La Ley de Darcy
La Ley de Darcy enuncia que: "la velocidad de un fluido homogéneo en un medio poroso es proporcional a la
gradiente de porción, e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido"
k dP
V
 dx
Donde:
V = Velocidad aparente del fluido, cm/s
q
V=
A
3
q = Régimen volumétrico de flujo, cm /s
2
A = Sección transversal total ó aparente de la roca, cm
K = permeabilidad de la roca en Darcy, d
 = Viscosidad del fluido en centipoises, cp
dP
= Gradiente de presión tomado en la misma
dx
dirección que q y v en atmósfera por centímetro, atm/cm
La constante de proporcionalidad es la permeabilidad de la roca, k. La permeabilidad de la roca puede definirse como
la conductividad del fluido. El signo negativo indica que se toma el flujo positivo en la dirección positiva de x, la
dP
presión disminuye en esa dirección y la pendiente
es negativo.
dx
Darcy.- Se dice que una roca tiene la permeabilidad de un Darcy cuando un fluido con una viscosidad de un
centipoise avanza a una velocidad de un centímetro por segundo bajo una gradiente de presión de una atmósfera por
centímetro.
La Ley de Darcy:
Se aplica sólo en flujo laminar (el flujo en el reservorio y en la mayoría de las pruebas hechas en el laboratorio es
laminar).
- No se aplica a flujo en canales porosos individuales, sino a partes de la roca de dimensiones razonablemente
grandes comparadas con el tamaño de los canales porosos.
- Es una Ley estadística que promedia el comportamiento de muchos canales porosos.
La ecuación de Darcy expresada en unidades prácticas de campo:
V
q
k dP
- 1,1127
A
 dx
ó
V
q
k dP
- 6,328
A
 dx
Donde :
Donde :
q - bbl/día
q - ft 3 /día
A - ft 2
A - ft 2
V - bbl/día/ft2
V - bbl/día/ft2
 - cp
 - cp
dp/dx - psi/ft
dp/dx - psi/ft
Efecto Gravitacional en la Ley de Darcy
El gradiente dp/dx es la fuerza de empuje, y se debe a los gradientes de presión del fluido y en parte o totalmente a
los gradientes hidráulicos (gravitacionales), superpuestos e intercambiables. La ecuación que los representa, cuando
actúan simultáneamente, es:
V
q k  dP
k  dP


- d cos   - 9,67 x 10 - 4  cos  


A   dx

dx



Donde:
3
d - densidad del fluido, g/cm
d   dH2 O
 dH2 O - densidad del agua, 1 g/cm 3; convertido a gradiente de presión es 9,67 x 10-4 atm/cm.
 - Gravedad específica del fluido relativa al agua.
 - Ángulo entre la dirección positiva de la longitud de la estructura, x, y la línea vertical en dirección hacia abajo.
K = darcy, d
 = Centipoises
V = cm/s
dP
atm/cm
dx
La ecuación anterior expresada en unidades de campos:
q k  dP
k  dP


- 0,432 cos  ó V  - 6,328
- 9,67 x 10 - 4  cos  


A   dx
  dx


Donde :
Donde :
V
V - bbl/día/ft2
V - bbl/día
k - darcy, d
k - darcys, d
 - cp
 - cp
dp psi
dx ft
dp psi
dx
ft
  g. e.
 - g. e.
 - ángulo
 - ángulo
El Gradiente Hidráulico:
-
-
En muchos casos de interés prácticos, aunque siempre presentes, son pequeños comparados con los gradientes
de presión del fluido, y son frecuentemente despreciados.
En otros casos, son importantes y deben considerarse, en particular, en operaciones de producción de bombeo
en reservorios con presiones agotadas, o en reservorios con capa de gas en expansión con buenas
características de drenaje gravitacional.
Los valores citados corresponden a la gradientes verticales:
Los gradientes hidráulicos en los reservorios varían de un máximo alrededor de 0,5 psi/ft para salmueras a 0,433
psi/ft para agua dulce a 60°F, varían de acuerdo con la P, T y salinidad del agua.
Los gradientes de petróleo, de gas a alta presión y de condensado de gas varían entre 0,10 y 0,30 psi/ft, y varían
de acuerdo con la P, T y composición del fluido.
Los gases o presiones bajas tienen gradientes muy bajas, alrededor de 0,002 psi/ft para gas natural a 100 psia.
El gradiente hidráulico efectivo es reducido por el factor cos .
Ejemplo:
Para un crudo de g. e. = 0,60
La gradientevertical  0,433  cos , si   0 (vetical)
 0,433 x 0,60 x 1
 0,26 psi/ft
Sí el crudo es forzado a fluir a través del plano de estatificación de su estrato cuyo buazamiento es 15° ( = 75°)
La gradienteHidráulica  0,433  cos ,
 0,433 x 0,60 x cos 75
 0,067 psi/ft
Plano de
Estratificación
del Estrato

Línea vertical
hacia abajo

Línea de Referencia del
Ángulo de buzamiento
Clasificación de los sistemas de flujo en un reservorio
Loa sistemas de flujo en el reservorio, generalmente, se clasifican de acuerdo con a) la clase de flujo, b) la geometría
del reservorio o parte de éste y c) el régimen relativo a la que el flujo se aproxima a una condición de estado estable
después de una perturbación. Además, se puede tener movimientos de fluidos monofásicos (de una fase), bifásico
(de dos fases) o trifásicos (de tres fases). Muchos sistemas consisten de solo de gas, petróleo o agua y la mayoría de
los restantes son sistemas de gas - petróleo o de petróleo - agua.
Los dos sistemas geométricos de mayor interés práctico son los que dan origen a los fluidos lineal y radial.
En el flujo lineal, como se muestra en la figura, las líneas de flujo son paralelas y de sección transversal expuesta al
flujo es constante.
Concepto de Flujo Radial.
En el flujo radial las líneas de flujo son rectas y convergen en dos dimensiones a un centro común, por ejemplo, un
pozo. La sección transversal expuesta al flujo disminuye a medidas que el centro se aproxima.
Concepto de Flujo Esférico.
Ocasionalmente, el flujo esférico es de interés, y en éste las líneas el flujo son rectas y convergen en tres
dimensiones hacia un centro común.
Aunque las trayectorias reales de las líneas de flujo en las rocas son irregulares debido a la forma de los espacios
porosos, las trayectorias generales o promedias pueden representarse por líneas rectas en flujo lineal, radial y
esféricos.
LINEA
L
RADIAL
ESFERICA
Prácticas dirigidas
Ej. 3.4. Calcular el petróleo inicial en un reservorio subsaturado.
Datos:
Datos de los factores volumétricos relativos de la tabla 3.6.
Bob = 1,391 bbl/STB
Sw = 20%
Salinidad del agua connata = 20000 ppm
 = 9%
pi = 5000 psia
mp = 1,25 MMM STB
p = 3600 psia
Wp = 32000 STB
We = 0
T reservorio 220°F
Solución
Cálculo de las propiedades PVT del agua de formación:
1) De la fig. 3.14, la solubilidad del gas natural en agua pura a 220°F y 3600 psia es 18 SCF/bbl, y el factor de
corrección para una salinidad de 20000 ppm es 0,93.
Luego,
Rsw = 18 x 0.93 = 17 SCF/bbl
-6
-1
2) De la fig. 3.15, la compresibilidad del agua pura a 220°F y 3600°F psia es 3,2 x 10 psi , y el factor de corrección
para una razón gas disuelto - agua de 17 SCF/bbl es 1.16.
Luego,
-6
-6
-1
Cw = 3.2 x 10 x 1.16 = 3.7 x 10 psi
3) Para calcular el Bw = a 220°F y 3600 psia se efectuarán las siguientes interpolaciones previas con valores de la
tabla 3.7 como se indica
Presión
(psia)
200°F
Agua pura Agua
(sin gas) saturada
de gas
220°F
Agua pura Agua saturada
(sin gas)
saturada
de gas
4000
3600
3000
1,0240
1,0316
1,0271
1,0330
1,0325
(e)
1,0338
(a)
1,0357
a)
220 - 200
x - 1,0271

 x  1,0357
250  200 1,0487 - 1,0271
b)
220 - 200
x - 1,0330

 x  1,0419
250  200 1,0552 - 1,0330
c)
220 - 200
x - 1,0240

 x  1,0325
250  200 1,0452 - 1,0240
d)
220 - 200
x - 1,0316

 x  1,0404
250  200 1,0537 - 1,0316
e)
220 - 200
x - 1,0357

 x  1,0338
250  200 1,0325 - 1,0257
f)
©
(d)
1,0404
(f)
1,0410
(b)
1,0419
3600 - 3000
x - 1,0419

 x  1,0410
4000  3000 1,0404 - 1,0419
B w  1,0338 x
17
bbl
(0,0072) 1,04
18
STB
Los factores volumétricos del petróleo se obtienen de la tabla 3.6:
250°F
Agua pura Agua saturada
(sin gas)
saturada
de gas
1,0452
1,0537
1,0487
1,0552
B o  3600 psia  0,98850 x 1,3910  1,37500
B oi a 5000 psia  0,97390 x 1,3910  1,35469
-6
De la fig. 3.16, cf = 5,0 x 10 psi
-1
bbl
STB
bbl
STB
para 
Cálculo de la compresibilidad promedia del petróleo en el reservorio:
co -
1 (V1 - V2 )
V (p 1 - p 2 )
co 
 co  -
(V1 x B ob - V2 x B ob )
1
V1 x B ob
(p i  p)
1 (V - V1 )
1 (B oi - B o )
 co  V (p 1 - p 2 )
B oi (p i  p)
Luego,
co  -
(1,35469 - 1,37500)
1
 10,71x 10 -6 psi -1
1,35469
(5000 - 3600)
Cálculo de la compresibilidad efectiva del petróleo:
c S
cr (1 -  )
c oe  c o  w w 
(1 - S w )  (1 - S w )
c oe  10,71x 10 -6
3,7 x 10 -6 x 0,20 5,0 x 10 -6

(1 - 0,20)
(1 - 0,20)
c oe  17,89 x 10 -6 ´psi -1
Cálculo del petróleo inicial en el reservorio:
N
N
Np B o (W e  0 - Wp B w )
c oe B oi (p i - p)
1,25 x 10 6 x 1,375  32000 x 1,04
.
17,89 x 10 - 6 x 1,35469(5000 - 3600)
N  51,64 x 10 6 ´STB
Finalmente, los sistemas de flujo en el reservorio se clasifican de acuerdo con su estado en: estable (invariable o
continuo) e inestable (variable o no continuo).
Flujo en Estado Estable También se denomina flujo invariable o en estado de equilibrio dinámico. Se refiere a
la condición de flujo en un sistema, donde la presión, velocidad y densidad de las fases son constantes con el tiempo
en cada sección transversal a la dirección de flujo. Por lo tanto, en cada sección considerada, el cambio de presión,
velocidad y densidad de las fases con el tiempo es cero. Estas propiedades pueden cambiar de sección a sección,
pero son constantes en cada una. Además, el flujo volumétrico (a condiciones normales) es el mismo en cualquier
parte del sistema.
Flujo en Estado Inestable También se le denomina flujo variable. Es lo contrario del flujo continuo, es decir, en
una sección transversal a la dirección del flujo cualquiera, la presión, velocidad y densidad de las fases cambia con el
tiempo.
En sistemas de estado estable la presión y la velocidad, responde instantáneamente en cualquier parte del sistema a
un cambio en la presión o en el régimen de flujo. es lógico que ningún sistema real puede responder
instantáneamente, pero sí las dimensiones del sistema no son demasiados grandes y la constante de difusividad, n ,
es suficientemente alta, el tiempo de readaptación es pequeño y para muchos fines de ingeniería se consideran
instantáneo. Para sistemas radiales de líquidos comprensibles el tiempo de readaptación es proporcional al cuadrado
2
del radio del sistema, re , e inversamente proporcional a la constante de difusividad
η
k
, o
 c
0,04 re
 c  re
 0,04
η
k
2
tD 
2
(6,13)
Ej: Para un pozo que produce con petróleo cuya viscosidad es de 1,50 cp y compresibilidad efectiva de 15 x 10-4 psi1, de un reservorio circular de 1000 ft de radio con una permeabilidad de 100 md (ó 0,10 darcy) y una porosidad
disponible para hidrocarburos de 20%
Diferentes tipos de compresibilidad
La Ley de Darcy se usará para deducir varias ecuaciones de flujo que describen las distribuciones de presión y
movimiento de fluidos en rocas permeables. La clase de fluido que entra en las deducciones no solo afecta por su
viscosidad, si no también por su compresibilidad. Desde el punto de vista de ingeniería de reservorios, se puede
clasificar el fluido del reservorio como a) líquido incompresible, b) liquido compresible o c) gas.
El Concepto de Fluido Incomprensible, cuyo volumen no cambia con la presión, simplifica la deducción y forma final
de muchas ecuaciones de flujo, de su suficiente exactitud para muchos propósitos prácticos.
El Líquido compresible se define como aquel cuyo cambio de volumen con la presión es bastante reducido y
expresable por la ecuación. V  Vi e c(pi -p) (6.6)
c-
1 dV
(por definición)
V dp
p
v
dv
- c dp   v (integrando desde las condiciones iniciales
hasta una condicióndeterminada)
pi
vi


 v 
c (p i - p)  ln   (resueltas las integraciones)
 vi 
e c (pi - p) 
v
(acomodando la expresión)
vi
V  Vi e c(pi - p) (despejando V)
x
Pero e puede expresarse por el siguiente desarrollo en serie:
ex  1x 
x2 x3
xn
-----
2! 3!
n!
Y si x es pequeña, los dos primeros términos, 1 + x son suficientes.
Luego,
V  Vi  1  c (p i - p)  (6.7)
El cambio de volumen con presión para gases en condición isotérmicas, caso aproximado del flujo de gas en el
reservorio, se expresa por la Ley de los gases perfectos,
V
Z n RT
p
(6.8)
d v  n RT  d Z Z n RT


(derivandocon respecto Z y con respecto a p)
d p  p  d p p 2
 Z n RT  1 d Z  Z n RT  1

 (acomodando la expresión convenientemente
 
 
 p  Z dp  p  p
con respecto alñvolumen)
1 dv
1 dZ 1

- (aplicandoel concepto de compresibilidad)
V dp Z dp p
c-
1 dv
V dp
Cg 
1 1 dZ
p Z dp
(6.9)
Ej. 6.4.- Determinar la compresibilidad del gas a partir de la curva del factor de desviación del gas,
Datos. La curva del factor de desviación del gas a 150° F, fig. 6.9
-6
Solución: La pendiente dZ/dp mostrada gráficamente en la figura 6.9 es , - 127 x 10 a 1000 psia. Obsérvese que la
pendiente es negativa. Luego, debido a que Z = 0,83
Cg 
1
1
(- 127 10 -6 )  1000 x 10 -6  153 x 10 -6  1153 x 10 -6 psi -1
1000 0,83
La pendiente dZ/dp a 2500 psia es cero; por consiguiente la compresibilidad es simplemente.
Cg 
1
 400 x 10 -6 psi -1
2500
-6
-1
La pendiente dZ/dp a 4500 psia es positiva y, cómo lo indica la fig. 6.9, igual a 110 x 10 psi . Luego a 4500 psia Z=
0,90
Cg 
1
1
( 110 x 10 -6 )  222 x 10 -6 - 122 x 10 -6  100 x 10 -6 psi -1
14500 0,90
La compresibilidad efectiva de la fase móvil es la compresibilidad promedia derivada por la saturación de dicha fase,
tal como se definió en la Ec. 3.31 para un sistema agua - petróleo por encima del punto de burbujeo. La
compresibilidad de la formación, cf, generalmente, se expresa por el cambio del volumen poroso, por unidad de
volumen poroso por psi. Cuando el cambio se expresa en volumen poroso por unidad de volumen total, es necesario
dividir por la porosidad para expresar en función del volumen poroso.
Ej. Calcular el producto (c ) empleando las compresibilidades promedia y efectiva.
Datos:
 = 0,15 porosidad total efectiva, fracción
Sg = 0,05
So = 0,75
Sw = 0,20, fracción
-7
Cf = 7,5 x 10 volumen poroso/volumen total/psi
-6
Cg = 160 x 10
-6
-1
Cw = 3 x 10 psi
Solución:
La compresibilidad de la formación en base del volumen poroso es:
Cf 
7,5 x 10 -7
5 x 10 -6 psi -1 vol.pososo/vol. poroso/psi
0,15
C avg  (0,05 x 160  0,75 x 16  0,20 x 3  5) x 10 -6
C avg  25,6 x 10 -6 psi -1
El producto de la compresibilidad promedia del fluido y la porosidad total es:
C avg x   25,6 x 10-6 x 0,15  3,84 x 10-6 psi -1
Sí el petróleo constituye la fase móvil, La porosidad disponible para petróleo es  = 0,15 x 0,75 = 0,1125. La
compresibilidad efectiva del petróleo es:
Ce 
C avg
So

25,6 x 10 -6
 34,1x 10 -6 psi -1
0,75
C e x  o  34,1x 10 -6 x 0,1125  3,84 x 10 -6 psi -1
Trube
p  pc x pr y
Cg 
dp  p c dpr
, p c y p r presión seudocrítica y seudoreducida
1
1
dZ
1
1 dZ
 c r  c g pc 
(6.11)
p c p r Z p c dpr
p c Z dpr
Usando esta definición y las curvas generales del factor de desviación del gas para gases naturales, fig. 1.3 que a su
vez son funciones de presiones y temperaturas seudo reducidas, Trube obtuvo las curvas de la fig. 10, que presentan
la compresibilidad seudo reducida de gas como función de su temperatura y presión seudo reducidas. La
compresibilidad del gas se obtiene dividiendo la compresibilidad seudo reducida por la presión seudo crítica.
Ej. 6.5 Usando la figura 10 determinar la compresibilidad de un fluido de condensado de gas a 150°F y 4500 psia si
su gravedad específica es 0,90.
Solución: De la fig. 1.2 se encuentra pc = 650 psia y T c = 427°F
Luego,
pr 
4500
 6,92
650
y
Tr 
610
 1,43
727
Usando la fig. 10, la compresibilidad seudo reducida es:
C r  0,0 65  C g x 650  C g 
0,065610
 100 x 10 6 psi 1
650
Muestra haya solo un fluido presente y se desprecia la compresibilidad de la roca, la compresibilidad es solo la del
fluido y la porosidad es solo porosidad efectiva total. Cuando gas, petróleo y agua estén presentes el espacio poroso
y solo una de las tres fases es móvil la permeabilidad es la permeabilidad de la fase móvil y la viscosidad es la de la
fase móvil efectiva. En este caso el producto (c...) puede ser: a) el producto de la compresibilidad promedia de los
fluidos de la roca, cavg, y la porosidad total, o b) la compresibilidad efectiva del fluido móvil, ce, y la porosidad
ocupada por esa fase, o sea, el producto de la porosidad total y la saturación de la fase móvil. La compresibilidad
promedia se obtiene ponderando la compresibilidad de cada fase por su saturación, agregando la compresibilidad de
la formación.
Cavg  C g S g  Co S o  C w S w  C f
(6.12)
Flujo Lineal Estable de Fluidos Incomprensibles
P1 > P 2
p dp
p1
p2
A
q
A
o
x dx
L
A  cte  Flujolinealestable
  cte  q  cte  fluido incompresible
(Ley de Darcy)

q
q
k
 - 1,127
A

dp
q

dx
A
1,127 k A (p 1 - p 2 )
L
L

dx  - 1,127
o
k

p2
 dp
p1
(6.14)
Donde :
q  bbl/d
A  ft 2
k  Darcys   cp
L  ft
Flujo Lineal Estable de Gases
p dp
p1
p2
q
q’
A
A
o
x dx
L
q   variableporque es un fluidocompresible
   es un valor promedio
q  q' (por expansióndel gas, es decir, el gas se dilata
a medidaque la presión disminuye)

q
k dp
 - 1,127
(Ley de Darcy)
A
 dx
Aplicamosla Ley de Gases Perfectos a cualquier
sección transversa l x dondela presión es p,
p q ZT
p x q x 5,615 p sc x q sc

 q  sc sc
ZxT
Tsc
5,615 p Tsc
v
p q ZT
q
1,127
 sc sc
A
5,615
k

dp
dx
SEGUNDO SEMINARIO DE INGENIERÍA DE RESERVORIOS PETROLÍFEROS I
1.- Calcular el producto (c) empleando las compresibilidades promedias y efectivas.
2.- Determine el régimen de flujo promedio para el flujo lineal estable de gases.
3.- Deducir la ecuación para el flujo semiesférico en estado estable de un líquido incomprensible, empleando los
mismos métodos usados en la deducción de la ecuación:
kh (Pe - Pw )
.
q = 7,08
 ln (r / r )
e w
4.- Las permeabilidades de tres capas de igual sección transversal son: 50, 200 y 500 md, y sus longitudes 40, 10 y
75 pies respectivamente ¿Cuál es la permeabilidad promedia de las capas puestas en serie?.
4.- Cálculo de la permeabilidad promedia para tres capas en serie:
k avg 
(40  10  75)
75 
 40 10




 50 200 500 
k avg  125 md
5.- Del problema 4). ¿Cuáles son las razones de las caídas de presión a través de las capas individuales para el flujo
de líquido?.
5.- Cálculo de las razones de las caídas de presión a través de las capas individuales para el flujo de líquido:
q
k ΔP
 1,127
A
μ L
ΔP 
q L
1,127A k
Luego
 q   L1
 P1  

 1,127A  k 1
 q   L2
 P2  

 1,127A  k 2
 q   L3
 P3  

 1,127A  k 3
Por lo tanto
 P1 :  P2 :  P3 
L1 L 2 L 3
:
:
k1 k 2 k 3
 P1 :  P2 :  P3 
40 10
75
:
:
50 200 500
 P1 :  P2 :  P3  0,8 : 0,05 : 0,15
 P1 :  P2 :  P3  80 : 5 : 15
2
2
6.- La constante para el flujo de gases en un sistema lineal dado es 900, de manera que P 1 – P2 = 900 L / k. Si la
presión de entrada es 500 psia, ¿Cuáles son las caídas de presión en cada una de las dos capas para el flujo en
serie en ambas direcciones?. Una capa tiene 10 pies de largo y 100 md; la otra 70 pies de largo y 900 md.
6.- Cálculo de las caídas de presión en cada una de las dos capas para flujo en serie en ambas direcciones:
Primera caída de presión en una dirección
2
2
P1 - P1  900
L
k
 10 
(500)2 - (P2 ) 2  900  
 0,1 
(P2 ) 2  (500)2  90000
(P2 )  400 psia
Luego :
 P1  P1 - P2
P1  500  400
P1  100 psia
Segundacaída de presión en una dirección
2
2
P2 - P3  900
L
k
 70 
(400)2 - (P3 ) 2  900 

 0,9 
(P3 ) 2  (400)2  70000
(P3 )  300 psia
Luego :
 P2  P2 - P3
P2  400  300
P2  100 psia
Primera caída de presión en la otra dirección
2
2
P1 - P2  900
L
k
 70 
(500)2 - (P2 ) 2  900 

 0,9 
P2  (500)2  70000
P2  424 psia
Luego :
 P1  P1 - P2
P1  500  424
P1  76 psia
Segundacaída de presión en la otra dirección
2
2
P2 - P3  900
L
k
 10 
(424)2 - (P3 ) 2  900  
 0,1 
P3  300 psia
Luego :
 P2  P2 - P3
P2  424  300
P2  124 psia
7.- Los siguientes factores de desviación del gas corresponden a un reservorio de gas a 150°F.
Presión, psia: 0
500
1000
2000
3000
4000
5000
1,00
0,92
0,86
0,80
0,82
0,89
1,00
Construir un gráfico entre Z y P y determinar gráficamente las pendiente a 1000 psia, 2200 psia y 4000 psia.
Luego, usando la Ec. (6.9), determinar la compresibilidad del gas a estas presiones.
7.- Se construye el gráfico entre Z y P, obteniéndose las pendientes a las respectivas presiones y se usa la Ec. (6.9)
para determinar las compresibilidades del gas.
Cálculode la compresibilidadde gas a 100psia :
dz
Δz
0,115


 103 x 10 -6
dP Δ P
1500
Cg 
1  1  dz
1
 1 
 


 ( 103 x 10 -6 )  1120 x 10 psi -1
P  z  dP 1000  0,86 
Cálculode la compresibilidadde gas a 2200psia :
dz
Δz

0
dP Δ P
Cg 
1
1

 445 x 10 psi -1
P 2000
Cálculode la compresibilidadde gas a 4000psia :
dz
Δz
0,17


 85 x 10 -6
dP Δ P
2000
Cg 
1  1  dz
1
 1 
 


 (85 x 10 -6 )  154 x 10 psi -1
P  z  dP 4000  0,89 
8.- a) Calcular la compresibilidad promedia de los fluidos en un reservorio que tiene las siguientes características:
-6
-1
-6
-1
compresibilidad de la formación 6 x 10 psia ; compresibilidad del agua, 3 x 10 psia ; compresibilidad del
-6
-1
-6
-1
petróleo, 12 x 10 psia ; compresibilidad del gas, 150 x 10 psia ; saturación de agua connata, 25 por 100, y
saturación de gas, 5 por 100. La porosidad total es 20 por 100.
b) ¿Cuál es la compresibilidad efectiva del petróleo?.
c) Demostrar que se obtiene el mismo producto de c  si se usa la compresibilidad promedia a la compresibilidad
efectiva y la porosidad apropiada asumiendo que las fases gaseosas y de agua permanecen inmóviles.
8.- a) Cálculo de la compresibilidad promedia:
C avg  C o S o  C g S g  C w S w  C f
C avg  12 x 10 -6 x 0,7  150 x10-6 x 0,05  3 x 10 -6 x 0,25 x 10 -6
C avg  (8,4  7,5  0,75  6) 10 -6 psi -1
C avg  22,65 x 10 -6
b) Cálculo de la compresibilidad efectiva del petróleo:
C oe 
C oe 
Co S o  C gS g  C w S w  C f
So

C avg
So
22,65 x 10 -6
 32,4 x 10 -6 psi -1
0,7
c) El producto c  = puede ser expresado de dos maneras en ambos casos da el mismo resultado:
-6
-6
–1
 Cavg  = 22,65 x 10 x 0,20 = 4,53 x 10 psi

Cavg  = (Cavg / So) (  So)
9.- Sí en el caso anterior la formación sólo contiene gas y agua connata (25 por 100). ¿Cuál será la compresibilidad
del gas incluyéndolas compresibilidades de la formación y del agua?. Comparar con la compresibilidad anterior.
9.- Cómo la formación sólo contiene gas y agua connata, entonces
Sw + Sg = 1, pero Sw = 25%, Sg = 75%
Cálculo de la compresibilidad promedia:
C avg  C g S g  C w S w  C f
C avg  150 x 10 -6 (0,75)  3 x 10 -6 (0,25)  6 x 10 -6  119 x 10 -6 psi -1
10.- Un bloque de arena tiene 1500 pies de largo, 300 pies de ancho, y 10 pies de espesor. Tiene también una
permeabilidad uniforme al petróleo de 345 md, una saturación de agua connata de 17% y una porosidad de
32%. La viscosidad del petróleo en el reservorio es 3,2 cp y el factor volumétrico es 1,2 al punto del burbujeo.
a) Sí ocurre flujo por encima de la presión de saturación, ¿Cuál será la caída de presión requerida por hacer fluir
100 barriles a condiciones del reservorio a través del bloque de arena, asumiendo que el fluido se comporta
como uno incompresible? ¿Cuál será para 200 BPD?
b) ¿Cuál es la velocidad aparente del petróleo en pies por día al régimen de flujo de 100 BPD?
c) ¿Cuál es la velocidad promedia verdadera?
d) ¿Qué tiempo tomará el desplazamiento completo de petróleo de arena?
e) ¿Cuál es el gradiente de presión en la arena?
f) ¿Cuál será el efecto de aumentar las presiones de entrada y salida del bloque, digamos, 100 psia?
-6
-1
g) Considerando al petróleo como un fluido con una compresibilidad muy alta de valor igual a 65 x 10 psi , ¿en
cuánto aumentará el régimen de flujo en el extremo de salida comparada con el régimen de flujo a la entrada de
100 BPD?
h) Deducir una ecuación para el flujo lineal de líquidos compresibles. Sugerencia: El régimen de flujo a cualquier
unto es q = q1 (1 + co(P1 – P)), donde q1 es el régimen de flujo a la entrada, P1 la presión de entrada y co la
compresibilidad efectiva promedia del petróleo.
i) ¿Cuál será la caída de presión requerida para hacer fluir 100 PBD, medidos a la presión de entrada, a través
-6
-1
de la arena si la compresibilidad es 65 x 10 psi ?
j) ¿Cuál será el régimen de flujo de salida?
10. - a)
qL 
q
k dp
 1,127
 p 
A
 dL
1,127 A k
p 
100 bbl/ d x 1500 ft x 3,2 cp
1,127 x (300 ftx 12 ft) x 0,345 d
Si q  200bbl p  2 x 244 psi  688 psi
b) Vo 
q 100 bbl/ d x 6,615 ft 3 /bbl

 0,156 ft/d
A
300 ftx 12 ft
c) Vor 
Vo
0,156 ft/d
 Vor  0,587 ft/d
 S o 0,32 x (1 - 0,17)
d) t 
e)
Vreal V x  x S o (1500 ft x 300 ft x 12 ft) x 0,32 x (1 - 0,17)


q
q
100 bbl /d x 5,615 ft 3 /bbl
L
dp
100 bbl/ d x 3,2 cp


 0,22 psi /ft
d L 1,127 A k 1,127 x 345 d x (300 ft x12 ft)
f) No hay ningúnefecto en el gradientede presión con el aumentode 100 psia
a laentraday salida del bloque
g) c o 
1 (V f - Vi )

 Vf - Vi  1  c o p 
Vi
p
q f  q f (1  c o p)
q f  100 bbl/d(1  65 x 10 -6 psi -1 x 343 psi)
q f  102 bbl/d
q  q s - q e  102,23 - 100  2,23 bbl/d
h)
q
k dp
 1,127
(Ley de Darcy)
A
 dL
q  q1  1  c o (P1 - P2 )  (condiciónde enunciado)
f) Reemplazando en la Ley de Darcy
P2
- c o dp
kA 1 


q1  dL  - 1,127


O
 1  - c o (P - P1 ) 
  - co 
P1

L

q1  1,127
kA
ln  1  c o (P - P1 ) 
 co L
P2

P1
q1   ln  1  c o (P2 - P1 )  - ln  1  - c o (P1 - P1 )  
q1  1,127
i) q1  1,127
kA
ln  1  c o (P2 - P1 ) 
 co L
kA
 co L
ln  1  c o (P2 - P1 ) 
ln  1  c o (P2 - P1 )  
q1  c o L 100 bbl/d x 3,2 cp x 65 x 10 -6 psi -1 x 1500 ft

1,127 k A
1,127 x 0,345 d x (300 x 12) ft 2
ln  1  c o (P2 - P1 )   0,023  1  c o (P2 - P1 )  e 0,023
P2 - P1  p 
p 
e 0,023
co
e 0,023
65 x 10 -6 psi -1

j) q s   1  c o p   100bbl/d 1  65 x 10 -6 psi -1 x 347 psi

q s  102,26bbl/día
11.- Si el bloque de arena del problema 10 es un reservorio de gas con TF de 140°F S wc = 17% y k = 345 md calcular
lo siguiente:
a) Si la presión de entrada es 2500 psia, ¿Cuál será la presión de salida para hacer fluir 5 MM SCF/día a través
de la arena?. Asumiendo una viscosidad promedia de gas de 0,023 cp y un factor de desviación promedio del
gas de 0.88.
b) Si la viscosidad y el factor de desviación del gas son los mismos, ¿Cuál será la presión de salida para hacer
fluir 25 MM SCF/día?
c) Explicar porque se requiere una caída de presión mayor de cinco veces para causar un flujo de gas igual a
cinco veces.
d) ¿Cuál es la presión en el centro de la arena cuando fluye 25 MM SCF/día?
e) ¿Cuál es la presión promedia a 25MM SCF/día?
11.- a) Cálculo de la presión de la salida para hacer fluir 5 MM SCF/día, aplicando la ecuación
fluir lineal estables de gases.
3,164 Tsc A k (Pe - Ps )
P T z L q sc
2
2
 Pe  Ps  sc
P sc T z L
3,164 Tsc A k
2
q sc 
de Darcy para un
2
Reemplazando valores :
2
Ps  (2500)2 
14,7 x 600 x 0,88 x 1500 x 0,023 x 25 x 10 -6
3,164 x 520 x 3600 x 0,345
Ps  2364 psi
b) Cálculo de presión de salida para hacer fluir 25 MM SCF/día, aplicando la ecuación de Darcy para un flujo
lineal estable de gas
3,164 Tsc A k (Pe - Ps )
P T z L q sc
2
2
 Pe  Ps  sc
P sc T z L
3,164 Tsc A k
2
q sc 
2
Reemplazando valores :
2
Ps  (2500)2 
14,7 x 600 x 0,88 x 1500 x 0,023 x 25 x 10 -6
3,164 x 520 x 3600 x 0,345
Ps  1725 psi
d) Cálculo de presión en el centro de la arena cuando fluyen 25 MM SCF/día, aplicando la ecuación de Darcy
para un flujo lineal estable de gases.
3,164 Tsc A k (Pe - Ps )
P T z L q sc
2
2
 Pe  Ps  sc
P sc T z L
3,164 Tsc A k
2
q sc 
2
Reemplazando valores :
2
Pca  (2500)2 
14,7 x 600 x 0,88 x 1500 x 0,023 x 25 x 10 -6
3,164 x 520 x 3600 x 0,345
Pca  2147 psi
e) Cálculo de la presión de entrada para un flujo de 10 MM:
Pprom 
(Pe - Ps ) (2500  1725)
2
2
12.- A través de un bloque rectangular de arena fluye 10 MM SCF/día de gas bajo una presión de salida de 1000
psia. Las condiciones normales son 14,4 psi y 80°F. El factor de desviación promedio es 0,80. El bloque de
arena tiene 100 pies de largo, 100 pies de ancho y 10 pies de espesor. La porosidad 22 por 100 y la
permeabilidad promedia al gas a una saturación de 17 por 100 es 125 TF = 160°F,  = 0.029 cp.
a) ¿Cuál es la presión de entrada?
b) ¿Cuál es la gradiente de presión en el centro de la arena?
c) ¿Cuál es la gradiente promedio de presión a través de la arena?
d) ¿Dónde existe la presión media?
12.- a) Cálculo de entrada para un flujo de 10 MM:
3,164 Tsc A k (Pe - Ps )
P T z L q sc
2
2
 Pe  Ps  sc
P sc T z L
3,164 Tsc A k
2
q sc 
2
Reemplazando valores :
2
Pe  (1000)2 
14,4 x 600 x 0,8 x 1000 x 0,029 x 10 x 10 -6
3,164 x 540 x 1000 x 0,125
Pe  3271psi
b) Cálculo de la gradiente de presión en el centro de la arena:
Primero calculamos la presión en el centro de la arena,
3,164 Tsc A k (Pe - Ps )
P T z L q sc
2
2
 Pe  Ps  sc
P sc T z L
3,164 Tsc A k
2
q sc 
2
Reemplazando valores :
2
Pca  (3271)2 
14,4 x 600 x 0,8 x 500 x 0,029 x 10 x 10 -6
3,164 x 540 x 1000 x 0,125
Pca  2419 psi
Aplicamos la Ley de Darcy de la siguiente forma:
q sc 
q sc Psc T z
k dp
 1,127
(5,615 Tsc Psc )
 dx
Luego,
10 x 10 -6 14,4 x 620 x 0,8
 0,125  dp
 1,127

(5,615 x 520 x 2419 x1000)
 0,029  dx
dp
 2,01psi
x
c) Cálculo de la gradiente promedio de presión a través de la arena:
dp p (3271- 1000)

 2,27 psi /ft
dx x
1000 ft
d) Cálculo del lugar en donde existe la presión media:
La presión media es, pm = (3271+1000) psia /2 = 2136 psia
Aplicando la Ley de Darcy para flujo lineal de gas en estado estable,
2
q
2
3,164 Tsc A k (Pe - Pm )
P sc T z L
Reemplazando valores :
10 x 10 6 
3,164 x 540 x 1000 x 0,125 ( 32712 - 2136)2
14,4 x 620 x 0,8 x L x 0,029
L  633 pies desde el extremo de entrada
13.- Un tubo horizontal de 10 cm de D.I. (diámetro interior) y 3000 cm de largo se llena de arena quedando una
porosidad de 20 por 100. La saturación de agua connata es 30 por 100 y la correspondiente permeabilidad al
petróleo es 200 md. La viscosidad del petróleo es 0,65 cp y la fase de agua es inmóvil.
a) ¿Cuál es la velocidad aparente del petróleo bajo una presión diferencial de 100 psi?
b) ¿Cuál es el régimen de flujo?
3
c) Calcular el petróleo contenido en el tubo y el tiempo para desplazarlo a un régimen de flujo de 0,055cm /seg.
d) A partir de este tiempo efectivo y de la longitud del tubo calcular la velocidad promedio real.
e) Calcular la velocidad promedia real a partir de la velocidad aparente, porosidad y saturación de agua connata.
f) ¿Qué velocidad se usa para calcular los regímenes de flujo y cuál es para calcular los tiempos de
desplazamiento?
g) Sí el petróleo es desplazado por agua en tal forma que queda detrás del frente de agua una saturación
residual o no recuperable de petróleo de 20 por 100, ¿cuáles son las velocidades promedia real y aparente de
agua detrás del frente sí el régimen de producción de petróleo se mantiene en, 0,055 cm3/seg?. Asumiendo que
el desplazamiento de petróleo por agua es como el de un pistón.
h) ¿Cuál es la velocidad de avance del frente de inundación?
i) ¿Cuánto se tardará en obtener el petróleo recuperable y cuánto se recuperará?
j) Sí a una saturación de agua de 80 por 100 la permeabilidad al agua detrás del frente es 123 md, y la
viscosidad de agua es 0,80 cp, ¿cuáles son las movilidades de agua y del petróleo?. ¿Cuál es la razón de las
movilidades de agua detrás del frente a la del petróleo adelante del frente?.
3
k) ¿Cuál es la caída de presión requerida para producir petróleo al régimen de flujo de 0,055 cm /segcuándo el
frente de inundación de agua está en el centro de la tubería?.
13. - a) Cálculode la velocidadaparente :
De la Ley de Darcy
 k  dp  k   P
v   
  
   dx     x
 0,200 d   100 psi x 1 atm / 14,7 psi 
 
v  

3000 cm

 0,65 cp  
v  0,007 cm/s
b) Cálculodel régimende flujo :
qv A v
 D2
4
q  0,0007 cm/s x
3,1416 x 10 2 cm 2
4
q  0,005 cm 3 /s
c) Cálculode petróleocontenidoen la tubería
Vo  S oi Vpo  S oi Vt   S oi A L   S oi
Vo  0,7
 D2
4
L
3,1416 x (10 cm ) 2
3000 cm x 0,2
4
Vo  32987 cm 3
Cálculode tiempopara desplazar el petróleoa rezón de 0,55 cm/s
t
Vo
q
t
32987 cm 3
0,055 cm/s
t  599764 x s
1 x día
86400 s
t  7 días
d) Cálculode la velocidadpromediareal :
vr 
L
t
vr 
300 cm
59976 s
v r  0,005 cm/s
e) Cálculode la velocidadpromedioreal con la velocidadaparente,porosidad y saturación
de agua connata
vr 
q
q
q
v


A r A  o (A  S oi ) ( S oi )
vr 
0,0007cm/s
0,2 x 0,7
v r  0,005 cm/s
g) Cálculode las velocidades aparente y real del petróleoen la zona de agua detrás del frente
de invasión si se mantienela azón de produccióna 0,055 cm/s
Calculamosla velocidadaparente de la Ley de Darcy
 k  dp  k   P
v   
  
   dx     x
 0,200 d   100 psi x 1 atm / 14,7 psi 
 
v  

3000 cm

 0,65 cp  
v  0,007 cm/s
La velocidadpromedioreal es :
vr 
v
( S oi )
vr 
0,0007cm/s
0,2 x 0,7
v r  0,007 cm/s
h) El régimende avance del frente de invasión es la velocidadreal , v r  0,007 cm/s
i) Cálculodel volumende petróleorecuperable :
  D2 
L
Vorec  (S oi - S or )  Vpo  (1 - S wc - S or ) Vt   (1 - S wc - S or )  A L  (1 - S wc - S or ) 
 4 


 3,1416x10 2 
 3000 x 0,2
Vorec  (1 - 3,3 - 0,2) 


4


Vorec  23570 cm 3
Cálculodel tiempopara obtener todo el petróleorecuperable :
t
Vorec Vorec (S oi - S or ) A L  (S oi - S or ) L


q vr Ar
vr A  S oi
v r S oi
t
(1 - S wc - S or ) L
v r (1 - S wc )
t
(1 - 0,3 - 0,2) 3000 cm
0,007cm/s (1 - 0,3)
t  306122s
j) Cálculode la movilidadde gas :
kw
 w 
 w
0,123
0,8
 w 
 w  0,154
Cálculode movilidadde petróleo:
 o
 o
ko
 o
0,200
0,65
 o  0,308
Cálculode la razón de movilidades del agua y del petróleo:
M
w
w
M
0,154
0,308
M  0,5
k) Cálculode la caída de presión requeridapara producir petróleoal régimende flujo
de 0,005 cm 3 /seg cuando el frente de inundaciónde agua está en el centro de la tubería
 Po 
q o L
q o L

ko A
k o  D2
4
 Po 
0,055 x 0,65 x 1500
0,2 x
3,1416 x 10 2
4
 Po  3,41atm
 Pw 
q w L
q w L

kw A
k w  D2
4
 Pw 
0,055 x 0,8 x 1500
0,123 x
3,1416 x 10 2
4
 Pw  6,83 atm
 Pt   Po   Pw
 Pt  3,41atm  6,83 atm
 14,7 psi 
 Pt  10,23 

 1 atm 
 Pt  150 psi