Piotr Czech
Mini-wykład,
o liczbach nadrzeczywistych
29 maja 2023
Plik został przygotowany w ramach realizacji zadania
z „Technologii Informacyjnych” w celu ćwiczenia posługiwania się LATEX-em.
1. Wstęp
Liczby nadrzeczywiste (inaczej też surrealne lub liczby Conwaya) to nowy
pomysł na zapis obiektów matematycznych stworzony przez Johna Hortona Conwaya, a opisany przez Donalda Knutha w książce ”Liczby nadrzeczywiste” [?],
która jest punktem wyjścia tej pracy. Całość noweli prezentowanej przez autorów
utrzymana jest w ramach powieści o dwojgu zagubionych na wyspie bohaterów,
którzy z każdym kolejnym dniem podejmują się nowych obliczeń skutkujących
nowymi niesamowitymi twierdzeniami, dowodami oraz faktami.
Opowieść rozpoczyna się od wprowadzenia nas w nowy tworzący się świat:
„Na początku była pustka, aż J.H.W.H. Conway począł stwarzać liczby. Conway rzekł: «Niechaj dane będą dwie reguły, które wydadzą wszelkie liczby
duże i małe. . .»” [?]
2. Reguły
Wszystkie liczby nadrzeczywiste muszą spełniać dwie podane reguły,
gdzie pierwsza to
x = (XL |XR ), gdzie ∀xL ∈ XL ∀xR ∈ XR xL ≱ xR .
W celu klarowności zapisu przy pomocy małych liter jak x będziemy rozumieć
liczby, a za pomocą dużych (X) zbiory. Już teraz widzimy cały pomysł Conwaya, każda nasza konstrukcja nowej listy, będzie tak naprawdę reprezentacją
pary zbiorów: lewego i prawego. Powyższą definicję możemy odczytać jako
zasadę, że dowolny element lewego zbioru nie może być większy lub równy
dowolnemu elementowi prawego zbioru, co w uproszczeniu możemy zapisać jako
x = (XL |XR ), gdzie XL ≱ XR .
Istotnie symbol ≱ naturalnie odczytujemy jako nie większe lub równe, natomiast autor w tej sprawie sugeruje odczytywanie tego sformułowania jako
nie większe lub takie jak.
Ma to na celu uniknięcie logicznych problemów dlaczego mielibyśmy udowodniać,
że 0 = 0? Zajmiemy się po prostu dowodzeniem, że 0 jest takie jak 0.
Gdy już polonistycznie zmierzyliśmy się z nowym znakiem - druga reguła pozwala
zrozumieć go nam matematycznie
x ⩽ y ⇔ ∀xL ∈ XL xL ≱ y oraz ∀yR ∈ YR x ≱ yR ,
co ponownie możemy zapisać skrótowo jako
1
x ⩽ y ⇔ XL ≱ y oraz x ≱ YR .
Powyższa reguła pozwala nam zrozumieć, że liczba x jest mniejsza lub taka
jak y, jeśli żaden element z lewego zbioru liczby x nie jest większy lub taki sam
jak liczba y oraz, że żaden element prawego zbioru liczby y nie jest mniejszy
lub taki jak liczba x.
Zaczytując się dalej w opowieść dowiadujemy się, że: „Conway przyjrzał
się owym dwóm regułom, które uczynił, i widział, że były bardzo dobre. Pierwsza
liczba stworzona została z pustego zbioru lewego i pustego zbioru prawego.
Conway nazwał tę liczbę «zerem»” [?]. Jest to sprytne podejście, aby rozpocząć
przygodę od pary pustych zbiorów
0=(∅|∅)
gdy podejmiemy się weryfikacji uzyskanego zera poprzez regułę (??) zobaczymy, że żaden element zbioru lewego nie jest większy lub taki jak element zbioru
prawego, który jest zbiorem pustym. A więc dla pustych zbiorów reguła działa.
Przy sprawdzeniu naszego nowo powstałego zera widzimy sedno nowego
nazewnictwa taki jak, reguła (??) każde nam zweryfikować czy 0 nie jest mniejsze
lub takie jak 0
0⩽0
( ∅ | ∅ ) ⩽ ( ∅ | ∅ ),
gdzie tutaj ponownie nie mamy żadnych elementów w zbiorach, a więc też
nic nie jest większe lub takie samo jak drugie.
3. Kolejne liczby
Drugiego dnia przygody dwójki tytułowych bohaterów możemy już skonstruować 3 nowe elementy, będzie to
— ( ∅ | {0} ),
— ( {0} | ∅ ),
— ( {0} | {0} ),
gdzie niestety 3 element nie spełnia reguły (??), która wymaga aby 0 ≱ 0,
co stoi w sprzeczności do tego co stwierdziliśmy powyżej.
Podsumowując drugiego dnia uzyskaliśmy dwie nowe liczby, Conway przypisał
im następujące nazwy:
— (−1) = ( ∅ | {0} ),
— 1 = ( {0} | ∅ ).
Co możemy elementarnie sprawdzić, aby tak zdefiniowane 1 i −1 mogło
istnieć, prawdą musi być, że żaden element lewego zbioru nie jest większy lub
taki sam jak element prawego zbioru. Zatem dla 1 jest to prawda, gdyż 0 nie jest
większe lub takie jak żaden element oraz dla (−1) żaden element nie jest większy
lub taki jak 0. Mamy zatem z sukcesem już 3 liczby spełniające warunek (??).
Spróbujmy zatem zmierzyć się z warunkiem (??) i udowodnić, że nasza nowa
liczba jest poprawna.
Dowód. (−1) ≱ 0
[?] Załóżmy nie wprost, że 0 ≱ −1
Stosujemy regułę (??), w której x = 0 i y = (−1)
Otrzymujemy więc
0 ⩽ (−1) ⇔ ∀xL ∈ ∅ xL ≱ (−1) oraz ∀yR ∈ {0} 0 ≱ yR .
2
Lewa strona równania okazuje się prawdziwa
∀xL ∈ ∅ xL ≱ (−1)
gdyż mamy do czynienia ze zbiorem pustym. Druga część natomiast prowadzi
nas do
∀yR ∈ {0} 0 ≱ yR ,
co oznaczałoby, że
0 ≱ 0,
aczkolwiek takie sformułowanie zostało już przez nas uznane za fałszywe - co
kończy dowód (−1) ≱ 0.
Podobną łamigłówkę faktów, że 0 ≱ 1 oraz −1 ≱ 1 pozostawiam czytelnikowi.
W bardzo szybkim tempie nasz zestaw liczb będzie się zwiększał i tak kolejnego
dnia otrzymujemy już
— (−2) = ( ∅ | {−1} ),
— (− 12 ) = ( {−1} | {0} ).
— 12 = ( {0} | {1} ).
— 2 = ( {1} | ∅ ),
i tak dalej z każdym kolejnym dniem.
zrzut1.png
Rysunek 1. Nowe liczby wraz z upływem dni [?]
Wraz z upływem czasu u naszych bohaterów liczb powstaje bardzo dużo
w znaczącym tempie, aktualnie każdą nowo otrzymaną liczbę musimy sprawdzać
z każdą porównywać z każdą już istniejąca, aby zachować spójność z reguła (??),
prowadzi to do znudzenia. Efektem znużenia będzie nowe twierdzenie
Twierdzenie 1. Prawo przechodniości
Jeżeli x ⩽ y oraz y ⩽ z, to x ⩽ z.
3
4. Operacje arytmetyczne
Kolejnymi twierdzeniami, które Conway wprowadził i udowodnił w przestrzeni
swoich liczb nadrzeczywistych były operacje arytmetyczne.
Rozpocznijmy od dodawania.
Niech x = ( XL | XR ) oraz y = ( YL | YR )
x + y = ((XL + y) ∪ (YL + x) | (XR + y) ∪ (YR + x)),
gdzie A + b = {a + b : a ∈ A}.
Sprawdźmy to na trywialnym przykładzie 1 + 0
1 + 0 = ( {0} | ∅ ) + ( ∅ | ∅ ) = ( {0 + 0} | ∅ ),
co prowadzi nas do rekurencji, liczymy więc
0 + 0 = ( ∅ | ∅ ) + ( ∅ | ∅ ) = ( ∅ | ∅ ) = 0,
wracając otrzymujemy
1 + 0 = ( {0 + 0} | ∅ ) = ( {0} | ∅ ) = 1.
Conway zdefiniował również odejmowanie, które wygląda następująco
Niech x = ( XL | XR ) oraz y = ( YL | YR )
x − y = (XL + (−y)),
gdzie (−y) = ( (−YL ) | (−YR ) ).
5. Podsumowanie
To co zdołało mi się zaprezentować w tej małej pracy to delikatne wprowadzenie do tematu liczb surrealnych. Chciałem pokazać ich zamysł oraz konwencję.
Liczby nadrzeczywiste nie kończą swoich możliwości na uzyskaniu liczb diadycznych, eksplorują one świat dalej uzyskując wszystkie liczby wymierne, rzeczywiste,
nierzeczywiste . . .
Za ich pomocą po wędrówce przez dni skończone 1, 2, 3, 4, dojdziemy do dnia
ω = ( {1, 2, 3, ...} | ∅ ) wzbogacimy się o jeszcze to nowe obiekty, w tym także
infinitezymala, takie jak ({0}|{1, 12 , 14 , . . .}) = ϵ, które będą w pełni sprawnymi
liczbami takimi, że ϵ · ω = 1.
4
zrzut3.png
Rysunek 2. Możliwości liczb nadrzeczywistych [?]
6. Trening intelektualny
Zadanie 1. Udowodnij poniższe nierówności korzystając z 2 podanych aksjomatów:
1. 0 ≱ 1
2. (−1) ≱ 1
Zadanie 2. Skonstruuj podane liczby
1. 3
2. (−3)
3. (− 14 )
Zadanie 3. Przeprowadź poniższe operacje
1. 1 + 1
2. 2 + 1
3. 21 + − 12
Zadanie 4. Przeprowadź poniższe operacje
1. 0 − 0
2. 2 − 0
3. 2 − 1
Zadanie 5. Przeprowadź poniższe operacje
1. 1 + 12 − 2
2. 21 + 3 − 14
5
7. Przykładowe rozwiązania
Rozwiązanie 1. przykładowe rozwiązanie zad. ??
a. 1 + 1
Powyżej rozwiązaliśmy już
0 + 0 = ( ∅ | ∅ ) + ( ∅ | ∅ ) = ( ∅ | ∅ ) = 0,
oraz
1 + 0 = ( {0} | ∅ ) + ( ∅ | ∅ ) = ( {0 + 0} | ∅ ) = ( {0} | ∅ ) = 1.
Zatem rozpisujemy podany przykład na
1 + 1 = ( {0} | ∅ ) + ( {0} | ∅ ) = ( {0 + 1} | ∅ )
1 + 1 = ( {1} | ∅ ) = 2
b. 2 + 1
Korzystając z naszych wcześniejszych obliczeń
2 + 1 = ( {1} | ∅ ) + ( {0} | ∅ ) = ( {2} | ∅ ) = 3
6
Literatura
[1] 2022, ”Liczby nadrzeczywiste, Jak dwoje byłych studentów nakręciło się na
czystą matematykę i odnalazło pełnię szczęścia”, Donald Knuth
[2] 28.12.2021, ”Liczby nadrzeczywiste — Zacznijmy od zera #9”
(https://youtu.be/BFsIh08eHg4), Copernicus
[3] 2011, ”Conway names, the simplicity hierarchy and the surreal number tree”,
Philip Ehrlich
7