Machine Translated by Google
www.elsolucionario.net
CAPÍTULO 14 RADIACIONES ELECTROMAGNÉTICAS Y ANTENAS
533
D14.5. La antena monopolo de la figura 14.10a tiene una longitud d/2 = 0.080 m y se puede
suponer que lleva una distribución de corriente triangular para la cual la corriente de alimentación
I0 es 16.0 A a una frecuencia de 375 MHz en el espacio libre. En el punto P (r = 400 m, θ = 60◦,
φ = 45◦) encuentre (a) Hφs, (b) Eθs y (c) la amplitud de Pr.
Respuesta. j1,7 mA/m; j0,65 V/m; 1,1 mW/m2
14.5 Matrices de dos elementos
A continuación abordamos el problema de establecer un mejor control de las propiedades direccionales
de la radiación de la antena. Aunque se logra cierto control de la directividad mediante el ajuste de la
longitud de una antena de hilo, estos resultados sólo aparecen como cambios en el patrón del plano E.
El patrón del plano H siempre sigue siendo un círculo (sin variación de φ), siempre que se utilice una
antena de un solo cable vertical. Al utilizar múltiples elementos en una matriz, se puede lograr una
mejora significativa en la directividad determinada en los planos E y H. Nuestro objetivo en esta sección
es sentar las bases para el análisis de matrices considerando el caso simple de usar dos elementos.
La configuración básica se muestra en la Figura 14.11. Aquí tenemos nuestra antena de cable
original con su alimentación en el origen y orientada a lo largo del eje z . Una segunda antena idéntica,
paralela a la primera, está colocada en la ubicación d en el eje x . Las dos llevan la misma amplitud de
corriente, I0 (lo que lleva a la amplitud de campo lejano E0), pero permitimos que la corriente de la
segunda antena exhiba una diferencia de fase constante, ξ, con respecto a la de la primera.
El punto de observación de campo lejano, P, se encuentra en coordenadas esféricas, (r,θ,φ). Desde
este punto, las antenas aparecen lo suficientemente juntas como para que (1) las líneas radiales, r y
PAG
q
I0
I0
s
jx
Arkansas
r
r1
mi
d
hacha
X
F
Figura 14.11 La antena de alambre original dirigida en
z con su centro en el origen ahora está unida por
una segunda antena paralela, que cruza el eje x a una
distancia d. La segunda antena
lleva la misma amplitud de corriente que el primero, pero
con un cambio de fase constante, ξ. Los campos se
observan en el punto P.
www.elsolucionario.net
Los métodos resultantes son fácilmente extensibles a configuraciones de múltiples elementos.
Machine Translated by Google
www.elsolucionario.net
INGENIERÍA ELECTROMAGNÉTICA
S
y
r
d
F
PAG
r1
X
Figura 14.12 Vista superior de la disposición de
la Figura 14.11 (mirando hacia el plano xy ).
En la aproximación de campo lejano, las líneas
.
rojas son esencialmente paralelas y r1= r − s.
r1, son esencialmente paralelas, y (2) las direcciones del campo eléctrico en P son esencialmente
las mismas (a lo largo de aθ ). Usando la ecuación. (57), podemos por lo tanto escribir el campo
total en P, entendiendo que la presencia de la segunda antena en el eje x introducirá una
dependencia φ en el campo que antes no estaba presente:
e­ jkr
Eθ P (r,θ,φ) = E0 F(θ)
r
+
mi
jξ e− jkr1
r1
(67)
A continuación, podemos expresar la distancia a P desde la segunda antena, r1, en términos de
la distancia a la primera antena, r (también el radio de coordenadas esféricas), observando que
en la aproximación de campo lejano tenemos
.
r1 = r − s
donde s es un cateto del triángulo rectángulo formado al trazar un segmento de línea perpendicular
entre la segunda antena y la línea de radio, r, como se muestra en las Figuras 14.11 y 14.12. La
longitud, s, es la proyección de la separación de la antena, d, sobre la línea radial, r, y se
encuentra a través de
s = d hacha ∙ ar = d sen θ cos φ
(68)
Por lo tanto,
.
r1 = r − d sen θ cos φ
(69)
En el campo lejano, la distancia, d sen θ cos φ, es muy pequeña comparada con r, lo que
nos permite despreciar la diferencia entre r y r1 en los términos de magnitud de (67) (de modo
que 1/r1 . = 1 /r).Como sabemos por los estudios de dipolos, la diferencia no puede despreciarse
en los términos de fase en (67) porque la fase es muy sensible a cambios ligeros en r. Con estas
consideraciones en mente, la Ec. (67) se convierte
Eθ P (r,θ,φ) = + e
E0 F(θ)
r
e− jkr jξ e− jk(r−d sen θ cos φ)
(70)
www.elsolucionario.net
534
Machine Translated by Google
www.elsolucionario.net
535
CAPÍTULO 14 RADIACIONES ELECTROMAGNÉTICAS Y ANTENAS
lo que simplifica a
E0 F(θ)
Eθ P (r,θ,φ) =
mi − jkr 1 + mi
r
jψ
(71)
dónde
(72)
ψ = ξ + kd sen θ cos φ
ψ es la diferencia de fase neta entre los dos campos de antena que se observa en
P(r,θ,φ). La ecuación (71) se puede simplificar aún más factorizando el término e obtener
2E0 F(θ)
Eθ P (r,θ,φ) =
e­ jkr
r
jψ/ 2e
jψ/2 a
porque(ψ/2)
(73)
|Eθ P (r,θ,φ)| = Eθ P θ P
=
mi
2E0
r
|F(θ)|| porque(ψ/2)|
(74)
La ecuación (74) demuestra el importante principio de multiplicación de patrones que
Se aplica a conjuntos de antenas idénticas. Específicamente, la magnitud total del campo consiste
del producto de la magnitud de la función de patrón, o factor de elemento para el individuo
antenas, |F(θ)|, y la magnitud del factor de matriz normalizado , dada por | cos(ψ/2)|.
El factor de matriz a menudo se denota por
A(θ,φ) = cos(ψ/2) = cos
1
(ξ + kd sen θ cos φ)
2
(75)
|F(θ) | |A(θ,φ)|
(76)
La ecuación (74) entonces se convierte en
|Eθ P (r,θ,φ)| =
2E0
r
Este principio se puede extender a matrices de múltiples elementos modificando apropiadamente el
factor de la matriz, como veremos. El supuesto subyacente es que el individuo
los elementos de la matriz están esencialmente desacoplados; es decir, inducen corrientes insignificantes en
entre sí. Con un acoplamiento apreciable, el problema es mucho más complicado y
No se puede utilizar la multiplicación de patrones.
En el patrón de campo expresado en (76), el plano E (o dependencia θ) es principalmente
determinado por los elementos individuales, o por |F(θ)|. Es en el plano H donde
El efecto de la matriz es el más fuerte. De hecho, la razón principal para usar una matriz de este
La configuración es para permitir el control del patrón del plano H. En el plano H (θ = π/2),
www.elsolucionario.net
a partir del cual podemos determinar la amplitud del campo a través de
Machine Translated by Google
www.elsolucionario.net
536
INGENIERÍA ELECTROMAGNÉTICA
Ecuaciones. (75) y (76) dan la dependencia del campo de φ como
Eθ P (r,π/2, φ)
A(π/2, φ) = cos
12
(ξ + kd porque φ)
(77)
El patrón del plano H depende de las elecciones de la fase actual relativa, ξ, y del espaciamiento entre
elementos, d.
EJEMPLO 14.3
Investigue el patrón del plano H cuando las corrientes están en fase (ξ = 0).
Solución. Con ξ = 0, la ecuación. (77) se convierte
kd
A(π/2, φ) = cos
2
πd
cos φ = cos
λ
porque φ
Esto alcanza un máximo en φ = π/2 y 3π/2, o a lo largo de la dirección normal al plano de las antenas
(el eje y ). Esto ocurre independientemente de la elección de d, por lo que la matriz se denomina matriz
lateral. Ahora, eligiendo d = λ/2, obtenemos A = cos[(π/2) cos φ], que se vuelve cero en φ = 0 y π (a lo
largo del eje x ), y tenemos vigas principales individuales a lo largo del eje positivo. y eje y negativo .
Cuando d aumenta más allá de λ/2, aparecen máximos adicionales (lóbulos laterales) a medida que φ
El conjunto amplio del ejemplo anterior puede considerarse como el caso más sencillo.
Un comportamiento más interesante ocurre cuando existe una diferencia de fase distinta de cero entre
las dos corrientes y se pueden realizar ajustes en la fase y el espaciado de elementos.
EJEMPLO 14.4
Determine las condiciones necesarias para establecer un conjunto de endfire , en el que la radiación
máxima se dirija a lo largo del eje x .
Solución. Estableciendo φ = 0 o π en la ecuación. (77) y requerir que la ecuación alcance un máximo
da como resultado la condición:
ξ
A = porque
2
±
πd
λ
= ±1
o
ξ
2
±
πd
λ
= mπ
donde m es un número entero que incluye 0, y donde el signo más entre paréntesis se aplica para φ = 0, y el
signo menos para φ = π. Un caso de interés práctico ocurre cuando m = 0, d = λ/4 y ξ = −π/2, que satisface la
condición anterior cuando se elige el signo positivo. La ecuación (77) ahora se convierte en
π
A(π/2, φ) = cos
4
(cos φ − 1)
Esta función maximiza en φ = 0 y alcanza cero en φ = π. Por lo tanto, hemos creado una matriz que
irradia un único lóbulo principal a lo largo del eje x positivo . La forma en que esto
www.elsolucionario.net
varía, pero aún aparecen ceros a lo largo del eje x si d se establece en múltiplos impares de λ/2.
Machine Translated by Google
www.elsolucionario.net
537
CAPÍTULO 14 RADIACIONES ELECTROMAGNÉTICAS Y ANTENAS
Las obras pueden entenderse al darse cuenta de que el desfase de la corriente en el elemento en x = d
simplemente compensa el desfase que surge del retraso de propagación entre el elemento en el origen y
el de x = d. Por lo tanto, la radiación del segundo elemento está exactamente en fase con la radiación del
primer elemento. Por lo tanto, los dos campos interfieren constructivamente y se propagan juntos en la
dirección x directa .
En la dirección inversa, la radiación de la antena en x = d llega al origen y se encuentra desfasada π
radianes con la radiación del elemento x = 0. Por lo tanto, los dos campos interfieren destructivamente y
no se produce radiación en la dirección x negativa .
D14.6. En la configuración lateral del ejemplo 14.3, el espacio entre elementos se cambia a d = λ.
Determine (a) la relación de las intensidades emitidas en las direcciones φ = 0 y φ = 90◦ en el plano
H , (b) las direcciones (valores de φ) de los haces principales en el patrón del plano H, y (c ) las
Respuesta. 1; (0, ±90◦, 180◦); (±45◦, ±135◦)
D14.7. En la configuración final del ejemplo 14.4, determine las direcciones (valores de φ) para los
haces principales en el plano H si la longitud de onda se acorta de λ = 4d a (a) λ = 3d, (b) λ = 2d, y
( c) λ = d.
Respuesta. ±41,4◦; ±45,0◦; ±75,5◦
14.6 Matrices lineales uniformes
A continuación ampliamos nuestro tratamiento a matrices de más de dos elementos. Al hacer esto, se le
dan al diseñador más opciones que permiten mejorar la directividad y posiblemente aumentar el ancho de
banda de la antena, por ejemplo. Como se puede imaginar, un tratamiento completo de este tema
requeriría un libro completo. Aquí, consideramos sólo el caso de la matriz lineal uniforme para ejemplificar
los métodos de análisis y presentar algunos de los resultados clave.
La configuración de matriz lineal uniforme se muestra en la Figura 14.13. La matriz es lineal porque
los elementos están dispuestos a lo largo de una línea recta (el eje x en este caso). La matriz es uniforme
porque todos los elementos son idénticos, tienen el mismo espaciado, d, y llevan la misma amplitud de
corriente, I0, y la progresión de fase en la corriente de un elemento a otro está dada por un valor constante,
ξ.
El factor de matriz normalizado para la
matriz de dos elementos se puede expresar usando (71) como:
1
|A(θ,φ)| = |A2(θ,φ)|=| porque(ψ/2) | = 2
1 + mi
jψ
donde el subíndice 2 se aplica a A para indicar que la función se aplica a dos elementos. El factor de
matriz para una matriz lineal de n elementos como se muestra en la Figura 14.13
(78)
www.elsolucionario.net
ubicaciones (valores de φ) de los ceros en el patrón del plano H.
Machine Translated by Google
www.elsolucionario.net
INGENIERÍA ELECTROMAGNÉTICA
P(r,f)
r
F
j4x
I0e jx I0e j2x j3xI0e
I0
I0e
...
I0e j(n–1)x
X
d
Figura 14.13 Diagrama del plano H de un
conjunto lineal uniforme de n dipolos, dispuestos
a lo largo de x, y con dipolos individuales orientados
a lo largo de z (fuera de la página). Todos los elementos tienen
espaciado igual, d, y transporta la misma corriente
amplitudes, I entre 0. Se produce el cambio de fase actual ξ
elementos adyacentes. Los campos son
evaluado en el punto de la zona lejana, P, desde el cual
Los dipolos parecen estar agrupados en el
origen.
es una extensión directa de (78), y se convierte en
1
+ mi
|An(θ,φ)| = |An(ψ)| =
jψ j2ψ j3ψ 1 + mi + mi
+ mi4ψ + ... + mi
j(n−1)ψ
norte
(79)
Con los elementos dispuestos a lo largo del eje x como se muestra en la Figura 14.13, tenemos
ψ = ξ + kd sin θ cos φ, como antes. La progresión geométrica que comprende la ecuación.
(79) se puede expresar en forma cerrada para dar
1
|An(ψ)| =
norte
1 − mi jnψ
1 − mi jψ
1
=
mi
jnψ/2 e− jnψ/2 − e jnψ/2
(80)
norte
mi
jψ/2 e− jψ/2 − e jψ/2
En el extremo derecho de la ecuación. (80), reconocemos las identidades de Euler para la función seno
tanto en el numerador como en el denominador, lo que finalmente lleva a
|An(ψ)| =
1 |pecado(nψ/2)|
norte
(81)
|pecado(ψ/2)|
El campo eléctrico en la zona lejana para un conjunto de n dipolos ahora se puede escribir en términos
de An ampliando el resultado de la ecuación. (76). Escribiendo |An(ψ)| = |An(θ,φ)|, tenemos
|Eθ P (r,θ,φ)| =
nE0
r
|F(θ) | |An(θ,φ)|
demostrando nuevamente el principio de multiplicación de patrones, en el que ahora tenemos una
nueva función de matriz que pertenece a la matriz lineal.
(82)
www.elsolucionario.net
538
Machine Translated by Google
www.elsolucionario.net
539
CAPÍTULO 14 RADIACIONES ELECTROMAGNÉTICAS Y ANTENAS
1
A4
1
A8
0,5
–2π
–π
0
π2π
0,5
–2π
–π
0
π2π
años
años
Figura 14.14 |An(ψ)| según lo evaluado a partir de la ecuación. (81) en el rango −2π<ψ< 2π para casos en los que
el número de elementos, n, es (a) 4 y (b) 8.
Gráficos de la ecuación. (81) se muestran en la figura 14.14 para los casos en los que n = 4
y n = 8. Tenga en cuenta que las funciones siempre maximizan a la unidad cuando ψ = 2mπ,
donde m es un número entero que incluye cero. Estos máximos principales corresponden a los
estrechar los lóbulos principales y atraer más máximos secundarios (lóbulos laterales).
Para ver cómo se forma el patrón de matriz, es necesario interpretar la función de matriz,
Ec. (81), con respecto a la variación angular en el plano H. En este plano (donde θ = π/2),
tenemos ψ = ξ + kd cos φ. Entonces, sabiendo que φ varía de 0 a 2π radianes, cos φ varía entre
±1, y podemos ver que ψ estará dentro del rango
ξ − kd ≤ ψ ≤ ξ + kd
(83)
Las elecciones de la fase actual, ξ, y la separación de antenas, d, determinan el rango de valores
ψ que aparecerán en el patrón de matriz real. Esto podría conducir, en algunos casos, a un rango
bastante estrecho en ψ que puede incluir o no un máximo principal. La fase actual determina el
valor central de ψ y la separación de antenas determina la variación máxima de ψ que se produce
alrededor del valor central a medida que varía el ángulo de acimut φ.
Como se analizó en la Sección 14.5, un conjunto de costado tiene haces principales que
ocurren normales al plano del conjunto (en φ = π/2, 3π/2). La condición para esto es que el
máximo principal, ψ = 0, ocurrirá en estos ángulos. Por lo tanto escribimos
ψ = 0 = ξ + kd cos(π/2) = ξ
y entonces estableceríamos ξ = 0 para obtener una matriz lateral. En este caso, (83) da −kd < ψ
< kd. El valor central de ψ es, por tanto, cero, por lo que el máximo principal se incluye en el
patrón. En el plano H , y con ξ = 0, tenemos así ψ = kd cos φ.
El punto ψ = 0 siempre ocurrirá en φ = π/2 y 3π/2, y esto será cierto independientemente de la
elección del espaciado entre elementos d. El efecto de aumentar d es ampliar el rango de ψ que
resulta cuando φ varía en su rango de 0 a 2π. Por lo tanto, para un número determinado de
elementos, la viga principal se volverá más estrecha, pero habrá más lóbulos laterales en el
patrón cuando se aumente el espaciado entre elementos.
www.elsolucionario.net
haces principales del patrón de matriz. El efecto de aumentar el número de elementos es
Machine Translated by Google
www.elsolucionario.net
540
INGENIERÍA ELECTROMAGNÉTICA
Una matriz Endfire requiere que se produzca un máximo principal a lo largo del eje x . Por lo tanto,
en el plano H , podemos escribir
ψ = 0 = ξ + kd cos(0) = ξ + kd
o ξ = −kd para obtener una operación de disparo final con un máximo que se produce a lo largo del eje
x positivo . Esto puede o no dar como resultado que también se produzca un haz principal a lo largo del
eje x negativo.
EJEMPLO 14.5
Para conjuntos de 4 y 8 elementos, seleccione la fase actual y el espaciamiento de elementos que
darán una operación de fuego final unidireccional , en la que el haz principal existe en la dirección φ =
0, mientras que no ocurre radiación en la dirección de φ = π, ni en la dirección direcciones laterales (φ
= ±π/2).
Solución. Queremos ψ = 0 cuando φ = 0. Por lo tanto, de ψ = ξ + kd cos φ, requeriríamos que 0 = ξ +kd,
o que ξ = −kd. Usando 4 u 8 elementos, encontramos a partir de la ecuación. (81) o de la Figura 14.14
Así tenemos ψ = −(π/2)(1 − cos φ). En las figuras 14.15a y b se muestran gráficos polares de las
funciones de matriz resultantes . Nuevamente, el cambio de 4 a 8 elementos tiene el efecto de disminuir
el ancho del haz principal, mientras que en este caso aumenta el número de lóbulos laterales de 1 a 3.
Si se utiliza un número impar de elementos con las opciones anteriores en fase y espaciado, estará
presente un pequeño lóbulo lateral en la dirección φ = π.
En general, podemos elegir el desfase de corriente y el espaciamiento de elementos para
establecer el haz principal en cualquier dirección. Eligiendo el máximo principal ψ = 0, podemos escribir
ψ = 0 = ξ + kd porque φmax
cos φmax = − kd
ξ
de modo que la dirección del haz principal se pueda cambiar variando la fase actual.
y
y
X
X
(a)
(b)
Figura 14.15 Gráficos en el plano H de (a) conjuntos de 4
elementos y (b) de 8 elementos con un espaciado entre elementos
de d = λ/4 y una fase de corriente ξ = −π/2.
www.elsolucionario.net
que se producirán ceros cuando ψ = ±π/2 y ±π.
Por lo tanto, si elegimos ξ = −π/2 y d = λ/4, obtenemos ψ = −π/2 en φ = π/2, 3π/2 y ψ = −π en φ = π.
Machine Translated by Google
www.elsolucionario.net
541
CAPÍTULO 14 RADIACIONES ELECTROMAGNÉTICAS Y ANTENAS
D14.8. En un conjunto de dipolos lineales endfire en el que ξ = −kd, ¿qué espaciamiento
mínimo entre elementos d en longitudes de onda da como resultado una operación bidireccional,
en la que se producen intensidades iguales en el plano H en φ = 0 y φ = π?
Respuesta. d = λ/2
D14.9. Para un conjunto de dipolos lineales en el que la separación entre elementos es d = λ/
4, ¿qué fase de corriente ξ dará como resultado un haz principal en la dirección de a) φ = 30◦;
b) φ = 45◦.
Respuesta. −π √3/4; −π√2/4
14.7 ANTENAS COMO RECEPTORES
A continuación pasamos al otro propósito fundamental de una antena, que es su uso como medio
junto con su electrónica de soporte, que desempeñan las funciones intercambiables de transmisor y
detector.
La figura 14.16 muestra un ejemplo de una disposición de transmisión­recepción, en la que las
dos antenas acopladas juntas forman una red lineal de dos puertos. El voltaje V1 y la corriente I1 en
la antena de la izquierda afectan el voltaje y la corriente (V2 e I2) en la antena de la derecha, y
viceversa. Este acoplamiento se cuantifica mediante los parámetros de transimpedancia, Z12 y Z21.
Las ecuaciones gobernantes toman la forma
V1 = Z11 I1 + Z12 I2
(84a)
V2 = Z21 I1 + Z22 I2
(84b)
Z11 y Z22 son las impedancias de entrada a las antenas 1 y 2 cuando cualquiera de las
antenas está aislada y se utiliza como transmisor, o de manera equivalente, si las dos antenas
están lo suficientemente alejadas entre sí. Las partes reales de Z11 y Z22 serán la radiación asociada.
+
I2
I1
V1
+
V2
–
–
Z11
Z21
Z12
Z22
Figura 14.16 Un par de antenas acopladas,
que demuestran las Ecs. (84a) y (84b).
www.elsolucionario.net
para detectar o recibir radiación que se origina desde una fuente distante. Abordaremos este problema
mediante el estudio de un sistema de antena transmisora­receptora. Está compuesto por dos antenas,