
∞
−∞
x |ψ|2 dx
(5)
El paréntesis ... se emplea para denotar valores esperados. Esta expresión
implica que la partícula se encuentra en un estado definido, de manera que la
densidad de probabilidad es independiente del tiempo. Advierta que el valor
esperanza es equivalente al valor promedio de x que se obtendría al tratar con
un número de partículas en el mismo estado [1-3].
3.4.
Principio de Heisenberg
Se basa fundamentalmente en dos principios: el principio de incertidumbre
de la posición - momento y el principio de incertidumbre energía - tiempo, la
cual estudiaremos a continuación.
3.4.1.
Principio de incertidumbre de la posición y del momento
Existen pares de magnitudes que en mecánica cuántica no se pueden medir al
tiempo. Por ejemplo si un haz de luz pasa a través de una rejilla muy pequeña
no existiría la incertidumbre en la medida de la posición (∆x ≈ 0) y como
el número de fotones que pasaría se limitaría entonces la incertidumbre en la
medida del momento sería muy grande (∆p ≈ ∞), ya que no podrá medir la
longitud de onda del patrón de interferencia que marcaría el haz de electrones
sobre la pantalla fluoresente, Figura 3.3
Ahora si anchamos la rejilla como se muestra en la Figura 3.4 pasarán muchos
más electrones a traves de la rejilla y por lo tanto el número de fotónes que
pasaría a través de la rejilla es mayor y marcara el patrón de interferencia que
se necesita para medir la longitud de onda λ y por lo tanto medir la cantidad
de movimiento de tal manera que no habrá incertidumbre en esta medida, osea
∆p ≈ 0, pero si hay incertidumbre en la posición ∆x ≈ ∞, Figura 3.4.
En resumen, un experimento no es posible determinar simultáneamente y
con toda precisión una componente del momento de una partícula, por ejemplo
px , y la posición de la coordenada x.
Si ∆ representa la incertidumbre en la medida, tenemos que:
∆x∆p
ℏ
2
(1)
3.4. PRINCIPIO DE HEISENBERG
Figura 3.3:
Figura 3.4:
105
106
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
Deducción analítica de este principio
De acuerdo a la función de onda, descrita por
y(x, t) = A cos (kx − wt)
(2)
Donde ∆x y ∆k se toman como las desviaciones estándar del grupo de ondas y
su transformada respectivamente, se encuentra que el valor que toma el producto
∆x∆k es 12 , por lo que al corresponder al valor mínimo, permite escribir
∆x∆k
1
2
(3)
Si el número de onda es ∆k = 2π
∆λ luego la ecuación (3) nos queda
∆x
2π
∆λ
1
(4)
2
h
Y si la longitud de onda de De Broglie es ∆λ = ∆p
, la ecuación (4) nos queda
∆x
2π
h
∆p
∆x∆p
Donde
1
2
1
2
h
2π
(5)
h
= 2π
, así podemos reescribir la ecuación (5) como:
∆x∆p
2
(6)
La desigualdad anterior implica que, en cualquier instante, el producto de
la incertidumbre en el posición del objeto (∆x) por la incertidumbre en su
h
, independientemente de la
momento lineal (∆p) tiene el valor mínimo de 2π
precisión con que se intente medir, es decir, no es un problema de medición, sino
de la propia naturaleza de las cantidades físicas involucradas.
Consecuencias
Una consecuencia relevante del principio de incertidumbre es que, en un sentido estricto no podemos hablar de trayectorias de las partículas. Ahora dado
que la simultaneidad y precisión de ambas magnitudes no estan permitidas por
la ecuación (4), debemos admitir que el concepto de trayectoria ya es complicado. No obstante, debemos tener en cuenta la incertidumbre relativa, esto es el
cociente entre la incertidumbre y el valor de la magnitud.
3.4. PRINCIPIO DE HEISENBERG
3.4.2.
107
Principio de incertidumbre energía - tiempo
Para explicar la incertidumbre en la energía y el tiempo daremos el siguiente
ejemplo, suponga que un haz de luz incide sobre una pantalla y que al cabo de
un tiempo muy largo el haz de luz deja muchas marcas sobre ésta, de tal manera
que se puede medir la longitud de onda y por lo tanto calcular la energía de
estos fotones, o sea que no hay incertidumbre en la energía ∆E ≈ 0, pero saber
cuánto tiempo se debe dejar para que marque con claridad del patrón es incierto,
luego si hay mucha incertidumbre en la medida del tiempo ∆t ≈ ∞. Ahora si
el haz ilumina la pantalla durante un tiempo corto de tal manera que no exista
incertidumbre en el tiempo ∆t ≈ 0, habría mucha incertidumbre en la energía
∆E ≈ ∞, en este orden de ideas se tiene que
∆E∆t
2
(7)
Dicho de otra forma, el principio de incertidumbre energía - tiempo puede interpretarse diciendo que una determinación de la energía de un sistema que
presente una incertidumbre, ∆E, debe tomar al menos un intervalo de tiempo.
∆t
2∆E
(8)
Analíticamente, si un sistema permanece en cierto estado durante un tiempo
no mayor que ∆t, la energía en ese estado permanecerá una incertidumbre de
almenos
(9)
∆E
2∆t
Cuando se habla de la incertidumbre de la energía de cierto estado debe entenderse que nos referimos a la incertidumbre en la energía puesta en juego en la
transición a otro estado de referencia, usualmente al estado fundamental.
Ejercicios
1. De una explicación de la forma en que De Broglie relacionó las ondas
de materia con la teoría de Niels Bohr en la cuantización del momento
angular.
Respuesta
Suponiendo que las orbitas de Niels Bohr permitidas surgen debido a que
las ondas de materia del electrón forman ondas estacionarias cuando un
número entero de longitudes de onda completas están contenidas dentro de la
circunferencia de órbita circular, de este modo
nλ = 2πr (1)
donde r es el radio de la órbita y n = 1, 2, 3, 4......
Debido a que la λ de De Broglie es:
λ=
h
(2)
mv
108
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
y en virutud de que
ℏ=
h
(3)
2π
podemos reescribir la ecuación (1), así:
nλ = 2πr
h
n
= 2πr
mv
mvr = nℏ (4)
Donde la ecuación (4) corresponde a uno de los 4 postulados de Niels Bohr
y donde las ondas del electrón que caben en las órbitas son estacionarias debido a las condiciones de frontera impuestas. Estas ondas estacionarias tienen
frecuencias discretas, que corresponden a las longitudes de ondas permitidas.
Si nλ = 2πr un patrón de ondas estacionarias nunca puede formar una órbita
circular cerrada, debido a que las ondas interfieren destructivamente [1].
2. Indique en qué consiste el principio de la complementariedad.
Respuesta
Enunciado por Bohr estableciendo que los modelos de onda y partícula ya
sean de la materia o de la radiación se complementan entre sí
3. ¿Por que no es posible ver las propiedades ondulatorias de una masa de
140 g si se mueve con una rapidez de 16,66 ms 60 km
h ?
Respuesta
Supongamos que la masa de un objeto es de 140 g y se mueve con una rapidez
16,66 ms , posee una longitud de onda de De Broglie dada por:
λ =
λ =
λ =
h
mv
6, 626 × 10−34 J s
0, 14 kg 16, 66 ms
6, 626 × 10−34 J s
2, 33 kg ms
λ = 2, 84 × 10−34 m
λ = 2, 84 × 10−25 nm
Observe que es una cantidad imposible de medir.
4. Calcule la longitud de onda de De Broglie para un electrón que se mueve
a una velocidad de 106 ms .
3.4. PRINCIPIO DE HEISENBERG
109
Respuesta
λ =
h
6, 626 × 10−34 J s
=
p
(9, 109 × 10−31 kg) (106 ms )
λ = 0, 727 × 10−9 m = 0, 727 nm
La longitud de onda cercana a los Rayos X.
5. Calcule la longitud de De Broglie correspondiente a un protón que se acelera a través de una diferencia de potencial como se indica en la siguiente
Tabla.
∆V [V]
λ [nm]
10−1
9 × 10−2
10
50
0, 4 × 10−2
104
107
0, 9 × 10−5
Respuesta
Para una diferencia depotencial de V = 10−1 V, tenemos que:
λ =
λ =
λ =
√
h
2mqV
6, 626 × 10−34 J s
#
2(1, 67 × 10−27 kg) (1, 6 × 10−19 C) (10−1 V)
6, 626 × 10−34
6, 626 × 10−34
#
m= #
m
5,344 × 10−47
53,44 × 10−1 × 10−47
2
6, 626 × 10−34 kg ms
λ =
7, 31 × 10−24 kg ms
1 nm
λ = 0, 9 × 10−10 m
10−9 m
λ = 0,09 nm
= 0, 9 × 10−1 nm
Para una diferencia depotencial de V = 50 V, tenemos que:
λ =
λ =
λ =
h
√
2mqV
6, 626 × 10−34 J s
#
2(1, 67 × 10−27 kg) (1, 6 × 10−19 C) (50V)
6, 626 × 10−34 J s
#
267, 2 × 10−46 kgJ
2
λ =
6, 626 × 10−34 kg ms
16, 34 × 10−23 kg ms
λ = 0, 40 × 10−11 m
λ = 0, 40 × 10−11 m
1 nm
10−9 m
= 0, 4 × 10−2 nm
110
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
Para una diferencia depotencial de V = 107 V, tenemos que:
λ =
λ =
λ =
h
√
2mqV
6, 626 × 10−34 J s
#
2(1, 67 × 10−27 kg) (1, 6 × 10−19 C))(107 V)
6, 626 × 10−34 J s
6, 626 × 10−34 J s
#
=
2
5, 34 × 10−39 kgJ
53, 4 × 10−1 × 10−39 kg kg ms 2
2
6, 626 × 10−34 kg ms
7, 30 × 10−20 kg ms
1 nm
λ = 0, 9 × 10−14 m
10−9 m
λ =
= 0, 9 × 10−5 nm
6. La distancia entre átomos adyacentes en cristales es del orden 0, 1 nm. El
empleo de electrones en estudios de difracción de cristales requiere que la
longitud de onda De Broglie de los electrones sea del orden de la distancia
entre los átomos de los cristales. ¿Cuál debe ser la rapidez y la energía
mínima de los electrones que se van a emplear con estos fines? Complete
la siguiente Tabla calculado la rapidez y la energía cinética para los otros
valores de la longitud de onda.
λ [nm]
v ms
K[eV]
0,1
0, 72 × 106
1, 47 × 102
1
5
10
Respuesta
Calculamos la rapidez de los electrones para luego calcular la energía cinética.
−
Si la longitud de onda es λ = 0, 1 × 10 9 m, tenemos que:
v
=
h
mλ
v
=
6, 626 × 10−34 kg ms
(9, 109 × 10−31 kg) (0, 1 × 10−9 m)
2
2
v
v
6, 626 × 10−34 kg ms
=
9, 109 × 10−40 kg m
m
= 0, 72 × 106
s
3.4. PRINCIPIO DE HEISENBERG
111
La energía cinética de los electrones sería igual a:
K
K
K
K
mv 2
2
2
9, 109 × 10−31 kg 0, 72 × 107 ms
=
2
4, 72 × 10−17 kg sm2 2
=
2
1 eV
= 2, 36 × 10−17 J
= 1, 47 × 102 eV
1, 602 × 10−19 J
=
7. Calcule la longitud de onda del electrón cuado este es acelerado con una
diferencia de potencial de 100 V.
Respuesta
Para determinar la rapidez con que se mueve usamos el hecho que la energía
del electrón se conserva
mv2
= qV
2
La rapidez del electrón cuando viaja a través de 100 V, es:
2V q
m
v=
En la ecuación de De Boglie se obtiene:
h
λ=
2V q
m
m
La longitud de onda de De Broglie de un electrón acelerado a través de una
diferencia de potencial de 100 V es:
λ =
λ =
λ =
h
√
2mqV
6, 626 × 10−34 J s
#
2 (9, 10 × 10−31 kg) (1, 60 × 10−19 C) (100 V)
6, 626 × 10−34 J s
2, 91 × 10−47 kg2 ms 2
2
=
6, 626 × 10−34 J s
5, 39 × 10−24 kg ms
λ = 1, 23 Å
La longitud de onda de De Broglie de un electrón acelerado a través de una
diferencia de potencial de 50 V es:
λ =
λ =
h
√
2mqV
6, 626 × 10−34 J s
#
2 (9, 1 × 10−31 kg)) (1, 6 × 10−19 C)(50V)
λ = 1, 7 × 10−10 m = 1, 7 Å
112
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
La longitud de onda obtenida es del orden de las dimensiones atómicas y la
separación entre átomos en un sólido.
Tales electrones de baja energía suele utilizarse en experimentos de difracción
de electrones para determinar las posiciones atómicas sobre una superficie.
8. Un chorro de electrones inciden sobre rejillas de ancho 0,04 mm, 0,08
mm y 0,16 mm. Las bandas brillantes en el patrón de interferencia están
separadas por 0,4 mm sobre una pantalla a 20 cm de las rejilla.
a) Grafique λ en función de θ, para n = 1, 2, 3
b) Grafique λ en función del ancho de la rejilla: d = 0,04 mm, 0,08 mm y
0,16 mm. Para n = 1
c) Grafique senθ en función del ancho de la rejilla: d = 0,04 mm, 0,08 mm
y 0,16 mm. Para n = 1
d) Determine la diferencia de potencial a la cual se aceleraron los electrones
para producir este patrón.
Respuesta
a) La siguiente Figura muestra la longuitud de onda en función del ángulo
de dispersión para
n = 1, línea continua.
n = 2, línea punteda y
n = 3, línea con bolitas.
Podemos observar que a medida que aumenta n la amplitud de lambda
disminuye.
lambda [m] 1.5e+5
1e+5
50000
0
1
2
3
4
5
6
-50000
-1e+5
-1.5e+5
λ = (0,16×101 m ) sin θ
−3
1m
10−9 nm
7
8
9
10
Teta [rad]
3.4. PRINCIPIO DE HEISENBERG
113
b) La siguiente figura muestra que a medida que aumenta el ancho de rejilla
d, la amplitud de lambda se hace mayor .
lambda [nm]
2e+5
1e+5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
d [nm]
-1e+5
-2e+5
d = (0, 04, 0, 08, 0, 16) mm, línea continua punteada, circulos
c) En la siguiente figura se observa que cuanto mayor es la ancho de la rendija d,
menor es la pendiente y más medidas se pudieron hacer al estar los mínimos
o máximos de intensidad porque estarían más pegados entre sí. Se evidencia
tambien que las rectas tienen una relación entre sí, pues el cociente entre las
pendientes es aproximadamente la inversa del cociente entre las aperturas. Esto
es una manera de comprobar que los valores que obtendremos para la λ serán
parecidos entre sí y que el valor de esta para el rayo láser es el mismo, con lo que
podríamos usar este método para obtener la long itud de onda del láser empleando
diferentes rendilla.s
114
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
sen teta 1.2e-4
1.0e-4
8.0e-5
6.0e-5
4.0e-5
2.0e-5
0.0e+0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
d [m]
sin θ = 1λ
d , d = (0, 04, 0, 08, 0, 16) mm, línea continua punteada, circulos
d) Para determinar la diferencia de potencial a la cual se aceleraron los electrones para producir el patrón usamos primero la ley de Bragg para determinar
la longitud de onda así:
nλ = dsenθ
λ =
0, 06 × 10−6 m sen tan−1
λ =
0, 06 × 10−6 m sen (0, 11)
0, 4
200
λ = 1, 2 × 10−10 m = 1, 2 Å
h
La longitud de onda De Broglie es λ = √2mqV
, despejando el potencial
eléctrico tenemos:
V
V
V
V
=
=
=
h2
2qmλ2
6, 626 × 10−34 J s
2
2 (1, 6 × 10−19 C) (9, 10 × 10−31 kg) (1, 2 × 10−10 m)2
43, 9010−68 J kg
m 2 2
s
s
2
41, 93 × 10−70 C kg m
J
= 1, 047 × 102
C
3.4. PRINCIPIO DE HEISENBERG
115
9. Un haz de electrones con una energía cinética de 1 MeV incide en dirección
normal en un arreglo de átomos separados por 0, 25 mm, ¿En qué dirección
podemos esperar los electrones del quinto orden?
Respuesta
Por la Ley de la Ley de la conservación de la energía, tenemos que:
(pc)2
= K + mc2 = 1 MeV + 0, 511 MeV
= 1, 511 MeV
#
=
E 2 − (mc2 )2
=
(1, 511 MeV)2 − (0, 511 MeV)2
(pc)2
=
2, 28 MeV2 − 0, 261 MeV2
E
E
2
(pc)
p = 1, 42
MeV
c
Luego la longitud de onda de De Broglie es:
λ =
h
h
=
p
1, 42 MceV
6, 626 × 10−34 J s 3 × 108 m s−1
(1, 42 × 106 ) (1, 60 × 10−19 ) J
19, 87 × 10−26 m
λ =
2, 27 × 10−13
λ = 8, 75 × 10−13 m
λ =
De acuerdo a la Ley de Bragg, tenemos que:
senθ
senθ
senθ
θ
5 × 8, 74 × 10−13 m
0, 25 × 10−9 m
5 × 8, 74 × 10−13 m
=
0, 25 × 10−9 m
= 174, 8 × 10−4
= 10
=
10. Suponga que h = 2π J s y que la masa es de 2 kg y se sabe que inicialmente
está en el interior de una región que mide 1 m de ancho a) ¿Cuál es la
incertidumbre mínima en su velocidad? b) suponga que esta incertidumbre
en cuanto a la velocidad prevalece durante 5 s. Determine la incertidumbre
de la posición después de este tiempo.
Respuesta
Aplicando el principio de incertidumbre, tenemos
116
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
∆x∆px
≥
∆v
≥
∆v
≥
2π
h
4πm∆x
2π J s
m
= 0, 25
4π (2 kg) 1m
s
Calculando la incertidumbre de la energía cinética
∆K
≥
∆K
≥
h
2π∆t
2π J s
1
=
J
4π (5 s)
5
La incertidumbre de la posición después de 5 s
p2
2m
√
p =
2m∆K
∆K
∆x ≥
∆x ≥
=
h
√
donde
=
∆px
4πpx
2m∆K
h
2π J s
√
=
0, 56 m
4π 2m∆K
4π 2(2 kg)( 1 J)
5
11. La función de onda de un electrón confinado entre dos paredes impenetrables es:
2
nπ
ψ(x) =
sen
x
L
L
Sseparadas por las longitudes (L) que se presentan en la siguiente Tabla.
Halle en número de onda k y note cada una de las funciones obtenidas
para cada L.
L [nm]
k = nπ
L
10−2
10
102
Grafique ψ(x) vs. x y |ψ(x)|2 vs. x y determine la probabilidad de encontrar
el electrón entre x = 0 y x = L4 , para 0 ≥ x ≥ 2 y n = 1.
Respuesta
La siguiente gráfica muestra la función de onda del electrón
ψ(x) =
2
nπ
sen
x
L
L
3.4. PRINCIPIO DE HEISENBERG
117
y
10
5
0
0.2
0.4
0.6
2
10−2 sen
πx
10−2
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
x [nm]
-5
-10
y=
L = 10−2 y 1 linea continua y punteada
Haciendo |ψ(x)|2 vs. x se obtiene
y=
2
πx
sin2
−2
10
10−2
200
150
100
50
0
0.0
0.2
y = 2sen2
0.4
πx
10−2
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
x [nm]
_ L = 10−2 y 1 linea continua y punteada
118
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
Para hallar la probabilidad de encontrar el electrón entre x = 0 y x = L4 ,
recordemos que sen2 θ = 12 (1 − cos 2θ)) asi:
Pr
Pr
=
=
Pr
=
Pr
=
L
4
2
|ψ| dx =
L
x=0
1
L
L
4
2
L
4
0
dx −
$
1 L $$
− $sen
L 4
1
= 0, 25
4
L
4
0
sen2
2πx
L
4πx
L
dx
0
cos
$
4πx $$
L $0
dx
12. En este ejemplo mostraremos la diferencia entre obtener función de onda total cuando se suman [cos(πx) + 2 cos(2πx) + ..... + 6 cos(6πx)]2 que
cuando se suman [cos(πx)]2 + [2 cos(2πx)]2 + .... + [6 cos(6πx)]2 esto con
el fin de explicar lo del experimento de la doble rendija que afirma
que cuando un chorro de electrones pasa por una rejilla con dos ranuras
y estas inciden sobre una pantalla, el cálculo para hallar probabilidad
2
de encontrar el electrón es [cos(πx) + 2 cos(2πx) + .... + 6 cos(6πx)] y no
2
2
2
[cos(πx)] + [2 cos(2πx)] + .... + [6 cos(6πx)] .
y
400
300
200
100
0
0
1
2
3
[cos(πx) + 2 cos(2πx) + .... + 6 cos(6πx)]2
4
5
x
3.4. PRINCIPIO DE HEISENBERG
y
119
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
x
[cos(πx)]2 + [2 cos(2πx)]2 + .... + [6 cos(6πx)]2
13. La función de onda para la partícula restringida a moverse en una caja
unidimensional es
ψ(x) = Asen
π
x
L
emplee la condición de normalización en ψ(x) para hallar el valor de la
amplitud de la onda
A=
2
L
Respuesta
Si el ancho de la caja es igual a L y la condición de normalización
b
a
|ψ(x)|2 dx = 1
120
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
Tenemos que:
0
L
L$
π $$2
$
x $ dx = 1
$Asen
L
1
π
1 − cos 2 x dx = 1
2
L
0
$
$L
$L
A2
π $$
$
L − $ sen 2 x $
= 1
2
2π
L
0
A2
A2
L = 1
2
2
L
A =
14. Si una partícula en una caja tiene una función de onda dada por
2
2π
sen
x
L
L
ψ(x) =
Para 0
de x.
L y cero cualquiera otro caso. Halle el valor de esperanza
x
Respuesta
El valor de esperanza de x, es entonces
x
x
x
x
2
L
=
2
L
=
1
L
=
%L
0
2πx
L
xsen2
0
L
x
0
x 1 − cos
0
L
0
x cos
dx
1 1
4πx
− cos
2 2
L
L
1
L
=
para hacer la integral la
L
4πx
L
L
xdx −
4πx
L
x cos
0
dx
dx
4πx
L
dx
dx, desarrollamos la integral por partes:
um
m
sen(bu) −
um−1 sen (bu) du
b
b
%
de acuerdo a lo anterior tenemos que x cos (x) dx da:
um cos (bu) du =
u = x
du = dx
4π
x dx
L
L
4π
v=
sen
x
4π
L
dv = cos
3.4. PRINCIPIO DE HEISENBERG
121
4π
x dx = x
L
L
4π
sen
4π
x cos
x dx = x
L
L
4π
4π
sen
x +
L
x cos
L
4π
L
x −
L
4π
0
L
4π
Luego el valor de esperanza seria igual a
x
=
1
L
L
L
xdx −
0
x
=
1 L2
− x
L 2
x
=
1 L2
− x
L 2
x cos
0
4πx
L
L
4π
sen
4π
x +
L
L
4π
L
4π
sen
4π
x +
L
L
4π
x0 sen
2$
$
$cos
$
4π
x dx
L
$L
4π $$
x $
L
0
dx
2$
2
$L
$
$
$cos 4π x $
$
$
L
0
(cos (4π) − cos 0)
x
4π
L
−
sen
x
y para entre x = 0 y x = L, nos dá:
2
4π
L
L
x =
2
15. La función de onda del estado base para el electrón en un átomo de
hidrógeno es
r
1
ψ(r) = √
e− a
3
πa
x
=
Grafique ψ(r) y |ψ(r)|2 en función de r y determine si esta función es
normalizable.
y[r]
2e+30
1.5e+30
1e+30
5e+29
0
0.0e+0
1.0e-10
2.0e-10
−
1
ψ(r) = π(0,529177249×10
e
−10 m)3
3.0e-10
r
0,529177249×10−10 m
4.0e-10
r[m]
2
122
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
Respuesta
Recordemos que la integración por partes es igual a
udv = uv −
vdu
que la aplicaremos en este caso
∞
0
√
r
1
e− a
πa3
4π
πa3
2
4πr2 dr
2r
r2 e− a dr
= 1
= 1
Así,
2r
u = r2
du = 2rdr
Luego
−r2
a − 2r
e a −
2
Nuevamente integrando por partes
dv = e− a dr
2r
v = − a2 e− a
a 2r
− e− a (2rdr) = 1 (1)
2
%
u = 2r
du = 2dr
2r
− a2 e− a
(2rdr), así:
2r
dv = e− a dr
2r
v = − a2 e− a
a − 2r
a 2r
a 2r
− e− a (2rdr) = −2r
e a −
− e− a (2dr)
2
2
2
a − 2r
2r
2r
−
−
− e a (2rdr) = −r ae a + a e a dr
2
2r
a − 2r
a 2r
− e a (2rdr) = −r ae− a − e− a
(2)
2
2
retomando la ecuación (1) en (2)
−r2
−r2
a − 2r
e a
2
a − 2r
e a −
2
a 2r
− e− a (2rdr)
2
∞
a 2r
− 2r
+ −r ae a − e− a
2
0
∞
a − 2r
a
2
e a
−r − ar −
2
2 0
a − 2r
a ∞
2
a
−
e
r + ar +
2
2 0
a
a
−
−
2
2
r
1
y queda demostrado que ψ(x) = √πa
e− a es normalizable.
3
= 1
= 1
= 1
= 1
= 1
3.4. PRINCIPIO DE HEISENBERG
123
16. Para un electrón que se va a confinar en un núcleo, ¿su longitud de onda
de De Broglie tendría que ser menor que 10−14 m ¿Cuál sería la energía
cinética de un electrón confinado en esta región?
Respuesta
En este problema, el electrón puede tratarse relativisticamente el momento
del electrón es
h
λ
6, 626 × 10−34 J s
p =
10−14 m
m
p = 6, 626 × 10−20 kg
s
p =
la energía del electrón
1
E
=
p2 c2 + m2 c4 2
E
=
6, 626 × 10−20
E
E
= 1, 99 × 10−11 J
= 1, 24 × 108 eV
2
(3 × 108 m s−1 ) + 0, 511 × 106
2
(1,60 × 10−19 C)2
asi que la energía cinética es
K = E − mc2 = 124 MeV
17. Un haz de electrones incide sobre una rendija de ancho variable. Si es
posible medir una diferencia del 1 % en la cantidad de movimiento, ¿qué
ancho de rendija es necesario para resolver el patrón de interferencia de
los electrones si la energía cinética K.
Respuesta
Si la energía cinética esta dada por
p2
2m
√
p =
2mK
K
=
luego
∆x ≥
∆px
donde
∆px
=
h
√
4π( 2mK)
18. La función de onda de un electrón dentro de una caja está dada por
√
ψ(x) = 2sen(nπx)
124
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
donde x se mide en nm. Grafique en derive o en otro graficador la ψ(x) vs.
x y |ψ(x)|2 vs. x, para 0 ≥ x ≥ 1 y para n = 1, 2 y finalmente
2
|ψ(x)| =
140
&
2 sin2 (nπx).
n=1
Respuesta
√ La gráfica de la función de onda vs. la posición, para 0 ≥ x ≥ 1 de ψ(x) =
2 sin(nπx) para n = 1, 2, 3 se muestra en la siguiente Figura
y
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
x [m]
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2
-1.4
y=
√
2 sin(nπx), n = 1, 2, 3 línea continua, delgada, cuadrados
y |ψ(x)|2 vs. x para n = 1 y 2, entre 0 ≥ x ≥ 1. se muestra en la siguiente
figura y se observa que los nodos donde la probabilidad de que esté el electrón
es nula
n
1
2
3
x=0
x=0
x=0
x=1
x = 24
x = 26
x=1
x = 46
x=1
3.4. PRINCIPIO DE HEISENBERG
y
125
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
x
|y|2 = 2 sin2 (nπx),n = 1, 2, 3 linea continua, delgada, cuadrados
Tarea:
Desarrolle el laboratorio virtual que aparece en la pgina web
(http://pabdelrahim.blogspot.com.co/) titulado Experimento DavissonGermer - Sptimo Laboratorio y Quantum-wave-interference_Octavo
laboratorio.
Desarrolle el taller de laboratorio que se presenta al final del texto
como: Difracción de luz monocromática y Laboratorio formación de
cristales de sal.
Taller (incluir todos los procedimientos)
1. Grafique la energía cinética en función de la longitud de onda,
K=
Color
UV
vioketa
verde
amarillo
rojo
IR
4, 13 × 10−15 eV s
λ [nm]
10
400
500
600
700
10µm
2
2mλ2
λ−2 [nm]−2
K[eV]
126
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
2. Calcule la longitud de onda de De Broglie para un electrón que se mueve a
través de una diferencia de potencial que se indican en la siguiente Tabla.
Repita el ejercicio para un protón.
V [V]
λ [nm]
50 V
50 KV
50 MV
50 GV
3. Calcule la longitud de onda de De Broglie para una masa 45 kg que se
mueve a través de una diferencia de potencial que se indican en la siguiente
Tabla.
V [V]
λ [nm]
120 V
220 V
4. Calcule la λ de De Broglie para un protón que se mueve con la rapidez
que se indica en la siguiente Tabla.
v ms
λ [nm]
1 × 106
2, 5 × 106
4, 5 × 106
6 × 106
5. Calcule la λ de De Broglie para un electrón cuya energía cinética es como
se indica en la Tabla.
K
λ (nm)
50 eV
50 keV
50 MeV
50 GeV
6. La distancia entre átomos adyacentes en cristales es del orden de 0, 1 nm.
El empleo de electrones en estudios de difracción de cristales requiere
que la longitud de onda de De Broglie de los electrones sea del orden de
la distancia entre los átomos de los cristales. ¿Cuál debe ser la energía
mínima (en eV) de los electrones que se van a emplear con estos fines?
7. Un chorro de protones inciden sobre un par de rejillas estrechas separadas
0, 06 µm. Las bandas brillantes en el patrón de interferencia están separadas por 0, 4 mm sobre una pantalla a 20 cm de las rejillas. Determine la
diferencia de potencial a la cual se aceleraron los electrones para producir
este patrón.
8. Suponga que un electrón está confinado dentro de un núcleo de 10 nm
de diámetro. Emplee el principio de incertidumbre para determinar el
momento.
9. Un electrón y un protón tiene cada uno una velocidad de 5 × 106 ms ,
con una precisión hasta dentro 0,01 %. ¿Dentro de qué límites podemos
determinar las posiciones de los objetos?
3.4. PRINCIPIO DE HEISENBERG
127
10. Consdere la función de onda dada por :
2
π
sen n x
L
L
ψ(x) =
tome n = 1, 2 y 3 y L = 1 nm para escribir las funciones ψ(x) vs. x y la
densidad de probabilidad |ψ(x)|2 vs x. Explique,
11. Repita el ejercicio anterior paro ahora varie L como: 0, 01 nm, 0,03 nm,0,06
nm y 0,09 nm, para n = 1.
12. La función de onda de un electrón dentro de una caja está dada por
ψ(x) =
2
sen
L
2π
x
L
donde x se mide en nm.
Determine la probabilidad de hallar la partícula en las siguientes regiones
a) x = 0 y x = L4
b) x = 0 y x = L2
c) x = 0 y x = 3L
2
d) x = 0 y x = L
e) x = 0, 24L y x = 0, 26L
f) x = 0, 124 y x = 0, 126L
Nota: recuerde que para determinar la probabilidad se realiza el siguiente
procedimiento.
x= L
4
Pr
=
x=0
Pr
=
2
L
|ψ(x)|2 dx
x= L
4
2π
x dx
L
sen2
x=0
Pr
=
 
2 1 
 
L 2
x= L
4
x=0
Pr
=
Pr
=
dx −
$
1 L $$ L
−
sen
L 4 $ 4π
1
= 0, 25
4
x= L
4
cos
x=0

2π

x dx
L
$x= L
4π $$ 4
x $
L
x=0
Se halló que para este intervalo hay el 25 % de probabilidad de hallar la
partícula. Recuerde que si la probabilidad da cero, la partícula No existierá y si
es uno tendremos el 100 % de la certidumbre de que existirá en esta región.
128
CAPÍTULO 3. ONDA O PARTÍCULA
13. La longitud de onda de luz coherente de un láser de rubí es 694, 3 nm.
¿Cuál es la diferencia de energía (en eV) entre el estado superior excitado
y el estado inferior no excitado? (tome la masa del electrón).
14. Un láser de rubí emite luz de 694,3 nm. Si esta luz se debe a transiciones
de un electrón en una caja del estado n = 2 al estado n = 1, encuentre el
ancho de la caja.
15. Calcular los primeros tres niveles de energía de un neutrón atrapado en
una caja de 2 × 10−5 nm.
16. Una superficie de cualquier material con resoluciones comparables al tamaño
de un solo átomo se puede observar usando por ejemplo con el microscopio
de tunelaje exploratorio o MTE. Consulte sobre los diferentes microscopios de este tipo indicando el orden de la resolución. Además de indicar
de cómo funciona el MTE.
Taller
Ingresar a las suiente página: http://pabdelrahim.blogspot.com.co/
y desarrolle los sigientes talleres
1. Experiemtno de Frank Herz
2. Experimento Davisson-Germer
3. Quantum-wave-interference
Capítulo 4
Ecuación de Schrödinger
La primera formulación que se realizó de la teoría cuántica por Bohr presentaba una serie de inconvenientes, como:
Solo era aplicable a sistemas periódicos.
No explicaba el espectro de los átomos multielectrónicos.
No explicaba las diferentes probabilidades de transición entre distintos
niveles energéticos.
Asignaba trayectorias a los electrones, lo cual es incompatible con el principio de incertidumbre.
Lo que faltaba era una teoría unificadora que explicara los diversos fenómenos cuánticos, a saber: dualidad onda\corpúsculo de la radiación\materia,
principio de incertidumbre, probabiliadades, etc.
E. Schrödinger planteó como postulado la ecuación diferencial que permite
→
calcular la función de onda, ψ(−
r , t) que calcular las distintas magnitudes observables así como la probabilidad de encontrar las partículas en algún punto
en el espacio.
Ecuación de Schrödinger para un sistema unidimensional ψ(x, t)
La función de onda de materia para las ondas de De Broglie debe satisfacer
una ecuación desarrollada por Schrödinger. Uno de los métodos de la mecánica cuántica se enfoca en determinar una solución a la ecuación diferecial, la
cual produce a su vez las funciones de onda permitidas y los niveles de energía
del sistema bajo consideración. Las manipulaciones apropiadas de las funciones
de onda permiten el cálculo de todas las características medibles un sistema
cuántico.
129
130
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
Dedución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo Si
la forma general de la ecuación de onda para ondas electromagnéticas que viajan
en dirección x, tienen la forma de la siguiente ecuación
1 ∂ 2 ψ(x, t)
∂ 2 ψ(x, t)
= 2
2
∂x
v
∂t2
(1)
donde v es la rapidez de la onda y ψ(x, t) es la función de onda dependinete de
la posición y de tiempo.
Al describir las ondas de De Broglie restringimos nuestra discusión a sistemas
ligados cuya energía total (E) permanece constante. Puesto que E = hf, la
frecuencia de la onda de De Broglie asociada a la partícula permanece también
constante. En este caso, podemos expresar la función de onda ψ(x, t) como
el producto del término que depende sólo de x y el término que únicamente
depende de t:
ψ(x, t) = ψ(x) cos(wt) (2)
Esto es análogo al caso de ondas estacionarias en un cuerda, donde la función
de onda se representa por medio
y(x, t) = 2Asen(kx) cos (wt)
y(x, t) = y(x) cos wt.
La parte dependiente de la frecuencia de la función de onda es sinusoidal
debido a que la frecuencia se conoce con precisión. La sustitución de la ecuación
(2) en la ecuación (1) para obtener
cos(wt)
∂2ψ
∂x2
∂2ψ
∂x2
w2
v2
w2
= −
v2
= −
ψ cos(wt)
ψ
donde la frecuencia angular es
w = 2πf = 2π
v
λ
(4)
de la anterior ecuación, obtenemos
w
2π
=
v
λ
(5)
para ondas de De Broglie, tenemos que
p =
λ =
h
λ
h
p
o
(6)
(3)
131
de la ecuación (6) en la ecuación (5) y elevando al cuadrado, obtenemos
w2
v2
w2
v2
2
=
2π
λ
=
p2
(7)
ℏ2
=
4π2 2 p2
p = 2
h2
ℏ
h
y sabiendo que = 2π
se obtiene la ecuación (7).
como la energía total es la suma de la energía cinética (K) y la energía
potencial (U ), tenemos que
E
E
= K +U
p2
=
+U
2m
(8)
y despejando el momento al cuadrado de la ecuación (8), obtenemos
p2 = 2m(E − U ) (9)
sustituyendo la ecuación (9) en la ecuación (7), obtenemos
2m
p2
= 2 (E − U )
2
ℏ
(10)
y finalmente sustituyendo la ecuación (10) en la ecuación (1), obtenemos
∂ 2 ψ(x)
2m
= − 2 (E − U )ψ(x) (11)
2
∂x
Debido a que esta ecuación es independiente del tiempo, se conoce comúnmente como la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
Si se conoce el potencial (U ) del sistema se puede obtener las funciones de
onda y la energía total del sistema. Ahora como la energía potencila varía con
la posición, es necesario resolver la ecuación (11) por partes o regiones.
Condiciones de frontera para ψ(x)
En el lenguaje de las funciones de onda se requiere que sean:
1. Tanto ψ(x) como su derivada espacial deben ser funciones continuas, finitas y monoevaluadas.
2. Debe cumplirse la condición de normalización,
todo el espacio
|ψ(x)|2 dx = 1
(12)
Que nos dice que la probabilidad de encontrar la partícula en algún punto
x debe ser igual a la unidad y debe poderse calcular el valor esperanza
con:
∞
x |ψ|2 dx (13)
x =
−∞
132
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
Las funciones que satisfacen estas condiciones se dice que, se comportan bien. El buen comportamiento es un requerimiento que tiene como base esperar
un valor razonable, desde el punto de vista físico, para la densidad de probabilidad |ψ(x)|2 , ya que debe conducir a una probabilidad total finita, debe ser
continua (como la probabilidad clásica) y debe asignar, sin ambigüedad, una
única densidad de probabilidad para el sistema en cada punto del espacio.
4.1.
La ecuación Schrödinger
En 1865 y 1905 se conocían bien las ecuaciones de Maxwell donde se decía
que la luz era una onda electromagnética. En 1900 Planck formuló la ecuación
para determinar la energía de los fotones (E = f). Luego a partir de Planck
se decía que la luz era un paquete de energía que viaja en forma continua. En
1905 Einstein publicó un artículo sobre la teoría de la relatividad especial que
explicaba que una partícula con una cierta masa y cantidad de movimiento viaja
en el espacio libre con una energía igual a
E 2 = m2 c4 + (pc)2 (1)
Donde al sustituir la masa por cero en la ecaución (1) (debido a que la luz son
corpúsculos que no tienen masa) se tiene que:
E = pc (2)
Pero si comparamos las dos energías de Planck y la ecuación de Einstein (ecuación
1), obtenemos que la energía sepuede reescribir como:
E = pc = f (3)
De Broglie enuncio "toda la materia presenta características tanto ondulatorias
como corpusculares de uno y otro modo dependiendo del experimento específico", o sea p = hλ . Davisson - Germer comprobaron experimentalmente la hipótesis de De Broglie, lanzando partículas sobre un material y observando la forma
como estas partículas rebotaban.
Donde la partícula de masa m que va a cierta velocidad v se le puede asociar
una longitud de onda. Schrödinger sabía que la relación de De Broglie funcionaba experimentalmente para unas partículas libres que se mueven con rapidez
constante. La pregunta es si era posible encontrar una relación más general
para partículas sometidas a fuerza.
La ecuación de Schrödinger tiene como solución una función de onda que
depende de la posición y del tiempo, como es un número complejo, el módulo al
cuadrado es proporcional a la probabilidad (o densidad de carga o densidad de
masa) de encontrar la partícula en la posición x en el tiempo t, si la partícula
está sometida a un campo de fuerzas asociado a una energía potencial.
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
133
Ejemplos:
Una partícula de masa m se coloca dentro dos paredes muy estrechas. Se
buscará una función de onda donde se cumpla que sobre las paredes la
función sea cero y en cualquier otro punto sea diferente de cero.
Una partícula de masa m se coloca dentro de un campo de fuerza que
es como tener un átomo dentro de un cristal, la fuerza que ejercen todos
los demás átomos sobre la partícula, puede parecerse a como si estuviera
enganchado a un resorte y este tomaría algún tipo de forma cuántica.
En conclusión lo que se quiere mostrar en este capitulo es que la ecuación
de Schrödinger explica los fenómenos observados experimentalmente al lanzar
partículas de una en una obteniendose en la pantalla un patrón de interferencia
y además cuando se aumentaba la energía de la partícula (bien definida) se crean
los estados estacionarios o orbitales del hidrógeno y en el salto de un estado mas
energético a otro estado menos energético la energía sobrante se emite en forma
de luz o si viene un fotón que incide sobre un electrón, este absorbe la energía
del fotón y salta a un nivel de energía mas energético.
A continuación encontraremos la función de onda que solo dependa de la
posición y suponiendo que la longitud de onda cambia con la posición y hallaremos la energía para cada región donde se encuentre la partícula.
1. Partícula libre (U = 0)
2. Escalón potencial.
3. Barrera de potencial
4. Barrera de potencial de paredes infinitas
5. Pozo de potencial
Partícula libre
Si sobre una partícula no actúa fuerzas, la energía potencial se cero. Luego
decimos que la partícula está libre de interación. De acuerdo a la ecuación (11)
tenemos que:
2mE
∂ 2 ψ(x)
+
ψ(x) = 0 (1)
2
∂x2
donde el número de onda (el número de onda es una magnitud de frecuencia
que indica el número de veces que vibra una onda en una unidad de distancia)
k2 =
2mE
2
(2)
luego la ecuación (1) nos queda
∂ 2 ψ(x)
+ k2 ψ(x) = 0 (3)
∂x2
134
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
Figura 4.1:
la solución correspondiente a valores definidos de la energía y del momento viene
dada por la onda plana independinete del tiempo:
ψ (x) = ψ0 expikx (4)
sustituyendo el valor de k en la ecuación (4) obtenemos
i ±
ψ (x) = ψ0 exp
√
2mE
x
(5)
donde el signo mas y menos nos indica que hay una onda simple directa y una
onda simple reflejada en alguna parte, pero aquí de momento como no hay donde
reflejarse se tomará hacia la derecha.
La energía sería
2 2
k
p2
f=
=
(6)
2m
2m
4.1.1.
Escalón Potencial
Este potencial contiene una región x ≺ 0 en la que la energía potencial es
nula, seguida de una región x ≻ 0 en la que la energía potencial es constante y
tiene un valor de U (x).
Se pueden presentar dos casos : Uno donde la energía de la partícula es
mayor que la energía potencial E ≻ U (x) y la segunda donde la energía de la
partícula sea menor a la energía potencial E ≺ U (x).
Planteamos la ecuación de Schrödinger en cada una de las regiones y hallamos su solución de forma semejante al de la partícula libre. Figura 4.1
Primer caso E ≻ U(x). Se define la ecuación de Schrödinger independiente
del tiempo de una partícula de masa m y energía total E para las regiones I y
II , así:
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
135
En la región I es lo mismo que se expuso para la partícula libre
d2 ψI (x) 2mE
+ 2 ψI (x) = 0
dx2
ℏ
con número de onda igual a
k2 =
2mE
x≺0
(1)
(2)
2
la ecuación de Schrödinger (1) nos queda como
d2 ψI (x)
+ k2 ψI (x) = 0
dx2
x≺0
(3)
la función de onda que soluciona la ecuación (3) podría ser (tiene dos términos
debido a que esta incide y se refleja)
ψI (x) = Aeikx + Be−ikx
x≺0
(4)
Para la región II La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo nos
queda
d2 ψII (x) 2m (E − U)
+
ψII (x) = 0
x≻0
dx2
ℏ2
con el número de onda igual a
#
2m (E − U )
α=
x≻0
(5)
ℏ
luego la ecuación de Schrödinger en la región II nos queda
d2 ψII (x)
+ α2 ψII (x) = 0 x ≻ 0
dx2
(6)
y la ecuación que soluciona esta ecuación de segundo orden es
ψII (x) = Ceiαx
x≻0
(7)
Donde el flujo incidente desde −∞ está asociado a Aeikx el flujo reflejado en la
interfaz dado por Be−ikx y el flujo transmitido por Ceiαx .
La onda plana que se desplaza hacia la izquierda desde +∞ no tiene sentido
físico en este problema, por lo que D = 0. Las dos componentes de la solución
para x ≺ 0 interfieren entre si dando lugar a una densidad de probabilidad
oscilatorio para x ≺ 0. Sin embargo, la densidad de probabilidad es |C|2 , o sea
uniforme para x ≻ 0.
Aplicando las condiciones de frontera a las funciones (4) y (7) en el punto
x = 0, obtenemos los coeficientes B y C en función de A.
ψI (0) = ψII (0) (8)
dψI (0)
dψII (0)
=
(9)
dx
dx
136
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
estas condiciones aplicadas nos da
= C
(10)
k
(A − B) = C
α
(11)
A+B
Igualando las ecuaciones (10) y (11) para obtener los coeficientes de flujo incidenteC
reflejado B
A y flujo relejado-trasmitido A en la discontinuidad del potencial,
x = 0.
A+B
=
k
A =
α
k
A 1−
=
α
k−α
A
=
α
A−
B
=
k
(A − B)
α
k
−B − B
α
k
−B 1 +
α
k+α
B
α
k−α
A
k+α
por definición el coeficiente de reflexión R como la razón entre el flujo reflejado
2
2
JR = ℏk|B|
y el flujo incidente J0 = ℏk|A|
m
m
JR
|B|2
=
Jo
|A|2
R =
k−α
k+α
R =
2
(10)
y C
A sería
C
C
C
C
A
= A+B
k−α
A
k+α
k−α
= A 1+
k+α
2k
=
k+α
= A+
En forma similar, se define el coeficiente de transmisión T como la razón entre
2
el flujo transmitido JT = ℏk|C|
y el flujo incidente, de modo que
m
T =
JT
=
Jo
C
A
2
=
2k
α+k
2
(11)
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
137
por lo que las funciones de onda incidente Aeikx , reflejada A
transmitida A
2k
α+k
k−α
k+α
e−ikx y
eiαx serian igual a
ψI (x) = Aeikx + A
ψII (x) = A
2k
α+k
k−α
k+α
e−ikx
eiαx
x≻0
x≺0
Caso E ≺ U(x) Cuando la energía del haz incidente es menor que la del
escalón E ≺ U , clásicamente no hay transmisión posible hacia la región x ≻ 0.
En el caso cuántico, existe una probabilidad no nula de encontrar la partícula
en la región elásticamente prohibida.
Para la región I el procedimiento es igual que para el caso E ≻ U . Pero para
la región II α es imaginaria
γ = iα (12)
ahora la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en la región II es
d2 ψII (x) 2m (E − U)
+
ψII (x) = 0
dx2
ℏ2
con el número de onda igual a
#
2m (U − E)
γ=
ℏ
x≻0
x ≻ 0 (13)
luego la ecuación de Schrödinger en la región II nos queda
d2 ψII (x)
+ γ 2 ψII (x) = 0 x ≻ 0 (14)
dx2
y la ecuación que soluciona esta ecuación de segundo orden es
ψII (x) = Ceiγx
x ≻ 0 (15)
Se ha tomado D = 0 en la ecuación (15) porque esta componente en este caso
es una exponencial crecienete que no es normalizable. La exponencial decreciente
en x ≻ 0 está asociada a la probabilidad de encontrar a la partícula en la región
clásicamente prohibida.
Las condiciones de continuidad (8) y (9) aplicadas a las ecuaciones (4) y (15)
son válidas con γ = iα. Por lo tanto para E ≺ V0 se tiene
A+B
Aik − Bik
= C
= Ci γ
138
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
o lo que es lo mismo
C
= A+B
k
(A − B) (16)
=
γ
C
k
(A − B)
γ
k
k
A − A = −B − B
γ
γ
A+B
=
B
= −
B
=
B
= A
A
A 1 − γk
1 + γk
k
γ −1
1 + kγ
k−γ
k+γ
(17)
luego si γ = iα
B
A
C
A
=
=
k − iα
k + iα
2k
k + iα
en este caso, las constantes B y C son complejas, el coeficiente de reflexión es
|B|2
=
|A|2
k − iα
k + iα
2
R=
|C|2
2k
k + iα
2
T =
y no hay flujo transmitido.
2 =
|A|
y las funciones propias serían igual a
ψI (x) = Aeikx + A
k − iα
k + iα
e−ikx
2k
k + iα
e−αx
x≻0
ψII (x) = A
x≺0
sin embargo, la función no es nula para x ≻ 0 existe una probabilidad finita de
que la partícula esté bajo el escalón en una región clásicamente inaccesible con
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
139
Figura 4.2:
E ≺ V0 . La probabilidad de penetración es
θ
P
=
0
P
|ψII (x)|2 dx =
= |A|2
|C|2
|A|2
=
2γ
2
2k
k + iα
2
2k2
(k + iα)2
evolución con el tiempo de una partícula con E ≻ U (paquete de ondas) que se
acerca a un escalón de potencial.
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4.1.2.
Barrera de potencial
Clasimamente, si la energía de la partícula es menor que la barrera siempre
será reflejada, mientras que si la energía es mayor que la de la barrera siempre
la pasará. La probabilidad de que la partícula pase a través de la barrera viene
dada por el coeficiente de transmisión, mientras que la probabilidad de que la
partícula sea reflejada viene dada por el coeficiente de reflexión.
Si la partícula tiene una energía con un valor menor a la barrera de potencial,
en la reg ión I la función de onda sería ig ual a la de la partícula libre y cuando
la partícula penetra en la región II. Hasta que toca la pared y continúa
con la solución de la partícula libre pero con menor amplitud, esto nos
indica que la partícula que pase a la región III es pequeña y con una
energía menor a la energía de la región I.
140
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
Figura 4.3:
Qué ocurre cuánticamente
Al igual que en los dos casos anteriores se aplica la ecuación de Schrödinger
en las tres regiones
Enumeramos a cada una: zona I (x ≺ 0) , la zona II (0 ≤ x ≤ a) y zona
III (x ≻ a) . Las ecuaciones de Schrödinger son para las regiones I y III, según
igual de la partícula libre, así
2mE
d2 ψI
+ 2 ψI = 0 región I y III (1)
dx2
el vector de onda
k2 =
2mE
2
(2)
la ecuación (1) nos queda en las regiones I y III
∂ 2 ψI
+ k2 ψI = 0
∂x2
(3)
donde la solución para (3) corresponde a una combinación lineal de funciones
senoidales planas
ψI
ψIII
= A cos kx + Bsenkx (4)
= F cos kx + Gsenkx (5)
la ecuación de Schrödinger para la región II, es más compleja
2m
∂ 2 ψII
+ 2 (E − U )ψII = 0 región II (6)
2
∂x
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
141
Figura 4.4:
donde la solución de la ecuación (6), será ig ual a:
ψII (x) = Ceαx + De−αx (7)
donde el número de onda es
α2 =
2m
2
(E − U) (8)
donde aplicando las condiciones de frontera a las ecuaciones 4,5 y 7, donde
la función y su primera derivada son continuas en x = 0 y x = a.
ψI (0)
dψ I (0)
dx
ψII (a)
dψII (a)
dx
= ψII (0)
dψ II (0)
=
dx
= ψIII (a)
dψ III (a)
=
dx
se obtienen las ecuaciones
A+B
Aik − Bik
Ceiαa + De−iαa
iαCeiαa − iαDe−iαa
=
=
=
=
C +D
iαC − iαD
F eika + Ge−ika
ikF eika − ikGe−ika
que se usan para hallar A, B, C, F y G y obtener el coeficiente de incidencia,
reflexión R y transmisión T :
T =
1
α2 −k2 2
sen2 αa
2αk
1+
Se deja al estudiante que a partir de las cuatro ecuaciones anteriores se deduzca
los coeficientes de incidencia, transmisión y reflexión.
142
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
Figura 4.5:
4.1.3.
Barrera de potencial de paredes infinitas
Este se tiene un potencial no nulo rodeado por dos potenciales nulos a lado y
lado. Que es esencialmente el de una partícula atrapada en una caja con paredes
rígidas. Figura 4.5
El pozo de potencial rectangular de profundidad finita abre la posibilidad
de que una partícula viajera libre que pase por dicho pozo de potencial pueda
quedar atrapada. O puesto de otra manera, en términos probabilísticos, con un
pozo de potencial de profundidad finita cierta cantidad X de partículas que pasen
por dicho pozo dejarán una cantidad Y de partículas que quedarán atrapadas
en el mismo, siendo la probabilidad de quedar atrapadas igual a Y/X. Si bien,
para el caso de una partícula atrapada entre dos paredes rígidas (un potencial
infinitamente grande), la cantidad posible de estados cuánticos era teóricamente
infinita:
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para las regiones I y
III
2mE
d2 ψI (x)
+
ψI (x) = 0 (1)
dx2
ℏ2
El vector de onda es
k2 =
2mE
(2)
ℏ2
la ecuación (1) nos queda,
d2 ψ(x)
+ k2 ψ(x) = 0 (3)
dx2
Puesto que las paredes son infinitamene altas, la partícula no puede existir
afuera de la caja. Esta confinada a estar entre 0 ≺ x ≺ L y como se debe cumplir
que ψ(0) = ψ(L) = 0, que corresponde a las condiciones de frontera. Tenemos
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
143
que la función de onda que cumple estas condiciones es
ψI (x) = Asen(kx) (4)
donde para que se cumpla ψ(L) = 0 se debe hacer
√
2mE
L = nπ (5)
kL =
ℏ
despejando la energía (E) en la ecuación (5)
2mE 2
L
ℏ2
E
Si,
2
= (nπ)
=
(nπ)2 ℏ2
2mL2
h
= 2π
, por lo tanto la energía (E) es
E=
h2
8mL2
n2 (6)
Sustituyendo k = nπ
L en la ecuación (4) se obtiene
ψI (x) = Asen
nπ
x
L
(7)
Para hallar A se normaliza la función de onda, o sea se normaliza la función (7)
|ψI (x)|2 dx = 1
$
nπ $$2
$
x $ dx = 1
$Asen
L
nπ
A2 sen2
x dx = 1 (8)
L
Si la función trigonométrica fundamental es sen2 x + cos2 x = 1 o lo que es lo
mismo cos2x = cos2 x − sen2 x, con estas dos ecuaciones llegamos a
1
sen2 x = (1 − cos 2x)
2
así la integral de la ecuación (8), queda como
A2
2
L
0
1 − cos 2
nπ
x
L
A2
2
dx = 1
L
dx = 1
0
A2
L = 1
2
A =
2
L
(9)
144
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
Luego, la función de onda para la partícula libre, nos queda como
ψI (x) =
4.1.4.
nπ
2
sen
x
L
L
(10)
Pozo de potencial
Consideremos una partícula obligada a moverse en una región entre x = −a
y x = a, tal como una molécula en una caja, un electrón libre en un trozo de
metal, etc. Si la energía cinética del electrón es pequeña comparada con la altura
de la barrera de potencial, el electrón se podrá mover libremente a través del
metal pero no podrá escapar de él.
Podemos representar estas situaciones físicas, por un potencial rectangular
de altura infinita. Tenemos que U = 0 para −a ≺ x ≺ a, ya que la partícula
se mueve libremente en esta región, fuera de esta región la energía potencial se
hace infinita. Entonces, cualquiera que sea el valor de la energía de la partícula,
no puede estar a la izquierda de x = −a, ni a la derecha de x = a. La función
de onda en dichas regiones debe de ser nula.
La ecuación de Schrödinger en la región −a ≺ x ≺ a donde U = 0 la solución
es la partícula libre y para las regiones donde U = 0 la función son exponenciales
decresientes y que se tiene una onda dentro y dos colas exponenciales.
ψI (x) = Aeαx
ψII (x) = Beikx
ψIII (x) = Ce−αx
Ejercicios
2
2
2 2π
1. a) Grafique ψ(x) = L2 sen 2π
L x y |ψ(x)| = L sen
L x para L = 1,
2 y 3 metros entre 0 ≻ x ≻ 1 b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al
electrón entre x = 0 y x = L2 ? c) Grafique E en función de n para L = 1,
2 y 3 metros
Respuesta
La siguiente figura muestra la función de onda ψ(x) =
valores de L = 1, 2 y 3 metros.
2
L sen
2π
Lx
para
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
y
145
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
x
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2
-1.4
L = 1, 2 y 3 m, línea continua, punteada y circulos
y
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
L = 1, 2 y 3 metros, línea continua, punteada y circulos
1.0
x
146
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
d) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al electrón entre x = 0 y x = L2 ?
P
L
2
=
0
P
L
2
=
2
sen2
L
0
P
P
=
=
P
=
P
=
2
L
1
L
2
2
4π
sen
x
L
L
L
2
0
0
4π
x dx
L
1
1 − cos2
2
L
2
dx −
dx
L
2
4π
x
L
cos2
0
dx
4π
x dx
L
1 L
L
−
sen (2π) − sen00
L 2
4π
1 L
1
=
L 2
2
La probabilidad total de encontrar la partícula entre x = 0 y x = L2 es del
50 %
e) Grafique la energía total en función de n, para L = 1, 2 y 3 metros.
Respuesta
En la siguiente figura se observa que la parabola se hace mas plana al aumentar el ancho del pozo.
E=
6, 626 × 10−34 J s
2
8(9, 109 × 10−31 kg) (L)2
n2
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
147
E[J] 1.4e-36
1.2e-36
1.0e-36
8.0e-37
6.0e-37
4.0e-37
2.0e-37
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
n
L = 1, 2 y 3 m, línea continua, punteada y circulos
2. La función de onda para una partícula restringida a moverse en una caja
unidimensional es
ψ(x) = Asen
nπ
x
L
(1)
emplee la condición de normalización en ψ para demostrar que
A=
2
L
Respuesta
De acuerdo a la condición de normalización, se tiene que
L
0
|ψ(x)|2 dx = 1 (2)
148
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
luego, sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación (2), obtenemos
L
π
x dx = 1
L
A2 sen2
0
L
A2
0
1 1
πx
− cos
2 2
L
L
A2
2
0
L
dx −
cos
0
dx
= 1
πx
dx
L
= 1
L
2
= 1
A2
A =
2
L
3. La función de una partícula es
ψ(x) =
a
π(x2 + a2 )
para a ≻ 0 y −∞ ≺ x ≺ ∞. Determine la probabilidad de que la partícula
se localice en algún punto entre x = −a y x = a [1].
Respuesta
a
P
=
−a
P
=
P
=
P
=
|ψ(x)|2 dx =
a
a
dx
2 + a2 )
π(x
−a
a 1 $$ −1 x $$a
$tan
$
πa
a −a
1
tan−1 1 − tan−1 (−1)
π
1 π
π
1
− −
=
π 4
4
2
4. Una partícula de masa m se mueve en un pozo de potencial de ancho 2L
(de x = −L y x = L), y en este pozo el potencial está dado por
V (x) =
−ℏ2 x2
(1)
mL2 (L2 − x2 )
además, la partícula está en un estado estacionario descrito por la función
de onda,
x2
ψ(x) = A 1 − 2 (2)
L
para −L ≺ x ≺ L y ψ(x) = 0 en cualquier otro lado [1].
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
149
a) Grafique V (x) en función de x, para L = 1 nm y la partícula es un
electrón. b) Determine la energía de la partícula en términos de ℏ, m y L, c)
15
16L y d) Determine la probabilidad de que la partícula se
localice como entre x = − L3 y x = L3 [1].
Muestre que A =
Respuesta
a) La siguiente grárica corresponde a la ecuación
V (x) =
−ℏ2 x2
mL2 (L2 − x2 )
V[x]
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x[m]
2
−(1,05457266×10−34 J s) x2
V (x) = (9,1093897×10−31 kg)((10−9 )2 (10−9 )2 −x2 )
b) Para hallar el valor de la energía de la partícula usamos la ecuación de
Schrödinger
d2 ψ(x) 2m
+ 2 (E − U ) ψ(x) = 0 (3)
dx2
ℏ
luego, calculamos cada uno de estos términos con la función
ψ(x) = A 1 −
dψ(x)
dx
d2 ψ(x)
dx2
=
=
−2Ax
L2
−2A
L2
x2
L2
(5)
(4)
150
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
sustituyendo las ecuaciones (1), (4) y (5) en la ecuación (3), obtenemos
−ℏ2 x2
x2
2A 2m
+
E
−
A
1
−
L2
ℏ2
mL2 (L2 − x2 )
L2
2
2 2
x
2m
ℏ x
x2
2A 2m
+ 2
A
1
−
− 2 + 2 E A 1− 2
L
ℏ
L
ℏ
mL2 (L2 − x2 )
L2
2
2
1
m
x
x
x2
− 2 + 2E 1 − 2 + 2 2
1
−
L
ℏ
L
L (L − x2 )
L2
2
2
2
2
1
m
L −x
x
L − x2
− 2 + 2E
+
L
ℏ
L2
L2 (L2 − x2 )
L2
2
2
1
m
L −x
x2
− 2 + 2E
+
L
ℏ
L2
L4
m
x2
−1 + 2 E L2 − x2 + 2
ℏ
L
−
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0 (6)
Luego obtenemos la energía despejandola de la ecuación (6)
E
=
E
=
E
=
ℏ2
m (L2 − x2 )
ℏ2
m (L2 − x2 )
ℏ2
mL2
x2
L2
2
L − x2
L2
1−
b) Recuerde que para determinar el valor de la amplitud de la onda, A, se
%L
debe aplicar la condición de normalización, −L |ψ(x)|2 dx) = 1
L
A2
L
−L
−L
A2 1 −
1−
x2
L2
2x2
x4
+
L2
L4
2
dx = 1
dx = 1
$
$L
$
2x3
x5 $$
A $x − 2 + 5 $
= 1
3L
5L −L
16
A2 L = 1
15
2$
A =
15
16L
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
151
c) Para determinar la probabilidad de que la partícula se localice como entre
x = − L3 y x = L3 , se procede de la siguiente manera:


2
L
2
4
3
2x
x
15

1 − 2 + 4  dx
P =
16L
L
L
−L
3
L
P
=
15
2x3
x5 3
x− 2 + 4
16L
3L
5L − L
3
30 L 2L
L
P =
−
+
16L 3
81
1215
47
P =
= 0, 580
81
5. Dos alambres conductores de cobre están separados por una capa aislante.
Modele la capa aislante como una barrera cuadrada de 10eV de altura a
fin de calcular el coeficiente de transmisión para penetración de electrones
de 7eV si el grosor de la capa mide a 5 nm.
Respuesta
α =
α =
#
2m (E − U )
ℏ
2
511keV
c2
(3 × 10−3 keV)
1, 973 keVc Å
−1
α = 0, 8875 Å
así el coeficiente de transmisión sería
*−1
)
U2
1
2
T =
1+
senh αL
4 E(U − E)
*−1
)
1 102
−1
T =
1+
senh2 (0, 8875Å )50Å
4 7(3)
T
= 0, 963 × 10−38
6. La energía total de una partícula que se mueve con movimiento armónico
2
p2x
simple a lo largo del eje x es E = 2m
+ kx2 donde px es el momento de la
partícula y k es a constante del resorte [1].
a) Empleando el principio de incertidumbre, muestre que esta expresión
puede escribirse tambien como
E=
p2x
kℏ2
+ 2
2m 2px
b) Muestre la energía cinética mínimo del oscilador armónico
Kmı́n =
1
p2x
= ℏ
2m
2
ℏw
k
=
m
2
152
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
Respuesta a) si la energía total de un oscilador armónico es
E=
p2x
kx2
+
(1)
2m
2
Entonces por el principio de incertidumbre tenemos que
∆x∆p = ℏ
ℏ
x =
(2)
p
Así sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) obtenemos
E=
p2x
kℏ2
+ 2 (3)
2m 2px
b) El mínimo de la energía total se obtiene
dE
=0
dpx
Derivando la ecuación (3) con respecto a la componente x del momento
d
p2x
kℏ2
+ 2
dpx 2m 2px
p
kℏ2
− 3
m 2px
p4x
= 0
= 0
= mkℏ2 (4)
2
px
Si la energía cinética la escribimos como Kmı́n = 2m
y sustituyendo (4) en esta
ecuación, obtenemos
√
p2x
mkℏ2
1
k
ℏw
Kmı́n =
=
= ℏ
=
2m
2m
2
m
2
7. Determine las funciones de onda y la energía para el segundo nivel excitado de una partícula en una caja cúbica cuya arista mide L. ¿Cuál es la
degeneración de este nivel?
Respuesta
El segundo nivel excitado corresponde a las tres combinaciones de los
números cuánticos
n1
n1
n1
= 2,
= 2,
= 1,
n2 = 2
n2 = 1
n2 = 2
n3 = 1
n3 = 2
n3 = 2
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
153
las funciones de onda correspondientes en el interior de la caja son
2π
2π
π
x sen
y sen
z e−iE221 t/ℏ
L
L
L
2π
π
2π
x sen
y sen
z e−iE212 t/ℏ
= Asen
L
L
L
π
2π
2π
= Asen
x sen
y sen
z e−iE122 t/ℏ
L
L
L
= Asen
Ψ221
Ψ221
Ψ122
El nivel es triplemente degenerado, ya que cada una de estas funciones de
onda poseen la misma energía,
E221 = E212 = E122 =
9πℏ2
2mL2
8 Calcule la longitud de onda mínima del fotón que debiera ser absorbido
para que un electrón situado en el estado fundamental de un pozo monodimensional de paredes infinitas de anchura L = 2 Å transite hasta el tercer
estado excitado. Si la energía del electrón en el estado fundamental en el
pozo es
1, 0545 × 10−34 J s π2
ℏ2
=
2mL2
2 (9, 109 × 10−31 kg) (2 × 10−10 m)2
E
=
E
= 1, 49 × 10−18 J = 9, 34 eV
y la energía en el tercer estado excitado (n = 4) es,
E4 = 16E0 = 149, 4 eV
la energía, ∆E, necesaria para realizar la transición del estado 1 −→ 4 vendrá
dada por
E = (42 − 12 )E0 = 15E0 = 2, 23 × 10−17 J
Teniendo ahora en cuenta que la energía de un fotón es E = hc
λ , la longitud
de onda mínima, λmin , de un fotón capaz de producir la transición anterior al
ser absorbido.
9. Un fotón apenas es capaz de producir un efecto fotoeléctrico cando incide
sobre una placa de sodio que tiene una función de trabajo de 2,28 eV.
Encuentre a) el mínimo n para un átomo de hidrógeno que puede ser
ionizado por medio de este fotón, y b) la velocidad del electrón liberado
que se aleja del núcleo.
Respuesta
La función trabajo del metal es φ = 2, 28 eV y si la energía requerida para
ionizar el átomo de hidrogeno del estado n = 2 es:
E=−
13, 6 eV
= −3, 4 eV
4
154
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
Puede ionizarse el átomo de hidrogeno en el n = 3 estado, con energía
E=−
13, 6 eV
= −1, 51 eV
9
b) El electrón liberado puede tener una energía cinética de
K
K
= 2, 28 eV − 1, 51 eV
1
= 0, 769 eV = mv2
2
2(0, 769V )(1,6021 × 10−19 C)
9, 1 × 10−31 kg
v
=
v
= 520
km
s
10. Haga una gráfica de la función potencial
1 l(l + 1)
V (r) = − +
r
r2
para valores enteros de l = 0, 1, 2, yendo desde la absisa r = 0 hasta r = 20.
Respueta
En la siguiente Figura se observa que para l = 0 la curva de la función
(línea contínua) se colapsa yéndose hacia ∞ lo que corresponde a un potencial
Coulombiano, no puede representar una órbita estable.
Para l = 1 , representado por la curva punteada, tenemos un pozo de potencial, entre cuyas paredes podemos tener al electrón rebotando de una pared
a otra.
Para l = 2, representado por la curva de estrellas, se tiene un pozo de
potencial que ofrece una órbita estable.
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
V(r)
155
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
r
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
l = 0,1,2, linea continua, puenteda V (r) = − 1r + l(l+1)
r2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
z -40.0 0 0
-2
-0.1
2
y
4
1
2
x
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
l = 0,1 y 2 V (r) = − 1r + l(l+1)
r2
3
4
156
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
4.1.5.
Pozo de potencial tridimensional de altura infinita
Considérese una situación en la que una partícula cuántica está confinada en
cierta región del espacio (por ejemplo, una caja) de la que no puede salir. La caja
tiene una arista de lado L y ocupa la región 0 ≺ x, y, z ≺ L . Se supone que las
paredes de la caja son lisas, de modo que solo se ejercen fuerzas perpendiculares
a la superficie, y que las colisiones contra las paredes son elásticas. Una partícula
clásica podría oscilar dentro de la caja, chocando contra las paredes. En cada
colisión, la componente normal a la pared de la cantidad de movimiento de la
partícula se invierte (cambia de signo), mientras que las otras dos componentes
de la cantidad de movimiento permanecen sin cambio. Así, las colisiones preservan la magnitud de cada componente de la cantidad de movimiento, además de
la energía total de la partícula. Así estas cuatro cantidades: |px |, |py | y ,|pz | y
E son constantes del movimiento clásico, por lo que debe ser posible encontrar
estados cuánticos para las cuales todas sean nítidas [1].
2
→
→
→
La función de onda Ψ(−
r , t) y su magnitud P (−
r , t) = |Ψ(−
r , t)| que ahora es
una probabilidad por unidad de volumen que al multiplicarla por el elemento de
volumen se obtiene la probabilidad de encontrar la partícula dentro del elemento
→
de volumen dV en el punto −
r en el instante t. Hay dos eventos
→
Ψ(−
r , t) = 0 en las paredes y en el exterior
−
→
Ψ( r , t) = 0 dentro de la caja la partícula es libre
y retomando la ecuación de Schrödinger independiente respecto al tiempo tenemos
ℏ2
∂2
∂2
∂2
→
→
→
→
+
+
ψ(−
r ) + U (−
r )ψ(−
r ) = Eψ(−
r ) (1)
2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Para resolver la ecuación de Schrödinger en este sistema, debemos tener en
cuenta que ahora la energía potencial depende de las tres variables espaciales x,
y y z, es decir, nos enfrentamos a un problema tridimensional donde el operador
laplaciano se define como
−
▽2 ≡
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
luego la ecuación de Schrödinger la reescribimos de la siguiente forma
−
ℏ2 2 −
→
→
→
▽ ψ(→
r ) + U (−
r )ψ(−
r ) = Eψ(−
r ) (2)
2m
→
Donde U (−
r ) es la energía potencial que es función de la posición y debido
a que los estados estacionarios son aquellos en los que todas las probabilidades
son constantes en el tiempo, y están dadas por soluciones de la ecuación de
→
Schrödinger en la forma separable, el cual supone que la función de onda, ψ(−
r ),
puede expresarse como el producto de tres funciones, cada una de las cuales
depende únicamente de una de las variables espaciales, esto es,
→
ψ(−
r ) = ψ(x, y, z) = ψ (x)ψ (y)ψ (z) (3)
1
2
3
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
157
Al sustituir la ecuación (3) en la ecuación (1) y dividir cada término entre la
→
función ψ(x, y, z) se obtiene para U (−
r)=0
−
ℏ2 ∂ 2 ψ2
ℏ2 ∂ 2 ψ3
ℏ2 ∂ 2 ψ1
−
−
= E (4)
2mψ 1 ∂x2
2mψ2 ∂y 2
2mψ3 ∂z 2
En esta forma las variables independientes están aisladas: el primer término a
la izquierda depende solo de x, el segundo, solo de y, y el tercero, solo de z.
Para satisfacer la ecuación en todas partes dentro del cubo, cada uno de estos
términos debe reducirse a una constante:
ℏ2 ∂ 2 ψ1
2mψ1 ∂x2
ℏ2 ∂ 2 ψ2
−
2mψ2 ∂y2
ℏ2 ∂ 2 ψ3
−
2mψ3 ∂z 2
−
= E1 (5)
= E2 (6)
= E3 (7)
Los estados estacionarios de una partícula confinada a un cubo se obtienen a
partir de estas tres ecuaciones separadas. La energía E1 , E2 y E3 son constantes
de separación y representan la energía de movimiento a lo largo de los tres
ejes cartesianos x, y e z. De acuerdo con esta identificación la ecuación de
Schrödinger requiere que E = E1 + E2 + E3 . La ecuación (5) es similar a la del
pozo cuadrado infinito en una dimensión donde el número de onda de oscilación
k se define como
2mE1
k12 =
(8)
ℏ2
Donde este k cumple la condición de que la función de onda debe desaparecer
en la pared x = 0 y x = L implicando que k1 L = n1 π, donde n1 es un entero
positivo. En otras palabras, debe ser posible ajustar un número entero de semilongitudes de onda en la caja a lo largo de la dirección x. Se concluye que la
magnitud de la cantidad de movimiento de la partícula a lo largo de la dirección
debe ser uno de los valores especiales.
|px | = ℏk1 = n1
πℏ
n1 = 1, 2, 3.....
L
Lo mismo se aplica a las ecuaciones (6) y (7). Mostrando que la cantidad de
movimiento está cuantizada en las tres direcciones
πℏ
n1 = 1, 2, 3..... (9)
L
πℏ
|py | = ℏk2 = n2
n2 = 1, 2, 3..... (10)
L
πℏ
|pz | = ℏk3 = n3
n3 = 1, 2, 3..... (11)
L
|px | = ℏk1 = n1
Observe que ni = 0 no está permitido ya que esta elección conduce a una ψ1
que sería cero y a una función de onda que desaparece en todas partes. Debido a
158
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
que las cantidades de movimiento están restringidas de esta manera, la energía
de la partícula (cinética) está limitada a los siguientes valores discretos
E
=
E
=
1
|px |2 + |py |2 + |pz |2
2m
π 2 ℏ2
n2 + n22 + n23 (12)
2mL2 1
Así, pues, confinar a la partícula en el cubo sirve para cuantizar su cantidad de movimiento y energía según las ecuaciones de la 10 a la 12. Observe
que para especificar el estado cuático se requieren tres números cuánticos que
corresponden a los tres grados de libertad independientes para una partícula
en el espacio. Estos números cuánticos especifican los valores asumidos por los
observadores nítidos para este sistema.
Al resumir los resultados anteriores se observa que los estados estacionarios
para cada partícula son
ψ(x, y, z) = Asen(k1 x)sen(k2 y)sen(k3 z)
ψ(x, y, z) = 0
Para 0 ≺ x, y, z ≺ L (13)
En caso contrario
La siguiente figura muestra ψ(x, y, z) para valores de k1 = k2 = k3 = 1 se
observa que forma como λ2 y para k1 = k2 = k3 = 2 forma 2λ.
1.0
0.5
-1
1.0
0.5
z
0.0
y
0
0.0
-0.5 x
-0.5
-1.0
1
-1.0
ψ(x, y, z) = 2sen(k1 x)sen(k2 y)sen(k3 z), k=1 y 2
La siguiente figura muestra ψ(x, y, z) para valores de k1 = k2 = k3 = 1 se
observa que forma como 3λ
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
159
La constante A se escoge para satisfacer el requisito de normalización A continuación aplicamos este requisito para demostrar que
A=
2
L
3
2
Entonces sea el estado de menor energía está descrito por n1 = n2 = n3 = 1,
π
o bien k1 = k2 = k3 = L
. Debido a que Ψ es diferente de cero sólo para
0 ≺ x, y, z ≺ L
la integral de densidad de probabilidad sobre el volumen de este cubo debe ser
igual a la unidad:
L
1 =
L
L
dx dy
0
0
0
dz |ψ(x, y, z)|2
 L
 L

 L






π
π
π
1 = A2
sen2
x dx
sen2
y dy
sen2
z dz




L
L
L
0
0
Al usar
sen2 θ =
Se obtiene
L
sen2
0
0
1
(1 − cos 2θ)
2
$
$L
L
L $ 1
2π $
π
x dx = − $$ sen x$$ =
L
2
4π
L 0
2
El mismo resultado se obtiene para las integrales sobre y y z. Así pues, la
normalización requiere
3
L
1 = A2
2
O bien
A=
2
L
3
2
El estado base para el que n1 = n2 = n3 = 1, tiene energía
E111 =
3ℏ2 π 2
2mL2
Existen tres primeros estados excitados que corresponden a las tres combinaciones diferentes de n1 , n2 y n3 , cuyos cuadrados suman 6. Es decir, se obtiene
la misma energía para las tres combinaciones n1 = 2, n2 = 1 y n3 = 1 o bien
n1 = 1, n2 = 2 y n3 = 1, o bien n1 = 1, n2 = 1 y n3 = 2. La energía del primer
estado exciado es
6ℏ2 π2
E211 = E121 = E112 =
2mL2
160
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
Energía
1E0
6E0
9E0
11E0
12E0
14E0
27E0
48E0
Números cuánticos E0 n21 + n22 + n23
estdo base (1,1,1)
(2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)
(2, 2, 1) , (2, 1, 2), (1, 2, 2)
(3, 1, 1), (1, 3, 1), (1, 1, 3)
(2, 2, 2)
(1,2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3)
(3,3,3)
(4,4,4,)
Degeneración (g)
Ninguna
3
3
3
Ninguna
6
Ninguna
Ninguna
Observe que cada uno de los primeros estados excitados está caracterizado
por una función de onda distinta ψ211 tiene longitud de onda L a lo largo del
eje x y longitud de onda 2L a lo largo del eje y y z, pero, para ψ121 y ψ112 , la
longitud de onda más corta es a lo largo de los ejes y y z, respectivamente.
Siempre que estados diferentes tienen la misma energía se dice que este nivel
energético es degenerado. En el ejemplo que acaba de describirse, el primer
estado excitado es tres veces (o está triplemente) degenerado. Este sistema posee
estados degenerados debido al alto grado de simetría asociado con la forma
cúbica de la caja. la Tabla 1 muestra los números cuánticos y la degeneración
de los distintos niveles y en la gráfica se observa que el número cuántico principal
se hace mayor y el punto focal de la parabola se acerca al vertice de la parabola,
dicho de otra manera entre mayor en la parabola se hace mas plana, se podría
decir que la energía se vuelve una constante igual a cero.
La siguiente gráfica muestra
E=
π2 (1, 05 × 10−34 )2 2
n1 + n22 + n23
2(9, 109 × 10−31 )
para el estado base 1E0 y el estado 12E0 , 27E0 y 48E0 .
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
161
E[J] 7.0e-35
6.0e-35
5.0e-35
4.0e-35
3.0e-35
2.0e-35
1.0e-35
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
n
(1, 12, 27 y 48)E0 línea continua, punteada, circulos, cuadros
Taller (incluir todos los procedimientos)
1. Demuestre que la función ψ(x) es una solución de la ecuación de Schrödinger
para la partícula en una caja, además calcule la energía total en eV, el
momento, la velocidad de la partícula y la probabilidad de hallar esta
partícula entre x = 0, 150 nm y x = 0, 350 nm.
ψ(x) =
2
nπ
cos
x
L
L
2. Demuestre que las siguientes funciones de onda ψ(x) son solución de la
ecuación de Schrödinger
ψ(x) = A cos (kx) + isen(kx)
y
ψ(x) = Aeikx
3. Realice la gráfica de densidad de probabilidad en función de la posición
para n = 1 y L = 10 Å.y la función de onda
ψ(x) = A cos
nπ
x
L
4. Una partícula alfa en un núcleo se puede considerar como una partícula que
se mueve en una caja de 0,2 nm de ancho. Halle la energía y el momentum
de una partícula alfa en su estado base.
162
CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
5. Dibuje la función de onda ψ(x) y la densidad de probabilidad |ψ(x)|2 para
el estado n = 1 y n = 2 de una partícula en un pozo de potencial finito.
6. Se representa el electrón por medio de la función de onda independiente
del tiempo (pozo de potencial de altura finita).
ψI (x) = Aek2 x x ≤ 0
ψ III (x) = Be−k2 x x ≥ 0
ψII (x) = G cos (k1 x) 0 ≤ x ≤ L
√
Dibuje la función de onda tomando: A = B = G = 2 2 nmn y n = 1.
7. Una partícula se describe por la función de onda
ψII (x) = A cos
5π
x
L
para −
L
L
≤x≤
5
5
a) Determinar la constante de normalización A y b) Determine la probaL
bilidad de que la partícula se encuenta entre x = 0 y x = 10
.
8. Un electrón tiene una energía cinética incide que sobre una barrera de 0,2
nm de espesor y 10 nm de altura, halle la probabilidad de que el electrón
efectúe el tunelaje a través de la barrra.
9. Una partícula tiene 14 eV de energía cinética se mueve en una región donde
la ecuación potencial es cero hacia dentro de otra en la región U = 10 eV.
Halle la probabilidad de reflejarse y transmitirse.
10 Un átomo en un estado excitado 1, 8 eV arriba del estado base permanece
en ese estado 2 µs antes de moverse hacia el estado base. Encuentre a) la
frecuencia del fotón emitido, b) la longitud de onda y c) su incertidumbre
de energía aproximada.
11. Un electrón que tiene una energ ía E incide sobre una barrera de 0, 2 nm
de espesor y 10 eV de altura ¿Cuál es la probabilidad de que el electrón
a) efectúe tunalaje a través de la barrera y b) se refleje?
12. ¿Con qué probabilidad se encontrará a la partícula descrita por la función de onda?
ψ(x, y) =
ψ(x, y) = 0
2
L
3
2
π
π
sen( x)sen( y)
L
L
en caso contrario
para 0 ≺ x, y, y ≺
L
4
13. Una partícula que tiene 14 eV de energía cinética se mueve de una región
donde la ecuación potencial es cero hacia dentro de otra en la que U = 10
eV. Clásicamente, uno esperaría que la partícula continuara en movimiento, aunque con menos energía cinética. De acuerdo con la mecánica cuántica la partícula tiene una probabilidad de reflejarse. ¿Cuáles son estas
probabilidades?
4.1. LA ECUACIÓN SCHRÖDINGER
163
14. Un protón incide sobre una barrera de potencial de altura 10 MeV y
ancho a = 10−14 m. La partícula tiene una energía de 5 MeV. Calcular la
probabilidad que la partícula penetre la barrera de potencial, suponiendo
válida la expresión
T
= 16
α =
E
U
1−
E
U
e−2αa
2m (U − E)
h2
Repetir para el caso de un electrón y comparar resultados.
Taller 1
Ingrese a: http://pabdelrahim.blogspot.com.co/
y realizar el laboratorio band-structure
Taller 2
Ingrese a: http://pabdelrahim.blogspot.com.co/
y desarrollar el Experimento Davisson-Germer. Simulaciones de PhET de la
Universidad de Colorado en Boulder.
Capítulo 5
Los cuatro números
cuánticos
La história del átomo antes de 1808
Los filósofos atomistas Leucipo del siglo V a. C sostenía que había un sólo
tipo de materia y pensaba que si dividíamos la materia en partes cada vez más
pequeñas, obtendríamos un trozo que no se podría cortar más llamó a estos
trozos átomos "sin división".
Empédocles en el siglo IV a. C, postuló que la materia estaba formada por
4 elementos: tierra, aire, agua y fuego.
Aristóteles, postula que la materia estaba formada por esos 4 elementos pero
niega la idea de Demócrito, hecho que se mantuvo durante mucho tiempo.
Jhon Dalton en 1808 retomó la teoría atómica de Demócrito y sostuvo que
los elementos están conformados por partículas diminutas que son indivisibles
llamadas átomos. Afirmó que los átomos de un mismo elemento serían iguales
entre si en masa, tamaño y el resto de las propiedades físico químicas y si estas
partículas fueran diferentes sus propiedades serían distintas. Además generó una
forma numérica para cuando estos átomos interactuaban.
História del átomo desde Newton
Newton afirmaba que el átomo era una esfera diminuta indestructible y dura.
Este modelo fue una buena base para la teoría cinética de los gases.
En 1904 J.J. Thomson imaginó el átomo como una especie de esfera positiva
continua en la que se encuentran incrustados los electrones (Figura 5.1)
En 1911 Ernest Rutherford y sus alumnos Hans Geiger y Ernest Marsden
experimentalmente dedujeron que el modelo de J. J. Thomson no explicaba el
porque al lanzar partículas alfa hacia una fina lámina de oro (positivas) procedentes de un material radiactivo la mayor parte de las partículas alfa atravesaban
165
166
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
la lámina sin cambiar de dirección o se desviaban considerablemente o rebotaban
hacia la fuente de emisión (Fig ura 5.2).
Figura 5.1:
Lueg o postulan que el átomo debería contener un núcleo muy pequeño de
carg a positiva y todos los electrones que pertenecen al átomo estaban en un
volumen relativamente g rande afuera del núcleo. Este modelo no explicaba las
teorías de Maxwell que afirmaban que cuando un electrón se acelera radia
energía y el radio de la órbita disminuiría aumentando la frecuencia. Al
disminuir el radio el electrón llegaría a colapsar con el núcleo.
En 1933 J. Chadwick descubre los neutrones que no tienen carga eléctrica.
Bohr plantea sus cuatro postulados aplicando las ideas de Planck de los
niveles de energía cuantizados por los electrones que giran alrededor del
núcleo y el concepto de fotón de Einstein para llegar a una expresión para la
frecuencia de la luz emitida cuando el electrón salta de un estado estacionario
a otro.
Experimentalmente Balmer determinó algunas longitudes de onda del espectro del átomo de hidrógeno.
Broglie dio a los electrones una naturaleza ondulatoria.
Arnold Sommerfeld (1868-1951) introduce el modelo de Bohr a la teoría de la
relatividad en el análisis del movimiento del electrón.
La energía total del electrón propuesta por Bohr
De acuerdo a los cuatro postulados de Bohr el electrón g ira alrededor del
núcleo en ciertas orbitas sin radiar energ ía y la energ ía por cada orbita está
definida como
ke2 1
13, 6
E=−
= − 2 eV
2a0 n2
n
de donde n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...........
167
Figura 5.2:
Figura 5.3:
168
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
Figura 5.4:
¿Qué es un orbital?
El orbital está definido como la probabilidad de encontrar al electrón en
alguna región del espacio, lo que supone poder considerar al electrón o electrones,
como una nube indefinida cargada que gira en torno al núcleo, donde hay mayor
densidad en las zonas donde la probabilidad de encontrar al electrón, es mayor.
5.0.6.
Los tres números cuánticos
Los cuatro números cuánticos que definen el estado cuántico de un electrón
son:
Número cuántico principal (n),
Número cuántico orbital o momento angular (l) y
Número cuántico magnético orbital (ml ).
Hay un cuarto número cuántico, resultado de un tratamiento relativista del
átomo de hidrógeno que se estudiará más adelante.
Hay ciertas relaciones importantes entre números cuánticos, así como ciertas
restricciones en sus valores que se muestran en la siguiente Tabla
# Cuántico
n
l
ml
Número cuántico
principal
momento angular
magnético orbital
Valores permitidos
1,2,3,4,5.....
0,1,2,3,...(n − 1)
−l, ....,0....., l
Las siguientes figuras son tomadas de la referencia [40]
La forma de los orbitales s La Figura 5.4 representa el volumen esférico en
que el electrón pasa la mayor parte del tiempo, y representa el orbital s
La forma geométrica de los orbitales p es la de dos esferas achatadas hacia el
punto de contacto (el núcleo atómico) y orientadas según los ejes de coordenadas,
Figura 5.5. En función de los valores que puede tomar el tercer número cuántico
ml (−1, 0 y 1) se obtienen los tres orbitales p simétricos respecto a los ejes x, y e
z. Análogamente al caso anterior, los orbitales p presentan n − 2 nodos radiales
169
Figura 5.5:
Figura 5.6:
en la densidad electrónica, de modo que al incrementarse el valor del número
cuántico principal la probabilidad de encontrar el electrón se aleja del núcleo
atómico. El orbital p representa también la energía que posee un electrón y se
incrementa a medida que se aleja entre la distancia del núcleo y el orbital.
La forma de los orbitales d Cuatro de ellos tienen forma de 4 lóbulos de
signos alternados (dos planos nodales, en diferentes orientaciones del espacio),
y el último es un doble lóbulo rodeado por un anillo (un doble cono nodal).
Siguiendo la misma tendencia, presentan n-3 nodos radiales, Figura 5.6.
Forma de los orbitales f Los orbitales f tienen formas aún más exóticas,
que se pueden derivar de añadir un plano nodal a las formas de los orbitales d.
Presentan n-4 nodos radiales.
En resumen el número cuántico principal indica el valor de la energía del
electrón en órbitas cuantizables con números enteros, número cuántico orbital
es el valor del subnivel de energía y toma valores de 0 hasta n−1 define la forma
geométrica de los orbitales y número cuántico magnético orbital que nos indica
la dirección del orbital y toma valores de −l a l pasando por cero.
170
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
Taller
Elabore y desarrolle el laboratorio vitual sobre Hydrogen Atom
Probability Densitites que se encuentra en la página
http://pabdelrahim.blogspot.com.co/
Ejemplo
Si n = 3, o sea el orbital d lueg o los posibles números cuánticos son los que
se muestran en la sig uiente Tabla.
300
orbital 3s
3 1 − 1 orbital 3px
311
orbital 3py
310
orbital 3pz
Por razones históricas, se dice que todos los estados que tienen el mismo
número cuántico principal forman una capa. Las capas se identifican con las
letras K, L, M, N ,O, P , (Tabla 1) las cuales designan los estados para los que
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Del mismo modo, los estados que tienen los mismos valores
de n y l se dice que forman una subcapa. Las letras s, p, d, f, g, h,...... se
emplean para designar los estados para los cuales l = 0, 1, 2, 3,.. (Tabla 2)
Tabla 1
1
2
3
4
5
K L M N O
Tabla 2
l
1 2 3 4 5
simbolo de la subcapa s p d f
g
n
simbolo de la capa
6
P
6
h
Al final de esta sección se muestran los elementos de la tabla periódica por
capas y subniveles de energía.
Ingrese a: http://pabdelrahim.blogspot.com.co/ y desarrolle el laboratorio virtual sobre Luces de Neón y otros.
5.0.7.
Momento angular
Para más información sobre el momento ang ular la puedes consultar en la
página
5.0.8.
Magnitud del momento angular.
Con el modelo atómico de Bohr del átomo de hidrógeno el momento angular
lo define como
L = mvr = nℏ
donde L es un vector perpendicular al plano del círculo que contiene la velocidad
y el radio del circulo y su sentido está dado por la regla de la mano derecha.
Este modelo debe modificarse debido a que si L = 0 o sea l = 0 el electrón sería
171
una partícula que oscilaría a lo larg o de una línea recta a tráves de núcleo,
lo cual es una situación física inaceptable.
Fig ura 5.7:
Con la mecánica cuántica resolvemos el problema con la sig uiente
ecuación ya que para el estado L = 0 el número cuántico orbital sería l = 0,
que cor-respondería a una nube esféricamente simétrica que no tiene eje de
revolución fundamental.
L=
5.0.9.
#
l(l + 1)ℏ
l = 0, 1, 2, 3, 4, ........... n − 1
Dirección del momento angular
Suponga que un campo magnético débil aplicado a lo largo del eje z, Figura
5.6. De acuerdo con la mecánica cuántica, L2 y Lz . En cuanto al orbital magnético ml especifica los valores permitidos de Lz de acuerdo con la expresión.
Lz = ml ℏ (1)
En la siguiente Tabla veamos las posibles orientaciones de Lz para un valor
dado de l. Recuerde que ml puede tener valores que varían de −l a l pasando
por cero.
l
0
1
ml
0
−1, 0, 1
Lz = mℏ
0
−ℏ, 0, ℏ
−
→
Desde un punto de vista tridimensional, L debe encontrarse sobre la superficie de un cono que forma un ángulo θ con el eje z. Donde θ está cuantizada y
sus valores se especifican por medio de la relación.
Lz
ml
cos θ = $$−
→$$ = #l(l + 1)
$L$
172
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
Figura 5.8:
Observe que ml nunca es mayor que l y, en consecuencia, θ nunca puede ser
cero como se indica en la Tabla 1.
−
→
Debido al principio de incertidumbre, L no apunta en una dirección especí−
→
fica sino más bien forma un cono en el espacio. Si L tiene un valor definido,
entonces las tres componentes Lx , Ly y Lz estarían especificadas exactamente.
Por el momento, supongamos que este es el caso y que el electrón se mueve en el
−
→
plano xy, de modo que L está en la dirección z y pz = 0. Esto significa que pz
se conoce con precisión, lo cual es una violación al principio de incertidumbre
∆pz ∆z ≥
h
2
−
→
En realidad, solo la magnitud de L y una componente (digamos Lz ) puede tener
valores definidos. En otras palabras, la mecánica cuántica nos permie especificar
L y Lz pero no Lx y Ly y estos dos valores son cero y mantiene fijos me .
5.1.
¿Qué es el momento magnético?
Si un electrón con masa me y carga −e gira en un circulo de radio r siguiendo
una orbita circular de Bohr con una velocidad tangencial
v=
2πr
T
Ahora según la teoría de Maxwell una carga en movimiento genera un campo
magnético y el electrón es una carga en movimiento girando alrededor del núcleo,
por lo que tenemos una corriente eléctrica a lo que se asemeja a una espira
circular
∆q
e
ev
i=
= =
(1)
∆t
T
2πr
5.1. ¿QUÉ ES EL MOMENTO MAGNÉTICO?
173
El moménto magnético para una espira circular es
µ = iA
Donde A es la superficie encerrada por la espira circular A = πr2 , el módulo del
momento magnético será entonces
µ = iπr2 (2)
Y reemplazando el valor de la corriente
µ=
ev
1
πr2 = qvr (3)
2πr
2
→
El vector −
µ es perpendicular al plano de la espira y aplicando la regla de la
mano derecha observamos que el momento magnético está dirigida hacia abajo
del plano de la espira circular. Por otra parte la magnitud del momento angular
del electrón es
L = mvr (4)
por el Teorema del momento angular tenemos que
−
→
→
−
→ → d−
p
dL
−
→
→
τ =−
r ×F =−
r ×
=
dt
dt
Si
−
→
−
→
τ = 0
−
→
dL
= 0
dt
L = cons tan te
−
→
→
→
El momento angular L permanece constante con −
r y −
v en un plano perpendicular al momento angular. Como el momento magnético está en dirección
opuesta al momento angular tenemos que si
L = rme v
L
vr =
me
Y reemplazando vr en la expresión de momento magnético en la ecuación 3
1
µ= q
2
L
me
Luego como µ y L tienen direcciones opuestas podemos escribir que
e −
→
−
→
µ =
L (5)
2m
Aquí obsevamos que la constante de proporcionalidad es la relación entre la
carga y el doble de la masa del electrón.
174
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
Figura 5.9:
Figura 5.10:
5.1. ¿QUÉ ES EL MOMENTO MAGNÉTICO?
5.1.1.
175
Número cuántico de espín
En 1921, Stern y Gerlach realizaron un experimento que demostró el fenómeno de la cuantización espacial. El experimento consistía en enviar un haz
de átomos de plata a través de un campo magnético inhomogéneo. El campo
magnético crecía en intensidad en la dirección perpendicular a la que se envía
el haz. El espín de los diferentes átomos fuerza a las partículas de espín positivo
+ 12 ℏ a ser desviadas hacia arriba y a las partículas de espín opuesto − 12 ℏ a ser
desviadas en el sentido contrario siendo capaz por lo tanto de medir el momento
magnético µ de las partículas [1].
El experimento manifestaba que el momento angular de espin del electrón
−
→
S estaba cuantizado con dos valores posibles
1
Sz = ± ℏ (1)
2
Esta relación es similar a la expresión Lz = ml ℏ para la componente z del
momento angular orbital con la diferencia de que la magnitud de Sz es la mitad
de ℏ . Por eso Stern y Gerlach los veia pares.
La ecuación (1) nos indica que la magnitud de S del momento angular de
espín se obtiene de la del momento angular orbital L reemplazando el número
cuántico orbital l por 12
Entonces el espín del electrón puede describirse por medio de un solo número
cuántico de espín s, cuyo valor solo podría ser 12 . La magnitud del momento
−
→
angular de espín S para el electrón es entoces
√
1 1
3
S=
+1 ℏ=
ℏ
2 2
2
que equivale a la magnitud de momento angular de espín, del mismo modo que
el momento angular orbital del espín está cuantizado en el espacio. Puede tener
dos orientaciones, ms = ± 12 . La componente s del momento angular de espín es
1
Sz = ms ℏ = ± ℏ (2)
2
los dos valores de ± 12 ℏ para Sz corresponde a las dos orientaciones posibles de
−
→
S . El valor de ms = + 12 se refiere al caso del espín hacia arriba, en tanto que
el valor ms = − 12 se refiere al caso de espín hacia abajo. El momento magnético
−
→
del espín del electrón, µs , se relaciona con su momento angular de espín S por
medio de la expresión.
→
e−
−
→
µ s = − S (3)
m
Puesto Sz = ± 12 ℏ, la componente z del momento magnético del espín puede
tener los valores
eℏ
−
→
µ sz = ±
en el sistema S.I.
(4)
2m
eℏ
−
→
µ sz = ±
en el sistema cegesimal (5)
2me c
176
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
en el Sistema Internacional de Unidades su valor es aproximadamente:
−
→
µ = 9,27 × 10−24 J T−1
B
en el Sistema Cegesimal de Unidades su valor es aproximadamente:
−
→
µ = 9, 27 × 10−21 erg G−1
B
en unidades atómicas es adimensional, y su valor es simplemente
1
−
→
µB =
2
expresado en electronvoltios,
−
→
µ B = 5, 78 × 10−5 eV T−1
donde la ecuación (4) es el magnetón de Bohr donde e = 1, 60 × 10−19 C,
me = 9, 10 × 10−31 kg y ℏ = 1, 05 × 10−34 J s.
Ojo, el electrón no es una esfera que pueda girar sobre un eje. En mecánica
cuántica nos dicen que el electrón es una onda partícula con la probabilidad de
encontrarla en alguna región del espacio dada por |ψ|2 donde en esta sección
estamos mostrando que el electrón posee un momento angular intrínseco que no
sabemos bien su origen y al que llamamos momento angular de espín.
Entonces para definir completamente el estado de un electrón en el átomo
de Hidrógeno necesitamos los cuatro números cuánticos (n, l, ml , me )
5.1.2.
Principio de exclusión de Pauli
Wolfgang Ernest Pauli, establece que no pueden existir dos fermiones con
sus cuatro números cuánticos iguales. Solamente dos electrones pueden estar
dentro de un mismo orbital y con espin uno hacia arriba o el otro hacia abajo.
Por ejemplo, los electrones, que corresponden a la categoría de fermiones,
no pueden solaparse uno sobre otro, y si intentamos colocar a dos electrones en
la misma orbita se repelen. Esta fuerza no es simplemente la fuerza electromagnética, sino que va más allá de esta. Su presencia es la que impide que las nubes
de electrones que rodean al núcleo se colapsen [1].
Visto de otra manera cuando uno se sube a un autobús los pasajeros tienden
a ocupar los asientos desocupados más distantes, y cada pasajero que sube, por
regla general tiende a buscar el lugar con mayor espacio. Solamente cuando ya
no hay lugares es que se plantea sentarse al lado de otra persona. Lo mismo
ocurre en las bibliotecas y en baños públicos. ¿Sera tal vez que somos fermiones
gigantes?
Como regla general el orden de llenado de los orbitales o subcapas (s, p, d,
f, g y h) de un átomo con electrones es una vez llena una subcapa, el siguiente
electrón va a la subcapa vacia de menor energía. Este principio puede comprenderse al reconocer que si un átomo no estuviera en el estado de energía más bajo
disponible radiaría energía hasta alcanzar ese estado.
La siguiente Tabla 1 muestra los números átomos permitidos de un átomo
para el cual n = 3.
5.1. ¿QUÉ ES EL MOMENTO MAGNÉTICO?
n
l
ml
me
1
0
0
↑↓
2
0, 1
0; −1, 0, 1
↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓
177
3
0, 1, 2
0; −1, 0, 1; −2, −1, 0, 1, 2
↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓
Nivel de energía n = 1 con un subnivel de energía (con orbitla s) l = 0
y ml = 0 luego tendría dos posible números cuánticos (1,0,0,+ 12 ) y/o
(1,0,0,- 12 ) .
n = 2 con dos subniveles de energía (con dos orbitles s y p) l = 0, 1 y
ml = 0; 1, 0, 1 con 4 números cuánticos permitidos con 8 electrones
n = 3 tiene tres subcapas l = 0 , 1, 2 (tres orbitlaes s,p y d) y ml = 0 ;
1, 0, 1; −2, −1, 0, 1, 2 con 9 números cuánticos permitidos con 18 electrones.
Lo que nos da un regla general para obtener el número de electrones como:
2n2 .
Orbital 8
Se define como el estado de un electrón caracterizado por los números cuánticos n, l y me . A partir del principio de fusión, se observa que solo pueden
haber dos electrones en cualquier orbital uno de los electrones tiene un número
cúantico de espín + 12 y el otro tiene − 12 . Debido a que cada orbital está limitado
a tener 2 electrones, el número de estos que puede ocupar los diferentes niveles.
5.1.3.
Regla de Hund
Cuando un átomo tiene orbitales de igual energía, el orden en el cual se llenan
de electrones es uno en el que un número máximo de electrones tienen espín
no apareados ↑↑. Los datos experimentales muestran que la configuración más
estable (o sea la que es preferida energéticamente), es la única, donde los espines
están no apareados ↑↑. Por ejemplo el carbono (Z = 6) tiene seis electrones y
nos preguntamos ¿los dos electrones del orbital p estan apareados ↑↓ o estan
no apareados ↑↑? Los datos experimentales muestran que la configuración más
estable (o sea la que es preferible energéticamente) es la última, donde los espines
no están apareados. En consecuencia los electrones del orbital 2p del carbono y
2p del oxigeno no están apareados como se muestra en la Tabla 2 correspondiente
a la capa L y la Tabla 3 correspondiente a la capa M [1]
178
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
Tabla 2. Capa L
átomo
Li
Be
B
C
N
O
F
Ne
1s
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
2s
↑
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
Config uración electrónica
1s2 2s1
1s2 2s2
1s2 2s2 2p1
1s2 2s2 2p2
1s2 2s2 2p3
1s2 2s2 2p4
1s2 2s2 2p5
1s2 2s2 2p6
2p
↑
↑
↑
↑↓
↑↓
↑↓
↑
↑
↑
↑↓
↑↓
↑
↑
↑
↑↓
Tabla 3. Capa M
1s
2s
2p
Na
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑
↑
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑
↑
↑
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑
↑
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Ar
3s
Configuración electrónica
á tomo
3p
1s22s22p63s1
1s22s22p63s2
1s22s22p63s23p1
1s22s22p63s23p2
1s22s22p63s23p3
1s22s22p63s23p4
1s22s22p63s23p5
1s22s22p63s23p6
Tarea: Haga el llenado de los estados electrónicos para la capa N. Recuerde
que estas tablas deben obedecer el principio de exclusión y la regla de Hund.
Regla del Octeto
Para que un átomo sea estable debe tener todos sus orbitales llenos (cada
orbital con dos electrones, uno de espín + 21 y otro de espín − 12 ). Por ejemplo, el
oxígeno, que tiene configuración electrónica 1s 2, 2s2, 2p4, debe llegar a la configuración 1s2, 2s2, 2p6 con la cual los niveles 1 y 2 estarían llenos. Recordemos
que la Reg la del octeto, justamente establece que el nivel electrónico se
completa con 8 electrones, excepto el Hidróg eno, que se completa con 2
electrones. En-tonces el oxígeno tendrá la tendencia a ganar los 2 electrones que
le faltan, por esto se combina con 2 átomos de hidrógenos (en el caso del agua,
por ejemplo), que cada uno necesita 1 electrón (el cual recibe del oxíg eno) y
otorg a a dicho átomo 1 electrón cada uno. De este modo, cada hidrógeno
completó el nivel 1 y el oxígeno completó el nivel 2. Ejemplo: Z = 10 Ne: 1s2,
2s2, 2p6 regla del octeto [1-3].
5.1. ¿QUÉ ES EL MOMENTO MAGNÉTICO?
5.1.4.
179
Configuración electrónica
Al desarrollar la configuración electrónica, encontramos una serie de excepciones. Es más estable llenar dos medios orbitales que completar uno y dejar
el otro a uno o dos electrones de estar completado a la mitad. Así, los metales
del grupo 6 en vez de tener los orbitales externos s completos y el orbital d a
un electrón de estar semi-completo, donarán un electrón del orbital s al orbital
d, quedando ambos completos a la mitad: s1 d5 en vez de s2 d4 . Igualmente, es
más estable rellenar los orbitales d completamente, por lo que los elementos del
grupo 11 tenderán a adoptar la configuración s1 d10 en vez de s2 d9 . Ejemplos de
estas anomalías son:
24Cr: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d4 : es incorrecto.
24Cr: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s1, 3d5 : es correcto.
29Cr: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d9 : es incorrecto.
29Cr: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s1, 3d10 : es correcto.
5.1.5.
Ejemplos del Principio de exclusión de Pauli
Este principio será ilustrado mediante los siguientes arreglos electrónicos en
el estado base
El Hidrogeno (H), cuya configuración electrónica es 1s1 , puede describirse
mediante un conjunto de 2 números cuánticos permitidos
1, 0, 0, 12
ó
1, 0, 0, − 12
El Helio (He), cuya configuración electrónica es 1s2, puede describirse mediante un conjunto de 2 números cuánticos permitidos
1, 0, 0, 12
y
1, 0, 0, − 12
El Litio (Li), cuya config uraciónelectrónica es 1s22s1, puede describirse
mediante un conjunto de 4 números cuánticos permitidos
1, 0, 0, 12
2, 0, 0, 12
y
o
1, 0, 0, − 12
2, 0, 0, − 12
El Berilio (Be) cuya configuración electrónica es 1s2 2s2 , puede describirse
mediante un conjunto de cuatro números cuánticos permitidos
1, 0, 0, 12
2, 0, 0, 12
y
y
1, 0, 0, − 12
2, 0, 0, − 12
El Carbono (C), cuya configuración electrónica es 1s2 2s2 2p2 ,
puede describirse mediante un conjunto de 10 números cuánticos permitidos
180
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
1, 0, 0, 12
2, 0, 0, 12
2, 1, −1, 12
2, 1, 0, 12
2, 1, 1, 12
1, 0, 0, − 12
2, 0, 0, − 12
y/o 2, 1, −1, − 12
y/o 2, 1, 0, − 12
y/o 2, 1, −1, − 12
y
y
El Argon (Ar) es un gas que no toma parte en las reacciones químicas (no
se unen con otros átomos para formar moléculas) y, por lo tanto se clasifican
como inertes. Debido a esta indiferencia, se conocen como los gases nobles. El
Ar tiene una configuración electrónica 1s2 2s2 2p6 , puede describirse mediante un
conjunto de 10 números cuánticos permitidos.
1, 0, 0, 12
2, 0, 0, 12
2, 1, −1, 12
2, 1, 0, 12
2, 1, 1, 12
5.2.
1, 0, 0, − 12
2, 0, 0, − 12
y 2, 1, −1, − 12
y 2, 1, 0, − 12
y 2, 1, −1, − 12
y
y
Tipos de Materiales
La regla de la máxima multiplicidad de Hund dice que cuando varios electrones ocupan orbitales degenerados, de la misma energía, lo harán en orbitales
diferentes y con espines paralelos (electrones desapareados), mientras sea posible.
Las sustancias paramagnéticas son atraídas débilmente por un imán, si los
electrones se encuentran desapareados, presentan el mismo espín y, por lo tanto,
un campo magnético neto que al interactuar con el campo magnético del imán,
provoca la fuerza de atracción o paramagnetismo.
Las sustancias diamagnéticas no son atraídas por un imán o bien son repelidas ligeramente. Si los electrones se encuentran apareados, presentan
espines opuestos, y por lo tanto no existe un campo mag nético neto, se da
entonces el fenómeno del diamagnetismo.
Ejemplos:
Flúor (Z = 9) 1s2 2s2 2p5 . Paramagnético (tiene un electrón no apareado).
Neón (Z = 10) 1s2 2s2 2p6 . Diamagnético (todos los electrones están apareados).
5.3.
Tabla periódica
El químico ruso Dmitri Mendeleev organizo los elementos de acuerdo a sus
masas atómicas y similitudes químicas. Después de 20 años a Mendeleev la
mayoría de los elementos fueron descubiertos.
5.3. TABLA PERIÓDICA
181
Los elementos de la tabla periódica fueron org anizados por columnas que
tienen propiedades químicas similares, por ejemplo la última columna que corresponden a los g ases inertes su característica fundamental es que no toman
parte de las reacciones químicas, o sea que no se unen a otros átomos para
formar moléculas. Por lo tanto se clasifican como gases inertes que se forman
cuando una capa o una subcapa se llena y hay una gran brecha de energía entre
la capa llena o subcapa llena y la siguiente mas alta disponible [15].
Ejemplo:
El helio tiene la config uración electrónica1s2, capa K que esta llena. De
manera adicional, la energ ía del átomo en está config uración es considerablemente menor que la energía para la configuración en la cual un electrón
está en el siguiente nivel disponible, la subcapa 2s.
El neón tiene la configuración 1s2 2s2 2p6 , la capa L, la subcapa 2p está
llena y hay una amplia brecha de energía entre la subcapa 2p llena y la
siguiente subcapa disponible, la 3s.
El argón tiene la configuración 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 , la capa M. Aquí la
subcapa 3p está llena, y hay una amplia brecha de energía entre la subcapa
3p llena y la siguiente subcapa disponible, la 3d. y así sucesivamente. Este
patrón se repite para todos los gases inertes.
Las siguientes tablas se muestran: en la primera columna la capa que designa
a los elementos con el mismo número cuántico principal, en la tercera columna
muestra el número atómico y en la cuarta columna hacia adelante indican
los subniveles de energ ía (l) para cada elemento de la tabla periódica correspondiente.
Tablas
1
Periodo
Capa Elemento
Número atómico (Z) 1s
K
Hidrogeno 1
1
Helio
2
2
Capa
L
2
Elemento
Litio
Berilio
Boro
Carbono
Nitrógeno
Oxígeno
Flúor
Neon
Periodo
Z
3
4
5
6
7
8
9
10
1s
2
2
2
2
2
2
2
2
2s
1
2
2
2
2
2
2
2
2p
1
2
3
4
5
6
182
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
Capa
M
Capa N
Elemento
Potasio
Cálcio
Escandio
Titanio
Vanaio
Cromo
Magnesio
Hierro
Cobalto
Niquel
Cobre
Cinc
Galio
Germanio
Arsénico
Selenio
Bromo
Kriptón
3
Elemento
Sodio
Magnesio
Aluminio
Silicio
Fósforo
Azufre
Cloro
Argon
Z
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
4
1s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Periodo
Z
11
12
13
14
15
16
17
18
Periodo
2s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1s
2
2
2
2
2
2
2
2
2s
2
2
2
2
2
2
2
2
2p
6
6
6
6
6
6
6
6
3s
1
2
2
2
2
2
2
2
3p
2p
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
3s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3p
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
3d
1
2
3
5
5
6
7
8
10
10
10
10
10
10
10
10
4s
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
5
6
4p
1
2
3
4
5
6
5.3. TABLA PERIÓDICA
183
Capa O
Elemento
Rubidio
Estroncio
Ytrio
Circonio
Niobio
Molibdeno
Tenecio
Rubidio
Rodio
Paladio
Plata
Cadmio
Indio
Estaño
Antimonio
Telurio
Yodo
Xenón
Z
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
1s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2p
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
3s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3p
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
3d
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
4s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4p
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4d
1
2
4
5
6
7
8
10
10
10
10
10
10
10
10
10
4f
-
5s
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
5p
1
2
3
4
5
6
Capa P
Elemento
Z
1s
2s
2p
3s
3p
3d
4s
4p
4d
4f
5s
5p
5d
5f
6s
Cesio
55
2
2
6
2
6
10
2
6
10
—
2
6
-
-
1
6p
Bario
56
2
2
6
2
6
10
2
6
-
-
2
6
-
-
2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Hafmio
72
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
1
-
2
Tantalo
73
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
2
-
2
Wolframio
74
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
4
-
2
Renio
75
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
5
-
2
Osmio
76
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
6
-
2
Indio
77
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
7
-
2
Platino
78
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
9
-
1
Oro
79
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
10
Mercurio
80
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
10
Talio
81
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
10
-
2
1
Bismuto
83
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
10
-
2
3
Polonio
84
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
10
-
2
4
Astato
85
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
10
-
2
5
Radón
86
2
2
6
2
6
10
2
6
10
-
2
6
10
-
2
6
1
2
184
5.4.
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
Las funciones para el átomo de Hidrógeno
Ignoremos por ahora el espín del electrón, de modo que la energía potencial
del átomo de hidrógeno dependa solo de la distancia radial r entre el núcleo y
el electrón. Esperamos por tanto que alguno de los estados permitidos para este
átomo pueda representarse por medio de las funciones de onda que dependen
solo de r. Desde luego,este es el caso. La función de onda más simple para el
hidrógeno es una que describe al estado 1s y que designa por medio de ψ1s (r)
r
1
#
e− a0 (1)
3
πa0
r
1
−
#
e 0,529×10−10
π(0,529 × 10−10 )3
ψ1s (r) =
ψ1s (r) =
donde a0 es el radio de Bohr:
ℏ2
= 0, 0529 nm (2)
mke2
Observe que ψ1s (r) satisface la condición de que tiende a cero a medida que r
tiende a ∞, y está normalizada como se presenta. Además, como ψ1s (r) depende
sólo de r, es esféricamente simétrica. Lo cual, en efecto, es válido para todos los
estados s.
La probabilidad de encontrar al electrón en cualquier región es igual a una
integral de |ψ|2 sobre la región. La densidad de probabilidad para el estado 1s
es
1 − a2r
|ψ1s |2 =
e 0 (3)
πa30
a0 =
y la probabilidad real de encontrar el electrón en un elemento de volumen dV
es |ψ|2 dV . Es conveniente definir la función de densidad de probabilidad radial
P (r) como la probabilidad de encontrar el electrón en un cascarón esférico de radio r y espesor dr. El volumen de dicho cascarón es igual al área de su superficie,
4πr2 , multiplicada por el espesor del cascarón, dr por lo que obtenemos
P (r)dr
P (r)dr
= |ψ1s |2 dV
2
= |ψ1s | 4πr2 dr
P (r) = |ψ1s |2 4πr2 (4)
la sustitución de la ecuación (1) en la ecuación (4) brinda la función de densidad
de probabilidad radial para el átomo de hidrógeno en su estado base:
P1s (s) =
4r2
a3o
2r
e− a0
la siguiente función de onda más simple para el átomo de hidrógeno es la que
corresponde al estado 2s (n = 2, l = 0). La función de onda normalizada para
este estado es
5.5. INTERACCIÓN LUZ - MATERIA
ψ2s (x) =
1
√
2
=
1
8π
ψ2s
1
4π
1
2
1
2
3
2
1
a0
1−
1
0,529 × 10−10
185
r
2ao
r
e− 2a0
3
2
1−
(5)
x
2(0,529 × 10−10 )
x
− 2(0,529×10
−10 )
e
también en este caso, vemos que ψ2s depende solo de r y es simétricamente
esféricamente. La energía correspondiente a este estado es
E2 = −
13, 6
4
eV = −3, 4 eV (6)
este nivel de energía representa el primer estado excitado del hidrógeno.
La funciones de onda correspondientes a los estados para los cuales n = 2, l =
1 y ml = 1, 0, −1, puede expresarse como combinaciones lineales apropiadas de
los tres estados p. Aunque la mecánica cuántica limita nuestro conocimiento del
momento angular a la proyección a lo largo de cualquier eje es un tiempo, estos
estados p pueden describirse en forma matemática como combinaciones lineales
de funciones mutuamente perpendiculares px , py , pz , donde solo se muestra
la dependencia angular de estas funciones. Observe que las tres nubes tienen
estructuras idénticas pero difieren en su orientación respecto a los ejes x, y y z.
Las funciones de onda no esféricas para estos estados son
ψ2px
ψ2py
ψ2pz
= xF (r)
= yF (r)
= zF (r)
donde F (r) es una alguna función exponencial de r. Las funciones de onda
que tienen un carácter altamente direccional, como estas, por ejemplo, son convenientes en descripciones de enlaces químicos, la formación de moléculas y
propiedades químicas.
5.5.
Interacción luz - materia
Para la interacción luz materia estudiaremos tres casos:
1. Espectros atómicos: visible y rayos X.
2. Transiciones atómicas.
3. Láseres y hologramas.
5.6.
Espectros de rayos X
Los rayos X se emiten cuando un blanco metálico bombardeado con electrones de alta energía o cualquier otra partícula cargada choca con un electrón
186
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
Figura 5.11:
en una capa interna de un átomo blanco tiene suficiente energía para separar
el electrón del átomo. El espacio vacío creado en el átomo se llena cuando un
electrón de un nivel más alto desciende y lo ocupa. El tiempo en que esto sucede
es una función de Z y el nivel de espacio vacío, pero por lo general es menor a
10−8 s. Esta transición se acompaña con la emisión de un fotón cuya energía es
igual a la diferencia de energía entre los dos niveles. Es común que la energía de
dichas transiciones sea mayor que 10000 eV, y los fotones de rayos X emitidos
tienen una longitud de onda en el intervalo de 10−3 nm y 10−1 nm.
Si se eliminan electrones de la capa K (n=1), los electrones de los estados
de energía más altos que caen en esta capa producen una serie de líneas representadas en la notación de rayos X como Kα , Kβ , Kγ.... véase la figura 5.11. Si
se eliminan electrones de la capa L (n=2), se pruduce otra serie de líneas, llamada serie L. Simultaneamente, las transiciones de la capa M (n=3) dan como
resultado una serie M, etc [1].
5.7.
Transiciones atómicas
La emisión estimulada cuando un haz de luz incide sobre un sistema de
átomos que se encuentran en el estado base y estas absorben la energía pasando
a un estado excitado.
La emisión espontánea o luminisencia es cuando un electrón en estado
excitado pasa a un estado inferior liberando su energía en forma de un fotón. La
emisión espontánea de luz o luminisencia es un proceso fundamental y se evidencia en los tubos fluoresentes, pantallas de TV antiguas, páneles de visualización
de plasma, láseres o en los diodos emisores de luz.
5.8. LÁSERES Y HOLOGRAMAS
5.8.
187
Láseres y hologramas
Ocurre cuando hay una inversión de población que ocurre cuando un haz
de luz inside sobre un sistema de átomos, suele haber una absorción neta de
energía y los electrones se encuentran mas en el estado base que el excitado. Sin
embargo si la situación se invirtiera se produciría una emisión neta de fotones.
Las siguientes tres condiciones deben satisfacer para conseguir la acción láser.
1. Debe haber más átomos en el estado excitado que en el estado base.
2. El estado excitado deber ser un estado metaestable, lo que significa que
el tiempo de vida debe ser grande comparado con los usuales tiempo de
vida cortos de los estados excitados. Cuando esté en este caso, la emisión
estimulada ocurre antes que la emisión espontánea.
3. Los fotones emitidos deben estar confinados en el sistema suficiente tiempo
para permitirles estimular la emisión adicional de otros átomos excitados.
Esto se consigue usando espejos relfejantes en los extremos del sistema. Un
extremo se hace totalmente reflejante y el otro es ligeramente transparente
para dejar que el haz láser escape.
Ejemplos
Los ejercicios de este taller proceden de los textos: Física Moderna, Raymond
A. Serway, (principalmente) [1] y F.L. Mesa Ledesma, apuntes de FFI [23].
1. Para un átomo de hidrógeno, determine el número de estados orbitales
correspondientes al número cuántico principal n = 2 y calcule las energías
de estos estados.
Respuesta
Cuando n = 2, l = 0, 1 y ml = −1, 0, l. y hay cuatro estados posibles.
13, 6
eV = −3, 4 eV
22
¿Cuántos estados posibles hay para el nivel n = 3 del hidrógeno? hay 9 estados.
E2 = −
2. En el experimento de dispersión de Rutheford partículas alfa de 4 MeV se
dispersan en un núcleo de oro. Si una partícula alfa choca de frente con
el núcleo de oro y se dispersa de regreso a 1800 , determine a) la distancia
del máximo acercamiento de la partícula alfa al núcleo de oro, b) la fuerza
máxima ejercida sobre la partícual alfa. Suponiendo que el núcleo de oro
permanece fijo a lo largo de todo el proceso [1].
Respuesta
Eα
r
mv 2
qα qAu
=k 2
2
r
kq 2
(2)(79)(1, 60 × 10−19 C)2
=
= 9 × 109 N m2 C−2
E
4 (1,60 × 10−13 C) V
−14
= 5, 68 × 10
m
=
188
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
la fuerza máxima ejercida sobre las partículas alfa
F
= k
qα qAu
r2
= 9 × 109 N m2 C−2
(2)(79)(1, 60 × 10−19 C)2
2
(5, 68 × 10−14 m)
3. Cacule el valor más probable de r para un electrón en el estado base del
2r
2
átomo de hidrógeno, sea P = 4r
e− a0 [1].
a3
0
Respuesta
Determinamos el valor más alto de esta curva que es cuando la pendiente de
la curva en este punto es cero, por lo que podemos evaluar el valor más probable
de r si consideramos dP
dr = 0 y despejando r.
Con la ecuación obtenemos
d
dP
=
dr
dr
4r2
a30
2r
e− a0
=0
al realizar la operación de la derivada y simplificar la expresión, se encuentra
que
2r
d 2
d
(r ) + r2
e− a0
dr
dr
2r
2
− a2r
2
2re 0 + r −
e− a0
a0
2r
r
2r 1 −
e− a0
a0
2r
e− a0
= 0
= 0
= 0
esta expresión se satisface si
1−
r
a0
r
= 0
= a0
4. Halle la probabilidad de encontrar el electrón fuera de la primera orbita
del radio de Bohr.
Respuesta
La probabilidad encontrar integrando la densidad de probabilidad radial para
el estado, P1s (r) desde el radio de Bohr.
Integrando tenemos
P =
∞
a0
P1s (r)dr =
4
a30
∞
a0
2r
r2 e− a0 dr
5.8. LÁSERES Y HOLOGRAMAS
189
Y realizando un cambio de variable de r a z = a2r0 observe cuando z = 2 entonces
r = a0 y dr = a20 dz asi:
P
∞
=
z 2 e−z dz
2
P
$∞
$
$
$ 1 2
−z $
$
= $− [z + 2z + 2]e $
2
2
P
= 5e−2 = 0, 677 o
67,7 %
5. Calcule el momento angular orbital de un electrón en un estado p del
hidrógeno.
Respuesta
L=
#
√
1(1 + 1)ℏ = 3ℏ = 1, 49 × 10−34 J s
6. Considere el átomo de hidrógeno en el estado l = 3. Calcule la magnitud
−
→
de L y los valores permitidos de L y θ [1].
Respuesta: Puesto que l = 3, podemos calcular el momento total empleando
la ecuación
#
#
√
L = l(l + 1)ℏ = 3(3 + 1)ℏ = 2 3ℏ
los valores permitidos de L, se obtienen con Lz = me ℏ, con ml = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Lz = −3ℏ, −2ℏ, −1ℏ, 0, 1ℏ, 2ℏ, 3ℏ
por último, calculamos los valores permitidos de θ utilizando la ecuación
puesto que l = 3,
Lz
ml
cos θ = $$−
→$$ = #l(l + 1)
$L$
#
√
l(l + 1) = 2 3 y tenemos
ml
cos θ = √
2 3
al sustituir los valores permitidos de ml , obtenemos
cos θ
θ
= ±0, 866, ±0,577, ±0, 289, y 0
= 300 , 54, 80 ,73, 20 , 900 , 1070 , 1250 y 1500
7. Grafique la función de onda para un electrón en el estado 1s, 2s y 2p del
hidrógeno.
Respuesta
ψ1s = 2
1
0,0529177249 n m
3
2
1−
r
2(0,0529177249 n m)
e−( 2(0,0529177249 n m) )
r
190
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
R (r)
150
100
50
0
0
1
2
R(r) = 2
1
ψ2s = √
2
1
0,0529177249 n m
3
3
2
1
0,0529
3
2
1−
4
5
r/a0 [nm]
e−( 2 )
x
r
2(0,0529177249 n m)
e−( 2(0,0529177249 n m) )
r
R(r)
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-10
y = √12
1
0,0529
3
2
x
1 − x2 e− 2
9
10
11
12
r/a0 [nm]
5.8. LÁSERES Y HOLOGRAMAS
R (r)
191
1
ψ2p = √
2 6
1
0,0529177249 n m
0
3
3
2
r
r e− 2(0,0529177249 n m)
12
10
8
6
4
2
0
1
2
4
5
1
y2p = 2√
6
6
1
0,0529
7
3
2
8
9
10
11
12
r/a0 [nm]
x
xe− 2
8. ¿Cuál es la distancia más probable desde el núcleo para encontrar un
electrón en el estado 2p? [1]
Respuesta
La función de densidad de probabilidad radial para el átomo de hidrógeno
en el estado 2p es:
Pr
Pr
dP
dr
r
π
1
4r2 e− ao + r4 −
6a50
a0
r
e− ao
$ $
= 4πr2 $ψ2 $ = 4πr2
= 4πr2
r2 − ar
e o
24a50
= 0
= 0
r
4r2 e− ao
r
1
= r4
a0
√
= 2 2 a0
que corresponde al valor máximo para r.
r
e− ao
1
r − 2ar
√
e o
3
3(2a0 ) 2 a0
2
192
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
9. Muestre que la función de onda 1s para un electrón en el hidrógeno
r
1
ψ(r) = # 3 e− ao
πa0
satisface la ecuación de Schrödinger simétrica radialmente,
−
ℏ2
2m
d2 ψ 2 dψ
+
dr2
r dr
−
ke2
ψ = Eψ
r
Respuesta
ψ(r) =
−
ℏ2
2m
2
1
−
2
a0 ra0
ψ−
r
1
#
e− ao
3
πa0
−2 − ar
2
#
e o =−
ψ
5
ra0
r πao
r
1
1
#
e− ao = 2 ψ
7
a
πao
0
2 dψ
r dr
=
d2 ψ
dr2
=
ke2
ψ
r
= Eψ
pero
a0 =
ℏ2
kme2
tenemos que
ℏ2
2
ke2
1
−
ψ−
ψ
2
2m a0 ra0
r
2
ke2
ℏ2
1
− 2 ψ−
−
ψ
2
2m a0 a0
r
ℏ2
ke2
ψ−
ψ
2
2ma0
a0
ℏ2 kme2
ke2
ψ
−
ψ
2ma ℏ2
a0
ke2
ke2
ψ−
ψ
2a0
a0
−
= Eψ
= Eψ
= Eψ
= Eψ
= Eψ
y de acuerdo a la mecánica cuántica, la energ ía de los estados permitidos para el átomo de hidrógeno son respectivamente:
U
E
e2
a0
ke2
= −
2a0
= k
5.8. LÁSERES Y HOLOGRAMAS
193
10. Calcule el momento angular de un electrón en a) el estado 4d y b) el estado
6f.
Respuesta para el estado d, l = 2,
√
L = 6ℏ = 2, 58 × 10−34 J.s
para el estado f, l = 3
L=
√ 6, 626 × 10−34 J s
12
= 3, 65 × 10−34 J s
2π
11. ¿Cuántos conjuntos de números cuánticos son posibles para un electrón
en el cual n = 1, 2, 3, 4 y 5. Verifique sus resultados para mostrar que
concuerdan con la regla general de que número de conjuntos de números
cuánticos es igual a 2n2
Respuesta
Para el átomo de hidróg eno el número cuánticos asociados a los estados
posibles que corresponden al número cuántico principal n = 1.
n
1
1
l
0
0
ml
0
0
ms
subcapa
capa
# de electrones en la subcapa
1s
K
2
1
2
− 21
Para el átomo de hidróg eno el números cuánticos asociados a los estados
posibles que corresponden al número cuántico principal n = 2.
n
2
2
2
2
2
2
2
2
l
0
0
1
1
1
1
1
1
ml
0
0
1
1
0
0
-1
-1
ms
subcapa
capa
# de electrones en la subcapa
2s
L
2
2p
L
6
1
2
− 21
1
2
− 21
1
2
− 21
1
2
− 21
12. Escriba la configuración electrónica del oxígeno (Z= 8) b) Escriba los
valores para el conjunto de números cuánticos n, l, ml y ms para cada
electrón en el oxigeno.
Respuesta
a) 1s2 2s2 2p4 .
b) los números cuánticos para cada electrón del oxigeno serían:
194
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
n l ml
100
200
210
210
estado
1s2
2s2
2px
2py
me
± 21
± 21
± 21
± 21
12. Determine el número de electrones que pueden ocupar la capa n = 3.
Respuesta
n
3
estado
3s2
3p6
3d10
l
0
1
2
Así, la configuración del estado n = 3 debería ser 3s2 3p6 3d10 .
13. Todos los objetos, grandes y pequeños se comportan de acuerdo con la
mecánica cuántica. a) Estime el número cuántico l para la Tierra en su
órbital alrededor del Sol. b) ¿Qué cambio de energía (en joules) ocurriría
si la Tierra hiciera una transición a un estado permitido adyacente?
Respuesta
a) El número cuántico l para la Tierra
L = mvr = m
2πr
r
T
L =
5, 98 × 1024 kg
L =
2, 66 × 1040
1, 054 × 10−34
L = 2, 53 × 1074 kg
2π 1, 496 × 1011 m
3, 156 × 107 s
m
m
s
2
5.8. LÁSERES Y HOLOGRAMAS
195
b) El cambio de energía sería
mv2 mr2
2 mr2
2
1 L
1 l(l + 1)ℏ2
=
2 mr2
2 mr2
1 l2 ℏ2
2 mr2
1 2lℏ2 l
E
=2
2 mr2 l
l
E
2 dl
l
E
= K +U =
E
=
E
=
dE
dl
=
dE
=
2
1
2
∆E
= 2
∆E
=
5, 98 × 1024 kg
2π(1,496×1011 m )
3,156×107 s
2, 53 × 1074
5, 3054 × 1033 J
= 2, 10 × 10−41 J
2, 53 × 1074
14. La familia luz amarilla de una lámpara de calle de vapor de sodio se
produce a partir de una transición del orbital 3p al orbital 3s en Na.
Evalúe la longitud de esta luz dado que la diferencia de energía
E3p − E3s = 2, 1 eV
Respuesta
λ=
hc
6, 626 × 10−34 J s(3 × 108 m s−1 )
c
= 590 nm
=
=
J
f
hf
(2, 1eV) (1, 6 × 1019 eV
)
15. Proporcione las configuraciones electrónicas para los primeros cinco gases
nobles, cinco metales alcalinos que tienen un electrón más que los gases
nobles, los cinco primeros halógenos que tienen un electrón menos que un
gas noble y los tres de los elementos de transición
Gas noble
He
Ne
Ar
Kr
Xe
Configuración electrónica
1s2
1s2 2s2 2p6
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10 5p6
Metal alcalino
Li (Z=3)
Na (Z=11)
K (Z=19)
Rb (Z=37)
Configuración electrónica
1s2 2s1
1s2 2s2 2p6 3s1
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s1
Número de electrones
2
10
18
36
54
Núcleo del gas noble
He
Ne
Ar
Kr
196
CAPÍTULO 5. LOS CUATRO NÚMEROS CUÁNTICOS
Halógeno
F (Z=9)
Cl (Z=17)
Br (Z=35)
Configuración electrónica
1s2 2s2 2p5
1s2 2s2 2p6 3s2 3p5
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p5
Elementos de transición
Se (Z=21)
Ti (Z=22)
V (Z=23)
Configuración electrónica
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d1
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d2
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d3
Taller (incluir todos los procedimientos)
Los ejercicios de este taller proceden de los textos: Física Moderna, Raymond
A. Serway, (principalmente) [1] y F.L. Mesa Ledesma, apuntes de FFI [23].
1. Escriba los posibles números cuánticos para las capas K, L y M.
2. Escriba los posibles números cuánticos para las subcapas 1s, 2p y 3d.
3. Escriba la configuración electrónica de los 5 primeros elementos de la tabla
periódica.
4. Si se desea reproducir luz con las longitudes de onda que se indican en la
Tabla 1. ¿Cuál es la diferencia de energía (en eV) entre el estado superior
excitado y el estado inferior no excitado?
Tabla 1
λ[nm]
V [eV]
5. Escriba la configuración electrónica de un elemento que tiene un número
atómico de 110.
6. Escriba la configuración electrónica del sodio al argón.
7. Grafique la función de onda
r
1
ψ1s (r) = # 3 e− ao
πa0
y la función de densidad de probabilidad radial
P1s (r) =
4r2
a30
2r
e− ao
para el hidrógeno. Considere que r varía de 0 a 1, 5a0 , donde a0 es el radio
de Bohr.
5.8. LÁSERES Y HOLOGRAMAS
197
8. Muestre en una tabla todos los elementos que conforman la capa M donde
indiquen el átomo y cómo sería el llenado de los estados electrónicos que
obedezcan al principio de exclusión de Pauili y a la regla de Hund.
Capítulo 6
Elementos de física del
estado sólido
La física del estado sólido permite entender la correlación entre las propiedades macroscópicas con las características microscópicas de los materiales,
basados en modelos, partiendo de un sólido como un arreg lo ordenado y
perfecto de átomos y posteriormente, considerando los cambios producidos al
considerar el sólido real, con imperfecciones o defectos.
La materia en estado sólido puede presentarse en una estructura cristalina o
amorfa, dependiendo si los átomos se ordenan de forma periódica o no. Aunque
en principio cuando se estudia la física del estado sólido se hace referencia a los
sólidos cristalinos, el desorden estructural en los sólidos desordenados muestra
propiedades diferentes a los sólidos cristalinos que permiten otras aplicaciones
prácticas.
6.0.1.
Monocristal
El estudio de este estado de la materia se realizará mediante un modelo
simple y representativo del sólido, conocido como cristal ideal.
El cristal ideal se define como un medio material discreto e infinito con
una ordenación espacial regular y periódica de sus componentes, caracterizado
básicamente por su
1. Homogeneidad.
−
→
2. Simetría de traslación (ciertas traslaciones de vectores T en el interior del
cristal dejan a este invariante).
3. Anisotropía.
Una de las características más ideales y simplificadoras del modelo anterior lo
constituye su carácter infinito. A pesar de la aparente irrealidad de esta
199
200
CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
característica, el cristal ideal es un modelo muy válido para el estudio de aquellas propiedades del cristal en las que los efectos de superficie no sean muy
significativos. Dado que las propiedades en las que estaremos interesados (fundamentalmente las relacionadas con el transporte de carga) son propiedades que
muy aproximadamente son independientes de la forma de la superficie del material, el cristal ideal. En el estudio del cristal ideal aparece el concepto de la red
cristalina, que se define como: Red cristalina es un conjunto infinito y discreto
de puntos con una disposición y orientación que aparece exactamente la misma
desde cualquier punto del conjunto.
La red cristalina en una estructura puramente geométrica que se forma mediante la traslación periodica de una celdilla elemental. Una de las características
esenciales de esta red cristalina es que pone de manifiesto la importancia que
tiene disposición geométrica de la estructura espacial periódica del cristal con
independencia de las unidades reales o motivos que la compongan. Donde se
evidencia el hecho de que subyacente a la estructura reticular aparece la composición de la red cristalina con cierto motivo (átomo o grupo de átomos) [23].
6.0.2.
Conceptos fundamentales
Celdilla
Es una distribución periódica de puntos en el espacio que se denomina red
espacial. Cualquier fragmento de esta red que, por traslación en las tres direcciones del espacio, permita reproducir la red completa se denomina celdilla
unidad (o celdilla elemental).
Las longitudes de las aristas de la celdilla se designarán como n1 , n2 y n3 ,
y se denominan longitudes axiales. Los ángulos que forman las caras entre sí se
designan por α1 , α2 y α3 , y se denominan ángulos interaxiales. Estos 6 valores (3
longitudes y 3 ángulos) son conocidos globalmente como parámetros reticulares
o cristalinos.
Sistemas Cristalinos
La elección de la celdilla unidad es preferiblemente optar por la celdilla más
pequeña posible, que es conocida como celdilla primitiva, aunque esta no siempre
evidencia con claridad las simetrías de la red.
La simetría de la red bidimensional considerada es tal que si rotamos toda
ella un áng ulo de 90◦, la situación final es completamente indisting uible de la
inicial. Se dice, entonces, que la red en cuestión tiene una simetría de orden
0
40 (el 4 proviene de que 900 = 360
4 ). No existe ninguna red bidimensional que
0
coincida consigo misma, tras ser rotada un ángulo de 360
5 . Algunas celdillas
bidimensionales se muestran en la siguiente Tabla.
201
Nombre
Oblicua
Rectangular simple
Rectangular centrada
Hexagonal
Cuadrada
ángulo α
= 900
900
= 600 , 1200
600 , 1200
900
constante de red
a=b
a=b
a = 2b cos α
a=b
a=b
Redes tridimensionales
El físico A. Bravais demostró que para evidenciar con claridad todas las
simetrías posibles de las redes tridimensionales son necesarios 14 celdillas elementales, que, en su honor, son denominadas celdillas de Bravais. Estas celdillas se construyen a partir de los 7 poliedros (cúbico, tetrag onal,
ortorrómbico, hexagonal, romboédrico, monolínico y triclínico), pero
asociándoles una serie de puntos (nudos) que no solo están situados en los
vértices, sino también en el centro del mismo, o en el centro de sus caras.
La siguiente Tabla muestra las 14 celdillas y los sistemas a los que pertenecen.
La repetición en las tres direcciones del espacio de estas celdillas que contienen
nudos origina lo que se denomina red espacial o de Bravais.
Estructura
Triclínico
Red de Bravais
Simple
Monoclínico
Simple
Centrado
Geometría
α1 = α2 = α3
a1 = α2 = a3
α1 = α2 = 900 = α3
a1 = α2 = a3
Simple
centrado en las bases
centrado en el cuerpo
centrado en las caras
a1 = α2 = a3
α1 = α2 = α3 = 900
Tetragonal
Simple
Centrado en el cuerpo
a1 = α2 = a3
α1 = α2 = α3 = 900
cúbico
Simple
centrado en el cuerpo
Simple
Simple
centrado en las caras
a1 = α2 = a3
α1 = α2 = 900 α3 = 1200
α1 = α2 = 900 α3 = 1200
α1 = α2 = α3 = 900
Ortorrómbico
Trigonal
Hexagonal
202
CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
Figura 6.1:
6.0.3.
Estructuras cristalinas
Los nudos de las distintas celdillas, que corresponden a puntos en las esquinas en los vertices de un poliedro en las figuras de las redes de Bravais, son
todos equivalentes y no están ocupados necesariamente por un único átomo.
En determinados materiales cada nudo puede tener asociado una molécula, un
grupo de átomos, o incluso, un grupo de moléculas.
Al átomo, molécula o grupo de átomos o de moléculas que se debe asociar a
cada nudo de la red para reproducir todo el cristal se lo denomina base o motivo. Así pues, una estructura cristalina real (un cristal) se construye colocando
una base en cada una de las posiciones marcadas por la red de Bravais correspondiente (o sea en sus nudos). Es decir, los términos red y estructura no son
sinónimos y no deberían confundirse, aunque es relativamente frecuente verlos
empleados de modo incorrecto. Esquemáticamente, podemos resumir esta idea
diciendo que estructura cristalina = red espacial + base.
6.0.4.
Redes tridimensional
Cúbica simple
La Figura 6.1 muestra la red cúbica simple. El cristal es llamado celda unitaria, está formado por la repetición de 8 átomos.
El cristal se puede representar mendiante puntos en los centros de esos átomos.
Compuestos en estructura cs, sc
En esta estructura, los átomos se encuentran en: 8 en los vértices de un cubo
y 1 en el centro del cubo.
El número de coordinación es 8 (cada átomo tiene ocho vecinos, si se supone
que el patrón continúa hasta una distancia infinita en todas las direcciones).
Cada átomo en las esquinas es 18 y sumando los 8 átomos nos da un átomo
mas uno para el átomo central, la celda unidad de la estructura nos da en total
dos átomos.
203
Figura 6.2:
Está definida por un único parámetro de red, la longitud del lado. En el caso
de un cristal compuesto de un solo tipo de átomo, se puede utilizar el modelo
de esfera: los átomos se considera que son esferas no deformables de radio R que
están en contacto.
√
La distancia entre dos esquinas opuestas del cubo es igual a 3 el parámetro
de la malla. En el caso de una estructura cúbica centrada en el cuerpo, esta
distancia es el doble del diámetro atómico o cuatro veces el radio igual 4R, de
manera que:
4
a= √ R
3
El factor de empaquetamiento atómico, es decir, la proporción de espacios
ocupados por los átomos de la red cúbica centrada es:
fe =
fe =
fe =
volumen ocupado
volumen total
2 Vatom
a3
2 43 πR3
3 ≃ 0, 68.
√4 R
3
Este valor es menor que la de las estructuras de la cara cúbica centrada
compactos y hexagonal, que son a la vez 0,74. Se dice que estos dos corresponden
a la pila compacta o máxima compacidad, mientras que la estructura cúbica
centrada en el cuerpo es una estructura no compacta estrictamente porque no
alcanza la compacidad máxima.
204
CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
Figura 6.3:
El motivo o base sería:
Cs (1a) 000
1 1 1
Cl (1b) , ,
2 2 2
6.0.5.
Estructura cúbica centrada en las caras (fcc)
Este tipo de celda unidad se caracteriza porque los átomos se encuentran
localizados en cada uno de los vértices del cubo y uno en el centro de cada una
de las caras del cubo. Para esta celda el número de coordinación es doce (12).
La cantidad de átomos que se encuentra dentro de la celda cubica es el
equivalente de 4 átomos. Un octavo de esfera en cada vértice de la celda, haciendo
el equivalente de un átomo, y medio átomo en cada una de las caras haciendo
3 átomos. En consecuencia, hay un total de 8 × 18 (en los vértices) +6 12 = 4
átomos por celda unidad.
Para esta celda los átomos se en cuentran unidos a través de la diagonal de
las caras, pudiendo relacionarse la longitud de la cara del cubo a con el radio
atómico R de la siguiente manera:
4
a= √ R
2
El Factor de Empaquetamiento Atómico (APF), el cual indica que fracción
de la celda está ocupado por los átomos, para esta celda es 0,74. Comparando
con el valor de la celda bc, en esta los átomos se encuentran más unidos (dejan
menos espacio vacío). Algunos metales con estructura fcc son: aluminio, hierro,
cobre...etc.
205
Volumen
Mediante fórmulas geométricas conocidas es fácil demostrar que el volumen
de cualquier celdilla unidad, sea del sistema que sea, puede calcularse mediante
la expresión:
#
Vc = abc 1 − cos2 α − cos2 β − cos2 γ + 2 cos α cos β cos γ
Para los sistemas hexagonales la expresión anterior se reduce a:
√
3 2
a c
Vc =
2
Pero, si la geometría hexagonal se toma la celdilla como un prisma hexagonal. Si
este es el caso, el volumen de la celdilla unidad será entonces tres veces mayor,
por lo que:
√
3 3 2
Vc =
a c
2
Y para los cúbicos,
Vc = a3
Número de átomos por celdilla
Para una celdilla cúbica, este número puede calcularse mediante la siguiente
expresión:
1
1
n = nI + nc + nv
2
8
Donde nI es el número de átomos en el interior de la celdilla, nc el número
de átomos de la celdilla y nv número de átomos en los vertices.
La fracción que multiplica estos números surge del hecho de que la celdilla
debe entenderse como una porción de todo el cristal. Los átomos del interior de
la celdilla pertenecen únicamente a esa celdilla (de ahí el factor 1), pero cada
átomo de un vértice pertenece simultáneamente a 8 celdillas contiguas (de ahí
el factor 18 ), y cada átomo de una cara, a 2 celdillas vecinas (de ahí el factor 12 ).
Por razones parecidas, si la celdilla es hexagonal, entonces la expresión anterior ha de sustituirse por esta otra:
1
1
n = nI + nc + nv
2
6
Concentración atómica
Se define como el número de átomos por unidad de volumen. La concentración atómica asi:
X=
n
número de átomos en la celdilla
=
volumen de la celdilla
Vc
206
CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
La concentración (o densidad) atómica superficial o lineal en el plano de
índices (h k l), que encierra un área A dentro de la celdilla, se calculará como:
X=
n
número de átomos con centro en el plano
=
área del plano dentro de la celdilla
A
La densidad atómica lineal a lo largo de la dirección [h, k, l], que atraviesa
la celdilla en un segmento de longitud L, está dada por:
[X][hkl] =
número de átomos con centro en el segmento
n
=
longitud dentro de la celdilla
A
Fracción de empaquetamiento
La fracción de empaquetamiento (f e) es la fracción de espacio ocupado en
la celdilla. matemáticamente:
volumen ocupado
volumen de la celdilla
Si únicamente existe un tipo de átomos, y estos se consideran esferas perfectas de radio r, entonces f e se calculará como:
fe =
fe =
4
3
3 πr
Vc
n
4
= πr3 [X]
3
Siendo n, el número de átomos que contiene la celdilla y Vc el volumen de la
celdilla unidad.
Si existiera más de un tipo de átomos, entonces la definición ha de extenderse
del modo siguiente:
1 &
4 3
fe =
ni
πr
Vc i
3 i
Siendo, ni el número de átomos de la especie i y ri , el radio atómico de la
especie i .
El concepto de f e, referida a un volumen, una superficie o en una dirección, basándonos en las respectivas concentraciones superficiales o lineales. Así,
definiremos la fracción de empaquetamiento superficial sobre el plano (h k l)
como:
πr2 n
f (hkl) = πr2 [X][hkl] =
A
donde n es el número de átomos con centro en una región del plano de área A.
Del mismo modo, la fe lineal a lo largo de la dirección [h k l] se definirá
como:
2rn
f [hkl] = 2r [X][hkl] =
L
donde n es el número de átomos centrados en un segmento de longitud L
sobre la dirección considerada.
6.1. DIRECCIÓN Y PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
207
Figura 6.4:
Ejemplo
Calcule la densidad del silicio sabiendo que la arista de su celdilla unidad es
a = 5, 43 × 10−8 cm y que su peso atómico es 28,1 g.
Dado que el Si cristaliza en una red tipo diamante que está formada por 2
redes f cc interpenetradas, el número de átomos por celdilla elemental será el
doble del de una red fcc (Figura 6.3) .
Para la red fcc tenemos que nV = 8, nI = 0 y nF = 6, por lo que
nc (fcc) =
6
8
+0+ =8
8
2
Para el silicio tendremos, por tanto, que cada celdilla elemental tiene 8 átomos. Si n es el número de átomos por unidad de volumen, entonces
n =
n =
número de átomos por celda unidad
nc
= 3
volumen celdilla unidad
a
8
22 átomos
≈ 5 × 10
(5, 43 × 10−8 )3
cm3
La densidad, ρ, en cmg 3 del si podemos calcularla como ρ = masa de 1 átomo
os
por número de átom
cm 3 = mat n , por lo que
ρ=
A nc
NA a3
Que en nuestro caso particular será
ρ(Si) =
28, 1
· 5 × 1022 ≈ 2, 3 g/cm3
6, 02 × 1021
208
CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
Figura 6.5:
6.1.
Dirección y planos cristalográficos
−
→ →
→
Sea un cristal cúbico de tal manera que los vectores −
a, b y −
c de la celda
unitaria se encuentran a lo largo del los ejes x, y y z respectivamente. Tal
situación está representada en la Figura 6.5.
−
→
Si T representa el vector traslación independiente del origen que se tome
−
→
−
→
→
→
T = n1 −
a + n2 b + n3 −
c
→
−
y n1 , n2 y n3 sean números enteros. T tendrá su extremo siempre en un átomo,
cuando {n1 , n2 , n3 } sean números enteros que definen una dirección dentro del
cristal. Por ejemplo la posición del átomo sobre la diagonal principal de un cubo
vendra dada por
−
→
−
→
→
→
T = 1−
a + 1 b + 1−
c
6.1.1.
Índices de Miller
Para identificar la ubicación de los planos cristalinos se emplean los llamados
índices de Miller, los cuales denotan por tres números entre paréntesis (h, k, l), en
la Figura 6.6 tenemos un plano situado en el espacio que intercepta los ejes
coordenados del sistema de referencia en los puntos x, y y z. También se
→
− −
−
muestran los vectores →
a, by→
c de la celda unitaria [32,33].
Para determinar los índices de Miller que caracterizan el plano en consideración, procedemos de la siguiente manera:
1. Hallamos los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
−
→ →
→
2. Encontramos las relaciones xa , yb y zc ; en donde −
a, b y −
c son las magnitudes de los respectivos vectores.
6.1. DIRECCIÓN Y PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
209
Figura 6.6:
3. Tomamos los inversos de los tres números anteriores, es decir: xa ,
b
c
y y z.
4. Reducimos la tripla anterior en su mínimo común denominador; multiplicamos los inversos (paso c) por este número, y los números que resultan
son los 3 índices de Miller (h, k, l). Ejemplo: si se quiere determinar los
índices de Miller del plano que se muestra en la Figura 6.7 dentro de una
estructura cúbica (a = b = c). Las interacciones del plano con los ejes
coordenados son
x = 3, y = 2 y z = 2
Según los pasos anteriores tenemos
1. Puntos de corte: (3, 2, 2).
2. Inversos
1 1 1
3, 2, 2
.
3. Mínimo común denominador: 6
4. Indice de Miller:
6 6 6
3, 2, 2
= (2, 3, 3)
En la Figura 6.7 se mustran los planos cristalinos (con sus respectivos índices
de Miller) más comunes en las estructuras cúbicas
Taller (incluir todos los procedimientos)
1. Calcule la densidad del silicio sabiendo que la arista de su red unitaria es
a = 5, 43 × 10−8 cm y que su peso atómico es A = 28, 1 g.
2. Calcule la fracción de empaquetamiento para la red fcc.
3. Calcule la distancia a entre los iones N y Cl en el NaCl admitiendo que
cada ion ocupa un cubo de arista a.
210
CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
Figura 6.7:
4. Las dimensiones de la celda unidad del cobre fcc es de 0,36 nm. Calcular
la longitud de onda mas grande para los rayos X capaz de producir
difracción por los planos cristalinos. ¿Qué planos podrían difractar rayos
X de long itud de onda 0,5 nm?
5. La distancia entre los planos de índices (110) en una red cúbica centrada
es a = 2,65 Å. Calcular: a) La constante reticular. b) El radio atómico del
elemento.
6. Calcular la densidad teórica del hierro a temperatura ambiente, sabiendo que presenta red cubica centrada con parámetro reticular a = 2, 866
Å. Peso atómico de Fe: 55,847. Nota: Cte de Avog adro: 6, 0248 × 1023
átomos/mol.
7. Calcule la distancia entre planos (220) y el áng ulo de difracción para el
hierro bbc. El parámetro de red para el hierro es 0,2866 nm. También
asuma que la radiación monocromática tiene una long itud de onda de
0.1790 nm y que el orden de reflexión es 1.
8. El radio tiene una estructura cristalina fcc. Si el ángulo de difracción para
el conjunto de planos (311) está a los 36,120 (para una reflexión de primer
orden) y una radiación monocromática con una longitud de onda de 0,0711
nm. Calcule lo sig uiente: a) La distancia entre planos para el conjunto de
planos dado. b) El radio atómico del rodio.
Capítulo 7
Laboratorios
7.1.
Medida de la velocidad de la luz
1. Ingresar a la página: http://www.slideshare.net/ggabdelr/medir-la-radiacinsolar-en-bogot-patricia-abdel-rahim y desarrolle el taller (Figura 7.1).
2. Ingresar a la página: https://phet.colorado.edu/es/simulation/bendinglight. Aquí descargas el applet Java para acceder al laboratorio virtual.
Luego de clic en - Para Profesores - Ley de Snell de Patricia Abdel Rahim.
Debes registrarte para poder bajar el pdf.
7.2.
Experimento de Michelson y Morley
Objetivo
Reproducir la experiencia de Albert A. Michelson y Edward W. Morley .
Materiales
2 espejos planos
flexometro
lámina semiplateada (un espejo 50/50 )
un rayo laser
Marco teórico
Con el fin de acabar de una vez por todas con la polémica acerca de la
existencia del éter, los físicos norteamericanos A. A. Michelson y E. W. Morley
realizaron en 1887 un singular experimento, cuyo objetivo era medir la
velocidad relativa del éter respecto a la Tierra, ya que, seg ún las ideas
imperantes, esta se movía en su seno al describir su órbita alrededor del Sol.
Ahora bien, tengo que decir que sus resultados fueron sorprendentes, ampliar
este marco teórico.
211
212
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Figura 7.1:
Procedimiento
Monte el sistema como se muestra en la Figuras 7.2, rote el sistema un ángulo
de 450 y 900 tome una foto de cada caso y plantee una conclusión de acuerdo a la
teoría del experimento de Michelson y Morley. Ahora aleje los espejos por lo
menos 3 distancias diferentes (note las distancia con sus reg istros fotográficos
como se muestra en las Fig uras 7.2) con el ángulo de 450 y haga un registro
fotográfico. Debes obtener los que se muestra en las Fotos 7.3 y 7.4.
Análisis
1. ¿Qué se quiso hallar o determinar o definir, con el experimento?
2. ¿A que resultado llegaron con este experimento ustedes y Albert A. Michelson y Edward W. Morley?
3. ¿Influye la distancia de separación entre los espejos?¿y entre el láser? Explique.
4. Si no hay éter, en que medio viaja la velocidad de la luz entonces.
5. Indique un método para determinar la velocidad de la luz
6. ¿La luz viaja por el espacio? ¿Qué hay en el espacio?
7. ¿Qué importancia tiene el experimento de Michelson-Morley?
Actualmente.
8. Consulte en la web para que se utiliza hoy día este experimento.
7.2. EXPERIMENTO DE MICHELSON Y MORLEY
Figura 7.2:
Figura 7.3:
213
214
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Figura 7.4:
Realice sus comentarios, conclusiones y bibliografía.
7.3.
Difracción de la luz monocromática
Objetivos
Determinar la long itud de onda de una luz monocromática.
Materiales
Láser
Rejilla de difracción 13400 lineas/in
Regla o cinta métrica
Montaje en pared o pantalla en blanco
Marco teórico
Consulte sobre:
Enuncie cinco propiedades del fenómenos ondulatorios.
La ley de Bragg.
¿De qué depende que haya mayor difracción cuando la luz pasa a través
de la rendija?
¿Qué se espera que que suceda cuando a una sola longitud de onda se le
produce interferencia?
Si los electrones se detectan sobre la pantalla, la probabilidad de llegada en
ese punto en algun instante dado se determina por la intensidad de las ondas
7.3. DIFRACCIÓN DE LA LUZ MONOCROMÁTICA
215
de materia que interfieren en forma consructiva (máximo) y destructivamente
(mínimo). Para determinar la longitud de onda del laser usamos la Ley de Bragg.
Fig ura 7.5:
senθ
nλ
d
dsenθ
n
=
λ =
Para determinar el ángulo dispersión usamos función tangente (ver figura 7.5)
tan θ =
o
tan θ =
y
D
nλ
(1)
d
Procedimiento
Monte el sistema que se indica en la Figura 7.6 o Figura 7.7.
Coloque un láser rojo sobre una superficie estable y proyecte su luz a través
de la rejilla hacia una pared en blanco (pantalla).
Tome d como la distancia entre rendijas de la rejilla, D como la distancia
de separación entre la rejilla y la pantalla y y como la distancia entre máximos
216
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Figura 7.6:
1
de intensidad. Use la ecuación (2), donde d = número de líneas
por pulgada , θ que se
obtiene de la ecuación (1) y n de mínimo o máximo de intensidad.
λ=
dsenθ
(2)
n
Realice el procedimiento anterior con distancias aproximadas de D ig ual a: 10
cm, 20 cm y 25 cm y compare los resultados experimentales con la longitud de
onda real del láser rojo que es λ = 635 nm. Complete la siguiente Tabla con D =
10 cm.
Orden de Difracción
primer máximo
segundo máximo
θ grados
λ (nm)
$
$
$ V -V $
e % = $ T VT exp $ × 100 %
Análisis
1. Halle la relación entre λ vs θ.
2. Explique por qué al alejar o acercar la rejilla a la pantalla se forman mas
o menos puntos.
7.4. EFECTO FOTOELÉCTRICO CON EL ELECTROCOPIO
Figura 7.7:
Figura 7.8:
217
218
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Figura 7.9:
Figura 7.10:
7.4. EFECTO FOTOELÉCTRICO CON EL ELECTROCOPIO
219
Realice sus comentarios, conslusiones y bibliografía
7.4.
Efecto fotoeléctrico con el electrocopio
Objetivos
Evidenciar experimentalmente el carácter corpuscular de la luz.
Filtro de varios colores
Lámpara de Hg de 50W sin ventana de protección
Electroscopio
Barra de ebonita y paño.
Foco de luz
Marco teórico
Al incidir una haz de luz (fotones) sobre la parte superior del electroscopio
con una frecuencia mucho mayor que la frecuencia con que oscilan los electrones
que se encuentran en la parte superior metal del electroscopio hace que los
electrones adquieran la suficiente energía para ser liberados, lo que reduce su
carga negativa. Esto hace que se descargue el electroscopio. Sin embargo, si la
radiación electromagnética golpea la parte superior del electroscopio este metal
no tiene una frecuencia lo suficientemente alta, no importa cuánto tiempo brilla
la luz de baja frecuencia.
Recordemos cómo cargar el electroscopio por inducción Al estar el
electroscopio descargado (tiene igual cantidad de cargas positivas que negativas
uniformemente distribuidas) la laminilla de oro no está separada de la varilla
metálica. Al acercar la barra frotada (sin tocar el electroscopio) se
distribuyen las carg as en el electroscopio alejándose las carg as negativas
concentrándose carga negativa en la parte inferior de la varilla metálica y en la
laminilla, y como consecuencia esta se separa. Manteniendo la barra frotada
cerca del electroscopio y tocando con un dedo la esfera del mismo, las cargas de
la varilla metálica y de la laminilla tienden a alejarse lo más posible de la barra
cargada, y por tanto van a tierra; en consecuencia, se juntan de nuevo la
varilla metálica y la laminilla de oro.
Retirando la conexión a tierra y quitando la barra, las cargas de la esfera
tratan de alejarse unas de las otras, produciendo la separación de la laminilla
de oro de la varilla metálica. Queda así el electroscopio carg ado con carg as
de signo contrario al de la barra acercada.
Procedimiento
1. Cargue el electroscopio por inducción, luego coloque sobre el electroscopio
cargado la lampara de UV como se muestra en las Figura 7.8 y 7.9 y tome
una fotos.
220
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
2. Con el electroscopio cargado, coloque el filtro de color violeta y luego la
pantalla de UV como se muestra la Figura 7.10. Tome foto del electroscopio.
3. Repita el item 2, pero con los otros filtros registrando en unidandes de u
lo que el electrocopio se ha descargado, completando la siguiente Tabla.
Realice tres conclusiones de la Tabla obtenida.
4. Realice el mismo procedimiento del punto 2 y 3 pero en vez de usar la
patalla UV use luz natural.
Filtro de color
Unidades [u]
electroscopio cargado
Longitud de onda
λ [nm]
Energía
E = hc
λ [eV]
violeta
azul
verde
amarillo
naranja
rojo
Análisis
1. ¿Para un metal y una radiación incidente de frecuencia dada la razón en
que los fotoelectrones son emitidos es directamente proporcional a la luz
incidente?
2. ¿Para un metal dado, existe una frecuencia mínima de la radiación inicidente por debajo de la cual no existe efecto, conocida como la frecuencia
de corte?
3. ¿Por qué se debe prevenir la incidencia directa de los rayos U.V. en los
ojos?
4. ¿Por qué el electroscopio no se descarga cuando sobre la placa incide luz
visible?
5. ¿Por qué el electroscopio sí se descarga cuando sobre la placa incide luz
ultravioleta?
6. ¿Cuándo se interpone un trozo de vidrio o plástico transparente entre los
rayos incidentes y la placa de zinc del electroscopio. ¿Por qué se detiene
la descarga?
7.5. LABORATORIO: EFECTO FOTOELÉCTRICO
221
Figura 7.11:
Realice sus comentarios, conclusiones y bibliografía
7.5.
Laboratorio: Efecto fotoeléctrico
Objetivos
Calcular la constante de Planck, la función trabajo de material radiado, la
relación entre la energía cinética y su relación con la frecuencia.
Materiales
Equipo de efecto fotoeléctrico (Figura 11, 12)
Multímetro digital
Fuente para la lampara
Filtros de varios colores
Lampara de mercurio
Espectro de colores teórico
Marco teórico
Incluir para este marco teórico la respuesta a las siguientes preguntas:
1. ¿Qué representa el trabajo de extracción?
2. ¿Cómo es la relación entre el potencial de frenado y la frecuencia?
3. Se puede afirmar que el número de electrones emitidos es proporcional a la
intensidad de la radiación. Explique lo que afirma tanto el modelo clásico
como el modelo cuántico.
222
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Figura 7.12:
Figura 7.13:
7.5. LABORATORIO: EFECTO FOTOELÉCTRICO
223
4. Si la frecuencia del haz de luz incidente es menor que la función trabajo, se
podrán liberar electrones o no ¿qué afirma el modelo calico y que afirma el
modelo cuántico?
5. ¿Si un fotón incide sobre el metal, cuántos electrones absorben esta energía?
6. Incluya en su informe el espectro de luz visible (desde el color violeta al
color rojo) con sus respectivos valores de longitud de onda.
Procedimiento
1. Monte el sistema como se muestra en la Figura 7.12, colocando al frente del
equipo fotoeléctrico la lámpara de mercurio Figura 7.13, en esta lámpara
hay unos canales, podemos insertar el filtro de color violeta, luego conecte
los pines negro y rojo del equipo de efecto fotoeléctrico en el multímetro
digital, éste tiene como objetivo medir el voltaje que suministra la fuente
del aparato fotoeléctrico. La fuente externa es para alimentar la lámpara,
conéctela y ajuste la intensidad de la lámpara.
2. Calibre el aparato fotoeléctrico ajustando la perilla que dice zero adjust en
cero. Esta perilla nos permitirá regular el indicador de corriente. Colóquelo
en cero.
3. La otra perilla tiene como función ajustar el voltaje de parada, que de
acuerdo con la teoría del efecto fotoeléctrico es el voltaje que va a parar
la emisión de electrones sin importar la cantidad de fotones que estén
llegando al receptor.
4. Ya teniendo el montaje cuando encienda la lámpara observará que en el
equipo de efecto fotoeléctrico marcará un valor de corriente. Mueva la
perilla de voltaje hasta que la fotocorriente se haga igual a cero (i =
0), el voltaje que marca el multímetro corresponde al voltaje de parada.
Posteriormente busque en la literatura del espectro de colores la longitud
de color violeta, el valor que más se aproxime al valor que está reflejado
en la lámpara que es λ = 403 nm. Complete la siguiente Tabla 1.
5. Luego busque el voltaje en el cual el flujo de corriente sea cero i = 0. A
este se le denomina voltaje de parada para este filtro. Repita los pasos de
1 al 5 pero ahora con los filtros de color: azul, verde, amarillo, naranja y
rojo. Ajustando el cero en el equipo de efecto fotoeléctrico cada vez que
se realice una medición. Complete la Tabla 2
224
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Tabla 1
Color
violeta
azul
verde
amarillo
naranja
rojo
Fotocorriente (nA)
Voltaje de parada [V]
Tabla 2
Color
violeta
azul
verde
amarillo
naranja
rojo
Longitud de onda (nm)
buscado en el espectro de colores
403
436
546
578
593
Frecuencia [Hz]
Análisis
1. Grafique el voltaje donde dejaron de fluir electrones en función de la frecuencia y obtenga el valor de la pendiente. Luego multiplíque el valor de
la pendiente por 1 eV = 1, 60 × 10−19 J, o sea, si
(Pendiente) m =
∆V × 1, 60 × 10−19
Js
∆f
Haga la ecuación de la recta, recuerde que V = m Vol
nm x + fi ., ¿qué significado físico tiene el punto de corte de la recta con el eje vertical? Compare
este valor con el valor de la constante de Planck que es h = 6,626 × 10−34 J s y
determine el error porcentual.
2. Si conocemos la energía incidente (Ei ) definida como la suma entre la
energía necesaria para extraer los electrones del nivel energético en el que
se encuentran (trabajo de extracción Wext ) mas la energía cinética capaz
de frenar esos electrones (K).
Eincidente = Wext + K
y como
Eincidente = hf
y
Wext = hf0
7.6. ESPECTROMETRO DE DIFRACCIÓN
225
Este trabajo de extracción depende del metal en el que incide la luz y fo
corresponde a la frecuencia mínima necesaria para que se produzca el efecto fotoeléctrico llamada también frecuencia umbral y la energía cinética
2
ca-paz de frenear esos electrones definida como K = 2mv = qVparada tenemos
que
hf = hf0 + qVparada = qV0
con esta última ecuación complete la sig uiente Tabla
Tabla 3
3
0
fo = hf −qV
h
frrecuencia umbral
Wextración
Wext = hfo
Long itud de onda de corte
λc = hc
φ
violeta
azul
verde
amarillo
naranja
rojo
3. ¿El trabajo de extracción es una constante? Si/no por qué, revise la literatura la funciones de trabajo y dig a cual es el material por el cual la
luz incide.
4. La longitud de onda de corte obtenida en la Tabla 3 al compararla con la
longitud de onda de cada color usado en la experiencia, diga si dio mayor
o ig ual, indique si tienen sentido estos valores de acuerdo la conceptualización de long itud de onda de corte.
Realizar sus comentarios, conclusiones y bibliografía.
7.6.
Espectrometro de difracción
Objetivos.
Estudiar el espectro de emisión de varios gases.
Medir el ancho de la rejilla de difracción utilizada.
Material
Espectrómetro de difracción
5 tubos de gas con el Shooter Figura 7.14
Fuente
226
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Figura 7.14:
Figura 7.15:
7.6. ESPECTROMETRO DE DIFRACCIÓN
227
Figura 7.16:
Marco teórico
Debe incluir en el marco teórico los siguientes items:
Cuando ocurre espectro de emisión y de absorción, de un ejemplo en cada
caso.
Cosulte una tabla de colores de luz visible con sus respectivas longitudes
de onda.
Consulte sobre la Ley Bragg.
Debe adicionar en este experimento la construcción en físico de un espectrómetro casero. Mire videos en youtube (obiviamente notando la página donde obtuvo la información en la bibliografía). Además de hacer un
dibujo explicativo de la posición en que estan ubicados cada uno de los
materiales que uso para la construcción de su espectrómetro.
Procedimiento
1. Coloque el espectrómetro en cero grados como se muestra en la Figura
7.15 y Figura 7.16. Encienda el tubo de gas y observe a través del ocular.
Note los colores que observa y registrelos en la Tabla .
2. Gire el ocular hacia la izquierda y lentamente muevalo hacia la derecha
y observe el primer color que aparece en el extremo izquierdo del ocular,
Figura 7.17.
228
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Figura 7.17:
3. Mida el ángulo que se indica en la base del espectrómetro.
4. Continúe girando hacia la derecha y notando cada color que va apareciendon el extremo izquierdo del ocular y a su vez note el ángulo que se indica
en la base del espectrómetro en la Tabla 1.
Nota: Todos los miembros del equipo realizarán su propia medición, o sea
cada miembro del equipo tendrán su propia Tabla 1.
Tabla 1
Miembro del
Color
Nombre del observador
λ longitud de onda [nm]
θ [grados]
Análisis
1. Consulte en una tabla de colores las longitudes de onda correspondientes
a los espectros de cada uno de los gases usados en el experimento y comparelo con los obtenidos.
7.7. ESPECTROS
229
2. Use la ecuación (1) para determinar el ancho de la rejilla d (en nm) del
espectrómetro de difracción. Completando la Tabla 2.
3. Halle la energía del fotón de cada uno de los colores que radia el gas.
4. Realice los anteriores items con cinco tubos de Gas.
Tabla 2
d=
Color
Promedio
λ
nm
nλ
(1)
senθ
θ difractado
tanθ = xy
d
nm
energía
eV
E
c [eV]
Preguntas
1. ¿Qué rango de longitudes de onda observan en promedio los miembros del
equipo? Complete la Tabla 2
2. ¿Para qué sirve identificar un espectro de emisión de un elemento? De 5
ejemplos
3. ¿Qué características particulares observó en el espectro de emisión que
estudió?
energía
E
4. Grafique velocidad
de la luz = 2,99792458×108 m s−1 en función de la longitud
de onda λ y halle el valor de la pendiente y comparelo con el valor de la
constante de Planck (4,1356692 × 10−15 eV s). Halle el error relativo.
Realice sus comentarios conclusiones y bibliografía
7.7.
Espectros
Objetivos
Observando las líneas espectrales de varios gases.
230
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Figura 7.18:
Figura 7.19:
7.7. ESPECTROS
231
Figura 7.20:
Materiales
Rejilla de difracción 13400 lineas/in
Tubos de diferentes gases
Espectro de colores que se encuentra en la lieratura
Shooter
Soportes y relga
Marco teórico
Incluir para este marco teórico:
1. Lo que Isaac Newton, William Wollaston, Gustav R Kirchhoff, Bunsen y
Niels Bohr investigaron sobre los espectros.
2. Describa el modelo atómico de Bohr, deduzca la ecuación de Balmer y
exprese la constante de Rydberg en función de constantes universales.
3. Incluir la definición de espectro de emisión y absorción.
Procedimiento
1. Cuidadosamente se debe colocar el tubo seleccionada en el Shooter procurando que la fuente no esté conectada a la línea de alimentación porque
podría recibir una descarga de alto voltaje.
2. Monte el sistema como se indica en la Figura 7.18 y realice sus medidas en
forma agil de tal manera que el tubo no permanezca encendida demasiado
tiempo
3. Mida la distancia del tubo a la rejilla (D) y del centro del tubo a cada uno
de los colores que forma el espetro de emisión (d) como se observa en las
Figuras 7.20. y determine la longitud de onda de cada uno de los colores
que constituyen el espectro del gas en estudio (λ) usando la ley de Bragg,
232
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
dsenθ
n
Donde n corresponde al número de espectro que se observa a izquierda o
derecha tome:
1
n = 1, d = # de líneas/m
y el ángulo θ que forma la distancia de la rejilla
al tubo de gas (D) con la distancia entre el primer color del espectro a la
mitad del Shooter (w). Determine este ángulo θ para cada color. (Figura 7.19).
Compare las longitudes de onda obtenidas experimentalmente (λexp ) con las
teóricas (λteo ) y halle el error porcentual. Complete la siguiente Tabla.
λ=
tan θ =
Color
θ
λteo
w
D
λexp
primer
segundo
terecer
cuarto
quinto
$
$
$
exp $
e % = $ λteoλ−λ
$ × 100 %
teo
4. Halle la frecuencia, usando la longitud de onda teórica y determine la
energia de un fotón de cada uno de los colores que conforman el espectro.
Use E = hf para el cáculo. Complete la siguiente Tabla.
Color
f (Hz)
E (J)
5. Grafique la energía en función de la frecuencia y halle el valor de la pendi−34
ente y comparela con el valor de
J s.
$ constante
$ de Planck h = 6, 626×10
$ VT -V exp $
Halle el error relativo, e % = $ VT $ × 100 %, donde VT = 6,6260755 ×
10−34 J s.
Realice sus comentarios, conclusiones y bibliografía.
7.8.
Apliciación del efecto fotoeléctrico
Objetivos
Identificar la cantidad de radiación en diferentes materiales.
Entender el funcionamiento básico del contador.
7.8. APLICIACIÓN DEL EFECTO FOTOELÉCTRICO
Figura 7.21:
Figura 7.22:
233
234
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Materiales
Contador Geiger-Müller con fuente de alta tensión
Fuentes radiactictivas 90 Sr (β ) y 60 Co (γ)
Contador digital
Cronómetro
Marco teórico
El funcionamiento del equipo que se muestra en la Figura 7.22 consiste en
que al incidir una radiación al detector que ioniza el gas (noble) que existe en
el interior, produciendo pares electrón-ión. Este electrón puede excitar a su vez
a otras moléculas del gas, chocando con ellas. La desexcitación (vuelta al nivel
fundamental) de estas moléculas produce fotones que son capaces de arrancar,
mediante efecto fotoeléctrico, nuevos electrones en otras moléculas del g as. Así
se produce un efecto de reacción en cadena, en la que la primera avalancha genera nuevas avalanchas en otras posiciones del tubo. La descarga finaliza cuando
la concentración de carg as positivas alrededor del ánodo anula el campo eléctrico. Una vez que esto ha ocurrido, la nube de carg as positivas mig ra hacia el
cátodo induciendo una variación del voltaje, lo que da lugar a la señal que se
registra en un contador. (tomado de: http://html.rincondelvago.com/detectorgeiger-muller.html)
Tiempo muerto se define como el paso de una radiación ionizante, y una vez
reg istrada la señal eléctrica producida, el g as del detector necesita un tiempo
para que se recombinen sus átomos para estar en disposición de registrar el paso
de otra. Dicho tiempo se denomina tiempo muerto, y en el caso de este detector,
puede calcularse con el uso del modelo no paralizable (radiaciones que inciden
en el tiempo muerto no se registran pero no aumentan dicho tiempo muerto),
empleando el método de las dos fuentes, donde medimos (en este orden):
n1 : número de cuentas por segundo con muestra 1.
n12 : número de cuentas por segundo con muestras 1 y 2 (se añade 2 sin
mover la 1).
n2 : número de cuentas por segundo con muestra 2 (quitamos 1 sin mover
2).
nb : número de cuentas por segundo sin muestra (radiación de fondo).
Entonces el tiempo muerto se obtiene aplicando la fórmula:
√
X
T =
1− 1−Z
Y
donde
X
Y
Z
= n1 n2 − nb n12
= n1 n2 (n12 + nb ) − nb n12 (n1 + n2 )
Y
=
(n1 + n2 − n12 − nb )
X2
7.8. APLICIACIÓN DEL EFECTO FOTOELÉCTRICO
235
Para el marco teórico resuelva las siguientes preguntas:
1. ¿Qué se entiende por radioactividad?
2. Muestre cómo es el funcionamiento de un contador Geiger. Un integrante
del grupo lo expondrá
3. En qué consiste la radiación ionizante.
4. Cuáles las enfermedades que se pueden ver favorecidas por las radiaciones
ionizantes.
Precauciones
No sobrepasar los 600 voltios en el potencial.
No tocar con los dedos ni objeto alguno la ventana del detector.
Manejar las muestras radiactivas con sumo cuidado.
Prohibido comer, beber, fumar, mascar chicle en el laboratorio.
Prohibida la entrada a mujeres embarazadas.
Procedimiento
1. Conecte el contador Geiger y asegurese de que esté en .O FF".
2. Sacamos la bandeja de prueba y coloque la muestra 90 Sr (β ) en la primera
ranura, pase a .O N", ponga el contador en forma manual y de "STAR.ei nicie
el conteo durante un minuto; al finalizar de "STOP.a l contador.
3. Mida y note el número de cuentas que arroja el contador. Repita el procedimiento con diferentes distancias.
4. Repita el procedimiento con 60 Co (γ) completando la Tabla 1.
Tabla 1
Elemento
90
Sr (β )
60
Co (γ)
pos
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
# cuentas (600 V)
Velocidad
cuentas
1 mı́n
236
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Análisis
1. Grafique cuentas por minuto vs. la posición, para las dos muestras. Halle
la ecuación correspondiente.
2. Grafique cuentas por minuto vs. el # de cuentas, para las dos muestras.
Halle la ecuación correspondiente.
3. Calcule el tiempo muerto de cada una de las muestras. Concluya.
4. Consulte la página: http://html.rincondelvago.com/detector-geigermuller.html
Realice sus comentarios, conclusiones y bibliografías
7.9.
Laboratorio: Contador Geiger-Müller
Objetivos
Determinar los coeficientes de adsorción del plomo y del polietileno.
Determinar un voltaje de trabajo.
Materiales
Contador Geiger-Müller con fuente de alta tensión
Muestra Gamma y Beta
Caja de filtros de polietileno (β) y plomo (γ)
Marco teórico [41]
El contador Geiger-Muller es un detector de radiación que contiene un gas
que se ioniza al paso de la misma de forma que cuenta el número de partículas o
fotones independientemente de su naturaleza o de su energía. Su funcionamiento
se basa en que, tras crearse pares electró - íon positivo en la ionización del gas
producida por la radiación, estos son desplazados hacia dos electrodos en los
que se establece a priori una diferencia de potencial.
Tiempo muerto se define como el paso de una radiación ionizante, y una vez
registrada la señal eléctrica producida, el gas del detector necesita un tiempo
para que se recombinen sus átomos para estar en disposición de registrar el paso
de otra. Dicho tiempo se denomina tiempo muerto, y en el caso de este detector,
puede calcularse con el uso del modelo no paralizable (radiaciones que inciden en
el tiempo muerto no se reg istran pero no aumentan dicho tiempo muerto),
empleando el método de las dos fuentes, donde medimos (en este orden).
Precauciones
No tocar con los dedos ni objeto alguno la ventana del detector.
Manejar las muestras radiactivas con sumo cuidado.
Prohibida la entrada a mujeres embarazadas.
7.9. LABORATORIO: CONTADOR GEIGER-MÜLLER
237
Figura 7.23:
Procedimiento
1. Coloque la muestra Gamma en la primera ranura, sobre esta situaremos
unos filtros de plomo, de espesor variable y realizaremos el conteo durante
5 min. Nuestro objetivo será buscar el alcance máximo, es decir, el punto
a partir del cual todas las partículas son absorbidas, midiendo el contador
Geiger únicamente la radiación de fondo.
2. Al colocar la muestra Gamma con los filtros de plomo en el detector mida
y anote el número de cuentas por minuto, completando la siguiente Tabla.
Voltaje (V)
600
700
800
900
1000
1100
1200
Cuentas / minuto
3. Para completar la Tabla 2 debe obtener:
a) Las cuentas por minuto sin muestra durante 15 minutos (M a) con
un voltaje de 800 V.
b) Las cuentas sin fondo (Csf ) son las cuentas de la muestra (Cm ) menos
tres veces la medición del ambiente.
Csf = Cm − 3
Ma
15 min
238
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
c) Las cuentas por minuto (Cmı́n ) sería igual a las cuentas sin fondo
divididas sobre 3 minutos.
Cmı́n =
Csf
3 min
d) Corrobore que el espesor de la muestra Gamma y los filtros de plomo
son las que se muetran en la Tabla 2.
e) Todo medido con un voltaje de 800 V.
Tabla 2
Espesor (mg/cm )
7200
8100
10800
12600
13500
2
Cuentas
Cuentas sin fondo
Cuentas/minuto
4. Repita el paso 3 pero con la muestra Betta y los filtros de polietileno.
Completando la Tabla 3.
Tabla 3
Espesor (mg/cm2 )
610
915
1066
1139
12080
Cuentas
Cuentas sin fondo
Cuentas/minuto
Análisis
1. Grafique el voltaje en función de las cuentas por minuto y el espesor en
función de las cuentas por minuto para las dos muestras.
2. Calcule la energía máxima con la siguiente fórmula, para las dos muestras.
E
E
7.10.
= 1, 845R + 0, 245
= 2, 459R + 0, 24
Laboratorio: Formación de cristales de sal
Objetivos
Comprobar la diferentes formas de cristales de NaCl cuando se obtienen
dejando cristalizar una disolución acuosa de cloruro de sodio.
7.10. LABORATORIO: FORMACIÓN DE CRISTALES DE SAL
239
Marco teórico
Consulte sobre cómo obtener cristales de la en la pagina web.
Materiales
Vasos
Cucharas sopera
Sal de mesa
Hilo
agua
lápices
clips
Procedimiento
1. Se llena un vaso con agua hasta aproximadamente la mitad de su volumen.
2. Se adiciona consecutivamente una cucharada de sal tras otra hasta que
se observa que tras la agitación correspondiente no se disuelve más cantidad de sal y que parte queda depositada en el fondo del vaso (disolución
saturada).
3. A continuación se trasvasa la disolución a otro vaso con cuidado de no
arrastrar parte de la sal depositada.
4. Por otro lado se ata un extremo de un hilo a un lápiz y el otro extremo
del hilo a un clip metálico.
5. Se introduce el clip en el vaso con la disolución saturada de sal de manera
que al apoyar el lápiz en el borde del vaso el clip quede colgando debajo
del agua.
6. Por ultimo se deja el vaso en reposo.
Al cabo de una o dos semanas se podrá observar que parte de la sal se ha
depositado en el fondo del vaso pero que otra parte se ha depositado sobre el clip
y el hilo sumergido formando cristales de sal con la forma de un cubo perfecto.
También se podrá observar que los cristales se forman sobre el hilo y fuera del
agua, lo que sucede porque el agua sube por el hilo debido a efectos capilares y
arrastra algo de sal. La sal se deposita en el hilo y con el tiempo forma pequeños
cristales que al amontonarse adquieren el aspecto de un coral como el que se
observa en la foto.
Análisis
1. Tome foto todos los días y describa la geometría que va tomando los
cristales.
2. ¿Qué tan importantes son los materiales en las industria?
3. Enuncie tres materiales con los que podrían hacer cristales.
240
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Figura 7.24:
Realice sus comentarios, conclusiones y bibliografías.
7.11.
Laboratorio: Interacción luz materia
Objetivos
Hacer una celda solar aplicando el concepto de radiación de cuerpo negro
Marco teórico
Las celdas solares son dispositivos que convierten la energía solar en electricidad, ya sea directamente vía el efecto fotovoltaico, o indirectamente mediante
la previa conversión de energía solar a calor o a energía química.
La forma más común de las celdas solares se basa en el efecto fotovoltaico, en
el cual la luz que incide sobre un dispositivo semiconductor de dos capas produce
una diferencia del fotovoltaje o del potencial entre las capas. Este voltaje es
capaz de conducir una corriente a través de un circuito externo de modo de
producir trabajo útil.
Materiales
Una lamina de Cobre (mas o menos una lámina de 30 × 30 cm × 1/16"para
hacer tres pares de celdas de 10 × 10 cm).
Una hornilla eléctrica.
Cables con pinzas cocodrilo o caimán.
Botella de plástico (de preferencia uno de un buen diámetro para evitar que
las placas entren en contacto).
Sal de mesa y agua
7.11. LABORATORIO: INTERACCIÓN LUZ MATERIA
Figura 7.25:
Figura 7.26:
241
242
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Figura 7.27:
Figura 7.28:
7.11. LABORATORIO: INTERACCIÓN LUZ MATERIA
243
Procedimiento
1. Cortar una pieza de cobre de tamaño aproximadamente igual a la placa
calefactora de la cocina eléctrica. Lavar la lamina para eliminar restos de
grasa (Figura 7.24).
2. Colocar la lamina limpia y seca sobre el quemador. Cuando la lámina empieza a calentarse, se cubrirá con hermosos colores anaranjados, púrpuras
y rojos (Figura 7.25).
3. Al aumentar más la temperatura, estos colores desaparecerán porque se
forma una capa negra de óxido cúprico (óxido de Cu(II)). Dejar en estas
condiciones durante media hora, para lograr una capa bastante gruesa
del óxido negro. Después de esta media hora de calentamiento, apague el
calefactor y deje que la lámina de cobre se enfríe lentamente (Figura 7.26).
4. Durante el enfriamiento, tanto el cobre como el óxido cúprico se contraen,
pero lo hacen a velocidades diferentes, por lo cual el óxido se desprende
en forma de escamas. Después de haber dejado que la lámina se enfríe
la mayor parte del óxido negro se habrá separado. Frota un poco con las
manos debajo de agua corriente para separar los trozos pequeños de la
lámina.
5. Cortar otro pedazo de cobre de tamaño similar al primero. Doblar ambas
láminas con suavidad, de modo que las dos puedan ser introducidas a la
botella de plástico, sin que se toquen (Figura 7.27).
6. Es aconsejable que la cara de la lámina cubierta con óxido cuproso que
miraba hacia arriba durante el calentamiento apunte hacia afuera de la
botella de plástico.
7. Conectar los cocodrilos a cada una de las láminas de cobre, el de la lámina
limpia al terminal positivo del amperímetro y el que viene de la lámina
cubierta con óxido cuproso al terminal negativo.
8. Agregar dos cucharadas de sal común en agua caliente y revolver hasta
que toda la sal esté disuelta. Verter con cuidado la solución a la botella de plástico, cuidando que no se mojen los conectores. El agua salada
NO debe cubrir completamente las láminas. Es conveniente que queden
aproximadamente 2 cm de lámina fuera del agua, de manera que se pueda
mover la celda solar sin que se mojen los conectores (Figura 7.28). Tome
fotos del proceso
Análisis
1. De acuerdo al punto 3 mida la temperatura usando la Ley de desplazamiento de Wien:
λmáx T = 0, 2898 × 10−2 m K
244
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Complete la siguiente Tabla:
Color λmáx [m]
T [K]
2. En qué parte en el proceso de hacer la celda solar podemos consderar que
la lamina se comporta como un cuerpo negro.
3. Haga incidir varios tipos de luz sobre la celda solar y mida la corriente en
cada caso.
4. Indique qué aplicaciones tienen las celdas solares.
Realice sus comentarios, conclusiones y bibliografía
7.12.
Difracción con rayos micro-ondas
Objetivos
Establecer y calcular el patrón de difracción en cristales
Comparar el patrón de difacción teórico y experiemental.
Observar el cambio que produce el patron de difracción al cambiar la estructura cristalina y la familia de planos.
Marco teórico
Debe incluir en el marco: el fenómeno de difracción, difracción de rayos X,
indices de Miller y ley de Bragg
Materiales
Receptor, transmisor y goniometro (Figura 7.29)
Red cúbica (Figura 7.30)
Varillas (pasantes) Figura 7.31
Adaptador de 9 V CD y 500 mA
Bbase rotante
Dos pilas
Procedimiento
Estructura cubico simple
1. Montar el equipo de microondas como se indica en la Fotografía 7.32.
2. Ajuste el transmisor y el receptor de tal manera que queden directamente
cara a cara. Alinea el cristal de tal manera que los planos (100) estén
paralelos a los rayos de onda incidente. Ajuste los controles del receptor
de tal manera que pueda tener una señal leíble.
7.12. DIFRACCIÓN CON RAYOS MIRCRO-ONDAS
Figura 7.29:
Figura 7.30:
Figura 7.31:
245
246
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Figura 7.32:
Figura 7.33:
7.12. DIFRACCIÓN CON RAYOS MIRCRO-ONDAS
Figura 7.34:
Figura 7.35:
247
248
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Figura 7.36:
7.12. DIFRACCIÓN CON RAYOS MIRCRO-ONDAS
249
3. Rote el cristal (con la base del cubo cristalino) un grado en el sentido de las
agujas del reloj y el brazo del goniometro dos grados en el mismo sentido.
Escriba el ángulo de incidencia y la lectura del medidor de la intensidad
del rayo del microondas reflejado.
4. Grafique la intensidad relativa de la señal difractada en función del ángulo
de incidencia del rayo incidente. ¿Con que ángulos se definen los picos
para los cuales ocurre la mayor intensidad? Usando sus datos, conocida
la longitud de onda de la radiación de microondas (2,85 cm) y la ley
de Bragg determine el espaciamiento entre los planos (100) del cristal de
Bragg. Mida el espacio entre planos directamente y compare con sus datos
experimentalmente. Llenando la siguiente Tabla.
θexp
θteo
n
dexp (cm)
5. Repita el experimento para la familia de planos (110).
Estructura cúbico centrado en el cuerpo (BCC)
1. Para esta estructura debe añadir las varillas que van de a tres esferas como
se muestra en la Fotografía 7.33.
2. Ahora repita los 5 pasos anteriores.
Estructura cúbico centrado en las caras (FCC)
1. Para esta estructura debe añadir las varillas que van de a cuatro y tres
esferas como se muestra en la Fotografía 7.35.
2. Ahora repita los 5 pasos anteriores.
Estructura tetragonal simple
1. Para esta estructura debe añadir las varillas que van de a cuatro esferas
como se muestra en la Fotografía 7.36.
2. Ahora repita los 5 pasos anteriores.
Preguntas
1. ¿Qué otras familias de planos podría esperar que presenten difracción de
Bragg con el aparato usado? ¿Por qué?
2. Si no conociera de antemano la orientación de los planos en el cristal, ¿qué
haría para llevar a cabo el experimento?
250
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Realice comentarios, conlusiones y bibliogafía.
7.13.
Espectrocopio
Objetivos
Observar los espectros de diferentes fuentes de luz con un espectroscopio
casero
Materiales
CD
Caja de cartón
Tijeras
Cinta
Marco teórico
Un espectro de una lámpara incandescente tiene todos sus colores del arco
iris, a este fenómeno se le llama espectros continuos, los espectros de las lámparas
fluorescentes o las lámparas de bajo consumo tienen colores faltantes y líneas
de colores brillantes, estas líneas corresponden a los elementos químicos que
están en los fósforos que producen la luz. Cuando observamos la luz del sol a
través del espectroscopio se ve el espectro continuo de colores y superpuesto
a él una especie de código de barras de líneas oscuras a las que se les llama
espectro de adsorción, cada línea oscura corresponde a un elemento químico que
se encuentra en la superficie del Sol.
Procedimiento
Consulte y construya un espectroscopio casero y úselo para observar distintas
fuentes de luz, recuerda que cada fuente de luz produce un espectro distinto,
usa el espectroscopio para observar la luz del sol (ojo no apunte directamente
al sol) o de una nube o de una lámpara incandescente o los tubos de luz blanca
o la luz de la pantalla de tu computador o la luz de la TV o la luz de tu celular.
Tome una foto en cada caso.
Realice sus comentarios, conclusiones y bibliografía.
7.14.
Espectrómetros
Objetivos
Medición de un espectro de líneas
Identificación de la fuente de luz medida
7.15. LEY DE STEFAN-BOLTZMANN
251
Marco teórico
Consultar en la web el laboratorio referenciado como: LD Didactic GmbH
Leyboldstrasse P 5.7.2.1, realice el procedimiento que se indica en la guía y
verifique los resultados planteados en dicho experimento [17]
Realice sus comentrios conclusiones y bibliografía
7.15.
Ley de Stefan-Boltzmann
Objetivos
Medir la constante de Stefan-Boltzmann
Materiales
Filamento de tungsteno, tres polimeros, diales
Fotodiodo, filtro de longitud de onda 578nm.
Fuente, voltímero
Autotransformador
Marco teórico
La ley de Stefan-Boltzmann define que la energía emitida por un cuerpo
negro, por unidad de área y por unidad de tiempo es proporcional a la cuarta
potencia de su temperatura absoluta. La ley de Stefan-Boltzmann es también
válida para cualquier otro cuerpo (gris) cuya superficie tenga un coeficiente de
absorción (o emitancia) independiente de la longitud de onda.
E = σT 4 (1)
La energía por unidad de tiempo que absorbe la termopila es proporcional
a la energía de la radiación emitida.
Incluir los conceptos de: potencia, radiancia, frecuencia, temperatura.
Si la potencia que suministra la bombilla es emitida por el filamento en forma
de radiación, de manera que, teniendo en cuenta que, como consecuencia de la
hipótesis, sigue la ley de Stefan-Boltzmann, podemos escribir:
P = ǫAσT 4 (2)
Como la longitud, L, y la sección, A, del filamento son constantes en todo el
régimen de funcionamiento y, además, que la sección del filamento es uniforme.
Ahora para medir la radiancia del filamento use el fotodiodo.
Un fotodiodo recibe radiación, y ofrece en su salida una diferencia de potencial, Vd , que es función de la radiación recibida; para bajas intensidades
radiativas, vamos a suponer que la respuesta es lineal:
Vd = CRλT (3)
con C constante de proporcionalidad cuyo valor carece de interés para
nuestros objetivos.
252
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Como cálculo previo necesitaremos conocer la temperatura a la que está el
filamento de tungsteno. Y la resistividad, ρ, del tungsteno con la temperatura.
Una expresión que relaciona la temperatura con la resistividad es:
T = T0
ρ
ρ0
γ
(4)
donde ρ0 es la resistividad de referencia a una temperatura T0 conocida. El
exponente lo ajustaremos experimentalmente. Dadas las simplificaciones consideradas, la resistencia, R, que presenta el filamento y la resistividad vienen
relacionadas según
R=ρ
L
A
(5)
de manera que podemos escribir:
T = T0
R
R0
γ
(6)
donde R0 es la resistencia de referencia a una temperatura T0 conocida (por
ejemplo, a temperatura ambiente). La ventaja de la expresión (6) es que nos
relaciona la temperatura (imposible de medir directamente) con la resistencia
del filamento, que podemos obtener fácilmente.
Mida la resistividades del tungsteno en función de la temperatura (siguiente
Tabla), y realice una gráfica de temperatura en función de la resistividad
tungsteno.
T [K]
300
900
1200
1800
2600
3000
3500
3655
4000
ρ [Ω m]
Ahora si
P = AσT 4
7.15. LEY DE STEFAN-BOLTZMANN
253
y sustituimos la temperatura por la relación
R
R0
γ
T
= T0
P
= Aσ T0
R
R0
P
= AσT04
R
R0
γ 4
4γ
Los polímetros miden la diferencia de potencial e intensidad en el circuito
(superior) de la bombilla y la diferencia de potencial en los extremos del fotodiodo, en el circuito inferior. Como la respuesta lineal del fotodiodo solo se produce
a intensidades bajas, evitamos una irradiación alta situando la pantalla, que
solo permite regular el paso de de la radiancia de la bombilla (entre un 0 % y
un 100 %). Junto al fotodiodo se ha instalado un filtro de longitud de onda λ =
578 nm.
El circuito es operado con el auto transformador regulamos la diferencia de
potencial que podemos medir con el voltímetro que hay en bornes de la bombilla
de tungsteno. El amperímetro, situado en serie con la bombilla nos da la lectura
de la intensidad que atraviesa el filamento incandescente.
Las medidas que vamos a realizar serán de voltaje e intensidad de corriente
(lecturas de los multímetros). Donde, V (use voltajes superiores a 1V a 230V. La
diferencia de potencial aplicada en bornes de la bombilla e I a la intensidad que
circula a través del filamento. A la diferencia de potencial de salida del fotodiodo
lo denominaremos Vd . Con los datos de las ternas V , I, V d (es conveniente tomar
alrededor de 40 medidas).
V [V]
I [mA]
Vd [mV]
A continuación, mediante la lectura de los tres polímetros, complete la anterior Tabla y grafique ln (P) en función de la ln (R).
ln P
= ln AσT04
ln P
= ln
R
R0
4γ
AσT04
+ 4γ ln R (7)
R40
254
CAPÍTULO 7. LABORATORIOS
Así, al representar ln (P ) (recordamos, P es la potencia que emite la bombilla, que, en términos de variables eléctricas, es P = V I) en función de ln (R),
deberíamos obtener una línea recta.
Ajuste por mínimos cuadrados los datos obtenidos y obtenga el valor de la
pendiente de la gráfica y halle el valor de γ.
Halle la constante de Planck, así:
Usando la distribución de Planck en función de la longitud de onda, λ, en la
aproximación dada por
Rλ (T ) =
2πhc2 − hc
e λkT (8)
λ5
Si en ella sustituimos Rλ (T ) por Vd según la relación (3), y tomamos logaritmos,
obtenemos:
ln Vd
ln Vd
2πhc2 − λkT
hc
5 e
λ
2πhc2
hc
= ln C
−
(9)
5
λkT
λ
= ln
Si ahora en (9) sustituimos la temperatura por su expresión en función de la
resistencia (6), llegamos, finalmente, a:
ln Vd = ln C
2πhc2
λ5
−
hcR0γ −γ
R
(10)
λkT0
La ecuación anterior muestra el lnVd en función la resistencia (recordamos
que la resistencia será R = V/I). Dibuje y determine la ecuación de la recta
haciendo un ajuste por el método de mínimos cuadrados. De la pendiente de la
recta, conocido un par de referencia R0 , T0 (R0 = 25Ω para T0 = 295 K, con la
bombilla utilizada) y las constantes k y c (el valor de lo tenemos del apartado
anterior del experimento), podemos obtener un valor de la constante de Planck,
halle el error.
Realice sus comentarios conclusiones y bibliografía
Bibliografía
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2014. ISBN: 978-958-8723-06-8.
Este libro se
terminó de imprimir
en abril de 2017
Bogotá, Colombia