Kinetica
Academiejaar 2022-2023
Kinetica, © 2017 door De Norre S.
is gelicentieerd onder Creative Commons als NaamsvermeldingNietCommercieelGelijkDelen 4.0 Internationaal. Om deze licentie te
bekijken, bezoek https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.nl
Voor het correct refereren naar deze publicatie in APA-stijl, gebruik
volgende bronvermelding:
De Norre S. (2017). Kinetica [E-book]. Odisee.
https://studiemateriaal.odisee.be/publiek/cc.aspx?ISBN=2220139951860
www.odisee.be
-39-
KINEMATICA
Kinematica van een star lichaam
Hoofdstuk 7:
Kinematica van een star lichaam
(in een plat vlak)
Het begrip “star” lichaam wijst in de natuurkunde op een onvervormbaar lichaam: alle punten van
het lichaam blijven ten allen tijde op dezelfde onderlinge afstand. Elasticiteit en vervorming
moeten dus niet in rekening worden gebracht.
7.1. Beweging van een lichaam in een plat vlak.
In een plat vlak onderscheiden we 3 soorten bewegingen:
- Translatie
- Rotatie
- Willekeurige of algemene beweging
7.1.1. Translatie.
Translatie treedt op wanneer de richting van een willekeurig lijnsegment tussen 2 punten van het
lichaam tijdens de beweging evenwijdig blijft met de oorspronkelijke richting.
Deze beweging kan rechtlijnig of kromlijnig zijn, afhankelijk van de bewegingsbaan van elk paar
punten van het lichaam.
t
t+dt
r
ds A
A
A
B
r
dsB
C
r
dsC
B
C
KINEMATICA
-40-
Kinematica van een star lichaam
Aangezien het lichaam evenwijdig aan zichzelf beweegt, maken alle punten van het lichaam
dezelfde beweging.
r
r
r
ds A = dsB = dsC =…
r r r
vA = vB = vC = …
r
r
r
a A = a B = a C =…
7.1.2 Rotatie (om een vaste as).
Wanneer een lichaam om een vaste as roteert, dan beschrijft elk punt van het lichaam een
cirkelvormige baan.
Bij de rotatie van het lichaam zal elke plaatsvector van een willekeurig punt t.o.v. O dezelfde
hoekverdraaiing dα maken. O is het snijpunt van de rotatie-as met het vlak en dus het centrum van
de rotatie.
dα1 = dα2 = … = dα
ω1 = ω2 = … = ω
(ω = dα/dt)
φ1 = φ2 = … = φ
(φ = dω/dt)
De afgelegde weg, snelheid en versnelling van een willekeurig punt van het lichaam kunnen
bepaald worden met de formules van de cirkelvormige beweging:
ds = Rp.dα
v = Rp.ω
at = Rp.φ
Met Rp de afstand van het beschouwde punt tot de rotatie-as.
KINEMATICA
-41-
Kinematica van een star lichaam
Oefening:
R1 = 50cm, R2 = 20cm
v1 = 20 cm/s, bepaal v2
Indien men blok 2 10m hoog wil hijsen, hoeveel meter kabel moet men dan naar beneden trekken?
KINEMATICA
-42-
Kinematica van een star lichaam
7.1.3 Willekeurige beweging.
De willekeurige of algemene beweging van een lichaam ontstaat door de samenstelling van een
translatie in het vlak van de beweging en een rotatie om een as loodrecht op dit vlak.
De meest traditionele manier om de willekeurige beweging te berekenen is deze te zien als de
combinatie van een translatie en een rotatie:
1) Translatie van het lichaam waarbij het punt A de volledige weg dsA aflegt. De snelheid v van
de translatie komt overeen met de snelheid van het punt A: vA
2) Rotatie van het lichaam om het punt A, met hoeksnelheid ω. Tijdens deze rotatie staat het
rotatiepunt A uiteraard stil.
KINEMATICA
-43-
Kinematica van een star lichaam
Er bestaat echter nog een 2de manier om de willekeurige beweging te benaderen: men “bevriest”
de beweging, en ziet de willekeurige beweging als een ogenblikkelijke rotatie rond een stilstaand
punt: de ogenblikkelijke rotatiepool.
-44-
KINEMATICA
Kinematica van een star lichaam
7.2. Snelheid van het zwaartepunt van een zuiver rollende cilinder
De zuiver rollende cilinder is een cilinder die rolt zonder te glijden, of zonder door te slippen.
Deze idealisering heeft tot gevolg dat het contactpunt van de cilinder met de ondergrond, het punt
P, op elk willekeurig tijdstip van de beweging geen snelheid heeft en dus stil staat. Indien het
contactpunt een snelheid zou hebben in de draairichting, dan slipt de cilinder door. Indien het
contactpunt een snelheid zou hebben tegen de draairichting in, dan zou de cilinder naast rollen ook
glijden.
De verplaatsing van het zwaartepunt gedurende het tijdsinterval dt bedraagt dsz meter.
Deze afstand dsz komt overeen met de booglengte van de cirkelboog ds van de cilinder, die wordt
afgerold tijdens het tijdsinterval dt. Deze cirkelboog ds heeft een booglengte die bepaald wordt
door de doorlopen hoek dα
dsz = R.dα
vz =
=R
vz = Rω
zo ook: az = Rφ
Een alternatieve manier om dit te benaderen, is te vertrekken van het contactpunt P: bij een rotatie
zou het punt P een omtreksnelheid hebben van R.ω m/s om het zwaartepunt (of middelpunt) van
de cilinder. Aangezien het contactpunt bij een zuiver rollende cilinder stil staat , moet het
zwaartepunt met een snelheid van R.ω m/s bewegen ten opzichte van het contactpunt P.
-45-
KINEMATICA
Kinematica van een star lichaam
7.3. Willekeurige beweging via samenstellen van translatie en rotatie
De willekeurige beweging van een star lichaam kan worden beschreven als een samenstelling van
een translatie en rotatie. Om die bewegingscomponenten afzonderlijk te bekijken, gebruiken we
de kennis uit hoofdstuk 6.
Beweging lichaam = translatie + rotatie
Neem een willekeurig punt B van het lichaam:
Beweging van punt B = beweging van punt A + beweging van het punt B t.o.v. A
Absolute beweging
Sleepbeweging
Relatieve beweging
De absolute beweging van een willekeurig punt van een lichaam (B) bestaat dus uit de
samenstelling van een gekende sleepbeweging (rechtlijnig, cirkelvormig, parabolisch) van een
ander punt van dat lichaam (A) en de relatieve beweging van het punt B t.o.v. A. Bij het bestuderen
van deze relatieve beweging van punt B wordt de beweging van punt A buiten beschouwing
gelaten en staat dit punt als het ware stil. De beweging van B t.o.v. A is ALTIJD een cirkelvormige
beweging. Deze punten bevinden zich voor een star lichaam immers altijd op dezelfde afstand van
elkaar. De beweging waarbij men steeds op dezelfde afstand blijft van een ander, centraal punt is
de cirkelvormige beweging.
Vectorieel:
r
r
r
dsB = ds A + d s B / A
r
r r
vB = vA + v B / A
(.
)
r
v B / A = ω.AB
KINEMATICA
Oefening: bepaal ω en de snelheid van punt B
-46-
Kinematica van een star lichaam
KINEMATICA
-47-
Kinematica van een star lichaam
7.4. Willekeurige beweging via ogenblikkelijke rotatie
De willekeurige beweging van een star lichaam kan beschouwd worden als een ogenblikkelijke
rotatie rond een bepaald stilstaand punt, de ogenblikkelijke rotatiepool genaamd.
r
r r
In 7.3 werd de snelheid van een willekeurig punt B beschreven als vB = vA + v B / A .
r
Deze snelheid kan heel direct beschreven worden als men een punt A kiest waarvoor vA = 0.
r r
Waardoor vB = v B / A = ω.AB.
Dit punt A wordt dan de ogenblikkelijke rotatiepool (OR) genoemd.
Dit punt A hoeft geen punt van het lichaam zelf te zijn, zoals in 7.3, maar kan ook een punt
buiten het lichaam zijn.
Punt B beschrijft een cirkelvormige beweging rond deze OR, en heeft een snelheid:
r
vB = ωor . BOR
Met ωor de hoeksnelheid van het lichaam om de OR, en BOR de afstand van punt B tot de OR.
Dit geldt niet enkel voor punt B, maar voor alle punten van het lichaam.
Elk punt van het lichaam beweegt met dezelfde hoeksnelheid ωor, maakt dezelfde
hoekverdraaiing ∆α en heeft dezelfde hoekversnelling φ.
De snelheidsvector van een willekeurig punt P staat bijgevolg (omtreksnelheid C.B)
loodrecht op de lijn POR, die het punt P verbind met de OR en heeft als grootte:
r
vP = ωor.POR
KINEMATICA
-48-
Kinematica van een star lichaam
Om dit te verduidelijken kunnen we een zuiver rollende cilinder aanschouwen:
Aangezien het contactpunt (A) bij een zuiver rollende cilinder stilstaat en dus geen snelheid
heeft, is contactpunt A de ogenblikkelijke rotatiepool.
r
r
vZ = 0.4m/s en vB = 0.8m/s
r
r
vB en vZ staan loodrecht op AB en AZ
r
Bepaal vC ?
KINEMATICA
-49-
Kinematica van een star lichaam
Hoe kan men de ligging van de ogenblikkelijke rotatiepool bepalen?
We weten:
r
- OR heeft geen snelheid: vOR =0
- De snelheidsvector van een willekeurig punt P staat steeds loodrecht
verbindingslijn van de OR met het punt P
r
- Punt P draait met een hoeksnelheid ωor = v P /POR rond de OR
op de
1) Gegeven: snelheid van 1 punt, en de hoeksnelheid
ωor van het lichaam
r
r
POR= v P /ωor met POR loodrecht op vP
2) Gegeven: de snelheid van 2 punten van het lichaam, waarbij de snelheidsvectoren niet
evenwijdig zijn.
Teken vanuit de punten 1 en 2 de loodlijnen op de snelheidsvectoren van deze
punten. Deze loodlijnen snijden elkaar in de OR!
r
r
ωor = v P 1 /P1OR = v P 2 /P2OR
-50-
KINEMATICA
Kinematica van een star lichaam
3) Gegeven: de snelheid van 2 punten van het lichaam, waarbij de snelheidsvectoren wel
evenwijdig zijn.
De OR kan bepaald worden aan de hand van gelijkvormige driehoeken. Deze
ontstaan door de verbindingslijnen te tekenen van de beginpunten en de eindpunten
van de snelheidsvectoren.
r
r
Opnieuw geldt: ωor = v P 1 /P1OR = v P 2 /P2OR
Opmerking: Indien beide snelheidsvectoren even groot zijn, evenwijdig lopen en dezelfde zin
hebben, dan voert het lichaam een translatie uit. De lijnen die de beginpunten en eindpunten met
elkaar verbinden snijden elkaar dan immers niet.
P1OR en P2OR zijn oneindig lang
r
ωor = v /∞ = 0
-51-
KINEMATICA
Kinematica van een star lichaam
7.5. Oefeningen
71. Het uiteinde van het touw wordt met een snelheid van
r
v C = 120mm/s naar beneden getrokken. Bepaal de
hoeksnelheid van de katrollen A en B en de snelheid van
blok D. Ga ervan uit dat het touw niet over de katrollen
slipt.
r
[ v D =60 mm/s ;
A = 0.5 rad/s ;
B = 0.5 rad/s ]
72. In de tekening wordt het bovenaanzicht van een
automatisch dienstraam in een snackbar weergegeven.
Tijdens de werking ervan drijft een motor de
scharnierende stang BC aan met een hoeksnelheid
BC = 0.5 rad/s. Bepaal, op het weergegeven moment,
de snelheid van het uiteinde D. Het uiteinde A
beweegt in de geleider.
r
[ v D = 0.1m/s ]
73. De hoeksnelheid van de stang AB is AB = 4 rad/s.
Bepaal de snelheid van de ring bij C en de hoeksnelheid van
de stang BC op het weergegeven moment. De stang BC is
op dat moment horizontaal.
r
[ v C = 2.45 m/s ;
BC = 7.81 rad/s ]
-52-
KINEMATICA
Kinematica van een star lichaam
74. Het kruksleufmechanisme wordt gebruikt om
de constant draaibeweging van de arm OA om te
zetten in een translerende beweging van de stang
BC. De arm OA draait met een hoekversnelling
van 2 rad/s² en een hoeksnelheid van 5 rad/s als ϑ
= 30°. Bepaal de snelheid en de versnelling van
BC op dit moment.
r
r
[ v BC = 0.65 m/s ; a BC = -1.62 m/s² ]
75. Bepaal de snelheid van slede A.
r
[ v A =2.4 m/s]
76. De snelheid van de glijder C is 4 m/s, gericht naar de bovenkant van de scheve gleuf. Bepaal
de hoeksnelheid van de stangen AB en BC en de snelheid van het punt B op het ogenblik dat is
weergegeven in de figuur.
r
[ v B =2.84 m/s ;
BC = 2.84
rad/s ;
AB = 2.84 rad/s ]
-53-
KINEMATICA
Kinematica van een star lichaam
77. De stang AB draait met een hoeksnelheid AB = 6
rad/s. Bepaal de hoeksnelheid van de stangen BC en CD
op het ogenblik dat ϑ = 60°.
[
BC = 5.8 rad/s ;
CD = 2.18 rad/s ]
78. De stang AB heeft een hoeksnelheid van 3 rad/s. Bepaal de
hoeksnelheid van CD op het ogenblik dat is weergegeven in de
figuur.
[
CD = 4 rad/s ]
79. De krukas AB draait rond met een constante hoeksnelheid
van de zuiger P als ϑ = 30°.
r
[ v C =18.48 m/s]
AB = 150 rad/s. Bepaal de snelheid
-54-
KINEMATICA
Kinematica van een star lichaam
80. De staaf AB van het stangenmechanisme dat in
de figuur te zien is, heeft een met de klok
meedraaiende hoeksnelheid van 30 rad/s als ϑ = 60°.
Bereken de hoeksnelheid van de stang BC en het wiel
op dit ogenblik.
[
DC = 52 rad/s ]
81. De cilinder in de figuur rolt zonder glijden tussen twee bewegende platen E en D. Bepaal
de hoeksnelheid van de cilinder en de snelheid van zijn middelpunt C op het getoonde ogenblik.
r
[ v Z = 0.075 m/s ;
OR = 2.6 rad/s ]
82. Blok D beweegt met een snelheid
van 3 m/s. Bepaal de hoeksnelheid van
de stangen BD en AB op het getoonde
ogenblik.
[
BD = 5.3 rad/s ;
AB = 5.3 rad/s]