Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira
Questões de Geometria Plana da EEAR de 2000 a 2022
ENUNCIADOS
Fundamentos
1) (EEAR 2010) Numa circunferência, a soma das medidas de dois arcos é 315. Se um
11
desses arcos mede
rad, a medida do outro é
12
a) 150
b) 125
c) 100
d) 75
2) (EEAR 2016) Os ângulos  e B̂ são congruentes. Sendo   2x  15 e B  5x  9.
Assinale a alternativa que representa, corretamente, o valor de x.
a) 2
b) 8
c) 12
d) 24
3) (EEAR 2018) O complemento do suplemento do ângulo de 112 mede
a) 18
b) 28
c) 12
d) 22
Triângulos - angular
4) (EEAr 2000) Na figura, BA EF . A medida X é
E
A
52
o
X
C
42
o
96
D
o
F
B
a) 105
b) 106
c) 107
d) 108
5) (EEAR 2010) Na figura, AH é altura do triângulo ABC. Assim, o valor de x é
a) 20
b) 15
c) 10
d) 5
6) (EEAR 2012) Num triângulo RST a medida do ângulo interno R é 68° e do ângulo
externo S é 105°. Então o ângulo interno T mede
a) 52°.
b) 45°.
c) 37°.
d) 30°.
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7) (EEAR 2013) As medidas dos ângulos internos de um triângulo formam uma PA.
Assim, independentemente do valor da razão, pode-se afirmar que um desses ângulos
mede
a) 30
b) 45
c) 60
d) 90
8) (EEAR 2015) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC   x  3 cm, com
AB   x  4  cm e AC   3x  10  cm. A base de ABC mede _____cm.
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
9) (EEAR 2016) Um triângulo ABC de base BC   x  2  tem seus lados AB e AC
medindo, respectivamente,  3x  4 e  x  8 . Sendo este triângulo isósceles, a medida
da base BC é
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
10) (EEAR 2017) Se ABC é um triângulo, o valor de  é
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
11) (EEAR 2017) No quadrilátero ABCD, o valor de y  x é igual a
a) 2x
b) 2y
c)
x
2
d)
y
2
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12) (EEAR 2020) No triângulo ABC da figura, x é a medida de um ângulo interno e z e
w são medidas de ângulos externos. Se z  w  220 e z  20  w, então x é
a) complemento de 120.
b) complemento de 60.
c) suplemento de 140.
d) suplemento de 50.
13) (EEAR 2021) Num triângulo ABC, se o ângulo do vértice A mede 70, então o
ˆ (I é o incentro do triângulo ABC) é:
ângulo determinado em BIC
a) 95
b) 110
c) 125
d) 135
14) (EEAR 2021) Em relação aos triângulos, marque V para verdadeiro e F para falso.
Em seguida, assinale a alternativa com a sequência correta.
( ) Triângulo acutângulo é todo triângulo que possui dois lados agudos.
( ) Em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360.
( ) Triângulo obtusângulo é todo triângulo que possui um dos ângulos internos obtuso.
( ) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos
ângulos internos não adjacentes a ele.
a) F – V – V – V
b) V – F – F – F
c) F – F – F – V
d) V – V – V – F
Polígonos - angular
15) (EEAR 2011) Se MNOPQR é um hexágono regular inscrito na circunferência, então
a  b  c é igual a
a) 150
b) 120
c) 100
d) 90
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16) (EEAR 2015) Se um dos ângulos internos de um pentágono mede 100, então a soma
dos outros ângulos internos desse polígono é
a) 110
b) 220
c) 380
d) 440
17) (EEAR 2017) O polígono regular cujo ângulo externo mede 24 tem _____ lados.
a) 20
b) 15
c) 10
d) 5
18) (EEAR 2018) A metade da medida do ângulo interno de um octógono regular, em
graus, é
a) 67,5
b) 78,6
c) 120
d) 85
19) (EEAR 2021) A diferença entre as medidas de um ângulo interno de um dodecágono
regular e de um ângulo interno de um octógono também regular é
a) 15
b) 25
c) 30
d) 40
Quadriláteros
ˆ
ˆ e DCB
20) (EEAr 2005) O trapézio ABCD é isósceles, e as medidas dos ângulos DBA
são 30 e 45, respectivamente. Se BC = 12 cm, então a medida de BD, em cm, é
A
B
D
a) 6 2 .
b) 8 2 .
c) 10 2 .
C
d) 12 2 .
21) (EEAR 2010) Quando dadas em cm, as medidas dos lados do trapézio ABCD são
expressas por números consecutivos. Assim, o valor de x é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
22) (EEAR 2011) Um polígono convexo ABCD é tal que apenas dois de seus lados são
paralelos entre si e os outros dois lados são congruentes. Dessa forma, pode-se dizer que
ABCD é um
a) losango.
b) paralelogramo.
c) trapézio isósceles.
d) trapézio retângulo
23) (EEAR 2012) Um trapézio de bases x  3 e 4x  3 tem base média 2x  2. A menor
base mede
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10
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24) (EEAR 2013) Seja ABCD o trapézio isósceles da figura. A soma das medidas do
ângulos  e Ĉ é
a) 90
b) 120
c) 150
d) 180
25) (EEAR 2013) Seja o paralelogramo ABCD. Sabendo que AP e DP são bissetrizes
dos ângulos internos  e D̂, respectivamente, o valor de x é
a) 55
b) 45
c) 30
d) 15
26) (EEAR 2015) Um trapézio isósceles tem base maior e base menor medindo,
respectivamente, 12 cm e 6 cm . Se esse trapézio tem altura medindo 4 cm , então seu
perímetro é ____ cm.
a) 22
b) 26
c) 28
d) 30
27) (EEAR 2017) No trapézio ACDF abaixo, considere AB  BC e DE  EF. Assim, o
valor de x 2 é
a) 1
b) 4
c) 9
d) 16
28) (EEAR 2018) Seja ABCD um paralelogramo com AB CD e BC AD. Se a
interseção de AC e BD é o ponto O, sempre é possível garantir que
a) AO  BO
b) AB  CB
c) DO  BO
d) AD  CD
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29) (EEAR 2020) No hexágono ABCDEF, G, H, I e J são, respectivamente, os pontos
médios de AF, BC, EF, CD. Se AB FC DE, então GH  IJ é igual a
a) 2x
b) 3x
c) 4x
d) 5x
Triângulos métrica
30) (EEAr 2001) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 m e 12 m e
formam entre si um ângulo de 60º. As medidas das diagonais desse paralelogramo são
tais que o número que expressa
a) o seu produto é racional.
b) a sua razão é maior que 2.
c) a sua soma é maior que 32.
d) a sua diferença é irracional.
31) (EEAr 2008) Num triângulo ABC, são dados   45 , B̂  30 e AC = 6 cm. Então
BC = _____ cm.
2
3
a) 4 3
b) 6 2
c)
d)
2
2
32) (EEAR 2010) Se o triângulo CDE é semelhante ao triângulo ABC, o valor de a  b
é
a) 30
b) 45
c) 60
d) 90
33) (EEAR 2010) No triângulo AOB, OB  5 cm, então AB, em cm, é igual a
a) 6
b) 8
c) 5 2
d) 6 3
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34) (EEAR 2010) Os lados de um triângulo obtusângulo medem 3 m, 5 m e 7 m. A
medida da projeção do menor dos lados sobre a reta que contém o lado de 5 m é, em m,
a) 2,5
b) 1,5
c) 2
d) 1
35) (EEAR 2011) Um triângulo, inscrito em uma circunferência, tem um ângulo de 30°
oposto a um lado de 10 cm. O diâmetro da circunferência, em cm, é
a) 10.
b) 15.
c) 20.
d) 25
36) (EEAR 2011) Em um triângulo retângulo, um dos catetos mede 4 cm, e o ângulo que
lhe é adjacente mede 60°. A hipotenusa desse triângulo, em cm, mede
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9
37) (EEAR 2011) No triângulo, o menor valor que x pode assumir é
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
38) (EEAR 2012) Considerando
37  6, o valor de x na figura, em cm, é
a) 2,5
c) 4,5
b) 3,5
d) 5,5
39) (EEAR 2013) Considere as medidas indicadas na figura e que sen 70  0,9. Pela
“Lei dos Senos”, obtém-se sen x  _____ .
a) 0,4
b) 0,5
c) 0,6
d) 0,7
40) (EEAR 2013) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o dobro de um cateto. O
ângulo oposto a esse cateto mede
a) 20
b) 30
c) 45
d) 60
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41) (EEAR 2013) Considerando sen 40  0,6, o lado BC do triângulo ABC, mede, em
cm, aproximadamente
a) 6,11
b) 7,11
c) 8,33
d) 9,33
42) (EEAR 2016) Sabe-se que a hipotenusa de um triângulo retângulo tem 5 5 cm de
comprimento e a soma dos catetos é igual a 15 cm. As medidas, em cm, dos catetos são
a) 6 e 9
b) 2 e 13
c) 3 e 12
d) 5 e 10
43) (EEAR 2016) Um triângulo acutângulo ABC tem a medida do ângulo  igual a 30.
Sabe-se que os lados adjacentes ao ângulo  medem 3 cm e 4 cm. A medida, em cm,
do lado oposto ao referido ângulo é
a)
3
b)
7
c) 5 3
d) 19  4 3
44) (EEAR 2016) Uma escada é apoiada em uma parede perpendicular ao solo, que por
sua vez é plano. A base da escada, ou seja, seu contato com o chão, dista 10 m da parede.
O apoio dessa escada com a parede está a uma altura de 10 3 m do solo. Isto posto, o
ângulo entre a escada e o solo é de
a) 60
b) 45
c) 30
d) 15
45) (EEAR 2017) Seja um triângulo ABC, conforme a figura. Se D e E são pontos,
respectivamente, de AB e AC, de forma que AD  4, DB  8, DE  x , BC  y, e se
DE BC, então
a) y  x  8
b) y  x  4
c) y  3x
d) y  2x
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46) (EEAR 2017) Conforme a figura, os triângulos ABC e CDE são retângulos. Se
AB  8 cm, BC  15 cm e CD  5 cm, então a medida de DE, em cm, é
2
3
8
1
b)
c)
d)
5
2
3
4
47) (EEAR 2017) Se o perímetro do triângulo abaixo é maior do que 18, o valor de x é
a)
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
48) (EEAR 2017) Seja um triângulo inscrito em um circunferência de raio R. Se esse
triângulo tem um ângulo medindo 30, seu lado oposto a esse ângulo mede
2R
R
a)
b) R
c) 2R
d)
2
3
49) (EEAR 2018) Na figura, se BC  60 cm, a medida de DE, em cm, é
a) 20
b) 24
c) 30
d) 32
50) (EEAR 2018) Pelo triângulo ABC, o valor de x 2  6x é
a) 76
b) 88
c) 102
d) 144
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51) (EEAR 2018) Os pontos A, B, C e D estão alinhados entre si, assim como os pontos
A, E e F também estão. Considerando G o ponto de interseção de FC e ED, o valor de
tg  é
a) 0,2
b) 0,5
c) 2
d) 4
52) (EEAR 2018) Seja BDEF um losango de lado medindo 24 cm, inscrito no triângulo
ABC. Se BC  60 cm, então AB  ____ cm.
a) 36
b) 40
c) 42
d) 48
53) (EEAR 2018) O triângulo ABC está inscrito na circunferência. Se BC  8, a medida
do raio é
a) 4 2
b) 2 2
c) 4
d) 2
54) (EEAR 2019) Se ABC é um triângulo retângulo em A, o valor de n é
a)
22
3
b)
16
3
c) 22
d) 16
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55) (EEAR 2020) Os segmentos AE e BD interceptam-se no ponto C e os ângulos B̂ e
D̂ são retos, como mostra a figura. Sendo AB DE, a medida de AE é
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
56) (EEAR 2021) Considerando a figura e que sen 75 é igual a
que a  5  ____  cm.
a)
3 2
b) 1  3
c)
2
d)
2 6
, calcula-se
4
3
57) (EEAR 2022) Se o triângulo ABC é retângulo em A, H é o pé da altura relativa à
hipotenusa e O é o centro da circunferência circunscrita ao referido triângulo, conforme
a figura, então OH = ____ cm.
a) 1,5
b) 2,5
c) 2
d) 3
58) (EEAR 2022) Seja ABC um triângulo retângulo em A, tal que B̂  60. Se o
perímetro do triângulo é 9  3  1 cm , a hipotenusa mede ______ cm.
a) 2 3
b) 3 3
c) 4 3
d) 6 3
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59) (EEAR 2022) Seja ABC um triângulo tal que   60, conforme a figura. Assim,
tem-se que FD  ____ .
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
60) (EEAR 2022) Em um triângulo ABC, Â  30, B  105 e BC  4 cm. Assim, AB 
____ cm.
a) 2 3
b) 2 2
c) 4 3
d) 4 2
Polígonos métrica
61) (EEAR 2011) Um quadrado e um triângulo equilátero estão inscritos em uma
circunferência de raio R. A razão entre as medidas dos apótemas do quadrado e do
triângulo é
a) 2
b) 3
c) 2 3
d) 3 2
62) (EEAR 2011) Os números que expressam as medidas, em cm ou em cm2 , do lado,
da superfície e do perímetro de um quadrado, dados nessa ordem, formam uma PA. O
lado desse quadrado, em cm, mede
5
5
3
3
a)
b)
c)
d)
3
2
4
2
63) (EEAR 2012) O perímetro de um triângulo equilátero de altura h  3 m é ______
m.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
64) (EEAR 2013) A razão r entre o apótema e o lado de um hexágono regular é igual a
2
1
3
2
a)
b)
c)
d)
2
2
3
3
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65) (EEAR 2014) Sejam um hexágono regular e um triângulo equilátero, ambos de lado
. A razão entre os apótemas do hexágono e do triângulo é
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
66) (EEAR 2015) O ponto O é o centro da circunferência da figura, que tem 3 m de raio
e passa pelo ponto B. Se o segmento AB forma um ângulo de 30 com o raio OA, então
a medida de AB, em m, é
a) 6 3
b) 3 3
c) 6 2
d) 3 2
67) (EEAR 2016) O lado, o perímetro e a área de um triângulo equilátero, nesta ordem,
são termos de uma Progressão Geométrica. Assim, a medida da altura desse triângulo
equilátero é _____ unidades de comprimento.
a) 12 3
b) 6 3
c) 3
d) 18
68) (EEAR 2019) Seja um triângulo equilátero de apótema medindo 2 3 cm. O lado
desse triângulo mede _____ cm.
a) 6
b) 8
c) 9
d) 12
69) (EEAR 2022) A razão entre o perímetro do quadrado circunscrito a uma
circunferência de raio 2 cm e o perímetro do quadrado inscrito a essa mesma
circunferência é
a) 4
b) 2
c) 2 2
d) 2
70) (EEAR 2022) O lado de um triângulo equilátero mede 12 cm. Se a área desse
triângulo é igual à área de um hexágono regular de lado x cm, então o valor de x é
a) 2
b) 6
c) 2 6
d) 3 6
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Circunferência
71) (EEAr 2000) Consideremos um triângulo retângulo que simultaneamente está
circunscrito à circunferência C1 e inscrito na circunferência C 2 . Sabendo-se que a soma
dos comprimentos dos catetos do triângulo é K cm , então, a soma dos comprimentos
dessas duas circunferências, em cm, é
4K
2K
a)
b)
c) K
d) 2K
3
3
72) (EEAr 2003) Numa circunferência de centro C e raio 20 cm, considere a corda AB,
cujo ponto médio é M. Se CM  10 cm, então a medida de AB é, em cm,
a) 15 5
b) 20 3
c) 15
d) 20
73) (EEAR 2010) Sejam AB o diâmetro da circunferência, e as retas t e t’ tangentes a ela
nos pontos N e M, respectivamente. O valor de x é
a) 66
b) 60
c) 55
d) 50
74) (EEAR 2010) Na figura, PA é tangente à circunferência em A, e B é ponto médio de
PC. A medida de PC, em cm, é
a) 12 2
b) 14 2
c) 16
d) 20
75) (EEAR 2010) Um ângulo central  determina, em uma circunferência de raio r, um
2r
arco de comprimento 
. A medida desse ângulo é
3
a) 150
b) 120
c) 100
d) 80
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76) (EEAR 2011) Na figura, AB e CD são cordas tais que AP  2  PB , CD  10 cm , e
CP PD
. A medida de AB , em cm, é

2
3
a) 6 3.
b) 7 3.
c) 8 2.
d) 9 2.
77) (EEAR 2011) Na figura, O é o centro da circunferência e PA é tangente a ela, em P.
ˆ  30 e OA  12 3 cm, então a medida do raio da circunferência, em cm, é
Se PAO
a) 8 3.
b) 8 2.
c) 6 3.
d) 6 2.
78) (EEAR 2011) Para dar 10 voltas completas em volta de um jardim circular, uma
pessoa percorrerá 2198 m . Considerando   3,14, a medida, em metros, do diâmetro
desse jardim é
a) 70.
b) 65.
c) 58.
d) 52.
79) (EEAR 2012) Na figura, PT é tangente, em T, à circunferência de centro O e raio
6 m. Sabendo que P está situado a 10 m de O, então PT  _____ m.
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
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80) (EEAR 2012) Na figura, as circunferências 1, 2, 3 e 4 são congruentes entre si e cada
uma delas tangencia duas das outras. Se a circunferência 5 tem apenas um ponto em
comum com cada uma das outras quatro, é correto afirmar que
a) a circunferência 5 é secante às outras quatro circunferências.
b) a circunferência 5 é tangente exterior às outras quatro circunferências.
c) todas as circunferências são tangentes interiores entre si.
d) todas as circunferências são tangentes exteriores entre si.
81) (EEAR 2013) Utilizando a potência do ponto P em relação à circunferência dada,
calcula-se que o valor de x é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
82) (EEAR 2015) Na figura, A e B são pontos da circunferência e CD é seu diâmetro.
ˆ mede
Assim, o ângulo BAC
a) 20
b) 30
c) 50
d) 60
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83) (EEAR 2015) Na circunferência da figura, O é o seu centro e V, A e B são três de
ˆ e AOB,
ˆ então
seus pontos. Se x e y são, respectivamente, as medidas dos ângulos AVB
sempre é correto afirmar que
a) x  2y
b) y  2x
c) x  y  90
d) x  y  90
84) (EEAR 2016) Duas cordas se cruzam num ponto distinto do centro da circunferência,
conforme esboço. A partir do conceito de ângulo excêntrico interior, a medida do arco x
é
a) 40
b) 70
c) 110
d) 120
85) (EEAR 2016) Um carrinho de brinquedo que corre em uma pista circular completa 8
voltas, percorrendo um total de 48 m. Desprezando a largura da pista e considerando
  3, o seu raio é, em metros, igual a
a) 0,8
b) 1,0
c) 1,2
d) 2,0
86) (EEAR 2017) Se A, B, C e D são pontos da circunferência, o valor de x é múltiplo de
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
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87) (EEAR 2018) Considere o quadrilátero ABCO, de vértices A, B e C na circunferência
e vértice O no centro dela. Nessas condições x mede
a) 30
b) 45
c) 55
d) 60
88) (EEAR 2018) Considere uma roda de 20 cm de raio que gira, completamente e sem
interrupção, 20 vezes no solo. Assim, a distância que ela percorre é ____  m.
a) 100
b) 80
c) 10
d) 8
89) (EEAR 2019) O segmento AT é tangente, em T, à circunferência de centro O e raio
R  8 cm. A potência de A em relação à circunferência é igual a _____ cm 2 .
a) 16
b) 64
c) 192
d) 256
90) (EEAR 2019) Com um fio de arame, deseja-se cercar dois jardins: um circular, de
raio 3 m, e o outro triangular, cujo perímetro é igual ao comprimento da circunferência
do primeiro. Considerando   3,14, para cercar totalmente esses jardins, arredondando
para inteiros, serão necessários _____ metros de arame.
a) 29
b) 30
c) 35
d) 38
91) (EEAR 2020) Sejam A, B e C pontos da circunferência de centro O. Se
26
m  AB  108 e m  BC  
rad, então m  ABC   ____  rad.
45
a)
53
45
b)
14
15
c)
56
45
d)
28
15
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92) (EEAR 2020) O ponto O I é o centro da circunferência I, que tem raio medindo 6 cm.
O ponto O II é o centro da circunferência II, que tem raio medindo 2 cm. O segmento AB
é tangente à circunferência I, em A, e passa por OII . Se OIOII  10 cm, então
AB  ____ cm.
a) 12
b) 10
c) 9
d) 7
93) (EEAR 2021) Uma circunferência de 5 cm de raio possui duas cordas AB  6 cm e
BC  x cm. Se AB é perpendicular a BC, então x é igual a
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
94) (EEAR 2021) Os pontos O e P são os centros de duas circunferências que possuem
raios medindo, respectivamente, 8 cm e 3 cm, conforme a figura. Se OP  5 37 cm e se
AB é tangente a essas circunferências, em A e B, então AB  _____ cm.
a) 28
b) 29
c) 30
d) 31
95) (EEAR 2022) Seja O o centro da circunferência que passa por A, B, C e D. Se
ˆ  120 e se AC passa por O, então ABD
ˆ 
COD
a) 30
b) 45
c) 60
d) 90
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96) (EEAR 2022) A figura representa uma pista de corrida, onde BC, DA, NO e PM
são semicircunferências e AB  CD  MN  OP  100 m. A diferença entre as distâncias
percorridas por uma pessoa que completa uma volta sobre a linha externa (M, N, O, P) e
outra que completa uma volta sobre a linha interna (A, B, C, D) é de, aproximadamente,
____ m. Considere   3,14 e que as medidas indicadas na figura estão em metros.
a) 58
b) 63
c) 68
d) 73
Áreas
97) (EEAr 2003) Um triângulo escaleno está inscrito num semicírculo de 10 cm de
diâmetro, que é o maior lado do triângulo. Se as medidas dos lados menores do triângulo
são tais que uma é o dobro da outra, então a diferença entre as áreas do semicírculo e do
triângulo, em cm2, é
25  40
25  20
25  30
25  50
a)
b)
c)
d)
2
2
2
2
98) (EEAR 2010) Um setor circular, cujo arco mede 15 cm, tem 30 cm 2 de área. A
medida do raio desse setor, em cm, é
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
99) (EEAR 2010) Seja um retângulo de comprimento c e largura . Aumentando-se o
1
comprimento em
do seu valor, para que a área não se altere, a largura deverá ser igual
10
a
1
10
9
9
a)
b)
c)
d)
10
11
11
10
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100) (EEAR 2011) Considere a figura composta de três círculos concêntricos de raios
medindo, respectivamente, 5 cm, 4 cm e 3 cm. A área, em cm 2 , da parte hachurada é
a) 9
b) 16
c) 18
d) 24
101) (EEAR 2011) Na figura, BC e CE são segmentos colineares de 4 cm cada um. Se
os triângulos ABC e DCE são equiláteros, a área do triângulo BDE é
a) 4 3
b) 6 3
c) 8 3
d) 10 3
102) (EEAR 2013) Na figura, AB  8 cm é o diâmetro do círculo de centro O e AO é o
diâmetro do semicírculo. Assim, a área sombreada dessa figura é ____  cm 2 .
a) 14
b) 13
c) 11
d) 10
103) (EEAR 2013) Considere o retângulo ABCD, e os pontos médios dos seus lados M,
N, P e Q. Unindo esses pontos médios, conforme a figura, pode-se concluir que a área
hachurada, em cm 2 , é
a) 8
b) 4
c) 4 2
d) 2 2
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104) (EEAR 2014) A figura é formada por um círculo de raio R  4 cm e três triângulos
equiláteros de lados congruentes ao raio do círculo. Os triângulos têm apenas um ponto
de interseção entre si e dois vértices na circunferência. A área hachurada, em cm2 , é
a) 6  12 3
b) 16  6 3
c) 12  8 3
d) 16  12 3
105) (EEAR 2014) A área de um losango é 24 cm2 . Se uma das diagonais desse losango
mede 6 cm , o lado dele, em cm, mede
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
106) (EEAR 2014) 50) Em uma circunferência de raio r  6 , a área de um setor circular
de 30 é ____  cm2 .
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
107) (EEAR 2015) Na figura, ABCD é um quadrado formado por pequenos quadrados
de lado x divididos por uma de suas diagonais. Assim, a área sombreada, em função de
x, é
a)
15x 2
2
b)
13x 2
2
c) 5,5x 2
d) 3,5x 2
108) (EEAR 2015) Considere um quadrado de diagonal 5 2 m e um losango de
diagonais 6 m e 4 m. Assim, a razão entre as áreas do quadrado e do losango é
aproximadamente igual a
a) 3,5
b) 3,0
c) 2,5
d) 2,1
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109) (EEAR 2015) Em um pedaço de papel de formato quadrado foi desenhado um
círculo de raio 10 cm. Se o papel tem 20 cm de lado e considerando   3,14, a área do
papel, em cm 2 , não ocupada pelo círculo é igual a
a) 82
b) 86
c) 92
d) 96
110) (EEAR 2015) Um triângulo isósceles de base 10 cm e perímetro 36 cm tem
____ cm 2 de área.
a) 75
b) 72
c) 60
d) 58
111) (EEAR 2016) Assinale a alternativa que representa, corretamente, a área do
triângulo esboçado na figura abaixo.
a) 15 m 2
b) 30 2 m 2
c) 15 3 m 2
d) 30 3 m 2
112) (EEAR 2016) A figura abaixo apresenta um quadrado inscrito em um círculo de raio
2 2 cm e centro O. Considerando   3, a área da região hachurada é igual a ____ cm 2 .
a) 2
b) 8
c) 16
d) 24
113) (EEAR 2016) A figura abaixo ilustra um círculo com centro em O, origem do plano
cartesiano, e uma reta r. Considerando tal figura, a área da região sombreada corresponde
a
a) 2  4
b) 2  2
c)   4
d)   2
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114) (EEAR 2017) Na figura, O é o centro do semicírculo de raio r  2 cm. Se A, B e C
são pontos do semicírculo e vértices do triângulo isósceles, a área hachurada é _____
cm 2 . (Use   3,14)
a) 2,26
b) 2,28
c) 7,54
d) 7,56
115) (EEAR 2017) A malha da figura abaixo é formada por losangos cujas diagonais
medem 0,50 cm e 2,00 cm. A área hachurada é de _____ cm 2 .
a) 20
b) 22
c) 23
d) 25
116) (EEAR 2018) Na figura, os arcos que limitam a região sombreada são arcos de
circunferência de raio R e centrados nos vértices do quadrado ABCD. Se o lado do
quadrado mede 2R e considerando   3, então a razão entre a área sombreada e a área
branca é
a)
1
2
b)
1
3
c) 2
d) 3
117) (EEAR 2019) A área de um hexágono regular inscrito em um círculo de
raio é ____ 3 cm 2 .
a) 6
b) 9
c) 12
6 cm de
d) 15
118) (EEAR 2019) Um trapézio tem 12 cm de base média e 7 cm de altura. A área desse
quadrilátero é _____ cm 2 .
a) 13
b) 19
c) 44
d) 84
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119) (EEAR 2019) Da figura, sabe-se que OB  r é raio do semicírculo de centro O e de
diâmetro AC. Se AB  BC, a área hachurada da figura, em unidades quadradas, é
a)
r 2
1
2
 
b) r 2   1
2 
c) r 2    2 
d) r 2  
1
2
120) (EEAR 2019) A figura representa o logotipo de uma empresa que é formado por 2
triângulos retângulos congruentes e por um losango. Considerando as medidas indicadas,
a área do losango, em cm 2 , é
a) 3 3
b) 4,5 3
c) 5 3
d) 6,5 3
121) (EEAR 2020) A figura mostra um paralelogramo sombreado formado pela
superposição de dois retângulos, e apresenta uma dimensão de cada retângulo. Se um dos
lados do paralelogramo mede 3,5 cm, então sua área é _____ cm 2 .
a) 12
b) 18
c) 21
d) 23
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122) (EEAR 2020) Na figura, que representa parte da estrutura de um telhado, CD é
altura do triângulo ABC, CEDF é um quadrado de lado 3 m, o ponto E pertence a AC e
o ponto F pertence a BC. Assim, a área do triângulo ABC é _____ m 2 .
a) 12 3
b) 15 3
c) 18
d) 20
123) (EEAR 2021) A área do triângulo ABC, dado na figura, é:
a)
1875
3
2
b)
1670
2
3
c)
25
3
2
d)
50
2
3
124) (EEAR 2021) A figura dada apresenta três círculos concêntricos cujos raios (em cm)
são números naturais pares e consecutivos. Dado que as áreas hachuradas são iguais, é
verdade que a soma dos três raios é _____ cm.
a) 12
b) 18
c) 24
d) 30
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125) (EEAR 2021) A figura representa a parte móvel de um cata-vento (4 hélices
triangulares planas). Se o material utilizado para a confecção dessas hélices custa
R$ 300,00 o m 2 , e considerando 2  1, 4, o custo dessas peças, em R$, foi de
a) 280
b) 340
c) 420
d) 560
126) (EEAR 2021) Na figura, se ABCD é um paralelogramo, então o valor de x é
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
127) (EEAR 2022) Uma empresa de produtos químicos tem o seguinte logotipo,
composto por dois círculos concêntricos divididos em 6 setores circulares de 60° cada.
Se o raio do maior círculo medir 10 cm e o do menor medir 8 cm, toda a área hachurada
(em cinza) mede ______  cm 2 .
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
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Questões de Geometria Plana da EEAR
ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES
Fundamentos
1) (EEAR 2010) Numa circunferência, a soma das medidas de dois arcos é 315. Se um
11
desses arcos mede
rad, a medida do outro é
12
a) 150
b) 125
c) 100
d) 75
Resposta: a
11
11
rad  180  165
12
12
A medida do outro arco é 315  165  150.
2) (EEAR 2016) Os ângulos  e B̂ são congruentes. Sendo   2x  15 e B  5x  9.
Assinale a alternativa que representa, corretamente, o valor de x.
a) 2
b) 8
c) 12
d) 24
Resposta: b
ˆ B
ˆ  2x  15  5x  9  3x  24  x  8
A
3) (EEAR 2018) O complemento do suplemento do ângulo de 112 mede
a) 18
b) 28
c) 12
d) 22
Resposta: d
90  180 112  90  68  22
Triângulos - angular
4) (EEAr 2000) Na figura, BA EF . A medida X é
E
A
52
o
X
C
42
o
96
D
o
F
B
a) 105
b) 106
c) 107
d) 108
Resposta: b
ˆ  96  52  X
ˆ  106
42  X
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5) (EEAR 2010) Na figura, AH é altura do triângulo ABC. Assim, o valor de x é
a) 20
b) 15
c) 10
d) 5
Resposta: c
ˆ é ângulo externo ao triângulo ABS, então HSA
ˆ  30  50  80.
O ângulo HSA
ˆ  90.
Como AH é altura, então SHA
Assim, no triângulo AHS, temos x  80  90  180  x  10.
6) (EEAR 2012) Num triângulo RST a medida do ângulo interno R é 68° e do ângulo
externo S é 105°. Então o ângulo interno T mede
a) 52°.
b) 45°.
c) 37°.
d) 30°.
Resposta: c
ˆ  68  105  Tˆ  37.
Pelo teorema do ângulo externo, temos T
7) (EEAR 2013) As medidas dos ângulos internos de um triângulo formam uma PA.
Assim, independentemente do valor da razão, pode-se afirmar que um desses ângulos
mede
a) 30
b) 45
c) 60
d) 90
Resposta: c
Sejam x  r, x e x  r os três ângulos em PA do triângulo, então
 x  r   x   x  r   180  3x  180  x  60.
Portanto, um dos Ângulos sempre mede 60.
8) (EEAR 2015) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC   x  3 cm, com
AB   x  4  cm e AC   3x  10  cm. A base de ABC mede _____cm.
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
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Resposta: d
Se o triângulo isósceles ABC tem base BC, então
AB  AC  x  4  3x 10  2x  14  x  7.
Logo, a base é BC  x  3  7  3  10 cm.
9) (EEAR 2016) Um triângulo ABC de base BC   x  2  tem seus lados AB e AC
medindo, respectivamente,  3x  4 e  x  8 . Sendo este triângulo isósceles, a medida
da base BC é
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
Resposta: c
Se o triângulo isósceles ABC tem base BC, então
3x  4  x  8  2x  12  x  6.
Logo, a base é BC   x  2   6  2  8 cm.
10) (EEAR 2017) Se ABC é um triângulo, o valor de  é
a) 10
b) 15
c) 20
Resposta: b
ˆ  70 é ângulo
O ângulo
AEB
70  2  40  2  30    15.
d) 25
externo
do
triângulo
11) (EEAR 2017) No quadrilátero ABCD, o valor de y  x é igual a
a) 2x
b) 2y
c)
x
2
d)
y
2
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ACE,
então
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Resposta: c
No triângulo BCD, temos x  60  70  180  x  50.
No triângulo ABD, temos:
 x  20   y  y  180   50  20   2y  180  2y  150  y  75.
x
Portanto, y  x  75  50  25  .
2
12) (EEAR 2020) No triângulo ABC da figura, x é a medida de um ângulo interno e z e
w são medidas de ângulos externos. Se z  w  220 e z  20  w, então x é
a) complemento de 120.
b) complemento de 60.
c) suplemento de 140.
d) suplemento de 50.
Resposta: c
180  x  360  220  180  x  140  x  40
13) (EEAR 2021) Num triângulo ABC, se o ângulo do vértice A mede 70, então o
ˆ (I é o incentro do triângulo ABC) é:
ângulo determinado em BIC
a) 95
b) 110
c) 125
d) 135
Resposta: c
Seja   2  70.
No triângulo ABC, temos: 2  2  2  180        90      90  .
No triângulo BCI, temos:
ˆ      180  BIC
ˆ   90     180  BIC
ˆ  90    90  Â .
BIC
2
Ou seja, o ângulo obtuso formado por duas bissetriz é sempre 90 mais a metade do
terceiro ângulo.
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ˆ  90  70  90  35  125.
No caso desse problema, BIC
2
14) (EEAR 2021) Em relação aos triângulos, marque V para verdadeiro e F para falso.
Em seguida, assinale a alternativa com a sequência correta.
( ) Triângulo acutângulo é todo triângulo que possui dois lados agudos.
( ) Em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360.
( ) Triângulo obtusângulo é todo triângulo que possui um dos ângulos internos obtuso.
( ) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos
ângulos internos não adjacentes a ele.
a) F – V – V – V
b) V – F – F – F
c) F – F – F – V
d) V – V – V – F
Resposta: a
( F ) Triângulo acutângulo é todo triângulo que possui dois lados agudos.
Triângulo acutângulo é aquele que possui todos os seus ângulos agudos, ou seja, menores
do que 90. Não existe o conceito de lados agudos.
( V ) Em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360.
( V ) Triângulo obtusângulo é todo triângulo que possui um dos ângulos internos obtuso.
A definição está correta. Cabe lembrar que um ângulo obtuso é aquele maior do que 90.
( V ) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos
ângulos internos não adjacentes a ele.
Esse é o teorema do ângulo externo e é consequência da lei angular de Thales.
Polígonos - angular
15) (EEAR 2011) Se MNOPQR é um hexágono regular inscrito na circunferência, então
a  b  c é igual a
a) 150
b) 120
c) 100
d) 90
Resposta: b
Os ângulos a, b e c são ângulos inscritos na circunferência e medem metade do arco por
eles determinado.
O hexágono regular divide a circunferência em 6 arcos de 60 .
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
3  60
 90 
2


2  60
b
 60   a  b  c  90  60  30  120
2


60
c
 30 
2

a
16) (EEAR 2015) Se um dos ângulos internos de um pentágono mede 100, então a soma
dos outros ângulos internos desse polígono é
a) 110
b) 220
c) 380
d) 440
Resposta: d
A soma dos ângulos internos de um pentágono é Si  180  5  2   540.
Se um dos ângulos internos mede 100, então a soma dos outros ângulos internos é
540  100  440.
17) (EEAR 2017) O polígono regular cujo ângulo externo mede 24 tem _____ lados.
a) 20
b) 15
c) 10
d) 5
Resposta: b
360
360
Âe 
 24  n 
 15
n
24
18) (EEAR 2018) A metade da medida do ângulo interno de um octógono regular, em
graus, é
a) 67,5
b) 78,6
c) 120
d) 85
Resposta: a
180  n  2  180 8  2 
Âi 

 135
n
8
 135
 i 
 67,5
2
2
19) (EEAR 2021) A diferença entre as medidas de um ângulo interno de um dodecágono
regular e de um ângulo interno de um octógono também regular é
a) 15
b) 25
c) 30
d) 40
Resposta: a
180 12  2 
ˆ
 150
Dodecágono regular: n  12  Ai
12 
12
180 8  2 
 135
Octógono regular: Âi8 
8
A diferença pedida é 150  135  15.
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Quadriláteros
ˆ
ˆ e DCB
20) (EEAr 2005) O trapézio ABCD é isósceles, e as medidas dos ângulos DBA
são 30 e 45, respectivamente. Se BC = 12 cm, então a medida de BD, em cm, é
A
B
D
a) 6 2 .
b) 8 2 .
c) 10 2 .
C
d) 12 2 .
Resposta: d
ˆ  DBA
ˆ  30
AB CD  BDC
Lei dos senos no BCD :
BD
12
2 12

 BD 

 12 2 cm
sen 45 sen 30
2 12
21) (EEAR 2010) Quando dadas em cm, as medidas dos lados do trapézio ABCD são
expressas por números consecutivos. Assim, o valor de x é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Resposta: c
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Como os lados do trapézio, em cm, são números consecutivos e BC  AD, então
AD  x  1 e BC  x  2.
Seja BB'  CD, então o #ABB’D é um retângulo o que implica DB'  x e BB'  x  1.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo BB’C, temos
 x  22   x  12  32  x 2  4x  4  x 2  2x  1  9  2x  6  x  3.
22) (EEAR 2011) Um polígono convexo ABCD é tal que apenas dois de seus lados são
paralelos entre si e os outros dois lados são congruentes. Dessa forma, pode-se dizer que
ABCD é um
a) losango.
b) paralelogramo.
c) trapézio isósceles.
d) trapézio retângulo
Resposta: c
Se ABCD é tal que apenas dois de seus lados são paralelos entre si, então ABCD não é
um paralelogramo.
Como ABCD possui dois lados paralelos entre si e os outros dois lados são congruentes,
então ele é um trapézio com lados não paralelos congruentes, ou seja, um trapézio
isósceles.
23) (EEAR 2012) Um trapézio de bases x  3 e 4x  3 tem base média 2x  2. A menor
base mede
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10
Resposta: a
A base média de um trapézio é a média aritmética das suas bases, então
 x  3   4x  3
5x
2x  2 
 2x  2 
 4x  4  5x  x  4.
2
2
As bases são x  3  4  3  7 e 4x  3  4  4  3  13. Logo, a base menor mede 7
unidades de comprimento.
24) (EEAR 2013) Seja ABCD o trapézio isósceles da figura. A soma das medidas do
ângulos  e Ĉ é
a) 90
b) 120
c) 150
d) 180
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Resposta: d
ˆ B
ˆ  D.
ˆ eC
ˆ
No trapézio isósceles, A
Além disso, Â e D̂ são suplementares, assim como B̂ e Ĉ.
ˆ D
ˆ C
ˆ  180.
ˆ  180  A
Logo, A
25) (EEAR 2013) Seja o paralelogramo ABCD. Sabendo que AP e DP são bissetrizes
dos ângulos internos  e D̂, respectivamente, o valor de x é
a) 55
b) 45
c) 30
d) 15
Resposta: b
ˆ B
ˆ  110  ADP
ˆ  PDC
ˆ  110  55
D
2
ˆ  180  B
ˆ  PAD
ˆ  70  35
ˆ  180  110  70  BAP
A
2
No triângulo ADP, temos 35  55  2x  180  2x  90  x  45.
26) (EEAR 2015) Um trapézio isósceles tem base maior e base menor medindo,
respectivamente, 12 cm e 6 cm . Se esse trapézio tem altura medindo 4 cm , então seu
perímetro é ____ cm.
a) 22
b) 26
c) 28
d) 30
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Resposta: a
Sejam ABCD um trapézio isósceles de lados não paralelos AD  BC  x .
ˆ  BFC
ˆ  AED
ˆ  90 e FCD
ˆ  90 , pois
Sejam DE  AB e CF  AB , então EDC
CD AB . Logo, o quadrilátero CDEF é um retângulo e EF  CD  6 .
Nos triângulo retângulos AED e BFC , temos AD  BC  x e DE  CF  4 , então
12  6
AED  BFC , o que implica AE  BF 
 3.
2
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo AED , temos:
x 2  32  42  x  5 .
ABCD
Portanto,
o
perímetro
do
trapézio
isósceles
é
2pABCD  AB  BC  CD  DA  12  5  6  5  28 u.c. .
27) (EEAR 2017) No trapézio ACDF abaixo, considere AB  BC e DE  EF. Assim, o
valor de x 2 é
a) 1
b) 4
c) 9
d) 16
Resposta: b
Como no trapézio ACDF, AB  BC e DE  EF, então BE é uma base média.
Assim,
 5x  4    4x  2 
CD  AF
BE 
 3x  4 
 6x  8  9x  2  3x  6  x  2.
2
2
Portanto, x 2  22  4.
28) (EEAR 2018) Seja ABCD um paralelogramo com AB CD e BC AD. Se a
interseção de AC e BD é o ponto O, sempre é possível garantir que
a) AO  BO
b) AB  CB
c) DO  BO
d) AD  CD
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Resposta: c
Como as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio, podemos garantir que
AO  OC e BO  OD.
29) (EEAR 2020) No hexágono ABCDEF, G, H, I e J são, respectivamente, os pontos
médios de AF, BC, EF, CD. Se AB FC DE, então GH  IJ é igual a
a) 2x
b) 3x
c) 4x
d) 5x
Resposta: b
Como G é médio de AF e H é médio de BC, então o segmento GH é base média do
AB  CF x  2x 3x
trapézio ABCF, o que implica GH 

 .
2
2
2
Como I é médio de EF e J é médio de CD, então o segmento IJ é base média do trapézio
DE  CF x  2x 3x
CDEF, o que implica IJ 

 .
2
2
2
3x 3x
Portanto, GH  IJ 

 3x.
2
2
Triângulos métrica
30) (EEAr 2001) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 m e 12 m e
formam entre si um ângulo de 60º. As medidas das diagonais desse paralelogramo são
tais que o número que expressa
a) o seu produto é racional.
b) a sua razão é maior que 2.
c) a sua soma é maior que 32.
d) a sua diferença é irracional.
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Resposta: d
d 2  82  122  2  8 12cos 60  112  d  112  4 7
D2  82  122  2  8 12cos120  304  D  304  4 19
D  d  4 19  4 7 
31) (EEAr 2008) Num triângulo ABC, são dados   45 , B̂  30 e AC = 6 cm. Então
BC = _____ cm.
2
3
a) 4 3
b) 6 2
c)
d)
2
2
Resposta: b
Lei dos senos:
BC
AC
BC
6
2 6



 BC 

 6 2 cm
ˆ
ˆ
2 12
sen 45 sen 30
sen A sen B
32) (EEAR 2010) Se o triângulo CDE é semelhante ao triângulo ABC, o valor de a  b
é
a) 30
b) 45
c) 60
d) 90
Resposta: a
Note que, na semelhança citada no enunciado, apenas a correspondência do vértice C está
bem definida.
Se assumirmos que o vértice D de CDE seja correspondente ao vértice B de ABC, teremos
ABC ~ EDC  a  90  b  2x.
No triângulo CDE, temos 2x  x  90  180  x  30  b  60.
 a  b  90  60  30  30
Se assumirmos que o vértice E de CDE seja correspondente ao vértice B de ABC, teremos
ABC ~ DEC  b  90  a  2x.
No triângulo CDE, temos 2x  x  90  180  x  30  a  60.
 a  b  60  90  30  30
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33) (EEAR 2010) No triângulo AOB, OB  5 cm, então AB, em cm, é igual a
a) 6
b) 8
c) 5 2
d) 6 3
Resposta: c
Lei dos senos:
OB
AB
5
AB
5 AB



 
 AB  5 2
ˆ
ˆ
1
sen 30 sen 45
sen A sen O
2
2
2
34) (EEAR 2010) Os lados de um triângulo obtusângulo medem 3 m, 5 m e 7 m. A
medida da projeção do menor dos lados sobre a reta que contém o lado de 5 m é, em m,
a) 2,5
b) 1,5
c) 2
d) 1
Resposta: b
Lei dos cossenos no triângulo ABC:
15 1

30 2
AC' 1 AC'
3
No triângulo retângulo ACC’, temos cos  
 
 AC'   1,5.
AC
2
3
2
72  52  32  2  5  3  cos 180     49  34  30    cos    cos  
35) (EEAR 2011) Um triângulo, inscrito em uma circunferência, tem um ângulo de 30°
oposto a um lado de 10 cm. O diâmetro da circunferência, em cm, é
a) 10.
b) 15.
c) 20.
d) 25
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Resposta: c
ˆ  60. Isso implica que
Se o ângulo inscrito   30, então o ângulo central BOC
BC  10 é o lado do hexágono regular inscrito na circunferência e, consequentemente, o
raio da circunferência é R  10 e seu diâmetro 2R  20 cm.
Também poderíamos chegar à conclusão que R  10, observando que o triângulo OBC é
equilátero.
36) (EEAR 2011) Em um triângulo retângulo, um dos catetos mede 4 cm, e o ângulo que
lhe é adjacente mede 60°. A hipotenusa desse triângulo, em cm, mede
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9
Resposta: c
cos 60 
AB 1
4
 
 AC  8
AC
2 AC
37) (EEAR 2011) No triângulo, o menor valor que x pode assumir é
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
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Resposta: b
Lei dos cossenos:
49  x 2  82  2  8  x  cos60  x 2  8x  15  0  x  3 ou x  5
Logo, o menor valor que x pode assumir é 3.
38) (EEAR 2012) Considerando
37  6, o valor de x na figura, em cm, é
a) 2,5
c) 4,5
b) 3,5
d) 5,5
Resposta: c
Lei dos cossenos:
1
42  x 2  32  2  x  3  cos 60  16  x 2  9  6x   x 2  3x  7  0
2
x
3  32  4 1  7  3  37

2
2
Como x  0 e considerando
37  6, temos x 
3  37 3  6 9

  4,5 cm.
2
2
2
39) (EEAR 2013) Considere as medidas indicadas na figura e que sen 70  0,9. Pela
“Lei dos Senos”, obtém-se sen x  _____ .
a) 0,4
b) 0,5
c) 0,6
d) 0,7
Resposta: c
Lei dos senos:
4
6
4
2

 sen x   sen 70   0,9  0,6
sen x sen 70
6
3
40) (EEAR 2013) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o dobro de um cateto. O
ângulo oposto a esse cateto mede
a) 20
b) 30
c) 45
d) 60
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Resposta: b
sen  
AB x 1

    30
AC 2x 2
41) (EEAR 2013) Considerando sen 40  0,6, o lado BC do triângulo ABC, mede, em
cm, aproximadamente
a) 6,11
b) 7,11
c) 8,33
d) 9,33
Resposta: c
Lei dos senos:
BC
AB
BC
10
BC 10
5





 BC 
 8,33
ˆ
ˆ
1
sen 30 sen 40
0, 6
0, 6
sen A sen C
2
42) (EEAR 2016) Sabe-se que a hipotenusa de um triângulo retângulo tem 5 5 cm de
comprimento e a soma dos catetos é igual a 15 cm. As medidas, em cm, dos catetos são
a) 6 e 9
b) 2 e 13
c) 3 e 12
d) 5 e 10
Resposta: d
Seja a a hipotenusa e b  c os catetos, então, pelo teorema de Pitágoras,
b2  c2  a 2   5 5   125. (*)
É dado que b  c  15, então
2
 b  c 2  152  b 2  2bc  c2  225
Substituindo (*) na igualdade anterior, vem: 125  2bc  225  bc  50.
b  c  15
.
Assim, devemos resolver o sistema 
bc  50
Portanto, b  10 e c  5.
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43) (EEAR 2016) Um triângulo acutângulo ABC tem a medida do ângulo  igual a 30.
Sabe-se que os lados adjacentes ao ângulo  medem 3 cm e 4 cm. A medida, em cm,
do lado oposto ao referido ângulo é
a)
3
b)
7
c) 5 3
d) 19  4 3
Resposta: b
Lei dos cossenos:
a 2   3   42  2  3  4  cos 30  3  16  8 3 
2
3
 19  12  7
2
a 7
44) (EEAR 2016) Uma escada é apoiada em uma parede perpendicular ao solo, que por
sua vez é plano. A base da escada, ou seja, seu contato com o chão, dista 10 m da parede.
O apoio dessa escada com a parede está a uma altura de 10 3 m do solo. Isto posto, o
ângulo entre a escada e o solo é de
a) 60
b) 45
c) 30
d) 15
Resposta: a
tg  
10 3
 3    60
10
45) (EEAR 2017) Seja um triângulo ABC, conforme a figura. Se D e E são pontos,
respectivamente, de AB e AC, de forma que AD  4, DB  8, DE  x , BC  y, e se
DE BC, então
a) y  x  8
b) y  x  4
c) y  3x
d) y  2x
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Resposta: c
Se DE BC, então ADE ~ ABC. Assim,
AD DE
4
x
1 x


    y  3x
AB BC
48 y
3 y
46) (EEAR 2017) Conforme a figura, os triângulos ABC e CDE são retângulos. Se
AB  8 cm, BC  15 cm e CD  5 cm, então a medida de DE, em cm, é
a)
2
5
b)
3
2
c)
8
3
d)
1
4
Resposta: c
Como o ângulo Ĉ é comum aos dois triângulos retângulos, então ABC ~ EDC. Isso
implica que
DE CD
x 5
8

  x .
AB BC
8 15
3
47) (EEAR 2017) Se o perímetro do triângulo abaixo é maior do que 18, o valor de x é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Resposta: b
Se o perímetro do triângulo é maior do que 18, então x  7  8  18  x  3.
Lei dos cossenos:
1
7 2  x 2  82  2  x  8  cos 60  49  x 2  64  16x 
2
 x 2  8x  15  0  x  3  x  5
Como x  3, então x  5.
48) (EEAR 2017) Seja um triângulo inscrito em um circunferência de raio R. Se esse
triângulo tem um ângulo medindo 30, seu lado oposto a esse ângulo mede
R
2R
a)
b) R
c) 2R
d)
2
3
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Resposta: b
Seja x o lado oposto ao ângulo de
x
1
 2R  x  2R sen 30  2R   R.
sen 30
2
30,
então, pela lei dos senos,
49) (EEAR 2018) Na figura, se BC  60 cm, a medida de DE, em cm, é
a) 20
b) 24
c) 30
d) 32
Resposta: b
ˆ  DEF
ˆ  90, então DE BC. Isso implica que AED ~ ABC.
Como BFE
h
ED
40  x x
 ED 


 2400  60x  40x  x  24
h BC BC
40
60
50) (EEAR 2018) Pelo triângulo ABC, o valor de x 2  6x é
a) 76
b) 88
c) 102
d) 144
Resposta: d
Lei dos cossenos:
 6 5 2  62  x 2  2  6  x  cos120  180  36  x 2 12x    1   x 2  6x  144
 2
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51) (EEAR 2018) Os pontos A, B, C e D estão alinhados entre si, assim como os pontos
A, E e F também estão. Considerando G o ponto de interseção de FC e ED, o valor de
tg  é
a) 0,2
b) 0,5
c) 2
d) 4
Resposta: b
ˆ  AFC
ˆ 
BE CF  AEB
AB 2 1
   0,5.
EB 4 2
Note que, apesar de não ser necessário para obter tg , podemos calcular x e y usando
semelhança de triângulos.
DC CG
3
2
DCG ~ DBE 


  12  6  2x  x  3
DB BE
3 x 4
AB BE
2
4
ABE ~ ACF 



 4  2y  20  y  8
AC CF
23 2 y
No triângulo retângulo AEB, temos tg  
52) (EEAR 2018) Seja BDEF um losango de lado medindo 24 cm, inscrito no triângulo
ABC. Se BC  60 cm, então AB  ____ cm.
a) 36
b) 40
c) 42
d) 48
Resposta: b
Se BDEF é um losango, então FE BD BC. Isso implica que
AF FE
AF
24
AF 24
2
AFE ~ ABC 





 AF   24  16
AB BC AF  24 60
24 36
3
Portanto, AB  AF  BF  16  24  40 cm.
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53) (EEAR 2018) O triângulo ABC está inscrito na circunferência. Se BC  8, a medida
do raio é
a) 4 2
b) 2 2
c) 4
d) 2
Resposta: a
Lei dos senos:
BC
8
8
8
 2R 
 2R 
 2R  R 
4 2
ˆ
sen 45
sen A
2
2
2
54) (EEAR 2019) Se ABC é um triângulo retângulo em A, o valor de n é
a)
22
3
b)
16
3
c) 22
d) 16
Resposta: b
Pelas relações métricas no triângulo retângulo, temos:
AB2  BC  BH  52   3  n   3  25  9  3n  n 
16
3
55) (EEAR 2020) Os segmentos AE e BD interceptam-se no ponto C e os ângulos B̂ e
D̂ são retos, como mostra a figura. Sendo AB DE, a medida de AE é
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
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Resposta: b
EDC ~ ABC, então
2
CE
4
5

 CE 
 4   5  AE  AC  CE  2  5  7
0,8
2
0,8
4
56) (EEAR 2021) Considerando a figura e que sen 75 é igual a
que a  5  ____  cm.
a)
3 2
b) 1  3
c)
2
d)
2 6
, calcula-se
4
3
Resposta: b
Lei dos senos:
BC
AB
a
5 6



ˆ sen C
ˆ
sen 75 sen 60
sen A
 2 6
5 6
5 6  2 6
a 
 sen 75 

  10 2 
  5 1  3  cm
sen 60
4


4

3 
2
57) (EEAR 2022) Se o triângulo ABC é retângulo em A, H é o pé da altura relativa à
hipotenusa e O é o centro da circunferência circunscrita ao referido triângulo, conforme
a figura, então OH = ____ cm.
a) 1,5
b) 2,5
c) 2
d) 3
Resposta: b
Sabemos que, em um triângulo retângulo, o quadrado da altura relativa à hipotenusa igual
ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Assim, temos:
AH 2  BH  HC  62  4  HC  HC  9.
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O centro O da circunferência circunscrita é ponto médio da hipotenusa BC, então
BH  HC 4  9
OB  OC 

 6,5.
2
2
Portanto, OH  OB  BH  6,5  4  2,5 cm.
58) (EEAR 2022) Seja ABC um triângulo retângulo em A, tal que B̂  60. Se o
perímetro do triângulo é 9  3  1 cm , a hipotenusa mede ______ cm.
b) 3 3
a) 2 3
c) 4 3
d) 6 3
Resposta: d
Se
AB  x,
tg 60 
então
AC
AC
 3
 AC  x 3
AB
x
e
AB 1
x
 
 BC  2x.
BC
2 BC
O perímetro do triângulo ABC é
cos 60 
2p  x  x 3  2x  9  3  1  x 3  3  1  9  3  1  x 3  9  x 
9
 3 3.
3
A hipotenusa é BC  2x  2  3 3  6 3 cm.
59) (EEAR 2022) Seja ABC um triângulo tal que   60, conforme a figura. Assim,
tem-se que FD  ____ .
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
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Resposta: a
Inicialmente, observe que BE e CD são medianas do triângulo ABC, então F é o
1
baricentro do triângulo e FD   CD.
3
Como AC  AD  6, então ACD é um triângulo isósceles com ângulo do vértice
  60. Isso implica que o triângulo ACD é equilátero e CD  6.
1
Portanto, FD   6  2.
3
60) (EEAR 2022) Em um triângulo ABC, Â  30, B  105 e BC  4 cm. Assim, AB 
____ cm.
a) 2 3
b) 2 2
c) 4 3
d) 4 2
Resposta: d
ˆ B
ˆ  180  30  105  C
ˆ  180  C
ˆ  45.
ˆ C
No triângulo ABC, temos A
Vamos aplicar a lei dos senos no triângulo ABC.
AB
BC
AB
4
2 4



 AB 
  4 2 cm.
ˆ sen A
ˆ
sen 45 sen 30
2 1
sen C
2
Polígonos métrica
61) (EEAR 2011) Um quadrado e um triângulo equilátero estão inscritos em uma
circunferência de raio R. A razão entre as medidas dos apótemas do quadrado e do
triângulo é
a) 2
b) 3
c) 2 3
d) 3 2
Resposta: a
O apótema
do quadrado inscrito em uma circunferência de raio R é
R 2
a 4  R cos 45 
e o apótema do triângulo equilátero inscrito na mesma
2
R
circunferência é a 3  R cos 60  .
2
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R 2
a
Assim, a razão entre os apótemas do quadrado e do triângulo é 4  2  2.
R
a3
2
62) (EEAR 2011) Os números que expressam as medidas, em cm ou em cm2 , do lado,
da superfície e do perímetro de um quadrado, dados nessa ordem, formam uma PA. O
lado desse quadrado, em cm, mede
5
5
3
3
a)
b)
c)
d)
3
2
4
2
Resposta: a
Sendo x cm a medida do lado do quadrado, sua superfície terá medida x 2 cm2 , e seu
perímetro medida 4x cm .
x 0
x  4x
5
 PA   x, x 2 , 4x   x 2 
 2x 2  5x  x 
2
2
5
Logo, o lado do quadrado mede cm .
2
63) (EEAR 2012) O perímetro de um triângulo equilátero de altura h  3 m é ______
m.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
Resposta: d
A altura de um triângulo equilátero de lado
é dada por h 
Portanto, o perímetro do triângulo é 2p  3  3  2  6 m.
3
2
 3   2.
64) (EEAR 2013) A razão r entre o apótema e o lado de um hexágono regular é igual a
2
1
3
2
a)
b)
c)
d)
2
2
3
3
Resposta: a
O apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio R é
R 3
a 6  R cos 30 
e o lado desse hexágono é L6  2R sen 30  R.
2
R 3
a6
3
 2 
.
Assim, a razão entre o apótema e o lado do hexágono regular é r 
L6
R
2
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65) (EEAR 2014) Sejam um hexágono regular e um triângulo equilátero, ambos de lado
. A razão entre os apótemas do hexágono e do triângulo é
a) 4
b) 3
c) 2
Resposta: b
O apótema do hexágono de lado
a6 
d) 1
é igual altura do triângulo equilátero de lado , então
3
.
2
O apótema do triângulo equilátero de lado
1
3
3
a6  

.
3 2
6
é igual a um terço da sua altura, então
3
a6
Assim, a razão entre os apótemas do hexágono e do triângulo equilátero é
 2  3.
a3
3
6
66) (EEAR 2015) O ponto O é o centro da circunferência da figura, que tem 3 m de raio
e passa pelo ponto B. Se o segmento AB forma um ângulo de 30 com o raio OA, então
a medida de AB, em m, é
a) 6 3
b) 3 3
c) 6 2
d) 3 2
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Resposta: b
ˆ  120  AB  L  3 3
AOB
3
67) (EEAR 2016) O lado, o perímetro e a área de um triângulo equilátero, nesta ordem,
são termos de uma Progressão Geométrica. Assim, a medida da altura desse triângulo
equilátero é _____ unidades de comprimento.
a) 12 3
b) 6 3
c) 3
d) 18
Resposta: d
Seja
o lado do triângulo equilátero, então seu perímetro é 3
e sua área
2
4
3
. Se
esses valores, nessa ordem, são termos de uma P.G., então
2
3
36
 
 12 3.
4
4
3
3
3
 12 3 
 18 u.c..
Assim, a altura do triângulo é h 
2
2
 3  2  
3
9 2  3
68) (EEAR 2019) Seja um triângulo equilátero de apótema medindo 2 3 cm. O lado
desse triângulo mede _____ cm.
a) 6
b) 8
c) 9
d) 12
Resposta: d
O apótema de um triângulo equilátero é um terço da sua altura. Se o triângulo equilátero
h
1
3
  12 cm.
tem lado , então a 3   2 3  
3
3 2
69) (EEAR 2022) A razão entre o perímetro do quadrado circunscrito a uma
circunferência de raio 2 cm e o perímetro do quadrado inscrito a essa mesma
circunferência é
a) 4
b) 2
c) 2 2
d) 2
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Resposta: d
Sejam ABCD e A’B’C’D’ de lados paralelos inscrito e circunscrito a uma mesma
circunferência de raio R  2, respectivamente.
Seja l o lado de ABCD e L o lado de A’B’C’D’, então l  R 2 e L  2R. Assim, a razão
entre os perímetros do quadrado circunscrito e do quadrado inscrito é
2pcirc 4  L L
2R

 
 2.
2pinsc 4  l
l R 2
70) (EEAR 2022) O lado de um triângulo equilátero mede 12 cm. Se a área desse
triângulo é igual à área de um hexágono regular de lado x cm, então o valor de x é
a) 2
b) 6
c) 2 6
d) 3 6
Resposta: c
122  3
 36 3.
4
A área de um hexágono regular de lado x é igual à área de 6 triângulo equiláteros de lado
A área de um triângulo equilátero de lado 12 é ST 
x 2 3 3 3x 2

.
x, ou seja, SH  6 
4
2
Igualando as duas expressões, temos:
x 0
3 3x 2
 36 3  x 2  24  x  2 6 cm.
2
Circunferência
71) (EEAr 2000) Consideremos um triângulo retângulo que simultaneamente está
circunscrito à circunferência C1 e inscrito na circunferência C 2 . Sabendo-se que a soma
dos comprimentos dos catetos do triângulo é K cm , então, a soma dos comprimentos
dessas duas circunferências, em cm, é
4K
2K
a)
b)
c) K
d) 2K
3
3
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Resposta: c
AC  BC  K
K  AB
K AB
r  p  AB 
 AB  
2
2
2
AB
2R  AB  R 
2
A soma dos comprimentos das duas circunferências é
 AB  K AB  
K
2R  2r  2  R  r   2 
 
   2  K .
2 
2
 2 2
72) (EEAr 2003) Numa circunferência de centro C e raio 20 cm, considere a corda AB,
cujo ponto médio é M. Se CM  10 cm, então a medida de AB é, em cm,
a) 15 5
b) 20 3
c) 15
d) 20
Resposta: b
Teorema de Pitágoras: x 2  102  202  x  10 3  AB  2x  20 3 cm
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73) (EEAR 2010) Sejam AB o diâmetro da circunferência, e as retas t e t’ tangentes a ela
nos pontos N e M, respectivamente. O valor de x é
a) 66
b) 60
c) 55
d) 50
Resposta: a
ˆ  2  50  100
AN  2  ABN
ˆ  2 17  34
BM  2  BAM
AB é diâmetro, então
BN  180  AN  180  100  80
AM  180  BM  180  34  146
MAN  MBN 146  100    34  80  246  114 132
x



 66
2
2
2
2
74) (EEAR 2010) Na figura, PA é tangente à circunferência em A, e B é ponto médio de
PC. A medida de PC, em cm, é
a) 12 2
b) 14 2
c) 16
d) 20
Resposta: c
B é médio de PC, então PC  2  PB.
Considerando a potência do ponto P em relação à circunferência, temos:
PA2  PB  PC  8 2   PB   2PB  2  PB2  128  PB2  64  PB  8
 PC  2  8  16 cm
2
75) (EEAR 2010) Um ângulo central  determina, em uma circunferência de raio r, um
2r
arco de comprimento 
. A medida desse ângulo é
3
a) 150
b) 120
c) 100
d) 80
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Resposta: b
O comprimento de um arco de  rad em uma circunferência de raio r é C  r .
2r
2r
2
Se o arco tem comprimento 
 r   
rad  120.
, então 
3
3
3
76) (EEAR 2011) Na figura, AB e CD são cordas tais que AP  2  PB , CD  10 cm , e
CP PD
. A medida de AB , em cm, é

2
3
a) 6 3.
b) 7 3.
c) 8 2.
d) 9 2.
Resposta: a
AP  2x
AP PB

x
2
1
PB  x
CP  2y
CP  4
CP PD

 y
 CD  5y  10  y  2  
2
3
PD  3y
PD  6
Pela potência do ponto P, temos:
AP  PB  CP  PD  2x  x  4  6  x 2  12  x  2 3
 AB  AP  PB  3x  3  2 3  6 3 cm
AP  2  PB 
77) (EEAR 2011) Na figura, O é o centro da circunferência e PA é tangente a ela, em P.
ˆ  30 e OA  12 3 cm, então a medida do raio da circunferência, em cm, é
Se PAO
a) 8 3.
b) 8 2.
c) 6 3.
d) 6 2.
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Resposta: c
OP  PA e R  OA
OP
1
R
sen 30 
 
R6 3
OA
2 12 3
78) (EEAR 2011) Para dar 10 voltas completas em volta de um jardim circular, uma
pessoa percorrerá 2198 m . Considerando   3,14, a medida, em metros, do diâmetro
desse jardim é
a) 70.
b) 65.
c) 58.
d) 52.
Resposta: a
Se 10 voltas completas têm 2198 m , então uma volta completa tem 219,8 m .
A medida de uma circunferência de diâmetro D é dada por  D .
219,8 219,8
  D  219,8  D 

 70 m

3,14
79) (EEAR 2012) Na figura, PT é tangente, em T, à circunferência de centro O e raio
6 m. Sabendo que P está situado a 10 m de O, então PT  _____ m.
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
Resposta: d
PA  PO  OA  10  6  4
PB  PO  OB  10  6  16
Considerando a potência do ponto P em relação à circunferência, temos:
PT 2  PA  PB  4 16  64  PT  8 m
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80) (EEAR 2012) Na figura, as circunferências 1, 2, 3 e 4 são congruentes entre si e cada
uma delas tangencia duas das outras. Se a circunferência 5 tem apenas um ponto em
comum com cada uma das outras quatro, é correto afirmar que
a) a circunferência 5 é secante às outras quatro circunferências.
b) a circunferência 5 é tangente exterior às outras quatro circunferências.
c) todas as circunferências são tangentes interiores entre si.
d) todas as circunferências são tangentes exteriores entre si.
Resposta: b
A circunferência 5 é tangente exterior às circunferências 1, 2, 3 e 4, pois tem com elas
apenas 1 ponto em comum e é exterior a elas.
Note que a d) está errada, pois, por exemplo, as circunferências 1 e 3 não são tangentes
entre si.
81) (EEAR 2013) Utilizando a potência do ponto P em relação à circunferência dada,
calcula-se que o valor de x é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Resposta: d
AP  BP  CP  DP  15  x  6 10  x 
60
4
15
82) (EEAR 2015) Na figura, A e B são pontos da circunferência e CD é seu diâmetro.
ˆ mede
Assim, o ângulo BAC
a) 20
b) 30
c) 50
d) 60
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Resposta: a
ˆ  30 é um ângulo inscrito, então o arco AD  2  30  60 .
O ângulo ACD
Como CD é um diâmetro da circunferência, então
AD  AB  BC  180  60  80  BC  180  BC  40 .
ˆ  BC  40  20 .
Logo, o ângulo inscrito BAC
2
2
83) (EEAR 2015) Na circunferência da figura, O é o seu centro e V, A e B são três de
ˆ e AOB,
ˆ então
seus pontos. Se x e y são, respectivamente, as medidas dos ângulos AVB
sempre é correto afirmar que
a) x  2y
b) y  2x
c) x  y  90
d) x  y  90
Resposta: b
ˆ  y  AB 
AOB
y

  x   y  2x
AB
2
ˆ x
AVB

2 
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84) (EEAR 2016) Duas cordas se cruzam num ponto distinto do centro da circunferência,
conforme esboço. A partir do conceito de ângulo excêntrico interior, a medida do arco x
é
a) 40
b) 70
c) 110
d) 120
Resposta: b
x  50
60 
 x  50  120  x  70
2
85) (EEAR 2016) Um carrinho de brinquedo que corre em uma pista circular completa 8
voltas, percorrendo um total de 48 m. Desprezando a largura da pista e considerando
  3, o seu raio é, em metros, igual a
a) 0,8
b) 1,0
c) 1,2
d) 2,0
Resposta: b
O comprimento de cada volta é 2 R, então a distância percorrida em 8 voltas é
8  2R  16R.
Sabendo que a distância percorrida é 48 m e usando   3, temos
16  3  R  48  R  1 m.
86) (EEAR 2017) Se A, B, C e D são pontos da circunferência, o valor de x é múltiplo de
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
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Resposta: b
Considerando a potência do ponto P em relação à circunferência, temos:
PB  PA  PD  PC   x  8   x   x  12    x  2   x 2  8x  x 2  10x  24
 2x  24  x  12
Portanto, x  12 é múltiplo de 6.
87) (EEAR 2018) Considere o quadrilátero ABCO, de vértices A, B e C na circunferência
e vértice O no centro dela. Nessas condições x mede
a) 30
b) 45
c) 55
d) 60
Resposta: d
ˆ  ACmaior  220  110
ABC
2
2
ˆ  360  220  140
AOC
No quadrilátero ABCO, temos x  140  50  110  360  x  60.
88) (EEAR 2018) Considere uma roda de 20 cm de raio que gira, completamente e sem
interrupção, 20 vezes no solo. Assim, a distância que ela percorre é ____  m.
a) 100
b) 80
c) 10
d) 8
Resposta: d
A cada volta a distância percorrida é 2 20  40 cm.
A distância percorrida em 20 voltas é 20  40  800 cm  8 m.
89) (EEAR 2019) O segmento AT é tangente, em T, à circunferência de centro O e raio
R  8 cm. A potência de A em relação à circunferência é igual a _____ cm 2 .
a) 16
b) 64
c) 192
d) 256
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Resposta: c
ˆ  90.
Se AT é tangente à circunferência, então OTA
OT
8
1
 tg 30 

 AT  8 3
AT
AT
3
PO A  AT 2  8 3   192
2
90) (EEAR 2019) Com um fio de arame, deseja-se cercar dois jardins: um circular, de
raio 3 m, e o outro triangular, cujo perímetro é igual ao comprimento da circunferência
do primeiro. Considerando   3,14, para cercar totalmente esses jardins, arredondando
para inteiros, serão necessários _____ metros de arame.
a) 29
b) 30
c) 35
d) 38
Resposta: d
Para cercar o jardim circular de 3 m de raio são necessários 2 3  6 m de arame.
Para cercar o jardim triangular de mesmo perímetro que o circular são necessários 6 m
de arame.
Portanto,
para
cercar
os
dois
jardins,
são
necessários
6  6  12  12  3,14  37,68  38 m.
91) (EEAR 2020) Sejam A, B e C pontos da circunferência de centro O. Se
26
m  AB  108 e m  BC  
rad, então m  ABC   ____  rad.
45
a)
53
45
b)
14
15
c)
56
45
d)
28
15
Resposta: a
 rad 3
  rad
180 5
3
26 53
m  ABC  m  AB  m  BC    
  rad.
5
45 45
m  AB  108  108
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92) (EEAR 2020) O ponto O I é o centro da circunferência I, que tem raio medindo 6 cm.
O ponto O II é o centro da circunferência II, que tem raio medindo 2 cm. O segmento AB
é tangente à circunferência I, em A, e passa por OII . Se OIOII  10 cm, então
AB  ____ cm.
a) 12
b) 10
c) 9
d) 7
Resposta: b
Como AB é tangente à circunferência de centro OI , então o triângulo OI AOII é retângulo
em A. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
AOI2  AOII2  OIOII2  AOII2  62  102  AOII  8
 AB  8  2  10 cm
93) (EEAR 2021) Uma circunferência de 5 cm de raio possui duas cordas AB  6 cm e
BC  x cm. Se AB é perpendicular a BC, então x é igual a
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
Resposta: a
Se AB e BC são cordas perpendiculares, então AC é diâmetro da circunferência.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
2
AB2  BC2  AC2  62  x 2   2  5  x 2  100  36  64  x  8 cm
94) (EEAR 2021) Os pontos O e P são os centros de duas circunferências que possuem
raios medindo, respectivamente, 8 cm e 3 cm, conforme a figura. Se OP  5 37 cm e se
AB é tangente a essas circunferências, em A e B, então AB  _____ cm.
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a) 28
Resposta: c
b) 29
c) 30
d) 31
Os raios AO e PB são perpendiculares à tangente AB nos pontos de tangência.
Seja PC perpendicular a AO, então o quadrilátero ABPC é um retângulo e o triângulos
OCP é um triângulo retângulo.
No retângulo ABPC, temos PC  AB  x.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OCP, temos
OC2  CP 2  OP 2  52  x 2   5 37   25  x 2  25  37
2
 x 2  25  36  x  5  6  30
95) (EEAR 2022) Seja O o centro da circunferência que passa por A, B, C e D. Se
ˆ  120 e se AC passa por O, então ABD
ˆ 
COD
a) 30
b) 45
c) 60
d) 90
Resposta: a
ˆ  120  AOD
ˆ  180 120  60
COD
ˆ  60 é um ângulo central, então AD  60 (menor arco).
O ângulo AOD
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ˆ
O ângulo ABD
é um ângulo inscrito determinado pelo menor arco AD, então
ˆ  AD  60  30.
ABD
2
2
96) (EEAR 2022) A figura representa uma pista de corrida, onde BC, DA, NO e PM
são semicircunferências e AB  CD  MN  OP  100 m. A diferença entre as distâncias
percorridas por uma pessoa que completa uma volta sobre a linha externa (M, N, O, P) e
outra que completa uma volta sobre a linha interna (A, B, C, D) é de, aproximadamente,
____ m. Considere   3,14 e que as medidas indicadas na figura estão em metros.
a) 58
b) 63
c) 68
d) 73
Resposta: b
Uma volta completa no percurso A-C-C-D-A é composta por dois segmentos de reta de
medida 100 e duas semicircunferências de raio 25, então esse percurso mede
2 100  2 25  200  50  3,14  200  157  357.
Uma volta completa no percurso M-N-O-P-M é composta por dois segmentos de reta de
medida 100 e duas semicircunferências de raio 35, então esse percurso mede
2 100  2 35  200  3,14  70  200  219,8  419,8.
Portanto, a diferença entre as distâncias percorridas é 419,8  357  62,8  63 m.
Áreas
97) (EEAr 2003) Um triângulo escaleno está inscrito num semicírculo de 10 cm de
diâmetro, que é o maior lado do triângulo. Se as medidas dos lados menores do triângulo
são tais que uma é o dobro da outra, então a diferença entre as áreas do semicírculo e do
triângulo, em cm2, é
25  40
25  20
25  30
25  50
a)
b)
c)
d)
2
2
2
2
Resposta: a
Como o diâmetro do semicírculo é o maior lado do triângulo, então o triângulo é retângulo
de hipotenusa 10 cm .
Sejam x e 2x os catetos do triângulo, então, pelo teorema de Pitágoras:
2
x 2   2x   102  5x 2  100  x  2 5 .
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A diferença entre as
áreas do semicírculo
2
  5 2 5  4 5 25
25  40


 20 
cm 2 .
2
2
2
2
e
do
triângulo
é
98) (EEAR 2010) Um setor circular, cujo arco mede 15 cm, tem 30 cm 2 de área. A
medida do raio desse setor, em cm, é
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
Resposta: a
O comprimento de um setor circular de  rad em um círculo de raio r é C  r .
A área de um setor circular de  rad em um círculo de raio r é S 
r 2
.
2
No problema, temos:
 r 2
 r
30
r
C  r    15  S 
 30  2 
  2  r  4 cm
2
r   15
2
2
99) (EEAR 2010) Seja um retângulo de comprimento c e largura . Aumentando-se o
1
comprimento em
do seu valor, para que a área não se altere, a largura deverá ser igual
10
a
10
9
1
9
a)
b)
c)
d)
10
10
11
11
Resposta: b
1 
11
10

S  c  c  c '  c  c '  ' 
10
11
 10 
100) (EEAR 2011) Considere a figura composta de três círculos concêntricos de raios
medindo, respectivamente, 5 cm, 4 cm e 3 cm. A área, em cm 2 , da parte hachurada é
a) 9
b) 16
c) 18
d) 24
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Resposta: c
Shach   52   42   32    25  16  9   18 cm2
101) (EEAR 2011) Na figura, BC e CE são segmentos colineares de 4 cm cada um. Se
os triângulos ABC e DCE são equiláteros, a área do triângulo BDE é
a) 4 3
b) 6 3
c) 8 3
d) 10 3
Resposta: c
Traça-se DM, altura do triângulo equilátero CDE.
4 3
 DM 
2 3
2
BE  DM 8  2 3
SBDE 

 8 3 cm 2
2
2
102) (EEAR 2013) Na figura, AB  8 cm é o diâmetro do círculo de centro O e AO é o
diâmetro do semicírculo. Assim, a área sombreada dessa figura é ____  cm 2 .
a) 14
b) 13
c) 11
d) 10
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Resposta: a
8
 2.
4
A área sombreada é a área do círculo de raio 4 menos a área do semicírculo de raio 2,
O raio da semicircunferência de diâmetro AO é r 
então S   42 
 22
 16  2  14 cm2 .
2
103) (EEAR 2013) Considere o retângulo ABCD, e os pontos médios dos seus lados M,
N, P e Q. Unindo esses pontos médios, conforme a figura, pode-se concluir que a área
hachurada, em cm 2 , é
a) 8
c) 4 2
b) 4
d) 2 2
Resposta: b
MP  NQ 2  4

 4.
2
2
A área do retângulo ABCD é Sret.  AB  BC  4  2  8.
A área do losango MNPQ é Slos. 
A área hachurada é S  Sret  Slos  8  4  4 cm2 .
104) (EEAR 2014) A figura é formada por um círculo de raio R  4 cm e três triângulos
equiláteros de lados congruentes ao raio do círculo. Os triângulos têm apenas um ponto
de interseção entre si e dois vértices na circunferência. A área hachurada, em cm2 , é
a) 6  12 3
b) 16  6 3
c) 12  8 3
d) 16  12 3
Resposta: d
A área da região hachurada é igual à área do círculo menos a área dos três triângulos
equiláteros.
42 3
2
S  Scirc  3  S    4  3 
 16  12 3  cm 2 .
4
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105) (EEAR 2014) A área de um losango é 24 cm2 . Se uma das diagonais desse losango
mede 6 cm , o lado dele, em cm, mede
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Resposta: b
Seja p a medida da segunda diagonal, então a área do losango é dada por
6p
S
 24  p  8.
2
Como as diagonais se cortam ao meio, então x 2  42  32  x  5 cm.
106) (EEAR 2014) 50) Em uma circunferência de raio r  6 , a área de um setor circular
de 30 é ____  cm2 .
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
Resposta: a
30
1
S
  62   36  3 cm2
360
12
107) (EEAR 2015) Na figura, ABCD é um quadrado formado por pequenos quadrados
de lado x divididos por uma de suas diagonais. Assim, a área sombreada, em função de
x, é
15x 2
a)
2
13x 2
b)
2
c) 5,5x 2
d) 3,5x 2
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Resposta: b
O quadrado ABCD é formado por 9 quadrados de lado x . A área sombreada é composta
x 2 13x 2
por 13 metades de quadrados de lado x . Assim, a área sombreada é S  13 
.

2
2
108) (EEAR 2015) Considere um quadrado de diagonal 5 2 m e um losango de
diagonais 6 m e 4 m. Assim, a razão entre as áreas do quadrado e do losango é
aproximadamente igual a
a) 3,5
b) 3,0
c) 2,5
d) 2,1
Resposta: d
Se o quadrado de lado x tem diagonal 5 2, então d  x 2  5 2  x  5 e sua área é
SQ  52  25.
64
 12.
2
SQ 25

 2,1.
A razão entre as áreas do quadrado e do losango é
Slos 12
A área do losango de diagonais 6 e 4 é Slos 
109) (EEAR 2015) Em um pedaço de papel de formato quadrado foi desenhado um
círculo de raio 10 cm. Se o papel tem 20 cm de lado e considerando   3,14, a área do
papel, em cm 2 , não ocupada pelo círculo é igual a
a) 82
b) 86
c) 92
d) 96
Resposta: b
A área do
papel
é
Spapel  202  400
Scirc  102  100  100  3,14  314,
então
e
a
a
área
área
do
círculo
pedida
é
é
Spapel  Scirc  400  314  86 cm .
2
110) (EEAR 2015) Um triângulo isósceles de base 10 cm e perímetro 36 cm tem
____ cm 2 de área.
a) 75
b) 72
c) 60
d) 58
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Resposta: c
Seja x a medida dos lados iguais do triângulo isósceles ABC e h a medida da altura
relativa à base.
Se o perímetro do triângulo ABC é 36, então 2p  x  x  10  36  x  13.
Aplicando
o
teorema
de
Pitágoras
ao
triângulo
ABD,
temos
2
2
2
2
h  5  13  h  144  h  12.
10 12
A área do triângulo é SABC 
 60 cm2 .
2
111) (EEAR 2016) Assinale a alternativa que representa, corretamente, a área do
triângulo esboçado na figura abaixo.
a) 15 m 2
c) 15 3 m 2
b) 30 2 m 2
d) 30 3 m 2
Resposta: a
6 10
1
S
 sen 30  30   15 m2
2
2
112) (EEAR 2016) A figura abaixo apresenta um quadrado inscrito em um círculo de raio
2 2 cm e centro O. Considerando   3, a área da região hachurada é igual a ____ cm 2 .
a) 2
Resposta: a
b) 8
c) 16
d) 24
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Seja x o lado do quadrado e d  2  2 2  4 2 a sua diagonal, então
d  x 2  4 2  x  4.
A área hachurada é a quarta parte da diferença entre a área do círculo e do quadrado, então
2
1
1
S    2 2   42  8  16   2  4  2  3  4  2 cm 2 .
4
4


113) (EEAR 2016) A figura abaixo ilustra um círculo com centro em O, origem do plano
cartesiano, e uma reta r. Considerando tal figura, a área da região sombreada corresponde
a
a) 2  4
b) 2  2
c)   4
d)   2
Resposta: d
A área da região sombreada é igual a um quarto da área do círculo de raio 2 menos a área
1
22
do triângulo retângulo isósceles de catetos 2, então S    22 
   2 u.c.
4
2
114) (EEAR 2017) Na figura, O é o centro do semicírculo de raio r  2 cm. Se A, B e C
são pontos do semicírculo e vértices do triângulo isósceles, a área hachurada é _____
cm 2 . (Use   3,14)
a) 2,26
b) 2,28
c) 7,54
d) 7,56
Resposta: b
A área hachurada é igual à área de um semicírculo de raio 2 menos a área do triângulo
1
AC  OB
42
ABC, então S    22 
 2 
 2  4  2  3,14  4  2, 28 cm2.
2
2
2
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115) (EEAR 2017) A malha da figura abaixo é formada por losangos cujas diagonais
medem 0,50 cm e 2,00 cm. A área hachurada é de _____ cm 2 .
a) 20
b) 22
c) 23
d) 25
Resposta: c
Há 46 retângulo hachurados. A área de cada losango é s 
0,50  2,00
 0,5. A área
2
hachurada é S  46  s  46  0,5  23 cm 2 .
116) (EEAR 2018) Na figura, os arcos que limitam a região sombreada são arcos de
circunferência de raio R e centrados nos vértices do quadrado ABCD. Se o lado do
quadrado mede 2R e considerando   3, então a razão entre a área sombreada e a área
branca é
a)
1
2
b)
1
3
c) 2
d) 3
Resposta: d
A área branca é igual à área do quadrado de lado 2R menos a área de um círculo de raio
2
R, então Sbranca   2R     R 2   4    R 2   4  3 R 2  R 2 .
A área sombreada é a área de um círculo de raio R, então Ssomb   R 2  3R 2 .

Ssomb 3R 2
 2 3
Sbranca
R
117) (EEAR 2019) A área de um hexágono regular inscrito em um círculo de
raio é ____ 3 cm 2 .
a) 6
b) 9
c) 12
d) 15
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6 cm de
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Resposta: b
O lado do hexágono regular é igual ao raio do círculo circunscrito a ele. Assim, L  6.
A área desse hexágono é igual à área de 6 triângulos equiláteros de lado L  6, então
 6
L2 3
S  6
 6
4
4
2
3
 9 3 cm2 .
118) (EEAR 2019) Um trapézio tem 12 cm de base média e 7 cm de altura. A área desse
quadrilátero é _____ cm 2 .
a) 13
b) 19
c) 44
Resposta: d
A área do trapézio de bases B e b, e altura h é S 
Mas Bm 
d) 84
B b
 h.
2
B b
é a base média do trapézio, então S  Bm  h  12  7  84 cm2 .
2
119) (EEAR 2019) Da figura, sabe-se que OB  r é raio do semicírculo de centro O e de
diâmetro AC. Se AB  BC, a área hachurada da figura, em unidades quadradas, é
a)
r 2
1
2
 
b) r 2   1
2 
c) r 2    2 
d) r 2  
1
2
Resposta: b
A área hachurada é igual à área de um semicírculo de raio r menos a área do triângulo
1
2r  r    2
ABC, então S   r 2 
   1 r .
2
2
2 
120) (EEAR 2019) A figura representa o logotipo de uma empresa que é formado por 2
triângulos retângulos congruentes e por um losango. Considerando as medidas indicadas,
a área do losango, em cm 2 , é
a) 3 3
b) 4,5 3
c) 5 3
d) 6,5 3
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Resposta: b
A área do losango é igual a duas vezes a área do triângulo sombreado, então
33
3 9 3
S  2
 sen 60  9 

cm 2 .
2
2
2
121) (EEAR 2020) A figura mostra um paralelogramo sombreado formado pela
superposição de dois retângulos, e apresenta uma dimensão de cada retângulo. Se um dos
lados do paralelogramo mede 3,5 cm, então sua área é _____ cm 2 .
a) 12
b) 18
c) 21
d) 23
Resposta: c
Note que o outro lado do paralelogramo sombreado não pode medir 3,5 cm, pois é maior
do que 6 cm.
A área do paralelogramo pode ser calculada multiplicando-se seu lado 3,5 cm pela altura
6 cm (note que 6 cm é a distância entre os dois lados de medida 3,5 cm), então
S  3,5  6  21 cm 2 .
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122) (EEAR 2020) Na figura, que representa parte da estrutura de um telhado, CD é
altura do triângulo ABC, CEDF é um quadrado de lado 3 m, o ponto E pertence a AC e
o ponto F pertence a BC. Assim, a área do triângulo ABC é _____ m 2 .
a) 12 3
b) 15 3
c) 18
d) 20
Resposta: c
A altura CD é a diagonal do quadrado CEDF, então CD  3 2.
O triângulo ABC é um triângulo retângulo isósceles, então AD  DB  CD  3 2.
AB  CD 6 2  3 2

 18 m 2 .
A área de ABC é S 
2
2
123) (EEAR 2021) A área do triângulo ABC, dado na figura, é:
a)
1875
3
2
b)
1670
2
3
c)
25
3
2
d)
50
2
3
Resposta: a
x
1
tg 30 

 x 3  50  y (1)
50  y
3
x
(2)
tg 60   3  x  y 3
y
Substituindo (2) em (1), temos:  y 3  3  50  y  3y  50  y  2y  50  y  25
De (2), vem: x  y 3  25 3
A área de ABC é S 
BC  AC  50  y   x  50  25   25 3 1875



3 u.a.
2
2
2
2
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124) (EEAR 2021) A figura dada apresenta três círculos concêntricos cujos raios (em cm)
são números naturais pares e consecutivos. Dado que as áreas hachuradas são iguais, é
verdade que a soma dos três raios é _____ cm.
a) 12
b) 18
c) 24
d) 30
Resposta: c
Sejam 2n  2, 2n e 2n  2 os raios dos três círculos, então a área do círculo sombreado
é S1     2n  2     4n 2  8n  4  e a área da coroa circular sombreada é
2
S2     2n  2      2n     4n 2  8n  4  4n 2    8n  4  .
Como as áreas hachuradas são iguais, então
2
2
S1  S2    4n 2  8n  4    8n  4   4n 2  16n  0
 4n  n  4   0  n  0  n  4
n4
Sabendo
que
então
e
a
n  0,
 2n  2   2n   2n  2   6n  6  4  24 cm.
soma
dos
raios
é
125) (EEAR 2021) A figura representa a parte móvel de um cata-vento (4 hélices
triangulares planas). Se o material utilizado para a confecção dessas hélices custa
R$ 300,00 o m 2 , e considerando 2  1, 4, o custo dessas peças, em R$, foi de
a) 280
b) 340
c) 420
d) 560
Resposta: c
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A
área
do
cata-vento
é
igual
à
área
de
quatro
triângulos
1 1
2
S  4  sen 45  2 
 2  1, 4 m 2 .
2
2
Se o custo do material é R$ 300,00 o m 2 , então o custo de um cata-vento é 300 1, 4  420
reais.
126) (EEAR 2021) Na figura, se ABCD é um paralelogramo, então o valor de x é
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
Resposta: b
Vamos calcular a área do paralelogramo ABCD usando cada um de seus lados.
SABCD  AB  ED  BC  DF  25  8  10  x  x  20.
127) (EEAR 2022) Uma empresa de produtos químicos tem o seguinte logotipo,
composto por dois círculos concêntricos divididos em 6 setores circulares de 60° cada.
Se o raio do maior círculo medir 10 cm e o do menor medir 8 cm, toda a área hachurada
(em cinza) mede ______  cm 2 .
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
Resposta: c
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A área sombreada é igual à área do semicírculo de raio 10 cm, então
S
102
 50 cm2 .
2
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