FLUJO EN MEDIOS POROSOS LEY DE DARCY En 1856, en la ciudad francesa de Dijon, el ingeniero Henry Darcy fue encargado del estudio de la red de abastecimiento a la ciudad. Parece que también debía diseñar filtros de arena para purificar el agua, así que se interesó por los factores que influían en el flujo del agua a través de los materiales arenosos, y presentó el resultado de sus trabajos como un apéndice a su informe de la red de distribución. Ese pequeño apéndice ha sido la base de todos los estudios físico‐matemáticos posteriores sobre el flujo del agua subterránea. En los laboratorios actuales disponemos de aparatos muy similares al que utilizó Darcy, y que se denominan permeámetros de carga constante (Figura 1) Q = Caudal Δh = Diferencia de Potencial entre A y B Δl = Distancia entre A y B Darcy encontró que el caudal que atravesaba el permeámetro era linealmente proporcional a la sección y al gradiente hidráulico (K =constante. Ver Figura 1 para el significado de las otras variables) Si utilizamos otra arena (más gruesa o fina, o mezcla de gruesa y fina, etc.) y jugando de nuevo con todas las variables, se vuelve a cumplir la ecuación anterior, pero la constante de proporcionalidad lineal es otra distinta. Darcy concluyó, por tanto, que esa constante era propia y característica de cada arena. Esta constante se llamó permeabilidad (K) aunque actualmente se denomina conductividad hidráulica. Actualmente, la Ley de Darcy se expresa de esta forma: donde: q = Q /sección (es decir: caudal que circula por m2 de sección) K = Conductividad Hidráulica dh/dl = gradiente hidráulico expresado en incrementos infinitesimales (el signo menos se debe a que el caudal es una magnitud vectorial, cuya dirección es hacia los Δh decrecientes; es decir, que Δh o dh es negativo y, por tanto, el caudal será positivo) Velocidad real y velocidad de Darcy Sabemos que en cualquier conducto por el que circula un fluido se cumple que: Caudal = Sección x Velocidad velocidad a partir del caudal y de la sección, que son conocidos, obtendremos una velocidad falsa, puesto que el agua no circula por toda la sección del permeámetro, sino solamente por una pequeña parte de ella. A esa velocidad falsa (la que llevaría el agua si circulara por toda la sección del medio poroso) se denomina “velocidad Darcy” o “velocidad de flujo”: Velocidad Darcy = Caudal / Sección total La parte de la sección total por la que puede circular el agua es la porosidad eficaz; si una arena tiene una porosidad del 10% (0,10), el agua estaría circulando por el 10% de la sección total del tubo. Y para que el mismo caudal circule por una sección 10 veces menor, su velocidad será 10 veces mayor. Por tanto, se cumplirá que: (5) En la figura 3 se muestra un tubo de longitud L1 lleno de arena por el que se hace circular agua. Calculamos la velocidad lineal media mediante las expresiones anteriores y con esa velocidad evaluamos el tiempo de recorrido a lo largo del tubo de dicha figura (tiempo=L1 /velocidad). Si después medimos experimentalmente ese tiempo de recorrido añadiendo un colorante al agua, obtendríamos un tiempo ligeramente superior, ya que la distancia recorrida ha sido mayor: no L1 sino L2 (que es desconocida Si llamamos velocidad real a la registrada a lo largo de un recorrido a través de un medio poroso, sería igual a: Velocidad Real = Velocidad lineal media ∙ coeficiente Ese coeficiente depende de la tortuosidad del medio poroso, y aproximadamente puede ser de 1,0 a 1,2 en arenas. En la práctica, habitualmente se utiliza la expresión (5) diciendo que hemos calculado la “velocidad real”, pero debemos ser conscientes del error que se comente al despreciar la tortuosidad del recorrido. FLUJO A TRAVÉS DE VARIAS CAPAS: PERMEABILIDAD EQUIVALENTE En un medio estratificado, con frecuencia se produce el flujo a través de varias capas, y deseamos aplicar la ley de Darcy globalmente al conjunto de capas. Los dos casos más sencillos son cuando consideramos el flujo paralelo a los contactos entre las capas o el flujo perpendicular a las capas. Permeabilidad (o conductividad hidráulica) equivalente es un valor promedio que podemos asignar al conjunto de capas considerado como una unidad. Y hablaremos de K equivalente horizontal (Kh) o K equivalente vertical (Kv) refiriéndonos respectivamente a los dos casos citados. El caudal total será la suma del que circula a través de todas las capas consideradas: (el gradiente está fuera del sumatorio ya que es común a todas las capas) También podemos calcular el caudal total aplicando la ley de Darcy a todas las capas conjuntamente, utilizando una Kh equivalente (cuyo valor aún desconocemos); llamamos: B= Σ bi Igualando las dos expresiones anteriores y despejando Kh obtenemos: Teniendo en cuenta que K*espesor = K*B=T (transmisividad), la fórmula obtenida equivale a decir que la transmisividad equivalente del conjunto es igual a la suma de las transmisividades de cada capa. Si el flujo es perpendicular a las capas, también podemos calcular la permeabilidad equivalente (Kv). En este caso consideremos el caudal vertical que atraviesa una sección unidad (q= caudal específico o caudal por m2 de sección): Caudal que atraviesa verticalmente el conjunto de capas: Caudal que atraviesa verticalmente la capa nº 1: Los dos caudales anteriores son iguales, luego: Y despejando Δh1 resulta: Aplicando la última expresión a todas las capas y sumando: Como la diferencia de potencial de todo el conjunto es la suma de las diferencias de potencial de cada una de las capas Finalmente, despejando Kv : Ejemplo: Consideramos tres capas con los siguientes valores (dos capas de arenas gruesas con una intercalación de limos) : 1ª capa: 5 m, 200 m/día. 2ª capa: 1 m, 0,1 m/día, 3ª capa: 5 m, 100 m/día . Con las dos expresiones de Kh y Kv obtenemos: • En flujo horizontal: Kh = 136 m/día, la fina capa intermedia es irrelevante, la conductividad hidráulica equivalente se aproxima a la media de las dos capas muy permeables. La capa impermeable influye poco. • En el flujo vertical: Kv = 1,09 m/día. Un metro de material poco permeable influye más en el valor global que 10 metros de materiales muy permeables. LIMITACIONES DE LA LEY DE DARCY La Ley de Darcy puede no cumplirse por las siguientes razones: 1ª). La constante de proporcionalidad K no es propia y característica del medio poroso, sino que también depende del fluido. El factor K puede descomponerse así: donde: K = conductividad hidráulica k = Permeabilidad intrínseca (depende sólo del medio poroso) γ = peso específico del fluido μ = viscosidad dinámica del fluido Esta cuestión es fundamental en geología del petróleo o en el flujo de contaminantes, donde se estudian fluidos de diferentes características. En el caso del agua, la salinidad apenas hace variar el peso específico ni la viscosidad. Solamente habría que considerar la variación de la viscosidad con la temperatura, que se duplica de 35 a 5 º C, con lo que la permeabilidad de Darcy (K) sería la mitad y también se reduciría en la misma proporción el caudal circulante por la sección considerada del medio poroso. Las aguas subterráneas presentan mínimas diferencias de temperatura a lo largo del año en un mismo acuífero, pero en otros entornos sí pueden producirse diferencias de temperatura notables. Por tanto, aunque sabemos que K depende tanto del medio como del propio fluido, como la parte que depende del fluido normalmente es despreciable, para las aguas subterráneas a efectos prácticos asumimos que la K de Darcy, o conductividad hidráulica es una característica del medio poroso. 2ª). En algunas circunstancias, la relación entre el caudal y el gradiente hidráulico no es lineal. Esto puede suceder cuando el valor de K es muy bajo o cuando las velocidades del flujo son muy altas. En el primer caso, por ejemplo, si aplicamos la Ley de Darcy para calcular el flujo a través de una formación arcillosa, el caudal que obtendríamos sería bajísimo, pero en la realidad, si no se aplican unos gradiente muy elevados, el agua no llega a circular, el caudal es 0. En el segundo caso, si el agua circula a gran velocidad, el caudal es directamente proporcional a la sección y al gradiente, pero no linealmente proporcional, sino que la función sería potencial: donde el exponente n es distinto de 1. Para estudiar este límite de validez de la ley de Darcy se aplica el número de Reynolds. Este coeficiente se creó para canales abiertos o tuberías, y en general valores altos indican régimen turbulento y valores bajos indican régimen laminar. Para medios porosos se aplica la fórmula utilizada para canales o tubos, sustituyendo el diámetro de la conducción por el diámetro medio del medio poroso y considerando la velocidad Darcy: Donde: ρ = densidad del fluido (Kg/m3) v =velocidad de Darcy (m/s) d = diámetro medio de los granos (m) μ = viscosidad dinámica (Pascal∙m = Kg/(m2 ∙s) ) ν = viscosidad cinemática (=μ /ρ ) (m2/s) Es imposible conocer el grado de turbulencia del flujo a través de un medio poroso, pero se ha comprobado que deja de cumplirse la Ley de Darcy (el caudal deja de ser linealmente proporcional al gradiente) cuando R alcanza un valor que varía entre 1 y 10. (Es decir: R<1, sí se cumple Darcy; R >10, no se cumple Darcy; R entre 1 y 10, puede cumplirse o no). Esa indefinición del valor límite probablemente sea debida a otros factores diferentes del diámetro medio de los granos: heterometría, forma, etc. En el flujo subterráneo las velocidades son muy lentas y prácticamente siempre la relación es lineal, salvo en las proximidades de captaciones bombeando en ciertas condiciones.
