DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LOGICO
MATEMATICO
GRUPO DE INVESTIGACION CALCULO
FRACCIONARIO Y APLICACIONES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS,
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
2024
UNT
Index
Lógica
Proposiciones y valor de verdad
Cuantificadores
Index
Lógica
Proposiciones y valor de verdad
Cuantificadores
La lógica le proporciona a las matemáticas un lenguaje claro y un método
preciso para demostrar teoremas a partir de axiomas. Por ejemplo:
axiomas de Euclides, definiciones, nociones primarias de geometría clásica
+
lógica
=
teoremas de la geometría euclidiana
• Un ejemplo de noción primaria es la de punto.
• Un ejemplo de axioma es el que dice que por un punto ubicado fuera
de una recta L pasa una y sólo una recta paralela a L.
Sin la lógica los axiomas serían un montón de verdades aceptadas, pero
nada más. La lógica, sin embargo, les da sentido y permite concluir nuevas
verdades (teoremas) que antes no conocíamos.
• Un ejemplo de teorema: la suma de los ángulos interiores de
cualquier triángulo siempre es de 180◦ .
Al ser la lógica el punto de partida de las matemáticas, en ella se deben
introducir nociones primarias tales como proposición, valor de verdad,
conectivo lógico.
Index
Lógica
Proposiciones y valor de verdad
Cuantificadores
Proposición Lógica
Una proposición debe interpretarse como un enunciado que siempre toma
uno de los valores de verdad posibles: verdadero (V) o falso (F).
Por ejemplo, en el contexto de la aritmética, “2+1=5” corresponde
efectivamente a una proposición. Más aún, su valor de verdad es F.
Típicamente se denotará a las proposiciones con letras minúsculas: p, q, r,
etc. Algunos ejemplos:
1. Estoy estudiando ingeniería.
2. 1 ≥ 0.
3. Está lloviendo en Iquitos.
Conectores Lógicos
Los conectores lógicos sirven para construir nuevas proposiciones a partir de
proposiciones ya conocidas. El valor de verdad de la nueva proposición
dependerá del valor de verdad de las proposiciones que la forman. Esta
dependencia se explicita a través de una tabla de verdad.
♣ Negación ¬
La proposición ¬p se lee “no p” y es aquella cuyo valor de verdad es
siempre distinto al de p. Por ejemplo, la negación de “mi hermano ya
cumplió quince años” es “mi hermano aún no cumple quince años”.
Esto se explicita a través de la siguiente tabla de verdad.
p
V
F
¬p
F
V
♣ Disyunción ∨
La proposición p ∨ q se lee “p o q”. Decimos que p ∨ q es verdad, o que
“se tiene p ∨ q”, cuando al menos una de las dos proposiciones, o bien p
o bien q, es verdadera. Por ejemplo, la proposición ‘mañana lloverá o
mañana no lloverá” es verdadera. En otras palabras, tal como se
aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene
p ∨ q lo que nos está diciendo es que nunca son simultáneamente falsas.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
♣ Conjunción ∧
La proposición p ∧ q se lee “p y q”. Tal como se aprecia en la siguiente
tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∧ q, lo que nos está
diciendo es que ambas proposiciones son verdaderas.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
♣ Implicancia =⇒
La proposición p =⇒ q se lee “p implica q” o “si p entonces q”.
Para estudiar su valor de verdad nos debemos concentrar en el caso de
que la hipótesis p sea verdadera. Ahí tenemos que determinar si basta
con esa información para concluir que q es verdadera. En resumen: si
alguien afirma que se tiene p =⇒ q, debemos concluir que si p es
verdad entonces necesariamente q será verdad. Todo esto se explicita a
través de la siguiente tabla.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p =⇒ q
V
F
V
V
♣ Equivalencia ⇐⇒
Decimos que la proposición p es equivalente con la proposición q (o que
“p si y sólo si q”), y escribimos p ⇐⇒ q, cuando basta con conocer el
valor de verdad de una para saber el valor de verdad de la otra ya que
éste siempre es el mismo.
Por ejemplo “el paralelógramo dibujado en la pared tiene todos sus
ángulos iguales” es equivalente con la proposición “las diagonales del
paralelógramo dibujado en la pared miden lo mismo”. O bien ambas son
verdaderas o bien ambas son falsas.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ⇐⇒ q
V
F
F
V
♣ Tautología
Una tautología es una proposición que, sin importar el valor de verdad
de las proposiciones que las constituyen, es siempre verdadera.
Ejemplo
1.) p ∨ ¬p
2.) p =⇒ p ∨ q
3.) (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (q ⇐⇒ p)
Desarrollando una tabla de verdad, se demostrará que la primera
proposición es tautología.
p
V
F
¬p
F
V
p ∨ ¬p
V
V
Todas las tautologías son equivalentes entre sí y se pueden reemplazar
por la proposición V . Por ejemplo (p ∨ ¬p) ⇐⇒ V . Esto es análogo a
lo que hacemos cuando reemplazamos el término (x − x) por el símbolo
0.
♣ Contradicción
Así como existen las tautologías existen las contradicciones. Son
proposiciones siempre falsas.
Por ejemplo, p ∧ ¬p. Son todas equivalentes a la proposición F.
Tautologías importantes
1. (p ∧ ¬p) ⇐⇒ F ,
(p ∨ ¬p) ⇐⇒ V ,
(p ∧ V ) ⇐⇒ p,
(p ∨ V ) ⇐⇒ V ,
(p ∧ F ) ⇐⇒ F
(p ∨ F ) ⇐⇒ p
2. Caracterización de la implicancia (p =⇒ q) ⇐⇒ (¬p ∨ q)
3. Leyes de Morgan
¬(p ∧ q) ⇐⇒ (¬p ∨ ¬q)
¬(p ∨ q) ⇐⇒ (¬p ∧ ¬q)
4. Doble negación ¬(¬p) ⇐⇒ p
5. Conmutatividad
(p ∨ q) ⇐⇒ (q ∨ p)
(p ∧ q) ⇐⇒ (q ∧ p)
6. Asociatividad
[p ∨ (q ∨ r)] ⇐⇒ [(p ∨ q) ∨ r]
[p ∧ (q ∧ r)] ⇐⇒ [(p ∧ q) ∧ r]
7. Distributividad
[p ∧ (q ∨ r)] ⇐⇒ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]
[p ∨ (q ∧ r)] ⇐⇒ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)]
[(q ∨ r) ∧ p] ⇐⇒ [(q ∧ p) ∨ (r ∧ p)]
[(q ∧ r) ∨ p] ⇐⇒ [(q ∨ p) ∧ (r ∨ p)]
Cuatro Tautologías muy importantes
Estas cuatro tautologías se prueban usando tablas de verdad. Son
particularmente útiles para demostrar teoremas.
Cada una de ellas da lugar a una técnica de demostración: equivalencia
dividida en dos partes, transitividad, contrarrecíproca, reducción
al absurdo. En las partes que siguen ilustraremos el uso de estas técnicas.
Tautologías
1. Equivalencia dividida
(p ⇐⇒ q) ⇐⇒ [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)]
2. Transitividad
[(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r)] =⇒ (p =⇒ r)
3. Contrarecíproca
(p =⇒ q) ⇐⇒ (¬q =⇒ ¬p)
4. Reducción al absurdo
¬(p =⇒ q) ⇐⇒ (p ∧ ¬q)
Ejemplos
1. Demostración por Contrarecíproca (p =⇒ q) ⇐⇒ (¬q =⇒ ¬p)
Sea n ∈ Z. Demostrar que, si n2 es par, entonces n es par.
2. Demostración por contradicción o reducción al absurdo
Sean m, n ∈ Z. Demostrar que, si mn es impar, entonces n es impar.
3. Demostración por equivalencia dividida
Para cualquier a, b ∈ R, demuestre que a2 + b2 = 0 si y sólo si a = 0 y
b=0
Verificación simbólica
Cuando queremos verificar de manera simbólica que cierta proposición es
tautología evitaremos usar tablas de verdad y sólo nos permitiremos usar
(como conocidas) las tautologías básicas que aparecen en las secciones
anteriores. Demostremos de manera simbólica entonces que:
(p ⇐⇒ q) ⇐⇒ [(¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)]
Demostración.
(p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)
⇐⇒ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)
⇐⇒ [(¬p ∨ q) ∧ ¬q] ∨ [(¬p ∨ q) ∧ p]
⇐⇒ [(¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q)] ∨ [(¬p ∧ p) ∨ (q ∧ p)]
⇐⇒ [(¬p ∧ ¬q) ∨ F ] ∨ [F ∨ (q ∧ p)]
⇐⇒ (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q).
Index
Lógica
Proposiciones y valor de verdad
Cuantificadores
Función proposicional o Predicado
Una función proposicional P (X, Y, Z, . . .) es una expresión que depende de
una o más variables X, Y, Z, . . . que al ser reemplazadas por elementos de
un conjunto de referencia E, hacen que P se transforme en una proposición.
Es decir, que tomen el valor V o F.
Nota
∗ Siempre se asume que el conjunto de referencia E contiene al menos un
elemento.
∗ Se denotará las funciones proposicionales por letras mayúsculas com
P, Q, R, S, . . .
Ejemplos
♣ Considere el conjunto de referencia E = {Personas} y la función
proposicional P (x) : “x es un jugador de fútbol”, x ∈ E. Luego
◦
P (Paolo G.) − V
◦
P (Martin V.) − F
♣ Considere el conjunto de referencia E = R y la función proposicional
Q(x) : “x − 5 ≤ 0”, x ∈ E. Luego Q(2) − V , Q(6) − F .
♣ Considere el conjunto de referencia E = R y la función proposicional
P (a, b, c) : “2a + b ≥ c”, a, b, c ∈ E. Luego
◦
◦
P (1, 0, 0) − V
1
P (− , 1, 1) − F.
2
Nota
Usaremos P (x) de dos formas distintas
1. Para referirnos a la función proposicional misma y mostrar que x es la
variable que reemplazamos por cadenas de símbolos para obtener
proposiciones lógicas.
2. Para referirnos, cuando x es algo en particular, a la proposición que se
forma de haber hecho el reemplazo en la función proposicional.
La expresividad de la lógica de predicados viene dada por la posivilidad de
“cuantificar universalmente”, es decir, de poder hablar de todos los
elementos de un conjunto, independiente de cuántos elementos tenga el
conjunto. Para ello, se introduce el cuantificador universal. Este se
representa con el símbolo ∀, que juega un rol similar a la conjunción ∧.
Cuantificador Universal ∀
La expresión ‘∀x ∈ E, P (x)” es una proposición verdadera si al reemplazar
x por cualquier elemento en E se verifica que P (x) es una proposición
verdadera. Es decir
P (e) es verdadera siempre que e ∈ E.
Ejemplo
La proposición ∀x ∈ E, P (x) ∨ ¬P (x) es verdadera, pues por tercio
exclusivo se tiene que
P (x) ∨ ¬P (x) ≡ V ∀x ∈ E.
Nota
[P (e) ≡ V ⇐⇒ e ∈ E] ⇐⇒ [(P (e) ≡ V ) =⇒ e ∈ E] ∧ [e ∈ E =⇒ P (e) ≡ V ]
En lo que sigue le asignamos un nombre a cada una de las dos implicancias
implícitas en la equivalencia anterior
Instanciación Universal
Si e ∈ E es un elemento arbitrario, entonces se cumple que
[∀x ∈ E, P (x)] =⇒ P (e).
Generalización Universal
Si se cumple P (e) para e ∈ E arbitrario, entonces, la propocición
(∀x ∈ E, P (x))
es verdadera.
Nota
♣ Si P (x) esta definida sobre el conjunto de referencia E = {e1 , e2 , . . . , en }
y si se denota por pi = P (ei ), entonces
∀x ∈ E, P (x) ⇐⇒ p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn =⇒ pi
luego, para tal conjunto E, instanciación universal corresponde
exactamente a la tautología
p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn =⇒ pi .
♣ Si P (x) es un predicado en una única variable x, entonces ∀x ∈ E, P (x)
es una proposición. Pero en el caso de funciones proposicionales con más de
una variable, al cuantificarlas obtenemos otro predicado, por ejemplo, al
cuantificar
Q(y, x)
se obtiene
1. ∀y ∈ E, Q(y, z) es un predicado en la variable z.
2. ∀z ∈ E, (∀y ∈ E, Q(y, z)) = ∀z ∈ E, ∀y ∈ E, Q(y, z) (convención).
Ejemplo
Demostrar que
∀x ∈ E, P (x) ∧ Q(x)
⇐⇒ (∀x ∈ E, P (x)) ∧ (∀x ∈ E, Q(x))
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ∃
La expresión (∃x ∈ E, P (x)) es una proposición que es verdadera si y sólo si
(∀x ∈ E, ¬P (x)) es falsa. Formalmente se tiene
∃x ∈ E, P (x) ⇐⇒ ¬ ∀x ∈ E, ¬P (x) .
En otras palabras
“P(e) es verdadera para un e particular de E”
Nota
1. Notar que si P (x) es un predicado definido en E = {e1 , e2 , . . . , en } y si
denotamos por pi = P (ei ), entonces
∃x ∈ E, P (x) ⇐⇒ p1 ∨ p2 ∨ . . . ∨ pn
2. Al igual que para el caso de la definición del cuantificador universal, se
distingue con distintos nombres las dos implicancias implícitas en la
definición del cuantificador existencial.
Instanciación Existencial:
Si se tiene que (∃x ∈ E, P (x)), entonces para un elemento e ∈ E
particular se tiene que P (e) es verdadera.
Generalización Existencial:
Si se cumple P (e) para un elemento e ∈ E particular, entonces
(∃x ∈ E, P (x)) es verdadera.
Ejemplo
Probar que
∃x ∈ E, P (x) ∧ Q(x) ⇐⇒ (∃x ∈ E, P (x)) ∧ (∃x ∈ E, Q(x))
Negación de Cuantificadores
1. Negación del cuantificador existencial
¬(∃x ∈ E, P (x)) ⇐⇒ (∀x ∈ E, ¬P (x)).
2. Negación del cuantificador universal
¬(∀x ∈ E, P (x)) ⇐⇒ (∃x ∈ E, ¬P (x)).
Ejemplo
Hallar la negación de las siguientes proposiciones
1. ∃n ∈ N, n2 = n.
2. ∀x ∈ R, x > 2 =⇒ x2 > 3
3. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + y = 0
DEMOSTRACIÓN POR CONTRAEJEMPLO
Para demostrar la falsedad de la proposición universal
∀x ∈ E, P (x),
se usa el método del contraejemplo. Para esto, notemos que, la segunda
regla de la negación de cuantificadores nos dice que
¬(∀x ∈ E, P (x)) ≡ ∃x ∈ E, ¬P (x).
En consecuencia, para probar que ∀x ∈ E, P (x) es falsa, es equivalente
probar que ∃x ∈ E, ¬P (x) es verdadera. O sea es equivalente a probar que:
EXISTE UN ELEMENTO e ∈ E tal que ¬P (e) es verdadera
este elemento e recibe el nombre de contraejemplo para la proposición
universal ∀x ∈ E, P (x).
Ejemplo 1
Sea E = {Todas la personas} y P (x) : “x es un jugador de fútbol”, luego
e = César Vallejo ∈ E
es un contraejemplo a ∀x ∈ E, P (x).
Ejemplo 2
Demostrar con un contraejemplo, que la siguiente proposición es falsa,
∀x ∈ R, x < x2
Ejemplo 3
Hallar un contraejemplo para demostrar que la proposición
∀x ∈ R, ∀y ∈ R,
sea falsa
p
x2 + y 2 = x + y
Existencia y Unicidad
La expresión
(∃!x ∈ E, P (x))
es una proposición que es verdadera si y sólo si, existe un e ∈ E tal que
P (e) es verdadera y ∀x, x̂ ∈ E : si P (x) y P (x̂) son verdaderas, entonces
x = x̂. Formalmente se tiene
∃!x ∈ E, P (x) ⇐⇒ (∃x ∈ E, P (x)) ∧ (∀x, x̂ ∈ E, P (x) ∧ P (x̂) =⇒ x = x̂)
Ejemplo
1. La expresión (∃!n ∈ Z, ∀m ∈ Z, nm = 0) ≡ V .
2. Sean E = {todas las personas} y P (x) : “x es un jugador de fútbol”.
¿ ∃!x ∈ E, P (x)?.
Podemos notar que:
x = Paolo G. =⇒ P (x) ≡ V .
x̂ = Cueva =⇒ P (x̂) ≡ V .
Luego, s bien existe un x ∈ E tal que P (x) es verdadera, no es único.
Así, la proposición (∃!x ∈ E, P (x)) ≡ F .