Curvatura del espacio-tiempo
La curvatura del espacio-tiempo es una de
las principales consecuencias de la teoría de la
relatividad general de acuerdo con la cual la
gravedad es efecto o consecuencia de la
geometría curva del espacio-tiempo. Los
cuerpos dentro de un campo gravitatorio
siguen una trayectoria espacial curva, aun
cuando en realidad pueden estar moviéndose
según líneas de universo lo más "rectas"
posible a través de un espacio-tiempo curvado.
Las líneas más "rectas" o que unen dos puntos
con la longitud más corta posible en
determinado espacio-tiempo se llaman líneas
geodésicas y son líneas de curvatura mínima.
Esquema de la curvatura del espacio-tiempo.
Historia de las geometrías
no euclídeas
Las ideas básicas que llevaron a la noción de que el espacio físico es curvo y por tanto no euclídeo se deben
a los muchos intentos, a lo largo de varios siglos, para probar si el quinto postulado de Euclides podía
derivarse del resto de axiomas de la geometría euclídea. Este postulado afirma que fijada una recta y un
punto exterior a esta, existe una y sólo una recta paralela a la primera que pase por dicho punto.
Esos intentos culminaron con la constatación por Bolyai y Gauss de que este axioma o postulado de las
paralelas puede obviarse, y se pueden construir geometrías donde simplemente el postulado es falso, dando
lugar a las geometrías no euclídeas. Así, además del espacio plano o euclídeo, podemos construir otros
espacios de curvatura constante como:
El espacio abierto hiperbólico de Bolyai-Lobachevski, en el que existe no una, sino
infinitas rectas paralelas a una recta dada que pasan por un punto exterior prefijado.
El espacio cerrado elíptico de Riemann, en el que no existe ninguna recta paralela
exterior a otra dada que no se interseque.
Bases matemáticas
Las matemáticas para estudiar geometrías curvas totalmente generales se llamaron con el tiempo geometría
de Riemann, y fueron desarrolladas por Bernhard Riemann, discípulo de Gauss. Durante todo el siglo xix,
la teoría de espacios curvos fue considerada una abstracción matemática que nada tenía que ver con la
geometría del universo real. No fue hasta después de que Einstein desarrolló la teoría de la relatividad
especial que las geometrías no euclídeas se hicieron notorias también fuera de las matemáticas.
Espacio-tiempo
Dentro de la teoría de la relatividad, el espacio y el tiempo forman una variedad diferenciable, llamada
espacio-tiempo, que matemáticamente se trata como una variedad pseudoriemanniana de signatura (3,1) (ya
que existen tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal). Y la curvatura del espacio-tiempo viene
definida por el tensor de curvatura de Riemann.
Debe tenerse presente que el teorema de "incubación" de Whitney implica que un espacio-tiempo curvo de
cuatro dimensiones puede ser considerado como una hipersuperficie curva dentro del espacio euclídeo
.
Si se establecen limitaciones físicas sobre un espacio-tiempo físicamente admisible puede considerarse que
el espacio euclídeo en el que puede "incubarse" dentro de un espacio euclídeo de dimensión menor. Por
ejemplo, en la teoría relativista de la gravitación de Anatoli Logunov el espacio-tiempo puede incluirse en
.
Ejemplos
El campo gravitatorio solar viene dado de
manera aproximada por la métrica de
Schwarzschild, que a distancias muy grandes
se aproxima a la geometría plana del espacio
de Minkowski. La figura de la derecha muestra
aproximadamente el plano de la eclíptica del
sistema solar modelizado mediante la métrica
de Schwarzschild; una órbita planetaria es una
curva cuasi-elíptica alrededor del centro de
dicha eclíptica.
Midiendo el espacio-tiempo
curvo
Una representación del paraboloide de Flamm, cuya
curvatura geométrica coincide con la del plano de la
eclíptica o ecuatorial de una estrella esféricamente
simétrica.
Gauss había mostrado que pueden existir otras geometrías no-euclídeas, lo cual sugería que la geometría
real del espacio no tenía por qué ser euclídea. Si la geometría del espacio no fuera euclídea habría ciertas
consecuencias medibles; por ejemplo, si un físico pone una marca, y un cartógrafo permanece a una cierta
distancia y se mide su longitud por triangulación basada en la geometría euclídea, entonces no está
garantizado que sea dada la misma respuesta si el físico porta la marca consigo y mide su longitud
directamente.
Por supuesto, para una marca no podría medirse en la práctica la diferencia entre las dos medidas, pero
existen medidas equivalentes que deben detectar la geometría no euclidiana del espacio-tiempo
directamente. Por ejemplo, el experimento de Pound-Rebka (1959) detectó el cambio en la longitud de onda
de la luz de una fuente de cobalto surgiendo por 22.5 metros contra la gravedad en un local del Laboratorio
de Física Jefferson en la Universidad de Harvard, y la cadencia de un reloj atómico en un satélite GPS
alrededor de la Tierra tiene que ser corregida por efecto de la gravedad.
Véase también
Espacio-tiempo
Tensor de curvatura
Geometría no euclidiana
Bibliografía
Einstein, Albert (1916). «Los Fundamentos de la Teoría General de la Relatividad (Die
Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie)» (https://www.academia.edu/112192888/Ein
stein_1916_Los_Fundamentos_de_la_Teor%C3%ADa_General_de_la_Relatividad_Die_G
rundlage_der_allgemeinen_Relativitatstheorie_). Annalen der Physik: 769-822. (Texto en
español)
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