CAPÍTULO 5
5-12
Fallas resultantes de carga estática
231
Introducción a la mecánica de la fractura
La idea de que las grietas existen en las partes aun antes de que el servicio comience y que las
grietas pueden crecer durante el servicio, ha conducido a la frase descriptiva “diseño tolerante
al daño”. El enfoque de la filosofía se concentra en el crecimiento de grietas hasta que éste
se vuelve crítico, y la parte se retira del servicio. La herramienta de análisis es la mecánica
de la fractura elástica lineal (MFEL). La inspección y el mantenimiento son esenciales en la
decisión de retirar partes antes de que la grieta alcance un tamaño catastrófico. Donde la seguridad humana esté involucrada, el gobierno y sus normas ordenan inspecciones periódicas
en busca de grietas.
Ahora se examinarán brevemente algunas de las ideas básicas y el vocabulario necesario
para que el potencial del enfoque pueda apreciarse. En este caso, la intención es advertir al
lector de los peligros asociados con la fractura frágil súbita de los materiales llamados dúctiles. El tema es demasiado extenso como para incluirlo a detalle aquí, y se recomienda al lector
profundizar más acerca de este tópico complejo.9
El uso de factores de concentración del esfuerzo elástico proporciona una indicación de la
carga promedio que se requiere sobre una parte para que ocurra la deformación plástica, o la
fluencia; estos factores también son útiles para analizar las cargas sobre una parte que podrían
causar fractura por fatiga. Sin embargo, los factores de concentración del esfuerzo se limitan a
estructuras de las cuales todas las dimensiones se conocen de manera precisa, particularmente,
el radio de curvatura en regiones de alta concentración del esfuerzo. Cuando existe una grieta,
imperfección, inclusión o defecto de un radio pequeño y desconocido en una parte, el factor de
concentración del esfuerzo tiende al infinito cuando el radio de raíz tiende a cero, lo que hace
que el enfoque del factor de concentración del esfuerzo sea inútil. Aún más, aunque el radio de
curvatura de la imperfección se conozca, los esfuerzos extremadamente locales conducirían a
deformaciones plásticas locales. Los factores de concentración del esfuerzo ya no son válidos
para esta situación, por lo que el análisis, desde el punto de vista de dichos factores, no genera
criterios útiles para el diseño cuando existen grietas muy delgadas.
Al combinar el análisis de los cambios elásticos grandes en una estructura o parte que
ocurren a medida que una grieta delgada crece, con mediciones de la energía que se requiere
para producir nuevas superficies de fractura, es posible calcular el esfuerzo promedio (si
no existieran grietas) que causaría el crecimiento de una grieta en una parte. Tal cálculo es
posible sólo en partes con grietas para las cuales se ha completado el análisis elástico, y para
materiales que se agrietan de una manera relativamente frágil y para los cuales la energía de
deformación se ha medido cuidadosamente. El término relativamente frágil se define en forma rigurosa en los procedimientos de ensayo,10 pero en términos generales significa fractura
sin fluencia que ocurre a través de la sección transversal fracturada.
Por lo tanto, el vidrio, los aceros duros, las aleaciones de aluminio fuerte, e incluso el
acero al bajo carbono por debajo de la temperatura de transición de dúctil a frágil, pueden
analizarse de esta forma. Por fortuna, los materiales dúctiles se llenan de grietas delgadas,
como se descubrió antes, de manera que la fractura ocurre en esfuerzos promedio del orden
de la resistencia a la fluencia, y el diseñador está preparado para esta condición. La región
intermedia de los materiales que caen entre los “relativamente frágiles” y los “dúctiles” se
9
Entre las referencias sobre la fractura frágil se pueden mencionar:
H. Tada y P. C. Paris, The Stress Analysis of Cracks Handbook, 2a. ed., Paris Productions, St. Louis, 1985.
D. Broek, Elementary Engineering Fracture Mechanics, 4a. ed., Martinus Nijhoff, Londres, 1985.
D. Broek, The Practical Use of Fracture Mechanics, Kluwar Academic Pub., Londres, 1988.
David K. Felbeck y Anthony G. Atkins, Strength and Fracture of Engineering Solids, Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, N. J., 1984.
Kåre Hellan, Introduction to Fracture Mechanics, McGraw-Hill, Nueva York, 1984.
10
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BS 5447: 1977 y ASTM E399-78.
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PARTE DOS
Prevención de fallas
analiza de manera activa en la actualidad, pero no hay disponibles criterios de diseño exactos
para estos materiales.
Fractura cuasi estática
Muchos de nosotros hemos tenido la experiencia de observar la fractura frágil, ya sea el
rompimiento de una pieza de hierro fundido, en un ensayo a la tensión o en la fractura por
torcedura de una pieza de tiza de pizarrón. Sucede tan rápido que se puede considerar que es
instantánea, es decir, la sección transversal simplemente se parte. Algunos de nosotros hemos
patinado sobre un estanque congelado en primavera y, sin que haya nadie cerca de nosotros,
hemos escuchado un ruido de agrietamiento, y nos paramos para observar. El ruido se debe
al agrietamiento. Las grietas se mueven lo suficientemente lento para verlas extenderse. El
fenómeno no es instantáneo, puesto que se necesita cierto tiempo para alimentar la energía de
la grieta desde el campo de esfuerzo hasta la grieta para que ésta se propague. La cuantificación de esto es importante para entender el fenómeno “a pequeña escala”. A gran escala, una
grieta estática puede ser estable y no se propagará. Determinado nivel de carga provoca que
la grieta sea inestable y se propague hasta provocar la fractura.
La base de la mecánica de la fractura fue establecida en un inicio por Griffith en 1921
mediante el empleo de cálculos del campo de esfuerzo de una imperfección elíptica en una
placa, desarrollados por Inglis en 1913. En el caso de una placa infinita cargada mediante un
esfuerzo uniaxial σ, el cual se aplica como en la figura 5-22, el esfuerzo máximo ocurre en
(±a, 0) y está dado por
(σy )máx = 1 + 2
a
σ
b
(5-33)
Observe que cuando a = b, la elipse se convierte en un círculo y la ecuación (5-33) proporciona una concentración del esfuerzo de 3. Esto coincide con el resultado bien conocido de una
placa infinita con un orificio circular (vea la tabla A-15-1). Para una grieta delgada, b/a → 0, y
la ecuación (5-34) predice que (σy)máx → ∞. Sin embargo, a un nivel microscópico, una grieta
infinitamente delgada es una abstracción hipotética que es físicamente imposible, y cuando
ocurre la deformación plástica, el esfuerzo será finito en la punta de la grieta.
Griffith mostró que el crecimiento de la grieta ocurre cuando la velocidad de liberación
de energía de la carga aplicada es mayor que la velocidad de la energía del crecimiento de la
grieta. El crecimiento de la grieta puede ser estable o inestable. Este último caso ocurre cuando la velocidad de cambio de liberación de energía en relación con la longitud de la grieta es
igual o mayor que la velocidad de cambio de la energía del crecimiento de la grieta. El trabajo
experimental de Griffith se restringió a los materiales frágiles, en particular el vidrio, que en
gran medida confirmó su hipótesis de la energía superficial. Sin embargo, para los materiales
dúctiles, se encontró que la energía necesaria para realizar trabajo plástico en la punta de la
grieta es mucho más crucial que la energía superficial.
Figura 5-22
y
σ
b
x
a
σ
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CAPÍTULO 5
Fallas resultantes de carga estática
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Figura 5-23
Modos de propagación de
grieta.
Modo I
Modo II
Modo III
Modos de grieta y factor de intensidad del esfuerzo
Existen tres modos de la propagación de la grieta, como se muestra en la figura 5-23. Un
campo de esfuerzo en tensión da lugar al modo I, el modo de propagación de la grieta en
apertura, como se muestra en la figura 5-23a. En la práctica, éste es el modo más común. El
modo II es el de deslizamiento, que se debe a la cortante en el plano, que puede verse en la
figura 5-23b. El modo III es el de desprendimiento, el cual surge de una cortante fuera del
plano, como se muestra en la figura 5-23c. También pueden ocurrir combinaciones de estos
modos. Como el modo I es el más común e importante, en el resto de esta sección se considerará sólo dicho modo.
Considere una grieta de modo I de longitud 2a en la placa infinita de la figura 5-24. Utilizando funciones de esfuerzo complejas, se ha demostrado que el campo de esfuerzo sobre
un elemento dx dy en la vecindad de la punta de la grieta está dado por
σx = σ
a
θ
θ
3θ
cos
1 − sen sen
2r
2
2
2
(5-34a)
σy = σ
a
θ
θ
3θ
cos
1 + sen sen
2r
2
2
2
(5-34b)
τx y = σ
a
θ
θ
3θ
sen cos cos
2r
2
2
2
(5-34c)
0
ν(σ x + σ y )
σz =
Figura 5-24
(para el esfuerzo plano)
(para la deformación plana)
(5-34d)
y
σ
Modelo de grieta de modo I.
dx
dy
r θ
x
a
σ
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234
PARTE DOS
Prevención de fallas
El esfuerzo σy cerca de la punta, con θ = 0, es
σ y |θ=0 = σ
a
2r
(a)
Como en el caso de la grieta elíptica, se observa que σy|θ=0 → ∞ cuando r → 0, y de nuevo el
concepto de un esfuerzo infinito en la punta de la grieta es inapropiado. Sin embargo, la can√
√
tidad σy|θ=0 2r = σ a , permanece constante cuando r → 0. Una práctica común es definir
un factor K llamado factor de intensidad del esfuerzo dado por
√
K = σ πa
(b)
√
donde las unidades son MPa m o kpsi√p
u
lg. Como se trata de una grieta del modo I, la
ecuación (b) se escribe como
√
K I = σ πa
(5-35)
El factor de intensidad del esfuerzo no debe confundirse con los factores de concentración de
esfuerzo estático Kt y Kts definidos en las secciones 3-13 y 5-2.
Así, las ecuaciones (5-34) pueden reescribirse como
θ
θ
3θ
KI
cos
1 − sen sen
σx = √
2
2
2
2πr
(5-36a)
θ
θ
3θ
KI
cos
1 + sen sen
σy = √
2
2
2
2πr
(5-36b)
θ
θ
3θ
KI
sen cos cos
τx y = √
2
2
2
2πr
(5-36c)
σz =
0
ν(σ x + σ y )
(para el esfuerzo plano)
(para la deformación plana)
(5-36d)
El factor de intensidad del esfuerzo es una función de la geometría, el tamaño y la forma
de la grieta, y el tipo de carga. Para diferentes cargas y configuraciones geométricas, la
ecuación (5-35) puede escribirse como
√
(5-37)
K I = βσ πa
donde β es el factor de modificación de la intensidad del esfuerzo. Las tablas para β están
disponibles en la literatura de las configuraciones básicas.11 En las figuras de la 5-25 a la 5-30
se presentan algunos ejemplos de β de propagación de grieta del modo I.
Tenacidad a la fractura
Cuando la magnitud del factor de intensidad del esfuerzo del modo I alcanza un valor crítico,
KIc, se inicia la propagación de la grieta. El factor de intensidad del esfuerzo crítico KIc es
una propiedad del material que depende del material, del modo de grieta, del procesamiento
11
Vea, por ejemplo:
H. Tada y P. C. Paris, The Stress Analysis of Cracks Handbook, 2a. ed., Paris Productions, St. Louis, 1985.
G.C. Sib, Handbook of Stress Intensity Factors for Researchers and Engineers, Institute of Fracture and Solid
Mechanics, Lehigh University, Bethlehem, Pa., 1973.
Y. Murakami, ed., Stress Intensity Factors Handbook, Pergamon Press, Oxford, U. K., 1987.
W. D. Pilkey, Formulas for Stress, Strain, and Structural Matrices, 2a. ed., John Wiley & Sons, Nueva York,
2005.
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CAPÍTULO 5
Figura 5-25
Grieta transversal excéntrica
en una placa a tensión longitudinal; las curvas continuas
son para la punta de la grieta
en A; las curvas discontinuas
son para la punta de la grieta
en B.
2.2
Fallas resultantes de carga estática
235
A A
σ
2.0
2a
A
A
B
d
1.8
2b
β 1.6
σ
0.4
1.4
d兾b = 1.0
B
0.2
B
0.4
1.2
0.2
1.0
Figura 5-26
Placa sometida a tensión
longitudinal con una grieta en
el borde; la curva continua
no tiene restricciones para la
flexión; la curva discontinua
se obtuvo agregando restricciones a la flexión.
0
0.2
0.4
Relación a/d
0.6
0.8
0.6
0.8
7.0
σ
6.0
h
a
b
h
5.0
σ
β 4.0
3.0
h兾b = 0.5
1.0
2.0
1.0
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0
0.2
0.4
Relación a/b
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PARTE DOS
Prevención de fallas
Figura 5-27
Vigas de sección transversal
rectangular con grieta transversal en el borde.
2.0
h
a
M
M
F
1.8
h
a
F
2
F
2
l
l
1.6
β
Inclinación
1.4
l =4
h
1.2
l =2
h
1.0
0
Figura 5-28
0.2
0.4
Relación a/h
0.6
0.8
3
σ
Placa en tensión que contiene
un agujero circular con dos
grietas.
2a
r = 0.5
b
2
r
β
2b
r = 0.25
b
σ
1 r
=0
b
0
0
0.2
0.4
Relación a/b
0.6
0.8
del material, de la temperatura, de la relación de cargas y del estado de esfuerzo en el sitio
de la grieta (como el esfuerzo plano contra la deformación plana). El factor de intensidad del
esfuerzo crítico KIc también se denomina tenacidad a la fractura del material. La tenacidad a
la fractura de deformación plana es normalmente más baja que la del esfuerzo plano. Por esta
razón, el término KIc se define típicamente como la tenacidad a la fractura de deformación
plana, de modo I. La tenacidad
a la fractura KIc de los metales de ingeniería caen en el rango
√
20 ≤ KIc ≤ √
200 MPa ⋅ m; en el caso de los polímeros y las cerámicas de ingeniería, 1 ≤ KIc
≤ 5 MPa ⋅ m. Para un acero 4340, donde la resistencia a la fluencia√
debida al tratamiento
térmico está entre 800 y 1 600 MPa, KIc disminuye de 190 a 40 MPA ⋅ m.
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CAPÍTULO 5
Figura 5-29
4.0
Cilindro sometido a tensión
axial, con grieta radial de
profundidad, que se extiende
por completo alrededor de la
circunferencia del cilindro.
Fallas resultantes de carga estática
237
σ
ri兾ro = 0
a
a
3.0
0.1
β
0.4
σ
2.0
1.0
Figura 5-30
Cilindro sometido a presión
interna p, con una grieta
radial en la dirección longitudinal y profundidad a. Emplee
la ecuación (4-51) para determinar el esfuerzo tangencial
en r = r0.
0
0.8
ro
ri
0.2
0.4
0.6
Relación a兾(ro – ri)
0.8
3.4
a
3.0
pi
ri
ro
2.6
β 2.2
1.8
ri兾ro = 0.9
0.75
0.35
1.4
1.0
0
0.2
0.4
Relación a兾(ro – ri)
0.6
0.8
En la tabla 5-1 se muestran algunos valores típicos aproximados a temperatura ambiente
de KIc de varios materiales. Como se mencionó antes, la tenacidad a la fractura depende de
muchos factores y la tabla está destinada sólo a presentar algunas magnitudes típicas de KIc.
Para una aplicación real, se recomienda que el material especificado para la aplicación esté
certificado mediante procedimientos de ensayo estándar [vea la Norma E399 de la Sociedad
Americana de Pruebas y Materiales (ASTM, por sus siglas en inglés)].
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238
PARTE DOS
Prevención de fallas
Tabla 5-1
Material
K Ic, MPa√m
Sy, MPa
Valores de KIc de
algunos materiales de
ingeniería a temperatura
ambiente
Aluminio
2024
7075
7178
26
24
33
455
495
490
Titanio
Ti-6AL-4V
Ti-6AL-4V
115
55
910
1035
Acero
4340
4340
99
60
860
1515
52100
14
2070
Uno de los primeros problemas que enfrenta el diseñador es el de decidir si las condiciones existen, o no, en el caso de una fractura frágil. La operación a baja temperatura, esto es,
la operación por debajo de la temperatura ambiente, es un indicador clave de que la fractura
frágil es un modo de falla posible. Las tablas de temperaturas de transición de diferentes
materiales no se han publicado, posiblemente por la amplitud de la variación de los valores,
incluso en un mismo material. Por lo tanto, en muchas situaciones, las pruebas de laboratorio
pueden proporcionar la única pista para determinar la posibilidad de una fractura frágil. Otro
indicador clave de la posibilidad de fractura es la relación de resistencia a la fluencia sobre
la resistencia última. Un valor alto de la relación Sy/Su indica que sólo existe una capacidad
pequeña para absorber la energía en una región plástica y por ende existe una posibilidad de
fractura frágil.
La relación de resistencia sobre esfuerzo, KIc/KI, puede usarse como un factor de seguridad de la manera siguiente:
n=
KIc
KI
(5-38)
EJEMPLO 5-6
La cubierta de acero de un barco tiene 30 mm de espesor y 12 m de ancho. Está cargada con
un esfuerzo de tensión nominal uniaxial de 50 MPa. Se opera debajo de su temperatura de
transición de dúctil a frágil con KIc igual a 28.3 MPa. Si se presenta una grieta transversal
central de 65 mm de longitud, calcule el esfuerzo de tensión correspondiente a la falla catastrófica. Compare dicho esfuerzo con la resistencia a la fluencia de 240 MPa del acero.
Solución
En la figura 5-25, con d = b, 2a = 65 mm y 2b = 12 m, de modo que d/b = 1 y a/d =
65/12(103) = 0.00542. Como a/d es muy pequeña, β = 1, entonces,
√
√
K I = σ πa = 50 π(32.5 × 10−3 ) = 16.0 MPa m
De la ecuación (5-38),
n=
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KIc
28.3
=
= 1.77
16.0
KI
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CAPÍTULO 5
Fallas resultantes de carga estática
239
El esfuerzo correspondiente a la falla catastrófica es
σc =
Respuesta
KIc
28.3
σ =
(50) = 88.4 MPa
16.0
KI
La resistencia a la fluencia es 240 MPa, la falla catastrófica ocurre en 88.4/240 = 0.37, o a
37% de la fluencia. El factor de seguridad en esta circunstancia es KIc/KI = 28.3/16 = 1.77,
y no 240/50 = 4.8.
EJEMPLO 5-7
Una placa con un ancho de 1.4 m y una longitud de 2.8 m debe soportar una fuerza de tensión
en la dirección de 2.8 m de 4.0 MN. Los procedimientos de inspección sólo detectarán grietas
en los bordes a través del espesor mayores que 2.7 mm. En la aplicación se consideran las
dos aleaciones Ti-6AL-4V de la tabla 5-1, para las que el factor de seguridad deberá ser de
1.3; además, es importante un peso mínimo. ¿Cuál aleación debería usarse?
Solución
a) Primero se calcula el espesor que se requiere para resistir la fluencia. Como σ = P/wt, se
tiene t = P/wσ. En el caso de la aleación más débil, a partir de la tabla 5-1, Sy = 910 MPa.
Entonces,
σperm =
Sy
910
=
= 700 MPa
n
1.3
Así
t=
4.0(10)3
P
=
= 4.08 mm o mayor
wσperm
1.4(700)
Para la aleación más resistente, se tiene, de la tabla 5-1,
σperm =
1 035
= 796 MPa
1.3
Y, por lo tanto, el espesor es
Respuesta
t=
4.0(10)3
P
=
= 3.59 mm o mayor
wσperm 1.4(796)
b) Ahora se determinará el espesor que se requiere para evitar el crecimiento de la grieta.
Usando la figura 5-26, se tiene
2.8/2
h
=
=1
b
1.4
a
2.7
=
= 0.001 93
b
1.4(103 )
En correspondencia
a estas relaciones, se observa en la figura 5-26 que β = 1.1 y KI =
√
1.1σ πa.
√
115 103
KIc
KIc
=
σ =
n=
√ ,
√
KI
1.1σ πa
1.1n πa
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240
PARTE DOS
Prevención de fallas
√
De la tabla 5-1, KIc = 115 MPa m para la más débil de las dos aleaciones. Despejando para
σ, con n = 1, se obtiene que el esfuerzo de fractura es
σ =
115
1.1 π(2.7 × 10−3 )
= 1 135 MPa
el cual es mayor que la resistencia a la fluencia de 910 MPa, por lo cual es la base para tomar
la decisión sobre la geometría. En el caso de la aleación más fuerte Sy = 1 035 MPa, con
n = 1, el esfuerzo de fractura es
σ =
55
KIc
=
= 542.9 MPa
nKI
1(1.1) π(2.7 × 10−3 )
el cual es menor que la resistencia a la fluencia. El espesor t es
t=
4.0(103 )
P
= 6.84 mm o mayor
=
1.4(542.9/1.3)
wσperm
Este ejemplo demuestra que la tenacidad a la fractura KIc limita la geometría cuando se usa la
aleación más fuerte, motivo por el cual se requiere un espesor de 6.84 mm o mayor. Cuando
se usa la aleación más débil, la geometría está limitada por la resistencia a la fluencia, dando
un espesor de sólo 4.08 mm o mayor. Así, la aleación más débil conduce a una elección de
espesor más delgado y con peso más ligero, puesto que los modos de falla difieren.
5-13
Análisis estocástico12
La confiabilidad es la probabilidad de que los sistemas y componentes de máquinas realizarán
su función específica de manera satisfactoria, sin falla. Hasta este punto, el análisis de este
capítulo se ha restringido a relaciones deterministas entre el esfuerzo estático, la resistencia
y el factor de diseño. Sin embargo, el esfuerzo y la resistencia son estadísticos por naturaleza
y muy relacionados con la confiabilidad de los componentes sometidos a esfuerzo. Considere las funciones de densidad de probabilidad del esfuerzo y la resistencia, ␴ y S, que se
muestran en la figura 5-31a. Los valores medios del esfuerzo y la resistencia son μσ y μS,
respectivamente. Aquí, el factor “promedio” de seguridad es
n¯ =
μS
μσ
(a)
El margen de seguridad para cualquier valor del esfuerzo σ y de la resistencia S se define
como
m=S−σ
(b)
La parte promedio tendrá un margen de seguridad de m̄ = μS − μσ. Sin embargo, para la
superposición de las distribuciones que se muestran mediante el área sombreada de la figura
5-31a, el esfuerzo excede la resistencia, el margen de seguridad es negativo y se espera que
estas partes fallen. Esta área sombreada se llama interferencia de ␴ y S.
En la figura 5-31b se muestra la distribución de m, la cual depende obviamente de las
distribuciones del esfuerzo y la resistencia. La confiabilidad de que una parte se desempeñe
sin falla, R es el área de la distribución del margen de seguridad para m > 0. La interferencia
12
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Repase el capítulo 20 antes de leer esta sección.
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