Topografía
Decimocuarta edición
Topografía
Decimocuarta edición
PAUL R. WOLF
Profesor emérito de ingeniería civil y ambiental
University of Wisconsin-Madison
CHARLES D. GHILANI
Jefe del programa de topografía
The Pennsylvania State University
Director Editorial:
Marcelo Grillo Giannetto
mgrillo@alfaomega.com.mx
Jefe de Ediciones:
Francisco Javier Rodríguez Cruz
jrodriguez@alfaomega.com.mx
Al cuidado de la Edición:
Luz Ángeles Lomelí Díaz
lalomeli@alfaomega.com.mx
Datos catalógraficos
Wolf, Paul R. y Ghilani, Charles D.
Topografía
14ª Edición.
Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C. V., México
ISBN: 978-607-622-705-3
Formato: 19  23.5 cm
Páginas: 972
Traductor:
Dr. Raúl Arrioja Juárez, Universidad Nacional Autónoma de México
(UNAM)
Topografía 14ª ed.
Paul R. Wolf y Charles D. Ghilani
ISBN: 978-0-13-375888-7 de la edición original en inglés “Elementary Surveying. An introduction to Geomatics, Fourteenth edition.”,
publicada por Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 07458,
Derechos reservados © 2015, 2012, 2008 by Pearson Education, Inc.
Decimocuarta edición: Alfaomega Grupo Editor, México, agosto 2016.
© 2016 Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V.
Dr. Isidoro Olvera (Eje 2 Sur) No. 74, Col. Doctores, 06720, Ciudad de México.
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Contenido
PREFACIO
xxv
1 • INTRODUCCIÓN
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Definición de topografía 1
La geomática 3
Historia de la topografía 4
Levantamientos geodésicos y planos 7
Importancia de la topografía 10
Tipos de levantamientos especializados 11
La seguridad en la topografía 12
Sistemas de información terrestre y geográfica 14
Dependencias federales de topografía y de elaboración de
mapas 14
1.10 La profesión de topógrafo 15
1.11 Organizaciones de topógrafos profesionales 16
1.12 La topografía en Internet 17
1.13 Retos futuros en topografía 18
Problemas 19
Bibliografía 20
2 • UNIDADES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Y NOTAS DE CAMPO
PARTE 1 UNIDADES Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS 22
2.1
2.2
Introducción 22
Unidades de medición 22
22
vi
CONTENIDO
2.3
2.4
2.5
Sistema internacional de unidades (SI) 24
Cifras significativas 26
Redondeo de números 28
PARTE II NOTAS DE CAMPO 29
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
Notas de campo 29
Requisitos generales de las notas de campo manuscritas 30
Tipos de libretas de registro 31
Clases de anotaciones 32
La disposición de las notas 32
Sugerencias para registrar notas de campo 34
Introducción a los recolectores automáticos
de datos 35
2.13 Transferencia de archivos de los recolectores automáticos
de datos 39
2.14 Manejo de archivos digitales de datos 40
2.15 Ventajas y desventajas
de los recolectores automáticos de datos 41
Problemas 42
Bibliografía 44
3 • TEORÍA DE LOS ERRORES
EN LA MEDICIÓN
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
45
Introducción 45
Mediciones directas e indirectas 45
Errores en las medidas 46
Equivocaciones 46
Causas de errores al hacer mediciones 47
Tipos de errores 47
Precisión y exactitud 48
Eliminación de equivocaciones y de errores sistemáticos 49
Probabilidad 49
El valor más probable 50
Residuos 51
Aparición de los errores aleatorios 51
Leyes generales de la probabilidad 55
Medidas de precisión 55
Interpretación de la desviación estándar 58
Los errores de 50, 90 y 95% 58
Propagación de errores 60
3.17.1
Error de una suma 61
3.17.2
Error de una serie 61
3.17.3
Error en un producto 63
3.17.4
Error de la media 64
Aplicaciones 65
Ajuste condicional de las mediciones 65
CONTENIDO
3.20 Ponderación de las mediciones 66
3.21 Ajustes con mínimos cuadrados 67
Problemas 68
Bibliografía 70
4 • NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
72
PARTE I NIVELACIÓN: TEORÍA Y MÉTODOS 72
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Introducción 72
Definiciones 72
Plano de referencia vertical de Norteamérica 74
Curvatura y refracción 75
Métodos para determinar diferencias de elevación 77
4.5.1
Medición de distancias verticales con cinta o por
métodos electrónicos 77
4.5.2
Nivelación diferencial 78
4.5.3
Nivelación barométrica 79
4.5.4
Nivelación trigonométrica 80
PARTE II EQUIPO PARA NIVELACIÓN DIFERENCIAL 84
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
Tipos de niveles 84
Anteojos telescópicos 85
Niveles de burbuja 86
Niveles basculantes 88
Niveles automáticos 89
Niveles digitales 90
Trípodes 91
Niveles de mano 92
Estadales 93
Prueba y ajuste de los aparatos de nivelación 95
4.15.1
Requerimientos para probar y ajustar los
instrumentos 96
4.15.2
Ajuste por paralaje 96
4.15.3
Prueba y ajuste del nivel tubular 97
4.15.4
Ajuste preliminar del hilo horizontal
de la retícula 97
4.15.5
Prueba y ajuste de la línea
de colimación 98
Problemas 100
Bibliografía 102
5 • NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS
DE CAMPO Y DE CÁLCULO
5.1
5.2
5.3
Introducción 103
Transporte y colocación del nivel 103
Deberes del estadalero 105
103
vii
viii
CONTENIDO
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
Nivelación diferencial 106
Precisión 112
Ajuste de los circuitos de nivelación simples 113
Nivelación recíproca 114
Nivelación con tres hilos 115
Nivelación de perfil 116
5.9.1
El estacado y el establecimiento de estaciones en
la línea de referencia 116
5.9.2
Procedimientos de campo para
la nivelación de perfil 118
5.9.3
Trazo y utilización de la nivelación
de perfil 120
5.10 Nivelación para cubicaciones 121
5.11 Uso del nivel de mano 121
5.12 Clases de errores en nivelación 121
5.12.1
Errores instrumentales 121
5.12.2
Errores naturales 123
5.12.3
Errores personales 124
5.13 Equivocaciones 124
5.14 Reducción de los errores y eliminación
de las equivocaciones 125
5.15 Uso de software 125
Problemas 126
Bibliografía 129
6 • MEDICIÓN DE DISTANCIAS
130
PARTE I MÉTODOS DE MEDICIÓN DE DISTANCIAS 130
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
Introducción 130
Resumen de métodos para hacer mediciones lineales 130
Medición a pasos 131
Medición con odómetro 131
Telémetros ópticos 132
Taquimetría 132
Método de la barra subtensa 132
PARTE II MEDICIÓN DE DISTANCIAS CON CINTA 132
6.8
6.9
6.10
6.11
Introducción al uso de la cinta 132
Equipo y accesorios para mediciones
con cinta 133
Cuidado del equipo para longimetría 134
Longimetría horizontal con cinta sobre terreno
a nivel 135
6.11.1
Alineación 135
6.11.2
Estiramiento 135
6.11.3
Aplome 135
CONTENIDO
6.12
6.13
6.14
6.11.4
Marcaje 136
6.11.5
Lectura 136
6.11.6
Anotación 137
Mediciones horizontales en terreno inclinado 137
Medición de distancias inclinadas 139
Causas de error en las mediciones con cinta 140
6.14.1
Longitud incorrecta de la cinta 140
6.14.2
Temperaturas anormales 141
6.14.3
Tensión incorrecta 142
6.14.4
Catenaria 143
6.14.5
La cinta no está horizontal y está desalineada
143
6.14.6
Aplome inadecuado 144
6.14.7
Marcaje 144
6.14.8
Lectura incorrecta o interpolación 144
Resumen de los efectos de los errores que ocurren
6.14.9
en las mediciones con cinta 144
PARTE III MEDICIÓN ELECTRÓNICA DE DISTANCIAS 145
6.15
6.16
6.17
Introducción 145
Propagación de la energía electromagnética 146
Principios de la medición electrónica
de distancias 149
6.18 Instrumentos electroópticos 150
6.19 Instrumentos de estación total 153
6.20 Instrumentos de MED sin reflectores 154
6.21 Cálculo de distancias horizontales
a partir de distancias inclinadas 154
6.21.1
Reducción de líneas cortas
por diferencias de elevación 154
6.21.2
Reducción de líneas cortas por el ángulo cenital
o vertical 156
6.22 Errores en la medición electrónica
de distancias 156
6.22.1
Errores personales 157
6.22.2
Errores instrumentales 158
6.22.3
Errores naturales 160
6.23 Uso de software 162
Problemas 162
Bibliografía 163
7 • ÁNGULOS, RUMBOS Y ACIMUTES
7.1
7.2
7.3
7.4
Introducción 164
Unidades de medida angular 164
Clases de ángulos horizontales 165
Dirección de una línea 167
164
ix
x
CONTENIDO
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
Acimutes 167
Rumbos 169
Comparación de rumbos y acimutes 169
Cálculos de acimutes 171
Cálculo de los rumbos 173
La brújula y el campo magnético
de la tierra 174
7.11 Declinación magnética 175
7.12 Variaciones de la declinación magnética 177
7.13 Software para determinar la declinación magnética 178
7.14 Atracción local 179
7.15 Problemas comunes de la declinación magnética
180
7.16 Equivocaciones 181
Problemas 182
Bibliografía 184
8 • INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL;
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
185
PARTE I INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL 185
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
Introducción 185
Características de los instrumentos de estación total 185
Funciones que realizan los instrumentos de estación total
188
Partes de un instrumento de estación total 189
Manejo y emplazamiento de un instrumento de estación
total 192
Instrumentos de estación total servo-impulsados y de
operación remota 195
PARTE II MEDICIÓN DE ÁNGULOS 197
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
8.14
8.15
8.16
8.17
Relación de ángulos y distancias 197
Medición de ángulos horizontales
con los instrumentos de estación total 198
Medición de ángulos horizontales múltiples por el método
de la dirección 200
Cierre al horizonte 201
Medición de ángulos de deflexión 202
Medición de acimutes 204
Medición de ángulos verticales (o cenitales) 205
Objetos visados y marcas 206
Prolongación de una línea recta 207
Intercalamiento de estaciones
no visibles entre sí 209
Transecto auxiliar 210
CONTENIDO
8.18
Estaciones totales para determinar diferencias de elevación
211
8.19 Ajuste de los instrumentos de estación total y sus accesorios
212
8.19.1
Ajuste de los niveles de alidada 213
8.19.2
Ajuste de los tripiés 214
8.19.3
Ajuste de los tríbracos 214
8.19.4
Ajuste de una plomada óptica 214
8.19.5
Ajuste de las burbujas de los niveles circulares
215
8.20 Fuentes de error en trabajos con estación total 215
8.20.1
Errores instrumentales 216
8.20.2
Errores naturales 219
8.20.3
Errores personales 220
8.21 Propagación de errores aleatorios
en la medición de ángulos 221
8.22 Equivocaciones 222
Problemas 222
Bibliografía 224
9 • POLIGONALES
225
9.1
9.2
Introducción 225
Métodos de medición de ángulos
y direcciones en las poligonales 227
9.2.1
Trazo de poligonales por ángulos interiores 227
9.2.2
Trazo de poligonales por ángulos a la derecha
227
9.2.3
Trazo de poligonales por ángulos de deflexión
228
9.2.4
Trazo de poligonales por acimutes 228
9.3 Medición de longitudes poligonales 228
9.4 Selección de estaciones de una poligonal 229
9.5 Señalamientos de estaciones poligonales 230
9.6 Registros de campo para las poligonales 232
9.7 Error de cierre angular 232
9.8 Trazo de poligonales con instrumentos
de estación total 233
9.9 Poligonales radiales 235
9.10 Causas de error en el trazo de poligonales 236
9.11 Equivocaciones en el trazo de poligonales 236
Problemas 236
10 • CÁLCULO DE POLIGONALES
10.1
10.2
10.3
Introducción 238
Compensación de los ángulos 239
Cálculo de rumbos o acimutes preliminares 241
238
xi
xii CONTENIDO
10.4
10.5
Proyecciones ortogonales 242
Condiciones de cierre
por las proyecciones ortogonales 243
10.6 Error de cierre lineal y precisión relativa 244
10.7 Ajuste de poligonales 245
10.7.1
Regla de la brújula (o de Bowditch) 246
10.7.2
Método de los mínimos cuadrados 248
10.8 Coordenadas rectangulares 248
10.9 Métodos alternativos para calcular poligonales 249
10.9.1
Compensación de los ángulos ajustando rumbos
o acimutes 249
10.9.2
Compensación de proyecciones
ajustando coordenadas 251
10.10 Longitudes y direcciones de líneas
a partir de proyecciones o coordenadas 253
10.11 Cálculo de las longitudes y direcciones modificadas de una
poligonal 254
10.12 Cálculo de coordenadas en los levantamientos de linderos
256
10.13 Uso de las poligonales abiertas 258
10.14 Sistemas de coordenadas planas estatales 260
10.15 Cálculo de poligonales usando computadoras 261
10.16 Localización de errores en la medición de las poligonales
263
10.17 Equivocaciones en los cálculos
de las poligonales 264
Problemas 264
Bibliografía 267
11 • GEOMETRÍA ANALÍTICA EN
LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
11.10
Introducción 268
Formas analíticas de ecuaciones
de líneas rectas y circunferencias 269
Distancia perpendicular de un punto
a una línea 271
Intersección de dos rectas,
ambas con direcciones conocidas 273
Intersección de una recta
y una circunferencia 275
Intersección de dos circunferencias 279
Resección de tres puntos 281
Transformación conforme bidimensional
de coordenadas 283
El problema del punto inaccesible 288
Resección tridimensional de dos puntos 290
268
CONTENIDO
11.11 Software 293
Problemas 294
Bibliografía 298
12 • DETERMINACIÓN DE ÁREAS
299
12.1
12.2
12.3
12.4
Introducción 299
Métodos para medir áreas 299
Área por división en figuras sencillas 300
Área por normales desde una línea recta 301
12.4.1
Normales con separación regular 301
12.4.2
Normales con separación irregular 302
12.5 Áreas mediante el método
de las coordenadas 303
12.6 Áreas mediante el método de doble distancia meridiana
307
12.7 Área de figuras con límites circulares 310
12.8 Delimitación de terrenos 311
12.8.1
El método de prueba y error 311
12.8.2
Uso de figuras geométricas
simples 313
12.8.3
El método de las coordenadas 314
12.9 Áreas calculadas por mediciones en mapas 315
12.9.1
Área calculada mediante
cuadriculación 315
12.9.2
Áreas calculadas por longitudes
a escala 316
12.9.3
Áreas calculadas por digitalización
de las coordenadas 316
12.9.4
Medida de áreas con planímetro 316
12.10 Software 318
12.11 Fuentes de error en la determinación
de áreas 318
12.12 Equivocaciones en la determinación
de áreas 318
Problemas 319
Bibliografía 320
13 • SISTEMAS SATELITALES DE NAVEGACIÓN
GLOBAL: INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE
OPERACIÓN
321
13.1
13.2
Introducción 321
El panorama del GPS 322
xiii
xiv
CONTENIDO
13.3
13.4
La señal de GPS 324
Sistemas coordenados de referencia
para el GPS 327
13.4.1
El sistema coordenado de referencia para el
satélite 327
13.4.2
El sistema coordenado
geocéntrico 328
13.4.3
El sistema coordenado geodésico 330
13.4.4
Evolución del marco de referencia WGS84 335
13.5 Fundamentos del posicionamiento
con satélite 336
13.5.1
Distancia por código 336
13.5.2
Mediciones de desviación de fase portadora
338
13.6 Errores en las observaciones con GPS 338
13.6.1
El sesgo del reloj 339
13.6.2
La refracción 339
13.6.3
Otras fuentes de error 341
13.6.4
Geometría de los satélites
observados 344
13.7 Posicionamiento diferencial 346
13.8 Métodos cinemáticos 348
13.9 Posicionamiento relativo 349
13.9.1
Diferenciación individual 350
13.9.2
Diferenciación doble 350
13.9.3
Diferenciación triple 351
13.10 Otros sistemas de navegación satelital 352
13.10.1 La constelación GLONASS 352
13.10.2 El sistema Galileo 353
13.10.3 El sistema BeiDou 354
13.10.4 Resumen 354
13.11 El futuro 354
Problemas 356
Bibliografía 357
14 • SISTEMAS SATELITALES DE NAVEGACIÓN
GLOBAL: LEVANTAMIENTOS
14.1
14.2
Introducción 358
Procedimientos de campo
en los levantamientos estáticos GNSS 360
14.2.1
Posicionamiento relativo estático 360
14.2.2
Posicionamiento relativo estático
rápido 362
14.2.3
Levantamientos seudocinemáticos 362
358
CONTENIDO xv
14.3
Planeación de levantamientos con satélite 363
14.3.1
Consideraciones preliminares 363
14.3.2
Selección del método de levantamiento
apropiado 366
14.3.3
Reconocimiento de campo 367
14.3.4
Desarrollo de un esquema de observación 368
14.3.5
Disponibilidad de estaciones de referencia 373
14.4 Realización de levantamientos
GPS estáticos 375
14.5 Procesamiento y análisis de datos 376
14.5.1
Especificaciones para levantamientos
GPS 378
14.5.2
Análisis de las mediciones de línea
base fija 380
14.5.3
Análisis de mediciones repetidas
de la línea base 381
14.5.4
Análisis de los cierres de circuitos 381
14.5.5
Ajuste de la red de la línea base 383
14.5.6
El reporte del levantamiento 383
14.6 Cosas que deben considerarse 384
14.7 Fuentes de errores en los levantamientos
con satélite 387
14.7.1
Errores instrumentales 387
14.7.2
Errores naturales 388
14.7.3
Errores personales 388
14.8 Errores en los levantamientos con satélite 388
Problemas 389
Bibliografía 391
15 • SISTEMAS SATELITALES DE NAVEGACIÓN
GLOBAL: LEVANTAMIENTOS CINEMÁTICOS 393
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
Introducción 393
Planeación de los levantamientos
cinemáticos 394
Inicialización 396
Equipo utilizado en los levantamientos cinemáticos 397
Métodos usados en los levantamientos
cinemáticos 400
Cómo realizar los levantamientos
cinemáticos posprocesados 403
La comunicación en los levantamientos cinemáticos en
tiempo real 405
Redes en tiempo real 406
Realización de levantamientos cinemáticos
en tiempo real 408
xvi
CONTENIDO
15.10 Control y guía de maquinaria 409
15.11 Errores en los levantamientos cinemáticos 412
15.12 Equivocaciones en los levantamientos cinemáticos 412
Problemas 413
Bibliografía 414
16 • AJUSTE CON MÍNIMOS CUADRADOS
415
16.1
16.2
Introducción 415
Condición fundamental de los mínimos
cuadrados 417
16.3 Ajuste por mínimos cuadrados según el método de la
ecuación de observación 418
16.4 Métodos matriciales en el ajuste por mínimos cuadrados
422
16.5 Ecuaciones matriciales para precisiones
de cantidades ajustadas 424
16.6 Ajuste por mínimos cuadrados
de circuitos de nivelación 426
16.7 Propagación de errores 430
16.8 Ajuste de mínimos cuadrados de los vectores de línea base
para el GNSS 431
16.9 Ajuste con mínimos cuadrados
de levantamientos planos horizontales tradicionales 437
16.9.1
Cómo linearizar las ecuaciones
no lineales 437
16.9.2
La ecuación de observación
para distancias 439
16.9.3
La ecuación de observación
de acimutes 441
16.9.4
La ecuación de observación
de ángulos 442
16.9.5
Un ejemplo con una poligonal usando
WOLFPACK 444
16.10 Las elipses de error 445
16.11 Procedimientos de ajuste 450
16.12 Otras medidas de precisión para estaciones horizontales
452
16.13 Software 454
16.14 Conclusiones 454
Problemas 455
Bibliografía 461
17 • LEVANTAMIENTOS DE CONFIGURACIÓN
17.1
17.2
Introducción 462
Métodos básicos para ejecutar levantamientos
de configuración 463
462
CONTENIDO
17.3
17.4
Escala de un plano o mapa 464
Control para los levantamientos
de configuración 466
17.5 Curvas de nivel 467
17.6 Propiedades de las curvas de nivel 469
17.7 Métodos directo e indirecto
para determinar curvas de nivel 470
17.8 Modelos de elevación digitales
y sistemas automáticos para el trazo
de curvas de nivel 472
17.9 Métodos básicos para identificar accidentes topográficos en
el campo 474
17.9.1
Radiaciones con estación total 474
17.9.2
Método del cuadriculado o de la “retícula” 476
17.9.3
Referencias normales desde una línea eje 477
17.9.4
Detallado topográfico con GNSS 479
17.9.5
Escaneado con láser 481
17.10 Cómo planificar un levantamiento con escaneado con láser
482
17.11 Transformación de coordenadas
de conformación tridimensional 485
17.12 Selección del método de campo 487
17.13 Cómo trabajar con recolectores de datos
y software de campo a terminado 487
17.14 Levantamientos hidrográficos 490
17.14.1 Equipo para sondeos 490
17.14.2 Reconocimiento por sondeos 491
17.14.3 Elaboración de mapas hidrográficos 493
17.15 Causas de error en levantamientos
de configuración 494
17.16 Equivocaciones en levantamientos de configuración 494
Problemas 495
Bibliografía 497
18 • CARTOGRAFÍA
18.1
18.2
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
18.8
18.9
498
Introducción 498
Disponibilidad de mapas e información relacionada 499
Programa cartográfico nacional 500
Estándares de exactitud para
la cartografía 501
Procedimientos de dibujo manual y por computadora 502
Diseño del mapa 503
Disposición del mapa en la hoja 506
Procedimientos básicos del trazo de mapas 507
18.8.1
Trazado manual por coordenadas 507
18.8.2
Graficado con el uso de CADD 508
Equidistancia de curvas de nivel 509
xvii
xviii
CONTENIDO
18.10
18.11
18.12
18.13
18.14
Trazo de curvas de nivel 509
Letreros 510
Elementos de los mapas cartográficos 511
Materiales de dibujo 514
Mapeo y sistemas de dibujo automatizado con ayuda de
computadora 514
18.15 Migración de mapas entre paquetes
de software 520
18.16 Influencia en la cartografía de los sistemas modernos de
información geográfica
y de suelos 521
18.17 Fuentes de errores en la cartografía 521
18.18 Equivocaciones en la cartografía 522
Problemas 522
Bibliografía 524
19 • LEVANTAMIENTOS DE CONTROL
Y REDUCCIONES GEODÉSICAS
19.1
19.2
19.3
19.4
19.5
19.6
19.7
19.8
19.9
19.10
525
Introducción 525
El elipsoide y el geoide 526
El polo terrestre convencional 528
La posición geodésica y los radios
de curvatura elipsoidales 530
La ondulación del geoide y la desviación de la vertical
532
Planos de referencia en Estados Unidos 534
19.6.1
Plano de referencia horizontal de Norteamérica
de 1927 (NAD27) 534
19.6.2
Plano de referencia horizontal
de Norteamérica de 1983 (NAD83) 535
19.6.3
Versiones posteriores del NAD83 535
19.6.4
Plano de Referencia Vertical Geodésico Nacional
de 1929 (NGVD29) 537
19.6.5
Plano de Referencia Vertical de Norteamérica de
1988 (NAVD88) 537
19.6.6
Marcos de referencia futuros en Estados Unidos
538
Transformación de coordenadas entre marcos de referencia
539
19.7.1
La transformación de Helmert
y su variante 539
19.7.2
El enfoque dos más uno 540
Estándares de precisión y especificaciones
para levantamientos de control 544
El Sistema Nacional de Referencia Espacial 547
Jerarquización en la red de Estados Unidos de control
horizontal 547
CONTENIDO
19.11
19.12
19.13
Jerarquización en la red nacional de control vertical 547
Descripciones de puntos de control 548
Procedimientos de campo
en los levantamientos tradicionales
de control horizontal 551
19.13.1 Triangulación 552
19.13.2 Poligonación precisa 553
19.13.3 Trilateración 555
19.13.4 Redes combinadas 556
19.14 Procedimientos de campo para
los levantamientos de control vertical 556
19.15 Reducción de las observaciones
de campo a sus valores geodésicos 561
19.15.1 Reducción de las mediciones
de distancias usando elevaciones 562
19.15.2 Reducción de las mediciones de distancias
usando ángulos verticales 564
19.15.3 Reducción de direcciones y ángulos 567
19.15.4 La nivelación y las alturas
ortométricas 570
19.16 Cálculos de posición geodésica 573
19.16.1 El problema geodésico directo 574
19.16.2 El problema geodésico inverso 575
19.17 El sistema de coordenadas geodésicas
locales 576
19.18 Cálculos de las coordenadas tridimensionales 578
19.19 Software 580
Problemas 580
Bibliografía 583
20 • COORDENADAS PLANAS ESTATALES Y OTRAS
PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS
584
20.1
20.2
20.3
20.4
20.5
20.6
20.7
Introducción 584
Proyecciones usadas en los sistemas
de coordenadas planas estatales 585
Proyección cónica conforme de Lambert 588
Proyección Transversal de Mercator 589
Coordenadas planas estatales
en el NAD27 y el NAD83 589
Cálculo de las coordenadas SPCS83
en el sistema cónico conforme de Lambert 591
20.6.1
Las constantes de zona 591
20.6.2
El problema directo 592
20.6.3
El problema inverso 594
Cálculo de las coordenadas SPCS83 en el Sistema
Tranversal Mercator 596
20.7.1
Las constantes de zona 596
xix
xx
CONTENIDO
20.7.2
El problema directo 597
20.7.3
El problema inverso 599
20.8 Reducción de distancias y ángulos
a cuadrículas de coordenadas
planas estatales 602
20.8.1
Reducción de las distancias a la cuadrícula 603
20.8.2
Reducción a cuadrícula de acimutes y de
ángulos 607
20.9 Cálculo de las coordenadas planas estatales de las
estaciones de una poligonal 612
20.10 Levantamientos que se extienden desde una zona a otra
615
20.11 La proyección Transversal Mercator Universal 616
20.12 Otras proyecciones cartográficas 617
20.12.1 Proyección cartográfica estereográfica oblicua
618
20.12.2 Proyección cartográfica oblicua de Mercator 620
20.13 Software de proyección cartográfica 621
Problemas 622
Bibliografía 625
21 • LEVANTAMIENTOS CATASTRALES
O DESLINDES
21.1
21.2
21.3
21.4
626
Introducción 626
Tipos de levantamientos de tierras 627
Perspectivas históricas 628
Descripción de una propiedad
por acotamiento y linderos 629
21.5 Descripción de un predio por el sistema
de manzanas y lotes 632
21.6 Descripción de un predio por coordenadas 634
21.7 Levantamientos de relocalización 634
21.8 Levantamientos para subdividir las tierras 637
21.9 Reparto de un terreno 639
21.10 Registro del título de propiedad 640
21.11 Posesión adversa y derecho de vía 641
21.12 Levantamientos para condominios 641
21.13 Sistemas de Información Geográfica
y Terrestre 648
21.14 Fuentes de error en los levantamientos catastrales 648
21.15 Equivocaciones 649
Problemas 649
Bibliografía 651
CONTENIDO
22 • LEVANTAMIENTOS DE TIERRAS
DE JURISDICCIÓN FEDERAL
653
22.1
22.2
Introducción 653
Instrucciones para el levantamiento
de las tierras públicas 654
22.3 Punto inicial 657
22.4 Meridiano (o meridiana) principal 658
22.5 Línea base 659
22.6 Paralelos estándares
(o líneas de corrección) 659
22.7 Meridianos guías 660
22.8 División exterior en demarcaciones,
líneas meridionales (hilera)
y líneas de latitud (demarcación) 661
22.9 Designación de las demarcaciones 662
22.10 Subdivisión de una zona cuadrangular en demarcaciones
662
22.11 Subdivisión de una demarcación
en secciones 664
22.12 División de una sección en subsecciones 665
22.13 Secciones fraccionarias 666
22.14 Notas 666
22.15 Sinopsis de los pasos a seguir
para la división de tierras 666
22.16 Marcación de vértices 666
22.17 Vértices testigo 667
22.18 Vértices de margen o de contorno 667
22.19 Vértices perdidos y borrados 668
22.20 Precisión en los levantamientos
de las tierras públicas 671
22.21 Descripciones por demarcación,
sección y subdivisión menor 672
22.22 Sistemas de información de la BLM
sobre tierras 673
22.23 Causas de error 674
22.24 Equivocaciones 674
Problemas 674
Bibliografía 676
23 • LEVANTAMIENTOS PARA CONSTRUCCIONES 677
23.1
23.2
Introducción 677
Equipo especializado para levantamientos
de construcción 678
xxi
xxii CONTENIDO
23.2.1
Instrumentos de rayo láser
visible 678
23.2.2
MED de láser de pulsación 680
23.2.3
Escáneres de láser 680
23.3 Controles horizontal y vertical 682
23.4 Trazo de la línea para el tendido
de una tubería 683
23.5 Trazo de la rasante (o la subrasante) 684
23.6 Trazado de líneas para una edificación 686
23.7 Trazo de una carretera 690
23.8 Otros levantamientos para construcciones 695
23.9 Levantamientos de construcción usando instrumentos de
estación total 696
23.10 Levantamientos de construcción usando equipo GNSS 699
23.11 Control y guía de maquinaria 701
23.12 Levantamientos tal como están construidos con escaneado
con láser 703
23.13 Causas de error en los levantamientos de construcción 703
23.14 Equivocaciones 704
Problemas 704
Bibliografía 706
24 • CURVAS HORIZONTALES
24.1
24.2
24.3
24.4
24.5
24.6
24.7
24.8
24.9
24.10
24.11
24.12
707
Introducción 707
Grado de una curva circular 708
Definiciones y deducción de fórmulas
de curvas circulares 710
Establecimiento de estaciones
sobre la curva circular 711
Procedimiento general para el trazo
de una curva circular por deflexiones angulares 713
Cálculo de deflexiones
angulares y cuerdas 715
Notas para el trazo de curvas circulares
con los métodos de deflexiones angulares
y del incremento de las cuerdas 717
Procedimientos detallados
para el trazo de una curva circular
con los métodos de deflexiones angulares
y del incremento de las cuerdas 718
Emplazamiento sobre la curva 719
Curvas circulares en el sistema métrico por ángulos de
deflexión e incremento de las
cuerdas 720
Trazo de curvas circulares por ángulos
de deflexión y cuerdas totales 722
Cálculo de coordenadas
en una curva circular 723
CONTENIDO
24.13
Trazo de curvas circulares
por coordenadas 724
24.14 Estacado de una curva usando receptores GNSS y
estaciones totales robóticas 730
24.15 Trazo de curvas circulares
por distancias 731
24.16 Problemas especiales de curvas circulares 734
24.16.1 Paso de una curva circular a través
de un punto fijo 734
24.16.2 Intersección de una curva circular y una línea
recta 735
24.16.3 Intersección de dos curvas circulares 735
24.17 Curvas compuestas e inversas 735
24.18 Visibilidad (o alcance visual)
en curvas horizontales 735
24.19 Espirales 736
24.19.1 Relaciones geométricas en espirales
736
24.19.2 Cálculo y trazo de una espiral 738
24.20 Cálculo de alineamientos circulares
“tal como están construidos” 741
24.21 Causas de errores en el trazado
de curvas circulares 744
24.22 Equivocaciones 744
Problemas 745
Bibliografía 747
25 • CURVAS VERTICALES
25.1
25.2
25.3
25.4
25.5
25.6
25.7
25.8
25.9
25.10
25.11
748
Introducción 748
Ecuación general de
una curva vertical parabólica 749
Ecuación de una curva vertical parabólica de tangentes
iguales 750
Punto más alto o más bajo en una curva vertical 752
Cálculo de una curva vertical usando la ecuación de la
desviación de la tangente 752
25.5.1
Ejemplo de cálculos usando el sistema inglés de
unidades 752
25.5.2
Ejemplo de cálculos usando el sistema métrico
754
Propiedad de las tangentes iguales
de una parábola 756
Cálculos de la curva por proporción 757
Estacado de una curva vertical parabólica 757
Control de maquinaria en operaciones de nivelación 758
Cálculos para una curva vertical
de tangentes desiguales 758
Diseño de una curva que pase
por un punto dado 761
xxiii
xxiv CONTENIDO
25.12
25.13
Distancia de visibilidad 762
Causas de error en el trazo
de curvas verticales 764
25.14 Equivocaciones 764
Problemas 765
Bibliografía 766
26 • DETERMINACIÓN DE VOLÚMENES
(CUBICACIONES)
767
26.1
26.2
26.3
26.4
26.5
26.6
Introducción 767
Métodos de cubicación 767
El método de la sección transversal 768
Tipos de secciones transversales 769
Fórmula del promedio 770
Determinación de las áreas
de secciones transversales 772
26.6.1
Determinación de áreas mediante
el uso de figuras geométricas
simples 772
26.6.2
Áreas por coordenadas 773
26.7 Cálculo de los puntos de transición de los taludes 774
26.8 Fórmula del prismoide 776
26.9 Cubicaciones 778
26.10 Método del área unitaria
o de cantera de préstamo 780
26.11 Método de curvas de nivel 781
26.12 Cálculo de volúmenes hidráulicos 782
26.13 Software 784
26.14 Causas de error en las cubicaciones 785
26.15 Equivocaciones 785
Problemas 785
Bibliografía 788
27 • FOTOGRAMETRÍA
27.1
27.2
27.3
27.4
27.5
27.6
27.7
27.8
27.9
27.10
789
Introducción 789
Aplicaciones de la fotogrametría 790
Cámaras aerofotográficas 791
Tipos de fotografías aéreas 793
Aerofotos verticales 793
Escala de una aerofoto vertical 795
Coordenadas en tierra a partir de una sola aerofoto
vertical 799
Desplazamiento por relieve (tendido radial) en una aerofoto
vertical 801
Altura de vuelo para una aerofoto vertical 803
Paralaje estereoscópico 804
CONTENIDO
27.11
27.12
27.13
27.14
Visualización estereoscópica 807
Medición estereoscópica de la paralaje 808
Fotogrametría analítica 810
Trazadores estereoscópicos 811
27.14.1 Conceptos básicos de los estereotrazadores 811
27.14.2 Estereotrazadores analíticos 813
27.14.3 Estereotrazadores de copia
de presentación transitoria 814
27.15 Ortofotos 816
27.16 Control en tierra para la fotogrametría 817
27.17 Planes de vuelo 818
27.18 Sistemas aerotransportados
de cartografía con láser 820
27.19 Percepción remota 821
27.20 Software 827
27.21 Causas de error en la fotogrametría 828
27.22 Equivocaciones 828
Problemas 829
Bibliografía 831
28 • INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS
DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICA
28.1
28.2
28.3
28.4
28.5
28.6
28.7
28.8
28.9
833
Introducción 833
Sistemas de información terrestre 836
Fuentes de datos y clasificaciones GIS 836
Datos espaciales 836
28.4.1
Objetos espaciales simples 837
28.4.2
Formatos vectoriales y de cuadrícula 838
28.4.3
Topología 841
Datos no espaciales 842
Conversiones de los formatos de datos 842
28.6.1
Conversión de vector a cuadrícula 843
28.6.2
Conversión de cuadrícula a vector 844
Generación de bases de datos GIS 845
28.7.1
Generación de datos digitales a partir de
levantamientos de campo 846
28.7.2
Digitalización de fotos aéreas con
estereotrazadores 847
28.7.3
Digitalización de material gráfico existente 848
28.7.4
Entrada por teclado 849
28.7.5
Conjuntos existentes de datos
digitales 849
28.7.6
Escaneado 850
Metadatos 851
Funciones analíticas GIS 852
28.9.1
El análisis de proximidad 852
28.9.2
Operaciones de frontera 853
xxv
xxvi CONTENIDO
28.9.3
Uniones espaciales 854
28.9.4
Operaciones lógicas 855
28.9.5
Otras funciones GIS 856
28.10 Aplicaciones de los GIS 856
28.11 Fuentes de datos 857
Problemas 859
Bibliografía 861
APÉNDICE A • PROBLEMAS EN LAS
MEDICIONES CON CINTA
A.1
863
Corrección de los errores sistemáticos en mediciones con
cinta 863
APÉNDICE B • EJEMPLOS DE NOTAS DE CAMPO
866
APÉNDICE C • OBSERVACIONES ASTRONÓMICAS 873
C.1
C.2
C.3
C.4
C.5
C.6
C.7
C.8
C.9
Introducción 873
Vista panorámica de los procedimientos
usuales para la determinación astronómica
del acimut 874
Efemérides 876
Definiciones 879
Tiempo 881
Cronometraje de las observaciones 884
Cálculo del acimut por observaciones
de la estrella polar mediante el método
del ángulo horario 885
Determinación del acimut por observaciones del sol 887
Importancia de la nivelación de precisión 888
APÉNDICE D • USO DE LAS HOJAS DE CÁLCULO 889
D.1
D.2
D.3
Introducción 889
Cómo usar los archivos 889
Cómo usar las hojas de cálculo como una
ayuda en el aprendizaje 894
CONTENIDO
APÉNDICE E • INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES 895
E.1
E.2
E.3
E.4
E.5
E.6
E.7
Introducción 895
Definición de una matriz 895
Las dimensiones de una matriz 896
La traspuesta de una matriz 897
Suma de matrices 897
Multiplicación de matrices 897
Matriz inversa 899
APÉNDICE F • PARÁMETROS DE DEFINICIÓN
DEL SISTEMA DE COORDENADAS
PLANAS ESTATALES DE ESTADOS
UNIDOS
901
F.1
F.2
F.3
Introducción 901
Parámetros de definición para los estados usando la
proyección cartográfica cónica conforme de Lambert 901
Parámetros de definición para los estados usando la
proyección cartográfica Transversal de Mercator 903
APÉNDICE G • RESPUESTAS A PROBLEMAS
SELECCIONADOS
906
ÍNDICE
911
xxvii
Prefacio
Esta decimocuarta edición de Topografía presenta los conceptos básicos y material práctico en cada una de las áreas fundamentales para la topografía moderna
(geomática). Está dirigido principalmente a los estudiantes que inician sus estudios en esta área de la Ingeniería civil a nivel universitario. Su profundidad y
amplitud lo hacen ideal no sólo para los estudiantes de esta materia sino también
para los autodidactas. Esta edición incluye más de 400 figuras e ilustraciones que
ayudan a una mejor comprensión del contenido, al igual que problemas que se
dan como ejemplo y cuyo fin es ilustrar los procedimientos computacionales.
Para cumplir con el objetivo de brindar una presentación actualizada del
equipo topográfico y sus procedimientos, se destaca el uso de los instrumentos
de estación total así como de los instrumentos empleados al hacer cálculos de
ángulos y distancias. Con esto en mente, en esta edición se incluye una sección
sobre cómo planear un levantamiento de escaneo láser con base en la tierra. Además, se introduce el formato LandXML para intercambiar archivos de mapeo.
Puesto que la medición con cinta se limita a distancias dentro de la medida de
una cinta, el problema de correcciones de mediciones con cinta se ha incluido
en el apéndice A. Sin embargo, sigue siendo importante que el estudio de la
topografía incluya una presentación completa de la medición con cinta, a fin
de que los estudiantes comprendan el uso correcto de la cinta. Por lo tanto, en
esta edición se sigue incluyendo una explicación sobre la corrección de errores
sistemáticos en las mediciones con cinta. Aunque los tránsitos y teodolitos ya no
se usan en la práctica, se presentan brevemente en los primeros capítulos por
cuestiones históricas; para quienes todavía los utilicen, se sugiere que consulten
las ediciones anteriores de este libro. Esta obra sigue enfatizando la teoría de
errores en el trabajo de levantamientos, por lo que al final de cada capítulo se
enlistan tanto las equivocaciones como los errores más comunes relacionados
con el tema que cubre el capítulo, para que los estudiantes tengan presente el
actuar con cautela durante todo el proceso de su trabajo topográfico. A lo largo
de todo el texto se han insertado sugerencias prácticas, resultado de los muchos
años de experiencia de los autores. Más de 1000 problemas, que se presentan al
xxx
PREFACIO
final de cada capítulo, se han reescrito con el fin de que los profesores puedan
crear nuevas tareas para sus estudiantes.
En el sitio de la red que acompaña a este libro en http://libroweb.alfaomega.
com.mx/ usted encontrará diversos materiales disponibles para apoyar los
procesos de enseñanza y aprendizaje, por lo que algunos sólo son para los docentes
(Manual) pero también encontrará recursos para los estudiantes (programas para
cálculos y hojas de trabajo).
Para quienes deseen conocimientos adicionales en cuanto a proyecciones de
mapas, en esta edición se han incluido cuestiones sobre el Mercator, la Proyección
de Albers, proyecciones estereográficas oblicuas y proyecciones de mapas de
Mercator oblicuas.
LO NUEVO
•฀ ฀Imágenes฀de฀nuevos฀instrumentos฀y฀páginas฀de฀libros฀de฀campo฀que฀equivalen a los instrumentos de hoy día.
•฀ ฀Amplias฀explicaciones฀sobre฀los฀cambios฀en฀los฀sistemas฀de฀referencia.
•฀ ฀Explicaciones฀sobre฀levantamientos฀con฀escaneo฀de฀láser.
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•฀ ฀Una฀explicación฀revisada฀sobre฀los฀códigos฀de฀punto฀en฀los฀levantamientos฀
de terminación en el campo.
•฀ ฀Explicación฀ detallada฀ de฀ los฀ errores฀ presentes฀ en฀ las฀ mediciones฀ de฀ distancia electrónicas.
•฀ ฀Introducción฀a฀los฀sistemas฀móviles฀de฀mapeo.
•฀ ฀Problemas฀revisados฀y฀actualizados.
•฀ ฀Videos฀instructivos฀que฀muestran฀procedimientos฀instrumentales฀y฀archivo฀
de registros.
RECONOCIMIENTOS
Las ediciones previas de este libro, al igual que ésta, se han beneficiado de las
sugerencias, revisiones y demás contribuciones de numerosos estudiantes, educadores y practicantes. Los autores están sumamente agradecidos por su ayuda.
En esta edición, aquellos profesores y estudiantes graduados que revisaron el
material o que apoyaron de otras maneras incluyen a Robert Schultz, de la Universidad del Estado de Oregon; Steven Frank, de la Universidad del Estado de
Nuevo México; Jeremy Deal, de la Universidad de Texas-Arlington; Eric Fuller,
de la Universidad del Estado de St. Cloud; Loren J. Gibson, de la Universidad del
Atlántico de Florida; John J. Rose, de la Universidad de Phoenix; Robert Moynihan, de la Universidad de New Hampshire; Marlee Walton, de la Universidad
del Estado de Iowa; Douglas E. Smith, de la Universidad del Estado de Montana;
Jean M. Rïeger, de la Universidad de New South Wales, en Sydney, Australia;
Thomas Seybert, de la Universidad del Estado de Pennsylvania; Paul Dukas,
de la Universidad de Florida y Bon DeWitt, de la Universidad de Florida. Los
autores quieren agradecer a los siguientes profesionales, por su contribución y
sugerencias, incluyendo a Charles Harpster, del Departamento de Transportación
de Pennsylvania; Preston Hartzell, de la Universidad de Houston; Eduardo Fernández-Falcon, de Topcon Positioning Systems; Joseph Gabor; y Brian Naberezny.
Asimismo, los autores desean reconocer las contribuciones de las gráficas,
mapas u otra información del National Geodetic Survey, el U.S. Geological Survey y el U.S. Bureau of Land Management. También se expresa nuestro agradecimiento hacia los numerosos fabricantes de instrumentos que nos facilitaron
PREFACIO
fotos y todo tipo de información descriptiva sobre su equipo, para usarse en
el contenido de este libro. Los autores están extremadamente agradecidos con
todos los que se nombraron y con cualquier otra persona que se haya omitido
inadvertidamente.
xxxi
1
Introducción
■ 1.1 DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA
La topografía, que recientemente se ha denominado también geomática de manera
alternativa (véase la sección 1.2), se ha definido tradicionalmente como la ciencia,
el arte y la tecnología para encontrar o determinar las posiciones relativas de
puntos situados por encima de la superficie de la Tierra, sobre dicha superficie y
debajo de ella. Sin embargo, en un sentido más general, la topografía (geomática)
se puede considerar como la disciplina que comprende todos los métodos para
medir y recopilar información física acerca de la Tierra y nuestro medio ambiente,
procesar esa información y difundir los diferentes productos resultantes a una
amplia variedad de clientes. La topografía ha tenido gran importancia desde el
principio de la civilización. Sus primeras aplicaciones fueron las de medir y marcar
los límites de los derechos de propiedad. A través de los años su importancia ha
ido en aumento al haber una mayor demanda de diversos mapas y otros tipos de
información relacionados espacialmente, y la creciente necesidad de establecer
líneas y niveles más precisos como una guía para las operaciones de construcción.
En la actualidad la importancia de medir y monitorear nuestro medio
ambiente se ha vuelto vital a medida que crece la población, el valor de los bienes
raíces aumenta, nuestros recursos naturales se empobrecen y las actividades del
hombre continúan contaminando nuestra tierra, agua y aire. Los topógrafos actuales pueden medir y observar la Tierra y sus recursos naturales literalmente desde un
punto de vista global, utilizando las modernas tecnologías terrestres, aéreas y por
satélite, así como las computadoras para el procesamiento de datos. Nunca antes
se había tenido tanta información para estimar las condiciones actuales, tomar decisiones de planeación firmes y formular una política para muchas aplicaciones del
uso del suelo, el desarrollo de los recursos y las medidas para preservar el medio
ambiente.
Al reconocer la creciente amplitud e importancia de la práctica de la topografía, la International Federation of Surveyors (véase la sección 1.11) recientemente
adoptó la siguiente definición:
2
INTRODUCCIÓN
“Un topógrafo es un profesionista con las características académicas y pericia técnica para realizar una o más de las siguientes actividades:
฀
฀
฀
฀
•฀ determinar,฀medir฀y฀representar฀el฀terreno,฀los฀objetos฀tridimensionales,฀los฀
campos puntuales y las trayectorias;
•฀ reunir฀e฀interpretar฀la฀información฀del฀terreno฀relacionada฀geográficamente;
•฀ usar฀esa฀información฀para฀la฀planeación฀y฀administración฀eficiente฀del฀terreno, el mar y cualesquiera estructuras colocadas ahí; y
•฀ realizar฀investigación฀sobre฀las฀prácticas฀anteriores฀y฀desarrollarlas.
Funciones detalladas
En la práctica, la profesión de topógrafo puede comprender una o más de las
siguientes actividades que pueden tener lugar en, sobre o debajo de la superficie
de la Tierra o del mar, y que se pueden llevar a cabo asociándose con otros profesionistas.
1. La determinación del tamaño y la forma de la Tierra, así como la evaluación
de todos los datos necesarios para establecer el tamaño, la posición, la forma
y el contorno de cualquier parte de la Tierra y monitorear cualquier cambio
alusivo.
2. La localización de objetos en el espacio y el tiempo, así como la ubicación
y verificación de características físicas, estructuras y obras de ingeniería en,
sobre y debajo de la superficie de la Tierra.
3. El desarrollo, la prueba y la calibración de sensores, instrumentos y sistemas
para los propósitos anteriormente mencionados y para otros de la topografía.
4. La adquisición y el uso de información espacial tomada a corta distancia, aérea
y de las imágenes de satélite, así como la automatización de estos procesos.
5. La determinación de la localización de los límites de terrenos públicos o privados, incluyendo las fronteras nacionales e internacionales, y el registro de
esas Tierras con las autoridades competentes.
6. El diseño, el establecimiento y la administración de los Sistemas de Información Geográfica (GIS: Geographic Information Systems) y la recopilación,
almacenamiento, análisis, manejo, exhibición y diseminación de datos.
7. El análisis, la interpretación e integración de objetos y fenómenos en el espacio en los GIS, incluyendo la visualización y la comunicación de estos datos
en mapas, modelos y dispositivos digitales móviles.
8. El estudio del medio ambiente natural y social, la medición de los recursos
terrestres y marinos, y el uso de estos datos para la planeación del desarrollo
en áreas urbanas, rurales y regionales.
9. La planeación, el desarrollo y redesarrollo de la propiedad, ya sea urbana,
rural, terrenos o edificios.
10. La evaluación del valor y de la administración de la propiedad, ya sea urbana, rural, terrenos o edificios.
11. La planeación, medición y administración de las obras de construcción, incluyendo la estimación de los costos.
Al aplicar las actividades anteriores, los topógrafos toman en consideración
los aspectos relevantes legales, económicos, del medio ambiente y sociales que
afectan a cada proyecto.”
Lo amplio y diverso de la práctica de la topografía (geomática), así como
su importancia en la civilización moderna, quedan de manifiesto a partir de esta
definición.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
1.2 La geomática
3
■ 1.2 LA GEOMÁTICA
Como se mencionó en la sección 1.1, la geomática es un término relativamente
nuevo que en la actualidad se está aplicando comúnmente para abarcar las áreas
de la práctica antes conocida como topografía.
La principal razón que se cita para hacer el cambio de nombre es que la
manera y el alcance de la práctica de la topografía han cambiado radicalmente en
años recientes. Esto ha ocurrido en parte debido a los recientes avances tecnológicos que han proporcionado a los topógrafos nuevas herramientas de medición o de
recopilación de información o ambas, para el cálculo, la presentación y difusión
de la información. También ha sido impulsado por la creciente preocupación acerca del medio ambiente desde los puntos de vista local, regional y global, por lo que
se han aumentado los esfuerzos de monitoreo, administración y regulación del uso
de nuestro suelo, agua, aire y otros recursos naturales. Estas circunstancias y otras
han ocasionado un amplio incremento de exigencias de información nueva espacialmente relacionada.
Históricamente, los topógrafos hacían sus mediciones usando métodos basados en el suelo y aún recientemente el tránsito y la cinta1 fueron sus principales
instrumentos. Los cálculos, los análisis y los reportes, los planos y los mapas que
entregaban a sus clientes se preparaban (en forma de copia permanente) mediante
procesos manuales tediosos. Actualmente el moderno conjunto de herramientas
del topógrafo para medir y recopilar la información del medio ambiente incluye
instrumentos electrónicos para medir de manera automática distancias y ángulos, sistemas de levantamientos por satélite para obtener rápidamente las posiciones precisas de puntos muy espaciados, así como imágenes aéreas modernas
y sistemas asociados de procesamiento para un mapeo y una recolección rápidos de otras formas de datos acerca de la Tierra. Se dispone de sistemas computacionales que pueden procesar los datos medidos y producir automáticamente
planos, mapas y otros productos a una velocidad inimaginable hace unos cuantos años. Además, estos productos pueden prepararse con formato electrónico y
transmitirse a localidades remotas vía los sistemas de telecomunicación.
De manera concurrente con el desarrollo de estas nuevas tecnologías de
recolección y procesamiento de datos, han surgido y madurado los Sistemas
de Información Geográfica (GIS). Estos sistemas, basados en la computadora, permiten que virtualmente cualquier tipo de información relacionada espacialmente
con el medio ambiente se integre, analice, exhiba y difunda.2 La clave para la operación exitosa de los sistemas de información geográfica radica en datos espacialmente
relacionados de alta calidad, y la recolección y el procesamiento de estos datos ha
impuesto nuevas y grandes demandas sobre la comunidad de la topografía.
Como resultado de estos nuevos desarrollos, descritos anteriormente, y de
otros, muchas personas piensan que el nombre de topografía ya no refleja de manera adecuada el papel cambiante y en expansión de su profesión. De ahí que haya
surgido el nuevo término de “geomática”. En este libro se emplean los dos términos: “topografía” y “geomática”, aunque el primero se usa con mayor frecuencia.
Sin embargo, los estudiantes deben entender que los dos términos son prácticamente sinónimos, tal como se expuso antes.
Estos instrumentos se describen en el apéndice A y en el capítulo 6, respectivamente.
Los sistemas de información geográfica se definen brevemente en la sección 1.9, y luego se
describen con mayor detalle en el capítulo 28.
1
2
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
4
INTRODUCCIÓN
■ 1.3 HISTORIA DE LA TOPOGRAFÍA
Los registros históricos más antiguos sobre topografía afirman que esta ciencia se
originó en Egipto. Heródoto escribió que Sesostris (alrededor del año 1400 a.C.)
dividió Egipto en lotes para el pago de impuestos. Las inundaciones anuales del
río Nilo arrastraban parte de estos lotes y se designaban topógrafos para redefinir
los linderos. A estos topógrafos antiguos se les llamaba estiracuerdas, debido a que
sus medidas se hacían con cuerdas que tenían marcas unitarias a determinadas
distancias.
Como consecuencia de este trabajo, los primeros pensadores griegos desarrollaron la ciencia de la geometría. Sin embargo, su progreso fue más bien en
dirección de la ciencia pura. Herón sobresalió por haber aplicado esta ciencia a la
topografía alrededor del año 120 a.C. Fue el autor de varios tratados importantes
que interesaron a los topógrafos, uno de los cuales fue La Dioptra, en el cual relacionó los métodos de medición de un terreno, el dibujo de un plano y los cálculos respectivos. También describió uno de los primeros aparatos topográficos: la
dioptra [figura 1.1(a)]. Durante muchos años, el trabajo de Herón fue el de mayor
prestigio entre los topógrafos griegos y egipcios.
Los romanos, gracias a su mente práctica, desarrollaron ampliamente el arte
de la topografía; uno de los escritos más conocidos sobre el tema fue el de Frontinus, y aunque el manuscrito original se perdió, se han conservado partes copiadas
de su trabajo. Este notable ingeniero y topógrafo romano, que vivió en el primer
siglo de la era cristiana, fue un pionero en la materia y su tratado permaneció como
norma durante muchos años. La capacidad técnica de los romanos la demuestran
las grandes obras de construcción que realizaron en todo el imperio. La topografía
necesaria para estas construcciones originó la organización de un gremio de topógrafos o agrimensores. Usaron e inventaron ingeniosos instrumentos. Entre éstos
figuran la groma [figura 1.1(b)], que se usó para visar; la libela, que era un bastidor
en forma de A con una plomada usado para nivelación, y el corobates, que era una
Figura 1.1
Antiguos aparatos
de topografía:
(a) la dioptra,
(b) la groma.
ALFAOMEGA
(a)
(b)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
1.3 Historia de la topografía 5
regla horizontal de unos 20 pies de largo, con patas de soporte y una ranura en la
parte superior para ser llenada con agua, la cual servía de nivel.
Uno de los manuscritos latinos más antiguos que existen es el Códice Aceriano
(Codex Acerianus), escrito alrededor del siglo vi. Contiene una descripción de la topografía tal como la practicaban los romanos e incluye varias páginas del tratado
de Frontino. Gerbert encontró el manuscrito en el siglo x y en él se basó para
redactar su texto de geometría, el cual se enfocó en su mayor parte a la topografía.
Durante la Edad Media, la ciencia de los griegos y los romanos se mantuvo
viva gracias a los árabes. El arte de la topografía tuvo pocos adelantos y los únicos
escritos relativos a ésta fueron llamados “geometría práctica”.
En el siglo xiii Von Piso escribió la Practica Geometria, la cual contenía instrucciones sobre topografía. También fue el autor de Liber Quadratorum, que trata
principalmente del quadrans, que era un bastidor cuadrado de latón con un ángulo de 90° y otras escalas graduadas. Se usaba un puntero móvil para visar. Otros
instrumentos de esa época fueron el astrolabio, que era un anillo metálico con un
puntero articulado en su centro y soportado por un anillo en la parte superior, y
el báculo de cruz, que era un rodillo cilíndrico de madera de 4 pies de longitud,
con un brazo transversal ajustable, formando un ángulo recto con el rodillo. Las
longitudes conocidas de los brazos del báculo de cruz permitían medir distancias usando proporciones y ángulos.
Las primeras civilizaciones creían que la Tierra era una superficie plana, pero
cuando notaron la sombra circular de la Tierra sobre la Luna durante los eclipses
lunares y observaron que los barcos desaparecían gradualmente al navegar hacia
el horizonte, dedujeron poco a poco que el planeta en realidad era curvo en todas
direcciones.
La determinación del tamaño y la forma verdadera de la Tierra ha intrigado a
los seres humanos desde hace siglos. La historia registra que un griego llamado
Eratóstenes fue el primero que trató de calcular sus dimensiones. En la figura 1.2
se muestra su procedimiento, que se llevó a cabo más o menos en el año 200 a.C.
Eratóstenes concluyó que las ciudades de Alejandría y Siena en Egipto se localizaban aproximadamente en el mismo meridiano; y también había observado que
al mediodía, en el solsticio de verano, el Sol se encontraba directamente sobre la
ciudad de Siena. (Esto era evidente, porque en esa hora del día la imagen del Sol
podía verse reflejada desde el fondo de un pozo vertical y profundo.) Su razonamiento fue que en ese momento el Sol, Siena y Alejandría se encontraban en un
plano común del meridiano y que de serle posible medir la longitud del arco entre
las dos ciudades y el ángulo subtendido en el centro de la Tierra, podría calcular
su circunferencia. En Alejandría determinó el ángulo midiendo la longitud de la
sombra proyectada por una estaca vertical de longitud conocida. Determinó la longitud del arco multiplicando el número de días que tardaban las caravanas para ir
de Siena a Alejandría por la distancia promedio recorrida diariamente. Con estas
medidas, Eratóstenes calculó que la circunferencia de la Tierra medía cerca de
25 000 mi. Las medidas geodésicas precisas hechas posteriormente usando mejores
instrumentos, pero manteniendo técnicas geométricamente similares a las usadas
por Eratóstenes, han demostrado que su valor, aunque algo mayor, fue asombrosamente cercano al aceptado en la actualidad. (De hecho, según se explica en el
capítulo 19, la forma de la Tierra se aproxima a la de un esferoide achatado que
tiene un radio ecuatorial que mide unas 13.5 mi más que el radio polar.)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
6
INTRODUCCIÓN
Rayos solares
(paralaje supuesto)
S
Figura 1.2
Geometría del
procedimiento
usado por
Eratóstenes para
determinar la
circunferencia
terrestre.
Siena
Tierra
Alejandría
R
O
En los siglos xviii y xix el arte de la topografía avanzó más rápido. La necesidad de mapas y de deslindar las fronteras con otros países ocasionaron que Inglaterra y Francia realizaran extensos levantamientos que requirieron triangulaciones
precisas. De esta manera comenzaron los levantamientos geodésicos. El U. S. Coast
Survey (ahora llamado National Geodetic Survey del Departamento de Comercio
de Estados Unidos) fue instituido en 1807 por una ley del Congreso. Al principio
su tarea era realizar levantamientos hidrográficos y preparar mapas náuticos. Más
tarde, sus actividades se ampliaron para incluir la colocación de monumentos de
referencia cuya posición se conoce con precisión en todo el país.
La topografía llegó a tener un lugar destacado debido al incremento del valor
de la tierra y a la importancia de lograr límites precisos, además de la demanda
creciente en la época en cuanto a mejoras de canales, ferrocarriles y autopistas. En
los últimos años, el gran volumen de construcciones, la necesidad de mejores registros para muchas subdivisiones de terrenos y las demandas impuestas por los campos de la exploración y la ecología, han dado como resultado un enorme programa
de levantamientos. La topografía es aún el signo del progreso en lo que se refiere
al desarrollo, uso y conservación de los recursos de la Tierra.
Además de enfrentar un sinnúmero de necesidades civiles crecientes, la topografía siempre ha desempeñado un papel muy importante en la estrategia militar.
La primera y segunda Guerras Mundiales, los conflictos de Corea y Vietnam y los
más recientes en el Oriente Medio y en Europa, han creado demandas asombrosas
de mediciones y mapas precisos. Estas operaciones militares también fueron un
estímulo para mejorar los instrumentos y los métodos para satisfacer estas necesidades. La topografía también contribuyó y se benefició de los programas espaciales, donde se necesitaron equipo y sistemas nuevos para lograr un control preciso
de los proyectiles teledirigidos y el mapeo y la cartografía de partes de la Luna y de
planetas cercanos.
Actualmente el desarrollo de los equipos de topografía y de mapeo ha evolucionado hasta el punto en el cual los instrumentos tradicionales que se usaron
hasta las décadas de los sesenta y los setenta (el tránsito, el teodolito, el nivel rígido
o de anteojo corto y la cinta de acero) han sido reemplazados casi completamente
por un grupo de instrumentos nuevos de “alta tecnología”. Éstos incluyen los instrumentos electrónicos de estación total, que pueden usarse para medir y registrar
automáticamente las distancias horizontales y verticales, y los ángulos horizontales
y verticales; y los Sistemas Globales de Navegación por Satélite (GNSS: Global
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
1.4 Levantamientos geodésicos y planos
7
Figura 1.3
Instrumento de
estación total
LEICA TPS 1100.
(Cortesía de Leica
Geosystems, Inc.)
Navigation Satelite Systems) tal como el Sistema De Posicionamiento Global (GPS:
Global Positioning System) que puede suministrar información precisa sobre la
ubicación de virtualmente cualquier tipo de levantamiento topográfico. Los instrumentos de escaneado con láser combinan las mediciones automáticas de distancias y ángulos para calcular retículas densas de puntos coordenados. También
se han desarrollado nuevas cámaras aéreas e instrumentos de percepción remota
que suministran imágenes en forma digital, y éstas pueden procesarse para obtener información espacial y mapas usando nuevos instrumentos de restitución fotogramétrica digital (también llamados graficadores de presentación transitoria). Las
Figuras 1.3, 1.4, 1.5 y 1.6, respectivamente, muestran un instrumento de estación
total, un sistema de mapeo móvil 3D, un instrumento de escaneado con láser y un
moderno graficador de presentación transitoria. El sistema de mapeo móvil 3D de
la Figura 1.4 es un sistema integrado que consta de escáneres, un receptor GNSS,
una unidad de medición inercial, y una cámara digital hemisférica de alta calidad
que puede mapear todos los elementos hasta 100 m del vehículo a medida que el
vehículo viaja a velocidades de autopista. El sistema puede capturar 1.3 millones
de puntos de datos por segundo suministrando al usuario final con coordenadas
georeferenciadas de alta calidad de todos los elementos visibles en las imágenes.
■ 1.4 LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS Y PLANOS
Los levantamientos topográficos se clasifican en dos categorías generales: geodésicos
y planos. La distinción principal reside en las hipótesis en las que se basan los cálculos, aunque las mediciones de campo para los levantamientos geodésicos se efectúan
normalmente con mayor precisión que para el caso de los levantamientos planos.
En la topografía geodésica se toma en cuenta la superficie curva de la Tierra,
realizando los cálculos en un elipsoide (superficie curva aproximada al tamaño y
forma de la Tierra, véase el capítulo 19). En la actualidad es más común realizar
cálculos geodésicos en un sistema tridimensional con coordenadas cartesianas con
Centro en la Tierra, Fijo en la Tierra (ECEF Earth-Centered, Earth-Fixed). Los cálculos comprenden la solución de ecuaciones deducidas de la geometría del espacio
y del cálculo diferencial. Los métodos geodésicos se emplean para determinar las
ubicaciones relativas de señalamientos separados por una gran distancia y para
calcular longitudes y direcciones de líneas extensas entre ellos. Estos señalamientos sirven de base y como referencia para otros levantamientos subordinados de
menor magnitud.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
8
INTRODUCCIÓN
Figura 1.4
Sistema móvil
de mapeo IP-S2
3D. (Cortesía de
Topcon Positioning
Systems.)
Figura 1.5
Escáner de láser
LEICA HDS
3000. (Cortesía
de Christopher
Gibbons, Leica
Geosystems, Inc.)
En los inicios de los levantamientos geodésicos se empleaban esfuerzos desmesurados para medir con exactitud ángulos y distancias. Los ángulos se observaban
usando teodolitos precisos emplazados en el terreno, y las distancias se medían usando cintas especiales hechas de metal con un bajo coeficiente de expansión térmica.
A partir de estas mediciones básicas, se calculaban las posiciones relativas de los
señalamientos. Posteriormente, se usaron instrumentos electrónicos para observar
los ángulos y las distancias. Aun cuando algunas veces todavía se usan estos últimos
tipos de instrumentos en la topografía geodésica, el posicionamiento por satélite ha
reemplazado casi completamente a otros instrumentos para estos nuevos tipos de
levantamientos. El posicionamiento por satélite puede proporcionar las posiciones
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
1.4 Levantamientos geodésicos y planos
9
Figura 1.6
Graficador de
presentación
transitoria
Intergraph Image
Station Z.
(Cortesía de Bon
DeWitt.)
necesarias con mucho mayor grado de exactitud, velocidad y economía. Los receptores GNSS permiten la localización precisa de las estaciones de Tierra observando
las distancias a los satélites que operan en posiciones conocidas a lo largo de sus
órbitas. Los levantamientos GNSS se están usando en todas las formas de la topografía incluyendo la topografía geodésica, hidrográfica, de construcción, y de linderos.
Cuando se combinan con una Red de Tiempo Real (RTN real-time-network), los
levantamientos GNSS tienen la capacidad de suministrar una exactitud de 0 hasta
0.1 pie para una región de 50 km con solamente 3 minutos de datos. Los principios
de operación del sistema de localización global se dan en el capítulo 13, y en el capítulo 14 se estudian los procedimientos de campo y de gabinete que se aplican a los
levantamientos estáticos GNSS, y los métodos que se usan en los levantamientos
cinemáticos GNSS incluyendo RTN se estudian en el capítulo 15.
En la topografía plana, excepto en nivelaciones, se supone que la base de
referencia para los trabajos de campo y los cálculos es una superficie horizontal
plana. La dirección de una plomada (y en consecuencia la gravedad) se considera
paralela en toda la región del levantamiento y se supone que todos los ángulos
que se miden son planos. Para áreas de tamaño limitado, la superficie de nuestro
enorme elipsoide es en realidad prácticamente plana. En una línea de 5 mi de longitud, el arco del elipsoide y la longitud de la cuerda difieren únicamente en 0.02
pies. Una superficie plana tangencial al elipsoide se separa solamente 0.7 pies a 1
mi del punto de tangencia. En un triángulo que tenga un área de 75 mi2, la diferencia entre la suma de los tres ángulos elipsoidales y los tres ángulos planos es de
sólo aproximadamente 1 segundo de arco. Por tanto, es evidente que, exceptuando levantamientos que abarcan áreas muy extensas, la superficie de la Tierra se
puede aproximar a superficie plana, simplificando con ello los cálculos y técnicas.
En general, en los cálculos de topografía plana se usan el álgebra, la geometría
plana y la analítica, así como la trigonometría plana. Aun para áreas muy grandes,
las proyecciones de mapas, tales como las descritas en el capítulo 20, se pueden
usar cálculos de la topografía plana. El enfoque de este libro es principalmente
en métodos de topografía plana, los cuales son métodos aproximados que satisfacen los requisitos de la mayor parte de los proyectos.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
10
INTRODUCCIÓN
■ 1.5 IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA
La topografía es una de las artes más antiguas e importantes porque, como se
ha observado, desde los tiempos más remotos ha sido necesario marcar límites y
dividir terrenos. En la era moderna, la topografía se ha vuelto indispensable. Los
resultados de los levantamientos topográficos de nuestros días se emplean para
(1) elaborar mapas de la superficie terrestre, arriba y abajo del nivel del mar; (2)
trazar cartas de navegación aérea, terrestre y marítima; (3) deslindar propiedades
privadas y públicas; (4) crear bancos de datos con información sobre recursos naturales y uso del suelo, para ayudar a la mejor administración y aprovechamiento de
nuestro ambiente físico; (5) evaluar datos sobre tamaño, forma, gravedad y campos
magnéticos de la Tierra; y (6) preparar mapas de la Luna y otros planetas.
La topografía desempeña un papel sumamente importante en muchas ramas
de la ingeniería. Por ejemplo, los levantamientos topográficos son indispensables
para planear, construir y mantener carreteras, vías ferroviarias, sistemas viales de
tránsito rápido, edificios, puentes, rangos de proyectiles, bases de lanzamiento de cohetes, estaciones de rastreo, túneles, canales, zanjas de irrigación, presas,
obras de drenaje, fraccionamiento de terrenos urbanos, sistemas de abastecimiento de agua potable y disposición de aguas residuales, tuberías y tiros de minas.
Los métodos topográficos se emplean comúnmente en la instalación de líneas de
ensamble industrial y otros dispositivos de fabricación.3 Estos métodos también se
usan para dirigir la fabricación de equipo grande, tal como aeroplanos y barcos,
donde las piezas por separado que se han ensamblado en diferentes lugares deben
finalmente armarse como una unidad. La topografía es importante en muchas actividades relacionadas con la agronomía, la arqueología, la astronomía, la silvicultura,
la geografía, la geología, la geofísica, la arquitectura del paisaje, la meteorología, la
paleontología y la sismología, pero sobre todo en obras de ingeniería civil y militar.
Todos los ingenieros deben conocer los límites de exactitud posible en la
construcción, diseño y proyecto de plantas industriales, así como de los procesos de
manufactura, aun cuando sea algún otro quien haga el trabajo real de topografía.
En particular, los ingenieros civiles y topógrafos a quienes se llama para planear y
proyectar levantamientos, deben tener una perfecta comprensión de los métodos
e instrumentos a utilizar, incluso de sus alcances y limitaciones. Este conocimiento
se logra mejor midiendo con los tipos de instrumentos usados en la práctica para
tener una idea real de la teoría de los errores y de las pequeñas aunque reconocibles diferencias que ocurren en las cantidades observadas.
Además de resaltar la necesidad de límites razonables de exactitud, la topografía enfatiza también el valor de las cifras significativas. Los topógrafos y los ingenieros deben saber cuándo trabajar hasta el centésimo de pie (metro) en vez de
hacerlo hasta las décimas o las milésimas, o tal vez hasta el entero más próximo, y
qué precisión se necesita en los datos de campo que justifique efectuar los cálculos
con el número deseado de decimales. Con la experiencia aprenderán la forma en que
el equipo y el personal disponibles determinan los procedimientos y los resultados.
Esquemas y cálculos bien hechos y limpios son señal de una mente ordenada, la
cual es a su vez un índice de sólida preparación y competencia en ingeniería. Tomar
buenas notas de campo en todo tipo de condiciones es una excelente preparación
para la clase de registros y croquis que se espera tener de los ingenieros. La realización posterior de cálculos de gabinete basados en tales registros subraya su
importancia. Un adiestramiento adicional de gran valor en las operaciones es el
disponer adecuadamente los cálculos.
3
ALFAOMEGA
Vea el pie de página 1.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
1.6 Tipos de levantamientos especializados
11
Los ingenieros que proyectan edificios, puentes, equipos, etc., se conforman
con que sus estimaciones de las cargas que han de soportar sus construcciones estén
correctas dentro del 5%. Luego aplican un factor de seguridad de dos o más. Excepto
en los levantamientos de configuración, sólo pueden tolerarse errores extremadamente pequeños en los trabajos de topografía, y en éstos no existe ningún factor de
seguridad. Por lo tanto, tradicionalmente, en los levantamientos topográficos siempre es indispensable la precisión, tanto en operaciones manuales como de cálculo.
■ 1.6 TIPOS DE LEVANTAMIENTOS ESPECIALIZADOS
Existen tantos tipos de levantamientos tan especializados que una persona muy
experimentada en una de estas disciplinas específicas puede tener muy poco contacto con las otras áreas. Aquellas personas que busquen hacer carrera en topografía y cartografía, deberían conocer todas las fases de estas materias, ya que todas
están íntimamente relacionadas en la práctica moderna. A continuación se describen brevemente algunas clasificaciones importantes.
Los Levantamientos de control establecen una red de señalamientos horizontales y verticales que sirven como marco de referencia para otros levantamientos.
Muchos levantamientos de control que se realizan actualmente se hacen usando
técnicas estudiadas en los capítulos 14 y 15 con instrumentos GNSS.
Los Levantamientos topográficos determinan la ubicación de características
o accidentes naturales y artificiales, así como las elevaciones usadas en la elaboración de mapas.
Los Levantamientos catastrales de terreno y de linderos establecen las líneas
de propiedad y los vértices de propiedad. El término catastral se aplica generalmente a levantamientos de terrenos federales. Existen tres categorías importantes:
levantamientos originales, los cuales determinan nuevos vértices de secciones en
áreas sin levantamientos, como las que existen en Alaska y en varios estados del
occidente de Estados Unidos; levantamientos de retrazado, utilizados cuando se
desea recuperar líneas limítrofes que ya se habían fijado anteriormente; y levantamientos de subdivisión, usados para colocar señalamientos y delinear nuevas
parcelas de propiedad. Los Levantamientos de condominio se hacen para dar un
registro legal de propiedad y constituyen cierto tipo de levantamiento limítrofe.
Los Levantamientos hidrográficos definen la línea de playa y las profundidades de lagos, corrientes, océanos, represas y otros cuerpos de agua. Los Levantamientos marinos están asociados con industrias portuarias y de fuera de la costa, así
como con el ambiente marino, incluyendo investigaciones y mediciones marinas
hechas por el personal de navegación.
Los Levantamientos de rutas se efectúan para planear, diseñar y construir carreteras, ferrocarriles, líneas de tuberías y otros proyectos lineales. Éstos
normalmente comienzan en un punto de control y pasan progresivamente a otro,
de la manera más directa posible permitida por las condiciones del terreno.
Los Levantamientos de construcción determinan la línea, la pendiente, las
elevaciones de control, las posiciones horizontales, las dimensiones y las configuraciones para operaciones de construcción. También proporcionan datos elementales
para calcular los pagos a los contratistas.
Los Levantamientos finales según obra construida documentan la ubicación
final exacta y disposición de los trabajos de ingeniería, y registran todos los cambios
de diseño que se hayan incorporado a la construcción. Estos levantamientos son
sumamente importantes cuando se construyen obras subterráneas de servicios, cuyas
localizaciones precisas se deben conocer para propósitos de mantenimiento y para
evitar daños inesperados al llevar a cabo, posteriormente, otras obras subterráneas.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
12
INTRODUCCIÓN
Los Levantamientos de minas se efectúan sobre la superficie y abajo del nivel
del terreno, con objeto de servir de guía a los trabajos de excavación de túneles
y otras operaciones asociadas con la minería. Esta clasificación también incluye
levantamientos geofísicos para minerales y exploración de recursos de energía.
Los Levantamientos solares determinan los límites de las propiedades, los
derechos de acceso solar y la ubicación de obstrucciones y colectores de acuerdo
con los ángulos solares; además cumplen con otros requisitos de comités zonales y
de los títulos de las compañías de seguros.
La Instrumentación óptica (también conocida como levantamientos industriales o alineamiento óptico) es un método para realizar mediciones extremadamente
precisas en procesos de manufactura donde se requieren pequeñas tolerancias.
Exceptuando los levantamientos de control, la mayoría de los descritos aquí se
realizan normalmente usando procedimientos de topografía plana; no obstante,
se pueden emplear métodos geodésicos en otros tipos de levantamiento cuando
éste abarca un área muy grande o exige una gran precisión.
Los levantamientos terrestres, aéreos y por satélite son la más amplia clasificación usada en algunas ocasiones. Los levantamientos terrestres utilizan medidas
realizadas con equipo terrestre tales como niveles automáticos e instrumentos de
estación total. Los levantamientos aéreos pueden lograrse ya sea utilizando la fotogrametría o a través de percepción remota. La fotogrametría usa cámaras que se
montan en los aviones para obtener imágenes, en tanto que el sistema de percepción remota emplea cámaras y otros tipos de sensores que pueden transportarse
tanto en avión como en satélites. Los procedimientos usados para obtener y analizar
los datos de la fotografía aérea se describen en el capítulo 27. Los levantamientos
aéreos se han usado en todos los tipos de topografía especializada que se enumeraron aquí, a excepción del sistema de alineación óptica, y en esta área se usan con
frecuencia fotografías terrestres (con base en el terreno). Los levantamientos por
satélite incluyen la determinación de sitios en el terreno a partir de mediciones
hechas en los satélites que usan receptores GNSS, o el uso de imágenes por satélite
para el mapeo y observación de grandes regiones de la superficie de la Tierra.
■ 1.7 LA SEGURIDAD EN LA TOPOGRAFÍA
Los topógrafos (ingenieros en geomática) generalmente intervienen tanto en trabajo de campo como de gabinete. El trabajo de campo consiste en hacer mediciones con diferentes tipos de instrumentos para (a) determinar la ubicación relativa
de los puntos, o (b) colocar estacas de acuerdo con las ubicaciones planeadas para
guiar las operaciones de edificación y construcción. El trabajo de gabinete comprende (1) la investigación y el análisis de la preparación para los levantamientos,
(2) el cálculo y el procesamiento de los datos obtenidos a partir de las mediciones
de campo, y (3) la preparación de mapas, planos, cartas, reportes y otros documentos de acuerdo con las especificaciones del cliente. Algunas veces el trabajo
de campo debe realizarse en ambientes hostiles o peligrosos, por lo que es muy
importante estar consciente de la necesidad de poner en práctica precauciones de
seguridad.
Entre las circunstancias más peligrosas con las cuales los topógrafos algunas
veces deben trabajar se encuentran los sitios de obra en o cerca de las carreteras o
los ferrocarriles, o que cruzan estas instalaciones. Los sitios de obra en las zonas
de construcción donde esté operando maquinaria pesada, también son riesgosos,
y frecuentemente los peligros aumentan debido a las malas condiciones auditivas
provenientes del ruido excesivo, y una mala visibilidad causada por los obstáculos y el polvo, los cuales son creados por la actividad de la construcción. En estas
situaciones, siempre que sea posible deberán retirarse los levantamientos de las
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TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
1.7 La seguridad en la topografía
13
áreas de peligro mediante una planeación cuidadosa o el uso de líneas paralelas
o ambas cosas. Si el trabajo debe hacerse en estas áreas peligrosas, entonces
deben seguirse ciertas precauciones de seguridad. En estas condiciones siempre deben
usarse chalecos de seguridad de color amarillo fluorescente, y pueden amarrarse
materiales ondulantes del mismo color al equipo de topografía para hacerlo más
visible. Dependiendo de las circunstancias, pueden ponerse letreros antes de las
áreas de trabajo para advertir a los conductores de la presencia de una brigada
de topografía que se encuentra más adelante, pueden ponerse conos, barricadas
o ambas cosas para desviar el tránsito de las actividades de topografía; asimismo,
pueden asignarse portabanderas para advertir a los conductores, ya sea para que
aminoren la velocidad o que hagan alto total si es necesario. La Occupational Safety
and Health Administration (OSHA), del U.S. Department of Labor, 4 ha desarrollado estándares y lineamientos de seguridad que son aplicables a las diferentes
condiciones y situaciones que puedan encontrarse.
Además de los riesgos descritos anteriormente, dependiendo de la ubicación
del levantamiento y de la época del año, también pueden encontrarse otros peligros al realizar levantamientos de campo. Éstos incluyen problemas relacionados
con el estado del tiempo, tales como la congelación y la exposición prolongada a
los rayos solares que pueden causar cáncer de piel, quemaduras por el sol, el golpe
de calor, y las quemaduras por el frío. Para ayudar a evitar estos problemas, deben
beberse muchos líquidos, pueden usarse sombreros de ala ancha y filtros solares, y
en los días de mucho calor el levantamiento debe comenzar al amanecer y terminar al medio día o al inicio de la tarde. No debe hacerse trabajo al aire libre en los
días muy fríos, pero si es necesario, debe usarse ropa abrigadora y no exponerse la
piel. Otros riesgos que pueden encontrarse durante los levantamientos de campo
incluyen los animales salvajes, las serpientes venenosas, las abejas, las arañas, las
garrapatas del bosque, las garrapatas de los ciervos (que pueden propagar la enfermedad de Lyme), la hiedra venenosa y el roble venenoso. Los topógrafos deben
estar familiarizados con los tipos de riesgos que pueden esperarse en cualquier
área local, y estar siempre alertas y en guardia contra éstos. Para ayudar a evitar
las lesiones provenientes de estas fuentes, deben usarse botas, ropa protectora y
repelentes de insectos. Ciertas herramientas también pueden ser peligrosas, tales
como las sierras de cadena, las hachas y los machetes que algunas veces son necesarios para despejar las trayectorias de visado. Siempre deben manejarse con
cuidado. También debe tenerse cuidado en el manejo de ciertos instrumentos de
topografía, como las pértigas de largo alcance y los estadales, especialmente al trabajar cerca de cables aéreos, para evitar una electrocución accidental.
Pueden encontrarse muchos otros riesgos además de los citados anteriormente al hacer los levantamientos de campo. Entonces es esencial que los topógrafos siempre se conduzcan con precaución en su trabajo, y conocer y seguir
estándares aceptados de seguridad. Además, siempre debe acompañar a la brigada
de topografía en el campo un botiquín de primeros auxilios que debe incluir todos
los antisépticos, bálsamos, materiales de vendaje necesarios, y otro equipo necesario para prestar primeros auxilios para accidentes leves. La brigada de topografía
también debe estar equipada con teléfonos celulares para situaciones más graves,
y tener escritos en lugares de fácil acceso los números telefónicos de emergencia.
La misión de OSHA es salvar vidas, evitar lesiones y proteger la salud de los trabajadores de
Estados Unidos. Su equipo establece estándares de protección, los promulga y llega hasta los
empleadores y empleados a través de la asistencia técnica y los programas de consulta. Para
más información acerca de OSHA y sus estándares de seguridad, consulte su página en http://
www.osha.gov.
4
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
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14
INTRODUCCIÓN
■ 1.8 SISTEMAS DE INFORMACIÓN TERRESTRE
Y GEOGRÁFICA
Los Sistemas de Información Terrestre (LIS: Land Information Systems) y los
Sistemas de Información Geográfica (GIS: Geographic Information Systems) son
nuevas áreas de actividad sumamente importantes en la topografía. Estos sistemas,
basados en las computadoras, permiten que se almacene, integre, maneje, analice y
exhiba virtualmente cualquier tipo de información espacial relacionada con nuestro medio ambiente. Los LIS y los GIS los utiliza el gobierno en todos los niveles,
en los negocios, en la industria privada y en instalaciones públicas para auxiliar en
la administración y toma de decisiones. Se encuentran aplicaciones específicas
en diversas áreas, entre las que se incluyen: administración de recursos naturales, ubicación y administración de instalaciones, actualización de registros de Tierras, análisis demográfico y de mercado, respuesta a emergencias y operaciones
de la armada, administración de infraestructura y observación regional, nacional
y global del medio ambiente. Los datos almacenados dentro de los LIS y los GIS
pueden ser tanto naturales como culturales y se derivan de nuevos levantamientos, o
de fuentes existentes tales como mapas, planos, fotografías aéreas y desde satélite,
estadísticas, datos tabulares y otros documentos. Sin embargo, en la mayoría de las
situaciones, la información necesaria no existe o no es satisfactoria debido a que
es obsoleta, a la escala o por otras razones. Por lo tanto, se requieren nuevas mediciones, mapas, fotografías u otros datos.
Los tipos específicos de información (también llamados temas o capas de
información) que se necesitan para los Sistemas de Información Terrestre y Geográfica pueden incluir fronteras políticas, derecho individual de propiedad, distribución
de población, ubicación de recursos naturales, redes de transporte, servicios, zonificación, hidrografía, tipos de suelos, uso de suelo, tipos de vegetación, humedales, y
muchas, muchas más. Un ingrediente esencial de toda la información ingresada en
las bases de datos del LIS y del GIS es que está espacialmente relacionada, es decir,
localizada en un marco de referencia geográfico común. Sólo entonces se pueden
describir físicamente las diferentes capas de información para su análisis mediante computadora para apoyar la toma de decisiones. Este requisito de localización
geográfica hará que en el futuro tengan más demanda los topógrafos (ingenieros
en geomática), quienes desempeñarán un papel clave en el diseño, implementación
y manejo de estos sistemas. Los topógrafos de casi todas las áreas especializadas
descritas en la sección 1.6 intervendrán en el desarrollo de las bases de datos necesarias. Su trabajo incluirá establecer los marcos de referencia de control básicos; conducir los levantamientos limítrofes y preparar la descripción legal de los derechos
de propiedad; llevar a cabo levantamientos topográficos e hidrográficos mediante
métodos terrestres, aéreos y por satélite; la compilación y la digitalización de mapas
y el armado de diferentes archivos adicionales de datos digitales.
El último capítulo de este libro (capítulo 28), está dedicado a los sistemas
de información terrestre y geográfica. Este tema queda debidamente cubierto al
final, después de analizar cada uno de los tipos de levantamientos necesarios para
apoyar estos sistemas.
■ 1.9 DEPENDENCIAS FEDERALES DE TOPOGRAFÍA
Y DE ELABORACIÓN DE MAPAS
Varias agencias del gobierno de Estados Unidos llevan a cabo extensos trabajos de
levantamiento y mapeo. Tres de las principales agencias son:
1. El National Geodetic Survey (NGS), anteriormente el Coast and Geodetic
Survey, originalmente se organizó para mapear la costa. Sus actividades
incluyen levantamientos de control para establecer una red de señalamientos
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TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
1.10 La profesión de topógrafo 15
de referencia a lo largo de Estados Unidos que sirvan como puntos de origen para los levantamientos locales, la preparación de cartas náuticas y aeronáuticas, levantamientos fotogramétricos, estudios de mareas y corrientes,
recolección de datos magnéticos, levantamientos gravimétricos y operaciones de topografía de control mundial. El NGS también realiza una labor muy
importante en la coordinación y ayuda en aquellas actividades relacionadas
con el mejoramiento de la red nacional de señalamientos de control de referencias y con el desarrollo, almacenamiento y difusión de los datos usados en
los LIS y los GIS modernos.
2. La U. S. Gelogical Survey (USGS), la cual se fundó en 1879, tiene la responsabilidad de preparar mapas para todo el país y de hacer levantamientos de sus
recursos. Suministra una amplia variedad de mapas, desde los topográficos
que muestran el relieve geográfico y las características naturales y culturales,
mapas temáticos que muestran la geología y los recursos hidráulicos de Estados Unidos, hasta mapas especiales de la Luna y de los planetas. La National
Mapping Division de la USGS tiene la responsabilidad de reproducir mapas
topográficos. Actualmente dispone de casi 70 000 mapas topográficos diferentes, y distribuye cerca de 10 millones de copias cada año. En la actualidad,
la USGS se ocupa de un amplio programa para desarrollar una base de datos
cartográficos digitales a nivel nacional, que consta de datos de mapas en un
formato que puede leerse en computadora.
3. El Bureau of Land Management (BLM), fundado originalmente en 1812
como la General Land Office (Oficina de Administración de Tierras), es responsable de la administración de los terrenos públicos. Estos terrenos, que
totalizan aproximadamente 264 millones de acres y que abarcan aproximadamente 1/8 de las tierras de Estados Unidos, existen en su mayoría en los estados occidentales y en Alaska. El BLM es responsable de los levantamientos
de los terrenos y de la administración de sus recursos naturales que incluyen
minerales, maderas, peces y vida silvestre, sitios históricos, y otras áreas de
herencia natural. Se han terminado los levantamientos de la mayoría de los
terrenos públicos en Estados Unidos continental, pero queda mucho trabajo
por hacer en Alaska.
Además de estas tres agencias federales, unidades del Cuerpo de Ingenieros
del Ejército de Estados Unidos han hecho extensos levantamientos con propósitos
militares y de emergencia. Algunos de ellos proporcionan información para proyectos de ingeniería, tales como los que están relacionados con el control de las
inundaciones. Otras 40 agencias federales también han realizado levantamientos
muy grandes para fines especiales, incluyendo el Servicio de Bosques, el Servicio de
Parques Nacionales, la Comisión Internacional de Límites, la Oficina de Recuperación de Tierras, la Autoridad del Valle Tennessee, la Comisión del Río Mississippi,
la Oficina de Levantamientos de Lagos y el Departamento de Transportes.
Todos los estados tienen una sección de levantamientos y de mapeos con el
propósito de generar información topográfica con la cual se planean y se diseñan
las carreteras. De la misma manera, muchos condados y ciudades también tienen
programas de levantamientos, así como diferentes empresas de servicios públicos.
■ 1.10 LA PROFESIÓN DE TOPÓGRAFO
Las cualidades personales de un topógrafo al relacionarse con la gente, son tan
importantes como su capacidad técnica. Debe ser paciente y mesurado en el trato
con sus clientes y, en ocasiones, con los vecinos hostiles. Pocas personas se dan cuenta de lo laborioso de la búsqueda de información en documentos antiguos, la cual
constituye una exigencia previa al trabajo de campo. Puede necesitarse de esfuerzo
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16
INTRODUCCIÓN
diligente y prolongado para ubicar los vértices de predios cercanos para fines de
verificación, así como para determinar los vértices de la propiedad en cuestión.
La topografía se clasifica como una profesión técnica-académica, porque el
topógrafo moderno necesita una amplia preparación general, adiestramiento técnico y experiencia práctica, y debe aplicar un grado considerable de juicio independiente. Un topógrafo profesional (o bien, un ingeniero topógrafo) debe tener
un buen conocimiento de matemáticas, en particular de geometría y trigonometría,
con algo de cálculo y estadística; experiencia con computadoras, una sólida comprensión de la teoría topográfica y de los instrumentos, así como de las técnicas
empleadas en geodesia, fotogrametría, percepción remota y cartografía; ciertas
nociones de economía (incluyendo administración de oficinas), geografía, geología,
astronomía y dendrología; asimismo, conocer las leyes relativas a tierras y linderos.
Debe ser preciso en sus cálculos de gabinete y en sus operaciones de campo. Sobre
todo, el topógrafo debe guiarse por un código de ética profesional y percibir honorarios adecuados por su trabajo.
Llevando a cabo las gestiones adecuadas se tiene que solicitar permiso para
entrar en propiedades privadas o para cortar ramas de árboles y arbustos que obstruyan. Tales privilegios no los da el simple hecho de ser, por ejemplo, topógrafo de
un departamento de carreteras (aunque puede conseguirse una orden judicial si el
propietario de un terreno se opone a que se hagan los trabajos de levantamiento
necesarios), ni el de poseer un título y un registro profesional de topógrafo.
Todos los estados que conforman la Unión Americana, así como Guam y Puerto
Rico, tienen leyes de registro para los topógrafos profesionales y los ingenieros (igualmente lo tienen las provincias canadienses). En general, se exige registro profesional de
topógrafo para hacer levantamientos de propiedades, pero no para levantamientos de
construcción, de configuración y de vías terrestres, excepto cuando haya que determinar vértices de linderos.
Para poder tener el registro como topógrafo (o ingeniero topógrafo) es
necesario tener el grado académico apropiado, aunque algunos estados permiten
poseer una experiencia suficiente en vez de una educación formal. Además de esto,
los candidatos deben adquirir dos o más años de experiencia práctica con asesoría,
y también pasar un examen escrito. En la mayoría de los estados de la Unión Americana, se aplica ahora un examen nacional común que cubre los fundamentos,
principios y práctica de la topografía terrestre. Sin embargo, se dedican dos horas
del examen a cuestiones y aspectos legales locales. De esta manera, el registro o
certificación entre estados se ha vuelto más fácil.
Algunos estados exigen también cursos de educación continua para renovar
el registro, y hay muchos estados más que están en vías de añadir este requisito a
su legislación. Las leyes estatales exigen que un topógrafo firme todos los planos, se
haga cargo de la responsabilidad por cualesquiera reclamaciones de daños y que
sea parte activa del levantamiento de campo.
■ 1.11 ORGANIZACIONES DE TOPÓGRAFOS
PROFESIONALES
En Estados Unidos y en otras partes del mundo existen muchas organizaciones
profesionales que realizan levantamientos y mapas de interés. En general, la finalidad de estas organizaciones es el desarrollo del conocimiento en este campo,
fomentar la comunicación entre los topógrafos y actualizar la ética en la práctica
de la topografía. En Estados Unidos, la National Society of Professional Surveyors
(NSPS) representa a los agrimensores de linderos y a los topógrafos de construcciones. La misión de la NSPS es establecer y auspiciar los intereses comunes, los
objetivos y el esfuerzo político que ayudaría a aglutinar a la profesión de la topografía en un cuerpo unificado en Estados Unidos.
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TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
1.12 La topografía en Internet
17
Como habrá observado en la sección anterior, todos los estados requieren
que las personas que realizan deslindes tengan una licencia. La mayoría de los estados también tienen sociedades de topógrafos profesionales u organizaciones que
permiten el ingreso sólo a aquellas personas con licencia dentro del estado. Muchas
de estas sociedades estatales con frecuencia están afiliadas a la NSPS y ofrecen
beneficios semejantes a los que ofrece la NSPS, excepto que se ocupan de asuntos
de alcance estatal y local.
La American Society for Photogrammetry and Remote Sensing (ASPRS) es
una organización también dedicada al impulso de las áreas de la medición y elaboración de mapas, aunque su interés principal se encamina al empleo de imágenes tomadas con aviones o satélites para lograr sus objetivos. Su revista mensual
Photogrammetric Engineering and Remote Sensing publica regularmente artículos
sobre topografía y mapeo.
La Geomatics Division de la American Society of Civil Engineers (ASCE)
también está dedicada a temas profesionales relacionados con la topografía y publica cada trimestre el Journal of Surveying Engineering.
La Surveying and Geomatics Educators Society (SAGES) ofrece conferencias pedagógicas sobre la enseñanza de la topografía/geomática en las instituciones
de educación superior. Estas conferencias se celebran cada dos años en instituciones anfitrionas en todo el continente de Norteamérica.
En Estados Unidos, otra organización, Urban and Regional Information Systems Association (URISA), también apoya profesionalmente la topografía y el
mapeo. Esta organización usa tecnología de información para resolver problemas
de planeación, obras públicas, el medio ambiente, los servicios de emergencia y
empresas de servicios. El URISA Journal se publica trimestralmente.
La organización más profesional en Canadá, relacionada con la topografía,
es el Canadian Institute of Geomatics (CIG). Sus objetivos son semejantes a los de
la NSPS. Esta organización, antes denominada Canadian Institute of Surveying and
Mapping (CISM), difunde la información a sus miembros a través de su publicación CIG Journal anteriormente CISM Journal.
La International Federation of Surveyors (FIG), fundada en 1878, fomenta
el intercambio de ideas e información entre los topógrafos a nivel mundial. El
acrónimo FIG proviene del francés, Fédération Internationale des Géométres. Los
miembros de la FIG son organizaciones de topógrafos profesionales de países de
todo el mundo. La NSPS ha sido miembro desde 1959. La FIG está organizada en
nueve organizaciones técnicas, cada una especializada en un área de la topografía.
La organización financia congresos internacionales, normalmente con un intervalo
de cuatro años, y sus comisiones también celebran simposios periódicos donde los
delegados se reúnen para la presentación de artículos acerca de temas de interés
internacional.
■ 1.12 LA TOPOGRAFÍA EN INTERNET
La explosión de información disponible en Internet ha tenido un impacto importante en el campo de la topografía (geomática). La Internet permite la trasferencia
electrónica instantánea de documentos a cualquier localidad donde se disponga
del equipo de cómputo necesario. Lleva recursos directamente a la oficina o el
hogar, donde anteriormente era necesario viajar para obtener la información, o
esperar por su transferencia postal. En Internet están disponibles software, materiales educativos, documentos técnicos, normas y mucha más información útil. Un
ejemplo de cómo los topógrafos pueden aprovechar la Internet, es la posibilidad
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18
INTRODUCCIÓN
TABLA 1.1
DIRECCIONES DEL LOCALIZADOR UNIVERSAL DE RECURSOS PARA ALGUNOS SITIOS RELACIONADOS CON LA TOPOGRAFÍA
Localizador universal de recursos
Dueño del sitio
http://www.ngs.noaa.gov
National Geodetic Survey
http://www.usgs.gov
U.S. Geological Survey
http://www.blm.gov
Bureau of Land Management
http://www.navcen.uscg.mil
U.S. Coast Guard Navigation Center
http://www.usno.navy.mil
U.S. Naval Observatory
http://www.asprs.org
American Society for Photogrammetry and Remote
Sensing
http://www.asce.org
http://www.geoscholar.com/Sages/
Surveying and Geomatics Educators Society
http://libroweb.alfaomega.com.mx/
Companion website for this book
de descargar datos de una Estación de Referencia de Operación Continua (CORS:
Continuously Operating Reference Station) desde el sitio de red NGS para usarse
en un levantamiento con GNSS (véase la sección 14.3.5).
Muchas dependencias e instituciones conservan sitios de red que suministran
datos gratis en la Internet. Adicionalmente, en la actualidad algunas instituciones
educativas suben a la Internet cursos con o sin crédito académico con objeto de
lograr con más facilidad la educación a distancia. Con un navegador de red, es
posible investigar casi cualquier tema desde una ubicación conveniente, y pueden
identificarse nombres, direcciones y números telefónicos de proveedores de bienes
o servicios en un área específica. Como ejemplo, si se deseara encontrar compañías
que ofrezcan servicios de elaboración de mapas en cierta región, podría usarse una
máquina de búsqueda en la red para localizar páginas que mencionen este servicio.
Una búsqueda de este tipo puede conducir a más de un millón de páginas si se usa
para investigar un término muy general tal como los “servicios de elaboración de
mapas”, pero la investigación puede afinarse usando términos más específicos.
Desafortunadamente las direcciones de páginas específicas y de sitios enteros, dadas por sus Localizadores Universales de Recursos (URL: Uniform Resource
Locators) tienden a cambiar con el tiempo. Sin embargo, arriesgándonos a publicar
URL que ya no son correctos, en la tabla 1.1 se presenta una corta lista de sitios de
red importantes relacionados con la topografía.
■ 1.13 RETOS FUTUROS EN TOPOGRAFÍA
La topografía se encuentra en medio de una renovación en cuanto a la manera
de medir, grabar, procesar, almacenar, recuperar y compartir información. Esto
se debe en gran parte a los progresos de las computadoras y de la tecnología relacionada con ellas. Junto con los avances tecnológicos, la sociedad continúa exigiendo mayor información con mayores normas de precisión que nunca antes. En
consecuencia, en unos cuantos años las exigencias en las responsabilidades de los
topógrafos (ingenieros en geomática) serán muy diferentes de lo que son ahora.
En el futuro, deberá mantenerse y proveerse al Sistema Nacional de Referencia Espacial, que es una red de puntos de control horizontal y vertical para cumplir
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
Problemas
19
con los requerimientos de levantamientos de orden crecientemente superior. Son
necesarios para una mejor planeación nuevos mapas topográficos con escalas más
grandes, así como productos de mapas digitales. Los mapas existentes de nuestras
áreas urbanas en rápida expansión necesitan revisión y actualización para reflejar
los cambios, y se necesitan más y mejores productos de mapas de las partes más
antiguas de nuestras ciudades para sustentar los programas de renovación urbana,
así como el mantenimiento y la modernización de la infraestructura. Se necesitarán
grandes cantidades de datos para planear y diseñar los nuevos sistemas de tránsito
rápido para conectar nuestras ciudades principales, y los topógrafos enfrentarán
nuevos retos para cumplir con las normas precisas que se requieren para el estacamiento de alineamientos y pendientes para estos sistemas.
En el futuro, la evaluación de los impactos ambientales de los proyectos propuestos de construcción requerirá de más y mejores mapas y de otros datos. Deberán diseñarse, desarrollarse y mantenerse GIS y LIS que contengan varios datos
relacionados con el suelo tales como propiedad, ubicación, superficie, tipos de
suelo, usos del suelo, y recursos naturales. Son esenciales los levantamientos
catastrales de los terrenos públicos que no han sido levantados. Los señalamientos establecidos hace años por los topógrafos originales tienen que recuperarse y replantearse para la conservación de los linderos de las propiedades. Serán
necesarios levantamientos apropiados con una gran exactitud para colocar las
plataformas de perforación a medida que las exploraciones de minerales y de
petróleo avanzan fuera de la costa. Otros retos futuros incluyen la elaboración
de levantamientos precisos de deformaciones para monitorear estructuras existentes, como presas, puentes y rascacielos, para detectar movimientos imperceptibles
que podrían ser precursores de catástrofes causadas por sus fallas. Se necesitarán
mediciones oportunas y mapas de los efectos generados por los desastres naturales como terremotos, inundaciones y huracanes, para poder planear e implementar acciones efectivas de auxilio. En el programa espacial se pretende contar con
mapas de nuestros planetas vecinos. También debemos aumentar nuestras actividades de medición y observación de los cambios globales, tanto naturales como
causados por el hombre (crecimiento y retirada de los glaciales, actividad volcánica, deforestación en gran escala, etc.), que pueden afectar potencialmente nuestra
tierra, agua, atmósfera, suministro de energía y aun al clima.
Éstas y otras oportunidades ofrecen una actividad profesional remunerada
en trabajos de gabinete o de campo, o en ambos, para un buen número de personas
que cuenten con el adiestramiento adecuado en las distintas ramas de la topografía.
PROBLEMAS
NOTA: Las respuestas a algunos de estos problemas y a algunos de los capítulos posteriores se pueden conseguir consultando la bibliografía, capítulos posteriores, sitios de la
red o topógrafos profesionales.
1.1 Desarrolle su definición personal de la práctica de la topografía.
1.2 Explique la diferencia entre levantamientos planos y geodésicos.
1.3 Describa algunas aplicaciones de la topografía en:
(a) Construcción
(b) Minería
(c) Agricultura
1.4 Liste 10 usos de la topografía además de la topografía de construcción y de propiedades.
1.5 ¿Qué mediciones de topografía necesita un contratista para tender una tubería
de 36 pulgadas de diámetro?
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
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20
INTRODUCCIÓN
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
Comente los usos de los levantamientos topográficos.
¿Qué son los levantamientos hidrográficos, y por qué son importantes?
Nombre y describa brevemente tres diferentes instrumentos topográficos usados por los antiguos ingenieros romanos.
Explique brevemente el procedimiento usado por Eratóstenes para determinar
la circunferencia de la Tierra.
Describa los pasos que tendría que realizar un topógrafo al ejecutar un levantamiento de linderos.
¿Las leyes de su estado que rigen la división de tierras especifican con la precisión necesaria los levantamientos de una subdivisión? De ser así, ¿cuáles son los
límites que se establecen?
En su estado, ¿qué organizaciones podrían proporcionar datos de mapas y referencias topográficas a los topógrafos e ingenieros?
Haga una lista de los requisitos legales necesarios en su localidad para conseguir
el registro profesional como topógrafo.
Describa brevemente el sistema ruso GLONASS y discuta sus semejanzas y
diferencias con el GPS.
Liste cuando menos cinco usos no topográficos del GPS.
Explique por qué son de gran valor en topografía las fotografías aéreas y las
imágenes de satélite.
Haga una búsqueda en Internet y defina una estación (VLBI: Very Long Baseline Interforometry). Explique por qué estas estaciones son importantes para la
comunidad de topógrafos.
Describa cómo puede usarse un GIS para la planeación de las emergencias
durante las inundaciones.
Visite uno de los sitios de topografía en la red listados en la tabla 1.1 y escriba un
breve resumen del contenido. Explique brevemente el valor de la información
disponible para los topógrafos.
Lea uno de los artículos citados en la bibliografía de este capítulo, o algún otro
de su elección, que describa una aplicación donde se hayan usado métodos satelitales de levantamientos topográficos. Escriba un breve resumen del artículo.
Lo mismo que el problema 1.20, excepto que el artículo debe ser sobre la seguridad relacionada con la topografía.
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TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
2
Unidades, cifras
significativas
y notas de campo
PARTE 1 • UNIDADES Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS
■ 2.1 INTRODUCCIÓN
La figura 2.1 muestra las cinco clases de mediciones que forman la base de la topografía plana tradicional: (1) ángulos horizontales, (2) distancias horizontales, (3)
ángulos verticales (o cenitales), (4) distancias verticales y (5) distancias inclinadas.
En la figura, OAB y ECD son planos horizontales, y OACE y ABCD son planos
verticales. Entonces, como se muestra, los ángulos horizontales como el AOB y las
distancias horizontales como la OA y la OB se miden en planos horizontales; los
ángulos verticales como el AOC se miden en planos verticales; los ángulos cenitales
como el EOC, también se miden en planos verticales; las líneas verticales, como
la AC y la BD, se miden en sentido vertical (en la dirección de la fuerza debida a la
gravedad); y las distancias inclinadas como la OC se determinan a lo largo de los
planos inclinados. Empleando combinaciones de estas medidas básicas pueden calcularse posiciones relativas entre puntos cualesquiera. En capítulos posteriores se
describen el equipo y los procedimientos para hacer cada una de estas mediciones.
■ 2.2 UNIDADES DE MEDICIÓN
Las magnitudes de las mediciones (o de los valores observados de las mediciones)
se deben dar en términos de unidades específicas. Las unidades de medición más
comúnmente empleadas en topografía son las relativas a longitud, área, volumen y
ángulo. Los sistemas inglés y métrico son dos sistemas diferentes, actualmente en uso,
para especificar unidades de medición. Debido a que se ha adoptado extensamente,
al sistema métrico se le llama Sistema Internacional de Unidades y se abrevia SI.
2.2 Unidades de medición
C
23
D
E
A
B
O
Figura 2.1
Tipos de
mediciones
en topografía.
La unidad básica empleada para mediciones de longitud en el sistema inglés
es el pie, en tanto que se usa el metro en el sistema métrico. En el pasado se utilizaron dos definiciones diferentes para relacionar el pie y el metro. Aunque difieren
ligeramente, se debe hacer una distinción clara en topografía. En 1893, Estados Unidos adoptó oficialmente una norma según la cual 39.37 plg equivalían exactamente
a 1 m. Bajo esta norma el pie era aproximadamente igual a 0.3048006 m. En 1959
se adoptó de manera oficial una nueva norma en la cual la pulgada era exactamente igual a 2.54 cm. De acuerdo con esta norma, un pie es exactamente igual a 0.3048
m. Esta unidad actual, conocida como pie internacional, difiere de la anterior por
más o menos una parte en 500 000, o en aproximadamente 1 pie por 100 millas.
Por lo tanto, esta pequeña diferencia sólo es importante para levantamientos muy
precisos efectuados sobre distancias muy largas, así como para las conversiones de
las elevaciones altas o valores coordenados grandes, como los que se usan en los
Sistemas Coordenados Planos de los Estados, como se estudiarán en el capítulo 20.
Debido al gran número de levantamientos llevados a cabo antes de 1959, hubiera
sido en extremo difícil y confuso cambiar todos los documentos y mapas que ya
existían. Así, la antigua norma, ahora llamada pie estadounidense para topografía
(U. S. survey foot), todavía está en uso. Los estados tienen la opción de adoptar
oficialmente cualquier norma. El National Geodetic Survey utiliza el metro en sus
mediciones de distancia, por tanto no es necesario especificar la unidad de pie. Sin
embargo, aquellos que hacen conversiones de las unidades métricas deben conocer
cuál es la norma apropiada para su estado, y usar el factor de conversión correcto.
Debido a que el sistema inglés ha sido la norma adoptada oficialmente desde
hace mucho tiempo en Estados Unidos, excepto para los levantamientos geodésicos, las unidades lineales de pie y decimales de pie son las que más utilizan los
topógrafos. En la construcción se usan con mayor frecuencia los pies y las pulgadas.
Debido a que los topógrafos llevan a cabo todo tipo de levantamientos, incluyendo
los geodésicos, y proporcionan medidas para la elaboración de planos de construcción y para dirigir las operaciones de construcción, deben conocer los diversos
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
24 UNIDADES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTAS DE CAMPO
sistemas de unidades y ser capaces de efectuar conversiones. Debe procederse con
sumo cuidado para garantizar que las medidas se registren en sus unidades apropiadas y las conversiones se efectúen correctamente.
Entre las unidades de longitud usadas en levantamientos antiguos y actuales,
y que se emplean en Estados Unidos, se encuentran las siguientes:
1 pie 5 12 pulgadas
1 yarda 5 3 pies
1 pulgada 5 2.54 centímetros (base del pie internacional)
1 metro 5 39.37 pulgadas (base del pie estadounidense para topografía)
1 pértica 5 1 percha 5 1 pértiga 5 16.5 pies
1 vara 5 aproximadamente igual a 33 pulgadas (unidad española antigua que
se utilizó en el suroeste de Estados Unidos)
1 cadena de Gunter (ch) 5 66 pies 5 100 eslabones (lk) 5 4 pértigas
1 milla 5 5 280 pies 5 80 cadenas de Gunter
1 milla náutica 5 6 076.10 pies (longitud nominal de un minuto de latitud o
de longitud en el ecuador)
1 braza 5 6 pies
En el sistema inglés, las áreas se dan en pies cuadrados o yardas cuadradas.
La unidad más común para las áreas grandes es el acre. Diez cadenas cuadradas
(de Gunter) equivalen a 1 acre. Por tanto, un acre tiene 43 560 pies2 que es el producto de 10 por 662. El arpent (que es aproximadamente igual a 0.85 acres, y que
varía algo de estado a estado) se usó en el otorgamiento de tierras por parte de la
corona francesa. Cuando se emplea como medida lineal, se refiere a la longitud del
lado de un arpent cuadrado.
En el sistema inglés, los volúmenes se pueden dar en pies cúbicos o yardas
cúbicas. Por ejemplo, para volúmenes muy grandes, como la cantidad de agua en
un embalse, se utiliza la unidad acre-pie, que equivale al área de un acre y una profundidad de 1 pie, por tanto, tiene 43 560 pies3.
La unidad de ángulo usada en topografía es el grado, definido como 1/360 del
ángulo central de una circunferencia. Un grado (1°) es igual a 60 minutos y 1 minuto es igual a 60 segundos. Los segundos se dividen a veces en décimos, centésimos
y milésimos. Se han usado también otros métodos para subdividir una circunferencia, por ejemplo, en 400 grados centesimales (con 100 minutos centesimales/grado
centesimal y 100 segundos centesimales/minuto). Otro término, el gon, se usa ahora
en forma indistinta con el grado centesimal. Las fuerzas armadas de Estados Unidos usan los mils para subdividir un círculo en 6 400 unidades.
Un radián es el ángulo subtendido por un arco de circunferencia, cuya longitud es igual al radio del círculo. Entonces, 2  rad ≈ 360°, 1 rad ≈ 57°17944.80 ≈
57.2958° y 0.01745 rad ≈ 1°, y 1 rad ≈ 206 264.80.
■ 2.3 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
Como se anotó anteriormente, el metro es la unidad básica de longitud del sistema
métrico o SI. Las subdivisiones del metro (m) son el milímetro (mm), el centímetro
(cm) y el decímetro (dm), iguales a 0.001 m, 0.01 m y 0.1 m respectivamente. Un
kilómetro (km) es igual a 1 000 m o, aproximadamente, 5/8 de milla.
En el sistema métrico, las áreas se especifican usando el metro cuadrado (m2).
En áreas grandes, por ejemplo una extensión de tierra, la superficie se da en hectáreas (ha), donde una hectárea equivale a un cuadrado que tiene lados de 100 m.
Por tanto, se tienen 10 000 m2, o aproximadamente 2.471 acres por hectárea. En el
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
2.3 Sistema Internacional de Unidades (SI)
25
SI se utiliza el metro cúbico (m3) para medir volúmenes. Los grados, los minutos, los
segundos o el radián son unidades SI aceptadas para medir ángulos.
El sistema métrico se desarrolló originalmente en Francia en la década de
1790. Aunque sugirieron otras definiciones en ese momento, la Academia Francesa
de Ciencias eligió definir el metro como 1/10 000 000 de la longitud del meridiano
terrestre que pasa por París desde el ecuador hasta el polo. La longitud real que
se adoptó para el metro se basó en las mediciones que se habían hecho hasta ese
momento para determinar el tamaño y la forma de la Tierra. Aunque mediciones
posteriores revelaron que el valor inicial adoptado era aproximadamente 0.2 mm
más corto que la definición propuesta en relación con el cuadrante del meridiano,
de cualquier manera la longitud originalmente adoptada se convirtió en el estándar.
Poco tiempo después de la introducción del sistema métrico en el mundo,
Tomás Jefferson, quien era entonces el Secretario de Estado, recomendó que
Estados Unidos lo adoptara, ¡pero la propuesta fue rechazada por un voto en el
Congreso! Cuando finalmente el sistema métrico se legalizó para usarse (pero no
se adoptó oficialmente) en Estados Unidos en 1866, el metro se definió como la
distancia, en ciertas condiciones físicas, entre dos marcas trazadas sobre una barra
que es un prototipo internacional, hecha de una aleación de 90% de platino y 10%
de iridio, y se aceptó que era exactamente igual a 39.37 pulgadas. Una copia de
esta barra se conserva en Washington, D. C. y se compara periódicamente con el
estándar internacional que se conserva en París. En 1960, en la Conferencia General sobre Pesas y Medidas (CGPM), Estados Unidos y otras 35 naciones acordaron
redefinir el metro como la longitud de 1 650 763.73 ondas de la luz roja-anaranjada
producida al quemarse el elemento criptón (Kr-86). Esta nueva definición permitió a las industrias hacer mediciones más exactas y verificar sus propios instrumentos sin tener que recurrir a la barra-patrón del metro en Washington. La longitud
de onda de esta luz es una verdadera constante, en tanto que hay cierto riesgo de
inestabilidad en la barra-patrón de metal. La CGPM se reunió de nuevo en 1983
y determinó la definición actual del metro como la longitud del espacio recorrido
por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299,792,458 segundos. Es
claro que con esta definición la velocidad de la luz en el vacío es exactamente de
299,792,458 m/segundo. La ventaja de esta última definición es que el metro queda
definido en forma más precisa, ya que se hace en función del tiempo, que es la más
confiable de nuestras mediciones básicas.
En las décadas de los años sesenta y setenta se hizo un gran esfuerzo en
Estados Unidos para promover la adopción del SI como el sistema legal de pesas y
medidas. Sin embargo, los costos y las frustraciones asociados con hacer el cambio
generaron una resistencia considerable, y los esfuerzos se aplazaron temporalmente. Reconociendo la importancia para Estados Unidos del uso del sistema métrico
con objeto de competir en la economía global de rápido desarrollo, en 1988 el Congreso promulgó la Omnibus Trade and Competitiveness Act. Ésta designó al sistema
métrico como el preferido de pesas y medidas para el comercio y los negocios
en Estados Unidos. La Ley, junto con una Orden Ejecutiva subsiguiente emitida en
1991, requirió que todas las dependencias federales desarrollaran planes definidos
de conversión métrica y usaran los estándares del SI en sus adquisiciones, fondos,
y otras actividades relacionadas con los negocios hasta un alcance económicamente factible. Como ejemplo de la respuesta de una dependencia, la Administración
Federal de Carreteras adoptó un plan que requiere (1) el uso de unidades métricas
en todas las publicaciones y la correspondencia después del 30 de septiembre de
1992, y (2) el uso de unidades métricas en todos los planes y contratos de las carreteras federales después del 30 de septiembre de 1996. Aunque la Ley y la Orden
ejecutiva no exigía que los estados, los condados, las ciudades o las industrias hicieTOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
26 UNIDADES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTAS DE CAMPO
ran la conversión al sistema métrico, se ofrecían fuertes incentivos, por ejemplo,
si no se cumplía con ciertas directrices del sistema SI, ciertos fondos federales
complementarios podrían retenerse. En vista de estos desarrollos, parecía evidente
que el sistema métrico pronto se convertiría en el sistema oficial de uso en Estados
Unidos. Sin embargo, de nuevo se encontró mucha resistencia, no solamente por
parte de las personas, sino también de las dependencias de algunos gobiernos de
los estados, condados, pueblos y ciudades, así como por parte de ciertas empresas.
Como resultado, el sistema SI todavía no ha sido adoptado oficialmente en Estados Unidos.
Además de la ventaja obvia de tener mayor capacidad de competencia en la
economía global, otro beneficio importante que se obtendría con la adopción del
estándar SI sería la eliminación de la confusión que existe al hacer conversiones
entre el sistema inglés y el SI. El choque de 1999 del Orbitador de Marte subraya
los costos y las frustraciones asociados con esta confusión. Se suponía que este
satélite de 125 millones de dólares iba a monitorear la atmósfera de Marte, pero
en lugar de ello, chocó contra el planeta debido a que su contratista usó unidades
inglesas mientras que el Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA estaba
dándole datos en el sistema métrico. Por éstas y otras razones, tal como la simplicidad decimal del sistema métrico, los topógrafos que actualmente están sobrecargados con la conversión de las unidades y los cálculos estrambóticos que incluyen
unidades de yardas, pies y pulgadas deberán dar la bienvenida a la adopción oficial
del SI. Sin embargo, como esta adopción todavía no tiene lugar, en este libro se
usan ambos sistemas de unidades, el inglés y el SI, tanto en la exposición como en
los problemas de los ejemplos.
■ 2.4 CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Al registrar medidas, una indicación de la exactitud lograda es el número de dígitos
(cifras significativas) que se registran. Por definición, el número de cifras significativas en cualquier valor medido incluye los dígitos positivos (seguros) más uno (solamente uno), que es un dígito estimativo o redondeado y por tanto cuestionable. Por
ejemplo, una distancia medida con una cinta cuyas graduaciones más pequeñas son
de 0.01 pie y ésta registra 73.52 pies, se dice que tiene cuatro cifras significativas; en
este caso, los tres primeros dígitos son seguros y el último está redondeado y, por
tanto, es cuestionable pero todavía es significativo.
Para ser congruente con la teoría de los errores estudiada en el capítulo 3, es
indispensable que los datos se registren con el número correcto de cifras significativas. Si se descarta una cifra significativa al registrar un valor, se ha desperdiciado
el tiempo empleado en lograr cierta exactitud. Por otra parte, si se registran los
datos con más cifras que las que son significativas, se estará denotando una falsa
precisión. A menudo se confunde el número de cifras significativas con el de cifras
decimales. En ocasiones tendrán que usarse cifras decimales para conservar el
número correcto de cifras significativas, pero los decimales no indican por sí mismos las cifras significativas. A continuación se dan algunos ejemplos:
Dos cifras significativas: 24, 2.4, 0.24, 0.0024, 0.020
Tres cifras significativas: 364, 36.4, 0.000364, 0.0240
Cuatro cifras significativas: 7621, 76.21, 0.0007621, 24.00
Los ceros del final de un valor entero pueden causar dificultad, porque pueden
indicar o no, cifras significativas. En el valor 2 400, por ejemplo, no se sabe cuántas
cifras son significativas; pueden ser dos, tres o cuatro, y por lo tanto deben seguirse
reglas definidas para eliminar la ambigüedad. El método preferido para eliminar
esta incertidumbre es expresar el valor en términos de potencias de 10. Las cifras
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
2.4 Cifras significativas 27
significativas que hay en la medición se escriben en notación científica como un
número comprendido entre 1 y 10, incluyendo el número correcto de ceros al final,
y el punto decimal se coloca anexando una potencia de 10. Por ejemplo, 2400 se convierte en 2.400 3 103 si ambos ceros son significativos, en 2.40 3 103 si uno lo es, y en
2.4 3 103 si sólo se tienen dos cifras significativas. Alternativamente, puede colocar–
–
–
se una barra sobre la última cifra significativa, como 2400, 240 0, y 2400 para 4, 3 y
2 cifras significativas, respectivamente.
Cuando se usan valores observados en los procesos matemáticos de adición, sustracción, multiplicación y división, es necesario que el número de cifras
significativas dadas en las respuestas sea congruente con los datos empleados. Los
tres siguientes pasos funcionarán para la adición y la sustracción: (1) identifique
la columna que contiene el dígito significativo más a la derecha en cada número
que se suma o se resta; (2) lleve a cabo la adición o sustracción y (3) redondee
la respuesta para que el dígito significativo más a la derecha se encuentre en la
columna más a la izquierda identificada en el paso (1). Se muestra el procedimiento con dos ejemplos.
(respuesta 422.8)
(respuesta 376.)
En el ejemplo (a) los dígitos 8, 3 y 0 son los significativos más a la derecha en
las cifras 46.7418, 1.03, y 375.0, respectivamente. De éstos, el 0 en 375.0 es el más
a la izquierda con respecto al punto decimal. Así, la respuesta 422.7718 obtenida
al sumar las cifras se redondea a 422.8, haciendo que su dígito significativo más a
la derecha se encuentre en la misma columna que el 0 en 375.0. En el ejemplo (b),
los dígitos 8 y 1 están más a la derecha y de éstos, el 8 es el más a la izquierda. Por
tanto, la respuesta 375.9 se redondea a 376.
En la multiplicación, el número de cifras significativas en la respuesta es
igual al número menor de cifras significativas en cualquiera de los factores. Por
ejemplo, cuando se multiplica 362.56 3 2.13 5 772.2528, la respuesta está dada
correctamente como 772. Sus tres cifras significativas las determinan los tres dígitos significativos en 2.13. Asimismo, en la división el cociente debe redondearse
para tener únicamente tantas cifras significativas como tenga el menor número
de cifras significativas tanto en el divisor como en el dividendo. Estas reglas para las
cifras significativas en los cálculos surgen de la teoría de la propagación de errores
y se estudian más adelante en la sección 3.17.
En topografía se encuentran cuatro tipos de problemas relacionados con
cifras significativas que se deben comprender.
1. Las medidas de campo se presentan con un número específico de cifras significativas, con lo cual se indica el número de cifras significativas en las respuestas que se obtienen cuando las mediciones se usan en los cálculos. En
un cálculo intermedio es común calcular por lo menos con un dígito más de
los necesarios, y luego redondear la respuesta al número correcto de cifras
significativas.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
28 UNIDADES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTAS DE CAMPO
Figura 2.2
Corrección
de la pendiente.
V = 8.0
S = 100.32
H = 100.00
2. Puede haber un número implícito de cifras significativas. Por ejemplo, la longitud de un campo deportivo puede estar especificada como de 100 yardas.
Pero al delimitar el campo en el terreno, la distancia se mediría probablemente al centésimo de pie más próximo, y no a la media yarda más cercana.
3. Cada factor puede no ocasionar una variación igual. Por ejemplo, si se va
a corregir una cinta de acero de 100.00 pies de longitud por un cambio de
temperatura de 15 °F, uno de estos números tiene cinco cifras significativas,
en tanto que el otro sólo dos. Sin embargo, una variación de 15° F en la temperatura cambia la longitud de la cinta en 0.01 pie. Por tanto, para este tipo
de datos sí se justifica una longitud ajustada de la cinta a cinco cifras significativas. Otro ejemplo es el cálculo de una distancia inclinada a partir de las
distancias horizontal y vertical, como en la figura 2.2. La distancia vertical V se
da con dos cifras significativas, y la distancia horizontal H se mide con cinco. A
partir de estos datos puede calcularse la distancia inclinada S con cinco cifras
significativas. Para ángulos de inclinación pequeños, un cambio considerable
en la distancia vertical produce un incremento relativamente pequeño en la
diferencia entre las distancias inclinada y horizontal.
4. Las mediciones se registran en un sistema de unidades, pero quizá tengan
que convertirse a otro. Una buena regla a seguir al hacer esas conversiones
es mantener en la respuesta un número de cifras significativas igual a las
que tiene el valor medido. Por ejemplo, para convertir 178 pies 6-3/8 plg a
metros, el número de cifras significativas en el valor medido se determinaría
primero expresándolo en su unidad más pequeña. En este caso, la unidad
más pequeña es el octavo de pulgada, es decir (178 3 12 3 8) 1 (6 3 8) 1 3
5 17,139 de estas unidades en el valor. La medida contiene entonces cinco
cifras significativas y la respuesta es 17,139 4 (8 3 39.37 plg/m) 5 54.416 m,
queda expresada adecuadamente con cinco cifras significativas. (Obsérvese
que el 39.37 usado en la conversión es una constante exacta y no restringe el
número de cifras significativas.)
■ 2.5 REDONDEO DE NÚMEROS
Redondear un número es el proceso de suprimir uno o más dígitos para que la
respuesta sólo contenga aquellos que sean significativos o necesarios en cálculos
subsecuentes. Al redondear números a cualquier grado necesario de exactitud, en
este libro se utilizará el siguiente procedimiento:
1. Cuando el dígito a eliminar sea menor que 5, se escribirá el número sin ese
dígito. Así, 78.374 se transforma en 78.37. También 78.3749 redondeado a
cuatro dígitos se convierte en 78.37.
2. Cuando el dígito a eliminar sea exactamente 5, se usará el siguiente número
par para el dígito precedente. Así, 78.375 se transforma en 78.38 y 78.385 se
redondea también a 78.38.
3. Cuando el dígito a eliminar sea mayor que 5, se escribirá el número con el
dígito precedente aumentado en una unidad. Así, 78.386 se convierte en 78.39.
Los procedimientos descritos en 1 y 3 son la práctica normal. Sin embargo,
cuando se redondea el valor 78.375 en el procedimiento 2, algunos calculistas siempre toman el centésimo inmediato superior, en tanto que otros usan invariablemente
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
2.6 Notas de campo
29
el centésimo inmediato inferior. Sin embargo, al usar el dígito par más próximo, se
establece un procedimiento uniforme y se logran resultados mejor equilibrados en
una serie de cálculos. Es un procedimiento impropio efectuar un redondeo en dos
etapas, por ejemplo, si al redondear 78.3749 a cuatro dígitos se redondea primero a
cinco dígitos, obteniendo 78.375, y luego redondear de nuevo a 78.38. La respuesta
correcta al redondear 78.3749 a cuatro cifras es 78.37.
Es importante reconocer que el redondeo sólo debe hacerse con la respuesta final. Los cálculos intermedios deben hacerse sin redondeo para evitar problemas que pueden ser causados con un redondeo prematuro. Enseguida se repite el
ejemplo (a) de la sección 2.4 para ilustrar este aspecto. La suma de 46.7418, 1.03 y
375.0 se redondea a 422.8 como se muestra en la columna “correcto”. Si los valores
individuales se redondean antes de la suma como se muestra en la columna “incorrecto”, se obtiene el resultado incorrecto de 422.7.
Correcto
(respuesta 422.8)
Incorrecto
(respuesta 422.7)
PARTE II • NOTAS DE CAMPO
■ 2.6 NOTAS DE CAMPO
Las notas de campo son el registro del trabajo hecho en el campo. Por lo común
contienen mediciones, croquis, descripciones y muchas otras partidas de diversa
información. En el pasado, las notas de campo se preparaban exclusivamente a
mano en libretas de campo o bloques de notas especiales conforme el trabajo progresaba y se recopilaban datos. Sin embargo, recientemente se han introducido los
recolectores automáticos de datos, también conocidos como libretas electrónicas
de registro y controladores de levantamientos, que están en interfase con muchos
instrumentos modernos de topografía de diversos tipos. A medida que el trabajo
avanza, los recolectores generan archivos de computadora que contienen un registro de los datos medidos. Todos los recolectores automáticos de datos tienen la
opción del mapeo (véase el capítulo 17). Algunos recolectores y estaciones totales
también están equipados con cámara, de modo que pueda capturarse una imagen
del área donde se recolectan los datos. Si estas opciones están ausentes, los croquis
y descripciones elaborados a mano a menudo complementan a los datos numéricos
que aquellos capturan. Independientemente de la forma en que se tomen las notas,
éstas son muy importantes.
Las notas de levantamientos en el campo, ya sean hechas manual o electrónicamente por un recolector de datos, o bien, por una combinación de ambas formas,
son los únicos registros permanentes del trabajo hecho en el campo. Si los datos
están incompletos, son incorrectos, o se pierden o se destruyen, se habrá desperdiciado gran parte o todo el tiempo y dinero invertidos en hacer las mediciones y los
registros. Así, el trabajo de registrar los datos es con frecuencia la labor más importante y difícil para la brigada de topografía. Las libretas de campo y los archivos
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
30 UNIDADES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTAS DE CAMPO
de computadora que contienen la información recolectada durante varias semanas
son muy valiosos económicamente debido a los costos de manutención de personal
y equipo en el campo.
Los datos de campo registrados se utilizan en la oficina para llevar a cabo
cálculos, hacer dibujos o ambas cosas. El personal de gabinete que utiliza los datos
por lo general no es el mismo que tomó las notas en el campo. Por consiguiente, es
conveniente que las notas sean inteligibles para cualquier persona, sin tener que
recurrir a explicaciones verbales.
Los levantamientos de propiedades pueden estar sujetos al examen de una
corte o un tribunal en ciertas circunstancias, por lo que los registros de campo
se convierten en un factor importante en caso de litigio. Además, como pueden
emplearse como referencia de las transacciones de tierras realizadas durante generaciones, es necesario clasificarlos según un índice y conservarlos adecuadamente.
La “buena reputación” y confianza que dan valor comercial a las actividades de un
topógrafo dependen en gran parte de su archivo de libretas de registro. Los recibos de cobro pueden guardarse en un escritorio sin cerradura, pero las libretas de
registro deben guardarse ¡en una caja de seguridad a prueba de incendios!
■ 2.7 REQUISITOS GENERALES DE LAS NOTAS
DE CAMPO MANUSCRITAS
Los siguientes puntos básicos se considerarán al evaluar un conjunto de notas de
campo:
Exactitud. La cualidad más importante en todos los trabajos de topografía.
Integridad. La omisión de una sola medida o detalle puede nulificar la utilidad de las notas para el dibujo o el cálculo. Si el sitio de trabajo está lejos
de la oficina, será tardado y costoso regresar para recabar una medida
faltante. Debe verificarse cuidadosamente que las notas estén completas
antes de dejar el sitio del levantamiento, y nunca deben alterarse los datos
para mejorar los cierres.
Legibilidad. Las notas servirán sólo si son legibles. La apariencia profesional
de un registro reflejará obviamente la calidad profesional del anotador.
Adecuación. Las formas de registro adecuadas al trabajo en particular de que
se trate contribuyen a la exactitud, la integridad y la legibilidad de las notas.
Claridad. Se necesitan procedimientos de campo correctos y que estén bien
planeados para asegurar la claridad de los croquis y tabulaciones, y para
minimizar la posibilidad de equivocaciones y omisiones. Evite amontonar
las notas; el papel es relativamente barato. Las notas confusas o ambiguas
conducen a equivocaciones costosas en el dibujo y en el cálculo.
A lo largo de este libro y en el apéndice B se presentan ejemplos de notas
de campo manuscritas de diversas operaciones de topografía. Cada una se identifica por su número de lámina. En los siguientes capítulos se dan otros ejemplos
de formas de registro en ubicaciones seleccionadas. Estas notas se han preparado
tomando en consideración los puntos antes descritos.
Además de los detalles recalcados antes, se deben seguir otras normas
para elaborar notas de campo manuscritas aceptables. Las notas deben escribirse con un lápiz bien afilado, por lo menos de dureza 3H, para que se graben las
anotaciones en el papel. Las libretas así tratadas resistirán ciertas condiciones de
humedad en el campo (incluso si se mojan) sin perder legibilidad, en tanto que el
grafito de un lápiz suave o la tinta de un bolígrafo o de una pluma fuente, dejarán
un manchón indescifrable en tales circunstancias.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
2.8 Tipos de libretas de registro
31
No se permite ninguna borradura de los datos anotados en un registro de
campo. Si se registra incorrectamente un número se debe cruzar éste con una línea,
sin restarle legibilidad, y el valor correcto se anota arriba de él (véase la figura
5.5). Si es necesario omitir una página entera o parte de ésta, se empleará una sola
línea diagonal en rojo que cruce el texto y se escribirá la palabra NULO en forma
ostensible, dando además las razones de este proceder.
Se supone que las notas de campo son “originales”, a menos que se indique otra cosa. Las notas originales son las que se toman en el momento de hacer
las mediciones. Si se copian las notas originales, éstas deben señalarse como tales
(véase la figura 5.12). Las notas copiadas pueden no tener validez ante una corte,
porque se prestan a cuestionamiento en relación a posibles equivocaciones, como
sería un intercambio de números, y a omisiones. El valor de una distancia o de un
ángulo que se anota de memoria en la libreta 10 minutos después de la observación, definitivamente no es confiable. Algunos estudiantes tienen la costumbre de
escribir de alguna manera sus notas en hojas sueltas, para posteriormente pasarlas
en limpio en una libreta de registro normal. Este procedimiento puede conducir a
la pérdida parcial o total de las notas originalmente registradas y nulifica el propósito de un curso formal de topografía, que es adquirir experiencia en el registro de
notas en condiciones reales de trabajo. En la práctica, no se espera que el topógrafo
utilice su tiempo libre trascribiendo las notas garabateadas durante el día. Ciertamente, quien lo emplee no le pagará por esta muestra de incompetencia.
■ 2.8 TIPOS DE LIBRETAS DE REGISTRO
Como los registros de campo contienen datos valiosos, están expuestos a uso rudo
y deben ser de naturaleza permanente, conviene utilizar sólo el mejor tipo de libretas para el trabajo práctico. Existen diversas clases como se muestra en la figura 2.3,
pero las empastadas en forma de libro y las de hojas intercalables son las más utilizadas. La libreta empastada, que ha sido la de uso común durante muchos años, tiene
sus cuadernillos cosidos y una pasta dura y rígida de un material de imitación piel,
polietileno o pasta rígida forrada, y contiene 80 hojas. Su uso asegura una aceptación
máxima en los litigios sobre títulos de propiedad. La libreta empastada para duplicación permite hacer copias de las notas de campo originales con papel carbón. Las
hojas duplicadas alternas de esta libreta están perforadas alternadamente para poder
desprenderlas con facilidad y enviarlas a la oficina con antelación.
Las libretas de hojas intercalables tienen gran aceptación por las diversas
ventajas que ofrecen: (1) la seguridad de contar con una superficie plana de escritura, (2) la facilidad con que pueden archivarse las notas de distintos trabajos, (3) la
facilidad de envío, del campo a la oficina o viceversa, de grupos parciales de notas,
Figura 2.3
Libretas de campo.
(Cortesía de
Topcon Positioning
Systems)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
32 UNIDADES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTAS DE CAMPO
(4) la posibilidad de agregar páginas con tablas impresas, diagramas, fórmulas y notas
de muestra, (5) la posibilidad de usar diferentes rayados en la misma libreta, y (6) la
economía de papel, ya que no se desperdician hojas por tener que archivar libretas
parcialmente llenas. Entre sus desventajas figura la posible pérdida de las hojas.
Las libretas de hojas engrapadas o encuadernadas en espiral no son adecuadas para el trabajo práctico. Sin embargo, pueden ser satisfactorias para cursos
breves de topografía que sólo tengan unas cuantas prácticas de campo, debido al
limitado servicio que brindan y su bajo costo. Las hay con rayados especiales de
columnas y renglones para satisfacer las necesidades particulares en nivelación,
medición de ángulos, levantamientos topográficos, determinación de secciones
transversales, etcétera.
Una cámara fotográfica es un “instrumento” auxiliar en la toma de datos.
Una cámara ligera y confiable de precio moderado puede servir para documentar
mojoneras establecidas o encontradas, y para suministrar registros de otra información valiosa o evidencia de campo admisible. Las imágenes grabadas pueden
convertirse en parte del registro final del levantamiento. En ciertas circunstancias también se puede usar una grabadora, sobre todo cuando es necesario hacer
notas muy largas para documentar algunas condiciones o proporcionar descripciones muy detalladas.
■ 2.9 CLASES DE ANOTACIONES
En la práctica se realizan cuatro tipos de anotaciones: (1) croquis, (2) tabulaciones,
(3) descripciones, y (4) combinaciones de los anteriores. El tipo más común es el
combinado, pero un registrador experimentado seleccionará la modalidad que mejor
se adapte al trabajo que vaya a realizar. Las formas de datos que se presentan en
el apéndice B muestran algunos de estos tipos y se aplican a problemas de campo
descritos en este texto. Dentro de éste se incluyen otros ejemplos en los lugares apropiados. A menudo los croquis y las imágenes digitales aumentan la eficiencia con que
pueden hacerse las anotaciones. Son muy valiosos para aquellas personas que en
la oficina deben interpretar las notas registradas sin que sea necesario contar con la
presencia de quien las hizo. El proverbio que dice que una imagen vale más que mil
palabras, bien pudo haberse pensado para los consignadores de notas en topografía.
Para un levantamiento simple, donde se tiene la medición de distancias entre
estacas colocadas en una serie de líneas, es suficiente trazar un croquis que indique
las longitudes. Al medir la longitud de una línea hacia adelante y hacia atrás, es útil
formar una tabulación adecuadamente dispuesta en columnas, como se ve en la lámina B.1 del apéndice B. La ubicación de un punto de referencia puede ser difícil sin un
croquis, pero a menudo son suficientes unas cuantas líneas para su descripción. Las
fotos se pueden tomar para registrar la ubicación de las estaciones permanentes y
del entorno local. La combinación de un croquis con las dimensiones y las imágenes
fotográficas puede resultar invaluable en una reubicación posterior de la estación.
Generalmente, los bancos de nivel se describen brevemente en la figura 5.5.
En el registro de notas, el siguiente criterio siempre es pertinente: cuando se
tenga duda acerca de la necesidad de alguna información, deberá incluirse y elaborarse un croquis. Es mejor tener información de más que de menos.
■ 2.10 LA DISPOSICIÓN DE LAS NOTAS
Los estilos y formatos de las notas dependen de normas particulares u oficiales y de
la preferencia personal. Los departamentos de carreteras, las oficinas cartográficas
y otras organizaciones que llevan a cabo trabajos de topografía, proporcionan a su
personal de campo formas de notas en blanco, similares a las del apéndice B, para
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
2.10 La disposición de las notas
33
facilitar la elaboración de registros uniformes y completos que puedan verificarse
con rapidez.
Es conveniente que los estudiantes tengan un juego de formas de registro bien
diseñadas, que les sirvan como guía en sus primeros trabajos de campo, para sentar
un buen precedente y ahorrar tiempo. Las formas de registro que se muestran en el
apéndice B son una combinación de varios modelos. Se prefiere el estilo abierto, muy
útil para los principiantes, en el cual se dejan en blanco algunas líneas o espacios para
mayor claridad. Así, los ángulos medidos en un punto A (véase lámina B.4) se anotan
frente a A en la página izquierda, pero las distancias medidas entre las estacas A y B
del terreno se registran en el espacio entre A y B en la misma página.
Las páginas izquierda y derecha se emplean prácticamente siempre en pares
y, por tanto, llevan el mismo número. En la parte superior de la página izquierda
debe escribirse un título completo, con letra dibujada, el cual puede extenderse
hasta la página derecha. Los títulos pueden abreviarse en las siguientes páginas
correspondientes al mismo trabajo de topografía. La ubicación y el tipo de operación se anotan debajo del título. Algunos topógrafos prefieren limitar el título a la
página izquierda y reservar la parte superior de la página derecha para apuntar
la fecha, la designación de la brigada, las condiciones atmosféricas y otros conceptos. Semejante diseño se modificará si toda la página de la derecha tiene que
reservarse para croquis y descripciones de banco de nivel. Los modelos que se
muestran en el apéndice B exhiben la flexibilidad de los distintos formatos. En la
página izquierda por lo general hay un rayado de seis columnas destinadas a tabulación solamente. Los encabezados de las columnas están colocados entre las dos
primeras líneas horizontales en la parte superior de la página izquierda, y se escriben de izquierda a derecha en el orden anticipado de lectura y anotación. La parte
superior de la página izquierda o derecha debe contener los siguientes elementos:
1. Nombre del proyecto, ubicación, fecha, hora del día (a.m. o p.m.) y hora de inicio y de terminación. Estos datos son necesarios para documentar las notas y
formar un itinerario, así como para relacionar diferentes trabajos. Las observaciones sobre precisión, dificultades encontradas y otros hechos pueden irse
reuniendo a medida que progresa el trabajo.
2. Estado del tiempo. La velocidad del viento, la temperatura y los fenómenos
meteorológicos adversos, como son lluvia, nieve, brillantez solar y niebla, tienen
un efecto decisivo en la exactitud de los trabajos de topografía. Un topógrafo
no puede realizar un buen trabajo a una temperatura de 15 °F ni cuando está
bajo un aguacero torrencial. Por ello, los detalles sobre las condiciones del clima
son importantes al revisar las notas de campo, así como para aplicar correcciones a observaciones debido a las variaciones de temperatura y otros conceptos.
3. Brigada de campo. Conviene anotar el apellido y las iniciales del nombre de
cada uno de los miembros de la brigada, así como sus cargos, para documentación y referencia futura. Las funciones de cada uno pueden indicarse
mediante símbolos, como  para el operador del instrumento,  para un
estadalero, y N para el tomador de notas. El jefe de la brigada es con frecuencia el encargado del registro.
4. Tipo e identificación del instrumento. El tipo de aparato empleado (con su
marca de fábrica y número de serie) y su ajuste afectan la exactitud de un
levantamiento. La identificación del equipo específicamente utilizado ayuda
a determinar los errores en algunos casos; por ejemplo, se encuentra que una
estación total dada tiene un error de indización de 400 cuando se empleó en
una nivelación trigonométrica.
Para permitir la fácil localización de los datos deseados, cada libreta de campo debe tener una tabla de contenido que se mantenga diariamente al corriente.
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34 UNIDADES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTAS DE CAMPO
En la práctica, los topógrafos forman índices e interrelacionan sus notas en los días
en que es imposible el trabajo de campo.
■ 2.11 SUGERENCIAS PARA REGISTRAR NOTAS DE CAMPO
Si se observan las sugerencias de las secciones anteriores y las que se indican a continuación, podrán eliminarse algunas equivocaciones comunes al registrar notas de
campo.
1. Escriba con tinta permanente el nombre y la dirección del dueño de la libreta de registro, en la pasta y en la primera página interior. Numere todas las
libretas para fines de control.
2. Comience el trabajo de cada día en una página nueva. En los levantamientos de propiedades que exijan esquemas complicados, puede pasarse por
alto esta regla.
3. Emplee cualquier tipo de anotación ordenada estándar conocida, pero, si es
necesario, diseñe una que se adapte al proyecto.
4. Incluya observaciones aclaratorias, detalles y mediciones adicionales si éstos
ayudan al personal de gabinete y de campo a entender mejor las notas registradas.
5. Registre lo que lea sin efectuar operaciones aritméticas mentales. ¡Escriba
lo que lee!
6. Escriba las anotaciones en la parte inferior de la página, excepto en levantamientos de vías terrestres, en los que las notas van de abajo hacia arriba en
correspondencia con los esquemas que se trazan mirando hacia delante.
(Véase la lámina B.5 en el apéndice B.)
7. Utilice croquis en vez de tabulaciones en casos de duda. Lleve consigo una
regla para trazar rectas y un transportador para trazar los ángulos.
8. Haga los dibujos según proporciones generales, en vez de trazarlos a escala
exacta, y advierta que generalmente es pequeña la estimación preliminar
del espacio indispensable. Dibuje los letreros paralela o perpendicularmente al detalle respectivo, señalando con claridad a qué se refieren.
9. Exagere los detalles en los esquemas si con ello se mejora la claridad, o bien,
prepare diagramas por separado.
10. Anote las descripciones y los dibujos alineados con los datos numéricos correspondientes. Por ejemplo, la descripción de un banco de nivel debe situarse en
la página derecha frente a su elevación, como se muestra en la figura 5.5.
11. Evite el amontonamiento de notas. Si sirve de ayuda, utilice varias páginas
del lado derecho para las descripciones y esquemas para una sola tabulación en la página izquierda. Igualmente, use el número de páginas que sea
necesario para la tabulación de un solo dibujo. El papel es barato en comparación con el valor del tiempo que perdería el personal de oficina al interpretar erróneamente notas de campo amontonadas, o con el costo de tener
que enviar al campo una brigada para hacer aclaraciones.
12. Utilice notas explicativas cuando sea pertinente, teniendo siempre presente el propósito del levantamiento y las necesidades del personal de oficina. Escriba dichas notas en espacios apartados para evitar confusiones con
otras partes de un croquis.
13. Emplee símbolos y signos convencionales para lograr anotaciones compactas.
14. Es indispensable señalar la dirección del meridiano. De ser posible, procure que
el Norte quede en la parte superior o del lado izquierdo en todos los croquis.
15. Mantenga las cifras tabuladas dentro del rayado de las columnas y sin que
queden fuera de las rayas; anote las cifras y los puntos decimales alineados
verticalmente.
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TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
2.12 Introducción a los recolectores automáticos de datos
35
16. Haga una estimación mental de todas las medidas antes de recibirlas y registrarlas, con la finalidad de eliminar equivocaciones mayores.
17. Repita en voz alta los valores que le dicten para anotar. Por ejemplo, antes de
registrar una distancia de 124.68, diga en voz alta “uno, dos, cuatro, punto, seis,
ocho” para verificar la lectura con el cadenero que le proporcionó la medida.
18. Escriba siempre un cero antes del punto decimal en el caso de números
menores que 1, es decir, anote 0.37 en vez de .37.
19. Indique la precisión de las medidas utilizando cifras significativas. Por ejemplo, anote 3.80 en vez de 3.8 si la lectura se determinó realmente hasta los
centésimos.
20. No sobreponga un número a otro ni lo escriba sobre las líneas de un croquis.
Y no trate de transformar una cifra en otra, como un 3 en un 5.
21. Haga todas las comprobaciones aritméticas posibles en las notas y regístrelas antes de retirarse del campo.
22. Calcule todos los errores de cierre y relaciones de error mientras está en el
campo. En operaciones de gran magnitud, en las que se fijan tareas diarias
a las diversas brigadas, el trabajo bien hecho se demuestra mediante cierres
satisfactorios.
23. Disponga los cálculos básicos hechos en el campo de manera que puedan
verificarse después.
24. Ponga título, anote en el índice e interrelacione cada nuevo trabajo o la
continuación de uno anterior según el propietario, la organización a la que
pertenece el cliente y la descripción.
25. Escriba su apellido e iniciales en la esquina inferior derecha de la página
derecha en todas las notas originales. Lo anterior lo responsabiliza igual que
firmar un cheque.
■ 2.12 INTRODUCCIÓN A LOS RECOLECTORES
AUTOMÁTICOS DE DATOS
Los avances de los últimos años en la tecnología de las computadoras han conducido al desarrollo de sistemas complejos automatizados de registro de datos de campo. Estos dispositivos son del tamaño de una calculadora de bolsillo y los produce
un gran número de fabricantes. Están disponibles con diversas características y
capacidades. La figura 2.4 muestra tres diferentes recolectores de datos. Los reco-
(a)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
(b)
(c)
Figura
2.4 Diferentes
recolectores de
datos que se usan
en el campo: (a)
Recolector de datos
Trimble TSC3; (b)
recolector de datos
Carlson Explorer,
y (c) Recolector
de datos Topcon
Tesla. (Cortesía
de (a) Trimble
Navigation Ltd.,
(b) Carlson, y (c)
Topcon Positioning
Systems.)
ALFAOMEGA
36 UNIDADES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTAS DE CAMPO
lectores de datos se pueden conectar en interfase con instrumentos de topografía
modernos, con lo cual es posible recibir y almacenar datos automáticamente en
una computadora, en archivos compatibles con las mediciones que se han tomado.
El control de las mediciones y las operaciones de almacenamiento se efectúa con
el teclado del recolector de datos. Para aclarar sus notas, el operador ingresa notas
de identificación y descripción junto con las mediciones a medida que éstas se
registran automáticamente. Al terminar el trabajo, o al finalizar el día, los archivos
se transfieren directamente a la computadora para su posterior procesamiento. Si se
dispone de cobertura con celdas, esta transferencia puede realizarse usando un
módem de datos que es parte del recolector automático de datos.
Al usar recolectores automáticos de datos, la información preliminar acostumbrada, tal como fecha, brigada, condiciones atmosféricas, tiempo, unidades, plano de
referencia, número de serie del instrumento, etc., se ingresa manualmente al archivo
utilizando el teclado. Para cierto tipo de levantamientos se programa el microprocesador interno del recolector de datos para seguir una secuencia específica de pasos.
El operador identifica en un menú o mediante un código el tipo de levantamiento
que debe efectuarse, y luego sigue las instrucciones que aparecen en la pantalla de la
unidad electrónica. Entonces, los indicadores paso a paso guiarán al operador para
(a) introducir datos “externos” (que incluyen nombres de estaciones, descripciones o
cualquier otra información), o (b) presionar un ícono o una tecla para iniciar el registro automático de los valores medidos. Como los recolectores de datos requieren que
los usuarios sigan pasos específicos, generalmente se les denomina recolectores automáticos de datos. Debido al uso común tanto de “recolector automático de datos”
como de “recolector de datos” para el libro electrónico de campo, este libro emplea
ambos términos en forma intercambiable en general.
Los recolectores de datos almacenan información en formato binario o bien
ASCII (American Standard Code for Information Interchange). El almacenaje
binario es más rápido y compacto, pero generalmente los datos deben convertirse
a ASCII antes de poderlos leer o editar. La mayoría de los recolectores automáticos de datos permiten al operador recorrer continuamente en la pantalla los datos
almacenados, exhibiéndolos en la pantalla para su revisión y edición, cuando el
operador aún se encuentra en el campo. También suministran una imagen mapeada de los datos que se capturan. En algunos controladores, esta imagen puede
sobreponerse a las características del mapa para proporcionar claridad al usuario
y a la oficina. Las estructuras organizativas usadas por los diferentes recolectores
de datos para almacenar información varían considerablemente de un fabricante
a otro. Todos siguen reglas específicas, y una vez entendidas éstas, el personal de
campo y de gabinete puede interpretar fácilmente los datos. La desventaja de tener
diversas estructuras de datos de distintos fabricantes es que debe aprenderse un sistema nuevo con cada instrumento de diferente marca. La organización LandXML
ha hecho esfuerzos para estandarizar las estructuras de datos. Esta estructura para
los datos topográficos realiza una función similar a la que desempeña el lenguaje
de marcado de hipertexto (HTML) en el Internet. Otro ejemplo es el Survey Data
Management System (SDMS), que ha sido adoptado por la AASHTO (American
Association of State Highway and Transportation Officials) y se recomienda para
todos los trabajos topográficos relacionados con la construcción de carreteras. Las
notas de campo dadas como ejemplo de un levantamiento radial en la tabla 17.1 de
la sección 17.9 están en formato SDMS.
La mayoría de los fabricantes de equipo topográfico moderno han ideado
recolectores de datos específicamente para ser conectados en interfase con sus
propios instrumentos, pero algunos son flexibles. Por ejemplo, el recolector automático de datos de la figura 2.4(a) puede entrar en interfase con instrumentos de la
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
2.12 Introducción a los recolectores automáticos de datos
misma compañía, así como con instrumentos de otra compañía. Además de servir
como recolector automático de datos, el Trimble TSC3 también funciona como
computadora de mano y es capaz de ejecutar directamente en el campo una gran
variedad de cálculos, con el consiguiente ahorro de tiempo.Tiene un sistema operativo Windows CE y por tanto pueden correrse diversos programas de software
de Windows. Además, tiene tecnología Bluetooth de modo que puede comunicarse con otros instrumentos sin usar cables, tiene capacidad de Wi-Fi para conectarse
a la Internet, y puertos de bus universal en serie (USB: Universal Serial Bus) para
cargar o descargar datos de la unidad.
Comúnmente, recolectores automáticos de datos también pueden operarse
como libretas de campo electrónicas. En este modo, el recolector no está en interfase con un instrumento topográfico. En vez de escribir a mano los datos en una
libreta de campo, el anotador introduce manualmente las medidas, tecleando en el
recolector automático de datos después de que se hacen las lecturas. Esto tiene la
ventaja de permitir que las notas de campo se graben directamente con un formato
de computadora y queden listas para su posterior procesamiento, aun cuando los
instrumentos topográficos usados sean viejos y no sean compatibles con la interfase directa con los recolectores de datos. Sin embargo, los recolectores automáticos de datos muestran su eficiencia máxima cuando se conectan en interfase con
instrumentos topográficos que tienen capacidad de lectura automática, como las
estaciones totales, y se hacen funcionar en la modalidad de recolección automática
de datos.
El recolector de datos con la pantalla táctil de la figura 2.4(b) se conoce
también como unidad tripartita; ya que la construye una empresa independiente,
para tener interfase con instrumentos de otras compañías. También utiliza sistemas
operativos Windows CE y conexiones Bluetooth y Wi-Fi, así como puertos USB.
Puede funcionar tanto como libreta de campo electrónica, o como una interfaz con
una variedad de instrumentos para la colecta automática de datos.
El recolector automático de datos de la figura 2.4(c) es una tableta robusta
con plataforma Windows Mobile. Puede ejecutar operaciones de red en la nube,
permitiendo que los datos se transfieran del campo al gabinete durante el levantamiento si se dispone de cobertura Wi-Fi o de celda. Este recolector también tiene
tecnología Bluetooth, un módem para celular, y un puerto USB. Además, tiene una
cámara interna para capturar foto notas. Como las otras unidades en la figura 2.4,
puede operarse como una libreta de campo electrónica y trabaja con otros instrumentos de otros fabricantes.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
37
Figura 2.5
La estación de
imágenes en serie
Topcon IS-3 total
con recolector
interno de datos.
Esta estación total
tiene el recolector
automático de
datos incorporado
y tiene la opción
de escanear
y formar las
imágenes de la
escena que se
está levantando.
(Cortesía de
Topcon Positioning
Systems.)
ALFAOMEGA
38 UNIDADES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTAS DE CAMPO
Figura 2.6 El
Trimble TSC3
con tecnología
Bluetooth. (Cortesía
de Trimble
Navigation Ltd.)
Muchos fabricantes de instrumentos incorporan sistemas de recolección
de datos como componentes internos directamente en su equipo. Esto incorpora
muchas características de los recolectores externos de datos, incluyendo la pantalla
de exhibición dentro del instrumento. La estación de imágenes Topcon que muestra la figura 2.5 es una estación total robótica que tiene el software del recolector
automático de datos incorporado en su sistema operativo Windows CE. Además,
tiene la opción de recolectar un conjunto de imágenes traslapadas para la escena
completa en el sitio de la obra que suministra un registro del área levantada para
su uso posterior por el personal del gabinete. La unidad tiene ranuras para unidades USB y tarjetas compact flash (CF: Compact Flash).
Actualmente, los recolectores automáticos de datos usan el sistema operativo de Windows. Un tipo es un aparato con pluma y pantalla que permite al usuario
activar menús y opciones para correr el software. Las unidades que muestran en
las figuras 2.4 a 2.7 tienen este tipo de interfase. Puede insertarse una antena GPS
basada en código en un puerto PCMCIA1 de varios recolectores de datos para
Figura 2.7
Recolector
automático de
datos Topcon
FC250. (Cortesía
de Topcon
Positioning
Systems.)
1
El puerto PCMCIA se conforma de los estándares de la Personal Computer Memory Card
International Association.
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2.14 Manejo de archivos digitales de datos
39
añadir a la unidad opciones de GPS basadas en código. La mayoría de los recolectores automáticos de datos tienen la capacidad de correr software de computadora
avanzado en el campo. Pueden estar equipados con un teclado o, como se muestra en la figura 2.7, una unidad más pequeña que está equipada con un teclado
con pantalla táctil. La mayoría tiene un puerto digital seguro (SD: Secure Digital)
para expandir su memoria interna y muchos están equipados con cámaras digitales
internas. Como un ejemplo de su utilidad, las brigadas de campo pueden revisar
sus datos antes de mandarlos al gabinete.
A medida que se desarrollan nuevas series de recolectores de datos, se están
diseñando interfases con el usuario más complejas, y se está mejorando el software
que acompaña al sistema. Estos sistemas han conducido a una alta productividad y
eficiencia y han provisto al personal de campo con nuevos aspectos, tales como la
capacidad para realizar revisiones adicionales de campo. Sin embargo, la creciente
complejidad de los instrumentos operativos de topografía con recolectores avanzados de datos también requiere de personal de campo con niveles más altos de
educación y de entrenamiento.
■ 2.13 TRANSFERENCIA DE ARCHIVOS
DE LOS RECOLECTORES AUTOMÁTICOS DE DATOS
A intervalos regulares, generalmente durante la comida, al final de un día de trabajo o cuando se ha terminado un levantamiento, la información almacenada en
los archivos de un recolector de datos se transfiere a otro dispositivo. Esta es una
medida de seguridad contra la pérdida accidental de una cantidad considerable de
datos. Por supuesto, los datos se cargan finalmente en una computadora central
que efectuará cálculos o generará mapas o gráficas con los datos suministrados. Se
pueden usar diferentes procedimientos para la transferencia de datos, dependiendo
del equipo periférico disponible. En uno de los métodos, que es muy conveniente cuando se efectúan levantamientos en localidades remotas, los datos se pueden
enviar a la oficina central por vía telefónica usando dispositivos llamados módems
de datos. Algunos controladores automáticos de datos pueden tener acceso a la
nube para trasferir datos. De esta manera, el personal en la oficina puede empezar a
usar los datos inmediatamente. En áreas con cobertura de telefonía celular, esta
operación puede realizarse en el campo. Otro método de transferir datos consiste
en cargar éstos directamente en una computadora conectada mediante un cable
RS-232 o de USB. Esto se puede hacer en la oficina, o se puede hacer en campo si se
dispone de una computadora portátil (laptop). En áreas con Internet sin cable, los
datos pueden transferirse a la oficina usando conexiones sin cable. Los recolectores
de datos con capacidad para Wi-Fi permiten que las brigadas de campo se comuniquen directamente con el personal de la oficina, permitiendo así que los datos se
transfieran, se revisen y se verifiquen antes de que las brigadas abandonen el campo.
Algunos instrumentos de topografía, por ejemplo la estación de imágenes
Topcon de la figura 2.5, tienen computadoras y cámaras incorporadas. Estas estaciones totales pueden capturar una imagen del sitio de la obra como evidencia.
Muchos recolectores automáticos de datos también están equipados con cámaras
incorporadas para suministrar la misma capacidad. De esta manera, las brigadas de
campo pueden capturar imágenes de aspectos importantes tales como la evidencia
de la ubicación de un lindero, los monumentos ocupados, etc. Con la inclusión de
un módem, estas imágenes conjuntamente con datos relevantes pueden transferirse
a una computadora de oficina. El personal de oficina puede verificar los datos de
campo, o calcular en gabinete puntos adicionales que van a estacarse y regresar los
resultados a las brigadas de campo mientras que todavía están en el lugar.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
40 UNIDADES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTAS DE CAMPO
Figura 2.8
La computadora:
un componente
central en la
oficina moderna.
(Fotografías
cortesía de: fila
superior y abajo
a la izquierda,
Topcon Positioning
Systems; centro,
© Maksym
Yemelyanov-Fotolia.
com; centro a la
derecha, © Art
Directors & TRIP/
Alamy; abajo a la
derecha, © Serghei
Velusceac-Fotolia.
com.)
Del análisis anterior, y como se muestra en la figura 2.8, las computadoras
son componentes centrales de los sistemas computarizados modernos de topografía. En estos sistemas, los datos fluyen automáticamente del instrumento de campo
a través del recolector automático de datos, hacia la impresora, la computadora,
el graficador y otras unidades del sistema. Frecuentemente se aplica el término
“sistemas de terminación en el campo” cuando se emplea esta forma de instrumentación en los levantamientos.
■ 2.14 MANEJO DE ARCHIVOS DIGITALES DE DATOS
Una vez que se termina el proceso de observación en el campo, los archivos de
datos generados deben transferirse (descargarse) desde el recolector de datos a
otro dispositivo de almacenaje que sea seguro. La información que comúnmente se descarga de un recolector automático de datos incluye un archivo de coordenadas calculadas y un archivo de datos vírgenes. Los recolectores de datos
generalmente ofrecen la opción de exportar éstos y otros tipos de archivos. En
este caso, el archivo coordinado consta de valores coordinados calculados generados con el uso de las observaciones y cualesquiera correcciones aplicadas en
el campo y sus códigos de campo. Las correcciones de campo pueden incluir un
factor de escala, corrimientos, y las correcciones por refracción y por curvatura
de la Tierra aplicadas a las distancias. Generalmente las brigadas de campo pueden editar y borrar información en el archivo calculado. Sin embargo, el archivo
ALFAOMEGA
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2.15 Ventajas y desventajas de los recolectores automáticos de datos
41
de datos vírgenes consta de las mediciones originales no reducidas y no puede
alterarse en el campo. La necesidad de cada tipo de archivo de datos depende
del uso propuesto del levantamiento. En la mayoría de los levantamientos,
sería prudente guardar tanto el archivo coordinado como el de datos vírgenes.
Como ejemplo, en proyectos que requieren cierres específicos, o que están sujetos a una revisión legal, el archivo de datos vírgenes es un elemento esencial del
levantamiento. Sin embargo, en los levantamientos topográficos y GNSS como se
estudia en el capítulo 16, generalmente se generan grandes cantidades de datos.
En estos tipos de proyectos, puede eliminarse el archivo de datos vírgenes para
suministrar más espacio de almacenamiento para los archivos coordinados. En los
levantamientos GNSS los archivos de datos vírgenes comúnmente se almacenan
en el receptor GNSS para ahorrar espacio de almacenamiento en el recolector
automático de datos para las coordenadas y los códigos de campo de los puntos
capturados.
Con los recolectores automáticos de datos y los instrumentos digitales, el
personal de las oficinas de topografía modernas enfrenta una cantidad considerablemente mayor de datos que lo que se acostumbraba en el pasado. Este volumen
incrementado inevitablemente hace surgir nuevas preocupaciones acerca de la confiabilidad de los datos y el almacenaje seguro. Pueden usarse muchos métodos para
respaldar los datos digitales. Algunas opciones de almacenamiento incluyen medios
removibles tales como discos y cintas removibles. Como éstas tienden a ser magnéticas, existe un peligro inevitable de que puedan perderse datos debido a la presencia
de dispositivos magnéticos externos, o por la falla del material de la superficie por la
edad. Debido a este problema, es aconsejable conservar dos copias de los archivos
para todos los trabajos. Otra solución para este problema es el uso de escritores
de disco compacto (CD: Compact Disk) y de discos de video digital (DVD: Digital
Video Disk). Estas unidades escriben una imagen óptica permanente de los datos
de un proyecto en un medio de disco portátil. Como los CD y los DVD son pequeños pero tienen una gran capacidad de almacenaje, pueden grabarse permanentemente proyectos completos, incluyendo dibujos, en un espacio pequeño que se
archiva fácilmente para referencia futura. Sin embargo, estos discos pueden fallar
si se araña su superficie. Así que debe tenerse cuidado en su manejo y almacenaje.
■ 2.15 VENTAJAS Y DESVENTAJAS
DE LOS RECOLECTORES AUTOMÁTICOS DE DATOS
Las principales ventajas de los sistemas automáticos de recolección de datos son
que: (1) desaparecen las posibles equivocaciones en la lectura y registro manual de
las mediciones de campo, y (2) se reduce considerablemente el tiempo de procesamiento, exhibición y archivo de las notas de campo en gabinete. Los recolectores automáticos de datos pueden ejecutar algunos programas en el campo, lo que
además es una ventaja significativa. Por ejemplo, los datos de un levantamiento
pueden corregirse en lo que respecta a errores sistemáticos, y asimismo es posible
calcular los errores de cierre, lo que permite verificar que una poligonal cierra
correctamente antes de que la brigada de trabajo abandone el campo.
Los recolectores automáticos de datos tienen su mayor utilidad cuando debe
registrarse una gran cantidad de información, por ejemplo en levantamientos topográficos o en seccionamientos transversales. En la sección 17.9 se describe su uso en
levantamientos topográficos y se presenta y analiza un conjunto de datos a manera
de ejemplo.
Aunque los recolectores automáticos de datos tienen muchas ventajas, también presentan algunos peligros y problemas. Por ejemplo, existe el peligro de que
los datos se borren accidentalmente o que se pierdan por un mal funcionamiento o
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42 UNIDADES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTAS DE CAMPO
daño de la unidad. Se presentan también algunas dificultades por el hecho de que no
pueden ingresarse los croquis en la computadora. Sin embargo, este problema puede superarse complementando los archivos con croquis hechos simultáneamente
con las mediciones que incluyan códigos de campo. Estos códigos de campo pueden
instruir al software de dibujo para que trace un mapa de los datos que esté completo
con líneas, curvas y simbología cartográfica. El proceso de recolectar datos de campo con códigos de campo que puedan interpretarse posteriormente con un software
se conoce como levantamiento de terminación en el campo. Esto reduce mucho el
tiempo necesario para terminar un proyecto. Los levantamientos cartográficos de
terminación en el campo se estudian con más detalle en la sección 17.12. Es importante percatarse de que no toda la información puede almacenarse en forma digital, y por tanto es importante llevar una libreta de campo tradicional para ingresar
croquis, comentarios y notas adicionales cuando sea necesario. Muchos recolectores
automáticos de datos modernos también contienen cámaras digitales que permiten
al personal de campo capturar una imagen digital del levantamiento. Sin embargo,
los recolectores automáticos de datos no deberán usarse para el almacenamiento a
largo plazo. Más bien, los datos deberán descargarse y guardarse inmediatamente
en un dispositivo de almacenamiento permanente, tal como una unidad USB, un
CD o un DVD, una vez que se termine la recolección de campo de un proyecto.
Los recolectores automáticos de datos son producidos por un gran número
de fabricantes. Estos instrumentos deben ser capaces de transmitir datos a través de
varios dispositivos electrónicos de los sistemas modernos de topografía, como los
que muestra la figura 2.8. Como a veces los dispositivos electrónicos varían considerablemente de una marca a otra, es muy importante cerciorarse de que al comprar un recolector de datos éste sea adaptable o compatible con el equipo que ya
se tiene o que se piensa adquirir en el futuro.
PROBLEMAS
Los asteriscos (*) señalan los problemas cuya solución parcial se encuentra en el apéndice G.
2.1 Liste los cinco tipos de mediciones que forman la base de la topografía plana
tradicional.
2.2 Dé las unidades básicas que se usan en la topografía para longitud, área, volumen, y ángulos en
(a) El sistema inglés de unidades
(b) El sistema SI de unidades
2.3 La coordenada de la desviación hacia el este para un punto es 632,506.084 m.
¿Cuál es la coordenada usando
(a) la definición de pie estadounidense para topografía?
(b) la definición de pie internacional?
(c) ¿Por qué se conservó en los Estados Unidos la definición de pie estadounidense para topografía?
2.4 Convierta a pies las siguientes distancias dadas en metros:
*(a) 4129.574 m
(b) 686.504 m
(c) 5684.237 m
2.5 Convierta a metros las siguientes distancias dadas en pie estadounidense para
topografía:
*(a) 537.52 pies
(b) 504,864.39 pies
(c) 3874.26 pies
2.6 Calcule la longitud en pie estadounidense para topografía correspondiente a las
siguientes distancias medidas con una cadena de Gunter:
*(a) 10 cad. 13 eslabones (b) 16 cad. 2 eslabones (c) 3 cad. 54 eslabones
2.7 Exprese 48,983 pies2 en:
*(a) acres
(b) hectáreas
(c) cadenas cuadradas de Gunter
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Problemas
43
2.8
Convierta 3.76934 hectáreas a:
(a) pie cuadrado estadounidense para topografía
(b) acres
(c) cadenas cuadradas de Gunter
2.9 ¿Cuál es la longitud en pies y decimales de las siguientes distancias mostradas en
la copia heliográfica de un edificio?
(a) 22 pies 8 1/4 plg
(b) 40 pies 6 1/2 plg
2.10 ¿Qué área, en acres, tiene una parcela rectangular cuyos lados, medidos con una
cadena de Gunter, tienen las siguientes dimensiones?:
*(a) 9.17 cad. y 10.64 cad.
(b) 30 cad. 6 eslabones y 24 cad. 98 eslabones
2.11 Calcule en acres el área de lotes triangulares mostrados en un plano cuyos lados
adyacentes a sus ángulos rectos tienen las siguientes dimensiones:
(a) 208.94 pies y 232.65 pies
(b) 9 cad. 25 eslabones y 6 cad. 16 eslabones
2.12 Una distancia se expresa como 1908.23 pies estadounidense para topografía.
¿Cuál es su longitud en
*(a) pie internacional?
(b) metros?
2.13 Exprese en radianes y en grados, minutos y segundos, los siguientes ángulos
dados en grados centesimales:
*(a) 136.0000 grados centesimales
(b) 63.0984 grados centesimales
(c) 235.8760 grados centesimales
2.14 Resuelva los siguientes problemas con el número correcto de cifras significativas:
*(a) suma de 23.15, 0.984, 124, y 12.5
(b) suma de 14.15, 7.992, 15.6, y 203.67
(c) producto de 104.56 por 66.8
(d) cociente de 5235.67 entre 23.04
2.15 Exprese las siguientes cantidades en potencias de 10 con el número correcto de
cifras significativas:
(a) 363.25
(b) 1200
(c) el cuadrado de 363.25
(d) la suma de (25.675 1 0.481 204.69) dividido entre 10.6
2.16 Convierta los ángulos ajustados de un triángulo a radianes y muestre la verificación de sus cálculos:
*(a) 39°419540, 91°309160 y 48°479500
(b) 82°179430, 29°059540 y 68°369230
2.17 ¿Porqué no deberá usarse un lápiz del número 2 para tomar las notas de campo?
2.18 Explique por qué un número no deberá sobrescribirse sobre otro ni tampoco las
líneas de los bocetos.
2.19* Explique por qué los datos siempre se deben de anotar directamente en la libreta de campo al momento de hacer las mediciones, en vez de hacerlo en un borrador para después anotarlas en limpio en la libreta de campo.
2.20 ¿Por qué debe comenzar en una nueva página el trabajo de un nuevo día?
2.21 ¿Por qué las notas de campo deben mostrar la precisión de las mediciones?
2.22 Explique la razón del inciso 20 de la sección 2.11 relativo al registro de las notas
de campo.
2.23 Explique la razón del inciso 12 de la sección 2.11 relativo al registro de las notas
de campo.
2.24 ¿Cuándo se debe hacer un croquis en vez de un registro de datos?
2.25 Justifique la necesidad de anotar en la libreta de campo la marca comercial y el
número de serie de los instrumentos empleados en un levantamiento.
2.26 Explique las ventajas de un controlador topográfico que pueda comunicarse
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44 UNIDADES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTAS DE CAMPO
tanto con una estación total como con varios tipos diferentes de instrumentos.
2.27 Exponga las ventajas de los controladores topográficos.
2.28 Haga una búsqueda en la Internet y encuentre cuando menos dos sitios relacionados con:
(a) Los fabricantes de controladores topográficos.
(b) Los fabricantes de estaciones totales.
(c) Los fabricantes de los receptores de localización global GNSS.
2.29 ¿Cómo pueden almacenarse los datos de un controlador topográfico?
2.30 ¿Cuáles son los peligros que se involucran en el uso de un controlador topográfico?
2.31 Describa el significado de la frase “sistema de terminación en el campo”.
2.32 ¿Por qué razón por lo general los croquis en las libretas de campo no se dibujan
a escala?
BIBLIOGRAFÍA
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3
Teoría de los
errores en la
medición
■ 3.1 INTRODUCCIÓN
El proceso de efectuar observaciones (mediciones), así como el de realizar los cálculos y análisis subsecuentes, son tareas fundamentales de los topógrafos. Tomar buenas mediciones necesita una combinación de habilidad humana y equipo adecuado,
aplicados ambos con buen juicio. Sin embargo, no importa con cuánto cuidado se
hagan, las mediciones nunca son exactas y siempre tendrán errores. Los ingenieros
en geomática (topógrafos) cuyo trabajo debe realizarse con estrictas normas de calidad, deben conocer los distintos tipos de errores, sus causas, sus posibles magnitudes
en diferentes condiciones de trabajo, así como su manera de propagarse. Sólo entonces podrán seleccionar los instrumentos y procedimientos necesarios para reducir la
magnitud de los errores a un nivel razonable.
De igual importancia es que los topógrafos también deben ser capaces de
evaluar las magnitudes de los errores en sus mediciones, de modo que puedan
considerarlos en sus cálculos o bien, en caso de ser necesario, efectuar nuevas
mediciones Se utiliza actualmente el diseño de sistemas de medición. En la actualidad, las computadoras y el software complejo son herramientas usadas comúnmente por los topógrafos para elaborar proyectos de medición, diseñar sistemas de
medición, investigar y distribuir los errores después de obtener las conclusiones. La
sección 3.21 y el capítulo 16 estudian el método de ajustes con mínimos cuadrados
que frecuentemente se usa para ajustar las mediciones en el gabinete moderno de
topografía.
■ 3.2 MEDICIONES DIRECTAS E INDIRECTAS
Las mediciones pueden realizarse directa o indirectamente. Como ejemplos de
mediciones directas tenemos la aplicación de una cinta a una línea, medir un ángulo con transportador y determinar un ángulo con un instrumento de estación total.
Se emplea una medición indirecta cuando no es posible aplicar un instrumento directamente a la cantidad por medirse. La respuesta se determina entonces
por su relación con otro valor o valores medidos. Por ejemplo, la distancia a través
46 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
de un río puede determinarse midiendo la longitud de una línea sobre un lado, el
ángulo en cada extremo de esta línea con un punto del lado opuesto y luego calculando la distancia mediante alguna fórmula trigonométrica. En topografía se
hacen muchas mediciones indirectas y como todas tienen errores es inevitable que
las cantidades calculadas a partir de ellas también los tengan. La manera en
que se combinan los errores en las mediciones para producir las respuestas de cálculo erróneas se llama propagación de error. En la sección 3.17 se analiza este tema.
■ 3.3 ERRORES EN LAS MEDIDAS
Por definición, un error es la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero
de una cantidad, o sea
(3.1)
–
En donde E es el error en una medición, X es el valor medido y X es el valor verdadero. Puede afirmarse incondicionalmente que: (1) ninguna medida es exacta, (2)
toda medida tiene errores, (3) el valor verdadero de una medición nunca se conoce
y por tanto, (4) el error exacto que se encuentra en cualquier medida siempre será
desconocido. Estos hechos se demuestran con el ejemplo siguiente: cuando se mide
una distancia con una regla dividida en décimos de pulgada, la distancia podrá
leerse sólo hasta los centésimos (por interpolación). Si se dispone de una regla
graduada en centésimos de pulgada, legible con lupa, la misma distancia podría
estimarse hasta los milésimos de pulgada. Y con una regla graduada en milésimos
de pulgada quizá sería posible lograr una lectura a la diezmilésima de esa unidad.
Es obvio que la exactitud de las medidas depende del tamaño de la división de la escala, de la confiabilidad del equipo empleado y de la limitación humana para hacer
un estimado más allá de aproximadamente un décimo de la división de una escala. Conforme se desarrolle mejor equipo, las medidas se aproximarán más a sus
valores verdaderos, pero nunca podrán ser exactas. Nótese que se habla aquí
de mediciones y no del conteo (por ejemplo de autos, centavos, canicas u otros
objetos).
■ 3.4 EQUIVOCACIONES
Se trata de yerros del observador cometidos generalmente por tener un concepto
erróneo del problema, por descuido, fatiga, error de comunicación o una apreciación equivocada. Ejemplos de esto son: la transposición de números, tal como registrar 73.96 en vez del valor correcto de 79.36; la lectura de un ángulo antihorario,
pero indicándolo como horario en las notas de campo; la visualización de un objeto
erróneo, o el registro de una distancia medida con cinta, como 682.38 en vez de
862.38. No se considerarán equivocaciones como éstas en el siguiente análisis
de los errores. Éstas se deben detectar por medio de una revisión sistemática de
todo el trabajo y eliminarse volviendo a efectuar parte del trabajo o reelaborándolo totalmente. Es muy difícil detectar equivocaciones pequeñas porque tienden a
confundirse con los errores. Cuando no se detecten esas pequeñas equivocaciones,
se tenderá a considerarlas incorrectamente como errores.
ALFAOMEGA
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3.6 Tipos de errores 47
■ 3.5 CAUSAS DE ERRORES AL HACER MEDICIONES
Existen tres causas por las cuales se cometen errores al efectuar mediciones, y se
clasifican de la siguiente manera.
Los errores naturales son causados por variaciones del viento, la temperatura, la humedad, la presión atmosférica, la refracción atmosférica, la gravedad y la
declinación magnética. Un ejemplo es una cinta de acero cuya longitud varía con
los cambios de temperatura.
Los errores instrumentales se deben a imperfecciones en la construcción o
ajuste de los instrumentos y del movimiento de sus partes individuales. Por ejemplo, las graduaciones sobre una escala pueden no estar perfectamente espaciadas
o la escala puede estar torcida. El efecto de muchos errores instrumentales puede
reducirse, e incluso eliminarse, adoptando procedimientos topográficos adecuados
o aplicando correcciones calculadas.
Los errores personales tienen su origen principalmente en las limitaciones
propias de los sentidos humanos, tales como la vista y el tacto. Por ejemplo, existe un error pequeño en el valor medido de un ángulo horizontal cuando el hilo
vertical de la retícula del anteojo de un instrumento de estación total no queda
perfectamente alineado sobre el objetivo, o cuando la parte superior de un estadal
no está a plomo al ser visada.
■ 3.6 TIPOS DE ERRORES
Los errores en las mediciones son de dos tipos: sistemáticos y aleatorios.
Los errores sistemáticos, también conocidos como sesgos, resultan de factores que comprenden el “sistema de medición” e incluyen el medio ambiente, los
instrumentos y el observador. Siempre que las condiciones del sistema se mantengan constantes, los errores sistemáticos se mantendrán asimismo constantes. Si las
condiciones cambian, las magnitudes de los errores sistemáticos también cambian.
Debido a que los errores sistemáticos tienden a acumularse, en ocasiones se les
llama errores acumulativos.
Las condiciones que ocasionan errores sistemáticos se deben a leyes físicas
que se pueden representar matemáticamente. Por tanto, si se conocen las condiciones y se pueden medir, es posible calcular una corrección y aplicarla a los valores
observados. Un ejemplo de un error sistemático constante es la utilización de una
cinta de acero de 100 pies que se ha calibrado y encontrado que tiene 0.02 pies de
más. Cada vez que se usa, esa cinta presenta un error de 0.02 pies, pero el error
se elimina fácilmente al aplicar una corrección. Un ejemplo de un error sistemático variable es el cambio de longitud de una cinta de acero como resultado de
diferencias de temperatura que ocurren durante el tiempo de su utilización. Si se
miden los cambios de temperatura, las correcciones de longitud se pueden calcular
mediante una simple fórmula que se explica en el capítulo 6.
Los errores aleatorios son los que quedan en los valores medidos después de
haber eliminado los errores sistemáticos y las equivocaciones. Son ocasionados por
factores que quedan fuera del control del observador, obedecen las leyes de la probabilidad y se les llama también errores accidentales. Estos errores están presentes
en todas las mediciones topográficas.
Las magnitudes y los signos algebraicos de los errores aleatorios son consecuencia del azar. No existe una manera absoluta de calcularlos ni de eliminarlos, pero pueden estimarse usando un procedimiento de ajuste conocido como el
método de mínimos cuadrados (véase la sección 3.21 y el capítulo 16). Los errores
aleatorios se conocen también con el nombre de errores compensatorios, porque
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48 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
tienden a cancelarse parcialmente entre sí en una serie de mediciones. Por ejemplo, una persona que interpola hasta el centésimo de pie en una cinta graduada en
décimos de pie, o que lee un estadal de nivelación marcado en centésimos, probablemente estimará demasiado altas algunas longitudes y demasiado bajas otras. Sin
embargo, las características individuales de la persona pueden nulificar tal compensación parcial, ya que hay quienes se inclinan a interpolar al valor mayor, otros
hacia el valor menor, y muchos prefieren ciertos dígitos, como por ejemplo 7 en vez
de 6 u 8, 3 en vez de 2 o 4 y, sobre todo 0 en vez de 9 o 1.
■ 3.7 PRECISIÓN Y EXACTITUD
Figura 3.1
Ejemplos de
precisión y
exactitud. (a) Los
resultados son
precisos, pero
no exactos. (b)
Los resultados no
son ni precisos ni
exactos. (c) Los
resultados son
tanto precisos
como exactos.
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Una discrepancia es la diferencia entre dos valores medidos de la misma cantidad. Una discrepancia pequeña indica que probablemente no hay equivocaciones
y que los errores aleatorios son pequeños. Sin embargo, las discrepancias pequeñas
no impiden la presencia de los errores sistemáticos.
La precisión se refiere al grado de refinamiento o consistencia de un grupo
de mediciones y se evalúa con base en la magnitud de las discrepancias. Si se hacen
mediciones múltiples de la misma cantidad y surgen pequeñas discrepancias, esto
refleja una alta precisión. El grado de precisión alcanzable depende de la sensibilidad del equipo empleado y de la habilidad del observador.
La exactitud denota una absoluta aproximación de las cantidades medidas a
sus verdaderos valores. La diferencia entre precisión y exactitud se muestra mejor en
relación con el tiro al blanco. En la figura 3.1(a), por ejemplo, los cinco tiros se
encuentran dentro de un estrecho agrupamiento que indica una operación precisa; es
decir, el tirador pudo repetir el procedimiento con un alto grado de consistencia.
Sin embargo, los tiros quedaron lejos del centro de la diana y por tanto, no fueron
exactos. Tal vez esto sea el resultado de una mala alineación de la mira del rifle. En
la figura 3.1(b) se muestran tiros dispersos aleatoriamente que no son ni precisos
ni exactos. En la figura 3.1(c), el agrupamiento en el centro de la diana representa
tanto precisión como exactitud. El tirador que obtuvo los resultados en (a) quizá
pudo hacer los tiros de (c) después de alinear la mira del rifle. En la topografía esto
equivaldría a calibrar los instrumentos de medición o a la eliminación de los errores
sistemáticos de las mediciones.
Igual que en el ejemplo del tiro al blanco, un levantamiento puede ser preciso sin ser exacto. Para mostrar esto, si se emplean métodos depurados y las
lecturas se toman con cuidado, digamos a 0.001 pies, pero existen errores instrumentales en el aparato de medición y no se le hacen correcciones, el levantamiento
no será exacto. Como un ejemplo numérico, dos medidas de una distancia hechas
con una cinta que, se supone, tiene 100.000 pies de longitud, pero que en realidad
tiene 100.050 pies, podrían resultar ser 453.270 y 453.272 pies. Estos valores son
precisos pero no exactos, pues existe un error sistemático de aproximadamente
(a)
(b)
(c)
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3.9 Probabilidad 49
4.53  0.050 5 0.23 pies en cada uno. La precisión obtenida se expresaría como
(453.272 2 453.270)/453.271 5 1/220 000, la cual se puede considerar excelente,
pero la exactitud de la distancia es de sólo 0.23/453.271 5 1 parte en 2 000. Además,
un levantamiento puede parecer exacto cuando en realidad se han efectuado mediciones aproximadas. Por ejemplo, los ángulos de un triángulo pueden leerse con
una brújula con sólo una aproximación de 1/4 de grado y obtener, sin embargo, una
suma de exactamente 180° o un error de cierre nulo. En buenos levantamientos, la
precisión y la exactitud siempre son fundamentales.
■ 3.8 ELIMINACIÓN DE EQUIVOCACIONES
Y DE ERRORES SISTEMÁTICOS
Todos los trabajos de campo y los cálculos de gabinete se norman por la lucha constante para reducir al mínimo las equivocaciones y los errores sistemáticos. Sería
preferible si no hubiera equivocaciones, pero como los humanos son falibles, esto no
es posible. En el campo, las equivocaciones se pueden minimizar con observadores
experimentados, quienes hacen sus mediciones usando procedimientos estandarizados repetitivos. Las equivocaciones sólo pueden corregirse si se descubren. La
comparación de varias medidas de la misma cantidad es una de las mejores maneras
de identificar las equivocaciones. El hacer una estimación con sentido común y aplicar el análisis es otra. Supóngase que se registran cinco medidas de una línea como
sigue: 567.91, 576.95, 567.88, 567.90 y 567.93. El segundo valor está notoriamente en
desacuerdo con los demás, aparentemente por una transposición de cifras al leer
o al registrar. Esta equivocación puede descartarse repitiendo la medida o bien,
eliminando el valor dudoso.
Cuando se detecta una equivocación, generalmente es mejor repetir la medición. Sin embargo, si se dispone de un número suficiente de otras medidas de la
cantidad que sí concuerdan, como en el ejemplo anterior, puede descartarse el resultado que sea muy divergente. Debe considerarse el efecto que ocasionaría en el
promedio el valor anómalo antes de descartarlo. Rara vez es conveniente cambiar
un número registrado, aunque parezca provenir de una simple transposición de
cifras. El tratar de arreglar los datos físicos es siempre una mala práctica que llevará con toda certeza a dificultades, aun cuando se haga con poca frecuencia.
Los errores sistemáticos se pueden calcular y es posible aplicar las correcciones apropiadas a las medidas. En los siguientes capítulos se describen los procedimientos para hacer estas correcciones a todas las mediciones básicas de topografía.
En algunos casos sería posible adoptar un procedimiento de campo que eliminara
automáticamente los errores sistemáticos. Por ejemplo, como se explica en el capítulo 5, un instrumento de nivelación no ajustado proporciona lecturas incorrectas,
pero si todas las lecturas hacia atrás y hacia delante se hacen de la misma longitud,
los errores se cancelan en la nivelación diferencial.
■ 3.9 PROBABILIDAD
En una u otra ocasión, todos hemos tenido alguna experiencia con juegos de azar,
tales como el juego de volados, el de naipes o el de dados, en los cuales interviene la probabilidad. En los cursos de matemáticas básicas se estudian las leyes de
las combinaciones y las permutaciones. Se muestra que los eventos que ocurren
al azar o por probabilidad están regidos por principios matemáticos a los que se
denomina probabilidad.
La probabilidad se puede definir como la razón del número de veces que
un resultado debe ocurrir en el número total de posibilidades. Por ejemplo, al lanzar un dado no cargado, hay una probabilidad de 1/6 de que aparezca el 2. Esto
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50 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
simplemente significa que hay 6 posibilidades y sólo una de ellas es el 2. En general, si un resultado puede ocurrir de m maneras y la no ocurrencia de n maneras,
la probabilidad de su ocurrencia es m/(m 1 n). La probabilidad de que cualquier
resultado ocurra es una fracción entre 0 y 1, el 0 indicando la imposibilidad y el 1
la certeza absoluta. Como cualquier resultado puede ocurrir o dejar de ocurrir, la
suma de las probabilidades de ocurrencia y no ocurrencia es 1. Por tanto, si 1/6 es
la probabilidad de que salga un 2 al lanzar el dado, entonces (1 2 1/6), o 5/6, es la
probabilidad de que no salga el 2.
La teoría de la probabilidad se aplica a muchas mediciones sociológicas y
científicas. En la sección 3.6 se señaló que los errores aleatorios existen en todo
trabajo de topografía. Esto quizá se puede apreciar mejor si se toma en consideración el proceso de medición, que generalmente comprende la ejecución de diversas
tareas elementales. Además de la selección y calibración de los instrumentos,
estas tareas pueden incluir emplazamiento, centrado, alineación y visado correcto del equipo; establecimiento, igualación o comparación de las marcas, y lectura
o estimación de los valores de escalas y cuadrantes graduados o calibradores. Debido a las imperfecciones del equipo y del observador, no se pueden hacer mediciones exactas, por lo que siempre habrá errores aleatorios. La magnitud de estos
errores y la frecuencia con que ocurren siguen las leyes de la probabilidad.
Por conveniencia, usaremos en el resto de este capítulo la palabra error para
referirnos únicamente a los errores aleatorios. Se supondrá que todas las equivocaciones y errores sistemáticos han sido eliminados antes de considerar los errores
aleatorios.
■ 3.10 EL VALOR MÁS PROBABLE
Como se especificó antes, en las mediciones físicas nunca se conoce el valor verdadero de ninguna magnitud. Sin embargo, su valor más probable puede calcularse si
se efectúan mediciones redundantes. Las mediciones redundantes son aquellas
que se efectúan en exceso de las mínimas necesarias para determinar una magnitud.
Para una sola incógnita, como la magnitud de una línea, que ha sido medida directa e independientemente varias veces usando el mismo equipo y procedimiento,1
la primera medición determina un valor para la magnitud y todas las mediciones
adicionales son redundantes. El valor más probable en este caso es llanamente la
media aritmética, definida como
(3.2)
–
en donde M es el valor más probable de la cantidad, ΣM es la suma de las medidas
individuales M, y n es el número total de mediciones. La ecuación (3.2) puede
determinarse usando el principio de los mínimos cuadrados, que se basa en la teoría de la probabilidad.
En problemas más complicados, en donde las mediciones no se hacen con
los mismos instrumentos y procedimientos, o cuando varias magnitudes interrelacionadas se determinan utilizando mediciones indirectas, los valores más probables se calculan empleando el método de mínimos cuadrados, como se explica en
1
La importancia de utilizar el mismo equipo e idénticos procedimientos radica en que las mediciones son de igual confiabilidad o peso. El tema de las ponderaciones desiguales se analiza en
la sección 3.20.
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3.12 Aparición de los errores aleatorios
51
el capítulo 16. Su tratamiento se relaciona con mediciones múltiples directas de la
misma magnitud y usando el mismo equipo y procedimientos.
■ 3.11 RESIDUOS
Una vez calculado el valor más probable de una magnitud, es posible calcular los
residuos. Un residuo es sólo la diferencia entre cualquier valor medido de una
magnitud y su valor más probable, o sea
(3.3)
–
en donde v es el residuo en cualquier medición M, y M es el valor más probable de
la magnitud medida. Teóricamente, los residuos son idénticos a los errores, excepto
que los residuos pueden calcularse, en tanto que los errores no, ya que los valores
verdaderos nunca son conocidos. Por consiguiente, los residuos, no los errores, son
los valores que se usan en el análisis y correcciones de mediciones topográficas.
■ 3.12 APARICIÓN DE LOS ERRORES ALEATORIOS
Para analizar la forma en la que aparecen los errores aleatorios, considere los datos
de la tabla 3.1, que representa 100 repeticiones de la medición de un ángulo hecha
con un instrumento preciso de estación total (descrito en el capítulo 8). Suponga que
estas mediciones están libres de equivocaciones y de errores sistemáticos. Por conveniencia en el momento de analizar los datos, con excepción del primer valor, sólo se
tabulan las partes correspondientes a los segundos. Los datos se han vuelto a ordenar
en la columna (1), de manera que las entradas comiencen con el valor medido más
pequeño, y se enlistan en orden creciente. Si un valor se obtuvo más de una vez, se
tabula en la columna (2) el número de veces que apareció o su frecuencia.
En la tabla 3.1 se puede observar que la dispersión (intervalo en mediciones de
la más pequeña a la más grande) es de 30.8 2 19.5 5 11.3 segundos. Además
de la estimación de la dispersión, y observando una tendencia general para mediciones que van hacia la mitad del intervalo para aparecer con mayor frecuencia,
sin embargo es difícil analizar el patrón de distribución de las mediciones simplemente recorriendo los valores tabulares.Para ayudar a estudiar los datos se puede
preparar un histograma. Éste es simplemente una gráfica de barras que muestra
los tamaños de las medidas (o sus residuos) contra su frecuencia de aparición. De
inmediato da una impresión visual del patrón de distribución de las mediciones (o
sus residuos).
En la figura 3.2 se grafica un histograma que se ha desarrollado para los datos
de la tabla 3.1, donde se muestra la frecuencia de aparición de los residuos. Para
graficar un histograma de residuos, primero se necesita calcular el valor más probable para el ángulo medido. Esto se ha hecho usando la ecuación (3.2). Como se
muestra en la parte inferior de la tabla 3.1, su valor es 27°43924.90. Después, usando
la ecuación (3.3), se calculan los residuos de todos los valores medidos. Éstos se
tabulan en la columna (3) de la tabla 3.1. Los residuos varían de 5.40 a 25.90. (El
valor absoluto de la suma de estos dos extremos es la dispersión, o sea, 11.30.)
Para tener un histograma con el número de barras que demuestre gráficamente la distribución de los residuos en forma apropiada, el intervalo de los
residuos representados por cada barra, o el intervalo de clase, se escogió como
0.70. Esto produjo 17 barras en la gráfica. La escala de residuos cubiertos por cada
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52 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
TABLA 3.1
MEDICIONES DE ÁNGULO CON UN TEODOLITO DE PRECISIÓN
Valor medido
(1)
Núm.
(2)
27º43919.50
1
20.0
Residuo (seg)
(3)
Valor medido
(1 cont.)
Núm.
(2 cont.)
Residuo (seg)
(3 cont.)
5.4
27º43925.10
3
20.2
1
4.9
25.2
1
20.3
20.5
1
4.4
25.4
1
20.5
20.8
1
4.1
25.5
2
20.6
21.2
1
3.7
25.7
3
20.8
21.3
1
3.6
25.8
4
20.9
21.5
1
3.4
25.9
2
21.0
22.1
2
2.8
26.1
1
21.2
22.3
1
2.6
26.2
2
21.3
22.4
1
2.5
26.3
1
21.4
22.5
2
2.4
26.5
1
21.6
22.6
1
2.3
26.6
3
21.7
22.8
2
2.1
26.7
1
21.8
23.0
1
1.9
26.8
2
21.9
23.1
2
1.8
26.9
1
22.0
23.2
2
1.7
27.0
1
22.1
23.3
3
1.6
27.1
3
22.2
23.6
2
1.3
27.4
1
22.5
23.7
2
1.2
27.5
2
22.6
23.8
2
1.1
27.6
1
22.7
23.9
3
1.0
27.7
2
22.8
24.0
5
0.9
28.0
1
23.1
24.1
3
0.8
28.6
2
23.7
24.3
1
0.6
28.7
1
23.8
24.5
2
0.4
29.0
1
24.1
24.7
3
0.2
29.4
1
24.5
24.8
3
0.1
29.7
1
24.8
24.9
2
0.0
30.8
1
25.9
25.0
2
20.1
2494.0
Σ 5 100
Σ 5
Media 5 2 494.0/100 5 24.90
Valor más probable 5 27°43924.90
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3.12 Aparición de los errores aleatorios
53
16
14
Polígono de frecuencias
Curva de distribución normal
10
Histograma
8
6
4
5.95
5.25
4.55
3.85
3.15
2.45
1.75
1.05
2
0.35
0.00
0.35
1.05
1.75
2.45
3.15
3.85
4.55
5.25
5.95
Frecuencia de ocurrencia
12
Tamaño del residuo
Figura 3.2
Histograma,
polígono de
frecuencia y curva
de distribución
normal de residuos
de mediciones de
un ángulo hechas
con una estación
total.
intervalo y el número de residuos que aparecen dentro de cada intervalo se enlistan en la tabla 3.2. Al graficar intervalos de clase en la abscisa contra el número de
residuos (frecuencia de aparición) en cada intervalo en la ordenada, se obtuvo el
histograma de la figura 3.2.
Si se unen con líneas rectas los puntos superiores centrales de las barras del
histograma, se obtiene el llamado polígono de frecuencias. En la figura 3.2 éste se
sobrepone como una línea punteada gruesa para los datos de la tabla 3.1. Básicamente, éste exhibe en forma gráfica la misma información que el histograma.
Si se incrementara progresivamente el número de mediciones que se consideran en este análisis y, por consiguiente, el intervalo de clase del histograma se considerara más y más pequeño, finalmente el polígono de frecuencias se aproximaría
a una curva uniforme continua, simétrica con respecto a su centro, como la que se
muestra con una línea gruesa continua en la figura 3.2. En la figura 3.3 se muestra por separado esta curva para mayor claridad. La “forma de campana” de esta
curva es característica de un grupo de errores normalmente distribuidos y, por
ello, en ocasiones se le cita como curva de distribución normal. Los estadígrafos a
menudo la llaman curva de densidad normal, puesto que muestra las densidades de
errores de diversa magnitud. En la topografía, casi siempre ocurren distribuciones
con errores normales o cerca de lo normal, por lo que en este libro se supone esta
condición.
En la práctica, los histogramas y los polígonos de frecuencia casi no se usan
para representar distribuciones de error. En lugar de ello se prefieren las curvas
de distribución normal que más se les aproximan. (Observe qué tanto se asemeja
la curva de distribución normal sobrepuesta en la figura 3.2 con el histograma y el
polígono de frecuencia.)
Como se demuestra con los datos de la tabla 3.1, el histograma para una serie de mediciones muestra gráficamente la probabilidad de ocurrencia de un error
de determinada magnitud mediante áreas de barras. Por ejemplo, 14 de los 100 residuos (errores) de la figura 3.2 están entre 20.350 y 10.350. Esto representa el 14%
de los errores, y la barra central del histograma, que corresponde a este intervalo,
es un 14% del área total de todas las barras. Así, el área de una barra construida
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ALFAOMEGA
54 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
TABLA 3.2
ESCALAS DE INTERVALOS DE CLASE Y NÚMERO DE RESIDUOS EN CADA INTERVALO
Intervalo del histograma
(seg.)
Número de residuos
en el intervalo
25.95 a 25.25
1
25.25 a 24.55
1
24.55 a 23.85
2
23.85 a 23.15
3
23.15 a 22.45
6
22.45 a 21.75
8
21.75 a 21.05
10
21.05 a 20.35
11
20.35 a 10.35
14
10.35 a 11.05
12
11.05 a 11.75
11
11.75 a 12.45
8
12.45 a 13.15
6
13.15 a 13.85
3
13.85 a 14.55
2
14.55 a 15.25
1
15.25 a 15.95
1
Σ 5 100
con dos abscisas contiguas de una curva de distribución normal y la ordenada entre
ellas representa el porcentaje de probabilidad de que existe un error de esa magnitud. Puesto que la suma del área de todas las barras de un histograma representa
todos los errores, también representa todas las probabilidades, y así la suma equivale
a 1. Asimismo, el área total bajo la curva de distribución normal también es 1.
Si las mismas mediciones del ejemplo anterior se hubieran hecho utilizando
mejor equipo y con más cuidado, se habrían tenido errores más pequeños y la
curva de distribución normal sería semejante a la de la figura 3.4(a). En comparación con la figura 3.3, esta curva es más alta y más estrecha, demostrando así que
un mayor porcentaje de valores tiene errores más pequeños, mientras que menos
mediciones tienen errores más grandes. Para esta comparación, deben usarse para
ambas curvas las mismas escalas de ordenadas y de abscisas. Así, las mediciones
de la figura 3.4(a) son más precisas. En lecturas tomadas con menos precisión se
produce el efecto contrario, como se observa en la figura 3.4(b), que exhibe una
curva más corta y ancha. Sin embargo, en los tres casos la curva mantuvo su forma
característica de campana simétrica.
A partir de estos ejemplos se puede observar que las precisiones relativas de
grupos de mediciones se vuelven aparentes al comparar sus curvas de distribución
normal. La curva de distribución normal para una serie de mediciones se calcula
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
3.14 Medidas de precisión
1.96σ
(E95)
6.0
5.0
4.0
3.0
1.0
σ
2.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
Frecuencia de ocurrencia
Punto de inflexión
σ
1.65σ
(E90)
1.65σ
(E90)
55
Tamaño del residuo
1.96 σ
(E95)
Figura 3.3
Curva de
distribución normal.
utilizando parámetros derivados de los residuos, pero este procedimiento no se tratará en este libro. El lector deberá examinar las referencias al final de este capítulo
para explorar este tema con más profundidad.
■ 3.13 LEYES GENERALES DE LA PROBABILIDAD
Si partimos del análisis de los datos de la sección anterior y de las curvas en las
figuras 3.2 a 3.4, pueden enunciarse algunas leyes generales de la probabilidad:
1. Los residuos (errores) pequeños ocurren con mayor frecuencia que los grandes; es decir, su probabilidad es mayor.
2. Los errores grandes ocurren con poca frecuencia y son, por tanto, menos
probables; en el caso de los errores con distribución normal, los excepcionalmente grandes pueden ser equivocaciones en vez de errores aleatorios.
3. Los errores positivos y negativos de la misma magnitud ocurren con igual
frecuencia, es decir, son igualmente probables. [Esto nos permite hacer una
deducción intuitiva de la ecuación (3.2): esto es, que el valor más probable de
un grupo de mediciones repetidas, hechas con el mismo equipo y procedimientos, es la media.]
■ 3.14 MEDIDAS DE PRECISIÓN
Aunque las curvas de las figuras 3.3 y 3.4 tienen formas similares, existen diferencias importantes en cuanto a la dispersión de sus errores; es decir, difieren sus
amplitudes de abscisa. La magnitud de la dispersión es una indicación acerca de la
precisión relativa de las medidas. La desviación estándar y la varianza son términos
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ALFAOMEGA
56 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
24
22
20
18
16
Punto de inflexión
14
12
10
8
6
4
2
σ
σ
(a)
14
12
10
Figura 3.4
Curvas de
distribución
normal para:
(a) incrementar
la precisión,
(b) disminuir
la precisión.
Punto de inflexión
8
6
4
2
σ
σ
(b)
estadísticos usados comúnmente para expresar la precisión de una serie de medidas. La ecuación que da la desviación estándar es:
(3.4)
donde s es la desviación estándar de un grupo de medidas de la misma magnitud,
v es el residuo de una observación individual, Σv2 es la suma de los cuadrados de
los residuos individuales, y n es el número de observaciones. La varianza es igual a
s2, el cuadrado de la desviación estándar.
Observe que en la ecuación (3.4) la desviación estándar tiene valores positivos y negativos. En la curva de distribución normal, el valor numérico de la desviación estándar es la abscisa en los puntos de inflexión (posición donde la curvatura
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TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
3.14 Medidas de precisión
57
cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba). En las figuras 3.3 y 3.4 se
muestran estos puntos de inflexión. Observe la menor distancia que hay entre ellos
para las mediciones más precisas mostradas en la figura 3.4(a) en comparación con
las de la figura 3.4(b).
La figura 3.5 es una gráfica que muestra el porcentaje del área total bajo una
curva de distribución normal que existe entre intervalos de residuos (errores) que
tienen valores positivos y negativos iguales. La escala de las abscisas se muestra en
múltiplos de la desviación estándar. En esta curva, el área entre residuos 1s y –s
es igual a 68.27% (redondeado a 68.3%) del área total bajo la curva de distribución
normal. Por tanto, la curva indica el intervalo de residuos que puede esperarse que
ocurran el 68.3% de las veces. Esta relación se muestra con mayor claridad en las
curvas de las figuras 3.3 y 3.4, donde las áreas entre 6s están sombreadas. Los porcentajes mostrados en la figura 3.5 se aplican a todas las distribuciones normales,
independientemente de la forma de la curva o del valor numérico de la desviación
estándar.
100
99.7
1.9599
95
90
1.6449
90
1.4395
80
1.2816
Porcentaje del área bajo la curva de probabilidad
1.1503
70
1.0364
68.27
0.9346
0.8416
60
0.7554
50
0.6745
50
0.5978
0.5244
40
0.4538
0.3853
30
0.3186
20
0.2534
0.1891
0.1257
10
0.0627
0
0
0.5
1.0
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1.5
2.0
Error
2.5
3.0
3.5
Figura 3.5
Relación entre
el error y el
porcentaje del área
bajo la curva de
distribución normal.
ALFAOMEGA
58 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
■ 3.15 INTERPRETACIÓN DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Se ha demostrado que la desviación estándar fija los límites dentro de los cuales
debe esperarse que queden las mediciones 68.3% de las veces. En otras palabras,
si una medición se repite diez veces, podría esperarse que, aproximadamente, siete de los resultados queden dentro de los límites determinados por la desviación
estándar, e inversamente, que tres de ellos queden fuera de esos límites. Otra interpretación es que una medición adicional tendría 68.3% de probabilidad de quedar
dentro de los límites determinados por la desviación estándar.
Cuando se aplica la ecuación (3.4) a los datos de la tabla 3.1, se obtiene una
desviación estándar de 62.19 segundos. Si examinamos los residuos en la tabla,
vemos que 70 de los 100 valores, un 70%, son realmente menores que 2.19 segundos. Esto muestra que la teoría de la probabilidad refleja en forma muy cercana la
realidad.
■ 3.16 LOS ERRORES DE 50, 90 Y 95%
De los datos dados en la figura 3.5, puede determinarse la probabilidad de un error
de cualquier porcentaje de probabilidad. La ecuación general es:
(3.5)
en donde EP es el porcentaje de error y CP es el correspondiente factor numérico
tomado de la figura 3.5.
Según la ecuación (3.5), después de tomar los multiplicadores adecuados de
la figura 3.5, las siguientes son expresiones de errores que tienen 50, 90 y 95%
de probabilidad de ocurrir:
(3.6)
(3.7)
(3.8)
El error de 50%, o sea E50, es el llamado error probable. Este valor fija los
límites dentro de los cuales han de permanecer las mediciones 50% de las veces.
En otras palabras, una medida tiene la misma probabilidad de estar dentro de estos
límites que fuera de ellos.
Los errores de 90 y 95% se usan comúnmente para especificar precisiones
necesarias en los proyectos topográficos (geomáticos). De éstos, el error de 95%,
llamado a veces el error dos sigma (2s), es el más frecuentemente especificado.
Por ejemplo, en un proyecto específico se puede requerir que el error de 95% sea
menor o igual a cierto valor para que el trabajo sea aceptable. Si aplicamos las
ecuaciones (3.7) y (3.8) a los datos de la tabla 3.1, los errores de 90 y 95% son de
63.60 segundos y 64.29 segundos, respectivamente. Estos errores se muestran en
forma gráfica en la figura 3.3.
Los topógrafos suelen usar el llamado error tres sigma (3s) como criterio
para rechazar mediciones individuales. De acuerdo con la figura 3.5, hay una probabilidad de 99.7% de que un error sea menor que esta cantidad. Así, en un conjunto de mediciones, cualquier valor cuyo residuo exceda de 3s se considera como
una equivocación y deberá efectuarse una nueva medición o basar los cálculos
en un valor o dato menor.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
3.16 Los errores de 50, 90 y 95%
59
El eje x es una asíntota de la curva de distribución normal, por lo que no
puede evaluarse el error de 100%. Esto significa que cualquiera que sea el error
encontrado, teóricamente siempre es posible hallar uno mayor.
■ Ejemplo 3.1
Para aclarar las definiciones y el uso de las ecuaciones dadas en las secciones 3.10 a
3.16, supongamos que se ha medido una línea diez veces usando el mismo equipo y
procedimientos. Los resultados se muestran en la columna (1) de la siguiente tabla.
Se supone que no se han cometido equivocaciones y que esas mediciones ya se han
corregido respecto a todo error sistemático. Calcule el valor más probable para la
longitud de la línea, su desviación estándar y los errores que tengan probabilidades
de 50, 90 y 95%.
v2
Longitud
(pies)
(1)
Residuo v
(pie)
(2)
(3)
538.57
538.39
538.37
538.39
538.48
538.49
538.33
538.46
538.47
538.55
Σ 5 5384.50
10.12
20.06
20.08
20.06
10.03
10.04
20.12
10.01
10.02
10.10
Σ 5 0.00
0.0144
0.0036
0.0064
0.0036
0.0009
0.0016
0.0144
0.0001
0.0004
0.0100
Σv2 5 0.0554
Solución
Según la ecuación (3.2),
pies
Se calculan los residuos mediante la ecuación (3.3). Éstos se indican en la columna
(2) y sus cuadrados en la columna (3). Obsérvese que en la columna (2), la suma
algebraica de los residuos es cero. (Para mediciones de igual confiabilidad, excepto
por los redondeos, esta columna siempre debería sumar cero, lo que permite comprobar los cálculos.)
Según la ecuación (3.4),
pies.
Según la ecuación (3.6), E50 5 60.6745s 5 60.6745(0.078) 5 60.05 pies.
Según la ecuación (3.7), E90 5 61.6449(0.078) 5 60.13 pies.
Según la ecuación (3.8), E95 5 61.9599(0.078) 5 60.15 pies.
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60 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
De este ejemplo puede concluirse lo siguiente.
1. La longitud más probable es de 538.45 pies.
2. La desviación estándar de una sola medida es 60.08 pies. Según esto, la
expectativa normal es que 68% de las veces la longitud registrada se encontrará entre 538.45 – 0.08 y 538.45 1 0.08 o sea entre 538.37 y 538.53 pies; es
decir, aproximadamente siete valores se encontrarán entre esos límites. (De
hecho, se presentan siete valores.)
3. El error probable (E50) es 60.05 pies. Por tanto, puede anticiparse que la
mitad, o sea cinco de las medidas quedarán dentro del intervalo 538.40 a
538.50 pies. (Cuatro valores lo están.)
4. El error de 90% es 60.13 pies y, por lo tanto, se espera que nueve de los
valores medidos estén dentro del intervalo de 538.32 y 538.58 pies.
5. El error de 95% es 60.15 pies, por lo que se espera que la longitud estará
comprendida entre 538.30 y 538.60, 95% de las veces. (Nótese que todas las
medidas están dentro de los límites de los errores de 90 y 95%.)
■ 3.17 PROPAGACIÓN DE ERRORES
Se estableció antes que como todas las mediciones contienen errores, cualquier
cantidad calculada a partir de ellas contendrá asimismo errores. El proceso de evaluar errores en cantidades calculadas con valores medidos que contienen errores
se llama propagación de errores. La propagación de los errores aleatorios en las
fórmulas matemáticas se calcula usando la ley general de la propagación de varianzas. Es común que esta fórmula se simplifique en topografía (geomática) ya que
generalmente las mediciones son matemáticamente independientes. Por ejemplo,
sean a, b, c, . . . , n los valores medidos que contienen los errores Ea , Eb , Ec , . . . , En,
respectivamente. También sea Z una cantidad obtenida mediante un cálculo usando estas cantidades observadas mediante una función f, tal que
Z 5 f (a, b, c, . . . , n)
(3.9)
Entonces suponiendo que a, b, c, . . . , n son mediciones independientes, el error en
la cantidad calculada Z es
(3.10)
donde los términos f /a, f /b, f /c, . . . , f /n son las derivadas parciales de la
función f con respecto a las variables a, b, c, . . . , n. En las siguientes subsecciones se
analizarán casos específicos simples de propagación de errores, comunes en topografía, y se presentarán algunos ejemplos de ellos.
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3.17 Propagación de errores 61
3.17.1 Error de una suma
Suponga que la suma de mediciones observadas independientes a, b, c, . . . es Z. La
fórmula para la cantidad calculada Z es:
Z5a1b1c1...
Las derivadas parciales de Z con respecto a cada cantidad medida son Z /a 5
Z/b 5 Z/c 5 . . . 5 1. Entonces al sustituir estas derivadas parciales en la
ecuación (3.10), se obtiene la siguiente fórmula que da la propagación de los
errores en la suma de cantidades que contienen, cada una, diferentes errores
aleatorios:
(3.11)
donde E representa cualquier porcentaje de error especificado (tal como s, E50,
E90 o E95) y a, b y c se refieren a las mediciones individuales e independientes.
El error de una suma puede usarse para explicar las reglas de adición y substracción con el uso de cifras significativas. Recuerde la suma de 46.7418, 1.03, y
375.0 del ejemplo (a) de la sección 2.4. Las cifras significativas indican que hay
incertidumbre para el último digito de cada número. Entonces, suponga errores
estimados de ±0.0001, ±0.01, y ±0.1 respectivamente para cada número. El error
en la suma de estos tres números es 0.00012 + 0.012 + 0.12 = ± 0.1.. La suma de tres
números es 422.7718, que se redondeó, usando las reglas de las cifras significativas,
a 422.8. Su precisión se compara con la exactitud estimada producida por el error
en la suma de los tres números. Observe cómo el número menos exacto controla la
exactitud en la sumatoria de los tres valores.
■ Ejemplo 3.2
Supóngase que una línea se mide en tres secciones, con las partes individuales iguales a (753.81, 60.012), (1 238.40, 60.028), y (1 062.95, 60.020) pies, respectivamente. Determinar la longitud total de la línea y su desviación estándar esperada.
Solución
Longitud total 5 753.81 1 1 238.40 1 1 062.95 5 3055.16 pies
Con la ecuación (3.11), ESuma 5
pies
3.17.2 Error de una serie
Algunas veces se lee una serie de cantidades similares, tales como los ángulos en
una poligonal cerrada, resultando cada medida con un error de aproximadamente
la misma magnitud en todos los casos. El error total en la suma de todas las cantidades medidas de una serie de esta naturaleza se llama el error de las series y se
designa ESeries. Si se supone el mismo error E en cada medida y se aplica la ecuación (3.11), el error de la serie es:
(3.12)
en donde E representa el error en cada medición individual y n es el número de
mediciones.
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62 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
Esta ecuación muestra que cuando se repite la misma operación, los errores
aleatorios se compensan y el error resultante de una serie es proporcional a la raíz
cuadrada del número de mediciones. La ecuación tiene gran aplicación, por ejemplo, para determinar el error de cierre admisible para los ángulos de una poligonal,
lo que se estudiará en el capítulo 9.
■ Ejemplo 3.3
Supóngase que cada uno de los ángulos interiores de una poligonal de cuatro lados
tiene un error estimado de ±3.50. Determine el error en la suma de los cuatro
ángulos interiores.
Solución
Por la ecuación (3.12), el error en la suma de los ángulos es:
0
0
■ Ejemplo 3.4
El error en la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero debe ser menor
que ±100. Determinar con qué exactitud debe medirse cada uno de los cuatro ángulos para asegurarse que el error no exceda el límite permisible.
Solución
Según la ecuación (3.12), Eserie = ±E√n y n = 4, por lo que el error permisible E
en cada ángulo es:
10″
4
5″
■ Ejemplo 3.5
Supóngase que se necesita que la suma de los 10 ángulos interiores de un polígono
tengan un error menor que ±100 ¿Con que exactitud debe medirse cada ángulo?
Solución
Ya que hay 10 ángulos, n = 10, y con la ecuación (3.12), el error permisible E en
cada ángulo medido es:
10″
10
ALFAOMEGA
3.2″
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
3.17 Propagación de errores 63
El análisis de los ejemplos 3.4 y 3.5 muestra que un número más grande de
posibilidades proporciona mayores oportunidades de que los errores se compensen.
3.17.3 Error en un producto
La ecuación para el error propagado en un producto AB, donde Ea y Eb son los
respectivos errores en A y B, es
(3.13)
En la figura 3.6 se muestra el significado físico de la fórmula de la propagación de errores para un producto, donde A y B son los lados de una parcela rectangular medidos con errores Ea y Eb, respectivamente. El producto
repreAB es el área de la parcela. En la ecuación (3.13),
senta cualquiera de las barras horizontales achuradas y es el error debido a
2Eb o a 1Eb. El término
se representa por las barras achuradas (verticales) más cortas, que es el error que resulta de 2Ea o de 1Ea.
■ Ejemplo 3.6
Para el lote rectangular ilustrado en la figura 3.6, las mediciones de sus lados A y
B con su 95% de error son de (252.46, 60.053) y (605.08, 60.072) pies, respectivamente. Calcule el área del terreno y el error esperado en el área.
Solución
Área 5 252.46  605.08 5 152,760 pies2
Con la ecuación (3.13),
pies2
σ→
También se puede usar el ejemplo 3.6 para demostrar la validez de una
de las reglas de las cifras significativas en el cálculo. El área real calculada es de
152 758.4968 pies2. Sin embargo, la regla estipula que para cifras significativas en
la multiplicación (véase la sección 2.4) no puede haber más cifras significativas en la
respuesta que en cualquiera de los factores individuales utilizados. Por consiguienA
2Ea
1Ea
B
2Eb
1Eb
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Figura 3.6
Error de área.
ALFAOMEGA
64 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
te, el área debe redondearse a 152 760 (cinco cifras significativas). A partir de la
ecuación (3.13), con un error de 636.9 pies2 la respuesta podría ser 152 758.4968
6 36.9, o de 152 721.6 a 152 795.4 pies2. Por tanto, el quinto dígito de la respuesta
resulta cuestionable y, en consecuencia, se verifica el número de cifras significativas
especificadas por la regla.
3.17.4 Error de la media
La ecuación (3.2) demostró que el valor más probable de un grupo de mediciones
repetidas es la media aritmética. Como la media se calcula a partir de valores medidos individuales, cada uno de los cuales contiene un error, está sujeta a error. Con
la ecuación (3.12) es posible encontrar el error para la suma de una serie de mediciones, donde cada una tiene el mismo error. Debido a que la suma dividida entre
el número de mediciones da la media, se puede encontrar el error de la media con
la relación
Sustituyendo la ecuación (3.12) para ESeries
(3.14)
en donde E es el porcentaje de error especificado de una sola medición, Em el porcentaje de error correspondiente de la media y n es el número de mediciones.
Se puede determinar el error de la media a cualquier porcentaje de probabilidad y aplicarlo a todos los otros criterios que se han expuesto. Por ejemplo, la
desviación estándar de la media, (E68)m o sm es
v2
(3.15a)
y los errores de 90 y 95% de la media son
v2
v2
(3.15b)
(3.15c)
Estas ecuaciones muestran que el error de la media varía en razón inversa de
la raíz cuadrada del número de repeticiones. Así, para duplicar la exactitud, es decir,
para reducir el error a la mitad, deben hacerse cuatro veces más mediciones.
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3.19 Ajuste condicional de las mediciones
65
■ Ejemplo 3.7
Calcular la desviación estándar de la media y el error al 90% de la media para las
mediciones del ejemplo 3.1.
Solución
Según la ecuación (3.15a),
pies.
Y según la ecuación (3.15b), (E90)m 5 61.6449(0.025) 5 60.041 pies.
Estos valores muestran los límites de error con 68 y 90% de probabilidad para la
longitud de la línea. Puede decirse que la longitud verdadera tiene una probabilidad de 68% de encontrarse a 60.025 de la media y una probabilidad de 90% de
encontrarse no más allá de 60.041 pies de la media.
■ 3.18 APLICACIONES
Los problemas de los ejemplos muestran que las ecuaciones de la probabilidad de
los errores se aplican de dos maneras:
1. Para analizar mediciones que ya se han hecho para comparar con otros
resultados o con los requisitos de las especificaciones.
2. Para fijar procedimientos y especificaciones, con el fin de lograr los resultados deseados.
La aplicación de las diversas ecuaciones de la probabilidad de error debe
efectuarse con criterio y precaución. Recuérdese que éstas se basan en la hipótesis
de que los errores se comportan de acuerdo con la curva uniforme y continua de
la distribución normal, que a su vez se basa en la realización de un gran número
de mediciones. Con frecuencia, en topografía sólo se realizan unas cuantas observaciones (de cuatro a ocho). Si se comportan de acuerdo con una distribución
normal, entonces la respuesta que se tenga empleando las ecuaciones de probabilidad será fidedigna; si no es así, las conclusiones podrían ser desconcertantes. Sin
embargo, si no se tiene información más exacta, lo mejor es seguir suponiendo que
los errores se distribuyen normalmente.
■ 3.19 AJUSTE CONDICIONAL DE LAS MEDICIONES
En la sección 3.3 se enfatizó que nunca se conoce el valor real de ninguna cantidad
medida. Sin embargo, en algunos tipos de problemas la suma de varias medidas
debe ser igual a un valor fijo; por ejemplo, la suma de los tres ángulos en un triángulo plano tiene que dar un total de 180°. En la práctica, por tanto, se ajustan los
ángulos medidos para que sumen el total esperado. En forma correspondiente,
pueden ajustarse las distancias, ya sean horizontales o verticales, para satisfacer
ciertos requisitos. Los métodos a emplear se explicarán en capítulos posteriores,
donde las operaciones se estudian con detalle.
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66 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
■ 3.20 PONDERACIÓN DE LAS MEDICIONES
Es evidente que algunas mediciones son más exactas que otras, ya sea por el uso
de mejor equipo, de técnicas mejores o de condiciones de campo más favorables.
Por tanto, al hacer ajustes es conveniente asignar pesos relativos, o ponderaciones,
a las mediciones individuales. Se puede concluir lógicamente que si una medición
es muy precisa, tendrá una desviación estándar o varianza muy pequeña, por lo
que deberá ponderarse más (lo más próximo a su valor medido) en un ajuste que
en una medición de menor precisión. De este razonamiento se deduce que las ponderaciones de las mediciones deben estar en relación inversa con la precisión. De
hecho, se puede demostrar que tales pesos relativos o ponderaciones son inversamente proporcionales a las varianzas, o sea
(3.16)
donde Wa es el peso relativo de una medición a, que tiene una varianza sa2. En consecuencia, cuanto mayor sea la precisión (más pequeña la varianza), tanto mayor
deberá ser el peso relativo del valor medido que se esté ajustando. En algunos
casos, las varianzas no se conocen originalmente y deben asignarse ponderaciones
a los valores medidos con base en estimaciones de su precisión relativa. Si una
cantidad se mide repetidamente y las observaciones individuales tienen ponderaciones diferentes, la media ponderada puede calcularse con la expresión
(3.17)
–
donde M W es la media ponderada, ΣWM es la suma de las ponderaciones individuales multiplicadas por sus mediciones correspondientes, y ΣW es la suma de las
ponderaciones.
■ Ejemplo 3.8
Suponga que se registran cuatro mediciones de una distancia cuyos valores son:
482.16, 482.17, 482.20 y 482.18; las ponderaciones relativas adscritas a estas medidas son 1, 2, 2 y 4, respectivamente. Determinar la media ponderada.
Solución
De acuerdo con la ecuación (3.17)
2
pies
Al calcular ajustes que comprenden medidas con ponderaciones diferentes, las
correcciones aplicadas a los valores observados deben ser inversamente proporcionales a los pesos relativos.
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3.21 Ajustes con mínimos cuadrados 67
■ Ejemplo 3.9
Los ángulos medidos en cierto triángulo y sus pesos relativos son: A 5 49°519150,
Wa 5 1; B 5 60°329080, Wb 5 2; y C 5 69°369330, Wc 5 3. Hágase un ajuste ponderado de los ángulos.
Solución
Primero se calcula la suma de los tres ángulos y se encuentra que es 40 menor que
la condición geométrica requerida de 180 grados exactamente. Los ajustes de los
ángulos se hacen en forma inversamente proporcional a su ponderación, tal como
se hace en la siguiente tabla. El ángulo C con la mayor ponderación (3) recibe la
corrección más pequeña, 2x; B recibe 3x, y A, 6x.
A
B
C
Suma
Ángulo
medido
Ponderación
Corrección
49º519150
60º329080
69º369330
179º599560
1
2
3
Σ56
6x
3x
2x
11x
Corrección Corrección
numérica redondeada
12.180
11.090
10.730
14.000
120
110
110
140
Ángulo
ajustado
49º519170
60º329090
69º369340
180º009000
11x 5 40 y x 5 10.360
Debe mencionarse de nuevo que los cálculos de ajustes basados en la teoría de
la probabilidad serán válidos sólo si los errores sistemáticos y las equivocaciones
han sido eliminados al emplear procedimientos, equipo y cálculos apropiados.
■ 3.21 AJUSTES CON MÍNIMOS CUADRADOS
Como se explicó en la sección 3.19, la mayoría de las mediciones de levantamientos se deben ajustar a ciertas condiciones geométricas. Las magnitudes por las
cuales las mediciones no satisfacen estas condiciones necesarias se denominan
errores de cierre, e indican la presencia de errores aleatorios. En el ejemplo 3.9,
como muestra, el error de cierre fue de 40. Diversos procedimientos se aplican
para distribuir esos errores y producir condiciones geométrica y matemáticamente
perfectas. Algunos sencillamente aplican correcciones del mismo tamaño a todos
los valores medidos; en estos casos, cada corrección es igual al error de cierre total
(con el signo algebraico cambiado) dividido entre el número de mediciones. Otros
corrigen las mediciones en proporción a las ponderaciones asignadas. Otros más
emplean reglas empíricas, como la “regla de la brújula”, para ajustar poligonales
cerradas, como se verá en el capítulo 10.
Debido a que los errores aleatorios en topografía ocurren conforme a las
leyes matemáticas de la probabilidad y se “distribuyen normalmente”, el proceso
de ajuste más adecuado deberá basarse en estas leyes. El procedimiento de los
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68 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
mínimos cuadrados es uno de tales métodos. No es algo nuevo, pues ya a finales
del siglo xviii el matemático alemán Karl Gauss lo había aplicado. Sin embargo,
hasta antes de la llegada de las computadoras, este método se usó poco debido a lo
extenso de los cálculos comprendidos.
El método de los mínimos cuadrados es adecuado para ajustar cualquiera
de los tipos básicos de mediciones descritas en la sección 2.1 y es aplicable a todos
los procedimientos empleados comúnmente en topografía. El método refuerza la
condición de que la suma de la ponderación de las mediciones, multiplicada por sus
residuos correspondientes elevados al cuadrado, se minimiza. Esta condición fundamental, que se desarrolla a partir de la ecuación de la curva de distribución del
error normal, proporciona los valores más probables para las cantidades ajustadas.
Además, también (a) determina las precisiones de los valores ajustados, (b) revela
la presencia de errores grandes y equivocaciones, de manera que pueden tomarse
medidas para eliminarlos, y (c) hace posible el diseño óptimo de procedimientos
topográficos en el gabinete antes de proceder a tomar medidas en el campo.
Las hipótesis básicas en que se apoya la teoría de los mínimos cuadrados
son: (1) las equivocaciones y los errores sistemáticos han sido eliminados, por lo
que sólo quedan errores aleatorios; (2) el número de observaciones que deben
ajustarse es grande, y (3) la distribución de frecuencias de los errores es normal.
Aunque estas hipótesis no siempre se cumplen, el ajuste por mínimos cuadrados
proporciona el tratamiento más riguroso de los errores y por ello es tan popular e importante en la topografía moderna. En el capítulo 15 se analiza con más
detalle este tema.
PROBLEMAS
Los asteriscos (*) señalan los problemas cuya solución figura en el apéndice G.
3.1 Explique las diferencias entre un error y un residuo.
3.2 Dé dos ejemplos de (a) mediciones directas y (b) mediciones indirectas.
3.3 Defina el término errores sistemáticos, y dé dos ejemplos en topografía de un
error sistemático.
3.4 Defina el término errores aleatorios, y dé dos ejemplos en topografíade errores
aleatorios.
3.5 Explique la diferencia entre exactitud y precisión.
Se mide repetidamente una distancia AB usando el mismo equipo y los mismos
procedimientos, y los resultados, en metros, se listan en los problemas 3.5 a 3.10. Calcule
(a) la longitud más probable de la línea, (b) la desviación estándar y (c) la desviación
estándar de la media para cada conjunto de resultados.
3.6* 65.401, 65.400, 65.402, 65.396, 65.406, 65.401, 65.396, 65.401, 65.405, y 65.404.
3.7 Igual que el problema 3.6, pero descarte una medición, 65.406.
3.8 Igual que el problema 3.6, pero descarte dos mediciones, 65.405 y 65.406.
3.9 Igual que el problema 3.6, pero incluya dos mediciones adicionales, 65.408 y
65.409.
3.10 Igual que el problema 3.6, pero incluya tres mediciones adicionales, 65.408,
65.409, y 65.410.
En los problemas 3.11 a 3.14, determine el intervalo en donde las mediciones
deberán situarse (a) 90% de las veces y (b) 95% de las veces. Tabule el porcentaje de
valores que realmente se sitúan en estos intervalos.
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Problemas
69
3.11* Use los datos del problema 3.6.
3.12 Use los datos del problema 3.7.
3.13 Use los datos del problema 3.8.
3.14 Use los datos del problema 3.9.
En los problemas 3.15 a 3.17, se mide repetidamente un ángulo empleando los
mismos procedimientos y equipo. Calcule (a) el valor más probable del ángulo, (b) la
desviación estándar y (c) la desviación estándar de la media.
3.15* 23° 30’ 00”, 23° 29’ 40”, 23° 30’ 15”, y 23° 29’ 50”.
3.16 Igual que el problema 3.15, pero con tres mediciones adicionales, 23° 29’ 40”, 23°
29’ 45”, y 23° 29’ 50”.
3.17 Igual que el problema 3.15, pero con dos mediciones adicionales, 23° 30’ 05” y
23° 29’ 55”.
3.18* Una brigada de campo es capaz de efectuar mediciones con cinta con una desviación estándar de 60.010 pies por cada 100 pies de cinta. ¿Qué desviación
estándar cabe esperar en una distancia de 200 pies medida con cinta por esta
brigada?
3.19 Repita el problema 3.18, pero considerando que la desviación estándar para una
longitud de cinta de 30 m es de 60.005 m y que la distancia medida es de 90 m.
¿Cuál es el error de 95% esperado en 90 m?
3.20 Una distancia de 200 pies debe medirse con cinta para determinar una desviación estándar menor que 60.05 pies. ¿Cuál debe ser la desviación estándar en
100 pies de cinta para lograr la precisión deseada?
3.21 Se corrió una nivelación diferencial que necesitó n estaciones del instrumento. Si
cada lectura de estadal hacia atrás y hacia delante tiene una desviación estándar
s, ¿cuáles son las desviaciones estándar en cada una de las siguientes líneas de
nivel?
(a) n 5 15, s 5 60.015 pies (b) n 5 28, s 5 65 mm
3.22 La línea AC se midió en dos secciones, AB y BC, con longitudes y desviaciones
estándar indicadas más adelante. ¿Cuál es la desviación estándar en la longitud
total AC?
*(a) AB 5 60.00 6 0.015 pies; BC 5 86.13 6 0.018 pies
(b) AB 5 30.000 6 0.005 m; 15.413 6 0.005 m
3.23 La línea AD se midió en tres secciones, AB, BC, y CD, con longitudes y desviaciones estándar indicadas más adelante. ¿Cuál es la desviación estándar en la
longitud total AD?
(a) AB 5 236.57 ±0.01 pies; BC = 608.99 ±0.01 pies; CD = 426.87 ±0.01 pies
(b) AB = 688.980 m ±0.003 m; BC = 1274.865 m ± 0.003 m; CD = 2542.373 m ±
0.005 m
3.24 Una diferencia en elevación entre A y B se midió cuatro veces; los resultados de
las mediciones fueron: 29.85, 29.83, 29.88, y 29.79 pies. A las medidas se les dio la
ponderación 2, 3, 1 y 2, respectivamente. *(a) Calcule la media ponderada para
la distancia AB. (b) ¿Qué diferencia resulta si los pesos relativos son ahora de 2,
3, 1, y 1, respectivamente?
3.25 Determine la media ponderada para los siguientes ángulos:
(a) 222° 12’ 36”, ponderación 2; 222° 12’ 42”, ponderación 1; 222° 12’ 34”, ponderación 3
(b) 106° 28’ 54” ± 1”; 106° 28’ 46” ± 3”; 106° 28’ 56” ± 1”
3.26 Las especificaciones para medir los ángulos de un polígono de n lados limitan el
error angular total a E. ¿Con qué exactitud debe medirse cada ángulo para los
siguientes valores de n y E?
(a) n 5 8, E 5 80
(b) n 5 16, E 5 120
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70 TEORÍA DE LOS ERRORES EN LA MEDICIÓN
3.27 ¿Cuál es el área de un campo rectangular y el error estimado para los siguientes
valores medidos?
*(a) 243.89 ± 0.05 pies, por 208.65 ± 0.04 pies
(b) 725.33 ± 0.08 pies, por 664.21 ± 0.06 pies
(c) 128.526 ± 0.005 m, por 180.403 ± 0.007 m
3.28 Ajuste los ángulos del triángulo ABC para los siguientes valores angulares y de
ponderación:
*(a) A 5 49°249220, ponderación 2; B 5 39°029160, ponderación 1; C 5 91°339000,
ponderación 3
(b) A 5 79°239550, ponderación 3; B 5 56°419050; ponderación 2; C 5 43°559330,
ponderación 1
3.29 Determine los pesos relativos y haga un ajuste ponderado (al segundo más
próximo) de los ángulos A, B y C de un triángulo plano, dadas las cuatro observaciones siguientes para cada ángulo:
Ángulo
A
Ángulo
B
Ángulo
C
44º289160
44º289120
44º289170
44º289110
65º569130
65º569100
65º569060
65º569080
65º359200
65º359240
65º359180
65º359240
3.30 Se corre una línea de niveles del banco de nivel (BN) A al B, del B al C y del C al
D. Las diferencias de elevación alcanzadas entre bancos, así como sus desviaciones estándar, se indican más adelante. ¿Cuál es la diferencia en elevación entre
los bancos A y D, y cuál es la desviación estándar en esa diferencia de elevación?
(a) BN A a BN B 5 112.68 ± 0.10 pies; BN B a BN C 5 28.23 ± 0.18 pies; y BN
C a BN D 5 214.66 ± 0.06 pies
(b) BN A a BN B 5 215.324 ± 0.022 m; BN B a BN C 5 210.250 ± 0.015 m; y
BN C a BN D 5 216.892 ± 0.008 m
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4
Nivelación: teoría,
métodos y equipo
PARTE I • NIVELACIÓN: TEORÍA Y MÉTODOS
■ 4.1 INTRODUCCIÓN
Nivelación es un término genérico que se aplica a cualquiera de los diversos procedimientos a través de los cuales se determinan elevaciones o diferencias entre
las mismas. Es una operación fundamental para tener los datos necesarios para la
elaboración de mapas o planos de configuración y en proyectos de obras de ingeniería y de construcción. Los resultados de la nivelación se utilizan para: (1) diseñar carreteras, vías férreas, canales, obras de drenaje y sistemas de abastecimiento
de agua cuyas pendientes se adapten en forma óptima a la topografía existente;
(2) el trazo de construcciones de acuerdo con elevaciones planeadas; (3) el cálculo
de volúmenes de terracerías y otros materiales; (4) la investigación de las características de escurrimiento o drenaje de una región; (5) la elaboración de mapas
y planos que muestren la configuración general del terreno; y (6) el estudio de los
movimientos de las placas de la corteza terrestre y el asentamiento de las mismas.
■ 4.2 DEFINICIONES
En esta sección se definen los términos básicos empleados en la nivelación, algunos
de los cuales se muestran en la figura 4.1.
Línea vertical. Línea que sigue la dirección local de la gravedad, indicada por
el hilo de una plomada.
Superficie de nivel. Superficie curva que en cada punto es perpendicular a la
línea de una plomada (la dirección en que actúa la gravedad). Las superficies de nivel son de forma esferoidal. Una masa de agua en reposo es
el mejor ejemplo de ello. En regiones locales, las superficies de nivel a
diferentes alturas se consideran concéntricas.1 Las superficies de nivel
4.2 Definiciones
a
Líne
rtica
l
ie
rfic
ve l
e ni
l
nive
de
l
rtica
a ve
Líne
pe
Su
ad
Super
ficie
de n
ive
Ángulo vertical
l
Dife
renc
ia d
entr
e ele
eA
yB
vació
n
B
Plano de referencia
Elev
vertical
ació
n de
B
Geoide
a ve
e
L ín
A
l
onta
horiz
Líne
riz
o ho
Plan
l
onta
73
Figura 4.1
Términos empleados
en nivelación.
también se conocen como superficies equipotenciales ya que, para una
superficie específica, el potencial gravitacional es igual para todos y cada
uno de los puntos de la superficie.
Línea de nivel. Línea contenida en una superficie de nivel y que es, por tanto,
curva.
Plano horizontal. Plano perpendicular a la dirección local de la gravedad. En
topografía plana es un plano perpendicular a la línea vertical local.
Línea horizontal. Es una línea en un plano horizontal. En topografía plana es
una línea perpendicular a la vertical local.
Plano de referencia vertical. Superficie de nivel a la cual se refieren las elevaciones. A esta superficie se le asigna arbitrariamente una elevación de
cero (véase la sección 19.6). Esta superficie de nivel también se conoce
como plano de referencia ya que los puntos que usan este plano de referencia tienen alturas relativas a esta superficie.
Elevación. La distancia medida a lo largo de una línea vertical desde un plano de referencia vertical hasta un punto u objeto. Si la elevación del punto
A es 802.46 pies, A está a 802.46 pies arriba del plano de referencia. A la
elevación de un punto también se le llama altura sobre el plano de referencia y altura ortométrica.
Geoide. Una superficie de nivel que sirve como plano de referencia para las
elevaciones y las observaciones astronómicas.
Nivel medio del mar (NMM). Este término ya no es aplicable a las elevaciones de los bancos de nivel en NAVD88. Al nivel medio del mar se le definía
como la altura promedio de la superficie del mar según todas las etapas
de la marea en un periodo de 19 años tal como lo determinó el Plano de
referencia vertical geodésico nacional de 1929, descrito con más detalle
en la sección 4.3. Se determina mediante lecturas tomadas generalmente
a intervalos de una hora. En Estados Unidos se utilizaron 26 estaciones
de medición, distribuidas en Estados Unidos a lo largo de las costas de los
océanos Atlántico, Pacífico y Golfo de México. El nivel del mar difiere de
una estación medidora a otra, dependiendo de las influencias locales de la
marea; por ejemplo, en dos puntos separados una distancia de 0.5 millas y
1
Debido al aplanamiento de la Tierra en dirección polar, las superficies de nivel a diferentes
elevaciones no son verdaderamente concéntricas. Este tema se estudia con más detalle en el
capítulo 19.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
74 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
situados en lados opuestos de una isla de los Cayos de Florida, la posición
del nivel del mar varía en 0.3 pies. El nivel medio del mar se aceptó como
plano de referencia vertical para América del Norte durante muchos años.
Sin embargo, el plano de referencia vertical actual utiliza un solo banco de
nivel como referencia (véase la sección 4.3).
Planos de referencia con base en las mareas. Son los planos de referencia
verticales usados en las zonas costeras para fijar límites en las propiedades aledañas a cuerpos de agua sujetos a mareas. Estos planos también
proporcionan las bases para definir las zonas de pesca y de exploración
petrolera, así como los límites de pantanos y zonas de inundación. Se han
usado varias definiciones para los planos de referencia con base en las
mareas, pero la más común es la relacionada con la línea de Nivel alto
medio del agua (MHW: Mean High Water). Otras se relacionan con el
Nivel alto máximo medio del agua (MHHW: Mean Higher High Water),
con el Nivel bajo medio del agua (MLW: Mean Low Water) y con el Nivel
bajo mínimo medio del agua (MLLW: Mean Lower Low Water). La interpretación de los planos de referencia con base en las mareas y los métodos para determinarlos han sido y siguen siendo objeto de numerosos
litigios en los tribunales.
Banco de nivel (BN). Objeto natural o artificial relativamente permanente, que tiene un punto fijo marcado, cuya elevación arriba o abajo de un
plano de referencia adoptado se conoce o se supone. Algunos ejemplos
comunes de bancos de nivel son discos de metal fijados en concreto (véase
la figura 20.8), marcas de referencia cinceladas en rocas grandes, partes no
movibles de hidrantes contra incendio, guarniciones, etcétera.
Nivelación. Proceso que se sigue para determinar elevaciones de puntos, o
bien, diferencias de elevación entre puntos.
Control vertical. Serie de bancos de nivel u otros puntos de cota conocida que
se colocan para un trabajo de topografía o geodesia; también se le llama
control básico o control de nivel. El control básico vertical para levantamientos topográficos en Estados Unidos se logró a partir de nivelaciones de primero y segundo órdenes. La nivelación menos precisa de tercer
orden es satisfactoria para llenar intervalos entre bancos de nivel de
segundo orden y para muchos otros trabajos (véase la sección 19.10). Las
elevaciones de los bancos de nivel, que son parte del Sistema de Referencia Espacial Nacional, pueden obtenerse en línea del Servicio Nacional
Geodésico en http://www.ngs.noaa.gov. Las hojas de datos para el control
vertical dan (1) las coordenadas geodésicas aproximadas de la estación,
(2) la elevación NAVD88 ajustada, (3) la lectura de la gravedad observada o modelada en la estación y (4) una descripción de la estación y su
ubicación entre otras cosas. Existen clavijas de software para navegador
de la Internet que grafican estos puntos en Google Earth para ayudar en
la localización de los señaladores en el campo.
■ 4.3 PLANO DE REFERENCIA VERTICAL DE NORTEAMÉRICA
En la década de 1850 comenzaron en Estados Unidos operaciones precisas de
nivelación para establecer un sistema distribuido de bancos de referencia. Inicialmente este trabajo se concentró a lo largo del litoral del este, pero en 1887 el U. S.
Coast and Geodetic Survey (USC&GS) inició su primera nivelación transcontinental a través de la sección media del país. Ese proyecto se terminó al inicio de la
década de 1900. Hacia 1929, se habían instalado miles de bancos de nivel. En ese
año, el USC&GS comenzó un ajuste general de mínimos cuadrados de todas las
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
4.4 Curvatura y refracción
75
nivelaciones terminadas hasta ese momento en Estados Unidos y Canadá. El ajuste incluyó más de 100 000 km de nivelación y de datos incorporados a largo plazo
provenientes de las 26 estaciones de medición de mareas; por tanto, se le relacionó
con el nivel medio del mar. De hecho, esa red de bancos de nivel con sus elevaciones ajustadas resultantes definió el plano de referencia del nivel medio del mar.
Se le llamó Plano de Referencia Vertical Geodésico Nacional de 1929 (NGVD29:
National Geodetic Vertical Datum of 1929).
En los años posteriores a 1929, el NGVD29 se deterioró ligeramente debido
a diferentes causas, incluyendo cambios en el nivel del mar y la fluctuación de la
corteza terrestre. También se completaron más de 625 000 km de nivelación adicional. Para considerar estos cambios e incorporar la nivelación adicional, el National
Geodetic Survey (NGS) realizó un nuevo reajuste general. El trabajo sobre este
ajuste, que incluyó más de 1.3 millones de diferencias de elevación observadas,
comenzó en 1978. Aunque no se terminó sino hasta 1991, la fecha contemplada
de terminación era 1988, y por ello se llamó Plano de Referencia Vertical de Norteamérica de 1988 (NAVD88: North American Vertical Datum of 1988). Además
de Estados Unidos y Canadá, también se incluyó a México en este reajuste general.
Este ajuste hizo fluctuar la posición de la superficie de referencia con respecto a la
media de las 26 estaciones de medición de mareas a un banco de nivel individual
de medición de mareas conocido como Father Point (Punta Padre)/Rimousky que
está en Quebec, Canadá, a lo largo del litoral de San Lorenzo. Así, las elevaciones
de NAVD88 ya no están referenciadas al nivel medio del mar. Las elevaciones de
los bancos de nivel que se definieron mediante el plano de referencia NGVD29
han cambiado en cantidades relativamente pequeñas; no obstante, son cantidades
importantes en la mitad este de la parte continental de Estados Unidos (véase la
figura 19.7). Sin embargo, los cambios son mucho mayores en la parte oeste del
país, y llegan hasta 1.5 m en la región de las Montañas Rocallosas. Por tanto, es
imperativo que los topógrafos identifiquen positivamente el plano de referencia al
cual referir sus elevaciones. Pueden obtenerse listados de las nuevas elevaciones
del NGS.2
■ 4.4 CURVATURA Y REFRACCIÓN
A partir de las definiciones de superficie de nivel y de línea horizontal, es evidente
que esta última se separa de una superficie de nivel a causa de la curvatura de la
Tierra. En la figura 4.2, la desviación vertical DB de una línea horizontal pasa por
el punto A y está expresada aproximadamente por las fórmulas:
Cf 5 0.667 M 2 5 0.0239 F 2
(4.1a)
Cm 5 0.0785 K 2
(4.1b)
o bien
en las cuales el alejamiento de una superficie de nivel con respecto a una línea horizontal es Cf en pies o Cm en metros, M es la distancia AB en millas, F es su distancia
en miles de pies y K su distancia en kilómetros.
Las descripciones y las elevaciones NAVD88 de los bancos de nivel pueden obtenerse del
National Geodetic Information Center en la dirección del sitio de la red http://www.ngs.noaa.
gov/cgi-bin/datasheet.prl. También puede obtenerse información por correo electrónico en info_
center@ngs.noaa.gov, o escribiendo al National Geodetic Information Center, NOAA, National
Geodetic Survey, 1315 East West Highway, Silver Spring, MD 20910; teléfono: (301) 713-3242.
2
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
76 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
H
R
h
Figura 4.2
Curvatura y
refracción.
Línea visual
Línea horizontal D
Lín
ea
de
niv
el
B
Dista
ncia
en m
il
pies las,
o me
tros
A
Como los puntos A y B están sobre una línea de nivel, tienen la misma elevación. Si se colocara un estadal verticalmente en el punto B y se observara su lectura a través de un telescopio, con su línea visual AD horizontal, la curvatura de la
Tierra ocasionaría que la lectura de la magnitud BD se viese muy aumentada.
Los rayos de luz que atraviesan la atmósfera de la Tierra son desviados o
refractados hacia la superficie de la misma, como se muestra en la figura 4.3. Así,
una línea visual teóricamente horizontal, como AH en la figura 4.2, se desvía a la
trayectoria curva AR. El resultado es que la lectura tomada en un estadal emplazado en R se ve disminuida en la distancia RH.
El efecto de la refracción, que hace que los objetos parezcan estar más altos
de lo que en realidad están (y en consecuencia, que las lecturas de estadal sean
menores de lo que deberían ser), puede recordarse considerando lo que ocurre
cuando el Sol toca el horizonte, como se indica en la figura 4.3. En el momento en
que el disco solar acaba de pasar justamente abajo del horizonte se ve precisamente encima del mismo. El diámetro solar aparente de unos 32 minutos es aproximadamente igual a la refracción media que se tiene en una visual horizontal. Como la
longitud de onda roja de la luz es la que menos se desvía, no es raro ver un Sol rojo
en un cielo despejado cuando oscurece y cuando amanece.
El desplazamiento derivado de la refracción es variable. Depende de las condiciones atmosféricas, de la longitud de la línea y del ángulo que una visual forme
con la vertical. En el caso de una visual horizontal, la refracción Rf en pies o Rm en
metros, está expresada aproximadamente por las fórmulas:
Rf 5 0.093 M 2 5 0.0033 F 2
(4.2a)
Rm 5 0.011 K 2
(4.2b)
o bien,
yo
Ra
de
Estrella
z
lu
Ángulo vertical aparente
Horizonte
A
ALFAOMEGA
rfic
ie
de
la
ra
er
Ti
Figura 4.3
Refracción.
Su
pe
Posición del Sol
debido a la refracción
Posición verdadera
del Sol
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
4.5 Métodos para determinar diferencias de elevación
77
Este valor es casi la séptima parte del efecto de la curvatura de la Tierra pero en
sentido contrario.
El efecto combinado de la curvatura y la refracción, h en la figura 4.2 es
aproximadamente:
hf 5 0.574 M 2 5 0.0206 F 2
(4.3a)
hm 5 0.0675 K 2
(4.3b)
o bien
en donde hf está en pies y hm en metros.
Para visuales de 100, 200 y 300 pies, hf 5 0.00021 pies, 0.00082 pies y 0.0019
pies, respectivamente, o bien, 0.00068 m para una longitud de 100 m. Se explicará
en la sección 5.4 que aunque los efectos combinados de curvatura y refracción produzcan lecturas de estadal ligeramente aumentadas, el error debido a estas causas
se puede eliminar por completo con procedimientos correctos de campo en la nivelación diferencial. Sin embargo, esto no es verdad para la nivelación trigonométrica (vea la sección 4.5.4) donde este error sistemático no compensado conduce a
determinaciones equivocadas de las elevaciones. Esta es una de varias razones por
las cuales la nivelación trigonométrica nunca se ha usado en los levantamientos
geodésicos.
■ 4.5 MÉTODOS PARA DETERMINAR DIFERENCIAS
DE ELEVACIÓN
Las diferencias de elevación se han determinado tradicionalmente empleando
cintas, por nivelación diferencial, por nivelación barométrica e, indirectamente,
por nivelación trigonométrica. Un método más reciente incluye la medición electrónica de distancias verticales. A continuación se dará una breve descripción de
estos métodos. Otras técnicas nuevas, descritas en los capítulos 13, 14 y 15, utilizan
sistemas por satélite. Las diferencias de elevación también pueden determinarse
usando fotogrametría, como se verá en el capítulo 27.
4.5.1 Medición de distancias verticales con cinta
o por métodos electrónicos
A veces es posible aplicar una cinta a la línea vertical que une dos puntos. Este
método se utiliza para determinar profundidades en tiros o pozos de minas, para
Figura 4.4
Actualmente se
usan aparatos
de medición
electrónica de
distancias no
reflejantes para
medir diferencias
de elevación en
aplicaciones de
la construcción.
(Cortesía de Leica
Geosystems.)
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8.42 pies
1.20 pies
78 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
Elev 820.00
Figura 4.5
Nivelación
diferencial.
Elev 827.22
AI 5 828.42
BN Roca
x
Plano de referencia elev 0.00
determinar las elevaciones del suelo en los levantamientos para condominios, y en
el trazado o construcción de edificios de varios pisos, tuberías, etc. Al instalar una
tubería de agua potable o de drenaje, la cinta puede sustituirse por una regla graduada (véase la sección 23.4). En ciertas situaciones, especialmente en proyectos
de construcción, los dispositivos de Medición Electrónica de Distancias (MED) sin
reflexión (véase la sección 6.22) están reemplazando a la cinta para la medición de
distancias verticales en los sitios de construcción. Este concepto se muestra en las
figuras 4.4 y 23.4.
4.5.2 Nivelación diferencial
En este método, que es el de uso más común, se usa un telescopio con una amplificación adecuada para leer estadales graduados, situados sobre puntos fijos. Se
establece una línea visual horizontal dentro del telescopio mediante un tubo de
burbuja o un compensador automático.
El procedimiento básico se muestra en la figura 4.5. El instrumento se sitúa
aproximadamente a la mitad de la distancia entre el Banco de Nivel Roca (BN
Roca) y el punto X.3 Supóngase que se conoce la cota o elevación BN Roca, que es
de 820.00 pies. Después de nivelar el instrumento, una visual dirigida a un estadal
en posición vertical sobre el BN da una lectura de 8.42 pies. Una Lectura Aditiva
(LA) (S), también llamada lectura hacia atrás, es la que se toma sobre un estadal
colocado sobre un punto de elevación conocida o supuesta. Esta lectura se utiliza para determinar la Altura del Instrumento (AI), que se define como la distancia vertical del plano de referencia a la línea visual del instrumento. La dirección de
la visual —sea hacia adelante, hacia atrás o hacia los lados— no tiene importancia.
La expresión lectura aditiva es preferible a la de lectura hacia atrás, aunque se usan
ambas. Si se suma la lectura aditiva de 8.42 pies a la cota de BN Roca, 820.00, se
tiene la AI, que resulta de 828.42 pies.
3
Como se menciona en la sección 4.4, la combinación de la curvatura de la Tierra con la refracción atmosférica hace que las lecturas en el estadal sean demasiado grandes. Sin embargo, para
cualquier puesta del aparato, si se igualan las longitudes de la lectura hacia atrás y la lectura
hacia adelante (lo que se logra con la localización del punto medio) se elimina el error proveniente de estas fuentes, como se describe en la sección 5.4.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
4.5 Métodos para determinar diferencias de elevación
79
Si luego se gira el nivel (telescopio), de manera que quede en su campo visual
el estadal puesto sobre el punto X, se tiene una lectura sustractiva (2S), llamada también Lectura hacia el Frente o hacia adelante (LF). En este ejemplo es de 1.20 pies.
Una lectura sustractiva se define como la que se toma sobre un estadal emplazado
verticalmente en un punto cuya elevación se va a determinar. La expresión lectura sustractiva es preferible a la de lectura hacia adelante. Si se resta la lectura sustractiva de
1.20 pies de la AI, 828.42, se consigue la elevación del punto X, o sea, 827.22 pies.
En consecuencia, la teoría básica de la nivelación diferencial y sus aplicaciones
puede expresarse por las dos ecuaciones siguientes, empleadas una y otra vez:
AI 5 elev LA
(4.4)
elev 5 AI 2 LF
(4.5)
y
Debido a que la nivelación diferencial es el método más empleado para
determinar diferencias de elevación, se explicará con más detalle en el capítulo 5.
4.5.3 Nivelación barométrica
El barómetro, que es un instrumento para medir la presión del aire atmosférico,
puede usarse para determinar alturas relativas de puntos situados sobre la superficie
de la Tierra, ya que un cambio de aproximadamente 1 000 pies de elevación corresponderá a un cambio de 1 pulgada de mercurio (Hg) en la presión atmosférica.
La figura 4.6 muestra un altímetro para topografía. En algunos modelos, la escala
está graduada en múltiplos de 1 o 2 pies, o bien, de 0.5 o 1 m. La presión atmosférica también es afectada por otras circunstancias, además de la altitud, por ejemplo,
Figura 4.6
Altímetro para
topografía.
(Cortesía de
American Paulin
System.)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
80 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
por cambios súbitos de la temperatura y por condiciones variables de la atmósfera debidas a tormentas. Además, durante el día hay una variación normal de la
presión barométrica que equivale a unos 100 pies de diferencia de altitud; a esta
variación se le conoce como oscilación diurna de la presión atmosférica.
En la nivelación barométrica pueden emplearse varias técnicas para determinar diferencias de elevación correctas a pesar de los cambios de presión que
resultan de las variaciones atmosféricas. En una de éstas se deja un barómetro de
control en un banco de nivel (base) y se lleva el instrumento móvil o viajero a los
puntos cuyas elevaciones se desea determinar. Se efectúan lecturas en la base a
intervalos predeterminados, por ejemplo cada 10 minutos, y se registran las elevaciones junto con la temperatura y la hora del día. Las lecturas de elevación, temperatura y tiempo hechas con el barómetro viajero se toman en puntos críticos y se
ajustan después, de acuerdo con los cambios observados en los puntos de control.
Se han ideado métodos para nivelación con barómetro, en los cuales pueden usarse
una, dos o tres bases. Otros procedimientos emplean técnicas de recorrido irregular (salteado) o semirregular. En condiciones estables del tiempo y usando varios
barómetros, es posible determinar elevaciones con aproximación de 62 a 3 pies.
El método barométrico se utilizó en el pasado para trabajos de nivelación
en terrenos abruptos en los que tienen que abarcarse extensas áreas, pero que no
necesitan gran precisión. Sin embargo, en la actualidad se usan rara vez, ya que han
dejado el camino a otro equipo más moderno y más exacto.
4.5.4 Nivelación trigonométrica
La diferencia de elevación o desnivel entre dos puntos puede determinarse midiendo: (1) la distancia inclinada u horizontal entre los puntos y (2) el ángulo cenital
o el ángulo vertical entre los puntos. (Los ángulos cenitales y verticales, descritos
con mayor detalle en la sección 8.13, se miden en un plano vertical. Los ángulos
D
Estadal
(r)
B
S
V
z
elev
C
hi
Figura 4.7
Nivelación
trigonométrica:
líneas cortas.
ALFAOMEGA
Horizontal
E
H
A
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
4.5 Métodos para determinar diferencias de elevación
81
cenitales se miden hacia abajo desde la vertical, y los ángulos verticales hacia abajo
o hacia arriba desde la horizontal.) Así, en la figura 4.7, si se miden la distancia
inclinada S y el ángulo cenital z o el ángulo vertical a entre C y D, la diferencia de
nivel V entre C y D será:
V 5 S cos z
(4.6)
V 5 S sen a
(4.7)
o bien,
Alternativamente, si se mide la distancia horizontal H entre C y D, entonces V está
dada por:
V 5 H cot z
(4.8)
V 5 H tan a
(4.9)
o bien,
La diferencia en elevación (Delev) entre los puntos A y B en la figura 4.7 está dada
por:
(4.10)
Delev 5 hi V  r
en donde hi es la altura del instrumento sobre el punto A y r es la lectura en el
estadal fijo en B cuando se lee el ángulo cenital z o el ángulo vertical a. Si r se hace
igual a hi, entonces estos dos valores se cancelan en la ecuación (4.10), simplificándose así los cálculos.
E
Refracción
D
Estadal
(r)
e
Línea d
nivel
V
B
z
zm
tal
rizon
en C
Línea de nivel
G
Línea de nivel
H
Curvatura
de la Tierra
F
m
Ho
C
hi
S
A
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
Figura 4.8
Nivelación
trigonométrica:
líneas largas.
ALFAOMEGA
82 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
Observe la diferencia en este texto entre AI y hi. Aun cuando a ambos se
les denomina altura del instrumento, como se hace ver en la sección 4.5.2, AI es la
elevación del instrumento sobre el plano de referencia, mientras que hi es la altura
del instrumento sobre un punto ocupado, como se estudia aquí.
Para líneas cortas (hasta de unos 1000 pies de longitud), las diferencias de
elevación logradas con la nivelación trigonométrica pueden representarse adecuadamente como se muestra en la figura 4.7 y calcularse usando las ecuaciones (4.6)
a (4.10). Sin embargo, en líneas largas deben tomarse en cuenta la curvatura de la
Tierra y la refracción atmosférica. La figura 4.8 ilustra este caso: un instrumento
se sitúa en C sobre el punto A. Se visa D sobre un estadal en el punto B y se mide
el ángulo cenital zm o el ángulo vertical αm. La diferencia en elevación verdadera
(Delev) entre A y B es la distancia vertical HB entre las líneas de nivel que pasan
por A y B, lo que es igual a HG GF V  ED  r. Puesto que HG es la altura
hi del instrumento, GF es la curvatura de la Tierra [véanse las ecuaciones (4.1)],
y ED es la refracción R [véanse las ecuaciones (4.2)], la diferencia en elevación
puede escribirse:
Delev 5 hi V hCR  r
(4.11)
El valor de V en la ecuación (4.11) se obtiene usando una de las ecuaciones (4.6) a (4.9), dependiendo de las magnitudes por medirse. Nuevamente, si r se
hace igual a hi, estos valores se cancelarán. Asimismo, el término hCR está dado por
las ecuaciones (4.3). De esta manera, excepto por la adición de las correcciones
por curvatura y refracción, las líneas cortas y las largas pueden tratarse del mismo
modo en los cálculos de nivelación trigonométrica. Observe que al desarrollar la
ecuación (4.11), el ángulo F en el triángulo CFE se supuso igual a 90°. Desde luego,
cuando las líneas son muy grandes, esta hipótesis ya no es válida. Sin embargo, para
longitudes prácticas, los errores generados por esta hipótesis son despreciables.
La hi usada en la ecuación (4.11) puede obtenerse simplemente midiendo la
distancia vertical entre el punto ocupado y el eje horizontal del instrumento (el eje
en el que gira el telescopio), usando un estadal o una regla graduada. Se puede usar
un método alternativo para determinar la elevación de un punto. Dicho método da
resultados exactos y no requiere la medición de hi. En este procedimiento, que es
especialmente conveniente si se usa un instrumento de estación total, el instrumento se coloca en una localidad aproximadamente equidistante de un punto de elevación conocida (banco de nivel) y del otro cuya elevación se quiere determinar. Se
miden para cada punto la distancia inclinada y el ángulo cenital (o vertical). Como
las distancias a los dos puntos son aproximadamente iguales, los errores por curvatura y por refracción se cancelan. Además, como la misma posición del instrumento
se aplica a ambas lecturas, los valores hi se cancelan, y si la misma lectura r en el
estadal se visa al efectuar las lecturas angulares, también éstas se cancelan. Así, la
elevación del punto desconocido es simplemente la elevación del banco de nivel,
menos la V calculada para el banco, más la V calculada para el punto desconocido.
Los valores de V se obtienen usando la ecuación (4.6) o bien, la (4.7).
■ Ejemplo 4.1
Se midieron la distancia inclinada y el ángulo cenital ente los puntos A y B con un
instrumento de estación total, obteniéndose los valores 9585.26 pies y 81°429200,
respectivamente. Las lecturas hi y r del estadal fueron las mismas. Si la elevación
de A es de 1238.42 pies, calcular la elevación de B.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
4.5 Métodos para determinar diferencias de elevación
83
Solución
Según la ecuación (4.3a), la corrección por curvatura y refracción es:
9 585.26
hCR
sen
pies
(Teóricamente, la distancia horizontal debería usarse al calcular la curvatura y la
refracción. En la práctica se obtiene un resultado aproximado multiplicando
la distancia inclinada por el seno del ángulo cenital.)
Según las ecuaciones (4.6) y (4.11), la diferencia de elevación es (nótese que
hi y r se cancelan):
V 5 9585.26 cos 81°429200 5 1382.77 pies
Delev 5 1382.77 1.85 5 1384.62 pies
Finalmente, la elevación de B es
elevB 5 1238.42 1384.62 5 2623.04 pies
En este cálculo, si se hubiesen ignorado la curvatura y la refracción, se habría
tenido un error de 1.85 pies en la elevación de B. Aunque la ecuación (4.11) se
determinó para una visual cuesta arriba, también es aplicable a vistas cuesta abajo.
En este caso, el signo algebraico de V obtenido en las ecuaciones (4.6) a (4.9) sería
negativo, porque los ángulos verticales, α ο z, harán que las funciones trigonométricas den valores negativos.
En vistas cuesta arriba, la curvatura y la refracción se suman a una V positiva
para incrementar la diferencia en elevación. Para vistas cuesta abajo nuevamente
se suman, pero a una V negativa, lo que disminuye la diferencia en elevación. Por
tanto, si se leen ángulos cenitales (o verticales) “recíprocos” (midiendo ángulos verticales desde ambos extremos de una línea) y V se calcula en cada caso y luego se
promedia, los efectos de la curvatura y la refracción se cancelan. Alternativamente, las correcciones por curvatura y refracción pueden ignorarse por completo si
el cálculo de V se hace utilizando el promedio de los ángulos recíprocos. Esto
supone que las condiciones atmosféricas permanecen constantes, de manera que
la refracción sea la misma para los dos ángulos; por ello, éstos deberán medirse en
un intervalo de tiempo tan corto como sea posible. Este método se prefiere al de
leer el ángulo cenital (o vertical) en un extremo de la línea y luego corregirlo por
curvatura y refracción, como se hizo en el ejemplo 4.1. La razón es que las ecuaciones (4.3) suponen una atmósfera estándar, la que puede no existir en el momento
de la medición.
■ Ejemplo 4.2
En el ejemplo 4.1, supóngase que la distancia inclinada en B se midió nuevamente
determinándose 9585.25 pies y que para el ángulo cenital se tuvo 98°199060. La
altura del instrumento y r fueron las mismas. Calcular: (a) la diferencia en elevación desde este extremo de la línea, y (b) la diferencia en elevación usando el
promedio de los ángulos recíprocos.
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84 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
Solución
(a) Según la ecuación (4.3a), hCR5 1.85 (igual que en el ejemplo 4.1).
Según las ecuaciones (4.6) y (4.11) (nótese que hi y r se cancelan),
Delev 5 9585.25 cos 98°199060 1.85 5 21384.88 pies
Obsérvese que este valor es diferente del obtenido en el ejemplo 4.1 en
0.26 pies. (La visual de B a A fue cuesta abajo, de ahí el signo negativo.) La diferencia de 0.26 pies se debe, en parte, probablemente a errores de medición y, en
parte, a cambios ocurridos en la refracción durante el intervalo en la medición de
los ángulos verticales. La diferencia en elevación promedio para los dos extremos
es entonces de 1384.75 pies.
(b) El ángulo cenital promedio es
Según la ecuación (4.10), Delev 5 9585.26 cos 81°419370 5 1384. 75 pies.
Nótese que este valor comprueba el valor promedio obtenido usando las
correcciones por curvatura y refracción.
Con la llegada de los instrumentos de estación total, la nivelación trigonométrica ha llegado a ser un método muy común para la medición rápida y conveniente de diferencias de elevación, ya que la distancia inclinada y el ángulo vertical
(cenit) se miden rápida y fácilmente con una sola puesta del aparato. La nivelación
trigonométrica se usa para la elaboración de mapas topográficos, en el estacado
de construcciones, en los levantamientos de control y en otras operaciones, pero,
sobre todo, resulta muy útil en terrenos escarpados. En la nivelación trigonométrica, la medición precisa de los ángulos verticales es de gran importancia; se recomienda para los trabajos de precisión un instrumento de estación total de 10 a
30, y los ángulos deben leerse tanto en forma directa como inversa desde ambos
extremos de una línea. Asimismo, los errores ocasionados por incertidumbre en
la refracción son menores si las longitudes de las visuales se limitan a 1000 pies,
aproximadamente.
PARTE II • EQUIPO PARA NIVELACIÓN DIFERENCIAL
■ 4.6 TIPOS DE NIVELES
Los instrumentos que se usan en la nivelación diferencial pueden clasificarse en
cuatro categorías: los de tipo fijo o de anteojo corto (dumpy), los de tipo basculante
de anteojo fijo (tilting), los de tipo autonivelante (automáticos) y los digitales. Aunque cada tipo es un poco diferente en cuanto a su diseño, todos tienen dos componentes comunes: (1) un anteojo telescópico para crear una línea de visión y permitir
la toma de lecturas en un estadal y (2) un sistema para orientar la línea de visión en
un plano horizontal. Los niveles de tipo fijo o de anteojo corto y los de tipo basculante de anteojo fijo emplean niveles de burbuja para orientar la línea de visión,
mientras que los niveles automáticos emplean compensadores automáticos. Los
niveles digitales también emplean compensadores automáticos, pero usan estadales con códigos de barras para la lectura digital automatizada. Actualmente, los
niveles automáticos son los que comúnmente se emplean más, aunque todavía se
usan los niveles basculantes, especialmente en proyectos que requieren un trabajo
muy preciso. Los niveles digitales están ganando popularidad rápidamente debido
a su capacidad de instalarse en interfase con un recolector automático de datos
(véase la sección 2.12) y por su facilidad de uso. Estos tres tipos de niveles se describen en las siguientes secciones. Actualmente se usan muy poco los niveles de
tipo fijo o de anteojo corto, ya que están siendo reemplazados por otros tipos más
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4.7 Anteojos telescópicos
85
recientes. Éstos se estudian en el apéndice A. Los niveles de mano, aunque no son
de uso común en la nivelación diferencial, tienen muchos usos especiales cuando
se necesitan diferencias de elevación aproximadas en distancias cortas. También se
estudian en este capítulo. Los instrumentos de estación total también pueden usarse para la nivelación diferencial. Estos instrumentos y sus usos se describen en
la sección 8.18.
Los niveles electrónicos con láser que transmiten haces ya sea de luz láser
visible o luz infrarroja invisible son otra categoría de instrumentos de nivelación. Su
uso no es común en la nivelación diferencial, pero se usan ampliamente para determinar elevaciones en proyectos de construcción. Se describen en el capítulo 23.
■ 4.7 ANTEOJOS TELESCÓPICOS
Los anteojos telescópicos de los instrumentos de nivelación definen la línea de
visión y amplifican la vista de un estadal graduado contra una retícula de referencia, permitiendo con ello la obtención de lecturas exactas. Los componentes de un
anteojo telescópico se montan en un tubo cilíndrico. Las cuatro partes principales
son el lente objetivo, la lente negativa, la retícula y el ocular. Dos de estas partes,
el lente objetivo y el ocular, son exteriores al instrumento, y se muestran en el nivel
automático ilustrado en la figura 4.9.
Lente objetivo. Esta lente compuesta va montada firmemente en el extremo
del tubo principal, con su eje óptico razonablemente concéntrico al eje del
tubo. Su función principal es concentrar los rayos de luz incidente y dirigirlos hacia las lentes negativas de enfoque.
Lente negativa. Esta lente se localiza entre el lente objetivo y la retícula, y
va montada de manera que su eje óptico coincida con el de la lente del
objetivo. Su función es enfocar los rayos de luz que entran por la lente
del objetivo sobre el plano de la retícula. Durante el enfocamiento, la lente negativa se desliza a lo largo del eje del tubo.
Retícula. La retícula consiste en un par de líneas de referencia perpendiculares (generalmente llamados hilos de la retícula) montada cerca del
foco principal del sistema óptico del objetivo. El punto de intersección de
los hilos de la retícula, junto con el centro óptico del sistema del objetivo,
determina la así llamada línea visual, también llamada algunas veces línea
de colimación. Los hilos de la retícula se fabricaban originalmente estirando los pelos de un caballo, que se obtenían fácilmente en esa época, entre
dos tornillos. En la actualidad son líneas finas grabadas en una placa delgada redonda de vidrio. La placa de vidrio se mantiene en su lugar en el tubo
cilíndrico principal mediante dos pares de tornillos contrapuestos, estando
Nivel circular de burbuja
Mira
Enfoque del lente
del objetivo
Enfoque del ocular
Lente del objetivo
Tornillo del movimiento
horizontal
Tornillos de cabeza
perforada
(de calavera)
Tornillos niveladores
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Figura 4.9
Partes de un
nivel automático.
(Cortesía de Leica
Geosystems.)
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86 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
situado cada par en ángulo recto con el otro para facilitar el ajuste de la
línea visual. Comúnmente se añaden a la retícula dos líneas adicionales
paralelas y equidistantes de las líneas primarias para propósitos especiales
tales como la nivelación con tres hilos o trifilar (véase la sección 5.8) y la
estadia (véase la sección 5.4). La retícula se instala dentro del anteojo telescópico principal de manera que sus hilos queden en las posiciones vertical
y horizontal.
Ocular. El ocular es un microscopio (por lo general, con amplificación de
aproximadamente 25 a 45 ×) para captar la imagen.
El proceso de enfoque es la operación más importante a efectuar al usar un
anteojo. El proceso se basa en el principio fundamental de las lentes dado por la
siguiente fórmula:
(4.12)
en la cual f1 es la distancia de la lente a la imagen en el plano de la retícula, f2 es
la distancia de la lente al objeto y f es la distancia focal de la lente. La distancia
focal de una lente es una función de los radios de las superficies esféricas pulidas
de la lente, y del índice de refracción del vidrio de que está hecha. Es constante
para cualquier lente individual o sistema de lentes. Al enfocar para cada distancia
variable f2, f1 debe modificarse para conservar la igualdad de la ecuación (4.12).
El proceso de enfoque del anteojo telescópico de un nivel es un proceso de
dos etapas. Primero debe enfocarse la lente del ocular. Como la retícula se mantiene fija dentro del tubo del anteojo, tiene que ajustarse la distancia entre aquélla y
el ocular para adecuarla al ojo de cada observador. Esto se logra enfocando nítidamente los hilos reticulares, es decir, haciendo que éstos aparezcan lo más negro
posible al visar el firmamento o un objeto distante de color claro. Una vez que se ha
logrado esto, no necesita cambiarse el ajuste para el mismo observador, cualquiera
que sea la longitud de la visual, a no ser que se le canse la vista.
La segunda etapa del proceso de enfoque ocurre después de haber ajustado
el ocular. Se enfocan los objetos con nitidez para diferentes distancias con respecto
al anteojo telescópico en el plano de los hilos reticulares, haciendo girar el tornillo
de enfoque. Esto mueve la lente negativa de enfoque para modificar f1 y crear la
igualdad en la ecuación (4.12) para diferentes distancias de f2.
Después de haber ajustado el ocular, si los hilos parecen desplazarse sobre
el objeto visado cuando se corre ligeramente el ojo hacia uno u otro lado, existe lo
que se llama paralaje. Para lograr un trabajo de precisión tendrá que ajustarse el
objetivo, el ocular o ambos, para eliminar este efecto. El video Removing Parallax
(Cómo eliminar el paralaje), que está disponible en el sitio de la red que acompaña
a este libro, muestra cómo eliminar el paralaje en un instrumento.
■ 4.8 NIVELES DE BURBUJA
Los niveles de burbuja se usan para orientar muchos instrumentos topográficos
diferentes con respecto a la dirección de la gravedad. Hay dos tipos básicos: el nivel
con forma de tubo y el nivel circular o versión también llamada “diana”. Los niveles de tubo se usan en los niveles basculantes (y también en los niveles más antiguos de anteojo corto) para orientar con precisión la línea visual horizontal antes
de tomar lecturas en el estadal. Los niveles de diana también se usan en los niveles basculantes, y en los niveles automáticos para nivelaciones preliminares rápidas, después de lo cual viene la nivelación final precisa. Los principios de ambos
tipos de niveles son idénticos.
Un nivel de tubo es un tubo de vidrio fabricado de modo que la superficie
interior superior se conforme con precisión a un arco con un radio dado (véase la
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4.8 Niveles de burbuja 87
68 pies
2 mm
Eje del nivel tubular
(tangente en el punto medio)
Radio de curvatura
Ángulo de sensibilidad de 200
Figura 4.10
Nivel tubular
de burbuja.
figura 4.10). El tubo está sellado en ambos extremos y excepto por una pequeña
burbuja de aire, está lleno con un líquido sensible. El líquido debe ser incongelable, de acción rápida, y debe conservar la burbuja con una longitud relativamente
estable para variaciones normales de la temperatura. Generalmente se usa alcohol
sintético purificado. Cuando el tubo se ladea, la burbuja se mueve, siempre hacia
el punto más alto del tubo, ya que el aire es más ligero que el líquido. La posición
relativa de la burbuja se localiza mediante graduaciones espaciadas uniformemente en la superficie exterior del tubo, espaciadas una distancia de 2 mm. La directriz es la recta longitudinal imaginaria tangente a la superficie superior interna del
frasco en el punto medio. Cuando la burbuja está en el centro de su recorrido, la
directriz debe ser una línea horizontal, como se indica en la figura 4.10. En un instrumento de nivelación que usa burbuja niveladora, si ésta se encuentra ajustada
adecuadamente, su línea de visión es paralela a la directriz del nivel de burbuja.
Entonces, centrando la burbuja, la línea de visión resulta horizontal.
La sensibilidad del nivel la determina el radio de curvatura que se le da en
el proceso de fabricación. A mayor radio corresponde mayor sensibilidad de la
burbuja. En trabajos de precisión es indispensable que la burbuja sea muy sensible,
pero una gran sensibilidad puede a veces ser un inconveniente en levantamientos
poco precisos, por el mayor tiempo que exige su centrado.
Un instrumento diseñado correctamente tiene una sensibilidad de nivel que
corresponde al poder de resolución (resolución) del anteojo. Un movimiento ligero
de la burbuja debe ir acompañado de un cambio muy pequeño, pero discernible,
en la lectura observada en el estadal a una distancia aproximada de 200 pies. La
sensibilidad del nivel se expresa en dos formas: (1) por el ángulo, en segundos, subtendido por una división de la escala, y (2) por el radio de la curvatura del tubo. Si
una división subtiende un ángulo de 200 en el centro, se dice que el nivel tiene burbuja de 200. Una burbuja de 200 en un nivel cuyas divisiones son de 2 mm, tiene un
radio de aproximadamente 68 pies.4 La sensibilidad de los niveles de burbuja en la
4
La relación entre la sensibilidad y el radio se determina rápidamente. Si se mide en radianes,
un ángulo u subtendido por un arco cuyos radio y longitud son R y S, respectivamente, está
dado por
Entonces para una burbuja de 200 con divisiones de 2 mm en el nivel de burbuja, mediante substitución,
mm
rad
Despejando el valor de R,
mm
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rad
mm
m
68 pies
pies (aproximadamente)
(aproximadamente)
68
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88 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
Figura 4.11
Nivel de burbuja
de tipo coincidente.
A la izquierda se
ve en coincidencia
correcta y a la
derecha se indica
la doble magnitud
de la desviación de
la burbuja.
Figura 4.12
Nivel de burbuja
tipo diana.
mayoría de los niveles basculantes (y en los niveles más antiguos de anteojo corto)
varía de 20 a 400 aproximadamente.
En la figura 4.11 se ilustra el tubo del nivel de burbuja de tipo coincidente
empleado en equipo de precisión. La burbuja se centra haciendo que coincidan
los dos extremos hasta formar una curva continua. Un prisma divide la imagen de
la burbuja y hace visibles en forma simultánea los dos extremos. Esta disposición
permite que el centrado de la burbuja se haga con más exactitud.
Los niveles de burbuja de diana tienen forma esférica (véase la figura 4.12),
y la superficie interior de la esfera se fabrica precisamente con un radio específico.
Al igual que la versión de tubo, con excepción de una burbuja de aire, los niveles
de burbuja de diana se llenan con un líquido. El nivel está graduado con círculos
concéntricos con un espaciamiento de 2 mm. Su eje es en realidad un plano tangente al punto de los radios de los círculos concéntricos graduados. Si la burbuja se
centra en el círculo más pequeño, el eje debe ser horizontal. Además de usarse para
la nivelación preliminar con niveles basculantes y automáticos, los niveles de
burbuja de diana también se usan en los instrumentos de estación total, bases
niveladoras de tres tornillos, niveles de mira, perchas prismáticas y muchos otros
instrumentos de topografía. Su sensibilidad es mucho más baja que la de los niveles de tubo, generalmente en el intervalo de 29 a 259 por cada división de 2 mm
pero permiten obtener rápidamente una nivelación aproximada del instrumento.
■ 4.9 NIVELES BASCULANTES
Los niveles basculantes se usan para un trabajo más preciso. Con estos instrumentos, cuyo ejemplo se muestra en la figura 4.13, se obtiene una nivelación aproximada rápida con el uso de una burbuja de diana y los tornillos niveladores. En algunos
niveles basculantes, una articulación esférica o de rótula (sin tornillos niveladores)
permite inclinar la base y fijarla en posición casi a nivel. Entonces se obtiene una
nivelación precisa como preparación para las lecturas mediante el centrado cuidadoso de la burbuja de anteojo telescópico. Esto se hace para cada visual, después
de visar el estadal, inclinando o girando el anteojo ligeramente en un plano vertical
en torno a un fulcro situado en el eje vertical del instrumento. Un tornillo micrométrico situado bajo el ocular controla este movimiento.
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4.10 Niveles automáticos
Colimador
89
Ocular del anteojo
Ocular óptico con
micrómetro
Ocular para la observación
de la coincidencia
Tornillo basculante
Reflector
Tornillos de movimiento horizontal
Tornillos niveladores
Figura 4.13
Partes de un
nivel basculante
de precisión.
(Cortesía de Sokkia
Corporation.)
La característica basculante ahorra tiempo y aumenta la precisión, ya que sólo
se necesita mover un tornillo para mantener horizontal la visual al girar el anteojo
alrededor de su eje vertical. La burbuja del nivel de anteojo se ve a través de un sistema de prismas desde la posición normal del observador detrás del ocular. Un dispositivo de prismas divide en dos la imagen de la burbuja. El centrado de éstas se logra
haciendo coincidir las imágenes de los dos extremos, como se indica en la figura 4.11.
El nivel basculante de anteojo fijo que aparece en la figura 4.13 tiene una
base con tres tornillos niveladores, amplificación de 423 (diámetros), y una sensibilidad del nivel de burbuja igual a 100/2 mm.
■ 4.10 NIVELES AUTOMÁTICOS
Los niveles automáticos del tipo que se muestra en la figura 4.14 cuentan con un
dispositivo de autonivelación. En la mayoría de estos instrumentos se logra una
nivelación aproximada usando una base con tres tornillos niveladores que centran
una burbuja circular (“de diana”), aunque algunos modelos tienen una articulación esférica o de rótula para este propósito. Después de centrar manualmente la
burbuja, un compensador automático nivela la visual y la mantiene a nivel.
El principio de operación del compensador automático empleado en los
niveles automáticos se muestra esquemáticamente en la figura 4.15. El sistema
consta de prismas suspendidos mediante alambres para generar un péndulo. La
longitud de los alambres, la ubicación de los soportes y la naturaleza de los prismas
se determinan de tal manera que sólo los rayos horizontales alcancen la intersección de la retícula de hilos. Así se obtiene una línea visual horizontal aun cuando
el anteojo mismo pueda desviarse ligeramente de la horizontal. Los dispositivos de
amortiguamiento reducen el tiempo para que el péndulo llegue al reposo, de forma
que el operador no tiene que esperar.
Figura 4.14
Nivel automático
con micrómetro.
(Cortesía de
Topcon Positioning
Systems)
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90 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
Línea de
nivel de la
visual
Cuando el anteojo se inclina hacia arriba, el compensador se mueve hacia atrás.
Soporte
de alambre
Soporte
de alambre
Línea de
nivel de la
visual
Compensador
El telecopio está a nivel horizontal
Figura 4.15
Compensador
de un nivel
automático.
(Cortesía de Keuffel
& Esser Company.)
Línea de
nivel de la
visual
Cuando el anteojo se inclina hacia abajo, el compensador se mueve hacia adelante.
Por la rapidez y facilidad con que pueden ajustarse los niveles automáticos,
éstos se emplean en trabajos de tipo general. Son bastante precisos para trabajos
de segundo orden y aun de primer orden si se monta un micrómetro de placas
paralelas al frente del anteojo telescópico, tal como se muestra en el instrumento
de la figura 4.14. Cuando la placa del micrómetro se inclina, la visual se desplaza
paralelamente a sí misma y las partes decimales de la escala graduada del estadal
pueden medirse mediante un disco graduado.
En ciertas condiciones, los dispositivos amortiguadores de un compensador
de nivel automático pueden trabarse. Para verificarlo, es necesario poner el instrumento a nivel y enfocado, leer la mira, golpear suavemente el tripié y, después
de que éste ha vibrado, determinar si se consigue la misma lectura. Pueden aparecer también errores sistemáticos debido a algunos problemas en el compensador,
como los esfuerzos residuales en los eslabones flexibles, debido a que éstos no
se corrigieron con los controles apropiados de observación en trabajos de primer
orden. Otro problema recientemente descubierto es que a algunos compensadores
automáticos los afectan los campos magnéticos, lo que conduce a errores sistemáticos en la lectura de los estadales. La magnitud de los errores depende del acimut,
son máximos para líneas en la dirección norte-sur y pueden exceder 1 mm/km.
Esto es de importancia sólo en la nivelación de control de orden superior.
■ 4.11 NIVELES DIGITALES
En la figura 4.16(a) se muestra el tipo más moderno de nivel automático: el nivel
digital electrónico. Se denomina automático porque usa un compensador pendular
para autonivelarse, después de que el operador ha efectuado una nivelación previa
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4.11 Trípodes
91
(a)
(b)
Figura 4.16
(a) Nivel digital
electrónico y (b)
estadal asociado.
(Cortesía de
Topcon Positioning
Systems)
aproximada por medio de una burbuja. Con su telescopio y su retícula de hilos, el
instrumento se puede utilizar para obtener lecturas manualmente, como en cualquier otro nivel automático. Sin embargo, este instrumento está diseñado para operar empleando su procesador digital de imágenes electrónicas. Después de nivelar
el instrumento, su anteojo se gira hacia un estadal especial con barras codificadas
[figura 4.16 (b)] y se enfoca. Al presionar un botón, se captura y se procesa la imagen de las barras codificadas en el campo visual del telescopio. El procesamiento
consiste en comparar (por medio de una computadora integrada) la imagen capturada con el patrón total del estadal, la cual se almacena en la memoria. Cuando
se encuentra una concordancia —lo que toma unos cuatro segundos—, la lectura
en el estadal se exhibe digitalmente. Dicha lectura se puede registrar manualmente
o almacenarse de manera automática en el recolector de datos del instrumento.
La longitud del estadal que aparece en el campo visual del telescopio es una
función de la distancia al estadal. Así, forma parte de su procesamiento de imágenes la capacidad del instrumento para calcular automáticamente la longitud de la
visual, lo que es muy conveniente en el balance de las lecturas hacia atrás y hacia
adelante (véase la sección 5.4). El alcance máximo del instrumento es de aproximadamente 100 m y su exactitud en las lecturas en el estadal es de 60.5 mm. El
estadal con barras codificadas tiene sus graduaciones, ya sea en pies o en metros,
en la parte posterior. El operador puede usar la parte graduada del estadal para
leerlo en situaciones que impiden que el instrumento lea los códigos del estadal
como cuando éste se encuentra en la espesura.
■ 4.12 TRÍPODES
Todos los instrumentos de nivelación se montan sobre trípodes, ya sea basculantes,
automáticos o digitales. Un trípode fuerte en buenas condiciones es esencial para
obtener resultados exactos. Se fabrican varios tipos de trípodes. Las patas de los
mismos pueden ser de madera o metálicas, pueden ser fijas o ajustables en su longitud y de una sola pieza o plegables. Todos los tipos de patas llevan en su extremo
un regatón o remate metálico de punta cónica, y una articulación o charnela en
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92 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
su parte superior, por donde se unen a la cabeza metálica. Es ventajoso usar un
trípode de patas ajustables cuando se trabaja en terrenos escarpados o en un taller,
pero el tipo de patas de longitud fija puede ser ligeramente más rígido. El modelo
de patas plegables es más ligero que el de patas de una sola pieza pero menos
fuerte. (El ajuste de los trípodes se estudia en la sección 8.19.2.)
■ 4.13 NIVELES DE MANO
El nivel de mano (figura 4.17) es un instrumento que se sostiene con una sola mano
y se usa en trabajos de poca precisión y para fines de verificación rápida en trabajo
de mayor precisión. Su anteojo es un tubo de latón de unas 6 pulgadas de largo, con
un objetivo de vidrio simple y un ocular de tipo de atisbadero. Tiene además un
pequeño nivel de burbuja montado sobre una ranura en la parte superior del tubo,
y se ve a través del ocular utilizando un prisma o un espejo inclinado a 45°. Tiene
un hilo horizontal que cruza el centro del tubo.
Como se muestra en la figura 4.18, el prisma o espejo ocupa sólo la mitad del
interior del anteojo, dejando libre la otra parte para proporcionar una visión clara
a través del objetivo. En consecuencia, la imagen del estadal que se visa y la imagen
reflejada de la burbuja son visibles una al lado de la otra, con la superposición del
hilo horizontal.
El instrumento se sostiene con una mano y se nivela levantando o bajando el extremo del objetivo, hasta que el hilo horizontal corte a la mitad la imagen de la burbuja. Cuando se sostiene el nivel de mano apoyándose sobre una
especie de báculo, o mejor aún, descansándolo sobre una vara con horqueta, se
logra mejor exactitud y más estabilidad. Este instrumento es especialmente valioso
para la rápida verificación de ubicaciones propuestas para instalar los instrumentos en la nivelación diferencial.
Figura 4.17
Nivel de mano.
(Cortesía de
Topcon Positioning
Systems.)
Figura 4.18
Vista del estadal a
través de un nivel
de mano.
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4.14 Estadales 93
■ 4.14 ESTADALES
Se dispone de diferentes estadales, algunos de los cuales se muestran en la figura
4.19. Están hechos de madera, fibra de vidrio o metal y tienen graduaciones en pies
y decimales, o bien, en metros y decimales.
El estadal Filadelfia, que se muestra en la figura 4.19(a) y (b), es el tipo que se
usa más comúnmente en los cursos universitarios de topografía. Está formado por
dos secciones deslizantes graduadas en centésimos de pie y unidas por las abrazaderas de latón a y b. La sección posterior puede fijarse en posición usando un tornillo fijador c, para determinar cualquier longitud, desde la de un estadal corto para
lecturas de 7 pies o menores, hasta la de un estadal largo (estadal alto) para lecturas
hasta de 13 pies. Cuando se necesita el estadal largo tiene que extenderse completamente, de lo contrario puede ocurrir un error serio en la lectura. Las graduaciones
marcadas en las caras frontales de las dos secciones van en forma continua desde
cero, en la base, hasta 13 pies en la parte superior para la posición de estadal largo.
Las graduaciones del estadal están pintadas con exactitud, con espacios
alternados negros y blancos, de 0.01 pies de ancho. Las marcas de 0.1 y de 0.05 pies
se hacen resaltar por salientes o prolongaciones en punta de las marcas negras.
Los décimos aparecen indicados por números negros y las marcas de enteros por
números rojos, estando cada número frente a la graduación respectiva. Los estadaleros deben evitar tocar las graduaciones del estadal, en particular en la sección
que va de los 3 a los 5 pies, ya que al desgastarse esta superficie, el estadal quedaría
inservible. Un estadal Filadelfia puede leerse con toda exactitud con un nivel a
distancias hasta de 250 pies. El video Reading a Level Rod (Cómo leer un estadal),
que está disponible en el sitio de la red que acompaña a este libro, muestra cómo
se lee un estadal graduado al centésimo de pie.
Existe una gran variedad de modelos, colores y graduaciones en estadales
de una sola pieza, de dos o tres secciones. En Estados Unidos, en el mercado hay
diversos tipos de estadales a los que se les conoce generalmente por nombres de
ciudades o de estados, como Filadelfia, Nueva York, Boston, Troy, Chicago, San
Francisco y Florida.
En las visuales largas, los estadales Filadelfia pueden estar equipados con
marcadores de mira [d en la figura 4.19(a) y (b)]. Al emplearse, el estadalero coloca
el marcador de mira a la altura de la línea visual del instrumento de acuerdo con
las señas de la mano del operador del instrumento. Se fija mediante la abrazadera e,
luego se hace la lectura y la registra el estadalero. Puede usarse el vernier en f, para
obtener lecturas con una aproximación de 0.001 pies si se desea.
Un vernier es una escala corta auxiliar colocada paralelamente y junto a una
escala primaria. Permite la lectura de partes fraccionarias de las divisiones más
pequeñas de la escala principal sin interpolación. La figura 4.20 muestra una escala de vernier. El vernier se construye de modo que 10 de sus divisiones cubren 9
divisiones en la escala principal. Por lo tanto, la diferencia entre la longitud de una
división de la escala principal y una división de vernier es 0.1 de la división de la
escala principal. Esta es la así llamada aproximación micrométrica de este vernier.
En general, la aproximación micrométrica de un vernier está dada por
aproximación micrométrica = d/n
(4.13)
donde d es el valor de la división más pequeña de la escala principal, y n el número
de divisiones del vernier que abarcan (n – 1) unidades de la escala principal. Por
la ecuación (4.13), la aproximación micrométrica del vernier de la figura 4.20 es
0.1/10 = 0.01. Esto verifica la determinación intuitiva dada arriba. Un observador
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94 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
Figura 4.19
(a) Estadal
Filadelfia (vista
frontal).
(b) Estadal
Filadelfia (vista
posterior).
(c) Estadal de
nivelación de
carátula doble
con graduaciones
métricas. (Cortesía
de Leica, Inc.)
(d) Estadal
Lenker de lectura
directa. (Cortesía
de (c) Leica,
Inc), (d) Lenker
Manufacturing
Company.)
(a)
(b)
(c)
(d)
no puede hacer lecturas usando un vernier sin determinar primero su aproximación
micrométrica. En la figura 4.20, los dos primeros dígitos se leen donde el último
dígito coincida con la escala principal al otro lado de la marca 0 en la escala del
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4.15 Prueba y ajuste de los aparatos de nivelación
95
Figura 4.20
Lectura de una
escala de vernier
vernier; en este ejemplo, la lectura es 8.1. El dígito final es el que se lee en la escala
de vernier donde ésta se alinea con la división de la escala principal; en este ejemplo, el 3 en la escala de vernier se alinea con una división en la escala principal.
Entonces, en la figura 4.20 se lee 8.13.
El estadal Chicago consta de secciones independientes (generalmente tres)
ajustadas entre sí, aunque son desmontables, suele ser muy utilizado en levantamientos para construcciones. El modelo San Francisco tiene secciones separadas
que se deslizan entre sí para aumentar o disminuir su longitud; se emplea generalmente en levantamientos de control, catastrales y de algún otro tipo. Ambos
estadales son fácilmente transportables en cualquier vehículo.
El estadal Lenker de lectura directa [figura 4.19 (d)] tiene números en orden
invertido sobre una banda sinfín de acero graduada, la cual puede girar sobre rodillos colocados en los extremos del estadal. Los números corren hacia abajo del
estadal y pueden ajustarse a la lectura deseada, por ejemplo, a la elevación de
un banco de nivel. Las lecturas en el estadal se prefijan para la lectura de visual
inversa, por lo que, debido al orden invertido de los números, las lecturas de visual directa dan las elevaciones sin tener que calcular alturas del instrumento y
restar lecturas sustractivas.
En los trabajos de precisión se usa un estadal que consta de una armazón de
madera o fibra de vidrio y de una barra de metal Invar, la cual sirve para eliminar
los efectos de los cambios de humedad y temperatura. La barra Invar, unida sólo
en sus extremos, puede deslizarse libremente en ranuras situadas a cada lado de
la armazón de madera. Los estadales para trabajo preciso generalmente están graduados en metros y frecuentemente tienen escalas duales. Se comparan las lecturas
de ambas escalas para eliminar los errores.
Como se describe en la sección 1.8, la seguridad en el tránsito y cerca del equipo pesado es una consideración importante. El sostén Quad, un bastidor ajustable
que se engancha a cualquier estadal de nivelación, puede ayudar a reducir los riesgos
del tránsito, y en algunos casos también se abaten los costos de la mano de obra.
■ 4.15 PRUEBA Y AJUSTE DE LOS APARATOS
DE NIVELACIÓN
Debido al uso y al desgaste normal, todos los instrumentos de nivelación son susceptibles de desajustarse de vez en cuando. Puede tenerse la necesidad de hacer
algunos ajustes durante el uso, por ejemplo en los niveles de burbuja de los niveles
basculantes. Otros tal vez no sean tan obvios, por lo tanto es importante que los
instrumentos se revisen periódicamente para determinar su estado de ajuste. Si
las pruebas revelan situaciones de que se deben efectuar ajustes, dependiendo del
instrumento específico y del conocimiento y la experiencia de su operador, algunos
o todos los ajustes pueden hacerse inmediatamente en el campo. Sin embargo, si
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ALFAOMEGA
96 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
las partes que requieren ajuste no son de fácil acceso, o si el operador no tiene
experiencia en hacer los ajustes, lo mejor es mandar los instrumentos a un taller
para que los ajustes los hagan técnicos calificados.
4.15.1 Requerimientos para probar y ajustar los instrumentos
Antes de probar y corregir los ajustes de los instrumentos topográficos, debe
tenerse cuidado en asegurarse de que cualquier falta aparente de ajuste es causada
realmente por las condiciones del instrumento y no por deficiencias en las pruebas.
Para ensayar y corregir apropiadamente los instrumentos de nivelación en el campo, deben seguirse las siguientes reglas:
1. Elija un terreno en el que se pueda instalar el aparato firmemente en un área
casi plana que permita dirigir visuales de cuando menos 200 pies en direcciones opuestas.
2. Haga los ajustes cuando prevalezcan buenas condiciones atmosféricas, de preferencia en días nublados libres de ondas de calor. Ninguna visual deberá atravesar consecutivamente zonas soleadas y de umbral, ni dirigirse hacia el Sol.
3. Ponga el instrumento bajo la sombra, o protéjalo de los rayos directos del
Sol.
4. Verifique que las patas del tripié estén firmes y bien aseguradas, y que el aparato se encuentre convenientemente atornillado al tripié. Separar las patas
del tripié y recolocarlas de manera que la plataforma de nivelación quede
casi a nivel. Hincar en tierra firmemente cada pata del tripié.
Se deben seguir métodos estandarizados y un orden prescrito al llevar a cabo
los ajustes de los instrumentos topográficos. El posicionamiento correcto de las
partes se logra aflojando o apretando las tuercas y tornillos de ajuste, utilizando
pasadores o herramientas especiales. Se pierde tiempo tratando de que cada ajuste
quede completo en un primer ensayo, puesto que algunos de estos ajustes afectarán otros. Si el instrumento está en muy malas condiciones, es posible que tenga
que repetirse una serie completa de pruebas varias veces. Se debe llevar a cabo
una comprobación final de todos los ajustes para cerciorarse de que ninguno ha
quedado alterado.
Las herramientas y los pasadores (o punzones) que se adaptan perfectamente
a los orificios de los tornillos de cabeza perforada (de calavera) deben emplearse
en todos los casos, y realizar de manera adecuada el manejo y movimiento de tales
tornillos, sin que se dañe el metal suave de que están hechos. Todos los tornillos
se ajustan cuidadosamente en la fábrica, antes del embarque de un instrumento. El
apretarlos demasiado (o no lo suficiente) anula cualesquiera procedimientos de ajuste correctos, y puede dejar al aparato en peores condiciones que antes del ajuste.
4.15.2 Ajuste por paralaje
El ajuste por paralaje es muy importante, y debe tenerse en mente siempre al usar
un instrumento de nivelación, pero especialmente durante el proceso de prueba
y ajuste. El ajuste se hace enfocando cuidadosamente la lente del objetivo y el
ocular, de modo que los hilos de la retícula se aprecien nítidamente, y de tal manera que éstos no parezcan moverse en contraste con un objeto en el trasfondo al
atisbar ligeramente con el ojo al momento de ver por el ocular. El video Removing Parallax (Cómo eliminar el paralaje) está disponible en el sitio de la red que
acompaña a este libro, y muestra los procedimientos correctos para asegurar la
eliminación del paralaje en sus miras.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
4.15 Prueba y ajuste de los aparatos de nivelación
97
4.15.3 Prueba y ajuste del nivel tubular
Para los instrumentos de nivelación que usan un nivel tubular, el eje del nivel tubular deberá ser perpendicular al eje vertical del instrumento (el eje alrededor del
cual gira el instrumento para medir un acimut). Entonces, una vez que se centra
la burbuja, el instrumento se puede girar alrededor del eje vertical para medir un
acimut y la burbuja permanecerá centrada. Esta condición puede verificarse rápidamente al centrar la burbuja, y al hacer girar al anteojo 180° alrededor del eje vertical. La distancia a la que se movió la burbuja desde el centro representa entonces
el doble del error. Para corregir cualquier ajuste mal hecho, dé vuelta a las tuercas
de los tornillos de cabrestante en un extremo del nivel tubular para hacer que
la burbuja se mueva a la mitad de su separación respecto de la posición central.
Nivele el instrumento con los tornillos niveladores. Repita el ensayo hasta que
la burbuja permanezca centrada durante un giro completo del anteojo. El video
Leveling an Instrument (Cómo nivelar un instrumento), que está disponible en el
sitio de la red que acompaña a este libro, muestra cómo nivelar un instrumento y
cómo corregir una burbuja que está desalineada.
4.15.4 Ajuste preliminar del hilo horizontal de la retícula
Aunque siempre es aconsejable visar siempre un objeto al centro de los hilos de
la retícula, si no se hace esto y el hilo horizontal de la retícula no está realmente
horizontal cuado se nivela el instrumento, resultará un error. Para verificar esta
condición, vise un punto bien definido colocando en él un extremo del hilo en
cuestión. Gire el anteojo lentamente, alrededor de su eje acimutal, de modo que
el hilo se mueva sobre el punto visado. Si no permanece sobre éste al desplazarlo
en toda su longitud, el aparato está desajustado. Para corregir cualquier ajuste mal
hecho, afloje los cuatro tornillos de cabrestante (o calavera) que sostienen el anillo
de la retícula. Haga girar ésta en el tubo del anteojo hasta que el hilo horizontal
no se aparte del punto al girar el anteojo acimutalmente. Dichos tornillos deben
apretarse cuidadosamente al quedar en su posición final. El video Checking the
Cross Hairs (Cómo revisar los hilos de la retícula), que está disponible en el sitio
de la red que acompaña a este libro, muestra cómo revisar los hilos horizontales
de un instrumento.
R
B
r
A
Línea de colimación
horizontal
2∈
∈
1
A
B
2
Primera puesta
RA
rB
Línea de colimación
horizontal
2∈
1
∈
A
B
2
Segunda puesta
100 pies
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
100 pies
100 pies
Figura 4.21
Prueba de
colimación
horizontal.
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98 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
4.15.5 Prueba y ajuste de la línea de colimación
Para los niveles basculantes, descritos en la sección 4.9, si la burbuja del nivel de
tubo está centrada, la línea visual debe ser horizontal. En otras palabras, para que
este tipo de instrumento esté perfectamente ajustado, el eje del nivel de tubo y
la línea de visión deben ser paralelos. Si no lo son, existe un error de colimación.
Para los niveles automáticos, que se describieron en la sección 4.10, después de una
nivelación preliminar centrando la burbuja tipo diana, el compensador automático
debe definir una línea de visión horizontal si está bien ajustado. Si no lo está, el
compensador no está ajustado, y nuevamente existe un error de colimación. El
error de colimación no causará errores en la nivelación diferencial, siempre que las
distancias hacia atrás y hacia adelante estén balanceadas. Si las lecturas hacia atrás
y hacia delante no están balanceadas, habrá errores, lo que algunas veces ocurre en
la nivelación diferencial, y no puede evitarse en la nivelación de perfiles (véase la
sección 5.9), y en el estacamiento en la construcción (véase el capítulo 23).
Un método para probar un nivel en cuanto al error de colimación es clavar
estacas en cuatro puntos igualmente espaciados cada uno separado 100 pies en un
terreno más o menos plano, como se muestra en la figura 4.21. Entonces se coloca
el nivel en el punto 1, se nivela, y se toman lecturas de estadal (rA) en A, y (RB) en B.
Enseguida el instrumento se mueve al punto 2 y se vuelve a nivelar. Entonces
se toman las lecturas RA en A, y rB en B. Como se ilustra en la figura, suponga que
existe un error de colimación  en las lecturas del estadal de las dos visuales más
cortas. Entonces el error causado por esta fuente sería 2 en las visuales más largas
debido a que su longitud es el doble de las más cortas. Independientemente de que
haya o no un error de colimación, la diferencia entre las dos lecturas de estadal
en 1 deberá ser igual a la diferencia de las dos lecturas en 2. La expresión de esta
igualdad, incluyendo el error de colimación, da
(RB 2 2) 2 (rA 2 ) 5 (rB 2 ) 2 (RA 2 2)
(4.14)
Al despejar el valor de  en la ecuación (4.14) se obtiene
(4.15)
La lectura corregida en el estadal en el punto A mientras que el instrumento todavía está colocado en el punto 2 deberá ser RA 2 2. Si es necesario un ajuste, se
hace aflojando el tornillo superior (o inferior) que sostiene a la retícula, y apretando el tornillo inferior (o superior) para mover el hilo horizontal hacia arriba
o hacia abajo hasta que se obtenga la lectura requerida en el estadal en A. Esto
cambia la orientación de la línea de visión. Pueden ser necesarios varios intentos
para alcanzar la determinación exacta. Si la retícula no es de fácil acceso, o si el
operador no está calificado, entonces un técnico calificado deberá darle servicio al
instrumento.
Como se estudió en la sección 19.13, se recomienda que el instrumento de
nivelación se ensaye antes del proceso de medición al realizar nivelaciones diferenciales de precisión. Entonces se aplica una corrección para el error en la línea
de la visual a todas las mediciones de campo usando las distancias visadas obtenidas al leer los hilos de estadía (véase la sección 5.4). El error en la línea de visión
se expresa en términos de  por unidad de distancia visual. Por ejemplo, el error
de colimación C es adimensional y se expresa como 0.00005 pies/pie o 0.00005
m/m. Si se usan las distancias visuales obtenidas en el proceso de nivelación este
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
4.15 Prueba y ajuste de los aparatos de nivelación
99
error se puede eliminar matemáticamente. El video Determining the Collimation
Error of a Level (Determinación del error de colimación de un nivel), que está disponible en el sitio de la red que acompaña a este libro, muestra el procedimiento
para determinar el factor de colimación de un nivel. Sin embargo, para el trabajo
de nivelación más común, este error se elimina de manera sencilla conservando
las distancias visuales menos y más aproximadamente iguales entre los bancos de
nivel.
■ Ejemplo 4.3
Se realiza una prueba de colimación horizontal en un nivel automático siguiendo
los procedimientos descritos anteriormente. Con el instrumento instalado en el
punto 1, la lectura del estadal en A fue 5.630 pies, y en B fue 5.900 pies. Después
de mover y nivelar el instrumento en el punto 2, se determinó que la lectura del
estadal en A es de 5.310 pies y en B de 5.560 pies. Como se muestra en la figura
4.21, la distancia entre los puntos fue 100 pies. ¿Cuál es el error de colimación del
instrumento, y la lectura corregida en A desde el punto 2?
Solución
Al sustituir los valores apropiados en la ecuación (4.15), el error de colimación es
pies
Así la lectura corregida en A desde el punto 2 es
R 5 5.310 2 2 3 0.010 5 5.290 pies
Como se observa, si existe un error de colimación debido a que el instrumento
no está ajustado, todavía puede lograrse una nivelación diferencial exacta si se
compensan las longitudes hacia atrás y hacia adelante. En situaciones en las cuales estas longitudes no pueden compensarse, todavía pueden obtenerse lecturas
corregidas en el estadal aplicando las correcciones por colimación a las lecturas del
estadal. El procedimiento se describe en la sección 5.12.1.
■ Ejemplo 4.4
El instrumento en el ejemplo 4.3 se usó en un levantamiento entre dos bancos
de nivel antes de ajustar el instrumento donde la distancia visual no se pudo
balancear debido a las condiciones físicas. La suma de las lecturas aditivas fue
900 pies al tiempo que la suma de las lecturas sustractivas fue 1300 pies entre los
dos bancos de nivel. La diferencia de elevación observada fue 120.64 pies. ¿Cuál
es la diferencia de elevación corregida entre los dos bancos de nivel?
Solución
En el ejemplo 4.3, se determinó que el error  fue de 0.01 pies/100 pies. Por lo
tanto, el error de colimación C es -0.0001 pies/pie, y la diferencia de elevación
corregida es
∆elev = 120.64 – 0.0001 (900 – 1300) = 120.68 pies
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100 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
PROBLEMAS
Los asteriscos (*) señalan los problemas cuya solución se encuentra en el apéndice G.
4.1 Defina los siguientes términos de nivelación: (a) control vertical, (b) elevación,
(c) plano de referencia vertical.
4.2* ¿Qué tanto se separará una línea horizontal de la superficie de la Tierra en 1 km,
5 km? ¿10 km? (Aplique tanto curvatura como refracción.)
4.3 Visite el sitio Web del National Geodetic Information Center del National Geodetic Survey, en http://www.ngs.noaa.gov, y obtenga la descripción en una hoja
de datos de un banco de nivel en su región.
4.4 Cree una gráfica de las correcciones de curvatura y refracción para visuales que
van de 0 pies a 5000 pies con incrementos de 500 pies.
4.5 Cree una gráfica de las correcciones de curvatura y refracción para visuales que
van de 0 m a 5000 m con incrementos de 500 m.
4.6 ¿Por qué es importante que un banco de nivel sea un objeto relativamente permanente y estable?
4.7* En un lago grande sin oleaje, ¿qué tan lejos de la orilla se encuentra un bote de
vela cuando la punta de su mástil de 30 pies desaparece de la vista de una persona acostada en la orilla del lago?
4.8 Similar al problema 4.7, pero para un mástil de 10 m y una persona cuya altura
visual es de 1.5 m sobre la orilla del lago.
4.9 Se efectúan lecturas en una línea de nivelación diferencial a los 2 mm más cercanos. ¿Para qué distancia máxima pueden ignorarse la curvatura de la Tierra y la
refracción?
4.10 Similar al problema 4.9, pero con las lecturas a los 0.02 pies más cercanos.
4.11 Describa cómo se determinan las lecturas en un nivel digital cuando se usa una
mira con código de barras.
En los problemas 4.12 y 4.13 se indican lecturas sucesivas en más y en menos
tomadas en una línea de niveles cuesta abajo. Los valores representan las distancias
horizontales entre el instrumento y las visuales más o menos. ¿Qué errores se producen
por curvatura y refracción?
4.12* 20, 225; 50, 195; 40, 135; 30, 250 pies.
4.13 30, 55; 30, 50; 25, 45; 55, 60 m.
4.14 ¿Qué error se origina si se ignora la corrección por curvatura y refracción en las
siguientes visuales de una nivelación trigonométrica: (a) de 2000 pies de longitud, (b) de 1000 m de longitud y (c) de 3000 pies de longitud?
4.15* La distancia inclinada y el ángulo cenital medidos del punto P al Q fueron de
2013.875 m y 95° 139 040, respectivamente. Las alturas del instrumento y de la
mira visada son iguales. Si la elevación del punto P es de 188.988 m, sobre el
nivel medio del mar, ¿cuál es la elevación del punto Q?
4.16 La distancia inclinada y el ángulo cenital medidos del punto X al punto Y fueron
de 1501.85 pies y 86° 279 150. Las alturas del instrumento y de la mira visada son
iguales. Si la elevación del punto X es de 102.09 pies, sobre el nivel medio del
mar, ¿cuál es la elevación del punto Y?
4.17* Similar al problema 4.15, pero la distancia inclinada es ahora 606.430 m, el ángulo cenital es de 95° 149 440, y la elevación del punto P es de 908.884 m sobre el
nivel medio del mar.
4.18 En una nivelación trigonométrica del punto A al B se determinaron para la distancia inclinada y el ángulo cenital en A, los valores 7929.464 m y 88°429500. Los
valores en B fueron 7929.473 m y 91°179160, respectivamente. Si las alturas del
instrumento y de la lectura en el estadal fueron iguales, calcule la diferencia en
elevación entre A y B.
4.19 Describa cómo puede detectarse y eliminarse el paralaje en el sistema de visión
de un nivel.
ALFAOMEGA
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Problemas 101
4.20
¿Cuál es la sensibilidad de un nivel tubular con graduaciones de 2 mm para: (a)
un radio de 40.4 m y (b) un radio de 20.6 m?
4.21* Un observador olvida verificar la burbuja, que se encuentra dos divisiones fuera
del centro en una visual de 500 pies. ¿Qué error se produce en la diferencia de
elevaciones si la burbuja es de 10 segundos?
4.22 Un observador olvida verificar la burbuja, que se encuentra dos divisiones fuera
del centro en una visual de 200 m. ¿Qué error se produce si la burbuja es de 10
segundos?
4.23 Similar al problema 4.21, excepto que la burbuja, ahora de 20 segundos, está tres
divisiones fuera de centro en una visual de 300 pies.
4.24 Con la burbuja centrada, una visual de 100 m de longitud da una lectura de 1.352
m. Después de mover la burbuja cuatro divisiones fuera del centro, la lectura es
de 1.410 m. Si se tienen divisiones de 2 mm en el nivel tubular, ¿cuál es (a) el
radio de curvatura del nivel tubular en metros y (b) el ángulo en segundos subtendido por una división?
4.25 Similar al problema 4.24, excepto que la longitud de la visual es de 300 pies, la
lectura inicial es de 5.132 pies, y la lectura final es de 5.250 pies.
4.26 El calor solar en el extremo frontal de un nivel 1 1/2 mm desplaza la burbuja dos
divisiones fuera del centro, dando una lectura más de 4.63 m en una visual de 200
pies. Calcule la lectura correcta.
4.27 Presente en forma tabular para fines de comparación, las ventajas y desventajas
de un nivel automático contra un nivel digital.
4.28* Si se toma una Lectura Aditiva (LA) de 3.54 pies en un banco de nivel A, cuya
elevación es de 850.48 pies, y se lee en el punto X una lectura sustractiva (LS) de
7.84 pies, calcule la AI y la elevación del punto X.
4.29 Si se toma una Lectura Aditiva (LA) de 1.097 m en un banco de nivel A, cuya
elevación es de 305.348 m, y se lee en el punto X una Lectura Sustractiva (LS)
de 0.832 m, calcule la AI y la elevación del punto X.
4.30 Similar al problema 4.28, pero se toma una lectura aditiva de 3.36 pies en el
banco de nivel A, cuya elevación es de 1265.58 pies, y se lee en el punto X una
lectura sustractiva de 6.32 pies.
4.31 Describa el procedimiento que se usa para probar si el nivel de burbuja es perpendicular al eje vertical del instrumento.
4.32 Se realiza una prueba horizontal de colimación en un nivel automático siguiendo los procedimientos descritos en la sección 4.15.5. Con el instrumento instalado
en el punto 1, la lectura del estadal en A fue de 3.886 pies, y en B fue de 3.907
pies. Después de mover el instrumento hasta el punto 2 y nivelarlo, la lectura del
estadal en A es de 4.094 pies y en B es de 4.107 pies. ¿Cuál es el error de colimación del instrumento, y la lectura corregida en A desde el punto 2?
4.33 El instrumento probado en el problema 4.32 se usó en un levantamiento inmediatamente antes de la prueba donde la diferencia de elevación observada entre
dos bancos de nivel fue de +23.78 pies. La suma de las distancias visuales aditivas
entre los bancos de nivel fue de 560 pies y la suma de las distancias visuales sustractivas fue de 1210 pies. ¿Cuál es la diferencia de elevación corregida entre los
dos bancos de nivel?
4.34 Similar al problema 4.32, excepto que las lecturas en los estadales son de 1.894
m y 1.923 m en A y B, respectivamente, desde el punto 1, y de 1.083 m y 1.100 m
en A y B, respectivamente, desde el punto 2. La distancia entre los puntos en la
prueba fue de 100 m.
4.35 El instrumento probado en el problema 4.34 se usó en un levantamiento inmediatamente antes de la prueba donde la diferencia de elevación observada entre
dos bancos de nivel fue de -13.068 m. La suma de las distancias visuales aditivas
entre los bancos de nivel fue de 1540 m y la suma de las distancias visuales sustractivas fue de 545 m. ¿Cuál es la diferencia de elevación corregida entre los dos
bancos de nivel?
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ALFAOMEGA
102 NIVELACIÓN: TEORÍA, MÉTODOS Y EQUIPO
BIBLIOGRAFÍA
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ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
5
Nivelación:
procedimientos de
campo y de cálculo
■ 5.1 INTRODUCCIÓN
En el capítulo 4 se expuso la teoría básica de la nivelación; se describieron brevemente los diferentes procedimientos usados para determinar elevaciones y se
mostraron algunos de los instrumentos empleados en el proceso de nivelación.
Este capítulo se dedica a la nivelación diferencial; se estudia el equipo, trazo y
ajuste de algunas poligonales sencillas, así como la ejecución de algunos levantamientos para tener datos de uso en campo y gabinete. Se presentan algunas
variaciones especiales de la nivelación diferencial, que son útiles o necesarias en
ciertas situaciones. En la sección 5.9 se describe la nivelación de perfil, para determinar la configuración de la superficie del terreno a lo largo de una línea de referencia establecida. Finalmente se estudian los errores de nivelación. En capítulos
posteriores se estudiarán los procedimientos de nivelación para levantamientos de
construcción y de otros tipos, junto con los levantamientos de orden superior para
determinar redes nacionales de control vertical.
■ 5.2 TRANSPORTE Y COLOCACIÓN DEL NIVEL
La manera más segura de transportar un instrumento de nivelación en un vehículo
es llevándolo en su caja o estuche. Éste se cierra con facilidad sólo cuando el instrumento se ha acomodado bien en sus soportes acojinados. Un nivel debe sacarse
de su estuche levantándolo por la regla del nivel o la plataforma de asiento, pero
nunca tomándolo por el anteojo. La base nivelante debe atornillarse firmemente
en la cabeza del tripié. Si la base queda floja, el instrumento quedará inestable; si se
aprieta demasiado, puede “aferrarse” al tripié. Una vez que el instrumento se retira
de su estuche, éste deberá cerrarse nuevamente para evitar que le entre suciedad
y humedad.
Las patas del tripié deben apretarse correctamente. Si cada pata cae lentamente por su propio peso después de colocarla en posición horizontal, entonces
debe considerarse que está correctamente ajustada. Si las patas se aprietan demasiado, se deformarán el plato de asiento y los tornillos. Por el contrario, si quedaran
flojas, el instrumento no quedará fijo. El video Checking the tripod (Cómo revisar
el trípode), que está disponible en el sitio de la red, describe los procedimientos
para revisar y ajustar el trípode.
104 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
Con excepción de unos cuantos instrumentos que emplean un dispositivo de
rótula, todos los niveles modernos usan una cabeza de nivelación de tres tornillos
para una nivelación preliminar inicial. Observe que todos los niveles ilustrados en
el capítulo 4 (véanse las figuras 4.9, 4.13, 4.14 y 4.16) tienen este tipo de dispositivo.
Para nivelar una cabeza de tres tornillos, se gira el anteojo hasta quedar situado
sobre dos tornillos, como se muestra en la dirección AB de la figura 5.1. Se centra aproximadamente la burbuja usando los dedos pulgar e índice de cada mano
para ajustar simultáneamente los tornillos opuestos. Se repite el procedimiento
con el anteojo girado 90° de modo que esté sobre C, que es el tornillo que resta. En
el primer intento sólo se perdería tiempo si se tratara de centrar exactamente la
burbuja, ya que ésta se saldrá de centro al hacer la nivelación en cruz. Si se efectúa
este procedimiento más o menos tres veces con cada par de tornillos, debe quedar
nivelado el instrumento. Una regla sencilla pero práctica para centrar la burbuja
es que ésta siga al pulgar izquierdo al hacer girar los tornillos, como se ilustra en la
figura 5.1. La burbuja en un nivel de tipo diana se centra haciendo girar alternadamente un tornillo y luego los otros dos. No es necesario hacer girar el anteojo
durante el proceso. El video Leveling an instrument (Cómo nivelar un instrumento), que está disponible en el sitio de la red que acompaña a este libro, muestra el
proceso de nivelación de un instrumento.
Generalmente no se necesita situar el nivel sobre un punto en particular; por
tanto, es inexcusable que el plato esté completamente fuera de nivel antes de usar
los tornillos niveladores. Al emplazar un nivel en la ladera de una colina, se facilita
la colocación del instrumento apoyando una pata cuesta arriba y las otras dos cuesta abajo. En declives muy empinados, algunos topógrafos prefieren emplazar dos
patas del tripié cuesta arriba y una cuesta abajo, para lograr una colocación estable.
La altura más conveniente del instrumento es la que permite al observador ver a
través del anteojo sin tener que agacharse ni estirarse sobre las puntas de los pies.
Un operador inexperto, después de trabajar sobre una ladera de gran pendiente, puede encontrar, al completar el proceso de nivelación, que el anteojo
quedó demasiado bajo para visar cuesta arriba el punto de liga o el banco de nivel.
Para evitar esto, puede usarse un nivel de mano para verificar la altura correcta de
la visual antes de comenzar a nivelar el instrumento con mayor precisión. Como otra
alternativa, primero debe situarse el instrumento sin intentar nivelarlo, dejando la
burbuja un poco fuera de centro. Entonces se visa el estadal, y si la burbuja es visible
en esta condición, obviamente también lo será cuando el instrumento esté nivelado.
C
Figura 5.1 Ajuste
de los tornillos
niveladores de un
instrumento con tres
tornillos.
ALFAOMEGA
A
B
Pulgar izquierdo
Pulgar derecho
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5.3 Deberes del estadalero
105
■ 5.3 DEBERES DEL ESTADALERO
Los deberes de un ayudante de nivelación o estadalero son relativamente sencillos.
Sin embargo, un estadalero negligente puede nulificar los mejores esfuerzos del
observador si no sigue ciertas reglas simples.
El estadal debe estar a plomo en la señalización o en el punto de liga correcto
para tener lecturas correctas. En la figura 5.2, el punto A está debajo de la visual
una distancia vertical igual a AB. Si se inclina el estadal a la posición AD, se tendrá una lectura errónea AE. Se verá que la lectura más pequeña posible, AB, es la
correcta, y que sólo se obtiene cuando el estadal está a plomo.
Un nivel para estadal del tipo que aparece en la figura 5.3 asegurará un aplome rápido y correcto. Su forma en L le permite ajustarse a las caras trasera y lateral
del estadal, y su nivel esférico de burbuja permite lograr el aplome del estadal en
ambas direcciones. Sin embargo, si no se cuenta con un nivel para estadal, puede
usarse uno de los siguientes procedimientos para aplomar el estadal.
Se aplica el procedimiento de balanceo del estadal para asegurarse de que
esté a plomo cuando se tome la lectura. El método consiste en inclinar lentamente
la parte superior del estadal, primero tal vez uno o dos pies hacia el instrumento y
luego alejándolo de éste. El operador observa las lecturas alternadamente crecientes
y decrecientes, y selecciona el valor mínimo, el cual es el correcto. Los principiantes
D
C
Estadal vertical a plomo
Línea horizontal
E
B
A
Figura 5.2
Aplome del
estadal.
Figura 5.3
Nivel de estadal.
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ALFAOMEGA
106 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
tienden a balancear el estadal con rapidez o muy lentamente, describiendo un arco
demasiado grande. Pueden introducirse errores pequeños en el proceso si la parte
inferior del estadal descansa sobre una superficie plana. Un señalamiento de cima
redondeada, una alcayata de acero o un borde delgado constituyen miras excelentes.
En días tranquilos el estadal puede aplomarse dejándolo balancear por su
propio peso, mientras se le sostiene suavemente con las puntas de los dedos. El
instrumentista verifica que el estadal esté a plomo en dirección lateral, revisando
su coincidencia con el hilo vertical de la retícula y haciendo las señales necesarias
para hacer el ajuste indispensable. El estadalero puede ahorrar tiempo mirando
por un lado del estadal para alinearlo con un poste de teléfono, un árbol o la esquina de un edificio. El aplome según la línea que va hacia el instrumento es más difícil, pero sosteniendo el estadal contra las puntas de los pies juntos, el estómago y la
punta de la nariz, se logrará tenerlo muy cerca de la posición vertical. Puede usarse
también una plomada suspendida a lo largo del estadal; en este procedimiento el
estadal estará en su posición correcta cuando sus bordes sean paralelos al hilo de
la plomada.
■ Ejemplo 5.1
En la figura 5.2, si el estadal se mantiene en la posición AD, y si AE 5 10 pies y
EB 5 6 pulgadas, ¿qué error se comete?
Solución
Con el uso del teorema de Pitágoras, el estadal vertical es
pies
Entonces el error es 10.00 9.987 5 0.013 pies, o sea 0.01 pies.
Los errores de la magnitud del ejemplo 5.1 son significativos si los resultados
se llevan hasta los centésimos o los milésimos. Por ello es necesario aplomar cuidadosamente, sobre todo durante las lecturas en estadales largos.
■ 5.4 NIVELACIÓN DIFERENCIAL
La figura 5.4 ilustra el procedimiento que se sigue para la nivelación diferencial. En
la figura, debe determinarse la elevación del nuevo BN Roble mediante el inicio
de un circuito de nivelación en el BN Mil ya establecido. Al recorrer este circuito,
se toma la primera lectura, una visual positiva, sobre el banco de nivel establecido.
A partir de ahí, la AI puede calcularse usando la ecuación (4.4). Entonces se toma
una visual negativa sobre el primer punto intermedio (llamado punto de liga, y se
rotula PL1 en la figura), y se obtiene su elevación con la ecuación (4.5). El proceso
de tomar una visual positiva, seguida de una visual negativa, se repite una y otra
vez hasta que se termina el circuito. El video Differential Leveling (La nivelación
diferencial), que está disponible en el sitio de la red que acompaña a este libro,
muestra el proceso de nivelación diferencial y de toma de notas.
Como se muestra en el ejemplo de la figura 5.4, se requirieron cuatro emplazamientos del instrumento para terminar la mitad del circuito (la corrida desde el
BN Mil hasta el BN Roble). En la figura 5.5 se dan las notas de campo para el ejemplo de la figura 5.4. Como se ilustra en esta figura, para la nivelación diferencial
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
5.4 Nivelación diferencial 107
0.22
7.91
0.96
PL 2
0.46
PL 3
8.71
AI = 2046.36
AI = 2054.51
PL 1
11.72
BN Mil
Elev 2053.18
8.37
1.33
BN Roble
Nivel medio del mar
Figura 5.4
Nivelación
diferencial.
se usa una forma tabular para las notas de campo, y la adición y sustracción para
calcular las AI y las elevaciones se hacen directamente en las notas. Estas notas
también muestran los datos para la corrida de regreso desde el BN Roble hasta
el BN Mil para terminar el circuito. En la nivelación diferencial es importante
recorrer circuitos cerrados de modo que pueda verificarse la exactitud del trabajo,
como se estudiará más adelante. El video Differential Leveling Field Notes (Notas
de campo en la nivelación diferencial), que está disponible en el sitio de la red que
acompaña a este libro, muestra el proceso para escribir las notas de la nivelación
diferencial usando escritura de molde.
Como se observa, los puntos intermedios sobre los cuales se mantiene el
estadal al recorrer un circuito de nivelación diferencial se llaman Puntos de Liga
(PL). Se toman dos lecturas de estadal en cada uno, una visual negativa seguida
por una visual positiva. Los puntos de liga deben ser objetos sólidos con un punto elevado definido. La selección cuidadosa de puntos de liga estables es esencial
para alcanzar resultados exactos. Los pernos de nivelación de acero y las alcayatas para vías de ferrocarril clavadas en terreno firme resultan ser puntos de liga
excelentes si no se dispone de objetos permanentes adecuados.
En la nivelación diferencial, las distancias horizontales para las visuales positivas y negativas deben hacerse aproximadamente iguales, midiéndolas a pasos o
por mediciones de estadía (véase la sección 16.9.2), contando los tramos de riel si se
trabaja a lo largo de una vía férrea, contando las juntas de pavimentación si se trabaja a lo largo de una carretera, o por algún otro método fácil. De estos métodos, Las
lecturas de estadía son el método mas preciso, el cual se estudiará con más detalle.
Anteriormente, era común el uso de la estadía para el trazado de los mapas.
El método de la estadía determina la distancia horizontal a algún punto mediante el
uso de lecturas en los hilos superior e inferior (de estadía) en la retícula. El método
se basa en el principio de que en triángulos semejantes, los lados correspondientes
son proporcionales. En la Figura 5.6, que ilustra un telescopio con una lente simple,
los rayos de luz desde los puntos A y B pasan por el centro de la lente y forman un
par de triángulos semejantes AmB y amb. Aquí AB = I es la intercepción del estadal
(intervalo de estadía), y ab = i es la separación entre los hilos de estadía.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
108 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
Estación
NIVELES DIFERENCIALES
+
—
L.A.
A.I.
L.F.
Elev.
Elev.
ajust.
BN Mil.
1.33
2053.18
2053.18
2054.51
PL1
2046.36
0.96
PL3
0.46
8.37
2046.14
7.91
8.91
(0.008)
2039.41
2028.15
11.95
PL4
12.55
8.71
2027.69 2027.68
2019.44
2019.42
(0.022)
2.61
2041.33
2028.78 2028.76
(0.026)
12.77
0.68
2053.42
2040.65 2040.62
(0.030)
BN Mil.
0.21
Σ 5140.24
2038.45 2038.44
(0.016)
2031.33
PL5
2046.14
(0.012)
11.72
BN Roble
BN Mil. al BN Roble
(0.004)
0.22
PL2
CAMPUS DE LA UNIVERSIDAD DE LOS GRANDES LAGOS
2053.21
2053.18
Σ 52 40.21
BN Mil. en el campus de la UGL
SO del edificio de Ingeniería
9.4 pies al norte de la banqueta
hasta el gabinete de
instrumentos y 1.6 pies del
29 de septiembre de 2014
Despejado, cálido 70 °F
T.E. Henderson N
J.F. King Ø
D.R. Moore 

edificio en el concreto al ras
Nivel Lietz # 6
del disco de bronce del terreno,
grabado con “Mil”
BN Roble es un banco de nivel de
proyecto temporal ubicado en la
esquina de las calles Cerezo y Pino,
14 pies al oeste del laboratorio
de cómputo. Alcayata de veinte
peniques en el árbol de roble
de 18”, 1 pie arriba del terreno.
Error de cierre del circuito 5 2053.21 – 2053.18 5 0.03
n 5 0.02
7
Error de cierre permisible 5 0.02
5 0.05 pies
Verificación de página:
2053.18
Ajuste 5 0.03 5 0.004’ por cada valor de A.I.
7
1 40.24
2093.42
2 40.21
2053.21 Verificación
J.E. Henderson
Figura 5.5 Notas de la nivelación diferencial de la figura 5.4.
Los símbolos estándar que se usan en las mediciones de estadía y sus definiciones son los siguientes (refiérase a la Figura 5.6):
f = longitud focal de la lente (una constante para cualquier lente particular
con objetivo compuesto)
i = separación entre los hilos de estadía (ab en la Figura 5.6)
f/i = factor de intervalo de estadía, generalmente 100 y denotado por K
I = intercepción del estadal (AB en la Figura 5.6), también llamado intervalo de estadía
C
f
c
i
b
a
m
d
A
b´
I
a´
F
D
B
Figura 5.6
El principio de la
estadía
ALFAOMEGA
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5.4 Nivelación diferencial 109
c = distancia desde el centro del instrumento (eje vertical) al centro de
la lente del objetivo (varía ligeramente cuando se enfoca la lente del
objetivo para diferentes longitudes visuales pero generalmente se
considera como constante)
C = constante de estadía = c + f
d = distancia desde el punto focal F frente al telescopio hasta la cara del
estadal
D = distancia desde el centro del instrumento a la cara del estadal = C + d
De los triángulos semejantes de la figura 5.6
d I
=
f i
o d=
f
I = KI
i
Entonces
D 5 KI + C
(5.1)
La construcción geométrica que se ilustra en la figura 5.6 caracteriza a un
tipo simplificado de telescopio de enfoque externo. Se ha usado porque un dibujo
sin complicaciones muestra correctamente las relaciones y las ayudas para obtener
la ecuación de la estadía. Actualmente, estos telescopios son obsoletos en los instrumentos de topografía. La lente del objetivo de un telescopio de enfoque interno
(el tipo que ahora se usa en los instrumentos de topografía) permanece fijo en su
posición, mientras que un lente móvil de enfoque negativo entre la lente del objetivo y el plano de los hilos de la retícula cambia las direcciones de los rayos de luz.
Como resultado, la constante de estadía, (C), es tan pequeña que puede suponerse
igual a cero y se elimina de la ecuación (5,1). Entonces, la ecuación para la distancia en una visual de estadía horizontal se reduce a
D 5 KI
(5.2)
Los fabricantes de instrumentos generalmente espacian las líneas de estadía
fija en los teodolitos, los tránsitos, los niveles y las alidadas de modo que el factor
de intervalo de estadía f/i = K sea igual a 100. Deberá determinarse la primera
vez que se use un instrumento, aunque el valor específico del fabricante que está
colocado dentro del estuche de transporte no cambia a menos que los hilos de la
retícula, la retícula, o las lentes se reemplacen o se ajusten.
Para determinar el factor de intervalo de estadía K, se lee la intercepción del
estadal I para una visual horizontal con una distancia conocida D. Entonces, como
forma alterna de la ecuación (5.2), el factor de intervalo de estadía es K = D/I.
Como ejemplo, para una distancia medida de 300.0 pies, se leyó un intervalo de
estadal de 3.01. Entonces K = 300.0/3.01 = 99.7. La exactitud en la determinación
de K aumenta al promediar los valores para varias líneas cuyas longitudes medidas
varían de aproximadamente 100 a 500 pies con incrementos de 100 pies.
El lector deberá percatarse de que en la nivelación diferencial, las distancias
visuales reales al estadal no son importantes. Lo único que es necesario compensar
es el intervalo en el estadal en las visuales aditivas y sustractivas entre los bancos
de nivel para asegurarse de que las distancias visuales están compensadas.
La compensación de las distancias visuales positivas y negativas elimina
los errores debidos a un mal ajuste del instrumento (muy importante), así como los
efectos combinados de la curvatura de la Tierra y la refracción atmosférica, como
se ilustra en la figura 5.6, en la cual e1 y e2 son los errores combinados de curvatura
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
110 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
y de refracción para las visuales positiva y negativa, respectivamente. Como D1 y
D2 son iguales, e1 y e2 también son iguales. En los cálculos se suma e1, se resta e2 y
se eliminan ambos. El procedimiento de lectura de los tres hilos del instrumento se
conoce como la nivelación con tres hilos y se estudia en la sección 5.8.
La figura 5.7 también puede usarse para ilustrar la importancia de compensar las longitudes de las visuales si existe un error de colimación en la línea visual
del instrumento. Esta condición existe si después de nivelar el instrumento, la línea
visual no es horizontal. Suponga por ejemplo en la figura 5.7, que debido a que la
línea visual se dirige sistemáticamente por debajo de la horizontal, resulta un error
e1 en la visual positiva. Pero si D1 y D2 son iguales, resultará un error e2 (igual a e1)
en la visual negativa y las dos se cancelan, eliminando así el efecto del error del
instrumento. En terrenos inclinados puede ser un poco difícil equilibrar las longitudes de las visuales positivas y negativas, pero esto generalmente puede lograrse
siguiendo una trayectoria en zigzag. Debe recordarse que los errores de la curvatura de la Tierra, de refracción y de colimación son sistemáticos y que se acumulan
en las líneas de nivelación largas si no se tiene cuidado de compensar las distancias
visuales positivas y negativas.
Los bancos de nivel se describen en una libreta de registro la primera vez que
se usan y, posteriormente, sólo se anota como referencia el número de la página
en la que aparece su descripción. Ésta debe dar primero su ubicación general e
incluir las suficientes señas particulares que permitan a una persona que desconozca la región encontrar el banco con facilidad (véanse las notas de campo de
las figuras 5.5 y 5.12). Por lo regular, se da a los bancos de nivel un nombre que los
relacione con algún objeto prominente cercano que ayude a descubrir su ubicación, siendo preferible usar una sola palabra. Algunos ejemplos son BN Río, BN
Torre, BN Esquina y BN Puente. En trabajos extensos se asignan números consecutivos a los bancos de nivel, y esto tiene la ventaja de identificar lugares relacionados
a lo largo de una línea, pero los números se prestan más a equivocaciones al anotarlos. Las imágenes digitales del banco de nivel con una que muestre un acercamiento
del señalamiento y otra que muestre el horizonte del banco de nivel con el estadal
ubicado en el señalamiento a menudo pueden ayudar para la recuperación posterior del señalamiento.
Los puntos de liga se numeran también en forma consecutiva, pero no necesitan describirse a detalle por ser simplemente medios para lograr un fin; además,
raras veces exigen reubicarse. Sin embargo, cuando sea factible, conviene seleccionar puntos de liga que puedan reubicarse, ya que, en caso de tener que repetir un
trazo por errores cometidos previamente, se reducirá el trabajo de campo. Antes
de que una brigada de nivelación abandone el campo, deben efectuarse y anotarse
todas las comprobaciones posibles para detectar cualesquiera equivocaciones que
hubiere en los cálculos aritméticos y para verificar un cierre aceptable. La suma
algebraica de las lecturas positivas y negativas aplicada a la primera elevación debe
dar la última cota. Este cálculo verifica los valores de todas las alturas de instrumento y los puntos de liga, excepto cuando hayan ocurrido errores del tipo de
Figura 5.7
Equilibrio de las
distancias de las
visuales positiva y
negativa con objeto
de cancelar errores
por curvatura y
refracción.
ALFAOMEGA
Línea visual
Línea de nivel
Lectura aditiva (LA)
Lectura sustractiva (LS)
e1
D1
e2
D2
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
5.4 Nivelación diferencial 111
compensación. Cuando se efectúa para cada página izquierda de tabulaciones, se
le llama verificación de página. Por ejemplo, en la figura 5.5, nótese que la verificación de página se determina adicionando la suma de las lecturas hacia atrás (40.24)
a la elevación inicial (2053.18) y luego sustrayendo la suma de las lecturas hacia
adelante (40.21) para determinar 2053.21, valor que coincide con la cota final.
Como se enunció anteriormente, la nivelación siempre debe verificarse describiendo circuitos cerrados o lazos. Esto puede hacerse ya sea retornando al banco de nivel inicial, como se muestra con las notas de campo en la figura 5.5, o bien,
terminando el circuito en otro banco de igual o mayor confiabilidad. Si se verifica
un cierre retornando al banco inicial, la elevación final debe coincidir con la elevación en ese banco. La magnitud en que difieren esas elevaciones es el llamado error
de cierre. Observe que en la figura 5.5, el error de cierre fue de 0.03 pies.
Si el cierre se lleva a otro banco de nivel, el error de cierre de la sección es la
diferencia entre la elevación dada para ese banco y el valor logrado ahí después de
nivelar a lo largo del circuito. Las especificaciones o el objetivo del levantamiento
determinan el error de cierre permisible del recorrido (véase la sección 5.5). Si se
rebasa el error de cierre, deben hacerse uno o más recorridos adicionales. Cuando
se logra un cierre aceptable, las elevaciones finales se determinan efectuando un
ajuste (véanse las secciones 5.6 y 16.6).
Nótese que debe tenerse una nueva estación del instrumento antes de iniciar
el recorrido de regreso para tener una verificación completa. En la figura 5.5, por
ejemplo, se observó una lectura sustractiva de 8.71 en el BN Roble para terminar
el recorrido y se registró una lectura aditiva de 11.95 para iniciar el regreso, mostrándose así que se fijó una nueva estación del instrumento. De otra manera, un
error en la última lectura sustractiva se transporta a la primera lectura aditiva del
recorrido de regreso. Una mejor verificación se logra asociando el recorrido
de regreso a un banco de nivel diferente.
Si se conoce la elevación sobre un plano de referencia vertical específico (por
ejemplo, el NAVD88) del banco de nivel inicial, las elevaciones determinadas para
todos los puntos intermedios a lo largo del circuito también quedarán relacionadas
con ese mismo plano de referencia. Sin embargo, si no se conoce la elevación sobre el
plano de referencia del banco inicial, puede usarse un valor supuesto y todas las elevaciones convertirse posteriormente al plano de referencia a través de una constante.
Un lago o un estanque que no sufran alteraciones por el viento o por la llegada o salida de corrientes pueden hacer las veces de un gigantesco banco de nivel.
Deben usarse para este fin estacas clavadas al ras con la superficie del lago o de la
corriente, o bien, rocas cuyas superficies superiores tengan este nivel. Sin embargo,
este nivel hidráulico como punto de liga deberá usarse con precaución ya que los
cuerpos de agua generalmente fluyen hacia una salida y por tanto pueden tener
diferencias de elevación a lo largo de la superficie.
En trabajos importantes se utilizan a veces recorridos de nivelación con dobles
lecturas de estadal. En este procedimiento, las lecturas positivas y negativas se toman
en dos puntos de liga, empleando dos estadales desde cada estación del instrumento,
y se anotan en columnas separadas en la libreta de registro. Se logra una verificación
de cada estación del instrumento si llegan a concordar las AI para ambas líneas. Se
puede obtener el mismo resultado usando sólo un determinado grupo de puntos de
liga leyendo ambos lados de un estadal con dos caras, por ejemplo una en pies y otra
en metros. Estos estadales se usan frecuentemente en la nivelación de precisión.
En el sitio de la red que acompaña a este libro en http://libroweb.alfaomega.
com.mx/ se encuentran videos tutoriales que pueden descargarse. El video Differential Leveling Field Notes (Notas de campo en la nivelación diferencial), estudia el
proceso de la nivelación diferencial, de la anotación de las lecturas en las libretas de
campo, y de cómo ajustar un circuito sencillo de nivelación diferencial.
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112 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
■ 5.5 PRECISIÓN
En nivelación se incrementa la precisión repitiendo las mediciones, ligándolas con
frecuencia a puntos de control (bancos de nivel), usando equipo de alta calidad, manteniendo a éste correctamente ajustado y efectuando las mediciones cuidadosamente.
Sin embargo, aun haciendo éstas con mucho cuidado, siempre se tendrán errores en
el cierre de los circuitos, como se vio en la sección 5.4. Para determinar si el trabajo
realizado es o no aceptable, el error de cierre se compara con valores permisibles con
base en el número de estaciones, o bien, con la distancia recorrida. Varias instituciones decretan estándares de precisión basados en las necesidades de sus proyectos.
Por ejemplo, en un levantamiento sencillo podría usarse un error de cierre permisible
n, en donde n es el número de estaciones. Nótese que este criterio
de C 5 0.02 pies !
se aplicó en el circuito de nivelación de las notas de campo de la figura 5.5.
El Federal Geodetic Control Subcommittee (FGCS) recomienda la siguiente
fórmula para calcular los errores de cierre permisible:1
C 5 m !
K
(5.3)
en donde C es el error de cierre permisible en milímetros en el circuito o en la sección2, m es una constante y K es la longitud total del circuito nivelado en kilómetros. En los “lazos” (circuitos que empiezan y terminan en el mismo banco de nivel
o control), K es la distancia total del perímetro, y el FGCS especifica constantes de
4, 5, 6, 8 y 12 mm para las cinco clases de nivelación designadas, respectivamente,
como (1) clase I de primer orden, (2) clase II de primer orden, (3) clase I de segundo orden, (4) clase II de segundo orden, y (5) de tercer orden. En “secciones” las
constantes son las mismas, excepto que en nivelaciones de primer orden, clase I,
deben considerarse 3 mm y se aplican 4 mm a la clase II de primer orden. El orden
de precisión recomendado en particular para un tipo dado de proyecto se analizará
en la sección 19.8.
■ Ejemplo 5.2
Si se corre una nivelación diferencial desde un BN establecido en A hasta un punto
situado a 2 mi de distancia y se cierra al punto de partida con un error de 0.056 pies,
¿qué orden de nivelación representa esto?
Solución
0.056 pies
mm
0.00328 pies/mm
K 5 (2 mi 1 2 mi) × 1.61 km/milla 5 6.4 km
km
Según una variante de la ecuación (5.1),
1
El FGCS era anteriormente el FGCC (Federal Geodetic Control Committee). Sus especificaciones completas de nivelación están disponibles en un manual intitulado “Standards and Specifications for Geodetic Control Networks” (septiembre de 1984). Puede obtenerse información
sobre cómo obtener esta publicación y otras relacionadas en el siguiente sitio de la red: http://
www.ngs.noaa.gov. También pueden hacerse indagaciones por email en info_center@ngs.noaa.
gov, o escribiendo al National Geodetic Information Center, NOAA, National Geodetic Survey,
1315 East West Highway, Station 9202, Silver Spring, MD 20910; teléfono: (301) 713-3242.
ALFAOMEGA
2
Una sección consta de una línea de niveles que comienza en un banco de nivel, y cierra en
otro.
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5.6 Ajuste de los circuitos de nivelación simples 113
Esta nivelación cumple con el nivel de tolerancia permisible de 8 mm para
un trabajo de clase II de segundo orden, pero no cumple bien con el nivel de
6 mm para la clase I de segundo orden, y si se hubiera especificado ese estándar, el trabajo tendría que haberse repetido. Debe destacarse que aún cuando este
levantamiento cumple con la tolerancia de cierres de un levantamiento de clase
II de segundo orden tal como se especifica en los Standards and Specifications for
Geodetic Control Networks del FGCS (Estándares y especificaciones de las redes
de control geodésico de la FGCS), deben cumplirse otros requisitos antes de que
el levantamiento pueda certificarse para cumplir con algún nivel en los estándares.
Como la distancia nivelada es proporcional al número de emplazamientos
del instrumento, el criterio para el error de cierre puede especificarse usando esa
variable. Por ejemplo, si se dirigen visuales de unos 200 pies con emplazamientos a
cada 400 pies, se tendrán aproximadamente 8.2 emplazamientos por km. Para una
nivelación clase II de segundo orden, el error permisible de cierre será, de acuerdo
con la ecuación (5.1),
en donde C es el error de cierre permisible en milímetros y n el número de emplazamientos del instrumento.
Es importante señalar que el cumplimiento del criterio del FGCS del error
de cierre3 no garantiza por sí solo que se haya alcanzado cierto orden de exactitud.
Debido a los errores que se compensan, es posible, por ejemplo, que los instrumentos primitivos y las técnicas de orden bajo produzcan cierres de error pequeños, y
aun así las elevaciones intermedias a lo largo del circuito pueden contener errores
grandes. Para ayudar a asegurar que realmente se ha alcanzado un nivel dado de
exactitud, además de enunciar los errores de cierre permisibles, el FGCS también
especifica el equipo y los procedimientos que deben usarse para alcanzar un orden
dado de exactitud. Estas especificaciones identifican los requerimientos de calibración para los instrumentos de nivelación (incluyendo los estadales), y también se
esbozan los procedimientos de campo requeridos que deben usarse. Entonces, si
se ha alcanzado el error de cierre especificado para un orden dado de exactitud, al
tiempo que se emplean los instrumentos y los procedimientos apropiados, puede
esperarse razonablemente que todas las elevaciones intermedias a lo largo del circuito se establezcan para ese orden.
Los procedimientos de campo especificados por el FGCS incluyen holguras
mínimas en el terreno para la línea visual, diferencias permisibles entre las longitudes
de los pares de distancias hacia atrás y hacia adelante, y las longitudes máximas de
las visuales. Como ejemplos, se permiten longitudes visuales no mayores de 50 m
para la clase I de primer orden, mientras que se permiten longitudes de hasta 90 m para
el tercer orden. Como se menciona en la sección 5.8, la estadía es un método conveniente para medir las longitudes de las visuales hacia atrás y hacia adelante para verificar su aceptación. El lector deberá consultar las referencias listadas al final de este
capítulo sobre más información sobre los requisitos especificados en los estándares.
■ 5.6 AJUSTE DE LOS CIRCUITOS DE NIVELACIÓN SIMPLES
Como los errores de cierre permisibles se basan en la longitud de las líneas o en
el número de emplazamientos del nivel, es lógico ajustar las cotas de acuerdo con
3
Puede obtenerse un listado completo de las especificaciones para realizar nivelaciones de
control geodésico en http://www.ngs.noaa.gov/FGCS/tech_pub/1984-stds-specs-geodeteic-controlnetworks.htm
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ALFAOMEGA
114 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
estos valores. En la figura 5.8 se indican para un circuito o trayectoria cerrada las
diferencias de elevación d y las longitudes de las líneas L. El error de cierre, determinado por la suma algebraica de las diferencias de elevación, es de 10.24 pies. Si
se suman las longitudes de las líneas se alcanza una longitud total del circuito de
3.0 mi. Los ajustes de elevación son entonces iguales al producto de (0.24 pies/3.0)
por las longitudes correspondientes en millas, operación que da: 20.08, 20.06,
20.06 y 20.04 pies, (como se muestra en la figura). Las diferencias de elevación
ajustadas (mostradas en negro) se usan para determinar las elevaciones finales
de los bancos de nivel (también mostradas en negro en la figura). Cualquier error
de cierre que no cumpla con las tolerancias puede necesitar la repetición de la
nivelación en vez de hacer un ajuste simple. En la figura 5.5 se hizo el ajuste por
error de cierre con base en el número de emplazamientos del instrumento. Entonces, después de verificar que el error de cierre de 0.03 pies quedó dentro de
la tolerancia especificada, la corrección por emplazamiento aparece de 0.03/7
5 0.004 pies. Como los errores de nivelación se acumulan, la primera estación
recibe una corrección de 1 3 0.004, la segunda 2 3 0.004, etc. Las correcciones se
muestran en paréntesis encima de cada elevación sin ajuste en la figura 5.5. Sin
embargo, las elevaciones corregidas se redondean al centésimo más cercano a 1
pie. A veces se corren circuitos de nivelación con diferentes longitudes y rutas desde
puntos de referencia salteados para tener la elevación de un banco de nivel. Luego
puede calcularse el valor más probable de la elevación del banco de nivel partiendo
del promedio ponderado de las mediciones, variando los pesos relativos en razón
inversa de las longitudes de las líneas.
Al correr circuitos de nivelación, especialmente los largos, se recomienda
usar algunos de los puntos de liga o bancos de nivel de la primera parte del circuito
en la corrida de retorno. Esto crea un circuito multienlazado, de manera que si se
tienen grandes errores o equivocaciones, éstos se pueden localizar refiriéndolos a
uno de los lazos más pequeños. Así se ahorra tiempo, ya que sólo necesita recorrerse de nuevo el lazo más pequeño que contiene el error.
Aunque el procedimiento de los mínimos cuadrados es el mejor método para
ajustar circuitos con dos o más lazos (véase la sección 16.6), puede emplearse también un procedimiento aproximado, en el cual cada lazo se ajusta por separado,
empezando con el más alejado del banco de nivel de cierre.
■ 5.7 NIVELACIÓN RECÍPROCA
Los accidentes topográficos como ríos, lagos y cañadas, hacen difícil o imposible
mantener cortas e iguales las longitudes de las visuales positivas o negativas. En
tales casos se puede emplear la nivelación recíproca.
Como se ilustra en la figura 5.9, el nivel se sitúa sobre una de las márgenes
de una corriente, en X, cerca de A y se toman lecturas de estadal en los puntos A y
A
L=
0
d = .5 mi
_
7
_ .31
_ 0.04
7.3
5
D
107.35
s
36
5. 6 pie
+ .0
_ 0 .42 i
5
m
+
7
0.
=
L
ALFAOMEGA
100.00
B
=
Figura 5.8
Ajuste de un
circuito de
nivelación con
base en la longitud
de las líneas.
110.52
d
.52
+ 10 08
_ 0.
pies
.60
+ 10
i
m
d=
1.0
L=
L = 0.8 mi
d = _ 8.47
_ 0.06
_ 8.53
C
115.88
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5.8 Nivelación con tres hilos 115
B. Como la visual XB es muy larga, se hacen varias lecturas para promediarlas. Se
realiza lo anterior tomando una lectura girando los tornillos niveladores de manera que se desnivele el instrumento; luego se vuelve a nivelar y se toma nuevamente
otra lectura. Se repite el procedimiento dos, tres, cuatro o más veces, y luego se
traslada el instrumento a Y, en donde se sigue el mismo método.
Las dos diferencias de elevación entre A y B determinadas con el instrumento primero en X y luego en Y pueden no concordar, debido a la curvatura y a la
refracción, así como a los errores personales e instrumentales. Sin embargo, en el
procedimiento aquí esbozado, la visual larga de X a B se compensa con la visual
larga de Y a A. Así el promedio de las dos diferencias de elevación cancela los
efectos de la curvatura, la refracción y los errores instrumentales, de modo que el
resultado se acepta como el valor correcto si es satisfactoria la precisión de las dos
diferencias. Las demoras en X y Y deben minimizarse debido a que la refracción
varía con las condiciones atmosféricas cambiantes.
■ 5.8 NIVELACIÓN CON TRES HILOS
Como su nombre lo indica, la nivelación con tres hilos consiste en hacer lecturas
en el estadal con los hilos superior, medio e inferior. Antiguamente se usó principalmente para trabajos de precisión, pero ahora es común en proyectos que exigen
sólo precisión ordinaria. El método tiene las siguientes ventajas: (1) permite verificaciones respecto a equivocaciones en las lecturas, (2) se obtiene mayor precisión
al promediarse los valores de tres lecturas, y (3) proporciona mediciones de estadía de longitud de visuales para ayudar en el balanceo de distancias determinadas
con lecturas hacia atrás y hacia adelante (la estadía se analiza en la sección 16.9.2).
En el procedimiento de los tres hilos, la diferencia entre las lecturas del hilo superior y del hilo medio se compara con la diferencia entre los valores medio e inferior.
Éstos deben coincidir dentro de una o dos de las unidades más pequeñas registradas (generalmente 0.1 o 0.2 de la menor graduación del estadal); si no es así, las
lecturas deben repetirse. En realidad, se usa un promedio de las tres lecturas y una
verificación del cálculo debe dar un valor muy cercano al del hilo medio. Como
se observa en la sección 5.4, la diferencia entre las lecturas de los hilos superior e
inferior, multiplicada por la constante mayor de estadía del instrumento (véase la
sección 16.9.2), da la distancia al estadal o longitud de la visual. En la nivelación,
las distancias a menudo no son importantes. Lo que es importante es que la suma
A
X
B
Y
Figura 5.9
Nivelación
recíproca.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
116 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
de las visuales positivas sea aproximadamente igual a la suma de las visuales negativas, lo que elimina errores debidos a la curvatura, la refracción y la colimación.
Una muestra de registro de campo para el método de lectura de tres hilos se
ilustra en la figura 5.10. Las lecturas hacia atrás en el BN A de 0.718, 0.633 y 0.550 m,
se alcanzan con los hilos superior, medio e inferior, respectivamente; éstas dan
las diferencias superior e inferior (multiplicadas por 100) de 8.5 y 8.3 m, que están
dentro de la tolerancia aceptable. La lectura total de estadía conseguida para la
visual hacia atrás (o sea, la suma de las diferencias o intervalos superior e inferior)
da 16.8 m. El promedio de las tres lecturas hacia atrás en el BN A, que es 0.6337 m,
concuerda dentro de 0.0007 m con la lectura del hilo miedo. La distancia de estadía
hacia adelante de 15.9 m en este emplazamiento difiere en 0.9 m de la distancia de
estadía hacia atrás y, por tanto, es satisfactoria. La AI (104.4769 m) para el primer
emplazamiento se determina sumando el promedio de las lecturas hacia atrás a
la elevación del BN A. Si se resta el promedio de las lecturas hacia adelante en
PL1, se obtiene su elevación (103.4256 m). Este proceso se repite en cada emplazamiento. El video Precise leveling (Nivelación de precisión), que está disponible
en el sitio de la red que acompaña a este libro, describe la lectura de un estadal
de precisión con un micrómetro de placas paralelas y la creación de las notas de
nivelación con tres hilos.
■ 5.9 NIVELACIÓN DE PERFIL
Antes de que los ingenieros puedan diseñar apropiadamente instalaciones lineales
tales como carreteras, ferrocarriles, líneas de transmisión, acueductos, canales, sistemas de alcantarillado y válvulas de agua potable, necesitan información exacta
acerca de la topografía a lo largo de las rutas propuestas. La nivelación de perfil,
que proporciona las elevaciones de los puntos definidos a lo largo de la línea de
referencia, provee los datos necesarios. Las siguientes subsecciones estudian los
temas pertinentes a la nivelación de perfil e incluyen el estacamiento y la fijación
de las estaciones en la línea de referencia, procedimientos de campo para la nivelación de perfil, y el dibujo y uso del perfil.
ALFAOMEGA
5.9.1 El estacado y el establecimiento de estaciones
en la línea de referencia
Dependiendo del proyecto específico, la línea de referencia puede ser un segmento
recto individual, como en el caso de un ramal corto de alcantarillado; una serie
de segmentos rectos conectados que cambian de dirección en los puntos de los
ángulos, como es el caso de las líneas de transmisión; o de segmentos rectos unidos
por curvas, lo que ocurre con las carreteras y los ferrocarriles. Normalmente, el
alineamiento requerido para cualquier instalación propuesta habrá sido seleccionado como el resultado de un diseño preliminar, el cual generalmente se basa en
un estudio de mapas y fotografías aéreas existentes. Muy frecuentemente el alineamiento de referencia será el eje central propuesto para la construcción, aunque
con frecuencia se usan líneas de referencia desplazadas.
Para estacar la línea de referencia propuesta, deberán establecerse primero
los puntos clave tales como los puntos inicial y final, así como los puntos de los
ángulos. Entonces se colocarán en la línea las estacas intermedias, generalmente
a intervalos de 100 pies si se usa el sistema inglés de unidades, pero algunas veces
se usa un espaciamiento más corto. Si se usa el sistema métrico, generalmente las
estacas se colocan con un espaciamiento de 10-, 20-, 30- o 40- m, dependiendo de
las condiciones. Las distancias de los estacamientos se pueden medir con cinta,
o pueden medirse usando el componente de medición electrónica de distancias
(MED) de un instrumento de estación total que opere en el modo de rastreo
(véanse las secciones 8.2 y 23.9).
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
5.9 Nivelación de perfil
117
NIVELACIÓN CON LECTURA DE TRES HILOS
CAMINO DEL LAGO TAYLOR
+
—
Estación
Visual
Estadía
Visual
Estadía
Elev.
BN A
103.8432
0.718
1.131
0.633
8.5
1.051
8.0
+0.6337
0.550
8.3
0.972
7.9
104.4769
3 1.901
16 8 3
3 3.154
15.9
—1.0513
+0.6337
—1.0513
1.151
1.041
PL1
103.4256
3
1.082
6.9
0.969
7.2
+1.0820
1.013
6.9
0.897
7.2
104.5076
14.4
—0.9690
3.246
13.8 3
2.907
+1.0820
—0.9690
1.908
1.264
PL2
103.5386
3
1.841
6.7
1.194
7.0
+1.8410
1.774
6.7
1.123
7.1
105.3796
5.523
13.4 3
3.581
14.1
—1.1937
+1.8410
—1.1937
13.5567
comprobación
2 3.2140
BN B
104.1859
Comprobación de página:
103.8432 +3.5567
-3.2140 = 104.1859
Figura 5.10
Ejemplo de registro
para nivelación
con lectura de tres
hilos.
En el levantamiento de ruta se usa un sistema llamado establecimiento de
estaciones para especificar la posición horizontal relativa de cualquier punto a lo
largo de la línea de referencia. Generalmente, el punto inicial se designa con algún
valor arbitrario, por ejemplo en el sistema inglés de unidades, 10 1 00 o 100 1 00,
aunque puede usarse 0 1 00. Si el punto inicial fuera 10 1 00, una estaca a 100 pies
a lo largo de la línea desde éste, se designaría como 11 1 00, la otra a 200 pies a lo
largo de la línea 12 1 00, etc. Se aplica el término estación completa a cada uno de
estos puntos colocados a incrementos de 100 pies. Éste es el incremento acostumbrado para el estacado en las áreas rurales. Un punto ubicado entre dos estaciones
completas, digamos 84.90 pies más allá de la estación 17 1 00, sería designado
como 17 1 84.90. Así, la posición de los puntos intermedios se especifica con la
estación completa precedente más cercana y sus así llamados sobrantes. Para
la estación 17 1 84.90, el sobrante es 84.90. Si se usa el sistema métrico, las estaciones completas están separadas 1 km (1 000 m). El punto inicial de una línea de
referencia puede designarse arbitrariamente como 1 1 000 o 10 1 000, pero nuevamente podría usarse 0 1 000. En las áreas rurales, normalmente los puntos intermedios se colocan a incrementos de 30- o 40- m a lo largo de la línea, y nuevamente se
designan por sus sobrantes. Si el punto inicial fuera 1 1 000, y las estacas se colocaran a intervalos de 40 m, entonces se establecería 1 1 040, 1 1 080, 1 1 120, etcétera.
En terreno escarpado y en situaciones urbanas, normalmente las estacas se
colocan más juntas, por ejemplo a medias estaciones (incrementos de 50 pies) o
aun cuartos de estación (incrementos de 25 pies) en el sistema inglés de unidades.
En el sistema métrico, las estacas se colocan a incrementos de 20-, 10- o aun 5 m.
El establecimiento de estaciones no solamente proporciona un método exacto y conveniente para especificar la posición de los puntos a lo largo de la línea
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
118 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
de referencia, sino que también da la distancia entre los puntos. Por ejemplo, en
el sistema inglés las estaciones 24 1 18.3 y 17 1 84.9 están separadas (2 418.3 2
1 784.9), o sea 633.4 pies, y en el sistema métrico las estaciones 1 1 120 y 2 1 040
están separadas 920 m.
5.9.2 Procedimientos de campo para la nivelación de perfil
La nivelación de perfil consiste simplemente en una nivelación diferencial con la
adición de visuales intermedias hacia adelante (visuales sustractivas) tomadas en
puntos requeridos a lo largo de la línea de referencia. La figura 5.11 ilustra un
ejemplo del procedimiento de campo, y las notas de la figura 5.12 se relacionan con
este ejemplo. El establecimiento de las estaciones en el ejemplo se hace en pies.
Como se muestra en la figura, el instrumento de nivelación generalmente se coloca
en una posición conveniente y se toma una visual aditiva de 10.15 pies en el banco
de nivel. La suma de esto a la elevación del banco de nivel da una AI de 370.63
pies. Entonces se toman visuales sustractivas intermedias en puntos a lo largo del
perfil en estaciones tales como 0 1 00, 0 1 20, 1 1 00, etc. (Si el inicio de la línea de
referencia está muy alejado del banco de nivel, puede ser necesaria una corrida
de niveles diferenciales a través de varios puntos de liga para poner al instrumento
en posición para comenzar a tomar visuales sustractivas intermedias en la línea del
perfil.) Observe que el formato de notas para la nivelación de perfil contiene los
mismos encabezados de columna que en el caso de la nivelación diferencial, pero
está modificado para incluir otra columna rotulada como “Visual intermedia”.
Cuando las distancias de las visuales intermedias son demasiado largas, o si
las variaciones del terreno o la vegetación obstruyen las lecturas del estadal, debe
moverse el instrumento de nivelación. Esto se hace estableciendo un punto de liga,
como el PL1 en la figura 5.11. Después de leer una visual sustractiva en el punto de
liga, el instrumento se mueve hacia adelante a un buen punto bien escogido para
leer la visual hacia atrás en el punto de liga, así como para tomar lecturas adicionales del estadal a lo largo de la línea de perfil que está adelante. El instrumento se
nivela, se toma la visual aditiva en el PL1, se calcula la nueva AI, y se toman más
visuales intermedias. Este procedimiento se repite hasta que se completa el perfil.
Ya sea que las estaciones se establezcan en pies o en metros, generalmente
se toman visuales intermedias en todas las estaciones completas. Si se establecen
las estaciones en pies y el área del levantamiento está en un terreno escarpado
o en un área urbana, las especificaciones pueden requerir que también se tomen
lecturas a la mitad de las estaciones e incluso a un cuarto de éstas. Si se establecen las estaciones en metros, dependiendo de las condiciones, pueden tomarse
visuales intermedias en incrementos de 40-, 30-, 20- o 10- m. En cualquier caso,
también se toman visuales en puntos altos o bajos a lo largo del alineamiento, así
como en los cambios de pendiente.
Siempre deberán tomarse visuales intermedias también en puntos “críticos”,
tales como vías de ferrocarril, ejes centrales de carreteras, cunetas y zanjas de drenaje. Como se presenta en la figura 5.12, normalmente sólo se toman lecturas de estadal
con una aproximación de 0.1 pies (sistema inglés) o con aproximación a centímetros
(sistema métrico) donde el estadal se mantenga en el suelo, pero en los puntos críticos, y para todas las visuales aditivas y sustractivas que se tomen en los puntos de
liga y en los bancos de nivel, las lecturas se registran hasta la centésima de pie más
cercana (sistema inglés) o hasta el milímetro más cercano (sistema métrico).
En la nivelación de perfil, varían las longitudes de las visuales sustractivas
intermedias, y en general no serán iguales a la longitud de la visual aditiva. Entonces ocurrirán errores debido a una línea visual inclinada, así como a la curvatura
y a la refracción. Ya que los errores provenientes de estas fuentes aumentan al
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
0
1
2
3
4
4.6
2.2
1.2
3.9
4.4
5.26
2.56
8.4
10.66
5
6
BN
Tienda
Elev 363.01
7
8
9 9 + 43.2
Estaciones
Estación
BN
Camino
0+00
+
Visual 1
10.15
NIVELES DEL PERFIL
—
Visual
AI
Visual intermedia
(370.62)
370.63
9.36
Elev.
360.48
361.26
9.8
1+00
6.5
364.1
2+00
4.3
366.3
360.8
2+60
3.7
366.9
3+00
7.1
363.5
3+90
11.7
358.9
4+00
11.2
359.4
9.5
361.1
PL1
(366.48)
7.34
11.47
366.50
5+00
359.16
8.4
358.1
5+54
11.08
355.40
5+74
10.66
355.82
5+94
11.06
355.42
10.5
356.0
6+00
7+00
PL2
(362.77)
2.56
4.4
368.80
5.26
362.1
361.24
8+00
1.2
362.6
9+00
3.9
359.9
9+25.2
3.4
360.4
9+25.3
4.6
359.2
9+43.2
2.2
BN Tienda
Σ 20.05
0.76
Σ 17.49
Figura 5.11
Nivelación de
perfil.
BN CAMINO AL BN TIENDA
0+20
4+35
119
0.76
PL 2
11.06
11.2
PL 1
11.08
BN
Camino
Elev 360.48
7.34
11.7
3.7
7.1
4.3
10.15
9.36
9.8
AI = 370.63
6.5
9.5
11.47
5.9 Nivelación de perfil
361.6
363.04
(363.01)
BN Camino a 3 millas de los arces. Al SO de Minneapolis
200 yardas al norte del desnivel en la carretera 169
de la calle Pino
40 pies al este del eje central
6 de octubre de 2014
de la carretera 169 en la parte
superior del poste de concreto
número 268 del camino.
Eje central de la carretera
Frío, soleado, 50 °F
169, “X” pintada
Zanja de drenaje al oeste
R. J. Hintz N
N. R. Olson Ø

R. C. Perry 
Cumbre
Nivel Wild # 3
Columpio
Cumbre
Comprobación página:
Cuneta E, calle Arce
+20.05
Eje central de la calle Arce
-17.49
Cuneta al oeste, calle Arce
+2.56
360.48
363.04
Cumbre 363.04 - 363.01 = error de cierre = 0.03
A
I
OP
C
Parte superior de la guarnición E, calle Olmo
Fondo de la guarnición E, calle Olmo
Eje central de la calle Olmo
BN Tienda. Esquina NE de calle Olmo y esquina SE de la 4ª
avenida
Zapata de cimentación de la tienda. 3” del disco de bronce
asentado en lechada.
elevación del BN Tienda = 363.01
R. D. ScmB
Figura 5.12 Notas de la nivelación de perfil de la figura 5.11.
aumentar las longitudes de las visuales, para trabajos importantes deberán revisarse las condiciones de ajuste del instrumento (véase la sección 4.15), y deberán
evitarse las distancias excesivamente largas intermedias hacia adelante.
La Altura del Instrumento (AI) y las elevaciones de todos los puntos de liga
se calculan inmediatamente después de cada visual aditiva y visual sustractiva. Sin
embargo, las elevaciones para las visuales sustractivas intermedias no se calculan
hasta después de cerrar el circuito ya sea en el banco de nivel inicial o en otro.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
120 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
Entonces se calcula el error de cierre del circuito, y si es aceptable, se hace un ajuste
y se calculan las elevaciones de los puntos intermedios. El procedimiento se describe en la siguiente subsección.
Al igual que en la nivelación diferencial, deberá hacerse la verificación de
página para cada hoja del lado izquierdo. Sin embargo, en la nivelación de perfil,
las visuales sustractivas intermedias no intervienen en este cálculo. Como se ilustra
en la figura 5.12, la verificación de página se hace sumando la suma algebraica de
la columna de visuales aditivas y la columna de visuales sustractivas a la elevación
inicial. Esto deberá ser igual a la última elevación tabulada en la página, ya sea
para un punto de liga o para el último banco de nivel si ése fuera el caso, como lo
es en el ejemplo de la figura 5.12.
5.9.3 Trazo y utilización de la nivelación de perfil
Antes de trazar el perfil, es necesario calcular primero las elevaciones a lo largo
de la línea de referencia a partir de las notas de campo. Sin embargo, esto no se
puede hacer sin antes haber hecho la distribución de cualquier error de cierre en
el circuito de nivelación. En el proceso de ajuste, las AI son ajustadas debido a que
éstas afectarán las elevaciones calculadas del perfil. El ajuste se hace progresivamente en proporción al número total de las AI en el circuito. El procedimiento
se ilustra en la figura 5.12, en donde el error de cierre fue de 0.03 pie. Puesto que
aquí fueron tres AI, la corrección aplicada a cada uno es 20.03/3 5 20.01 pies
por AI. Así, una corrección de −0.01 pies se aplicó a la primera AI, −0.02 pies a la
segunda y −0.03 pies a la tercera. Las AI ajustadas se muestran en la figura 5.12
entre paréntesis, arriba de sus valores no ajustados. No es necesario corregir las elevaciones de los puntos de liga, ya que éstos no son significativos. Después de ajustar
las AI, las elevaciones del perfil se calculan restando las visuales sustractivas intermedias de sus correspondientes AI ajustadas. El perfil se traza entonces graficando
las elevaciones en el eje de las ordenadas y las estaciones correspondientes en el
eje de las abscisas. Uniendo los puntos adyacentes graficados, se obtiene el perfil. A
menudo, estos perfiles se generan automáticamente del software de CADD usando solamente el alineamiento de la estructura y un mapa topográfico superpuesto.
En los perfiles trazados, generalmente se exagera la escala vertical del perfil
con respecto a la escala horizontal, para hacer más notables las diferencias en elevación. A menudo se usa la relación de 10:1, pero lo abrupto del terreno determina
la relación más conveniente. Así, para una escala horizontal de 1 plg 5 100 pies, la
escala vertical podría ser de 1 plg 5 10 pies. Debe indicarse claramente la escala que realmente se utilice. El perfil así trazado se usa para varios fines, tales como:
(1) la determinación de las alturas o profundidades de corte o de relleno en las
terracerías de una carretera, una vía férrea o un aeropuerto en proyecto; (2) el
estudio de los problemas de cruzamiento de pendientes; y (3) la investigación y
selección de la característica más económica de las siguientes: pendiente, localización y profundidad de drenajes, tuberías, túneles, canales y otras obras.
La pendiente (llamada también porcentaje de inclinación o gradiente) es el
ascenso o descenso vertical en pies por cada 100 pies, o en metros por cada 100 m.
Así, una pendiente de 2.5% significa que hay una diferencia de elevación de 2.5
pies por 100 pies en sentido horizontal. Las pendientes ascendentes son positivas,
y las descendentes negativas. En la figura 5.13 se ilustra una línea de pendiente
de 20.15%, seleccionada para dar cortes y rellenos aproximadamente iguales. A
lo largo de esta línea de pendiente, las elevaciones descienden según la tasa de
0.15 pies por cada 100 pies. La pendiente comienza en la estación 0 1 00 donde
aproximadamente corta al terreno existente a la elevación 363.0 pies, y termina en
la estación 9 1 43 y la elevación 361.6 pies donde nuevamente corta al terreno exisALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
5.12 Clases de errores en nivelación
121
tente. El procedimiento para el estacado de pendientes se describe en el capítulo 23.
El término pendiente también se usa para denotar la elevación de la superficie terminada de un proyecto de ingeniería.
■ 5.10 NIVELACIÓN PARA CUBICACIONES
La nivelación para cubicaciones es un método para determinar contornos (véase
la sección 17.9.3). Se lleva a cabo subdividiendo una superficie en cuadrados de 10,
20, 50, 100 o más pies (o longitudes comparables en metros) y determinando las
elevaciones de sus esquinas por medio de nivelación diferencial. Puede ser más
conveniente efectuar la subdivisión en bloques rectangulares, de 50 por 100 pies
o de 20 por 30 m, que tengan sus lados largos paralelos a la dirección de las curvas
de nivel, sobre todo en terrenos con pendientes muy pronunciadas. El tamaño de
la retícula que se escoja depende de la extensión del proyecto, de lo abrupto del
terreno y de la precisión necesaria.
El mismo proceso, llamado nivelación de zanja de préstamo, se emplea en
proyectos de construcción para determinar las cantidades de tierra, grava, roca u
otros materiales que deben excavarse o usarse como relleno. Este procedimiento
se estudiará en la sección 26.10 y en la lámina B.2.
■ 5.11 USO DEL NIVEL DE MANO
El nivel de mano puede usarse en algunos tipos de trabajos de nivelación si es suficiente un orden bajo de exactitud. El operador del instrumento toma una lectura
positiva y una negativa estando en una ubicación dada, y luego se desplaza hacia
adelante para repetir el procedimiento. Un nivel de mano es útil, por ejemplo, en
seccionamientos para determinar algunas lecturas de estadal adicionales sobre un
terreno inclinado, en donde podría necesitarse un punto de liga.
■ 5.12 CLASES DE ERRORES EN NIVELACIÓN
Todas las mediciones de nivelación están sujetas a tres clases de errores: (1) instrumentales, (2) naturales y (3) personales. En las siguientes subsecciones se resume
esta clase de errores.
5.12.1 Errores instrumentales
Línea de visual. Como se describe en la sección 4.15, un instrumento de
nivelación bien ajustado que emplee un nivel de burbuja deberá tener la
375
Pendiente −0.15%
361.6
Perfil
Carretera 169 a calle Olmo
Calle Olmo
370
365
Elevación (pies)
360
355
350
345
340
335
330
325
0
1
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
2
3
4
5
6
7
9
8
10
Estaciones Escala horizontal: 1 plg = 200 pies
Escala vertical: 1 plg = 20 pies
Figura 5.13
Gráfica de un
perfil.
ALFAOMEGA
122 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
línea visual o de colimación paralela al eje o directriz del nivel de burbuja.
Entonces, con la burbuja centrada, al girar el anteojo describirá un plano
horizontal y no una superficie cónica. También, si los compensadores de
los niveles automáticos están operando adecuadamente, deberán producir siempre una línea visual realmente horizontal. Si no se cumplen estas
condiciones, existe un error de línea visual (o de colimación), y pueden
tenerse errores serios en las lecturas de estadal. Estos errores son sistemáticos, pero se cancelarán en la nivelación diferencial si las longitudes
horizontales de las visuales positivas y negativas se mantienen iguales.
El error puede ser serio al subir o bajar por una pendiente empinada, en
la que todas las lecturas positivas son mayores o menores que todas las
lecturas negativas, excepto si se tiene cuidado de llevar la línea en zigzag.
El tamaño del error de colimación, , se puede determinar con un sencillo
procedimiento de campo [véase la ecuación (4.14) y la sección 4.15.5]. Si
las lecturas hacia atrás y hacia adelante no se pueden compensar, entonces puede hacerse una corrección por este error.
Para aplicar la corrección por colimación, el valor de  de la ecuación
(4.14) se divide entre la longitud de los espacios entre estacas adyacentes en la figura 4.20. Esto proporciona el factor de corrección por colimación en unidades de pies por pie, o metros por metro. Entonces, para cualquier visual hacia atrás o hacia adelante, la corrección que debe restarse a
la lectura del estadal se obtiene multiplicando la longitud de la visual
por este factor de corrección. Como ejemplo, suponga que la distancia
entre estacas en el ejemplo 4.3 fue de 100 pies. Entonces el factor de corrección de colimación es 0.010/100 5 0.0001 pie/pie. Suponga que se obtuvo
una lectura de 5.29 pies para una visual hacia atrás de 200 pies de longitud
con este instrumento. Entonces la lectura corregida del estadal sería 5.29 2
(200 3 0.0001) 5 5.27. Como se estudia en la sección 19.13, cuando se usa
el procedimiento de nivelación de tres hilos, el intervalo en el estadal determinado por la diferencia en los hilos superior e inferior puede usarse para
determinar el factor de corrección por colimación. El video Determining the
Collimation Factor of a Level (Cómo determinar el factor de colimación
de un nivel), que está en el sitio de la red acompañante de este libro, muestra el procedimiento como se estudia en la sección 19.13.
La retícula de hilos no está exactamente en posición horizontal. Si se lee el
estadal cerca del centro del hilo horizontal, se eliminará o minimizará este
error potencial. El video Checking the Cross Hairs (Cómo revisar los hilos
de la retícula), que está disponible en el sitio de la red acompañante de
este libro, muestra el procedimiento para revisar el hilo horizontal.
Longitud incorrecta del estadal. Las divisiones inexactas en un estadal ocasionan errores en la medición de las diferencias de elevación similares a
los derivados del marcaje incorrecto en una cinta de medición. El desgaste
uniforme de la parte inferior del estadal da como resultado valores de AI
muy grandes, pero el efecto se cancela cuando este error figura tanto en
las lecturas positivas como en las negativas. Las graduaciones del estadal
deben verificarse comparándolas con las de una cinta estandarizada.
Las patas del tripié están flojas. Cuando los tornillos de las patas del tripié
están flojos o muy apretados, permiten que haya movimientos o deformaciones que afectan a la base nivelante del instrumento. Si las zapatas
metálicas del tripié están flojas, ocasionan emplazamientos inestables. El
video Checking the Tripod (Cómo revisar el tripié), que está disponible
en el sitio de la red acompañante de este libro, muestra el procedimiento
para revisar el hilo horizontal.
ALFAOMEGA
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5.12 Clases de errores en nivelación
123
5.12.2 Errores naturales
Curvatura de la Tierra. Como se hizo notar en la sección 4.4, una superficie a
nivel se aparta del plano horizontal a razón de 0.667 M2 o 0.0785 K2, que
es aproximadamente 0.7 pies/milla u 8 cm/km. El efecto de la curvatura
de la Tierra es incrementar la lectura del estadal. Si se igualan las longitudes de las visuales positivas y negativas en la nivelación diferencial se
cancela el error debido a esta causa.
Refracción. Los rayos de luz que llegan desde un objeto hasta el anteojo
sufren una desviación que hace de la línea visual una curva cóncava hacia
la superficie terrestre, lo que tiene como efecto disminuir la lectura del
estadal. Al equilibrar las longitudes de las visuales positivas y negativas
se eliminan por lo general los errores debidos a la refracción. No obstante, cambios grandes y súbitos que experimente la refracción atmosférica
pueden ser importantes en trabajos de precisión. Los errores debidos a la
refracción tienden a ser aleatorios en un intervalo de tiempo prolongado,
pero podrían ser sistemáticos durante el trabajo diario. Además, debido
al microclima cercano a las superficies, lo mejor es mantener una línea
visual que no se aproxime a más de 1.5 pies o 0.5 m de cualquier superficie.
Variación de la temperatura. El calor ocasiona que se dilaten los estadales,
pero el efecto de esto no es importante en la nivelación ordinaria. Si se
calienta el tubo del nivel de burbuja, el líquido se dilata y la burbuja
se acorta. Esto no da origen a error (aunque puede resultar inconveniente), a no ser que se caliente más un extremo del tubo que el otro
y la burbuja se mueva. Las demás partes del instrumento se deforman
ligeramente a causa del calentamiento no uniforme, y esta deformación
afectará los ajustes. Si se protege el nivel utilizando una cubierta cuando
se transporta de un lugar a otro, y con una sombrilla cuando está emplazado, se reducen o eliminan los efectos del calor. Estas precauciones deben
observarse en las nivelaciones de precisión.
La reverberación del aire por el calor que se produce cerca de la superficie del terreno o de objetos calientes hace que el estadal parezca estar
ondulando e impide lograr lecturas precisas. Para reducir este efecto
se eleva la línea visual, emplazando el instrumento lo más alto posible,
tomando visuales cortas y evitando que las visuales pasen cerca de fuentes
de calor (como son edificios y chimeneas), y empleando la amplificación
más baja de un ocular con poder amplificador variable.
Viento. Un viento fuerte hace que vibre el aparato y que el estadal sea inestable.
No debe intentarse hacer nivelaciones de precisión en días con mucho aire.
Asentamiento del instrumento. Si se asentara el instrumento después que se
ha tomado la lectura aditiva, sería más pequeña la lectura sustractiva y, por
tanto, la elevación registrada para el siguiente punto sería excesivamente
grande. Este error es acumulativo en una serie de emplazamientos que se
hagan sobre material blando en el terreno. Por lo tanto, deberán evitarse en
lo posible los emplazamientos sobre terreno esponjoso, sobre superficies
bituminosas o sobre hielo, pero si son necesarios, se exige un cuidado
especial para reducir los errores resultantes. Las lecturas deben tomarse
con rapidez y ordenadamente, tal vez usando dos estadales y dos observadores para evitar caminar en torno al instrumento, así como alternar
el orden en el que se toman las lecturas positivas y negativas. Adicionalmente, siempre que sea posible, las patas del trípode del instrumento
deberán colocarse en fundas largas que se hincan en el material suave
hasta donde queden firmes.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
124 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
Asentamiento de un punto de liga. Esta condición ocasiona un error similar
al producido por el asentamiento del instrumento. Puede evitarse escogiendo puntos de liga que queden en terreno sólido y firme, o bien, si no
puede lograrse esto, usando un vástago de acero para el punto de liga
clavado firmemente en el suelo. También puede usarse una alcayata de
ferrocarril en la mayoría de las situaciones.
5.12.3 Errores personales
La burbuja no está centrada. Al trabajar con niveles que emplean niveles de
burbuja, los errores ocasionados por una burbuja que no está exactamente centrada en el momento de hacer la lectura, son los más importantes
de todos, sobre todo en visuales de gran longitud. Si la burbuja se sale
del centro entre las lecturas positiva y negativa, debe volverse a centrar
antes de tomar la lectura negativa. Niveladores experimentados tienen la
costumbre de verificar la burbuja antes y después de cada lectura, procedimiento que se simplifica con algunos instrumentos, que tienen un aditamento de espejo y prisma que permite hacer la lectura simultánea del
nivel de burbuja y el estadal.
Paralaje. La paralaje ocasionada por el enfoque incorrecto del objetivo o
del ocular origina lecturas de estadal incorrectas. Un enfoque cuidadoso
elimina este fenómeno. El video Removing Parallax (Cómo eliminar la
paralaje), que está disponible en el sitio de la red que acompaña a este
libro, muestra procedimientos para detectar y eliminar la paralaje del instrumento.
Lecturas de estadal defectuosas. Se obtienen lecturas de estadal incorrectas por paralaje, por malas condiciones del tiempo, por visuales muy
largas, por colocación incorrecta del marcador de la mira, y por otras causas, incluso por equivocaciones como las debidas a interpolación y transposiciones descuidadas de las cifras. Las visuales de corta longitud seleccionadas para ajustarse a las condiciones del tiempo y del instrumento
reducen la magnitud de los errores de lectura. Si se usa un marcador de
mira en el estadal, el estadalero debe hacer la lectura y el instrumentista
verificarla por sí mismo.
Manejo del estadal. Los errores serios causados por el aplomo inapropiado
del estadal se eliminan utilizando un nivel para mira que esté bien ajustado, o sosteniendo el estadal paralelo a una plomada. Si se golpea el estadal
en un punto de liga para la segunda lectura (positiva), esto puede cambiar
la elevación del punto.
Ajuste del marcador de mira. El marcador puede no quedar fijo en el lugar
exacto señalado por el observador, por haberse resbalado. Siempre debe
tomarse una lectura de comprobación después de apretar el marcador de
mira en su posición.
■ 5.13 EQUIVOCACIONES
A continuación se enumeran algunas equivocaciones que son comunes en trabajos
de nivelación.
Uso inadecuado del estadal largo. Si la lectura del vernier en la parte posterior del estadal que esté en mal estado no es exactamente 6.500 pies o
7.000 pies para el estadal corto, el marcador de mira debe ajustarse de
manera que indique el mismo valor antes de extender el estadal.
Posar el estadal en diferentes lugares para las lecturas positiva y negativa
en un punto de liga. El estadalero puede evitar estas equivocaciones usanALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
5.15 Uso de software
125
do un punto bien definido o marcando con crayón, creyón color bermejo
o gis el contorno de la base del estadal.
Leer una unidad de más. Este error ocurre por estar a la vista la marca de
número entero incorrecta, cerca del hilo horizontal de la retícula. Por
ejemplo, el observador puede leer 5.98 en vez de 4.98. Si se observan las
marcas de número entero que están arriba y abajo del hilo horizontal, por
lo general se evita esta equivocación.
Balancear un estadal ordinario de base plana mientras se le sostiene sobre
una superficie también plana. Esta acción da origen a una lectura errónea
del estadal, porque la rotación se efectúa sobre los bordes del estadal y no
sobre el centro ni sobre la cara frontal. Es preferible aplomar usando un
nivel de estadal u otro medio en vez de balancear la mira de nivelación.
Además, este procedimiento también permite ahorrar tiempo.
Registro de las observaciones. Las equivocaciones cometidas al registrar,
como por ejemplo, transposición de cifras, anotación de valores en la columna incorrecta y las equivocaciones aritméticas, pueden minimizarse
si quien toma las notas estima mentalmente la lectura, repite el valor que
dicte el observador y verifica en la libreta de registro las sumas de las lecturas del estadal y las elevaciones. Los niveles digitales que toman automáticamente las lecturas del estadal, almacenan los valores y calculan las
notas del nivel, pueden eliminar estos errores.
Tocar el tripié o el instrumento durante el proceso de lectura. Los principiantes que usan instrumentos que emplean niveles de burbuja, pueden centrar la burbuja, poner una mano sobre el tripié o el instrumento mientras
leen el estadal y quitar la mano para verificar la posición de la burbuja, la
cual entonces quizá regrese al centro, pero estuvo fuera de centro al hacer
la lectura. Por supuesto que el instrumento no debe tocarse al tomar las
lecturas, pero los efectos negativos de este mal hábito se eliminan prácticamente con el uso de niveles automáticos.
■ 5.14 REDUCCIÓN DE LOS ERRORES Y ELIMINACIÓN
DE LAS EQUIVOCACIONES
En una nivelación se reducen los errores (pero nunca se eliminan) mediante el
ajuste y la colocación cuidadosa tanto del nivel como del estadal (véanse los procedimientos en la sección 4.15) y la elaboración de métodos y técnicas estándares
de campo. Los procedimientos que siguen eliminan la mayoría de los errores de
gran magnitud o descubren rápidamente las equivocaciones: (1) verificar la burbuja antes y después de cada lectura (si no se está usando un nivel automático);
(2) usar un nivel de estadal; (3) mantener iguales las longitudes horizontales de las
visuales positivas o negativas; (4) recorrer de ida y vuelta las líneas o caminamientos de nivelación, y (5) realizar las verificaciones aritméticas acostumbradas en la
libreta de registro y (6) fragmentar los circuitos de nivelación largos en secciones
más pequeñas.
■ 5.15 USO DE SOFTWARE
En el sitio de la red que acompaña a este libro en http://libroweb.alfaomega.
com.mx/ está el software WOLFPACK. En este software está una opción que
toma las lecturas aditivas y sustractivas de un circuito de nivelación sencillo para
crear un conjunto de notas de campo y el archivo apropiado para un ajuste de
mínimos cuadrados de los datos (vea la sección 16.6). En la figura 5.14 se ilustra
un archivo de muestra de las notas de campo de la figura 5.5. El software limita
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126 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
la longitud de los identificadores de estación a 10 caracteres. Estos caracteres no
deben incluir ni espacio, ni coma ni guión, ya que éstos se usan como delimitadores
de datos en el archivo. Todas las estaciones de señaladores deben comenzar con
las letras BM, mientras que todos los puntos de liga deben comenzar con las letras
PL. Esto lo usa el software para diferenciar entre un señalador y un punto de liga
en el archivo de datos.
Aun cuando el formato del archivo se explica completamente en el sistema
de ayudas de WOLFPACK, se presenta aquí como una ayuda para el lector. El
primer renglón del archivo que se muestra en la figura 5.14 es el título, que en este
caso es “Grand Lakes Univ. Campus Leveling Project” (proyecto de nivelación del
campus de la Universidad de los Grandes Lagos). El segundo renglón contiene las
elevaciones inicial y final del señalamiento. Como este renglón comienza y termina
en el mismo señalamiento (BM_MIL), sólo es necesario listar una vez esta elevación de 2 053.18. Si un circuito de nivelación comienza en un señalamiento, pero
cierra en otro, entonces ambas elevaciones inicial y final del circuito de nivelación
deberán listarse en este renglón. El resto del archivo contiene las visuales aditivas y sustractivas entre cada conjunto de estaciones. De este modo, cada renglón
contiene las lecturas de un emplazamiento de instrumento. Por ejemplo, se hizo
una visual aditiva de 1.33 en BM_MIL y una visual sustractiva de 8.37 en PL1, que
es el primer punto de liga. Cada emplazamiento de instrumento se lista en orden
siguiendo el mismo procedimiento. Una vez que el archivo se crea y se guarda
usando el editor WOLFPACK, puede leerse en la opción Reduction of differential
leveling notes (reducción de las notas de nivelación diferencial) como se muestra
en la figura 5.15. Entonces el software crea notas similares a las mostradas en la
figura 5.5 para el ajuste de las elevaciones, y muestra una revisión de página.
Para quienes están interesados en la programación de alto nivel, está disponible la hoja de trabajo Mathcad C5.xmcd en el sitio de la red que acompaña a este
libro en http://libroweb.alfaomega.com.mx/. Esta hoja de trabajo lee un archivo de
texto de mediciones que comúnmente se obtienen en la nivelación diferencial y
crea y ajusta los datos colocando los resultados en el formato que comúnmente se
encuentra en una libreta de campo. Además. La hoja de cálculo Excel C5.xls muestra cómo se usa una hoja de cálculo para reducir las notas en la figura 5.5.
PROBLEMAS
Los asteriscos (*) señalan los problemas cuya solución se encuentra en el apéndice G.
5.1 ¿Qué errores de nivelación se eliminan al mantener iguales las longitudes de las
visuales positivas y negativas?
Figura 5.14
Muestra de un
archivo de datos
para las notas de
campo en la figura
5.5.
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Problemas 127
Figura 5.15
Opción en
WOLFPACK para
reducir el archivo
de datos en la
figura 5.14.
5.2
¿Por qué las líneas visuales en la nivelación diferencial deben mantenerse por lo
menos a 0.5 m de cualquier superficie?
5.3 ¿Por qué es aconsejable emplazar un nivel con las tres patas del trípode sobre o
en el mismo material (concreto, asfalto, suelo), si es posible?
5.4 Explique cómo puede usarse el factor de colimación para eliminar los errores
instrumentales en la nivelación diferencial.
5.5 Explique cómo los errores debidos a la falta de ajuste del instrumento pueden
eliminarse prácticamente al recorrer una línea de niveles diferenciales.
5.6 Explique por qué las calzas del tripié deben estar ajustadas.
5.7 Liste cuatro consideraciones que rijan la selección de un estadalero de los puntos de liga y de los señalamientos.
5.8* ¿Qué error se crea en un estadal que se inclina 10 min con respecto a la vertical
para una lectura de 12.513 m en el estadal inclinado?
5.9 Similar al problema 5.8, pero para una lectura de 3.5 m.
5.10 ¿Qué error se deriva en una visual de 30 m con un nivel si la lectura del estadal
es 1.505 m pero la parte superior del estadal de 4 m está 0.3 m fuera de plomo?
5.11 ¿Qué error se deriva en una visual de 150 pies con un nivel si la lectura del estadal es 4.307 pies pero la parte superior del estadal de 7 pies está 0.3 m fuera de
plomo?
5.12 Prepare una serie de notas de nivelación para los datos listados. Efectúe una
verificación y ajuste el error en el cierre. La elevación del BN es de 852.045 m.
Si la distancia total de la longitud del circuito es de 1500 m, ¿de qué orden de
nivelación se trata? (Suponga que todas las lecturas están en metros.)
PUNTO
1F (LA)
BN 7
PL1
BN 8
PL2
PL3
BN 7
4.388
6.907
4.680
3.730
8.464
−F (LF)
4.538
8.800
5.978
5.245
3.598
5.13 Similar al problema 5.12, pero ahora la elevación del BN 7 es de 823.38 pies y la
longitud del circuito es de 1500 pies. (Suponga que todas las lecturas están en pies.)
5.14 Un circuito nivelado diferencialmente se comenzó y terminó en el BN Árbol
(elevación 323.48 pies). Las distancias LA (lectura hacia atrás) y LF (lectura
hacia el frente) se mantuvieron aproximadamente iguales. Las lecturas (en pies)
tomadas en orden fueron: 3.18 (LA) en el BN Árbol, 4.76 (LF) y 2.44 (LA) en el
PL1, 3.05 (LF) y 6.63 (LA) en el BN X, 3.64 (LF) y 2.35 (LA) en el PL2, y 3.07
(LF) en el BN Árbol. Prepare, verifique y ajuste las notas.
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128 NIVELACIÓN: PROCEDIMIENTOS DE CAMPO Y DE CÁLCULO
5.15 Un circuito nivelado diferencialmente se comenzó en el BN Hidrante (elevación
4823.65 pies) y se terminó en el BN Roca (elevación 4834.47 pies). Las distancias LA y LF se mantuvieron aproximadamente iguales. Las lecturas (en pies)
tomadas en orden fueron: 2.65 (LA) en el BN Hidrante, 3.51 (LF) y 7.23 (LA)
en el PL1, 5.04 (LF) y 11.41 (LA) en el BN 1, 8.58 (LF) y 7.65 (LA) en el BN 2,
4.23 (LF) y 7.53 (LA), en el PL2, y 4.34 (LF) en el BN Roca. Prepare, verifique
y ajuste las notas.
5.16 Un circuito nivelado diferencialmente se comenzó y terminó en el BN Puente
(elevación 814.687 m). Las distancias LA y LF se mantuvieron aproximadamente iguales. Las lecturas (en metros) tomadas en orden fueron: 0.548 (LA) en el
BN Puente, 1.208 (LF) y 0.843 (LA) en el PL1, 1.287 (LF) y 1.482 (LA) en el BN
X, 0.743 (LF) y 0.944 (LA) en el PL2, y 0.571 (LF) en el BN Puente. Prepare,
verifique y ajuste las notas.
5.17 Un circuito nivelado diferencialmente se comenzó en el BN Roca (elevación
543.202 m) y se terminó en el BN Pozo de visita (elevación 542.546 m). Las
distancias LA y LF se mantuvieron aproximadamente iguales. Las lecturas (en
metros) tomadas en orden fueron: 1.559 (LA) en el BN Roca, 0.987 (LF) y 1.105
(LA) en el PL1, 0.842 (LF) y 0.679 (LA) en el BN 1, 1.846 (LF) y 0.849 (LA) en
el BN 2, 1.895 (LF) y 1.436 (LA), en el PL2, y 0.704 (LF) en el BN Pozo de visita.
Prepare, verifique y ajuste las notas.
5.18 Un circuito nivelado diferencialmente se comenzó y terminó en el BN Juno, elevación 2485.19 pies. Las distancias LA y LF se mantuvieron aproximadamente
iguales. Las lecturas (en pies) tomadas en orden fueron: 5.49 (LA), en el BN
Juno, 3.46 (LF), y 8.84 (LA) en el PL1, 5.34 (LF), y 6.51 (LA) en el PL2, 8.27
(LF), y 4.03 (LA) en el BN1, 9.46 (LF), y 7.89 (LA) en el PL3, y 6.13 (LF) en el
BN Juno. Prepare, verifique y ajuste las notas.
5.19* Un nivel emplazado entre X y Y lee 6.29 pies en X y 7.91 pies en Y. Al moverlo
a unos cuantos pies de X se obtienen lecturas de 5.18 pies en X y 6.76 pies en Y.
¿Cuál es la verdadera diferencia en elevación y la lectura necesaria en el estadal
en Y para que el instrumento quede ajustado?
5.20 Para probar el ajuste de la línea visual, un nivel se emplaza cerca de C (elev. 5
193.436 m) y luego cerca de D. Las lecturas del estadal tomadas en orden son: C 5
1.315 m, D 5 0.848 m, D 5 1.296 m y C 5 1.767 m. Calcule la elevación de D y
la lectura en C para ajustar el instrumento.
5.21* La prueba de la línea visual muestra que la línea visual de un nivel está inclinada
hacia abajo 3 mm/50 m. ¿Cuál es la diferencia permisible entre las distancias LA
y LF en cada emplazamiento (eliminando curvatura y refracción) para que las
elevaciones se mantengan correctas dentro de 1 mm?
5.22 Una nivelación recíproca da las siguientes lecturas en metros desde un emplazamiento cercano a A: en A, 1.365; en B, 4.928, 4.924, y 4.926. En el emplazamiento
cercano a B: en B, 4.251; en A, 1.687, 1.688, y 1.688. La elevación de A es 564.872
m. Calcule el error de cierre y la elevación de B.
5.23* Una nivelación recíproca a través de una barranca proporciona los datos listados (en metros). La elevación correcta de Y es 2265.879 m. Se pide la elevación
de X. Instrumento en X: 1S 5 3.182, −S 5 9.365, 9.370 y 9.368. Instrumento en
Y: 1S 5 10.223; −S 5 4.037, 4.041 y 4.038.
5.24 Prepare un registro de notas para nivelación con tres hilos para los siguientes
datos y haga la verificación de página. La elevación del BN X es 733.387 m. Las
lecturas de estadal (en metros) son (S denota lectura del hilo superior, M del hilo
medio e I del hilo inferior): LA en BN X: S = 2.959, M = 2.707, I = 2.454; LF en
PL1: S = 1.683, M = 1.453, I = 1.224; LA en PL1: S = 2.254, M = 2.054, I = 1.854;
LF en BN Y: S = 1.013, M = 0.817, I = 0.620.
5.25 Similar al problema 5.24, excepto que la elevación del BN X es 1482.909 pies y
las lecturas de estadal (en pies) son (S denota lectura del hilo superior, M del
hilo medio e I del hilo inferior): LA en el BN X: S 5 6.573, M 5 6.321, I 5 6.070;
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Bibliografía
129
LF en PL1: S 5 5.949, M 5 5.653, I 5 5.356; LA en PL1: S 5 5.470, M 5 5.195,
I 5 4.921; LF en el BN Y: S 5 5.674, M 5 5.453, I 5 5.231.
5.26 Suponga una constante de estadía de 99.996, ¿Cuál es la distancia nivelada en el
Problema 5.24?
5.27 Suponga una constante de estadía de 100.5, ¿Cuál es la distancia nivelada en el
Problema 5.25?
5.28 Prepare un registro de notas para una nivelación de perfil para los siguientes
datos y haga la verificación de página. Todos los datos están dados en pies. La
elevación del BN A es 659.08, y la elevación del BN B es 648.47. Las lecturas de
estadal son: 1F en el BN A, 5.68; lectura hacia el frente intermedia (LFI) en 11
1 00, 4.3; −F en PL1, 7.56; 1F en PL1, 8.02; lectura hacia el frente intermedia en
12 1 00, 6.6; en 12 + 50, 5.3 en 13 1 00, 5.8; en 14 + 00, 6.3 −F en PL2, 10.15; 1F
en PL2, 5.28; lectura hacia el frente intermedia en 14 + 73, 4.1; en 15 1 00, 4.9; en
16 1 00, 6.3; −F en PL3, 7.77; 1F en PL3, 3.16; −F en BN B, 7.23.
5.29 Similar al problema 5.28, excepto que la elevación del BN A 5 356.98 pies, la
elevación del BN B 5 349.58 pies, y la lectura 1F en el BN A 5 8.77 pies.
5.30 Trace el perfil del problema 5.28 y dibuje una rasante entre las estaciones 11 1
00 y 16 1 00 para balancear las áreas de corte y de relleno.
5.31* ¿Cuál es el porcentaje de gradiente entre las estaciones 11+ 00 y 16 + 00 en el
Problema 5.28?
5.32 Una nivelación diferencial entre los bancos de nivel A, B, C, D, y A da diferencias de elevación (en metros) de 215.632, 132.458, 138.214 y 255.025, y distancias en kilómetros de 4.0, 6.0, 5.0 y 3.0, respectivamente. Si la elevación de A es
634.597 m, calcule las elevaciones ajustadas de los bancos de nivel B, C y D, así
como el orden de nivelación.
5.33 Una nivelación del BN X a W, del BN Y a W y del BN Z a W, da las diferencias en
elevación (en pies) de 230.24, 126.20 y 110.18, respectivamente. Las distancias
entre los bancos de nivel son XW 5 2 500, YW 5 3 000 y ZW 5 4 000. Las elevaciones verdaderas de los bancos de nivel son X 5 571.93, Y 5 515.47 y Z 5 531.58.
¿Cuál es la elevación ajustada de W? (Nota: todos los datos están dados en pies.)
5.34 Un estadal de 3 m se calibró y se encontró que su escala graduada estaba uniformemente contraída, de manera que la distancia real entre sus marcas 0 y 3.000
fue de 2.997 m. ¿Cómo serán afectadas las elevaciones determinadas con este
estadal en: (a) circuitos corridos en terrenos relativamente planos, (b) circuitos
corridos cuesta abajo y (c) circuitos corridos cuesta arriba?
5.35* Se corrió una línea de niveles con 42 emplazamientos (84 lecturas) del BN Roca
al BN Tanque, con lecturas tomadas con una aproximación de 3.0 mm; por consiguiente, cada una podría tener un error de 61.5 mm. Si se consideran sólo errores por lectura, ¿qué error total cabría esperar en la elevación del BN Tanque?
5.36 Similar al problema 5.35, excepto que ahora se tienen 65 emplazamientos y las
lecturas son con una aproximación de 0.01 pies con un error posible de ±0.005
pies en cada una.
5.37 Calcule el error de cierre permisible para las siguientes líneas de nivelación: (a)
un circuito de 20 km con nivelación de tercer orden, (b) una sección de 10 km
con nivelación clase I de segundo orden y (c) un circuito de 30 km con nivelación
clase I de primer orden.
BIBLIOGRAFÍA
Crawford, W.G. 2008. “The One-Minute Peg Test.” Point of Beginning 33 (No. 6): 52.
Federal Geodetic Control Subcommittee. 1984. Standards and Specifications for Geodetic
Control Surveys. Silver Spring, MD.: National Geodetic Information Branch, NOAA.
Reilly, J. P. 2004. “Tides and Their Relationship to Vertical Datums.” Point of Beginning
29 (Núm. 4): 68.
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ALFAOMEGA
6
Medición
de distancias
PARTE I • MÉTODOS DE MEDICIÓN DE DISTANCIAS
■ 6.1 INTRODUCCIÓN
Generalmente se considera que la medición de distancias es la más fundamental
de todas las mediciones en topografía. Aun cuando en los levantamientos tradicionales muchos ángulos puedan leerse con precisión con equipo muy refinado, por lo
menos tiene que medirse la longitud de una línea para complementar la medición
de ángulos en la localización de los puntos. En topografía plana, la distancia entre
dos puntos significa su distancia horizontal. Si los puntos están en elevaciones diferentes, su distancia es la longitud horizontal comprendida entre las líneas de plomada que pasan por los puntos.
Las longitudes de las líneas pueden expresarse en diferentes unidades. En
la topografía plana en Estados Unidos, el pie, dividido decimalmente, tiene un uso
más generalizado, aunque se está haciendo cada vez más común el uso del metro.
En los levantamientos geodésicos y en muchos levantamientos de carreteras se utiliza el metro. En trabajos de arquitectura, con maquinaria y en algunos proyectos
de construcción, la unidad es el pie dividido en pulgadas y en fracciones de pulgada. Como se estudia en la sección 2.2, en algunos lugares y para fines especiales,
todavía se utilizan cadenas, varas, pértigas y otras unidades.
■ 6.2 RESUMEN DE MÉTODOS PARA HACER
MEDICIONES LINEALES
En topografía, las mediciones lineales se han obtenido utilizando métodos muy
diversos. Éstos incluyen (1) a pasos, (2) lecturas con odómetro, (3) telémetros ópticos, (4) por taquimetría (estadía), (5) por barra subtensa, (6) con cinta, (7) con instrumentos para la medición electrónica de distancias (MED), (8) sistema de satélites y
otros. De estos métodos, las mediciones con cinta o con MED, junto con los sistemas
de satélite, son los que emplean con más frecuencia los topógrafos. En particular,
el sistema dependiente de satélites, llamado Sistema Global de Navegación Satelital
6.1 Definición de topografía
131
(GNSS: Global Navigation Satellite Systems), está reemplazando rápidamente a
todos los demás sistemas. Ello se debe a diversas ventajas, pero las más notables
consisten en su rango, precisión y eficiencia. Los métodos (1) a (5) se analizan brevemente en las siguientes secciones. La medición con cinta se expone con detalle en
la Parte II de este capítulo; la MED se estudia en la Parte III de este capítulo. Los
sistemas por satélite se estudian en los capítulos 13, 14 y 15.
La triangulación es un método para determinar las posiciones de puntos a
partir de los cuales pueden calcularse distancias horizontales (véase la sección
19.12.1). En este procedimiento, las longitudes de líneas se calculan trígonométricamente en función de líneas base y de ángulos previamente medidos. La fotogrametría puede utilizarse también para determinar distancias horizontales. Este tema
se trata en el capítulo 27. Además de estos métodos, también es posible estimar
las distancias, lo cual constituye una técnica útil al hacer croquis en los registros
de campo y al verificar las medidas para detectar los errores. Con la práctica, la
estimación puede llegar a ser bastante exacta.
■ 6.3 MEDICIÓN A PASOS
Las distancias obtenidas a pasos son suficientemente exactas para muchos fines
en topografía, ingeniería, geología, agricultura, en el servicio forestal y en reconocimientos militares. Las mediciones a pasos se usan también para detectar equivocaciones de consideración que pueden ocurrir en mediciones de distancias
hechas con métodos de mayor exactitud.
Medir a pasos consiste en contar el número de pasos que abarcan una cierta
distancia. Primero debe determinarse la longitud del paso de la persona que va
a recorrer la distancia. Esto se logra convenientemente recorriendo a pasos naturales, de ida y vuelta, una distancia horizontal medida con anterioridad, por lo
menos de 300 pies de longitud, y dividiendo la distancia conocida entre el número
promedio de pasos. Para distancias cortas se necesita conocer la longitud de cada
paso, pero es conveniente saber también el número de pasos dados en 100 pies para
verificar distancias largas.
Es posible ajustar el paso propio a una longitud de unos 3 pies, pero una
persona de estatura media encontrará que le es fatigoso mantener dicho paso en
distancias largas. La longitud del paso de un individuo varía al ir cuesta arriba o
cuesta abajo y cambia con la edad. Para medir distancias largas puede portarse
un instrumento de bolsillo llamado podómetro, que registra el número de pasos, o
bien, puede recurrirse al pasómetro, que se fija al cuerpo o a una pierna y cuenta
también el número de pasos. Algunos topógrafos prefieren contar zancadas, siendo
una zancada igual a dos pasos sencillos.
La medición a pasos es una de las técnicas más valiosas aprendidas en topografía, ya que tiene muchas aplicaciones prácticas y no necesita de equipo alguno.
Los caminantes experimentados en la medición a pasos pueden medir distancias
de 100 pies, o incluso mayores, con una precisión de 1/50 a 1/100 de la distancia si
el terreno está despejado y más o menos a nivel.
■ 6.4 MEDICIÓN CON ODÓMETRO
Un odómetro convierte el número de revoluciones o vueltas de una rueda de circunferencia conocida en una distancia. Las longitudes medidas con un odómetro
instalado en un vehículo son adecuadas para ciertos levantamientos preliminares
en los trabajos de ubicación de vías o caminos. También sirven como verificación
aproximada de las medidas hechas mediante otros métodos. Existe otro tipo de ruedas medidoras que sirven para determinar distancias cortas, principalmente sobre
líneas curvas. Los odómetros dan distancias que deben corregirse a la horizontal si
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ALFAOMEGA
132 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
el terreno tiene una pendiente pronunciada (véase la sección 6.13). Con los odómetros es razonable esperar una precisión de aproximadamente 1/200 de la distancia.
■ 6.5 TELÉMETROS ÓPTICOS
Estos instrumentos funcionan con base en los mismos principios que los medidores
ópticos de distancias de las cámaras reflex de una sola lente. Básicamente, al enfocarlos determinan la distancia f2 al objeto en la ecuación (4.12), donde la longitud
focal f y la distancia f1 a la imagen son conocidas. El operador mira a través de la
lente y ajusta el foco hasta que un objeto distante quede enfocado en coincidencia,
y entonces lee la distancia correspondiente. Estos instrumentos son capaces de
lograr exactitudes de 1 parte en 50 a distancias de hasta 150 pies; sin embargo, la
exactitud disminuye al aumentar la distancia. Los telémetros son adecuados para
reconocimientos, elaboración de bosquejos o detectar errores en mediciones más
exactas.
■ 6.6 TAQUIMETRÍA
La taquimetría (estadía es el término más común usado en Estados Unidos) es un
método topográfico usado para determinar rápidamente la distancia horizontal a,
y la elevación de, un punto. Como se estudia en la sección 5.4, las mediciones con
estadía se logran visando a través de un taquímetro o anteojo dotado de dos o
más hilos reticulares horizontales, situados a una separación conocida. La longitud
aparente interceptada entre los hilos superior e inferior se lee sobre un estadal graduado sostenido verticalmente en el punto deseado. La distancia del taquímetro
al estadal se determina por relaciones de proporción en triángulos semejantes. Se
logra una precisión de 1/500 de la distancia teniendo el suficiente cuidado. En la
sección 16.9.2 se da una explicación detallada del método.
■ 6.7 MÉTODO DE LA BARRA SUBTENSA
Este procedimiento indirecto para medir distancias incluye el uso de un teodolito
para la lectura del ángulo horizontal subtendido por dos objetivos espaciados con
precisión a una distancia fija en una barra subtensa. La distancia desconocida se
calcula a partir del espaciamiento conocido en el objetivo y el ángulo horizontal
medido. Antes de observar el ángulo desde un extremo de la línea, la barra se centra sobre el punto en el otro extremo de la línea, y se orienta perpendicularmente
a la línea y en un plano horizontal. Para visuales de 500 pies (150 m) o menores, y
usando un teodolito de 10, puede alcanzarse una exactitud de 1 parte en 3 000, o
mayor aún. La exactitud disminuye al aumentar la longitud de la línea. Además de
ser adecuado solamente para líneas relativamente cortas, este método de medición
de distancias consume mucho tiempo y en la actualidad se usa rara vez, habiendo
sido reemplazado por la medición electrónica de distancias y por los levantamientos GNSS.
PARTE II • MEDICIÓN DE DISTANCIAS CON CINTA
■ 6.8 INTRODUCCIÓN AL USO DE LA CINTA
Con la exactitud y facilidad de uso de los instrumentos de medición electrónica de
distancia (MED) que se estudian en la Parte III de este capítulo, rara vez se realizan
mediciones precisas mayores de 100 pies con cinta. Similarmente, raras vez se hacen
correcciones a las mediciones con cinta. Sin embargo, el uso apropiado de la cinta
para medir distancias es todavía una habilidad que se requiere en un topógrafo.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
6.8 Introducción al uso de la cinta
133
La Parte II de este capítulo estudia el cuidado y uso apropiados de la cinta para
medir distancias. Como rara vez se hacen en la realidad correcciones a la cinta, se
han cambiado al Apéndice A de este libro los ejemplos de correcciones a la cinta.
La medición de una línea horizontal con cinta se basa en aplicar directamente la longitud conocida de un elemento lineal graduado sobre la línea cierto
número de veces. Se presentan dos tipos de problemas: (1) medir una distancia
desconocida entre puntos fijos, por ejemplo, dos estacas en el terreno, y (2) marcar
una distancia conocida o necesaria con sólo la marca de partida en su lugar.
La medición con cinta se efectúa en seis pasos: (1) alineación, (2) aplicación
de tensión, (3) aplome, (4) marcaje de tramos, (5) lectura de la cinta y (6) registro de
la distancia. La aplicación de estos pasos en la medición con cinta, ya sea sobre un
terreno a nivel o en declive, se explica en las secciones 6.11 y 6.12.
■ 6.9 EQUIPO Y ACCESORIOS PARA MEDICIONES
CON CINTA
Tanto en el presente como en el pasado se han utilizado diversos tipos de equipo para
medir longitudes con cinta en Estados Unidos. Las cintas que se usan actualmente se
describen aquí, así como otros accesorios que se usan en las mediciones con cinta.
Las cintas para ingenieros y topógrafos se fabrican de acero de 1/4 a 3/8 de
pulgada de ancho y pesan de 2 a 3 lbs por cada 100 pies. Las que están graduadas en
pies comúnmente son de 100 pies de longitud, aunque también están disponibles
en longitudes de 200, 300 y 500 pies. Se marcan en pies, décimas y centésimas. Las
cintas métricas tienen longitudes estándar de 30, 60, 100 y 150 metros.
Todas pueden enrollarse en un carrete [véase la figura 6.1(a)] o llevarse en
lazos.
Las cintas Invar se fabrican con un acero especial de níquel (35% níquel y
65% acero), para reducir cambios en su longitud debido a variaciones de la temperatura. El coeficiente de expansión o contracción térmica de este material es sólo
de 1/30 a 1/60 del correspondiente a una cinta ordinaria de acero. Sin embargo, el
metal es suave y algo inestable. Esta debilidad, aunada a su costo unas diez veces
mayor que el de las cintas de acero, las hace adecuadas sólo para trabajos geodésicos de precisión y como patrones de comparación para las cintas de trabajo. Otra
versión, la cinta Lovar, tiene propiedades y un costo intermedio entre los de las
cintas de acero y las cintas Invar.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
Figura 6.1
Equipo para
una cuadrilla
de cadenamiento.
(Cortesía de W.
& L. E. Gurley.)
ALFAOMEGA
134 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
Las cintas de tela (o metálicas) se fabrican con lienzo de alta calidad de 5/8 de
pulgada de ancho, con finos alambres de cobre entretejidos longitudinalmente para
darles resistencia adicional e impedir su alargamiento excesivo. Las cintas metálicas
comúnmente usadas son las de 50, 100 y 200 pies de largo y vienen enrolladas en
carretes cerrados [véase la figura 6.1(b)]. Aunque no son adecuadas para trabajos de
precisión, las cintas metálicas son convenientes y prácticas para muchos fines.
Las cintas de fibra de vidrio pueden conseguirse en una gran variedad de
tamaños y longitudes, y vienen generalmente enrolladas en un carrete. Pueden
usarse para los mismos tipos de trabajo que las cintas metálicas.
Los marcadores o fichas para cadenamiento se emplean para marcar las longitudes con cinta. La mayor parte de los marcadores se hacen de alambre de acero
del número 12, con uno de los extremos terminado en una punta muy aguda y el
otro con una argolla, y están pintados con franjas alternadas rojas y blancas [véase
la figura 6.1(c)]. Vienen en juegos de 11 piezas que se llevan ensartadas en un anillo
de acero. Como lo más común es medir las distancias mayores que 100 pies con el
uso de la MED (véase la Parte III), los marcadores rara vez se usan actualmente.
El nivel de mano, descrito en la sección 4.13, es un instrumento sencillo que
se usa para mantener los extremos de la cinta a la misma elevación al hacer medidas sobre terrenos accidentados [véanse las figuras 4.17 y 6.1(d)].
Los tensores facilitan la aplicación de la tensión normal deseada o conocida.
Una unidad completa consta de un asa de alambre, una grapa que se ajusta al anillo
del extremo de la cinta, y un dinamómetro de resorte con escala hasta de 30 lb con
graduaciones decimales a cada ½ libra.
Los tensores de seguridad se usan para aplicar tensión mediante un agarre
positivo y rápido usando un mecanismo de tipo de tijera sobre cualquier parte
de una cinta de acero. No dañan la cinta y evitan lastimar la mano del operador y
dañar la cinta.
Un termómetro de bolsillo permite la lectura de datos para efectuar correcciones por temperatura. Mide aproximadamente 5 plg de largo y puede tener una
graduación de 230 a 1 120 °F en divisiones de 1 o de 2°, y se llevan en estuches
metálicos protectores.
Las balizas (miras de alineación) se fabrican de madera, acero o aluminio
y tienen aproximadamente 1 plg de grueso y de 6 a 10 pies de largo. Son de sección transversal redonda o hexagonal y están pintadas en franjas alternadas rojas y
blancas de 1 pie de longitud que a veces pueden usarse para mediciones aproximadas [véase la figura 6.1(e)]. La utilidad principal de estas miras es marcar la línea
que se está midiendo de modo que pueda conservarse el alineamiento de la cinta.
Las plomadas para medir con cinta [véase la figura 6.1(f)] deben pesar como
mínimo 8 onzas y tener punta fina. Por lo menos necesitan de unos 6 pies de sedal
o cordel fino para pesca, sin nudos. Las puntas de la mayoría de las plomadas son
removibles, lo que facilita su reemplazo si se desgastan o se rompen. El cordel puede enrollarse en un carrete accionado por un resorte que es útil para la medición
preliminar de distancias con cinta. Sin embargo, en la medición de distancias con
cinta, lo mejor es no usar carrete.
■ 6.10 CUIDADO DEL EQUIPO PARA LONGIMETRÍA
Para el cuidado de cintas y balizas deben observarse los puntos siguientes:
1. Si se considera el área de la sección transversal de la cinta de acero promedio y su esfuerzo permisible, una tensión de 100 lb no le hará ningún daño.
Sin embargo, si la cinta tiene cocas o torceduras, un tirón de menos de 1 lb
la romperá. Por tanto, revise siempre la cinta hasta asegurarse de que han
quedado eliminadas todas las lazadas y cocas antes de aplicarle tensión.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
6.10 Cuidado del equipo para longimetría
135
2. Si se moja una cinta, debe secarse primero con una tela seca y luego frotarla
con un trozo de trapo con aceite.
3. Las cintas deben guardarse enrolladas en su carrete o formando un aro suelto, pero no deben manejarse en ambas formas.
4. Cada cinta debe tener un número o marca de identificación.
5. Las cintas rotas pueden repararse por remachado o aplicándoles un casquillo
o manguito de unión, pero no debe usarse una cinta remendada en trabajos
importantes.
6. Las balizas se fabrican con su regatón metálico y la punta de éste en línea
con el eje del cuerpo de la baliza. Este alineamiento puede perderse si se usa
incorrectamente.
■ 6.11 LONGIMETRÍA HORIZONTAL CON CINTA
SOBRE TERRENO A NIVEL
Las subsecciones siguientes describen seis pasos del proceso de medición con una
cinta en terrenos a nivel.
6.11.1 Alineación
La línea por medir empleando balizas debe marcarse en forma bien definida en
ambos extremos, y también en puntos intermedios, si fuera necesario, para asegurarse de que no hay obstrucciones a las visuales. La medición con cinta requiere dos personas como mínimo, el cadenero de adelante y el cadenero de atrás. El
cadenero de adelante se alinea en su ubicación por la del cadenero de atrás. Las
indicaciones se dan a voces o mediante señales con las manos.
6.11.2 Estiramiento
El cadenero de atrás sostiene el extremo con la marca de 100 pies de la cinta sobre
el primer punto (el de partida), y el cadenero de adelante, que sostiene el extremo
con la marca cero, es alineado por aquél. Para tener resultados exactos, la cinta
debe estar en línea recta y los extremos sostenidos a la misma altura. Se aplica
entonces una tensión específica, generalmente de entre 10 y 25 lb. Para mantener
una fuerza uniforme, cada cadenero se enrolla en la mano la tira de cuero que
llevan los extremos de la cinta, mantiene los antebrazos pegados al cuerpo y se
sitúa mirando al frente en ángulo recto con la línea. En esta posición, los cadeneros quedan fuera de la línea visual. En estas condiciones sólo necesitan inclinar
un poco el cuerpo para sostener, disminuir o aumentar la tensión. Es difícil mantener una fuerza constante con los brazos extendidos, si no es que imposible, en
el caso de aplicar una tensión de 15 lb o más. La buena comunicación entre los
cadeneros de atrás y adelante evitará tirones o saltos de la cinta, ahorrará tiempo
y conducirá a mejores resultados.
6.11.3 Aplome
La maleza, los arbustos, los obstáculos y las irregularidades del terreno pueden
hacer imposible tender la cinta sobre el terreno. En esos casos, la cinta se mantiene
arriba del terreno en posición horizontal. Los cadeneros marcan cada extremo de
una medida colocando el hilo de una plomada contra la graduación respectiva
de la cinta y asegurándolo con el pulgar. El cadenero de atrás sostiene la plomada
sobre el punto fijo mientras el cadenero de adelante marca la cinta. Al medir una
distancia de menor longitud que la de la cinta, el cadenero de adelante llevará el
hilo de la plomada hasta el punto de la cinta que quede sobre la marca del terreno.
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ALFAOMEGA
136 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
6.11.4 Marcaje
Una vez que la cinta se ha alineado y tensado correctamente, y el cadenero de
atrás está sobre el punto, vocea la señal de “listo”. El cadenero de adelante clava
entonces una ficha exactamente en oposición a la marca cero de la cinta y grita la
señal de “marcado”. El punto en el que se clavó la ficha en el terreno se verifica
repitiendo la medición, hasta estar seguro de su ubicación correcta.
Después de confirmar la medida, el cadenero de adelante da la señal de terminado; el cadenero de atrás saca entonces la ficha del primer punto marcado y
ambos caminan hacia adelante. El cadenero de adelante arrastra la cinta, mide a
pasos aproximadamente 100 pies y se detiene. Un poco antes de que el extremo
con la marca de 100 pies llegue al segundo punto que se marcó, el cadenero de
atrás vocea la señal de “alto” para informar al de adelante que ya se han recorrido
los 100 pies. Se repite este procedimiento de medición de longitudes de 100 pies
hasta que se tiene que medir una distancia menor que la longitud de la cinta al
llegar al final de la línea.
6.11.5 Lectura
Existen dos tipos comunes de marcado de graduaciones en las cintas de 100 pies
para topografía. Es necesario determinar el tipo de cinta de que se trate antes de iniciar el trabajo, pues así se evita el cometer repetidas equivocaciones de 1 pie.
El tipo más común de cinta tiene una longitud graduada total de 101 pies.
Este tipo de cinta está graduada de 0 a la marca final (100 pies) en tramos de una
unidad y tiene un tramo adicional al otro lado del cero, graduado de 0 a 1 pie en
subdivisiones decimales, o en décimas y centésimas en la otra dirección. Al medir
con esta clase de cinta la última longitud parcial de la línea, el cadenero de atrás
sostiene la cinta con una graduación entera sobre la última ficha que ha clavado
[como por ejemplo, en la marca de 87 pies en la figura 6.2(a)]. El tramo adicional
comprendido entre cero y el extremo de la cinta estará cruzando sobre el punto
terminal. El cadenero de adelante lee la longitud adicional de 0.68 pie después del
cero. Para asegurarse que la notación sea correcta, el cadenero de atrás exclama
“87”. El cadenero de adelante repite la lectura entera y le suma su lectura, voceando “87.68” para la medida parcial. Como se ha agregado una fracción de unidad,
este tipo de longímetro se conoce como cinta de suma.
La otra clase de cinta que se encuentra en la práctica tiene una longitud
graduada total de 100 pies, de 0 a 100, con incrementos de una graduación entera,
y el primer tramo de cada extremo (de 0 a 1 y de 99 a 100) tiene una subdivisión
decimal. Con este tipo de cinta, la medición de la última longitud parcial se efectúa
sosteniendo una graduación entera en la última ficha del cadenamiento, de modo
Ficha de cadenamiento
87
2
Tachuela en estaca
1
0
(a) Cinta de suma
Ficha de cadenamiento
Figura 6.2
Lectura de medidas
parciales.
ALFAOMEGA
88
3
+1
0.68
Tachuela en estaca
2
(b) Cinta de resta
1
0
0.32
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6.11 Longimetría horizontal con cinta sobre terreno a nivel
137
que el tramo graduado de la cinta entre la marca cero y la marca de 1 pie cruce
sobre el último punto de la medida, como se indica en la figura 6.2(b), donde se ve
que se aplica la marca de 88 pies sobre la última ficha del cadenamiento y la marca
del final de la línea da la lectura 0.32 pies, desde el punto cero. La medida parcial
con la cinta es entonces 88.00 2 0.32 5 87.68 pies. En este caso hay que restar la
cantidad 0.32, por lo que a este tipo de cinta se le llama cinta de resta. Para asegurar
la sustracción de una unidad del número de la graduación entera que se emplee, se
sugiere el siguiente procedimiento de campo y de voceo de señales: el cadenero de
atrás exclama “88”; el de adelante dice “resta cero, punto, tres, dos”; el de atrás contesta “ocho, siete, punto, seis, ocho” y el cadenero de adelante replica “correcto”.
Una de las ventajas de la cinta de suma es que es más fácil usarla debido a
que no se requiere hacer ninguna resta al medir las partes decimales de un pie. Su
desventaja radica en que los cadeneros negligentes en algunas ocasiones efectúan
mediciones de 101.00 pies, pero las registran como si fuesen de 100.00 pies. La cinta
de resta descarta prácticamente esta equivocación.
Debe seguirse la misma rutina en todas las mediciones con cinta efectuadas
por la brigada, y comprobarse los resultados por todos los medios posibles. Una
sola omisión de la sustracción de 1 unidad en el procedimiento que se acaba de
describir al usar una cinta de resta, destruirá la precisión de un centenar de otras
medidas. Por esta razón, la cinta de suma es casi a prueba de equivocaciones. El
mayor peligro se suscita cuando se cambia de un tipo de cinta a otro.
6.11.6 Anotación
Las anotaciones hechas sin cuidado pueden estropear un trabajo preciso de campo.
Después de haber determinado una medida parcial de cinta en el extremo final de
una línea, el cadenero de atrás determina el número de cintadas completas de 100
pies contando las fichas o marcadores que ha recogido del juego original de 11.
Como en la actualidad las distancias largas se miden electrónicamente, las cintas
nunca se usan para distancias largas. Si bien los procedimientos de medición con
cinta son, al parecer, relativamente sencillos, es difícil obtener a partir de ellos
alta precisión, especialmente cuando los utilizan los principiantes. La técnica de
la medición con cinta es una habilidad que puede enseñarse y aprenderse mejor
mediante demostraciones directas y prácticas de campo.
■ 6.12 MEDICIONES HORIZONTALES EN TERRENO
INCLINADO
En las mediciones con cinta sobre terrenos inclinados, es práctica normal sostener
la cinta horizontalmente y usar una plomada en uno o, quizá, en ambos extremos.
Es difícil mantener quieto el hilo de la plomada desde una altura mayor que la del
pecho de una persona. El viento agrava este problema y puede ser imposible lograr
exactitud en el trabajo.
Cuando no puede mantenerse la cinta horizontalmente en una distancia de
100 pies sin tener que aplomar desde una altura mayor que la de los hombros, se
mide por tramos parciales que se van sumando hasta alcanzar la longitud completa
de la cinta. Este procedimiento, llamado medición escalonada, se ilustra en la figura
6.3. Como ejemplo de esta operación, supóngase que cuando se sostiene cuesta
abajo el extremo de 100 pies de la cinta en el punto inicial, el cadenero de adelante
sólo puede avanzar 30 pies sin verse forzado a aplomar desde una altura superior a
la del pecho. En tales condiciones, se clava una ficha bajo la marca de 70 pies, como
se muestra en la figura 6.4. El cadenero de atrás avanza hasta dicha señal y sostiene
ahí la graduación de 70 pies, mientras que el otro clava otra ficha, por ejemplo,
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
138 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
Figura 6.4
Procedimiento para
hacer una medición
escalonada
(cuando la cinta no
está en su caja o
carrete).
ALFAOMEGA
0-pies marca de la cinta
Horizontal
25-pies marca de la cinta
Cinta
70-pies marca de la cinta
100-pies marca de la cinta
Figura 6.3
Medición
escalonada.
La dirección de la cinta
es usualmente colina abajo
30 pies
45 pies
Línea de
plomada
25 pies
100 pies horizontal
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6.12 Mediciones horizontales en terreno inclinado
139
en la marca de 25 pies. Finalmente, con la graduación de 25 pies sobre la segunda
ficha, se marca la distancia completa de 100 pies en el punto cero. De esta forma, las
longitudes parciales de la cinta se van sumando mecánicamente hasta llegar al total
de 100 pies, sosteniendo la cinta en las marcas apropiadas. No se necesita de cálculo
mental alguno. El cadenero de atrás devuelve al cadenero de adelante las fichas
clavadas en los puntos intermedios, con objeto de llevar bien la cuenta del número
de cintadas completas que se han efectuado. Para evitar que se formen cocas en
la cinta, el cadenero de adelante tira de ella en su longitud completa de 100 pies
hasta que quede en posición para medir la siguiente cintada. En todos los casos se
nivela la cinta a ojo o empleando un nivel de mano, y los cadeneros deben tener
presente que siempre se tiende a poner demasiado bajo el extremo aplomado de la
cinta al ir cuesta abajo. La práctica aumentará la destreza para sostener una cinta
en ángulo recto con el hilo de la plomada.
Es preferible medir cuesta abajo que pendiente arriba por dos razones. Primera, en la medición con cinta cuesta abajo, el punto inicial se mantiene firme
sobre un objeto fijo mientras se aploma en el otro extremo. Al medir cuesta arriba,
es posible sostener con firmeza la cinta en el punto de adelante, en tanto que en
el de atrás la colocación es vacilante. Segunda, si es necesario hacer una medición
escalonada, es conveniente que el cadenero de adelante use el nivel de mano para
desplazarse una cierta distancia hacia abajo, de modo que la cinta quede horizontal
al mantenerla cómodamente a la altura del pecho.
■ 6.13 MEDICIÓN DE DISTANCIAS INCLINADAS
Al determinar la distancia entre dos puntos situados en una pendiente pronunciada, en vez de utilizar la cinta en tramos cortos, puede ser conveniente medir sobre
el declive y calcular la componente horizontal. Esto también requiere evaluar el
ángulo α de inclinación, o bien, la diferencia de elevación d (figura 6.5). La medición escalonada toma mucho tiempo y, en general, es menos exacta debido a la
acumulación de errores aleatorios ocasionados al marcar los extremos de la cinta y
al tratar de mantener la cinta a nivel y alineada a lo largo de varios tramos cortos.
En la figura 6.5, si el ángulo a está determinado, la distancia horizontal entre
los puntos A y B puede calcularse a partir de la relación
(6.1)
H 5 L cos a
donde H es la distancia horizontal entre los puntos, L es la distancia inclinada
entre éstos y a es el ángulo vertical de la línea medido desde la horizontal, el cual
se determina generalmente con un nivel Abney de mano con clinómetro (un dispositivo manual para medir los ángulos de inclinación). Si se mide la diferencia en
elevación d entre los extremos de la cinta con ayuda de un nivel (véase el capítulo
L
H
A
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d
B
C
Figura 6.5
Medición de una
distancia inclinada.
ALFAOMEGA
140 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
5), la distancia horizontal se puede calcular usando la siguiente expresión resultante de la aplicación del teorema de Pitágoras:
(6.2 a)
Otra fórmula aproximada, obtenida a partir del primer término de una expansión
binomial del teorema de Pitágoras, y que puede usarse para convertir las distancias
inclinadas a horizontales, es la siguiente:
(6.2b)
En la ecuación (6.2b), el término d2/2L es igual a C en la figura 6.5, y es una corrección que debe sustraerse de la longitud inclinada medida para determinar la distancia horizontal. El error al usar la fórmula aproximada en una longitud de 100 pies
crece al aumentar la pendiente. La ecuación (6.2b) es útil para hacer estimaciones
rápidas sin calculadora o para determinar la magnitud de los errores cometidos en
virtud de las condiciones variables de la pendiente. No deberá usarse como un método alterno de la ecuación (6.2a) cuando se reducen las distancias en la pendiente.
■ 6.14 CAUSAS DE ERROR EN LAS MEDICIONES
CON CINTA
Existen tres clases de errores en la ejecución de mediciones con cinta:
1. Errores instrumentales. Una cinta puede usarse con una longitud diferente de
su longitud graduada nominal, ya sea por defecto de fabricación, por reparación o por haberse formado una o más cocas al medir.
2. Errores naturales. La distancia horizontal entre las graduaciones extremas de
una cinta varía debido a los efectos de la temperatura, del viento y del peso
de la propia cinta.
3. Errores personales. Los cadeneros pueden ser descuidados en la colocación
de las fichas, en la lectura de la cinta o en el manejo general del equipo.
Con la precisión de la MED en la estación total de la actualidad, la medición
con cinta rara vez se usa en trabajos de precisión; su uso ha sido relegado a áreas
donde se requiere una exactitud menor. Sin embargo, cuando se usa una cinta,
estas fuentes de error deberán entenderse y evitarse. Por ejemplo, una medición
escalonada o una de liga para una estación que se tome con una cinta, no deberá
estar sujeta a errores personales. Los efectos de las fuentes de error personal y
sistemático en la medición con cinta se estudian en las siguientes subsecciones.
Debido a la precisión y a la exactitud de los instrumentos de MED, rara vez se
emplean en la actualidad las mediciones de precisión con cinta, que requerían estas
correcciones. El Apéndice A contiene ejemplos de correcciones para mediciones
con cinta para errores sistemáticos.
6.14.1 Longitud incorrecta de la cinta
La longitud incorrecta de una cinta es uno de los errores más importantes. Los
fabricantes de longímetros no garantizan, por lo general, que las cintas de acero
tengan exactamente su longitud nominal, por ejemplo, 100.00 pies, ni proporcionan un certificado de comparación, excepto que se solicite o se pague un cargo
extra por éste. La longitud real se obtiene comparando la cinta en cuestión con una
certificada o con una distancia medida con cinta certificada. El National Institute of
ALFAOMEGA
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6.14 Causas de error en las mediciones con cinta
141
Standards and Technology (NIST)1 del Departamento de Comercio de Estados
Unidos efectúa esta comparación y certifica la distancia exacta que hay entre las
graduaciones extremas de la cinta en condiciones dadas de temperatura, tensión
y forma de sostenerla. Una cinta de acero de 100 pies, se normaliza y certifica
generalmente según dos grupos de condiciones: por ejemplo, temperatura de 68 °F,
tensión de 12 lb, con la cinta situada sobre una superficie plana (apoyada en toda
su longitud); o bien, temperatura de 68 °F, tensión de 20 lb, con la cinta apoyada
sólo en sus extremos. Normalmente, las escuelas y las oficinas de topografía tienen
por lo menos una cinta certificada o estandarizada de 100 pies, que se utiliza únicamente para comparar otras cintas sujetas a desgaste.
Cada vez que se tiende la cinta ocurre un error debido a su longitud incorrecta. Si la longitud verdadera de la cinta, determinada por comparación, no es
exactamente igual a su valor nominal de 100.00 pies registrado por cada cintada
completa, puede determinarse la corrección con la siguiente fórmula:
(6.3)
donde CL es la corrección por aplicarse a la longitud medida (registrada) de una
línea para determinar la longitud verdadera, l es la longitud real de la cinta, l’ es la
longitud nominal de la misma, y L es la longitud medida (registrada) de la línea.
Las unidades de los términos en la ecuación (6.3) pueden ser en pies o en metros.
6.14.2 Temperaturas anormales
Las cintas de acero se normalizan a 68 °F (20 °C) en Estados Unidos. Una temperatura mayor o menor de este valor ocasiona un cambio de longitud que debe
tomarse en consideración. El coeficiente de dilatación térmica y contracción del
acero usado en cintas ordinarias es aproximadamente de 0.00000645 por unidad
de longitud por grado Fahrenheit, y de 0.0000116 por unidad de longitud por grado
Celsius. De modo que para cualquier cinta la corrección por alteración térmica se
puede calcular y aplicar de acuerdo con la fórmula
(6.4)
en donde CT es la corrección aplicada a la longitud de la línea alterada por una
temperatura diferente de la normal, k es el coeficiente de dilatación térmica y contracción de la cinta, T1 es la temperatura de la cinta al momento de medir, T es la
temperatura de la cinta que tiene su longitud normal, y L es la longitud medida
(registrada) de la línea. La corrección CT tendrá las mismas unidades de L, que
pueden ser pies o metros. Los errores ocasionados por cambios de temperatura
prácticamente pueden eliminarse, ya sea (a) midiendo la temperatura y efectuando
correcciones de acuerdo con la ecuación (6.4), o (b) usando una cinta Invar.
Los errores causados por cambios de temperatura son sistemáticos y tienen
el mismo signo si la temperatura es siempre superior a 68 °F, o siempre inferior a
este valor. Cuando la temperatura es mayor de 68 °F durante una parte del tiempo empleado en medir una línea larga, e inferior a 68 °F el resto del tiempo, los
errores tienden a compensarse parcialmente. Sin embargo, las correcciones deben
calcularse y aplicarse.
1
Puede obtenerse información sobre los servicios de calibración de cintas del National Institute of Standards and Technology en el siguiente sitio de la red: http://www.nist.gov. Las cintas pueden enviarse
para su calibración al National Institute of Standards and Technology, Building 220, Room 113, 100
Bureau Dr., Gaithersburg, Md. 20899; teléfono: (301) 975-2465.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
142 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
Los efectos de temperatura son difíciles de evaluar al hacer mediciones con
cinta. La temperatura del aire leída en un termómetro fijado a la cinta puede ser
muy diferente de la temperatura real. La brillantez solar, la sombra, el viento, la
evaporación del agua en una cinta mojada y otras condiciones, hacen incierta
la temperatura de la cinta. Los experimentos realizados en el campo demuestran
que las temperaturas sobre la tierra o en el pasto pueden ser de 10 a 25 °F mayores
o menores que las que se miden a la altura de los hombros de una persona, a causa
de la existencia de una “capa de intemperie” (microclima) de unas 6 plg sobre la
superficie del terreno. Puesto que una diferencia de temperatura de unos 15 °F
ocasiona un cambio de 0.01 pies por cada cintada completa de 100 pies, es obvia la
importancia de las variaciones grandes.
Las mediciones hechas en un taller con calibradores de acero u otros dispositivos están sujetas de igual forma a los efectos de la temperatura. La precisión
necesaria en la fabricación de un avión o un barco de gran tamaño puede perderse
sólo por esta causa.
6.14.3 Tensión incorrecta
Cuando una cinta de acero se jala con una tensión mayor a la estándar (la tensión
a la cual fue calibrada), la cinta se alarga y se hace más larga que su longitud estándar. Por el contrario, si se jala con una fuerza menor que la normal, mostrará una
longitud menor que la estándar. El módulo de elasticidad del material de la cinta
regula la cantidad alargada. La corrección por tensión puede calcularse y aplicarse
usando la siguiente fórmula:
(6.5)
donde CP es el alargamiento total de la cinta debido al incremento de la tensión
aplicada, en pies; P1 es la tensión aplicada a la cinta en el momento de la observación, en libras; P es la tensión normal para la cinta en libras; A es el área de la
sección transversal de la cinta en pulgadas cuadradas; E es el módulo de elasticidad
del acero en libras por pulgada cuadrada; y L es la longitud medida (registrada) de
la línea. El valor medio de E es de 29,000,000 lb/plg2 para el tipo de acero utilizado en las cintas. En el sistema métrico, para producir la corrección Cp en metros,
las unidades comparables de P y P1 son kilogramos, L está en metros, A está en
centímetros cuadrados, y E está en kilogramos por centímetro cuadrado. El valor promedio de E para el acero en esas unidades es aproximadamente 2,000,000 kg/cm2.
El área de la sección transversal de la cinta puede conseguirse con su fabricante, midiendo su ancho y grueso con calibradores, o bien, dividiendo el peso
total de la cinta entre el producto de la longitud (en pies) por el peso específico
del acero (490 lb/pie2) y multiplicando por 144 para convertir los pies cuadrados
en pulgadas cuadradas.
Los errores que aparecen al aplicar una tensión incorrecta pueden eliminarse: (a) utilizando un dinamómetro para medir y mantener la tensión normal,
o (b) aplicando una tensión diferente a la normal, y efectuando las correcciones
pertinentes de acuerdo con la ecuación (6.5).
Los errores causados por tensión incorrecta pueden ser sistemáticos o aleatorios. La tensión
aplicada aun por un cadenero experimentado es a veces mayor o
2
menor que el valor deseado. Una persona sin experiencia, sobre todo quien no ha
usado un dinamómetro en una cinta, tiene tendencia a aplicar constantemente una
tensión menor que la normal.
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6.14 Causas de error en las mediciones con cinta
143
100-pies
0-pies
(a) Cinta de acero tensa
100
0
w2 L3
Figura 6.6 Efecto
de colgamiento o
catenaria.
s
24P 21
(b) Cinta de acero tensa con efecto catenaria
6.14.4 Catenaria
Una cinta de acero que no está apoyada en toda su longitud, cuelga desde sus
extremos formando una catenaria; un ejemplo de tal caso es el cable entre dos
postes de luz. Debido a la catenaria, la distancia horizontal (longitud de la cuerda)
es menor que la distancia graduada entre los extremos de la cinta, como se ilustra
en la figura 6.6. El efecto de catenaria puede disminuirse aplicando mayor tensión,
pero no eliminarse, a menos que se apoye la cinta en toda su longitud. La siguiente
fórmula se usa para calcular la corrección por catenaria:
(6.6)
en donde Cs es, en pies, la corrección por catenaria (la diferencia entre la longitud
de la curvatura de la cinta y la de la cuerda que va de un apoyo al siguiente); Ls es
la longitud (en pies) colgante de la cinta, w el peso (en lb) de la cinta por unidad
de longitud (en pies), y P1 la tensión (en lb) aplicada al longímetro. Las unidades
correspondientes del sistema métrico para la ecuación (6.6) son: kg/m para w, kg
para P1 y metros para Cs y Ls.
Los efectos de los errores por catenaria pueden eliminarse: (a) apoyando la
cinta a intervalos cortos o en toda su extensión, o (b) calculando la corrección por
catenaria de cada segmento sin soporte y aplicando el total a la longitud registrada
de acuerdo con la ecuación (6.6). Es importante percatarse de que la ecuación (6.6)
es no lineal y por tanto debe aplicarse a cada sección de la cinta que no tenga apoyo. Es incorrecto aplicarla a la longitud total de la línea a menos que la línea haya
sido observada en una sección.
Como se indicó antes, cuando se miden líneas de longitud desconocida, las
correcciones por catenaria son siempre negativas, en tanto que las correcciones por
tensión son positivas si la que se aplica excede a la tensión estándar. Para cualquier
cinta, es posible obtener la llamada tensión normal que se requiere para compensar estos dos factores. Su valor se puede calcular igualando las ecuaciones (6.5) y
(6.6) y despejando P1, o bien, puede determinarse por ensayos sucesivos. Si bien
la aplicación de la tensión normal permite eliminar de hecho la necesidad de efectuar correcciones tanto para la tensión como para la catenaria, este recurso no es
muy común, debido a que la tensión requerida es a menudo demasiado grande
como para que su aplicación resulte conveniente.
6.14.5 La cinta no está horizontal y está desalineada
Las correcciones por los errores causados por una cinta que esté inclinada en el
plano vertical se calculan de la misma manera que las correcciones por los errores
que resultan de su desalineación en el plano horizontal. Las longitudes corregidas
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144 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
pueden determinarse con la ecuación (6.2), en donde, en el plano vertical, d es la
diferencia en elevación entre los extremos de la cinta, y en el plano horizontal d es
la magnitud de la desalineación de un extremo de la cinta. En cualquiera de los dos
casos, L es la longitud de la cinta que interviene en la medición.
Los errores originados por la falta de horizontalidad de una cinta son sistemáticos y hacen que la longitud registrada siempre sea mayor que la longitud real.
Estos errores se reducen utilizando un nivel de mano para mantener iguales las elevaciones de los extremos de la cinta, o corriendo una nivelación diferencial (véase
la sección 5.4) sobre los puntos de la línea medida y aplicando correcciones para
las diferencias de elevación. Los errores derivados de la desalineación también son
sistemáticos, y siempre hacen que la longitud registrada sea mayor que la distancia
real. Este tipo de error puede eliminarse mediante una alineación cuidadosa.
6.14.6 Aplome inadecuado
Se necesita práctica y buen pulso para sostener una plomada quieta durante un
periodo lo suficientemente largo para poder marcar un punto. La plomada se mueve
en círculos aun cuando no haya viento. En pendientes poco inclinadas, y sobre
superficies lisas como las de pavimentos, los cadeneros inexpertos tienen mejores
resultados tendiendo la cinta sobre el terreno en vez de leer a plomo. Los cadeneros experimentados usan la plomada en la mayoría de las mediciones.
Los errores originados por un aplome incorrecto son aleatorios, puesto que
pueden hacer que las distancias anotadas sean más largas o más cortas. Estos errores serían sistemáticos, empero, si se midiera con la cinta directamente en contra
de la dirección de un viento fuerte o en la misma dirección de éste. Si se toca ligeramente el terreno con la plomada, o si se le aquieta con un pie, se logra disminuir
su oscilación. La práctica en el aplome reducirá los errores.
6.14.7 Marcaje
Las fichas de cadenamiento deben clavarse perpendicularmente a la línea que se
mide, pero inclinadas 45° con respecto al terreno. Esta disposición permite aplomar sobre el punto en donde entra la ficha al terreno sin que haya interferencia
con su argolla.
La maleza, las piedras, el pasto y las raíces dificultan clavar las fichas o agujas
de cadenamiento y pueden agravar el efecto del marcaje incorrecto. Estos errores
tienden a ser aleatorios y se mantienen al mínimo determinando cuidadosamente
un punto y luego verificando la medida sobre la ficha.
Al usar la cinta sobre superficies sólidas, como pavimentos o aceras, pueden
emplearse marcas o rayas para señalar los segmentos medidos. Puede incrementarse la precisión al medir con cinta sobre el terreno usando tachuelas en las estacas
como marcadores en vez de fichas de cadenamiento.
6.14.8 Lectura incorrecta o interpolación
El proceso de apreciar centésimos en cintas graduadas sólo en décimos, o bien,
milésimos en las cintas graduadas sólo en centésimos, se llama interpolación. Los
errores debidos a esta causa son aleatorios sobre la longitud de la línea. Pueden
reducirse mediante una lectura cuidadosa, o empleando una lupa o una escala
pequeña para determinar la última cifra.
6.14.9 Resumen de los efectos de los errores que ocurren
en las mediciones con cinta
Un error de 0.01 pies es significativo en muchas medidas topográficas. En la tabla
6.1 se da una lista de los nueve tipos de errores, y en ella se les clasifica como
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6.15 Introducción
TABLA 6.1
145
RESUMEN DE ERRORES
Tipo de error
Fuente
de error*
Sistemático (S)
Desviación de la normal para producir un
o aleatorio (A) error de 0.01 pies para una cinta de 100 pies
Longitud de la cinta
I
S
0.01 pies
Temperatura
N
S o R
15 °F
Tensión
P
S o R
15 lb
Catenaria
N, P
S
0.6 pies al centro para una cinta de 100 pies
estandarizada con apoyo total en toda su longitud
Alineación
P
S
1.4 pies en un extremo de la cinta de 100 pies
o 0.7 pies en el punto medio
La cinta no está a nivel
P
S
1.4 pies de diferencia de elevación entre los extremos
de la cinta de 100 pies
Aplomo
P
R
0.01 pies
Marcado
P
R
0.01 pies
Interpolación
P
R
0.01 pies
*I2instrumental; N2natural; P2personal.
instrumentales (I), naturales (N) o personales (P), y también como sistemáticos
(S) o aleatorios (A). Además, da la desviación con respecto a la normal, que produciría un error de 0.01 pies en una medida de 100 pies.
PARTE III • MEDICIÓN ELECTRÓNICA DE DISTANCIAS
■ 6.15 INTRODUCCIÓN
Un adelanto importante para la topografía, que ocurrió hace aproximadamente
60 años, ha sido el utilizar instrumentos para la medición electrónica de distancias (MED). Estos dispositivos determinan la distancia mediante la medición indirecta del número de ondas completas y parciales de la energía electromagnética
transmitida que se requiere para viajar entre los dos extremos de una línea. En la
práctica la energía se transmite de un extremo de la línea al otro y regresa al punto
inicial; de esta manera viaja el doble de la distancia de la trayectoria. Multiplicando
el número total de ciclos por su longitud de onda, y dividiendo entre 2, se obtiene
la distancia desconocida.
El primer instrumento de este tipo fue presentado en 1948 por el físico sueco Erik Bergstrand. Su dispositivo, llamado geodímetro (geodimeter, acrónimo de
geodetic distance meter), fue el resultado de ciertos intentos para mejorar los métodos de medición de la velocidad de la luz. El instrumento transmitía luz visible
y era capaz de medir en la noche con toda exactitud distancias hasta de unas 25
millas (40 km). En 1957 fue presentado un segundo aparato de MED, el telurómetro. Diseñado en África del Sur por el Dr. T. L. Wadley, este instrumento transmitía
microondas y era capaz de medir distancias hasta de 50 millas (80 km) o más, de
día o de noche.
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146 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
Inmediatamente se reconoció el gran valor potencial de estos primeros modelos de MED en el campo de la topografía. Sin embargo, los primeros instrumentos
eran costosos y nada fáciles de transportar para los trabajos de campo. Además,
los procedimientos de medición eran tardados y las operaciones matemáticas para
determinar las distancias a partir de los valores observados resultaban difíciles y
laboriosas. La investigación y el mejoramiento continuados han eliminado todas
estas deficiencias. Antes de la aparición de los instrumentos de MED, las mediciones precisas de distancias se hacían con cinta. Aunque relativamente simple,
dicho procedimiento es una de las tareas más difíciles y molestas de la topografía.
Los instrumentos de MED han hecho posible medir distancias exactas, rápida y
fácilmente. Si es posible dirigir una línea visual, pueden medirse distancias largas o
cortas sobre grandes masas de agua, sobre carreteras transitadas o sobre terrenos
inaccesibles para la medición con cinta.
En la presente generación, los instrumentos de MED traen incorporados teodolitos digitales y microprocesadores, para crear así instrumentos de estación total
(véanse las figuras 1.3 y 2.5). Estos instrumentos pueden medir distancias y ángulos
simultánea y automáticamente. El microprocesador recibe la longitud medida de
la pendiente y el ángulo cenital (o vertical), calcula las componentes horizontal y
vertical de las distancias, y las exhibe en tiempo real. Cuando están equipados con
recolectores automáticos de datos (véase la sección 2.12), pueden registrar notas
de campo electrónicamente y transmitirlas a computadoras, graficadores u otros
dispositivos para su procesamiento. Estos sistemas, que se conocen como de campo
a lo terminado, están ganando aceptación en todo el mundo y están cambiando
sustancialmente la práctica de la topografía.
■ 6.16 PROPAGACIÓN DE LA ENERGÍA ELECTROMAGNÉTICA
La medición electrónica de distancias se basa en la tasa y la manera mediante la
cual la energía electromagnética se propaga a través de la atmósfera. La tasa de
propagación puede expresarse con la siguiente ecuación:
V 5 fl
(6.7)
en la cual V es la velocidad de la energía electromagnética en metros por segundo;
f la frecuencia de modulación de la energía en hertz;2 y l la longitud de onda en
metros. La velocidad de la energía electromagnética en el vacío es de 299,792,458
m/s. Su velocidad se reduce un poco en la atmósfera de acuerdo con la siguiente
ecuación:
V 5 c/n
(6.8)
donde c es la velocidad de la energía electromagnética en el vacío, y n el índice de
refracción atmosférico. El valor de n varía entre aproximadamente 1.0001 a 1.0005,
dependiendo de la presión y la temperatura; sin embargo, se puede tomar igual a
1.0003. Así, la medición electrónica exacta de una distancia requiere que se midan
la presión atmosférica y la temperatura de modo que se conozca el valor apropiado
de n.
La temperatura, la presión atmosférica y la humedad relativa tienen todas
un efecto sobre el índice de refracción. Ya que una fuente luminosa emite luz compuesta con muchas longitudes de onda, y ya que cada longitud de onda tiene un
índice de refracción diferente, el grupo de ondas tiene un índice de grupo de refrac2
El hertz (Hz) es una unidad de frecuencia igual a 1 ciclo por segundo. El kilohertz (KHz), el
megahertz (MHz) y el gigahertz (GHz) son iguales a 103 Hz, 106 Hz y 109 Hz, respectivamente.
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6.16 Propagación de la energía electromagnética
147
ción. El valor de la refractividad de grupo Ng en aire estándar3 para la medición
electrónica de distancias es
(6.9)
donde l es la longitud de onda de la luz expresada en micrómetros (mm) y ng es
el índice refractivo de grupo. Las longitudes de onda de las fuentes luminosas que
comúnmente se usan en las MED son 0.6328 mm para el láser rojo y de 0.900 a
0.930 mm para el infrarrojo.
El índice real refractivo de grupo na para la atmósfera al momento de la
observación debido a variaciones en la temperatura, presión y humedad puede
calcularse como
(6.10)
donde e es la presión parcial del vapor de agua en hectopascal4 (hPa) tal como se
define para la temperatura y la humedad relativa en el momento de la medición, P
es la presión en hPa, y t es la temperatura de bulbo seco en °C. La presión parcial
de vapor de agua, e, puede calcularse con suficiente exactitud para condiciones
normales de operación como
(6.11)
e 5 E · h/100
donde E 5 10[(7.5t/237.31t)10.7858] y h es la humedad relativa en porcentaje.
■ Ejemplo 6.1
¿Cuál es la longitud de onda y la velocidad reales de un haz cercano al infrarrojo
(l 5 0.915 mm) de luz modulada a una frecuencia de 320 MHz a través de una
atmósfera con una temperatura (seca), t, de 34 °C, una humedad relativa h de 56%,
y una presión atmosférica de 1 041.25 hPa?
Solución
De la ecuación (6.9),
De la ecuación (6.11),
174
174
7774
3
El aire estándar se define con las siguientes condiciones: 0.0375% de dióxido de carbono,
temperatura de 0 °C, presión de 760 mm de mercurio, y 0% de humedad.
4
1 atmósfera 5 101.325 kPa 5 1 013.25 hPa 5 760 torr 5 760 mm Hg.
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148 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
De la ecuación (6.10),
7774
092597)1026
De la ecuación (6.8),
V 5 299 792 458/1.0002672 5 299,712,382 m/s
Al reordenar la ecuación (6.7) se obtiene una longitud de onda real de
l 5 299,712,382/320,000,000 5 0.9366012 m
Observe en la solución del ejemplo 6.1 que el segundo término entre paréntesis de la ecuación (6.10) considera los efectos de la humedad en la atmósfera.
De hecho, si este término se ignora, el índice real de refracción na sería 1.0002683,
lo que conduce a la misma longitud de onda calculada con cinco decimales. Esto
demuestra por qué, al usar instrumentos de MED que emplean luz cercana a la
infrarroja, los efectos de la humedad sobre la transmisión de la onda pueden ignorarse para todo trabajo, con excepción del más preciso.
La manera mediante la cual se propaga la energía electromagnética a través
de la atmósfera puede representarse conceptualmente mediante la curva sinusoidal mostrada en la figura 6.7. Esta figura muestra una longitud de onda o ciclo. Las
secciones de longitud de onda o la posición de puntos a lo largo de la longitud de
onda están dadas por ángulos de fase. Así, en la figura 6.7, un ángulo de fase de 360°
representa un ciclo completo o un punto en el extremo de una longitud de onda,
en tanto que 180° corresponden a media longitud de onda o al punto medio. Una
posición intermedia a lo largo de una longitud de onda, con un ángulo de fase de,
digamos, 135° es 135/360, o 0.375 de una longitud de onda.
Figura 6.7
Una longitud de
onda de energía
electromagnética
ilustra los ángulos
de fase.
ALFAOMEGA
Amplitud
/2
0.375
0º
90º
180º
135º
270º
360º
Fase
Un ciclo
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6.17 Principios de la medición electrónica de distancias
149
■ 6.17 PRINCIPIOS DE LA MEDICIÓN ELECTRÓNICA
DE DISTANCIAS
En la sección 6.15 se enunció que las distancias se observan electrónicamente
determinando el número de ondas completas y parciales de energía electromagnética transmitida que se requieren para recorrer la distancia entre los dos extremos de una línea. En otras palabras, este proceso incluye determinar el número de
longitudes de onda en una distancia desconocida. Entonces, al conocer la longitud
precisa de la onda, la distancia puede determinarse. Esto es semejante a relacionar
una distancia por medir con la longitud calibrada de una cinta de acero.
El procedimiento para medir distancias electrónicamente se ilustra en la figura 6.8, donde un dispositivo de MED se ha centrado sobre la estación A mediante
una plomada o de una plomada óptica. El instrumento transmite a la estación B una
señal portadora de energía electromagnética. Se ha superpuesto o modulado sobre
el portador una frecuencia de referencia de una longitud de onda regulada con precisión. La señal regresa desde el reflector en la estación B hasta el proyector, por
lo que su recorrido es igual al doble de la distancia inclinada AB. En la figura, la
energía electromagnética modulada está representada por una serie de sinusoides,
cada una con una longitud de onda l. La unidad en A determina el número de
longitudes de onda en la trayectoria doble, multiplicado por la longitud de onda en
pies o metros, y dividido entre 2 para obtener la distancia AB.
Es muy poco común el que una distancia a medir sea exactamente un número entero de longitudes de onda, como se muestra en la figura 6.8. En lugar de esto
se presentan algunas fracciones de longitud de onda, como el valor p que se muestra en la figura 6.9. En esta figura, la distancia L entre el instrumento de MED y el
reflector se expresa como
(6.12)
donde l es la longitud de onda, n el número de longitudes de onda completas y p
la parte fraccionaria de longitud de onda. La longitud fraccionaria se determina
Energía electromagnética
modulada
(portadora superpuesta)
Reflector
Instrumento
de MED
Energía devuelta
B
A
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Figura 6.9
Procedimiento
generalizado con
un instrumento de
MED.
ALFAOMEGA
Figura 6.10
Principio de
medición de la
diferencia de fase.
Energía saliente
p
Reflector
Instrumento
de MED
150 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
Energía devuelta
L
mediante el instrumento de MED a partir de la medición del desplazamiento
de fase (ángulo de fase) de la señal devuelta. Para ilustrar, suponga que la longitud de
onda del ejemplo de la figura 6.8 fue precisamente 20.000 m. Suponga también que
el ángulo de fase de la señal devuelta fue 115.7°, en cuyo caso la longitud p sería
(115.7/360) 3 20.000 5 6.428 m. Entonces de la figura, ya que n 5 9, por la ecuación
(6.12), la longitud L es
m
Considerando la distancia de la trayectoria doble, la longitud de onda de 20 m que
se usa en el ejemplo dado anteriormente tiene una “longitud de onda efectiva”
de 10 m. Ésta es una de las longitudes de onda fundamentales que se usan en los
instrumentos de MED actuales. Se genera usando una frecuencia de aproximadamente 15 MHz.
Los instrumentos de MED no pueden determinar el número de longitudes
de onda completas para una distancia desconocida mediante la transmisión solamente de una frecuencia y de una longitud de onda. Para resolver la ambigüedad
de n, en la ecuación (6.12), deben transmitir señales adicionales que tengan longitudes de onda más largas. Este procedimiento se explica en la siguiente sección,
que describe los instrumentos electroópticos de MED.
■ 6.18 INSTRUMENTOS ELECTROÓPTICOS
La mayoría de los instrumentos de MED fabricados actualmente son electroópticos,
y transmiten luz infrarroja o láser como señal portadora. Esto se debe a que la intensidad de esta radiación puede modularse directamente, simplificando de manera
considerable el equipo. En los primeros modelos se usaron lámparas de tungsteno
o de mercurio. Esos instrumentos eran voluminosos, exigían una fuente grande de
potencia y tenían rangos de operación relativamente cortos, especialmente durante
el día, debido a la difusión atmosférica excesiva. Después vinieron los instrumentos de MED que emplean luz coherente producida por láseres de gas. Éstos eran
más pequeños y portátiles, y podían efectuar mediciones de grandes distancias,
tanto de día como de noche.
La figura 6.10 es un diagrama esquemático generalizado que ilustra el método básico de operación de un instrumento electroóptico en particular. El transmisor utiliza un diodo de GaAs que emite radiación infrarroja de amplitud modulada
(AM). La frecuencia de modulación la controla con toda precisión un oscilador de
cristal. El proceso de modulación puede asemejarse al paso de luz a través de un
ALFAOMEGA
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6.18 Instrumentos electroópticos 151
Retrorreflector
Haz exterior
Haz interior
Divisor
de haz
Filtro
de densidad
variable
Filtro
de interferencia
Transmisor
F1
F2 F3
F4
Receptor óptico
y circuitos
fase-diferencia
Generador
de frecuencia
Pantalla
Fasómetro
Figura 6.11
Diagrama
de bloques
generalizado
que ilustra la
operación de un
instrumento de
MED electroóptico.
tubo de chimenea, dentro del cual puede girar una placa reguladora con una rapidez o frecuencia controlada con precisión. Cuando la placa está cerrada no pasa
luz. Cuando comienza a abrirse, la intensidad de la luz va aumentando hasta un
máximo correspondiente a un ángulo de fase de 90° con el eje del tubo, estando
la placa completamente abierta. La intensidad se reduce nuevamente a cero al
cerrarse la placa a un ángulo de fase de 180°, etc. Esta variación de la intensidad o
modulación de la amplitud queda representada correctamente por ondas sinusoidales, como las mostradas en las figuras 6.7 y 6.8.
Como se muestra en la figura 6.10, un divisor de haz parte la luz emitida por el
diodo en dos señales separadas: un haz exterior para medición y un haz interior
para referencia. Mediante un telescopio montado sobre el instrumento de MED,
el haz externo es dirigido cuidadosamente hacia el retrorreflector, que se ha centrado sobre un punto en el otro extremo de la línea. La figura 6.11 muestra un
retrorreflector triple de cubo con esquina, del tipo usado para hacer regresar el haz
externo, coaxial, al receptor.
El haz interior pasa por un filtro de densidad variable y su intensidad se
reduce a un nivel igual al de la señal exterior que retorna, lo cual permite hacer una
medición más exacta. Ambas señales, la interior y la exterior, pasan por un filtro
de interferencia, el cual elimina toda energía no deseada, como por ejemplo la luz
solar. Los haces interior y exterior pasan luego a través de componentes que los
convierten en energía eléctrica, conservando la relación de desfasamiento que se
deriva de sus diferentes longitudes de recorrido. Un medidor de fase o fasómetro
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
152 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
Figura 6.12
Retrorreflector
triple. (Cortesía de
Topcon Positioning
Systems.)
convierte esa diferencia de fase en corriente directa de intensidad proporcional
al desfasamiento. Esta corriente se envía a un medidor de anulación que se ajusta
para nulificar la corriente. La longitud de onda fraccionaria se mide durante el
proceso de nulificación, se convierte a distancia y se muestra.
Para resolver la ambigüedad del número de ciclos completos que componen
la onda, los instrumentos de MED transmiten frecuencias moduladas diferentes.
La unidad mostrada en el esquema de la figura 6.10 usa cuatro frecuencias: F1, F2,
F3 y F4. Si se usan las frecuencias moduladas de 14.984 MHz, 1.4984 MHz, 149.84
kHz, y 14.984 kHz, y si suponemos que el índice de refracción es de 1.0003, entonces las longitudes de onda “efectivas” correspondientes serán de 10.000, 100.00,
1000.0 y 10,000 m, respectivamente. Supongamos que aparece en el visualizador una
distancia de 3 867.142 como resultado de medir una línea. Los cuatro dígitos más
a la derecha, 7.142, se obtienen a partir del corrimiento de fase medido mientras
se transmite la longitud de onda de 10.000 m a la frecuencia F1. Luego se transmite
la frecuencia F2 con una longitud de onda de 100.000 m, obteniéndose una longitud
fraccional de 67.14. Esto proporciona el dígito 6 en la distancia visualizada. La frecuencia F3 da una lectura de 867.1, la cual proporciona el dígito 8 en la respuesta, y
finalmente la frecuencia F4 da una lectura de 3867 que suministra el dígito 3, para
completar la cantidad visualizada. De este ejemplo debe ser evidente que puede
garantizarse la alta resolución de una medida (la más cercana a 0.001 m) usando la
longitud de onda de10.000 m, las otras simplemente resuelven la ambigüedad del
número de estas longitudes de onda más cortas en la distancia total.
Con los instrumentos más viejos, el cambio de frecuencias y la anulación
se hacían manualmente al sintonizar cuadrantes y hacer girar perillas. Ahora los
instrumentos modernos incorporan microprocesadores que controlan el proceso
de medición completo. Una vez que el instrumento apunta al reflector y se inicia la
medición, la distancia final aparece en el cuadrante casi instantáneamente. Otros
cambios en los instrumentos nuevos incluyen equipo electrónico mejorado para
controlar la modulación de la amplitud y el reemplazo del medidor de anulación por
un detector electrónico de fases. Estos cambios han mejorado significativamente la
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
6.18 Instrumentos electroópticos 153
exactitud con la cual pueden determinarse los desplazamientos de fase, lo que a su
vez ha reducido el número de frecuencias diferentes que necesitan transmitirse. En
consecuencia, ahora se usan solamente dos frecuencias en algunos instrumentos:
una que produce una longitud de onda corta para suministrar los dígitos de alta
resolución, y otra con una longitud de onda larga para suministrar los números
gruesos. Para ilustrar cómo esto es posible, considere nuevamente la medición de
ejemplo descrita anteriormente, que emplea cuatro frecuencias. Recuerde que se
obtuvo una lectura de 7.142 con la longitud de onda de 10.000 m, y que se leyó
3867 con la longitud de onda de 10,000 m. Observe el traslape del dígito común 7
en las dos lecturas. Suponiendo que las dos mediciones de desplazamiento de fase
son confiables hasta cuatro cifras significativas, el dígito de la extrema izquierda de
la primera lectura debería ser el mismo que el de la extrema derecha de la segunda
lectura. Si estos dígitos son los mismos en la medición, esto suministra una verificación de la operación del instrumento. Los instrumentos modernos comparan estos
dígitos traslapados, y exhibirán un mensaje de error si no concuerdan. Si concuerdan, la distancia exhibida tomará los cuatro dígitos de la primera lectura (longitud
de onda corta), y los primeros tres dígitos de la segunda lectura.
Los fabricantes suministran una amplia variedad de instrumentos con precisiones que varían desde 6(1 mm 1 1 ppm) hasta 6(10 mm 1 5 ppm).5 Las versiones anteriores se fabricaban para sustentarse en un trípode por sí solas, y entonces
desde cualquier apoyo solamente podían medir distancias. Ahora, como se observó
anteriormente, en la mayoría de los casos los instrumentos de MED se combinan
con teodolitos electrónicos digitales para producir nuestros instrumentos de estación total modernos y muy versátiles. Éstos se describen en la siguiente sección.
■ 6.19 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL
Los instrumentos de estación total (llamados también taquímetros electrónicos)
combinan un instrumento de MED, un teodolito digital electrónico y una computadora en una sola unidad. Estos dispositivos, descritos con más detalle en el
capítulo 8, miden automáticamente ángulos horizontales y cenitales (o verticales),
así como distancias y transmiten los resultados en tiempo real a una computadora
incorporada. Pueden exhibirse los ángulos horizontales y cenitales (o verticales),
así como las distancias inclinadas, y luego, usando los comandos del teclado, las
componentes de las distancias verticales y horizontales se calculan y se muestran
instantáneamente. Si el instrumento está orientado en dirección de las coordenadas de la estación ocupada se ingresan al sistema, y pueden obtenerse inmediatamente las coordenadas de cualquier punto visado. Estos datos pueden almacenarse
dentro del instrumento, o en un recolector automático de datos, eliminando así
todo registro manual.
Los instrumentos de estación total son muy valiosos para todo tipo de levantamientos, como se estudiará en varias partes de este libro. Además de calcular y
exhibir automáticamente las componentes horizontal y vertical de una distancia
inclinada, y las coordenadas de los puntos visados, los instrumentos de estación
total pueden operarse en modo de rastreo. En este modo, que algunas veces también se llama estacado, puede ingresarse una distancia requerida (horizontal, vertical o inclinada) mediante el tablero de control, y el telescopio del instrumento
5
Las exactitudes en las mediciones electrónicas de distancias se citan en dos partes; la primera parte
es una constante, y la segunda es proporcional a la distancia medida. La abreviatura ppm 5 partes por
millón. Una ppm equivale a 1 mm/km. En una distancia de 5000 pies, un error de 5 ppm es igual a
5000 3 (5 3 1026) 5 0.025 pies.
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ALFAOMEGA
154 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
se apunta en la dirección apropiada. Entonces, a medida que el reflector cambia
su posición hacia adelante o hacia atrás, la diferencia entre la distancia deseada y
aquélla hasta el reflector se actualiza y se exhibe rápidamente. Si la carátula muestra que la diferencia es cero, se ha establecido la distancia requerida y se coloca una
estaca. Esta opción, que es muy útil en el estacado de la construcción, se describe
más ampliamente en la sección 23.9.
Los instrumentos de estación total mostrados en las figuras 2.5, 6.12 y 8.2
tienen todos un rango de distancia de aproximadamente 3 km (usando un solo
prisma) con una exactitud de 6(1 mm 1 1.5 ppm) y leen los ángulos hasta el 2"
cercano.
■ 6.20 INSTRUMENTOS DE MED SIN REFLECTORES
Algunos instrumentos de MED no requieren reflectores para la medición de las
distancias. Estos dispositivos usan señales de láser infrarrojo de impulso de cronometraje, y en su modo de operación sin reflector pueden observar distancias de
hasta 200 m de longitud. La unidad Leica Disto mostrada en la figura 6.13(a) es
conveniente para medir longitudes en un ambiente de construcción.
Algunos instrumentos de estación total, como el que se muestra en la figura
6.12, utilizan señales de láser y también pueden observar distancias de hasta 1000 m
en el modo sin reflector. Pero como se observó anteriormente, con prismas pueden
observar longitudes de más de 3 kilómetros.
Usando los instrumentos en el modo sin reflector, pueden hacerse observaciones de objetos inaccesibles, tales como las características de un edificio, como
se muestra en la figura 6.13(b) y 23.4, los paramentos de las presas y de los muros
de retención, los miembros estructurales que se están armando en los puentes, etc.
Estos instrumentos pueden aumentar la velocidad y la eficiencia de los levantamientos topográficos en cualquier proyecto de construcción o de fabricación, especialmente cuando se miden elementos que son inaccesibles.
■ 6.21 CÁLCULO DE DISTANCIAS HORIZONTALES
A PARTIR DE DISTANCIAS INCLINADAS
Todos los instrumentos de MED miden distancias inclinadas entre dos estaciones.
Como se observó anteriormente, si la unidad de MED se incorpora a un instrumento de estación total, entonces puede reducir automáticamente estas distancias
a sus componentes horizontales si se ingresa el ángulo cenital (o vertical). Esto no
podía hacerse con algunos de los modelos anteriores de MED, por lo que las reducciones se efectuaban manualmente. Los procedimientos usados, ya sea ejecutados
internamente por el microprocesador o bien manualmente, son análogos a los delineados en esta sección. Se supone, por supuesto, que las distancias inclinadas se
corrigen primero respecto a las condiciones instrumentales y atmosféricas.
La reducción de distancias inclinadas al horizonte puede basarse en diferencias de elevación o en el ángulo cenital (o vertical). Debido a la curvatura de la Tierra, las líneas largas deben tratarse en forma diferente a las líneas cortas durante la
reducción, y esto se estudiará en la sección 19.15.
6.21.1 Reducción de líneas cortas por diferencias de elevación
Si se emplea la diferencia en elevación para reducir distancias inclinadas al horizonte, se miden y se graban (véase la figura 6.14) durante las operaciones de campo, las alturas he del instrumento de MED, y hr del reflector sobre sus estaciones
ALFAOMEGA
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6.21 Cálculo de distancias horizontales a partir de distancias inclinadas
155
Figura 6.12
El LEICA Viva TS12
con controlador
de levantamientos
CS10. (Cortesía de
Leica Geosystems,
Inc.)
Figura 6.13
(a) Instrumento
manual de
medición de
distancias con
láser LEICA DISTO
(b) uso del LEICA
DISTO para
medir hacia un
punto inaccesible.
(Cortesía de Leica
Geosystems, Inc.)
(a)
(b)
respectivas. Si se conocen las elevaciones A y B de las estaciones en la figura, la
ecuación (6.2) reducirá la distancia inclinada al horizonte con el valor de d (diferencia de elevación entre el instrumento de MED y el reflector) calculado de la
siguiente manera:
d 5 (elevA 1 he) 2 (elevB 1 hr)
(6.13)
■ Ejemplo 6.2
Se midió de A a B una distancia inclinada igual a 165.360 m (corregida por condiciones meteorológicas), y las elevaciones de los puntos A y B fueron 447.401 y
445.389 m sobre el plano de referencia, respectivamente. Determinar la longitud
horizontal de la línea AB si las alturas del instrumento de MED y del reflector
fueron de 1.417 m y 1.615 m sobre sus respectivas estaciones.
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156 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
H
z
α
he
A
L
Figura 6.14
Reducción al
horizonte de una
distancia inclinada
medida con un
instrumento de
MED.
d
elevA
hr
B
elevB
Plano de referencia
Solución
Según la ecuación (6.13), d 5 (447.401 1 1.417) – (445.389 1 1.615) 5 1.814 m
Por la ecuación (6.2), H 5
5 165.350 m
6.21.2 Reducción de líneas cortas por el ángulo cenital
o vertical
Si el ángulo cenital z (el ángulo medido hacia abajo desde la dirección hacia arriba
de la línea de la plomada) se mide hasta la trayectoria inclinada de la energía transmitida al medir la distancia inclinada L (véase la figura 6.14), entonces la siguiente
ecuación es aplicable para reducir esta distancia a su componente horizontal:
(6.14)
H 5 L sen (z)
Si se mide el ángulo vertical a (el ángulo entre la horizontal y la trayectoria
inclinada de la energía) (véase la figura 6.14), entonces la ecuación (6.1) es aplicable para la reducción. Para un trabajo muy preciso, especialmente en líneas más
largas, el ángulo cenital (o vertical) deberá medirse tanto en el modo directo como
en el inverso, y deberán promediarse (véase la sección 8.13). También, como se
estudia en la sección 19.15.2, la media obtenida desde los dos extremos de la línea
compensará la curvatura de la Tierra y la refracción.
■ 6.22 ERRORES EN LA MEDICIÓN ELECTRÓNICA
DE DISTANCIAS
Como lo vimos antes, la precisión de los instrumentos de MED se indica en dos
partes: un error constante y un error escalar proporcional a la distancia medida.
Los errores especificados varían para diferentes instrumentos, pero las porciones
ALFAOMEGA
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6.21 Cálculo de distancias horizontales a partir de distancias inclinadas
157
constantes varían de 1 mm a 3 mm, y las partes escalares varían de 1 ppm a 3 ppm..
El error constante es más importante en distancias cortas; por ejemplo, con un instrumento que tenga un error constante de 62 mm, una medición de 20 m es buena
sólo a 2/20 000 5 1/10 000, o sea 100 ppm. En una distancia larga, digamos 2 km,
el error constante es insignificante y la parte proporcional tiene más importancia.
Los principales componentes de error en una distancia medida son el error
del instrumento y el descentrado, y los errores de la constante especificada y el
escalar del instrumento de MED. Usando la ecuación (3.11), el error en una distancia medida se calcula como
(6.15)
donde Ei es el error estimado de descentrado en el instrumento; Er es el error
estimado de descentrado en el reflector; Ec es el error de la constante especificada
para la MED; ppm es el error escalar especificado para la MED; y D es la distancia
inclinada medida.
■ Ejemplo 6.3
Se observó una distancia inclinada de 827.329 m entre dos estaciones con instrumentos de MED que tienen errores específicos de 6(2 mm 1 2 ppm). El instrumento se
centró con un error estimado de 61.5 mm. El error estimado del descentrado fue 63
mm. ¿Cuál es el error estimado en la distancia observada?
Solución
De la ecuación (6.15),
Observe en la solución que la distancia de 827.329 m se convirtió a milímetros para
tener consistencia en las unidades. Esta solución conduce a una precisión en la
distancia de 4.2/827 329, o aproximadamente 1:195,000.
De lo anterior, es evidente que excepto para distancias muy cortas, el orden
de exactitud posible con los instrumentos de MED es muy alto. Sin embargo, los
errores pueden degradar seriamente a las mediciones, y entonces siempre deberá tenerse cuidado para minimizar sus efectos. Las fuentes de error en el trabajo
con MED pueden ser personales, instrumentales o naturales. Las subsecciones que
siguen identifican y describen los errores provenientes de cada una de estas fuentes.
6.22.1 Errores personales
Los errores personales incluyen la colocación inexacta de los instrumentos de
MED y los reflectores sobre las estaciones, las mediciones erróneas de las alturas
de los instrumentos y reflectores [necesarios para calcular las distancias horizontales (véase la sección 6.23)], así como los errores al determinar presiones y temperaturas atmosféricas. Estos errores son fundamentalmente de carácter aleatorio
y pueden minimizarse procediendo con mucho cuidado y usando barómetros y
termómetros de alta calidad.
Las equivocaciones (no errores) al leer y registrar distancias en forma
manual son comunes y costosas. Pueden eliminarse echando mano de algunos instrumentos, anotando las lecturas en pies y en metros y comparando ambas. Por
supuesto que con los recolectores automáticos de datos (véase la sección 2.12) no
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ALFAOMEGA
158 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
se presenta este problema. Además, como se muestra en la tabla 6.2, la desalineación del prisma puede causar errores significativos cuando el reflector se coloca en
su posición constante de 0 mm.
Un ejemplo de una equivocación común es no sintonizar la temperatura y
la presión en una MED antes de obtener una medición. Suponga que esto ocurrió
con las condiciones atmosféricas dadas en el ejemplo 6.1. El índice de refracción
real se calculó como 1.0002672. Si la longitud de onda fundamental de una atmosfera estándar es de 10.000 m, entonces la longitud de onda real producida por la
MED sería 10.000/1.0002672 5 9.9973 m. Usando la ecuación (6.7) con una distancia observada de 827.329 m, el error e en la distancia observada sería
Así, el efecto de no considerar las condiciones reales de la atmósfera produciría
una precisión de solamente |20.223|/827.329, o sea 1:3700. Esto está muy por debam
jo de la precisión calculada de 1:195,000 del ejemplo 6.3.
Por cada cambio de 1°C en la temperatura, ocurre un error de 1 ppm en la
medición de una distancia. Como regla, deberán sintonizarse la temperatura y presión actuales al momento de la medición. Sin embargo, con frecuencia es práctico
sintonizar la temperatura y la presión tres o cuatro veces al día: en la mañana, a
media mañana, al medio día, y a media tarde. Como mínimo, la temperatura y la
presión deberán sintonizarse dos veces al día; una vez en la mañana y al medio día.
Sin embargo, se obtendrá un levantamiento con una exactitud menor. La tabla 6.3
ilustra el error en milímetros en las distancias contra el error en la temperatura
ingresados en una MED para diversas longitudes de la visual. Observe que puede
ocurrir un error de 1 mm para todas las distancias mayores que 50 m si el error de
temperatura es mayor que 9 °C. Esta diferencia de temperaturas puede ocurrir
fácilmente durante ciertas épocas del año entre temprano en la mañana, medio día,
y la tarde noche. Observe también que este error ocurrirá con solamente un error
de temperatura de 3 °C para longitudes visuales mayores que 300 m.
6.22.2 Errores instrumentales
Si el equipo de MED se calibra y ajusta cuidadosamente, los errores instrumentales deben ser extremadamente pequeños. Para asegurar su exactitud y confiabilidad, los instrumentos de MED deben verificarse periódicamente respecto a una
línea base de primer orden. Con este fin, el National Geodetic Survey (NGS) ha
determinado una serie de líneas base precisas para cada estado.6 Esas líneas son
aproximadamente de una milla de largo y se encuentran colocadas en áreas relativamente planas. En los extremos y en los puntos intermedios de la línea base se
colocan mojoneras.
Aunque la mayoría de los instrumentos de MED son bastante estables, ocasionalmente se desajustan y generan frecuencias erróneas. Esto conduce a determinaciones erróneas de las longitudes de onda, que degradan las mediciones de
distancias. La verificación periódica del equipo a partir de una línea base calibrada
detectará la existencia de errores en las mediciones. Es muy importante efectuar
esas verificaciones cuando se hagan levantamientos de orden superior.
Los reflectores cúbicos de esquina usados con los instrumentos de MED son
otra fuente de errores instrumentales. Como la luz viaja a una velocidad más baja
6
Para la ubicación de las líneas base en su área, establezca contacto con el NGS National Geodetic
Information Center por el email en: info_center@ngs.nooa.gov; en su dirección del sitio en la red: http://
www.ngs.noaa.gov/CBLINES/calibration.html; por teléfono al (301) 713-3242; o escribiendo a NOAA,
National Geodetic Survey, Station 09202, 1315 East West Highway, Silver Spring, Md. 20910.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
6.21 Cálculo de distancias horizontales a partir de distancias inclinadas
159
en vidrio que en aire, el “centro efectivo” del reflector está realmente atrás del prisma. Así, frecuentemente no coincide con la plomada, una condición que produce
un error sistemático en las distancias que se conoce como la constante del reflector.
Esta situación se muestra en la figura 6.15. Observe que ya que el retrorreflector
está compuesto de caras mutuamente perpendiculares, la luz siempre recorre una
distancia total de a 1 b 1 c 5 2D en el prisma. Adicionalmente, dado un índice
de refracción del vidrio que es mayor que el del aire, la velocidad de la luz en el
prisma se reduce de acuerdo con la ecuación (6.8) para crear una distancia efectiva
de nD, donde n es el índice de refracción del vidrio (aproximadamente 1.517). En
la figura 6.15 se muestra el centro efectivo creado de esta manera mediante la línea
punteada. La constante del reflector, K en la figura, puede ser tan grande como
70 mm y varía de un reflector a otro.
Una vez conocido, el centro eléctrico de la MED puede desplazarse hacia
delante para compensar la constante del reflector. Sin embargo, si un instrumento de MED se usa regularmente con varios reflectores, este desplazamiento es
impráctico. En este caso, el desplazamiento de cada reflector deberá restarse de las
distancias observadas para obtener los valores corregidos.
Con los instrumentos de MED que son componentes de las estaciones totales y están controlados por microprocesadores, esta constante puede ingresarse vía
el teclado e incluirse en las correcciones calculadas internamente. Los fabricantes
de equipo también producen conjuntos de reflectores apareados para los cuales la
constante del reflector es la misma, permitiendo así el uso de una constante individual para un conjunto de reflectores con un instrumento.
Al comparar la longitud de una línea base conocida con precisión con distancias medidas, se determina una constante de medición del sistema. Entonces esta
constante puede aplicarse a todas las mediciones subsiguientes para la corrección
apropiada. Aunque se prefiere la calibración usando una línea base, si no se dispone de una, la constante puede obtenerse con el siguiente procedimiento. Deben
establecerse tres estaciones A, B y C sobre una línea recta en terreno plano, con
las estaciones A y C separadas una distancia que sea un múltiplo de la longitud de
onda fundamental del instrumento. Actualmente, la longitud de onda fundamental
de la mayoría de los instrumentos comúnmente es de 10 m. La estación B deberá
estar aproximadamente a la mitad entre las estaciones A y C y también a un múltiplo de la longitud de onda fundamental de la MED. Por ejemplo, las longitudes
AB y BC podrían ser de 40 m y 60 m, respectivamente, para un instrumento con
una longitud de onda fundamental de 10 m. La longitud de AC y de las dos componentes, AB y BC, deben medirse varias veces con la constante de reflector del
1.517D
Del instrumento de MED
a
c
b
Línea de la
plomada
Al instrumento de MED
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
Centro efectivo
D
K
Figura 6.15
Esquema del
retrorreflector
donde D es la
profundidad
del prisma.
ALFAOMEGA
160 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
instrumento siendo igual a cero y deberá determinarse la media de cada longitud.
A partir de estas mediciones puede escribirse la siguiente ecuación:
AC 1 K 5 (AB 1 K) 1 (BC 1 K)
de donde
K 5 AC 2 (AB 1 BC)
(6.16)
donde K es la constante de medición del sistema que debe añadirse a las distancias
observadas correctas.
El procedimiento, incluyendo el centrado del instrumento de MED y del
reflector, debe repetirse varias veces con sumo cuidado y adoptarse el valor promedio de K. Puesto que diferentes reflectores tienen excentricidades variables, la
prueba debe efectuarse con cada uno de los reflectores que deben utilizarse con
la MED y marcarse los resultados en éstos para evitar confusiones posteriores. Para
lograr una calibración óptima, las longitudes AB y BC deben establecerse cuidadosamente como múltiplos pares de la longitud de onda mínima de medición del
instrumento. El no hacer esto puede llevar a la obtención de un valor incorrecto de
K. Como se muestra en la figura 6.15, debido a la construcción del reflector y a que el
polo está ubicado cerca del centro del reflector, la constante de medición del sistema
generalmente es negativa. El video EDM-Reflector Offset Constant Determination
(Determinación de la constante de excentricidad del reflector de la MED), que está
disponible en el sitio de la red acompañante de este libro, estudia este método.
Aun cuando el procedimiento anterior suministra un método para determinar una constante específica del reflector del instrumento, se recomienda mucho
que los instrumentos de la MED se calibren usando las líneas base de calibración
de la NGS. Estas líneas base están establecidas en todo el país para que las usen
los topógrafos. Su manual técnico Use of Calibration Base Lines (Uso de las líneas
base de calibración), que está listado en la bibliografía al final del capítulo, suministra los lineamientos sobre el uso de las líneas base y la reducción de las mediciones
que suministran tanto la constante de excentricidad del reflector del instrumento
así como un factor de escala.
6.22.3 Errores naturales
Los errores naturales que se tienen en los trabajos con los instrumentos de MED
provienen principalmente de las variaciones atmosféricas de temperatura, presión
y humedad, que afectan el índice de refracción y modifican la longitud de onda
de la energía electromagnética. Los valores de estas variables deben medirse y
usarse para corregir las distancias observadas. Como se demostró en el ejemplo
6.1, generalmente la humedad puede despreciarse cuando se usan instrumentos
electroópticos, pero esta variable era importante cuando se empleaban instrumentos de microondas.
El National Weather Service ajusta las lecturas de la presión atmosférica a
valores al nivel del mar. Como la presión atmosférica cambia aproximadamente 1
pulgada de mercurio (Hg) por cada 1000 pies de elevación, no deberán usarse bajo
ninguna circunstancia los valores de transmisión por radio para la presión atmosférica para corregir las distancias. En lugar de ello, la presión atmosférica deberá
medirse con un barómetro que no esté corregido con respecto al nivel medio del
mar. Muchos departamentos de física de escuelas preparatorias y de universidad
tienen barómetros de mercurio.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
6.21 Cálculo de distancias horizontales a partir de distancias inclinadas
161
Los instrumentos de MED dentro de las estaciones totales tienen microprocesadores integrados que usan variables atmosféricas, ingresadas a través del
teclado, para calcular las distancias corregidas después de hacer mediciones pero
antes de mostrarlas. En instrumentos más antiguos, las correcciones se hacían
variando la frecuencia de transmisión o calculándolas manualmente después de
la medición. Los fabricantes de estos instrumentos proporcionan tablas y gráficas
que ayudan en este proceso. En la figura 6.16 se indica la magnitud del error que
se tiene en la medición electrónica de distancias debido a los efectos de la temperatura y la presión atmosféricas. Nótese que un error de 10 °C y una diferencia de
presión de 25 mm de mercurio (1 plg) producen cada uno un error en la distancia
de aproximadamente 10 ppm. Así, si una presión atmosférica transmitida por radio
es ingresada a una MED en Denver, Colorado, el error resultante en la distancia
seria tan grande como 50 ppm y una distancia de 20 m podría tener un error tan
grande como 1 cm.
Puede existir un microclima en las capas de la atmósfera inmediatamente
arriba de una superficie tal como el terreno. Los experimentos de campo demuestran que las temperaturas en cerca del terreno pueden ser 10° a 25° más altas o más
bajas que aquella al nivel del hombro. Como este microclima puede cambiar sustancialmente el índice de refracción, es importante conservar una línea de visual
que esté cuando menos a 0.5 m arriba de la superficie del terreno. Para líneas de
visuales largas, el observador debe estar consciente de colinas interpuestas o de
otros objetos que puedan existir entre el instrumento y el reflector que podrían
causar problemas para satisfacer esta condición. Si esta condición no puede satisfacerse, deberá aumentarse la altura del reflector. Bajo ciertas condiciones, puede
ser necesario establecer un punto intermedio en la superficie intrusiva para asegurar que la luz del instrumento de MED no atraviese a estas capas inferiores.
Para un trabajo más preciso, en líneas largas, deberá medirse un muestreo de
las condiciones atmosféricas a lo largo de la línea de la visual. En este caso, puede
ser necesario elevar los instrumentos meteorológicos. Esto puede ser difícil donde
el terreno es sustancialmente más bajo que la línea de la visual. En estos casos, las
mediciones atmosféricas en los extremos de la línea se miden y se promedian.
_10°
20
Error por temperatura (°C)
_5°
0°
5°
10°
Error de distancia (ppm)
Error por presión
10
0
Error por temperatura
_10
_20
_50
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
_25
0
25
Error por presión (mm Hg)
50
Figura 6.17
Errores en la
medición
electrónica
de distancias
producidos
por errores de
temperatura y
de presión (con
base en una
temperatura y
una presión
atmosféricas de
15 °C y 760 mm
de mercurio,
respectivamente).
ALFAOMEGA
162 MEDICIÓN DE DISTANCIAS
6.23 Uso de software
En el sitio de la red acompañante está la hoja de cálculo de Excel c6.xls. Esta hoja
de cálculo muestra los cálculos en el ejemplo 6.1 así como las correcciones de la
cinta para los errores sistemáticos. Para aquellas personas que deseen ver esto
programado en un lenguaje de alto nivel, también se dispone de una hoja de
trabajo Mathcad C6.xmcd en el sitio de la red acompañante. Además, esta hoja
de trabajo muestra el ejemplo 6.2.
PROBLEMAS
Los asteriscos (*) señalan los problemas cuya solución parcial figura en el apéndice G.
6.1 ¿Qué distancia de recorrido corresponde a 1 µsegundo para la energía electromagnética?
6.2* Un estudiante contó 92, 90, 92, 91, 93, y 91 pasos en seis repeticiones al caminar
siguiendo una línea de una longitud conocida de 200 pies sobre terreno plano.
Luego le tomó 85, 86, 86, y 84 pasos recorrer una distancia desconocida AB en
cuatro repeticiones. ¿Cuál es (a) la longitud de los pasos, y (b) la longitud de AB?
6.3 ¿Qué diferencia de temperatura distinta de la estándar, si se le desprecia al usar
una cinta de acero, causará un error de una parte en 10 000?
6.4 Una cinta de suma de 101 pies se registra incorrectamente como 100 pies para
una distancia de 200 pies. ¿Cuál es la distancia correcta?
6.5* Liste cinco tipos de errores comunes en la medición con cinta.
6.6 Liste los procedimientos apropiados para medir con cinta una distancia horizontal de aproximadamente 84 pies al descender por una pendiente de 4 %.
6.7 Para los siguientes datos, calcule la distancia horizontal para una distancia inclinada registrada AB,
(a) AB 5 104.93 pies, ángulo de inclinación 5 2° 13’ 46”
(b) AB 5 86.793 m, diferencia en elevación de A a B 5 -2.499 m
6.8* Al medir una distancia AB, la primera ficha se plantó 1 pie a la derecha de la
línea AB y la segunda a 0.5 pie a la izquierda de la misma línea. La distancia
registrada fue de 236.89 pies. Calcule la distancia correcta. (Suponga tres segmentos de cintada, los dos primeros de 100 pies cada uno.)
6.9 Liste los posibles errores que pueden ocurrir al medir una distancia con la MED.
6.10 Explique brevemente cómo puede medirse una distancia con el método de la
comparación de fases.
6.11 Discuta por qué las líneas de visual en la MED no deben estar a menos de 0.5 m
arriba de la superficie del pavimento a lo largo de toda la línea de la visual.
6.12* Suponga que la velocidad de la energía electromagnética a través de la atmósfera
es 299 784 458 m/s para mediciones con un instrumento de MED. ¿Qué desfasamiento de tiempo del equipo producirá un error de 800 m en una distancia medida?
6.13 ¿Cuál es la longitud de la longitud de onda parcial de la energía electromagnética con una frecuencia de 14.9989 MHz y un desplazamiento de fase de 156°?
6.14 ¿Qué longitud de onda “real” se obtiene al transmitir energía electromagnética
a través de una atmósfera cuyo índice de refracción es de 1.0043?, si la frecuencia es:
*(a) 29.988 MHz
(b) 14.989 MHz
6.15 Usando la velocidad de la energía electromagnética dada en el problema 6.12,
¿qué distancia corresponde a cada microsegundo de tiempo?
6.16 Para calibrar un instrumento de MED se midieron las distancias AC, AB y BC
a lo largo de una línea recta, y se obtuvieron los valores 90.158 m, 60.025 m, y
30.164 m, respectivamente. ¿Cuál es la constante de medición del sistema para
este equipo? Calcule la longitud de cada segmento corregido con esta constante.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
Problemas 163
6.17
¿Qué causa un mayor error en una línea medida con un instrumento de MED?
(a) ¿No tomar en cuenta una variación de 10 °C respecto de la temperatura
estándar, o (b) no tomar en cuenta una diferencia de presión atmosférica de 20
mm de mercurio respecto a la presión estándar?
6.18* En la figura 6.14, he, hr, elevA, elevB y la longitud inclinada medida L son de 5.56,
6.00, 603.45, 589.06, y 408.65 pies, respectivamente. Calcule la longitud horizontal
entre A y B.
6.19 Igual que el problema 6.18, excepto que los valores son ahora de1.489 m, 1.502
m, 126.897, 142.681, y 206.782 m, respectivamente.
6.20 En la figura 6.14, he, hr, z y la longitud inclinada medida L son de 5.53 pies, 6.00
pies, 93° 20’ 06”, y 489.65 pies, respectivamente. Calcule la longitud horizontal
entre A y B si la distancia se mide mediante una estación total.
6.21 Igual que el problema 6.20, excepto que los valores son ahora de 1.45 m, 1.55 m,
96° 05’ 33” y 1663.254 m, respectivamente.
6.22 ¿Cuáles son la longitud de onda y la velocidad reales de un haz cercano al infrarrojo (l 5 0.901 mm) de luz modulada a una frecuencia de 330 MHz a través de
una atmósfera con una temperatura de bulbo seco, T, de 26 °C, una humedad
relativa, h, de 75%, y una presión atmosférica de 893hPa?
6.23 Si la temperatura y la presión durante el tiempo de medición se suponen igual a
18 °C y 760 mm Hg, ¿cuál será el error en una medición electrónica de una línea
de 3 km de largo si la temperatura durante el tiempo de la medición se registra
10 °C por arriba de la correcta? La distancia observada, ¿será más larga o más
corta?
6.24* La desviación estándar que se produce al medir con cinta una distancia de 30 m
es 65mm. ¿Cuánto valdrá para una distancia de 90 m?
6.25 Determine la longitud más probable de una línea AB, la desviación estándar y
el error al 95% de una medición individual para la siguiente serie de mediciones
hechas con cinta bajo las mismas condiciones: 215.382, 215.381, 215.384, 215.374,
215.391, 215.382, 215.374, 215.382, 215.389, y 215.387 m.
6.26 Si un instrumento de MED tiene una supuesta capacidad de precisión de 6(1.5
mm 1 2 ppm), ¿qué error cabe esperar en distancias medidas de: (a) 25 m, (b)
483.40 pies, (c) 387.563 m? (Suponga que los errores del instrumento y del descentrado son iguales a cero.)
6.27 El error estimado tanto del instrumento como del descentrado es de ± 1.5 mm.
Para el instrumento de MED del Problema 6.26, ¿cuál es el error estimado en las
distancias observadas?
6.28 Si un cierto instrumento de MED tiene una capacidad de exactitud de 6(2 mm
1 2 ppm), ¿cuál es la precisión de las mediciones, en términos de partes por
millón, para longitudes lineales de: (a) 20.000 m, (b) 200.000 m y (c) 2 000.000 m?
(Suponga que los errores del instrumento y del descentrado son iguales a cero.)
6.29 El error estimado tanto del instrumento como del descentrado es de ± 1.5 mm.
Para el instrumento de MED y las distancias listadas en el Problema 6.28, ¿cuál
es el error estimado en cada distancia? ¿Cuál es la precisión de las mediciones
en términos de partes por millón?
6.30 Escriba un programa computacional que resuelva el problema 6.22.
BIBLIOGRAFÍA
Ernst, C.M. 2009. “Direct Reflex vs. Standard Prism Measurements.” The American Surveyor 6 (No. 4):48.
Fonczek, Charles J. 1980. Use of Calibration Base Lines. NOAA Technical Memorandum NOS NGS-10.
GIA. 2001. “EDM PPM Settings.” Professional Surveyor 21 (Núm. 6): 26.
_____2002. “EDM Calibration.” Professional Surveyor 22 (No. 7): 50.
_____2003. “Phase Resolving EDMs.” Professional Surveyor 23 (No. 10): 34.
Reilly, J. 2010. “Improving Geodetic Field Surveying Techniques.” 2010 PSLS Surveyors’ Conference. Hershey, PA.
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ALFAOMEGA
7
Ángulos, acimutes
y rumbos
■ 7.1 INTRODUCCIÓN
La determinación de puntos y la orientación de líneas dependen con frecuencia
de la medida de ángulos y direcciones. En topografía, las direcciones se expresan
por acimutes y rumbos (véanse las secciones 7.5 y 7.6).
Como se describe en la sección 2.1, y como se ilustra en la figura 2.1, los ángulos que se miden en topografía se clasifican en horizontales o verticales, dependiendo
del plano en que se midan. Los ángulos horizontales son las medidas básicas que se
necesitan para determinar rumbos y acimutes. Los ángulos verticales (o cenitales)
se usan en la nivelación trigonométrica y para reducir las distancias inclinadas con
respecto a la horizontal (véanse las secciones 6.23 y 19.14.2).
Los ángulos se miden de manera directa en el campo empleando instrumentos de estación total, anteriormente se han utilizado tránsitos, teodolitos,
brújulas y sextantes para este fin. La brújula del topógrafo se describe en la sección 7.10.) Existen tres condiciones básicas que determinan un ángulo. Como se
muestra en la figura 7.1, éstas son: (1) la línea de referencia o línea inicial, (2)
el sentido del giro y (3) la distancia angular (valor del ángulo). Los métodos para
calcular rumbos y acimutes que se describen en este capítulo se basan en estos
tres elementos.
■ 7.2 UNIDADES DE MEDIDA ANGULAR
Una unidad puramente arbitraria define el valor de un ángulo. El sistema sexagesimal que se utiliza en Estados Unidos, y en muchos otros países, comúnmente se
basa en unidades llamadas grados, minutos y segundos, y las subdivisiones decimales de dichas unidades. En Europa se emplea normalmente el grado centesimal
o neogrado (véase la sección 2.2). Los radianes pueden ser más prácticos en los
cálculos y, de hecho, se emplean extensamente en las computadoras digitales, pero
el sistema sexagesimal sigue usándose en la mayoría de los levantamientos en
Estados Unidos.
7.3 Clases de ángulos horizontales 165
LíneaLínea
de referencia
o inicial
de referencia
Sentido
de giro (+)
Distancia angular
Figura 7.1
Condiciones
básicas para
determinar un
ángulo.
■ 7.3 CLASES DE ÁNGULOS HORIZONTALES
Los ángulos horizontales que se miden más a menudo en topografía son: (1) ángulos
interiores, (2) ángulos a la derecha y (3) ángulos de deflexión. Como son conceptos
completamente diferentes, debe indicarse en forma clara en las notas de campo
qué clase de ángulos se están midiendo. Los ángulos interiores, que se muestran en
la figura 7.2, son los ángulos que quedan dentro de un polígono cerrado. Normalmente se mide el ángulo en cada vértice del polígono. Luego, como se verá en la
sección 9.7, puede efectuarse una verificación de los valores obtenidos, dado que
la suma de todos los ángulos en cualquier polígono debe ser igual a (n 2)180°,
donde n es el número de ángulos. Comúnmente se usan polígonos para levantamientos limítrofes y muchos otros tipos de trabajos. Los topógrafos (ingenieros
en geomática) normalmente los llaman poligonales cerradas.
Los ángulos exteriores, que quedan fuera del polígono cerrado, son explementos (suplementos a 360°) de los ángulos interiores. Raras veces resulta ventajoso medir estos ángulos, a no ser que se trate de una comprobación, ya que la suma
de los ángulos interiores y exteriores en cualquier estación debe ser igual a 360°.
Por definición, los ángulos hacia la derecha se miden en el sentido de las
manecillas del reloj. Nota: conforme avanza el levantamiento, las estaciones se
identifican comúnmente con letras consecutivas según el alfabeto (como en la figura 7.2) o con números en orden creciente. En consecuencia, los ángulos interiores
de la figura 7.2(a) también son ángulos a la derecha. La mayoría de los recolectores
de datos requieren que los ángulos a la derecha se midan en el campo. Los ángulos
D
C
B
88
35
A
118
(a)
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35
E
2
N
A
41
N
5
2
115 10
3
B
5
F
C
1 2 9 11
10 129
118
E
11
5
1
35
1
1
35
5
42
N
N
41
883
E
F
132
0
13 2 3
135 42
E
(b)
0
D
Figura 7.2
Polígonos cerrados.
(a) Ángulos
interiores en el
sentido de las
manecillas del
reloj (ángulos
a la derecha).
(b) Ángulos
interiores en el
sentido contrario
al de las
manecillas del
reloj (ángulos
a la izquierda).
ALFAOMEGA
166 ÁNGULOS, RUMBOS Y ACIMUTES
(+
(R )
)
D
E
( _)
(L)
C
(+)
(R)
B
Figura 7.3
Ángulos de
deflexión.
A
hacia la izquierda, que se miden en sentido opuesto al de las manecillas del reloj y
también de la estación de atrás a la estación de adelante, se muestran en la figura 7.2
(b). Notese que los polígonos de la figura 7.2 son “derecho” e “izquierdo”, es decir,
de forma semejante, pero invertidos uno respecto al otro como lo están las manos
derecha e izquierda. La figura 7.2(b) se muestra solamente para enfatizar un grave
error que ocurre si los ángulos en el sentido contrario a las manecillas del reloj se
miden y se registran o se suponen como en el sentido de las manecillas del reloj.
Para evitar esta confusión, se recomienda que se adopte un procedimiento uniforme de medir siempre los ángulos a la derecha y anotar el sentido de giro en la libreta de campo junto con un croquis del mismo.
Los ángulos a la derecha pueden ser ya sea ángulos interiores o exteriores
de una poligonal cerrada. El que un ángulo sea interior o exterior depende de la
dirección en la cual el instrumento prosigue alrededor del polígono. Si la dirección alrededor del polígono es en el sentido contrario a las manecillas del reloj,
entonces los ángulos a la derecha serán ángulos interiores. Sin embargo, si el instrumento prosigue en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del polígono,
entonces se observarán ángulos exteriores. Si éste es el caso, la suma de los ángulos
exteriores para una poligonal cerrada será (n + 2) 180°. Un análisis de un croquis
sencillo deberá aclarar estas mediciones.
Los ángulos de deflexión (figura 7.3) se miden a partir de la prolongación
de la línea de atrás y hacia la estación de adelante. Se usan principalmente en los
alineamientos lineales largos de los levantamientos de ruta. Como se ilustra en la
figura, los ángulos de deflexión se miden ya sea hacia la derecha (en el sentido de
las manecillas del reloj) o hacia la izquierda (en el sentido contrario al de las manecillas del reloj) dependiendo de la dirección de la ruta. Los ángulos en el sentido de
las manecillas del reloj se consideran positivos, y aquellos en el sentido contrario
al de las manecillas del reloj se consideran negativos, como se muestra en la figura. Los ángulos de deflexión son siempre menores de 180° y el sentido de giro se
define anexando una D o una I al valor numérico. Así, el ángulo en B en la figura
7.3 es derecho (D) y el ángulo en C es izquierdo (I). Los ángulos de deflexión son
la única excepción, ya que éstos deberán medirse en el sentido contrario al de las
manecillas del reloj. En una poligonal cerrada. La suma de los ángulos de deflexión
deberá ser 360°.
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7.5 Acimutes
167
■ 7.4 DIRECCIÓN DE UNA LÍNEA
La dirección de una línea es su ángulo horizontal medido desde una línea de referencia arbitrariamente escogida, llamada meridiano. Se usan diferentes meridianos
para especificar las direcciones, incluyendo (a) el geodésico (frecuentemente también llamado verdadero), (b) el astronómico, (c) el magnético, (d) el de malla, (e)
el registrado y (f) el supuesto.
El meridiano geodésico es la línea de referencia Norte-Sur que pasa por la
posición media de los polos geográficos de la Tierra. Las posiciones de los polos
se definieron como sus ubicaciones medias entre el periodo de 1900.0 y 1905.0
(véase la sección 19.3).
El bamboleo del eje de rotación de la Tierra, que también se discute en la
sección 19.3, hace cambiar con el tiempo la posición de los polos geográficos de
la Tierra. En cualquier punto, el meridiano astronómico es la línea de referencia
Norte-Sur que pasa por la posición instantánea de los polos geográficos de la Tierra. Los meridianos astronómicos obtienen su nombre de la operación de campo
para obtenerlos, que consiste en hacer observaciones de los cuerpos celestes, como
se describe en el Apéndice C. Los meridianos geodésico y astronómico son casi
iguales, y el primero puede calcularse del último haciendo pequeñas correcciones
(véanse las secciones 19.3 y 19.5).
El meridiano magnético se define utilizando una aguja magnética suspendida
libremente y que sólo se encuentra bajo la influencia del campo magnético de la
Tierra. Los meridianos magnéticos se analizan con detalle en la sección 7.10.
Los levantamientos basados en un sistema estatal de coordenadas u otro sistema de coordenadas planas se refieren a un meridiano de cuadrícula. La dirección
norte de la cuadrícula es la dirección al norte geodésico de un meridiano central
seleccionado, y se mantiene paralela a ésta en toda el área cubierta por el sistema
de coordenadas (véase el capítulo 20).
En los levantamientos de deslinde, el término meridiano registrado se refiere a
las referencias direccionales citadas en los documentos registrados de un levantamiento anterior de un terreno específico. Otro término similar, el meridiano de título de
propiedad, se usa en la descripción de un terreno tal como está registrado en el registro
de la propiedad. En los capítulos 21 y 22 se estudian el uso de meridianos de registro y de
meridianos de título de propiedad en levantamientos de retrazado de linderos.
Puede establecerse un meridiano supuesto asignando simplemente cualquier dirección arbitraria —por ejemplo, adoptando una cierta línea de calle para
que sea el norte geodésico—. Entonces se encuentran las direcciones de todas las
demás líneas en relación con ésta. La desventaja de utilizar un meridiano arbitrario
es la dificultad, o tal vez la imposibilidad, de restablecerlo si se pierden los puntos
originales, así como su falta de coincidencia con otros levantamientos y mapas.
De las definiciones anteriores, es evidente que los términos norte o norte
verdadero deben definirse claramente al usarse en un levantamiento, ya que puede
ser que no especifiquen una línea única.
■ 7.5 ACIMUTES
Los acimutes son ángulos horizontales medidos en el sentido de las manecillas del
reloj desde cualquier meridiano de referencia. En topografía plana, los acimutes se
miden generalmente a partir del Norte, pero los astrónomos y los militares han
usado el Sur como dirección de referencia. El National Geodetic Survey (NGS)
también usó el Sur como su referencia para los acimutes para el NAD27, pero el
norte ha sido adoptado para el NAD83 (véase la sección 19.6). En la figura 7.4 se
muestran ejemplos de acimutes medidos desde el Norte. Como se ilustra, su valor
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ALFAOMEGA
168 ÁNGULOS, RUMBOS Y ACIMUTES
N
Meridiano
de referencia
D
A
70°
145
°
O
235°
C
330
°
Figura 7.4
Acimutes.
B
S
varía de 0° a 360°. Así, el acimut de OA es 70°; el de OB, 145°; el de OC, 235° y
el de OD, 330°. Los acimutes pueden ser geodésicos, astronómicos, magnéticos,
de cuadrícula, registrados o supuestos, dependiendo del meridiano de referencia
que se use. Para evitar confusiones, es necesario indicar en las notas de campo, al
comienzo del trabajo, qué meridiano de referencia es aplicable a los acimutes, y si
se miden a partir del Norte o del Sur.
La dirección hacia adelante de una línea puede darse por su acimut hacia adelante, y su dirección inversa por su acimut hacia atrás. En la topografía plana, los
acimutes hacia adelante se convierten a acimutes hacia atrás, y viceversa, sumando o
restando 180°. Por ejemplo, si el acimut de OA es 70°, el acimut de AO es 70° 180°
5 250°. Si el acimut de OC es 235°, el acimut de CO es 235° – 180° 5 55°. Sin embargo, como se estudia en las secciones 19.13.2 y 20.8.2, la convergencia en los meridianos
de la Tierra se debe tomar en cuenta al hacer levantamientos de áreas más extensas.
Los acimutes pueden leerse directamente en el círculo graduado de un instrumento de estación total después de haber orientado adecuadamente el instrumento. Como se explica en la sección 9.2.4, esto puede hacerse visando a lo largo
de una línea de acimut conocido, con dicho ángulo marcado en el círculo, y girando
luego a la dirección deseada. Los acimutes se emplean ventajosamente en levantamientos de linderos, topográficos, de control y de otros tipos, así como en los
cálculos respectivos.
N
D
Meridiano
de referencia
30°
70
°
A
O
W
E
55
°
C
Figura 7.5
Rumbos.
ALFAOMEGA
35°
B
S
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7.7 Comparación de rumbos y acimutes
169
N
N
A
N
N
C
B
D
Figura 7.6
Rumbos directos
e inversos.
■ 7.6 RUMBOS
Los rumbos representan un sistema para designar las direcciones de las líneas. El
rumbo de una línea es el ángulo agudo horizontal entre un meridiano de referencia y
la línea. El ángulo se mide ya sea desde el Norte o desde el Sur, y hacia el Este o el
Oeste, y su valor no es mayor de 90°. El cuadrante en el que se encuentra se indica
comúnmente con la letra N o la S precediendo al valor numérico del ángulo, y la
letra E o la W, después de dicho valor. Así, la expresión correcta de un rumbo debe
incluir letras de cuadrante y un valor angular. Un ejemplo es N80°E. En la figura
7.5, todos los rumbos en el cuadrante NOE se miden en el sentido de las manecillas
del reloj, a partir del meridiano. Así, el rumbo de la línea OA es N70°E. Todos los
rumbos del cuadrante SOE se miden en el sentido contrario al de las manecillas del
reloj y a partir del meridiano; así, el rumbo de OB es S35°E. De modo semejante, el
rumbo de OC es S55°W y el de OD es N30°W. Si las líneas están en las direcciones
cardinales, los rumbos deberán listarse como “Norte franco”, “Este franco”, “Sur
franco”, u “Oeste franco”.
Los rumbos geodésicos se miden a partir del meridiano geodésico, los rumbos
astronómicos a partir del meridiano astronómico local, los rumbos magnéticos a
partir del meridiano magnético local, los rumbos de cuadrícula a partir del meridiano apropiado de cuadrícula, y los rumbos supuestos a partir de cualquier meridiano adoptado. El meridiano magnético puede obtenerse en el campo al observar
la aguja de una brújula y utilizando los ángulos medidos para obtener los rumbos
magnéticos calculados.
En la figura 7.6, supóngase que se leyó una brújula sucesivamente en los
puntos A, B, C y D, midiendo directamente los rumbos de las líneas AB, BA, BC,
CB, CD y DC. A los rumbos de AB, BC y CD se les llama rumbos directos y a los
de BA, CB y DC, rumbos inversos. Los rumbos hacia atrás tienen el mismo valor
numérico que los rumbos hacia delante, pero corresponden a cuadrantes opuestos.
Si el rumbo de AB es N44°E, el rumbo de BA es S44°W.
■ 7.7 COMPARACIÓN DE RUMBOS Y ACIMUTES
Como los rumbos y acimutes se encuentran en muchas operaciones topográficas, es
muy útil el resumen comparativo de sus propiedades que se da en la tabla 7.1. Un
rumbo se calcula fácilmente a partir de un acimut, observando el cuadrante en el
que queda este último y haciendo la conversión como se indica en la tabla.
En el sitio de la red que acompaña a este libro http://libroweb.alfaomega.
com.mx/ se encuentran videos instructivos que pueden descargarse. En el video
Angles, Azimths, and Bearings (Ángulos, acimutes y rumbos) se estudian todos los
tipos de ángulos que comúnmente se usan en la topografía, los diferentes tipos de
acimutes y rumbos, y muestra cómo los acimutes se convierten a rumbos.
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ALFAOMEGA
170 ÁNGULOS, RUMBOS Y ACIMUTES
TABLA 7.1
COMPARACIÓN DE RUMBOS Y ACIMUTES
Acimutes
Rumbos
Varían de 0° a 360°
Varían de 0°a 90°
Se indican sólo con un valor numérico
Se indican con dos letras y un valor numérico
Pueden ser geodésicos, astronómicos,
magnéticos, de cuadrícula, supuestos,
directos o inversos
Igual que los acimutes
Se miden solamente en el sentido de las
manecillas del reloj
Se miden en el sentido de las manecillas
del reloj y en el sentido opuesto
Se miden sólo desde el Norte o, a veces,
sólo desde el Sur para un levantamiento
específico
Se miden desde el Norte o desde el Sur
Cuadrante
Fórmulas para calcular el ángulo de
un rumbo a partir del acimut
I (NE)
Rumbo = Acimut
II (SE)
Rumbo = 180° - acimut
III (SW)
Rumbo = Acimut – 180°
IV (NW)
Rumbo = 360° - acimut
Ejemplos de direcciones de líneas en los cuatro cuadrantes (acimutes desde el Norte)
Acimut
Rumbo
54°
N54°E
112°
S68°E
231°
S51°W
345°
N15°W
■ Ejemplo 7.1
El acimut de una línea de deslinde es 128°139460. Conviértalo a un rumbo.
Solución
El acimut coloca a la línea en el cuadrante sureste. Así, el ángulo del rumbo es
180° 128°139460 5 51°469140,
y el rumbo equivalente es S 51°469140E.
■ Ejemplo 7.2
El primer lado de un levantamiento de linderos se escribe como N37°139W. ¿Cuál
es el acimut equivalente?
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7.8 Cálculos de acimutes 171
C
6
B
3
N
5
129 11
3 50
4
N
41 3
22
1
5
41 3
5
A
Figura 7.7
Cálculo del acimut
de BC en la figura
7.2(a).
Solución
Como el rumbo está en el cuadrante noroeste, el acimut es
360° 37°139 5 322°479.
■ 7.8 CÁLCULOS DE ACIMUTES
En muchos tipos de levantamientos, y sobre todo en los de poligonales, es indispensable calcular acimutes (o rumbos). Una poligonal, como se describe en el capítulo 9,
es una serie de líneas conectadas cuyas longitudes y ángulos en los puntos de unión
se han medido. Las figuras 7.2 y 7.3 muestran algunos ejemplos. Las poligonales
TABLA 7.2
CÁLCULO DE ACIMUTES (DESDE EL NORTE) PARA LAS LÍNEAS DE LA FIGURA 7.2(A)
Ángulos a la derecha [figura 7.2(a)]
41º359 5AB
1180º009
211º51 5DE
2180º 009
221º359 5BA
1129º119
31º519 5ED
1135º429
350º469 5BC
2180º009
167º339 5EF
1180º009
170º469 5CB
188º359
347º339 5FE
1118º529
259º21 5CD
2180º009
79º219 5DC
1132º309
211º519 5DE
466º259 2 *360º 5 106º259 5 FA
180º009
286º259 5 AF
1115º109
401º 359 2 *360º 5 41º359 5 AB ✓
*Cuando un acimut calculado excede de 360°, el acimut correcto se obtiene restando
simplemente 360°.
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172 ÁNGULOS, RUMBOS Y ACIMUTES
tienen muchos usos. Para hacer el levantamiento de las líneas de lindero de un
terreno, por ejemplo, normalmente se usaría un “polígono cerrado” como el de la
figura 7.2(a). El trazo de una carretera de una ciudad a otra es generalmente una
poligonal abierta como la de la figura 7.3. Independientemente del tipo que se use,
es necesario calcular las direcciones de las líneas.
Muchos topógrafos prefieren los acimutes a los rumbos para fijar las direcciones de las líneas, porque es más fácil trabajar con ellos, especialmente cuando
se calculan poligonales empleando computadoras. Los senos y los cosenos de los
ángulos acimutales dan automáticamente los signos algebraicos correctos para las
desviaciones y las latitudes como se estudian en la sección 10.4.
Los cálculos de acimut se hacen mejor con ayuda de un esquema. La figura
7.7 muestra los cálculos para el acimut de BC de la figura 7.2(a). El acimut de BA
se obtiene sumando 180° al acimut de AB: 180° 41°359 5 221°359 para obtener su
acimut inverso. Luego el ángulo positivo en B, 129°119, se suma al acimut BA para
obtener el acimut BC: 221°359 1 129°119 5 350°469. Este proceso general de sumar
(o de restar) 180° para obtener el acimut inverso y luego sumar el ángulo positivo
se repite para cada línea hasta que se recalcula el acimut de la línea de inicio. Si un
acimut calculado excede de 360°, se restan 360° del valor obtenido y se prosiguen
los cálculos. Estos cálculos se manejan convenientemente en forma tabular, como
se ilustra en la tabla 7.2. Esta tabla registra los cálculos para todos los acimutes de
la figura 7.2(a). De nuevo, nótese que se logra una verificación recalculando el acimut inicial usando el último ángulo. Los procedimientos ilustrados en la tabla 7.2
para calcular acimutes son sistemáticos y fácilmente programables. El lector puede
ver una hoja de cálculo Mathcad Azs.xmcd en el sitio de la red que acompaña a
este libro http://libroweb.alfaomega.com.mx/ para revisar estos cálculos.
Los ángulos de las poligonales tienen que ajustarse al total geométrico
correcto antes de calcular acimutes. Como se observó antes, en una poligonal
cerrada, la suma de los ángulos interiores es igual a (n 2 2)180°, en donde n es
el número de ángulos o lados. Si no cerró la poligonal, por ejemplo, por 10 0, y no
se ajustara antes de calcular los acimutes, el acimut original y el calculado para
C
N
9
14
C
1 W
S 79 2
12 9
D
79
B
2
1
35
5
ALFAOMEGA
4135
N
41
N
14
9
Figura 7.8
(a) Cálculo del
rumbo de BC en la
figura 7.2(a).
(b) Cálculo del
rumbo de CD
en la figura 7.2(a).
3
5
E
41 3
8
N
914
8
11
W
N 9 14
N 91
4W
N
B
A
(a)
(b)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
7.10 La brújula y el campo magnético de la Tierra
TABLA 7.3
173
RUMBOS DE LAS LÍNEAS EN LA FIGURA 7.2(A)
Línea
Rumbo
AB
N41º359E
BC
N9º149W
CD
S79º219W
DE
S31º519W
EF
S12º279E
FA
S73º359E
AB
N41º359E✓
comprobación de AB diferirán los mismos 10 0, suponiendo que no hubiera otros
errores de cálculo. El acimut de cualquier curso inicial siempre deberá recalcularse
como una verificación usando el último ángulo. Cualquier discrepancia muestra
que (a) se cometió un error aritmético o (b) los ángulos no se ajustaron correctamente antes de calcular los acimutes.
■ 7.9 CÁLCULO DE LOS RUMBOS
El cálculo del rumbo de una línea se simplifica dibujando esquemas similares a los
de la figura 7.8, donde aparecen todos los datos. En la figura 7.8(a), el rumbo de
la línea AB de la figura 7.2(a) es N41°359E, y el ángulo en B que se gira desde la
línea conocida BA en el sentido de las manecillas del reloj (a la derecha) es 129°119.
Entonces, el ángulo del rumbo de la línea BC es 180° (41°359 129°119) 5 9°149
y, por examen del croquis, el rumbo de BC es N9°149W.
En la figura 7.8(b), el ángulo en el sentido de las manecillas del reloj en C de
B a D fue medido igual a 88°359. El rumbo de CD es 88°359 2 9°149 5 S79°219W.
Continuando con esta técnica, se determinaron los rumbos dados en la tabla 7.3
para todas las líneas de la figura 7.2(a).
En la tabla 7.3, obsérvese que el último rumbo calculado es para AB, determinado con el ángulo de 115°109 medido en A, da un rumbo de N41°359E, lo que
concuerda con el rumbo de partida. Los estudiantes deberán calcular cada rumbo
de la figura 7.2(a) para verificar los valores dados en la tabla 7.3.
Un método alterno para calcular los rumbos es determinar los acimutes, tal
como se estudia en la sección 7.8, y luego convertir los acimutes calculados a rumbos usando las técnicas estudiadas en la sección 7.7. Por ejemplo, en la tabla 7.2, el
acimut de la línea CD es 259°219. Usando el procedimiento estudiado en la sección
7.7, el ángulo del rumbo es 259°219 2 180° 5 79°219, y el rumbo es S79°219W.
Se usan rumbos en lugar de acimutes, predominantemente en la topografía de linderos. Esta práctica se originó en la época cuando los rumbos magnéticos
de los linderos de los terrenos se determinaban directamente usando una brújula de topógrafo (véase la sección 7.10). Posteriormente, aunque se usaban otros
instrumentos (es decir, tránsitos y teodolitos) para medir los ángulos, y se usaba
más comúnmente el meridiano astronómico, continuó la práctica de usar rumbos
para levantamientos de terrenos, la cual todavía está en uso común actualmente.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
Lín
ea
de
vis
ta
Mediano
magnético
174 ÁNGULOS, RUMBOS Y ACIMUTES
80
60
70
50
40
30
20
10
0
90
10
80
20
70
30
E
60
40
50
50
30
40
60
70
W
S
20
80
10
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
(a)
(b)
Figura 7.9 (a) Brújula de topógrafo. (© B. Christopher/Alamy.) (b) Caja de brújula.
Debido a que los topógrafos que retrazan linderos deben seguir las pisadas del
topógrafo original (véase el capítulo 21), necesitan entender las direcciones magnéticas y sus tonalidades. Las siguientes secciones estudian las direcciones magnéticas, y explican cómo convertir las direcciones de los meridianos magnéticos a otros
meridianos de referencia, y viceversa.
■ 7.10 LA BRÚJULA Y EL CAMPO MAGNÉTICO
DE LA TIERRA
Antes de que se inventaran los tránsitos, los teodolitos y los instrumentos de estación total, las direcciones de las líneas y de los ángulos se determinaban usando
brújulas. La mayor parte del trabajo inicial de topografía en Estados Unidos se
hizo usando estos venerables instrumentos. La figura 7.9(a) muestra una brújula
de topógrafo. El aparato consta de una plataforma metálica (A) con dos miras
verticales o pínulas (B) en los extremos. La caja de la brújula (C) tiene dos pequeños niveles de burbuja (D) que se encuentran montados sobre la plataforma, son
perpendiculares a la caja y ortogonales entre sí. Cuando se instalaba la brújula y se
centraban las burbujas en los niveles, la caja de la brújula estaba horizontal y lista
para usarse.
Las primeras brújulas se apoyaban en un soporte de una sola pata llamada
báculo de Jacobo. Se usaba una junta de rótula y un opresor de fijación para nivelar
el instrumento y colocar el aparato en posición horizontal. Las versiones posteriores, como la que se muestra en la figura 7.9(a), se montaban en un trípode. Esta
disposición proporcionaba mayor estabilidad.
La caja de la brújula de topógrafo estaba cubierta con vidrio para proteger la
aguja magnetizada de acero del interior. La aguja estaba montada en un pivote en
el centro de un círculo que estaba graduado en grados. En la figura 7.9(b) se muestra una vista de la parte superior de la caja de una brújula de topógrafo con sus
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
7.11 Declinación magnética 175
graduaciones. En la figura, las marcas de cero están en los puntos Norte y Sur de la
brújula y en línea con las dos ranuras de las pínulas que constituyen la visual. Las
graduaciones están numeradas en múltiplos de 10°, en el sentido del movimiento
de las manecillas del reloj, y en sentido opuesto; parten de 0° en el Norte así como
en el Sur, y van hasta 90° en el Este y en el Oeste, respectivamente.
Al usar la brújula, las pínulas y la caja de la brújula pueden girarse para visar
a lo largo de una línea deseada, y luego el rumbo magnético podría leerse directamente. Observe en la figura 7.9(b), por ejemplo, que la aguja apunta hacia el norte
y que la visual está dirigida hacia la dirección noreste. El rumbo magnético de la
línea, que se lee directamente de la brújula, es N40°E. (Nótese que las letras E y
W en la cara de la caja de la brújula están invertidas con respecto a sus posiciones
normales; ello es con objeto de dar la lectura directa de los rumbos.)
A no ser que se vea afectada por la atracción local (una anomalía local causada por cosas tales como las líneas de energía, las vías del ferrocarril, las hebillas
metálicas de los cinturones, etc., que afectan la dirección en la cual apunta la aguja
de la brújula en cualquier lugar), la aguja de la brújula tiene libertad para girar y
alinearse con el campo magnético de la Tierra apuntando en la dirección del meridiano magnético (hacia el polo norte magnético en el hemisferio norte).1
Las fuerzas magnéticas de la Tierra no solamente alinean la aguja de la brújula, sino que también jalan o hacen descender un extremo de ésta por debajo de la
posición horizontal. El ángulo de descenso varía desde 0° cerca del Ecuador, hasta
90° en los polos magnéticos. En el hemisferio norte, el extremo sur de la aguja está
cargado con un pedazo muy pequeño de alambre arrollado para balancear el efecto de descenso y mantenerla horizontal. La posición del pedazo de alambre arrollado puede ajustarse para conformarse a la latitud para la cual se usa la brújula.
Observe el pedazo de alambre arrollado (punto negro) en la punta sur de la aguja
de la brújula de la figura 7.9(b).
El campo magnético de la Tierra se parece al de un enorme imán dipolar localizado en el centro de la Tierra, con el imán desviado con respecto al eje
de rotación de la Tierra aproximadamente 13°. Este campo ha sido medido en
aproximadamente 200 observatorios magnéticos alrededor del mundo, así como
en muchas otras estaciones temporales. En cada punto de observación se miden
tanto la intensidad del campo como su dirección. Basándose en muchos años
de estos datos, se han desarrollado modelos del campo magnético de la Tierra.
Estos modelos se usan para calcular la declinación magnética y el cambio anual
(véanse las secciones 7.11 y 7.12), que son elementos de importancia para los topógrafos (ingenieros en geomática). La exactitud de los modelos está afectada por
varios elementos incluyendo la localización de las mediciones, los tipos de rocas
en la superficie junto con las estructuras geológicas subyacentes en las áreas, y las
atracciones locales. Los modelos actuales dan declinaciones magnéticas que son
exactas en aproximadamente 30 minutos de arco; sin embargo, pueden existir en
algunas áreas anomalías locales de 3° a 4°, o mayores.
■ 7.11 DECLINACIÓN MAGNÉTICA
La declinación magnética es el ángulo horizontal comprendido entre el meridiano
geodésico y el meridiano magnético. A veces, en navegación, a este ángulo se le
llama variación de la brújula; las fuerzas armadas usan el término desviación. Se
1
Las posiciones de los polos magnéticos Norte y Sur están cambiando continuamente, y en 1996 se
localizaron a aproximadamente 79.74° de latitud norte y 71.78° de longitud oeste, y 79.74° de latitud
sur y 108.22° de longitud este, respectivamente.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
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176 ÁNGULOS, RUMBOS Y ACIMUTES
tiene una declinación Este cuando el meridiano magnético está al este del norte
geodésico; se tiene una declinación al Oeste si éste está al oeste del norte geodésico. La relación entre norte geodésico, norte magnético y declinación magnética
está dada por la expresión
acimut geodésico 5 acimut magnético 1 declinación magnética
(7.1)
Como la posición del polo magnético está cambiando constantemente, las
declinaciones magnéticas en todas las localidades también experimentan cambios
continuos. En cualquier ubicación puede obtenerse la declinación actual (si no hay
atracción local) al establecer un meridiano a partir de observaciones astronómicas
o de satélite (GNSS), y luego leer una brújula mientras que se visa a lo largo del
meridiano astronómico. Otra forma de determinar la declinación magnética en
un punto es interpolarla de un mapa isogónico. Un mapa isogónico muestra las
declinaciones magnéticas en una cierta región para un lapso específico de tiempo.
Las líneas que unen puntos con la misma declinación se llaman líneas isogónicas. La
línea isogónica a lo largo de la cual la declinación es cero (donde la aguja magnética define el norte geodésico así como el norte magnético) se llama línea agónica.
La figura 7.10 es un mapa isogónico que abarca los 48 estados contiguos (CONUS)
Modelo Magnético del Mundo EUA/RU-Lapso 2005.0
Principal Campo de Declinación (D)
180°
210°
240°
270°
300°
330°
0°
30°
60°
90°
120°
150°
180°
60°
60°
30°
30°
0°
0°
−30°
−30°
−60°
−60°
180°
210°
240°
270°
300°
330°
0°
30°
60°
90°
120°
150°
180°
Figura 7.10 Líneas isogónicas del Modelo Magnético del Mundo para 2005. Esta imagen proviene del
NOAA National Geophysical Data Center, NGDC en el Internet en http://www.ngdc.noaa.gov/geomag/
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
7.13 Software para determinar la declinación magnética
177
de Estados Unidos y corresponde al año 2005. En ese mapa, la línea agónica atraviesa la parte central de Estados Unidos. Gradualmente se mueve hacia el Oeste.
Los puntos situados al occidente de la línea agónica tienen declinación Este, y los
puntos situados al oriente de la línea tienen declinación Oeste. Como recordatorio, puede considerarse que la aguja apunta siempre hacia la línea agónica. Nótese
que hay aproximadamente una diferencia de 40° en declinación entre la porción
noreste de Maine y la parte noroeste de Washington, lo que representa un cambio
enorme para un piloto aviador que volara entre los dos estados guiado por la brújula.
Las líneas punteadas en la figura 7.10 muestran el cambio anual de la declinación. Estas líneas indican la cantidad de cambio secular (véase la sección 7.12) que
se espera en la declinación magnética en un periodo de un año. El cambio anual en
cualquier ubicación puede interpolarse entre las líneas, y el valor puede usarse para
estimar la declinación para unos cuantos años antes o después de la fecha del mapa.
■ 7.12 VARIACIONES DE LA DECLINACIÓN MAGNÉTICA
Hemos afirmado que la declinación magnética en cualquier punto varía con el
tiempo. Estas variaciones pueden clasificarse como seculares, diarias, anuales e
irregulares, y se resumen a continuación.
Variación secular. Debido a su magnitud, ésta es la variación más importante. Desafortunadamente, no se ha encontrado ninguna ley física ni
fórmula matemática para predecir a largo plazo esta variación, y su comportamiento pasado sólo puede describirse utilizando tablas detalladas
y gráficas logradas por observaciones. Los registros llevados en Londres
durante cuatro siglos muestran un intervalo de variación en la declinación magnética que va desde 11°E en 1580, a 24°W en 1820, y regresando a 3°W en 2000. La variación secular cambió la declinación magnética
en Baltimore, MD, de 5°119W en 1640 a 0°359W en 1800, 5°199W en 1900,
7°259W en 1950, 8°439W en 1975 y 11°019W en 2000.
Cuando se trata de volver a marcar antiguos linderos o líneas de propiedad determinados por brújula o basados en el meridiano magnético, es
necesario tomar en consideración la diferencia de declinación magnética
entre el momento del levantamiento original y la fecha en que se vuelven
a trazar los límites. Por lo general, la diferencia se debe, ante todo, a la
variación secular.
Variación diaria. La variación diaria de la declinación magnética hace que la
aguja gire un arco que, en promedio, es aproximadamente de 89 en Estados Unidos. La aguja alcanza su posición extrema hacia el Este alrededor
de las 8:00 a.m., y su lectura más hacia el Oeste alrededor de la 1:30 p.m. La
declinación media ocurre alrededor de las 10:30 a.m. y a las 8:00 p.m. Estas
horas y la magnitud de la oscilación diaria cambian con la latitud y la
estación del año, pero la total omisión de la variación diaria de la aguja
está completamente dentro del intervalo de error que es de esperar en las
lecturas de brújula.
Variación anual. Esta oscilación periódica es menor de 19 de arco y puede
ignorarse. No debe confundirse con el cambio anual (la parte del cambio
de la variación secular que corresponde a un año) que se indica en algunos mapas isogónicos.
Variaciones irregulares. Ciertas perturbaciones y tormentas magnéticas
impredecibles pueden ocasionar variaciones irregulares a corto plazo, de
un grado o mayores.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
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178 ÁNGULOS, RUMBOS Y ACIMUTES
Figura 7.11
Pantalla de
ingreso de datos
de declinación
magnética en
la disposición
WOLFPACK
para calcular los
valores del campo
magnético de
Portland, Maine.
■ 7.13 SOFTWARE PARA DETERMINAR LA DECLINACIÓN
MAGNÉTICA
Como se observó anteriormente, las observaciones directas son aplicables solamente a la determinación de las declinaciones magnéticas actuales. Sin embargo,
en la mayoría de las situaciones, las declinaciones magnéticas que existieron hace
años, por ejemplo en la fecha de un antiguo levantamiento de una propiedad, son
necesarias con objeto de realizar levantamientos de retrazado. Hasta hace poco
estas antiguas declinaciones magnéticas tenían que interpolarse de los mapas isogónicos para la hora deseada aproximada, y se usaban las líneas de cambio anual
para corregir el año específico requerido. Actualmente, se dispone de software que
pueda suministrar rápidamente los valores necesarios de la declinación magnética.
El software usa modelos que han sido desarrollados a partir de registros históricos de la declinación magnética y el cambio anual que se han mantenido para las
muchas estaciones de observación a lo largo de Estados Unidos y el mundo.
El programa WOLFPACK, que está en el sitio de la red que acompaña a este
libro http://libroweb.alfaomega.com.mx/, contiene una opción para calcular los
elementos de un campo magnético. Este programa usa modelos que abarcan cinco
o más marcos de tiempo anual. Usando el Modelo Magnético Mundial de 2010
(Archivo: WMM-10.DAT), la declinación y el cambio anual para Portland Maine
el 1 de enero de 2013 se determinaron aproximadamente como 16°239E2 y 9.19W
TABLA 7.4
DECLINACIÓN MAGNÉTICA Y CAMBIO ANUAL PARA DIFERENTES LOCALIDADES EN ESTADOS UNIDOS EL 1 DE ENERO DE 2013
Ciudad
Declinación magnética
Cambio anual
14º579W
3.79E
Cleveland, OH
8º149W
2.39W
Madison, WI
2º279W
5.6W
Denver, CO
8º459E
8.09W
San Francisco, CA
14º019E
6.29W
Seattle, WA
16º279E
10.39W
Boston, MA
2
ALFAOMEGA
El software indica que la declinación al oeste es negativa, y la declinación al este es positiva.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
7.15 Problemas comunes de la declinación magnética
179
por año, respectivamente (véanse los datos de entrada en la figura 7.11). Usando el
programa WOLFPACK, las declinaciones para otras ciudades diferentes en Estados Unidos se determinaron para el 1 de enero de 2013, y se muestran en la tabla
7.4. Cuando se use este software es importante seleccionar el archivo del modelo
apropiado para la fecha deseada. El modelo apropiado puede escogerse seleccionándolo de una lista desplegable para el “Archivo de modelos”. Los modelos están
dados de acuerdo con su fuente y año. Deben ingresarse la latitud, la longitud y la
elevación de la estación en las ventanillas apropiadas de datos, y se selecciona
la hora del cálculo deseado de la lista desplegable en la parte inferior de la ventanilla. Después de calcular los elementos del campo magnético para la localización
y la hora específicas, los resultados se exhiben para imprimirse. Pueden hacerse
cálculos similares para determinar la declinación magnética y las tasas del cambio
anual usando la página de cómputo en línea de la NOAA National Geophysical
Data Center (NGDC) en http://www.ngdc.noaa.gov/geomag/WMM/calculators.
shtml. La ubicación de cualquier ciudad de Estados Unidos puede encontrarse en
la U. S. Gazetteer que está enlazada con el software, o puede obtenerse en http://
www.census.gov/cgibin/gazetteer en la página de Internet del U.S. Census Bureau.
Debe mencionarse que todos estos modelos son exactos solamente hasta 30 min y
deben usarse con precaución.
■ 7.14 ATRACCIÓN LOCAL
El campo magnético principal es afectado por objetos metálicos y por la corriente
eléctrica directa; ambas causas dan origen a atracciones locales. Por ejemplo, si se
colocara una brújula junto a un tranvía con líneas aéreas de energía eléctrica, la
aguja apuntaría hacia el carro conforme éste se acercara y lo seguiría hasta que
quedara fuera de su alcance. Si la fuente de perturbación artificial es fija, todos los
rumbos tomados desde una estación dada serán erróneos por una misma cantidad.
Sin embargo, los ángulos calculados a partir de los rumbos tomados en la estación
serán correctos.
Existe una atracción local cuando los rumbos directo e inverso de una línea
difieren una cantidad mayor que los errores normales de observación. Considérense los siguientes rumbos leídos para una serie de líneas:
AB
BC
CD
DE
BA
CB
DC
ED
N24°159W
N76°409W
N60°009E
N88°359E
S24°109E
S76°409E
S61°159W
S87°259W
Los rumbos AB directo y BA inverso concuerdan razonablemente bien, lo
cual indica que no existe atracción local en A o en B, o que es muy pequeña. Lo
mismo puede decirse del punto C. Sin embargo, los rumbos tomados en D difieren
de los correspondientes tomados en C y en E, aproximadamente en 1°159 hacia el
noroeste. Por tanto, existe una atracción local en el punto D que desvía la aguja de
la brújula 1°159 hacia el noroeste.
Es evidente que para detectar una atracción local tienen que ocuparse todas
las estaciones sucesivas de un levantamiento hecho con brújula y tomarse los rumbos directo e inverso, aun cuando puedan determinarse las direcciones de todas las
líneas situando el instrumento solamente en estaciones alternadas.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
180 ÁNGULOS, RUMBOS Y ACIMUTES
W
3 1
5
Li
nd
Figura 7.12
Cálculo de rumbos
geodésicos a
partir de rumbos
magnéticos y
declinaciones.
3
43
er
o
0
4
46
5
■ 7.15 PROBLEMAS COMUNES DE LA DECLINACIÓN
MAGNÉTICA
Los problemas comunes de los levantamientos hechos con brújula necesitan de la
conversión de rumbos geodésicos a rumbos magnéticos, de rumbos magnéticos a
rumbos geodésicos, y de rumbos magnéticos a rumbos magnéticos, considerando
las declinaciones existentes en diferentes fechas. Los siguientes ejemplos ilustran
dos de estos tipos de problemas.
■ Ejemplo 7.3
Supóngase que en 1862 se midió el rumbo magnético de un lindero y que fue
de S43°309E. La declinación magnética en el lugar del levantamiento fue de 3°159W.
Se pide calcular el rumbo geodésico para efectuar una subdivisión de la propiedad.
Solución
Un esquema similar al de la figura 7.12 aclara la relación, y el utilizarlo debe volverse una costumbre por parte de los principiantes a fin de evitar errores. El norte geodésico se indica con una flecha con punta completa, y el norte magnético
mediante una flecha más corta con media punta. Se ve que el rumbo geodésico es
S43°309E 3°159 5 S46°459E. Utilizar lápices de diferentes colores para señalar
las direcciones del norte geodésico, el norte magnético y las líneas del terreno, ayuda a hacer más claro el esquema. Aunque este problema se resuelve con el uso de
rumbos, puede aplicarse la ecuación (7.1) para convertir los rumbos en acimutes.
Es decir, el acimut magnético de la línea es 136° 30’. La aplicación de la ecuación
(7.1) usando un ángulo de declinación magnético resulta en un acimut geodésico
de 136° 30’ – 3°15’ = 133° 15’, que se convierte correctamente al rumbo geodésico de S46° 45’E.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
B
2000
1878
Problemas 181
N 26
N 14 15 E (
18
30
E (2 78)
000
)
26 15
0 E
4 3 W
15
7
1430
A
Figura 7.13
Cálculo de cambios
en el rumbo
magnético debido
a cambios en la
declinación.
■ Ejemplo 7.4
Supóngase que el rumbo magnético de una línea AB tomada en el año 1878 fue
N26°159E; la declinación en ese momento y lugar era de 7°159W. En el año 2000, la
declinación era de 4°309E. Se necesita el rumbo magnético en el año 2000.
Solución
Los ángulos de declinación se muestran en la figura 7.13. El rumbo magnético de
la línea AB es igual al rumbo medido en la fecha anterior, menos la suma de los
ángulos de declinación, o sea:
N26°159E (7°159 4°309) 5 N14°309E
Nuevamente, el problema puede calcularse usando acimutes como sigue: 26° 15’ –
7° 15’ – 4° 30’ = 14° 30’, que se convierte a un rumbo de N14° 30’ E.
En el sitio de la red que acompaña a este libro http://libroweb.alfaomega.com.mx/
se encuentran videos de instrucción que pueden descargarse. En el video Magnetic
Directions se estudia cómo obtener la declinación magnética para cualquier intervalo de tiempo, el proceso de convertir los acimutes magnéticos a su equivalente
geodésico, y como convertir las direcciones magnéticas entre diferentes periodos
de tiempo.
■ 7.16 EQUIVOCACIONES
Algunas equivocaciones que se cometen al usar acimutes y rumbos son:
1. Confundir los rumbos magnéticos con otros rumbos de referencia.
2. Mezclar los ángulos en el sentido de las manecillas del reloj con aquellos en
sentido contrario al de las manecillas del reloj.
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182 ÁNGULOS, RUMBOS Y ACIMUTES
3. Intercambiar rumbos y acimutes.
4. Listar rumbos con valores de ángulo mayores que 90°
5. Omitir el cambio de las letras de rumbo al usar el rumbo inverso de una línea.
6. No cambiar las letras del rumbo cuando se usa el rumbo inverso de una línea
7. Usar un ángulo en el extremo erróneo de una línea al calcular rumbos, es
decir, usar el ángulo A en vez del ángulo B al comenzar con la línea AB como
referencia.
8. No incluir el último ángulo para recalcular el rumbo o acimut de partida
como comprobación; por ejemplo, el ángulo A en la poligonal ABCDEA.
9. Restar 360°009 como si este valor fuera 359°1009 en vez de 359°609, o usar 90°
en vez de 180° en el cálculo de rumbos.
10. Adoptar una línea de referencia supuesta que sea difícil de reproducir.
11. Leer grados y decimales de una calculadora como si fueran grados, minutos
y segundos.
12. Omitir el ajuste de los ángulos de una poligonal antes de calcular rumbos o
acimutes al presentarse un error de cierre.
PROBLEMAS
Los asteriscos (*) señalan los problemas que tienen respuestas parciales en el apéndice G.
7.1 Defina los diferentes meridianos de referencia que puede usarse para la dirección de una línea.
7.2 Liste los tres requerimientos básicos para determinar un ángulo.
7.3 ¿Por qué es importante adoptar un procedimiento estándar para la medición de
ángulos como, por ejemplo, medir siempre los ángulos a la derecha?
7.4 ¿Cuál es la relación de un acimut directo y un inverso?
7.5 Convertir: *(a) 203°269480 a grados centesimales (b) 2.341539 grados centesimales a grados, minutos y segundos (c) 43°389050 a radianes.
En los problemas 7.6 a 7.7, convertir los acimutes a partir del Norte a rumbos, y calcular
los ángulos, menores de 180°, entre acimutes sucesivos.
7.6 43°009360, 1421°259340, 230°129200, y 330°359480.
7.7 98°129550, 153°269400, 192°569220, y 288°129500.
Convertir los rumbos en los problemas 7.8 a 7.9 a acimutes a partir del Norte y calcular
el ángulo, menor de 180°, entre rumbos sucesivos.
7.8 N44°509380E, S38°429540E, S45°069020W, y N13°249300W.
7.9 N32°429380E, S54°029020E, S22°429560W, y N44°359260W.
Calcular el acimut a partir del Norte de la línea CD en los problemas 7.10 a 7.12. (Los
acimutes de AB también son a partir del Norte.)
7.10* Acimut AB 5 101°269320; ángulos a la derecha ABC 5 50°549260, BCD 5
38°369380.
7.11 Rumbo AB 5 S74°269120W; ángulos a la derecha ABC 5 98°209060, BCD 5
104°219080.
7.12 Acimut AB 5 275°329200; ángulos a la derecha ABC 5 66°369100, BCD 5
82°169240.
7.13* Para un rumbo DE 5 N08°53’56”W y ángulos a la derecha, calcular el rumbo de
FG si el ángulo DEF 5 88°129290 y EFG = 40°209300.
7.14 Similar al problema 7-13, sólo que ahora el acimut de DE es 12°02’180, y los
ángulos a la derecha DEF y EFG son 21°449520 y 86°109140, respectivamente.
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Problemas 183
El lado AB de un polígono de cinco lados está en la dirección Norte franca. De los ángulos interiores balanceados dados a la derecha, calcule y tabule los rumbos y los acimutes
a partir del Norte para cada lado de las poligonales de los problemas 7.15 a 7.17.
7.15 A 5 82°139150, B 5 106°359180, C 5 28°459060, D 5 205°149560, E 5 117°119250.
7.16* A 5 90°299180, B 5 107°549360, C 5 104°069370, D 5 129°029570, E 5 108°269320.
7.17 A 5 156°239480, B 5 41°379020, C 5 94°309150, D 5 154°119500, E 5 93°179050.
En los problemas 7.18 y 7.20, calcule y tabule los acimutes de los lados de un pentágono
regular (polígono con cinco ángulos iguales), dada la dirección inicial del lado AB.
7.18 Rumbo de AB 5 N37°269050E (la estación C está al oeste de B).
7.19 Acimut de AB 5 207°539140 (la estación C está al oeste de B).
7.20 Acimut de AB 5 202°029000 (la estación C está al este de B).
Calcule los acimutes de todas las líneas para la poligonal cerrada ABCDEFA que tiene
los siguientes ángulos balanceados a la derecha, usando las instrucciones listadas en los
problemas 7.21 y 7.22. FAB = 118°269590, ABC 5 123°209280, BCD 5 104°109320, CDE
5 133°529500, DEF 5 108°219580, EFA 5 131°479130.
7.21 Rumbo AB 5 N88°189420W.
7.22 Acimut DE 5 36°109200.
7.23 Similar al problema 7.21, excepto que se requieren rumbos, y el rumbo fijo AB
5 S44°469250W.
7.24 Similar al problema 7.22, excepto que se requieren rumbos, y el acimut fijo DE
5 206°229400 (desde el Norte).
7.25 Muestre geométricamente cómo la suma de los ángulos interiores de un pentágono (cinco lados) puede calcularse usando la fórmula (n 2 2)180°.
7.26 Determine las declinaciones pronosticadas para el 1 de enero de 2013 usando el
Modelo WMM-10 para las siguientes localidades.
(a)* latitud 5 42°589280N, longitud 5 77°129360W, elevación 5 310.0 m;
(b) latitud 5 37°569440N, longitud 5 110°509400W, elevación 5 1500 m;
(c) latitud 5 41°189150N, longitud 5 76°009260W, elevación 5 240 m.
7.27 Explique porque está intercambiada la colocación de las letras E y W en una
brújula [véase la figura 7.9 (b)], con respecto a su posición normal.
7.28 La declinación magnética en un cierto lugar es 18°069W. ¿Cuál es el rumbo magnético en ese lugar de: (a) el Norte verdadero, (b) el Sur verdadero y (c) el Este
verdadero?
7.29 Similar al problema 7.28, sólo que ahora, la declinación magnética del lugar es
de 9°309E.
En los problemas 7.30 a 7.32 son dados el rumbo magnético observado de la línea AB y
su rumbo magnético verdadero. Calcule la cantidad y la dirección de la atracción local
en el punto A.
7.30*
7.31
7.32
Rumbo magnético observado
Rumbo magnético verdadero
N32°309E
S15°259W
N30°159E
S10°159W
N9°569W
N8°209E
¿Qué rumbo magnético se necesita para retrazar una línea para las condiciones dadas
en los problemas 7.33 a 7.36?
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184 ÁNGULOS, RUMBOS Y ACIMUTES
Rumbo magnético en 1875
7.33*
7.34
7.35
7.36
Declinación en 1875
Declinación actual
N32°459E
8°129W
2°309E
S63°409E
S69°209W
3°409W
14°209W
2°209E
12°309W
N24°309W
2°309E
2°309W
En los problemas 7.37 a 7.38 calcule la declinación magnética en 1870 con base en los
siguientes datos de un registro topográfico antiguo.
Rumbo magnético
en 1870
Rumbo magnético
actual
Declinación
magnética actual
7.37
N14°209E
N16°309E
10°159W
7.38
S40°409W
S54°359W
8°309E
7.39
Un ángulo APB se mide a distintas horas usando varios instrumentos y métodos.
Los resultados, a los que se asignan ciertas ponderaciones, son los siguientes:
89°439380, ponderación 2; 89°439420, ponderación 1, y 89°439300, ponderación 3.
¿Cuál es el valor más probable del ángulo?
7.40 Similar al problema 7.39, pero con la medición adicional de 89°439320, ponderación 4.
BIBLIOGRAFÍA
Boyum, B. H. 1982. “The Compass That Changed Surveying.” Professional Surveyor
2: 28.
Brinker, R. C., y R. Minnick. 1995. The Surveying Handbook, 2a. ed. Chapman Hall
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Kratz, K. E. 1990. “Compass Surveying with a Total Station.” Point of Beginning 16
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Sipe, F. H. 1980. Compass Land Surveying. Rancho Córdova, Calif.: Landmark.
Sipe, F. H. 1990. “A Clinic on the Open-Sight Compass.” Surveying and Land Information Systems 50 (Núm. 3): 229.
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8
Instrumentos
de estación total;
medición de ángulos
PARTE I • INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL
■ 8.1 INTRODUCCIÓN
Hasta hace poco, los tránsitos y los teodolitos eran los instrumentos de topografía de uso más común para hacer mediciones de ángulos. Estos dos aparatos eran
fundamentalmente equivalentes y podían desempeñar básicamente las mismas funciones. Actualmente, el instrumento de estación total ha reemplazado a todos los
tránsitos y los teodolitos con excepción de unos cuantos. Los instrumentos de estación total pueden desempeñar todas las tareas que podían hacerse con los tránsitos
y los teodolitos, y hacerlas con mucha más eficiencia. Además, pueden medir distancias con exactitud y rapidez y, como se estudió en el capítulo 2, pueden conectarse a un recolector automático de datos. Además, estos instrumentos de estación
total pueden efectuar cálculos con las mediciones de ángulos y distancias y exhibir los resultados en tiempo real. Éstas y muchas otras ventajas significativas han
hecho de las estaciones totales los instrumentos predominantes que se usan en la
práctica topográfica actualmente. Se usan para todo tipo de levantamientos incluyendo levantamientos topográficos, hidrográficos, catastrales y de construcción. El
uso de los instrumentos de estación total para tipos específicos de levantamientos
se estudia en capítulos posteriores. Este capítulo describe el diseño y las características generales de los instrumentos de estación total, y también se concentra en los
procedimientos para usarlos en la medición de ángulos.
■ 8.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS INSTRUMENTOS
DE ESTACIÓN TOTAL
Los instrumentos de estación total, como se muestra en la figura 8.1, combinan
tres componentes básicos: un instrumento de medición electrónica de distancias
(MED), un componente electrónico de medición de ángulos y una computadora o
microprocesador, en una sola unidad. Estos aparatos pueden medir automáticamente ángulos horizontales y verticales, así como distancias inclinadas desde una sola
186 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Eje vertical
Agarradera
Colimador
Enfoque
del objetivo
Círculo vertical
Enfoque de la
pieza ocular
Eje horizontal
Nivel de
burbuja circular
Carátula
y teclado
Figura 8.1 Partes
de un instrumento de
estación total, con
una vista
del extremo de
la pieza ocular
del anteojo.
(Cortesía de Leica
Geosystems AG)
Movimiento
horizontal
Puerto de
comunicación
Cabezal
de nivelación
Tornillos de nivelación
estación (véase el capítulo 6). Con base en estos datos, estos instrumentos pueden
calcular instantáneamente las componentes horizontales y verticales de las distancias, las elevaciones y coordenadas, así como exhibir los resultados en una Carátula de cristal líquido (LCD: Liquid Crystal Display). Como se estudia en el capítulo
2, también pueden almacenar los datos, ya sea en recolectores internos o externos
de datos conectados a sus puertos de comunicación.
El anteojo es una parte importante de un instrumento de estación total. Está
montado entre las columnas del instrumento (véase la figura 8.1), y después de
nivelar el instrumento, se le puede hacer girar de modo que su línea de colimación'1
defina un plano vertical. El eje alrededor del cual gira el anteojo se llama eje horizontal. El anteojo también puede rotar conforme a cualquier acimut alrededor de
una línea vertical llamada el eje vertical. Teniendo el anteojo capacidad de giro y
rotación de esta manera, ya es posible que el operador apunte el anteojo conforme
a cualquier acimut, y a lo largo de cualquier pendiente, para visar puntos. Esto es
esencial para hacer mediciones de ángulos, como se describe en la Parte II de este
capítulo. Los tres ejes de referencia, el eje de la visual, el eje horizontal y el eje
vertical, se ilustran en la figura 8.24.
Los instrumentos de MED que se integran a los instrumentos de estación
total (que se describen en la sección 6.21) son relativamente pequeños, y como
se muestra en la figura 8.1, están montados con el anteojo entre las columnas del
1
La línea de colimación, frecuentemente llamada la “línea visual”, es la línea de referencia dentro
del anteojo que usa un observador para hacer apuntamientos con el instrumento. Como se define en
la sección 4.7, es la línea que conecta al centro óptico de la lente del objetivo con la intersección de
los hilos de la retícula.
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8.2 Características de los instrumentos de estación total
187
instrumento. Aunque los instrumentos de MED son pequeños, tienen alcances en
distancia adecuados para la mayoría de los trabajos. Con ellos se pueden medir
longitudes de hasta aproximadamente 4 km con un solo prisma, y aún más lejos
con un prisma triple como el que se muestra en la figura 6.11.
Los instrumentos de estación total se fabrican con dos círculos graduados,
montados en planos mutuamente perpendiculares. Antes de comenzar a medir los
ángulos, el instrumento se nivela de tal manera que el círculo horizontal se oriente
en un plano horizontal, lo que automáticamente coloca al círculo vertical en un
plano vertical. De este modo pueden medirse ángulos horizontales y cenitales (o
verticales) directamente en sus respectivos planos de referencia. Para aumentar la
precisión del ángulo horizontal final, los instrumentos de repetición tenían dos ejes
verticales. Esto resultaba en dos tornillos horizontales de movimiento. Un conjunto de tornillos de movimiento permitían que el instrumento girara sin cambiar el
valor en el círculo horizontal. Los instrumentos de estación total de la actualidad
generalmente tienen solamente un eje vertical y por tanto se les considera instrumentos direccionados. Sin embargo, como se estudiará posteriormente, en una
estación total los ángulos pueden repetirse siguiendo los procedimientos descritos en el manual del instrumento. La gran mayoría de las primeras versiones de
los instrumentos de estación total empleaban niveles de burbuja para orientar los
círculos en los planos horizontal y vertical, pero muchos aparatos modernos usan
actualmente compensadores automáticos o mecanismos electrónicos sensores de
inclinaciones.
La resolución angular de las estaciones totales disponibles varía de medio
segundo para los instrumentos de precisión adecuados para levantamientos de control, hasta 200 para instrumentos menos caros hechos específicamente para trabajo de construcción. Los formatos usados para exhibir los ángulos también varían
con los diferentes instrumentos. Por ejemplo, algunos muestran los símbolos de
grados, minutos y segundos, en tanto que otros usan sólo un punto decimal para
separar el número de grados de los minutos y los segundos. Así, 315.1743 es en
realidad 315°179430. La mayoría de los instrumentos permiten escoger las unidades, tales como la exhibición de mediciones angulares en grados, minutos y segundos, o bien en grados centesimales. Las distancias se pueden mostrar ya sea en
pies o en metros. También, ciertos instrumentos permiten escoger una exhibición ya
sea de ángulos cenitales o de ángulos verticales. Esta selección se hace por medio del
teclado y el microprocesador ejecuta las conversiones necesarias en la forma correspondiente. El teclado para el control del instrumento y la entrada de datos se localiza
justamente encima de la cabeza de nivelación, como se muestra en la figura 8.1.
Una vez que el instrumento ha sido instalado y que se ha hecho una observación a través del telescopio, el tiempo requerido para exhibir mediciones angulares y de distancias es generalmente de 2 a 4 segundos cuando el instrumento de
estación total se está haciendo funcionar en el modo normal, y de menos de 0.5
segundos cuando está funcionando en el modo de rastreo. En el modo normal,
que se usa para la mayoría de los tipos de levantamientos, excepto en el trazo
de construcciones, se obtiene una precisión mayor porque se efectúan mediciones
múltiples que luego se promedian. En el modo de rastreo, usado principalmente
para el estacado en los proyectos de construcción, se mantiene un prisma sobre la
línea cerca de la posición final anticipada de una estaca. Se toma rápidamente una
medición al prisma, y se calcula y exhibe instantáneamente la distancia que se debe
mover hacia adelante o hacia atrás. El prisma se mueve hacia adelante o hacia atrás
de acuerdo con los resultados de la primera observación, y se hace otra comprobación de la distancia. El proceso se repite tantas veces como sea necesario hasta
que se obtenga la distancia correcta, momento en el cual se coloca la estaca. Este
procedimiento se describe con mayor detalle en el capítulo 23.
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188 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Las estaciones totales robóticas, que se estudian más ampliamente en la sección
8.6, tienen servomotores en ambos ejes horizontal y vertical que permiten que el
instrumento realice un segundo visado sobre un objetivo o que rastreen un objetivo
errante sin la interacción del operador. Estos instrumentos se usan frecuentemente para el trazado en la construcción. De hecho, las estaciones totales robóticas se
requieren para el guiado y el control de maquinaria en un sitio de construcción como
se estudia en la sección 23.11. En el guiado de maquinaria, el instrumento guía una
pieza de equipo de construcción a través del proceso de preparación del sitio, informando al operador del equipo de construcción de la posición del equipo en el sitio
de la obra y de la cantidad de suelo que es necesario retirar o añadir en su posición
para cumplir con el diseño de proyecto. En el control de maquinaria, el instrumento
manda datos a una unidad de control en la maquina que controla al equipo durante
el proceso de construcción completo.
■ 8.3 FUNCIONES QUE REALIZAN LOS INSTRUMENTOS
DE ESTACIÓN TOTAL
Los instrumentos de estación total, con sus microprocesadores, pueden efectuar
varias funciones y cálculos, dependiendo de cómo estén programados. La mayoría
son capaces de ayudar a un operador, paso a paso, a través de los diferentes tipos de
operaciones básicas de un levantamiento. Después de seleccionar el tipo de levantamiento en un menú, automáticamente aparecerán en la pantalla sugerencias o
indicaciones para guiar al operador en cada paso. En la sección 17.9.1 se presenta un
ejemplo que muestra un levantamiento topográfico efectuado con este procedimiento.
Además de proporcionar ayuda al operador, los microprocesadores de las
estaciones totales pueden realizar numerosos tipos de cálculos. Las capacidades
varían según los diferentes instrumentos, pero algunos cálculos estándar son: (1)
obtención de promedios de mediciones múltiples angulares y de distancias; (2)
corrección electrónica de distancias medidas por constantes de prisma, presión
atmosférica y temperatura; (3) hacer correcciones aproximadas por curvatura y
refracción de ángulos verticales y elevaciones determinadas por nivelación trigonométrica; (4) reducción de las distancias inclinadas a sus componentes horizontal
y vertical; (5) cálculo de elevaciones de puntos a partir de las componentes de distancias verticales (las cuales se complementan con entradas por medio del teclado
de las alturas del instrumento y del reflector), y (6) cálculo de las coordenadas de
los puntos del levantamiento a partir de las componentes de distancia y ángulo
horizontales (que se complementa con entrada por medio del teclado de las coordenadas de la estación ocupada y de un acimut de referencia). El tema del cálculo
de coordenadas se verá en los capítulos 10 y 11.
Muchas estaciones totales, aunque no todas, son también capaces de efectuar
correcciones en los ángulos horizontales y verticales medidos cuando hay de por
medio varios errores instrumentales. Por ejemplo, por medio de un simple proceso
de calibración, el error de índice del círculo vertical puede determinarse (véase la
sección 8.13), almacenarse en el microprocesador y luego aplicarse automáticamente una corrección cada vez que se mide un ángulo cenital. Un procedimiento
similar de calibración y de corrección se aplica a los errores que existen en los
ángulos horizontales debido a ciertas imperfecciones del instrumento (véase la
sección 8.8). Algunas estaciones totales son también capaces de corregir errores
personales, tal como lo sería una nivelación incorrecta del instrumento. Por medio
de mecanismos sensibles al grado de inclinación, estos instrumentos miden automáticamente la magnitud y dirección del desnivel y luego hacen correcciones a los
ángulos horizontales y verticales medidos en esta condición.
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8.4 Partes de un instrumento de estación total
189
Agarradera
Colimador
Lente del objetivo
Movimiento del
círculo vertical
Tornillo tangencial vertical
Movimiento del
círculo horizontal
Tornillo tangencial del
círculo horizontal
Enfoque de la lente
de la plomada óptica
Pieza ocular
de la plomada óptica
Enfoque de la pieza ocular
Teclado
Base
Tríbraco
Tornillos de nivelación
del tríbraco
Movimiento
del tríbraco
Tripié
Figura 8.2 Partes
de un instrumento de
estación total,
con una vista
del extremo del
objetivo del anteojo.
(Cortesía de Topcon
Positioning Systems.)
■ 8.4 PARTES DE UN INSTRUMENTO DE ESTACIÓN TOTAL
La parte superior del instrumento de estación total, llamada alidada, incluye el
an-teojo, los círculos graduados y todos los demás elementos necesarios para
medir ángulos y distancias. El diseño y apariencia básicos de estos instrumentos
(véanse las figuras 8.1 y 8.2) son:
1. Los anteojos son cortos, tienen retículas grabadas en vidrio, y están dotados de miras de rifle o colimadores para su apuntamiento aproximado. La mayoría
de los anteojos tienen dos controles de enfoque. El control de la lente del objetivo
se usa para enfocar el objeto que se está visando. El control de la pieza ocular se
usa para enfocar la retícula. Si no coincide el enfocamiento de las dos lentes, existirá una condición conocida como paralaje. La paralaje es el movimiento aparente
de un objeto causado por un movimiento de la posición del ojo del observador.
La existencia de paralaje puede observarse variando rápida y ligeramente la posición del ojo y observando el movimiento del objeto en relación con los hilos de la
retícula. El ajuste cuidadoso de la pieza ocular y de la lente del objetivo conducirá
a una imagen nítida tanto del objeto como de los hilos de la retícula sin paralaje
visible. Como el ojo tiende a cansarse por el uso, la presencia de la paralaje deberá
verificarse a lo largo del día. Un error común de los principiantes es hacer que un colega
“verifique” sus apuntamientos. Esto no se recomienda por muchas razones, incluyendo las diferencias personales de enfocamiento que existen entre las personas. En
el video Removing Parallax (Cómo eliminar la paralaje), que está disponible en el
sitio de la red acompañante, se estudia el procedimiento que se usa para detectar y
eliminar la paralaje de las piezas ópticas.
Con los instrumentos modernos se tiene disponible un autoenfocamiento de
la lente del objetivo. Esto funciona de una manera similar al autoenfocamiento
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190 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
de una cámara fotográfica, e incrementa la tasa de apuntamientos que se pueden
hacer cuando los objetos están a distancias variables del instrumento.
2. El sistema de medición de ángulos funciona al pasar un haz de luz a través
de graduaciones con espaciamiento muy fino. El instrumento de la figura 8.2 es
representativo de la manera en que operan las estaciones totales, y se describe aquí
brevemente. Para la medición de ángulos horizontales, se montan paralelamente
dos círculos de vidrio dentro de la alidada, uno encima del otro, con un ligero espaciamiento entre ellos. Después que ha sido nivelado el instrumento, los círculos
deberán estar en planos horizontales. El rotor (círculo inferior) contiene un patrón
de líneas oscuras y espacios claros alternos igualmente divididos. El estator (círculo
superior) contiene un patrón con forma de ranura y es equidistante al círculo del
rotor. Un diodo emisor de luz (LED: Light-Emitting Diode) dirige luz colimada a
través de los círculos desde abajo hacia una celda fotodetectora arriba. ¡Una estación total moderna puede tener hasta 20,000 graduaciones!
Cuando se visa un ángulo con el GTS210, el rotor se mueve con respecto al
estator, creando variaciones alternadas en la intensidad de la luz. Los fotodetectores perciben estas variaciones, las convierten en pulsos eléctricos y transmiten
éstos a un microprocesador que los convierte en valores digitales. Los dígitos se
exhiben usando un diodo de cristal líquido (LCD: Liquid Cristal Diode). Otro sistema separado como el ya descrito también se monta dentro de la alidada para
medir ángulos verticales (o cenitales). Con el instrumento nivelado, este sistema
de círculo vertical se alinea conforme a un plano vertical. Después de hacer una
observación, se exhiben tanto el ángulo horizontal como el ángulo cenital, y pueden leerse y registrarse manualmente en los libros de campo, o alternativamente,
los instrumentos pueden equiparse con recolectores automáticos de datos que eliminan la lectura y el registro manual. (¡Esto ayuda a eliminar errores!) El Topcon
GTS210 puede resolver ángulos con una exactitud de 10, 30 50.
3. El círculo vertical de la mayoría de los instrumentos de estación total está
relacionado con precisión respecto a la dirección de la gravedad por un compensador automático. Estos dispositivos son similares a los que se usan en los niveles
automáticos (véase la sección 4.10), y automáticamente alinean el círculo vertical
de modo que 0° se orienta precisamente hacia arriba dirigido al cenit (opuesto
a la dirección de la gravedad). Así las lecturas en el círculo vertical son en realidad de ángulos cenitales, es decir, que se lee 0° cuando el anteojo apunta verticalmente hacia arriba, y se leen ya sea 90° o 270° cuando está horizontal. Conforme
le sea ordenado, el microprocesador puede convertir ángulos cenitales a ángulos
verticales (es decir, valores medidos hacia arriba o hacia abajo a partir de 0° en
posición horizontal). El movimiento vertical, que contiene un tornillo de fijación
y tangencial, permite que se libere el anteojo de modo que pueda girar alrededor
del eje horizontal, o fijarse (apretarse) para evitar que gire. Para visar un punto,
el movimiento puede liberarse y el anteojo puede inclinarse hacia arriba o hacia
abajo alrededor del eje horizontal tanto como sea necesario hasta la posición aproximada necesaria para visar un punto. Entonces el tornillo se aprieta, y se termina
el movimiento lento de ajuste usando el tornillo tangencial vertical.
En las estaciones totales robóticas (véase la figura 8.7), el tornillo de fijación y tangencial se reemplaza con un mecanismo de recorrido basculante. Este
mecanismo acciona un motor interno servo impulsado que hace rotar al anteojo
alrededor de su eje horizontal. La velocidad de rotación del mecanismo determina
la velocidad de rotación del anteojo.
4. La rotación del anteojo alrededor del eje vertical ocurre dentro de un
cilindro de acero o sobre cojinetes de precisión, o una combinación de ambos. El
movimiento horizontal, que también contiene un tornillo de fijación y tangencial,
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8.4 Partes de un instrumento de estación total
Prisma en
ángulo recto
Eje vertical
del instrumento
191
Enfoque del
lente del objetivo
Línea de
colimación
Tornillo de
nivelación
(a)
Línea de
colimación
Enfoque de la
pieza ocular
Tornillo de
nivelación
(b)
Figura 8.3 (a) Tríbraco con plomada óptica, (b) esquema de una plomada óptica para tríbraco.
[Figura (a), cortesía de Topcon Positioning Systems.]
controla esta rotación. La rotación puede impedirse al apretar el tornillo. Para visar
un punto, se libera el movimiento y el anteojo gira conforme al acimut de la dirección
aproximada deseada, y el tornillo se fija nuevamente. Entonces el tornillo tangencial
horizontal permite que se haga un ajuste fino en la dirección del apuntamiento.
(En realidad cuando se visa un punto, se liberan los movimientos vertical y horizontal de modo que el anteojo pueda girar y rotar simultáneamente. Entonces
ambos se aprietan y se hace el movimiento fino de ajuste usando los dos tornillos
tangenciales.)
Similarmente al movimiento vertical en las estaciones totales servo-impulsadas, el tornillo horizontal tangencial y de fijación se reemplaza con un mecanismo
de recorrido basculante que acciona a un servo-impulso interno para hacer rotar al
instrumento alrededor de su eje vertical. Nuevamente la velocidad de rotación del
mecanismo determina la velocidad de rotación del instrumento.
5. El tríbraco (véanse las figuras 8.1 y 8.2) consiste en tres tornillos o levas
de nivelación, un nivel circular (burbuja de ojo de buey), un dispositivo de fijación
para asegurar la base de la estación total o los accesorios (tales como los prismas y
los objetivos de visado), y cuerdas para atornillar el tríbraco al cabezal del trípode.
Como se muestra en la figura 8.3, algunos tríbracos también tienen plomadas ópticas integradas (que se describen en seguida) para permitir el centrado de accesorios sobre un punto sin el instrumento.
6. Las bases de las estaciones totales frecuentemente se diseñan para permitir el intercambio del instrumento con señales de mira y prismas en tríbracos sin
perturbar el centrado previamente establecido sobre los puntos del levantamiento.
Esto puede ahorrar una gran cantidad de tiempo. La mayoría de los fabricantes
usan una disposición estandarizada de “tres postes” para permitir la intercambiabilidad entre los diferentes instrumentos y accesorios.
7. Una plomada óptica, incorporada ya sea en el tríbraco o la alidada de los
instrumentos de estación total, permite un centrado exacto sobre un punto. Aunque
cualquiera de los dos tipos permite un centrado exacto, se obtiene una mejor exactitud con aquellos que son parte de la alidada del instrumento. La plomada óptica
provee una línea visual que se dirige hacia abajo, colineal con el eje vertical del instrumento. Pero el instrumento de estación total o tríbraco debe nivelarse primero
para que la línea visual sea vertical. Las figuras 8.3(a) y (b) muestran un tríbraco con
plomada óptica, y un esquema de la plomada óptica del tríbraco, respectivamente.
Debido a la corta longitud del anteojo en una plomada óptica, es muy importante
eliminar la paralaje antes de centrar el instrumento con este dispositivo.
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192 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
En los instrumentos más nuevos, las plomadas láser han reemplazado a la
plomada óptica. Este dispositivo produce un haz de luz láser que coincide con el
eje vertical del instrumento. Ya que no se requiere el enfocamiento del objetivo ni
de la lente de la pieza ocular con una plomada láser, esta opción incrementará tanto la velocidad como la exactitud de los emplazamientos. Sin embargo, el punto del
láser puede ser difícil de ver en la brillante luz solar. Proveer sombra para la marca
puede ayudar en estas situaciones. Además, el punto definido por el láser puede
ser más grande que la marca sobre la cual el operador está tratando de centrarse.
8. Cuando se usan, los instrumentos de estación total se colocan sobre tripiés. Los tripiés son del tipo de bastidor ancho, y la mayoría de ellos tienen patas
ajustables. Su composición principal puede ser de madera, metal o fibra de vidrio.
9. El microprocesador suministra varias ventajas significativas a los topógrafos. Como ejemplos, (a) los círculos pueden ponerse instantáneamente en ceros
apretando simplemente un botón, o bien, pueden inicializarse a cualquier valor
con un teclado (esto es muy útil para fijar un acimut de referencia para una lectura
hacia atrás); (b) los ángulos pueden medirse en valores crecientes, ya sea hacia la
izquierda o hacia la derecha; y (c) los ángulos medidos por repetición (véase la sección 8.8) pueden sumarse para proporcionar el total, aun cuando la marca de 360°
se haya pasado una o varias veces. Otras ventajas incluyen la reducción de errores
al hacer lecturas, y un incremento en la velocidad total de la operación.
10. El teclado y la carátula (véase la figura 8.2) proporcionan los medios de
comunicación con el microprocesador. La mayoría de las estaciones totales tienen
un teclado y una carátula en ambos lados del instrumento, una característica que
es especialmente conveniente cuando se hace funcionar el instrumento en ambos
modos: directo e inverso (véase la sección 8.8), que es lo que generalmente se hace
cuando se miden ángulos. Algunas estaciones totales robóticas (véase la sección
8.6) también tienen un teclado y una carátula montados en un polo de prisma
remoto para las operaciones de “una persona”.
11. El puerto de comunicación (véase la figura 8.1) permite la conexión al
instrumento de recolectores de datos externos. Algunos instrumentos tienen capacidad para la recolección de datos internos, y sus puertos de comunicación les permiten tener una interfase con una computadora para la descarga directa de datos.
■ 8.5 MANEJO Y EMPLAZAMIENTO DE UN INSTRUMENTO
DE ESTACIÓN TOTAL
Un instrumento de estación total debe sacarse cuidadosamente de su estuche de
transporte tomándolo de alguna de las columnas o de la manija, y el instrumento
debe atornillarse hasta asegurarlo al tripié mediante un tríbraco. Para la mayoría de los levantamientos, antes de observar distancias y ángulos, el instrumento
debe emplazarse primero cuidadosamente sobre un punto específico. El proceso
de emplazamiento en un punto de un instrumento con plomada óptica, montaje de
tríbraco con burbuja esférica y tripié de patas ajustables, se hace convenientemente de la siguiente manera: (1) ajuste la posición de las patas del tripié levantando y
moviendo el instrumento en conjunto hasta que el punto esté centrado preliminarmente por debajo del cabezal del tripié2 (los principiantes pueden dejar caer una
piedra desde el centro del cabezal del tripié, o usar una plomada para verificar la cercanía al punto); (2) coloque firmemente las patas del tripié en el suelo y extienda las
2
Algunos prefieren colocar una pata firmemente en el suelo. Entonces, el topógrafo observa a través de
la plomada óptica y mueve el trípode con las manos sobre las dos patas restantes hasta que el punto
esté a la vista en la plomada óptica. Entonces, las dos patas restantes se colocan firmemente en el suelo.
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B
A
Dirección de
la rotación del
tornillo, pulgar izquierdo
Dirección de la burbuja
A
Dirección de la burbuja
8.5 Manejo y emplazamiento de un istrumento de estación total
C
C
(a)
(b)
193
B
Figura 8.4
Centrado de la
Dirección de
la rotación burbuja con base
nivelante de tres
tornillos.
patas de modo que el cabezal del trípode esté aproximadamente a nivel; (3) nivele
en forma preliminar los tornillos niveladores del tríbraco en sus postes; (4) monte el
tríbraco aproximadamente a la mitad del cabezal del tripié para permitir traslación
máxima en el paso (9) en cualquier dirección; (5) enfoque apropiadamente la plomada óptica sobre el punto, asegurándose de verificar si hay paralaje; (6) manipule
los tornillos de nivelación para apuntar a la intersección de los hilos de la retícula
del anteojo de la plomada óptica en el punto por debajo; (7) centre la burbuja del
nivel esférico ajustando la longitud de las patas extensibles del tripié; (8) nivele
el instrumento usando la burbuja del plato y los tornillos de nivelación; y (9) si es
necesario, afloje el tornillo del tríbraco y traslade el instrumento (no lo gire) hasta
que los hilos reticulares de la plomada queden centrados exactamente sobre el
punto; (10) repita los pasos (8) y (9) hasta lograr un centrado y nivelado perfectos.
Con las estaciones totales que tienen sus plomadas ópticas en el tríbraco, el instrumento puede y debe dejarse en su estuche hasta el paso (8). Los videos Leveling
an Instrument (Cómo nivelar un instrumento) y Centering an Instrument over a
Point (Cómo centrar un instrumento sobre un punto), que están disponibles en el
sitio de la red acompañante de este libro, muestran el proceso de nivelación y de
emplazamiento de un instrumento con una plomada óptica y un trípode de patas
ajustables sobre un punto.
Para nivelar un instrumento de estación total que tiene un nivel de burbuja
en la alidada, el anteojo se gira para colocar el eje del nivel de burbuja paralelo a
Figura 8.5 El
sistema electrónico
de nivelación
LEICA TPS 300.
[Cortesía de Leica
Geosystems AG]
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194 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
la línea que pasa por cualquiera de los dos tornillos de nivelación, como la línea
que pasa por A y B en la figura 8.4(a). Se centra la burbuja haciendo girar estos
dos tornillos, luego se gira a 90°, como se muestra en la figura 8.4(b), y se centra
de nuevo, usando solamente el tercer tornillo (C). Se repite este procedimiento y
se verifica cuidadosamente para asegurarse de que la burbuja permanece centrada. Como se ilustra en la figura 8.4, la burbuja se mueve en la dirección del pulgar
izquierdo cuando se giran los tornillos niveladores. Es esencial un emplazamiento
sólido del tripié, y se debe poner bajo sombra al instrumento si hay luz solar muy
brillante. De lo contrario, se expandirá la burbuja y se desplazará al extremo más
caliente al irse calentando el líquido.
Muchos instrumentos, tal como el LEICA TPS 300 mostrado en la figura 8.1,
no tienen niveles de burbuja tradicionales. Más bien, están equipados con un sistema electrónico de nivelación de eje dual, como se muestra en la figura 8.5, en el
cual cuatro sensores perciben una superficie líquida (horizontal). Después de realizar una nivelación preliminar mediante el nivel circular de burbuja del tríbraco,
las señales de los sensores se procesan para formar una imagen en la unidad visual
LCD, la cual guía al operador al realizar una nivelación preliminar. Se usan los tres
tornillos de nivelación, pero no es necesario hacer girar el instrumento alrededor
de su eje vertical en el proceso de nivelación. Después de la nivelación preliminar,
la magnitud y dirección de cualquier desnivel residual es automática y continuamente recibida por el microprocesador, el cual corrige los ángulos horizontales y
verticales medidos en tiempo real.
Como se dijo antes, las estaciones totales se controlan con entradas hechas
ya sea a través de sus teclados incorporados o a través de los miniteclados de los
recolectores manuales de datos. Los detalles de operación de cada estación total
individual varían un poco, y por lo tanto no se describen aquí. Estos detalles de
operación se describen en los manuales que vienen con los instrumentos en el
momento de su compra.
(a)
(b)
Figura 8.6 (a) Un método apropiado para transportar una estación total en el campo.
(b) Una estación total en un estuche abierto. (Cortesía de Leica Geosystems AG)
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8.6 Instrumentos de estación total servo-impulsados y de operación remota
195
Al moverse entre emplazamientos en el campo, debe tenerse un cuidado
apropiado. Antes de retirar la estación total del tripié, los tornillos de las patas
deben regresarse al punto medio de los postes. Muchos instrumentos tienen una
línea en el poste del tornillo que indica la posición a la mitad. El instrumento
JAMÁS deberá transportarse en el tripié, ya que esto induce esfuerzos en el cabezal del tripié, en el tríbraco y en la base del instrumento. La figura 8.6(a) ilustra el
procedimiento apropiado para cargar equipo en el campo. En los tripiés con apoyos ajustables, el esfuerzo en los apoyos puede evitarse al retraerlos a su posición
más corta y apretarlos ligeramente en su posición. Como los tornillos del instrumento comúnmente están hechos de bronce, el apretado excesivo de los tornillos
en los trípodes y en el instrumento puede dañar seriamente a los instrumentos. Los
tornillos y los topes sólo deberán apretarse hasta donde den los dedos. Algunas
veces, los usuarios con poca experiencia aprietan demasiado los tornillos en detrimento del equipo.
Al regresar la estación total a su estuche, todos los mecanismos de movimiento deberán liberarse. Este procedimiento protege las cuerdas y reduce el desgaste
cuando el instrumento se zangolotea durante el transporte y también evita que
las cuerdas se barran durante períodos largos de almacenaje. Si el instrumento está
mojado, deberá secarse y dejarse en el estuche abierto hasta que esté seco, como
se muestra en la figura 8.6(b). Cuando se almacenen tripiés, es importante aflojar o
apretar ligeramente todos los apoyos. Esto es especialmente cierto con los tripiés
de madera, donde ésta tiende a expandirse y a contraerse con la humedad del aire.
El no aflojar el mecanismo de movimiento en los tripiés de madera puede resultar
en fibras aplastadas de madera que inhiben la capacidad de la mordaza para sostener el apoyo durante un uso futuro.
■ 8.6 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL
SERVO-IMPULSADOS Y DE OPERACIÓN REMOTA
Los fabricantes también producen instrumentos de estación total “robóticos” equipados con mecanismos de servo-impulso que les permiten apuntar automática-
Figura 8.7
Una estación
total robótica
Leica Geosystems
con su recolector
automático de
datos en la
baliza del prisma.
(Cortesía de Leica
Geosystems AG.)
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196 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
mente a un punto que se quiere establecer. La estación total mostrada en la figura
8.7 es un ejemplo. Cuando se haga el estacado de puntos con estos instrumentos,
solamente es necesario identificar el número del punto con una entrada en el teclado. La computadora recupera la dirección al punto del almacenaje o la calcula y
activa un servomotor para hacer girar el anteojo en esa dirección en cuestión de
segundos. Esta característica es especialmente útil para el estacado en las construcciones, pero también es conveniente en los levantamientos de control cuando se
realizan observaciones múltiples al medir ángulos. En este caso, el apuntamiento
preciso final se hace manualmente.
El recolector automático de datos mostrado en la figura 8.7, que está acoplado a un poste con prisma, tiene incorporado un enlace de telemetría para la
comunicación con la estación total. El instrumento robótico está equipado con una
función automática de búsqueda y apuntado, así como un enlace para la comunicación con el recolector automático de datos. Tiene servomotores para el apuntado
automático al prisma tanto en sentido horizontal como vertical. Con el uso del
recolector automático de datos, el instrumento de estación total puede controlarse
a distancia.
Para que el sistema funcione, el instrumento robótico debe primero emplazarse y orientarse. Esto consiste en ingresar las coordenadas del punto donde se
ubica la estación total, y tomar una lectura hacia atrás a lo largo de una línea de
acimut conocido. Una vez orientado, el operador carga el recolector automático
de datos y el prisma a una ubicación conveniente y visa el instrumento robótico.
Entonces el instrumento escanea al prisma tanto en sentido horizontal como vertical. Entonces se activa el servomotor horizontal y gira hasta que encuentra al prisma. Una vez que la estación total ha encontrado al prisma, lo cual toma solamente
unos cuantos segundos, y se fija en éste, seguirá automáticamente sus movimientos
adicionales. Si se pierde la fijación, simplemente se repite la rutina de búsqueda. La
UPR no solamente sirve como la unidad de control del sistema, sino que también
funciona como un recolector de datos.
Con este sistema y otros similares, el instrumento de estación total se controla completamente a través del teclado de la unidad remota en el poste del prisma.
Estos sistemas permiten a una persona realizar un levantamiento completo. Son
excepcionalmente adecuados para los levantamientos de construcción y los levantamientos topográficos, pero pueden usarse con ventaja también en otros tipos de
trabajo. El sistema no sólo ahorra el trabajo de una persona y acelera el trabajo,
sino que, y muy importante, elimina los errores al identificar puntos que pueden
ocurrir cuando el prisma está lejos de la estación total y no puede verse claramente.
S
R
θ
0.03 pie
100 pies
1´
1´
Figura 8.8
Relaciones
entre ángulos
y distancias.
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1 plg
300 pies
1 mm
3 cm
1´
100 m
1˝
200 m
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8.8 Medición de ángulos horizontales con los instrumentos de estación total
197
PARTE II • MEDICIÓN DE ÁNGULOS
■ 8.7 RELACIÓN DE ÁNGULOS Y DISTANCIAS
La determinación de la posición relativa de los puntos frecuentemente incluye la
medición tanto de ángulos como de distancias. Los mejores levantamientos se obtienen cuando existe compatibilidad entre las exactitudes de estos dos tipos diferentes de mediciones. La fórmula que relaciona distancias con ángulos está dada
por la relación geométrica:
(8.1)
S 5 Ru
En la ecuación (8.1), S es la longitud del arco subtendido por un arco de u en
radianes a una distancia R. Para seleccionar los instrumentos y los procedimientos
de levantamiento necesarios para lograr la consistencia, y para evaluar los efectos de los errores debido a diferentes fuentes, es útil considerar las relaciones entre
ángulos y distancias que se dan aquí, y que se ilustran en la figura 8.8.
19 de arco 5 0.03 pie a 100 pies, o 3 cm a 100 m (aproximadamente)
19 de arco 5 1 plg a 300 pies (aproximado, en realidad, a 340 pies)
10 de arco 5 1 pie a 40 mi o 0.5 m a 100 km, o 1 mm a 200 m (aproximadamente)
10 de arco 5 0.000004848 radianes aproximadamente
1 radián 5 206 264.80 (aproximadamente)
De acuerdo con las relaciones anteriores, se tendrá un error de más o menos
1 min al medir un ángulo si la visual está desalineada 1 plg en una distancia de
300 pies. Esto pone de manifiesto la importancia de emplazar con precisión el instrumento y los puntos por visar, especialmente cuando se trata de visuales cortas. Si se espera que un ángulo se mida con una precisión de 650 en visuales de
500 pies, entonces la distancia debe ser correcta con una aproximación de 500 3
50 3 0.000004848 5 60.01 pie, para que haya compatibilidad.
Para apreciar la capacidad de precisión de una estación total de alta calidad,
un instrumento que lee a los 0.50 más próximos es teóricamente capaz de medir el
ángulo entre dos puntos separados aproximadamente 1 cm a 4 km de distancia. Sin
embargo, como se verá en las secciones 8.19 a 8.21, los errores al centrar el instrumento, la visualización del punto, la lectura del círculo y otras fuentes, hacen difícil,
si no imposible, alcanzar semejante grado de precisión.
B
K
J
R
Q
C
x
S
a
b
z
y
A
D
P
I
(a)
(b)
Figura 8.9 Medición de ángulos horizontales.
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(c)
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198 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
■ 8.8 MEDICIÓN DE ÁNGULOS HORIZONTALES
CON LOS INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL
Como se enuncia en la sección 2.1, los ángulos horizontales se miden en planos
horizontales. Después de emplazar y nivelar un instrumento de estación total, su
círculo horizontal está en un plano horizontal y, por tanto, está adecuadamente
orientado para medir ángulos horizontales. Para medir un ángulo horizontal, por
ejemplo el ángulo JIK de la figura 8.9(a), primero se emplaza el instrumento y se
centra sobre la estación I, y se nivela. Entonces se toma una visual hacia atrás en la
estación J. Esto se logra liberando los movimientos horizontal y vertical, haciendo
girar el anteojo en la dirección aproximada de J, y fijando ambos movimientos.
Entonces se hace un apuntamiento preciso para colocar el hilo vertical de la retícula en el objetivo usando los tornillos tangenciales horizontal y vertical, y se ingresa
en la carátula un valor inicial de 0°009000. Entonces se libera el movimiento horizontal, y el anteojo se hace girar en el sentido de las manecillas del reloj hacia
el punto K para hacer la lectura hacia adelante. Generalmente también se libera el
movimiento del círculo vertical para inclinar el anteojo para visar el punto K. Nuevamente se fijan los movimientos con la línea visual aproximadamente sobre la
estación K, y se hace un apuntamiento preciso como antes usando el tornillo tangencial horizontal. Cuando se termina la visual hacia adelante, el valor del ángulo
horizontal aparecerá automáticamente en la carátula. El video Turning an Angle
(Medición de ángulos), que está disponible en el sitio de la red acompañante de
este libro, muestra los procedimientos para medir un ángulo y crear notas de campo acompañantes usando un instrumento de estación total.
Para eliminar los errores instrumentales e incrementar la precisión, las mediciones de ángulos deberán repetirse un número igual de veces en cada uno de los
modos directo e inverso, y tomarse el promedio. Las computadoras incorporadas
de los instrumentos de estación total calcularán el promedio automáticamente y
exhibirán los resultados finales. Para los instrumentos que tienen solamente un
teclado y una carátula individuales, el instrumento está en modo directo cuando la
pieza ocular y el teclado estén del mismo lado del instrumento. Sin embargo, los
instrumentos varían con el fabricante, y el operador deberá consultar el manual
del instrumento para determinar la orientación apropiada del instrumento cuando
está en el modo directo. Para pasar del modo directo al modo inverso, se “invierte”
el anteojo (se gira 180° alrededor del eje horizontal).
Los procedimientos para repetir las mediciones de ángulos horizontales
pueden diferir con los instrumentos de manufactura diferente, por lo que los operadores deben familiarizarse con las características de su instrumento específico
consultando el manual. El siguiente es un procedimiento de ejemplo que es aplicable a algunos instrumentos. Después de hacer la primera medición del ángulo
JIK, como se describió anteriormente, se mantiene el valor angular en la carátula presionando un botón en el teclado del instrumento. (Suponga que la primera
medición fue en el modo directo.) Para repetir el ángulo con el instrumento en el
mismo modo, nuevamente se toma una lectura hacia atrás en la estación J usando
el tornillo horizontal tangencial y de fijación. Después de terminar la lectura hacia
atrás, con el primer valor angular medido todavía en la carátula, ésta se libera para
la medición del siguiente ángulo presionando nuevamente el botón apropiado en el
teclado. Usando los mismos procedimientos descritos anteriormente, nuevamente
se toma una lectura hacia adelante en la estación K, después de lo cual la carátula leerá la suma de las dos repeticiones del ángulo. Este procedimiento se repite
hasta que se ha medido el número deseado de ángulos en el modo directo, por
lo cual la carátula mostrará la suma de estas repeticiones. Entonces el anteojo se
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8.9 Medición de ángulos horizontales por el método de la dirección
199
MEDICIÓN DE ÁNGULOS HORIZONTALES
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Ángulo
Cara
Primera
lectura
Promedio
° ' ”
Cuarta
lectura
° ' ”
JIK
I
66 37 40
66 3742
II
66 37 40 63 37 48 63 37 40
° ' ”
Figura 8.10
Notas de campo
para medir el
ángulo horizontal
de la figura 8.9(a)
por repetición.
invierte para ponerlo en el modo inverso, y el ángulo se repite un número igual de
veces usando el mismo procedimiento. Al final, se exhibirá el promedio de todos
los ángulos recorridos, directos e inversos, junto con las mediciones individuales y
sus errores residuales. Entonces el operador puede aceptar el conjunto de ángulos
como medidos o descartar ángulos individuales y repetir sus mediciones.
El procedimiento antes descrito para medir ángulos horizontales se llama
método de repeticiones. Como se observó anteriormente, el obtener un valor promedio de mediciones repetidas aumenta la precisión, y al incorporar igual número
de mediciones directas e inversas, se eliminan ciertos errores del instrumento (véase la sección 8.20).
En la figura 8.10 se muestra un ejemplo de notas de campo para medir el
ángulo de la figura 8.9(a) por el método de repeticiones. En el ejemplo, se tomaron
cuatro repeticiones, dos para cada uno de los modos directo (Cara I) e inverso
(Cara II). En las notas, la identificación del ángulo que se está midiendo se registra
en la columna (1), la posición del instrumento se coloca en la columna (2), los valores de las lecturas directas se tabulan en la columna (3), los valores de las lecturas
inversas se tabulan en la columna (4).), y la media de las cuatro lecturas, que produce el ángulo final, está dada en la columna (5). Si estos dos valores concuerdan
dentro de límites tolerables, se acepta el ángulo medio, si no, el trabajo se repite.
Se dispone de capacidades especiales con muchos instrumentos de estación
total para incrementar su exactitud y funcionamiento expedito. Por ejemplo, la
mayoría de los instrumentos tiene un compensador automático de eje dual que
percibe cualquier desorientación de los círculos. Esta información se transmite
mediante un relevador a la computadora incorporada que corrige cualquier error
de índice en el círculo vertical (véase la sección 8.13), y cualquier desnivel del
círculo horizontal, antes de exhibir los valores de los ángulos. Esta característica
de percepción y corrección de la inclinación en tiempo real hace necesario realizar
solamente una nivelación preliminar del instrumento, reduciendo así el tiempo de
emplazamiento. Además, algunos instrumentos miden ángulos mediante la integración de señales electrónicas para el ciclo completo simultáneamente; de esta
manera se eliminan los errores debido a graduaciones y excentricidades (véase
la sección 8.20.1). Adicionalmente, la computadora también corrige los ángulos
horizontales en cuanto a errores instrumentales si el eje de visión no es perpendicular al eje horizontal, o si el eje horizontal no es perpendicular al eje vertical.
(Estas condiciones se estudiaron en las secciones 8.15 y 8.20.1, respectivamente.)
Esta característica hace posible obtener observaciones de ángulos libres de errores
instrumentales sin promediar números iguales de lecturas directas e inversas. Con
estas ventajas, y más, es obvio por qué estos instrumentos han reemplazado a los
instrumentos ópticos más antiguos. Sin embargo, aun con estas ventajas, lo mejor
en la práctica es conservar su instrumento bien calibrado, pero usarlo como si no lo
estuviera, lo que significa leer y promediar siempre en mismo número de mediciones de ángulos de cara directos e inversos.
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200 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
DIRECCIONES OBSERVADAS DESDE LA ESTACIÓN P
Repetición
Estación
Lectura
Lectura
núm.
visada
directa
inversa
(1)
(2)
1
2
3
Figura 8.11
Notas de campo
para medir las
direcciones para la
figura 8.9(b).
4
Promedio
Ángulo
(3)
(4)
(5)
(6)
° ' ”
° ' ”
° ' ”
° ' ”
0 00 00
Q
0 00 00
0 00 00
R
37 30 27
37 30 21 37 30 24 37 30 24
S
74 13 42
74 13 34
74 13 38
Q
0 00 00
0 00 00
0 00 00
R
37 30 32 37 30 28 37 30 30 37 30 30
S
74 13 48
74 13 42
74 13 46
Q
0 00 00
0 00 00
0 00 00
R
37 30 26 37 30 26 37 30 26 37 30 26
S
74 13 36
74 13 40
74 13 38
Q
0 00 00
0 00 00
0 00 00
R
37 30 34 37 30 30 37 30 32 37 30 32
S
74 13 48
74 13 44
74 13 46
36 43 14
36 43 16
36 43 12
36 43 14
■ 8.9 MEDICIÓN DE ÁNGULOS HORIZONTALES
MÚLTIPLES POR EL MÉTODO DE LA DIRECCIÓN
Como una alternativa a la medición de ángulos horizontales por el método de
repeticiones descrito en la sección anterior, los instrumentos de estación total pueden usarse para determinar ángulos horizontales por el método de la dirección.
Este procedimiento consiste en medir direcciones, que son simplemente lecturas
del círculo horizontal tomadas a estaciones sucesivas visadas alrededor del horizonte. Entonces al tomar la diferencia de direcciones entre dos estaciones cualesquiera, se determina el ángulo entre éstas. El procedimiento es especialmente
eficiente cuando se están midiendo ángulos múltiples en una estación.
Un ejemplo de este tipo de situación se ilustra en la figura 8.9(b), donde los
ángulos a y b deben medirse en la estación P. La figura 8.11 muestra un conjunto
de notas de campo para medir estos ángulos por el método de la dirección. El
método consiste en visar la estación inicial Q en modo directo (Cara I) y poner las
placas en cero. Después de esto, todas las estaciones subsiguientes se visan en posición directa y las lecturas se escriben en la columna (3). Después de terminar las
lecturas en modo directo, el anteojo se gira a su posición inversa (Cara II), y todas
las direcciones se miden nuevamente [vea los ingresos de datos en la columna (4)].
Se llama posición al conjunto de lecturas en ambos modos directo e inverso.
Las notas en la figura 8.11 son en realidad los resultados de cuatro repeticiones de mediciones de dirección en cada uno de los modos directo e inverso. En
estas notas el número de repetición se lista en la columna (1); la estación visada en
la columna (2); las lecturas de dirección tomadas en los modos directo e inverso en
las columnas (3) y (4), respectivamente; la media de las lecturas directas e inversas
en la columna (5); y los ángulos calculados (obtenidos al restar la dirección media
de la estación Q de aquella de la estación R, y restando R de S) en la columna (6).
Se toman valores finales para los dos ángulos como los promedios de los
cuatro ángulos de la columna (6). Éstos son 37°309280 y 36°439140 para los ángulos
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8.10 Cierre al horizonte
201
CIERRE AL HORIZONTE EN LA ESTACIÓN A
Repetición
Estación
Lectura
Lectura
núm.
visada
directa
inversa
(1)
(2)
1
Promedio
Ángulo
(3)
(4)
(5)
(6)
° ' ”
° ' ”
° ' ”
° ' ”
B
0 00 00
0 00 00
0 00 00
C
42 12 12
42 12 14
42 12 13
42 12 13
D
102 08 26
102 08 28
102 08 27
59 56 14
B
0 00 02
0 00 02
0 00 02
257 51 35
Suma 360 00 02
2
B
0 00 00
0 00 00
0 00 00
C
42 12 12
42 12 14
42 12 13
42 12 13
D
102 08 28
102 08 28
102 08 28
59 56 15
B
0 00 04
0 00 04
0 00 04
257 51 36
Suma 360 00 04
3
B
0 00 00
0 00 00
0 00 00
C
42 12 14
42 12 12
42 12 13
42 12 13
D
102 08 28
102 08 26
102 08 27
59 56 14
B
0 00 04
0 00 00
0 00 02
257 51 35
Suma 360 00 02
4
B
0 00 00
0 00 00
0 00 00
C
42 12 14
42 12 12
42 12 13
D
102 08 32
102 08 28
102 08 30
59 56 17
B
0 00 04
0 00 04
0 00 04
257 51 34
42 12 13
Suma 360 00 04
Figura 8.12
Notas de campo
para un cierre al
horizonte en la
estación A de la
figura 8.9(c).
a y b, respectivamente. Observe que en este procedimiento, como fue el caso con
el método de las repeticiones, las lecturas múltiples incrementan la precisión de los
ángulos, y al tomar números iguales de lecturas directas e inversas, se eliminan los
errores instrumentales. Como se observó anteriormente, este método de medición
de direcciones puede reducir significativamente el tiempo en una estación, especialmente cuando se necesitan varios ángulos con repeticiones múltiples, por ejemplo en la triangulación. Los procedimientos para medir ángulos múltiples con los
recolectores de datos pueden variar con el fabricante. El lector deberá referirse a
su manual del recolector de datos para determinar los procedimientos apropiados
para su situación. Una de las ventajas de usar un recolector de datos para medir
ángulos múltiples es que proveen datos estadísticos inmediatos posteriores a la
medición. Los residuos de cada medición pueden exhibirse después del proceso
de medición antes de aceptar las mediciones promedio. El operador puede ver
cada residuo y decidir si alguno de ellos es demasiado grande para cumplir con las
especificaciones del trabajo, las especificaciones del instrumento, y las condiciones
de campo. Si se considera que alguno de los residuos es excesivo, esa medición
se elimina y se repite la medición. Si todos los residuos son demasiado grandes, se
elimina el conjunto completo de mediciones y se repite el proceso completo de
medición de ángulos.
■ 8.10 CIERRE AL HORIZONTE
El cierre al horizonte consiste en el uso del método de dirección tal como se describe en la sección anterior, pero incluyendo todos los ángulos alrededor de un
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
202 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
punto. Suponga en la figura 8.9(c) que solamente se necesitan los ángulos x y y.
Sin embargo, al cerrar el horizonte también se mide el ángulo z proporcionando con esto verificaciones adicionales. En la figura 8.12 se muestra un ejemplo de
notas de campo para esta operación. Primero se recorren los ángulos alrededor
del horizonte haciendo una lectura de apuntamiento y dirección en cada estación
con el instrumento en el modo directo [véase el ingreso de datos en la columna
(3) de la figura 8.12]. Se hace un apuntamiento final de lectura hacia adelante en
la estación inicial con lectura hacia atrás, y esto constituye una verificación porque
deberá dar la lectura inicial de la lectura hacia atrás (permitiendo un error aleatorio razonable). Cualquier diferencia es el error de cierre al horizonte, y si su valor
sobrepasa una tolerancia permisible, estas lecturas deberán descartarse y repetirse
las mediciones. (Observe que en las notas de campo de la figura 8.12, el error de
cierre máximo del horizonte fue de 4”.)
Después de terminar las lecturas del modo directo, el anteojo se invierte hasta alcanzar su posición inversa, y se miden nuevamente todas las direcciones alrededor del horizonte [véase el ingreso de datos en la columna (4)]. Un conjunto de
lecturas alrededor del horizonte tanto en los métodos directo como inverso constituye una así llamada posición. Las notas de la figura 8.12 contienen los resultados
de cuatro posiciones.
El proceso de reducción de notas consiste en calcular los valores medios de
las direcciones directa e inversa en cada estación [véase la columna (5)], y a partir de ellos se calculan los ángulos individuales alrededor del horizonte como se
estudia en la sección 8.9 [véase la columna (6)]. Finalmente se calcula su suma, y
se verifica contra (360°). Cualquier diferencia revela un error o errores de cálculo
de los ángulos individuales. Nuevamente se obtienen los valores repetidos para
cada ángulo individual, y como otra verificación del trabajo, deberán compararse
en cuanto a su concordancia.
Como una alternativa a cerrar al horizonte mediante la medición de direcciones, cada ángulo individual podría medirse independientemente usando los procedimientos esbozados en la sección 8.8. Después de observar todos los ángulos
alrededor del horizonte, su suma también podría calcularse y compararse contra
360°. Sin embargo, este procedimiento no es tan eficiente como cerrar al horizonte
usando direcciones.
■ 8.11 MEDICIÓN DE ÁNGULOS DE DEFLEXIÓN
Un ángulo de deflexión es un ángulo horizontal medido a partir de la prolongación
de la línea anterior, a la derecha o a la izquierda, hasta la línea siguiente. En la figura 8.13(a) el ángulo de deflexión en F es 12°159100 a la derecha (12°159100 R), y el
ángulo de deflexión en G es 16°209270 a la izquierda (16°209270L).
Una recta entre puntos terminales es teóricamente la ruta más económica
de construir y mantener en el caso de carreteras, vías férreas, tuberías, canales y
líneas eléctricas de transmisión. En la práctica, los obstáculos y las condiciones del
terreno y la propiedad de la tierra obligan a hacer quiebres y rodeos en la ruta,
pero las desviaciones respecto de la línea recta se mantienen lo más pequeñas que
E
Figura 8.13
Ángulos de
deflexión.
ALFAOMEGA
121510 R
F
G
(a)
H
K
L
162027 L
M
(b)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
8.11 Medición de ángulos de reflexión
203
sea posible. Si un instrumento está en perfectas condiciones de ajuste (lo cual es
improbable), el ángulo de deflexión en F [véase la figura 8.13(a)] se mide ajustando
el círculo a cero y visando hacia atrás al punto E con el anteojo en posición directa.
Entonces el anteojo se invierte a la posición inversa, lo que sitúa a la línea de visual
en la prolongación de EF, la cual se muestra segmentada en la figura. Se libera el
movimiento horizontal para la lectura hacia adelante, se visa el punto G, se fija
el movimiento horizontal, el hilo vertical de la retícula se coloca cuidadosamente
en la marca mediante el tornillo tangencial horizontal, y se lee el ángulo.
Los ángulos de deflexión están sujetos a errores serios si el instrumento no
está ajustado, especialmente si la línea de visual no es perpendicular al eje horizontal (véase la sección 8.15). Si existe esta condición, los ángulos de deflexión
pueden leerse mayores o menores que sus valores correctos, dependiendo de si
la línea visual después de la vuelta de campana del anteojo está a la derecha o a la
izquierda de la prolongación verdadera [véase la figura 8.13(b)]. Para eliminar los
errores debido a esta causa, generalmente se duplican o cuadruplican los ángulos mediante el siguiente procedimiento: se toma la primera visada hacia atrás con
el círculo ajustado a cero. Entonces el anteojo se invierte a la posición inversa y se
toma y se registra una lectura hacia adelante. Con el anteojo invertido, se toma una
segunda lectura hacia atrás sobre la estación inicial y se pone en ceros el círculo
horizontal. Entonces el anteojo se invierte nuevamente a la posición directa y se
toma y se registra una segunda lectura hacia adelante. Se determina el promedio
de las dos lecturas hacia adelante con lo cual se eliminan por cancelación muchos
errores instrumentales. El método puede resumirse como sigue:
1. Visar hacia atrás con el anteojo en posición directa. Dar vuelta de campana
y medir el ángulo. Registrar la lectura.
2. Visar hacia atrás con el anteojo invertido. Invertir nuevamente el anteojo, al
modo directo, y medir y registrar el ángulo.
3. Promediar los dos ángulos.
Por supuesto, puede incrementarse la precisión en la medición haciendo cuatro, seis u ocho determinaciones de la deflexión y luego promediar.
ÁNGULOS DE DEFLEXIÓN
Estación
Estación Número
lectura
de
hacia
repeticioatrás/
nes
lectura
hacia
adelante
Lectura
en el
plato
° ' ”
F
E
G
G
F
H
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
1
12 15 12
2
12 15 10
3
12 15 10
4
12 15 08
Promedio Derecha/
del ángulo izquierda
° ' ”
12 15 10
R
L
1
16 20 28
2
16 20 26
3
16 20 26
4
16 20 28 16 20 27
Figura 8.14
Notas de campo
para la medición de
ángulos de deflexión.
ALFAOMEGA
204 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
La figura 8.14 muestra la página izquierda de las notas de campo hechas al
medir los ángulos de deflexión en las estaciones F y G de la figura 8.13(a). Se siguió
el procedimiento indicado anteriormente. Se efectuaron cuatro repeticiones de
cada ángulo alternando el instrumento de directo a inverso en cada repetición. Las
lecturas se registraron sólo después de la primera, segunda y cuarta repeticiones.
Deberán revisarse los cuatro ángulos medidos para que concuerden. Cualquier
ángulo con una gran discrepancia con respecto a la media deberá descartarse y
volver a medirse.
■ 8.12 MEDICIÓN DE ACIMUTES
Los acimutes se miden a partir de una dirección de referencia que debe determinarse con base en: (a) un levantamiento anterior, (b) la dirección de la aguja magnética, (c) una observación del Sol o de una estrella, (d) observaciones
GNSS (Global Navigation Satellite Systems) (Sistema Global de Navegación
Satelital), (e) un giroscopio que oriente al Norte, o (f) una hipótesis. Supóngase que en la figura 8.15 se sabe que el acimut de la línea AB es de 137°179000
a partir del norte. El acimut de cualquier otra línea desde A, como por ejemplo, el de AC en la figura, puede encontrarse directamente usando un instrumento de estación total. En este proceso, con el instrumento emplazado y
centrado sobre la estación A, y nivelado, se toma primero una lectura hacia atrás
sobre el punto B. Entonces el acimut de la línea AB (137°179000) se coloca en el
círculo horizontal usando el teclado. El instrumento está ahora “orientado”, debido a que la línea visual está en una dirección conocida, con el acimut correspondiente en el círculo horizontal. Si el círculo se hiciera girar hasta que se leyera 0°, el
anteojo estaría apuntando hacia el norte (a lo largo del meridiano). Los siguientes
pasos son aflojar el tornillo de fijación horizontal, hacer girar el anteojo en el sentido de las manecillas del reloj hasta C y leer la dirección resultante, que es el acimut
de AC, y en este caso es 83°389000.
En la figura 8.15, si se sitúa el instrumento en el punto B en vez de situarlo en
el A, se pone en el círculo el acimut de BA (317°179000) o el acimut inverso de AB
y se visa el punto A. Se suelta el movimiento horizontal, y se toman visuales a los
puntos cuyos acimutes se deseen desde B. Nuevamente, si se gira el instrumento
hasta que en el círculo se lea cero, al anteojo apunta hacia el norte (o a lo largo del
meridiano de referencia). Siguiendo este procedimiento para cada estación sucesiva de una poligonal, por ejemplo en A, B, C, D, E y F de la poligonal de la figura
7.2(a), pueden determinarse los acimutes de todos los lados del polígono. Con un
polígono cerrado como el de la figura 7.2(a), la estación A deberá ocuparse una
segunda vez y el acimut de AB deberá determinarse nuevamente para servir como
verificación del trabajo.
N
83
3
8
C
17
137
D
A
Figura 8.15
Orientación por
medio de acimutes.
ALFAOMEGA
B
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
8.13 Medición de ángulos verticales (o cenitales)
205
■ 8.13 MEDICIÓN DE ÁNGULOS VERTICALES
(O CENITALES)
Un ángulo vertical es la diferencia de dirección entre dos líneas que se cortan,
situadas en un plano vertical. Los ángulos verticales pueden medirse ya sea como
ángulos de altura o cenitales. Un ángulo de altura es el ángulo por arriba o por
debajo de un plano horizontal que pasa por el punto de observación. A los ángulos
arriba del plano horizontal se les llama ángulos positivos, o ángulos de elevación. A
los medidos hacia abajo se les llama ángulos de depresión y son negativos.
La mayoría de los instrumentos de estación total están diseñados para que
exhiban ángulos cenitales en vez de ángulos de altura. Un ángulo cenital se mide
en un plano vertical del cenit (punto situado directamente arriba) a otro punto. La
relación entre ángulos de altura y cenitales está dada por la ecuación:
Modo directo
a 5 90° 2 z
(8.2a)
Modo inverso
a 5 z 2 270°
(8.2b)
en donde z y a son ángulos cenitales y de altura, respectivamente. Por tanto, una
lectura de 0° en la estación total corresponde al anteojo señalando verticalmente
hacia arriba. En el modo directo, con el anteojo horizontal, la lectura cenital es 90°,
y si el anteojo está elevado 30° sobre la horizontal, la lectura es 60°. En el modo
inverso, la lectura horizontal es 270°, y con el anteojo elevado 30° sobre la horizontal, es de 300°. En la nivelación trigonométrica se miden ángulos de altura y ángulos cenitales, y en el trabajo de MED para la reducción de las distancias inclinadas
medidas a la horizontal.
La medida de ángulos cenitales con un instrumento de estación total sigue
el mismo procedimiento general que el descrito para los ángulos horizontales,
excepto que el círculo vertical se orienta mediante un compensador automático.
Al igual que con los ángulos horizontales, los errores instrumentales en la medición de ángulos verticales se compensan calculando la media de un número igual
de observaciones en posición directa e inversa. Con ángulos cenitales, la media se
calcula con la expresión
(8.3)
donde –zD es el valor medio del ángulo cenital [expresado de acuerdo con su valor
en modo directo], SzD es la suma de los ángulos cenitales directos, SzR es la suma
de los ángulos inversos, y n el número de pares de ángulos cenitales zD y zR leídos.
La última parte de la ecuación (8.3) considera el error de índice presente en el instrumento. El video Checking the Vertical Plate Indexing Error (Cómo verificar el
error de índice del plato vertical) que está disponible en el sitio de la red acompañante de este libro, muestra el procedimiento y la aplicación de la ecuación (8.3).
Existe un error de índice si 0° en el círculo vertical no corresponde realmente
al cenit con el instrumento en el modo directo. Esto causará que todos los ángulos
verticales leídos para este modo estén errados por una cantidad constante. Para
cualquier instrumento, siempre existirá un error de la misma magnitud en el modo
inverso, pero será de signo algebraico contrario. La presencia de un error de índice
en un instrumento puede detectarse al medir ángulos cenitales para un punto bien
definido en ambos modos del instrumento. Si la suma de los dos valores no es igual
a 360°, existe un error de índice. Para eliminar el efecto del error de índice, deberá
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
206 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
hacerse un número igual de mediciones angulares directas e inversas y promediarse. Normalmente el promedio lo calcula el microprocesador del instrumento de
estación total. Aun cuando tal vez no exista un error de índice, para estar seguros,
los topógrafos experimentados siempre adoptan procedimientos de campo que eliminan errores en caso de que sus instrumentos no estén bien ajustados.
Con algunos instrumentos de estación total, los errores de índice pueden
eliminarse de los ángulos cenitales mediante el cálculo, después de pasar por
un procedimiento de calibración con el instrumento. Los cálculos son realizados por el microprocesador y aplicados a los ángulos antes de ser exhibidos. Los
procedimientos para realizar esta calibración varían con los diferentes fabricantes,
y están dados en los manuales que acompañan al equipo.
■ Ejemplo 8.1
Un ángulo cenital se leyó primero dos veces en posición directa y se obtuvieron
los valores 70°009100 y 70°009120, luego se leyó dos veces en posición inversa y se
obtuvieron los valores 289°599440 y 289°599420. ¿Cuál es el ángulo cenital medio?
Solución
Se leyeron dos pares de ángulos cenitales, por tanto n 5 2. La suma de los ángulos
directos es 140°009220, y la de los inversos es 579°599260. Entonces, según la ecuación (8.3):
Observe que el valor de 030 de la última parte de la ecuación (8.3) es el error de
índice.
■ 8.14 OBJETOS VISADOS Y MARCAS
Los objetos que comúnmente se usan como puntos de mira para visar al efectuar
mediciones angulares con instrumentos de estación total comprenden las balizas,
las fichas de cadenear, lápices, hilos de plomada, reflectores y miras o blancos montados en tripié. Para visuales cortas se prefiere un hilo a una baliza, porque su
menor diámetro permite lograr un centrado más exacto. Si se colocan en el hilo
pequeñas señales de color rojo y blanco, hechas de plástico delgado o de cartoncillo, se aumenta el alcance de la observación. Las marcas triangulares puestas en los
prismas como se muestra en la figura 8.16(a) constituyen excelentes objetivos para
distancias visuales mayores.
Se presenta un error si la baliza visada no está a plomo. La baliza se mantiene en posición vertical con la ayuda de un nivel de burbuja. [La burbuja deberá
verificarse con regularidad para ajustarla en caso de que sea necesario (véase la
sección 8.19.5).] El balicero que sostiene el prisma tiene que tomar precauciones
especiales para poner a plomo la baliza, vigilando cuidadosamente la burbuja del
nivel de burbuja en la baliza. Se han desarrollado bipiés como el que se muestra en
la figura 8.16(b) y tripiés para sostener la baliza durante las sesiones de medición
de ángulos múltiples.
La baliza prismática mostrada en la figura 8.16(b) tiene graduaciones para
facilitar la determinación de la altura del prisma. El montaje con tripié que aparece
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
8.15 Prolongación de una línea recta
(a)
(b)
207
Figura 8.16
(a) Prisma y mira
con tríbraco y
adaptador para
tríbraco, y (b)
baliza y bipié, que
se usan cuando se
miden distancias
y ángulos
horizontales con
los instrumentos
de estación total.
(Cortesía de
Topcon Positioning
Systems.)
en la figura 8.16(a) se centra sobre el punto utilizando la plomada óptica del tríbraco. Cuando se visa una baliza prismática, el hilo vertical de la retícula debe bisecar
a la baliza justamente abajo del prisma. Pueden producirse errores si se visa el
prisma en sí, sobre todo en líneas cortas ya que cualquier desalineación de la cara
del prisma con la línea visual causará un desplazamiento al apuntar hacia el prisma.
En los trabajos de planeación para construcciones y mapeo topográfico, pueden establecerse lecturas permanentes hacia atrás y hacia adelante. Éstas pueden
ser marcas sobre estructuras tales como muros, campanarios, tanques de agua y
puentes, o pueden ser miras artificiales fijas. Éstas proporcionan puntos definidos
con los que puede verificar la orientación el operador del instrumento, sin la ayuda
del estadalero o balicero.
El error en un ángulo horizontal debido a un centrado defectuoso de la línea
visual sobre un objetivo, puede determinarse con la ecuación (8.1). Por ejemplo,
suponga que se usa una baliza prismática de 20 mm de ancho como objetivo en una
dirección de solamente 100 m. Suponiendo que el apuntamiento será a menos de ½
del ancho de la baliza (10 mm), ¡entonces de acuerdo con la ecuación (8.1) el error
en la dirección sería (0.01/100) 3 206 264.8 5 210! Para un ángulo donde ambas
distancias visuales son de 100 m y suponiendo que los apuntamientos realmente
son aleatorios, el error se propagaría de acuerdo con la ecuación (3.12), y conduci, o aproximadamente 300. De las
ría a un error estimado en el ángulo de 210 3
relaciones ángulo-distancia de la sección 8.7, es fácil ver por qué es tan importante
la selección de buenos objetivos en la medición de ángulos.
■ 8.15 PROLONGACIÓN DE UNA LÍNEA RECTA
En los levantamientos de vías pueden continuarse líneas rectas a partir de un punto pasando por otros. Para prolongar una línea a partir de una visual hacia atrás, se
alinea el hilo vertical de la retícula con el punto de atrás mediante el movimiento
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
208 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
x
y
Línea perpendicular
a AB
Figura 8.17
Principio de
inversión.
A
B
O
inferior, se invierte el anteojo y se marcan uno o más puntos en línea adelante de
la estación. Al invertir el anteojo, puede ocurrir un grave error si la línea visual no
es perpendicular al eje horizontal. Sin embargo, los efectos de este error pueden
eliminarse siguiendo los procedimientos apropiados de campo. El procedimiento
usado se conoce como principio de inversión. El método aplicado, que en realidad
es uno de doble inversión, se conoce como de doble visada. La figura 8.17 muestra
un uso sencillo del principio al trazar un ángulo recto con una escuadra defectuosa.
Se trazan las líneas OX y OY con la escuadra en las posiciones “normal” e “invertida”. El ángulo XOY representa el doble del error de la escuadra en su ángulo
de 90° y su bisectriz (mostrada con línea punteada en la figura) define la línea
perpendicular a AB.
Para prolongar la línea AB de la figura 8.18 por doble visada con una estación total cuya línea visual no sea perpendicular a su eje horizontal, el instrumento
se emplaza en B. Se toma una lectura hacia atrás en A con el anteojo en el modo
directo y se localiza el primer punto C9 al invertir el anteojo a la posición inversa.
Se libera el movimiento del círculo horizontal, y el anteojo se hace girar en acimut
para tomar una segunda lectura hacia atrás en el punto A, esta vez con el anteojo
todavía invertido. El anteojo se invierte nuevamente a la posición directa y se ubica el punto C0. Se biseca la distancia C9C0 para determinar el punto C en la prolongación de la línea AB. En forma resumida, el procedimiento es como sigue:
1. Visar atrás al punto A con el anteojo normal. Invertir el anteojo y marcar el
punto C9.
2. Visar atrás al punto A con el anteojo todavía invertido. Regresar el anteojo a
su posición normal y marcar el punto C0.
3. Determinar el punto medio de la distancia C9C0 para situar el punto C.
En el procedimiento anterior, cada vez que el anteojo se invierte, el instrumento crea el doble del error total en el instrumento. Así, al final del procedimiento, entre los puntos C9 y C0 está situada una magnitud igual a cuatro veces
el error que existe en el instrumento. Para ajustar el instrumento, la retícula debe
desplazarse para regresar el hilo vertical de la retícula un cuarto de la distancia de
Figura 8.18
Doble centrado.
ALFAOMEGA
A
B
C‘
C
C‘
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
8.16 Intercalamiento de estaciones no visibles entre sí
Tornillo
de ajuste
Línea
prolongada
C´
Posición
correcta
del ajuste
209
Tornillo
de ajuste
C ´´
Figura 8.19 El
procedimiento de
ajuste de los hilos
de la retícula.
C0 hacia C9. Para los instrumentos de estación total que tienen tornillos expuestos
de cabeza de argüe para ajustar la retícula, puede hacerse un ajuste en el campo.
Sin embargo, generalmente lo mejor es dejar este ajuste a expertos calificados. Si el
ajuste se hace en el campo, ¡debe hacerse con mucho cuidado! La figura 8.19 ilustra
la condición después de terminar el ajuste. Ya que cada hilo de retícula tiene dos
juegos de tornillos opuestos de cabeza de argüe, es importante aflojar un tornillo
antes de apretar el que está opuesto. Después de terminar el ajuste, deberá repetirse
el procedimiento para verificar el ajuste. El video Perpendicularity of the Line of
Sight Axis with the Horizontal Axis (Perpendicularidad del eje de la línea visual
con el eje horizontal), que está disponible en el sitio de la red acompañante de este
libro, estudia este error cuando se prolonga una línea visual.
■ 8.16 INTERCALAMIENTO DE ESTACIONES
NO VISIBLES ENTRE SÍ
En ocasiones es necesario situar un punto sobre una línea entre otros dos puntos
ya establecidos, pero que no pueden verse entre sí; por ejemplo, A y B en la figura
8.20. Esto puede lograrse mediante un proceso llamado intercalamiento.
Se estima la posición de un punto C9 sobre la línea y se emplaza ahí el instrumento. Se visa el punto A desde el punto C9 y se invierte el anteojo. Si la visual no
pasa por B, se desplaza el instrumento lateralmente una distancia CC9, evaluada
por medio de la proporción CC9 5 BB9 3 AC/AB, y se repite el procedimiento. Pueden necesitarse varios intentos para determinar exactamente el punto C,
B‘
C'
A
Y
X
C
B
C
B
A
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
Figura 8.20
Intercalamiento
de estaciones no
visibles entre sí.
ALFAOMEGA
210 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
o para hacerlo con la suficiente exactitud que requiera el trabajo en cuestión. Se
emplea la placa de corrimiento del instrumento para hacer el pequeño ajuste final.
Un método para obtener una primera aproximación cercana del punto C requerido consiste en servirse de dos ayudantes, uno en X capaz de ver el punto A y otro
en Y en condiciones de ver el punto B, como se muestra en la figura 8.20. Cada uno
alinea al otro con el punto visible en una serie de ajustes y se colocan dos balizas
separadas por lo menos 20 pies sobre la dirección determinada. Un instrumento
centrado en C, en línea con las balizas, debe estar a unos cuantos décimos de pie
del lugar indicado. A partir de ese momento, el proceso de intercalamiento puede
realizarse más rápidamente.
■ 8.17 TRANSECTO AUXILIAR
En muchos levantamientos es necesario trazar una línea entre dos puntos establecidos que no son intervisibles debido a los obstáculos. Esta situación surge repetidamente en los levantamientos catastrales o de propiedades. Para resolver el
problema, se traza un transecto auxiliar desde un punto en la dirección aproximada
del otro. Con el uso de los procedimientos de cálculo de coordenadas presentados
en el capítulo 10, se calculan las coordenadas de las estaciones a lo largo del transecto auxiliar. Con el uso de estos mismos procedimientos de cálculo, se calculan
las coordenadas de los puntos a lo largo de la línea “verdadera”, y se calculan a
partir de las coordenadas las mediciones necesarias para estacar los puntos en la
línea. Con los recolectores de datos, las coordenadas calculadas pueden determinarse automáticamente en el campo, y luego estacarse usando las funciones del
recolector de datos.
Como un ejemplo específico de un transecto auxiliar, considere el caso mostrado en la figura 8.21, en donde es necesario trazar la línea XY. Basándose en el
rumbo de una brújula, o en información proveniente de mapas o de otras fuentes,
se estima la dirección general a seguir, y a la línea inicial X-1 se le da un acimut
supuesto. Entonces se traza el transecto auxiliar X-1-2-3-Y, y se determinan las
coordenadas de todos los puntos. Basándose en estos cálculos, también se calculan
las coordenadas de los puntos A y B, que están sobre la línea X-Y. Entonces se
calculan la distancia y la dirección necesarias para establecer A con un instrumento emplazado en el punto 1 usando los procedimientos estudiados en el capítulo 10. En forma similar se determinan las coordenadas de B y se ubican a partir
de la estación 2. Usando un recolector de datos, estos cálculos pueden realizarse
automáticamente. Este procedimiento, conocido como estacado, se estudia en el
capítulo 23.
Una vez que se han calculado los ángulos y las distancias para estacar los
puntos A y B, el procedimiento real de estacado es auxiliado por el funcionamiento
del instrumento de estación total en su modo de rastreo (véanse la sección 6.21 y el
capítulo 23). Si se dispone de un instrumento robótico de estación total, una persona puede realizar el procedimiento de estacado. Este método de establecer puntos
en una línea sólo es práctico cuando no es físicamente posible la lectura directa a lo
largo de la línea.
1
3
2
X
Y
A
Figura 8.21
Línea auxiliar
X-1-2-3-Y.
ALFAOMEGA
B
Bosque espeso
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
8.18 Estaciones totales para determinar diferencias de elevación
211
■ 8.18 ESTACIONES TOTALES PARA DETERMINAR
DIFERENCIAS DE ELEVACIÓN
Con un instrumento de estación total pueden obtenerse, en tiempo real, las distancias verticales calculadas entre los puntos a partir de las distancias inclinadas
observadas y los ángulos cenitales. De hecho, ésta es la base de la nivelación trigonométrica (véase la sección 4.5.4). Varios estudios han comparado la exactitud
de las diferencias de elevación obtenidas por nivelación trigonométrica usando
instrumentos modernos de estación total obtenida con la nivelación diferencial
que se estudia en los capítulos 4 y 5. La exactitud de la nivelación trigonométrica
siempre ha estado limitada por los errores instrumentales (lo que se estudia en la
sección 8.20), y por los efectos de refracción (véase la sección 4.4). Aun con estos
problemas, las elevaciones obtenidas a partir de un levantamiento de estación total
tienen la suficiente exactitud para muchas aplicaciones tales como el mapeo topográfico y otro trabajo de orden inferior.
Sin embargo, estudios recientes sugieren que pueden obtenerse resultados
de orden alto en nivelación trigonométrica siguiendo procedimientos específicos.
Los lineamientos sugeridos son: (1) ponga el instrumento entre dos prismas de
modo que las distancias de visado sean apropiadas para la exactitud angular del
instrumento, usando la figura 8.22 como una guía;3 (2) use paneles objetivo con los
prismas; (3) mantenga iguales las alturas de los estadales de modo que su medición
sea innecesaria; (4) mida las distancias verticales entre los prismas usando dos conjuntos4 completos de observaciones como mínimo; (5) mantenga las distancias de
visado aproximadamente iguales; y (6) aplique todas las correcciones atmosféricas
y las constantes de reflector necesarias como se estudia en el capítulo 6. Este tipo
de nivelación trigonométrica puede hacerse más rápido que la nivelación diferencial, especialmente en terreno escabroso donde las distancias de visado están limitadas debido a los rápidos cambios en la elevación.
En la figura 8.23 se muestra un conjunto de notas de nivelación trigonométrica. La columna (a) lista los identificadores de estación de lecturas hacia atrás
y lecturas hacia adelante y las posiciones del anteojo [directo (D) e inverso (R)]
para cada observación; (b) tabula las distancias verticales de las lecturas hacia atrás
Distancia visual contra exactitud angular
Distancia visual máxima (m)
300
200
100
0
1
2
3
4
5
Exactitud angular DIN 18723 (")
Figura 8.22
Gráfica de la
distancia visual
apropiada contra
la exactitud
angular.
3
Una descripción deL DIN 18723 que se menciona en la figura 8.22 está dada en la sección 8.21.
Un conjunto de observaciones comprende una determinación de la elevación en ambas posiciones,
directa e inversa.
4
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
212 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
NOTAS DE NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Estación/ LA(+)
DA
LF(–)
DA
∆Elev
posición
A
D 1.211
98.12
1.403
D 1.210
1.403
R 1.211
1.404
R 1.211
86.34
1.403
Media 1.2108
1.4033
D –5.238
101.543 –9.191
D –5.236
–9.191
R –5.238
–9.193
–0.192
B
R –5.237
–9.192
Media –5.2373
–9.1918
93.171
3.954
C
D 4.087
73.245
–3.849
D 4.088
–3.851
R 4.086
–3.849
R 4.087
–3.849
Media 4.0870
–3.8495
97.392
7.936
D
D 3.214
Figura 8.23
Notas de campo
de nivelación
trigonométrica.
89.87
6.507
D 3.214
6.507
R 3.214
6.508
R 3.215
6.507
Media 3.2143
6.5072
97.392
–3.293
E
Suma
8.405
(LA1); (c) lista las distancias horizontales de las lecturas hacia atrás con aproximación de decímetros; (d) da las distancias verticales de las lecturas hacia el frente
(LF2); (e) lista las distancias horizontales de lecturas hacia el frente con aproximación de decímetros; y (f) lleva la cuenta de las diferencias de elevación entre las
estaciones, calculadas como la diferencia de las distancias verticales de LA, menos
las distancias verticales de LF. La diferencia de elevación observada entre las estaciones A y E es de 8.405 m.
■ 8.19 AJUSTE DE LOS INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN
TOTAL Y SUS ACCESORIOS
La exactitud alcanzada con los instrumentos de estación total no es meramente
una función de su capacidad de calcular ángulos y distancias. También se relaciona
con el procedimiento del operador, y con la condición del instrumento de estación
total y otro equipo periférico con el que se use. El procedimiento del operador
tiene que ver con aspectos tales como el centrado y la nivelación cuidadosos del
instrumento, el apuntamiento exacto a los objetivos y la observación de los procedimientos apropiados de campo tales como tomar promedios de las mediciones de
ángulos múltiples hechas en posiciones directa e inversa.
ALFAOMEGA
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8.19 Ajuste de los instrumentos de estación total y sus accesorios
213
En la sección 8.2 se definieron tres ejes de referencia para un instrumento
de estación total; (a) la línea visual, (b) el eje horizontal, (c) el eje vertical. Estos
instrumentos también tienen un cuarto eje de referencia, (d) la directriz (véase
la sección 4.8). Para un instrumento bien ajustado, deberán existir las siguientes
relaciones entre estos ejes: (1) la directriz deberá ser perpendicular al eje vertical,
(2) el eje horizontal deberá ser perpendicular al eje vertical y (3) la línea visual
deberá ser perpendicular al eje horizontal. Si no existen estas condiciones, todavía
pueden hacerse mediciones exactas siguiendo los procedimientos apropiados. Sin
embargo, es más conveniente si el instrumento está bien ajustado. Actualmente, la
mayoría de las estaciones totales tienen procedimientos de calibración que pueden
compensar electrónicamente las condiciones (1) y (2) usando visados a objetivos
bien definidos con procedimientos definidos en el menú que pueden realizarse en
el campo. Sin embargo, si el operador tiene duda acerca de los procedimientos de
calibración, siempre deberá consultarse a un técnico calificado.
El ajuste para hacer que la línea visual sea perpendicular al eje horizontal
se describió en la sección 8.15, y el procedimiento para hacer que el eje de la burbuja del plato sea perpendicular al eje vertical se da en la sección 8.19.1. La prueba
para determinar si el eje horizontal de una estación total es perpendicular a su eje
vertical es sencilla. Con el instrumento en el modo directo, se le emplaza a una
distancia conveniente de una superficie vertical alta, digamos el muro de un edificio de dos o tres pisos. Después de nivelar cuidadosamente el instrumento, vise un
punto bien definido, digamos A, a cierta altura en la pared, para un ángulo vertical
de cuando menos 30°, y fije el movimiento horizontal. Haga girar (invierta) el anteojo alrededor de su eje horizontal para ubicar un punto, B, en la pared debajo de A
justo arriba del nivel del suelo. Invierta el anteojo para ponerlo en el modo inverso,
haga girar el anteojo según un acimut de 180°, vise nuevamente el punto A, y fije
el movimiento horizontal. Invierta el anteojo para ubicar otro punto, C, al mismo
nivel que B. Si B y C coinciden, no es necesario ningún ajuste. Si los dos puntos
no concuerdan, entonces el eje horizontal no es perpendicular al eje vertical. Si es
necesario un ajuste para esta condición, el operador deberá consultar el manual
que vino con el instrumento, o mandar el instrumento a un técnico calificado.
El equipo periférico que puede afectar la exactitud comprende los tríbracos, las plomadas ópticas, los prismas y las balizas prismáticas. Los tríbracos deben
proporcionar un ajuste apretado sin patinado. Las plomadas ópticas que no están
ajustadas hacen que los instrumentos pierdan el centrado sobre el punto. Las balizas prismáticas deformadas o las balizas con niveles de burbuja que no están bien
ajustadas también causan errores en el emplazamiento del prisma sobre el punto
que se está midiendo. Los prismas deben verificarse periódicamente para determinar sus constantes (véase la sección 6.24.2), y sus valores deben almacenarse para
usarse en la corrección de las mediciones de las distancias. Los topógrafos siempre deberán adherirse al siguiente axioma: En la práctica, los instrumentos siempre
deberán conservarse con un buen ajuste, pero usarse como si no lo tuvieran.
En las siguientes subsecciones se describen procedimientos para hacer algunos ajustes relativamente simples al equipo que puede hacer que la medición sea
más eficiente y conveniente, y también mejorar la exactitud de los resultados.
8.19.1 Ajuste de los niveles de alidada
Como se afirmó anteriormente, se usan dos tipos de sistemas de nivelación en los
instrumentos de estación total: (a) los niveles de alidada y (b) los sistemas electrónicos de nivelación. Estos sistemas controlan el nivel fino del instrumento. Si un
instrumento está equipado con niveles de alidada, puede probársele fácilmente en
cuanto al estado de sus ajustes. Para hacer la prueba, el instrumento deberá nivelarse primero siguiendo los procedimientos esbozados en la sección 8.5. Entonces,
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ALFAOMEGA
214 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
después de centrar cuidadosamente la burbuja, deberá hacerse girar el anteojo
180° a partir de su primera posición. Si el nivel de la alidada está dentro del ajuste,
la burbuja permanecerá centrada. Si la burbuja se desvía del centro, el eje de los
niveles de la alidada no es perpendicular al eje vertical. La cantidad de corrimiento
de la burbuja indica el doble del error existente. Los niveles de la alidada generalmente tienen un tornillo de ajuste de cabeza de argüe para elevar o hacer descender un extremo del tubo. Si el nivel de burbuja está desajustado, puede ajustarse
dándole un desplazamiento hacia la posición del centro igual a la mitad de la separación, haciendo girar el tornillo. Repita la prueba hasta que la burbuja permanezca centrada durante una revolución completa del anteojo. Si el instrumento está
equipado con un nivel electrónico, siga los procedimientos esbozados en el manual
del operador para ajustar el mecanismo de nivelación.
Si una burbuja de la alidada está desajustada, el instrumento puede usarse
sin ajustarlo y todavía pueden obtenerse resultados exactos, pero debe seguirse un
procedimiento específico, como el descrito en la sección 8.20.1.
8.19.2 Ajuste de los tripiés
Las tuercas en las patas del tripié deben apretarse para evitar el patinado y la rotación del cabezal. Están correctamente ajustadas si cada pata del tripié va cayendo
lentamente por su propio peso cuando se le coloca en una posición horizontal. Si
las tuercas están demasiado apretadas, o si se aplica presión a las patas (lo que
puede romperlas) en dirección sesgada en lugar del sentido longitudinal para fijarlas en el terreno, el tripié está en una posición de sobrecarga. El resultado puede
ser un movimiento imperceptible del cabezal del instrumento una vez que se han
iniciado las mediciones.
Las patas del tripié deberán estar bien abiertas para proporcionar estabilidad,
y deberán colocarse de modo que el anteojo esté a una altura conveniente para el
observador. Las zapatas del tripié deben estar justas. Los procedimientos apropiados
de campo pueden eliminar la mayoría de los ajustes erróneos del instrumento, pero
no hay un método que corrija un tripié en malas condiciones con patas de madera
secas, excepto que se le descarte o se le repare. El video, Checking the Tripod (Cómo
revisar el tripié), que está disponible en el sitio de la red acompañante de este libro,
muestra los aspectos que deben verificarse en un trípode cada vez que se use.
8.19.3 Ajuste de los tríbracos
El tríbraco es un componente esencial de un emplazamiento seguro y exacto.
Consta de un mínimo de tres componentes, los cuales son: (1) un mecanismo de
sujeción, (2) tornillos de nivelación y (3) un nivel de burbuja circular. Como se
muestra en la figura 8.3, algunos tríbracos también contienen una plomada óptica
para centrar el tríbraco sobre la estación. El mecanismo de sujeción consiste en
tres láminas que aseguran tres postes que sobresalen de la base del instrumento o
del adaptador para el tríbraco. A medida que el tríbraco se desgasta, el mecanismo
de sujeción tal vez ya no asegure lo suficiente al instrumento durante los procedimientos de medición. Cuando esto ocurre, el instrumento moverá al tríbraco después de haber sido sujetado, y el tríbraco deberá repararse o reemplazarse.
8.19.4 Ajuste de una plomada óptica
La línea visual de una plomada óptica debe coincidir con el eje vertical del instrumento. Se presentan dos situaciones diferentes: (1) la plomada óptica está encerrada en la alidada del instrumento y gira con él cuando éste se gira acimutalmente,
o (2) la plomada óptica es parte del tríbraco que está unido al tripié y no gira
acimutalmente.
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TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
8.20 Fuentes de error en trabajos con estación total
215
Para ajustar una plomada óptica contenida en la alidada, fíjese el instrumento sobre un punto fino y centre la visual en él girando los tornillos de nivelación.
(El instrumento no tiene que estar a nivel.) Haga un ajuste cuidadoso para cualquier paralaje existente. Dé una rotación acimutal de 180° al aparato. Si el centro
de la retícula de la plomada óptica se aparta del punto, acérquelo a éste dándole
un desplazamiento igual a la mitad de la separación, usando los tornillos de ajuste.
Estos tornillos son similares a los mostrados en la figura 8.19. Al igual que con cualquier ajuste, repita la prueba para verificar el ajuste y corrija si es necesario.
Para el segundo caso en el cual la plomada óptica es parte del tríbraco,
recueste cuidadosamente el instrumento con el tríbraco incorporado sobre un lado
(en sentido horizontal) sobre una base estable tal como un banco o una mesa de
trabajo, y asegúrelo firmemente. Adhiera una hoja de papel en una pared vertical
a seis pies de distancia cuando menos, de modo que esté en el campo de visión
del anteojo de la plomada óptica. Con el movimiento horizontal fijo, marque la
posición en el papel de la línea visual de la plomada óptica. Libere el movimiento
horizontal y haga girar el tríbraco 180°. Si la retícula de la plomada óptica se aparta
del punto, acérquelo a éste dándole un desplazamiento igual a la mitad de la separación, usando los tornillos de ajuste. Centre la retícula en el punto nuevamente
con los tornillos de nivelación, y repita la prueba. El video Checking the Instrument
Plummet (Cómo verificar la plomada óptica) que está disponible en el sitio de la
red acompañante de este libro, muestra el procedimiento de prueba de una plomada óptica/láser cuando sea parte del instrumento.
8.19.5 Ajuste de las burbujas de los niveles circulares
Si una burbuja de un nivel circular en una estación total no permanece centrada
cuando el instrumento se gira acimutalmente, la burbuja está mal ajustada. Debe
corregirse, aunque un ajuste preciso es innecesario, ya que éste no controla la nivelación fina de los ejes de referencia. Para ajustar la burbuja, nivele cuidadosamente
el instrumento, usando la placa de la burbuja. Entonces centre la burbuja del nivel
circular usando los tornillos de ajuste.
Las burbujas circulares que se usan en estadales prismáticos y estadales de
nivelación deben estar bien ajustadas al efectuar un trabajo de precisión. Para
ajustarlas, oriente cuidadosamente el estadal verticalmente, alineándolo en dirección paralela a una línea larga de plomada, y sujételo en esa posición por medio
de calzas y prensas en C. Luego centre la burbuja en el tubo usando los tornillos de
ajuste. Diversos proveedores han fabricado adaptadores especiales para ayudar en
el ajuste de la burbuja del nivel circular en estadales o balizas.
Para los instrumentos tales como los niveles automáticos que no tienen niveles de burbuja en el plato, use el siguiente procedimiento. Para ajustar la burbuja,
céntrela cuidadosamente usando los tornillos niveladores y dé una vuelta acimutal
de 180° al instrumento. Se corrige la mitad del corrimiento de la burbuja manipulando los tornillos de ajuste del tubo del nivel. Siguiendo al ajuste, la burbuja se
centra usando los tornillos niveladores, y se repite la prueba. El video Adjusting
the Level Vials (Cómo ajustar los tubos de nivel) que está disponible en el sitio
de la red acompañante de este libro, muestra los procedimientos que se usan para
probar y ajustar los tubos de nivel en un instrumento o un estadal.
■ 8.20 FUENTES DE ERROR EN TRABAJOS
CON ESTACIÓN TOTAL
Los errores en el uso de las estaciones totales provienen de las fuentes instrumental, natural y personal. Éstas se describen en las siguientes subsecciones.
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216 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
8.20.1 Errores instrumentales
La figura 8.24 muestra los ejes de referencia fundamentales de una estación total.
Como se estudia en la sección 8.19, para un instrumento bien ajustado, los cuatro
ejes deben guardar relaciones específicas entre sí. Éstas son: (1) el eje vertical debe
ser perpendicular al eje de la directriz, (2) el eje horizontal debe ser perpendicular
al eje vertical y (3) la línea de colimación debe ser perpendicular al eje horizontal.
Si estas relaciones no son verdaderas, resultarán errores en los ángulos medidos, a
menos que se observen procedimientos apropiados de campo. Se analizan a continuación los errores causados por el ajuste erróneo de estos ejes, y otras fuentes de
errores instrumentales.
1. Los niveles de alidada están desajustados. Si las directrices de los niveles
de la alidada no son perpendiculares al eje vertical, este último no estará perfectamente vertical cuando se hallen centradas las burbujas de dichos niveles. Esta
condición ocasiona errores en los ángulos medidos, tanto horizontales como verticales, que no pueden eliminarse promediando lecturas con el anteojo en posición
directa e inversa. La burbuja del nivel de la alidada no está ajustada, si después de
haberla centrado, se desplaza cuando el instrumento es girado acimutalmente 180°.
La situación se muestra en la figura 8.25. Con el anteojo apuntando inicialmente
hacia la derecha y con la burbuja centrada, el eje del tubo de ésta se encuentra en
posición horizontal, como se indica con la línea continua ALV-1. Como la burbuja
está desajustada, ésta no es perpendicular al eje vertical del instrumento, sino que
forma con él un ángulo de 90° 2a. Después de girar el anteojo 180°, éste señala
hacia la izquierda y el eje del tubo queda en la posición indicada por la línea punteada ALV-2. El ángulo entre el eje del tubo y el eje vertical es aún de 90° 2a, pero
como se muestra en la figura, el desplazamiento angular indicado o corrimiento
de la burbuja es igual a E. Por geometría, E 5 2a, o sea el doble del desajuste de
la burbuja. El eje vertical se puede hacer verdaderamente vertical reduciendo a
la mitad el desplazamiento angular de la burbuja, por medio de los tornillos de
pie. Entonces, aunque la burbuja no esté centrada, ésta permanecerá en la misma
posición al girar acimutalmente el instrumento y se podrán medir ángulos exactos.
No obstante que los instrumentos se pueden usar con las burbujas desajustadas y obtener resultados exactos, este procedimiento es inconveniente y muy
tardado, de modo que es preferible efectuar el reajuste requerido del instrumento tal como se estudia en la sección 8.19.1.
Eje vertical
Línea de colimación
Eje horizontal
Figura 8.24 Ejes
de referencia de
un instrumento
de estación total.
(Cortesía de
Topcon Positioning
Systems.)
ALFAOMEGA
Eje de la directriz
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
8.20 Fuentes de error en trabajos con estación total
217
ALV _1
E
90
° _
α
_2
90
° _
α
ALV
α
Eje
vertical
Figura 8.25
Burbuja
desajustada.
Línea
vertical
Como se mencionó anteriormente, algunas estaciones totales están provistas
con compensadores de eje dual, capaces de detectar automáticamente la magnitud
y la dirección de la inclinación del eje vertical. Estas estaciones pueden efectuar
correcciones en tiempo real en los ángulos horizontal y vertical para esta condición.
Los instrumentos provistos con compensadores de un solo eje sólo pueden corregir
ángulos verticales. Deberán seguirse los procedimientos esbozados en los manuales
que acompañan a los instrumentos para eliminar apropiadamente cualquier error.
Como se enunció en la sección (8.8), los instrumentos de estación total con
compensadores de eje dual pueden aplicar una corrección matemática a los ángulos horizontales que considera cualquier desnivel de los ejes horizontal y vertical.
En la figura 8.26, para visar el punto S, el anteojo se invierte hacia arriba. Ya que
el instrumento está desnivelado, la línea visual inscribe una línea inclinada SP9 en
lugar de la línea vertical requerida SP. El ángulo entre estas dos líneas es a, la cantidad que el instrumento está desnivelado. A partir de esta figura, puede mostrarse
que el error en la dirección horizontal, EH , es
EH 5 a tan (v)
(8.4)
En la ecuación (8.4), v es el ángulo de altura al punto S. Para la medición de
cualquier ángulo horizontal, si los ángulos verticales para la lectura hacia atrás y la
lectura hacia adelante son casi iguales, el error resultante en el ángulo horizontal
es despreciable. En terreno plano, éste es aproximadamente el caso y el error debido al desnivel puede ser pequeño. Sin embargo, en terreno montañoso donde los
apuntamientos hacia atrás y hacia adelante pueden variar en grandes cantidades,
este error puede hacerse importante. Por ejemplo, suponga que un instrumento
que está desnivelado por 200 lee un ángulo cenital con lectura hacia atrás de 93°,
y un ángulo cenital con lectura hacia adelante de 80°. El error horizontal en la
dirección hacia atrás sería 200 3 tan(23°) 5 21.00, y en la lectura hacia adelante es
200 3 tan (10°) 5 3.50, resultando un error acumulado en el ángulo horizontal de
3.50 2 (210) 5 4.50. Éste es un error sistemático que se hace más grave a medida
que se miden ángulos verticales mayores. Es crítico en las observaciones astronómicas de acimutes como se estudia en el apéndice C.
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218 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
S
α
EH
v
Figura 8.26
Geometría de la
desnivelación del
instrumento.
P
P‘
α
Dos cosas deberán ser obvias de esta discusión: es importante verificar (1)
con frecuencia el ajuste de la burbuja del nivel de la alidada, y (2) verificar la posición de la burbuja durante el proceso de medición.
2. El eje horizontal no es perpendicular al eje vertical. Esta situación causa
que la línea de colimación defina un plano inclinado cuando se invierte el anteojo
y, por lo tanto, si la lectura hacia atrás y la lectura hacia adelante tienen ángulos de
inclinación diferentes, resultarán ángulos horizontales incorrectos. Los errores con
este origen pueden cancelarse al promediar un número igual de lecturas directas e
inversas, o mediante el doble centrado si se prolonga una línea recta. Con los instrumentos de estación total que tienen compensación de eje dual, este error puede
determinarse en un proceso de calibración que consiste en apuntar cuidadosamente al mismo objetivo tanto en los modos directo como inverso. A partir de esta
operación el microprocesador puede calcular y almacenar un factor de corrección.
Éste entonces se aplica automáticamente a todos los ángulos horizontales que se
midan subsiguientemente. El video Perpendicularity of the Horizontal and Vertical
Axes (Perpendicularidad con los ejes horizontal y vertical) que está disponible en
el sitio de la red acompañante de este libro, muestra este procedimiento.
3. La línea de colimación no es perpendicular al eje horizontal. Si existe esta
condición, al invertir el anteojo esta línea genera un cono cuyo eje coincide con el
eje horizontal del instrumento. El error máximo por esta causa ocurre al invertir
el anteojo, como por ejemplo, para prolongar una línea recta o para medir ángulos
de deflexión. Asimismo, cuando el ángulo de inclinación de la visual hacia atrás no
es igual al de la visual hacia adelante, los ángulos horizontales medidos serán incorrectos. Estos errores se eliminan con un doble centrado, o promediando números
iguales de lecturas en posición directa e inversa. El video Perpendicularity of Line
of Sight Axis with Horizontal Axis (Perpendicularidad de la línea de colimación
con el eje horizontal) que está disponible en el sitio de la red acompañante de este
libro, muestra este procedimiento.
4. Error de índice en el círculo vertical. Como se observa en la sección 8.13,
cuando el eje de la visual es horizontal, debe leerse un ángulo de altura de cero
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
8.20 Fuentes de error en trabajos con estación total
219
grados o un ángulo cenital de 90° o de 270°; de otra manera se tiene un error de
índice. Este error puede eliminarse calculando la media de un número igual de ángulos verticales (o cenitales) leídos en los modos directo e inverso. En la mayoría de
los instrumentos de estación total más recientes, el error de índice se puede determinar leyendo cuidadosamente el mismo ángulo cenital directo e inverso. El valor
del error de índice es entonces calculado, almacenado y aplicado automáticamente a todos los ángulos cenitales medidos. Sin embargo, la determinación del error
de índice debe hacerse cuidadosamente durante la calibración para asegurarse de
que no se aplique una calibración incorrecta a todos los ángulos subsiguientes medidos con el instrumento. El video Checking the Vertical Plate Indexing Error (Cómo
verificar el error de índice de la alidada) que está disponible en el sitio de la red
acompañante de este libro, muestra este procedimiento.
5. Excentricidad de los centros. Esta condición se presenta cuando el centro geométrico del círculo graduado horizontal (o vertical) no coincide con su
centro de rotación. Los errores provenientes de esta fuente generalmente son
pequeños. Las estaciones totales también pueden estar equipadas con sistemas que
promedian automáticamente las lecturas tomadas en lados opuestos de los círculos, compensando con ello este error.
6. Errores por graduación de los círculos. Si las graduaciones alrededor de la
circunferencia de un círculo horizontal o vertical no son uniformes, se obtendrán
medidas angulares erróneas. Generalmente estos errores son muy pequeños. Algunas estaciones totales siempre usan lecturas tomadas de muchas posiciones alrededor de los círculos para cada ángulo horizontal y vertical medidos, proporcionando
así un sistema elegante para eliminar esos errores.
7. Errores ocasionados por el equipo periférico. Algunos errores instrumentales adicionales pueden deberse a tríbracos desgastados, plomadas ópticas
desajustadas, tripiés inestables y balizas ópticas con burbujas mal ajustadas. Este
equipo debe revisarse periódicamente y mantenerse en buenas condiciones. En la
sección 8.19 se indican los procedimientos para ajustar estos aspectos.
8.20.2 Errores naturales
1. Viento. El viento hace vibrar el tripié sobre el que descansa el instrumento
de estación total. En emplazamientos altos, el viento ligero puede hacer vibrar el
instrumento a un grado tal que los apuntamientos precisos se hacen imposibles. En
los días ventosos puede ser necesario resguardar al instrumento, o aun suspender
las observaciones para trabajo de precisión. Una plomada óptica es esencial para
hacer emplazamientos en esta situación.
2. Efectos de temperatura. Las diferencias de temperatura ocasionan dilatación desigual de diversas partes de los instrumentos de estación total. Esto
ocasiona que las burbujas se desplacen, lo que puede conducir a observaciones
erróneas. Los efectos de la temperatura se reducen protegiendo los instrumentos
de las fuentes de calor o frío extremos.
3. Refracción. La refracción desigual desvía la visual y puede ocasionar
una ondulación aparente en el objeto observado. Es conveniente mantener la línea
visual bastante arriba del terreno y evitar dirigir visuales muy próximas a edificios,
chimeneas y hasta arbustos grandes aislados en espacios generalmente abiertos. En algunos casos, tendrán que posponerse las observaciones hasta que mejoren las condiciones atmosféricas.
4. Asentamientos del tripié. El peso de un instrumento puede ocasionar
que se claven o penetren demasiado las patas de un tripié en terreno blando o en
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
220 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
autopistas de asfalto. Cuando en un trabajo hay que cruzar por terrenos pantanosos deben hincarse estacas para sostener las patas del tripié, y el trabajo que se
habrá de efectuar en cada estación debe terminarse en el tiempo más corto posible.
Apoyar un pie cerca de una de las patas del tripié o tocar una de sus patas mientras
se mira por el anteojo, pone de manifiesto el efecto que tiene el asentamiento en
el terreno sobre la posición de la burbuja y de los hilos reticulares. La mayoría de los
instrumentos de estación total tienen sensores que le dicen al operador cuando el
desnivel se ha hecho demasiado severo para que continúe el proceso de observación.
8.20.3 Errores personales
1. El instrumento no está asentado exactamente sobre el punto. El centrado
incorrecto del instrumento sobre un punto conducirá a que se mida un ángulo
horizontal incorrecto. Como se muestra en la figura 8.27, el centrado erróneo del
instrumento causará errores en ambas direcciones de la lectura hacia atrás y la lectura hacia adelante de un ángulo. La magnitud del error depende de la posición del
instrumento en relación con el punto. Por ejemplo, en la figura 8.27(a), el centrado
erróneo que se ilustra tendrá un efecto mínimo sobre el ángulo observado, ya que
el error en la lectura hacia atrás en P1 cancelará parcialmente el error en la lectura
hacia adelante en P2. Sin embargo, en las figuras 8.27(b) y (c), el efecto del centrado
erróneo tiene un efecto máximo sobre los valores angulares observados. Como la
posición del instrumento es aleatoria en relación con la estación, es importante
centrar cuidadosamente el instrumento sobre la estación cuando se midan ángulos.
La posición debe verificarse a intervalos durante el tiempo que se ocupa una estación, para asegurarse que permanece centrada. El video Centering an Instrument
Over a Point (Cómo centrar un instrumento sobre un punto) que está disponible
en el sitio de la red acompañante de este libro, muestra los procedimientos apropiados para asentar un instrumento con una plomada sobre un punto.
2. Las burbujas de los niveles no están perfectamente centradas. Deben revisarse las burbujas con frecuencia, pero NUNCA se debe renivelar entre una visual
hacia un punto inicial y una hacia un punto final (solamente antes de comenzar, y
después de terminar, una medida angular). El video Leveling an Instrument (Cómo
nivelar un instrumento) que está disponible en el sitio de la red acompañante de
este libro, muestra los procedimientos apropiados para asentar un instrumento con
una plomada sobre un punto.
P1
P1
E1
α
E1
E1
α
E2
I
I
α
E2
I
E2
P2
P2
(a)
P1
(b)
P2
(c)
Figura 8.27 Efectos del centrado erróneo del instrumento sobre un ángulo.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
8.21 Propagación de errores aleatorios en la medición de ángulos
221
3. Uso incorrecto de los tornillos de fijación y de los tornillos tangenciales. El
observador debe formarse buenos hábitos de manipulación y ser capaz de identificar los diversos tornillos fijadores y los tangenciales al tacto y sin tener que mirarlos. El ajuste final de los tornillos tangenciales se hace siempre con un giro positivo
para evitar el resorteo. Los tornillos de fijación deben apretarse sólo una vez y no
tocarlos de nuevo para asegurarse que están bien apretados.
4. Enfoque deficiente. Para que no haya error por paralaje, es necesario
enfocar correctamente el ocular sobre los hilos reticulares y el objetivo sobre el
punto visado. Los objetos a visar deben situarse lo más cerca posible del centro del
campo visual. El enfoque afecta el apuntamiento, que es una fuente importante de
errores. En algunos instrumentos como el mostrado en la figura 8.24, se proporciona el enfoque automático del lente del objetivo. Estos dispositivos son similares a
la cámara fotográfica moderna, y pueden aumentar la velocidad del levantamiento
cuando varían las distancias visuales a los objetivos.
5. Visuales dirigidas con demasiado cuidado. El revisar y volver a verificar
la posición del ajuste de la retícula sobre una mira es una pérdida de tiempo y
produce resultados menos eficaces que los de una observación rápida. El hilo de la
retícula debe alinearse rápidamente para comenzar de inmediato la siguiente operación. Frecuentemente, los principiantes quieren que alguien revise sus visuales.
Esto nunca deberá hacerse debido a las preferencias, capacidades y limitaciones
físicas personales.
6. Aplome y colocación descuidados del estadal. Uno de los errores más
comunes se debe al aplome descuidado de un estadal cuando sólo se puede ver su
parte superior desde el lugar del observador, por la presencia de arbustos u otros
obstáculos en la dirección de la visual. Otro se debe a la colocación de una baliza
fuera de línea atrás de un punto que debe visarse.
■ 8.21 PROPAGACIÓN DE ERRORES ALEATORIOS
EN LA MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Están presentes errores aleatorios en todas las mediciones de ángulos horizontales.
Siempre que se leen los círculos del instrumento, se introduce un pequeño error
en el ángulo medido final. En forma similar, cada operador tendrá algún grado de
centrado erróneo sobre el objetivo. Estas fuentes de error son aleatorias. Pueden
ser grandes o pequeñas, dependiendo del instrumento, del operador y de las condiciones en el momento de la medición del ángulo. Los efectos de lectura y apuntamiento pueden reducirse al incrementar el número de repeticiones de los
ángulos.
Con la introducción de los instrumentos de estación total, se desarrollaron
estándares para estimar los errores en la medición de ángulos causados por la
lectura y el apuntamiento de un objetivo bien definido. Los estándares, llamados
DIN 18723, proporcionan valores para los errores estimados en la media de dos
mediciones de dirección, cada una en los modos directo e inverso. El instrumento
mostrado en la figura 8.1 tiene una exactitud DIN 18723 de 620, y el de la figura
8.2 tiene una exactitud DIN 18723 de 650.
Un conjunto de ángulos medidos con una estación total tendrá un error estimado de
(8.5)
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222 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
en donde E es el error estimado en el ángulo debido a apuntamiento y lectura, n
es el número total de ángulos leídos en ambos modos, directo e inverso, y EDIN es
el error DIN 18723.
■ Ejemplo 8.2
Se miden tres conjuntos de ángulos (3D y 3I) con un instrumento que tiene
una exactitud DIN 18723 especificada de ± 20. ¿Cuánto vale el error estimado en
el ángulo?
Solución
De la ecuación (8.5), el error estimado es
■ 8.22 EQUIVOCACIONES
Algunas equivocaciones comunes en el trabajo de medición de ángulos son:
1. Visar o centrar sobre un punto equivocado.
2. Dictar o anotar un valor incorrecto.
3. Enfocado incorrecto de la pieza ocular y de las lentes del objetivo del instrumento.
4. Apoyarse en el tripié o colocar una mano sobre el instrumento al apuntarlo
o tomar lecturas.
PROBLEMAS
Los asteriscos (*) señalan los problemas que tienen respuestas parciales en el apéndice
G.
8.1 ¿Por qué deberá llevarse una estación total en su estuche al ir y venir del campo?
8.2 Defina la línea de colimación, el eje horizontal y el eje vertical de una estación
total y describa sus relaciones entre sí.
8.3 ¿Cuáles son las fuentes primarias de error instrumental aleatorio en una estación total?
8.4 Describa los procedimientos para enfocar adecuadamente los aditamentos ópticos de una estación total.
8.5 Describa el procedimiento para enfocar adecuadamente una plomada óptica.
8.6 ¿Cuál es el propósito del mecanismo de recorrido basculante en una estación
total servo-impulsada?
8.7 ¿Por qué es importante no visar el reflector de MED cuando se hace un giro
para medir un ángulo?
8.8 ¿Cuales son las funciones del estator y del rotor en una estación total?
8.9 ¿Cuál es el significado de una posición angular?
8.10 ¿Cuál es el propósito del tornillo tangencial horizontal en una estación total?
8.11 ¿Por qué es importante mantener distancias visuales largas al medir ángulos?
8.12 Determine los ángulos subtendidos para las siguientes condiciones:
(a) un tubo de 1 cm de diámetro visado con la estación total a 100 m de distancia.
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TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
Problemas 223
(b) ancho de una estaca de 1/8 de pulgada visada con una estación total a 300
pies.
(c) una ficha o marcador de cadenamiento de 1/4 de pulgada de diámetro visada con estación total a 200 pies de distancia.
8.13 ¿Cuál es el error en la dirección medida en las situaciones indicadas a continuación?
(a) fijar una estación total 5 mm al lado de una tachuela en una visual de 50 m.
(b) alinear la visual al borde (en vez del centro) de una ficha de cadenamiento
de 1/4 de pulgada de diámetro a 100 pies.
(c) visar el borde (en vez del centro) de una baliza de 1 cm de diámetro a una
distancia de 200 m.
(d) visar la parte superior de una baliza de 6 pies que está 39 fuera de línea a
una distancia de 200 pies.
8.14* Una parte elevada del terreno obstruye la visual, por lo que sólo se ve la parte
superior de una baliza de 6 pies en una visual de 250 pies. Si la baliza no está a
plomo y se inclina hacia un lado 0.025 pies por cada pie vertical, ¿en qué error
angular máximo se incurriría?
8.15 Igual que el problema 8.14, excepto que se trata de una baliza de 2 m que no está
a plomo y se inclina hacia un lado 1 cm por metro en una visual de 200 m.
8.16 Discuta las ventajas de un instrumento robótico de estación total para el estacado en la construcción.
8.17 ¿Qué errores instrumentales se compensan al promediar un número igual de
observaciones hechas con el anteojo directo e invertido?
8.18 Describa cómo se nivela una estación total cuando la burbuja de nivel esta desajustada.
8.19 Se giraron un ángulo interior x y su explemento y para cerrar al horizonte. Cada
ángulo se midió una vez en posición directa y una en posición inversa, usando el
método de repetición. Se comenzó con una lectura hacia atrás inicial de 0°009000
para cada ángulo, las lecturas después de las medidas primera y segunda del
ángulo x fueron 50°389480 y 50°389520, y las lecturas después de las medidas primera y segunda del ángulo y fueron 309°219060 y 309°219040. Calcule cada ángulo y el error de cierre al horizonte.
8.20* Un ángulo cenital se mide como 84°139560 en la posición directa. ¿Cuál es el
ángulo cenital equivalente en la posición inversa?
8.21 ¿Cuál es el ángulo cenital promedio dadas las siguientes lecturas directa e inversa?
Directa: 87°459040, 87°459120, 87°459080
Inversa: 272°149500, 272°149480, 272°149520
En la figura 8.9(c), las direcciones observadas en posición normal e invertida con un instrumento de estación total desde A hacia los puntos B, C y D aparecen en los problemas
8.22 y 8.23. Determine los valores de los tres ángulos, y el error de cierre al horizonte.
8.22
Directa: 0°009000, 26°299210, 92°579440, 0°009040
Invertida: 0°009000, 26°299170, 92°579460, 0°009020
8.23 Directa: 0°009000, 106°529060, 191°389430, 359°599580
Invertida: 0°009000, 106°529040, 191°389410, 0°009000
8.24* Se midieron los ángulos en el punto X con un instrumento de estación total.
Con base en cuatro lecturas, la desviación estándar del ángulo fue de 65.60. Si
se sigue el mismo procedimiento para medir los ángulos de un polígono de seis
lados, ¿cuál será la desviación estándar estimada del cierre para un nivel de probabilidad del 95 %?
8.25 La línea visual de una estación total está fuera de ajuste en 100.
(a) Al prolongar una línea por inversión del anteojo entre la visada hacia atrás
y la visada hacia adelante, pero no haciendo doble visado con inversión,
¿qué error angular se presenta?
(b) ¿Qué error lineal ocasiona una visual hacia adelante de 200 m?
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224 INSTRUMENTOS DE ESTACIÓN TOTAL; MEDICIÓN DE ÁNGULOS
8.26
Se prolonga una línea PQ hasta un punto R por doble visado. Con visuales hacia
adelante se fijan dos puntos R9 y R0. ¿Cuál es el error angular introducido en una
sola inversión con base en las siguientes longitudes de QR y R9 R0, respectivamente?
(a)* 650.50 pies y 0.35 pies.
(b) 312.60 m y 42 mm.
8.27 Explique por qué es importante el “principio de inversión” en la medición de los
ángulos.
8.28* Una estación total con una burbuja de nivel de 200/división está dos divisiones
desnivelada en un punto con un ángulo cenital de altura de 38°159440. ¿Cuál es
el error en el apuntamiento horizontal?
8.29 ¿Cuál es el ángulo de altura equivalente para un ángulo cenital de 93°029060?
8.30 ¿Cual es el ángulo de altura equivalente para un ángulo cenital de 276°42’36”?
8.31 ¿Qué error en los ángulos horizontales es consistente con las precisiones lineales
siguientes?
(a) 1/5 000, 1/20 000, 1/50 000 y 1/100 000
(b) 1/3 000, 1/15 000, 1/30 000 y 1/80 000
8.32 ¿Por qué es importante revisar si las zapatas de su tripié están apretadas?
8.33 Discuta el procedimiento para ajustar una plomada óptica en una estación total.
8.34 Liste los procedimientos para “intercalar entre dos estaciones no visible entre
sí” un punto.
8.35 Se leyó un ángulo cenital dos veces en forma directa dando valores de 88°229540
y 88°229560, y dos veces en forma inversa dando lecturas de 272°379200 y
272°379220. ¿Cuál es el ángulo cenital medio? ¿Cuál es el error de índice?
8.36 Se leyó un ángulo cenital dos veces en forma directa dando valores de 96°32’24”
y 96°32’28”, y dos veces en forma inversa dando lecturas de 263°27’20” y
263°27’22”. ¿Cuál es el ángulo cenital medio? ¿Cuál es el error de índice?
8.37 Una estación total tiene una exactitud especificada DIN 18723 de ± 3”. ¿Cuál es
la precisión estimada de un ángulo medido con dos repeticiones?
8.38 Similar al problema 8.37 excepto que el instrumento tiene una exactitud especificada DIN 18723 de ± 1” y el ángulo se mide con ocho repeticiones.
BIBLIOGRAFÍA
Clark, M. M., y R. B. Buckner. 1992. “A Comparison of Precision in Pointing to Various
Targets at Different Distances.” Surveying and Land Information Systems 52
(Núm. 1): 41.
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of Beginning 26 (Núm. 8): 54.
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Stevens, K. 2003. “Locking in the Benefits.” Point of Beginning 28 (Núm. 11): 16.
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9
Poligonales
■ 9.1 INTRODUCCIÓN
Una poligonal es una serie de líneas consecutivas cuyos extremos se han marcado
en el campo, así como sus longitudes y direcciones se han determinado a partir de
mediciones en el campo. En los levantamientos tradicionales mediante métodos
terrestres, el trazo de una poligonal, que es el acto de marcar las líneas (es decir,
establecer las estaciones de la poligonal y hacer las mediciones necesarias), es uno
de los procedimientos fundamentales y más utilizados en la práctica para determinar la ubicación relativa entre puntos en el terreno.
Hay dos tipos básicos de poligonales: la cerrada y la abierta. Existen dos categorías de poligonales cerradas: el polígono y la línea. En una poligonal cerrada,
como muestra la figura 9.1(a), las líneas regresan al punto de partida, formándose
así una figura cerrada (geométrica y matemáticamente cerrada). Las líneas terminan en otra estación que tiene una exactitud de posición igual o mayor que la del
punto de partida. Las del tipo de línea (geométricamente abiertas, matemáticamente cerradas), que se muestran en la figura 9.1(b), deben tener una dirección
de referencia para el cierre, como, por ejemplo, la línea E-Az Mk2. Las poligonales
cerradas proporcionan comprobaciones de los ángulos y de las distancias medidas,
lo cual es muy importante. Se emplean mucho en levantamientos de control, para
construcción, de propiedades y topográficos.
Si se observara la distancia entre las estaciones C y E de la figura 9.1(a), el
conjunto resultante de observaciones se convertiría en lo que se llama una red.
Una red comprende la interconexión de estaciones dentro del levantamiento para
crear mediciones redundantes adicionales. Las redes ofrecen más comprobaciones geométricas que las poligonales cerradas. Por ejemplo, en la figura 9.1(a), después de calcular las coordenadas en las estaciones C y E usando procedimientos
elementales, la distancia observada CE puede compararse con un valor obtenido mediante la inversión de las coordenadas (véase el capítulo 10 para el estudio
del cálculo de las coordenadas y de la inversión de coordenadas). La figura 9.7(b)
muestra otro ejemplo de desarrollo de una red. Las redes deben ajustarse usando
el método de mínimos cuadrados como se presenta en el capítulo 16.
226 POLIGONALES
N
Az Mk
B
C
B
A
D
D
N
C
A
E
(a)
Figura 9.1
Ejemplos de
poligonales
cerradas.
Az Mk2
E
Az Mk1
(b)
Referencias
Punto de control
Ángulo medido
Estación de poligonal
Distancia medida
Una poligonal abierta (geométrica y matemáticamente abierta) (figura 9.2)
consta de una serie de líneas unidas, pero éstas no regresan al punto de partida ni
cierran en un punto con igual o mayor orden de exactitud. Las poligonales abiertas
deben evitarse porque no ofrecen medio alguno de verificación por errores y equivocaciones. Si deben usarse, las mediciones deben repetirse cuidadosamente para
evitar las equivocaciones. En estas situaciones deberán considerarse las técnicas
precisas de control y de trazo de poligonales que se presentan en la sección 19.12.2.
En cada estación de la poligonal A, B, C, etc., de las figuras 9.1 y 9.2, se planta
un trompo (estaca de madera con una tachuela o un clavo para marcar el punto), una estaca de acero o un tubo, quedando las estaciones en donde ocurren los
cambios de dirección. Escarpias, clavos “P-K”1 y cruces labradas se usan sobre el
pavimento asfáltico. Sobre el concreto se hacen marcas con cincel o con pintura.
A las estaciones de las poligonales se les llama algunas veces vértices o puntos de
ángulo, por medirse generalmente en cada una de ellas un ángulo.
N
C
57 42 R
D
C
8 + 19.6
44 28 R
12 + 05.0
G
D
30 15 R
26 + 20.4
16 + 61.7
E
B
4 + 00.0
Figura 9.2
Poligonal abierta.
5 E
6 3
N1
0 + 00
A
E
22 + 86.5
18 50 L
F
96 02 L
F
Referencias
Punto de control
Estación de poligonal
1
Los clavos P-K son una marca comercial de clavos de concreto. La compañía Parker-Kalon originalmente fabricaba estos clavos. Hay una pequeña depresión en el centro del clavo que sirve como
marcador para la ubicación de la estación. Actualmente varias compañías fabrican versiones similares o
mejores de este clavo. Todavía se usa el nombre original P-K para denotar a este tipo de clavo.
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9.2 Métodos de medición de ángulos y direcciones en las poligonales
227
■ 9.2 MÉTODOS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Y DIRECCIONES EN LAS POLIGONALES
Los métodos que se usan para medir ángulos o direcciones de las líneas de las
poligonales son: (1) el de ángulos interiores, (2) el de ángulos a la derecha, (3) el
de ángulos de deflexión y (4) el de acimutes. Estos métodos se describen en las
subsecciones siguientes.
9.2.1 Trazo de poligonales por ángulos interiores
Los ángulos interiores se usan casi en forma exclusiva en las poligonales para
levantamientos catastrales o de propiedades. Aun cuando los ángulos interiores
pueden leerse en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj o en el
sentido contrario, es conveniente medir todos los ángulos interiores siempre en
el sentido de las manecillas del reloj con lectura hacia atrás a la estación con lectura
hacia adelante, porque así se reducen los errores de lectura, registro y trazo. El procedimiento se muestra en la figura 9.1(a). En este capítulo, con excepción de los
ángulos con deflexión a la izquierda, siempre se supondrá que los ángulos se miden
en dirección de las manecillas del reloj. Además, cuando los ángulos se designen
con tres letras o números de estación en este capítulo, se da primero la estación con
lectura hacia atrás, en segundo lugar se da la estación ocupada, y en tercer lugar la
estación con lectura hacia delante. Así el ángulo EAB de la figura 9.1(a) se midió
en la estación A, con la lectura hacia atrás en la estación E y con la lectura hacia
adelante en la estación B.
Los ángulos interiores pueden mejorarse al promediar un número igual de
lecturas directas e inversas. Como verificación, también pueden medirse ángulos
exteriores para cerrar al horizonte (véase la sección 8.10). En la poligonal de la
figura 9.1(a) existe una línea de referencia A-Az Mk de dirección conocida. También debe medirse el ángulo en dirección del movimiento de las manecillas del
reloj en A desde Az Mk hasta E, para determinar las direcciones de todas las otras
líneas. Esto no sería necesario si la poligonal incluyera una línea de dirección conocida, por ejemplo, la línea AB en la figura 7.2.
9.2.2 Trazo de poligonales por ángulos a la derecha
Los ángulos medidos en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj desde una visual hacia atrás, según una línea “anterior” sobre la estación de “adelante”
[véanse las figuras 9.1(a) y (b)] se llaman ángulos a la derecha. De acuerdo con
esta definición, para evitar ambigüedades en la designación de los ángulos a la
derecha, debe establecerse el “sentido” de la dirección hacia adelante. Dependiendo de la dirección del trazo de la poligonal, los ángulos a la derecha pueden ser
ángulos interiores o exteriores en la poligonal. Si la dirección del trazo de la poligonal es en el sentido de las manecillas del reloj cuando se recorre la figura, entonces
se medirán ángulos interiores en el sentido de las manecillas del reloj. Sin embargo,
si la dirección del trazo de la poligonal es en el sentido de las manecillas del reloj,
entonces se medirán ángulos exteriores. Los recolectores de datos generalmente
siguen esta convención al trazar la poligonal. Así en la figura 9.1(b), por ejemplo,
la dirección de A a B, B a C, C a D, etc., es hacia adelante. Los ángulos medidos
a la derecha también pueden verificarse (y mejorarse su exactitud) al promediar
números iguales de lecturas directas e inversas. A partir de las definiciones anteriores de ángulos interiores y ángulos a la derecha, es evidente que en una poligonal
la única diferencia entre los dos tipos de procedimientos de medición puede ser el
ordenamiento de las estaciones con visual hacia atrás y las estaciones con visual
hacia adelante ya que ambos procedimientos miden los ángulos en el sentido de
las manecillas del reloj.
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228 POLIGONALES
F
N
N
42
3
89
W
30
6
75
1
7
C
2
4
A
47
B
2 13
3 17
Figura 9.3 Trazo
de una poligonal
por acimut.
S
E
74 34
D
9.2.3 Trazo de poligonales por ángulos de deflexión
Los levantamientos para vías terrestres se hacen comúnmente por deflexiones
medidas hacia la derecha o hacia la izquierda desde las prolongaciones de las líneas,
como se indica en la figura 9.2. Un ángulo de deflexión no está especificado
por completo sin la designación D o I, y por supuesto, su valor no puede ser mayor
que 180°. Cada ángulo debe duplicarse o cuadruplicarse, y debe determinarse un
valor promedio. Los ángulos deben medirse un número igual de veces hacia la
izquierda y hacia la derecha para reducir los errores instrumentales. Los ángulos de deflexión pueden obtenerse restando 180° de los ángulos a la derecha. Los
valores positivos así obtenidos denotan ángulos de deflexión derechos; los valores
negativos corresponden a los izquierdos.
9.2.4 Trazo de poligonales por acimutes
Con los instrumentos de estación total, las poligonales se trazan a menudo por
acimutes. Este proceso permite la lectura de los acimutes de todas las líneas directamente, eliminando así la necesidad de calcularlos. En la figura 9.3, los acimutes se
miden en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj a partir de la dirección norte del meridiano que pasa por cada vértice. En cada estación se orienta
el instrumento visando la estación anterior, ya sea con el acimut inverso sobre el
círculo (si los ángulos se giran hacia la derecha) o con el acimut (si se giran ángulos
de deflexión) como se describió en la sección 8.11. Entonces se visa la estación
hacia adelante. La lectura resultante en el círculo horizontal será el acimut de la
línea siguiente.
■ 9.3 MEDICIÓN DE LONGITUDES POLIGONALES
La longitud de cada línea de la poligonal (también llamada un curso), debe medirse, y se obtiene generalmente por el método más simple y económico capaz de
satisfacer la precisión exigida en un proyecto dado. Su velocidad, comodidad y
exactitud hacen de la componente de MED del instrumento de estación total la
de uso más frecuente, aunque también podrían emplearse la medición con cinta
u otros métodos estudiados en el capítulo 6. Una ventaja definitiva del trazo de
poligonales con los instrumentos de estación total es que tanto los ángulos como
las distancias pueden medirse con un solo emplazamiento en cada estación. Los
promedios de las distancias medidas tanto hacia adelante como hacia atrás proporcionarán una exactitud creciente, y las lecturas repetidas permiten la verificación
de las mediciones y son por tanto mediciones redundantes.
Algunas veces, los estatutos estatales regulan la precisión de una poligonal
para localizar los linderos. En los levantamientos de construcción, los límites de
cierre permitidos dependen de la utilización y extensión de la poligonal y del tipo
de proyecto. La ubicación de puentes, por ejemplo, exige un alto grado de precisión.
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9.5 Señalamientos de estaciones poligonales 229
En las poligonales cerradas se mide y registra cada línea como una distancia individual. En las poligonales abiertas de gran longitud para carreteras y vías
férreas, las distancias se llevan en forma acumulativa y continua desde el punto de
partida mediante el uso de estaciones (véase la sección 5.9.1). En la figura 9.2, en
la que se emplean estaciones en pies, por ejemplo, comenzando con la estación 0
00 en el punto A, se marcan estaciones cada 100 pies (1 00, 2 00 y 3 00)
hasta que se llega a la estaca B que está en la estación 4 00. Luego se sitúan las
estaciones 5 00, 6 00, 7 00, 8 00 y 8 19.60 a lo largo de la línea BC hasta
C, y así sucesivamente. La longitud de una línea o tramo de poligonal abierta es la
diferencia entre las marcas de las estaciones y sus puntos extremos. Así, la longitud
de la línea BC es 819.60 400.00 5 419.60 pies.
■ 9.4 SELECCIÓN DE ESTACIONES DE UNA POLIGONAL
Las posiciones seleccionadas para emplazar las estaciones de una poligonal varían
con el tipo de levantamiento. En general, los lineamientos a considerar para seleccionarlas incluyen la exactitud, la utilidad y la eficiencia. Por supuesto, la intervisibilidad entre estaciones adyacentes, hacia adelante y hacia atrás, debe mantenerse
para las mediciones de ángulos y distancias. Lo ideal es que las estaciones se instalen en ubicaciones convenientes que permitan un fácil acceso. Comúnmente, las
estaciones se colocan para crear líneas que sean tan largas tanto como sea posible.
Esto no solamente incrementa la eficiencia al reducir el número de emplazamientos del instrumento, sino que también incrementa la exactitud de las mediciones de
los ángulos. Sin embargo, la utilidad podría prevalecer sobre el uso de líneas muy
largas, ya que podrían ser necesarias estacas intermedias, o estaciones en posiciones estratégicas para satisfacer los objetivos del levantamiento. Las variaciones
estacionales también pueden mejorar las líneas de visión. Por ejemplo, la falta de
follaje puede ayudar a la visibilidad entre las estaciones durante las postrimerías
del otoño, el invierno y el inicio de la primavera.
Con frecuencia puede reducirse el número de estaciones e incrementarse
la longitud de las líneas visuales mediante un reconocimiento cuidadoso. Siempre
es aconsejable recorrer a pie el área en que se va a efectuar el levantamiento, y
encontrar las ubicaciones ideales para las estaciones antes de colocar las estacas de
la poligonal y de llevar a cabo el proceso de medición.
Cada tipo diferente de levantamiento tendrá sus requerimientos únicos en relación con el emplazamiento de las estaciones de la poligonal. Por ejemplo, en
los levantamientos catastrales, las estaciones de las poligonales se colocan en cada
esquina si no deben obstaculizarse las líneas reales de los linderos, ya que van
a ocuparse. Si son necesarias líneas desplazadas, se localiza una estaca cerca de
cada esquina para simplificar las mediciones y los cálculos. Las líneas largas y el
terreno ondulado pueden requerir de estaciones adicionales.
En los levantamientos para vías terrestres se sitúan las estacas en cada vértice y en otros lugares cuando es necesario obtener datos topográficos o extender el
levantamiento. Por lo general, se corre la línea de centros antes de que comience la
construcción, pero es posible que quede destruida y que sea necesario reemplazarla una o más veces durante varias fases del proyecto. Puede usarse una poligonal
desplazada para evitar este problema.
Una poligonal que se traza para el control del levantamiento de un plano
topográfico sirve de marco para que, con referencia a ella, se levanten detalles
como caminos, edificios, corrientes de agua y prominencias del terreno. La ubicación de las estaciones debe seleccionarse de tal forma que permita cubrir completamente el área que se trata de levantar o configurar. A partir de la poligonal
principal se pueden llevar ramificaciones consistentes en una o más líneas como
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230 POLIGONALES
Avenida Brookfield
Roble 120
Figura 9.4 Cómo
referenciar un
punto.
9
59
.4
28
Calle Wolf
32
.
14
Hidrante
para
incendios
36.719
Arce 180
poligonales abiertas, para llegar a vértices ventajosos. Sin embargo, su utilización
no se recomienda porque no puede tenerse una verificación de sus posiciones.
Si debe realizarse una ramificación, el topógrafo deberá tener una extrema
precaución y emplear lecturas múltiples directas e inversas en cada estación para
verificar su trabajo. En algunos casos extremos, puede ser aconsejable repetir cada
emplazamiento posteriormente; por ejemplo, se hace un emplazamiento en una
estación al avanzar al final de la ramificación y también de regreso a la poligonal principal. El topógrafo deberá percatarse de que pueden pasar desapercibidos
errores de medición en una poligonal abierta, por lo que deberán realizarse verificaciones adicionales en las mediciones tales como un cierre del horizonte angular
y técnicas precisas para levantar las poligonales, las que se estudian en la sección
19.13.2, para asegurar que las mediciones sean correctas.
■ 9.5 SEÑALAMIENTOS DE ESTACIONES POLIGONALES
Frecuentemente las estaciones de una poligonal deben encontrarse y volverse a
ocupar meses o aun años después de que se establecieron. También pueden quedar
destruidas durante la construcción u otra actividad. Por lo tanto, es importante que
se les referencie mediante la creación de ligas de modo que puedan relocalizarse si
quedan ocultas, o volver a establecerse si quedan destruidas.
La figura 9.4 presenta una liga típica de una poligonal. Como se ve, estas ligas
consisten en mediciones de distancias hechas hacia objetos fijos cercanos. Son convenientes longitudes cortas (menos de 100 pies) si se usa una cinta de acero, pero
por supuesto, la distancia a puntos definidos y únicos es un factor controlante. Son
suficientes dos ligas, de preferencia aproximadamente en ángulo recto, pero deberán usarse tres para contemplar la posibilidad de que quede destruida una marca
de referencia. Las ligas con los árboles pueden medirse en centésimas de pie si se
clavan clavos en éstos. Sin embargo, debe obtenerse una autorización del propietario
D
H
B
B
H
Figura 9.5
Señalamientos para
puntos de enlace.
ALFAOMEGA
C
A
(a)
D
C
A
(b)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
9.6 Registros de campo para las poligonales
231
antes de clavar clavos en los árboles. Siempre es importante recordar que el topógrafo puede resultar legalmente responsable de cualquier daño a la propiedad que
pueda ocurrir durante el levantamiento.
Si no se dispone de elementos naturales o existentes tales como árboles, postes de servicio público o esquinas de edificios, pueden clavarse estacas y usarse
como ligas. La figura 9.5(a) muestra una disposición de trompos a horcajadas bien
dispuestos para ligar un punto tal como H con el eje central de una carretera u
otro lado. Los puntos de referencia A y B se colocan cuidadosamente sobre la
línea que pasa por H, al igual que los puntos C y D. Las líneas AB y CD deberán
ser aproximadamente perpendiculares, y los cuatro puntos deberán colocarse en
ubicaciones seguras, fuera de áreas que puedan ser perturbadas. Se recomienda
que se coloque un tercer punto en cada línea para servir como alternativa en caso
de la destrucción de un punto. La intersección de las líneas de colimación de dos
estaciones totales establecidas en A y en C que se apunten simultáneamente a B y
D, respectivamente, van a recuperar el punto. El trompo de la poligonal H también
puede encontrarse mediante el cruzamiento de cuerdas estiradas entre ligas opuestas en diagonal si las longitudes no son muy largas. Algunas veces se usan trompos
en la posición que muestra en la figura 9.5(b), pero no son tan deseables como los
trompos a horcajadas para el tendido de cuerdas.
TRAZO DE UNA POLIGONAL CON UN
INSTRUMENTO DE ESTACIÓN TOTAL
Levantamiento de control topográfico
Instrumento en la estación 101
he = 5.3
hr = 5.3
19 de octubre de 2014
Frío, soleado, 48 °F
Estación
visada
D/R
Círculo
horizontal
Ángulo
cenital
Distancia
horizontal
Diferencia
de elevación
104
D
0°00’00”
86°30’01”
324.38
+19.84
102
D
82°18’19”
92°48’17”
216.02
-10.58
104
R
180°00’03” 273°30’00”
M. R. Dunkett - 

N. Dahman - Ø→
102
R
262°18’18”
T. Ruhren - N
Presión 29.5 plg
Estación total # 7
267°11’41”
Croquis
Instrumento en la estación 102
he = 5.5
Reflector # 7A
hr = 5.5
103
101
D
0°00’00”
87°11’19”
261.05
+10.61
N
103
D
95°32’10”
85°19’08”
371.65
+30.43
104
101
R
180°00’02” 272°48’43”
103
R
275°32’08” 274°40’50”
102
Instrumento en la estación 103
he = 5.4
hr = 5.4
102
D
0°00’00”
94°40’48”
371.63
-30.42
104
D
49°33’46”
90°01’54”
145.03
-0.08
102
R
180°00’00” 265°19’14”
104
R
229°33’47” 269°58’00”
101
M. R. Dunkett
Figura 9.6 Ejemplo de notas de campo para una poligonal usando un instrumento de estación total.
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232 POLIGONALES
■ 9.6 REGISTROS DE CAMPO PARA LAS POLIGONALES
Se analizó en el capítulo 2 la importancia de saber tomar notas. Como una poligonal es el fin en sí del levantamiento de una propiedad y la base de todos los
demás datos necesarios para la elaboración de los planos y mapas, no puede tolerarse ni un solo error u omisión en el registro. Por tanto, deben efectuarse todas las
verificaciones posibles de campo y de gabinete. La figura 9.6 muestra un conjunto
parcial del registro de campo para una poligonal por ángulos interiores, trazada
usando un instrumento de estación total. Observe que detalles tales como la fecha,
el estado del tiempo, las identificaciones de los instrumentos y los integrantes de
la brigada y sus tareas se registran en la página derecha de las notas. También se
muestra un croquis donde se señala el Norte con una flecha. Los datos medidos
se registran en la página izquierda. Primero, se identifica cada estación que se ocupe,
y se registran las alturas del instrumento de estación total y del reflector que sean
aplicables en esa estación. Entonces se registran las lecturas del círculo horizontal,
los ángulos cenitales, las distancias horizontales y las diferencias de elevación que se
miden en cada estación. Observe que cada ángulo horizontal se mide dos veces en
el modo directo, y dos veces en el modo inverso. Como se observó anteriormente,
esta práctica elimina los errores instrumentales, y da valores repetidos de los ángulos para la verificación. Los ángulos cenitales también se midieron dos veces tanto
en sentido directo como en sentido inverso. Aunque no son necesarios para trazar
la poligonal, están disponibles para verificar si hay en la poligonal errores de cierre
mayores que los tolerables (véase el capítulo 10). En la sección 9.8 se describen los
detalles para hacer mediciones en poligonales con un instrumento de estación total.
■ 9.7 ERROR DE CIERRE ANGULAR
El cierre (o error de cierre) angular para una poligonal trazada por ángulos interiores es la diferencia entre la suma de los ángulos medidos y el total geométricamente correcto para el polígono. La suma, Σ, de los ángulos interiores de un
polígono cerrado es igual a:
(9.1)
siendo n el número de lados o de ángulos en el polígono. Esta fórmula se deduce
fácilmente a partir de hechos bien conocidos. La suma de los ángulos de un triángulo es 180°, en un rectángulo, 360°, y en un pentágono, 540°. En consecuencia, por
cada lado que se agrega a los tres indispensables para un triángulo, la suma de los
ángulos aumenta en 180°. Como se mencionó en la sección 7.3, si la dirección alrededor de una poligonal es el sentido de las manecillas del reloj cuando se observan
los ángulos a la derecha, se medirán ángulos exteriores. En este caso, la suma de los
ángulos exteriores será
Σ 5 (n + 2)180°
(9.2)
La figura 9.1(a) muestra un polígono de cinco lados, en el cual, si la suma de
los ángulos interiores medidos es igual a 540°009050, el error angular de cierre es 50.
El error de cierre resulta de la acumulación de los errores aleatorios en la medición
de ángulos. Puede calcularse el error de cierre permisible mediante la fórmula:
(9.3)
en la cual n es el número de ángulos y K es una constante que depende del grado de exactitud especificado para el levantamiento. El Federal Geodetic Control
Subcommittee (FGCS) recomienda constantes para cinco órdenes diferentes de
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
9.8 Trazo de poligonales con instrumentos de estación total
233
exactitud en las poligonales: primer orden, segundo orden clase I, segundo orden clase II, tercer orden clase I y tercer orden clase II. Los valores de K para estos órdenes,
del mayor al menor, son 1.70, 30, 4.50, 100 y 120, respectivamente. Así si la poligonal
de la figura 9.1(a) se ejecuta conforme a los estándares de segundo orden clase II, el
error de cierre permisible sería 4.50 3 5 5 6100.
La suma algebraica de los ángulos de deflexión en una poligonal cerrada es
igual a 360°, debiendo considerarse positivas las deflexiones medidas en el sentido
del movimiento de las manecillas del reloj (a la derecha) y negativas las medidas en
el sentido contrario al de las manecillas del reloj (a la izquierda). Esta regla se aplica si no se cruzan las líneas o si se cruzan un número par de veces. Cuando las líneas
de una poligonal se cruzan un número impar de veces, la suma de las deflexiones a
la derecha es igual a la suma de las deflexiones a la izquierda.
Una poligonal cerrada por acimut se comprueba emplazando el aparato
sobre el punto de partida por segunda vez, después de ocupar las estaciones sucesivas de toda la poligonal y de orientar por acimutes inversos. Entonces se obtiene
por segunda vez el acimut del primer lado y se compara con su valor original.
Cualquier diferencia constituye el error de cierre. Si no se vuelve a ocupar el primer punto, los ángulos interiores calculados a partir de los acimutes comprobarán
automáticamente el total geométrico correcto, aun cuando sean incorrectos uno o
más de los ángulos acimutales.
Aunque los errores de cierre angulares no pueden calcularse directamente
en las poligonales de línea, los ángulos pueden verificarse todavía. La dirección o
el rumbo verdadero de la primera línea puede determinarse desde dos estaciones
visibles entre sí que tengan un acimut conocido, o bien por una observación al Sol
o a la estrella polar, como se describe en el apéndice C. Los ángulos medidos se
aplican entonces para calcular los acimutes de todas las líneas de la poligonal. El
acimut calculado de la última línea se compara con su valor conocido, o bien con el
resultado de otra observación solar o de la estrella polar. En las poligonales largas
pueden verificarse de modo semejante las líneas intermedias. Al usar las observaciones al Sol o la estrella polar para verificar los ángulos en las poligonales que se
extienden ampliamente en la dirección este-oeste, debe contemplarse la convergencia de los meridianos. Este tema se discute en la sección 19.13.2.
■ 9.8 TRAZO DE POLIGONALES CON INSTRUMENTOS
DE ESTACIÓN TOTAL
Los instrumentos de estación total, con sus componentes combinados de medición
electrónica de ángulos y distancias, incrementan considerablemente la velocidad
del proceso de levantar poligonales, ya que pueden medir ángulos y distancias desde un mismo emplazamiento. El proceso de medición se simplifica además porque los ángulos y las distancias se resuelven y se exhiben automáticamente. Además,
los microprocesadores de las estaciones totales pueden efectuar los cálculos de las
poligonales reduciendo las distancias inclinadas a sus componentes horizontal y
vertical, así como determinar y almacenar de inmediato las elevaciones y las coordenadas de las estaciones. La reducción para obtener las componentes horizontal
y vertical de las distancias se mostró con las notas de la poligonal de la figura 9.6.
Para exponer el procedimiento de levantar una poligonal con un instrumento
de estación total, nos referiremos a la poligonal de la figura 9.1(b). Con el instrumento emplazado y nivelado en la estación A, se toma cuidadosamente una lectura
inversa sobre Az MK1. El acimut de la línea A - Az MK1 se inicializa en el círculo
horizontal introduciéndolo en la unidad mediante el teclado del aparato. También
se introducen en la memoria las coordenadas y la elevación de la estación A. A
continuación se toma una lectura hacia adelante de la estación B. Aparecerá ahora
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ALFAOMEGA
234 POLIGONALES
en la pantalla el acimut de la línea AB, el cual se almacenará también en la memoria del microprocesador mediante órdenes del teclado. Luego se mide la distancia
inclinada AB y se reduce con el microprocesador a sus componentes horizontal
y vertical. Entonces se calculan la desviación y la latitud de la línea y se suman a
las coordenadas de la estación A para obtener las coordenadas de la estación B.
(Las desviaciones, las latitudes y las coordenadas se describen en el capítulo 10.)
Estos procedimientos deberán realizarse en los modos directo e inverso, y los resultados deben promediarse para tomar en cuenta los errores instrumentales.
El procedimiento descrito para la estación A se repite en la estación B,
excepto que el acimut inverso BA y las coordenadas de la estación B no necesitan
introducirse; más bien, las llama a la memoria del instrumento. Desde el emplazamiento en B, el acimut BC y las coordenadas de C se determinan y almacenan. Este
procedimiento se repite hasta que se alcanza una estación de coordenadas conocidas, como E en la figura 9.1(b). Aquí se introducen las coordenadas conocidas de
E en la computadora y se comparan con las mediciones efectuadas en la poligonal.
Su diferencia (o error de cierre) se calcula, se exhibe, y si está dentro de los límites
permisibles, se distribuye por el microprocesador para dar las coordenadas finales
de las estaciones intermedias. (El proceso de distribución de los errores de cierre de
las poligonales se estudia en los capítulos 10 y 16.)
Los errores de orientación pueden minimizarse cuando se usa un recolector de datos en combinación con una estación total. En este proceso, se verifican
las coordenadas de cada estación con visual hacia atrás antes de proseguir con las
mediciones de ángulo y distancia en la siguiente estación con lectura hacia adelante. Por ejemplo en la figura 9.1(a), después de que se nivela y se orienta la estación
total en la estación B, se toma una medición hacia “atrás” en A. Si las coordenadas nuevamente calculadas de A no concuerdan bien con sus valores previamente
almacenados, deberán verificarse nuevamente el emplazamiento, la nivelación y
la orientación del instrumento, y el problema deberá resolverse antes de proseguir con mediciones adicionales. Frecuentemente este procedimiento toma una
cantidad mínima de tiempo y por lo común identifica la mayoría de los errores de
campo que ocurren durante el proceso de medición.
Si se desea, las elevaciones de las estaciones de la poligonal también pueden determinarse como parte del procedimiento (lo que es generalmente el caso
en los levantamientos topográficos). Para esto deben introducirse las alturas hi
del instrumento y hr del reflector (véase la sección 6.23). El microprocesador calcula la componente vertical de la distancia inclinada e incluye una corrección por
C
C
D
B
D
B
O
A
A
E
O
Figura 9.7
Poligonal radial a
partir de (a) una
estación ocupada,
y (b) dos estaciones
ocupadas.
ALFAOMEGA
E
O
Z
Z
F
(a)
(b)
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9.10 Causas de error en el trazo de poligonales
235
curvatura y refracción (véase la sección 4.5.4). La diferencia de elevación se suma
a la elevación de la estación ocupada para determinar la elevación de la siguiente
estación. En la estación final, cualquier error de cierre se determina comparando
la elevación calculada con su valor conocido, y si está dentro de la tolerancia, se
ajusta para las elevaciones de las estaciones intermedias de la poligonal.
Todos los datos obtenidos para la poligonal con un instrumento de estación
total pueden almacenarse en un recopilador automático de datos para su impresión posterior y transmisión a la oficina, en donde se harán los cálculos y su gráfica
(véanse las secciones 2.12 a 2.15). Alternativamente, las notas poligonales pueden
registrarse manualmente como se muestra en la figura 9.6.
■ 9.9 POLIGONALES RADIALES
En ciertas situaciones, puede ser muy conveniente determinar las posiciones relativas de puntos mediante una poligonal radial. En este procedimiento, como se
observa en la figura 9.7(a), se selecciona un punto O, cuya posición se considera
conocida, a partir del cual se pueden visar todos los puntos por determinarse. Si
no existe un punto tal como el O, se puede establecer. También se supone que se
dispone de una marca de acimut cercana, como Z en la figura 9.7(a), y que se conoce el acimut de referencia OZ. Con un instrumento de estación total en el punto
O, después de hacer una lectura hacia atrás en Z, se miden ángulos horizontales
con todas las estaciones A hasta F. Entonces pueden calcularse los acimutes de
todas las líneas radiales a partir de O (como OA, OB, OC, etc.). También se miden
las longitudes horizontales de todas las líneas que irradian. Usando las longitudes
y los acimutes medidos, pueden calcularse las coordenadas de cada punto. (El tema
del cálculo con coordenadas se verá en el capítulo 10.)
Deberá ser claro que en el procedimiento antes descrito, cada uno de los
puntos A a F se ha levantado independientemente de los demás, y que no hay ninguna verificación de sus posiciones calculadas. Para proporcionar una verificación,
podrían calcularse las longitudes AB, BC, CD, etc., a partir de las coordenadas
de los puntos, y luego medir estas mismas longitudes. Esto lleva a muchos emplazamientos adicionales y a mucho más trabajo de campo, anulando así uno de los
principales beneficios del trazo de poligonales radiales. Para resolver el problema de
ganar verificaciones con un mínimo de trabajo adicional de campo, se recomienda
el método presentado en la figura 9.7(b). Aquí se selecciona un segundo trompo O9,
desde el cual pueden verse todos los puntos. La posición de O9 se determina por las
observaciones del ángulo horizontal y de la distancia desde la estación O. Entonces
se ocupa este segundo trompo O9 y se miden como antes ángulos horizontales y
distancias a todas las estaciones A a F. Con las coordenadas conocidas tanto de O
como de O9, y usando los dos conjuntos independientes de ángulos y distancias,
pueden calcularse dos conjuntos de coordenadas para cada estación, obteniendo
así las verificaciones. Si los dos conjuntos para cada punto concuerdan dentro de
una tolerancia razonable, puede tomarse el promedio. Sin embargo, se obtiene un
mejor ajuste usando el método de los mínimos cuadrados (véanse la sección 3.21
y el capítulo 16). Aunque el trazo de poligonales radiales puede dar rápidamente
coordenadas de muchos puntos en un área, el método no es tan riguroso como el
levantamiento de poligonales cerradas.
El método de las poligonales radiales es ideal para establecer rápidamente
un gran número de puntos en un área, en especial cuando se emplea un instrumento de estación total. Este instrumento no sólo permite que se hagan rápidamente
las mediciones de ángulos y distancias, sino que también realiza los cálculos de
acimut, distancia horizontal y coordenadas de la estación en tiempo real. Los métodos radiales también son muy convenientes para trazar proyectos de construcción
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ALFAOMEGA
236 POLIGONALES
planificados con un instrumento de estación total. En esta aplicación, se determinan a partir del diseño las coordenadas requeridas de los puntos que se van a
estacar, y se calculan los ángulos y las distancias que deben medirse a partir de
una estación seleccionada de posición conocida. Entonces éstos se trazan con una
estación total para colocar las estacas. Los procedimientos se estudian con de-talle
en la sección 23.9.
■ 9.10 CAUSAS DE ERROR EN EL TRAZO DE POLIGONALES
Algunas fuentes de error en el trazo de una poligonal son:
1. Selección deficiente de estaciones, lo que conduce a malas condiciones de
visado debido a: (a) sol y sombra alternadas, (b) visibilidad de la parte superior del estadal solamente, (c) visual que pasa demasiado cerca del terreno,
(d) líneas demasiado cortas y (e) visual que pasa cerca de un objeto tal como
un vehículo, lo que causa refracción en la línea visual, y (f) visado hacia donde está el Sol.
2. Errores en la medida de ángulos y distancias.
3. No medir los ángulos un número igual de veces tanto en forma directa como
inversa.
■ 9.11 EQUIVOCACONES EN EL TRAZO DE POLIGONALES
Algunos errores durante el trazo son:
1. Ocupar equivocadamente una estación o visar hacia una estación equivocada.
2. Orientación incorrecta.
3. Confusión de ángulos a la derecha y a la izquierda.
4. Equivocaciones al elaborar el registro.
5. No identificar correctamente la estación visada.
PROBLEMAS
Los asteriscos (*) señalan los problemas que tienen respuestas parciales dadas en el
apéndice G.
9.1 ¿Cómo se logra el cierre angular en una poligonal?
9.2 Liste las desventajas de una poligonal abierta.
9.3 ¿Cómo puede obtenerse un cierre angular en una poligonal de línea?
9.4 Con sus propias palabras, defina un ángulo a la derecha.
9.5 Dibuje dos poligonales cerradas de cinco lados con las estaciones etiquetadas del 1
al 5. El primer lado deberá mostrar ángulos a la derecha que sean ángulos interiores, y la segunda deberá mostrar ángulos a la derecha que sean ángulos exteriores.
9.6 Liste cuatro consideraciones pertinentes en la selección de las ubicaciones para
las estaciones de una poligonal.
9.7 ¿Cómo deben referenciarse las estaciones de una poligonal?
9.8 Discuta las ventajas y los peligros de una poligonal radial.
9.9 ¿Cuál debe ser la suma de los ángulos interiores de una poligonal cerrada con
*(a) 6 lados, (b) 10 lados y (c) 15 lados?
9.10 ¿Cuál debe ser la suma de los ángulos exteriores de las poligonales cerradas que
se listan en el problema 9.9?
9.11 Se obtuvieron los siguientes valores para cinco ángulos interiores de una poligonal cerrada de seis lados: A 5 43°179080, B 5 202°049570, C 5 103°339440, D
5 98°359150 y E 5 132°239590. No se midió el ángulo en F. Si todos los ángulos
medidos son correctos, ¿cuál es el valor de F?
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
Problemas 237
9.12
Similar al problema 9.11, sólo que ahora la poligonal es de siete lados, con ángulos medidos de: A 5 158°159440, B 5 235°059440, C 5 66°149260, D 5 111°269530,
E 5 133°389270, y F 5 141°209360. Calcule el ángulo en G, que no se midió.
9.13 ¿Cuál es el error de cierre angular de una poligonal de seis lados con ángulos observados de 98°109100, 133°459580, 68°239100, 182°509540, 134°329020 y
102°179360?
9.14 ¿Qué estándares FGCS satisfarían el error de cierre angular del problema 9.13?
9.15* De acuerdo con los estándares FGCS, ¿cuál es el error de cierre angular máximo
aceptable para una poligonal de segundo orden, clase I que tenga 20 ángulos?
9.16* ¿Cuál es el error de cierre angular de una poligonal de cinco lados con ángulos
exteriores de 252°269370, 255°559130, 277°159530, 266°359020 y 207°479050?
9.17 ¿Cuál es el error de cierre angular de una poligonal de cinco lados con ángulos
interiores de 92°269470, 109°559030, 137°159330, 106°359220 y 93°479200?
9.18 Discuta cómo puede usarse un recolector de datos para comprobar el emplazamiento de una estación total en el trazo de poligonales.
9.19* Si el error estándar para cada medida de un ángulo de una poligonal es de ±3.30,
¿cuál es el error estándar esperado para el cierre en la suma de los ángulos de
una poligonal de ocho lados?
9.20 Si se miden los ángulos de una poligonal de manera que el error de 95% de cualquier ángulo sea ±3.50, ¿cuál es el error de 95% en una poligonal de doce lados?
9.21 ¿Qué criterios deberán usarse para trazar ligas de referencia para las estaciones
de la poligonal?
9.22* El acimut desde la estación A de una poligonal de línea a una marca de acimut
es 212°129360. El acimut desde la última estación de la poligonal a una marca
de acimut es 192°129160. Se miden ángulos a la derecha en cada estación: A 5
136°159400, B 5 119°159360, C 5 93°489540, D 5 136°049160, E 5 108°309100, F 5
42°489020 y G 5 63°179160. ¿Cuál es el error de cierre angular de esta poligonal
de línea?
9.23 ¿Qué orden y clase FGCS satisface la poligonal del problema 9.22?
9.24* Los valores de los ángulos interiores en una poligonal cerrada de cinco lados
son: A 5 108°289360, B 5 110°269540, C 5 106°259580, D 5 102°279020 y E 5
112°119150. Calcule el error de cierre angular. ¿Para qué orden y clase FGCS es
adecuado este levantamiento?
9.25 Similar al problema 9.24, excepto para una poligonal de seis lados con ángulos
exteriores medidos de A 5 244°289360, B 5 238°269540, C 5 246°259580, D 5
234°279020, E 5 235°089550, y F 5 241°029450.
9.26 En la figura 9.6, ¿cuál es el ángulo interior promedio con el instrumento en la
estación 101?
9.27 Igual al problema 9.26, excepto que el instrumento está en la estación 102.
9.28 Explique por qué es aconsejable usar dos estaciones instrumentadas, como O y
O9 en la figura 9.7(b), al correr poligonales radiales.
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ALFAOMEGA
10
Cálculo
de poligonales
■ 10.1 INTRODUCCIÓN
Los ángulos o las direcciones medidas de una poligonal cerrada pueden comprobarse fácilmente antes de dejar el campo. Las medidas lineales, especialmente las
determinadas con cinta, aun cuando se repitan, tienen mayores probabilidades de
error y deben verificarse. Aunque los cálculos son más engorrosos que las verificaciones de los ángulos, con las calculadoras programables y las computadoras portátiles de la actualidad, éstos pueden hacerse en el campo para determinar, antes
de retirarse, si la poligonal satisface la precisión exigida. Si se han satisfecho las
especificaciones, se ajusta luego la poligonal para lograr un cierre perfecto, es decir,
la congruencia geométrica entre los ángulos y las longitudes; de lo contrario, tienen
que repetirse las mediciones en el campo hasta lograr los resultados adecuados.
La determinación de la precisión y la aceptación o el rechazo de los datos
de campo son extremadamente importantes en topografía. También es crucial el
ajuste para lograr el cierre geométrico. En levantamientos de predios, por ejemplo,
la ley exige que las descripciones de las propiedades tengan características geométricas exactas.
Pueden usarse diferentes procedimientos para calcular y ajustar las poligonales. Éstos varían desde los métodos elementales, hasta técnicas más avanzadas
basadas en el método de mínimos cuadrados (véase el capítulo 16). Este capítulo
se concentra en los procedimientos elementales. Los pasos usuales que se siguen
en el cálculo elemental de poligonales son: (1) ajuste de los ángulos o direcciones
a condiciones geométricas fijas, (2) determinación preliminar de los acimutes (o
rumbos) de los lados de la poligonal, (3) cálculo de proyecciones y ajuste de éstas
por errores de cierre, (4) cálculo de las coordenadas rectangulares de las estaciones
de la poligonal y (5) cálculo de las longitudes y acimutes (o rumbos) de los lados de
la poligonal después de su ajuste. Todos estos procedimientos se discuten en este
capítulo, y se ilustran con varios ejemplos. El capítulo 16 estudia el ajuste de las
poligonales con el uso del método de mínimos cuadrados.
10.2 Compensación de los ángulos
239
■ 10.2 COMPENSACIÓN DE LOS ÁNGULOS
En los métodos elementales para calcular poligonales, el primer paso es equilibrar
(ajuste) de los ángulos al total geométrico correcto. En poligonales cerradas, el
ajuste angular se logra fácilmente, ya que se conoce el error total (véase la sección
9.7), aunque no su distribución exacta. Los ángulos de una poligonal cerrada pueden ajustarse simplemente al total geométrico correcto aplicando uno de los dos
métodos siguientes:
1. Aplicación de una corrección media, o promedio, a cada ángulo para los
que hubo condiciones de observación aproximadamente iguales en todas las
estaciones. La corrección de cada ángulo se determina dividiendo el cierre
total angular entre el número de ángulos.
2. Aplicación de correcciones mayores a los ángulos en los que hubo condiciones de observación deficiente.
De estos dos métodos, el primero es el que casi siempre se aplica.
■ Ejemplo 10.1
En la tabla 10.1 se indican los ángulos interiores medidos en la poligonal de la figura 10.1. Calcule los ángulos ajustados usando los métodos 1 y 2.
Solución
Por conveniencia los cálculos se disponen como se muestra en la tabla 10.1. La
primera parte del ajuste consiste en sumar los ángulos interiores y determinar el
cierre de acuerdo con la ecuación (9.1), lo que en este caso da 110, como se muestra debajo de la columna 2. Los cálculos restantes se efectúan tabularmente, y enseguida se muestra el razonamiento de los procedimientos.
Para trabajos de precisión ordinaria, es razonable adoptar correcciones que
sean múltiplos pares del más pequeño dígito registrado o lugar decimal en las lecturas de ángulos. Así, en este ejemplo, se harán correcciones al 10 más cercano.
E
610.2
5.1
3
N (Y )
4
D
28
5 000.00 N (Y )
A
35
10 000.00 E (X )
64
720.
7.2
5
W
B
Estación de control
Estación poligonal
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
203.03
Referencia:
C
Figura 10.1
Poligonal.
ALFAOMEGA
240 CÁLCULO DE POLIGONALES
TABLA 10.1
AJUSTE DE ÁNGULOS
Método 1
Vértice (1)
Ángulo interior
medido (2)
Múltiplos de
corrección
promedio
(3)
Corrección
redondeada
a 1” (3)
Diferencias
sucesivas (5)
Ángulo ajustado
(6)
A
100459370
2.20
20
20
100459350
B
231239430
4.40
40
20
231239410
C
17129590
6.60
70
30
17129560
D
89039280
8.80
90
20
89039260
E
101349240
11.00
110
20
101349220
∑ 5 110
∑ 5 540009000
∑ 5 540009110
Método 2
Ángulo interior
medido (2)
Ajuste (7)
A
100459370
20
100459350
B
231239430
30
231239400
C
17129590
30
17129560
D
89º039280
10
89º039270
E
101349240
20
101349220
∑ 5 540009110
∑ 5 110
∑ 5 540009000
Vértice (1)
Ángulo ajustado (8)
El método 1 consiste en restar 110/5 5 2.20 de cada uno de los cinco ángulos. Sin embargo, como los ángulos se leyeron en múltiplos de 10, la aplicación de
correcciones al décimo de segundo más cercano daría una falsa impresión de sus
precisiones. Por tanto, es conveniente establecer un patrón de correcciones al 10
más cercano, como se muestra en la tabla 10.1. Los primeros múltiplos de la corrección promedio de 2.20 están tabulados en la columna (3). En la columna (4), cada
uno de esos múltiplos se ha redondeado al 10 más cercano. Luego, las diferencias
sucesivas (ajustes para cada ángulo) se encuentran restando el valor precedente en
la columna (4) del que se está considerando. Estos valores están tabulados en la
columna (5). Observe que como comprobación, la suma de las correcciones en
esta columna debe ser igual al error de cierre angular de la poligonal, que en este
caso es 110. Los ángulos ajustados obtenidos al aplicar esas correcciones están
dados en la columna (6). Como otra comprobación, deben totalizar exactamente el
valor geométrico verdadero de (n 2 2)180°, o sea 540°009000 en este caso.
En el método 2 se necesita proceder con mucho cuidado porque las correcciones se hacen a los ángulos que contienen los mayores errores. En este ejemplo,
se restan 30 de los ángulos en B y C, ya que éstos tienen los lados más cortos (a lo
largo de la línea BC), y 20 se restan de los ángulos en A y E, porque éstos tienen
los lados más cortos siguientes (a lo largo de la línea AE). Se aplicó una corrección
de 10 al ángulo D debido a sus lados largos. La suma de las correcciones debe ser
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
10.3 Cálculo de rumbos o acimutes preliminares
241
igual al error de cierre total. El ajuste hecho de esta manera se muestra en las
columnas (7) y (8) de la tabla 10.1.
Debe observarse que aunque los ángulos ajustados por los dos métodos satisfagan la condición geométrica de una figura cerrada, pueden no estar más cerca de
los valores reales que antes del ajuste. A diferencia de las correcciones hechas a
las medidas lineales (descritas en la sección 10.7), los ajustes que se aplican a los
ángulos son independientes de la magnitud del ángulo.
En el sitio de la red que acompaña a este libro se encuentran videos instructivos que pueden descargarse. El video Adjusting Angle Observations (Cómo ajustar
las mediciones de los ángulos) estudia el uso del método 1 para ajustar ángulos en
esta sección.
■ 10.3 CÁLCULO DE RUMBOS O ACIMUTES PRELIMINARES
Después de ajustar los ángulos, el siguiente paso es calcular los rumbos o los acimutes preliminares. Esto obliga a suponer o conocer la dirección de por lo menos
una línea de la poligonal. En algunos cálculos es suficiente suponer una dirección, y
en ese caso el procedimiento usual es asignar simplemente la dirección norte a una
de las líneas de la poligonal. En ciertos levantamientos, el rumbo magnético de
una línea se puede determinar y usar como referencia para orientar los otros lados.
Sin embargo, en la mayoría de los casos, como ocurre en los levantamientos de linderos de predios, se necesitan las direcciones verdaderas. Este requisito puede
satisfacerse (1) incorporando en la poligonal una línea cuya dirección verdadera
haya sido determinada en un levantamiento previo; (2) incluyendo un extremo
de una línea de dirección conocida como estación de la poligonal [por ejemplo, la
estación A de la línea A – Az Mk en la figura 9.1(a)], y luego midiendo un ángulo desde esa línea de referencia a una línea de la poligonal; o (3) determinando
la dirección verdadera de una línea de la poligonal por medio de observaciones
astronómicas (véase el apéndice C), o mediante levantamientos GNSS (véanse los
capítulos 13, 14, y 15).
Si se tiene en la poligonal una línea de dirección conocida, el cálculo de rumbos y acimutes preliminares (o rumbos) se hace como se vio en el capítulo 7. Deben
usarse los ángulos ajustados al total geométrico correcto, ya que de lo contrario
el rumbo o acimut de la primera línea diferirá de su valor recalculado (obtenido
aplicando los ángulos sucesivos siguiendo toda la poligonal cerrada) en el error de
cierre angular. Los acimutes o rumbos en esta etapa se llaman “preliminares”, porque su valor cambiará después del ajuste de la poligonal, como se explicará en la
sección 10.11. También debe observarse que, como el acimut de las lineas cambia,
también cambian los ángulos que fueron ajustados anteriormente.
■ Ejemplo 10.2
Calcule los acimutes preliminares para las líneas de la poligonal de la figura 10.1,
con base en el acimut fijo de 234°179180 de la línea AW, un ángulo medido a la derecha de 151°529240 para WAE, y el ajuste angular según el método 1 de la tabla 10.1.
Solución
Paso 1: Calcule el acimut de la línea AB.
AzAB 5 234°179180 1 151°529240 1 100°459350 – 360° 5 126°559170
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ALFAOMEGA
242 CÁLCULO DE POLIGONALES
CÁLCULO DEL ACIMUT PRELIMINAR USANDO EL MÉTODO TABULAR
TABLA 10.2
126º55917
180º
5 AB
306º559170
231º239410
5 BA
B
538º189580
2180º
2360º 5 178º189580 = BC
89º039260
D
284º359200
5 DE
2180º
358º189580
17º129560
5 CB
C
375º319540
2180º
2360º 5 15º319540 = CD
104º359200
5 ED
101º349220
E
206º099420
5 EA
2180º
195º319540
26º099420
5 AE
100º459350
A
126º559170
5 AB
Paso 2: Usando el método tabular estudiado en la sección 7.8, calcule los acimutes
preliminares para los lados restantes. Los cálculos de este ejemplo se muestran en
la tabla 10.2. La figura 10.2 muestra los cálculos para el lado BC. Observe que el
acimut de AB se recalculó como una comprobación al final de la tabla.
12
6
Hacia A
30
6
55
17
55
17
N
B = 231 23 41 B
Figura 10.2
Cálculo del acimut
BC.
178 1858
Hacia C
■ 10.4 PROYECCIONES ORTOGONALES
Después de ajustar los ángulos y calcular los acimutes (o rumbos) preliminares, se
verifica el cierre de la poligonal calculando las proyecciones X y Y de cada línea
(lado). Como se muestra en la figura 10.3, la proyección X de una línea es su proyección ortogonal sobre el eje este-oeste del levantamiento, y es igual a la longitud
de la línea multiplicada por el seno de su acimut (o rumbo). A la proyección X se
le llama también proyección este o proyección oeste.
La proyección Y de una línea, como se muestra también en la figura 10.3,
es su proyección ortogonal sobre el eje norte-sur del levantamiento y es igual a la
longitud de la línea multiplicada por el coseno de su acimut (o rumbo). A la proyección Y también se le llama proyección norte o proyección sur.
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10.5 Condiciones de cierre por las proyecciones ortogonales
243
N (Y )
Proyección
Δγ
B
α
L
A
Proyección
ΔX
E (X)
Figura 10.3
Proyecciones X y Y
de una línea.
Expresadas matemáticamente, las proyecciones de una línea son:
Proyección X 5 L sen a
Proyección Y 5 L cos a
(10.1)
(10.2)
donde L es la longitud horizontal y a es el acimut de la línea. Las proyecciones
X y Y (paralela y meridiana) son simplemente las componentes X y Y de una
línea en el sistema de coordenadas rectangulares, y a veces se les designa DX y DY.
En el cálculo de poligonales, las proyecciones norte y este se consideran positivas, y las proyecciones sur y oeste como negativas. Los acimutes (medidos desde
el norte) que se emplean en el cálculo de las proyecciones varían de 0 a 360°, y
los signos algebraicos de los senos y los cosenos producen automáticamente los
signos algebraicos correctos de las proyecciones X y Y. Así, una línea con acimut
de 126°559170 tiene proyección X positiva y proyección Y negativa (el seno del
acimut es positivo y el coseno es negativo); un lado con acimut de 284°359200 tiene
una proyección X negativa y proyección Y positiva. Al usar rumbos para calcular
las proyecciones X y Y, los ángulos siempre están comprendidos entre 0 y 90°; por
tanto, sus senos y cosenos son invariablemente positivos. En consecuencia, los signos algebraicos apropiados de las proyecciones ortogonales se asignan con base en
las direcciones marcadas por los ángulos de los rumbos; así, una línea de rumbo NE
tiene proyecciones X y Y positivas, y una línea de rumbo SE tiene proyecciones meridiana positiva y paralela negativa, y así sucesivamente. Como las computadoras y las
calculadoras de mano asignan automáticamente los signos algebraicos correctos
a las proyecciones meridiana y paralela utilizando los signos de los senos y cosenos, es más conveniente utilizar acimutes que rumbos para el cálculo de poligonales
cerradas.
■ 10.5 CONDICIONES DE CIERRE
POR LAS PROYECCIONES ORTOGONALES
Para una poligonal cerrada como la de la figura 10.1, es claro que si todas las distancias y ángulos se midiesen perfectamente, la suma algebraica de las proyecciones X
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ALFAOMEGA
244 CÁLCULO DE POLIGONALES
de todos sus lados debería ser igual a cero. De la misma manera, la suma algebraica de
todas las proyecciones Y para poligonales del tipo de línea cerradas como la de la
figura 9.1(b), la suma algebraica de las proyecciones X debería ser igual a la diferencia total de las proyecciones (Dx) entre las coordenadas (X) de los puntos de control
inicial y final. La misma condición con las coordenadas de las proyecciones (Y) se
aplica a las proyecciones (DY) de una poligonal abierta. Como las mediciones no
son perfectas y existen errores en las distancias y ángulos, las condiciones antes
mencionadas rara vez se presentan. Las magnitudes en que tales condiciones no
se cumplen se denominan error de cierre de la proyección X y error de cierre de la
proyección Y. Sus valores se calculan sumando algebraicamente las proyecciones X
y Y y comparando los totales con las condiciones requeridas.
Las magnitudes de los errores de cierre de las proyecciones en poligonales
tipo cerradas dan una “indicación” de la precisión que existe en las distancias y
ángulos medidos. Los errores grandes de cierre indican ciertamente que se han
cometido errores e incluso equivocaciones significativas. Los errores pequeños
de cierre usualmente significan que las cantidades medidas son precisas y libres de
equivocaciones, pero esto no es garantía de que no existan errores sistemáticos o
de compensación.
■ 10.6 ERROR DE CIERRE LINEAL Y PRECISIÓN RELATIVA
Debido a errores en las distancias y ángulos medidos de una poligonal, si se empieza en un punto A de una poligonal cerrada como la de la figura 10.1, y se sigue progresivamente midiendo la distancia de cada línea a lo largo de su acimut o rumbo
preliminar, se retornará finalmente no al punto A, sino a otro punto cercano A9.
El punto A9 diferirá del A en la dirección este-oeste y en la dirección norte-sur en
los errores de cierre de las proyecciones X y Y, respectivamente. La distancia entre
A y A9 se denomina error de cierre lineal (e. c. l.) de la poligonal. Se calcula con la
fórmula siguiente:
e. c. l. 5 
(e. c. p. X)2 (e. c. p. Y)2
(10.3)
La precisión relativa de una poligonal se expresa como la fracción que tiene
error de cierre lineal en el numerador y el perímetro de la poligonal o la longitud
total en el denominador, o sea:
precisión relativa 5
e. c. l.
longitud de la poligonal
(10.4)
La fracción que resulta de la ecuación (10.4) se reduce entonces a su forma recíproca y el denominador se redondea al mismo número de cifras significativas que
el numerador. Esto se muestra en el siguiente ejemplo.
■ Ejemplo 10.3
Con base en los acimutes preliminares de la tabla 10.2 y las longitudes que muestran la figura 10.1, calcule las proyecciones ortogonales, el error de cierre lineal y la
precisión relativa de la poligonal.
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10.7 Ajuste de poligonales
TABLA 10.3
245
CÁLCULO DE LAS PROYECCIONES ORTOGONALES
Estación
Acimutes
preliminares
A
126559170
Longitud
647.25
Proyección X
Proyección Y
517.451
2388.815
B
178189580
203.03
5.966
2202.942
C
15319540
720.35
192.889
694.045
D
284359200
610.24
2590.565
153.708
E
206099420
285.13
2125.715
2255.919
∑ 5 2466.00
∑ 5 0.026
∑ 5 0.077
A
Solución
Al calcular las proyecciones X y Y, los datos y los resultados generalmente se listan
en una forma tabulada estándar, tal como la que se muestra en la tabla 10.3. Los encabezados de las columnas y el rayado horizontal ahorran tiempo y simplifican la
comprobación.
En la tabla 10.3, sumando algebraicamente las proyecciones este () y oeste (−),
se obtiene el error de cierre de 0.026 pies en la proyección X. Sumando también
las proyecciones norte () y sur (−) se obtiene el error de cierre en la proyección,
igual a 0.077 pies. El error de cierre lineal es la hipotenusa de un pequeño triángulo
con catetos de 0.026 pies y 0.077 pies; en este ejemplo su valor es, según la ecuación
(10.3),
e. c. l. 5
pies
La precisión relativa para esta poligonal, según la ecuación (10.4), es
precisión relativa 5
30 000
■ 10.7 AJUSTE DE POLIGONALES
En el caso de una poligonal cerrada, el error lineal de cierre debe distribuirse entre
todo el polígono para “cerrar” o “equilibrar” la figura. Esto es cierto aun cuando al
trazar la poligonal a la escala del plano, el error de cierre sea insignificante. Existen
varios métodos elementales para ajustar poligonales, pero el más común es el de
la regla de la brújula (método de Bowditch). Como se indicó antes, el ajuste por
mínimos cuadrados es una técnica avanzada que también puede emplearse. Estos
dos métodos se estudian en las siguientes subsecciones.
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246 CÁLCULO DE POLIGONALES
10.7.1 Regla de la brújula (o de Bowditch)
Esta regla ajusta las proyecciones ortogonales de las líneas de poligonales en proporción a sus longitudes. Aunque no es tan rigurosa como el método de los mínimos cuadrados, conduce a resultados lógicos en la distribución de los errores de
cierre. Las correcciones con este método se hacen de acuerdo con las siguientes
reglas:
Corrección en la proyección X de AB
52
(error de cierre total en X )
3 longitud de AB
perímetro de la poligonal
(10.5)
Corrección en la proyección Y de AB
52
(error de cierre total en Y )
3 longitud de AB
perímetro de la poligonal
(10.6)
Observe que los signos algebraicos de las correcciones son opuestos a los del error
de cierre respectivo.
■ Ejemplo 10.4
Por medio de los acimutes preliminares de la tabla 10.2 y las longitudes de la figura
10.1, calcule las proyecciones X y Y, el error de cierre lineal y la precisión relativa.
Haga los ajustes de las proyecciones usando la regla de la brújula.
Solución
Se usa una solución tabular para calcular las proyecciones, que es un poco diferente de la que se usa en el ejemplo 10.3 (véase la tabla 10.4). Para calcular las
correcciones de las proyecciones X y Y por la regla de la brújula, se usan las ecuaciones (10.5) y (10.6) como se muestra. Según la ecuación (10.5), la corrección en
la proyección X de AB es:
2
0.026
3 647.25 5 20.007 pies
2466
Según la ecuación (10.6), la corrección para la proyección Y de AB es:
2
0.077
3 647.25 5 20.020 pies
2466
Las otras correcciones se determinan de modo semejante, multiplicando una
constante (la razón del error de cierre en proyecciones X, o bien proyecciones Y al
perímetro) por la longitud de cada lado sucesivo.
En la tabla 10.4, las correcciones de las proyecciones se muestran entre
paréntesis sobre sus valores no ajustados. Esas correcciones se suman algebraicamente a sus respectivos valores no ajustados y las cantidades corregidas se tabulan en las columnas de proyecciones “ajustadas”. Se hace una comprobación del
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
206º099420
284º359200
15º319540
178º189580
126º559170
Acimutes
preliminares
Compensado
Coordenadas*
∑ 5 0.026
Precisión relativa 5
∑ 5 0.077
2255.919
(20.009)
(20.003)
2125.715
153.708
2590.565
(20.019)
(20.006)
(20.023)
694.045
192.889
(20.008)
(20.006)
2202.942
(20.002)
5.966
2388.815
(20.020)
517.451
(20.007)
5 0.081 pies
∑ 5 0.000
2125.718
2590.571
192.881
5.964
517.444
∑ 5 0.000
2255.928
153.689
694.022
2202.948
2388.835
10,000.00✔
10,125.72
10,716.29
10,523.41
10,517.44
10,000.00
5000.00✔
5255.93
5102.24
4408.22
4611.16
5000.00
X (pies)
Y (pies)
(proyección (proyección
Proyecciones X Proyecciones Y Proyecciones X Proyecciones Y
este)
norte)
Precisión lineal 5
∑ 5 2466.00
285.13
610.24
720.35
203.03
647.25
Longitud
(pies)
Sin compensar
COMPENSACIÓN DE LAS PROYECCIONES POR LA REGLA DE LA BRÚJULA (BOWDITCH)
*Las coordenadas se redondean con el mismo número de cifras significativas que las longitudes observadas.
A
E
D
C
B
A
Vértice
TABLA 10.4
10.7 Ajuste de poligonales
247
ALFAOMEGA
248 CÁLCULO DE POLIGONALES
proceso de cálculo sumando algebraicamente las columnas de proyecciones para
verificar que cada una es igual a cero. En estas columnas, si el redondeo ocasiona un exceso o una deficiencia pequeños, éstos se eliminan revisando una de las
correcciones para hacer que el cierre sea perfecto. Sin embargo, si los cálculos se
llevan a cabo una decimal más que está justificada, el redondeo rara vez afecta los
valores finales. El video Latitudes and Departures (proyección X y Y) que viene en
el sitio web que acompaña este libro, muestra los cálculos y el ajuste de la poligonal
de la figura 10.1.
10.7.2
Método de los mínimos cuadrados
Como se vio en la sección 3.21, el método de los mínimos cuadrados se basa en
la teoría de la probabilidad, que modela la ocurrencia de los errores aleatorios.
Esto conduce a valores ajustados con la probabilidad más grande. El método de
los mínimos cuadrados proporciona el ajuste mejor y más riguroso de poligonales,
pero hasta hace poco, el método no se habrá usado tanto debido a los extensos cálculos implicados. La disponibilidad de computadoras electrónicas ha hecho ahora
rutinario estos cálculos, por lo que el método ha ganado gran popularidad.
Al aplicar el método de los mínimos cuadrados a poligonales, las mediciones
de distancias y ángulos se ajustan simultáneamente; no se hace un ajuste angular
preliminar, como en el caso de la regla de la brújula. El método de los mínimos
cuadrados es válido para cualquier tipo de poligonal y tiene la ventaja de que
observaciones de precisión variable pueden ponderarse en forma apropiada en
los cálculos. En el capítulo 16 se presentan ejemplos que muestran algunos ajustes
elementales de mínimos cuadrados.
■ 10.8 COORDENADAS RECTANGULARES
Las coordenadas rectangulares X y Y de un punto cualquiera dan su posición respecto a un par de ejes de referencia mutuamente perpendiculares, seleccionados
arbitrariamente. La coordenada X es la distancia perpendicular, en metros o en pies,
del punto al eje Y; la coordenada Y es la distancia perpendicular al eje X. Aunque
los ejes de referencia tienen una posición discrecional, en topografía se orientan
normalmente de manera que el eje Y esté en las dirección norte-sur, con el norte
señalando la dirección positiva del eje Y. El eje X va de este a oeste, siendo así su
dirección positiva hacia el este. Dadas las coordenadas rectangulares de un determinado número de puntos, sus posiciones relativas quedan definidas en forma única.
Las coordenadas son útiles en una gran variedad de cálculos, incluso para
(1) determinar las longitudes y las direcciones de líneas, y los ángulos (véanse la
sección 10.11 y el capítulo 11); (2) calcular áreas de predios (véase la sección 12.5);
(3) hacer ciertos cálculos de curvas (véanse las secciones 24.12 y 24.13); y (4) determinar puntos inaccesibles (véase la sección 11.9). Las coordenadas también son
útiles para graficar mapas (véase la sección 18.8.1) y para desarrollar sistemas de
información geográfica (véase la sección 28.1).
En la práctica es frecuente usar sistemas de coordenadas planas estatales,
como los descritos en el capítulo 20, como base para las coordenadas rectangulares
a emplear en levantamientos planos. Sin embargo, para los cálculos puede usarse
cualquier sistema arbitrario. Por ejemplo, puede tomarse arbitrariamente una de
las estaciones de una poligonal como origen de coordenadas. Por ejemplo, para evitar valores negativos de X y de Y, puede suponerse un origen que se encuentre al
sur y al oeste de la poligonal, y que sea tal que una estación tenga las coordenadas
X 5 10,000.00, Y 5 5000.00, o cualesquiera otros valores adecuados. En una poligonal cerrada, si se asigna Y 5 0.00 al punto situado más al sur y X 5 0.00 al punto
situado más al oeste se ahorrará tiempo en los cálculos a mano.
ALFAOMEGA
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10.9 Métodos alternativos para calcular poligonales
249
Dadas las coordenadas X y Y de cualquier punto inicial A, la coordenada X
del siguiente punto B se obtiene sumando la proyección X ajustada de la línea AB
a XA. Igualmente, la coordenada Y de B es la proyección Y ajustada de AB sumada a YA. En forma de ecuación se tiene
XB 5 XA proyección X de AB
YB 5 YA proyección Y de AB
(10.7)
Para poligonales cerradas, el proceso se continúa alrededor de la poligonal
sumando sucesivamente proyecciones X y Y hasta que se vuelven a calcular las
coordenadas a partir del punto inicial A. Si estas coordenadas recalculadas concuerdan exactamente con las de partida, se obtiene una verificación de las coordenadas
de todos los puntos intermedios (a menos que se hayan cometido equivocaciones
compensadoras). Para poligonales abiertas, después de calcular progresivamente
las coordenadas de cada estación, si las coordenadas calculadas del punto de control del cierre son iguales a las coordenadas de control de ese punto, se obtiene una
comprobación.
■ Ejemplo 10.5
Empleando las proyecciones ajustadas del ejemplo 10.4 (véase la tabla 10.4) y las
coordenadas iniciales XA 5 10,000.00 y YA 5 5000.00, calcule las coordenadas de
los demás puntos de la poligonal.
Solución
El proceso de sumar sucesivamente proyecciones ajustadas para especificar coordenadas, se lleva a cabo en las dos columnas situadas en el extremo derecho de
la tabla 10.4. Nótese que para verificar se han vuelto a calcular las coordenadas
iniciales XA 5 10,000.00 y YA 5 5000.00 al final. Observe también que las coordenadas X y Y frecuentemente se denominan proyecciones este y proyecciones norte,
respectivamente, como se indica en la tabla 10.4.
■ 10.9 MÉTODOS ALTERNATIVOS PARA CALCULAR
POLIGONALES
Pueden adoptarse procedimientos para calcular poligonales algo diferentes a los
descritos en las secciones precedentes. Una alternativa es ajustar rumbos o acimutes en vez de ángulos. Otra es aplicar los ajustes con la regla de la brújula directamente a las coordenadas. Estos procedimientos se describen en las subsecciones
siguientes.
10.9.1 Compensación de los ángulos ajustando rumbos
o acimutes
En este método se calculan acimutes o rumbos “no ajustados” con base en los
ángulos medidos. Estos acimutes o rumbos se ajustan luego para tener un cierre
geométrico perfecto y para obtener valores preliminares para usarse en el cálculo
de las proyecciones ortogonales. El método es aplicable igualmente a poligonales
cerradas, como la de la figura 10.1, o a poligonales abiertas, como se muestran en
la figura 9.1(b), que comienza en una estación de control y termina en otra. El
procedimiento de efectuar de esta manera un ajuste por error de cierre angular se
explicará por medio de un ejemplo.
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250 CÁLCULO DE POLIGONALES
■ Ejemplo 10.6
La tabla 10.5 muestra los ángulos a la derecha, medidos para la poligonal de la
figura 9.1(b). Los acimutes de las líneas A - Az Mk1 y E - Az Mk2 tienen valores
conocidos de 139°059450 y 86°209470, respectivamente. Calcular y compensar los
acimutes desajustados para obtener un cierre geométrico perfecto.
Solución
En la columna (2) de la tabla 10.5, se encuentran los ángulos medidos a partir de
los cuales se calcularon los acimutes desajustados mostrados en la columna (3).
Debido a errores angulares, el acimut desajustado de la línea final E - Az MK2 no
concuerda con su valor fijo en 0°009100. Esto representa al error de cierre angular,
que se divide entre 5, que es el número de ángulos medidos, lo que da una corrección de 220 por ángulo. En la columna (4) se indican las correcciones a los acimutes, los cuales se incrementan consecutivamente en 220 en cada ángulo. De esta
manera, la línea AB, que se determina con base en un ángulo medido, recibe una
corrección de −20; la línea BC, que usa dos ángulos medidos, recibe una corrección
de 240, etc. El acimut final, E - Az Mk2, recibe una corrección de 2100 porque los
TABLA 10.5
Vértice
(1)
COMPENSACIÓN DE LOS ACIMUTES DE UNA POLIGONAL
Ángulo
medido*
(2)
Acimut
desajustado
(3)
Corrección
al acimut
(4)
Acimut
preliminar
(5)
Az Mk1
319º059450
A
B
C
D
E
319º059450
283º509100
62º559550
220
62º559530
139º139130
240
139º139090
57º259490
260
57º259430
340º569230
280
340º569150
86º209570
2100
86º209470
256º179180
98º129360
103º309340
285º249340
Az Mk2
86º209570
286º209470
error de cierre 5 0°00910”
corrección por ángulo 5 210”/5 5 22”
*Los ángulos observados son ángulos a la derecha.
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10.9 Métodos alternativos para calcular poligonales
251
5 ángulos medidos intervienen en su cálculo. Los acimutes preliminares corregidos
se muestran en la columna (5).
10.9.2 Compensación de proyecciones
ajustando coordenadas
En este procedimiento, comenzando con las coordenadas conocidas de una estación inicial, las proyecciones no corregidas de cada línea se suman sucesivamente para determinar las coordenadas “preliminares” de todas las estaciones. En las
poligonales cerradas, después de recorrer la poligonal se vuelven a calcular las coordenadas preliminares para la estación inicial. La diferencia entre la coordenada
preliminar X calculada en esta estación y su coordenada X conocida es el error
de cierre en la proyección X. Similarmente, la diferencia entre la coordenada preliminar Y calculada de la estación inicial y su valor conocido es el error de cierre
en la proyección Y. Las correcciones para estos cierres pueden calcularse usando
las ecuaciones de la regla de la brújula (10.5) y (10.6) y aplicarse directamente a las
coordenadas preliminares para obtener las coordenadas ajustadas. El resultado es
exactamente el mismo, si a partir de las proyecciones se ajustan primero y luego se
calculan las coordenadas, como se hizo en los ejemplos 10.4 y 10.5.
Las poligonales cerradas como la de la figura 9.1(b) pueden ajustarse de
la misma manera. En este tipo de poligonales, las proyecciones no corregidas se
suman también sucesivamente a las coordenadas de la estación inicial para tener
las coordenadas preliminares de todos los puntos, incluyendo la estación final de
cierre. Las diferencias entre las coordenadas preliminares X y Y y los correspondientes valores conocidos de la estación final, representan los errores de cierre
en las proyecciones X y Y, respectivamente. Estos errores de cierre se distribuyen
directamente entre las coordenadas preliminares usando la regla de la brújula para
determinar las coordenadas ajustadas finales. Se ilustrará el procedimiento con un
ejemplo.
■ Ejemplo 10.7
En la tabla 10.6 se muestran los acimutes preliminares (de la tabla 10.5) y las longitudes medidas (en pies) para la poligonal de la figura 9.1(b). Las coordenadas
conocidas de las estaciones A y E son: XA 5 12,765.48, YA 5 43,280.21, XE 5
14,797.12, y YE 5 44,384.51 pies. Ajustar esta poligonal para los errores de cierre
de las proyecciones X y Y corrigiendo las coordenadas preliminares.
Solución
A partir de las longitudes y acimutes mostrados en las columnas (2) y (3) de la tabla
10.6, se calculan las proyecciones X y Y y se indican en las columnas (4) y (5). Estos
valores no corregidos se suman progresivamente a las coordenadas conocidas de
la estación A para obtener las coordenadas preliminares de todas las estaciones,
incluyendo la de E; éstas se muestran en las columnas (6) y (7). Comparando las
coordenadas preliminares X y Y de la estación E con sus valores conocidos, se
obtienen los errores de cierre de 0.179 y −0.024 pies, para las proyecciones X y Y,
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∑ 5 3911.35
960.66
897.81
1007.38
1045.50
Longitud
(pies)
(2)
340º569150
57º259430
139º139090
62º559530
2313.751
756.604
657.988
930.978
Precisión relativa 5
10.179
214,797.12
14,797.299
15,111.050
14,354.446
(20.179)
20.044
(20.135)
20.041
(20.094)
20.046
(20.048)
20.048
X
(8)
12,765.48
X (pies)
(10)
43,476.52
42,993.18
(0.024) 14,797.12✓ 44,384.51✓
0.006
(0.018) 15,110.92
0.006
(0.012) 14,354.35
0.006
43,755.98
43,280.21
Y (pies)
(11)
Coordenadas
corregidas*
(0.006) 13,696.41
0.006
Y
(9)
Correcciones
(pies)
5 0.181 pie
20.024
244,384.51
44,384.486
43,476.506
42,993.170
43,755.972
43,280.21
12,765.48
13,696.458
Y
(7)
X
(6)
Coordenadas preliminares
(pies)
Precisión lineal 5
errores
de cierre
907.980
483.336
2762.802
475.762
Acimut
preliminar Proyección Proyección
(3)
X (4)
Y (5)
AJUSTE DE UNA POLIGONAL POR COORDENADAS
*Las coordenadas ajustadas se redondean con el mismo número de cifras significativas que las longitudes observadas.
E
D
C
B
A
Vértice (1)
TABLA 10.6
252 CÁLCULO DE POLIGONALES
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10.10 Longitudes y direcciones de líneas a partir de proyecciones o coordenadas
253
respectivamente. A partir de estos valores se calculan un error lineal de cierre de
0.181 pies y una precisión relativa de 1/21,000 (véase la tabla 10.6).
A continuación se calculan las correcciones para cada lado con la regla de la
brújula y se anotan en las columnas (8) y (9). En las columnas (8) y (9) se muestran
entre paréntesis sus valores acumulativos que se encontraron sumando progresivamente las correcciones. Por último, aplicando las correcciones acumulativas a las
coordenadas preliminares de las columnas (6) y (7), se obtienen las coordenadas
finales ajustadas que se muestran en las columnas (10) y (11).
■ 10.10 LONGITUDES Y DIRECCIONES DE LÍNEAS
A PARTIR DE PROYECCIONES O COORDENADAS
Si se conocen las proyecciones de una línea AB, se pueden encontrar la longitud y
el rumbo o el acimut a partir de las siguientes relaciones:
tan acimut (o rumbo) AB 5
proyección X de AB
proyección Y de AB
longitud AB 5
proyección X de AB
sen acimut (o rumbo) AB
5
proyección Y de AB
cos acimut (o rumbo) AB
5
(proyección X de AB)2 + (proyección Y de AB)2
(10.8)
(10.9)
Las ecuaciones (10.7) pueden escribirse para expresar las proyecciones X y Y en
términos de las diferencias de coordenadas DX y DY como sigue:
Proyección X de AB 5 XB – XA 5 DX
Proyección Y de AB 5 YB – YA 5 DY
(10.10)
Sustituyendo las ecuaciones (10.10) en las ecuaciones (10.8) y (10.9),
tan acimut (o rumbo) AB 5
XB − XA
DX
5
DY
YB − YA
longitud AB 5
X B − X A (o DX )
sen acimut (o rumbo) AB
5
YB − YA (o DY )
cos acimut (o rumbo AB)
5
( X B − X A )2 + (YB − YA )2
5
( DX )2 + ( DY )2
(10.11)
(10.12)
Las ecuaciones (10.8) a (10.12) pueden aplicarse a cualquier línea cuyas coordenadas se conozcan, se hayan medido o no en el levantamiento.
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254 CÁLCULO DE POLIGONALES
Obsérvese que XB y YB deben escribirse primero en las ecuaciones (10.11) y (10.12)
para que DX y DY tengan su signo correcto. El cálculo de longitudes y direcciones
de líneas a partir de proyecciones (o coordenadas) se llama inversión.
■ 10.11 CÁLCULO DE LAS LONGITUDES Y DIRECCIONES
MODIFICADAS DE UNA POLIGONAL
En el ajuste de poligonales, como se vio en los ejemplos 10.4 y 10.7, las correcciones
se aplican a las proyecciones ortogonales calculadas para obtener valores ajustados.
Éstos a su vez se usan para calcular las coordenadas X y Y de las estaciones de la
poligonal. Al cambiar las proyecciones en el proceso de ajuste, sus longitudes y acimutes (o rumbos) también cambian. En muchos tipos de levantamientos, es necesario calcular las longitudes y direcciones modificadas o “finalmente ajustadas”. Por
ejemplo, si el propósito de una poligonal es describir los linderos de un terreno, sus
longitudes y direcciones finalmente ajustadas serán las que queden registradas en
el título de propiedad.
Las ecuaciones desarrolladas en la sección anterior permiten calcular los
valores finales ajustados de las longitudes y direcciones, ya sea con base en las
proyecciones o en las coordenadas ajustadas.
■ Ejemplo 10.8
Calcular las longitudes y los acimutes finalmente ajustados para la poligonal del
ejemplo 10.4 con base en las proyecciones ajustadas especificadas en la tabla 10.4.
Solución
Las ecuaciones (10.8) y (10.9) se aplican para calcular la longitud y el acimut ajustados de la línea AB. Todas las demás se calcularon de manera similar. Los resultados se dan en la tabla 10.7.
Según la ecuación (10.8),
tan acimutAB 5
517.444
5 21.330755;
−388.835
acimutAB 5 253°049370 1 180° 5 126°559230
Según la ecuación (10.9),
longitudAB 5
TABLA 10.7
( 517.444 )2 + ( −388.835)2 5 647.26 pies
LONGITUDES Y DIRECCIONES FINALMENTE AJUSTADAS PARA LA POLIGONAL DEL EJEMPLO 10.4
Compensaciones
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Compensaciones
Línea
Proyección X
Proyección Y
Longitud (pies)
Acimut
AB
517.444
2388.835
647.26
126º559230
BC
5.964
2202.948
203.04
178º199000
CD
192.881
694.022
720.33
15º319540
DE
2590.571
153.689
610.24
284º359130
EA
2125.718
2255.928
285.14
206º099410
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10.11 Cálculo de las longitudes y direcciones modificadas de una poligonal
255
Comparando las longitudes medidas de la tabla 10.4 con los valores finalmente
ajustados de la tabla 10.7, se constata, como se esperaba, que todos los valores han
sufrido cambios, algunos en más y otros en menos, y la longitud DE permanece
igual debido a los cambios compensatorios. Observe que también los acimutes han
cambiado.
■ Ejemplo 10.9
Usando coordenadas, calcular las longitudes y acimutes finalmente ajustados para
la poligonal del ejemplo 10.7 (véase la tabla 10.6).
Solución
Las ecuaciones (10.11) y (10.12) se usan para mostrar el cálculo de la longitud y
acimut finalmente ajustados de la línea AB. Todas las demás se calculan de forma
similar. Los resultados se dan en la tabla 10.8. Comparando las longitudes y acimutes ajustados de esta tabla con sus valores no ajustados de la tabla 10.6, se ve que
todos los valores han sufrido cambios de diversas magnitudes.
XB 2 XA 5 13,696.41 2 12,765.48 5 930.93 5 DX
YB 2 YA 5 43,755.98 2 43,280.21 5 475.77 5 DY
Según la ecuación (10.11), tan acimutAB 5 930.93/475.77 5 1.95668075; acimutAB
5 62°559470.
( 930.93)2 + ( 475.77)2 5 1045.46 pies.
Según la ecuación (10.12), longitudAB 5
TABLA 10.8
LONGITUDES Y DIRECCIONES FINALMENTE AJUSTADAS PARA LA POLIGONAL DEL EJEMPLO 10.7
Ajustada
Línea
Ajustada
DX
DY
Longitud (pies)
Acimut
AB
930.93
475.77
1045.46
62º559470
BC
657.94
2762.80
1007.35
139º139160
CD
756.57
483.34
897.78
57º259380
DE
2313.80
907.99
960.68
340º569060
TABLA 10.9
Ángulo
ÁNGULOS AJUSTADOS FINALES PARA EL EJEMPLO 10.9
Acimut hacia atrás
Acimut hacia adelante
Ángulo ajustado
Diferencia
A (EAB)
AB = 126º55′23″
AE = 206º09′41″
100º45′42″
70
B (ABC)
BC = (178º19′00″ + 360º)
BA = 306º55′23″
231º23′37″
−4″
C (BCD)
CD = (15º31′54″ + 360)º
CB = (178º19′00″ + 180º)
17º12′54″
−2″
D (CDE)
DE = 284º35′13″
DC = (15º31′54″ + 180º)
89º03′19″
−70
E (DEA)
EA = 206º09′41″
ED = (284º35′13″ − 180º)
101º34′28″
60
∑ = 540º00′00″
∑ = 00
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256 CÁLCULO DE POLIGONALES
Como los acimutes ajustados finales son diferentes de sus valores preliminares, los ángulos ajustados preliminares también han cambiado. El acimut de lectura
hacia atrás debe restarse del acimut de lectura hacia adelante para calcular los
ángulos ajustados finales. Un método de listado tanto de las estaciones de lectura
hacia atrás como las de lectura hacia adelante para cada ángulo ayuda para determinar cuáles acimutes deberán restarse. Por ejemplo, el ángulo en A en la figura
10.1 se lista como EAB donde E es la estación de lectura hacia atrás y B es la estación de lectura hacia adelante para el ángulo interior en el sentido de las manecillas del reloj. Como un neumónico, el ángulo A se calcula como la diferencia de los
acimutes AB y AE donde AzAB es el acimut de lectura hacia adelante del ángulo
A y AzAE es el acimut de lectura hacia atrás. Así, el ángulo en A se calcula como
∠EAB = AzAB − AzAE
= 126º55′23′′(206º09′41′′ − 180º)
= 100º4542
Note en este ejemplo que fue necesario el acimut hacia atrás de EA de la
tabla 10.7 para la lectura hacia atrás, y por tanto se restan 180° del acimut EA.
También observe que el valor ajustado final para el ángulo en A difiere del valor
ajustado preliminar por 7”. Los ángulos ajustados finales para el resto de la poligonal se muestran en la tabla 10.9. Para cada ángulo se pone entre paréntesis el
indicador apropiado de tres letras que define al ángulo interior en el sentido de las
manecillas del reloj. La tabla 10.8 también muestra los acimutes apropiados de lectura hacia adelante y lectura hacia atrás y el ángulo ajustado final en cada estación.
Observe que la suma de los ángulos nuevamente llega al cierre geométrico con un
valor de 540°. Sin embargo, cada ángulo difiere del valor dado en la tabla 10.1 por
la cantidad que aparece en la última columna.
En el sitio de la red que acompaña a este libro se encuentran videos instructivos que pueden descargarse. El video Traverse Computations II muestra los
cálculos de las mediciones ajustadas para la poligonal de en la figura 10.1.
■ 10.12 CÁLCULO DE COORDENADAS EN LOS
LEVANTAMIENTOS DE LINDEROS
El cálculo de un rumbo a partir de las coordenadas conocidas de dos puntos en
una línea generalmente se hace en los levantamientos de linderos. Si se conocen las
longitudes y las direcciones de las líneas que van desde los puntos de la poligonal
hasta las esquinas de un campo, pueden determinarse las coordenadas de las esquinas y calcularse las longitudes y rumbos de todos los lados.
■ Ejemplo 10.10
En la figura 10.4, APQDEA representa un terreno que debe levantarse, pero debido a obstrucciones, las estaciones de la poligonal no pueden emplazarse en P y
Q. Por ello, se emplazarán las estaciones cercanas B y C y se correrá la poligonal
cerrada ABCDE. Se obtuvieron valores de las longitudes y los acimutes de las
líneas BP y CQ de 42.50 pies, 354°509000, y 34.62 pies, 26°399540, respectivamente.
Siguiendo procedimientos demostrados en ejemplos anteriores, se calculó y ajustó
la poligonal ABCEA y se determinaron las coordenadas de todas las estaciones.
Están dadas en la siguiente tabla.
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10.13 Uso de las poligonales abiertas
Punto
X (pies)
Y (pies)
A
B
C
D
E
1000.00
1290.65
1527.36
1585.70
1464.01
1000.00
1407.48
1322.10
1017.22
688.25
257
1800 E
P
1600 E
1400 N
1400 E
1200 E
1000 E
Calcular la longitud y rumbo de la línea de propiedad PQ.
Q
B
C
1200 N
D
1000 N
A
Figura 10.4
Trazo de una
poligonal para un
levantamiento de
linderos.
800 N
E
600 N
Solución
1. Según las ecuaciones (10.1) y (10.2), las proyecciones de las líneas BP y CQ
son:
Proyección X de BP 5 42.50 sen(354°509000) 5 −3.83 pies
Proyección X de CQ 5 34.62 sen(26°399540) 5 15.54 pies
Proyección Y de BP 5 42.50 cos(354°509000) 5 42.33 pies
Proyección Y de CQ 5 34.62 cos(26°399540) 5 30.94 pies
2. De las coordenadas de las estaciones B y C, y de las proyecciones antes calculadas, se obtiene la siguiente solución tabular de las coordenadas X y Y de los puntos
P y Q:
B
BP
P
X
Y
1290.65
23.83
1286.82
1407.48
142.33
1449.81
C
CQ
Q
X
Y
1527.36
115.54
1542.90
1322.10
130.94
1353.04
3. De las coordenadas de P y Q, la longitud y el rumbo de la línea PQ se determinan de la siguiente manera:
Q
P
PQ
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X
Y
1542.90
21286.88
DX 5 256.02
1353.04
21449.81
DY 5 2 96.77
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258 CÁLCULO DE POLIGONALES
Según la ecuación (10.11), tan rumboPQ 5 256.02/−96.77 5 −2.64565; rumboPQ 5
S69°179400E.
Según la ecuación (10.12), longitud PQ 5 ( −96.77)2 + ( 256.02 )2 5 273.79 pies
Con las ecuaciones (10.11) y (10.12) también pueden determinarse las longitudes y rumbos de las líneas AP y QD. Como se dijo antes, debe tenerse mucho
cuidado al emplear este procedimiento, ya que no hay manera de verificar las
mediciones de las longitudes y acimutes de las líneas BP y CQ, ni hay ninguna
comprobación computacional de las longitudes y rumbos calculados.
■ 10.13 USO DE LAS POLIGONALES ABIERTAS
Aunque en general no se recomienda el trazo de poligonales abiertas, hay situaciones en que es muy conveniente correrlas y luego calcular la longitud y dirección
de la “línea de cierre”. Por ejemplo, en la figura 10.5, supongamos que se planea
mejorar el alineamiento horizontal de Taylor Lake y Atkins, y que se debe trazar
una línea nueva AE. Debido al bosque espeso, la visibilidad entre los puntos A y E
está impedida. Se podría correr una línea al azar (véase la sección 8.17) de A hacia
E y luego corregirla a la línea deseada, pero esto sería muy difícil y consumiría
mucho tiempo debido a lo tupido del bosque. Una solución para este problema es
correr la poligonal abierta ABCDE, lo que puede hacerse con bastante facilidad a
lo largo de los caminos existentes.
En este problema se puede suponer un acimut (por ejemplo, norte) para
la línea UA y se pueden asignar coordenadas (por ejemplo, 10,000.00 y 10,000.00)
V
E
D
Atkins
Bosque
C
Bosque
B
ALFAOMEGA
ak
rL
yl
o
U
Ta
Figura 10.5
Línea de cierre
de una poligonal
abierta.
e
A
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
10.13 Uso de las poligonales abiertas
259
a la estación A. De las longitudes y ángulos medidos se pueden calcular las proyecciones de todas las líneas y las coordenadas de todos los puntos. De las coordenadas resultantes de las estaciones A y E, se pueden calcular la longitud y el
acimut de la línea de cierre AE. Finalmente, se puede calcular y marcar el ángulo
de deflexión requerido para alcanzar E desde A.
Al correr poligonales abiertas se debe tener sumo cuidado al efectuar las
mediciones porque no hay verificación posible, y cualquier error o equivocación
conducirá a una longitud y dirección erróneas para la línea de cierre. Deberán
ponerse en práctica procedimientos tales como el cierre al horizonte y la medición
de las longitudes de las líneas desde ambos extremos de las mismas de modo que
se obtengan verificaciones independientes de todas las mediciones. Lo mismo puede decirse respecto de los cálculos, aunque se puede tener una verificación burda
dibujando cuidadosamente la poligonal y escalando la longitud de la línea de cierre
y el ángulo de deflexión.
■ Ejemplo 10.11
Calcular la longitud y acimut de la línea de cierre AE y el ángulo de deflexión a de
la figura 10.5, dados los siguientes datos de medición:
Punto
A
B
C
D
Longitud
(pies)
3305.78
1862.40
1910.22
6001.83
Ángulo
a la derecha
115°189250
161°249110
204°509090
273°469370
E
TABLA 10.10
Punto
CÁLCULOS DE LA LÍNEA DE CIERRE
Acimut
Proyección
X
Proyección
Y
22988.53
1413.11
X
(pies)
Y
(pies)
U
Norte (supuesto)
10,000.00 10,000.00
A
295°189250
7011.47 11,413.11
B
276°429360
21849.64
217.61
5161.83 11,630.72
C
301°329450
21627.93
999.39
3533.90 12,630.11
D
35°199220
E
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
23470.15
4896.94
7004.05 17,527.05
ALFAOMEGA
260 CÁLCULO DE POLIGONALES
Solución
La tabla 10.10 da una solución tabular del cálculo de acimutes, proyecciones y
coordenadas.
De las coordenadas de los puntos A y E, los valores DX y DY de la línea AE
son
DX 5 7004.05 2 10,000.00 5 22995.95 pies
DY 5 17,527.05 2 10,000.00 5 7527.05 pies
Según la ecuación (10.12), la longitud de la línea de cierre AE es
longitudAE 5
(−2995.95)2 + (7527.05)2
5 8101.37 pies
Según la ecuación (10.11), el acimut de la línea de cierre AE es
tan acimutAE 5
−2995.95
5 20.39802446; acimutAE 5 338°179460
7527.05
(Observe que con una DX negativa y una DY positiva, el rumbo de AE es noroeste,
por lo que el acimut es 338°179460.)
Finalmente, el ángulo de deflexión a es la diferencia entre los acimutes de las
líneas AE y UA, es decir
a 5 338°179460 2 360° 5 221°429140 (izquierdo)
Con el surgimiento del Sistema de posicionamiento global (GPS) ya no será
necesario resolver los problemas como el que se ilustra en el ejemplo 10.11 con
el uso de poligonales abiertas. En vez de ello, pueden ponerse receptores en los
puntos U, A y E de la figura 10.5, y determinarse sus coordenadas. A partir de estas
coordenadas pueden calcularse los acimutes de las líneas UA y AE, así como el
ángulo a.
■ 10.14 SISTEMAS DE COORDENADAS PLANAS ESTATALES
En circunstancias ordinarias, los sistemas coordenados rectangulares para los
levantamientos planos estarían limitados en tamaño debido a la curvatura de la
Tierra. Sin embargo, el National Geodetic Survey (NGS) desarrolló sistemas de
coordenadas estatales para cada estado en Estados Unidos, que conservan una
exactitud de 1 parte en 10 000 o mejor aún, al ajustar las distancias curvas de la
Tierra a las longitudes planas de las cuadrículas. No obstante, si la reducción de las
observaciones se realiza en forma correcta (véase la sección 20.8), poca precisión
se perderá en el levantamiento.
Las coordenadas planas estatales están relacionadas con la latitud y la longitud, de modo que las estaciones de banco de nivel establecidas por el NGS, así
como aquellas establecidas por otros, todas pueden incorporarse a los sistemas. A
medida que se establecen estaciones adicionales y se determinan sus coordenadas, éstas también se convierten en puntos de referencia utilizables en los sistemas
planos estatales. Estas estaciones de control con monumento sirven como puntos
iniciales para los levantamientos locales, y permiten una restauración exacta de los
bancos de nivel arrasados o destruidos que tienen coordenadas conocidas. Si se
conocen las coordenadas planas estatales de dos estaciones mutuamente visibles,
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
10.15 Cálculo de poligonales usando computadoras
261
como A y Az Mk de la figura 9.1(a), la dirección de la línea A - Az Mk puede calcularse y usarse para orientar el instrumento de estación total en A. De esta manera,
se obtienen los acimutes y los rumbos de las líneas de la poligonal sin necesidad de
hacer observaciones astronómicas ni recurrir a otros métodos.
En el pasado, algunas ciudades y condados han usado sus propios sistemas planos de coordenadas locales para ubicar calles, alcantarillado, propiedad y
otras líneas. Debido a su amplitud limitada y a la discontinuidad resultante en las
líneas de la ciudad o del condado, estos sistemas locales son menos convenientes
que una cuadrícula estatal. Otro sistema plano de coordenadas, llamado el Universal Transverse Mercator (UTM)(véase la sección 20.12), se usa ampliamente para
ubicar las posiciones de los objetos mediante coordenadas. Este sistema lo usan las
fuerzas armadas y otros para diferentes propósitos.
■ 10.15 CÁLCULO DE POLIGONALES USANDO
COMPUTADORAS
Las computadoras son especialmente cómodas para calcular poligonales. Comúnmente se llevan al campo unidades de mano pequeñas programables, recolectores
de datos y computadoras portátiles operadas con baterías (Lap-top) que se usan
para verificar datos para los errores de cierre aceptables antes de regresar a la oficina. En la oficina, las computadoras personales se usan ampliamente. Se dispone de
software variado para uso de los topógrafos. Algunos fabricantes de computadoras
proporcionan, al comprar su equipo, programas estándar que incluyen el de cálculo
de poligonales. También puede adquirirse software diverso de varios proveedores.
Las hojas de cálculo pueden usarse con las computadoras personales para calcular
y ajustar poligonales. Por supuesto, las empresas de topografía e ingeniería escriben a menudo sus propios programas específicos. Los lenguajes estándar de programación empleados son el Fortran, Pascal, BASIC, C y otros.
En el sitio de la red que acompaña a este libro se suministra un programa de
cálculo de poligonales en el software WOLFPACK. El software WOLFPACK calcula proyecciones en X y Y, error de cierre lineal, precisión relativa y realiza ajustes
con la regla de la brújula (Bowditch). Además, el programa calcula las coordenadas
de los vértices de la poligonal y el área comprendida, utilizando el método de coordenadas (estudiado en la sección 12.5). En la figura 10.6 se muestran para el ejemplo
10.4 los archivos de entrada y salida de WOLFPACK.
Para el archivo de datos de la figura 10.6, la información ingresada a la derecha de los datos numéricos es solamente informativa y no es necesario incluirla en el archivo. El formato de cualquier archivo de datos puede encontrarse en la
pantalla de ayuda para la opción deseada.
También, en el sitio de la red que acompaña a este libro, el archivo Excel C10.
xls muestra los cálculos de poligonales y para los datos en los ejemplos 10.4 y 10.6.
Para quienes estén interesados en un lenguaje de programación de alto nivel, se
calcula el ejemplo 10.4 en la hoja de trabajo Mathcad TRAV.XMCD. Este ejemplo
también se muestra en el archivo html Trav.html.
Además de efectuar cálculos rutinarios como el cálculo de poligonales, las
computadoras personales tienen otras valiosas aplicaciones en las oficinas de topografía e ingeniería. Dos ejemplos son su uso con el software de Dibujo Asistido
por Computadora (CAD: Computer Aided Drafting) para graficar mapas y dibujar
curvas de nivel (véase la sección 18.14), y con mayor frecuencia también se están
empleando para operar el software de los Sistemas de Información Geográfica
(GIS: Geographic Information Systems) (véase el capítulo 28).
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262 CÁLCULO DE POLIGONALES
Figura 10.6 Archivo de datos y archivo de salidas de los cálculos de una poligonal usando WOLFPACK.
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10.16 Localización de errores en la medición de las poligonales
Trayectoria computacional desplazada
Trayectoria computacional girada
E
F
263
E
D
Error de
cierre lineal
Error angular
A
Error de
cierre lineal
C
A
A
A
C
D
Error de
distancia
B
C
B
(a)
(b)
Figura 10.7 Localización de un error (a) de distancia o (b) de ángulo.
■ 10.16 LOCALIZACIÓN DE ERRORES EN LA MEDICIÓN
DE LAS POLIGONALES
Frecuentemente puede usarse un análisis numérico o gráfico para determinar la
localización de un error, y con ello ahorrar un considerable tiempo de campo para
hacer nuevas mediciones que sean necesarias. Por ejemplo, si la suma de los ángulos interiores de una poligonal de cinco lados da un error de cierre grande —digamos 109110—, es probable que se haya cometido un error de 109 y varios errores
pequeños que se hayan acumulado hasta 110. Los métodos de localización gráfica
de la estación o de la línea donde ocurrió el error se ilustran en la figura 10.7.
El procedimiento se muestra para una poligonal de cinco lados, pero puede
usarse para poligonales que tengan cualquier número de lados.
En la figura 10.7(a) ha ocurrido un error en la distancia BC. Observe que el
error CC9 desplaza las coordenadas calculadas de las estaciones restantes de manera tal que el acimut de la línea del error de cierre lineal se acerca mucho al acimut
del lado BC que contiene el error. Si no ocurrieran otros errores en la poligonal,
aleatorios o sistemáticos, habría una concordancia perfecta en las direcciones de
las dos líneas. Sin embargo, como los errores aleatorios son inevitables, la dirección
del lado que contiene el error y la línea de error de cierre lineal nunca coinciden
perfectamente, pero estarán cerca de hacerlo.
Como se muestra en la figura 10.7(b), un error en un ángulo (como el de
D) hará girar las coordenadas calculadas de las estaciones restantes. Cuando esto
sucede, la línea AA9 de error de cierre lineal es una cuerda de un círculo de radio
AD. Así, el bisector perpendicular de la línea de error de cierre lineal apuntará
hacia el centro del círculo, que es la estación donde ocurrió el error angular. Nuevamente, si no ocurrieron otros errores durante el proceso de medición, este bisector perpendicular apuntaría directamente hacia la estación. Ya que son inevitables
otros errores aleatorios, muy probablemente apuntará cerca de la estación.
Las mediciones adicionales y la práctica cuidadosa de campo ayudarán a aislar los errores. Por ejemplo, los cierres al horizonte frecuentemente ayudan a aislar
y eliminar los errores en el campo. Una línea de corte, como CE que se muestra
con línea punteada en la figura 9.1(a), que corre entre dos estaciones en una poligonal, produce figuras cerradas más pequeñas para ayudar a verificar y aislar los
errores. Adicionalmente, las mediciones extras incrementarán la redundancia en la
poligonal, y por tanto la precisión del trabajo total. Estas mediciones adicionales
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264 CÁLCULO DE POLIGONALES
pueden usarse como verificación al realizar un ajuste con la regla de la brújula o pueden incluirse en un ajuste de mínimos cuadrados, lo que se estudia en el capítulo 16.
Para quienes deseen programar los cálculos presentados en este capítulo, la
hoja de trabajo Mathcad TRAV.XMCD, que está disponible en el sitio de la red que
acompaña este libro, muestra los ejemplos presentados en este capítulo. Además,
se usa una poligonal con un solo error angular para mostrar cómo el bisector perpendicular de la línea de error de cierre aparentemente apunta en forma directa al
ángulo que contiene un error de 1 min.
■ 10.17 EQUIVOCACIONES EN LOS CÁLCULOS
DE LAS POLIGONALES
Algunas de las equivocaciones más comunes al calcular poligonales son:
1. No ajustar los ángulos antes de calcular acimutes o rumbos.
2. Aplicar los ajustes angulares en la dirección errónea y no verificar la suma de
los ángulos según el total geométrico correcto.
3. Intercambiar proyecciones, o sus signos.
4. Confundir los signos de las coordenadas.
PROBLEMAS
Los asteriscos (*) señalan los problemas que tienen respuestas parciales dadas en el
apéndice G.
10.1 ¿Cuáles son los pasos acostumbrados que se siguen al ajustar una poligonal
cerrada?
10.2* La suma de los siete ángulos interiores de una poligonal cerrada, leídos cada uno a
los 30 más cercanos, es de 899°599390. ¿Cuál es el error de cierre, y qué corrección
se aplicaría a cada ángulo al compensarlos por el método 1 de la sección 10.2?
10.3 Similar al problema 10.2, excepto que los ángulos se leyeron a los 20 más cercanos, y la suma fue de 720°009120 para una poligonal de seis lados.
10.4 Similar al problema 10.2, excepto que los ángulos se leyeron al 10 más cercano, y
la suma para una poligonal de nueve lados fue de 1259°599420.
10.5* Compense los ángulos del problema 9.22. Calcule los acimutes preliminares
para cada línea.
10.6 Ajuste los siguientes ángulos interiores (ángulos a la derecha) de una poligonal
cerrada de cinco lados usando el método 1 de la sección 10.2. Si el acimut del
lado AB se fija en 122°329160, calcule los acimutes de los lados restantes. A 5
105°139140; B 5 92°369060; C 5 67°159220; D 5 217°249300; E 5 57°309380. (Nota:
la línea BC tiene la dirección NE.)
10.7 Calcule las proyecciones, el error de cierre lineal y la precisión relativa en la
poligonal del problema 10.6 si las longitudes (en pies) de los lados son las
siguientes: AB 5 2157.34; BC 5 1722.58; CD 5 1318.15; DE 5 1536.06; y EA 5
1785.58. (Nota: suponga unidades en pies para todas las distancias.)
10.8 Aplicando la regla de la brújula (o de Bowditch), ajuste las proyecciones de los
lados de la poligonal del problema 10.7. Si las coordenadas de la estación A
son X 5 20,000.00 pies y Y 5 15,000.00 pies, calcule (a) las coordenadas de las
demás estaciones, (b) las longitudes y los rumbos de las líneas AB y DE, y (c) los
ángulos ajustados finales en las estaciones A y C.
10.9 Compense los siguientes ángulos interiores a la derecha de una poligonal cerrada al 10 más cercano usando el método 1 de la sección 10.2. Calcule los acimutes
suponiendo un acimut fijo de 202°409040 para la línea AB. A 5 119°379200; B 5
106°129580; C 5 104°399220; D 5 130°019540; E 5 79°289160. (Nota: la línea BC
tiene la dirección SE.)
ALFAOMEGA
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Problemas 265
10.10 Determine las proyecciones ortogonales, el error de cierre lineal y la precisión
relativa para la poligonal del problema 10.9 si las longitudes de los lados (en
metros) son las siguientes: AB 5 223.011; BC 5 168.818; CD 5 182.358; DE 5
229.054; EA 5 207.930.
10.11 Aplicando la regla de la brújula (Bowditch), ajuste las proyecciones ortogonales
de la poligonal del problema 10.10. Si las coordenadas de la estación A son X
5 310,630.892 m y Y 5 121,311.411 m, calcule (a) las coordenadas de las demás
estaciones, y a partir de éstas, (b) las longitudes y los rumbos de las líneas BC y
EA y (c) los ángulos ajustados finales en B y D.
10.12 Igual al problema 10.9, pero suponga que la línea AB tiene un acimut fijo de
147°369250 y la línea BC tiene la dirección NE.
10.13 Usando las longitudes del problema 10.10 y los acimutes del problema 10.12,
calcule las proyecciones X y Y, el error de cierre lineal y la precisión relativa de
la poligonal.
10.14 Ajuste las proyecciones X y Y del problema 10.13 usando la regla de la brújula
(Bowditch), y calcule las coordenadas de todas las estaciones si las coordenadas
de la estación A son X 5 243,605.596 m y Y 5 25,393.201 m. Calcule la longitud
y el acimut de la línea AC.
10.15 Calcule y tabule para la siguiente poligonal cerrada: (a) los acimutes preliminares, (b) las proyecciones X y Y sin ajustar, (c) el error de cierre lineal y (d) la
precisión relativa. (Nota: la línea BC tiene la dirección NE.)
Lado
Acimut
Longitud (m)
Ángulo interior
(a la derecha)
AB
BC
CD
DE
EA
179°509390E
2862.392
4189.033
3815.353
3645.450
3490.014
A 5 120°059500
B 5 91°579500
C 5 121°449060
D 5 82°029080
E 5 124°109110
10.16* En el problema 10.15, si uno de los lados y/o un ángulo es el responsable de
la mayor parte del error de cierre, ¿cuál es el que tiene más probabilidades
de serlo?
10.17 Compense la poligonal del problema 10.15 aplicando la regla de la brújula. Si las
coordenadas del punto A son 6521.951 E y 7037.072 N, determine las coordenadas de los demás puntos. Calcule la longitud y el rumbo de la línea AC.
Para los polígonos cerrados de los problemas dados en los problemas 10.18
a 10.19 (longitudes en pies), calcule y tabule: (a) las proyecciones X y Y sin corregir, (b) el error de cierre lineal, (c) la precisión relativa y (d) las coordenadas
preliminares si XA 5 10,000.00 y YA 5 5000.00. Compense la poligonal por coordenadas usando la regla de la brújula.
Lado
AB
BC
CD
DA
10.18
Rumbo
Longitud
N8°179020E
403.73
N87°029050E
622.63
S14°479060W
653.16
N68°439200W
550.84
10.19
Rumbo
Longitud
111°189000
385.94
25°039120
1016.88
312°439050
403.50
205°059040
1164.49
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
266 CÁLCULO DE POLIGONALES
10.20 Calcule el error de cierre lineal, la precisión relativa y las longitudes y rumbos
ajustados para los lados después de corregir las proyecciones por la regla de la
brújula en la siguiente poligonal cerrada.
Línea
Longitud
(m)
Proyección X
(m)
Proyección Y
(m)
AB
BC
CA
2119.287
4460.292
5209.110
22014.119
21656.601
13670.793
1662.335
24358.126
13695.957
10.21 Los siguientes datos se refieren a una poligonal cerrada [como la de la figura 9.1(b)]. Calcule los acimutes preliminares, ajústelos, y luego calcule las proyecciones, los errores de cierre en las proyecciones y la precisión relativa de la
poligonal. Compense las proyecciones usando la regla de la brújula y calcule las
coordenadas de los puntos B, C y D. Calcule las longitudes finales y los acimutes
de las líneas AB, BC, CD y DE.
Estación
Ángulo
medido
(a la derecha)
AzMk1
A
Acimut
ajustado
Longitud
medida
(pies)
X (pies)
Y (pies)
2,521,005.86
379,490.84
2,521,575.16
379,714.76
342°099280
258°129180
200.55
B
215°029530
C
128°199110
D
237°349050
253.84
205.89
101°189310
AzMk2
10.22 Similar al problema 10.21, pero use los siguientes datos:
Estación
Ángulo
medido
(a la derecha)
AzMk1
A
Acimut
ajustado
Longitud
medida
(m)
X (m)
Y (m)
194,325.090
25,353.988
193,819.150
25,514.391
250°579230
253°039380
224.111
B
91°329060
C
242°259540
D
111°129020
E
295°319130
116.738
231.566
97.217
344°429260
AzMk2
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TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
Bibliografía
267
Los acimutes (medidos desde el norte) de una poligonal cerrada son AB 5
38°179020, BC 5 121°269300, CD 5 224°569590 y DA 5 308°269560. Si una distancia medida contiene un error, ¿cuál de las longitudes de los lados tiene mayores
probabilidades de ser responsable de las condiciones de cierre dadas en los problemas 10.23 y 10.24? ¿Es demasiado largo o demasiado corto ese lado?
10.23* Suma algebraica de proyecciones horizontales (X) 5 5.12 pies de las proyecciones verticales (Y) 5 23.13 pies.
10.24 Suma algebraica de proyecciones horizontales (X) 5 23.133 m de las proyecciones verticales (Y) 5 12.487 m.
10.25 Determine las longitudes y los rumbos de los lados de un lote cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas X y Y (en pies): A (5000.00, 5000.00); B (5289.67,
5436.12); C (4884.96, 5354.54); D (4756.66, 5068.37).
10.26 Calcule las longitudes y los acimutes de los lados de una poligonal cerrada
cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas X y Y (en metros): A (8,000.000,
5000.000); B (2650.000, 4702.906); C (1752.028, 2015.453); D (1912.303, 1511.635).
10.27 En la búsqueda de un registro de la longitud y el rumbo verdadero de cierto
lindero, que es una recta entre A y B, se encontraron los siguientes datos de una
antigua poligonal al azar (en un levantamiento por brújula y cadena de Gunter,
declinación 4°459 W). Calcule el rumbo verdadero y la longitud (en pies) de BA.
LÍNEA
A-1
1-2
2-3
3-B
Rumbo magnético
Distancia (cadena)
Norte
11.90
N20°009E
35.80
Este
24.14
S46°309E
12.72
10.28 Describa cómo puede ubicarse un error en una poligonal.
BIBLIOGRAFÍA
Ghilani, C. D. 2010. Adjustment Computations: Spatial Data Analysis, 5a. ed. Nueva
York, NY: Wiley.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
11
Geometría analítica
en los cálculos
topográficos
■ 11.1 INTRODUCCIÓN
Con excepción de los levantamientos geodésicos de control sobre grandes áreas,
casi todos los otros levantamientos están relacionados con sistemas de coordenadas planas rectangulares. Las coordenadas planas estatales (véase el capítulo 20)
son las que más se emplean, aunque también pueden usarse sistemas arbitrarios
locales. Las ventajas de vincular los puntos en un sistema coordenado rectangular
son: (1) las posiciones relativas de los puntos quedan unívocamente definidas; (2)
éstos pueden graficarse fácilmente; (3) si se extravían en el campo, los puntos pueden recuperarse fácilmente utilizando otros puntos que corresponden al mismo
sistema; y (4) los cálculos se facilitan considerablemente.
Los cálculos que comprenden coordenadas aparecen en una gran variedad de problemas topográficos. Dos situaciones se presentaron en el capítulo 10,
donde se vio que la longitud y la dirección (acimut o rumbo) de una línea pueden
calcularse a partir de las coordenadas de sus puntos extremos. El cálculo de áreas
usando coordenadas se estudia en el capítulo 12. Otros problemas que pueden
resolverse convenientemente con el uso de coordenadas son la determinación del
punto de intersección de (a) dos líneas, (b) una línea recta y una circunferencia, y
(c) dos circunferencias. Las soluciones para estos y otros problemas de geometría
analítica se estudian en este capítulo. Se mostrará que el método empleado para
determinar el punto de intersección de una línea y una circunferencia se reduce
a encontrar la intersección de una línea de acimut conocido y otra línea de longitud conocida. También, el problema de encontrar la intersección de dos circunferencias consiste en determinar el punto de intersección de dos líneas que tienen
longitudes conocidas. En ocasiones estos problemas se encuentran continuamente
en los levantamientos de caminos, donde es necesario calcular las intersecciones
de tangentes con curvas circulares en alineamientos horizontales y en trabajos de
linderos y subdivisiones, donde los predios se definen a menudo con líneas rectas
y arcos circulares.
11.2 Formas analíticas de ecuaciones de líneas rectas y circunferencias
269
C
B
A
Figura 11.1 Un
triángulo oblicuo.
Los tres tipos de problemas de intersección mencionados antes se resuelven
de manera conveniente formando un triángulo entre dos estaciones de posición
conocida, desde los cuales se hacen las observaciones, y luego se resuelven las partes de este triángulo. Dos funciones importantes que se usan para la solución de los
triángulos oblicuos son (1) la ley de los senos y (2) la ley de los cosenos. La ley de
los senos relaciona las longitudes de los lados de un triángulo con los senos de los
ángulos opuestos. Para la figura 11.1, esta ley es
BC
AC
AB
=
=
sen A sen B sen C
(11.1)
donde AB, BC y AC son las longitudes de los tres lados del triángulo ABC, y A, B
y C son los ángulos. La ley de los cosenos relaciona dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo con la longitud del lado opuesto al ángulo. En la figura 11.1
pueden escribirse las siguientes tres ecuaciones que expresan la ley de los cosenos:
BC2 5 AC2 AB2  2(AC)(AB) cos A
AC2 5 BA2 BC2  2(BA)(BC) cos B
AB2 5 CB2 CA2  2(CB)(CA) cos C
(11.2)
Para algunas soluciones de geometría analítica se requiere el uso de la fórmula
cuadrática. En las secciones 24.16.1 y 25.10 se estudian ejemplos en los cuales esta
ecuación simplifica la solución. Esta fórmula, que da la solución de x para cualquier
ecuación cuadrática de la forma ax2 bx c 5 0, es
(11.3)
En las secciones restantes de este capítulo se presentan procedimientos que
usan triángulos y las ecuaciones (11.1) a (11.3) para resolver cada uno de los tipos
de problemas de geometría analítica estándar.
■ 11.2 FORMAS ANALÍTICAS DE ECUACIONES
DE LÍNEAS RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
En la figura 11.2, la línea recta AB está vinculada con un sistema de coordenadas
planas rectangulares. Las coordenadas de los puntos extremos A y B son XA, YA,
XB y YB, respectivamente. La longitud AB y el acimut AzAB de esta recta en términos de esas coordenadas son:
(11.4)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
270 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
Y
B(XB, YB)
Figura 11.2
Geometría de
una línea recta
en un sistema
de coordenadas
planas.
AZAB
P(Xp, Yp)
m
A(XA, YA)
b
X
∆X
∆Y
(11.5a)
donde ∆X es XB –XA, ∆Y es ∆YB – ∆YA, C es 0° si tanto ∆X como ∆Y son mayores
que cero; C es 180° si ∆Y es menor que cero, y C es 360° si ∆X es menor que cero
y ∆Y es mayor que cero. Otra ecuación que se usa frecuentemente para determinar el acimut de una línea en el software se conoce como la función atan2, que se
calcula como
 ∆X 2 + ∆Y 2 − ∆Y 
AzAB = a tan 2( ∆Y , ∆X ) + D = 2 tan −1 
 + D (11.5b)
∆X


donde D vale 0° si los resultados de la función atan2 son positivos y 360° si los
resultados de la función son negativos. La expresión matemática general para una
línea recta es
(11.6)
YP 5 mXP b
donde YP es la coordenada Y de cualquier punto P sobre la recta y cuya coordenada X es XP , m es la pendiente de la recta y b la ordenada al origen de la misma. La
pendiente m se define como
(11.7)
De las ecuaciones (11.5a) y (11.7), puede demostrarse que
(11.8)
La expresión matemática general de una circunferencia en coordenadas rectangulares puede escribirse como
R2 5 (XP 2 XO)2 (YP  YO)2
(11.9)
En la ecuación (11.9), y con referencia a la figura 11.3, R es el radio de la
circunferencia, XO y YO las coordenadas del centro O de la misma, y XP y YP las
coordenadas de cualquier punto P sobre la circunferencia. La forma general de la
ecuación de una circunferencia es
X 2P Y 2P  2XOXP  2YOYP f 5 0
ALFAOMEGA
(11.10)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
11.3 Distancia perpendicular de un punto a una línea
271
Y
P(XP , YP)
R
O(XO , YO)
X
Figura 11.3
Geometría de
una circunferencia
en un sistema
de coordenadas
planas.
[Nota:
donde el radio de la circunferencia está dado por
aunque las ecuaciones (11.9) y (11.10) no se usan para resolver problemas en este
capítulo, se aplican en capítulos posteriores.]
■ 11.3 DISTANCIA PERPENDICULAR DE UN PUNTO
A UNA LÍNEA
Un problema común que se encuentra en la topografía de linderos es la determinación de la distancia perpendicular de un punto a una línea. Este procedimiento
puede usarse para verificar el alineamiento de los marcadores de un levantamiento de una cuadra, y también es útil para el diseño de las subdivisiones. Suponga en
la figura 11.4 que los puntos A y B están sobre la línea definida por dos esquinas
en una cuadra cuyas coordenadas son conocidas. También suponga que las coordenadas del punto P son conocidas. La pendiente, m, y la intercepción con el eje
y, b, de la línea AB se calculan a partir de las coordenadas de las esquinas de la
cuadra. Mediante la asignación de los ejes coordenados X y Y como se muestra en
la figura, las coordenadas del punto A son XA 5 0, y YA 5 b.
Y
P (xp,Yp)
B
α
A
b
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Esquinas
de la cuadra
Figura 11.4
Distancia
perpendicular de
un punto a una
recta.
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272 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
Mediante el uso de las ecuaciones (11.4) y (11.5a), la longitud y el acimut de la línea
AP pueden determinarse a partir de sus coordenadas. Con la ecuación (11.8) puede
determinarse el acimut de la línea AB a partir de la pendiente de la línea AB. Ahora
puede calcularse el ángulo a como la diferencia de los acimutes de AP y AB, lo
cual para la situación que se muestra en la figura 11.4 es
(11.11)
a 5 AzAB 2 AzAP
Reconociendo que ABP es un triángulo rectángulo, la longitud BP es
(11.12)
BP 5 AP sen a
donde la longitud de AP se determina a partir de las coordenadas de los puntos A
y P con el uso de la ecuación (11.4).
■ Ejemplo 11.1
Para la figura 11.4, suponga que las coordenadas (X, Y) del punto P son (1123.82,
509.41) y que las coordenadas de las esquinas de la cuadra son (865.49, 416.73) y
(1557.41, 669.09). ¿Cuál es la distancia perpendicular del punto P a la línea AB?
(Todas las unidades están en pies.)
Solución
Con la ecuación (11.7), y usando las coordenadas de las esquinas de la cuadra, la
pendiente de la línea AB es
Al reordenar la ecuación (11.6), la intercepción con el eje y de la línea AB es
b 5 416.73 2 0.364724245 (865.49) 5 101.065 pies
Con las ecuaciones (11.4) y (11.5a), la longitud y el acimut de la línea AP son
pies
Con la ecuación (11.8), el acimut de la línea AB es
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TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
11.4 Intersección de dos rectas, ambas con direcciones conocidas
273
Con el uso de la ecuación (11.11), el ángulo a es
a 5 70°01952.20 2 69°57942.70 5 0°04909.50
De la ecuación (11.12), la distancia perpendicular del punto P a la línea AB es
BP 5 1195.708 sen (0°04909.50) 5 1.45 pies
■ 11.4 INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS,
AMBAS CON DIRECCIONES CONOCIDAS
La figura 11.5 ilustra la intersección de dos líneas rectas AP y BP. Cada una de
ellas tiene coordenadas conocidas de uno de los puntos terminales, y cada una tiene
una dirección conocida. A la determinación del punto de intersección de este tipo
de situación frecuentemente se le llama el problema de la dirección-dirección. Un
método simple para calcular el punto de intersección P es determinar la magnitud
de las partes del triángulo oblicuo ABP. Como se conocen las coordenadas de A
y B, pueden determinarse la longitud y el acimut de AB (que se muestra con línea
punteada) con el uso de las ecuaciones (11.4) y (11.5a). Entonces, en la figura puede verse que el ángulo A es la diferencia de los acimutes de AB y AP, o sea
(11.13)
A 5 AzAP 2 AzAB
Y
Y
B(XB, YB )
AzBP
Y
AzAP
Figura 11.5
Intersección de
dos rectas con
direcciones
conocidas.
P(Xp, Yp )
A(XA, YA )
X
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274 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
Similarmente, el ángulo B es la diferencia de los acimutes de BA y BP, o sea
(11.14)
B 5 AzBA 2 AzBP
Con dos ángulos calculados del triángulo ABP, el ángulo restante P es
(11.15)
P 5 180° 2 A 2 B
Sustituyendo en la ecuación (11.1), y reordenando, la longitud del lado AP es
AP = AB
sen( B)
sen( P )
(11.16)
Con la longitud y el acimut de AP conocidos, las coordenadas de P son
XP 5 XA AP sen AzAP
(11.17)
YP 5 YA AP cos AzAP
Puede obtenerse una verificación de esta solución encontrando el valor de
la longitud BP, y usándolo conjuntamente con el acimut de BP para calcular las
coordenadas de P. Las dos soluciones deben concordar, excepto por el redondeo.
Debe observarse que si los acimutes de las líneas AP y BP son iguales, entonces las líneas son paralelas y no se intersecan.
■ Ejemplo 11.2
En la figura 11.5, suponiendo que se tiene la siguiente información sobre las dos
rectas, calcular las coordenadas XP y YP de su intersección. (Las coordenadas están
en pies.)
XA 5 1425.07 XB 5 7484.80 AzAP 5 76°049240
YA 5 1971.28 YB 5 5209.64 AzBP 5 141°309160
Solución
Según las ecuaciones (11.4) y (11.5a), la longitud y el acimut del lado AB son
AB = ( 7484.80 − 1425.07) 2 + ( 5209.64 − 1971.28) 2 = 6870.757 pies
 7484.80 − 1425.07 
Az AB = tan −1 
 + 0 º = 61º 52 46.80
 5209.64 − 1971.28 
Según las ecuaciones (11.13) a (11.15), los tres ángulos del triángulo ABP son
A 5 76°049240 2 61°52946.80 5 14°11937.20
B 5 (180° 61°52946.80) 2 141°309160 5 100°22930.80
P 5 180° 2 14°11937.20 2 100°22930.80 5 65°25952.00
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11.5 Intersección de una recta y una circunferencia
275
Según la ecuación (11.16), la longitud AP es
AP 5 6870.757
sen 100°22930.80
5 7431.224 pies
sen 65°25952.00
Según las ecuaciones (11.17), las coordenadas de la estación P son
XP 5 1425.07 7431.224 sen 76°049240 5 8637.85 pies
YP 5 1971.28 7431.224 cos 76°049240 5 3759.83 pies
Revisión:
BP 5 6870.757
5 1852.426 pies
 sensen14°11937.20
65°259520 
XP 5 7484.80 (1852.426) sen 141°309160 5 8637.85 
YP 5 5209.64 (1852.426) cos 141°309160 5 3759.83 
■ 11.5 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA
Y UNA CIRCUNFERENCIA
La figura 11.6 ilustra la intersección de una recta (AC) con acimut conocido
con una circunferencia de radio conocido (BP1 5 BP2). El encontrar la intersección para esta situación se reduce a encontrar la intersección de una recta con
dirección conocida con otra recta de longitud conocida, y por esto, algunas veces
se le denomina problema de dirección-distancia. Observe, como se muestra en la
figura, que este problema tiene dos soluciones diferentes, pero como se estudia
posteriormente, por lo general la que es incorrecta puede detectarse y descartarse.
Y
B(XB ,YB)
R
C
P2
P1
A(XA , YA)
X
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Figura 11.6
Intersección
de una línea
recta y una
circunferencia.
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276 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
El enfoque para resolver este problema es similar al empleado en la sección
11.4, es decir, la respuesta se determina resolviendo un triángulo oblicuo. Esta solución particular demostrará el uso de la ecuación cuadrática para obtener ambas
soluciones. En la figura 11.6 se conocen las coordenadas de B (el centro de la circunferencia). A partir de las coordenadas de los puntos A y B, la longitud y el acimut de la línea AB (que se muestra con línea punteada) se determinan empleando
las ecuaciones (11.4) y (11.5a), respectivamente. Entonces se calcula el ángulo A a
partir de los acimutes de AB y AC como sigue:
(11.18)
A 5 AzAP 2 AzAB
Sustituyendo los valores conocidos de A, AB y BP en la ley de los cosenos
[ecuación (11.2)] se obtiene
BP 2 5 AB 2 AP 2  2(AB) (AP) cos A
(11.19)
En la ecuación (11.19), AP es una cantidad desconocida. Reordenando esta
ecuación se obtiene
AP 2  2(AB) (cos A) AP (AB 2  BP 2) 5 0
(11.20)
Ahora la ecuación (11.20), que es una expresión de segundo grado, puede
resolverse usando la fórmula cuadrática [ecuación (11.3)], como sigue:
(11.21)
Al comparar la ecuación (11.21) con la ecuación (11.3), puede verse que a 5 1,
b 5 2(AB) cos A y c 5 (AB2 2 BP2). Debido al signo ± en la fórmula, hay dos soluciones para la longitud de AP. Una vez que se determinan estas dos longitudes, las
coordenadas posibles de la estación P son
XP1 5 XA AP1 sen(AzAP)
y
YP1 5 YA AP1 cos(AzAP)
XP2 5 XA AP2 sen(AzAP)
y
YP2 5 YA AP2 cos(AzAP)
(11.22)
Si existen errores en los datos dados para el problema, o si se intenta un
diseño imposible, tal vez la circunferencia no interseque a la recta. En este caso, los
términos debajo del radical en la ecuación (11.21) serán negativos, es decir, [2(AB)
cos A]2  4(AB2  BP 2) , 0. Por lo tanto, es importante, al resolver cualquier
problema de geometría analítica, estar alerta en cuanto a este tipo de problemas
potenciales.
La ley de los senos también puede usarse para resolver este problema. Sin
embargo, debe tenerse cuidado al usar la ley de los senos ya que las dos soluciones
no serán evidentes inmediatamente. El procedimiento para resolver este problema
usando la ley de los senos es el siguiente:
1. Calcule la longitud y el acimut de la línea AB a partir de las coordenadas
usando las ecuaciones (11.4) y (11.5a), respectivamente.
2. Calcule el ángulo en A usando la ecuación (11.18).
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
11.5 Intersección de una recta y una circunferencia
277
3. Usando la ley de los senos, encuentre los ángulos en P1 como
sen P =
AB sen A
BP
(11.23)
4. Observe que la función seno tiene la relación sen (x) = sen (180° − x).
Entonces, la solución para el ángulo en B es
B1 5 180º 2(A 1 P)
(11.24)
B2 5 P 2 A
5. Usando las dos soluciones para el ángulo B, determine el acimut de la
línea BP como
AzBP1 5 AzBA 2 B1
(11.25)
AzBP2 5 AzBA 2 B2
6. Finalmente, usando los dos acimutes y la longitud observada de BP, determine las dos soluciones posibles para la estación P como
XP1 = XB + BP sen (AzBP1) y YP1 = YB + BP sen (AzBP1)
(11.26)
XP2 = XB + BP sen (AzBP2) y YP2 = YB + BP sen (AzBP2)
■ Ejemplo 11.3
En la figura 11.6, suponga que las coordenadas del punto A son X 5 100.00, y
Y 5 130.00, y que las coordenadas del punto B son X 5 500.00, y Y 5 600.00. Si el
acimut de AP es 70°429360, y el radio de la circunferencia (longitud BP) es 350.00,
¿cuáles son las posibles coordenadas del punto P? (Nota: las unidades lineales son
pies.)
Solución
Según las ecuaciones (11.4) y (11.5a), la longitud y el acimut de AB son
pies
Según la ecuación (11.18), el ángulo en A es
A 5 70°429360 2 40°23959.70 5 30°18936.30
Sustituyendo los valores apropiados de acuerdo con la ecuación (11.20), los coeficientes de la ecuación cuadrática son
a51
b 5 22 (617.171) cos 30°18936.30 5 21065.616
c 5 617.1712 2 350.002 5 258,400.043
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278 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
La sustitución de estos valores en la ecuación (11.21) arroja
5 373.170 o 692.446
Usando el acimut y las distancias para AP, las dos soluciones posibles para las
coordenadas de P son
XP1 5 100.00 373.170 sen 70°429360 5 452.22 pies
YP1 5 130.00 373.170 cos 70°429360 5 253.28 pies
o
XP2 5 100.00 692.446 sen 70°429360 5 753.57 pies
YP2 5 130.00 692.446 cos 70°429360 5 358.75 pies
Al resolver una ecuación cuadrática, la decisión para sumar o restar el valor
del radical puede tomarse con base en la experiencia, o usando un diagrama a escala
cuidadosamente construido, que también suministre una revisión de los cálculos. Una
de las respuestas será absurda y deberá descartarse. Una verificación aritmética es
posible si encontramos el valor de los dos ángulos posibles en B a P en el triángulo
ABP y determinamos las coordenadas de P desde la estación B, o resolviendo el problema usando el segundo procedimiento. Los lectores deberán verificar que puede
obtenerse la misma solución usando las ecuaciones (11.23) a (11.26).
Y
B(XB , YB)
P2
RA
RB
P1
A(XA , YA)
Figura 11.7
Intersección de dos
circunferencias.
ALFAOMEGA
X
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
11.6 Intersección de dos circunferencias 279
■ 11.6 INTERSECCIÓN DE DOS CIRCUNFERENCIAS
En la figura 11.7 se ilustra la intersección de dos circunferencias. Observe que las
circunferencias se obtienen simplemente haciendo girar dos distancias (con valores
de radio RA y RB) alrededor de los puntos A y B en los radios. Como se muestra,
esta geometría nuevamente conduce a dos puntos de intersección, P1 y P2. Al igual
que con los dos casos anteriores, los puntos de intersección pueden localizarse nuevamente determinando las partes del triángulo oblicuo ABP. En esta situación, dos
lados del triángulo son los radios conocidos, y por esto, el problema frecuentemente
se llama problema de distancia-distancia. El tercer lado del triángulo, AB, puede
calcularse a partir de las coordenadas conocidas de A y B, o la distancia puede
me-dirse.
El primer paso para resolver este problema es calcular la longitud y el acimut
de la recta AB usando las ecuaciones (11.4) y (11.5a). Entonces puede determinarse el ángulo A usando la ley de los cosenos (ecuación 11.2). Como se muestra en la
figura 11.7, las dos soluciones para P ya sea en P1 o en P2 se obtienen ya sea sumando o restando el ángulo A del acimut de la recta AB para obtener la dirección de
AP. Reordenando la ecuación 11.2, el ángulo A es
(11.27)
Así, el acimut de la recta AP es ya sea
AzAP1 5 AzAB A
(11.28)
AzAP2 5 AzAB 2 A
Las coordenadas posibles de P son
XP1 5 XA AP1 sen(AzAP1)
y
YP1 5 YA AP1 cos(AzAP1)
XP2 5 XA AP2 sen(AzAP2)
y
YP2 5 YA AP2 cos(AzAP2)
(11.29)
La decisión de sumar o restar el ángulo A del acimut de la recta AB puede
tomarse con base en la experiencia, o a través del uso de un diagrama a escala
cuidadosamente construido. Una de las respuestas será absurda, y deberá descartarse. Como puede verse en la figura 11.7, no habrá solución si la longitud de AB es
mayor que la suma de RA y RB.
■ Ejemplo 11.4
En la figura 11.7, suponga que se dispone de los siguientes datos (en metros):
XA 5 2851.28
YA 5 299.40
RA 5 2000.00
XB 5 3898.72
YB 5 2870.15
Calcule las coordenadas X y Y del punto P.
RB 5 1500.00
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280 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
Solución
Según las ecuaciones (11.4) y (11.5a), la longitud y el acimut de AB son
Según la ecuación (11.27), A es
Combinando las ecuaciones (11.28) y (11.29), las soluciones posibles para P son
XP1 5 2851.28 2000.00 sen(22°10905.60 31°36953.60) 5 4464.85 m
YP1 5 299.40 2000.00 cos(22°10905.60 31°36953.60) 5 1481.09 m
o
XP2 5 2851.28 2000.00 sen(22°10905.60 2 31°36953.60) 5 2523.02 m
YP2 5 299.40 2000.00 cos(22°10905.60 2 31°36953.60) 5 2272.28 m
Puede obtenerse una revisión aritmética de esta solución determinando el ángulo
y las coordenadas de P desde la estación B.
Y
A
c
a
B
α1
x
C
α
α2
y
P
Figura 11.8 El
problema de la
resección.
ALFAOMEGA
X
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11.7 Resección de tres puntos
281
■ 11.7 RESECCIÓN DE TRES PUNTOS
Este procedimiento localiza un punto cuya posición se desconoce midiendo los
ángulos horizontales desde ese punto a tres estaciones visibles cuyas posiciones se
conocen. La situación se ilustra en la figura 11.8, donde un instrumento de estación
total ocupa la estación P y se miden los ángulos x y y. Enseguida se presenta un
resumen del método usado para calcular las coordenadas de la estación P (remítase a la figura 11.8).
1. A partir de las coordenadas conocidas de A, B y C calcule las longitudes a y
c, y el ángulo a en la estación B.
2. Reste la suma de los ángulos x, y y a en la figura ABCP de 360° para obtener
la suma de los ángulos A C
A C 5 360° 2 (a x y)
(11.30)
3. Calcule los ángulos A y C usando lo siguiente:
a sen x sen (A C)
c sen y a sen x cos (A C)
(11.31)
c sen y sen (A C)
a sen x c sen y cos (A C)
(11.32)
4. A partir del ángulo A y el acimut AB, calcule el acimut AP en el triángulo
ABP. Entonces determine la longitud AP usando la ley de los senos, donde
a15180° 2 A 2 x. Calcule las proyecciones X y Y de AP y luego las coordenadas de P.
5. De la manera esbozada en el paso 4, use el triángulo BCP para calcular las
coordenadas de P para obtener una verificación.
■ Ejemplo 11.5
En la figura 11.8 se midieron los ángulos x y y como 48°539120 y 41°209350, respectivamente. Los puntos de control A, B y C tienen coordenadas (en pies) de
XA 5 5721.25, YA 5 21,802.48, XB 5 13,542.99, YB 5 22,497.95, XC 5 20,350.09, y
YC 5 24,861.22. Calcule las coordenadas de P.
Solución
1. Según la ecuación (11.4),
pies
pies
2. Según la ecuación (11.5a),
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282 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
3. Calcule el ángulo a,
a 5 180° 2 (70°51915.00 2 84°55908.10) 5 194°03953.10
4. Según la ecuación (11.30),
A C 5 360° 2 194°03953.10 2 48°539120 2 41°209350
5 75°42919.90
5. Según la ecuación (11.31),
7250.67 sen 48°539120 sen 75°42919.90
7852.60 sen 41°209350 1 7205.67 sen 48°539120 cos 75°42919.90
6. Según la ecuación (11.32),
7852.60 sen 41°209350 sen 75°42919.90
7205.67 sen 48°539120 1 7852.60 sen 41°209350 cos 75°42919.90
(A 1 C 5 38°51958.70 36°50921.20 5 75°42919.90 ¡comprobado!)
7. Calcule el ángulo a1,
a1 5 180° 2 38°51958.70 2 48°539120 5 92°14949.30
8. Según la ley de los senos,
sen 92°14949.30(7852.60)
sen 48°539120919.90
pies
9. Según las ecuaciones (10.1) y (10.2),
Proyección X de AP 5 10,414.72 sen 123°47906.80 5 8655.97 pies
Proyección Y de AP 5 10,414.72 cos 123°47906.80 5 25791.43 pies
10. Según la ecuación (10.7),
XP 5 5721.25 8655.97 5 14,377.22 pies
YP 5 21,802.48 2 5791.43 5 16,011.05 pies
11. Como comprobación, se resolvió el triángulo BCP para obtener los mismos
resultados.
ALFAOMEGA
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11.8 Transformación conforme bidimensional de coordenadas
283
El problema de la resección de tres puntos descrito antes proporciona una solución
única para las coordenadas no conocidas del punto P, es decir, no hay medidas
redundantes, y entonces no se puede hacer ninguna verificación en las mediciones. Este es realmente un caso especial del problema de resección más general
que suministra redundancia y permite una solución de mínimos cuadrados. En el
problema general de resección, además de medir los ángulos x y y, las distancias
desde P hasta una o más estaciones de control también pudieron haberse medido.
Otras variaciones posibles de la resección que suministran redundancia incluyen
la medición de (a) un ángulo y dos distancias a dos estaciones de control; (b) dos
ángulos y una, dos o tres distancias a tres puntos de control; o (c) el uso de más
de tres estaciones de control. Entonces todas las mediciones pueden incluirse en
una solución de mínimos cuadrados para obtener las coordenadas más probables
del punto P. La resección se ha convertido en un método popular para la orientación rápida de los instrumentos de estación total, como se estudia en la sección
23.9. El procedimiento es conveniente porque estos instrumentos pueden medir
rápidamente tanto ángulos como distancias, y sus procesadores integrados pueden
proporcionar instantáneamente la solución de mínimos cuadrados para la posición
del instrumento.
Debe observarse que el problema de resección no tendrá una solución única si
los puntos A, B, C y P definen una circunferencia. Para evitar este problema deben
seleccionarse los puntos B y P, de modo que estén situados del mismo lado de la
recta que une los puntos A y C. Además, la exactitud de la solución decrecerá si
los ángulos observados x y y se hacen pequeños. Como un lineamiento general, los
ángulos medidos deben ser mayores a 30° para obtener mejores resultados.
■ 11.8 TRANSFORMACIÓN CONFORME BIDIMENSIONAL
DE COORDENADAS
A veces es necesario convertir las coordenadas de puntos de un sistema de ejes
a otro. Esta situación se presenta, por ejemplo, si un levantamiento se hace con
referencia a un sistema arbitrario de coordenadas localmente supuesto y luego
se desea convertirlo a coordenadas planas estatales. El proceso para efectuar
estas conversiones se llama transformación de coordenadas. Si sólo abarca coordenadas planimétricas (es decir, las X y las Y) y se mantienen las configuraciones geométricas en su forma, la conversión se denomina transformación conforme
bidimensional de coordenadas.
Las relaciones geométricas de una transformación bidimensional de coordenadas se ilustran en la figura 11.9. En la figura, X-Y representan un sistema coordenado
supuesto local y E-N un sistema de coordenadas planas estatales. Las coordenadas de los puntos A hasta D se conocen en el sistema X-Y y las de los puntos A y B
también se conocen en el sistema E-N. Los puntos como A y B, cuyas posiciones se
conocen en ambos sistemas, se llaman puntos de control. Se necesitan por lo menos
dos puntos de control para determinar las coordenadas E-N de otros puntos como
los C y D.
En general, una transformación de coordenadas consta de tres pasos:
(1) rotación, (2) escalación y (3) traslación. Como se muestra en la figura 11.9,
la rotación consiste en determinar las coordenadas de puntos en el sistema de ejes
rotados X9-Y9 (mostrados con líneas punteadas). Los ejes X9-Y9 son paralelos a
los E-N, pero el origen de este sistema coincide con el origen de los ejes X-Y. En
la figura, el ángulo de rotación u, entre los sistemas de ejes X-Y y X9-Y9, es
 =−
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(11.33)
ALFAOMEGA
284 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
En la ecuación (11.33), los acimutes, a y b, se calculan a partir de los
dos conjuntos de coordenadas de los puntos de control A y B usando la ecuación
(11.5a) como sigue:
donde, tal como se explica en la sección 11.2, C coloca al acimut en el cuadrante
apropiado.
En muchos casos debe incorporarse un factor de escala en las transformaciones de coordenadas. Esto ocurre, por ejemplo, al transformar de un sistema coordenado arbitrario local a una retícula de coordenadas planas estatales. El factor
de escala que relaciona dos sistemas coordenados cualesquiera puede calcularse
como la razón de la longitud de una línea recta entre dos puntos de control, en función de coordenadas E-N, a la misma longitud determinada usando coordenadas
X-Y. Entonces
(11.34)
(Nota: si el factor de escala es igual a 1, los dos levantamientos son de la misma
escala y no es necesario usar el factor en la transformación de coordenadas.)
Conocidos u y s, las coordenadas escaladas y rotadas X9 y Y9 de cualquier
punto, por ejemplo del A, pueden calcularse con las expresiones
X9A 5 sXA cos u 2 sYA sen u
(11.35)
Y9A 5 sXA sen u sYA cos u
N
Y´
EB – EA
NB – NA
Y´
–YA
YB
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XB
D
β
α
θ
Figura 11.9
Relaciones
geométricas en
la transformación
de coordenadas
bidimensionales.
B
–XA
Tx
X
A
X´A
C
Y´A
X´
Ty
E
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11.8 Transformación conforme bidimensional de coordenadas
285
Y′
X ′A
XA
Y′A
X
YA
YA sin XA sin YA cos Y
A
XA cos X′
Figura 11.10
Detalle de las
fórmulas de
rotación en la
transformación
conforme
dimensional de
coordenadas.
Las partes individuales de las fórmulas de rotación [miembros derechos de
las ecuaciones (11.35)] se desarrollan remitiéndose a la figura 11.10. La traslación
consiste en desplazar el origen de los ejes X-Y hasta el sistema E-N. Esto se logra
agregando factores de traslación TX y TY (véase la figura 11.9) a las coordenadas
X y Y para obtener las coordenadas E y N. Así, para el punto A:
EA 5 XA 1 TX
NA 5 YA 1 TY
(11.36)
Reordenando las ecuaciones (11.36) y usando las coordenadas de uno de los
puntos de control (como el A), pueden obtenerse valores numéricos para TX y TY :
TX 5 EA 2 XA
TY 5 NA 2 YA
(11.37)
El otro punto de control (es decir, el punto B) debe usarse también en las
ecuaciones (11.37) para calcular TX y TY y obtener así una comprobación del cálculo.
Sustituyendo las ecuaciones (11.35) en las ecuaciones (11.36) y cancelando
los subíndices, se determinan las siguientes ecuaciones para calcular las coordenadas E-N de los puntos que no son de control (como el C y el D) en función de sus
valores X y Y:
E 5 sX cos u 2 sY sen u 1 TX
N 5 sX sen u 1 sY cos u 1 TY
(11.38)
En resumen, el procedimiento para efectuar transformaciones conforme
bidimensionales de coordenadas consiste en (1) calcular el ángulo u de rotación
usando dos puntos de control y las ecuaciones (11.5) y (11.33); (2) resolver las
ecuaciones (11.34), (11.35) y (11.37) usando puntos de control para determinar el
factor de escala s y los factores de traslación TX y TY; y (3) usar u, s, y TX y TY en
las ecuaciones (11.38) para transformar todos los puntos que no son de control.
Si se dispone de más de dos puntos de control puede lograrse una mejor solución
usando el método de los mínimos cuadrados. Los cálculos relativos a las transformaciones de coordenadas son muy demorados si se hacen a mano, pero son fáciles
si se programan para resolverse con una computadora.
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286 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
■ Ejemplo 11.6
En la figura 11.9 se conocen las siguientes coordenadas E-N y X-Y para los puntos
A hasta D. Calcular las coordenadas E y N para los puntos C y D.
Coordenadas planas estatales
(pies)
Coordenadas arbitrarias
(pies)
Punto
E
N
X
Y
A
B
C
D
194,683.50
196,412.80
99,760.22
102,367.61
2848.28
5720.05
3541.72
6160.31
2319.94
3561.68
897.03
1941.26
Solución
1. Determinar a, b y u, con las ecuaciones (11.5) y (11.33):
2. Calcular el factor de escala con la ecuación (11.34):
(Ya que el factor de escala es igual a 1, éste puede ignorarse.)
3. Determinar TX y TY con las ecuaciones (11.35) y (11.37) usando el punto A:
X9A 5 2848.28 cos 33°039470 2 2319.94 sen 33°039470 5 1121.39 pies
Y9A 5 2848.28 sen 33°039470 2319.94 cos 33°039470 5 3498.18 pies
TX 5 194,683.50 2 1121.39 5 193,562.11 pies
TY 5 99,760.22 2 3498.18 5 96,262.04 pies
4. Revisar TX y TY usando el punto B:
X9B 5 5720.05 cos 33°039470 2 3561.68 sen 33°039470 5 2850.69 pies
Y9B 5 5720.05 sen 33°039470 3561.68 cos 33°039470 5 6105.58 pies
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11.9 El problema del punto inaccesible
287
TX 5 196,412.80 2 2850.69 5 193,562.11 pies (¡Comprobado!)
TY 5 102,367.61 2 6105.58 5 96,262.03 pies (¡Comprobado!)
5. Resolver las ecuaciones (11.38) para determinar las coordenadas E y N de
los puntos C y D:
EC 5 3541.72 cos 33°039470 2 897.03 sen 33°039470 193,562.11
5 196,040.93 pies
NC 5 3541.72 sen 33°039470 897.03 cos 33°039470 96,262.04
5 98,946.04 pies
ED 5 6160.31 cos 33°039470 2 1941.26 sen 33°039470 193,562.11
5 197,665.81 pies
5 6160.31 sen 33°039470 1941.26 cos 33°039470 96,262.04
5 101,249.78 pies
Con algunas modificaciones simples, las ecuaciones (11.38) pueden reescribirse en forma matricial como
(11.39)
donde la matriz de rotación, R, es
2sen u
sen u
(11.40)
También E y N son errores residuales que deben incluirse si se dispone de más de
dos puntos de control. Al escalar la matriz de rotación por s, y al sustituir a en (s
cos u), b en (s sen u), c en TX y d en TY, la ecuación (11.39) puede reescribirse como
(11.41)
Con la ecuación (11.41), puede realizarse un ajuste de mínimos cuadrados (véase el
capítulo 16) cuando más de dos puntos sean comunes en ambos sistemas de coordenadas. El programa WOLFPACK, que está en el sitio de la red que acompaña
a este libro, tiene esta opción de software en el menú de Cálculos con coordenadas. Determinará los parámetros no conocidos para la transformación conforme
bidimensional de coordenadas, y transformará cualesquiera puntos adicionales. El
archivo de datos y los resultados del ajuste para el ejemplo 11.6 se muestran en la
figura 11.11.
Observe que las coordenadas transformadas X y Y de los puntos C y D obtenidas usando el programa de computadora concuerdan (excepto por el redondeo)
con las calculadas en el ejemplo 11.6. Observe también que en esta solución con dos
puntos de control, no hay redundancias y entonces los residuos VX y VY son ceros.
También se encuentran videos de instrucción en el sitio de la red mencionado. El
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288 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
Figura 11.11 Archivo de datos y resultados del ajuste del ejemplo 11.6 usando WOLFPACK.
video COGO II desarrolla las ecuaciones presentadas en esta sección y muestra la
solución del ejemplo 11.6.
■ 11.9 EL PROBLEMA DEL PUNTO INACCESIBLE
Algunas veces es necesario determinar la elevación de un punto que es inaccesible. Esta tarea puede lograrse estableciendo una línea base tal que el punto
inaccesible sea visible desde ambos extremos. Como ejemplo, suponga que se busca la elevación de la chimenea de la figura 11.12. Se establece la línea base AB, se
mide su longitud y se determinan las elevaciones de sus puntos extremos. Se miden
los ángulos horizontales A y B, y los ángulos verticales 1 y 2, como se muestra en
la figura. Los puntos IA e IB están debajo de P en sentido vertical. Usando los valores medidos, se aplica la ley de los senos para calcular las longitudes horizontales
AIA y BIB del triángulo ABI como
ALFAOMEGA
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11.9 El problema del punto inaccesible
289
P
IB
υ1
hiA
IA
υ2
Figura 11.12
Geometría del
problema del punto
inaccesible.
A
hi B
AB sen(B)
sen[180° 2 (A B)]
B
AB sen(B)
sen(A B)
AB sen(A)
sen(A B)
(11.42)
(11.43)
La longitud IP puede obtenerse ya sea del triángulo AIAP o del BIBP como
IAP 5 AIA tan (1)
(11.44)
IBP 5 BIB tan (2)
(11.45)
La elevación del punto P se calcula como el promedio de las alturas desde los dos
triángulos (que pueden diferir debido a errores aleatorios en la medición de 1 y
2 como
(11.46)
En la ecuación (11.46), hiA y hiB son las alturas de los instrumentos en A y B,
respectivamente.
■ Ejemplo 11.7
Las estaciones A y B tienen elevaciones de 298.65 pies, y 301.53 pies, respectivamente, y las alturas del instrumento para A y B son hiA 5 5.55 pies, y hiB 5
5.48 pies. Las otras mediciones de campo son
AB 5 136.45 pies
A 5 44°129340
B 5 39°269560
1 5 8°129470
2 5 5°509100
¿Cuál es la elevación de la chimenea?
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ALFAOMEGA
290 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
Solución
Según las ecuaciones (11.42) y (11.43), las longitudes de AIA y BIB son
AI A =
136.45 sen 39°269560
= 87.233 pies
sen ( 44°129340 + 39°26 ' 56 ")
BI B =
136.45 sen 44°129340
= 95.730 pies
sen ( 44°129340 + 39°26 ' 56 ")
De la ecuación (11.44), la longitud IAP es
IAP 5 87.233 tan 8°129470 5 12.591 pies
Y de la ecuación (11.45), la longitud IBP es
IBP 5 95.730 tan 5°509100 5 9.785 pies
Finalmente, según la ecuación (11.46), la elevación del punto P es
Ele P =
12.591 + 298.65 + 5.55 + 9.785 + 301.53 + 5.48
= 316.79 pies
2
■ 11.10 RESECCIÓN TRIDIMENSIONAL DE DOS PUNTOS
Las coordenadas tridimensionales XP, YP y ZP de un punto tal como P de la figura
11.13, pueden determinarse basándose en las mediciones de ángulo y distancia que
se hacen desde ese punto hacia otras dos estaciones cuyas posiciones se conocen.
Este procedimiento es conveniente para establecer las coordenadas de las estaciones ocupadas en las estructuras elevadas, o en áreas deprimidas, como es el caso de
las minas. En la figura 11.13, por ejemplo, suponga que un instrumento de estación
Figura 11.13
Geometría
del problema
tridimensional de
la resección de dos
puntos.
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11.10 Resección tridimensional de dos puntos
291
total se coloca en el punto P, cuyas coordenadas XP, YP y ZP no se conocen, y que
los puntos de control A y B son visibles desde P. Se miden las longitudes inclinadas
PA y PB junto con el ángulo horizontal g y los ángulos verticales 1 y 2. El proceso
de cálculo para determinar XP, YP y ZP es el siguiente:
1. Determine la longitud y el acimut de AB usando las ecuaciones (11.4) y
(11.5).
2. Calcule las distancias horizontales PC y PD como
PC 5 PA cos (1)
PD 5 PB cos (2)
(11.47)
donde C y D están debajo de A y B en sentido vertical, respectivamente.
3. Usando la ecuación (11.3), calcule el ángulo horizontal DCP como
(11.48)
4. Determine el acimut de la recta AP como
AzAP 5 AzAB DCP
(11.49)
5. Calcule las coordenadas planimétricas (X-Y) del punto P como
XP 5 XA PC sen AzAP
YP 5 YA PC cos AzAP
(11.50)
6. Determine las diferencias de elevación AC y BD como
AC 5 PA sen (1)
BD 5 PB sen (2)
(11.51)
7. Y finalmente calcule la elevación de P como
(11.52)
En las ecuaciones (11.52), hiP es la altura del instrumento arriba del punto P, y hrA
y hrB son las alturas del reflector arriba de las estaciones A y B, respectivamente.
■ Ejemplo 11.8
Para la figura 11.13, las coordenadas X, Y y Z (en metros) de la estación A son
7034.982, 5413.896 y 432.173, respectivamente, y las de B son 7843.745, 5807.242 y
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292 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
428.795, respectivamente. Determine la posición tridimensional de un instrumento
de estación total en el punto P basándose en las siguientes mediciones.
1 5 24°339420
PA 5 667.413 m
hrA 5 1.743 m
g 5 77°489080
2 5 26°359080
PB 5 612.354 m
hrB 5 1.743 m
hiP 5 1.685 m
Solución
1. Usando las ecuaciones (11.4) y (11.5), determine la longitud y el acimut de la
recta AB.
2. Según las ecuaciones (11.47), determine las longitudes PC y PD.
PC 5 667.413 cos(24°339420) 5 607.0217 m
PD 5 612.354 cos(26°359080) 5 547.6080 m
3. De la ecuación (11.48), calcule el ángulo DCP.
Observe que este ángulo calculado puede verificarse usando la ley de los senos,
ecuación (11.1), como
 547.6080 sen 77°489080 
DCP = sen −1 
 = 36°31924.20 (¡Comprobado!)
899.3435


4. Usando la ecuación (11.49), encuentre el acimut de la recta AP.
AzAP 5 64°03949.60 36°31924.20 5 100°35913.80
5. De las ecuaciones (11.50), calcule las coordenadas X-Y del punto P.
XP 5 7034.982 607.0217 sen 100°35913.80 5 7631.670 m
YP 5 5413.896 607.0217 cos 100°35913.80 5 5302.367 m
6. Según las ecuaciones (11.51), calcule las distancias verticales AC y BD.
AC 5 667.413 sen 24°339420 5 277.425 m
BD 5 612.354 sen 26°359080 5 274.049 m
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11.11 Software 293
7. Y finalmente, usando las ecuaciones (11.52), calcule y promedie la elevación
del punto P.
EleP 5 432.173 1.743  277.425  1.685 5 154.806 m
EleP 5 428.795 1.743  274.049  1.685 5 154.804 m
Elevación promedio 5 154.805 m
■ 11.11 SOFTWARE
La geometría analítica aporta un enfoque conveniente para resolver problemas en
casi todos los tipos de levantamientos modernos. Muchos problemas que de otra
manera resultan difíciles, pueden simplificarse mucho y resolverse rápidamente al
trabajar con coordenadas. Aunque algunas veces los cálculos son bastante engorrosos, esto se ha hecho inocuo con el advenimiento de las computadoras y los
recolectores de datos. Se dispone de muchos paquetes de software para realizar
cálculos de geometría analítica. Sin embargo, la gente que interviene en los levantamientos (geomática) debe entender la base de los cálculos, y tiene que realizar
todas las revisiones posibles para verificar la exactitud de sus resultados.
La hoja de cálculo Mathcad C11.xmcd, disponible en el sitio de la red que
acompaña a este libro, presenta la programación de cada ejemplo que se muestra en este capítulo. El software Mathcad muestra el enfoque paso por paso para
resolver estos problemas. La programación de estos problemas en un lenguaje de
programación de alto nivel elimina muchos de los errores que pueden ocurrir
al resolver estos problemas mediante métodos convencionales. La figura 11.14
exhibe el submenú de geometría analítica del programa WOLFPACK. También
observe en la figura las opciones de menú para una transformación conforme bidimensional de coordenadas, y un solucionador de ecuaciones cuadráticas. La transformación conforme bidimensional de coordenadas requiere un archivo de datos.
El formato para este archivo se estudia en el sistema de ayuda del WOLFPACK,
que se muestra en la figura 11.15. Este archivo puede crearse en un editor de texto.
WOLFPACK contiene un editor para este propósito. Su solución también se presenta en la hoja de cálculo C11-8.XMCD de Mathcad, que también está disponible
en el sitio de la red antedicho. Mathcad muestra la solución de mínimos cuadrados
del ejemplo en la sección 11.8.
Debido a la naturaleza de las funciones trigonométricas, los cálculos en algunos problemas de geometría analítica se harán numéricamente inestables cuando
Figura 11.14
Submenú de
geometría analítica
del programa
WOLFPACK.
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ALFAOMEGA
294 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
Figura 11.15 Pantalla de ayuda para la transformación conforme bidimensional de coordenadas
del programa WOLFPACK.
los ángulos que intervienen se aproximen a 0° o 90°, 180° o 270°. Así es que, si se
busca usar la geometría analítica para determinar la ubicación de puntos, generalmente es prudente diseñar el levantamiento de modo que los triángulos usados en
la solución tengan ángulos entre 30° y 60°. También es importante buenas prácticas
topográficas en el campo, tales como tomar el promedio de números iguales de
observaciones de ángulos directos e inversos, y ejercer otras verificaciones y precauciones.
Como se verá posteriormente, la geometría analítica juega un papel importante en el cálculo de alineamientos de las carreteras, los diseños de las subdivisiones y en la operación de los sistemas de información geográfica.
PROBLEMAS
Los asteriscos (*) señalan los problemas que tienen respuestas parciales dadas en el
apéndice G.
11.1 Las coordenadas X y Y (en metros) de la estación Orilla son 379.241 y 819.457,
respectivamente, y las de la estación Roca son 437.854 y 973.482, respectivamente. ¿Cuáles son el acimut, el rumbo y la longitud de la recta que une a la estación
Orilla con la estación Roca?
11.2 Igual que el problema 11.1, excepto que las coordenadas X y Y (en pies) de Orilla son 2058.97 y 4831.59, respectivamente, y las de Roca son 1408.03 y 6980.06,
respectivamente.
11.3* ¿Cuáles son la pendiente y la intercepción con el eje y de la recta del problema
11.1?
11.4 ¿Cuáles son la pendiente y la intercepción con el eje y de la recta del problema
11.2?
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
Problemas 295
11.5* Si la pendiente (plano XY) de una recta es 0.800946, ¿cuál es el acimut de la
recta con una aproximación de un segundo de arco? (Plano XY.)
11.6 Si la pendiente (plano XY) de una recta es 0.689443, ¿cuál es el acimut de la
recta con una aproximación de un segundo de arco? (Plano XY.)
11.7* ¿Cuál es la distancia perpendicular de un punto a la recta en el problema 11.1, si
las coordenadas X y Y (en metros) del punto son 422.058 y 932.096, respectivamente?
11.8 ¿Cuál es la distancia perpendicular de un punto a la recta en el problema 11.2,
si las coordenadas X y Y (en pies) del punto son 1848.30 y 5528.73, respectiva-mente?
11.9* Una recta con un acimut de 105°46933 desde una estación con coordenadas X
y Y de 5885.31 y 5164.15, respectivamente, se interseca con otra recta que tiene
un acimut de 200°3124 desde una estación con coordenadas X y Y de 7337.08 y
5949.99, respectivamente. (Todas las coordenadas están en pies.) ¿Cuáles son las
coordenadas del punto de intersección?
11.10 Una recta con un acimut de 164°2817 desde una estación con coordenadas X
y Y de 2443.94 y 3563.84, respectivamente, se interseca con otra recta que tiene
un acimut de 81°1904 desde una estación con coordenadas X y Y de 2126.86 y
3235.93, respectivamente. (Todas las coordenadas están en pies.) ¿Cuáles son las
coordenadas del punto de intersección?
11.11 Igual que el problema 11.9, excepto que el rumbo de la primera recta es
S 22°1204 E y el rumbo de la segunda recta es S 38°1211 W.
11.12 En la figura siguiente, las coordenadas X y Y (en metros) de la estación A son
2084.274 y 5579.124, respectivamente, y las de la estación B son 3012.870 y
3589.315, respectivamente. El ángulo BAP se midió como 310°2025 y el ángulo
ABP se midió como 44°2158. ¿Cuáles son las coordenadas de la estación P?
A
P
B
Problemas 11.12 a 11.16
Condiciones de campo para las intersecciones.
11.13* En la figura acompañante, las coordenadas X y Y (en pies) de la estación A son
1248.16 y 3133.35, respectivamente, y las de la estación B son 1509.15 y 1101.89,
respectivamente. La longitud de BP es 2657.45 pies, y el acimut de la recta AP es
98°2500. ¿Cuáles son las coordenadas de la estación P?
11.14 En la figura acompañante, las coordenadas X y Y (en pies) de la estación A
son 3539.51 y 5971.30, respectivamente, y las de la estación B son 3401.79 y
2708.06, respectivamente. La longitud de AP es 1987.54 pies, y el ángulo ABP es
35°2243. ¿Cuáles son las coordenadas de la estación P?
11.15* Una circunferencia de radio 798.25 pies, con centro en el punto A, interseca a
otra circunferencia de radio 1253.64 pies, con centro en el punto B. Las coordenadas X y Y (en pies) de A son 3548.53 y 2836.49, respectivamente, y las de B son
4184.62 y 1753.52, respectivamente. ¿Cuáles son las coordenadas de la estación
P en la figura?
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
296 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
11.16 Igual que el problema 11.15, excepto que los radios en A y B son 853.34 pies
y 1389.54 pies, respectivamente, y las coordenadas X y Y (en pies) de A son
2058.74 y 4311.32, respectivamente, y las de la estación B son 2851.52 y 2344.21,
respectivamente.
11.17 Para la subdivisión en la figura siguiente, suponga que las rectas AC, DF, GI y
JL son paralelas, pero que las rectas BK y CL son paralelas entre sí, pero no
paralelas a AJ. Si las coordenadas X y Y (en pies) de la estación A son (5000.00,
5000.00), ¿cuáles son las coordenadas de cada esquina de lote que se muestra?
J
80.00 pies
L
N 1012 E
D
E
150.00 pies
A
I
80.05 pies
H
G
79.98 pies
240.00 pies, N 10
27 E
80.00 pies
80.00 pies
80.00 pies
K
B 148.00 pies
298.00 pies, S 8844 E
F
C
Problema 11.17 Subdivisión.
11.18 Si las coordenadas X y Y (en pies) de la estación A son (10,000.00, 10,000.00),
¿cuáles son las coordenadas de las esquinas rotuladas restantes en la figura
siguiente?
430.00 pies, N 8959 E
B
C
4641
A
F
E
G
I
N 100 E
N 100 E
Radio 30.00 pies
H
200.00 pies
S 8959 E
N 100 E
400.01 pies, N 100 E
4319
D
30.00 pies
Problema 11.18 Subdivisión.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
Bibliografía
297
11.19* En la figura 11.8, las coordenadas X y Y (en pies) de A son 1234.98 y 5415.48,
respectivamente, las de B son 3883.94 y 5198.47, respectivamente, y las de C son
6002.77 y 5603.25, respectivamente. También el ángulo x es 36°599210 y el ángulo
y es 44°589060. ¿Cuáles son las coordenadas de la estación P?
11.20 En la figura 11.8, las coordenadas X y Y (en pies) de A son 7322.70 y 9432.62, las
de B son 7730.50 y 7588.65, y las de C son 9547.87 y 6453.90, respectivamente.
También el ángulo x es 36°219280 y el ángulo y es 53°439070. ¿Cuáles son las coordenadas de la estación P?
11.21 En la figura 11.9, se dan las siguientes coordenadas EN y XY de los puntos A a
D. En una transformación conforme coordenadas 2-D, para convertir las coordenadas XY al sistema EN, ¿cuáles son:
(a)* el factor de escala?
(b) el ángulo de rotación?
(c) las traslaciones en X y Y?
(d) las coordenadas de los puntos C y D en el sistema coordenado EN?
Coordenadas planas estatales (m)
Coordenadas arbitrarias (pies)
Punto
E
N
X
Y
A
B
C
719,542.829
719,899.341
111,493.468
111,844.860
4873.67
6402.92
7041.22
6609.04
7207.45
6037.23
11.22 Haga el problema 11.21 con las siguientes coordenadas.
Coordenadas planas estatales (m)
Coordenadas arbitrarias (m)
Punto
E
N
X
Y
A
B
C
678,805.266
679,481.136
121,851.804
121,952.112
6182.848
5430.607
3957.467
6323.893
3816.422
5101.501
11.23 En la figura 11.12, las elevaciones de las estaciones A y B son 100.00 pies, y
98.45 pies respectivamente. Las alturas de instrumento hiA y hiB son 5.20 pies,
y 5.06 pies, respectivamente. ¿Cuál es la elevación promedio del punto P?, si las
otras mediciones de campo son:
AB 5 128.46 pies
A 5 62°069000
B 5 50°129070
1 5 36°339590
2 5 33°229460
11.24 En el problema 11.23, suponga que la estación P está a la izquierda de la recta
AB, tal como se ve desde la estación A. Si las coordenadas X y Y (en pies) de la
estación A son 159.19 y 101.20, respectivamente, y el acimut de la recta AB es
69°229320, ¿cuáles son las coordenadas X y Y del punto inaccesible?
11.25 En la figura 11.12, las elevaciones de las estaciones A y B son 1106.78 pies, y
1116.95 pies, respectivamente. Las alturas de instrumento hiA y hiB son 5.14 pies,
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
298 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN LOS CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS
y 5.43 pies, respectivamente. ¿Cuál es la elevación promedio del punto P?, si las
otras mediciones de campo son:
AB 5 438.18 pies
A 5 49°319000
B 5 52°359260
1 5 27°409570
2 5 27°2092510
11.26 En el problema 11.25, suponga que la estación P está a la izquierda de la recta
AB, tal como se ve desde la estación A. Si las coordenadas X y Y (en pies) de
la estación A son 8975.18 y 7201.89, respectivamente, y el acimut de la recta AB
es 347°229380, ¿cuáles son las coordenadas X y Y del punto inaccesible?
11.27 En la figura 11.13, las coordenadas X, Y y Z (en pies) de la estación A son
5111.82, 4452.50 y 492.40, respectivamente, y las de B son 5627.41, 4440.12 y
501.65, respectivamente. Determine la posición tridimensional de la estación
ocupada P con las siguientes observaciones:
v1 5 32°149000
PA 5 513.06 pies
hrA 5 6.53 pies
g 5 79°069190
v2 5 37°069000
PB 5 467.02 pies
hrB 5 5.33 pies
hiP 5 5.35 pies
11.28 Adapte las ecuaciones (11.43) y (11.47) de modo que sean aplicables a ángulos
cenitales.
11.29 En la figura 11.13, las coordenadas X, Y y Z (en metros) de la estación A son
1671.392, 1168.484 y 252.796, respectivamente, y las de B son 1569.635, 1395.155
y 245.809, respectivamente. Determine la posición tridimensional de la estación
ocupada P con las siguientes observaciones:
11.30
11.31
11.32
11.33
11.34
11.35
11.36
z1 5 110°339540
PA 5 200.285 m
hrA 5 1.676 m
g 5 89°409580
z2 5 113°239370
PB 5 177.196 m
hrB 5 1.678 m
hiP 5 1.676 m
Use WOLFPACK para hacer el problema 11.9.
Use WOLFPACK para hacer el problema 11.10.
Use WOLFPACK para hacer el problema 11.12.
Use WOLFPACK para hacer el problema 11.13.
Use WOLFPACK para hacer el problema 11.15.
Use WOLFPACK para hacer el problema 11.16.
Use WOLFPACK para hacer el problema 11.17.
BIBLIOGRAFÍA
Easa, S. M. 2007. “Direct Distance-Based Positioning without Redundancy – In Land
Surveying.” Surveying and Land Information Science 67 (Núm. 2): 69.
Ghilani, C. 2010. Adjustment Computations: Spatial Data Analysis, 5a. ed. Nueva York:
Wiley.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
12
Determinación
de áreas
■ 12.1 INTRODUCCIÓN
Existe un buen número de razones importantes para determinar el área de un terreno. Una es con el propósito de incluir dicha área en las escrituras de propiedad
del terreno, otras son la determinación del área de terrenos, lagos, etc., o el número
de yardas cuadradas que deben revestirse, pavimentarse, sembrarse o cubrirse de
césped. Otra aplicación importante es la determinación de las áreas terminales
para el cálculo de volúmenes en los movimientos de tierra (véase el capítulo 26).
En agrimensura, el área de un terreno se considera como la proyección ortogonal de su superficie sobre un plano horizontal. Como se indicó en el capítulo 2,
en el sistema inglés las unidades de uso más común para especificar áreas pequeñas
son el pie2 y la yarda2, y para terrenos grandes se usa el acre con más frecuencia,
donde 1 acre 5 43,560 pies2 5 10 cadenas cuadradas (de Gunter). Un terreno
de un acre, si es cuadrado, tendría entonces 208.71 pies por lado. En el sistema
métrico, las áreas más pequeñas generalmente se dan en m2, y para terrenos más
grandes, comúnmente se usan las hectáreas, donde una hectárea es equivalente a
un cuadrado que tiene lados de 100 m, y por tanto es igual a 10,000 m2. Para
convertir las áreas entre los sistemas inglés y métrico, son útiles los factores
de conversión de la tabla 12.1.
■ 12.2 MÉTODOS PARA MEDIR ÁREAS
Para determinar áreas se emplean mediciones tanto de campo como de gabinete.
Los métodos de medición en campo son los más precisos e incluyen (1) división de
la superficie en figuras simples (triángulos, rectángulos y trapezoides), (2) división
por referencias normales desde una línea recta, (3) por coordenadas y (4) por dobles distancias meridianas. Cada uno de estos métodos se describe en las siguientes
secciones.
Los métodos para determinar áreas con base en medición de mapas son: (1)
conteo de cuadrados unitarios, (2) división de la superficie en triángulos, rectángulos u otras figuras geométricas regulares, (3) digitalización de coordenadas y
300 DETERMINACIÓN DE ÁREAS
FACTORES DE CONVERSIÓN APROXIMADOS PARA LAS ÁREAS
TABLA 12.1
Para convertir de
A
pies2
m2
Multiplique por
(12/39.37)2  0.09291
2
2
pies
(39.37/12)2  10.76364
2
2
(36/39.37)2  0.83615
2
m
yd
m
2
m
yd
(39.37/36)2  1.19596
acres
hectáreas
[39.37/(4.35612)]2  2.47099
hectáreas
acres
(4.356  12/39.37)2  0.40470
(4) mediante un planímetro que recorra las líneas que delimitan la superficie. Estos
procesos se describen e ilustran en la sección 12.9. Como los mapas se elaboran
con base en las mediciones de campo, los métodos para la determinación de áreas
dependen invariablemente de esta fuente básica de datos.
■ 12.3 ÁREA POR DIVISIÓN EN FIGURAS SENCILLAS
Un terreno puede dividirse generalmente en figuras geométricas tales como triángulos, rectángulos o trapezoides. Los lados y ángulos de estas figuras pueden medirse en el campo, y luego se calculan las áreas individualmente y se suman. Un
ejemplo de superficie subdividida en triángulos se muestra en la figura 12.1.
F
567.6
.6
68
219.1
2
E
G
102
69 H I
7
588.
256
ALFAOMEGA
5
610.5
3
Figura 12.1
Determinación de
un área mediante
división en
triángulos.
.
51
8.
C
N
8
D
29
303
.6
.1
314.2
257
71
J K
B
536
.6
92 M
535 L
A
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
12.4 Área por normales desde una línea recta
301
Las fórmulas para el cálculo de áreas de rectángulos y trapezoides son bien
conocidas. El área de un triángulo cuyos lados se conocen puede calcularse por la
fórmula
área = s( s − a )( s − b)( s − c)
(12.1)
en la cual a, b y c son los lados del triángulo y s 5 1/2(a 1 b 1 c). Otra fórmula para
el área de un triángulo es
área 5
1
ab sen C
2
(12.2)
en donde C es el ángulo que forman los lados a y b al intersecarse.
La elección de usar la ecuación (12.1) o la (12.2) dependerá de qué partes
del triángulo se determinen de la manera más conveniente, una decisión dictada
normalmente por la naturaleza del área y el tipo de equipo disponible.
■ 12.4 ÁREA POR NORMALES DESDE UNA LÍNEA RECTA
Algunos terrenos de forma irregular pueden reducirse a una serie de trapezoides
midiendo normales trazadas desde puntos a lo largo de una línea de referencia
medida. La línea de referencia generalmente se marca con estaciones (véase la
sección 5.9.1), y las posiciones donde se miden las líneas de referencia están dadas
por sus estaciones y sus fracciones. El espaciamiento entre las líneas de referencia
puede ser regular o irregular, dependiendo de las condiciones. Estos dos casos se
estudian en las subsecciones que siguen.
12.4.1 Normales con separación regular
En la figura 12.2 se muestran normales con separación regular. Para este caso, el
área se determina con la fórmula
(12.3)
´
en donde b es la longitud de un intervalo común entre las normales y h0, h1,…, hn
son las normales. El intervalo regular en el ejemplo de la figura 12.2 es una media
estación o 50 pies.
b
0 + 00
A
5.2
0 + 50
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
8.7
9.2
4.9
10.4
5.2
12.2
2.8
1 + 00 1 + 50 2 + 00 2 + 50 3 + 00 3 + 50 4 + 00
B
Figura 12.2
Determinación de
un área mediante
división con
normales.
ALFAOMEGA
302 DETERMINACIÓN DE ÁREAS
■ Ejemplo 12.1
Calcular el área del terreno de la figura 12.2.
Solución
Según la ecuación (12.3),

2.8 
área = 50  0 + 5.2 + 8.7 + 9.2 + 4.9 + 10.4 + 5.2 + 12.2 +
2 

= 2 860 pies 2
En este ejemplo puede obtenerse la suma de las normales (los términos dentro del paréntesis) con el método de la tira de papel, en el cual se van sumando
gráficamente las normales en sucesión, mediante pequeñas marcas en una tira larga de papel. Luego se obtiene área efectuando una sola medida entre la primera
y la última marca, multiplicando por la escala para convertirla a una distancia de
campo, y multiplicando por el ancho b.
12.4.2 Normales con separación irregular
Para linderos de curvatura irregular, como el de la figura 12.3, la separación de las
normales varía a lo largo de la línea de referencia. Las separaciones deben seleccionarse de tal manera que el lindero curvo quede definido con precisión cuando
puntos adyacentes de las normales sobre la curva se conecten con líneas rectas.
Una fórmula para calcular el área en este caso es
área =
1
 a( h + h1 ) + b( h1 + h2 ) + c( h2 + h3 ) + …
2 0
(12.4)
donde a, b, c, ... son las diferentes separaciones y h0, h1, h2,… son las normales
medidas.
■ Ejemplo 12.2
Calcule el área del terreno de la figura 12.3.
Lindero curvo
Figura 12.3 Área
mediante división
con normales de
un terreno con
linderos curvos.
ALFAOMEGA
h1
11.9
a
0 + 00 0 + 60
7.2
h0
h2
14.4
b
1 + 40
h4
h3
6.0 6.1
c
d
2 + 40 2 + 70
h5
11.8
e
3 + 75
h6
12.4
f
4 + 35
Línea de referencia
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
12.5 Áreas mediante el método de las coordenadas
303
Solución
De acuerdo con la ecuación (12.4),
1
[60 (7.2 1 11.9) 1 80(11.9 1 14.4) 1 100(14.4 1 6.0)
2
área 5
1 30(6.0 1 6.1) 1 105(6.1 1 11.8) 1 60(11.8 1 12.4)]
5 4490 pies2
■ 12.5 ÁREAS MEDIANTE EL MÉTODO
DE LAS COORDENADAS
El cálculo de áreas de poligonales cerradas se efectúa generalmente usando el método de las coordenadas. En este procedimiento deben conocerse las coordenadas
de cada vértice de la figura. Normalmente se obtienen mediante una poligonación,
aunque es apropiado cualquier método que arroje las coordenadas de estos puntos.
Si se usa la poligonación, las coordenadas de las estaciones se calculan después
de ajustar las proyecciones X y Y, como se vio en el capítulo 10. El método de
las coordenadas es también aplicable al cálculo de áreas de figuras cuyas coordenadas se han digitalizado usando un instrumento como el de la figura 28.8. El método
de las coordenadas se puede visualizar fácilmente; se reduce a una simple ecuación
aplicable a todas las configuraciones geométricas de polígonos cerrados y se puede
programar para obtener una solución por computadora.
El procedimiento de calcular áreas mediante coordenadas puede explicarse
fácilmente remitiéndose a la figura 12.4. Como se muestra en esta figura, es conveniente (pero no necesario) adoptar un sistema coordenado de referencia con los
ejes X y Y localizados sobre la estación más al sur y más al oeste, respectivamente.
Las líneas BB9, CC9, DD9 y EE9 en la figura se trazan perpendicularmente al eje Y.
Estas líneas crean una serie de trapezoides y triángulos (mostrados con diferentes
tonalidades de color). El área encerrada por la poligonal ABCDEA se puede expresar en términos de las áreas de esos trapezoides individuales y triángulos como
áreaABCDEA 5 E9EDD9E9 1 D9DCC9D9
− AE9EA 2 CC9B9BC 2 ABB9A
(12.5)
El área de cada trapezoide, por ejemplo E9EDD9E9, se puede expresar en términos
de longitudes como
´
En términos de coordenadas, esta misma área E9EDD9E9 es
´
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
304 DETERMINACIÓN DE ÁREAS
Y
E´
D´
XE
E
XD
D
A
B´
Figura 12.4
Cálculo de áreas
por el método de
las coordenadas.
XB
B
XC
X
C
C´
Cada uno de los trapezoides y triángulos de la ecuación (12.5) se puede expresar
por coordenadas en forma similar. Sustituyendo las expresiones de esas coordenadas en la ecuación (12.5), multiplicando por 2 para quitar denominadores y reordenando, se obtiene
2(área) 5 1XAYB 1 XBYC 1 XCYD 1 XDYE 1 XEYA
− XBYA 2 XCYB 2 XDYC 2 XEYD 2 XAYE
(12.6)
La ecuación (12.6) puede reducirse a una forma fácil de recordar disponiendo las
coordenadas X y Y de cada punto de sucesión en dos columnas, como se muestra
en la ecuación (12.7), repitiendo al final las coordenadas del punto de partida. Se
establecen los productos indicados por las diagonales con flecha, considerando positivos los de línea punteada y negativos los de línea continua. Luego se determina
la suma algebraica de todos los productos y se divide su valor absoluto entre 2 para
obtener el área.
XA
XB
XC
XD
XE
XA
ALFAOMEGA
YA
YB
YC
YD
YE
YA
(12.7)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
12.5 Áreas mediante el método de las coordenadas
305
El procedimiento indicado en la ecuación (12.7) es aplicable al cálculo de
una poligonal de cualquier tamaño. La siguiente fórmula, que se deduce fácilmente
de la ecuación (12.6), es una variación que también se puede usar,
1
 X (Y − YB ) X B Y Y
2 A E
+ X D (YC − YE ) + X E (YD − YA )
área =
(12.8)
Se observó anteriormente que por comodidad, puede adoptarse un sistema
de ejes en el cual se asigna X 5 0 al punto situado más al oeste y Y 5 0 a la estación situada más al sur. Con lo anterior se reducen las magnitudes de las coordenadas y de sus productos, y además se aminora la cantidad de trabajo, ya que
cuatro productos resultan iguales a cero. Sin embargo, esto no tiene importancia
si el problema se ha programado para resolverse con ayuda de una computadora
electrónica. Entonces las coordenadas obtenidas del ajuste de la poligonal pueden
usarse directamente en la solución. Sin embargo, es necesario tener precaución si
los valores de las coordenadas son muy grandes como normalmente lo serían, por
ejemplo, si se usan valores planos estatales (véase el capítulo 20). En esos casos,
para asegurar una precisión suficiente y evitar errores graves de redondeo, deberá
usarse doble precisión. O como alternativa, el punto decimal de cada coordenada
puede moverse arbitrariamente n lugares a la izquierda, calcularse el área, y luego
multiplicarse por 102n.
La ecuación (12.6) o la ecuación (12.8) pueden programarse fácilmente para
resolverlas con una computadora. El programa WOLFPACK tiene esta opción
en su menú de cálculos de coordenadas. El formato del archivo de datos para esta
opción se muestra en su pantalla de ayuda. Como se mencionó en el capítulo 10,
la opción de “poligonal cerrada” de WOLFPACK también calcula áreas usando
las coordenadas de las estaciones ajustadas de la poligonal. Se incluye una hoja
de cálculo Mathcad C12.xmcd en el sitio de la red que acompaña a este libro, que
muestra los cálculos de las secciones 12.3 a 12.5.
■ Ejemplo 12.3
La figura 12.5 presenta la misma poligonal usada en la figura 12.4. Los cálculos de
la tabla 10.4 se aplican a esta poligonal. Sin embargo, los valores de las coordenadas
que se muestran en la figura 12.5 resultan de desplazar los ejes, de modo que XA 5
0.00 (A es la estación más al poniente) y YC 5 0.00 (C es la estación más al sur).
Esto se logró restando 10,000.00 (el valor de XA) de todas las coordenadas X, y
restando 4408.22 (el valor de YC) de todas las coordenadas Y. Calcular el área de
la poligonal mediante el método de las coordenadas. (Las unidades están en pies.)
Solución
Los datos se disponen en forma tabular. La tabla 12.2 muestra el procedimiento.
Entonces el área contenida dentro de la poligonal es
área =
 1, 044, 861 − 499, 684 
= 272, 588 pies 2 ( digamos 272, 600 pies 2 ) = 6.258 acres
2
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306 DETERMINACIÓN DE ÁREAS
Y
X = 125.72
E Y = 847.71
F
X = 716.29
Y = 694.02
D
A
X = 0.00
Y = 591.78
G
X = 517.44
B
Y = 202.94
Figura 12.5
Poligonal para el
cálculo de un área
por coordenadas.
C
TABLA 12.2
X = 523.41
Y = 0.00
X
CÁLCULO DEL ÁREA MEDIANTE COORDENADAS
Área doble (pies2)
Vértice
X
(pies)
Y
(pies)
A
0.00
591.78
Positivo
(XY)
Negativo
(YX)
B
517.44
202.94
0
306,211
C
523.41
0.00
0
106,221
D
716.29
694.02
363,257
0
E
125.72
847.71
607,206
87,252
A
0.00
591.78
74,398
0
Σ 5 1,044,861
2 499,684
Σ 5 499,684
545,177
545,177  2 5 272,588 pies2 56.258 acres
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
12.6 Áreas mediante el método de doble distancia meridiana
307
Observe que la precisión del cálculo se limitó a cuatro dígitos. Esto se debe
a la propagación de errores, como se estudia en la sección 3.17.3. Como ejemplo,
considere un cuadrado que tenga la misma área que el terreno de la tabla 12.2.
La longitud de sus lados sería aproximadamente 522.1 pies. Suponiendo que estas
coordenadas tengan incertidumbre de aproximadamente 60.05 pies, el error en el
producto tal como lo da la ecuación (3.13) sería
E área = ( 522.1 × 0.05)2 + ( 522.1 × 0.05)2 =
± 37 pies 2
Así, se justifica redondear el área calculada a la centena más cercana en pies
cuadrados. Como regla preliminar, la exactitud del área no deberá establecerse
mayor que
E área = s S 2
(12.9)
donde S es la longitud del lado de un cuadrado que tenga un área equivalente al
terreno que se está considerando, y sS es la incertidumbre de las coordenadas de
los puntos que limitan el área en cuestión.
Debido a los efectos de la propagación de errores, es importante recordar
que es mejor ser conservador al expresar las áreas, y así frecuentemente se adopta
una frase tal como “6.258 acres más o menos”, especialmente cuando se redacta la
descripción de la propiedad (véase el capítulo 21).
■ 12.6 ÁREAS MEDIANTE EL MÉTODO DE DOBLE
DISTANCIA MERIDIANA
El área de una figura cerrada también puede calcularse por el método de doble
distancia meridiana (DDM). Este procedimiento requiere la compensación de las
proyecciones de los segmentos del polígono, que se obtienen normalmente por poligonación. El método de DDM no se usa en forma tan común como el método de
las coordenadas por no ser tan conveniente, pero dados los datos de una poligonal
ajustada, conduce a los mismos resultados. El método de DDM es útil para verificar los resultados obtenidos con el método de las coordenadas cuando se hacen
cálculos a mano.
Por definición, la distancia meridiana de un segmento de una poligonal es la
distancia perpendicular del punto medio del segmento al meridiano de referencia.
Para simplificar el problema de los signos, generalmente se coloca un meridiano de
referencia sobre la estación de la poligonal situada más al oeste.
En la figura 12.6 las distancias meridianas de los lados AB, BC, CD, DE y EA
son MM9, PP9, QQ9, RR9 y TT9, respectivamente. Para expresar PP9 en función de
distancias convenientes, se trazan MF y BG perpendiculares a PP9. Entonces
PP9 5 P9F 1 FG 1 GP
1
1
proyección paralela de AB 1
5 distancia meridiana de AB 1
2
2
proyección paralela de BC
En consecuencia, la distancia meridiana de cualquier lado de una poligonal
es igual a la distancia meridiana del lado precedente, más la mitad de la proyección
paralela de dicho lado anterior, más la mitad de la proyección paralela del lado en
cuestión. Es más sencillo usar las proyecciones enteras de los lados. Por lo tanto, se
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308 DETERMINACIÓN DE ÁREAS
E´
Meridiano de referencia
E
R
R´
T´
D´
T
D
A
M
M´
Q
Q´
Figura 12.6
Cálculo de
distancias
meridianas y
del área de un
polígono mediante
doble distancia
meridiana (DDM).
B
B´
P´
C´
F
G
P
C
emplean las dobles distancias meridianas (DDM) que se obtienen multiplicando
por 2 la expresión anterior y se efectúa una división entre 2 al final de los cálculos.
Con base en las consideraciones descritas, puede aplicarse la siguiente regla
general para calcular las dobles distancias meridianas: la DDM de un lado cualquiera de un polígono es igual a la DDM del lado anterior, más la proyección paralela de dicho lado, más la proyección paralela del lado en cuestión. Deben considerarse los signos de las proyecciones. Cuando la meridiana de referencia se escoge
de manera que pase por la estación situada más al oeste de una poligonal cerrada
y se inician los cálculos de la doble distancia meridiana con un lado que pase por
dicha estación, la DDM del primer lado es su proyección paralela. Aplicando estas
reglas a la poligonal de la figura 12.6, se tiene
DDM de AB 5 proyección paralela de AB
DDM de BC 5 DDM de AB 1 proyección paralela de AB
1 proyección paralela de BC
Se obtiene una verificación de todos los cálculos si la DDM del último lado,
después de recorrer toda la poligonal, también es igual a su proyección paralela, pero con signo contrario. Si existe una diferencia significa que no se ajustaron
correctamente las proyecciones antes de comenzar o se cometió un error en los
cálculos. El área delimitada por la poligonal ABCDEA de la figura 12.6 puede
expresarse en función de áreas de trapezoide en la forma siguiente (mostrado por
diferentes tonalidades de sombras):
área 5 E9EDD9E9 1 C9CDD9C9 2 (AB9BA
1 BB9C9CB 1 AEE9A)
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(12.10)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
12.6 Áreas mediante el método de doble distancia mer
309
El área de cada una de estas figuras es igual a la distancia meridiana de
un lado, multiplicada por su proyección meridiana corregida. En este caso, por
ejemplo, el área del trapezoide C9CDD9C9 5 Q9Q  C9D9, siendo Q9Q y C9D9 la
distancia y la proyección meridianas, respectivamente, de la línea CD. La DDM
de un lado, multiplicada por su proyección meridiana, es igual al doble del área delimitada. Entonces, la suma algebraica de todas las dobles áreas da el doble del área
de la poligonal cerrada. Tienen que tomarse en consideración los signos de los productos de las DDM. Si la línea de referencia pasa por el vértice o estación situada
más al poniente, todas las DDM son positivas. Los productos de las DDM y las
proyecciones norte son, por tanto, positivos, y los de las DDM y las proyecciones
sur son negativos.
■ Ejemplo 12.4
Usando las proyecciones corregidas de la tabla 10.4 para la poligonal de la figura
12.6, calcular las DDM de todas las líneas.
Solución
Los cálculos, hechos en forma tabular siguiendo la regla general, se muestran en
la tabla 12.3.
■ Ejemplo 12.5
Usando las DDM determinadas en el ejemplo 12.4, calcular el área de la poligonal.
TABLA 12.3
CÁLCULO DE LAS DDM
Proyección paralela de AB 5
1 517.444 5 DDM de AB
Proyección paralela de AB 5
1 517.444
Proyección paralela de BC 5
1 5.964
11040.852 5 DDM de BC
Proyección paralela de BC 5
1 5.964
Proyección paralela de CD 5
1 192.881
11239.697 5 DDM de CD
Proyección paralela de CD 5
1 192.881
Proyección paralela de DE 5
2 590.571
Proyección paralela de DE 5
2 590.571
Proyección paralela de EA 5
2 125.718
1842.007 5 DDM de DE
1125.718 5 DDM de EA ✓
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310 DETERMINACIÓN DE ÁREAS
TABLA 12.4
CÁLCULO DEL ÁREA POR DDM
Áreas dobles (pies2)
Lado
AB
Proyección X Proyección Y
corregida
corregida
(pies)
(pies)
DDM
(pies)
517.44
2388.84
517.44
Más
Menos
201,201
BC
5.96
2202.95
1040.85
CD
192.88
694.02
1239.70
860,376
211,240
DE
2590.57
153.69
842.01
129,408
EA
2125.72
2255.93
125.72
Total
0.00
0.00
32,176
989,784
444,617
2444,617
545,167
2
545,167  25272,584 pies (digamos 272,600 pies2) 5 6.258 acres
Solución
Los cálculos del área por DDM se disponen generalmente como en la tabla 12.4,
aunque puede sustituirse tal disposición por una forma combinada. Se determinan
las sumas individuales de las dobles áreas positivas y negativas, y se resta del mayor el valor absoluto más pequeño. El resultado se divide entre dos para obtener
el área (272,600 pies2) y entre 43,560 para determinar el número de acres (6.258).
Observe que la respuesta concuerda con la obtenida con el método de las coordenadas.
Si el total de las dobles áreas negativas es mayor que el total de las positivas,
esto significa que sólo se calcularon las DDM recorriendo la poligonal en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj.
En la práctica moderna de la topografía y en las oficinas de ingeniería en general, rara vez se hacen los cálculos de áreas a mano; más bien se usan programas
de computadora para tal fin. Sin embargo, si un área se calcula a mano, ésta debe
verificarse usando diferentes métodos o hacerlo dos personas usando el mismo
procedimiento. Por ejemplo, una persona trabajando sola podría calcular las áreas
con el método de las coordenadas y verificarlas con el método de las DDM. Quienes cuentan con experiencia en topografía (geomática) reconocen que media hora
invertida en verificar los cálculos en el campo y en la oficina puede evitar posteriores frustraciones y pérdidas de tiempo. La hoja de cálculo Mathcad C12.XMCD,
que está disponible en el sitio de la red, muestra la programación del método de
coordenadas estudiado en este libro.
■ 12.7 ÁREA DE FIGURAS CON LÍMITES CIRCULARES
El área de una figura con un tramo circular como parte de su perímetro, según se
muestra en la figura 12.7, puede calcularse dividiendo la figura en dos partes: en
el polígono ABCDEGFA y en el sector circular EGF. El radio R 5 EG 5 FG y el
ALFAOMEGA
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12.8 Delimitación de terreno
311
D
X
E
R
θ
G
F
A
C
Figura 12.7
Terreno con línea
curva como parte
de su lindero.
B
ángulo central  5 EGF, o bien, la longitud EF, deben conocerse o calcularse para
poder determinar el área del sector EGF. Si se conocen R y el ángulo central ,
entonces el área del sector es
EGF 5 pR2  (/360°)
(12.11)
Si se conoce la longitud de la cuerda EF, el ángulo  5 2 sen−1 (EF/2R), y se
usa la ecuación anterior para calcular el área del sector. Para determinar el área
total de la figura, se suma el área del sector circular al área de la poligonal ABCDEGFA; esta última puede calcularse con el método de la DDM o el de coordenadas rectangulares.
Otro método que puede usarse es calcular el área de la poligonal ABCDEFA, y luego sumar el área del segmento que está en la región entre el arco y la
cuerda EF. El área de un segmento se encuentra como
Área del segmento 5 0.5 R2 ( 2 sen )
(12.12)
donde  se expresa en unidades de radianes.
■ 12.8 DELIMITACIÓN DE TERRENOS
Los cálculos para propósitos de delimitación de terrenos —es decir, segregar una
parte de un terreno para traslado de dominio— pueden ser apoyados significativamente por el uso de coordenadas. Por ejemplo, suponga que el dueño de la porción
de terreno de la figura 12.5 desea subdividir el terreno con la línea GF, paralela a
AE, para separar 3.000 acres del terreno AEFG. Este problema puede abordarse
con tres métodos diferentes. El primero consiste en la prueba y el error, y funciona
bastante bien dadas las posibilidades actuales de la computación. El segundo consiste en escribir ecuaciones para figuras geométricas simples, tales como triángulos,
rectángulos y trapezoides que permitan la obtención de una solución única para las
coordenadas de los puntos F y G. El tercer enfoque consiste en establecer una serie
de ecuaciones de geometría analítica, junto con una ecuación para el área, y luego
despejar las coordenadas de F y G. Las siguientes subsecciones describen cada uno
de los procedimientos anteriores.
12.8.1 El método de prueba y error
En este enfoque, se determinan las coordenadas estimadas de la posición de las
estaciones F y G, y se calcula el área del lote AEF9G9 usando la ecuación (12.6)
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ALFAOMEGA
312 DETERMINACIÓN DE ÁREAS
donde F9 y G9 son las posiciones estimadas de F y G. Este procedimiento se repite
hasta que el área del lote sea igual a 3.000 acres, o sea 130,680 pies2.
Paso 1: Usando las longitudes y las direcciones finales ajustadas calculadas en el
ejemplo 10.8 y las coordenadas de A y E del ejemplo 12.3, y estimando la
posición de la línea de segregación como la mitad de la distancia a lo largo
de la línea ED (es decir, 610.24  2 5 305.12 pies), las coordenadas de las
estaciones F9 y G9 en el lote AEF9G9 se calculan como
Estación F9:
X 5 125.72 1 305.12 sen 104°35913 5 421.00
Y 5 847.71 1 305.12 cos 104°35913 5 770.87
Estación G9: se determina mediante la intersección de dirección-dirección
usando los procedimientos estudiados en la sección 11.4. Con el WOLFPACK, las coordenadas de la estación G9 son
X 5 243.24 y Y 5 408.99
Creando un archivo para los cálculos de áreas, el área contenida por estas
cuatro estaciones es solamente 102,874 pies2. Ya que 3.000 acres equivalen
a 130,680 pies2, la distancia estimada de 305.12 es demasiado corta. Ahora
puede incrementarse y el proceso puede repetirse.
Paso 2: Para estimar la cantidad necesaria para incrementar la distancia, se hace la
hipótesis de que la figura F9FGG9 es un rectángulo, con un lado de longitud
F9G9, o sea 403.18 pies, donde esa longitud se obtiene invirtiendo las coordenadas de F9 y G9 del paso 1. Así, la cantidad para mover la línea F9G9
se determina como
(130,680 2 102,874)/403.18 5 68.97 pies
Así, para el segundo intento, la distancia de F9 a E deberá ser 305.12 1
68.97 5 374.09 pies. Usando el mismo procedimiento que en el paso 1, el
área de AEF9G9 es 131,015 pies2. Ahora el área determinada es demasiado
grande, y puede reducirse usando la misma hipótesis que se usó al inicio de
este paso. Así la distancia EF9 deberá ser
EF9 5 374.09 1 (130,680 2 131,015)/
(longitud de F9G9) 5 374.09 2 0.78 5 373.31
Este proceso se repite hasta que se determinan las coordenadas finales de F y
G. La siguiente iteración arrojó coordenadas de F9 de (487.00, 753.69) y de G9
de (297.61, 368.14). Usando estas coordenadas, se calculó el área del lote como
130,690 pies2, con un exceso de 10 pies2. El proceso se repite nuevamente, lo que
conduce a una reducción de la distancia EF9 de 0.02 pie, o sea EF9 5 373.29 pies.
El área resultante para AEF9G9 es 130,679 pies2. Ya que a esto le falta 1 pie2 para
llegar al área, se aceptan las coordenadas como
F 5 (486.98, 753.70)
G 5 (297.59, 368.16)
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
12.8 Delimitación de terreno
313
El enfoque de prueba y error puede aplicarse para resolver muchos tipos
diferentes de problemas de delimitación de terrenos. Aunque parezca que el procedimiento incluye un gran número de cálculos, en muchos casos proporciona la
solución más rápida y más fácil cuando se dispone de un programa de computadora como WOLFPACK para hacer los cálculos de geometría analítica.
12.8.2 Uso de figuras geométricas simples
Como puede verse en la figura 12.8, el lote AEFG es un paralelogramo. Entonces
puede emplearse la fórmula del área de un paralelogramo [A 5 1/2 (b1 1 b2)h],
donde b1 es AE y b2 es FG. En este procedimiento debe determinarse una relación
trigonométrica entre la longitud desconocida EF (denotada como d en la figura
12.8) y las partes faltantes h, FE9, y A9G. De la figura, pueden determinarse los
ángulos a y b a partir de diferencias de acimut, como
a 5 AZEE9 2 AZED
b 5 AZAB 2 AZAA9
Observe en la tabla 10.7 que AZEA es 206°09941, y así AZAA9 y AZEE9, que
son perpendiculares a la línea EA son 206°09941 2 90° 5 116°09941. También
X = 125.72
E Y = 847.71
d
h
F
α
X = 716.29
Y = 694.02
D
E´
A
X = 0.00
Y = 591.78
h
β
A´
G
X = 517.44
B
Y = 202.94
C
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
X = 523.41
Y = 0.00
X
Figura 12.8
Partición de
terrenos mediante
figuras geométricas
simples.
ALFAOMEGA
314 DETERMINACIÓN DE ÁREAS
de la tabla 10.7, AZED y AZAB son 104°35913 y 126°55923, respectivamente. Así,
los valores numéricos de a y b son:
a 5 116°09941 2 104°35913 5 11°34928
b 5 126°55923 2 116°09941 5 10°45942
Ahora las partes h, FE9 y A9G pueden expresarse en términos de la distancia desconocida d como
h 5 d cos a
(12.13)
FE9 5 d sen a
A9G 5 h tan b 5 d cos a tan b
La fórmula del área del paralelogramo AEFG es
1/2 (AE 1 FE9 1 AE 1 A9G)h 5 130,680
(12.14)
Sustituyendo las ecuaciones (12.13) en la ecuación (12.14), y reordenando se obtiene
(cos2 a tan b 1 cos a sen a ) d 2 1 (2 (AE) cos a ) d 2 261,360 5 0
(12.15)
La expresión (12.15) es una ecuación cuadrática, y puede resolverse usando la
ecuación (11.3). Sustituyendo los valores apropiados en la ecuación (12.15) y resolviendo se obtiene d 5 EF 5 373.29 pies. Esta es la misma respuesta que se obtuvo
en la sección 12.8.1.
Este enfoque de usar las ecuaciones de las figuras geométricas simples es
conveniente para resolver varios problemas de partición de terrenos.
12.8.3 El método de las coordenadas
Este método consiste en usar las ecuaciones (10.11) y (12.8) para obtener cuatro
ecuaciones con cuatro incógnitas XF, YF, XG y YG, que tienen una solución única.
Por la ecuación (10.11), pueden escribirse las tres siguientes ecuaciones de geometría analítica:
(12.16)
(12.17)
(12.18)
También mediante la ecuación para el área (12.8):
XA(YG 2 YE) 1 XE (YA 2 YF) 1 XF (YE 2 YG)
1 XG (YF 2 YA) 5 2  área
ALFAOMEGA
(12.19)
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
12.9 Áreas calculadas por mediciones en mapas
315
La sustitución de las coordenadas conocidas XA, YA, XB, YB, XD, YD, XE y YE
en las ecuaciones (12.16) a (12.19) arroja cuatro ecuaciones que pueden resolverse
para las cuatro coordenadas desconocidas. Las cuatro ecuaciones pueden resolverse simultáneamente, por ejemplo usando métodos matriciales, para determinar las
coordenadas desconocidas para los puntos F y G. (Se incluye un programa MATRIX en el sitio de la red que acompaña a este libro.)
Alternativamente, las cuatro ecuaciones pueden resolverse por sustitución.
En este enfoque, las ecuaciones (12.16) y (12.17) se reescriben en términos de
una de las incógnitas, digamos XF y XG. Entonces estas dos ecuaciones nuevas se
sustituyen en las ecuaciones (12.18) y (12.19). Ahora las ecuaciones resultantes
contienen dos incógnitas YF y YG. Entonces la ecuación correspondiente a la ecuación (12.18) puede resolverse en términos de la incógnita YF, por ejemplo, y ésta
puede sustituirse en la ecuación que corresponde a la (12.19). La expresión resultante será una ecuación cuadrática en términos de YG, que puede resolverse
usando la ecuación (11.3). Así, esta solución puede sustituirse en las ecuaciones
anteriores para obtener las tres incógnitas restantes.
■ 12.9 ÁREAS CALCULADAS POR MEDICIONES EN MAPAS
Para determinar el área de un terreno con base en mediciones hechas en mapas,
sus linderos deben identificarse primero sobre un mapa dibujado con los datos del
levantamiento. Posteriormente puede usarse alguno de los métodos disponibles
para determinar su área. La precisión obtenida al ejecutar determinaciones de área
con mediciones en mapas, está relacionada directamente con la exactitud de los
mapas usados; ésta depende, a su vez, de la calidad de los datos del levantamiento, de la escala del mapa y también de la precisión del proceso de dibujo. Por lo
tanto, si se usan mapas existentes para determinar áreas, sus calidades deben verificarse primero.
Por lo general, aun con mapas de buena calidad, las áreas medidas con ellos
no serán tan exactas como las calculadas directamente con base en los datos de
un levantamiento. La escala del mapa y los dispositivos usados para obtener las
medidas son los factores principales que afectan la precisión obtenida en el área.
Por ejemplo, si se dibuja un mapa a una escala de 1000 pies/1 plg, y se utiliza un
es-calímetro que realiza mediciones hasta de 60.02 plg, las distancias o coordenadas escaladas de este mapa no pueden ser mejores que aproximadamente (60.02 
1000) 5 620 pies. Esta inexactitud puede producir errores considerables en áreas. La
dilatación y la contracción diferencial del material con que se dibujan los mapas es
otra fuente de error en la determinación de áreas hecha con base en mediciones en
mapas. Los cambios en la dimensión de 2 a 3% son comunes en ciertos tipos de papel.
(Los tipos de mapas y mapeos se ven con más detalle en los capítulos 17 y 18.)
También pueden usarse fotografías aéreas como sustitutos de mapas para
determinar las áreas aproximadas si pueden identificarse los linderos del terreno.
Las áreas son aproximadas, como se explica en el capítulo 27, ya que con excepción
de las áreas planas, la escala de una fotografía aérea no es uniforme en todos los
puntos. Las fotografías aéreas son especialmente útiles para determinar áreas de
terrenos con forma irregular, como los lagos. En las subsecciones que siguen se
describen diferentes procedimientos para determinar áreas en los mapas.
12.9.1 Área calculada mediante cuadriculación
Un método sencillo para determinar áreas consiste en superponer el terreno levantado sobre una transparencia que tenga una cuadrícula superpuesta. Entonces
se cuenta el número de cuadros dentro del terreno, estimando y sumando el total
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
316 DETERMINACIÓN DE ÁREAS
de los cuadros parciales. El área es el producto del número total de cuadros por el
área representada por cada cuadro. Como ejemplo, si los cuadros tienen 0.20 plg
de lado, y se superpone un mapa a una escala de 200 pies/plg, cada cuadro es equivalente a (0.20  200)2 5 1600 pies2.
12.9.2 Áreas calculadas por longitudes a escala
Si los linderos de un terreno se identifican en un mapa, el terreno puede dividirse
en triángulos, rectángulos u otras figuras regulares, medirse luego los lados, calcularse las áreas individuales y sumarlas para obtener el área total.
12.9.3 Áreas calculadas por digitalización de las coordenadas
Un terreno trazado en un mapa puede colocarse sobre una mesa digitalizadora en
interfase con una computadora y registrarse rápidamente las coordenadas de sus
vértices. Con base en el archivo de coordenadas, el área se puede calcular usando
una de las ecuaciones (12.6) o (12.8). Sin embargo, debe recordarse que aunque las
coordenadas pueden digitalizarse hasta el 0.001 plg más cercano, su precisión real
no puede ser mejor que la del mapa del que se tomaron los datos. La determinación de áreas por digitalización de mapas existentes se está practicando actualmente en forma amplia para crear bases de datos para los sistemas de información geográfica. Frecuentemente, el área de un terreno en un mapa creado en un sistema de
diseño y dibujo asistido por computadora (CADD), puede determinarse usando
este método simplemente al seleccionar los linderos del terreno. Este es el método
más común que se emplea actualmente.
12.9.4 Medida de áreas con planímetro
Un planímetro mide el área contenida dentro de cualquier figura cerrada que sea
circunscrita por la punta trazadora. Existen dos tipos de planímetros: el mecánico
y el electrónico. Las partes principales de un planímetro mecánico polar son el
escalímetro, el tambor rodante y el disco graduados, el vernier, la punta delineadora y su guarda, el brazo polar, un peso y el polo. El escalímetro puede ser fijo
o ajustable. En el caso de un planímetro con brazo fijo, una revolución del disco
(indicador) representa 100 plg2 y una vuelta del tambor (integrador) representa
10 plg2. El tipo ajustable puede ajustarse para leer unidades de área directamente
según la escala del plano considerado. El instrumento toca al plano sólo en tres
partes: el polo de anclaje, el tambor rodante y el guardapuntas.
Debido a su facilidad de uso, el planímetro electrónico (figura 12.9) ha
reemplazado a su contraparte mecánica. Un planímetro electrónico trabaja en forma similar al mecánico, excepto que los resultados aparecen en forma digital en
una pantalla. Las áreas pueden expresarse en centímetros cuadrados o pulgadas
cuadradas, y fijando un factor de escala apropiado pueden determinarse directamente en hectáreas o en acres. Algunos instrumentos tienen multiplicadores para
calcular automáticamente volúmenes, cuyos valores aparecen en la pantalla.
Como ejemplo de utilización de un planímetro mecánico, supóngase que va a
medirse el área delimitada por la poligonal de la figura 12.5. El brazo polar debajo
del peso se coloca en una posición exterior a la poligonal (si se sitúa dentro, tiene
que agregarse una constante polar), y se lleva la punta delineadora al vértice A. Se
toma una lectura inicial, por ejemplo de 7231, en la cual el 7 proviene del disco, el
23 del tambor y el 1 del vernier. Se mueve la punta con cuidado sobre los lados de
la poligonal de A a B, C, D y E y de regreso a A. El brazo trazador puede dirigirse
por medio de una escuadra o de una regla, pero normalmente se le conduce a pulso. Se toma una lectura final de 8596. La diferencia entre las lecturas inicial y final,
o sea 1365, se multiplica por la constante del planímetro para obtener el área. Para
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12.9 Áreas calculadas por mediciones en mapas
317
Figura 12.9
Planímetro
electrónico.
(Cortesía de
Topcon Positioning
Systems.)
determinar la constante del planímetro se traza cuidadosamente un cuadrado de
5 plg de lado, con diagonales de 7.07 plg, y su perímetro se recorre con el planímetro. Si la diferencia entre las lecturas final e inicial para este cuadrado de 5 plg es
de 1250 por ejemplo, se tendrá:
5 plg  5 plg 5 25 plg2 5 1250 unidades
La constante del planímetro es entonces
1 unidad =
25
= 0.020 plg 2
1250
Por ultimo, el área de la poligonal es
área 5 1365 unidades  0.020 5 27.3 plg2
Si la poligonal se traza a una escala del plano de 1 plg 5 100 pies, se tiene que
1 plg2 5 10,000 pies2 y el área medida es de 273,000 pies2.
Como verificación de la operación del planímetro, el contorno puede recorrerse en sentido contrario. Las lecturas inicial y final en el punto A deben concordar dentro de un límite de quizá dos a cinco unidades.
La precisión lograda con el planímetro depende de la habilidad del operador,
de la exactitud del plano trazado, del tipo de papel y de otros factores. Si se hace un
trabajo cuidadoso pueden obtenerse resultados dentro de 1/2% a 1%.
El planímetro es muy útil para determinar áreas irregulares, como la de la
figura 12.3, y tiene muchas aplicaciones en topografía e ingeniería. El planímetro
se utiliza mucho en departamentos de construcción de carreteras para determinar
las áreas de las secciones transversales, y también es útil para la determinación de
áreas de lagos y cuencas de drenaje registradas en fotografía aérea y en la verificación de áreas calculadas en los levantamientos de predios o catastrales.
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318 DETERMINACIÓN DE ÁREAS
■ 12.10 SOFTWARE
Como se estudia en este capítulo, hay varios métodos para determinar el área
de un terreno o una figura. El método de área por coordenadas es el que se usa en
forma más común en la práctica. Sin embargo, algunas veces se usan otros métodos
en situaciones insólitas que requieren de una solución ingeniosa. Comúnmente,
el software emplea el método de área por coordenadas. Por ejemplo, un paquete de software de CADD puede emplear las coordenadas de cualquier terreno
con forma irregular para determinar rápidamente su área mediante el método de
coordenadas. WOLFPACK utiliza este método para determinar el área contenida
en una figura a partir de un listado de coordenadas en orden secuencial. También
es posible ingresar las coordenadas de los linderos de un terreno en un paquete
CADD para determinar el área contenida por un terreno. Para quienes deseen
ver una programación de alto nivel de varios de los ejemplos estudiados en este
capítulo, se les invita a revisar la hoja de cálculo Mathcad C12.XMCD, que puede
encontrarse en el sitio de la red que acompaña a este libro.
■ 12.11 FUENTES DE ERROR EN LA DETERMINACIÓN
DE ÁREAS
Algunas fuentes de error en el cálculo de áreas son:
1. Errores en los datos de campo de donde se obtienen coordenadas o se elaboran mapas.
2. Selección inadecuada de intervalos y de referencias normales (ordenadas)
para delimitar adecuadamente un contorno irregular dado.
3. Cometer errores al medir a escala los mapas.
4. Contracción y dilatación de los mapas.
5. Usar cuadros de una cuadrícula que sean demasiado grandes y que, por tanto, dificultan la estimación de las áreas en cuadrados parciales.
6. Ajuste incorrecto en la escala del planímetro.
7. Salirse de la orilla del papel del plano con el tambor rodante del planímetro.
8. Usar diferentes tipos de papel para el plano y para la hoja de calibración del
planímetro.
■ 12.12 EQUIVOCACIONES EN LA DETERMINACIÓN
DE ÁREAS
Al calcular áreas, las equivocaciones que se cometen comúnmente son:
1. Olvidar que se divide entre 2 en los métodos de la doble distancia meridiana
y de las coordenadas rectangulares.
2. Confundir los signos de las coordenadas, de las proyecciones y de las dobles
distancias meridianas.
3. Olvidar repetir las coordenadas del primer punto en el área para el método
de las coordenadas rectangulares.
4. No comprobar el cálculo de un área con un método diferente.
5. No trazar un croquis a escala o en proporción general para verificación visual.
6. No verificar la constante de escala del planímetro, determinando el área de
una figura de superficie conocida.
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Problemas 319
PROBLEMAS
Los asteriscos (*) señalan los problemas cuya solución se encuentra en el apéndice G.
12.1* Calcule el área del polígono ABDFGA de la figura 12.1 usando triángulos.
12.2 Similar al problema 12.1, excepto para el polígono BGFDB de la figura 12.1.
12.3 Calcule el área entre la línea AGBA y la línea de costa en la figura 12.1, usando
el método de referencias normales.
12.4 Aproximadamente, ¿cuál es la incertidumbre estimada en la magnitud de
870,684 pies2 si el error estimado en las coordenadas fue de ±0.2 pie?
12.5* Determine el área entre un lago y una línea recta AG, desde la que se toman normales a intervalos irregulares como sigue (todas las distancias están en pies):
Punto base
A
Distancia desde A
Referencia normal
0.00 0 1 54.80 1132.54 2113.02 2198.74 3145.68 4150.17
12.3
34.2
56.5
85.4
69.1
68.9
23.9
12.6
B
C
D
E
F
G
Repita el problema 12.5 con las siguientes referencias normales en metros.
Punto base
A
B
Distancia desde A
Referencia normal
0.00
2.15
20.000
3.51
C
D
E
F
G
78.940 148.963 163.654 203.691 250.454
4.04
6.57
5.87
4.64
1.65
12.7
Use el método de las coordenadas para calcular el área de la poligonal del problema 10.18.
12.8 Evalúe mediante coordenadas el área delimitada por la poligonal del problema
10.11.
12.9 Calcule mediante dobles distancias meridianas el área delimitada por la poligonal del problema 10.8.
12.10* Determine el área del polígono del problema 10.11 mediante dobles distancias
meridianas.
12.11 Mediante el método de doble distancia meridiana, encuentre el área del polígono del problema 10.20.
12.12 Calcule el área de la poligonal del problema 10.17 usando el método de coordenadas. Compruebe mediante dobles distancias meridianas.
12.13 Calcule el área del polígono del problema 10.18 empleando coordenadas y compruebe mediante dobles distancias meridianas.
12.14 Calcule el área del polígono del problema 10.19 empleando el método de doble
distancia meridiana. Compruebe con el procedimiento de coordenadas.
12.15 Encuentre el área de la poligonal del problema 10.25 usando el método de doble
distancia meridiana. Compruebe mediante coordenadas.
12.16* Determine el área del lote del problema 10.26.
12.17 Calcule el área del Lote 15 en la figura 21.2.
12.18 Trace el lote del problema 10.25 a la escala de 1 plg 5 100 pies. Determine el
área delimitada por dicha poligonal usando un planímetro.
12.19 Similar al problema 12.18, excepto que se refiere a la poligonal del problema 10.26.
12.20 Trace la poligonal del problema 10.19 a una escala de 1 plg 5 200 pies, y determine el área por planimetría.
12.21 Enseguida se muestran las coordenadas (X, Y) (en pies) de una poligonal cerrada ABCDEFA. A (1000.00, 1000.00), B (1645.49, 1114.85), C (1675.95,
1696.05), D (1178.99, 1664.04), E (1166.62, 1337.78) y F (996.53, 1305.30). Calcule
el área del polígono por el método de coordenadas.
12.22 Calcule mediante dobles distancias meridianas el área en hectáreas delimitada
por una poligonal cerrada ABCDEFA situando los ejes X y Y de manera que
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320 DETERMINACIÓN DE ÁREAS
12.23
12.24
12.25
12.26
12.27
12.28
12.29
pasen por las estaciones más al sur y más al poniente, respectivamente. Las proyecciones ortogonales (en metros) son las siguientes: AB: Proy. E 5 30, Proy. N 5 40;
BC: Proy. E 5 70, Proy. N 5 10; CD: Proy. E 5 30, Proy. S 5 50; DE: Proy. W 5 60,
Proy. S 5 40; EF: Proy. W 5 90, Proy. S 5 30; FA: Proy. E 5 20, Proy. N 5 70.
Calcule el área de un lote o predio delimitado por una poligonal y un arco circular
con las siguientes coordenadas de los vértices: A (1275.11, 1356.11), B (1000.27,
1365.70), C (1000.00, 1000.00), D (1450.00, 1000.00) con un arco circular de radio
CD que comienza en D y termina en A con la curva fuera de la línea AD.
Calcule el área de un lote o predio delimitado por una poligonal y un arco circular con las siguientes coordenadas de los vértices en pies: A (526.68, 823.98), B
(535.17, 745.61), C (1745.17, 745.61), D (745.17, 845.61), E (546.62, 846.14) con un
arco circular de 25 pies de radio que comienza en E, tangente a DE, y que termina
en A.
Divida el área del lote del problema 12.23 en dos partes iguales con una línea
que pase por el punto B. Indique en forma de lista, y en orden, las longitudes y
los acimutes de todos los lados de cada fracción.
Divida el lote del problema 12.24 en dos partes iguales con una línea paralela a
BC. Tabule en orden consecutivo y en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, las longitudes y los rumbos de todos los lados de cada porción.
El lote ABCD entre dos líneas de calle paralelas mide 350.00 pies de fondo, y
tiene un frente de 220.00 pies (AB) sobre una de las calles, y un frente de 260.00
pies (CD) sobre la otra. Los ángulos interiores en A y B son iguales, como lo
son también los ángulos en C y D. ¿Qué distancias AE y BF debe determinar un
topógrafo para dividir el lote en dos partes iguales por medio de una línea EF
paralela a AB?
Particione 1 acre de la parte al norte del lote ABCDEFA en el problema (12.21)
de modo que su lindero al sur sea paralelo a la línea al norte.
Escriba una hoja de cálculo de computadora para calcular áreas de poligonales
cerradas mediante el método de las coordenadas.
BIBLIOGRAFÍA
Chrisman, N. R., y B. S. Yandell. 1988. “Effects of Point Error on Area Calculations: A
Statistical Model.” Surveying and Land Information Systems 48 (Núm. 4): 241.
Easa, S. M. 1988. “Area of Irregular Region with Unequal Intervals.” ASCE, Journal of
Surveying Engineering 114 (Núm. 2): 50.
El-Hassan, I. M. 1987. “Irregular Boundary Area Computation by Simpson9s 3/8 Rule.”
ASCE, Journal of the Surveying Engineering Division 113 (Núm. 3): 127.
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13
Sistemas globales de
navegación satelital:
introducción
y principios
de operación
■ 13.1 INTRODUCCIÓN
Durante la década de los setenta, emergió el Sistema de Posicionamiento Global
(GPS), que provino del programa espacial, el cual se basa en las señales transmitidas por los satélites para su operación. Es el resultado de la investigación y el
desarrollo financiados por las fuerzas armadas para producir un sistema de navegación y guía global. Recientemente, otros países están desarrollando sus propios
sistemas. Así, la gama completa de sistemas satelitales que se usan para el posicionamiento se denomina en la actualidad sistemas globales de navegación satelital
[(GNSS: Global Navigation Satellite Systems)]. Los receptores que usan satélites
de GPS y otro sistema tal como GLONASS, Galileo, y Beidou (véase la sección
13.10) se conocen como receptores GNSS. Estos sistemas proporcionan información de posicionamiento y de sincronización precisos en cualquier parte de la Tierra con una alta confiabilidad y un bajo costo. El sistema puede operarse de día o
de noche, durante la lluvia o tiempo soleado, y no requiere de líneas visuales despejadas entre las estaciones topográficas. Esto representa una revolucionaria desviación de los procedimientos topográficos convencionales, los cuales dependen de
las distancias y los ángulos observados para la determinación de las posiciones de
los puntos. Como todos estos sistemas comparten características similares, aquí se
va a estudiar el GPS con mayor detalle.
El desarrollo de esta primera generación de sistemas de posicionamiento
por satélite comenzó en 1958. Este sistema inicial, conocido como Navy Navigation Satellite System (NNSS), comúnmente llamado sistema TRANSIT, operaba
con el principio Doppler. En este sistema, los desplazamientos Doppler (cambios
de frecuencia) de las señales transmitidas por los satélites eran medidos por
receptores ubicados en las estaciones terrestres. Los desplazamientos Doppler
322 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
observados son una función de las distancias a los satélites y de sus direcciones de
movimiento con respecto a los receptores. Se conocía la frecuencia de transmisión y, junto con datos exactos de la posición orbital del satélite y un cronometraje preciso de las observaciones, podía determinarse la posición de las estaciones
receptoras. La constelación de satélites en el sistema TRANSIT, que variaba en
número de cinco a siete, operaba en órbitas polares a alturas de aproximadamente
1100 km. El objetivo del sistema TRANSIT era ayudar a la navegación de la flota
submarina Polaris de la Marina de Estados Unidos. El primer uso civil autorizado
del sistema ocurrió en 1967, y la comunidad de topógrafos adoptó rápidamente
la nueva tecnología, encontrándola especialmente útil para los levantamientos
de control. Aun cuando los primeros instrumentos eran voluminosos y caros, las
sesiones de observación eran largas y las precisiones logradas eran sólo moderadas, el programa Doppler fue, sin embargo, un hito importante del posicionamiento por satélite en general, y especialmente en la topografía.
Debido al éxito del programa Doppler, el Departamento de Defensa de Estados Unidos comenzó el desarrollo del sistema de posicionamiento global NAVigation Satellite Timing and Ranging (NAVSTAR). El primer satélite de apoyo para
el desarrollo y prueba del sistema se puso en órbita en 1978. A partir de esta fecha
se han lanzado muchos satélites adicionales. El sistema de posicionamiento global,
desarrollado con un costo de aproximadamente 12 billones de dólares (en Estados
Unidos, un billón equivale a mil millones), se hizo completamente operativo en
diciembre de 1993. Al igual que las primeras versiones Doppler, el sistema de posicionamiento global se basa en las observaciones de las señales transmitidas por los
satélites cuya posición dentro de sus órbitas se conoce con precisión. Las señales
también se captan con receptores ubicados en estaciones terrestres. Sin embargo,
los métodos para determinar la distancia de los receptores a los satélites, y de las
posiciones de cálculo de los receptores, son diferentes. Estos métodos se describen
en las últimas secciones de este capítulo. Las generaciones actuales de receptores
GPS se muestran en las figuras 1.4 y 13.1. El tamaño y el costo del equipo GPS
se han reducido considerablemente con respecto a los del programa Doppler, y se
han simplificado los procedimientos de campo y de gabinete que intervienen en
los levantamientos con GPS, de modo que actualmente se pueden alcanzar altas
precisiones en tiempo real.
■ 13.2 EL PANORAMA DEL GPS
Como se observó en la sección anterior, a partir de la información de las señales y
del cronometraje, se determinan las distancias precisas desde los satélites hasta los
receptores, permitiendo el cálculo de la posición de los receptores. En el sistema
de posicionamiento global, los satélites se convierten en las estaciones de referencia o de control, y los rangos (distancias) a estos satélites se usan para calcular la
posición de los receptores. Conceptualmente, esto equivale al reseccionamiento en
el trabajo tradicional de topografía terrestre, como se describió en la sección 11.7,
donde se observan distancias, ángulos o ambos desde una estación terrestre desconocida hasta los puntos de control de la posición conocida.
El sistema de posicionamiento global puede separarse arbitrariamente en
tres partes: (a) el segmento espacial, (b) el segmento de control y (c) el segmento
del usuario. El segmento espacial consiste en 24 satélites que operan en seis planos orbitales separados por intervalos de 60° alrededor del ecuador. Se mantienen
en reserva cuatro satélites adicionales como repuesto. Los planos orbitales están
inclinados a 55° con respecto al ecuador [véase la figura 13.2(b)]. Esta configuración provee una cobertura de satélite de 24 horas entre las latitudes de 80°N y
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13.2 El panorama del GPS
(a)
(b)
323
Figura 13.1
(a) Los receptores
Trimble R10 y
(b) Sokkia GRX2
GNSS. (Cortesía
de (a) Trimble
Navigation y (b)
Topcon-Sokkia.)
80°S. Los satélites viajan en órbitas casi circulares que tienen una altura media de
20,200 km arriba de la Tierra y un periodo orbital de 12 horas sidéreas.1 Los satélites individuales normalmente se identifican por su número de Ruido Seudoaleatorio (PRN: PseudoRandom Noise) que se describe enseguida, pero también pueden
identificarse por su número de vehículo satelital (SVN: Satellite Vehicle Number)
o posición orbital.
Se usan relojes atómicos precisos en los satélites GPS para controlar el cronometraje de las señales que transmiten. Son relojes muy exactos,2 y también muy
caros. Si los receptores usaran estos mismos relojes, su costo sería prohibitivo, y
también los usuarios requerirían de un entrenamiento para el manejo de materiales peligrosos. Así, los relojes en los receptores son controlados por las oscilaciones
de un cristal de cuarzo, los cuales, aunque también son precisos, son menos exactos
que los relojes atómicos. Sin embargo, estos dispositivos de cronometraje de costo
relativamente bajo producen un receptor que también es relativamente barato.
El segmento de control consiste en cinco estaciones de monitoreo, que monitorean las señales y rastrean las posiciones de los satélites a lo largo del tiempo. Las estaciones de monitoreo iniciales de GPS están en Colorado Springs, y en las Islas Hawai,
Ascensión, Diego García y Kwajalein. Desde entonces el DoD ha añadido algunas
estaciones de rastreo adicionales a su red de control. La información de rastreo se
transmite a la estación maestra de control en el Centro Consolidado de Operaciones
1
Un día sideral es aproximadamente 4 minutos más corto que un día solar. Véase el apéndice C.5 para
más información sobre los años y los días siderales.
2
Se usan relojes atómicos, que emplean ya sea cesio o rubidio. Los relojes de rubidio pierden un
segundo cada 30,000 años, mientras que el de tipo de cesio pierde un segundo solamente cada 300,000
años. Los relojes máser de hidrógeno, que pueden perder solamente un segundo cada 30,000,000 de años,
han sido propuestos para satélites futuros. En comparación, los relojes de cristal de cuarzo que se usan
en los receptores pierden un segundo cada 30 años.
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324 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
7
15
5
10
2
23
18
4
19
Tierra
21
22
20
17
3
1
8
24
14
9
11
6
(a)
13
18
(b)
Figura 13.2 (a) Un satélite GPS y (b) la constelación GPS.
Espaciales (CSOC: Consolidated Space Operations Center) ubicado en la base de
la Fuerza Aérea Schriever en Colorado Springs. La estación maestra de control
usa estos datos para hacer pronósticos precisos para el futuro cercano de las órbitas de los satélites, y sus parámetros de corrección del reloj. Esta información se
descarga a los satélites, y, a su vez, se transmite como parte de sus mensajes transmitidos que deben usar los receptores para pronosticar la posición de los satélites
y los sesgos de los relojes (errores sistemáticos).
El segmento del usuario consiste en dos categorías de receptores que se
clasifican por su acceso a los dos servicios que el sistema suministra. Estos servicios son el Servicio de Posición Estándar (SPS: Standard Position Service) y el
Servicio de Posicionamiento Preciso (PPS: Precise Positioning Service). El SPS se
suministra en la frecuencia de transmisión L1 y más recientemente la L2 (véase la
sección 13.3) sin costo para el usuario. Este servicio estaba diseñado inicialmente
para suministrar exactitudes de 100 m en posición horizontal, y 156 m en posición
vertical para un nivel de error de 95%. Sin embargo, las mejoras en el sistema y
el software de procesamiento han reducido substancialmente estas estimaciones
de error. El PPS se transmite en ambas frecuencias L1 y L2, y solamente está disponible para los receptores que tengan claves criptográficas válidas que se reservan solamente para usuarios militares y autorizados. Este mensaje suministra una
exactitud publicada de 18 m en sentido horizontal, y 28 m en sentido vertical para
un nivel de error de 95%.
■ 13.3 LA SEÑAL DE GPS
Cuando los satélites GPS están orbitando, cada uno transmite continuamente
una señal única en dos frecuencias portadoras. Los portadores, que se transmiten
en la banda L de las frecuencias de radio de microondas, se identifican como la
señal L1 con una frecuencia de 1575.42 MHz y la señal L2 a una frecuencia de
1227.60 MHz. Estas frecuencias se derivan de una frecuencia fundamental, f0,
de los relojes atómicos de 10.23 MHz. La banda L1 tiene frecuencia de 154f0, y la
banda L2 tiene una frecuencia de 120f0 .
ALFAOMEGA
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13.3 La señal de GPS
325
De una manera muy parecida a como transmite una estación de radio, varios
tipos diferentes de información (mensajes) se modulan en estas ondas portadoras que usan una técnica de modulación de fase. Alguna de la información que
se incluye en el mensaje transmitido es el almanaque, las efemérides radiadas, los
coeficientes de corrección del reloj del satélite, los coeficientes de corrección ionosférica y la condición del satélite (también llamada la salud del satélite). Estos términos se definen posteriormente en este capítulo.
Para que los receptores determinen independientemente las posiciones
terrestres de las estaciones que ocupan en tiempo real, fue necesario inventar un
sistema para la medición precisa del tiempo de viaje de la señal del satélite al receptor. Esto se logró modulando las ondas portadoras con códigos de ruido seudoaleatorio (PRN: PseudoRandom Noise). Los códigos PRN consisten en secuencias
únicas de valores binarios (ceros y unos) que dan la impresión de ser aleatorios,
pero que en realidad se generan de acuerdo con un algoritmo matemático especial
usando dispositivos conocidos como registros en cinta de desplazamiento de retroalimentación. Los satélites transmiten dos o más códigos PRN diferentes. La señal
L1 es modulada con el llamado código de precisión, o código P, y también con el
llamado código de adquisición burda o código C/A. Este código C/A permite que
los receptores adquieran a los satélites al mismo tiempo que determinan su posición aproximada. Hasta hace poco, la señal L2 se modulaba sólo con el código P.
Los códigos C/A y P son tecnología vieja. Los satélites modernizados están
siendo equipados con códigos nuevos. Los satélites modernizados incluyen un
segundo código civil en la señal L2 llamado el L2C. Este código tiene tanto una
versión civil moderada (CM) como una civil larga (CL). Además, el código P esta
siendo reemplazado por dos códigos militares nuevos, conocidos como los códigos
M. En 1999, el Comité Ejecutivo de Interagencias en GPS (IGEB: Interagency
GPS Executive Board) decidió añadir una tercera señal civil conocida como el L5
para proporcionar aplicaciones de seguridad de vida al GPS. L5 se transmitirá a
una frecuencia de 1176.45 MHz. La señal L5 va a portar los dos códigos civiles
conjuntamente con un componente sin código. Esta opción va a aumentar en gran
medida la intensidad de la señal debido a las diferentes técnicas de procesamiento.
Además, como se va a estudiar en la sección 13.6.2, estos códigos nuevos permitirán correcciones de refracción ionosférica en tiempo real en un posicionamiento
basado en el código. Tanto el L2C como el L5 se añaden a los satélites del Bloque
IIF así como a los subsiguientes del Bloque III. En este capítulo se van a estudiar
posteriormente las mejoras en el posicionamiento debidas a estos códigos nuevos.
El código C/A tiene una frecuencia de 1.023 MHz y una longitud de onda de
aproximadamente 300 m. Es accesible a todos los usuarios, y es una serie de 1023
dígitos binarios (chips) que son únicos para cada satélite. Este patrón de chip se
repite cada milisegundo en el código C/A. Este código permite que los receptores
adquieran a los satélites y determinen su posición aproximada/burda. El código
TABLA13.1
FRECUENCIAS TRANSMITIDAS POR EL GPS
Nombre
del código
Frecuencia (MHz)
Factor de f0
C/A
1.023
Divida entre 10
P
10.23
1
L1
1575.42
Multiplique por 154
L2
1227.60
Multiplique por 120
L5
1176.45
Multiplique por 115
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ALFAOMEGA
326 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
P, con una frecuencia de 10.23 MHz y una longitud de onda de aproximadamente
30 m, es 10 veces más exacta para el posicionamiento que el código C/A. Además,
como se estudia en la sección 13.6.2, los usuarios del código P pueden hacer correcciones por refracción ionosférica, que puede ser la mayor fuente de errores en el
posicionamiento. El código P, con una frecuencia de 10.23 MHz y una longitud de
onda de aproximadamente 30 m, es diez veces más preciso para el posicionamiento
que el código C/A. El código P tiene un patrón de chip que toma 266.4 días para
repetirse. A cada satélite se le asigna un segmento único de una sola semana del
patrón que se reinicializa a la media noche de cada sábado. La tabla 13.1 muestra
las frecuencias GPS, y da sus factores de la frecuencia fundamental, f0, del código P.
Para cumplir con los requerimientos militares, el código P se cifra con un
código W para derivar el código Y. Este código Y puede ser leído solamente por
receptores que tengan las claves criptográficas apropiadas. Este proceso de cifrado
se conoce como antiengaño (A-S: Anti-Spoofing). Su propósito es negar el acceso
a la señal de los enemigos potenciales que deliberadamente podrían modificarla y
retransmitirla con la intención de “tomar el pelo” a los incautos usuarios amistosos.
Debido a su necesidad de comunicación de “una sola vía”, el sistema de posicionamiento global depende de un cronometraje preciso de la señal transmitida.
Este sistema de una sola vía, que consiste en la transmisión de la señal solamente por satélite, fue necesario para cumplir con los objetivos militares —es decir,
los receptores no podían transmitir porque eso delataría las posiciones terrestres
estratégicas. Para superar el problema, se desarrolló un sistema único—. Para
entender los conceptos del sistema de una sola vía, considere lo siguiente. Imagine
que el satélite transmite una serie de sonidos cortos y agudos audibles, y que estos
sonidos se transmiten según un patrón irregular conocido. Ahora imagine que este
mismo patrón se duplica sincrónicamente (pero no se transmite) en la estación
receptora. Como la señal del transmisor del satélite debe viajar hasta el receptor,
su recepción ahí será retardada en relación con la señal que el receptor está generando. Esta demora, que es aproximadamente de 0.07 segundos, puede medirse, y
convertirse en una diferencia de tiempo.
El proceso descrito anteriormente es similar al que se usa con el GPS. En el
GPS los sonidos cortos y audibles son reemplazados por los chips de los códigos
PRN, y el tiempo preciso de la transmisión del código del satélite se coloca en el
mensaje transmitido con un tiempo inicial indicado por la orilla frontal de uno de
los chips. El receptor genera simultáneamente un código PRN duplicado. El tiempo que le toma a la señal viajar del satélite al receptor se obtiene al concordar la
señal entrante del satélite con la señal idéntica generada por el receptor. Esto da
la demora de la señal, que se convierte en el tiempo de viaje. A partir del tiempo
de viaje, y de la velocidad conocida de la señal, puede calcularse la distancia hasta
el satélite.
Para ayudar a aparear los códigos, el mensaje transmitido proveniente de
cada satélite contiene una Palabra de entrega (HOW: Hand-Over Word) que consiste en algunos bits de identificación y banderas, más un número. Este número
multiplicado por cuatro produce el Tiempo de la semana (TOW: Time of Week)
que marca la orilla principal de la siguiente sección del mensaje. El HOW y el
Submarco del mensaje
Señal del receptor
Retraso de tiempo
Señal retardada del satélite
HOW
1
0
Submarco del mensaje que concuerda
1
0
Figura 13.3 Determinación del tiempo de viaje de la señal por la concordancia de códigos.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
13.4 Sistemas coordenados de referencia para el GPS
327
YS
Órbita
del satélite
Satélite
S1
Línea de los ápsides
Apogeo
ZS
G
1
YS
1
XS
XS
1
Focos
ZS
Perigeo
Figura 13.4
Sistema
coordenado de
referencia de un
satélite.
TOW ayudan al receptor a concordar la señal recibida del satélite con la que genera el receptor, de modo que la demora puede determinarse rápidamente. Este proceso de apareamiento se ilustra en forma diagramática en la figura 13.3.
■ 13.4 SISTEMAS COORDENADOS DE REFERENCIA
PARA EL GPS
En la determinación de posiciones de puntos sobre la Tierra, a partir de observaciones de satélite, por lo menos hay tres diferentes sistemas coordenados por considerar. Primero, las posiciones de un satélite en el momento en que se observan, se
especifican en sistemas de coordenadas de referencia del satélite “relacionadas con
el espacio”. Estos son sistemas rectangulares tridimensionales definidos por las
órbitas de los satélites. Entonces la posición de los satélites se transforma a un sistema coordenado geocéntrico rectangular tridimensional que físicamente está relacionado con la Tierra. Como resultado de las observaciones con GPS, se determinan las
posiciones de los nuevos puntos en la Tierra en este sistema coordenado. Finalmente, las coordenadas geocéntricas se transforman al sistema coordenado geodésico
que se usa en forma más común y que está orientado localmente. Las siguientes
subsecciones describen estos sistemas de tres coordenadas.
13.4.1 El sistema coordenado de referencia para el satélite
Una vez que un satélite se lanza a su órbita, su movimiento a partir de ese momento dentro de esa órbita está gobernado principalmente por la fuerza gravitacional
de la Tierra. Sin embargo, existen otros factores de menor importancia, incluyendo
las fuerzas gravitacionales ejercidas por el Sol y la Luna, así como fuerzas ocasionadas por la radiación solar. Debido a los movimientos de la Tierra, del Sol y de la
Luna entre sí, y debido a las variaciones de la radiación solar, estas fuerzas no son
uniformes y por tanto los movimientos del satélite varían un poco con respecto a
la trayectoria ideal. Como se muestra en la figura 13.4, ignorando todas las fuerzas
excepto la atracción gravitacional de la Tierra, la órbita idealizada del satélite es
elíptica y tiene uno de sus dos focos en el centro de masa G de la Tierra. La figura
también ilustra el sistema de coordenadas de referencia del satélite, XS, YS, ZS. El
perigeo y el apogeo son los puntos de la órbita en donde el satélite está más cerca
y más alejado de G, respectivamente, en su órbita. La línea de los ápsides que une
esos dos puntos pasa por los dos focos y es el eje de referencia XS. El origen del
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328 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
Ze
Eje polar
Plano de la órbita
del satélite
enw
ich
Meridiano d
e Gre
Figura 13.5
Parámetros que
intervienen en la
transformación
del sistema
coordenado de
referencia del
satélite al sistema
coordenado
geocéntrico.
Nodo
ascendente
Ye
GHA
Xe
Xs
Perigeo
Equinoccio
vernal
Línea de los
ápsides
Satélite
i
Plano
ecuatorial
sistema coordenado XS, YS, ZS está en G; el eje YS se encuentra en el plano medio
de la órbita y ZS es perpendicular a este plano. Los valores de la coordenada ZS
representan desviaciones del satélite respecto a su plano medio orbital y normalmente son muy pequeñas. Un satélite en la posición S1 tendrá coordenadas XS1, YS1
y ZS1, como se muestra en la figura 13.4. En cualquier instante esas coordenadas
pueden calcularse en función de los parámetros orbitales del satélite, que son parte
de las efemérides transmitidas.
13.4.2 El sistema coordenado geocéntrico
Debido a que el objetivo de los levantamientos por satélite es localizar puntos
sobre la superficie de la Tierra, es necesario tener un así llamado marco de referencia terrestre que permita relacionar los puntos físicamente en la Tierra. El marco
de referencia usado para esto es el sistema coordenado geocéntrico. La figura 13.5
ilustra un cuadrante de un elipsoide de referencia,3 con un sistema coordenado
geocéntrico (Xe, Ye, Ze) superpuesto. Este sistema coordenado rectangular tridimensional tiene su origen en el centro de masa de la Tierra. Su eje Xe pasa por el
meridiano de Greenwich en el plano del ecuador, y su eje Ze coincide con el Polo
terrestre convencional (CTP: Conventional Terrestrial Pole) (véase la sección 19.3).
Su eje Ye está situado en el plano del ecuador y crea un sistema coordenado de la
mano derecha.
3
El elipsoide de referencia usado para la mayor parte del trabajo con GPS es el elipsoide
del World Geodetic System de 1984 (WGS84). Como se explica en la sección 19.2, cualquier
elipsoide se define con dos parámetros, por ejemplo el semieje mayor (a), y la relación de achatamiento ( f ). Para el elipsoide WGS84 estos valores son a 5 6,378,137 m (exactamente), y
f 5 1/298.257223563.
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13.4 Sistemas coordenados de referencia para el GPS
329
Para hacer esta conversión del sistema de coordenadas de referencia del
satélite al sistema geocéntrico, se necesitan cuatro parámetros angulares que definen
la relación entre el sistema de coordenadas orbitales del satélite, y los planos y
líneas de referencia sobre la Tierra. Como se muestra en la figura 13.5, esos parámetros son: (1) el ángulo de inclinación, i (ángulo entre el plano de la órbita y el
plano del ecuador terrestre), (2) el argumento del perigeo, v (ángulo medido en
el plano orbital desde el ecuador hasta la línea de los ápsides), (3) la ascensión
recta del nodo ascendente, (ángulo medido en el plano del ecuador desde el equinoccio vernal hasta la línea de intersección entre los planos orbital y ecuatorial) y
(4) el ángulo horario de Greenwich del equinoccio vernal, GHAg (ángulo medido
en el plano ecuatorial desde el meridiano de Greenwich hasta el equinoccio vernal). Estos parámetros se conocen en tiempo real para cada satélite basándose en
modelos matemáticos de predicción de las órbitas. Si se necesita mayor exactitud,
se determinan las coordenadas del satélite en el sistema geocéntrico para épocas
específicas del tiempo a partir de mediciones en las estaciones de rastreo y se distribuyen mediante efemérides precisas.
Las ecuaciones para hacer las conversiones de los sistemas coordenados de
referencia de los satélites al sistema geocéntrico están más allá del alcance de este
libro. Se incluyen en el software que acompaña a los sistemas GPS cuando se compran. Sin embargo, se dispone de un archivo html denominado satellite.html en
el sitio de la red que acompaña a este libro, que muestra la transformación de las
coordenadas del satélite al sistema de coordenadas terrestres. Aunque las ecuaciones no se presentan aquí, a través de esta discusión se informa a los estudiantes
de la naturaleza del movimiento del satélite, y del hecho de que hay relaciones
matemáticas definidas entre los satélites en órbita y las posiciones de los puntos
ubicados sobre la superficie de la Tierra.
Z
CTP
P
hp
Meridiano
de Greenwich
Zp
RNp
Y
p
p
Dp
Yp
X
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Xp
Figura 13.6
Los sistemas
coordenados
geodésico
y geocéntrico.
ALFAOMEGA
330 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
13.4.3 El sistema coordenado geodésico
Aunque las posiciones de los puntos en un levantamiento por satélite se calculan
en el sistema coordenado geocéntrico descrito en la subseccción anterior, en esa
forma no son adecuados para el uso de los topógrafos (ingenieros en geomática).
Esto es así por tres razones: (1) con el origen en el centro de la Tierra, las coordenadas geocéntricas comúnmente son valores demasiado grandes; (2) con el plano
X-Y en el plano del ecuador, los ejes no están relacionados con las direcciones convencionales de norte, sur, este y oeste sobre la superficie de la Tierra; y (3) las coordenadas geocéntricas no dan indicación acerca de las elevaciones relativas entre
puntos. Por estas razones, las coordenadas geocéntricas se convierten a coordenadas geodésicas de latitud (f), longitud (l) y altura (h), de modo que las posiciones
de los puntos reportados sean más significativas y convenientes para los usuarios.
La figura 13.6 también ilustra un cuadrante del elipsoide de referencia, y muestra tanto el sistema coordenado geocéntrico (X, Y, Z) como el sistema coordenado
geodésico (f, l, h). Las conversiones de las coordenadas geocéntricas a las geodésicas, y viceversa, se hacen rápidamente. A partir de la figura se puede mostrar
que las coordenadas geocéntricas del punto P pueden calcularse a partir de las
coordenadas geodésicas usando las siguientes ecuaciones:
(13.1)
sen
sen
donde
RN =
P
a
(13.2)
1 − e sen 2 P
2
En las ecuaciones (13.1), XP, YP y ZP son las coordenadas geocéntricas de
cualquier punto P, y el término e, que aparece en ambas ecuaciones (13.1) y (13.2),
es la excentricidad del elipsoide de referencia WGS84. Su valor es 0.08181919084.
En la ecuación (13.2), RN P es el radio en la primera vertical 4 del elipsoide en el
punto P, y a, como se observó anteriormente, es el semieje mayor del elipsoide. En
las ecuaciones (13.1) y (13.2), la latitud norte se considera positiva, y la latitud sur
negativa. En forma similar, la longitud este se considera positiva, y la longitud
oeste negativa. Además, la programación para la conversión de las coordenadas
geodésicas a coordenadas geocéntricas y viceversa se muestra en la hoja de cálculo
Mathcad C13.xcmd, que está en el sitio de la red que acompaña a este libro.
■ Ejemplo 13.1
La latitud, longitud y altura geodésicas del punto A son 41°15918.21060 N,
75°00958.61270 W, y 312.391 m, respectivamente. Usando valores WGS84, ¿cuáles
son las coordenadas geocéntricas del punto?
Solución
Sustituyendo los valores apropiados en las ecuaciones (13.1) y (13.2) se obtiene
RN =
A
6,378,137
1 − 0.0066943799 sen 2( 41 15 18.2106 )
= 6, 387, 440.3113 m
4
La excentricidad y el radio en la primera vertical se describen en el capítulo 20.
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13.4 Sistemas coordenados de referencia para el GPS
331
XA 5 (6,387,440.3113 1 312.391) cos 41°15918.21060 cos (275°00958.61270)
5 1,241,581.343 m
YA 5 (6,387,440.3113 1 312.391) cos 41°15918.21060 sen(275°00958.61270)
5 24,638,917.074 m
ZA 5 [6,387,440.3113(1 2 0.00669437999) 1 312.391)] sen(41°15918.21060)
5 4,183,965.568 m
La conversión de las coordenadas geocéntricas de cualquier punto P a sus
valores geodésicos se logra usando los siguientes pasos (nuevamente remítase a la
figura 13.6).
Paso 1: Calcule DP como
(13.3)
Paso 2: Calcule la longitud como5
 D −X 
λ P = 2 tan −1  P P 
 YP 
(13.4)
Paso 3: Calcule una latitud aproximada, f06
(13.5)
Paso 4: Calcule un radio aproximado de la primera vertical, RN, usando f0 del
paso 3, y la ecuación (13.2).
Paso 5: Calcule un valor mejorado para la latitud de
sen(f0)
(13.6)
Paso 6: Repita los cálculos de los pasos 4 y 5 hasta que el cambio en f entre iteraciones sea despreciable. Este valor final, fP, es la latitud de la estación.
Paso 7: Use las siguientes fórmulas para calcular la altura geodésica de la estación.
Para latitudes menores a 45°, use
(13.7a)
Para latitudes mayores a 45° use la fórmula
sen(fP)
(13.7b)
Debe mencionarse que la razón de las ecuaciones (13.7a) y (13.7b) se debe a la
estabilidad numérica de las funciones trigonométricas que emplean cada una.
5
Esta fórmula puede implementarse convenientemente en software con la función atan2(XP, YP).
Un libro electrónico Mathcad en el sitio de la red que acompaña a este libro contiene las rutinas para
la conversión entre coordenadas geodésicas y geocéntricas.
6
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332 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
■ Ejemplo 13.2
¿Cuáles son las coordenadas geodésicas de un punto que tiene coordenadas
geocéntricas X, Y, Z de 1,241,581.343, 24,638,917.074 y 4,183,965.568, respectivamente? (Nota: las unidades son metros.)
Solución
Para visualizar la solución, remítase a la figura 13.6. Ya que el valor de la coordenada X es positivo, la longitud del punto está entre 0° y 90°. También, como el valor
de la coordenada Y es negativo, el punto está en el hemisferio oeste. Similarmente,
como el valor de la coordenada Z es positivo, el punto está en el hemisferio norte.
La sustitución de los valores apropiados en las ecuaciones (13.3) a (13.7) da
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
 4, 802,194.8993 − 1, 241, 581.343 
λ = 2 tan −1 
 = −75°00 ' 58.6127"( Oeste )

−4, 638, 917.074
Paso 4:
Paso 5:
sen2
sen
5 41°15918.21070
Paso 6: Repita los pasos 4 y 5 hasta que la latitud converja. Los valores para la
siguiente iteración son
RN 5 6,387,440.3113
f0 5 41°15918.21060
La repetición con los valores anteriores conduce al mismo valor para la latitud con
cuatro cifras decimales, así la latitud de la estación es 41°15918.21060 N.
Paso 7: Puesto que la latitud es menor a 45°, calcule la altura geodésica usando la
ecuación (13.7a) como
Las coordenadas geodésicas de la estación son latitud 5 41°15918.21060 N,
longitud 5 75°00958.61270 W, y altura 5 312.391 m. Observe que este ejemplo fue el inverso de los cálculos del ejemplo 13.1, y reprodujo los valores
iniciales de las coordenadas geodésicas para ese ejemplo.
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13.4 Sistemas coordenados de referencia para el GPS
333
Superficie
de la Tierra
h
H
Elipsoide
mar)
nivel del
Geoide (
Figura 13.7
Relaciones entre
elevaciones H,
altura geodésica h
y ondulación
geódica N.
N
Es importante observar que las alturas geodésicas obtenidas con levantamientos con satélite se miden con respecto al elipsoide. Es decir, la altura geodésica de un punto es la distancia vertical entre el elipsoide y el punto, como se ilustra
en la figura 13.7. Como se muestra, éstas no son equivalentes a las elevaciones (llamadas también alturas ortométricas) dadas con respecto al geoide. Recuerde del
capítulo 4 que el geoide es una superficie de referencia gravitacional equipotencial
que se usa como plano de referencia para las elevaciones. Para transformar alturas
geodésicas a elevaciones, la altura geódica (distancia vertical entre el elipsoide y el
geoide) debe conocerse. Las elevaciones pueden entonces expresarse como:
H5h–N
(13.8)
donde H es la elevación arriba del geoide, h es la altura geodésica (medida de
levantamientos con satélite) y N es la altura del geoide. La figura 13.7 muestra las
relaciones correctas del geoide y el elipsoide WGS84 en Estados Unidos continentales. Aquí el elipsoide está sobre el geoide y las alturas geódicas (medidas desde
el elipsoide) son negativas. La altura geódica en cualquier punto puede estimarse
mediante modelos matemáticos desarrollados a partir de una red de puntos en
donde se han medido las alturas geódicas. Un modelo de este tipo, GEOID12A, es
un modelo de alta resolución para Estados Unidos disponible del National Geodetic Survey.7 Usa la latitud y la longitud como argumentos para determinar las
alturas geódicas para cualesquiera ubicaciones en Estados Unidos Continentales
(CONUS), Alaska, Hawai, Puerto Rico y las Islas Vírgenes.
■ Ejemplo 13.3
Calcular la elevación (altura ortométrica) de una estación cuya altura geodésica es
312.391 m, y la ondulación geódica en la zona es 233.000m.
Solución
Según la ecuación (13.8):
H 5 312.391 2 (233.000) 5 345.391 m
7
Un disco que contiene a GEOID12A puede obtenerse escribiendo al National Geodetic Information
Center, NOAA, National Geodetic Survey, N/CG17, SSMC3 Station 09535, 1315 East West Highway,
Silver Spring, Md. 20910, teléfono (301) 713-3242, o puede descargarse de Internet en http://www.
ngs.noaa.gov/PC_PROD/pc_prod.shtml.
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334 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
Como la altura geódica generalmente cambia en forma gradual, puede determinarse un valor que pueda aplicársele para un área limitada. Esto se hace incluyendo bancos de nivel NAVD88 en el área en un levantamiento GNSS. Entonces
con las alturas del elipsoide y las elevaciones conocidas para estos bancos de nivel,
se usa la siguiente forma reordenada de la ecuación (13.8) para determinar las
alturas geódicas observadas con GNSS:
(13.9)
NGPS 5 h – H
El valor de NGPS obtenido de esa manera deberá compararse con el obtenido
del modelo suministrado por el NGS, y la diferencia deberá calcularse como DN
5 NGNSS – Nmodelo. Este procedimiento deberá realizarse en varios bancos de nivel
bien dispersos en un área siempre que sea posible. Entonces usando un DN promedio para el área del levantamiento, la altura ortométrica corregida es:
(13.10)
H 5 h – (Nmodelo 1 DNpromedio)
■ Ejemplo 13.4
Las alturas geodésicas observadas con el GNSS de las estaciones de los bancos de
nivel Rojo, Blanco y Azul son 412.345 m, 408.617 m y 386.945 m, respectivamente.
Las alturas geódicas del modelo para las estaciones son 229.894 m, 229.902 m y
229.901 m, respectivamente, y sus elevaciones publicadas son 442.214 m, 438.490 m
y 416.822 m, respectivamente. ¿Cuál es la elevación de la estación Café que tiene
una altura observada de GNSS de 397.519 m, si la altura geódica del modelo está
publicada como 229.898 m?
Solución
Según la ecuación (13.9), las alturas geódicas y los valores de DN observados son
Estación
N
DN
Rojo
Blanco
Azul
412.345 2 442.214 5 229.869
408.617 2 438.490 5 229.873
386.945 2 416.822 5 229.877
2 29.869 2 (2 29.894) 5 0.025
2 29.873 2 (2 29.902) 5 0.029
2 29.877 2 (2 29.901) 5 0.024
DNpromedio 5 0.026
Según la ecuación (13.10), la elevación de Café es
ElevCafé 5 397.519 2 (229.898 1 0.026) 5 427.391 m
Debe añadirse un comentario de precaución. Debido a que se desconoce la naturaleza exacta del geoide, los valores interpolados o extrapolados de las alturas geódicas a partir de una red observada de puntos, o aquéllas obtenidas de modelos
matemáticos, no son exactas. Así las alturas ortométricas obtenidas de las alturas del
elipsoide serán cercanas a su valor verdadero, pero tal vez no sean suficientemente
exactas para cumplir con ciertos requerimientos. Por lo que para un trabajo que
requiera diferencias de elevación muy exactas, lo mejor es obtenerlas por nivelación
diferencial de los bancos de nivel cercanos. Actualmente, el NGS está trabajando
para mejorar el modelo del geoide para Estados Unidos para aminorar algunos de
los errores en la conversión de alturas geodésicas a ortométricas.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
13.5 Fundamentos del posicionamiento con GPS
335
13.4.4 Evolución del marco de referencia WGS84
El objetivo de la topografía/geomática siempre ha sido tener un sistema unificado
de coordenadas para toda la Tierra. En 1987, se obtuvieron las coordenadas de las
estaciones de rastreo GPS por las más de 1000 coordenadas de las estaciones de
control terrestre que se midieron usando TRANSIT. A esto se le conoció como
el plano de referencia WGS84, que se consideró que coincidía con el plano de
referencia horizontal original NAD 83 (1986)8. Sin embargo, con la evolución del
GPS, se obtuvieron para la Tierra sistemas de coordenadas de referencia que se
ajustaban mejor. El Servicio Internacional de Rotación de la Tierra y Sistemas de
Referencia (IERS: International Earth Rotation and Reference Systems Service),
que consiste en más de 200 agencias en todo el mundo, ha generado sistemas de
referencia mejor ajustados para la Tierra basándose en una red en expansión de
estaciones de rastreo GNSS, estaciones de interferometría con una línea base muy
larga (VLBI: Very Long Baseline Interferometry), medición de distancias mediante láser en satélite (SLR: Satellite Laser Ranging), y estaciones de medición de
distancias mediante Doppler integradas a un satélite (DORIS: Doppler Ranging
Integrated on Satellite). Estos sistemas coordenados nuevos devinieron en los
marcos de referencia terrestre internacionales (ITRF: International Terrestrial
Reference Frames). El primero se creó en 1989 con ITRF89. Desde entonces se
han creado los siguientes sistemas coordenados de referencia: ITRF90, ITRF91,
ITRF92, ITRF93, ITRF94, ITRF95, ITRF96, ITRF97, ITRF2000, ITRF2005, e
ITRF2008. A todos ellos se les conoce como sistemas coordenados centrados en
la Tierra-Fijos en la Tierra (ECEF: Earth-centered, Earth-fixed) ya que, como se
estudió en la sección 13.4.2, se basan en que el origen está en el centro de masa de
la Tierra y los ejes están definidos por el Polo convencional terrestre (CTP: Conventional Terrestrial Pole) y el meridiano de Greenwich. Todos estos sistemas usan
el elipsoide del Sistema de referencia geodésica de 1980 (GRS 80).
Debido a las discrepancias entre el marco de referencia original WGS84 y los
sistemas coordenados ITRF mejor ajustados, el Departamento de Defensa comenzó a cambiar sus coordenadas de las estaciones de control para que concuerden
con los marcos de referencia IGS. Para el GPS estos cambios de coordenadas ocurrieron durante las semanas GPS de 730, 873, 1150, y 1674. Estos sistemas coordenados de referencia nuevos fueron designados como WGS84 (G730), WGS84
(G873), WGS84 (G1150), y WGS84 (G1674), respectivamente, donde la “G” indica
que se usaron mediciones de GPS para establecer el nuevo plano de referencia en
las estaciones de control, y el número que sigue a la “G” indica la semana de GPS
durante la cual se implementaron las coordenadas. La WGS84 (G1674) más reciente concuerda con el sistema de referencia ITRF08 (época 2005.0) pero es muy diferente del NAD83 (1986). Estos cambios se hacen para considerar el movimiento de
las placas tectónicas de la Tierra.
Al realizar levantamientos GNSS o comparar las coordenadas de levantamientos anteriores GNSS, siempre es importante revisar el sistema de referencia
en cuanto a las coordenadas de la estación. De manera similar para un uso futuro,
es importante tener la fecha y el sistema de referencia como parte de los metadatos
para que acompañen a las coordenadas de la estación. Ya que es bastante posible
que la posición de las estaciones dadas en coordenadas pueda estar en marcos de
referencia que son diferentes, varias dependencias tales como IGS, NGS, y National Geospatial-Intelligence Agency (NGA) conjuntamente con compañías privadas
8
La historia de NAD83 y las transformaciones entre los diferentes sistemas coordenados de referencia
se estudian con mayor profundidad en la sección 19.
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336 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
hayan creado software de conversión para transformar las coordenadas entre los
marcos de referencia. El aspecto matemático de estas transformaciones se estudia
en la sección 19.7. El software Horizontal Time Dependent Positioning (HTDP),
que está disponible con NGS, permite a los usuarios transformar las coordenadas
entre marcos de referencia así como las fechas. Es importante que los estudiantes
de las carreras de topografía se percaten desde el inicio que los sistemas coordenados seguirán evolucionando y seguirán cambiando a medida que se sepa más
acerca de la Tierra y el movimiento de las placas tectónicas. Entonces, es importante conocer no solamente los valores de las coordenadas para las estaciones sino
también el sistema coordenado de referencia de definición que es la base de las
coordenadas y de las fechas del levantamiento que estableció estas coordenadas.
■ 13.5 FUNDAMENTOS DEL POSICIONAMIENTO
CON SATÉLITE
Como se estudió en la sección 13.3, el tiempo preciso de viaje de la señal es necesario para determinar la distancia, o el así llamado rango, hasta el satélite. Como
el satélite del GPS está en una órbita aproximada de 20,200 km arriba de la Tierra, el tiempo de viaje de la señal será de aproximadamente 0.07 segundos después de que la misma señal es generada por el receptor. Si este retraso de tiempo
entre las dos señales se multiplica por la velocidad de la señal (la velocidad de la
luz en el vacío) c, el rango hasta el satélite puede determinarse a partir de
r5c3t
(13.11)
donde r es el rango hasta el satélite y t es el tiempo transcurrido de viaje de la onda
desde el satélite hasta el receptor.
Los receptores de satélite emplean dos métodos fundamentales para determinar la distancia hasta los satélites; mediciones de distancia por código y de desviación
de fase portadora. Los que emplean el primer método frecuentemente se llaman
receptores de grado de cartografía; aquellos que usan el segundo procedimiento
se llaman receptores de grado de levantamiento. La posición del receptor puede
calcularse a partir de las observaciones de distancia que se toman hasta los satélites múltiples. En las siguientes subsecciones se presentan descripciones de los dos
métodos, así como sus modelos matemáticos. Estos modelos matemáticos se presentan para ayudar a los estudiantes a entender mejor los principios subyacentes de
la operación del GPS. Las soluciones de las ecuaciones se ejecutan con computadoras que emplean el software proporcionado por los fabricantes del equipo.
13.5.1 Distancia por código
El método de la distancia por código (también llamado concordancia por código) para determinar el tiempo que toma a las señales viajar desde los satélites
hasta los receptores fue el procedimiento descrito brevemente en la sección 13.3.
Cuando se conocen los tiempos de viaje, las distancias correspondientes hasta los
satélites pueden entonces calcularse aplicando la ecuación (13.11). Si se conoce
una distancia, el receptor necesariamente está situado en una esfera. Si la distancia se determina a partir de dos satélites, los resultados serían dos esferas que se
intersecan. Como se muestra en la figura 13.8(a), la intersección de dos esferas
es un círculo. Así, dos distancias de dos satélites colocarían al receptor en algún
lugar en este círculo. Ahora si se añade la distancia para un tercer satélite, esta
distancia añadiría una esfera adicional que cuando se interseca con una de las otras
dos esferas produciría otro círculo de intersección. Como se muestra en la figura
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
13.6 Errores en las observaciones con GPS
337
13.8(b), la intersección de dos círculos dejaría solamente dos posiciones posibles
para la posición del receptor. El uso de una “posición semilla” que esté a menos de
unos cuantos cientos de kilómetros de la posición del receptor eliminará rápidamente una de las dos intersecciones.
Para las observaciones que se toman de tres satélites, el sistema de ecuaciones
que podría usarse para determinar la posición de un receptor en la estación A es:
(13.12)
donde  An son las distancias geométricas desde los tres satélites al receptor de la
estación A, (Xn, Yn, Zn) son las coordenadas geocéntricas de los satélites en el instante de la transmisión de la señal, y (XA, YA, ZA) son las coordenadas geocéntricas
del receptor en el instante de la transmisión. Observe que la variable n se refiere a
los superíndices y adopta valores de 1, 2 o 3.
Sin embargo, con el propósito de obtener una observación válida del tiempo,
también deben considerarse el error sistemático de los relojes (conocido como
sesgo) y la refracción de la onda, a medida que atraviesa la atmósfera de la Tierra.
En este ejemplo, el sesgo del reloj del receptor es el mismo para las tres distancias,
ya que el mismo receptor está observando cada distancia. Con la introducción de
una cuarta distancia al satélite, el sesgo del reloj del receptor puede determinarse
matemáticamente. Este procedimiento de solución permite que el receptor tenga
un reloj menos exacto (y menos caro). Algebraicamente, el sistema de ecuaciones
que se usa para encontrar la posición del receptor y del sesgo del reloj es:
(13.13)
donde RAn (t ) es la distancia observada (también llamada seudodistancia) del receptor A a los satélites 1 a 4 en la época (instante) t,  An (t ) es la distancia geométrica
como se define en la ecuación (13.12), c es la velocidad de la luz en el vacio, A(t)
es el sesgo del reloj del receptor, y n(t) es el sesgo del reloj del satélite que pueden modelarse usando los coeficientes suministrados en el mensaje de transmisión.
(a)
(b)
Figura 13.8 (a) La intersección de dos esferas y (b) la intersección de dos círculos.
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ALFAOMEGA
338 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
Estas cuatro ecuaciones pueden resolverse simultáneamente para obtener la posición del receptor (XA, YA, ZA), y el sesgo del reloj del receptor A(t). Las ecuaciones
(13.13) se conocen como las ecuaciones puntuales de posicionamiento y, como se
observó anteriormente, son aplicables a los receptores de GPS basados en código.
Como se mostrará en la sección 13.6, además del cronometraje hay varias
fuentes adicionales de error que afectan a las señales del satélite. Debido al sesgo
del reloj y a otras fuentes de error, la distancia observada del satélite al receptor
no es la distancia verdadera, y entonces se le llama seudodistancia. Las ecuaciones
(13.13) comúnmente se llaman modelo de seudodistancia de código.
13.5.2 Mediciones de desviación de fase portadora
Se puede obtener una mejor exactitud al medir distancias hasta los satélites
observando las desviaciones de fase de las señales del satélite. En este enfoque,
se observa la desviación de fase de la señal que ocurre desde el instante en que
es transmitida por el satélite, hasta que es recibida en la estación terrestre. Este
procedimiento, que es similar al usado por los instrumentos de MED (Medición
Electrónica de Distancias [véase la sección 6.19]), arroja el ciclo fraccionario de
la señal desde el satélite hasta el receptor.9 Sin embargo, no considera el número
de longitudes de onda completas o ciclos que ocurrieron a medida que la señal
viajaba entre el satélite y el receptor. Este número se llama ambigüedad entera, o
simplemente ambigüedad. A diferencia de los instrumentos de MED, los satélites
utilizan comunicación de una sola vía, pero como los satélites se están moviendo y así sus distancias están cambiando constantemente, la ambigüedad no puede
determinarse simplemente transmitiendo frecuencias adicionales. Hay diferentes
técnicas que se usan para determinar la ambigüedad. Todas estas técnicas requieren que se obtengan observaciones adicionales. Una técnica de este tipo se estudia
en la sección 13.6. Una vez que se determina la ambigüedad, el modelo matemático
para la desviación de fase portadora, corregida en cuanto a los sesgos del reloj, es
(13.14)
donde para cualquier época particular en el tiempo, t, ij (t ) es la medición de desviación de fase portadora entre el satélite j y el receptor i, f j es la frecuencia de la
señal transmitida generada por el satélite j,  j(t) es el sesgo del reloj para el satélite
j, l es la longitud de onda de la señal, ij (t ) es la distancia tal como se define en las
ecuaciones (13.12) entre el receptor i y el satélite j, N ij es la ambigüedad entera de
la señal desde el satélite j hasta el receptor i, y i(t) es el sesgo del reloj del receptor.
■ 13.6 ERRORES EN LAS OBSERVACIONES CON GPS
Las ondas electromagnéticas pueden ser afectadas por varias fuentes de error
durante su transmisión. Algunos de los errores más grandes incluyen (1) los sesgos
de los relojes del satélite y del receptor, y (2) la refracción ionosférica y troposférica. Otros errores en el trabajo con los levantamientos con satélite provienen de
(a) los errores en las efemérides del satélite, (b) las trayectorias múltiples, (c) el
centrado deficiente del instrumento, (d) las mediciones de la altura de la antena,
(e) la geometría del satélite. Todos estos errores contribuyen al error total de las
coordenadas obtenidas del satélite en las estaciones terrestres. Estos errores se
estudian en las siguientes subsecciones.
9
ALFAOMEGA
La desviación de fase se mide como aproximadamente igual a 1/100 de un ciclo.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
13.1 Definición de topografía
339
13.6.1 El sesgo del reloj
Dos errores ya estudiados en la sección 13.5 fueron los sesgos de los relojes del
satélite y del receptor. El sesgo del reloj del satélite puede modelarse aplicando
coeficientes que son parte del mensaje transmitido usando el polinomio
 j (t ) = a 0 + a 1 (t − t 0 ) + a 2 (t − t 0 ) 2
(13.15)
donde  j(t) es el sesgo del reloj del satélite para la época t, t0 es la época de referencia del reloj del satélite, y a0, a1, a2, son el desfasamiento del reloj del satélite,
la deriva, y la deriva de la frecuencia, respectivamente, que son parte del mensaje
transmitido. Tal como se va a estudiar en la sección 13.9.1, cuando se usan técnicas
de posicionamiento relativo, y específicamente diferenciación individual, el sesgo
del reloj del satélite puede eliminarse matemáticamente durante el posprocesamiento.
Como se mostró en la sección 13.5, el sesgo del reloj del receptor puede tratarse como una incógnita y calcularse usando las ecuaciones (13.13) o (13.14). Sin
embargo, como se estudia en la sección 13.9.2, cuando se usan las técnicas de posicionamiento relativo de GPS, aquél puede eliminarse a través de la diferenciación
doble durante el posprocesamiento de los datos del levantamiento. Este método se
estudia en la sección 13.8.
13.6.2 La refracción
Como se estudió en la sección 6.16, las velocidades de las ondas electromagnéticas
cambian a medida que atraviesan los medios con diferentes índices de refracción.
Generalmente la atmósfera se subdivide en regiones. Las subregiones de la atmósfera que tienen composición y propiedades similares se conocen como esferas. Las
capas límite entre las esferas se llaman pausas. Las dos esferas que tienen el máximo efecto sobre las señales del GPS son la troposfera y la ionosfera. La troposfera
es la parte inferior de la atmósfera, y generalmente se considera que existe hasta
una altura de 10 a 12 km. La tropopausa separa la troposfera de la estratosfera.
La estratosfera llega hasta aproximadamente 50 km. La refracción combinada en la
estratosfera, la tropopausa y la troposfera se conoce como refracción troposférica.
Hay otras varias capas de la atmósfera arriba de 50 km, pero la que es de
más interés para el levantamiento con satélite es la ionosfera, que se extiende de
50 a 1500 km arriba de la Tierra. A medida que las señales del satélite atraviesan
la ionosfera y la troposfera, las señales se refractan. Esto produce errores en las
distancias similares a los errores de sincronización, y es una de las razones por las
cuales las distancias observadas se denominan seudodistancias.
La ionosfera está compuesta principalmente de iones —átomos y moléculas
cargados positivamente, y electrones libres cargados negativamente—. Los electrones libres afectan a la propagación de las ondas electromagnéticas. El número de iones para cualquier instante dado en la ionosfera depende de la radiación
ultravioleta del Sol. La actividad del resplandor solar, que se conoce como clima
del espacio, puede aumentar dramáticamente el número de iones en la ionosfera,
y por tanto, puede ser razón de preocupación cuando se trabaja con el GPS durante periodos de alta actividad de manchas solares que sigue una variación de pico
periódica de 11 años.10 Como la refracción ionosférica es el mayor error individual
en el posicionamiento por satélite, es importante explorar el clima del espacio al
realizar los levantamientos. Este tema se estudia más a fondo en la sección 15.2.
10
2012-2014 fue un periodo de alta actividad solar.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
340 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
En las ecuaciones (13.13) y (13.14) puede incorporarse un término para las
dos refracciones ionosférica y troposférica que considere esos errores en la señal.
Si D j es igual a la diferencia entre el sesgo del reloj para el satélite j y el receptor
en A para la época t [es decir, D j 5  j(t) 2 A(t)], entonces para cualquier distancia específica listada en la ecuación (13.13) la incorporación de las refracciones
troposférica y ionosférica en el modelo de seudodistancia de código arroja
(13.16)
son las seudodistancias observadas tal como se
donde RLj1 (t ), RLj 2 (t ) y
calculan con las frecuencias L1 o L2, y L5 (fL1, fL2, y fL5) desde el satélite j hasta
el receptor, r j (t) es la distancia geométrica como se definió en la ecuación (13.12)
desde el satélite hasta el receptor, c es la velocidad de la luz en el vacío, trop(t) es
el retraso de la señal causado por la refracción troposférica, y  iono es el retraso
ionosférico para las frecuencias L1, L2, y L5, respectivamente.
Puede desarrollarse una expresión similar para el modelo de desviación de
fase portadora y es
(13.17)
j
j
donde  L 1 y  L2 son las observaciones de la desviación de fase portadora desde el
satélite j usando las frecuencias L1, L2 y L5, respectivamente. NL1, NL2 y NL5 son
las ambigüedades enteras para las dos frecuencias L1, L2 y L5, y los otros términos
son como se definieron anteriormente en las ecuaciones (13.14) y (13.16) para cada
frecuencia.
Al tomar observaciones para las tres frecuencias, y al emplear cualquiera de
las dos ecuaciones (13.16) o (13.17), la refracción atmosférica puede modelarse y
eliminarse matemáticamente de los datos. Esta es una gran ventaja de los receptores
de frecuencia dual (aquellos que pueden observar ambas señales L1 y L2) sobre su
contraparte de frecuencia única, y les permiten medir con exactitud las líneas base
hasta 150 km. La combinación lineal de las frecuencias Li y Lj para el modelo de la
seudodistancia de código, que está libre de la refracción ionosférica, es
(13.18)
donde RLi,Lj es la observación de la seudodistancia para las señales combinadas
Li y Lj y Li y Lj son un par de las frecuencias portadoras L1, L2, o L5. Hasta hace
poco, sólo los receptores que tenían la capacidad de recibir el código P podían
realizar la corrección de refracción ionosférica usando distancias por código. Sin
embargo, con la adición de los códigos civiles a todas las tres frecuencias, los receptores civiles podrán procesar las señales usando la ecuación (13.18). Esto tendrá
como resultado una exactitud mucho mayor en el posicionamiento debido a su
capacidad de eliminar casi por completo la refracción ionosférica en tiempo real.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
13.6 Errores en las observaciones con GPS
341
El modelo de fase portadora, que también está casi libre de refracción ionosférica, es
(13.19)
donde fLi, Lj es la observación de fase de la combinación lineal de las ondas Li y Lj
y Li así como Lj se reemplazan por un par de frecuencias portadoras L1, L2, o L5.
Por su misma naturaleza, los receptores de una sola frecuencia no pueden aprovechar las dos señales separadas, y entonces deben usar los datos de modelación
ionosférica que son parte del mensaje de transmisión. Esto limita su rango efectivo
de 10 a 20 km, aun cuando este límite depende del clima espacial en el momento
del levantamiento.
La ventaja de tener los satélites a aproximadamente 20,200 km arriba de la
Tierra es que las señales que provienen de un satélite que van hacia dos receptores
relativamente cercanos atraviesan casi la misma atmósfera. Así la atmósfera tiene
efectos similares sobre las señales, y sus efectos pueden eliminarse prácticamente
usando técnicas matemáticas como se estudia en las secciones 13.7 a 13.9. Comúnmente se usan las ecuaciones (13.18) y (13.19) para líneas largas.
Como puede verse en la figura 13.9, las señales provenientes de los satélites
que están sobre el horizonte del observador deben atravesar considerablemente
más atmósfera que las señales que vienen desde muy alto en el horizonte. Debido
a la dificultad de modelar la atmósfera a alturas bajas, comúnmente se omiten de
las observaciones las señales provenientes de satélites por debajo de cierto ángulo de umbral. El valor específico de este ángulo (conocido como el ángulo máscara del satélite) es un poco arbitrario. Puede variar entre 10° y 20° dependiendo de
la exactitud deseada del levantamiento. Mayores precisiones de posicionamiento
horizontal se obtendrán con los satélites por debajo de 15º, y el ángulo máscara
estará entre 10º y 15º, que se usan normalmente en topografía. Esto se estudia
con mayor detalle en el capítulo 14.
13.6.3 Otras fuentes de error
Otras varias fuentes de error más pequeñas contribuyen a los errores de posición
de un receptor. Entre éstos se cuentan (1) errores en las efemérides de satélites;
(2) errores por trayectorias múltiples; (3) errores en el centrado de la antena sobre
una estación; (4) errores en la medición de la altura de la antena sobre el punto; y
(5) errores debidos a la geometría del satélite.
Como se observó anteriormente, las efemérides de transmisión pronostican la posición de los satélites en el futuro cercano. Sin embargo, debido a las
fluctuaciones en la gravedad, la presión de la radiación solar, y otras anomalías,
estas posiciones orbitales pronosticadas siempre están un poco en el error. En
el método de concordancia por código, estos errores de posición del satélite se
transfieren directamente a las posiciones calculadas de las estaciones terrestres.
Este problema puede reducirse al actualizar los datos orbitales usando información obtenida posteriormente, que se basa en las posiciones reales de los satélites
determinadas por las estaciones de rastreo. Una desventaja de esto es el retraso
que ocurre al obtener los datos actualizados. Se dispone de una de tres efemérides actualizadas posteriores al levantamiento: (1) efemérides ultrarrápidas, (2)
las efemérides rápidas, y (3) las efemérides precisas. Las efemérides ultrarrápidas
se obtienen cada hora; las efemérides rápidas están disponibles un día después
del levantamiento; las efemérides precisas (las más exactas de las tres) no están
disponibles sino hasta dos semanas después. Las efemérides ultrarrápidas y las
rápidas son suficientes para la mayoría de las aplicaciones en topografía.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
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342 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
ara
sc
l
gu
Án
Figura 13.9
Posiciones relativas
de los satélites,
la ionosfera y el
receptor.
ulo
Áng
Horizonte
á
om
cara
más
Observador
Tierra
Ionosfera
Como se muestra en la figura 13.10(a), las trayectorias múltiples ocurren
cuando la señal del satélite se refleja en una superficie, y es conducida hacia el
receptor. Esto hace que las señales múltiples provenientes de un satélite lleguen
al receptor en instantes ligeramente diferentes. Las estructuras verticales tales
como los edificios y las cercas de cadena con eslabón son ejemplos de superficies
reflejantes que pueden causar errores de trayectorias múltiples. Se han desarrollado técnicas matemáticas para eliminar estos reflejos indeseables, pero en casos
extremos pueden hacer que un receptor pierda contacto con el satélite —la pérdida
de contacto es esencialmente una situación en la cual el receptor no puede usar
las señales provenientes del satélite—. Esto puede ser causado no solamente por
las trayectorias múltiples, sino también por obstáculos, alta actividad ionosférica
o ambos. Las trayectorias múltiples también pueden causar una resolución incorrecta de la ambigüedad entera inicial, que conduce a errores en las posiciones a lo
largo del proyecto hasta que la ambigüedad se resuelve una segunda vez.
En los levantamientos con satélite, se observan seudodistancias en los centros
de fase de las antenas de los receptores. Para el trabajo de precisión, generalmente
las antenas se montan en tripiés de altura fija, se instalan y se centran cuidadosamente sobre una estación de levantamiento, y se nivelan. El centrado erróneo de la
antena sobre el punto es otra fuente potencial de errores. La instalación y el centrado sobre una estación deben hacerse cuidadosamente siguiendo procedimientos
como los descritos en la sección 8.5. Para cualquier trabajo preciso de topografía,
incluyendo el GPS, es esencial tener un trípode, un tribaco y una plomada óptica
bien ajustados. Cualquier error debido a un centrado erróneo de la antena sobre un
punto se transferirá directamente a un error de igual tamaño en la posición calculada de ese punto.
La medición de la altura de la antena arriba del punto ocupado es otra fuente
de errores en los levantamientos con satélite. La altura del elipsoide determinada a
partir de observaciones del satélite se determina en el centro de fase de la antena. Por
lo tanto, para obtener la altura del elipsoide de la estación topográfica, es necesario
medir cuidadosamente, y registrar la altura del centro de fase de la antena arriba del
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
13.6 Errores en las observaciones con GPS
343
punto ocupado, y considerarla en la reducción de los datos. La distancia mostrada
en la figura 13.10(b) se conoce como altura oblicua y puede medirse. Las observaciones se hacen con respecto al plano del terreno (un plano en la base de la antena
que la protege de las señales de las trayectorias múltiples que se reflejan del terreno). Deberá observarse la altura oblicua en varias posiciones alrededor del plano
del terreno, y si las observaciones no concuerdan, el instrumento deberá revisarse
en cuanto al nivel. El software dentro del sistema convierte la altura oblicua a la
distancia vertical de la antena arriba de la estación. Los errores de identificación y
de observación de las alturas de las antenas han causado errores tan grandes como
10 cm en la elevación. Como este error se puede evitar con trípodes y perchas de
altura fija, se recomienda no usar trípodes de topógrafo estándar en los levantamientos GNSS. Estos aparatos de altura fija proporcionan una excentricidad
constante desde el punto hasta el punto de referencia de la antena (ARP: Antenna
Reference Point) − comúnmente colocado a 2 m.
Adicionalmente, el centro de fase, que es el centro electrónico de la antena,
varía tanto con la orientación de la antena como con la frecuencia de las señales.
De hecho, el centro físico de la antena rara vez concuerda con el centro de fase de
la antena. Este hecho es tomado en cuenta por las excentricidades del centro de fase
que son los desplazamientos necesarios para hacer que concuerden el centro de
fase y el centro físico de la antena.
Para las antenas más viejas, es importante en el trabajo de precisión orientar
las antenas de los receptores múltiples en el mismo acimut. Esto asegura la misma
orientación de los centros de fase en todas las estaciones, y elimina un error sistemático potencial si el centro de fase no está precisamente en el centro geométrico
de la antena. Siempre deberá usarse la misma antena con un receptor dado en
un levantamiento de precisión, pero si se usan otras antenas, deben considerarse
las excentricidades del centro de fase durante el posprocesamiento. Las antenas
más nuevas son direccionalmente independientes, es decir, no requieren alineación
acimutal.
Los errores en la elevación dependen del ángulo vertical que forma el receptor con el satélite. El National Geodetic Survey (NGS) calibra las antenas de GPS
Señal de trayectorias
múltiples
Altura
oblicu
a
Plano
del terreno
(a)
(b)
Figura 13.10 (a) Medición de las trayectorias múltiples y (b) medición de la altura oblicua.
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ALFAOMEGA
344 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
con respecto a las elevaciones del satélite. Al procesar los datos del GPS (véase la
sección 14.5), los usuarios siempre deberán incluir los datos de calibración de NGS
para tomar en cuenta las excentricidades variables debidas a los ángulos verticales
con los satélites al posprocesar las líneas base.
13.6.4 Geometría de los satélites observados
Una fuente de errores adicional importante en los levantamientos con satélite tiene que ver con la geometría de la constelación de satélites visible en el momento
de la observación. Esto es similar a la situación en los levantamientos tradicionales, en donde la geometría de la red de las estaciones terrestres observadas afecta
la exactitud de las posiciones calculadas. La figura 13.11 ilustra las geometrías de
satélites de máxima precisión e imprecisa. Como se muestra en la figura 13.11(a),
los ángulos pequeños entre las señales entrantes de los satélites en la estación
receptora producen una configuración geométrica imprecisa y generalmente conducen a errores mayores en las posiciones calculadas. Contrariamente, una configuración geométrica de máxima precisión, como se muestra en la figura 13.11(b),
ocurre cuando los ángulos entre las señales entrantes del satélite son grandes, y así
por lo general proporcionan una solución mejorada. Independientemente de que
se realice un levantamiento con satélite o uno tradicional, al emplear el ajuste de
mínimos cuadrados en la solución, se determina el efecto de la geometría sobre la
exactitud esperada de los resultados.
La tabla 13.2 lista las diferentes categorías de errores que pueden ocurrir en
el posicionamiento con satélite. Para cada categoría, se dan los tamaños de errores
que podrían ocurrir en las distancias medidas con satélite si no se hicieran correcciones o compensaciones, por ejemplo se esperarían de ±7.5m como resultado de
la refracción ionosférica durante los periodos de alta actividad solar, etc. Pero estos
tamaños de error suponen una configuración geométrica ideal para los satélites,
es decir, no se incluye ninguna degradación adicional de la exactitud debido a una
configuración geométrica imprecisa. El tamaño anticipado de estos errores con la
adición de las señales L2 y L5 se muestra en la tercera columna de la tabla 13.2.
El L2C estará disponible para los receptores a medida que los satélites se hagan
disponibles. Las ventajas de las señales L5 no serán evidentes para los usuarios sino
hasta que la mayoría de la constelación de satélites haya sido mejorada. Se espera
que la constelación de satélites completa sea mejorada con estas nuevas señales
hacia 2020. Al comparar los errores actuales con aquellos esperados con la inclusión de señales de código más nuevas, es obvio por qué se tomó la decisión de
financiar los satélites más nuevos. Con el uso de la ecuación (3.11), actualmente el
Error de distancia equivalente del usuario (UERE: User Equivalent Range Error)
total es aproximadamente ±7.5 m. Se espera que este error descienda a aproximadamente ±2.8 m con las señales L2C y L5.
Como se observó anteriormente, al emplear los mínimos cuadrados en la
solución, puede determinarse el efecto de la configuración geométrica de los satélites. De hecho, antes de realizar un levantamiento con satélite, pueden evaluarse
el número y la posición de los satélites visibles en cualquier instante y lugar específicos mediante una solución preliminar con mínimos cuadrados para determinar su
efecto estimado sobre la exactitud resultante de la solución. Este análisis produce
los así llamados factores de Dilución de precisión (DOP: Dilution Of Precision).
Los factores DOP se calculan mediante la propagación de errores (véase la sección
3.17). Son simplemente números, que cuando se multiplican por los errores de la
tabla 13.2, dan el tamaño de los errores que se esperarían basándose en la configuración geométrica de la constelación observada de satélites. Por ejemplo, si el factor
DOP es 2, entonces el tamaño de los errores listados en la tabla 13.2 se multiplicaría
ALFAOMEGA
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13.6 Errores en las observaciones con GPS
Configuración imprecisa
Configuración de máxima precisión
(a)
(b)
345
Figura 13.11
Geometría del
satélite imprecisa
y de máxima
precisión.
por 2 para obtener los estimados para ese instante y lugar. Obviamente, entre más
bajo sea el valor de un factor DOP, se mejora la precisión esperada en las posiciones
calculadas de las estaciones terrestres. Si el análisis preliminar de mínimos cuadrados da un número DOP más alto de lo que puede tolerarse, las observaciones deberán retrasarse hasta que se disponga de una constelación de satélites más
favorable.
Los factores DOP que son de más interés para los topógrafos son el
PDOP (Dilution of Precision in Position) (dilución de la precisión en la posición),
HDOP (Dilution of Precision in Horizontal Position) (dilución de la precisión en
la posición horizontal) y VDOP (Dilution of Precision in Height) (dilución de la
precisión en la altura). Para la mejor constelación posible de satélites, el valor promedio de HDOP es menor que 2 y menor que 5 para PDOP. Otros factores DOP
tales como GDOP (Dilution of Precision in Geometry) (dilución de la precisión en
la geometría) y TDOP (Dilution of Precision in Time) (dilución de la precisión en el
tiempo) también pueden evaluarse, pero generalmente tienen menor importancia
para los levantamientos. La tabla 13.3 lista algunas categorías importantes de DOP,
explica su significado en términos de las desviaciones estándar y de las ecuaciones,
y da valores máximos que generalmente se consideran aceptables para la mayoría
de los levantamientos.
Al multiplicar el factor DOP por el UERE se obtiene el error posicional
en la distancia por código con el uso de las ecuaciones (13.13). Por ejemplo, el
HDOP comúnmente vale 1.5. Recuerde de la ecuación (3.8) que se obtiene un
TABLA 13.2
FUENTES DE ERROR Y TAMAÑOS QUE PUEDEN ESPERARSE EN LAS DISTANCIAS OBSERVADAS EN EL GPS
Tamaño actual
de los errores (m)
Tamaño esperado de los
errores con dos o más
señales de código (m)
Errores del reloj y en las efemérides
± 2.3
± 2.3
Refracción ionosférica
±7
± 0.1
Refracción troposférica
± 0.2
± 0.2
Ruido en el receptor
± 0.6
± 0.6
Otro (trayectoria múltiple, etc.)
± 1.5
± 1.5
Fuente de error
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346 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
TABLA 13.3
CATEGORÍAS IMPORTANTES DE LA DILUCIÓN DE LA PRECISIÓN
Categoría de DOP
Términos en la
desviación estándar
Ecuación
Valor aceptable
(menor que)*
PDOP, DOP posicional
s en coordenadas
geocéntricas X, Y, Z
6
HDOP, DOP horizontal
s en coordenadas
locales x, y
3
VDOP, DOP vertical
s en altura, h
5
*Estos valores recomendados son lineamientos generales para los tipos promedio
de levantamientos con GPS, pero los requerimientos individuales del proyecto pueden
requerir otros valores específicos.
error probable de 95% al usar un multiplicador de aproximadamente 1.96. Si se
usan los valores de error de la tabla 13.2 y un HDOP de 1.5, el error probable
actual de 95% en el posicionamiento horizontal es ±22.5 m (1.96 × 1.5 × 7.5).
Cuando las señales de código más recientes estén disponibles y los receptores las
usen, el error de posicionamiento horizontal de 95% será de aproximadamente
±8.5 m si los modelos libres ionosféricos se implementan en la solución.
■ 13.7 POSICIONAMIENTO DIFERENCIAL
Como se estudió en las dos secciones anteriores, la exactitud de las seudodistancias
observadas se degrada por errores que surgen del sesgo de los relojes, la refracción
atmosférica, y otras fuentes. Debido a estos errores, la posición de los puntos determinados por las técnicas de posicionamiento puntual usando un receptor individual
basado en código puede incurrir en un error de 20 m o más. Aun cuando este orden
de exactitud es aceptable para ciertos usos, es insuficiente para la mayoría de las aplicaciones de topografía. Por otro lado, el GPS diferencial (DGPS: Differential GPS)
es un procedimiento que incluye el uso simultáneo de dos o más receptores basados
en código. Puede proporcionar exactitud en la posición de unos cuantos metros, y así
el método es adecuado para ciertos tipos de trabajo de topografía de orden menor.
En el DGPS, un receptor ocupa una así llamada estación base (punto cuyas
coordenadas se conocen con precisión de levantamientos anteriores), y el otro receptor o receptores (conocidos como vagabundos) se instalan en estaciones cuyas
posiciones no se conocen. Al colocar un receptor en una estación de posición conocida, pueden determinarse los errores de las seudodistancias en la señal usando la
ecuación (13.16). Ya que el receptor de esta estación base y el vagabundo están
relativamente cercanos entre sí (frecuentemente a menos de un kilómetro pero
pocas veces más allá de algunos cientos de kilómetros), los errores en la seudodistancia tanto en la estación base como en los vagabundos tendrán aproximadamente
la misma magnitud. Así después de calcular las correcciones para cada satélite visible en la estación base, éstas pueden aplicarse a los receptores vagabundos, reduciendo o eliminando así sustancialmente muchos errores listados en la tabla 13.2.
El DGPS puede hacerse casi en tiempo real con un transmisor de radio en
la estación base y con receptores de radio compatibles en los vagabundos. Este
proceso se conoce como diferencial GPS en tiempo real (RTDGPS: Real-Time
Differential GPS). Las transmisiones de radio a los vagabundos contienen tanto
correcciones de la seudodistancia (PRC: Pseudorange Corrections) para épocas
de tiempo específicas (momentos en el tiempo) como correcciones en la tasa de
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
13.7 GPS diferencial 347
distancias (RRC: Range Rate Corrections)11 de modo que puedan interpolarse
correcciones a las señales entre cada época. Alternativamente, los errores pueden eliminarse de las coordenadas determinadas para las estaciones vagabundas
durante el posprocesamiento de los datos.
Para entender las matemáticas en el procedimiento, es necesaria una revisión de la ecuación (13.13). Si se excluyen las trayectorias múltiples, las variadas
fuentes de error presentadas en la sección 13.6 hacen que la seudodistancia observada RAj (t 0 ) incurra en error por una cantidad específica de cada época, t0. Si este
error para la época t0 se representa como D Aj (t 0 ), el error orbital radial, la ecuación (13.13) puede reescribirse como
(13.20)
donde los otros términos son como se definieron anteriormente.
Debido a que se conocen las coordenadas de la estación base, el rango
geométrico  Aj (t 0 ) en la ecuación (13.20) puede calcularse usando la ecuación
(13.12). También como se observa la seudodistancia RAj (t 0 ), la diferencia de estos
dos valores arrojará la corrección necesaria para esta seudodistancia específica. Como las condiciones de error para cada receptor son muy similares, puede
suponerse que el error en la seudodistancia observada en la estación base es el
mismo que el error en los vagabundos. Este error en la estación base se conoce
como corrección de la seudodistancia de código (PRC) para el satélite j en la época
t0 de referencia, y se representa como
(13.21)
Ya que el cálculo de la corrección y de la transmisión de la señal hace imposible
asignar la PRC a la misma época para los vagabundos, se aproxima una corrección
de tasa de distancia (RRC) mediante diferenciación numérica. Esta corrección se
usa para extrapolar las correcciones para épocas t posteriores. Así, la corrección de
la seudodistancia para cualquier época t está dada como
(13.22)
donde RRCj(t0) es la corrección de tasa de distancia para el satélite j determinada
para la época t0.
Ahora esta información puede usarse para corregir las distancias calculadas
en las posiciones de los receptores vagabundos. Por ejemplo, para una estación B
vagabunda, la seudodistancia corregida, RBj (t )corregida , puede calcularse como
corregida
(13.23)
donde D AB = B (t ) −  A (t ).
11
Las correcciones de la seudodistancia (PRC) son las diferencias entre las distancias medidas y las
distancias que se calculan basándose en las coordenadas conocidas tanto de la estación de referencia
ocupada como las del satélite. Debido a que los satélites están en movimiento, las distancias que se
miden hasta éstos están cambiando constantemente. La tasa de estos cambios por unidad de tiempo es
la corrección de la tasa de distancia (RRC).
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
348 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
Observe que en la forma final de la ecuación (13.23), se supone que los errores orbitales radiales en las estaciones A y B, D Aj (t ) y D Bj (t ), respectivamente,
son casi las mismas, y así se eliminan matemáticamente. Además, se eliminarán
los términos del sesgo del reloj. Finalmente, suponiendo que las señales hacia los
receptores de base y vagabundo atraviesan casi la misma atmósfera (lo que implica
que deben estar separados unos cuantos cientos de kilómetros entre sí), los términos de refracción ionosférica y troposférica prácticamente se eliminan.
El U. S. Coast Guard mantiene un sistema de estaciones faro a lo largo de
la costa y las vías hidráulicas de Estados Unidos. Las dependencias privadas han
desarrollado estaciones adicionales. Las señales de corrección descritas anteriormente son transmitidas por la modulación en una frecuencia de entre 285-325 KHz
usando el formato Radio Technical Commission for Maritime Services Special
Committee 104 (RTCM SC-104). Entre los datos contenidos en esta transmisión
están las correcciones diferenciales de código C/A, las correcciones diferenciales
delta, los parámetros de la estación de referencia, las mediciones brutas de fase
portadora y las mediciones brutas de la distancia de código, las correcciones de la
fase portadora, las correcciones de la distancia de código.
El Wide Area Augmentation System (WAAS) desarrollado por la Federal
Aviation Administration tiene una red de estaciones base de rastreo terrestre
que recolectan señales del GPS y determinan los errores de distancia. Estos errores se transmiten a los satélites geosíncronos que entregan las correcciones a los
vagabundos. Comúnmente, el software de GPS permite que los usuarios tengan
acceso al sistema WAAS para realizar levantamientos RTK-GPSs (véase el capítulo 15). Esta opción, que algunas veces se llama RTK con relleno, tiene acceso a
las correcciones de WAAS cuando se pierden las transmisiones de radio basadas
en las estaciones. Sin embargo, estas correcciones proveen una exactitud mucho
menor que las técnicas de posición relativa comúnmente usadas por los receptores de GPS que usan mediciones de desviación de fase portadora. En Europa, el
Servicio europeo de cobertura de navegación geoestacionaria (EGNOS: European
Geostationary Navigation Overlay Service) cumple un papel similar al WAAS. En
Japón, el Sistema Multifuncional de Aumentación de Satélite (MSAS: Multifunctional Satellite Augmentation System) cumple este propósito.
■ 13.8 MÉTODOS CINEMÁTICOS
También pueden emplearse métodos similares al DGPS con las mediciones de
la desviación de fase portadora para eliminar errores. El procedimiento, llamado Levantamientos GPS cinemáticos en tiempo real (RTK: Real-Time Kinematics) (véase el capítulo 15), nuevamente requiere el uso simultáneo de dos o más
receptores. Las señales deben ser recolectadas simultáneamente por todos los
receptores de cuando menos cuatro de los mismos satélites a través del proceso
de medición completo. Aunque pueden usarse receptores de una sola frecuencia,
el levantamiento cinemático funciona mejor con los receptores de frecuencia dual.
El método entrega posiciones con una exactitud de unos cuantos centímetros, lo
que lo hace adecuado para la mayoría de los propósitos de topografía, cartografía
y estacamiento.
Al igual que con el DGPS, el hecho de que se conozcan las coordenadas de
la estación base, es explotado en los levantamientos cinemáticos. La mayoría de
los fabricantes transmiten las observaciones de la estación base al vagabundo. El
receptor del vagabundo usa las técnicas de posicionamiento relativo estudiadas
en la sección 13.9 para determinar la posición del receptor vagabundo. Sin embargo, es posible calcular y transmitir las correcciones de la seudodistancia (PRC).
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
13.8 Métodos GPS cinemáticos en tiempo real
349
Una vez que se determinan las correcciones de la seudodistancia, se les usa en los
receptores vagabundos para corregir sus seudodistancias. Multiplicando la ecuación (13.14) por l, e incluyendo el término del error orbital radial, la seudodistancia
de la fase portadora en la estación base A para los satélites j en la época t0 es
(13.24)
donde N Aj es la ambigüedad inicialmente desconocida, y todos los otros términos
se definieron anteriormente en la ecuación (13.20). Recordando que la estación
base es un punto con coordenadas conocidas, la corrección de la seudodistancia
para la época t0 está dada por
(13.25)
y la corrección de la seudodistancia para cualquier época t es
(13.26)
Usando el mismo procedimiento que el que se usó con las seudodistancias de código, la distancia de fase corregida en el receptor vagabundo para la época t es
corregida
(13.27)
j
= N Bj − N Aj y D AB (t ) = B (t ) −  A (t ).
donde DN AB
Estas ecuaciones pueden resolverse siempre que se observen continuamente
cuando menos cuatro satélites durante el levantamiento mientras que las correcciones de la seudodistancia y las correcciones de la tasa de distancias se transmiten
a los receptores.
■ 13.9 POSICIONAMIENTO RELATIVO
Las posiciones del GPS más precisas se obtienen actualmente usando las técnicas
de posicionamiento relativo. En forma similar tanto al DGPS como al levantamiento cinemático, este método elimina la mayoría de los errores anotados en la
tabla 13.2 utilizando las diferencias ya sea en la distancia de código o en la distancia de la fase portadora. El objetivo del posicionamiento relativo es obtener
las coordenadas de un punto en relación con otro punto. Esto puede expresarse
matemáticamente como
(13.28)
donde (XA, YA, ZA) son las coordenadas geocéntricas de la estación base A, (XB, YB,
ZB) son las coordenadas geocéntricas de la estación desconocida B, y (DX, DY, DZ)
son los componentes del vector de la línea base calculadas (véase la figura 13.12).
El posicionamiento relativo incluye el uso de dos o más receptores observando simultáneamente las seudodistancias en los puntos extremos de las líneas.
La simultaneidad implica que los receptores están recolectando observaciones al
mismo tiempo. También es importante que los receptores recolecten datos a la misma tasa de la época. Esta tasa depende del propósito del levantamiento y de su
exactitud final deseada, pero los intervalos más comunes son 1, 2, 5, o 15 segundos.
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ALFAOMEGA
350 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
Suponiendo que se han recolectado observaciones simultáneas, pueden producirse
diferentes combinaciones lineales de las ecuaciones, y en el proceso pueden eliminarse ciertos errores. La figura 13.13 muestra tres combinaciones lineales y las
combinaciones requeridas satélite-receptor para cada una. Éstas se describen en
las subsecciones que siguen, y solamente se consideran mediciones de la fase portadora.
13.9.1 Diferenciación individual
Como se ilustra en la figura 13.13(a), la diferenciación individual incluye el restar dos observaciones simultáneas hechas para un satélite desde dos puntos. Esta
diferencia elimina el sesgo del reloj del satélite y las refracciones ionosférica y
troposférica de la solución. De acuerdo con la ecuación (13.14), las ecuaciones de
fase para los dos puntos son
(13.29)
donde los términos son los mismos que en la ecuación (13.14) para las estaciones
A y B. La diferencia de estas dos ecuaciones da
(13.30)
donde los términos individuales de las diferencias son
y
Observe que en la ecuación (13.30), el error del sesgo del reloj del satélite,
f j  j (t), ha sido eliminado por este procedimiento de diferenciación individual.
13.9.2 Diferenciación doble
Como se ilustra en la figura 13.13(b), la diferenciación doble incluye tomar la
diferencia de dos diferencias individuales obtenidas de dos satélites j y k. El procedimiento elimina el sesgo del reloj del receptor. Suponga las dos siguientes diferencias individuales:
Z
línea base
B
Z
Y
X
Figura 13.12
Componentes del
vector calculado
de la línea base.
ALFAOMEGA
A
Y
X
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
13.9 Posicionamiento relativo
t1
t2
(a)
351
t2
t1
(c)
(b)
Figura 13.13 Técnicas GPS de diferenciación. (a) Diferenciación simple. (b) Diferenciación doble.
(c) Diferenciación triple.
(13.31)
Observe que el sesgo del reloj del receptor será el mismo para las observaciones en
el satélite j al igual que para el satélite k. Así, al tomar la diferencia entre estas dos
diferencias individuales se obtiene la siguiente ecuación de diferencia doble, en la
k
j
(t ) y f k AB
(t ) , se eliminan.
cual los errores del sesgo del reloj del receptor, f j AB
(13.32)
donde los términos de las diferencias son
y
13.9.3 Diferenciación triple
La diferencia triple ilustrada en la figura 13.13(c) incluye tomar la diferencia entre dos
diferencias dobles obtenidas para dos épocas diferentes de tiempo. Esta diferencia
elimina la ambigüedad integral de la ecuación (13.32), dejando solamente las diferencias en las mediciones de la desviación de fase y las distancias geométricas. Las
dos ecuaciones de diferencias dobles pueden expresarse como
(13.33)
La diferencia en estas dos diferencias dobles arroja la siguiente ecuación de diferencia triple, en la cual se han eliminado las ambigüedades integrales. La ecuación
de diferencia triple es
(13.34)
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352 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
En la ecuación (13.34) los dos términos de diferencias son:
y
jk
jk
jk
 AB
(t12 ) =  AB
(t 2 ) −  AB
(t1 ),
La importancia de emplear la ecuación de diferencia triple en la solución
es que al eliminar las ambigüedades integrales, la solución se hace inmune a los
deslizamientos de ciclo. Los deslizamientos de ciclo son creados cuando el receptor
pierde contacto durante una sesión de observación. Las tres fuentes principales de
deslizamientos de ciclo son (1) las obstrucciones, (2) una relación de señal a ruido
baja (SNR: Signal to Noise Ratio) y (3) un procesamiento incorrecto de la señal. Las
obstrucciones de la señal pueden minimizarse mediante la selección cuidadosa de
las estaciones receptoras. Una SNR baja puede ser causada por condiciones indeseables en la ionosfera, por trayectorias múltiples, por una alta dinámica del receptor, o elevaciones bajas del satélite. Los deslizamientos de ciclo también pueden
ser causados por osciladores del satélite que funcionen mal, pero esto rara vez ocurre. Debe observarse que el software de procesamiento actual rara vez usa, si es
que usa, la diferenciación triple ya que las ambigüedad enteras se resuelven usando
técnicas mas avanzadas sobre la marcha, que se estudian en la sección 15.3.
■ 13.10 OTROS SISTEMAS DE NAVEGACIÓN SATELITAL
El posicionamiento por satélite afecta todas las actividades de la vida incluyendo
el transporte, la agricultura, y las redes de datos, los teléfonos celulares,
los eventos deportivos, etc. De hecho, los beneficios económicos y para las
fuerzas armadas del posicionamiento por satélite han sido tan grandes que otras
naciones están desarrollando sus propias redes o lo harán en el futuro. Esta
plétora de satélites de posicionamiento aumentará en gran medida la utilidad y
exactitud disponibles provenientes del sistema de posicionamiento por satélite.
En las subsecciones que siguen se estudian otros sistemas de posicionamiento
por satélite, implementados o planificados.
13.10.1 La constelación GLONASS
GLONASS es el sistema de navegación por satélite de Rusia. La constelación GLONASS consiste de 24 satélites igualmente espaciados en tres planos orbitales que forman un ángulo de inclinación nominal de 64.8° con el plano ecuatorial
de la Tierra. Los satélites orbitan a una altura nominal de 19,100 km y tienen un
periodo de aproximadamente 11.25 horas. Cuando menos cinco siempre están visibles para el usuario. El sistema está libre de la disponibilidad selectiva, pero ciertamente tiene una señal de acceso restringido similar a los códigos militares en el
GPS. Los satélites actuales transmiten cuando menos dos señales con frecuencias
que son únicas ya que usan el acceso múltiple de división de frecuencias (FDMA:
Frecuency Division Multiple Access) en el cual a los satélites se les asignan frecuencias específicas usando el siguiente algoritmo.
f jL1 5 1 602.0000 MHz 1 j 3 0.5625 MHz
f jL2 5 1 246.0000 MHz 1 j 3 0.4375 MHz
(13.35)
donde j representa el número de canal asignado al satélite específico,12 y varía de
1 a 24, y L1 y L2 representan las bandas de transmisión.
12
ALFAOMEGA
Algunos satélites antipodales usan las mismas frecuencias.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
13.11 El futuro
353
Sin embargo, para ser totalmente compatible con los sistemas GPS, Galileo y
BeiDou, la serie modernizada GLONASS-K de satélites también transmitirá señales
usando las técnicas del acceso múltiple de división por código (CDMA: Code Division Multiple Access). Cuando esté totalmente modernizado, el sistema transmitirá
señales civiles CDMA en tres frecuencias diferentes. Los satélites iniciales GLONASS-K1 transmiten los códigos CDMA en la banda L3, que tiene una frecuencia
de 1207.14 MHz. Los satélites GLONASS-K2 transmiten los códigos CDMA en las
bandas L1 y L3. La banda L1 tiene una frecuencia de 1575.42 MHz. Los satélites
GLONASS-K3 transmitirán códigos en las bandas L1, L3 y L5. La banda L5 tiene una frecuencia de 1176.45 MHz. La inclusión de estos nuevos códigos CDMA
implica que el sistema de navegación GLONASS será totalmente compatible con los
otros sistemas y por tanto proveerá un acceso más fácil al sistema.
Como se estudia en la sección 13.3, los satélites de GPS transmiten su posición en cada repetición del mensaje transmitido usando el sistema de referencia
WGS84 como la base para las coordenadas. Los satélites GLONASS solamente
transmiten su posición cada 30 minutos, y usan el elipsoide de referencia PZ-90
como la base de las coordenadas. Así, los receptores de GNSS deben extrapolar las
posiciones de los satélites para las reducciones en tiempo real.
Los sistemas de referencia en el tiempo usados en el GPS y en el GLONASS
también son diferentes. A petición de la comunidad internacional, la sincronización de los satélites de GLONASS se ha movido hacia el estándar internacional
tal como lo establece el Bureau Internationale de l9Heure (Buró Internacional del
Tiempo). Este estándar se basa en la frecuencia del átomo cesio 133 en su estado
basal.13 Este estándar difiere del periodo orbital de la Tierra en aproximadamente
un segundo cada seis meses. Para compensar, se añade periódicamente un segundo bisiesto al tiempo atómico (IAT) para crear el Tiempo Coordenado Universal (UCT: Universal Coordinated Time) que concuerda con el día solar (véase la
sección C.5). Actualmente, los relojes del sistema GLONASS difieren del Tiempo
Coordenado Universal por 3 horas. En contraste, los relojes del sistema GPS nunca
consideran al segundo bisiesto, y difieren del IAT por una constante de 20 segundos. Para considerar la diferencia en la sincronización en forma actual, dos satélites
GLONASS deben ser visibles si los satélites GLONASS y GPS se combinan en un
receptor GNSS. Cuando el sistema GLONASS esté totalmente modernizado, esta
restricción ya no existirá.
13.10.2 El sistema Galileo
En 1998, la Unión Europea decidió implementar el sistema posicional de satélites
Galileo. El sistema Galileo ofrecerá cinco niveles de servicio con el requerimiento
de subscripciones para algunos de los servicios. Los cinco niveles de servicio son
(1) el servicio abierto (OS: open service), (2) servicio comercial (CS: commercial
service), (3) servicio de seguridad de vida (SOL: safety of life service), (4) servicio
público regulado (PR: public regulated service), y (5) servicio de búsqueda y rescate (SAR: search and rescue service). El servicio abierto será un posicionamiento
de oferta gratuita hasta 1 m. El servicio comercial es un servicio por subscripción
encriptado que proporcionará un posicionamiento al nivel de centímetros. El servicio de seguridad de vida será gratis y proporcionará mensajes con exactitud e
integridad aseguradas con alerta de errores. El servicio regulado para el público
será disponible solamente para las dependencias de gobierno; de manera similar
13
Un segundo se define como 9,192,631,770 periodos de la radiación del estado basal del átomo de
cesio 133.
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
354 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
al código P existente. El servicio de búsqueda y rescate recibirá las ubicaciones de
faro de peligro y podrá mandar retroalimentación que indique que la ayuda está
en camino.
El segmento espacial Galileo constará de 27 satélites más 3 repuestos que
orbitarán en tres planos inclinados 56° con el ecuador. Los satélites tendrán una
altitud orbital nominal de 23,222 km arriba de la Tierra. Los satélites transmitirán seis señales de navegación denominadas L1F, L1P, E6C, E6P, E5a y E5b.
El primer satélite experimental Galileo fue lanzado en diciembre de 2005. Después de una falla en el segundo satélite, el segundo lanzamiento se aplazó hasta
las postrimerías de 2007. La Agencia Espacial Europea (ESA: European Space
Agency) ha lanzado los primeros cuatro satélites operativos para la validación en
órbita (IOV: In-Orbit Validation) del sistema. Después de la validación, el resto
del sistema será lanzado con el tiempo con una fecha anticipada de culminación
de 2020. Al igual que los satélites GPS modernizados, la intensidad de sus señales deberá permitir trabajar en situación de dosel. Al igual que el sistema GLONASS, Galileo será inter operable con el GPS.
13.10.3 El sistema BeiDou
En 2006, China confirmó que va a crear un cuarto sistema de posicionamiento
de satélites. BeiDou14 contendrá 35 satélites. Cinco de estos satélites serán satélites geoestacionarios de órbita alrededor de la Tierra (GEO: Geostationary Earth
Orbit) con los 30 satélites que resten a aproximadamente 21,0000 km y con un
ángulo de inclinación aproximado de 55°. BeiDou ofrecerá dos niveles de servicio:
un servicio abierto y comercial con una exactitud de posicionamiento en tiempo
real de 10 m. La fecha anticipada de culminación es alrededor de 2020. Su señal
B1 será transmitida con una frecuencia de 1560 MHz con una longitud de onda de
aproximadamente 19.2 m.
13.10.4 Resumen
Aun cuando las constelaciones satelitales Galileo y BeiDou de los sistemas no
estarán terminadas sino hasta 2020, los fabricantes de la tecnología de receptores
de satélite están construyendo receptores que utilizarán todos a los sistemas GPS,
GLONASS y Galileo y que están investigando la adición del sistema BeiDou. Los
receptores mostrados en las figuras 13.1 y 13.14 tienen capacidad actualmente de
combinar las observaciones satelitales de GPS, GLONASS y Galileo en sus soluciones. La ventaja obvia de usar ambos sistemas es que estará disponible casi el
doble de satélites para que los receptores los observen. De hecho, en el futuro cercano es posible que más de 30 satélites estén disponibles para posicionamiento. Al
combinar los dos sistemas se espera un incremento en la velocidad y una exactitud
mejorada. Además, el sistema combinado puede propocionar un método viable
de llevar el posicionamiento de los satélites a áreas difíciles tales como cañones,
minas de superficie profunda y áreas urbanas rodeadas por edificios altos que se
les conoce como cañones urbanos.
■ 13.11 EL FUTURO
El éxito general del posicionamiento por satélite en el sector civil está bien documentado por el número y la variedad de empresas que están usando la tecnología.
14
ALFAOMEGA
El nombre chino de su sistema es BeiDou, que quiere decir Osa Mayor.
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Problemas 355
Figura 13.14
El receptor GR-5
tiene capacidad
de combinar las
señales GPS y
GLONASS en
una solución
combinada.
(Cortesía de
TOPCON
Positioning
Systems.)
Esto ha conducido a un aumento y a una mejora de las constelaciones GNSS. Hacia
el final de esta década ocurrirán mejoras en la adquisición y posicionamiento de
las señales. Por ejemplo, las señales provenientes de todos los sistemas de posicionamiento por satélite podrán penetrar en las situaciones de dosel y proporcionarán capacidades de posicionamiento por satélite desde dentro de los edificios. Las
señales adicionales provenientes del interior de cada sistema mejorarán tanto en
la solución por ambigüedad como en las correcciones atmosféricas. Por ejemplo, en
el GPS con la adición de las señales L2C y L5, serán posibles correcciones ionosféricas en tiempo real a las pseudodistancias de código mediante la implementación
de las ecuaciones (13.18). Además, la adición de las señales L2C y L5 amplificarán nuestra capacidad para determinar correcta y rápidamente las ambigüedades
enteras para las observaciones de desplazamiento de fase. De hecho, en teoría será
posible determinar las ambigüedades con una sola época de datos. Se espera que
Galileo proporcione un posicionamiento puntual en tiempo real de 30 cm. Además, se espera que la exactitud en el posicionamiento relativo usando los sistemas
modernizados se reduzcan al nivel de milímetros. De hecho, se espera que las soluciones diferenciales basadas en código estén disponibles al nivel de centímetros.
El uso de satélites en la comunidad de la topografía (geomática) ha seguido
aumentando a medida que han disminuido los costos del sistema. Esta tecnología
tiene un impacto considerable, y sin duda lo seguirá teniendo, en la manera de
recolectar y procesar los datos. De hecho, a medida que se desarrollan las nuevas
tecnologías de satélite, seguirá disminuyendo el uso del equipo convencional de
topografía. Esto cambiará en mucho la manera en que hacemos los levantamientos
topográficos a medida que se dependa más de la velocidad y exactitud del GNSS.
La tendencia actual es que los topógrafos (ingenieros en geomática) requerirán menos tiempo en el campo, y que se usará más tiempo para analizar, administrar y manipular los grandes volúmenes de datos que esta tecnología suministra,
así como otras tales como el escaneado con laser (véase la sección 17.9.5). Aquellos
que hagan levantamientos en el futuro, deberán ser competentes en las áreas de la
administración de la información y la ciencia de la computación y estarán suministrando indudablemente productos a los clientes que actualmente no existen.
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356 EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL —INTRODUCCIÓN Y PRINCIPIOS DE OPERACIÓN
PROBLEMAS
Los asteriscos (*) señalan los problemas que tienen respuestas parciales dadas en el
apéndice G.
13.1 ¿Cuáles son los dos códigos civiles nuevos que se han añadido a los satélites
modernizados?
13.2 ¿Cómo se identifican los satélites?
13.3 ¿Cuál es la frecuencia de la señal L5 y su relación con la frecuencia fundamental
del reloj del satélite?
13.4* Discuta el propósito de los códigos de ruido pseudoaleatorio.
13.5 Aproximadamente, ¿cuánto tiempo le toma a la señal del satélite GPS alcanzar
a un receptor en la Tierra?
13.6 Defina el perigeo.
13.7 Describa el contenido del mensaje trasmitido por el GPS.
13.8 ¿Cuál es el propósito del anti-engaño?
13.9 Describa el sistema de coordenadas geocéntricas.
13.10 Defina los términos “altura geodésica”, “altura geodética” y “altura ortométrica”. Incluya sus relaciones mutuas.
13.11 Defina PDOP, HDOP y VDOP.
13.12 ¿Qué elipsoide de referencia se usa en el mensaje transmitido por GPS?
13.13 ¿Cuál es el propósito principal del código bruto/de adquisición?
13.14 Describa los parámetros orbitales de un satélite.
13.15 ¿Cuál es la diferenciación individual?
13.16 ¿Cuál es la diferenciación doble?
13.17 Liste y discuta las efemérides.
13.18 ¿Cuáles son las principales fuentes de error en una pseudodistancia de GPS?
13.19 Si la HDOP durante un levantamiento es 1.15 y el UERE se estima como 1.65
m, ¿cuál es el error de posicionamiento puntual horizontal para el 95%?
13.20* En el problema 13.19, si el VDOP es 3.5, ¿cuál es el error de posicionamiento
puntual para el 95% en la altura geodésica?
Para los problemas 13.21 a 13.26 use los parámetros del elipsoide WGS84.
13.21* ¿Cuáles son las coordenadas geocéntricas de una estación en metros que tiene
una latitud de 49°27932.201440 N, longitud de 122°46953.560270 W, y una altura
de 303.436 m?
13.22 Igual que el problema 13.21, excepto que las coordenadas geodésicas son
41°46929.837490 N, longitud de 75°54902.928460 W, y altura de 335.204 m.
13.23 Igual que el problema 13.21, excepto que las coordenadas geodésicas son
29°07922.203760 N, longitud de 105°32942.294750 W, y altura de 1003.093 m.
13.24* ¿Cuales son las coordenadas geodésicas en metros de una estación con coordenadas geocéntricas de (136,153.995, −4,859,278.535, 4,115,642.695)?
13.25 Igual que el problema 13.24, excepto que las coordenadas geocéntricas en
metros son (−1,155,636.309, −5,266,793.426, 3,395,499.990).
13.26 Igual que el problema 13.24, excepto que las coordenadas geocéntricas en
metros son (1,427,663.093, −4,505,627.131, 4,269,188.048).
13.27 La altura determinada por GNSS de una estación es 288.038 m. La altura geódica en el punto es −32.456 m. ¿cuál es la elevación ortométrica del punto?
13.28* La altura determinada por GNSS de una estación es 84.097 m. La altura geódica
en el punto es 30.025 m. ¿Cual es la elevación del punto?
13.29 Igual que el problema 13.28, excepto que la altura es 464.684 m y la altura geódica es −28.968 m.
13.30* La altura ortométrica de un punto es 124.886 m. La altura geódica del punto es
−28.998 m. ¿Cuál es la altura geodésica del punto?
13.31 Igual que el problema 13.30, excepto que la elevación es 1086.904 m, y la altura
geódica es −22.232 m.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
Bibliografía
357
13.32 La altura observada con GNSS de dos estaciones es 124.685 m y 89.969 m, y sus
alturas ortométricas son 153.104 m y 118.386 m, respectivamente. Estas estaciones tienen alturas geódicas obtenidas con modelo de −28.454 m y −28.457 m,
respectivamente. ¿Cuál es la altura ortométrica de una estación con una altura
medida con GNSS de 125.968 m y una altura geódica obtenida con modelo de
−28.446 m?
13.33 ¿Por qué los satélites que están a una elevación por debajo de 10° con respecto
al horizonte se eliminan de la solución de posicionamiento?
13.34 Encuentre cuando menos dos sitios de Internet que describan cómo funciona el
GPS. Resuma el contenido de cada sitio.
BIBLIOGRAFÍA
Dodo, J. D., M. N. Kamarudin, y M. H. Yahya. 2008. “The Effect of Tropospheric Delay
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TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
ALFAOMEGA
14
Sistemas
satelitales de
navegación global;
levantamientos
estáticos
■ 14.1 INTRODUCCIÓN
Muchos factores pueden influir para lograr, finalmente, un levantamiento con satélite
que tenga éxito. También existen muchos enfoques diferentes que pueden considerarse en términos del equipo usado y los procedimientos efectuados. Debido a
estas variables, los levantamientos con satélite deberán planearse con mucho
cuidado antes de ir al campo. Los proyectos pequeños de un orden de exactitud
menor tal vez no requieran una gran cantidad de planeación previa más allá de
seleccionar los sitios de los receptores y asegurarse de que estén libres de obstrucciones sobre la cabeza o de condiciones de trayectorias múltiples. Por otro lado, los
proyectos grandes que deben ejecutarse con un alto orden de exactitud requerirán
de una planeación previa extensa para aumentar la probabilidad de que el levantamiento tenga éxito. Por ejemplo, un levantamiento para el propósito de establecer
un control para un proyecto urbano de tránsito rápido exigirá el mayor cuidado
en la selección del personal, el equipo y los sitios de los receptores. También será
necesario hacer una visita al sitio anterior al levantamiento para localizar el control
existente, e identificar posibles obstáculos por arriba o condiciones de trayectorias
múltiples que puedan interferir con las señales entrantes del satélite en todos los
sitios propuestos para los receptores. Además deberá hacerse un cuidadoso análisis previo para planear los momentos óptimos para la sesión de observación,1 la
duración de las sesiones y el desarrollo de un plan para la ejecución ordenada de
las sesiones. El proyecto puede requerir comunicaciones terrestres para coordinar
1
Una sesión de observación denota el periodo durante el cual todos los receptores que se emplean en un
proyecto han sido instalados en las estaciones designadas, y están simultáneamente dedicadas a recibir
las señales del satélite. Cuando una sesión está completa, todos los receptores, con excepción de uno,
generalmente se mueven a diferentes estaciones y se realiza otra sesión de observación. Las sesiones
se continúan hasta que se hayan terminado todas las mediciones planeadas del proyecto.
14.1 Introducción
359
las actividades del levantamiento, un análisis de transportación para asegurar itinerarios razonables para la ejecución del levantamiento e instalación de monumentos para marcar permanentemente los puntos nuevos que se ubicarán en el
levantamiento. La consideración de estos factores, y otros, en la planeación y ejecución de los proyectos con GNSS son los temas de este capítulo.
Las personas usan los receptores basados en código para el posicionamiento en todos los aspectos de la vida. Los topógrafos los pueden usar para recabar
detalles en situaciones que no requieran la precisión común de un levantamiento.
Ejemplos son la ubicación aproximada de monumentos, linderos, o por otro lado,
una ayuda para una reubicación posterior, la recolección de datos para actualizar
mapas a pequeña escala en un sistema de información geográfica (GIS; véase el
capítulo 28), y la navegación a monumentos que son parte del Sistema Nacional
de Referencia Espacial (National Spatial Reference System) (véase el capítulo 19).
El uso de receptores basados en código en aplicaciones que no son de topografía,
incluye el rastreo de los vehículos en el transporte. La industria de embarques usa
receptores de GPS basados en código para la navegación. En forma similar, los
topógrafos pueden usar las funciones de navegación de un receptor de GPS basado
en código para ubicar los monumentos de control u otras características donde se
conozcan las coordenadas geodésicas. Como el uso de los receptores basados en
código es tan extendido y va mucho más allá del ámbito de la comunidad de la
topografía, sus usos no serán cubiertos con detalle en este libro.
Este capítulo se concentra en el uso de receptores con mediciones de fases
de la onda portadora y en el empleo de métodos de posicionamiento relativo. Esta
combinación puede suministrar el más alto nivel de precisión para determinar las
posiciones de los puntos, y así es el enfoque preferido en las aplicaciones de topografía (geomática). Pero como se mencionó en el capítulo 13, la precisión de un
levantamiento con GPS también depende de algunas variables adicionales. Una
que es importante es el tipo de receptor de fase portadora que se usa en el levantamiento. Como se menciona en el capítulo 13, hay varios tipos: los receptores GNSS,
que pueden utilizar las señales múltiples disponibles de varias constelaciones
diferentes; y los receptores de frecuencia dual, que pueden observar y procesar las
señales múltiples de una constelación GNSS, y los receptores de frecuencia única,
que pueden observar solamente la banda L1. En los levantamientos de precisión,
se prefieren los receptores GNSS y de frecuencia dual por varias razones: pueden
(a) recolectar más rápido los datos necesarios; (b) observar líneas de base más
largas con mayor precisión; y (c) eliminar casi por completo ciertos errores, tales como la refracción ionosférica, y por lo tanto arrojan precisiones de posición
más altas. Los receptores también varían por el número de canales. Esto controla el
número de satélites y de frecuencias que pueden rastrear simultáneamente. Como
mínimo, los receptores con medición de fases de la onda portadora deben tener
cuando menos cuatro canales, pero algunos tienen una capacidad de rastreo de
hasta 30 satélites simultáneamente de las constelaciones GPS, GLONASS, Galileo,
y BeiDou usando bandas de frecuencia múltiple lo que resulta en más de 60 canales. Estos receptores proporcionan mayor exactitud debido al creciente número de
satélites y una mayor precisión en la geometría de los satélites.
Algunos de estos factores están fuera de control del topógrafo (ingeniero en
geomática), y por lo tanto es imperativo que se hagan verificaciones de las observaciones. Éstas son posibles por las observaciones redundantes. Este capítulo estudiará
estas revisiones.
El uso del GPS para tipos específicos de levantamientos, por ejemplo,
levantamientos de construcción, levantamientos agrimensores, levantamientos
fotogramétricos, etc., se estudian en los capítulos posteriores de este libro. La
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360 SISTEMAS SATELITALES DE NAVEGACIÓN GLOBAL; LEVANTAMIENTOS ESTÁTICOS
Figura 14.1
Receptor GNSS
que se usa en
una obra en
construcción.
(Cortesía de
Topcon Positioning
Systems.)
figura 14.1 muestra un receptor GNSS que se usa en una obra en construcción.
El uso de los receptores de satélite para los levantamientos topográficos se cubre
en la sección 17.9.4.
■ 14.2 PROCEDIMIENTOS DE CAMPO
EN LOS LEVANTAMIENTOS ESTÁTICOS GNSS
En la práctica, los procedimientos de campo empleados en levantamientos GPS
dependen de las capacidades de los receptores usados y del tipo de levantamiento.
Algunos procedimientos específicos de campo actualmente en uso son los métodos:
estático, estático rápido, pseudocinemático, cinemático y el cinemático en tiempo
real. Estos métodos se describen en las siguientes subsecciones. Cada uno se basa
en mediciones de fases de la onda portadora y usan técnicas de posicionamiento
relativo (véase la sección 13.9); es decir, que dos (o más) receptores ubicados en
estaciones diferentes, hacen observaciones simultáneamente de los mismos satélites. El vector (distancia) entre receptores se llama línea base tal como se describe
en la sección 13.9, y sus componentes de diferencia de coordenadas X, Y y Z
(en el sistema coordenado geocéntrico descrito en la sección 13.4.2) se calculan
como resultado de las observaciones. Los métodos cinemáticos en tiempo real se
basan en los procedimientos de cálculo esbozados en la sección 13.8.
14.2.1 Posicionamiento relativo estático
Los procedimientos de levantamientos estáticos producen la precisión máxima y
comúnmente se usan en los levantamientos de control geodésico. En este procedimiento, se usan dos (o más) receptores. La figura 14.2 muestra el equipo característico que se usa en éste y en los siguientes tipos de levantamientos estáticos. El
proceso comienza con un receptor (llamado receptor base) situado en una estación
de control existente, mientras que los receptores restantes (llamados receptores
móviles) ocupan estaciones con coordenadas desconocidas. Para la primera sesión
de observación, se hacen observaciones simultáneas desde todas las estaciones a
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14.2 Procedimiento de campo en los levantamientos estáticos GNSS
361
Figura 14.2
Un receptor
GNSS conectado
con un cable
a un recolector
automático de
datos. (Cortesía de
Topcon Positioning
Systems.)
cuatro o más satélites durante una hora o más, dependiendo de la longitud de la
línea base. (Líneas base muy grandes requieren mayor tiempo de observación.)
Con excepción de uno, todos los receptores se mueven al terminar la primera
sesión. Este receptor que queda sirve ahora como la estación base para la siguiente
sesión de observaciones. Puede seleccionarse de cualquiera de los receptores usados en la primera sesión de observaciones. Al terminar la segunda sesión, el proceso se repite hasta que se ocupen todas las estaciones, y las líneas base observadas
formen figuras geométricamente cerradas. Como se estudia en la sección 14.5, para
propósitos de verificación deberán repetirse algunas observaciones de la línea base
durante el proceso de levantamiento.
El valor de la velocidad de época2 en un levantamiento estático debe ser
el mismo para todos los receptores durante el levantamiento. Comúnmente, esta
velocidad es igual a 15 segundos para minimizar el número de observaciones, y por
tanto los requerimientos de almacenamiento de datos. La mayoría de los receptores o tienen capacidad de memoria interna o se conectan a controladores que tienen memoria interna para almacenar los datos observados. Cuando se han hecho
todas las mediciones, los datos se transfieren a una computadora mayor para su
posprocesamiento
TABLA 14.1
DURACIÓN DE SESIÓN TÍPICA PARA DIFERENTES MÉTODOS DE MEDICIÓN
Frecuencia individual
Frecuencia dual
Estático
Método de levantamiento
30 min 1 3min/km
20 min 1 2 min/km
Estático rápido
20 min 1 2min/km
10 min 1 1 min/km
2
Los satélites de GNSS continuamente transmiten señales, pero si éstas fueran recolectadas continuamente por los receptores, el volumen de datos, y con ello los requerimientos de almacenaje, serían
avasalladores. Entonces los receptores se instalan para recolectar muestras de los datos para cierto
intervalo, que se llama la velocidad de época.
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362 SISTEMAS SATELITALES DE NAVEGACIÓN GLOBAL; LEVANTAMIENTOS ESTÁTICOS
Las precisiones relativas alcanzadas con el posicionamiento relativo estático
son en general de aproximadamente 6(3 a 5 mm 1 1 ppm). En la tabla 14.1 se
muestran duraciones comunes de sesiones de observación que usan esta técnica,
con receptores de frecuencia tanto individual como dual.
14.2.2 Posicionamiento relativo estático rápido
Este procedimiento es similar al levantamiento estático con la excepción de la longitud máxima de las líneas y de las tasas y tiempos de recolección de datos. En forma similar a un levantamiento estático, se lleva a cabo una sesión de observación
para cada punto, pero las sesiones y las velocidades de época son más cortas que en
el método estático. La tabla 14.1 muestra las duraciones sugeridas de sesión para
receptores de frecuencia individual y dual que usan el método estático rápido. El
método estático rápido es adecuado para observaciones de líneas base de hasta 20
km de longitud en buenas condiciones de observación. El posicionamiento relativo
estático rápido también puede arrojar precisiones del orden de aproximadamente
6(3 a 5 mm 1 1 ppm). Sin embargo, para alcanzar estas precisiones deben existir
configuraciones de satélite óptimas (una buena PDOP), ausencia de trayectorias
múltiples, y condiciones ionosféricas favorables. Este método es ideal para levantamientos pequeños de control. Al igual que con los levantamientos estáticos, todos
los receptores deberán sintonizarse para recolectar datos a la misma velocidad de
época. Comúnmente las velocidades de época se sintonizan en 5 segundos con este
método, lo cual es considerablemente más corto que la velocidad para una sesión
estática.
14.2.3 Levantamientos seudocinemáticos
Este procedimiento también se conoce como el método intermitente o de reocupación, y al igual que los otros métodos estáticos, requiere un mínimo de dos
receptores que observen simultáneamente a los mismos satélites. En el levantamiento seudocinemático, el receptor base siempre permanece en la estación de
control, mientras que el vagabundo va a cada punto de posición desconocida. Se
realizan dos sesiones de observación relativamente cortas (alrededor de 5 minutos
de duración cada una) con el vagabundo en cada estación. El lapso entre la primera
sesión en una estación, y la sesión repetida, deberá ser de aproximadamente una
hora. Esto produce un incremento en la fortaleza geométrica de las observaciones
debido al cambio de la geometría del satélite que ocurre durante el lapso. Pueden
alcanzarse precisiones que se acercan a las del levantamiento estático si se siguen los
procedimientos de reducción similares a los descritos en la sección 13.9.
Una desventaja de este método, en comparación con otros métodos estáticos,
es la necesidad de visitar nuevamente las estaciones. Este procedimiento requiere una
planeación cuidadosa previa al levantamiento para asegurar que se dispone de suficiente tiempo para volver a visitar el sitio, y para alcanzar el plan de viaje más eficiente.
Los levantamientos seudocinéticos son los más apropiados donde los puntos que van
a levantarse están a lo largo del camino, y puede lograrse un movimiento rápido de
un sitio a otro. Durante el movimiento de un sitio a otro, el receptor puede apagarse.
Algunos proyectos para los cuales pueden ser apropiados los levantamientos seudocinemáticos incluyen los levantamientos de alineación (véanse los capítulos 24 y
25), los levantamientos de control fotográfico (véase el capítulo 27), los levantamientos de control de orden más bajo, y los levantamientos de minas. Sin embargo,
dadas la velocidad y la precisión de los levantamientos cinemáticos, en la actualidad este procedimiento de levantamiento se usa rara vez en la práctica. Sin embargo, se sugiere un procedimiento similar para los levantamientos cinemáticos en
los Lineamientos del usuario para el posicionamiento GNSS en tiempo real para
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14.3 Planeación de levantamientos con satélite
363
una base individual (User Guidelines for Single Base Real Time GNSS Positioning)
(Henning, 2011) para los levantamientos de clase RT1.
■ 14.3 PLANEACIÓN DE LEVANTAMIENTOS CON SATÉLITE
Como se observó antes, los levantamientos pequeños con el GPS generalmente
no requieren mucho en cuanto a la planeación de proyectos. Sin embargo, para
proyectos grandes y para proyectos de mayor precisión, la planeación de proyectos
es un componente crítico para obtener resultados exitosos. Las subsecciones que
siguen discuten diferentes aspectos de la planeación de proyectos, con énfasis en
los levantamientos de control.
14.3.1 Consideraciones preliminares
Todos los proyectos con GPS nuevos de alta precisión que emplean técnicas de
posicionamiento relativo deben estar enlazados a puntos de control existentes
cercanos. Así, una de las primeras cosas que deben hacerse al planear un proyecto nuevo es obtener información sobre la disponibilidad de estaciones de control
existentes cerca del área del proyecto con GPS. Para propósitos de planeación,
éstas deberán graficarse con sus posiciones correctas en un mapa existente o en
una fotografía aérea del área. Los productos para mapeos disponibles en Internet
pueden proveer una cobertura aérea excelente de un área con vistas al nivel de
calle donde pueden ingresarse las ubicaciones mediante los valores de sus coordenadas geodésicas.
Otro factor importante que debe abordarse en las etapas preliminares de la
planeación de los proyectos con GPS es la selección de las posiciones nuevas de las
estaciones con GPS. Por supuesto que deberán escogerse de modo que cumplan
con el objetivo general del proyecto. Pero además, deberán considerarse para su
selección el terreno, la vegetación y otros factores. Si es posible, deben ser razonablemente accesibles para los vehículos de tierra o avionetas que se usarán para
transportar el hardware de GPS para el proyecto. Las estaciones pueden estar algo
distantes de los puntos de acceso de los vehículos, porque los componentes del
hardware son relativamente pequeños y manejables. Además, la antena receptora
es el único componente de hardware que debe estar exactamente centrada en la
estación terrestre. Ésta puede transportarse con facilidad a mano y separarse de
los otros componentes utilizando un segmento de cable eléctrico. Una vez que se
seleccionan las posiciones preliminares de las estaciones, también deberán graficarse en el mapa o en la fotografía aérea del área.
Otra consideración en la selección de las estaciones es la certeza de una vista superior libre de obstáculos. A esto se le conoce como la restricción del dosel.
Posiblemente, la restricción del dosel bloquee las señales del satélite, reduciendo
de esta manera las observaciones y posiblemente afectando en forma adversa la
geometría del satélite. Como mínimo, se recomienda que la visibilidad sea franca
en todas direcciones, desde un ángulo de enmascaramiento (ángulo de elevación)
de 10° a 20° desde el horizonte. En algunos casos, una ubicación cuidadosa de la
estación permitirá satisfacer sin ninguna dificultad este criterio de visibilidad; en
otros casos será necesario efectuar algún desmonte alrededor de la estación. Además, como se estudia en la sección 13.6.3, las fuentes potenciales que pueden causar interferencia y errores de trayectorias múltiples también deberán identificarse
cuando se visite cada sitio.
La selección de ventanas de observación adecuadas es otra importante actividad al planear levantamientos con el GPS. Esto consiste en determinar qué satélites
serán visibles desde una estación terrestre o área de proyecto específicos durante
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364 SISTEMAS SATELITALES DE NAVEGACIÓN GLOBAL; LEVANTAMIENTOS ESTÁTICOS
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
11
HDOP
PDOP
10
VDOP
9
8
NSATS
7
6
5
4
3
2
1
0
8:00
8:45
9:30
10:15
11:00
11:45
12:30
13:15
14:00
14:45
15:30
16:15
DOP
Fecha: 2014/08/04
Ubicación: PSU1
Lat: 41:18:0.00 N Lon: 76:0:0.40 W
Zona del tiempo: Tiempo diurno del este (EUA/CAN)
Tiempo local – Hora del meridiano de Greenwich = -4.00 Enmascaramiento: 15(grados)
17:00
Hora local (hh:mm)
Figura 14.3 Gráfica de disponibilidad del satélite.
cierto tiempo de observación. Como ayuda para esta actividad pueden predeterminarse, usando datos del almanaque, los acimutes y los ángulos de elevación de
cada satélite visible para el intervalo de tiempo dentro del periodo de observación
planeado. La entrada solicitada por la computadora, además de observar la fecha y
la hora, incluye la longitud y la latitud de la estación, y un almanaque relativamente
actual del satélite. Además, deberá verificarse el clima del espacio en cuanto a posibles tormentas solares durante los periodos de ocupación. Deberán evitarse aquellos
días en los cuales la actividad de las tormentas por la radiación solar se clasifica de
fuerte a extrema. En la sección 15.2 se estudian con detalle los efectos del clima
del espacio en los levantamientos GNSS y que es aplicable a levantamientos tanto
estáticos como cinemáticos.
Para ayudar en la selección de ventanas de observación adecuadas, puede
aplicarse una gráfica de disponibilidad del satélite, como se muestra en la figura
14.3. La parte sombreada de este diagrama muestra el número de satélites visibles
para una ocupación de estación que haya sido planeada. El diagrama es aplicable para el 4 de agosto de 2014 entre las horas de 8:00 y 17:00 EDT. Se ha usado
un ángulo de enmascaramiento de 15°. Además de mostrar el número de satélites
visibles, las líneas que corren a través de la gráfica ilustran las PDOP, HDOP y
VDOP pronosticadas (véase la sección 13.6.4) para este lapso. Deberá observarse
que para el día mostrado en la figura 14.3, solamente dos lapsos cortos son inaceptables para la recolección de datos. Los picos de DOP ocurren entre 8:02 y 8:12
cuando solamente cuatro satélites están arriba del ángulo de enmascaramiento
del horizonte, y entre 13:45 y 14:00 cuando tanto la VDOP como la PDOP son
inaceptables debido a una geometría imprecisa del satélite. Sin embargo, durante
este último periodo, la HDOP es aceptable, indicando que todavía puede ejecutarse
ALFAOMEGA
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14.2 Procedimiento de campo en levantamientos GPS
Fecha: 2014/08/04
Ubicación: PSU
Lat: 41:18:0.00 N Lon: 76:0:0.40 W
Zona del tiempo: Tiempo diurno del este (EUA/CAN)
Tiempo local Hora del meridiano de Greenwich 5 4.00
Enmascaramiento: 15(grados)
365
Fecha: 2014/08/04
Ubicación: PSU
Lat: 41:18:0.00 N Lon: 76:0:0.40 W
Zona del tiempo: Tiempo diurno del este (EUA/CAN)
Tiempo local Hora del meridiano de Greenwich 5 4.00
Enmascaramiento: 15(grados)
>>> Diagrama polar del satélite <<<
>>> Diagrama polar del satélite <<<
N
N
6
4
30
17
2 5
O
24
60
90
10
30
5
0E
O
6
90
26
60
30
0E
18
2
26
S
(a)
S
(b)
Figura 14.4 Diagrama polar que muestra (a) los objetos que obstaculizan
alrededor de la estación de 10:00 a 12:00. El diagrama (b) muestra la
configuración imprecisa de los satélites de 13:30 a 14:00.
un levantamiento con control horizontal. Observe también que uno de los mejores
horarios para la recolección de datos es entre 10:40 y 11:30 cuando la PDOP está por
debajo de 2, ya que 9 satélites son visibles durante ese lapso. A medida que maduran
las constelaciones de satélites de Galileo y Brújula, este tipo de situación ocurrirá
con menos frecuencia con los receptores GNSS.
La visibilidad de un satélite para cualquier estación se investiga rápida y
fácilmente usando un diagrama polar. Éste proporciona una representación gráfica de los acimutes y las elevaciones de satélites visibles desde una posición dada.
Como muestra la figura 14.4(a) y (b), los diagramas polares constan de una serie
de círculos concéntricos. La circunferencia del círculo exterior está graduada de 0
a 360° para representar los acimutes de los satélites. Cada círculo concéntrico sucesivo, en dirección hacia el centro, representa un incremento en el ángulo de elevación, con el punto del radio que corresponde al cenit. A menudo se traza un círculo
concéntrico adicional que indica el ángulo de enmascaramiento desde el horizonte.
Para cada satélite, el número de PRN se grafica al lado de su primer punto
de datos, que es su ubicación para la hora inicial seleccionada del levantamiento.
Entonces los arcos conectan las posiciones graficadas sucesivas para los incrementos de tiempo dados después del tiempo inicial. Así se muestran las trayectorias de
viaje en el cielo de los satélites visibles. Los diagramas polares son valiosos en la
planeación del levantamiento porque permiten a los operadores visualizar rápidamente no sólo el número de satélites disponibles durante un periodo planeado de
observación, sino también su distribución geométrica en el cielo.
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366 SISTEMAS SATELITALES DE NAVEGACIÓN GLOBAL; LEVANTAMIENTOS ESTÁTICOS
Si los obstáculos elevados son importantes, las elevaciones y los acimutes
de los obstáculos verticales cerca de la estación pueden superponerse sobre el
diagrama polar para formar los diagramas de obstáculos. Entonces, el diagrama
mostrará si los obstáculos interfieren con los satélites que son indispensables y
también indican el mejor momento para ocupar la estación y de esa manera evitar
los obstáculos. Como se muestra en la figura 14.4(a), el satélite 6 será oscurecido
brevemente por un edificio temprano durante el lapso mostrado. También observe
que las señales del satélite 30 experimentarán una breve interrupción causada por
la presencia de un polo cercano posteriormente en la sesión, y que el satélite 4 se
perderá cerca del final de la sesión debido a un edificio cercano. Ninguno de estos
obstáculos resulta ser crítico para la sesión.
El análisis de las obstrucciones en el cielo y de la geometría del satélite es
importante para la mayor precisión en los levantamientos. Recuerde de la sección
13.6.4 que deberán tomarse observaciones en grupos de cuatro o más satélites,
ampliamente separados, de modo que formen una intersección geométrica precisa en la estación de observación. Esta condición se ilustra en las figuras 13.11(b)
y 14.4(a). Siempre que sea posible debe evitarse una configuración geométrica
imprecisa, tal como la mostrada en las figuras 13.11(a) y 14.4(b), ya que seguramente dará una precisión inferior. Los picos de PDOP y de VDOP mostrados en
la figura 14.3 entre las horas 13:45 y 14:00 son causados por la distribución relativamente aglomerada de los satélites como se muestra en la figura 14.4(b).
Es importante observar que las horas óptimas de observación se repiten 4
minutos antes para cada día siguiente en la sesión de planeación. Es decir, en la
figura 14.3, la misma gráfica de visibilidad de los satélites será aplicable para el
periodo de 7:56 a 16:56 el 5 de agosto, y de 7:52 a 16:52 el 6 de agosto, etc. Por
supuesto, los periodos de PDOP deficientes también se desplazarán 4 minutos cada
día. Este desplazamiento ocurre porque los días siderales son aproximadamente
4 minutos más cortos que los días solares. Los recolectores automáticos de datos
modernos de GPS, con sus microprocesadores incorporados, pueden obtener los
diagramas polares, calcular los valores de PDOP en el campo, y exhibir los resultados en sus pantallas.
14.3.2 Selección del método de levantamiento apropiado
Como se estudia en la sección 14.2, se dispone de varios métodos diferentes con
levantamiento. Cada método proporciona un conjunto único de requerimientos
de procedimiento para el personal de campo. En los levantamientos con GNSS de
alta precisión que incluyen líneas de base largas, el método de levantamiento estático con receptores de frecuencia dual es la mejor solución. Sin embargo, para levantamientos comunes limitados a áreas pequeñas, puede ser suficiente un receptor de
frecuencia única que usa los métodos topográficos estático rápido, seudocinemático
o cinemático (véase el capítulo 15). Debido a la variabilidad de los requerimientos,
la selección del método apropiado para un levantamiento depende de (1) el nivel
deseado de precisión en las coordenadas finales, (2) el uso pretendido del levantamiento, (3) el tipo de equipo disponible para el levantamiento, (4) el tamaño del
levantamiento, (5) las condiciones de visión por arriba para el levantamiento y otras
condiciones locales, y (6) el software disponible para reducir los datos; rara vez hay
solamente un método para hacer el trabajo. Como los levantamientos cinemáticos son mucho más rápidos, comúnmente se usan los levantamientos estáticos si
se requiere la precisión máxima que se puede alcanzar mediante un levantamiento
GNSS.
Los receptores GNSS reducirán el tiempo requerido en cada estación en un
levantamiento estático debido al aumento en el número de satélites visibles, y a la
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
14.3 Planeación de levantamientos con el GPS
367
Posicionamiento con GNSS
Levantamiento
Puntual
Relativo
Posprocesado
Estático
Estático rápido
Seudocinemático
Navegación
Diferencial Puntual
Tiempo real
Cinemático Fase portadora Seudodistancia
Detenerse
(RTK)
(DGNNS)
y seguir
Figura 14.5
Organigrama que
ilustra los métodos
de posicionamiento
del GNSS.
geometría mejorada de los satélites. La figura 14.5 es un diagrama esquemático
que categoriza los diferentes métodos de levantamiento con GPS. Los que están
en el lado izquierdo del diagrama han sido usados tradicionalmente por la comunidad topográfica. Sin embargo, un GNSS modernizado creará la posibilidad de usar
levantamientos GNSS diferenciales para levantamientos de orden menor.
Para levantamientos cartográficos o de inventario donde es suficiente una
precisión de centímetros a submetros, los levantamientos GNSS diferenciales o
los cinemáticos (véase el capítulo 15) pueden proporcionar el producto más económico. Sin embargo, si el área que se va a cartografiar tiene varias obstrucciones
por arriba, solamente podría ser posible usar uno de los procedimientos de levantamiento estático para llevar el control a la región, y hacer cartografía cinemática
limitada en áreas pequeñas donde se dispone de vistas despejadas por arriba de
los satélites. Reconociendo esto, muchos fabricantes han desarrollado equipo que
permite al topógrafo (ingeniero en geomática) cambiar entre un receptor de GPS
y un instrumento de estación total (véase el capítulo 8) usando el mismo recolector de datos (controlador) y el mismo archivo de proyecto. Esta capacidad es útil
en áreas donde los levantamientos GNSS no son prácticos. En el capítulo 17 se
presentará un estudio más detallado sobre este tema. Las restricciones del uso de
los levantamientos GNSS debidas a restricciones en el dosel se reducirán en gran
medida cuando estén disponibles las constelaciones GNSS modernizadas.
El enfoque preferido para realizar levantamientos de control de alta precisión es el método estático. Frecuentemente una combinación de los métodos
estáticos proveerá los resultados más económicos para proyectos grandes. Como
ejemplo, puede usarse un levantamiento estático para llevar una red dispersa de
control preciso en un área de proyecto. Esto podría ser seguido por un levantamiento estático rápido para densificar el control dentro del área. Finalmente,
podría usarse un levantamiento seudocinemático para establecer el control a lo
largo de las áreas de proyecto más pequeñas en la región. En áreas más pequeñas con condiciones favorables de visión, el mejor método para el levantamiento
pueden ser simplemente los métodos estático rápido, cinemático y cinemático en
tiempo real. La disponibilidad de equipo, software y experiencia frecuentemente
determinan el método de levantamiento a elegir.
14.3.3 Reconocimiento de campo
Una vez que los puntos de control cercanos existentes y las estaciones nuevas se
han localizado en el papel, deberá hacerse un viaje de reconocimiento al campo
para verificar los sitios de observación seleccionados para (1) las obstrucciones por
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368 SISTEMAS SATELITALES DE NAVEGACIÓN GLOBAL; LEVANTAMIENTOS ESTÁTICOS
arriba que sobresalen de 10° a 15° del horizonte, (2) las superficies reflectoras que
pueden causar trayectorias múltiples, (3) las instalaciones eléctricas cercanas
que puedan interferir con la señal del satélite, y (4) otros problemas potenciales. Si
el reconocimiento revela que cualesquiera posiciones puntuales seleccionadas preliminarmente son insatisfactorias, deberán hacerse ajustes en sus posiciones. Para las
estaciones de control existentes que se usarán en el levantamiento, deberán hacerse enlaces de medición con objetos permanentes cercanos, y también deberán
crearse fotografías o frotamientos3 de los casquetes de los monumentos. Estos elementos ayudarán a las brigadas a localizar las estaciones posteriormente durante
el levantamiento, reducir el lapso de tiempo que se pasa en cada estación y minimizar las identificaciones erróneas posibles de la estación. A menudo pueden usarse
los servicios de mapeo en la red para tomar una decisión preliminar acerca de la
conveniencia de ocupar un sitio mediante un receptor GNSS. Sin embargo, una
visita al sitio es el único método para confirmar su adecuabilidad ya que ocurren
cambios en todos los sitios con el tiempo.
Una vez que se han seleccionado los sitios finales para las nuevas estaciones,
deberán colocarse monumentos permanentes, y también deberá documentarse la
posición de las estaciones con enlaces con los objetos cercanos, fotografías y frotamientos. En este momento, si se requiere, puede prepararse una gráfica precisa
del horizonte de cualesquiera obstrucciones circundantes, y deberán registrarse las
direcciones de los caminos y los tiempos aproximados de manejo entre estaciones. Hay varios servicios en la red que pueden usarse para obtener los tiempos de
manejo y las direcciones entre las estaciones una vez que se conocen sus posiciones
aproximadas. Una ayuda valiosa para identificar la posición de las estaciones es el
uso de receptores basados en código y teléfonos celulares con capacidad de GPS.
Estos dispositivos baratos determinarán las coordenadas geodésicas de las estaciones con suficiente precisión para permitir su graficado en un mapa, la navegación a
la estación, y la planeación de proyecto.
14.3.4 Desarrollo de un esquema de observación
Para los proyectos de levantamientos, especialmente aquellos que emplean el posicionamiento relativo y que se aplican a los levantamientos de control, una vez que
se hayan ubicado los puntos de control cercanos existentes que se usarán en el
levantamiento y se hayan establecido las nuevas estaciones, éstas, conjuntamente con las observaciones que se harán, comprenden lo que se conoce como red.
Dependiendo de la naturaleza del proyecto y de la extensión del levantamiento,
la red puede variar desde sólo unas cuantas estaciones hasta configuraciones muy
grandes y complicadas. La figura 14.6 ilustra una pequeña red que consta de solamente dos puntos de control existentes y cuatro estaciones nuevas.
Después de que las estaciones han sido establecidas, se desarrolla un esquema
de observación para desarrollar el trabajo. El esquema consiste en una secuencia
planeada de sesiones de observación que logran los objetivos del levantamiento
de la manera más eficiente. Como mínimo, debe asegurar que cada estación en la
red esté conectada a cuando menos alguna otra estación mediante una línea base
3
Los monumentos que se usan para marcar las estaciones generalmente tienen casquetes de metal (por
lo general bronce) que dan el nombre del punto y otra información acerca de la estación. Esta información se graba en el casquete, y al colocar una hoja de papel directamente sobre el casquete, y al frotar a
través de la superficie con el lado de un lápiz de plomo, se obtiene una impronta del casquete. Esto
ayuda a eliminar errores en la identificación de la estación. Como una opción, puede capturarse un
acercamiento del casquete usando una cámara digital. Algunos recolectores automáticos de datos tienen
una cámara interna para capturar estas notas.
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14.3 Planeación de levantamientos con el GPS
369
no trivial (también llamada independiente) como se describe posteriormente. Sin
embargo, el plan también deberá incluir algunas observaciones redundantes (es
decir, observaciones de la línea base entre las estaciones de control existentes,
ocupaciones múltiples de las estaciones y observaciones repetidas de ciertas líneas
base) para usarse con propósitos de verificación, y para mejorar la precisión y la
confiabilidad del trabajo. La precisión deseada es el principal factor que gobierna el
número y tipo de observaciones redundantes. El Federal Geodetic Control Subcommittee (FGCS) ha desarrollado un conjunto de estándares y especificaciones para
el posicionamiento relativo con el GPS (véase la sección 14.5.1) que especifican el
número y los tipos de observaciones redundantes necesarias para los órdenes de
precisión AA, A, B y C. Generalmente para proyectos de GPS de alta precisión más
grandes, estos estándares y especificaciones, u otros similares, gobiernan el comportamiento del trabajo de levantamiento y deben seguirse cuidadosamente.
En el posicionamiento relativo con GPS, para cualquier sesión de observación, el número de líneas base no triviales medidas es uno menos el número de
receptores que se usan en la sesión, o sea
(14.1a)
b5n21
en donde b es el número de líneas base no triviales y n el número de receptores de
GPS que se emplean en la sesión. Cuando solamente se usan dos receptores en
una sesión, se observa sólo una línea base y es no trivial. Si se usan más de dos
receptores, resultarán líneas base tanto no triviales como triviales (matemáticamente dependientes). El número total de líneas base puede calcularse como
T=
n ( n − 1)
2
(14.1b)
donde T es el número total de líneas base posibles. El número de líneas base triviales para cualquier sesión es
(n − 1) ( n − 2 )
t=
(14.1c)
2
donde t es el número total de líneas base triviales. Para diferenciar entre estos
dos tipos de líneas base, y para entender cómo ocurren las líneas base triviales,
D
Distancias aproximadas
Línea
B
F
E
C
A
Punto de control existente
Nueva estación GPS
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AB
AC
AE
AF
BC
BD
BF
FC
FE
FD
ED
CD
Longitud (km)
17 (entre 2 puntos de control)
13
7
7
11
11
11
11
7
9
9
18
Figura 14.6
Una red del
GNSS.
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370 SISTEMAS SATELITALES DE NAVEGACIÓN GLOBAL; LEVANTAMIENTOS ESTÁTICOS
2
Figura 14.7
Sesión de
observación del
GNSS usando tres
receptores. En el
caso mostrado, AB
y BC se consideran
líneas base no
triviales. Así, AC
es una línea base
trivial.
3
4
1
C
B
A
remítase a la figura 14.7. La cual muestra una sesión de observación que incluye a
tres receptores A, B y C que observan a cuatro satélites 1, 2, 3 y 4, como se aprecian. Se emplean las seudodistancias 1A, 1B, 2A, 2B, 3A, 3B, 4A y 4B para calcular el vector de la línea base AB. También se usan las seudodistancias 1B, 1C, 2B,
2C, 3B, 3C, 4B y 4C para calcular el vector de la línea base BC. Así se han usado
todas las seudodistancias posibles en este ejemplo para calcular las líneas base
AB y BC, y el cálculo de la línea base AC sería redundante; es decir, se basaría
en observaciones que ya se han usado. En este ejemplo, las líneas base AB y BC
se considerarían no triviales, y CA trivial. Esto se refuerza con el hecho de que la
suma de los vectores AB y BC resulta en el vector CA, lo que demuestra su dependencia matemática. Sin embargo, la selección de la línea base trivial es arbitraria.
Es decir, y ya sea AB, BC, o AC pudieron haber sido seleccionadas como la línea
base trivial, dependiendo de qué par de líneas base se seleccionaron como no triviales. Si se usan cuatro receptores en una sesión, resultarán seis líneas base: tres
no triviales y tres triviales. Los estudiantes deberán verificar esto con un croquis.
Para cumplir con los estándares de precisión y obtener valores estadísticos válidos
(véase el capítulo 16), solamente pueden considerarse líneas base no triviales y, por
tanto, es importante distinguirlas.
Cuando sea posible, deberá observarse cuando menos una línea base entre
monumentos de control existentes de mayor precisión para cada par-receptor usado en un proyecto para verificar los procedimientos de campo, el desempeño del
software y del equipo, y la confiablidad del control. También, como se mencionó anteriormente, algunas líneas base deberán observarse más de una vez. Estas
líneas base repetidas deberán observarse en condiciones ideales en o cerca del
inicio y al final de las observaciones del proyecto para verificar los procedimientos
de campo y el equipo en cuanto a repetividad. El análisis de estas observaciones
duplicadas se hará en la sección 14.5.
ALFAOMEGA
TOPOGRAFÍA / WOLF - GHILANI
14.3 Planeación de levantamientos con el GPS
371
Para los levantamientos de control, las líneas base deberán formar figuras
geométricas cerradas, ya que son necesarias para realizar las verificaciones de
cierre (véase la sección 14.5). La red sencilla de líneas base, mostrada en la figura
14.6, se usará como un ejemplo para ilustrar la planeación de un levantamiento con
el GPS. Suponga que el proyecto está en el área de la estación de control PSU1 y
que las fechas del levantamiento son las que se muestran en la gráfica de disponibilidad de los satélites y en los diagramas polares de las figuras 14.3 y 14.4, respectivamente. Las estaciones A y B de la figura 14.16 son los monumentos de control
existentes, y se planeará una observación de línea base entre ellos para (1) verificar
la precisión del control existente, y (2) confirmar que el equipo esté en condiciones
apropiadas de trabajo, y (3) verificar los procedimientos de campo.
En el ejemplo de la figura 14.6 se supone que se dispone de dos receptores de
frecuencia dual para el levantamiento, y que se usará el método estático rápido ya
que todas las líneas base son menores que 20 km y se considera que las condiciones
de observación son buenas. De acuerdo con las duraciones mínimas por sesión, tal
como se dan en la tabla 14.1, de 10 min 1 1 min/km, la línea base AB requeriría 10
1 1 × 17, o sea 27, minutos de tiempo de observación. Los tiempos de observación
restantes de la línea base se listan en la tabla 14.2 usando las mismas técnicas de
cálculo.
Se consideran dos brigadas de dos personas, cada una trabajando individualmente con vehículos separados, para realizar el levantamiento. También se supone
que los tiempos de instalación y de desmontado para cada estación son aproximadamente de 15 minutos cada uno. Al redondear cada sesión de observación mínima
hasta el intervalo más cercano de 5 minutos, se planearon los siguientes tiempos y
sesiones de observación para un proyecto de recolección de datos de dos días. Es
importante recordar que una sesión incluye la recolección simultánea de datos del
satélite. Entonces, una sesión no inicia hasta que todos los receptores que participan en la sesión estén instalados y estén funcionando en sus respectivas estaciones.
Esto ejemplifica la importancia de la comunicación entre las brigadas de campo
para que un levantamiento tenga éxito.
TABLA 14.2
DURACIÓN DE SESIÓN MÍNIMA Y TIEMPO DE MANEJO APROXIMADO ENTRE ESTACIONES PARA LAS LÍNEAS BASE
DE LA FIGURA 14.11
Longitud
(km)
Duración de sesión
(min)
Tiempo de manejo
(min)
AB
17
27
15
AC
13
23
10
AE
7
17
8
AF
7
17
25
BC
11
21
15
BD
11
21
10
BF
11
21
20
FC
11
21
15
FE
7
17
15
FD
9
19
10
ED
9
19
15
CD
18
28
25
Línea
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372 SISTEMAS SATELITALES DE NAVEGACIÓN GLOBAL; LEVANTAMIENTOS ESTÁTICOS
TABLA 14.3
ITINERARIO DE MEDICIONES PARA LA FIGURA 14.11
DÍA 1 (4 de agosto de 2014)
Hora
Brigada 1
Brigada 2
8:00—8:45
Manejar hasta la estación A
Manejar hasta la estación C
9:00—9:25
Recolectar datos
Recolectar datos
9:40—9:55
Recolectar datos
Manejar hasta la estación F
9:55—10:15
Recolectar datos
Recolectar datos
10:30—10:45
Recolectar datos
Manejar hasta la estación E
11:00—11:20
Recolectar datos
Recolectar datos
11:35—11:50
Manejar hasta la estación B
Manejar hasta la estación F
12:05—12:30
Recolectar datos
Recolectar datos
12:45—1:00
Recolectar datos
Manejar hasta la estación C
13:15—13:40
Recolectar datos
Recolectar datos
13:55—14:05
Recolectar datos
Manejar hasta la estación A
14:20—14:50
Recolectar datos
Recolectar datos
15:05—15:15
Manejar hasta la estación D
Manejar hasta la estación C
15:30—16:00
Recolectar datos
Recolectar datos
16:00—17:00
Regresar al gabinete
Descargar datos
Línea base
Sesión
AC
1A
AF
1B
AE
1C
BF
1D
BC
1E
AB
1F
CD
1G
Línea base
Sesión
FA
2A
FE
2B
FD
2C
FB
2D
FC
2E
BD
2F
ED
2G
DÍA 2 (5 de agosto de 2014)
Hora
Brigada 1
Brigada 2
8:00—9:00
Manejar hasta la estación A
Manejar hasta la estación F
9:15—9:35
Recolectar datos
Recolectar datos
9:50—10:00
Manejar hasta la estación E
Recolectar datos
10:15—10:30
Recolectar datos
Recolectar datos
10:45—11:00
Manejar hasta la estación D
Recolectar datos
11:00—11:20
Recolectar datos
Recolectar datos
11:35—11:45
Manejar hasta la estación B
Recolectar datos
12:00—12:25
Recolectar datos
Recolectar datos
12:40—12:55
Manejar hasta la estación C
Recolectar datos
13:10—13:35
Recolectar datos
Recolectar datos
13:50—14:05
Manejar hasta la estación B
Manejar hasta la estación D
14:20—14:45
Recolectar datos
Recolectar datos
15:00—15:15
Manejar hasta la estación D
Manejar hasta la estación E
15:30—15:50
Recolectar datos
Recolectar datos
15:50—17:00
Regresar al gabinete
Descargar datos
Nota: no deberán hacerse mediciones en la línea base entre 8:00–8:15 y 13:40–14:00 el 4 de agosto y entre
7:56–8:11 y 13:36–13:56 el 5 de agosto.
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14.3 Planeación de levantamientos con el GPS
373
El plan de observación para este ejemplo se da en la tabla 14.3, la cual da
el itinerario para ambas brigadas de campo, asignando tiempo para la instalación y el desmontado del equipo, el recorrido entre estaciones y la recolección de
suficientes observaciones. El plan incluye todas las líneas en la red con líneas
de base, y para propósitos de verificación también incluye una observación de la
línea base de control AB, y observaciones repetidas de AF y BF. Observe que los
dos instantes no favorables para recolectar observaciones que se muestran en la
figura 14.3 no se programan como tiempos de recolección de datos, sino que se
usan para otras operaciones auxiliares. En caso de que las operaciones deban adelantarse o atrasarse con respecto al calendario planeado por alguna razón imprevista, es prudente incluir una declaración en el itinerario indicando que no deberán
recolectarse ningunas observaciones de línea base entre los lapsos de 8:00 a 8:15,
y 13:40 a 14:00. Observe que tal como se indica en el calendario planeado, la brigada
con el receptor estacionario deberá seguir recolectando datos durante el periodo
completo de ocupación de la estación. Esto incluye los lapsos en los cuales la otra
brigada se mueve entre estaciones. La razón de esto es que los datos recolectados
por el receptor estacionario pueden usarse para conectarse al Sistema nacional de
referencia espacial usando la red CORS (véase la sección 14.3.5). En forma opcional, las sesiones más largas pueden procesarse usando OPUS para crear enlaces
adicionales más fuertes con la red nacional. Es conveniente proveer al personal
de campo con dispositivos de comunicación durante el levantamiento para que
puedan coordinar los tiempos de las sesiones, y manejar los problemas logísticos
imprevistos que surgen inevitablemente.
14.3.5 Disponibilidad de estaciones de referencia
Como se explica en la sección 14.3.4, la disponibilidad de estaciones de control de
referencia de alta calidad es necesaria para lograr el más alto orden de precisión en
el posicionamiento con el GPS. Para llenar esta necesidad, los estados individuales,
en cooperación con el NGS, han desarrollado High Accuracy Reference Networks
(HARN). La HARN es una red de puntos de control que se observaron con precisión usando el GPS bajo la dirección del National Geodetic Survey (NGS). Estos
puntos de HARN están ahora disponibles para servir como estaciones de referencia para los levantamientos con GPS en su cercanía.
Además, el NGS, con la cooperación de otras dependencias públicas y privadas, ha creado un sistema nacional de Continuously Operating Reference Stations,
también llamado National CORS Network. La ubicación de las estaciones en la red
CORS en 2003 se muestra en la figura 14.8. En marzo de 2004 ya existían 459 estaciones CORS. Estas estaciones no solamente tienen una posición conocida con alta
precisión, sino que también están ocupadas por un receptor de GPS que recolecta
continuamente los datos de GPS. Entonces los datos recolectados se descargan y
se suben en un sitio de Internet de NGS en http://www.ngs.noaa.gov/CORS/. Esta
información puede usarse como datos de la estación base para apoyar a los receptores móviles que operan en la vecindad de la estación CORS. Los datos se almacenan en un formato conocido como Receiver INdependent EXchange (RINEX).
Este formato es un estándar que puede ser leído por cualquier software de posprocesamiento. Este sitio de la red también proporciona coordenadas para las estaciones, y las efemérides ultrarrápidas, rápidas y precisas (véase la sección 13.6.3). Las
estaciones HARN y CORS constituyen lo que se conoce como el Sistema Nacional
de Referencia Espacial.
Debido a la tectónica de placas, los vectores de velocidad acompañan a las
coordenadas para las estaciones. Mientras que los movimientos en la parte este de
Estados Unidos pueden ser menores a 1 mm por año, estos movimientos pueden ser
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374 SISTEMAS SATELITALES DE NAVEGACIÓN GLOBAL; LEVANTAMIENTOS ESTÁTICOS
Figura 14.8 Ubicaciones que tienen estaciones de referencia de operación continua (CORS)
en Estados Unidos. (Cortesía del National Geodetic Survey.)
considerablemente mayores en la parte oeste de Estados Unidos. Así las coordenadas obtenidas de los levantamientos de control con GPS deberán acompañarse con
su sistema de referencia (véase la sección 19.6) y la época. El NGS ha escrito software conocido como Posicionamiento Horizontal Dependiente del Tiempo (HTDP:
Horizontal Time-Dependent Positioning) usando 14 parámetros entre diversos
marcos de referencia y épocas en el tiempo (véase la sección 19.7). Las coordenadas WGS84(G1674) son esencialmente diferentes de las coordenadas NAD83.
Como las efemérides transmitidas se determinan en el marco de referencia WGS84,
esta transformación es necesaria para colocar las coordenadas obtenidas por los
levantamientos GNSS en el marco de referencia NAD83. Esta transformación de
coordenadas se muestra en el archivo de Mathcad C14.XMCD, que está en el sitio
de la red que acompaña a este libro. La transformación puede evitarse realizando
una localización (véase la sección 19.7) en el levantamiento GNSS.
Los archivos de datos CORS se descargan fácilmente usando la opción
User-Friendly CORS (UFCORS) en el sitio de la red del NGS. Esta utilería proporciona al usuario una forma interactiva que solicita (1) la fecha de inicio, (2) la
hora, (3) la duración del levantamiento, (4) la selección del sitio y (5) el intervalo
de recolección, entre otras cosas. El servidor interpreta esta petición, y se manda la
fecha apropiada, vía la Internet, al usuario en cuestión de minutos.
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14.3 Planeación de levantamientos con el GPS
375
Varios factores pueden ocasionar que los datos no se recolecten en un sitio
específico de CORS por cortos periodos. Éstos incluyen las interrupciones locales
del servicio de energía eléctrica, daños por tormentas y fallas del software y del
hardware. Así, si cie