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MATEMÁTICA
CICLO: 2022-I
TEMA:
SEMANA 2
NÚMEROS REALES
Relación coeficientes raíces de polinomios de 2do y 3er
grado. Ecuaciones e inecuaciones. Aplicaciones
CURSO DE MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
¿Qué aprendimos la semana anterior?
25/03/2022
2
LOGRO DE LA SESIÓN
Al término de la sesión el estudiante:
• Aplica los criterios de factorización en la resolución
de ejercicios.
• Analiza y resuelve las ecuaciones e inecuaciones
de primer y segundo grado.
• Comprende el concepto de valor absoluto.
• Analiza, modela y resuelve problemas referentes al
tema, utilizando algoritmos y propiedades.
25/03/2022
3
MOTIVACIÓN
Numeración en egipto
25/03/2022
4
RELACIONES ENTRE RAICES Y COEFICIENTES
1) Dado el polinomio
P( x ) = ax 2 + bx + c = 0, a  0 Si r, s son las raíces
de P(x), entonces P(x) = a(x – r)(x – s)=a(𝑥 2 − 𝑟 + 𝑠 𝑥 + 𝑟𝑠)
Por igualdad de polinomios, la relación de raíces y coeficientes de P(x) está dado
por:
b

r
+
s
=
−


a

 rs = c

a

NOTA:
Si : a = 1 
25/03/2022 VCP
−𝑎 𝑟 + 𝑠 = 𝑏
𝑎𝑟𝑠 = 𝑐
r + s = −b

 rs = c
5
RELACIONES ENTRE RAICES Y COEFICIENTES
3
2
P
(
x
)
=
ax
+
bx
+ cx + d ,
2) Dado el polinomio
a0
Si r, s, t son raíces de P(x), entonces P(x) = (x – r)(x – s)(x – t)
Por igualdad de polinomios, la relación de
raíces y coeficientes de P(x) está dado por:
Nota:
b

r
+
s
+
t
=
−

a

c

r
s
+
r
t
+
s
t
=

a

d

rst = −

a

 r + s + t = −b
Si a = 1  
 rs+ r t +st = c
 rst
= −d

25/03/2022
6
Ejemplo 1:
Sea P(x) = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus
raíces sabiendo que el producto de dos de ellas
es 1.
Solución: Por ser P(x) de grado 3, sabemos que P tiene 3 raíces
Por relaciones entre raíces y coeficientes
r  s  t = ( −1)3
rst=
d
a
3
6

( −1 ) 3  − 
 2
Aplicamos Ruffini
con la raíz conocida
2
3
2
2x
2
= (−1)(−3) = 3
1 t =3
pero r  s = 1 entonces
-11
17
-6
6
-15
6
-5
2
0
P(x) = 2(x − 3)(x − 2)(x − 1 )
2
t =3
Resolvemos la ecuación:
5  52 − 4  2  2
− 5 x + 2 = 0  x1, 2 =
=
22
25/03/2022
rst =3

5 9
4
=
53
4
x1 = 2
x2 = 1/2
Raíces: ½; 2; 3
7
0
RELACIONES ENTRE RAICES Y COEFICIENTES
Dado un polinomio P(x) = a n x n + a n −1x n −1 + a n − 2 x n − 2 + ...... + a 2 x 2 + a1x + a 0
Con raíces 1; 2; 3; . . . . n-1; n
Es posible establecer relaciones entre las raíces i y los coeficientes ai de P(x)
1 + 2 + 3 + n-1 + n =
a
− n −1
an
12+13 + . . .+ n-1n =
a n −2
an
1  2  3 + . . . . + n-2  n-1  n = −
La suma de las raíces es igual al segundo coeficiente cambiado
de signo, dividido por el coeficiente principal
La suma de los productos binarios de las raíces es igual al
tercer coeficiente, dividido por el coeficiente principal
a n −3
an
Análogas reglas valen para las sumas de los productos
ternarios, cuaternarios, etc, con signos – ó + alternativamente
.......................... ........
1  2  3      n-2  n-1  n = (−1) n a 0
an
MATEMATICA
El producto de las n raíces es igual al término independiente
dividido por el coeficiente principal, con signo + ó -, según que n
sea par o impar, respectivamente
FACTORIZACION: CRITERIOS
DEFINICIÓN.
Factorizar el polinomio P(x), consiste en expresar P(x) como el
producto de dos o más factores primos algebraicos dentro de un
cierto sistema numérico Z, Q, R ó C.
p(x) = (x − 1) 2 (x + 1) 2 (x 2 + 1)
Factorizado sobre Z
p(x) = (x − 1) 2 (x + 1) 2 (x + i)(x − i) Factorizado sobre C
No existe un método específico para factorizar una expresión
algebraica, dado que esta puede hacerse de una o mas formas
denominadas criterios. Estos son:
1.- CRITERIO DEL FACTOR COMÚN
Ejemplo 2. Factorizar sobre R:
Solución:
P ( x ) = x − x 2 + x3 − x 4
x x 2 x3 x 4
P ( x ) = x − x + x − x = x( − + − ) = x((1 − x) + x 2 (1 − x))
x x
x x
2
3
Ejemplo 3. Factorizar sobre R:
4
p(x) = 2x 4 − 6x 3 + 4x 2
Solución: p(x) = 2x 2 (x 2 − 3x + 2) = 2x 2 (x − 2)(x − 1)
2.- CRITERIO DE LAS IDENTIDADES
Ejemplo 4. Factorizar:
Solución:
P ( x, y ) = 4 x 2 − 20 xy + 25 y 2
4x2 = 2x
P ( x, y ) = ( 2 x − 5 y )
2
P ( a, x ) = ( a + x ) − ( x + 2 )
2
Ejemplo 5. Factorizar:
Solución:
25 y 2 = 5 y
(a + x) 2 = a + x
2
( x + 2) 2 = x + 2
2(2 x)(5 y ) = 20 xy
Ejemplo 6. Factorizar:
P ( a, b ) = a 9 − 18a 6b5 + 108a 3b10 − 216b15
Solución:
(a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab2 − b3
P ( a, b ) = (a 3 )3 − 3(a 3 ) 2 (6b5 ) + 3(a 3 )(6b5 ) 2 − (6b5 )3
P ( a, b ) = ( a − 6b )
3
MATEMATICA VCP
5 3
11
3. CRITERIO DEL ASPA SIMPLE
Este método se utiliza, para factorizar expresiones trinomios o aquellas
que adoptan esta forma:
P ( x, y ) = Ax 2 m + Bx m y n + cy 2 n ........ ( )
Procedimiento:
Paso 1. Se adecua la expresión a la forma ( )
Paso 2. Se descomponen en factores los sumandos extremos.
Paso 3. Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados, si
este producto coincide con el término central entonces se habrá
conseguido los factores que determinan P ( x, y )
VCP
12
Ejemplo 7. Factorizar en los reales: P ( x ) = x 2 − 6 x + 8
Solución: Tenemos
P ( x ) = x2 − 6x + 8
Descomponer
extremos en dos
factores
x
−4
−4x
x
−2
−2x
P = +8
S = −6 x
Mediante aspa simple ,
sumando ,obtenemos
el termino medio
Por lo tanto P(x) factorizado es:
P ( x ) = ( x − 4 )( x − 2 )
MATEMATICA
13
4. CRIETERIO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
P ( x ) = Ax 4 + Bx3 + Cx 2 + Dx + E
Procedimiento:
Observe que el formato tiene 5 sumandos
Paso 1. Se descomponen los términos extremos y se halla la suma “S”:
Sx 2 del producto en aspa. Luego hallamos la diferencia:
Fx2 = Cx2 − Sx2
2
Paso 2. Se descompone Fx y se verifica si aparecen los términos
restantes.
MATEMATICA
14
Ejemplo 8. Factorizar en los enteros:
P ( x ) = 5 x 4 + 22 x 3 + 21x 2 + 16 x + 6
Solución:
Paso 1. Como
P ( x ) = 5 x 4 + 22 x 3 + 21x 2 + 16 x + 6
Descomponer
estremos en dos
factores
Efectuamos aspa
simple
5x4
6
5x 2
+3
x2
+2
Obtenemos
10 x 2 + 3 x 2 = Sx 2

2
2
+13 x = Sx
Fx2 = Dx2 − Sx2 = 21x2 − 13x2 = 8x2
MATEMATICA
15
Paso 2
Fx2 = Dx2 − Sx2 = 21x2 − 13x2 = 8x2
5 x 4 + 22 x3 + 21x 2 + 16 x + 6
5x
2 20 x 3 + 2 x 3
x2
Descomponer en 2
factores
2x
+4 x + 12 x
+3
Verificar mediante aspa
simple si se obtiene los
otros términos.
+2
4x
2
8x
2
+13x
+21x
(10 x + 3x )
2
2
2
Por lo tanto, tenemos P(x) factorizado en los enteros:
P ( x ) = ( 5 x 2 + 2 x + 3)( x 2 + 4 x + 2 )
MATEMATICA
16
ECUACIONES E INECUACIONES
25/03/2022
17
ax + b = 0, a  0
ECUACIÓN LINEAL :
Ejemplo 9.
Resolver: 2x − 7 = 5 − 3x − 2
2
Solución:
4
2x − 7
3x − 2
=5−
2
4
2x − 7 20 − (3x − 2)
=
2
4
Multiplicamos por 4 a la
expresión dada y
obtenemos:
25/03/2022
4(2x − 7)
20 − 3x + 2)
= 4(
)
2
4
4x − 14 = 22 − 3x
7x = 36
 36 
 CS =  
7
18
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Una ecuación cuadrática con una variable o también llamada ecuación de segundo
grado, es toda ecuación que tiene la siguiente forma:
ax + bx + c = 0
2
Término
cuadrático
Término
lineal
Término
independiente
donde a, b y c son parámetros (a  0); y x es la variable o incógnita.
Método de solución
a) Aspa simple
b) Solución general
25/03/2022
19
x + x−2
x − 3x = 4
2x − 5 = x + 3
8x − 4
x = 4x + 5
4 = 5x
2
2
2
2
2
20
Ejemplo 10 (Aspa simple)
Resolver:
a) x² – 2x – 15 = 0
Solución a:
•Por aspa simple:
x² – 2x – 15 = 0
x
x
-5 : -5x
3 : 3x
-2x
(x – 5)(x + 3) = 0
→ x = 5, x = -3
CS=-3, 5
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21
Solución General de una ecuación cuadrática
ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c números reales, con a≠ 0)
Discriminante : ∆ = 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜
Si 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 ≥ 𝟎, entonces la solución en los reales de la ecuación esta dada por:
−𝑏 + 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
x1 =
2𝑎
−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐
X2 =
2𝑎
Si  = 0 las raíces son iguales x1 = x2 = -
b
2a
Si  > 0 las raíces son reales y diferentes
Si  < 0 → no existe solución real
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22
Ejemplo 11:
Resolver 2x2 – 3x – 1 = 0
Solución:
Identificamos los valores
de los coeficientes:
a = 2; b = – 3; c = –1
Reemplazamos en:
− b  b 2 − 4ac
x=
2a
Obtenemos:
x=
− (−3)  (−3) 2 − 4(2)(−1)
2(2)
De donde:
3 − 17
x1 =
4
25/03/2022

x=
3 + 17
x2 =
4
3  17
4
 3 − 17
3 + 17 
 C.S. = 
;

4
4


23
INECUACIONES
Conjunto solución de una inecuación. Son todos los
números reales que verifican la desigualdad.
p( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
a1 ,a2 ,...,an , an  0;
p(x)  0,
p(x)  0,
p(x)  0,
p(x)  0
24
INECUACIONES LINEALES
Es aquella que puede reducirse a las siguientes formas generales:
ax + b  0
ax + b  0
ax + b  0
ax + b  0
donde a y b son números reales, con a ≠ 0.
Ejemplos 12:
a. 3x − 8  5
b.
− 2x  10
25/03/2022
→x≤
13
13
→ CS = −∞ ,
3
3
c. 20  4( x − 2)
d.
2x −1
 −2
5
25
Propiedades
a  b a + m  b + m
1) 

c  d c + m  b + m
2) si c  0 y a  b → ac  bc
si d  0 y a  b → ad  dc
a
3)
c
0  a  b
4) 
 ac  bd
0  c  d
b
d
a
c
b
d
 i) Si ab  0, → (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
 ii)Si ab  0, → (a  0  b  0)  (a  0  b  0)

5) 
 La propiedad es válida, si la desigualdad lleva
 los signos : 0   0
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26
INECUACIÓN DE SEGUNDO Y TERCER GRADO
Cuando el grado del polinomio p(x) es igual a 2 ó 3, las desigualdades
p(x) > 0, p(x)  0, p(x) < 0, p(x)  0 , se llaman desigualdades de segundo ó
tercer grado respectivamente.
Observación. Toda expresión polinomial cuadrática de la forma:
ax 2 + bx + c, a  0
es irreducible si no se puede factorizar en factores lineales en R .
27
INECUACIÓN CUADRÁTICA
Ejemplo 13. Determine el CS de la siguiente inecuación: x 2  x
Solución:
Paso 1: Factorice la expresión y dejar el otro extremo en cero x ( x − 1)  0
Paso 2: Determinar los puntos críticos, para esto igualamos a “0” cada factor.
Los puntos críticos son: 0 y 1
28
Paso 3: Ubicamos los puntos críticos en la recta real, la cual se divide en
intervalos.
Si la desigualdad es estricta, graficar en el punto crítico
Si la desigualdad es no estricta, graficar en el punto crítico
Paso 4: Elegimos un número de prueba en cada intervalo
Paso 5: Analizamos los signos en cada zona, para ello reemplazamos
cada número de prueba en la expresión x(x – 1) y averiguamos el signo
resultante.
Paso 6: Tomamos como solución la zona que corresponde a la
x ( x − 1)  0
inecuación (en este caso, “mayor que cero”)
−
+
−∞
–2
(−)(−)
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0
0,5
(+)(−)
+
1
+∞
3
(+)(+)
𝐂. 𝐒. = −∞; 𝟎 ∪ 𝟏; +∞
29
Ejemplo 14.- Resolver la inecuación, x 2 − 5 x + 6  0
Solución.
1) Factorizando: ( x − 3)( x − 2)  0
2) Los puntos críticos (p.c) son 2 y 3 .
3) Ubicamos los p.c. en la recta real y se tiene
4) Elegimos un número de prueba en cada intervalo y averiguamos el signo
en cada intervalo considerando la condición dada en la desigualdad.
5)
−
+
+
1 2 2.5 3 4
(-)(-)
(+)(+)
(−)(+)
6) Como ( x − 3)( x − 2)  0 → x  2,3
 CS = 2,3
30
INECUACIONES RACIONALES
Las inecuaciones fraccionarias son de la forma:
P(x)
P(x)
 0,
 0;
Q(x)
Q(x)
P(x)
P(x)
 0,
0
Q(x)
Q(x)
donde P(x) y Q(x) son polinomios
Resolver una inecuación racional en una variable significa
encontrar el conjunto de números reales (Intervalo) que satisface
la desigualdad. Para ello, recurrimos a las propiedades básicas de
las desigualdades.
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31
Ejemplo 15
5
1

2x − 1 x − 2
Halle el conjunto solución de la siguiente inecuación
𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
1ro. Factorizamos
5
1
−
0
2x − 1 x − 2
5(x − 2) − 1(2x − 1)
0
(2x − 1)(x − 2)
5x − 10 − 2x + 1
0
(2x − 1)(x − 2)
3(x − 3)
0
(2x − 1)(x − 2)
restricción : x 
25/03/2022
1
, x2
2
2do. Puntos críticos: Igualando a cero los
factores obtenemos los puntos críticos:
1, 2, 3
2
3ro Ubicando sobre la recta real estos puntos según
sea el caso(restricciones)
4to. Elegimos un número de prueba en cada intervalo,
analizando cada signo en ello. Para ello reemplazamos
cada número de prueba en: (𝐱 − 𝟑)
𝟐𝐱 − 𝟏)(𝐱 − 𝟐
restricciones
+
−
1/2
0
−
(−)(−)
−
3
2
1
−
(+)(−)
5to.Como p(x)
q(x)
 0,
+
2.5
4
−
(+)(+)
+
(+)(+)
C.S. =
1 ,2  3, +  

2
32
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número o expresión algebraica, se representa como
a y se define como:
a =ቊ
a si a ≥ 0
−a si a < 0
Observación: valor absoluto de un número o expresión algebraica
siempre será positivo
Ejemplo 16
a.
b.
10 = 10
−10 = − −10 = 10
¿Cuál es el valor absoluto de 3 − 5 ?
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33
d
−1
d = 6 − (−1) = 7
6
8
La distancia es 8 − 6 = 2
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Son ecuaciones e inecuaciones que presentan Valores Absolutos
Conjunto solución
Es el conjunto de valores reales (raíces) de la incógnita que verifican la
igualdad (ecuación) o
Desigualdad(inecuación), en este caso el conjunto solución se escribe en
forma de intervalos.
25/03/2022
34
Propiedades básicas para resolver ecuaciones e inecuaciones
con valor absoluto
1.
a =0a=0
a  0 a  R
4. a b = a b
2. a = −a
3. a = a
2
2
; a =a
5.
2
a
b
=
a
b
,b  0
6. a = b   b  0  (a = b  a = −b )
7. a = b  a = b  a = −b
8. a, b  R  a  b  a  −b  a  b
; a  b  (a  −b  a  b)
a  b  b  0  ( −b  a  b)
; a  b   (b  0)  (−b  a  b) 
9.
25/03/2022
35
Ejercicio 17. Calcular el conjunto solución de las siguientes expresiones:
1) x
2
− 3x + 2 = 0 → x 2 − 3x + 2 = 0 → ( x − 2)( x − 1) = 0
C .S = {1; 2}
a =0a=0
2)
x 2 − 4 = −2 x + 4
a = b   b  0  (a = −b  a = b )
−2 x + 4  0  ( x 2 − 4 = −( −2 x + 4)  x 2 − 4 = −2 x + 4 )
4  2 x  [ x 2 + 2 x − 8 = 0  x 2 − 2 x = 0]
2  x  [( x + 4)( x − 2) = 0  x( x − 2) = 0]
x  2  ( x = −4  x = 2  x = 0  x = 2)
x  − , 2   −4,0, 2
C .S = { −4,0, 2}
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36
x2
−4
0
2
PROPIEDADES
i) a  b  (a + b)(a − b)  0
ii) a  b  (a + b)(a − b)  0
iii) a  b  (a + b)(a − b)  0
iv) a  b  (a + b)(a − b)  0
Ejemplo 18
Resolver:
x + 2  2x −1
Solución:
( x + 2 + 2 x − 1)( x + 2 − (2 x − 1))  0
(3x + 1)(− x + 3)  0
(3x + 1)( x − 3)  0
+
−∞
−𝟏
–𝟏 𝟑
(−)(−)
−
0
(+)(−)
+
3
+∞
4
(+)(+)
−𝟏
𝐂. 𝐒. = −∞;
∪ 𝟑; +∞
𝟑
CIERRE
❑ ¿ Qué aprendimos en la presente sesión?
❑ ¿Cuáles son los criterios de factorización que estudiamos?
❑ ¿Cuál es la discriminante de la ecuación cuadrática:
x2
2x
3
0 ?
❑ ¿Qué se puedes afirmar sobre las raíces del ecuación
cuadrática anterior?
25/03/2022
39
UNIVERSIDAD RICARDO PALMA
VISIÓN
Al año 2024, la Universidad Ricardo Palma será una de las primeras
universidades con reconocimiento de la excelencia de sus egresados por
empleadores y la propia sociedad. Promotora del desarrollo integral de la
persona y del país. Plana docente conformada por maestros y doctores
expertos en enseñanza universitaria y con publicaciones indizadas y otras
expresiones de creación cultural. Reconocimiento internacional plasmado
en la movilidad de profesores y estudiantes con universidades extranjeras
en todas sus carreras profesionales.
MISIÓN
La Universidad Ricardo Palma es una auténtica Universidad autónoma,
dedicada a la formación de personas integrales y profesionales creadores
y competitivos globalmente. Sus programas de estudios multidisciplinarios
son permanentemente actualizados, y sus alumnos y profesores están
dedicados al cultivo del saber y las expresiones del espíritu, en el marco
del cumplimiento de las normas éticas y jurídicas, presididos por una sólida
concepción humanista. Sus investigaciones científicas, tecnológicas y
sociales se proyectan a la solución de los problemas del desarrollo
nacional. Su quehacer institucional se vincula con su entorno para atender
las necesidades de sectores productivos y sociales.
25/03/2022
40
25/03/2022
41