Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Introdução
Table of Contents
1 Introdução
2 Variáveis Aleatórias Vetoriais
3 Distribuição Conjunta e suas Propriedades
4 Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
5 Independência Estatı́stica
6 Introdução
7 Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Introdução
Introdução
Nos capı́tulos anteriores, vários aspectos da teoria de uma
variável aleatória única são estudados.
O conceito de variável aleatória permite que muitos problemas
realı́sticos sejam descritos de um modo probabilı́stico.
Não raro, desejamos analisar em conjunto diversas variáveis
aleatórias (como direção e força do vento).
Este capı́tulo estende a teoria pregressa para contemplar diversas
variáveis aleatórias.
Neste capı́tulo, enfocamos o caso bidimensional.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Vetoriais
Table of Contents
1 Introdução
2 Variáveis Aleatórias Vetoriais
3 Distribuição Conjunta e suas Propriedades
4 Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
5 Independência Estatı́stica
6 Introdução
7 Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Vetoriais
Variáveis Aleatórias Vetoriais
Suponha que duas variáveis aleatórias X e Y são definidas em um
espaço amostral S, onde valores especı́ficos de X e Y são
denotadas por x e y, respectivamente.
Logo, qualquer par ordenado de números (x, y) podem ser
convenientemente considerado como um ponto aleatório no
plano xy.
Tal ponto pode ser entendido como um valor especı́fico de uma
variável aleatória vetorial ou um vetor aleatório.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Vetoriais
Variáveis Aleatórias Vetoriais
O conjunto de todos os pontos (x, y) nas faixas de X e Y podem
ser considerados um novo espaço amostral.
Trata-se, em verdade, de um espaço vetorial no qual os
componentes de qualquer vetor são os valores das variáveis
aleatórias X e Y.
O novo espaço é por vezes chamado de espaço combinado
bidimensional.
Doravante, nós iremos chamá-lo de espaço amostral conjunto,
dando a ele seu o sı́mbolo SJ .
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Vetoriais
Variáveis Aleatórias Vetoriais
Como no caso de uma variável aleatória única, definamos o
evento A como
A = {X ≤ x}.
Um evento similar B pode ser definido para Y:
B = {Y ≤ y}.
Os eventos A e B se referem ao espaço amostral S, enquanto os
eventos {X ≤ x} e {Y ≤ y} se referem ao espaço amostral conjunto
SJ .
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Vetoriais
Variáveis Aleatórias Vetoriais
O evento A corresponde a todos os pontos em SJ para os quais os
valores da coordenada X não são maiores do que x.
Similarmente, o evento B corresponde aos valores da coordenada
Y em SJ que não excedem y.
É de especial interesse observar que o evento A ∩ B definido em
S correspondem ao evento conjunto {X ≤ x e Y ≤ y} definido em
SJ , o qual nós escrevemos {X ≤ x, Y ≤ y}.
No caso mais geral onde N variáveis aleatórias X1 , X2 , . . . , XN
são definidos em um espaço amostral S, nós as consideramos
quais componentes de uma variável aleatória vetorial
N-dimensional ou, simplesmente, uma variável aleatória
N-dimensional.
Neste contexto, o espaço conjunto SJ é agora N-dimensional.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Vetoriais
Variáveis Aleatórias Vetoriais
Mapeamento do espaço amostral S para o espaço amostral conjunto
SJ (plano xy)
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Table of Contents
1 Introdução
2 Variáveis Aleatórias Vetoriais
3 Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Função de Distribuição Conjunta
Propriedades da Distribuição Conjunta
4 Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
5 Independência Estatı́stica
6 Introdução
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Introdução
Sejam as probabilidades dos eventos A = {X ≤ x} e B = {Y ≤ y}
definidas como funções de x e y, respectivamente.
Neste caso, temos as seguintes funções de distribuição:
FX (x) = P{X ≤ x}
FY (y) = P{Y ≤ y}
Agora, cabe-nos introduzir um novo conceito, de modo a incluir
a probabilidade do evento conjunto {X ≤ x, Y ≤ y}.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Função de Distribuição Conjunta
Definição
Definimos a probabilidade do evento conjunto {X ≤ x, Y ≤ y}, a
qual é uma função de x e y, como uma função de distribuição
conjunta de probabilidade e denotamo-la pelo sı́mbolo FX,Y (x, y).
Logo:
FX,Y (x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y}.
Deve estar claro que P{X ≤ x, Y ≤ y} = P(A ∩ B), onde o evento
conjunto A ∩ B está definido em S.
Para ilustrar uma distribuição conjunta, iremos fornecer um
exemplo no qual ambas as variáveis aleatórias (X e Y) são
discretas.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Função de Distribuição Conjunta
Variáveis Aleatórias Vetoriais
Comparações de eventos em S com relação aos eventos em SJ .
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Função de Distribuição Conjunta
Exemplo
Enunciado
Assuma que o espaço amostral conjunto SJ possui apenas três
elementos possı́veis: (1,1), (2,1) e (3,3).
As probabilidades destes elementos são:
P(1,1) = 0.2
P(2,1) = 0.3
P(3,3) = 0.5
Encontre FX,Y (x, y).
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Função de Distribuição Conjunta
Função de distribuição conjunta
Função de distribuição conjunta e sua
respectiva função de densidade
conjunta, relativas ao exemplo.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Função de Distribuição Conjunta
Considerações
O exemplo precedente pode ser usado para identificar o formato
da função de distribuição conjunta para duas variáveis aleatórias
discretas, em geral.
Sejam N o número de possı́veis valores de xn e M o número de
possı́veis valores de yn .
Logo:
FX,Y (x, y) =
N X
M
X
P(xn , yn )u(x − xn )u(y − ym ),
n=1 m=1
onde P(xn , yn ) é a probabilidade do evento conjunto
{X = xn , Y = ym } e u(·) é a função degrau unitário.
Alguns pares (xn , ym ) pode ter probabilidade nula de ocorrência.
Em alguns casos, N ou M, ou mesmo ambos, podem ser infinitos.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Função de Distribuição Conjunta
Funções de Distribuição Conjunta Contı́nuas
Se FX,Y (x, y) é plotada para variáveis aleatórias contı́nuas X e Y,
o mesmo comportamento geral (em relação ao exemplo anterior)
é observado, exceto pelo fato de que a superfı́cie se torna suave e
de que não há descontinuidades do tipo degrau.
Para N variáveis aleatórias Xn , n = 1, 2, . . . , N, a generalização é
direta.
A função de distribuição conjunta, denotada por
FX1 ,X2 ,...,XN (x1 , x2 , . . . , xN ) é definida como a probabilidade do
evento conjunto {X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , . . . , XN ≤ xN }:
FX1 ,X2 ,...,XN (x1 , x2 , . . . , xN ) = P{X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , . . . , XN ≤ xN }.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Propriedades
Uma função de distribuição conjunta para duas variáveis
aleatórias X e Y apresentam algumas propriedades que se
seguem, de pronto, de sua definição. Ei-las:
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Propriedades
Uma função de distribuição conjunta para duas variáveis
aleatórias X e Y apresentam algumas propriedades que se
seguem, de pronto, de sua definição. Ei-las:
1
FX,Y (−∞, −∞) = 0, FX,Y (−∞, y) = 0, FX,Y (x, −∞) = 0
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Propriedades
Uma função de distribuição conjunta para duas variáveis
aleatórias X e Y apresentam algumas propriedades que se
seguem, de pronto, de sua definição. Ei-las:
1
2
FX,Y (−∞, −∞) = 0, FX,Y (−∞, y) = 0, FX,Y (x, −∞) = 0
FX,Y (∞, ∞) = 1
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Propriedades
Uma função de distribuição conjunta para duas variáveis
aleatórias X e Y apresentam algumas propriedades que se
seguem, de pronto, de sua definição. Ei-las:
1
2
3
FX,Y (−∞, −∞) = 0, FX,Y (−∞, y) = 0, FX,Y (x, −∞) = 0
FX,Y (∞, ∞) = 1
0 ≤ FX,Y (x, y) ≤ 1
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Propriedades
Uma função de distribuição conjunta para duas variáveis
aleatórias X e Y apresentam algumas propriedades que se
seguem, de pronto, de sua definição. Ei-las:
1
2
3
4
FX,Y (−∞, −∞) = 0, FX,Y (−∞, y) = 0, FX,Y (x, −∞) = 0
FX,Y (∞, ∞) = 1
0 ≤ FX,Y (x, y) ≤ 1
FX,Y (x, y) é uma função não decrescente de x e de y
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Propriedades
Uma função de distribuição conjunta para duas variáveis
aleatórias X e Y apresentam algumas propriedades que se
seguem, de pronto, de sua definição. Ei-las:
FX,Y (−∞, −∞) = 0, FX,Y (−∞, y) = 0, FX,Y (x, −∞) = 0
FX,Y (∞, ∞) = 1
0 ≤ FX,Y (x, y) ≤ 1
FX,Y (x, y) é uma função não decrescente de x e de y
5 FX,Y (x2 , y2 ) + FX,Y (x1 , y1 ) − FX,Y (x1 , y2 ) − FX,Y (x2 , y1 )
= P{x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 } ≥ 0
1
2
3
4
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Propriedades
Uma função de distribuição conjunta para duas variáveis
aleatórias X e Y apresentam algumas propriedades que se
seguem, de pronto, de sua definição. Ei-las:
FX,Y (−∞, −∞) = 0, FX,Y (−∞, y) = 0, FX,Y (x, −∞) = 0
FX,Y (∞, ∞) = 1
0 ≤ FX,Y (x, y) ≤ 1
FX,Y (x, y) é uma função não decrescente de x e de y
5 FX,Y (x2 , y2 ) + FX,Y (x1 , y1 ) − FX,Y (x1 , y2 ) − FX,Y (x2 , y1 )
= P{x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 } ≥ 0
6 FX,Y (x, ∞) = FX (x) FX,Y (∞, y) = FY (y).
1
2
3
4
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Propriedades
As primeiras cinco propriedades são apenas extensões
bidimensionais das probabilidades de uma variável aleatória
unidimensional, previamente vistas.
As propriedades 1, 2 e 5 podem ser usadas como teste para
determinar se uma determinada função é uma função de
distribuição conjunta válida para duas variáveis aleatórias X e Y.
Iremos tratar da propriedade 6 com mais detalhes a seguir.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Funções de Distribuição Marginal
A propriedade (6) preconiza que a função de distribuição de uma
variável aleatória pode ser obtida por meio da “atribuição” de um
valor infinito à outra variável em FX,Y (x, y).
As funções FX (x) e FY (y) obtidas deste modo são chamadas de
funções marginais de distribuição.
Para justificar a propriedade (6), é fácil retornar aos eventos
básicos A e B, definidos por A = {X ≤ x} e B = {Y ≤ y}, e
observar que FX,Y (x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y} = P(A ∩ B).
Agora, se impusermos a condição y → ∞, isto se torna
equivalente a tornar B um evento cuja ocorrência é certa; ou seja,
B = {Y ≤ ∞} = S.
Adicionalmente, como A ∩ B = A ∩ S = A, então nós temos
FX,Y (x, ∞) = P(A ∩ S) = P(A) = P{X ≤ x} = FX (x).
Uma prova similar pode ser efetuada, de modo a se obter FY (y).
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Exemplo
Enunciado
Seja a seguinte função de distribuição conjunta:
FX,Y (x, y) = P(1, 1)u(x − 1)u(y − 1) + P(2, 1)u(x − 2)u(y − 1)
+P(3, 3)u(x − 3)u(y − 3),
onde P(1, 1) = 0.2, P(2, 1) = 0.3 e P(3, 3) = 0.5.
Encontre as distribuições marginais FX (x) e FY (y).
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Exemplo
Resolução
Se impusermos y → ∞:
FX (x) = FX,Y (x, ∞)
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Exemplo
Resolução
Se impusermos y → ∞:
FX (x) = FX,Y (x, ∞)
= P(1, 1)u(x − 1) + P(2, 1)u(x − 2) + P(3, 3)u(x − 3)
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Exemplo
Resolução
Se impusermos y → ∞:
FX (x) = FX,Y (x, ∞)
= P(1, 1)u(x − 1) + P(2, 1)u(x − 2) + P(3, 3)u(x − 3)
= 0.2u(x − 1) + 0.3u(x − 2) + 0.5u(x − 3)
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Exemplo
Resolução
Se impusermos y → ∞:
FX (x) = FX,Y (x, ∞)
= P(1, 1)u(x − 1) + P(2, 1)u(x − 2) + P(3, 3)u(x − 3)
= 0.2u(x − 1) + 0.3u(x − 2) + 0.5u(x − 3)
Usando o mesmo raciocı́nio para encontrar FY (y), temos:
Fy (y) = FX,Y (∞, y) = 0.5u(y − 1) + 0.5u(y − 3).
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Distribuição Conjunta e suas Propriedades
Propriedades da Distribuição Conjunta
Generalização
Para uma função de distribuição conjunta de dimensão N,
podemos obter uma função marginal de distribuição de
dimensão k, para qualquer grupo selecionado de k das N
variáveis aleatórias, arbitrando como infinitos os valores das
demais N − k variáveis aleatórias.
Aqui, k pode ser qualquer inteiro 1, 2, 3, . . . , N − 1.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Table of Contents
1 Introdução
2 Variáveis Aleatórias Vetoriais
3 Distribuição Conjunta e suas Propriedades
4 Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
5 Independência Estatı́stica
6 Introdução
7 Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Para duas variáveis aleatórias X e Y, a função densidade de
probabilidade conjunta, denotada por fX,Y (x, y), é definida pela
segunda derivada da função de distribuição conjunta, onde quer
que tal derivada exista:
fX,Y (x, y) =
∂2 FX,Y (x, y)
.
∂x∂y
Iremos frequentemente nos referir a fX,Y (x, y) como a função de
densidade conjunta.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Se X e Y são variáveis aleatórias discretas, FX,Y (x, y) irá possuir
descontinuidades do tipo degrau.
Derivadas nestas descontinuidades não são, em geral, definidas.
Entretando, admitindo-se funções impulsos, é possı́vel definir
fX,Y (x, y) nestes pontos.
Então, a função conjunta de densidade pode ser encontrada, para
duas variáveis aleatórias discretas quaisquer, por meio de:
fX,Y (x, y) =
N X
M
X
n=1 m=1
P(xn , ym )δ(x − xn )δ(y − yn ).
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Quando N variáveis aleatórias X1 , X2 , X3 , . . . , XN estão
envolvidas, a função de densidade conjunta se torna a derivada
parcial de N-ésima ordem da função de distribuição de dimensão
N:
fX1 ,X2 ,...,XN (x1 , x2 , . . . , xN ) =
∂N FX1 ,X2 ,...,XN (x1 , x2 , . . . , xN )
.
∂x1 ∂x2 . . . ∂xN
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Quando N variáveis aleatórias X1 , X2 , X3 , . . . , XN estão
envolvidas, a função de densidade conjunta se torna a derivada
parcial de N-ésima ordem da função de distribuição de dimensão
N:
fX1 ,X2 ,...,XN (x1 , x2 , . . . , xN ) =
∂N FX1 ,X2 ,...,XN (x1 , x2 , . . . , xN )
.
∂x1 ∂x2 . . . ∂xN
Por integração direta, este resultado é equivalente a:
Z xN
Z x2 Z x1
FX1 ,X2 ,...,XN (x1 , x2 , . . . , xN ) =
...
fX1 ,X2 ,...,XN (ξ1 , ξ2 , . . . , ξN )
−∞
−∞
−∞
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Propriedades
1
fX,Y (x, y) ≥ 0
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Propriedades
fX,Y (x, y) ≥ 0
R∞ R∞
f (x, y)dxdy = 1
2
−∞ −∞ X,Y
1
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Propriedades
fX,Y (x, y) ≥ 0
R∞ R∞
f (x, y)dxdy = 1
2
−∞ −∞ X,Y
Ry Rx
3 FX,Y (x, y) =
f (ξ , ξ )dξ1 dξ2
−∞ −∞ X,Y 1 2
1
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Propriedades
fX,Y (x, y) ≥ 0
R∞ R∞
f (x, y)dxdy = 1
2
−∞ −∞ X,Y
Ry Rx
3 FX,Y (x, y) =
f (ξ , ξ )dξ1 dξ2
−∞ −∞ X,Y 1 2
R x+ R ∞
4 FX (x) =
f (ξ , ξ )dξ2 dξ1
−∞ X,Y 1 2
R−∞
y+ R ∞
FY (y) = −∞ −∞ fX,Y (ξ1 , ξ2 )dξ1 dξ2
1
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Propriedades
fX,Y (x, y) ≥ 0
R∞ R∞
f (x, y)dxdy = 1
2
−∞ −∞ X,Y
Ry Rx
3 FX,Y (x, y) =
f (ξ , ξ )dξ1 dξ2
−∞ −∞ X,Y 1 2
R x+ R ∞
4 FX (x) =
f (ξ , ξ )dξ2 dξ1
−∞ X,Y 1 2
R−∞
y+ R ∞
FY (y) = −∞ −∞ fX,Y (ξ1 , ξ2 )dξ1 dξ2
R y2 R x2
f (x, y)dxdy
5 P{x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 } =
y
x X,Y
1
1
1
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Propriedades
fX,Y (x, y) ≥ 0
R∞ R∞
f (x, y)dxdy = 1
2
−∞ −∞ X,Y
Ry Rx
3 FX,Y (x, y) =
f (ξ , ξ )dξ1 dξ2
−∞ −∞ X,Y 1 2
R x+ R ∞
4 FX (x) =
f (ξ , ξ )dξ2 dξ1
−∞ X,Y 1 2
R−∞
y+ R ∞
FY (y) = −∞ −∞ fX,Y (ξ1 , ξ2 )dξ1 dξ2
R y2 R x2
f (x, y)dxdy
5 P{x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 } =
y1 x1 X,Y
R∞
fX,Y (x, y)dy
6 fX (x) =
R−∞
∞
fY (y) = −∞ fX,Y (x, y)dx
1
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
As propriedades 1 e 2 podem ser usadas como teste suficiente
para determinar se uma dada função pode ser uma função de
densidade conjunta válida.
Ambos os testes devem ser satisfeitos.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Exemplo
Enunciado
Suponha que b é uma constante positiva.
Seja a seguinte função:
( −x
be cos(y), 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ π/2
g(x, y) =
0,
no resto
Verifique se a função acima é ou não uma função de densidade
válida.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Exemplo
Resolução
Para os valores permitidos de x e y, a função é não negativa e
satisfaz a propriedade 1.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Exemplo
Resolução
Para os valores permitidos de x e y, a função é não negativa e
satisfaz a propriedade 1.
O teste final deve ser feito, então, pela propriedade 2:
Z π/2 Z 2
be cos(y)dxdy = b
0
0
Z π/2
Z 2
−x
−x
e dx
0
0
cos(y)dy = b 1 − e−2
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Exemplo
Resolução
Para os valores permitidos de x e y, a função é não negativa e
satisfaz a propriedade 1.
O teste final deve ser feito, então, pela propriedade 2:
Z π/2 Z 2
be cos(y)dxdy = b
0
0
Z π/2
Z 2
−x
−x
e dx
0
cos(y)dy = b 1 − e−2
0
Logo, para que a função seja válida é necessário que b seja igual
a 1−e1 −2 .
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Funções de Densidade Marginais
As funções fX (x) e fY (y) da propriedade 6 são chamadas de
funções marginais de densidade de probabilidade.
Elas são as funções de densidade das variáveis aleatórias
unidimensionais X e Y e são definidas como as derivadas das
funções marginais de distribuição, da seguinte forma:
fX (x) =
dFX (x)
.
dx
fY (y) =
dFY (y)
.
dy
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Exemplo
Enunciado
Seja a seguinte função de densidade conjunta:
fX,Y (x, y) = u(x)u(y)xe−x(y+1)
Encontre fX (x) e fY (y).
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Exemplo
Resolução:
fX (x) =
Z ∞
−x(y+1)
u(x)xe
dy = u(x)xe
Z ∞
e−xy dy
−x
0
0
= u(x)xe (1/x) = u(x)e
−x
−x
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Exemplo
Resolução:
fX (x) =
Z ∞
−x(y+1)
u(x)xe
dy = u(x)xe
Z ∞
e−xy dy
−x
0
0
= u(x)xe (1/x) = u(x)e
−x
fY (y) =
Z ∞
0
u(y)xe−x(y+1) dx =
−x
u(y)
(y + 1)2
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
Funções de Densidade Marginais
Para N variáveis aleatórias X1 , X2 , . . . , XN , a função de densidade
marginal de dimensão k é definida como a derivada parcial de
ordem k da função de distribuição marginal de dimensão k.
Ela também pode ser encontrada por meio da função densidade
conjunta por meio da integração de todas as variáveis, exceto as
k variáveis de interesse X1 , X2 , . . . , Xk :
fX1 ,X2 ,...,Xk (x1 , x2 , . . . , xk ) =
Z ∞
−∞
...
Z ∞
−∞
fX1 ,X2 ,...,XN (x1 , x2 , . . . , xN ) dxk+1 dxk+2 . . . dxN .
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Independência Estatı́stica
Table of Contents
1 Introdução
2 Variáveis Aleatórias Vetoriais
3 Distribuição Conjunta e suas Propriedades
4 Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
5 Independência Estatı́stica
6 Introdução
7 Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Independência Estatı́stica
Independência Estatı́stica
Relembremos que dois eventos A e B são estatisticamente
independentes se, e somente se
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Esta condição pode ser aplicada em duas variáveis aleatórias X e
Y por meio da definição dos eventos A = {X ≤ x} e B = {Y ≤ y}
para dois números reais x e y.
Então, X e Y são ditas variáveis aleatórias estatisticamente
independentes se, e somente se
P{X ≤ x, Y ≤ y} = P{X ≤ x}P{Y ≤ y}.
A partir desta expressão e das definições de funções de
densidade, segue-se que
FX,Y (x, y) = FX (x)FY (y),
se X e Y são independentes.
(1)
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Independência Estatı́stica
Independência Estatı́stica
A partir das definições de funções de densidade, a partir de (1)
pode-se concluir que:
fX,Y (x, y) = fX (x)fY (y),
(2)
por derivação, caso X e Y sejam independentes.
Tanto (1) quanto (2) podem servir como uma definição
suficiente, ou mesmo para um teste, de independência entre duas
variáveis aleatórias.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Independência Estatı́stica
Independência Estatı́stica
Um caso particular da função de distribuição condicional para
eventos independentes pode ser escrito como:
FX (x|Y ≤ y) =
P{X ≤ x, Y ≤ y} FX,Y (x, y)
=
P{Y ≤ y}
FY (y)
Sendo X e Y independentes, a equação acima pode ser
simplificada para:
FX (x|Y ≤ y) = FX (x).
Em outras palavras, a distribuição condicional deixa de ser
condicional e simplesmente se equivale à distribuição marginal
para variáveis aleatórias independentes.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Independência Estatı́stica
Independência Estatı́stica
Pode também ser demonstrado que:
FY (y|X ≤ x) = FY (y).
Funções de densidade condicionais, para variáveis aleatórias
independentes X e Y, podem ser encontradas via:
fX (x|Y ≤ y) = fX (x)
fY (y|X ≤ x) = fY (y)
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Independência Estatı́stica
Independência Estatı́stica
Exemplo
Para a função de densidade:
f (x, y) = u(x)u(y)xe−x(y+1) ,
temos que:
fX,Y (x, y) = u(x)u(y)xe−x(y+1)
fX (x)fY (y) = u(x)u(y)
e−x
(y + 1)2
, fX,Y (x, y).
Logo, tais variáveis aleatórias não são estatisticamente
independentes.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Independência Estatı́stica
Independência Estatı́stica
Exemplo
A função de densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é
dada por:
1
fX,Y (x, y) = u(x)u(y)e−(x/4)−(y/3) .
12
Seriam tais variáveis estatisticamente independentes?
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Independência Estatı́stica
Independência Estatı́stica
Exemplo
A função de densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é
dada por:
1
fX,Y (x, y) = u(x)u(y)e−(x/4)−(y/3) .
12
Seriam tais variáveis estatisticamente independentes?
Determinemos as distribuições marginais:
Z ∞
fX (x) =
(1/12)u(x)e−x/4 e−y/3 dy = (1/4)u(x)e−x/4
0
fY (y) =
Z ∞
(1/12)u(y)e−x/4 e−y/3 dy = (1/3)u(y)e−y/3
0
Como fX (x)fY (y) = fX,Y (x, y), então X e Y são independentes.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Introdução
Table of Contents
1 Introdução
2 Variáveis Aleatórias Vetoriais
3 Distribuição Conjunta e suas Propriedades
4 Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
5 Independência Estatı́stica
6 Introdução
7 Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Introdução
Introdução
Após o estabelecimento da teoria básica de variáveis aleatórias
multidimensionais, torna-se apropriada, para contemplá-las, a
extensão das operações descritas no Cap. 3.
Este capı́tulo é dedicado a tais extensões.
Em especial, o conceito de valor esperado é ampliado, de sorte a
contemplar variáveis aleatórias multidimensionais.
Outras operações, como as que envolvem o cálculo de
momentos, funções caracterı́sticas e transformações são, todas,
casos especiais do valor esperado.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Table of Contents
1 Introdução
2 Variáveis Aleatórias Vetoriais
3 Distribuição Conjunta e suas Propriedades
4 Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
5 Independência Estatı́stica
6 Introdução
7 Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Fórmula
Quando mais do que uma variável aleatória encontra-se
envolvida, o valor esperado deve ser calculado com relação a
todas as variáveis aleatórias.
Por exemplo, se g(X, Y) é uma função de duas variáveis
aleatórias X e Y, o valor esperado de g(·, ·) é dado por:
Z ∞Z ∞
ḡ = E g(X, Y) =
g(x, y)fX,Y (x, y)dxdy.
(3)
−∞
−∞
Para N variáveis aleatórias X1 , X2 , . . . , XN e uma dada função
destas variáveis - denotada por g(X1 , X2 , . . . , XN ) - o valor
esperado da função torna-se:
ḡ = E g (X1 , X2 , . . . , XN ) =
Z ∞ Z ∞
...
g(x1 , . . . , xN )fX1 ,...,XN (x1 , . . . , xN )dx1 . . . dxN .
−∞
−∞
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Considerações Adicionais
Logo, em geral o cálculo do valor esperado envolve uma
integração múltipla de ordem N quando N variáveis aleatórias
encontram-se envolvidas.
Deve estar claro para o leitor que o valor esperado da soma de
funções equivale à soma dos valores esperados das funções
individuais.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Exemplo
Enunciado
Sejam N variáveis aleatórias X1 , X2 , . . . , XN , cujas médias são
E [Xi ], para i ∈ {1, 2, . . . , N}.
P
Caso g (X1 , . . . , XN ) = Ni=1 αi Xi , onde os pesos αi (para
i ∈ {1, 2, . . . , N}) são constantes, calcule o valor esperado de
g (X1 , . . . , XN ).
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Exemplo
Resolução

N

X

E g (X1 , . . . , XN ) = E  αi Xi 
i=1
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Exemplo
Resolução

N

X

E g (X1 , . . . , XN ) = E  αi Xi 
i=1
=
N Z ∞
X
i=1
−∞
...
Z ∞
−∞
αi xi fX1 ,...,XN (x1 , . . . , xN ) dx1 . . . dxN
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Exemplo
Resolução

N

X

E g (X1 , . . . , XN ) = E  αi Xi 
i=1
=
N Z ∞
X
...
−∞
i=1
=
Z ∞
−∞
Z ∞
αi xi fX1 ,...,XN (x1 , . . . , xN ) dx1 . . . dxN
−∞
αi xi fXi (xi ) dxi = E [αi Xi ] = αi E [Xi ]
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Exemplo
Resolução

N

X

E g (X1 , . . . , XN ) = E  αi Xi 
i=1
=
N Z ∞
X
...
−∞
i=1
=
Z ∞
Z ∞
αi xi fX1 ,...,XN (x1 , . . . , xN ) dx1 . . . dxN
−∞
αi xi fXi (xi ) dxi = E [αi Xi ] = αi E [Xi ]
−∞
De modo que:
N

N
X
 X
E  αi Xi  =
αi E [Xi ]
i=1
i=1
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Considerações Adicionais
As fórmulas dos valores esperados para variáveis aleatórias
multidimensionais não invalidam quaisquer resultados relativos a
variáveis aleatórias unidimensionais.
Por exemplo, seja g (X1 , . . . , XN ) = g (X1 ).
Usando a definição de valor esperado para variáveis aleatórias
multidimensionais e integrando com relação a todas as demais
variáveis aleatórias (exceto X1 ), temos:
Z ∞
g(x1 )fX1 (x1 )dx1 .
ḡ = E g (X1 ) =
−∞
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Definição
Os momentos conjuntos em torno da origem são denotados por
mnk , e definidos por:
h
i Z ∞Z ∞
xn yk fX,Y (x, y)dxdy,
mnk = E X n Y k =
−∞
−∞
para o caso de duas variáveis aleatórias X e Y.
Claramente, mn0 = E [Xh n ] iexpressa os momentos mn de X,
enquanto que m0k = E Y k denotam os momentos de Y.
A soma n + k é chamada a ordem dos momentos.
Logo, m02 , m20 e m11 são, todos, momentos de segunda ordem
de X e Y.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Considerações Adicionais
Os momentos de primeira ordem m01 = E[Y] = Ȳ e
m10 = E[X] = X̄ são os valores esperados de Y e de X,
respectivamente, sendo as coordenadas do “centro de gravidade”
da função fX,Y (x, y).
O momento de segunda ordem m11 = E [XY] é conhecido como
correlação entre X e Y.
A correlação é tão importante que destinamos a ela o sı́mbolo
RXY . Logo:
Z ∞Z ∞
RXY = m11 = E[XY] =
xyfX,Y (x, y)dxdy.
(4)
−∞
−∞
Caso a correlação possa ser escrita na forma RXY = E[X]E[Y],
então as variáveis aleatórias X e Y são ditas descorrelacionadas.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Independência Estatı́stica × Descorrelação
A independência estatı́stica entre X e Y é suficiente para que se
garanta a descorrelação entre tais variáveis aleatórias.
O inverso, porém, não é verdadeiro. Ou seja, duas variáveis
aleatórias descorrelacionadas não são, necessariamente,
estatisticamente independentes.
Caso RXY = 0, as variáveis aleatórias X e Y são ortogonais.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Correlação
Exemplo
Seja X uma variável aleatória que possui média X̄ = E[X] = 3 e
variância σ2X = 2.
Logo, podemos facilmente determinar o segundo momento com
relação à origem:
E[X 2 ] = m20 = σ2X + X̄ 2 = 11.
Então, seja outra variável aleatória Y, definida como:
Y = −6X + 22.
O valor médio de Y é Ȳ = E[Y] = E[−6X + 22] = −6X̄ + 22 = 4.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Correlação
Exemplo - continuação
A correlação entre X e Y é obtida a partir de (4):
RXY = m11 = E[XY] = E[−6X 2 + 22X]
= −6E[X 2 ] + 22X̄ = −6(11) + 22(3) = 0.
Como RXY = 0, X e Y são ortogonais entre si.
Por outro lado, RXY , E[X]E[Y] = 12, de modo que X e Y não
são descorrelacionadas.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Ortogonalidade e descorrelação
Cabe ressaltar que duas variáveis aleatórias podem ser
ortogonais entre si mesmo quando uma delas (Y) é relacionada à
outra (X), pela função linear Y = aX + b.
Pode ser mostrado que X e Y são sempre correlacionadas se
|a| , 0, independentemente do valor de b.
Elas são descorrelacionadas se a = 0, porém este não é um caso
de interesse prático.
A ortogonalidade entre X e Y, por sua
h vez,
i pode ocorrer quando
a e b são relacionadas por b = −aE X 2 /E [X], sempre que
E[X] , 0.
Se E[X] = 0, X e Y não podem ser ortogonais entre si para
nenhum valor de a (exceto a = 0), um problema de pouco
interesse.
O leitor deve conferir tais afirmações, como um exercı́cio.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Momentos Conjuntos Centrais
Uma outra aplicação importante da Eq. (3) reside na definição de
momentos conjuntos centrais.
Para duas variáveis X e Y, tais momentos, denotados por µnk , são
dados por:
µnk = E[(X − X̄)n (Y − Ȳ)k ]
Z ∞Z ∞
n k
x − X̄ y − Ȳ fX,Y (x, y)dxdy.
=
−∞
−∞
Os momentos centrais de segunda ordem:
2 µ20 = E X − X̄ = σ2X ,
2 µ02 = E Y − Ȳ = σ2Y ,
são exatamente as variâncias de X e Y.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Momentos Conjuntos Centrais
O momento conjunto de segunda ordem µ11 é muito importante.
Ele é conhecido como covariância de X e Y, a qual é denotada
pelo sı́mbolo CXY . Daı́:
h
i
CXY = µ11 = E X − X̄ Y − Ȳ
Z ∞Z ∞
x − X̄ y − Ȳ fX,Y (x, y)dxdy.
=
−∞ −∞
A expansão do produto x − X̄ y − Ȳ , esta integral se reduz à
forma:
CXY = RXY − X̄ Ȳ = RXY − E [X] E [Y] .
Se X e Y são independentes ou descorrelacionadas, então sua
covariância CXY é zero.
Se X e Y são variáveis aleatórias ortogonais, então
CXY = −E[X]E[Y].
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Momentos Conjuntos Centrais
O momento normalizado de segunda ordem:
√
ρ = µ11 / µ20 µ02 = CXY /(σX σY ),
dado por:


 X − X̄ Y − Ȳ 
 ,
ρ = E 
σX
σY 
é conhecido como coeficiente de correlação entre X e Y.
Pode ser mostrado que:
−1 ≤ ρ ≤ 1.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Momento Central Conjunto
Para N variáveis aleatórias X1 , X2 , . . . , XN , o momento centro
conjunto de ordem (n1 + n2 + . . . + nN ) é definido como:
h
n1 n2
nN i
µn1 n2 ...nN = E X1 − X̄1
X2 − X̄2 . . . XN − X̄N
=
Z ∞
−∞
...
Z ∞
n1
nN
x1 − X̄1 . . . xN − X̄N fX1 ,...,XN (x1 , . . . , xN )dx1 . . . dxn
−∞
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Covariância
Exemplo
Seja X uma soma ponderada de N variáveis aleatórias Xi :
X=
N
X
αi Xi ,
i=1
onde αi assume valores reais.
Encontremos a variância de X. Para começar:
E [X] =
N
X
i=1
αi E [Xi ] =
N
X
i=1
αi X̄i = X̄.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Covariância
Exemplo
De modo que temos:
X − X̄ =
N
X
αi Xi − X̄i .
i=1
e
σ2X = E X − X̄
2 

N
N
X

X
= E  αi Xi − X̄i
αj Xj − X̄j 
i=1
=
N X
N
X
i=1 j=1
j=1
N X
N
h
i X
αi αj E Xi − X̄i Xj − X̄j =
αi αj CXi Xj .
i=1 j=1
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Momentos Conjuntos em Torno da Origem
Covariância
Exemplo
Logo, a variância de uma soma ponderada de N variáveis
aleatórias Xi (cujos pesos são αi ) é igual à soma pondera de todas
as suas covariâncias CXi Xj (com pesos αi αj ).
Para o caso especial de variáveis aleatórias descorrelacionadas,
onde
(
0, i , j
CXi Xj =
σ2Xi , i = j
é verdadeiro, nós temos:
σ2X =
N
X
i=1
α2i σ2Xi .
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Gaussianas
Table of Contents
1 Introdução
2 Variáveis Aleatórias Vetoriais
3 Distribuição Conjunta e suas Propriedades
4 Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
5 Independência Estatı́stica
6 Introdução
7 Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Gaussianas
Introdução
Variáveis aleatórias gaussianas são muito importantes porque
surgem em praticamente qualquer área da ciência e da
engenharia.
Nesta seção, o caso de duas variáveis aleatórias gaussianas é
examinado em primeiro lugar.
Posteriormente, o caso mais geral é introduzido.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Gaussianas
Duas Variáveis Aleatórias
Duas variáveis aleatórias X e Y são conhecidas como
conjuntamente gaussianas se sua função densidade de
probabilidade conjunta é expressa na forma:
fX,Y (x, y) =
1
p
2πσX σY
1 − ρ2
"
.e
(x−X)2 2ρ(x−X)(y−Y) (y−Y)2
−1
− σ σ
+ 2
2(1−ρ2 )
X Y
σ2
σ
X
Y
a qual é por vezes chamada de densidade gaussiana
bidimensional.
#
,
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Conjuntamente Gaussianas
Duas Variáveis Aleatórias
Aqui, temos que:
X = E[X]
Y = E[Y]
h
i
σ2X = E (X − X)2
h
i
σ2Y = E (Y − Y)2
i
h
E (X−X)(Y−Y)
ρ=
σX σY
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Estimação
Table of Contents
1 Introdução
2 Variáveis Aleatórias Vetoriais
3 Distribuição Conjunta e suas Propriedades
4 Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
5 Independência Estatı́stica
6 Introdução
7 Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Estimação
Estimação
Engenheiros e cientistas são frequentemente confrontados com o
problema de medir uma determinada grandeza.
Por exemplo, se nós precisamos medir uma tensão DC, usamos
um voltı́metro DC, o qual nos provê uma determinada indicação
da tensão.
Independentemente do mecanismo usado pelo voltı́metro para
gerar sua indicação, uma pessoa usualmente lê a medição para
obter um valor, o qual nós dizemos que é a medida da tensão.
Em outras palavras, nós amostramos a medição para obter nossa
medida.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Estimação
Estimação
Tal medida pode apenas ser considerada como uma estimativa da
tensão, devido a flutuações do voltı́metro, tolerâncias, etc.
De fato, qualquer medida pode apenas ser considerada como
uma estimativa da grandeza de interesse.
Em nosso exemplo, nossa estimativa usa apenas uma amostra.
Em termos mais gerais, podemos estimar (medir) uma grandeza
usando mais do que uma amostra (observação).
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Estimação
Estimação
Para esclarecer melhor tal linha de raciocı́nio, considere o
problema de medir o valor médio (DC) de alguma tensão ruidosa
aleatória.
Se nós temos um grande número de amostras desta tensão
ruidosa, oriundas de N fontes idênticas, podemos pensar em
agregá-las, de modo a formar uma estimativa da tensão DC por
meio da média destas amostras.
Para N fontes, cada amostra pode ser considerada um valor de
uma de N variáveis aleatórias, o que forma as N dimensões de
um experimento combinado.
Aqui, amostras de cada um dos N subexperimentos são
combinados.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Estimação
Estimação
No mundo real nós usualmente devemos adotar outra abordagem
porque jamais temos fontes idênticas múltiplas com as quais
trabalhar.
Procuremos outro modelo.
Suponha que obtemos uma sequência de N amostras ao longo do
tempo, sob a assunção (modelo) de que as propriedades
estatı́sticas da tensão se mantém inalteradas ao longo do tempo.
Novamente, cada amostra é entendida como o valor de uma de N
variáveis aleatórias estatisticamente independentes, todas
apresentado a mesma distribuição de probabilidade.
Novamente, nós temos novamente um experimento combinado,
porém agora trata-se de N repetições de um experimento básico.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Estimação
Estimação da Média, da Potência e da Variância
Estimação da Média
Independentemente da abordagem utilizada, as N amostras xn
representam valores de variáveis aleatórias identicamente
distribuı́das Xn , n = 1, 2, . . . , N.
Assuma que as variáveis aleatórias Xn são independentes ao
menos por pares; elas apresentam o mesmo valor médio X̄ e
variância σ2X devido ao fato de apresentarem distribuições
idênticas.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Estimação
Estimação da Média, da Potência e da Variância
Estimação da Média
Como desejamos estimar (medir) a média da tensão ruidosa, a
intuição indica que devemos formar a média dos valores das
amostras, como se segue:
N
x̄ˆ N = estimativa da média de N amostras =
1X
xn .
N n=1
(5)
A Eq. (5) é uma função do conjunto de amostras especı́ficas {xn };
ela fornece um número que denominamos uma estimativa ou
medida da média das variáveis aleatórias.
Outro conjunto especı́fico de amostras produziria um número
diferente x̄ˆ N .
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Estimação
Estimação da Média, da Potência e da Variância
Estimação da Média
Quando todos os conjuntos amostrais são considerados, podemos
formar a função
N
X
ˆX̄ = 1
Xn
(6)
N
N n=1
para representar o efeito da média efetuada em variáveis
aleatórias.
A Eq. (6) é um caso particular de um estimador; ela gera uma
estimativa especı́fica X̄ para um conjunto especı́fico de amostras.
Nos referimos à Eq. (6) como a média amostral.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Estimação
Estimação da Média, da Potência e da Variância
Estimação da Média
Uma pergunta de grande interesse é: qual é o desempenho de
nosso estimador da média amostral?
Para uma resposta, comecemos por estimar a média e a variância
do nosso estimador:


N
N
 1 X
 1 X
h i
ˆ


E X̄N = E 
Xn  =
E [Xn ] = X̄,
N n=1  N n=1
para todo N.
Qualquer estimador (função de medida) cuja média esperada
coincida com a grandeza sendo estimada é chamada de não
enviesada (unbiased).
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Table of Contents
1 Introdução
2 Variáveis Aleatórias Vetoriais
3 Distribuição Conjunta e suas Propriedades
4 Função Densidade de Probabilidade Conjunta e suas Propriedades
5 Independência Estatı́stica
6 Introdução
7 Valor Esperado de uma Função de Variáveis Aleatórias
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 1
Enunciado
Encontre a pdf da soma de X e de Y se ambas as variáveis aleatórias
são independentes com a mesma pdf:
( 1
, 0<u<4
fX (u) = fY (u) = 4
0, caso contrário
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 1
Solução
R∞
Temos que fS (s) = −∞ fX (s − y)fY (y)dy (veja figura abaixo)
Convolução das pdfs (a) 0 ≤ s ≤ 4 e (b) 4 < s < 8.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 1
Solução
Para 0 ≤ s ≤ 4:
Z s
fS (s)
1
s
dy =
16
0 16
Para 4 < s < 8:
1
fS (s) =
16
Z 4
s−4
dy =
8−s
16
Logo:
 s

0≤s≤4

16 ,

 8−s
,
4<s<8
fS (s) = 


 16
0,
caso contrário
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 1
Solução
Pdf de S = X + Y
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 2
Enunciado
O tempo X entre tempestades de neves consecutivas no inverno é uma
variável aleatória com a pdf
( −λx
λe , x ≥ 0
fX (x) =
0,
caso contrário
Assuma que não houve nenhuma tempestade de neve até agora. Qual
é a pdf do tempo U até a segunda próxima tempestade de neve?
Assuma que os intervalos entre tempestades de neves consecutivas
são estatisticamente independentes e igualmente distribuı́dos.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 2
Solução
fU (u) =
Z ∞
fX (x)fY (u − x)dx
0
fU (u) =
Z u
Z u
fX (x)fY (u − x)dx =
λe−λx λe−λ(u−x) dx
0
Z u
= λ2 e−λu
dx = λ2 ue−λu , u ≥ 0.
0
0
A distribuição resultante é conhecida como Erlang-2.
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 3
Enunciado
Encontre a pdf de U, o qual é a soma de duas variáveis aleatórias
independentes X e Y, cujas pdfs são:
fX (x) = λe−λx , x ≥ 0
fY (y) = λ2 ye−λy , y ≥ 0
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 3
Resolução
FU (u) =
Z u
fX (x)fY (u − x)dx
0
=
Z u
λe−λx λ2 (u − x)e−λ(u−x) dx = λ3 e−λu
0
"
#u
"
#
x2
u2
3 −λu
3 −λu 2
= λ e
ux −
=λ e
u −
2 0
2
=
λ3 u2 e−λu λ3 u2 e−λu
=
,u ≥ 0
2
2!
A distribuição resultante é conhecida como Erlang-3.
Z u
(u − x)dx
0
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 4
Enunciado
Qual é a soma esperada dos números que são obtidos em 16
lançamentos de um dado de seis lados não viciado?
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 4
Solução
Seja X a variável aleatória que denota a soma dos números que
surgem em 16 lançamentos do dado. Seja Xk o número que aparece no
k-ésimo lançamento. Então
X = X1 + X2 + · · · + X16
Logo, como os Xk s são independentes e identicamente distribuı́dos,
temos:
EX =
1
X
k=1
6E [Xk ] = 16E [X1 ] = 16
(1 + 2 + · · · + 6)
= 56.
6
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 5
Enunciado
Suponha que a função densidade de probabilidade conjunta para duas
variáveis aleatórias seja
fXY (x, y) = 8xy[u(x) − u(x − 1)][u(y) − u(y − x)]
Encontre E[X|Y = y]
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 5
Resolução
A função densidade marginal de Y é
fY (y) = 4y(1 − y2 )[u(y) − u(y − 1)]
e a função densidade de probabilidade condicional é
fX|Y (x|y) =
2x
[u(x − y) − u(x − 1)][u(y) − u(y − 1)], y > 0
(1 − y2 )
Então:
E X|Y = y =
Z 1 "
x
y
#
2x
2(1 + y + y2 )
=
[u(y) − u(y − 1)]
3(1 + y)
(1 − y2 )
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 6
Enunciado
A função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias
X e Y é
( 1
, x 2 + y2 ≤ 1
fXY (x, y) = π
0, caso contrário.
Encontre
fX (x)
fY|X (y|X = x)
FY|X (y|X = x)
Probabilidade & Variáveis Aleatórias
Exercı́cios
Exercı́cio 6
Resolução
R √1−x2 dy
√
fX (x) = − √1−x2 π = 2 1−x
π
2
1/π
√
fY|X (y|X = x) = fXYfX(x,y)
(x) = 2 1−x2 /π =

1
2
2

 2 √1−x2 , x + y ≤ 1
.


0,
caso contrário
Ry
FY|X (y|X = x) = √ 2 √ 1 2 dη =
− 1−x 2 1−x
y
√
+ 12
2 1−x2