Prefacio
Este libro es el resultado de algunos años de trabajo, mucho esfuerzo y la experiencia lograda
en el dictado de asignaturas de la modalidad presencial y no presencial, que contienen los
conceptos que volcamos aquí y consisten básicamente en aquellos que se dictan en un primer
curso de Álgebra. Las asignaturas a las que nos referimos, se encuentran en el contexto de
carreras vinculadas con las Ciencias Económicas, por lo que hemos tratado de darle ese perfil a
los temas que desarrollamos. No obstante, también puede ser utilizado en otros cursos, ya que
los ejemplos y aplicaciones no se restringen únicamente a los relacionados con administración y
economía.
Al inicio de cada uno de los cinco capítulos, enunciamos un problema con alguna arista diferente
para incentivar el interés de los estudiantes y generar la necesidad de aprender herramientas
matemáticas nuevas que se requieren para resolverlos. Los temas se presentan con una
variedad de ejemplos resueltos y explicados en detalle, gráficas y comentarios en el margen
izquierdo que permiten relacionar los conceptos de los distintos capítulos y profundizar su
comprensión. Al final de cada sección hay un Repaso Teórico que consiste en una lista de
preguntas cuyo objetivo es resaltar los aspectos relevantes de lo estudiado y una gran cantidad
y variedad de ejercicios para lograr una práctica inmediata. Cuando culmina cada capítulo,
formulamos afirmaciones para ser respondidas por verdadero o falso y cuya justificación
requiere de un manejo más profundo del tema que la respuesta directa a una pregunta. La
misma idea se repite en los ejercicios de opciones múltiples, sólo que en este caso el alumno
debe elegir las alternativas correctas entre varias que se le presentan. Para culminar,
planteamos ejercicios de práctica de todos los temas, con relaciones entre ellos y aplicaciones.
Los ejercicios impares, todas las preguntas por verdadero o falso y de opciones múltiples tienen
resultados, por lo que pueden utilizarse como autoevaluaciones.
En otras palabras, se trata de enfrentar cada concepto, cada idea, desde diferentes frentes y
con recursos variados, de tal manera de cubrir las distintas formas de aprendizaje que tienen los
alumnos.
i
Prefacio
A los estudiantes
Es probable que algunos de los conceptos, como por ejemplo los relacionados con ecuaciones,
los hayas estudiado en otros cursos. En estos casos, debes poner atención a tu recuerdo e
incorporar técnicas de resolución más potentes para luego lograr relaciones con los nuevos
temas. En cambio, otros conceptos será la primera vez que debas enfrentarlos, por ejemplo el
álgebra de matrices que será novedosa para la gran mayoría. En este caso, el objetivo es
aprender a manejar datos bidimensionales, saber identificarlos y conocer las condiciones que
deben reunir para poder operar con ellos. En general, las técnicas operativas son fáciles, pero
requieren de cierto esfuerzo de memorización y gran cuidado para evitar errores; por ello, la
comprobación de resultados y el buen manejo de las operaciones entre números son
imprescindibles. Para ayudarte en este punto incluimos en el apéndice un resumen de números
reales, factorización, sumatorias y productorias.
Las matrices nos serán de utilidad para resolver sistemas de ecuaciones lineales que es otro de
los objetivos fundamentales a conseguir. Es claro que si los conceptos de matrices no están
seguros y arraigados en nuestra mente, nos encontraremos con dificultades para poder
aplicarlos en la búsqueda de soluciones de sistemas.
El libro culmina con una introducción a la Programación Lineal, que es una técnica para el
modelado de problemas matemáticos relacionados con la logística de la toma de decisiones. En
estos problemas se desea distribuir de forma óptima recurso escasos, concretamente se trata de
optimizar (maximizar o minimizar) un objetivo (beneficios, rendimientos, costos, etc.) sujeto a
una o más restricciones lineales (presupuestarias, humanas, de tiempo, de energía, etc.). Para la
resolución de los mismos se estudian distintos métodos y el capítulo se cierra con la utilización y
explicación de un software específico, de uso gratuito que permite de manera muy rápida y
sencilla arribar a las soluciones. Para el desarrollo de este tema se necesita un buen manejo de
los conceptos desarrollados en los capítulos previos.
ii
Prefacio
Es importante que sigas las indicaciones del libro, que realices las actividades y trabajes con los
aspectos teóricos. Estos últimos son los que te permitirán utilizar en el futuro lo estudiado como
herramientas para resolver o comprender nuevos temas, seguramente relacionados con la
carrera que estás estudiando.
No debes bajar los brazos, ni desistir rápidamente si algo no se comprende o un ejercicio no se
puede resolver inmediatamente. Debes revisar reiteradas veces la teoría y los ejemplos que te
damos. Un tema está entendido cuando podemos explicarlo o transmitirlo a otra persona, por lo
que te recomendamos, en lo posible, estudiar con un compañero. Se trata de intentar,
equivocarse, corregir, intentar nuevamente y trabajar hasta poder detectar cuáles son los
conceptos que no hemos comprendido suficientemente. Si esto se logra, gran parte del camino
está recorrido.
Lic. Silvia Cristina FERREYRA
Lic. Graciela Beatriz C. LERDA
iii
iv
Contenidos
Capítulo 1: Ecuaciones...........................................................................1
1.1 – IGUALDADES Y ECUACIONES ..................................................... 3
1.1.1 – Ecuaciones Equivalentes ........................................................... 7
1.2 – ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA ......................................... 10
1.2.1 – Ecuación Lineal ...................................................................... 11
1.2.2 – Ecuación Cuadrática ............................................................... 13
1.3 – GRÁFICA DE ECUACIONES EN EL PLANO .................................. 23
1.4 – ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS ............................... 26
1.4.1 – Ecuaciones de Rectas Horizontales y Verticales ......................... 27
1.4.2 – Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos.......................... 29
1.4.3 – Rectas Paralelas y Perpendiculares .......................................... 36
1.5 – ECUACIÓN LINEAL CON TRES O MAS INCÓGNITAS ................... 41
1.6 – APLICACIONES ........................................................................ 45
1.6.1 – Ecuación de Demanda ............................................................ 46
1.6.2 – Ecuación de Oferta................................................................. 49
REPASO TEÓRICO ............................................................................. 56
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO............................................................... 58
Capítulo 2: Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos
Incógnitas ........................................................................... 61
2.1– DEFINICIÓN Y SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES CON DOS INCÓGNITAS ............................................ 63
2.1.1 – Clasificación de los sistemas según sus soluciones .................... 65
2.2 – MÉTODO GRÁFICO DE RESOLUCIÓN ....................................... 70
2.3 – MÉTODOS ANALÍTICOS DE RESOLUCIÓN.................................. 74
2.3.1 – Método de Sustitución ............................................................ 75
2.3.2 – Método de Igualación ............................................................. 78
2.3.3 – Método de Reducción o Eliminación ......................................... 81
2.4 – APLICACIONES ........................................................................ 86
REPASO TEÓRICO ............................................................................. 98
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO............................................................. 102
v
Contenidos
Capítulo 3: Matrices y Determinantes ...................................... 105
3.1 – MATRICES..............................................................................108
3.1.1 – Igualdad de Matrices ............................................................ 111
3.1.2 – Algunas Matrices Especiales .................................................. 114
3.2 – OPERACIONES ENTRE MATRICES ............................................120
3.2.1 – Suma y Diferencia de Matrices .............................................. 120
3.2.2 – Producto de una Matriz por un Escalar ................................... 122
3.2.3 – Producto de Matrices............................................................ 124
3.2.3.1 – Producto de una matriz fila por una matriz columna .. 124
3.2.3.2 – Producto de una matriz fila F1xm por una matriz Bmxn . 126
3.2.3.3 – Producto de Apxm por una matriz Bmxn ...................... 129
3.3 – MATRICES ELEMENTALES Y REDUCIDAS..................................139
3.3.1 – Operaciones elementales por fila ........................................... 139
3.3.2 – Matrices Elementales............................................................ 140
3.3.3 – Matriz Reducida ................................................................... 142
3.4 – DETERMINANTE DE UNA MATRIZ ............................................150
3.4.1 – Determinante de una matriz de Orden n ................................ 153
3.5 – INVERSA DE MATRICES ...........................................................162
3.5.1 – Métodos Generales para Encontrar Inversas ........................... 166
3.5.1.1 – Cálculo de la Inversa por Cofactores ............................ 167
3.5.1.2 – Cálculo de la Inversa por Reducción......................... 171
REPASO TEÓRICO ............................................................................181
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO..............................................................183
Capítulo 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales ................... 186
4.1 – SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: Definición y Soluciones..189
4.2 – DISCUSIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES..........196
4.2.1 – Discusión usando Determinantes ........................................... 196
4.2.2 – Discusión por Teorema de Rouchè-Fröbenius.......................... 199
4.2.2.1 – Matriz Ampliada .................................................... 199
4.2.2.2 – Combinación Lineal – Dependencia e Independencia
Lineal.................................................................... 201
4.2.2.3 – Rango de una Matriz .............................................. 206
vi
Contenidos
4.3 – RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ..........................216
4.3.1 – Método de la Matriz Inversa .................................................. 217
4.3.2 – Regla de Cramer .................................................................. 220
4.3.3 – Método de Eliminación de Gauss ........................................... 222
4.3.4 – Método de Gauss – Jordan.................................................... 228
4.4 – APLICACIONES ........................................................................236
REPASO TEÓRICO ............................................................................251
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO..............................................................253
Capítulo 5: Inecuaciones Lineales.
Programación Lineal .................................................. 259
5.1 – INECUACIONES LINEALES.......................................................261
5.1.1 – Inecuaciones Lineales con una Incógnita................................ 263
5.1.2 – Inecuaciones Lineales con dos Incógnitas............................... 266
5.1.3 – Sistema de Inecuaciones ..................................................... 270
5.2 – PROGRAMACIÓN LINEAL.........................................................275
5.3 – MÉTODO GRÁFICO .................................................................287
5.4 – MÉTODO SIMPLEX ..................................................................299
5.4.1 – Problema de Máximo con restricciones de menor o igual ......... 304
5.4.2 – Variables Artificiales ............................................................. 320
5.4.3 – Problema de Minimización..................................................... 333
5.5 – RESOLUCIÓN CON COMPUTADORA .........................................346
REPASO TEÓRICO ............................................................................360
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO..............................................................364
Apéndices .................................................................................................. 371
APÉNDICE I: Números Reales ..................................................... 372
A-I.1– OPERACIONES CON NÚMEROS REALES....................................374
A-I.2– FRACCIONES ..........................................................................376
A-I.2.1– Suma y Resta .................................................................... 376
A-I.2.2– Multiplicación y División ...................................................... 377
vii
Contenidos
A-I.3– POTENCIAS ............................................................................379
A-I.3.1– Potencias con exponentes enteros ....................................... 379
A-I.3.2– Potencias con exponentes fraccionarios................................ 380
A-I.4– ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES ..........................................383
A-I.5–INTERVALOS DE RECTA REAL..................................................384
EJERCICIOS DEL APÉNDICE I ...........................................................387
APÉNDICE II: Factorización ...................................................... 388
A-II.1–FACTOR COMÚN ....................................................................388
A-II.2–FACTOR DE FACTOR ..............................................................389
A-II.3–DIFERENCIA DE CUADRADOS.................................................391
A-II.4–TRINOMIO CUADRADO PERFECTO .........................................392
A-II.5–CUATRINOMIO CUBO PERFECTO ............................................393
A-II.6–EXPRESIONES CUADRÁTICAS.................................................393
A-II.7–SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.............................................395
EJERCICIOS DEL APÉNDICE II ..........................................................397
APÉNDICE III: Sumatoria y Productoria ..................................... 398
A-III.1–SUMATORIA .........................................................................398
A-III.1.1– Propiedades..................................................................... 400
A-III.1.2– Fórmulas de Suma para Enteros Positivos .......................... 402
A-III.2–PRODUCTORIA .....................................................................404
A-III.2.1– Propiedades..................................................................... 405
EJERCICIOS DEL APÉNDICE III .........................................................407
Respuesta a Ejercicios Impares ............................................... 409
Índice Alfabético ................................................................................... 455
viii
Capítulo 1
Contenidos
1.1 – IGUALDADES Y ECUACIONES
1.1.1 – Ecuaciones Equivalentes
1.2 – ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
1.2.1 – Ecuación Lineal
1.2.2 – Ecuación Cuadrática
1.3 – GRÁFICA DE ECUACIONES EN EL PLANO
1.4 – ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS
1.4.1 – Ecuaciones de Rectas Horizontales y Verticales
1.4.2 – Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos
1.4.3 – Rectas Paralelas y Perpendiculares
1.5 – ECUACIÓN LINEAL CON TRES O MÁS INCÓGNITAS
1.6 – APLICACIONES
1.6.1 – Ecuación de Demanda
1.6.2 – Ecuación de Oferta
Objetivos
• Promover la adquisición de un conocimiento preciso de las características
algebraicas y gráficas de las ecuaciones.
• Facilitar la selección y aplicación de métodos adecuados para resolver
ecuaciones.
• Posibilitar la comprensión de la relación entre ecuaciones lineales y rectas.
• Realizar el análisis de los resultados obtenidos conforme a la teoría desarrollada
y a la situación planteada.
• Favorecer la transferencia de los conceptos teóricos al planteo y resolución de
problemas prácticos.
1
Problema
Yakov Isidorovich Perelman (1882 – 1942) fue un célebre matemático soviético que publicó
numerosas obras de divulgación científica. Creó su propia metodología la que le permitió
desarrollar nuevos materiales didácticos que resultaron accesibles a millones de personas. Sus
libros han tenido una tirada aproximada de 15 millones de ejemplares y se tradujeron a muchos
idiomas.
Entre sus principales obras se destaca el “Álgebra Recreativa”, que contiene una serie de
problemas que muestran sorprendentes aplicaciones y de la cual extrajimos el siguiente:
“Un problema indio puede ser presentado tal como fue traducido por Lébedev, autor del excelente
libro ¿Quién inventó el Álgebra?
Regocíjanse los monos
Divididos en dos bandos.
Su octava parte al cuadrado
En el bosque se solaza.
Con alegres gritos, doce
Atronando el campo están.
¿Sabes cuántos monos hay
en la manada, en total?”
Se puede resolver este problema intuitiva e informalmente, cuestión que seguramente no resultará
nada sencilla. Usted puede intentarlo. En cambio, nosotros lo vamos a resolver usando las
herramientas del Álgebra que desarrollamos en este capítulo. Mostramos los detalles de dicha
resolución al final y veremos cómo un problema aparentemente dificultoso se vuelve sencillo si
logramos expresarlo en el lenguaje algebraico.
2
2
1
CAPÍTULO
ECUACIONES
La matemática es una herramienta eficaz para resolver una gran variedad de problemas que se presentan en la vida
real. Para utilizarla, es indispensable poder representar dicho problema en el lenguaje de esta disciplina. Una buena
representación es aquella que contempla todas las propiedades o cualidades inherentes al mismo. Esto se conoce
como “modelación”.
Algunas de las modelaciones más sencillas involucran el concepto de ecuaciones, y para plantearlas se deben
definir las incógnitas, determinar los datos y vincularlos matemáticamente respetando las relaciones establecidas
inicialmente.
Las ecuaciones nos ayudan a dar respuesta a problemas tan disímiles como, entre otros, el de la manada de monos
seleccionado como inicio del capítulo y el de asesorar a una persona que dispone de cierto dinero para invertir
completamente en dos empresas del medio y desea obtener una cierta rentabilidad.
Por esta razón, en este capítulo realizamos en primer lugar, un estudio de las ecuaciones en forma general para
luego concentrarnos en las ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Esta última es conocida
también como ecuación cuadrática. Finalmente, nos dedicamos a analizar las ecuaciones lineales con dos
incógnitas, o ecuación de la recta, cuyo conjunto solución tiene una interpretación geométrica sencilla e importantes
propiedades.
Definimos algunos conceptos y otros los suponemos conocidos; de no ser así, le recomendamos repasarlos ya que
son de utilidad para la comprensión de los temas desarrollados en este libro.
1.1 – IGUALDADES y ECUACIONES
Una de las relaciones más utilizadas en matemática es la de igualdad “=”. Ésta juega un papel fundamental en el
estudio de ecuaciones y sistemas de ecuaciones que desarrollamos más adelante. Iniciamos nuestro estudio
presentando algunos tipos de expresiones en las que intervienen igualdades.
Las siguientes expresiones indican igualdades entre dos cantidades numéricas
(
16
4
2
– 1) = 9
1=7
3
Una expresión
algebraica es una
combinación de números
y letras (que
representan números),
relacionados por las
operaciones suma resta,
multiplicación,
potenciación o
radicación.
Mientras que las siguientes, indican igualdades entre expresiones algebraicas,
(x – 3) 2 = x 2 – 6x + 9
(x –1) (x + 2) = 2x + 4
x = x + 10
denominadas igualdades con literales.
Una igualdad puede ser: siempre falsa, siempre verdadera o verdadera para algunos
valores y falsa para otros. Veamos cada una de las posibilidades:
o Siempre falsa como en el caso de la igualdad de literales x = x + 10 , ya que
simplificando obtenemos 0 = 10. Esto es una contradicción.
Contradicción
Una contradicción es una igualdad que nunca se verifica, es decir, resulta falsa para
cualquier valor de las incógnitas (letras) que en ella intervienen.
o Siempre verdadera como por ejemplo (x – 3) 2 = x 2 – 6x + 9 , es decir, válida
para todo valor de x, a las que llamaremos identidad.
Identidad
Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor numérico de las
variables que intervienen en ella, es decir, es siempre verdadera.
o Verdadera para algunos valores, mientras que para otros valores falsa, como lo es
(x –1) (x + 2) = 2x+4 . Esta igualdad resulta verdadera para x = 3 y para x = –2
y falsa para cualquier otro valor de x.
Podemos verificar estas afirmaciones reemplazando:
Si x = 3
Si x = – 2
(3 –1) (3 + 2)
=
2 (3) + 4
(2)(5)
=
6+4
10
=
10
(–2 – 1)(– 2 + 2)
=
2(– 2 ) + 4
(–3) (0) = – 4 + 4
0
Si x = 0
(0 –1) (0 + 2)
=
0
= 2 (0) + 4
(–1) (2) = 4
–2
= 4
la cual es falsa
De la misma manera que para x = 0, si reemplazamos la incógnita x por cualquier otro
valor que no sea 3 ni – 2, obtendremos como resultado una contradicción.
Estamos ahora en condiciones de definir formalmente los conceptos hasta aquí vistos.
4
4
Ecuación
Incógnita de una
ecuación
Definición 1.1: Una ecuación es un enunciado que declara que dos expresiones
algebraicas son iguales. Las dos expresiones que conforman la
ecuación se denominan miembros y están separadas por el signo
de igualdad.
El valor o los valores desconocidos de esa igualdad (las letras) se llaman incógnitas o
variables. Las letras usadas comúnmente para designarlas son las últimas del
abecedario es decir, w, x, y , z, t , etc. A los números que intervienen se los llama
constantes. Por ejemplo, en la igualdad x + 5y = 1 las incógnitas son x e y, las
constantes son 5 y 1 .
Término de una
ecuación
Un término de una ecuación es una combinación de números y / o letras unidos por
operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: w y 1 son términos de la
expresión algebraica w + 1 y 5x2, 3x3y3z son los términos de la expresión algebraica
5x2 + 3x3y3z.
Factor de una ecuación
Un factor es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: tanto 5 como
x2, son factores del término 5x2 de la expresión algebraica 5x2 + 3x3 y3z.
Elegido un factor, un coeficiente es lo que resta del término. Por ejemplo: 3 es el
coeficiente de x3 y3 z en la expresión algebraica anterior, x3 es el coeficiente de 3 y3 z, z
es el coeficiente de 3x3 y3 y así sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le
llama coeficiente numérico.
Se dice que dos términos son similares o semejantes cuando sólo se diferencian en el
coeficiente numérico; por ejemplo, el término 2 x2 z4 es semejante a 4 x2 z4.
Un concepto asociado a aquellas ecuaciones determinadas por expresiones algebraicas
cuyas variables están elevadas a un entero positivo, es el de grado. Para comprenderlo,
veamos algunas definiciones previas.
Grado de una variable y
de una constante.
Grado de un término
Grado de una ecuación
El grado de una variable o incógnita está determinado por el entero positivo al cual
está elevada la incógnita. Por ejemplo: x4 es de grado 4 mientras que w15 es de grado
15. El grado de una constante es cero.
El grado de un término está definido como la suma de los exponentes, enteros
positivos, a los cuales están elevadas las variables o incógnitas, por ejemplo: el grado
del término 3x3 y3 z es 7.
Definición 1.2: El grado de una ecuación está determinado por el grado del
término de mayor grado que en ella aparezca.
Note: No se define grado de una ecuación si los exponentes de las variables o
incógnitas no son todos enteros positivos.
5
n Ejemplo 1.1:
a) x + y = 3
es una ecuación con dos incógnitas, x e y, de grado 1 o
lineal.
b) x 2 – 2x + 3 = 0 es una ecuación con una incógnita, x, de grado 2 o
cuadrática.
c) x 3 + 3 x = 1
es una ecuación con una incógnita, x, de grado 3 o
cúbica.
d) – y 2 x + z 4 = 2x es una ecuación con tres incógnitas, x, y, z, de grado 4.
Observe que el segundo término es aquel que determina
el grado de la ecuación ya que el primer término es de
grado 3.
Recuerde: que como m
y n son enteros positivos
(a
m n
)
=a
e) x y + 2y = x
es una ecuación con dos incógnitas, x e y, de grado 2,
pues el primer término, es el producto de las incógnitas x
e y, que determina el grado de la ecuación como
resultado de sumar los exponentes de las mismas.
f)
es una ecuación con una incógnita x en la que no
podemos definir su grado.
x =4
g) (x2 y z3)3 + y5 = 1 es una ecuación con tres incógnitas, x, y, z de grado 18.
¿Por qué?
m. n
Otro concepto importante, vinculado a las ecuaciones en general, es el de solución.
Conjunto solución
Definición 1.3: El Conjunto Solución de una ecuación es el conjunto formado
por todos los valores de las incógnitas que verifican la igualdad
inicial, es decir, que la hacen verdadera.
A cada uno de estos valores se los llama Solución de la
ecuación. Se dice también que cada uno de ellos satisface la
ecuación.
Solución
Nuestro objetivo es resolver una ecuación, es decir, encontrar todas sus soluciones o
lo que es lo mismo, el Conjunto Solución.
n Ejemplo 1.2:
∀ a, b ∈ ¡ se lee: para todo a y
b que pertenecen a los números
reales. Significa que a y b pueden
tomar cualquier valor real.
6
a) la ecuación (x + 2)2 = 0
tiene por solución
b) la ecuación x = – x y
tiene por solución (x, y) = (0, b) y
(x, y) = (a, –1) ∀ a, b ∈ ¡ .
x = –2
6
c) la ecuación (x – 2)2 + 4x – 4 = x2 tiene por solución todo x ∈ ¡ , es decir
que cualquier número real la verifica.
Tenga presente que y no
puede tomar el valor – 4 ya
que no existe la división por
cero
y
d) la ecuación
y+4
=1
no tiene solución.
Para saber si un conjunto de valores de las incógnitas es solución de una ecuación,
basta con reemplazarlos en dicha ecuación y comprobar que la verifica. Ud. puede
verificar las soluciones dadas en el ejemplo 1.2 reemplazando en la ecuación
correspondiente.
Pero, ¿cómo hacemos para encontrar el Conjunto Solución? El siguiente concepto es
muy importante para responder esta pregunta.
1.1.1 - Ecuaciones Equivalentes
Ecuaciones Equivalentes
Definición 1.4: Dos o más ecuaciones son equivalentes si y sólo si tienen las
mismas soluciones.
Las operaciones permitidas para encontrar una ecuación equivalente a otra dada son:
Operaciones que
preservan soluciones
1. Sumar (o restar) a ambos miembros de una ecuación un número o una expresión
que contiene la misma incógnita.
n Ejemplo 1.3:
3x + 5 = x – 2 es equivalente a la ecuación 3x – x = –2 – 5; es decir, hemos
restado a ambos miembros x (para pasarla al primer miembro) y luego restado 5
(para pasarlo al segundo miembro).
2. Reemplazar cualquiera de los miembros de una ecuación o términos contenidos en
ellos, por una expresión igual.
n Ejemplo 1.4:
En el ejemplo anterior podemos reemplazar en el primer miembro 3x – x por la
expresión 2x y en el segundo miembro –2 – 5 por –7 . Obteniendo así, la
ecuación equivalente 2x = –7
7
3. Multiplicar (o dividir) ambos miembros de una ecuación por un número distinto de
cero.
n Ejemplo 1.5:
En la ecuación anterior, 2x= – 7 , podemos dividir ambos miembros por 2, y
obtenemos la ecuación equivalente x =-7/2. En esta ecuación es evidente que
la única solución es x = –7/2.
Como esta ecuación es equivalente a 3x + 5 = x – 2 , la solución de esta última
también es x = –7/2 .
n Ejemplo 1.6:
Apliquemos las operaciones permitidas para encontrar una ecuación equivalente
adecuada a la ecuación del apartado c) del ejemplo 1.2, que nos permita hallar
su conjunto solución.
Cuadrado de un binomio
2
2
(a + b) = a + 2ab + b
2
La ecuación del apartado c) es (x – 2)2 + 4x – 4 = x2. En primer lugar
resolvemos el cuadrado del binomio, es decir, reemplazamos por una expresión
igual. De esta manera obtenemos (x2 – 4x + 4) + 4x – 4 = x2. Sumando los
términos semejantes llegamos a la ecuación equivalente x2 = x2 que resulta ser
una identidad, ya que es verdadera para cualquier valor real. En otras palabras,
la solución de esta ecuación es el conjunto de números reales, y como es
equivalente a la ecuación original concluimos que ésta también es válida para
todo x ∈ ¡ .
Existen operaciones que pueden producir ecuaciones no equivalentes, como por
ejemplo: multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por una expresión que
contenga la o las variables, elevar a un exponente ambos miembros, entre otras.
Recuerde:
a.b = 0 si y sólo si
a = 0 o b = 0.
Por ejemplo, la ecuación x (x – 1) = 0 tiene como solución x = 0 y x = 1. Si dividimos
ambos miembros por x, es decir, una expresión que contiene la incógnita, obtenemos la
ecuación (x – 1) = 0 cuya única solución es x = 1. Como estas ecuaciones no tienen
las mismas soluciones, entonces no son equivalentes.
La importancia de trabajar con ecuaciones equivalentes consiste en que nos permiten
pasar de una ecuación complicada en la que no podemos apreciar su solución, a otra
tan sencilla que las pone en evidencia. De aquí en más usaremos las operaciones
permitidas a la hora de buscar las soluciones.
8
8
REPASO TEÓRICO – Sección 1.1
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Qué es una expresión algebraica?
6. ¿Qué significa resolver una ecuación?
2. ¿Qué es una ecuación? Dé dos ejemplos de
ecuaciones de grado 3 con dos incógnitas.
7. ¿Cómo podemos comprobar que un conjunto de
valores de las incógnitas es solución de una
ecuación?
3. ¿Cómo se determina el grado de una ecuación?
Ejemplifique.
8. ¿Cuándo dos ecuaciones son equivalentes?
4. ¿A qué tipo de ecuaciones se las llama
identidades? ¿Y contradicciones?
9. ¿Cuáles son las operaciones que garantizan
ecuaciones equivalentes?
5. Dé un ejemplo de una contradicción y de una
identidad.
10. Enumere al menos dos operaciones que no
producen ecuaciones equivalentes. Dé un ejemplo.
EJERCICIOS – Sección 1. 1
Indique en las siguientes ecuaciones, las incógnitas
que intervienen y de ser posible, su grado.
16.
x -1
2
=3x
ì ü
ïîï 5 ïïþ
S = ïí- 1 ïý
1.
x 3 y + 2x – z = w
17. x y + y = y S = {(x, y)=(0, b) con b∈ ¡ }
2.
x + y + w = 2z
3.
xy=4
Encuentre, al menos, una solución de las siguientes
ecuaciones:
4.
5x + 7 = 0
18. (x + 2) (x – y) = 0
5.
( x + 3 ) ( y – 5) = 3
( z + 2) 3 + z = 2
19. x y = 2
6.
2
7.
z
8.
3
9.
x–1 y + w–3 = 4
20. 5x + y = 3
+ 3z = 3
21. 3 z + 2 = 0
x + 2xy – 8 = 0
22. z 4 + z 2 = 0
2
23. x + y + z = – 1
4
10.
xy w + 4z = 2
11.
4x
=3
x+1
Para cada una de las siguientes ecuaciones,
encuentre una ecuación equivalente a ella.
24. 2x + 3y = 6
12. x3 + 3 x 4 = 0
25. 2x + 10 = 0
13. x 4 + x 3 y2 = 0
26. x + 2 = 0
Verifique si el conjunto S es o no solución de la
ecuación correspondiente.
14. x2 – 4 = 0
S = {-2 , 2 }
15. x2 + 4 = 0
S = {-2 , 2 }
27. z + y = 3
28. ¿Es 6x + z = 4y equivalente a la ecuación
(1/2) z – 2y + 3x = 0 ? Justifique, indicando la
o las operaciones utilizadas para pasar de la
primera a la segunda ecuación.
9
1.2 – ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
En la sección anterior vimos los conceptos relacionados con las ecuaciones en general. A partir de ahora,
estudiaremos algunos casos particulares que aparecerán con frecuencia en los capítulos siguientes. Comenzamos
con las ecuaciones con una incógnita.
Expresión general de una
ecuación con una
incógnita
Grado 0 significa que la
variable está elevada a la
potencia cero. X0 = 1
Ecuación lineal
Ecuación cuadrática
Si el coeficiente a 2 = 0
la ecuación sería lineal.
Ecuación cúbica
Sean a0, a1, a 2,..., a n números reales, la expresión general de una ecuación de grado
n con una incógnita es:
an xn + an–-1 xn–1 + an–2 xn–2 + an–3 xn–3 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 con an ≠ 0
El término a0 se llama término independiente o de grado cero (no incluye la
incógnita), y los restantes ai para i = 1,...,n, son los coeficientes del término de
grado i.
Si n = 1 (mayor exponente al cual está elevada la incógnita x) y su coeficiente es
distinto de cero, se dirá que la ecuación es lineal o de primer grado (a1 x + a0 = 0,
a1 ≠ 0).
Si n = 2 (mayor exponente al cual está elevada x) y su coeficiente es distinto de cero,
se dirá que la ecuación es cuadrática o de segundo grado (a2 x 2 + a1 x + a0 = 0,
a2 ≠ 0).
Si n = 3 (mayor exponente al cual está elevada x) y su coeficiente es distinto de cero,
se dirá que la ecuación es cúbica o de tercer grado (a3 x 3 + a2 x 2 + a1x + a0 = 0,
a3 ≠ 0), etc.
n Ejemplo 1.7:
La ecuación 2x2 + 3x – 2 = 0 es una ecuación cuadrática completa ya que
todos sus coeficientes son distintos de cero. Al coeficiente del término cuadrático
se lo suele llamar coeficiente principal o coeficiente cuadrático y al del término de
grado 1, coeficiente lineal.
Las ecuaciones 2x2 – 8 = 0, 3x2 – x = 0 y 4x2 = 0 son cuadráticas
incompletas ya que en la primera el coeficiente del término de grado 1 es cero,
en la segunda el término independiente es cero y en la tercera, tanto el
coeficiente del término lineal como el independiente son cero.
Las ecuaciones –x 3 + 4x 2 – 3x + 7 = 0, –x3 + 2x + 1 = 0, x3– 2x 2 = 0,
x3 + 8 = 0 son algunos ejemplos de ecuaciones cúbicas. La primera es
completa y las restantes no.
En la próxima sección continuamos con el estudio de las ecuaciones con una incógnita
y profundizamos los casos particulares de la ecuación lineal y la ecuación cuadrática.
10
10
1.2.1 - Ecuación Lineal
La expresión general de una ecuación lineal con una incógnita es ax + b = 0 , con
a ≠ 0, a, b ∈ ¡ .
Solución de una
ecuación lineal
Resolver una ecuación lineal, es encontrar el o los valores de x tales que verifican la
b
a
igualdad, esto es, x = − .
Para comprobarlo usamos las operaciones permitidas para obtener una ecuación
equivalente a la dada:
1. Sumamos (–b) a ambos miembros de la igualdad ax + b = 0, obteniendo ax =– b.
2. Dividimos por (a) ambos miembros de la igualdad anterior (recordemos que a ≠ 0).
De esta forma obtenemos x = –
b
a
En general, para resolver ecuaciones lineales con una incógnita, podemos proceder de
la siguiente manera:
Pasos a seguir para
resolver una ecuación
lineal con una
incógnita
1. Aplicar la propiedad distributiva con el fin de eliminar los paréntesis, si los hubiera.
2. Agrupar todos los términos numéricos en un miembro de la ecuación y todos los
términos que contengan la variable o incógnita en el otro.
3. Sumar todos los términos semejantes para obtener una ecuación con un solo
término en cada miembro.
4. Multiplicar o dividir por una cantidad conveniente distinta de cero ambos miembros,
para que quede la variable despejada.
Note: Las ecuaciones lineales con una sola incógnita tienen exactamente una única
solución.
n Ejemplo 1.8:
a) Encontremos todos los valores de x tales que satisfacen 2x + 5 = 0.
Aplicando las operaciones permitidas y despejando, obtenemos que la única
5
2
solución para la ecuación dada es x = – .
11
b) Busquemos todos los valores de x que verifiquen la ecuación 2(3x–4)+1= 4x.
En primer lugar, notemos que es una ecuación lineal con una incógnita. Luego,
si seguimos los pasos indicados para resolver una ecuación de este tipo
tenemos:
Aplicando propiedad distributiva
6x – 8 + 1 = 4x
Agrupando términos semejantes
6x – 4x = 8 – 1
Sumando términos semejantes
2x = 7
Despejando
x =
7
2
Es importante proponerse como objetivo aprender a plantear matemáticamente
problemas concretos en forma de ecuaciones y no solamente aprender a resolverlas. La
formulación del problema en términos matemáticos, es decir la modelación, es tan
valiosa como su resolución. Para lograr esto debemos detectar la incógnita, los datos y
las relaciones entre ellos.
Veamos la forma de trabajo en el siguiente ejemplo.
n Ejemplo 1.9:
Un comerciante establece una ganancia del 30% en todas las ventas de un
cierto producto. Si el cliente debe pagar el 16% de IVA, cuánto le cuesta al
comerciante dicho producto, sabiendo que el precio de venta al público es
$ 1508.
Definición de Incógnitas
Nuestro objetivo es encontrar el precio que paga el comerciante por dicho
producto, por lo tanto nuestra incógnita es:
x = precio que el comerciante paga por el producto.
Planteo del Problema
Los datos que obtenemos del enunciado del problema son: el 30% de ganancia
establecido por el comerciante, el 16% del IVA que paga el cliente y los $ 1508
que representan el precio final del producto.
$0.16 es el IVA que se pagará
por unidad monetaria (un peso).
Por lo tanto, $ 1.16 representa
el valor de $1 más $0.16
correspondiente al IVA.
Si x es lo que paga el comerciante, (x + 0.3 x) es el valor del producto incluida
la ganancia del comerciante. Sobre esto, el cliente paga el 16%, por lo que el
precio final del mismo es (x + 0.3x)1.16. Por lo tanto, la ecuación que
obtenemos es:
(x + 0.3 x) 1.16 = 1508
1212
Solución
Resolviendo
1.3 x = 1300
x = 1000
Conclusión: el comerciante paga $1000 por dicho producto.
1.2.2 - Ecuación Cuadrática
Como vimos en la sección 1.2, la expresión general de una ecuación cuadrática es:
ax 2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.
Trinomio cuadrado
perfecto:
2
2
2
m + 2mn +n =(m + n)
Recuerde que la
división es factible ya
que sabemos que a no
es cero.
Considere que el doble
b
producto es 2xn = x
a
despejando, n =
b
2a
Para encontrar la o las soluciones en forma general, debemos expresar el primer
miembro de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Para ello seguimos un
procedimiento llamado completar cuadrado.
Primero dividimos ambos miembros de la ecuación por el coeficiente cuadrático a.
(x 2 +
b
x+
a
c
)= 0
a
Suponemos que una de las bases de los cuadrados es x, pues aparece en el desarrollo
x2, y que el doble producto de las bases es el segundo término, ya que incluye a x, por
lo que
b
es la otra base. Nos está faltando el cuadrado de la segunda base.
2a
2
 b 
 lo que no altera la ecuación
 2a 
Para ello, sumamos y restamos al primer miembro 
original, ya que es lo mismo que sumar cero.
2
2
(x 2 +
b
c  b 
 b 
+
−   )=0
x+
a
a  2a 
 2a 
(x 2 +
b
c
b 
 b 
−   )=0
x +  +
a
a
 2a 
 2a 
2
2
A los tres primeros términos los expresamos como un trinomio cuadrado perfecto:
2

 c
b 
b2  
 x +
−
 = 0
 + 
2a 
4a2  

a
operamos en el segundo término:
Sacamos común
2
denominador 4 a
2
 4 a c − b2 
b 

+
x
+

 = 0

2a 

4a2


13
realizamos pasaje de miembro con el objetivo de despejar x:
Note: Se ha cambiado
los signos de ambos
términos, en el
numerador del segundo
miembro.
2
b 

 x + 2a 


 b2 − 4 a c 
= 


4a2


al despejar el cuadrado en el primer miembro consideramos a la raíz con el doble signo.
x+
b2 − 4 a c
b
= ±
2a
4a2
por lo tanto
x= −
b2 − 4 a c
b
±
2a
4a2
distribuimos luego, la raíz respecto del cociente en el segundo término y operando
convenientem ente, obtenemos:
x=
b2 − 4 a c
−b ±
2a
de esta última igualdad obtenemos los valores para la variable x
x1 =
−b+
b2 − 4 a c
2a
y
x2 =
b2 − 4 a c
−b −
2a
que solucionan la ecuación original.
A estas soluciones se las llama ceros o raíces de la ecuación.
Entonces, no es necesario completar cuadrados cada vez que queremos encontrar la
solución de una ecuación cuadrática, basta con utilizar la fórmula encontrada.
Ahora nos preguntamos, ¿qué tipo de soluciones puede tener una ecuación cuadrática?
Discriminante
Soluciones de una
ecuación cuadrática
Dependiendo del valor que asuma el discriminante, ∆ = b2 – 4ac, la ecuación tiene:
1. Dos soluciones reales distintas
si
∆>0
2. Dos soluciones reales iguales
si
∆=0
3. Dos soluciones complejas conjugadas
si
∆ < 0.
(no hay soluciones reales)
Atención: Si consideramos que x1 y x2 son las soluciones de la ecuación, entonces
Expresión factoreada de
la ecuación de segundo
grado
14
podemos expresarla como producto de factores:
ax 2 + bx + c = a (x–x1) (x–x2)
14
n Ejemplo 1.10:
Busquemos todas las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) x2 – 4 = 0
b) 3x2 + 12 x = 0
c) x2 – 2x = –1
d) 2x2 – 3x + 1 = 0
e) x2 + 2 = – x
Solución
Una ecuación cuadrática es
incompleta, si el coeficiente
lineal o el término
independiente o ambos, son
cero.
a) Como la ecuación x2 – 4= 0 es una cuadrática incompleta o bien podemos
usar la fórmula dada o bien podemos expresar el primer miembro de dicha
ecuación como una diferencia de cuadrados.
Utilicemos primero la fórmula
−b ±
b2 − 4 a c
2a
En nuestra ecuación, a = 1, b = 0 y c = -4 . Si reemplazamos estos valores
Como solamente son dos las
soluciones, usamos las llaves
para dar el conjunto solución
por extensión (es decir,
enumerando sus elementos)
±
− 4 (1)( − 4)
± 16
±4
=
=
=± 2
2
2
2
Por lo que, su conjunto solución es S = {2, –2}
• Verifique que estos valores son solución, reemplazándolos en la ecuación
dada.
El discriminante es positivo, ∆= 16, por lo que obtuvimos como solución dos
raíces reales distintas.
Diferencia de cuadrados
2
2
(a – b ) = (a – b) (a + b)
Veamos, el otro procedimiento:
x 2 – 4 = ( x – 2) (x + 2)
(x – 2) (x + 2) = 0 ,
Propiedad de números
reales:
a.b = 0 sii a = 0 o b = 0
ya que es una diferencia de cuadrados
recordando la propiedad de números que indica, que
un producto es cero si al menos alguno de sus
factores es cero, entonces
o bien
x – 2=0
de la cual obtenemos
x= 2
o bien
x+ 2=0
de la cual obtenemos
x = –2
Observe que por ambos caminos, logramos el mismo conjunto solución
S = {2, –2}.
15
b) Nuevamente como la ecuación 3x2 + 12x = 0 , es una cuadrática
incompleta, ya que el término independiente es cero, o bien podemos usar la
fórmula dada o bien podemos expresar el primer miembro de dicha ecuación
como una expresión factoreada.
Primeramente usamos la fórmula
Podemos simplificar la raíz
−b ±
b2 − 4 a c
2a
, que en nuestro caso
a = 3 , b = 12 y c = 0, reemplazando
2
con el cuadrado ( 12) ya
que la base es positiva.
Caso contrario, se debe
realizar primero el cuadrado
y luego sacar la raíz.
Recuerde: Cero dividido por
un número distinto de cero,
es cero.
− 12 ±
− 12 ± (12)2
(12) 2 − 4 (3) (0)
− 12 ± 12
=
=
2(3)
6
6
donde:
x1 =
− 12 + 12
0
=
=
6
6
0
x2 =
− 12 − 12
24
= −
6
6
=– 4
Entonces, nuestro conjunto solución es S = {–4, 0}
Otra forma de resolverla es sacar factor común 3x de ambos términos del
primer miembro:
3x 2 + 12 x = 3x (x + 4) = 0,
Utilizamos la misma propiedad que en el ejemplo anterior:
o bien 3x = 0 o bien x + 4 = 0.
Si 3x = 0, como 3 no es cero, entonces x = 0
Si x + 4 = 0, despejando x = – 4.
Por lo cual, las soluciones de la ecuación son S = { 0, – 4}.
Recuerde: La fórmula que
nos permite encontrar las
soluciones de la cuadrática,
sólo es aplicable cuando está
igualada a cero.
c) En este caso debemos rescribir la ecuación x2 – 2x = – 1, pasando –1 al
primer miembro, como x2 – 2x + 1= 0. La ecuación cuadrática es completa.
Para encontrar su solución, como no es posible despejar las incógnitas, nos
valemos de la fórmula:
−b ±
Como b = – 2, entonces
–b=2
− ( − 2) ±
b2 − 4 a c
, con a = 1 , b = -2 y c = 1
2a
( − 2) 2 − 4 (1)(1)
2 ± 4 −4
2±0
=
=
=1
2
2
2
El discriminante es cero por lo que las raíces o soluciones de la ecuación
son iguales y el conjunto solución de esta ecuación es S = {1}
Podríamos haber usado el cuadrado de un binomio, propiedad que nos indica
x2 – 2x + 1 = (x–1)2 = 0 a partir de la cual obtenemos las mismas
soluciones que antes, para nuestro problema inicial.
16
16
d) Resolvamos la ecuación 2x 2 – 3x + 1 = 0. Esta es completa y los valores
para sus coeficientes son a = 2 , b = – 3 y c = 1, entonces
−b ±
3 ±
9 − 8
=
4
4
3 ±
x1=
( − 3) 2 − 4 (2) (1)
− ( − 3) ±
b2 − 4 a c
=
2a
3+1
4
=1
y
2 (2)
1
=
3 ± 1
x2 =
4
3 −1
4
=
2
4
=
1
2
El conjunto solución es: S = {1 , 1 }
2
e) Reescribimos x2 + 2 = – x como x2 + x + 2 = 0. Los coefic ientes son
a = 1, b = 1 y c = 2.
Recordemos que no existe
un número real tal que al
elevarlo al cuadrado nos dé
por resultado un número
negativo.
−b ±
−1 ±
b2 − 4 a c
=
2a
12 − 4 (1) (2)
2(1)
=
−1 ±
−8
2
En este caso el discriminante es negativo, ∆ = –8, lo cual nos indica que la
ecuación no tiene solución real.
n Ejemplo 1.11:
Dada la ecuación x 2 – k x + 4 = 3, queremos encontrar los valores de k2 tales
que la ecuación:
a) tenga única solución (dos reales iguales).
b) tenga dos soluciones reales distintas.
c) carezca de solución real.
Solución
Como ya sabemos, la cantidad de soluciones dependerá del valor del
discriminante de la ecuación ∆ = k 2 – 4 .
si ∆ = k2 – 4 = 0
tiene única solución y será para
k2 = 4.
si ∆ = k2 – 4 > 0
tiene dos soluciones y será para
k2 > 4 .
si ∆ = k2 – 4 < 0
no tiene soluciones reales y será para todo valor k2 < 4 .
17
n Ejemplo 1.12:
La expresión general de la
bicuadrática es:
4
a, b, c ∈ ¡.
(*)
8
2
ax + bx + c = 0
a≠0
9
2m4 – 5 m2 = –
Resuelva la ecuación
Solución
Si bien la ecuación presentada no es lineal ni cuadrática sino que es de grado 4,
la podemos transformar en una cuadrática realizando una sustitución de la forma
x = m2.
Reemplazando en (*) obtenemos:
2x2 – 5x = –
9
8
2x2–5x+
o su equivalente
9
8
= 0.
5 ±
Las soluciones las encontramos a través de
25 − 4 . 2 .
4
x1 =
5±
25 − 9
4
=
5±
16
4
=
9
8
5±4
4
x2 =
5+4
4
5 − 4
4
9
=
4
=
1
4
2
pero x = m , entonces:
m1 =
x = m2 =
9
4
y
m3 =
1
4
=
4
3
2
⇒
m2 = –
x = m2 =
9
9
4
1
=–
=
4
3
2
1
2
⇒
m4 = –
1
4
= –
1
2
Por lo que las soluciones de la ecuación bicuadrática son m1 = 3/2, m2 = –3/2,
m3 = 1/2 y m4 = –1/2.
• Compruebe, reemplazando en la ecuación original, que dichos valores
verifican la igualdad.
18
Utilicemos los conceptos aprendidos en esta sección para resolver dos problemas de
aplicación.
n Ejemplo 1.13:
a) Un fabricante produce réplicas del Obelisco. El determina que la ganancia
diaria en pesos al producir n réplicas, está expresada por la ecuación
g = n 2 – 20n . ¿Cuántas réplicas del Obelisco debe fabricar para que sus
ganancias diarias sean de $ 156?
Definición de Incógnitas
n: Cantidad de réplicas a producir para obtener la ganancia deseada.
Planteo del Problema
Para encontrar la cantidad de réplicas que debe producir para obtener una
ganancia diaria de $156, debemos igualar la ecuación de ganancias a este
importe, esto es:
n2 – 20 n = 156
Solución
Nos resta ahora encontrar las cantidades n, que satisfacen la ecuación
n 2 – 20 n – 156 = 0
Usamos la fórmula general para encontrar las soluciones de una ecuación de
segundo grado,
2
n=
Observe:
Si bien, matemáticamente
la ecuación tiene por
solución – 6, debemos
siempre seleccionar la
solución que resuelva
nuestra situación en la
vida real.
20± (20) − 4.( − 156)
2
=
20 ±
1024
2
=
20 ± 32
2
.
Las soluciones de esta ecuación son: n1 = 26 y n2 = – 6 .
Conclusión
Como no podemos fabricar un número negativo de réplicas, la cantidad
solicitada es de 26 réplicas.
b) Un grupo de amigos compró un regalo de casamiento para un compañero de
trabajo por un valor de $900. Cuando se realizó la recaudación del dinero,
dos de ellos desistieron del compromiso asumido, por lo que cada uno de los
restantes debió pagar $5 más que lo acordado inicialmente. ¿Cuántos
amigos integraban el grupo inicialmente? ¿Cuánto debió pagar cada uno?
19
Definición de Incógnitas
De acuerdo a lo que nos solicita el problema, debemos encontrar tanto la
cantidad de amigos como el importe que pagó cada uno. Esto sugiere la
necesidad de definir dos incógnitas que reflejen la situación inicial:
x: cantidad de amigos que integraban el grupo.
y: importe que correspondía pagar a cada integrante del grupo.
Planteo del Problema
Si bien se han definido dos incógnitas, un análisis más minucioso nos permite
darnos cuenta que éstas están relacionadas.
Una de las relaciones que se desprende del enunciado es que la cantidad de
amigos por lo que aportaba cada uno, debe ser el importe del regalo,
simbólicamente:
La ecuación planteada es de
grado 2 con dos incógnitas.
Ninguna de las incógnitas puede
valer cero.
xy = 900
La otra relación la encontramos a partir de que dos amigos desistieron del
regalo y se incrementó en $5 el dinero que cada uno debía aportar.
Si (x – 2) representa la cantidad de amigos que efectivamente participan del
regalo y el importe a pagar por cada uno es (y + 5), entonces la nueva
ecuación a resolver es:
(x – 2)(y + 5) = 900
de esta manera tenemos:
x y = 900


 (x − 2)(y + 5) = 900
Situación Inicial
Situación Final
Solución
Ninguna de las incógnitas puede
valer cero. Es por ello que se
puede dividir, en caso de no
tener esta información no
podemos hacerlo. Recuerde
que la división por una
expresión que contiene la
incógnita no está dentro de las
operaciones que conservan
soluciones.
También se podría haber
despejado la incógnita x.
Se despeja la incógnita y de la primera ecuación:
y = 900
x
(*)
reemplazamos el valor de y encontrado en (*) en la segunda ecuación:
(x – 2)(
900
+ 5) = 900
x
operamos convenientemente:
5x2 – 10x – 1800 = 0
de esta manera hemos llegado a una ecuación cuadrática con una incógnita.
La resolvemos mediante la fórmula que ya conoc emos:
20
20
2
x=
10± (10) − 4. (5)( − 1800)
10
=
10± 36100
10
=
10±190
10
Las soluciones son: x1 = 20 y x2 = –18.
Se descarta x2 por ser negativa pues no refleja una situación real para
nuestro problema. Entonces la solución a nuestro problema es x = 20. Si
reemplazamos este valor en (*) obtenemos y = 45 .
Conclusión
El grupo de amigos estaba conformado inicialmente por 20 personas que
debían pagar $45. Luego de la deserción de los dos integrantes cada uno
debió aportar para el regalo $50.
REPASO TEÓRICO – Sección 1.2
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Cuál es la expresión general de una ecuación de
grado n con una incógnita?
5. ¿Clasifique las soluciones de una ecuación lineal
con una incógnita?
2. ¿Cuándo una ecuación se llama lineal?
Ejemplifique.
6. ¿Cuál es la expresión general de una ecuación
cuadrática con una incógnita?
3. ¿Cuándo podemos afirmar que una ecuación es
cuadrática? Ejemplifique.
7. ¿A qué se llama discriminante de una ecuación
cuadrática?
4. ¿Cuál es la expresión general de una ecuación
lineal con una incógnita?
8. ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación
cuadrática con una incógnita? ¿Cómo se
relacionan con el discriminante?
EJERCICIOS – Sección 1.2
Encuentre las soluciones de las siguientes ecuaciones
lineales con una incógnita:
6.
1.
3x + 2 = 0
7.
2 (x – 3) + x = 2x – 8
2.
4–5x=3
8.
4 – 2x = 2(1 – x) + 4x
3.
7x = 6
9.
2(4x – 3) – 4x = 14
4.
2+3x=1
10.
5.
5(5 – 3x)+ 6[ 2(3 x – 2)] = 3x+ 5
4
3
3
5
(x + 8) =
3
4
(2x +12)
(x – 5) = x + 1
21
11. 4 – 12 x = 6(1 – 3x)
12.
5
2
x – 5 = 3x + 7
Encuentre las soluciones de las siguientes
ecuaciones cuadráticas con una incógnita:
13. x2 + 2x + 3 = 0
14. 2x2 – 18= 0
15. (x + 2)(x – 1) = – 1
16. 2 x2 + 3 x = 0
17. 6 x2 – x = 1
18. 2x2 = – 3x + 2
19. 3x2 – 12 = 0
20. 4x2 + 12x = 36
21. x2 + 2x – 35 = 0
Exprese en forma factoreada las siguientes
ecuaciones:
22. 4x2 – 9 = 0
23. 9x2 – 81= 0
24. 12x2 – 13x + 1 = 0
25. 20x2 – 9x +1 = 0
26. 14x2 + 37x + 5 = 0
27. 4 – 5x + x2 = 0
28. 15x2 + 19x = 56
29. 9x2 + 1 = – 6x
30. 12x2 = 25x – 12
Indique el grado y encuentre el conjunto solución de
las siguientes ecuaciones:
31. (x + 2) (x – 3) = 0
32. 3x + 2 = 0
33. (x2 + 3x – 6) (2x + 1) = 0
34. (4x2 – 1) (3x + 2) = 0
35. x4 – 64 x2 = 0
36. 9x4 + 6 x2 + 1= 0
37. 8x4 – 16 x2 + 6= 0
38. 4x2 + 3 = – 2x
22
Lea atentamente los siguientes problemas, defina las
incógnitas, realice el planteo correspondiente y
resuelva.
39. La suma de tres números pares consecutivos es
126. Encuentre dichos números.
40. Si a la mitad de un número natural se le suma el
doble de su consecutivo se obtiene el triple de
dicho número disminuido en cuatro unidades.
¿Cuál es dicho número?
41. Si a un número se le suma el 20% de su
consecutivo se obtiene 72.2. ¿Cuál es dicho
número?
42. Encuentre los tres números consecutivos en los
que el cuadrado del número del medio es mayor
en una unidad al producto de los dos restantes.
43. El precio de dos docenas de manzanas es igual a
la cantidad de manzanas que se pueden comprar
con $6. ¿Cuánto vale la docena de manzanas?
44. El precio de un producto se aumentó en un 20%
y luego de un mes en un 10% más. Si el precio
final es de $594, ¿cuál era el precio inicial?
45. Un grupo de habitantes de una cierta ciudad fue
encuestado, debido a la proximidad de las
elecciones a intendente. El 35% de ellos ( 525
personas) respondió estar a favor del candidato
A. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
46. Setenta y siete equipos de música fueron
separados en dos grupos, para enviarlos a
distintos centros de venta. El primer grupo tiene
cuatro equipos menos que el doble del segundo
grupo. ¿Cuántos equipos de música tiene cada
grupo?
(Ayuda: la cantidad de un grupo es 77 menos la
cantidad del otro grupo)
47. Un total de $50.000 fue invertido en dos
emprendimientos comerciales, que llamaremos I
y II. Al final del primer año, I y II redituaron
respectivamente, 5% y 3% sobre la inversión
22
original. ¿Cuál fue la inversión original en cada
emprendimiento si la utilidad total fue de $2300?
(Ayuda: la inversión en el emprendimiento I es 50000
menos lo invertido en II)
48. El ingreso mensual de cierta compañía está dado
por la ecuación M = 400 p – 3p2, donde M
representa el ingreso mensual y p el precio, en
pesos, del producto que fabrica. ¿Qué precio
deberá tener este producto, para que el ingreso
mensual sea de $9300, si dicho precio no debe
superar los $60? ¿Y si se supone que el precio no
debe ser inferior a $ 50?
49. La ganancia diaria P, en pesos, de una empresa
está expresada por P = – 2x 2 + 120 x – 800,
siendo x el número de artículos producidos cada
día. Calcule cuántos artículos se producen si la
ganancia diaria es de $ 1000 pesos. ¿Y si la
ganancia es de $ 800?
50. Una editorial ha decidido donar 168 libros de
diferentes áreas a algunas bibliotecas escolares
ubicadas en zonas de bajos recursos de cierta
ciudad. Si entrega a cada establecimiento tantos
libros como la cantidad de bibliotecas más 22
libros, a ¿cuántas escuelas beneficia con esta
donación? ¿Con cuántos libros?
51. Un campesino tiene 400 raciones de alimento
balanceado para alimentar sus gallinas durante
cierta cantidad de días. Si compra 100 raciones
más de alimento, puede alimentar la misma
cantidad de días a 25 gallinas más, suponiendo
que cada gallina se alimenta con una ración
diaria. ¿Cuántos días puede alimentar sus
gallinas con el alimento que tiene? ¿Cuántas
gallinas tiene?
1.3 – GRÁFICA DE ECUACIONES EN EL PLANO
Se toma una unidad en ambos ejes. A menos que se
especifique lo contrario, la longitud unitaria será igual
para ambas rectas.
ordenadas
Eje de las abscisas y
de las ordenadas
En un plano, graficamos dos rectas perpendiculares,
llamadas ejes de coordenadas. La recta horizontal
es el eje de las x o eje de las abscisas y el eje
vertical es el eje de las y o eje de las ordenadas. La
intersección de ellas es el origen del sistema y se lo
denota con el número 0.
Origen del
sistema
Eje de las
Es prácticamente imposible hojear un libro, un diario, una revista informativa o visitar una página web sin encontrar
alguna clase de representación gráfica de datos. El sistema utilizado para la representación de datos es el sistema
de coordenadas rectangulares (o Sistema Cartesiano, en honor del filósofo francés René Descartes).
Eje de las abscisas
Figura Nº 1
Es conveniente emplear la misma escala o unidad de medida en ambos ejes si tanto x
como y representan variables que tienen las mismas características ya sean físicas o
geométricas, o si están dadas en forma abstractas, es decir, números sin ninguna
interpretación física. Cuando las variables se miden en diferentes unidades, por ejemplo
23
x mide la cantidad de artículos vendidos e y representa el precio o costo total, se
emplean unidades de medida apropiadas en cada eje para el problema en particular.
Los números situados a la derecha del origen sobre el eje x son positivos y los ubicados
a la izquierda son negativos. Mientras que sobre el eje y los números ubicados por
arriba del origen son positivos y los que están por debajo son negativos.
Los ejes dividen al plano en cuatro regiones, conocidas como cuadrantes. Los
cuadrantes se numeran en sentido antihorario (contrario al movimiento de las agujas del
reloj) (ver Figura Nº 2).
Coordenadas de un
punto del plano
Cada punto del plano se corresponde con un par de números, en un cierto orden,
llamados coordenadas del mismo. Por ejemplo, podemos ubicar un punto del plano
moviéndonos horizontalmente dos unidades hacia la derecha del origen, sobre el eje x
y luego seis unidades hacia abajo, en dirección paralela al eje y.
Así, hemos dibujado el punto P (ver Figura Nº 2)
de coordenadas 2 y – 6. La primera coordenada
del punto, que es 2, es llamada abscisa (o
coordenada x) del punto P y la segunda, – 6, es
llamada ordenada (o coordenada y) del punto P.
Se dice que el par ordenado (2, – 6) son las
coordenadas del punto P. El punto graficado es
un punto del cuarto cuadrante.
• ¿El punto del plano representado por el par
ordenado (– 6, 2), coincide con P?
Figura Nº 2
Los signos algebraicos de las coordenadas (x, y) de un punto del plano en cada
cuadrante se indican en la Figura Nº 2. Se considera que los puntos ubicados sobre los
ejes no pertenecen a ningún cuadrante. Todo punto ubicado sobre el eje de las
abscisas (eje x) tiene coordenadas (a, 0) y los ubicados sobre de las ordenadas (eje y)
tienen coordenadas de la forma (0, b).
Como se puede observar con este procedimiento, todo par de números reales (a, b)
representa un punto del plano.
Ahora planteamos el problema inverso: ¿cómo obtenemos las coordenadas de un punto
Q cualquiera del plano?
Desde Q, trazamos rectas paralelas a ambos ejes coordenados y su intersección con
ellos nos dará la información que buscamos.
Así, a todo punto del plano le corresponde un par de números reales (a, b) y
recíprocamente, todo par de números representa un punto del plano. De esta manera
se establece una relación biunívoca (uno a uno) entre los puntos del plano cartesiano y
los pares ordenados de números reales.
24
24
n Ejemplo 1.14:
Asociemos los siguientes pares ordenados con puntos del plano:
Observe:
Los pares ordenados cuya
primera coordenada es cero
corresponden a puntos sobre
el eje y, mientras que los
que tienen segunda
coordenada cero,
corresponden a puntos sobre
el eje x.
a) P =(– 5, 3)
b) Q =(2, 2)
c) R =(– 4, – 4)
d) S =(0, – 3)
e) T =(– 2, 0)
f) W =(5, 0)
g) L = (0, 4)
h) M =(3, – 2)
Gráfica
P
T
y
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-2
-3
-4
R
-5
L
Q
W
0
x
1 2 3 4 5
M
S
Definición 1.5: Se llama gráfica (o gráfico) a cualquier conjunto de puntos (x, y)
situados en el plano cartesiano.
Dicho conjunto de puntos puede ser infinito o finito (Figura Nº 3)
•
•
•
•
•
→•
•
•
Conjunto infinito de puntos
Conjunto finito de puntos
Figura Nº 3
Gráfica de una
ecuación
La gráfica de una ecuación con dos incógnitas es el conjunto de puntos (x, y) en el
plano que son soluciones de dicha ecuación.
Cuando se traza la gráfica de una ecuación, siempre es conveniente considerar si
tiene intersecciones con los ejes coordenados.
Intersecciones con
los ejes
coordenados
La abscisa (o coordenada x) de un punto donde la gráfica interseca al eje x, se
denomina intersección x (o abscisa en el origen).
Ordenada al origen
La ordenada (o coordenada y) de un punto donde la gráfica interseca al eje y, se
denomina intersección y (u ordenada al origen).
25
y
y
La gráfica no tiene intersección con el eje
x, presenta una intersección con el eje y
en – 2.
La gráfica tiene tres intersecciones con el
eje x (en x = – 5, en x = – 2 y en x = 2),
presenta una intersección con el eje y
(en y = –3).
Figura Nº 4
Cuando y = 0 para algún valor de x, obtenemos la intersección con el eje x, mientras
que si x = 0, obtenemos puntos de intersección con el eje y. Por lo tanto, para buscar
las intersecciones con los distintos ejes podemos proceder como sigue:
Intersección con el eje x:
hacer y = 0 en la ecuación y luego despejar x
Intersección con el eje y:
hacer x = 0 en la ecuación y luego despejar y
1.4 – ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS
En las secciones anteriores estudiamos las ecuaciones lineales y cuadráticas con una incógnita. De manera similar,
profundizamos ahora el concepto de ecuaciones lineales con dos incógnitas o ecuación de la recta. Estas
ecuaciones tienen gran importancia, ya que representan muchos de los fenómenos del mundo real.
Expresión general de una
ecuación lineal con dos
incógnitas
La expresión general de una ecuación lineal con dos incógnitas es:
ax + by + c = 0 , a ≠ 0 o b ≠ 0 ; a, b, c ∈ ¡
Es lineal ya que el máximo exponente al cual están elevadas las incógnitas es 1 y no
aparecen multiplicadas entre sí. Las incógnitas o variables son x e y .
Solución
26
Resolver la ecuación significa encontrar todos los pares (x, y) que verifican la
igualdad. A cada uno de estos pares se los llama solución de la ecuación.
26
Dichos pares son infinitos, ya que se puede despejar de la ecuación una de las
incógnitas en términos de la otra, a la que se le asignará un valor real cualquiera. De
esta manera, el valor de la incógnita despejada depende del valor dado a la otra.
b≠0
Por ejemplo, si en la expresión general despejamos la incógnita y en términos de x,
obtenemos y = (– ax – c)/ b. En este caso, a x se la llama variable libre ya que
nosotros elegimos un valor cualquiera para ella mientras que a " y " se la llama variable
dependiente ya que su valor depende del elegido para x.
El conjunto Solución de la ecuación es:
S = {(x, y) = (x,
- ax - c
)
b
con x cualquier valor real}
Si graficamos dicho conjunto, se observa que los puntos se ubican sobre una recta del
plano.
n Ejemplo 1.15:
La recta contiene sólo
aquellos pares (x, y) que
satisfacen y = 2x+4.
Cualquier otro punto del
plano que no esté sobre la
recta, no satisface dicha
igualdad.
Por ejemplo el (1,3) no
verifica la ecuación
y= 2x +4, ya que
3 ≠ 2 (1) + 4.
Observe que dicho punto
no se encuentra sobre la
recta graficada.
Resolvamos analíticamente la ecuación 2x – y + 4 = 0 y luego grafiquemos su
conjunto solución.
Despejando y = 2x + 4, como x queda libre podemos expresar al conjunto
solución como:
S = {(x, y) = (x, 2x + 4), ∀ x ∈ ¡ }
Para representar gráficamente este conjunto
solución, basta con encontrar dos puntos por los
cuales pasa la recta. Estos pueden, ser por
ejemplo:
x = 0, entonces y = 4, es decir la recta pasa por
(0,4) (la elección de x = 0 se utiliza
generalmente, por la simplificación en los
cálculos) y x = 1 obtenemos que y = 6.
Por lo cual la recta pasa por (1, 6) (Ver Figura). Ud. puede buscar otros pares,
solución de la ecuación, y comprobar que efectivamente se ubican sobre la
recta dibujada.
1.4.1 - Ecuaciones de Rectas horizontales y verticales
Veremos en esta y en la próxima sección, que toda recta del plano se puede
representar mediante una ecuación lineal con dos incógnitas y que todo punto de la
recta, es solución de dicha ecuación.
27
Analizamos primero el caso de rectas paralelas a los ejes coordenados.
Sea R la recta vertical, paralela al eje y, que corta al eje
x en x1 .
y
R
Todo punto de la recta tiene coordenadas (x1, y) con
y ∈ ¡ . Es decir, que la única condición que cumplen
los puntos ubicados sobre esta recta es que x toma el
valor de x1 mientras que la coordenada “y” puede tomar
cualquier valor real.
Ecuación de una recta
paralela al eje y.
x1
x
Por lo tanto, R está determinada por la ecuación x = x1 o x – x1 = 0.
Esta ecuación cumple con la expresión general de una ecuación lineal con dos
incógnitas si consideramos que a = 1, b = 0 y c = – x1.
n Ejemplo 1.16:
a) la ecuación lineal con dos incógnitas x = 0
representa la recta coincidente con el eje y.
b) la ecuación x = –1 representa la recta R 1.
R2
R1
x
1
-1
c) la ecuación x = 1 representa la recta R 2.
Veamos ahora la condición que debe cumplir una recta horizontal, paralela al eje x, que
corta al eje y en y1.
y
Todo punto de la recta tiene coordenadas (x, y1) para todo
x ∈ ¡ . Dicho en otras palabras, la única condición que
cumplen los puntos ubicados sobre esta recta es que la
coordenada y tome el valor y1 mientras que x toma
cualquier valor real.
Ecuación de una recta
paralela al eje x.
R
y1
x
Por lo tanto, la ecuación de dicha recta es y = y1 o y – y 1 = 0.
• Indique los valores de a, b y c en la expresión general de la ecuación lineal con dos
incógnitas, para obtener la ecuación anterior.
n Ejemplo 1.17:
a) la ecuación lineal con dos incógnitas y = 0 tiene por solución los puntos de
coordenadas (x, 0) con x∈ ¡ y representa la recta que coincide con el eje x.
28
28
b) la ecuación y = 3 tiene por solución los puntos de coordenadas (x, 3) con
x∈ ¡ y representa la recta R3.
c) la ecuación y = – 2 tiene por solución los puntos de coordenadas (x, – 2)
con x∈ ¡ y representa la recta R4.
y
R3
3
x
-2
R4
1.4.2 - Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos
Por dos puntos del
plano pasa una única
recta.
Estudiamos ahora el problema de determinar la ecuación de una recta R que no sea
vertical. Para encontrar la ecuación que la representa, introducimos primero el concepto
de incremento.
Sean P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) dos puntos distintos el plano.
Los símbolos ∆x y ∆y se
leen “delta x” y “delta y”
respectivamente.
Definición 1.6: Llamamos incremento en x a la diferencia de abscisas
∆x = x2 – x1.
Definición 1.7: Llamamos incremento en y a la diferencia de ordenadas
∆y = y2 – y1.
n Ejemplo 1.18:
Calculemos los incrementos en x e y para los siguientes puntos:
a) P1 = (4, 7) y
P2 = (4, 3)
b) P1 = (5, –1) y
P2 = (–2, 3)
Solución
Los incrementos pueden
ser positivos, negativos o
cero
a) ∆x = x2 – x1 = 4 – 4 = 0
∆y = y2 – y1 = 3 – 7 = – 4
b) ∆x = x2 – x1 = – 2 – 5 = – 7
∆y = y2 – y1 = 3 – ( –1) = 4
29
Volviendo a nuestro problema, para toda recta R no vertical, existe un número
invariante asociado a ella llamado pendiente de la recta.
Si P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) son dos puntos distintos del plano, entonces la pendiente
m de la recta que pasa por dichos puntos, se define como el cociente de incrementos:
y
Pendiente de la recta
que pasa por dos puntos
m=
y − y1
y − y2
∆y
= 2
= 1
∆x
x2 −x1
x1− x2
P2
y2
Se puede demostrar, basándose en propiedades de
triángulos semejantes, que la pendiente de una recta no
depende de los puntos elegidos para su cálculo.
∆y
P1
y1
∆x
R1
X1
Si y1 = y2 y x1 ≠ x2, la pendiente es cero. La recta es
horizontal. (Figura Nº 6 (c))
X2
x
Figura Nº 5
Si x1 = x2 y y1 ≠ y2, la pendiente no está definida. La recta es vertical. Recordemos
que la división por cero no está definida. (Figura Nº 6 (d))
En algunas aplicaciones, suele llamarse al incremento ∆x = x2 – x1 cambio en x,
corrimiento (o avance) en la recta y al incremento en la ordenada y, desnivel (o
elevación) en la recta, así:
m=
cambio en y
desnivel ( vertical)
=
cambio en x
corrimiento( horizontal)
Geométricamente, la pendiente de una recta está relacionada con el ángulo que forma
dicha recta con el semieje positivo de las x, es decir, con la inclinación de la recta.
Pendiente positiva, si
los incrementos tienen
el mismo signo.
Si la pendiente de una recta es positiva, nos indica que la recta forma un ángulo con el
semieje positivo de las x en sentido antihorario, menor a 90º. Si observamos la gráfica,
de izquierda a derecha, la recta sube. Es decir, las ordenadas aumentan cuando
aumentan las abscisas. En este caso las rectas se dicen crecientes. (Figura Nº 6 (a)).
Pendiente negativa, si
los incrementos tienen
distintos signos
Si la pendiente de una recta es negativa, nos indica que la recta forma un ángulo con
el semieje positivo de las x en sentido antihorario, mayor a 90º y menor a 180º. Si
observamos la gráfica, de izquierda a derecha, la recta baja. Es decir, las ordenadas
disminuyen cuando las abscisas aumentan. Las rectas se dicen decrecientes. (Figura
Nº 6 (b)).
P1
P2
∆y > 0
P1
∆x > 0
Recta de pendiente positiva
(a)
30
∆y< 0
∆x > 0
P2
Recta de pendiente negativa
(b)
P1
P2
P2
∆x = 0
∆y = 0
P1
Pendiente cero y
pendiente indefinida
Recta de pendiente cero
(c)
Recta de pendiente indefinida
(d)
Figura Nº 6
n Ejemplo 1.19:
Calculemos las pendientes de las rectas que pasan por los siguientes puntos:
Precaución: No mezcle las
coordenadas de e ste modo:
a)
P1 =(1, 2)
y P2 = (– 4, 1)
b)
P1 =(2, 1)
y P2 = (3, –1)
c)
P1 =(1, 3)
y P2 = (1, 4)
d)
P1 =(3, –2) y
Solución
a) m =
y 2 − y1
x1 − x 2
Se debe comenzar siempre
con las coordenadas del
mismo punto.
P2 = (1, –2)
y 2 − y1
x 2 − x1
=
1−2
− 4 −1
=
−1 1
. La pendiente es positiva .
=
−5 5
Podemos interpretarla como que
frente a un aumento de 5 unidades
en las abscisas la recta se elevó en
una unidad en las ordenadas. O lo
que es lo mismo, ante una unidad de
aumento en x, la ordenada y
aumenta 1/5 de unidad (ver figura).
b) m =
y2−y1
x2−x1
=
−1 − 1
3 − 2
=
−2
= − 2 . La pendiente es negativa .
1
La cual nos indica que por cada
unidad de aumento de la abscisa
(x), la ordenada (y) disminuye en
dos unidades.
(ver figura).
31
c) Como x1 = x2 , la pendiente de la recta
no está definida. Por lo tanto, la recta
es vertical (ver Figura).
d) Como y1 = y2, la pendiente de la recta es cero.
Es decir que frente a un aumento de
una unidad en las abscisas (x) la
ordenada (y) no cambia (ver Figura).
El concepto de pendiente permite determinar ecuaciones de rec tas. Dado un punto del
plano P1 =(x1, y1) por él pasan infinitas rectas, mientras que si fijamos una pendiente
m, existe una única recta R que pasa por P1 y tiene dicha pendiente.
Para encontrar la ecuación de R tomemos un punto genérico P = (x, y), distinto de P1,
perteneciente a la recta.
La pendiente es:
y − y1
x − x1
=m
(à)
(x, y)
y
Despejando y – y1, obtenemos la ecuación de la
recta que pasa por el punto P1 = (x1, y1) y tiene
pendiente m.
(x 1, y 1)
y1
∆x
0
Ecuación de la recta que
pasa por un punto y tiene
pendiente m. Es conocida
también como Forma
Punto - Pendiente
∆y
x1
x
y − y1 = m ( x − x 1 )
Podemos, si deseamos, despejar la incógnita y en términos de x:
y = m(x – x1) + y1
realizando las operaciones correspondientes
y = m x – m x1 + y1
⇒
y = m x + (– m x1 + y1)
Si en particular el punto P1 está ubicado sobre el eje y, es decir, tiene coordenadas
(o, n) el término (– m x1 + y1) es n y la ecuación se transforma en:
3232
Ecuación de la recta de
pendiente m y ordenada
al origen n.
Observe:
La pendiente m de la
recta multiplica a la
incógnita x
y=mx+n
que es la expresión general de la recta que tiene pendiente m y corta al eje de las
ordenadas en n ( ordenada al origen).
Buscamos ahora la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 = (x1, y1) y
P2 = (x2, y2). Para ello calculamos, si fuera posible, el valor de la pendiente de la
recta que pasa por estos puntos como vimos al comienzo de la sección.
La misma está dada por:
m=
y 2 − y1
x2 − x1
Así, reemplazando en la fórmula dada en (à ):
y − y1
= 2
x − x1 x 2 − x 1
y − y1
Ecuación de una recta que
pasa por dos puntos
n Ejemplo 1.20:
a) Encontremos la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 = (2,–1) y
P2 = (–2, 3).
Solución
Usamos para ello la ecuación
y − y1
x − x1
=
y2 − y1
x2 − x1
Del primer punto P1 obtenemos los valores: x1 = 2 e y1 = –1, del segundo
punto P2 obtenemos los valores: x2 = – 2 e y2 = 3 .
reemplazamos
y − ( − 1)
3 − ( − 1)
=
x −2
( − 2) − 2
operamos
y+1
4
= − =–1
x−2
4
despejamos
y + 1 = – (x – 2)
por lo tanto:
y=–x+1
La pendiente es m = – 1. Esto significa que por cada unidad de aumento en
x, el valor de la ordenada y disminuye (pues tiene signo negativo) en una
unidad.
33
b) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (– 1, – 3) y
tiene pendiente 2?
Solución
Como la pendiente es dato, para encontrar la ecuación de la recta usamos
y − y1
x − x1
= m . El otro dato es el punto P1, a partir del cual obtenemos:
x1 = – 1
e y1 = – 3
reemplazamos
y − ( − 3)
=2
x − ( − 1)
despejamos
y + 3 = 2(x + 1)
por lo tanto
y = 2x – 1
La pendiente es m = 2. Esto significa que por cada unidad de aumento en x,
el valor de y aumenta (pues tiene signo positivo) en dos unidades.
Rectas crecientes,
decrecientes y
constantes.
Note: La pendiente m > 0 indica que a medida que aumenta x los valores de y
también aumentan (recta creciente), m < 0 indica que a valores mayores de x,
los valores de y disminuyen (recta decreciente), y m = 0 significa que a
medida que aumenta x, los valores de y no cambian, es decir, se mantienen
constantes (recta constante).
n Ejemplo 1.21:
Se sabe que el valor de una máquina disminuye a una tasa lineal con el tiempo.
Dicha máquina se compró a $ 18000 y al cabo de un año su valor es $ 14500.
Si el valor de la máquina se mide en pesos y el tiempo (t) en años, se pide:
a) La ecuación de la recta que indica el valor de la máquina para un tiempo
determinado a partir del momento de la compra.
b) ¿Cuál es el valor de la máquina luego de 9 meses de su compra?
c) ¿Cuántos meses deben transcurrir para que la máquina tenga un valor de $0?
d) Dé una interpretación de la pendiente de la recta para este caso.
Definición de Incógnitas
3434
y:
precio de la máquina expresado en pesos.
t:
tiempo transcurrido desde su compra, expresado en años.
Planteo y Solución del Problema
Los datos obtenidos del enunciado del problema, los podemos resumir en la
siguiente tabla:
Precio en pesos
Se sabe que la máquina se
compró (t = 0) a un precio (y)
de $18000 y al cabo de un año
(t =1) su precio (y) es de
$14500.
Precio de la máquina
Tiempo transcurrido
y
t
$ 18000
0
$ 14500
1
Entonces, la ecuación de la recta que expresa el valor de la máquina con el
transcurrir del tiempo, es la de una recta que pasa por dos puntos:
(0, 18000) y (1, 14500). Como uno de estos puntos es de la forma (0, n),
con n = 18000, usamos la fórmula:
• (0, 18000)
• (1, 14500)
y=mt+n
donde y representa el valor de la máquina en pesos y t el tiempo.
Reemplazamos el valor de n:
Tiempo transcurrido en años
y = m t + 18000
Nos resta todavía, encontrar el valor de la pendiente de la recta que pasa por
dos puntos. Usando la fórmula adecuada:
m=
14500 - 18000
1-0
= – 3500
Es razonable que la pendiente sea negativa ya que el valor de la máquina va
disminuyendo con el correr del tiempo.
Conclusión
Compruebe que si t = 0 el
precio (y) es de $18000 y al
cabo de un año, t =1 es de
$14500.
a) La ecuación de la recta que indica el valor de la máquina para un tiempo
determinado a partir del momento de la compra es:
y = – 3500 t + 18000
b) Como la unidad de tiempo es el año, debemos reemplazar t = 9/12 que
resulta de expresar los nueve meses en años.
y = – 3500 (3/4) + 18000 = 15375
Entonces el valor de máquina al cabo de nueve meses es de $ 15375.
c) Si el valor de la máquina es de $0, entonces se debe resolver la
ecuación:
0 = – 3500 t + 18000
Despejamos y encontramos que t =
18000 36
=
≅ 5.14 años.
3500
7
35
d) Sabemos que la pendiente indica la variación de la variable dependiente,
ante variaciones unitarias de la variable independiente. En este caso
significa que por cada año de antigüedad de la máquina, su valor
disminuye en $3500.
A modo de cierre, mostramos en el siguiente cuadro las distintas expresiones de
ecuaciones de rectas más convenientes de utilizar, dependiendo de los datos
proporcionados.
DATOS
Un punto P1= (x1, y1) y la pendiente de la recta m.
y = m ( x – x1) + y1
Un punto P1= (0, n) y la pendiente de la recta m.
y=m x+ n
Dos puntos P1= (x1, y1) y P2= (x2, y2); con x1 ≠ x2
Recta Vertical
Recta horizontal
ECUACIÓN DE LA RECTA
y − y1
= 2
x − x1 x 2 − x 1
y − y1
Dos puntos P1= (x1, y1) y P2= (x1, y2)
x = x1
Dos puntos P1= (x1, y1) y P2= (x2, y1)
y = y1 o y – y1 = 0
o x – x1 = 0
Finalmente es importante destacar de acuerdo a lo estudiado, que toda recta del plano
es solución de una ecuación lineal con dos incógnitas y recíprocamente, el conjunto
solución de una ecuación lineal con dos incógnitas se representa en el plano mediante
una recta.
1.4.3 - Rectas Paralelas y Perpendiculares
En esta sección, nos centramos en el problema de encontrar la ecuación de rectas
paralelas y rectas perpendiculares a una recta cuya ecuación es conocida. Para ello
estudiamos primero, las condiciones que deben reunir dos rectas para ser paralelas o
perpendiculares.
Rectas paralelas
Definición 1.8: Dos rectas, no verticales, son paralelas si y sólo si tienen la
misma pendiente.
3636
n Ejemplo 1.22:
Grafiquemos las rectas R1: 6x – 2y = 6 y R2: 3x – y = – 3 en un mismo
sistema de coordenadas.
Solución
Para graficar una recta es necesario conocer solamente dos puntos por los
cuales pasa.
Generalmente se usan los puntos en los cuales la recta interseca ambos ejes,
esto es, cuando x = 0 (corte con el eje y) y cuando y = 0 (corte con el eje x).
Entonces, para R1 consideramos los puntos
(0, –3) y (1, 0) obtenidos a partir de su
ecuación, reemplazando primero x = 0 y
despejando el valor de y, lo mismo con y = 0 y
despejando el valor de x.
Procedemos del mismo modo para graficar R2,
consideramos los puntos (0, 3) y (–1, 0) .
Observamos que ambas rectas tienen la misma
inclinación, por ende la misma pendiente. ( Figura
Nº 7 ).
Figura Nº 7
Si buscamos analíticamente la pendiente de cada recta nos conviene despejar la
incógnita y en cada ecuación. En este caso tenemos:
R1: y = 3 x – 3
R2: y = 3 x + 3
La recta R1 tiene pendiente m1 = 3 lo mismo que R2, por lo que de acuerdo con
la definición son paralelas, tal como se observa en la Figura Nº 7.
Rectas
Perpendiculares
Definición 1.9: Dos rectas, ninguna de ellas horizontales, son perpendiculares
si y sólo si el producto de sus pendientes es igual a –1.
Sean las rectas R1 y R2 con pendientes m1, m2 respectivamente . Si R1 y R2 son
perpendiculares, entonces:
m 2 ≠ 0 ya que la recta
no es horizontal por
definición.
m1 . m2 = –1 o bien
m1 = −
1
m2
Cuidado: Si una de las rectas es horizontal, el producto de sus pendientes no puede
ser –1. ¿Cuál es la recta perpendicular a una horizontal?
• ¿Cuál es la pendiente de una recta cuya expresión es ax+ by = c?
37
n Ejemplo 1.23:
Buscamos la ecuación de la recta R1 que pasa por (0, 3) y es perpendicular a la
recta R2 determinada por los puntos (0, 2) y (–2, 0).
Solución
Primero encontramos la pendiente de la recta R2,
para luego averiguar la pendiente de la recta R1,
cuya ecuación estamos buscando.
La fórmula para encontrar la pendiente es:
m=
Reemplazamos m2 =
y2 − y1
x2 − x1
0 − 2
−2 − 0
= 1.
Figura Nº 8
La pendiente de R2 es m2 = 1
Como la recta R1 es perpendicular a R2, entonces su pendiente es: m1 = −
m1 = −
1
1
1
m2
= −1
Por otro lado, sabemos que R1 pasa por el punto (0, 3), por lo que su ecuación
es:
y=–x+3
( Figura Nº 8 )
n Ejemplo 1.24:
Encontramos ahora, la ecuación de la recta perpendicular a y + 2x +1 = 0 que
pasa por el punto (0, 2). Realizamos el gráfico de ambas rectas en un mismo
sistema de coordenadas.
Solución
Como la pendiente de la recta y + 2x +1 = 0 es – 2 entonces una
perpendicular a ella tiene pendiente
1
2
, pues se debe verificar que el producto
entre ambas sea –1.
Entre todas las rectas con esta pendiente, debemos seleccionar aquella que
pasa por el punto (0, 2).
3838
Para ello reem plazamos los datos en la ecuación:
y − y1
x − x1
=m
y obtenemos
y−2
1
=
x−0
2
despejamos la incógnita y,
resulta:
y=
1
x+2
2
• ¿Cómo interpreta la pendiente de la recta encontrada?
Interpretación gráfica de
la solución de una
ecuación lineal con una
incógnita
Figura Nº 9
La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita, ax + b = 0 puede
asociarse con el punto de corte con el eje x de la recta y = ax + b.
Comprobamos esta afirmación en el siguiente ejemplo.
n Ejemplo 1.25:
La ecuación de primer grado 2x + 4 = 0 tiene
por solución x = – 2
Luego, para graficar la recta, representada por la
ecuación lineal con dos incógnitas y = 2x + 4,
basta con encontrar dos puntos por los que pase
la recta.
Por ejemplo, consideramos los puntos (0, 4) y (1, 6).
Observamos en la figura que la recta corta al eje x en – 2 y esta es la solución
de la ecuación con una incógnita.
• ¿Cómo sabemos que la recta y = 2x+4 pasa por los puntos (0, 4) y (1, 6)?
REPASO TEÓRICO – Sección 1.4
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Cómo se interpreta geométricamente el conjunto
solución de una ecuación lineal con dos incógnitas?
4. Dada una recta y = ax +b , ¿qué información
nos da las constantes a y b?
2. ¿Cuántos puntos del plano son necesarios graficar
para representar a dicho conjunto de soluciones?
5. ¿Cómo se interpreta el valor de la pendiente?
3. ¿Cuál es la ecuación de la recta vertical que pasa por
el punto (x1, y1)? ¿y la horizontal?
6. ¿Cuál es la ordenada al origen de una recta que
pasa por el origen del sistema de coordenadas? y
¿su ecuación para una pendiente m cualquiera?
39
7. ¿Qué datos son necesarios para encontrar la ecuación
de una recta?
11. ¿Cuál es la ecuación de una recta perpendicular a
una vertical? Ejemplifique.
8. ¿Cuántas rectas paralelas a y = ax + b podemos
encontrar? ¿Qué condiciones deben cumplir?
12. ¿Cómo se encuentran las intersecciones de una
recta con los ejes coordenados?
9. ¿Cuántas rectas perpendiculares a y = a x + b
podemos encontrar?¿Qué condiciones deben cumplir?
13. Dé la ecuación de la recta que pasa por los puntos
(x0, y0) y (x1, y1).
10. ¿Cuál es la ecuación de una recta perpendicular a una
horizontal? Ejemplifique.
EJERCICIOS – Sección 1.4
Para cada par de puntos del plano, determine los
incrementos en x e y .
18. y = – 7
1. (–1, 2)
y
(1, 1)
Determine la ordenada al origen y la pendiente de
cada una de las siguientes rectas. Grafique.
2. (2, –3)
y
(0, 5)
19. x + 3y = 2
3. (–1, –2) y
(3, 2)
20. 2x – 4y = 3
4. (0, 4)
y
(2, 4)
21. y = 3x –1
5. (1, –1)
y
(1, 3)
22. –x + 3y = 6
6. (–1, –1) y
(–2, –7)
23. y = – 4x + 1
7. (1, –1)
y
(3, –1)
24. 3x – y + 4 = 0
8. (0, 0)
y
(–1, –1)
25. 6x – y + 3 = 0
9. (2, 4)
y
(–1, –3)
26. y + 2x + 14 = 0
Determine, si existen, las intersecciones de las
siguientes rectas con los ejes coordenados.
10. 5 x + 3y = 1
27. y = 7
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los
siguientes pares de puntos del plano:
y
11. 2x – 4y = 1
28. (–2, 3)
12. y = 2x – 4
29. (–2, – ) y
(– 2, 1)
30. (–2, –1) y
(1, 2)
13. x + y = 6
14. 0 = – x + 1
1
3
2
(0, 4)
1
15. x – y + 4 = 0
31. (–3, )
y
(–1,
16. 6x – 2y + 4 = 0
32. ( –2, 0) y
(1, 2)
17. y + 2x + 4 = 0
33. ( –2, 4) y
(–1, 4)
4040
3
3
)
Trace la recta que pasa por el punto indicado y
tiene pendiente m.
34. (–2, 3) ;
m=
35. (0, 1) ;
m = –1
1
2
2
36. (– ,–3) ;
m=
0
37. (1, –1) ;
m=
1
2
38. (– 2, 0) ;
3
m=–
2
39. (1, 3) ;
m=
2
3
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por
(–1, 5) y es paralela a:
40. x + y = 2
41. 2x – y = –1
42. 3y – 2x = 4
43. x = –2
44. y = 0
45. x – 2y+4 = 0
46. Determine el valor de k, si la recta que pasa
por (–2, 0) y (1, 3) es paralela a la recta que
pasa por los puntos (–1, 2) y (– 6, k).
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el
origen y es perpendicular a:
47. x + y = 2
48. 2x – y = –1
49. 3y – 2x = 4
50. x = 0
51. y = – 2
52. – x – 2y+4 = 0
53. Determine el valor de k, si la recta que pasa por
(–2, 0) y (–1, 3) es perpendicular a la recta
que pasa por los puntos (–1, –2) y (1, k).
Indique si las siguientes rectas son crecientes,
decrecientes o constantes.
54. 3x – y = 1
55. 4y + x – 4 = 0
56. y = 4
57. 2x + 4y = 6
58. 4y = 2x – 5
59. y = 3x – 1
60. y = –1 + 2x
61. y = – 5x + 2
62. 3x + 2y = 0
63. y – 2x +1 = 0
64. x – y = 4
65. x + 3y = 8.
66. En cierto negocio, inversiones de $20000
y $100000 , producen una ganancia de $8000
y $60000 respectivamente. Si x denota la
cantidad invertida e y la correspondiente
ganancia, y suponemos que existe una relación
lineal:
a) Encuentre la ecuación de la recta que
vincula la inversión con la ganancia.
b) ¿Qué ganancia producirá una inversión de
$86000?
c) Dé una interpretación de la pendiente de la
recta en términos del dinero involucrado.
1.5 – ECUACIÓN LINEAL CON TRES O MÁS INCÓGNITAS
Hasta el momento hemos estudiado las ecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Ahora estamos en condiciones
de avanzar en el análisis de las ecuaciones lineales con tres o más incógnitas.
En este último caso, las propiedades algebraicas se mantienen, pero las características gráficas cambian
considerablemente. El número de variables en la ecuación determinará la cantidad de coordenadas necesarias para
graficar sus soluciones.
41
Expresión general de
una ecuación lineal
con n incógnitas.
La expresión general de una ecuación lineal con n incógnitas es:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn + b = 0
donde:
xi
son las incógnitas
ai
son los coeficientes
b
es el término independiente
Tanto los coeficientes como el término independiente son constantes.
En particular, la expresión general de las ecuaciones lineales con tres incógnitas es:
Expresión general de
una ecuación lineal
con tres incógnitas.
ax+by+cz+d=0
z
donde los coeficientes no son todos iguales a cero.
Sus soluciones se representan gráficamente, como
planos en el espacio (Figura Nº 10).
y
0
x
El conjunto solución de esta ecuación es:
Plano de ecuación general
ax+by+cz+d=0
S = {(x, y, z) tal que a x + b y + c z + d = 0} y
determina un plano en el espacio.
Figura Nº 10
Al igual que para graficar un punto en el plano (dos coordenadas), para graficar en el
espacio necesitamos de un sistema de tres ejes coordenados perpendiculares entre sí,
un origen (intersección de los tres ejes), una unidad de medida y un sentido de
crecimiento en cada uno de ellos. Podemos pensar en una esquina de una habitación, en
donde el piso constará de dos ejes perpendiculares, x e y, mientras que el tercero, z,
será perpendicular a ambos ( Figura Nº 11). El origen del sistema de coordenadas se
representa por el punto de coordenadas (0, 0, 0).
Por ello, para especificar la ubicación de cada punto del espacio, se necesitan tres
coordenadas, que en general llamaremos (x, y, z) o (x1, x2, x3). ( Figura Nº 12)
z
z
P0: (x0, y 0, z0)
Gráfico de un punto en
el espacio tridimensional
0
x
0
x
Figura Nº 11
4242
y
y
z0
y0
x0
Figura Nº 12
Del mismo modo que los ejes coordenados en dos dimensiones dividen el espacio
bidimensional en cuatro cuadrantes, los ejes en tres dimensiones dividen el espacio
tridimensional en ocho octantes. ( Figura Nº 13)
x<0
y<0
z >0
x<0
y>0
x>0
y<0
z>0
z>0
z
0
y
x
Octantes del espacio
tridimensional
Figura Nº 13
x<0
y>0
z<0
x>0
y<0
z<0
x>0
y>0
z>0
x<0
y<0
z<0
x>0
y>0
z<0
El objetivo de esta sección no es hacer de usted un experto dibujante, sino lograr que
asocie un plano en el espacio tridimensional con la representación del conjunto solución
de una ecuación con tres variables y tenga una idea general de cómo dibujarlo.
Así como para graficar una recta se necesitan dos puntos, para determinar un plano, se
requieren tres puntos que no se encuentren alineados. Para facilitar los cálculos, se
suelen tomar aquellos puntos donde el plano corta los ejes coordenados. Veamos esto
en el siguiente ejemplo.
n Ejemplo 1.26:
Buscamos las intersecciones del plano 2x + 4 y + 2 z = 8 con los ejes
coordenados.
Solución
z
4
0
x
y
2
4
Figura Nº 14
Si x = 0, e y = 0 entonces al reemplazar en la ecuación obtenemos z = 4. Es
decir, el punto (0, 0,4) es solución de la ecuación y es el punto donde el plano
corta el eje z.
Trabajando del mismo modo, el punto (0, 2, 0) es el corte con el eje y, mientras
que el punto (4, 0, 0) es la intersección del plano con el eje x.
Marcamos estos puntos en el sistema de ejes coordenados y el plano resultante
es el que se muestra en la Figura Nº 14.
En el ejemplo vimos cómo graficar un plano conocida la ecuación, luego, en el capítulo 4
utilizando el concepto de sistemas de ecuaciones, veremos la forma de encontrar la
ecuación del plano conocidos tres puntos no alineados por los cuales pasa.
43
A continuación consideramos el caso particular de planos paralelos a alguno de los
planos coordenados. Estos últimos son:
Ecuaciones de planos
coordenados
•
El plano yz representado por la ecuación x = 0 en tres dimensiones.
•
El plano xz representado por la ecuación y = 0 en tres dimensiones.
•
El plano xy representado por la ecuación z = 0 en tres dimensiones.
Luego la ecuación x = k en tres dimensiones, k
constante cualquiera, representa planos paralelos al
plano coordenado y z.
z
( Figura Nº 15 )
x
Es decir, hemos representado el conjunto solución
S = {(x, y, z) tal que x = k}
Figura Nº 15
Planos paralelos al yz
x = constante
El conjunto solución de la ecuación y = k en tres
dimensiones, k constante cualquiera, representa
planos paralelos al plano coordenado xz.
(Figura Nº 16)
Este conjunto es:
S = {(x, y, z) tal que y = k }
z
y
0
x
Figura Nº 16
Planos paralelos al xz
y = cconstante
La ecuación z = k en tres dimensiones, k constante
cualquiera, representa planos paralelos al plano
coordenado xy.
z
( Figura Nº 17 )
0
La solución de esta ecuación es
S = {(x, y, z) tal que z = k }
y
0
y
x
Figura Nº 17
Planos paralelos al xy
z = constante
Finalmente, cabe aclarar que cuando existen más de tres incógnitas en una ecuación
lineal, la graficación de sus soluciones requiere más de tres dimensiones.
4444
REPASO TEÓRICO – Sección 1.5
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Cuál es la expresión general de una ecuación lineal
con tres incógnitas?
4. ¿Cuántos puntos se necesitan para determinar
un plano?
2. ¿Cómo se representa gráficamente el conjunto
solución de una ecuación lineal con tres variables?
5. ¿Cuál es la ecuación del plano coordenado xy?
3. ¿Qué signo tiene cada una de las coordenadas de
un punto ubicado en el primer octante?
6. ¿Cuál es la ecuación de un plano paralelo al
plano coordenado yz?
EJERCICIOS – Sección 1.5
1. Dé las coordenadas de todos los puntos que
aparecen en la siguiente figura, considerando
que el lado de cada rectángulo tiene longitud
uno.
K
I
B
A
J
L
C
H
E
D
G
2. Dada la ecuación 3 x + 5 y – 5 z = 30. Determine
las coordenadas de las intersecciones con los tres
ejes.
3. En la ecuación – x + 2 y – z = 8, determine las
coordenadas de las intersecciones con los tres ejes
coordenados.
4. Calcule la ecuación del plano paralelo al plano
coordenado x z, que corta al eje y en 7.
5. Grafique el conjunto solución de la ecuación en tres
variables 4x = 20.
6. Grafique el plano representado por la ecuación
x + y = 2.
F
1.6 – APLICACIONES
Ahora presentamos diversas aplicaciones de la ecuación lineal con dos incógnitas o ecuación de la recta, estudiada
en la sección 1.4. Concretamente, consideramos las ecuaciones lineales de la oferta y la demanda que se
presentan frecuentemente en problemas relacionados con la Administración y la Economía.
45
1.6.1 - Ecuación de Demanda
La cantidad de cada bien que los consumidores desean adquirir por unidad de tiempo,
depende en general de distintos factores tales como las preferencias (gustos), el
ingreso en ese período, los precios de los demás bienes y, sobre todo del precio del
bien en cuestión.
Si consideramos constantes todos los factores salvo el precio del bien, esto es, si
aplicamos la condición “Ceteris Paribus”, podemos hablar, por ejemplo, de la relación
entre la cantidad demandada y el precio de ese bien.
Bajo esta condición y para un precio determinado, la suma de las demandas
individuales nos da la demanda global o de mercado del bien en cuestión.
Podemos definir, entonces la demanda como la capacidad y deseo de comprar
determinadas cantidades de un bien a distintos niveles de precio en un determinado
período de tiempo, permaneciendo los demás factores constantes.
La cantidad demandada de un bien es la cantidad que los consumidores quieren y
pueden comprar. A través de la demanda vamos a examinar la conducta de los
compradores, que se relacionan con los vendedores a través de un mercado. En dicho
mercado se intercam bia un producto a un precio determinado por la interacción de la
oferta y la demanda.
Para estudiar el comportamiento de los consumidores partiremos de un ejemplo, que es
el mercado de discos compactos de música. ¿Cómo decide un consumidor, por ejemplo
Diego, cuántos CDs va a comprar al mes y qué factores influyen en su decisión?
Elaboramos una tabla de demanda en la que se
muestra cuántos CDs estaría dispuesto a comprar
Diego a distintos precios. Ésta refleja la relación entre
el precio de un bien y la cantidad demandada. Se
puede observar que a medida que el precio aumenta,
Diego compra una cantidad inferior.
Precio de un CD Cantidad demandada
(en dólares)
de CDs (mensuales)
6
12
8
10
10
8
12
6
14
4
Podemos representar gráficamente los valores de la tabla. Convencionalmente, el
precio del bien se encuentra en el eje de ordenadas y la cantidad demandada en el de
abscisas. La línea recta de pendiente negativa que relaciona el precio y la cantidad
demandada se llama curva de demanda .
Dicha curva de demanda tiene la siguiente forma:
Figura Nº 18
4646
Hemos considerado en la tabla anterior la demanda individual de un consumidor, pero
en un mercado hay muchos consumidores por lo que debemos elaborar la curva de
demanda del mercado, que se obtiene agregando las demandas individuales de todos
los consumidores que forman parte del mismo.
Tabla de la demanda del mercado:
Precio de un CD Cantidad demandada Cantidad demandada Cantidad demandada Cantidad demandada
de CDs (mensuales) de CDs (mensuales) de CDs (mensuales) de CDs (mensuales))
(en dólares)
Diego
Marcela
Javier
M ercado
6
12
10
12
34
8
10
7
11
28
10
8
6
10
24
12
6
5
9
20
14
4
4
8
16
Así pues, la cantidad demandada está relacionada negativamente con el precio del
bien. Esta relación es cierta en la mayoría de los bienes de la economía y, de hecho, es
tan general que los economistas la llaman ley de la demanda : manteniéndose todo lo
demás constante, cuando sube el precio de un bien, disminuye la cantidad demandada.
Pero ¿por qué tiende a disminuir la cantidad demandada cuando sube el precio?
Los motivos son dos:
o El primero se denomina efecto sustitución, y quiere decir que siempre que sube el
precio de un bien, de los discos compactos por ejemplo, lo puedo sustituir por otro
más barato que cubra la misma necesidad, por ejemplo las cintas de cassette, y
reducir así la cantidad demandada de aquellos.
o El segundo motivo se conoce como efecto renta , de modo que si sube el precio de
los CDs. pero no mi renta, baja mi poder adquisitivo y por ende mi demanda.
Para cada nivel de precio, existe una cantidad de ese producto que los consumidores
demandarán (comprarán) durante un cierto tiempo. Por lo general, a medida que el
precio aumenta la cantidad demandada disminuirá y por lo contrario, a medida que el
precio baja, la cantidad demandada aumentará.
Concepto de ecuación
de Demanda
Si el precio por unidad es p y la cantidad demanda es q (unidades) entonces, la
ecuación que vincula estas cantidades se llama ecuación de demanda.
Aunque muchas de las ecuaciones de demanda de la realidad no son lineales, se dan
casos en que la demanda es lineal o puede aproximarse por medio de ella. Estos
últimos son los casos que nos interesan.
47
n Ejemplo 1.27:
Una línea de autobuses ofrece paseos turísticos para visitar lugares de interés
en Córdoba. Uno de los paseos, que cuesta $7 por persona, ha tenido una
demanda de 1000 usuarios a la semana. Cuando se redujo el precio a $6, la
demanda semanal pasó a ser de 1200 usuarios. Suponiendo que la función de
demanda es lineal:
a) Encuentre la ecuación de demanda.
b) ¿Cuál será el número de usuarios que demandará el servicio, si el precio
baja a $5?
c) Realice una interpretación de la pendiente.
Definición de Incógnitas
p: precio del paseo
q: cantidad de personas que compran el paquete.
Planteo y Solución del Problema
Buscamos la ecuación de demanda sabiendo que es lineal, por lo que debemos
hallar los valores de m y n en la expresión: q = m p + n .
Conocemos también, que la recta debe pasar por los puntos (7, 1000) y
(6, 1200), ya que cuando el precio es de $7 la demanda es de 1000 unidades y
cuando es $ 6 la demanda es de 1200 pasajeros.
Para hallar el valor de la pendiente usamos la fórmula ya conocida:
m=
1200 - 1000
= – 200
6- 7
Por lo tanto nuestra ecuación será q = – 200 p + n. Falta encontrar el valor de
la ordenada al origen n. Para esto tomamos cualquiera de los puntos que
pertenecen a la recta y como sabemos que verifican la ecuación, podemos
reemplazar en la expresión encontrada hasta el momento y despejar n. De esta
forma tenemos:
1000 = – 200 x 7 + n
1000 = – 1400 + n
2400 = n
Finalmente, la ecuación lineal que representa la demanda semanal de pasajes
es:
También puede expresarse como:
−q + 2400
o bien como:
p=
200
q + 200p = 2400
4848
q = – 200 p + 2400
Note: Nosotros hemos expresado la demanda a partir del precio, pero
recuerde que cuando graficamos colocamos la cantidad demandada
en el eje de abscisas y el precio en el eje de ordenadas.
Conclusión
a) La ecuación que representa la demanda semanal de pasajes es:
q +200 p = 2400
b) Para conocer la cantidad de pasajeros que demandarán el servicio cuando el
precio baja a $5, es suficiente reemplazar el valor del precio en la ecuación
encontrada y calcular el valor de la demanda (q). Es decir:
q = – 200 p + 2400 reemplazando por p = 5 tenemos
q = – 200(5) + 2400 = 1400
Recuerde:
Se grafica sólo en el primer
cuadrante, ya que en los
otros implicaría precios
negativos o cantidades
demandadas negativas o
bien ambas.
Característica de la
ecuación de demanda
Por lo cual podemos afirmar que cuando el precio del pasaje es de $5
tenemos una demanda semanal de 1400 pasajes.
c) La pendiente de la ecuación de demanda es m = – 200. Este valor significa
que cuando el precio del pasaje disminuye un peso, la demanda de pasajes
aumenta en 200 unidades.
Importante: La ecuación lineal de demanda siempre tiene pendiente negativa . Es
decir, la recta es decreciente .
1.6.2 - Ecuación de Oferta
Desde el punto de vista del productor existen, de manera similar a la demanda, un
conjunto de factores que influyen en la cantidad de unidades de un cierto producto que
está dispuesto a ofrecer al mercado. Estos pueden ser la tecnología, los precios de los
factores productivos (tierra, trabajo, etc.) y el precio del bien que se desea ofrecer.
Bajo la condición de “Ceteris Paribus”, denominamos oferta a la relación existente
entre el precio de un bien y las cantidades de ese bien que un empresario desearía
ofrecer por unidad de tiempo.
La oferta global o de mercado será la suma de la cantidad que cada empresario pondrá
en el mercado para cada precio del bien.
Por lo tanto, para cada nivel de precio, existe una cantidad de ese producto que los
productores están dispuestos a ofertar (poner en el mercado) durante un cierto tiempo.
49
Por lo general, a medida que el precio aumenta la cantidad ofertada aumentará y por el
contrario, a medida que el precio baja la cantidad ofertada disminuirá.
Concepto de ecuación
de oferta
Si el precio por unidad es p y la cantidad ofertada es q (unidades) entonces, la
ecuación que vincula estas cantidades se llama ecuación de oferta.
Mientras que la ecuación de demanda muestra el comportamiento de los consumidores,
la ecuación de oferta muestra el comportamiento de los productores.
Característica de la
ecuación de oferta
En el caso que la ecuación de oferta sea de tipo lineal su pendiente es positiva, es
decir, la recta que representa esta relación es creciente .
De la misma forma que lo hicimos para el caso de la ecuación de demanda, analizamos
a continuación un ejemplo de aplicación del concepto de ecuación de oferta en un
problema concreto.
n Ejemplo 1.28:
Un economista piensa que existe una relación lineal entre el precio de mercado
de un determinado producto y el número de unidades que los proveedores están
dispuestos a introducir en el mercado. Dos observaciones indican que cuando el
precio es de $10 por unidad, la oferta semanal es de 30000 unidades y cuando
es de $12 por unidad, la oferta semanal es de 40000 unidades.
a) Determine la ecuación de oferta de este producto.
b) Dé una interpretación de la pendiente de la recta para este caso.
c) Si el precio del producto se eleva a $15, ¿cuál será la cantidad de unidades
que los proveedores están dispuestos a ofrecer?
d) ¿Cuál es el precio del producto, para el cual se ofrecen al mercado 20000
unidades?
Definición de Incógnitas
p: precio del producto
q: unidades que los proveedores están dispuestos a ofrecer.
Planteo y Solución del Problema
A partir del enunciado, extremos los siguientes datos:
5050
Precio
Unidades
$10
30000
$12
40000
Como conocemos que la relación entre el precio y la cantidad es lineal, debemos
encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (10, 30000) y
(12, 40000).
La pendiente de dicha recta es:
m=
40000 - 30000
10000
=
= 5000
12 -10
2
La ecuación obtenida hasta el momento es: q = 5000 p + n.
Para determinar el valor de n, reemplazamos en la ecuación por cualquiera de
los puntos que tenemos como dato:
30000 = 5000 (10) + n
30000 = 50000 + n
– 20000= n
Por lo tanto la ecuación que nos da la cantidad ofrecida para un precio
determinado es:
q = 5000 p – 20000
Note: El precio del producto no puede ser inferior a $4. ¿Por qué?
Conclusión
La ecuación de oferta también
puede expresarse como:
5000 p – q = 2000 o
p=
q + 20000
5000
a) La ecuación de oferta del producto es:
q = 5000 p – 20000
b) La pendiente de la ecuación de oferta es 5000, esto significa que cuando el
precio del producto aumenta un peso, la cantidad ofrecida crece en 5000
unidades.
c) Cuando el precio crece a $15 la cantidad ofrecida se encuentra
reemplazando p = 15 en la ecuación y calculando el valor de q (cantidad de
unidades ofertadas). Es decir:
q = 5000 (15) – 20000 = 55000
Como conclusión, afirmamos que los proveedores están dispuestos a ofrecer
55000 unidades del producto cuando su precio se eleva a $15.
La ecuación de oferta, se grafica al
igual que la de demanda en el
primer cuadrante.
d) De manera similar al apartado anterior, para encontrar el precio del producto
para que se ofrezcan 20000 unidades, debemos reemplazar q = 20000 y
despejar el valor de p.
51
20000 = 5000 p – 20000
40000 = 5000 p
8=p
Es decir, el precio del producto debe ser de $8 para que la cantidad ofrecida
sea de 20000 unidades.
REPASO TEÓRICO – Sección 1.6
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. Dé el concepto de ecuación de demanda.
2. Si la ecuación de demanda se supone lineal, ¿la
pendiente de la recta solución es positiva, negativa
o cero?
3. Dé una interpretación para la pendiente de la
ecuación de demanda.
4. Dé el concepto de ecuación de oferta.
5. Suponiendo que la ecuación de oferta es lineal, la
pendiente de la recta solución ¿es positiva,
negativa o cero?
6. Dé una interpretación para la pendiente de la
ecuación de oferta.
7. Las ecuaciones de oferta y de demanda, ¿son
siempre lineales?
EJERCICIOS – Sección 1.6
1. El dueño de una librería puede vender por día 50
mochilas a $39 y 150 a $33 . Encuentre la ecuación
de demanda, suponiendo que la relación entre precio
(p) y cantidad (q) es lineal.
2. Encuentre la ecuación de demanda diaria de latas de
tomate, suponiendo que ésta es lineal, si cuando el
precio es de $2 no se vende ninguna lata y cuando el
precio es $0 (se regala el bien), la demanda es de
100 latas. Realice una interpretación clara de la
pendiente y grafique el conjunto solución.
3. En la siguiente tabla se dan los precios en miles de
dólares de un nuevo modelo de automóvil de una
fábrica reconocida en nuestro país y sus
correspondientes demandas semanales en una
concesionaria de nuestra ciudad.
5252
Precio
Cantidad demandada
20
100
24
60
a) Encuentre la ecuación de demanda,
suponiendo que es lineal. Interprete la
pendiente.
b) Calcule la cantidad demandada cuando el
precio es de 15.000 dólares.
c) Encuentre el precio del automóvil cuando la
demanda semanal es de 120 unidades.
d) Grafique el conjunto solución de la ecuación de
demanda encontrada.
4. La demanda de cierta marca de heladeras está dada
2
por q= 500 – p, donde q es la cantidad demandada
5
y p indica el precio expresado en pesos. Se pide:
a) Cantidad de heladeras que demanda el mercado
cuando el precio es de $1.000.
b) Existen consumidores dispuestos a pagar $1500?
Justifique.
b) Grafique el conjunto solución de la ecuación de
oferta.
c) Encuentre la cantidad ofrecida cuando el precio
es de $10.
d) ¿Existen productores interesados en ofrecer
este producto si el precio es de $4? ¿Y si es de
$1? Justifique.
c) ¿Cuál es el mayor precio que el mercado acepta?
Justifique.
7. Si la relación entre el precio p, expresado en
pesos, y la cantidad ofrecida q de un cierto artículo
está dada por la ecuación q = 3/4p – 60, se pide:
d) Grafique el conjunto solución de la ecuación de
demanda.
a) Grafique el conjunto solución de la ecuación de
oferta.
5. Suponga que la fábrica de zapatos “Todo cuero” está
dispuesta a colocar en el mercado 50000 pares de
zapatos escolares cuando el precio es de $35 y
35000 cuando su precio es de $30. Obtenga la
ecuación de oferta. Suponga que la misma es lineal.
6. Dada la siguiente ecuación de oferta q – 2p = 5,
donde q es la cantidad ofertada y p indica el precio
expresado en pesos.
b) Calcule si hay algún precio para el cual la
cantidad ofertada es nula.
c) Calcule la cantidad de artículos ofrecidos al
mercado cuando el precio es de $1200.
8. Si se sabe que la pendiente de la curva de oferta
es m = 2.5 y que se pueden vender 20 artículos a
un precio de $240.000 cada uno, determine la
ecuación de oferta.
a) Realice una interpretación clara de la pendiente.
53
Solución del Problema Inicial
“Regocíjanse los monos
Divididos en dos bandos.
Su octava parte al cuadrado
En el bosque se solaza.
Con alegres gritos, doce
Atronando el campo están.
¿Sabes cuántos monos hay
en la manada, en total?”
Para la resolución de este problema debemos aplicar lo que hemos estudiado sobre ecuaciones
con una incógnita.
Definición de Incógnitas
x = cantidad de monos en la manada.
Planteo del Problema
El total de monos x se divide en dos grupos:
Primer grupo
(x/8)2
Su octava parte al cuadrado
En el bosque se solaza.
Segundo grupo
12
Con alegres gritos, doce
Atronando el campo están.
Por lo tanto la ecuación es:
( x / 8 ) 2 + 12 = x
54
54
Solución
Nos quedó planteada una ecuación de segundo grado con una incógnita. Resolviendo:
(x / 8)2 + 12 = x
(x / 8)2 – x + 12 = 0
(1/64) x2 – x + 12 = 0
Para encontrar los valores de x que verifican dicha ecuación, aplicamos la fórmula estudiada
en este capítulo en donde a = 1/64, b = –1 y c = 12:
1±
1-4.
2.
1
64
1
. 12
64
de donde se obtienen los siguientes dos valores para la incógnita x:
x1 = 48
x2 = 16
Conclusión
Existen dos respuestas posibles para este problema:
La manada estaba constituida por 48 monos, divididos en dos grupos. El primer grupo con 36
animales y el segundo con 12.
La manada estaba constituida por 16 monos, divididos en dos grupos. El primer grupo con 4
animales y el segundo con 12.
55
REPASO TEÓRICO – CAPÍTULO 1
Verdadero o Falso
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. De ser verdaderas justifíquelas desde la teoría; caso
contrario, de ser posible, dé un ejemplo que muestre su falsedad.
1. A toda ecuación se le puede determinar el grado.
2. La ecuación (x2 + 5) (x5 – 2) = 6 es de grado 10.
3. La ecuación x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) + 2 es una
identidad.
4. Una ecuación lineal con una incógnita puede no
tener solución.
5. Una recta paralela al eje y que pasa por x = x0 no
puede representarse por medio de una ecuación.
6. La ecuación 2x + 3 = 0 tiene por única solución
x = –3/2.
7. Si el discriminante de una ecuación cuadrática es
cero, entonces la ecuación tiene dos soluciones
reales iguales.
9. La gráfica del conjunto solución de x + y = 1 es
una recta paralela a la recta y = – x + 5.
10. Las rectas R1: x – 3y + 5 = 0 y R2: y – 3x = 7
son perpendiculares.
11. El par (x, y) = (–1, 3) es una de las soluciones de
la ecuación 3y + 2x = – 5.
12. El punto (x, y) = (–1, 1) está sobre la recta
3x – 2y =0.
13. La intersección de la recta 2x + 4y = 1 con el eje
x es ½ y con el eje y es ¼.
14. La pendiente de la ecuación de oferta es positiva.
15. La pendiente de la ecuación de demanda es
positiva.
8. El discriminante de x2 + x + 1= 0 es positivo.
Selección múltiple
En cada uno de los siguientes ejercicios elija todas las opciones correctas.
1. La ecuación 3x + 6= 0 , tiene por solución:
a) x = 0
c) x = –2
b) x = 2
d) x = 1
2. La ecuación 2x + 4 y = 8, es equivalente a :
a) y = 1 – 2x
c) 2x + 4y – 8 = 0
b) x + 2y = 8
d) x – 2y = 4
3. Sea la recta R1 cuya ecuación es 3x – 2y + 4 = 0 , entonces:
a) Una recta paralela a R1 tiene por pendiente – 2
c) R1 se interseca con el eje x en – 4/3.
b) La recta R1 tiene ordenada al origen 4
d) Es perpendicular a la recta 3x – 2y = 3
5656
4. Sea la recta R de ecuación 2x + y – 5 = 0 , entonces:
a) R tiene pendiente –2 y ordenada al origen –5.
c) R tiene pendiente –2 y ordenada al origen 5.
b) R tiene pendiente 2 y ordenada al origen 5.
d) R tiene pendiente 2 y ordenada al origen –5.
5. La recta que pasa por los puntos (0, 0) y ( –1 , 2) tiene por ecuación:
a) –x + 2y = 1.
c) x – 2y = 0 .
b) y + 2x = 0.
d) –2x + y = 0.
6. La recta paralela a 2x – 3y = 3 que pasa por el punto ( – 8,4) es:
a) 3y – 12 = – 2(x + 8).
c) 2y – 8 = –3(x + 8).
b) 3y – 12 = 2(x + 8).
d) 2y – 8 = 3(x + 8).
7. Cuál es la ecuación de una recta que pasa por ( 2, – 3) y es paralela al eje y:
a) y = 3
c) y = – 3
b) x = – 2
d) x – 2 = 0.
8. La recta cuya ecuación es 3x – 2y = – 1 es:
a) Paralela a la recta que pasa por (0, 1) y tiene
pendiente – 3/2.
c) Paralela a la recta que pasa por (–1, 2) y tiene
por pendiente 3/2.
b) Perpendicular a la recta que pasa por (0, 1) y
tiene pendiente 3/2.
d) Perpendicular a la recta que pasa por los
puntos (–1, 2) y (0, 4).
9. La recta 4x – 2y = 2, es:
a) Paralela a la recta que pasa por (0, –1) y (1, 2) .
c) Paralela a la recta que pasa por (0, –1) y corta
al eje x en 1/2.
b) Perpendicular a la recta que pasa por (0, 1) y
tiene pendiente 1/2.
d) Perpendicular a la recta que pasa por los
puntos (–1, 0) y (0, 1).
10. El conjunto solución de 2x – y = 3 es:
a) S = {(x, y) / y = 3 – 2x, x libre}.
c) S = {(x, y) / y = 3 + 2x, x libre}.
b) S = {(x, y) / y = – 3 – 2x, x libre}.
d) S = {(x, y) / y = – 3 + 2x, x libre}.
11. El punto ( x, y, z) = ( –1, 2, 0) es solución de:
a) 2x + 3y – z = 3
c) 2x + y – z = 0
b)
d) 4x – y + 4z = –1
x + 3y + z = 1
12. El conjunto solución de 2x + 3y - z = 1 es:
a) S = {(x, y, z)/z = –1 + 3y + 2x, x e y libres}.
c) S = {(x, y, z) / z = 1 + 3y + 2x, x e y libres}.
b) S = {(x, y, z)/z = 1 + 3y – 2x, x e y libres}.
d) S = { (x, y, z)/z= 1 – 3y + 2x, x e y libres}.
57
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
Indique las incógnitas y el grado de las siguientes
ecuaciones:
1. p2 +
2
5
p – p3 = 25
2
3. m – 2m =
1
4
2
m +1
1
5. 5 – y = 2x
3
2
2
7. – 9xy + z = –xy
1
2. − x + 4 = – x4
5
2
4. 3x – y = y +
4
5
1
6. z + 4z3– 6x= 7x4
7
8. (x – 1)(x + 3) = 0
9. ¿Es el par (x, y) = (2, 3) solución de la ecuación
del ejercicio 5? ¿y el punto (x, y) = (–4, 30)?
Justifique.
10. ¿Es x = 1 solución de la ecuación del ejercicio 8?
¿y x = –1? Justifique.
11. Dada la ecuación con dos incógnitas y = 4 – 2 z,
una solución es el par z = 1, y = 2. Esta no es la
única ya que tiene infinitas soluciones. Encuentre
dos soluciones más.
Determine qué operaciones fueron aplicadas a la
primera ecuación para obtener la segunda. Establezca
si estas operaciones garantizan o no que las ecuaciones
sean equivalentes. No resuelva las ecuaciones.
12. x – 5 = 4x + 10
x = 4x + 15
13. 16x – 8 = 32
x–½ =2
14. x = 5
x2 = 25
15. x2 – 2x = 0
x–2=0
16. x(x–1)(x+3)= x(2x+1)
(x–1)(x+3)=(2x+1)
Escribe dos ecuaciones equivalentes a cada una de las
siguientes
18. 3 x – 7 = 4
19. 7 + x – y = 0
Dé el conjunto de soluciones de las siguientes
ecuaciones de segundo grado:
588
23. x2 + 1 = – 2x
24. x2 + 1 = 0
25. x2 – 101 = 20
26. y2 + 2(y + 3) = 6
27. z2 + z + 1 = 0
28. ¿Alguna de las ecuaciones anteriores no posee
solución real? En caso afirmativo indique cuál o
cuáles y por qué.
29. Dada la ecuación x2 – k x + 10 = 6
a) ¿Para qué valores de k2 tiene única solución?
b) ¿Para qué valores de k2 tiene dos soluciones
reales?
c) ¿Para qué valores de k2 no tiene solución
real?
30. Resuelva la siguiente ecuación 2m4 + 6m2 = 8
31. Encuentre el valor de k tal que el punto
(x, y) = (4, –1) sea solución de la ecuación
2 k x + 3 y = 6.
Indique las intersecciones con los ejes de las
siguientes ecuaciones lineales y grafique el conjunto
solución
32. 15 x = 120
33. x – 4 = (x + y)/ 2
34. 4 x – 8 y = 0
35. Sin graficar, determine si los tres puntos dados
se encuentran todos sobre la misma recta.
P1 = (3, 8); P2 = (–1, 4)
y P3 = (–4, 0)
(Sugerencia: Encuentre la ecuación de la recta que
pasa por dos de ellos y sustituya en la misma las
coordenadas del tercero. Si la ecuación se satisface el
punto pertenece a la recta, en caso contrario no.)
36. Determine el valor de k tal que la recta que pasa
por los puntos (k, 1) y (2, –3) tenga pendiente
igual a 1.
17. 6x + 2y – 1 = 0
20. 4(x – 1)(x + 4) = 0
22. 5x – 6x = x 2
21. 2x2 – 5x = 3
37. Dé la ecuación de la recta que pasa por el punto
(x, y) = (6, 4) y además es:
a) paralela a la recta x + y = 0
b) perpendicular a la recta 2 x – 3 = y
Para cada uno de los siguientes problemas, plantee la
ecuación más conveniente y resuelva.
38. Si a un número se le suma el 30% de su
consecutivo se obtiene 83. ¿Cuál es el número?
39. Un negocio de computación, incrementó el mes
pasado un 12% el precio de las Notebook de una
marca reconocida. Este mes, debido a la proximidad
de las fiestas de fin de año, fijó para el equipo un
precio promocional de $5264, que significa una
reducción del 6% respecto del precio del mes
anterior. ¿Cuál es el precio que tenían estos equipos
originalmente?
40. Determine el número natural tal que la suma de su
cuadrado más su siguiente dé por resultado 21.
[Sugerencia: exprese el siguiente del número x como
x+1]
41. Dé el número entero tal que la suma del mismo más
el doble del siguiente es 17.
42. Encuentre dos números naturales consecutivos cuya
suma es 379.
43. Tres personas, que llamaremos A, B y C , se
asociaron para iniciar un cierto negocio. El señor A,
aportó una cantidad igual a ¼ del total invertido. El
señor B contribuyó con $5000 más que A, y el señor
C invirtió $5000 más que B. ¿Cuál fue la inversión
total?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
Cantidad depositada en millones
44. El Gerente de un banco representó gráficamente la
cantidad total depositada en millones de pesos por
sus clientes en los últimos cinco meses. El gráfico
obtenido fue el siguiente:
1
Meses
1
2
3
4
5
a) Dé la ecuación de las rectas que reflejan la
situación de los depósitos en los siguientes
períodos:
a1) Entre el primer mes y el segundo.
a2) Entre el segundo y el tercer mes.
a3) Entre el tercero y el cuarto mes.
a4) Entre el cuarto y el quinto mes
b) Indique cuáles fueron los meses donde los
depósitos fueron más altos y más bajos.
c) Relacione las pendientes de cada una de las
rectas representativas de lo ocurrido con los
depósitos en cada período, con el crecimiento
y decrecimiento de los mismos.
d) ¿Cuál fue el período donde los depósitos
crecieron más rápidamente?
[Sugerencia: interprete la pendiente de la recta].
Si se representa con p el precio y con q la cantidad,
indique cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones
representan leyes de oferta o de demanda y cuáles
ninguna de ellas.
45. p – 3q = 0
46. p – 3 = 0
47. 2p + 3q –15 = 0
48. p + 3q =0
49. 2q – 5 =0
50. 3p – 5q +4 =0
51. p = 10 – 2q
52. p =3/2 q + 3
53. 2p + 3q = 10
54. q = – 3p – 1
55. A un precio de $50 por tonelada, la demanda de
un cereal es de 450 tn, mientras que la oferta es
de 330 tn. Si el precio se incrementa en $10
por tonelada, la oferta y la demanda serán de
420 y 440 respectivamente. Encuentre las
ecuaciones de oferta y de demanda, suponiendo
que pueden representarse con una ecuación
lineal.
56. Encuentre la ecuación de oferta lineal de
entradas al cine, si cuando el precio es de $5 no
se ofrecen entradas y por cada $2 de aumento
en el precio se dispone de 30 entradas más.
Grafique el conjunto solución.
59
57. En la siguiente tabla figuran los precios en pesos de
indumentaria deportiva y sus correspondientes
demandas mensuales.
Precio
Cantidad demandada
$ 220
1000
$ 250
850
Si la demanda es lineal se pide:
a) Encuentre la ecuación de demanda.
b) ¿Cuál es la demanda cuando el precio es $150?
c) Encuentre el precio cuando la demanda es de
500 unidades.
58. ¿Cuál es la ecuación de oferta del mercado de
inmuebles, si cuando el precio (en miles) es de $50
hay disponibles 50 viviendas y cuando el precio es
de $75 se ofrecen 50 viviendas adicionales?
59. Un fabricante de televisores advierte que a un precio
de $500 por televisor, las ventas alcanzan 2000
unidades al mes, mientras que a $450 por televisor,
las ventas son de 2400 unidades.
a) Determine la ecuación de demanda asumiendo
que se ajusta a un modelo lineal.
b) ¿Qué precio debe fijar el fabricante, si espera
vender 3000 televisores mensuales?
60
60. Para una empresa, se establece que la ecuación
de oferta es p = q + 48 mientras que la
ecuación de demanda es p = – 3q + 88.
Determine el valor del precio para el cual la
cantidad demandada es igual a la cantidad
ofrecida.
61. Una empresa que distribuye computadoras, ha
determinado que sus ecuaciones de oferta y
demanda son respectivamente:
qo = 2p – 5
qd = 150 – 3p
Determine el valor de p (precio) para el cual la
oferta y demanda sean iguales.
62. Una petrolera prevé que su producción en el
tercer trimestre del 2004 sea un 11% superior a
la del mismo período del año anterior y 2%
inferior a la del segundo trimestre del 2004,
cuando su producción fue de 3.971 millones de
barriles por día.
a) ¿Cuál fue la producción de esta petrolera
durante el tercer trimestre del 2003?
b) ¿Cuál fue la producción del tercer trimestre
de 2004?
c) Si en el primer trimestre el próximo año
piensa incrementar su producción a 4 millones
de barriles diarios, ¿en qué porcentaje
aumentará su producción respecto del tercer
trimestre de 2004?
Capítulo 2
Contenidos
2.1– DEFINICIÓN Y SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
2.1.1 – Clasificación de los sistemas según sus soluciones
2.2 – MÉTODO GRÁFICO DE RESOLUCIÓN
2.3 – MÉTODOS ANALÍTICOS DE RESOLUCIÓN
2.3.1 – Método de Sustitución
2.3.2 – Método de Igualación
2.3.3 – Método de Reducción o Eliminación
2.4 - APLICACIONES
Objetivos
•
•
•
•
•
•
Promover el conocimiento de distintos métodos de resolución de sistemas de
ecuaciones dos por dos.
Facilitar la selección y aplicación de métodos de resolución adecuados al
requerimiento de la situación planteada.
Establecer, a partir del enunciado de un problema, los vínculos conformes entre
datos e incógnitas.
Utilizar la relación entre resolución analítica y su significación geométrica para
afianzar el conocimiento.
Realizar el análisis de los resultados obtenidos conforme a la teoría desarrollada
y a la situación planteada.
Favorecer la transferencia de los conceptos teóricos a la modelación de
situaciones reales.
61
Problema
Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a
muchos matemáticos a lo largo de la historia. Así, se conoce la existencia de problemas
resueltos por procedimientos algebraicos que datan del año 1900 A.C..
Isaac Newton (inglés, 1642 – 1727) en su manual de Álgebra titulado Aritmética Universal
escribió:
“Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de
cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma
algebraico”.
Te proponemos seguir la recomendación de Newton intentando un planteo y posterior
resolución del siguiente problema:
Dos empresas de transporte de nuestra ciudad realizan mudanzas dentro del territorio
nacional, y han establecido distintas políticas para sus tarifas. “Mueble Seguro” cobra
$15 por cada kilómetro que se debe recorrer, mientras que “Todo Transporte” cobra
un valor fijo de $400 más $5 por cada kilómetro. De acuerdo a esta información, es
claro que una de estas empresas es más conveniente para los viajes cortos y la otra
para los viajes de mayor kilometraje. ¿Cuál es la que conviene contratar para los viajes
cortos? ¿A partir de cuántos kilómetros deberíamos contratar a la otra empresa?
Luego que desarrollemos el concepto de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas,
podremos responder al desafío planteado contando con las herramientas adecuadas. Por ello
realizamos una explicación y una representación gráfica de este problema al final del capítulo.
62
CAPÍTULO
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Las ecuaciones lineales con dos incógnitas o ecuación de la recta nos permitieron resolver algunos problemas
prácticos, pero existen otros de mayor complejidad, cuya “modelación” requiere de más de una ecuación lineal, es
decir, necesitan para su resolución de un “sistema de ecuaciones lineales”.
Supongamos, por ejemplo, que una fábrica produce dos artículos que deben pasar por dos departamentos
diferentes. Se dispone de una cantidad de horas diarias de trabajo en cada departamento y cada producto necesita
diferentes tiempos de trabajo en cada uno de ellos. Los dueños de dicha fábrica necesitan saber cuántas unidades
de cada uno pueden fabricar diariamente para organizar las entregas de los artículos demandados.
Este es un problema clásico que requiere de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas para su
resolución, al igual que el de las empresas de mudanzas con el que iniciamos este capítulo. Estos son sólo dos de
tantos problemas que surgen de la realidad.
Aquí expondremos diferentes métodos que nos permiten encontrar las soluciones de estos sistemas, cuyas
ecuaciones no se pueden resolver en forma aislada.
2.1 – DEFINICIÓN Y SOLUCIONES
Sistema de dos
ecuaciones lineales
con dos incógnitas
Definición 2.1: Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste
de dos ecuaciones de la forma:
 a1 x + b1 y = c1

 a2 x + b2 y = c 2
donde a1, b1, a2 y b2 son constantes llamadas coeficientes del
sistema, c1 y c2 también son constantes llamadas términos
independientes, mientras que x e y son variables llamadas
incógnitas del sistema.
Observe: Cada una de las ecuaciones que componen el sistema tiene la expresión
general de las ecuaciones lineales con dos incógnitas estudiadas en la
sección 1.4.
Dimensión de un
sistema de
ecuaciones
Una forma de caracterizar un sistema de ecuaciones lineales, es a través de su
dimensión, es decir indicando la cantidad de ecuaciones y de incógnitas que contiene.
En general, un sistema de orden mxn tiene m ecuaciones y n incógnitas. En esta
sección, los sistemas que estudiamos son de dimensión 2x2.
63
Sistemas
homogéneos y no
homogéneos
Otra forma de caracterizar un sistema, es por medio de sus términos independientes. Si
todos son nulos, el sistema se dice homogéneo, caso contrario (es decir, si al menos
uno de los términos independientes es distinto de cero) el sistema se dice no
homogéneo.
n Ejemplo 2.1:
 4x − 5y = 1
 x + 6y = 0
a) En el sistema de ecuaciones 
las incógnitas son x e y.
Los coeficientes de la incógnita x son 4 y 1, mientras que los de la incógnita y
son – 5 y 6. Los términos independientes son 1 en la primera ecuación y 0
en la segunda.
Este sistema no es homogéneo, pues no todos sus términos independientes
son iguales a cero.
 −2 x1 + 4 x 2 = 0
las incógnitas son x1 y x2.
 3 x1 + 8 x 2 = 0
b) En el sistema de ecuaciones 
Los coeficientes de x1 son –2, y 3 mientras que los de x 2 son 4 y 8. Los
términos independientes, tanto de la primera como de la segunda ecuación,
son iguales a cero, por lo que este sistema es homogéneo.
Ya sabemos identificar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, ahora
nuestro objetivo consiste en encontrar el conjunto solución de dichos sistemas.
Solución de un
sistema de
ecuaciones 2x2.
Lo importante de
este concepto es que
las soluciones sean
comunes a ambas
ecuaciones.
Definición 2.2: Se llama Solución de un Sistema de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas x e y, al conjunto S formado por todos los pares de
valores (x, y) de las incógnitas que satisfacen simultáneamente las
dos ecuaciones del sistema.
Esto es:
S = {(x, y) que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema}
De acuerdo a esto, resolver un sistema 2x2 significa encontrar el conjunto solución.
n Ejemplo 2.2:
Los subíndices utilizados
nos sirven para denotar
dos puntos distintos del
plano.
6464
Los pares (x0, y0) = (3, 1) y (x1, y1)= (1, –5) ¿son solución de
 2x + 3y = 9
?

 3x − y = 8
Solución
Para responder esta pregunta, debemos simplemente comprobar si cada uno de
estos pares verifican simultáneamente las dos ecuaciones que componen el
sistema. Es decir, debemos reemplazar los valores de x e y en ambas
ecuaciones y controlar si se satisfacen las igualdades.
• Para el par (x0, y0) = (3 , 1) , tomamos x = 3 e y = 1 y obtenemos:
El par (3, 1) es solución de
la primera y de la segunda
ecuación. Es decir, es una
solución que comparten.
en la primera ecuación 2(3)+ 3 (1) = 6 + 3 = 9 entonces la verifica
en la segunda ecuación 3(3) – 1 = 9 – 1 = 8 también la verifica
Por lo tanto el par (x0, y0) = (3, 1) es solución del sistema.
• Para el par (x1 , y1) = (1, –5), reemplazamos por x = 1 e y = –5
en la primera ecuación 2(1) + 3(–5) = 2 – 15 = –13 ≠ 9
Observe: El par (1, – 5) es
solución de la segunda
ecuación 3(1) – (–5) = 8.
Esto no basta para ser
solución del sistema.
Por lo tanto, como no verifica una de las ecuaciones, entonces
(x1, y1) = (1, –5) no es solución del sistema.
En este momento del desarrollo del tema cabe preguntarnos,¿siempre es factible hallar
al menos un par de valores (x, y) de las incógnitas que sean solución de un sistema
2x2? y en caso afirmativo, ¿cuántos podremos encontrar? Estos interrogantes los
respondemos en la siguiente sección.
2.1.1- Clasificación de los sistemas según sus soluciones
Dependiendo de la cantidad de soluciones que tiene, podemos clasificar los sistemas de
dos ecuaciones lineales con dos incógnitas en:
Determinado: única solución.
Soluciones que
admite un sistema
de ecuaciones
¦ Compatible o Consistente
(si admite solución)
¦
Indeterminado: infinitas soluciones.
Incompatible o Inconsistente: si carece de solución.
Esta clasificación nos aclara nuestros interrogantes. En un sistema de ecuaciones
lineales con dos incógnitas sólo se pueden presentar tres situaciones: o bien no tiene
solución, o bien tiene una, o bien tiene infinitas. Consecuentemente, nunca
encontraremos un sistema de estas características, por ejemplo, que tenga
exactamente tres soluciones.
La siguiente interpretación geométrica nos permite comprender y reforzar esta
afirmación.
65
Ver Sección 1.4
Cada ecuación del sistema es lineal con dos incógnitas por lo que sus soluciones se
representan como una recta en el plano. Luego, como el sistema contiene dos
ecuaciones, tenemos dos rectas en el plano. Asociando estos conceptos, vemos que la
solución del sistema será el conjunto de puntos en común que tienen ambas rectas.
La ubicación de las dos rectas en el plano nos determinan las distintas soluciones del
sistema. Las dos rectas pueden:
y
• ser paralelas no coincidentes, en cuyo caso no tienen
ningún punto (x, y) en común, es decir que sea
solución de las dos ecuaciones del sistema a la vez. En
este caso el sistema es incompatible, o sea no tiene
solución.
x
Figura 2.1
y
Recta Solución
x
• ser paralelas coincidentes, el sistema tiene infinitas
soluciones, esto es, todos los puntos ubicados sobre la
recta satisfacen las dos ecuaciones simultáneamente.
El sistema es compatible indeterminado.
Figura 2.2
• cortarse en un punto (x, y), siendo éste la única solución
que comparten ambas ecuaciones del sistema.
El sistema es compatible determinado.
y
Solución
(x, y)
•
x
Figura 2.3
Note: En general, el conjunto solución de un sistema mx2, de m ecuaciones lineales
con dos incógnitas, gráficamente está representado por la intersección de m
rectas del plano.
n Ejemplo 2.3:
Basándonos en los conceptos adquiridos de rectas en la Sección 1.4 y
dependiendo de su ubicación en el plano, clasificamos los siguientes sistemas
según la cantidad de soluciones que tiene.
c) 
x + y = 1
x + y = 0
d) 
b) 
6666
 2x + y = 2
 4x + 2y = 4
 x+y=2
− x + y = 4
a) 
x + y = 0
x − y = 0
 x + 2y = 0
2x + 4y = 0
e) 
 x+y=1
2x + y = 0
f) 
Solución
Si la recta tiene ecuación
ax + by = c, su pendiente
es (–a/b).
Recuerde: Dos rectas son
perpendiculares si el producto
de sus pendientes es (–1).
(Sección 1.4.3)
Recuerde:
Dos rectas son paralelas si
tienen la misma pendiente.
(Sección 1.4.3)
Divida por dos la segunda
ecuación, ¿qué obtiene?
a) Analizamos las pendientes de las rectas solución de cada una de las
ecuaciones que componen el sistema. Como el producto de las mismas es
–1, las rectas son perpendiculares y se cortan en un punto. Podemos afirmar
que el sistema tiene única solución, es decir, es Compatible Determinado.
b) Las rectas que representan la solución de cada una de las ecuaciones del
sistema tienen pendiente igual a –1, es decir son rectas paralelas. Como
tienen diferente ordenada al origen no son coincidentes. Por lo tanto, el
sistema no tiene solución, es Incompatible o Inconsistente.
c) En este caso observamos que ambas rectas tienen pendiente –2 y ordenada
al origen 2. Es decir, son rectas paralelas coincidentes. Por lo tanto, el
sistema tiene infinitas soluciones, es Compatible Indeterminado.
• ¿Cuál es el conjunto solución del sistema?
Recuerde:
Dos rectas no paralelas en
el plano se cortan un único
punto.
d) Como el sistema es homogéneo, los términos independientes de las rectas
solución son cero, es decir, las rectas pasan por el origen de coordenadas.
Por otro lado, como las pendientes son distintas, las rectas se cortan en un
punto. ¿Podría identificar cuál?
El sistema tiene única solución.
e) Como el sistema es homogéneo, las rectas pasan por el origen del sistema
de coordenadas y como las pendientes son iguales, las rectas son paralelas
coincidentes. ¿Puede identificar alguna de las soluciones?
El sistema tiene infinitas soluciones.
f) La recta solución de la primera ecuación tiene pendiente – 1, mientras que la
pendiente de la segunda es –2. Es decir, las rectas no son paralelas, por lo
tanto se cortan en un único punto.
Concluimos entonces que el sistema tiene única solución, es Compatible
Determinado.
Generalizamos ahora para sistemas, el concepto de ecuaciones equivalentes definido
en el capítulo anterior.
Sistemas de Ecuaciones
Equivalentes
Definición 2.3: dos o más sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes si tienen
las mismas soluciones.
67
Las operaciones que
conservan equivalencia
se estudiaron en la
sección 1.1.1
Para pasar de un sistema a otro equivalente usamos las mismas operaciones
permitidas para pasar de una ecuación a otra equivalente.
Note: La importancia de este concepto consiste en que permite pasar de un sistema
en el que las soluciones no se advierten en forma clara, a otro más sencillo con
las mismas soluciones, a partir del cual resulta más fácil encontrarlas.
n Ejemplo 2.4:
 x+ y=4
 2x + 2y = 8
es equivalente a 
ya que éste se
2x
+
7y
=
1

 2x + 7y = 1
a) El sistema 
obtuvo al multiplicar la primera ecuación por 2.
 2x + 2y = 8
5y = − 7

2x+ 7y – (2x +2y) = 1– (2x + 2y)
y este último sistema es equivalente a 
pero, por la primera de las
ecuaciones, (2x + 2y) = 8, entonces
2x + 7y – (2x +2y) = 1– 8
5y = –7
ya que la última ecuación se obtuvo al restar a ambos miembros de la
segunda ecuación, el primer miembro de la primera ecuación (expresión que
contiene la incógnita) y de reemplazar una expresión por otra igual.
El tercer sistema es también equivalente al primero, esto es, el primero tiene
las mismas soluciones que el tercero.
 x − 3y = 3
 x − 3y = 3
es equivalente a 
3x
+
4y
=
−
2
4y = − 2 − 3x


b) El sistema 
pues
se obtuvo restando a ambos miembros de la segunda ecuación la expresión
3x.
Hasta el momento sabemos cómo pasar de un sistema a otro equivalente, si un par
ordenado (x, y) es o no solución y clasificarlos según las soluciones que pueda tener,
pero nada hemos dicho respecto de los procedimientos que nos permiten encontrar su
conjunto solución. Este es nuestro próximo objetivo.
Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones 2x2 se dividen en dos grupos:
gráfico y analíticos.
El método gráfico, consiste en resolver el sistema mediante la representación gráfica
de sus ecuaciones.
Los métodos analíticos son los que permiten la resolución del sistema sin necesidad
de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de equivalencia
entre sistemas, realizando simples operaciones aritméticas.
688
REPASO TEÓRICO – Sección 2.1
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Cuál es la forma general de un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas?
8. ¿Cuándo un sistema tiene infinitas soluciones?
Interprete geométricamente.
2. ¿Cómo se define el concepto de dimensión de un
sistema de ecuaciones?
9. ¿Cuándo es incompatible? ¿Cómo son las rectas
en este caso?
3. ¿Cuándo un sistema es homogéneo?
10. ¿Qué relación encuentra entre las pendientes de
las rectas que componen el sistema para que el
mismo posea o no solución?
4. Un sistema homogéneo, ¿puede carecer de
soluciones? Justifique.
5. ¿A qué llamamos solución de un sistema 2x2?
6. Un sistema de ecuaciones 2x2 ¿puede tener dos
soluciones?
7. ¿Cuándo un sistema es compatible determinado?
Interprete geométricamente.
11. ¿Cuándo dos sistemas son equivalentes?
12. ¿Cuáles son las operaciones que nos permiten
pasar de un sistema a otro equivalente?
13. Indique al menos dos operaciones que no nos
garantizan conservar las soluciones.
EJERCICIOS – Sección 2.1
Considere los siguientes sistemas de ecuaciones, para
responder los ejercicios del 1 al 7:
1

 x − y=0
2
 y − 4x = 0
2. ¿Cuáles de los sistemas lineales dados son
homogéneos? ¿Puede, sin resolverlos, indicar
al menos una solución de los mismos?
 −b + 2a = 0
 2a + 8b = 0
3. Para cada sistema de ecuaciones lineales,
indique: incógnitas y términos independientes.
 2x1 + 3x 2 = 4
 − x1 − 5 = x 2
b) 
c) 
 x 2 − y= 2
 x − 3y= − 2
d) 
 −3x − 4y= 0
e) 
2 + 3x= − 4y

 10 + 2x = 2y 3
f) 
 x − y = 5
 x =1
g) 
 y=0
 x − 2y ≥ 0

h) 
2
 x + 3 y = −6

a) 
 xy − 2= 0
 x − y= 2
i) 
1. Indique cuáles son sistemas de ecuaciones
lineales. Justifique las respuestas negativas.

j) 
x+ y=0
 2x − y = 0
4. ¿Es el par (x, y) = (0, 0) solución del sistema
del apartado e) ? ¿y del j) ? Justifique.
5. ¿Es x =1, y = 0, solución del sistema del
inciso b) ? ¿y del f) ? Justifique.
6. Analizando las pendientes de las rectas que
representan las ecuaciones de los sistemas
lineales con dos incógnitas, indique si el
sistema tiene solución o no. En caso afirmativo
diga cuántas y justifique su respuesta.
69
7. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema del apartado
g)?
10. 
Para los siguientes sistemas de ecuaciones, indique si
son compatibles o incompatibles. Clasifique por la
cantidad de soluciones.
Indique si los sistemas de ecuaciones dados a
continuación, son o no equivalentes. Justifique su
respuesta.
[Sugerencia: analice las pendientes y las ordenadas al origen
de las rectas que representan el sistema.]
 2x − y = 4
 x + 2y = 12
8. 
 3x + y = 1
 −9x + 3 = 3y
9. 
4x = y − 1

 y − 4x = − 2
 5x − y = 4
 2x − y = 4
11. 
 3x − 4y = 13
 3y+ 2x = 3
 9x − 12y = 39

 4x + 6y = 6
 4x + 5y = 335
 9x + 14y = 850
 y = 35

 x = 40
12. 
13. 
2.2 – MÉTODO GRÁFICO DE RESOLUCIÓN
Como hemos visto, cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
tiene por solución el conjunto de pares ordenados (x, y) que se ubican sobre una recta.
El método gráfico para resolver estos sistemas consiste en representar en el plano
ambas rectas y comprobar si se cortan, de ser así, dónde se intersecan.
Método Gráfico para
resolver un sistema
de ecuaciones 2x2.
Se representan gráficamente ambas rectas en un mismo sistema de ejes coordenados:
a) Si ambas rectas se intersecan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas x e y que verifican el sistema. Sistema compatible
determinado.
b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son
las respectivas coordenadas de todos los puntos de dicha recta. Sistema
compatible indeterminado.
c) Si ambas rectas son paralelas, no hay puntos en común, entonces el sistema no
tiene solución. Sistema incompatible.
n Ejemplo 2.5:
Resolvemos gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
−x + y = − 2
 2x − y = 1
a) 
 − x + 3y =12

b)  2
 − 3 x + 2y = 8

700
x + y = 0
x − y = 0
c) 
 x + 2y = 0
2x + 4y = 0
d) 
3x + y = 3

1
 x + 3 y = −1

e) 
Solución
Parar graficar una recta en el
plano basta conocer dos
puntos por los cuales pase.
Si bien usamos las
intersecciones con los ejes,
recuerde que puede buscar
cualquier par de puntos
solución de la ecuación.
−x + y = − 2
, buscamos los puntos de corte de cada recta
 2x − y = 1
a) Para graficar 
con los ejes x e y.
Para la recta representada por la primera ecuación:
si x = 0 entonces y = –2. Esto dice que
esta recta corta al eje y en – 2.
si y = 0 entonces x = 2. Es decir, corta
al eje x en 2.
para la segunda ecuación:
si x = 0 entonces y = –1. Corta al eje y
en –1.
1
2
si y = 0 entonces x = . Corta al eje x en
Figura 2.4
1
.
2
por lo tanto la representación gráfica de ambas rectas se puede ver en la
Figura 2.4.
La solución de este sistema es
única como lo podemos
comprobar a partir del gráfico.
No obstante, se nos hace difícil
de precisar con exactitud cuál es
el par ordenado solución del
sistema. Muchas veces esto se
soluciona utilizando escalas
adecuadas, otras no.
Es decir, que la única solución del sistema está dada por el punto de
intersección de ambas rectas. En otras palabras, el sistema es Compatible
determinado.
La solución es el par (x0, y0) = (–1, –3). Veremos cómo obtener esta
solución, aplicando un método analítico.
 − x + 3y =12

b) Para graficar  2
buscamos las intersecciones con lo ejes.
 − 3 x + 2y = 8

La recta solución de primera ecuación del sistema pasa entonces por los
puntos: (0,4) y (–12, 0).La recta de la segunda ecuación corta a los ejes los
mismos puntos. Es decir, ambas ecuaciones representan la misma recta.
Esto también se puede observar si despejamos la incógnita y en ambas
1

 y = 4 + 3 x
ecuaciones: 
y = 4 + 1 x

3
71
por lo tanto este sistema tiene infinitas
soluciones, representadas por los puntos
Para expresar las soluciones se
puede también despejar la
variable x. En este caso la
solución será:
S = {(3y –12, y) con y número
real}.
1
que pertenecen a la recta y = 4+ x.
3
podemos afirmar que el conjunto solución
es:
S = { (x, 4+
1
3
x), con x un número real} .
El sistema es Compatible Indeterminado.
Figura 2.5
x + y = 0
es homogéneo, por
x − y = 0
c) El sistema 
lo tanto sabemos que ambas rectas pasan
por el origen del sistema de coordenadas.
Calculemos otro punto por donde pasan.
Si x = 1, en la primera ecuación obtenemos
que y = –1, y en la segunda y = 1.
A la solución que asigna el
valor cero a todas las
incógnitas se la llama
TRIVIAL.
En otras palabras la primera recta pasa por
los puntos (0, 0) y (1, –1) mientras que la
segunda pasa por (0, 0) y (1, 1) como se
muestra en la figura 2.6.
Figura 2.6
Este sistema tiene entonces la única solución (x, y) = (0, 0).
Es compatible determinado.
 x + 2y = 0
es homogéneo,
2x + 4y = 0
d) El sistema 
entonces ambas rectas pasan por el (0, 0)
Calculemos otro punto por donde pasan.
Observe: el sistema
incluye dentro de sus
infinitas soluciones la
solución TRIVIAL, pues
las rectas pasan por el
origen.
7272
Si x = 2, en la primera ecuación obtenemos
que y = –1, y en la segunda también.
Entonces son coincidentes, como se muestra
en la figura 2.7.
Este sistema tiene infinitas soluciones, es
compatible indeterminado.
Figura 2.7
Su conjunto solución es: S= { ( x, y) = (–2y, y) , con y número real}
e) Buscamos dos puntos por los cuales pasen las rectas del sistema:
3x + y = 3

.

1
 x + 3 y = −1

En la primera ecuación, si x = 0 entonces
y = 3, mientras que cuando y = 0,
x = 1. Es decir, la primera recta corta al
eje y en 3 y al eje x en 1.
Para la segunda ecuación, si x = 0
entonces y = – 3, mientras que cuando
y = 0 entonces x = –1. Por lo tanto, la
segunda recta corta al eje y en –3 y al eje
x en –1.
Figura 2.8
Del gráfico observamos que estas rectas son paralelas no coincidentes.
No existen puntos en
común entre ambas
rectas.
(Figura 2.8)
El sistema carece de solución, es Incompatible.
Observe: Si bien este método nos permite encontrar las soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales 2x2, la mayoría de las veces resulta dificultoso
determinar con exactitud el valor de las incógnitas en el caso de única
solución. Esto se debe a las imprecisiones que naturalmente tiene una
representación gráfica. En consecuencia, es importante tener en cuenta
métodos analíticos de resolución de sistemas, ya que nos permiten
establecer con exactitud las soluciones.
Con respecto al método gráfico no ahondaremos más, ya que hemos estudiado con
detenimiento en el capítulo anterior cómo graficar soluciones de ecuaciones lineales con
dos incógnitas.
REPASO TEÓRICO – Sección 2.2
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿En qué consiste resolver gráficamente un
sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas?
3. Todos los sistemas de ecuaciones lineales 2x2
¿pueden representarse gráficamente como un par
de rectas en el plano?
2. ¿Cuáles son los pasos que se aconsejan para
resolver gráficamente un sistema 2x2?
4. ¿Qué tipo de soluciones puede tener un sistema de
tres ecuaciones con dos incógnitas?
73
EJERCICIOS – Sección 2.2
Resuelva los siguientes sistemas lineales 2x2,
utilizando el método gráfico. Luego determine en cada
caso si los pares (x, y) dados representan o no una
solución del sistema correspondiente:
x+y= 7
 x −y = −3
1. 
a) (–2, –5)
b) (5, 2)
c) (2, 5)
b) (–11, –6)
c) (–6,–11)
 x − 2y = 1
 2x − 3y = − 4
2. 
a) (11, 6)
 −3x + 3y = 0
 2x − 2y = 0
3. 
a) (1, 1)
b) (2, – 2)
c) (0, 0)
b) (3, –3)
c) (1, –1)
 −3x + 3y = 1
 2x − 2y = 0
4. 
a) (0, 0)
Encuentre gráficamente el punto intersección de las
rectas L1 y L2 que se dan a continuación:
5. L1: 2x + 3y – 4 = 0
L2: x – y – 1 = 0
6. L1: x – 5y + 2 = 0
L2: x + y + 1 = 0
7. L1: 6x – y + 2 = 0
L2: 6x + y – 2 = 0
8. L1: 2x1 + 3x2 = 4
L2: – x1 – 5 = x2
9. L1: –3a – 4b = 2
L2: 2 + 3a = – 4b
10. Encuentre dos ecuaciones de rectas tal que al
graficarlas se intersequen en el punto (2, –1),
es decir, que el sistema que conforman tenga a
dicho punto como única solución. Luego
verifique con el método gráfico que el sistema
construido cumple con la condición indicada.
11. Encuentre dos ecuaciones de rectas tal que al
graficarlas resulten paralelas no coincidentes, es
decir, que el sistema que conforman no tenga
solución. Luego verifique con el método gráfico
que el sistema construido cumple con la
condición indicada.
12. Encuentre dos ecuaciones de rectas tal que al
graficarlas resulten paralelas coincidentes, es
decir, que el sistema que conforman tenga
infinitas soluciones. Luego verifique con el
método gráfico que el sistema construido
cumple con la condición indicada.
2.3 – MÉTODOS ANALÍTICOS DE RESOLUCIÓN
Existen tres métodos analíticos o técnicas básicas para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales
2x2:
n Método de sustitución: Se despeja una incógnita en una ecuación y se la
sustituye en la otra.
n Método de igualación:
Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y
se igualan las expresiones obtenidas.
n Método de reducción: Se multiplican, en caso de ser necesario, las dos
ecuaciones por números convenientes de forma tal que
una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en
ambas. Al restarlas desaparece dicha incógnita.
7474
Cualesquiera de estos métodos es aplicable a un sistema 2x2, sólo que dependiendo
de la estructura del mismo a veces es conveniente usar unos más que otros.
También es posible aplicarlos a otros sistemas de dimensión mayor, con la condición de
que no tengan demasiadas ecuaciones o incógnitas debido a que resultan cálculos muy
engorrosos. Cuando esto ocurre, se aplican otros métodos que serán desarrollados en
el capítulo 4.
2.3.1 - Método de Sustitución
Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de
sustitución, se siguen los siguientes pasos:
Método de
Sustitución para
resolver un sistema
2 x 2.
1. Se despeja una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de
primer grado con una incógnita que resulta de esta sustitución.
3. Una vez calculada la primera incógnita se calcula la otra, reemplazando el valor
encontrado en la ecuación obtenida en el primer paso.
La incógnita que se despeja en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier
ecuación, no obstante, para facilitar los cálculos posteriores es importante realizar una
buena elección. Es decir, si por ejemplo en el sistema existe alguna incógnita con
coeficiente uno, conviene elegirla ya que esto nos puede evitar trabajar con fracciones.
n Ejemplo 2.6:
Resolvamos los sistemas del ejemplo 2.5 usando el Método de Sustitución.
−x + y = − 2
 2x − y = 1
a) 


− x + 3y =12
b)  2
 − 3 x + 2y = 8

 x + 2y = 0
2x + 4y = 0
d) 
3x + y = 3

1
 x + 3 y = −1

e) 
x + y = 0
x − y = 0
c) 
Solución
Puede si desea, despejar
la variable x.
a) De acuerdo con los pasos indicados anteriormente, despejamos la incógnita
y de la primera ecuación (observe que tiene coeficiente 1) y llegamos a:
y=x– 2
(1)
75
Luego reemplazamos esta expresión en la segunda ecuación y resolvemos la
ecuación lineal con una incógnita:
2 x – (x – 2) = 1 ⇒ 2 x – x + 2 = 1 ⇒ x + 2 = 1 ⇒ x = –1
El valor de x encontrado se sustituye en (1), entonces: y = –1 – 2 = –3.
Compare este resultado con
el obtenido cuando utilizó el
Método Gráfico.
Por lo tanto, el par (x, y) = (–1, –3) es la única solución del sistema. El
sistema es Compatible Determinado.
Para verificar que (–1, –3) es efectivamente solución basta con reemplazar
en el sistema y comprobar que satisface ambas ecuaciones.
b) Iniciamos el procedimiento despejando la incógnita x de la primera ecuación:
x = 3y – 12
(1)
Luego reemplazamos en la segunda ecuación x por la expresión obtenida:
–
Recuerde: Una Identidad es
una igualdad que es siempre
verdadera
2
(3y – 12) + 2 y = 8 ⇒
3
– 2y + 8 + 2 y = 8
⇒ 8=8
Obtuvimos como resultado una identidad. Esto dice que la igualdad se
verifica por todo valor de y.
Compare este resultado con el
obtenido cuando utilizó el
Método Gráfico.
Como conclusión obtenemos que y es la incógnita libre, mientras que el valor
de x se vincula con el de la incógnita y por medio de la relación encontrada
en (1).
También, se puede expresar
al conjunto solución como:
El conjunto solución es:
S = {(x,y) = (x, 4 + x/3), con
x un número real}
S = { (x, y)= (3y – 12, y); con y un número real}
El sistema tiene infinitas soluciones, es Compatible Indeterminado.
Para encontrar una solución particular, basta con dar un valor real cualquiera
a la incógnita y (incógnita libre) para luego calcular el valor correspondiente
de x.
A modo de ejemplo:
si y = 1, el par (x, y) = (– 9, 1) es solución del sistema, y
si y = 0, el par (x, y) = (– 12, 0) es otra solución particular del sistema.
Puede Ud. verificar que estos pares son solución reemplazando los valores
de las incógnitas en el sistema y comprobando que se verifican ambas
ecuaciones.
c) Comenzamos despejando la incógnita x de la primera ecuación:
x=–y
reemplazamos en la segunda:
(1)
–y–y=0
– 2y = 0
7676
por lo tanto :
y=0
Reemplazando en (1)
x=0
Este sistema tiene entonces como única solución la trivial.
S = { (x, y) = (0, 0)}.
El sistema es compatible determinado.
d) Despejamos la incógnita x de la primera ecuación:
x = – 2y
reemplazamos en la segunda:
2(– 2y) + 4y = 0
si operamos obtenemos la identidad
0 = 0.
Este sistema tiene entonces infinitas soluciones, por lo tanto es
compatible indeterminado.
e) Como el coeficiente de la incógnita y en la primera ecuación es 1, la
despejamos:
y=3–3x
(1)
Luego, reemplazamos el valor de y en la segunda ecuación por la expresión
encontrada en (1):
Recuerde:
Una Contradicción es una
igualdad que es siempre
falsa.
Compare este resultado con
el obtenido cuando utilizó el
Método Gráfico
x+
1
(3 – 3 x) = –1
3
⇒
x+1–x=–1
⇒ 1=–1
Hemos obtenido una contradicción. La igualdad no se verifica para ningún
valor de la incógnita x.
Por lo tanto, no existen pares (x, y) que sean solución del sistema. El
sistema es Incompatible.
Apliquemos este método para resolver el siguiente sistema lineal de tres ecuaciones
con dos incógnitas.
n Ejemplo 2.7:
 2x1 + 2x 2 = − 10

 2x1 + 3x 2 = 4
 −x − 5 = x
1
2

Solución
Como la incógnita x2 en la tercera ecuación se encuentra despejada, la
reemplazamos en la primera.
2x1 + 2(– x1 – 5) = –10 aplicando propiedad distributiva en el segundo
término
77
2x1 – 2 x1 – 10 = –10
realizando las operaciones convenientemente
– 10 = – 10
Observe que la primera
ecuación se obtiene de la
tercera multiplicando por 2.
Si en el primer reemplazo
hubiéramos obtenido un
valor para la incógnita x1,
deberíamos buscar el
correspondiente valor de x2
y luego controlar si el par
(x1, x2) es solución de la
segunda ecuación.
el haber obtenido una identidad significa que la primera y tercera de las
ecuaciones tienen el mismo conjunto de soluciones y representan la misma
recta.
El reemplazo de x2 en la primera ecuación no nos dio un valor determinado de
x1, entonces ahora debemos hacerlo en la segunda ecuación:
2x1 + 3(– x1 – 5) = 4
operando convenientemente
x1 = – 19
Sustituimos este valor en la tercera o primera ecuación, obtenemos el valor de x2
–(– 19) – 5 = x2
entonces
x2 = 14
Por lo tanto la única solución del sistema es S = { (x 1 , x2) = (–19, 14)}.
El sistema es Compatible Determinado y gráficamente dos de las rectas son
coincidentes y la tercera (solución de la segunda ecuación) la corta en el punto
encontrado.
2.3.2 - Método de Igualación
El Método de Igualación es en realidad una variante del de Sustitución. Para resolver un
sistema de ecuaciones con dos incógnitas por este método, debemos despejar la
misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar el resultado obtenido. De esta manera
se logra una ecuación de primer grado con una incógnita cuya resolución es muy sencilla.
Los pasos del proceso son los siguientes:
Método de
Igualación para
resolver un sistema
de ecuaciones 2 x 2.
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal con una
incógnita resultante.
3. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo el valor encontrado en
cualquiera de las ecuaciones despejadas en el primer paso.
7878
Lo mismo que en el Método de Sustitución, es importante seleccionar adecuadamente
la incógnita que se despeja en el primer paso, ya que una elección incorrecta puede
complicar los cálculos, aunque no cambia el resultado.
n Ejemplo 2.8:
Resolvemos los siguientes sistemas usando el Método de Igualación
 2x + 4y = − 3
 − x + 2y = 3
c) 
 6x + 4y = 2
 −9x − 6y = − 3
d) 
 x + y =−5
 2x + 2y = 6
a) 
 x+ y=0
 2x + 2y = 0
b) 
Solución
a) De acuerdo con los pasos sugeridos para el método, despejamos la incógnita
x de ambas ecuaciones:
3

 x = − 2y −
2

 x = 2y − 3
(1)
Luego igualamos ambas expresiones:
Observe que se obtiene
una ecuación lineal con
una incógnita que se
estudió en la Sección
1.2.1
–2 y –
3
=2y–3
2
–2 y – 2 y = –3 +
–4y=–
Puede reemplazar en
cualquiera de las
ecuaciones.
3
2
3
2
⇒
agrupamos los términos que contienen la incógnita
sumando
y=
3
8
reemplazamos en la segunda ecuación de (1), el valor de la incógnita y que
hemos encontrado.
18
9
3
6
x= 2   –3=   –3=–
=–
4
8
8
8
Recuerde verificar que el par
dado es efectivamente solución
del sistema.
9 3
), el sistema de ecuaciones es
4 8
La única solución es (x, y) = ( − ,
Compatible Determinado.
1 3

 y = 2 − 2 x
b) Despejando la incógnita y de ambas ecuaciones, resulta: 
 y= 1 −3x

2 2
Es evidente que al igualar ambas expresiones obtenemos la identidad 0 = 0.
Las dos rectas son coincidentes, por lo tanto la solución del sistema es
el conjunto de puntos que la determina.
79
El sistema tiene infinitas soluciones, es Compatible Indeterminado.
1 3
2 2




Su conjunto solución es S = (x, y) = (x, − x) con x número real 
 x = −5−y
 x = 3−y
c) Despejamos la incógnita x en ambas ecuaciones: 
Luego al igualar resulta:
–5–y=3–y
sumando la incógnita y a ambos miembros
–5=3
La contradicción obtenida indica que el sistema es Incompatible.
 x= −y
 x= −y
d) Despejamos x en ambas ecuaciones : 
Nuevamente, como en el inciso b) al igualar ambas expresiones, obtenemos
la identidad 0 = 0.
El sistema tiene infinitas soluciones, es Compatible Indeterminado.
Su conjunto solución es S = {(x, y) = ( − x, x) con x número real }
A continuación presentamos un ejercicio distinto de los anteriores que involucra un
sistema de ecuaciones lineales 2x2 y cuya resolución se puede lograr utilizando el
Método de Igualación.
n Ejemplo 2.9:
2

 y = kx − 3
Dado el sistema de ecuaciones 
 y = 3 x + 4 −1

5
3
Si bien el valor el valor que
buscamos es k, las incógnitas
del sistema de ecuaciones
siguen siendo x e y.
Se pide:
a) Dé el valor de k para el cual el sistema no tiene solución.
b) Es posible encontrar valores de k para el cual el sistema tiene infinitas
soluciones?
Solución
Como la incógnita y aparece despejada en el sistema, simplemente
comenzamos la resolución igualando las dos ecuaciones dadas. Así
obtenemos:
kx −
2
3
4
= x+
−1
3
5
3
kx −
8080
2
3
1
= x+
3
5
3
realizamos la suma en el segundo miembro
sumamos
2
a ambos miembros
3
kx =
Cuidado: Para dividir ambos
miembros por una expresión
que contiene k hay que
asegurarse primero que sea
distinta de cero.
3
x+1
5
restamos a ambos miembros
kx −
3
x=1
5
sacamos factor común x
(k −
3
)x=1
5
(1)
3
x
5
a) si k =
3
el sistema no tiene solución pues en (1) obtenemos 0 = 1.
5
b) si k ≠
3
en (1) despejamos x, entonces x =
5
1
3
k−
5
.
Para cada valor real de k obtenemos una única solución para x, y si
reemplazamos en una de las ecuaciones del sistema tenemos también un
único valor para la incógnita y.
Por ejemplo: para k = 1 tenemos que x =
5
11
e y=
.
2
6
2
5
• ¿Cuál será la solución del sistema si k = − ?
Conclusión
o no existe valor de k tal que el sistema tenga infinitas soluciones,
o si k =
3
5
carece de solución
3
5
tiene única solución.
o si k ≠ ,
2.3.3 - Método de Reducción o Eliminación
Consiste en pasar del sistema 2x2 que se quiere resolver a otro equivalente, es decir,
en multiplicar una o ambas ecuaciones por números reales adecuados que nos permita
igualar los coeficientes de una de las variables, para luego sumar o restar las
ecuaciones y anular dicha variable.
Concretamente los pasos que se deben seguir son:
81
Método de
Reducción para
resolver un
sistema de
ecuaciones 2x2.
1. Se multiplican, en caso de ser necesario, las ecuaciones por constantes
adecuadas, de manera que el coeficiente de una de las incógnitas resulte igual (o
de signo contrario) en ambas ecuaciones.
2. Se restan (o suman) ambas ecuaciones, de manera de eliminar una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación lineal en una incógnita que se obtiene. Si el resultado es
un valor para dicha incógnita, se la reemplaza en cualquiera de las ecuaciones para
despejar luego la incógnita restante.
Es importante observar con detenimiento el sistema antes de comenzar el
procedimiento de modo de elegir las operaciones más adecuadas en cada caso.
n Ejemplo 2.10:
Resolvemos los siguientes sistemas usando el Método de Reducción.
 4x + y = 5
 5x − 2y = 1
a) 
 − 2x + 2y = 1

3
 3x − 3y = − 2
b) 
 5x − 5y = − 6
c) 
 3x − 3y = − 1
w − 4z = 2

d) 
 3w − 4z = 0
 − x1 − 4x 2 = 0
 x1 + 3x 2 = 0
e) 
 − 3a − 4b = 2
2 + 3 a = −4b

f) 
Solución
Puede también, multiplicar la
primera por 5 y la segunda por
por – 4 y luego sumarlas. De
modo tal que la ecuación
resultante tendrá como única
incógnita a y.
a) En este caso es conveniente multiplicar la primera ecuación del sistema por
2, de manera que los coeficientes de la incógnita “y” resulten opuestos.
 8x + 2y = 10

 5x − 2y = 1
Como los signos son opuestos sumamos ambas ecuaciones para eliminar la
incógnita y
13x = 11
despejamos
x=
11
13
reemplazamos este valor en la primera ecuación para obtener el valor de la
segunda incógnita.
 11 
4  + y = 5
 13 
8282
 44 
 13  + y = 5


resolvemos
 44 
 21 
y=5– 
=  

 13 
 13 
⇒
Entonces, el sistema es Compatible Determinado y el conjunto solución

 11 21  
, 
 13 13  
es S = ( x, y ) = 

b) Para lograr signos opuestos en los coeficientes de la incógnita x del sistema
 −2x + 2y = 1


3 , multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por
 3x − 3y = − 2
 − 6x + 6y = 3
2. De esta forma el sistema resultante es: 
6x − 6y = − 3

Sumamos ambas ecuaciones y obtenemos la identidad 0 = 0.
Esto significa que el sistema es Compatible Indeterminado y que el
conjunto solución es:
1


+ x ) con x número real  .
S= (x,y)=(x,
2


Si se despeja la incógnita x, el
conjunto solución es:
S = { (x, y) = ( −
1
2
y un número real} .
+ y , y) con
La relación entre las incógnitas x e y se obtuvo despejando y de la primera
ecuación del sistema.
• ¿Se puede despejar el conjunto solución de la segunda ecuación?
Justifique.
 5x − 5y = − 6
 3x − 3y = − 1
c) Para resolver 
Se puede también, dividir la
primera ecuación por 5, la
segunda por 3 y luego
restarlas. Este procedimiento
nos obliga a trabajar con
fracciones.
Los coeficientes de la incógnita
z son iguales.
multiplicamos la primera ecuación por 3 y
la segunda por 5 para evitar trabajar con fracciones. El sistema equivalente que
resulta es:
 15x − 15y = − 18

 15x − 15y = − 5
Comos los signos de los coeficientes son iguales, conviene restar ambas
ecuaciones. Se obtiene la contradicción 0 = –13. El sistema es
Incompatible.

d) Restamos ambas ecuaciones de 
w − 4z = 2
 3w − 4z = 0
w – 4z – (3w – 4z) = 2 – 0
–2w = 2
⇒
w = –1
reemplazamos este valor de w en cualquiera de las dos ecuaciones y
obtenemos el valor para z.
3 

La solución del sistema es S = ( w, z ) =  −1, −   .


4 
El sistema es Compatible Determinado, tiene una única solución.
83
 − x1 − 4x 2 = 0
nos conviene, sumar ambas ecuaciones para eliminar
 x1 + 3x 2 = 0
e) En 
la incógnita x1.
x2 = 0 y por ende x1 = 0.
entonces – x2 = 0 ⇒
El sistema resulta Compatible Determinado y su solución es:
S = {(x, y) = (0, 0)}
 − 3a − 4b = 2
que los coeficientes de la incógnita a
2 + 3 a = −4b

f) Observamos en 
son opuestos, entonces podemos sumar ambas ecuaciones de manera tal
que el término con la incógnita a desaparezca y nos quede solamente una
ecuación con una incógnita, la b.
sumamos miembro a miembro
2–4b=2–4b
como se puede ver, nos queda una identidad.
Por lo tanto b puede ser considerado libre y el valor de a quedará supeditado
al mismo. La relación que las vincula se puede obtener despejando de
cualquiera de las dos ecuaciones. Si usamos la segunda:
Compare este resultado
con el obtenido en el
ejercicio 9 propuesto en la
Sección 2.2
a=
Si se despeja la incógnita b, el
conjunto solución es:
1 3
S = { (a, b) = (a, − − a )
2 4
con a un número real} .
− 4b − 2
4b
2
−
=−
3
3
3
Por lo que el sistema tiene infinitas soluciones, es decir, el sistema es
Compatible Indeterminado. Gráficamente las rectas representadas por cada
una de las ecuaciones, son coincidentes.


 4b 2

− , b  , ∀b ∈ ¡ 
 3 3


La solución general es: S = (a, b) =  −

Finalmente y a modo de resumen de lo estudiado, podemos afirmar que cualquiera sea
el método utilizado para resolver un sistema de ecuaciones lineales de orden 2x2,
las siguientes conclusiones son válidas.
8484
Si en algún momento de la resolución
obtenemos una identidad
El sistema es Compatible Indeterminado
y las rectas son paralelas coincidentes
Si en algún momento de la resolución
obtenemos una contradicción
El sistema es Incompatible y las rectas
son paralelas no coincidentes
En cualquier otro caso
El sistema es Compatible Determinado y
las rectas se cortan en un punto
REPASO TEÓRICO – Sección 2.3
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Cuáles son los métodos analíticos de uso más
frecuente para encontrar el conjunto solución de un
sistema de ecuaciones lineales 2x2?
2. ¿Cuál es el procedimiento para resolver un sistema
por el Método de Sustitución?
3. ¿Cuáles son los pasos recomendados para resolver
un sistema por el Método de Igualación?
4. Indique cómo procede para resolver un sistema de
ecuaciones lineales por el Método de Reducción.
5. ¿Qué se puede concluir si durante la resolución de
un sistema 2x2 se obtiene una identidad?
6. ¿Qué se puede afirmar si al resolver un sistema
2x2 se obtiene una contradicción?
7. ¿Cómo interpreta geométricamente el conjunto
solución de un sistema de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas? ¿y uno de tres ecuaciones
lineales con dos incógnitas?
EJERCICIOS – Sección 2.3
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por
el Método de Sustitución.
 2x − 5y = 4
1. 
 x − 3y = 2
 2x − y = 1

2. 
1
 − x + 2 y = 3
 6x + 3y = 2

2
 −2x − y = − 3

 3x − 2y = 4
 5x + 2y = 10
4. 
 2x = 5 − 4 y
 4=y
6. 
3. 
5. 
 3x − 2y = 4
 − x + 3y = 1
Resuelva los sistemas de ecuaciones lineales que
se dan a continuación aplicando el Método de
Igualación.
 2x − 5y = 4
7. 
 x − 3y = 2
Compare la solución con la
obtenida en el ejercicio 1.
1
 1
 2 x − 4 y = − 5
9. 
 − x +1 y = 6

2
 10
x − 2y = 4

8.  3
 5 x + 3y = 6

 2x − y = 4
 x + 2y = 6
10. 
Encuentre las soluciones de los siguientes sistemas
de ecuaciones lineales 2x2 usando el Método de
Reducción.
 − 4x + 8y = − 1

1
 2x − 4y = − 2
11. 

13. 
9x + y = 3
 − 3x − y = 2
 3x + 2y = − 5
 5x − 3y = 1
15. 
 2x − 5y = 4
 x − 3y = 2
12. 
Compare el resultado con
los del ejercicio 1 y 7.
1
y=3
3
 − 3x − y = 2



14. 
x+
 3x − 2y = 4
 − x + 3y = 1
16. 
Compare el resultado
con el del ejercicio 6
17. ¿Para qué valor de k el sistema siguiente no
tiene solución?
 3x + 2y = 4

 5x − ky = − 1
85
18. ¿Para qué valor de k el siguiente sistema tiene
infinitas soluciones? ¿Existe algún valor de k
para el cual tiene única solución?
b) Infinitas soluciones?
20. ¿Para qué valor o valores de k, el sistema:
 2x − y = 2

 −x+ y= k
 kx − y = 7

 3x + 2y = 1

 −6x + ky = 3
19. ¿Para qué valor o valores de k el sistema
 kx + 2y = 0
tiene:
homogéneo 
 3x − ky = 0
a) es compatible determinado?
b) es compatible indeterminado?
c) es incompatible?
a) Única solución?
2.4 – APLICACIONES
Al inicio de este capítulo se destacó que muchos problemas de la realidad pueden ser modelados con sistemas de
ecuaciones lineales. Por tal motivo, en esta sección analizamos algunos problemas de aplicación.
La resolución de problemas en general, y mediante sistemas de ecuaciones en particular, suele ser un proceso de
cierta complejidad para el que desafortunadamente no hay reglas fijas ni resultados teóricos que garanticen el éxito
en todas las ocasiones.
De todas formas, si hay algo que ayuda en cualquier caso a llegar a buen puerto en la resolución de un problema, es
el orden. Por ello hay que habituarse a proceder de un modo sistemático, respetando ciertas pautas en el desarrollo
de dicha resolución.
Las etapas que es conveniente considerar para resolver un problema son:
1. Comprender el problema.
2. Plantear el problema.
3. Resolver el problema (en este caso, el sistema).
4. Comprobar la solución.
5. Concluir
Analizamos con más detalle el significado de cada una de ellas:
8686
1. Comprender el problema.
• Leer detenidamente el
enunciado.
• Identificar los datos y las
incógnitas.
• Hacer un gráfico o un
esquema que refleje las
condiciones del problema.
2. Plantear el problema.
• Estudiar las relaciones entre
datos e incógnitas.
• Expresar las condiciones del
problema mediante
ecuaciones.
3. Resolver el problema.
• Elegir el método matemático
más adecuado y resolver las
ecuaciones o sistemas
resultantes de la etapa 2.
Leer detenidamente el problema, tantas veces como sea necesario hasta
asegurarse de comprenderlo con claridad.
Identificar y definir las incógnitas. Para esto, Ud. debe ser capaz de
responder la pregunta ¿Qué es lo que no se conoce? ¿Qué es lo que debo
averiguar? En general esto aparece en el enunciado a modo de pregunta.
Para definirlas es necesario adoptar una notación adecuada. Generalmente se
eligen las últimas letras del abecedario para indicar las cantidades desconocidas,
aunque en algunos casos resulta útil emplear letras que sugieran el significado
de las mismas, por ejemplo, t = tiempo, p = precio, etc.
Enumerar los datos, es decir, organizar en una tabla o lista los valores
extraídos del enunciado.
Plantear el problema, es encontrar una conexión entre los datos y las
incógnitas a fin de hallar el modelo matemático más adecuado para expresar
dicha relación. En nuestro caso, determinar si un sistema de ecuaciones es de
utilidad para representar el problema, y en ese caso, dar las ecuaciones que lo
conforman.
Seleccionar la metodología adecuada desde la teoría, dependiendo del
modelo matemático utilizado en el planteo del problema. Para el caso de los
sistemas de ecuaciones elegir el Método de Resolución más adecuado al
planteo del problema obtenido en la etapa anterior
• Asegurarse de realizar
correctamente las
operaciones.
4. Comprobar si la solución:
• Es única o no.
• Verifica la ecuación o el
sistema.
• Es acorde con el enunciado
Analizar la solución encontrada es verificar que el o los valores obtenidos
den respuesta al modelo matemático planteado, como así también, a la situación
problemática particular que se resuelve. Es decir, si por ejemplo las incógnitas
representan cantidades, tener en cuenta que los valores que adopten sólo
pueden ser números naturales.
y cumple las condiciones del
mismo.
5. Concluir
Concluir es expresar en modo coloquial la respuesta matemática encontrada,
de manera tal que pueda ser comunicada y comprendida por una persona no
experta.
87
n Ejemplo 2.11:
Una oficina de Contadores desea aprovechar la oferta de una gran librería de
nuestra ciudad. Se vende la caja de lapiceras de primera calidad a $15 y la de
diskettes a $10. Si con $180 se compraron en total 14 cajas, ¿cuánto dinero se
gastó en cajas de lapiceras?
Veremos dos maneras de plantear un sistema de ecuaciones para este problema.
La primera forma consiste en pensar que para responder a la pregunta planteada
nos puede ser útil conocer cuántas cajas de lapiceras se compraron, y luego
calcular cuánto se gastó en ellas. La segunda implica definir las incógnitas como el
gasto realizado.
Propuesta 1:
Si bien por costumbre se
usan como incógnitas las
letras x e y, nada impide
llamarlas con otras letras.
Se debe definir las incógnitas
para luego expresar
convenientemente las
soluciones del problema.
Definición de Incógnitas
x:
cantidad de cajas de lapiceras compradas.
y:
cantidad de cajas de diskettes compradas.
Planteo del Problema
Estamos ahora en condiciones de expresar algebraicamente la cantidad total de
cajas compradas, el costo de las cajas de cada artículo y el total gastado, lo que
nos permitirá encontrar el dato que necesitamos para resolver el problema.
Con frecuencia es útil, aunque no imprescindible, resumir la información dada en
el enunciado en una tabla como sigue:
Cantidad
comprada
Costo
unitario
Costo total
Cajas de lapiceras.
x
15
15 x
Cajas de diskettes.
y
10
10 y
Totales
14
Artículos comprados
180
A continuación, a partir de la tabla, expresamos matemáticamente las relaciones
encontradas:
x +
y=
14
15x + 10y = 180
Solución
Para resolver el sistema
usamos el Método de
Reducción
8888
Nuestro objetivo es conocer el valor de la incógnita x. Para ello, igualamos los
coeficientes de y en ambas ecuaciones multiplicando por 10 la primera. De esta
forma obtenemos:
10x + 10y = 140
15x + 10y = 180
A la segunda ecuación le restamos la primera:
5 x = 40
x representa la cantidad de
cajas de lapiceras
compradas
despejamos:
x = 8.
Es decir, la oficina de Contadores compró 8 cajas de lapiceras.
Pero lo que queremos averiguar es cuánto gastó en ellas, entonces como se
conoce el costo de cada caja, tenemos:
El precio de cada caja de
lapiceras es de $15
8 (15) = 120
Conclusión
La oficina de Contadores gastó $120 en cajas de lapiceras.
Observe: según esta propuesta la solución no está dada directamente por el valor
de x, sino que necesitamos ese valor para poder realizar la última
operación que nos dio el resultado.
Propuesta 2:
Definición de Incógnitas
Note: se cambió la
definición de las
variables del problema
Aquí nos podemos plantear que, como lo que necesitamos es saber cuánto se
gastó en cajas de lapiceras, definimos las variables como:
x : es la cantidad que se gastó en cajas de lapiceras
y : es la cantidad que se gastó en cajas de diskettes.
Planteo del Problema
Ahora la información que tenemos se puede traducir en la siguiente tabla:
Costo total
Costo unitario
Cantidad de cajas
compradas
Cajas de lapiceras.
x
15
x/15
Cajas de diskettes.
y
10
y/10
Totales
180
Artículos comprados
14
En este caso, el sistema a resolver es:
89
y
 x
+
= 14

15
10

 x + y = 180
Solución
De la misma forma que antes, multiplicamos la segunda ecuación por
1
, de
10
esta forma tenemos:
Utilizamos el Método de
Reducción para resolver
el sistema de ecuaciones
y
 x
 15 + 10 = 14

 x + y = 18
 10
10
Ahora a la segunda ecuación le restamos la primera, para eliminar la incógnita y:
x
x
=4
−
10
15
⇒
x
=4
30
⇒
x = $ 120
Conclusión
Como x representa lo que se gastó en cajas de lapiceras, tenemos que la
inversión fue $120.
La solución del problema se logró a partir de dos propuestas diferentes que generaron
distintos modelos matemáticos. Esto muestra que en general, no existe un único camino
para resolver un problema y que éste depende fuertemente de cómo definimos nuestras
incógnitas.
Note: En ninguno de los dos planteos tuvimos necesidad de encontrar el valor de la
incógnita y, que representaba en el primer caso la cantidad de cajas de
diskettes y en el segundo la cantidad de dinero pagado por ellas; en caso de
necesitarlo, también se hubiera podido obtener. Le dejamos a Ud. el cálculo de
la cantidad de cajas de diskettes compradas y el dinero gastado en ellas.
Existen también otros problemas relacionados más directamente con las empresas, que
pueden ser resueltos utilizando sistemas de ecuaciones.
Analizamos a continuación algunos de ellos.
n Ejemplo 2.12:
Una compañía tiene ingresos gravables por $ 312 000. El impuesto nacional es
el 25% (0.25) de la parte que queda después que el impuesto municipal ha sido
pagado. El impuesto municipal es un 10% (0.10) de la parte que queda
después que el impuesto nacional ha sido pagado. Encuentre el impuesto
nacional y el municipal.
9090
Definición de Incógnitas
x : importe a pagar en concepto de impuesto nacional.
y : importe a pagar en concepto de impuesto municipal.
Planteo del Problema
El impuesto nacional es el 25% de (312000 – y), es decir, de lo que queda
luego que el impuesto municipal y se ha pagado. Entonces:
x = 0.25 (312000 – y)
El impuesto municipal es 10% de (312000 – x), es decir, de lo que queda
luego que el impuesto nacional se pagó. Por lo que nuestra ecuación es:
y = 0.10 (312000 – x )
Por lo expresado anteriormente, el sistema a resolver es:
x = 0.25 (312000 – y)
(1)
y = 0.10 (312000 – x)
(2)
Solución
Reemplazamos en (2) el valor de x obtenido en (1):
Utilizamos el Método de
Sustitución para resolver
el sistema de ecuaciones
y = 0.10 (312000 – [0.25 (312000 – y )] )
x
aplicamos propiedad distributiva:
y = 31200 – 0.025 (312000 – y)
y = 31200 – 7800 + 0.025 y
despejamos la incógnita y
y (1 – 0.025) = 23400
realizamos las operaciones indicadas
y = $ 24 000
El valor de x lo obtenemos al reemplazar el valor encontrado de la incógnita
y en (1):
x = 0.25 (312000 – 24000)
⇒ x = $ 72 000
Conclusión
El importe a pagar en concepto de impuesto nacional es $ 72 000, mientras que
el municipal es $ 24 000.
91
n Ejemplo 2.13:
Un fabricante de muebles produce dos estilos de juegos de living. De la
experiencia de años anteriores ha determinado que pueden ser vendidos 40%
más de juegos del estilo A que del B. Si la producción total de juegos de living
asciende a 1200 unidades por semestre, ¿cuántos de cada clase debería
fabricar para ajustarse a las demandas del mercado?
Definición de Incógnitas
A: cantidad de juegos producidos del estilo A por semestre.
B: cantidad de juegos producidos del estilo B por semestre.
Planteo del Problema
La cantidad de juegos producidos por semestre se puede expresar como:
A + B = 1200
A es igual a la cantidad
vendida del tipo B más el
40% de ella.
Sabemos de la experiencia de años anteriores que se pueden vender 40% más
juegos del estilo A que del B. Esta situación la expresamos como sigue:
A = 0.40 B + B
Por lo tanto, el sistema a resolver es:
 A + B = 1200

A = 1.4 B

Solución
Por las características del sistema a resolver es conveniente usar el método de
Sustitución.
Reemplazamos el valor de A de la segunda ecuación en la primera y obtenemos
1.4 B + B = 1200
2.4 B = 1200
⇒
operamos convenientemente
B=
1200
2.4
⇒
B = 500
reemplazamos este valor en la segunda ecuación y despejamos A
A = 1.4 (500)
⇒
A = 700
Conclusión
Para ajustarse a la demanda del mercado se deben fabricar 700 juegos de
tipo A y 500 juegos de tipo B.
9292
Punto de equilibrio
Precio y cantidad de
equilibrio
En la Sección 1.6 estudiamos la ecuación de demanda que relaciona el precio unitario
de un producto con la cantidad demandada y la de oferta que vincula el precio unitario
con la cantidad suministrada u ofrecida. Cuando estas ecuaciones se grafican en el
mismo sistema de coordenadas, el punto donde se intersecan, se llama punto de
equilibrio.
El precio de equilibrio es aquel que se obtiene cuando la cantidad que se está
dispuesto a comprar es igual a la cantidad que se está dispuesto a vender, y a esta
cantidad se la llama cantidad de equilibrio.
De acuerdo con lo dicho anteriormente, si las ecuaciones de oferta y de demanda
son lineales, encontrar el punto de equilibrio consiste en resolver el sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas que forman la ecuación de demanda y de oferta.
n Ejemplo 2.14:
Observe:
La ecuación de demanda
tiene pendiente negativa
y la de oferta es positiva
Buscamos el punto de equilibrio de un determinado bien cuyas ecuaciones de
demanda y de oferta son:
q D = − 3 p + 85
q O=
2 p − 20
donde p = precio unitario, qD = cantidad demandada y qO = cantidad ofrecida
Solución
El precio de equilibrio se obtiene cuando la cantidad que se está dispuesto a
demandar es igual a la que se está dispuesta a ofrecer, es decir, cuando qD = qO.
Por lo tanto, podemos igualar las ecuaciones y obtenemos:
Al igualar la cantidad
demandada y ofertada,
obtenemos una ecuación
lineal en la incógnita p.
–3p + 85 = 2p – 20 ⇒ 85 + 20 = 2p + 3p
⇒
105 = 5p ⇒
pe =
105
5
⇒
pe = 21
El precio de equilibrio es 21 y reemplazando
este valor en cualquiera de las ecuaciones,
encontramos la cantidad de equilibrio.
qe = qe = 2 (21) – 20 = 22
Conclusión
Podemos afirmar que cuando el precio del bien es $21, la cantidad demandada y
la cantidad ofrecida es 22 unidades.
93
EJERCICIOS – Sección 2.4
Plantee y resuelva los siguientes problemas:
1. Una persona tiene en total 30 billetes de $2 y
$5 que hacen un total de $111. ¿Cuántos
billetes de $2 y cuántos de $5 tiene?
2. Un día determinado ingresaron a un cine 157
personas entre niños y adultos. El valor de la
entrada para los niños es $4 y para los adultos
$6. Si el ingreso total de ese día fue de $878,
¿cuántos niños y cuántos adultos ingresaron?
3. El administrador de una fábrica establece un
plan de producción de dos modelos nuevos de
un cierto producto. El modelo A requiere 4
unidades de la materia prima I y 9 de la
materia prima II. El modelo B requiere 5
unidades de la materia prima I y 14 de la II.
De sus proveedores, la fábrica obtiene
diariamente 335 unidades de la materia prima
I y 850 de la II. ¿Cuántos productos de cada
modelo debe producir por día la fábrica, de
modo que todas las materias primas sean
utilizadas?
4. Una compañía paga a sus vendedores además
de una cantidad fija, un porcentaje a los
primeros $200 en ventas, más otro porcentaje
sobre cualquier cantidad que exceda los $200.
Si un vendedor recibió en concepto de
comisión $14.9 por sus ventas de $315 y otro
recibió por el mismo concepto $12.2 por sus
ventas de $270. Encuentre los dos porcentajes
que se abonan en concepto de comisión.
5. La ecuación de demanda de un producto es
p = (–1/180) q + 12, y la ecuación de oferta
p = (1/300) q + 8, donde p representa el
precio por unidad del producto y q la cantidad
de unidades. Encuentre la intersección de
dichas rectas (llamado punto de equilibrio del
mercado).
6. Una compañía fabrica dos productos A y B que
deben pasar por dos departamentos diferentes,
que llamaremos I y II. El producto A requiere 2
horas de trabajo en el departamento I y 5
9494
horas en el II, mientras que el B necesita 4 horas
en el departamento I y 6 en el II. Si la fábrica
dispone de 32 hs. semanales en el departamento I
y 56 hs. semanales en el II, ¿cuántas unidades de
cada producto puede fabricar por semana si
completa totalmente las horas de trabajo
disponible?
Determine la cantidad (ofrecida y demandada) y el
precio de equilibrio para los mercados en los cuales
se verifican las siguientes leyes de demanda y oferta.
Siendo:
p = precio unitario
q D = cantidad demandada
q O = cantidad ofertada
7. q D = –2 p + 30
q O = 2 p – 10
8. q D = –10 p + 200
q O = 6p – 40
9. q D + 3 p – 630 = 0
q O – p + 170 = 0
10. La empresa “Buena Letra” pondrá en el mercado
una nueva impresora láser. Un estudio de mercado
ha determinado que la demanda de las mismas
sigue la ecuación 3q + 2p = 2550, mientras que
la ecuación de oferta que establece la empresa es
p = 6q + 150. Calcule la cantidad que equilibra
el mercado y el precio correspondiente a dicha
cantidad.
11. Los productores de calculadoras “Cuentas
Claras” han determinado que si su nuevo producto
se vende a $120 pondrán en el mercado 200
unidades mientras que si el precio se aumenta en
$50 ofrecerán 300. Un estudio de mercado ha
determinado que la demanda de dicha calculadora
sigue la siguiente ecuación q + 2p = 560.
Calcule la cantidad que equilibra el mercado y el
precio para dicha cantidad. Suponga que la oferta
tiene un comportamiento lineal.
Solución del Problema Inicial
Dos empresas de transporte de nuestra ciudad realizan mudanzas dentro del territorio nacional y
han establecido distintas políticas para sus tarifas. “Mueble Seguro” cobra $15 por cada
kilómetro que se debe recorrer, mientras que “Todo Transporte” cobra un valor fijo de $400 más
$5 por cada kilómetro. De acuerdo con esta información, es claro que una de estas empresas
es más conveniente para los viajes cortos y la otra para los viajes de mayor kilometraje. ¿Cuál es
la que conviene contratar para los viajes cortos?¿A partir de cuántos kilómetros deberíamos
contratar a la otra empresa? Realice una interpretación gráfica de este problema.
Definición de Incógnitas
Debemos establecer una relación entre los kilómetros que se recorren desde el origen hasta el
destino de la mudanza y el importe a pagar por el servicio. Así, podemos conocer para una
cantidad de kilómetros dada, la tarifa que cobra cada empresa y de esa manera elegir la más
conveniente. De acuerdo con esto las incógnitas son:
x = cantidad de kilómetros recorridos
y = cantidad de dinero a pagar por la mudanza.
Planteo del Problema
El valor 15 de la
pendiente, indica que el
costo de la mudanza
aumenta $15 por cada
kilómetro recorrido.
La pendiente de la
recta indica en este
caso que el costo de la
mudanza crece $5 por
cada kilómetro
recorrido.
La empresa “Mueble Seguro” cobra $15 por cada kilómetro, entonces
como x representa la cantidad de kilómetros recorridos, el importe total
del viaje es y = 15x. Es decir, si por ejemplo debemos recorrer 100
kilómetros, el costo de la mudanza será de $1500. La relación entre las
incógnitas también puede expresarse como y – 15 x = 0, que de
acuerdo con lo estudiado es una ecuación lineal con dos incógnitas y
el conjunto solución está formado pon los puntos ubicados sobre la recta
cuya pendiente es 15 y la ordenada al origen es cero.
Por otro lado, la empresa “Todo Transporte” cobra un valor fijo de $400
y $5 por cada kilómetro que transporta la mercadería. Entonces, el costo
de la mudanza es y = 400 + 5x que también puede expresarse como
y – 5 x = 400. Nuevamente tenemos la ecuación de una recta de
pendiente 5 y ordenada al origen 400.
95
Solución
El problema está matemáticamente expresado por dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, es decir, por dos ecuaciones de rectas.
Nos interesa conocer cuál de las dos empresas nos conviene contratar dependiendo de
los kilómetros x que se deban recorrer. Para ver esto, representamos en el mismo
sistema de ejes coordenados ambas rectas, notando que nos interesa sólo la parte del
gráfico ubicada en el primer cuadrante, ya que tanto x como y deben tomar valores
reales no negativos
Podemos observar que el valor de x correspondiente a la intersección de las rectas me
indica exactamente el punto que nos permite decidir qué empresa contratar. Para
kilometrajes menores a él, conviene la empresa “Mueble Seguro” ya que los valores
de y son menores que los de la otra empresa. Mientras que para viajes de más de ese
kilometraje es más barato contratar a la empresa “Todo Transporte”.
Entonces, para resolver el problema debemos encontrar dicha intersección, que es la
solución del sistema de ecuaciones:
15x = y


 400 + 5x = y
Usando el método de igualación ya que la incógnita y está despejada:
15x = 400 + 5x
⇒
10x = 400
⇒
x = 40
Reemplazamos este valor en cualquiera de las ecuaciones tenemos que y = 600
Por lo tanto la solución del sistema, punto de intersección de las rectas, es:
(x , y) = (40, 600)
9696
Conclusión
Para los viajes que no superen los 40 kilómetros conviene contratar a la empresa
“Mueble Seguro” y se gastará menos de $600.
Para aquellos viajes de exactamente 40 kilómetros resulta indistinto la empresa que se
elija, ya que se debe pagar en ambas la tarifa de $600.
Mientras que para los viajes que superan los 40 kilómetros, “Todo Transporte” será la
mejor opción.
97
REPASO TEÓRICO – CAPÍTULO 2
Verdadero o Falso
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. De ser verdaderas justifíquelas desde la teoría;
caso contrario, de ser posible, dé un ejemplo que muestre su falsedad.
1. Una ecuación cuadrática puede formar parte de un
sistema de ecuaciones lineales.
2. Un sistema de ecuaciones es homogéneo si al
menos un término independiente es cero.
3. Si (x, y) = (0, 0) es solución de un sistema de
ecuaciones 2x2, entonces es homogéneo.
4. Los sistemas de ecuaciones homogéneos pueden
ser incompatibles.
5. Un sistema de ecuaciones lineales 2x2 siempre
tiene solución.
6. Un par (x, y) es solución de un sistema de
ecuaciones 2x2 si verifica al menos una de las
ecuaciones del sistema.
7. Si las rectas que representan las ecuaciones de un
sistema son paralelas coincidentes, entonces el
sistema es Compatible Indeterminado.
8. Si las pendientes de las rectas que representan
las ecuaciones de un sistema son iguales,
entonces el sistema no tiene solución.
9. Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si
tienen solución única.
10. El problema de encontrar la intersección de dos
rectas en el plano se reduce a resolver un sistema
de ecuaciones lineales 2x2.
11. El conjunto solución de un sistema de ecuaciones
depende del método analítico utilizado para
resolverlo.
12. Si al resolver un sistema 2x2 por cualquiera de
los métodos analíticos se obtiene en algún
momento una contradicción, entonces el sistema
es incompatible.
13. Si al resolver un sistema 2x2 por cualquiera de
los métodos analíticos se obtiene en algún
momento una identidad, entonces el sistema es
incompatible.
Selección Múltiple
En cada uno de los siguientes ejercicios elija todas las opciones correctas.
 2x − 3y = 13
es:
 − x + 2y = − 8
1. La solución del sistema 
a) (–2, 3)
c) (2, 3)
b) (2, –3)
d) Ninguna de las anteriores
 x + 3y = − 2
tiene por solución:
 x − 2y = 3
2. El sistema 
98
a) (0, –1)
c) (0, 3/2)
b) (1, –1)
d) (–1, –1)
 2x − ky = 1
 − x + 3y = − 1
3. Si k ≠ 6 entonces el sistema 
a) No es lineal
c) Es Compatible Indeterminado
b) Es Compatible Determinado
d) Es Incompatible

4. El sistema 
2x + y = 1
 − 6x − 3y = 2

a) 
es equivalente a:
y − 1 = − 2x

2x + y = 1

x + y = 1− x
2
 − 2x − y = 3

 −3y − 2 = 6x
b) 


c) 
2x + y = 1
 − 2x − y = 2
d) 
 −6x − 3y = 2
5. La representación gráfica de una sistema de ecuaciones lineales Compatible Determinado consiste en:
a) Dos rectas paralelas coincidentes
c) Dos rectas no paralelas
b) Dos rectas paralelas no coincidentes
d) Ninguna de las anteriores
6. El conjunto solución del sistema
a) Vacío
b) (x, y) = (0, 0)
 x + 3y = 9

 1
1
 9x+ 3y=1

es:
c) { (x , y) = (9 − 3y, y ) con y número real }
d)
1


 ( x , y ) = ( x , 3 − x ) con x número real 
3


7. Dadas las rectas cuyas ecuaciones son: R1: x + 3 y – 2 = 0 , R2: 2x+ y = – 4, entonces una de las
siguientes afirmaciones es cierta:
a) Las rectas son perpendiculares
c) Las rectas se cortan en un punto
b) Las rectas son paralelas
d) Las rectas son coincidentes
8. Dadas las rectas cuyas ecuaciones son: R1: x + y = 1, R2: x– y–1 = 0, entonces una de las siguientes
afirmaciones es cierta:
a) Las rectas son perpendiculares
c) Ambas pasan por el punto (0, 1)
b) Las rectas son paralelas
d) Las rectas son coincidentes
99
9. Dadas las rectas cuyas ecuaciones son: R1: x + 2y – 5= 0 , R2: 3x– y =0, entonces una de las siguientes
afirmaciones es cierta:
a) Las pendientes de R1 y R2 son – 0.5 y 3
respectivamente.
c) Ambas pasan por el punto (0, 0)
b) Las rectas son paralelas
d) Las rectas son coincidentes
10. El método de Igualación consiste en:
a) Multiplicar las ecuaciones por un valor
adecuado tal que al sumarlas o restarlas se
elimine alguna incógnita
b) Despejar una incógnita de una ecuación y
reemplazarla en la otra
c) Despejar la misma incógnita en ambas
ecuaciones y luego igualarlas
d) Graficar las rectas que representan cada
ecuación
 3x + 6y = 0
 − x − 2y = 0
11. El sistema 
a) Es inconsistente
c) Admite como única solución la trivial
b) Admite infinitas soluciones
d) No admite como solución la trivial

12. Sea el sistema 
x = − 3y
 x + 2y = 0
, indique la opción correcta:
a) Es inconsistente
c) Admite como única solución la trivial
b) Admite infinitas soluciones
d) El sistema es no homogéneo
13. Sea R1 la recta que pasa por los puntos (–1 ,0 ) y (0, 3) y R2 la recta que pasa por (1,1) de pendiente 3,
entonces:
a) Ambas rectas son paralelas
c) El sistema formado por ambas rectas admite
como única solución la trivial
b) El sistema formado por ambas rectas es
incompatible
d) Las rectas son perpendiculares
14. Dado un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que admite como única solución la trivial.
a) Geométricamente el sistema consiste en
dos rectas paralelas coincidentes
c) Geométricamente el sistema consiste en dos
rectas paralelas no coincidentes
b) Es un sistema homogéneo
d) Geométricamente, las rectas pasan por el
origen del sistema de coordenadas
100100
15. Un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas:
a) Nunca puede ser inconsistente
c) Admite siempre como solución la trivial
b) Geométricamente, consta de dos rectas
tales que una puede pasar por el origen del
sistema de coordenadas y la otra no
d) Geométricamente, consta de dos rectas que no
pasan por el origen del sistema de coordenadas
16. Un sistema inconsistente de dos ecuaciones con dos incógnitas:
a) Geométricamente consta de dos rectas
paralelas no coincidentes
c) Siempre es no homogéneo
b) Geométricamente consta de dos rectas
perpendiculares
d) Geométricamente consta de dos rectas que
pasan por el sistema de coordenadas
17. Un sistema consistente indeterminando de dos ecuaciones con dos incógnitas:
a) Geométricamente consta de dos rectas
paralelas no coincidentes.
c) Es siempre un sistema no homogéneo.
b) Geométricamente consta de dos rectas
paralelas coincidentes.
d) Geométricamente
perpendiculares.
consta
de
dos
rectas
 2x − ky = 1
no es Compatible Determinado cuando:
 − x + 3y = − 1
18. El sistema 
a) k ≠ 6
c) Para cualquier valor de k
b) k = 6
d) Ninguna de las anteriores
19. Si al resolver un sistema 2x2 por un método analítico se obtiene una identidad, entonces:
a) El sistema es Incompatible
c) El sistema es Compatible Indeterminado
b) El sistema es Compatible Determinado
d) No sabemos, depende del sistema
20. Si las rectas que representan las ecuaciones de un sistema tienen igual pendiente, pero distinta ordenada al
origen, entonces:
a) El sistema es Incompatible
c) El sistema es Compatible Indeterminado
b) El sistema es Compatible Determinado
d) No sabemos, depende del sistema.
 x + y 2 = 3
 − x + 4y = 0
21. El sistema 
a) Es homogéneo
c) No es lineal.
b) Es lineal
d) Ninguna de las anteriores.
101
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
Indique cuál o cuáles de los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales posee como solución el par
(x, y) = (2, – 3)
 3x − y = 9
 −x + y = − 5
1. 
 3x + y = 9
2. 
 −x + y = − 5
 3x − y = 9
3. 
 −x − y = − 5
 −3x + y = − 9
4. 
 x−y= 5
Para los siguientes sistemas de ecuaciones, indique si
son incompatibles, compatibles determinados o
indeterminados. Obtenga esta conclusión analizando las
pendientes y las ordenadas al origen de las rectas que
representan las ecuaciones.
 5x − 10y = − 1
 − x + 2y = 4
5. 
 2x + 3y = − 2
 x + 4y = − 1
6. 
 −4x + 2 y = 9

7. 
9
2x − y = −

2
 x − 4y = − 1
 − x + 2y = 4
 2x + 3y = − 2
 x + 4y = − 1
 5x − 10y = − 1
 − x + 2y = 4
10. 
 4x − 8y = − 1 − x + 2y

 2y − 4 = x
Determine el o los valores de k ∈ ¡ , de modo que la
solución del sistema sea la indicada.
 2x + 2y = 6
 x + ky = 0
Solución: (x, y) = (6,–3)
 3y − kx = 7
 ky + x = 0
Solución: (x,y )= (– 2, 1)
 x −y=0
 5y + x = 12
Solución: (x, y) = (k, k)
11. 
12. 
13. 
Resuelva gráficamente los sistemas indicados en
los ejercicios 14, 15 y 16. Responda, para cada
sistema:
a) ¿Cómo son las rectas en cada caso?
b) ¿Cuántas soluciones tiene cada sistema?
c) ¿Alguno de los sistemas es homogéneo?
d) Indique cuáles son los coeficientes del sistema.
 2x − 5y = 1
 3x + y = − 7
14. 
 −x + y = − 1
 2x − 2y = 5
8. 
15. 
Indique si los siguientes pares de sistemas son o no
equivalentes
16. 
102102
 3y = − 2 + 2x

 4y = − 1 + x
9. 

5x + 2y = − 2
 −10x − 4y = − 4
6x + 3y= 0
31. 
 2x + 3y = 8
 4x + ky = 5
17. En el sistema 
 2x + y= 0
Encuentre las condiciones que debe satisfacer k
para que el sistema:
a) no tenga solución
c) tenga una única solución
 − x + 4y = − 1
 4x − 2y = 3
18. 
 6x + 2y = 6
 3x − 2y = − 2
19. 
 2x − 3y − 2 = x
20. 
− 4x − 2y = 3 − 3 y

Agregue una ecuación a la dada, de tal forma que el
sistema 2x2 resultante sea:
21. Incompatible
–2x + 5y = 13
22. Compatible Determinado
4x – 3y = 17
23. Compatible Indeterminado –2x = 6 + y
Encuentre, si existe, la intersección de las rectas L1 y L2.
24. L1: 2 x + 2 y = –1
L2: x – 3 y = 1
25. L1: –x + 4 y = 0
L2: 3 x – y = –3
26. L1: 3 x + 6 y = 3
L2: 5 x – 2 y = 4
27. L1: x – 4 y = 0
L2: 7 x + 2 y = 0
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
utilizando el método que considere más adecuado
 3x + 2y = − 3
 −6x − 4y = 6
29. 
6x + 3y = 0
30. 
 x − 2y = 0
 5x + 2y = 3
 10x − 3y = − 4
Plantee y resuelva:
Proponga un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas equivalente a cada uno de los siguientes:
 −2x + y = 4
 3x − y = 8
33. 
b) tenga infinitas soluciones
28. 
 3x + 5y = 2
−3x + y = 5
32. 
34. Un ama de casa compra en un supermercado 3
frascos de café y 2 kilos de azúcar y gasta $25.
Ante la amenaza de nuevas subas en los
precios, vuelve al día siguiente y compra un
frasco de café y 3 kg. de azúcar por lo que paga
$13. ¿Cuál es el precio del frasco de café y del
kilo de azúcar?
35. En una librería se han vendido 28 libros
escolares a dos precios distintos: unos a $35 y
otros a $40, con los que se ha recaudado
$1045. ¿Cuántos libros de cada precio se han
vendido?
36. En una pastelería se fabrican dos clases de
tortas. La primera necesita 800 grs. de masa y
1 hora de elaboración, mientras que la segunda
necesita 1000 grs. de masa y 2 horas de
elaboración. Si se usaron 16,6 kg de masa y
29 horas de elaboración ¿Cuántas tortas de
cada tipo se elaboraron?
37. Una persona ha trabajado durante 30 días en
dos trabajos distintos ganando $1220. En uno
de sus trabajos se le pagó diariamente $35 y en
el otro $45. ¿Cuántos días trabajó en cada
lugar?
38. Un estudiante universitario obtuvo una beca de
trabajo remunerada, por la que se paga $ 5.50
la hora. También obtuvo un trabajo temporario
en una radio local ganando $6 por hora. En una
semana su ingreso fue de $139.75, habiendo
trabajado 24.5 hs. en total. ¿Cuántas horas
trabajó en la radio local?
39. Dos empleados trabajan 8 hs. diarias en la
misma empresa. El primero gana $15 menos
por día que el segundo, pero ha trabajado
durante 30 jornadas mientras que el segundo
103
sólo ha trabajado 24. Si el primer empleado ha
ganado en total $30 más que el segundo, calcule
el salario diario de cada empleado.
40. Una compañía telefónica ha lanzado un nuevo
producto. La demanda del mismo es de 30
unidades cuando su precio es de 50 dólares y
aumenta en 10 unidades cuando su precio se
disminuye en 5 dólares. Sabiendo que la ecuación
de oferta es q – p = 10, calcule la cantidad que
equilibra el mercado y el precio para dicha
cantidad.
41. No existe demanda para un modelo nuevo de
computadoras personales si el precio por unidad
es de 1700 dólares. Por cada disminución de 100
dólares en el precio, la demanda se incrementa en
200 unidades. Por otro lado, el fabricante no está
dispuesto a considerar un precio unitario de 500
dólares y ofrecerá 1400 computadoras cuando el
precio es de 850 dólares cada una. Determine:
a) Las ecuaciones de demanda y oferta. Suponga
que son lineales.
b) El precio y la cantidad de equilibrio.
42. Una gran distribuidora de bidones de agua mineral
de 25 litros ofrece a pequeñas empresas la
posibilidad de repartir su producto. La ganancia
por realizar esta tarea depende del contrato
firmado. Una posibilidad es recibir $600 por mes,
más el 6% de cada bidón que se venda o no
percibir una cantidad fija, a cambio de cobrar el
10% de cada bidón que se venda durante el mes.
104104
Si usted fuese el dueño de una pequeña
empresa, interesada en realizar esta tarea,
¿qué forma de pago establecería en el contrato,
sabiendo que los bidones cuestan $5? ¿Para
qué cantidad de bidones vendidos la ganancia
es la misma con ambas formas de pago?
43. La concesión del bar de una cancha de fútbol
contrata personas para vender gaseosas en las
tribunas durante el partido. Ofrece dos posibles
formas de pago. La primera consiste en pagar
$100 más el 10% de cada gaseosa vendida o
pagar solamente el 30% de cada gaseosa que
pueda vender. ¿Cuál es la forma de pago más
conveniente para una persona que por
experiencia sabe que es muy difícil vender más
de 100 gaseosas en una jornada, a $2 cada
una? ¿Cuántas gaseosas debería vender
durante el partido para ganar lo mismo con
ambas formas de pago?
44. Sergio y Pablo son dos amigos que decidieron
compartir sus vacaciones, para lo que ahorraron
dinero durante algún tiempo. En una charla,
donde ultimaban detalles de su viaje, Sergio
dice: “... si me prestaras $ 3000 llevaríamos
ambos la misma cantidad de dinero...”. A lo que
Pablo responde: “en cambio si me prestaras
$ 2000 yo tendría el triple que tú”. “¡Jamás!”
respondió Sergio mientras ambos reían.
¿Cuánto dinero pudo ahorrar cada uno de
ellos?
Capítulo 3
Contenidos
3.1 - MATRICES
3.1.1 – Igualdad de Matrices
3.1.2 – Algunas Matrices Especiales
3.2 – OPERACIONES ENTRE MATRICES
3.2.1 – Suma y Diferencia de Matrices
3.2.2 – Producto de una Matriz por un Escalar
3.2.3 – Producto de Matrices
3.2.3.1 – Producto de una matriz fila por una matriz columna
3.2.3.2 – Producto de una matriz fila F1 x m por una matriz B m x n
3.2.3.3 – Producto de A p x m por una matriz B m x n
3.3 – MATRICES ELEMENTALES Y REDUCIDAS
3.3.1 – Operaciones elementales por fila
3.3.2 – Matrices Elementales
3.3.3 – Matriz Reducida
3.4 – DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
3.4.1 – Determinante de una matriz de Orden n
3.5 – INVERSA DE MATRICES
3.5.1 – Métodos Generales para Encontrar Inversas
3.5.1.1 – Cálculo de la Inversa por Cofactores
3.5.1.2 – Cálculo de la Inversa por Reducción
Objetivos
•
Promover la valoración de la representación matricial para el tratamiento de los datos en
situaciones complejas.
•
Identificar las condiciones que deben reunir las matrices para poder realizar las distintas
operaciones entre ellas.
•
Contribuir a la adquisición de un conocimiento preciso de la operatoria definida entre
matrices y sus propiedades.
•
Favorecer la transferencia de los conceptos teóricos al planteo y resolución de problemas
prácticos
105
Problema
Wassily Leontief, economista americano de origen ruso, obtuvo en 1973 el premio Nobel de
Economía por el desarrollo de las matrices “Input-output” o de “Insumo-Producto” (MIP). La
palabra de origen inglés “input” se refiere a los insumos que necesita una empresa o industria
para producir, mientras que “output” designa el producto que se genera con estos insumos o
materias primas. Dichas matrices muestran las interrelaciones que se dan entre los distintos
sectores productivos de una economía durante algún tiempo.
La MIP es un ordenamiento en filas y columnas, donde las filas muestran las ventas que realiza
un sector a los distintos sectores, en tanto las columnas indican las compras que realiza un sector
a los restantes sectores.
Se entiende que la demanda que tiene un sector puede provenir de otros sectores o ser de otro
origen, como por ejemplo los consumidores en general. Esta última demanda es la que aparece
en la tabla o matriz como Demanda final. Las MIP muestran la producción total de cada sector y
el destino de dicha producción, cuánto lo adquiere el consumidor y cuánto es demandado por
cada uno de los demás sectores.
Analicemos estas ideas suponiendo que estamos en una economía simplificada donde existen
tres sectores básicos: Agrícola, Industrial y de Servicios y que la matriz de Insumo – Producto
(MIP) es la siguiente:
Sector
Agrícola
Sector
Industrial
Sector de
Servicios
Total de
Ventas
Intermedias
Demanda
Final
Valor bruto
de la
Producción
Sector Agrícola
120
200
240
560
240
800
Sector Industrial
250
130
120
500
200
700
Sector de
Servicios
100
220
150
470
240
710
Insumos
470
550
510
1530
680
2210
Valor Agregado
330
150
200
680
Valor bruto de
la Producción
800
700
710
2210
2210
Cada sector productivo aparece en una fila de la tabla y los que demandan se ubican en las
columnas. Por ejemplo, el Sector Agrícola tuvo una producción total de $800 (las unidades
podrían ser millones de dólares) de la que el mismo sector demandó $120, mientras que el
Industrial solicitó $200, el de Servicios $240 y los consumidores finales $240. Se supone que
todo lo que se produce se va a consumir, por lo que la suma de los productos (outputs) y de los
insumos (inputs) debe ser la misma.
106
Problema
La fila correspondiente a Valor Agregado que se origina por la diferencia entre la producción total
y la suma de los requerimientos de cada sector, representa la suma de las remuneraciones de los
trabajadores vinculados a la producción y el beneficio bruto de cada sector. Por ejemplo, el sector
Agrícola vende $ 800 y compra $ 470 por lo que el valor agregado es de $ 330.
En base a la información proporcionada por la MIP, se elabora otra matriz llamada “de
Coeficientes Técnicos”. Para obtener estos coeficientes debemos dividir cada elemento de la
MIP correspondiente a los diferentes sectores, por el total de la columna donde se encuentra
dicho elemento. En nuestro caso la Matriz de Coeficientes Técnicos o de requerimientos es:
 120
 800

 250
A =
800

 100
 800

200
700
130
700
220
700
240 
710 
120 
710 

150 
710 
Si llamamos a i j a un elemento genérico de esta matriz ubicado en la fila i, columna j, éste
representa la producción requerida del sector i para generar un dólar en la producción de j, es
decir, es el requerimiento de producción por dólar. Por ejemplo, a 1 2 = 0.29 indica que cada
dólar de producción en el sector 2, requiere 0.29 dólares de producción del sector 1. En nuestro
caso, el 29% de cada dólar producido por el sector Industrial proviene del sector Agrícola.
Se supone que estos coeficientes son estables en el tiempo por lo que nos permitirán, por
ejemplo, determinar cuánto deberá producir cada sector si la Demanda Final cambia. Es decir, si
en nuestro problema suponemos ahora que la Demanda Final es 180 para el Sector Agrícola,
320 para el Industrial y 110 para el de Servicios, ¿cuánto deberá producir cada uno de ellos para
equilibrar la oferta y la demanda total?
El Modelo de Leontief permite responder esta pregunta. Para comprenderlo debemos estudiar
primero el contenido de este capítulo.
107
CAPÍTULO
UNIDAD
MATRICES y
DETERMINANTES
En el capítulo anterior se estudiaron diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de orden 2x2.
Dichos métodos resultan engorrosos cuando nuestro objetivo es resolver sistemas de ecuaciones lineales de orden
superior. Para trabajar con estos últimos, es necesario introducir el concepto matemático de Matriz.
Las matrices no sólo facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, sino que aparecen de forma natural
en geometría, estadística, economía, informática, física, entre otras. Como inicio de este capítulo presentamos una
aplicación típica del concepto de matriz en Economía, como es la Matriz de Insumo-Producto.
Dada su importancia, en este capítulo estudiamos las propiedades y operaciones con matrices, además del
concepto de determinante asociado directamente con ellas. Alcanzar un manejo adecuado de este tema permitirá
utilizarlo luego, en los capítulos 4 y 5, como una herramienta para resolver sistemas de ecuaciones lineales y
problemas de programación lineal.
3.1 – MATRICES
Cuando se trabaja con un número grande de datos, surge la necesidad de organizarlos con algún patrón lógico, de
manera que la manipulación y recuperación de los elementos individuales o grupo de elementos pueda ser
relativamente fácil. La Matriz es un medio para resumir, organizar y representar datos. Nuestra vida diaria está llena
de ejemplos de matrices: las casillas de un tablero de ajedrez, los puntos del monitor de la computadora, la tabla de
cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los días de la semana, la ubicación de los alumnos en el aula o de
personas en un espectáculo, entre otros.
Orden o dimensión de
una Matriz
Definición 3.1: Se llama matriz de orden o dimensión mxn a todo conjunto de
elementos a i j dispuestos en m líneas horizontales (llamadas
filas) y n líneas verticales (llamadas columnas) de la forma:
columna 3
 a 11
a
 21
 a 31

 ...
a
 m1
108108
a 12
a 22
a 32
...
a m2
a13
a 23
a33
...
am3
... a 1 n 
... a 2 n 
... a 3 n 

...
... 
... a m n 
fila 2
a i j representa un elemento genérico de la matriz ubicado en la fila i y en la columna j,
es decir, los subíndices nos indican la posición de los elementos. Por ejemplo, el
elemento a23 será el elemento de la fila 2 y columna 3.
Si bien los elementos que componen una matriz pueden ser de cualquier naturaleza,
nosotros consideramos aquí solamente el caso en que éstos sean números reales.
Notación:
Nos reservamos las letras mayúsculas para designar matrices y las
minúsculas para sus elementos. Para referirnos a una matriz genérica A
usamos A = (aij) o A = [aij] con i = 1, 2,..., m ; j = 1, 2,..., n,
indistintamente.
Observe: Una matriz de orden mxn posee mxn elementos.
n Ejemplo 3.1:
A = [1]
es una matriz de orden o dimensión 1x1. Tiene una fila y una
columna
 1 −2 
B= 
 es una matriz de orden 2x2 . Tiene dos filas y dos columnas.
0
 −4
Se usan paréntesis o
corchetes para indicar
los elementos que
componen una matriz.
El elemento b11 = 1 (primera fila y primera columna) y su
elemento b22 = 0 (ubicado en la segunda fila y segunda
columna).
C = (1 −5 8 ) es una matriz de orden 1x3. Dado que se compone de una fila
y tres columnas. El elemento C12 = –5.
 1
 
D=  −5 
 8
 
es una matriz de orden 3x1. Tiene tres filas y una columna.
n Ejemplo 3.2:
 1 2 3
 4 6 0
 ¿Cuáles son los elementos a12 y a21? ¿Cuál
Dada la matriz A = 
 −1 −8 10 


 5 7 4
es su dimensión?
Solución
Se usa la notación A4x3 ,
para indicar que A es de
orden 4x3.
El orden de la matriz A es 4x3, ya que posee 4 filas y 3 columnas.
109
El elemento a12 está ubicado en la primera fila y segunda columna de la matriz
A, es decir,
segunda columna
 1
 4

 −1

 5
2 3 
6 0 

−8 10 

7 4 
primera fila
el elemento solicitado es a12 = 2
Del mismo modo a21 = 4, es decir, es el elemento ubicado en la fila 2 y la
columna 1.
Ejercitamos el uso de subíndices de los elementos de una matriz en el siguiente
ejemplo:
n Ejemplo 3.3:
Generemos una matriz A = [aij], de orden 3x4, cuyos elementos se obtienen a
partir de la fórmula a i j = i – 2j.
Solución
La matriz solicitada es la siguiente:
 −1 −3 −5 −7 
 0 −2 −4 −6 


 1 −1 −3 −5 


Los elementos fueron obtenidos, como se indica en el enunciado, por la
aplicación de la fórmula
a i j = i – 2j
A modo de ejemplo, el elemento a 1 1 se obtiene reemplazando el subíndice i por
1 y el subíndice j por 1, es decir:
a 11 = 1 – 2 (1) = –1
De igual manera se trabaja con los restantes elementos. Así, el elemento a 23 se
obtuvo al reemplazar el subíndice i por 2 y el j por 3. Es decir:
a 23 = 2 – 2 (3) = 2 – 6 = – 4
110110
3.1.1 - Igualdad de Matrices
Definición 3.2: Dos matrices A = (a i j) y B = ( bi j) son iguales si son del
mismo orden y ai j = bi j , ∀i = 1, ...., n ; ∀j = 1, ...., m.
En otras palabras, dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los
elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
n Ejemplo 3.4:
¿Son iguales las siguientes matrices?
 1 −1 3 

0 −2 
 4
a) A = 
y
 10 − 9
B= 
 (2) (2)
4 −5
2−2
3


( − 1) (2) 
Sí. Ambas matrices son de orden 2x3 y además:
a11 = b11 ⇒ 1=10 – 9,
a21 = b21 ⇒ 4 = (2)(2) ,
a12 = b12 ⇒ –1= 4 – 5,
a22 = b22 ⇒ 0 = 2 – 2,
a13 = b13 ⇒ 3 = 3,
a23 = b23 ⇒ –2 = (–1)(2).
Esto es, tienen todos los elementos correspondientes iguales.
1
 −1
b) C = 
Lo que primero se debe
controlar son sus órdenes.
Las matrices de distintas
dimensiones nunca son
iguales.
0 

2 
y
1 0 0 
D = 0 1 0


0 0 1 
No. Los órdenes son distintos, C es de orden 2x2 y D es de orden 3x3.
c) F = (1 −3 4 )
y
 1
G =  −3 
 
 4
No. Aunque ambas matrices tienen la misma cantidad de elementos, los
órdenes son distintos. F es de orden 1x3 y G es de orden 3x1.
Para afirmar que dos
matrices del mismo orden
no son iguales, basta con
encontrar al menos dos
elementos ubicados en la
misma posición que no
sean iguales.
 1 0 0 
d) A =  0 −5 0  y
 1
0 − 1 



B= 


1
0
1
0 0 

5 0 
0 −1 
No. Ambas matrices tienen la misma dimensión, 3x3, pero a22 ≠ b22.
Algunos conceptos vinculados con el concepto de igualdad de matrices se relacionan
con las ecuaciones y sistemas de ecuaciones estudiadas en capítulos anteriores.
111
n Ejemplo 3.5:
Encuentre, si es posible, el o los valores de las incógnitas, para los cuales los
siguientes pares de matrices son iguales:
 5
 1
a) C = 
 0

 −8
−3
5
7
4
0 
−2 

10 

2 
,
x 0 
5 y 

7 10 

4 2 
4 
 1
B =  2

 x +4x −1 
 1 4 
 ,
 5 −1 
b) A = 
 1

c) A =  0
 0

 5
 1
D= 
 0

 z
x
y

z
2 ,
4 −2 
 1
B =  −4

 0
x
y
z
2

4 −2 
− x+2y w 
D = 

 x − 2y 3 
1 0 
 ,
2 3
d) C = 
Solución
a) Dadas las matrices
 5
 1
C= 
 0

 −8
−3
5
7
4
0 
−2 

10 

2 
 5
 1
y D= 
 0

 z
x 0 
5 y 

7 10 

4 2 
queremos encontrar los valores de x, y, z, si existen, para los cuales se
verifica que C = D.
De acuerdo a la definición de igualdad de matrices, como los órdenes son
iguales, entonces los elementos correspondientes también deben ser iguales.
Por lo tanto, la única manera en que esto resulta válido es cuando x = –3,
y = –2, z = –8, ya que los restantes elementos son iguales.
4 
 buscamos el o
 x +4x −1 
los valores de x, si existen, para los cuales A = B.
 1 4 

 5 −1 
b) Sean las matrices A = 
x + 4x – 5 = 0
16 + 20
2
2
Puesto que los órdenes de las matrices son iguales, 2x2, y dado que se
cumple que a11 = b11, a12 = b12 y a22 = b22 para que la igualdad sea
2
-4 ±
1

y B = 
=
-4 ± 6
2
válida, se debe verificar a21 = b21 , es decir, x2 + 4x = 5 .
Ahora, para encontrar el o los valores de x, debemos resolver la ecuación de
segundo grado con una incógnita x 2 + 4x − 5 = 0 .
Aplicando la fórmula estudiada en la Sección 1.2.2, encontramos que la
solución es x = 1 y x = – 5.
En otras palabras, los únicos valores de x para los cuales se verifica la
igualdad de las matrices dadas son: x = 1 y x = –5.
112112
 1
x
y
x
y
 1

z
2  y B =  −4
z
2  buscamos el


 0
4 −2 
4 −2 
 0

o los valores de x, y , z, si existen, para los cuales A = B.
c) Para las matrices A =  0
No existen valores de x, y, z, para los cuales ambas matrices sean iguales,
pues aunque tienen el mismo orden, los elementos ubicados en la segunda
fila, primera columna (posición 2,1), no son iguales. El a21 = 0, mientras que
b21= – 4.
1 0 

2 3
d) Para las matrices C = 
− x+2y w 
 buscamos el o los
 x − 2y 3 
y D = 
valores de x, y , w, si existen, para los cuales C = D.
Ambas son de orden 2x2. Como c22 = d22, para que las matrices sean
iguales debemos igualar los otros elementos:
c11 = d11
⇒
1 = – x + 2y
c12 = d12
⇒
0=w
c21 = d21
⇒
2 = x – 2y
De la segunda ecuación, obtenemos que w = 0. Para encontrar los valores
de x e y debemos resolver el sistema:
-x +2y = 1
x - 2y = 2
Rectas que componen
el sistema
 − x + 2y = 1

 x − 2y = 2
Usando cualesquiera de los métodos vistos en el capítulo anterior concluimos
que el sistema carece solución, es incompatible. No existen valores de x e y
que satisfagan simultáneamente las dos igualdades
En consecuencia, no existen valores x, y, w para los cuales las matrices C
y D son iguales.
3.1.2 - Algunas Matrices Especiales
Entre la gran variedad de matrices que podemos considerar, existen algunas que por
tener características determinadas reciben nombres especiales y aparecen con
frecuencia en la teoría.Concretamente, es posible realizar una clasificación de ellas
según su forma y según los elementos que contiene.
113
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU FORMA:
La matriz fila también
se suele llamar vector
fila.
Matriz fila: Es una matriz que sólo tiene una fila, es decir, m = 1 y por lo tanto es
de orden 1xn.
Notación: A1xn = ( a11 a12
a13 a14 ... a1n )
n Ejemplo 3.6:
es una matriz fila de orden 1x4.
( 1 –2 4 0 )
La matriz columna
también se suele llamar
vector columna.
Matriz columna: Es una matriz que sólo tiene una columna, es decir, n = 1 y por
lo tanto es de orden mx1.
 a 11

 a 21
Notación: Amx1 =  a 31


M

a
 m1








n Ejemplo 3.7:
 1
 
 −2 
 4
 
 0
es una matriz columna de orden 4x1.
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es
decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de
orden n.
Notación: A n , indica que la matriz A es cuadrada de orden n.
Diagonal Principal y
Diagonal Secundaria de
una matriz cuadrada.
114114
Definición 3.3: Los elementos a i j con i = j, ∀ i j (o sea a i i) , forman la llamada
diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos a i j con
i + j = n +1 determinan la diagonal secundaria.
n Ejemplo 3.8:
la matriz A es de orden 3.
a) A =
Si la matriz no es cuadrada,
no tiene sentido hablar de
diagonal.
 1

 3
 0.4

 0
Diagonal
Secundaria
n
∑ ak es
k=1
1
7
Diagonal
Secundaria
b) B = 
 0
El símbolo
−2 

4
4 
0
Diagonal
Principal
0 

0 
la matriz B es de orden 2
Diagonal
Principal
Nota: La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se
denomina traza de A y se denota por tr(A).
llamado sumatoria.
Indica la suma genérica
(o abreviada) de todos los
elementos de la forma ak,
para valores naturales del
índice k desde 1 hasta n.
Por ejemplo:
5
∑ k = 1+2+3+4+5
k=1
indica la suma de los 5
primeros números
naturales.
Matemáticamente : si A = (ai j) i,j =1, ... n, tr(A)=
n
∑ a = a +a + ...+a
ii
11
22
nn
i=1
Matriz traspuesta: Dada una matriz A de orden mxn, se llama traspuesta de A, y se
representa por A T, a la matriz que se obtiene intercambiando filas
por columnas. La primera fila de A es la primera columna de A T, la
segunda fila de A es la segunda columna de AT, y así
sucesivamente. Es decir, si A = ( a i j ) , entonces A T = (a j i ) ,
∀ i = 1, ..., m ; j = 1, ..., n.
De la definición se deduce que si A es de orden mxn, entonces A T es de orden nxm.
n Ejemplo 3.9:
 1 9
 1 3 7


T
a) Si A = 
 entonces su matriz traspuesta es A =  3 11  .


 9 11 13 
 7 13 
Observe que el orden de A es 2x3 mientras que el de su traspuesta es 3x2.
1 
 
b) Si B =  2  entonces B T = ( 1 2 3).
3
 
El orden de la matriz columna B es 3x1 y el de BT, matriz fila, es 1x3.
La diagonal principal de una
matriz cuadrada coincide
con la de su traspuesta.
1 4
1 0
T
 entonces C = 
.
0 2
4 2
c) Si C = 
El orden de la matriz cuadrada C es 2 y el de su traspuesta es también 2.
115
La matriz traspuesta tiene algunas propiedades importantes.
Propiedades de la
matriz traspuesta.
Teorema 3.1: 1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta.
2. La transpuesta de una matriz es única.
3. (A T ) T = A.
Matriz simétrica:
Una matriz cuadrada A es simétrica si A = AT, es decir, si:
a i j = a j i ∀ i, j. Es decir, los elementos "simétricos" respecto a
la diagonal principal son iguales.
n Ejemplo 3.10:
El orden de la matriz, es
la primera condición que
debemos controlar para
estudiar si es o no
simétrica.
Sólo pueden ser
simétricas las matrices
cuadradas.
1 2 3


A=  2 4 5  es simétrica, ya que a12 = a21 = 2, a13 = a31 = 3 mientras que
3 5 6


a23 = a32 = 5.
1 1
B= 

1 1
es simétrica, pues a12= a21 = 1.
 1 2 −1 
C =  3 1 5  no es simétrica. ¿Por qué?


 5 −1 1 
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = – AT, es decir, si
a i j = – a j i ∀ i, j.
n Ejemplo 3.11:
Observe: para que una
matriz sea antisimétrica,
debe tener todos los
elementos de la diagonal
iguales a cero.
Sólo pueden ser
antisimétricas las matrices
cuadradas.
116116
 0 2 −3 
A =  −2 0 −5  es antisimétrica, pues la diagonal principal está compuesta


 3 5 0
de ceros y los elementos simétricos son opuestos, es decir, difieren en el signo.
 0 1 
B= 

 −1 0 
es antisimétrica.
CLASIFICACIÓN CONSIDERANDO SUS ELEMENTOS.
Matriz nula: es aquella cuyos elementos son todos iguales a 0 y se representa por 0.
n Ejemplo 3.12:
02 =
 0 0 


 0 0 
es la matriz nula de orden 2.
02x3 =
 0

 0
es la matriz nula de orden 2x3.
03x2 =
 0 0 


 0 0 
 0 0 


0 0 

0 0 
es la matriz nula de orden 3x2.
• ¿Puede expresar la matriz nula de orden 1x4?
Como la definición no
establece ninguna
condición sobre los
elementos de la
diagonal, éstos pueden
o no ser ceros.
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
n Ejemplo 3.13:
 5
A=  0

 0
0
0
1
0

0 −4 
matriz diagonal de orden 3.
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
n Ejemplo 3.14:
2
A= 0

0
0
2
0
0 
0 

2 
es una matriz escalar de orden 3.
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal
principal iguales a 1. La designamos por In donde n es el
orden de la matriz considerada.
117
n Ejemplo 3.15:
1 0

0 1
I2 = 
1
I3 =  0

0
0
1
0
matriz identidad de orden 2.
0 
0 

1 
matriz identidad de orden 3.
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que
están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices
triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal
principal son todos nulos. Es decir, a i j = 0 ∀ i > j.
Triangular Inferior:
Si los elementos que están por encima de la diagonal
principal son todos nulos. Es decir, a i j = 0 ∀ i < j.
n Ejemplo 3.16:
1
A= 0

0
2
3
5 
7 

8 
es triangular superior
2
5
B= 
9

1
0 0 0
6 0 0

2 3 0

7 4 4
es triangular inferior.
Note:
0
La matriz nula de orden n es un caso particular de una matriz que es a la
vez triangular superior e inferior.
REPASO TEÓRICO – Sección 3.1
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. Dé el concepto de Matriz.
2. ¿Cómo definimos orden de una matriz? Dé un
ejemplo de una matriz 3x2 .
118
3. ¿Cuándo decimos que dos matrices son iguales?
¿Dos matrices iguales pueden ser de distinto
orden?
4. Para poder calcular la transpuesta de una matriz
dada, ¿ésta debe ser cuadrada?
9. ¿La matriz identidad es una matriz escalar?
10. ¿Qué condiciones debe verificar una matriz
triangular?
5. ¿Cuál es la traspuesta de la matriz identidad?
11. La matriz traspuesta de una matriz triangular ¿es
otra matriz triangular?
6. La diagonal principal de una matriz antisimétrica,
¿siempre debe tener todos sus elementos nulos?
¿Por qué?
12. ¿La matriz nula puede no ser cuadrada?
7. ¿La matriz nula es una matriz diagonal?
13. Dé un ejemplo de una matriz simétrica.
8. ¿Una matriz diagonal puede no ser cuadrada? ¿Y
una escalar?
EJERCICIOS – Sección 3.1
1. Encuentre la matriz A =[a i j ] si sabemos que es de
orden 2x3 y sus elementos se obtienen aplicando la
fórmula:
a ij = 3j + i
2
1 2 3 
 2 −2 6 


A=
 B = 4 5 6 
 1 3 −1
7 8 9
− 6
D=
 0
1 
H= 2 
3 
0
2 
 2
C =  −1
 3
2
0 
3
8 −1
2 0 4 
G = [− 9 6 ]
0 −1 4 

0 5 0
4
 −3 − 2
J =  0 0
 0 0
6. ¿Alguna de estas matrices es simétrica?
7. ¿Existe en la lista alguna matriz diagonal?
Responda los ejercicios del 2 al 8 considerando las
siguientes matrices. Justifique cada una de las respuestas
a partir de las definiciones vistas.
 −2
 0
F= 
 0

 0
5. ¿Cuáles son matrices renglón o fila? ¿Cuáles
son matrices columna?
2
0 
0 
K = [7]
2. Indique el orden o dimensión de cada matriz.
3. ¿Cuáles son matrices cuadradas?
4. ¿Cuáles son matrices triangulares inferiores?¿y
superiores?
8. ¿Cuáles son los elementos de la diagonal de la
matriz F?
9. Identifique los elementos r12, r31, r23 y r32 de la
matriz:
é 1 -6 4 ù
ê
ú
R= ê 0
2 0ú
ê
ú
êë -3
8 10 úû
Encuentre la traspuesta de las siguientes matrices:
é -5
ê
10. A= êê 0
ê 1
ë
3 ù
ú
0 ú
ú
8 úû
é-2
ê 1
ë
5 ù
ú
1 úû
11. B= ê
é1
ëê 2
12. C= ê
é
ê
ê
13. D= êê
ê
ê
ëê
3
1ù
- ú
2
4 ûú
1
2
2
0
3
5
4 -4
4 ù
ú
5 -4 ú
ú
1
6 úú
6
2 úûú
3
119
é 4 ù
ê
ú
ê -2 ú
ú
14. F= êê
ú
ê 7 ú
ê 0 ú
êë
úû
 x3 − 4 x
−5   0 −5 

 

2
−1   2 −1 

18. 
=

2 
6
y2 − 2   6





0
− z + 1   0 −3 

15. G = [ 10 ]
 −4 x

2
19. 
4

 1

 2 −2 0 1 
16. H = 

 3 1 −4 6 
Encuentre en los ejercicios 17, 18 y 19 los valores de las
incógnitas, si existen, que hacen válidas las igualdades.
 2
x

17.  y + 2 0

2
3
 z
2
−1
  0
2

 

2
1
=


2
y5 − 2   4
 


1   1 −7 + z 
20. Dé la matriz triangular superior de orden 4, en la
que todos los elementos no nulos son iguales a
5 
 2 −7 5 



−4  =  −5 0 −4 

 1 3 −1 


−1 
– 2.
3.2 – OPERACIONES ENTRE MATRICES
En esta sección explicamos algunas de las operaciones que podemos realizar con las matrices, es decir,
estudiamos el Álgebra de Matrices.
3.2.1 - Suma y Diferencia de Matrices
Suma de Matrices
Definición 3.4: La suma de dos matrices A = (a i j) y B = (b i j) de la misma
dimensión, es otra matriz S = (s i j) de la misma dimensión que
los sumandos y con término genérico s i j = a i j + b i j.
Notación: La suma de las matrices A y B se denota por S = A + B.
n Ejemplo 3.17:
Dadas las matrices A = 

 1 5
S=A+B= 
 −1 −2
120
1
2
3 −1 
 y
−4
5 
 0
B= 
 −3
2
2
1
,
4
0 
 ya que de acuerdo con la definición:
9 
s11 = a11 + b11 = 1 + 0 = 1
s21 = a21 + b21 =
2 + (– 3) = – 1
s12 = a12 + b12 = 3 + 2 = 5
s22 = a22 + b22 = – 4 + 2 = – 2
s13 = a13 + b13 = –1 + 1 = 0
s23 = a23 + b23 = 5 + 4 = 9
Las principales propiedades de la suma de matrices son:
Propiedades de la
Suma de Matrices
Teorema 3. 2 : Sean A, B y C matrices del mismo orden, entonces:
1. A + (B + C) = (A + B) + C
propiedad asociativa
2. A + B = B + A
propiedad conmutativa
3. A + 0 = A , 0 es la matriz nula
existencia del elemento neutro
4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe
el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
existencia del elemento opuesto
5. La diferencia de las matrices A y B se representa por A – B, y se define como:
A – B = A + (– B).
6. ( A + B ) T = A T + B T
Demostración: A cargo del lector. Las propiedades son fáciles de demostrar ya que
resultan de aplicar las propiedades de las operaciones con números
reales.
• Invente tres matrices del mismo orden y verifique el cumplimiento de las
propiedades anteriores.
n Ejemplo 3.18:
De acuerdo con la propiedad 5,
A – B se obtiene simplemente
restando los elementos
correspondientes de A y B.
Trabajando con las matrices A y B dadas en el Ejemplo 3.17, calculamos la
matriz A – B. Esta es:
1 −2 
3 − 1   0 −2 − 1 
 1
 1
A – B = A + (– B ) = 
 + 
 = 

1
5   3 −2 −4 
 2 −4
 5 −6
Si bien la suma y diferencia de matrices se reduce a sumar o restar los elementos
correspondientes, el producto requiere de un procedimiento menos intuitivo. Razón por
la cual, definimos primero el producto de una matriz por un escalar y avanzamos paso
a paso, hasta lograr definir el producto de dos matrices estableciendo las condiciones
necesarias para poder realizarlo.
121
3.2.2 - Producto de una Matriz por un Escalar
Producto de una
Matriz por un escalar
Definición 3.5: El producto de una matriz A = (a i j) de cualquier orden por un
número real k es otra matriz B = (b i j) de la misma dimensión que
A, tal que cada elemento b i j de B se obtiene multiplicando por k
cada uno de los elementos a i j , es decir, b i j = k a i j , ∀ i, j.
El producto de la matriz A por el número real k se designa por B = k A. Al número real
k se le llama también escalar, por ello a esta operación se la denomina, producto de
un escalar por una matriz.
• Si el escalar es el cero, ¿qué matriz obtenemos como resultado?
n Ejemplo 3.19:
Se multiplica cada elemento
de A por 3.


Si A = 



2
5
2
3
1
0 
 6 3

 15 12
4 3
 entonces la matriz 3A es 
1 –1 
 6 3


7 0 
 9 21
0 
9 

–3 

0 
Las propiedades de la operación producto de una matriz por un escalar son:
Propiedades del
Producto de una
Matriz por un escalar
Teorema 3.3: Sean A, B y C matrices del mismo orden y sean k, h números
reales, entonces:
1. k (A + B) = k A + k B
Propiedad distributiva 1
2. (k + h)A = k A + h A
Propiedad distributiva 2
3. k [h A] = (k h) A
Propiedad asociativa mixta
4. 1·A = A
Elemento unidad
Propiedades simplificativas
5. A + C = B + C ⇔ A = B.
6. k A = k B ⇔ A = B
si k es distinto de 0.
7. k A = h A ⇔ h = k
si A es distinto de 0 ( es decir de la matriz nula).
Para demostrar este teorema, sugerimos expresar un elemento genérico de la matriz
A por ai j con i = 1, ..., n ; j = 1, ...,m y al de la matiz B por bi j con i = 1,..., q;
j = 1, ..., p. Además, observe que la hipótesis exige que el orden de las matrices
sea el mismo, esto es, n = q y m = p.
122122
A modo de ejemplo demostramos la propiedad 1.
Demostración
Sea k un número real cualquiera, entonces k (A + B) = k A + k B.
Por definición de suma de matrices y de multiplicación por un escalar, un elemento
cualquiera de k(A + B) se expresa por k(aij + bij). Por propiedad distributiva de
número reales k(aij + bij) = kaij + kbij con i = 1, ..., n ; j = 1, ..., m. El
segundo miembro entonces es el elemento genérico de k A + k B. Esto demuestra
la propiedad.
n Ejemplo 3.20:
Dadas las matrices:
4
2
 −9
A= 

 0 −10 −3 
 1 −1 −4 
B= 

 −3 7 12 
 0 −5 2 
C= 

 1 22 6 
b) –2 A + C – B ,
c) A – 3 C
Calculamos:
a) A + 3 B ,
Solución
Primero se realizó el producto
de la matriz B por el escalar 3
y luego se sumaron las
matrices.
4
2 
 −9
 1 −1 −4 
 + 3

 0 −10 −3 
 −3 7 12 
a) A + 3 B = 
2 
 −9 4
= 
 +
 0 −10 −3 
 3 −3 −12 


 −9 21 36 
 −6 1 −10 
A+3B= 

 −9 11 33 
4
2   0 −5 2   1 −1 −4 
 −9
+
−

 0 −10 −3   1 22 6   −3 7 12 
b) −2 A + C − B= −2 
1
4 
 18 −8 −4 
 0 −5 2 
 −1
=
 + 
 + 

6 
 0 20
 1 22 6 
 3 −7 −12 
El tercer término se obtuvo
cambiando los signos de sus
elementos.
 17 −12 2 
−2 A + C − B = 

35 0 
 4
4
2 
 −9
 0 −5 2 
− 3 

 0 −10 −3 
 1 22 6 
c) A − 3 C = 
4
2 
15 −6 
 −9
 0
=
 + 

 0 −10 −3 
 −3 −66 −18 
123
19 −4 
 −9
A − 3C = 

−
3
−
76
−21 

Observe: Realizar la resta de dos matrices, en realidad consiste en aplicar la definición
de suma y de producto de un escalar por una matriz de la siguiente
manera: A – B = A + (–1 ) B.
3.2.3 - Producto de Matrices
Las operaciones anteriores apenas han exigido un poco de esfuerzo para su
aprendizaje, ya que en su definición se siguen pautas operatorias conocidas. El
producto de matrices en cambio, como ya se dijo, introduce una perspectiva un poco
distinta.
3.2.3.1 - Producto de una matriz fila por una matriz columna
Para conocer cómo se realiza el producto de una matriz fila por una matriz columna
comenzamos analizando el siguiente problema.
n A un turista argentino que ha visitado Europa, Estados Unidos y Brasil, le han
sobrado 54 euros, 137 dólares y 174 reales. Las cotizaciones de dichas
monedas, en pesos, son respectivamente 3.32 , 3.19 y 1.15. ¿Cuántos pesos
tiene?
Solución
El problema se puede resolver sin la necesidad del uso de matrices. La lógica y
el sentido común nos indican que debemos realizar la suma de los productos
entre las cantidades de moneda extranjera sobrante por la cotización de las
mismas.
Este sencillo problema nos sirve para introducir el concepto de producto de
matrices y comprobar posteriormente que obtenemos el mismo resultado.
En primer lugar, expresamos la cantidad de dinero que posee en moneda
extranjera mediante la matriz fila:
D = ( 54 137 174 )
y la cotización en moneda nacional por medio de la matriz columna:
 3.32 


C =  3.19 
 1.15 


124124
Entonces, la cantidad de pesos que posee, será:
 3.32 
D.C= (54 137 174)  3.19  = 54(3.32) + 137(3.19) + 174(1.15) = $ 816.41
 1.15 


Conclusión
Al turista argentino le sobraron $ 816.41
Este problema nos permite introducir la siguiente definición.
Producto de una
Matriz Fila por una
Matriz Columna
Definición 3.6: Se define el producto de una matriz fila por una matriz columna
con el mismo número de componentes, como la suma de los
productos obtenidos al multiplicar los elementos correspondientes.
Es decir, si F = (a1j) con j = 1, ... , m es la matriz fila y
C = (b i1) con i = 1, ... , m es la matriz columna, entonces:
 b11 
 b21 
F. C = ( a11 a12 a13 ... a1m )  b31 
 ... 
b 
 m1 
m
= a11b11 + a12b21 + a13b31 +...+ a 1mb m1 =
∑a b
1k
k1
k=1
Note:
El resultado del producto es siempre un escalar ya que el orden de la
nueva matriz es 1x1.
n Ejemplo 3.21:
Realizamos los productos A.B si:
 −1 

 3
a) A = (1 2 ) , B = 
 3
 
b) A =(1 0 2 ) , B = −2 
 4
 
 1 


–1 
c) A = ( 0 5 3 7 ) , B = 
 2 


 –2 
Solución
 −1 

 3
a) A = (1 2 ) , B = 
Por definición, A.B = a11b11 + a12b21 = (1)(– 1) + (2)(3) = 5
125
Para simplificar la notación, ya que tanto el índice que indica fila de la primera
matriz como el que indica columna en la segunda es siempre 1, podemos
directamente expresar el producto de la siguiente forma:
A.B = a1b1 + a2b2 = (1)( –1) + (2)(3) = 5
b) A = (1 0 2 ) ,
 3
 
B =  −2 
 4
 
A.B = (1)(3) + (0)( –2) + (2)(4) = 3 + 8 = 11
 1 


–1 
c) A = ( 0 5 3 7 ) , B = 
¿Se anima a realizarlo Ud.?
 2 


 –2 
El resultado es : A.B = –13
3.2.3.2 - Producto de una matriz fila F1xm por una matriz B mxn
A una matriz B de orden mxn, la podemos considerar como compuesta de n matrices
columna; entonces, el producto de la matriz fila F por B será una matriz formada por n
números reales resultantes de los productos de F por cada una de las n columnas de B,
según la definición anterior.
Producto de una Matriz
Fila por una Matriz
Definición 3.7: Si F = (a 1i) con i = 1, ... , m es la matriz fila y B = (b i j ) con
i = 1, ..., m y j = 1, ... , n , entonces:








(a1 a2 a3 ... am)
b11
b21
b31
...
bm1
b12
b22
b32
...
bm2
b13
b23
b33
...
b m3
 m
 ∑ ak b k1
 k=1
∑ ak b k 2
∑ ak b k 3
m
k=1
...
...
...
...
...
m
k=1
b1 n
b2 n
b3 n
...
bm n
m
126126
∑
∑

∑ ak b k n 
k=1
m
m
 m

Es decir, F. B = 
ak bk 1 ,
ak b k 2 , ...,
ak b k n 


 K=1

K=1
K=1
∑








Observe: Como resultado del producto de una matriz 1xm por otra mxn se obtiene
una matriz de orden 1xn. En otras palabras, la matriz producto tiene tantas
filas como la primera matriz y tantas columnas como la segunda.Otra
consecuencia importante para destacar es que el producto sólo se puede
realizar si la cantidad de columnas de la matriz fila es igual a la cantidad de
filas de la segunda matriz.
n Ejemplo 3.22:
Realizamos los productos A.B, si es posible en cada uno de los siguientes casos:
 −1 7 

 3 4
a) A = (1 2 ) y B = 
 −1 7 5 

 3 4 −8 
b) A= (1 2 ) y B= 
c) A = ( 1
0
−1 )
y
d) A = ( −2 1 −1 2 )
 1 −1 3 


2 0 −2 
B= 
 4 −1 5 
 3 3 0 


 1 −1 3 


2 0 −2 
y B =
 4 −1 5 


 3 3 0
Solución
 −1 7 

 3 4
a) A = (1 2 ) y B = 
Según la definición, como la cantidad de columnas de A es igual a la
cantidad de filas de B, el producto A.B se puede efectuar realizando los
productos de la matriz fila A por cada una de las columnas de B.
Debemos, entonces, obtener el producto de la matriz fila A por la primera
columna de la matriz B :
 −1 
= 5
3
(1 2 ) 
realizado en el ejemplo 3.21
y el producto de A por la segunda columna de B
 7 
 = 15
 4 
(1 2) 
La matriz producto es de
orden 1x2, tiene tantas
filas como la matriz A y
tantas columnas como la B.
Entonces :
 −1 7 
A .B = (1 2 ) 
 = ( 5 15 )
 3 4
127
Note: El elemento de la primera columna de la matriz producto A.B, es el
resultado de la multiplicación de la matriz fila A por la primera columna
de la matriz B y el elemento de la segunda columna del producto, es el
resultado de la multiplicación de A por la segunda columna de la matriz B.
Suele ser de utilidad, disponer las matrices como sigue:



x 
x
(1
2 )
7 
-1
3
=B

4 
5
)
+
(
A
para encontrar el otro elemento del producto, se procede de un modo similar.
x
x
(1
−1





2 )
7 
+ = B

4 
3
(
15 )
5
A
 −1 7 5 

 3 4 −8 
b) A = (1 2 ) y B = 
Hemos agregado una columna más a la matriz B del ejemplo anterior, por lo
que los dos primeros elementos de la matriz producto ya los tenemos y
debemos encontrar el tercer elemento. Entonces:
 5
 = − 11
 −8 
(1 2 ) 
AB tiene una fila como A y
3 columnas como B.
Por lo tanto:
c) A = ( 1
A.B = ( 5 15 – 11 )
0
−1 )
y
 1 −1 3 


2 0 −2 
B= 
 4 −1 5 
 3 3 0 


No es posible realizar el producto A. B, ya que la cantidad de columnas de la
matriz A no es igual a la cantidad de filas de B.
128
d) A = ( −2 1 −1 2 )
 1 −1 3 


2 0 −2 
y B=
.¿Se anima Ud. a realizar A.B?
 4 −1 5 


 3 3 0
El resultado es: A.B = ( 2
como B.
9 –13). Tiene una fila como A y 3 columnas
Con los conceptos hasta aquí vistos, estamos en condiciones de extender la definición
de producto a dos matrices cualesquiera.
3.2.3.3 - Producto de Apxm por una matriz Bmxn
Producto de dos
matrices
Definición 3.8: Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos
elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las
columnas de B, como lo vimos anteriormente. Es evidente que el
número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de
B. Es más, si A tiene dimensión pxm y B dimensión mxn, la matriz
P será de orden pxn. Es decir:
m
q i j=
∑ a i k b k j con i = 1, 2,..., p y j = 1, 2., ..., n
k=1
Para ayudar a la compresión de esta definición, mostramos a modo de ejemplo, cómo
calcular el elemento q 23 de la matriz producto.








m
q23 =
∑ a 2k b k 3
k=1
Se suma el resultado
de multiplicar los
elementos de la fila 2
de A por los de la
columna 3 de B.

 a
 11



a
 21




 a31


 ...

a
 p 1

a1 2
a22
a1 3
a23
...
...
a32
a33
...
...
ap2
...
ap3
...
...
b11
b21
b31
...
bm1
  a b

a 1 m  k= 1 1 k k 1

 
 m
 
 a b
a 2 m  k= 1 2 k k 1
 
 
 m
  a b
a 3 m  k= 1 3 k k 1
 
 
....
...   m
 
a p m   ap k bk1
 
  k= 1
b12
b22
b32
...
bm2
b13
b23
b33
...
bm3
...
...
...
...
...
b1 n
b2 n
b3 n
...
bm n

∑
m
∑a1 k bk2 k=∑1a1 k bk 3 ... k=∑1a1 k bk n 
k= 1
m
m
∑
m
m
∑
∑
m











a2 k bk n 

k= 1


m

a3 k bk n 

k= 1


....

m

ap k bkn 

k= 1

m
∑a2 k bk2 k=∑1a2 k bk 3 ... ∑
k= 1
m
m
∑a3 k bk 2 k=∑1a3 k bk 3 .... ∑
k= 1
....
m
.....
m
.....
∑apk bk2 k=∑1apk bk3 .... ∑
k= 1
129
Notación: El producto de A y B se representa como A.B , AxB o simplemente AB.
Observe: La matriz producto tiene p filas como la primera matriz y n columnas como
la segunda. La cantidad de columnas de la matriz A debe ser igual a la
cantidad de filas de la matriz B para que el producto sea posible.
Estas fórmulas pueden resultar un poco complicadas o abstractas, veamos en el
siguiente ejemplo el procedimiento para multiplicar dos matrices:
n Ejemplo 3.23:
Realizamos, si es posible, el producto de las matrices A y B si las mismas son:
 2 3
B =  1 0


 4 −1 
 1 −2 3 
A= 

0 −1 
4
En primer lugar, debemos analizar los órdenes de las matrices dispuestas de
la siguiente manera:
A
B
2x3
3x2
como la cantidad de columnas de A es la misma que la cantidad de filas de B,
el producto AB se puede realizar y da por resultado una matriz de orden 2x2.
 2
 1

 4
æ 1 -2
3ö÷
çç
÷
çè4
0 -1ø÷÷
3
0
−1
 (1)(2)+(–2)(1)+(3)(4)


 (4)(2)+(0)(1)+(–1)(4)

 12
 4




(1)( 3)+(–2)(0)+(3)(–1)


(4)(3)+(0)(0)+(–1)(–1)
0 
.
13 
Por lo que AB = 
Si comparamos con lo realizado en el ejemplo anterior, procedemos del
mismo modo, pero ahora lo hacemos con dos filas para la matriz A.
Si bien AB y BA están definidos,
el resultado de ambos no es el
mismo. Es más, las matrices
resultantes son de distintas
dimensiones.
130130
¿Es posible realizar también el producto B.A? Analicemos los órdenes de
ambas matrices:
B
A
3x2
2x3
como la cantidad de columnas de B es la misma que la cantidad de filas de A,
el producto BA se puede realizar y da por resultado una matriz de orden
3x3.
3
 14 − 4

• ¿Se anima a realizar el producto solicitado? La respuesta es BA=  1 −2 3 
 0 −8 13 


n Ejemplo 3.24:
 1 0
 1 −2 


Realicemos, de ser posible, el producto de A = 
 y B =  0 −2  .
6 5
 3 0


Comencemos, como siempre, analizando los órdenes de las matrices dispuestas
de la siguiente manera:
No siempre se puede
realizar los productos de
AB y BA, depende del
orden de ambas matrices.
A
B
2x2
3x2
como la cantidad de columnas de A no es la misma que la cantidad de filas de
B, el producto AB no se puede realizar.
¿Podemos realizar el producto B.A? Analicemos los órdenes de ambas matrices
B
3x2
A
2x2
como la cantidad de columnas de B es la misma que la cantidad de filas de A , el
producto BA se puede realizar y da por resultado una matriz de orden 3x2.
• ¿Se anima a realizar el producto solicitado?
 1 −2 
La respuesta es BA =  −12 −10  .
 3 −6 


Observe: En general, el producto de matrices No es conmutativo AB ≠ BA (ver
ejemplo 3.23). Es más, como se muestra en el ejemplo anterior, uno de los
productos puede inclusive no estar definido (A.B), mientras que el otro sí
(B.A).
• ¿Podría encontrar un ejemplo de dos matrices A y B tal que no sea posible
realizar A.B ni B.A ?
131
Las principales propiedades del producto de matrices se presentan a continuación:
Propiedades del
Producto de Matrices
Teorema 3.4: Sean A, B y C matrices tales que las sumas y productos están
definidos, entonces:
Propiedad asociativa
1. A·(B·C) = (A·B)·C
2. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene que: A·In = In·A = A.
Elemento neutro
3. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir:
A·(B + C) = A·B + A·C .
Propiedad distributiva
4. (A.B)T = BT AT
•
Genere matrices A , B y C y compruebe las propiedades enunciadas.
Consecuencias del Teorema 3.4
5. A·B = 0
no implica que A = 0 ó B = 0.
6. A·B = A·C no implica que B = C.
7. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 si y sólo si A·B = B·A.
8. (A + B)·(A–B) = A2 – B2 si y sólo si A·B = B·A.
Demostración
Demostramos a modo de ejemplo la propiedad 7:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 si y sólo si A·B = B·A.
2
2
1) Primero consideramos como verdadero (A + B) = A +2A.B+B
2
(hipótesis)
y probaremos entonces que A.B = B.A (tesis).
Partimos de la hipótesis y desarrollamos el primer miembro aplicando propiedades
de matrices, mientras que el segundo miembro lo mantenemos sin cambios.
En general, el producto
de matrices no conmuta.
Existen casos en los que
AB = BA, en ellos
decimos que A y B
conmutan.
132132
(A + B) 2
=
A2 + 2A.B + B2
(A + B)(A + B)
=
A2 + 2A.B + B2
(A + B).A + (A + B).B
=
A2 + 2A.B + B2
A2 + B.A + A.B + B2
=
A2 + 2A.B + B2
restando A2 , B2 y A.B a ambos miembros
B.A = A.B es decir, A y B conmutan como afirma nuestra tesis.
2) Se debe ahora considerar como verdadera la igualdad A.B = B.A (hipótesis) y
probar que: (A + B)2 = A2 + 2A.B + B2 (tesis).
La demostración se deja como ejercicio al lector.
Siguiendo el mismo razonamiento, se demuestra la propiedad 8.
Existen muchas otras propiedades que vinculan los conceptos que hemos visto.
Algunos de ellos los demostramos en los siguientes teoremas y otros los planteamos
como ejercicios.
Teorema 3.5:
1. Si A es una matriz cuadrada, entonces A + AT es simétrica
2. ∀ A: A . AT y AT . A son simétricas.
Demostración
1. Por definición, una matriz es simétrica si AT = A. Entonces debemos demostrar
que ( A + AT) T = A + AT. Por Teorema 3.2.6. de suma de matrices
( A + AT) T = AT + (AT)T, por Teorema 3.1.3 (AT) T= A.
Entonces ( A + AT) T = AT + A, por propiedad conmutativa de la suma
( A + AT) T = A + AT que es nuestra tesis.
2. Se debe demostrar que ( A . AT) T = A . AT. Por Teorema 3.4.4 del producto
de matrices (A . AT) T = (AT) T .AT, por Teorema 3.1.3 (AT) T= A. Entonces
( A . AT) T = A . AT.
De modo similar podemos demostrar que ( AT. A) es simétrica.
Teorema 3.6:
Si A y B son matrices triangulares superiores C = A.B es una
matriz triangular superior.
Demostración
Si A es triangular superior entonces a i j = 0 si i > j y si B es triangular superior
b i j = 0 si i > j. Para demostrar que la matriz producto C también es triangular
superior, debemos ver que los elementos c i j con i > j , son todos iguales a cero.
n
Analizamos solamente cuando i > j, por definición de producto c i j =
∑a b .
ik k j
k=1
133
Si k > j entonces b k j = 0 , por ser B una matriz triangular superior. De esta
manera los sumandos ai k.bk j = 0, lo que indica que podemos realizar la suma
j
variando k desde 1 hasta j, es decir, que c i j =
∑a b .
ik k j
k =1
Pero para 1 ≤ k ≤ j, i > k pues partimos del supuesto que i > j. De este modo
a i k = 0, por ser A una matriz triangular superior. Esto significa que, también los
términos de la forma ai k.bk j valen cero para k ≤ j . Demostramos así que c i j = 0
para i > j y C es triangular superior.
Teorema 3.7:
Si A es una matriz simétrica entonces CT. A. C es simétrica
cualquiera sea la matriz C tal que el producto esté definido.
Demostración
Debemos ver que (CT. A. C) = (CT. A. C)T por definición de matriz simétrica. Para
ello partimos del segundo miembro y aplicamos propiedades para llegar al primer
miembro:
(CT. A C)T= ((CT. A) C)T = C T (CT. A)T = CT. AT.(CT) T = CT. AT.C = CT.A.C
Teorema
3.4.1
Matriz Idempotente
Note: Para que el
producto A.A =A2 esté
definido, A debe ser
una matriz cuadrada.
Teorema
3.4.4
Teorema
3.4.4
Teorema
3.1.3
Por ser A
simétrica
Definición 3.9: Una matriz A es idempotente si A2 = A.
Teorema 3.8: Si A.B = A y B.A = B entonces A, AT, B y BT son idempotentes.
Demostración
Debemos demostrar que: A2 = A, B2 = B, (AT)2 = AT y ( BT)2 = BT lo cual
indicaría, por definición, que estas cuatro matrices son idempotentes.
1. Debemos probar que A2 = A. Por hipótesis (1) sabemos que A.B = A,
multiplicamos por A ambos miembros de esta igualdad y obtenemos:
Observe que se
multiplicó por derecha
Por hipótesis
Por hipótesis
13434
A. B. A = A. A
A. B
A
= A. A
= A. A , entonces probamos que A = A.A = A2.
2. Debemos probar que ( AT)2 = AT.
Expresamos (AT) 2 como:
Por hipótesis (1)
y Teorema 3.4.4
Por hipótesis (2)
y Teorema 3.4.4
Por hipótesis (1)
y Teorema 3.4.4
A T . AT
= ( AT )2
AT. BT AT = ( AT)2
BT . A T = ( A T ) 2
AT
= ( AT )2
Lo cual demuestra nuestra afirmación inicial.
Siguiendo el mismo razonamiento se puede probar que tanto B como BT son
idempotentes. Se dejan éstas como ejercicios.
Para finalizar esta sección resolvamos un problema de aplicación utilizando matrices y
las operaciones estudiadas.
n Ejemplo 3.25:
El número de emigrantes (en miles) de los países A, B, C y D durante los años
1997 y 1998 con destino a tres ciudades C1, C2, y C3 están expresados,
respectivamente, por las tablas:
Año 1997
C1
C2
C3
A
0.7
1.2
0.2
B
0.1
0.2
1.6
C
6.1
3.4
4
D
11.3
0.8
0.6
Año 1998
C1
C2
C3
A
0.6
0.9
0
B
0
0.1
0.8
C
3.2
1.9
3.3
D
10.5
0.1
0.1
a) Represente mediante matrices los datos de las dos tablas.
b) Calcule el total de población recibida en las ciudades Ci según el país de
procedencia utilizando matrices.
c) Si se sabe que en 1999 los emigrantes con destino a la ciudad C3
aumentaron por cada país de procedencia un 10% con respecto a 1997,
represente mediante operaciones con matrices la cantidad de personas que
arribaron a C3 por país de origen en ese año.
135
Solución
a) Si llamamos M97 y M98 a las matrices correspondientes a cada una de las
tablas, resulta:
é 0.7
ê
ê 0.1
M97 = êê
ê 6.1
ê 11.3
êë
1.2 0.2 ù
ú
0.2 1.6 úú
3.4 4 úú
0.8 0.6 úúû
æ 0.6
çç
çç 0
M98 = çç
çç 3.2
çç
èç 10.5
0 ÷ö
÷
0.1 0.8 ÷÷÷
÷
1.9 3.3 ÷÷÷
÷÷
0.1 0.1 ÷÷ø
0.9
donde las filas representan los países de origen y las columnas las ciudades
donde emigraron.
Por ejemplo, podemos decir que del país A emigraron 700 personas a la
ciudad C2 y 200 a la ciudad C3 . De la misma forma se interpretan los
restantes datos.
b) Realizando la suma: M97 + M98 obtenemos el total de población recibida
en las distintas ciudades, según el país de procedencia. La matriz:
æ 1.3
çç
çç 0.1
M97 + M98 = çç
çç 9.3
çç
çè 21.8
Las cantidades están
representadas en miles. Por
lo que 0.3 representan
0.3 x 1 000 = 300 personas.
2.1
0.3
5.3
0.9
0.2 ÷ö
÷
2.4 ÷÷÷
÷÷
7.3 ÷÷
÷÷
0.7 ÷÷ø
nos permite concluir, por ejemplo, que a la ciudad C2 llegaron 300 personas
provenientes del país B en los años 97 y 98.
•
¿Puede Ud. interpretar el valor del elemento de la fila 3 columna 1 de esta
matriz?
c) El vector que representa la cantidad de inmigrantes que llegaron a la ciudad
C3, en 1997, desde los
países A, B, C y D, es:
é 0.2 ù
La cantidad de emigrantes a
la ciudad C3 aumentaron un
10% con respecto a 1997,
entonces 0.10 C3 representa
dicho aumento.
por lo tanto:
ê
ú
ê 1.6 ú
ú
C3 = êê
ú
ê 4 ú
ê 0.6 ú
ëê
ûú
é 0.2
ê
ê 1.6
C3 + 0.10×C3 = êê
ê 4
ê 0.6
êë
ù
é 0.02 ù
é 0.22 ù
ú
ê
ú
ê
ú
ú
ê 0.16 ú
ê 1.76 ú
ú + ê
ú
ê
ú
ú
ê 0.4 ú = ê 4.4 ú
ú
ê
ú
ê
ú
ú
ê 0.06 ú
ê 0.66 ú
úû
êë
úû
êë
úû
nos indica, por ejemplo, que en 1999 arribaron 660 personas a la ciudad C3,
procedentes del país D.
• Interprete Ud. los otros valores de la matriz resultado.
13636
REPASO TEÓRICO – Sección 3.2
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Cómo se define la suma de matrices?
2. ¿Qué condiciones deben cumplir dos matrices
para que su suma esté definida?
3. ¿La suma de matrices es conmutativa?
4. La diferencia de matrices se reduce a aplicar dos
operaciones de matrices. ¿Cuáles?
5. ¿Es posible sumar matrices que no sean
cuadradas?
6. ¿Para multiplicar una matriz por un escalar, la
matriz debe cumplir alguna condición especial?
¿y el escalar?
7. ¿Bajo qué condiciones podemos realizar el
producto de dos matrices A y B? ¿Cuál es el
orden de la matriz producto?
8. ¿Es posible multiplicar dos matrices filas?
9. ¿El producto de matrices es conmutativo?
10. ¿Si el producto de dos matrices es la matriz nula,
esto significa que alguna de las matrices
multiplicadas debe ser la matriz nula?
11. ¿Cuál es el neutro de la suma de matrices?
12. ¿Cuál es el neutro del producto de matrices?
EJERCICIOS – Sección 3.2
 10 


1. Si A =  −4  y B = ( 4 −5 1) es ¿posible
 −1 


realizar AxB? y BxA? En caso afirmativo, realice
el producto e indique su orden.
0
B= 6
0
1
 0 1 −1

D= 
 F= 0
 4 −5 3 
0
9. B + C
10. G – B
11. A x B
12. D x G
13. B x A + C
Utilizando las matrices anteriores, verifique que:
14. (A x B)T = BT x AT
Dadas las matrices:
 −3 2 1 
A= 

 −4 0 1 
8. B + G
0
−1
3 
0 0
1 0 
0 1 
 4 −2 0 
C=  −1 1 5 
 −2 0 1
0 0 
G = 0 0 
0 0 
Realice, si es posible, las operaciones indicadas en
los ejercicios 2 al 13. Si no lo es, explique claramente
por qué no puede realizarse.
2. A + D
3. F + C
4. A + 3 D
5. – C + 4 F
6. B x A
7. B x (A + D)
15. (A + D) T = AT + DT
16. Dada la matriz:
é 3
3ù
ú
A= ê
ê-3 -3ú
ë
û
Muestre que A2 (esto es A x A ) es igual a la
matriz nula. [Observe: el producto AxA=0, no implica
necesariamente que la matriz A sea la nula].
17. Encuentre el valor de x que verifica la siguiente
igualdad.
1
−2 
 −1 3 

 −3 8 
2
 = 
 + 

 x 1 
 3x+7 1 
 0 1 
137
18. Un shopping de nuestra ciudad cuenta entre sus
instalaciones con tres salas de cine. De lunes a
jueves, el precio de la entrada para un adulto es
de $6, para jubilados y estudiantes de $4 y para
menores de $3. La siguiente matriz (A) muestra
la asistencia a las salas del lunes pasado, donde
hubo una programación especial:
 43 58 81  Sala I
A =  24 43 94  Sala II


 33 21 67  Sala III


La primera columna representa la cantidad de
menores en cada sala, la segunda la cantidad
de estudiantes y jubilados y la tercera la cantidad
de adultos.
a) Dé el elemento a32 de la matriz de asistencia
e indique su significado.
b) Defina la matriz columna B de precios.
c) Encuentre A.B. ¿Qué información brinda
esta matriz?
d) Calcule el ingreso total por concepto de
entradas.
19. Un fabricante vende 4 artículos. La matriz fila V
refleja la cantidad vendida de cada uno de ellos
y la matriz columna P, el precio unitario de cada
artículo.
V = ( 4, 20 , 34, 50)
y
 10 
 15 
P=  
 20 
 
 40 
Realice el producto V.P e interprete el resultado
obtenido.
20. Un empresario planea organizar una obra de
títeres, un recital de rock y un espectáculo teatral
en tres ciudades del interior C1, C2, y C3. Un
estudio realizado indica que los porcentajes de
interesados en cada ciudad para los distintos
espectáculos son:


A = 

138138
0.15
0.70
0.10
0.30
0.40
0.30
Títeres
Rock
0.15  C1
0.50  C 2
0.40  C3
Teatro
Si el total de interesados en ver algunos de los
espectáculos en cada una de las ciudades está
expresado por el vector fila
C1
I = ( 3 200 ,
C2
5 500,
C3
4 800 )
Investiga qué tipo de espectáculo tendrá mayor
número de potenciales clientes y cuál es dicho
número.
21. Un corredor de la bolsa decide comprar acciones
de una determinada empresa de la siguiente
forma: 200 acciones de tipo A, 300 acciones de
tipo B y 400 acciones de tipo C. Cada acción de
tipo A, B y C cuestan respectivamente $300,
$700 y $100. Usando producto de matrices
determine cuánto invirtió en total el corredor de la
bolsa para la compra de dichas acciones.
22. Una empresa de nuestro medio tiene contrato
para construir tres tipos de casa: moderno, chalet
y colonial. La cantidad de material que se utiliza
en la construcción de cada tipo de casa está dado
por la siguiente matriz:
Piedra madera
vidrio
pintura
 50

 70
 60

30
22
18
9
6
4
20
15
22
tejas
40  Moderno

55  Chalet
50  Colonial
a) Si los precios, en pesos, por unidad de piedra,
madera, vidrio, pintura y tejas son 20, 12, 3,
20 y 8 respectivamente. ¿Cuál es el costo
generado por los materiales de construcción,
para cada tipo de casa?
b) Si se van a construir 8, 10 y 15 casas tipo
moderno, chalet y colonial respectivamente
¿Cuántas unidades de cada material se van
a utilizar?
Demuestre las siguientes propiedades:
23. Todos los elementos de la diagonal principal de
una matriz antisimétrica son ceros.
24. Si A y B son matrices cuadradas, entonces:
(A+B)(A–B)= A2 – B2 si y sólo si AB = BA.
25. Si A. AT = 0 entonces A es la matriz nula.
26. Si A y B son matrices diagonales entonces:
A.B = B.A.
27. Cualquier matriz cuadrada puede escribirse
como la suma de una matriz simétrica y una
antisimétrica.
28. Si A.B = A y B.A = B entonces B y
idempotentes.
BT
son
29. Si A es una matriz idempotente y A+B = I
entonces B = B2 y A.B = B.A =0
30. Si A y B son antisimétricas de orden 2x2, ¿bajo
que condiciones A.B es antisimétrica?
31. Si A y B son matrices simétricas de orden n
entonces A + B y k.A también lo son.
3.3 – MATRICES ELEMENTALES Y REDUCIDAS
En esta sección introducimos el concepto de matriz reducida y las operaciones que nos permiten reducirla. Estos
conceptos son de gran importancia y utilidad para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de cualquier
orden que estudiaremos en el capítulo 4, y para resolver problemas de Programación Lineal que veremos en el
capítulo 5.
3.3.1 - Operaciones elementales por fila
Es posible realizar operaciones entre las filas o renglones de una matriz. Estas son
llamadas operaciones elementales por fila o por renglón y son las mismas que
aplicamos en el método algebraico de eliminación para la resolución de sistemas de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas, en el capítulo 2. Estas operaciones son:
Operaciones
Elementales por
Fila.
• Intercambiar dos filas en una matriz.
Notación:
Fi ↔ Fj
• Multiplicar una fila Fi por un escalar k ≠ 0.
Notación:
Fi → k. Fi
Estas operaciones
pueden ser aplicadas
también a las
columnas.
• Sustituir una fila Fi por la suma de ella misma y un múltiplo de otra fila Fj
cualquiera.
Notación:
Fi → Fi + k Fj.
Matrices Equivalentes
Note: Ambas matrices
son del mismo orden.
Definición 3.10: Dos matrices son equivalentes por filas (o columnas) si una de
ellas se puede obtener a partir de la otra mediante una sucesión
finita de operaciones elementales por fila (o columna).
Notación: Para indicar que la matriz A es equivalente por filas (o por columnas) a B
usamos : A ∼ B.
Las siguientes son propiedades de las matrices equivalentes:
139
Propiedades de las
Matrices Equivalentes
Teorema 3.9: Sean A , B y C matrices, entonces:
1. A ∼ A
Propiedad reflexiva
2. Si A ∼ B entonces B ∼ A
Propiedad simétrica
3. Si A ∼ B y B ∼ C entonces A ∼ C
Propiedad transitiva
n Ejemplo 3.26:
La operación realizada a la
matriz A para obtener la
matriz equivalente B es:
F2 ↔ F1
La operación realizada a la
matriz A es:
F1 → –2 F1
La operación realizada a la
matriz A es:
F2 → F2 + 3 F 1
 4 −6 3 
 2 2 −4 
 y B1 = 
 son equivalentes
2
2
−
4


 4 −6 3 
por filas, ya que B1 se obtuvo de A intercambiando las filas.
a) Las matrices A = 
3
 4 −6
 −8 12 −6 
 y B 2 =
 son equivalentes
 2 2 −4 
 2 2 −4 
por filas, puesto que se multiplicó la primera fila de A por –2 para obtener B2.
b) Las matrices A = 
−6 3 
 4 −6 3 
 4
 y B3 = 
 son equivalentes
 2 2 −4 
 14 −16 5 
por filas, pues la B3 se obtuvo reemplazando la segunda fila de A por la suma
c) Las matrices A = 
de ella misma más tres veces la fila uno. Observe que cambió sólo la
segunda fila.
−6 3 
 4
 12 −18 9 
y C = 
 son equivalentes
 14 −16 5 
 14 −16 5 
ya que C se obtuvo a partir de B3 multiplicando la primera fila por 3. Por lo
 4 −6 3 
tanto C también es equivalente por fila con la matriz A = 
 del
 2 2 −4 
inciso anterior por Teorema 3.9.3. Es decir: A ∼ B3 ∼ C entonces A ~ C.
d) Las matrices B 3 = 
• ¿Son las matrices B1, B2 y B3 equivalentes? Justifique su respuesta.
3.3.2 - Matrices Elementales
Definición 3.11: Una matriz cuadrada E de orden n es elemental si se puede
Matriz Elemental
obtener a partir de la matriz identidad del mismo orden,
mediante la aplicación de una y sólo una de las operaciones
elementales por filas (o por columna).
Observe: Una matriz elemental de orden n siempre es equivalente por fila (o por
columna) a la matriz identidad del mismo orden.
140
n Ejemplo 3.27:
1 0 0 
0 1


a) Las matrices A = 
 , C = 0 1 0
1
0


0 0 2


1 0 0 
y D =  0 1 5  son
0 0 1 


matrices elementales, ya que:
A se obtuvo de la matriz Identidad de orden 2, intercambiando las filas.
C se obtuvo multiplicando la fila tres de la matriz Identidad de orden 3, por
el número 2.
D se obtuvo reemplazando la fila dos de la matriz Identidad de orden 3, por
el resultado de multiplicar la fila tres por 5 y sumarla luego a la fila dos.
Observe que la única fila que cambió es la dos.
0 2
 no es una matriz elemental ya que se obtuvo de la
1 0 
b) La matriz A = 
matriz identidad de orden 2 por la aplicación de dos operaciones
elementales: Intercambio de filas y la multiplicación de la primera por el
número 2.
0 0 1 


c) La matriz A =  1 0 0  no es elemental. Se obtuvo de la matriz identidad
0 1 0


de orden 3, por la aplicación de dos intercambios de filas.
n Ejemplo 3.28:
 1
2 3
0 4  y E1 la matriz elemental obtenida a partir de la

 2 1 −2 


identidad de orden 3, aplicando la operación elemental F2 → F2 + 2F3.
Sea A la matriz  −1
Entonces el producto:
1 0 0   1
E 1 . A =  0 1 2   −1


0 0 1   2


2 3  1
0 4 =  3
 
1 −2   2
2 3
2 0

1 −2 
El resultado de dicho producto es el mismo que si hubiésemos aplicado dicha
operación elemental a la matriz A. Es decir:
 1
 −1

 2

•
2 3
 1
F 2 → F 2 + (2) F 3
0 4  

→ 3


 2
1 −2 

2 3
2 0

1 −2 
¿El producto de la matriz A por E1 da el mismo resultado? Realice el cálculo.
141
Una de las razones principales para estudiar matrices elementales es que el resultado
de aplicar una operación elemental por fila a una matriz A de orden nxm es idéntico al
que se obtiene al multiplicar E.A, donde E es la matriz elemental que resulta de aplicar
la misma operación elemental por fila a la identidad de orden nxn.
3.3.3 - Matriz Reducida
Matriz Reducida
Definición 3.12: Una matriz R de orden mxn, se llama reducida si es la matriz
nula o bien:
•
El primer elemento no nulo de cada fila no nula de R es 1,
llamado elemento pivot. (se lee de izquierda a derecha)
•
Cada columna de R que contiene el elemento pivot, tiene todos
sus otros elementos nulos.
•
Los elementos pivot se encuentran escalonados. Es decir, el
pivot de una fila cualquiera se encuentra a la derecha de los
elementos pivot de las filas superiores.
•
Las filas nulas, de existir, se ubican debajo de las no nulas.
n Ejemplo 3.29:
Analicemos si las siguientes matrices son o no reducidas.
1 3 0 
b)  0 0 1 2 
1 0 
e)  0 0 
0 1


f) 
0 0 0


Por definición, la matriz
nula es reducida
0 1 0 4
a)  0 0 1 
0 0 0 0


0 1 0

0 0 1 
1 0 1 
c)  0 1 0 
0 0 1 


 0 1 0 3

 0 0 1 5
g) 
0 1

1 0 
d) 
0 0

0 0
h) 
Las matrices de los apartados a), b), f), g) y h) son reducidas, mientras que las
restantes no lo son.
La matriz del apartado c) no es reducida pues en la tercera columna, no son ceros
todos los elementos por encima del pivot ubicado en la posición (3,3).
La del apartado d) no es reducida porque el pivot de la segunda fila no está
ubicado a la derecha del elemento pivot de la primer fila.
La matriz del inciso e) no es reducida pues tiene una fila nula que no está
ubicada por debajo de las filas no nulas.
142142
La matriz reducida que
se obtiene aplicando
operaciones
elementales por fila, en
general, no es igual a
la reducida que se
obtiene utilizando
operaciones
elementales por
columnas.
¿Siempre podemos asociar a una matriz dada otra equivalente a ella en forma reducida?
Sí, es posible y la misma es única. Es decir, la reducida no depende del orden en que
se realizan las operaciones elementales por fila (o columnas) vistas en la sección 3.3.1.
Un resultado importante que vincula los conceptos de equivalencia y de matriz reducida
es:
Teorema 3.10: Si dos o más matrices tienen la misma matriz reducida (R),
entonces dichas matrices son equivalentes.
Demostración
Para demostrarlo usamos las propiedades de matrices equivalentes:
Sean A y B dos matrices cuya reducida es R. Entonces por definición de reducida
A ∼ R y B ∼ R. Luego, como B ∼ R, por propiedad simétrica, R ∼ B.
En consecuencia, tenemos que A ∼ R y R ∼ B, y por propiedad transitiva A ∼ B.
Por lo tanto, hemos probado que las matrices A y B son equivalentes.
Es importante destacar que, para encontrar la reducida de una matriz debemos ser muy
cuidadosos en la elección de la operación elemental por fila a aplicar en cada ocasión,
ya que si no se trabaja de manera ordenada se puede perder alguna condición
establecida por la definición que fue lograda en algún paso anterior.
Por esta causa, sugerimos a continuación un procedimiento a seguir para reducir por
filas una matriz, teniendo en cuenta que se trabaja siempre de arriba hacia abajo y de
izquierda a derecha:
Pasos a seguir para
reducir una matriz
1. Busque la primera columna no nula de la matriz (leyendo de izquierda
a derecha).
2. Si la primera fila tiene un cero en la columna del paso anterior, intercámbiela
con una que tenga un elemento no nulo en la misma columna, preferentemente
elija una que comience con 1 si es que existe.
Supongamos que la matriz
obtenida luego de aplicar
una vez el procedimiento,
hasta el paso 3, es
 6 −2 3 


0 1 2
0 4 5


entonces la submatriz con la
que continuamos, en el paso
0 1 2
4, es 

 0 4 5
3. Haga cero los elementos de esa columna por debajo del no nulo, sumando
múltiplos adecuados de la fila superior a las filas ubicadas debajo de ella.
4. Repita el mismo proceso desde el paso 1 aplicado a la submatriz que se obtiene
con las filas inferiores . Repita este proceso con el resto de las filas.
5. Comenzando por la última fila no nula, avance hacia arriba: para cada fila
obtenga un 1 en su primer elemento no nulo y anule los restantes elementos de
esa columna, sumando múltiplos adecuados a las filas correspondientes.
143
n Ejemplo 3.30:
Reduzcamos las siguientes matrices:
 2 1
a) A = 

 −1 4 
5 2 1 


c) C =  2 6 4 
3 0 4


0 1 2


b) B =  0 3 7 
 0 −4 −9 


 2 −3 1 0 
d) D =  4 −1 0 2  .


 1 0 2 1
Solución
 2 1

 −1 4 
a) A = 
es conveniente intercambiar las filas para que en la posición (1,1)
obtengamos –1. Si bien para que la matriz sea reducida necesitamos un 1
(pivot) en esta posición, lo convertimos al final.
Cuidado: Las operaciones
se deben aplicar a todos los
elementos de la fila. Nunca
a una parte de ellos.
F1 ↔ F2
 2 1
 −1 4 
→

 

 2 1
 −1 4 
Ahora anulamos el elemento que está en la posición (2,1), puesto que toda
columna que contenga un pivot deberá tener todos sus otros elementos
iguales a cero. Para ello, usamos la tercera de las operaciones elementales
permitidas.
F2 → F2 + 2F 1
 −1 4 
 −1 4 
→

 

 0 9
 2 1
Convertimos ahora en 1 el elemento a22, aplicando la segunda de las
operaciones elementales.
1
F2 → F2
 −1 4 
9
→

 
 0 9
 −1 4 


 0 1
Anulamos el elemento a12.
F1 → F1 + ( −4)F2
 −1 4 
 −1 0 
→

 

0
1
 0 1


sólo nos resta convertir en 1 el elemento a 11.
Recuerde: La matriz
reducida equivalente es
única. No depende del
orden en que se realizan las
operaciones por filas.
144
 −1 0  F1 → (−1) F1
1 0 
→

 
=R
0 1
 0 1
 2 1
 es equivalente por fila a la matriz identidad
 −1 4 
Entonces, la matriz A = 
de orden 2.
0 1 2
b) B =  0 3 7 
 0 −4 −9 


Como la primera columna es nula y la segunda no, el elemento pivot estará
en la posición b 12. Debemos anular los elementos por debajo del pivot.
Comencemos anulando el elemento b22.
1
2
1
2
 0
 0

 F2 → F2 +(−3) F1


3
7  →  0
0
1
 0
 0 − 4 −9 
 0 − 4 −9 




Continuamos anulando el elemento b32.
1
2
 0
 0

 F3 → F3 +(4) F1

0
0
1

→


 0
 0 − 4 −9 
 0



1 2

0 1
0 −1 
Anulamos el elemento b33
 0

 0
 0

1 2
0 1 2
 F3 → F3 + F2


0 1  
→  0 0 1
0 0 0
0 −1 


Anulamos el elemento b13
No siempre la reducida de
una matriz cuadrada es la
matriz identidad.
0 1 2
0 1 0 

 F1 → F 1 + ( −2) F2


0
0
1

→


 0 0 1 = R
0 0 0
0 0 0




0 1 2
Luego, la matriz equivalente a B =  0 3 7  en forma reducida es
 0 −4 −9 


0 1 0 
0 1 0 




 0 0 1  . Usando la notación, B ∼  0 0 1  .
0 0 0
0 0 0




5 2 1 


c) C =  2 6 4 
3 0 4


Como todos los elementos de la segunda fila son números pares, nos
conviene multiplicarla por 1 para obtener un 1 en la primera columna y
2
145
números enteros en las otras. Esto nos evita el trabajar con fracciones.
Luego intercambiamos las filas 1 y 2.
5 2 1  F ↔ F
1 3 2 
 5 2 1 F2 → 1 F2
1
2
 2 6 4  
2
→  1 3 2  
→ 5 2 1 






3 0 4
3 0 4
 3 0 4




Siguiendo los pasos indicados en el procedimiento, debemos anular los
elementos de la primera columna que están por debajo del 1.Comenzamos
anulando el elemento a21 y luego el a31.
3 2
 1 3 2  F → F + ( −5)F
1
F3 → F3 +( −3)F1
2
2
1
 5 2 1  
 0 −13 −9  

→

→




3 0 4
3

0 4



3 2
1
 0 −13 −9 


 0 −9 −2 


Para evitar las fracciones,
trabajamos con dos operaciones
elementales simultáneas.
Multiplicamos la segunda fila por
el elemento de la tercera (– 9)
y la tercera por (–13), para
obtener los elementos a anular
iguales, luego restamos.
Ahora nos movemos a la segunda columna. Debemos anular el elemento por
debajo del -13. El valor 1 en la posición (2,2) lo obtendremos al final de la
reducción.
3 2
3 2
1
1
F3 → (−9)F2 − (−13) F3
 0 −13 −9 
 0 −13 −9  
→




 0 −9 −2 
0
0 55 



Dividimos la tercera fila por 55, para convertir en 1 el elemento a 33.
1
3 2
3 2
1
1
F3 →
F3
 0 −13 −9  

55
→ 0 −13 −9 




0
0
0 55 
0
1 


Como no podemos seguir trabajando hacia abajo, continuamos a partir del 1
logrado en la posición (3,3) y anulamos los elementos de esa columna que
están por encima de dicho elemento.
3 2
1
F2 → F2 + (9)F3
 0 −13 −9  
→


0

0
1

3 2
3 0
1
1
F1 → F1+ (−2)F3

 0 −13 0  
→  0 −13 0 


0

0
0 1
0 1 


nos corremos a la columna contigua hacia la izquierda y subimos una fila,
ponemos el pivot en 1.
146146
3 0 F → 1 F
1
1 3 0
2
 0 −13 0  
−13 2 
→  0 1 0 


 0 0 1
0
0 1 



anulamos el elemento por encima de este nuevo pivot.
 1 3 0  F → F + (−3)F
 1 0 0
1
1
2
 0 1 0  

→  0 1 0 


 0 0 1
 0 0 1




La matriz C tiene por reducida la matriz identidad.
C ∼ I3
 2 −3 1 0 
d) D =  4 −1 0 2  .
 1 0 2 1


Intercambiamos las filas 1 y 3,
para lograr el pivot. Anulamos los
elementos por debajo de éste.
F 3:
2
-3
1
0
(-2)F1:
-2
0
-4
-2
0
-3
-3
-2
F 3:
0
-3
-3
-2
(-3)F2:
0
3
24
6
0
0
21
4
 2 −3 1 0  F ↔ F
 1 0 2 1  F → F + (− 4)F
1
3
2
2
1
 4 −1 0 2  
→  4 −1 0 2  

→




 1 0 2 1
 2 −3 1 0 
 1 0 2 1  F → F +(−2)F
3
3
1
 0 −1 −8 −2  

→


 2 −3 1 0 
 1 0 2 1  F → F +(−3)F
 1 0 2 1
3
3
2
 0 −1 −8 −2  

→  0 −1 −8 −2 




 0 −3 −3 −2 
 0 0 21 4 
como no podemos seguir hacia abajo comenzamos a subir y anulamos el
elemento b23 y luego b13
(8)F3:
0
(21)F2:
0
168
32
0
-21 -168
-42
0
-21
0
-10
(-2)F3:
0
0
-42
-8
(21)F1:
21
0
42
21
21
0
0
13
 1 0 2 1  F → (21)F + (8)F
2
2
3
 0 −1 −8 −2  
→


 0 0 21 4 
0 2
1
0 0 13 
1
 21
F1 →(21) F1+ (−2)F3
 0 −21 0 −10  


→
0 −21 0 −10 




0 21
4
0 21
4
 0
0
Observe que multiplicamos las filas por números convenientes para lograr que
al sumar o restar los elementos se anulen.
Dividimos ahora cada una de las filas por 21 o –21 de modo de obtener los
pivot en cada una de las columnas.
147
Entonces, la matriz
reducida de D es R.
Recuerde que
podemos usar la
notación :D ∼ R
13 
1
0 0

21 
0 0 13  F → 1 F

 F → −1 F
 21
1
1
2
2
 0 −21 0 −10  

21
21
→ 0 −21 0 −10  
→




0 21
4


 0
 0
0 21
4 


1 0 0


0 1 0


 0 0 21

13 
1 0 0

21 
 F →1 F

3
3
10 
21

→ 0 1 0

21 


 0 0 1
4 


13 
21 

10 
=R
21 

4 

21 
REPASO TEÓRICO – Sección 3.3
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Qué operaciones podemos aplicar a una matriz
para obtener la reducida equivalente?
2. ¿Cuándo dos matrices se dicen equivalentes? Dé
un ejemplo de dos matrices que lo sean.
3. Si la matriz A es equivalente a la matriz B, ¿es
correcto afirmar que B es equivalente a A?
Justifique.
4. ¿Cuándo una matriz se llama elemental? Dé dos
ejemplos de este tipo de matrices e indique a partir
de qué operaciones las obtuvo.
5. La reducida de una matriz de orden 3x4 ¿puede
ser la matriz identidad? Justifique desde la teoría.
6. La reducida de una matriz cuadrada, ¿es siempre
la matriz identidad? En caso de ser afirmativa su
respuesta, justifique con la teoría, caso contrario
busque un ejemplo en el que no se verifique.
7. ¿La matriz reducida depende del orden en que se
realizan las operaciones?
8. ¿Es posible encontrar más de una matriz reducida
asociada a una matriz dada? Justifique
9. ¿La matriz reducida de dos matrices equivalentes
es la misma?
10. Si dos matrices tienen la misma matriz reducida,
¿podemos afirmar que dichas matrices son
equivalentes? Justifique y ejemplifique.
EJERCICIOS – Sección 3.3
Encuentre la matriz elemental E que se obtiene a
partir de la identidad de orden 3 realizando las
siguientes operaciones elementales:
148148
1. F2 → 3 F1 + F2
2. F3 → 4 F3
3. F1 ↔ F2
4. F2 ↔ F3
5. F3 → -2 F1 + F3
1 0 0 3
20. 
0 0 1 2
1 0 0 
21. 0 0 0 


0 1 0 
0 1 0 3 
22. 0 0 1 2


0 0 0 0 
1
0
23. 
0

0
1 0 0 
24. 0 1 0 


0 0 1 
 1
25.  0

 0
0 0
1 0

0 −1
0
1
26. 
0

0
27. 
1
 0
0 −1
0 1
6. F1 → 4 F3 + F1
7. Aplique cada una de las operaciones anteriores a
5
1 3

la matriz A =  6 2 8  .
 9 0 −1 


Luego realice el producto EA para cada matriz E
hallada. Compare los resultados y elabore una
conclusión.
Encuentre la matriz elemental E tal que EA = B
[Ayuda: determine que operación elemental se aplicó a la
matriz A para obtener la matriz B y utilice el resultado del
ejercicio 7]
8. A = 
 1
 −1
2

1
 1
9. A = 
 −1
 1
 −1
0
0
1
0
5
4

2

0
1
1

0

0
y
 1 2
B= 

0 3
2

1
y
 1 2
B= 

 2 −2 
28. 
29. 
10. A = 
2

1
y
 −1
B= 
 1
 1

11. A =  0
 −1

2 3

1 2 y
4 − 2 
2 4 6
30.  1 2 3 
 1 2 3 
3
 2
 1 −6 

31. 
4
8


 1 7
Reduzca cada una de las siguientes matrices:
1

2
 1 2 3


B = 0 1 2
 0 6 1


Determine en las siguientes matrices elementales
cuáles son las operaciones elementales aplicadas
para obtenerla.
12. 
1 0

0
−7 

13. 
1
2

 1 2 0 
14.  0 1 0 


 0 0 1 

15. 


0

1
1
0
0
0 −4 
1 0 

0 1 
Determine si las siguientes matrices están o no en
forma reducida. Justifique sus respuestas negativas.
1 0
 0 −3
1 0 0 
 0 1 0 
16. 
17. 
0 1 
18. 
 1 0 
0 0 0
19. 
0 0 0 
0
0 
0 −2 0 1 

3 6 0 12 
1 3 

4 0 
 2
3
32. 
2

0
é
ê
ê
34. ê
ê
ê
êê
ë
0
4
0
1
3
1
1
0
1 
0 

2 

1 
0
0
2
0
0 -1
0
4
1ù
ú
3ú
ú
0úú
1úúû
é 2 -1
ê
33. ê 1 0
ê
êë 1
1
2ù
ú
0ú
ú
1úû
Verifique que los siguientes pares de matrices no son
equivalentes.[Ayuda: recuerde que dos o mas matrices son
equivalentes si tienen la misma reducida]
1 2
 4 −1
3
2 
 1 2 3
0 1 2 
1 0
 1 −1
5
2 
 1 0
 0 −1
35. 
36. 
5
3 
Verifique que los siguientes pares de matrices son
equivalentes.
149
1 2
 1 −1
37. 
 1 2 3
 0 −3 −1
 3 4 5
 0 0 0 
2
2
1
5 

0 
5 
0
 1

 0 −4
 1
2
5

7
4 
 1 2
40.  8 3
 −1 −2
4 

0 
5 
 1 −4

 0 −1
 0
0
3 

2 
5 
 0
 1
39.  −3
 0
Determine si son o no equivalentes las siguientes
matrices. En caso afirmativo, indique las operaciones
realizadas a la matriz de la izquierda para obtener la
de la derecha.
 2
41.  −1

 0
4
2
1
6
0

2 
 1 −2
 0 1

 1 2
0
2

3
 2
42.  −1

 0
4
2
1
6
0

2 
 1 −2
 0 1

0
 0
0
2

1
 2
43.  −1

 0
4
2
1
6
0

2 
0 0 0 
0 0 0 


0 0 0 
4
2
1
6
0

2 
 1


 0

 0
−2
45. 
 2 2
 0 −1
2

3
 0

 1
1 −3 

0 4
 1 0
46.  5 0
 0 −1
2 −1

6 2
2 3
 4 0

 0 −1
 1 0
 2
44.  −1

 0
8 10 
0 0 
38. 
6
3
2 
 0 −1 
47.  3 −1
 0
2 
 1 −1
48.  0 1
 2 0
 1 −1

 0 2
 0 0
0


1
2
3
1 − 
4
8 1

2 3
2 −1
1 0


 0 1
0 0 
2 0 − 2

0 −1 2  ;
1 −2 0 
2 0 − 2

1 −3 4 
2 −1 0 
3.4 – DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante es un concepto muy importante del álgebra matricial, y es de gran utilidad, en particular, para el
análisis de las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos en el capítulo 4.
Los elementos de una matriz cuadrada A pueden combinarse para obtener un único
número real llamado determinante. Para denotarlo utilizamos det (A) o |A|.
La pregunta que surge inmediatamente es ¿cómo calculamos ese número real que
asociamos a una matriz y lo llamamos determinante?
Existen diversas formas de calcularlo. Primero estudiaremos técnicas específicas para
matrices de orden 1, 2 y 3 ya que, para encontrar el determinante de una matriz de
15050
orden 3 necesitamos conocer el determinante de una de orden 2 y para ello el
determinante de orden 1. Por último, expondremos el procedimiento más general de
cofactores para matrices de orden n.
La definición de determinante se puede realizar sin pérdida de generalidad como:
Determinante de una
matriz de orden 1
Definición 3.13:
Si A = (a11) es una matriz de orden 1 , entonces | A | = a11.
Determinante de
matriz de orden 2
Definición 3.14:
Si A =  11
a12 
a
 es una matriz de orden 2, entonces:
 a21 a22 
| A | = a11 | a22 | – a12 | a21 |= a11 a22 – a12 a21
Para definir el determinante de una matriz de orden 2, se usa la definición de
determinante de una matriz de orden 1.
Determinante de
matriz de orden 3
 a11
Definición 3.15: Si A =  a21
a
 31
det(A) = |A| = a11
a13 

a23  es una matriz de orden 3, entonces:
a33 
a12
a22
a32
a22
a23
a32
a33
− a12
a 21 a23
a31 a33
+ a13
a21 a22
a31 a32
det (A) = a11(a22a33 – a32a23) – a12(a21a33 – a31a23) + a13(a21a32 – a31a22)
El determinante de la matriz de orden 3, se obtiene realizando la suma alternada de la
multiplicación de cada uno de los elementos de la primera fila por el determinante de la
matriz de orden 2, obtenida de eliminar la fila y columna a la cual pertenece dicho
elemento.
n Ejemplo 3.31:
a) Si A = [ 4 ] entonces |A | = 4
El determinante de la
matriz de orden 3 se
obtiene calculando
determinantes de
matrices de orden 2.
b)
3 −2
= 3 (6) – (– 2).1= 18 + 2 = 20
1 6
c)
−5 0
= (– 5)(– 3) –(0).2= 15
2 −3
d)
3
4
5
2
−1
2
2
2 3
3 = 3.
2 4
4
− 5
4 3
+2
−1 4
4 2
=
−1 2
= 3 [2(4) – 3(2)] – 5[4(4) – (–1) 3] + 2[4(2) – (–1) 2]
= 3 (2) – 5(19) + 2(10) = – 69
151
e)
2 −3
1 0
5
4 =2.
3 −3
9
0 4
− ( − 3)
−3 9
1 4
1 0
+ 5
3 9
3 −3
= 2[2(4) – 3(2)] + 3[(–3) + 5(–3)] = 0
= 2(12) + 3(–3) + 5(–3) = 0
Regla de Sarrus para el
cálculo del determinante
de una matriz de orden 3.
Además de la regla dada en la definición 3.15 para el cálculo del determinante de
matrices de orden 3, existe otro método de uso muy habitual, llamado Regla de
Sarrus. Los pasos a seguir para aplicarlo, se dan a continuación:
1. Se deben repetir las dos primeras columnas de la matriz dada a la derecha de la
misma.
 a11

 a21
 a
 31
Denominamos aquí como
“diagonales principales” a
la diagonal principal y sus
paralelas y como
“diagonales secundarias” a
la diagonal secundaria y
sus paralelas.
a12
a22
a32
a13  a11 a12

a23  a21 a22
a33  a31 a32
2. Se localizan las tres “diagonales principales”, indicadas con flechas hacia abajo y
las tres “ secundarias ” , indicadas con flechas hacia arriba.
a11
a21
a31
a12
a22
a32
–
a13
a23
a33
a11
a21
a31
+
–
+
–
a12
a22
a32
+
3. Se multiplican entre sí los elementos de cada diagonal.
4. El determinante se obtiene sumando los resultados de los productos de las
“diagonales principales” menos los productos de las “diagonales secundarias”.
Es decir:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11 a22a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 − a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12
Importante: La regla de Sarrus sirve para calcular solamente determinantes de
matrices de orden 3.
n Ejemplo 3.32:
Aplicamos la Regla de Sarrus para calcular el determinante de las siguientes
matrices:
a)
152152
3
4
5
2
2
3
−1
2
4
b)
1 −1 −2
3 3 −1
0 2 0
Solución
a)
3
4
5
2
2
3
−1
2
4
Siguiendo los pasos indicados:
3
4
5
2
2
3
3
4
5
2
−1
2
4
−1
2
Realizamos los productos y operando:
Compare el resultado con
el obtenido en el apartado
d) del ejercicio 3.31.
3
4
5
2
2
3
−1
2
4
= 3(2)(4) + 5(3)(–1) + 2(4)(2) – (–1)(2)2 – 2(3)(3) – 4(4)(5)
= 36 + (–15) + 16 – (– 4) – 18 – 80 = – 69
b)
1 −1 −2
3 3 −1
0 2 0
En primer lugar construimos la matriz:




1
3
0
−1
3
2
−2 
−1 

0 
1
3
0
−1
3
2
Luego se realizan los productos indicados y se realiza la suma algebraica de
los mismos
|A|=1(3)(0) + (–1)(–1)(0) + (–2)(3)(2) – 0(3)(–2)– (2)( –1)(1) – (0)(3)( –1)
= –12 – (–2) = – 12 + 2 = –10
Como lo mencionamos anteriormente, las reglas de cálculo que estudiamos para
matrices de orden 1, 2 y 3, se aplican exclusivamente a aquellas que tienen estas
dimensiones.
3.4.1 - Determinante de una Matriz de Orden n
El determinante de una matriz A de orden n ≥ 2 se define considerando los
determinantes de matrices de orden n – 1, como ya advertimos en la sección anterior.
El procedimiento para encontrarlo sigue la misma idea que la empleada para el cálculo
153
de los determinantes de orden 2 y 3. Antes de generalizar el método, definimos algunos
conceptos que nos ayudarán en las explicaciones posteriores.
Sea A una matriz de orden n. A cada elemento de A le podemos asociar una submatriz
de orden n – 1 obtenida de eliminar la fila y la columna a la cual pertenece dicho
elemento.
Por ejemplo, para una matriz A de orden 3, la submatriz asociada al elemento a22 es la
que se obtiene al eliminar la fila 2 y la columna 2 en la matriz original.
 a11

 a21
a
 31
Menor
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
Matriz asociada al
elemento a22
a13 

a33 
Definición 3.16: Dada una matriz cuadrada A de orden n ≥ 2, la submatriz
cuadrada de orden n – 1 obtenida suprimiendo la fila k y la
columna j de A se llama menor k , j de A y se designa por M k j.
 a11
 a31
a13 

a33 
En el ejemplo anterior M22 = 
Cofactor
 a 11

 a 31
Definición 3.17: Definimos el cofactor asociado al elemento ak j y lo denotamos
por c k j al escalar obtenido al multiplicar el determinante del
menor k , j por 1 o –1 dependiendo de la posición que ocupe
dicho elemento, es decir:
c k j = (–1)
k+j
| M k j | = (–1) k + j det ( M k j )
En nuestro ejemplo, el cofactor asociado al elemento a22 es:
c22 = ( –1)4 | M22 | = | M22 | =
a11
a31
a13
= a11 a33 – a31 a13
a33
La adjudicación del signo al cofactor de un elemento puede realizarse fácilmente
recorriendo los elementos de la matriz, horizontal o verticalmente, alternando el signo +
o – hasta llegar al elemento en cuestión y comenzando siempre con el signo + en el
elemento a11.
+
–
+
–
–
+
–
+
+
–
+
–
–
+
–
+
Definición 3.18: Si calculamos los cofactores asociados a todos los elementos de
Matriz de Cofactores
154154
una matriz cuadrada A, se puede generar una nueva matriz A C
llamada matriz de cofactores. Esta nueva matriz tiene el
mismo orden de A y sus elementos son los cofactores de los
elementos de A.
n Ejemplo 3.33
Encontramos la matriz de cofactores de las siguientes matrices:
 1
b) B =  −1
 3

 1 2
a) A = 

 −3 0 
0 3

2 0
4 − 3 
Solución
 1 2

 −3 0 
a) A = 
Los cofactores de cada uno de los elementos de A son:
Observe: Para calcular de los
cofactores de los elementos de
una matriz de orden 2, usamos
determinantes de matrices de
orden 1.
c11 = (–1) 2 | 0 | = 0
c12 = (–1) 3 | –3 | = 3
c21 = (–1) 3 | 2 | = –2
c22 = (–1) 4 | 1 | = 1
 0
 −2
La matriz de cofactores es A C = 
 1
b) B =  −1
 3

3

1
0 3

2 0
4 − 3 
Los cofactores de cada uno de los elementos de B son:
c11 = (–1)
c13 = (–1)
0
2
3
4
1
3
4
c31 = (–1)
4
c33 = (–1)
6
c12= (–1)
= – 10 ;
c21 = (–1)
3
= – 12;
c23 = (–1)
5
=–6;
c32 = (–1)
5
3 −3
0 3
2 0
3 −1
= – 6;
4 −3
4 −1
c22 = (–1)
Entonces:
2
2
1
0
−1
2
0
=–3
3 −3
0
3
= 12
4 −3
1 0
3 4
=–4
1
3
−1
0
=–3
=2
−3 −10 
 −6


BC =  12 −12 −4 
 −6
−3
2 

155
Método para calcular
el determinante de
una matriz por
cofactores.
Estamos ahora en condiciones de calcular el determinante de una matriz de orden n. Se
selecciona una fila o una columna y se multiplica cada elemento de ella por su cofactor.
La suma de estos factores será el determinante de A. Este procedimiento se conoce
como Método de Cofactores.
Por consiguiente, el desarrollo del determinante de A en función de los elementos de la
fila k viene dado por la fórmula:
Método de cálculo de
determinante por
cofactores.
|A| = det (A) =
n
n
a k j ( − 1) k + j det (M k j) = ∑ a k j c k j
∑
j =1
j =1
es decir, se puede calcular el determinante de una matriz A expandiendo por cofactores
cualquier fila de A. Es más, el determinante se puede calcular también desarrollando
por cofactores cualquier columna de A. Como la elección de la fila o columna es
arbitraria, se aconseja elegir la fila o columna que tenga mayor cantidad de ceros. De
esta manera se evita el cálculo de algunos cofactores.
n Ejemplo 3.34:
Calculamos los siguientes determinantes utilizando el método de cofactores:
a)
c)
1
2
−3
0
b)
2 −3
1 0
5
4
3 −3
9
d)
3
4
5
2
2
3
−1
2
4
2 −3
0 7
5
4
0
9
0
Solución
a)
1
2
−3
0
Desarrollemos el determinante por la fila 2, según el ejercicio 3.33 apartado
a), los cofactores de sus elementos son:
c21 = (–1)3 | 2 | = –2
Desarrolle el determinante
por la primera fila, y
obtendrá la fórmula vista
en la definición 3.14
1
2
−3
0
= (–3) c21 + (0) c22
= (–3) (–2) = 6
El determinante de la matriz es:
156156
c22 = (–1)4 | 1 | = 1
1
−3
2
=6
0
b)
3
4
5
2
2
3
−1
2
4
El determinante de esta matriz ya fue calculado en ejercicios anteriores,
usando primero la definición 3.15 y luego la regla de Sarrus. Usamos ahora,
el método de cofactores.
En primer lugar debemos elegir la fila o columna de la matriz para desarrollar
el determinante. Nosotros, arbitrariamente, nos decidimos por la fila 1.
Encontremos los cofactores de cada uno de los elementos de la fila:
c11 = (–1)
2
c13 = (–1)
4
2 3
2 4
=2;
4
2
−1
2
c12 = (–1)
3
4
3
−1
4
= –19
=10
Finalmente:
Compare este resultado con
los obtenidos en los
ejercicios 3.31 d) y 3.32 a).
3
4
5
2
−1
2
2
3 = 3 c11 + 5 c12 + 2 c13 = (3)(2) + (5)(–19) +(2)(10)
4
= – 69
La regla de cálculo dada en la definición 3.15, no es más que el caso
particular del Método de Cofactores para matrices de orden 3, cuando
desarrollamos el determinante por la fila 1.
c)
2 −3
1 0
5
4
3 −3
9
Consideramos para el desarrollo la fila 2. La elección de la misma se debe a
que tenemos un elemento nulo, y esto facilitará los cálculos que debemos
realizar.
Comenzamos buscando los cofactores de los elementos que están en dicha
fila.
C21 = (–1)2+1 M21 = (–1)
−3 5
−3 9
C22 = (–1)2+2 M22 = ( 1)
2 5
3 9
C23 = (–1)2+3 M23 = (–1)
2 −3
3 −3
Entonces
= (–1) [–27 – (–15)] = 12
= 18 – 15 = 3
= (–1) [– 6 – (– 9)] = – 3
2 −3
1 0
5
4 = 1 . C21 + 0.C22 + 4.C23 = 12 + 0 + (–12) = 0.
3 −3
9
157
Como el elemento de la matriz que está en la posición a22 es cero, no hace
falta encontrar su cofactor asociado. Justamente este es en realidad el
motivo por el cual se eligió la segunda fila para trabajar.
d)
2 −3
0 7
5
4
0
9
0
Vamos a encontrar el determinante de la matriz desarrollando por la primera
columna. Como tenemos un único elemento distinto de cero, a11, nos resta
encontrar solamente su cofactor asociado.
2 −3
0 7
0
0
5
7 4
4 =2
0 9
9
= 2[(7)(9) – (0)(4)] = 2(7)(9) = 126
La matriz es triangular superior y su determinante resulta ser el producto de
los elementos de la diagonal principal.
• ¿Cuál es el determinante de una matriz que tiene una fila nula?
Hemos visto hasta el momento cómo calcular el determinante de una matriz. Este valor,
asociado a toda matriz cuadrada verifica una serie de importantes propiedades que
permiten simplificar notablemente los cálculos y que enunciamos a continuación:
Propiedades de los
Determinantes
Teorema 3.11: Sean A y B matrices cuadradas de orden n, entonces:
1. El determinante de la matriz A es igual al de su traspuesta , esto es |A| = | AT|.
2. Si A tiene una fila (o columna) nula , entonces |A| = 0
3. Si A tiene una fila (o columna) múltiplo de otra, entonces |A| = 0.
4. Si A es triangular, entonces |A| es el producto de los elementos de la diagonal
principal.
5. Si B se obtiene de sumar un múltiplo de una fila (o columna) de A a otra fila (o
columna), entonces |A| = |B|.
6. Si B es obtenida de intercambiar dos filas (o columnas) de A, entonces
|B| = – |A|.
7. Si B es la matriz obtenida multiplicando cada elemento de una fila (o columna) de
A por el mismo número k, entonces |B| = k |A|.
8. Si k es una constante y A tiene orden n, entonces |k A| = k
En la propiedad 9, el
primer miembro es un
producto de matrices,
mientras que en el
segundo es un
producto de números.
15858
n
|A |.
9. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de los
determinantes, es decir: |AB| = |A| |B|.
Observe: Para calcular el determinante de una matriz, podemos reducirla hasta lograr
una matriz triangular, siempre que usemos solamente la tercera operación
elemental, es decir reemplazar una fila por la suma de ella misma más un
múltiplo de otra, y calcular luego el determinante de esta última. Ambos
determinantes serán iguales, por propiedad 5.
Las otras operaciones elementales no se pueden utilizar ya que cambian
el valor del determinante de la matriz original (ver propiedades 6 y 7).
Veamos algunos ejemplos de las propiedades enunciadas:
La propiedad 1 pone en
evidencia que el cálculo del
determinante es invariante si
se trabaja por fila o por
columna. Ya que el
desarrollarlo por una fila de la
matriz original es lo mismo
que desarrollarlo por la
columna correspondiente en
la traspuesta.
n Ejemplo 3.35:
La matriz B se obtuvo de la
matriz A reemplazando la tercera
fila por ella misma sumada a la
primer fila por 2. No podemos
multiplicar por el escalar la fila
que se reemplaza, pues el
determinante cambia.
La matriz B se obtuvo de
intercambiar en la matriz A
las filas.
La matriz B se obtuvo
multiplicando por 3 la
primer fila de A.
1 2 
Propiedad 1: Sea A = 

3 4 
→ |A|=–2
1 3 
AT = 

2 4
→ | AT | = – 2
1 2 
Propiedad 2: Sea A = 

0 0
→ |A|=0
2 4 
Propiedad 3: Sea A = 

1 2 
→ |A|=0
3 2
Propiedad 4: Sea A = 

0 4
→ | A | = 12
 1 2 3
 1 2 3
Propiedad 5: Sea A =  −1 0 2  y B =  −1 0 2  →




 0 −2 4 
 2 2 10 
| A | = | B | = 18
3 2
Propiedad 6: Sea A = 

0 4
→ | A | = 12
0 4
B= 

3 2
→ | B | = – 12
3 2
Propiedad 7: Sea A = 

0 4
→ | A | = 12
9 6
B= 

0 4
3 2
Propiedad 8: Sea A = 

0 4
→ | B | = (3)(12) = 36
→ | A | = 12
6 4
2
B = 2. A = 
 →| B | = 2 (12) = 48
0
8


159
 1 2 −2 
3 1  →| A | = 18
Propiedad 9: Sea A =  0


 2 −2 0 
0 1 3
B =  2 −1 1  → | B | = – 2


 1 0 3
|AB|=
2
7
−1
−3
1
6
−4
4
4
= –36 = | A | | B |
REPASO TEÓRICO – Sección 3.4
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Es posible calcular el determinante a cualquier
matriz? Justifique.
2. ¿Cómo calcula el determinante de una matriz de
orden 2?
3. ¿Qué métodos conoce para calcular el determinante
de una matriz de orden 3? Sólo menciónelos.
4. ¿Es posible extender la regla de Sarrus para
matrices de orden 4 o más?
5. ¿Cuál de los métodos estudiados elegiría, para
encontrar el determinante de una matriz de orden 5?
6. ¿El valor del determinante depende del método
utilizado?
7. ¿Qué es el menor de un elemento de una matriz?
8. ¿Como se define el cofactor de un elemento de una
matriz?
9. ¿Cuántos cofactores debemos calcular para una
matriz de orden n? ¿Y cuántos menores?
10. Si a una matriz A de orden 4, se le intercambian la
fila 1 con la 2 y luego la 3 con la 4, ¿cómo es el
determinante de la matriz resultante con respecto al
de la matriz A? Justifique, indicando la o las
propiedades utilizadas.
160160
11. ¿Cuál es el determinante de la matriz identidad?
12. ¿A qué es igual el determinante de una matriz
escalar? ¿Por qué?
13. ¿Cómo es el determinante de una matriz A con
respecto al de su transpuesta?
14. ¿Cuál es la operación elemental por filas que
conserva el valor del determinante?
15. Mencione al menos dos características que debe
tener una matriz para que su determinante sea
igual cero.
16. Mencione al menos dos formas distintas de
cambiar el signo del determinante de una matriz de
orden 3.
17. ¿Cómo calcula de manera rápida el determinante
de una matriz triangular? ¿y de una matriz
diagonal?
18. Si A es una matriz de orden mxn y B una matriz
de orden nxm, entonces su producto AB es de
orden mxm. En este caso ¿es posible afirmar que
| AB | = | A | | B | ? ¿Por qué?
EJERCICIOS – Sección 3.4
Calcule el determinante de las siguientes matrices.
Utilice de ser posible, las propiedades adecuadas que
le permitan simplificar los cálculos.
1. A = [ –2 ]
2. B = [ 6 ]
6 −5 
3. C = 

0 3
−1 4 
4. D = 

 2 1 
6. G = 
1 −8 
7. H = 

 0 2
 −1
8. J =  0

 2
2
0
1 −4 

0
1
 6
9. K =  0

 −3
6 −4 
 2 −3

1
0 10. L =  1 7


1
1 
 2 −3
 2
11. M =  −1
 4

0
3
2
 4 0
13. P =  0 −1

 0 0
2
4

2 
0
 5 −2 − 2 

0
12.N =  0 0 0



2
 1 2 −9
0
0

3 
 2 −1
14. R =  4 −2

2
 2
3
6

2 
Encuentre la matriz de cofactores en cada uno de los
siguientes casos:
 1

15. A =  −2
 5

2
3
7
 2 −3 2 
17. B =  1 7 4 


 2 −3 2 
4
 6

0  16. A =  0

0
 −3
 2
18. C =  −1

 4
0
2 −2
2 −1 −1
0
1
1
3

1 1 −4 

2 −2
1
0 −3
 1
 −1
1
0
22. B = 
 2 1 −4

 1 −1 −1
3 −2 

 3 −2 
2 7

0 0
5. F = 


21. A = 



6 −4 
1
0

1
1 
0
3
2
0
0

2 
 5 −2 − 2 
 4 0


19. D = 0 0 0 20. F =  0 −1



 1 2 9
 0 0
0
0

3 
Calcule el determinante de las siguientes matrices
 5
 0
23. C = 
 15

 0
−2
3
3
1
3 
2 

−6
9 

1 −1 
9
0
 3 0
 −5 2
24. D = 
 1 −1

 4 2
0
0
 3 0
 0 −5
25. F = 
 4 2

 0 −3
2
0
 3 0
 0 −5
26. G = 
 0 0

 0
0
3 
3 

2 

0 
0
1
2
0
0
0
2
0
0 
0 

0 

0 
1
3

0

3
0
0

0

3
Verifique las siguientes propiedades, considerando
−1 4 
 1 −8 
 y B =
:
 2 1
 0 2
las matrices A = 
27. | A B| = | A | | B |
28. | 3A | = 3 2 | A |
29. | B T | = | B |
Encuentre el o los valores de k que hacen verdadera
las siguientes igualdades de determinantes:
30.
k
−2
7 7−k
= 26
31.
2 3
4 k
= 12
161
21
99 = 60
k −1
36.
5a 5b 5c
5 −5 5
15 10 0
Si A es una matriz de orden 3x3 y su determinante
vale 4. Cuál es el valor del determinante de las
siguientes matrices:
37.
a +1 b −1
3
2
7
−7
38.
−1
1
1
b
a
c
2+2b 3+2a 2c
32.
3
0
0
33. 2A
k
k
0
34. –A
Sabiendo que el determinante
35. AT
a
b c
1 −1 1 =m,
3
2 0
c+1
0
7
calcule:
3.5 – INVERSA DE MATRICES
El concepto de inversa de matrices sólo tiene sentido para matrices cuadradas con determinante distinto de cero,
como veremos en el desarrollo de esta sección. El cálculo de la misma es muy importante ya que tiene muchas
aplicaciones, entre ellas, es de utilidad para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Matriz Inversa
Definición 3.19: Una matriz A de orden nxn es invertible, regular o no singular,
si existe una matriz B, llamada inversa de A tal que:
A.B = B.A = In.
Si A no es invertible diremos que A es singular.
Notación: la inversa de la matriz A se denota A–1.
Observe: De acuerdo a la definición, la matriz B = A –1 debe ser cuadrada de orden
n al igual que A para que el producto en ambos sentidos sea posible.
Aún no sabemos cuándo una matriz es invertible, ni en caso de serlo cómo encontrar la
inversa, pero el siguiente teorema afirma que, en el caso de existir, es única.
Teorema 3.12: Si A tiene inversa, entonces A–1 es única.
Demostración
Para demostrar que la inversa de una matriz cuadrada A es única, comenzamos
suponiendo que la misma tiene dos inversas a las que llamamos B y C.
162162
Si B es inversa de A, entonces por definición A.B = B.A = I (1) y si C es también
inversa de A entonces A.C = C.A = I (2).
Entonces, partimos de la matriz B y utilizamos algunos resultados conocidos para
demostrar que B es igual a C.
I es el neutro
del producto
B =
B. I
Por (2)
=
B. ( A. C)
=
I es el neutro
del producto
Por (1)
Propiedad
asociativa
(B. A).C
=
I. C
=
C
Aplicando la propiedad transitiva, concluimos que B = C. Por lo tanto, hemos
probado que si A admite inversa, ésta es única.
Condiciones
equivalentes para
que una matriz
admita inversa
Teorema 3.13: Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces las siguientes
afirmaciones son equivalentes. Es decir, cada una de ellas implica
las restantes (de modo tal que si una es falsa las restantes
también y viceversa, si una es verdadera las restantes también)
1. A es invertible.
2. A es equivalente por fila a la matriz identidad In.
3. El determinante de A es distinto de cero.
4. A se puede expresar como un producto de matrices
elementales.
n Ejemplo 3.36:
2 7 
 4 −7 
 es la matriz inversa de A = 
.
1
4


 −1 2 
Verifiquemos que B = 
Si B es la matriz inversa de A, por definición A.B = B.A = I, entonces
realicemos dichos productos:
 2 7   4 −7 
 1 0 
B.A = 
. 
 = 

1
4
−
1
2

 

 0 1 
y
 4 −7   2 7 
 1 0
A.B = 
 .
 = 

 −1 2   1 4 
 0 1
Con lo que probamos que B es la inversa de A.
163
Antes de explicar los procedimientos que nos permiten encontrar la inversa de una
matriz cuadrada A, enunciamos algunas de sus propiedades más relevantes:
Propiedades de las
matrices inversas
Teorema 3.14: Sean A y B matrices invertibles, entonces:
1. La inversa del producto de dos matrices invertibles es el producto de las inversas
en orden contrario, esto es (A·B) –1 = B–1A–1 .
2. La inversa de la inversa es la matriz original. Por lo tanto si A es invertible, A–1
también lo es y (A–1) –1 = A.
3. El determinante de la inversa de una matriz es igual al recíproco del
determinante de la matriz, es decir |A–1| = 1/ |A|.
4. La inversa de la traspuesta de una matriz es la traspuesta de la inversa de la
matriz original, es decir [AT] –1 = [A–1] T.
5. La inversa de una constante distinta de cero por una matriz es igual a la inversa
de la matriz por el recíproco de la constante, es decir (kA)–1 = (1/k)·A –1
Demostración
1. Por definición de inversa si (B–1 A–1) es la inversa del producto (AB), entonces el
producto en los dos sentidos es igual a la matriz identidad:
(B–1A–1)(AB)
=
B–1(A–1A) B
Por propiedad asociativa
del producto de matrices
(AB)(B–1A–1)
=
=
Por definición
de inversa
A (BB–1) A–1
=
B–1 . I. B
=
B–1B
Por elemento neutro
del producto de matrices
A. I. A –1
=
= I
Por definición de
inversa
AA–1
=
I
2. Por definición de inversa, si A es la inversa de A–1, entonces A.(A–1) = (A–1)A= I,
esto es cierto ya que A tiene por inversa (A–1).
3. Por definición de inversa A–1. A = I. Si calculamos el determinante del producto
| A–1. A | = | I | , por propiedad del producto de determinantes (el determinante del
producto es el producto de los determinantes) y el determinante de la matriz
identidad es 1, tenemos que:
| A–1 |. |A | = 1 como ambos determinantes son distintos de cero ya que las
matrices son invertibles, entonces despejando obtenemos |A–1| = 1/ |A|.
4. Por definición de inversa , si [A–1] T es la inversa de (AT) entonces debe valer que
(A–1)T . AT = AT . (A–1)T = I
164164
por propiedad de la transposición del producto (A.B)T = BT. AT, entonces:
( A–1)T . AT = ( A .A–1)T =
IT
= I
AT . (A–1)T = ( A–1 .A)T =
IT
= I
por definición de traspuesta
5. Por definición de inversa, si la inversa de (k A) es (1/k) A–1 se debe cumplir que:
(kA) [(1/k) A–1] = I = [(1/k) A–1] (kA) ,
entonces por propiedad asociativa y conmutativa de números reales:
(kA) [(1/k) A–1] = [k(1/k)] A. A–1 =
A.A–1
Por propiedad del recíproco
de números reales
[(1/k) A–1] (kA) = [(1/k)k] A–1. A =
=
I
Por definición de
inversa
A–1.A
=
I
• Proponga dos matrices invertibles y compruebe las propiedades enunciadas.
Retomamos ahora el problema de determinar cuándo una matriz es invertible y cómo
calcular su inversa.
En el caso de matrices cuadradas de orden 2 podemos determinar exactamente cuáles
son invertibles y dar una fórmula explícita para su inversa. Esto es mucho más difícil
para matrices de órdenes mayores para las cuales expondremos algunos métodos para
encontrarlas.
Cálculo de la Inversa
de una matriz de
orden 2
Teorema 3.15:
a b
A= 
 es invertible si y sólo si ad – cd ≠ 0 (es decir su determinante es
 c d
distinto de cero) y su inversa es A– 1 =
 d −b 
1

.
ad − cb  −c
a
Demostración: Se deja como ejercicio.
Este teorema indica que para obtener la inversa de una matriz de orden 2, se debe
comprobar primero que el det (A) = ad – bc sea distinto de cero. Luego, se
intercambian los elementos de la diagonal principal y a los elementos de la diagonal
165
secundaria se les cambia el signo. A la matriz resultante se la multiplica por
1
. Es
ad − bc
decir, establece las condiciones bajo las cuales una matriz de orden 2 admite inversa y
nos proporciona una regla para encontrarla.
n Ejemplo 3.37:
Encontremos, si existe, la matriz inversa de:
1 −1 

 2 −1 
1 −1 
.
 0 0
a) A = 
b) A = 
Solución
1 −1 

 2 −1 
a) A = 
Analizamos primero su determinante, | A | = –1 + 2 = 1. Como es distinto
de cero, el teorema 3.13 asegura que A admite inversa y que la misma se
obtiene de la siguiente manera:
A–1 =
1  −1

1  −2
1   −1
=
1   −2
1 

1 
Compruebe que dicha matriz es la inversa de A realizando los productos
correspondientes.
1 −1 
.
 0 0
b) A = 
Analicemos primero su determinante, | A | = 0, por lo que la matriz A no
admite inversa, es decir A es singular.
De este último ejemplo podemos obtener una conclusión que es válida para una matriz
cuadrada de cualquier orden:
Revise el Teorema
3.11. 2.
Si una matriz cuadrada de orden n tiene al menos una fila (o columna) nula, entonces
dicha matriz es singular.
3.5.1 - Métodos Generales para encontrar Inversas
Existen distintos métodos que permiten encontrar la inversa de una matriz cuadrada de
cualquier orden:
166166
• Por de cofactores.
• Por Reducción.
3.5.1.1 - Cálculo de la Inversa por Cofactores
Definición 3.20: Si A es una matriz invertible de orden n, entonces
A–1 =
1
. Adj(A )
A
La matriz Adj(A) se llama matriz adjunta de A y se define como
la traspuesta de la matriz de cofactores. Es decir:
Revise el concepto de
matriz de cofactores
(definición 3.17).
Adj(A) = A CT
Observe: de la definición surge nuevamente que si el determinante de la matriz es
cero, no es posible calcular A–1 , ya que no está definida la división por
cero. En consecuencia, la matriz es singular.
Entonces, de acuerdo a la definición, para encontrar la inversa de una matriz cuadrada
A de cualquier orden, por el método de cofactores debemos:
Procedimiento
recomendado para el
cálculo de la inversa
de una matriz por el
Método de Cofactores
1. Calcular el determinante de la matriz A. Si es distinto de cero continuamos en el
punto 2. Caso contrario, concluimos que la matriz no es invertible.
2. Calcular los cofactores de todos los elementos de la matriz A.
3. Construir la matriz de cofactores asociada a A.
4. Encontrar la transpuesta de la matriz de cofactores, es decir, la adjunta de A.
5. Multiplicar el recíproco del determinante por la matriz adjunta.
n Ejemplo 3.38:
Apliquemos este procedimiento para encontrar la inversa de las siguientes
matrices, si es que existen:
 1
a) A =  1
 −1

2 0
0 −1

3 2 
 1 2
b) A =  1 −1
 0 2

3
1

4 
167
 2 −3 4 
d) A =  3 6 −2 
 7 0 6 


 2 4 6
c) A =  2 3 5 
 1 0 0


Solución
 1
a) A =  1

 −1
2 0
0 −1

3 2 
Podemos desarrollar el det (A) por la primera fila. Para ello, calculamos los
cofactores de los elementos a11 , a12 de la matriz A,
Recuerde que el
cálculo de cofactores
se estudió en la
Sección 3.4.1
C11 = (–1)1+1 M11 = 1
C12 = (–1)1+2 M12 =–1
0
3
−1
= 3;
2
1
−1
−1
2
=–1
Entonces:
| A | = 1.C11 + 2.C12 + 0. C13 = 1
Como es distinto de cero la matriz es invertible. Encontremos ahora, los
restantes cofactores para construir la matriz de cofactores AC.
C13 = (–1)1+3 M13= 1
C21 = (–1)2+1 M21 =–1
C22 = (–1) 2+2 M22 = 1
C23 = (–1)2+3 M23= –1
Por lo tanto
1
0
−1
3
2
0
3
2
1
0
−1
2
1
−1
2
= –5
3
= 3; C31 = (–1)3+1 M31 =1
2
= –2
1 0
=1
1 −1
=–4; C32 = (–1)3+2M32 = –1
= 2; C33 = (–1)3+3 M23 = 1
0
0 −1
1
2
1
0
= –2
3
 3 −1

AC = −4
2 −5  ,


1 −2 
 −2
luego determinamos la matriz adjunta
 3 − 4 −2 

2
1 .
 3 −5 −2 



Adj( A ) = A CT =  −1
Finalmente, la inversa de la matriz A es:
A
168168
–1
 3 − 4 −2 
1
1
=
. Adj(A ) =
−1
2
1 ⇒

A
1 
 3 −5 −2 
A
–1
 3 − 4 −2 
=  −1
2
1


 3 −5 −2 
 1 2
b) A =  1 −1
 0 2

3
1

4 
El determinante de A es |A| = – 8
La matriz de cofactores es
y la matriz adjunta es
 −6
AC =  −2

 5
−4
2 
4 −2 

2 −3 
Adj(A) =
A CT =  −4

 −6
−2 5 
4
2 

−2 −3 
 2

La inversa de la matriz A es
A
–1
 −6
1 
=
−4
− 8 
 2
−2 5 

4
2 
−2 −3 
Simplificando:
 −6
 −8

−4
=
 −8

 2
 −8
−2
−8
4
−8
−2
−8
3


4

1
–1

A =

2

 − 1

4
5 
−8 

2 
−8 

−3 

−8 
1
4
1
−
2
1
4
5 
8 

1
− 
4 

3 

8 
−
Verifique Ud. que A–1 es la inversa de A aplicando la definición.
 2 4 6
c) A =  2 3 5 


 1 0 0
El determinante de A es |A| = 2
La matriz de cofactores es
y la matriz adjunta es
 0
AC =  0

 2
5 −3 
−6 4 

2 −2 
Adj(A) =
A CT = 

 0
5
 −3

0 2 
−6 2 

4 −2 
La inversa de la matriz A es
169
A
–1
 0
1 
=
5
2 
 −3
0
2 

−6
2 
4 −2 
Simplificando:
 0


5
= 
 2

 −3
 2
 0


5
A –1 = 
 2

3
 −
 2
0
−6
2
4
2
2 
2 

2 
2 

−2 

2 
1 

−3 1 


2 −1 

0
 2 −3 4 
d) A =  3 6 −2 
 7 0 6 


Comenzamos calculando el determinante |A| = 0. Esto nos indica que la
matriz es singular, es decir, no tiene inversa.
Si aplicamos el método de cofactores para el caso particular de una matriz de orden 2,
nos da como resultado la fórmula de cálculo del teorema 3.15 de la Sección 3.5.
 a b 
 por el
 c d
Para comprobar esta afirmación buscamos la inversa de la matriz A = 
método de cofactores.
El determinante de A es | A | = ad – bc que suponemos distinto de cero para que la
matriz sea no singular o invertible. Luego calculamos los cofactores de A:
C11 = (–1) 2 d = d
C12 = (–1) 3 c = – c
C21 = (–1) 3 b = – b
C22 = (–1) 4 a = a
 d −c 

 −b a 
Por lo tanto la matriz de cofactores es A C = 
 d −b 
.
 −c a 
y la matriz adjunta asociada es: Adj( A ) = A CT = 
Luego la inversa de A es A –1 =
170170
 d −b 
1

 , fórmula que ya conocíamos.
ad − bc  − c a 
3.5.1.2 - Cálculo de la inversa por Reducción
Utilizando las operaciones elementales por filas estudiadas en la Sección 3.3.1,
podemos obtener, si existe, la inversa de una matriz A, de orden n, siguiendo el
algoritmo que se da a continuación:
Procedimiento
recomendado para
obtener la inversa de
una matriz por el
Método de Reducción
1. Se agrega a la derecha de A la matriz identidad (I) de orden n, generando de esta
forma una matriz de orden nx2n, que denotamos [ A | I ].
2. Luego se encuentra la reducida de la matriz [ A | I ]. Expresemos a ésta como
[ B | C ].
3. Si B tiene una fila nula, entonces A es una matriz singular.De lo contrario, B
coincide con la matriz identidad, es decir, la reducida es de la forma [ I | C ] y
C = A–1.
n Ejemplo 3.39:
Utilicemos el Método de Reducción para encontrar, si existen, las inversas de las
siguientes matrices:
 1
a) A =  1
 −1

2 0
0 −1

3 2 
 1
b) A =  −1
 1

0 3
2 −3 

4 3 
3
 4 −4
d) A =  −3
2 −2 


 1 −1 0 
1 2

 3 4
c) A = 
4 0 0
e) E =  0 1 0 


 0 0 1
Solución
 1
a) A =  1

 −1
2 0
0 −1

3 2 
Si seguimos los pasos indicados por el algoritmo, entonces debemos reducir
la matriz
A
I
64447444
8 644744
8
 1

[A : I] =  1

 −1
0
−1
0 −1
0
3
0
2
2
0
0 
F2 → −F1 + F2

1 0   
→

0 −1 
171
–F1: –1 –2
0 –1
F 2:
1 0 –1
0
0
0
1
0
0 –2 –1 –1
1
0
1
2
0
1
0
0
F3: –1
3
2
0
0
1
0
5
2
1
0
1
(5)F2:
0 –10 –5 –5
5
0
(2)F3:
0 10
F 1:
2
0
2
0 –1 –3
5
2
0 –2 –1 –1
1
0
0
F 2:
(–1)F3:
0
4
0
1
3 –5 –2
0 –2
0
2 –4 –2
F 1:
1
2
0
1
F 2:
0 –2
0
2 –4 –2
1
0
3 –4 –2
0
0
0
 1
 0

 −1

2 0
−2 −1
3 2
−1
−1
0
0
1
0
0 
F3 → F1 + F3
0  →
1 





1
0
0
2 0
−2 −1
5 2
1
−1
1
0
1
0
0 
F3 → 5F2 + 2F3
0  

→
1 





1
0
0
2 0
−2 −1
0 −1
1
−1
−3
0
1
5
0 
F2 → F2 + (−1)F3
0  
→
2 





1
0
0
2 0
−2 0
0 −1
-1
0
0 
F1 → F1+ F2
2 − 4 −2  →
5
2 
−3





1
0
0
0
−2
0
0
0 −1
1
3 − 4 −2 
F2 → − F2

2
2 − 4 −2  
→

5
2 
−3





1
0
0
0 0
1 0
0 −1
3 − 4 −2 
F1 → − F1
2
1  →
−1
5
2 
−3
I
A-1
644744
8 644
47444
8
 1

 0
 0

Recuerde que si la
reducida de la matriz A es
la Identidad, entonces A
es no singular
Compare este resultado
con el encontrado en el
ejercicio 3.38 a)
A
–1
3 − 4 −2 

−1
2
1 
3 −5 −2 
0 0
1 0
0 1
entonces
 3 − 4 −2 
=  −1
2
1


 3 −5 −2 
 1
b) A =  −1

 1
0 3
2 −3 

4 3 
A
I
6447448
644744
8
 1

[A : I] =  −1
 1

F 1:
1
0
3
1
0
0
F 2:
–1
2 –3
0
1
0
0
2
1
1
0
172172
0
 1

 0
 1

0
3
1
0
2 −3
0
1
4
0
0
3
0
3
1
0
2
0
1
1
4
3
0
0
0 
F2 → F2 + F1

0  
→
1 
0 
F1 → (−1) F1 + F3

0  →
1 
(–1)F1: –1
F 3: 1
0
0 –3 –1
0
0
4
3
0
0
1
4
0 –1
0
1
 1

 0
 0

0
3
1
0
2
0
1
1
4
0
−1
0
0 
F2 → (−2) F2 + F3

0  →
1 
B
644744
8
 1

 0
 0

0
2
0
3
0
0
1 0
1 1
−3 − 2
0 

0 
1 
Como la matriz (B) tiene una fila nula, entonces A es singular o no
invertible. No continuamos con la reducción de B, ya que será imposible
obtener la matriz identidad.
1 2

 3 4
c) A = 
A 8 6474
I 8
6474
 1 2
 3 4
0
F2 → F2 + ( − 3) F1
0 
→
 
1 
 1 2

 0 −2
1
−3
F1 → F1 + F2
0 
→
 
1 
 1 0

 0 −2
−2
−3
1
F2 → − F2
1 
2
 →
1 
[A : I] = 
(–3)F1: –3 –6 –3
F 2: 3 4 0
1
0 –2 –3
1
F 1:
1
1
0
F 2:
0 –2 –3
1
1
1
2
0 –2
0
1
I 8 64748
A
6474


0
−2
1
1


3
1

1
− 
0
2
2

−1
entonces A
–1


1 
 −2

= 
1 
 3
− 

 2
2 
Compruebe que esta es la inversa de la matriz A, utilizando la fórmula de
cálculo dada en el Teorema 3.15 de la Sección 3.5.
3
 4 −4
2 −2 


 1 −1 0 
d) A =  −3
A
I
6447448
644744
8
 4 −4
3

[A : I] =  −3 2 −2
 1 −1 0

1
0
0
1
0
0
0 
F1 ↔ F3

0  
→
1 
173
F2: –3
(3)F1:
F3:
2 –2
3 –3
0
1
0
0
0
0
3
0 –1 –2
0
1
3
4 –4
0
3
1
0
(–4)F1: –4
4
0
0
0 –4
0
0
3
1
0 –4
(3)F2:
0 –3 –6
(2)F3:
0
0
3
0
6
2
0 –8
0 –3
0
2
3
(–3)F1: –3 3
F2: 0 –3
0
0
0 –3
0
2
3
0
2
3 –2
–3
0
9
1
1
 1 −1 0

2 −2
 −3
 4 −4
3

 1 −1 0

 0 −1 −2
 4 −4
3

0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
 1 −1 0

 0 −1 −2
 0
0
3

 1 −1

 0 −3

 0 0
0
1 
F2 → F2 + (3) F1

→
0  

0 
1 
F3 → F3 + (− 4) F1

3  

→
0 
0
1
1 
F2 → (3) F2 + (2)F3

3  

→

0 −4 
0
0
0
0
2
3
1
0
1
1 
F1 → (-3)F1 + F2

3
1  
→

0 −4 
-1
Dividimos la primera y segunda
fila por –3, y la tercera por 3.
A modo de comprobación,
le recomendamos siempre
realizar los productos
A.A–1 y A–1A.
 −3 0

 0 −3
 0 0

0
2
0
2
3
1
I 8 644
A
64
4744
47444
8

2
2
−1
1 0 0 −
3
3 

3 −2 
2
1


3
1 → 0 1 0 −
−1 − 
3
3


0 −4 
1
4
0 0 1
0 − 

3
3

2

 −3

2
–1
entonces A =  −
3

1


3

2
3
1
−1 −
3
4
0 −
3
−1









4 0 0
e) E =  0 1 0 


 0 0 1
Observemos que E es una matriz elemental, obtenida a partir de la identidad
multiplicando la fila 1 por 4.
E
I
644744
8 64
4744
8
 4

[E : I] =  0
 0

174174
0 0
1 0
0 1
-1
0
0
1
0 0 
F1 → F1

4 →
1 0  

0 -1 
−1
I
E
644
47444
8 6447448
=
E–1 =

 1


 0

 0











0
0
1
4
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
4
0
0
1
0
0

0


0

1 


0 


0 

1 

Note: La matriz inversa de una matriz elemental es también una matriz
elemental.
La conclusión obtenida en el apartado e) es válida para todas las matrices elementales.
Es decir:
Teorema 3.16:
Toda matriz elemental es invertible y su inversa es otra matriz
elemental.
• Genere matrices elementales aplicando las otras operaciones y compruebe esta
afirmación.
Enunciamos un Teorema que justifica el procedimiento usado para el cálculo de la
inversa:
Teorema 3.17:
Sea A una matriz cuadrada. Si una sucesión finita de
operaciones elementales por fila reduce a la matriz A a la
identidad, entonces la misma sucesión de operaciones
elementales por fila transforma a la identidad en A– 1.
Demostración
Sea E1, E2, E3, ..., Ek la sucesión de operaciones elementales que convierten a la
matriz A en la identidad (esto es A ∼ I ), entonces:
Ver el ejemplo 3.28
Ek... E3. E2.E1. A = I
(1)
Si llamamos B al producto de operaciones elementales (Ek... E3. E2.E1 = B)
entonces podemos escribir la igualdad (1) como:
175
B. A =I
Como A es invertible, ya que por hipótesis su reducida es la identidad,
multiplicamos a derecha ambos miembros por A – 1:
B. A. A – 1 =I. A – 1
por definición de inversa y propiedad 3.4.2
B. I = A – 1
Ek... E3. E2.E1. I = A – 1
lo cual demuestra nuestro teorema.
REPASO TEÓRICO – Sección 3.5
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Cuándo decimos que una matriz es no singular?
2. ¿Qué puede decirse respecto a la dimensión de una
matriz invertible o no singular?
3. ¿Cuánto vale el determinante de una matriz
singular?
4. ¿Qué métodos conoce para calcular la inversa de
una matriz? Sólo menciónelos.
5. ¿Cuáles son los pasos a seguir para calcular la
matriz inversa por el método de cofactores?
6. ¿Cuál es el algoritmo para calcular la inversa por el
método de reducción?
7. Si una matriz es invertible, ¿lo será también su
transpuesta? Justifique.
8. ¿Cómo calcula la inversa del producto de dos
matrices invertibles?
9. Si la matriz reducida de una matriz A tiene una fila
nula, ¿podemos afirmar que A es invertible?
Justifique.
10. ¿Es invertible una matriz que tiene dos filas
iguales?
11. Si A es una matriz invertible, ¿qué afirmaciones
respecto de A son equivalentes?
EJERCICIOS – Sección 3.5
Para las siguientes matrices encuentre su inversa, si
existe, utilizando el resultado del Teorema 3.15 de la
Sección 3.5.
−1
1. 
0 4 
2. 

3 6 
3. 

 2 4 
7 −1 
4. 

 2 2 
3 

 2 −2 
−5
5. 
1 

−
10
2 

176176
 1 6 
10 0 
6. 

 1
4 
Encuentre, de existir, la inversa de las siguientes
matrices por el método de cofactores. Si no existe
explique por qué.
 −1 2 2 
0 0 
 − 4 0 1 


8.  1
 10 5 2 
0 0 
 3 1 −1 


10.  2 −7
7.  1
9.  0

 −2
 2

1 3 
1 0 

−3 1 
 0 −4 −4 
1

 0
2
2 

Calcule la inversa de las siguientes matrices por el
método de reducción, en caso que existan. Si no
existe, explique por qué.
 1 2 −1 
11.  0 1 3 


 1 1 0 
 5 2

 3 5
2


5 −7 
 0 −4 
–1
 y B = 
 encuentre:
 2 1 
 2 −1 
Si A–1 = 
0
0
4
1
6 
0 

− 1 
0
1
0
0
1 2 
2 −3 

2 1 

−3 1 
13.  − 1


14. 
 −1

 0
0
0
 2 −2 

1
 3
 1 −1

16.  0 1
 0
3

23. ( AB ) –1
24. ( BA ) – 1
25. ( A – 1 )– 1
26. ( B – 1 ) – 1
27. ( AT ) –1
28. ( BT ) –1
29. ( 3A ) –1
30. ( 12 B ) –1
9 −2 
 verifique las propiedades que
 1 0 
31. Sea A= 
afirman que (AT )–1 = (A–1)T y que A −1 =
15. 
2

2
−3 
 2 3
0


17.  3 6 1 
 −2 0 −1 


 0 0 0 
18.  0 0 0 


 0 0 0 
a
 a21
32. Si A=  11
a12 
 a22
 y su Adj(A)= 
a22 
 − a21
1
.
A
−a12 
,
a11 
demuestre que:
a) A.(Adj(A)) = (Adj(A)).A = |A| . I
b) |Adj (A)| = |A|
c) Adj( AT ) = (Adj(A))T
33. Proporcione un ejemplo donde se verifique que
(AB) –1 = A–1. B–1.
34. ¿Bajo qué condiciones (AB) –1 = A–1. B–1?
 0 3
19. 

 −6 4 
 1
 1
20. 
 −1

 0
0

−1 
−3 
 0 1 0


22.  −4 2 4 
 0 0 3


12. 

 −3 1

21.  2 2
 3 7

0
1
0
0
1 1 
−1 − 1 

1 1 

−1 1 
35. Demuestre que la inversa de una matriz simétrica,
es simétrica.
36. Demuestre que si A es inversible y AB = 0
entonces B = 0 .
177
Solución del Problema Inicial
Suponemos que estamos en una economía simplificada donde existen tres sectores básicos:
Agrícola, Industrial y de Servicios y que la matriz de Insumo – Producto (MIP) es la siguiente:
Sector
Agrícola
Sector
Industrial
Sector de
Servicios
Demanda
Final
Output
Sector Agrícola
120
200
240
240
800
Sector Industrial
250
130
120
200
700
Sector de Servicios
100
220
150
240
710
Valor Agregado
330
150
200
Input
800
700
710
2210
A partir de ella construimos la Matriz de Coeficientes Técnicos o de requerimientos:
 0.15 0.29 0.34 


A =  0.31 0.19 0.17 
 0.13 0.31 0.21 


El problema es determinar cuánto deben producir los sectores Agrícola, Industrial y de Servicios si
la Demanda Final es 180 para el Sector Agrícola, 320 para el Industrial y 110 para el de
Servicios.
Definición de Incógnitas
x1 = Producción del Sector Agrícola.
x2 = Producción del Sector Industrial.
x3 = Producción del Sector de Servicios.
Nuestro problema se puede representar con un conjunto de ecuaciones, ya que la oferta y la
demanda deben ser iguales. Nuestra solución se obtiene al resolverlas en forma simultánea.
178178
Planteo del Problema
La matriz de Coeficientes Técnicos contiene la información respecto de la demanda de
cada sector por dólar de producción, entonces:
0.15 x1 : es la demanda del Sector Agrícola al Sector Agrícola
0.29 x2 : es la demanda del Sector Industrial al Sector Agrícola
0.34 x3 : es la demanda del Sector de Servicios al Sector Agrícola
Por lo tanto:
0.15 x1 + 0.29 x2 + 0.34 x3 es la demanda de los distintos Sectores al Sector Agrícola.
Pero recordemos que:
La Demanda Total a un Sector = Demanda de los distintos Sectores + Demanda Final
y también
La Demanda Total a un Sector = La Producción del Sector
Entonces:
x1 = 0.15 x1 + 0.29 x2 + 0.34 x3 + 180
Es la Producción del Sector
Agrícola que coincide con la
Demanda total a este sector.
Es la Demanda Final al
Sector Agrícola
Trabajando de la misma forma con los otros dos sectores llegamos a que las ecuaciones
que debemos resolver en forma simultánea son:
x1 = 0.15 x1 + 0.29 x2 + 0.34 x3 + 180
x2 = 0.31 x1 + 0.19 x2 + 0.17 x3 + 320
x3 = 0.13 x1 + 0.31 x2 + 0.21 x3 + 110
Realizamos las operaciones necesarias para dejar las incógnitas en el primer miembro y
las constantes en el segundo:
0.85 x1 – 0.29 x2 – 0.34 x3 = 180
–0.31 x1 + 0.81 x2 – 0.17 x3 = 320
–0.13 x1 – 0.31 x2 + 0.79 x3 = 110
179
Si extraemos los coeficientes de las ecuaciones y usamos la notación matricial podemos
expresar el planteo del problema de la siguiente forma:
 0.85 −0.29 −0.34   x1 
 180 

  


−
0.31
0.81
−
0.17
x
=

  2
 320 
 −0.13 −0.31 0.79   x 
 110 

  3


Note: Si realiza este producto observará que obtiene nuevamente las tres ecuaciones
anteriores.
Si llamamos C a la matriz 3x3, X a la matriz de incógnitas y D a la de Demanda Final
tenemos:
CX=D
Si C es invertible, podemos multiplicar ambos miembros por C –1 para despejar la matriz X.
Es decir, tendríamos que X = C–1 D.
Luego, realizando simplemente el producto tendríamos cuánto debe producir cada sector.
Buscamos, si existe, la inversa de C.
 0.85 −0.29 −0.34 


0.81 −0.17 
 −0.31
 −0.13 −0.31 0.79 


Luego de los cálculos encontramos que C
Así tenemos que X = C
–1
–1
 1.6624483 0.947018 0.9192727 


=  0.7559157 1.7759772 0.7075031 
 0.5701926 0.8527408 1.6947233 


 703.40643 


D =  782.20286 
 561.93129 


Conclusión
Por lo tanto el Sector Agrícola debe producir $703.40643, el Sector Industrial
$782.20286 y el de Servicios $561.93129 para satisfacer una demanda final de $180,
$320 y $110 para cada sector, respectivamente.
En los distintos países se elaboran matrices de Insumo-Producto correspondientes a todo el país,
o referida a alguna provincia o ciudad. En el caso de la Argentina las MIP fueron confeccionadas
para el año 1950, con la intervención de la Comisión Económica para América Latina (CEPAL) y
para los años 1953, 1963 y 1973, con la intervención del Banco Central de la República
Argentina (BCRA).Información obtenida del Instituto Nacional de Estadística y Censos de la
República Argentina (INDEC).
180180
REPASO TEÓRICO – CAPÍTULO 3
Verdadero o Falso
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. De ser verdaderas justifíquelas desde la teoría;
caso contrario, de ser posible, dé un ejemplo que muestre su falsedad.
1. Para que dos matrices sean iguales basta con
que tengan el mismo orden.
2. Cualquier matriz se puede expresar como
producto de matrices elementales.
3. Toda matriz cuadrada se puede expresar como
producto de matrices elementales.
4. La matriz identidad es una matriz escalar.
5. Toda matriz escalar es triangular.
6. El producto de matrices elementales es una
matriz elemental.
7. La matriz identidad es el neutro del producto de
matrices.
8. La matriz nula es reducida por filas.
9. Toda matriz cuadrada es equivalente por filas a la
identidad.
10. La matriz traspuesta se calcula sólo para matrices
cuadradas.
11. Todas las matrices tienen diagonal principal.
12. La suma de matrices es conmutativa.
13. El producto de matrices es conmutativo.
14. La aplicación de las operaciones elementales
conserva el determinante.
15. A cualquier matriz se le asocia un determinante.
16. El determinante de una matriz cuadrada no puede
ser cero.
17. La inversa de una matriz elemental es otra matriz
elemental.
18. El producto de dos matrices cualesquiera es
invertible.
19. Cualquier matriz cuadrada es invertible.
20. La inversa de la matriz identidad es la matriz
identidad.
21. La matriz (k A) es invertible si A es invertible y
k ≠ 0.
22. A es invertible si es equivalente por filas a la
matriz identidad.
Selección múltiple
En cada uno de los siguientes ejercicios elija todas las opciones correctas.
 1 3
 5 −1
1. Cuál o cuales de las siguientes afirmaciones es cierta, si A = 
a) A es una matriz de orden 3x2
b) El elemento a21 = –1
c) Su traspuesta es de orden 3x2
2
0 
d) La diagonal principal de A tiene por
elementos 1 y –1
e) El producto de la matriz A con una matriz B
de orden 3x2 no está definido.
181
 0
2. La matriz D =  − 4

 0
4
0
−1
0 
1 

0 
a) Es simétrica
c) Es cuadrada
b) Es antisimétrica
d) Es diagonal
3. Sean A, B y C matrices tales que la suma esté definida. Si A + B = C + B entonces A = C.
a) Siempre
c) Sólo si B = I
b) Depende de las matrices involucradas.
d) Sólo si B es la matriz nula.
4. Sean A, B y C matrices tales que el producto esté definido. Si A . B = A . C entonces B = C.
a) Siempre
c) Si A es invertible
b) Sólo si A = I
d) Depende de las matrices involucradas
5. Si A, B y C son matrices cuadradas del mismo orden, señale todas las operaciones correctas:
a) A + B = B + A
d) A .I = I . A = A
b) A (B + C) = B. A + C . A
e) (A . B)T = BT . AT
c) A . B = B . A
6. det A = det B
a) Sólo si A = B
c) Si A – B =0
b) Si A y B son del mismo orden
d) Ninguna de las anteriores.
7. Si A es invertible, entonces:
a) det A = 1
d) det A ≠ 0
b) Su inversa es única
c) det A = det A
e) Es equivalente por filas a la matriz identidad.
–1
8. El det A = 0 cuando:
a) A tiene al menos una fila nula
d) A tiene dos filas iguales
b) A es una matriz elemental
e) A es la matriz identidad
c) A es invertible
4 x 
 es invertible, entonces:
 −2 y 
9. Si la matriz A = 
a) x vale cero
c) y ≠ –
x
2
b) y vale cero
d) y ≠
x
2
10. Si A puede expresarse como producto de matrices elementales, entonces:
a) A es no singular
c) A es simétrica
b) A es singular
d) Su matriz reducida es la identidad.
182182
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
1. Una empresa que produce autopartes posee 3
fábricas (F1, F2 y F3) y 4 centros de distribución
(D1, D2, D3 y D4). Envía por semana productos
de cada fábrica a los distintos centros de
distribución según indica la siguiente tabla:
D2
D3
D4
F1
1245
995
0
1540
F2
820
768
530
500
6. la matriz D tal que: 3A + B T – 2 D = C.
2500
1200
1800
1000
7. la matriz F tal que: A T + B –1 = C + 3 F.
a) Represente los datos de la tabla en una matriz B
cuyas columnas sean los centros de distribución.
b) Dé la dimensión de la matriz planteada.
c) ¿Podemos decir que B es una matriz cuadrada?
Justifique.
d) Dé el elemento b34 . ¿Qué representa?
e) Indique los elementos bii. ¿Dichos elementos
están sobre la diagonal principal? Justifique.
f) ¿Qué información contiene la fila 2? ¿y la
columna 3?
g) ¿Cuál es la ubicación del elemento 0 en la
matriz?
h) ¿Cuántos elementos envía la fábrica 2 al centro
de distribución 3?
Encuentre, si es posible, los valores de x e y que
verifican las siguientes igualdades de matrices:
4 −1   4 3 y − 4 
2. 

= 
2
3
 2 x +2x 
−3   1 5
−3



2  =  3 2
2




2
 1 x −2 1   1 0 4 y + 1 
 1
3.  0
 1 2
 1 −2 
 , B =
 y
3
 3 4
 0
Dadas las matrices A = 
D1
F3
 2
5. Encuentre la matriz triangular inferior de orden 4
en la que todos los elementos que no se requiere
que valgan cero, sean iguales a 3.
5
2
4. Construya la matriz C= [ cij ] de orden 4x3, cuyos
elementos se obtienen con la fórmula cij =3i – 2j.
 −2
C= 
 5
1
 , encuentre:
0
8. la matriz G tal que: A –1 + B –1 + C –1 = G
9. la matriz H tal que: A. AT + H = I 2
−1 1 0 
,
 −4 3 −4 
Dadas las siguientes matrices A = 
 5 0
 0 −1 
 3 −3 
 8 0 
B =  1 −2  , C = 
,
D
=





−
2
5


 1 6
 1 2 
realice, si es posible, las operaciones indicadas. En
caso de no poder realizarlas, indique claramente la
razón.
10. AT
11. A + B
12. –2 B + D
13. D – 3B
14. A .B
15. B. A
16. C.A
17.C.B
18. 2 D.C – 3 B
19. |B|
20. |C|
21. A–1
22. C –1
23. Una empresa que vende 3 productos A, B y C, lo
realiza desde 4 sucursales (I, II, III y IV)
distribuidas en todo el país. Las cantidades
vendidas de cada uno de los productos en las
distintas sucursales durante los años 2002 y
2003 se representan en las siguientes matrices:
183
 120 123 200 401 Producto A
 140 150 203 380  Producto B

V2002 = 

 130 212 307 500  Pr oducto C
I
II
III
IV
Sucursales
 110 213 220 371  Producto A
 145 165 197 350  Producto B

V2003 = 

 132 194 217 480  Pr oducto C
1996
1997
1998
1999
 0.10
N= 
0.11

 0.06

0.12
0.13
0.11
0.13
0.08
0.07
0.15 
0.14 

0.07 
luz
gas
TE
Encuentre M.N e interprete los resultados
obtenidos.
a) ¿Cuántos productos de tipo A vendió la empresa
durante el 2003 en la sucursal IV?
26. Una compañía paga un salario a sus ejecutivos y
les da un porcentaje de sus acciones como bono
anual. El año pasado la compañía pagó al
presidente $8000 y 50 acciones, a cada uno de
sus tres vicepresidentes $4500 y 20 acciones y al
tesorero $4 000 y 10 acciones.
b) ¿Cuántos productos de tipo B vendió la empresa
durante el 2002 en la sucursal III?
a) Exprese los pagos a los ejecutivos en dinero y
en acciones como una matriz 2x3.
c) ¿Cuántos productos de tipo C vendió la empresa
durante el 2002 y el 2003 en la sucursal II?
b) Exprese el número de ejecutivos de cada nivel
como un vector columna.
d) Realice la suma de V2002 y V2003. Interprete los
elementos de la matriz resultante.
c) Utilice la multiplicación de matrices para
calcular la cantidad total de dinero y el número
total de acciones que pagó la compañía a los
ejecutivos el año pasado.
I
II
III
IV
Sucursales
Se pide:
e) ¿Qué sucursal vendió más productos A en los
dos años?
f) En estos dos años, ¿cuál de los tres productos
tuvo mayor venta en la sucursal III?
24. Las matrices diagonales cumplen una propiedad
importante cuando se las multiplica por sí mismas.
Calcule A2 (esto es AxA ) y A3 (AxAxA ) para la
 4 0
matriz A =  0 −3

 0 0
0 
0 .

2 
A partir de los resultados obtenidos, intente
enunciar una regla para obtener los productos A2,
A3, A4, etc. con A matriz diagonal cualquiera.
25. La matriz M muestra los consumos promedio
anuales de gas (m3), luz (kwh) y teléfono (pulsos)
de dos familias estándar. La matriz N muestra los
costos, por unidad, de los servicios en los años
1996, 1997, 1998 y 1999.
luz
M=
184184
gas
27. Una agencia encargada de la distribución y
mantenimiento de los automóviles de una marca
determinada, ha atendido al número de vehículos
mostrado en la matriz A, clasificados según el tipo
de vehículo y área de residencia del cliente. Para
satisfacer las necesidades de repuestos más
usuales, cuenta con información de años
anteriores, respecto del número de repuestos
(expresado en miles) que se necesitan
anualmente por tipo de coche. Tales datos se
muestran en la matriz B. Calcule el número de
piezas de repuesto que se requieren en la zona
urbana y rural, a fin de cubrir la demanda
previsible de recambio.
A=
Turismo
Utilitario
Todo terreno
 715
 920
1050
412 
2130
112 

Rural
Urbana
T.E
 1953 2084 3400  familia 1




1800
1950
3200

 familia 2
Mangueras Lamparitas Correas
1.3
A= 0.9

2.2
2.1
1.4  Turismo
2
0.5  Utilitario
0.7
0.7 
 Todo Terreno

Encuentre la reducida de las siguientes matrices e
indique si alguna de ellas es invertible:
28. 
2 −2
 1
 0
 0
30. 
 0

 0
2
0
0
1
0
 3 12 
29.  1 0 


 2 2 
0 

0 
1 
0 

0 

0 
 0 0 2 
 −2 0
 1 0
36. F = 
 1 1

 0 −2
 3 0
 0 −1
37.G= 
 0 0

 0 0
4
 0 3 −1 
1 


 1 5 0 
35. D =  1 2
3 1 
0 2 

0 0 

0 3 
0 0 
0 0 

2 0 

0 4 
 1 1 1 1 
 0 −1 0 2 

38. H = 
 0 0 1 5 


 0 0 0 −1 
 1 1
 0 −1
39. J = 
 0 0

 1 0
0
0
1 
2 

1
0

0 −1 
40. Encuentre el o los valores de x que verifica la
siguiente igualdad:
x
3
1
44. | B – 1. BT |
46. Demuestre: La suma de matrices antisimétricas
es antisimétrica.
−2 

 2 −1 
 −2 2 2 
43. | B –1 |


 2 0 2 
33.B = 
34. C =  1 0 1 


42. | B T |
 1 2 3 
Calcule el determinante de las siguientes matrices, y
en el caso que sea posible encuentre la matriz inversa
correspondiente.
0 2 

 1 0 
41. | 2B |
45. Sean A y B son antisimétricas de orden n.
Demuestre que (AB) T = B.A si y sólo si A y B
conmutan.
31.  0 2 8 
32. A = 
Si la matriz B es de orden 3x3 y |B |= 3, encuentre:
0
0
x −2
0
=0
−5 5 − x
47. Demuestre: Si A es regular e idempotente
entonces A = I.
48. Demuestre: Si A es idempotente, entonces su
determinante vale cero o uno.
49. Una matriz A de orden n se dice ortogonal si
A.AT = I. Demuestre: Si A es ortogonal
|A| = ± 1. [Ayuda: use las propiedades de
determinante]
50. Demuestre: Las matrices ortogonales son
inversibles.
51. Demuestre: Si C es ortogonal entonces CT y C–1
son ortogonales.
52. Demuestre: Si A y B son ortogonales entonces
A.B es ortogonal.
53. Demuestre: Si A y B son no singulares y
conmutan entonces sus inversa y traspuestas
también conmutan.
54. Consideramos una economía sencilla que
consta de sólo dos industrias, que llamamos
Industria I e Industria II. Las interacciones
entre las mismas se muestran en la tabla 3.54:
a) Complete la tabla.
b) Encuentre la matriz de Coeficientes
Técnicos.
c) Determine la producción de cada Industria si
la demanda para el próximo año será de
104 unidades para la Industria I y de 172
para la Industria II.
55. Supongamos que en cierto país la economía es
cerrada y existen sólo tres sectores: Agricultura
y Ganadería, Industria y Servicios.
185
55. Supongamos que en cierto país la economía es
cerrada y existen sólo tres sectores: Agricultura y
Ganadería, Industria y Servicios.
c) Determine la matriz de producción si las
demandas finales disminuyen un 10% en
Agricultura y Ganadería, un 15% en la
Industria y aumenta un 5% la de Servicios.
a) Complete la tabla 3.55 .
b) Encuentre la matriz de Coeficientes Técnicos.
Tabla 3. 54
Total de
Ventas
Intermedias
Industria
I
Industria
II
Demanda
Final
Industria I
40
80
65
Industria II
70
50
85
Valor Bruto
de la
Producción
Insumos
Valor Agregado
Valor Bruto de la
Producción
Tabla 3. 55
Industria
Servicios
Agricultura
y Ganadería
230
310
98
390
Industria
126
80
154
400
Servicios
100
300
40
350
Insumos
Valor
Agregado
Valor Bruto
de la
Producción
18686
Total de
Ventas
Intermedias
Agricultura
y Ganadería
Demanda
Final
Valor Bruto
de la
Producción
Capítulo 4
Contenidos
4.1 – SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: Definición y Soluciones
4.2 – DISCUSIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
4.2.1 – Discusión usando Determinantes
4.2.2 – Discusión por Teorema de Rouchè-Fröbenius
4.2.2.1 – Matriz Ampliada
4.2.2.2 – Combinación Lineal – Dependencia e Independencia Lineal
4.2.2.3 – Rango de una Matriz
4.3 – RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
4.3.1 – Método de la Matriz Inversa
4.3.2 – Regla de Cramer
4.3.3 – Método de Eliminación de Gauss
4.3.4 – Método de Gauss - Jordan
4.4 – APLICACIONES
Objetivos
•
•
•
•
•
•
Facilitar el manejo de los sistemas de ecuaciones lineales mediante la
representación matricial.
Hacer evidente la importancia del método de Gauss-Jordan por su aplicación
generalizada para la resolución de sistemas lineales.
Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales a partir del enunciado de la
situación problemática adecuada.
Contribuir a la comprensión del concepto de inversa de una matriz para
posibilitar su empleo pertinente en la resolución de sistemas lineales.
Realizar el análisis de los resultados obtenidos conforme a la teoría desarrollada
y a la situación planteada.
Favorecer la transferencia del conocimiento a la modelación de situaciones
reales.
187
Problema
El primer registro de un Cuadrado Mágico aparece en la historia alrededor del tercer milenio AC.
Cuenta la leyenda que el emperador de China estaba en la orilla del río Amarillo cuando una
tortuga salió de las aguas. Sobre su caparazón, la tortuga llevaba impresos extraños símbolos, que
el emperador se encargó de descifrar. Eran los números del 1 al 9 dispuestos armoniosamente en
forma de cuadrado: al sumar los tres números de cada fila, de cada columna o de cada diagonal el
resultado era siempre quince.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
A estos cuadrados se le atribuyeron inicialmente propiedades religiosas y mágicas. Con el paso de
los siglos, atrajeron la atención de los matemáticos que se dedicaron al estudio, ya no de sus
propiedades mágicas, sino de sus propiedades matemáticas, que son muchas. Cabe mencionar
que Benjamín Franklin (norteamericano, 1706 – 1790) dedicó varias horas de su vida a estudiar y
a crear muy diversos cuadrados mágicos.
Los Cuadrados Mágicos son distribuciones de números que se disponen en una matriz cuadrada,
de forma que la suma de cualquiera de las filas, de cualquiera de las columnas y de las dos
diagonales da siempre el mismo resultado. Al número resultante se le denomina "constante
mágica". Usualmente se utilizan números consecutivos, comenzando en el 1, para completar la
matriz.
Un ejemplo muy conocido es el Cuadrado Mágico de Durero (alemán, 1471 – 1528). Es de orden
4 y la constante mágica es 34.
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Le proponemos que construya, si es posible, un Cuadrado Mágico de orden 2. Si no lo consigue, al
final de este capítulo le explicamos la respuesta.
188
CAPÍTULO
UNIDAD
SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
En el capítulo 2 estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y los métodos de resolución de
uso más frecuente. Dichos métodos son de utilidad cuando la cantidad de ecuaciones lineales y de variables es
reducida, pero en sistemas de gran tamaño, los pasos desarrollados que requieren estos procedimientos son
difíciles de llevar a cabo. Si, por ejemplo, retomamos el problema de la fábrica planteado al inicio del capítulo 2,
pero fabricamos ahora seis artículos diferentes que pasan por cuatro departamentos distintos, entonces determinar
la producción diaria de cada uno de ellos se complica un poco.
Muchos problemas técnicos y científicos involucran en su resolución sistemas que contienen un número elevado de
ecuaciones y de incógnitas, por lo que estudiar dichos sistemas y los métodos adecuados de resolución, es
fundamental para cualquier disciplina que utiliza a la matemática como una herramienta. Un problema curioso y de
aparente sencillez relacionado con los “cuadrados mágicos”, fue presentado al inicio como una forma de mostrar la
variedad de aplicaciones que tiene el tema a desarrollar.
En este capítulo estudiamos sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones e incógnitas, y
para ello son de gran utilidad los conceptos relacionados con matrices vistos en el capítulo 3.
4.1 – DEFINICIÓN y SOLUCIONES
Definición 4.1: Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de
ecuaciones lineales que deben verificarse simultáneamente.
Revise el concepto de
dimensión definido en
la Sección 2.1
La expresión general de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es
decir, de un sistema de dimensión mxn, es:
 a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + ... + a1n x n = b1
 a x + a x + a x + ... + a x = b
22 2
23 3
2n n
2
 21 1
 a31 x1 + a32 x 2 + a33 x 3 + ... + a3n x n = b3
..............................................................

 am1 x1 + am2 x 2 + am3 x 3 + ... + amn x n = bm
Expresión general de un
sistema de m ecuaciones
lineales con n incógnitas
donde:
aij
con i = 1, 2,..., m y j = 1,2,..,n
son los coeficientes del sistema,
xj
con j = 1, 2, ... , n
son las incógnitas y
bi
con i = 1, 2, ... , m
son los términos independientes.
189
Tanto los coeficientes del sistema como los términos independientes son números
reales conocidos en cada caso.
Para trabajar con estos sistemas es útil, la mayoría de las veces, expresarlos en forma
matricial, utilizando para ello el producto de matrices. Si llamamos:
 a11

 a21
A =  a31

 M
a
 m1
Matrices que conforman
un sistema de m
ecuaciones lineales con
n incógnitas
a12
a22
a32
M
am2
a13
a23
a33
M
am3
a1n 

a2n 
a3n 

M 
amn 
 x1 
 
 x2 
X =  x3 
 
 M 
x 
 n
a la matriz de coeficientes,
a la matriz o vector de incógnitas y
 b1 
 
 b2 
B =  b3 
 
 M 
b 
 m
Forma Matricial de un
Sistema de Ecuaciones
Lineales.
....
....
....
....
....
a la matriz o vector de términos independientes,
entonces el sistema se puede representar de la forma: AX = B, donde A es una matriz
de orden mxn, X es de orden nx1 y B de orden mx1.
Recuerde: La condición bajo la cual se pueden multiplicar dos matrices es que la
cantidad de columnas de la primera sea igual a la cantidad de filas de la
segunda. El producto resultante es otra matriz que tiene tantas filas como
la primera y tantas columnas como la segunda.
Sistemas Homogéneos
y No Homogéneos
Compare con la
definición dada en la
Sección 2.1 para
sistemas 2x2.
Si B es el vector nulo, en otras palabras, si todos los términos independientes son
iguales a cero, entonces el sistema se dice homogéneo. Caso contrario, si al menos
uno de los términos independientes es distinto de cero, se dice no homogéneo.
n Ejemplo 4.1:
Expresemos en forma matricial los siguientes sistemas:
 x +y= 3
2x − y = −1
a) 
+ w=0
y + z
=0
 x + y + z + 2=0

 x

b) 
190
 x + y + z=0

c)  2x + y + z = 0
 − x + 5y + 2z = 0

 2x + 3y − 2z = 1
 x + 2y − w = 2
d) 
Solución
a)
 x +y= 3

2x − y = −1
Este sistema tiene dimensión 2x2. Contiene dos incógnitas x e y, por lo que
la matriz de coeficientes tendrá dos columnas, y como se compone de dos
ecuaciones, tendrá dos filas.
Es decir:
En la primera columna de
A están los coeficientes de la
primera incógnita, x. En la
segunda los coeficientes de
la segunda incógnita, y.

1 1 

2 −1 
la matriz de coeficientes de orden 2x2, es:
A =
el vector de incógnitas de orden 2x1 es:
X=  
y

x
 
y
el vector de términos independientes, también de orden 2x1, es:
 3 

 −1 
B= 
Por lo que el sistema se puede expresar en forma matricial como:
Realice el producto de las
matrices y utilice la definición
de igualdad para comprobar
que se obtiene el sistema dado.



1  x  3 
  =
2 −1   y   −1 
1
Además, podemos agregar que es no homogéneo ya que el vector B es
distinto del vector nulo.
+ w=0
x

y + z
=0
b) 
 x + y + z + 2=0

Las incógnitas son x, y, z, w por lo que la matriz de coeficientes tendrá 4
columnas y como al sistema posee 3 ecuaciones, tendrá 3 filas.
Los términos independientes
se deben ubicar a la derecha
del signo igual.
Por cada una de las
incógnitas que no aparecen
en alguna de las ecuaciones
ponemos coeficiente cero.
Antes de buscar la matriz de coeficientes, observe que a la última ecuación
del sistema, x+y+z+2 = 0 la debemos expresar como x+y+z= –2.
Entonces, la forma matricial es:
 1
 0

 1

0
1
1
x
0 1  
 0 
y



1 0
=  0 
 z

 −2 
1 0  


w
 
El sistema es no homogéneo ya que B es distinto del vector nulo.
191
 x +

y + z=0
y + z=0
 − x + 5y + 2z = 0

c) 2x +
La expresión matricial de este sistema de ecuaciones lineales de
dimensión 3x3 es:
 1
 2

 −1

1
1
5
1   x  0
 
1   y  = 0
  
2   z   0 
Es homogéneo ya que la matriz de términos independientes es la nula.
Recuerde: Antes de expresar
el sistema en forma matricial
se debe controlar que todos
los términos independientes
estén ubicados en un mismo
miembro, distinto al de las
incógnitas.
Por otro lado, se debe
respetar que cada columna
contiene los coeficientes de
una misma incógnita.
 3y + 2x − 2z = 1
 x + 2y − 2 = w
d) 
x
 
 2 3 −2 0   y   1 
La forma matricial es 
=


 1 2 0 −1   z   2 
 
w
El sistema es no homogéneo.
Expresar el sistema de ecuaciones en forma matricial facilita los procedimientos para la
búsqueda de soluciones, que es nuestro objetivo.
Pero, ¿qué es una solución? Este concepto ya lo definimos para sistemas de dimensión
2x2 y ahora lo extendemos a sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Solución de un sistema
de ecuaciones lineales
de orden m x n
Definición 4.2: Llamamos solución de un sistema de ecuaciones lineales de
dimensión mxn, al conjunto de valores de las incógnitas que
verifican simultáneamente todas la ecuaciones del sistema.
El conjunto de todas las soluciones S se denomina conjunto solución, es decir:
S=
{ ( x1 , x2 , ..., x n ) verifican todas las ecuaciones del sistema }
Entonces, resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar su conjunto
solución.
n Ejemplo 4.2:
Observe que la trivial
es siempre solución
de los sistemas
homogéneos.
192
 x + y + z=0

a) Una solución del sistema 2x + y + z = 0
 − x + 5y + 2z = 0

es (x, y, z) = (0, 0, 0)
llamada solución trivial, ya que si realizamos el reemplazo x = 0, y = 0 y
z = 0 vemos que se verifican las tres ecuaciones.
Es importante recordar en este punto, que el conjunto solución de una
ecuación lineal con tres incógnitas, tal como se estudió en la Sección 1.5, se
representa gráficamente como un plano en el espacio. En este sistema en
particular, las ecuaciones son planos que pasan por el origen de
coordenadas.
3x − y = 1


b) El sistema  − 2x + 6y = 10 ¿tiene al par (x, y) = (1, 2) como solución?

x + y= 3

La solución de este sistema
está representada por la
intersección de tres rectas.
Para responder sólo debemos reemplazar los valores dados de las incógnitas
en el sistema y comprobar que se verifican las tres ecuaciones.
3 (1) – 2 = 1
verifica la primera ecuación
–2 (1) + 6 (2) = 10
verifica la segunda ecuación
1+2=3
verifica la tercera ecuación
Por lo tanto el par (x, y) = (1, 2) es solución del sistema.
Recuerde que basta con
que no verifique una
ecuación para que no
sea solución. Cada
ecuación representa un
plano en el espacio.
 − x + 2y − z = − 5
?
3x + y + z = − 2

c) ¿Es (x , y, z) = (0, –1, 3) solución del sistema 
Nuevamente reemplazamos los valores de las incógnitas en el sistema y
tenemos:
– 0 + 2 (–1) – 3 = –5
verifica la primer ecuación
3(0) + (–1) + 3 = 2 ≠ – 2
no verifica la segunda ecuación
Por lo tanto (x, y, z) = ( 0, –1, 3) no es solución del sistema dado.
Como muestran los ejemplos, comprobar si un conjunto de valores de las incógnitas es
solución es muy sencillo. En cambio, en muchas ocasiones no es tan fácil determinar si
un sistema de ecuaciones tiene solución, y en caso de tenerlas, no siempre es simple
encontrarlas. Para esto existen métodos que estudiaremos en las próximas secciones.
Es posible, tal como lo hicimos en el caso de dos incógnitas, realizar una clasificación
de los sistemas mxn según sus soluciones. Aumentar la cantidad de ecuaciones o de
incógnitas no altera las posibilidades de solución, es decir, al igual que para los
sistemas 2x2, éstos pueden tener una única solución, infinitas soluciones o no tener
solución.
Única Solución
Compatible Determinado
Infinitas Soluciones
Compatible Indeterminado
Sin Solución
Incompatible o Inconsistente
193
Las justificaciones
geométricas en el
caso de dos
incógnitas se vio en
la Sección 2.2
Esta clasificación tiene una explicación geométrica clara para el caso en que las
ecuaciones tienen dos o tres incógnitas. En el caso de tres incógnitas, como el conjunto
solución está representado por planos en el espacio (ver Figura 1), entonces tenemos
que las únicas posibilidades que tenemos son:
Los planos se cortan en un punto
Solución Única
Los planos se cortan en una recta o son coincidentes
Infinitas Soluciones
Los planos no tienen puntos en común
Sin Solución
Figura Nº 1: Algunas posibilidades de representaciones gráficas de sistemas de tres ecuaciones
lineales con tres incógnitas
a) Sistemas incompatibles
b) Sistema compatible
determinado
c) Sistemas compatibles
indeterminados.
Al inicio de este capítulo planteamos que nuestro objetivo es estudiar sistemas de m
ecuaciones lineales con n incógnitas, pero ¿qué significa exactamente estudiar un
sistema? Estudiar un sistema involucra:
•
La Discusión
•
La Resolución
La discusión consiste en analizar si el sistema tiene o no solución, y en caso afirmativo
conocer si es única o son infinitas.
La resolución implica encontrar la solución o las soluciones según sea Compatible
Determinado o Indeterminado. Esto quiere decir que no basta con clasificar el sistema
según sus soluciones, si no que se deben dar las soluciones en caso de existir.
194
Revisar definición 2.3
Para esta etapa, serán de utilidad los Sistemas Equivalentes, que como vimos en el
capítulo 2, son sistemas de la misma dimensión que tiene las mismas soluciones.
Recuerde: Las operaciones que permiten encontrar ecuaciones equivalentes, y por lo
tanto sistemas equivalentes fueron estudiadas en la Sección 1.1.1 y luego
utilizadas en el ejemplo 2.4.
En la Sección 4.2 vemos en detalle la discusión de un sistema mxn, valiéndonos del
concepto de determinante y del Teorema de Rouchè–Fröbenius y en la 4.3
desarrollamos los métodos más utilizados para la resolución de los mismos.
REPASO TEÓRICO – Sección 4.1
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. Exprese en forma general un sistema de m
ecuaciones lineales con n incógnitas.
7. ¿Qué tipo de soluciones tiene un sistema lineal de
dimensión mxn?
2. Los sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas ¿son un caso particular de los sistemas
estudiados en esta sección? ¿Por qué?
8. Si un sistema de tres ecuaciones lineales con tres
incógnitas es Compatible Indeterminado, ¿qué
interpretación geométrica puede darse?
3. ¿Cuándo los sistemas lineales de dimensión mxn
son homogéneos?. Esta definición ¿es coincidente
con la vista para sistemas con dos incógnitas?
9. En un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas Incompatible, ¿la única interpretación
geométrica posible es que los 3 planos sean
paralelos no coincidentes? Si la respuesta es
negativa indique otras posibilidades.
4. ¿A qué llamamos solución de un sistema?¿Cuál es
la solución trivial?
5. La trivial, ¿puede ser solución de sistemas no
homogéneos? Justifique.
6. Dé la interpretación geométrica de un sistema de
ecuaciones lineales con tres incógnitas.
10. ¿Qué etapas involucra el estudio de un sistema de
ecuaciones lineales?
11. ¿Cuál es la diferencia entre discutir y resolver un
sistema de ecuaciones?
EJERCICIOS – Sección 4.1
Considere los siguientes sistemas de ecuaciones, y
responda las preguntas 1 a 8:
a)
= 6
 2x + 4y − z

−
2x
−
3y
+
w
=
−1


3y + z − w = 1

195
2. ¿Cuáles son sistemas de dimensión 3x3?
b)
y − 1 = 0

x − 1 = 0
z − 1 = 0

c)
 3x − 2 + z = 2y

 2x + 2y − 4z = 0
 x + y − 2z = 0

d)
 − x + 5y + z = w

=z
 2x + 4y
5. La trivial, ¿es solución de alguno de estos
sistemas?
e)
 3x − 2y + z = 2

− 3z = − 2
 5x
 x + y − 2z = 0

6. ¿De qué sistemas es solución (x, y, z) =
(1, 1, 1 )?
f)
3. ¿Cuáles de
homogéneos?
los
sistemas
dados
son
4. Encuentre la expresión matricial de cada sistema
dado.
7. ¿Es el sistema del apartado c) equivalente al
sistema dado en e) ? y al dado en f) ?
 3x − 2y + z = 2

 2x + 2y − 4z = 0
 6x + y − 5z = 2

1. Indique cuáles de los sistemas anteriores tienen
tres incógnitas.
8. Encuentre un sistema equivalente al que se dio
en el apartado d).
4.2 – DISCUSIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Recordemos que la discusión de un sistema de ecuaciones lineales consiste en analizar si el sistema tiene solución,
y en caso afirmativo conocer si es única o son infinitas. Para llegar a esta conclusión, las herramientas que se
utilizan con frecuencia, son el concepto de determinantes y el resultado del Teorema de Rouchè-Fröbenius.
4.2.1 - Discusión usando Determinantes
La utilidad del concepto de determinantes en la discusión de sistemas de ecuaciones
surge claramente a partir del resultado del siguiente teorema:
Teorema 4.1:
Sea A una matriz de orden n. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes
(es decir, cada una de ellas implica las restantes):
1. El sistema AX = B tiene única solución para cada matriz o vector columna B
de dimensión nx1.
2. El sistema AX = 0 tiene como única solución la trivial. (X = 0)
3. El determinante de A es distinto de cero.
196
Revise el Teorema
3.4
Es decir, si la matriz de coeficientes del sistema es invertible, entonces el sistema tiene
única solución y en el caso de ser homogéneo esa solución es la trivial.
n Ejemplo 4.3:
Realizamos la discusión de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales,
utilizando el concepto de determinante.
y +




−
 1 4 −1   x   0 

 
 

 −3 −2 0   y  =  0 
 0 10 −3   z   0 

 
 

e)
y + z=0
 (k − 1)x +

(k + 1)y + z = 0


kz = 0

y + 3z = − 3
 x + 4y − z = 6

b)  −3x − 2y
=3

10y − 3z = 0

 0 1
c)  2 3
 0 −1

d)
z= 4
a)  2x + 3y + 2z = − 1
1  x   0 
 
 

2   y  = 0 
3   z   0 
Solución


a) 


y + z= 4
2x + 3y + 2z = − 1
− y + 3z = − 3
Este sistema puede expresarse en forma matricial como:
 0 1 1 x   4 
 2 3 2   y  =  −1 

  

 0 −1 3   z   −3 

  

Como la matriz de coeficiente es cuadrada podemos calcular su determinante
Desarrollamos el
determinante por la
primera columna.
det A =
0
1 1
2 3 2
0 −1 3
=–2
1 1
−1 3
= – 2(3 + 1 ) = – 8
Como el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, por el
teorema 4.1 podemos concluir que el sistema tiene única solución.
 x + 4y − z = 6

b)  −3x − 2y
=3

10y − 3z = 0

El determinante de la matriz de coeficientes de este sistema es:
197
Desarrollamos el
determinante por la primera
columna.
1 4 −1
−2 0
det A= − 3 −2 0 =
10 −3
0 10 −3
+3
4 −1
10 −3
= 6 + 3 (–12+10)= 0
Como el determinante de la matriz de coeficientes es nulo y el sistema es no
homogéneo, entonces es compatible indeterminado o incompatible.
 0
1
3
 0 −1

c)  2
1  x   0 
 
 

2   y  = 0 
3   z   0 
La matriz de coeficientes es la misma que la del sistema del apartado a),
cuyo determinante es –8.
Como el sistema es homogéneo y el determinante es distinto de cero, por el
teorema 4.1 sabemos que el sistema tiene única solución y esta es:
(x y z) = (0 0 0)
 1 4 −1   x   0 

 
 

d)  −3 −2 0   y  =  0 
 0 10 −3   z   0 

 
 

El determinante de la matriz de coeficientes vale cero. El cálculo lo
realizamos en el apartado b). Entonces este sistema es compatible
indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Una de ellas es la
trivial.
y + z=0
 (k − 1)x +

e) 
(k + 1)y + z = 0

kz = 0

1
 (k − 1)

Su expresión matricial es  0
(k + 1)

0
0

1
1
k
  x 
 0 
 



  y  =  0 
  z 
 0 
 



Como el sistema es homogéneo, sabemos que es compatible. Nos resta
determinar si tiene una solución o infinitas.
1
 (k − 1)

(k + 1)
Si llamamos A =  0

0
0

1
1
k


,


entonces det A = (k–1) (k+1) k ya que es una matriz triangular superior.
Como k no asume ningún valor determinado, se nos presentan dos
posibilidades: det A = 0 o det A ≠ 0. Analizamos ambos casos:
198
Un producto se anula
cuando al menos uno
de sus factores es
cero. Y es distinto de
cero cuando todos sus
factores son no nulos.
1) El det A = 0, es decir, (k–1)(k+1)k = 0. Los valores que verifican esta
ecuación son: k = 1 o k = –1 o k = 0.
2) El det A ≠ 0, es decir, (k–1)(k+1) k ≠ 0. Esto ocurre cuando k ≠ 1,
k ≠ –1 y k ≠ 0 .
A modo de conclusión podemos afirmar que:
Si k ≠ 1, k ≠ –1 y k ≠ 0 entonces la matriz de coeficientes es invertible, y
por el Teorema 4.1 el sistema es Compatible Determinado con única
solución la trivial.
Si k = 1, k = –1 o k = 0 entonces la matriz de coeficientes es singular, y
el sistema es Compatible Indeterminado. No puede ser Incompatible ya que
la trivial es una de sus soluciones.
Observe: Los sistemas homogéneos son siempre compatibles ya que la trivial es
siempre solución. Nunca son incompatibles.
El uso de determinantes para la discusión de sistemas de ecuaciones lineales sólo es
posible si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas. Además, si el
determinante toma el valor cero y el sistema es no homogéneo, esta herramienta no
nos dice si el mismo tiene infinitas soluciones o carece de solución.
4.2.2 - Discusión por Teorema de Rouchè-Fröbenius
Para comprender el resultado que ofrece este teorema, y cómo utilizarlo en la discusión
de sistemas, debemos estudiar primero algunos otros conceptos.Éstos, no sólo ayudan
en la comprensión del teorema, sino que tienen importancia posterior en la resolución
de sistemas.
4.2.2.1- Matriz Ampliada
Definición 4.3: Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya
Matriz Ampliada
expresión matricial es AX = B, llamamos matriz ampliada del
sistema, a la matriz de orden mx(n+1) que se obtiene al añadir a
la matriz de los coeficientes la columna de términos
independientes.
199
Notación: A*
Matriz de términos
independientes
Matriz de
coeficientes
 a11

 a21
A* =  ...

 ...
 a
 m1
La línea vertical nos permite en
todo momento recordar que los
coeficientes de las incógnitas
están a la izquierda de ella. La
columna de la derecha son los
términos independientes,
constantes ubicadas del lado
derecho del signo igual.
a12
...
a1n
a22
...
a2n
...
...
...
...
...
...
am2
... amn
b1


b2

... 

... 
bm 
n Ejemplo 4.4:
 3x − 2y + z = 2

a) Dado el sistema  3x + 3y + 2z = − 1
 −2x − 8y + 4z = 9

la expresión matricial es
 3 −2 1   x   2 

    
 3 3 2   y  =  −1 
 −2 −8 4   z   9 

    
la matriz de coeficientes es
 3 −2 1 


A =  3 3 2
 −2 −8 4 


y la matriz ampliada es
 3 −2 1

A* =  3
3 2
 − 2 −8 4


b) La matriz ampliada del sistema 
 x1 − 2x 2 +
 0 0
A* = 
 1 −2
200
5 −3
0
3
8 

−4 
5x 3 − 3x 4 = 8
3x 4 = − 4
2 
−1 
9 
es:
4.2.2.2 - Combinación Lineal - Dependencia e
Independencia Lineal
Combinación Lineal
C tiene la misma
dimensión que las
matrices Ai con
i = 0,..., n
Definición 4.4: Sean A1, A2,...,An matrices del mismo orden, y sean a1, a2,...,an
escalares (números). La matriz C es combinación lineal de las A i,
con i = 1 ... n , si:
n
C = a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... + a n A n =
∑a i A i
i=1
Si bien la definición considera matrices de cualquier orden, nosotros trabajamos este
concepto principalmente para vectores filas (de orden 1xn) o columnas (de orden mx1).
n Ejemplo 4.5:
Analice en cada caso, si el vector B es combinación lineal de los vectores A1 y A2
Observe que todos los
vectores columna son
de la misma dimensión
Observe que todos los
vectores columna son
de la misma dimensión
 −4
 1
a) B = 
 −2
 3

b)






 2 


B=  0 
 −1 


;
 1 
 2 

A1 = 
 −1 
 0 


 2 
 1 

A2 = 
 0 
 −1 


;
 3 
A1 =  1 
 0 
 
 0 
A2 =  2 
 1 
 
Solución
a) De acuerdo con la definición debemos ver si B = a A1 + b A2 tiene solución,
es decir, si existen valores para a y b que hacen válida la igualdad.
Observe que todos los
vectores columna son
de la misma dimensión
Observe que estudiar
una combinación lineal
implica resolver un
sistema de ecuaciones
lineales
 −4 
 1 
 2 
 1 
 2 



 = a
 + b  1  lo que nos lleva a resolver el siguiente sistema
 −2 
 −1 
 0 
 3 
 0 
 −1 






 a + 2b = − 4
 2a + b = 1


= −2
 −a
− b= 3

Es un sistema de cuatro ecuaciones lineales con dos incógnitas de fácil
resolución, ya que las dos últimas ecuaciones nos dicen que los valores de
201
los escalares son a = 2 y b = –3. Si reemplazamos estos valores en las dos
primeras ecuaciones observamos que las verifican, entonces a= 2 y b= –3
es la solución del sistema.
Por lo tanto, concluimos que B es combinación lineal de los vectores A1 y A2,
es decir que podemos expresarlo de la siguiente forma:
B = a A1 + b A 2
 −4 
 1 
 2 
 1 
 2 



 =2 
 – 3  1 
 −2 
 −1 
 0 






 3 
 0 
 −1 
• ¿Qué hubiera sucedido si los valores de a y b encontrados a partir de las dos
últimas ecuaciones no verificaran las dos primeras?
 2 
 3 
 0 




b) ¿Es B =  0  combinación lineal de A1 =  1  y A2 =  2  ?
 0 
 1 
 −1 
 
 


Buscamos valores de a y b que verifican la igualdad:
 3 
 0 
 2 
 0  = a 1  + b 2 
 
 


 −1 
 0 
 1 


 
 
Utilizando la definición de igualdad de matrices obtenemos el sistema:
= 2
 3a

 a + 2b = 0

b = −1

Nuevamente tenemos un sistema de fácil resolución (no siempre es así) ya
2
3
que de la tercera ecuación b = –1 y de la primera a = .
Pero a y b deben satisfacer todas las ecuaciones, por lo que debemos
reemplazar en la segunda y ver si resulta válida la igualdad o no.
2
4
+ 2(–1) = – ≠ 0 entonces no la verifica.
3
3
Esto nos permite concluir que no existen valores de a y b que sean solución
del sistema. Entonces la matriz columna dada no es combinación lineal de
las dos restantes.
202
Un concepto vinculado directamente con el de combinación lineal es el de dependencia
lineal.
Dependencia e
Independencia Lineal
Definición 4.5: El conjunto de vectores columnas (o filas) A1, A2, ..., An se dicen
linealmente dependientes, si existen escalares a1, a2, ..., a n no
todos iguales a cero tales que a1 A1 + a2 A2 + ... + an An= 0. Es
decir, si pueden escribirse como combinación lineal no nula del
vector nulo.
El 0 es la matriz nula.
Observe que si todos
los escalares son
iguales a cero, la
igualdad es válida.
Si no existen tales escalares, entonces los vectores A1, A2,..., An son linealmente
independientes. En otras palabras, los vectores son linealmente independientes si y
sólo si la única combinación lineal posible del vector nulo, es la trivial.
Este concepto también es válido para matrices de orden mxn en general.
n Ejemplo 4.6:
¿Son los siguientes vectores linealmente independientes?
 1 
 0 


a) A1=  0  , A2 =  1 
 0 
 0 




 1 
 −1 
 1 
 , A2 = 
 , A3 = 

 2 
 0 
 2 
b) A1= 
 −4 
 1 
 2 






1 
2 
1 
, A1 = 
, A2 = 
c) B = 
 −2 
 −1 
 0 






 3 
 0 
 −1 
 1 
 0 
 , A2 = 

 0 
 1 
d) A1 = 
 1 
 0 
 0 
 0 


 0 


 1 


e) A1 =  0  , A2 =  1  y A3 =  0 
Solución
a) Para responder esta pregunta debemos encontrar las soluciones de la
ecuación matricial:
 1 
 0 
 0 






a 0 + b 1  =  0 
 0 
 0 
 0 






203
la cual nos lleva a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
 a=0

 b=0
 0=0

Como la única solución es la trivial, podemos concluir que dichos vectores
son linealmente independientes.
 1 
 −1 
 1 
 , A2 = 
 , A3 = 

 2 
 0 
 2 
b) Si A1= 
Debemos estudiar las soluciones de la ecuación matricial:
 1 
 −1 
 1 
 0 
a
 + b
 + c
 = 

 2 
 0 
 2 
 0 
la cual nos lleva a buscar las soluciones del sistema de ecuaciones:
 a −b + c =0

2c = 0
 2a +
Para resolverlo utilizamos el método de sustitución. Despejamos de la última
ecuación la incógnita a y obtenemos que a = – c.
Luego reemplazamos en la primera ecuación el valor de a obtenido.
–c–b+c=0
⇒
b=0
Es decir, el conjunto solución del sistema es:
S = { ( a, b, c) = (– c, 0, c) , con c número real }
Note que si bien la trivial es
solución del sistema, no
concluimos que los vectores
son linealmente
independientes.
El sistema tiene infinitas soluciones, entonces existen escalares a, b y c no
todos nulos que lo verifican. Por ejemplo, podemos tomar la solución
particular a = –1, b = 0, c = 1 y en este caso:
 1 
 −1 
 1 
 −1 
 1 
 0 
−1 
 + 0 
 + 1 
 = 
 + 
 = 

 2 
 0 
 2 
 −2 
 2 
 0 
por lo tanto, A1, A2 y A3 son linealmente dependientes.
 −4 
 1 
 2 






1 
2 
1 
, A1 = 
y A2 = 
c) Si B = 
 −2 
 −1 
 0 






 3 
 0 
 −1 
 −4 


1 
en el apartado a) del ejemplo 4.5 vimos que la matriz columna B = 
 −2 


 3 
se podía expresar como combinación lineal de las matrices columnas:
204
 1 


2 
A1 = 
 −1 


 0 
 2 


1 
A2 = 
 0 


 −1 
es decir, llegamos a la conclusión que:
 −4 
 1 
 2 






 1  = 2 2  – 3 1 
 −2 
 −1 
 0 






 3 
 0 
 −1 
 −4 


1 
si ahora restamos la matriz 
en ambos miembros llegamos a:
 −2 
 3 


 1 
 2 




2 
1 
2
– 3
−
 −1 
 0 




 0 
 −1 
 4 
 0 




 1  =  0 
 −2 
 0 




 3 
 0 
Esto significa que las matrices B, A1 y A2 no son linealmente independientes.
Son dependientes pues se pueden expresar como combinación lineal no nula
del vector nulo.
Comparar con resultado del
ejemplo 4.5.a.
Generalizando este resultado: si una matriz B es combinación lineal de A1,
A2,...,An, entonces B, A1, A2, ... ,An son linealmente dependientes.
En general, si Ai es un vector
fila o columna que tiene un
elemento igual a 1 en la iésima posición y sus restantes
elementos son ceros, con
i = 1, 2,...,n entonces A1,
A2,...,An son linealmente
independientes.
 1 
 0 
 y A2 = 
 son linealmente independientes,
 0 
 1 
d) Para ver si A1 = 
 0 
.
 0 
debemos resolver el sistema: a A1 + b A2 = 
Rápidamente se concluye que la única solución es la trivial. Por lo tanto
son linealmente independientes.
e)
 1 
Se verifica que los vectores A1 =  0  ,
 0 


 0 
 0 




A2 =  1  y A3 =  0  son
 0 
 1 




linealmente independientes siguiendo el mismo razonamiento que en el
apartado anterior.
Note:
De la conclusión anterior, se desprende que las filas (o columnas) de la
matriz identidad de orden n, son linealmente independientes. Los vectores
filas de la matriz reducida son linealmente independientes.
205
4.2.2.3 - Rango de una matriz
Rango Fila de una
matriz
Definición 4.6:
Rango Columna de
una matriz
Definición 4.7: Sea A una matriz de orden mxn. El número de columnas
Sea A una matriz de orden mxn. El número de filas linealmente
independientes de A se llama rango fila de la matriz.
linealmente independientes de A se llama rango columna de la
matriz.
Teorema 4.2:
Sea A una matriz de orden mxn. Entonces el rango fila de A es igual al rango
columna de A.
Rango de una matriz
Este teorema nos permite definir sin ambigüedad el rango de una matriz, que
denotamos r(A), como:
r(A) = rango de A = rango fila de A = rango columna de A
Los siguientes teoremas ofrecen dos resultados importantes vinculados con el rango de
una matriz que acabamos de definir. Éstos nos serán de utilidad para la discusión de
sistema de ecuaciones.
Teorema 4.3:
min{a,b} significa el
menor entre a y b.
Si A es una matriz de orden mxn, entonces r(A) ≤ min {m, n}.
Esto es, el rango de la matriz es menor o igual que el menor valor entre el número de
filas y el número de columnas que tiene.
Teorema 4.4:
Si AX = B es un sistema de ecuaciones lineales, entonces r(A) ≤ r(A | B).
Es decir, el rango de la matriz de coeficientes es siempre menor o igual al rango de la
matriz ampliada.
n Ejemplo 4.7:
a) La matriz identidad de orden n tiene rango igual a n.
206
Las n filas (columnas) son linealmente independientes. Revise el apartado
d) del ejercicio 4.6
 2 0 
 tiene rango 2, ya que los vectores (2 0) y (0 –3) son
 0 −3 
b) La matriz 
linealmente independientes.
Solución
Para comprobar esta afirmación, planteamos la ecuación matricial:
a(2 0) + b (0 – 3) = (0 0) y a partir de ella obtenemos el sistema:
 2a = 0

 − 3b = 0

c) La matriz 
que claramente tiene como única solución la trivial.
2
 −5
−2 
 tiene rango 1 pues la segunda fila puede expresarse
5 
como combinación lineal de la primera. Es decir, sus filas son linealmente
dependientes.
Solución
Esto es claro si notamos que ( 2 −2 ) = –
2
5
( −5 5 ).
Otra forma de calcular el rango de una matriz, es utilizando las operaciones elementales
por filas, estudiadas en la Sección 3.3.1. Esto es posible por el resultado del siguiente
teorema.
Teorema 4.5:
Las matrices equivalentes tienen el mismo rango.
Es decir, el rango de una matriz es igual al rango de la equivalente reducida por filas o
por columnas.
n Ejemplo 4.8:
 2 0 
 cuyo rango calculamos en el ejemplo 4.7,
 0 −3 
a) Retomemos la matriz 
apartado b).
207
Busquemos la equivalente reducida, aplicando las operaciones elementales
por fila más convenientes.
 2 0 


 0 −3 
multiplicamos por ½ la primera fila
 1 0 


 0 −3 
multiplicamos la segunda fila por –1/3
 1 0 


 0 1 
La equivalente reducida es la matriz Identidad que claramente tiene rango 2
pues tiene dos filas linealmente independientes.
Entonces, la matriz y su reducida tienen el mismo rango.
2 −2 

 −5 5 

b) En el ejemplo 4.7, apartado c) encontramos que la matriz 
tiene rango 1.
Solución
Encontremos la equivalente reducida por filas para verificar este valor.
Como el vector nulo de
orden n es combinación
lineal de cualquier otro
vector del mismo orden,
entonces cada vez que el
vector nulo esté en un
conjunto de vectores, los
mismos son linealmente
dependientes.
 2

 −5
−2 

5 
multiplicamos la primera fila por ½
 1

 −5
−1 

5 
multiplicamos la primera fila por 5 y sumamos la segunda



1 −1 

0
0 
Esta es la equivalente reducida por filas, cuyo rango es claramente igual a 1.
Debido al resultado del teorema 4.5 y de la nota siguiente al ejemplo 4.6, algunos
autores definen el rango de una matriz como la cantidad de filas no nulas de su
reducida.
Ahora estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Rouchè-Fröbenius que
nos será de gran utilidad en la discusión de un sistema de ecuaciones lineales.
208
Teorema 4.6: de Rouchè-Fröbenius
La condición
necesaria y suficiente
para que un sistema
de m ecuaciones y n
incógnitas tenga
solución, es que
r (A) = r (A*)
Un sistema de ecuaciones lineales AX=B es compatible si y sólo si, el rango de la
matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, esto es, r(A) = r(A*).
• Si el número de incógnitas n es igual al rango de la matriz, entonces la
solución es única, esto es, r(A) = r(A*) = n.
• Si el número de incógnitas n es mayor que el rango de la matriz, entonces
el sistema tiene infinitas soluciones, esto es, r(A) = r(A*) < n.
Si los rangos son distintos el sistema es incompatible, esto es, r(A) ≠ r(A*)
Es preciso tener en cuenta que si se intercambian columnas en la matriz de coeficientes
ha de hacerse de igual forma el cambio correspondiente de incógnitas, teniendo
especial cuidado con la columna de los términos independientes que conviene no
moverla. En general, es aconsejable realizar todas las operaciones por filas
para evitar confusiones.
n Ejemplo 4.9:
Realicemos la discusión de los siguientes sistemas:
 x − y + 2z = 0

2y + 3z = 1

d) 
z = −1
 x+
2x − y + 3z = − 1
 2x + 4y = − 4
 2x + 6y = 0
a) 

b) 
x − y + z=0
 −2x + 3y + z = 0
 x + y + z = −1

y + z= 2
c) 
 x + 2y + 2z = 2

Solución
 2x + 4y = − 4
 2x + 6y = 0
a) 
Para esto debemos reducir por filas la matriz ampliada del sistema:
1
 2 4

 2 6
−4  F1 → 2 F1
→
 
0 
 1 2

 0 2
 1 0
−2  F1 → F1 − F2
→
 
 0 2
4

 1 2

 2 6
−2  F2 → F2 + (−2)F1
→
 
0 
1
−6  F2 → 2 F2
→
 
4 
209
 1 0

 0 1
−6 

2 
La matriz de coeficientes ya está reducida. El rango de A es 2 (es igual al de
la reducida) y el rango de A* también es 2.
Por lo tanto, rango A = rango A* y por Teorema de Rouchè-Fröbenius el
sistema es compatible.
Como el sistema tiene dos incógnitas y n = 2 = rango A = rango A*,
entonces es compatible determinado, es decir, tiene única solución.

b) 
x − y + z=0
 −2x + 3y + z = 0
Para ver esto planteamos la matriz ampliada y realizamos operaciones
elementales por filas hasta encontrar la equivalente reducida de la matriz de
coeficientes.
 1 −1 1

 −2 3 1
 1 −1 1

 0 1 3
0  F2 → F2 + 2F1
 →
0 
0  F1 → F1 + F2
→
 
0 
 1 0 4

 0 1 3
0 

0 
La matriz de coeficientes está reducida.
r(A) = 2 pues su reducida
tiene dos filas no nulas.
r(A) = 2 = r(A*) , el sistema es compatible.
Como n = 3 y r(A) = r(A*) < 3, el sistema tiene infinitas soluciones, es
compatible indeterminado.
 x + y + z = −1

c) 
y + z= 2
 x + 2y + 2z = 2

La matriz ampliada es:
 1 1 1

 0 1 1
 1 2 2

−1 

2 
2 
Reducimos la matriz de coeficientes, aplicando las operaciones elementales
por fila más convenientes:
 1 0 0

 0 1 1
 0 0 0

−3 

2 
1 
Aquí podemos observar que r(A) = 2, mientras que r(A*) = 3. Como son
distintos, entonces el sistema es Incompatible. No tiene solución.
210
 x − y + 2z = 0

2y + 3z = 1

d) 
x
+
z = −1

2x − y + 3z = − 1
Planteando la matriz ampliada del sistema y reduciendo la matriz de
coeficiente, resulta:






1 −1
0 2
1 0
2 −1
2
3
1
3
0 
 1


1 
0
es equivalente a 


−1
0


−1 
 0
0
1
0
0
0
0
1
0
−8/5 

−2/5 
3/5 

0 
Tanto el rango de la matriz de coeficientes como el de la ampliada es 3, y
coincide con el número de incógnitas. Concluimos que el sistema es
Compatible Determinado.
Hemos de destacar que como en un sistema homogéneo, la matriz ampliada se obtiene
agregando a la de coeficientes una columna de ceros, siempre resulta que
r (A) = r(A*). (Ver ejemplo 4.9.b)).
Es decir, los sistemas homogéneos siempre tienen solución. Son:
• Compatible Determinado, es decir, tienen como única solución la trivial, si
r(A) = n.
• Compatible Indeterminado, es decir, infinitas soluciones si r(A) < n. La
solución trivial es una de las infinitas soluciones.
Observe:
Para discutir estos sistemas, sólo debemos comprobar si el rango de A
coincide con el número de incógnitas o es estrictamente menor.
En el próximo ejemplo, presentamos la discusión de sistemas de ecuaciones lineales,
en los cuales algunos de sus coeficientes o términos independientes no están
determinados. Dependiendo de los valores que éstos asuman, los sistemas tendrán
distintos tipos de soluciones. Estos ejemplos son de utilidad para profundizar los
teoremas relacionados con la discusión de sistemas de ecuaciones lineales.
n Ejemplo 4.10
Estudiamos la existencia o no de soluciones en los siguientes sistemas de
ecuaciones según los distintos valores que pueden tomar las constantes no
determinadas (parámetros).
211
 x+ y− z = 2

a) 
y+ z = 1
 x + 2y
=k

 x − 2y = a
 3x − y = b


 2x + y = 0
 x + 7y = a
c)
 kx + y = k
 x + ky = k
b) 
Solución
 x+

y− z = 2
y+ z = 1
 x + 2y
=k

a) 
 1
La forma matricial del sistema es  0
 1

 1 1 −1

ampliada es A* =  0 1 1
1 2 0

1 −1   x 
 2 
  


1 1   y  =  1  y la matriz
 k 
2 0   z 


2 

1 
k 
Para concluir respecto de las soluciones, calculamos los rangos de A y A*.
Utilizamos el resultado del teorema de Rouchè-Fröbenius.
 1

 0
 1

 1

 0
 0

 1

 0
 0

1 −1
1
1
2
0
1 −1
1
1
1
1
1 −1
1
1
0
0
2
 F3 → (−1) F1 + F3
1  
→

k
2 
 F3 → ( − 1) F2 + F3
1  
→

k − 2
2 
 1
 F1 → ( − 1) F2 + F1 
1  
→ 0
 0
k − 3 

0 −2
1
1
0
0
1 

1 
k − 3 
La matriz de coeficientes está reducida y r(A) = 2.
Para calcular el rango de la ampliada debemos considerar dos casos:
1) k – 3 ≠ 0, es decir, k ≠ 3 entonces r(A*) = 3.
2) k – 3 = 0 , es decir, k = 3 entonces r(A*) = 2.
212
Conclusión
Si k ≠ 3 entonces r(A) = 2 y r(A*) = 3 por lo tanto el sistema es
Incompatible.
Si K = 3 entonces r(A) = 2 = r(A*) < n = 3 por lo tanto el sistema es
Compatible Indeterminado.
No existe valor de k para el cual el sistema resulte Compatible Determinado,
ya que el rango de la matriz de coeficientes es menor que la cantidad de
incógnitas.
 kx + y = k
 x + ky = k
b) 
Como el parámetro k aparece como coeficiente de las incógnitas y como
términos independientes del sistema, analizamos primero para qué valores
de k la matriz de coeficientes es singular, ya que si es no singular la solución
es única.
 k 1 
 y
 1 k 
La matriz de coeficientes es A = 
det A =
k 1
1 k
= k 2 – 1 = ( k –1 ) ( k + 1 )
Es decir, si k ≠ 1 y k ≠ – 1 entonces det A ≠ 0, A es no singular y por
Teorema 4.1 el sistema tiene única solución.
Debemos estudiar ahora que ocurre cuando k = 1 o k = –1, ya que en
cualquiera de estos casos, el det A es cero y la matriz de coeficientes es
singular. Para ello reemplazamos en el sistema k por cada uno de estos
valores.
1) Caso k = 1
x+y=1
.
x+y=1
El sistema que obtenemos es 
1 1
1 1
La matriz ampliada es A* = 
1
 y aplicando operaciones
1
1 1
0 0
elementales por fila llegamos a la reducida. Esta es: 
1

0
Como r(A) = 1 = r(A*) < n = 2, por Teorema de Rouchè-Fröbenius, el
sistema es Compatible Indeterminado.
213
2) Caso k = –1
−x + y = − 1
 −1
, la matriz ampliada es A* = 
x
−
y
=
−
1
 1

El sistema es 
 1 −1
 0 0
su reducida es 
1
−1
−1 

−1 
y
1

−2 
r(A) = 1 ≠ r(A*) = 2 .
Por lo tanto, el sistema es Incompatible.
Conclusión
Si
k ≠ 1 y k ≠ –1
el sistema es Compatible Determinado.
Si
k=1
el sistema es Compatible Indeterminado.
Si
K = –1
el sistema es Incompatible.
 x − 2y = a
 3x − y = b

c) 
 2x + y = 0
 x + 7y = a
 1 −2

3 −1
La matriz ampliada del sistema es 
 2 1

 1 7
a 
 1


b 
0
∼ 

0
0


a 
 0
0
1
0
0
a


0

a −b 

b − 3a 
De acuerdo al Teorema 4.6, nuestro sistema es Compatible Determinado si
los parámetros a y b son solución del sistema:
 a−b = 0

 b − 3a = 0
pues tendríamos que r(A) = r(A*)
Como vimos en el capítulo 2, las ecuaciones representan dos rectas no
paralelas que pasan por el origen de coordenadas. La única solución del
sistema es la trivial.
Conclusión
El sistema es Compatible Determinado cuando a = b = 0. Para
cualquier otro valor de a y b el sistema es Incompatible.
214
REPASO TEÓRICO – Sección 4.2
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Qué métodos conoce para realizar la discusión
de un sistema de ecuaciones lineales?
9. Si una matriz es invertible, ¿sus filas serán
linealmente dependientes o independientes?
2. ¿Cómo determina si un sistema tiene o no
solución utilizando determinantes?
10. ¿Cuál es el valor del determinante de una matriz
que tiene una fila que es combinación lineal de las
restantes?
3. El método de los determinantes ¿se puede aplicar
a cualquier sistema de ecuaciones?
4. ¿Cuántas soluciones admite un sistema cuya
matriz de coeficientes es invertible?
5. ¿Cómo se construye la matriz ampliada de un
sistema?
6. ¿La matriz ampliada y la forma matricial de un
sistema son la misma?
7. ¿Cuándo decimos que una matriz es combinación
lineal de otras?
8. ¿Cuándo dos matrices columna son linealmente
independientes?
11. ¿A qué se llama rango de una matriz?
12. ¿Qué relación existe entre el rango de una matriz y
la cantidad de filas linealmente independientes de
la misma?
13. ¿Qué relación existe entre el rango de una matriz
con la de su reducida por filas?
14. Usando el Teorema de Rouchè-Fröbenius,
indique cuándo un sistema es Compatible e
Incompatible.
15. El rango de la matriz de coeficientes ¿puede ser
superior al rango de la ampliada?
EJERCICIOS – Sección 4.2
Determine si los siguientes sistemas de ecuaciones
tienen o no solución única utilizando el concepto de
determinante.
x − 2y + z = 2


1.  3x + y − z = − 2
 − x + 3y + 2z = 1

 3x − y − z = 4

2.  x +
2z = 10
 − 2x + y + 3z = 6

 4 x +5 y = −3
 2 x − 3 y= 0
3. 
 4x = 0

4.  3y = 0
 2z = 0

Dé la forma matricial y la matriz ampliada de los
siguientes sistemas de ecuaciones.
 x + 4y − 7z = 9
= 5
 3x + 2y
5. 
 5x − 3y = 3

6.  2x − 2y = 4
 6x − y = 1

215
 − 2x + 3y − 2z = − 4

7.  − 3x − y + 4z = 8
 x − 5y + 2z = − 6

 4 
 2 


16.  3  y  6 
 2 
 4 




 4x + 3y − 2z = 3
 x − 3y + z = 2

8. 
 3x + 2y − 2z = 1
 x + y + z = − 1
 2   0   0 
17.  0  ,  −3  y  0 
 0   0   1 

 
 

Dé el rango de las siguientes matrices y determine
la cantidad de filas linealmentes independientes de
cada una de ellas.
 x + 3y = 3

9.  x − y = 2
 2x + 2y = − 1

2 
 es combinación
−
 3 

Indique si la matriz columna 
1 0 0 
18.  0 2 0 
 0 0 4 


 2 0 0 
19.  1 2 0 
 4 2 1 


lineal de los siguientes vectores:
3 
 1 0

 0 1 −2 
 1 3 
21.  0 1 
 1   0 
 y

 0   1 
20. 
 2   4 
 y

 1   2 
22. Utilice el teorema de Rouchè-Fröbenius para
realizar la discusión de los sistemas de
ecuaciones del ejercicio 1 al 9.
10. 
11. 
3   0 
 5 
, 
 y

−
1
3

 

 0 

12. 
 4 
 3 
 y

 1 
 2 
Analice la existencia de soluciones en los siguientes
sistemas de ecuaciones que contienen parámetros.
13. 
Indique si las siguientes matrices columna son
linealmente independientes.
 2 
 0 


14.  0  y  3 
 0 
 0 




 1   −1   2 
15.  1  ,  2  y  2 
 1   3   0 
  
 

 0 0 


23.
 2x + y − z = 2

= −1
 −x − y

x
z
= 2k
−

 kx + ky = 0
 3x + ky = 3
24. 
 2x + y = k

25.  x − 3 = 0
 x + y= 4

4.3 – RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
La resolución es la segunda etapa del estudio de sistemas de ecuaciones lineales. Ésta consiste en encontrar, si
existen, todas sus soluciones. Para ello contamos con diferentes métodos:
216
•
Método de la Matriz Inversa.
•
Regla de Cramer.
•
Método de eliminación de Gauss.
•
Método de Gauss – Jordan.
4.3.1 - Método de la Matriz Inversa
Hemos visto que todo sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede
expresar utilizando matrices como AX = B, donde A es la matriz de coeficientes, X la
matriz de las incógnitas y B la matriz de términos independientes.
En el capítulo 3 vimos
que si A es invertible,
–1
–1
AA = A A = I
Para encontrar las soluciones de la ecuación matricial AX=B, despejamos la incógnita,
que en este caso es la matriz X. Necesitamos encontrar una matriz que al multiplicarla
por A, nos dé cómo resultado la identidad.
Si suponemos que A es invertible, entonces:
multiplicamos ambos miembros por A–1
por definición de inversa A –1 A = I
ya que I es el neutro del producto de matrices
A –1 A X = A –1 B
I X = A –1 B
X = A –1 B
Hemos despejado la matriz X como pretendíamos. Tenga en cuenta que para hacerlo
pusimos la condición que A es invertible.
La matriz X encontrada es solución del sistema AX = B, ya que si reemplazamos en la
ecuación la matriz X por la expresión encontrada vemos que:
A X = A ( A –1 B ) = ( A A –1 ) B = I B = B verifica la igualdad.
Pero, ¿existirá una solución distinta a la encontrada? No, la solución es única.Para
probarlo, supondremos que existe otra y concluiremos que ambas son iguales.
Sean X y W dos soluciones distintas del sistema. Entonces AW = B y AX = B.
Como los segundos
miembros de ambas
ecuaciones matriciales
son iguales, los
primeros también.
igualando la ecuaciones matriciales tenemos que:
multiplicando por A –1
como A –1 A = I
AW = AX
A–1 AW = A –1 AX
W=X
Es decir, supusimos que W era otra solución y llegamos a que en realidad es igual a X.
Por lo tanto se ha demostrado que:
217
Teorema 4.7: Método de la Matriz Inversa
Si A es invertible (det A ≠ 0) entonces el sistema AX = B tiene una única solución y
esta es X = A –1 B.
Conocer la inversa de la matriz de coeficientes nos permitió resolver el sistema de
ecuaciones. Esta es una de las razones por la que se estudian las matrices inversas.
n Ejemplo 4.11:
 2x − 3y +

z =−2
Dado el sistema de ecuaciones lineales  x − 6y + 3z = − 2
 3x + 3y − 2z = 2

a) Expréselo en forma matricial.
b) ¿Es la matriz de coeficientes invertible? Justifique. En caso afirmativo, calcule
la inversa y resuelva el sistema.
Solución
a) Si llamamos A a la matriz de los coeficientes del Sistema, X a la matriz de las
incógnitas y B a la matriz de términos independientes, entonces
 2
A =  1
 3
−3 1 
−6 3 
3 −2 
x 
X =  y 
 z 
y
 −2 
B =  −2 
 2 
La expresión matricial del sistema es AX = B.
b) Para saber si la matriz A es invertible, debemos conocer su determinante.
Puede comprobar que | A | = – 6, es decir la matriz de coeficientes es
invertible.
Los métodos para el
cálculo de la matriz
inversa se estudiaron
en la Sección 3.5
 − 1/2
La inversa de A es A =  −11/6
 − 7/2
–1
1/2
7/6
5/2
1/2 
5/6 
3/2 
Como la matriz de coeficientes es invertible, entonces el sistema es
Compatible Determinado. La única solución puede encontrarse realizando:
X=A
218
–1
 − 1/2
B =  −11/6
 − 7/2
1/2
7/6
5/2
1/2   −2  1 
5/6   −2  = 3
 
3/2   2  5 
 x  1 
Es decir, la única solución del sistema es  y  = 3 .
 z  5 
• ¿Cómo verifica que este resultado es correcto?
Cuidado: Este método solamente se puede utilizar si el sistema tiene la misma
cantidad de ecuaciones que de incógnitas y si la matriz de coeficientes es
invertible.
n Ejemplo 4.12
Resolvamos ahora, de ser posible, por el método de la inversa el sistema:
 2x = 3
 3y = 1


z = −1

 w = 4
Solución
2

0
La matriz de coeficientes es A= 
0

0
0 0 0

3 0 0
. Como es una matriz diagonal,
0 1 0

0 0 1
det A = (2) (3) (1) (1) = 6
Al verificar que el det A ≠ 0, podemos afirmar que la matriz A es invertible. Su
inversa es
Si A es una matriz
diagonal, A–1 también
es diagonal y sus
elementos no nulos
son los recíprocos de
los de A.
1/2 0 0 0 


 0 1/3 0 0 
 0
0 1 0


0 0 1
 0
Por lo tanto, el vector solución es:
x
1/2 0 0 0   3 
 3/2 
 

  


 y  =  0 1/3 0 0   1  =  1/3 
z
 0
 −1 
0 1 0   −1 
 

  


0 0 1  4
w
 0
 4 
Observe: Esta solución se podría haber obtenido despejando directamente de
las ecuaciones del sistema.
219
4.3.2 - Regla de Cramer
Este método se utiliza, lo mismo que el de la matriz inversa, para sistemas que tienen la
misma cantidad de incógnitas que de ecuaciones y cuya matriz de coeficientes es
invertible. Es decir, un sistema resuelto por Cramer es, por definición, compatible
determinado y, por lo tanto, tiene siempre una solución única. Esta solución se puede
encontrar sin realizar reducciones y sin calcular A–1.En cambio, debemos calcular
determinantes.
Teorema 4.8: Regla de Cramer
Sea A una matriz nxn y suponga que det A ≠ 0. Entonces la única solución del
sistema AX = B esta dada por:
j-ésima columna
x j=
a11
a21
...
am1
a12 ...
a22 ...
... ...
am2 ...
b 1 ... a 1 n
b 2 ... a 2 n
... ... ...
bm ... am n
A
∀ j = 1,2,..., n
El determinante que figura en el numerador se construye sustituyendo la j-ésima
columna de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes del
sistema. El denominador es invariante para cualquier incógnita y corresponde al
determinante de la matriz de coeficientes.
Este método fue, durante muchos años, fundamental en la enseñanza del Álgebra y de
la teoría de ecuaciones. Debido al gran número de cálculos que se requieren, se usa
muy poco en la actualidad.
Observe: Si no hay solución
única para un conjunto de ecuaciones lineales,
entonces el determinante de la matriz de coeficientes es cero y estos
cocientes no están definidos.
n Ejemplo 4.13:
De ser posible resolvamos, usando la regla de Cramer, los siguientes sistemas
3x +

y−
z= 2
z= − 9
 4x + 3y + 2z= 1

a)  x − 2y +
220
 x + y + z= 2

b)  x − y + z= − 9
2x +

2z= 1
Solución
3x + y − z= 2

a)  x − 2y + z= − 9
 4x + 3y + 2z= 1

Iniciamos la resolución con el cálculo del determinante de la matriz de
coeficientes:
|A|=
Para x reemplazamos la
primera columna de la
matriz de coeficientes por
la de términos
independientes.
Para y reemplazamos la
segunda columna por la
de términos
independientes.
Para z reemplazamos la
tercera columna.
3
1
4
1 −1
−2 1 = – 30
3 2
como es distinto de cero, se puede utilizar esta regla. Entonces,
x=
2
−9
1
1 −1
−2 1
3 2
−30
z=
Reemplace la solución en el
sistema y compruebe que lo
verifica.
3
1
4
=
30
= –1, y =
−30
1 2
−2 −9
3 1
−30
=
3
1
4
2 −1
−9 1
1 2
−30
=
−90
=3
−30
60
= –2.
−30
Por lo que la única solución es: (x, y, z) = (–1, 3, –2).
 x + y + z= 2

b)  x − y + z= − 9
2x +
2z= 1

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
|A|=
1 1
1 −1
2 0
1
1 =0
2
Como el determinante es igual a cero, no podemos utilizar la regla de
Cramer, como tampoco el método de la matriz inversa explicado en la
Sección 4.3.1.
221
4.3.3 - Método de Eliminación de Gauss
Este es un método más general que los anteriores para resolver sistemas de m
ecuaciones lineales con n incógnitas, pues no pone restricciones.
Antes de ver los detalles del método, necesitamos definir el concepto de matriz
escalonada por filas.
Matriz escalonada
Definición 4.8: Una matriz de orden mxn, se llama escalonada por filas si es
la matriz nula o bien:
Observe:
•
El primer elemento no nulo de cada fila no nula es 1, llamado
elemento pivot. (se lee de izquierda a derecha)
•
Los elementos pivot, se encuentran escalonados. Es decir, el
pivot de una fila cualquiera se encuentra a la derecha de los
elementos pivot de las filas superiores.
•
Las filas nulas se ubican debajo de las no nulas.
Si a esta definición se le agrega la condición que la columna que tiene el
primer 1 en cada fila no nula, tiene los restantes elementos iguales a
cero, se obtiene la definición de matriz reducida por filas que ya hemos
visto.
A partir de esta observación surge que toda matriz reducida por filas es también una
matriz escalonada por filas. La recíproca no es cierta.
n Ejemplo 4.14:
Analizamos si las siguientes matrices son escalonadas por fila.
 −1

A = 0
 0

3
2
0
4

1
5 
 0
D= 
 0
1
0
0
1

1 −2 
 1 −1 
B= 

1
 0
1 0 3


F = 0 0 0
0 1 2


1 2 3 4 


C = 0 1 2 3
0 0 0 0


0 0 1 4


G = 0 0 1 2
 0 0 0 1


Son escalonadas por filas las matrices B, C y D. En particular D es reducida por
filas.
A no es escalonada por filas ya que los primeros elementos no nulos de cada fila
son distintos de 1.
222
F no es escalonada por filas ya que la segunda fila es nula y no se ubica por
debajo de las no nulas.
G es no escalonada por filas ya que el elemento pivot de la segunda fila no está
a la derecha del pivot de la fila superior.
En general, la forma escalonada por filas de una matriz no es única. Es decir, una
matriz puede ser equivalente por filas a más de una matriz escalonada por filas.
Ejemplo de esta situación son las siguientes matrices:
 1 2 3 4
 1 1 0 2

 F1 → F1 − F2


 0 1 3 2  →  0 1 3 2 
 0 0 0 0
0 0 0 0




Ambas matrices son equivalentes y escalonadas por filas.
Veamos ahora cómo este concepto se aplica a la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales mediante el método de eliminación de Gauss.
Recuerde que los
sistemas equivalentes
son aquellos que
poseen las mismas
soluciones.
Con éste, resolver un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se reduce a
hallar un sistema escalonado por filas equivalente cuyas soluciones se
encuentran fácilmente por "sustitución inversa”. Es decir, se trabaja con la matriz
ampliada del sistema y se realizan operaciones elementales por fila hasta escalonar la
matriz de los coeficientes. Luego, se escribe el sistema obtenido, se despeja una de las
incógnitas de la última ecuación no nula y se la reemplaza en la ecuación anterior, así
sucesivamente hasta encontrar la solución del sistema.
El Método de Eliminación de Gauss para resolver el sistema AX= B, consiste en
obtener otro sistema A’ X = B’ equivalente, donde A’ es una matriz escalonada por fila.
Para comprender mejor los pasos del método, nada mejor que analizarlo en un ejemplo.
n Ejemplo 4.15
Resolvemos los siguientes sistemas usando el método de Eliminación de Gauss.

a +
b + c= 4
a)  9a + 3 b + c = 9
 25a + 5 b + c = 18
 2x1 − 4 x 2 − x 3 = 0

+ x3 = 2 .
c) 2/3 x1

− 4 x2 − 4 x3 = − 6

 x + y + z= 2

b)  x − y + z= − 9
2x +
2z= 1

223
Solución

a +
b + c= 4
a)  9a + 3 b + c = 9
 25a + 5 b + c = 18
En primer lugar debemos construir la matriz ampliada. En este caso tenemos:
 1 1

 9 3
 25 5

1
1
1
4 

9 
18 
Nuestro objetivo es escalonar la matriz de coeficientes por medio de
operaciones elementales por fila, aplicadas a toda la matriz ampliada para no
alterar el sistema de ecuaciones inicial.
Cuando se realiza una secuencia
distinta de operaciones por filas
es muy probable que la forma
escalonada sea diferente, pero
sigue siendo un sistema
equivalente, es decir, con las
mismas soluciones.
Observe que el rango de la
matriz de coeficientes es igual
al rango de la ampliada, e igual
a la cantidad de incógnitas, por
lo que el sistema es Compatible
Determinado.
 1

 9
25






1
3
5
1 4
F2 → F2 + (-9)F1

→
1 9  
1 18 
1
1
1
4

F3 → (−1)F3
0
−6
−8 − 27  
→

0 −20 −24 − 82 
 1 1 1

6
8
 0
 0 20 24

 1
1
1
4
F3 → F3+ (−25)F1


−
−
−
→
0
6
8
27

 
 25

5
1
18


 1
1
1
4


F2 → (−1)F2
→
 0 −6 −8 − 27  
 0 20 24 82 


4
F3 → (-6)F3 + (20)F2

27  

→
82
1
1 1 1 4 
 1
F2 →
F2


6 →  0

0
6
8
27



 0
0 0 1 3 



 1

 0
 0

1
1
6
8
0 16
1
4
F3 →
F3

16
→
27  
48 
1
1 4 

1 4/3 9/2 
0
1 3 
Escalonada la matriz de coeficientes, escribimos el sistema equivalente:
c= 4
a+ b+

b + 4/3 c = 9/2


c= 3

Se realiza ahora, la sustitución inversa.
De la última ecuación:
c=3
Reemplazamos este valor en la segunda ecuación y despejamos la incógnita
b.
b + (4/3) (3) = (9/2)
⇒
⇒
b + 4 = (9/2) ⇒ b=(9/2) – 4
1
b=
2
Finalmente reemplazamos los valores de c y b en la primera ecuación
y despejamos a.
224
a+
1
+3=4
2
⇒
a=4–3–
1
2
⇒
a=
1
2
Conclusión
La única solución del sistema es:
 a   1/2 

 

 b  =  1/2 
 c   3 

 

El sistema es Compatible Determinado.
Recuerde que este sistema no
pudimos resolverlo usando la
Regla de Cramer, en el ejemplo
4.13, apartado b)
 x + y + z= 2

b)  x − y + z= − 9
2x +
2z= 1

 1 1 1

La matriz ampliada es  1 −1 1
 2 0 2

2 

−9  .
1 
Buscamos escalonar la matriz de coeficientes.
Las operaciones por fila se
aplican a toda la fila de la
matriz ampliada para no
alterar la solución del
sistema.
Observe que el rango de
la matriz de coeficientes
es 2 y el de la matriz
ampliada es 3. El sistema
es Incompatible.
 1 1

 1 −1
 2 0

 1 1 1 2 
1 2

 F2 → F2 +(−1)F1
 F3 → F3 +(−2)F1
1 −9  
→  0 −2 0 −11  
→
 2 0 2 1 
2 1 


 1 1

 0 −2
 0 −2

1
0
0
 1 1
2 

 F3 → F3 +(−1)F2
−11  
→  0 −2
 0 0
− 3 

1
0
0
2

−11 
8 
Si bien la matriz de coeficientes no está escalonada, podemos advertir que el
sistema es Incompatible ya que la última ecuación 0 = 8 no se verifica
para ningún conjunto de valores de las incógnitas, pues es una contradicción.
 2x1 − 4 x 2 − x 3 = 0

+ x3 = 2 .
c) 2/3 x1

− 4 x2 − 4 x3 = − 6

r (A ) = r (A* ) = 2 mientras que
n = 3. Por lo tanto el sistema es
Compatible Indeterminado.
 2 −4 −1 0 

 F2 → (−3) F2 + F1
1
2  
→
2/3 0
 0 −4 −4 −6 
2 −4 −1 0 

 F3 → F3 − F2
0 −4 −4 −6  →
0 −4 −4 −6 
2 −4 −1 0 
F2 → (−1)F2


→
0 −4 −4 −6  
0 0
0
0 
2 −4 −1

0 4 4
0 0 0
1
0
F2 →
F2
4

6  →
0 
225
2 −4 −1

1
1
0
0 0 0
1
0 
F1 →
F1
2

3/2  →
0 
 1 −2 −1/2

1
1
0
0 0
0
0 

3/2 
0 
La matriz de coeficientes está escalonada, el sistema equivalente es:
 x1 − 2x 2 − (1/2)x 3 = 0

x2 +
x 3 = 3/2

La cantidad de incógnitas
menos el rango determinan
la cantidad de incógnitas
libres.
Como el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el sistema tiene tres
incógnitas, entonces tenemos una incógnita libre, es decir, que puede tomar
cualquier valor. Elegimos x3 como incógnita libre.
Despejamos la incógnita x2 de la segunda ecuación:
x2 =
3
– x3
2
Luego reemplazamos esta expresión en la primera ecuación y despejamos
x1.
3
2
x1 – 2 ( – x3 ) –
Todas las incógnitas
deben expresarse en
términos de la o las
variables libres.
Las definiciones de
Combinación lineal e
Independencia lineal
se vieron en la
Sección 4.2.2.2
1
x3 = 0
2
⇒ x1 – 3 + 2x3 –
1
x3 = 0
2
3
2
⇒ x1 = 3 – x3
La solución es:


S = (x1 , x 2 , x 3 ) = ( 3 −
3
3

x 3 , − x 3 , x 3 ) con x 3 número real cualquiera 
2
2

Utilicemos ahora este método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, para
analizar otro ejemplo de combinación lineal e independencia lineal.
n Ejemplo 4.16
Es la matriz fila (1 3 0) combinación lineal de las siguientes matrices 1x3:
(1 1 0), (-1 2 1) y (1 1 -1) ?
Solución
Para responder a esto, deben existir escalares a, b y c tal que
(1 3 0) = a (1 1 0) +
b (–1 2 1) + c (1 1 –1)
Esta igualdad de matrices puede transformarse en el sistema de tres ecuaciones
lineales con tres incógnitas:
 a − b + c=1

 a + 2b + c = 3

b − c=0

Es decir que para analizar la combinación lineal debemos resolver este sistema.
Como vamos a aplicar el método de Eliminación de Gauss, nuestro objetivo es
226
escalonar la matriz de coeficientes, utilizando operaciones elementales por fila a
la matriz ampliada.
Observe: las columnas de
la matriz de coeficientes
son los vectores fila
dados.
El rango de A es 3, al igual
que el de la matriz ampliada.
También el número de
incógnitas es tres, por lo que
el sistema es compatible
determinado.
 1 −1 1

 1 2 1
 0 1 −1

1
 1 −1 1
 F2 → F2 + (−1)F1

3  →  0 3 0
 0 1 −1
0 

 1 −1 1

 0 1 −1
 0 3 0

1
 1 −1 1 1  F → 1 F
 F3 → F3 + (−3)F2

 3
3 3→
0  
→  0 1 −1 0  
 0 0 3 2
2 


 1 −1 1

 0 1 −1
 0 0 1

1

0
2/3 
1
 F3 ↔ F2
2  →
0 
La matriz de coeficientes está escalonada y el sistema equivalente es:
 a − b + c =1

b−c=0


c = 2/3

Reemplazamos c =
2
en la segunda ecuación y despejamos b.
3
b–c=0
⇒
b=c
⇒
b=
2
3
Finalmente reemplazamos los valores de b y c en la primera ecuación
y despejamos a.
a–
2
2
+
=1⇒
3
3
Por lo tanto, (1 3 0 ) = 1(1 1 0 ) +
a=1
2
2
(–1 2 1) +
(1 1 –1), es
3
3
decir es combinación lineal de los vectores fila dados.
n Ejemplo 4.17
¿Son las matrices filas (1 1 0), (–1 2 1) y (1
apartado anterior, linealmente independientes?
1 –1) dadas en el
Solución
Para responder esta pregunta debemos ver si la combinación lineal siguiente
tiene como única solución la trivial.
(0 0 0) = a(1 1 0) + b(–1 2 1) + c(1 1 –1)
227
 a − b + c =0

El sistema a resolver es  a + 2b + c = 0

b − c =0

Utilicemos el método de Eliminación de Gauss.
Observe: Las columnas
de la matriz son las
matrices filas dadas.
 1 −1 1

 1 2 1
 0 1 −1

0  F → F + (−1)F
 1 −1 1
 2

2
1
0  
→ 0 3 0
 0 1 −1
0 

0 F ↔ F
 3
2
0  →
0 
 1 −1 1

 0 1 −1
 0 3 0

0  F → F +(−3)F
 1 −1 1
3
2
 3

0  →  0 1 −1
 0 0 3
0 

0 F → 1 F
 3
3 3→
0  
0 
 1 −1 1

 0 1 −1
 0 0 1

0

0
0 
La matriz de coeficientes está escalonada y se observa que r(A) = r(A*) = 3,
por lo que el sistema es Compatible Determinado. Como el sistema es
homogéneo, entonces la única solución es la trivial y se concluye que las
matrices fila son linealmente independientes.
Como resultado importante a partir de este ejemplo, podemos decir que para ver si las
filas o columnas de una matriz son linealmente independientes, basta con escalonarla y
ver si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el número de incógnitas.
4.3.4 - Método de Gauss – Jordan
Constituye una variante del método de eliminación de Gauss. La diferencia consiste en
que no basta con escalonar la matriz de coeficientes, sino que se debe continuar
trabajando hasta lograr reducirla. De esta manera, se obtiene un sistema equivalente
cuyas soluciones son muy fáciles de obtener. En éste, no es necesaria la “sustitución
inversa” que realizamos al final del método de Eliminación de Gauss.
El Método de Gauss - Jordan para resolver el sistema AX=B, consiste en obtener otro
sistema A’ X = B’ equivalente, donde A’ es la reducida de A.
228
n Ejemplo 4.18
Retomamos los tres sistemas que resolvimos por Eliminación de Gauss y los
resolvemos ahora por el método de Gauss – Jordan. Compare Usted el
desarrollo del ejemplo 4.15 con el que realizamos a continuación.
 2x1 − 4 x 2 − x 3 = 0

c) 2/3 x1
+ x3 = 2

− 4 x2 − 4 x3 = − 6

 a + b+c=4

a)  9a + 3b + c = 9
 25a + 5b + c = 18

 x + y + z= 2

b)  x − y + z= − 9

2z= 1
2x +
Solución


a + b+c=4
a)  9a + 3b + c = 9
 25a + 5b + c = 18

Como antes, en primer lugar debemos construir la matriz ampliada.
 1 1 1 4 


 9 3 1 9 
 25 5 1 18 


Ahora debemos reducir la matriz de coeficientes, aplicando las operaciones
por fila a la matriz ampliada, para que el sistema que obtengamos sea
equivalente al dado.
 1

 9
25

1
3
5
1 4
F2 → F2 + (-9)F1

1 9  
→
1 18 
 1
1
1
4
F3 → (-1)F3


0
-6
-8
27
→

 
 0 -20 -24 - 82 


 1 1 1

6
8
 0
 0 20 24

Observe: El rango de la matriz
de coeficientes es igual al rango
de la ampliada, e igual a la
cantidad de incógnitas, por lo
que el sistema es Compatible
Determinado.
 1

 0
25

1
-6
5
1
4
F3 → F3 + (-25)F1

-8 - 27  
→
1 18 
 1
1
1
4
F2 → (-1)F2


0
-6
-8
27
→

 
 0 20 24 82 


4
F3 → (-6)F3 + (20)F2

27  

→

82
 1

 0
 0

1
6
1
8
0 16
1
4
F3 → F3

16
27  
→
48 
1 1 1

0 6 8
0 0 1

4
F2 → F2 + (-8)F3

27  
→
3 
1 1 1

0 6 0
0 0 1

4
F1 → F1 + (-1)F3

3  
→
3 
1 1 0

0 6 0
0 0 1

1
1
F2 → F2

6
3 
→

3
1 1 0

0 1 0
0 0 1

1 
F1 → F1 + (-1) F2

1/2  

→
3 
229
1 0 0

0 1 0
0 0 1
1/2 

1/2 
3 
El sistema equivalente es:
Compare este resultado con
el obtenido con el Método de
Eliminación de Gauss.
 a = 1/ 2

 b = 1/ 2
 c=3

El sistema es Compatible Determinado, es decir tiene única solución
S = { (a, b, c) = (
1 1
, , 3) }
2 2
 x + y + z= 2

b)  x − y + z= − 9
2x +
2z= 1

 1 1

La matriz ampliada es  1 −1
 2 0

1
2

1 −9  .
2 1 
Buscamos reducir la matriz de coeficientes.
 1 1

 1 –1
 2 0

2
F2 → F2 +(-1)F1

1 –9  

→
2
1 
 1 1

 0 –2
 0 –2

1
1
 1 1 1

 0 –2 0
 2 0 2

 1
2
1
F3 → F3 +(–1)F2


0 –11  
→  0 –2
 0
0 –3 
0

2
F3 → F3 +(–2)F1

–11 
→
1
1
2

0 –11 
0
8 
Es importante destacar que no es necesario llegar a la reducción de la matriz
de los coeficientes, ya que en la triangulación queda claro que el sistema no
tiene solución. El rango de la matriz de coeficientes es distinto del de la
ampliada. El sistema es Incompatible.
 2x1 − 4 x 2 − x 3 = 0

+ x3 = 2 .
c) 2/3 x1

−
4
x
−
4 x3 = − 6
2

230
 2 −4 −1 0 

 F2 → (−3) F2 + F1
1
2  
→
2/3 0
 0 −4 −4 −6 
2 −4 −1 0 

 F3 → F3 − F2
0 −4 −4 −6  →
0 −4 −4 −6 
2 −4 −1 0 
F2 → (−1)F2


→
0 −4 −4 −6  
0 0
0
0 
2 −4 −1

0 4 4
0 0 0
0
 F1 → F1 + F2
6  →
0 
2 0 3

0 4 4
0 0 0
r ( A ) = r ( A* ) = 2 mientras
que n = 3. Por lo tanto el
sistema es Compatible
Indeterminado.
1
6
F2 →
F2
4

6  →
0 
2 0 3

0 1 1
0 0 0
6 

3/2 
0 
Como el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el sistema tiene tres
incógnitas, entonces tenemos una incógnita libre, es decir, que puede tomar
cualquier valor. En otras palabras, para encontrar el conjunto solución
debemos despejar x1 y x2 en términos de la incógnita libre x3.
Siempre se debe despejar en
término de las mismas
incógnitas
Siempre que el sistema sea
Indeterminado se debe dar
una expresión para el
conjunto solución
x1 = 3 –
3
x3
2
; x2 =
3
– x3 ;
2
x3 libre
El conjunto solución es:
Compare este resultado
con el obtenido con el
método de Eliminación de
Gauss.
3
3


S = (x1 , x 2 , x 3 ) = ( 3 − x 3 , − x 3 , x 3 ) con x 3 número real cualquiera 
2
2


El próximo ejemplo muestra cómo trabajar con un sistema de ecuaciones que contiene
un parámetro. Dependiendo de los valores que éste tome serán las soluciones que el
sistema tendrá. Este tipo de ejemplos ayudan a la mejor comprensión de los conceptos
teóricos.
n Ejemplo 4.19:
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones considerando los distintos valores
de k.
 x+ y + z=2

 3x + 2y − z = 4
 −2x + y + kz = 2

Solución
Vamos a trabajar con el Método de Gauss – Jordan, por lo que debemos
construir la matriz ampliada del sistema y luego realizando operaciones
elementales por fila, reducir la matriz de coeficientes.
(–3)F1: -3
F2:
–3
–3 – 6
3
2
–1
0
–1
–4 –2
4
(2)F1: 2
2
2
4
F3: –2
1
k
2
0
3
2+k
6
 1

 3

 −2







1 1
2 −1
1 k
1 1
0 −1
0 3
2  F → F + ( −3)F
 2
2
1
4  
→

2
1
2
 F3 → F3 + 3F2
−4 −2  
→


6
2+k

 1

 0

 −2







1 1
−1 −4
1 k
1 1
0 −1
0 0
2
 F3 → F3 + 2F1
− 2  
→

2 
1
2
 F2 → ( −1)F2
−4
−2  
→


0
−10 + k

231
(3)F2: 0
–3
–12
–6
F3: 0
3
2+k
6
0 –10+k
0
0
Recuerde que la
división por cero no
está definida






1
0
0
1
1
1
4
0 −10 + k
 1
2
 F1 → F1 +( −1)F2

2  
→ 0

 0
0 

0
−3
1
4
0
−10 + k
0

2
0 
(1)
Ahora, para continuar la reducción debemos hacer un 1 en la fila 3, columna 3.
Para ello debemos dividir la fila 3 por –10 + k, pero esto es sólo posible si
–10 + k ≠ 0.
1) Si –10 + k ≠ 0, entonces r(A) = r(A*) = 3 = n, por lo que el sistema
tendrá única solución. Ésta se obtiene continuando la reducción:






1 0
−3 0  F → 1 F  1
 3
−10 + k 3
0 1
4
2  
→  0


 0
0 0 −10 + k 0 






1
0
0
0 −3 0 
F2 →F2 +( − 4)F3

1 4 2  
→

0 1 0 

0 −3 0 
 F1 →F1 + (3)F3
1 0 2  →

0 1 0 
 1

 0
 0

0
0
1
0
0
1
0

2
0 
La matriz de coeficientes está reducida y el sistema equivalente es:
 x= 0

 y= 2
 z= 0

por lo que la única solución es ( x , y , z ) = ( 0 , 2 , 0 )
2) Si –10 + k = 0 en (1), es decir, si k = 10 tenemos:
 1

 0
 0

0 −3
1
4
0
0
0 

2 
0 
La matriz está reducida y el r(A) = r(A*) = 2. Como tenemos tres
incógnitas n > r(A) y el sistema es Compatible Indeterminado. Tiene
infinitas soluciones.
Para conocer la expresión del conjunto solución trabajamos con el sistema
equivalente obtenido:
 x − 3z = 0

 y + 4z = 2
Como la cantidad de incógnitas menos el rango es 1, entonces tenemos una
incógnita libre. Despejemos x e y en término de la incógnita libre z.
x=3z
y=2–4z
z = libre
El conjunto solución es
S = { (x, y, z) = ( 3z, 2 − 4z, z) con z número real cualquiera }
232
Conclusión
Si –10 + K ≠ 0 el sistema es Compatible Determinado y la única solución
es:
S = { (x, y, z) = (0, 2, 0)}
Si –10 + k = 0 el sistema es Compatible Indeterminado y el conjunto
solución es:
S = { (x, y, z) = (3z, 2 − 4z, z) con z número real cualquiera }
No existe valor de k para el cual el sistema sea Incompatible.
• Resuelva todos los sistemas discutidos en la sección anterior por cualquiera
de los métodos vistos.
Finalmente, para concluir el estudio de sistemas de ecuaciones lineales damos el
enunciado de tres teoremas que resumen y formalizan algunos de los comentarios
realizados.
Teorema 4.9:
1. Si el número de ecuaciones es mayor o igual que el número de variables en un
sistema de ecuaciones lineales, entonces una de las siguientes posibilidades es
cierta:
a) El sistema no tiene solución (Incompatible)
b) El sistema tiene exactamente una solución (Compatible Determinado)
c) El sistema tiene infinitas soluciones (Compatible Indeterminado)
2. Si existen menos ecuaciones que incógnitas en un sistema lineal, entonces el
sistema o bien carece de solución o tiene infinitas soluciones.
Teorema 4.10 (Soluciones de sistemas lineales homogéneos)
1. Un sistema homogéneo tiene sólo la solución trivial, o bien tiene infinitas soluciones.
2. Un sistema lineal homogéneo tiene infinitas soluciones siempre y cuando posea
variables libres.
3. Un sistema lineal homogéneo de más incógnitas que ecuaciones tiene infinitas
soluciones.
233
Teorema 4.11 (Unicidad de soluciones)
1. Un sistema lineal compatible tiene solamente una solución si y sólo si no tiene
variables libres.
2. Un sistema lineal consistente tiene solamente una solución siempre y cuando cada
columna de la matriz aumentada, excepto la última, contenga un pivot.
REPASO TEÓRICO – Sección 4.3
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. Mencione los métodos de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales estudiados.
8. ¿Qué tipo de solución admite un sistema que
tiene variables libres?
2. ¿Cuándo es aplicable el método de la matriz
inversa?
9. ¿Cómo calcula la cantidad de incógnitas libres de
un sistema de ecuaciones?
3. ¿Cuándo es aplicable la Regla de Cramer?
10. Las filas (o columnas) de la matriz de coeficientes
de un sistema 3x3 invertible, ¿son linealmente
independientes?
4. ¿Cuáles métodos son aplicables a cualquier sistema
de ecuaciones lineales?
5. ¿Cuándo una matriz es escalonada por filas?
6. La escalonada por filas, ¿es única?
7. ¿Qué diferencia existe entre el método de
Eliminación de Gauss y el de Gauss– Jordan?
11. Si un sistema no homogéneo tiene m ecuaciones
lineales y n incógnitas con m > n, ¿qué tipo de
soluciones puede admitir? ¿y si m < n?
12. Si un sistema homogéneo tiene m ecuaciones
lineales y n incógnitas con m > n, ¿qué tipo de
soluciones puede admitir? ¿y si m < n?
EJERCICIOS – Sección 4.3
Resuelva los siguientes sistemas utilizando el método
de la matriz inversa. En caso de no poder aplicarlo,
explique por qué.
 2x + y − z = 0

1.  x − y − z = 0
 3x − 2y − z = 0

 a+ b − c= 2
 −a + 3b + 4c = − 1
2. 
234
x + 3y + 3z = 1


3.  − x + y + 10z = 2
 − 2x − 2y + 7z = 1

 − x + z = −1

4.  y − 2z = 3
 x + y= 2

Resuelva los siguientes sistemas utilizando la
Regla de Cramer. En caso de no ser posible aplicar
este método, explique por qué.
 2x + y − 2z + t = 2

5. 
3y +
t =1
 x
−
+
z
3t
=0



6. 


3a + 2b − c = 0
2a + 2b − 2c = − 1
b+ c= 3
 5x − 6y = 4

7.  2x + 3y − z = 1
12x − 9y − z = 9

 x + y +z=2

8.  − x − y + z = 0
 x + 2z = 5

9. Resuelva los sistemas del 1 al 8 por el método de
Eliminación de Gauss. Realice las etapas de
discusión y resolución.
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
por el método de Gauss – Jordan:
 4x + 3y = 4
 2x − 3y = 7
10. 
 3a + 2b − c = 7

11.  2a − 4b + c = 2
 − a + 3b − c = 0

 x + y + z =1
 x −y −z=0
12. 
 4x − y + z = 3
 − 2x + 6y − 9z = 1

13. 
x + 4y − 2z = 10


x + y − 5z = 3
14. Encuentre, si existen, los valores de K para los
 x − 3 y + 5z = 2

cuales el sistema  2x − 4 y + 2z = 1
 5x − 11y + 9z = k

c) No tiene solución.
15. Encuentre el o los valores de k para que el sistema
x + 2y
=0
4x − 6y + z = 0 tenga única solución.
5x − y + kz = 0





 2
16. Analice si  −2  es combinación lineal de:
 5
 
 3  0 
 0
   
 
 2 ,  4  y  0
 −1   −5 
 −3 
   
 
Indique si las siguientes matrices son linealmente
independientes:
 3  0   0 
17.  2  ,  4  ,  0 
 −1   −5   −3 
     
 2 1 
0
 −1   0 
1 
18.   ,   y  
 0 5
3
   
 
 0 0
0
Resuelva los siguientes sistemas por el método que
considere más adecuado:
 x + 3y = 0
=6
 4x
19. 

20. 
− y+ w = 0
 x + y + 4w = 0
 2x + 2y + 6z = 0

21.  x + 2y + 3z = 0
 x + 2y + 3z = 0

z=0

 2x + 3z = 0

22. 
−y=0

 4y + z = 0
23. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los
puntos (4, 0, 0), (0, 2, 0) y (0, 0, 4).
[Ayuda: determine los valores de a, b y c en la ecuación:
a x + b y + c z=1].
a) Tiene única solución.
b) Tiene Infinitas soluciones.
235
4.4 – APLICACIONES
Como vimos en la Sección 2.4, existen diferentes etapas que conviene seguir cuando se resuelve un problema de
aplicación. Brevemente, estas son:
•
Leer el problema detenidamente.
•
Definir las incógnitas en forma precisa.
•
Representar matemáticamente el problema (en nuestro caso con un sistema de ecuaciones).
•
Resolver el sistema por el método más adecuado.
•
Interpretar las soluciones.
•
Adecuar las soluciones al problema que se está resolviendo.
Los inconvenientes que suelen presentarse en la resolución de un problema, se deben,
en general, a la presencia de dificultades en una o varias de estas etapas. Por ello, es
importante efectuar previamente, un buen análisis del problema, seguir rigurosamente el
método utilizado para su resolución y realizar una comprobación de la solución
encontrada.
Mostramos ahora, algunos problemas de aplicación, cuyo estudio requiere modelar
usando sistemas de ecuaciones.
n Ejemplo 4.20:
Un supermercado mayorista ha puesto en promoción tres lotes de artículos de
librería. El lote A incluye 12 resmas de papel, 16 cuadernos y 8 cajas de
lapiceras; el lote B contiene 20 resmas de papel, 12 cuadernos y 28 cajas de
lapiceras, mientras que el lote C contiene 32, 28 y 36 unidades
respectivamente. Un comerciante minorista desea aprovechar la oferta para
comprar 220 resmas de papel, 264 cuadernos y 176 cajas de lapiceras.
Determine todas las combinaciones posibles de unidades de los lotes A, B y C
que satisfagan exactamente los requerimientos del comerciante.
Definición de Incógnitas
A: cantidad de lotes A a comprar
B: cantidad de lotes B a comprar
C: cantidad de lotes C a comprar
236
Planteo del Problema
Cantidad en
el lote B
Cantidad en
el lote C
 12A + 20B + 32C = 220 ← Resmas de papel

 16A + 12B + 28C = 264 ← Cuadernos
 8A + 28B + 36C = 176 ← Cajas de lapiceras

Cantidad en
el lote A
Representación matemática
del problema
Solución
Usamos Gauss- Jordan:
12 20 32
16 12 28

 8 28 36
220 
264 

176 
Dividimos cada una de las filas por 4 para trabajar con números más pequeños.
 3 5 8 55 

F2 →3 F2 + (−4) F1
 4 3 7 66  

→



 2 7 9 44 

3
5
8 55
F3 → 3F3 +(−2)F1
0 −11 −11 − 22 
→
2
7
9 44 
5
8 55 
 3
F3 → F3 + F2
 0 −11 −11 −22  
→


 0
11 11 22 




55  F → − 1 F
2
2
11
0 −11 −11 − 22  
→

0
0
0
0
3
5
8
 3 5 8 55 
 3 0 3 45  F → 1 F
1
1
F1 → F1 + ( − 5)F2
0 1 1 2  
3 →
→ 0 1 1 2  




0 0 0 0 
0 0 0 0 
 1 0 1 15 
0 1 1 2 


0 0 0 0 
El sistema equivalente es:
+ C = 15
A

+C= 2
B


0= 0

237
Este sistema tiene infinitas soluciones. Como consecuencia, el sistema es
Compatible Indeterminado. La forma general de la solución que se obtiene
despejando A de la primera ecuación y B de la segunda
(A, B, C) = (15 – C, 2 – C, C) ; con C libre.
Pero debemos tener en cuenta que:
A: representa la cantidad de lotes A a comprar
B: representa la cantidad de lotes B a comprar
C: representa la cantidad de lotes C a comprar
Es decir, A, B y C sólo pueden tomar valores naturales, por lo que la solución
para el problema es:
(A, B, C) = (15 – C, 2 – C, C)
con C = 0, 1, 2 ya que si C ≥ 3, por
ejemplo, B resulta negativo.
Conclusión
Si C = 0
compramos 15 lotes A, 2 lotes B y ningún lote C
Si C = 1
compramos 14 lotes A, 1 lote B y 1 lote C.
Si C = 2
compramos 13 lotes A, ningún lote B y 2 lotes C.
n Ejemplo 4.21
Una fábrica de bicicletas elabora tres modelos: estándar para mujer, estándar
para hombre y de carrera. Cada uno de ellos debe pasar por la sección de
fabricación, luego por la de pintura y finalmente por la de acabado. Una bicicleta
estándar para mujer requiere de 3, 1 y 8 horas respectivamente en cada
sección. Cada bicicleta estándar de hombre necesita 2, 3 y 3 horas
respectivamente, y las de carrera de 2, 4 y 2 horas respectivamente. La fábrica
dispone de 800 horas de fabricación, 1200 horas de pintura y 1200 horas de
acabado por semana. ¿Cuántas unidades de cada modelo de bicicleta pueden
elaborarse semanalmente, si se utiliza todo el tiempo disponible en las
secciones?
Definición de Incógnitas
x : cantidad de bicicletas para mujer a fabricar semanalmente
y : cantidad de bicicletas para hombre a fabricar semanalmente
z : cantidad de bicicletas de carrera a fabricar semanalmente
238
Planteo del Problema
 3x + 2y + 2z = 800

 x + 3y + 4z = 1200
 8x + 3y + 2z = 1200

Se utiliza un sistema de ecuaciones para modelar el problema, pues el
enunciado afirma que se deben utilizar todas las horas disponibles en cada una
de las secciones.
Solución
Elegimos Gauss – Jordan para resolverlo:
3 2 2

1 3 4
8 3 2

800 

1200 
1200 
F1 ↔ F2
→
1 3 4

3 2 2
8 3 2

 1 3
4
1200 


F3 → ( − 8)F1 + F3
→
 0 −7 −10 − 2800  
 8

3
2
1200


1200 
 F2 → ( −3)F1 + F2
800  →
1200 
 1
3
4

 0 −7 −10
 0 −21 −30

1200 

− 2800 
− 8400 
 1 3
4 1200 
1 3
4
1200 

 F2 → (-1 / 7)F2 

0 −7 −10 −2800  
→  0 1 10/7
400 
0 0
 0
0
0 
0
0
0 


F → (-3)F + F
3
2
3


→ 
 1 0 −2/7



→  0 1 10/7
 0 0
0

F1 → (-3)F2 + F1
0 

400 
0 
La matriz de coeficientes A está reducida y r(A) = r(A*) < n = 3. El sistema
tiene infinitas soluciones. Es Compatible Indeterminado.
Buscamos las infinitas soluciones en:
2

− z=0
 x
7

10

y +
z = 400

7

0=0

El conjunto solución es:


S =  (x, y, z) = (
2
10

z , 400 − z , z ) con z un número real 
7
7

Si bien esta es la solución matemática, no podemos perder de vista que las
incógnitas en nuestro problema representan cantidades de bicicletas a fabricar,
por lo que sólo pueden tomar valores naturales.
Entonces, analizamos cada una de las incógnitas:
239
x = (2/7) z
de la cual deducimos que z debe ser un múltiplo de 7
para que x tome un valor entero positivo.
y = 400 – (10/7)z
por lo que z de satisfacer además que 400 – (10/7)z ≥ 0
Despejando z de la desigualdad planteada, resulta que z = 280.
Considerando todas las condiciones encontradas para z, establecimos que esta
incógnita debe ser un número natural, múltiplo de 7 y menor o igual a 280.
Conclusión
A modo de ejemplo consideramos algunos de los valores que puede tomar z:
• Si z = 7 podemos fabricar semanalmente 2 bicicletas para mujeres, 390
bicicletas para hombre y 7 bicicletas de carrera.
• Si z = 14 podemos fabricar 4, 380 y 14 bicicletas de cada modelo
respectivamente.
• Si z = 21 podemos fabricar 6, 370 y 21 bicicletas de cada modelo
respectivamente.
• Si z = 28 podemos fabricar 8, 360 y 28 bicicletas de cada tipo.
De la misma manera, se puede calcular la cantidad de bicicletas de cada modelo a
fabricar para cada uno de los restantes valores de z que satisfacen la condición
encontrada.
n Ejemplo 4.22
Un dietista está planeando una comida. Desea que conste de tres tipos de
alimento y que satisfaga las necesidades diarias mínimas (NDM) de tres
vitaminas. La siguiente tabla resume el contenido de unidades de vitamina por
gramo de cada tipo de alimento.
Tipo de Alimento
Vitamina A
Vitamina B
Vitamina C
1
1
2
1
2
1
4
3
3
1
12
11
13
44
31
NDM
Queremos determinar todas las combinaciones de los tres alimentos que
satisfagan exactamente las necesidades diarias mínimas de las tres vitaminas.
240
Definición de Incógnitas
x : cantidad de alimento 1, en gramos.
y : cantidad de alimento 2, en gramos.
z : cantidad de alimento 3, en gramos.
Planteo del Problema
 x + y + z = 13

 2x + 4y + 12z = 44
 x + 3y + 11z = 31

Solución
Resolvemos este sistema por el método de Gauss-Jordan
1 1 1

 2 4 12
 1 3 11

13 
1 1 1
 F2 → (-2) F1 + F2 
44  →  0 2 10
 1 3 11
31 

13 
 F3 → (-1) F1 + F3
18  
→
31 
1 1 1

 0 2 10
 0 2 10

13 
1 1 1


F3 → (-1) F2 + F3
18  →  0 2 10
0 0 0
18 

13 

F2 → (1 / 2) F2
18  
→

0
1 1 1

0 1 5
0 0 0

13 
1 0


F1 → (-1) F2 + F1
9  →  0 1
0 0
0 

4

9
0 
−4
5
0
La matriz de coeficientes A está reducida. El sistema equivalente es:
 x − 4z = 4

 y + 5z = 9
Despejando x de la primera ecuación y la incógnita y de la segunda tenemos:
 x = 4 + 4z

 y = 9 − 5z
La incógnita z es libre, puede tomar cualquier valor real, por lo que el sistema
tiene infinitas soluciones. Es Compatible Indeterminado.
La solución general es:
S = { ( x , y , z ) = ( 4 + 4 z , 9 − 5 z , z ) con z número real }
Ahora debemos analizar si todas estas soluciones satisfacen las condiciones de
nuestro problema. Como las incógnitas representan cantidades de comida en
gramos, pueden tomar cualquier valor real no negativo.
241
Si z es un número real mayor o igual a cero, claramente x = 4 + 4z también lo
es. No ocurre lo mismo con y = 9 – 5z, para ésta debemos establecer la
condición 9 – 5 z ≥ 0. Despejando tenemos que z ≤ 9 .
5
Conclusión
Las combinaciones de las tres comidas que cumplen con el requerimiento
mínimo de las tres vitaminas son las que verifican:
( x , y , z ) = (4 + 4 z , 9 – 5 z , z ) con 0 ≤ z ≤
9
5
n Ejemplo 4.23
Una empresa de alquiler de juegos para eventos infantiles dice que en el mes
anterior por el alquiler de 3 juegos A, 2 juegos B y 5 juegos C obtuvo $2245,
mientras que en el mes actual por el alquiler de 4 juegos tipo A, 3 del tipo B y 7
del C obtuvo $3160. Tiene ya contratados para el mes próximo 6 juegos del
tipo A, 5 del tipo B y 11 del C.
a) ¿Se puede saber cuánto obtendrá por dichos alquileres el próximo mes?
b) Si el gerente de la empresa afirma que ganará $5000, ¿está diciendo la
verdad?
c) ¿Se puede saber a qué precio se está alquilando cada juego, si la suma de
los tres alquileres es de $715?.
Definición de Incógnitas
x : precio por alquiler de juegos tipo A.
y : precio por alquiler de juegos tipo B.
z : precio del alquiler de juegos tipo C.
Planteo del Problema
 3x + 2y + 5z = 2245

 4x + 3y + 7z = 3160
 6x + 5y + 11z = k

donde k es el parámetro desconocido y representa el importe total que
percibirá por el alquiler el mes próximo.
242
Solución
Resolvemos por el método de Gauss – Jordan. La matriz ampliada es:
 3

 4
 6

5 2245 

3 7 3160 
5 11 k 
2
Reducimos:
 3

 4
 6

2 5 2245 
 F2 → 3 F2 + ( − 4)F1
3 7 3160  
→
5 11 k 
 3

 0
 6

5 2245 
 F3 → 3 F3 + ( − 6)F1
1 500  
→

5 11 k 
2
1
3 2 5

2245
3 2 5
2245


 F3 → F3 + (-3)F2


500
→ 0 1 1
500
0 1 1
 

 0 0 0 −14970 + 3k 
 0 3 3 -13470 + 3 k 




Para que el sistema admita solución, –14970 + 3k = 0.
Despejando:
k = $4 990
La empresa obtendrá en concepto de alquiler de los juegos infantiles el mes
próximo $ 4990.
Al momento tenemos las respuestas de los apartados a y b. Para contestar
el c) agregamos la condición adicional que indica que la suma de los tres
alquileres es de $715. Simbólicamente:
x + y + z =715
El nuevo sistema a resolver es:
 3x + 2y + 5z = 2245
 4x + 3y + 7z = 3160


 6x + 5y + 11z = 4990
 x + y + z = 715
Usamos Gauss-Jordan:
 3

 4
 6

 1
2
3
5
7
5 11
1 1
2245 

3160  F4 ↔ F1

→
4990 

715 
 1

 4
 6

 3
1
3
1
7
5 11
2 5
715 

3160  F2 → F2 + ( − 4) F1

→
4990 

2245 
243
 1 1 1

 0 −1 3
 6 5 11

 3 2 5

715 
 1 1


300  F3 → F3 − 6 F1  0 −1

→
 0 −1
4990 



2245 
 3 2
 1 1

 0 −1
 0 −1

 0 −1
715 

300  F3 → F3 − F2
→
700 

100 
 1 1

 0 −1
 0 0

 0 −1
715 
1

300  F3 → 2 F3
→
400 

200 
 1 1

 0 −1
 0 0

 0 0
1
3
 1 1
715 


300  F2 → F2 − 3 F3  0 −1
→
 0 0
200 


0
 0 0
1
0
515 

−300  F1 → F1 + F2
→
200 

0
0
0
1
3
5
2
 1 1

 0 −1
 0 0

 0 0
1
3
2
1
 1 1

 0 −1
 0 0

 0 0
1
3
1
0
 1 1

 0 −1
 0 0

 0 0
1

0
0

0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
 1 0

 0 −1
 0 0

 0 0
1
3
5
5
1
3
2
2
1
1
1
0
1
0
715 

300  F4 → F4 − 3 F1

→
700 

2245 
715 

300  F4 → F4 − F2
→
400 

100 
715 

300  F4 → F4 − F3
→
200 

200 
715 

−300  F1 → F1 − F3
→
200 

0
215 

−300  F2 → (−1)F2
→
200 

0
215 

300 
200 

0 
La única solución es: (x, y, z) = (215, 300, 200).
Conclusión
a) La empresa obtendrá en concepto de alquiler de los juegos infantiles el
mes próximo $ 4990.
b) El gerente no dice la verdad, ya que como vimos, el sistema tendrá
solución solamente si k = 4990. En cualquier otro caso el sistema es
Incompatible.
c) La empresa alquila el juego tipo A a $215, el B a $300 y el C a $ 200.
• ¿Se hubieran podido obtener los precios de alquiler de cada juego sin esta
condición adicional? Justifique.
Por último, presentamos un ejemplo de aplicación que al modelarlo nos queda un
sistema de ecuaciones no lineales. No obstante, si lo subdividimos en dos
subproblemas, podemos resolverlo utilizando alguno de los métodos vistos.
244
n Ejemplo 4.24
Un negocio que vende vasos y platos de plástico para fiestas obtuvo el mes
pasado un ingreso de $3200. Si se vendieron en total 1200 artículos y el doble
de platos que de vasos, ¿a qué precio se vendió cada artículo? ¿La solución es
única?
Definición de Incógnitas:
x:
Cantidad de vasos de plástico vendidos.
y:
Cantidad de platos de plásticos vendidos.
Px: Precio de vasos de plástico.
Py: Precio de platos de plástico.
Planteo del Problema
 Px x + Py y = 3200
 Px x + Py y = 3200


x+
y = 1200 que se puede expresar como 
x+
y = 1200



2x = y
y= 0

 2x −
El planteo del problema nos conduce a un sistema no lineal. La primera de las
ecuaciones es de grado 2, pues las incógnitas x e y están multiplicadas por las
incógnitas Px y Py .
Sin embargo, podemos encontrar su solución buscando primero las cantidades
de vasos y platos vendidos, a partir de las dos últimas ecuaciones lineales.
Para resolver el sistema, se
puede usar cualquiera de
los métodos estudiados.
Elegimos Gauss- Jordan.
 x +

 2x −
y = 1 200
y=
0
Solución
Resolviendo:
 1 1

 2 −1
1 1

0 1
1200  F 2 → F2 + (−2) F1  1 1
 → 
0 
 0 −3
1200  F 1 → F1 + (−1)F2  1 0
→
 
800 
0 1
1
1200  F 2 → − 3 F2
→
 
−2400 
400 

800 
La cantidad de vasos vendidos es 400 y la de platos es 800.
Reemplazamos, ahora, estos valores en la primera de las ecuaciones:
400 Px + 800 Py= 3200
como puede advertirse, la solución no es única. Despejamos, una de las
incógnitas:
400 Px = 3200 – 800 Py
⇒ Px = 8 – 2Py
245
Como el precio no puede ser negativo, 0 < Py <4. Descartamos los valores 0 y
4, pues el negocio no regala ni los vasos ni los platos.
Conclusión
La solución del problema no es única. Con la información brindada sólo podemos
conocer la relación que vincula los precios, pero no el valor exacto al cual se
vendieron los vasos y los platos.
Observe: Tanto Px como Py se podrían haber considerado como parámetros y
en tal caso el sistema a resolver sería lineal, de tres ecuaciones con
dos incógnitas.
EJERCICIOS – Sección 4.4
En los siguientes problemas defina las variables,
realice el planteo matemático y resuelva.
1. Una persona posee $ 1175. En total tiene 95
billetes entre los de $5, $10 y $20. Además, la
suma de los de $5 y los de $20 más 10, es igual
al doble de la cantidad de los de $10. ¿Cuántos
billetes de cada denominación posee?
2. Un fabricante de café, expresó a un grupo de
amigos, que mezcló cuatro tipos de granos
obteniendo un compuesto final de 70 kg. El
precio de cada componente era $2, $3, $1 y $2
por kg., ocasionando un costo total de $103. La
mezcla es tal que la cantidad de kg. de granos
de tipo 1 y 2 es la misma, mientras que la de tipo
3 es exactamente el triple de la de granos tipo 4.
¿El fabricante dijo la verdad a sus amigos? De
ser así ¿cuántos kg. de granos de cada tipo se
usaron para la mezcla?
3. Se tiene información de que una agencia de
alquiler de autos empresariales, cuenta con una
flota de 60 móviles en total, compuesto por dos
tipos de transporte con distintas capacidades de
pasajeros. El tipo 1, con capacidad para dos
personas y el tipo 2 para 6. Se sabe además,
que para cubrir la capacidad total de los móviles
246
se necesitan 250 personas y que la cantidad de
autos tipo 1, es el doble de la de tipo 2. Calcule
la cantidad de móviles de cada tipo que tiene la
agencia o muestre que la información es
incorrecta.
4. Un empresario desea comprar 96 acciones de
tipo A, 90 de tipo B y 153 de tipo C. Estas
acciones se venden combinadas en tres grupos.
El grupo I contiene 3 acciones del tipo A, 5 del
tipo B y 4 del C. El grupo II tiene 4 acciones del
tipo A, 2 del B y 7 del C. El grupo III está
formado por 20 acciones del tipo A, 24 del B y
30 del C.
a) Determine, si existen, todas las combinaciones
de unidades a comprar de cada grupo, que
satisfacen los requerimientos del empresario.
b) ¿Existen combinaciones que consideren la
compra de acciones de los tres grupos?
¿Cuáles?
5. Se desea hacer una mezcla con tres materias
primas A, B y C y para ello se puede elegir entre
tres productos de distintas marcas. La marca X
contiene 4 unidades de la materia prima A, 1 de
la B y 5 de la C; la marca Y tiene 2, 1, y 4
respectivamente; y la marca Z tiene 2 unidades
de A, ninguna de B y 1 de C. Si la mezcla es tal
que se necesitan 20 unidades de A, 3 de B y 19
de C, se pide:
a) Encuentre todas las combinaciones posibles
de cantidades de los productos X, Y y Z que
proporcionen de manera exacta la cantidad
requerida para la mezcla.
b) Si la marca X cuesta $2, la marca Y $4 y la
Z $1 ¿existe alguna combinación de las
calculadas en el apartado anterior que cueste
exactamente $13?
c) ¿Cuál es la combinación elegida si del
producto Y usó 2 unidades?
6. Un contratista dispone de 8000 horas de mano
de obra, que desea utilizar en su totalidad, para
distribuir en tres tareas A, B y C. Si el número de
horas para la tarea C es igual a la suma de las
horas requeridas para las otras dos tareas.
a) ¿Cuál es el número de horas que puede
disponer para cada tarea?
b) ¿Es posible destinar 1500 horas para la
primera tarea, 1500 para la segunda y 2000
para la tercera?
7. La siguiente tabla muestra las cantidades de
cereal, en millones de toneladas, exportado
durante los tres últimos años por cierto país.
Años
Cantidades exportadas en
millones de toneladas
Trigo
Maíz
Soja
2002
17
11
17
2003
20
10
20
2004
15
10
15
Por estas exportaciones, se recaudaron 8860
millones de dólares durante 2002 y 9090
durante 2003. Los precios de estos cereales
bajaron en 2003 un 10% respecto del 2002, en
cambio, subieron un 20% en 2004 respecto del
2002.
a) ¿Cuánto dinero, en millones de dólares se
recaudó en el 2004?
b) ¿Cuál fue el precio en dólares, por tonelada
de trigo y maíz en el 2002, si el precio de la
soja fue de 300 dólares la tonelada?¿y en el
2003? ¿y en el 2004?
c) Si se estima que durante el 2005, el precio
de la soja aumentará un 20% respecto del
2004, mientras que los del trigo y maíz
crecerán sólo un 5%, y se mantienen las
cantidades exportadas el último año, ¿cuánto
se espera recaudar?
8. Un supermercado mayorista ha puesto en
promoción tres lotes de artículos de bazar. El lote
A incluye 5 vasos, 3 platos playos y 4 platos
hondos, el lote B contiene 9 vasos, 11 platos
playos y 7 platos hondos, mientras que el lote C
contiene 4, 8 y 3 unidades respectivamente. Un
comerciante minorista desea aprovechar la oferta
para comprar 102 vasos, 162 platos playos y 78
platos hondos.
a) Determine, si existen, todas las combinaciones
posibles de unidades de los lotes A, B y C que
satisfacen exactamente los requerimientos del
comerciante.
b) ¿Existe alguna combinación que no incluya la
compra del lote C?
9. Una persona invirtió 10000 dólares en tres
títulos con tasas anuales del 6, 7 y 8%. El
interés total ganado en el primer año fue de
$690. Si se sabe que el triple del capital invertido
al 6% es igual a cinco veces el capital invertido
al 8%, encuentre el valor invertido en cada título.
10. Una inmobiliaria compra dos casas por
$125000. Vende una de ellas con una ganancia
del 10% y la otra con una pérdida del 6%. Si la
ganancia por la transacción total es de $3860,
calcule el precio de compra de cada casa.
11. La semana anterior, un cliente de un reconocido
supermercado, por tres kilogramos de azúcar y
dos de café pagó $22. Esta semana dicho
negocio ofrece un descuento en ambos
productos. Para el kilogramo de azúcar el
descuento es del 10%.
a) ¿Cuál es el descuento para el café, si por la
misma compra pagaría $20.6, sabiendo que
247
inicialmente el café costaba cuatro veces más
que el azúcar?
b) ¿Cuál fue el precio del azúcar y del café la
semana anterior? y ¿el de esta semana?
12. Un negocio que vende pantalones y camisas
para caballeros obtuvo el mes pasado un ingreso
de $3824.
248
a) Si se vendieron en total 64 artículos y el triple
de camisas que de pantalones ¿a qué precio
se vendió cada artículo? ¿La solución es
única?
b) Y si se sabe que el precio de las camisas es
de $52, ¿cuál es el precio de los pantalones?
Solución del Problema Inicial
Queremos encontrar, si es posible, un Cuadrado Mágico de orden 2. Es decir, una matriz
cuadrada de orden 2, cuyos coeficientes sean los números 1, 2, 3 y 4 y tal que la suma de los
valores de sus filas, sus columnas y sus dos diagonales sean iguales.
Si bien existen desarrollos matemáticos que ayudan a trabajar con los Cuadrados Mágicos,
nosotros usaremos los contenidos de este capítulo para resolver el problema.
Solución
Expresamos la matriz buscada de la siguiente manera:
a b


 c d
Si llamamos M a la constante mágica, para que sea un Cuadrado Mágico debe
cumplirse que:
a+b=M
a+c=M
a+d=M
b+c=M
b+d=M
c+d=M
Es decir, debemos resolver un sistema de 6 ecuaciones con cuatro incógnitas, ya que a
M lo tomamos como un parámetro.
La matriz ampliada es:
 1

 1
 1

 0
 0

 0

1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
M

M
M

M
M

M 
Aplicamos las operaciones elementales por fila para reducir la matriz de coeficientes y
encontrar la solución.
249
Solución










1
0
0
0
0
0
1
−1
−1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
M

0
0
 →
M
M

M 










1
0
0
0
0
0
1
1
-1
-1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
M

M
0
 →
0
M

M 










1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
1
1
2
-1
1
0
0
1
0
1
1
0

M
M
 →
M
0

M 










1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0 1
0 -1
1 1
0 -2
0 2
0 0
M

0
M
 →
-M 
M

0 










1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0 1
0 -1
1 1
0 1
0 2
0 0
M

0
M
 →
M/2 
M

0 










1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
M/2 

M/2 
M/2 

M/2 
0 

0 
El sistema es Compatible Determinado. La única solución es a = b = c = d =
M
.
2
Conclusión
La única solución implica que todos los coeficientes de la matriz deben ser iguales a
M
. Es decir, es imposible construir un Cuadrado Mágico de orden 2 en el que las
2
cuatro cifras sean distintas.
250
REPASO TEÓRICO – CAPÍTULO 4
Verdadero o Falso
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. De ser verdaderas justifíquelas desde la teoría;
caso contrario, de ser posible, dé un ejemplo que muestre su falsedad.
1. Tres matrices son linealmente independientes si
son combinación lineal de la matriz nula.
2. Si la matriz de coeficientes de un sistema de
ecuaciones lineales es invertible, entonces las filas
(o columnas) de la misma son linealmente
independientes.
3. La cantidad de incógnitas libres de un sistema se
obtiene por la diferencia entre la cantidad de
ecuaciones y el rango de la matriz de coeficientes.
4. Si el determinante de la matriz de coeficientes de
un sistema de ecuaciones homogéneo es distinto
de cero, entonces el sistema tiene única solución.
8. El método de Eliminación de Gauss puede
utilizarse para resolver cualquier sistema de
ecuaciones lineales.
9. El método de Gauss-Jordan consiste en
encontrar un sistema equivalente cuya matriz de
coeficientes esté reducida.
10. Si el determinante de la matriz de coeficientes
de un sistema es cero, entonces dicho sistema
no puede resolverse con el método de la matriz
inversa.
11. Un sistema se dice homogéneo si tiene una
única solución.
5. La Regla de Cramer puede utilizarse sólo para
sistemas Compatibles Indeterminados.
12. Un sistema homogéneo de más ecuaciones que
incógnitas siempre tiene infinitas soluciones.
6. Si la matriz de coeficientes de un sistema de
ecuaciones es invertible entonces el sistema
puede carecer de soluciones, o ser compatible
indeterminado.
13. Si el rango de la matriz ampliada es superior al
rango de la matriz de coeficientes, entonces el
sistema tiene infinitas soluciones.
7. Si en un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas el rango de la matriz de coeficientes es
tres, entonces el sistema tiene única solución.
14. Si una matriz cuadrada es singular, entonces sus
filas son linealmente dependientes.
Selección Múltiple
En cada uno de los siguientes ejercicios elija todas las opciones correctas.
1. Si la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones es invertible, entonces:
a) El sistema puede resolverse con el método
de la matriz inversa.
c) El tipo de solución del sistema depende de los
términos independientes
b) El sistema tiene única solución.
d) El rango de la matriz de coeficientes es igual al
rango de la ampliada.
251
 2x + z = − 1
 −1 
x



2. Si el sistema  3y + x = 2 se escribe en la forma matricial como AX = B, con X =  y  y B =  2 
 4z − 3y = 0
 0
z
 
 

entonces:
a) A =  3
 2
0
1
 4 −3

1

0
0 
c) A =  1
 2
0
3
 0 −3

1

0
4 
 2 0
b) A =  1 3
 4 −3

1

0
0 
 2 0
d) A =  0 1
 0 −3

1

1
4 
3. Si un sistema tiene la misma cantidad de ecuaciones que incógnitas, entonces:
a) Para resolverlo, siempre se puede usar el
método de Cramer.
b) Para resolverlo, siempre se puede usar el
método de la inversa.
c) El determinante es distinto de cero siempre.
d) Para resolverlo, siempre puedo usar el
método de eliminación de Gauss.
4. Si un sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas, entonces siempre es cierto que:
a) Puede ser compatible determinado
c) Es incompatible
b) Es compatible indeterminado
d) Depende del sistema que se analice.
5. ( 2 , 3) es una combinación lineal de los vectores:
a) ( 1 , 0) y ( -1 , 3)
c) (1, 1) y ( 2, 1)
b) ( 2 , 1) y ( 1 , -2)
d) (0, 1) y ( 0 , 4)
6. El vector nulo:
a) Es combinación lineal de cualquier vector.
c) No es combinación lineal de ningún vector.
b) Es combinación lineal sólo de vectores
linealmente independientes.
d) Es combinación lineal sólo de vectores
linealmente dependientes.
8
 −4 x + 6 y + 2 z =
 2x − 3 y − z = − 14
7. El sistema 
a) Compatible Determinado
252
es:
b) Compatible Indeterminado
c) Incompatible
 − 10 x + 25 y − 15 z = 35
2 x − 5 y + 3 z = −7

8. El sistema 
es Compatible Indeterminado y además:
a) Tiene una incógnita libre.
c) Matriz de coeficientes invertible.
b) Dos incógnitas libres.
d) Matriz de coeficientes con rango 2
9. ( x , y , z ) = ( 2 , 3 , 1 ) es solución del sistema:
z=6
 x+y+

a)  2 x + y +
3 z=4
 4 x + 5 y − 10 z = 13

z= 6
 x+y+

3 z= 4
c)  2 x − y +
 4 x − 5 y − 10 z = 13

z=6
 x+y+

b)  2 x − y +
3 z=4
 4 x + 5 y − 10 z = 13

z= 6
 x +y+

d)  2 x − y +
3 z= 4
 4 x − 5 y + 10 z = 13

2x + 3y − 2z = 5

10. El sistema  x + 3y + z = 2 admite única solución si el valor de k es:


x
+ kz = 0
a) k ≠ –3
c) k ≠ 0
b) k ≠ 2
d) k ≠ –1
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
Discutir y resolver los siguientes sistemas para los
distintos valores de k.
 x − y +2z=2

1.  2 x + y + 3 z = 2
 5x+y+kz=6

 x − 3y + 5z = 4

2.  x − y + 3z = 2
9x − 7y + 8 kz = 0

 3 x + y + 2 z =1 − k

k
3.  x + 2 y + z =
 x − y + z =1 − k

 3 x+ y +2z= 1

4.  4 x
+3 z = k
 x −
y + z= 2

Discuta y resuelva los siguientes sistemas por el
método que considere más adecuado
 x − 2 y −2 z= 0

5.  x + 2 y − 8 z = 0
 x + 4 y + 4 z = 150

 2 x − y −2=z

6.  x + 2 y + 2 z = 3

3 x −4=− y − z

253
x + 2 y −z + w = 1


7.  2 x − 3 y + z − w = 1

x+ y+z+2w=4

a + b= 4


 2x1 + 3 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 10

18. 
x 2 + 2x 3 + x 4 = 2
 3x
- 3x 3 + 6x 4 = 9
1

8.  a + 3 b + c = 9
 2 a + 5 b + c = −1

 x +2 y +z= 4

z=2
19.  3 x +
 x − y +z=1

 2x1 − 2 x 2 + x 3 = 1

9.  − x1 +
3x 3 = 3
 4x − 2 x − 5x = − 5
1
2
3

 x + y − z=0

20.  4x − y + 5z = 0
 6x + y + 3z = 0

 −1 + 2 y = 4

1

10.  x − = − 3
3

 − 3 x + y = 4
21.  x − y + z = − 2
a b
Encuentre la matriz B= 
 tal que AB = I, donde
 c d
I es la identidad de orden 2, resolviendo el sistema de
ecuaciones planteado.
1 2 

3 4
11. A = 
 3/5
−1 

4
 1
 −2
0

1
 1/2
12. A = 
13. A = 
Para cada uno de los sistemas lineales propuestos,
resuelva utilizando el método de la inversa, de no ser
posible, utilice el método de Eliminación de Gauss o el
de Gauss-Jordan.
 6 x+5 y= 2
x + y= −3

14. 
 2 x+3 y= 4
 − x +5 y = −2
15. 
 2 x + y =5
 3 x − y =0
16. 
 − x + 2y + 2z = 1

17.  x − y − 3z = − 6
 2x + y + z = 3

254
 x+ y +z=

2
 x −y −z= 0

 w+ x +z=2
 w +y =0

22. 
 x + y+ z= 4

y + z=1
w+ 2 y+z= 4


w − x + z = 12

23. 
2w + x + z = 12

 w + 2 x + y + z = 12
 − x + 2y + 2z = 1

24.  x − y + 3z = 0
 2x + y + z = 3



25. 
3x +
y + z = 2
x + 2y + 3z = − 1
 − 2x + y

=−3
 x + y+ z = 2

 x − 2y + z = − 1
26. 
3y + z = 6


x = 8y − z + 2

 x + 2y + 3z + 4w = 0

 2x + 2y + 3z + 4w = 0
27. 
 3x + 3y + 3z + 4w = 0
 4x + 4y + 4z + 4w = 0

x = 2y + 4


28.  2x − y + 2z = − 2
 4x − 7y + 2z = 6

 1 0 0
 x + y =1
 y + z =1

29. 
 z + w =1
 x + w = 1
39.  0 1 0 
 0 0 1


 −3
40.  2
 4

 x + 2y + 4z = 6

y + 2z = 3
30. 
 x + y + 2z = 1

31. Indique el rango de la matriz ampliada en cada
uno de los sistemas 14 a 30.
 2x − y + 3z = a

32. Muestre que el sistema  3x + 2y - 5z = b
 −5x − 8y + 21z = c

es inconsistente si c ≠ 2a – 3b.
33. Encuentre las condiciones de a, b y c, para que
2x + 3y − z = a

el sistema  x − y + 3z = b sea inconsistente
 3x + 7y − 5z = c

Determine, en cada uno de los siguientes casos, si B
es combinación lineal de las columnas de la matriz A:
 1 −1 
34. A = 

 0 −2 
y
 3
B=  
 −4 
 1 −1 

 3 −2 
y
x
B=  
y
 1 −1 0 

 0 1 1
y
2
B=  
 1
y
 −1 


B=  2 
 4 


35. A = 
36. A = 
 1 −1 
37. A =  2 1 
 0 −2 


 15 0 
38.  20 0 
 25 0 


Determine, si las columnas de la matriz A son
linealmente independientes:
1 1 0

1 0 −1
1 −1 1 
 −1
2 1
 1

0 0 
41.  3 −3 0 
En los siguientes problemas defina las variables,
realice el planteo matemático y resuelva.
42. Un pasajero que acaba de llegar de un viaje por
Brasil declaró que gastó $50 diarios en Río de
Janeiro, $40 en Sao Pablo y $40 en Recife por
concepto de hospedaje. En comida gastó por día
$20, $30 y $20 respectivamente y sus gastos
adicionales, de $10 diarios en cada ciudad.
Además declaró que gastó un total de $790 en
hospedaje, $420 por comidas y $190 en gastos
adicionales. Calcule la cantidad de días que
estuvo en cada ciudad o demuestre que su
declaración es falsa.
43. Una empresa privada desea invertir en tres tipos
de publicidad para su nuevo producto, y está
dispuesta a gastar exactamente un total de
$42000. Recomienda a su agencia de publicidad
que la cantidad de días que aparezca la
publicidad en televisión sea el triple de la
cantidad de días en total que se realice en el
diario nacional y en la radio. La agencia
publicitaria estima un costo de $1000 diarios en
publicidad en televisión, $500 por día en el diario
nacional y en la radio.
a) ¿Podrá el agente cumplir con su cliente?
¿Cuántas combinaciones son posibles?
b) ¿Cuántos días saldrán las publicidades en los
tres medios?
255
c) ¿Cuáles son las combinaciones que permiten
publicitar exactamente 4 días en el diario
nacional?
44. Un hospital público tiene tres tipos de drogas
para sus suministrar a pacientes con distintas
patologías, distribuidos en tres salas. Los
pacientes de la sala A requieren semanalmente
de 1 dosis de la droga I, 1 dosis de la droga II y
2 dosis de la droga III. Cada paciente de la sala
B, necesita semanalmente 3 dosis de la droga I,
4 de la II y 5 de la III. Mientras que los
pacientes de la sala C demandan 2 dosis de la
droga I, 1 dosis de la droga II y 5 dosis de la
droga III. Semanalmente, el Ministerio provee
95 dosis de la droga I, 60 dosis de la droga II y
225 dosis de la droga III. Si se supone que
semanalmente se suministran todas las drogas
¿Cuántos pacientes en cada sala, el hospital
puede admitir?
45. Si en el problema anterior, el Ministerio de Salud,
suministra 150 dosis de la droga I, 100 de la
droga II y 350 de la droga III. Suponiendo que
se administran todas las drogas ¿cuántos
pacientes se pueden admitir en cada sala? ¿La
solución es única?
46. Tres personas A, B y C decidieron vender
entradas para una fiesta popular. Se sabe que el
primer día vendieron en total 240 entradas. Si A
vendió el doble de las entradas vendidas por B y
C juntas y B vendió 40 entradas menos que C.
¿Cuántas entradas vendió cada una?
47. Una agencia de empleos dice tener disponible
tres grupos de personas especializadas para
realizar una determinada tarea. Si las personas
del primer grupo trabajaran diariamente 5 horas,
las del segundo 12 y las del tercero 7, entonces
dispondría de 950 horas diarias de trabajo. Se
sabe también, que si el sueldo por hora fuera de
$2 para cada una de las personas del grupo 1,
de $3 para las del grupo 2 y $1 para las del
grupo 3, la agencia tendría un costo diario de
$200 para el pago del personal. Mientras que si
pagaran por hora $1, $3 y $2 respectivamente,
el costo sería $250.
256
a) ¿Cuántas personas integran cada grupo?
¿La solución es única?
b) Si la empresa cuenta con un total de 112
especialistas, ¿cuántos integran cada grupo?
48. Un reconocido circo internacional ha recorrido
nuestro país mostrando su espectáculo. Realizó
55 presentaciones en Córdoba, Rosario y
Mendoza. En Córdoba se presentó el triple de
veces que en Rosario, mientras que la cantidad
de funciones realizadas en Mendoza menos una,
es el doble de las de Rosario. ¿Cuántas
representaciones realizó en cada una de estas
ciudades?
49. Tres odontólogos son miembros de la sociedad
“Sonrisas S.A.” Uno de ellos atiende en una
semana 7 extracciones, 11 arreglos simples y 5
tratamientos de conductos aportando a la
sociedad $892. Otro, realizando 5 extracciones,
15 arreglos simples y 3 tratamientos de
conductos contribuye con $820.
a) ¿Se puede saber cuánto aportará el tercer
odontólogo, si realiza semanalmente 9
extracciones, 7 arreglos y 7 tratamientos de
conductos?
b) Se tiene la información adicional que el
tratamiento de conducto cuesta 4 veces la
extracción y que los arreglos simples son
60% más caros que las extracciones. ¿Cuál
es el precio de cada trabajo?
50. Una empresa que se dedica al alquiler de
disfraces, afirma que el mes anterior por el
alquiler de 2 trajes de Batman, 1 del Hombre
Araña y 4 de El Zorro obtuvo un ingreso de
$705, mientras que en el mes actual por el
alquiler de 4 trajes de Batman, 3 del Hombre
Araña y 1 de El Zorro recibió $870. Tiene ya
contratados para el mes próximo 8 disfraces de
Batman, 5 del Hombre Araña y 9 de El Zorro.
a) ¿Se puede saber cuánto obtendrá por dichos
alquileres el próximo mes?
b) Si el gerente de la empresa afirma que
ganará $2500 ¿está diciendo la verdad?
c) ¿Se puede saber a qué precio se está
alquilando cada juego, si la suma de los tres
alquileres es de $320?
51. Una campaña para promocionar una marca de
helados se basa en el reparto gratuito de
bombones helados con sabor a limón, durazno y
coco. Se decide repartir un total de 1000
bombones en diferentes barrios de nuestra
ciudad. Cada bombón de limón necesita para su
elaboración 10 gramos de crema, cada uno de
durazno 20 gramos y los de coco 15 gramos. La
empresa cuenta con 14 kilogramos de crema
para esta promoción. Por otro lado, fabricar un
bombón de cada gusto le cuesta $2, salvo el de
coco que le cuesta $3 y está decidida a invertir
$2200. ¿Es posible, con estos datos llevar
adelante la promoción? ¿Y en ese caso, cuántos
bombones de cada gusto debe fabricar?
52. Una empresa dispone de $60000 para
inversiones, con el objetivo de obtener ingresos
anuales de $5000 para becas de estudio de su
personal. Parte del dinero se destinará a
inversiones en bonos del gobierno a un 8%
anual y el resto a depósitos a plazo fijo a un
10.5% anual ¿Cuánto dinero deberá invertir en
cada opción con el objeto de obtener el ingreso
requerido al final del año?
53. Una provincia realiza exportaciones de Té,
Tabaco y Pasta Celulósica entre otros productos.
La evolución de las mismas durante los años
1999, 2000 y 2001 se refleja en la siguiente
tabla:
Años
Cantidad exportada en miles
de toneladas.
Recaudación
en Millones
de dólares
Té
Tabaco
Pasta
Celulósica
1999
52
20
194
188
2000
48
15
240
227.1
2001
56
25
246
209.1
Se sabe que el precio del Té se mantuvo
constante durante los dos primeros años y que
sufrió una baja del 5% en el 2001. El precio del
Tabaco, fue el mismo durante los años 2000 y
2001, siendo éste inferior en un 10% respecto de
1999. El precio de la Pasta Celulósica respecto de
1999, tuvo un alza del 30% en el 2000 y
descendió un 10% en el 2001.
Indique los precios de exportación, por toneladas,
de los tres productos en los distintos años.
54. Una empresa fabrica tres productos, que
llamaremos A, B y C. El tiempo, expresado en
horas, requerido para procesar una unidad de
cada producto en las distintas secciones, se
muestra en la siguiente tabla:
A
B
C
Sección 1
1
2
2
Sección 2
2
1.5
1
Sección 3
1
3
5
La fábrica cuenta con 751 horas de trabajo libres
en la Sección 1, en la 2 con 650 horas y en la 3
con 1333 horas.
¿Cuántas unidades de cada producto deberá
fabricar, si desea emplear todo el tiempo
disponible?
55. Una empresa de cable cuenta con 690 abonados
a dos planes de promoción. La cantidad de
clientes del plan 1 duplica la cantidad de
suscriptores al plan 2. La empresa afirma que
recauda por estos planes de promoción $40230
al mes, cobrando $45 por el plan 1 y $50 por el 2.
a) ¿Esta afirmación es cierta? En caso de ser
posible indique cuántos abonados tiene en
cada plan.
b) Un empleado asegura que la empresa
recauda mensualmente $32200. ¿Dice la
verdad?
c) ¿Puede conocerse la cantidad de abonados a
cada plan?
257
25858
Capítulo 5
Contenidos
5.1 – INECUACIONES LINEALES
5.1.1 – Inecuaciones Lineales con una Incógnita
5.1.2 – Inecuaciones Lineales con dos Incógnitas
5.1.3 – Sistema de Inecuaciones
5.2 – PROGRAMACIÓN LINEAL
5.3 – MÉTODO GRÁFICO
5.4 – MÉTODO SIMPLEX
5.4.1 – Problema de Máximo con restricciones de menor o igual
5.4.2 – Variables Artificiales
5.4.3 – Problema de Mínimo
5.5 – RESOLUCIÓN CON COMPUTADORA
Objetivos
•
Contribuir a la adquisición de un conocimiento preciso de las características
algebraicas y gráficas de las inecuaciones lineales y sistemas asociados.
•
Plantear, a partir de una situación real, la función objetivo y el sistema de
inecuaciones que reflejen los condicionamientos impuestos.
•
Facilitar la comprensión del procedimiento de resolución gráfica de problemas de
Programación Lineal.
•
Posibilitar la utilización del algoritmo propio del método Simplex para la resolución de
problemas de Programación Lineal.
•
Establecer la relación entre la resolución por método Simplex y método gráfico.
•
Realizar el análisis de los resultados obtenidos conforme a la teoría desarrollada y a
la situación planteada.
•
Favorecer la transferencia del conocimiento a la modelación de situaciones reales.
259
Problema
El gobierno de una ciudad está planificando la construcción de cuatro barrios (A, B, C y D) para
personas de bajos recursos, en distintas zonas del ejido municipal. Una de las cuestiones que
debe solucionar tiene que ver con el traslado de arena desde tres centros de distribución (I, II y
III), ya que la forma en que se realice esta tarea influye de manera significativa en los costos
totales.
De acuerdo con un estudio realizado por los responsables de la obra, se determinó que las
necesidades de arena son las mismas en todos los barrios y se calculan en unas 200 toneladas
semanales. En cuanto a los centros de distribución, se sabe que tienen distintas disponibilidades.
Cuentan con 400, 300 y 250 toneladas por semana, respectivamente. Por otro lado, los costos en
pesos del traslado por tonelada de cada centro a los barrios se muestran en la siguiente tabla:
Centros de
Distribución
Barrios
A
B
C
D
I
50
45
53
38
II
42
51
39
40
III
32
44
50
52
¿Cómo le conviene realizar la distribución de arena en forma tal que se cubran las demandas
semanales de los cuatro barrios y se minimicen los costos?
Un problema similar, aunque más complejo, fue resuelto en 1958 cuando se aplicaron los métodos
de la Programación Lineal a un problema concreto: el cálculo del plan óptimo de transporte de
arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú. En este caso se contaba
con 10 centros de distribución y 230 lugares de llegada. El plan óptimo de transporte permitió
rebajar un 11% los costos previstos.
Los Problemas de Transporte se estudiaron independientemente por Koopmans y Kantarovitch
quienes lo formularon analíticamente por primera vez en 1941-1942. Ambos recibieron el premio
Nobel de Economía en 1975.
26060
5
CAPÍTULO
INECUACIONES
PROGRAMACIÓN LINEAL
Estudiamos en este capítulo conceptos básicos de Programación Lineal, herramienta fundamental en la toma de
decisiones. Para su desarrollo retomamos algunos conceptos de Matrices vistos en el capítulo 3 y aprendemos a
resolver sistemas de inecuaciones lineales con una y dos incógnitas que serán de utilidad para la resolución de
estos problemas.
La Programación Lineal es una técnica de modelado, que pretende optimizar un objetivo –como puede ser
maximizar utilidades o minimizar costos- satisfaciendo al mismo tiempo un grupo de restricciones expresadas
como desigualdades lineales. El interés principal de esta técnica es tomar decisiones óptimas, es muy potente y
con muchas aplicaciones en la industria militar, petrolera y empresas en general. Un ejemplo típico es el problema
de transporte que presentamos al inicio del capítulo.
Enfrentamos estos problemas desde la formulación matemática hasta su solución. En primer lugar, lo resolvemos
en forma gráfica para el caso particular de tener dos incógnitas, luego exponemos un método algebraico que
permite trabajar con dos o más incógnitas, conocido como el Método Simplex.Finalmente, utilizamos un software
para su resolución, lo que permite independizarnos de los cálculos para centrarnos en el análisis de la solución.
5.1 – INECUACIONES LINEALES
Muchos problemas de la vida cotidiana se pueden formular por medio de modelos que incluyen igualdades, pero
también existen otros, en los que se requiere comparar dos expresiones. Para representar estas situaciones,
usamos los símbolos < (menor), > (mayor), ≤ (menor o igual) o ≥ (mayor o igual). Los dos primeros se
utilizan para representar desigualdades estrictas, por ejemplo podemos escribir que 5 < 11 para indicar que 5 es
menor que 11 (o 11 > 5 que dice que 11 es mayor que 5) y que estas cantidades nunca serán iguales. Los dos
últimos, admiten además la posibilidad de que las cantidades que se comparan sean iguales.
Si las desigualdades incluyen incógnitas, las llamamos inecuaciones. Éstas son verdaderas para algunos valores
de las incógnitas mientras que para otros no, por ejemplo x + 1 ≥ 7 sólo es verdadera para valores de x mayores o
iguales a 6.
Relacionando este concepto con el de ecuación lineal con n incógnitas que estudiamos en el capítulo 1 Sección
1.5, podemos dar la siguiente definición:
Expresión general de
una inecuación lineal
Definición 5.1: La expresión general de una inecuación lineal con n
incógnitas es:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn < b
donde las x i son las incógnitas, y los coeficientes ai y b son
constantes.
261
En esta definición, en lugar del signo < puede aparecer ≤, ó > ó ≥.
Nuestro objetivo es encontrar los valores de las incógnitas que hacen verdadera la
inecuación.
Solución
Conjunto
solución
Definición 5.2: Llamamos Solución de una inecuación al conjunto de valores de
las incógnitas que verifican la desigualdad .
Resolver una inecuación es encontrar todas las soluciones de la misma. Este conjunto
se llama Conjunto Solución.
En esta sección aprendemos las estrategias que nos conducen a la resolución de una
inecuación. Para ello es importante el siguiente concepto:
Inecuaciones
equivalentes
Definición 5.3: Dos o más inecuaciones son equivalentes si tienen las mismas
soluciones.
En muchas ocasiones, el camino más conveniente para resolver una inecuación
consiste en busc ar una equivalente a ella. Por ello es importante conocer las
operaciones permitidas para pasar de una a otra.
Operaciones que
preservan soluciones
1. Sumar o restar a ambos miembros de la inecuación una constante.
n Ejemplo 5.1
La inecuación 2x+ 3y – 5 ≥ 3y + 4x es equivalente a 2x+ 3y ≥ 3y+ 4x +5
ya que se obtuvo de sumar a ambos miembros el 5.
Observe: Son las
mismas operaciones
que preservan
soluciones en las
ecuaciones, pero con
la variante de que al
multiplicar por un
número negativo
cambia el sentido de
la desigualdad
2. Sumar o restar a ambos miembros de la inecuación una expresión lineal que
contenga las incógnitas (permite pasar de miembro aquellos términos que incluyen
las incógnitas).
n Ejemplo 5.2
La inecuación 2x + 3y ≥ 3y + 4x + 5 es equivalente a 2x+ 3y –3y – 4x ≥ 5
ya que se obtuvo de restar a ambos miembros la expresión lineal 3y+ 4x.
3. Reemplazar algún miembro de la inecuación por una expresión equivalente.
n Ejemplo 5.3
Reemplazamos el primer miembro de 2x+ 3y – 3y – 4x ≥ 5 por la expresión
equivalente –2x, que se obtiene de sumar los términos semejantes. De este
modo resulta la inecuación –2x ≥ 5 .
26262
4. Multiplicar o dividir ambos miembros de la inecuación por una constante distinta de
cero.
o Si la constante es positiva conserva el sentido de la desigualdad.
o Si la constante es negativa cambia el sentido de la desigualdad.
n Ejemplo 5.4
Note: El signo de la
desigualdad cambió
pues se dividió por un
número negativo.
Finalmente, debemos despejar la incógnita x de –2x ≥ 5, por lo que dividimos
ambos miembros por (–2) y obtenemos x ≤ (– 5/2). El conjunto solución de la
inecuación original 2x+ 3y – 5 ≥ 3y + 4x es el mismo que el de la inecuación
equivalente x ≤ (–5/2), es decir, S = {(x, y) / x ≤ (– 5/2) e y es un número
real cualquiera}.
5.1.1 - Inecuaciones Lineales con una Incógnita
Inecuación lineal con
una incógnita
Definición 5.4: Una inecuación lineal con una incógnita es aquella que puede
expresarse como ax + b < 0, donde a y b son constantes, con
a ≠ 0.
También son inecuaciones lineales con una incógnita:
ax + b ≤ 0
( ≤ se lee menor o igual)
ax + b ≥ 0
( ≥ se lee mayor o igual)
ax + b > 0
De acuerdo con la definición, 4x –2 < –1 + x es una inecuación lineal, ya que realizando
pasaje de términos se obtiene 3x –1 < 0 que tiene la forma general dada en la
definición 5.4.
Vemos ahora, en los siguientes ejemplos, cómo aplicamos las operaciones que
permiten obtener inecuaciones equivalentes para encontrar las soluciones de una
inecuación dada.
n Ejemplo 5.5:
Resolvamos las inecuaciones:
a) 3x – 6 > 0
b) 1 + x > 2x – 2
c) 2(4 – x) ≤ 4
d)
2
(3x – 6) + x ≤ 3x – 4
3
e) 2x + 5 ≥ 2(x + 2)
f) 2x + 5 < 2(x + 2)
263
Solución
a) 3x – 6 > 0
si sumamos 6 a ambos miembros de la desigualdad obtenemos 3x > 6 y si
dividimos ambos miembros por 3, nos queda x > 2. Por lo tanto, el conjunto
solución es S = {x tal que x ∈ R y x > 2}. Su representación gráfica en la
recta real es:
El circulito sin relleno, en
el gráfico, indica que el
número 2 no está incluido
en el conjunto solución
2
b) 1 + x > 2x – 2
sumamos a ambos miembros –x obteniendo así : 1 > 2 x – x – 2
reemplazamos 2x – x por su equivalente x
: 1> x –2
sumamos 2 a ambos miembros
: 1+2> x
por lo tanto, el conjunto solución es
S = {x tal que x ∈ R y x < 3}
Gráficamente:
3
c) 2(4 – x) ≤ 4
aplicamos la propiedad distributiva en el primer miembro: 8 – 2x ≤
pasamos 8 al segundo miembro:
4
–2x ≤ – 4
1
multiplicamos ambos miembros por - , y recordando que el sentido de la
2
desigualdad cambia, obtenemos:
x ≥ 2
S = {x tal que x ∈ R y x ≥ 2}
El conjunto solución es
Gráficamente:
El circulito relleno, en el
gráfico, indica que el
número 2 está incluido en
el conjunto solución
2
d)
2
(3x – 6) + x ≤ 3x – 4
3
aplicamos propiedad distributiva en el primer miembro: 2x – 4 + x ≤ 3x – 4
sumamos los términos semejantes en el primer miembro :
restamos a ambos miembros 3x – 4 :
264
3x – 4 ≤ 3x – 4
0 ≤ 0.
La última desigualdad es siempre verdadera, ya que si bien en este caso no
se cumple el menor estric to, sí se cumple la igualdad.
Por lo tanto cualquier valor real que asuma x verificará la inecuación original
y el conjunto solución es S = R = {x tal que x ∈ R}, cuya representación
gráfica es la recta real.
e) 2x + 5 ≥ 2(x + 2)
aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro: 2x + 5 ≥ 2x + 4
agrupamos la incógnita x en un mismo miembro y cancelamos: 5 ≥ 4
Como el número 5 es mayor que 4, entonces vale la desigualdad estricta y la
inecuación tiene por solución toda la recta real. La desigualdad es
verdadera para cualquier valor que asuma la incógnita x.
S = R = {x tal que x ∈ R}, cuya representación gráfica es la recta real.
f) 2x + 5 < 2( x + 2)
operamos en el segundo miembro:
2x + 5 < 2x + 4
cancelamos los términos que contienen la incógnita x:
Recuerde: El
símbolo ∅ representa
al conjunto vacío.
5 < 4
Como 5 no es menor que 4, entonces no vale la desigualdad y la inecuación
carece de solución. Esta desigualdad nunca es verdadera y S = ∅ .
Es poco frecuente encontrar problemas que involucren desigualdades lineales con una
incógnita, pero de ser así, debemos formularlo matemáticamente y luego aplicar las
operaciones más convenientes para resolverlo.
n Ejemplo 5.6:
A fines de este mes, la cuenta bancaria de Fernando tendrá un saldo no menor a
$191705 luego que se acredite, en concepto de distintas operaciones
realizadas, una cantidad que representa el 15% de sus ahorros actuales. ¿De
cuánto dinero dispone hoy Fernando?
Definición de incógnitas
x: cantidad actual de dinero en la cuenta bancaria de Fernando
265
Planteo del problema
0.15 x:
representa el 15% de la cantidad actual de dinero que se
acreditará a fin de mes en la cuenta bancaria.
x + 0.15 x : es el saldo de la cuenta a fin de mes.
Entonces:
No menor que un número
implica que la cantidad es
mayor o igual a dicho
número.
x + 0.15 x ≥ $191705
indica que el saldo a fin de mes, es no menor a este
importe
Solución
Sumamos términos semejantes:
Despejamos x
1.15 x ≥ $191705
x ≥ $166700
Conclusión
La cuenta de Fernando tiene actualmente no menos de $166700. Como se trata
de una desigualdad no es posible determinar exactamente el saldo.
5.1.2 - Inecuaciones Lineales con dos Incógnitas
Inecuación lineal
con dos incógnitas
Definición 5.5: Una inecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de
la forma ax + by + c < 0 ; ax + by + c ≤ 0; ax + by+ c > 0 ó
ax + y + c ≥ 0 con a, b, y c constantes.
Solución de una
Inecuación Lineal con
dos incógnitas
El Conjunto Solución son todos l os pares (x, y) que verifican la desigualdad.
Geométricamente, son todos los puntos de alguno de los dos semiplanos determinados
por la recta ax + by + c= 0. En los casos ≤ o ≥ dicho conjunto incluye también a
todos los puntos que se encuentran sobre la recta en cuestión. Este conjunto es
siempre convexo.
Definición 5.6: Se llama conjunto convexo a una región del plano tal que para
dos puntos cualesquiera de la misma el segmento que los une está
íntegramente contenido en dicha región.
Conjuntos NO convexos
Conjuntos convexos
Son también ejemplos de conjuntos convexos una recta, una semirrecta, un segmento,
un punto y el conjunto vacío.
2666
Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se llaman bordes o lados y la
intersección de ellos, vértices. Puede ser cerrado o abierto respecto a cada lado o
vértice según éste se incluya o no en la solución.
Para encontrar gráficamente el conjunto solución de estas inecuaciones presentamos el
siguiente procedimiento:
Procedimiento
para graficar el
conjunto solución
de inecuaciones
lineales con dos
incógnitas.
1. Se traza la gráfica de la ecuación obtenida al reemplazar en la inecuación, el signo
de desigualdad por un signo " = ". Utilizamos una recta punteada si la desigualdad
es estricta ( < o > ), para indicar que dicha recta no es parte de la solución. En caso
contrario ( ≤ o ≥ ), dibujamos una recta continua con el fin de indicar que la misma
es parte de la solución.
2. Se elige un punto (x, y) cualquiera ubicado en alguno de los dos semiplanos
definidos por la recta anterior y se lo reemplaza en la inecuación inicial. En caso de
verificarse dicha inecuación, el plano al cual pertenece el punto elegido es solución
de la misma. Caso contrario, es decir, de no verificarse la inecuación el otro plano es
la solución. De ser posible se elige (0,0), ya que facilita notablemente los cálculos.
• ¿En qué casos no es posible elegir el punto (0, 0)? ¿Por qué?
n Ejemplo 5.7: Resolvamos gráficamente las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 3y > –2
d) x < 2
b) y ≤ 2x – 2
e) y – x ≥ 0
c) x + y ≤ 1
f) y < 2
Solución
a) 2x + 3y > –2
Tal como lo indica el método, en primer lugar graficamos la recta 2x+3y = –2
Para ello, basta con encontrar dos puntos
(x, y) que satisfagan la ecuación:
Los puntos elegidos son las
intersecciones de la recta
con cada uno de los ejes.
x=0
⇒
y = –2/3
y=0
⇒
x = –1
Con los puntos (0, –2/3) y (–1, 0)
graficamos una recta punteada ya que la
desigualdad es estricta.
Analizamos si el origen (0,0), incluido en
el semiplano superior que determina esta
recta, es o no solución de la inecuación.
2x + 3y = – 2
Figura Nº 1
Reemplazamos y nos queda que 0 > – 2. Dicha desigualdad es cierta por lo
que todo punto del semiplano que contiene al origen es solución de nuestra
inecuación. (Figura Nº 1).
267
b) y ≤ 2x – 2
Graficamos la recta y = 2x – 2 con línea
continua, pues la desigualdad no es
estricta. Buscamos las intersecciones con
los ejes:
x=0
⇒
y = –2
y=0
⇒
x= 1
y = 2x - 2
Figura Nº 2
Como el origen de coordenadas no verifica la inecuación original, pues como
resultado del reemplazo obtenemos 0 ≤ –2, la solución es el conjunto de
puntos del semiplano que no contiene el origen. (Figura Nº 2).
c) x + y ≤ 1
Graficamos la recta x + y = 1, que pasa
por los puntos (0, 1) y (1, 0), con línea
continua.
x+y=1
La solución será el conjunto de puntos del
semiplano que contiene el origen, ya que
éste verifica la desigualdad original. (Figura
Nº 3).
Figura Nº 3
d) x < 2
Recordemos que es una
recta paralela al eje y que
corta al eje x en 2.
Graficamos, con línea punteada, la recta
x= 2.
Comprobamos si el origen cumple con la
inecuación original. Reemplazamos y
vemos que sí la verifica pues 0 ≤ 2.
Por lo tanto, la solución es el conjunto de
puntos del semiplano que contiene el
origen. (Figura Nº 4).
x=2
Figura Nº 4
e) y – x ≥ 0
Graficamos la recta y = x.
y–x=0
Como el origen satisface la igualdad, es
decir está sobre la recta, debemos probar
con otro punto que no se encuentre sobre
ella.
Por ejemplo, consideremos el punto (1, –2)
del cuarto cuadrante.
Figura Nº 5
Como el punto seleccionado no verifica la desigualdad, la solución es el
semiplano superior. (Figura Nº 5).
2688
f) y < 2
Recordemos que el gráfico de la ecuación
y = 2 es una recta paralela al eje x que corta
al eje y en 2. Como la desigualdad es estricta
el trazo es punteado.
Comprobamos si el origen cumple con la
inecuación original. Al reemplazarlo vemos
que la verifica ya que 0 ≤ 2 .
y=2
Figura Nº 6
Por lo tanto, la solución será el conjunto de puntos del semiplano que incluye
el origen. (Figura Nº 6).
Las inecuaciones lineales con dos incógnitas son de utilidad para modelar algunas
situaciones sencillas de la realidad.
n Ejemplo 5.8:
La empresa “Casa Soñada” planea invertir 5000000 de dólares en terrenos de
nuestra ciudad para la construcción de dos complejos cerrados de vivienda. Los
terrenos ubicados en la zona sur tienen un costo de 50 dólares por m2 mientras
que los de la zona norte pueden adquirirse por un valor de 80 dólares el m2,
¿cuántos metros cuadrados puede comprar en cada zona de tal manera de no
excederse en el presupuesto fijado?
Definición de incógnitas
x: cantidad de m2 a comprar en la zona sur .
y: cantidad de m2 a comprar en la zona norte.
Planteo del problema
Como x representa la cantidad de m 2 a comprar en la zona sur a un costo de 50
dólares por m2, 50x es la cantidad de dinero que la empresa debe invertir en
esta zona. De la misma forma, 80y representa la cantidad a invertir en la zona
norte. La suma total invertida es, por lo tanto:
50x + 80y dólares
y ésta no puede exceder 5000000 dólares disponibles.
En consecuencia, 50x+ 80y ≤ 5000000.
Solución
De la misma forma en que se resolvieron los
ejemplos anteriores y considerando que en
este caso en particular x ≥ 0 e y ≥ 0 ya que
representan m2, la solución de la inecuación
está dada por la región graficada.
269
Conclusión
Existen infinitas posibilidades de inversión para la empresa. Cada una de ellas
está representada por un punto (x, y) en el sector sombreado.
Muchos problemas de la vida real requieren de más de una inecuación lineal para ser
modelados matemáticamente. Si en el ejemplo anterior, suponemos que la empresa
“Casa Soñada”, precisa comprar no menos de 40000 m2 para la construcción de los
dos complejos, al problema original se le agrega una inecuación más de la que tenía. Si
al mismo tiempo, la empresa requiere de más de 10000 m2 en la región sur y de más
de 20000 m2 en la norte, se necesitan cuatro inecuaciones para contemplar todas las
condiciones impuestas por la empresa. Es decir, para resolver el problema debemos
conocer cómo hallar las soluciones de un conjunto de inecuaciones lineales, llamado
Sistema de Inecuaciones.
Sistema de
Inecuaciones
5.1.3 - Sistemas de Inecuaciones
Definición 5.7:
Un sistema de inecuaciones lineales es un conjunto de
inecuaciones lineales que deben satisfacerse simultáneamente.
Nosotros trabajaremos con el caso particular de inecuaciones con dos incógnitas. Lo
mismo que antes, nuestro objetivo es encontrar las soluciones de estos sistemas.
Solución de un
Sistema de
Inecuaciones
Definición 5.8: La Solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos
incógnitas consiste en todos los pares de valores de las incógnitas
que verifican, al mismo tiempo, todas las inecuaciones dadas.
Geométricamente, el conjunto solución es el sector común a todas las regiones
solución de las inecuaciones que constituyen el sistema. Es decir, si transformamos las
desigualdades en igualdades y representamos en los mismos ejes de coordenadas
cada una de las rectas, la solución es la región del plano que resulta de la intersección
de los semiplanos solución de cada inecuación. Para el rápido trazado de las rectas,
recomendamos encontrar los puntos donde cortan a los ejes de coordenadas y unirlos
entre sí.
El procedimiento general para encontrar el conjunto solución es el siguiente:
Pasos a seguir
para encontrar
gráficamente las
soluciones de un
sistema de
inecuaciones
lineales.
2700
1. Graficar el conjunto solución de cada desigualdad por separado sombreando cada
región de manera diferente.
2. Determinar el sector donde se superponen todos los sombreados, ya que cada
punto del mismo verifica cada una de las inecuaciones del sistema.
n Ejemplo 5.9:
Grafique el conjunto solución:
 2x + 2y <2
a) 
y − x ≤ 2
 x + 2y ≥ 2

b)  y − 0.1x < 2

x<2

Solución
 2x + 2y <2
y − x ≤ 2
a) 
La recta se grafica con
línea punteada pues los
puntos sobre ella no
verifican la desigualdad
estricta.
La recta se grafica con
línea continua pues los
puntos sobre ella
verifican la desigualdad.
Se grafica la recta, correspondiente a la
primera desigualdad del sistem a, 2x + 2y = 2
con línea punteada y comprobamos que el
punto (x, y) = (0, 0) cumple la desigualdad.
Por lo tanto, el semiplano inferior será su
conjunto solución.
Del mismo modo se trabaja con la segunda
inecuación. Trazamos la recta y – x = 2
con línea continua.
Figura Nº 9
Comprobamos que el conjunto solución es el semiplano que contiene al
origen de coordenadas.
Luego, la solución de nuestro sistema de inecuaciones será el sector común
a las dos regiones anteriores. (Figura Nº 7)
 x + 2y ≥ 2

b)  y − 0.1x < 2

x<2

Graficamos la primera recta x + 2y = 2 con
línea continua. El origen no cumple la
desigualdad. Por lo tanto, el semiplano por
encima de la recta será el conjunto solución
de la primera inecuación.
Figura Nº 8
Del mismo modo trabajamos con la segunda, trazamos la rec ta y – 0.1x = 2
con línea punteada y el conjunto solución es el semiplano que contiene al
origen.
La tercera inecuación tendrá como solución el semiplano a la izquierda de la
recta x = 2. Luego, la solución de nuestro sistema de inecuaciones es el
sector común a las tres regiones anteriores. (Figura Nº 8).
Resolvamos ahora, el problema de la empresa “Casa Soñada” que presentamos al final
de la sección anterior.
271
n Ejemplo 5.10:
La empresa “Casa Soñada” planea invertir 5000000 dólares en terrenos de
nuestra ciudad para la construcción de dos complejos cerrados de vivienda. Los
terrenos ubicados en la zona sur tienen un costo de 50 dólares por m2 mientras
que los de la zona norte pueden adquirirse por un valor de 80 dólares el m2. Si
además precisa comprar no menos de 40000m2 para la construcción de los dos
complejos, y al mismo tiempo, la superficie de los terrenos no debe ser inferior a
10000 m2 en la región sur y a 20000m2 en la norte, ¿cuántos metros cuadrados
puede comprar en cada zona de tal manera que se cumplan todos sus
requerimientos?
Definición de incógnitas
x : cantidad de m2 a comprar en la zona sur
y: cantidad de m2 a comprar en la zona norte.
Planteo del problema
50x + 80y ≤ 5000000
El costo total es menor a los 5000000 de dólares disponibles.
x + y ≥ 40000
La cantidad total de m2 a comprar no es menor a 40000.
x > 10000
Indica que la cantidad de terreno a comprar en la zona sur,
no es inferior a 10000 m2.
y > 20000
Indica que la cantidad de terreno a comprar en la zona norte,
no es inferior a 20000 m2.
Solución
Graficamos cada una de las inecuaciones
que forman el sistema y obtenemos que el
conjunto solución es el sector sombreado
en el gráfico.
Conclusión
Las distintas posibilidades de compra están representadas por cada uno de los
puntos del sector sombreado. Hay infinitas soluciones que cumplen todos los
requerimientos de la empresa.
2722
REPASO TEÓRICO – Sección 5.1
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Cuál es la expresión general de una inecuación
lineal con n incógnitas?
9. ¿Cuándo decimos que una región del plano es
convexa?
2. ¿Multiplicar o dividir ambos miembros de una
inecuación por una constante no nula, siempre
conserva el sentido de la desigualdad original?
10. ¿Cómo verifica si el par (a, b) es o no solución
de una inecuación lineal con dos incógnitas?
3. ¿Cuándo dos inecuaciones son equivalentes?
4. ¿Cuáles son las operaciones permitidas para
encontrar una inecuación equivalente a otra dada?
Dé un ejemplo de dos inecuaciones equivalentes.
5. ¿Qué diferencia encuentra con las operaciones
permitidas para pasar de una ecuación a otra
equivalente estudiadas en el capítulo 1?
6. ¿Cómo se representa gráficamente el conjunto
solución de una inecuación lineal con una incógnita?
7. ¿Cómo verifica que x = a es solución de una
inecuación lineal con una incógnita?
8. ¿Cómo se representa gráficamente el conjunto
solución de una inecuación lineal con dos
incógnitas?
11. En la representación gráfica de las soluciones de
una inecuación lineal con dos incógnitas, luego de
graficar la recta, ¿cómo determina cuál sector del
plano contiene las soluciones?
12. ¿Cómo se define un sistema de inecuaciones
lineales con dos incógnitas?
13. ¿A qué llamamos solución de un sistema de
inecuaciones lineales con dos incógnitas?
Geométricamente ¿cómo se representa al
conjunto solución?
14. ¿Cómo verifica si un par (a, b) es solución de un
sistema de inecuaciones?
15. ¿Puede el conjunto solución de un sistema de
inecuaciones lineales con dos incógnitas ser
vacío? En caso de que responda afirmativamente
dé un ejemplo, caso contrario justifique desde la
teoría.
EJERCICIOS – Sección 5.1
Indique cuáles de las siguientes expresiones
corresponden a inecuaciones lineales con una
incógnita:
1. x2 − 3x ≥ 2x − 9
2.
3.
2
1
z+
≤ 4
3
z
2 y + 0.5 < 5 y
4. 2xy + 4 > 2x
5. 7x −
1
(x − 6) ≤ 1
3
6. 5y +
1
=y − 2
5
7.
3x
≥ (2x − 8)
4
Encuentre y represente a través de un gráfico las
soluciones de las siguientes inecuaciones con una
incógnita.
8. 3 x < 12
273
9. –3 x ≥ 15
10. 3 x + 5 > x + 10
11. 4 x – 8 > 3 x – 14
12. 10 x – 24 < –16 x + 12
13.
1
1 2
5
x+
<
x4
3 3
4
14. –2 x + 3 < – 3 x – 1
15. 3 ( x + 6 ) – 5 > – 13
16.
x+1
x- 2
+
³ 3
3
2
17.
2x - 1
x - 2
+
£ 1
2
2
ïì - 4x - 3y + 6 > 0
2x +5y - 5 £ 5
ïîï
29. ïí
ïì 3 x - 2 y + 8 ³ 10
ïïî- 4 x - y + 2 < 2
30. ïí
x ³ 0
ïìï
ïï
y ³ 0
31. ïí
ïï x + y £ 2
ïï
ïïî 2 x + y ³ 1
32. Encuentre la expresión de la inecuación con dos
incógnitas que representa el semiplano formado
por el primer y segundo cuadrante.
Grafique el sector del plano limitado por las siguientes
inecuaciones y determine los vértices del mismo:
18. 2 + 3 ( x + 1 ) > 3 + 5 ( x – 1 )
33. x + y ≤ 20 ;
19. 4 – [ 2 x + ( x + 1 ) ] < 4
34. x + 2y ≤ 6 ; 2x + y ≤ 8; – x + y ≤ 1; y ≤ 2
20.
1
1
(x+6)+ (x - 3) ³ 3
3
6
21. 2( x +
1
1
3
) - 3(x )>4 ( x )
2
3
4
Represente gráficamente las soluciones de las
siguientes inecuaciones con dos incógnitas.
22. 2 x + 4 y < 8
23. –2 x + 3 y ≤ – 24
24. 2 x + 2 y ≥ 24
25. 2 x + 5 y > 20
26. – x + 2 y ≥ 5
27. 6 x – 4 y < 24
Represente gráficamente las soluciones de los
siguientes sistemas de inecuaciones con dos
incógnitas.
ì - 4x - 3y + 6 > 0
ï
ï
ï
ï
2x + 5y - 5 £ 5
28. ïí
ï
x ³ -2
ï
ï
ï
y ³-1
ï
î
ï
274
x ≥ 8;
y ≥6
35. x < 2; y < 1 ; 2x – 3y ≥ 6.
Dé un sistema de desigualdades cuyo conjunto
solución es el polígono cuyos vértices son:
(Ayuda: debe utilizar la ecuación de la recta que pasa por
dos puntos)
36. (0, 0), (3, 0), (2, 2) y (0, 4).
37. (1, 1), (3, 2) y (2, 3).
38. (0, 0), (0, 3), (1, 2).
39. (0, 0), (1, 1), (3, 1) y (2, 0).
Plantee y resuelva los siguientes problemas:
40. Dentro de cuatro años Roberto tendrá más de 20
años, ¿qué podemos afirmar respecto de la edad
actual de Roberto?
41. Una empresa gana $76 por cada unidad vendida
de su nuevo producto y recibe un total de
$50360 por el resto de su producción. Por lo
menos ¿cuántas unidades del nuevo producto
deberá vender, para que su ganancia no sea
inferior a $80000?
42. Una empresa familiar desea envasar un máximo
de 120 frascos de mermelada, de tal manera
que no debe haber menos de 40 frascos de
mermelada de durazno y no menos de 30 de
ciruela. Represente gráficamente la cantidad de
frascos de cada tipo que se deben envasar.
43. Una fábrica de muebles tiene un galpón para
almacenar la mercadería lista para vender,
dentro del cual dispone de 400m2 para las
mesas y sillas. Una mesa mediana con las seis
sillas ocupa aproximadamente 5m2, mientras
que otra de mayor tamaño y calidad, con sus
sillas, ocupa 8m2.
Represente gráficamente la cantidad de modelos
de cada tipo que se pueden almacenar en el
espacio disponible.
5.2 – PROGRAMACIÓN LINEAL
La Programación Lineal (PL) es una técnica de optimización destinada a determinar cuál es la manera más eficiente
de distribuir recursos limitados en actividades conocidas. Es de gran utilidad para los responsables de las
organizaciones, en la toma de decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables.
Permite resolver una gran variedad de problemas de aplicación, por ejemplo:
• Un fabricante desea establecer un programa de producción que permita satisfacer la demanda de su
producto y al mismo tiempo minimice los costos totales relacionados con dicha producción.
• Un administrador desea determinar la mejor manera de invertir en diarios, radio y televisión, en forma tal
de maximizar la efectividad de la publicidad.
• Un analista financiero desea conocer la combinación de activos financieros o la cartera óptima en la que
le conviene invertir para maximizar el rendimiento de su inversión.
Todos estos casos tienen una característica en común. En cada uno de ellos estamos interesados en maximizar o
minimizar alguna cantidad. En realidad, en todos los problemas de programación lineal el objetivo es optimizar
(maximizar o minimizar) alguna función.
Pero hay otra propiedad importante a tener en cuenta. La optimización tiene condiciones vinculadas con la limitación
de recursos disponibles, como por ejemplo mano de obra, materiales, dinero. En otras palabras, las restricciones
son otra característica típica de estos problemas y se representan por medio de ecuaciones o inecuaciones.
Tanto la función a optimizar como las restricciones involucradas son lineales, de allí el nombre de Programación
Lineal.
Definición 5.9: Un Problema de Programación Lineal consta de una función
Problema de
Programación Lineal
lineal a optimizar, llamada función objetivo y de un conjunto de
restricciones en forma de ecuaciones o inecuaciones lineales.
De acuerdo a lo expuesto anteriormente la expresión general de un problema de
Programación Lineal es:
275
Expresión General
de un Problema de
Programación
Lineal
Max
z = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn
Función Objetivo
Sujeto a las restricciones:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ≤ b2
M
Restricciones Específicas o Estructurales
del problema
am1 x1 + am2 x2 + ...+ amn xn ≤ bm
xi ≥ 0
∀ i = 1, 2, ....n
Restricciones de No Negatividad
donde:
Observe que las
desigualdades no
pueden ser de > o
< (es decir, de
orden estricto)
ci
son los coeficientes de la función objetivo,
a ij
coeficientes de las restricciones,
bi
términos independientes o del lado derecho y
xi
las incógnitas o variables de decisión del problema.
En esta expresión general, el máximo puede cambiar por mínimo, las desigualdades
pueden ser de ≥, ≤ o = y las restricciones de no negatividad aparecen siempre para
asegurarse que las variables de decisión no tomen valores negativos, ya que
generalmente están asociadas a cantidades. Las restricciones específicas o
estructurales reflejan las condiciones que deben satisfacer las variables, de acuerdo a
las limitaciones impuestas por cada situación en particular.
Para resolver un problema de este tipo, tal como siempre lo hicimos, lo primero que se
debe hacer es un buen planteo matemático del mismo. A continuación desarrollamos
un ejemplo.
n Ejemplo 5.11:
Un analista financiero desea comprar un máximo de 500 bonos entre dos tipos
posibles, que llamaremos I y II. Un bono de tipo I produce utilidades de $100 y
uno de tipo II de $200. Debido a indicaciones de su cliente, no debe comprar
más de 200 bonos de tipo I. Además, se sabe que se requiere de una inversión
de $2 y $6 respectivamente por cada tipo de bono. ¿Cuántos bonos de cada tipo
deberá comprar si dispone de un total de $1200 y su objetivo es maximizar las
utilidades?
Definición de incógnitas
x1 : cantidad de bonos I a comprar .
x2 : cantidad de bonos II a comprar.
27676
Planteo del problema
Sabemos que cada bono I produce una utilidad de $ 100, por lo que la utilidad
total para estos bonos es 100 x1. De la misma manera, la utilidad por los bonos
II es 200 x 2. Entonces, nuestra función objetivo es:
z = 100 x 1 + 200 x2
Z: representa la Utilidad Total que deseamos maximizar.
Nuestras limitaciones están relacionadas con la cantidad total de bonos, con la
cantidad máxima de bonos I a comprar y con el dinero disponible. Entonces las
restricciones se expresan como:
x1 + x2 ≤ 500
deseamos comprar como mínimo 500 bonos
x1 ≤ 200
no podemos comprar más de 200 bonos I.
2 x1 + 6 x2 ≤ 1200
tenemos para invertir no más de $1200.
Finalmente, el modelo de Programación Lineal queda planteado de la siguiente
manera:
Max
z = 100 x 1 + 200 x 2
Función Objetivo
Sujeto a:
Las variables de decisión x 1 y
x 2 deben ser mayores o
iguales que cero, ya que
representan cantidades de
bonos a comprar
x 1 + x 2 ≤ 500
x 1 ≤ 200
Restricciones específicas o estructurales
del problema
2 x1 + 6 x 2 ≤ 1200
x1 ≥ 0 ;
x2 ≥ 0
Restricciones de no negatividad.
En general, para plantear un problema de Programación Lineal se recomienda tener en
cuenta los siguientes pasos:
Planteo de un
problema de
Programación Lineal
1. Leer con cuidado el enunciado del problema.
2. Identificar la función objetivo. Es decir, ¿qué debe maximizarse o minimizarse?
3. Determinar las variables de decisión. Para esto se debe preguntar, ¿cuál es el
conjunto de valores que tienen efecto directo en la obtención del objetivo?
4. Establecer las restricciones, para lo que se debe tener en cuenta las limitaciones
enunciadas en el problema.
5. Formular por escrito el modelo matemático. Debe comenzar por escribir la función
objetivo, luego las restricciones impuestas al problema y finalmente no olvidarse de
las restricciones de no negatividad.
Nuestro objetivo no es sólo plantear los problemas, sino que además debemos
resolverlos. Esto es, encontrar el conjunto de valores para las variables de decisión que
verifiquen el sistema de restricciones, incluidas las de no negatividad y además que
optimicen la función objetivo.
277
Solución de un
Problema de
Programación Lineal.
S es el conjunto
solución del sistema de
inecuaciones
representado por las
restricciones.
Como el conjunto de restricciones conforman un sistema de inecuaciones,
generalmente existe un número infinito de soluciones para el mismo. Cada una de ellas
es llamada solución factible o posible y al conjunto de todas estas soluciones se lo
conoce como conjunto factible (S). Dicho conjunto es siempre convexo y dentro de
él se enc uentran aquella o aquellas soluciones que optimizan la función objetivo y que
llamamos Solución Óptima.
Por esta razón, cuando resolvemos un problema de Programación Lineal comenzamos
buscando el conjunto de soluciones factibles S, para luego detectar cuál o cuáles de las
soluciones pertenecientes a este conjunto optimizan la función objetivo.
Importante: La solución óptima es siempre una solución factible, pero no toda
factible es óptima.
Como mencionamos anteriormente, estos problemas en la realidad involucran un gran
número de variables. Nosotros, para simplificar y comprender las metodologías de
búsqueda de soluciones óptimas, nos centramos primero en el caso particular de dos
variables de decisión.
Antes de abocarnos al problema de encontrar soluciones óptimas, definimos el
concepto de región acotada, que nos ayudará a expresarnos formalmente.
Región Acotada
Definición 5.10 : Una región S del plano es acotada si existe un círculo de radio
finito que contiene a S. Caso contrario es no acotada.
n Ejemplo 5.12:
El conjunto solución del sistema de
 2x + 2y< 2
resuelto en el
 y − x ≤2
inecuaciones 
ejemplo 5.9 , apartado a) es no acotado, como
puede observarse en la Figura 9. Es imposible
construir un círculo que lo contenga.
Figura Nº 9
n Ejemplo 5.13:
El conjunto solución del sistema de
2y ≥ 2
 x+

inecuaciones  y − 0.1 x < 2 del ejemplo

x<2

5.9 , apartado b) es acotado ya que se
puede encerrar en un círculo de radio
finito . (ver Figura 10)
27878
Figura Nº 10
Recuerde que, en
general, las soluciones
factibles son infinitas.
Retom amos ahora el problema de encontrar las soluciones óptimas de un problema de
Programación Lineal. Un procedimiento para la determinación de dichas soluciones
óptimas es valuar la función objetivo en cada una de las soluciones factibles y la
solución óptima es aquella que le da el mejor valor. Pero como esto en la práctica no se
puede realizar, es importante el teorema que enunciamos a continuación, ya que nos
ayuda a identificar dentro de este conjunto a las soluciones óptimas, si existen.
Teorema 5.1:
Si un problema de Programación Lineal tiene una única solución, entonces ésta
debe aparecer en un vértice del conjunto factible asociado al problema. Además, si
la función objetivo P se optimiza en dos vértices adyacentes de S , entonces se
optimiza en todos los puntos del segmento de recta que une estos vértices, en cuyo
caso el problema tiene infinitas soluciones.
S es el conjunto de
soluciones factibles o
posibles.
La importancia de este teorema radica en que limita la búsqueda de soluciones óptimas.
Es decir, nos señala que nunca encontraremos soluciones óptimas en el interior del
conjunto factible, sino que sólo debemos considerar sus vértices para valuar la función
objetivo y quedarnos con aquel que le aporta el mejor valor (el más alto en caso de
máximo y el más bajo en problemas de mínimo).
Una idea geométrica que ayuda a comprender el resultado de este teorema, es la que
presentamos a continuación:
Supongamos que debemos resolver un problema de Programación Lineal con dos
variables de decisión x e y. La función objetivo se expresa como: z = ax + by y la
región factible es un conjunto convexo, como por ejemplo:
Dirección de
Aumento de
Z
Dirección de
Disminución de
Z
Si igualamos la función objetivo a una constante K, obtenemos la recta ax + by = k que
representa, por ejemplo, la utilidad constante o bien los costos constantes, dependiendo
del problema en particular que estemos resolviendo. Es intuitivamente claro que el valor
que optimiza la función objetivo se obtendrá cuando dicha recta pase por un vértice del
convexo. Esto se muestra en los siguientes gráficos:
(a)
Figura Nº 11
(b)
279
Observe que al mover la recta ax + by = k, con b > 0 hacia arriba, la función objetivo
va aumentando su valor, mientras que cuando se la traslada hacia abajo, su valor
disminuye. De tal forma, el mínimo y el máximo de z ocurren cuando la recta hace su
primer y último contacto con la región factible (Figura Nº 11 (a)). En cambio, si la recta es
ax + by = k, con b < 0, la función objetivo aumenta su valor cuando se la traslada
hacia abajo y disminuye cuando se la mueve hacia arriba. El valor mínimo y máximo de
z se dan cuando la recta hace su último y primer contacto con el convexo.
En la Figura Nº 11(b) , como la función objetivo es paralela al lado del convexo donde
se alcanza el valor óptimo, entonces z alcanza dicho valor en todos los puntos del
segmento. La recta ahora pasa por dos vértices adyacentes.
Describimos los pormenores de esta idea en el ejemplo:
n Ejemplo 5.14:
Supongamos que se quiere optimizar (maximizar o minimizar) la función objetivo
z = 2x + 2y, cuyo conjunto de soluciones factibles se muestra en la Figura
Nº12.
Observe que k no
afecta a la pendiente
de la recta.
Si damos a z un valor determinado k, el
conjunto solución de la ecuación k = 2x+ 2y
es la recta y = –x +
k
.
2
Si consideramos distintos valores de k,
obtenemos rectas paralelas entre sí, con
ordenada al origen
k
.
2
Por lo tanto, si queremos maximizar
(minimizar) z debemos encontrar entre estas
rectas aquella que toque el conjunto de
soluciones factibles (pues x e y deben
verificar las restricciones), y que tenga mayor
(menor) ordenada al origen ya que buscamos
el valor de k más grande (más chico).
Observe: En este
caso, ninguna recta
que corte al conjunto
factible puede alcanzar
una ordenada mayor
que la de la recta R4.
Como observamos en la Figura Nº13, entre
todas las rectas paralelas, la de mayor
ordenada al origen es la R4, que cumple con
las restricciones del problema (ya que toca el
conjunto factible) y maximiza el valor de z.
Figura Nº 12
R4
R3
R2
R1
Figura Nº 13
Mientras que la de menor ordenada es R1 que es la que minimiza la función
objetivo z. En otras palabras, el problema tiene única solución óptima, ésta se
alcanza en un vértice del conjunto de soluciones factibles.
El máximo de z está dado por el valor de k que queda determinado por la
ordenada al origen de la recta R4. El mínimo de z es cero ya que la ordenada al
origen de R1 es cero.
28080
El conocer la ubicación de las soluciones óptimas, nos invita a imaginar las distintas
situaciones que pueden presentarse al optimizar una función objetivo. Es claro que la
existencia o no de soluciones depende no sólo de la función objetivo, sino también del
conjunto factible asociado al problema. Las únicas posibilidades que se presentan al
resolver un problema de Programación Lineal son:
Clasificación de un
problema de
Programación Lineal
según sus soluciones
o Solución Única
Cuando el óptimo de Z se alcanza en sólo un
vértice del conjunto de soluciones factibles o
posibles del problema. En la región que se
muestra como ejemplo en la Figura Nº 14, esto
ocurre en el vértice D, ya que la recta que pasa
por él es la que tiene mayor ordenada al origen.
Z
B
A
?
?
?
D
?
C
Figura Nº 14
o Soluciones Múltiples (infinitas)
El óptimo se alcanza en dos vértices adyacentes
del conjunto de soluciones factibles, es decir, si
la función objetivo Z se optimiza en dos vértices,
entonces también lo hace en todos los puntos del
segmento que los une. Esta es una situación de
infinitas soluciones óptimas.
Por ejemplo, en la Figura Nº 15 , si el problema
es de máximo, z se optimiza en todos los puntos
del segmento que une los vértices C y B.
B•
•C
A
•
Z
•
D
Figura Nº 15
También es posible encontrar problemas de programación lineal con solución no
acotada o sin solución.
o Solución no acotada
Cuando el conjunto de soluciones posibles es no acotado, dependiendo del
comportamiento de la función objetivo, el problema puede tener solución o tener
solución no acotada.
Esto último significa en un problema de máximo, que el valor de la función objetivo
aumenta indefinidamente (Figura Nº 16a) y en uno de mínimo, que disminuye
indefinidamente (Figura Nº 16 b)).
?
(a) La función objetivo crece
indefinidamente
Figura Nº 16
(b) La función objetivo decrece
indefinidamente
281
En los problemas de la realidad, esta situación significa que el modelo matemático
no representa correctamente el problema. Esto suele deberse a que no se ha
considerado en el planteo alguna limitación o restricción.
o Solución no factible
Este caso se da cuando no existen soluciones
para el conjunto de inecuaciones, es decir, no
hay soluciones factibles o el conjunto de
soluciones factibles es vacío ( Figura Nº 17). En
los problemas reales esto suele presentarse
cuando hay restricciones contrapuestas en el
planteo matemático del problema.
Figura Nº 17
De acuerdo con la clasificación anterior, un problema de PL puede tener solución única
o infinita, solución no acotada, o solución no factible.
El siguiente teorema establece ciertas condiciones que aseguran la existencia de
soluciones óptimas.
Teorema de
existencia de
soluciones
Teorema 5.2:
Dado un problema de Programación Lineal cuyo conjunto de soluciones factibles es
S , y la función objetivo es de la forma z = a x + b y, entonces:
1. Si S es acotado, entonces z tiene un valor máximo y un valor mínimo en S .
2. Si S es no acotado y tanto a como b son no negativos, entonces z tiene un
valor mínimo en S .
3. Si S es el conjunto vacío, entonces el problema de programación lineal no
tiene solución, es decir, z no tiene un valor máximo ni uno mínimo.
En cualquier otro caso, la existencia de soluciones dependerá de S y de la función
objetivo.
Analizadas las distintas posibilidades de solución de los problemas de Programación
Lineal, debemos ahora concentrarnos en estudiar los procedimientos para encontrar las
soluciones óptimas. Básicamente existen dos: Método Gráfico y Método Simplex. El
Método Gráfico es de utilidad cuando intervienen dos variables de decisión con pocas
restricciones, mientras que el Método Simplex es más general y como consiste en un
procedimiento repetitivo admite ser programado con un lenguaje de computación.
282282
REPASO TEÓRICO – Sección 5.2
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Cuáles son las características que determinan
que un problema sea de Programación Lineal? Dé
un ejemplo de la realidad.
9. ¿Puede haber más de una solución óptima? ¿En
qué caso?
2. ¿Cuál es la expresión general de un problema de
Programación Lineal?
10. ¿Puede no haber solución óptima? ¿En qué
caso? ¿Qué interpretación puede tener la no
existencia de soluciones en la realidad?
3. ¿Por qué causas se incluyen las restricciones de
no negatividad?
11. ¿Cuándo se dice que el conjunto de soluciones
factibles es acotado?
4. Desde el punto de vista gráfico ¿qué significan las
condiciones de no negatividad?
12. ¿Qué tipo de soluciones tiene un problema de
Programación Lineal si la región de soluciones
factibles es acotada? ¿y si no lo es?
5. ¿A qué se llama solución factible de un problema
de Programación Lineal?
6. Un problema de programación lineal ¿siempre
tiene soluciones factibles?
7. ¿A qué se llama solución óptima?
13. ¿Puede un problema de Programación Lineal
tener soluciones no acotadas? ¿Cuándo? ¿Con
qué situaciones de la realidad se lo asocia?
14. Realice una síntesis con los distintos tipos de
soluciones que puede tener un problema de P.L.
8. Dentro el conjunto de soluciones posibles ¿dónde
se ubican las soluciones óptimas si existen?
EJERCICIOS – Sección 5.2
Los siguientes gráficos representan el conjunto factible
de un problema de Programación Lineal. Encuentre un
conjunto de restricciones cuya solución sea la región
sombreada S. El conjunto graficado ¿es o no acotado?
1.
3.
4.
2.
Los siguientes sistemas de inecuaciones representan
restricciones de diversos problemas de PL. En cada
caso, grafique el conjunto de soluciones factibles e
indique si el mismo es o no acotado. Encuentre las
coordenadas de los vértices.
283
 −2x + y ≤ − 1

x + 2y ≤ 18


5. − 4x + 5y ≥ − 7

y + 2x ≥ 7


x ≥0 y ≥0
 −2x + y ≤ − 1

x + 2y ≥ 18


6. − 4x + 5y ≥ − 7

y + 2x ≥ 18


x ≥0 y ≥0
 − 2x + 3y ≤ 6

x + 4y ≤ 19


7. − 4x + 5y ≥ − 7
 2y + 3x ≤ 27


x ≥0 y ≥0
 −x + y ≤ 3

 x+ y ≥ 3

8.  x − 4y ≤ 3
 3x + 2y ≤ 27

 x ≥ 0 y ≥ 0
9.
 x + 10y ≥ 12

 12x + y ≥ 15

 2x + y ≥ 5

x≥0 y≥0

 − x + 3y ≤ 6

x − 2y ≤ 5
11. 
x≥ 2


y≥ 0

 −x + y ≤ 6

x − y≤ 8
10. 
x≥ 1


y≥ 1

 x+ y≤ 6

2x − y ≤ 4
12. 
x≥ 8


y≥ 2

Indique cuál o cuáles de las siguientes restricciones no
pueden encontrarse en el planteo de un problema de
programación lineal. Justifique claramente su respuesta.
13. − x + 5 y ≤ 6
14.
1
− 2x + 3y ≥ 2
2
15. 4xy – y ≤ 1
16. 5x − 3y < 4
17. 9x + 2y ≥ –3
18.
5
3
x1 +
x2 ≤ 2
4
4
19. 3 x + 6y ≤ 9
20. 7x + 1= 3y
En los siguientes problemas defina las variables de
decisión y realice los planteos correspondientes.
21. En un campo se preparan dos tipos de alimentos
para ganado porcino, estándar y para engorde,
mezclando dos clases de cereales A y B. Cada
bolsa de alimento estándar contiene 4 kg . del
cereal A y 6 kg. del B, mientras que cada bolsa
284284
del alimento para engorde está compuesto por 5
kg . del cereal A y 15 kg. del B. Cada bolsa de
alimento estándar se vende a $150 y cada una
de engorde a $400. Si en el campo hay
almacenados 40 kg. del cereal A y 75 kg. del B,
¿cuántas bolsas de cada tipo de alimento
conviene preparar si se quiere maximizar la
ganancia?
22. Una fábrica produce mensualmente un máximo
de 400 unidades de zapatillas de carrera y 300
de tenis, y debido a limitaciones de horas de
mano de obra, la producción total no puede
superar las 500 zapatillas. Si las de tenis valen
$250 y las de carrera la mitad ¿cuántas le
conviene fabricar de cada una para maximizar el
ingreso?
23. Un supermercado tiene almacenados 800 kg. de
naranjas y 800 kg. de manzanas. Para su venta,
se preparan dos bolsones que denominamos A y
B. El bolsón A contiene 1 kg. de naranjas y 2
kg. de manzanas, mientras que el bolsón B,
tiene 2 kg. de naranjas y 1 kg. de manzanas. El
beneficio que se obtiene con el bolsón A es de
$5 y con el bolsón B de $4. ¿Cuántos bolsones
de cada tipo se deben preparar para la venta, de
modo de obtener el máximo beneficio?
24. Un horticultor desea mezclar dos tipos de
fertilizantes A y B, de manera que contenga por
lo menos 200gr. de potasa, 300gr . de nitratos y
360gr. de fosfatos. El fertilizante A proporciona
1gr . de potasa, 3gr. de nitratos y 1gr . de fosfato,
mientras que el fertilizante B proporciona 1gr . de
potasas, 1gr. de nitratos y 3gr . de fosfatos. Los
precios de los fertilizantes son respectivamente
de $6 y $8. Determine cómo debe hacerse la
mezcla para que el costo sea mínimo.
25. El señor González se dedica al reparto de
revistas en un pequeño pueblo de nuestra
provincia. El distribuidor le paga 20 centavos por
cada revista A y 30 centavos por cada revista B
que entrega. Debido a su edad, no puede
realizar largos recorridos en su bicicleta, ni
cargar demasiado peso, por lo que lleva un
máximo de 25 revistas A y 20 B . Por otro lado,
ha calculado que cada vez que realiza este
reparto a lo sumo entrega 40 ejemplares en total.
Teniendo en cuenta estas limitaciones, el señor
González desea saber cuántas revistas de cada
clase deberá repartir para que su beneficio sea
máximo ¿puede Ud. ayudarlo con la solución de su
problema?
26. La verdulería de Don Tito necesita diariamente 16
kg . de lechuga, 5 kg. de zanahoria y 20 kg . de
tomate para satisfacer los pedidos de sus clientes.
Puede comprar esta mercadería en dos granjas
cercanas a nuestra ciudad, sólo que éstas no
venden por kilo si no que ofrecen cajones con
mezcla de verduras. La granja A ofrece cajones
con 8 kg. de lechuga, 1kg. de zanahoria y 2kg de
tomate. Por su parte, la granja B prepara cajones
con 2, 1 y 7 kg respectivamente. Cada cajón de A
le cuesta a Don Tito $10, mientras que por los de
B paga $15. ¿Cuántos cajones debe comprar Don
Tito diariamente a cada granja para satisfacer la
demanda de sus clientes y simultáneamente
minimizar sus costos?
27. Un vendedor de libros tiene almacenados en su
negocio 180 libros de la Editorial Aprender y 80 de
la Editorial Maestro, ambas especializadas en
libros para el nivel primario. Debido a que la venta
de los mismos ha decaído, decidió preparar dos
lotes de oferta orientados a las necesidades de las
bibliotecas escolares. El lote A consta de 6 libros
de la Editorial Aprender y 1 de la Editorial Maestro,
que venderá a $80 y el B está constituido por 2
libros de Aprender y 2 de Maestro, que venderá a
$100. ¿Cuántos lotes de cada tipo deberá
preparar de tal manera que la ganancia sea
máxima?
28. Los alumnos de cierto colegio pretenden vender
dos tipos de lotes, A y B, para cubrir los gastos del
viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta de
una caja de alfajores y cinco bocaditos de
chocolate, mientras que cada lote de tipo B consta
de dos cajas de alfajores y dos bocaditos. Por
cada lote de tipo A vendido, los alumnos obtienen
un beneficio de $6 y por cada lote de tipo B $10.
Por razones de almacenamiento, pueden disponer
a lo sumo de 400 cajas de alfajores y de 1200
bocaditos de chocolate. Si el objetivo es maximizar
el beneficio ¿cuántos lotes de cada tipo se deben
preparar para la venta?
29. Una compañía fabrica dos modelos de celulares,
cada uno en una línea de producción diferente.
La capacidad diaria máxima de la primera línea
es de 60 unidades, mientras que la de la
segunda es de 75 celulares. Cada unidad del
primer modelo utiliza 10 horas-hombre para su
fabricación, en tanto que cada unidad del
segundo modelo requiere ocho horas-hombre. Si
la disponibilidad diaria máxima es de 800 horashombre y la ganancia por celular de los modelos
1 y 2 es $60 y $40, respectivamente, determine
la producción diaria óptima de cada modelo de
celular de tal manera de maximizar la ganancia.
30. Una persona que desea adelgazar debe mezclar
dos productos A y B siguiendo estrictamente las
indicaciones del médico. Diariamente debe tomar
no menos de 100 gr., ni más de 300 gr. de la
mezcla. Se recomienda además, que el
preparado debe contener un máximo de 200gr. de
A y la cantidad de B no debe superar la de A. Si
cada 100gr. de A contiene 60mg. de vitaminas y
450 calorías, mientras que cada 100 gr. de B
contiene 40 mg. de vitaminas y 150 calorías.
¿Cuántos gramos de cada producto debe
mezclar para minimizar las calorías? ¿Y cuántos
para maximizar las vitaminas?
31. Un administrador de fondos de empresas fue
autorizado por uno de sus principales clientes a
realizar una inversión no mayor de 800000
dólares en dos fondos de inversión I y II. Cada
unidad del fondo I cuesta 25 dólares y tiene una
tasa de rendimiento anual del 10%, mientras
que los del fondo II cuestan 50 dólares con una
tasa de rendimiento anual del 6%. El cliente
puso como condición que el rendimiento anual
no debía ser inferior a 50000 dólares.
El objetivo del administrador es minimizar los
riesgos de la inversión, que se mide con un
índice que indica mayor riesgo cuanto más alto
es su valor. De acuerdo con sus estudios
preliminares, el riesgo de cada unidad del fondo I
es 6 y el de cada unidad del fondo II es 3. ¿De
285
qué modo debe realizar la inversión de tal manera
que el riesgo sea mínimo?
32. De acuerdo con recomendaciones médicas, una
persona debe ingerir semanalmente como mínimo
16 unidades de proteínas, 24 de hidratos de
carbono y 18 de grasas. Para lograr esto puede
mezclar dos productos A y B que por kilogramo
contienen:
Unidades por kg.
Grasas
Hidratos de Carbono
Proteínas
Producto A
2
12
4
Producto B
6
2
2
Cada kilogramo de los productos A y B cuesta $12
y $8 respectivamente. ¿Cuántos kilogramos de
cada producto debe esta persona comprar por
semana de manera de cumplir con las
recomendaciones de su médico y minimizar los
costos del tratamiento?
33. Una fábrica de cerámicos produce tres diseños
económicos que vende a $100, $120 y $140 el
grupo de 100 unidades de cada tipo. Durante el
proceso de fabricación, estos cerámicos deben
pasar por tres etapas: mezclado, horno e
inspección. Cada 100 unidades del diseño I se
necesita media hora de mezclado, 1 h. de horno y
0.5 h. de inspección. Por otro lado, la mism a
cantidad de cerámicos del diseño II requiere de 1,
2 y 0.5 horas respectivamente. Mientras que el
grupo de diseño III necesita 0.8, 1.5 y 1 hs . de
cada etapa respectivamente. Para el próximo mes
se dispone de 800 horas de máquina para
mezclado, 1000 horas de horno y 340 horashombre para la inspección. Si la f ábrica desea
maximizar sus utilidades dentro de este período
¿cuántos cerámicos de cada diseño le conviene
fabricar el próximo mes?
34. Un analista financiero evalúa la posibilidad de
invertir el dinero de uno de sus clientes en distintas
286286
acciones del mercado. Las tres opciones que
está considerando y la información relacionada
con cada una, se muestran en la siguiente tabla:
DATOS FINANCIEROS
A
B
C
Precio por acción
200
100
160
Tasa anual de rendimiento
0.12
0.08
0.10
Su cliente ha impuesto algunas condiciones para
hacer efectiva la inversión: En primer lugar desea
que la inversión sea la mínima posible. Se deben
comprar por lo menos 500 acciones A y 300 C.
Las acciones B no deben superar las 200. La
cartera debe tener por lo menos 100 acciones de
cada tipo. El rendimiento anual de la cartera de
acciones debe ser de por lo menos 20000
dólares. ¿Cómo debe conformar el analista la
cartera de acciones de tal manera de satisfacer
los requerimientos de su c liente?
35. Una concesionaria de autos vende tres modelos
de una misma marca; el modelo A es el más
caro y completo de todos, con el que gana
$10000 por unidad vendida; el modelo B es el
de tamaño intermedio y le genera una ganancia
de $7.000 por unidad y finalmente el modelo C,
de tres puertas, que le reditúa $4000. Por
exigencia de la fábrica, se deben vender
mensualmente menos de 10 coches del modelo
A y como máximo 50 del B. Sabiendo que el
número máximo de coches que puede vender
entre todos los modelos es de 100 unidades
mensuales y que la cantidad vendida del modelo
C debe superar el 30% de la cantidad vendida
de los otros dos, determine cuántos coches debe
vender de cada modelo para que su beneficio
sea máximo.
5.3 – MÉTODO GRÁFICO
Cuando en un problema de Programación Lineal intervienen más de dos variables, la utilidad de las técnicas
gráficas disminuye. En el caso de tres variables, aunque con ciertas dificultades e imprecisiones, es posible todavía
realizar una representación gráfica del conjunto factible; con cuatro variables o más es totalmente imposible. Por lo
tanto, este método queda restringido a problemas que incluyen sólo dos variables de decisión, tanto en la función
objetivo como en las restricciones.
La idea que fundamenta este método surge del Teorema 5.1 pues permite identificar, a partir del gráfico del
conjunto factible, los vértices en los cuales debemos valuar nuestra función objetivo.
Pero ¿cómo debemos proceder si deseamos hallar la solución con este método?
Aconsejamos seguir los siguientes pasos:
Procedimiento del
Método Gráfico
1. Graficar el conjunto de soluciones factibles del problema (conjunto de puntos que
verifican simultáneamente todas las restricciones).
2. Encontrar los valores que asumen las incógnitas en los vértices del conjunto
factible (por medio de las intersecciones de las rectas adecuadas).
3. Valuar la función objetivo en dichos vértices.
4. Seleccionar la o las soluciones óptimas (aquellas que maximicen o minimicen,
según sea el caso, la función objetivo)
En primer lugar, apliquemos este procedimiento para resolver el problema de los bonos
que planteamos matemáticamente en el Ejemplo 5.11.
n Ejemplo 5.15:
Un analista financiero desea comprar un máximo de 500 bonos entre dos tipos
posibles, que llamaremos I y II. Un bono de tipo I produce utilidades de $100 y
uno de tipo II de $200. Debido a indicaciones de su cliente, no debe comprar
más de 200 bonos de tipo I. Además, se sabe que se requiere de una inversión
de $2 y $6 respectivamente por cada tipo de bono. ¿Cuántos bonos de cada tipo
deberá comprar si dispone de un total de $1200 y su objetivo es maximizar las
utilidades?
Definición de incógnitas
x1 : cantidad de bonos I a comprar
x2 : cantidad de bonos II a comprar.
Planteo del problema
Debemos maximizar la Utilidad:
z = 100 x1 + 200 x2
Función Objetivo
287
Sujeto a:
x1 + x2 ≤ 500
x1 ≤ 200
Restricciones específicas del problema
2 x1 + 6 x2 ≤ 1200
Restricciones de no negatividad .
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
Solución
x = 200
Graficamos primero el conjunto de soluciones
factibles del problema (Figura Nº 18)
Observe que la restricción x1 + x2 ≤ 500 no
influye en el conjunto de soluciones posibles.
¿Por qué?
x + y = 500
B
D
Calculamos el valor de las incógnitas en los
vértices de este conjunto y el valor que
asume la función objetivo en cada uno de
ellos.
A
2x + 6y = 1200
C
Figura Nº 18
Las coordenadas de A, B y C son fáciles de encontrar, basta recordar que los
puntos ubicados sobre el eje x tienen ordenada cero y los ubicados sobre el eje y
tienen abscisa igual a cero.
Para hallar el valor de las incógnitas en el vértice D, se debe buscar la
intersección de las rectas 2x1 + 6 x2 = 1200 y x1 = 200. Esto implica resolver
el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
x1 = 200
2 x1 + 6 x2 = 1200
La siguiente Tabla resume la información obtenida:
Vértice
x1
x2
Z = 100 x1+ 200x2
A
0
0
0
B
0
200
40000
C
200
0
20000
D
200
400/3
46666.667
Como el conjunto de soluciones factibles es acotado, el Teorema 5.2 asegura
que Z alcanza el máximo en el conjunto, y el Teorema 5.1, que este valor se
alcanza en un vértice. De acuerdo con lo que podemos observar en la tabla, el
valor máximo de las utilidades es de $ 46666.667 y ocurre en el vértice
(200, 400/3 ).
28888
Conclusión:
El analista financiero debe comprar 200 bonos I y 400/3 bonos II. De esta
manera la Utilidad máxima es $ 46666.667.
Observación: Los valores de la solución óptima no se pueden redondear, es decir,
debe respetarse exactamente el resultado obtenido.
n Ejemplo 5.16:
Un fabricante de electrodomésticos produce dos tipos de calefactores: el modelo
A con el que obtiene una ganancia de $100 por unidad y el modelo B con $120
de ganancia por unidad. Puede fabricar hasta 600 unidades del modelo A y 500
unidades del modelo B por mes. Si sólo dispone de mano de obra para producir
un máximo de 900 calefac tores mensualmente. ¿Cuántos de cada tipo debe
fabricar para obtener la máxima ganancia?
Definición de incógnitas
x : cantidad de calefactores a fabricar del modelo A
y : cantidad de calefactores a fabricar del modelo B.
Planteo del problema
Resumimos primero los datos que nos proporciona el problema en la siguiente
tabla:
Ganancia
Limitación máxima de producción
Modelo A
$100
600
Modelo B
$120
500
Función Objetivo
Estamos en condiciones de plantear nuestro problema:
P = 100x + 120y
Se solicita que maximicemos la Ganancia P. Esta será la suma de
la ganancia obtenida con la venta de x unidades del calefactor del
modelo A más lo que le signifique en ganancias el vender y
unidades del calefactor del modelo B.
Sujeto a:
289
Restricciones impuestas al
problema o condiciones a
cumplir
x ≤ 600
Indica que no se puede fabricar más de 600 calefactores del
modelo A.
y ≤ 500
Indica que no se puede fabricar más de 500 calefactores del
modelo B.
x + y ≤ 900
Indica que se pueden fabricar hasta 900 calefactores entre los
dos modelos.
x ≥0 ;y≥0
Las dos últimas restricciones nos indican que las cantidades a fabricar de ambos
modelos no pueden ser negativas.
Solución
Siguiendo los pasos del Método Gráfico,
dibujamos el conjunto de soluciones
factibles (S ), como éste es una región
acotada, el Teorema 5.2 afirma que la
función objetivo alcanza un máximo en
dicha región. (Figura Nº 19)
Buscamos los valores de las incógnitas x e
y, en los vértices de la región S (Teorema
5.1). Realizamos las intersecciones entre
las rectas afectadas en cada vértice y
obtenemos:
y
x ≤ 600
El conjunto de soluciones
factible S se obtiene de la
intersección de los
semiplanos solución de cada
una de las restricciones.
C
B
y ≤ 500
D
S
x + y ≤ 900
x
A
E
Figura Nº 19
Vértice
x
y
A
0
0
B
0
500
C
400
500
D
600
300
E
600
0
Valuamos la función objetivo en estos puntos:
Vértice
x
y
P = 100 x + 120 y
A
0
0
0
B
0
500
60 000
C
400
500
100 000
D
600
300
96 000
E
600
0
60 000
Por simple inspección, observamos que en el vértice C la función objetivo
alcanza el valor máximo.
2900
Entonces la Solución Óptima es x = 400 e y = 500, la ganancia es $100000.
Conclusión
Se aconseja al fabricante producir 400 unidades del calefactor del modelo A y
500 unidades del calefactor del modelo B para obtener una ganancia máxima de
$100000.
n Ejemplo 5.17:
Un horticultor desea mezclar dos tipos de fertilizantes F1 y F2 para conseguir un
mínimo de 15 kg. de potasa, 20 de nitratos y 24 de fosfatos. Cada unidad del
fertilizante F1 le proporciona 1kg. de potasa, 5 de nitratos y 2 de fosfatos,
mientras que el fertilizante F2 contiene 3kg. de potasa, 1 de nitratos y 3 de
fosfatos por unidad. Los precios por unidades del Fertilizante 1 y del Fertilizante
2 son respectivamente $200 y $400. Determine cómo debe hacerse la mezcla
para que el costo sea mínimo.
Definición de incógnitas
x : cantidad de unidades a comprar del fertilizante 1
y : cantidad de unidades a comprar del fertilizante 2
Planteo del Problema
Función Objetivo
Sintetizamos los datos de nuestro problema en la siguiente tabla:
Potasa
Nitrato
Fosfatos
Precio
Fertilizante 1
1
5
2
200
Fertilizante 2
3
1
3
400
Requerimiento
15
20
24
C = 200x +400y
Se solicita minimizar el Costo C. Este será la suma del costo
debido a la compra de x unidades del fertilizante 1 más el costo
de comprar y unidades del fertilizante 2.
Sujeto a:
291
Restricciones impuestas al
problema o condiciones a
cumplir
x + 3y ≥ 15 cantidad de kg. de potasa que aporta por unidad el fertilizante 1 más la
cantidad en kg. de potasa que aporta por unidad el fertilizante 2 debe
ser mayor o igual a 15 kg.
5x + y ≥ 20 cantidad de kg. de nitrato que aporta por unidad de fertilizante 1 más
la cantidad en kg. de nitrato que aporta por unidad de fertilizante 2
debe ser mayor o igual a 20 kg.
2x + 3y ≥ 24 cantidad de kg. de fosfato que aporta por unidad el fertilizante 1 más la
cantidad en kg. de fosfato que aporta por unidad el fertilizante 2 debe
ser mayor o igual a 24 kg.
x≥0,y≥ 0
condiciones de no negatividad de las incógnitas o variables.
Solución
El conjunto de soluciones
posibles es siempre un
conjunto convexo.
Si el conjunto factible es no
acotado y no podemos usar
el Teorema 5.2, no es
conveniente que se aplique
este método pues puede no
detectar una solución no
acotada.
Graficamos el conjunto factible (Figura Nº
20) . La región no es acotada y por el
Teorema 5.2 , como los coeficientes de la
función objetivo son no negativos, sabemos
que tiene un mínimo. De acuerdo al
Teorema 5.1 alcanza dicho valor en un
vértice.
A
5x+ y =
B
2x +
x + 3y =
C
D
Figura Nº 20
Encontremos el valor de las incógnitas o
variables en los vértices:
El vértice A se obtiene de la intersección de la recta 5x + y = 20 con el eje y,
es decir, tiene coordenadas (x, y) = (0, 20).
El vértice B resulta de la intersección de la recta 5x + y = 20 con la recta
2x + 3y = 24. Para encontrar las coordenadas de este vértice resolvemos el
sistema compuesto por estas dos ecuaciones, utilizando cualquiera de los
métodos estudiados anteriormente. La solución es (x, y) = (36/13, 80/13).
En tanto, el vértice C es la solución del sistema compuesto por las ecuaciones de
la recta 2x + 3y = 24 y la recta x + 3y = 15. La coordenadas de dicho vértice
son (x, y) = (9, 2).Finalmente el vértice D se obtiene de la intersección de la
recta x + 3y = 15 con el eje x (y = 0). Esto es (x, y) = (15, 0).
Valuamos la función objetivo en cada uno de los vértices:
Vértice
x
y
C = 200 x + 400 y
A
0
20
8 000
B
36/13
80/13
3 015,39
C
9
2
2 600
D
15
0
3 000
Claramente el valor mínimo de la función objetivo se alcanza en el vértice C.
29292
Conclusión
Note: Si bien el conjunto
factible es no acotado, la
solución óptima es única.
Se debe comprar 9 unidades del fertilizante 1 y 2 unidades del fertilizante 2 para
alcanzar un costo mínimo de $2600.
En los ejemplos anteriores se trabajaron problemas con solución única. Analicemos a
continuación un caso donde la función objetivo se optimiza en dos vértices consecutivos
del convexo formado por las soluciones posibles.
n Ejemplo 5.18:
Un fabricante construye dos modelos de cierto producto A y B , que le reportan
$20 y $10 de ganancia por unidad, respectivamente. La fábrica está dividida en
las secciones I y II. El modelo A requiere 2hs. en la sección I y 1hs. en la
sección II , mientras que el modelo B necesita 1hs. en la sección I y 3 horas en la
sección II . Si en la sección I se dispone semanalmente de 50 horas libres y en la
II de 40 horas libres, determine la cantidad semanal de modelos a fabricar para
maximizar la ganancia.
Definición de incógnitas
x: cantidad de modelos A a fabricar .
y: cantidad de modelos B a fabricar.
Planteo del Problema
De la misma forma que analizamos los casos anteriores, comenzamos
identificando los datos:
Modelo A
Modelo B
Disponibilidad de horas semanales
Sección I
2
1
50
Sección II
1
3
40
Ganancia
$20
$10
Función Objetivo
Si consideramos las relaciones impuestas por el enunciado del problema que
vinculan los datos con las incógnitas, el modelo matemático resultante es:
G = 20x + 10y Debemos maximizar la Ganancia G. Esta será la suma de la
ganancia obtenida con la venta de x cantidades del producto A
más lo que le signifique en ganancias vender y unidades del
producto B.
293
Restricciones impuestas al
problema o condiciones a
cumplir
Sujeto a:
2 x + y ≤ 50
el total de horas requeridas en la sección I no debe superar la
disponibilidad.
x + 3 y ≤ 40
el total de horas requeridas en la sección II no debe superar la
disponibilidad.
x≥0 ; y≥ 0
Solución
La Figura Nº 21 muestra el conjunto factible
asociado al problema. Por los teoremas 5.1 y
5.2 la solución óptima existe y se alcanza en
un vértice.
Para encontrar las coordenadas del vértice D,
calculemos la intersección de las rectas:
x + 3y = 40
B
2x + y = 50
D
A
C
Figura Nº 21
2 x + y = 50
x + 3 y = 40
Para ello, resolvemos el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y
obtenemos que estas rectas se cortan en el punto (x, y) = (22, 6). Por lo tanto,
los vértices y los valores que alcanza la función objetivo en cada uno de ellos
son:
Vértice
x
y
G = 20x + 10y
A
0
0
0
B
0
40/3
133.33
C
25
0
500
D
22
6
500
El valor máximo de la Ganancia Total es $ 500 y se alcanza en dos vértices:
C:(25,0) y D:(22,6) . Esto indica que el problema tiene infinitas soluciones
óptimas y que la Ganancia Total vale $ 500 en todos los puntos del segmento
que une estos dos vértices.
Note: Los infinitos puntos solución del problema se encuentran sobre la recta
2x + y = 50 con x variando entre 22 y 25 o y variando entre 0 y 6.
Compruebe que, por ejemplo, el punto (x, y) = (23, 4) es solución del
problema mientras que el punto, (x, y) = (21, 8) no lo es.
Conclusión
Para obtener una Ganancia Total máxima de $500 se pueden fabricar 25
unidades de productos del modelo A y ninguna del modelo B, o 22 unidades de
A y 6 de B, o cualquier otra combinación que corresponda a un punto del
segmento que contiene las soluciones óptimas.
29494
El método gráfico que acabamos de desarrollar, como lo dijimos al inicio de esta
sección, es de utilidad en aquellos problemas que poseen únicamente dos variables de
decisión y se verifican las condiciones del Teorema 5.2. Para resolver un problema de
Programación Lineal con más de dos incógnitas, necesitamos un método más general.
EJERCICIOS – Sección 5.3
Para cada conjunto de restricciones, calcule, si existen, los
valores máximos y mínimos de las funciones indicadas:
1.
− 2 x + y ≤ − 1

x + 2 y ≤ 18


−
4
x
+ 5 y ≥ −7


y+2x≥ 7


x≥ 0 y ≥0
z=6x+2y
p=2x+5y
6. Maximice z = 2x – 2y
ïìï 2 x - y ³ 2
ïï
x £ 4
Sujeto a ïí
ïï y £ 7
ïï
ïïî x ³ 0 y ³ 0
7. Minimice z = 2x – 2y
2.
− 2 x + y ≤ -1

x + 2 y ≥ 18


 − 4 x + 5 y ≥ -7

y + 2 x ≥ 18


x ≥0 y≥0
z = 3 x + 10 y
p= x+ 8y
3.
− 2 x + 3 y ≤ 6

x + 4 y ≤ 19


− 4 x + 5 y ≥ − 7
 2 y + 3 x ≤ 27


x ≥0 y ≥ 0
z= x+2y
p=3x − y
4.
 −x + y ≤ 3

 x + y≥ 3

 x− 4y≤ 3
3 x + 2 y ≤ 27

 x ≥ 0 y ≥ 0
5.
 x + 10 y ≥ 12

 12 x + y ≥ 15

 2x+ y≥ 5

x≥0 y ≥0

ïìï 2 x - y £ 2
ïï
x£4
Sujeto a ïí
ïï y £ 7
ïï
ïïî x ³ 0 ; y ³ 0
8. Maximice z = 3 x + 6 y
ïìï 4 x + y ³ 20
ïï
x + y £ 20
Sujeto a ïí
ïï x + y ³ 10
ïï
ïïî x ³ 0 y ³ 0
9. Minimice z = 3 x + 6 y
z = 2x + 4y
p= x+ y
z=x-2y
p=3x+y
Resuelva gráficamente los siguientes problemas de
Programación Lineal. En cada caso, indique si el conjunto
de soluciones factibles es o no acotado.
ïìï 4 x + y ³ 20
ïï
x + y £ 20
Sujeto a ïí
ïï x + y ³ 10
ïï
ïïî x ³ 0 y ³ 0
Grafique el conjunto de soluciones factibles definida
por el sistema de inecuaciones: 4x – 2y ≥ 20;
6x – 9y ≥ 0; 2x – 8y ≤ – 40; x ≥ 0; y ≥ 0. Si
existen, encuentre el máximo y el mínimo de cada
una de las siguientes funciones objetivo:
10. z = x + y
11. p = 6x +10y
12. g = 4x + 2y
295
13. Encuentre, si existen, los valores máximos y mínimos
de las funciones objetivo del ejercicio anterior con las
siguientes restricciones:
 5x + 2y ≥ 22

 6x + 7y ≥ 54

 2x + 11y ≥ 44
 4x − 5y ≤ 34

 x ≥ 0; y ≥ 0
Dada la región del plano definida por el sistema de
 8x + 10 y ≤ 80

inecuaciones:  2x + 5y ≤ 25
 x ≥ 0 y ≥ 0

14. Para qué valores de la región es máxima la objetivo
z = 300x + 800y.
15. Para qué valores de la región es máxima la función
objetivo z = 80x + 100y.
16. Para qué valores de la región es mínima la función
objetivo z = 10y – 5x.
Grafique la región del plano definida por las siguientes
inecuaciones: x + y ≥ 1; x ≤ 3; y ≤ 2; x ≥ 0; y ≥ 0.
Luego responda:
17. En qué punto o puntos de la región se maximiza la
función objetivo z = 3x + 2y.
18. En qué punto o puntos de la región se maximiza la
función objetivo z = 2x + 2y.
19. En qué punto o puntos de la región se minimiza la
función objetivo z = 3x + 2y.
20. En qué punto o puntos de la región se minimiza la
función objetivo z = 2x + 2y.
Grafique la región del plano definida por las inecuaciones:
x + y ≤ 8; x + y ≥ 4; x + 2y ≥ 6, x ≥ 0 ; y ≥0. Luego
responda:
21. En qué punto o puntos de la región se maximiza la
función objetivo: z = 3x + 3y.
22. En qué punto o puntos de la región se minimiza la
función objetivo: z = 3x + 3y.
23. En qué punto o puntos de la región se maximiza la
función objetivo: z = 2x + y.
Resuelva los siguientes problemas de Programación
Lineal usando el Método Gráfico. (Los planteos se
solicitaron en los ejercicios de la Sección 5.2)
29696
24. En un campo se preparan dos tipos de alimentos
para ganado porcino, estándar y para engorde,
mezclando dos clases de cereales A y B. Cada
bolsa de alimento estándar contiene 4 kg. del
cereal A y 6 kg. del B, mientras que cada bolsa
del alimento para engorde está compuesto por 5
kg . del cereal A y 15 kg. del B. Cada bolsa de
alimento estándar se vende a $150 y cada una
de engorde a $400. Si en el campo hay
almacenados 40 kg. del cereal A y 75 kg. del B,
¿cuántas bolsas de cada tipo de alimento
conviene preparar si se quiere maximizar la
ganancia?
25. Una fábrica produce mensualmente un máximo
de 400 unidades de zapatillas de carrera y 300
de tenis, y debido a limitaciones de horas de
mano de obra, la producción total no puede
superar las 500 zapatillas. Si las de tenis valen
$250 y las de carrera la mitad. ¿Cuántas le
conviene fabricar de cada una para maximizar el
ingreso?
26. Un supermercado tiene almacenados 800 kg. de
naranjas y 800 kg. de manzanas. Para su venta,
se preparan dos bolsones que denominamos A y
B. El bolsón A contiene 1 kg. de naranjas y 2
kg. de manzanas, mientras que el bolsón B,
tiene 2 kg. de naranjas y 1 kg. de manzanas. El
beneficio que se obtiene con el bolsón A es de
$5 y con el bolsón B de $4. ¿Cuántos bolsones
de cada tipo se deben preparar para la venta, de
modo de obtener el máximo beneficio?
27. Un horticultor desea mezclar dos tipos de
fertilizantes A y B, de manera que contenga por
lo menos 200 gr. de potasa, 300 gr. de nitratos
y 360 gr. de fosfatos. El fertilizante A
proporciona 1 gr. de potasa, 3 gr. de nitratos y
1gr. de fosfato, mientras que el fertilizante B
proporciona 1 gr. de potasas, 1 gr. de nitratos y
3 gr . de fosfatos. Los precios de los fertilizantes
son respectivamente de $6 y $8. Determine
como debe hacerse la mezcla para que el costo
sea mínimo.
28. En el problema anterior, ¿cómo debe realizarse
la mezcla si ambos fertilizantes costaran $2?
29. El señor González se dedica al reparto de revistas en
un pequeño pueblo de nuestra provincia. El
distribuidor le paga 20 centavos por cada revista A y
30 centavos por cada revista B que entrega. Debido a
su edad, no puede realizar largos recorridos en su
bicicleta ni cargar demasiado peso, por lo que lleva un
máximo de 25 revistas A y 20 B. Por otro lado, ha
calculado que cada vez que realiza este reparto a lo
sumo entrega 40 ejemplares en total. Teniendo en
cuenta estas limitaciones, el señor González desea
saber cuántas revistas de cada clase deberá repartir
para que su beneficio sea máximo, ¿puede Ud.
ayudarlo con la solución de su problema?
32. Los alumnos de cierto colegio pretenden vender
dos tipos de lotes, A y B, para cubrir los gastos
del viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta
de una caja de alfajores y cinco bocaditos de
chocolate, mientras que cada lote de tipo B
consta de dos cajas de alfajores y dos bocaditos.
Por cada lote de tipo A vendido, los alumnos
obtienen un beneficio de $6 y por cada lote de
tipo B $10. Por razones de almacenamiento,
pueden disponer a lo sumo de 400 cajas de
alfajores y de 1200 bocaditos de chocolate. Si el
objetivo es maximizar el beneficio ¿cuántos lotes
de cada tipo se deben preparar para la venta?
30. La verdulería de Don Tito necesita diariamente 16 kg.
de lechuga, 5 kg. de zanahoria y 20 kg . de tomate
para satisfacer los pedidos de sus clientes. Puede
comprar esta mercadería en dos granjas cercanas a
nuestra ciudad, sólo que éstas no venden por kilo si
no que ofrecen cajones con mezcla de verduras. La
granja A ofrece cajones con 8 kg. de lechuga, 1 kg.
de zanahoria y 2 kg. de tomate. Por su parte la granja
B prepara cajones con 2, 1 y 7 kg respectivamente.
Cada cajón de A le cuesta a Don Tito $10, mientras
que por los de B paga $15. ¿Cuántos cajones debe
comprar diariamente Don Tito a cada granja para
satisfacer la demanda de sus clientes y
simultáneamente minimizar sus costos?
33. Una compañía fabrica dos modelos de celulares,
cada uno en una línea de producción diferente.
La capacidad diaria máxima de la primera línea
es de 60 unidades, mientras que la de la
segunda es de 75 celulares. Cada unidad del
primer modelo utiliza 10 horas-hombre para su
fabricación, en tanto que cada unidad del
segundo modelo requiere ocho horas-hombre. Si
la disponibilidad diaria máxima es de 800 horashombre y la ganancia por celular de los modelos
1 y 2 es $60 y $40, respectivamente, determine
la producción diaria óptima de cada modelo de
celular de tal manera de maximizar la ganancia.
¿Cuál es la ganancia máxima? Si la compañía
decide utilizar el nivel de producción óptimo,
¿tendría horas-hombre sobrantes para encarar
la fabricación de un nuevo modelo?
31. Un vendedor de libros usados tiene almacenados en
su negocio 180 libros de la Editorial Aprender y 80 de
la Ed. Maestro, ambas especializadas en libros para el
nivel primario. Debido a que la venta de los mismos ha
decaído, decidió preparar dos lotes de oferta
orientados a las necesidades de las bibliotecas
escolares. El lote A consta de 6 libros de la Ed.
Aprender y 1 de la Ed. Maestro, que venderá a $80 y
el B está constituido por 2 libros de Aprender y 2 de
Maestro, que venderá a $100. Si se desea maximizar
la ganancia cuando haya vendido todos los libros:
a) ¿Cuántos lotes de cada tipo debe preparar?
b) ¿Cuál será su ganancia máxima?
c) Si acepta esta solución ¿le sobrarán libros de cada
una de las editoriales o no? Responda justificando
con claridad.
34. Una persona que desea adelgazar debe mezclar
dos productos A y B siguiendo estrictamente las
indicaciones del médico. Diariamente debe tomar
no menos de 100 gr . , ni más de 300 gr. de la
mezcla. Se recomienda además, que el
preparado debe contener un máximo de 200 gr.
de A y la cantidad de B no debe superar la de A.
Si cada 100 gr. de A contiene 60 mg. de
vitaminas y 450 calorías, mientras que cada 100
gr. de B contiene 40 mg. de vitaminas y 150
calorías. ¿Cuántos gramos de cada producto
debe mezclar para minimizar las calorías?¿Y
cuántos para maximizar las vitaminas?
35. Un administrador de fondos de empresas fue
autorizado por uno de sus principales clientes a
297
realizar una inversión no mayor de 800000 dólares en
dos fondos de inversión I y II. Cada unidad del fondo
I cuesta 25 dólares y tiene una tasa de rendimiento
anual del 10%, mientras que los del fondo II cuestan
50 dólares con una tasa de rendimiento anual del 6%.
El cliente puso como condición que el rendimiento
anual no debía ser inferior a 50000 dólares.
El objetivo del administrador es minimizar los riesgos
de la inversión, que se mide con un índice que indica
mayor riesgo cuanto más alto es su valor. De acuerdo
con sus estudios preliminares, el riesgo de cada unidad
del fondo I es 6 y el de cada unidad del fondo II es 3.
Si el riesgo máximo aceptado es 40000 ¿le conviene
realizar la inversión?
36. De acuerdo con recomendaciones médicas, una
persona debe ingerir semanalmente como mínimo 16
unidades de proteínas, 24 de hidratos de carbono y
18 de grasas. Para lograr esto puede mezclar dos
productos A y B que por kilogramo contienen:
Unidades por kg
Grasas
Hidratos de
Carbono
Proteínas
Producto A
2
12
4
Producto B
6
2
2
Cada kilogramo de los productos A y B cuesta $12 y
$8 respectivamente. ¿Cuántos kilogramos de cada
producto debe esta persona comprar por semana de
manera de cumplir con las recomendaciones de su
médico y minimizar los costos del tratamiento?
37. Una empresa fabrica tres productos, P1, P2 y P3, en
dos plantas, A y B. La planta A produce diariamente
100 unidades de P1, 300 unidades de P2 y 500 de P3.
La planta B produce diariamente 200 unidades de
cada uno de los tres productos. La empresa se ha
comprometido a entregar a sus clientes, al menos,
8000 unidades de P1, 16000 de P2 y 20000 de P3.
Sabiendo que el costo diario de producción es de
$20000 en cada planta, ¿cuántos días debe trabajar
cada planta para que se cubran los objetivos
comprometidos con el mínimo costo?
29898
38. Una empresa nacional fabrica dos modelos de
scanner, A y B. La producción de cada modelo A
cuesta $200 y la de cada modelo B, $300 . Las
ganancias son de $50 por cada modelo A y de
$80 por cada modelo B. Si la cantidad mensual
total de scanner solicitados no puede exceder
2500 y la compañía ha asignado no más de
$600000 por mes para gastos de producción
¿cuántas unidades de cada modelo debe fabricar
para maximizar las ganancias mensuales?
39. Juan acaba de ganar en la Lotería $60000 . Al
oír esta noticia dos compañeros de trabajo, que
llamaremos A y B, le ofrecen la oportunidad de
participar como socio en dos negocios, cada uno
planeado por cada amigo. En ambos casos, la
inversión significa dedicar un poco de tiempo, al
igual que invertir cierta cantidad de dinero. Con
A, al convertirse en socio completo, tendría que
invertir $50000 y 400 horas de trabajo, y
obtendría una ganancia de $45000. Mientras
que con B, invertiría $40000 y 500 horas,
pudiendo obtener la misma ganancia que con A.
Para ayudar en la decisión, ambos amigos le
permitirían entrar en el negocio con cualquier
fracción de la sociedad, y la ganancia sería
proporcional a esa fracción. Como Juan está
interesado en realizar alguna actividad que no
supere en total las 600 horas, ha decidido
participar en una o ambas propuestas en la
fracción que maximice sus ganancias. ¿Qué
fracción de sociedad le conviene aceptar en cada
negocio?
40. En el depósito de un gran supermercado hay
800 kg. de naranjas, 800 kg de manzanas y
500 kg. de bananas. Para su venta se preparan
dos bolsones que llamaremos A y B. El lote A
contiene 1 kg. de naranjas, 2 kg. de manzanas
y 1 kg . de bananas y el lote B se compone de 2
kg. de naranjas, 1 kg. de manzanas y 1 kg. de
bananas. El beneficio que se obtiene con el lote
A es de $12 y con el lote B de $14. Si se desea
maximizar el beneficio ¿cuántos bolsones de
cada tipo se deben preparar?
5.4 – MÉTODO SIMPLEX
Ya sabemos que si el problema de Programación Lineal tiene solución óptima, ésta se encuentra en un vértice del
conjunto factible. Luego, para hallarla basta con calcular las coordenadas de los vértices, valuar la función objetivo y
elegir aquel que la optimice. La dificultad de este procedimiento reside en la gran cantidad de cálculos que deben
realizarse si el número de variables y restricciones se hace muy grande.
En estos casos se aplica otro método conocido como Simplex, desarrollado por George Dantzig alrededor de 1950.
Consiste en un procedimiento iterativo que puede ser aplicado en problemas de cualquier número de variables, y
permite ir mejorando la solución a cada paso. La esencia de este método consiste en partir del valor de la función
objetivo en un vértice cualquiera, si ésta no alcanza el valor óptimo en dicho vértice, el método busca otro adyacente
que mejore al anterior. El proceso se denomina pivoteo y concluye cuando no es posible seguir mejorando el valor
de la función objetivo. Como el número de vértices es finito, siempre se podrá obtener una conclusión respecto a la
solución.
La ventaja del Simplex radica en que al ser un algoritmo iterativo, es fácilmente programable. Por esta razón, existe
un gran número de softwares sin los cuales sería impensable resolver problemas reales.
Para poder aplicar este método, se requiere la validez de tres condiciones importantes:
Condiciones necesarias
para aplicar el método
Simplex.
1. Todas las restricciones deben formularse como ecuaciones.
2. Los términos independientes de las restricciones no puede ser negativos.
3. Todas las variables deben ser no negativas.
La primera de las condiciones es necesaria ya que el método Simplex es una rutina
para resolver algebraicamente sistemas de ecuaciones por eliminación Gaussiana. La
mayor parte de los problemas incluyen restricciones o limitaciones expresadas en forma
de desigualdades. Por ello es preciso reformular el problema como ecuaciones lineales.
Esta transformación se logra adicionando nuevas variables al problema original y varía
dependiendo de la naturaleza de cada inecuación.
La segunda condición indica que los segundos miembros de las inecuaciones deben ser
positivos o ceros. En caso de que alguna restricción no cumpla con este requisito, se
puede multiplicar por –1 la inecuación para convertirlo en positivo.
El último requerimiento indica que no sólo las variables de decisión deben cumplir las
condiciones de no negatividad, sino que también deben hacerlo las nuevas variables
que se agregan al modelo.
Para reformular nuestro problema original en un sistema de ecuaciones, como
mencionamos anteriormente, incorporamos variables adicionales que debemos tratar
del mismo modo que las de decisión. Estas variables sirven para equilibrar ambos
miembros de la ecuación y se denominan variables de holgura.
299
Definición 5.11: Las variables de holgura son variables no negativas, que se
incorporan a cada inecuación distinta de las de no negatividad,
para lograr la igualdad.
Variables de Holgura
Existen tantas variables
de holgura como
restricciones específicas
que estén expresadas
como inecuaciones.
Si la restricción es de ≤ entonces al miembro izquierdo se le suma una variable de
holgura, y si es de ≥ la misma se resta . Si la restricción es una ecuación no se
incorporan variables de holgura.
De manera general, estas variables representan la diferencia entre el miembro derecho
y el miembro izquierdo de la desigualdad. En particular, si se trata de una restricción de
≤ indican la cantidad disponible de algún recurso que no se utiliza, mientras que si se
trata de una desigualdad de ≥, son también llamadas variables de excedente ya que
representan la cantidad que excede al segundo miembro.
Como estas variables pasan a formar parte del problema se las debe tener en cuenta
también en la función objetivo, donde aparecen sumadas con coeficiente cero ya que no
modifican el valor de dicha función.
Al transformar el conjunto de restricciones estructurales en ecuaciones lineales e
incorporar condiciones de no negatividad para las nuevas variables, la expresión
general de un problema de Programación Lineal de máximo con restricciones de ≤ en
forma estándar es:
Forma Estándar
Utilizamos la palabra
MAX para indicar que
se debe maximizar la
función objetivo.
Max z = c1 x1 + c2 x2 + ...+ cn xn + 0 h1 + 0 h2 + ... + 0 hm
Sujeto a:
a11 x1 + a12 x2 + ....+ a1n xn + h1 = b1
a21 x1 + a22 x2 + ....+ a2n xn + h2 = b2
.............................................................
am1 x1 + am2 x2 + ....+ amn xn + hm = bm
xi≥0,
" i = 1, 2, ... ,n
h j ≥ 0 , " j = 1, 2, ... , m
donde:
ci
coeficientes de la función objetivo,
a ij
coeficientes de las restricciones,
bi
términos independientes, no negativos
xi
variables de decisión del problema.
hj
variables de holgura
De manera similar cuando algunas o todas las restricciones son de ≥, se puede
obtener la forma estándar simplemente restando las variables de holgura.
Una vez expresado el problema en forma estándar, el sistema resultante tiene más
incógnitas que ecuaciones. Si suponemos que inicialmente tenemos m desigualdades,
éstas originan m ecuaciones y m variables de holgura. En consecuencia, resulta un
sistema de m ecuaciones con (n + m) incógnitas, donde n es la cantidad de variables
300300
de decisión. Como m < (n + m) , por el teorema de Rouchè-Fröbenius visto en el
capítulo anterior, si el sistema es compatible entonces admite infinitas soluciones. Cabe
destacar que los valores de las variables de decisión que optimizan la función objetivo
para el nuevo problema son los mismos que optimizan la función objetivo del problema
original.
A continuación damos algunas definiciones que nos servirán para explicar el método
Simplex. Suponemos que la forma estándar del problema tiene m ecuaciones y n*
incógnitas entre variables de decisión y de holgura.
Definición 5.12: Una solución factible (SF) , es cualquier conjunto de valores
de las n* variables que satisface las restricciones estructurales y
las de no negatividad.
Definición 5.13: Una solución básica (SB), es cualquier solución del sistema de
orden mxn* formado por las ecuaciones generadas por las
restricciones estructurales, que contiene como mínimo (n* – m)
variables con valor cero. Es decir, es una solución (x1, x2,..., xn,
h1, h2,...,hm ) que tiene a lo sumo m variables con valor distinto
de cero. Estas últimas se denominan variables básicas. Todas
ellas conforman lo que se conoce como base.
Aquellas que tienen más de m valores distintos de cero, se
denominan no básicas .
Definición 5.14: Una solución factible básica (SFB) , es cualquier solución
básica que cumple con las restricciones de no negatividad.
Trabajamos estos conceptos en el siguiente ejemplo:
n Ejemplo 5.19:
Utilizamos las variables de holgura para transformar en ecuaciones las
restricciones del problema 5.15.
Para esto recordemos primero su expresión general:
Max z = 100 x1 + 200 x 2
Sujeto a:
x 1 + x 2 ≤ 500
x 1 ≤ 200
2 x 1 + 6 x 2 ≤ 1200
x1 ≥ 0 ; x 2 ≥ 0
donde:
x 1: cantidad de bonos I a comprar
x 2: cantidad de bonos II a comprar
301
Como este problema presenta tres inecuaciones distintas de las de no
negatividad, tenemos tres variables de holgura, que llamamos h1, h2 y h3. Por lo
tanto n* = 5 y m = 3.
Entonces el modelo matemático resultante es:
Max
z = 100 x1 + 200 x2 + 0 h1 + 0 h2 + 0 h3
Sujeto a:
x1 + x2 + h1 = 500
x1 + h2 = 200
2 x1 + 6 x2 + h3 = 1200
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
h1 ≥ 0
h2 ≥ 0
h3 ≥ 0
donde:
h1 = representa la diferencia entre la cantidad máxima que se puede comprar
entre los dos tipos de bonos (500) y la cantidad que se compra.
h2 = representa la diferencia entre la cantidad máxima de bonos I que se puede
comprar (200) y la cantidad que se compra.
h3 = representa la cantidad de dinero sobrante de los $1200 que dispone.
Determinamos a continuación una solución factible, una básica y una factible
básica para el sistema planteado.
Solución Factible
De acuerdo con la definición, es cualquier conjunto de valores para las cinco
variables x1, x2, h1, h2 y h3, que satisfacen las tres ecuaciones:
x1 + x2 + h1 = 500
x1 + h2 = 200
2 x1 + 6 x2 + h3 = 1200
y las restricciones de no negatividad.
Por ejemplo, si tomamos x1 = 200 y x2 = 100 entonces de la primera
ecuación tenemos que h1 = 200, de la segunda que h2 = 0 y de la tercera
que h3 = 200.
Así, una solución factible es:
Observe: Esta solución
factible no es básica. ¿Por
qué?
(x1, x2, h1, h2, h3) = (200, 100, 200, 0, 200)
Solución Básica
Como n* – m = 2, debemos conseguir una solución del sistema que al
menos tenga 2 variables que tomen el valor cero. Por ejemplo, tomamos
x1 = 0 y h1 = 0. Reemplazamos en la primera ecuación del sistema y resulta
x2 = 500. De la segunda h2 = 200 y de la tercera h3 = –1800. La solución
básica encontrada es:
302302
Observe: Esta solución básica
no es factible, ya que no
cumple las condiciones de no
negatividad.
(x1, x2, h1, h2, h3) = (0, 500, 0, 200, –1800)
Solución factible básica
Además de ser una SB, debe cumplir con las condiciones de no negatividad.
Por ejemplo, si x1 = 0 y x2 = 0 entonces h1 = 500, h2 = 200 y h3 = 1200.
La solución factible básica es:
En esta solución x1 y x2
son las variables no
básicas, mientras que h1,
h2 y h3 son las básicas.
(x1, x2, h1, h2, h3) = (0, 0, 500, 200, 1200)
Puede demostrarse que siempre existe una solución óptima incluida en el conjunto de
soluciones factibles básicas.
Así, el Método Simplex comienza representando el Problema de Programación Lineal
en forma estándar, luego inicia el procedimiento de pivoteo, que presenta algunas
diferencias según el problema sea de máximo o de mínimo o si tienen condiciones de ≤,
≥, = o mixtas. Finalmente, llega a una solución óptima efectuando una búsqueda en el
conjunto de todas las soluciones factibles básicas encontradas en cada instancia del
pivoteo.
Trabajamos en la próxima sección sólo problemas de máximo con restricciones de
menor o igual, para después extender el método a cualquier otro caso.
5.4.1 - Problema de Máximo con restricciones de
menor o igual
Comenzamos aplicando el Método Simplex a problemas de maximización cuyas
restricciones son todas de menor o igual. La expresión general en este caso es:
Max z = c1 x1 + c2 x2 + ...+ cn xn
Función Objetivo
Sujeto a las restricciones:
a11 x1 + a12 x2 + ....+ a1n xn ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + ....+ a2n xn ≤ b2
:
:
Restricciones Específicas o
Estructurales del problema
am1 x1 + am2 x2 + ....+ amn xn ≤ bm
xi ≥ 0
" i = 1, 2, ....n
Restricciones de No Negatividad
donde:
303
ci
son los coeficientes de la función objetivo,
a ij
los coeficientes de las restricciones,
bi
los términos independientes, no negativos
xi
las variables de decisión del problema.
Note: El conjunto factible en los problemas de programación lineal con todas sus
restricciones de menor o igual es siempre no vacío, ya que por lo menos la
solución trivial verifica todas las restricciones.
Describimos a continuación el método Simplex para problemas de máximo con
restricciones de menor o igual, apoyándonos en el problema 5.19 cuya solución ya
encontramos con el método gráfico en el ejemplo 5.15.
Problema:
Un analista financiero desea comprar un máximo de 500 bonos entre dos tipos
posibles, que llamaremos I y II. Un bono de tipo I produce utilidades de $100 y
uno de tipo II de $200. Debido a indicaciones de su cliente, no debe comprar
más de 200 bonos de tipo I. Además, se sabe que se requiere de una inversión
de $2 y $6 respectivamente por cada tipo de bono. ¿Cuántos bonos de cada tipo
deberá comprar si dispone de un total de $1200 y su objetivo es maximizar las
utilidades?
Definición de incógnitas
x1 : cantidad de bonos I a comprar
x2 : cantidad de bonos II a comprar.
Planteo del problema
Debemos maximizar la Utilidad:
z = 100 x1 + 200 x 2
Función Objetivo
Sujeto a:
x 1 + x 2 ≤ 500
Restricciones específicas o estructurales
x 1 ≤ 200
2x 1 + 6x 2 ≤ 1200
x1 ≥ 0 ;
3044
x2 ≥ 0
Restricciones de no negatividad .
Paso 1:
Pasos a seguir para
resolver un problema
de máximo con el
Método Simplex
Se expresa el planteo del problema en forma estándar, es decir, se agrega a cada
desigualdad distinta de las de no negatividad, una variable de holgura. En la función
objetivo estas variables se incorporan con coeficiente cero.
En nuestro problema:
Max
z = 100 x1 + 200 x 2 + 0 h1 + 0 h 2 + 0 h 3
Sujeto a:
x1 + x2 + h1 = 500
Las variables de holgura
se agregan sumadas
pues las inecuaciones
son de =.
x1 + h2 = 200
2 x1 + 6 x2 + h 3 = 1200
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
h1 ≥ 0
h2 ≥ 0
h3 ≥ 0
donde:
h1: representa la diferencia entre la cantidad máxima que se puede comprar
entre los dos tipos de bonos (500) y la cantidad que se compra.
h2: representa la diferencia entre la cantidad máxima de bonos I que se puede
comprar (200) y la cantidad que se compra.
h3: representa la cantidad de dinero sobrante de los $1200 que dispone.
Paso 2:
Se expresa la función objetivo z = c1 x 1 + c2 x2 +...+ cn xn igualada a cero de
modo que el coeficiente de z sea siempre 1. Esta ecuación se ubica como la última
del sistema de ecuaciones a resolver.
La función objetivo luego de agregar las variables de holgura es
z = 100 x1 + 200 x 2 + 0 h1 + 0 h2 + 0 h3
El pasaje de términos
se debe realizar de
manera que el
coeficiente de z sea 1.
El sistema tiene una
ecuación por cada una de
las restricciones (3) más la
función objetivo.
pasamos todos los términos al primer miembro:
– 100 x1 – 200 x2 – 0 h1 – 0 h2 – 0 h3 + z = 0
agrupamos todas las ecuaciones:
x1 + x2 + h1 = 500
x1 + h 2 = 200
2 x1 + 6 x 2 + h3 = 1200
– 100 x1 – 200 x 2 – 0 h1 – 0 h2 – 0 h 3 + z = 0
305
De esta forma, resulta un sistema de 4 ecuaciones lineales y 5 incógnitas x1,
x2, h1, h2 y h3. Si bien se puede considerar que z es una variable del sistema,
su valor queda determinado por el que asuman las variables de decisión.
Como la cantidad de incógnitas es mayor que la de ecuaciones, el sistema es
compatible indeterminado o inc ompatible. El caso incompatible no puede ocurrir
ya que el conjunto factible no es vacío pues todas las restricciones son de
menor o igual y la solución trivial las verifica. Por lo tanto, el sistema tiene
infinitas soluciones y entre ellas buscamos las factibles básicas que
maximizan la función objetivo.
Paso 3:
La Tabla Inicial de
Simplex se la puede
asociar directamente
con la matriz ampliada
del sistema de
ecuaciones.
Se construye la Tabla Inicial del SIMPLEX . Cada columna contiene los coeficientes
de una variable del problema, cada fila los coeficientes de una ecuación. La última
fila de la tabla contiene los coeficientes de la función objetivo, a los que llamamos
indicadores.
Definición 5.15: aquellas columnas que tienen un coeficiente igual a 1 y los
restantes iguales a cero se denominan vectores unitarios.
Las variables básicas se corresponden con los vectores unitarios, en consecuencia la
base queda compuesta por ellos.
Note:
La cantidad de vectores que conforman la base coincide con la cantidad de
restricciones estructurales del problema.
En nuestro ejemplo, la tabla inicial del Simplex es:
Observe: Hay 3 variables
básicas ya que el
problema tiene 3
restricciones estructurales.
Variables
no básicas
Variables básicas
Términos
Independientes
x1
x2
h1
h2
h3
z
h1 é 1
1
ê
h2 ê 1
0
ê
ê
h3
2
6
ê
z êêë-100 -200
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
500 ù
ú
200 ú
ú
1200ú
ú
0 úúû
Indicadores
Figura Nº 22
Del lado izquierdo de la matriz ampliada se ha repetido el nombre de las
variables básicas , h1, h 2 y h 3, ya que sus valores se leen directamente en la
última columna, es decir, 500, 200 y 1200 respectivamente.
La Tabla inicial del SIMPLEX nos da la primera solución del problema. Ésta se
obtiene asignando el valor cero a las variables no básicas y el valor
correspondiente en la última columna, a las variables básicas.
30606
Es decir,
x1 = 0
B
D
A
C
Figura Nº 23
x2 = 0
h1 = 500
h 2 = 200
h 3 = 1200
z=0
Esta coincide con la solución factible básica dada en el ejemplo 5.19. Es factible
pues si se reemplazan los valores de las variables en el sistema de ecuaciones
del paso 2, se comprueba que constituyen una solución del mismo. Es básica
pues tiene al menos n* – m = 2 variables con valor cero.
Gráficamente, la solución encontrada se corresponde con el origen de
coordenadas, vértice A del polígono de soluciones factibles (Figura Nº 23), ya
que (x 1, x 2) = (0, 0).
El valor de la función objetivo es el que se encuentra en la última fila y última
columna. En esta tabla z asume el valor 0.
Ya tenemos una solución, pero ¿es óptima o no? Para responder esta pregunta
se deben observar los indicadores.
Criterio de
optimización para
problemas de
máximo.
Paso 4:
Se controlan los indicadores:
a. Si todos son no negativos, se ha alcanzado la solución óptima. Continuar en
paso 7.
b. Si existe alguno negativo, no se ha alcanzado la solución óptima. Continuar en
paso 5.
Analizamos los indicadores en nuestra primera tabla:
h1 é
Los indicadores
correspondientes a las
variables básicas siempre
toman el valor cero.
x1
x2
h1
h2
h3
z
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
ê
h2 ê 1
0
ê
h3 ê 2
6
ê
z ê- 100 - 200
ë
500 ù
ú
1200 úú
0 úû
200 ú
Indicadores
Tenemos dos valores negativos, – 100 correspondiente a la variable x1 y – 200
en correspondencia con la x2. Por lo tanto, la solución encontrada en el paso
anterior no es la óptima.
De la última fila de la tabla
z = 100 x 1 +200 x 2
Si x 1 mantiene el valor cero,
por cada unidad de x 2 , z
aumenta en 200. En caso
contrario, si x 2 = 0, por
cada unidad de x 1 , z crece
100 unidades.
¿Cómo hacemos para encontrar la próxima solución? Para ello debemos saber
que el valor –100 significa que por cada incremento unitario en la dirección de
x1, z aumenta 100 unidades, mientras que el valor –200 significa que por cada
incremento unitario en la dirección de x2 la función objetivo aumentará 200
unidades. En consecuencia, como estamos interesados en maximizar z, nos
conviene aumentar el valor de x2, mientras se mantiene el de x1 constante. En
otras palabras, conviene que la variable x2 tome un valor no nulo, por lo que
debe pasar a ser una variable básica. Como la cantidad de variables en la base
307
se mantiene constante, para que x2 ingrese, hay que sacar de la misma alguna
de las variables que la conforman.
Criterio para elegir
cuál de las variables
ingresa a la base y
cuál sale
Paso 5
Se determina cuál de las variables sale y cuál entra a la base (columna pivot).
a. La variable que entra a la base es aquella cuya columna se corresponde con el
indicador más negativo (mayor en valor absoluto). De existir dos o más
indicadores iguales en esta condición, se elige uno cualquiera de ellos. La
columna de la variable que entra a la base la llamamos columna pivot.
Observe: En cada
paso, sale una variable
de la base e ingresa
otra, manteniendo la
cantidad de m
columnas en la base.
b. La variable que sale de la base, se determina a través de los cocientes
obtenidos al dividir los valores de la última columna por los coeficientes
correspondientes de la columna pivot. Este cociente se realiza siempre y cuando
los coeficientes sean positivos (mayor estricto que cero), caso contrario (menor o
igual a cero) no se calculan. Si todos los coeficientes son cero o negativos, el
problema tiene una solución no acotada.
De los cocientes conseguidos se elige el menor, la fila a la cual pertenece se
llama fila pivot y se corresponde con la variable saliente. Si dos o más
cocientes son iguales, entonces cualquiera de las variables puede salir de la
base.
Al elemento obtenido por la intersección de la fila pivot y la columna pivot se lo llama
elemento pivot.
De acuerdo con lo expuesto anteriormente la variable que ingresa a la base es x2,
ya que posee el indicador más negativo. Para determinar cuál sale, realizamos
los cocientes permitidos.
x1
x2
h1
h2
h3
z
h1 é 1
1
ê
h2 ê 1
0
ê
ê
h3
2
6
ê
ê
z ë-100 -200
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
Variable que ingresa a la base
Cocientes
500 ù
ú
200 ú
ú
1200ú
ú
0 úû
500
1
=500
no se realiza
1200
6
=200
Variable que sale de la base
El menor cociente positivo es el que corresponde a la variable de holgura h3, en
otras palabras, esta es la que debe salir de la base. El cociente correspondiente
a h2 no se realiza debido a que el coeficiente correspondiente en la columna
pivot es cero.
El valor del cociente menor, en nuestro caso 200, es el mayor valor con que
puede ingresar a la base la variable x2.
308
La justificación de esta afirmación surge de las restricciones de no negatividad
que deben cumplir las variables. Como la variable x1 no es la que ingresa a la
base, en la próxima solución mantiene el valor cero. Analicemos a partir del
sistema de ecuaciones el mayor valor permitido para x2.
x1 + x 2 + h 1 = 500
(1)
x1 + h 2 = 200
(2)
2 x1 + 6 x 2 + h 3 = 1200 (3)
Como x1 = 0, despejando las variables de holgura de las ecuaciones tenemos
que:
Las variables de holgura
cumplen las restricciones
de no negatividad.
de (1)
h1 = 500 – x 2 ≥ 0 de donde
de (2)
h2 = 200
de (3)
h3 = 1200 – 6 x 2 ≥ 0 de donde x 2 ≤
x 2 ≤ 500
1200
= 200
6
Entonces x2 puede tomar un valor máximo de 200, pues si no h3 sería negativa.
Como este es el cociente con resultado menor, nos indica que h3 dejará la base.
Entonces, de (3) si x1 = 0 y x2 = 200 , resulta que h3 = 0, valor que asumen las
variables no básicas.
Hasta el momento tenemos que:
x1
x2
h1 é 1
1
ê
h2 ê 1
0
ê
ê
h3
2
6
ê
ê
z ë-100 -200
h1
h2
h3
z
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
500 ù
ú
200 ú
ú
1200ú
ú
0 úû
Variable que
sale de la base
Variable que ingresa a la base
Para la variable x 2 (segunda columna), debemos lograr el vector unitario que
antes estaba en correspondencia con la variable h 3.
Paso 6
Se encuentran los coeficientes de la nueva tabla:
a. Se convierte en 1 el elemento pivot dividiendo toda la fila por el valor de dicho
elemento.
b. Aplicando reducción Gaussiana, se hacen cero todos los demás elementos de la
columna pivot. Obtenemos de este modo los nuevos coeficientes de las otras filas
incluyendo a los de la función objetivo.
c. Se controlan los nuevos indicadores. Esto determina si se continúa en el paso 7
(ningún coeficiente negativo) o en el paso 5 (algún coeficiente negativo).
309
Para nuestro ejemplo obtenemos:
x1
Observe que en
correspondencia con
las variables básicas
siempre hay ceros en
la última fila
Observe que pasamos del
vértice A al B
h 1 é 2/3
ê
h2 ê 1
ê
x 2 ê 1/3
ê
z êë-100/3
x2
h1
h2
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
h3
-1/6
0
1/6
100/3
z
300 ù
ú
200 ú
ú
200 ú
ú
40000úû
0
0
0
1
La solución encontrada en este paso es:
x1 = 0
x2 = 200
h1 = 300
h2 = 200
h3 = 0
z= 40000
Recuerde: los valores de las variables básicas se leen en la última columna
de la matriz ampliada y las variables no básicas toman el valor
cero.
B
D
A
C
• Verifique que efectivamente estos valores de las variables satisfacen todas
las ecuaciones del sistema.
Esta solución ¿es óptima? Si observamos los indicadores vemos que existe un
valor negativo, por lo que de acuerdo con el criterio de optimización, esta solución
no es óptima. Entonces debemos determinar la variable que debe entrar a la base.
Como el único indicador negativo se corresponde con x1, esta es la variable que
ingresa. Para saber cuál debe salir realizamos los cocientes entre los valores de
las variables básicas de la última columna y los coeficientes positivos de la
variable x1. De esta manera tenemos:
x1
h 1 é 2/3
ê
h2 ê 1
ê
x 2 ê 1/3
ê
z êë-100/3
x2
h1
h2
h3
z
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
-1/6
0
1/6
100/3
0
0
0
1
300 ù 450
ú
200 ú 200
ú
200 ú 600
ú
40000úû
Cocientes
Variable que ingresa a la base
El menor de los cocientes es 200, y corresponde a la variable h2. Por lo que esta
es la que debe salir de la base.
x1
h 1 é 2/3
ê
h2 ê 1
ê
x 2 ê 1/3
ê
z êë-100/3
x2
h1
h2
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
Variable que ingresa a la base
31010
h3
-1/6
0
1/6
100/3
z
0
0
0
1
300 ù
ú
200 ú
ú
200 ú Variable que
ú
40000úû sale de la base
Realizamos las operaciones elementales por filas para obtener el vector unitario
en correspondencia con la variable x1:
h1
x1
x2
z
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
x1
x2
h1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
h2
h3
-2/3 -1/6
1
0
-1/3 1/6
100/3 100/3
z
0
0
0
1
500/3 ù
ú
200 ú
ú
400/3 ú
ú
140000/3úû
La solución hallada en este paso es:
x1 = 200
B
x 2 = 400/3
h1 = 500/3
h2 = 0
h3 = 0
D
A
z = 140000 / 3 = 46666.667
C
Pasamos al vértice
D de coordenadas
(200,400/3)
Como la última fila de la matriz ampliada contiene solamente valores no
negativos, continuamos en el paso 7.
Paso 7
En un problema de máximo cuando todos los indicadores de una tabla de
Simplex son no negativos, se ha llegado a una solución óptima. El valor de las
variables básicas, se lee en la columna de la derecha en la fila que contiene al 1.
Las variables no básicas, toman el valor cero.
Conclusión:
Se ha llegado a la
solución sin pasar
por el vértice C.
Para obtener una ganancia máxima de $46666.667 se deben comprar 200
bonos de tipo I y 133. 33 bonos de tipo II. De esta manera se compraron
166.667 bonos menos del límite de 500 establecido en el enunciado, se compró
el máximo de bonos de tipo I y se utilizó todo el dinero disponible.
• Compare este resultado con el obtenido en la resolución gráfica del ejemplo
5.15.
Cuando comenzamos a hablar de Programación Lineal, dijimos que estos problemas
pueden tener única solución, infinitas soluciones, solución no acotada o no tener
solución. Analizamos cómo determinar cada una de estas situaciones observando la
última tabla del Simplex.
311
Criterio para
determinar el
tipo de solución
en el Método
Simplex.
Solución única
Cuando en la fila de los indicadores aparecen ceros únicamente en
correspondencia con las variables básicas.
Soluciones múltiples
Cuando en la fila de los indicadores, además de los ceros correspondientes a las
variables básicas, aparecen ceros en correspondencia con variables no básicas.
Solución no acotada
Cuando todos los coeficientes de la variable que ingresa a la base son ceros o
negativos. Es decir, no se pueden realizar los cocientes que nos permiten
determinar la variable que sale de la base.
Recuerde que no puede darse el caso de no existencia de soluciones pues estamos
considerando todas las restricciones de menor o igual.
Para afianzar el algoritmo de Simplex, resolvemos ahora un ejemplo para cada tipo de
solución, comenzando con el resuelto en 5.16.
Problema de maximización
con restricciones de menor o
igual y única solución
n Ejemplo 5.20:
Un fabricante de electrodomésticos produce dos tipos de calefactores: el modelo
A con el que obtiene una utilidad de $100 por unidad y el modelo B con $120 de
utilidad por unidad. Puede producir hasta 600 unidades del modelo A y 500
unidades del modelo B por mes. Si sólo dispone de mano de obra para realizar
mensualmente un máximo de 900 calefactores, ¿cuántos de cada tipo debe
fabricar para obtener la máxima utilidad?
Definición de incógnitas
x : cantidad de calefactores a fabricar del modelo A
y : cantidad de calefactores a fabricar del modelo B.
Función Objetivo
Planteo del problema
Max P = 100x + 120y
Sujeto a:
312
Se solicita que maximicemos la Utilidad P. Esta será la suma
de la utilidad obtenida con la venta de x unidades del
calefactor del modelo A más lo que le signifique la utilidad
de vender y unidades del calefactor del modelo B.
Restricciones impuestas al
problema o condiciones a
cump lir
x ≤ 600
Indica que no se puede fabricar más de 600 calefactores del modelo A.
y ≤ 500
Indica que no se puede fabricar más de 500 calefactores del modelo B.
x + y ≤ 900 Indica que se pueden fabricar hasta 900 calefactores entre los dos
modelos.
x ≥0 ;y≥0
Solución:
Comenzamos expresando el problema en forma estándar:
Max P = 100x + 120y + 0 h 1 + 0 h2 + 0 h3
Sujeto a:
x + h1 = 600
y + h2 = 500
x + y + h3 = 900
x ≥ 0;
y ≥ 0; h1 ≥ 0; h2 ≥ 0 ; h3 ≥ 0
donde:
h1: representa la diferencia entre la cantidad máxima de calefactores A que se
pueden fabricar y la cantidad que se fabrica.
h2: representa la diferencia entre la cantidad máxima de calefactores B que se
pueden fabricar y la cantidad que se fabrica.
h3: representa la diferencia entre la cantidad máxima de calefactores que se
pueden fabricar en total y la que realmente se fabrica.
Luego el sistema de cuatro ecuaciones y cinco incógnitas a resolver es:
x + h1 = 600
y + h2 = 500
x + y + h3 = 900
– 100 x – 120 y – 0 h1 – 0 h2 – 0 h3 + P = 0
La matriz ampliada del sistema o Tabla Inicial del SIMPLEX es:
x
x e y son variables no básicas
mientras que h1 ,h2 y h3 son
variables básicas, pues se
corresponden con los vectores
unitarios.
y
h1 é 1
0
ê
h2 ê 0
1
ê
ê
h3
1
1
ê
ê
P ë-100 -120
h1
h2
h3
P
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
600ù
ú
500ú
ú
900ú
ú
0 úû
Si asignamos el valor cero a las variables no básicas y el correspondiente en la
última columna a las básicas, la solución factible básica en este paso es:
313
x=0
Esta primera solución
se corresponde con el
vértice A = (0, 0) del
conjunto factible.
A
h1 = 600
h2 = 500
h3 = 900
P=0
De acuerdo con el criterio de optimización de máximo, como en la última fila
hay valores negativos, esta solución no es la óptima. Buscamos entonces la
próxima solución que propone el método.
y
B
y=0
La variable que ingresa a la base es la y, ya que se asocia al indicador negativo
más grande en valor absoluto (–120). Para determinar cuál es la variable que
sale de la base realizamos los cocientes correspondientes:
C
D
S
E
x
x
y
h1 é 1
0
ê
h 2 êê 0
1
ê
h3 ê 1
1
ê
P ëê-100 -120
h1
h2
h3
P
Cocientes
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
600 ù No se realiza
ú
500 ú
500
ú
ú
900 ú
900
ú
0 û
Ingresa a la base
La variable que sale es h2 ya que le corresponde el valor 500, que es el menor
de todos los cocientes efectuados. El correspondiente a la variable h1 no se lo
realiza, debido a que el coeficiente en la columna pivot es cero.
Por lo tanto, sale de la base la variable h2 e ingresa la variable y.
x
y
h1 é 1
0
ê
h2 ê 0
1
ê
h3 ê 1
1
ê
ê
P ë-100 -120
h1
h2
h3
P
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
600ù
ú
500ú
ú
900ú
ú
0 úû
Sale de
la base
Ingresa a la base
Realizamos las operaciones necesarias para convertir la columna pivot en un
vector unitario.
y
B
A
C
S
D
E
Estamos en el vértice B
x
x
y
h2
h3
P
h1 é
1
ê
y ê
0
ê
ê
h3
1
ê
P êë-100
h1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
-1
120
0
0
1
0
0
0
0
1
600 ù
ú
500 ú
ú
400 ú
ú
60000úû
La solución a la que nos conduce el método en este paso es:
x=0
y = 500
h1 = 600
h2 = 0
h 3 = 400
P = 60000
Esta solución no es la óptima. La variable que ingresa a la base es la x y la que
sale es h3.
31414
x
y
h2
h3
P
h1 é 1
h1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
-1
1
0
0
0
120
0
1
ê
y ê 0
ê
h3 ê 1
ê
P êë-100
Cocientes
600 ù
ú
500 ú
ú
400 ú
ú
60000úû
600
No se realiza
400
Sale de
la base
Ingresa a
la base
Realizando las operaciones por fila tenemos:
y
B
A
D
E
y
h2
h3
P
h1 é 0
h1
0
1
1
-1
0
1
0
1
0
0
0
0
-1
1
0
0
0
20
100
1
ê
y ê 0
ê
x ê 1
ê
P êë 0
C
S
x
x
ù
ú
500 ú
ú
400 ú
ú
100000 úû
200
La solución factible básica es:
Estamos en el vértice C
x = 400
y = 500
h1 = 200
h2 = 0
h3 = 0
P = 100000
De acuerdo con el criterio de optimización, esta solución es óptima ya que todos
los indicadores son no negativos.
Conclusión
La solución del modelo planteado es única ya que los indicadores que toman el
valor cero son sólo los que están en correspondencia con las variables básicas
x, y, h1.
Si bien los ejemplos
desarrollados con este método
tienen dos variables de
decisión, recuerde que puede
ser aplicado a problemas con
cualquier número de variables.
Por lo tanto, para obtener una utilidad máxima mensual de $100000, el
fabricante debe producir 400 y 500 calefactores de tipo A y B respectivamente.
De esta forma, se fabrican 200 calefactores A menos que el máximo de 600
establecido, el máximo de calefactores B (500) y se utiliza toda la mano de obra
disponible (h3 = 0).
Resolvamos el problema presentado en el ejemplo 5.18 .
Problema de
maximización con
restricciones de menor
o igual y soluciones
múltiples
n Ejemplo 5.21:
Un fabricante construye dos modelos de cierto producto A y B, que le reportan
$20 y $10 de ganancia, por unidad, respectivamente. La fábrica está dividida en
las secciones I y II. El modelo A requiere 2 hs. en la sección I y 1 hs. en la
sección II, mientras que el B necesita 1 hs. en la I y 3 hs. en la II. Si en la
sección I se dispone semanalmente de 50 hs. libres y en la II de 40 hs. libres,
315
determine la cantidad semanal de modelos a fabricar para maximizar la
ganancia.
Definición de incógnitas
x:
cantidad a fabricar de modelos A
y:
cantidad a fabricar de modelos B
Planteo del problema
Max
G = 20x + 10y
Debemos maximizar la Ganancia. Esta será la suma de la
ganancia obtenida con la venta de x cantidades del producto
A más lo que le signifique en ganancias vender y unidades del
producto B.
Sujeto a:
2 x + y ≤ 50 el total de horas requeridas en la sección I no debe superar la
disponibilidad.
x + 3 y ≤ 40 el total de horas requeridas en la sección II no debe superar la
disponibilidad.
x≥0 ; y≥ 0
Solución
La forma estándar es:
Max
G = 20x + 10y + 0 h1 + 0 h2
Sujeto a:
2 x + y + h1 = 50
x + 3 y + h2 = 40
x ≥ 0; y ≥ 0; h1 ≥ 0; h2 ≥ 0
donde:
h1: representa la cantidad de horas semanales sobrantes en la sección I.
h2: representa la cantidad de horas semanales sobrantes en la sección II.
En consecuencia, el sistema a resolver es:
2 x + y + h1 = 50
x + 3 y + h2 = 40
– 20 x – 10 y + G = 0
La matriz ampliada del sistema o la primera Tabla de Simplex es:
3166
x
y
h1 é 2
1
ê
h2 ê 1
3
ê
G êë -20 -10
h1
h2
G
1
0
0
0
1
0
0
0
1
50 ù
ú
40 ú
ú
0 úû
La solución encontrada es:
En este paso estamos en el
vértice A
x=0
y=0
h1 = 50
h2 = 40
G=0
Esta solución no es óptima dado que existen indicadores negativos. Para buscar
la próxima solución, la variable que entra a la base es la x, ya que tiene el
indicador negativo de mayor valor absoluto. La que sale es la h1, ya que el
cociente correspondiente es 25, mientras que el de h2 es 40.
x
y
h1
h2
G
é 2
1
ê
h2 ê 1
3
êê -20 -10
G ë
1
0
0
0
1
0
0
0
1
h1
Cocientes
50 ù
ú
40 ú
ú
0 úû
25
Sale de la base
40
Ingresa a la base
Luego de hacer los cálculos correspondientes, la nueva matriz ampliada es:
é
ê
h2 ê
ê
G êë
x
B
D
A
x
y
h1
h2
G
1
0
0
1/2
5/2
0
1/2
-1/2
10
0
1
0
0
0
1
Cocientes
25 ù 25/(1/2) = 50
ú
ú
500 úû
15 ú 15/(5/2) = 6
La solución encontrada en este paso es:
C
x = 25
Estamos en el vértice C
y=0
h1 = 0
h 2 = 15
G = 500
Observamos que es óptima ya que los indicadores son no negativos. Notemos
además, que hay ceros en correspondencia con las variables básicas x y h2,
pero también hay un indicador cero en correspondencia con la variable de
decisión y, que no es básica.
Cuando esto ocurre en la solución óptima, significa que el problema tiene
infinitas soluciones o soluciones múltiples.
• ¿Cómo hacemos para encontrar otra solución óptima?
Debemos ingresar a la base aquella variable no básica que tiene un cero en el
indicador correspondiente. La variable que sale se determina de la misma forma
que antes.
317
En nuestro caso debe ingresar la variable y, mientras que debe salir h2 que tiene
el menor cociente entre los valores de la última columna y los valores positivos
de la variable que ingresa a la base.
Realizando los cálculos correspondientes obtenemos la siguiente matriz
ampliada:
é
ê
y ê
ê
G êë
x
x
y
h1
h2
G
1
0
0
0
3/5 - 1/5
1 - 1/5
2/5
0
10
0
0
0
1
22 ù
ú
ú
500úû
6 ú
La solución es:
B
x = 22
D
A
y=6
h1 = 0
h2 = 0
G = 500
El valor que toma la función objetivo para esta solución coincide con el de la
solución óptima anterior. Hemos encontrado otra solución factible básica óptima.
C
Conclusión
Estamos en el vértice D
Las coordenadas de los puntos
ubicados sobre el segmento
que une dos puntos del plano
M y N, son:
(x, y) = M + t(N - M), con t un
número real entre 0 y 1.
El problema presenta infinitas soluciones óptimas ubicadas en el segmento que
une los vértices C y D. Estas infinitas soluciones se pueden expresar como:
(x, y) = (22,6) + t (3,– 6) con t ∈ R ∧ 0 ≤ t ≤ 1.
Note: si t asume el valor 0, las coordenadas son las del vértice D, mientras
que si t toma el valor 1, las solución se ubica en el vértice C. En
cambio, si t toma un valor cualquiera entre 0 y 1 obtenemos como
solución un punto ubicado en el segmento que une los vértices C y D.
Por lo tanto, para obtener una ganancia máxima de $500, se puede organizar la
producción de distintas formas. Por ejemplo:
1) Fabricar 25 modelos A, ninguno B y de esta manera ocupar todas las horas
disponibles en la sección I y tener un sobrante de 15 horas en la sección II.
2) Fabricar 22 modelos A, 6 modelos B y agotar las horas disponibles en ambas
secciones.
Para encontrar el valor de
las variables de holgura se
debe reemplazar los valores
de x e y en el sistema
original y despejarlas.
3) Fabricar 23 modelos A, 4 modelos B y agotar las horas disponibles en la
sección I y un sobrante de 5 hs. en la sección II.
• ¿Es esta última una solución básica? Justifique.
Corrobore que esta conclusión es la misma a la que arribamos por medio del
método gráfico en el ejemplo 5.18.
Presentamos ahora el planteo de una situación con solución no acotada.
318318
Problema de maximización
con restricciones de menor
o igual y solución no
acotada.
n Ejemplo 5.22
Max z = 2x + 3y
Sujeto a:
–x+y≤7
y ≤ 10
x≥0;y ≥0
Función
Objetivo
Conjunto factible.
Solución
Luego de expresar el modelo en forma estándar e incorporar la ecuación
correspondiente a la función objetivo, el sistema a resolver es:
– x + y + h1 = 7
Figura Nº 24
y + h 2 = 10
– 2x – 3y – 0h1 – 0h2 + z = 0
Se observa en la figura
que a medida que
movemos la función
objetivo hacia la derecha,
la ordenada (valor que
determina z) crece
indefinidamente.
La Tabla Inicial es:
x
y
é
h 1 -1 1
ê
h 2 êê 0 1
z ëêê -2 -3
h1
h2
z
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Cocientes
7 ù
ú
10 úú
0 ûúú
7
10
La solución en este paso es: (x, y, h 1, h2) = (0, 0, 7, 10) con z = 0.
Observamos que no es óptima, que ingresa a la base la variable y, mientras que
deja la base h 1.
x
y
h2
z
é -1
ê
ê 1
ê
ê
êë -5
y
h1
h2
z
Cocientes
1
1
0 -1
0
3
0
1
0
0
0
1
7 ù no se realiza
ú
3 úú
3
ú
21 úû
La solución factible básica es: (x, y, h1, h2) = (0, 7, 0, 3) con z = 21.
Como aún existen indicadores negativos, no es óptima. Ingresa a la base x, sale
h2. La nueva tabla:
y
x
z
x
y
é 0
ê
ê 1
ê
ê 0
ëê
1
0
0
h 1 h2
0
-1
-2
1
1
5
z
0
0
1
10 ù
ú
3 úú
36 úûú
En este caso:
(x, y, h1, h2) = (3, 10, 0, 0) con z = 36.
319
Esta solución es factible básica, pero no es óptima ya que existe un indicador
negativo correspondiente a la variable h1. Entonces, ésta es la que ingresa a la
base. Para determinar cuál sale, debemos realizar los cocientes como siempre.
En esta ocasión nos encontramos con que no podemos realizar ninguno de ellos
pues todos los coeficientes de la columna pivot son ceros o negativos.
Conclusión
El problema planteado tiene solución no acotada. (ver Figura Nº 24)
Recordemos que la metodología aplicada en los ejemplos anteriores, supone
restricciones de menor o igual. La realidad nos muestra una gran variedad de
problemas en los que se imponen condiciones con desigualdades de ≥ o bien con
igualdades. ¿Cómo debemos proceder en estos casos? ¿En qué cambia lo que hemos
estudiado?
Para responder estas preguntas debemos incorporar el concepto de variables
artificiales.
5.4.2 - Variables Artificiales
En los problemas anteriores resueltos con el método Simplex, las variables de holgura
eran las variables básicas que nos permitieron encontrar una solución factible inicial.
Esto fue posible ya que todas las restricciones eran de menor o igual y las holguras se
agregaban sumadas a las restricciones, por lo que su coeficiente era 1.
En el caso de restricciones que se representan con ecuaciones o con inecuaciones de
mayor o igual, no tenemos los vectores unitarios que conforman la base para comenzar
a trabajar con el método. Esto se debe a que en el primer caso no se incorporan
holguras y en el segundo se agregan restadas por lo que su coeficiente es –1.
Analicemos el siguiente problema:
n Ejemplo 5.22:
Una fábrica local produce tres modelos de calzado para damas que deben pasar
por dos máquinas diferentes durante su elaboración. El tiempo disponible por
semana en cada máquina, el tiempo de elaboración de cada producto y la
utilidad obtenida se muestra en la siguiente tabla:
32020
Calzado 1
Calzado 2
Calzado 3
Utilidad por unidad
60
100
40
Horas disponibles en
la máquina 1
1
4
1.5
Horas disponibles en
la máquina 2
0.5
0.5
0.25
Usualmente en la fábrica hay disponibles semanalmente 80 hs. para la máquina
1 y 40 hs. para la 2. Además, un requisito de fabricación es que el calzado 1
debe representar menos del 30% de la producción total, mientras que el calzado
2 debe superar el 40% de la misma.
a) ¿Cuántas unidades de cada tipo de calzado deberán fabricarse de tal manera
de maximizar la utilidad?
b) ¿Cuál es la utilidad semanal máxima?
c) Para la solución óptima, ¿existen horas sobrantes por semana en alguna de
las dos máquinas?
Definición de incógnitas
x 1: cantidad de unidades del Calzado 1 a fabricar por semana.
x 2: cantidad de unidades del Calzado 2 a fabricar por semana.
x 3: cantidad de unidades del Calzado 3 a fabricar por semana.
Planteo del Problema
Max z = 60 x 1 + 100 x 2 + 40 x 3
Sujeto a:
 x1 + 4x2 + 1.5x3 ≤ 80
 0.5x + 0.5x + 0.25x ≤ 40
1
2
3


≤
x
0.3
(
x
+
x
+
x
 1
1
2
3 )
 x ≥ 0.4 ( x + x + x )
1
2
3
 2
 xi ≥ 0 para i = 1,2,3
Las dos primeras restricciones están relacionadas con las limitaciones de horas
disponibles de cada máquina. En la tercera inecuación (x1 + x 2 + x 3) representa
la producción total, entonces 0.3(x 1 + x 2 + x 3) es el 30% de dicha producción y
x1 ≤ 0.3(x 1 + x 2 + x 3) indica que la cantidad de Calzado 1 a fabricar no debe
superar el 30% de la producción total. De manera similar debemos interpretar la
última desigualdad del problema.
321
Solución
En primer lugar reescribimos el planteo pasando las variables de decisión de
las dos últimas restricciones al primer miembro.
Max
z = 60 x1 + 100 x 2 + 40 x 3
Sujeto a:
 x1 + 4x2 + 1.5x3 ≤ 80
 0.5x + 0.5x + 0.25x ≤ 40
1
2
3


 0.7x1 - 0.3x2 - 0.3x 3 ≤ 0
 -0.4 x + 0.6x - 0.4x ≥ 0
1
2
3

 xi ≥ 0 para i = 1,2,3
Ahora estamos en condiciones de expresar nuestro problema en forma estándar:
Max z = 60 x1 + 100 x 2 + 40 x 3 + 0 h1 + 0 h2 + 0 h3 + 0h4
Sujeto a:

x1 + 4x 2 + 3 x 3 + h1 = 80

2
 1
1 x + 1 x + h = 40
x
+
2
 2 1
2 2
4 3
 7
3
3
 10 x1 − 10 x2 − 10 x3 + h3 = 0

 − 2 x1 + 3 x 2 − 2 x 3 − h 4 = 0
5
5
 5
 xi ≥ 0 , hj ≥ 0 para i = 1,2,3 j =11, 2, 3,4

La variable de holgura en la
última desigualdad se agrega
restada ya que la desigualdad
es de mayor o igual.
Todas las variables de holgura
verifican la condición de no
negatividad.
donde:
x 1 : cantidad de unidades del Calzado 1 a fabricar por semana.
x 2: cantidad de unidades del Calzado 2 a fabricar por semana.
x 3: cantidad de unidades del Calzado 3 a fabricar por semana.
h 1: horas semanales sobrantes en la máquina 1.
h 2: horas semanales sobrantes en la máquina 2.
h 3: cantidad de unidades de Calzado 1 que faltan para completar el 30% de la
producción total.
h 4: cantidad de unidades de Calzado 2 que superan el 40% de la producción
total.
De acuerdo con este planteo el sistema de ecuaciones que debemos resolver
después de incorporar la función objetivo es:
El coeficiente de h4 en la
cuarta desigualdad es
–1. Los coeficientes
para las otras variables
de holgura es 1.
32222
x 1 + 4x 2 + 1.5x 3 + h1 = 80


 0.5x1 + 0.5x 2 + 0.25x 3 + h2 = 40

 0.7x1 − 0.3x 2 − 0.3x 3 + h3 = 0
 − 0.4 x + 0.6x − 0.4x − h = 0
1
2
3
4

 − 60 x1 − 100x2 − 40x 3 − 0h1 − 0h2 − 0h3 − 0h4 + z = 0
La matriz ampliada del sistema es:
x1
x2
4
 1
 0.5 0.5

 0.7 −0.3

 −0.4 0.6
 −60 −100
x3
h1
h2
h3 h4
z
1.5
1
0
0
0
0
0.25
−0.3
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
−0.4
− 40
0
0
0
0
0 −1
0
0
0
1
80
40
0 

0 
0 
Tenemos cuatro restricciones, por lo que debe haber cuatro variables en la base.
Si todas las restricciones son de menor o igual, los coeficientes de las variables
de holgura son 1, por lo que los vectores unitarios correspondientes conforman
la base. En este caso, la holgura h4, por corresponder a una desigualdad de
mayor o igual, tiene coeficiente –1 por lo que el vector correspondiente no es
unitario.
El Método Simplex requiere de la existencia de una base para poder aplicarlo.
Como en este problema la base no está completa, debemos incorporar una
variable artificial para resolver esta dificultad.
Definición 5.16: Las variables artificiales son variables que se incorporan a un
problema de Programación Lineal cuando no tenemos la base de
vectores unitarios para comenzar a aplicar el método Simplex.
Esta situación ocurre cuando tenemos restricciones de igualdad
o de mayor o igual.
Son variables no negativas que se deben sumar a todas las restricciones de igual o
mayor o igual. Desempeñan la misma función que una variable de holgura, en el sentido
que nos da una solución inicial como punto de partida del método. No obstante, como
no tienen un significado real desde el punto de vista del problema original (de aquí el
nombre de "artificial"), el procedimiento es válido sólo en el caso de que estas variables
asuman el valor cero cuando se llegue a la solución óptima. Caso contrario, indica que
el problema carece de solución factible.
Entonces, ¿cuál es el procedimiento a seguir cuando en el problema de Programación
Lineal a resolver tenemos restricciones de igual o de mayor o igual?
Algoritmo de la
gran M
1. Pasar a la forma estándar el modelo matemático.
2. Agregar variables artificiales en aquellas ecuaciones que no tienen variables de
holgura sumadas.
3. Agregar las variables artificiales en la función objetivo asignándoles coeficientes
positivos muy grandes, que representamos con la letra M. Si el problema es de
máximo las agregamos restadas y si es de mínimo las incluimos sumadas.
4. Aplicar el método Simplex tal como lo hicimos anteriormente.
323
La forma de incorporación de estas variables en la función objetivo se debe a que
esperamos que el método las elimine de la base durante el procedimiento, para que en
el óptimo tomen el valor cero. Si el problema es de máximo, al restarlas disminuyen
fuertemente el valor de la función objetivo pues el coeficiente M es muy grande. Si el
problema es de mínimo, al sumarlas la función objetivo aumenta mucho su valor. Por
esta causa en la búsqueda del óptimo, el método intentará darles el valor cero.
n Ejemplo 5.22: (Continuación)
En el problema de la fábrica de Calzado nos detuvimos cuando no encontramos
la base para comenzar a trabajar. Teníamos:
x1
x2
x3
h1
h 2 h3 h4
z
4
 1
 0.5
0.5

 0.7 −0.3

 −0.4 0.6
− 60 − 100
1.5
1
0
0
0.25
0
1
−0.3
0
0
− 0.4
0
0
− 40
0
0
0
0
80
0
0 0 40

1
0 0 0 

0 −1 0 0 
0
0 1 0 
Como el coeficiente de h4 es –1 y corresponde a la cuarta ecuación, debemos
sumarle a ésta una variable artificial w1, para lograr el vector unitario que
necesitamos. Ya que el problema es de máximo, esta misma variable se
incorpora restada a la función objetivo con coeficiente M, que representa un
valor muy grande.
Max z = 60 x1 + 100 x2 + 40 x3 + 0 h1 + 0 h2 + 0 h3 + 0h4 – M w1
Sujeto a:
Observe que la variable artificial
w1 satisface restricciones de no
negatividad.
 x1 + 4x 2 + 1.5x 3 + h1 = 80
 0.5x + 0.5x + 0.25x + h = 40
1
2
3
2


0.7x
0.3x
0.3x
+
h
−
−

1
2
3
3 =0
 − 0.4 x + 0.6x
− 0.4x 3 − h4 + w1 = 0
1
2

 x i ≥ 0 , hj ≥ 0 , w1 ≥ 0
para i = 1,2,3 j = 1,2,3,4
Nos queda ahora, la siguiente tabla:
Trabajamos con fracciones
para evitar errores de
redondeo
3244
x1
x2
x 3 h1 h 2 h 3 h4 w1
é
3 1 0 0
h1 ê
1
4
0 0
2
ê
ê
1
1 0 1 0 0 0
h2 ê 1
ê 2
2
4
ê
ê
-3 -3 0 0 1 0 0
h3 ê 7
10
10
ê 10
ê
3 - 2 0 0 0 -1 1
ê -2
ê 5
5
5
ê
ê
z êê- 60 - 100 -40 0 0 0
0 M
ë
z
0
0
0
0
1
80 ùú
ú
ú
40 ú
ú
ú
ú
0ú
ú
ú
0ú
ú
ú
ú
0 úú
û
Ésta todavía no es nuestra primera tabla de Simplex ya que el indicador
correspondiente a w1 no es cero, condición que deben cumplir los vectores de la
base. Antes de comenzar con el algoritmo, realizamos las operaciones elementales
por filas necesarias para conseguir el vector unitario en la columna 8.
x1
x2
x3
h1 h2 h3
é
3
h1 ê
1
4
1
0 0
2
ê
ê
1
1
1
h2 ê
0
1 0
ê
2
2
4
ê
ê
7
h3 ê
0
0 1
-3
-3
10
10
ê 10
ê
3
w1 êê - 2
0
0 0
-2
5
5
5
ê
ê
z êê-60+ 2M -100 - 2M -40+ 2M 0
0 0
5
5
5
ë
h4
w1
z
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
1
0
M
0
1
80 ùú
ú
ú
40 ú
ú
ú
ú
0ú
ú
ú
0 úú
ú
ú
0 úú
û
Variable que ingresa
La base está integrada por los vectores unitarios h1, h2, h3 y w1. La solución
(x1, x2, x3, h1, h2, h3, h4, w1) = (0, 0, 0, 80, 40, 0, 0) con z = 0, no es
óptima.
Cuando una variable artificial
sale de la base, nunca más
vuelve a ingresar, por lo que
generalmente no se trabaja
más con la columna
correspondiente a ella.
El valor más negativo de los indicadores es el que se encuentra en la segunda
columna, en consecuencia x2 es la variable que entra a la base o lo que es lo
mismo, la que se transforma en variable básica. Para decidir cuál de las básicas
pasa a ser no básica debemos realizar los cocientes entre los valores de la
última columna y los coeficientes de x2. El primero es 80/4 = 20, el segundo
40/(1/2) = 80, el tercero no se realiza por tener x2 un coeficiente negativo y el
cuarto es 0. Con lo cual deducimos que la variable w1 deja la base.
Realizando los cálculos pertinentes a la reducción Gaussiana:
TABLA II:
x1
é
11
h1 ê
ê 3
ê
h2 ê 5
ê 6
ê
ê
h3 ê 1
ê 2
ê
x 2 êê - 2
3
ê
ê 380
z êêë 3
x2
x3
25
6
h1
h2
h3
1
0
0
0
7
12
0
1
0
-1
2
0
1
-2
3
0 - 320
3
0
h4
20
3
w1
- 20
3
z
0
5
6
- 5
6
0
0
1
-1
2
1
2
0
0
0
0
-5
3
5
3
0
0
0
0
- 500
3
M + 500
3
1
Cocientes
0
80 ùú 12
ú
ú
40 ú 48
ú
ú
ú
0 ú No se realiza
ú
ú
0 úú No se realiza
ú
ú
0 úú
û
Variable que ingresa
Como no hemos alcanzado la solución óptima, construimos la próxima tabla:
325
TABLA III:
x1 x 2
x3
é
5
11
h4 ê
0
8
ê 20
ê
1
h2 ê 5
0
ê 8
16
ê
ê
h3 ê 31 0 - 3
16
ê 40
ê
x2 ê 1
1 -3
ê 4
8
ê
ê
z êê-35 0 - 5
2
ë
h1
h 2 h3 h4
w1
z
1
0
0
1
-1
0
-1
8
1
0
0
0
0
3
40
0
1
0
0
0
1
4
0
0
0
0
0
25
0
0
0
M
1
h3
0 - 44
62
h4
w1
z
1
-1
0
80 ùú
ú
ú
30 ú
ú
ú
ú
6ú
ú
ú
20 ú
ú
ú
ú
0 úú
û
Cocientes
145.45
80
7.24
80
Variable que ingresa
TABLA IV :
La solución de esta tabla
no es óptima. Ingresa a
la base x 3 y sale h4.
x1
é
h4 ê 0
ê
ê
h2 ê 0
ê
ê
ê
x1 ê 1
ê
ê
x2 ê 0
ê
ê
ê
z êê 0
ë
x2
x3
47
62
h1
3
31
h2
0
19
124
- 5
31
1
- 15
31
0
0
0
0
- 15
62
3
31
0
40
31
0
0
0
1
17
62
7
31
0
- 15
31
0
0
0
0
- 340
31
880
31
0
1400
31
0
M
1
h3
44
0 47
h4
62
47
w1
- 62
47
z
0
480 ù
62 úú
ú
840 ú
31 ú
ú
240 ú
31 úú
ú
560 ú
31 ú
ú
70400 úú
31 ûú
Variable que ingresa
TABLA FINAL
Al analizar la tabla,
concluimos que el
problema tiene solución
única.
x1
é
x3 ê 0
ê
ê
h2 ê 0
ê
ê
ê
x1 ê 1
ê
ê
x2 ê 0
ê
ê
ê
z êê 0
ë
x2
x3
h1
9
47
h2
0
1
0
0
- 17
94
1
- 16
47
- 19
94
19
94
0
0
0
6
47
0
50
47
15
47
- 15
47
0
1
0
8
47
0
4
47
- 27
47
15
47
0
0
0
1400
47
0
1640
47
680
47
M - 680
47
1
0
480 ù
47 úú
ú
1200 ú
47 ú
ú
480 ú
47 úú
ú
640 ú
47 ú
ú
112000 úú
47 úû
Observe que ya no existen indicadores negativos y que M - 680 es positivo ya
47
que M toma un valor positivo tan grande como queramos.
32626
La solución óptima es:
En el óptimo la variable
artificial asume el valor
cero.
x1 = 480 ;
47
x2 = 640 ;
47
h3 = 0 ;
w1 = 0 ;
x3 = 480 ;
h1 = 0;
47
z = 112000
47
h2 = 1200 ;
47
Conclusión
Recuerde que no se
pueden redondear los
valores de las variables
Con las condiciones impuestas, la cantidad de calzado que debe fabricar de los
modelos 1 y 3 es 480 mientras que para el modelo 2 es 640 , siendo su
47
47
112000
. Existe un sobrante en la máquina 2 de 1200
ganancia máxima z =
47
47
horas semanales.
Vale destacar que si no existe solución para el sistema de restricciones, es decir, si el
conjunto factible es vacío, decimos que el problema de Programación Lineal es no
factible. Anteriormente mencionamos que esta situación nunca puede ocurrir si todas
las restricciones son de menor o igual (suponiendo constantes no negativas en el
segundo miembro), ya que la nula es una solución posible. Sin embargo, cuando al
problema se incorporan restricciones de igual o mayor o igual, debemos recurrir al uso
de variables artificiales, que por su origen no son soluciones factibles del modelo
original. Aunque el Método Simplex las penaliza para que resulten con el valor cero en
el óptimo, esto no siempre es posible. Si queda alguna variable artificial con valor
positivo en el óptimo, significa que el problema original no tiene soluciones factibles.
Analicemos esta situación para el modelo matemático que sigue a continuación:
Problema de maximización
con solución óptima
n Ejemplo 5.23:
Max : z = 5x + 3y
Sujeto a:
x+ y≤ 0
x– y≤ 0
– x + 5y ≤ – 5
x≥0; y≥0
Solución
Recordemos que para utilizar el método Simplex, una de las condiciones es que
sus términos independientes sean todos no negativos. Multiplicamos entonces la
tercera inecuac ión por –1.
Max : z = 5x + 3y
327
Sujeto a:
x+ y≤ 0
x– y ≤ 0
x – 5y ≥ 5
x≥0;y ≥0
Estamos ahora en condiciones de plantear el sistema de ecuaciones asociado al
problema:
x + y + h1 = 0
x – y + h2 = 0
x – 5y – h3 + w1 = 5
–5x – 3y + 0 h1 + 0 h2 +0 h3 + M w1 + z = 0
Donde tanto las variables de holgura como la artificial cumplen con las
condiciones de no negatividad.
La matriz ampliada del sistema es:
x
y
h1  1
1


h2  1 − 1

w1  1 −5


z  −5 −3
h1
1
h2
0
h3
0
0
1
0
0
0
−1
0
0
0
w1 z
0 0 0 


0 0 0 

1 0 5 


M 1 0 
Como incorporamos la variable w 1 para completar la base juntamente con h1
y h2, el indicador correspondiente a esta variable debe ser cero. Mediante
operaciones convenientes convertimos la columna 6 en un vector unitario, así la
Tabla Inicial del Simplex es:
x
y
h1
h1  1
1
1


h2  1
−1
0

w1  1
−5
0


z − 5 − M − 3+5M 0
h2
0
h3
0
w1 z
0 0
1
0
0
0
0
−1
1
0
0
M
0
1
Cocientes
0



0 

5 


− 5M 
0
0
5
Columna Pivot
La primera columna es la pivot por tener el indicador negativo más grande en
valor absoluto, esto nos dice que x ingresa a la base. Para decidir cuál es la
variable que sale controlamos los cocientes. Como estos valores en las dos
primeras filas son ceros, nos indica que la variable que sale de la base se
selecciona indistintamente entre h1 y h2. Elegimos h1.
32828
x
y
h1
x  1
1
1


h2  0
−2
−1

w1  0
−6
−1


z  0 2+6M 5+M
h2
0
h3
0
w1
0
z
0
1
0
0
0
0
−1
1
0
0
M
0
1
0



0 

5 


− 5M 
Se ha llegado al final del procedimiento ya que no existen indicadores negativos.
La solución de este problema es:
El problema con la
variable artificial incluida
tiene la solución indicada.
Mientras que el que nos
planteamos al comienzo
no tiene solución, ya que
w1 no es una variable del
mismo.
(x, y, h1, h2, h3, w1) = (0, 0, 0, 0, 0, 5) con z =– 5M
La variable artificial w1 toma un valor positivo 5. Esto nos indica que el problema
original no tiene solución o que estamos en presencia de un caso de solución no
factible .
Se puede comprobar, gráficamente, que el conjunto factible para este problema
en particular es vacío.
¿Cuál sería la conclusión si hubiésemos seleccionado en la primera tabla de
Simplex a h 2 como variable que sale de la base?
Realicemos por esta única vez los cálculos para convencernos de que la conclusión
no depende de la elección de la variable mientras tengan los menores cocientes
iguales.
Para esta nueva situación la tabla es:
x
y
h1
h1  0
2
1


x  1
−1
0

w1  0
−4
0


z  0 −8+4M 0
h2
−1
h3
0
w1 z
0 0
1
0
0
0
−1
−1
1
0
5+M
M
0
1
0



0 

5 


− 5M 
Conclusión
– 8 + 4M es un valor positivo
ya que a M podemos
asignarle un valor positivo
tan grande de modo tal que
predomine en dicha suma.
De esta tabla, como en el caso anterior, se deduce que no podemos continuar
mejorando el valor de la función objetivo ya que ningún indicador toma un valor
negativo. Nuevamente la variable artificial es básica y toma un valor distinto de
cero. La solución del problema original es no factible.
Si el modelo que acabamos de desarrollar reflejara un caso de la vida cotidiana, nos
advertiría que las restricciones m
i puestas no se satisfacen en forma simultánea. En
329
cuyo caso debemos analizar con detenimiento cada una de ellas de modo tal de
replantearlas o quizás eliminar alguna.
Criterio para
determinar cuándo
el problema es no
factible con el
Método Simplex.
Solución no factible
Cuando en la solución óptima alguna variable artificial queda en la base con
valor positivo.
Presentamos ahora una situación con variables artificiales y solución no acotada.
Problema de maximización
con solución no acotada.
n Ejemplo 5.24
Max
z = 2x + 3y
Sujeto a:
x + 2y ≥ 2
3x + y ≥ 4
x≥0;y≥0
Solución
Para transformar las dos restricciones en igualdades, por cada restricción de ≥
debemos agregar una variable de holgura restada y una variable artificial
sumada. Entonces:
Max
z = 2x + 3y + 0h1 + 0h2 – M w1 – M w2
Sujeto a:
x + 2y – h1 + w1 = 2
3x + y – h2 + w2 = 4
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; h1 ≥ 0 ; h2 ≥ 0 ; w1 ≥ 0 ; w2 ≥ 0
La matriz ampliada del sistema es:
x
1


3

 -2

y
2
h1 h2 w1 w 2
−1 0
1
0
z
0
1
0
−1
0
1
0
-3
0
0
M
M
1
2


4

0 
Transformamos en básicas las dos variables artificiales:
330
x
w1  1


 3

z  −2 − M
−3 − 2M
x
1
y
2
h1
−1
1
0 −1
0
1
0
M
0
0
1
w1 


w2  3

z −2 − 4M
y
2
h1 h 2 w 1
−1 0 1
w2 z
0 0
1
0 −1
0
1
0
0
0
M
1
M
−3 − 3M
h2 w 1
0
1
M
2 


4 

−2M 
w2 z
0 0
Cocientes
2 


4 

−6M
2
4/3
La variable que ingresa a la base es x y la que sale es w2.
x
y
5
3
h1
w1  0


1
x 1
3


z  0 − 7 − 5M
3
3

−1
h2
1
3
w1
w2
−1
3
1
z
0
0
−1
3
0
1
3
0
M
− 2 −M
3 3
0
2 + 4M
3
3
1
Cocientes



4 
3 
8 − 2M 
3
3 
2
3
2/5
4
Ingresa a la base la variable y, mientras que sale w1.
x y

y 0 1


x 1 0


z 0 0

h1
−3
5
h2
1
5
w1
3
5
w2
−1
5
z
1
5
−2
5
−1
5
2
5
0
−7
5
−1
5
7+M
5
1 +M
5
1
0
Cocientes
2  no se realiza
5

6
6
5
18 
5 
Si realizamos los cálculos necesarios, la siguiente tabla es:
x
y 3


h1  5

z  7
y
1
h1 h2
0 −1
w1
0
w2
1
z
0
0
1
−2
−1
2
0
0
0
−3
M
3 +M
1
Cocientes
4


6

12 
no se realiza
no se realiza
Conclusión
Como en la última tabla existe un indicador negativo, correspondiente a la
variable h2, ésta debe ingresar a la base. Pero, los cocientes que determinan la
variable que sale de la base no pueden realizarse, debido a que los coeficientes
331
ubicados en la cuarta columna son todos negativos. Por ende, la solución es no
acotada. Compruebe geométricamente esta conclusión.
Importante: Que un conjunto factible no acotado origine una solución no acotada es
condición necesaria pero no suficiente. Es decir, puede darse el caso
que un conjunto factible no acotado nos provea de soluciones óptimas
única o múltiples y ello dependerá de la función objetivo del problema
en particular que estemos trabajando.
5.4.3 - Problema de Mínimo
Para resolver un problema de mínimo por el método Simplex, existen dos caminos que
pueden seguirse:
1. Transformar el problema en un caso de máximo.
2. Cambiar el criterio para elegir la variable que ingresa a la base y para decidir si el
óptimo se ha alcanzado o no.
La primera idea es muy sencilla. Si deseamos minimizar la función objetivo P sujeta a
una serie de restricciones, simplemente debemos maximizar z = – P sujeta a las
mismas restricciones. Para ello, aplicamos el procedimiento tal como lo describimos en
las secciones anteriores, y cuando llegamos al valor óptimo de la función objetivo del
problema de máximo lo multiplicamos por –1 y tenemos el valor óptimo de la función
objetivo del problema de mínimo. Los valores alcanzados por las variables de decisión y
de holgura son los mismos para ambos problemas.
Resolvamos el siguiente ejemplo aplicando el procedimiento que acabamos de explicar:
n Ejemplo 5.25:
Queremos minimizar la función objetivo P = 2 x + y sujeta a las restricciones
x - 2y ³ 1
x - y ³ 2
x ³ 0 ; y ³ 0
Solución
Como tenemos un problema de mínimo, para resolverlo debemos maximizar la
función objetivo Z = – P = – 2 x – y sujeta a las restricciones dadas. Es decir:
Max
Z=– 2x–y
Sujeto a:
332321
x - 2y ³ 1
x - y ³ 2
x ³ 0 ; y ³ 0
De acuerdo con lo explicado en la Sección 5.4.2, como ambas restricciones son
de mayor o igual, luego de restar una variable de holgura a cada inecuación
debemos sumarle una variable artificial de tal forma de lograr la base necesaria
para iniciar el método Simplex. Estas últimas se agregan restadas a la función
objetivo. Tenemos entonces:
El coeficiente M es un
número positivo muy
grande.
Max
Z = – 2 x – y + 0h1 + 0 h2 – M w1 – M w2
Sujeto a:
x - 2 y - h1 + w1 = 1
x -
x ³ 0
y - h2 + w 2 = 2
y ³ 0
h1 ³ 0
h2 ³ 0 w1 ³ 0 w 2 ³ 0
Donde h1 y h2 son las variables de holgura y w1 y w2 son las variables
artificiales.
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones a resolver es:
x - 2 y - h1 + w 1 = 1
x - y - h2 + w 2 = 2
Recuerde que z debe
tener coeficiente 1.
2x + y + M w1 + M w2 + Z = 0
La matriz ampliada de este sistema es:
x
y
é 1
ê
ê 1
ê
ê 2
ë
h1
h2
w1 w 2 Z
-2
-1
0
1
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
M
M
1
-1
1
1 ù
ú
2 ú
ú
0 úû
Queremos que las variables artificiales sean las variables básicas, por lo que
deben corresponderles vectores unitarios (ver definición 5.15). Para lograr esto
realizamos las operaciones elementales por filas necesarias:
x
w1 é 1
ê
w2 ê 1
ê
êê 2- 2M
ë
y
h1
h2 w 1 w 2 Z
-2
-1
1+3M
-1
0
M
0 1
-1 0
M 0
Variable que ingresa a
la base
0
1
0
0
0
1
1 ù 1
ú
2 ú 2
ú
-3M úúû
Variable
que sale
de la base
Cocientes
Como es un problema de maximización y existen valores negativos en la última
fila, la solución encontrada no es la óptima.
3332
La variable que ingresa a la base es x, cuyo valor en la última fila es negativo y
de mayor valor absoluto. La que sale es w1 ya que tiene el cociente positivo
menor.
Ingresa a la base x
pues como M es un
número muy grande
positivo entonces:
2M > 2 y 2– 2M < 0
Luego de los cálculos correspondientes, obtenemos:
El cociente no se realiza pues
el coeficiente correspondiente
de la variable que entra es
negativo.
x
y
x é1
ê
w2 ê 0
ê
êê 0
ë
h1
h2
w1
w2
-2
-1
0
1
0
1
5-M
1
2-M
-1
M
-1
2M-2
1
0
Z
Cocientes
ù no se realiza
ú
0
1 ú
1
ú
ú
1 -2-M úû
0
1
Nuevamente la solución encontrada en este paso no es la óptima. La variable
que ingresa es h1 y la que sale es w2. La nueva matriz es:
M – 2 ≥ 0 pues M > 2
x
y
h2
w1
w2
Z
x é 1
ê
h1 ê 0
ê
êê 0
ë
h1
-1
0
-1
0
1
0
1
3
1
0
-1
2
-1
M
1
M-2
0
1
2 ù
ú
1 ú
ú
-4 úúû
Aquí todos los indicadores son no negativos, por lo que hemos llegado a la
solución óptima. Es única pues los únicos ceros en la última fila se corresponden
con las variables básicas. Observemos además, que no existen variables
artificiales en la base, lo que indica que el problema de máximo es factible y su
solución es:
x = 2; y = 0; h1 = 1; h2 = 0; w1 = 0; w2 = 0; Z = – P = – 4
Conclusión
La solución óptima del problema de mínimo planteado inicialmente es única y se
alcanza cuando las variables toman los valores x = 2, y = 0, h1 = 1, h2 = 0 y
la función objetivo es P = 4.
La segunda idea que podemos aplicar en la resolución de un problema de mínimo por
Simplex consiste en cambiar los criterios para seleccionar la variable que ingresa a la
base durante el desarrollo del método y para decidir si se ha alcanzado el valor
óptimo o no.
Criterios para
el método
Simplex en un
problema de
mínimo
La variable que ingresa a la base en un problema de mínimo es aquella cuyo indicador
tiene el mayor valor positivo.
El óptimo se alcanza cuando todos los indicadores son ceros o negativos.
Observe: Los criterios que hemos dado para el caso de minimización son
exactamente los contrarios al caso de maximización.
Utilizamos ahora el mismo ejemplo que antes (5.25) para aplicar esta segunda forma
de trabajo.
334
n Ejemplo 5.26:
Min
P=2x+y
Sujeto a:
x - 2y ³ 1
x - y ³ 2
x ³ 0 ; y ³ 0
Solución
Incorporamos las dos variables de holgura y las dos variables artificiales
necesarias para comenzar el procedimiento. En este caso debemos tener en
cuenta que estas últimas se incorporan a la función objetivo sumadas con
coeficiente M positivo y de valor muy alto. El hecho de sumarlas se debe a que
como tienen coeficiente muy grande y el objetivo es minimizar la función objetivo,
el método tratará de eliminarla de la base durante el procedimiento ya que
aumenta mucho el valor de P. Esta es otra diferencia con el caso de
maximización.
Min
P = 2 x + y + 0 h1 + 0 h2 + M w1 + M w2
Sujeto a:
x - 2 y - h1 + w1 = 1
x -
x ³ 0
y - h2 + w 2 = 2
y ³ 0
h1 ³ 0
h2 ³ 0 w1 ³ 0 w 2 ³ 0
donde h1, h2 son las variables de holgura y w1, w2 son las artificiales.
El sistema a resolver, luego de incorporar la ecuación correspondiente a la
función objetivo, es:
x - 2 y - h1 + w1 = 1
x - y - h2 + w 2 = 2
- 2x - y - M w1 - M w2 + P = 0
En forma matricial:
x
y
h2
w1 w 2
P
é 1
ê
ê 1
ê
êê -2
ë
h1
-2
-1
-1
-1
0
0
0
-1
0
1
0
-M
0
0
1
0
1
-M
1
2
0
ù
ú
ú
ú
úú
û
Queremos que w1 y w2 conformen la base, por lo que debemos obtener los
vectores unitarios en correspondencia con ellos.
Luego de los cálculos necesarios:
3354
x
y
Observe que la última fila
es la obtenida en el
ejemplo anterior
multiplicada por –1.
w1 é
1
-2
ê
w2 ê
1
-1
ê
êê -2 + 2M -1 - 3M
ë
El resto de los coeficientes
son iguales.
Variable que ingresa a la base
h1
h2
w1
w2 P
-1
0
1
0
0
-M
-1
-M
0
0
1
0
Cocientes
1 ù 1
ú
0 2 ú 2
ú
1 3M úúû
0
Variable
que
sale de
la base
La solución hallada en este paso del algoritmo es:
(x, y, h1, h2, w1, w2) = (0, 0, 0, 0, 1, 2) que le da a la función objetivo el
valor P = 3M.
Esta solución es básica ya que tiene por lo menos n* – m = 6 – 2 = 4
variables que toman el valor cero, pero no es óptima pues existen indicadores
positivos.
El criterio para sacar una
variable de la base es igual
en los problemas de
máximo y de mínimo.
Observe: El cociente para
la variable x no se realiza ya
que el coeficiente
correspondiente de la
variable que ingresa a la
base es negativo (–1).
El indicador de valor más alto es 2M – 2 por lo que la variable que ingresa es x.
La que sale es w1 pues es la que tiene el cociente menor.
x
y
x é1
ê
w2 ê 0
ê
êê 0
ë
h1
h2
w1
w2
-2
-1
0
1
0
1
-5+M
1
-2+M
-1
-M
-1
-2M+2
1
0
P
Cocientes
ù no se realiza
ú
0
1 ú
1
ú
1 2+M úúû
0
1
Sale de la base
La solución encontrada es:
(x, y, h1, h2, w1, w2) = (1, 0, 0, 0, 0, 1) que le da a la función objetivo el
valor P = 2 + M
Por las mismas razones que expusimos anteriormente, esta solución es básica
pero no óptima. Debemos continuar con el procedimiento. Sale la variable w2 e
ingresa h1. La nueva tabla es:
x
é
x 1
ê
h1 ê 0
ê
êê 0
ë
y
h1
h2
w1
w2
P
-1
0
-1
0
1
0
1
-3
1
0
-1
-2
-1
-M
1
-M + 2
0
1
2 ù
ú
1 ú
ú
4 úúû
En este paso la solución a la que hemos arribado es:
(x, y, h1, h2, w1, w2) = (2, 0, 1, 0, 0, 0) que le da a la función objetivo el
valor P = 4.
Conclusión
Esta es la misma solución
que hallamos con el
procedimiento anterior
336336
Se puede ver claramente que es básica y también óptima ya que todos los
indicadores son negativos. También podemos afirmar que es única ya que
solamente tienen indicadores iguales a cero las variables de la base x y h1.
Reforzamos los pasos a seguir para resolver un problema de mínimo usando el método
Simplex, el problema del ejemplo 5.17.
n Ejemplo 5.27:
Un horticultor desea mezclar dos tipos de fertilizantes F1 y F2 para conseguir un
mínimo de 15 kg. de potasa, 20 de nitratos y 24 de fosfatos. Cada unidad del
fertilizante F1 le proporciona 1kg. de potasa, 5 de nitratos y 2 de fosfatos,
mientras que el fertilizante F2 contiene 3kg de potasa, 1 de nitratos y 3 de
fosfatos por unidad. Los precios por unidades del Fertilizante 1 y del Fertilizante
2 son respectivamente $200 y $400. Determine cómo debe hacerse la mezcla
para que el costo sea mínimo.
Definición de incógnitas
x : cantidad de unidades a comprar del fertilizante 1
y : cantidad de unidades a comprar del fertilizante 2
Función Objetivo
Planteo del Problema
Min C = 200x +400y
Se solicita minimizar el Costo. Este será la suma del costo
debido a la compra de x unidades del fertilizante 1 más el
costo de comprar y unidades del fertilizante 2.
Sujeto a:
Restricciones impuestas al
problema o condiciones a
cumplir
x + 3y ≥ 15 cantidad de kg. de potasa que aporta por unidad el fertilizante 1 más la
cantidad en kg. de potasa que aporta por unidad el fertilizante 2 debe
ser mayor o igual a 15 kg.
5x + y ≥ 20 cantidad de kg. de nitrato que aporta por unidad de fertilizante 1 más
la cantidad en kg. de nitrato que aporta por unidad de fertilizante 2
debe ser mayor o igual a 20 kg.
2x + 3y ≥ 24 cantidad de kg. de fosfato que aporta por unidad el fertilizante 1 más la
cantidad en kg. de fosfato que aporta por unidad el fertilizante 2 debe
ser mayor o igual a 24 kg.
x≥0,y≥ 0
condiciones no negatividad de las incógnitas o variables.
Solución
Si estamos en un problema de
mínimo, las variables
artificiales se suman a la
función objetivo con
coeficiente M.
M es positivo y muy grande.
Transformamos el sistema en forma estándar agregando las variables de
holguras y artificiales necesarias.
Min
C = 200x +400y+ 0h1 + 0h2 + 0h3 + Mw1 + Mw2 + Mw3
x + 3y – h1 + w1 = 15
5x + y – h2 + w2 = 20
2x + 3y – h3 + w3 = 24
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; h1 ≥ 0 ; h2 ≥ 0 ; h3 ≥ 0 ; w1 ≥ 0 ; w2 ≥ 0 ; w3 ≥ 0
3376
Agregamos como última ecuación la función objetivo, el sistema a resolver es:
x + 3y – h1 +w 1 = 15
5x + y – h2 + w2 = 20
2x + 3y – h3 + w3 = 24
–200x – 400y + 0h1 + 0h2 + 0h3 – Mw1 – Mw2 – Mw3 + C = 0
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; h1 ≥ 0 ; h2 ≥ 0 ; h3 ≥ 0 ; w1 ≥ 0 ; w2 ≥ 0 ; w3 ≥ 0
La matriz ampliada es:
x
Se realizan las operaciones
necesarias para convertir las
columnas de las variables
artificiales en vectores
unitarios.
y
é 1
3
ê
ê 5
1
ê
ê 2
3
ê
ê -200 -400
êë
h1
h2
h3
w1
w2
w3
C
-1
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
0
-M
-M
-M
1
h1
h2
h3
w1
w2
w3
C
-1
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
1
0
-M
-M
-M
0
0
0
1
h3
w1
w2
w3
C
0
1
0
0
0
0
0
0
-1
0
1
0
-M
0
0
1
15 ù
ú
20 úú
24 úú
0 úúû
Tabla Inicial
x
y
w1 é
1
3
ê
w 2 êê
5
1
ê
w3 ê
2
3
ê
C êë -200+8M -400+7M
15 ù
ú
20 úú
24 úú
ú
59Múû
Elegimos el indicador positivo más grande.
w1
x
w3
Como la variable artificial
que sale de la base nunca
vuelve a entrar, no
realizamos las cuentas de
esa columna.
3383387
C
x
y
é
14
ê 0
ê
5
ê
ê
1
ê 1
ê
5
ê
13
ê
ê 0
5
ê
ê
ê 0 -360+ 27M
ê
5
êë
h1
h2
1
5
-1
5
2
5
-1
0
0
-M
3M
5
- 40
ù
ú
ú
ú
ú
4 ú
ú
ú
ú
16 ú
ú
ú
ú
27M+800ú
úû
11
En el modelo que hemos planteado ingresa a la base la variable con indicador
positivo más grande. Si c ontinuamos con este criterio, las restantes tablas son:
y
x
w3
C
x
é
ê 0
ê
ê
ê
ê 1
ê
ê
ê
ê 0
ê
ê
ê 0
êê
ë
y
1
0
0
h1
h2
-5
14
1
14
13
14
1
14
-3
14
3
14
x
é
y ê 0
ê
ê
ê
x ê 1
ê
ê
h1 êê 0
ê
ê
C êê 0
ëê
y
h1
1
0
0
0
0
1
0
0
x
y
h1
y é
ê 0
ê
ê
x ê 1
ê
ê
ê
h2 ê 0
ê
ê
ê 0
C êë
w3
C
0
0
0
0
0
0
-1
1
0
100
7
-M
0
1
h2
h3
w1
2
13
-3
13
3
13
-5
13
1
13
-14
13
3M
13M 900
7
14
0
1
0
0
0
-
14
200
13
-
-
h2
-2
3
1
13
3
0
200
3
0
h3
1
3
-1
-14
3
1
-
w2
w2
w3
0
0
200
3
1
w1 w2
w3
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
81
ú
ú
14
ú
81M 15500 ú
+
14
7 úûú
55
14
45
14
C
0
1800
13
h3
0
w1
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
39200 úú
13 úûú
80
13
36
13
81
13
C
0
0
0
1
ù
2ú
ú
ú
9ú
ú
ú
27 ú
ú
ú
ú
2600 ú
úû
Como todos los indicadores son negativos o cero, la solución es óptima. Las
variables artificiales como era de esperar, no están en la base, por lo que toman
el valor cero. Esto nos indica que nuestro problema original es factible con
solución única: (x, y, h1, h2, h3) = (9, 2, 0, 27, 0) y C = $ 2600.
Conclusión
Note: Si bien el conjunto
factible es no acotado, la
solución óptima es única.
Revise el ejemplo 5.17
Se deben comprar 9 unidades del fertilizante 1 y 2 unidades del fertilizante 2
para alcanzar un costo mínimo de $2600.
Hemos resuelto algunos ejemplos de problemas de Programación Lineal de máximo y
de mínimo, en los que se presentaron diferentes situaciones y dificultades que fuimos
solucionando. Observamos además, que el método Simplex consiste en una sucesión
3398
limitada de pasos que incluyen criterios que debemos utilizar ordenada y
adecuadamente. Por esta razón, y a modo de resumen, damos una síntesis del mismo.
Síntesis del
Método Simplex
• Se expresa el problema en forma estándar, es decir, se incorporan las variables de
holgura. Si existen restricciones de igual o de mayor o igual, se incorporan también
las variables artificiales.
• Se expresa la función objetivo igualada a cero, de modo que el coeficiente de z sea
igual a 1. Se incorpora esta ecuación al final del sistema anterior.
• Se construye la Tabla Inicial de Simplex. Esta es la matriz ampliada del sistema de
ecuaciones planteado. En el caso de que existan variables artificiales, se deben
realizar los cálculos para obtener vectores unitarios en correspondencia con ellas.
• Se lee en la tabla la solución obtenida. Los valores de las variables básicas se leen
en la última columna, y las no básicas toman el valor cero. Luego se controla si es
óptima o no. Para ello se observan los indicadores.
Si el problema es de máximo y todos los indicadores son no negativos o el
problema es de mínimo y todos los indicadores son no positivos, la es
óptima. En este caso se obtiene de la tabla el valor de todas las variables y de la
función objetivo que optimizan nuestro problema original. Si los únicos
indicadores con valor cero se corresponden con las variables básicas, la solución
es única. Si existe un cero en la columna de una no básica, existen soluciones
múltiples y si queda en la base alguna variable artificial con valor no nulo, el
problema es no factible. Caso contrario:
• Se determina la variable que entra y la que sale para la obtención de la siguiente
solución.
Si el problema es de máximo, la variable que entra a la base es la que tiene el
indicador más negativo, y la que sale es la que tiene el cociente menor.
Si el problema es de mínimo, la variable que entra a la base es la que tiene el
indicador positivo más grande, y la que sale es la que tiene el cociente menor.
En ambos casos, si los c oeficientes de la variable que ingresa a la base son
ceros o negativos, el problema es no acotado.
• Se calculan los elementos de la nueva tabla por medio de la reducción Gaussiana.
Se controlan nuevamente los indicadores y si la solución no es óptima, se realiza
una nueva iteración.
Como hemos visto, la resolución de problemas de Programación Lineal por este método
requiere un gran número de cálculos. Por esto, frecuentemente se utilizan programas de
cómputo para su resolución. En la próxima sección nos centramos en este tema.
34034039
REPASO TEÓRICO – Sección 5.4
A continuación le realizamos algunas preguntas que le permitirán evaluar los conceptos teóricos adquiridos.
1. ¿Qué condiciones se imponen a los términos
independientes de las restricciones estructurales?
2. Explique en términos generales en que consiste el
método Simplex.
3. ¿En qué teorema se basa el procedimiento
empleado en el método Simplex?
4. ¿Bajo qué condiciones puede utilizarse el método
Simplex?
5. ¿A qué se llama variable de holgura? ¿Cómo se
las incluye en las desigualdades? ¿Con qué
coeficientes se las agrega a la función objetivo?
6. ¿Cuál es la forma estándar de un problema de
programación lineal?
7. En el método Simplex, para un problema de
máximo ¿cuál es el criterio para decidir cuál
variable ingresa a la base? ¿Y para decidir cuál
sale de la base?
8. En el método Simplex, para un problema de
máximo ¿cómo sabemos cuando encontramos la
solución óptima?
9. En el método Simplex, para un problema de
mínimo ¿cuál es el criterio para decidir cuál
variable ingresa a la base? ¿Y para decidir cuál
sale de la base?
10. En el método Simplex, para un problema de
mínimo ¿cómo sabemos cuando encontramos
la solución óptima?
11. ¿En qué columna de la Tabla se lee el valor que
asumen las variables básicas en la solución
encontrada? ¿Qué valor toman las variables no
básicas?
12. ¿Qué tipo de solución tenemos si todos los
elementos de la columna pivot son ceros o
negativos?
13. ¿Cuándo decimos que el problema tiene
múltiples soluciones trabajando con el método
Simplex? y ¿solución única?
14. ¿Cómo hacemos en el caso de múltiples
soluciones para encontrar otra solución óptima
básica?
15. ¿Cuándo y por qué se incluyen las variables
artificiales en un problema de PL?
16. ¿Con qué coeficientes se incorporan en la
función objetivo las variables artificiales en un
problema de máximo? y ¿en uno de mínimo?
17. ¿Cómo se interpreta que una variable artificial
tome un valor no nulo en la solución óptima?
EJERCICIOS – Sección 5.4
Resuelva usando el Método SIMPLEX los siguientes
problemas de programación Lineal:
1. Maximice z = 5x +6y
 6x + 4y ≤ 240

Sujeto a:  2x + 3y ≤ 130

 x ≥0 y ≥ 0
2. Maximice : P = 10x + 12y
ïìï x - 2y ³ 0
ï
Sujeto a: ïí x + y £ 60
ïï
ïïî x ³ 0 y ³ 0
3. Maximice z = 2x + 4y
 4x + 2y ≤ 16

Sujeto a: 2x + 3y ≤ 12
 x≥0 y≥0

3410
4. Maximice z = 6x + 5y
 x + 2y ≤ 20

x + 2y ≤ 30
Sujeto a: 
 3x + 2y ≤ 24
 x≥0 y≥0

5. Maximice z = 5x + 4y
2x + y ≤ 6


 4x + 3.2y ≤ 16

Sujeto a: 
2x ≤ 5

y≤4


x ≥0 y≥0
6. Maximice z =2x + 12y + 8z
 2x + 2y + z ≤ 100

x - 2y + 5z ≤ 80
Sujeto a: 
10x +5y + 4z ≤ 300
 x ≥0 y ≥ 0 z ≥0

7. Max w = 2x + y + 2z
 x + y + z ≤ 11

x + y + 2z ≤ 15
Sujeto a: 
 2x + y + z ≤ 14
x ≥ 0 y ≥ 0 z ≥ 0

8. Maximice z = 3 x + 6 y
ì
4 x + y ³ 20
ï
ï
ï
ï x + y £ 20
Sujeto a: ïí
ï
x + y ³ 10
ï
ï
ï
ï
î x ³0 y ³0
ï
9. Minimice z = 3 x + 6 y
ì
4 x + y ³ 20
ï
ï
ï
ï x + y £ 20
Sujeto a: ïí
ï
x + y ³ 10
ï
ï
ï
ï
î x ³0 y ³0
ï
10. Maximice w = 2z
ì - x + 3y - 7z ³ 5
ï
ï
ï
ïï - x + y - z £ 1
Sujeto a: í
ï 3x + y - 10z £ 8
ï
ï
ïï x ³ 0 y ³ 0 z ³ 0
î
ï
11. Maximice w = 2x + 4y
3423421
ïìï x + 2y £ 5
ï
Sujeto a: ïí x + y £ 4
ïï
ïïî x ³ 0 y ³ 0
Resuelva los problemas de programación Lineal que
le proponemos, usando el Método Simplex
12. En un campo se preparan dos tipos de alimentos
para ganado porcino, estándar y para engorde,
mezclando dos clases de cereales A y B. Cada
bolsa de alimento estándar contiene 4 kg . del
cereal A y 6 kg. del B, mientras que cada bolsa
del alimento para engorde está compuesto por 5
kg . del cereal A y 15 kg. del B. Cada bolsa de
alimento estándar se vende a $150 y cada una de
engorde a $400. Si en el campo hay almacenados
40 kg . del cereal A y 75 kg. del B, ¿cuántas
bolsas de cada tipo de alimento conviene preparar
si se quiere m aximizar la ganancia?
13. Una fábrica produce mensualmente un máximo de
400 unidades de zapatillas de carrera y 300 de
tenis, y debido a limitaciones de horas de mano de
obra, la producción total no puede superar las 500
zapatillas. Si las de tenis valen $250 y las de
carrera la mitad. ¿Cuántas le conviene fabricar de
cada una para maximizar el ingreso?
14. Un supermercado tiene almacenados 800 kg. de
naranjas y 800 kg. de manzanas. Para su venta,
se preparan dos bolsones que denominamos A y
B. El bolsón A contiene 1 kg. de naranjas y 2 kg.
de manzanas, mientras que el bolsón B, tiene 2
kg. de naranjas y 1 kg. de manzanas. El beneficio
que se obtiene con el bolsón A es de $5 y con el
bolsón B de $4. ¿Cuántos bolsones de cada tipo
se deben preparar para la venta, de modo de
obtener el máximo beneficio?
15. Un horticultor desea mezclar dos tipos de
fertilizantes A y B, de manera que contenga por lo
menos 200 gr. de potasa, 300 gr. de nitratos y
360 gr. de fosfatos. El fertilizante A proporciona 1
gr. de potasa, 3 gr. de nitratos y 1gr. de fosfato,
mientras que el fertilizante B proporciona 1 gr. de
potasas, 1 gr. de nitratos y 3 gr . de fosfatos. Los
precios de los fertilizantes son de $6 y $8
respectivamente. Determine cómo debe hacerse la
mezcla para que el costo sea mínimo.
16. En el problema anterior ¿cómo debe realizarse la
mezcla si ambos fertilizantes costaran $2?
17. El señor González se dedica al reparto de revistas
en un pequeño pueblo de nuestra provincia. El
distribuidor le paga 20 centavos por cada revista A y
30 centavos por cada revista B que entrega. Debido
a su edad, no puede realizar largos recorridos en su
bicicleta ni cargar demasiado peso, por lo que lleva
un máximo de 25 revistas A y 20 B. Por otro lado,
ha calculado que cada vez que realiza este reparto a
lo sumo entrega 40 ejemplares en total. Teniendo en
cuenta estas limitaciones, el señor González desea
saber cuántas revistas de cada clase deberá repartir
para que su beneficio sea máximo ¿puede Ud.
ayudarlo con la solución de su problema?
18. La verdulería de Don Tito necesita diariamente 16
kg. de lechuga, 5 kg. de zanahoria y 20 kg. de
tomate para satisfacer los pedidos de sus clientes.
Puede comprar esta mercadería en dos granjas
cercanas a nuestra ciudad, sólo que éstas no
venden por kilo si no que ofrecen cajones con
mezcla de verduras. La granja A ofrece cajones con
8 kg. de lechuga, 1 kg. de zanahoria y 2 kg. de
tomate. Por su parte la granja B prepara cajones con
2, 1 y 7 kg. respectivamente. Cada cajón de A le
cuesta a Don Tito $10, mientras que por los de B
paga $15. ¿Cuántos cajones debe comprar
diariamente Don Tito a cada granja para satisfacer la
demanda de sus clientes y simultáneamente
minimizar sus costos?
19. Un vendedor de libros tiene almacenados en su
negocio 180 libros de la Editorial Aprender y 80 de
la Editorial Maestro, ambas especializadas en libros
para el nivel primario. Debido a que la venta de los
mismos ha decaído, decidió preparar dos lotes de
oferta orientados a las necesidades de las
bibliotecas escolares. El lote A consta de 6 libros de
la Editorial Aprender y 1 de la Editorial Maestro, que
venderá a $80 y el B está constituido por 2 libros de
Aprender y 2 de Maestro, que venderá a $100. Si se
desea maximizar la ganancia cuando haya vendido
todos los libros:
a) ¿Cuántos lotes de cada tipo debe preparar?
b) ¿Cuál será su ganancia máxima?
c) ¿Si acepta esta solución, le sobrarán libros de
cada una de las editoriales o no? Responda
justificando con claridad.
20. Los alumnos de cierto colegio pretenden vender
dos tipos de lotes, A y B, para cubrir los gastos del
viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta de
una caja de alfajores y cinco bocaditos de
chocolate, mientras que cada lote de tipo B consta
de dos cajas de alfajores y dos bocaditos. Por
cada lote de tipo A vendido, los alumnos obtienen
un beneficio de $6 y por cada lote de tipo B, $10.
Por razones de almacenamiento, pueden disponer
a lo sumo de 400 cajas de alfajores y de 1200
bocaditos de chocolate. Si el objetivo es maximizar
el beneficio ¿cuántos lotes de cada tipo se deben
preparar para la venta?
21. Una compañía fabrica dos modelos de celulares,
cada uno en una línea de producción diferente. La
capacidad diaria máxima de la primera línea es de
60 unidades, mientras que la de la segunda es de
75 celulares. Cada unidad del primer modelo
utiliza 10 horas-hombre para su fabricación, en
tanto que cada unidad del segundo modelo
requiere ocho horas-hombre. Si la disponibilidad
diaria máxima es de 800 horas-hombre y la
ganancia por celular de los modelos 1 y 2 es $60 y
$40, respectivamente, determine la producción
diaria óptima de cada modelo de celular de tal
manera de maximizar la ganancia. ¿Cuál es la
ganancia máxima? Si la compañía decide utilizar el
nivel de producción óptimo ¿tendría horas-hombre
sobrantes para encarar la fabricación de un nuevo
modelo?
22. Una persona que desea adelgazar debe mezclar
dos productos A y B siguiendo estrictamente las
indicaciones del médico. Diariamente debe tomar
no menos de 100 g,r., ni más de 300 gr. de la
mezcla. Se recomienda además, que el preparado
debe contener un máximo de 200 gr. de A y la
cantidad de B no debe superar la de A. Si cada
100 gr. de A contiene 60 mg. de vitaminas y 450
calorías, mientras que cada 100 gr. de B contiene
40 mg. de vitaminas y 150 calorías. ¿Cuántos
gramos de cada producto debe mezclar para
3432
minimizar las calorías? Y ¿cuántos para maximizar
las vitaminas?
23. Un administrador de fondos de empresas fue
autorizado por uno de sus principales clientes a
realizar una inversión no mayor de 800000 dólares
en dos fondos de inversión I y II. Cada unidad del
fondo I cuesta 25 dólares y tiene una tasa de
rendimiento anual del 10%, mientras que los del
fondo II cuestan 50 dólares con una tasa de
rendimiento anual del 6%. El cliente puso como
condición que el rendimiento anual no debía ser
inferior a 50000 dólares.
El objetivo del administrador es minimizar los riesgos
de la inversión, que se mide con un índice que indica
mayor riesgo cuanto más alto es su valor. De
acuerdo a sus estudios preliminares, el riesgo de
cada unidad del fondo I es 6 y el de cada unidad del
fondo II es 3. Si el riesgo máximo aceptado es
40000 ¿le conviene realizar la inversión?
24. De acuerdo con recomendaciones médicas, una
persona debe ingerir semanalmente como mínimo
16 unidades de proteínas, 24 de hidratos de
carbono y 18 de grasas. Para lograr esto puede
mezclar dos productos A y B que por kilogramo
contienen:
Unidades por kg.
Grasas
Hidratos de Carbono
Proteínas
Producto A
2
12
4
Producto B
6
2
2
Cada kilogramo de los productos A y B cuesta $12 y
$8 respectivamente. ¿Cuántos kilogramos de cada
producto debe esta persona comprar por semana de
manera de cumplir con las recomendaciones de su
médico y minimizar los costos del tratamiento?
25. Una fábrica de cerámicos produce tres diseños
económicos que vende a $100, $120 y $140 el
grupo de 100 unidades de cada tipo. Durante el
proceso de fabricación, estos cerámicos deben
pasar por tres etapas: mezclado, horno e inspección.
Cada 100 unidades del diseño I se necesita media
hora de mezclado, 1 h. de horno y 0.5 h. de
inspección. Por otro lado, la misma cantidad de
cerámicos del diseño II requiere de 1, 2 y 0.5 horas
respectivamente. Mientras que el grupo de diseño
344443
III necesita 0.8, 1.5 y 1 hs. de cada etapa
respectivamente. Para el próximo mes se dispone
de 800 horas de máquina para mezclado, 1000
horas de horno y 340 horas-hombre para la
inspección. Si la fábrica desea maximizar sus
utilidades dentro de este período, ¿cuántos
cerámicos de cada diseño le conviene fabricar el
próximo mes? Si se establece este nivel de
producción ¿existirá sobrante de horas en alguna
de las etapas del proceso de fabricación?
26. Un analista financiero evalúa la posibilidad de
invertir el dinero de uno de sus clientes en distintas
acciones del mercado. Las tres opciones que está
considerando y la información relacionada con
cada una, se muestran en la siguiente tabla:
DATOS FINANCIEROS
A
B
C
Precio por acción
200
100
160
Tasa anual de rendimiento
0.12
0.08
0.10
Su cliente ha impuesto algunas condiciones para
hacer efectiva la inversión: En primer lugar desea
que la inversión sea la mínima posible. Se deben
comprar por lo menos 500 acciones A y 300 C.
Las acciones B no deben superar las 200. La
cartera debe tener por lo menos 100 acciones de
cada tipo. El rendimiento anual de la cartera de
acciones debe ser de por lo menos 20000 dólares.
¿Cómo debe conformar el analista la cartera de
acciones de tal manera de satisfacer los
requerimientos de su cliente?
27. Una concesionaria de autos vende tres modelos
de una misma marca; el modelo A, es el más caro
y completo de todos, con el que gana $10000 por
unidad vendida, el modelo B, es el de tamaño
intermedio y le genera una ganancia de $7.000
por unidad y finalmente el modelo C, de tres
puertas, que le reditúa $4000. Por exigencia de la
fábrica, se deben vender mensualmente menos de
10 coches del modelo A y como máximo 50 del B.
Sabiendo que el número máximo de coches que
puede vender entre todos los modelos es de 100
unidades mensuales y que la cantidad vendida del
modelo C debe superar el 30% de la cantidad
vendida de los otros dos, determine cuántos
coches debe vender de cada modelo para que su
beneficio sea máximo.
Para cada uno de los siguientes problemas de
Programación Lineal se pide:
a) Dé la forma estándar del modelo.
6x1 – x2 + 3x3 ≤ 125
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; x3 ≥ 0
33. Max z = 5x1 + 2x2 +4x3
Sujeto a:
x1 – 2x2 + x3 ≤ 12
b) Encuentre, si es posible, una solución factible no
básica, una solución básica no factible y una
solución factible básica.
28. Max z = 10 x1 + 20x2
Sujeto a:
x1 – x2 ≤ 300
x2 ≤ 100
3 x1 + 2 x2 ≤ 1500
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
29. Max z = 3x1 + 2x2
Sujeto a:
2x1 + x2 ≤ 2
2 x1 + 3x2 +2x3 ≤ 10
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
Analice las siguientes Tablas parciales de Simplex
correspondientes a algún paso del procedimiento de
resolución de un problema de máximo y responda:
a) ¿Cuáles son las variables básicas?
b) ¿Cuál es la solución encontrada en este paso?
c) ¿Es la solución encontrada básica?
d) ¿La solución encontrada es óptima? En caso
afirmativo diga si es única, múltiple o no acotada;
en caso negativo diga cuál variable sale de la
base y cuál conviene ingresar.
3 x 1 + 4 x2 ≥ 12
x1 ≥ 0 ; x 2 ≥ 0
30. Min z = 3 x1 + 2 x2
Sujeto a:
3x1 + x2 ≥ 3
4 x1 + 3 x 2 ≥ 6
x1 + x 2 ≤ 3
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
31. Min z = 2 x1 + 2 x2
x1 x 2
1
34. 0
0

0
32. Max z = 5x1 + 2x2 + 8x3
Sujeto a:
x1 – 2x2 + 0.5x3 ≤ 420
2 x1 + 3x2 – x3 ≤ 610
h2
h3 Z
0 -3/5
1/5
0
0
1
-3/5 0
0
2/5
1
0
0 -1/5 -3/5 0
1
y
Z
4/5
0 -1/5
x
h1
h 2 w2
3/5 

6/5 
6/5 

21/5
-1 0 4 
 0 1 2 1

1 0 1
 1 0 -1 -1
 0 0 5 3 M - 3 1 7 
35. 
Sujeto a:
x1 + 3x2 ≤ 12
3 x1 – x2 ≥ 13
x1 – x2 = 3
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
h1
x
y
h3
P
 0 1/2 0 1 -3/10 -1/10
0
36.  1
0 0
h2
2/5
-1/5
0
 0 1/2 1 0 -1/10

 0 1/2 0 0 13/10
3/10
0
1/10
1
x1
0
z h1
h1
h2
w2 Z
1
1
 1
1
0
 2
1-2M 2+M 0
0
-1
M
0
1
0
37. 
x2
1

1
2

10 
0
5 

0
6 
1 6M 
3454
5.5 – RESOLUCIÓN CON COMPUTADORA
Si bien hasta el momento hemos resuelto problemas que incluían no más de tres variables de decisión y pocas
restricciones, la realidad nos enfrenta con situaciones cuyo planteo involucra un número mucho mayor de
incógnitas y condiciones a cumplir. El método Simplex puede ser utilizado para resolverlos. En estos casos,
cuando la dimensión de los sistemas de inecuaciones es grande, se hace imprescindible recurrir a algún programa
de computación que facilite los cálculos necesarios para encontrar la solución óptima. Por esta razón, con la
aparición de las computadoras personales, la programación Lineal tuvo un gran impulso pues éstas permitieron un
fácil acceso a los softwares. En la actualidad, debido a la globalización de la información y a los accesibles
recursos que nos facilita Internet, podemos recurrir a programas de computación que nos brindan la solución
buscada. Cualquier software matemático completo incluye la resolución de problemas de programación lineal y no
lineal. Entre los que existen actualmente en el mercado, describimos el LINDO cuya versión estudiantil puede
bajarse libremente de Internet. LINDO software utilizado con la autorización de LINDO Systems, Inc. htpp://
www.lindo.com .
LINDO (Linear, INteractive, and Discrete Optimizer) es una poderosa herramienta para resolver no sólo problemas
de Programación Lineal, que es el único que nos interesa en este momento, sino también problemas de
Programación Entera y Cuadrática. Está diseñado de tal manera que es muy sencillo de usar y su aprendizaje se
simplifica notablemente con el aporte de un completo HELP. Permite, además de usar rutinas de programación, la
posibilidad de interactuar directamente desde el teclado en un espacio de trabajo creado para tal fin.
Nuestro propósito solam ente es iniciarlo en el manejo de este programa y no profundizar en el mismo. Para ello,
presentamos a través de los ejemplos desarrollados en las distintas secciones, las instrucciones básicas y las
interpretaciones de las salidas para los distintos tipos de solución.
Cuando se ingresa al LINDO, se abre la siguiente ventana:
En ella, se debe ingresar el planteo matemático correspondiente al problema que se
desea resolver. Mostramos la manera de hacerlo trabajando primero con el ejemplo
5.15 .
Recordemos el planteo:
Problema de
Programación Lineal
con solución única
346465
Max z = 100 x1 + 200 x2
Sujeto a:
Función Objetivo
x1 + x 2 ≤ 500
x1 ≤ 200
Restricciones específicas del problema
2 x1 + 6 x 2 ≤ 1200
x1 ≥ 0 ; x 2 ≥ 0
Restricciones de no negatividad .
Para ingresar este planteo en el software debemos escribirlo en la pantalla inicial de
forma similar. Esto permite observar el alto grado de interactividad entre el usuario y el
programa.
se puede poner simplemente s.t.
Note: LINDO interpreta el signo menor estricto “< ” como menor o igual “≤ ” y el
mayor estricto “ > ” como mayor o igual “≥”, si prefiere se puede ingresar
también “<= ” o “ > =”. Asume también que las variables cumplen con las
restricciones de no negatividad, por lo que no es necesario incorporarlas
al planteo.
No se escribe el nombre de la función objetivo, en este caso, z.
Para encontrar la solución del problema que ingresamos, si es que existe, debemos
recurrir a la opción SOLVE de la barra de herramientas.
Al elegir esta opción, aparece una nueva ventana en la que se nos consulta si
deseamos realizar el análisis de sensibilidad de la solución o no. Debido a que no
estamos realizado un estudio profundo y exhaustivo de Programación Lineal, no lo
consideramos y seleccionamos el botón NO.
3476
Al realizar esta acción, se hace visible otra ventana que está detrás y que contiene
información respecto a la solución.
El tipo de solución que el problema planteado tiene se detalla en STATUS pudiendo
asumir distintas alternativas que iremos describiendo en los sucesivos ejemplos. En
este caso OPTIMAL indica que el problema tiene solución óptima. Esta opción no hace
la distinción entre solución única o múltiple. Esta información se puede obtener en la
ventana donde se muestra la solución óptima o analizando el TABLEAU. La solución
(REPORTS WINDOW) aparece cuando se cierra la ventana “LINDO Solver Status”
seleccionando la opción CLOSE.
34887
Valor de la Función Objetivo
Valores de las Variables de Decisión
Las variables SLACK son
las de holgura.
Valores de las Variables de holgura
Note: El orden en que aparecen las variables de holgura se corresponde con
el del sistema de ecuaciones a resolver, poniendo como primera fila la
de la función objetivo. Es decir, la que aparece en la segunda fila, ROW
2), es la holgura correspondiente a la primera de las inecuaciones, la
ROW 3) a la segunda y la ROW 4) a la última.
• Compare la solución con la encontrada en el ejemplo 5.15 .
Para saber si esta solución es única o múltiple debemos controlar los indicadores de la
correspondiente tabla de Simplex. Estos son los que se encuentran en la columna de
los Costos Reducidos (REDUCED COST) para las variables principales y en los Precios
Duales (DUAL PRICES) para las de holgura.
En primer lugar recordemos que el problema tiene tres restricciones, por lo que existen
tres variables básicas. Estas son x1, x2 y SLACK 2 ya que toman valores distintos de
cero, y sus correspondientes indicadores son los únicos que toman el valor cero. Esto
está indicando que la solución es única.
La otra forma de decidir cuántas soluciones tenemos es analizando el TABLEAU, al que
se accede seleccionando en el menú “REPORTS” la opción TABLEAU”.
3498
Las líneas incluidas en el
TABLEAU no las proporciona
el software, sino que fueron
agregadas para una mejor
lectura de la información.
La primera columna de la tabla muestra las variables que están en la base, es decir
SLK2, x1, x2, y la última contiene sus valores y el de la función objetivo. La primera fila
es la de los indicadores que son todos no negativos, por lo que la solución es óptima.
Los ceros se corresponden únicamente con las variables básicas, lo que implica que la
misma es única.
Analicemos ahora el ejemplo 5.21:
Problema de
Programación Lineal con
soluciones múltiples.
Planteo del problema
Max
G = 20x + 10y
Sujeto a:
2 x + y ≤ 50
x + 3 y ≤ 40
x ≥ 0, y ≥ 0
Ingresamos el planteo de igual modo que hicimos en el caso anterior, elegimos del
menú principal la opción SOLVE y dentro de ella nuevamente SOLVE.
La ventana SOLVER STATUS es la misma a la presentada en el primer ejemplo donde
STATUS indica que la solución es óptima. Recuerde que para distinguir que el problema
posee solución múltiple se deben analizar los Costos Reducidos y los Precios Duales en
la ventana que nos muestra la solución óptima o leer los indicadores del Tableau. El
planteo, la solución óptima y el tableau se muestran a continuación:
35035049
Observe que y es una variable no básica y tiene en correspondencia en la columna de
REDUCED COST un cero. Esta situación se observa también en el tableau donde
claramente la variable y no es básica, pues toma el valor cero y tiene también indicador
cero. Esto nos dice que la solución es múltiple.
Para obtener otra solución básica debemos realizar un paso manual. Situados en la
ventana del planteo se elige la opción PIVOT del menú SOLVE o se usa la combinación
de teclas CRTL+ N y se abre una ventana que nos permi t e elegir la variable entrante y la
saliente:
La variable entrante es la y, pues es la que tiene el indicador igual a cero. La saliente es
la SLACK 3) que es la holgura de la segunda inecuación. Esta decisión se toma luego
de realizar los cocientes que el método Simplex propone. Es posible no ingresar la
variable que sale, marcando en ROW SELECTION la opción LINDO, y dejando que el
software la determine y complete el procedimiento para hallar otra solución básica.
3510
Luego de pulsar OK, aparece la ventana de SOLVER STATUS, mostrando en STATUS
que la solución es factible. Cerramos esta ventana y cancelamos la PIVOT. Situados
nuevamente en el espacio de trabajo donde ingresamos el planteo, solicitamos
nuevamente la solución:
•
Compare esta solución con la encontrada por el método gráfico.
Observe: Como era de esperar, el valor óptimo de la función objetivo es 500
en am bas soluciones.
Otra situación ocurre cuando analizamos el ejemplo 5.23, cuya solución sabemos que
es no factible.
Planteo del problema
Problema de
Programación Lineal con
solución no factible.
Max z = 5x + 3y
Sujeto a:
x+ y≤ 0
x– y ≤
0
x – 5y ≥ 5
x≥0;y ≥0
Ingresamos la función objetivo y las restricciones como en los ejemplos anteriores.
Seleccionando SOLVE en la opción SOLVE, de la barra de herramientas del menú
35221
principal, aparece el siguiente mensaje de error del LINDO: “NO FEASIBLE SOLUTION”
que signific a que no se encontraron soluciones posibles.
Cuando elegimos OK, se hace visible una ventana que reporta en STATUS que el
problema no tiene solución.
•
Compare el resultado con el obtenido por el método gráfico.
Finalmente, utilicemos el software para resolver el problema del ejemplo 5.22, que tiene
solución no acotada, con la cual completamos todas las posibles respuestas de un
problema de programación lineal.
3532
Planteo del problema
Max z = 2x + 3y
Problema de
Programación Lineal con
solución no acotada.
Sujeto a:
–x+y≤7
y ≤ 10
x≥0;y ≥0
En este caso, luego de elegir SO LVE aparece un mensaje de error distinto del caso
anterior, “UNBOUNDED SOLUTION” cuya traducción es solución no acotada.
Seleccionando OK, y como anticipa el mensaje, se puede ver el siguiente reporte:
•
354543
Controle este resultado con el encontrado en el desarrollo del ejemplo trabajado, en
la sección anterior.
EJERCICIOS – Sección 5.5
Usando el software LINDO, resuelva los siguientes
problemas de programación lineal:
1. Max: W = 2x + 3y +7z
Sujeto a:
6. Min P = 3x – 7y + 3z
Sujeto a:
10y + 10z ≤ 425
2x + 3z ≥ 300
x + y + 2z ≤ 30
x + 10y ≤ 380
2x – y + 3z ≥15
x ≥ 0 , y ≥ 0, z ≥ 0
x – y +4z ≤ 7
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥0
2. Max W = 4x + y + 2z
Sujeto a:
7. Min P = x + y + 10z
Sujeto a:
3x + y + 5z ≤ 250
2x + 3z + 5y ≤ 200
x + y + 2z ≥ 30
x + 4y+ 3z ≥ 180
x – 5y – z ≤ 60
x ≥ 0,
5x + 10y + 20z ≤ 70
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
3. Max W = 4x + 10y + 2z
Sujeto a:
y ≥ 0, z ≥ 0
8. Min P = 2x + 3y + z
Sujeto a:
x + y + z ≤ 30
3x + y ≥ 32
x + y + z ≥ 120
y + z ≥ 20
x – 5y – z ≥ 70
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
5x + 10y + 20z ≥ 170
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
4. Min P = x + 3y + 2z
Sujeto a:
9. Max W = 2x + 3y + z
Sujeto a:
– x + y + 2z ≥ 20
5x – 3y + z ≤ 30
x + y + z ≤ 10
20x – 2y – 5z ≤ 135
3x + 2y + 5z ≥ 30
15x – 2y – 4z ≥ 90
x + 2y – z ≥ 50
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
5. Min P = 4x + y + 3z
Sujeto a:
10. Min P = 2x + 3y + z
Sujeto a:
– x + y + 2z ≥ 20
x + y + z ≤ 10
5x – 3y + z ≤ 30
3x+ 2y + 5z ≤30
20x – 2y – 5z ≤135
x + 2y – z ≥ 50
15x – 2y – 4z ≥ 90
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
x ≥ 0,
y ≥ 0, z ≥ 0
3554
11. Min P = x + y + 3z
Sujeto a:
Sujeto a:
– x + y + 2z ≥ 20
x + 2y ≤ 20
5x – 3y + z ≤ 30
4x + 2y + z ≤ 32
20x – 2y – 5z ≤ 135
x≤ 8
15x – 2y – 4z ≥ 90
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
12. Max W = 2x + 3y + 3z
Sujeto a:
18. Min W = x + 3y + 4z
Sujeto a:
x + 2y ≥ 20
– x + y + 2z ≥ 20
4x + 2y + z ≥ 23
5x – 3y + z ≤ 30
z≥8
20x – 2y – 5z ≤135
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
15x – 2y – 4z ≥ 90
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
13. Max W = x + 2y + 3z
Sujeto a:
19. Min P = 6x + 3y + z
Sujeto a:
4x + 2y + z ≥ 42
3x + y + 5z ≥ 10
x + 2y + 3z ≤ 10
y+z≤8
2x +2y ≤ 5
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
x≤ 1
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
14. Max G = 2x – 4y + 5z – 6w
Sujeto a:
20. Max G = 6x + 3y + z + 3w
Sujeto a:
x + 2y ≤ 20
4x + 2y ≤ 32
2x + 8y – 4z + 16w ≤ 4
x + 2w +3z ≤ 15
– x +2y + 3z + 4w ≤ 1
w – 4z – 2y ≥ 0
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0
15. Max G = 4x + 6y + 3z + w
Sujeto a:
21. Min P = x1 + 3x2 + x3 + x4 + x5
Sujeto a:
1.5x + 2y – 550 ≤ – 4z – 3w
x1 + 2x3 + x5 ≥ 20
4x ≤ 700 – y – 2z – w
4x2 + 2x3 + x5 ≥ 40
2x + 3y + z ≤ 200 – 2w
2x4 + 3x5 ≥ 50
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0
x1 + 3x2 + 4x3 + 4x4 + 7x5 ≥ 10
16. Min P = x + y +z
Sujeto a:
x1 + x5 ≥ x3
3x1 + 2x3 + x4 ≥ 30
x – 1 ≥ 0.5 (x + y)
x2 ≥ 5
y – 2 ≥ 0.1 (x + z)
x4 ≥ 3
z – 1 ≥ 0.2 (x + y)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ ,
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
356565
17. Max W = 6x + 3y + z
x5 ≥ 0
Solución del Problema Inicial
El gobierno de una ciudad está planificando la construcción de cuatro barrios (A, B, C y D) para
personas de bajos recursos, en distintas zonas del ejido municipal. Una de las cuestiones que
debe solucionar tiene que ver con el traslado de arena desde tres centros de distribución (I, II y
III), ya que la forma en que se realice esta tarea influye de manera significativa en los costos
totales.
De acuerdo con un estudio realizado por los responsables de la obra, se determinó que las
necesidades de arena son las mismas en todos los barrios y se calculan en unas 200 toneladas
semanales. En cuanto a los centros de distribución, se sabe que tienen distintas disponibilidades.
Cuentan con 400, 300 y 250 toneladas por semana, respectivamente. Por otro lado, los costos e
pesos del traslado por tonelada de cada centro a los barrios se muestran en la siguiente tabla:
Centros de
Distribución
Barrios
A
B
C
D
I
50
45
53
38
II
42
51
39
40
III
32
44
50
52
¿Cómo le conviene realizar la distribución de arena en forma tal que se cubran las demandas
semanales de los cuatro barrios y se minimicen los costos?
En primer lugar observemos que tenemos lo que se conoce como Problema de Transporte . En
estos problemas se debe determinar la mejor forma de hacer llegar productos desde diversos
centros de distribución u orígenes a distintos destinos, con el fin de satisfacer las demandas de los
clientes a un costo mínimo.
Entre los datos siempre se cuenta con el nivel de oferta de cada origen y la cantidad demandada
por cada destino, y el costo de transporte unitario de la mercancía de cada origen a cada destino.
Si bien existen métodos específicos para resolverlos, básicamente son problemas lineales que
pueden solucionarse con el método Simplex.
3576
Variables del Problema:
x11 = cantidad de toneladas de arena que se envía del Centro de Distribución I al barrio A.
x12 = cantidad de toneladas de arena que se envía del Centro de Distribución I al barrio B.
x13 = cantidad de toneladas de arena que se envía del Centro de Distribución I al barrio C.
x14 = cantidad de toneladas de arena que se envía del Centro de Distribución I al barrio D.
x21 = cantidad de toneladas de arena que se envía del Centro de Distribución II al barrio A.
x22 = cantidad de toneladas de arena que se envía del Centro de Distribución II al barrio B.
x23 = cantidad de toneladas de arena que se envía del Centro de Distribución II al barrio C.
x24 = cantidad de toneladas de arena que se envía del Centro de Distribución II al barrio D.
x31 = cantidad de toneladas de arena que se envía del Centro de Distribución III al barrio A.
x32 = cantidad de toneladas de arena que se envía del Centro de Distribución III al barrio B.
x33 = cantidad de toneladas de arena que se envía del Centro de Distribución III al barrio C.
x34 = cantidad de toneladas de arena que se envía del Centro de Distribución III al barrio D.
Planteo del Problema:
Se desea minimizar el costo de envío de la mercadería, es decir:
z = 50 x11 + 45 x12 + 53 x13 + 38 x14 + 42 x21 + 51 x22 + 39 x23 + 40 x24 + 32 x31 + 44 x32
+ 50 x33 + 52 x34
Sujeto a las restricciones:
x11 + x21 + x31 ≥ 200
x12 + x22 + x32 ≥ 200
x13 + x23 + x33 ≥ 200
x14 + x24 + x34 ≥ 200
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 400
x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 300
x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 250
x11 ≥ 0 ; x12 ≥ 0 ; x13 ≥ 0 ; x14 ≥ 0 ; X21 ≥ 0 ; X 22 ≥ 0 ; X23 ≥ 0 ; X24 ≥ 0 ; x31 ≥ 0 ;
x32 ≥ 0 ; x33 ≥ 0 ; x34 ≥ 0
3583587
Solución:
Usando el software:
Conclusión
El mínimo Costo de Transporte por envío semanal de arena de cada uno de los tres Centros de
Distribución a los cuatro barrios es $ 30750. Esto se logra mediante la siguiente política de
envíos:
• El Barrio A recibe 200 toneladas del Centro III.
• El Barrio B recibe las 150 toneladas del Centro I y 50 del Centro III.
• El Barrio C recibe las 200 toneladas del Centro II.
• El Barrio D recibe las 200 toneladas del Centro I.
• Sobran 50 toneladas del Centro I.
• Sobran 100 toneladas del Centro II.
Observe que la solución es única.
3598
REPASO TEÓRICO – CAPÍTULO 5
Verdadero o Falso
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. De ser verdaderas justifíquelas desde la teoría; caso
contrario, dé un ejemplo que muestre su falsedad o explique claramente.
1. Las soluciones de una inecuación lineal con una
incógnita son aquellas que verifican la igualdad.
2. Las soluciones de una inecuación lineal con una
incógnita se representan gráficamente en la
recta real.
3. Si multiplicamos ambos miembros de una
inecuación por un número positivo, no cambia el
sentido de la desigualdad.
11. Las soluciones óptimas, si existen, sólo se
encuentran en los vértices del conjunto de
soluciones factible.
12. Las soluciones óptimas de un problema de PL,
si existen, se encuentran siempre en el interior
del conjunto de soluciones factibles.
13. Todas las soluciones óptimas de un problema
de PL, si existen, son soluc iones factibles.
4. Los valores de x menores a –1 son solución de
la inecuación – 2 x + 4 < 6.
14. Un problema de PL siempre tiene soluciones
factibles.
5. Las soluciones de una inecuación lineal con dos
incógnitas se representan gráficamente en la
recta real.
15. En el método Simplex, un problema de
programación Lineal tiene infinitas soluciones
cuando todos los coeficientes de la columna
pivot son ceros o negativos.
6. El par (9, 2) es solución de la inecuación
– x + 4y > 1.
7. Las soluciones de un sistema de inecuaciones
con dos variables es el conjunto de puntos del
plano que se encuentra en la intersección de las
zonas solución de cada inecuación.
8. Un sistema de inecuaciones lineales con dos
incógnitas puede no tener solución.
9. Las soluciones factibles de un problema de PL
verifican el sistema de inecuaciones específicas
y las restricciones de no negatividad.
10. Las soluciones factibles de un problema de PL
son siempre soluciones óptimas.
360
16. Las variables de holgura se agregan a la función
objetivo con coeficiente uno.
17. Las variables de holgura afectan el valor de la
función objetivo.
18. Las variables artificiales se incorporan a un
problema de programación lineal cuando las
restricciones son de menor o igual.
19. Las variables artificiales se agregan a la función
objetivo con coeficiente cero.
20. Si en el óptimo una variable artificial toma un
valor no nulo entonces el problema original no
tiene solución.
Selección Múltiple
En cada uno de los siguientes ejercicios elija todas las opciones correctas.
1. Una operación permitida para pasar de una inecuación a otra equivalente es:
a) Multiplicar ambos miembros de la inecuación
por una constante cualquiera.
c) Sumar a ambos miembros de una inecuación
una constante cualquiera.
b) Dividir ambos miembros de la inecuación por
una constante cualquiera.
d) Ninguna de las anteriores.
2. La expresión general de una inecuación lineal con una incógnita es:
a) ax + by ≥ c
c) b + ax < c
b) axy + byx ≤ c
d) Ninguna de las anteriores
3. x =
a)
2
es una solución de la inecuación:
3
c) 4x > 9x +1
1
x+3(x+1) ≤ 0
4
b) 9x −
1
17
x<
2
3
d) − 5 ≤ 1 x − 3x
3
2
4. Geométricamente, la solución de la inecuación lineal con dos incógnitas ax + by ≤ c es:
a) La recta ax + by = c
b) Uno de los dos semiplanos determinados por
la recta ax + by = c
c) Los dos semiplanos determinados por la recta
ax + by = c
d) Un punto.
5. La solución de un sistema de inecuaciones es:
a) Siempre única.
c) Siempre acotada.
b) Siempre un conjunto convexo.
d) Ninguna de las anteriores.
6. El objetivo de un problema de Programación Lineal es encontrar el valor de las variables que:
a) Verifican las restricciones estructurales.
c) Optimizan la función objetivo.
b) Verifican las restricciones estructurales y
optimizan la función objetivo.
d) Verifican las restricciones estructurales, las de
no negatividad y optimizan la función objetivo.
7. Si el conjunto de soluciones factibles es no acotado entonces:
a) La solución óptima es no acotada.
c) La solución puede ser única, múltiple o no
acotada, dependiendo de la función objetivo.
b) El problema es no factible.
d) Ninguna de las anteriores.
361
8. Si el conjunto de soluciones factibles es no vacío y acotado entonces el problema:
a) Siempre tiene solución óptima única.
c) Siempre tiene solución óptima que puede ser
única o múltiple dependiendo del problema.
b) Siempre tiene solución óptima múltiple.
d) Siempre es no factible.
9. ¿Cuál de las siguientes condiciones no es requerida para aplicar el método Simplex?
a) Todas las restricciones estructurales deben
expresarse como ecuaciones.
c) Los términos independientes deben ser
negativos.
b) Los coeficientes del miembro derecho de la
desigualdad deben ser no negativos.
d) Todas las variables deben ser no negativas.
10. Una solución factible básica de un problema de Programación Lineal, se encuentra:
a) En el interior del conjunto factible.
c) Fuera del conjunto factible.
b) En un vértice del conjunto factible.
d) Sobre un segmento del borde del conjunto
factible.
11. Si el conjunto de soluciones factibles es vacío entonces el problema:
a) No tiene solución.
c) No tiene solución factible pero sí óptima.
b) No tiene solución factible pero sí una factible
básica.
d) Dependiendo de la función objetivo, puede o
no tener solución óptima.
12. Si la función objetivo es paralela a uno de los lados del conjunto de soluciones factibles entonces el problema:
a) Siempre tiene múltiples soluciones óptimas.
c) Siempre tiene única solución óptima.
b) Puede tener múltiples soluciones óptimas, una
solución óptima o solución no acotada.
d) Es no factible.
13. En el Método Simplex para un problema de máximo, sabemos que llegamos a la solución óptima cuando todos
los indicadores son:
a) Positivos.
c) Son no positivos.
b) Negativos.
d) Son no negativos.
14. En el Método Simplex sabemos que el problema tiene solución no acotada cuando:
362
a) La variable que ingresa a la base tiene todos
sus coeficientes ceros o negativos.
c) Además de los ceros en correspondencia con
las variables básicas, hay al menos un cero en
correspondencia con alguna no básica.
b) Los únicos indicadores con valor cero son los
que corresponden a las variables básicas.
d) En el óptimo queda alguna variable artificial en
la base con valor positivo.
15. En el Método Simplex sabemos que el problema tiene solución única cuando:
a) La variable que ingresa a la base tiene todos
sus coeficientes ceros o negativos.
c) Además de los ceros en correspondencia con
las variables básicas, hay al menos un cero en
correspondencia con alguna no básica.
b) Los únicos indicadores con valor cero son los
que corresponden a las variables básicas.
d) En el óptimo queda alguna variable artificial en
la base con valor positivo.
16. En el Método Simplex sabemos que el problema tiene solución múltiple cuando:
a) La variable que ingresa a la base tiene todos
sus coeficientes ceros o negativos.
c) Además de los ceros en correspondencia con
las variables básicas, hay al menos un cero en
correspondencia con alguna no básica.
b) Los únicos indicadores con valor cero son los
que corresponden a las variables básicas.
d) En el óptimo queda alguna variable artificial en
la base con valor positivo.
17. En el Método Simplex sabemos que el problema no tiene solución cuando:
a) La variable que ingresa a la base tiene todos
sus coeficientes ceros o negativos.
c) Además de los ceros en correspondencia con
las variables básicas, hay al menos un cero en
correspondencia con alguna no básica.
b) Los únicos indicadores con valor cero son los
que corresponden a las variables básicas.
d) En el óptimo queda alguna variable artificial en
la base con valor positivo.
18. En el Método Simplex para un problema de máximo la variable que ingresa a la base es aquella cuyo indicador:
a) Es el negativo más chico en valor absoluto.
c) Es el negativo más grande en valor absoluto.
b) Es cero.
d) Ninguna de las anteriores.
19. En el Método Simplex la variable que sale de la base es aquella cuyo cociente:
a) Es cero.
c) Es el menor positivo.
b) Es el más negativo.
d) No pueda realizarse.
20. Las variables artificiales se incorporan:
a) Siempre al expresar el modelo en forma
estándar.
c) Cuando utilizamos el Método Simplex para
resolver un problema de PL.
b) Cuando se tiene todas restricciones de menor
o igual.
d) Solamente en restricciones de mayor o igual o
igual.
21. En la solución óptima las variables de holgura de un problema de PL:
a) Toman siempre el valor cero.
c) Afectan el valor de la función objetivo.
b) No afectan el valor de la función objetivo.
d) Pueden tomar cualquier valor no negativo.
363
22. La solución del sistema de inecuaciones: x + 2y ≤ 10; 3x + 4y ≥12 ; x ≤7 ; x ≥ 2; y ≥0 gráficamente es:
a) Es un convexo no acotado.
c) Es un convexo de cinco lados.
b) Es un conjunto vacío.
d) Es un convexo de cuatro lados.
23. Cuál es el máximo de k = 2x + 5y sujeto a: x + 2y ≤ 10 ; 3x + 4y ≥12 ; x ≤7 ; x ≥ 2; y ≥ 0
a) 8
c) 25
b) 24
d) 14
24. Cuál es el mínimo de k = x + 5y sujeto a: 3x + 2y ≥ 10; x + 2y ≤ 6 ; y ≥0 ; x ≥ 2
a) 10.8
c) 2
b) 10/3
d) 3
25. El problema de Programación Lineal: Max z = – 4x + 3y sujeto a: y – x ≤ 4; y ≥ 2; y ≤ 4; x ≥ 0
a) Tiene solución no acotada.
c) Tiene infinitas soluciones.
b) Es un problema no factible.
d) Tiene única solución.
26. El problema de Programación Lineal: Max z = 4x + 3y sujeto a: y – x ≤ 4; y ≥ 2 ; y ≤ 4; x ≥ 0
a) Tiene solución no acotada.
c) Tiene infinitas soluciones.
b) Es un problema no factible.
d) Tiene única solución.
27. El problema de Programación Lineal: Min z = 2x + y sujeto a: 2y + 4x ≥ 7; 3x + y ≤ 9; y ≥ 0; y ≤ 2, x≥0
a) Tiene solución no acotada.
c) Es un problema no factible.
b) Tiene infinitas soluciones.
d) Tiene única solución.
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO
Encuentre el conjunto solución de las siguientes
inecuaciones y grafique.
1. 3x < 32
2. –2x > 8
3. 3x + 6 > 2x + 7
4. 4x – 8 ≥ 3x – 14
5. 10x + 36 ≤ 16x + 12
364
6. 2x + 3 > – 3x – 1
7. 5(x + 6) – 5 ≤ – 10
8. 4 + 3(x + 1) > 5 + 4(x – 1)
9. 2(x+ 0.5) + 3(x − 1/3) ≥ 5(x+2)
10. 3 – [ 2x + (x – 2) ] < 4
11.
3 +2x
- 1>x
2
Represente gráficamente las soluciones de las
siguientes inecuaciones con dos incógnitas.
12. 3y + 6x > 0
Resuelva gráficamente los siguientes sistemas de
inecuaciones e indique si el conjunto factible es
acotado o no.
x + y ≤ 5

2x+y ≥ 6
21. 
x ≥ 0
y ≥ 0

13. 4x – 2y ≤ 6
14. 3(y + 1) ≥ 2( 3x – 3/2)
15. 4( x + 1/2) – 1 < 1 + y
 − 4x − 3y ≤ 15
 2x+3y − 5 ≤ 5x
22. 
16. 7(x + y) > 14x – 6y + 3
Encuentre un conjunto de restricciones cuya solución
sea la región sombreada S . El conjunto graficado ¿es
acotado? Optimice la función indicada.
17.
Min p = 6x – 2y
 x + y ≤ 15

23. Dado el sistema de inecuaciones  x ≥ 7
 y ≤ 10

a) Grafique el conjunto solución.
b) Encuentre las coordenadas de los vértices del
conjunto solución.
c) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de
la función z = 50x + 30y en el recinto anterior
y en qué puntos alcanza dichos valores?
24. Dado el siguiente problema de Programación
Lineal y su conjunto de soluciones factibles, se
pide:
18.
Max z = 2 x1 + 3 x2
Sujeto a:
Max z = 2x+ 3y
2 x1 + x2 ≤ 6
(1)
Min
x1 + 2 x2 ≤ 8
(2)
x1 – x2 ≤ 1
(3)
x1 ≤ 2
(4)
p = 6x + y
(4)
(1)
(3)
(2)
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
19.
Max z = x + y
a) Encuentre la solución óptima del problema.
Min
b) Dé el valor de las variables de holgura e
indique si la solución es básica.
p = x + 4y
25. Dado el siguiente problema de Programación
Lineal:
Max z = 2 x + 3 y
Sujeto a:
20.
2 x + 3 y ≤ 30
Max
z = x + 3y
Min
p = 7x +4y
y–x≤ 5
x ≤ 10
x≥0 ; y ≥ 0
a) Expréselo en forma estándar.
365
b) Encuentre la solución óptima, utilice el método
gráfico.
d) La solución óptima encontrada ¿es factible
básica?
c) Dé el valor de las variables de holgura para una
solución posible básica óptima.
Resuelva gráficamente y con el método Simplex los
siguientes problemas de Programación Lineal. En
cada caso indique si el conjunto de soluciones
factibles es o no acotado. Compare los resultados
obtenidos.
d) ¿El par (x, y) = (3, 2) es solución factible del
problema? Complete esta solución indicando si
las variables de holgura correspondientes son
cero o positivas. ¿Esta solución es básica?
Justifique claramente su respuesta.
26. Dado el siguiente problema de Programación Lineal:
Max z = 2x + 4y
Sujeto a:
2 x + 3 y ≤ 30
y–x≤ 5
x ≤5
x≥0 ; y≥ 0
a) Expréselo en forma estándar.
b) Encuentre la solución óptima, utilice el método
gráfico.
c) Dé el valor de las variables de holgura para una
solución posible básica óptima.
d) ¿El par (x, y) = (0, 5) es solución factible del
problema? Complete esta solución indicando si
las variables de holgura correspondientes son
cero o positivas. ¿Esta solución es básica?
Justifique claramente su respuesta.
27. Dado el problema de PL:
Max z = 4 x1 + x2
Sujeto a:
5x1 + x2 ≤ 420
2 x1 + 3x2 ≤ 15
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + x2 ≤ 5
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
a) Escríbalo en forma estándar
b) Resuélvalo por el método gráfico.
c) Encuentre el valor de las variables de holgura
para la solución óptima.
366
28.Max z = 6x – 2y
 2x−y ≤ 2

x≤ 4
Sujeto a: 
 x ≥ 0
 y ≥ 0

29.Max z = 6x – 3y
 − x + 6y ≤ 12

3x + y ≤ 4
Sujeto a: 
 x≥ 0
 y ≥ 0

30. Una concesionaria desea reordenar su sala de
exhibición de 2400m2 de piso para exhibir autos y
utilitarios. El arreglo dicta no usar más de las 2/3
partes del lugar en autos. También, el espacio
destinado para utilitarios debe ser una vez y media
más del espacio para autos y éste debe ser cuanto
menos un 1/4 del espacio total. Forme el sistema
de desigualdades lineales que satisfacen todas las
condiciones. Muestre gráficamente el conjunto de
soluciones factibles.
En los siguientes problemas, defina las incógnitas,
realice el planteo correspondiente y resuelva por el
Método Simplex:
31. Una empresa fabrica tres productos, P1, P2 y P3,
en dos plantas, A y B. La planta A produce
diariamente 100 unidades de P1, 300 unidades
de P2 y 500 de P3. La planta B produce
diariamente 200 unidades de cada uno de los
tres productos. La empresa se ha comprometido
a entregar a sus clientes, al menos, 8000
unidades de P1, 16000 de P2 y 20000 de P3.
Sabiendo que el costo diario de producción es de
$20000 en cada planta, ¿cuántos días debe
trabajar cada planta para que se cubran los
objetivos comprometidos con el mínimo costo?
32. Una empresa nacional fabrica dos modelos de
scanner, A y B. La producción de cada modelo A
cuesta $200 y la de cada modelo B, $300. Las
ganancias son de $50 por cada modelo A y de
$80 por cada modelo B. Si la cantidad mensual
total de scanner solicitados no puede exceder
2500 y la compañía ha asignado no más de
$600000 por mes para gastos de producción
¿cuántas unidades de cada modelo debe fabricar
al mes para maximizar las ganancias mensuales?
33. Juan acaba de ganar en la Lotería $60000 . Al oír
esta noticia dos compañeros de trabajo, que
llamaremos A y B, le ofrecen la oportunidad de
participar como socio en dos negocios, cada uno
planeado por cada amigo. En ambos casos, la
inversión significa dedicar un poco de tiempo, al
igual que invertir cierta cantidad de dinero. Con A,
al convertirse en socio completo, tendría que
invertir $50000 y 400 horas de trabajo, y
obtendría una ganancia de $45000. Mientras que
con B, invertiría $40000 y 500 horas, pudiendo
obtener la misma ganancia que con A. Para
ayudar en la decisión, ambos amigos le permitirían
entrar en el negocio con cualquier fracción de la
sociedad, y la ganancia sería proporcional a esa
fracción. Como Juan está interesado en realizar
alguna actividad que no supere en total las 600
horas, ha decidido participar en una o ambas
propuestas en la fracción que maximice sus
ganancias. ¿Qué fracción de sociedad le conviene
aceptar en cada negocio?
34. En el depósito de un gran supermercado hay 800
kg. de naranjas, 800 kg. de manzanas y 500 kg.
de bananas. Para su venta se preparan dos
bolsones que llamaremos A y B. El lote A contiene
1 kg . de naranjas, 2 kg. de manzanas y 1 kg . de
bananas y el lote B se compone de 2 kg. de
naranjas, 1 kg. de manzanas y 1 kg . de bananas.
El beneficio que se obtiene con el lote A es de $12
y con el lote B de $14. Si se desea maximizar el
beneficio ¿cuántos bolsones de cada tipo se
deben preparar?
35. El barman de un lujoso hotel desea crear un nuevo
trago largo con sabor a frutas, ya que los mismos
son muy requeridos en ciertos horarios. Su
objetivo es preparar al menos 4 litros diarios
combinando 4 bebidas de frutas que hay en
existencia. Su trago debe contener por lo menos
30% de jugo de naranja, 20% de jugo de frutilla
y 5% de jugo de pomelo.
La tabla que damos a continuación contiene la
información de la existencia actual de las cuatro
bebidas, así como también el porcentaje de cada
jugo que contiene cada una y el precio por litro.
Bebida
A
Bebida Bebida
B
C
Bebida
D
Porcentaje de
Jugo de Naranja
30
10
20
10
Porcentaje de
Jugo de Frutilla
30
40
10
10
Porcentaje de
Jugo de Pomelo
0
10
30
5
Disponibilidad en
litros
40
50
20
25
Precio por litro
en pesos
8
6
10
5
¿Qué cantidad de cada bebida deberá utilizar el
barman para lograr su objetivo y minimizar los
costos? ¿Cuál es el costo mínimo?
36. Una concesionaria vende dos modelos de autos
que llamaremos A y B. Por cada modelo A, gana
$10.000, y cada uno del modelo B gana $5.000 .
El número de coches vendidos del modelo A no
debe superar las 15 unidades mensuales, ya que
esta es la disponibilidad en stock, mientras que
el número vendido del modelo B debe ser mayor
que el del modelo A. Sabiendo que se puede
ofrecer un máximo de 40 coches mensualmente,
determine cuántos le conviene vender de cada
modelo para que su beneficio sea máximo.
37. La empresa “Ensueño” vende colchones y desea
publicitar su marca en tres programas de radio A,
B y C, de gran audiencia que se emiten por la
mañana, tarde y noche respectivamente. El
segundo de publicidad vale $80, $50 y $100 en
cada uno de estos programas respectivamente.
El dueño de la empresa desea minimizar los
costos, pero además quiere que el costo total no
supere los $1000, que se invierta no menos de
367
$300 en el programa de la mañana, que los
segundos que se compren a la noche no debe ser
inferior a la suma de los que se compra en los
otros dos turnos. ¿Cuántos segundos se debe
comprar en cada programa de tal manera de
cumplir con los deseos del dueño de la empresa?
38. Una pequeña empresa, fabrica camperas y
chalecos de cuero. Una campera necesita 4 m2 de
cuero y un chaleco sólo 1.5 m2. El tiempo de
trabajo invertido es de 7.5 hs. para las camperas y
2 hs. para los chalecos. La disponibilidad semanal
de cuero y de trabajo está limitada a 600 m2 y 900
hs. La empresa vende las camperas y los chalecos
a $350 y $120, respectivamente. El objetivo es
determinar ¿cuántas camperas y cuántos chalecos
conviene fabricar para que la ganancia sea
máxima?
39. Una panadería produce tres clases de pan (A, B,
C) para los que mezcla harina de trigo, soja y de
salvado en distintas cantidades. Diariamente
produce no menos de 50 kg y un máximo de 100
kg. de pan en total. La cantidad producida de pan
A es exactamente igual a la suma de las
cantidades de los otros dos panes. Además la
cantidad de pan B es la cuarta parte de lo que
produce de C. Fabricar cada kg. del pan A le
cuesta $0.5, cada kg de B le cuesta 60% más que
A y finalmente el kg de C cuesta 30% más que B.
¿Cuántos kg. de pan de cada tipo le conviene
fabricar diariamente si desea minimizar los costos?
40. Un ganadero cría caballos para la venta y está
preocupado por los altos costos relacionados con
la alimentación, cuidados y medicamentos, entre
otros. En su intención de minimizar los costos
vinculados con la alimentación, desea determinar
qué cantidades de cada tipo de alimento A, B y C
debe dar diariamente a cada caballo cumpliendo
con los requisitos nutricionales establecidos por el
veterinario.
La tabla muestra las unidades de cada clase de
ingrediente nutritivo contenido en un kilogramo de
cada tipo de alimento, junto con los requisitos
nutricionales mínimos por día y los costos de cada
alimento por kg:
368 8
Ingredientes
Nutritivos
kg. Alimento
Requerimiento
diario mínimo
A
B
C
Carbohidratos
45
10
20
100
Proteínas
30
80
60
180
Vitaminas
10
20
60
150
Costos
15
8
12
Formule el modelo de programación lineal para
el ganadero y encuentre una solución para su
problema.
41. Una compañía manufacturera discontinuó la
elaboración de cierta línea de productos no
redituables. Esto creó un exceso considerable en
la capacidad de producción. La gerencia quiere
dedicar esta capacidad a uno o más de tres
productos, que identificaremos con 1, 2 y 3. En
la siguiente tabla se resume la capacidad
disponible de cada máquina que puede limitar la
producción.
Tipo de máquina
Tiempo disponible
(en horas-máquina por semana)
Fresadora
500
Torno
350
Rectificadora
150
El número de horas-máquina que se requiere
para cada producto es:
Coefic iente de productividad (en horas-máquina
por unidad).
Tipo de
máquina
Producto
1
Producto
2
Producto
3
Fresadora
9
3
5
Torno
5
4
0
Rectificadora
3
0
2
La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25 ,
respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El
objetivo es determinar cuántos productos de
cada tipo debe producir por semana la compañía
para maximizar la ganancia. Formule y resuelva
el modelo de programación lineal para este
problema.
42.Una fábrica de televisores tiene tres plantas (A, B
y C) ubicadas en diferentes provincias de nuestro
país. En ellas se realiza el armado de los
televisores para luego enviarlos a dos Centros de
Distribución. La capacidad de producción de las
plantas para el próximo bimestre es de 800, 1200
y 1000 televisores respectivamente, mientras que
la demanda en ese mismo período del Centro I es
de 2100 unidades y la del Centro II es de 900. El
costo de transportar cada televisor por camión de
cada Planta a cada Centro de Distribución se dan
en la siguiente tabla:
Centro de
Distribución I
Centro de
Distribución II
Planta A
50
88
Planta B
69
74
Planta C
100
42
¿De qué manera se debe realizar la distribución
de los televisores de modo que el costo de
transporte sea mínimo?
43.Dos plantas de energía eléctrica tienen
capacidad para producir 45 y 35 millones de
kilowatts-hora (kwh). La energía que generan
se vende a tres ciudades que demandan 30, 30
y 20 millones de kwh respectivamente. El costo
de distribución por millón de kwh de la Planta I
es de 600, 700 y 500 unidades monetarias,
mientras que de la Planta II es de 400, 550 y
700 para las ciudades A, B y C respectivamente.
Determine cuál es el plan de transporte de
energía más económico.
369
370 370
Apéndices
Contenidos
APÉNDICE I: NÚMEROS REALES
A-I.1 – OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
A-I.2 – FRACCIONES
A-I.2.1– Suma y resta
A-I.2.2– Multiplicación y división
A-I.3 – POTENCIAS
A-I.3.1– Potencias con exponentes enteros
A-I.3.2– Potencias con exponentes fraccionarios
A-I.4 – ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES
A-I.5 – INTERVALOS DE LA RECTA REAL
APÉNDICE II. FACTORIZACIÓN
A-II.1– FACTOR COMÚN
A-II.2– FACTOR DE FACTOR
A-II.3– DIFERENCIA DE CUADRADOS
A-II.4– TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
A-II.5– CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
A-II.6– EXPRESIONES CUADRÁTICAS
A-II.7– SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
APÉNDICE III: SUMATORIA Y PRODUCTORIA
A-III.1–SUMATORIA
A-III.1.1– Propiedades
A-III.1.2– Fórmulas de suma para enteros positivos
A-III.2– PRODUCTORIA
A-III.2.1- Propiedades
371
APÉNDICE
Números Reales
Los números reales nos sirven en la vida diaria para representar temperaturas, distancias, pesos, tiempos, precios,
demandas, costos, ingresos, entre muchos otros ejemplos. Por ello, es importante estudiarlos e internalizar su
estructura y múltiples propiedades.
Para determinar cuáles son los números reales, comenzamos definiendo los números
naturales que representamos con la letra ¥ . Esto es
¥ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Números Naturales
Los puntos suspensivos significan que la lista continúa. Son todos aquellos que se
utilizan para contar.
Algunos Matemáticos prefieren no reconocer al cero como número natural, mientras que
otros, generalmente relacionados con el estudio de Teoría de Conjuntos y Lógica,
tienen la postura opuesta. En este libro el cero es considerado un número natural.
Si a este conjunto le agregamos sus opuestos, es decir, –1, –2, –3, ..., generamos el
conjunto de números enteros que denotamos con la letra ¢ .
Números Enteros
¢ = {..., –4, –3,–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Se definen como los números racionales, y se representan con la letra ¤ , a
aquellos que pueden expresarse como cociente de dos números enteros. Es decir,
Números Racionales
 p

¤= 
con p y q enteros y q ≠ 0 
 q

De acuerdo con esta definición
1 5
, , 10 (si pensamos que el denominador es 1) son
2 9
ejemplos de números racionales.
Observe que los números naturales son enteros y los enteros son racionales. Utilizando
notación de conjuntos, esto significa que ¥ está contenido en ¢ , y éste está contenido
en ¤ , en símbolos:
Esta notación indica
que ¥ está contenido
en ¢ y ¢ en ¤ .
372372
¥ ⊂ ¢⊂ ¤
Por otro lado, existen números que no pueden expresarse como cociente de enteros.
Por ejemplo: 2 , 3 , π, etc. Estos conforman el conjunto de números Irracionales
Números Irracionales
que se denotan con la letra I.
Es claro, a partir de las definiciones que el conjunto de números racionales y el de
números irracionales no tiene elementos en común. Es decir,
¤ ∩ I = ∅ donde ∅ representa el conjunto vacío.
Finalmente, el conjunto de números reales está formado por los racionales junto con
los irracionales.
Números Reales
¡ = ¤ ∪ I (ver representación gráfica)
¡
I
¤
¢
¥
Todos los números reales pueden expresarse como decimales. Un número racional
puede expresarse como un decimal periódico o finito, mientras que los irracionales son
aquellos decimales con infinitas cifras luego de la coma y no periódicas.
n Ejemplo I.1:
a) 0. 5 y 3.347
son racionales pues tienen una
cantidad finita de decimales.
b) 0.333333... y 5.892666666...
son racionales pues son decimales
periódicos.
c)
2 = 1.41421... y π = 3.14159...
son irracionales pues los decimales
no son periódicos, ni finitos.
Una propiedad importante de los números reales es que cada uno de ellos puede
representarse como un único punto de una recta y cada punto de la misma representa
un único número real. Es decir, existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto
de números reales y los puntos de una recta.
Esta recta se denomina recta real y para construirla se determ ina un punto arbitrario
para que represente el número cero. Este punto es el origen. Luego se elige otro punto
a la derecha del origen para que represente el número 1. Esto determina la escala de la
recta de coordenadas.
3731
El punto que representa cada número real positivo r se encuentra a r unidades a la
derecha del origen, mientras que el punto que representa a un real negativo p está a
p unidades a la izquierda del cero.
Gráficamente:
Reales negativos
-2
-1
Reales positivos
0
1
2
Origen
A-I.1 - OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Dentro del conjunto de números reales hay dos operaciones definidas que dan como
resultado otro número real. Estas son la suma y la multiplicación.
Notación: si a y b son números reales, la suma se denota a + b y el producto a.b,
o simplemente ab.
Sean a, b y c números reales, entonces las operaciones cumplen las siguientes
propiedades :
Propiedades de las
operaciones con
números reales
• Para la Suma
1. a + b = b + a
Propiedad conmutativa
2+5=5+2
2. a+(b+c) = (a+b)+c
Propiedad asociativa
2+(4+1) = (2+4)+1
3. a +0 = 0+a = a
Existencia de elemento neutro 6+0 = 0+6 = 6
4. a +(–a) = 0
Existencia del opuesto
3+(–3) = 0
5. ab = ba
Propiedad conmutativa
2.3=3.2
6. a(bc) = (ab)c
Propiedad asociativa
2(3.4) = (2.3). 4
7. a .1 = 1 . a = 1
Existencia de elemento neutro
4.1 = 1.4 = 4
Existencia del recíproco
5.
• Para el Producto
8. a
1
=1
a
a ≠0
1
=1
5
• Para la suma y el producto
9. a(b+c) = ab+ac
374742
Propiedad distributiva del
2(4+5) = 2.4+2.5
producto respecto de la suma
Como habrá notado, no hemos considerado dentro de las operaciones con números
reales a la resta y la división. Estas operaciones se definen a partir de la suma y
producto.
Resta de números
reales
La resta de números reales se define a partir de la suma como:
a – b = a + ( –b ) es decir, a más el opuesto de b.
De manera análoga, la división se define a partir de la multiplicación.
División de números
reales
a
1
= a . es decir, a multiplicado por el inverso de b. b ≠ 0
b
b
Usando las propiedades enumeradas anteriormente, se pueden deducir otras
propiedades algebraicas de los números reales. Enunciamos a continuación algunas de
las más importantes:
Consecuencia de las
propiedades de
números reales.
Sean a, b y c números reales, entonces:
10. a.0 = 0
5.0=0
11. si a.b = 0
entonces a = 0 o b = 0 o ambos son cero
12. – (– a) = a
–(– 4 ) = 4
13. (–a)b = – (a.b) = a (– b)
(–2) 3 = –(2 . 3) = 2(–3)
14. (–1) a = – a
(– 1) 6 = – 6
15.
a
=a
1
4
=4
1
16.
a
−a
a
=
= −
−b
b
b
17.
0
= 0 si a ≠ 0
a
0
=0
3
18.
ab
 a
b 
=   b = a  , c ≠ 0
c
c
c
4.5
4
 5
=  5=4 
3
3
 3
19.
a  a  1   1  a 
=
=    , b ≠ 0 y c≠ 0
bc  b 
 c   b  c 
3
 3  1 
 1  3 
=     =   
5.4
5   4 
 5  4 
4
−4
4
=
= −
−5
5
5
3753
EJERCICIOS – Sección A.I.1
1. Determine si los siguientes números son
racionales o irracionales.
b) – 2
a) 4
8
d)
2
g)
5
c)
3
e) π
3
h)
i) −
h) Todos los números enteros son naturales.
i) Existen números que son simultáneamente
racionales e irracionales.
2
2. Diga si los siguientes enunciados son verdaderos
o falsos. Si su respuesta es afirmativa, justifique
con alguna propiedad y si es negativa, dé un
ejemplo donde se observe la falsedad de la
afirmación.
a) El inverso de
3
2
es .
2
3
b) El opuesto de 7 es
f) El cero es un número natural.
g) Todos los números enteros son racionales.
f) 0
4
e) Todo número real tiene inverso.
j) Existen números que son simultáneamente
naturales y racionales.
3. Establezca cuál propiedad de números reales se
aplica en cada uno de los siguientes casos.
a) 3(a + b) = 3a + 3b
b) – a + b = b – a
c) a +(2 + b) = (a + 2) + b
1
.
7
d) 4.(3 .a) = (4.3)a
c) Todo número real tiene opuesto.
e) a.b = b.a
d) Si n es un número real negativo, entonces - n
es un número real positivo.
A-I.2 – FRACCIONES
Los números racionales constituyen un subconjunto muy importante de los números reales, por esto, vemos a
continuación algunas reglas útiles para realizar operaciones entre ellos.
A-I.2.1 - SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
• Cuando tienen el mismo denominador:
El resultado es otra fracción cuyo numerador se obtiene sumando (restando) los
correspondientes numeradores y el denominador es el mismo que el de las
fracciones que se suman (restan).
a
b
a+b
+
=
c
c
c
3763764
n Ejemplo I.2:
5
3
5+3
8
+
=
=
=4
2
2
2
2
• Cuando tienen distinto denominador:
El resultado es otra fracción cuyo denominador es el mínimo común múltiplo de los
denominadores y el numerador se obtiene sumando (restando) los respectivos
numeradores multiplicados por el resultado de dividir el denominador común por el
denominador de la fracción correspondiente.
Un número natural
es primo si y sólo
si es divisible por
sí mismo y por la
unidad
Para obtener el mínimo común múltiplo se factorizan los denominadores de las
fracciones que se suman (restan) y luego se realiza el producto de los factores
primos con el mayor exponente.
n Ejemplo I.3:
a)
5
2
5
2
5.9
2.2
45
4
49
+
=
+
=
+
=
+
=
4
18
2.2
2.3.3
36
36
36
36
36
b)
1 2
1
2
5
2
5−2
3
−
−
−
=
=
=
=
8 20
2.2.2 2.2.5
40 40
40
40
A-I.2.2 - MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
Multiplicación:
Es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el
denominador es el producto de los denominadores.
ac
 a  c 
 b   d  = bd
   
n Ejemplo I.4:
3.2
6
 3  2 
 7   5  = 7 . 5 = 35
   
3775
División:
Es otra fracción que se obtiene multiplicando la fracción del numerador por el
inverso de la fracción del denominador.
a
b
c
d
=
a c
ad
 a  d 
:
=   =
b d
bc
b c
n Ejemplo I.5:
1
4
5
8
=
1 5
8
2
1   8 
:
=    =
=
4 8
20
5
4 5
EJERCICIOS – Sección A-I.2
Encuentre el resultado de las siguientes operaciones:
 −2 

 3
1. 5 
5
7  4
  

2
−
4
10.
−1
3
3.
1
6
+
2
14
11.
4.
5
3
−
12
4
12. 
2.    − 
2
3
2
5. 3
−2
 0   125 
  

6.   
3
17 
7.
1
5
4
5
−
2
3 − 4
8.   
 − 5+ 5
 4   − 3
378786
1
 
9. − (3 − ) − ( − 1 )  
2
2
+
5 7
−
4 12
14
6
:
3 15
 14 x   20 y 
 

 5y   8 
5 x 3 y  x y
.
:
4   40 
 2
13. 
Determine si cada una de las siguientes igualdades
es válida o no. Si lo es, indique la regla o propiedad
que aplica.
14.
2
5
7
+
=
x
x
x
15.
x
x
x
+
=
2
5
7
16.
1
1
1
+
=
x
y
x+y
19.
2
1
=
2+7
1+7
17.
1
1
y+x
+
=
x
y
xy
20.
2
5
5
.
=
7
8
7.4
18.
1
1
1
+
=
x
y
xy
21. 
7x  5x 
7
 : 
 = 5y
2
y
2


 
A-I.3 – POTENCIAS
A-I.3.1 - POTENCIAS CON EXPONENTES ENTEROS
Definición I.1: Si n es un entero positivo y a un número real cualquiera, entonces:
a n = a . a . a ......a
Se lee: a elevado a la n
o bien potencia
n-ésima de a.
n factores
donde n recibe el nombre de exponente y a es la base de la
potencia.
n Ejemplo I.6:
a) 4 3 = 4.4.4 = 64
b) (–1) 5 = (–1)(–1)(–1)(–1)(–1) = –1
c) 0 2 = 0.0 = 0
Propiedades de las
potencias de
exponente entero.
Sean a y b números reales cualesquiera y n y m enteros positivos, entonces:
1. am a n = am + n
3 2 3 10 = 312
(am ) = am n
(34 ) = 3 20
2.
3.
n
am
=am-n
n
a
n
 a
 
4.   =
b
n
a
b
n
5
a ≠ 0
b ≠ 0
34
3
3
= 3 4 - 3 = 31 = 3
2
9
 32 3
  = 2 =
4
 2
2
3797
Definición I.2: Si n es un entero positivo y a un número real distinto de cero,
entonces:
La base de la potencia
debe ser distinta de cero
pues no existe la división
por cero.
a−n =
1
an
n Ejemplo I.7:
a) 3− 2 =
Observe que la base de la
potencia no cambia de
signo.
1
3
b) ( −3 )−3 =
2
1
9
=
1
( − 3)
3
=
1
1
= −
27
− 27
Definición I.3: Si n = 0 y a es un número real distinto de cero, entonces:
a0 = 1
Las propiedades enunciadas para exponentes enteros positivos también son válidas en
el caso de exponentes enteros menores o iguales a cero, con la salvedad que la base
debe ser distinta de cero.
A-I.3.2 - POTENCIAS CON EXPONENTES FRACCIONARIOS
Hemos definido a n cuando n es un número entero cualquiera, ahora vamos a extender
la definición al caso en que n es un número racional arbitrario. Esta extensión se realiza
de tal forma que las propiedades enunciadas para exponente entero sigan siendo
válidas.
Definición I.4: Si n es un entero positivo par y a un número real no negativo, se
dice que b es la n-ésima raíz de a si bn = a con b ≥ 0. La
1 
 
denotamos como a  n  = b
Si n es un entero positivo impar y a es un número real cualquiera, b
n
es la raíz n-ésima de a si b = a. La denotamos por
1 
 
n
a  = b
Las raíces impares están definidas para todo número real, mientras que las raíces de
índice par sólo cuando a es un real no negativo. La razón es que si por ejemplo
queremos calcular
38080
1 
 
4 2 
, su valor es un número b tal que b2 = 4, pero hay dos
números b que verifican esto, b = 2 y b = –2, es decir, la operación no tendría un
único resultado si no ponemos la condición de que a sea positivo. No ocurre lo mismo si
queremos calcular
1 
 
3
8 
, debido a que sólo 23 = 8 .
1 
 
n
a  = n
Otra notación de uso habitual es
a . El símbolo
radical, n es el índice y a la base de la raíz.
se denomina signo
Si n = 2, se llama raíz cuadrada y usualmente no se escribe el índice. Cuando n = 3 ,
se denomina raíz cúbica.
n Ejemplo I. 8:
SiSi n es un entero positivo
par, la operación no está
definida pues la base es
negativa.
a)
1 
 
4
16   = 4
b)
1
 
n
1  = n
16 = 2
ya que 2 4 = 16
1=1
ya que 1 n = 1
1
c) ( −1 ) n  = n −1 = − 1 si n es un entero positivo impar, ya que
( −1) n = − 1 cuando n es impar.
1 
d) ( −16 )  4  = 4 −16
e)
1 
 
6
729  = 6
no existe, porque los números negativos sólo
tienen raíces n-ésimas cuando n es impar.
729 = 3
3 6=729
ya que
Definición I.5: Si n es un entero positivo, m un entero distinto de cero y a un
n
n
  1  
 
m

número real, entonces a
=  a  m 
m
n
 = a . Si m es par, a
no puede ser negativo, y si n es negativo, a no puede ser cero.

n Ejemplo I.9:
a)
5
5
  1  
 
2
2
16   =  16    =
b) 9


( 2 16 ) = 4 = 1024
(− 32 ) = ( 9 ( 1 2) ) −3 = (
5
9)
−3
5
= 3 −3 =
1
1
=
3
27
3
381
EJERCICIOS – Sección A-I.3
Simplifique las expresiones siguientes. No use
paréntesis o exponentes negativos en la respuesta
final.
1. x3 x7
2.
1
(3x ) x
5.
( 2 x3 z )
2
−7
 4 
−4 −1
−2
( x y z )2
2 3
:3
4
20.
 z− 3 
z 


( )
−3
(


(
10. 2 x x4 + 4 x −2
( x −2 y )
3 3
( −3 x 2 y )
−2 2
13. 5 − 32
5
)
1 
− 20  5 
2 
9. ( 2 x )−1 + ( 2 y )−1  −1
64
7 = 7n
21. 32 x y
x3 y
Resuelva
5 = 5n
Simplifique las siguientes expresiones.
( −2 x y )3
3823820
18. 3   = 2n
 16 
19. 5 ( 5 )
−5
7.  −6  z5
12.
4
3 
−
17. 16 3 2 = 2 n
4.
11.

 8 
15.  
 27 
Encuentre el valor de n que haga las siguientes
igualdades verdaderas.
 y −2 
3. x  3 
 y 


8.
3
4 
−
16. 3 − 0.125
x- 3
1 
6.  
 3

14. ( 81) 
)
 27x 3  3 
22. 

 64 
23. 3
8 x3 y–3
27 z6
4 
  1   − 1    3 
24.  z  4  x  4 16 
A-I.4 – ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES
Dentro del conjunto de números reales se puede establecer un orden, de manera que dados dos números diferentes
cualesquiera se puede decidir si uno es mayor o menor que el otro.
Definición I.6: Sean a y b números reales. Entonces:
a es menor que b, y se denota a < b, si b – a es positivo
a es mayor que b, y se denota a > b , si
b<a
a es menor o igual a b, y se denota a ≤ b, si a < b o a = b
a es mayor o igual a b, y se denota a ≥ b, si b ≤ a
Por lo tanto, x > 0 si y sólo si x es positivo. Si x < 0 se dice que x es negativo y si
x ≥ 0 se dice que x es no negativo.
Propiedades del
Orden en los
números reales
Sean x, y, z ∈ ¡
1. x < y, x > y o x = y
Propiedad de Tricotomía
Dados dos números reales, uno es mayor que el otro o son iguales.
2. Si x < y ⇒ x + z < y + z
Se puede sumar a ambos miembros de una desigualdad el mismo número y la
desigualdad se mantiene.
3. Si x < y ∧ z > 0 ⇒ x . z < y . z
Se puede multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número positivo y
la desigualdad se mantiene.
4. Si x < y ∧ z < 0 ⇒ x . z > y . z
Se puede multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número negativo,
pero la desigualdad cambia de sentido.
5. Si x < y, y < z ⇒ x < z
Propiedad Transitiva
Si un número es menor a otro, y éste es menor a un tercero, entonces el primero es
menor que el tercero.
6. Si x < y, z < w ⇒ x + y < y + w
Se pueden sumar dos desigualdades del mismo sentido miembro a miembro. El
resultado es otra desigualdad del mismo sentido que las originales.
n Ejemplo I.10:
a) Si 4 < 7, entonces 4 + 5 < 7 + 5 . Es decir, 9 < 12
383
b) Si 4 < 7, entonces 4 . 5 < 7 . 5 . Es decir, 20 < 35
c) Si 4 < 7, entonces 4 . (–2) > 7 . (–2). Es decir, – 8 > –12
d) Si 4 < 7 y 7 < 8, entonces 4 < 8 .
e) Si 4 < 7 y 2 < 5, entonces 4 + 2 < 7 + 5. Es decir, 6 < 12.
EJERCICIOS – Sección A-I.4
Exprese simbólicamente las siguientes afirmaciones
usando los signos de desigualdad:
1. a es un número positivo.
En cada uno de los siguientes casos indique si la
afirmación que se da es verdadera o falsa. En caso
de ser verdadera enuncie la propiedad que se utilizó.
2. a no es un número positivo.
9. x ≤ y
entonces
10. x < y
entonces x – 5 < y – 5
3. a es mayor que b.
4. a no es mayor que b.
x
y
≤
3
3
11. x < 3 entonces (– 2) x < – 6
5. a es un número no negativo.
12. – x > 0 entonces x < 0
6. b es menor que c.
13. x > – y entonces x < y
7. a es mayor o igual a c.
14. x ≥ 2
8. a está comprendido entre b y c, siendo b menor
que c.
entonces – x ≤ – 2
A-I.5 – INTERVALOS DE LA RECTA REAL
Es frecuente en matemática que necesitemos expresar ciertos subconjuntos de la recta real, que
geométricamente corresponden a segmentos, para dar respuesta a diferentes problemas o situaciones. Debido a
esto se definen los intervalos que nos permiten representar dichos subconjuntos de manera sencilla.
Intervalo abierto
Definición I.7: Sean a y b números reales tales que a ≤ b. Llamamos
Intervalo abierto de extremos a y b, al subconjunto de
números reales comprendidos entre a y b, es decir mayores
que a y menores que b.
Notación:
(a, b) o indistintamente ] a, b [
Simbólicamente: (a, b) = { x ∈ ¡ / a < x < b}
a
3843842
b
Intervalo cerrado
Definición I.8: Sean a y b números reales tales que a ≤ b. Llamamos
intervalo cerrado de extremos a y b, al subconjunto de
números reales comprendidos entre a y b incluyendo los
extremos, es decir, mayores o iguales que a y menores o
iguales que b.
Notación:
[a, b]
Simbólicamente: [a, b] = {x ∈ ¡ / a ≤ x ≤ b}
a
Intervalo semiabierto
o semicerrado
b
Definición I.9: Sean a y b números reales tales que a ≤ b. Llamamos
intervalo semiabierto o semicerrado de extremos a y b,
al subconjunto de números reales comprendidos entre a y b
incluyendo a uno de los extremos.
Notación:
[a, b) o indistintamente [a, b[ cuando incluye el extremo a
] a, b] o indistintamente (a, b] cuando incluye el extremo b
Simbólicamente: [a, b) = {x ∈ ¡ / a ≤ x < b}
a
b
(a, b] = {x ∈ ¡ / a < x ≤ b}
a
b
Si a = b el intervalo cerrado [a, b] se reduce a un solo punto, mientras que los
intervalos abiertos y semiabiertos son vacíos.
Longitud del
intervalo
Definición I.10: Se define la longitud del intervalo de extremos a y b,
Punto medio de
un intervalo
Definición I.11: El punto medio de un intervalo de extremos a y b es
abierto, cerrado o semiabierto, como el número positivo
(b – a). Podemos interpretar geométricamente (b – a) como
la distancia entre los reales a y b.
PM = (b + a) /2.
Los intervalos antes definidos tienen longitud finita , existen otros de longitud infinita.
3853
Intervalos de
longitud infinita
Definición I.12: Si a∈ ¡ , entonces los intervalos de longitud infinita son:
[a, ∞) = {x∈ ¡ / x ≥ a}
Conjunto de todos los números
reales mayores o iguales que a.
(a, ∞) = {x∈ ¡ /x > a}
Conjunto de todos los números
reales mayores que a.
(– ∞, a] = {x∈ ¡ /x ≤ a}
Conjunto de todos los números
reales menores o iguales que a.
(– ∞, a) = {x∈ ¡ /x < a} Conjunto de todos los números
reales menores que a.
(– ∞ , ∞) = ¡
Conjunto de números reales.
EJERCICIOS – Sección A-I.5
Exprese los siguientes conjuntos de números reales
como intervalos:
1. { x ∈ ¡ / − 3 ≤ x < 10 }
2. { x ∈ ¡ / 0 < x < 5 }
3. { x ∈ ¡ / − 4 ≤ x }
10. ] 0, + ∞ [
11. ] − ∞ , + ∞ [
12. [ 1 , 11 [
13. Grafique en la recta real cada uno de los
intervalos de los ejercicios anteriores
4. { x ∈ ¡ / x > 0 }
Calcule la longitud y el punto medio de los
intervalos:
5. { x ∈ ¡ / − 6 ≤ x ≤ −1 }
14. [ –2, 2]
6. { x ∈ ¡/ 2 < x ≤ 15 }
15. [ 1 , 11[
7. { x ∈ ¡ / x < 7 }
16. ] –1, 54]
Exprese los siguientes intervalos utilizando la
notación de conjuntos. Por ejemplo el intervalo
17. [ , 0 ]
[1, 2] = { x ∈ ¡ / 1 ≤ x ≤ 2 } .
8. ] − ∞ , 6]
9. [–2 , 2]
3863864
1
2
18. ] 0, 4 [
19. [ –
1 1
, ]
3 3
EJERCICIOS DEL APÉNDICE I
Represente en la recta real los siguientes
números racionales:
2
1.
3
1
2. −
5
8
6
4.
15
4
5. – 0,4
6.
3
3.
Dé cuatro números racionales entre los pares
que damos a continuación
7. −
2
y 0
3
8.
5 y 4
Calcule los siguientes resultados:
 2

− 4 : 3
5


5
1
16 .
− 
3
4
(
)
20. − − 2 +




21. 10 −  2 +
22.
1 
−1
 :5
5  
23 4 −2
42
+
2
8−2
121 + (125 )
0
23. 5 32 −
9. – 0.25 y – 0. 30
10. Los decimales con infinitos dígitos después
de la coma son números irracionales.
2
1
, – 2, − , – 1
5
3
26. 0,
3
4
, 1,
4
3
11. 20 es un número entero.
14. La fracción
0
no está definida.
5
15. La suma de fracciones es otra fracción que
se obtiene sumando los numeradores por
un lado y denominadores por el otro.
16. La división de fracciones se obtiene
multiplicando a la primera fracción por el
inverso de la otra.
17. Las potencias enteras negativas se calculan
como el inverso de la potencia entera
positiva correspondiente.
18. La suma de dos números racionales es
racional.
2
4
24. 5, –1, 6, –3, 4
25. −
13. El cociente entre dos números reales es
conmutativo.
−
Ordena de menor a mayor los siguientes números
¿Cuál de los siguientes enunciados son falsos?
Justifique su respuesta.
12. El opuesto de un número negativo es un
número positivo.
3
10
( −8 ) +
19. 
Exprese las siguientes desigualdades mediante
intervalos, y si es posible, dé la longitud y punto
medio.
27. −∞ ≤ x <
3
2
28. − 10 ≤ x ≤ 11
29. −
2
5
<x≤
5
2
30. 2 < x <+∞
31.
1
4
<x≤
5
5
32. − ≤ x <
1
4
4
5
1
4
2
5
33. − < x <
3875
APÉNDICE
II
Factorización
El proceso de escribir una expresión algebraica como el producto de factores se denomina factorización.
Enumeramos a continuación algunas de las reglas o técnicas de uso más frecuente para lograrlo.
A-II.1 – FACTOR COMÚN
Consiste en extraer todos los factores que sean comunes a todos los términos de una expresión.
n Ejemplo II.1:
a) x 3 + 3 x 2 z
En primer lugar se deben escribir los términos de la expresión como
producto de sus factores básicos, es decir:
x3 = x . x . x
3 x2 z = 3 . x . x . z
Observando la descomposición realizada, notamos que x . x = x 2 es
común a ambos términos. Por ello tenemos que:
x 3 + 3 x 2 z = x 2 x + x 2 3 z = x 2 (x + 3 z)
(*)
Hemos expresado x 3 + 3 x 2 z como producto de los factores x2 y
(x + 3 z) . Observe que si se aplica la propiedad distributiva en el último
miembro de (*) se obtiene la expresión del primer miembro.
b) 10 x2 y2 − 5 x y
Descompongamos cada término de esta expresión según sus factores
básic os:
10 x 2 y 2 = (2) (5) x . x . y . y
−5 x y = − 5 x y
El segundo término ya es un producto de factores básicos, entonces lo
dejamos expresado como estaba. Los factores comunes son: 5, x e y.
Así, podemos escribir:
10 x 2 y2 − 5 x y = 5 x y 2 x y − 5 x y = 5 x y ( 2 x y − 1 )
388886
c) 6 x4 y2 z 2 + 2 x2 y z2 - 2 x2 y3 z
Luego de buscar los factores básicos de cada término y de detectar los
que son comunes a los tres, obtenemos:
6 x 4 y2 z 2 + 2 x 2 y z2 - 2 x2 y3 z = 2 x 2 y z (3 x 2 y z + z - y2 )
Observe que en realidad no es necesario escribir la descomposición en
factores básicos cuando se tiene un buen manejo del tema. Basta con
sacar el factor que sea común a todos los términos con el menor
exponente.
EJERCICIOS – Sección A-II.1
Aplique Factor Común, para factorizar las
siguientes expresiones algebraicas.
4. a2 x3 y + 4 a5 x2 y3 – 6 a4 x6 – 10 a x4
1. 5 x3 y – 25 x y2
6. 9 a6 b4 c2 – 3 a5 b2cx + 6a7 b3cx + 6a4 b2c – 3a5 b4 cx2 y
5. 6 x6 y3 z2 – 36 x2 y2 z2 + x2 y2 z
2. 9 a b + 3 a c – 27 a
3. z3 y2 – 2 z2 y2 + z y2
A-II.2 – FACTOR DE FACTOR
Este procedimiento también es conocido como método de agrupamiento. Es útil para expresiones que contienen un
número par de términos y consiste en agrupar en parejas y extraer los factores comunes de cada término. Esto
permite en muchos casos detectar factores comunes a todas las parejas.
n Ejemplo II.2:
a) a x2 + b y 2 + b x 2 + a y 2
En primer lugar observamos que tenemos una cantidad par de términos,
luego podemos agrupar en parejas aquellos términos que contienen x2 por
un lado, y los que contienen y2 por otro. Así obtenemos:
ax 2+ by 2 + bx 2+ ay 2 = (ax 2+ bx2 ) + (by2 + ay2 )
Se puede sacar factor común x 2 de los primeros dos términos e y2 de los dos
últimos:
3897
(ax 2+ b x2 ) + (by2 + ay2 ) = x 2 (a + b) + y 2 (b + a)
Aplicamos propiedad
conmutativa de los
números reales.
De esta manera tenemos que (a + b) es un factor común de los dos
términos obtenidos, así:
x 2 (a+ b) + y2 (b + a) = (x 2 + y2 )(a + b)
Por lo tanto la expresión original se puede factorizar como:
ax 2+ by 2 + bx 2+ ay 2 = (x 2 + y2 ) (a + b)
b) 6x 2y − 2x3+ 3y − x
Agrupamos los dos primeros términos por un lado, y los dos últimos por el
otro.
6 x 2 y− 2x 3+ 3y − x = (6x 2 y− 2 x3 ) + (3y − x )
Este modo de agrupar se realiza ya que del primer paréntesis podemos sacar
factor común 2x 2.
(6x 2 y− 2 x3 ) + (3y − x) = 2x 2 (3y − x) + (3y − x)
Claramente (3y – x) es común a ambos términos, por lo tanto:
6x 2y − 2x3 + 3y − x = 2x 2 (3y − x) + (3y − x) = (2x 2 + 1)(3y − x)
No se puede factorizar aún más las expresiones de la derecha, por lo que
hemos terminado nuestra factorización.
EJERCICIOS – Sección A-II.2
Utilice la técnica de Factor de factor para factorizar las siguientes expresiones algebraicas.
1. x z + 4 x – 2 y z – 8 y
2. 2 a3 + a2 – 4 a2 b – 2 ab + 2ab2 + b2
3. 3 x2 – 4 y2 – 12 x y + x y
4. a b + a2 + 2 x b + 2 x a
5. m2 y + m b2 – m x y – b2 x
6. 12 – a b + 3 b – 4 a
7. 24 x – 6 x3 + 8 – 2 x2
8. 10aw2xn – 15w2 xn + 10ax – 15bx – 8aw2 yn + 12b w2 yn – 8ay + 12by
390390
A-II.3 – DIFERENCIA DE CUADRADOS
Permite descomponer en factores expresiones algebraicas que son diferencias de cuadrados de la siguiente forma:
a2 − b2 = (a − b) (a + b)
donde a y b pueden ser números reales o expresiones. Es decir, una diferencia de
cuadrados se escribe como el producto de sus bases por la diferencia de las mismas.
n Ejemplo II.3:
a) x2 y4 − 16
Para usar esta forma de descomposición en factores, debemos primero
escribir la expresión dada como una diferencia de cuadrados.
x 2 y4 − 16 = (x y2 )2 − (4)2
donde a = (xy2 )
y b =4
Usando la fórmula de diferencias de cuadrados, tenemos que:
x 2 y4 − 16 = (x y2 ) 2 − (4)2 = (xy2 − 4) (xy2 + 4)
b) 7 x4 − 112 z 4
Al observar con detenimiento esta expresión, vemos que el número 7 es un
factor común a ambos miembros, por lo que podemos escribir que:
7 x 4 − 112 z 4 = 7(x 4 − 16z4 )
Pero (x 4 − 16 z4 ) es una diferencia de cuadrados, ya que:
(x 4 − 16 z4 ) =
( x2 ) − ( 4 z 2 ) .
2
2
Usando la fórmula para la descomposición, tenemos que:
( ) (
)
2
2

7x 4 − 112 z4 = 7(x 4 − 16 z4 ) = 7  x 2 − 4 z 2 


= 7(x 2 − 4 z 2 ) (x 2+ 4 z2 )
No hemos culminado la factorización, ya que:
(x 2 − 4 z 2 ) = (x – 2 z)(x + 2z)
De acuerdo a esto, la expresión original se puede expresar en factores de la
forma:
7x 4 − 112 z4 = 7(x − 2 z) (x + 2 z) (x2 + 4 z2 )
391
Note: La suma de cuadrados no puede descomponerse ya que no es
divisible por la suma ni por la diferencia de sus bases.
EJERCICIOS – Sección A-II.3
Factorice las siguientes expresiones algebraicas.
4. z4 y2 – 25 x2
1. z 2 – 9 x 2 y 2
5. a2 b2 – ( a2 + b2)2
2. 16 x 2 – 4 y 4
6. (x – y)2 – a2
3. a6 –
1 4
b
4
A-II.4 – TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Se compone de tres sumandos donde dos de ellos son cuadrados de algún valor o expresión algebraica y el otro es
el doble del producto de ambos valores o expresiones. En símbolos:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
n Ejemplo II.4:
a) x2 + 6 x + 9 = x2 + 2.3 x + 32 = (x + 3)2
b) 4 + 4 z + z2 = 22 + 2.2 z + z2 = (2 + z)2
c) 4 x2 y2 – 4xy z2 + z4 = (2 x y)2 – 2(2 x y)(z2) + (z2 )2 = (2xy – z2)2
d) x2 – 10 y + 25 y2 = x2 – 2 x 5 y + (57)2 = (x – 5 y)2
EJERCICIOS – Sección A-II.4
Detecte los trinomios cuadrados perfectos y factorice
las expresiones algebraicas.
4. m4 +
1. 9 x4 – 6 x2 y + y2
5. 49 y4 – 28 x y2 + 4 x2
2. 9 a4 + 4 b4 – 12 a2 b2
3. z6 +
392920
1
4
x2 + x z3
6. 9
x6
25
n
4
4
+ m2 n2
+ 4 y2 – 12 x3
y
5
A-II.5 – CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Se compone de cuatro sumandos. Dos de ellos son el cubo de algún valor o expresión, otro es el triplo del
cuadrado del primer valor o expresión por el segundo y el último es el triplo del primero por el cuadrado del segundo.
En símbolos:
a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 = (a + b)3
a3 – 3 a2 b + 3 a b2 + b3 = (a – b)3
n Ejemplo II.5:
a) 8 x3 + 60 x2 z2 + 150 x z4 + 125 z6
= (2 x)3 + 3(2 x)2 5 z2 + 3(2 x)(5 z2 )2 + (5 z2 )3 = (2 x + 5 z2 )3
b) 1 + 6 w + 12 w2 + 8 w3 = 13 + 3.12 . 2w + 3.1 .(2 w)2 + (2w)3
= (1 + 2 w)3
c) a3 + 8 b3 – 6 a2 b + 12 a b2 = a3 – 6 a2 b + 12 a b2 + 8 b3
= (a – 2 b)3
EJERCICIOS – Sección A-II.5
Detecte los cuatrinomios cubo perfecto y factorice las
expresiones algebraicas.
4. a3 –
1. 64 m6 + 96 m2 n + 48 m2 n2 + 8 n3
2.
3
a
b
– a2
+ a b2 – b3
27
3
3. x3 + 6 y x2 + 8 y3 + 12 x y2
5.
3 a2
3a
1
+ 2 + 3
b
b
b
8 a3
12 a2
6a
+
1
−
+
b
b3
b2
6. x 3 y3 +
3 2 2
1
3
x y +
+
xy
2
8
4
A-II.6 – EXPRESIONES CUADRÁTICAS
Queremos factorizar expresiones de la forma a x 2 + b x + c donde a, b y c son números reales, a ≠ 0 . Para ello
debemos encontrar primero las raíces o valores de x que satisfacen la ecuación a x 2 + b x + c = 0. La forma de
hacerlo es utilizando la siguiente fórmula:
3931
−b ±
b2 − 4 a c
2a
Cuando se realiza el cálculo con la suma se obtiene una de las raíces, y cuando se
realiza con la resta se encuentra la otra. Llamemos x1 y x2 a dichas raíces, entonces:
a x2 + b x + c = a (x – x1) (x – x2 )
n Ejemplo II.6:
a) 2 x2 + 4 x – 6
Como establecimos anteriormente, en primer lugar debemos encontrar los
valores de la incógnita x que es solución de la ecuación 2x2 + 4x – 6=0.
Usamos la fórmula dada para a = 2, b = 4 y c = – 6
−4 ±
16 − 4.2.( − 6) − 4 ±
=
2.2
16 + 48 − 4 ±
=
4
4
64
=
x1 = 1
−4 ± 8
=
4
x2 = – 3
Entonces la expresión cuadrática se puede expresar como:
2 x2 + 4 x – 6 = 2 (x – 1) (x + 3)
Si en el segundo miembro se aplica la propiedad distributiva se obtendrá la
expresión del primer miembro.
b) x2 + 8 x + 16
Buscamos las raíces de la ecuación x2 + 8 x + 16 = 0. En este caso a = 1,
b = 8 y c = 16 . Reemplazamos en la fórmula:
−8 ±
64 - 4 . 1 . 16 − 8 ±
=
2
64 − 64 − 8 ± 0
=
=– 4
2
2
Como los valores de x1 y x2 que verifican la ecuación son iguales, la
expresión cuadrática se puede factorizar como sigue:
x2 + 8 x + 16 = (x + 4)(x + 4) = (x + 4)2
c) 21x2 – 29xz – 72z2
Si observamos con cuidado, podemos pensar esta expresión como una
cuadrática en x, donde: a = 21, b = –29z y c = –72z2. También se podría
mirar como una expresión cuadrática en z, con a = –72, b = –29x y
c = 21x2. Nosotros la trabajamos como cuadrática en x.
Aplicamos la fórmula para encontrar las raíces:
39442
29 z ±
=
29 z ±
Entonces:
841 z2 + 4 . 21 . 72 z2
42
6889 z2
42
=
=
29 z ±
29 z ± 83 z
=
42
21x2 – 29xz – 72z2 = 21 ( x –
841 z2 + 6048 z2
42
x1 = (8/3) z
x2 = (– 9/7) z
9
8
z) ( x +
z)
7
3
EJERCICIOS – Sección A-II.6
Factorice las siguientes expresiones cuadráticas:
4. 4 x4 – 10 x 2 z + 6 z2
1. 4 a2 – 20 a b + 9 b2
5. 6 m4 + 13 m2 n + 6 n2
2
2
2. 5 a – 2 a b – 7 b
6. 15 m4 – a m2 – 2 a2
3. 9 x2 + 6 x y – 8 y 2
A-II.7 – SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
La suma de cubos de valores o expresiones es divisible por la suma de sus bases y la diferencia de cubos de
valores o expresiones es divisible por la resta de las bases. Esta propiedad permite factorizar de la siguiente forma:
a3 + b3 = (a + b) (a2 − a b + b 2 )
a3 − b3 = (a − b) (a2 + a b + b 2 )
Si multiplicamos las expresiones del segundo miembro, se obtendrán las del primero.
n Ejemplo II.7:
a) 27x3 + z3
Aplicamos la fórmula para la suma de dos cubos:
27x 3 + z3
(
)
= (3x + z) ( 9x2 − 3xz + z2 )
= (3x + z) (3x)2 − 3xz + z2
El segundo factor no puede descomponerse más, veamos por qué.
9x 2 − 3xz + z2
se puede pensar como una cuadrática en la variable x.
Para descomponerla debemos encontrar las raíces de la ecuación
3953
9x 2 − 3 xz + z2 = 0. Cuando aplicamos la fórmula con a = 9, b = – 3 z y
c = z2 nos encontramos con que debajo de la raíz nos queda un número
negativo. Esto indica que la ecuación que estamos resolviendo no tiene
raíces reales, por lo que la expresión algebraica no puede descomponerse
más.
b) 8x6 − y9
Aplicamos la fórmula para la diferencia de cubos y llegamos a:
8x 6 − y9 = (2x 2 )3 − (y3 )3 = (2x 2 − y 3 )(4x4 + 2 x2 y3 + y6 )
Si trabajamos de la misma manera que en el apartado anterior, obtenemos
que el segundo factor no puede descomponerse.
EJERCICIOS – Sección A-II.7
Factorice las siguientes sumas y diferencias de
cubos:
4. n3 + 1000
1. x3 + 1
6. 8a3 + 125b3
2. a3b3x3 + 1
7. a3 + 8
3
3. m + 27
5. 27m3 + n3
8. x6 – y6
Como mencionamos al inicio de este apéndice, los métodos explicados son los que más se utilizan en la práctica.
En muchos casos es necesario aplicar más de uno para lograr la factorización de una expresión.
n Ejemplo II.7:
Vamos a factorizar la expresión 2xz2 − 8x + 4 y z2 − 16y
Para esto sacamos factor común 2x de los dos primeros términos, mientras que
sacamos 4y de los dos últimos. Así tenemos:
2 x z2 − 8x + 4yz2 − 16y = 2x (z2 − 4) + 4y(z2 − 4)
Si observamos el segundo miembro de la igualdad, vemos que (z2 − 4) es un
factor común a ambos términos, por lo que:
2x(z2 − 4) + 4y(z2 − 4) = (2x + 4y)(z2 − 4)
El segundo factor de la expresión a la que llegamos es una diferencia de
cuadrados, entonces:
(2x + 4y)(z2 − 4) = (2 x + 4 y)(z − 2)(z + 2)
396964
Pero del primer factor podemos extraer el 2 y llegamos a:
2xz2 − 8x + 4yz2 − 16y = 2(x + y)(z − 2)(z + 2) que es la factorización que
buscábamos.
EJERCICIOS DEL APÉNDICE II
Factorice en forma completa las siguientes
expresiones. Verifique el resultado que obtiene
realizando el producto que corresponda
1. 3x + 9y
5
19.
1
2 2
x y
−
10
2
x y
25
+
x
2
20. a2 b3 y 4 − 625 a2 b3
3 2
2. 4 x z − 2x z
21. m6 n9 + 3 m7 n8 + 3 m8 n7 + m9 n6
3. pq − 3p − 6q + 18
3
18. 100x 2 z− 225z
22. y2 − 16y + 48
3
4. 8m – 27n
5. 2x4 – 32
23. x2 y2 − a2 y2 − b2 x2 + a2b2
6. 7x2 – 44x – 35
24.
7. ax 4 − ay6
3
10. a − 27b
5
4
6
11. x − 5x + 6
12. a4 b2 + 4 a2 +
5
13. 162xy − 2x y
2
14. 2a – 7a + 3
15. 45m2 – 5m2 n4
16. 1 – m
2
a b
+
2
ab
4
5
3
6
26. 14 m4 – 45 m2 – 14
27. a4 – 1
28. 9 + 12 z + 4 z2
2
3
ab
4
−
25. x − 4 x3 y2
9. 8 a b – 12 a b + 6 a b + a b
6
2
5
8. 2bx − ya − by + 2xa
6
8
29. 6 x2 + 7 x + 2
4
b
2
30.
25x 4
y
−
5x2
y
+
x3
y4
31. m3 – n3
32. x3 – 216
33. 144 a6 – 121 b8 y4
17. 27y3 + 64
3975
APÉNDICE
Sumatoria y
Productoria
III
A-III.1 – SUMATORIA
Dado que la operación de suma aparece en reiteradas ocasiones en matemática, la letra griega Σ (sigma) se utiliza
con frecuencia para denotar dicha operación. Es un símbolo que permite expresar en forma resumida o abreviada
una suma y recibe el nombre de “sumatoria”.
Por ejemplo, si deseamos expresar la suma de los primeros números naturales a partir de dos, podemos escribir
2 +... + 50 donde omitimos todos los números salvo unos pocos, y con los puntos suspensivos indicamos que hay
valores intermedios que siguen el patrón establecido. Dichos puntos suspensivos pueden ser ambiguos ya que en
algunos casos se pueden interpretar de forma diferente. En nuestro ejemplo, no es claro si debemos sumar todos
los naturales entre 2 y 50 o sólo los pares. Por este motivo, con frecuencia es más claro utilizar la notación de
sumatoria.
n
Definición III.1: La expresión ∑ ak indica la suma a 1 + a 2 + a 3 +...+ a n . Los
k= 1
a k representan los términos de la suma. Así a 1 es el primer
término, a 2 es el segundo término, ai es el i-ésimo término y an
es el n-ésimo y último término.
Es decir:
n
∑ ak = a + a + a + ...+ a .
1
2
3
n
k=1
n
En general, ∑ ak se lee “suma de a k, con k que va de 1 hasta n”. La letra k se llama
k=1
índice de la sumatoria, y convencionalmente se entiende que los números que
aparecen debajo y encima del símbolo Σ indican el recorrido de k. En nuestra
expresión, k toma sucesivamente todos los valores naturales de 1 hasta n (n > 1).
El a k se llama término general de la suma y representa un elemento genérico
cualquiera.
En particular, si a1=2, a 2 = 1, a 3 = – 4 y a 4 = 3 , entonces n vale 4 y:
398986
4
∑ ak = a + a + a + a = 2 + 1 + (–4) + 3 = 2
1
2
3
4
k=1
Es evidente que no es necesario utilizar la letra k, sino que se puede elegir otra letra
para representar el índice de la suma. Así,
n
∑
ak =
k=1
n
∑
ai =
n
∑ ar , lo importante es
r=1
i=1
el valor que toma la letra elegida. Además, el primer valor del índice de la sumatoria no
tiene que ser necesariamente 1, sino que puede ser cualquier número entero. La suma
5
3
i=3
i =1
a 3 + a 4 + a 5 se escribe como ∑ ai , o también como ∑ ai + 2 .
n Ejemplo III.1:
1. Si ar = r
entonces
6
∑ r = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
r =1
2. Si a i = i2
5
entonces ∑ i 2 = 32 + 42 + 52 = 50.
i= 3
3. Si a j = 2 j
entonces
4
∑ 2 j = 2 + 2 + 2 + 2 = 2 + 4 + 8 + 16
1
2
3
4
j=1
= 30.
4
4. Si a k = 2k – 1 entonces ∑ ( 2 k − 1 ) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
k=1
5. Si a m =
1
m
6
1
1
1
1
1
1
49
=1 +
+
+
+
+
=
.
m
2
3
4
5
6
20
m=1
entonces ∑
La clave para utilizar eficazmente la notación es reconocer los patrones que generan
todos y cada uno de los sumandos, es decir, el término general.
Notación abreviada:
n
∑ xi = ∑ xi = ∑ xi
i=1
1≤i≤n
Esta última forma se utiliza sólo cuando se sobreentienden los valores que el índice
puede tomar.
3997
A-III.1.1 - PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
Antes de presentar las tres principales propiedades de sumatorias, supongamos que
tenemos la siguiente información que nos permitirá ejemplificar cada una de ellas.
k
ak
bk
1
7
1
2
4
3
3
8
4
4
1
4
5
2
9
¿Cómo se lee esta tabla? Por ejemplo a3 = 8, a5 = 2, b1 = 1 y b4 = 4.
Propiedad III.1: la sumatoria de los valores de la suma (resta) de dos términos
generales es igual a la sumatoria de los valores de cada término
general sumados (restados).
n
n
n
k=1
k=1
k=1
∑ (ak ± bk ) = ∑ ak ± ∑ bk
Propiedad Aditiva
Verifiquemos esta igualdad trabajando con los datos de la tabla:
n Ejemplo III.2:
5
a)
∑ (ak + bk ) = (a + b )+ (a + b )+ (a + b )+ (a + b )+ (a + b )
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
k=1
= (7 + 1) + (4 + 3) + (8 + 4) + (1 + 4) + (2 + 9) = 43
= (7 + 4 + 8 + 1+ 2) + (1 + 3 + 4 + 4 + 9)
=
5
5
k=1
k=1
∑ ak + ∑ bk = 22 + 21 = 43
5
b)
∑ (a − b ) = (a – b ) + (a – b ) + (a – b ) + (a – b ) + (a – b )
k
1
k
1
2
2
3
3
4
4
5
k=1
= (7– 1) + (4 – 3) + (8– 4) + (1 – 4) + (2– 9) = 1
= (7 + 4 + 8 + 1+ 2) – (1 + 3 + 4 + 4 + 9)
5
=
∑ a – ∑ b = 22 – 21 = 1
k
k=1
4000
5
k
k=1
5
Propiedad III.2: la sumatoria de un término general multiplicado por una
constante es igual a dicha constante multiplicada por la
sumatoria del término general.
n
∑
n
cak = c
k=1
∑a
Propiedad Homogénea
k
k=1
n Ejemplo III.3:
Suponemos que c = 3 y que a k toma los valores indicados en la tabla 1.
5
∑ ca
k
= c a1 + c a2 + c a 3 + c a 4 + c a5
k=1
= (3)(7) + (3)(4) + (3)(8) + (3)(1) + (3) (2) = 66
5
= 3(7 + 4 + 8 + 1+ 2) = 3
∑ a = (3) (22) = 66.
k
k=1
Propiedad III.3: una constante sumada n veces es igual a n multiplicada por el
valor de la constante.
n
∑c = nc
k=1
n Ejemplo III.4:
Si c = 3, entonces:
5
∑ c = c + c + c + c + c = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = (5)(3) = n c
k=1
Note: la sumatoria tiene cinco términos, todos iguales a 3.
n Ejemplo III.5:
n
a)
∑
(2 k − k 2 ) = 2
k=1
n
∑ ∑k
k−
k=1
n
b)
n
n
2
se aplicaron propiedades 1 y 2 .
k=1
n
n
∑ −a = ∑ ( −1 ) a = ( −1 )∑ a = −∑ a se aplicó propiedad 2.
k
k=1
k
k=1
k
k=1
k
k=1
401
7
∑
c)
7
(k + 8) =
i=5
7
∑ ∑ 8 = (5 + 6 + 7) + (3.8) = 18 + 24 = 42 , se
k+
i=5
i=5
aplicaron las propiedades 1 y 3.
Conocer la notación y propiedades de sumatoria es importante para comprender otros
conceptos que se valen de ellas para simplificar las expresiones. Por ejemplo, en la
m
definición de producto de matrices aparecen sumatorias como p i j =
∑ a i kb k j
k=1
donde el índice es k, por lo tanto es el único que varía, tomando los valores naturales
entre 1 y m. Es decir:
m
p i j=
∑ a i k b k j = a b + a b + a b + ...+ a
i1
1j
i2
2j
i3
3j
im
bmj
k=1
Cuando se estudian matrices, surgen también las sumatorias múltiples que contienen
n
más de un índice. La notación
∑ a sugiere que se suman los términos a en la
ij
ij
i, j = 1
medida que i y j recorren, de manera independiente, los valores de 1 hasta n. Una
manera equivalente de escribir esta sumatoria es a través de las expresiones
n
n
∑∑
n
ai j o
i = 1j = 1
n
∑ ∑ a en las que se suma moviendo primero un índice y luego el
ij
j = 1i = 1
otro.
n Ejemplo III.6:
3
∑
i,j=1
3
 3


i j =
(i 1 + i 2 + i 3)

 i=1
i = 1 j = 1 
3
ij =
∑∑
∑
= (1)(1)+(1)(2)+(1)(3)+(2)(1)+(2)(2)+(2)(3)+(3)(1)+(3)(2)+(3)(3)
= 1 + 2 + 3 + 2 + 4 + 6 + 3 + 6 + 9 = 36
A-III.1.2 - FÓRMULAS DE SUMA PARA ENTEROS
POSITIVOS
Existen algunas sumas cuyo resultado se conoce y se puede demostrar, tales como los
que presentamos a continuación:
402 20
• La suma de los primeros n números naturales:
n
∑k=
n(n+1 )
2
k=1
Esta expresión nos dice que si queremos sumar, por ejemplo, los primeros cien
100 x 101
= 5050 . Esto
2
es efectivamente más rápido y sencillo que sumar uno a uno los números del 1 al
100.
números naturales debemos realizar el siguiente cálculo:
Del mismo modo la suma de los cinco primeros números naturales es:
5
∑i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 =
i=1
(5)(6)
= 15
2
• La suma de los primeros n cuadrados de números naturales:
n
∑k =
2
n(n + 1 )(2n + 1 )
k=1
6
n
• La suma de los primeros n cubos de números naturales
2
 n(n + 1 ) 
k3 = 

2


k=1
∑
EJERCICIOS – Sección A-III.1
Encuentre el término general y escriba cada una de
las siguientes expresiones como una sumatoria:
1.
1
2
3
4
5
6
7
8
+
+
+
+
+
+
+
2
3
4
5
6
7
8
9
2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10
3.
1
2
1
+
1
2
2
+
1
2
3
+
8.
9.
1
2
4
+
1
2
5
1
1
1
+
+
3
9
27
Encuentre los valores numéricos de las siguientes
sumas.
7. ∑ 2 i
i=1
5
∑ ( −1) s
s= 0
5. 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + 13
5
∑ (3 r + 4)
r=1
6
10. ∑ ( − 1) i + 1 k
i =2
4. –2 + 4 – 8 + 16 – 32
6. 1 +
6
11.
7
∑ 3 j− 1
j =4
3
5k
k +2
12. ∑
k=1
8
 k −1

+ 3
 k

13. ∑ 
r=4
4031
2
∑ 4k 3
14.
30
30
n=1
n=1
23. ∑ (2 + 2n 4 ) = 60 + 2 ∑ n4
j = −2
Cuál de las siguientes sumatorias representa la
suma –3 + 9 – 27 + 81 – 243
n
∑
Sabiendo que
n
ak = – 2 y
k=1
5
n
k=0
24.
5
16. ∑ ( − 1) 3
17.
k
k+1
3
k
10
19. ∑ i = ∑ i
i=0
70
20. ∑ r
r=1
3
 bk

∑  2 + 2 
∑ ( 6a − 3b )
k
k
k=1
n
30.
21. ∑ 2 = 100
∑( − a − 8 )
bk
k
k=1
k=1
n
31.
100
22. ∑ (2 − 3s) = 2 − 3 ∑ s
s=0
k
n
29.
2
50
100
k
k=1
 70 
=
r


r=1 
∑
∑ (3b − a )
n
28.
i=1
2
k
k=1
r=1
201
k
n
27.
∑ ( j + j2 ) = ∑ (r + r 2 )
j=1
∑ (a + b )
k=1
10
3
k
n
26.
Determine si las siguientes igualdades son
verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.
200
∑ ( 4a + 5 )
k=1
k=1
18.
k
n
25.
∑ ( −1 )
∑ 4a
k=1
k=1
5
k
el resultado de las siguientes sumas:
15. ∑ ( − 1) k 3 k
k
∑ b = 4, encuentre
k=1
∑ 6(a + b )
k
k
k=1
s=0
A-III.2 – PRODUCTORIA
De manera similar a como expresamos las sumas de maneras abreviadas, es posible representar los productos. El
símbolo ∏ , se denomina “productoria” y se utiliza para expresar en forma compacta un producto.
Definición III.2: El producto de n números reales a1 , a2 , a3 , ..., an se escribe
n
n
k=1
k=1
∏ ak . Es decir, ∏ ak =a1 .a2 .a3 ...an
404042
Como antes, k se denomina índice del producto y en nuestro caso toma valores
naturales de 1 a n, mientras que a k es el término general que representa el patrón
que siguen los valores que se multiplican.
Si, por ejemplo a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = –1 y a 4 = 5, entonces n toma el valor 4 y:
4
∏ a r = (2)(3) (–1)(5) = – 30
r=1
n Ejemplo III.7:
5
a) ∏ k = (1)(2)(3)(4)(5) = 120
k=1
6
b) ∏ (r + 1 ) = (3)(4)(5)(6)(7) = 2520
r=2
5
c) ∏ s 2 = (3 2)(4 2)(5 2) = 3600
s=3
A-III.2.1 - PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA
n
 n
 n

k=1
k=1
 k = 1

n
n
k=1
k=1
Propiedad III.4: ∏ (ak bk ) =  ∏ ak   ∏ bk  Propiedad multiplicativa
Propiedad III.5:
∏ (cak ) = c n ∏ a k
n
Propiedad III.6: ∏
ak
k = 1 a k −1
=
an
a0
Propiedad Homogénea
si cada a k ≠ 0
Este último resultado se puede probar de manera muy sencilla, veamos:
n
k=1
 a  a  a   a  a  a
=  1   2   3  ...  n-1   n  = n
k −1
 a0   a1   a 2   a n-2   a n-1  a0
ak
∏a
Veamos algunos ejemplos de aplicación de las propiedades.
4053
n Ejemplo III.8:
5
a) ∏ (i 2i ) = (2)(2 2)(3)(2 3)(4)(2 4)(5)(2 5)
i=2
= (2)(3)(4)(5)(2 2)(2 3)(2 4)(2 5)
 5   5 
=  ∏ i   ∏ 2i 
i = 1  i = 1 
4
4
4 1
2
 1
 1  1  1  16 2
b) ∏   = 2 4 ∏   = 16 ∏ = (16)(1)     = =
 2  3  4  24 3
j = 1 k 
j = 1 k 
j=1k
EJERCICIOS – Sección A-III.2
Encuentre el término general y escriba las siguientes
expresiones como productorias.
( )( )( )( )( )
1. 43 6 3 8 3 10 3 123
6 7 8 9 
2. (1 )        
5  5 5 5 
3. ( 2 )( 8 )(18 )( 32 )( 50 )
8
¿Cuál de las siguientes productorias representa el
producto (9)(–27)(81)(–243)?
12.
Encuentre los valores numéricos de los siguientes
productos.
13.
5
( )
5
k
11. ∏ ( −1 ) 3k 

k=1
 1 1  1 1  1 1 
4.  −     −     −   
 2  3 4 5  6  7 
5. ∏ k 2
( )
10. ∏ ( 3 ) . 2 k 


k=3
∏ ( −1 ) k + 1 . (3k )
5
k=1
∏ ( −1 ) ( 3k ) 
5
k
k=2
Determine si las siguientes igualdades son
verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.
k=1
8
6. ∏ (r + r 2 )
10
10
j=1
r=1
100
100
n=1
n=0
14. ∏ j 3 = ∏ r 3
r=3
10
7. ∏ (3n)
n=3
8. ∏ 4
i=1
9. ∏
200
200
j=1
j=1
j=1
50
2
s=1s + 3
406064
200
16. ∏ ( j + 5 ) = ∏ j + ∏ 5
10
5
15. ∏ n = ∏ n
17. ∏ 2 = (2) (50) = 100
k=1
50
n
20. ∏ ( 4 ak bk )
18. ∏ 2 = 250
k=1
k=1
n
n
k=1
k=1
Sabiendo que ∏ ak = 10 y ∏ bk = –3 , encuentre
el resultado de los siguientes productos:
n
19.
∏ ( 4a )
k
n
21. ∏ ( 3bk )
k=1
22. ∏ ( −1 )(

k = 1
n
2n + 1)
ak 

k=1
EJERCICIOS DEL APÉNDICE III
Encuentre el resultado de las siguientes sumas y
productos.
6
1.
∑ (k + 1)
2
k=1
6
2.
12. (1)( 3) ( 5 )( 7 )( 9 ) (11)
13. ( 4 )( 9 )(16 )( 25) (36 )( 49 )
 1   8   27   64   125 
∑ j −2
j
14.         

 2   2  2   2   2 
j=3
3.
11. 7 + 10 + 13 + 16 + 19
4
∏ ( 2n + 3 )
n=1
Aplique las propiedades y sumas de enteros
positivos para resolver las siguientes sumas.
45
( − 1) i + 1
4.
i
i=0
∑
15.
k+ 1
5. ∏
k = 2 2k
16.
4
6.
i=1
60
7
10
1
∏ (m + m )
30
18.
10
∏ 5s
3
Encuentre el término general y escriba la expresión
usando sumatorias o productorias.
1
2
3
4
5
0+
+
+
+
+
3
4
5
6
7
∑ n (n − 3)
39
19.
s=3
9.
2
2
n=1
m=1
8.
∑ 5(k + k + k )
j = 1
n=6
7.
2
18
17.
2
2
∑ 3k (k + 2)
k=1
∑ (n + 1)
5
∑ 3i(i − 1)
∑ m(m + m)
2
m=1
20
20.
∑4
k=1
Aplique las propiedades para resolver los siguientes
productos.
10. –2 + 4 – 5 + 6 – 7
4075
40
21. ∏
n = 10
7
22. ∏ 2
m=1
40886
an
a n −1
10
(
23. ∏ 3 j 2
j=2
)
50 
 1 
24. ∏ ( k )  
 k 
k=1 
Respuesta a Ejercicios Impares
Sección 1.1 - Página 9
1. Grado: 4,
Incógnitas: x, y, z, w
17. Si es solución
3. Grado: 2,
Incógnitas: x, y
19. Por ejemplo: x =1 e y = 2
5. Grado: 2,
Incógnitas: x, y
7. Grado: 2,
Incógnitas: z
9. Grado: no se define,
Incógnitas: x, y, w
23. Por ejemplo: x =1, y = – 2, z = 0
11. Grado: no se define,
Incógnitas: x
25. Por ejemplo x = –5
13. Grado: 5,
Incógnitas: x, y
27. Por ejemplo z + y – 3 = 0
21. z = −
2
3
15. No es solución
Sección 1.2 - Página 21 a 23
1. x = −
2
3
3. x =
6
7
5. x =
2
9
27. (x − 1)(x − 4) = 0
1
29. (3x + 1)2 = 0 o 9 (x + )2 = 0
3
7. x = – 2
9. x = 5
11. x =
1
3
13. Solución compleja: S = { −1 ±
15. S = {
−1 ±
5
2
1
1
3
2
17. S= { − ,
2 i}
}
31. Grado 2,
S = { –2, 3 }
33. Grado 3,
S={ −
35. Grado 4,
S = { 0, 0, -8, 8 }
37. Grado 4,
S = {±
1 −3 ± 33
,
}
2
2
2
6
, ±
}
2
2
39. S = { 40, 42, 44 }
41. S = { 60 }
43. La docena de manzanas cuesta $6.
45. Fueron encuestadas 1500 personas.
}
47. Se invirtió 40000 en el emprendimiento I y 10000 en el
emprendimiento II.
19. S = { – 2, 2}
21. S= {–7, 5}
1
1
49. 30 artículos producen una ganancia de $1000, mientras
que tanto 20 como 40 artículos producen una ganancia
de $800.
5
4
51. Tiene 100 gallinas que puede alimentar durante 4 días.
23. 9(x − 3)(x + 3) = 0
25. 20(x − )(x − ) = 0 o (5x − 1)(4x − 1) = 0
4097
Respuesta a ejercicios impares
Sección 1.4 - Página 40 a 41
 ∆x= 2
29. No existe o pendiente infinita. La recta es vertical.
 ∆y= − 1
31. Pendiente: −
1. Incrementos 
3.
 ∆x= 4
Incrementos 
 ∆y= 4
1
6
33. Pendiente: 0. La recta es horizontal.
35. La recta tiene ecuación: y = – x + 1
 ∆x= 0
5. Incrementos 
 ∆y= 4
y
 ∆x= 2
7. Incrementos 
 ∆y= 0
x
 ∆x= − 3
9. Incrementos 
 ∆y= − 7
1

 con el eje x: ( 2 , 0)
11. Intersecciones 
 con el eje y: (0, − 1 )

4
37. La recta tiene ecuación: y =
1
3
x−
2
2
y
 con el eje x: (6, 0)
 con el eje y: (0, 6)
13. Intersecciones 
x
 con el eje x: ( − 4, 0)
 con el eje y: (0, 4)
15. Intersecciones 
 con el eje x: ( − 2, 0)
 con el eje y: (0, − 4)
17. Intersecciones 
19.

 pendiente:

 ordenada al origen:

pendiente:
ordenada al origen:
21. 
1
3
2
3
y
−1
−4
 pendiente:
 ordenada al origen:
6
 pendiente:

 ordenada al origen:
0
25. 
x
1
3
7
41. La recta tiene ecuación: y = 2x +7
43. La recta tiene ecuación: x = − 1 , es una recta vertical
45. La recta tiene ecuación: y =
410
7
3
3
 pendiente:
 ordenada al origen:
23. 
27.
−
2
3
39. La recta tiene ecuación: y = x +
1
11
x+
2
2
Respuesta a ejercicios impares
47. La recta tiene ecuación: y = x
3
2
49. La recta tiene ecuación: y = − x
51. La recta tiene ecuación: x = 0
53. k = −
57. La recta es decreciente, pues su pendiente es
negativa.
59. La recta es creciente, pues su pendiente es positiva.
61. La recta es decreciente, pues su pendiente es
negativa.
8
3
63. La recta es creciente, pues su pendiente es positiva.
55. La recta es decreciente, pues tiene pendiente
negativa.
65. La recta es decreciente, pues su pendiente es negativa.
Sección 1.5 - Página 45
1. A: (1, –1, 0)
B: (–1, –1, 0)
C: (1, 1, 0)
D: (–1, 1, 0)
E: (1, –1, –1)
F: (1, 1, – 1)
Intersección con el eje y:
(0, 4, 0)
G: (–1, 1, –1) H: (–1, –1, –1) I: (1, –1, 1)
Intersección con el eje z:
(0, 0, – 8)
J: (–1, 1, 1)
K: (–1, –1, 1)
L: (1, 1, 1)
3. Intersección con el eje x:
(– 8, 0, 0)
5. Plano paralelo al plano yz que pasa por x = 5
Sección 1.6 - Página 52 a 53
1. La ecuación de demanda es 50p + 3q =2100.
5. La ecuación de oferta es: 3 000 p – q = 55 000
3. a) 10p + q = 300
7. a)
b) q = 150
c) p = 18 000 dólares
d)
b) p = $800
c) q = 300
411
Respuesta a ejercicios impares
Repaso Teórico del Capítulo 1 - Página 56 a 57
Verdadero o Falso
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Falso
Falso
Falso
Falso
Falso
Verdadero
Verdadero
Falso
9. Verdadero
10. Falso
11. Falso
12. Falso
13. Verdadero
14. Verdadero
15. Falso
7. opción correcta: d)
8. opción correcta: c)
9. opción correcta: c)
10. opción correcta: d)
11. opción correcta: c)
12. opción correcta: a)
Selección Múltiple
1. opción correcta: c)
2. opción correcta: c)
3. opción correcta: c)
4. opción correcta: c)
5. opción correcta: b)
6. opción correcta: b)
Ejercicios del Capítulo 1 - Página 58 a 60
1. Grado: 3,
Incógnitas:
p
3. Grado: 2,
Incógnitas:
m
5. Grado: 1,
Incógnitas:
x, y
7. Grado: 3,
Incógnitas:
x, y, z
9. El par (2, 3) es solución del ejercicio 5 y (– 4, 30)
no lo es.
13. Se divide por 16 ambos miembros por lo que se
garantiza la equivalencia.
15. Se divide por x ambos miembros por lo tanto no
garantiza la equivalencia. Mientras que la primera
ecuación tiene por solución x = 2 y x = 0, la
segunda tiene por única solución x = 2.
21. S = {3, – 0.5}
23. S = {– 1}
25. S = {11, – 11}
31. k =
9
8
33. Corta al eje de las abscisas en x = 8 y el de las
ordenadas y = – 8.
35. No están sobre la misma recta.
37. a) x + y = 10
b) 2y + x = 14
39. El precio original de las Notebook era de $5000.
41. El número solicitado es 5.
43. La inversión total es de $ 60 000
45. La ecuación es de Oferta, ya que tiene pendiente
positiva.
47. La ecuación es de Demanda, ya que tiene
pendiente negativa.
27. No tiene soluciones reales.
49. La ecuación no representa leyes de demanda u
oferta.
29. a) k 2 = 16
51. La ecuación es de Demanda.
b) k 2 >16
53. La ecuación es de Demanda.
c) k <16
2
41212
Respuesta a ejercicios impares
55. Ecuación de demanda:
p + q = 500
c) p= $ 320
Ecuación de oferta:
9p – q = 120
59. a) 8p + q = 6 000
57. a) Ecuación de demanda:
5p + q = 2 100
b) p = $ 375
b) q = 1350
61. p = $ 31
Sección 2.1 - Página 69 a 70
1. Son sistemas de ecuaciones lineales: a, b, d, e, g
y j. No lo son los sistemas de los apartados c) ya
que la incógnita x se está elevada al cuadrado, el f)
por encontrarse al cubo la incógnita y, el sistema
h) incluye una desigualdad, el sistema i) ya que se
encuentran multiplicadas las incógnitas x e y.
3. El sistema:
e) Incógnitas:
Términos independientes:
f) Incógnitas:
Términos independientes:
x
1
y
0
x
y
0
0
5. El par x = 1 e y = 0 no es solución del sistema b)
ni del f).
x1
x2
Términos independientes:
4
5
7. El sistema del apartado g) tiene única solución
x = 1 e y = 0.
b) Incógnitas:
Términos independientes:
x
0
y
0
9. El sistema es Compatible Indeterminado. Tiene
infinitas soluciones.
c) Incógnitas:
a
0
b
0
11. El sistema es Compatible Determinado. Tiene
única solución.
a) Incógnitas:
Términos independientes:
d) Incógnitas:
Términos independientes:
x
y
0 –2
13. Los sistemas son equivalentes.
Sección 2.2 - Página 74
1. Compatible Determinado. La solución del sistema
es c) (x, y) = (2, 5)
3. Compatible Indeterminado. Son soluciones del
sistema a) (x, y) = (1, 1) y c) (x, y) = (0, 0)
413
Respuesta a ejercicios impares
5.
9.
7.
11. Las rectas solicitadas deben tener las mismas
pendientes y distintas ordenadas al origen.
Sección 2.3 - Página 85 a 86
1. Solución:
3. Solución:
5. Solución:
7. Solución:
(x, y) = (2, 0)
(x, y) = (
7
4
(x, y) = (–
,
5
8
11
2
(x, y) = (
15. Solución:
(x, y) = ( −
)
, 4)
(x, y) = (2, 0)
9. Carece de solución. Sistema incompatible.
11. Carece de solución. Sistema Incompatible.
5
13. Solución:
17. k = −
6
13
19
10
3
19. a) Para cualquier valor de k.
b) No existe.
Sección 2.4 - Página 94
1. La persona tiene 13 billetes de $2 y 17 billetes
de $5.
5. (qe , pe) = ( 450, $9.5)
3. Debe producir 40 unidades del modelo A y 35
unidades del modelo B.
9. (qe , pe) = ( 30, $200)
414
,−
7. (qe , pe) = ( 10, $10)
11. (qe , pe) = ( 260, $150)
9
2
)
,−
28
19
)
Respuesta a ejercicios impares
Repaso Teórico del Capítulo 2 - Página 98 a 101
Verdadero o Falso
1.
2.
3.
4.
5.
Falso
Falso
Verdadero
Falso
Falso
6. Falso
7. Verdadero
8. Falso
9. Falso
10. Verdadero
11. Falso
12. Verdadero
13. Falso
Selección Múltiple
1. opción correcta: b)
2. opción correcta: b)
3. opción correcta: b)
4. opciones correctas: a), c) y d)
5. opción correcta: c)
6. opciones correctas: c) y d)
7. opción correcta: c)
8. opción correcta: a)
9. opción correcta: a)
10. opción correcta: c)
11. opción correcta: b)
12. opción correcta: c)
13. opción correcta: a)
14. opciones correctas: b) y d)
15. opciones correctas: a) y c)
16. opciones correctas: a) y c)
17. opción correcta: b)
18. opción correcta: b)
19. opción correcta: c)
20. opción correcta: a)
21. opción correcta: c)
Ejercicios del Capítulo 2 - Página 102 a 104
1. El par (x, y) = (2, –3) es solución del sistema.
3. El par (x, y) = (2, –3) no es solución del sistema.
15.
5. El sistema es Incompatible ya las rectas que
componen el sistema tienen la misma pendiente
m=
1
2
y distinta ordenada al origen.
7. El sistema es Compatible Indeterminado ya las
rectas que componen el sistema tienen la misma
pendiente m = 2 y la misma ordenada al origen
9
−
2
9. No son equivalentes.
11. k = 2
13. k = 2
a) Las rectas son paralelas no coincidentes.
b) El sistema carece de solución
c) El sistema es no homogéneo.
d) Los coeficientes de la primera ecuación son:
–1, 1 y los de la segunda: 2, –2
17.a) El sistema no tiene solución si k = 6
b) El sistema nunca tiene infinitas soluciones.
4153
Respuesta a ejercicios impares
c) El sistema tiene única solución si k ≠ 6
3
3
2
2
solución es: S = {(x, y) = (x, − x − ); ∀ x ∈ ¡ }
21. –2x + 5y =15
23. – 6x =18 + 3y
25. Intersección (x, y) = ( −
29. El sistema es Compatible Indeterminado. La
12
3
,− )
11
11
31. El sistema es Compatible Indeterminado. La
solución es: S = {(x, y) = (x, – 2x) ; ∀ x ∈ ¡ }
33. El sistema es Compatible Determinado. La
solución es:
S = {(x, y) = (
1
35
,
10
7
)}
35. Se han vendido 15 libros de $35 y 13 libros de
$40.
37. Trabajó 13 días en el empleo que la paga diaria
era de $35 y 17 días en el otro empleo.
27. Intersección (x, y) = (0, 0). Los sistemas son
homogéneos
39. Un empleado gana diariamente $ 65 mientras que
el otro empleado gana diariamente $ 80.
41. a) Ecuación de demanda:
p+
Ecuación de oferta:
p–
1
2
1
4
q – 1700 = 0
q – 500 = 0
b) El punto de equilibrio es:(qe , pe)= (1600, $900)
43. Para ganar lo mismo con ambas formas de pago,
debería vender 250 gaseosas. Como su
experiencia le indica que es muy difícil vender
más de 100 unidades, le conviene aceptar los
$100 fijos más el 10% de cada gaseosa vendida.
Sección 3.1 - Página 119 a 120
1.
A=
 4 7 10 
 7 10 13
3. Son cuadradas las matrices: B3 , D2 , F4 , J3 y la
matriz K de orden 1.
5. Las matrices filas son: G y K, las matrices
columnas son: H y K. Al ser K una matriz de orden
1, puede ser considerada como fila o columna.
7. La matriz D es una matriz diagonal.
416
9. a12 = – 6 , a31 = – 3, a23 = 0 y a32 = 8
é-2
ê 5
ë
11. B T = ê
é
ê
ê
T ê
13. D = ê
ê
ê
ëê
1 ù
ú
1 úû
1
2
2
0
3
5
4 -4
4 ù
ú
5 -4 ú
ú
1
6 úú
6
2 úûú
3
Respuesta a ejercicios impares
15. GT = [ 10 ]
17. x= –7, y= –7 y z puede tomar los valores 1 y –1.
19. No existen valores de x, y, z tales que verifiquen
la igualdad ya que los elementos ubicados en la
posición 2, 2 no son iguales.
Sección 3.2 - Página 137 a 139
1. Si es posible realizar el producto AB, ya que la
cantidad de columnas de A es 1 y la cantidad de
filas de B es 1. El orden del producto AB es 3x3.
El producto BA, también es posible, su orden es
1x1.
3.
 5 −2

F + C =  −1 2
 −2 0

0

5
2 
5.
 0

–C+4F=  1
 2

2 0

3 −5 
0
3 

0
0
23
0 −15
7. B x ( A + D ) =  −18


9. La suma (B + C) no se puede realizar ya que las
matrices son de distinto orden.
12
 0
1

3
11. A x B = 

4
13. B x A + C =  −15
 −14

−2
13
0
0

10 
4 
17. x = – 7
19. V.P = $ 3020, representa lo recaudado al vender
los 4 artículos a los precios indicados.
0

−4 
12 
21. El corredor de bolsa invirtió $310000.
Sección 3.3 - Página 148 a 150
1.
 1 0 0  F → 3F + F

 2
1
2
→
 0 1 0  
 0 0 1


 1 0 0


3 1 0
 0 0 1


A =  6
3.
1 0 0
F1 ↔ F2


 0 1 0  →
 0 0 1


0 1 0 


 1 0 0
 0 0 1


A =  6
5.
1 0 0
 1
F3 → (-2)F1 + F3



→  0
 0 1 0  
 0 0 1
 -2



 1
7. A =  6
 9

0
1
0
 1
 9

 1
 9

0

0
1 
3 5
 1 3 5
 F2 → F2 + 3F1 

2 8  

→  9 11 23  = E1 A
 9 0 -1 
0 -1 


 1
A =  6
 9

 1
A =  6
 9

3 5

2 8
0 -1 
 1
F3 → 4F3


→  6
 36

3
2
0
5

8  = E2 A
-4 
3 5

2 8
0 -1 
F1 ↔ F2

→
 6

 1
 9

2 8

3 5  = E3 A
0 -1 
3 5

2 8
0 -1 
 1
F2 ↔ F3


→  9
 6

3 5

0 -1  = E4 A
2 8 
3 5
5
1 3
 F3 →F3+(-2)F1 

2 8  
→6 2
8  = E5 A



0 -1 
 7 -6 -11 
417
Respuesta a ejercicios impares
 1
A =  6
 9

3 5  F → F +(4)F
 37 3 1 
1
3
 1


2 8  
→  6 2 8  = E6 A



0 -1 
 9 0 -1 
Aplicar una operación elemental a la matriz A es lo
mismo que multiplicarla a izquierda por la matriz
elemental correspondiente.
 1 0  F2 → (-2) F2
 1 0
→ 
 
=E
0
1


 0 −2 
9. 
 1 0 0
F →F +F
 1 0 0
 1 0 1


 1 0  F2 → (2) F1 + F2
 1

→ 
 
0
1


 2
13. 
1 0 0
F → F + (-4)F
0

1
 1
1
1
3

15.  0 1 0  
→ 0
 0 0 1


 1

æ 1
2
35. ççç
4
1
è
æ
çç 1
3 ö÷
ç
÷ : çç
çç
2 ø÷÷
ç 0
çèç
æ 1 2 3 ö÷
æ 1
çç
÷ : çç
çè 0 1 2 ø÷÷
çè 0
3
3
1


11.  0 1 0  
→ 0 1 0  = E
 0 0 1


1 0 0
33.  0 1 0 
0 0 1


0 −4 

1
0
0
1 
17. Es una matriz reducida.
19. Es una matriz reducida. Por definición la matriz nula
es reducida.
21. No es reducida. La segunda fila, al ser nula,
debería estar después de las no nulas.
23. No es reducida ya que la segunda columna, que
contiene un pivot, no tiene sus otros elementos
nulos.
25. No es reducida, el elemento en la posición 3,3 no
es 1.
7 ö÷
÷
9 ÷÷÷
÷
10 ÷÷÷
1
÷
9 ø÷÷
0
0 - 1 ö÷
÷
1
2 ø÷÷
Como las reducidas no son iguales, las matrices
no son equivalentes.
37. Como la segunda matriz se obtiene a partir de la
primera reemplazando la segunda fila por la suma
de F2 – F1 , las matrices son equivalentes.
Puede también, comprobar que sus reducidas son
iguales.
æ 1
çç
39. ççç-3
çç
çè 0
2
2
1
æ 1
0
çç
çç 0 -4
çç
çèç 1
2
æ1
5ö÷
çç
÷÷
÷
0÷ : ççç 0
÷÷
ç
5ø÷÷
èçç 0
5ö÷
÷
7÷÷÷ :
÷÷
4ø÷÷
æ 1
çç
çç 0
çç
èçç 0
0ö÷
÷
0÷÷÷
÷÷
1ø÷÷
0
1
0
0
1
0
0ö÷
÷
0÷÷÷
÷÷
1ø÷÷
Como tienen las mismas reducidas, las matrices
son equivalentes.
æ 2
çç
41. ççç-1
çç
è 0
4
2
1
æ1
6 ö÷
çç
÷÷
÷
0 ÷ : çç 0
çç
÷÷
2 ø÷÷
èç 0
0ö÷
÷
0÷÷÷
÷÷
1ø÷÷
27. No es reducida ya que la tercera columna, que
contiene un pivot, no tiene sus otros elementos
nulos.
æ 1 -2
çç
çç 0
1
çç
çè 1
2

 1
29. 
 0


Como tienen la misma reducida, las matrices son
equivalentes.
1

0
31. 
0

0
4188
0
1
0

1
0

0 

5

1
0 − 
2
0
æ 2
çç
43. ççç-1
çç
è 0
4
2
1
æ1
0 ÷ö
çç
÷÷
2 ÷÷ : çç 0
çç
÷÷
3 ÷÷ø
èç 0
0
1
0
æ1
6 ö÷
çç
÷÷
0 ÷÷ : çç 0
çç
÷÷
2 ø÷÷
èç 0
0
1
0
0
1
0
0ö÷
÷
0÷÷÷
÷÷
1ø÷÷
0ö÷
÷
0÷÷÷
÷÷
1ø÷÷
La matriz nula es reducida. No son equivalentes
pues no tienen la misma reducida.
Respuesta a ejercicios impares
 2
2
 1

 0
4

1 −3 
 0

 1
0
1 −3
 1
 ~ 
4
 0
0 4

1 −3 
45. 
 0 −1
2

3
~
0
 0 −1
1 0


47.  3 −1 ~ 0 1
 0 2 
0 0 
Son equivalentes, pues tienen el mismo orden y
sus reducidas son iguales.
Son equivalentes, pues tienen el mismo orden y
sus reducidas son iguales.
Sección 3.4 - Página 161 a 162
1. | A | = –2
3. | C | = 18
5. | F | = 0, ya que tiene una fila nula.
7. | H | = 2, se obtiene como producto de los
elementos de la diagonal principal, pues la matriz
es triangular superior.
21.
9. | K | = – 6
11. | M | = 12, se obtiene como producto de los
elementos de la diagonal principal, pues la matriz
es triangular inferior.
13. | P | = –12, se obtiene como producto de los
elementos de la diagonal principal, pues la matriz
es diagonal.
 −12

0 −29 

3
−8
7 
 26
17.  0

 −26
6 −17 
0
0

−6 17 

0
15.  28 −20

0


0
0
0
47 −12 

0
0
19.  14
23.
25.
0
2
0
1
2
−1
1
2
−2 1
−1 3
= − 4
1 −4
−2 1
5
0
3
1
−2
3
15
0
9
0
−6 9
1 −1
3
0
0
−5
2
0
1
3
4
0
2
−3
2
0
0
3
3
2
=0
= 12
31. k = 12.
33. | 2A| = 23 (4) = 8(4) = 32
35. | AT| = 4
37. (–7) m
Sección 3.5 - Página 176 a 177
 1

1.  2
 1
 2
3
4

1
4 
3. No existe la matriz inversa ya que su determinante
es cero.
4197
Respuesta a ejercicios impares
5. No existe la matriz inversa, det = 0.
7.








0
1
2
0
1
−
7
2
4
1
2
9 − 6 
19. 

1

0
 3


0

−1


1

21. No es invertible, su reducida no es la identidad.
15. (AB) –1 = B–1 A–1 = 

9. No existe la matriz inversa, det = 0 .
11.
− 3
 4

 3
 4
 1
−
 4
 1

15.  8
 3
 − 8
1
−
4
1
4
1
4
1
4 
1
4 
7
4

3
− 
4
1 
4 
13.
 2
 7

 1
 14

 1
 14
 2
 3

1
17. −
9

− 4
 3
3
−
7
1
7
1
7
−
1
3
2
9
2
3
12 
7 

3 
7 

4
− 
7 
1
− 
3
2
9

1
− 
3
–1 –1
25. (A )
−8 −4
8 − 15 
 1

= A =  19
− 2
 19
7
19 

5
19 
27. (AT ) –1 = (A –1) T = 
29. (3A)
–1


1 –1
= A = 
3


5
 −7
2
1
5
3
2
3
7
− 
3

1
3 
Repaso Teórico del Capítulo 3 - Página 181 a 182
Verdadero o Falso
1. Falso
2. Falso.
3. Falso.
4. Verdadero
5. Verdadero
6. Falso
7. Verdadero
8. Verdadero
9. Falso
10. Falso
11. Falso
12. Verdadero
13. Falso
14. Falso
15. Falso
16. Falso
17. Verdadero
18. Falso
19. Falso
20. Verdadero
21. Verdadero
22. Verdadero
Selección Múltiple
1. c) verdadero
2. opciones correctas: b) y c)
3. opción correcta: a)
4. opción correcta: c)
420
5. opciones correctas: a), d) y e)
6. opciones correctas: d)
7. opciones correctas: b), d) y e)
8. opciones correctas: a) y d)
9. opciones correctas: c)
10. opciones correctas: a) y d)
Respuesta a ejercicios impares
Ejercicios del Capítulo 3 - Página 183 a 186
 1245
995
0 1540
768 530 500 

2500 1200 1800 1000 
1. a) B =  820
b) La matriz B es de orden 3x4.
c) No es cuadrada ya que la cantidad de filas no
es igual a la cantidad de columnas.
d) b34 = 1000. Representa la cantidad de
productos que envía la fabrica 3 al centro de
distribución 4, semanalmente.
e) Los elementos b11 = 1245, b22 = 768 y
b 33 = 1800. No se define la diagonal principal
ya que la matriz B no es cuadrada.
f) La fila 2 contiene la cantidad de productos que
la fábrica 2 envía semanalmente a los distintos
centros de distribución. La columna 3 contiene
la información de la cantidad de productos que
recibe semanalmente el centro de distribución
3 de las distintas fábricas.
7.
11. No se puede realizar la suma de las matrices A y
B ya que no son del mismo orden.
0
− 1
 0 −1 
 15
 − 15
0 –  3 −6 =  5
6





 1 2 
 3 18 
 −2 − 16 
13. D – 3B =  8
 5
0
 −5 5
−1 1
0
 7 −5
=
8


 −4 3 −4 
6 
 −25 19 − 24 
0
15. B.A =  1 −2 
 1
17. C.B no se pude realizar, pues la matriz C tiene dos
columnas mientras que B tiene 3 filas.
19. No se pude calcular el determinante ya que B no
es una matriz cuadrada.
21. No se pude calcular la inversa de la matriz A , ya
que la misma no es cuadrada.
23. a) 371 productos.
g) El elemento 0 está en la posición b13.
b) 203 productos
h) La fábrica 2 envía 530 productos al centro de
distribución 3.
c) La empresa vendió 212 productos del tipo C
durante el 2002 y 194 durante el 2003 .
3. Para que dos matrices sean iguales, deben tener
el mismo orden y los elementos correspondientes
iguales. El elemento ubicado en la posición 2,1 no
es el mismo en ambas matrices, por lo que las
matrices nunca serán iguales. Por lo tanto no
existen x e y que verifiquen la igualdad.
5.
 −4 −11

 −11 −24 
9. H = 
3
3

3

3
0
3
3
3
0
0
3
3
0
0
.
0

3
8
 4
 3
9
F= 

 −1 13 

9 
230 336 420 772 
d) V 2002 + V 2003 = 285 315 400 730  .
262 406 524 980 
Representa la cantidad total vendida durante
los años 2002 y 2003 de productos de tipos A,
B y C en las cuatro sucursales.
e) La sucursal IV vendió 772 productos de tipo A.
Fue la que mas vendió en los dos años.
f) En la sucursal III tuvo mayor venta el producto
de tipo C, 524 unidades.
628.54 735.6
686.5
586.5
25. M.N = 
762.81 822.71
.
711.5
767 
421
Respuesta a ejercicios impares
Representa los importes abonados de luz, gas y
teléfono de ambas familias durante los años 1996,
1997, 1998 y 1999.




Admite inversa: 






39. | J | = 4.
 2780.9 3889.9 1814.4 
27. 

3359.4 6270.4 2431.4 
 1 0
29. 0 1 . No admite inversa, no es cuadrada.
0 0 
 1
 6

 2
 3

− 1
 6
1 0 0 
31. 0 1 0  .
0 0 1 
Admite inversa:
33. | B | = 0.
No admite inversa.
35. | D | = 0.
No admite inversa.
1
3

0
37. | G | = – 24. Admite inversa: 

0


0

1
−
6
1
−
6
1
6
1
4
1
2
1
4
1
−
2
0
0
1
4
1
4
41. | 2B | = 24
5
12 

1
− 
3

5
6 
43. |B –1| =
1 = 1
3
B
0.224 0.408 0.124 
55. b) 0.123 0.105 0.195


0.097 0.395 0.051
c) La matriz de producción es
0
0
−1
0
0
1
2
0
0
3
4

1
0 − 
2

1
0

1
0 − 
4 
0
0 

0


0

1 
4 
787.68 
 440.02 .


 650.91
Agricultura y Ganadería debe producir
$787.68, el sector Industrial $440.02 y el de
Servicios $650.91 para satisfacer la demanda
final de $351, $170 y $367.5 para cada sector,
respectivamente.
Sección 4.1 - Página 195 a 196
1. b), c), e) y f)
3. d)
5. d)
7. El sistema del apartado c) no es equivalente al del
apartado e), pero si lo es con el sistema del
apartado f).
Sección 4.2 - Página 215 a 216
1. El determinante de la matriz de coeficientes es 25.
El sistema tiene solución única. La matriz de
coeficientes es invertible.
422422
3. El determinante de la matriz de coeficientes es
– 22. El sistema tiene solución única. La matriz de
coeficientes es invertible.
Respuesta a ejercicios impares
5.
x
 1 4 −7   
 9
La expresión matricial es: 
 y =  ,
3
2
0

 z
5
 
 1
 3
la matriz ampliada es: 
7. Expresión matricial:
la matriz ampliada :
9. Expresión matricial:
matriz ampliada:
4 −7
2 0
9
.
5
 −2 3 −2   x   −4 

    
 −3 −1 4   y  =  8  ,
 1 −5 2   z   −6 

    
 −2 3 −2

 −3 −1 4
 1 −5 2

−4 

8
−6 
 1 3
 3

 x
 
1
−
1
=




 2
 2 2  y 
 −1 


 
 1 3

 1 −1
 2 2

3

2
−1 
 2
 no es combinación lineal de los
 −3 
11. El vector 
2
1 
4
2
vectores   y   .
15. Los vectores
 1   −1   2 
     
 1  ,  2 ,  2
 1   3  0 
     
son linealmente
independientes.
 2  0 0
17. Los vectores  0  ,  −3  ,  0  son linealmente
 0   0   1
     
independientes.
19. Rango: 3.
Las tres filas son linealmente independientes.
21. Rango: 2.
Tiene dos filas linealmente independientes.
23. Si 1 – 2k = 0 ⇒ k = ½, el sistema es Compatible
Indeterminado.
Si 1 – 2k ≠ 0 ⇒ k ≠ ½, Sistema Incompatible
25. Si k – 7 = 0 ⇒ k = 7,
el sistema es Compatible
Determinado.
Si k – 7 ≠ 0 ⇒ k ≠ 7,
Sistema Incompatible.
 2
4
 3
 =   – 2   . Por lo tanto, es
−
3
1
 
 
2
13. El vector 
combinación lineal de los vectores dados.
Sección 4.3 - Página 234 a 235
1. det A = – 5. A es invertible y X = A–1 0 = 0. La
única solución es la trivial.
3. det A = 0. A no es invertible. No es posible
aplicar este método.
5. A no es una matriz cuadrada. No es invertible. No
es posible aplicar este método.
7. det A = 0. A no es invertible. No es posible
aplicar este método.
9. 1- r(A) = r(A*) = n = 3.
Compatible Determinado.
S = {(x, y, z) = (0, 0, 0) }
2- r(A) = r(A*) = 2 < n = 3.
Compatible Indeterminado.
S= {(a, b, c)= (
7
7
1 3
+ c, − c, c), c ∈ ¡ }
4
4
4 4
423
Respuesta a ejercicios impares
3- r(A) = r(A*) = 2 < n = 3.
8- r(A) = r(A*) = n = 3.
Compatible Indeterminado.
S= {(x, y, z)=(
27
5 3 13
z – , − z, z), z ∈ ¡ }
4
4 4 4
4- r(A) = r(A*) = n = 3.
Compatible Determinado.
S = {(x, y, z) = (
1 5
2
, , − )}
3 3
3
5- r(A) = r(A*) = 3 < n = 4.
Compatible Indeterminado.
S = {(x, y, z, t)=(
15
7
5
+z, , z,– ), z ∈ ¡ }
16
16
16
6- r(A) = r(A*) = n = 3.
Compatible Determinado.
1 3 3
S = {(a, b, c) = ( − , , )}
2 2 2
7- r(A) = r(A*) = 2 < n = 3.
Compatible Indeterminado.
S = {(x, y, z) = (
2
2
5
1
+ z,
z – , z), z ∈ ¡ }
3
9
27
9
Compatible Determinado.
S = {(x, y, z) = (3, –2, 1)}
11. Compatible Determinado.
S ={(a, b, c)=(
5
1
8
, − , − )}
3
3
3
13. Incompatible o Inconsistente.
15. det A = 11 – 14k. El sistema admite única
solución si k ≠
11
.
14
 3
 0
 0
 −1 
 
 −5 
 
 −3 
 
17. Los vectores  2  ,  4  ,  0  son linealmente
independientes.
3
2
19. Compatible Determinado.S = {(x, y)=( , −
21. Compatible Indeterminado.
S = {(x, y, z) = (– 3z, 0, z), z ∈ ¡ }
1
4
1
1
y + z = 1 o multiplicando por 4
2
4
ambos miembros x + 2y + z = 4 .
23. x +
Sección 4.4 - Página 246 a 248
1. Tiene 25 billetes de $5, 35 billetes de $10 y 35
billetes de $20.
3. La información que se tiene es incorrecta pues el
sistema es incompatible.
5. a) La solución del sistema es
S={(x, y, z)=(7– z, z–4, z) con z ∈ ¥ y 4 ≤ z≤ 7}
Todas las combinaciones posibles se muestran
en la siguiente tabla:
424
1
)}
2
z
x
y
4
3
0
5
2
1
6
1
2
7
0
3
b) x = 2, y = 1 , z = 5.
c) x = 1, y = 2, z = 6.
7. La matriz ampliada del sistema es:
Respuesta a ejercicios impares
17 11 17

 18 9 18
 18 12 18

8860 

9090 
k 
a) La cantidad exportada en 2004 fue de 9420
millones de dólares.
b) En el 2002, el precio del trigo fue de 150
dólares la tonelada, el del maíz de 110 dólares
la tonelada.
En 2003, el precio del trigo fue de 135 dólares
la tonelada, el del maíz de 99 dólares la
tonelada y el de la soja de 270 dólares la
tonelada.
tonelada y el de la soja de 360 dólares la
tonelada.
c) En el 2005 se espera recaudar 10701 millones
de dólares.
9. Invirtió 2500 dólares en el título al 6%, 6000
dólares en el título al 7% y 1500 dólares en el
título al 8%.
11. a) El descuento para el café es del 5%.
b) La semana anterior el azúcar valía $2 el kg. y
el café $8. Esta semana, con los descuentos
realizados por el supermercado, el azúcar vale
$1.8 el kg. mientras que el café $7.6 el kg.
En 2004, el precio del trigo fue de 180 dólares
la tonelada, el del maíz de 132 dólares la
Repaso Teórico del Capítulo 4 - Página 251 a 253
Verdadero o Falso
1. Falso. La única combinación lineal debe ser la
nula, es decir, los únicos valores que pueden
tomar los coeficientes son cero.
2. Verdadero
3. Verdadero
4. Verdadero
5. Falso. Puede utilizarse sólo para sistemas
compatibles determinados.
6. Falso. Tiene única solución.
7. Verdadero
8. Verdadero
9. Verdadero
10. Verdadero
11. Falso. Los términos independientes deben valer
cero.
12. Falso. Pueden tener única solución.
13. Falso. Es Incompatible.
14. Verdadero
Selección Múltiple
1. opciones correctas: a), b) y d).
2. opción correcta: c).
3. opción correcta: d).
4. opción correcta: d).
5. opciones correctas: a), b) y c).
6. opción correcta: a).
7. opción correcta: c).
8. opción correcta: b).
9. opción correcta: b).
10. opción correcta: a).
425
Respuesta a ejercicios impares
Ejercicios del Capítulo 4 - Página 253 a 257
1. Si k = 8 el sistema es Compatible Indeterminado y
la solución es:
4
3
5
3
S = { (x, y, z) = ( − z ,
−2
z
+ ,z) con z ∈ ¡ }
3
3
Si k ≠ 8 el sistema es Compatible Determinado y la
solución es: S = {(x, y, z) = (
4 −2
,
, 0)}
3
3
3. El sistema siempre tiene única
independientemente del valor de k.
solución,
5. El sistema es Compatible Determinado y la solución
es: S = {(x, y, z) = (50, 15, 10)}
7. El sistema es Compatible Indeterminado y la solución
es
3
9
10
w,1 − w,2 − w,w ),w ∈ ¡ }
11
11
11
9. El sistema es Compatible Indeterminado y la solución
es:
S = {(x1, x2, x3) = (–3 + 3x3 ,
−7
7
+ x3 , x3), x3 ∈ ¡ }
2
2
−2
1

3/2
−
1/2



11. A −1 = 
 1 0

 2 1
13. A −1 = 
15. A −1 =
1  5 −3 

 ; S = {(x, y) = (2, 0)}
13  1 2 
 1
 −5

7
17. A −1 = 
10

− 3

 10
0
1
2
1
−
2
2 
5 
1 
;
10 

1 

10 
S = {(x, y, z) = (1, –2, 3)}
426
1
2
1 
3 
1 
0 − ;
3

1
−
1 
2

−
S = {(x, y, z) = (0, 1, 2)}
−1 2k 2 2k
S = {(x, y, z) = (−k,
+
, +
), k ∈ ¡ }
3
3 3 3
S={(x,y,z,w)=( 1 −
 1
 −6

1
19. A −1 = 
3

1


 2



21. A −1 = 




1
2
1
2
0
−
0
1
2
1
2
1 
2 
0  ;

1
− 
2 
S = {(x, y, z) = (1, 2, –1)}
 1
 −5

 3

23. A −1 =  5
 −3
 5

 2
 5
1
5
2
−
5
7
5
3
−
5
−
2 
5 
1
0 − 
5
;
6 
−1
5 

4
1 − 
5 
0
8
5
S = {(x, y, z, w) = ( , −
 3
 10

3
25. A −1 = 
5

 −1

 2
1
10
1
−
5
1
2
−
24 84
16
,
, −
)}
5
5
5
1 
10 
4 
;
5 

1
− 
2 
−
S = {(x, y, z) = (1, –1, 0)}

 −1

 1

−1
27. A = 
 0


 0

1
−2
1
0

0 

1
0 
;
−2
1 


3
1 − 
4 
0
Respuesta a ejercicios impares
S = {(x, y, z, w)= (0, 0, 0, 0)}
Planteo del problema:
29. det(A) =0. La matriz no es invertible.
S = {(x, y, z, w) = (1–w, w, 1–w, w), ∀ w ∈ ¡ }
 1000x + 500y + 500z = 42000

x = 3 (y + z)

Solución General:
31.
Ejercicio
r(A*)
Ejercicio
r(A*)
14
2
23
4
15
2
24
3
16
2
25
3
17
3
26
4
18
3
27
4
19
3
28
3
20
2
29
3
21
3
30
3
22
4
33.El sistema es inconsistente si c ≠ 2a – b.
x
y
1
 3
 −1 
 . Es combinación lineal para
 −2 
35.   = a   + b 
x
y
todo vector   . El sistema tiene única solución.
S = {(a, b) = (y – 2x, y – 3x); ∀ x, y ∈ ¡ }
37.El vector
 −1 
 
 2
 4
 
no se puede escribir como
combinación lineal de los vectores dados. El sistema
es Incompatible.
39. Los vectores son linealmente independientes, pues
la matriz es la Identidad.
41.Los vectores son linealmente independientes, pues la
reducida es la Identidad.
43. Definición de variables:
x = cantidad de días a publicitar en televisión.
y = cantidad de días a publicitar en el diario nacional.
z = cantidad de días a publicitar en la radio.
S = { (x, y, z) = (36, 12 − z, z) ∀ z ∈ ¡ }
Solución Particular o del Problema:
Como las incógnitas del problema representan
cantidades, entonces deben tomar valores
enteros positivos y además 12 – z > 0. En
consecuencia los valores posibles para z son los
naturales del 1 al 11.
a) El Agente puede cumplir con su cliente. Existen
11 combinaciones posibles para realizar la
publicidad en los tres medios.
b) La publicidad saldrá 36 días en Televisión, 12 – z
días en el Diario Nacional y z días en la Radio,
con z = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
c) La única combinación que permite publicitar 4
días en el Diario Nacional, implica publicitar 8
días en la Radio y 36 días en la Televisión.
45. Definición de variables:
x = cantidad de pacientes que se pueden admitir en
la sala A.
y = cantidad de pacientes que se pueden admitir en
la sala B.
z = cantidad de pacientes que se pueden admitir en
la sala C.
Planteo del problema:
 x + 3y + 2z = 150

 x + 4y + z = 100
 2x + 5y + 5z = 350

Solución General:
S = { (x, y, z) = (300 − 5z, z − 50, z) , z ∈ ¡ }
Solución Particular o del Problema:
427
Respuesta a ejercicios impares
Como las incógnitas del problema representan
cantidad de pacientes, entonces deben tomar
valores enteros no negativos y además z– 50 ≥ 0
y 300 – 5z ≥ 0. En consecuencia z toma valores
naturales entre 50 y 60.
Planteo del problema:
La cantidad de pacientes que se pueden admitir en
la sala A es 300 – 5z, en la sala B es z – 50 y en la
C, z; con z = 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59,
60. La solución no es única.
Solución General:
El aporte que el Tercer Odontólogo realizará por su
trabajo semanal, lo indicamos con el parámetro k.
 7x + 11y + 5z = 892

 5x + 15y + 3z = 820
 9x + 7y + 7z = k

Si k = $964 el sistema tiene infinitas soluciones.
47. Definición de variables:
Si k ≠ $964 el sistema es Incompatible.
x = cantidad de personas especializadas en el grupo 1.
a) El Tercer Odontólogo aportará a la sociedad
$964.
y = cantidad de personas especializadas en el grupo 2.
z = cantidad de personas especializadas en el grupo 3.
Planteo del problema:
 5x + 12y + 7z = 950

 2x + 3y + z = 200
 x + 3y + 2z = 250

Solución General:
S = { (x, y, z) = (z − 50, 100 − z, z) ∀ z ∈¡}
Solución Particular o del Problema:
Como las incógnitas del problema representan
cantidad de personas especializadas, entonces
deben tomar valores enteros positivos y además z
– 50 > 0 y 100 – z > 0. En consecuencia z toma
valores naturales entre 51 y 99.
a) La cantidad de personas especializadas en el
grupo 1 es z – 50, en el grupo 2, 100 – z y en el
grupo 3, z; con z que puede tomar todos los
valores naturales entre 51 y 99. La solución no es
única.
b) Integran el primer grupo 12 especialistas, el
segundo 38 y el tercero 62.
49. Definición de variables:
b) Las extracciones cuestan $20, los arreglos
simples $32 y los tratamientos de conducto
$80.
51. Definición de variables:
x = cantidad de bombones a fabricar con gusto a
limón.
y = cantidad de bombones a fabricar con gusto a
durazno.
z = cantidad de bombones a fabricar con gusto a
coco.
Planteo del problema:
x + y + z = 1000


 10x + 20y + 15z = 14000
 2x + 2y + 3z = 2200

Solución:
Es posible realizar la promoción. Se deben
fabricar 500 unidades de bombones con gusto a
limón, 300 con gusto a durazno y 200 con gusto
a coco.
53. Definición de variables:
x = precio por tonelada de té en 1999.
x = precio de la extracción.
y = precio por tonelada de tabaco en 1999.
y = precio de los arreglos simples.
z = precio por tonelada de pasta celulósica en 1999.
z = precio de los tratamientos de conducto.
42828
Planteo del problema:
Respuesta a ejercicios impares
52x +
20y +
194z = 188


48x + 15 (0.9y) + 240 (1.3z) = 227.1

 56 (0.95x) + 25 (0.9y) + 146 (0.9z) = 209.1

Planteo del problema:
x + y = 690


x = 2y

 45x + 50y = 40230

Solución:
Los precios de 1999 son: 750 dólares por
tonelada de té, 2600 dólares por tonelada de
tabaco y 500 dólares por tonelada de pasta
celulósica.
Solución:
a) El sistema es Incompatible. La declaración del
gerente es falsa.
b) Con la información brindada por el empleado
Los precios de 2000 son: 750 dólares por
tonelada de té, 2340 dólares por tonelada de
tabaco y 650 dólares por tonelada de pasta
celulósica.
x + y = 690


x = 2y
.
el nuevo planteo es 
 45x + 50y = 32200

Éste sistema es Compatible Determinado. El
empleado dice la verdad.
Los precios de 2001 son: 712.5 dólares por
tonelada de té, 2340 dólares por tonelada de
tabaco y 450 dólares por tonelada de pasta
celulósica.
c) La empresa cuenta con 460 abonados al plan
1 y 230 al plan 2.
55. Definición de variables:
x = Cantidad de abonados al plan 1
y = Cantidad de abonados al plan 2
Sección 5.1 - Página 273 a 275
1. No es lineal sino cuadrática
19. S = {x tal que x ∈ ¡ y x > – 1/3}
3. Si es lineal
21. S = {x tal que x ∈ ¡ y x < 1}
5. Si es lineal
23.
7. Si es lineal
9. S = {x tal que x ∈ ¡ y x ≤ – 5}.
11. S = {x tal que x ∈ ¡ y x > – 6}
13. S = {x tal que x ∈ ¡ y x > 19/5}
15. S = {x tal que x ∈ ¡ y x > – 26/3}
17. S = {x tal que x ∈ ¡ y x ≤ 5/3}
429
Respuesta a ejercicios impares
25.
35.
A: (2.–2/3)
ïìï-(1/2)x + y ³ 1/2
2x - y ³ 1
ïï
x+y £ 5
ïîï
27.
37. ïïí
ïì-x + 2y ³ 1
ï
o ïïí 2x - y ³ 1
ïï
ïîï
x+y £ 5
ïìï y - x £ 0
ïï
x-y £ 2
39. ïí
ïï
y £ 1
ïï
y ³ 0
ïïî
41. Definición de variables
29.
x: cantidad de unidades vendidas del nuevo
producto
El conjunto no es
acotado
Planteo del problema
76x + 50360 ≥ 80000
x≥0
Conclusión: Se deberán vender por lo menos
390 unidades del nuevo producto.
31.
43. Definición de variables
El conjunto es acotado
x : cantidad de juegos de menor calidad
y: cantidad de juegos de mayor calidad
Planteo del problema
5x + 8y ≤ 400
x≥0,y≥0
33.
A: (8.12)
C: (14.6)
B: (8.6)
43030
Respuesta a ejercicios impares
Sección 5.2 - Página 283 a 286
ì
- 2x + 3y £ 8
ï
ï
ï
ï
x + 3y £ 23
ï
ï
ï
ï
2x
+ y £ 21
1. ïïí
ï
- x + 4y ³ 3
ï
ï
ï
2x + 3y ³ 16
ï
ï
ï
ï
x ³0 y ³0
ï
î
ï
C:(3, 4)
D:(41/7, 23/7)
E:(7/4, 0)
9. El conjunto de soluciones factibles es no acotado
A
El conjunto es acotado
ì x + y £ 12
ï
ï
ï
ï
x £ 8
3. ïí
ï
y £ 8
ï
ï
ï
x
³
0
y ³0
ï
ï
î
B
El conjunto es acotado
5. El conjunto de soluciones factibles es acotado
C
D
Coordenadas de los vértices:
A:(0, 15)
B:(1, 3)
C:(2, 1)
D:(12, 0)
A
B
11. El conjunto de soluciones factibles es acotado
D
C
C
Coordenadas de los vértices:
A:(4, 7)
B:(8, 5)
C:(3, 1)
D:(2, 3)
B
A
D
Coordenadas de los vértices:
7. El conjunto de soluciones factibles es acotado
A:(2, 0)
B:(2, 8/3)
C:(27, 11)
D:(5, 0)
13. Puede ser una restricción de un problema PL,
pues es lineal.
C
B
A
15. No puede ser una restricción de un problema de
PL, pues es cuadrática. Observe, el primer
término contiene las dos variables multiplicadas.
D
E
Coordenadas de los vértices:
A:(0, 0)
B:(0, 2)
17. Puede ser una restricción de un problema PL,
pues es lineal.
431
Respuesta a ejercicios impares
19. No puede ser una restricción de un problema de
PL, pues no es lineal. Observe, la variable x está
bajo una raíz cuadrada.
21. Definición de variables
x : cantidad de bolsas con alimento estándar
y : cantidad de bolsas con alimento para
engorde
Planteo del problema
Max: z = 80x + 100y
sujeto a:
6x+ 2y ≤ 180
x + 2y ≤ 80
x≥0, y≥0
29. Definición de variables
Max: z = 150x + 400y
x : cantidad de celulares de la línea 1
sujeto a:
y : cantidad de celulares de la línea 2
4x + 5y ≤ 40
Planteo del problema
6x + 15 y ≤ 75
Max: z = 60x + 40y
x≥0, y≥0
sujeto a:
23. Definición de variables
x : cantidad de bolsones tipo A
y : cantidad de bolsones tipo B
Planteo del problema
Max: z = 5x + 4y
sujeto a:
x + 2y ≤ 800
2x + y ≤ 800
x≥0, y≥0
25. Definición de variables
x : cantidad de revistas a repartir de tipo A
y : cantidad de revistas a repartir de tipo B
Planteo del problema
Max: z = 20x + 30y
sujeto a:
x ≤ 25
y ≤ 20
x + y ≤ 40
x≥0, y≥0
27. Definición de variables
x : cantidad de lotes A
y : cantidad de lotes B
43232
Planteo del problema
x ≤ 60
y ≤ 75
10x + 8y ≤ 800
x≥0, y≥0
31. Definición de variables
x: cantidad de bonos del fondo de inversión I
y: cantidad de bonos del fondo de inversión II
Planteo del problema
Min: z = 6x + 3y
sujeto a:
25x + 50y ≤ 800000
2.5x + 3y ≥ 50000
x≥0, y≥0
33. Definición de variables
x: cantidad de cerámicos de diseño I
(por 100
unidades)
100
y: cantidad de cerámicos de diseño II (por
unidades)
z: cantidad de cerámicos de diseño III (por 100
unidades)
Planteo del problema
Max: w = 100x + 120y + 140z
sujeto a:
Respuesta a ejercicios impares
0.5x + y + 0.8z ≤ 800 horas de mezclado
Planteo del problema
Max: B = 10000x + 7000y + 4000z
x + 2y + 1.5z ≤ 1000 horas horno
0.5x + 0.5y + z ≤
340 horas–hombre de
inspección
sujeto a:
x ≤ 10
x ≥ 0 , y ≥ 0, z ≥0
y ≤ 50
35. Definición de variables
x: cantidad de autos del modelo A
x + y + z ≤ 100
y: cantidad de autos del modelo B
z ≥ 0.3(x + y)
z: cantidad de autos del modelo C
x≥0, y≥0,z≥0
Sección 5.3 - Página 295 a 298
3. El conjunto de soluciones factibles es:
1. El conjunto de soluciones factibles es:
A
B
D
C
C
B
A
D
E
Vértices
z = 6x + 2y
p = 2x + 5y
Vértices
z = x + 2y
p = 3x – y
A:(4, 7)
38
43
A:(0, 0)
0
0
B:(8, 5)
58
41
B:(0, 2)
4
–2
C:(3, 1)
20
11
C:(3, 4)
11
5
D:(2, 3)
18
19
D:(41/7, 23/7)
87/7
100/7
E:(7/4, 0)
7/4
21/4
Conclusión:
El máximo de z es 58 y lo alcanza en el vértice
B:(8, 5) mientras que el mínimo es 18 y lo
alcanza en el vértice D:(2, 3).
El máximo de p es 43 y lo alcanza en el vértice
A:(4, 7). El mínimo de p es 11 y lo alcanza en
el vértice C:(3, 1).
Conclusión:
El máximo de z es 87/7 y lo alcanza en el
vértice D:(41/7, 23/7). El mínimo es 0 y lo
alcanza en el vértice A:(0, 0).
El máximo de p es 100/7 y lo alcanza en el
vértice D:(41/7, 23/7). El mínimo de p es –2 y lo
alcanza en el vértice B:(0, 2).
433
Respuesta a ejercicios impares
5. El conjunto de soluciones factibles es:
Conclusión:
El mínimo de z es – 14 y lo alcanza en el
vértice B:(0, 7).
A
9. El conjunto de soluciones factibles es acotado:
B
A
C
D
Vértices
z = x – 2y
p = 3x + y
A:(0, 15)
–30
15
B:(1, 3)
–5
6
C:(2, 1)
0
7
D:(12, 0)
12
36
Conclusión:
El máximo de z es 12 y lo alcanza en el vértice
D:(12, 0) mientras que el mínimo es –30 y lo
alcanza en el vértice A:(0, 15).
El máximo de p es 36 y lo alcanza en el vértice
D:(12, 0). El mínimo de p es 6 y lo alcanza en
el vértice B:(1, 3).
7. El conjunto de soluciones factibles es acotado:
B
B
C
Vértices
D
z =3x + 6y
A:(0, 20)
120
B:(10/3, 20/3)
50
C:(10, 0)
30
D:(20, 0)
60
Conclusión:
El mínimo de z es 30 y lo alcanza en el vértice
C:(10, 0).
11. El conjunto de soluciones factibles es:
C
D
A
43434
A
E
Vértices
z =2x – 2y
A:(0, 0)
0
El mínimo de p es 152 y lo alcanza en el vértice
B:(0, 7)
–14
A:(12, 8).
C:(4, 7)
–6
Max: solución no acotada.
D:(4, 6)
–4
E:(1, 0)
2
Conclusión:
Respuesta a ejercicios impares
13. El conjunto de soluciones factibles es no acotado:
Conclusión:
El máximo de z es 800 y lo alcanza en dos
vértices en C:(7.5, 2) y en D:(10, 0).
A
El problema tiene soluciones múltiples. Las
soluciones son:
B
C
D
(x, y) = (7.5, 2) + t (2.5,–2) con t ∈ ¡ ;
0≤t≤1
17. El conjunto de soluciones factibles es:
Vértices
z =x + y
p = 6x +10y
g = 4x + 2y
A:(0, 11)
11
110
22
B
B:(2, 6)
8
72
20
A
C:(11/2, 3)
17/2
63
28
D:(11, 2)
13
86
48
C
D
E
Conclusión:
El mínimo de z es 8 y lo alcanza en el vértice
B:(2, 6). El de p es 63 y lo alcanza en el vértice
C:(11/2, 3). El de g es 20 y lo alcanza en el
vértice B:(2, 6).
El máximo para cada una de las funciones
objetivo propuestas es una solución no acotada.
Grafique la función objetivo.
15. El conjunto de soluciones factibles es:
Vértices
z =3x + 2y
A:(0, 1)
2
B:(0, 2)
4
C:(3, 2)
13
D:(3, 0)
9
E:(1, 0)
3
Conclusión:
El máximo de z es 13 y lo alcanza en el vértice
C:(3, 2).
B
19.El mínimo de z es 2 y lo alcanza en el vértice
C
A
A:(0, 1).
D
21. El conjunto de soluciones factibles es:
Vértices
z =80x + 100y
A:(0, 0)
0
B:(0, 5)
500
C:(7.5, 2)
800
D:(10, 0)
800
B
A
E
D
C
435
Respuesta a ejercicios impares
Vértices
z =3x + 3y
Vértices
z =125x + 250y
A:(0, 4)
12
A:(0, 0)
0
B:(0, 8)
24
B:(0, 300)
75000
C:(8, 0)
24
C:(200, 300)
100000
D:(6, 0)
18
D:(400, 100)
75000
E:(2, 2)
12
E:(400, 0)
50000
Conclusión:
Conclusión:
El máximo de z es 24 y lo alcanza en dos
vértices en B:(0, 8) y en C:(8, 0). El problema
tiene soluciones múltiples, ellas son:
(x, y)= (0, 8) + t (8,0) con t ∈ ¡ ; 0 ≤ t ≤ 1
23.El máximo de z = 2x +y es 16 y lo alcanza en el
vértice C:(8, 0).
25. Definición de variables
x : cantidad de zapatillas de carrera a fabricar
y : cantidad de zapatillas de tenis a fabricar
Le conviene fabricar 200 pares de zapatillas de
carrera y 300 de tenis para obtener una
ganancia máxima de $100000.
27. Definición de variables
x : cantidad de grs. a comprar de fertilizante A
y : cantidad de grs. a comprar de fertilizante B
Planteo del problema
Min: z = 6x + 8y
sujeto a:
x + y ≥ 200
Planteo del problema
3x + y ≥ 300
Max: z = 125x + 250y
x + 3y ≥ 360
sujeto a:
x + y ≤ 500
x ≤ 400
x≥0, y≥0
Solución:
Conjunto de soluciones factibles:
y ≤ 300
x≥0, y≥0
Solución:
Conjunto de soluciones factibles:
A
B
C
D
B
C
D
A
436
E
Vértices
z =6x + 8y
A:(0, 300)
2400
B:(50, 150)
1500
C:(120, 80)
1360
D:(360, 0)
2160
Respuesta a ejercicios impares
31. Definición de variables
Conclusión:
Se debe mezclar 120 grs. de fertilizante A y 80
grs. de fertilizante B para obtener un costo
mínimo de $1360.
29. Definición de variables
x : cantidad de revistas a repartir de tipo A
y : cantidad de revistas a repartir de tipo B
Planteo del problema
x : cantidad de lotes A de libros
y : cantidad de lotes B de libros
Planteo del problema
Max: z = 80x + 100y
sujeto a:
6x + 2y ≤ 180
x + 2y ≤ 80
Max: z = 0.2x + 0.3y
x≥0, y≥0
sujeto a:
Solución:
x + y ≤ 40
Conjunto de soluciones factibles:
x ≤ 25
y ≤ 20
x≥0, y≥0
Solución:
B
Conjunto de soluciones factibles:
A
B
C
D
A
E
Vértices
z = 0.2x + 0.3y
A:(0, 0)
0
B:( 0, 20)
4
C:(20, 20)
10
D:(25, 15)
9.5
E:(25, 0)
5
C
D
Vértices
z = 80x + 100y
A:(0, 0)
0
B:( 0, 40)
4000
C:(20, 30)
4600
D:(30, 0)
2400
Conclusión:
Se deben vender 20 lotes de libros A y 30 de
libros B, para obtener una ganancia de $4600.
33. Definición de variables
x: cantidad de celulares a producir del modelo I
Conclusión:
El señor González debe repartir 20 revistas de
cada tipo para obtener una ganancia máxima de
$10.
y: cantidad de celulares a producir del modelo II
Planteo del problema
Max: z = 60x + 40y
sujeto a:
437
Respuesta a ejercicios impares
x ≤ 60
25x +50y ≤ 800000
y ≤ 75
2.5x + 3y ≥ 50000
10x + 8y ≤ 800
x≥0, y≥0
x≥0, y≥0
Solución:
Conjunto de soluciones factibles:
Solución:
Conjunto de soluciones factibles:
en miles
B
B
C
A
D
A
E
Vértices
Vértices
z = 60x + 40y
A:(0, 0)
0
B:( 0, 75)
3000
C:(20, 75)
4200
D:(60, 25)
4600
E:(60, 0)
3600
Conclusión:
La producción diaria, que maximiza la ganancia,
de celulares del primer modelo es 60 mientras
que del segundo modelo es 25. La ganancia
máxima es de $4600.
Para este nivel de producción no sobran horashombre para encarar la fabricación de un nuevo
modelo de celular.
35. Definición de variables
x: cantidad bonos de inversión I a comprar
C
en miles
z = 6x + 3y
A:(20000, 0)
120000
B:(2000, 15000)
57000
c:(32000, 0)
192000
Conclusión:
No le conviene realizar la inversión ya que el
riesgo mínimo obtenido, que cumple con los
requerimientos del cliente, es de 57000 lo cual
supera al valor aceptado. Este riesgo se alcanza
comprando 2000 bonos de inversión I y 15000
bonos de inversión II.
37. Definición de variables
x: cantidad de días de trabajo en la planta A
y: cantidad de días de trabajo en la planta B
Planteo del problema
Min: z = 20000x + 20000y
sujeto a:
y: cantidad bonos de inversión II a comprar
100x + 200y ≥ 8000
Planteo del problema
300x + 200y ≥ 16000
Min: z = 6x + 3y
500x + 200y ≥ 20000
sujeto a:
x≥0, y≥0
43886
Respuesta a ejercicios impares
Solución:
Solución:
Conjunto de soluciones factibles:
Conjunto de soluciones factibles:
A
B
B
C
C
D
A
Vértices
z = 20000x + 20000y
A:(0, 100)
2000000
B:(20, 50)
1400000
c:(40,20)
1200000
D:(80, 0)
1600000
Conclusión:
(x, y) = (40, 20); z = $1200000
Solución óptima única.
Para logra un costo mínimo de $ 1200000 se
deben trabajar 40 días en la planta A y 20 en la
planta B.
39. Definición de variables
x: fracción de sociedad con A
D
Vértices
z = 45000x +45000 y
A:(0, 0)
0
B:(0, 6/5)
548000
C:(2/3, 2/3)
60000
D:( 6/5, 0)
54000
Conclusión:
(x, y) = (2/3, 2/3); z = $60000
Solución óptima única.
Para obtener un beneficio máximo de $ 60000
debe participar por igual en 66,67% en cada
negocio. De ésta manera no le queda dinero y
ocupa todas las horas disponibles.
y: fracción de sociedad con B
Planteo del problema
Max: z = 45000x + 45000y
sujeto a:
50000x + 40000y ≤ 60000
400x + 500y ≤ 600
x≥0, y≥0
4397
Respuesta a ejercicios impares
Sección 5.4 - Página 341 a 345
1. Planteo del problema
4x + 2y + h1= 16
Max: z = 5x +6y
2x + 3y + h2 =12
6x + 4y ≤ 240

sujeto a:  2x + 3y ≤ 130
 x≥0 y≥0

x ≥ 0; y ≥ 0 ; h1 ≥ 0; h2 ≥ 0
Tabla Final del Simplex
x
Forma estándar
Max : z = 5x + 6y + 0. h1+ 0. h2
sujeta a :
6x + 4y + h1= 240
x ≥ 0; y ≥ 0 ; h1 ≥ 0; h2 ≥ 0
Tabla Final del Simplex
y
h1
h2
Z
x 1 0
0.3 −0.4

y  0 1 −0.2
0.6
z  0 0
0.3
1.6
0
0
1
20 

30 
280 
Conclusión:
El valor máximo de z es 280 y lo alcanza en
(x, y) = (20, 30). Ambas variables de holgura
toman el valor cero. El problema tiene solución
única.
3. Planteo del problema
Max z = 2x + 4y
 4x + 2y ≤ 16

sujeto a:  2x + 3y ≤ 12

 x≥0 y≥0
Forma estándar
Max : z = 2x + 4y + 0. h1+ 0. h2
sujeto a:
44040
h1
h1  8/3 0

y  2/3 1
z  2/3 0
h2
Z
1 −2/3 0
0
1/3 0
0
4/3
1
8

4
16 
Conclusión:
2x + 3y + h2 =130
x
y
El valor máximo de z es 16, y lo alcanza en
(x, y) = (0, 4). La variable de holgura h1 toma
el valor 8 en el óptimo y h2 el valor cero. El
problema tiene solución única.
5. Planteo del problema
Max z = 5x + 4y
2x + y ≤ 6


 4x + 3.2y ≤ 16

sujeto a: 
2x ≤ 5

y≤4


x≥0 y≥0
Forma estándar
Max : z = 5x + 4y + 0.h1+ 0.h2 + 0.h3 +0.h4
sujeto a:
2x + y + h1= 6
4x + 3.2y + h2 =16
2x+ h3 = 5
y + h4 = 4
x ≥ 0; y ≥ 0; hi ≥ 0 con i = 1, 2, 3, 4
Respuesta a ejercicios impares
Tabla Final del Simplex
h2
7. Planteo del problema
x
y
h1
h3
h4
z
h1  0

x 1
h3  0

y 0
z  0
0
1 −1/2 0
3/5
0
0
0
0 1/4 0 −4/5 0
0 −1/2 1 8/5 0
1
0
0
0
1
0
0
0
5/4
0
0
1
Max w = 2x + y + 2z
2/5 

4/5 
17/5 

4 
20 
La solución posible básica óptima en éste paso
es:
(x, y, h1, h2, h3, h4) = (4/5, 4, 2/5, 0, 17/5, 0)
 x + y + z ≤ 11
 x + y + 2z ≤ 15

sujeto a: 
 2x + y + z ≤ 14
x ≥ 0 y ≥ 0 z ≥ 0

Forma estándar
Max : w = 2x + y + 2z + 0.h1+ 0.h2 + 0.h3
sujeto a:
x + y +z + h1= 11
z = 20.
Como existe un indicador cero en correspondencia
con la variable h 4, no básica, la solución de este
problema es múltiple. Para encontrar el otro vértice
que maximiza la función objetivo, ingresa a la base
la variable de holgura h 4 y sale la holgura h1
obteniendo la siguiente tabla:
x
y
h1
h2
h3 h 4 z
h4  0

x 1
h3  0

y 0
z  0
0
5/3
−5/6
0
1 0
0
0
4/3
− 8/3
− 5/12 0
5/6
1
0 0
0 0
1
− 5/3
5/6
0
0 0
0
0
5/4
0
0 1
2/3 

4/3 
7/3 

10/3 
20 
La solución es:
(x, y, h1, h2, h3, h4)= (4/3,10/3, 0, 0, 7/3, 2/3)
z = 20.
Conclusión:
El valor máximo de z es 20 y lo alcanza en dos
vértices. El problema tiene solución múltiple.
Las soluciones se ubican en el segmento que
une los vértices (0.8, 4) y (4/3, 10/3).
La expresión general de la solución es:
(x, y) = (4/3, 10/3) + t (8/15, –2/3) con
t ∈ ¡ , 0 ≤ t ≤ 1.
x + y + 2z +h2 =15
2x+ y + z + h3 = 14
x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0; hi ≥ 0 con i = 1,2,3
Tabla Final del Simplex:
h1
z
x
w
x
y
z h1
0

0
1

0

1/3
1/3
1/3
1/3
0
1
0
0
h2
h3
w
1 −1/3 −1/3
0 2/3 −1/3
0 −1/3 2/3
0 2/3 2/3
0
0
0
1
4/3 

16/3 
13/3 

58/3 
Conclusión:
La solución única solución es:
(x, y, z, h1, h2, h3) = (13/3, 0, 16/3, 4/3, 0, 0)
w = 58/3.
9. Planteo del problema
Min z = 3 x + 6 y
ïìï 4 x + y ³ 20
ïï
x + y £ 20
sujeto a: ï
í
ïï x + y ³ 10
ïï
ïïî x ³ 0 y ³ 0
Forma estándar
Min z = 3 x + 6 y + 0.h1 + 0.h2 + 0.h3
441
Respuesta a ejercicios impares
suponemos que debemos maximizar P = –z
sujeto a:
x + y + h2 =20
h1
h2 w
0
0
1
5/2 

3/2 
10 
x + y – h3 = 10
La solución en este paso es:
x ≥ 0; y ≥ 0; hi ≥ 0 con i = 1,2,3
(x, y, h1, h2 ) = (0, 5/2, 0, 3/2); w = 10.
Para iniciar el Simplex se deben agregar dos
variables artificiales. Una en la primera ecuación y
otra en la segunda.
Tabla Final del Simplex
x
y h1 h2 h3 z
0

0
1

0

3
0
1
3
1
0
0
0
0 −4 0
1 1 0
0 −1 0
0 3 1
20 

10 
10 

−30 
Conclusión:
La solución única solución es:
(x, y, h1, h2, h3) = (10, 0, 20, 10, 0)
z = 30.
11. Planteo del problema
Max w = 2x + 4y
ì x + 2y £ 5
ï
ï
ï
sujeto a: ï
í x + y£ 4
ï
ï
ï
ï
î x ³0 y ³0
Forma estándar
Max w = 2x + 4y + 0.h1 + 0.h2
sujeto a:
x + 2y + h1 = 5
x + y + h2 = 4
x ≥ 0; y ≥ 0; hi ≥ 0 con i = 1, 2
Tabla Final del Simplex (I)
442
y
y  1/2 1 1/2 0

h2  1/2 0 −1/2 1
w  0 0
2
0
4x + y – h1 = 20
h1
h2
x
w
x
Como existe un indicador cero en correspondencia
con una variable no básica, la solución de este
problema es múltiple. Para encontrar el otro vértice
que maximiza la función objetivo, ingresa a la base
la variable x y sale la variable de holgura h2
obteniendo la siguiente tabla:
Tabla Final del Simplex (II)
x
y 0

x 1
w  0
y
h1
h2
w
1 1 −1
0 −1
2
0
0
0
1
2
0
1

3
10 
La solución es:
(x, y, h1, h2)= (3, 1, 0, 0); w = 10.
Conclusión:
El valor máximo de w es 10 y lo alcanza en dos
vértices. El problema tiene solución múltiple.
Las soluciones se ubican en el segmento que
une los vértices (0, 5/2) y (3, 1).
La expresión general de la solución es:
(x, y)=(3, 1)+t (–3, 3/2) con t ∈ ¡ , 0≤ t ≤ 1.
13. Definición de variables
x : cantidad de zapatillas de carrera a fabricar
y : cantidad de zapatillas de tenis a fabricar
Planteo del problema
Max: z = 125x + 250y
sujeto a:
Respuesta a ejercicios impares
x + y ≤ 500
x≥0, y≥0
x ≤ 400
Forma estándar
y ≤ 300
Min: z = 6x + 8y+ 0.h1 + 0.h2 + 0.h3
sujeto a:
x≥0, y≥0
x + y – h1
Forma estándar
3x + 2y – h2 = 300
Max: z = 125x + 250y + 0.h1 + 0.h2 + 0.h3
x + 3y – h3 = 360
sujeto a:
x ≥ 0; y ≥ 0; hi ≥ 0 con i = 1, 2, 3
x + y + h1 = 500
Para iniciar el Simplex se debe agregar una
variable artificial por cada ecuación.
x + h2 = 400
y + h3 = 300
x ≥ 0; y ≥ 0; hi ≥ 0 con i = 1, 2, 3
Tabla Final del Simplex
x
h2
y
z







x
y
h1
1
0
0
0
0
1
0
-1
1
0
0 125
h2
= 200
h3
z
0
-1
1
1
0
1
0 125
0
0
0
1
200 

200 
300 

100000 
Conclusión:
Para obtener una ganancia máxima de $100000
se deben fabricar 200 pares de zapatillas de
carrera y 300 de tenis. Con esta política de
fabricación se alcanza la producción total máxima
de acuerdo con la mano de obra disponible, se
fabrican el máximo de zapatillas de tenis y 200
zapatillas de carrera menos que el máximo
posible.
15. Definición de variables
Tabla Final del Simplex
y
h2
x
z
x
y
h1
h2
h3
0

0
1

0

1 1/2 0 -1/2 0
0
-4 1
1
0
0 -1.5 0 1/2 0
0
5
0
1
1
80 

140 
120 

-1360 
Conclusión:
Se debe mezclar 120 grs. de fertilizante A y 80
grs. de fertilizante B para obtener un costo
mínimo de $1360. De esta manera se cubren
exactamente las cantidades mínimas de potasa
y fosfatos, superando en 140 grs. el mínimo de
nitratos.
17. Definición de variables
x : cantidad de revistas a repartir de tipo A
y : cantidad de revistas a repartir de tipo B
Planteo del problema
x : cantidad en grs. a comprar de fertilizante A
Max: z = 0.2x + 0.3y
y : cantidad en grs. a comprar de fertilizante B
sujeto a:
Planteo del problema
z
x + y ≤ 40
Min: z = 6x + 8y
sujeto a:
x + y ≥ 200
x ≤ 25
3x + y ≥ 300
Forma estándar
y ≤ 20
x≥0, y≥0
x + 3y ≥ 360
443
Respuesta a ejercicios impares
Max: z = 0.2x + 0.3y+ 0.h1 + 0.h2 + 0.h3
sujeto a:
x y
h1
h2
z
x  1 0 0.2 -0.2 0

y  0 1 -0.1 0.6 0
z  0 0
6
44 1
x + y + h1 = 40
x + h2 = 25
y + h3 = 20
20 

30 
4600 
Conclusión:
x ≥ 0; y ≥ 0; hi ≥ 0 con i = 1, 2, 3
Tabla Final del Simplex
x
h2
y
z
Tabla Final del Simplex
x
y
h1
h2
h3
z
1

0
0

0

0
1
0 −1
1
0
0 0.2
0
1
0
0
−1
1
1
0.1
0
0
0
1
20 

5
20 

10 
Se deben vender 20 lotes de libros A y 30 de
libros B, para obtener una ganancia máxima de
$4600. No le sobraran libros de ninguna de las
dos editoriales.
21. Definición de variables
x: cantidad de celulares a producir del modelo I
y: cantidad de celulares a producir del modelo II
Planteo del problema
Conclusión:
Para maximizar su ganancia el señor González
debe repartir 20 revistas de cada tipo. Dicha
ganancia es de $10. De esta manera lleva la
cantidad exacta de revistas B y le sobran 5
revistas A.
Max: z = 60x + 40y
sujeto a:
x ≤ 60
y ≤ 75
10x + 8y ≤ 800
x≥0, y≥0
19. Definición de variables
x : cantidad de lotes A de libros
Forma estándar
y : cantidad de lotes B de libros
Max: z = 60x + 40y+ 0.h1 + 0.h2+ 0.h3
Planteo del problema
sujeto a:
Max: z = 80x + 100y
x + h1 = 60
sujeto a:
y + h2 = 75
6x + 2y ≤ 180
10x+ 8y + h3 = 800
x + 2y ≤ 80
x ≥ 0; y ≥ 0; hi ≥ 0 con i = 1, 2, 3
x≥0, y≥0
Forma estándar
Max: z = 80x + 100y+ 0.h1 + 0.h2
sujeto a:
6x + 2y + h1 = 180
x + 2y +h2 = 80
x ≥ 0; y ≥ 0; hi ≥ 0 con i = 1, 2
44442
Tabla Final del Simplex
x
x 1

h2  0
y 0

z  0
y
h1
0
1
0
1.25
1 −1.25
0
10
h2
h3
0
0
1 −0.125
0 0.125
0
5
z
0
0
0
1
60 

50 
25 

4600 
Respuesta a ejercicios impares
Conclusión:
La producción diaria, que maximiza la ganancia,
de celulares del primer modelo es 60 mientras
que la del segundo modelo es 25. La ganancia
máxima es de $4600.
Para este nivel de producción no sobran horashombre para encarar la fabricación de un nuevo
modelo de celular.
23. Definición de variables
comprando 2000 bonos de inversión I y 15000
bonos de inversión II. De ésta manera, se
invierte todo el dinero disponible y se logra
alcanzar el rendimiento anual mínimo de 50000
dólares impuesto por el cliente.
25. Definición de variables
x: cantidad de cerámicos de diseño I
(por 100
unidades)
100
y: cantidad de cerámicos de diseño II (por
unidades)
z: cantidad de cerámicos de diseño III (por 100
x: cantidad bonos de inversión I a comprar
y: cantidad bonos de inversión II a comprar
Planteo del problema
unidades)
Planteo del problema
Max: w = 100x + 120y + 140z
sujeto a:
Min: z = 6x + 3y
0.5x + y + 0.8z ≤ 800 horas de mezclado
sujeto a:
x + 2y + 1.5z ≤ 1000 horas horno
25x +50y ≤ 800000
0.5x + 0.5y + z ≤ 340 horas hombre de
2.5x + 3y ≥ 50000
x ≥ 0 , y ≥ 0, z ≥0
x≥0, y≥0
inspección
Forma estándar
Forma estándar
Max: w=100x +120y+ 140z + 0h1+ 0h2+ 0h3
Min: z = 6x + 3y + 0.h1 + 0.h2
sujeto a:
sujeto a:
0.5x + y +0.8z + h1 = 800
25x + 50y + h1 = 800000
x + 2y +1.5z + h2 = 1000
2.5x + 3y – h2 = 50000
0.5x + 0.5y + z + h3 = 340
x ≥ 0; y ≥ 0; hi ≥ 0 con i = 1, 2
x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0; hi ≥ 0 con i=1, 2, 3
Para utilizar el método Simplex se debe incorporar
una variable artificial a la segunda ecuación.
Tabla Final del Simplex
Tabla Final del Simplex
h1  0

y 0
x 1

w  0
x y
h1
h2
z
y 0 1
0.05 0.5 0

x  1 0 −0.06 −1 0
z  0 0 −0.21 −4.5 1
15000 

2000 
57000 
Conclusión:
No le conviene realizar la inversión ya que el
riesgo mínimo obtenido, que cumple con los
requerimientos del cliente, es de 57000 lo cual
supera al valor aceptado. Este riesgo se alcanza
x y
0
1
0
0
z
h1
0.05
−0.5
2.5
50
1 −0.5
0
0
1
−2
0 −1
4
0
20 160
h2
h3 w
0 300 

0 320 
0 360 

1 74400 
Conclusión:
Para maximizar las utilidades es necesario
fabricar 360 unidades de cerámicos del primer
tipo, 320 del segundo y no realizar cerámicos
del tipo III. La utilidad máxima es de $74400.
445
Respuesta a ejercicios impares
De esta forma sobran 300 hs. de mezclado y
ninguna hora en las otras secciones.
27. Definición de variables
x: cantidad de autos del modelo A
y: cantidad de autos del modelo B
z: cantidad de autos del modelo C
Planteo del problema
Conclusión:
Para obtener el máximo beneficio de $610.000,
debe vender 10 autos del modelo A, 50 del
modelo B y 40 del modelo C. De esta forma se
debe vender el máximo posible de autos A y B y
37 autos C más del mínimo establecido. Por
otro lado, se vende el máximo posible entre los
tres modelos.
29. Max: z = 3x1 + 2x2
Max: B = 10000x + 7000y + 4000z
sujeto a:
sujeto a:
x ≤ 10
2x1 + x2 ≤ 2
y ≤ 50
3 x1 + 4 x2 ≥ 12
x + y + z ≤ 100
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
z - 0.3(x + y) ≥ 0
Forma estándar
x≥0, y≥0,z≥0
Max: z = 3x1 + 2x2 + 0.h1 + 0.h2
sujeto a:
Forma estándar
Max:
2x1 + x2 + h1 = 2
B = 10000x + 7000y+ 4000z+ 0.h1 + 0.h2 +
0.h3+ 0.h4
3x1 + 4x2 – h2 = 12
sujeto a:
x + h1 = 10
Se debe incorporar una variable artificial a la
segunda ecuación.
y + h2 = 50
Tabla Final del Simplex
x + y + z + h3 = 100
x1
– 0.3x – 0.3y + z – h4 = 0
x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0; hi ≥ 0 con i=1,2,3,4
Se debe agregar una variable artificial en la última
ecuación para iniciar el Simplex.
x 1

y 0
z 0

h4  0
B  0
446446
z
h1
h2
h3
h4 B
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
−1
−1
0
0
0
0
0 −1.3
0 6000
0
1
1
1
−1.3
3000 4000 0



0
40 

0
22 
1 610000 
0
0
x2
h1
h2 w1 z
 2
1
1
0

0
−4
−1
 −5
 1+5M 0 2+4M M

0 0
1 0
0 1
2


4 
−4M+4 
Conclusión:
Los indicadores son todos positivos. De la tabla
se extrae:
Tabla Final del Simplex
x y
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0; h1≥ 0 ; h2≥ 0
10
50
(x1, x2, h1, h2, w1) = (0, 2, 0, 0, 4)
El que la variable artificial w1 tome un valor
distinto de cero, indica que el problema es no
factible.
31. Min: z = 2 x1 + 2 x2
Respuesta a ejercicios impares
sujeto a:
x1 – 2x2 + x3 + h1 = 12
x1 + 3x2 ≤ 12
2x1 + 3x2 + 2x3 + h2 = 10
3 x1 – x2 ≥ 13
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0; x3 ≥0; h1≥ 0 ; h2 ≥ 0
Tabla Final del Simplex
x1 – x2 = 3
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
x1
Forma estándar
Min: z = 2 x1 + 2 x2 + 0.h1 + 0.h2
sujeto a:
x2
x3
h1
h2
z
h1  0 −3.5

x1  1 1.5
z  0 5.5
0
1
1
0
− 1/2
1/2
0
0
1
0
5/2
1
7

5
25 
Conclusión:
x1 + 3x2 + h1 = 12
x1 – x2 = 3
Los indicadores son todos positivos. La solución
es:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0; h1≥ 0 ; h2 ≥ 0
(x1, x2, x3, h1 , h2) = (5, 0, 0, 7, 0) ; z = 25
3x1 – x2 – h2 = 13
Para iniciar el Simplex, debemos incorporar
variables artificiales en la segunda y tercera
ecuación.
Solución factible básica:
Tabla Final del Simplex
La solución anterior es básica. Otra solución
básica será:
x1
x2
h1
h2
z
h1  0

x2  0
x1  1

z  0
0
1
1
0
2
−1/2
0
0
0
0
0
0
−1/2
−2
0
1
Conclusión:
(x1, x2, h1, h2)= (5, 2, 1, 0) , z = 14
La solución es única.
33. Max z = 5x1 + 2x2 +4x3
sujeto a:
x1 – 2x2 + x3 ≤ 12
2 x1 + 3x2 +2x3 ≤ 10
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
Forma estándar
1

2
5

14 
Una solución básica tendrá n – m ceros, con
n = 5, m = 2, es decir 3 ceros.
(x1, x2, x3, h1 , h2) = (0, 0, 0, 12, 10);
z=0
Solución factible no básica:
Una solución factible es aquella que cumple
con las restricciones del problema.
(x1, x2, x3, h1 , h2) = (1, 0, 1, 10, 6);
z = 9.
No es básica pues no tiene la cantidad
necesaria de ceros.
Solución básica no factible:
(x1, x2, x3, h1 , h2) = (0, 0, 12, 0, –14);
Es una solución básica pues tiene la cantidad
de ceros necesaria, pero no es factible ya que
no verifica las condiciones de no negatividad
de las variables.
Max z = 5x1 + 2x2 + 4x3+ 0.h1 + 0.h2
sujeto a:
447
Respuesta a ejercicios impares
x
y
h1
h2
w2
−1
 0 1 2 1
1
 1 0 −1 −1
 0 0 5 3 M − 3
35. 
Z
0 4
0 1 
1 7 
x1
x2
h1
h2
w2 Z
1
1
 1
1
0
 2
1-2M 2+M 0
0
0
0
-1
M
1
0
0
1
37. 
5 

6 
6M 
Las variables básicas son: x e y.
Las variables básicas son: h1 y w2.
La solución encontrada en este paso es:
La solución encontrada en este paso es:
( x, y, h1, h2, w2) = (1, 4, 0, 0, 0)
( x1, x2, h1, h2, w2) = (0, 0, 5, 0, 6)
La solución encontrada es básica pues n = 5,
m = 2 y n – m = 3. Existen exactamente 3
variables que toman el valor cero.
La solución encontrada es básica pues n = 5,
m = 2 y n – m = 3. Existen exactamente 3
variables que toman el valor cero.
La Función Objetivo z = 7
La Función Objetivo z = 6M
La solución encontrada en este paso es óptima
pues todos los indicadores son positivos. La
variable artificial no está en la base. El problema
original tiene solución única.
La solución encontrada en este paso no es
óptima. Debe ingresar la variable x1 ya que tiene
el indicador más negativo y sale w2, pues tiene el
cociente mas chico.
Sección 5.5 - Página 355 a 356
1. (x, y, z) = (10.625, 14.125, 2.625)
h1 = 0, h2 = 0, h3 = 0; w = 82
Solución única.
3. Solución no acotada.
5. No hay soluciones posibles. Problema no factible.
7. (x, y, z) = (0, 20, 33.3 )
h1 = 63.3 , h2 = 0, h3 = 0; P = 353.3
Solución única.
9. (x, y, z) = (10, 20, 5)
h1 = 0, h2 = 35, h3 = 0, h4 = 0; w = 85
Solución única
11. (x, y, z) = (10, 20, 5)
h1 = 0, h2 = 35, h3 = 0, h4 = 0; P = 45
Solución única
13. Existen cuatro soluciones factibles básicas
óptimas:
448448
S1: ( x, y, z) = (0, 0, 3.3)
h1 = 0, h2 = 5, h3 = 1; w = 10
S2: (x, y, z) = (1, 0, 3)
h1 = 0, h2 = 3, h3 = 0; w = 10
S3: (x, y, z) = (1, 1.5, 2)
h1 = 0, h2 = 0, h3 = 0; w = 10
S4: (x, y, z) = (0, 2.5, 1.6 )
h1 = 0, h2 = 0, h3 = 0; w = 10
Solución múltiple. La totalidad de soluciones
óptimas se encuentra sobre la superficie plana
convexa cuyos vértices son las soluciones
básicas dadas.
15. (x, y, z, w) = (0, 25, 125, 0)
h1 = 0, h2 = 425, h3 = 0; G = 525
Solución única
17. (x1, y1, z1) = (8, 0, 0)
Respuesta a ejercicios impares
h1, = 12, h2 = 0, h3 = 0; w = 48
(x2, y2, z2) = (4, 8, 0)
h1 = 0, h2 = 0, h3 = 4; w = 48
Solución múltiple
Solución única
21. (x1, x2, x3, x4, x5) = ( 7.2 , 5, 2.6 , 3, 14.6 )
h2 = h3 = h6 = h7= h8= 0, h1= 7.2 ,
h4 = 137.5 ; h5= 19.2 ; w = 42.5555
Solución única
19. (x1, y1, z1) = (8.5, 0, 8)
h1 = 0, h2 = 55.5, h3 = 0; P = 59
Repaso Teórico del Capítulo 5 - Página 360 a 364
Verdadero o Falso
1. Falso. Son las que verifican la desigualdad. Los
valores que verifican la igualdad también son
solución sólo si tenemos ≤ o ≥ .
12. Falso. Se encuentran en los bordes del convexo.
13. Verdadero.
2. Verdadero.
14. Falso. El conjunto de soluciones factibles puede
ser vacío.
3. Verdadero.
15. Falso. En este caso la solución es no acotada.
4. Falso: La solución son los valores mayores a –1.
16. Falso. Se agregan con coeficientes cero.
5. Falso. Se representan en el plano cartesiano.
6. Falso. – 9 + 8 = –1 > 1.
17. Falso. Se agregan a la función objetivo con
coeficientes cero.
7. Verdadero.
18. Falso. Con igualdades o desigualdades de ≥.
8. Verdadero.
19. Falso. Se incorporan a la función objetivo con
coeficientes grande (M), sumada en caso de
mínimo y restada en caso de máximo.
9. Verdadero.
10. Falso. Las soluciones óptimas son factibles, pero
no toda factible es óptima.
20. Verdadero.
11. Falso. Pueden estar en un borde del convexo en
el caso de soluciones múltiples.
Selección Múltiple
1. opción correcta: c).
2. opción correcta: c).
3. opción correcta: d).
4. opción correcta: b).
5. opción correcta: b).
6. opción correcta: d).
7. opción correcta: c).
8. opción correcta: c).
9. opción correcta: c).
10. opción correcta: b).
11. opción correcta: a).
12. opción correcta: b).
13. opción correcta: d).
14. opción correcta: a).
15. opción correcta: b).
16. opción correcta: c).
17. opción correcta: d).
18. opción correcta: c).
19. opción correcta: c).
20. opción correcta: d).
21. opciones correctas: b) y d).
22. opción correcta: d).
23. opción correcta: b).
24. opción correcta: b).
25. opción correcta: d).
26. opción correcta: a).
27. opción correcta: b).
449
Respuesta a ejercicios impares
Ejercicios del Capítulo 5 - Página 364 a 369
1. x < 32/2.
3x +2y ≥ 12
3. x >1.
3x – y ≥ 3
5. x ≥ 4.
– x + 3y ≤ 15
7. x ≤ –7
x + 2y ≤ 20
9. φ (conjunto vacío)
x≤8
11. ¡ (la recta real)
x – 2y ≤ 4
13. 4x – 2y ≤ 6
Vértices
z =x + y
p = x + 4y
A:(4, 0)
4
4
B:(2, 3)
5
14
C:(3, 6)
9
27
D:(6, 7)
13
34
E:(8, 6)
14
32
F:(8, 2)
10
16
15. 4( x + 1/2) – 1 < 1 + y
El conjunto es acotado. El máximo es z = 14 en
el vértice (8, 6). P toma su valor mínimo 4 en el
vértice (4,0).
21.
(1, 4)
17. El conjunto de restricciones es:
3x – y ≥ 0
– 3x + 8y ≥ 0
–x+y≤4
x–y≤5
El conjunto no es acotado. La función objetivo
alcanza un mínimo en el vértice (0, 0). P = 0.
23.
(7, 8)
18. El conjunto de restricciones es:
(7, 0)
450
(15, 0)
Respuesta a ejercicios impares
Vértices
z = 50x + 30y
(7, 0)
350
d) (x, y) = (3, 2) es una solución factible pues
verifica todas las restricciones del problema.
(7, 8)
590
(x, y, h1, h2, h3) = (3, 2, 18, 6, 7) no es
(15, 0)
750
básica pues no tiene por lo menos dos ceros.
El máximo de z es 750 y se alcanza en el punto
(15, 0). El mínimo es 350 y ocurre en (7, 0).
25. a) max z = 2x + 3y + 0.h1 + 0. h2 + 0.h3
sujeto a:
27. a) max z = 4x1 + x2 + 0h1 + 0h2 + 0h3 +0h4
sujeto a:
5x1 + x2 + h1 = 420
(1)
2x1 + 3x2 +h2 = 15
(2)
6x1 + 4x2 + h3 = 24
2x +3y + h1 = 30
x1 + x2 + h4 = 5
y – x + h2 = 4
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0; h1 ≥ 0; h2 ≥ 0; h3 ≥ 0;
h4 ≥ 0.
x + h3 = 10
x ≥ 0 ; y ≥ 0; h1 ≥ 0; h2 ≥ 0; h3 ≥ 0
b) Método gráfico
B
b)
C
C
B
A
A
D
D
E
Vértices
z = 2x + 3y
A:(0, 0)
0
B:(0, 5)
15
C:(3, 8)
30
D:(10, 10/3)
30
E:(10, 0)
20
Observe: Las condiciones (1) y (2) no afectan
al conjunto de soluciones factibles. La condición
(1) no fue graficada ya que excede la escala del
dibujo.
Vértices
z = 4x1 + x2
A:(0, 0)
0
B:(0, 5)
5
C:(2, 3)
11
D:(4, 0)
16
La función objetivo se optimiza en los vértices
C: (3, 8) y D:( 10, 10/3). El problema tiene
soluciones múltiples.
La función objetivo se optimiza en el vértice D:
(4, 0). El problema tiene solución única.
(x, y) = (3, 8) + (7, –14/3) t; con 0 ≤ t ≤1
y t ∈¡ .
c) h1 = 400; h2= 7; h3 = 0; h4 = 1
c) (x, y, h1, h2, h3) = (3, 8, 0, 0, 7)
(x1, x2) = (4, 0); z = 16
d) Es una solución factible básica pues tiene dos
ceros. (n = 6; m = 4; n – m = 2)
451
Respuesta a ejercicios impares
100x + 200y ≥ 8000
29. Método gráfico
300x + 200y ≥ 16000
500x + 200y ≥ 20000
x≥0, y≥0
B
Conclusión:
C
A
(x, y, h1 , h2, h3) = (40, 20, 0, 0, 4000);
D
z = $1200000
El conjunto de soluciones factibles es acotado
Solución óptima única.
Analizamos el valor de la función objetivo en los
vértices:
Para logra un costo mínimo de $ 1200000 se
deben trabajar 40 días en la planta A y 20 en la
planta B. Con ésta política de producción tiene
un exceso de 4000 unidades de P3 por sobre el
mínimo demandado.
Vértices
z = 6x – 3y
A:(0, 0)
0
B:(0, 2)
–6
C:(12/19, 40/19)
– 48/19
x: fracción de sociedad con A
8
y: fracción de sociedad con B
D:(4/3, 0)
La solución óptima es z = 8, en el vértice
D: (4/3, 0).
Tabla final del Simplex
y
h1
Planteo del problema
Max: z = 45000x + 45000y
sujeto a:
Método Simplex
x
33. Definición de variables
h2 Z
h1  0 19/3 1 1/3 0 41/3 


x  1 1/3 0 1/3 0 4/3 
z  0
5
0 2 1
8 
Solución única:
(x, y, h1, h2) = (4/3, 0, 41/3, 0); z = 8.
31. Definición de variables
x: cantidad de días de trabajo en la planta A
y: cantidad de días de trabajo en la planta B
50000x + 40000y ≤ 60000
400x + 500y ≤ 600
x≥0, y≥0
Conclusión:
(x, y, h1 , h2) = (2/3, 2/3, 0, 0); z = $60000
Solución óptima única.
Para obtener un beneficio máximo de $ 60000
debe participar por igual en 66,67% en cada
negocio. De ésta manera no le queda dinero y
ocupa todas las horas disponibles.
35. Definición de variables
x: cantidad de bebida A en litros
Planteo del problema
y: cantidad de bebida B en litros
Min: z = 20000x + 20000y
z: cantidad de bebida C en litros
sujeto a:
w: cantidad de bebida D en litros
45252
Respuesta a ejercicios impares
Planteo del problema
(x, y, z, h1, h2, h3)=(3.75, 0, 3.75, 325, 0, 0)
Min: C = 8x + 6y + 10z + 5w
C = $ 675
sujeto a:
Solución óptima única.
x+y+z+w≥4
El costo mínimo es $675. Le conviene contratar
3.75 segundos en el programa de la mañana y
3.75 segundos en el de la noche.
0.3x + 0.1y + 0.2z +0.1w ≤ 0.3(x+y+z+w)
0.3x + 0.4y + 0.2z +0.3w ≥ 0.2(x+y+z+w)
0.1x + 0.3z +0.05w ≥ 0.05(x + y + z + w)
x≤4
De esta manera invierte $325 menos del
máximo disponible.
39. Definición de variables
y≤5
x: kg. a fabricar diariamente del pan A
z≤2
w ≤ 2.5
x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0; w ≥ 0
Conclusión:
(x, y, z, w)=(0.75, 0.75, 0, 2.5)
h1 = 0; h2= 0.65; h3 = 0.475; h4=0;
h5 = 3.25; h6= 4.25; h7 = 2; h8=0
C = 23
Solución óptima única.
Para lograr un costo mínimo de $23, deberá
mezclar 3/4 litros de la bebida A, 3/4 litros de B
y 2.5 litros de D. No utilizará la bebida C.
37. Definición de variables
y: kg. a fabricar diariamente del pan B
z: kg. a fabricar diariamente del pan C
Planteo del problema
Min: C = 0.5x + 0.8y + 1.04z
sujeto a:
x + y + z ≥ 50
x + y + z ≤ 100
x=y+z
y = (1/4) z
x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0
Conclusión:
(x, y, z, h1, h2) = (25, 5, 20, 0, 50)
x: segundos comprados en programa A
C = $37.3
y: segundos comprados en programas B
Solución óptima única.
z: segundos comprados en programas C
El costo mínimo es $37.3. Conviene fabricar
diariamente 25 kg. del pan de tipo A, 5 kg. del
pan tipo B y 20 kg. del pan de tipo C. Se
fabrican 50 kg. de pan menos que el máximo.
Planteo del problema
Min: C = 80x + 50y + 100z
sujeto a:
41. Definición de variables
80x + 50y + 100z ≤ 1000
x: cantidad de unidades a fabricar del producto 1.
80x ≥ 300
y: cantidad de unidades a fabricar del producto 2.
z ≥ (x + y)
z: cantidad de unidades a fabricar del producto 3.
x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0
Planteo del problema
Conclusión:
4531
Respuesta a ejercicios impares
Max: B = 50x + 20y + 25z
Planteo del problema
sujeto a:
Min: C =
9x + 3y + 5z ≤ 500
5x + 4y ≤ 350
600 xI A + 700 xI B + 500 xI C +
400 xII A + 550 xII B + 700 xII C
sujeto a:
3x + 2z ≤ 150
xI A + xI B + xI C ≤ 45
x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0
xII A + xII B + xII C ≤ 35
Conclusión:
xI A + xII A ≥ 30
(x, y, z, h1, h2, h3)= (0, 87.5, 47.5, 0, 0, 55)
xI B + xII B ≥ 30
B = $2937.5
xI C + xII C ≥ 20
Solución óptima única.
xI A ≥ 0; xI B ≥ 0; xI C ≥ 0
El máximo beneficio es de $2937.5. Le
conviene fabricar semanalmente 87.5 unidades
del producto 2 y 47.5 unidades del producto 3.
xII A ≥ 0; xII B ≥ 0; xII C ≥ 0
Quedan disponibles 55 horas semanales en la
rectificadora. Se agotan todas las horas de la
fresadora y del torno.
43. Definición de variables
xI A:
cantidad de energía que vende la planta I
a la ciudad A.
xI B:
cantidad de energía que vende la planta I
a la ciudad B.
xI C:
cantidad de energía que vende la planta I
a la ciudad C.
xII A: cantidad de energía que vende la planta
II a la ciudad A.
xII B: cantidad de energía que vende la planta
II a la ciudad B.
xII C: cantidad de energía que vende la planta
II a la ciudad C.
4544542
Conclusión:
xI A = 0,
xI B = 25,
xI C = 20,
xII A = 30, xII B = 5,
xII C = 0,
h1 = 0, h2 = 0, h3 = 0, h4 = 0, h5 = 0,
C = 42250
Solución óptima única.
El costo mínimo de distribución de energía es de
42250 unidades monetarias. La planta I debe
vender (expresados en millones) 25 Kwh a la
ciudad B y 20 kwh a la C, mientras que la
planta II debe vender 30 kwh a la ciudad A y 5
kwh a la B.
De esta manera no queda sobrante de energía
en ninguna planta y se cubren exactamente los
requerimientos de las tres ciudades.
Índice Alfabético
A
Abscisa(as)
de un punto.................................................. 24
eje de las................................ ..................... 23
en el origen .................................................. 25
Acotado (conjunto-región) ................................ ... 278
Adjunta (matriz)............................................... 167
Algebraica (expresión)........................................... 4
Algoritmo de la gran M ....................................... 323
Ampliada (matriz) ............................................. 199
Antisimétrica (matriz)......................................... 116
Artificiales (variables)................................... 320, 323
B
Básicas (variables)................................ 301, 306, 340
Base................................................. 301, 306, 308
Base de una potencia......................................... 379
Bicuadrática (ecuación)......................................... 18
C
Ceros de una ecuación ......................................... 14
Cartesiano (Sistema )............................................ 23
Clasificación
de matrices
según su forma ........................................ 114
según sus elementos.................................. 117
de sistemas de ecuaciones lineales
según sus soluciones......................... 65,193,194
según sus términos independientes.............. 64,190
Clasificación de soluciones de un problema de Programación
Lineal........................................................ 281
Coeficiente(es)
matriz de ................................ ................... 190
numérico....................................................... 5
técnicos (matriz de)....................................... 107
Cofactor ........................................................ 154
Columna
de una matriz .............................................. 108
matriz ....................................................... 114
pivot......................................................... 308
vector....................................................... 114
Combinación lineal ............................................ 201
Compatibles (sistemas)..............65, 70, 84, 193, 211, 233
Completar cuadrado ............................................ 13
Conjunto
acotado..................................................... 278
convexo..................................................... 266
de números .......................................... 372, 373
factible ...................................................... 278
no acotado ................................................. 278
Conjunto o región acotada................................ ... 278
Conjunto solución
de un problema de Programación Lineal................ 279
de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas.............................................. 64, 66
de un sistema de ecuaciones lineales................... 192
de un sistema de inecuaciones con dos incógnitas.... 270
de una ecuación................................ .............. 6
de una ecuación lineal con dos incógnitas................26
de una inecuación lineal .................................. 262
de una inecuación lineal con dos incógnitas...... 266, 267
Contradicción ..................................................... 4
Constantes (rectas) ................................ .............34
Convexo (conjunto-región)................................ ... 266
Coordenadas
de un punto ............................................. 24, 42
rectangulares.................................................23
Coordenados (planos)...........................................44
Cramer (Regla de)............................................. 220
Crecientes (rectas).................................... 30, 34, 50
Criterio de optimización Simplex
problema de máximo ...................................... 307
problema de mínimo ...................................... 334
Criterio para determinar el tipo de solución en el método
Simplex
sin solución ................................................. 330
solución múltiple ................................ ..... 312, 340
solución no acotada ................................. 312, 340
solución única ........................................ 312, 340
Criterio para determinar la solución óptima en el método
Simplex ................................... 303, 332, 334, 340
Cuadrada (matriz)............................................. 114
Cuadrado(os)
de un binomio ............................................ 8, 13
diferencia de ........................................... 15,391
Cuadrado mágico........................................ 188, 249
Cuadrantes.......................................................24
Cuadrática (ecuación)...........................................13
Cuatrinomio cubo perfecto................................ .. 393
Cubos (suma y diferencias de)............................... 395
D
Decisión (variables)................................ ........... 276
Decreciente(es)
pendiente de una recta ................................ .....34
rectas ............................................... 30, 34, 49
Demanda (ecuación) ................................... 46,47, 49
Demanda final ................................................. 106
Dependencia lineal de vectores.............................. 203
Dependiente (variable) .........................................27
Descartes, René .................................................23
Determinados (sistemas)........... 65, 70, 84, 193, 211, 233
455
Índice Alfabético
Determinante .................................................. 150
de una matriz de orden 1................................. 151
de una matriz de orden 2................................. 151
de una matriz de orden3 ................................. 151
regla de Sarrus......................................... 152
de una matriz de orden n................................. 153
desarrollo por cofactores.............................. 156
discusión de un sistema usando......................... 196
propiedades ................................................ 158
Diagonal
principal .............................................. 114, 152
matriz ....................................................... 117
principal..................................................... 152
secundaria............................................ 114, 152
Diferencia
de cubos.................................................... 395
de cuadrados...........................................15, 391
de fracciones............................................... 376
de matrices............................................ 120,121
de números reales......................................... 375
Dimensión
de un sistema de ecuaciones ........................63, 189
de una matriz .............................................. 108
Discriminante .................................................... 14
Discusión de un sistema ................................ 194, 196
usando determinantes.................................... 196
usando Teorema de Rouchè Fröbenius................. 199
E
Ecuación(es)
bicuadrática.................................................. 18
con una incógnita
cuadrática............................................ 10, 13
cúbica................................ ..................... 10
expresión general........................................ 10
lineal.................................................. 10, 11
conjunto solución............................................. 6
de demanda.......................................... 46,47,49
definición................................ ...................... 5
de la recta............................................... 26, 36
de oferta................................................. 49, 50
de planos coordenados................................ ..... 44
de una recta horizontal ................................ ..... 28
de una recta vertical........................................ 28
equivalentes................................................... 7
factor de una.................................................. 5
grado de una ................................................. 5
gráfica de una ............................................... 25
incógnita de una................................ .............. 5
lineal
con dos incógnitas....................................... 26
con tres incógnitas o más.......................... 41, 42
456
miembro de una ................................ .............. 5
sistemas de............................................ 63, 189
término de una................................................ 5
Ecuación cuadrática
expresión general....................................... 10, 13
factorización................................................ 393
solución .......................................................14
tipos de solución................................ .............14
Ecuación lineal
con dos incógnitas
expresión general........................................26
solución ...................................................26
con n incógnitas
expresión general....................................... 42
con tres incógnitas
expresión general........................................42
solución ...................................................42
con una incógnita
expresión general................................... 10, 11
solución ...................................................11
Ecuaciones
equivalentes................................................... 7
operaciones que preservan equivalencia................... 7
Ecuaciones de planos coordenados ...........................44
Ejes
de las abscisas...............................................23
de las ordenadas................................ ............ 23
Elementales
matrices..................................................... 140
operaciones................................................. 139
Elemento
genérico
de una matriz ................................ ........... 109
de una sumatoria ...................................... 398
neutro...........................................121, 132, 374
opuesto ................................................ 121,374
pívot.............................................142, 222, 308
unidad....................................................... 122
Eliminación o reducción (método) ................ 81, 222, 228
Enteros (números)............................................ 372
Equilibrio
cantidad de...................................................93
del mercado ..................................................94
precio de......................................................93
punto de......................................................93
Equivalentes
ecuaciones..................................................... 7
inecuaciones................................................ 262
matrices.........................................139, 143, 207
propiedades............................................. 140
sistemas de ecuaciones .............................. 67, 195
Escalar (matriz)................................................ 117
Escalonada por filas (matriz)................................. 222
Estructurales (restricciones).................................. 276
Índice Alfabético
Excedente (variables)......................................... 300
Exponentes .................................................... 379
Expresión algebraica............................................. 4
Expresión general
de un problema de Programación Lineal ............... 276
de máximo ......................................... 300,303
de una ecuación
bicuadrática.............................................. 18
cuadrática............................................. 10,13
de grado n con una incógnita.......................... 10
de una ecuación lineal
con dos incógnitas....................................... 26
con n incógnitas ......................................... 42
con tres incógnitas....................................... 42
con una incógnita.................................... 10,11
de una inecuación lineal
con dos incógnitas..................................... 266
con n incógnitas ....................................... 261
con una incógnita...................................... 263
de un sistema de ecuaciones............................ 189
Expresión o forma matricial de un sistema ................ 190
Expresiones cuadráticas ...................................... 393
raíces........................................................ 394
F
Factible
conjunto.................................................... 278
solución............................................... 278, 301
Factor
común ...................................................... 388
de factor.................................................... 389
de un término................................................. 5
de una ecuación................................ .............. 5
Factorización................................ ................... 388
cuatrinomio cubo perfecto................................ 393
diferencia de cuadrados .................................. 391
expresiones cuadráticas .................................. 393
raíces................................................14, 394
factor común............................................... 388
factor de factor ............................................ 389
suma y diferencia de cubo ............................... 395
trinomio cuadrado perfecto ..........................13, 392
Fila
de una matriz .............................................. 108
matriz escalonada por.................................... 222
matriz equivalente por.................................... 139
matriz ...................................................... 114
operaciones elementales por............................. 139
pivot......................................................... 308
vector....................................................... 114
Forma estándar de un problema de Programación Lineal de
máximo ..................................................... 300
Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales.... 190
Fracciones
cocientes de ................................................ 378
producto de ................................................ 377
sumas y resta de................................ ........... 376
con el mismo denomi nador ........................... 376
con distinto denominador............................. 377
Función objetivo .............................. 275, 276, 277,349
G
Grado
de un término ................................................. 5
de una ecuación................................ .............. 5
de una incógnita o variable.................................. 5
Gráfica(as)
de sistemas de ecuaciones lineales
con dos incógnitas.......................................70
con tres incógnitas..................................... 194
de sistemas de inecuaciones ............................. 270
de una ecuación................................ .............25
Gráfica o gráfico en el plano ...................................25
Gráfico (método de resolución)
de ecuación lineal con dos incógnitas .....................27
de inecuaciones con dos incógnitas ..................... 267
de resolución de problemas de Programación Lineal .. 287
de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.70
de sistemas de inecuaciones ............................. 270
H
Holgura (variables)...................................... 299, 300
Homogéneos (sistemas)..................... 64, 190, 199, 233
Horizontal (recta)............................................28,36
I
Idempotente (matriz) ......................................... 134
Identidad (igualdad) ............................................. 4
Identidad (matriz)............................................. 117
Igualación (método) ....................................... 74, 78
Igualdad........................................................... 3
Igualdad entre matrices ...................................... 111
Igualdades con literales.......................................... 4
Incógnitas
de una ecuación................................ .............. 5
de un sistema de ecuaciones......................... 63,189
matriz o vector de......................................... 190
Incompatibes (sistemas)............ 65, 70, 84, 193, 209, 233
Inconsistentes (sistemas) ............................... 65, 193
Incremento.......................................................29
Incrementos (cociente de) ................................ .....30
Indeterminados (sistemas) ......... 65, 70, 84, 193, 211, 233
457
Índice Alfabético
Independencia lineal de matrices o vectores .............. 203
Independiente (variable)....................................... 27
Indicadores.................................................... 306
Índice
de sumatoria ............................................... 398
de productoria ............................................. 405
de una raíz ................................................. 381
Inecuación(es) lineal(es)
con dos incógnitas......................................... 266
con n incógnitas................................ ........... 261
con una incógnita.......................................... 263
definición................................ ................... 261
expresión general con n incógnitas...................... 261
sistemas de................................................. 270
solución..................................................... 262
Inecuaciones equivalentes ................................ ... 262
operaciones que preservan soluciones.................. 262
Inecuaciones lineales con dos incógnitas (solución) 266, 267
Input– output (matrices)..................................... 106
Insumo –producto (matrices)................................. 106
Intersecciones con los ejes coordenados................ 25, 26
Intervalos de la recta real.................................... 384
abiertos..................................................... 384
cerrados .................................................... 385
de longitud finita .......................................... 385
de longitud infinita ................................... 385,386
longitud ..................................................... 385
punto medio................................................ 385
semiabiertos................................................ 385
Inversa ......................................................... 162
por cofactores.............................................. 167
por reducción .............................................. 171
propiedades ................................................ 164
Invertible (matriz)............................................. 162
Irracionales, números......................................... 373
L
Leontief,Wassily ............................................... 106
Libre (variable) .................................................. 27
LINDO software ............................................... 346
solve ........................................................ 347
tableau................................................. 348,349
Longitud de un intervalo ..................................... 385
M
Matrices
elementales ................................................ 140
equivalentes.................................... 139, 143, 207
propiedades ............................................ 140
igualdad entre ............................................. 111
input – output.............................................. 106
458
insumo-producto................................ ........... 106
operaciones elementales por fila......................... 139
Matriz
adjunta...................................................... 167
ampliada.................................................... 199
antisimétrica................................................ 116
columna..................................................... 114
cuadrada.................................................... 114
diagonal principal ................................ 114, 152
traza ..................................................... 115
de coeficientes............................................. 190
de coeficientes técnicos................................ ... 107
de cofactores............................................... 154
de incógnitas............................................... 190
de términos independientes .............................. 190
definición ................................ ................... 108
diagonal..................................................... 117
dimensión................................ ................... 108
elementos................................ ............ 108, 109
escalar ...................................................... 117
escalonada.................................................. 222
fila ................................ ........................... 114
idempotente................................................ 134
identidad.................................................... 117
inversa ...................................................... 162
invertible.................................................... 162
menor de una .............................................. 154
no singular.................................................. 162
nula.................................................... 117, 142
operaciones entre.......................................... 120
orden........................................................ 108
ortogonal ................................ ................... 185
producto................................................... 124
de dos matrices ........................................ 129
de una matriz fila por una columna ............ 124, 125
de una matriz fila por una matriz .................... 126
propiedades............................................. 132
producto por un escalar................................ ... 122
propiedades............................................ 122
rango........................................................ 206
columna ................................................. 206
fila ....................................................... 206
reducida............................................... 142, 222
regular o no singular ...................................... 162
simétrica.................................................... 116
singular ..................................................... 162
suma y diferencia.......................................... 120
propiedades............................................. 121
traspuesta .................................................. 115
propiedades............................................. 116
triangular ................................ ................... 118
inferior................................ ................... 118
superior ................................................. 118
unidad....................................................... 117
Índice Alfabético
Matriz de cofactores .......................................... 154
Matriz inversa.................................................. 162
métodos generales para su cálculo.......... 165, 167, 171
propiedades ................................................ 164
Matriz invertible ............................................... 162
Matriz reducida................................................ 142
Menor de una matriz.......................................... 154
Método de eliminación.......................................... 81
de Gauss.............................................. 222, 223
de Gauss-Jordan ................................ ........... 228
Método de la matriz inversa (sistemas de ecuaciones) ... 217
Método gráfico de resolución de
inecuaciones con dos incógnitas......................... 267
problemas de Programación Lineal...................... 287
sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.............. 70
sistemas de inecuaciones con dos incógnitas .......... 270
Método Simplex ............................................... 299
condiciones necesarias.................................... 299
problema de máximo ...................................... 303
criterio de optimización ............................... 307
solución no acotada ................................ ... 312
solución no factible.................................... 330
solución única .......................................... 312
soluciones múltiples ................................ ... 312
problema de mínimo ...................................... 332
criterio de optimización ............................... 334
síntesis...................................................... 340
solución no factible........................................ 330
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones
de la matriz inversa ....................................... 217
eliminación ................................................... 81
Gaus.................................................. 222, 223
Gauss-Jordan .............................................. 228
gráfico ....................................................... 70
igualación................................ ................ 74, 78
reducción................................ ..................... 81
regla de Cramer ................................ ........... 220
sustitución............................................... 74, 75
Métodos para el cálculo de la matriz inversa
por cofactores.............................................. 167
por reducción .............................................. 171
Miembros de una ecuación................................ ...... 5
N
Naturales (números).......................................... 372
Negativos (números reales)............................ 374, 383
No acotada..........................................................
solución......................................... 281, 312, 353
conjunto.................................................... 278
región....................................................... 278
No básica (variable)................................ ..... 301, 306
No factible
problema de programación lineal .................. 327, 340
solución .........................................282, 330, 352
No singular (matriz) ................................ ........... 162
Números
enteros, .................................................... 372
irracionales ................................................. 373
naturales................................................... 372
racionales................................ .................. 372
reales........................................................ 373
negativ os.......................................... 374, 383
no negativos........................................... 383
positivos........................................... 374, 383
Números reales
división de fracciones...................................... 378
multiplicación de fracciones .............................. 377
operaciones................................................. 374
propiedades....................................... 374,375
orden........................................................ 383
propiedades............................................. 383
potencias................................ ................... 379
con exponente entero................................. 379
propiedades ......................................... 379
con exponente fraccionario........................... 380
propiedades de las operaciones................... 374, 375
suma y resta de fracciones............................... 376
con distinto denominador............................. 377
con el mismo denominador........................... 376
O
Objetivo (función)........................... 275, 276, 277, 349
Octantes..........................................................43
Oferta................................ ........................ 49, 50
Operaciones
con matrices................................................ 120
propiedades.................................121, 122, 132
con números reales........................................ 374
propiedades....................................... 374, 375
elementales por filas ...................................... 139
que preservan soluciones
de ecuaciones ............................................. 7
de inecuaciones........................................ 262
Óptima (solución) ....................................... 278, 281
Orden
de un sistema de ecuaciones......................... 63,189
de una matriz .............................................. 108
en los números reales..................................... 383
propiedades............................................. 383
Ordenada (as)
al origen ......................................................25
de un punto ..................................................24
eje de las ....................................................23
Ortogonal (matriz)............................................. 185
459
Índice Alfabético
P
Paralelas (rectas)................................................ 36
Parámetros..................................................... 211
Pendiente de una recta......................................... 30
cero ........................................................... 31
indefinida................................ ..................... 31
negativa...................................................... 30
positiva ....................................................... 30
significado geométrico...................................... 30
Perelman Yakov Isidorovich..................................... 2
Perpendiculares (rectas)........................................ 37
Pivot
columna .................................................... 308
elemento ................................ ........ 142, 222, 308
fila................................ ........................... 308
Planos coordenados................................ ............. 44
Potencias....................................................... 379
base......................................................... 379
con exponentes enteros .................................. 379
con exponentes fraccionario ............................. 380
Problema de máximo de Programación Lineal
con restricciones de menor o igual...................... 303
Problema de mínimo de Programación Lineal.............. 332
Problema de Programación Lineal
coeficientes................................................. 276
de la función objetivo ................................. 276
de las restricciones .................................... 276
conjunto factible................................ ........... 278
criterios de optimización
de máximo .............................................. 307
de mínimo .............................................. 334
de máximo ................................................. 303
de mínimo .................................................. 332
expresión general ......................................... 276
forma estándar............................................ 300
función objetivo............................................ 275
método gráfico de resolución............................ 287
método Simplex ................................ ..... 299, 340
no factible .................................. 282,330,340, 352
planteo...................................................... 277
restricciones................................................ 275
restricciones de no negatividad.......................... 276
restricciones estructurales o específicas................ 276
solución(es)
básica ................................ ................... 301
factible ............................................ 278, 301
factible básica .......................................... 301
múltiple (es).......................... 281, 312, 340, 350
no acotada............................ 281, 312, 340, 354
no factible .............................. 282, 330,340,352
óptima ................................ ............. 278, 340
teorema de existencia de............................. 282
ubicación de las soluciones ........................... 279
460
única.....................................281, 312,340,349
términos independientes.................................. 276
variables de decisión ..................................... 276
Producto
de matrices................................................. 124
propiedades............................................. 132
Producto de una matriz por un escalar ..................... 122
propiedades ................................................ 122
Productoria..................................................... 404
índice........................................................ 405
propiedades ................................................ 405
término general............................................ 405
Programación Lineal
coeficientes................................................. 276
conjunto factible................................ ........... 278
expresión general.......................................... 276
forma estándar............................................. 300
función objetivo............................................ 275
método gráfico de resolución ............................ 287
método Simplex...................................... 299, 340
no factible ..................................282,330,340, 352
planteo...................................................... 277
problema
de máximo .............................................. 303
de mínimo............................................... 332
restricciones ............................................... 275
restricciones de no negatividad .......................... 276
restricciones estructurales o específicas ................ 276
solución (es)
básica.................................................... 301
factible ............................................ 278, 301
factible básica .......................................... 301
múltiple (es).......................... 281, 312, 340, 350
no acotada............................ 281, 312, 332, 354
no factible...............................282, 330,340,352
óptima................................ ............. 278, 340
teorema de existencia de ............................. 282
ubicación de las soluciones........................... 279
única.................................... 281, 312, 340,349
términos independientes.................................. 276
variables de decisión ..................................... 276
Punto de equilibrio ..............................................93
Punto de equilibrio del mercado...............................94
Punto medio de un intervalo ................................. 385
R
Raíces de una ecuación........................................ 14
Rango
columna.................................................... 206
de matrices equivalentes ................................. 207
de una matriz ............................................. 206
fila ................................ ........................... 206
Índice Alfabético
Reales (números) ........................................ 372,373
Recta real ...................................................... 373
intervalos de la ............................................ 384
abiertos ................................................. 384
cerrados................................................. 385
de longitud infinita..................................... 385
longitud ................................................. 385
punto medio............................................ 385
semiabiertos............................................ 385
semicerrados ................................ ........... 385
Rectas
constantes.................................................... 34
crecientes................................ ............30, 34, 50
decrecientes.........................................30, 34, 49
forma punto-pendiente................................ 32, 36
horizontales............................................. 28, 36
paralelas...................................................... 36
pendiente................................ ..................... 30
perpendiculares.............................................. 37
que pasan por dos puntos.........................29, 33, 36
verticales................................ ................ 28, 36
Reducción de matrices........................................ 143
Reducción o eliminación (método) ............................ 81
Reducida (matriz) ............................................. 142
Región acotada................................................ 278
Regla
de Cramer .................................................. 220
de Sarrus ................................ ................... 152
Regular (matriz)............................................... 162
Resolución de problemas.................................. 86, 87
Resolución de sistemas de inecuaciones con
dos incógnitas.............................................. 270
Resolución de un sistema de ecuaciones lineales ......... 194
Método
de la matriz inversa.................................... 217
eliminación ................................................ 81
Gauss .............................................. 222, 223
Gauss-Jordan................................ ........... 228
gráfico ................................ .................... 70
igualación ............................................ 74, 78
regla de Cramer ........................................ 220
sustitución............................................ 74, 75
Restricciones................................ ................... 275
de no negatividad ......................................... 276
estructurales o específicas................................ 276
Rouchè-Fröbenius (teorema) ......................... 209, 301
S
Sarrus (regla de).............................................. 152
Simétrica (matriz) ............................................. 116
Simplex (método) ............................................. 299
Singular (matriz) .............................................. 162
Sistema de ecuaciones
compatible determinado ........ 65, 70, 84, 193, 211, 233
compatible indeterminado ...... 65, 70, 84, 193, 211, 233
de dos ecuaciones con dos incógnitas ....................63
solución ...................................................64
dimensión................................ .............. 63, 189
homogéneo................................ 64, 190, 199, 233
incógnitas................................ ............... 63,189
incompatible ...................... 65, 70, 84, 193, 209, 233
inconsistente .......................................... 65, 193
no homogéneo........................................ 64, 190
términos independientes............................. 63,189
Sistema de coordenadas Cartesianas .........................23
Sistema de coordenadas rectangulares.......................23
Sistema de inecuaciones lineales............................ 270
Sistemas de ecuaciones lineales
clasificación por sus soluciones ...................... 65,193
clasificación por sus términos independientes...... 64,190
conjunto solución ..................................... 64, 192
definición ................................ ............... 63,189
equivalentes........................................... 67, 195
expresión general..................................... 63, 189
expresión matricial......................................... 190
forma matricial............................................. 190
homogéneos........................................... 64, 190
no homogéneos....................................... 64, 190
solución ................................................ 64, 192
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
métodos de resolución..................................... 68
métodos de resolución analíticos ..........................74
métodos de resolución gráficos ............................70
solución .......................................................64
Software LINDO ............................................... 346
Solución
básica ...........................................301, 306, 340
de un Problema de Programación Lineal....279, 281, 282
de un sistema de ecuaciones......................64, 66, 192
de un sistema de inecuaciones con dos incógnitas... 270
de un sistema de inecuaciones lineales................. 270
de una ecuación................................ .............. 6
de una ecuación lineal
con dos incógnitas.......................................26
con tres incógnitas.......................................42
con una incógnita........................................11
de una inecuación lineal .................................. 262
factible ................................................ 278, 301
factible básica.............................................. 301
múltiple .....................................281, 312,340,350
no acotada..................................281, 312,340,354
no básica.................................................... 301
no factible ..................................282, 330,340,352
óptima................................................. 278, 340
trivial........................... 72, 192, 196, 203, 211, 233
única ........................................281, 312,340,349
461
Índice Alfabético
Solución múltiple de un problema de
Programación Lineal...................... 281, 312,340,350
Solución no acotada de un problema
de Programación Lineal................... 281, 312,340,354
Solución no factible de un problema
de Programación Lineal .................. 282, 330,340,352
Solución única de un problema
de programación lineal.................... 281, 312,340,349
Soluciones de sistemas lineales
homogéneos ............................................... 233
no homogéneos............................................ 233
Subconjuntos de la recta real (intervalos).................. 384
Suma
de cubos.................................................... 395
de matrices................................................. 120
propiedades ............................................ 121
fórmula
de los primeros n cuadrados naturales.............. 403
de los primeros n cubos naturales................... 403
de los primeros n naturales........................... 403
Suma y diferencia de cubos.................................. 395
Sumatoria ................................................ 115, 398
elemento genérico......................................... 398
fórmulas de sumas para enteros positivos ............. 402
índice........................................................ 398
múltiples.................................................... 402
propiedades ................................................ 400
Sustitución (método)........................................ 74,75
T
Teorema
de existencia de soluciones en Programación Lineal .. 282
de Rouchè-Fröbenius................................ 209, 301
de soluciones de sistemas de ecuaciones ........ 233, 234
de soluciones de sistemas de ecuaciones
462
homogéneos ............................................. 233
Término............................................................ 5
Término de una ecuación........................................ 5
Términos semejantes ............................................ 5
Traza de una matriz ................................ ........... 115
Trinomio cuadrado perfecto............................. 13, 392
Trivial (solución) .................. 72, 192, 196, 203, 211, 233
U
Unidad (matriz) ................................................ 117
Unitario (vector)............................................... 306
V
Variable ........................................................... 5
artificial ............................................... 320, 323
básica ...........................................301, 306, 340
de decisión ................................................. 276
de excedente............................................... 300
de holgura ............................................ 299, 300
dependiente................................................. 27
libre o independiente........................................27
no básica.............................................. 301, 306
Variables de una ecuación....................................... 5
Vector
columna..................................................... 114
de incógnitas............................................... 190
de términos independientes .............................. 190
fila ................................ ........................... 114
unitario...................................................... 306
Vectores
combinación lineal......................................... 201
dependencia lineal......................................... 203
independencia lineal....................................... 203
Verticales (rectas).......................................... 28, 36