אוניברסיטת בן גוריון בנגב הפקולטה למדעי ההנדסה המחלקה להנדסת מכונות דו"ח סופי בקרת מיקום שמות הסטודנטים :רז תורג'מן 315047316 אביהוא גפן 207024480 מספר קבוצה2 : תאריך הגשה08.06.2023 : שם המנחה :מתן כהן צדק סיוון תשפ"ג יוני 2023 טבלת ניקוד מפתח לבדיקת דו"ח מעבדה סעיף ניקוד מתוך תקציר 5 מבוא 5 רשימות )תוכן עניינים /סימנים /איורים/ 5 טבלאות( מטרות הניסוי 5 סקר ספרותי 20 שגיאות מדידה )עיבוד תוצאות ,דוגמאות חישוב, דיון ,מסקנות וסיכום( 35 תיקון שגיאות מהדו"ח המקורי 15 ביבליוגרפיה 2 רמת הדו"ח הערכה כללית 8 סה"כ 100 שם הבודק וחתימה.___________________: הערות תקציר במקרים רבים כאשר יש כוונה לבנות מערכת שתבצע פעולות על פי דרישה ולכן יש צורך לעשות שימוש במערכת בקרה שבעזרתה המערכת תגיע לערך נדרש או ביצועים נדרשים כאשר אלו נקראים דרישות תכן. לרוב המשוואה )או המשוואות( שמתארת את דינמיקת המערכת אינה ידוע ויש לבצע ניתוח של תגובות המערכת לכניסה מסוימת .לעיתים קיימות דרישות על זמן התגובה של המערכת ,תגובת היתר ביחס לערך הרצוי ,זמן התכנסות למצב מתמיד ושגיאה מותרת )כאמור ,דרישות תכן( .על מנת לענות על דרישות אלו ניתן להוסיף למערכת בקרים שונים כאשר לכל בקר תפקיד שמשפיע על התגובה באופן שונה .הנושא של בקרת מערכות מבוסס על ניתוחים של מערכת לינאריות אך במציאות רוב המערכות אינן לינאריות ועל כן קיים פער בין הניתוח התיאורטי לתוצאות בפועל .עם זאת ,קירובים אלו נותנים תוצאות טובות שאיתן ניתן להבין המון על המערכת ונותנים נקודת פתיחה טובה עבור יישום הדרישה הרצויה .במילים אחרות ,השימוש במודל מערכות לינאריות הוא רק קירוב שמאפשר שימוש במגוון כלים כלי לשלוט במערכת ולבקר אותה. בעזרת תוכנות מחשב ורגשים אלקטרונים ניתן לנתח תגובת מערכת ומזו להפיק פונקציית תמסורת המתארת את תגובת המערכת ביחס לכניסה הלם ולבקר אותה באמצעות בקרים על פי דרישה. לקראת המעבדה בוצע דוח מכין בו נותחה סימולציה תיאורטית לקראת ניתוח המערכת האמיתית .נמצא כי אין התאמה מושלמת בין תגובת המערכת וערכי הבקרים הרלוונטיים בסימולציה לאלו שהתקבלו בפועל איך עם זאת שימוש בערכי הסימולציה נותן נקודת התחלה טובה שממנה ניתן לנחש את הערכים בניסוי ותהייה עד להגעה לערך הרצוי. ניסוי זה עסק בייצוב ומענה על דרישות תכן של מערכת באמצעות בקר PDו .PIDלאחר ביצוע סימולציה ממוחשבת נערך ניסוי על המערכת האמיתית והתקבלו תוצאות שונות מהניתוח התיאורטי ועל כן בוצעו שינויים של ערכי מקדמי הבקר על לקבלת תוצאה רצויה .כהרחבה בוצע ניתוח של תגובת המערכת במציאות הכלל את זיהוי המערכת מהתגובה ויישום בקרה העונה על דרישות חדשות. בנוסף למענה על דרישות התכן ,בוצע ניתוח מעמיק על השפעת בקר דיפרנציאלי על תגובת המערכת ונמצא כי ערכו של 𝑉𝑉𝐾𝐾 מהווה דרישה על עוצמת פעולת הבקר הדיפרנציאלי על תגובת המערכת וככל שהעוצמה גדולה יותר כך הריסון על המערכת משמעותי יותר והשפעתו היא על מצב המעבר. בתום ניתוח תוצאות הניסוי הוסק כי מערכות מציאותיות אינן באמת לינאריות אך שימוש בערכי הסימולציה נותן נקודת התחלה טובה .ניתן לענות על דרישות תכן במספר אפשרויות של בקרים שונים .עם זאת לכל בקר היתרונות והחסרונות שלו ולעיתים גם קיימת מגבלה על מספר דרישות התכן שניתן לענות עליהן באמצעות בקר מסוים. בנוסף הוסק שהבקר האינטגרלי סוכם את השגיאה כפונקציה של הזמן ומכניס תיקון למערכת באופן פרופורציונלי לסכום השגיאות .מבחינת ערכו של 𝑉𝑉𝐾𝐾 התגלה כי קיים קשר חזק בין ערכו האלגברי לבין תגובת היתר הזמן לפיק ראשון כך שירידו בערכו גורם לזמן לפיק ראשון להתקצר ולתגובת יתר גדולה יותר .בניגוד לקשר בנמצא בפרמטרי תכן אלו. עוד נלמד אפשרי להפיק את המערכת מתוך התגובה האמיתית וניתן לבקר אותה נדרש .עם זאת יישום בקרים באופן תיאורטי יענה על דרישות בסימולציה אך לאחר הוספת גורמים המביאים לסימולציה מציאותית יותר מתברר ההבדל והצורך לתכנן את הבקר באופן שונה כדי לקבל תוצאה רצויה בפועל. תוכן עניינים .1מבוא 1 ................................................................................................................. .2סקירה ספרותית 1 ............................................................................................................. .2.1רקע תיאורטי 1 ......................................................................................................... .2.2יישומים של סימולציה בקרת מערכת 15 ........................................................................... .2.3חידושים בתחום הבקרה15............................................................................................ .2.4מסקנות וחוות דעת לגבי המוטיבציה לסקירה הספרותית 15 ................................................. .3מתודולוגיה 16 ................................................................................................................ .4מטרת הניסוי 16 ................................................................................................................ .5מהלך הניסוי 16 ................................................................................................................. .5.1זיהוי מערכת 16 ........................................................................................................ .5.2תכנון בקר 21 ........................................................................................................ .6מסקנות 32 ................................................................................................................. .7סיכום 32 ................................................................................................................. .8המלצות לשיפור הניסוי 33 ................................................................................................... .9ביבליוגרפיה33.................................................................................................................. .10טופס הצהרת מקוריות 34 ................................................................................................... .11נספחים 35 .............................................................................................................. רשימות בפרק זה קיים פירוט רשימות על פי סדר הופעתן בדו"ח. רשימות איורים .1תיאור סכמתי של פונקציה תמסורת 4............................................................................................... .2תגובת מערכת מסדר שני לכניסת מדרגה 6......................................................................................... .3דיאגרמת בלוקים המתארת בקרה בחוג סגור 8.................................................................................. .4אותות כניסה נפוצים 9................................................................................................................... .5יישום בקר PIDבדיאגרמת בלוקים 10............................................................................................. .6שולי יציבות על עקום נייקוויסט 11.................................................................................................. .7שולי יציבות על דיאגרמת בודה 12.................................................................................................... .8תגובת המערכת לכניסת מדרגה 16................................................................................................... .9דיאגרמת בלוקים של המערכת 17.................................................................................................... .10תוצאות ההשווה בין הסימולציות לניסוי 19..................................................................................... .11מבט מקורב על המדרגה האחרונה בהשוואת התוצאות 20................................................................. .12דיאגרמת בודה על המערכת ללא בקר 22......................................................................................... .13דיאגרמת בודה על המערכת בשילוב בקר הגבר חופשי 23................................................................... .14תגובת מדרגה בסימולציה לינארית לבקר הגבר חופשי 24.................................................................. .15מתח על המנוע כפונקציה של הזמן בסימולציה ליניארית 25............................................................... .16תגובת מדרגה בסימולציה לא ליניארית לבקר הגבר חופשי 25............................................................ .17מתח על המנוע כפונקציה של הזמן בסימולציה לא ליניארית 26.......................................................... .18גרף בודה של המערכת בתוספת רשת פיגור 27.................................................................................. .19תגובת המערכת לכניסת מדרגה 28................................................................................................. .20מתח על המנוע כפונקציה של הזמן לאחר הוספת רשת פיגור לסימולציה לא ליניארית 29....................... .21דיאגרמות בודה עבור כל סוגי הבקר 30........................................................................................... רשימת טבלאות 1תיאור פונקצית מדרגה במישור הזמן ומישור לפלס 2.......................................................................... 2תיאור פונקציית הלם במישור הזמן ומישור לפלס 4............................................................................ 3נוסחאות פרמטרי תכן 6.................................................................................................................. 4פונקציות תמסורת בבקרת חוג סגור 9.............................................................................................. 5שגיאת מצב מתמיד בהתאם למאפייני המערכת 10............................................................................. 6רשתות פיצוי במישור התדר 13........................................................................................................ 7ערכי 𝛽𝛽 בהתאם לכניסה סוג מערכת 14........................................................................................... 8פרמטרי מערכת הבקרה 19............................................................................................................. 9ערכי התגובות של המערכות השונות לפי סוג בקר וסימולציה 29.......................................................... רשימת סימנים סימן משמעות יחידות 𝐴𝐴 אמפליטודת יציאה − 𝑖𝑖𝑐𝑐 𝐴𝐴𝑖𝑖 , 𝑟𝑟𝑖𝑖 , 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒 𝐺𝐺𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐾𝐾 𝑝𝑝𝐾𝐾 𝐼𝐼𝐾𝐾 𝑣𝑣𝐾𝐾 𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑝𝑝 , 𝑘𝑘𝑣𝑣 , 𝑛𝑛 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑀𝑀𝑃𝑃 𝑝𝑝 𝑅𝑅0 𝑇𝑇 𝑝𝑝𝑡𝑡 𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝛿𝛿 𝜙𝜙 𝜃𝜃, 𝑚𝑚𝜙𝜙 𝜉𝜉 ערכי טבלת ראות'-הורוביץ מקדמי פולינום אופייני ריסון מרסן לינארי /סיבובי − − Nms Ns / rad m שגיאה במצב מתמיד rad שולי /עודף הגבר dB מקדם בקר פרופורציונלי - מקדם בקר אינטגרלי − שולי /עודף הגבר − הגבר מערכת − מקדם בקר נגזרת קשיחות קפיץ לינארי /פיתול − Nm N / rad m ערכי גבול לחישוב שגיאה − תגובת יתר − סוג מערכת − שולי /עודף פאזה ° עוצמת אות ייחוס Pa זמן לפיק ראשון s זמן התייצבות s קוטב זמן מחזור זמן עלייה − s s ערך מצב מתמיד rad יחס אמפליטודות לוגריתמי − תוספת פאזה מקסימלית rad אפס הפרשי פאזה יחס ריסון − rad − סימן משמעות 𝜔𝜔 תדירות תנודה 𝑑𝑑𝜔𝜔 𝑚𝑚𝜔𝜔 𝑛𝑛𝜔𝜔 𝑝𝑝𝜔𝜔 𝑔𝑔𝜔𝜔 תדירות מרוסנת תדירות פאזה מקסימלית תדירות טבעית תדירות סף יציבות פאזה תדירות סף יציבות הגבר יחידות rad s rad s rad s rad s rad s rad s .1מבוא ניסויי בקרה על פי סימולציה ומערכות אבטיפוס נפוצים וחשובים אשר בעזרתם ניתן להפיק מידע חיוני ותכונות אודות מערכות אותן יש לנתח לקראת שימוש בזמן אמת והוצאת מוצר לשוק הרחב .באמצעות ניתוח פרמטרי התכן מהתגובה מתאפשר למהנדסים יישום של בקרים למימוש המטרות הרצויות .ניסוי זה עסק בייצוב ומענה על דרישות תכן של מערכת באמצעות בקר PDו PIDכאשר כל חלק בניסוי התמקד בחלק אחר בבקר .בקרי PIDלא תאמו בהרחבה לניסוי ועל כן לאחר שנעשה שימוש בתגובת המערכת במציאות והפקת פונקציית תמסורת מתוך התגובה כאשר עליה בוצע תכנון בקרה נוסף עבור דרישות תכן חדשות. .2סקירה ספרותית על מנת שיהיה ניתן לבקר מערכת יש לנסח את דינמיקת המערכת באופן מתמטי כאשר רוב הניתוח מתבע במישור התדר שאליו עוברים ממישור הזמן באמצעות התמרס לפלס .במישור התדר ניתן לבצע ניתוח וייצוב של המערכת באמצעות בקרים ונתוני התגובה של המערכת וליישם דרישות באמצעות דרישה על פרמטרי התכן .במעבדה נבדקה השפעת הבקרים השונים על המערכת ובוצעה השוואה של תוצאות המערכת הפיזיקלית בפועל אל מול סימולציה לינארית ובוצע ניתוח של התוצאות בפועל וייצוב בעזרת ניסוי ותהייה לצד שימוש בנתונים בתיאורטיים כקו מנחה .במעבדה זו עלה הצורך לענות על דרישות תכן בסימולציה ולאחר מכן ליישם במערכת הפיזיקלית שכוללת השפעות נוספות ועל כן לבצע תיקונים למענה סופי על הדרישות .על מנת לבצע ניתוח ויישום בקרה על המערכת יש להכיר את הנושאים הנדרשים עבור תיאוריית הבקרה ותכנון בקר. .2.1רקע תיאורטי בחלק זה יוצג הרקע התיאורטי על פיו בוצעו הניסוי ועיבוד התוצאות. .2.1.1מודל מתמטי של מערכת ,מעבר למישור לפלס ופונקציית תמסורת כדי לתאר דינמיקה של מערכת נעשה שימוש בפונקציית תמסורת במישור התדר .הטרנספורמציה ממישור הזמן אל מישור התדר נעשית באמצעות התמרת לפלס. תחת ההבנה שזמן שלילי הוא ערך לא פיזיקלי התחום של ההתמרה מוגבל בגבול תחתון של 𝑡𝑡 ≥ 0התמרת לפלס של פונקציה )𝑡𝑡(𝑓𝑓 קיימת במידה והאינטגל הלא אמיתי )גבול עליון באינסוף( הבא מתכנס לערך סופי: ) (1 ∞ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠ℒ[𝑓𝑓(𝑡𝑡)] = 𝐹𝐹(𝑠𝑠) = � 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑒𝑒 − 0 כאשר 𝑠𝑠 הוא פרמטר מרוכב אשר מתאר את המעבר ממישור הזמן למישור התדר )לפלס( .כאשר המוטיבציה במערכת למישור זה היא שמשוואות דיפרנציאליות במישור הזמן הן משוואות פולינומיאליות במישור התדר. 1 על מנת להגדיר באופן פיזיקלי פונקציה מתמטית ניתן לעשות שימוש בפונקציית מדרגה .באמצעותה ניתן לתאר פונקציה רציפה למקוטעין על ידי משוואה אחת בלבד ובנוסף ניתן להכניס אותה כערך אליו מעוניינים שהמערכת תתכנס .פונקציית מדרגה מוגדרת באופן הבא: טבלה :1תיאור פונקצית מדרגה במישור הזמן ומישור לפלס תיאור במישור הזמן 𝑎𝑎 < 𝑡𝑡 𝑎𝑎 > 𝑡𝑡 0, 1, התמרת לפלס 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒 − = ])𝑎𝑎 ℒ[𝑢𝑢(𝑡𝑡 − 𝑠𝑠 � = )𝑎𝑎 𝑢𝑢(𝑡𝑡 − על מנת שיהיה ניתן לתאר בפשטות מערכות תונדות מורכבות ניתן לבנות מודל שמתאר בקירוב את דינמיקת המערכת .שני הפרמטרים החשובים ביותר עבור מערכת תונדת הינם המסה והקשיחות .גישה נפוצה היא איסוף כל התרומות המסה והקשיחות יחד ולייצג אותן כמסה נקודתית 𝑚𝑚 -המייצגת את המסה הכוללת 𝑁𝑁 של דרגת החופש וקפיץ עם קשיחות 𝑘𝑘 ,בעל יחידות של � � עבור קפיץ לינארי ו� 𝑚𝑚 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 � עבור קפיץ פיתול, המייצג את הקשיחות הכוללת של המערכת .בצורה זו ניתן לתאר ולנתח באופן מתמטי את המערכת .עם זאת חשוב לציין שצורת תיאור זו נעשית תחת ההנחות הבאות: א .תנועה המסה היא לינארית בלבד – הנחה זו נקבעת משום שהתנהגות מערכת מוגדרת על ידי אות יציאה יחיד שהוא המרחק על "ציר 𝑥𝑥" שמערכת עוברת .במילים אחרות ,המסה בעלת דרגת חופש אחת. ב .הזנחת השפעת כוח הכבידה )ניתן להכניסו ככוח חיצוני(. כאשר מעוניינים לתאר גם הפסדי אנרגיה )כתוצאה מחיכוך או גורם אחר( ניתן לתאר את הריסון באמצעות 𝑁𝑁𝑁𝑁 פרמטר הריסון 𝑐𝑐 ,בעלת יחידות של � � עבור מרסן לינארי ו� הכולל במערכת. 𝑚𝑚 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 � עבור מרסן סיבובי ,המייצג את הריסון משוואה המתארת את דינמיקת המערכת נקראת משוואת התנועה ומיושמת באמצעות החוק השני של ניוטון :סכום הכוחות הפועלים על מסה נקודתית שווים לכפל המסה בתאוצה שלה. באמצעות דיאגרמת גוף חופשי על מסה 𝑚𝑚 מתקבלת הצורה הכללית עבור מערכת מסדר שני: )𝑡𝑡(𝑓𝑓 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ + 𝑐𝑐𝑥𝑥̇ + מתוך ניתוח פתרון המערכת בזמן )ללא חיכוך( מתקבל כי: 𝑘𝑘 �𝜙𝜙 𝑡𝑡 + 𝑚𝑚 �� 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin 2 כאשר 𝜙𝜙 ותלויה בתנאי ההתחלה של מיקום המסה זו זווית הפאזה ו𝐴𝐴 זו האמפליטודה אשר תלויה בתנאי ההתחלה על המהירות. תכונה חשובה שאותה ניתן להפיק ממידול המערכת היא התדירות הטבעית של המערכת – התדירות בה המערכת תתנוד באופן טבעי תחת תנודות חופשיות .תדירות זו ,על פי הפתרון בזמן ,נתונה על ידי הביטוי 𝑘𝑘 � ,מסומנת באות היוונית 𝜔𝜔 ובעלת יחידות של � 𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ללא תלות בתנאי ההתחלה. 𝑠𝑠 � .התדירות תלויה במסה ובקשיחות המערכת בלבד לכל מערכת ערך ריסון קריטי אשר מציין את ערך הריסון המספיק בדיוק לדיכוי התנודות במערכת .היחס בין מקדם הריסון במערכת לערך הריסון הקריטי מוגדר באופן הבא: 𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜉𝜉 כאשר רוב המערכות ההנדסיות בעלות יחס ריסון קטן מ 1הנקרא ריסון תת קריטי .כדי לקבוע ערך זה עבור מערכת יש לבצע ניסוי על המערכת ולנתח את התגובה באמצעות הקשר הנתון במשוואה .2 ) (2 2 1 �𝜋𝜋�1 + �2 𝛿𝛿 = 𝜉𝜉 כאשר 𝛿𝛿 מוגדר להיות היחס הלוגריתמי בין שתי אמפליטודות שלמות: 𝑖𝑖𝐴𝐴 𝐴𝐴𝑖𝑖+1 .𝛿𝛿 = ln כאשר מסה אינה מפוזרת באופן שווה סביב ציר הסיבוב מופק עומס הגורם לכוח סינוסודיאלי הגורם לתנודות ורעידות .תופעה זו של חוסר איזון יכולה להיגרם כתוצאה מייצור לקוי או דפורמציה .אך לעיתים ישנם מקרים בהם חוסר האיזון נוצר בכוונה תחילה לשם יצירת רעידות כמו למשל רטט בטלפון סלולרי או שלט משחקי וידאו. את הכוח ניתן לתאר ככוח חיצוני בצורה הבאה 𝐹𝐹0 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) :והפתרון בזמן המצב זה שווה לסכום הפתרון הכללי והפתרון הפרטי באופן הבא: )𝜃𝜃 𝐹𝐹0 /𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 2 2 ��1 − 𝜔𝜔 2 � + (2𝜉𝜉 𝜔𝜔 )2 𝑛𝑛𝜔𝜔 𝑛𝑛𝜔𝜔 𝑡𝑡 𝑛𝑛𝜔𝜔𝜉𝜉− 𝑒𝑒𝐴𝐴 = )𝑡𝑡(𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑑𝑑 𝑡𝑡 + 𝜙𝜙) + ��������������� 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ כאשר 𝜔𝜔 זה תדירות הכוח המאלץ 𝜔𝜔𝑛𝑛 ,זו התדירות הטבעית של המערכת 𝜃𝜃 ,ו 𝜙𝜙-הן הפרשי פאזה. מביטוי זה ניתן שמצב מתמיד הביטוי השמאלי דועך ורק הביטוי הימני נשאר .מניתוח הביטוי הימני ניתן לראות כי כאשר תדירות הכוח המאלץ שואף לתדירות הטבעית של המערכת הביטוי השמאלי במכנה שואף 3 לאפס ואילו עבור ריסון נמוך גם הביטוי מימינו שואף לאפס .במצב זה תגובת המעברת מתבדרת )באופן תיאורטי( כאשר במציאות מתקבל תגובה עוצמתית יחסית לתדירויות אחרות משום שבעולם הפיזיקלי תמיד קיים גורם חיכוך )ריסון( כלשהו על המערכת .תופעה זו נקראת רזוננס והיא עלולה להיות מאוד מסוכנת. עבור מערכות עם מספר דרגות חופש ניתן ליישם את המידול בעזרת מסות נוספות ובכך לתאר דרגות חופש נוספות במערכת .עקב הוספת דרגות חופש מתקבלים אופני תנודנ נוספים ותדרים עצמיים )טבעיים( נוספים כמות דרגות החופש. פוקנצייה התמסורת הינה יחס ,קבוע עבור כל מערכת ,בין התמרות אות היציאה לבין התמרות אות הכניסה. ניתוחה מתבצע במישור לפלס בלבד וחסרת משמעות פיזיקלית במישור הזמן. איור :1תיאור סכמתי של פונקציה תמסורת באיור 1ניתן לראות באופן ויזואלי בין הכניסה )ערעור חיצוני /כוח מאלץ( לבין היציאה )תגובה /אות יציאה/ אות המדידה(. ובאופן מתמטי התיאור הוא על פי משוואה .3 )𝑠𝑠(𝑋𝑋 )𝑠𝑠(𝐹𝐹 ) (3 = )𝑠𝑠(𝐺𝐺 כאשר 𝐹𝐹(𝑠𝑠) = 1אות היציאה שווה לאות התמסורת וההתמרה ההפוכה של )𝑠𝑠(𝐹𝐹 היא פונקציית הדלתא של דיראק )פונקציית הלם( אשר מוגדרת כמתואר בטבלה .2 טבלה :2תיאור פונקציית הלם במישור הזמן ומישור לפלס תיאור במישור הזמן 𝑎𝑎 = 𝑡𝑡 𝑎𝑎 ≠ 𝑡𝑡 ∞, 0, התמרת לפלס 𝑎𝑎𝑎𝑎ℒ[𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝑎𝑎)] = 𝑒𝑒 − � = )𝑎𝑎 𝛿𝛿(𝑡𝑡 − כלומר פונקציית תמסורת נקראת תגובת המערכת להלם. עבור פונקציית תמסורת אין התחשבות בתנאי התחלה והינה תכונה של המערכת ולכל מערכת פיזיקלית קיימת פונקציית תמסורת אחת שמתארת אותה. 4 פונקציית התמסורת בנויה בצורה של מנה של שני פולינומים .השורשים של הפולינום האופייני )זה שבמכנה( נקראים קטבים והשורשים של הפולינום במונה נקראים אפסים .הניתוח הוא כאמור במישור המרוכב ועל כן לכל אפס וקוטב קיים חלק ממשי וחלק מרוכב. עבור הקטבים ,החלק הממשי מסומן באות 𝜎𝜎 ומכיל אינפורמציה לגבי ריסון המערכת או במילים אחרות נמצא בחזקה של האקספוננט בפתרון המערכת בזמן .כאשר 𝜎𝜎 > 0המערכת אינה יציבה ומתבדרת שזה הוא מצב שממנו יש להימנע ,עבור 𝜎𝜎 < 0מתקבל מצב רצוי של מערכת יציבה ומתכנסת ואילו עבור 𝜎𝜎 = 0 זה מעיד על מצב של כניסת מדרגה עליה יורחב בהמשך. החלק המרוכב מסומן באות 𝜔𝜔 מכיל אינפורמציה לגבי תנודתיות המערכת כאשר במישור הזמן נמצא ברכיב הסינוס .קוטב מרוכב תמיד מגיע עם הקוטב הצמוד לו ועל כן תמיד ימצאו במערכת מסדר שני ומעלה. כאשר אפס רחוק מקוטב ההשפעה שללו עליו תהיה זניחה .אפסים משפיעים על מצב המעבר בלבד ולא על המצב המתמיד. .2.1.2תגובת מערכת מסדר שני ניתן לבחור להציג את המערכת באופן הבא: )𝑡𝑡(𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝑦𝑦 𝑦𝑦̈ + 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑦𝑦̇ + 𝜔𝜔𝑛𝑛 2 כאשר 𝑛𝑛𝜔𝜔 ו 𝜉𝜉 הינם ממשים וחיוביים. מכאן שפונקציית התמסורת של מערכת מסדר שני הינה: )𝑠𝑠(𝑌𝑌 𝐾𝐾 = 2 𝐹𝐹(𝑠𝑠) 𝑠𝑠 + 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑠𝑠 + 𝜔𝜔𝑛𝑛 2 = )𝑠𝑠(𝐺𝐺 ולכן שורשי הפולינום האופייני הינם: −2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 ± �(2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 )2 − 4𝜔𝜔𝑛𝑛 2 = −𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 ± 𝜔𝜔𝑛𝑛 �𝜉𝜉 2 − 1 2 = 𝑠𝑠1,2 כאשר המצב המעניין לניתוח משום שרוב המערכות הן כאלו הוא המצב של ריסון תת קריטי .במצב זה מתקבלים שני קטבים מרוכבים צמודים בשל העובדה שבשורש מתקבלים מספרים שליליים ועל כן השורשים הינם: 2−1 𝜔𝜔𝜉𝜉 𝑠𝑠1,2 = − 𝜔𝜔 �𝑛𝑛 ± �� ��� �� 𝜉𝜉� 𝑛𝑛 𝜎𝜎 𝑑𝑑𝜔𝜔 5 באיור 2ניתן לראות תגובה של מערכת מסדר שני לכניסת מדרגה. איור :2תגובת מערכת מסדר שני לכניסת מדרגה את הערכים האופייניים )פרמטרי התכן( המוצגים באיור ניתן לחלץ או לחשב מתוך הנתונים בגרף על פי הקשרים במוצגים בטבלה .3 טבלה :3נוסחאות פרמטרי תכן פרמטר תכן תיאור זמן עלייה )(rise time הזמן שלוקח למערכת לעלות מ10% ל 90%מערך התגובה במצב המתמיד. תגובה יתר *) over shoot העלייה היחסית באחוזים בפיק הראשון )האנרגטי ביותר(. זמן התייצבות )(stability time הזמן שבו התגובה נכנסת לשרוול 𝛿𝛿± הזמן לפיק ראשון )(peak time הזמן שבו מתרחשת תגובת היתר. זמן מחזור זמן המחזור של הגל המחזורי. ולא חורגת ממנו. נוסחה 𝟖𝟖 𝟏𝟏. 𝒏𝒏𝝎𝝎 = 𝒓𝒓𝒕𝒕 ∞𝒚𝒚 𝒚𝒚(𝒕𝒕𝒑𝒑 ) − 𝟎𝟎𝒚𝒚 𝒚𝒚∞ − )𝜹𝜹(𝐥𝐥𝐥𝐥 − 𝝈𝝈 𝝅𝝅 𝒅𝒅𝝎𝝎 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝝎𝝎 = 𝑶𝑶𝑶𝑶 = 𝒔𝒔𝒕𝒕 = 𝒑𝒑𝒕𝒕 = 𝑻𝑻 יש לציין שנוסחאות אלו הן נוסחאות מקורבות ויתכן כי יתקבלו ערכים שונים עבור אותו הביטוי בשימוש בנוסחאות שונות .זמן העלייה הוא מדד לתדירות הטבעית של המערכת ותגובת היתר הינה מדד למקדם הריסון. 6 כדי לדעת מה הוא ערך הפונקציה במצב במתמיד ניתן להשתמש במשפט הערך הסופי .המשפט קובע שבמידה ולפונקציה כלשהי )𝑠𝑠(𝐹𝐹 קיימים קטבים שהחלק הממשי בהם שלילי בלבד ,כלומר בחלקו השמאלי של מישור התדר המכונה ,OLHPולכל היותר קוטב יחיד בראשית )במקרה של חוג שאינו סגור ,הסבר על חוג סגור יגיע בהמשך( ניתן לחשב את הערך של )𝑡𝑡(𝑓𝑓 במצב המתמיד באופן הבא: )𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑠𝑠 lim 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = lim ∞→𝑡𝑡 𝑠𝑠→0 וזאת בתנאי שקיים גבול סופי עבור )𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑠𝑠 limאחרת לא ניתן להשתמש במשפט. 𝑠𝑠→0 עבור מערכת יציבה עבורה מתקיים משפט הערך הסופי .באמצעות משפט זה ניתן למצוא את ערכו של 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 או לחליפין בהינתן ערך 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 ניתן למצוא את 𝐾𝐾 מפונקציית התמסורת: 1 𝐾𝐾 𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑠𝑠) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑠𝑠)𝐺𝐺(𝑠𝑠) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠 𝐺𝐺(𝑠𝑠) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 2 ∞→𝑡𝑡 𝑠𝑠→0 𝑠𝑠→0 𝑠𝑠 𝑠𝑠→0 𝑠𝑠→0 𝑠𝑠 + 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑠𝑠 + 𝜔𝜔𝑛𝑛 2 𝐾𝐾 = 𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔𝑛𝑛 2 𝐾𝐾 , 𝜔𝜔𝑛𝑛 2 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 ⟹ .2.1.3קריטריונים ליציבות מערכת מערכת לינארית תחשב יציבה אסימפטוטית אם ורם אם כל הקטבים של פונקציית התמסורת שלה נמצאים ב.OLHP במקרים מסוימים חישוב מיקום הקטבים לא מידי ואף מסובך כמו במקרה של פולינום מסדר גבוה .ניתן להשתמש בקריטריוני יציבות על מנת לדעת מהו התחום היציב של המערכת: תנאי הכרחי )אך לא מספיק( ליציבות :כל המקדמים של הפולינום האופייני קיימים ובעלי אותו סימן. קריטריון רואת'-הורוביץ ) (RHליציבות .קריטריון זה הוא גם הכרחי וגם מספיק. עבור פולינום אופייני כללי מהצורה Δ(𝑠𝑠) = 𝑎𝑎0 𝑠𝑠 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎1 𝑠𝑠 𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 :מתקבלת טבלה באופן הבא: ⋯ 𝑎𝑎4 𝑎𝑎2 𝑎𝑎0 𝑛𝑛 𝑠𝑠 ⋯ 𝑏𝑏3 𝑏𝑏2 𝑏𝑏1 𝑠𝑠 𝑛𝑛−2 ⋯ ⋯ ⋮ 𝑎𝑎5 𝑐𝑐3 ⋮ 𝑎𝑎3 𝑐𝑐2 ⋮ 7 𝑎𝑎1 𝑐𝑐1 ⋮ 𝑑𝑑1 𝑠𝑠 𝑛𝑛−1 𝑠𝑠 𝑛𝑛−3 ⋮ 𝑠𝑠 0 כאשר העמודה המסומנת בצבע נקראת עמודת ראות' וניתן שמערכת יציבה אסימפטוטית אם ואם אם כל האיברים בעמודה זו קיימים )שונים מאפס( ובעלי אותו סימן .המקדמים 𝑖𝑖𝑎𝑎 מתקבלים מהפולינום האופייני ואילו שאר המקדמים מחושבים באופן הבא: 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖−2,1+ � 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖−1,1+ 𝑟𝑟𝑖𝑖−2 𝑟𝑟� − 𝑖𝑖−1 𝑟𝑟𝑖𝑖−1 = 𝑖𝑖𝐴𝐴 כאשר 𝑟𝑟 מייצג את הערך בעמודה ראות' והאינדקס 𝑖𝑖 מציין את השורה הרצויה ,הסימן 𝑐𝑐 מייצג עמודה כלשהי והאינדקס השמאלי מציין את השורה ואילו הימני מייצג את העמודה. .2.1.4בקרת משוב בחוג סגור בקרה על מערכת לינארית כמוצג באיור 1נקראת בקרה בחוג פתוח .בקרה זו אינה מושפעת מתוצאת התהליך .בקרה שמפקחת על אות הכניסה כך שהמערכת תתנהג כנדרש נקראת בקרה בחוג סוגר או בקרת משוב .בבקרה בחוג סגור הוספת בקר למערכת תורמת ליציבותה ,משפרת את ביצועי תגובת המעבר והמצב המתמיד )שגיאת העקיבה( וגם מסייעת לעמידות בפני הפרעות חיצוניים ורעשים. דרך נוחה לתיאור בקרה בחוג סגור היא באמצעות דיאגרמת הבלוקים המוצגת באיור .3 איור :3דיאגרמת בלוקים המתארת בקרה בחוג סגור כאשר הסימונים באיור מוגדרים באופן הבא: • )𝑠𝑠(𝑈𝑈 – אות הכניסה למערכת. • )𝑠𝑠(𝑌𝑌 -אות היציאה של המערכת בפועל. • )𝑠𝑠(𝐻𝐻 -משוב המדידה .התמסורת שאות היציאה עובר בה עד שמגיע למקום בו מחושבת השגיאה. • )𝑠𝑠(𝐺𝐺 -פונקציית התמסורת של החוג הפתוח. • )𝑠𝑠(𝑅𝑅 -אות הייחוס למערכת .זהו רפרנס כלשהו לאות היציאה הרצוי מהמערכת. • )𝑠𝑠(𝐸𝐸 -אות השגיאה שבין הייחוס לאות היציאה לאחר שעבר דרך המשוב .נקרא גם שגיאת • )𝑠𝑠(𝐾𝐾 – מערכת הבקרה .מתארת את הקשר שבין אות השגיאה לאות הכניסה למערכת שיש לפצות עקיבה .מחושב באופן הבא.𝐸𝐸(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅(𝑠𝑠) − 𝐻𝐻(𝑠𝑠) ∙ 𝑌𝑌(𝑠𝑠) : עבור מענה על הדרישות .כלומר )𝑠𝑠(𝐸𝐸 .𝑈𝑈(𝑠𝑠) = 𝐾𝐾(𝑠𝑠) − 8 בבקרת חוג סגור יש עניין בשתי פונקציות תמסורת )פ"ת( :פ"ת של המערכת בחוג סגור -בין אות היציאה )𝑠𝑠(𝑌𝑌 לאות הייחוס )𝑠𝑠(𝑅𝑅 .ופ"ת עבור שגיאה העקיבה – בין אות השגיאה )𝑠𝑠(𝐸𝐸 לאות הייחוס )𝑠𝑠(𝑅𝑅. ניתן להציג את פ"ת אלו בצורה המוצגת בטבלה .3 טבלה :4פונקציות התמסורת הרלוונטיות בבקרת חוג סגור פ"ת חוג סגור עבור התגובה פ"ת חוג סגור עבור שגיאת העקיבה )𝑠𝑠(𝑌𝑌 )𝑠𝑠(𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑁𝑁 = �= � )𝑠𝑠(𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑅𝑅(𝑠𝑠) 1 + )𝑠𝑠(𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐷𝐷 𝑁𝑁 + )𝑠𝑠(𝐸𝐸 1 𝐷𝐷 = �= � )𝑠𝑠(𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑅𝑅(𝑠𝑠) 1 + )𝑠𝑠(𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐷𝐷 𝑁𝑁 + כאשר 𝑁𝑁 מייצג את המונה של החוג הפתוח ו𝐷𝐷 מייצג את המכנה של החוג הפתוח. תחת הנחה שהמערכת יציבה ולכן מקיימת את משפט הערך הסופי ניתן להציג את השגיאה באופן הבא: 1 )𝑠𝑠(𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 1 + )𝑠𝑠(𝑅𝑅 = )𝑠𝑠(𝐸𝐸 ∙ 𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = )𝑡𝑡(𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 = lim ∞→𝑡𝑡 𝑠𝑠→0 ובעבור אותות ייחוס נפוצים )המתוארים באיור (4ניתן לבנות טבלה המתארת באופן כללי ערך סופי המתקבל עבור כל אחת מהאותות האלו. איור :4אותות כניסה נפוצים עבורם קיימות נוסחאות עבור הערך הסופי לפני הצגת הטבלה יש להגדיר את הביטוי סוג מערכת – מערכת לינארית מסדר 𝑛𝑛 היא מערכת בעלת 𝑛𝑛 קטבים בראשית הצירים. 𝑅𝑅 שגיאת המצב המתמיד תיקבע לפני סוג המערכת ולפי אות הייחוס .𝑅𝑅(𝑠𝑠) = 𝑘𝑘0 𝑠𝑠 9 טבלה :5שגיאת מצב מתמיד בהתאם למאפייני המערכת 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 = )𝒕𝒕(𝒓𝒓 ∞ → 𝑠𝑠𝑠𝑠e ∞ → 𝑠𝑠𝑠𝑠e 𝑅𝑅0 𝑎𝑎𝑘𝑘 → 𝑠𝑠𝑠𝑠e 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 = )𝒕𝒕(𝒓𝒓 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = )𝒕𝒕(𝒓𝒓 → 𝑠𝑠𝑠𝑠e e𝑠𝑠𝑠𝑠 → 0 ∞ → 𝑠𝑠𝑠𝑠e 𝑅𝑅0 𝑣𝑣𝑘𝑘 e𝑠𝑠𝑠𝑠 → 0 𝑅𝑅0 𝑝𝑝𝑘𝑘 1 + → 𝑠𝑠𝑠𝑠e e𝑠𝑠𝑠𝑠 → 0 Type number )𝑠𝑠(𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑘𝑘𝑝𝑝 = lim 𝑠𝑠→0 )𝑠𝑠(𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑘𝑘𝑣𝑣 = 𝑠𝑠 ∙ lim 𝑠𝑠→0 )𝑠𝑠(𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑘𝑘𝑎𝑎 = 𝑠𝑠 2 ∙ lim 𝑠𝑠→0 𝟎𝟎 = 𝒏𝒏 𝟏𝟏 = 𝒏𝒏 𝟐𝟐 = 𝒏𝒏 כלומר שגיאת עקיבה יכולה לדעוך ,להתבדר או להתכנס לערך קבוע .ניתן לדעת ישירות מסוג המערכת אם ניתן ליישם את הדרישה על שגיאת העקיבה מתוך טבלה זו .חשוב לציין שהחוקיות של הטבלה ממשיכה גם מעבר למוצג. .2.1.5בקרי PID בקרי (Proportional, Integral & Derivative) PIDמסייעים לשיפור שגיאת עקיבה ,קיום יציבות ומענה על דרישות תכן עבור המערכת בחוג סוגר .ניתן להציג את בקר ה PIDבתור שלושה בקרים מחוברים במקביל כמתואר באיור ) 5תחת הנחת משוב יחידה(. איור :5יישום בקר PIDבדיאגרמת בלוקים הצורה הכללית של בקר ) PIDהתוספת של הבקר לפונקציית התמסורת של החוג הפתוח( נתונה על פי משוואה .4 ) (4 𝐼𝐼𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐷𝐷 𝑠𝑠 2 + 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑠𝑠 + )𝑠𝑠(𝑈𝑈 𝐼𝐼𝐾𝐾 = 𝑠𝑠 ∙ 𝑣𝑣𝐾𝐾 = 𝐾𝐾𝑝𝑝 + + )𝑠𝑠(𝐸𝐸 𝑠𝑠 𝑠𝑠 = )𝑠𝑠(𝐾𝐾 כאשר במישור הזמן ניתן להציג את השפעת בקר ה PIDבאופן הבא: 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑)𝜏𝜏(𝑒𝑒 � ∙ 𝐼𝐼𝐾𝐾 𝑢𝑢(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝑝𝑝 ∙ 𝑒𝑒(𝑡𝑡) + 𝐾𝐾𝑣𝑣 ∙ 𝑒𝑒̇ (𝑡𝑡) + 0 10 מתוך הצגה זו ניתן להבין כי בקר הפרופורציונלי משפיע על מצב המעבר והמצב המתמיד ,בקר הנגזרת משפיע על תגובת המעבר והבקר האינטגרלי מטפל במצב במתמיד. ניתן לתכן וליישם את הבקר גם רק עם חלק ממרכיביו כאשר לכל בקר יתרונות וחסרונות. .2.1.6תכנון רשת פיצוי במישור התדר באמצעות קריטריון Nyquistודיאגרמת בודה ,עליהם לא יורחב ,ניתן לקבוע יציבות של מערכת בחוג סגור לאחר בחינה של עקום נייקוויסט .מתוך ההגדרה של עקום זה קיימת נקודה קריטית ) (−1,0כאשרת תחת ההנחה שאין קטבים כלל ב ORHPהיציבות שח המערכת מותנת בכך שהיא לא מוקפת על ידי העקום. על קריטריון יציבות זה מתבסס תחום שולי היציבות .שולי יציבות עונים על השאלה – כמה הגבר ופאזה ניתן להוסיף למערכת כל שבחוג סגור היא עדיין תהיה יציבה .במילים אחרות ,באמצעות שולי יציבו ניתן לדעת באופן כמותי עד כמה המערכת רחוקה /קרובה לסף יציבות בחוג סגור. איור :6שולי יציבות על עקום נייקוויסט עודף הגבר מתאר כמה הגבר ניתן להוסיף ללא שינוי פאזה )כלומר כאשר ערכה על סף יציבות( .ואילו עודף פאזה מתאר כמה פאזה ניתן להוסיף בלי לשנות את ההגבר )כאשר ערכו בסף יציבות(. עודף הגבר 𝐺𝐺𝐺𝐺 – היחס בו ניתן להגדיל את ההגבר עבור המצב של סף יציבות )הגבר יחידה( .תדירות סף היציבות של הפאזה מסומנת ב 𝑝𝑝𝜔𝜔 ומוגדרת להיות באופן מתמטי כמתואר במשוואה .5 ) (5 ∠𝐺𝐺𝐺𝐺�𝑗𝑗𝜔𝜔𝑝𝑝 � = 180° בתדירות זו מתקבל ההגבר הנוכחי של המערכת משום שזה החיתוך עם הצד השלילי של ציר הממשי ולכן בנקודה זו הפאזה שווה ל .180°מכאן ש𝐺𝐺𝐺𝐺 מוגדר באופן הבא: סף יציבות𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 1 = �) 𝑝𝑝𝜔𝜔𝑗𝑗(𝐺𝐺𝐺𝐺� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 11 = 𝐺𝐺𝐺𝐺 ביחידות של דציבלים 𝐺𝐺𝐺𝐺 מוגדר באופן הבא: )�) 𝑝𝑝𝜔𝜔𝑗𝑗(𝐺𝐺𝐺𝐺�(𝐺𝐺𝐺𝐺𝑑𝑑𝑑𝑑 = −20 log עודף פאזה 𝑃𝑃𝑃𝑃 – פיגור או קידום פאזה בכיוון השעון שיביא את המערכת לסף יציבות ) .(−180°תדירות סף היציבות של ההגבר מסומנת ב 𝑔𝑔𝜔𝜔 ומוגדרת להיות באופן מתמטי כמתואר במשוואה .6 �𝐺𝐺𝐺𝐺�𝑗𝑗𝜔𝜔𝑔𝑔 �� = 1 ) (6 בתדירות זו מתקבלת הפאזה הנוכחית של המערכת משום שזה החיתוך עם מעגל ביחידה )רדיוסו בגודל של הגבר בסף יציבות( ולכן בנקודה זו ההגבר שווה ל .1מכאן ש𝑀𝑀𝑃𝑃 מוגדר באופן הבא: � 𝑔𝑔𝜔𝜔𝑗𝑗�𝐺𝐺𝐺𝐺∠ = ∠𝐺𝐺𝐺𝐺�𝑗𝑗𝜔𝜔𝑔𝑔 � − (−180°) = 180° +סף יציבות𝜙𝜙 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝜙𝜙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − מערכת תיקרא יציבה בחוג סגור אם ורק אם עודפי היציבות חיוביים .כלומר 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑑𝑑𝑑𝑑 > 0 ,ו. 𝑃𝑃𝑃𝑃 > 0 בדיאגרמות בודה ניתן לראות באופן ישיר וגרפי מה הם ההגבר והפאזה המתקבלים עבור כל כניסת תדר. בצורה זו ניתן לנתח בקלות עודפי פאזה והגבר ובהתאם לכך להסיק מסקנות על שולי היציבות בחוג סגור )חו"ס( .כפי שניתן לראות באיור 7חיתוך של העקומה בגרף ההגבר עם קו ה 𝑑𝑑𝑑𝑑 ,0כלומר 𝑔𝑔𝜔𝜔 .וחיתוך העקומה בגרף הפאזה עם קו ה ,−180°כלומר 𝑝𝑝𝜔𝜔. איור :7שולי יציבות על דיאגרמות בודה 12 צורות כלליות של רשתות פיצוי במישור התדר נתונות על פי הטבלה .6 טבלה :6רשתות פיצוי במישור התדר בקר הגבר רשת קידום פאזה 𝐾𝐾 = )𝑠𝑠(𝐾𝐾 𝑧𝑧 𝑠𝑠 + 𝑝𝑝 𝑠𝑠 + תדירות טבעית ושגיאת עקיבה |𝑝𝑝| > |𝑧𝑧| ; 𝐾𝐾 > 0 |𝑧𝑧| > |𝑝𝑝| ; 𝐾𝐾 > 0 ביצועים במצב מעבר שגיאת עקיבה צורה כללית אילוץ 𝐾𝐾 > 0 מענה על דרישה רשת פיגור פאזה ∙ 𝐾𝐾 = )𝑠𝑠( 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷 𝑧𝑧 𝑠𝑠 + 𝑝𝑝 𝑠𝑠 + ∙ 𝐾𝐾 = )𝑠𝑠( 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷 על מנת ליישם דרישות במובנים של שולי יציבות באמצעות רשת קידום יש לבצע את התהליך הבא. באמצעות הגדרת משתנה חדש 1 𝛼𝛼𝛼𝛼 = 1 𝑝𝑝 = 𝜏𝜏 כאשר 𝛼𝛼 > 1בהכרח .מכאן מתקבלת הצורה הבאה: 1 )𝑧𝑧 � 𝑧𝑧 𝑠𝑠 + 1� 𝐾𝐾 (𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼 + 1 )𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐾𝐾 (1 + ∙ ∙ 𝐾𝐾 = )𝑠𝑠( 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷 ∙ = ∙ = )𝑗𝑗𝑗𝑗( 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷 ⟹ )𝑝𝑝 �1 𝑠𝑠 + 1� 𝛼𝛼 (𝜏𝜏𝜏𝜏 + 1 )𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝛼𝛼 (1 + 𝑝𝑝 בצורה זו ניתן לחשב את הפאזה שרשת הקידום מוסיפה: )𝜏𝜏𝜏𝜏( ∠𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 (𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝜙𝜙(𝜔𝜔) = tan−1 (𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼) − 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1 כדי למצוא את התדירות עבורה הפאזה מקסימלית ניתן לגזור את הביטוי להשוות לאפס: 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝜏𝜏 1 1 − = 𝑚𝑚𝜔𝜔 ⟹ = 0 = 𝜏𝜏 , 2 2 ) 𝑚𝑚𝜔𝜔𝛼𝛼𝛼𝛼( 1 + ) 𝑚𝑚𝜔𝜔𝜏𝜏( 1 + 𝜏𝜏𝛼𝛼√ 𝑚𝑚𝜔𝜔𝛼𝛼√ בהצבה חזרה של 𝜏𝜏 נקבל כי: = ) 𝑚𝑚𝜔𝜔( 𝜙𝜙 ′ 𝜔𝜔 𝑚𝑚𝜔𝜔 𝛼𝛼√𝑗𝑗 𝐾𝐾 1 + 1 −1 −1 ∙ = )𝑗𝑗𝑗𝑗( 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷 ⟹ 𝜙𝜙 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 � �𝛼𝛼 − 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 � � √ 𝑚𝑚 𝜔𝜔 𝑗𝑗 𝛼𝛼 1 + 𝛼𝛼√ 𝑚𝑚𝜔𝜔𝛼𝛼√ 13 בשימוש בזהות: 𝛽𝛽𝜃𝜃± )�(𝜃𝜃2 +1)(𝛽𝛽2 +1 = ))𝛽𝛽( sin(𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1 (𝜃𝜃) ± 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1וסידור איברים מתקבל כי: 𝛼𝛼 − 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜙𝜙𝑚𝑚 ) + 1 = 𝛼𝛼 ⟹ 𝛼𝛼 + 1 ) 𝑚𝑚𝜙𝜙(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 1 − = ) 𝑚𝑚𝜙𝜙(sin לכן עבור בחירה שרירותית של 𝛼𝛼√ = 𝐾𝐾 מתקבל הצורה הסופית של רשת קידום פאזה כמתואר בנוסחה .7 𝑚𝑚𝜔𝜔 √𝛼𝛼𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝜔𝜔𝛼𝛼√ 𝑠𝑠 + ) (7 = )𝑠𝑠( 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷 𝑚𝑚𝜙𝜙 היא הפאזה הדרושה שרשת הקידום מוסיפה בפועל למערכת .הדרך לניתוח מערכת היא במונחי 𝑃𝑃𝑃𝑃 בלבד ומכאן ניתן להגדיר את 𝑚𝑚𝜙𝜙 בתור ההפרש בין עודף הפאזה הרצוי לעודף הפאזה המצוי במערכת כמתואר בנוסחה .8ואת תדירות שלה נגדיר כתדירות ההגבר בסף יציבות.𝜔𝜔𝑚𝑚 = 𝜔𝜔𝑔𝑔 : 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑃𝑃𝑃𝑃 𝜙𝜙𝑚𝑚 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 − על מנת ליישם דרישות במובנים של שולי יציבות באמצעות רשת פיגור יש לבצע את התהליך הבא. באמצעות הגדרת משתנה חדש 𝑧𝑧 𝑝𝑝 = 𝛽𝛽 כאשר 𝛽𝛽 > 1בהכרח )מתאר את היחס בין הערכים של האפס והקוטב( וכדי למנוע פגיעה בביצוע יש לבחור את 𝑧𝑧 ו𝑝𝑝 להיות קרובים לראשית ורחוקים מ 𝑚𝑚𝜔𝜔 על ידי בחירה של 𝑚𝑚𝜔𝜔 10 = 𝑧𝑧 .מכאן מתקבלת הצורה המוצגת במשוואה .9 𝑚𝑚𝜔𝜔 10𝑠𝑠 + 𝜔𝜔 𝑚𝑚 10𝑠𝑠 + 𝛽𝛽 ) (8 = )𝑠𝑠( 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷 לאחר חישוב 𝑔𝑔𝜔𝜔 ניתן לתן את ההגבר 𝐾𝐾 כדי לשמור על הביצועים הנדרשים .ברשת פיגור קבועי השגיאה ) 𝑎𝑎𝑘𝑘 (𝑘𝑘𝑝𝑝 , 𝑘𝑘𝑣𝑣 ,מוכפלים ב𝛽𝛽 .ביחס לשגיאה המקורית .באמצעות השגיאה ניתן לחשב את 𝛽𝛽 ובצורה כזו לענות על דרישת התכן על שגיאת העקיבה באופן המתואר בטבלה .7התדירות מוגדרת כ.𝜔𝜔𝑚𝑚 = 𝜔𝜔𝑔𝑔 : טבלה :7ערכי 𝜷𝜷 בהתאם לכניסה סוג מערכת ) 𝟐𝟐 = 𝒏𝒏( 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒 1 − 2 )𝑠𝑠(𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ 𝑠𝑠 ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑠𝑠→0 = 𝛽𝛽 )𝟏𝟏 = 𝒏𝒏( 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 1 )𝑠𝑠(𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ 𝑠𝑠 ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑠𝑠→0 14 = 𝛽𝛽 )𝟎𝟎 = 𝒏𝒏( 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒 1 − )𝑠𝑠(𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑠𝑠→0 = 𝛽𝛽 .2.2יישומים של סימולציה בקרת מערכת ניסויי סימולציית בקרה ויישום על מערכת משמש את המהנדסים בתעשייה בכדי להבטיח איכות גבוהה של ביצועי מערכת ,שמירה על אורך החיים של המכלולים ,התמצאות במרחב ותגובה אדפטיבית .השימוש בניסוי מתיחה מתפרס על מגוון רחב של תעשיות בניהן תעשייה אווירית ,תעשיית הרכב ,תעשיית המכשירים האלקטרונים ותעשיית השייט. בתעשייה האווירית נעשה שימוש בבקרה על מנת לבצע תמרונים במרחב האווירי ולייצב את כלי הטייס באמצעות שליטה על זווית העלרוד. בתעשיית השייט נעשה שימוש בבקרה עבור מערכות ההיגוי וההנעה בספינה .עבור דרישה מסיבוב הגה הספינה יש לשלוט ביציאה )זווית אזימוט( על מנט שיתאפשר לכוון את חרטום הספינה לכיוון הרצוי .על המנועים להגיב בהתאם כדי לסייע בכיוון הספינה באמצעות מהירויות סיבוב וכיווני סיבוב של גל המדחף. בתעשיית הרכב ,כמו בתעשייה האווירית והשייט ,ישנה חשיבות גדולה לתגובה בזמן אמת כשמדובר ברכבים אוטונומיים או סמי-אוטונומיים .נסיעה בכביש יחד עם משתמשי דרך נוספים גוררת איתה תגובות לא צפויות ,איומים מפתיעים בכביש או תנאי דרך קשים .על כן יש לבצע בקרה שתתנה מענה מהיר ומדויק לכל סיטואציה. בתעשיית המכשירים האלקטרונים נעשה שימוש בבקרה על מנת לבצע פעולה נכונה של ייעוד המכשיר ומניע של שריפת הרכיב האלקטרוני על ידי הגבלות על המתח. .2.3חידושים בתחום הבקרה בשנים האחרונות עם התפתחות הבינה המלאכותית ,כרטיסי GPUולמידת המכונה מתאפשרת גישה חדשה בבקרת מערכת באופן מדויק ובזמן אמת. תחת תחום הבינה המלאכותית ישנו תחום הנקרא – [2](RL) Reinforcement Learningגורם במערכת מקבל תמונה מצב מהסביבה ,פועל בהתאם ומקבל את תמונת המצב החדשה .באמצעות הגדרת רמת ההצלחה של הפעולה גורם הבינה המלאכותית לומד את הפעולות ומשפר ביצועים באמצעות בחינה של רמת ההצלחה עם הזמן .כך ,לאחר ניסיונות רבים בבקרה באמצעות RLתפקוד הבקר הופך ליעיל ביותר מבחינת ביצועים ותוצאה סופית. .2.4מסקנות וחוות דעת לגבי המוטיבציה לסקירה הספרותית בסקירה הספרותית נערך ניתוח נרחב בנושא המחקר על פיו בוצעו הניסוי והמעבדה – סימולציית בקרה ובקרת מיקום .לניסוי זה חשיבות רבה בתחומים רבים ומשמש תעשיות גם בימים אלו .עם התפתחות הטכנולוגיה עולה הצורך בדיוק רב וביצועים מהירים בהתאם לאפליקציות השונות ולכן גם נעשים חידושים בניתוח באמצעות בינה מלאכותית ו RLבפרט בנוסף לאמצעי מדידה בעלי דיוק רב על מנת לצמצם שגיאות ולקבל תוצאות אמיתיות ונכונות יותר. ישנה חשיבות רבה בהבנת התנהגות המערכת ובביצועיה על מנת ליישם התוצאות בשטח שכן אנו מושפעים משימוש בתוצאות ניסוי אלו כאשר המוצר המוגמר יוצא לשימוש עבור הציבור הרחב עד כדי רמה של בטיחות מצילה חיים. 15 .3מתודולוגיה הרעיון בבקרת משוב הינו ליישם פעולה רצויה בהתאם למצב המתקבל בסביבה ובכך לשפר את יציאת המערכת עד כדי מצב רצוי .באמצעות שימוש ברגשים ניתן לנתן את תגובה המערכת ולהוסיף אמצעי בקרה בהתאם כך שהתגובה תגיע ליעד הנדרש ותענה על הנדרש ממנה .בהתבסס על חישובים מתמטיים וניתן במישור התדר ניתן לבצע בקרה בצורה יעילה ונוחה. .4מטרת הניסוי מטרות מעבדה זו הן לבחון את תוצאות סימולציית המערכת אל מול המערכת הפיסיקלית במעבדה .וכן יישום בקרת המערכת הפיסיקלית באמצעות שינוי בקר פרופורציונלי וכן בקר אינטגרלי על מנת לחקור את השפעתם על המערכת. .5מהלך הניסוי הניסוי מתחלק לשני חלקים ,זיהוי המערכת ותכנון הבקר .בפרק זה יפורטו שלבי הניסוי עבור כל חלק. .5.1זיהוי מערכת בחלק זה יבוצע זיהוי המערכת הפיזיקלית מתוך גרף התגובה לכניסת מדרגה כפי שהתקבל בניסוי. .5.1.1מהלך הניסוי בניסוי בקרת מיקום ניתנה פונקציית התמסורת המתארת את המנוע ותוכנן בקר בהתאם לפונקציה זו: 𝐾𝐾 )𝑠𝑠(𝜏𝜏𝜏𝜏 + 1 = )𝑠𝑠(𝑃𝑃 כאשר 𝐾𝐾 ו𝜏𝜏 הינם פרמטרים התלויים במאפייני המערכת הפיזית .כפי שניתן לראות בתוצאות הניסויים, התקבל הבדל בתגובת המעבר וגם במצב המתמיד .ההבדלים תלויים בתופעות לא ליניאריות כמו חיכוך ,אך גם בעובדה שכל מערכת שונה במציאות ממגוון של גורמים ,טולרנסי ייצור ,טיב גירוז ומסבי הצירים, התיישנות המנועים ועוד. כדי לזהות את קבועי המערכת השייכים למערכת עליה בוצע הניסוי ניתן להשתמש בנוסחאות מקורבות שפותחו )טבלה (3אשר קושרות את פרמטרי התכן אל הנתונים המתקבלים מגרף התגובה למערכת מסדר שני כמתאר בפרק .2.1.2 𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔𝑛𝑛2 𝐺𝐺(𝑠𝑠) = 2 𝑠𝑠 + 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑠𝑠 + 𝜔𝜔𝑛𝑛2 16 ובכך לקבל את התדירות העצמית של המערכת 𝑛𝑛𝜔𝜔 ואת מקדם הריסון 𝜉𝜉 .לאחר מכן יש לפתח את פונקציית התמסורת של החוג הסגור עם בקר 𝑃𝑃𝑃𝑃 .לאחר השוואת מקדמים יהיה אפשר לחלץ את הערכים של הפרמטרים 𝐾𝐾 ו𝜏𝜏. .5.1.2הכנה לניסוי בשלב הראשון יש לבחון את תגובת המערכת עם בקר 𝑃𝑃𝑃𝑃 לכניסת מדרגה .כאמור מתוך התגובה אפשר לחשב את פרמטרי התכן המאפיינים מערכת מסדר שני. איור :8תגובת המערכת לכניסת מדרגה מתוך תגובת המערכת מאיור ,8יחושב הזמן לפיק ראשון 𝑝𝑝𝑡𝑡: ]𝑡𝑡𝑝𝑝 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 = 3.982 − 3.75 = 0.232 [s מכאן על פי הקשר מטבלה 3עבור הזמן לפיק ראשון ניתן למצוא את 𝑑𝑑𝜔𝜔: 𝜋𝜋 rad � � = 13.541 𝑝𝑝𝑡𝑡 s = 𝑑𝑑𝜔𝜔 בנוסף ,מתוך איור 9אפשר לחלץ את תגובת היתר 𝑂𝑂𝑂𝑂 של המערכת ע"פ הנוסחה הבאה: 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦4 0.447922 − 0.392699 = ∙ 100% ∙ 100% = 3.98% )0.392699 − (−0.392699 ) 𝑦𝑦4 − (−𝑦𝑦4 )ln2 (0.0398 𝜉𝜉 = � 2 = 0.716 )𝜋𝜋 + ln2 (0.0398 17 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 לבסוף ניתן למצוא את התדירות העצמית 𝑛𝑛𝜔𝜔: rad � s � = 16.46 𝑑𝑑𝜔𝜔 �1 − 𝜉𝜉 2 = 𝑛𝑛𝜔𝜔 הפולינום האופייני של מערכת מסדר שני מתוך תגובת המערכת הוא: Δ𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (𝑠𝑠) = 𝑠𝑠 2 + 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑠𝑠 + 𝜔𝜔𝑛𝑛2 = 𝑠𝑠 2 + 23.58𝑠𝑠 + 271.06 על מנת למצוא את פרמטרי המערכת שאינם ידועים יש למצוא את פונקציית התמסורת של החוג הסגור באופן פרמטרי .בשלב שלאחר מכן אפשר לפתוח מערכת משוואות ע"י השוואת המקדמים של הפולינום האופייני הפרמטרי לעומת זה שהתקבל עבור תגובת המערכת .להלן דיאגרמת הבלוקים של החוג הסגור: איור :9דיאגרמת בלוקים של המערכת. מתוך הדיאגרמה ניתן לחלץ את הקשרים הבאים: ) (9 )𝑠𝑠( 𝑙𝑙𝜃𝜃 𝐾𝐾 = )𝑉𝑉𝑚𝑚 (𝑠𝑠) 𝑠𝑠(𝜏𝜏𝜏𝜏 + 1 = )𝑆𝑆(𝑃𝑃 )(10 𝑙𝑙𝜃𝜃 𝐸𝐸 = 𝜃𝜃𝑑𝑑 − )(11 𝑆𝑆 𝑣𝑣𝐾𝐾 𝑙𝑙𝜃𝜃 𝑉𝑉𝑚𝑚 = 𝐸𝐸𝐾𝐾𝑝𝑝 − )(12 𝑃𝑃 𝑚𝑚𝑉𝑉 = 𝑙𝑙𝜃𝜃 18 בשימוש בקשרים אלו מתקבל כי: 𝑃𝑃 ∙ �𝑆𝑆 𝑣𝑣𝐾𝐾 𝑙𝑙𝜃𝜃 𝜃𝜃𝑙𝑙 = �(𝜃𝜃𝑑𝑑 − 𝜃𝜃𝑙𝑙 )𝐾𝐾𝑝𝑝 − )(13 𝑃𝑃 𝑝𝑝𝐾𝐾 1 + 𝐾𝐾𝑃𝑃 �� ��� �� 𝑆𝑆 𝑣𝑣 𝐺𝐺 ∙ ) 𝑙𝑙𝜃𝜃 ⇒ 𝜃𝜃𝑙𝑙 = (𝜃𝜃𝑑𝑑 − 𝑙𝑙𝜃𝜃 𝐺𝐺 = 𝐺𝐺 𝜃𝜃𝑑𝑑 1 + ⇒ בשימוש משוואות 9ו 13מתקבל שפונקציית התמסורת המקשרת בין זווית היציאה לזווית הכניסה היא: )(14 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 )𝑠𝑠( 𝑙𝑙𝜃𝜃 = = 2 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 𝜃𝜃𝑑𝑑 (𝑠𝑠) 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑝𝑝 + 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑣𝑣 𝑠𝑠 + 𝑠𝑠(𝜏𝜏𝜏𝜏 + 1) 𝜏𝜏𝑠𝑠 + (𝐾𝐾𝐾𝐾𝑣𝑣 + 1)𝑠𝑠 + ובהתאמה לתבנית כללית של פונקציית תמסורת של מערכת מסדר שני: )(15 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 𝜏𝜏 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 + 1 𝑣𝑣 � 𝑠𝑠 2 + � 𝑠𝑠 + 𝜏𝜏 𝜏𝜏 )𝑠𝑠( 𝑙𝑙𝜃𝜃 = )𝑠𝑠( 𝑑𝑑𝜃𝜃 והפולינום האופייני בצורה פרמטרית הינו: 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑣𝑣 + 1 � 𝑠𝑠 + 𝜏𝜏 𝜏𝜏 � Δ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑠𝑠 2 + כאמור ,את הקבועים 𝐾𝐾 ו𝜏𝜏 אפשר לחלץ ע"י השוואת מקדמים של הפולינומים ופתרון מערכת של 2 משוואת .להלן המשוואות המתקבלות ,ופתרונן עבור הנעלמים: 𝑛𝑛𝜔𝜔 ⎧𝐾𝐾𝐾𝐾𝑣𝑣 + 1 = 𝐾𝐾 ⎧ 𝑛𝑛𝜔𝜔𝜉𝜉= 2 ⎪ ⎪ 𝑣𝑣𝐾𝐾 𝑛𝑛𝜔𝜔 2𝜉𝜉𝐾𝐾𝑝𝑝 − 𝜏𝜏 → 𝑝𝑝𝐾𝐾 ⎨ 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑝𝑝 = 𝜔𝜔2 = 𝜏𝜏⎨ 𝑛𝑛 ⎪ ⎪ 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 𝐾𝐾𝑝𝑝 − 𝐾𝐾𝑣𝑣 𝜔𝜔𝑛𝑛2 𝜏𝜏 ⎩ ⎩ 19 הערכים של 𝑝𝑝𝐾𝐾 ושל 𝑣𝑣𝐾𝐾 נקבעו בניסוי וערכם ידוע ,בנוסף הערכים של 𝑛𝑛𝜔𝜔 ושל 𝜉𝜉 התקבלו מתוך ניתוח התגובה ,לכן אפשר למצוא את הערך המספרי של הפרמטרים .את ערכי הקבועים והפרמטרים אפשר לראות בטבלה .7 טבלה :8פרמטרי מערכת הבקרה פרמטר ערך 𝒑𝒑𝑲𝑲 4.304 -0.2873 𝒗𝒗𝑲𝑲 1.65280 𝑲𝑲 0.01890 𝝉𝝉 .5.1.3תוצאות הניסוי לאחר זיהוי המערכת ,הוכנסו הפרמטרים המתאימים לתכנת Simulinkעל מנת לבצע סימולציה למערכת החדשה .בסימולציה וגם בניסוי ,אות הכניסה הוא גל ריבועי מחזורי באמפליטודה של 𝜋𝜋 8 ובתדירות של ] .0.1[Hzאת תוצאות הסימולציה ניתן להשוות לתוצאות הניסוי שהיה בפועל בשביל לבחון את טיב הזיהוי. ניתן לראות באיור הבא את תגובת המערכת מהניסוי ומהסימולציה: איור :10תוצאות ההשווה בין הסימולציות לניסוי כפי שניתן לראות באיור ,10כל סימולציה מניבה תוצאות שונות ושתיהן שונות מתוצאות הניסוי עצמו .על מנת לאבחן בצורה יותר טובה את ההבדלים ניתן להביט בתקריב על אחת המדרגות אותו ניתן לראות באיור .11 20 איור :11מבט מקורב על המדרגה האחרונה בהשוואת התוצאות באיור 11ניתן לראות כי באזור של זמנים הקטנים מזמן העלייה ) 90%מערך התגובה בזמן מתמיד( התגובות משתי הסימולציות תואמות בקירוב טוב את הניסוי .בזמנים ארוכים ,קרי במצב המתמיד ניתן לראות כי הסימולציה הליניארית הגיעה למצב של שגיאה אפסית ,דבר התואם את השגיאה המצופה ממערכת מסוג .1 מנגד בניסוי התקבלה כי יש שגיאה סופית במצב המתמיד וכך גם בסימולציה הלא ליניארית .מבחינת תגובת היתר ,התקבלה תגובת יתר מקסימלית במערכת הניסוי ,ומינימלית בסימולציה הלא ליניארית .הדבר מעט סותר את הציפיות מהסימולציה הלא ליניארית שאמורה להיות קרובה יותר לתגובה שהתקבלה בניסוי כפי שקרה במצב המתמיד .סיבה אפשרית שהסימולציה הלא ליניארית לא הייתה מדויקת מספיק היא מכיוון שהסימולציה מדמה חיכוך סטטי ,שהוא בעל מקדם חיכוך קבוע המהווה ריסון למערכת .הריסון מאט את התגובה בזמן במעבר ומקשה על המערכת להתכנס לשגיאה אפסית .מנגד ,בניסוי המערכת הפיזיקלית אמיתית והחיכוך בה הוא אינו סטטי אלא חיכוך קינטי ,בעל מקדם חיכוך התלוי במהירות ביחס הפוך -ככל שהמהירות גדלה כך מקדם החיכוך קטן ,דבר המסביר את תגובת המעבר החזקה יותר עבור המערכת של הניסוי לעומת הסימולציה הלא ליניארית עם מקדם חיכוך קבוע. .5.2תכנון בקר בפרק זה יוצגו השלבים בתכנון בקר בהתאם לדרישות תכן הבאות: • אות בקרה מוגבל ל.10[V] - • זמן לפיק � 𝑝𝑝𝑡𝑡� -מירבי של ].0.28[s • תגובת יתר )𝑂𝑂𝑂𝑂( -מרבית של .9% • שגיאת מצב מתמיד.𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 < 0.0015 - 21 בנוסף ,יוצגו החישובים שנעשו על מנת לבחור סוג בקר ואת הפרמטרים המכוילים שיתנו מענה לדרישות הנ"ל. .5.2.1מהלך ניסוי תכנון הבקר יעשה במספר שלבים: • תרגום דרישות התכן של הבקר לדרישות במישור בתדר ,מציאת עודף פאזה )𝑃𝑃𝑃𝑃( רצוי ותדירות • חציה 𝑔𝑔𝜔𝜔 רצויה. תכנון בקר הגבר פרופורציונלי ובדיקת עמידה בדרישות של המערכת. • תכנון רשת פיצוי בהתאם לעמידה בדרישות עם הגבר פרופורציונלי בלבד. • בדיקת תגובת המערכת לכניסת מדרגה ווידוא עמידת בדרישות. • השוואה בין תוצאות תגובת הבקר בסימולציה לא ליניארית לתוצאות הניסוי. .5.2.2הכנה לניסוי כפי שניתן לראות בדרישות התכן ,יש צורך לתת מענה גם לדרישות גם במצב המעבר וגם המצב המתמיד .על פניו בקר 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 יכול לענות על הדרישות ,אך מימוש של בקר זה יניב פולינום אופייני ממעלה שלישית ,שאותו יש לקרב לפולינום מסדר 2ע"י השמת קוטב שדועך מהר .הבעיה שיטה זו היא שאין שליטה מלאה על פרמטרי המערכת ויתכן שהדבר ידרוש איטרציות רבות של חישוב בהן יש צורך "לנחש" מיקום אחר לקוטב המהיר בקירוב למערכת מסדר שני .מסיבה זו במידה ובקר הגבר לא יספיק ,תתוכנן גם רשת מתאימה. .5.2.2.1 תרגום דרישות למישור התדר ניתן לקבל דרישה על מקדם הריסון לפי הקשר הנתון בטבלה 3עבור תגובת היתר: )ln2 (0.09 𝑂𝑂𝑂𝑂 ≤ 9% → 𝜉𝜉 ≥ � 2 = 0.6083 )𝜋𝜋 + ln2 (0.09 התקבל מקדם ריסון קטן מ 0.7ולכן ניתן להשתמש בקירוב המתואר בנוסחה 16על מנת להעריך את עודף הפאזה: )(16 𝜉𝜉𝑃𝑃𝑃𝑃 = 100 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 100𝜉𝜉 ≥ 60.83° מהדרישה על זמן מקסימלי לפיק ראשון ניתן לחלץ את התדירות 𝑑𝑑𝜔𝜔 על פי הקשר מטבלה 3עבור זמן לפיק ראשון. 𝜋𝜋 ≥ 11.22 𝑝𝑝𝑡𝑡 = 𝑑𝑑𝜔𝜔 בשלב זה תוגדר תדירות החציה להיות שווה לתדירות המרוסנת של המערכת 𝑑𝑑𝜔𝜔 = 𝑔𝑔𝜔𝜔. 22 מכיוון שיש גם דרישה על שגיאה קטנה במצב המתמיד ,יתכן כי תהיה דרישה להוסיף רשת פיגור על מנת לענות על הדרישה .מכיוון שרשת פיגור גורעת הפאזה ,יילקח מקדם ביטחון של ~ 5°בנוסף על הדרישה לשולי הפאזה .בנוסף ,על מנת להתמודד עם הפרעות נלקח גם מקדם ביטחון על הדרישה לתדירות החציה. בסה"כ הדרישות במישור התדר הינן: 𝑃𝑃𝑃𝑃 ≥ 65° 𝜔𝜔𝑔𝑔 ≥ 15 ראשית ,לפי תכנון בקר ,נבדוק את העמידה בדרישות של המערכת בחו"ס ללא בקר .החישוב מתבצע ע"י 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 בשימוש הפונקציה ;)𝑃𝑃(𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ,כאשר 𝑃𝑃 זו פונקציית התמסורת ללא בקר. איור :12דיאגרמת בודה על המערכת ללא בקר כפי שניתן לראות בדיאגרמת בודה ,אמנם עודף הפאזה עומד בדרישות ,𝑃𝑃𝑃𝑃 = 88.2° > 65°אך תדירות החציה קטנה מהתדירות הרצויה .𝜔𝜔𝑔𝑔 = 1.65 < 15תחילה יש לבדוק האם בקר הגבר יכול להזיז את תדירות החציה לערך הרצוי. 23 .5.2.2.2 תכנון בקר הגבר מכיוון שהגבר חופשי לא משנה את הפאזה ,אין צורך לבדוק עמידה בכלל הפאזה ויש לבדוק רק מענה על כלל ההגבר ,ומשם לקבל את גודל ההגבר: �𝐾𝐾𝑐𝑐 ∙ 𝑃𝑃�𝑗𝑗𝜔𝜔𝑔𝑔 �� = 1 2 1.6528 �=1 𝑔𝑔𝜔𝜔𝑗𝑗 −0.0189 ∙ 𝜔𝜔𝑔𝑔2 + ∙ 𝑐𝑐𝐾𝐾� 2 � 𝑔𝑔𝜔𝜔� 𝐾𝐾𝑐𝑐 ∙ 1.6528 = ��0.0189 ∙ 𝜔𝜔𝑔𝑔2 � + = 9.433 2 2 � 𝑔𝑔𝜔𝜔� ��0.0189 ∙ 𝜔𝜔𝑔𝑔2 � + 1.6528 = 𝑐𝑐𝐾𝐾 פונקציית התמסורת כולל הבקר הינה: 1.6528 )𝑠𝑠(0.0189𝑠𝑠 + 1 ∙ 𝐻𝐻(𝑠𝑠) = 9.433 לאחר הכנסת הבקר יש לבדוק בשנית את דיאגרמת בודה של המערכת .גרף בודה של המערכת החדשה מוצג באיור .13 איור :13דיאגרמת בודה על המערכת בשילוב בקר הגבר חופשי 24 מאיור 13ניתן לראות כי הבקר נותן מענה על הדרישות למצב המעבר .ניתן לראות כי ההגבר הקטין מעט את עודף הפאזה לעומת מערכת ללא בקר ,אך עדיין הערך הנוכחי עונה על הדרישה 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 74.7° > 65° והתקבלה תדירות חציה כנדרש .𝜔𝜔𝑔𝑔 = 15הפולינום האופייני של המערכת נותר ללא שינוי ,המערכת מסוג 𝑛𝑛 = 1ולכן השגיאה במצב המתמיד צריכה להתאפס עבור כניסת מדרגה. ניתן לאמת זאת מול סימולציה ליניארית כמוצג באיור .14 איור :14תגובת מדרגה בסימולציה לינארית לבקר הגבר חופשי. באיור 14ניתן לראות את תגובת המערכת לכניסת מדרגה בסימולציה ליניארית עבור בקר עם הגבר חופשי בלבד .מתוך נקודות עניין בגרף ניתן לחלץ את פרמטרי התכן כפי שנעשה בחלקים קודמים של הניסוי: ]𝑠𝑠[ 𝑡𝑡𝑃𝑃 = 1.52 − 1.25 = 0.27[s] < 0.28 0.393137 − 0.392699 ∙ 100% = 0.0557% < 9% )0.392699 − (−0.392699 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 = 0 < 0.0015 = 𝑂𝑂. 𝑆𝑆% התקבל מענה על שלוש הדרישות על ביצועי המערכת .מתוך הסימולציה אפשר לחלץ את המתח שהמנוע של המערכת צרך כפונקציה של הזמן .במידה והוא יהיה מתחת ל] 10 [Vכל הדרישות יענו. 25 איור :15מתח על המנוע כפונקציה של הזמן בסימולציה ליניארית אכן אמפליטודת המתח בכל מחזור של תנועה נמצאת על ערכים בסביבת ] 7.3[Vובכל מקרה מתחת ל].10[V אמנם הדרישות מהמערכת נענות בסימולציה הליניארית ,אך כפי שקרה בניסוי אל מול סימולציית ההכנה, אין הדבר מובטח שתתקיימנה גם בפועל במערכת האמיתית .על מנת לקבל הערכה מדויקת יותר יש לבצע סימולציה לא ליניארית ,את תוצאות הסימולציה ניתן לראות באיור .16 איור :16תגובת מדרגה בסימולציה לא ליניארית לבקר הגבר חופשי 26 באיור 16ניתן לראות את תגובת המערכת לכניסת מדרגה בסימולציה לא ליניארית שמדמה חיכוך סטטי, עבור בקר עם הגבר חופשי בלבד .מתוך נקודות עניין בגרף ניתן לחלץ את פרמטרי התכן כפי שנעשה בחלקים קודמים של הניסוי: ]𝑡𝑡𝑃𝑃 = 1.487 − 1.25 = 0.237 [s 𝑂𝑂. 𝑆𝑆% = 0 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 = |0.380427 − 0.392699| ≅ 0.0123 > 0.0015 בסימולציה הלא ליניארית מתקבל שאין תגובת יתר ,הזמן לפיק ראשון נלקח להיות הזמן שבו המערכת מתייצבת על ערך קבוע )קירוב מחמיר( וגם הוא עומד בתנאים .מנגד ,השגיאה במצב המתמיד כבר אינה עונה על הדרישות .ניתן לראות באיור 17את המתח שמנוע צורך כפונקציה של הזמן: איור :17מתח על המנוע כפונקציה של הזמן בסימולציה לא ליניארית מאיור 17ניתן לראות כי אמפליטודת המתח בכל מחזור של תנועה נמצאת על ערכים בסביבת ] 7.15[Vובכל מקרה מתחת ל] 10[Vולכן הדרישה על המתח כן נענית. הדרישה היחידה שאינה מתקיימת היא זו על השגיאה במצב המתמיד .בבקר הנוכחי כבר יש אינטגרטור, המתבטא בכך שהמערכת מסוג .1אפשר לנסות להוסיף אינטגרטור נוסף ,ואז הפולינום האופייני המתקבל הינו: 1 𝐾𝐾 ∙ ∙ 𝑐𝑐𝐾𝐾 Δ𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑠𝑠) = 1 + = 𝑠𝑠 3 𝜏𝜏 + 𝑠𝑠 2 + 0 ∙ 𝑠𝑠1 + 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑐𝑐 ∙ 𝑠𝑠 0 )𝑠𝑠 𝑠𝑠(𝜏𝜏𝜏𝜏 + 1 27 כפי שניתן לראות ,הוספת אינטגרטור למערכת מביא פולינום אופייני בעל מקדם אפס עבור אחד מהאיברים, כלומר אין צורך לבצע בדיקה עם רות' הורוביץ ,החוג הסגור אינו יהיה יציב .על מנת לתקן את השגיאה במצב המתמיד יש להוסיף רשת פיגור שתפצה על השגיאה .רשת הפיגור אינה משנה את סדר המערכת מכיוון שבמונה ובמכנה שלה יש פולינום מאותו הסדר ולכן ניתן יהיה לקבל יציבות בדרך זו. .5.2.2.3 תכנון רשת פיגור כאמור ,הדרישה לשגיאה במצב המתמיד לא מתקיימת עם בקר הגבר בלבד .יש לתכנן רשת פיגור על מנת לצמצמם את השגיאה ,על כן יעשה שימוש בנוסחה .8 𝑚𝑚𝜔𝜔 10𝑠𝑠 + 𝜔𝜔 𝑚𝑚 10𝑠𝑠 + 𝛽𝛽 = )𝑠𝑠( 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷 בהגדרה של 𝑔𝑔𝜔𝜔 = 𝑚𝑚𝜔𝜔 וקביעה של היחס בין הקוטב לאפס כשואף לאינסוף ∞ → 𝛽𝛽 מתקבלת צורה של אינטגרטור טהור בתדרים נמוכים ועם השפעה דועכת בתחום של תדרים גבוהים: 10𝑠𝑠 + 15 𝑠𝑠10 = )𝑠𝑠( 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐷𝐷 כאשר התדירויות קטנות ,האיבר 𝑠𝑠 10במונה זניח לעומת האיבר ,15לכן אפשר לקרב את התמסורת באופן הבא: 3 1 15 ∙ = 𝑠𝑠 10𝑠𝑠 2 ≅ )𝑠𝑠( 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐷𝐷 3 כאשר בצורה זו ניתן להבחין כי מדובר באינטגרטור טהור עם הגבר של .לאחר הוספת רשת פיגור למערכת 2 הקיימת ,יש לחשב הגבר 𝑐𝑐𝐾𝐾 חדש בהתאם לכלל ההגבר לאחר הוספת רשת הפיגור: �𝐷𝐷𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 (𝑗𝑗𝜔𝜔𝑔𝑔 ) ∙ 𝐾𝐾𝑐𝑐 ∙ 𝑃𝑃�𝑗𝑗𝜔𝜔𝑔𝑔 �� = 1 10𝑗𝑗𝜔𝜔𝑔𝑔 + 15 1.6528 ∙ 𝑐𝑐𝐾𝐾 ∙ �=1 𝑔𝑔𝜔𝜔𝑗𝑗10 𝑔𝑔𝜔𝜔𝑗𝑗 −0.0189 ∙ 𝜔𝜔𝑔𝑔2 + 𝐾𝐾𝑐𝑐 ∙ 0.1065 = 1 𝐾𝐾𝑐𝑐 = 9.386 � פונקציית התמסורת לאחר הוספת הבקר המלא הכולל הגבר חופשי ורשת פיגור הינה: 10𝑠𝑠 + 15 1.6528 ∙ 𝑠𝑠10 )𝑠𝑠(0.0189𝑠𝑠 + 1 28 ∙ 𝐻𝐻(𝑠𝑠) = 9.386 על מנת לבחון אם המערכת החדשה עומדת בתנאים הופקה דיאגרמת בודה של המערכת כפי שניתן לראות באיור .17 איור :18גרף בודה של המערכת בתוספת רשת פיגור ניתן לראות מדיאגרמת בודה של המערכת כי תדירות החציה 𝜔𝜔𝑔𝑔 = 15כפי שהוגדר בדרישות ועודף הפאזה גם כן עומד בדרישת הסף .𝑃𝑃𝑃𝑃 = 68.5° > 65°ניתן לבדוק את הדרישות ישירות מגרך התגובה של המערכת לכניסת מדרגה )איור (18ולא לפי תגובת התדר. איור :19תגובת המערכת לכניסת מדרגה 29 באיור 18ניתן לראות את תגובת המערכת לכניסת מדרגה בסימולציה לא ליניארית שמדמה חיכוך סטטי, עבור בקר עם הגבר חופשי ורשת פיגור .ראשית ניתן לראות כי השגיאה במצב המתמיד התאפסה ,מתוך נקודות עניין בגרף ניתן לחלץ שאר את פרמטרי התכן כפי שנעשה בחלקים קודמים של הניסוי: ]𝑡𝑡𝑃𝑃 = 5.244 − 5 = 0.244[s 0.45866 − 0.392699 ∙ 100% = 0.83% )0.392699 − (−0.392699 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 = |0.392699 − 0.392699| = 0 = 𝑂𝑂. 𝑆𝑆% מתוך הסימולציה הלא ליניארית התקבל כי שלושת הדרישות לביצועי המערכת נענות בצורה טובה .נשאר לוודא כי מפל המתח על המנוע לא עולה על ] ,10[Vמתוך הסימולציה ניתן לראות את המתח כפונקציה של הזמן על המנוע באיור .19 איור :20מתח על המנוע כפונקציה של הזמן לאחר הוספת רשת פיגור לסימולציה לא ליניארית אכן מתוך איור 19ניתן להבחין כי אמפליטודת המתח בכל מחזור של תנועה נמצאת על ערכים בסביבת ] ,7.4 [Vמעט יותר מאשר המתח שהיה בסימולציה הליניארית אבל כל מקרה מתחת ל] .10 [Vלבסוף הבקר הנוכחי עונה על כל דרישות התכן. 30 .5.2.3תוצאות הניסוי בחלק זה יוצגו תוצאות הניסוי בצורה מרוכזת .זמן לפי 𝑝𝑝𝑡𝑡 ,תגובת יתר 𝑂𝑂𝑂𝑂 ושגיאה במצב המתמיד 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒 התקבלו מתוך ניתוח התגובה למדרגה .מתח מקסימלי חולץ מתוך תוצאות הסימולציה ושולי הפאזה 𝑃𝑃𝑃𝑃 ותדירות החציה 𝑔𝑔𝜔𝜔 חולצות מתוך דיאגרמות בודה של המערכות השונות. טבלה :9ערכי התגובות של המערכות השונות לפי סוג בקר וסימולציה סוג סימולציה ליניארית לא ליניארית בקר )𝑠𝑠(𝑃𝑃 𝑐𝑐𝐾𝐾 )𝑠𝑠(𝑃𝑃 𝑐𝑐𝐾𝐾 )𝑠𝑠(𝑃𝑃 𝑐𝑐𝐾𝐾 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐷𝐷 ]𝐬𝐬[ 𝑷𝑷𝒕𝒕 ]𝑶𝑶𝑶𝑶 [% ]𝒆𝒆𝒔𝒔𝒔𝒔 [% ]𝐕𝐕[ 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝑽𝑽 7.37 ]𝑷𝑷𝑷𝑷[° 88.2 � 𝒈𝒈𝝎𝝎 𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓𝒓 � 𝒔𝒔 1.65 7.15 74.2 15 7.45 68.5 15 0 0.27 0.05 0.237 0 0.0123 0.244 0.83 0 בנוסף ,על מנת לאמוד את ההבדלים בין הבקרים השונים ,יוצגו דיאגרמות בודה עבור המערכת ללא בקר ועבור הבקרים על גרף אחוד כמתואר באיור .21 איור :21דיאגרמות בודה עבור כל סוגי הבקר עבור הסימולציה הליניארית ,התקבל שבקר עם הגבר חופשי בלבד מספיק בשביל לענות על דרישות התכן, ואכן ניתן לראות בדיאגרמת בודה כי ההגבר של בקר עם הגבר בלבד אינו משנה את בודה הפאזה של המערכת ללא בקר אלא רק את של ההגבר ,כך שתדירות החציה נמצאת בערך הרצוי .כאמור ,יתכן כי הסימולציה לא נאמנה מספיק למציאות כי אינה מתחשבת בחיכוך סטטי .לאחר בדיקת בקר הגבר מול הסימולציה הלא ליניארית התקבל כי אין מענה על דרישת השגיאה במצב המתמיד .ניתן להסביר שגיאה זו שלא הייתה קיימת 31 בסימולציה הליניארית כפי שהוסבר בפרק הקודם על החיכוך הסטטי .החיכוך מהווה ריסון למערכת ומקשה עליה להתכנס כאשר יש שגיאות קטנות. בהתאם לתוצאות הסימולציה לא ליניארית תוכנן בקר הגבר בשילוב עם רשת פיגור העונה על דרישות התכן בהתחשב בחיכוך .ניתן לראות מתוך הבודה של בקר זה כי ההגבר מתנהג בצורה דומה מאוד לבקר הגבר בלבד בסימולציה הליניארית ,אותה תדירות חציה והתלכדות של העקומות בתדירויות גבוהות ממנה .בנוסף, מבחינת הפאזה ,ניתן לראות הבדל משמעותי בין בקר ללא רשת פיגור לבקר החדש בתדירויות נמוכות בהן יש גריעה משמעותית יותר מהפאזה ,דבר האופייני לאינטגרטור .בתדירויות גבוהות העקומות של הפאזה מתלכדות. .6מסקנות בפרק זה יוצגו המסקנות מניתוח התוצאות. מתוך תגובת מערכת לכניסה ידועה ובהינתן בקר ידוע ,ניתן לשחזר קבועים פיזיקליים המגדירים אותה. הקבועים שמתקבלים מהשחזור הם קירוב טוב לקבועים האמיתיים של המערכת. תכנון בקר ע"י סימולציות בלבד לרוב אינו מספק מכיוון וישנם גורמים המשפיעים על המערכת שאינם נכללים בסימולציה ,כמו למשל חיכוך וחוזר איזון של המסה ביחס לציר הסיבוב ,ורצוי לבדוק את הבקר מול המערכת במציאות. מבחינת טיב הסימולציה ,כאשר משתמשים בסימולציה שאינה ליניארית ,אפשר למדל את החיכוך הפועל במערכת שיביא לקבלת ביצועים מדויקים יותר עבור תגובת המערכת וכתוצאה מכך לתכנן בקר מדויק יותר. בנוסף ,יתכן כי מודל לא ליניארי של חיכוך סטטי בלבד אינו מספיק מדויק מכיוון שבמציאות יש דינמיקה ומקדם החיכוך הקינטי תלוי במהירות והוא קטן ככל שהמהירות גדלה. ניתן להתגבר על חוסר עמידה בדרישות התכן באמצעות מספר שיטות .שימוש באינטגרטור טהור פשוט לא עזר במענה על הדרישות משום שזה גרם למערכת לצאת מיציבות .על כן ,נעשה שימוש ברשת פיגור שתפקידה לענות על דרישות המצב המתמיד .באותו אופן במקום בקר פרופורציונלי ניתן היה לעשות שימוש ברשת קידום והדרישות היו נענות כך בצורה זו .עם זאת תכנון בקר פרופורציונלי הוא פשוט יותר וגם פחות יקר אם לוקחים בחשבון עלויות. חשוב לבצע בדיקה לדרישות הצריכה של המערכת .כאשר יש דרישה על סף מתח מקסימלי זה אומר שעל מנת לשמור על הרכיב שיעבוד כראוי ולא ייהרס יש לוודא שלאחר יישום דרישות התכן הערך המותר לא נחצה כי אז אין משמעות למענה על הדרישות אם רכיבי המערכת נפגעים. .7סיכום דו"ח זה עסק בשחזור פונקציית תמסורת של מערכת פיזיקלית בהתאם לתוצאות ניסויים עליה בוצע הניסוי במעבדה ותכנון של בקר המביא את המערכת לתגובה העונה על דרישות חדשות לכניסת מדרגה והגבלת צריכת המנוע .בוצע ניתוח של התגובה ותכנון של בקר פרופורציונלי ורשת קידום למענה על הדרישות בסימולציה לינאריות ולאחר מכן תיקון על פי התגובה מהסימולציה הלא לינארית .מתוך התוצאות הופקו מסקנות על אופי תכנון מערכות ועל ההבדל בין קונספט של מערכת לינארית לבין תוצאות מציאותיות בפועל. 32 .8המלצות לשיפור הניסוי בפרק זה יוצגו הצעות לשיפור הניסוי ותוצאותיו. כפי שהוצג בפרק על חידושים בנושא ניתן ליישם בקרה מתקדמת בשימוש בינה מלאכותית על מנת לקבל תוצאות איכותיות ומדויקות יותר הן בשלב התכנון והן בשלב הביצוע .בשיטה בו בוצעו חישובי הדוח יש דרישה של אדם המבצע חישובים ובדיקות עצמאיות בשימוש בתוכנת מחשב כעזר .אילו היה נעשה שימוש בבינה מלאכותית התהליך היה מהיר ומדויק יותר וגם הדבר היה מחליף את שיטת הבקרה ,כמו תכנון בקר פרופורציונלי ורשת קידום ,בשיטה של למידת מכונה שבסופו של דבר מגיעה לדיוק רב יותר ובפחות מאמץ. .9ביבליוגרפיה ] [1קובץ תדריכים למעבדה להנדסת מכונות – 2מעבדת בקרה ,המחלקת להנדסת מכונות בן גוריון. ] [2מאמר Faculty of Engineering ,Siraskar (2021) – Machine Learning with Applications .Environment and Computing, Coventry University Reinforcement learning for control of valves - ScienceDirect ] [3סיכומים ומצגות מערכות לינאריות ומערכת בקרה – ליאור בכר ,המחלקה להנדסת מכונות בן גוריון. 33 .10 טופס הצהרת מקוריות 34 .11 נספחים אוניברסיטת בן-גוריון בנגב הפקולטה למדעי ההנדסה המחלקה להנדסת מכונות דו"ח מעבדה בקרת מיקום 315047316 שמות הסטודנטים :רז תורג'מן אביהוא שמואל גפן 207024480 מספר קבוצה2 : תאריך המעבדה30.04.2023 : תאריך הגשה03.05.2023 : שם המנחה :מתן כהן צדק 35 מפתח לבדיקת דו"ח מעבדה סעיף ניקוד מתוך תיאור מטרות ניסוי 4 הצגת תוצאות הניסוי 5 דוגמאות חישוב 10 עיבוד תוצאות ודיון 50 מסקנות 15 סיכום 6 רמת הדו"ח והערכה כללית 10 ציון דו"ח מעבדה 100 ציון בוחן /דו"ח מכין 100 ציון סופי המורכב מ 90% :ציון דו"ח מעבדה 10% +ציון בוחן /דו"ח מכין 100 שם הבודק וחתימה.___________________: הערות .1מטרת הניסוי מטרות מעבדה זו הן לבחון את תוצאות סימולציית המערכת אל מול המערכת הפיסיקלית במעבדה .וכן יישום בקרת המערכת הפיסיקלית באמצעות שינוי בקר פרופורציונלי וכן בקר אינטגרלי על מנת לחקור את השפעתם על המערכת. .2דוח מכין בפרק זה יוצג הדוח המכין יחד עם משוואות ונתונים שבהם יעשה שימוש בעיבוד תוצאות הדוח. .2.1מציאת פונקציית התמסורת באיור 1מוצגת דיאגרמת הבלוקים של המערכת. איור :1דיאגרמת בלוקים של המערכת. מתוך הדיאגרמה ניתן לחלץ את הקשרים הבאים: ) (1 )𝑠𝑠( 𝑙𝑙𝜃𝜃 𝐾𝐾 = )𝑉𝑉𝑚𝑚 (𝑠𝑠) 𝑠𝑠(𝜏𝜏𝜏𝜏 + 1 = )𝑆𝑆(𝑃𝑃 ) (2 𝑙𝑙𝜃𝜃 𝐸𝐸 = 𝜃𝜃𝑑𝑑 − ) (3 𝑆𝑆 𝑣𝑣𝐾𝐾 𝑙𝑙𝜃𝜃 𝑉𝑉𝑚𝑚 = 𝐸𝐸𝐾𝐾𝑝𝑝 − ) (4 𝑃𝑃 𝑚𝑚𝑉𝑉 = 𝑙𝑙𝜃𝜃 1 בשימוש בקשרים אלו מתקבל כי: 𝑃𝑃 ∙ �𝑆𝑆 𝑣𝑣𝐾𝐾 𝑙𝑙𝜃𝜃 𝜃𝜃𝑙𝑙 = �(𝜃𝜃𝑑𝑑 − 𝜃𝜃𝑙𝑙 )𝐾𝐾𝑝𝑝 − ) (5 𝑃𝑃 𝑝𝑝𝐾𝐾 1 + 𝐾𝐾𝑃𝑃 �� ��� �� 𝑆𝑆 𝑣𝑣 𝐺𝐺 ∙ ) 𝑙𝑙𝜃𝜃 ⇒ 𝜃𝜃𝑙𝑙 = (𝜃𝜃𝑑𝑑 − 𝑙𝑙𝜃𝜃 𝐺𝐺 = 𝐺𝐺 𝜃𝜃𝑑𝑑 1 + ⇒ בשימוש משוואות 1ו 5מתקבל שפונקציית התמסורת המקשרת בין זווית היציאה לזווית הכניסה היא: ) (6 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 )𝑠𝑠( 𝑙𝑙𝜃𝜃 = = 2 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 𝜃𝜃𝑑𝑑 (𝑠𝑠) 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑝𝑝 + 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑣𝑣 𝑠𝑠 + 𝑠𝑠(𝜏𝜏𝜏𝜏 + 1) 𝜏𝜏𝑠𝑠 + (𝐾𝐾𝐾𝐾𝑣𝑣 + 1)𝑠𝑠 + ובהתאמה לתבנית כללית של פונקציית תמסורת של מערכת מסדר שני: ) (7 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 𝜏𝜏 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 + 1 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑣𝑣 � 𝑠𝑠 2 + � 𝑠𝑠 + 𝜏𝜏 𝜏𝜏 )𝑠𝑠( 𝑙𝑙𝜃𝜃 = )𝑠𝑠( 𝑑𝑑𝜃𝜃 .2.2תחום הערכים של 𝒑𝒑𝑲𝑲 ו 𝒗𝒗𝑲𝑲 כך שיבטיחו את יציבות המערכת הפולינום האופייני של המערכת : ) (8 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑣𝑣 + 1 � 𝑠𝑠 + 𝜏𝜏 𝜏𝜏 � ∆𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 2 + מתנאי הכרחי ליציבות המערכת יש לדרישות שכל מקדמי הפולינום יהיו קיימים וחיוביים: 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 >0 𝜏𝜏 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑣𝑣 + 1 >0, 𝜏𝜏 2 נתון כי טאו ו Kהם פרמטרים קבועים חיוביים של התהליך .מכאן שהדרישה היא: 1 , 𝐾𝐾 𝐾𝐾𝑝𝑝 > 0 𝐾𝐾𝑣𝑣 > − אותם תנאים מתקבלים מקריטריון ראות' הורוביץ. .2.3הביטוי הפרמטרי לשגיאה במצב המתמיד של החוג הסגור עבור כניסת מדרגה ושיפוע ממשוואות 2ו 5מתקבל הביטוי עבור פונקציית השגיאה: ) (9 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 𝜏𝜏 𝐸𝐸 = �1 − 𝑑𝑑𝜃𝜃 � 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 + 1 𝑣𝑣 2 � 𝑠𝑠 + � 𝑠𝑠 + 𝜏𝜏 𝜏𝜏 תחת ההנחה שערכי 𝑝𝑝𝐾𝐾 ו 𝑣𝑣𝐾𝐾 הם בתחום הדרוש למערכת יציבה ,ניתן להשתמש במשפט הערך הסופי על מנת לחשב את השגיאה במצב המתמיד : עבור כניסת מדרגה : )(10 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 1 𝜏𝜏 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 = lim 𝑠𝑠 �1 − � =0 𝑠𝑠 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 s→0 𝐾𝐾𝐾𝐾 + 1 𝑣𝑣 � 𝑠𝑠 2 + � 𝑠𝑠 + 𝜏𝜏 𝜏𝜏 עבור כניסת שיפוע : )(11 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 1 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑣𝑣 + 1 𝜏𝜏 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 = lim 𝑠𝑠 �1 − =� 2 𝑠𝑠 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 s→0 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 + 1 𝑣𝑣 � 𝑠𝑠 2 + � 𝑠𝑠 + 𝜏𝜏 𝜏𝜏 3 .2.4ביטוי הפרמטרים 𝒑𝒑𝑲𝑲 ו 𝒗𝒗𝑲𝑲 כפונקציה של הפרמטרים 𝒏𝒏𝝎𝝎 𝑲𝑲 , 𝝉𝝉 , 𝝃𝝃, פונקציית התמסורת האופיינית של מערכת מסדר שני: )(12 𝜔𝜔𝑛𝑛 2 𝑠𝑠 2 +2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑠𝑠 + 𝜔𝜔𝑛𝑛 2 = )𝑠𝑠(𝐻𝐻 מהשוואה מקדמים עם משוואה 7מתקבל כי: 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 𝜏𝜏 − 1 𝐾𝐾 = 𝑣𝑣𝐾𝐾 , 𝜏𝜏𝜔𝜔𝑛𝑛 2 = 𝑝𝑝𝐾𝐾 𝐾𝐾 .2.5ערכי ההגברים 𝒑𝒑𝑲𝑲 ו 𝒗𝒗𝑲𝑲 המקיימים את הדרישות כאשר 𝐾𝐾 = 1.6ו 𝜏𝜏 = 0.0254ודרישות הביצועים הן ] 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 7 [%ו]𝑠𝑠[ .𝑡𝑡𝑝𝑝 = 0.25 דרישת תגובת היתר היא דרישה על פרמטר הריסון 𝜉𝜉 ונתונה על פי הקשר הבא: ln(𝑂𝑂𝑂𝑂)2 𝜉𝜉 = � 2 𝜋𝜋 + ln(𝑂𝑂𝑂𝑂)2 לכן: )(13 ln(0.07)2 𝜉𝜉 = � 2 𝜋𝜋 + ln(0.07)2 ⟹ 𝜉𝜉 ≅ 0.646 דרישת הזמן לפיק הראשון היא דרישה על תדירות הריסון ) 𝑑𝑑𝜔𝜔( ונתונה על פי הקשר הבא: )(14 𝜋𝜋 𝑑𝑑𝜔𝜔 כאשר .𝜔𝜔𝑑𝑑 = 𝜔𝜔𝑛𝑛 �1 − 𝜉𝜉 2 4 = 𝑝𝑝𝑡𝑡 לכן: )(15 𝜋𝜋 = 0.25 𝜔𝜔𝑛𝑛 �1 − 𝜉𝜉 2 𝜋𝜋 = 𝑛𝑛𝜔𝜔 ⟹ ≅ 16.462 0.25√1 − 0.6462 כדי קבל את ערכי ההגברים יש להציב את התוצאות בביטויים הפרמטריים מהסעיף הקודם: 𝜏𝜏𝜔𝜔𝑛𝑛 2 0.0254 ∙ 16.4622 = 𝑝𝑝𝐾𝐾 = ≅ 4.304 𝐾𝐾 1.6 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 𝜏𝜏 − 1 2 ∙ 0.646 ∙ 16.462 ∙ 0.0254 − 1 = ≅ −0.2873 𝐾𝐾 1.6 = 𝑣𝑣𝐾𝐾 .2.6סיבת חיבור הבקר הפועל על הנגזרת לזווית היציאה ולא לשגיאה בין זווית היציאה הרצויה במערכת הנתונה הכניסה הינה הכניסה קבועה בכול הנקודות מלבד נקודת אי הרציפות בה הנגזרת אינסופית. מכיוון שזווית הכניסה במערכת הנתונה הינה כניסת מדרגה ואינה גזירה ,הנגזרת בכל זמן שאינו המדרגה היא אפס כלומר אין שינוי וברגע כניסת המדרגה הנגזרת הינה אינסופית. .2.7סימולציה של המערכת עם בקר מיקום באמצעות שימוש בקובץ ,Simulation_Pos.mdlניתן להכניס לתרשים הבלוקים את ערכי ההגברים וכן מקדמי המערכת מסדר שני כפי שחושבו בסעיף .5בנוסף לכך ,יוודא כי אות הכניסה הינו ריבועי בעל אמפליטודת יחידה וכן תדירות של ] .0.4 [Hzהסימולציה המתקבלת מהליך זה מוצגת באיור .2 איור :2סימולציית המערכת בעזרת .Simulink 5 .2.8גרף תגובת המערכת לכניסת מדרגה מתוך הפעלת הסימולציה בסעיף ,7התקבלו הפלטים המתאימים עבור הזווית 𝜃𝜃 )מטריצה .(5000x3בעזרת פלטים אלה שורטטה ב MATLABתגובת לכניסת מדרגה למשך 5שניות כפי שניתן לראות באיור .3 איור :3תגובת המערכת לכניסת מדרגה מתוך נתוני הסימולציה. על פני התגובה באיור ,3ניתן לראות שלוש נקודות עניין המסומנות באדום .ניתן לאמת את של תפקוד המערכת לפי פרמטרי התכן הנתונים בעזרתם הנתונים בנקודות המסומנות .את 𝑂𝑂𝑂𝑂 %ניתן למצוא באמצעות היחס בין הפרש גובה הפיק ,𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ,וערך המצב המתמיד ,𝑦𝑦∞ ,לבין בפרש ערך המצב המתמיד לערך ההתחלתי.𝑦𝑦0 , 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − 0.448197 − 0.392699 = ∙ 100% ∙ 100% ≅ 7% 𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑦𝑦0 )0.392699 − (−0.3927 = 𝑂𝑂𝑂𝑂% ניתן לראות כי התקבלה תגובת יתר כמצופה על בסיס נתוני תגובת המערכת. 𝑝𝑝𝑡𝑡 הוא הזמן בין תחילת התגובה עד לפיק הראשון. ]𝑠𝑠[ 𝑡𝑡𝑝𝑝 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 = 1.5 − 1.249 ≅ 0.25 ניתן לראות כי גם זמן העלייה שהתקבל זהה לזה שהיה נתון בתדריך .כלומר התקבל כי תוצאות הסימולציה תואמות את שניתן בתדריך עבור פרמטרי התכן. 6 .2.9השגיאה במצב מתמיד מתוך הסימולציה מהסתכלות על איור ,3ניתן לראות כי במצב המתמיד )באזור הנקודה השלישית( .עקומת הכניסה והיציאה מתלכדות ולכן ניתן לקבוע כי השגיאה עבור כניסת המדרגה במצב מתמיד מתאפסת. .2.10מטרת הניסוי אשר נבצע במעבדה במעבדה זו יבחנו תוצאות סימולציית המערכת אל מול המערכת הפיסיקלית במעבדה .וכן תבוצע בקרת המערכת הפיסיקלית באמצעות שינוי בקר פרופורציונלי וכן בקר אינטגרלי. .3תוצאות הניסוי ועיבודן בפרק זה יוצגו התוצאות הגולמיות כפי שנמדדו במהלך הניסוי. .3.1השוואה בין הסימולציה לבין תוצאות במערכת בפועל בחלקו הראשון של הניסוי הוכנסו הערכים שחושבו במעוד מועד בסימולציה אל מערכת הניסוי ונבדק אם המציאות תאמה את התיאוריה .לאחר מכן נבדק קבוע הבקרה היחסי ) 𝑃𝑃𝐾𝐾( בשיטת ניסוי ותהייה על מנת לאפס את השגיאה שהתקבלה בפועל. איור :4תוצאות הניסוי )צהוב ,סגול ,וירוק( לעומת הסימולציה בתגובה לכניסת מדרגה בגובה 7 𝝅𝝅 𝟖𝟖 ובתדירות של .[𝐇𝐇𝐇𝐇] 0.4 בהכנסת הערכים שחושבו בסימולציה התקבלה שגיאה במצב המתמיד .לכן ,בשימוש בערכים אלו כנקודה התחלתית ,בוצעו בדיקות נוספות תוך שינוי ערך מקדם הבקר הפרופורציונלי 𝑃𝑃𝐾𝐾 .עבור ערך של 𝐾𝐾𝑃𝑃 = 10 )והשארת ערך הבקר הדיפרנציאלי כפי שהיה בהתחלה (𝐾𝐾𝑣𝑣 = −0.2873התקבל מצב ללא שגיאה במצב המתמיד. איור :5תוצאות הניסוי עבור בחירה של 𝟕𝟕 = 𝑷𝑷𝑲𝑲. באיור 5ניתן לראות את תוצאות הניסוי עבור הבדיקה השניה .מכל טבלה שהתקבלה ניתן להמציא את נתוני תגובת היתר והזמן לפיק הראשון. דוגמאות חישוב עבור :𝐾𝐾𝑃𝑃 = 7 ]𝑠𝑠[ 𝑡𝑡𝑃𝑃 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 = 3.918 − 3.75 = 0.168 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦4 0.536893 − 0.392699 = ∙ 100% = 19.53% 𝑦𝑦4 − 𝑦𝑦5 )0.392699 − (−0.392699 = 𝑂𝑂. 𝑆𝑆% טבלה :1ריכוז נתוני ניסוי איפוס שגיאה באמצעות 𝑷𝑷𝑲𝑲 מספר בדיקה 1 𝑷𝑷𝑲𝑲 4.304 ]𝐬𝐬[ 𝑷𝑷𝒕𝒕 0.232 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒚𝒚 0.447922 ∞𝒚𝒚 0.415709 ]𝑶𝑶𝑶𝑶 [% 3.98% ]𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 [% 5.86% 2 7 0.168 0.536893 0.385029 19.53% 1.95% 3 10 0.137 0.61666 0.392699 28.52% 0.00% סימולציה 4.304 0.25 0.44846 0.392699 7.10% 0.00% 8 כאמור התקבל בניסוי כי יש צורך בהגדלת קבוע הפרופורציה על מנת לצמצם את שגיאת העקיבה במצב המתמיד לאפס .ניתן לראות כי עבור 𝐾𝐾𝑃𝑃 = 10התקבלה שגיאה אפס ,אך מנגד ה𝑂𝑂𝑂𝑂 גדל ל ,28.52%דבר החורג מדרישות תכן הבקר. בנוסף ניתן לראות כי בנוסף ל𝑂𝑂𝑂𝑂 שגדל ,הזמן לפי הראשון מתקצר ככל שמעלים את קבוע הפרופורציה 𝑝𝑝𝐾𝐾, אפשר להסביר את תופעה זו ע"י זה שהגדלת קבוע הפרופורציה גורמת למערכת להגיב חזק יותר לשגיאה ולכן היא מגיעה מהר יותר לפיק הראשון. .3.2הוספת בקר אינטגרלי למערכת בחלק הקודם של הניסוי התקבל שעבור קבוע פרופורציונלי 𝐾𝐾𝑃𝑃 = 10שגיאת העקיבה מתאפסת ,אך כתוצאה מכך ה𝑂𝑂𝑂𝑂 גדל לערך שאינו עומד בדרישה .יתרה מכך ,גם אם ה𝑂𝑂𝑂𝑂 היה תקין ,במקרים רבים יש חסם לגודל הקבוע שאפשר להגדיר במערכת .למשל עבור מנוע חשמלי ,יש מתח מקסימלי שמאפשר עבודה תקינה של המנוע .בהנחה כי הקבוע 𝑃𝑃𝐾𝐾 שנמצא בחלק הקודם של הניסוי אינו ישים ,קרי דורש אספקת מתח שהמנוע אינו מסוגל לעבוד בו ,יש למצוא פתרון אחר על מנת לאפס את השגיאה במצב המתמיד .על מנת לאפס את השגיאה במצב המתמיד בלי לפגוע ב𝑂𝑂𝑂𝑂 ,ניתן להוסיף בקר שלישי למערכת -בקר אינטגרלי. פונקציית התמסורת בחוג הסגור לאחר הוספת הבקר האינטגרלי היא מהצורה: 𝐾𝐾 𝐼𝐼𝐾𝐾 ) 𝑠𝑠 2 𝜏𝜏 + 𝑠𝑠 (𝐾𝐾𝑝𝑝 + )𝑠𝑠( 𝑙𝑙𝜃𝜃 𝑠𝑠 = ) 𝐾𝐾𝑠𝑠 𝜃𝜃𝑑𝑑 (𝑠𝑠) 1 + 𝐾𝐾 (𝐾𝐾 + 𝐾𝐾𝐼𝐼 + 𝑣𝑣 𝑠𝑠 𝑝𝑝 𝑠𝑠 𝑠𝑠 2 𝜏𝜏 + כאשר הפולינום האופייני של המערכת הוא: 𝐼𝐼𝐾𝐾 𝑝𝑝𝐾𝐾 ∙ 𝐾𝐾 1 + 𝐾𝐾 ∙ 𝐾𝐾𝑣𝑣 2 𝐼𝐼𝐾𝐾 ∙ 𝐾𝐾 + 𝑠𝑠𝐾𝐾𝑣𝑣 � = 𝑠𝑠 3 + 𝑠𝑠 + 𝑠𝑠 + 𝑠𝑠 𝜏𝜏 𝜏𝜏 𝜏𝜏 �𝐾𝐾𝑝𝑝 + 𝐾𝐾 𝑠𝑠 𝑠𝑠 2 𝜏𝜏 + 𝛥𝛥𝛥𝛥 = 1 + בשלב זה בוצעה הנחה כי קבועי הבקרה 𝑃𝑃𝐾𝐾 ו 𝑉𝑉𝐾𝐾 שחושבו בחלק הקודם עדיין מתאימים למערכת למרות שעכשיו הפולינום מסדר 3ולא .2ההנחה סבירה מתוך המחשבה שקבועי הפרופורציה והנגזרת משפיעים בעיקר על זמן המעבר וקבוע האינטגרלי 𝐼𝐼𝐾𝐾 משפיע בעיקר על המצב המתמיד .ניתן להציג את הפולינום בצורה נוחה יותר לניתוח: 𝐼𝐼𝐾𝐾 ∙ 𝐾𝐾 𝛥𝛥𝑠𝑠 = 𝜏𝜏𝑠𝑠 3 + (1 + 𝐾𝐾 ∙ 𝐾𝐾𝑣𝑣 )𝑠𝑠 2 + 𝐾𝐾 ∙ 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑠𝑠 + 9 עתה יש למצוא את הטווח המותר ל 𝐼𝐼𝐾𝐾 בו המערכת עדיין תהיה יציבה .על מנת לבצע בדיקה זו ניתן להשתמש בקריטריון ראות' הורוביץ כפי שניתן לראות בטבלה .2 טבלה :2ראות' הורוביץ למערכת בשילוב בקר אינטגרלי 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾 s3 𝜏𝜏 𝐼𝐼𝐾𝐾𝐾𝐾 s2 𝑣𝑣𝐾𝐾𝐾𝐾 1 + 𝐼𝐼𝐾𝐾𝐾𝐾𝜏𝜏 (1 + 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑣𝑣 )𝐾𝐾𝐾𝐾𝑝𝑝 − 𝑣𝑣𝐾𝐾𝐾𝐾 1 + 0 0 s1 s0 𝐼𝐼𝐾𝐾𝐾𝐾 על מנת להבטיח יציבות של המערכת בחוג סגור יש צורך שהעמודה האמצעית בטבלה )עמודת ראות'( תהיה ללא החלפות סימן ,ובמקרה הזה חיובית .מתוך הקריטריון נקבל שתי משוואות שמהן אפשר לחלץ שני תנאים על 𝐼𝐼𝐾𝐾: 0 < 𝐾𝐾𝐼𝐼 < 91.493 ⟹ 𝑝𝑝𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝐾𝐾𝑣𝑣 𝐾𝐾𝑝𝑝 − 𝜏𝜏𝐾𝐾 < 𝐼𝐼𝐾𝐾 → > 0 𝐼𝐼𝐾𝐾𝐾𝐾𝜏𝜏(1+𝐾𝐾𝐾𝐾𝑣𝑣 )𝐾𝐾𝐾𝐾𝑝𝑝 − 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐼𝐼 > 0 → 𝐾𝐾𝐼𝐼 > 0 𝑣𝑣𝐾𝐾𝐾𝐾1+ )𝐼𝐼( )𝐼𝐼𝐼𝐼( כעת שהתחום של 𝐼𝐼𝐾𝐾 ידוע ,ניתן לבצע איטרציות של ניסוי ותהייה על הערך שלו על מנת להתכנס לשגיאה אפס במצב המתמיד .נעשו בסה"כ 3איטרציות ,ניתן לראות את תגובת המערכת לכניסת מדרגה באיור 5 ואת פרמטרי התכן של הבקרה בטבלה .3 איור :6תגובת המערכת לכניסת מדרגה לאחר הוספת בקר אינטגרלי. 10 מתוך תוצאות הניסוי לתגובת המערכת לכניסת מדרגה חולצו פרמטרי התכן של המערכת באותה דרך כפי שחולצו בסעיף הקודם של הניסוי ,ניתן לראות את הערכים בטבלה .3 טבלה :3ריכוז פרמטרי התכן של מערכת בקר אינטגרלי 𝑰𝑰𝑲𝑲 מספר בדיקה 1 𝑰𝑰𝑲𝑲 10 ]𝐬𝐬[ 𝑷𝑷𝒕𝒕 0.241 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒚𝒚 0.619728 ∞𝒚𝒚 0.406505 ]𝑶𝑶𝑶𝑶 [% 26.68% ]𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 [% 3.52% 2 15 0.236 0.682621 0.395767 36.38% 0.78% 3 15.05 0.236 0.688757 0.392699 37.70% 0.00% כפי שניתן לראות בטבלה ,עבור 𝐾𝐾𝐼𝐼 = 15.05התקבלה שגיאת עקיבה אפס ,אך ה𝑂𝑂𝑂𝑂 גדל ל ,37.7%אפילו יותר לעומת המערכת ללא בקר אינטגרלי ,שם ה 𝑂𝑂𝑂𝑂 היה . 28.52%הסיבה לגדילה ב 𝑂𝑂𝑂𝑂 היא שהבקר האינטגרלי סוכם את השגיאה כפונקציה של הזמן ומכניס תיקון למערכת באופן פרופורציונלי לסכום השגיאות .לפני הוספת הקר האינטגרלי ראינו כי תגובת זמן המעבר עומדת בדרישות ויש צורך רק לתקן את המצב המתמיד ,יתרה מכך ,כאשר נעשה חישוב לקבלת תחום הערכים עבור 𝐼𝐼𝐾𝐾 נעשה שימוש בהנחה כי הבקר האינטגרלי ישפיע רק על המצב המתמיד .בפועל הבקר סוכם את השגיאה החל מרגע הפעלת המערכת ,בגלל כניסת המדרגה יש שגיאה גדולה בהתחלה שנכנסת לסכימה של הבקר האינטגרלי וגורמת לו להגיב חזק בזמן המעבר .על מנת להצליח לצמצם את השגיאה במצב המתמיד בלי לפגוע במצב המעבר יש לשקול להפעיל את הבקר האינטגרלי רק שהשגיאה קטנה מערך סף מסוים ,וכך לא לסכום את השגיאות הגדולות בהתחלה, ובעצם להבטיח שהוא ישפיע רק על מצב מתמיד .לרעיון הזה נהוג לקרוא בספרות .[1]Integral windup .3.3חקירת בקר נגזרת בחלק זה של הניסוי קובעו קבועי הפרופורציה 𝑃𝑃𝐾𝐾 וקבוע האינטגרלי 𝐼𝐼𝐾𝐾 על הערכים המיטביים שנמצאו בחלקים הקודמים של הניסוי .לאחר מכן נבחנה תגובת המערכת לכניסת מדרגה עבור ערכים שונים של קבוע הנגזרת 𝑉𝑉𝐾𝐾 הנמצאים בערכים קרובים לערך המיטבי שהתקבל לפי הסימולציה .את תגובת המערכת לפי ערכים שונים של 𝑉𝑉𝐾𝐾 ניתן לראות באיור .7 11 איור :7תגובת המערכת לכניסת מדרגה עבור קבועי 𝑽𝑽𝑲𝑲 שונים. מתוך תגובת המערכת לכניסת מדרגה עבור קבועי 𝑉𝑉𝐾𝐾 שונים נלקחו פרמטרי התכן ,בדרך זהה לזו שהוצגה בחלק הראשון של הניסוי ,ניתן לראות את הערכים בטבלה .4 # טבלה :4ריכוז פרמטרי התכן של המערכת עבור קבועי 𝑽𝑽𝑲𝑲 שונים ]𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 [% 1 ] 𝑽𝑽𝑲𝑲[ -0.2 ]𝐬𝐬[ 𝑷𝑷𝒕𝒕 0.284 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒚𝒚 0.630466 ∞𝒚𝒚 0.400369 ]𝑶𝑶𝑶𝑶 [% 29.01% 1.95% 2 -0.24 0.261 0.644272 0.394233 31.77% 0.39% 3 -0.2873 0.236 0.688757 0.392699 37.70% 0.00% 4 -0.32 0.226 0.716369 0.401903 39.58% 2.34% 5 -0.36 0.219 0.730175 0.395767 42.41% 0.78% 6 -0.4 0.206 0.846757 0.397301 56.89% 1.17% על מנת לנתח את אופי המערכת ואת התגובה שלה לשינויים בקבוע הבקרה 𝑉𝑉𝐾𝐾 ,הופקו גרפים של הזמן לפיק הראשון 𝑃𝑃𝑡𝑡 ,ה𝑂𝑂𝑂𝑂 והשגיאה במצב המתמיד 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 כפונקציה של 𝑉𝑉𝐾𝐾 .כאשר הנקודה הכתומה מייצגת את ערך 𝑉𝑉𝐾𝐾 האופטימלי אשר נעשה בו שימוש בחלקים הקודמים בניסוי ואשר מניב תגובה ללא שגיאה במצב המתמיד. 12 באופן כללי וביישום סטנדרטי ,הבקר הדיפרנציאלי מבצע גזירה של אות השגיאה לפי הזמן ,ומכפיל את התוצאה בקבוע .בעצם בקר דיפרנציאלי הוא מתפקד כבקר פרופורציונלי לקצב השינוי של השגיאה .המטרה במהלך הזה היא להעריך כמה מהר הבקר מתקן את השגיאה ,ובמידה והתיקון מהיר מידיי ,להכניס ריסון למערכת ע"מ להימנע מ𝑂𝑂𝑂𝑂 ותנודות עד להתכנסות .אפשר לומר שבקר זה מנסה "לחזות" את העתיד ולמנוע התנהגות לא רצויה שעתידה לקרות. כאמור ,הבקר לא מתייחס לערך השגיאה ,אלא לקצב השינוי שלה .כלומר ,הוא מנסה 'לחזות' את התנהגות המערכת באמצעות שימוש בקצב השגיאה הנוכחי .מכיוון שאות הכניסה בניסוי הוא אות מדרגה מחזורי הנגזרת שלו היא פונקציית דלתא ,השווה לאפס בכל התחום למעט בנקודה בה המדרגה משנה ערך ,שם היא מתבדרת .לכן ,על מנת להימנע מהתבדרות הנגזרת ,במערכת הניסוי הבקר פועל ישירות על אות היציאה )במקרים בהם אות הכניסה קבוע בזמן נגזרתו מתאפסת כאשר גוזרים את השגיאה כולה ומתקבל אות הזהה לנגזרת של היציאה( .ניתן לראות מדיאגרמת הסימולציה )איור (1שהבקר הדיפרנציאלי מוגדר לעבוד במשוב שלילי ,ולכן כאשר היציאה משתנה במהירות )המערכת מתקרבת במהירות לערך הרצוי( ,האות הנכנס לבקר הדיפרנציאלי משתנה מהר ,ובשל הסימן ההפוך מקטין את אות הבקרה וממתן את השינוי ביציאה ,ובכך מרסן את תגובת המערכת. ניתן לומר שקביעת ערכו של 𝑉𝑉𝐾𝐾 היא דרישת על עוצמת בפעולה הבקר הדיפרנציאלי על תגובת המערכת וככל שהעוצמה גדולה יותר כך הריסון על המערכת משמעותי יותר .כפי שניתן גם לראות באיור 7ככל שהערך האלגברי של 𝑉𝑉𝐾𝐾 גדול יותר כך הריסון על המערכת גדול יותר -בהתבוננות על העקומה המתארת את תגובת המערכת עבור 𝐾𝐾𝑉𝑉 = −0.2הריסון הוא המשמעותי ביותר ואילו עבור 𝐾𝐾𝑉𝑉 = −0.4הריסון הוא החלש ביותר. להלן גרפים המתארים פרמטרי תכן כתלות ב 𝑉𝑉𝐾𝐾. 0.31 0.29 0.27 0.23 0.21 0.19 0.17 -0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 Kv איור :8הזמן לפיק ראשון 𝑷𝑷𝒕𝒕 כפונקציה של 𝑽𝑽𝑲𝑲 13 0.15 -0.15 ]t_p [s 0.25 באיור 8ניתן להבחין במגמת ירידה מונוטונית של הזמן לפיק ראשון ככל שערכו האלגברי של 𝑉𝑉𝐾𝐾 קטן .מגמה זו מתאימה לתכונותיו של הבקר הדיפרנציאלי – ככל שערכו של 𝑉𝑉𝐾𝐾 קטן יותר עוצמת הבקר והשפעתו על המערכת קטנה .הריסון על המערכת הנובע כתוצאה מהבקר פחות משמעותי מה שמאפשר הגעה לפיק ראשוני בזמן קצר יותר. 60.00% 55.00% 50.00% 40.00% 35.00% ]OS [% 45.00% 30.00% 25.00% -0.45 -0.4 -0.35 -0.3 Kv -0.25 -0.2 20.00% -0.15 איור :9ה OSכפונקציה של 𝑽𝑽𝑲𝑲 באיור 9נצפית מגמת עליה מונוטונית של ה 𝑂𝑂𝑂𝑂 עם הירידה ב 𝑉𝑉𝐾𝐾 .מגמה זו תואמת את התנהגות הבקר הדיפרנציאלי שכן עבור 𝑉𝑉𝐾𝐾 קטן יותר ,הבקר הדיפרנציאלי פועל בצורה יותר חלשה והדבר גורר שהריסון המתקבל קטן יותר במערכת ולכן הדבר גורם לתגובת יתר גדולה יותר. 2.50% 2.00% 1.00% ]ERROR [% 1.50% 0.50% -0.45 -0.4 -0.35 -0.25 -0.3 -0.2 0.00% -0.15 Kv איור :10השגיאה במצב המתמיד כפונקציה של 𝑽𝑽𝑲𝑲 עבור התגובה קשה לתאר מגמה קבועה או קשר חד משמעי מנתוני הגרף באיור .10אם כי ניתן לראות בבירור שעבור ערכים מעל ומתחת לערך 𝑉𝑉𝐾𝐾 האופטימלי קיימת שגיאה ואילו רק עבור 𝐾𝐾𝑉𝑉 = −0.2873מתקבלת תגובה ללא שגיאה. 14 .4מסקנות בפרק זה יוצגו המסקנות מניתוח התוצאות. מחלקו הניסוי של הניסוי ניתן להסיק כי מערכות מציאותיות אינן באמת לינאריות .השימוש במודל מערכות לינאריות הוא רק קירוב שמאפשר שימוש במגוון כלים כלי לשלוט במערכת ולבקר אותה .מסקנה זו מתבססת על העובדה שעבור ערכים שהביאו לתגובה ללא שגיאה בסימולציה לא הניבו את אותה תוצאה במערכת האמיתית והתקבלה שגיאה במצב המתמיד .עם זאת ,שימוש בערכי הסימולציה נותן נקודת התחלה טובה שממנה ניתן לנחש את הערכים בניסוי ותהייה עד להגעה לערך הרצוי .אמנם שינוי הבקר הפרופורציונלי הניב לבסוף שגיאה אפסית אך דרישות התכן האחרות נפגעו ועל כן יש גם לשנות את קבועי הבקר האחרים או להוסיף בקר אינטגרלי על שתוצאה רצויה. בחלקו השני של הניסוי בוצעה הוספה של בקר אינטגרלי למערכת .הבקר האינטגרלי סוכם את השגיאה כפונקציה של הזמן ומכניס תיקון למערכת באופן פרופורציונלי לסכום השגיאות .עובדה זו אכן השתקפה בתוצאות הניסוי שכן תוך שימוש בפרמטרי התכן המקוריים שהתקבלו מהסימולציה השגיאה אופסה. כלומר ניתן להסיק שישנן מספר דרכים לאפס שגיאה מה שנותן טווח פעולה לטיפול בדרישות התכן .את יישום הבקר האינטגרלי ניתן לבצע ביותר מדרך אחת כמו שתואר בפרק הרלוונטי בנושא ה Integral .windup חלקו השלישי של הניסוי עסק בחקר בקר הנגזרת .בפרק זה הוסק כי קביעת ערכו של 𝑉𝑉𝐾𝐾 מהווה דרישה על עוצמת בפעולה הבקר הדיפרנציאלי על תגובת המערכת וככל שהעוצמה גדולה יותר כך הריסון על המערכת משמעותי יותר .בנוסף גם קיים קשר חזק בין ערכו האלגברי של 𝑉𝑉𝐾𝐾 לבין תגובת היתר והזמן לפיק ראשון – תגובת המעבר .עם ירידה בערו של 𝑉𝑉𝐾𝐾 הזמן לפיק ראשון מתקצר ואילו תגובת היתר גדלה ניתן לנצל את ההבנה של קשרים אלו לביצוע איכותי יותר של ייצוב המערכת ומענה על דרישות התכן .בניגוד לפרמטרים אלו ,עבור השגיאה במצב מתמיד לא התקבלו נתונים המראים על קשר ברור ביחס ל 𝑉𝑉𝐾𝐾 ועל כן אין אפשרות להשליך מסקנות על המקרה הכללי. .5סיכום ניסוי זה עסק בייצוב ומענה על דרישות תכן של מערכת באמצעות בקר PDו .PIDהניסוי התחלק לשלושה חלקים כאשר כל חלק התמקד באלמנט אחר של הבקר .לאחר ביצוע סימולציה ממוחשבת נערך ניסוי על המערכת האמיתית והתקבלו תוצאות שונות מהניתוח התיאורטי ועל כן בוצעו שינויים של ערכי מקדמי הבקר על לקבלת תוצאה רצויה .לבסוף בוצע חקר מעמיק על הבקר הדיפרנציאלי. .6מקורות ] [1אתר "."control /https://control.com/technical-articles/intergral-windup-method-in-pid-control 15 16
