CURVATURA Y TORSIÓN
Unidad 1
Cálculo Vectorial – Prof. Consuelo Jara
Ingeniería
CURVATURA
Mide la rapidez con que la curva se aleja de su recta tangente en el
punto P.
P
Definición:
La curvatura de una curva se define como:
𝑑𝑇
𝑘=
𝑑𝑠
P
𝑑𝑇
CURVATURA 𝑘 =
𝑑𝑠
𝑑𝑇ൗ
𝑑𝑇
𝑑𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑘=
=
=
.
𝑑𝑠ൗ
𝑑𝑠
𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡
𝑑𝑡
Pero:
𝑑𝑠
= 𝛼′(𝑡)
𝑑𝑡
𝑇′(𝑡)
𝑘(𝑡) =
𝛼′(𝑡)
Teorema.- La curvatura de la curva dada por la función
vectorial F es:
K=
𝐹 ′ 𝑡 ×𝐹 ′′ 𝑡
Demostrar
𝐹′ 𝑡 3
EJERCICIOS
1. Sea α 𝑡 = 2cos 𝑡 , 2sen 𝑡 , 𝑡 ∈ [0,2𝜋] hallar 𝑘(𝑡)
2. Hallar la curvatura de α 𝑡 = 1,2 + 𝑡 4,3 , 𝑡 ∈ 𝑅
3. Hallar la curvatura en cualquier punto de la curva:
𝑥 = 3𝑡 − 𝑡 3
Γ: ൞ 𝑦 = 3𝑡 2 ; 𝑡 ∈ 𝑅
𝑧 = 3𝑡 + 𝑡 3
4. Hallar la curvatura de la parábola y = 𝑥 2 en los puntos (0,0) ; (1,1)
y (2,4)
5. Sea 𝑦 = 𝑒 𝑥 analice en que punto tiene la curva su máxima
curvatura. ¿Qué ocurre a la curvatura cuando x tiende al infinito?
TORSIÓN
B(s)
B(s)
P
P
Proposición:
Sea 𝛼 una curva regular de parámetro t, la torsión se define como:
< 𝛼 ′ 𝑡 × 𝛼 ′′ 𝑡 , 𝛼′′′(𝑡) >
𝜏=
𝛼 ′ 𝑡 × 𝛼 ′′ 𝑡 2
EJERCICIO
Hallar la torsión de la curva Γ que resulta de la intersección de la
superficie 𝑧 = 2𝑥 2 𝑦, con la superficie 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 cuando 𝑡 = 1.
𝑡
2𝑡 3
𝛼 𝑡 = (𝑡, 2
,
)
2𝑡 − 1 2𝑡 2 − 1