КАРАГАНДИНСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Л.М. Мустафина, А.Р. Яруллина
Индивидуальные задания по высшей
математике для самостоятельной работы
студентов технических специальностей.
Часть 1. (Определители. Матрицы. Системы линейных
уравнений. Элементы векторного анализа. Элементы
аналитической геометрии)
Караганда 2021
0
КАРАГАНДИНСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Л.М. Мустафина, А.Р. Яруллина
Индивидуальные задания по высшей
математике для самостоятельной работы
студентов технических специальностей. Часть
1. (Определители. Матрицы. Системы линейных
уравнений. Элементы векторного анализа. Элементы
аналитической геометрии)
Утверждено Ученым советом университета
в качестве учебного пособия
Караганда 2021
1
УДК 517.9(07)
ББК 22.17я7
М91
Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета
Рецензенты:
М.К. Рамазанов – доктор физико-математических наук, профессор
кафедры «Математический анализ и дифференциальные уравнения»
Карагандинского государственного университета им. Е.А. Букетова;
С.К. Тутанов - доктор технических наук, профессор кафедры
«Высшая математика» Карагандинского технического университета, член
Редакционно-издательского совета университета
К.М. Ахметов – кандидат технических наук, старший преподаватель
кафедры
«Высшая
математика»
Карагандинского
технического
университета;
Мустафина Л.М.
М91 Индивидуальные задания по высшей математике для
самостоятельной работы студентов технических специальностей. Часть 1.
(Определители. Матрицы. Системы линейных уравнений. Элементы
векторного анализа. Элементы аналитической геометрии): Учеб. пособие /
Л.М. Мустафина, А.Р. Яруллина; Карагандинский технический
университет. – Караганда: Изд-во КарТУ, 2021. – 122с.
ISBN
В пособии приведены методы решения задач по линейной алгебре, векторной
алгебре и аналитической геометрии. Подготовлены варианты индивидуальных
домашних заданий (31 вариант), что способствует организации индивидуальной работы
каждого студента и закрепить на практике основные положения лекционного курса.
Учебное пособие предназначено для проведения СРСП и СРС для студентов
технических специальностей.
УДК 517.9(07)
ББК 22.17я7
ISBN
© Карагандинский технический
университет, 2021
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………
5
Раздел 1. Определители …………………………………………
1.1. Вычисление определителей ……………………………………….
1.2. Свойства определителей …………………………………………...
Контрольные вопросы…………………………………………………..
Задания по теме «Определители» ……………………………………...
6
6
8
12
13
Раздел 2. Матрицы ………………………………………………
2.1. Матрицы. Основные определения…………………………………
2.2. Действия над матрицами …………………………………………
Контрольные вопросы…………………………………………………
Задания по теме «Матрицы»……………………………………………
25
25
25
31
32
Раздел 3. Системы линейных алгебраических уравнений…….
3.1. Решение систем по формулам Крамера …………………………
3.2. Решение систем матричным способом ……………………………
3.3. Решение систем методом Гаусса …………………………………
Контрольные вопросы ………………………………………………….
Задания по теме «Системы линейных алгебраических уравнений»…
48
48
50
51
54
55
Раздел 4. Элементы векторного анализа……………………….
4.1. Векторы, определения………………………………………………
4.2. Линейные операции над векторами ……………………………….
4.3. Базис, координаты вектора ………………………………………...
4.4. Скалярное произведение векторов ………………………………...
4.5. Векторное произведение векторов ..................................................
4.6. Смешанное произведение векторов ………………………………
Контрольные вопросы ………………………………………………….
Задания по теме «Элементы векторного анализа» ……………………
67
67
67
70
72
75
77
80
81
Раздел 5. Элементы аналитической геометрии ……………….
5.1. Прямая на плоскости ……………………………………………….
5.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости .....................
96
96
98
3
5.3. Прямая в пространстве ……………………………………………..
5.4. Плоскость …………………………………………………………...
5.5. Прямая и плоскость в пространстве ……………………………….
Контрольные вопросы ………………………………………………….
Задания по теме «Элементы аналитической геометрии» …………….
100
100
101
103
104
Рекомендуемая литература …………………………….………..
122
4
Введение
Для студентов технических специальностей математика составляет
базовую
науку,
определяющую
фундамент
изучения
специальных
дисциплин на старших курсах. При изучении математики важно сочетание
теоретических знаний с навыками применения этих знаний в решении
практических задач. Такое сочетание возможно только при активном
участии
студента
в
процессе
обучения.
Помимо
познавательной
значимости, математика, безусловно, оказывает влияние на интеллект
студента в целом, помогает выработать навыки самостоятельной работы,
так необходимые студенту и будущему специалисту для работы по
выбранной специальности.
Данный
сборник
индивидуальных
заданий,
включающий
достаточное количество – 31 вариант - по каждому заданию, может помочь
преподавателям и студентам в организации работы СРС и СРСП по теме:
«Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии». Прежде чем
рассматривать вопросы решения систем линейных алгебраических
уравнений, приведены определения определителей, матриц, их свойств и
методов применения для решения задач линейной алгебры. Для освоения
вопросов аналитической геометрии необходимо было познакомиться с
понятием вектора и правилам действия над векторами. Особенностью
данного учебного пособия является то, что приведенные определения, а
также свойства рассматриваемых понятий и многочисленные примеры
решения задач
дают возможность студентам самостоятельно изучать
предложенные в этом учебном пособии разделы высшей математики. По
решению ряда задач сформулированы некоторые полезные рекомендации.
5
Раздел 1. Определители
1.1. Вычисление определителей
По определению, определители второго порядка находят по формуле
a11 a12
= a11 a 22 −a12  a21 .
a21 a22
Задание. Вычислить определители второго порядка:
Пример 1.
−1 5
= −1  7 − 5  (− 2) = −7 + 10 = 3
−2 7
Пример 2.
3 −3
= 3  4 − (− 3)  6 = 12 + 18 = 30
6 4
Определители третьего порядка находят по формуле
a11
a 21
a31
a12
a 22
a32
a13
a 23 =
a33
= a11 a 22 a33 + a12  a 23  a31 + a13 a 21 a32 − (a13  a 22  a31 + a12 a 21 a33 + a11  a 23  a32 )
Вычисления проводят по схеме:
Пример 3. Вычислить определители третьего порядка:
2 −5 1
3 4 − 1 = 2  4  (− 3) + (− 5)  (− 1)  6 + 3  2  1 −
6 2 −3
− (6  4  1 + 3  (− 5)  (− 3) + 2  (− 1)  2) = −24 + 30 + 6 − (24 + 45 − 4) = 12 − 65 = −53
Для удобства можно вычислять определитель, дописывая справа
первый и второй столбец, после чего элементы выбираются параллельно
главной диагонали и параллельно второй диагонали:
= −24 + 30 + 6 − (24 + 45 − 4) = 12 − 65 = −53
6
Пример 4. Найти миноры M 13 , M 21, M 32 элементов определителя
4 1 −3
1 1 −1 .
8 3 −6
Для нахождения минора M13 в определителе найдем элемент a13 = −3 это элемент, стоящий в первой строке и в третьем столбце:
вычеркиваем строку и столбец, где расположен
этот элемент, в результате получаем минор этого
элемента: M 13 =
1 1
= 3 − 8 = −5
8 3
По аналогии находим остальные миноры:
Алгебраическим
M 21 =
1 −3
= −6 − (− 9) = −6 + 9 = 3
3 −6
M 32 =
4 −3
= −4 − (− 3) = −4 + 3 = −1
1 −1
дополнением Aij
элемента
aij определителя
называется минор этого элемента, взятого со знаком (+), если сумма
номеров строки и столбца четная, и со знаком (-), если эта сумма нечетная,
то есть Aij = (−1) i + j M ij
Пример 5.
Для рассмотренного выше определителя найти
алгебраические дополнения A13 , A21, A32 , A12 элементов определителя.
В задании 3 найдены миноры M 13 , M 21, M 32 , пользуясь полученными
значениями, имеем:
A13 = +M 13 = −5 , выбирается знак + , так как сумма номеров строки и
столбца 1+3=4 – четная.
A21 = −M 21 = −3 , выбирается знак - , так как сумма номеров строки и
столбца 2+1=3 – нечетная.
A32 = −M 32 = −(− 1) = 1 , выбирается знак - , так как сумма номеров строки
и столбца 3+2=5 – нечетная.
Найдем A12 = − M 12 = −
1 −1
= −(− 6 − (− 8)) = −(− 6 + 8) = −2.
8 −6
7
1.2. Свойства определителей
Свойство 1. При транспонировании определителя, то есть замены
строк на столбцы, величина определителя не меняется:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1 a1
c 2 = b1
c3 c1
a2
b2
c2
a3
b3 .
c3
Это свойство говорит о равносильности строк и столбцов определителя.
Свойство 2. Общий множитель всех элементов какой-либо строки
(или какого-либо столбца) можно выносить за знак определителя:
  a1
  a2
  a3
b1
b2
b3
c1
a1
c2 =   a2
c3
a3
b1
b2
b3
c1
c2 .
c3
Свойство 3. Если одна строка или столбец состоит из нулей, то такой
определитель равен нулю:
0 b1
0 b2
0 b3
c1
c 2 = 0.
c3
Свойство 4. При перестановке двух строк
определитель меняет знак на противоположный:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
b1
c 2 = − b2
c3
b3
a1
a2
a3
(или
столбцов)
c1
c2 .
c3
Свойство 5. Если определитель имеет две одинаковые строки или два
одинаковых столбца, то он равен нулю:
a1
a2
a3
a1
a2
a3
c1
c 2 = 0.
c3
Свойство 6. Если в определителе две строки или два столбца
пропорциональны, то он равен нулю:
  a1 a1 c1
  a 2 a 2 c 2 = 0.
  a3 a3 c3
Свойство 7. Если в определителе элементы некоторой строки или
столбца представляют собой сумму элементов, то этот определитель
можно представить в виде суммы определителей:
8
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1 + f 1
a1
c2 + f 2 = a2
c3 + f 3 a3
b1
b2
b3
c1
a1
c2 + a2
c3 a3
b1
b2
b3
f1
f2 .
f3
Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой
строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого
столбца (или другой строки), умноженные на общий множитель, то
величина определителя при этом не изменится:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1 +   b1
a1
c 2 +   b2 = a 2
c3 +   b3 a 3
b1
b2
b3
c1
c2 .
c3
Определение 2. Линейной комбинацией элементов х1, х2,…, хп
называется выражение вида: α1х1+ α2х2+…+ αпхп, где α1,α2,…, αп–
действительные числа.
Свойство 9. Если в определителе элементы некоторой строки или
столбца представляют собой линейную комбинацию соответствующих
элементов других строк или столбцов, то определитель равен нулю:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
a1 + b1
 a 2 +  b 2 = 0.
a 3 + b3
Определение 3. Минором M ij элемента aij определителя называется
определитель, полученный из данного путем вычеркиванием 𝑖 − й строки
и j − го столбца на пересечении которых находится элемент aij .
Определение 4. Алгебраическим дополнением Aij
элемента aij
определителя называется минор этого элемента, взятого со знаком (+),
если сумма номеров строки и столбца четная, и со знаком (-), если эта
сумма нечетная, то есть Aij = ( −1) i+ j M ij
Свойство 10. Определитель равен сумме произведений элементов
строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения этих
элементов:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2 = a1 A11 + a2 A21 + a3 A31.
c3
Свойство 11. Сумма произведений элементов строки или столбца
определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов
другой строки или столбца равна нулю:
9
b1
b1 A11 + b2 A21 + b3 A31 = b2
b3
b1
b2
b3
c1
c2 = 0.
c3
Пример 6. На основании каких свойств определители равны нулю:
2 0 −4
а) 3 0 5 = 0
1 0 −1
3 2 −4
б) 0 − 5 7 = 0
3 2 −4
4 5 2
в) − 2 0 − 1 = 0
8 2 4
2 5 −3
г) 4 − 1 5 = 0
−1 2 − 3
Решение. а) в силу свойства 3: Если одна строка или столбец состоит
из нулей, то такой определитель равен нулю. В заданном определителе
второй столбец состоит из нулей,
б) в силу свойства 5: Если определитель имеет две одинаковые строки
или два одинаковых столбца, то он равен нулю. В заданном определителе
имеется 2 одинаковые строки – первая и третья,
в) в силу свойства 6: Если в определителе две строки или два столбца
пропорциональны, то он равен нулю. В определителе пропорциональны
соответствующие элементы 1 и 3 столбца,
г) в силу свойства 9: Если в определителе элементы некоторой строки
или столбца представляют собой линейную комбинацию соответствующих
элементов других строк или столбцов, то определитель равен нулю.
2 5 −3
2 5
2−5
4 − 1 5 = 4 − 1 4 − (− 1) = 0
−1 2 − 3 −1 2
−1− 2
В этом определителе элементы третьего столбца получены путем
вычитания из элементов 1 столбца соответствующих элементов 2 столбца,
то есть имеет место комбинация элементов: III=I-II.
Отдельно следует остановиться на определителях треугольного вида.
3 −1 5
Пример 7. Вычислить определитель 0 − 5 2
0 0 −4
3 −1 5
0 − 5 2 = 3  (− 5)  (− 4 ) + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 60.
0 0 −4
Определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих
на главной диагонали. Поэтому при вычислении определителей, можно
предварительно привести их к треугольному виду, а затем вычислить.
10
2 −1 3
Пример 8. Вычислить определитель 0 3 2 , предварительно
−4 −4 −5
привести его к треугольному виду
2  2 −1 3
2 −1 3 2 −1 3
0
3
2 = 2  0 3 2 = 0 3 2 = 30
−4 −4 −5
0 −6 1 0 0 5
Пример 9. Вычислить определитель, разлагая его по элементам 3
2
3 4
строки: 7 − 5 1
−4 2 1
В силу свойства 10 определителей можно записать разложение по 3
строке в виде:
2
3 4
7 − 5 1 = −4  А31 + 2  А32 + 1  А33
−4 2 1
Найдем алгебраические дополнения
A31 = + M 31 =
3 4
= 3 − (− 20) = 3 + 20 = 23.
−5 1
A33 = + M 33 =
2 3
= −10 − 21 = −31.
7 −5
A32 = − M 32 = −
2 4
= −(2 − 28) = 26.
7 1
Получим
2
3 4
7 − 5 1 = −4  А31 + 2  А32 + 1  А33 = −4  23 + 2  26 + 1  (− 31) = −92 + 52 − 31 = −71 .
−4 2 1
Это свойство используется для вычисления определителей четвертого,
пятого порядков и выше. А именно, с помощью такого разложения можно
свести вычисление определителя к вычислению определителей более
низкого порядка.
Пример 10. Вычислить определитель четвертого порядка
5
3 −1 0
2
0 −3 6
4
1 −5 2
−3 −4 0 −2
Для облегчения вычисления выберем строку или столбец, содержащие
наибольшее число нулевых элементов, в нашем определителе в 3 столбце
11
имеется 2 нуля. Будем вычислять определитель, применяя разложение по
элементам 3 столбца:
5
3 −1 0
2
0 −3 6
= 0  А13 − 3  А23 − 5  А33 + 0  А43 .
4
1 −5 2
−3 −4 0 −2
Найдем алгебраические дополнения А23 , А33 , остальные находить не
нужно, так как при вычислении они будут умножаться на 0.
3 −1 5
A23 = − M 23 = − 4
1
2 = −(− 6 + 6 − 80 − (− 15 + 8 − 24)) = −(− 80 + 31) = 49 ,
−3 −4 −2
3 −1 5
A33 = + M 33 = 2
0
6 = 0 + 18 − 40 − (0 + 4 − 72) = −22 + 68 = 46 .
−3 −4 −2
В результате, получим
5
3 −1 0
2
0 −3 6
= 0  А13 − 3  А23 − 5  А33 + 0  А43 = −3  49 − 5  46 = −147 − 230 = −377.
4
1 −5 2
−3 −4 0 −2
Контрольные вопросы
1. Правила вычисления определителей второго и третьего порядка.
2. Минор M ij элемента aij определителя.
3. Алгебраическое дополнение Aij элемента aij определителя.
4. Теорема о равноправии строк и столбцов.
5. Разложение определителя по элементам i - й строки.
6. Разложение определителя по элементам j - го столбца.
7. Свойства определителей.
8. Определитель треугольного вида.
12
Задания по теме «Определители»
Задание 1. Вычислить определители второго порядка
1.1.
2 4
−1 5
1.2.
3
1
−2 −3
1.3.
−4 −3
6
4
1.4.
−5 6
−3 7
1.5.
4 −5
−6 4
1.6.
8 −2
3 −5
1.7.
7
3
− 4 −1
1.8.
−9 4
3 5
1.9.
7
2
−4 −5
1.10.
0
7
−4 −2
1.11.
1
8
−6 −7
1.12.
5 −4
7 8
1.13.
−9 5
4 3
1.14.
5 −2
−7 8
1.15.
8
6
− 3 −1
1.16.
4
9
−6 −8
1.17.
−5 −4
−3 7
1.18.
5 2
9 −6
1.19.
−8 3
7 9
1.20.
−2 8
5 −1
2 −7
1.21.
−6 −3
1.22.
−4 6
−7 −9
1.23.
8 −2
−5 5
1.24.
5
6
−4 −3
−7 2
1.28.
−9 3
1.25.
3 9
7 −4
1.26.
7 −5
−6 4
1.27.
−8 6
5 −1
1.29.
4 −7
−4 −2
1.30.
−5 7
6 −5
1.31.
−6 −9
4 −2
Задание 2. Решить уравнения
2.1. а)
х х +1
=0
− 4 х +1
б)
cosx − sin3x
=0
sinx cos3x
2.2. а)
x x+3
=0
−5 x+3
б)
sin x sin 4 x
=0
cos x cos 4 x
2.3. a)
x+2 −x
=0
x+2 3
б)
cos 5 x sin x
=1
sin 5 x cos x
2.4. a)
x −1 − 4
=0
x −1 x
б)
sin 5 x − sin 2 x
= −1
cos 5 x − cos 2 x
б)
− cos 4 x sin x
= −1
− sin 4 x cos x
б)
cos 2 x − sin 2 x 1
=
cos 3x sin 3x
2
x
−5
x
2.6. a)
−3
2.5. a)
x−3
=0
x−3
2x + 4
=0
2x + 4
13
2.7. a)
x + 3 −1
=0
2x + 6 x
2.8. a)
9 3x − 6
=0
x 2− x
2.9. a)
4x 2x − 1
=0
− 16 4 x − 2
б)
cos 2 x sin 4 x
=0
1
1
2.10. a)
x − 2 x2 − 4
=0
2
4x
б)
cos 4 x sin 2 x
=0
cos 2 x
1
x2 + 1 2x
=0
2.11. a)
x+3 4
sin 6 x sin 2 x
2
=
cos 6 x cos 2 x
2
cos 7 x sin 3x
= −1
б)
sin 7 x − cos 3x
б)
4 sin x cos 2 x
=0
б)
1
cos x
2.12. a)
3x + 2 x
=0
9
3x
2.13. a)
8x + 2 4 x + 1
=0
4
x
2.14. a)
x
1 − 3x
=2
2 x + 1 1 − 5x
б)
4 cos x
2
=0
− 2 cos 5 x 1
1 − x2 2 + x
=0
2.15. a)
x2 − 1 − 3
б)
cos 5 x sin 3x 1
=
− sin 5 x cos 3x 2
2.16. a)
x + 3 4x
=0
2 x + 6 16
б)
sin 3x cos x
= −1
cos 3x sin x
2.17. a)
x −1 x
= −11
x+2 2
б)
cos x sin x
= −1
cos 5 x sin 5 x
2.18. a)
x−2 x
= −x
3− x 4
б)
2.19. a)
4x + 3 x + 1
=4
6
x
2.20. a)
x−2 x−2
=0
3x 2 x − 1
4 sin x cos 2 x
=0
2
cos x
2 cos x
4
=0
б)
1
4 sin x
sin 4 x cos 4 x
=1
б)
sin x cos x
2.21. a)
x x−5
=0
3 x−5
б)
sin x
0,5
=1
− 1 2 cos x
2.22. a)
x+4 x
=0
6
2x
б)
sin x cos x 1
=
cos x sin x 2
sin 4 x cos 2 x
=0
cos 4 x sin 2 x
2 sin 3x cos 6 x
=0
б)
1
cos 3x
б)
14
2.23. a)
x
x+2
=0
x−3
4
б)
cos 2 x sin 2 x 1
=
cos x sin x
2
2.24. a)
3 x−7
=9
2 x2 − 2
б)
sin 3x sin x
=1
cos 3x cos x
2.25. a)
8
x+4
б)
2 sin x cos x
=1
2 cos 2 x sin 2 x
2.26. a)
4x − 1 5
=0
3− x x
2.27. a)
3x − 2 9
= −12
2− x x
2.28. а)
2x − 4 x − 2
=0
6
x
2.29. a)
3x + 1 x
=0
9x + 3 9
x
= −28
x−2
3 sin x
−3
cos x
б)
− sin x
cos 4 x
б)
sin 4 x
б)
1
=0
cos x
− sin x 1
=
cos x
2
cos 6 x
=1
sin 6 x
б)
sin 2 x cos 3x
=0
cos 2 x sin 3x
б)
sin 2 x cos x
=1
cos 2 x sin x
б)
2 sin 3x cos 3x
=1
2 cos 2 x sin 2 x
3.1. a)
х 2х −1
 −3
х х −3
б)
2х
1
0,5
0
4
3.2. a)
x−3
2
0
x
x+4
б)
3x
1
1
9 0
27
3.3. а)
x−5 4
 −12
2
x
б)
4x
4
1
0
0,25
3.4. a)
x−2 x
6
3
x
б)
5x 2
0
50 4
3.5. a)
x+3
x
1
2
x −1
б)
6x 6
0
36 1
3.6. а)
x−2
x
3
3
x +1
б)
2 x −1
2
1− x 4
=0
2x − 2 x
x + 2 1− x
=1
2.31. a)
3
2x
2.30. a)
Задание 3. Решить неравенства
15
1
0
0,25
3.7. a)
3.8. a)
4x − 3
x
 −12
2
x+3
2x + 1
x
 −8
4
x−2
3.9. a)
5x − 4
x
 −1
−1
x +1
3.10. a)
3x + 2
x
 −4
−2
x−3
3.11. а)
x−3
6
9
− x 2x − 1
x
x+3
9
3.12. а)
2x − 5
2
4
x−2
8
3.13 a)
3x + 5
x
x
x +1
0
3.14 a)
4x − 3
2
x
1
0
3.15. a)
5x − 6 x
x x −1
 10
3.16. a)
6 x+3
3x − 2
6
 −2
3.17. a)
1 − x 2x − 1
4x + 1 3
 −1
3.18. a)
3x + 2 x
3.19. a)
б)
5x − 3 4
0
2 x − 0,5 x
б)
0,5 x 2
0
0,25 1
1
 
 3
x +1
1
1
9
27
3.9.
0
б)
0,12 x +1 − 2
0
−5
1
б)
0,09 x
0,3
1
0
0,3
б)
0,25x
−1
− 0,5
0
0,125
б)
 1 
 
 27 
1
−
9
б)
б)
1
 
 16 
1
8
x
−
1
x
 1 
 
 36 
1
3 0
1
4 0
1
x
2
1
6
18
0
б)
4x 3
0
64 12
б)
2x 1
0
0,25 4
3x
б)
1
9
0,5 x
б)
1
б)
16
1
81  0
3
1
4 0
1
2
0,3 x 0,1
0
0,27 1
б)
б)
0,1x 1
0
1
10
100
б)
3x − 1 3
0
2
3
б)
6x
1
0,36
0
0,1x
6x
1
36
1 0
36
7x
1
7 0
3.20. a)
3 − 2x 2
0
5 x − 1 3x
3.21. a)
2x
6
0
2 − 4 x 1 − 5x
3.22 a)
2x − 3
3x
0
− 5 2x + 1
3.23. a)
x−7
1
0
5 − 7x x + 1
3.24. a)
4 − 3x 13
 −3
1− x x
3.25. а)
2x − 7 3
0
4 − 4x x
б)
3.26. a)
x 2x − 1
 −1
− 6 6x − 5
б)
3.27. a)
4x + 5 7
 −12
1− x x
3.28. a)
2x − 1 x + 2
0
2
3x
3.29. a)
x+2 1
0
x
x
x −1 1
0
x +1 1
б)
3.31. a)
x+3 2
0
x +1 x
1
1
4
0
1
1
343
1
3x
0
9
3 1
б)
1
5x
0
25
125 1
б)
4 x +3
−1
б)
1
 
 3
27
− 0,5
1
1
2 −x
2x
2
3.30. a)
x
1
 
4
1
16
б)
2
25 x
б)
17
1
3 0
1
1
4 1
1
8
0,2
1 0
125
Задание 4. Вычислить определитель
−1
2
1
1 −2 3
б) 2
0
2
−4 1 −5
1 − 2 −1
4.1. a) 0 2
2
3 2
5
1 −3 0
б) 4 1 − 1
0 2
5
2
4.2. a) 0
−3
2 3 −5
4.3. a) 0 − 2 4
2 1 −1
6
2 1
б) − 3 1 2
−1 − 2 4
5 4 −3
4.4. a) 2 0 − 1
0 3 4
−4 2
0
б) 1 − 1 − 1
−2 3
4
4 −3 2
4.5. a) 3 2 − 7
4 −2 0
−3 4 2
б) 2 − 1 1
0 −3 1
0 −5 1
4.6. a) 2 6 − 4
2 −2 3
−1 4 2
б) 3 − 3 0
1
5 4
3 −2 4
4.7. а) 0 − 2 − 2
1 −5 −3
4 −1 2
б) 3 2 1
0 −2 4
7 −1 0
4.8. a) 2 3 − 1
0 2 1
1 −4
2
б) 1
2
−5
4 − 10 1
2 − 3 −1
4.9. a) 0
5
5
−1 3
2
2 −1 − 3
б) 4 1
2
3 0
6
2 4 −5
4.10. a) 1 2 − 3
−4 0 1
6 −2 4
б) 5 − 4 1
−2 3 1
−7 2 3
4.11. a) 4 − 3 0
− 3 −1 3
−1 2 0
б) 3
4 1
5 −3 4
4 −3 0
4.12. a) − 1 − 2 3
2
1 −1
− 3 2 −1
б) − 2 4
3
1 −6 −7
0 4 2
4.13. a) 3 1 2
−2 4 1
3 −4 0
б) 2
1 −1
−2 1
3
4 −4 3
4.14. a) 0
2 1
−1 2 1
−5 2
3
б) 0 − 1 1
4 − 3 −1
3 −4 3
4.15. a) 2 3 − 1
7 2
1
−5 2 0
б) 3 − 1 2
−4 2 1
2 0 7
4.16. a) 4 − 3 1
2 −2 4
3 − 4 −1
б) 2 − 3 5
1 −1 − 6
0
2
4
4.17. a) − 1 4
7
2 −3 −4
6 −3 1
б) 0 − 1 − 5
2 4 −1
−4 3 2
4.18. a) 0 1 − 1
3 6 −5
4 −6 3
б) 2 3 − 5
8 0 −7
−1 5
9
4.19. a) 2 − 4 − 6
0
3
6
5
0
2
б) − 4 1
2
3 −1 −1
4.20. a) − 1
−3 −2
0
1
6 −5
−1 −1 3
б) 2 4 1
0
2 7
3 −3 1
4.21. a) 1 4
2
1 − 11 − 3
−1 0 2
б) 5 2 − 4
1 3 2
4 −4 2
4.22. a) 5 3 − 4
0 2
1
2 −7 5
б) − 3 1 2
−1 0 1
4
5
18
4
1
4
2 1 −3
4.23. a) 3 4 − 2
0 3 3
−1 4 2
б) 0 5 − 3
1 1 −2
2 1 −4
4.24. a) 0 1 2
−3 3 4
4 2 −2
б) 0 3 − 9
1 2 −5
4 −3 −2
4.25. a) 2 − 1 3
6 −4 1
0 2 −3
б) 1 4 − 1
2 3 1
−1 −1 4
4.26. a) 0 − 3 2
2
1 5
0
3 −5
б) 1 4
2
−1 −1 − 7
4 −3 1
4.27. a) 0
2 1
−1 4 2
0 −2 4
б) 1
3 −5
−2 1 −4
3 −1 1
4.28. a) − 4 2
0
2 −3 −4
−1 0 − 3
б) 4 − 2 5
1 −3 3
7 −2 2
4.29. a) − 3 1 4
2
0 −1
0 −2 5
б) − 1 1 − 3
− 3 1 −1
5 −4 1
4.30. a) − 2 6 − 3
1
4
0
1 − 16 − 2
б) − 3 − 2 4
−2 7
3
7 1 −2
4.31. a) 0 − 9 − 3
5 8
1
−2 2 −5
б) − 1 6 4
−3 2 0
Задание 5. Вычислить определитель, используя его разложение по
элементам i-строки или j-столбца
1 −1 2
5.1. 3 − 2 − 3
2 4
0
2 3 −4
5.4. 2 1 − 3
0 1 2
4 −2 1
5.2. 0 1 3 i=3
2 −1 5
2 6 −3
5.3. 1 2 − 4
0 2 1
j=3
i=1
4 5 −1
5.5. 6 − 4 2
2 1
4
j=1
−1 2 1
5.6. 0 7 3
2 1 5
i=2
i=3
−2 3
5
5.8. 1
2 −6
2 −1 4
j=3
0 3 2
5.9. − 4 5 7 i=2
1 2 −3
j=2
0 3 −5
5.11. 1 6 − 4
2 1 5
i=3
2
3 −8
5.14. − 4 1
5
−1 − 2 0
j=2
9 −5 4
5.7. 0 2 − 1
1 −3 2
2 −1 0
5.10. 3 1 2
5 −4 1
2 −1 5
5.13. − 6 4 3
2
1 7
2 −7 3
5.16. 4 2 − 6
1 0
4
j=2
4 −2 5
5.17. 2 − 2 3
1 −6 1
19
i=1
j=3
i=1
2 5 −4
5.12. 2 1 7
0 2 3
j=1
−4 2 −3
5.15. 1 0 4
2 1 5
i=2
7 1 3
5.18. 0 4 − 4
−6 2 1
j=1
4 −4 2
5.19. 5 6 − 7
0 3 −1
−2 −3 6
5.22. 2
3 4
−1 2 0
5.25.
−1 2 6
5 4 −3
2 0 5
−4 3 −5
5.28. 0 − 1 1
6
2
4
i=3
2 −1 3
5.20. 3 − 4 5
0 2 1
i=2
6 −7 0
5.23. 3 4 − 2
1 −2 5
i=1
−5 0
3
5.26. 2 − 1 − 4
1 −3 4
i=2
5.29.
1 8 −1
5.21. 0 2 1
3 4 2
j=2
i=1
6 −4 2
5.24. 0 51 − 1
2 1 −3
j=2
i=2
0 −3 7
5.27. − 1 2 4
−2 −5 3
j=3
−1 2 6
5.30. 5 4 − 3
2 0 5
i=3
j=3
−7 −4 1
−5 0
9
1
3 −2
j=2
3 −2 4
5.31. 6
0 − 1 j=1
−2 8
5
Задание 6. Доказать равенство, не раскрывая определителей
6.1. a)
3 2 −1
2 −2 −4 = 0
0 3
3
6.2. a)
4 2 −5
0 −3 2 = 0
4 −1 − 3
6.3. а)
−6 1
2
4
3 −1 = 0
2 − 4 −1
6.4. а)
3 − 2 −1
0 1
2 =0
4 −1 2
6.5. а)
−5 2 1
4 −3 2 = 0
−6 1 4
6.6. а)
3 −4 1
2 1 −5 = 0
5 −3 −4
6.7. a)
2 6 −5
3 −2 1 = 0
8 2 −3
б)
1 4 −2 1 4 −2
0 1
3 = 0 1 3
2 −1 4
2 1 10
б)
2 5 1
2 5 3
− 3 4 2 = − 3 4 −1
−5 2 6 −5 2 1
б)
4 1 −4 4 1 −4
2 6 −3 = 2 6 −3
0 1 5
2 7 2
б)
2 −5 4
2 −5 2
0 1 −1 = 0 1 −1
3 0
4
3 0
1
б)
0 −3 1
0 −1 1
1 2 −4 = 1 −6 −4
2 −3 5
2 12 5
б)
4 −1 2
0 −1 2
0 1 3 = −6 1 3
1 −1 2 − 3 −1 2
б)
2 5 − 4 0 11 − 10
1 −3 0 = 1 −3 0
4 −1 2
4 −1 2
20
6.8. а)
4 2 2
3 −1 4 = 0
5 3 2
6.9. a)
2 −3 4
−1 − 3 − 3 = 0
4
1 10
6.10. a)
2 −5 1
−4 2 3 = 0
0 −8 5
6.11. a)
0 3
9
2 −1 −1 = 0
5 − 2 −1
6.12. a)
7 −6 5
2 −4 −3 = 0
3 2 11
6.13. а)
8 3 −2
1 2 −3 = 0
4 − 5 10
6.14. а)
6 −6 1
2 3 −4 = 0
8 −3 −3
6.15. а)
5 1 −3
2 0 4 =0
3 1 −7
6.16. a)
7 −6 1
5 2 −3 = 0
2 −8 4
6.17. а)
2 3 −7
1 −2 4 = 0
4 −1 1
8 3 −2
6.18. a) − 7 2 5 = 0
−6 7 8
6.19. a)
4 −5 2
0 1
4 =0
4 −7 −6
б)
6 −1 2
6 −1 2
3 4 −7 = 3 7 −2
0 3
5
0 3
5
б)
0 1 −5
0 −9 −5
1 2 6 = 1 14 6
−7 3 4
− 7 11 4
б)
7 6 −5
7
6 −5
4 −2 0 = 4 −2 0
1 −3 2
−6 −3 7
б)
1 8 −5
3 7 − 12
2 3 4 = 2 3
4
−2 1 7
−2 1
7
б)
7 −2 2
9 −2 2
3 1 − 4 = −1 1 − 4
0 2 −3 −3 2 −3
б)
1 −5 3
1 −5 2
2 −1 0 = 2 −1 − 2
−3 6 1 −3 6
4
б)
7 −3 1
7 −3 1
4 −5 −2 = −3 −2 −3
−1 4
0
−1 4
0
б)
2 5 −3
0 3 −4
−1 −1 2 = −1 −1 2
3 4 −1
3 4
1
б)
0 −3 1
0 −3 1
2 −6 5 = 2
0
3
−3 6 −3 −3 6 −3
б)
5 −3 4
5 −3 −2
0 − 2 3 = 0 − 2 −1
− 4 −1 5 − 4 −1 3
б)
9 −2 5
2 −2 5
3 − 4 0 = −1 − 4 0
−1 − 2 3 − 3 − 2 3
б)
3
5 −1
3
3 −1
− 7 3 5 = − 7 13 5
4 −1 0
4 −1 0
21
8 3 −5
6.20. a) − 4 1 2 = 0
−4 6 1
3 −5 1
6.21. a) 2 3 − 4 = 0
7 1 −7
6.22. а)
0 −3 2
4 1 2 =0
8 −1 6
6.23. a)
−6 3 2
−4 2 1 = 0
2 −1 0
6.24. а)
4 5 −1
0 3
2 =0
4 −1 − 5
6.25. а)
3 4 −2
2 0 5 =0
7 4 8
6.26. а)
−1 2 1
3
1 11 = 0
5 −3 9
6.27. а)
5 −3 2
3
1 −8 = 0
−1 2 − 5
6.28. а)
−5 3 −3
1
4
2 =0
−8 −9 −9
6.29. а)
−2 −7 −3
1 −5 −7 = 0
−4 −2 6
6.30. а)
2 −5 1
− 4 −1 3 = 0
3 − 2 −1
6.31. а)
7 −3 −4
0 6 −1 = 0
7 9 −6
б)
4
7 −8
4
7 −4
−1 4
3 = −1 4
2
2 −3 5
2 −3 7
б)
7 −1 5
5 0 11
3
0 −4 = 3 0 −4
−2 1
6
−2 1 6
б)
4 1 −5 4 1 −5
2 3 −1 = 2 − 7 − 5
0 5 2
0 5
2
б)
5 −4 2 9 −4 2
−1 3 5 = 9 3 5
6
2 0 6 2 0
б)
2 6 −4 2 2 −4
3 0 −4 = 3 −4 −4
1 3 5
1 8
5
б)
3 −1 3
3 −1 1
4 1 −5 = 4 1 −3
7 0 −2 7 0 −2
б)
− 3 4 −1 − 3 6 −1
1 0 2 = 1 −4 2
−6 3 5
−6 −7 5
б)
4 3 − 2 8 − 3 − 12
0 −1 6 = 0 −1 6
2 −3 −5 2 −3 −5
б)
2 −4 0
2
0 0
− 2 −1 3 = − 2 − 5 3
5 −3 6
5
7 6
б)
0 1 2
3 1 2
−3 4 −5 = 9 4 −5
1 7 − 1 22 7 − 1
б)
−3 −4 0 −3 −4 −6
−5 2 1 = −5 2 −9
2 −3 7
2 − 3 11
б)
5 2 −3 5 2 −3
− 2 6 2 = 3 8 −1
1 4 3
1 4 3
22
Задание 7. Привести определитель к треугольному виду и вычислить
1 2 −3
7.1. 0 1 2
−1 3 4
1 −1 2
7.2. 2 2 − 1
0 1
3
2 −1 3
7.3. − 4 2 1
0
1 4
7.4.
1 5 −4
7.5. 2 3 − 5
0 7 2
3
2 −1
7.6. − 3 − 3 4
0
2
3
1 0 5
7.7. − 2 1 3
1 3 −5
1 −4 3
7.8. − 2 7
5
0
3 −1
2 −5 2
7.9. − 4 0
3
0 10 − 7
1 −3 1
7.10. 0 1 − 5
2 3
7
3 −1 2
7.11. 6 − 3 7
0 1 4
7.12. − 2 − 4
3 −1 4
7.13. − 3 2 5
0
4 −1
1 −3 5
7.14. 0 2 − 3
2 4 −1
1
4 2
7.15. − 1 − 5 3
0
4 3
1 −1 3
7.16. − 2 0 5
3 −4 2
2 5 −1
7.17. 0 1 3
−2 3 4
3 −1 4
7.18. 0 − 2 5
−6 4 1
1 −4 0
7.19. − 2 7 3
3 −1 4
2
3 −7
7.20. − 4 − 5 3
0
7
2
3 −1 5
7.21. − 3 2 4
0
1 7
1 2 −1
7.22. 0 1 2
2 3 −4
1 3 −1
7.25 0 5 2
2 6 4
1 −2 6
7.26. 0 − 1 4
2 3 −1
5 3
6
7.29. 0 1 − 4
10 − 1 5
−6 −4 −3
7.30. 0
1 −2
6 − 3 −1
2 −3 4
−6 8 5
4
1 2
2
0
3
2
−9
1
−3
7.23.
2 −1 7
0 −1 3
6 −5 1
3 1 −9
7.24. 0 2 3
−6 4 −3
7.27.
2 −3 −4
0 1 −5
4 6 −2
−3 4 2
7.28. 0 − 1 5
6
1 3
7.31.
1 8 −5
0 1 −2
2 10 − 11
Задание 8. Вычислить определитель четвертого порядка
0 −2 6
5 1 −3
0 7
8
4 0 −3
−1 2
4
5
3 − 2 0 −1
8.1.
0
0 −2 4
5
1
3 −3
5
−2
8.2.
3
−6
−5 3
2
−3 0 −2
8.4.
−1 − 4 5
2
0 −4
0 −4 7 −3
−1 3
8
6
8.5.
0 −5 −3 2
4
0
4
5
6
0
0
1
23
−7 4
9
0
−6 5
0
6
8.3.
2
7 −5 −3
0 −1 0
0
1 −1 6
0
−2 0
0
2
8.6.
−4 −6 4 −5
0
3 −1 8
5
0 5
0
− 2 9 −1 − 3
8.7.
1
6 4 −2
0 −1 0
5
6 32 − 2 − 3
−2 0
7
2
8.8.
4
0
4
0
0
5
1
5
0
0 −2 1
−2 8
5
2
8.9.
7 −3 3
0
−1 4
5 −2
−2 −4 0 −4
5
8 −1 5
8.10
−5 6
6
0
0
0
1 −5
8
0
2 0
4
2 −1 −1
8.11.
−4 0
6 3
−1 − 5 0 0
7
0 −6 −4
−3 0
0
2
8.12.
−3 −2 2
3
1
7 −4 1
−5 3 −5 0
4
4
1 −3
8.13.
1 −1 0
0
−2 2 −5 −4
−6 −5 4
7
0
0
3
8
8.14.
−4 −2 1
0
0
1 − 4 −1
6 −5 0
0
1
2
8.15.
−4 −2 3
−2 7 −4
0 3 −4
4 −1 2
5 0
0
0 2
3
1
3 −1 0
−2 7
0 −2
8.17.
−6 −6 −2 0
0
2
0
4
2
−4
8.18.
6
−8
1
1
6 −1
−5 0 −2 4
8 .20.
7
0
3
3
−4 −3 0 −3
4
3
2 −2
−2 0 −2 0
8.21.
−1 − 5 0
1
−4 0
4
5
−5 4
3 −7
− 3 − 3 −1 5
8.23.
−1 2
0
3
0 −2 0
4
9 −3 3
1
−2 4
0
0
8.24.
−1 0
0 −3
6 −2 −6 4
−6
−1
8.26.
−3
2
0 −2 9
5 4
1
6 0
3
0 0 −7
4
4 −2 9
0
3 −1 − 4
8.27.
−1 − 5 0
0
0
6
1 −3
5
7
8.29.
−8
1
1 3
6
0 −2 4
0 0 −3
4 −4 2
3
−3
8.30.
−1
−5
4
−3
8.16.
−2
1
7
2
1
− 2 0 −1
8.19.
3 −2 0
−4 3
0
3 −1
−5 0
8.22.
7 −2
−9 3
5
0
8.25.
−2
3
0
6
4
5
0
2
3
5
0
0
3
8
8 −2 3
0 7
4
0 5 −5
4 −1 1
1 −4
8
5
8.28.
−3 0
−1 0
6 4
2 −3
7 0
5 0
8
4 −1 0
2
5
7
0
8.31.
3
6
0 −2
−4 −5 0
5
24
0 −5
3 3
4 0
0 −5
0
2
0
8
0
2
1
4
0 −2 −4
0 −3 0
3 5
0
2 −1 7
Раздел 2. Матрицы
2.1. Матрицы. Основные определения
Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица из
m n чисел, расположенных в т строках и п столбцах.
Приведем примеры матриц:
 2 −1 − 2;

A = 
 4 3 − 5
− 3 0 


C = 2
4 
 5 − 2


1 3  ;

B = 
 4 − 2
 1 2 3
и D =  4 5 6 
7 8 9


Размерности матриц соответственно равны: 2×3, 2×2, 3×2, 3×3.
Матрица, имеющая одинаковое число строк и столбцов, размерности
п×п, называется квадратной матрицей порядка п. Матрица В – второго
порядка, а матрица D – третьего порядка.
Треугольная матрица – это квадратная матрица, в которой элементы,
расположенные под диагональю (или над диагональю), равны нулю.
Например,
 a11

 0
A=
.

 0

a12
a 22
.
0
... a1n 

... a 2 n  ,
... . 

... a nn 
1

0
B=
0

0

2
3
0
0
3 4

0 − 1 ,
1 2

0 7 
 2
0 0


C =  1 − 1 0
 − 2 3 0


- треугольные
матрицы.
Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а
остальные – нулю, называется единичной и обозначается Е.
1 0 0
Например, E =  0 1 0  - единичная матрица.
0 0 1


2.2. Действия над матрицами
1. Равенство матриц
Две матрицы называются равными, если матрицы имеют одинаковые
размерности и элементы, стоящие на соответственных местах этих матриц,
равны.
a b 
 2 − 4
 и B = 
 . Если
c
−
1
5
d




Пример 1. Пусть даны две матрицы А = 
А=В, то a=2, b=-4, c=-1, d=5.
2. Умножение матрицы на число
Чтобы умножить число  на матрицу A или матрицу A на число  ,
нужно умножить на  все элементы матрицы A .
25
Пример 2.
− 3 2  − 6 4 
 = 

2  
 5 − 4   10 − 8 
3. Сложение матриц
Суммой двух матриц
A = (aij ) ~m×n
и
B = (bij ) ~m×n
одной
размерности называется матрица C = (cij ) ~m×n той же размерности
(обозначается C = A + B ), элементы которой определяются равенствами:
сij = aij + bij , i = 1,..., m; j = 1,..., n .
Пример 3. Пусть A =  1 − 2
3 5
0 −1 5 
 .
Тогда C = A + B = 
−
3
1
5


3 
 −1 1 2 .

 , B = 
− 4
− 2 0 1
2 − 3 1 

 5 5 − 5
Аналогично можно найти и разность матриц: D = A − B = 
Пример
4.
Пусть
 1 −4 3 
 − 4 0 − 2
 , B = 
 .
A = 
 − 2 1 − 5
 3 −1 − 5
Найти
матрицу С=3А-2В.
Решение.
 1 −4 3 
 − 4 0 − 2
 − 2  
 =
C = 2 A − 3B = 3  
 − 2 1 − 5
 3 −1 − 5
.
 3 − 12 9   − 8 0 − 4   11 − 12 13 
 − 
 = 

= 
 − 6 3 − 15   6 − 2 − 10   − 12 5 − 5 
4. Умножение матриц
В отличие от операций сложения и умножения на число, операция
умножения матрицы на матрицу определяется более сложным образом.
Определение 3. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число
столбцов первой из них равно числу строк второй:
 a11

 a 21
A=
.

a
 m1
a12
a 22
.
am2
... a1 p 
 b11


... a 2 p 
 b21
, B=

... .
.


b
... a mp 
 p1
b12
b22
.
b p2
... b1n 

... b2 n 
.
... . 

... b pn 
Положим cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ...+ aipbpj ( i = 1,...,m; j = 1,...,n) . Матрица
 c11

 c21
C =
...

c
 m1
c12
c22
...
c
26m 2
... c1n 

... c2 n 
... ... 

... cmn 
называется произведением А на В и обозначается АВ.
Размерность произведения матриц можно определить по правилу,
которое в дальнейшем будет называться правилом умножения
размерностей: (m  n)(n  p) = m  p .
Произведение квадратных матриц определено тогда и только тогда,
когда эти матрицы имеют один и тот же порядок n. При этом произведение
AВ так же будет квадратной матрицей порядка n.
2 −1

4
−
2


 0 5
 . Имеем
−
3
1


 2 − 1   0 5   2  0 − 1  (− 3) 2  5 − 1  1   3 9 
 = 
  
 = 
 ,
AB = 
 4 − 2   − 3 1   4  0 − 2  (− 3) 4  5 − 2  1  6 18 
0  (− 1) + 5  (− 2)   20 − 10 
 0 5  2 − 1   0  2 + 5  4
 = 
  
 = 
 .
BA = 
 − 3 1   4 − 2   (− 3)  2 + 1  4 (− 3)  (− 1) + 1  (− 2)   − 2 1 
Пример 5. Пусть A = 
и B = 
 3 1
1 − 1 0 




Пример 6. Пусть A =  2 0  , B =  0 1 2  .
 −1 1 
1 − 1 1 




Произведение матрицы A на матрицу B не определено, так как число
столбцов матрицы A не равно числу строк матрицы B .
В то же время произведение матрицы B на матрицу A определено,
причем C = B  A имеет размерность 3 2 . Действительно, используя
правило умножения размерностей, имеем
(3  3)  (3  2) = (3  2) .
Согласно определению произведения матриц
 1 − 1 0   3 1  1  3 + (−1)  2 + 0  (−1) 1  1 − 1  0 + 0  1   1 1 

 
 
 

С = В  А =  0 1 2    2 0  =  0  3 + 1  2 + 2  (−1)
0  1 + 1  0 + 2  1 =  0 2 
 1 − 1 1   − 1 1   1  3 − 1  2 + 1  (−1)
1  1 − 1  0 + 1  1   0 2 

 
 
Мы можем сделать важный вывод: при перемножении матриц нельзя
менять порядок сомножителей.
5. Транспонирование матриц
Рассмотрим произвольную матрицу А. Матрица АТ, получающаяся из
матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной к A .
5
2 


5 −1 4 
Т
  А =  − 1 − 3 
Пример 7. A = 
 2 − 3 − 1
 4 − 1


27
6. Обратная матрица
Квадратная матрица A−1 называется обратной к матрице A , если
имеет место равенство: A  А−1 = А−1  A = E.
Не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу.
Матрица A называется невырожденной, если ее определитель
отличен от нуля, и вырожденной в противном случае.
Для того чтобы матрица A = (aij ) имела обратную матрицу,
необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. При этом
обратная матрица находится по формуле: A −1 =
 A11

~  A21
A =
...

A
 n1
A12
A22
...
An 2
1 ~ T
(A ) , где
detA
... A1n 

... A2 n  .
... ... 

... Ann 
~
Матрица A называется присоединенной, элементами этой матрицы
являются алгебраические дополнения соответствующих элементов
матрицы А.
Находить обратную матрицу будем по схеме:
1. Размерность п  п - квадратная матрица
2. ( А) = detA  0 - невырожденная матрица
~
3. Найти матрицу A - присоединенная матрица
~ T
4. Найти матрицу A - транспонированная матрица
( )
−1
5. Записать матрицу A =
1 ~ T
(A )
detA
1
1 2
 . Так как detA =
3
3 4
Пример 8. Пусть A = 
2
= −2 , матрица А имеет
4
обратную матрицу. Найдем ее.
A11 = 4 ,
A12 = −3 , A21 = −2 , A22 = 1;
~  4 − 3 ,

A = 
− 2 1 
~  4 − 2
 ;
A T = 
− 3 1 
1  4 − 2   − 2 1  .
1

= 3
A =
− 
− 2  − 3 1  
 2
2
−1
Пример 9.
 2 1 3


Пусть A =  2 3 1  . Найти обратную матрицу.
 3 2 1


28
2 1 3
Так как det A = 2 3 1 = 6 + 3 + 12 − 27 − 4 − 2 = −12  0 матрица имеет обратную.
3 2 1
Найдем обратную матрицу:
A11 =
3 1
2 1
2 3
= 1 A12 = −
= 1 A13 =
= −5
2 1
3 1
3 2
A21 = −
2 1
1 3
2 3
= −1
= 5 A22 =
= −7 A23 = −
3 2
2 1
3 1
A31 =
1 3
2 3
2 1
= −8 A32 = −
= 4 A33 =
=4
3 1
2 1
2 3
1 − 5
5 − 8
5 − 8
 1
 1
 1



1
~ 
~Т 
−1
А =  5 − 7 − 1  А =  1 − 7 4   A = −  1 − 7 4 
12 
− 8 4
 − 5 −1 4 

4 



 − 5 −1 4 
7. Ранг матрицы
Минором k -го порядка матрицы A называется определитель,
образованный элементами, расположенными на пересечении каких-либо k
строк и каких-либо k столбцов.
Пусть A - матрица размера m  n . Если матрица A нулевая, то ее
ранг равен нулю. Если матрица A ненулевая, то ее рангом называется
наибольший порядок r минора, отличного от нуля.
Пример 10. Вычислим ранг матрицы A , используя определение
ранга матрицы.
2 3 4 
1


A =  − 1 − 1 0 − 2
0
1 3 2 

1) Рассмотрим миноры первого порядка матрицы A : среди них есть
ненулевые;
2) Существует минор второго порядка, отличный от нуля:
=
1
2
= −1 + 2 = 1
−1 −1
Поэтому ранг не равен 1.
3) Рассмотрим миноры 3-го порядка. Каждый из них лежит на
пересечении всех трех строк матрицы A и на пересечении каких-либо трех
из четырех столбцов матрицы A . Поскольку
(0 1 3 2) = (1 2 3 4) + (− 1 − 1 0 − 2) ,
29
то в каждом из миноров третья строка будет суммой первых двух. Поэтому
все миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, rang( A) = 2 .
Ступенчатой
матрицей
будем
называть
матрицу,
удовлетворяющую следующим двум условиям:
1) все нулевые строки находятся ниже всех ненулевых;
2) у каждой ненулевой строки, кроме первой, число нулевых
элементов, предшествующих первому ненулевому, больше, чем у
предыдущей строки.
Например, ступенчатыми являются матрицы
1 2 −1

A = 0 3 2
0 0 0

3

0 3

0
5 − 1 B = 
0

4 0 
0

2 −1 0 4 5 

0 2 −1 0 0
0 0
2 5 1

0 0 0 0 0 
Частным случаем ступенчатой матрицы является треугольная матрица.
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
В приведенных выше примерах ступенчатых матриц: rang( A) = 3 и
rang( В) = 3.
Ранг матрицы удобно находить, приводя матрицу к ступенчатому
виду. Такие преобразования возможно выполнить с помощью
элементарных преобразований матриц.
Под элементарными преобразованиями матрицы понимаем:
1) перестановку строк;
2) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
3) сложение строк;
4) те же операции со столбцами.
Матрицы,
полученные
одна
из
другой
элементарными
преобразованиями, называются эквивалентными.
Эквивалентность матриц А и В обозначается символом ~: А~В.
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
2 3 4 
1


Пример 11. Вычислим ранг матрицы A =  − 1 − 1 0 − 2  , используя
0
1 3 2 

элементарные преобразования матриц.
Решение. Чтобы привести матрицу к треугольному виду нужно
выполнить преобразования, чтобы все элементы, расположенные ниже
главной диагонали, были равны нулю.
30
Начинаем с первого столбца, все элементы кроме первого должны
быть равны 0. Сначала прибавим ко второй строке первую строку.
Получим две одинаковые строки. Чтобы получить 0 в третьей строке,
нужно вычесть из третьей строки вторую строку. Получили ступенчатую
матрицу. Ранг этой матрицы равен 2, так как в матрице 2 ненулевые
строки.
1
2 3 4  1 2 3 4 1 2 3 4

 
 

A =  − 1 − 1 0 − 2  ~  0 1 3 2  ~  0 1 3 2   rang( A) = 2.
0
1 3 2   0 1 3 2   0 0 0 0 

Контрольные вопросы
1. Определение матрицы. Размерность матрицы.
2. Примеры матриц: квадратная матрица, матрица – строка, матрица –
столбец, треугольная матрица, нулевая матрица, единичная матрица.
3. Равенство двух матриц.
4. Операции умножения матрицы на число.
5. Сложения матриц.
6. Умножение матриц.
7. Правило умножения размерностей.
8. Свойства операции умножения матриц.
9. Транспонирование матриц.
10. Существование и нахождение обратной матрицы.
11. Линейная независимость строк и столбцов.
12. Минор к-го порядка матрицы.
13. Определение ранга матрицы.
14. Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы.
15. Ступенчатые матрицы.
16. Элементарные преобразования матриц.
31
Задания по теме «Матрицы»
Задание 1.
1.1. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=3А – 4В, если
 3 2 −1 0

 0 4 − 3 2
− 5 2 6 1 

 0 2 3 − 4
А= 
В= 
1.2. Даны матрицы А и В, найти матрицу С= 4А –2В, если
 4 2 −1 0

 3 1 − 3 2
2 −1 3 2 

 0 6 4 − 2
А= 
В= 
1.3. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=3А – В, если
 −1 3 2

 0 1 4
0 3 − 7

2 4 1 
А= 
В= 
1.4. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=4А – 3В, если
 3 − 1


А=  2 1 
0 6 


4 2 


В=  0 3 
 2 − 1


1.5. Даны матрицы А и В, найти матрицу С= 5А – 3В, если
 2 1 − 4

2 3 6 
 0 2 − 5

 6 1 − 3
А= 
В= 
1.6. Даны матрицы А и В, найти матрицу С= 4А –В, если
 2 1 − 4 0

 3 − 2 3 1
 − 2 3 0 2

 4 3 −1 0
А= 
В= 
1.7. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=2А – 3В, если
 4 2 − 1

0 1 3 
2 − 4 6 

 5 2 − 3
А= 
В= 
1.8. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=2А – 4В, если
 2 4 −1 0

 3 −1 0 2
− 3 5 − 2 1 

 0 1 4 − 3
А= 
В= 
1.9. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=3А – 2В, если
 4 − 2


А=  0 − 3 
1 2 


2 3 


В=  1 − 4 
0 5 


1.10. Даны матрицы А и В, найти матрицу С= 2А – 4В, если
− 3 1 


В=  − 1 5 
 2 − 6


4 2 


А=  0 − 3 
2 8 


1.11. Даны матрицы А и В, найти матрицу С= 4А – 5В, если
32
 4 2 −1 0 


А=  2 3 5 − 2 
 −1 4 5 − 3


 1 4 3 − 2


В=  0 2 − 1 4 
− 3 1 2
0 

1.12. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=3А – 2В, если
 0 3 − 2

−1 4 3 
 1 −1 3

 4 0 2
А= 
В= 
1.13. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=4А – 3В, если
 3 2 0 − 5

4 1 −1 2 
 2 − 1 4 3

 0 2 3 1
А= 
В= 
1.14. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=3А – 2В, если
 −1 2 


1 
3
В= 
0
2 


 4 − 2


4 1 


0 1 
А= 
2 − 1


3 2 


1.15. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=3А – В, если
 4 −1 0 2 

 5 − 2 3 − 4
 − 3 2 5 4

 0 − 3 2 1
А= 
В= 
1.16. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=3А – 4В, если
 −1 4 


В=  0 2 
 6 − 4


6 
2


А=  − 1 3 
 0 − 4


1.17. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=4А – 2В, если
 4

−1
А= 
0

 2

2

3
1

1 
0 
 2


− 5 3 
В= 
0 − 2


 4 − 2


1.18. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=2А – 3В, если
 − 1 2 − 3

0 1 2 
3 2 − 4

1 − 1 3 
А= 
В= 
1.19. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=3А – 4В, если
 4 1 − 1


А=  0 1 2 
 5 6 − 1


2 − 3 0 


В=  2 3 1 
 4 −1 − 2


1.20. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=5А – 4В, если
− 4 3 


А=  2 30 
− 2 1 


3 1 


В=  0 − 2 
3 1 


1.21. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=3А – 4В, если
33
0 3 − 2 5 

 2 1 3 − 1
 4 2 −1 3

0
1
4
2


А= 
В= 
1.22. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=2А – 3В, если
 −1 3 


В=  1 − 4 
0
2 

 0 4


А=  − 1 2 
 3 0


1.23. Даны матрицы А и В, найти матрицу С= 4А – В, если
 −1 3 


В=  2 − 4 
0
1 

 2 4


А=  − 1 0 
 3 2


1.24. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=2А + В, если
 4 1 − 4 2

 0 1 3 2
1 0 3 2

 0 1 2 3
А= 
В= 
1.25. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=3В –А, если
 4 −1 2

 0 1 2
2 −1 3 

 2 − 4 − 3
А= 
В= 
1.26. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=2В –А, если
 2 −2 3 


А=  1 0 − 4 
−1 3
5 

 0 5 − 3


В=  4 1 2 
 − 3 7 − 1


1.27. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=В –2А, если
 5 − 4


В=  4 2 
 −1 2 


4
 0


А=  − 3 − 1
 2
5 

1.28. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=4А-В, если
3 − 2 0 

1 4 − 6
− 2 4 2 

 0 3 − 5
А= 
В= 
1.29. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=2В –3А, если
0
7 
 5


А=  − 2 1 2 
 3 − 4 − 5


5
1 
 6


В=  0 1 − 3 
− 2 − 3 2 


1.30. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=2А –В, если
 3 −3 4 

− 4 6 − 7
 0 −1 2

 − 4 5 3
А= 
В= 
1.31. Даны матрицы А и В, найти матрицу С=В –3А, если
5 
 1


А=  2 − 4 
− 2 7 


 −1 3 


В=  4 2 
 0 − 4


34
Задание 2. Дана матрица А, найти матрицу А2
−1 2 3 


2.1. А=  0 1 − 1 
 4 1 − 5


 1 4 − 1


2.4. А=  0 2 3 
 − 2 3 − 5


 2 −1 3


2.7. А=  0 1 4 
5 − 3 6


 −1 2 5


2.10. А=  3 − 4 6 
0
3 1 

 4 2 − 1


2.13. А=  0 3 1 
 2 1 − 1


 2 1 − 5


2.16. А=  0 1 4 
3 − 2 3 


3 1
2


2.19. А=  − 1 4 2 
 0 −1 1


 − 3 2 −1


2.22. А=  0 1 4 
 2 1 − 2


 2 3 − 1


2.25. А=  0 4 − 3 
2 −1 4 


1 − 2 −1


2.28. А=  0 4 − 2 
3 6
1 

 −1 4 − 6


2.31. А=  2 4 1 
− 2 2 3 


 2 −1 0


2.2. А=  3 2 4 
 5 − 3 2


 − 4 1 2


2.5. А=  3 2 3 
 − 4 1 0


0 1 − 3


2.3. А=  1 − 1 2 
 1 41 − 2 


 4 − 5 0


2.6. А=  2 3 1 
 2 −1 3


 3 −1 2


2.8. А=  0 1 2 
−1 4 1


3 − 1
 2


2.11. А=  − 4 − 3 2 
 0
1
3 

 0 4 − 1


2.9. А=  3 0 1 
− 2 3 1 


 −1 2 0


2.12. А=  3 − 3 1 
0
1 2 

3 −1 4 


2.14. А=  0 2 − 2 
1 0
3 

 2 − 3 − 1


2.17. А=  4 2 2 
1 −1 3 


1 − 2 4


2.15. А=  3 − 4 2 
0 1 3


−1 3 2 


2.20. А=  0 1 4 
 2 1 − 3


 −1 3 2 


2.23. А=  − 2 4 0 
 1 5 − 6


2 
 −1 3


2.26. А=  0 1 − 3 
 1 −3 2 


0 
− 4 4


2.29. А=  2 − 4 − 2 
 −1 −1 3 


35
0 
 −1 2


2.18. А=  4 − 3 2 
5
3 − 4 

− 4 2 1


2.21. А=  0 3 2 
 −1 1 4


 1 − 2 0


2.24. А=  4 3 1 
 −1 − 2 0


 2 3 − 1


2.27. А=  0 4 − 3 
2 −1 4 


5 
1 0


2.30. А=  3 − 2 − 4 
5 1
3 

Задание 3. Выбрать порядок и найти произведение трех матриц
 4 −1 


0 2 
3.1. А= 
3 − 2


0 1 


 4 
 
В=  1 
 − 3
 
 2 4 − 1

3.2. А= 
0 1 2 
5 
4 2


В=  6 − 1 3 
 0 1 − 3


4 −1 0 2 


3.3. А=  0 1 3 − 1
2 0 1 1 


1 −1 3

 0 1 2
С= 
1 4 0 

 2 −1 1 
В= 
 −1 2


В=  0 6 
 − 3 4


4 2 


0 1 
В= 
3 − 1


2 5 


0 2 1 


−1 2 2 
В= 
3 1 − 4


2 0 3 


 0 3 − 4


В=  2 1 − 1 
 3 2 − 5


0 
 2 −1 3

3.4. А= 
 − 4 2 −1 − 2
1
3.5. А=  
 3
4 2 


3.6. А=  0 1 
 3 − 2


 1 4 −1 0

3.7. А= 
 2 3 − 3 5
2 − 3 1 0 

3.8. А= 
 0 1 2 − 4
3.9. А= (4 − 1 0)
3 −1 0

3.10. А= 
1 − 6 5
 4 − 2


В=  0 1 
2 1 


 3 2 −1 0


В=  4 − 3 0 1 
 2 1 − 2 3


 4

−1
В= 
−3

 1

6

2
0

3 
36
 4 − 2
0 1 
С=  4 − 1 


3 2 


4 0 


2 1 
С= 
3 − 1


0 1 


 −1 − 2 3 


С=  0 2 4 
 − 3 1 − 5


С= (1 4 − 5)
3 1 4 1 

 0 1 3 −1
С= 
2 
 4


С=  0 1 
 − 1 − 5


−1 − 2 0 

3 − 1
2
С= 
 −1 − 2 4


С=  2 1 3 
0
1 2 

 0 
 
С=  1 
 − 4
 
 4
 
3.11. А=  − 1
 3
 
В= (1 4 2 − 2)
 4 1 2 − 1


3.12. А=  0 1 − 1 3 
2 1 4 2 


 4
 
2
В=  
3
 
 −1
 
−1 − 2 0 

2 − 5 
4
3.15. А= 
 2 −1 0

 1 4 5
С= 
1
 
В=  2 
 3
 
 3 −1 2

3.13. А= 
 0 1 4
 −1 2


3.14. А=  0 3 
 − 2 4


− 4 3 1

 0 1 2
С= 
 2 −1 6 


1
2
 0
В= 
−3 1
4


 2
1 − 1

 4 
 
В=  1 
 − 2
 
С= (2 1)
 2 −1 4

 0 1 2
С= 
С= (2 − 4)
3.16. А= (1 − 1 3 0)
 2 
В=  
 − 3
 3 − 2


С=  2 0 
 −1 4 


 4 −1 2 


3 
0 1
3.17. А= 
−1 2
1 


0

3
−
2


 2 4 − 3

В= 
0 1 2 
 3 4


С=  0 1 
2 1


 2 −1 3 0

 −1 − 2 4 1
3.18. А= 
3.19. А= (1 4 − 1)
3.20. А= (1 2 − 3)
1 3 −1 2

3.21. А= 
 0 1 4 2
 4 1


В=  − 1 0 
 3 2


 2 −1 0 1


В=  4 2 − 1 0 
 3 − 5 6 1


 2 3 −1 0

 0 2 − 4 2
В= 
 3 − 2


В=  4 − 1 
1 2 


37
 2 − 1


3 2
С= 
−1 0 


4 1


 3

 −1
С= 
 2
 
0
С=  
−1
 
 3
 
С= (1 4 0)
3.22. А= 
 3 4


В=  0 1 
 −1 2


3.23. А= (2 − 1 0 3)
 4 
 
В=  − 2 
 8 
 
 2 3 −1 0

 0 1 2 3
3.24. А= (1 4 2)
 1 − 4


3.25. А=  2 0 
 −1 7 


4 − 2 0 

 3 2 − 1
С= 
 3 1


В=  0 1 
 4 3


2 1 


0 2 
В= 
3 − 1


0 2 


3 − 2 1 1

3 0 − 4 2
3.26. А= 
 2 − 3 1 − 2


3.27. А=  1 4 2 1 
0 − 2 3 4 


1 2 − 5 1 

 0 − 1 4 − 3
3.28. А= 
 − 2 4 3 1

3.29. А= 
 0 − 1 2 3
 2 − 2


3.30. А=  3 0 
− 4 3 


 3 2 −3 4 

 − 4 5 1 − 2
3.31. А= 
 4
 
1
С=  
2
 
0
 
0
 
С=  2 
 3
 
 1 4 −1 0

С= 
 2 1 0 3
 3 − 4


В=  − 2 3 
 1 −1


 2 
 
1
В=  
−2
 
 − 3
 
3
 4


В=  − 3 − 1
 2
4 

 1 − 5


В=  − 2 − 3 
 4
0 

5 
 4


 − 3 − 3
В= 
2 − 2


 −1 4 


 − 1 41 


В=  2 5 
 − 3 − 2


38
 3 − 5


4 
 0
С= 
− 2 − 3


 1
2 

 4 − 3 0

 − 1 2 3
С= 
 2 
 
−1
С=  
−2
 
 4 
 
С= (2 1 − 4)
 2 0 − 2 3

 1 −1 4 2
С= 
 4 − 4


− 3 2 
С= 
5
1 


 0 − 2


Задание 4. Даны матрицы А и В, найти обратные матрицы А-1 и В-1.
 5 2

4.1. А= 
 − 3 4
 1 − 3

2 4 
4.3. А= 
7 
 4

4.5. А= 
 − 2 − 3
 −1 4 

0
−
2


4.7. А= 
 2 3 − 1


В=  0 1 6 
 3 2 − 1


 2 1 − 3


В=  0 1 2 
2 2 5 


 0 −1 4 


В=  2
1
3 
 − 3 5 − 2


4 −1 1 


 3 − 5
 В=  0 2 − 3 
4.11. А= 
 2 − 1
2 1
2 

 3 − 1

2 5 
4.15. А= 
 3 − 4

4.17. А= 
2
5


2 − 7

3 − 9
4.19. А= 
5 − 2

4.21. А= 
3 1 
5
 3

 − 6 − 1
4.23. А= 
3 − 5

6 − 4
4.4. А= 
 4 − 3 5


В=  − 2 1 3 
 2 −1 2


4 −1 2 


В=  2 0 − 5 
 2 −1 − 2


 2 − 1

4.9. А= 
3 4 
2 1 

4.13. А= 
 3 −1
 4 − 5

4.2. А= 
 3 − 4
 0 2

4.6. А= 
 −1 3
6 − 5

1
−
2


4.8. А= 
 0 1 − 4


В=  2 1 3 
 − 2 3 −1


4 
0 1


В=  2 − 3 2 
 2 1 − 2


 2 1 4


В=  − 1 2 1 
 3 1 0


 −1 − 3 0 


В=  2 4 1 
1
2 − 2 

0 
− 5 1


В=  4 − 1 2 
 0
2 − 3 

3 1 2 


 3 − 2

4.12. А= 
В=  2 1 − 4 
0 1 
3 2 0 


 6 − 1

4.10. А= 
 2 − 3
 0 1 3


В=  2 − 1 2 
 2 0 1


 0 −1 3 


В=  1 2 − 4 
 − 2 5 − 6


 0 4 −1


В=  2 1 3 
 − 2 3 − 2


0 −1 5


В=  2 − 6 3 
 4 −1 2


 2 6 − 1


В=  0 1 2 
− 3 4 1 


 3 2 − 5


В=  0 2 3 
4 −1 3 


 3 7

4.14. А= 
 −1 2
3 − 2

5 4 
4.16. А= 
 2 − 4

4.18. А= 
3
−
5


 2 3

 −1 0
4.20. А= 
 4 − 3

4.22. А= 
2 1 
 1 − 1

2 4 
4.24. А= 
39
4 −1 0 


В=  2 3 − 2 
2 −1 3 


 1 4 − 1


В=  0 2 3 
1 2 5 


 4 1 − 1


В=  0 1 2 
 3 2 − 1


3 − 1
 2


В=  − 4 2 1 
 2 −2 0 


4 −1 3 


В=  0 1 2 
 2 3 − 1


 0 6 1


В=  2 1 4 
 −1 3 3


 4 −1 2
 3 −2 4 




4 
 2 3
 3
 В=  0 1 4 
 В=  1
4.25. А= 
4.26. А= 
3
0 
 −1 4
 − 2 − 4
 −1 2 3
 −1 4 − 2




 2 −4 0 
 3 − 4 − 1




2 
 1
 3 2
 В=  − 1 3 − 4  4.28. А= 

4.27. А= 
В=  5 3 2 
 − 3 − 5
−1 1
− 2 − 2 3 
− 3 0
1 



2
4 
5
 1 − 4 − 1




3 
 5
 4 − 5


4.29. А= 
В=  − 1 − 1 − 3  4.30. А= 
В=  0 3 2 
 − 2 − 2
 2 − 2
 0 −2 2 
2 − 3 3 




2
 4

4.31. А= 
 − 3 − 1
 5 −2 6 


В=  − 3 0 − 4 
− 4 − 2 1 


Задание 5. Решить матричное уравнение
 −1 3 

 1 − 4
В= 
 − 2 3

 1 2
В= 
− 2 7

 −1 4
В= 
 3 2

 − 4 5
В= 
 − 3 4

 − 2 3
В= 
 − 4 11

 −1 3 
В= 
− 2 1 

5
−
3


В= 
 3 8

 −1 2
В= 
− 4 7

 −1 2
В= 
5.1. А∙Х∙В∙Д =С, где А= 
5.2. А∙В ∙Х ∙С=Д, где А= 
5.3. А∙С∙Х∙В =Д, где А= 
5.4. В∙Д∙Х∙С=А, где А= 
5.5. С∙Д∙Х∙А=В, где А= 
5.6. В∙Х∙Д∙А=С, где А= 
5.7. А∙Д∙Х∙С=В, где А= 
5.8. С∙Д∙Х∙В=А, где А= 
5.9. А∙В∙Х∙Д=С, где А= 
 − 2 − 3

7 
 5
5.10. В∙А∙Х∙Д=С, где А = 
 2 − 3

 3 − 5
С= 
 2 − 1

 5 − 3
С= 
 2 3

 3 5
С= 
 2 5

1 2
С= 
 4 7

− 6 1
С= 
 0 1

 − 1 5
С= 
 7 − 8

1
3


С= 
 3 − 11

1 − 4 
С= 
 2 1

 −1 0
С= 
 3 11

1 4 
С= 
В= 
40
− 3 7

 2 9
 1 − 1

− 4 5 
Д= 
 −1 0

 2 1
Д= 
 3 − 1

− 4 1 
Д= 
1 0 

 6 −1
Д= 
 2 − 1

−1 0 
Д= 
 3 − 4

0 2 
Д= 
1 3 

0
−1


Д= 
 5 1

 −1 0
Д= 
 4 − 9

2 7 
Д= 
 5 − 6

4 2 
Д= 
 6 − 5

3 4 
 4 − 1

2 6 
 2 − 1

− 5 3 
 − 1 − 5

6 
1
 2 − 1

− 5 3 
 2 − 1

−
5
2


 3 − 2

− 4 3 
 3 1

 8 3
 0 1

 − 1 5
 5 3
 −1 2
 С= 

 2 1
 0 1
0 1 

1 − 6
5.11. В∙С∙Х∙А=Д, где А= 
В= 
 2 − 7
 4 − 1
2
 В= 
 С= 
 −1 4 
1 0 
1
 3 − 5
 3 4
 1
 В= 
 С= 
5.13. В∙С∙Х∙Д=А, где А= 
4 6 
 2 3
− 7
5.12. В∙А∙Х∙С=Д, где А= 
 2 − 3

− 3 4 
 2 − 5

1 4 
5.14. А∙С∙Х∙Д=В, где А= 
В= 
1
2
0
5.16. А∙Д∙Х∙С=В, где А= 
1
− 1
 0 1
 В= 

− 1
 − 1 5
1
3 − 7
 В= 

4
2 4 
5.15. А∙С∙Х∙В=Д, где А= 
 8 − 1

1 0 
В= 
 4 − 5

 3 − 3
В= 
8 7 

1 1
В= 
 4 2

− 3 1
В= 
3 − 7

 2 − 4
5.17. А∙Д∙Х∙В=С, где А= 
5.18. В∙Д∙Х∙А=С, где А= 
5.19. А∙Х∙В∙С=Д, где А= 
5.20. В∙Х∙С∙Д=А, где А= 
5.21. С∙Х∙В∙Д=А, где А= 
 2 3

1 2
5.22. Д∙Х∙А∙С=В, где А= 
 2 3
4 − 7


Д= 
 3 4
2 1 
 − 7 − 2
5 4
 Д= 

С= 
1 
 4
1 1
С= 
 0 − 1

1 3 
С= 
 1 1

9 8
С= 
В= 
 1 − 1

0 1 
С= 
Д= 
 0 − 4

2 7 
Д= 
 4 − 8

1 2 
6 5

 − 1 − 1
 −1 − 2

3 
2
 4 − 6

2 7 
Д= 
 −1 0

 2 1
Д= 
 2 − 3

 3 − 4
Д= 
С= 
 9 − 8

 1 − 1
Д= 
 3 2
4 5 
 С= 

 −1 4
 3 − 3
Д= 
 − 4 3

 − 3 2
С= 
 2 1

 3 1
Д= 
 3 − 1

 2 − 1
С= 
1 4

 2 5
Д= 
 0 1
 2 − 1
 С= 

 − 1 5
 5 − 3
Д= 
В= 
 2 5

 1 3
В= 
 3 4

 − 2 6
В= 
41
 4 − 9

3 2 
 2 1

 5 3
В= 
5.26. В∙Д∙Х∙С=А, где А= 
 0 − 1

1 5 
Д= 
С= 
1 1

5 6
 4 2

0 5
5.25. Д∙Х∙А∙В =С, где А= 
 5 − 4

2 −1
 1 − 1

Д= 
 4 − 3
Д= 
3 
 4

 − 5 − 4
С= 
В= 
5.24. С∙Д ∙Х∙В=А, где А= 
− 7

− 3 
0

1 
С= 
 4 − 3

 7 − 5
 −1 1 

 2 − 3
5.23. В∙Х∙А∙Д =С, где А= 
4 − 7

2 3 
Д= 
 0 − 1

1 5 
 − 4 − 3

4 
 5
 2 9

 −1 4
 0 1

 −1 2
− 2 5 

 1 − 2
 0 1

 −1 4
 7 − 2

− 3 1 
1 
 − 3 − 4
1 − 2
 2 − 3
 2
 В= 
 С= 
 Д= 

3 
 2
5 − 3
 3 − 5
 − 3 − 2
2 
 5 − 2
 0 − 1
 1
3 − 5

 С= 
 Д= 

5.28. Д∙В∙А∙Х=С, где А= 
В= 
− 2 1 
6 5 
 − 2 − 3
1 − 2
2 
− 2 7 
5 − 2
 3
 7 − 4
 В= 
 С= 

5.29. А∙Х∙Д∙С=В, где А= 
 Д= 
 1 − 3
3 − 4
 − 4 − 3
− 2 1 
2
 0 − 1
 3 5
 9
 6 − 5




5.30. А∙С∙Х∙Д=В, где А= 
В= 
С= 
Д= 
1 7 
 2 3
 − 4 − 1
3 0 
− 3 5 
 − 2 −1
− 5 7 
 5 1
 В= 
 С= 
 Д= 

5.31. В∙Х∙С∙А=Д, где А= 
 1 − 2
 − 3 − 2
 2 − 3
 − 6 0
5.27. С∙А∙Х∙Д=В, где А= 
Задание 6. Найти ранг матрицы
 2 −1 3 − 2 4


4
−
2
5
1
7


6.1. А=
 2 −1 1 8 2


 3 −1 3

 5 −3 2
6.3. А= 1 − 3 − 5

 7 −5 1

 25

 75
6.5. А=  75

 25

2
3
0
4
5 

4 
− 7

1 
1

2
6.2. А=  5

7

4

8
4
6.4. А= 
4
8

3
5 − 1

−1 − 3 4 
1 −1 7 

7
9
1 
3 −5 2 3 

6 −7 4 2 
3 −8 2 7 

3 1 2 − 5
6 − 1 4 − 6 
17 43 

 47 − 67 35 201 155 
53 132 


26
98
23 − 294 86 
6.6.
А=


54 134
 16 − 428 1 1284 52 



20 48 
 24 19 36 72 − 38 


1 − 3 − 2 4 
49
40
73
147
−
80




2
1
3
2


6.7. А=  73 59 98 219 − 118  6.8. А=
0 1


1 − 1

 47 36 71 141 − 72 


39 
 17 − 28 45 11


−1 − 3 4 1
24
−
37
61
13
50




 25 − 7 32 − 18 − 11 
2
6
−
8
2


6.9. А= 
 6.10. А= 
3 − 4 3 
 31 12 19 − 43 − 55 
1
 42 13 29 − 55 − 68 


31
94
94
32
42
6.11.
 −1 3 2

 5 2 −1
А=  3 8 3

 7 13 4

0

2
2

4 
 1 1 3 


 0 1 1 
6.13. А=  2 − 2 2 


3 − 2 4


 1 0 2 3 


1
1
−
2
−
2


6.12. А=
 3 1 2 4 


1 2 0 5 0 8


0
3
1
6
0
9


6.14. А=
 0 4 0 7 1 1


3 1
1 0 2


1
1
−
2
−
2
1


6.15. А=
3 1 2
4 3 

1 2 3


2 4 6
6.16.  3 6 9 


 4 8 12 


 1 − 2 − 4 5 1


−
2
4
6
7
1


6.17. А=
 − 3 6 10 2 0 


 2 1 11 2 


 1 0 4 −1
6.18. А= 
11 4 56 5 


 2 −1 5 − 6


6.19.
6.21.
6.23.
6.25.
4 
1 0 0 1


 1 7 17 3 
0
1
0
2
5




0 4 10 1 


А=  0 0 1 3
6.20.
А=
6
 0 − 8 − 20 − 2 


 1 2 3 14 − 32 




 −1 2 1 4


1 − 5 − 4 7 


 0 1 2 3
2
4
А=  0 − 1 3 7 
6.22. А=  0 2
1 3


4 − 1

−1 3 4 7


5 
 1 −1 2


−3 3 −6 4 
3 − 5 2 1


 0
5 − 3 − 6
0 −1 1 4

А= 
6.24.
А=

 6 − 11 5 3 
− 2 7 − 7 3 


 2

0
3
8


1 − 2 − 3 5 


 − 2 −1 3 4


7
2 − 4 3
0
2
−
2
1


А=  3 − 6 0 12 
6.26. А=



4 9 
− 4 0
 7 − 14 − 3 29 


43
 1 2 3 


−
3
−
6
−
1


6.27. А=  − 1 − 2 2 


 0 0 1 


 −1 2 0 − 4


 2 −3 1 6 

1 1 − 2
6.29. А=  0

− 2 4 0 − 8
 1 −2 0 4 


3
1 
 1


 − 4 − 8 − 6
6.31. А=  2
4
3 


 0

1
−
1


1 −1 1 2


0
3
−
1
2


6.28. А=
5 − 2 3 6


2 − 3 4 1


0
1
2
3


6.30. А=
2 1 8 7


Задание 7. Даны матрицы Q, S, D, G.
а) Найти матрицы: S + DT, ST + D, Q∙S, Q∙S∙D, Q∙G
б) Убедиться в верности равенств: (Q∙G)T = GT∙QT, (DG)T = GT∙DT
 2 − 1
 − 2 5 −1
 3 




 
3 0 − 4
3
4
−2
4
2
−
5






7.1. Q =
, S=
, D= 
, G =  
5
1
2
1 2 
 1 
 0 1 −1




 


 1 4 1
 3 − 2
 4 




 
 2 3 − 5
−
3
5
−
1
1
5






7.2. Q =
, S=
, D= 
 , G =  − 3
1
4
0
 7 6 5
2 −1


 − 1




 
 − 2 0 − 2
 − 1 − 5
5




 
1 2 1

−
5
−
1
3
2
2




, D = 
7.3. Q =
, S= 
 , G =  2
7
−
3
3
 3
 −1 3 
6


4
2 


 

 0 − 4
 8 2 3
 5 




 
 1 4 3
−
2
1
0
5
4
3






7.4. Q =
, S=
, D= 
, G =  
−
2
0
4
 6
 −1 4 2


 − 3
3 



 
 4 
6
 9 3 0
 3
 




2
4
5


6
4
2
0
5






7.5. Q =
, S=
, D= 
, G =  − 3

 − 2
− 2 2 7
 3 1 −1
 − 4 − 1
 




44
 0 3
 − 2
 7 2 8


 


 4 2 3
−
1
5
−
1
3
4




, S =
7.6. Q = 
, D= 
, G =  5 
−
1
6
0
 4 1
 − 2


 − 2 4 2


 


1 0
 3
 − 3
5 4 


 


 4 4 1
−
2
−
2
4
2
1




, D = 
7.7. Q =
, S= 
, G =  7 
−
5
3
5
 − 2
 4


 0 − 3
8 3 
 



5 
4 8
4
 3
1




 
 1 9 − 3
−
1
3
5
−
2
0
2






7.8. Q =
, S=
, D= 
, G =  
−
2
0
5
 1 − 3
 3
 2 − 2 6




 


 3 0
 5 4 − 2
 5




 
1 − 2 − 6

4
5
4
1
−
6




, S =
7.9. Q = 
, D= 
 , G = 1
3
−
1
0
 2 3
−1 0 3 
 3






 
1 8 2 
− 4 6 
 4




 
1
5
6


7
5
−
2
2
−
2






7.10. Q =
, S=
, D= 
, G = 1

3 4 2 
−3 1 
 3
−1 − 3 7




 
4 
3 3
0 
 6
 − 3




 
1
−
4
3


0
4
−
2
−
5
−
1






7.11. Q =
, S=
, D= 
 , G =  − 1
4
5
1
2 −1 3 


 4 − 3
 − 1




 
 − 5 4 2
 − 3
 −1 − 2


 


1 3 7

2
−
1
6
4
3


 , G =  − 1 
 , D = 
7.12. Q =
, S= 
2
1
3
 1
 − 4


 2 −1
3 0 

 


 0 3
8 3 4
 − 2




 4 − 2 3
 
−
1
5
5
2
3






7.13. Q =
, S=
, D= 
, G =  1 
 2 1
 2 0 6
1 −1 2
 4 


 


 1 5
 4 1 0




− 2 2
−
5
3
3
−
3
2




7.14. Q =
, S=
, D = 
 −1 0
 2 6 4
 1 −4




− 3 4 7
 3 5




−1 −1
2
−
3
5
−
2
2
, S = 
 , D = 
7.15. Q = 
 −1 0 4
 −1 0
4 2




45
 − 5
 
3
 , G =  4 
1
 
 3 
 4 
3
 
 , G =  2 
1
 
 − 2
 −1 7 
3 5
 4
 2




 
2 − 2 − 3

2
−
8
−
1
−
2
0


, D = 
, S = 
7.16. Q = 
 , G =  3
0
5
1
− 4 3 
 2
 2


4 2 

 


 4
 − 3 6 3
 − 3 4
 




1 2 − 3

5
0 2 , S =  0 1 , D = 
7.17. Q =  5
 − 1 6 1  , G =  
 2
− 2 − 2 1


 − 2 3
 




 4 
− 4 3 
 1 6 2
 




 0 − 1 − 3
−2
1
−
4
−
3
3
5






7.18. Q =
, S=
, D= 
, G =  
2
−
2
4
 3 
− 2 1 
 − 2 4 0


 




4 0
 7
 5 
 6 − 2


 


4
3
1


−
8
−
1
2
2
5






7.19. Q =
, S=
, D= 
 , G =  − 1
−
1
0
−
3
 3



 − 5
 3 − 2
3 4

 


 − 4 0 3
 6 − 3




− 2
7
1
5
−
2
1


 , D = 
7.20. Q =
, S= 
 9 3 2
 4
 0 − 3




4 
 8
7 4
 3




6
1
0
−
2
0
6
 , D = 
, S = 
7.21. Q = 
 − 2 − 5
− 4 − 2 1
3




 
1 5
 
 , G =  − 1
2 3
5
2


 2
 
− 2 5
 , G =  2 
− 3 1
 3
 
 3 − 5
3 2
 7
 4




 
 9 2 − 1
0
8
−
3
4
6




, S =
7.22. Q = 
, D= 
 , G =  − 1
−
4
0
3
2 1 
6


 − 2 − 2 0
 




3 0
 3 
 9
3 
 4
 




 2 2 7
−
4
−
3
4
 , G =  − 3 
 , S =  − 4 7  , D = 
7.23. Q = 
 4 
 − 2 2 3
 −1 3 9
 2 − 5


 


 5 0 7
 −1 8
 5 




 
 2 3 0
−
2
3
4
−
2
4




, D = 
7.24. Q =
, S= 
, G=  4 
4
−
3
1
 −1 4 6
 0 1


 − 3




 
 −1 3 2
 0 4
 6 




 
6 1 3

−
4
−
1
2
−
2
3






7.25. Q =
, S=
, D= 
, G =  − 4

 5
 − 4
 3 − 2 1
− 4 1
3 4 

 


46
4 1
4 − 3
 − 4
3


 


6
−
2
1


3
0
−
1
0
−
2






7.26. Q =
, S=
, D= 
, G=  3 

1 5
 − 2
 2 5 3
 −1 − 2 − 5


 


 4 2
 − 6 4 5
 4




 
2 − 2 2

2
7
0
−
2
1




, S =
7.27. Q = 
, D= 
 , G = 9
3
−
1
3
−1 5
0
 0


3 1 


 

 − 9 0 2
 4 − 3
 4 




 
1
5
2


5
3
7
0
−
5






7.28. Q =
, S=
, D= 
, G =  3 
−
4
−
6
1
 − 3 4 2
− 2 0 
 − 2






 
4 4
 8
− 5 4 
 4 




 
6
3
5


−
6
0
7
1
1






7.29. Q =
, S=
, D= 
, G =  7 
−
2
2
1
 3 − 2
 5 − 2 2


 − 5




 
− 2
3 7
 4



0
−
4
4
, S =  4
7.30. Q = 
− 2
 − 3 1 3



− 5
 6 − 3 2



−
1
4
3
, S =  0
7.31. Q = 
 4
− 4 0 1



5
8

 
 −1 1 4
0  , D = 
 , G =  3 
6
− 2 − 2 9
1 
 
3 
 − 2

 
1 3 7

2 , D= 

 0 2 4 , G =  − 4
 5 


− 2 
 
47
Раздел 3. Системы линейных алгебраических уравнений
3.1. Решение систем по формулам Крамера
1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Рассмотрим систему
 a1 x + b1 y = c1
.

a 2 x + b2 y = c 2
С помощью исключения неизвестных, систему можно привести к виду:
 (a1b2 − a 2 b1 )x = b2 c1 − b1c 2
.

(a1b2 − a 2 b1 ) y = a1c 2 − a 2 c1
Если ввести обозначения
 = a1b2 − a2b1 =
a1
a2
c1
b1
,  x = b2 c1 − b1c2 =
c2
b2
a1
b1
,  y = a1c2 − a2 c1 =
a2
b2
c1
.
c2
  x = x
Система перепишется в виде: 
Возможны следующие
  y =  y .
случаи решения этой системы:
1. если   0 - система имеет единственное решение. Решение находится
y
x
х
=
,
y
=
.
по формуле Крамера:


2. если  = 0 и  х  0 или  у  0 - система не имеет решений.
3. если  = 0 ,  х = 0 и  у = 0 - система имеет бесчисленное множество
решений.
 2х − 3у = 7
3х + 7 у = −1
Пример 1. Найти все решения системы уравнений 
Решение. Найдем определители системы:
=
2 −3
7 −3
2 7
= 14 + 9 = 23  0,  х =
= 49 − 3 = 46  =
= −2 − 21 = −23 .
3 7
−1 7
3 −1
Так как   0 - система имеет единственное решение:
х=
 y − 23
 x 46
=
= 2, y =
=
= −1.
 23

23
48
2. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Рассмотрим систему трех линейных алгебраических уравнений с
тремя неизвестными
 a1 x + b1 y + c1 z = d1

a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2
a x + b y + c z = d
3
3
3
 3
a1 b1 c1
Положим  = a 2 b2 c 2  0 . Тогда решение системы можно найти по
a 3 b3 c3
формулам Крамера: х =
y
x

, y=
, z = z , где



d1 b1
 x = d 2 b2
d 3 b3
c1
c2
c3
a1 d1
 y = a2 d 2
a3 d 3
c1
c2
c3
a1 b1
 z = a 2 b2
a3 b3
Пример 2. Найти решение системы уравнений
2 х1 + х 2 + 3 х3 = 7

 2 х1 + 3 х 2 + х3 = 1
3 х + 2 х + х = 6
2
3
 1
а) найдем определители:
2 1 3
 = 2 3 1 = 6 + 3 + 12 − 27 − 4 − 2 = −12  0
3 2 1
7 1 3
x1 = 1 3 1 = 21 + 6 + 6 − 54 − 1 − 14 = −36
6 2 1
2 7 3
x 2 = 2 1 1 = 2 + 36 + 21 − 9 − 12 − 14 = 24
3 6 1
2 1 7
x3 = 2 3 1 = 36 + 3 + 28 − 63 − 12 − 4 = −12
3 2 6
По формулам Крамера получим решение
49
d1
d2
d3
x1 =
x1 − 36
=
=3

− 12
x2 =
x 2
24
=
= −2

− 12
x3 =
x3 − 12
=
=1

− 12
3.2. Решение систем матричным способом
Рассмотрим
неизвестными
систему n линейных алгебраических уравнений с n
 а11 х1 + а12 х 2 + ...+ а1п х п = b1
а х + а х + ...+ а х = b
 21 1
22 2
2п п
2

 ..........................................
а п1 х1 + а п 2 х 2 + ...+ а пп х п = bп
Рассмотрим матрицу А = (a ij ) системы. Положим  = det A  0 .
Введем еще две матрицы:
 x1 
 
x 
X = 2
...
 
x 
 n
 b1 
 
 b2 
B= 
...
 
b 
 п
Используя правило умножения матриц, систему можно записать в
матричной форме: A  X = B .
Матрица A имеет
обратную, так как по условию  = det A  0 .
Умножая матичное уравнение A  X = B на обратную матрицу А-1 слева,
получим
A−1  А  Х = A−1  В  Е  Х = A−1  В  X = A−1  B
Следовательно, решение системы запишется в виде X = A−1  B.
Пример 3. Найти решение системы уравнений
 2 x1 − x 2 + 3 x3 = −4

 x1 + 3 x 2 − x3 = 11
 x − 2 x + 2 x = −7
2
3
 1
матричным способом.
Решение. Запишем систему в матричном виде A  X = B. Здесь
2 −1 3 
 x
 − 4


 
 
A =  1 3 − 1, X =  y , B =  11 .
1 − 2 2 
z
− 7


 
 
Вычислим определитель системы:
2 −1 3
( A) = 1 3 − 1 = 12 + 1 − 6 − 9 + 2 − 4 = −4  0.
1 −2 2
Найдем обратную матрицу:
50
3 −1
=4
−2 2
−1 3
A21 = − M 21 = −
= −4
−2 2
1 −1
= −3
1 2
2 3
A22 = M 22 =
=1
1 2
A11 = M 11 =
A31 = M 31 =
A12 = − M 12 = −
−1 3
= −8
3 −1
A32 = − M 32 = −
2 3
=5
1 −1
1 3
= −5
1 −2
2 −1
A23 = − M 23 = −
=3
1 −2
A13 = M 13 =
A33 = M 33 =
− 3 − 5

1 3  , тогда
−8 5 7 


 4
Запишем присоединенную матрицу A~ =  − 4
2 −1
=7
1 3
− 4 − 8

5 − 5 3
7 

 4
(A~ ) =  − 3 1
Т
транспонированная матрица. Следовательно, обратная матрица имеет вид:
A
−1
 4
1 ~ Т
1
=
A = − − 3
 ( А)
4
− 5
( )
−4
1
3
− 8

5 
7 
Получаем решение:
 x
 4 − 4 − 8  − 4
 − 16 − 44 + 56 
 −4  1 
 
  

  
1
1
1
−1
x =  у = A  B = − − 3 1
5    11  = −  12 + 11 − 35  = −  − 12  =  3 
4
4
4
z

  
7   − 7 
 
− 5 3
 20 + 33 − 49 
 4   − 1
Следовательно, х=1, y=3, z=-1.
3.3. Решение систем методом Гаусса
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений общего
вида
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
 a x + a x + ... + a x = b
 21 1 22 2
2n n
2

...............................................
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm
Введем две матрицы:
 a11 a12

a22
a
А =  21
.
.

a
 m1 am 2
... a1n 

... a2 n 
.
... . 

... amn 
 a11 a12 ... a1n b1 


 a 21 a 22 ... a 2n b2 
A = ( A | B) = 
.
.
... .
.


a

a
...
a
b
mn
m
 m1 m 2
А – матрица системы и матрица A - расширенная матрица, которая
получается добавлением к матрице A столбца свободных членов.
Метод Гаусса разделяется на 2 этапа. На 1 этапе, пользуясь
теоремой Кронекера-Капелли, необходимо выяснить совместность или
несовместность системы уравнений. Если система совместна, то на 2 этапе
нужно найти решения системы.
51
Теорема 1 (Кронекера-Капелли). Для того чтобы система (4) была
совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы A был равен
рангу расширенной матрицы A : rang( A) = rang(A )
При этом будем различать случаи:
1. система имеет единственное решение, если rang( A) = rang(A ) = п;
2.
система
имеет
rang( A) = rang(A )  п;
бесчисленное
множество
решений,
если
3. система не имеет решений, если rang( A)  rang(A )
Здесь п- число неизвестных системы.
Замечание. Для облегчения нахождения решения системы в случае
ее совместности, удобнее находить ранг матриц А и A путем приведения
их к ступенчатому виду.
Пример 4. Найти все решения системы линейных уравнений
 x1 − 2 x 2 + 4 x3 + x 4 = 3

2 x1 − 3 x 2 − 5 x3 + 3 x 4 = −1
 3x − 5 x − x + 4 x = 2
2
3
4
 1
Решение. Будем рассматривать две матрицы
1 − 2 4 1


А =  2 − 3 − 5 3
 3 − 5 −1 4


и
1 − 2 4 1 3 


А =  2 − 3 − 5 3 − 1


3 − 5 −1 4 2 
Найдем ранги этих матриц, но так как матрица А полностью
содержится в матрице A , то можно привести матрицу A к ступенчатому
виду, сделать выводы о рангах матриц А и A , а затем сделать выводы о
совместности или несовместности системы уравнений.
Найдем ранг матрицы A .
1 − 2 4 1 3  1 − 2 4 1 3 

 

А =  2 − 3 − 5 3 − 1 ~  0 1 − 13 1 − 7  ~

 

 3 − 5 −1 4 2   3 − 5 −1 4 2 
1 − 2 4 1 3  1 − 2 4 1 3 

 

~  0 1 − 13 1 − 7  ~  0 1 − 13 1 − 7  

 

0 0 0 
 0 1 − 13 1 − 7   0 0
rang ( A) = 2 , rang (A ) = 2  rang ( A) = rang (A )  система совместна.
rang( A) = rang(A ) = 2  4 - число неизвестных. Следовательно, система
имеет бесчисленное множество решений.
52
Чтобы найти эти решения, запишем последнюю матрицу в виде
системы и найдем ее решения.
 x1 − 2 x 2 + 4 x3 + x 4 = 3  x1 = 2 x 2 − 4 x3 − x 4 + 3
 x − 13x + x = −7   x = 13x − x − 7 
2
3
4
3
4

 2
 x1 = 22 x3 − 3 x 4 − 11

x1 = 2(13x3 − x4 − 7) − 4 x3 − x4 + 3 = 22x3 − 3x4 − 11   x 2 = 13x3 − x 4 − 7
x3  R, x 4  R.
Пример 5. Найти все решения системы линейных уравнений
 х1 + х 2 − 3х3 = −1

 2 х1 + х 2 − 2 х3 = 1

 х1 + х 2 + х3 = 3
 х1 + 2 х 2 − 3х3 = 1

Решение. Будем рассматривать две матрицы
1

2
А=
1

1

1 − 3

1 − 2
1 1 

2 − 3 
и
1

2
А =
1

1

1 − 3 − 1

1 − 2 1
1 1 3

2 − 3 1 
Приведем матрицу A к ступенчатому виду.
1 − 3 − 1  1 1 − 3 − 1  1 1 − 3 − 1
 
 

1 − 2 1 0 −1 4 3 0 −1 4 3
~
~
~
1 1 3 1 1
1 3 0 0
4 4
 
 

2 − 3 1   1 2 − 3 1   1 2 − 3 1 
1 − 3 − 1  1 1 − 3 − 1  1 1 − 3 − 1 
 
 

−1 4 3 0 −1 4 3 0 −1 4 3 
~
~

0
4 4 0 0
4 4 0 0
4 4
 
 

1
0 2   0 0
4 2   0 0
0 − 2 
1

2
А =
1

1

1

0
~
0

0

rang ( A) = 3, rang (A ) = 4  rang ( A)  rang (A )  система несовместна, то
есть система не имеет решений.
Пример 6. Найти все решения системы линейных уравнений
 2 х1 − х2 + 3х3 = 3
 3х + х − 5 х = 0
 1
2
3
 4х − х + х = 3
1
2
3

 х1 + 3х2 − 13х3 = −6
Решение. Будем рассматривать две матрицы
53
2 −1 3 3 


3 1 − 5 0 
А =
4 −1 1 3 


 1 3 − 13 − 6 


2 −1 3 


3 1 − 5 
А=
и
4 −1 1 


 1 3 − 13 


Приведем матрицу A к ступенчатому виду.
 2 − 1 3 3   1 3 − 13 − 6   1 3 − 13 − 6   1

 
 
 
 3 1 − 5 0   2 − 1 3 3   0 − 7 29 15   0
А =
~
~
~
4 −1 1 3  3 1 − 5 0  3 1
− 5 0  0

 
 
 
 1 3 − 13 − 6   4 − 1 1 3   4 − 1 1 3   4

 
 
 
3 − 13 − 6   1
3 − 13 − 6   1 3 − 13 − 6   1
1

 
 
 
 0 − 7 29 15   0 − 7 29 15   0 − 7 29 15   0
~
~
~
~
0 − 8 34 18   0 0
6 6  0 0
6 6  0

 
 
 
 0 − 13 53 27   0 − 13 53 27   0 0
 0
−
6
−
6

 
 
 
3 − 13 − 6 

− 7 29 15 
~
− 8 34 18 

− 1 1 3 
3 − 13 − 6 

− 7 29 15 

0
6 6

0
0 0 
rang ( A) = 3, rang (A ) = 3  rang ( A) = rang (A )  система совместна.
rang( A) = rang(A ) = 3 = п - число неизвестных. Следовательно, система
имеет единственное решение.
Чтобы найти это решение, запишем последнюю матрицу в виде
системы и найдем ее решения.
Чтобы найти это решение, запишем последнюю матрицу в виде
системы и найдем ее решения.
 х1 + 3 х 2 − 13х3 = −6
 х1 = −3 х 2 + 13 − 6
 х1 = 1



− 7 х 2 + 29 х3 = 15   − 7 х 2 = −29 + 15   х 2 = 2



х =1
6 х3 = 6
х3 = 1


 3
Контрольные вопросы
1. Системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.
2. Решение системы линейных алгебраических уравнений.
3. Совместная система линейных уравнений.
4. Определенная система линейных уравнений.
5. Равносильные системы уравнений.
6. Матрица системы линейных алгебраических уравнений.
7. Матричная запись системы. Решение с помощью обратной матрицы.
8. Формулы Крамера.
9. Теорема Кронекера – Капелли (критерий совместности системы
линейных алгебраических уравнений).
54
Задания по теме «Системы линейных алгебраических уравнений»
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Задание 1. Найти все решения систем уравнений
4 x − y = 0
2 x − 3 y = 5
x − 4 y = 2
2 x + 5 y = 0
б) 
в) 
г) 
− x + 3 y = 11
6 y − 4 x = 10
3x − 12 y = 6
x − 3 y = 0
2 x − y = 3
 x − 4 y = −2
4 x − 2 y = 2
x + 5 y = 0
1.2. a) 
б) 
в) 
г) 
 y − 2x = 3
2 x + y = 5
 y − 2 x = −1
x − 3 y = 0
6 x − y = 1
2 x − 3 y = 0
3x − 6 y = 9
1.3. a)  x − 5 y = 2 б) 
в) 
г) 
 x + 3 y = −3
15 y − 10 x = 0
2 y − x = 2
10 y − 2 x = −4
2 x − 3 y = −11
x − 6 y = 3
6 x − 3 y = 1
x + 5 y = 0
1.4. a) 
б) 
в) 
г) 
x + 5 y = 1
12 y − 2 x = −6
 y − 2x = 2
2 x − y = 0
5 x − y = 2
x + y = 1
 y − 2x = 1
x − y = 0
1.5. a) 
б) 
в) 
г) 
15 x − 3 y = 6
4 x + y = −5
6 x − 3 y = 2
2 x − 2 y = 0
3x − 2 y = −3
x + 4 y = 2
2 x − 5 y = 6
x + y = 0
1.6. а) 
б) 
в) 
г) 
\
6 y − 9 x = 9
2 x + 8 y = 6
x + 6 y = 3
3x − y = 0
x + 5 y = 6
x − 3 y = 2
2 x + 4 y = 0
2 x + 3 y = 8
1.7. a) 
б) 
в) 
г) 
2 x + 10 y = 8
12 y − 4 x = −3
x + 2 y = 0
x + 5 y = 1
7 x + y = 3
2 x + 5 y = 0
3x − y = 0
x − 2 y = 2
1.8. a) 
б) 
в) 
г) 
14 x + 2 y = 6
x − 7 y = 0
 x + 4 y = 13
8 y − 4 x = 8
3x − 4 y = 5
6 x + y = −7
4 x − 5 y = 2
x − 6 y = 0
1.9. a) 
б) 
в) 
г) 
6 x − 8 y = 10
 x − 2 y = −12
10 y − 8 x = 4
2 x + y = 0
2 x + 5 y = 4
3x − 4 y = 2
5 x − 3 y = 2
x + y = 0
1.10. а) 
б) 
в) 
г) 
 x − 3 y = −9
8 y − 6 x = 4
10 x − 6 y = 4
2 x + 2 y = 0
x − 4 y = 5
 x + 8 y = 27
x + 4 y = 0
9 x − 3 y = 6
1.11. а) 
б) 
в) 
г) 
3x − 12 y = 15
5 x − 2 y = 9
x − 3 y = 0
 y − 3x = 3
4 x + y = 3
3 x − 7 y = −35
4 y − 2 x = 6
x + 7 y = 0
1.12. a) 
б) 
в) 
г) 
8 x + 2 y = 6
 x + 6 y = 30
 x − 2 y = −3
5 x − 3 y = 0
2 x + 4 y = −2
5 x − 10 y = 2
x + 3 y = 3
4 x − 2 y = 0
1.13. a) 
б) 
в) 
г) 
 x − 5 y = −8
2 y − x = 10
2 x + 6 y = 6
2 x − y = 0
2 x − 3 y = 16
5 x − y = 3
4 x + 8 y = 3
x + 8 y = 0
1.14. а) 
б) 
в) 
г) 
 x + 4 y = −14
2 y − 10 x = −6
2 x + 4 y = 1
3 y + 5 x = 0
2 x − 5 y = 2
6 y + x = −3
3x + y = 1
4 x − 5 y = 0
1.15. а) 
б) 
в) 
г) 
10 y − 4 x = −4
2 x + 3 y = −6
9 x + 3 y = 6
8 x − 10 y = 0
2 x + 5 y = 3
3 y − x = 2
x + 4 y = 0
x + 3 y = 1
1.16. а) 
б) 
в) 
г) 
4 x + 10 y = −5
3x − 9 y = −6
4 x − y = 0
4 x − y = 17
1.1. a) 
55
2 x − 5 y = 1
3 y − 4 x = 2
5 x + 2 y = 0
2 x − 5 y = 0
б) 
в) 
г) 
6 x − 15 y = −3
8 x − 6 y = −4
3x + y = 1
4 x − 10 y = 0
2 x + 9 y = −2
3x + 4 y = −9
 x − 10 y = 5
7 x − 3 y = 0
1.18. a) 
б) 
в) 
г) 
6 x + 27 y = −6
4 x − y = 7
20 y − 2 x = 10
6 x + y = 0
3x + y = −3
2 x + 5 y = 3
x − 4 y = 5
3x − 9 y = 0
1.19. а) 
б) 
в) 
г) 
4 x − y = −11
4 x + 10 y = 6
8 y − 2 x = 10
3 y − x = 0
2 x − 4 y = 8
x + 3 y = 4
5 x − 6 y = 14
5 x + y = 0
1.20. а) 
б) 
в) 
г) 
2 y − x = −4
2 x + 6 y = 5
x + 4 y = 8
2 x − 4 y = 0
x + 6 y = 5
10 y − 2 x = 4
7 x + 3 y = −9
6 x − 3 y = 3
1.21. а) 
б) 
в) 
г) 
− 2 x − 12 y = 10
 x − 5 y = −2
 x − 4 y = 12
 y − 2 x = −1
x + 4 y = 3
x − 2 y = 5
x + 6 y = 0
2 x − 8 y = 3
1.22. а) 
б) 
в) 
г) 
 x − 2 y = −9
6 y − 3 x = −15
2 x − 5 y = 0
x − 4 y = 2
2 x + 3 y = 12
x − 2 y = 1
3x − 9 y = 4
5 x + y = 0
1.23. a) 
б) 
в) 
г) 
 x − 5 y = −7
4 y − 2 x = −2
x + 3 y = 0
6 x − 7 y = 0
2 x − 5 y = 7
3x + y = −15
2 x − 7 y = 3
3x + 12 y = 0
1.24. а) 
б) 
в) 
г) 
10 y − 4 x = −14
 y − 4 x = 20
4 x − 14 y = 6
x + 4 y = 0
2 x − 4 y = 0
5 x + 2 y = 4
4 x + 8 y = 6
x − 9 y = 0
1.25. а) 
б) 
в) 
г) 
2 y − x = −1
x − 2 y = 8
2 x + 4 y = 3
3x + y = 0
6 x − y = 7
5 x − y = 4
4 x − y = 1
7 x + 2 y = 0
1.26. а) 
б) 
в) 
г) 
2 y + 3x = 15
2 y − 10 x = 8
3 y − 12 x = −3
4 x − y = 0
4 x − y = −22
6 x − 3 y = 10
x − 5 y = 2
2 x + 6 y = 0
1.27. а) 
б) 
в) 
г) 
3 y + x = 1
 y − 2 x = −5
2 x − 10 y = 5
x + 3 y = 0
6 y − 9 x = 3
6 x − 2 y = 0
2 x + 12 y = 8
x − 7 y = 0
1. 28. a) 
б) 
в) 
г) 
3x − 2 y = −1
4 x + 3 y = −13
x + 6 y = 5
2 x + 5 y = 0
3x − 5 y = −1
2 x − 4 y = −6
7 x − 2 y = 5
3x − 9 y = 0
1.29. а) 
б) 
в) 
г) 
4 y + x = 11
2 y − x = 3
14 x − 4 y = 3
3 y − x = 0
 x − 2 y = −7
6 x + 2 y = 4
4 y − 6 x = −10
7 x + 3 y = 0
1.30. а) 
б) 
в) 
г) 
4 y + 3 x = 9
 y + 3x = 4
3x − 2 y = 5
3x − 2 = 0
6 x − 9 y = 0
 x + 8 y = −3
4 x − y = 3
3x + 9 y = 0
1.31. а) 
б) 
в) 
г) 
3 y − 2 x = −1
3x − 4 y = 19
2 y − 8 x = −6
3 y + x = 0
1.17. а) 
Задание 2. При каких значениях параметров a и b система
уравнений:
1) определена;
2) несовместна;
3) неопределена.
 x + 9ay = a
2.1. 
ax + y = b + 2
 ax − 3 y = 2
2.2. 
4 x + ( 4 − а ) y = b
56
 x + ay = 5
2.3. 
3x − 6 y = b
2 x + 4by = 1
2.4. 
bx + 8 y = a
10 x − 4 y = b
2.5. 
 ax − 2 y = 6
 2 x − by = a
2.6. 
(b − 1) x − 21y = 15
ax − 5 y = b 2
2.7. 
 x + ay = a + b
ax + 2ay = b
2.10. 
5 x − 2 y = a
ax + 6 y = а 2
2.8. 
 x + 2y = b
9 x + ay = 9
2.9. 
3x + 2 y = b
8 x + 10 y = b
2.11. 
 ax − 5 y = 18
 x − 9by = a 2
2.13. 
ax + 9 y = ab
 x + ay = 1
2.16. 
− ax + y = 2b
ax + 8 y = 7
2.14. 
 x − 2y = b
 4x − 5 y = b
2.17. 
ax +`10 y = −2
 5x − 2 y = b
2.12. 
15 x + ay = 9
 аx − 8 y = 10
2.15. 
− 2 x + аy = b
(a − 1) x − by = 2
2.19. 
bx + (a + 1) y = 1
6 x − ay = 15
2.21. 
 3x + 2 y = b
(a − 4) x − by = a
2.22. 
x + y = b
 x + ay = 7
2.20. 
2 x − 7 y = b
 ax + 5 y = 3
2.23. 
3x − 15 y = b
bx + y = a
2.25. 
 x + ay = b
7 x − 3 y = b
2.26. 
ax + 6 y = 8
 ax − 8 y = 5
2.27. 
2 x − 16 y = b
(a + b) x + y = a − b
2.28. 
 x + ( a − b) y = a + b
ax + 3 y = b
2.31. 
 x + (a + 2) y = a
ax + 6 y = 12
2.29. 
4 x + 15 y = b
 5 x + ay = 2
2.30. 
15 x + 9 y = b
ax − 9 y = 6
2.18. 
5 x − 3 y = b
4 x − 5 y = b
2.24. 
2 x − ay = 2
Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Задание 3. Решить системы матричным способом
3x − 4 y + z = 15
2 x + 3 y + 4 z = 15
2 x + y − 4 z = −3



3.1. a)  x − y + z = 6
б)  x − y + 2 z = 5
в)  x + 2 y − 3 z = −5
 2 x + y − z = −1
3 x + 2 y + z = 0
3x − y + 2 z = 11



 x − 4 y + z = 19

3.2. a) 2 x + y − 3z = −13
 x + 5 y − z = −23

 x + y − 4 z = −21

б) 2 x − y + z = 9
3x + y − 2 z = −13

57
3x + 4 y + 3z = −7

в) 2 y − 3z = −10
2 x − 3 y = 14

4 x + y − 3z = −8

3.3. а)  x + 2 y + 2 z = −4
x + y − z = 0

 x + 5 y + z = 13

б)  x − 7 z = −37
 x + 3 y − z = −1

x + 4 y − z = 7

в) 2 x − 3 y + 2 z = −2
x − y = 3

 x − 3 y − 3z = 9

3.4. a) 2 x + y − 4 z = −1
 x − 5 y + z = 19

4 x − y − 2 z = −1

б) 2 x + y + z = 4
 x + y − z = −3

3x + 2 y − 3z = −21

в)  x − 4 z = −22
y + z = 5

4 x − y + 5 z = −12

3.5. a) 2 x + 3 y − z = 22
 x − y + 4 z = −15

 x + 4 y − 2 z = −15

б)  y + 3 z = −1
2 x − y + 5 z = 15

4 x − y + 3 z = 28

в) 2 x − 3 y = 10
 x + y − 5 z = −30

 x − 2 y + 3z = −7

3.6. a) 2 x + y − 4 z = −4
 x − 4 y + z = −11

5 x − 3 y + z = 14

б) 2 y − 3z = −6
 x + 4 y − 2 z = −11

2 x + 2 y − 5 z = −3

в) 4 y + z = 17
3x − y = −13

4 x − y + 5 z = −26

3.7. a) 3x − y + z = −4
 x + 2 y − z = 16

3x + 2 y − 4 z = 12

б) 2 x − y + 3z = −25
 x + 2 y − 3z = 15

 x − 6 y + 3z = −15

в)  y − 4 z = −2
 x + 2 y − 7 z = −9

 x + 2 y − z = 11

3.8. a) 5 x + y − z = 6
3x + 4 y + z = 19

3x + y − z = 10

б) 2 x + 2 y + z = 0
 x + 4 y + z = −2

2 x + 2 y − z = −6

в) 4 y + 3z = −14
5 x − y = 20

 x − 4 y − 5 z = −18

3.9. a)  x + y + 3z = 6
2 x + y − z = −9

2 x − y + z = 11

б)  x + 2 y − z = 1
3 x + y − 3 z = 3

 x − 3 y + z = 18

в) 2 x − y − z = 2
3x + y − 4 z = −17

4 x + y − z = −3

3.10. a) 2 y + z = 10
 x + 5 y − 4 z = 23

2 x − y + 2 z = −8

б) 3 x − 4 y − z = −1
x + 2 y − z = 9

5 x − 3 y − 2 z = 20

в) 2 x + y = 6
 y − 6 z = −20

 x − 7 y + z = 23

3.11. a) 2 x + 3 y − z = 1
 x − 3 z = 10

x + y − z = 6

б) 2 x + z = −1
3 y − 4 z = 18

4 x + 4 y − 3z = −25

в)  x − 5 z = −19
 x + 6 y = −4

2 x + 2 y − 5 z = 4

3.12. a)  x − 3 y + z = 18
3 x + y + z = 14

 x + y − 2 z = −3

б)  x + 3 y − 4 z = −15
5 x − 7 z = 13

2 x − 3 y + z = 3

в) 2 y − z = 1
3x + y − 4 z = 10

58
3x + 5 y − 4 z = 29

3.13. a) 2 y + z = −5
4 x − y + 5 z = −13

2 x + y − z = 7

б) − x + 3 y + z = −3
x + 2 y + z = 5

4 x − y = 7

в) 2 y + 5 z = 4
 x + y − 3 z = −8

2 x − y − 6 z = 4

3.14. a)  x − y + z = 8
5 x + 3 y = 3

 x − 4 y + z = 17

б) 2 x + y − 3 z = 2
 x + 3 y + z = 11

5 x − 3 y = 9

в)  x + 2 y + 3z = 1
2 x + y − 4 z = 16

5 x − y + z = 37

3.15. a) 4 x + y − 4 z = 11
3x − y + z = 25

8 x − 3 y = −40

б) 3x + y − z = −11
 x − 4 y − 3z = 7

2 x − 5 y − z = 29

в) 6 x + y + 3 z = 21
2 x − y − z = 5

 y − 5 z = −35

3.16. a)  x + y − z = −10
2 x − y + 6 z = 36

x + 3 y − 4z = 2

б) 2 x − y + z = −5
4 x + y − z = −7

 x − 3 y + 4 z = −22

в) 3x + y + z = −13
 y − 3z = 11

 x − 3z = −8

3.17. a) 2 x − 2 y − 3z = 1
x + y + 4z = 9

4 x − y + z = −11

б) 2 x + 3 y − z = 7
 x − y + z = −5

5 x − 3 y + 2 z = 13

в)  y − 4 z = −11
3x + y = −3

 x + y − 7 z = 19

3.18. a) 4 x + y + 3z = 14
x + 5 y − z = 7

2 x − y + 3z = −11

б)  x − 4 y + z = 4
x + 3 y − z = 0

3x + 2 y − z = 13

в) 4 y + z = −4
2 x − 5 z = 26

2 x − y + 7 z = 45

3.19. a)  x + 4 y + 5 z = 18
3 x − 6 y + z = 24

2 x + 2 y − 3z = 16

б)  x − 3 y + z = −1
2 x + y − z = 11

3 x − y + 2 z = 15

в)  x + 4 y − z = −14
2 x + 2 y + 3 z = 1

4 x + y − 3z = −23

3.20. a) 2 x + z = −8
3x − 2 y + 4 z = −13

2 x + y − z = 5

б)  x + y + z = 3
3 x + 2 y − z = 8

 x + y − 4 z = 15

в) 2 y + z = 0
5 x + 3 y = −9

3 x − 4 y + z = 29

3.21. a) 5 x + y − 4 z = 12
2 x − y + z = 13

2 x + y − 3 z = −8

б)  x + y + 5 z = 15
3 x + 3 y + 2 z = 6

5 x − 3 y + z = 30

в) 4 x + 3z = 12
2 y − z = −10

3x + y − 4 z = −17

3.22. а)  x − 5 y = −35
6 x − y + 3z = −30

5 x − 2 y + 3 z = −18

б) 3 x + 2 y − z = 10
2 x − 3 y + z = −13

3 x + 3 y − z = −5

в) 2 x + y = 2
4 y + 2 z = −12

59
 x + 4 y − z = −27

3.23. a) 6 x + 5 y − 3 z = −39
2 x − y + 5 z = 21

3x + 2 y − 3z = −14

б) 3 y + 5 z = 22
2 x − y + 2 z = 13

4 x − 3 y + z = −15

в)  x − 2 y = −6
 y + 5 z = −27

3x − y + z = 17

3.24. a) 4 x + 4 y − z = 9
3x − 7 z = 22

5 x + y − 3 z = 20

б)  x − 2 y + z = −2
4 x − y − 2 z = 12

2 x − y + 7 z = −6

в) 4 y + z = 6
3x + 2 y − 3z = 25

 x − y − 9 z = 21
3.25. a) 2 x + y − z = 15
− x − y + 4 z = −22

 x + y − 2 z = −9

б) 4 x + y + z = 9
3 x + 2 y + z = 4

3x + 5 y − z = −11

в) 2 y + 4 z = 8
 x − 7 z = −17

2 x − 3 y − z = −4

3.26. a)  x + 5 y − 2 z = 11
− 4 x − 3 y + z = −10

 x + 4 y − 3 z = 16

б) 2 x − y + 2 z = −12
3 x + y − z = −4

8 x − 3 y = −40

в) 3х + y − z = −11
 x − 4 у − 3z = 7

2 x − 5 y − z = 29

3.27. a) 6 x + y + 3 z = 21
2 x − y − z = 5

 x + 2 y − 3 z = −2

б) 5 x − 4 y + z = −20
2 x − 3 y + 5 z = −3

3x + y − 4 z = 13

в) 2 х + 2 y − z = 7
x − 3 у + z = 2

4 x − y + 5 z = −34

3.28. a) 2 x + y − 3 z = 8
5 x + 3 y − z = −5

3 x − y + 2 z = 7

б)  x + 5 y − z = −22
2 x + 3 y + z = −8

4 x − 2 y + z = 11

в) 5 х − 7 y − 4 z = 16
 x + 2 у + z = −5

4 x + 3 y − z = 15

3.29. a) 2 y + 5 z = 2
5 x − y + 2 z = 14

8 x + 3 y − 2 z = 3

б)  x + 6 y − 3z = 45
− 3x + y + 4 z = −10

 x + 7 y + 6 z = −13

в) 3х − 5 y + 2 z = 9
 x + 4 z = −7

5 x − y − 3z = −17

3.30. a) 7 x + y + z = −21
2 x + 5 z = 7

5 x + 3 y − 4 z = −6

б)  x + 5 y = −6
− x − 4 y + z = 9

3x − 3 y + z = −14

в) 4 х + 5 у + 7 z = 48
2 у + z = −8

 x − 2 y − z = −2

3.31. a) 2 x + 3 y = 9
4 x + 5 y + 3z = 3

2 x + y − z = −3

б)  x + 5 y − 2 z = −24
3 x + y − z = −2

4 x − 2 y + z = 7

в) 6 х + y − 8 z = 65
3 x + 4 у = −6

Задание 4. Найти все решения систем линейных уравнений
формулам Крамера
5 x + 2 y + z = 21

4.1. a) 5 x − y + 3 z = 2
2 x + y + 2 z = −6

5 x − y + 3 z = 2

б) − 3x + 2 y − z = −9
 2 x + y + 2 z = −6

60
в)
4 x + 3 y − 2 z = 5

 x − 2 y − 3z = −3
6 x − y − 8 z = −1

по
4 x − y + 2 z = 0

4.2.a) − x + 3 y − 4 z = 2
2 x + 5 y − 6 z = 2

x − 4 y + 5z = 2

б) 3x + y − 4 z = −1
2 x + 5 y + 9 z = −3

2 x − y + z = 0

4.3. a)  x + 3 y − 2 z = 1
4 x + 5 y − 3 z = 1

2 x + z = 2

б) − y + 3z = −1
2 x − 2 y + 7 z = 0

x − 3 y + z = 5

4.4. a) 2 x + y − z = 9
 x + y + 2 z = −5

 x − 3 y + 3z = 0

б) 2 x + y − 4 z = 2
5 x − y − 5 z = 2

4 x − y − 2 z = −1

4.5. a) 2 x + y + z = 4
 x + y − z = −3

в)
2 x + 3 y + 4 z = 15

x − y + 2z = 5
3 x + 2 y + z = 0

в)
 x − 2 y + z = −9

3 x + y − 2 z = 16
2 x − y + 2 z = 6

в)
2 x + y + 4 z = 2

− x + y − 2 z = −3
3x + 3 y + 6 z = 1

x + 3 y = 1

б) 2 y − z = 3
3 x + 7 y + z = 0

в)
2 x − y + z = 2

 x + 2 y − 3z = 1
4 x + 3 y − 5 z = 0

x + y − 5z = 0

4.6. a) − 2 x + 3 y + z = −1
5 y − 9 z = −1

x + 5 y − z = 8

б) 2 x − 3 y + 4 z = −3
 x + 3z = −1

4 x − 3 y − 2 z = 2

в)  x + y + 3z = −3
6 x − y + 4 z = −1

3 x − 4 y + z = 7

4.7. a)  x − y − 3 z = 9
x + 2 y − z = 5

2 x + y − 4 z = −2

б)  x − 2 y + 3 z = 1
 x + 3 y − 7 z = −3

 x − 5 y + 3z = 2

в) − 3 x + 2 y − z = −3
− x − 8 y + 5 z = 7

2 x − 2 y + z = 4

4.8. a) 3 x + y − z = 11
 x − y + 2 z = −1

x − 6 y + 5z = 2

б)  y − 4 z = −1
x − 5 y + z = 4

в)
 x − 4 y + 3 z = −2

2 x + y − z = −1
3 x − 3 y + 2 z = −3

2 x − y − 3z = −2

4.9. a) 3 y + z = 1
4 x + y − 5 z = −3

x + 3 y = 5

б) 2 y − 3z = 0
2 x + 4 y + 3z = −5

в)
4 x + 3 y − 2 z = 5

 x − 2 y − 3z = −3
6 x − y − 8 z = −1

2 x − y + z = 3

4.10. a)  x + 2 y + 3z = 1
4 x + 3 y + 7 z = 5

2 x − y + z = 11

б)  x + 2 y − z = 1
3x + y − 3z = 3

в)
x − 4z = 2

y + z = 3
x + 2 y − 2z = 5

в)
3 x − 2 y + 3 z = 24

 x + y − 4 z = −17
2 x + y − z = −3

5 x + 6 y − z = 2

4.11. a) − 3x − 4 y + 3z = −3
− x − 2 y + 5 z = −1

x + 7 y − 5z = 3

б) − 3 y + 2 z = −4
 x + y − z = −5

61
 x − 3z = 2

4.12. a)  y + z = −1
x + 2 y − z = 9

4 x − 2 y − 2 z = 3

б)  x + 4 y − z = −1
2 x − 10 y = 5

− x − 4 y + z = 2

4.13. a) 3 x + y − 2 z = 0
x − 7 y = 4

 x + 2 y − 2 z = −3

б) 3x − z = −6
2 x + y − z = −3

2 x + y − z = 7

4.14. a) − x + 3 y + z = −3
x + 2 y + z = 5

2 x − y − 3 z = 1

б)  x + 3 y − z = 2
3 x + 2 y − 4 z = 1

 x − 4 y + z = −17

4.15. a) 2 x + y − 3z = 2
 x + 3 y + z = 11

2 x − y + 2 z = 1

б)  x + 4 z = 0
3x + y − 18 z = −1

в)
x + y − z = 6

 2 x + z = −1
3 y − 4 z = 18

в)
3x − 6 y = −4

 y + 5z = 3
3x − 5 y + 5 z = 7

в)
x + 2 y = 3

− 3 x + y − z = 2
− x + 5 y − z = 8

в)
3 x − 2 y − z = 3

x + 3 y − 2z = 1
 x − 8 y + 3z = 2

2 x + 2 y + 3 z = −11
x + y + 4z = 3
3x − 2 y − z = 0



4.16. a) 4 x − y + 2 z = −12 б) 2 x + 5 y − 2 z = −4 в) − 3 x + y − 2 z = −1
 x + y + 3 z = −13
− x + 3 y + 6 z = 2
8 x + y − 4 z = −4



5 x − 4 y + 2 z = −3
x − 2 y + z = 2
3x + 4 y − 3z = −7



4.17. a) 2 x + 3 y − 4 z = −1
б) 2 x − y + z = −6
в) − 3x + 2 y − 4 z = 1
2 x − 2 y − 2 z = −2
4 x − y − 2 z = 1
x + 3 y − z = 1



2 x + y − 4 z = 2

4.18. a) 3 x − 2 y + z = −3
8 x − 3 y − 2 z = −1

5 x + y = 2

б) 3 y − z = −3
5 x + 7 y − 2 z = −4

3 x − 4 y + z = −11

в)  x + 2 y − 3 z = 13
 x − y + z = −5

 x + y − 3z = 19

4.19. a) 3x − 2 y + z = −3
x − y + z = 5

x − 4z = 0

б)  y − 3z = −1
2 x − 3 y + z = −3

4 x + y − 2 z = 3

в) − x + y + 3z = −1
2 x + 3 y + 4 z = 2

2 x + y − 3 z = 0

4.20. a) 2 y + z = −1
2 x + 5 y − z = 1

2 x + 2 y − 3 z = 16

б)  x − 3 y + z = −1
2 x + y − z = 11

3x − 2 y + z = 5

в)  x + 4 y − 3z = 2
2 x − 6 y + 4 z = 3

2 x + y − z = 5

4.21. a)  x + y + z = 3
3 x + 2 y − z = 8

− x + 4 y + 3 z = 1

б) 2 x − 3 y − 2 z = 2
5 y + 4 z = 4

62
в)
 x + 3z = 2

− 2 x + 2 y + 2 z = 1
x − y − 5z = 3

2 x − 3 y + z = 0

4.22. a) − x + 4 y + z = 1
5 y + 3z = 2

2 x + y − 3z = −8

б)  x + y + 5 z = 15
3x + 3 y + 2 z = 6

в)
3x + 2 y + z = 1

4.23. a) − x + y − 3z = −2
 x + 4 y − 5 z = −1

5 x − 2 y + 3 z = −18

б) 3 x + 2 y − z = 10
2 x − 3 y + z = −13

4 x − 3 y − z = 5

в) − 3 x + y + 2 z = −3
x − 2 y + z = 2

4 x − y − z = 2

4.24. a)  x + 3 y + 2 z = −3
6 x + 5 y + 3z = −4

2 x + 3 y − 4 z = −2

б)  x − 4 y + 2 z = −11
 x + y − 2 z = −3

x − 6 y = 0

в) 2 y − 5 z = −3
 x − 2 y − 10 z = 5

5 x + y − 3z = 20

4.25. a)  x − 2 y + z = −2
4 x − y − 2 z = 12

x − y + z = 2

б) 3 x + 2 y − 4 z = 1
− 2 x − 3 y + 5 z = 2

2 x − 3 y + z = 2

в)  x + 2 y − 4 z = 1
4 x + y − 7 z = 4

 x + y − 2 z = −9

4.26. a) 4 x + y + z = 9
3x + 2 y + z = 4

 x − y − 3z = 2

б) 4 x + y + 2 z = −1
3x + 2 y + 5 z = 1

x + 3 y − z = 0

в) − 2 x + y + 3z = 2
7 y + z = 2

x + 3 y − 4z = 2

4.27. a) 2 x − y + z = −5
4 x + y − z = −7

2 x + 2 y − z = 2

б) 4 x − 3 y + 5 z = 3
− 6 x + 8 y − 11z = 8

 x − 5 y + z = −3

в) 2 x + 4 y − 3z = 2
3x − y − 2 z = −1

 x + y − 2 z = −9

4.28. a) 4 x + y + z = 9
3x + 2 y + z = 4

 x − y − 3z = 2

б) 4 x + y + 2 z = −1
3x + 2 y + 5 z = 1

x + 3 y − z = 0

в) − 2 x + y + 3z = 2
7 y + z = 2

x + 3 y − 4z = 2

4.29. a) 2 x − y + z = −5
4 x + y − z = −7

б)
2 x + 2 y − z = 2

4 x − 3 y + 5 z = 3
− 6 x + 8 y − 11z = 8

 x + y − 2 z = −9

4.30. a) 4 x + y + z = 9
3x + 2 y + z = 4

 x − y − 3z = 2

б) 4 x + y + 2 z = −1
3x + 2 y + 5 z = 1

x + 3 y − 4z = 2

4.31. a) 2 x − y + z = −5
4 x + y − z = −7

2 x + 2 y − z = 2

б) 4 x − 3 y + 5 z = 3
− 6 x + 8 y − 11z = 8

63
3x − 4 y + 3z = 2

2 x + 2 y − 3z = 1
x − 5 y + 6z = 3

в)
в)
 x − 5 y + z = −3

2 x + 4 y − 3z = 2
3x − y − 2 z = −1

x + 3 y − z = 0

− 2 x + y + 3z = 2
7 y + z = 2

 x − 5 y + z = −3

в) 2 x + 4 y − 3z = 2
3x − y − 2 z = −1

Задание 5. Найти все решение систем линейных уравнений методом
Гаусса.
4 x + 3 y − 2 z = 5
5 x − y + 3 z = 2
5 x + 2 y + z = 21



−
3
x
+
2
y
−
z
=
−
9
5
x
−
y
+
3
z
=
2


5.1. a)
б)
в)  x − 2 y − 3z = −3
6 x − y − 8 z = −1
 2 x + y + 2 z = −6
2 x + y + 2 z = −6



5.2. a)
4 x − y + 2 z = 0

− x + 3 y − 4 z = 2
2 x + 5 y − 6 z = 2

б)
x − 4 y + 5z = 2

3x + y − 4 z = −1
2 x + 5 y + 9 z = −3

5.3. a)
2 x − y + z = 0

x + 3 y − 2z = 1
4 x + 5 y − 3 z = 1

б)
2 x + z = 2

− y + 3z = −1
2 x − 2 y + 7 z = 0

5.4. a)
x − 3 y + z = 5

2 x + y − z = 9
 x + y + 2 z = −5

5.5. a)
4 x − y − 2 z = −1

2 x + y + z = 4
 x + y − z = −3

5.6. a)
x + y − 5z = 0

 − 2 x + 3 y + z = −1
5 y − 9 z = −1

5.7. a)
3 x − 4 y + z = 7

 x − y − 3z = 9
x + 2 y − z = 5

5.8. a)
2 x − 2 y + z = 4

3 x + y − z = 11
 x − y + 2 z = −1

5.9. a)
2 x − y − 3z = −2

3 y + z = 1
4 x + y − 5 z = −3

5.10. a)
2 x − y + z = 3

 x + 2 y + 3z = 1
4 x + 3 y + 7 z = 5

5.11. a)
5 x + 6 y − z = 2

− 3x − 4 y + 3z = −3
− x − 2 y + 5 z = −1

б)
 x − 3 y + 3z = 0

2 x + y − 4 z = 2
5 x − y − 5 z = 2

б)
x + 3 y = 1

2 y − z = 3
3 x + 7 y + z = 0

б)
x + 5 y − z = 8

2 x − 3 y + 4 z = −3
 x + 3z = −1

б)
2 x + y − 4 z = −2

 x − 2 y + 3z = 1
 x + 3 y − 7 z = −3

б)
x − 6 y + 5z = 2

 y − 4 z = −1
x − 5 y + z = 4

б)
x + 3 y = 5

2 y − 3z = 0
2 x + 4 y + 3z = −5

б)
2 x − y + z = 11

x + 2 y − z = 1
3x + y − 3z = 3

б)
x + 7 y − 5z = 3

− 3 y + 2 z = −4
 x + y − z = −5

64
в)
2 x + 3 y + 4 z = 15

x − y + 2z = 5
3 x + 2 y + z = 0

в)
 x − 2 y + z = −9

3 x + y − 2 z = 16
2 x − y + 2 z = 6

2 x + y + 4 z = 2

− x + y − 2 z = −3
3x + 3 y + 6 z = 1

в)
в)
2 x − y + z = 2

 x + 2 y − 3z = 1
4 x + 3 y − 5 z = 0

в)
4 x − 3 y − 2 z = 2

 x + y + 3z = −3
6 x − y + 4 z = −1

 x − 5 y + 3z = 2

 − 3 x + 2 y − z = −3
− x − 8 y + 5 z = 7

в)
 x − 4 y + 3 z = −2

2 x + y − z = −1
3 x − 3 y + 2 z = −3

в)
в)
4 x + 3 y − 2 z = 5

 x − 2 y − 3z = −3
6 x − y − 8 z = −1

в)
x − 4z = 2

y + z = 3
x + 2 y − 2z = 5

в)
3 x − 2 y + 3 z = 24

 x + y − 4 z = −17
2 x + y − z = −3

5.12. a)
 x − 3z = 2

 y + z = −1
x + 2 y − z = 9

5.13. a)
− x − 4 y + z = 2

3 x + y − 2 z = 0
x − 7 y = 4

5.14. a)
2 x + y − z = 7

− x + 3 y + z = −3
x + 2 y + z = 5

5.15. a)
 x − 4 y + z = −17

2 x + y − 3 z = 2
 x + 3 y + z = 11

5.16. a)
2 x + 2 y + 3 z = −11

4 x − y + 2 z = −12
 x + y + 3 z = −13

5.17. a)
x − 2 y + z = 2

2 x + 3 y − 4 z = −1
4 x − y − 2 z = 1

5.18. a)
2 x + y − 4 z = 2

3 x − 2 y + z = −3
8 x − 3 y − 2 z = −1

5.19. a)
 x + y − 3z = 19

3x − 2 y + z = −3
x − y + z = 5

5.20. a)
2 x + y − 3 z = 0

2 y + z = −1
2 x + 5 y − z = 1

5.21. a)
2 x + y − z = 5

x + y + z = 3
3 x + 2 y − z = 8

5.22. a)
2 x − 3 y + z = 0

− x + 4 y + z = 1
5 y + 3z = 2

5.23. a)
3x + 2 y + z = 1

− x + y − 3z = −2
 x + 4 y − 5 z = −1

б)
4 x − 2 y − 2 z = 3

 x + 4 y − z = −1
2 x − 10 y = 5

б)
 x + 2 y − 2 z = −3

3 x − z = −6
2 x + y − z = −3

б)
2 x − y − 3 z = 1

x + 3 y − z = 2
3 x + 2 y − 4 z = 1

б)
2 x − y + 2 z = 1

x + 4z = 0
3x + y − 18 z = −1

б)
3x − 2 y − z = 0

2 x + 5 y − 2 z = −4
8 x + y − 4 z = −4

б)
3x + 4 y − 3z = −7

2 x − y + z = −6
x + 3 y − z = 1

б)
5 x + y = 2

3 y − z = −3
5 x + 7 y − 2 z = −4

б)
x − 4z = 0

 y − 3z = −1
2 x − 3 y + z = −3

б)
2 x + 2 y − 3 z = 16

 x − 3 y + z = −1
2 x + y − z = 11

б)
− x + 4 y + 3 z = 1

2 x − 3 y − 2 z = 2
5 y + 4 z = 4

б)
2 x + y − 3z = −8

 x + y + 5 z = 15
3x + 3 y + 2 z = 6

б)
5 x − 2 y + 3 z = −18

3 x + 2 y − z = 10
2 x − 3 y + z = −13

65
в)
x + y − z = 6

 2 x + z = −1
3 y − 4 z = 18

в)
3x − 6 y = −4

 y + 5z = 3
3x − 5 y + 5 z = 7

в)
x + 2 y = 3

− 3 x + y − z = 2
− x + 5 y − z = 8

в)
3 x − 2 y − z = 3

x + 3 y − 2z = 1
 x − 8 y + 3z = 2

в)
x + y + 4z = 3

 − 3 x + y − 2 z = −1
− x + 3 y + 6 z = 2

в)
5 x − 4 y + 2 z = −3

− 3 x + 2 y − 4 z = 1
2 x − 2 y − 2 z = −2

в)
3 x − 4 y + z = −11

 x + 2 y − 3 z = 13
 x − y + z = −5

в)
4 x + y − 2 z = 3

− x + y + 3z = −1
2 x + 3 y + 4 z = 2

в)
3x − 2 y + z = 5

 x + 4 y − 3z = 2
2 x − 6 y + 4 z = 3

в)
 x + 3z = 2

− 2 x + 2 y + 2 z = 1
x − y − 5z = 3

в)
3x − 4 y + 3z = 2

2 x + 2 y − 3z = 1
x − 5 y + 6z = 3

в)
4 x − 3 y − z = 5

 − 3 x + y + 2 z = −3
x − 2 y + z = 2

5.24. a)
4 x − y − z = 2

 x + 3 y + 2 z = −3
6 x + 5 y + 3z = −4

5.25. a)
5 x + y − 3z = 20

 x − 2 y + z = −2
4 x − y − 2 z = 12

5.26. a)
 x + y − 2 z = −9

4 x + y + z = 9
3x + 2 y + z = 4

5.27. a)
x + 3 y − 4z = 2

2 x − y + z = −5
4 x + y − z = −7

5.28. a)
 x + y − 2 z = −9

4 x + y + z = 9
3x + 2 y + z = 4

5.29. a)
x + 3 y − 4z = 2

2 x − y + z = −5
4 x + y − z = −7

5.30. a)
 x + y − 2 z = −9

4 x + y + z = 9
3x + 2 y + z = 4

5.31. a)
x + 3 y − 4z = 2

2 x − y + z = −5
4 x + y − z = −7

б)
2 x + 3 y − 4 z = −2

 x − 4 y + 2 z = −11
 x + y − 2 z = −3

б)
x − y + z = 2

3 x + 2 y − 4 z = 1
− 2 x − 3 y + 5 z = 2

б)
 x − y − 3z = 2

4 x + y + 2 z = −1
3x + 2 y + 5 z = 1

б)
2 x + 2 y − z = 2

4 x − 3 y + 5 z = 3
− 6 x + 8 y − 11z = 8

б)
 x − y − 3z = 2

4 x + y + 2 z = −1
3x + 2 y + 5 z = 1

б)
2 x + 2 y − z = 2

4 x − 3 y + 5 z = 3
− 6 x + 8 y − 11z = 8

б)
 x − y − 3z = 2

4 x + y + 2 z = −1
3x + 2 y + 5 z = 1

б)
2 x + 2 y − z = 2

4 x − 3 y + 5 z = 3
− 6 x + 8 y − 11z = 8

66
в)
x − 6 y = 0

2 y − 5 z = −3
 x − 2 y − 10 z = 5

в)
2 x − 3 y + z = 2

x + 2 y − 4z = 1
4 x + y − 7 z = 4

в)
x + 3 y − z = 0

− 2 x + y + 3z = 2
7 y + z = 2

в)
 x − 5 y + z = −3

2 x + 4 y − 3z = 2
3x − y − 2 z = −1

в)
x + 3 y − z = 0

− 2 x + y + 3z = 2
7 y + z = 2

в)
 x − 5 y + z = −3

2 x + 4 y − 3z = 2
3x − y − 2 z = −1

в)
x + 3 y − z = 0

− 2 x + y + 3z = 2
7 y + z = 2

в)
 x − 5 y + z = −3

2 x + 4 y − 3z = 2
3x − y − 2 z = −1

Раздел 4. Элементы векторного анализа
4.1. Векторы, определения
Вектор – это направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого
указано, какой конец отрезка является началом, а какой конец отрезка –
концом вектора.
Векторы называются коллинеарными, если они одинаково или
противоположно направлены.
Обозначают коллинеарность векторов
знаком ||. Очевидно, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда они
лежат на одной или на параллельных прямых.
Векторы называются компланарными, если при приложении к одной
точке они лежат в одной плоскости.
Длиной (модулем) | AB | вектора AB называется длина отрезка,
изображающего этот вектор.
Два вектора называются равными, если у них равны длины и
совпадают направления.
Ортом данного ненулевого вектора называется вектор, который
направлен одинаково с данным вектором и имеет длину, равную единице.
4.2. Линейные операции над векторами
1. Сложение векторов
Сложение векторов по правилу параллелограмма
 
Пусть даны два вектора a и b (рисунок 1).
Приложим к точке О начала векторов и
достроим до параллелограмма, тогда
вектор, выходящий из точки О и
направленный по диагонали является
 
Рисунок 1 – Сумма векторов
вектором суммы OС = a + b
Сложение векторов по правилу треугольника
 
Пусть даны два вектора a и b (рисунок 2).
Приложим вектор к точке О, получим вектор


OA = a . Приложим вектор b к точке А,
получим вектор AB .
 
 
Вектор OB назовём суммой векторов a и b : OB = a + b .
Рисунок 2 – Сумма векторов
67
2. Умножение вектора на скаляр


Пусть задан вектор a и число . Произведением вектора a на число

 называется вектор a , определяемый следующим образом: длина






a =   а ; a  a , если  0 и a  a , если < 0.


Противоположным к вектору a называется вектор (– a ), имеющий


такую же, как и вектор a длину, но противоположное вектору a


направление. Нетрудно видеть, что (− a ) = (− 1)  a .
3. Вычитание векторов




Разностью векторов a и b назовём сумму векторов a и (– b ):
( )

  
а −b = а + −b .
На рисунке 3 показано
разности векторов
построение
( )

 

а − b = ОА − ОВ = а + − b = ОА + ВО = ВО + ОА = ВА.


Рисунок 3 – Сумма и разность
векторов
Таким образом, если вектора a и b имеют
общее начало, то вектор суммы это одна
диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, а вектор
разности – это вторая диагональ параллелограмма.






Пример 1. Даны a = 11, b = 23, a − b = 30 . Вычислить a + b .
Решение. Если сделать рисунок.
В параллелограмме известны длины двух
сторон и одной диагонали, тогда по
известной теореме геометрии:
d12 + d 22 = 2(a 2 + b 2 ) Рисунок 4 – По условию
примера 2
сумма
квадратов
диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов
всех его сторон, получим
 2
 2
30 2 + a + b = 2(112 + 232 )  a + b = 2(121 + 529) − 900 = 400.
 
Следовательно, a + b = 20.
   
Обратите внимание в рассмотренном примере a + b  a − b . Это не
соответствует приведенному рисунку.


Вопрос: Какому условию должны удовлетворять векторы a и b ,
чтобы имело место следующее соотношение:
68





1) a + b  a − b ;





2) a + b  a − b ;




3) a + b = a − b .
Пример 2. Векторы p, q взаимно перпендикулярны. Причем
 
 


p = 5, q = 12 . Определить p + q и p − q .
Решение. Если сделать рисунок.
Получим прямоугольник, известно, что в
прямоугольнике диагонали равны. Используя
теорему
Пифагора
для
прямоугольного
треугольника, получим d 2 = a 2 + b 2 = 25 + 144 = 169 .
Рисунок 5 – По условию
примера 2




Следовательно, a + b = a − b = 13.


Пример 3. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b ,


 
чтобы вектор a + b делил пополам угол между векторами a и b .
 
Решение. Так как вектор
является диагональю
a +b
параллелограмма, то, как известно, в ромбе диагональ делит угол пополам,


поэтому параллелограмм, образованный векторами a и b , должен быть
ромбом.


Следовательно, a = b .
Пример 4. Векторы

a = 5,

a

и b

 
 
b = 8 . Определить a + b и a − b .
образуют угол φ=600. Причем
Решение. Если сделать рисунок.
В параллелограмме ОАСВ известны
длины двух сторон и угол между ними,


тогда в ОАВ можно найти ВА = a − b
по
Рисунок 6 – По условию
примера 4

теореме
косинусов:
ВА = OА + OВ − 2 OА  OВ  сos 60 0
2
2
2
2
Получим a − b = ВА 2 = 52 + 82 − 2  5  8  сos600 = 25 + 64 − 40 = 49.


Следовательно, a − b = 7.

Найдем a + b , пользуясь формулой d12 + d 22 = 2(a 2 + b 2 ), связывающей

длины диагоналей с длинами сторон параллелограмма. Получим
 2
 2
 
7 2 + a + b = 2(5 2 + 8 2 )  a + b = 2(25 + 64) − 49 = 129  a + b = 129  11,3.
69



Пример 5. Три силы М, N, P , приложенные к одной точке, имеют
взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их




равнодействующей R , если известно, что М = 2кГ, N = 10кГ, P = 11кГ.
Решение. Сделаем рисунок.

Равнодействующая R представляет собой
   
сумму трех сил R = М + N + P , на рисунке это
диагональ параллелепипеда. Так как векторы
взаимно перпендикулярны, то получен
прямоугольный
параллелепипед.
Для
диагонали прямоугольного параллелепипеда
Рисунок 7 –
имеет место теорема: квадрат диагонали
Равнодействующая сил
прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов всех его
измерений. Следовательно, получим
2
 2
 2 2

R = М + N + P = 4 + 100 + 121 = 225  R = 15кГ.
4.3. Базис, координаты вектора
 

Упорядоченная система a1 , а 2 , ... , a n линейно независимых векторов
называется базисом.
Представление вектора в виде линейной комбинации элементов
некоторого базиса называется разложением данного вектора по этому
базису.




 

Если a1 , а 2 , ... , a n базис и а = 1 а1 + 2 а 2 + ... + п а п , то числа

1 , 2 , ... , n называются координатами вектора a в данном базисе.
Чтобы найти координаты вектора с заданными координатами начала
и конца, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его
начала: если А( x1 , y1 , z1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) , то
AB = {x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1} .
Используя прямоугольные координаты, легко получить формулу
вычисления длины вектора.

В пространстве, если a = {x, y, z} , то

| a |= x 2 + y 2 + z 2 .
Легко получить и формулу длины отрезка с концами A( x1 , y1 , z1 ) и
B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Так как AB = {x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 } , то
70
| AB |= ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 .
В силу свойства проекций для векторов, заданных своими


координатами: a = {x1 , y1 , z1} и b = {x 2 , y 2 , z 2 } , имеем
 
a + b = {x1 + x 2 , y1 + y 2 , z1 + z 2 }
 
a − b = {x1 − x 2 , y1 − y 2 , z1 − z 2 }

a = {x1 , y1 , z1 }.
x
x
x
 
Условие коллинеарности векторов: a || b  1 = 2 = ... = п .
у1 у 2
уп


Пример 6. Даны векторы a = (− 2,5,4), b = (4,2,−2). Найти длину


вектора a + 3b .
 
Решение. Найдем координаты вектора a + 3b


a + 3b = (− 2,5,4 ) + 3  (4,2,−2 ) = (10,11,−2 ).
Следовательно,


2
a + 3b = 10 2 + 112 + (− 2) =
225 = 15.
Пример 7. Даны три вектора



p = 3;−2, q = − 1;−3;, r = 5;4.
 
Показать, что векторы p, q. образуют базис. Найти разложение
 

вектора r по базису p, q. Проиллюстрировать решение геометрически.
 
Решение. Покажем, что векторы p, q. образуют базис. Из



векторного равенства   p +   q = 0 , где  ,  - некоторые числа, перейдем
к координатной форме, записывая координаты векторов в столбец:
 3 
 − 1  0
 +     =  .
 − 2
 − 3  0 
  
Получим
 3 
 − 1   0   3   −    0   3 −    0 
 +     =    
 + 
 =    
 =  
 − 2
 − 3   0   − 2   − 3   0   − 2 − 3   0 
  
3 −1
 3 −  = 0

=
= −11  0   = 0,  = 0 .
−2 −3
− 2 − 3 = 0
 
Следовательно, векторы p, q. линейно независимы и образуют базис
на плоскости хОу.
Разложение вектора

r по базису
 



p, q имеет вид: r = х  p + у  q.
Найдем координаты разложения х и у, переходя к координатам векторов
и решая систему координат.
71
5
 3 
 − 1   3 −  = 5
  = x    + y     

 4
 − 2
 − 3  − 2 − 3 = 4
y
5 −1
3 5

 = −11,  x =
= −11,  y =
= 22  x = x = 1, y =
= −2 .
4 −3
−2 4


 

Получаем разложение: r = p − 2q. Покажем решение на рисунке:
На рисунке 8 изображены векторы



p = OA, q = OB, r = OC .
 

Для разложения вектора r по базису p, q
геометрически
нужно
построить
параллелограмм таким образом, чтобы

вектор
оказался диагональю, а
r


продолжения векторов p и q - сторонами
Рисунок 8 – Разложение
вектора по базису
Как показано на рисунке:
этого параллелограмма.

 


r = OC = OA + OD = p + (− 2 )q = p − 2q .
4.4. Скалярное произведение векторов
 
Определение. Скалярным произведением любых двух векторов a и b
называется число a  b = (a ,b ) =| a || b |cos , где  = (a, b ) - угол между этими
 
 


 
векторами.
К понятию скалярного произведения мы приходим, изучая работу
постоянной силы, действующей на прямолинейно перемещающуюся
точку М. Как известно из физики, работа A силы F при перемещении s
определяется равенством A =| F || s | cos  , где  - угол, который составляет
сила F с перемещением s точки М.
Условимся считать, что нулевой вектор перпендикулярен любому
вектору.
Свойства скалярного произведения
 
 
1) (a , b ) = (b , a ) (коммутативность);
 
 
2) (a , b ) =  (a , b ) (однородность);
  
 
 
3) (a1 + a 2 , b ) = (a1 , b ) + (a 2 , b ) (аддитивность).
Свойства 2 и 3 называются линейностью скалярного произведения
по первому аргументу.
 
   
4) (a , b ) = 0  a ⊥ b ( a и b перпендикулярны);
72
 
( a , b )  0   – острый;
 
( a , b )  0   – тупой;
  

 
 
5) (a , a ) = a 2 =| a | 2  0 , (a , a ) = 0  a = 0 .


 
6) если a = {x1 , y1 , z1 } , b = {x2 , y 2 , z 2 } , то a  b = x1 x2 + y1 y 2 + z1 z 2 .
 
7) Пусть  - угол между векторами a и b , каждый из которых отличен
от нуля. Тогда из формулы a  b = (a ,b ) =| a || b |cos получим
 
 
 
a b
cos =   =
ab
Пример 8. Векторы


x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2
x + y12 + z12  x22 + y22 + z 22
2
1


a и b образуют угол
.
2
3
 =  ; зная, что


a = 3, b = 4 , вычислить:
 
1) a  b ;
2

3) b 2 ;


2) a ;
(
)
(   ) (
 2
4) a + b

)
5) 3a − b  a + 2b .
Решение. 1) a  b = a  b  cos 2   = 3  4   − 1  = −6 ;
3 
 2
2    
2  2
0
2) a = a  a = a  a  cos (0 ) = 3  3 1 = 9  a = a = 9 ;

2
3) b 2 = b = 16 ;
4) (a + b ) = a 2 + 2a  b + b 2 = 9 + 2  (− 6) + 16 = 13 ;

5)
2

 

(3a − b ) (a + 2b ) = 3a + 6a  b − b  a − 2b = 3a + 5a  b − 2b =
2
2
2
2
= 3  9 + 5  (− 6) − 2 16 = 27 − 30 − 32 = −35 .
Пример 9. Даны векторы a = (4; − 2; − 4), b = (6; − 3; 2). Вычислить:

 

2
 2

 
1) a  b ; 2) a ; 3) b 2 ; 4) a + b
5) 2a − 3b  a + 2b .


(
)
(
)(
 
Решение. 1) a  b = 4  6 − 2  (− 3) − 4  2 = 24 + 6 − 8 = 22 ;
)

 
a 2 = a  a = 16 + 4 + 16 = 6 ;
2)

 
b 2 = b  b = 36 + 9 + 4 = 7 ;
 
 2    
a
+
b
=
10
;
−
5
;
−
2

a
+ b = a + b  a + b = 100 + 25 + 4 = 129 ;
4)
 




 
5) 2a − 3b  a + 2b = 2a 2 + a  b − 6b 2 = 2  36 + 22 − 6  49 = −200 .
3)
(
(
)(
)
) (
) (
)(
)
Пример 10. Даны вершины четырехугольника
A(− 1,−2,2), B(2,−4,−4), C(2,3,−4), D(− 2,2,−1).
73
Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.
Решение. Найдем координаты векторов
AС = {3, 5, − 6},
BD = {−4, 6, 3},
тогда скалярное произведение AС  BD = −12 + 30 − 18 = 0 . Следовательно,
диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.
(
Пример 11. Вычислить косинус угла, образованного векторами
)
(
)


a = 2; − 4; 4 и b = − 3; 2; 6 .
 
Решение. Косинус угла φ, образованного векторами a и b , находится
 
x x +y y +z z
a b
по формуле cos =   = 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 .
ab
x1 + y1 + z1  x 2 + y 2 + z 2
 
a b
− 6 − 8 + 24
10
5
Получим cos =   =
=
= .
4 + 16 + 16  9 + 4 + 36 6  7 21
ab
Пример 12. Вычислить проекцию вектора a = (5; 2; 5) на ось вектора

(
)

b = 2; − 1; 2 .
Решение. Покажем на рисунке.
Проекция находится по формуле
прb a = a  cos
Рисунок 9 – По
условию примера 12
Применяя формулу нахождения угла между
векторами, получим
 
 
 
 a b
a  b 10 − 2 + 10 18
прb a = a  cos = a   =  =
= = 6.
4 +1+ 4
6
a b
b
Пример 13. Даны три силы

M = 3;−4;2,


N = 2;3;−5, P = − 3;−2;4,
приложенные к одной точке. Вычислить какую работу производит
равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь
прямолинейно, перемещается из положения М 1 (5,3,−7) в положение
М 2 (4,−1,−4) .

Решение. Равнодействующая сила R находится как сумма сил:


 
R = M + N + P = 2;−3;1 .
М 1 М 2 = − 1;−4;3 .
Тогда

равнодействующей сил будет равна А = R  М 1 М 2 = −2 + 12 + 3 = 13 .
Найдем
вектор
перемещения:
74
работа
4.5. Векторное произведение векторов
Рассмотрим в пространстве упорядоченную тройку некомпланарных
  
векторов а , b , c .
  
а, b , c
Тройка
векторов
называется правой (левой), если

наименьший поворот вектора a до

совмещения его с вектором b виден

из конца вектора c происходящим
против хода (по ходу) часовой
стрелки.
Рисунок 10 – Правая и левая тройки
векторов


Определение. Пусть имеется упорядоченная пара векторов a и b .



 
Векторным произведением a  b векторов a и b называется вектор c :
  
c = a  b , длина и направление которого задаются условиями:
( )
    
 
1. | c |= a  b =| a |  | b | sin,  = a ,b
   
2. c ⊥ a, c ⊥ b
  
3. a , b , c − правая тройка.
Свойства векторного произведения векторов
1) Из определения векторного произведения
следует, что модуль векторного произведения


  
c = a  b ненулевых векторов a и b есть площадь
параллелограмма, построенного на векторах

  
Рисунок 11 – Площадь 
a и b : | c |= a  b = S пар− ма
параллелограмма
 
 
2) [a , b ] = − [b , a ] (антикоммутативность);

 
 
 
3) [a1 + a 2 , b ] = [a1 , b ] + [a 2 , b ] (аддитивность).
 
 
4) [a , b ] =  [a , b ].
Свойства 2) и 3) называются линейностью векторного произведения
по первому аргументу.
 
 
Следствие 1. [a , b ] =  [a , b ] .
  
 
a

b
=
0

a
|| b .
5)



6) Пусть векторы a и b заданы координатами: a = {x1 , y1 , z1 } ,
75

  
b = {x2 , y 2 , z 2 } . Тогда координаты вектора с = a  b находятся так:

i

с = x1
x2


j
k
y1
y1 z1 =
y2
y2 z2
Пример 14. Векторы
z1  x1
i −
z2
x2
y1 
k.
y2
z1  x1
j+
z2
x2


a и b образуют угол
=


 
a = 6 , b = 5 , вычислить: a  b .
 

6
; зная, что


Решение. Пользуясь формулой: a  b =| a |  | b | sin , получим

 


a  b =| a |  | b | sin = 6  5  sin = 15.
6


Пример 15. Векторы a и b взаимно перпендикулярны. Зная, что


a = 3, b = 4 , вычислить:
   
1) a + b  a − b ;

  
2) 3a − b  a − 2b .
(
(
)( )
) ( )
Решение. 1) Прежде всего, раскроем скобки и учтем тот факт, что
векторное произведение обладает свойством антикоммутативности, то есть
 
 
a  b = −b  a .

 

(a + b ) (a − b ) = a  a − a  b + b  a − b  b = −2a  b , так как a  a = 0 и b  b = 0 .




 

Следовательно, получим
(a + b ) (a − b ) = − 2a  b = 2 a  b = 2 a  b  sin90 = 2  3  4 1 = 24.
0
2) Выполним аналогично. Раскроем скобки
(3a − b ) (a − 2b ) = 3a  a − 6a  b − b  a + 2b  b = −5a  b .




 

Следовательно, получим
(3a − b ) (a − 2b ) = − 5a  b = 5 a  b = 5 a  b  sin90 = 5  3  4 1 = 60.


Пример 16. Даны векторы a = (3; − 1; − 2) и b = (1; 2; − 1) . Найти
0
координаты векторных произведений:
 
1) a  b ;
  
2) (2a + b ) b
Решение. 1) Найдем векторное произведение, пользуясь приведенной
выше формулой
76

 
i
j
k

 
 
 
a  b = 3 − 1 − 2 = 5i + 1 j + 7 k  a  b = 5; 1; 7 ;
1 2 −1
 
2) сначала найдем координаты вектора 2a + b = (7; 0; − 5)
  
i j k



  
 
2a + b  b = 7 0 − 5 = 10i + 2 j + 14k  a  b = 10; 2; 14 .
1 2 −1
  
Следует отметить, что координаты вектора 2a + b  b можно было
(
(
)
)
(
(
)
)
найти другим способом. Если раскрыть скобки, то получим
(2a + b ) b = 2a  b + b  b = 2a  b = 2  (5; 1; 7) = (10; 2; 14 ).
Пример 17. Даны точки A(− 1,−4,3), B(2,1,−5), C(2,3,−1) . Вычислить
площадь треугольника АВС.
Решение. Рассмотрим треугольник АВС. Обозначим два вектора
АВ и АС . Тогда треугольник можно рассматривать как половину
параллелограмма, построенного на этих векторах. Найдем координаты
этих векторов АВ = 3;5;−8, АС = 3;7;−4,
тогда
можно
найти
произведение этих векторов:
Рисунок 12 – Площадь
параллелограмма и треугольника
S ABC =
векторное
  
i j k



АВ  АС = 3 5 − 8 = 36i − 12 j + 6k
3 7 −4
Следовательно,
площадь треугольника
АВС будет равна:
1
1
1
АВ  АС =  (36)2 + (− 12)2 + (6)2 =  1476  19,2(кв.ед.)
2
2
2
3. Смешанное произведение векторов
  
Рассмотрим упорядоченную тройку векторов а , b , c .
 
(   ) векторов
Определение 1. Смешанным произведением аb c = а , b , c
  
    
а , b , c называется число, определяемое следующим образом: аb c = [ a  b ]  c ,


т.е. векторно перемножаем a и b , и полученный вектор скалярно

умножаем на вектор c .
77
Свойства смешанного произведения
1) Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке



векторов: (a, b , c ) = (c, a, b ) = (b , c, a ) .
2) Перестановка любых двух векторов меняет знак смешанного




произведения: (a, b , c ) = −(b , a, c ) = −(a, c, b ) = −(c, b , a ) .
3) Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.
4)

     
[a  b] c = a  b  c
 (смешанное произведение ассоциативно
относительно операции векторного произведения).
5) Смешанное произведение есть скаляр. Выясним его
геометрический смысл.
Объёмом параллелепипеда, построенного на
  
векторах а , b , c , называется число, обозначаемое
 
a b c , и равное объёму этого параллелепипеда,
  
а
взятому со знаком плюс, если тройка , b , c –
Рисунок 13 – Объем
параллелепипеда

правая, и со знаком минус, если тройка векторов
  
 
а , b , c левая, то есть Vпарал−да = a b c


6) Пусть a = {x1 , y1 , z1 } , b = {x2 , y 2 , z 2 } , c = {x3 , y3 , z 3 } .Тогда
x1
    
аb c = [ a  b ]  c = x2
x3
y1
y2
y3
т.е. смешанное произведение векторов
z1
z2 =  ,
z3
  
а, b , c
равно определителю

матрицы, строками которой являются координаты векторов а, b , c . Знак
определителя определяет ориентацию тройки: "+" – правая, "–" – левая
ориентация.
1  
Для объёма Vтетр. тетраэдра будет справедлива формула Vтетр. = ab c .
6
  
7) Векторы а , b , c компланарны тогда и только тогда, когда их
смешанное произведение равно 0.
Пример 18. Доказать, что четыре точки А,В,С и D лежат в одной
плоскости A(− 2; − 4;3), B(0; − 1;5), C(3; − 2; − 1), D(− 5; − 3;9).
Решение. Если точки принадлежат одной плоскости, то любые три
78
вектора, полученные с помощью этих
точек, компланарны. Рассмотрим векторы
АВ = 2;3;2,
Рисунок 14 – Четыре точки,
лежащие в одной плоскости
АС = 5;2;−4,
Найдем
смешанное
полученных векторов:
АD = − 3;1;6.
произведение
2 3 2
АВ АС АD = 5 2 − 4 = 24 + 36 + 10 + 12 − 90 + 8 = 0.
−3 1 6
Следовательно, векторы АВ , АС , АD компланарны и точки А, В, С
и D лежат в одной плоскости.
Пример 19. Даны вершины тетраэдра
A(− 5,2,−1), B(− 3,0,−4), C(− 1,2,5), D(− 12,−5,6).
Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.
Решение. В силу приведенных выше формул, объем тетраэдра
Vтетр =
(
)
1   
1
(a , b , c ) = АВ АС АD .
6
6
Найдем координаты векторов: АВ = (2; − 2; − 3),
АС = (4;0;6 ), АD = (− 7; − 7;7 )
и смешанное произведение векторов
2 −2 −3
АВ АС АD = 4
0
6 = 0 + 84 + 84 − 0 + 56 + 84 = 308.
−7 −7 7
Следовательно, объем тетраэдра равен
Vтетр =
(
)
1
1
154
(куб.ед.).
АВ АС АD =  308 =
6
6
3
Из курса геометрии известно, что объем пирамиды находится по формуле
Vпир -ды =
1
S осн.  h.
3
Поэтому для получения высоты пирамиды, найдем площадь основания –
площадь треугольника АВС:

 
i
j
k



АВ  АС = 2 − 2 − 3 = −12i − 24 j + 8k 
4 0
6
S ABC =
1
1
 АВ  АС = 
2
2
(− 12)2 + (− 24)2 + (8)2 = 1  784 = 14(кв.ед.).
2
Используя полученные данные, найдем высоту тетраэдра:
Vпир -ды =
1
154 1
154
S осн.  h. 
=  14  h  h =
= 11.
3
3
3
14
79
Контрольные вопросы
1. Дайте определение геометрического вектора
2. Какие векторы называются коллинеарными?
3. Какие векторы называются компланарными?
4. Условия равенства двух векторов.
5. Как определяется длина вектора?
6. Какой вектор называется ортом?
7. Как определяется вектор суммы двух векторов?

8. Как определяется произведение вектора a на число ?
 
9. Условие коллинеарности двух ненулевых векторов a и b .
10. Дайте определения линейно зависимой и независимой систем векторов.
11. Что называется базисом? Как определяются координаты вектора?
12. Как определяется векторная проекция вектора AB на ось l ?
13. Что такое направляющие косинусы вектора? Приведите теорему о
направляющих косинусах.
 
14. Дайте определение скалярного произведения двух векторов a и b .
 
15. Приведите основные свойства скалярного произведения (a , b ) .
16. Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов.
 
17. Как найти скалярное произведение (a , b ) , если известны координаты


векторов: a = {x1 , y1 , z1 } , b = {x2 , y 2 , z 2 } .
18. Какая тройка векторов называется правой, а какая - левой?
 
 
19. Дайте определение векторного произведения [ a , b ] векторов a и b .
 
20. Геометрический смысл модуля векторного произведения [ a , b ].

 
21. Записать формулы для нахождения координат вектора n = [a , b ] , зная

  
координаты векторов a и b : a = {x1 , y1 , z1 } , b = {x2 , y 2 , z 2 } .
 
22. Приведите основные свойства векторного произведения [ a , b ]
 
векторов a и b .
  
  
23. Дайте определение смешанного произведения а , b , c векторов а , b , c .
  
24. Приведите основные свойства векторного произведения а , b , c .
  
а
25. Геометрический смысл смешанного произведения , b , c .
  
26. Условие компланарности векторов а , b , c .
(
)
(
80
(
)
)
Задания по теме «Элементы векторного анализа»
Задание 1. Даны точки A, B, D, M .
I. Постройте на плоскости векторы:
1) AB , AD ;
2) AB + AD = AC ;
3) AB − AD ;
1
2
4) 2 AB, − AD ;
5) 2 AB − AD, 2 AB +  − AD 
1
2
1
 2

II. Найдите координаты всех полученных векторов. Найдите координаты
всех полученных точек.
III. Найдите длины всех векторов.
IV. Докажите, что векторы AB и AD составляют базис на плоскости.
V. Найдите разложение вектора AM по базису AB , AD .
1.1. A (2; 3), B (-2; 6), D (4; 9), M (16; 15).
1.2. A (-2; 0), B (5; 2), D (2; -2), M (0; 10).
1.3. A (0; 4), B (4; 7), D (6; 2), M (-6; -7 ).
1.4. A (1; 2), B (5; 4), D (4; -1), M (-4; -5).
1.5. A (-3; -2), B (-2; 1), D (3; -4), M (6; 5).
1.6. A (-3; 1), B (1; 3), D (3; -2), M (3; 10).
1.7. A (1; -2), B (-1; 4), D (4; 1), M (-10; -5).
1.8. A (-3; 3), B (4; 4), D (1; -1), M (7; 9).
1.9. A (-3; -3), B (1; 1), D (4; -4), M (-2; 6).
1.10. A (-3; 0), B (0; 3), D (3; -2), M (0; 7).
1.11. A (-2; 2), B (2; 4), D (0; -1), M (-6; 12).
1.12. A (-1; -2), B (1; 4), D (2; -3), M (-5; 6).
1.13. A (1; -3), B (5; 5), D (2; -1), M (6; 19).
1.14. A (1; -1), B (-2; 2), D (3; 5), M (13; 11).
1.15. A (0; 2), B (3; 5), D (5; -1), M (1; 11).
1.16. A (-2; -3), B (-1; 14), D (4; -5), M (-12; 7).
1.17. A (-1; -3), B (3; 5), D (2; 0), M (0; -10).
1.18. A (2; 1), B (0; 4), D (4; 7), M (-6; 4).
1.19. A (-1; 3), B (5; 5), D (2; 1), M (2; 13).
81
1.20. A (2; -1), B (-1; 3), D (6; 1), M (-8; 5).
1.21. A (-2; 3), B (2; 4), D (4; 1), M (0; 7).
1.22. A (-3; -1), B (-1; 3), D (2; -2), M (8; 10 ).
1.23. A (-2; 4), B (1; 7), D (4; 2), M (-2; -4).
1.24. A (-1; -3), B (1; 1), D (5; -1), M (-1; 7 ).
1.25. A (-2; 5), B (2; 7), D (4; 3), M (-2; 15).
1.26. A (-3; -1), B (3; 2), D (0; -3), M (0; 11).
1.27. A (-4; 0), B (0; 2), D (3; -3), M (1; 9).
1.28. A (-2; 1), B (2; 3), D (1; -2), M (0; -7).
1.29. A (-2; -2), B (0; 2), D (1; -3), M (-7; 9).
1.30. A (-3; -1), B (1; 1), D (-1; -2), M (-1; 6).
1.31. A (-2; 0), B (1; 3), D (2; -1), M (-7; 5).
Задание 2. Даны вершины А, В, Д и А1 параллелепипеда
АВСДА1В1С1Д1 и точка К:
1. Найдите координаты всех остальных вершин параллелепипеда.

2. Найдите координаты векторов: a = AB , b = AD , c = AA1 .
3. Найдите координаты векторов:
a + b , a − c , a + 2b , 2a + b − c .
4. Проверьте, образуют ли векторы a , b , c базис.
5. Найдите разложение вектора AK по базису a , b , c .
2.1. А (1;-2;-3), В (4;-4;-2), Д (0;-1;-5), А1 (3;-1;-6), К (13;-10;-1).
2.2. А (-1;-2;1), В (1;-1;1), Д (0;-3;3), А1 (1;0;0), К (1;2;-5).
2.3. А (2;-4;3), В (7;-5;7), Д (6;-2;0), А1 (-1;0;3), К (25;-16;8).
2.4. А (5;3;-1), В (4;7;1), Д (8;5;3),
А1 (0;-2;5), К (-12;-1;37).
2.5. А (-3;4;0), В (-1;9;4), Д (3;-3;1), А1 (-4;8;-3), К (-8;33;-2).
2.6. А (1; 1; 1), В (2; 8; 4), Д (4; 5; 3), А1 (5; 9; 6), К (8; 33; 15).
2.7. А (-1; 2; 0), В (9; 5; 1), Д (0; 6; 2), А1 (2; 11; 2), К (18; 32; 7).
2.8. А (-2; 1; 3), В (5; 3; 4), Д (2; 4; 8), А1 (1; 5; 1), К (0; -4; -10).
2.9. А (4; 1; -2), В (5; 3; 1), Д (3; 4; 0), А1 (11; -2; 3), К (10; 11; 15).
2.10. А (-3; 2; 1), В (1; 9; 9), Д (6; 3; 4), А1 (-1; -2; 2), К (-2; -11; -12).
2.11. А (0; 0; 2), В (2; 7; 5), Д (3; 1; 10), А1 (2; -7; 6), К (16; 14; 29).
2.12. А (-3; 3; 4), В (5; 5; 7), Д (1; 9; 14), А1 (0; 1; 5), К (4; 7; 15).
2.13. А (2; -2; 0), В (4; 2; 1), Д (3; 1; 6), А1 (7; 1; 1), К (26; 18; 6).
2.14. А (4; -3; 1), В (5; -5; 4), Д (8; 4; 3), А1 (10; 1; 3), К (18; 15; 7).
82
2.15. А (-1; -2; -1), В (0; 2; 2), Д (5; 6; 4), А1 (2; -1; 3), К (20; 16; 32).
2.16. А (-3; 2; 2), В (-1; 1; 6), Д (-6; 2; 0), А1 (1; 7; -1), К (-3; 13; -12).
2.17. А (0; 4; 0), В (5; 8; 1), Д (-3; 9; 2), А1 (2; 3; 3), К (7; 27; 4).
2. 18. А (-1; -1; 4), В (-2; 0; 6), Д (1; -4; -1), А1 (-7; 2; 3), К (27; -20; -3).
2.19. А (5; 1; 0), В (6; 4; 4), Д (3; 6; 0), А1 (8; 1; 4), К (18; -4; -4).
2.20. А (2; 2; -1), В (3; 1; 0), Д (-3; -1; 0), А1 (4; 1; -1), К (-13; -8; 4).
2.21. А (4; -1; 0), В (7; 0; 2), Д (-3; -3; -4), А1 (0; -1; 3), К (20; 5; 15).
2.22. А (-3; -2; 3), В (-6; -2; 4), Д (-1; 5; 0), А1 (-7; 1; 8), К (-19; 31; 16).
2.23. А (-1; -1; 2), В (4; 0; 4), Д (-3; 0; -1), А1 (3; -4; 7), К (14; -16; 26).
2.24. А (4; -2; 0), В (4; 0; -3), Д (8; -5; -2), А1 (-1; -6; 0), К (-15; -7; -4).
2.25. А (2; 2; -3), В (5; 1; -1), Д (0; 5; -2), А1 (6; -3; 0), К (-1; 4; -6).
2.26. А (-1; 0; 2), В (4; 3; 3), Д (-2; 2; -1), А1 (2; -4; 4), К (-10; 34; -18).
2.27. А (-3; 1; 1), В (0; 2; -2), Д (-5; 5; 2), А1 (-2; -1; 6), К (-2; 13; -19).
2.28. А (5; 1; 0), В (11; 2; -3), Д (2; 3; 1), А1 (4; -2; 4), К (20; 7; -17).
2.29. А (2; -1; -1), В (6; 1; 2), Д (-1; 0; -9), А1 (4; -5; 4), К (-10; 13; -32).
2.30. А (3; 4; -1), В (1; 5; 2), Д (6; -2; 1), А1 (2; 1; -2), К (34; -2; 21).
2.31. А (3;2;4), В (10;0;9), Д (0;3;4), А1 (7;5;3),
К (-8;-7;12).
Задание 3. Найти х и y при которых векторы a и b коллинеарны.
3.1.
a = (3, 1, x),
b = (y, 2,4).
3.2. a = (x, -4, 2),
b = (3, y, 6).
3.3.
a = (-3, x, 4),
b = (-1, 2, y).
3.4. a = (2, x, 5),
b = (4, 1, y).
3.5.
a = (х, 2, -1),
b = (3, -4, у).
3.6. a = (-2, х, 5),
b = (y, 6, -15).
3.7.
a = (7, -2, x),
b = (14, у, -6).
3.8. a = (х, -8, 6),
b = (3, 4, у).
3.9.
a = (9, х, -6),
b = (y, -1, 2).
3.10. a = (2, -5, x),
b = (-4, у, 12).
3.11.
a = (х, -6, 3),
b = ( -3, 2, у).
3.12. a = ( 15, х, -5), b = (y, -3, 1).
3.13. a = ( х, -4, 2), b = ( 5, у, -2). 3.14. a = (-16, х, 8), b = (-4, 5, у).
3.15. a = (х, 2, -3), b = ( 6, у, -9).
3.16. a = (-4, х, -14),
b = (2, 5, у).
3.17. a = (3, -3, х), b = ( y, 1, 4).
3.18. a = ( х, -1, 6), b = ( 4, 2, у).
3.19. a = (2, х, -8), b = ( у, 3, 4).
3.20. a = (-5, х, 15), b = ( 1, -4, у).
3.21. a = (х, 3, -2), b = (-8, у, 4).
3.22. a = (х, -6, 10), b = (4, 3, у).
3.23. a = (-4, х, 5), b = (y, 3, -15). 3.24. a = ( 21, -14, x), b = (-3, у, -5).
3.25. a = (х, 5, -6), b = (-4, -10, у). 3.26. a = (-7, х, 4), b = (28, 16, у).
3.27. a = (х, 12, -8), b = ( 5, у, 2). 3.28. a = ( -9, х, 6), b = ( y, 7, -2).
3.29. a = ( 11, -1, x), b = ( -33, у, 9). 3.30. a = (х, -7, 35), b =(-4, 1, у).
3.31.
a = (2, -4, x),
b = (-1, у, 6).
83
Задание 4. Найти скалярное произведение векторов а и b , если
4.1. | а | = 3, | b | = 2, λ = π/3.
4.2. | а | = 5, | b | = 3, λ = π/6.
4.3. | а | = 4, | b | = 7, λ = π/4.
4.4. | а | = 2, | b | = 1, λ = π/6.
4.5. | а | = 4, | b | = 8, λ = 2π/3.
4.6. | а | = 5, | b | = 3, λ = π/4.
4.7. | а | = 6, | b | = 4, λ = 3π/4.
4.8. | а | = 7, | b | = 5, λ = π/6.
4.9. | а | = 4, | b | = 5, λ = 2π/3.
4.10. | а | = 5, | b | = 6, λ = π/4.
4.11. | а | = 8, | b | = 7, λ = 3π/4.
4.12. | а | = 2, | b | = 9, λ = π/3.
4.13. | а | = 9, | b | = 7, λ = π/6.
4.14. | а | = 4, | b | = 11, λ = 5π/6.
4.15. | а | = 12, | b | = 5, λ = 2π/3.
4.16. | а | = 4, | b | = 3, λ = 3π/4.
4.17. | а | = 8, | b | = 9, λ = π/4.
4.18. | а | = 13, | b | = 4, λ = π/6.
4.19. | а | = 4, | b | = 11, λ = 2π/3.
4.20. | а | = 5, | b | = 13, λ = π/6.
4.21. | а | = 6, | b | = 3, λ = π/4.
4.22. | а | = 14, | b | = 5, λ = 5π/6.
4.23. | а | = 2, | b | = 15, λ = 3π/4.
4.24. | а | = 3, | b | = 21, λ = π/3.
4.25. | а | = 15, | b | = 6, λ = π/4.
4.26. | а | = 10, | b | = 5, λ = 3π/4.
4.27. | а | = 8, | b | = 3, λ = 2π/3.
4.28. | а | = 5, | b | = 6, λ = π/6.
4.29. | а | = 7, | b | = 8, λ = 2π/3.
4.30. | а | = 6, | b | = 9, λ = 3π/4.
4.31. | а | = 4, | b | = 5, λ = 5π/6.
Задание 5. Даны векторы а и b . Найти ( а , b ).
5.1.
а = (0, 1, 7),
b = (-2, 4, 6) .
5.2.
а = (-2, 4, 6),
b = (-3, 5, 9).
5.3.
а = (5, -3, -1),
b = (-3, 5, 0).
5.4.
а = (2, 5, 0),
b = (-2, -5, 9).
5.5.
а = (-3, 5, -4),
b = (3, 6, 4).
5.6.
а = (5, -2, -1), b = (-4, 6, 0).
5.7.
а = (-4, -1, 2),
b = (3, 7, -2).
5.8.
а = (8, -3, 4),
5.9.
а = (-6, 0, -4),
b = (5, 6, -7).
5.10. а = (12, 1, -4), b = (-1, -3, -4).
5.11.
а = (0, -6, 3),
b = (15, 4, 9). 5.12.
а = (-4, -5, 3), b = (9, -1, 7).
5.13.
а = (5, 0, -8),
b = (-3, 4, -2). 5.14.
а = (9, -7, -8), b = (3, -4, 3).
5.15.
а = (2, 5, -8),
b = (0, 6, 7).
5.16.
а = (4, -1, -3),
b = (2, 7, -4).
5.17.
а = (3, -2, -2), b = (-,5 6, -4). 5.18.
а = (7, -3, 0),
b = (5, 7, -8).
5.19.
а = (11, 3, 4),
а = (10, 0, -3), b = (-1, 2,-3).
5.21.
а = (4, -8, 2), b = (0, 7, -4).
5.22.
а = (-4, 6, -1),
b = (-3, 6,-3).
5.23.
а = (-5, -5, 3), b = (4, 8, -2).
5.24.
а = (4, 0, -3),
b = (-6, 1, 5).
b = (0, 4, -5). 5.20.
84
b = (-5, 2, -3).
5.25.
а = (7, -3, -1),
b = (-6, 0, 4).
5.26.
а = (3, -3, 8), b = (9, -2, 0).
5.27.
а = (0, -3, 5),
b = (3, 7, -1).
5.28.
а = (1, -4, 2), b = (8, 3, -7).
5.29.
а = (3, -2, -5),
b = (6, -1, 0).
5.30.
а = (3, -4, 4), b = (12, 7, 0).
5.31.
а = (-7, -1, 4),
b = (0, 6, -3).
Задание 6. Даны вершины треугольника АВС. Найти значение косинуса
внутреннего угла при вершине С.
6.1. А(1; 0; 3);
В(-3; 4; 5);
С(9; 2; 5).
6.2. А(-1; 2; 6);
В(7; 4; -3);
С(5; -2; 1).
6.3. А(2; 5; 8);
В(3; 0; 4);
С(-3; 4; 1).
6.4. А(2; 8; 1);
В(-1; 8; 9);
С(2; 5; 6).
6.5. А(-2; 3; 4);
В(-5; 1; -3);
С(-3; -5; 0).
6.6. А(3; -4; 0);
В(6; -5; 1);
С(-4; 7; -2).
6.7. А(-6; -1; 2); В(-5; 2; 0);
С(-3; -1; 6).
6.8. А(-5; 4; -3); В(4; 0; -5);
С(8; -2; -3).
6.9. А(-3; 0; -7); В(6; 5; -1);
С(4; -9; 3).
6.10. А(-2; -3; 6); В(9; -5; 0);
С(7; -4; 2).
6.11. А(1; -6; -3); В(0; -2; -7);
С(4; -4; 2).
6.12. А(-3; -1; 5); В(-6; -4; -3); С(5; -5; 0).
6.13. А(-7; 6; -3); В(6; 0; -1);
С(0; 2; -2).
6.14. А(3; 1; -1); В(1; -2; -3);
С(-7; -6; 4).
6.15. А(-1; 7; 1); В(5; 8; 9);
С(-2; 0; -1).
6.16. А(-2; -5; 7); В(-5; 7; 0);
С(-4; 5; 8).
6.17. А(5; -4; 6); В(4; -5; -1);
С(0; -3; -6).
6.18. А(6; 3; -5); В(6; 3; 2);
С(-7; 4; -2).
6.19. А(-4; -5; 4); В(9; 7; -4);
С(5; 7; 0).
6.20. А(-3; 6; -6); В(4; -6; 5);
С(-4; -8; 2).
6.21. А(4; -5; 0); В(7; 4; -7);
С(-8; -3; -5).
6.22. А(5; -4; -5); В(2; 8; 8);
С(3; 5; 8).
6.23. А(-2; 7; 4); В(6; -4; -5);
С(-2; -2; 6).
6.24. А(6; -5; 8); В(3; 5; -3);
С(5; 0; -3).
6.25. А(7; 6; 7);
В(-5; -3; -4);
С(2; -7; -6).
6.26. А(-4; -4; 5); В(3; -4; 2);
С(6; 3; 5).
6.27. А(2; -6; 6); В(0; 6; -5);
С(-4; 5; -2).
6.28. А(0; 3; 1);
В(9; -8; -1);
С(-1; -2; -4).
6.29. А(3; 8; -6); В(-1; -5; 9);
С(-5; 7; -1).
85
6.30. А(-5; -7; 4);
6.31. А(2; 6; -2);
В(4; 8; -2);
В(2; 4; 3);
С(-4; 8; -3).
С(0; 5; -7).


Задание 7. Найти координаты вектора a , коллинеарного вектору b и
 
удовлетворяющего условию a  b = k .
7.1. b = (2, 1, 2), k = -5.
7.2. b = (3, 5, 4),
k = 4.
7.3. b = (0, 1, 8), k = -7.
7.4. b = (-2, -2, 1), k = 8.
7.5. b = (3, 2, -4), k = -5.
7.6. b = (-6, -4, 3), k = 7.
7.7. b = (4, -5, -3), k = 6.
7.8. b = (5, 3, -3), k = -5.
7.9. b = (-8, 0, -1), k = -13.
7.10. b = (7, -6, 2), k = -4.
7.11. b = (3, 5, -8), k = -12.
7.12. b = (0, 5, -7), k = -3.
7.13. b = (4, -4, -3), k = -6.
7.14. b = (9, -7, -1), k = 4.
7.15. b = (-8, -3, 4), k = 7.
7.16. b = (-4, 6, 3), k = -2.
7.17. b = (0, 5, -4), k = -3 .
7.18. b = (1, 0, 5), k = 10.
7.19. b = (-7, -3, 5), k = -4 .
7.20. b = (5, 8, -3), k = -6.
7.21. b = (6, -5, -2), k = 4.
7.22. b = (-1, 1, -7), k = 13.
7.23. b = (-5, -1, 4), k = -5.
7.24. b = (7, 4, 0), k = 9.
7.25. b = (0, 8, -4), k = -16.
7.26. b = (-6, 7, -4), k = 5.
7.27. b = (-9, -7, 0), k = 12.
7.28. b = (8, -4, -3), k = 7.
7.29. b = (-2, -4, 5), k = -6.
7.30. b = (0, -2, -7), k = 15.
7.31. b = (-8, 3, 1), k = -6.
Задание 8.
Векторы b и c образует угол γ. Зная | b | и | c |,
вычислите |[ b , c ]|.
8.1. γ = π/6,
| b | = 5, | c | = 4
8.2. γ = π/4,
| b | = 2, | c | = 3
8.3. γ = π/3,
| b | = 10, | c | = 4
8.4. γ = π/2,
| b | = 3, | c | = 8
8.5. γ = π/3,
| b | = 6, | c | = 7
8.6. γ = π/4,
| b | = 5, | c | = 4
8.7. γ = π/6,
| b | = 4, | c | = 5
8.8. γ = π/4,
| b | = 8, | c | = 6
8.9. γ = π/3,
| b | = 7, | c | = 4
8.10. γ = π/2,
| b | = 4, | c | = 9
8.11. γ = π/3,
| b | = 9, | c | = 2
8.12. γ = π/6,
| b | = 12, | c | = 2
8.13. γ = π/4,
| b | = 4, | c | = 7
8.14. γ = π/2,
| b | = 7, | c | = 8
8.15. γ = π/3,
| b | = 6, | c | = 6
8.16. γ = π/4,
| b | = 4, | c | = 4
86
8.17. γ = π/3,
| b | = 5, | c | = 5
8.18. γ = π/6,
| b | = 12, | c | = 9
8.19. γ = π/2,
| b | = 8, | c | = 3
8.20. γ = π/4,
| b | = 4, | c | = 5
8.21. γ = π/3,
| b | = 5, | c | = 3
8.22. γ = π/2,
| b | = 9, | c | = 8
8.23. γ = π/4,
| b | = 5, | c | = 6
8.24. γ = π/3,
| b | = 3, | c | = 5
8.25. γ = π/6,
| b | = 6, | c | = 3
8.26. γ = π/3,
| b | = 8, | c | = 4
8.27. γ = π/4,
| b | = 5, | c | = 5
8.28. γ = π/3,
| b | = 9, | c | = 6
8.29. γ = π/6,
| b | = 4, | c | = 4
8.30. γ = π/2,
| b | = 5, | c | = 7
8.31. γ = π/6,
| b | = 3, | c | = 3
Задание 9. Найти векторное произведение а и c .
9.1.
а = (0, 2, 5),
c = (-2, 4, 6).
9.2.
а = (3, 7, 2),
c = (2, 0, -5).
9.3.
а = (1, 4. -7),
c = (-1, 2, -6).
9.4.
а = (0, 3, 5),
c = (2, 4, 5).
9.5.
а = (-1, 4, -3)
c = (-1, -2, 3).
9.6.
а = (-6, 2, -3),
c = (0, -1, 8).
9.7.
а = (2, 5, 7),
c = (6, -3, 3).
9.8.
а = (-1, -2, 3),
c = (5, 2, 0).
9.9.
а = (6, 9, -4),
c = (-3, 4, 2).
9.10.
а = (-3, 8, 7),
c = (2, 9, -1).
9.11.
а = (2, -2, 5),
c = (0, -3, 4).
9.12.
а = (2, -2, 6),
c = (4, -5, 0).
9.13.
а = (4, 7 8),
c = (-1, 9, -2).
9.14.
а = (0, -3, 8),
c = (4, -3, 3).
9.15.
а = (-5, -4, 0),
c = (3, 4, 6).
9.16.
а = (1, 3, 0),
c = (-6, 8, -4).
9.17.
а = (-3, 2, -3),
c = (0, -5, 8).
9.18.
а = (5, 4, -2),
c = (3, -1, 5).
9.19.
а = (6, 8, 1),
c = (2, -4, -6).
9.20.
а = (-4, 9, -3),
c = (8, 4, -2).
9.21.
а = (0, -1, -3),
c = (7, 8, 6).
9.23.
а = (4, 3, 0),
c = (-5, 3, 9).
9.24.
а = (-7, 2, 6),
c = (-2, 6, 0).
9.25.
а = (-4, -2, 7),
c = (3, -4, -2).
9.26.
а = (0, -4, 1),
c = (5, 3, -1).
9.27.
а = (9, -3, 0),
c = (2, 7, -2).
9.28.
а = (-8, 0, -3), c = (7, -4, 3).
9.29.
а = (2, 4, -5),
c = (9, 4, 0).
9.30.
а = (-5, 0, 6),
9.31.
а = (-4, 0, 4),
c = (-3, 4, 7).
Задание 10.
точках А, В, С.
10.1. А(2; 0; 5),
10.2. А(-1; 4; 2),
10.3. А(0; -1; 3),
9.22. а = (-3, 3, -4), c = (7, -3, 2).
c = (-9, 2, -2).
Вычислите площадь треугольника с вершинами в
В(-1; 4; 3),
В(0; 2; 3),
В(-2; 4; 6),
С(2; 0; 3).
С(1; 3; 4).
С(0; -2; 5).
87
10.4. А(-1; -3; 4),
10.5. А(5; -1; 3),
10.6. А(9; 4; -1),
10.7. А(-3; 0; -6),
10.8. А(0; -5; 2),
10.9. А(1; -6; -4),
10.10. А(-7; 0; 2),
10.11. А(3; -1; 5),
10.12. А(-4; -8; 0),
10.13. А(-8; 1; 7),
10.14. А(5; -7; -2),
10.15. А(-1; -1; 6),
10.16. А(-6; 7; -2),
10.17. А(0; 6; -3),
10.18. А(7; -4; -3),
10.19. А(-7; -4; 5),
10.20. А(9; -3; 3),
10.21. А(-6; 1; -4),
10.22. А(-3; 0; -5),
10.23. А(-4; 7; -3),
10.24. А(-1; 0; -4),
10.25. А(-5; 7; -3),
10. 26. А(-4; 3; -2),
10.27. А(-1; -1; 0),
10.28. А(-2; -4; 4),
10.29. А(-6; -2; 3),
10.30. А(0; 5; -3),
10.31. А(4; -1; -2),
Задание 11.
В(-3; 5; -7),
В(5; -3; 2),
В(-3, 3; -5),
В(-8; -3; 4),
В(9; -5; 0),
В(-8; 5; -4),
В(-6; 3; 4),
В(-7; -1; 2),
В(-2; -3; 1),
В(5; 0; -1),
В(-3; 3; -2),
В(-2; 0; 4),
В(6; -3; 5),
В(-3; -4; 1),
В(2; -5; 0),
В(7; -4; -1),
В(-4; 1; 8),
В(-5; -4; -3),
В(-9; -4; 3),
В(8; -1; 2),
В(5; -4; 2),
В(-3; -1; -2),
В(-2; 5; 0),
В(8; 7; -6),
В(-1; 1; -5),
В(7; -3; 2),
В(6; -3; 2),
В(-8; 5; -2),
С(2; -7; 6).
С(-7; 4; 2).
С(-5; 0; -7).
С(6; -4; -2).
С(-4; -3; 4).
С(3; 0;- 5).
С(-3; -2; 2).
С(0; 3; -8).
С(4; -2; 7).
С(-5; 4; -3).
С(1; -2; 9).
С(-4; 5; -2).
С(-3; 6; 5).
С(-2; -2; 8).
С(-6; -1; 3).
С(-5; -4; 3).
С(-5; 3; -2).
С(0; 6; -2).
С(-2; 6; -3).
С(-4; 7; 0).
С(-7; -4; 1).
С(-4; -7; 2).
С(9; -5; -1).
С(4; -3; 4).
С(2; -2; -3).
С(0; 4; -9).
С(-5; -1; -3).
С(-4; 0; -2).
Найти |[ b , c ]|, если известно | b |, | c | и скалярное
произведение ( b , c ).
11.1. | b | = 2, | c | = 3,
( b , c ) = 4.
11.2. | b | = 3, | c | = 4, ( b , c ) = 5.
11.3. | b | = 3, | c | = 5,
( b , c ) = 5.
11.4. | b | = 4, | c | = 3, ( b , c ) = 6.
11.5. | b | = 4, | c | = 6,
( b , c ) = 3.
11.6. | b | = 7, | c | = 2, ( b , c ) = 9.
11.7. | b | = 5, | c | = 6,
( b , c ) = 7.
11.8. | b | = 4, | c | = 3, ( b , c ) = 6.
88
11.9. | b | = 2, | c | = 7,
( b , c ) = 8.
11.10. | b | = 5, | c | = 8, ( b , c ) = 7.
11.11. | b | = 4, | c | = 8, ( b , c ) = 10. 11.12. | b | = 6, | c | = 7, ( b , c ) = 14.
11.13. | b | = 3, | c | = 4,
( b , c ) = 8. 11.14. | b | = 7, | c | = 6, ( b , c ) = 10.
11.15. | b | = 5, | c | = 6,
( b , c ) = 9. 11.16. | b | = 9, | c | = 2, ( b , c ) = 5.
11.17. | b | = 6, | c | = 7,
( b , c ) = 8. 11.18. | b | = 8, | c | = 5, ( b , c ) = 9.
11.19. | b | = 8, | c | = 5,
( b , c ) = 4. 11.20. | b | = 3, | c | = 4, ( b , c ) = 8.
11.21. | b | = 5, | c | = 9,
( b , c ) = 7. 11.22. | b | = 5, | c | = 9, ( b , c ) = 3.
11.23. | b | = 7, | c | = 4, ( b , c ) = 10. 11.24. | b | = 6, | c | = 4, ( b , c ) = 5.
11.25. | b | = 4, | c | = 1,
( b , c ) = 5. 11.26. | b | = 2, | c | = 3, ( b , c ) = 7.
11.27. | b | = 2, | c | = 9,
( b , c ) = 6. 11.28. | b | = 4, | c | = 5, ( b , c ) = 6.
11.29. | b | = 9, | c | = 3,
( b , c ) = 7. 11.30. | b | = 9, | c | = 5, ( b , c ) = 3.
11.31. | b | = 10, | c | = 6,
(b , c ) = 6 .
Задание 12.
Найти координаты единичного вектора е , который
будучи перпендикулярен векторам а и b , образует с ними правую тройку.
12.1.
а = (1, 0, 5),
b = (2, 4, 3).
12.2. а = (-1, 2, 3), b = (2, -2, 3).
12.3.
а = (1, 0, 2),
b = (3, -4, 0).
12.4. а = (2, -5, 3), b = (1, 0, 0).
12.5.
а = (0, 3, -1), b = (5, -2, 3).
12.6. а = (4, 7, -2), b = (2, -3, 0).
12.7.
а = (5, -3, 4), b = (1, -2, 1).
12.8. а = (3, -6, -1), b = (0, -5, 4).
12.9.
а = (-8, 2, -1), b = (9, 2, 3).
12.10. а = (-3, 0, -4), b = (7, 0, 3).
12.11. а = (-1, 4, -7), b = (5, -2, 0).
12.12. а = (-1, 4, 2), b = (5, 3, 0).
12.13. а = (3, 1, 4),
b = (-2, 7, 1).
12.14. а = (5, 3, 0), b = (-3, 2, 6).
12.15. а = (4, 0, 5), b = (-3, 5, -2).
12.16. а = (-1, 4, 2), b = (1, -4, 5).
12.17. а = (3, 1, 8), b = (2, -5, 2).
12.18. а = (3, -6, 7), b = (9, 3, 1).
12.19. а = (5, 0, 3), b = (6, -4, 2).
12.20. а = (-4, 1, 0), b = (8, 1, -2).
12.21. а = (-3, 1, -1), b = (3, -4, 0).
12.22. а = (1, -1, 5), b = (8, -3, 0).
12.23. а = (7, -2, 2), b = (2, -3, 1).
12.24. а = (3, -2, 3), b = (4, 0, 2).
12.25. а = (5, 0, 4),
b = (2, -2, 1).
12. 26. а = (7, -1, 1), b = (4, -1, 3).
12.27. а = (5, -2, 2), b = (1, -3, 2).
12.28. а = (-4, 8, 3), b = (5, 1, 1).
12.29. а = (6, -1, 3), b = (-2, -1, 1).
12.30. а = (4, -1, -3), b = (7, 2, 3).
12.31.
а = (-4, 1, 5),
b = (-3, 6, 1).
89
Задание 13. Даны точки А, В, С – вершины ∆АВС. Вычислить длину
высоты, опушенной из вершины В на сторону АС.
13.1.
А(2; 0; 5),
В(3; -2; 4),
С(0; 5; 0).
13.2.
А(1; -3; 2),
В(1; 1; 0),
С(2; -3; 4).
13.3.
А(-1; 2; 3),
В(3; 0; -1),
С(0; 0; 5).
13.4.
А(1; 0; 1),
В(0; 1; -3),
С(0; 0; 5).
13.5.
А(1; 0; 3),
В(-3; 4; 5),
С(9; 2; 5).
13.6.
А(-1; 2; 6),
В(7; 4; -3),
С(5; -2; 1).
13.7.
А(2; 5; 8),
В(3; 0; 4),
С(-3; 4; 1).
13.8.
А(2; 8; 1),
В(-1; 8; 9),
С(2; 5; 6).
13.9.
А(-2; 3; 4),
В(-5; 1; -3),
С(-3; -5; 0).
13.10. А(3; -4; 0),
В(6; -5; 1),
С(-4; 7; -2).
13.11. А(-6; -1; 2), В(-5; 2; 0),
С(-3; -1; 6).
13.12. А(-5; 4; -3), В(4; 0; -5),
С(8; -2; -3).
13.13. А(-3; 0; -7), В(6; 5; -1),
С(4; -9; 3).
13.14. А(-2; -3; 6), В(9; -5; 0),
С(7; -4; 2).
13.15. А(2; 0; 5),
В(-1; 4; 3),
С(2; 0; 3).
13.16. А(-1; 4; 2),
В(0; 2; 3),
С(1; 3; 4).
13.17. А(0; -1; 3),
В(-2; 4; 6),
С(0; -2; 5).
13.18. А(-1; -3; 4),
В(-3; 5; -7),
С(2; -7; 6).
13.19. А(5; -1; 3),
В(5; -3; 2),
С(-7; 4; 2).
13.20. А(9; 4; -1),
В(-3, 3; -5),
С(-5; 0; -7).
13.21. А(-3; 0; -6),
В(-8; -3; 4),
С(6; -4; -2).
13.22. А(0; -5; 2),
В(9; -5; 0),
С(-4; -3; 4).
13.23. А(1; -6; -4),
В(-8; 5; -4),
С(3; 0;- 5).
13.24. А(-7; 0; 2),
В(-6; 3; 4),
С(-3; -2; 2).
13.25. А(3; -1; 5),
В(-7; -1; 2),
С(0; 3; -8).
13.26. А(-4; -8; 0),
В(-2; -3; 1),
С(4; -2; 7).
13.27. А(-8; 1; 7),
В(5; 0; -1),
С(-5; 4; -3).
13.28. А(5; -7; -2),
В(-3; 3; -2),
С(1; -2; 9).
13.29. А(-1; -1; 6),
В(-2; 0; 4),
С(-4; 5; -2).
13.30. А(-6; 7; -2),
В(6; -3; 5),
С(-3; 6; 5).
13.31. А(0; 6; -3),
В(-3; -4; 1),
С(-2; -2; 8).
90
 
Задание 14. На векторах a и b построен параллелограмм. Найти:
а) угол между диагоналями параллелограмма;
б) площадь параллелограмма;

в) высоту параллелограмма, опущенную на вектор b ;



г) проекцию пр a b вектора b на вектор a .
 

 

 


b = m +4 n ,
14.1. a = -2 m + n ,
| m |=1, | n |=2,
( m , n )=600
 
  

 


b = m +2 n ,
14.2. a =3 m - n ,
| m |=1, | n |=2,
( m , n )=600
  
  

 

b =m-n,
14.3. a = m + n ,
| m |=2, | n |=1,
( m , n )=1200
  
  

 

b = m -2 n ,
14.4. a =2 m + n ,
| m |=2, | n |=2,
( m , n )=1200
  
  

 

b =m+n,
14.5. a =3 m + n ,
| m |=1, | n |= 2 ,
( m , n )=450
  
  

 

b =m-n,
14.6. a = m + n ,
| m |= 2 , | n |=1,
( m , n )=450

  
 

 

14.7. a =5 m +3 n , b =5 m -3 n ,
| m |=1, | n |=2 2 , ( m , n )=1350
 
  

 


b = m +3 n ,
14.8. a =- m +2 n ,
| m |= 2 , | n |=3,
( m , n )=1350
  
  

 

b =- m + n ,
14. 9. a = m + n ,
| m |=1, | n |= 3 ,
( m , n )=300
 
  

 


b = m +2 n ,
14.10. a =- m - n ,
| m |= 3 , | n |=2,
( m , n )=300
  
  

 

b =m-n,
14.11. a = m + n ,
| m |= 3 , | n |=2,
( m , n )=1500

  
 

 

b =5 m + n ,
14.12. a =4 m + n ,
| m |=2, | n |=3 3 , ( m , n )=1500
 
  

 


b = m +2 n ,
14.13. a =6 m + n ,
| m |=1, | n |=1,
( m , n )=900

  
 

 

b =2 m + n ,
14.14. a = m + n ,
| m |=1, | n |=3, ( m , n )=arccos 1/3

  


 


14.15. a =7 m +2 n , b =7 m +2 n , | m |=5, | n |=1, ( m , n )=arccos 2/5

  


 


b =-2 m +5 n , | m |=1, | n |=7,
14.16. a =3 m + n ,
( m , n )=arccos 2/7
  
  

 

b =m+n,
14.17. a =2 m +3 n ,
| m |=5, | n |=1, ( m , n )=arccos 4/5

  
 

 

b =-2 m + n , | m |=4, | n |=5, ( m , n )=arccos 3/5
14.18. a =3 m +2 n ,
  
  

 

b =m +n,
14.19. a = m -3 n ,
| m |=1, | n |=9, ( m , n )=arccos 1/9
 
  

 

b =- m ,
14.20. a =2 m -5 n ,
| m |=9, | n |=1, ( m , n )=arccos 2/9
  
  

 

b = m -2 n , | m |=1, | n |=5, ( m , n )=arccos 3/5
14.21. a =4 m + n ,
  
  

 

b = m -7 n , | m |=1, | n |=4, ( m , n )=arccos 1/4
14.22. a =7 m + n ,
  
  

 

b =m +n,
14.23. a =2 m -3 n ,
| m |=3, | n |=1, ( m , n )=arccos (-1/3)
  
  

 

b =m-n,
14.24. a = m + n ,
| m |=1, | n |=5, ( m , n )=arccos (-1/5)
 



 


14.25. a =-2 m +5 n , b =- n ,
| m |=1, | n |=7, ( m , n )=arccos (-3/7)

  
 

 

b =2 m + n , | m |=1, | n |=3,
14.26. a =4 m -5 n ,
( m , n )=arccos (-2/3)
 
  

 


b =- m +2 n , | m |=5, | n |=1, ( m , n )=arccos (-4/5)
14.27. a = m +7 n ,
91
  
14.28. a = m -7 n ,
  
14.29. a =8 m - n ,
  
14.30. a =8 m +3 n ,



14.31. a =-9 m +2 n ,
  

 

b =m+n,
| m |=9, | n |=2, ( m , n )=arccos (-2/9)
  

 

b =m-n,
| m |=1, | n |=10, ( m , n )=arccos 1/10



 


b =-5 m +2 n , | m |=10, | n |=2, ( m , n )=arccos (-3/10)



 


b =2 m +3 n , | m |=1, | n |=10, ( m , n )=arccos 7/10
Задание 15.
  
векторах a , b , c .
Вычислить объем параллелепипеда, построенного на
15.1. а = (3, 0, 5),
b =(-2, 4, 1),
c = (0, -1, 5).
15.2. а = (-2, 1, 3),
b =(5, 4, -3),
c = (0, 2, 0).
15.3. а = (-1, -1, 5),
b =(-2, 0, 3),
c = (-1, 4, 6).
15.4. а = (2, 0, -3),
b =(1, -2, 4),
c = (0, -7, 3).
15.5.
а = (0, 1, 7),
b = (-2, 4, 6),
c = (-2, 4, 6).
15.6.
а = (5, -3, -1),
b = (-3, 5, 0),
c = (-3, 5, 9).
15.7.
а = (2, 5, 0),
b = (-2, -5, 9),
c = (-4, 6, 0).
15.8.
а = (-3, 5, -4),
b = (3, 6, 4) ,
c = (5, -2, -1).
15.9.
а = (-4, -1, 2),
b = (3, 7, -2),
c = (8, -3, 4).
15.10.
а = (-6, 0, -4),
b = (5, 6, -7),
c = (-5, 2, -3).
15.11. а = (12, 1, -4),
b = (-1, -3, -4),
c = (9, -1, 7).
15.12.
а = (0, -6, 3),
b = (15, 4, 9),
c = (-4, -5, 3).
15.13.
а = (5, 0, -8),
b = (-3, 4, -2),
c = (9, -7, -8).
15.14.
а = (2, 5, -8),
b = (0, 6, 7),
c = (3, -4, 3).
15.15.
а = (4, -1, -3),
b = (2, 7, -4),
c = (5, 7, -8).
15.16.
а = (3, -2, -2),
b = (-,5 6, -4),
c = (7, -3, 0).
15.17.
а = (11, 3, 4),
b = (0, 4, -5),
c = (10, 0, -3).
15.18.
а = (4, -8, 2),
b = (0, 7, -4),
c = (-1, 2,-3).
15.19.
а = (-4, 6, -1),
b = (-3, 6,-3),
c = (-6, 1, 5).
15.20. а = (-5, -5, 3),
b = (4, 8, -2),
c = (4, 0, -3).
15.21.
а = (7, -3, -1),
b = (-6, 0, 4),
c = (3, -3, 8).
15.22.
а = (0, -3, 5),
b = (3, 7, -1),
c = (1, -4, 2).
15.23.
а = (3, -2, -5),
b = (6, -1, 0),
c = (8, 3, -7).
15.24.
а = (-7, -1, 4),
b = (0, 6, -3),
c = (9, -2, 0).
92
15.25.
а = (3, -4, 4),
b = (12, 7, 0),
15.6.
а = (2, -2, 5),
b = (1, 6, -3),
c = (8, 7, -3).
15.27.
а = (0, -1, 2),
b = (2, 9, -2),
c = (4, 1, -4).
15.28.
а = (4, 3, -1),
b = (5, 0, -3),
c = (3, 7, -2).
15.29.
а = (8, 5, 1),
b = (-2, 6, -2),
c = (4, 2, 3).
15.30.
а = (-2, 0, 1),
b = (9, -5, 3),
c = (1, 4, 6).
15.31.
а = (8, -1, 3),
b = (0, 4, 5),
c = (1, -1, 7).
c = (0, -3, -5).
  
Задание 16. При каком значении х тройка векторов a , b , c левая?
16.1.
а = (0, х, 5),
b = (5, -2, 4),
c = (2, 2, -3).
16.2.
а = (2, 4, -3),
b = (3, 7, х),
c = (-2, -2, 5).
16.3.
а = (-2, 4, 1),
b = (2, 0, -3),
c = (х, 5, 2).
16.4.
а = (2, 2, 0),
b = (-1, 4, 5),
c = (2, х, -4).
16.5.
а = (х, -3, 1),
b = (2, -3, 2),
c = (4, 0, 6).
16.6.
а = (7, -5, 2),
b = (х, 1, 0),
c = (-4, 7, 2).
16.7.
а = (5, -3, 6),
b = (-1, 0, -2),
c = (3, -2, х).
16.8.
а = (-6, х, -4),
b = (4, -3, -2),
c = (-7, 1, 3).
16.9.
а = (-3, -2, 6),
b = (3, -7, х),
c = (8, -5, 4).
16.10.
а = (-5, -3, 2),
b = (-1, 6, -2),
16.11.
а = (-1, 4, х),
b = (2, -3, 2),
c = (5, -3, 3).
16.12.
а = (4, -2, -1),
b = (6, -5, 0),
c = (х, -3, 2).
16.13.
а = (5, 3, -4),
b = (х, 9, -3),
c = (0, 3, -2).
16.14.
а = (8, -7, -1),
b = (4, 0, -3),
c = (6, -3, х).
16.15.
а = (х, -6, 7),
b = (1, 2, -3),
c = (0, 7, -2).
16.16.
а = (4, 0, -3),
b = (х, -1, 0),
c = (5, -3, 9).
16.17.
а = (-2, -3, х),
b = (-1, 4, 5),
c = (2, 5, -4).
16.18.
а = (-4, 0, -5),
b = (6, х, 2),
c = (9, -1, 5).
16.19.
а = (-5, 4, -3),
b = (-1, 2, 4),
c = (3, 2, х).
16.20.
а = (2, -3, -3),
b = (8, -3, х),
c = (-5, -3, 2).
16.21.
а = (х, -4, 7),
b = (6, -3, -1),
c = (3, 4, 0).
16.22.
а = (7, 2, -1),
b = (6, х, -2),
c = (5, -1, 4).
93
c = (7, -4, х).
16.23.
а = (0, х, -3),
b = (-1, 7, -4),
c = (1, -5, 3).
16.24.
а = (2, 4, -1),
b = (-7, -3, 6),
c = (-4, 1, х).
16.25.
а = (х, -2, 4),
b = (0, 2, -2),
c = (-3, 3, -1).
16.26.
а = (6, -4, 1),
b = (х, -6, 2),
c = (-4, 0, -3).
16.27.
а = (8, 0, -5),
b = (4, -6, х),
c = (-2, 3, -5).
16.28.
а = (-5, 9, -1),
b = (4, -7, 2),
c = (х, -6, 2).
16.29.
а = (0, х, -9),
b = (2, 0, -7),
c = (-3, 3, -2).
16.30.
а = (9, -4, -1),
b = (-5, х, 3),
c = (-1, 4, -4).
16.31.
а = (-4, 5, 0),
b = (1, -4, 5),
c = (-5, х, 3).
Задание 17. Даны вершины тетраэдра А, В, С, D. Найти длину
высоты, опущенной из вершины С.
17.1. А(2; 0; 3), В(-1; 4; 2), С(2; 3; 1),
D(-2; 0; -2).
17.2. А(-1; 4; 5), В(0; 3; -2), С(-1; 2; 0), D(5; 2; -1).
17.3. А(2; 4; 5), В(2; 0; 3), С(-1; -5; 6), D(3; 7; -5).
17.4. А(-2; 3; -4), В(-5; 2; 0), С(7; 8; -3), D(0; 4; 3).
17.5. А (1;-2;-3), В (4;-4;-2), C (0;-1;-5), D (3;-1;-6).
17.6. А (-1;-2;1), В (1;-1;1),
C (0;-3;3), D (1;0;0).
17.7. А (2;-4;3), В (7;-5;7),
C (6;-2;0), D (-1;0;3).
17.8. А (5;3;-1), В (4;7;1),
C (8;5;3),
D (0;-2;5).
17.9. А (-3;4;0),
В (-1;9;4),
C (3;-3;1),
D (-4;8;-3).
17.10. А (1; 1; 1),
В (2; 8; 4),
C (4; 5; 3),
D (5; 9; 6).
17.11. А (-1; 2; 0), В (9; 5; 1),
C (0; 6; 2),
D (2; 11; 2).
17.12. А (-2; 1; 3), В (5; 3; 4),
C (2; 4; 8),
D (1; 5; 1).
17.13. А (4; 1; -2), В (5; 3; 1),
C (3; 4; 0),
D (11; -2; 3).
17.14. А (-3; 2; 1),
В (1; 9; 9),
C (6; 3; 4),
D (-1; -2; 2).
17.15. А (0; 0; 2),
В (2; 7; 5),
C (3; 1; 10), D (2; -7; 6).
17.16. А (-3; 3; 4),
В (5; 5; 7),
C (1; 9; 14), D (0; 1; 5).
17.17. А (2; -2; 0),
В (4; 2; 1),
C (3; 1; 6),
D (7; 1; 1).
17.18. А (4; -3; 1),
В (5; -5; 4),
C (8; 4; 3),
D (10; 1; 3).
17.19. А (-1; -2; -1), В (0; 2; 2),
C (5; 6; 4),
D (2; -1; 3).
17.20. А (-3; 2; 2), В (-1; 1; 6),
C (-6; 2; 0), D (1; 7; -1).
17.21. А (0; 4; 0),
В (5; 8; 1),
C (-3; 9; 2), D (2; 3; 3).
17.22. А (-1; -1; 4), В (-2; 0; 6),
C (1; -4; -1), D (-7; 2; 3).
17.23. А (5; 1; 0), В (6; 4; 4),
C (3; 6; 0),
D (8; 1; 4).
94
17.24. А (2; 2; -1),
17.25. А (4; -1; 0),
17.26. А (-3; -2; 3),
17.27. А (-1; -1; 2),
17.28. А (4; -2; 0),
17.29. А (2; 2; -3),
17.30. А (-1; 0; 2),
17.31. A (1;2;-5)
В (3; 1; 0),
В (7; 0; 2),
В (-6; -2; 4),
В (4; 0; 4),
В (4; 0; -3),
В (5; 1; -1),
В (4; 3; 3),
B (0; -4; -1)
C (-3; -1; 0),
C (-3; -3; -4),
C (-1; 5; 0),
C (-3; 0; -1),
C (8; -5; -2),
C (0; 5; -2),
C(-2; 2; -1),
C (4; -7; 1)
95
D (4; 1; -1).
D (0; -1; 3).
D (-7; 1; 8).
D (3; -4; 7).
D (-1; -6; 0).
D (6; -3; 0).
D (2; -4; 4).
D (7; 2; 4).
Раздел 5. Элементы аналитической геометрии
5.1. Прямая на плоскости
Всякий ненулевой вектор, параллельный прямой d, будем называть
направляющим вектором этой прямой.
Прямая может быть задана:

1) точкой M 0 и направляющим вектором a ;
2) любыми двумя своими различными точками M 1 и M 2 ;

3) точкой M 0 и вектором n  0, перпендикулярным прямой.
Рассмотрим эти уравнения прямой.
1) Пусть прямая задана точкой M 0 ( x0 , y 0 ) и направляющим вектором

a = {a1 , a 2 } .
Тогда для любой точки M ( x, y) на

прямой M 0 M = {x − x0 , y − y0 } || a. Записав
Рисунок 15 – Направляющий вектор
прямой
последнее условие через отношение
координат, мы получим каноническое
уравнение прямой: x − x0 = y − y 0 .
a1

a2

Если мы условие M 0 M || a запишем в виде M 0 M = ta , где t пробегает
всё множество вещественных чисел R1 , то получим параметрические
x = x0 + ta1
, tR.
 y = y 0 + ta2
уравнения прямой: 
2) Если прямая задана двумя своими различными точками M 1 ( x1 , y1 ) ,
M 2 ( x2 , y 2 ) ,
то
за
направляющий
вектор
можно
взять
вектор
M 1 M 2 = {x2 − x1 , y 2 − y1 } .
Рисунок 16 – Прямая,
проходящая через две точки
Подставив в каноническое уравнение эти
данные,
получим
уравнение
прямой,
проходящей через две заданные точки
M 1 ( x1 , y1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) :
x − x1
y − y1 .
=
x2 − x1 y 2 − y1
В частности, если заданы точки пересечения прямой с осями
координат:
96
Пусть теперь
A (a, 0) ,
B (0, b)
–
точки пересечения прямой с осями Ох и
Оу
соответственно,
подставляя
координаты точек А и В в уравнение
прямой, заданной двумя точками,
получим уравнение x + y = 1 , называемое
a
b
Рисунок 17 – Уравнение прямой в
отрезках
уравнением прямой в отрезках.
3) Если прямая задана точкой M 0 и

вектором n = { A, B} , перпендикулярным прямой,
то для любой точки M ( x, y) на прямой вектор


M 0 M = {x − x0 , y − y0 } ⊥ n , т.е. ( M 0 M , n ) = 0 ,
Рисунок 18 – Прямая,
перпендикулярная вектору
откуда получаем уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору:
A( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) = 0 .
Для прямой на плоскости наиболее применимо уравнением прямой с
угловым коэффициентом. Рассмотрим это уравнение
Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: Ax+By+C=0. Если
B  0 , уравнение можно переписать в другом виде.
Разделив на B , мы запишем уравнение
этой прямой в виде y = kx + b.
Такое уравнение прямой называется
уравнением
прямой
с
угловым
коэффициентом. В этом уравнении k = tg,
Рисунок 19 – Уравнение прямой
с угловым коэффициентом
а b есть ордината точки пересечения
данной прямой с осью ОY.
Если прямая проходит через точку М о ( x0 , y 0 ) и имеет угловой
коэффициент k , то уравнение прямой записывается в виде:
y − у0 = k (x − х0 ).
Пример 1. Даны вершины треугольника АВС: А(-1; 2), В(4; 4), С(3; 1). Найти уравнения сторон треугольника.
Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две
точки:
97
x +1 y − 2
x +1 y − 2
2
2
12
=

=
 у − 2 = ( x + 1)  у = х + ,
4 +1 4 − 2
5
2
5
5
5
x−4
y−4
x−4 y−4
ВС :
=

=
 у − 4 = 5( x − 4 )  у = 5 х − 16,
3 − 4 −1− 4
−1
−5
x +1
y−2
x +1 y − 2
3
3
5
АС :
=

=
 у − 2 = − ( x + 1)  у = − х + .
3 +1 −1− 2
4
−3
4
4
4
АВ :
5.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Если
прямые
l1
и
l2
заданы
уравнениями
с
угловыми
коэффициентами l1  у = k1 x + b1 и l2  y = k 2 x + b2 , то
1) l1 и l 2 параллельны  k1 = k2 , b1  b2 .
2) l1 и l 2 совпадают  k1 = k 2 , b1 = b2 .
3) l1 и l 2 перпендикулярны  k1  k 2 = −1  k 2 = −
4) l1 и l 2 образуют угол φ, то tg =
1
k1
k 2 − k1
1 + k1k 2
Пример 2. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2х-3у+5=0,
3х+2у-7=0 и одна из его вершин А(2, -3). Составить уравнения двух
других сторон прямоугольника.
Решение. Перепишем уравнения сторон в виде:
2
5
2
х +  k1 = ,
3
3
3
3
7
3
d 2  3х + 2 у − 7 = 0  у = − х +  k 2 = − .
2
2
2
2
3
Так как k1  k 2 =   −  = −1 прямые перпендикулярны. Кроме того,
3  2
d1  2 х − 3 у + 5 = 0  у =
несложно проверить то, что точка А не принадлежит этим сторонам
прямоугольника.
Сделаем схематичный рисунок:
Чтобы составить уравнение стороны
АВ отметим, что эта прямая проходит
через точку А и параллельна прямой
CD. Найдем угловой коэффициент
прямой CD:
Рисунок 20 – По условию примера 2.
3
7
3
3х + 2 у − 7 = 0  у = − х +  k = − .
2
2
2
98
Получим уравнение стороны АВ:
AB : y + 3 = −
Аналогично
3
(x − 2)  3(x − 2) + 2( y + 3) = 0  3x + 2 y = 0 .
2
составляем
уравнение
коэффициент прямой ВС: 2 х − 3 у + 5 = 0  у =
AD.
Найдем
угловой
2
5
2
х+ k = .
3
3
3
Получим уравнение стороны AD:
AB : y + 3 =
2
(x − 2)  2(x − 2) − 3( y + 3) = 0  2 x − 3 y − 13 = 0.
3
Пример 3. Даны середины сторон треугольника:
М1(-2; -1), М2(1; 3), М3(4; 0).
Составить уравнения его сторон.
Решение. Сделаем схематичный рисунок.
В силу условия задачи, отрезки М1М2,
М1М3 и М2М3 являются средними линиями
ΔАВС. Найдем уравнение стороны АВ.
Прямая АВ проходит через точку М1 и
параллельна прямой М2М3. Поэтому
k AB = k M 2 M 3 =
Рисунок 21 – По условию примера
3
y3 − y 2 0 − 3
=
= −1
x 3 − x2
4 −1
и уравнение стороны АВ примет вид:
у + 1 = −1(х + 2)  у = − х − 3.
Рассуждая аналогично получим:
ВС М 1 М 3  k BС = k M 1M 3 =
y 3 − y1 0 + 1 1
=
= ,
x 3 − x1 4 + 2 6
1
(х − 1)  у = 1 х + 17 ,
6
6
6
y − y1 3 + 1 4
АС М 1 М 2  k АС = k M 1M 2 = 2
=
= ,
x 2 − x1 1 + 2 3
4
4
16
АС : у − 0 = ( х − 4)  у = х − .
3
3
3
ВС : у − 3 =
99
5.3. Прямая в пространстве
Если прямая задана точкой M 0 (x0 , y0 , z0 ) и направляющим вектором

a = a1 , a 2 , a3 , то также, как и в случае прямой на плоскости, получаем
каноническое уравнение прямой: x − x0 = y − y0 = z − z 0
a1
a2
a3
 x = x 0 + ta1
и параметрические уравнения прямой:  y = y 0 + ta 2 , t  R.
 z = z + ta
0
3

Так же, как и в плоском случае, из канонического уравнения прямой
можно получить уравнение прямой, проходящей через две различные точки
M 1 (x1 , y1 , z1 ) и M 2 (x2 , y 2 , z 2 ) :
x − x1
y − y1
z − z1
.
=
=
x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1
Пример 4. Доказать перпендикулярность прямых:
l1 :
x −4 y +5 z −3
=
=
1
−2
3
3x + y − 5 z − 6 = 0
.
2 + 3 y − 8z − 8 = 0
и l2 : 
Решение. Найдем направляющие векторы прямых:

a1 = 1;−2;3
  
i j k
 



a 2 = 3 1 − 5 = 7i + 14 j + 7 k  a 2 = 7;14;7 .
2 3 −8
Для доказательства перпендикулярности прямых l1 и l 2 достаточно
проверить перпендикулярность их направляющих векторов. Находя
 
скалярное произведение a1  a2 = 7 − 28 + 21 = 0.


Получаем, что a1 ⊥ a2 и, следовательно, l1 ⊥ l2 .
5.4. Плоскость
Вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным
вектором (нормалью) этой плоскости.
Уравнение плоскости вида Ax + By + Cz + D = 0 называется общим

уравнением плоскости. Вектор n = ( A, B, C ) есть нормаль плоскости,
заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0 .
Если плоскость задана тремя не лежащими на одной прямой точками
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x3 , y3 , z 3 ) , то, взяв точку M 0 ( х, y, z ) и


векторы M 0 M 1 , a = M 1 M 2 , b = M 1 M 3 , мы получим уравнение этой
100
x − x1
плоскости в виде: x2 − x1
x3 − x1
y − y1
y 2 − y1
y 3 − y1
z − z1
z 2 − z1 = 0 .
z 3 − z1

Если плоскость  задана вектором n ⊥ и точкой M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) , то

точка M ( x, y, z )   тогда и только тогда, когда вектор n ⊥ M 0 M , т.е.

(n , M 0 M ) = 0 . Поэтому уравнение плоскости  есть
A( x − x0 ) + B( y − y 0 ) ) + C ( z − z 0 ) = 0 .
Пример 5. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей
через точку Мо(-2,4,-5) перпендикулярно плоскости 4х-3у+z-7=0.
Решение. Нормальный вектор плоскости

п = 4;−3;1 . Из рисунка видно, что вектор

п
является направляющим вектором
искомой
прямой.
Следовательно,
уравнение прямой имеет вид:
x+2 y−4 z+5
=
=
.
4
−3
1
Рисунок 10 - По условию
примера 5
Пример 6. Даны три точки A1 (9; 5; 5)
A2 (− 3; 7; 1)
A3 (5; 7; 8) .
Найти уравнение плоскости, проходящей через эти точки.
Решение. Составим уравнение плоскости A1 A2 A3 , как уравнение
x − x1
плоскости, проходящей через три точки: x2 − x1
x3 − x1
x−9 y −5 z −5
x−9
Получим: − 3 − 9 7 − 5 1 − 5 = 0  − 12
5−9 7−5 8−5
−4
y − y1
y 2 − y1
y3 − y1
z − z1
z 2 − z1 = 0 .
z 3 − z1
y −5 z −5
2
−4 =0
2
3
( x − 9)(6 + 8) − ( y − 5)(− 36 − 16) + ( z − 5)(− 24 + 8) = 0 
Получим уравнение плоскости: 7 x + 26 y − 8z − 153 = 0 .
5.5. Прямая и плоскость в пространстве
Пусть плоскость α заданная уравнением Ax + By + Cz + D = 0 , а прямая
d - уравнением x − x0 = y − y0 = z − z 0 . Тогда:
a1
a2
a3
101
1) d лежит в плоскости α  Aa1 + Ba2 + Ca 3 = 0 , Ax0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 .
d || 
2)
(т.е. не имеют общих точек) 
Aa1 + Ba 2 + Ca 3 = 0 ,
Ax0 + By 0 + Cz 0 + D  0 .
3) d
пересекает
α
(т.е. имеет с α одну общую точку) 
Aa1 + Ba 2 + Ca 3  0
4) плоскость α прямая d взаимно перпендикулярны ( d ⊥  ) 
A B C
=
= .
a1 a2 a3
5) плоскость α и прямая d образуют угол φ, тогда
sin =
|Aa 1 + Ba 2 + Ca 3|
a 12 + a 22 + a 32  A 2 + B 2 + C 2
.
Пример 7. При каком значении m прямая d: x − 3 = y + 1 = z − 2
2
m
−3
параллельна плоскости 5х+у+2z-4=0.
Решение. Сделаем схематичный рисунок.
Очевидно, что для выполнения условия

задачи вектор нормали плоскости п и

направляющий вектор прямой а
должны быть перпендикулярны, тогда
скалярное произведение этих векторов
должно быть равно 0.
Рисунок 11- По условию примера 7


Поэтому, так как п = 5;1;2 и а = 2; m;−3, получим
 
n  а = 10 + m − 6 = 0  m = −4.
Пример 8. Написать уравнение плоскости α проходящей через точку
М0(-2; 3; -1) перпендикулярно прямой d:
x +1
y
z−2
=
=
.
4
−5
−3
Решение. Сделаем рисунок. Так как
плоскость перпендикулярна прямой, то

а = 4; −5; −3
направляющий
вектор
прямой
можно

п
считать
нормальным
вектором
плоскости α. Возьмем
произвольную точку М(x;y;z) на
Рисунок 12- По условию
примера 8
плоскости α, тогда вектор М 0 М = ( x + 2;y − 3;z + 1) перпендикулярен вектору
 

n = a . Получим n  M 0 M = 0  4  ( x + 2) − 5  ( y − 3) − 3  ( z + 1) = 0 
102
Следовательно, : 4 x − 5 y − 3z + 20 = 0.
Контрольные вопросы
1. Как убедится в том, что данная точка лежит на данной прямой?
2. Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности
прямых, заданных общими уравнениями.
3. Как расположена прямая относительно системы координат, если в ее
уравнение отсутствует свободный член, одна из координат, одна из
координат и свободный член?
4. Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?
5. Какая линия называется эллипсом?
6. Какая точка называется центром эллипса?
7. Что называется эксцентриситетом эллипса и какому неравенству всегда
удовлетворяет его величина?
8. Какая линия называется гиперболой?
9. Какая точка называется центром гиперболы?
10. Что называется эксцентриситетом гиперболы, и какому неравенству
всегда удовлетворяет его величина?
11. Какая линия называется параболой?
12. Какой геометрический смысл имеют коэффициенты в уравнении
плоскости
1
2
2
х − у + z −1 = 0?
3
3
3
13. Каково расположение плоскости относительно осей координат, если в
уравнении плоскости отсутствует свободный член? Одна из координат?
Две координаты? Одна из координат и свободный член? Две
координаты и свободный член?
14. Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями?
15. Как убедится что данная точка М (x1, y1, z1) лежит в данной плоскости?
103
Задания по теме «Элементы аналитической геометрии»
Задание 1. Написать в общем виде уравнение прямой, проходящей
через две точки А и В.
1.1. А(0; 5), В(-3; 4);
1.2. А(-2; 7), В(4; -7);
1.3. А(3; -6), В(-2; 8);
1.4. А(2; 3), В(-4; 2);
1.5. А(4; -5), В(-1; 4);
1.6. А(1; -2), В(-5; 3);
1.7. А(-2; 5), В(3; -4);
1.8. А(0; -5), В(3; -2);
1.9. А(7; 6), В(1; -3);
1.10. А(-4; 0), В(-2; 7);
1.11. А(-1; -5), В(2; -3);
1.12. А(-4; -1), В(6; 4);
1.13. А(3; -3), В(-5; 6);
1.14. А(7; -2), В(1; 5);
1.15. А(8; -3), В(4; 0);
1.16. А(-2; 4), В(-5; -3);
1.17. А(4; -1), В(-3; 2);
1.18. А(0; -5), В(-3; -2);
1.19. А(4; 5), В(1; -6);
1.20. А(-6; 2), В(1; 7);
1.21. А(-4; 9), В(-3; 5);
1.22. А(-1; 1), В(6; -3);
1.23. А(-8; 0), В(7; -4);
1.24. А(2; 4), В(-2; 5);
1.25. А(0; -7), В(4; -2);
1.26. А(4; -1), В(7; -3);
1.27. А(2; 5), В(4; -3);
1.28. А(-3; 3), В(6; -1);
1.29. А(5; -6), В(-7; 4);
1.30. А(-1; -3), В(5; -4);
1.31. А(2; -9), В(-4; 0).
Задание 2.
Составить каноническое уравнение медианы
треугольника АВС, проведенной из вершины А.
2.1. А(2; 4), В(-3; 7), С(0; 5);
2.2. А(-3; 5), В(5; -7), С(6; 2);
2.3. А(2; 7), В(3; -8), С(-4; 3);
2.4. А(5; -3), В(2; -4), С(-5; -6);
2.5. А(3; -4), В(5; 4), С(0; 1);
2.6. А(0; -1), В(3; -2), С(4; -3);
2.7. А(4; 9), В(5; 4), С(-1; 2);
2.8. А(-4; 2), В(1; -3), С(3; 6);
2.9. А(-1; -7), В(2; -2), С(1; 0);
2.10. А(2; -3), В(0; -3), С(-2; -1);
2.11. А(5; 6), В(0; -3), С(-3; 2);
2.12. А(-1; -2), В(-4; 2), С(3; 0);
2.13. А(-4; 1), В(4; -4), С(8; 1); 2.14. А(3; 0), В(3; 7), С(2; -3);
2.15. А(-2; -3), В(-1; -1), С(-6; -2); 2.16. А(0; -3), В(1; -5), С(4; -2);
2.17. А(-1; 7), В(0; 3), С(5; -2);
2.18. А(2; -2), В(6; 5), С(8; -3);
2.19. А(4; -4), В(3; 6), С(0; -3);
2.20. А(4; 1), В(-1; 0), С(3; -4);
2.21. А(5; 2), В(5; 1), С(2; -4);
2.22. А(-2; 9), В(4; 7), С(0; -1);
2.23. А(3; 6), В(-4; 2), С(-7; -4); 2.24. А(2; -8), В(0; -1), С(-4; -1);
2.25. А(6; -1), В(-7; -8), С(5; -3); 2.26. А(-1; 9), В(-4; 6), С(1; 2);
104
2.27. А(2; -2), В(-4; 4), С(7; 2);
2.29. А(-3; 8), В(7; 9), С(5; -4);
2.31. А(5; 6), В(-6; 0), С(7; 4).
2.28. А(6; 0), В(-2; 5), С(4; 1);
2.30. А(5; 7), В(-1; 3), С(3; 2);
Задание 3. Определить угловой коэффициент k и отрезок b,
отсекаемый на оси Оу, для прямой
3.1. 6х – у + 3 = 0;
3.2. 2х – 4у – 7 = 0;
3.3. 3х + 12у + 8 = 0;
3.4. 2х – 7у + 4 = 0;
3.5. 5х + 6у - 9 = 0;
3.6. 4х – 3у + 2 = 0;
3.7. 2х - 7у + 4 = 0;
3.8. 3х + 2у - 3 = 0;
3.9. 6х + 7у - 15 = 0;
3.10. 5х – 6у - 3 = 0;
3.11. 4х - 2у + 6 = 0;
3.12. 4х + 2у + 6 = 0;
3.13. 5х + 8у - 5 = 0;
3.14. 2х – 3у + 5 = 0;
3.15. 4х - 5у - 9 = 0;
3.16. 3х + 6у - 2 = 0;
3.17. 7х + 3у - 5 = 0;
3.18. 8х – 5у - 7 = 0;
3.19. 4х - 7у + 6 = 0;
3.20. 3х + 5у - 9 = 0;
3.21. 6х + 4у - 7 = 0;
3.22. 4х – 2у + 8 = 0;
3.23. 9х - 3у + 7 = 0;
3.24. 3х + 5у - 9 = 0;
3.25. 5х + 4у - 1 = 0;
3.26. 9х – 4у + 8 = 0;
3.27. 8х - 12у + 5 = 0;
3.28. 5х + 2у - 3 = 0;
3.29. 9х - 6у + 2 = 0;
3.30. 6х – 4у + 3 = 0;
3.31. 5х - 8у + 9 = 0.
Задание 4. Из общего уравнения прямой получить уравнение прямой в
отрезках.
4.1. 3х – 2у + 6 = 0;
4.2. -2х + 4у - 4 = 0;
4.3. 5х + 2у – 20 = 0;
4.4. 4х – 8у + 12 = 0;
4.5. 4х - 3у – 12 = 0;
4.6. 5х – 4у + 20 = 0;
4.7. 3х - 5у + 15 = 0;
4.8. 7х – 3у + 21 = 0;
4.9. 7х + 2у – 14 = 0;
4.10. 4х + 5у - 20 = 0;
4.11. 6х - 9у – 18 = 0;
4.12. 4х – 6у - 12 = 0;
4.13. 3х + 8у – 12 = 0;
4.14. 2х – 7у + 21 = 0;
4.15. 2х - 6у – 18 = 0;
4.16. 4х + 7у - 14 = 0;
4.17. 6х - 2у + 24 = 0;
4.18. 5х – 2у + 10 = 0;
4.19. 3х + 4у – 15 = 0;
4.20. 9х – 2у - 24 = 0;
4.21. 4х - 5у + 10 = 0;
4.22. 6х – 3у - 12 = 0;
105
4.23.
4.25.
4.27.
4.29.
4.31.
4х + 2у – 9 = 0;
3х - 4у – 16 = 0;
7х + 4у + 8 = 0;
4х - 7у – 35 = 0;
3х - 4у – 8 = 0.
4.24. 2х – 8у + 24 = 0;
4.26. 8х – 3у - 2 = 0;
4.28. 3х – 9у + 21 = 0;
4.30. 9х – 2у + 24 = 0;
Задание 5. Определить угол между прямыми
5.1. 5х – у + 7 = 0;
-2х – 4у = 0;
5.2.
3 х – 3у + 5 = 0;
3 х – у – 5 = 0;
5.3. 3х – у + 5 = 0;
2х + у – 7 = 0;
5.4.
2 х - 3 у – 5 = 0; х – 7у + 2 = 0;
5.5. 2х –4 у + 1 = 0;
5х - у – 3 = 0;
5.6. 5х + 4у + 1 = 0;
2х + 4у – 1 = 0;
5.7. 2х – 3у + 9 = 0;
4х + 5у + 1 = 0;
5.8. 4х + 3у - 7 = 0;
8х + 3у + 4 = 0;
5.9. 7х – 2у - 6 = 0;
9х - 5у – 2 = 0;
5.10. 3х – 8у - 3 = 0;
9х + 4у – 3 = 0;
5.11. 5х + у + 4 = 0;
8х + 2у – 7 = 0;
5.12. 8х – 5у + 6 = 0;
7х - у – 7 = 0;
5.13. 4х – 2у - 3 = 0;
2х - 5у + 6 = 0;
5.14. 3х – 7у + 2 = 0;
4х + 3у – 5 = 0;
5.15. 6х + у - 1 = 0;
7х - 3у – 4 = 0;
5.16. 5х – 2у + 3 = 0;
9х - 4у – 2 = 0;
5.17. 5х + 2у - 7 = 0;
6х + у + 3 = 0;
5.18. 4х – 2у - 7 = 0;
2х - 4у – 5 = 0;
5.19. х – 6у + 3 = 0;
5х + 2у – 3 = 0;
5.20. 3х – 2у - 5 = 0;
7х - 4у – 1 = 0;
5.21. 5х + у + 3 = 0;
6х - 2у + 1 = 0;
5.22. 4х – 5у + 1 = 0;
9х - 5у – 3 = 0;
5.23. х – 7у - 3 = 0;
8х - 3у – 4 = 0;
5.24. 2х + 7у + 1 = 0;
3х + 5у – 5 = 0;
5.25. 3х – 3у + 2 = 0;
4х + у + 6 = 0;
5.26. 7х – 4у - 2 = 0;
5х - 7у – 4 = 0;
5.27. 2х – 3у + 7 = 0;
3х + 5у – 8 = 0;
5.28. 2х + 6у - 3 = 0;
х - 8у – 7 = 0;
5.29. 9х – 2у + 5 = 0;
4х + 3у – 9 = 0;
106
5.30.
5.31.
х – 4у - 9 = 0;
2х – 2у + 7 = 0;
5х + у + 6 = 0;
3х - 4у – 3 = 0.
Задание 6. Даны вершины треугольника А, В, С. Составить
уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС
6.1. А(2; 3), В(0; 1), С(-3; 1);
6.2. А(-1; 0), В(-1; 2), С(-4; -1);
6.3. А(-2; 4), В(2; 0), С(3; 3);
6.4. А(2; -3), В(-4; 3), С(1; 1);
6.5. А(2; 4), В(-3; 7), С(0; 5);
6.6. А(-3; 5), В(5; -7), С(6; 2);
6.7. А(2; 7), В(3; -8), С(-4; 3); 6.8. А(5; -3), В(2; -4), С(-5; -6);
6.9. А(3; -4), В(5; 4), С(0; 1);
6.10. А(0; -1), В(3; -2), С(4; -3);
6.11. А(4; 9), В(5; 4), С(-1; 2);
6.12. А(-4; 2), В(1; -3), С(3; 6);
6.13. А(-1; -7), В(2; -2), С(1; 0);
6.14. А(2; -3), В(0; -3), С(-2; -1);
6.15. А(5; 6), В(0; -3), С(-3; 2);
6.16. А(-1; -2), В(-4; 2), С(3; 0);
6.17. А(-4; 1), В(4; -4), С(8; 1);
6.18. А(3; 0), В(3; 7), С(2; -3);
6.19. А(-2; -3), В(-1; -1), С(-6; -2);
6.20. А(0; -3), В(1; -5), С(4; -2);
6.21. А(-1; 7), В(0; 3), С(5; -2);
6.22. А(2; -2), В(6; 5), С(8; -3);
6.23. А(4; -4), В(3; 6), С(0; -3);
6.24. А(4; 1), В(-1; 0), С(3; -4);
6.25. А(5; 2), В(5; 1), С(2; -4);
6.26. А(-2; 9), В(4; 7), С(0; -1);
6.27. А(3; 6), В(-4; 2), С(-7; -4);
6.28. А(2; -8), В(0; -1), С(-4; -1);
6.29. А(6; -1), В(-7; -8), С(5; -3);
6.30. А(-1; 9), В(-4; 6), С(1; 2);
6.31. А(2; -2), В(-4; 4), С(7; 2).
Задание 7. Дан треугольник ABC с вершинами в точках А, В и С и
дана точка К. Найти:
а) Уравнения сторон треугольника ABC;
б) Уравнения медиан треугольника и точку М – точку пересечения медиан;
в) Уравнения высот треугольника и точку Р – точку пересечения высот;
г) Уравнение прямой L1, проходящей через точку К параллельно прямой
АВ;
д) Уравнение прямой L2, проходящей через точку К перпендикулярно
прямой ВС;
е) Координаты точки М1, расположенной симметрично точке В
относительно прямой АС;
ж) Найти расстояние от точки К до прямой АВ;
з) Найти проекцию точки К на прямую АС.
7.1. А (2; 3),
В (-2; 6),
C (4; 9),
K(16; 15);
7.2. А (-2; 0),
В (5; 2),
C (2; -2),
K(0; 10);
107
7.3. А (0; 4),
7.4. А (1; 2),
7.5. А (-3; -2),
7.6. А (-3; 1),
7.7. А (1; -2),
7.8. А (-3; 3),
7.9. А (-3; -3),
7.10. А (-3; 0),
7.11. А (-2; 2),
7.12. А (-1; -2),
7.13. А (1; -3),
7.14. А (1; -1),
7.15. А (0; 2),
7.16. А (-2; -3),
7.17. А (-1; -3),
7.18. А (2; 1),
7.19. А (-1; 3),
7.20. А (2; -1),
7.21. А (-2; 3),
7.22. А (-3; -1),
7.23. А (-2; 4),
7.24. А (-1; -3),
7.25. А (-2; 5),
7.26. A (-1; 0),
7.27. A (-1; 2),
7.28. A (1; 2),
7.29. A (0; 2),
7.30. A (-2; 0),
7.31. A (-1; 3),
В (4; 7),
В (5; 4),
В (-2; 1),
В (1; 3),
В (-1; 4),
В (4; 4),
В (1; 1),
В (0; 3),
В (2; 4),
В (1; 4),
В (5; 5),
В (-2; 2),
В (3; 5),
В (-1;14),
В (3; 5),
В (0; 4),
В (5; 5),
В (-1;3),
В (2; 4),
В (-1; 3),
В (1; 7),
В (1;1),
В (2; 7),
B (1; 4),
B (4; 3),
B (4; 3),
B (2; 4),
B (0; 4),
B (3; 5),
C (6; 2),
C (4; -1),
C (3; -4),
C (3; -2),
C (4; 1),
C (1; -1),
C (4; -4),
C (3; -2),
C (0; -1),
C (2; -3),
C (2; -1),
C (3; 5),
C (5; -1),
C (4; -5),
C (2; 0),
C (4; 7),
C (2; 1),
C (6; 1),
C (4; 1),
C (2; -2),
C (4; 2),
C (5; -1),
C (4; 3),
C (3; -1),
C (2; -1),
C (3; 0),
C (3; -1),
C (1; -1),
C (1; 2),
K(-6; -7);
K(-4; -5);
K(6; 5);
K(3; 10);
K(-10; -5);
K(7; 9);
K(-2; 6);
K (0; 7);
K(-6; 12);
K(-5; 6);
K(6; 19);
K (13; 11);
K (1; 11);
K (-12; 7);
K (0; -10);
K (-6; 4);
K (2; 13);
K (-8; 5);
K (0; 7);
K (8; 10);
K (-2; -4);
K (-1; 7);
K (-2; 15);
K (-1; 9);
K (-2; 9);
K (1; -6);
K (1; 9);
K (-9; 7);
K (-3; 8).
Задание 8. Решить задачу
8.1. В параллелограмме АВСД известны уравнения сторон АВ: ху+1=0, АД:3х+у-2=0 и точка М(1,-3) середина стороны ВС. Найти
уравнения сторон ВС и СД.
8.2. Даны две вершины А(-3;3) и В(5;-1) и точка Д(4;3) пересечения
высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
108
8.3. Даны координаты двух противоположных вершин ромба А(-3;2)
и С(7;-6). Составить уравнения диагоналей ромба.
8.4. Уравнение одной из сторон квадрата х+3у-5=0. Составить
уравнения трех остальных сторон квадрата, если А(-1;0) есть точка
пересечения его диагоналей.
8.5. Даны две вершины А(-3;5) и В(5;1) и точка Д(4;3) пересечения
высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
8.6. Даны вершины треугольника А(-6;2), В(10;10), С(0;-10).
Составить уравнение высоты и медианы, проведенных из вершины А.
8.7. Даны уравнения одной из сторон ромба х-3у+10=0 и одной из
его диагоналей х+4у-4=0; диагонали ромба пересекаются в точке (0;1).
Найти уравнения остальных сторон ромба.
8.8. Даны вершины трапеции А(-3;-2), В(4;-1),С(1;3) трапеции АВСД.
Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти
координаты вершины Д этой трапеции (АД//ВС).
8.9. В ромбе АВСД с острым углом 60 точки А(0;-1) и С(2;1)
являются противоположными вершинами, причем АС – меньшая
диагональ. Написать уравнение сторон ромба.
8.10. Две противоположные вершины квадрата находятся в точках
А(-1;1) и С(5;3). Составить уравнения сторон и диагоналей квадрата.
8.11. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8х + 3у + 1 = 0,
2х + у – 1 = 0 и уравнение одной из его диагоналей 3х + 2у + 3 = 0.
Определить координаты вершин этого параллелограмма.
8.12. Даны уравнения двух сторон прямоугольника х - 2у = 0, х - 2у
+ 15 = 0 и уравнение одной из его диагоналей 7х + у - 15 = 0. Найти
вершины прямоугольника.
8.13. Составить уравнения сторон треугольника, если известны одна
из его вершин В (-4;-5) и уравнения двух высот: 5х + 3у - 4 = 0 и 3х + 8у +
13= 0.
8.14. Составить уравнение прямой, проходящей через начало
координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми 2х –
у + 5 = 0 и 2х – у + 10 = 0, равна 10 .
8.15. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 3х - 2у - 5 = 0, 2х
+ 3у + 7 = 0 и одна из его вершин А(-2; 1). Вычислить площадь этого
прямоугольника и найти координаты его вершин.
109
8.16. Даны вершины треугольника: А (-10; -13), В (-2; 3) и С (2; 1).
Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на
медиану, проведенную из вершины С.
8. 17. Даны уравнения стороны АВ: 4х + у = 12 треугольника АВС и
его высот ВН: 5х – 4у = 12 и АМ: х + у = 6. Найти уравнения двух других
сторон треугольника.
8.18. Даны две вершины треугольника АВС: А(-6; 2), В(2; -2) и
точка пересечения его высот Н(1; 2). Найти координаты точки М
пересечения стороны АС и высоты ВН.
8.19. Даны вершины треугольника АВС: А(2; 3), В(0; -3), С(6; -3).
Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных
через середины сторон треугольника.
8. 20. Даны вершины треугольника АВС: А (0; -3), В (3; 1), С (4; -3).
Найти уравнение перпендикуляра, проведенного из вершины В на
биссектрису АК.
8.21. Даны последовательные вершины ромба АВСД: А (1; 2), В (7;
4), С (5; -2). Найти уравнение стороны АД и длину высоты ромба АК
8.22. Даны вершины треугольника АВС: А (1; 0), В (-4; 1), С (4; 2).
Найти угол между стороной ВС и высотой ВД.
8.23. Точка А (4; -5) является вершиной квадрата, диагональ
которого лежит на прямой х – 2у – 4 = 0. Найти уравнение другой
диагонали квадрата.
8.24. Точки А (-1; 1), С (3; -1) – вершины основания равнобедренного
треугольника АВС. Найти длину его высоты ВД, если его вершина лежит
на прямой х – 2у + 8 = 0.
8.25. Точка А (-3; -1) является вершиной ромба АВСД, диагонали
которого пересекаются в точке М (-1; 0). Найти уравнения его диагоналей
АС и ВД.
8.26. Даны вершины треугольника АВС: А (1; 2), В (3; 6), С (-7; 0).
Составить уравнение и вычислить длину перпендикуляра, проведенного из
вершины В к медиане СМ.
8.27. Точки А (-1; 2) и В (4; 3) – вершины параллелограмма АВСД,
диагонали которого пересекаются в точке М(0; -1). Найти уравнение
стороны СД, параллельной стороне АВ и расстояние между этими
сторонами.
110
8.28. Даны две вершины треугольника АВС: А(1; 4), В(-3; 2) и точка
М(-2; 0) – середина стороны ВС. Найти угол между медианой АМ и
высотой ВД.
8.29. Точка С (3; 4) является вершиной прямого угла треугольника
АВС, гипотенуза которого расположена на прямой х – 4у – 4 = 0. Найти
расстояние вершины С от гипотенузы и составить уравнения катетов, если
один из них проходит через точку Д (1; -2).
8.30. Точки А (2; 2) и В (6; -1) – вершины трапеции. Проекции этих
точек на прямую 2х + у + 4 = 0 являются двумя другими ее вершинами.
Найти длину высоты трапеции.
8.31. Прямые АВ: 3х + у – 3 = 0 и АД: 3х – 2у + 6 = 0 – стороны
параллелограмма
АВСД, вектор АС = − 1;−7 является его диагональю.
Найти уравнения двух других сторон параллелограмма.
Задание 9.
Написать общее уравнение плоскости, проходящей
через точку М (х, у, z) и имеющий нормальный вектор n = ( A,B,C ).
9.1. М (1, 0, 8),
n (-1, 4, 5);
9.2. М (2, -1, 3),
n (1, 2, -1);
9.3. М (-3, 0, 2),
n (3, -4, 2);
9.4. М (1, 4, -7),
n (-2, 5, 1);
9.5. М (3, 5, -1),
n (4, 2, 7);
9.6. М (-2, 8, 5),
n (3, -4, 5);
9.7. М (7, -1, 4),
n (-2, 8, 1);
9.8. М (-5, 6, 1),
n (9, -3, 2);
9.9. М (-7, 4, 8),
n (-1, 7, 4);
9.10. М (-1, 5, -3),
9.11. М (9, 2, -5),
n (-4, 3, -1);
9.12. М (-2, 5, 6),
n (5, -7, 3);
9.13. М (-4, 0, 3),
n (-1, -2, 5);
9.14. М (-7, 5, 3),
n (-1, 6, 5);
9.15. М (6, -2, 1),
n (8, -3, 9);
9.16. М (1, 3, -9),
n (4, -4, 3);
9.17. М (3, 2, 7),
n (-2, -4, 3);
9.18. М (7, -3, 6),
n (8, 2, 7);
9.19. М (6, -1, 4),
n (3, 6, 5);
9.20. М (4, -2, 3),
n (-5, 4, 9);
9.21. М (-5, 4, 0),
n (-4, 3, -6);
9.22. М (-1, 3, 2),
n (-9, 1, -1);
9.23. М (-8, -1, 5),
n (4, 1, 5);
9.24. М (2, -9, 6),
n (4, -2, 3);
9.25. М (-7, 6, 1),
n (1, -3, 3);
9.26. М (-7, 3, -1),
n (5, 6, -2);
111
n (8, -2, 7);
9.27. М (1, -4, 7),
n (-3, 2, -4);
9.28. М (8, -1, 5),
n (-3, 7, -2);
9.29. М (-6, 5, -6),
n (-2;-7, 4);
9.30. М (5, 4, -4),
n (7, 4, 5);
9.31. М (8, -5, 3),
n (-1, 4, 8).
Задание 10. Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях
Оу и Oz отрезки, соответственно равные b и с, и проходящей через
точку М (х, у, z)
10.1. b = 1, с = -2, М(1, 2, -3);
10.2. b = -2, с = 2, М(2, 1, -2);
10.3. b = -3, с = 1, М(-1, 4, 5);
10.4. b = 1, с = 3, М(0, 2, 5);
10.5. b = 2, с = -4, М(3, 4, -6); 10.6. b = -3, с = 5, М(-1, 3, -6);
10.7. b = -4, с = 2, М(5, -4, 6);
10.8. b = 5, с = -3, М(2, -10, 3);
10.9. b = 6, с = -3, М(-2,- 4,-8); 10.10. b = -3, с = -5, М(-4, 3, -1);
10.11. b = 4, с = -5, М(-5, -3, 1); 10.12. b = 5, с = -6, М(-3, 2, -3);
10.13. b = -7, с = -4, М(-1, -3, 2); 10.14. b = 8, с = -4, М(-3, 3, -1);
10.15. b = -9, с = 2, М(-4, -9, 4); 10.16. b = 4, с = 8,
М(-4, -5, 2);
10.17. b = 5, с = -6, М(-3, 5, 3);
10.18. b = 7, с = -4, М(-3, -3, -3);
10.19. b = 6, с = -2, М(-4, 1, -3); 10.20. b = -2, с = -8, М(6, -3, 8);
10.21. b = -3, с = -6, М(-5, 3, -6); 10.22. b = 4, с = -6, М(-5, 8, 4);
10.23. b = 4, с = -8, М(-3, 2, -1); 10.24. b = 2, с = -5, М(6, 3, -5);
10.25. b = 5, с = -4, М(6, -1, -4); 10.26. b = 9, с = 3, М(-2, 3, -4);
10.27. b = -3, с = -4, М(5, -3, 5);
10.28. b = 6, с = -3, М(5, 4, -6);
10.29. b = -2, с = -6, М(7, 4, -4);
10.30. b = 3, с = -6, М(-7, 6, -3);
10.31. b = 4, с = -6, М(-8, 6, -2).
Задание 11. Написать:
а) общее уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С;
б) общее уравнение плоскости, проходящей через точки S, C и середину
стороны АВ тетраэдра SАВС;
в) общее уравнение плоскости, проходящей через точку S параллельно
плоскости (АВС)
11.1. S (0, 1, 2),
А (1, 2, -3),
В (0, 3, 4),
С (-2, 3, 5);
11.2. S (-1, 4, 5), А (2, 4, -3),
В (-1, 3, 5),
С (-1, -1, 2);
11.3. S (-2, 3, 4), А (0, 0, 2),
В (-1, 4, 3),
С (1, 1, 3);
11.4. S (2, 1, 3),
А (0, 2, 0),
В (2, 0, 5),
С (2, 3, 4);
11.5. S (-1, 5, -2), А (2, -4, 5),
В (4, 0, -7),
С (-1, 8, -7);
112
11.6. S (4, -2, 5), А (-3, 1, -4),
11.7. S (2, -3, 6), А (-2, -1, 5),
11.8. S (-5, -3, 2), А (6, -3, 1),
11.9. S (-7, 6, -2), А (4, 6, -3),
11.10. S (3, -1, -5), А (-7, -2, 4),
11.11. S (8, 2, -1), А (-3, -5, 4),
11.12. S (-2, -5, 7), А (-5, 4, -3),
11.13. S (4, -5, 3), А (2, -4, 9),
11.14. S (-2, -1, 7), А (-1, -1, 6),
11.15. S (-4, 2, -2), А (5, -2, -3),
11.16. S (8, -5, 3), А (1, -3, 8),
11.17. S (-2, -1, 9), А (8, -4, 9),
11.18. S (9, -7, 3), А (5, 3, -2),
11.19. S (7, 2, -3), А (-5, 2, 6),
11.20. S (-2, -4, 0), А (-7, 5, -6),
11.21. S (5, 8, -2), А (1, -3, 6),
11.22. S (5, -3, 3), А (4, -2, 1),
11.23. S (0, 4, -6), А (7, 2, -5),
11.24. S (-9, -1, 8), А (2, -4, 7),
11.25. S (-7, -3, 4), А (-4, 3, -5),
11.26. S (8, -1, 5), А (1, -1, 8),
11.27. S (-4, 7, -2), А (7, -4, 2),
11.28. S (8, -3, 1), А (5, -1, -2),
11.29. S (6, -1, -3), А (-4, 7, 3),
11.30. S (-2, -9, 8), А (-7, 2, 3),
11.31. S (9, -2, -3), А (2, -6, 3),
В (5, -3, 6),
С (-4, -2, 5);
В (-4, 1, 3),
С (-5, 2, -8);
В (-4, 5, -3), С (2, -4, 9);
В (-2, 8, -1), С (9, -1, -2);
В (5, 0, -6),
С (-5, 2, -2);
В (7, -1, 8),
С (-2, 8, -3);
В (3, 8, 7),
С (-7, 6, 1);
В (8, -6, -5), С (-3, -3, 1);
В (5, 7, -6),
С (8, -3, -2);
В (7, 8, -5),
С (4, -2, 2);
В (-5, 5, -6), С (-7, -4, 2);
В (2, 6, -1),
С (2, -5, 2);
В (3, -3, 6),
С (9, -7, -4);
В(3, -4, 8),
С (-2, -7, 3);
В (-5, -3, 4), С (-2, 9, -3);
В (-7, 5, -2), С (9, -2, -8);
В (2, 6, -5),
С (3, -7, 1);
В (5, -4, 1),
С (-2, -4, 7);
В (8, 2, 5),
С (3, -5, 2);
В (4, 5, 7),
С (9, -1, 6);
В (7, -5, 2),
С (-4, 1, -2);
В (3, -2, -2), С (9, 2, -5);
В (3, -3, -4), С (8, -2, -4);
В (2, 5, -7), С (7, -1, 3);
В (3, 0, 9),
С (-7, 3, -5);
В (6, -4, 5), С (-1, 7, 2).
Задание 12. Установить, какие из следующих пар плоскостей
пересекаются, параллельны или совпадают
12.1. 1) x – y + 2z – 10 = 0,
3x + 4y – z + 5 =0;
2) 3x + y – z + 2 = 0,
6x + 2y – 2z – 7 = 0;
3) x – 7y + 2z – 5 = 0,
2x + 5y – 2 = 0;
12.2. 1) 2x – 3y + 5z + 13 = 0, 4x – 6y + 10z – 17 =0;
2) 3x – 8y + z + 17 = 0,
x + 7y – 5z + 1 = 0;
3) 2x + y + 2z + 1 = 0,
x + 0,5y + 0,5 z = 0;
12.3. 1) 3x + 5y – 7z – 11 = 0, 9x + 15y – 21z – 33 = 0;
113
2) 2x + 3y – 6z + 4 = 0,
x – 2y + 2z – 6 = 0;
3) 5y – 12z + 26 = 0,
3x – 4y – 1 = 0;
12.4. 1) 5y – 12z + 26 = 0,
2x – 2y + z – 18 = 0;
2) x + z – 6 = 0,
2x + 2z – 12 = 0;
3) 7x – y + z + 2 = 0,
x + y = 0;
12.5. 1) 6x – 2y - 4z + 12 = 0,
-3x + y + 2z – 6 =0;
2) 4x – 5y + z + 1 = 0,
3x + 4y – 2z - 1 = 0;
3) x + 3y - 5z + 4 = 0,
2x + 6y - 10 z = 0;
12.6. 1) 7x – 2y + 4z - 13 = 0,
2x – 3y + 7z – 2 =0;
2) 9x + 15y - 6z + 4 = 0,
3x + 5y – 2z + 1 = 0;
3) 4x - 3y + 2z + 3 = 0,
-8x + 6y - 4z - 6= 0;
12.7. 1) x + 7y - 3z + 1 = 0,
5x + 35y - 15z - 5 =0;
2) 9x – 3y - 12z + 6 = 0,
3x - y – 4z + 2 = 0;
3) 5x - 7y + 2z + 5 = 0,
2x + 4y - 3 z - 4 = 0;
12.8. 1) 7x + 4y - 5z + 8 = 0,
28x + 16y - 20z + 32 =0;
2) 10x – 4y + 6z - 2 = 0,
5x - 2y + 3z + 7 = 0;
3) x + 3y - 2z + 9 = 0,
9x - 2y + z - 5= 0;
12.9. 1) 6x – 3y + 15z + 2 = 0, 2x – y + 3z – 9 =0;
2) 5x – 2y + 4z - 8 = 0,
35x - 14y + 28z + 14 = 0;
3) 3x + 4y - 5z + 12 = 0,
6x - 12y + 5 z - 3 = 0;
12.10. 1) 15x – y + 3z + 6 = 0,
7x – 5y + 6z – 7 =0;
2) 2x – 3y + 8z - 3 = 0,
8x - 12y + 32z - 12 = 0;
3) 21x - 9y - 6z + 5 = 0,
7x - 3y - 2z + 15 = 0;
12.11. 1) 24x – 8y + 10z + 5 = 0, 6x – 2y + 2,5z – 9 =0;
2) 6x + y + 4z - 23 = 0,
5x + 3y – 2z + 8 = 0;
3) -5x + 3y - 6z + 4 = 0,
25x - 15y + 30z - 20 = 0;
12.12. 1) 12x – 3y + 9z + 15 = 0, 4x – y + 3z + 5 =0;
2) 4x + 3y - 2z + 13 = 0,
-8x - 6y + 4z + 26 = 0;
3) 7x - 4y + 8z - 9 = 0,
5x + 3y - 4z + 6 = 0;
12.13. 1) 2x – 6y + 3z - 14 = 0,
6x – 3y + 2z – 3 =0;
2) 5x – 3y + 2z + 13 = 0, 20x - 15y + 10z + 15 = 0;
3) 4x + 8y - 12z + 18 = 0, 2x + 4y - 3z + 9= 0;
12.14. 1) 9x + 4y - 15z + 7 = 0,
8x – 5y + 9z – 4 =0;
2) 3x – 9y + 5z + 11 = 0,
6x - 18y – 10z + 22 = 0;
3) 4x - 5y + 10z - 6 = 0,
2x - 2,5y + 5 z + 9= 0;
12.15. 1) 4x – 6y - 8z + 16 = 0, 2x – 3y - 4z + 8 =0;
114
2) x – 5y + 3z - 9 = 0,
3x - 15y + 9z + 3 = 0;
3) 6x + y + 3z - 4 = 0,
2x - 3y + 9 z – 8 = 0;
12.16. 1) 7x – 5y + 5z + 9 = 0,
14x – 10y + 10z – 8 =0;
2) 9x + 2y - 7z + 4 = 0,
5x + 4y – 8z + 7 = 0;
3) 4x - 2y + 8z + 10 = 0,
2x - y + 4z + 5= 0;
12.17. 1) 8x + 4y + 2z - 7 = 0,
6x – 3y + 8z – 23 =0;
2) 3x – 6y + 9z + 15 = 0,
x - 2y + 3z + 5 = 0;
3) 7x + 8y - 3z + 4 = 0,
14x + 16y - 6z - 9= 0;
12.18. 1) 4x – 2y + 16z - 18 = 0, 2x – y + 8z – 9 =0;
2) x – 7y - 3z + 9 = 0,
5x - 35y – 15z + 5 = 0;
3) 7x + 3y + 4z - 5 = 0,
5x - 8y + 6z - 9= 0;
12.19. 1) 2x + 4y - 7z + 7 = 0,
8x – 3y + 11z – 5 =0;
2) 5x – y + 4z - 6 = 0,
-2,5x + 0,5y – 2z + 2 = 0;
3) 7x + 3y - 2z + 6 = 0,
14x + 6y - 4z + 12= 0;
12.20. 1) 2x – 6y + 7z - 32 = 0,
x – 3y + 3,5z + 8 =0;
2) 9x – y + 5z + 9 = 0,
4x - 5y – 7z + 23 = 0;
3) 3x - 5y + 8z + 6 = 0,
6x - 10y + 16z + 12= 0;
12.21. 1) 4x – 2y - 6z + 26 = 0,
-2x + y + 3z – 13 =0;
2) 5x – 6y + 3z - 7 = 0,
15x - 18y + 9z + 3 = 0;
3) 3x - 5y + 4z + 8 = 0,
7x + 2y - 3z + 2 = 0;
12.22. 1) 9x + 4y - 2z + 11 = 0,
8x – 3y + 2z – 9 =0;
2) 3x – 2y + 7z - 4 = 0,
18x - 12y + 42z - 24 = 0;
3) 5x + 3y - 6z + 5 = 0,
10x + 6y - 12z - 8= 0;
12.23. 1) 2x – 6y + 10z + 9 = 0,
x – 3y + 5z – 7 =0;
2) 4x – 7y + 2z + 13 = 0,
3x + 4y – z + 8 = 0;
3) 5x - y + 4z - 5 = 0,
20x - 4y + 16z – 20= 0;
12.24. 1) 12x + 15y - 9z + 18 = 0, -4x – 5y + 3z – 6 =0;
2) 4x – 2y + 5z - 19 = 0,
8x - 4y + 10z + 12 = 0;
3) 9x + 4y - z + 5 = 0,
7x + 2y + 5 z – 4 = 0;
12.25. 1) 7x + 4y - 9z + 21 = 0,
4x – 3y + 12z – 8 =0;
2) 6x – 8y + 10z + 16 = 0,
3x - 4y + 5z + 12 = 0;
3) 5x + 7y - 3z + 4 = 0,
20x + 28y - 12z + 16 = 0;
12.26. 1) 9x – 3y + 15z + 12 = 0,
3x – y + 5z – 15 =0;
2) 8x + 2y - 3z + 4 = 0,
40x + 10y – 15z + 20 = 0;
3) 7x - 4y + 9z + 13 = 0,
5x + 5y - 7z - 10= 0;
12.27. 1) x – 4y + 2z + 18 = 0,
0,5x – 2y + z + 9 =0;
115
2) 6x – 4y + 7z + 19 = 0,
4x + 2y – 9z + 5 = 0;
3) 16x + 20y - 24z + 9 = 0,
4x + 5y - 6z - 3 = 0;
12.28. 1) 7x + 3y + 9z - 8 = 0,
9x – 2y + 13z – 15 =0;
2) 6x + 8y - 5z + 12 = 0,
3x + 4y – 2,5z + 1 = 0;
3) 3x - 4y + 7z + 10 = 0,
9x - 12y + 21 z + 30 = 0;
12.29. 1) 12x – 36y + 54z + 12 = 0, 2x – 6y + 9z – 36 =0;
2) 7x + 9y - 5z + 10 = 0,
28x + 36y – 20z + 40 = 0;
3) 11x - 3y + 6z + 9 = 0,
2x + 15y + 7z - 9 = 0;
12.30. 1) 5x – 2y - 3z + 18 = 0,
-10x + 4y + 6z – 36 =0;
2) 13x – 5y - 7z + 9 = 0,
4x + 2y – 9z + 7 = 0;
3) 6x + 3y - 12z + 7 = 0,
2x + y - 6z - 5 = 0;
12.31. 1) 4x – 9y + 3z - 17 = 0,
5x – 4y + 14z – 11 =0;
2) 2x – 12y + 8z + 15 = 0,
x - 6y + 4z + 5 = 0;
3) 9x - 7y + 2z + 9 = 0,
27x - 21y + 6z + 27 = 0.
Задание 13. Найти
косинус
острого
угла
плоскостями П1 и П2
13.1 П1: х + 2у - z + 6 = 0;
П2: х - 2у + z - 2 = 0;
13.2. П1: 2х - 7у + 11z - 5 = 0;
П2: 3х + 2у - 5z + 1 = 0;
13.3. П1: 4х - 2у + z - 2 = 0;
П2: х - 7у + 5z + 1 = 0;
13.4. П1: 3х - у + 2z - 5 = 0;
П2: х + 3у - 4z + 7 = 0;
13.5. П1: x – y + 2z – 10 = 0,
П2: 3x + 4y – z + 5 =0;
13.6. П1: 3x – 8y + z + 17 = 0,
П2: x + 7y – 5z + 1 = 0;
13.7. П1: 2x + 3y – 6z + 4 = 0,
П2: x – 2y + 2z – 6 = 0;
13.8. П1: 4x – 5y + z + 1 = 0,
П2: 3x + 4y – 2z - 1 = 0;
13.9. П1: 7x – 2y + 4z - 13 = 0,
П2: 2x – 3y + 7z – 2 =0;
13.10. П1: 5x - 7y + 2z + 5 = 0,
П2: 2x + 4y - 3 z - 4 = 0;
13.11. П1: x + 3y - 2z + 9 = 0,
П2: 9x - 2y + z - 5= 0;
13.12. П1: 6x – 3y + 15z + 2 = 0,
П2: 2x – y + 3z – 9 =0;
13.13. П1: 15x – y + 3z + 6 = 0,
П2: 7x – 5y + 6z – 7 =0;
13.14. П1: 6x + y + 4z - 23 = 0,
П2: 5x + 3y – 2z + 8 = 0;
13.15. П1: 7x - 4y + 8z - 9 = 0,
П2: 5x + 3y - 4z + 6 = 0;
13.16. П1: 2x – 6y + 3z - 14 = 0,
П2: 6x – 3y + 2z – 3 =0;
13.17. П1: 9x + 4y - 15z + 7 = 0,
П2: 8x – 5y + 9z – 4 =0;
13.18. П1: 6x + y + 3z - 4 = 0,
П2: 2x - 3y + 9 z – 8 = 0;
13.19. П1: 9x + 2y - 7z + 4 = 0,
П2: 5x + 4y – 8z + 7 = 0;
116
между
13.20. П1:
13.21. П1:
13.22. П1:
13.23. П1:
13.24. П1:
13.25. П1:
13.26. П1:
13.27. П1:
13.28. П1:
13.29. П1:
13.30. П1:
13.31. П1:
8x + 4y + 2z - 7 = 0,
7x + 3y + 4z - 5 = 0,
2x + 4y - 7z + 7 = 0,
9x – y + 5z + 9 = 0,
3x - 5y + 4z + 8 = 0,
9x + 4y - 2z + 11 = 0,
4x – 7y + 2z + 13 = 0,
9x + 4y - z + 5 = 0,
7x + 4y - 9z + 21 = 0,
4х – 2у + 12z – 5 = 0,
7x + 3y – 8z + 9 = 0,
5x - 6y + 7z – 13 = 0,
П2: 6x – 3y + 8z – 23 =0;
П2: 5x - 8y + 6z - 9= 0;
П2: 8x – 3y + 11z – 5 =0;
П2: 4x - 5y – 7z + 23 = 0;
П2: 7x + 2y - 3z + 2 = 0;
П2: 8x – 3y + 2z – 9 =0;
П2: 3x + 4y – z + 8 = 0;
П2: 7x + 2y + 5 z – 4 = 0;
П2: 4x – 3y + 12z – 8 =0;
П2: 8x – 3y – 7z + 6 = 0;
П2: 5x – 6y + 9z – 11 = 0;
П2: 7x + 4y – 5z + 12 = 0.
Задание 14. Написать параметрические и канонические уравнения
прямой, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и имеющей направляющий
вектор s
14.1. М0 ( 0, 3, -2),
s (2, -3, 0);
14.2. М0 (-1, 2, 5),
s (-1, 2, 3);
14.3. М0 (1, -2, 3),
s (1, 2, -2);
14.4. М0 (0, -3, 4),
s (1, -3, 4);
14.5. М0 ( -2, 5, -4),
s (3, -4, -1);
14.6. М0 (-6, -2, 3),
s (-7, -3, 5);
14.7. М0 ( -4, 3, -6),
s (8, -2, 5);
14.8. М0 (-3, 7, 9),
s (-2, -4, 3);
14.9. М0 ( 3, -4, 1),
s (9, 2, -3);
14.10. М0 (8, -4, -2),
s (3, -7, 4);
14.11. М0 ( -5, 0, 6),
s (-3, -2, 4);
14.12. М0 (-9, -3, 6),
s (-8, -2, 1);
14.13. М0 ( -8, -1, 5),
s (3, -7, 2);
14.14. М0 (6, 4, -3),
s (-9, 4, 3);
14.15. М0 ( 5, -7, 9),
s (6, -3, -4);
14.16. М0 (8, 0, -2),
s (7, -2, -4);
14.17. М0 ( 5, -4, 6),
s (-3, 9, 5);
14.18. М0 (-4, -9, 2),
s (-2, 5, -6);
14.19. М0 ( -6, -1, 7),
s (8, -1, 9);
14.20. М0 (1, -6, -2),
s (-4, 3, -3);
14.21. М0 ( -2, -1, 9),
s (-4, 2, -7);
14.22. М0 (-6, 1, -9),
s (5, -5, 9);
14.23. М0 ( -4, 3, 7),
s (5, -2, 2);
14.24. М0 (7, -3, -8),
s (1, 4, -8);
14.25. М0 ( -4, -1, 5),
s (6, -2, -1);
14.26. М0 (7, -3, -5),
s (5, -2, 6);
14.27. М0 ( -3, 9, -4),
s (6, 5, -2);
14.28. М0 (-9, 4, 7),
s (-5, 7, -8);
14.29. М0 ( 3, -5, -2),
s (8, -6, -1);
14.30. М0 (7, -3, 3),
s (-4, -3, 1);
117
14.31. М0 ( 5, -2, -6),
s (9, -2, -4).
Задание 15
а) Найдите направляющий вектор прямой
б) Напишите канонические уравнения прямой
15.1.
 x + 2 y − 3z + 1 = 0
;

2 x + 3 y − 4 z + 7 = 0
2 x + 5 y − z + 2 = 0
;
15.4. 
2 x + 3 y − 4 z + 7 = 0
15.7.
4 x + 3 y − 3 z + 1 = 0
;

7 x + 5 y + 9 z − 2 = 0
9 x + 2 y − 4 z − 3 = 0
15.10. 
;
2 х − 5 y − 3 z + 4 = 0
x − y − z − 2 = 0
;
15.2. 
2 x + 3 y + 4 z − 1 = 0
15.5.
3x − 2 y + 4 z − 5 = 0
;

4 x − 6 y − 2 z − 7 = 0
5 x − 6 y − 3z + 7 = 0
15.8. 
;
8 x + 5 y + 3z − 5 = 0
4 x + y + 5 z − 8 = 0
15.11. 
;
3x − 9 y − 5 z + 4 = 0
6 x + 3 y − 7 z + 23 = 0
;
4 x − 7 y − 5 z + 3 = 0
15.3.
x − y + z − 2 = 0
;

x + 3 y − 4z + 3 = 0
3x − 4 y − 7 z + 8 = 0
;
15.6. 
6 x + 5 y − 9 z + 1 = 0
15.9.
6 x − 3 y − 7 z − 3 = 0
;

x + 2 y − 8z + 5 = 0
4 x − 9 y + 7 z + 13 = 0
;
7 x + 4 y − z + 2 = 0
15.12. 
7 x − 4 y − 3z − 6 = 0
;
2 x + 7 y − z + 2 = 0
9 x − 5 y + 2 z − 1 = 0
;
4 x − 2 y − 7 z + 8 = 0
15.14. 
15.15. 
4 x − 2 y − 9 z + 15 = 0
;
5 x + 4 y − 6 z + 9 = 0
8 x + 9 y + 3z − 4 = 0
15.17. 
;
7x − 8 y + 2z + 3 = 0
15.18. 
;
15.19. 
5 x − 2 y − 3z − 4 = 0
;
3x + 7 y − 5 z + 13 = 0
9x + 3y − 4z + 7 = 0
15.20. 
;
15.21. 
8 x − 7 y − 5 z + 21 = 0
15.22. 
;
9 x − 5 y + 4 z + 25 = 0
15.23. 
;
15.24. 8 x + 2 y − 7 z + 19 = 0;
2 x + 3 y + 3z − 12 = 0
15.25. 
;
15.26. 6 x − 7 y − 9 z + 4 = 0 ;
9 x − 7 y − 3z − 6 = 0
15.27. 
;
15.13. 
15.16. 
4 x + y − 6 z + 3 = 0
9 x − 5 y − 7 z + 31 = 0
7 x + 4 y − 2 z + 23 = 0
15.28. 
;
5 x − 2 y − 9 z + 17 = 0
3x − 6 y − 7 z + 5 = 0
4 x − 8 y − 3 z + 9 = 0
 x + 7 y + 3z − 13 = 0
8 x + 3 y + 5 z − 10 = 0
6 x + 5 y + 3z − 19 = 0
15.29. 
;
3x + 7 y − 8 z + 1 = 0
5 x − 3 y − 9 z + 11 = 0
6 x + 4 y − 3z + 19 = 0
;
4 x − 7 y − z + 11 = 0
 x − 7 y − 6 z + 17 = 0
4 x − 3 y + 5 z + 12 = 0
7 x − 4 y − 2 z + 5 = 0
;
2 x + 9 y − 7 z + 11 = 0
15.30. 
4x − 5 y + 2z − 9 = 0
15.31. 
.
3x − 2 y − 8 z + 7 = 0
Задание 16. Заданы координаты вершин треугольника АВС.
а) Написать параметрические уравнения прямых, содержащих стороны
треугольника АВС;
б) Написать каноническое уравнение медианы, выходящей из вершины
А треугольника АВС;
в) Написать параметрические уравнения прямой L, проходящей через
точку В параллельно прямой АС;
г) Найти внутренний угол А треугольника АВС
16.1. А (0, 1, -3),
В (1, -5, 4),
С (3, -3, 4);
118
16.2. А (-1, 1, 5),
В (2, 1, 4),
С (4, 3, -2);
16.3. А (0, 3, 2),
В (-2, 3, 4),
С (-4, -1, 6);
16.4. А (-1, -2, -3), В (-2, 0, 4),
С (0, 0, 2);
16.5. А (1; 0; 3),
В (-3; 4; 5),
С (9; 2; -5);
16.6. А (-1; 2; 6),
В (7; 4; -3),
С (5; -2; 1);
16.7. А (2; 5; 8),
В (3; 0; 4),
С (-3; 4; 2);
16.8. А (2; 8; 1),
В (-1; 8; 9), С (3; 6; 5);
16.9. А (-2; 3; 4),
В (-5; 1; -3), С (-3; -5; 1);
16.10. А (3; -4; 0), В (6; -5; 1), С (-4; 7; -3);
16.11. А (-6; -1; 2), В (5; 2; 0),
С (-3; -4; 6);
16.12. А (-5; 4; -3), В (4; 0; -5), С (8; -2; -3);
16.13. А (-3; 0; -7), В (6; 5; -1), С (4; -9; 3);
16.14. А (-2; -3; 6), В (9; -5; 0), С (7; -3; 2);
16.15. А (1; -6; -3), В (0; -2; -7), С (4; -4; 3);
16.16. А (-3; -1; 5), В (-6; -4; -3), С (4; -6; -1);
16.17. А (-7; 6; -3), В (6; 0; -1),
С (0; 2; -3);
16.18. А (3; 1; -1), В (1; -2; -3), С (-7; -6; 5);
16.19. А (-1; 7; 1), В (5; 8; 9),
С (-1; 0; -1);
16.20. А (-2; -5; 7), В (-5; 7; 0),
С (-7; 5; 8);
16.21. А (5; -4; 6), В (4; -5; -1),
С (0; -3; -7);
16.22. А (6; 3; -5), В (6; 3; 2),
С (-4; 5; -2);
16.23. А (-4; -5; 4), В (9; 7; -4),
С (5; 7; 0);
16.24. А (-3; 6; -6), В (4; -6; 5),
С (-4; -8; 3);
16.25. А (4; -5; 0),
В (7; 4; -7),
С (-9; -4; -5);
16.26. А (5; -4; -5),
В (2; 8; 8),
С (4; 6; 8);
16.27. А (-2; 7; 4),
В (6; -4; -5),
С (-2; -2; 7);
16.28. А (6; -5; 8),
В (3; 5; -3),
С (5; 1; -7);
16.29. А (7; 6; 7),
В (-5; -3; -4), С (3; -7; -6);
16.30. А (-4; -4; 5),
В (3; -4; 2),
С (5; 6; 3);
16.31. А (2; -6; 6),
В (0; 6; -5),
С (-4; 4; -3).
Задание 17. Найти угол между прямой р и плоскостью П
х−3 у −2 z +3
=
=
.
1
0
0
x + 2 y −1 z −1
p:
=
=
,
2
3
0
17.1. р:
П: 3x – 4y + z – 2 = 0;
17.2.
П: 2x + 3y – z + 1 = 0;
119
x −1 y + 2 z +1
=
=
,
1
2
3
x + 2 y − 3 z −1
17.4. p:
=
=
,
2
1
3
x+5 y+3 z −4
17.5. p:
=
=
,
2
−1
−5
x−7 y−6 z +5
17.6. p:
=
=
,
−1
3
−3
x + 4 y −8 z − 2
17.7. p:
=
=
,
−4
1
6
x − 4 y +1 z + 4
17.8. p:
=
=
,
−2
−2
7
x+3 y −2 z +8
17.9. p:
=
=
,
4
−5
−3
x−9 y −5 z +7
17.10. p:
=
=
,
5
0
−4
x − 5 y +1 z −1
17.11. p:
=
=
,
−3
−4
1
x+6 y +5 z −5
17.12. p:
=
=
,
−4
−1
2
x−6 y+4 z −7
17.13. p:
=
=
,
−3
−2
8
x−5 y −4 z +9
17.14. p:
=
=
,
−2
3
0
x +1 y − 6 z − 4
17.15. p:
=
=
,
0
−1
5
x −8 y + 7 z +8
17.16. p:
=
=
,
−6
1
4
x+9 y +2 z −3
17.17. p:
=
=
,
−1
5
2
x − 5 y +1 z + 2
17.18. p:
=
=
,
−3
−4
2
x+6 y −7 z −3
17.19. p:
=
=
,
3
−4
5
x−7 y+6 z +3
17.20. p:
=
=
,
2
−5
0
x − 3 y − 6 z +1
17.21. p:
=
=
,
−5
2
3
x −1 y + 3 z + 9
17.22. p:
=
=
,
0
−3
4
П: x – 2y – z – 1 = 0;
17.3. p:
П: x + 2y – z – 1 = 0.
П: 4x – 5y + 3z + 9 = 0;
П: 7x + 3y – 2z – 5 = 0;
П: 5x – 4y + 3z – 7 = 0;
П: 4x + 2y – 6z + 3 = 0;
П: 2x – 4y + 5z – 7 = 0;
П: 6x – 3y + 2z – 4 = 0;
П: 3x – 4y – 5z + 9 = 0;
П: 4x + y – 7z + 3 = 0;
П: x – 5y – 3z + 6 = 0;
П: 7x + 2y – 4z – 8 = 0;
П: 3x – 7y + 2z + 4 = 0;
П: 2x + 5y – 4z – 9 = 0;
П: x – 3y – 8z + 10 = 0;
П: 7x – 4y + 2z – 11 = 0;
П: 5x + 9y – z – 2 = 0;
П: x – 3y + 7z + 4 = 0;
П: 3x – 3y – 5z + 4 = 0;
П: 2x – 5y + 7z – 1 = 0;
120
x +8 y +3 z −8
=
=
,
4
−1
2
x−6 y +4 z −5
p:
=
=
,
2
0
−3
x+6
y
z −3
p:
=
=
,
7
−5
4
x −1 y + 3 z − 6
p:
=
=
,
7
4
−2
x −8 y +9 z − 4
p:
=
=
,
5
2
−6
x−3 y −4 z +9
p:
=
=
,
4
−3
1
x+6 y −2 z +8
p:
=
=
,
4
−3
4
x −8 y + 7 z −3
p:
=
=
,
−1
−5
2
x−5 y +8 z −9
p:
=
=
,
3
−2
1
17.23. p:
П: 3x + 4y – 5z – 7 = 0;
17.24.
П: 7x – 3y + 3z – 13 = 0;
17.25.
17.26.
17.27.
17.28.
17.29.
17.30.
17.31.
П: 4x + 5y – 2z – 8 = 0;
П: 7x – 2y – 3z + 10 = 0;
П: 8x – 5y + 4z – 3 = 0;
П: 3x – 2y + 5z – 12 = 0;
П: x – 5y – 7z + 9 = 0;
П: 4x + 6y – z – 3 = 0;
П: 5x + y + 4z – 7 = 0;
121
Рекомендуемая литература
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.:
Интеграл-пресс, 2010.
2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике:
Полный курс. Ч.1-2. М.: Айрис-пресс, 2010.
3. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. М.: Гос. изд-во Юрайт,
2017.
4. Егоров В.В., Мустафина Л.М., Абаева Н.Ф., Головачёва В.Н.
Математика. Часть I (для студентов горного профиля), изд-во КарГТУ,
2015.
5. Мустафина Л.М. Высшая математика для студентов технических
специальностей. Часть 1: Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. Караганда: Изд-во КарГТУ, 2016.
6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Спб.:
Лань, 2019.
7. Рябушко А.П. Индивидуальные :задания по высшей математике:
Т-1, 2, 3. Минск: Высшая школа, 2013.
122
Учебное издание
Мустафина Лэззэтжан Мухамеджановна
Яруллина Алина Рашидовна
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
по высшей математике для самостоятельной работы студентов
технических специальностей.
Часть 1. (Определители. Матрицы. Системы линейных уравнений.
Элементы векторного анализа. Элементы аналитической геометрии)
Редактор Искакова Р.С.
Подписано к печати 17.03.2021г. Формат 90х60/16.
Объем 7,6 уч. изд. л. Тираж 100 экз. Заказ № ….
Издательство КарТУ. 100027. Караганда, пр. Н.Назарбаева, 60
123