9
,,
-~~
7
..-INAMICA
. . . INAMICA
ERIAM -- L.G.
l.G. KRAIGE
KRAIGE
. ERIAM
33 3
EDICióN
EDICióN
/
,
EDITORIAL REVERTÉ,
REVERTE, S~A.
S~A.
EDITORIAL
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, ¿
FACTORES DE CONVERSIÓN
Para convertir
DE LAS U. S. CUSTOMARY UNITS EN UNIDADES SI
En
Multiplicar por
(Aceleración)
pie/segundo'
(ft/sec')
pulgada/
segundo'
(in./ sec2)
metro/ segundo'
metro/segundo'
(m / s')
(m/s')
3,048 X 10-1*
2,54 x 10-'*
(Área)
pie' (ft')
pulgada'
metro'
metro'
(in.')
(m')
(m')
9,2903 xlO-'
6,4516 x 10-4*
(Densidad)
libra masa Zpulgada-' (lbmj in.")
libra masa/pie3
(lbm /fi'')
kilogramo/
kilogramo
metro"
/ metro"
(kg/ m'')
(kg / m ')
2,7680 x 104
1,6018 x 10
(Fuerza)
kip (1000 lb)
libra fuerza (lb)
newton
newton
(N)
(N)
4,4482 x 103
4,4482
(Longitud)
pie (ft)
pulgada (in.)
milla (mi), (U. S. statute)
milla (mi), (náutica internacional)
metro
metro
metro
metro
(m)
(m)
(m)
(m)
3,048 x lO-l'
2,54 x 10-"
1,6093 x 103
1,852 x 103'
(Masa)
libra masa (lbm)
slug (lb-sec- / ft)
tonelada (2000 lbm)
kilogramo
kilogramo
kilogramo
(kg)
(kg)
(kg)
4,5359 x 101,4594 x 10
9,0718 x lO'
1
(Momento de fuerza)
libra-pie (lb-ft)
libra-pulgada
(lb-in.)
newton-metro
newton-metro
(Momellto de inercia, área)
pulgada"
metro"
(N ·m)
(N ·m)
1,3558
0,11298
(m")
41,623 x 10-5
(Momento de inercia, masa)
libra, pie, segundo'
kilogramo-metro'
(kg· m')
1,3558
(Cantidad de movimiento, lineaL)
libra-segundo
(Ib-sec)
kilogramo-metro/segundo
(kg . mis)
4,4482
(Cantidad de movimiento, angular)
libra-pie-segundo
newton-metro-segundo
(kg· m'/s)
1,3558
(Potencia)
pie-libra/ minuto (ft-Ib/ min)
caballo de vapor (550 ft-Ib/sec)
watt(W)
watt(W)
2,2597 x 10-'
7,4570 x lO'
(Presión, carga)
atmósfera
(estándar)
(14,7Ib/in2)
llbra Zpie? (lb/ft')
libra/pulgada'
(lb/in.' o psi)
newton/ metro'
newton/ metro'
newton / metro'
(N / m2 oPa)
(N / m' oPa)
(N / m' oPa)
1,0133 x 105
4,7880 x 10
6,8948 x 103
(Constante del resorte)
libra/pulgada
(lb/in.)
newton/metro
(N/m)
1,7513 x 102
(Ve/ocidad)
piel segundo (ft/ sec)
nudo (náutico mi / hr)
milla/hora
(mi/hr)
milla/hora
(mi/hr)
metro/ segundo
metro/segundo
metro/segundo
kilómetro/hora
(m/ s)
(m/s)
(m/s)
(km/h)
3,048 x 10-1'
5,1444 x 10-1
4,4704 x lO-l'
1,6093
(Volumen)
píe-' (f¡3)
pulgada' (ín.')
rnetro-' (m-')
metro-' (m3)
2,8317 x 10-'
1,6387 x 10-5
joule Ij)
joule (J)
joule Ij)
1,0551 x 103
1,3558
3,60 x 1()6*
(Trabajo, energía)
Unidad térmica inglesa
pie-libra fuerza (ft-Ib)
kilowatt-hora
(kw-hr)
(BTU)
Valor exacto.
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I
UNIDADES
Magnitud
SI UTILIZADAS EN MECÁNICA
Unidad
Símbolo
metro
kilogramo
segundo
m
kg
SI
(Ullidades básicos)
Longitud
Masa
Tiempo
s
(Ullidades derivados)
Aceleración, lineal
Aceleración,
angular
Área
Densidad
Fuerza
Frecuencia
Impulso, lineal
Impulso, angular
Momento de fuerza
Momento de inercia, área
Momento de inercia, masa
Cantidad de movimiento,
lineal
Cantidad
de movimiento,
angular
Potencia
Presión, carga
Producto de inercia, área
Producto de inercia, masa
Constante
del resorte
Velocidad, lineal
Velocidad, angular
Volumen
Trabajo, energía
(Unidades suplementarios
metro/ segundo'
radián/segundo'
metro?
kilogramo/
metro'
newton
hertz
newton-segundo
newton-metro-segundo
newton-metro
metro"
kilogramo-metro'
kilogramo-metro
/ segundo
kilogramo-metro'
/ segundo
watt
pascal
metro"
kilogramo-metro'
newton / metro
metro/ segundo
radián/ segundo
mis'
rad/ s'
m'
kg/m3
N (= kg· mis')
Hz (= l/s)
N ·s
N· m· s
N·m
m4
m'
kg·
kg· m/s (= N· s)
kg· m'/s (= N· m· s)
W(=J/s=N·m/s)
Pa (= N/m')
m4
kg·
N/m
m'
m/s
rad/s
metro?
m3
joule
j(=N·
m)
y otras unidades aceptables)
Distancia (navegación)
Masa
Ángulo plano
Ángulo plano
Velocidad
Tiempo
Tiempo
Tiempo
milla náutica
tonelada (métrica)
grados (decimal)
radián
nudo
día
hora
minuto
(= 1,852 km)
t (= 1000 kg)
o
(1,852 km/h)
d
h
min
ALGUNAS REGLAS IMPORTANTES PARA ESCRIBIR MAGNITUDES MÉTRICAS
PREFIJOS DE LAS UNIDADES
Factor de multiplicación
"1000000000000
1000000000
1 000 000
1000
100
la"
=
= 109
= 106
=103
=
= 10
0,1 = 10-1
0,01 = 10-'
0,001 = 10-3
0,000001 = 10-6
0,000000001
= 10-9
0,000000000001
= 10-12
la
la'
Prefijo
tera
giga
mega
kilo
hecto
deca
deci
centi
mili
micra
nano
pico
SI
Símbolo
T
G
M
k
h
da
d
c
m
11
l. (a) Utilizar los prefijos para mantener los valores numéricos
dentro del intervalo
0,1 a 1000.
(b) Evitar el uso de los prefijos hecto, deca, deci y centi, excepto en los casos de
ciertas áreas y volúmenes
en los que los números serían confusos.
(e) En las combinaciones
de unidades,
utilizar prefijos solamente
en el numerador. La única excepción
es la unidad básica kilogramo.
(Ejemplo: se escribe
kN/m, no N/mm; l/kg, no mJ/g.)
(d) No utilizar prefijos dobles. (Ejemplo: se escribe GN, no kMN.)
2. Escritura de unidades
(a) Utilizar un punto para la multiplicación
de unidades.
(Ejemplo: se escribe
N· m, no Nm.)
(b) No utilizar barras inclinadas
dobles. (Ejemplo: se escribe N / m', no N/ m/ m.)
(e) Los exponentes
se refieren a toda la unidad. (Ejemplo: rnrn? significa (m m)'.)
n
P
3. Agrupamiento
de números
Utilizar un espacio en lugar de un punto para separar los números en grupos de
tres cifras, contando a partir de la coma decimal y en ambas direcciones.
(Ejemplo:
4607321,04872.)
En los números
de cuatro cifras el espacio se puede omitir.
(Ejemplo: 4296 ó 0,0476.)
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Mecánica
Mecánica para
para Ingenieros
Ingenieros
,
,
DINAMICA
DINAMICA
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11
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Mecánica para Ingenieros
Ingenieros
Mecánica
,,
DINAMICA
DINAMICA
3a
a
EDICION
EDICION
J.l.
MERIAM
J.l. MERIAM
University
California
University of California
Santa Barbara
Barbara
Santa
l.G. KRAIGE
KRAIGE
l.G.
Virginia
Virginia Polytechnic
Polytechnic Institute
Institute and
University
State University
,,
EDITORIAL.
EDITORIAL
REVERTE
REVERTE
ss .
A .
A
Barcelona
- Bogotá
- Buenos
Aires
- México
Barcelona
Bogotá
Buenos
Aires - Caracas
Carocas
México
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Título de
de la obra
obra original:
original:
Título
Engineering Mechanics.
Mechanics. Dynamics.
Dynamics. Volume
V olume two.
two. Third
Third Edition
Edition
Engineering
Edición original
original en lengua
lengua inglesa
inglesa publicada
publicada por:
Edición
John Wiley
Wiley &
& Sons,
Sons, Inc.,
Inc., New York,
York, U.S.A.
U.S.A.
John
Copyright © John
.Iohn Wiley
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Copyright
Versión espaFíola
española por:
Versión
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Dr. José
José Vilardell
Vilardell
Dr.
Universidad Po
Polilitécnica
técnica de Cataluña
Cataluña
Universidad
Propiedad de:
de:
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REVERTÉ, S. A.
EDITORIAL
Loreto, 13-15,
13-15, Local
Local B
Loreto,
08029 Barcelona
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419 33 36
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todos los derechos.
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cualquier medio
Reservados
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parcial de esta
esta obra,
obra, por
por cualquier
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procedimiento,
distribución de
informático , y la distribución
proced imien to, comprendidos
comprendidos la reprografía
reprografía yy el
el tratamiento
tratamiento informático,
ejemplares
mediante alquiler
alquiler o préstamo
préstamo públicos,
públicos, queda
queda rigurosamente
rigurosamente prohibida
prohibida sin la
ej
empl ares de ella
ell a mediante
autorización
autori
zac ión escrita
escrita de los titulares
titulares del copyright,
copyright, bajo
bajo las sanciones
sanciones establecidas
establecidas por
por las
las leyes.
leyes.
Edición en
Edición
en español
español
© EDITORIAL
EDITORIAL REVER
REVERTÉ,
TÉ, S.
S. A.,
A., 1998
1998
REIMPRESIÓN:
REIMPRESIÓN: Septiembre
Septiembre de
de 2002
2002
Impreso
Impreso en
en España
Es paña - Printed
Printed in
in Spain
Spain
ISBN:
ISBN : 84
84 -- 29\
29 1 -- 4280
4280 -- OO
ISBN:
291 -- 4259
4259 -- 22
ISBN: 84
84 -- 291
Obra
Obra completa
completa
Volumen
Volumen II
Il
Depósito
Depós ito Legal:
Legal: B-38223-2002
B-38223-2002
Impreso
[mpreso por
por LTBERDÚPLEX,
LlBERDÚPLEX, S.L.
S.L.
Constitución
Constitución 19,
19, interior
interi or (Can
(Can Batlló)
Batlló)
080\4
080 14 BARCELONA
BARCELONA
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Prólogo
No es posible
ponderar las innovaciones
por el
posible ponderar
innovaciones y contribuciones
contribuciones introducidas
introducidas por
James L. Meriam
Meriam en
Mecánica Técnica,
Técnica, ya
ya que
Dr. James
en el campo
campo de la Mecánica
que sin
sin duda
duda su
su
influencia sobre
sobre la enseñanza
enseñanza de
de esta
esta disciplina
disciplina ha
sido superior
superior a la de cualcualinfluencia
ha sido
quier
persona durante
último cuarto
primeros liquier otra
otra persona
durante el último
cuarto de siglo.
siglo. En 1951, sus
sus primeros
bros reconstruyeron
reconstruyeron literalmente
literalmente la enseñanza
materia y se convirtieron
bros
enseñanza de
de esta
esta materia
convirtieron
en los textos
textos definitivos
decenios siguientes.
textos, organizadefinitivos durante
durante los decenios
siguientes. Sus textos,
organizados
lógica, se leían
ingeniedos con lógica,
leían fácilmente
fácilmente y estaban
estaban dirigidos
dirigidos al estudiante
estudiante de
de ingeniemedio con
una gran
profusión de estimulantes
ejemplos, basados
basados en
ría medio
con una
gran profusión
estimulantes ejemplos,
en
problemas de auténtica
Aquellos libros
problemas
auténtica ingeniería
ingeniería estupendamente
estupendamente ilustrados.
ilustrados. Aquellos
libros
pasaron a ser
modelos para
para otros
textos de Mecánica
Mecánica Técnica
pasaron
ser modelos
otros textos
Técnica desde
desde los años
años
1950 hasta
hasta ahora.
ahora.
El Dr. Meriam
comenzó sus
sus trabajos
en Mecánica
aplicada en
en la UniversiMeriam comenzó
trabajos en
Mecánica aplicada
Universidad de Yale, donde
donde se graduó
graduó en
en Ingeniería
doctoró en
en Ingeniería
dad
Ingeniería y
y se doctoró
Ingeniería y Física.
Física.
No tardó
en adquirir
adquirir experiencia
experiencia industrial
industrial en
en Pratt
and Whitney
en
tardó en
Pratt and
Whitney Aircraft
Aircraft y en
General Electric
Company, lo cual
cual sirvió
sirvió de estímulo
estímulo para
sus primeras
contriGeneral
Electric Company,
para sus
primeras contribuciones
estudios sobre
sobre tensiones
internas tanto
analíbuciones a la mecánica
mecánica mediante
mediante estudios
tensiones internas
tanto analíticos como
como experimentales.
experimentales.
Durante
11 Guerra
Guerra Mundial
sirvió en
en los
Durante la 11
Mundial sirvió
guardacostas.
guardacostas.
Durante
años el Dr.
de la Universidad
de CaDurante veintiún
veintiún años
Dr. Meriam
Meriam fue miembro
miembro de
Universidad de
lifornia-Berkeley,
donde
prestó
sus
servicios
como
profesor
de
Mecánica
para
lifornia-Berkeley, donde prestó sus servicios como profesor de Mecánica para
ingenieros, Decano
de Estudios
Superiores y Presidente
ingenieros,
Decano Ayudante
Ayudante de
Estudios Superiores
Presidente de la DiviDivisión de Mecánica
Ingeniería de la Universión
Mecánica y Proyectos.
Proyectos. En
En 1963 fue Decano
Decano de Ingeniería
Universidad de Duke,
donde dedicó
dedicó todas
sus energías
energías al desarrollo
desarrollo de la Escuela
de
sidad
Duke, donde
todas sus
Escuela de
Ingeniería
sus deseos
deseos de dedicarse
dedicarse nuevamente
de lleno
Ingeniería de la misma.
misma. Fiel a sus
nuevamente de
lleno a
enseñanza, en
en 1972 aceptó
aceptó el nombramiento
de profesor
de Mecánica
Técnila enseñanza,
nombramiento de
profesor de
Mecánica Técnide California,
California, de donde
donde se retiró
en
ca de la Universidad
Universidad Politécnica
Politécnica Estatal
Estatal de
retiró en
diez años
años siguientes
siguientes ejerció
ejerció de
de profesor
en la Uni1980. Durante
Durante los diez
profesor visitante
visitante en
Universidad
California, Santa
Santa Bárbara,
segunda vez
en 1990. El
versidad de California,
Bárbara, retirándose
retirándose por
por segunda
vez en
Dr. Meriam
dado siempre
siempre gran
gran énfasis
énfasis a la enseñanza,
enseñanza, característica
característica que
que ha
Meriam ha
ha dado
ha
sido reconocida
sus alumnos
alumnos en
en todos
lugares donde
donde la ha
sido
reconocida por
por sus
todos los lugares
ha practicado.
practicado.
En Berkeley
en recibir,
en 1963, el premio
Outstanding Faculty
Berkeley fue el primero
primero en
recibir, en
premio Outstanding
Faculty
que la sociedad
sociedad Tau
Tau Beta
otorga principalmente
excelencia en
en la enseenseque
Beta Pi otorga
principalmente por
por la excelencia
ñanza.
de la Ingeniería
ñanza. En 1978 la Asociación
Asociación Americana
Americana para
par~ la Enseñanza
Enseñanza de
Ingeniería le
vv
http://gratislibrospdf.com/
VI
PRÓlOGO
PRÓlOGO
concedió
premio Distinguished
por sus
concedió el premio
Distinguished Educator
Educator por
sus sobresalientes
sobresalientes servicios
servicios a
la enseñanza
enseñanza de la Mecánica
Mecánica Técnica.
Técnica.
profesor Meriam
primer autor
El profesor
Meriam fue el primer
autor que
que mostró
mostró claramente
claramente cómo
cómo ememplear
para resolver
problemas
plear el método
método de
de los trabajos
trabajos virtuales
virtuales para
resolver cierto
cierto tipo
tipo de
de problemas
de
por autores
de Estática
Estática en
en su mayoría
mayoría despreciados
despreciados por
autores anteriores.
anteriores. Por
Por lo que
que resrespecta a la Dinámica,
pecta
Dinámica, clarificó
clarificó notablemente
notablemente la exposición
exposición del
del movimiento
movimiento plaplano y en
en ediciones
ediciones posteriores
Cinemática y la Cinética
Cinética tridimensionales
tridimensionales
no
posteriores la Cinemática
recibieron
profesor Meriam
recibieron el mismo
mismo tratamiento.
tratamiento. Es, además,
además, el profesor
Meriam uno
uno de
de los
primeros promotores
promotores del
versiones de
primeros
del Sistema
Sistema Internacional
Internacional de
de Unidades
Unidades y las versiones
de
este
Dinámica publicados
publicados en
prieste sistema
sistema en
en sus
sus libros
libros Estática
Estática y Dinámica
en 1975 fueron
fueron los primeros
meros textos
textos de Mecánica
Mecánica en
en unidades
unidades SI de
de Estados
Estados Unidos.
Unidos.
También el Dr. L. Glenn
Glenn Kraige,
Kraige, coautor
coautor por
segunda vez
vez de
de esta
esta MECÁNIMECÁNITambién
por segunda
CA PARA
PARA INGENIEROS,
INGENIEROS, ha
ha efectuado
efectuado importantes
importantes contribuciones
contribuciones a la enseenseñanza
ñanza de
de la Mecánica.
Mecánica. Cursó
Cursó sus
sus estudios
estudios en
en la Universidad
Universidad de
de Virginia,
Virginia, donde
donde
se graduó
principalmente en tecnología
graduó y doctoró
doctoró en
en ciencias
ciencias e ingeniería,
ingeniería, principalmente
tecnología aeroespacial,
profesor de
roespacial, y actualmente
actualmente ejerce
ejerce de profesor
de Ciencia
Ciencia de la Ingeniería
Ingeniería y MeMecánica
cánica en
en la Universidad
Universidad Estatal
Estatal e Instituto
Instituto Politécnico
Politécnico de
de Virginia.
Virginia.
Además
campo
Además de su reconocida
reconocida labor
labor investigadora
investigadora y divulgadora
divulgadora en
en el campo
de la dinámica
prestado gran
dinámica de
de las naves
naves especiales,
especiales, el profesor
profesor Kraige
Kraige ha
ha prestado
gran
atención a la enseñanza
enseñanza de
de la Mecánica,
niveles tanto
tanto de
de iniciación
iniciación como
como suatención
Mecánica, a niveles
perior. Su destacada
perior.
destacada actividad
actividad docente
docente está
está ya
ya generalmente
generalmente reconocida
reconocida y le ha
ha
hecho
premios, entre
hecho merecedor
merecedor de
de varios
varios premios,
entre los que
que se cuentan
cuentan el concedido
concedido por
por
AT &
por su excepcional
& T, en 1988, como
como recompensa
recompensa por
excepcional labor
labor en
en el campo
campo de la
enseñanza
para
enseñanza dentro
dentro de
de la Southeastern
Southeastern Section
Section de la Asociación
Asociación Americana
Americana para
la Enseñanza
también en
premio Outstanding
Enseñanza Técnica
Técnica y, también
en 1988, el premio
Outstanding Educator
Educator del
del
Consejo
Consejo Estatal
Estatal de
de Enseñanza
Enseñanza Superior
Superior de la Commonwealth
Commonwealth de Virginia.
Virginia. En
su actividad
actividad docente
docente acentúa
acentúa siempre
siempre el desarrollo
desarrollo de
de las capacidades
capacidades analítianalítisu
con la consolidación
consolidación del
del sentido
sentido físico y d
del
razonamiento técnico.
técnico.
cas junto
junto con
el razonamiento
Son de
de destacar,
destacar, asimismo,
asimismo, sus
sus trabajos
trabajos de
de desarrollo
software de simulasimulaSon
desarrollo de software
ción de movimientos
movimientos para
ordenadores personales
mediados de
de los años
años
ción
para ordenadores
personales a mediados
ochenta. Más
Más recientemente,
recientemente, inició
inició un
un esfuerzo
esfuerzo a largo
largo plazo
en el área
área de proochenta.
plazo en
procedimientos de multimedia
multimedia para
enseñanza y aprendizaje
aprendizaje de Estática
Estática y DináDinácedimientos
para enseñanza
mica.
mica.
Esta tercera
tercera edición
edición de MECÁNICA
MECÁNICA PARA
PARA INGENIEROS
INGENIEROS está
está planteada
planteada
Esta
en el mismo
mismo nivel
nivel superior
superior que
que sus
sus predecesoras
ella se han
han añadido
añadido nuevas
nuevas
en
predecesoras y a ella
aportaciones que
que resultarán
resultarán provechosas
interesantes para
estudiantes.
aportaciones
provechosas e interesantes
para los estudiantes.
Contiene asimismo
asimismo una
una vasta
vasta colección
colección de
de interesantes
interesantes e instructivos
instructivos probleContiene
problemas. El análisis
análisis y las aplicaciones
aplicaciones son
son las piedras
piedras angulares
angulares del
del éxito
éxito en
en el
mas.
aprendizaje de
de la Mecánica
Mecánica Técnica
Técnica y J. L. Meriam
Meriam y L. G. Kraige
Kraige demuestran
demuestran
aprendizaje
una vez
vez más
más que
que son
son los mejores
mejores cuando
cuando se trata
trata de combinar
combinar tan
tan esenciales
esenciales
una
características.
características.
r
e
s
r
s
r
r
t
Y
Robert F. Steidel,
Steidel, Jr.
Robert
Profesor
emérito de Mecánica
ProfesoT emérito
Mecánica Técnica
Universidad de California,
California, Berkeley
UniveTsidad
Berkeley
d
d
e
c
p
e
g
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estudiante
Prólogo para el estudiante
I
Al emprender
emprender el estudio
estudio de la Mecánica
aplicada, primero
seguidaMecánica aplicada,
primero la Estática
Estática y seguidamente
sentar los cimientos
cimientos de
de su
su capacidad
capacidad analítica
analítica
mente la Dinámica,
Dinámica, procede
procede Vd.
Vd. a sentar
para
gran variedad
de problemas
ingeniería. Actualmente,
para resolver
resolver una
una gran
variedad de
problemas de ingeniería.
Actualmente, el
ingeniería exige
exige una
elevado nivel.
de capacidad
capacidad analítica
analítica y Vd.
ejercicio de la ingeniería
una elevado
nivel .de
Vd.
comprobará por
que el estudio
estudio de la Mecánica
ayudará enormemenenormemencomprobará
por sí mismo
mismo que
Mecánica le ayudará
te a desarrollar
desarrollar esa
esa capacidad.
capacidad.
Merced
aplicada podemos
aprender a construir
construir y resolver
Merced a la Mecánica
Mecánica aplicada
podemos aprender
resolver los
modelos
que describen
describen los
los efectos
efectos de
de las fuerzas
fuerzas y los movimienmodelos matemáticos
matemáticos que
movimientos sobre
sobre una
gran variedad
de estructuras
estructuras y máquinas
que son
son de interés
interés para
una gran
variedad de
máquinas qUe
para
ingenieros. Aplicando
consigue formular
formular
los ingenieros.
Aplicando los
los principios
principios de la Mecánica
Mecánica se consigue
dichos modelos
incorporando a ellos
ellos las hipótesis
físicas y las aproximaciones
aproximaciones
dichos
modelos incorporando
hipótesis físicas
matemáticas
adecuadas. Tanto
Tanto en
en el planteo
como en
en la resolución
matemáticas adecuadas.
planteo como
resolución de probleproblemas
son muy
frecuentes las
las ocasiones
ocasiones para
conocimientos
mas de Mecánica
Mecánica son
muy frecuentes
para utilizar
utilizar conocimientos
de geometría,
geometría, álgebra,
álgebra, cálculo
cálculo vectorial,
geometría analítica
analítica y cálculo
cálculo infinitesiinfinitesivectorial, geometría
mal. Y,
desde
luego,
es
más
que
probable
que
descubra
Vd.
aspectos
nuevos
de
Y, desde luego, más que probable que descubra Vd. aspectos nuevos de
importancia de
de estos
estos instrumentos
instrumentos matemáticos
cuando los
los emplee
emplee dentro
dentro
la importancia
matemáticos cuando
campo de la Mecánica.
del campo
Mecánica.
El éxito
éxito en
en mecánica
mecánica (yen
(y en toda
ingeniería) depende
depende grandemente
grandemente del
del dedetoda la ingeniería)
sarrollo de un
disciplinado para
abordar los
los problemas
desde las
sarrollo
un método
método bien
bien disciplinado
para abordar
problemas desde
hipótesis
su conclusión
conclusión y a través
del cual
cual se apliquen
apliquen rigurohipótesis de partida
partida hasta
hasta su
través del
rigurosamente
años de experiencia
experiencia como
samente los principios
principios pertinentes.
pertinentes. Por
Por mis
mis muchos
muchos años
como
profesor
ingeniero conozco
conozco la importancia
importancia que
que tiene
profesor e ingeniero
tiene representar
representar el trabajo
trabajo
propio
desarrollado de una
clara, lógica
constipropio desarrollado
una manera
manera clara,
lógica y breve.
breve. La Mecánica
Mecánica constituye
excelente para
desarrollar esos
esos hábitos
de pensamiento
tuye una
una motivo
motivo excelente
para desarrollar
hábitos de
pensamiento lógico
lógico
y exposición
exposición eficaz.
eficaz.
Este
de MECÁNICA
INGENIEROS contiene
contiene un
gran número
Este texto
texto de
MECÁNICA PARA
PARA INGENIEROS
un gran
número
cuyas soluciones
soluciones se presentan
con todo
detalle. Además,
en
de problemas
problemas tipo
tipo cuyas
presentan con
todo detalle.
Además, en
dichos ejemplos
ejemplos se incluyen
incluyen observaciones
observaciones útiles
en las
las que
que se mencionan
los
dichos
útiles en
mencionan los
errores y trampas
corrientes que
que deben
evitarse. Adicionalmente,
errores
trampas más
más corrientes
deben evitarse.
Adicionalmente, el texto
texto
contiene una
gran colección
colección de
de problemas
sencillos de tipo
introductorio y de
de
contiene
una gran
problemas sencillos
tipo introductorio
problemas
dificultad media,
cuyo objetivo
objetivo es facilitar
facilitar la confianza
confianza inicial
inicial y
problemas de dificultad
media, cuyo
entendimiento de
de cada
cada tema
También se incluyen
incluyen muchos
el entendimiento
tema nuevo.
nuevo. También
muchos problemas
problemas
ilustran casos
casos importantes
importantes y actuales
actuales con
con el fin de
de estimular
estimular el interés
del
que ilustran
interés del
VII
http://gratislibrospdf.com/
VIII
VIII
PRÓlOGO PARA
PARA EL
El ESTUDIANTE
ESTUDIANTE
PRÓLOGO
lector
lector yy ayudarle
ayudarle aa desarrollar
desarrollar su
su apreciación
apreciación hacia
hacia las
las muchas
muchas aplicaciones
aplicaciones de
de
la Mecánica
Mecánica aa la
la Ingeniería.
Ingeniería.
la
Nos
Nos complace
complace animarle
animarle aa Vd.
Vd. como
como estudiante
estudiante de
de Mecánica
Mecánica yy esperamos
esperamos
que
que este
este libro
libro le
le sea
sea de
de utilidad
utilidad yy estímulo
estímulo para
para desarrollar
desarrollar su
su formación
formación como
como
ingeniero.
ingeniero.
L.
KrcUge
t: Ghmm.
G~
Kroige
Santa Bárbara,
Bárbara, California
California
Santa
http://gratislibrospdf.com/
Blacksburg,
Blacksburg, Virginia
Virginia
I
Prólogo para el profesor
I
Básicamente,
Básicamente, el estudio
estudio de
de la Mecánica
Mecánica aplicada
aplicada consiste
consiste en
en desarrollar
desarrollar la capacidad para
predecir los efectos
movimientos al llevar
pacidad
para predecir
efectos de
de las
las fuerzas
fuerzas y los movimientos
llevar a
cabo el trabajo
trabajo de
propio de la Ingeniería.
Una predicción
predicción acerde diseño
diseño creativo
creativo propio
Ingeniería. Una
acertada
requiere algo
algo más
que el simple
simple conocimiento
conocimiento de los
los principios
físicos y
tada requiere
más que
principios físicos
matemáticos
de la Mecánica.
Mecánica. Se necesita
imaginar las
matemáticos de
necesita también
también habilidad
habilidad para
para imaginar
configuraciones
materiales reales,
reales, los vínculos
vínculos verdaverdaconfiguraciones físicas
físicas en
en función
función de los materiales
deros
prácticas que
máquinas y
deros y las limitaciones
limitaciones prácticas
que rigen
rigen el comportamiento
comportamiento de
de máquinas
estructuras. Uno
los objetivos
objetivos primordiales
cuando enseñemos
enseñemos Mecánica
Mecánica
estructuras.
Uno de los
primordiales cuando
debe
esta habilidad
habilidad para
para la visualizavisualizadebe ser
ser facilitar
facilitar al estudiante
estudiante el desarrollo
desarrollo de
de esta
ción, algo
vital para
para el planteo
planteo de los
problemas. Y,
Y, además,
algo vital
los problemas.
además, ocurre
ocurre que
que la consconstrucción de
un modelo
modelo matemático
matemático significativo
menudo más
más importante
trucción
de un
significativo es a menudo
importante
que
misma solución.
progreso máximo
máximo se consigue
principios
que su misma
solución. El progreso
consigue cuando
cuando los
los principios
limitaciones se aprenden
aprenden a la vez
dentro del
del contexto
contexto de
de su
su aplicación
aplicación a
y sus limitaciones
vez dentro
la Ingeniería.
Ingeniería.
Los estudiantes
una exigenestudiantes suelen
suelen considerar
considerar los cursos
cursos de
de Mecánica
Mecánica como
como una
exigencia dificultosa
frecuencia, también
también como
un obstáculo
dificultosa y, con
con frecuencia,
como un
obstáculo académico
académico carente
carente
interés. La dificultad
dificultad procede
grandes dosis
dosis de razonamiento
en torno
de interés.
procede de las grandes
razonamiento en
torno
a los principios
principios fundamentales
necesarios, en
fundamentales que
que son
son necesarios,
en contraposición
contraposición al estudio
estudio
memorizado. El desinterés
menudo se siente
memorizado.
desinterés que
que a menudo
siente se debe
debe fundamentalmente
fundamentalmente
muchas veces,
Mecánica se presenta
como una
disciplina académica
académica
a que, muchas
veces, la Mecánica
presenta como
una disciplina
desprovista
mayor parte
parte de
práctica. Esta
desprovista en
en su
su mayor
de aplicación
aplicación práctica.
Esta actitud
actitud es achacable
achacable
a la extendida
propensión a emplear
problemas más
más que
nada como
vehíextendida propensión
emplear los problemas
que nada
como vehículo para
para ilustrar
teoría, en
resolver
ilustrar la teoría,
en lugar
lugar de desarrollar
desarrollar ésta
ésta con
con el fin de resolver
problemas. Cuando
permite que
predomine el primer
primer punto
punto de vista,
vista, los
problemas.
Cuando se permite
que predomine
problemas tienden
tienden a hacerse
hacerse excesivamente
relación con
con la
problemas
excesivamente idealizados
idealizados y sin
sin relación
práctica, resultando
hacen aburridos,
práctica,
resultando que
que los ejercicios
ejercicios se hacen
aburridos, académicos
académicos y faltos
faltos
de interés;
toda la valiosa
valiosa experiencia
interés; de esta
esta forma,
forma, se despoja
despoja al estudiante
estudiante de toda
experiencia
que
planteo de problemas
por tanto,
tanto, de
posibilidad de
que supone
supone el planteo
problemas y, por
de la posibilidad
de descubrir
descubrir
significado de
de la teoría.
Con el segundo
segundo punto
de vista
conla necesidad
necesidad y el significado
teoría. Con
punto de
vista se consigue
reforzar los motivos
motivos para
para aprender
teoría y se produce
produce un
un mejor
mejor equisigue reforzar
aprender la teoría
equilibrio
por otra
parte, no
no es posible
posible insistir
librio entre
entre ésta
ésta y sus
sus aplicaciones;
aplicaciones; por
otra parte,
insistir
suficientemente
papel crucial
juegan el interés
hacia una
una disciplina
suficientemente en
en el papel
crucial que
que juegan
interés hacia
disciplina y
la utilidad
utilidad de
para provocar
provocar la motivación
motivación de su
Aún más,
más, debede ésta
ésta para
su estudio.
estudio. Aún
debeIX
http://gratislibrospdf.com/
xx
PRÓLOGO
PARA
PRÓLOGO
PARA EL
EL PROFESOR
PROFESOR
mos resaltar
puede ser
resaltar el hecho de que en el mejor de los casos, la teoría sólo puede
una aproximación
aproximación al mundo
una aproximación
aproximación a la
mundo real, pero no que éste sea una
teoría. Esta diferencia filosófica
distingue a la
filosófica es,
es, desde
desde luego, fundamental
fundamental y distingue
ingeniería
ingeniería de la Mecánica de la ciencia
ciencia de la Mecánica.
Dentro del campo de la enseñanza
durante los
enseñanza de la Ingeniería, ha existido durante
últimos treinta
treinta años una fuerte tendencia
tendencia a incrementar
incrementar la extensión y el nivel
de teoría en los cursos de ciencias para
ningún otro lugar
lugar se ha
para ingenieros
ingenieros y en ningún
tendencia que en los cursos de Mecánica. Mientras los eshecho sentir más esta tendencia
tudiantes estén preparados
tudiantes
preparados para
para hacer frente a tratamientos
tratamientos acelerados, esa
tendencia
una justificable pretendencia será beneficiosa. No obstante, existen pruebas
pruebas y una
ocupación
aparecido una
una imporocupación acerca del hecho de que más recientemente
recientemente ha aparecido
disparidad entre el alcance de las enseñanzas
enseñanzas impartidas
impartidas y lo entendido
tante disparidad
entendido
contribuyen confluyen
confluyen de tres direcciones. En
de ellas. Los factores que a ello contribuyen
primer lugar, parece haber disminuido
disminuido el énfasis en los contenidos
primer
contenidos de GeomeFísica de las matemáticas
matemáticas de los cursos preparatorios.
preparatorios. En segundo
segundo lugar,
tría y Física
habido una reducción
reducción importante,
importante, e incluso eliminación, de la enseñanza
ha habido
enseñanza de
representaciones gráficas que en el pasado
pasado servían
servían para
para realzar
representaciones
realzar la visualización
visualización
representación de los problemas
problemas de Mecánica. Por último, al elevar el nivel
y representación
tratamiento matemático de la Mecánica ha aparecido
aparecido la tendencia
del tratamiento
tendencia a perminotación vectorial enmascare
enmascare o sustituya
sustituya la visualización
tir que el manejo de la notación
visualización
intrínsecamente una materia
materia que depende
geométrica. La Mecánica es intrínsecamente
depende de la
percepción física
física y geométrica y debemos aumentar
aumentar nuestros
percepción
nuestros esfuerzos
esfuerzos para
para
que se desarrolle de esa forma.
Mecánica, una de nuestras
nuestras responsabilidades
responsabilidades es emComo profesores de Mecánica,
matemática más adecuada
adecuada a cada tipo de problema. Así,
plear la matemática
ASÍ, la utilización
problemas mono dimensionales
dimensional es es generalmente
de la notación vectorial en problemas
generalmente baproblemas bidimensionales
bidimensionales suele ser optativa; pero
nal; en el caso de problemas
pero en los protridimensionales suele ser esencial.
esencial. Cuando
Cuando introduzcamos
introduzcamos operaciones
blemas tridimensionales
problemas bidimensionales,
bidimensionales, es particularmente
particularmente importante
vectoriales en problemas
importante insistir en su significado geométrico, ya que una ecuación vectorial aparece en cocorrespondencia a un polígono vectorial, que a menudo
menudo revela, merced a su
rrespondencia
supuesto, existen muchos
geometría, el método de resolución más corto. Por supuesto,
problemas de Mecánica cuyas variables tienen entre ellas unas
unas dependencias
dependencias
rebasan las capacidades de visualización
visualización y percepción
tan complejas que rebasan
percepción norcálculo. No obstante este hecho, los estudiantes
males y es esencial confiar en el cálculo.
estudiantes
llegarán a ser mejores ingenieros si su capacidad de percibir, visualizar
visualizar y representar se desarrolla al máximo.
Como profesores
profesores de Mecánica para
para ingenieros
ingenieros tenemos
tenemos la mayor
mayor de las
profesión de ingeniero
ingeniero en el sentido
sentido de situar
obligaciones hacia la profesión
situar nuestra
nuestra actuación a un nivel razonable
razonable y de mantener
mantener ese nivel. Adicionalmente,
tuación
Adicionalmente, teneresponsabilidad de alentar a nuestros
nuestros alumnos
alumnos a que piensen
mos la grave responsabilidad
piensen por
ello, una
una ayuda
ayuda excesiva para
para detalles que los estudiantes
sí mismos. Por ello,
estudiantes deben
deben
puede ser tan nociva como una ayuda
ayuda escasa y fácilmente
conocer ya de antes puede
puede condicionar
condicionar al estudiante
estudiante haciéndolo
haciéndolo demasiado
demasiado dependiente
puede
dependiente de los depropia iniciativa y capacidad. Además,
Además, cuando
cuando se divimás, sin que ejercite su propia
número excesivo de pequeños
pequeños compartimientos,
de la Mecánica en un número
compartimientos, cada
uno
instrucciones detalladas
detalladas y repetitivas,
repetitivas, el estudiante
uno de ellos con instrucciones
estudiante puede
puede tedificultad para
para distinguir
distinguir entre los "árboles"
"árboles" y el "bosque" y, en consecuenner dificultad
cia, deje de percibir
percibir la unidad
unidad de la Mecánica y el gran
gran alcance práctico que
cia,
reducido número
número de sus principios
principios y métodos
métodos fundamentales.
tiene el reducido
fundamentales.
http://gratislibrospdf.com/
1'0
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tif
01
de
ID
y
.1
Al igual
predecesoras, esta
Mecánica para IngenieIngenieigual que
que sus
sus predecesoras,
esta tercera
tercera edición
edición de
de Mecánica
ros se ha
Pensada especialmente
ha escrito
escrito teniendo
teniendo presente
presente la anterior
anterior filosofía.
filosofía. Pensada
especialmente
para
imparte en
para un
un primer
primer curso
curso de Mecánica,
Mecánica, que
que generalmente
generalmente se imparte
en el segundo
segundo
curso
vez conciso
llano. Frente
Frente a
curso de carrera,
carrera, se ha
ha redactado
redactado en
en un
un estilo
estilo a la vez
conciso y llano.
la posibilidad
particulares, se ha
ha preferido
preferido
posibilidad de presentar
presentar una
una multitud
multitud de
de casos
casos particulares,
insistir
los conceptos
conceptos fundamentales,
insistir fuertemente
fuertemente en
en mostrar
mostrar la cohesión
cohesión entre
entre los
fundamentales,
que
variedad de
de problemas
problemas que
tan popoque son relativamente
relativamente pocos,
pocos, y la gran
gran variedad
que con
con tan
conceptos se pueden
pueden resolver.
resolver. Por
Por ello, una
característica de
de mayor
cos conceptos
una característica
mayor imporimportancia de esta
esta obra
obra es el tratamiento
tratamiento tan
tan amplio
amplio que
que reciben
tancia
reciben los problemas
problemas tipo,
tipo,
los cuales
modo que
cuales se presentan
presentan d
dee modo
que puedan
puedan estudiarse
estudiarse cómodamente
cómodamente sin
sin ayuayuda del
problemas tipo
tipo se ofrecen
del profesor.
profesor. Además,
Además, las soluciones
soluciones a estos
estos problemas
ofrecen con
con
todo
llamada a los
los puntos
puntos notables
notables
todo detalle,
detalle, con
con comentarios
comentarios y advertencias
advertencias y llamada
del proceso
proceso de resolución
resolución impresos
impresos en
en color.
color.
II, Dinámica,
Dinámica, contiene
contiene 114 problemas
problemas tipo
sin reEl tomo JI,
tipo y 1500 problemas
problemas sin
solver de los que
que pueden
pueden extraerse
extraerse enseñanzas
enseñanzas muy
estos problesolver
muy variadas.
variadas. De
De estos
problemas, más
nuevos en esta
tercera edición
más de la mitad
mitad son completamente
completamente nuevos
esta tercera
edición y
todos
interés técnico
técnico
todos ellos
ellos representan
representan muchos
muchos casos
casos prácticos
prácticos de ejemplos
ejemplos de
de interés
extraídos de una
gran variedad
variedad de situaciones
situaciones reales.
extraídos
una gran
reales. En todo
todo el libro
libro se utiliutiliSI.
zan unidades
unidades SI.
Como
tercera edición
mayoría de los conjuntos
proComo novedad,
novedad, en
en esta
esta tercera
edición la mayoría
conjuntos de
de problemas
tituladas Problemas
Problemas introductorios
blemas se agrupan
agrupan en
en dos
dos secciones
secciones tituladas
introductorios y ProbleProblemas representa
tivos. Los primeros
representativos.
primeros son
son ejercicios
ejercicios sencillos,
sencillos, sin
sin complicaciones,
complicaciones,
pensados
confianza con
nuevo tema,
tema,
pensados para
para que
que el estudiante
estudiante adquiera
adquiera confianza
con cada
cada nuevo
mientras
dificultad y extensión
regulares.
mientras que
que los segundos
segundos son
son problemas
problemas de
de dificultad
extensión regulares.
general, se presentan
presentan ordenados
ordenados por
por dificultad
dificultad creciente
creciente y los más
En general,
más difíciles,
difíciles,
que se identifican
hacia el final
de los Problemas
Problemas
identifican con
con la señal
señal ~
~, , se han
han colocado
colocado hacia
final de
representativos.
una sección
de problemas
problemas
representativos. Cada
Cada capítulo
capítulo se cierra
cierra con
con una
sección especial
especial de
orientados al uso
uso de ordenador,
ordenador, ubicada
ubicada tras
orientados
tras los
los Problemas
Problemas de repaso. Se ofrece,
ofrece,
además,
impares y también
también a los
los más
más difídifíademás, la respuesta
respuesta a todos
todos los problemas
problemas impares
ciles. Todos
redondear los
Todos los cálculos
cálculos han
han sido
sido realizados
realizados y comprobados
comprobados sin
sin redondear
resultados
con
resultados intermedios,
intermedios, por
por lo que
que las respuestas
respuestas finales
finales deben
deben coincidir
coincidir con
valores indicados
indicados en
en lo que
que respecta
respecta a las
significativas.
los valores
las cifras
cifras significativas.
uso de ordenador.
y aquí
aquí es oportuna
oportuna una
una observación
observación acerca
acerca del
del uso
ordenador. Los autoautores desean
plantamiento de problemas,
problemas, que
desean recalcar
recalcar que
que la experiencia
experiencia en
en el plantamiento
que
permite desarrollar
desarrollar el raciocinio
raciocinio y el sentido
sentido de
considerablemente
permite
d e las cosas,
cosas, es considerablemente
importante para
para los estudiantes
estudiantes que
que el puro
ejercicio manipulativo
manipulativo de calmás importante
puro ejercicio
cular la solución.
solución. Por
Por ello, creemos
creemos que
que el empleo
empleo del
ordenador debe
cular
del ordenador
debe limitarse
limitarse
escrupulosamente. En este
este estadio,
estadio, la construcción
construcción de
diagramas para
sólido
escrupulosamente.
de diagramas
para sólido
libre y la formulación
formulación d
dee las ecuaciones
ecuaciones será
será mejor
hacerla
s
con
papel
y
mejor hacerlas con papel lápiz.
lápiz.
Hay,
por
otra
parte,
ocasiones
en
que
el
proceso
de esas
esas ecuaciones
ecuaciones
Hay, por otra parte, ocasiones en que proceso de resolución
resolución de
soluciones se ejecuta
ejecuta y se representa,
representa, respectivamente,
y sus soluciones
respectivamente, mucho
mucho mejor
mejor vía
vía
ordenador. Pero
Pero los problemas
orientados al ordenador
ordenador deben
ser genuinos
en
ordenador.
problemas orientados
deben ser
genuinos en
sentido de que
que exista
exista una
una condición
condición de
de diseño
diseño o de
criticalidad que
ser
el sentido
de criticalidad
que deba
d eba ser
determinada, sin
sin que
que se trate
trate de simples
simples problemas
en los
que se
determinada,
problemas "de trajín"
trajín" en
los que
variar algún
algún parámetro
parámetro sin
sin otro
otro motivo
motivo evidente
evidente que
que forzar
forzar un
empleo arhace variar
un empleo
ardel ordenador.
ordenador. Con
Con esta
esta idea
idea hemos
hemos confeccionado
confeccionado los
tificial del
los problemas
problemas para
para
ordenador de esta
esta tercera
tercera edición.
edición. Para
Para preservar
preservar un
suficiente destinaordenador
un tiempo
tiempo suficiente
destinaplanteo d
dee problemas
problemas se sugiere
sugiere que
que a los alumnos
alumnos se les asigne
asigne únicado al planteo
únicamente un
un número
número limitado
limitado de problemas
problemas para
ordenador.
mente
para ordenador.
mantenido la división
división lógica
lógica entre
entre la dinámica
dinámica de
de un
un punto
Se ha mantenido
punto material
material
dinámica d
dee un
un cuerpo
cuerpo rígido,
rígido, y en
en cada
cada parte
antes
y la dinámica
parte se trata
trata la cinemática
cinemática antes
http://gratislibrospdf.com/
XI
PRÓlOGO PARA
PARA EL
El PROFESOR
PROFESOR
PRÓLOGO
XII
PRÓLOGO
PARA EL
EL PROFESOR
PROFESOR
PRÓLOGO
PARA
que la cinética.
cinética. Esta
disposición facilita
facilita enormemente
enormemente una
exploración más
que
Esta disposición
una exploración
más
amplia y rápida
de la dinámica
dinámica de
de los cuerpos
cuerpos rígidos
con el beneficio
amplia
rápida de
rígidos con
beneficio previo
previo
de una
comprensiva a la dinámica
dinámica de
de los puntos
en los
de
una introducción
introducción comprensiva
puntos materiales
materiales en
los
capítulos 2 y 3.
capítulos
El capítulo
capítulo 3 sobre
sobre la cinética
cinética de
de los puntos
centra en
en los tres
puntos materiales
materiales se centra
tres
métodos
fuerza-masa-aceleración,
impulso cantidad
cantidad
métodos básicos:
básicos: fuerza-mas
a-aceleración, trabajo-energía
trabajo-energía e impulso
de movimiento.
de especial
especial importancia,
importancia, movimiento
fuerzas
de
movimiento. Los
Los temas
temas de
movimiento bajo
bajo fuerzas
centrales y movimiento
agrupan en
en la sección
sección D del
del capítulo
capítulo 3 que
que
centrales
movimiento relativo,
relativo, se agrupan
trata
sobre aplicaciones
aplicaciones especiales
especiales y sirven
sirven como
como material
opcional que
que el protrata sobre
material opcional
profesor puede
asignar de
de acuerdo
acuerdo con
con sus
sus preferencias
disponible.
fesor
puede asignar
preferencias y el tiempo
tiempo disponible.
Con esta
esta disposición,
disposición, la atención
atención del
del estudiante
estudiante se centra
centra más
intensamente en
en
Con
más intensamente
los
fundamentales de
de la cinética,
cinética, que
que se desarrollan
desarrollan en
en las secciosecciolos tres
tres métodos
métodos fundamentales
nes
del capítulo.
capítulo.
nes A,
A, B Y
Y e del
El capítulo
capítulo 4 sobre
sobre los
sistemas de
de puntos
extensión de
de los
los sistemas
puntos materiales
materiales es una
una extensión
los
principios
del movimiento
de un
solo punto
desarrolla las relacioprincipios del
movimiento de
un solo
punto material
material y desarrolla
relaciones
que son
son básicas
básicas para
comprensión moderna
de la dinámica.
dinámica.
nes generales
generales que
para una
una comprensión
moderna de
El capítulo
capítulo también
incluye los
los temas
de movimiento
estacionario de
de un
también incluye
temas de
movimiento estacionario
un medio
medio
continuo y masa
que pueden
ser considerados
considerados como
como opcionales,
opcionales, dedecontinuo
masa variable
variable que
pueden ser
pendiendo
del tiempo
de que
que se disponga.
disponga.
pendiendo del
tiempo de
El capítulo
capítulo 5 sobre
sobre la cinemática
cinemática de
de los
los cuerpos
cuerpos rígidos
en movimiento
rígidos en
movimiento plaplano,
donde se encuentran
encuentran la velocidad
aceleración relativas,
énfasis
no, donde
velocidad y la aceleración
relativas, pone
pone el énfasis
conjuntamente en
en la solución
solución por
geometría vectorial
solución por
álgebra
conjuntamente
por geometría
vectorial y la solución
por álgebra
vectorial.
doble enfoque
enfoque sirve
sirve al propósito
de reforzar
significado de
de la
vectorial. Este
Este doble
propósito de
reforzar el significado
matemática
matemática vectorial.
vectorial.
En
capítulo 6 sobre
sobre la cinética
cinética de
de los cuerpos
cuerpos rígidos
hace hincapié
en
En el capítulo
rígidos se hace
hincapié en
ecuaciones básicas
que gobiernan
gobiernan todas
categorías de
de movimiento
las ecuaciones
básicas que
todas las
las categorías
movimiento plaplano.
establece una
fuerte relación
de dependencia
dependencia entre
entre lo conocido
conocido y lo desdesno. Se establece
una fuerte
relación de
conocido y las
las ecuaciones
ecuaciones necesarias
necesarias y suficientes
suficientes que
que garantizan
garantizan la solución.
solución.
conocido
También se pone
especial énfasis
énfasis en
en el desarrollo
desarrollo de
de las equivalencias
equivalencias directas
directas
También
pone especial
entre las fuerzas
fuerzas y pares
de fuerzas
fuerzas aplicadas
aplicadas reales
sus resultantes
1Ct..
a.
entre
pares de
reales y sus
resultantes ma
/na e 1
En
este sentido,
sentido, se destaca
destaca la flexibilidad
flexibilidad del
del principio
principio de
de los momentos
En este
momentos y se
anima a los estudiantes
que piensen
directamente en
en términos
de los efectos
efectos
anima
estudiantes a que
piensen directamente
términos de
dinámicos resultantes.
dinámicos
resultantes.
En
capítulo 7, que
que puede
ser tratado
como opcional,
opcional, proporciona
inEn el capítulo
puede ser
tratado como
proporciona una
una introducción básica
básica a la dinámica
tres dimensiones
para reretroducción
dinámica en
en tres
dimensiones que
que es suficiente
suficiente para
solver muchos
de los problemas
del movimiento
en el espacio
espacio más
comunes.
muchos de
problemas del
movimiento en
más comunes.
solver
Para
aquellos estudiantes
estudiantes que
que en
en el futuro
futuro desean
desean hacer
avanzaPara aquellos
hacer trabajos
trabajos más
más avanzados en
en dinámica,
dinámica, el capítulo
capítulo 7 proporciona
fundamento sólido.
sólido. El movidos
proporciona un
un fundamento
movimiento
giroscópico con
con precesión
estacionaria se trata
de dos
dos maneras:
miento giroscópico
precesión estacionaria
trata de
maneras: la
primera
de la analogía
analogía entre
entre la relación
de fuerza
fuerza y vectores
de canticantiprimera hace
hace uso
uso de
relación de
vectores de
dad de
de movimiento
lineal y la relación
relación del
del momento
de cantidad
cantidad de
de
dad
movimiento lineal
momento y vectores
vectores de
movimiento
angular. Con
Con este
este tratamiento
estudiante puede
comprender el
movimiento angular.
tratamiento el estudiante
puede comprender
fenómeno giroscópico
giroscópico de
de precesión
estacionaria y puede
fenómeno
precesión estacionaria
puede manejar
manejar la mayor
mayor
parte
de los
con los
los giroscopios
giroscopios sin
sin un
estudio
parte de
los problemas
problemas técnicos
técnicos relacionados
relacionados con
un estudio
detallado de
de la dinámica
dinámica tridimensional;
segundo hace
de las
las ecuacioecuaciodetallado
tridimensional; y el segundo
hace uso
uso de
nes
de la cantidad
cantidad de
de movimiento,
generales, para
en tres
nes de
movimiento, más
más generales,
para la rotación
rotación en
tres dimensiones
donde todas
las de
de la cantidad
cantidad de
de movimiento
son explicados.
explicados.
mensiones donde
todas las
movimiento son
En
capítulo 8 trata
de las vibraciones.
estudio completo
completo de
de este
este
En el capítulo
trata el tema
tema de
vibraciones. El estudio
capítulo es especialmente
especialmente útil
los estudiantes
estudiantes de
de ingeniería
ingeniería ya
sólo verán
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este tema
en el curso
curso de
de dinámica
dinámica básica.
básica.
este
tema en
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d
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B
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S,
d
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io
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fa
la
n
asn.
as
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Los momentos y los productos de inercia de masa se presentan en el apéndice B. El apéndice C contiene un resumen de repaso de matemáticas elementales y de varias técnicas numéricas que el estudiante deberá conocer para
resolver los problemas orientados hacia el ordenador.
Los autores desean mencionar especialmente la magnífica contribución que
a estos textos de Mecánica realizó durante veinticinco años el ilustrador [ohn
Balbalis,muerto en Octubre de 1991.Su dedicación y su elevado nivel en el arte
de la ilustración acrecentaron enormemente el potencial educativo de estos libros, brindando claridad, realismo e interés a los miles de estudiantes que fueron estimulados por sus esfuerzos.
Un reconocimiento especial se debe al Dr. A. L. Hale, de BellTelephone Laboratories, por su continuada contribución en forma de inestimables sugerencias y cuidadosa revisión del manuscrito. El Dr. Hale prestó una ayuda similar
en todas las versiones anteriores de esta obra y su colaboración ha sido un activo inestimable. Expresamos además nuestro aprecio al profesor J. M. Henderson, de la Universidad de California-Davis, por sus útiles sugerencias y
comentarios en torno a la selección de problemas. Extendemos nuestro agradecimiento al profesor Alfonso Díaz-Jiménez de la Universidad de Bogotá (Colombia) por los constructivos comentarios y observaciones formulados
durante años. Un grupo de miembros del Departamento de Ciencia de la Ingeniería y Mecánica del Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia,
entre los que se cuentan los profesores Norman E. Dowling, J. Wallace Grant,
Scott L. Hendricks, Arpad A. Pap, Saad A. Ragab y George W. Swift, nos ha
ofrecido sus útiles sugerencias. La contribución del personal de [ohn Wiley &
Sons, Inc., incluida la de su directora Charity Robey, refleja un elevado nivel
de competencia profesional que debidamente reconocemos. Reconocemos asimismo el apoyo prestado, en forma de permiso sabático, por la Universidad
Estatal e Instituto Politécnico de Virginia. Por último deseamos agradecer a
nuestras esposas, Julia y Dale, la paciencia y comprensión mostradas durante
las muchas horas que fueron necesarias para preparar este manuscrito.
se
os
z:
n-
ees.
avila
tide
el
or
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iodi-
Santa Bárbara, California
G Í2rML K rcU9e
Blacksburg, Virginia
te
án
http://gratislibrospdf.com/
XIII
PRÓlOGO
PARA El PROFESOR
T
http://gratislibrospdf.com/
I
~
~
Indice
Indice analítico
analítico
:
PRÓLOGO
PRÓLOGO
V
PRÓLOGO
PRÓLOGO PARA
PARA EL
EL ESTUDIANTE
ESTUDIANTE
VII
VII
PRÓLOGO
PRÓLOGO PARA EL
EL PROFESOR
PROFESOR
IX
PARTE I DINÁMICA
DEL PUNTO
DINÁMICA
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
Capítulo
INTRODUCCiÓN
A LA DINÁMICA
DINÁMICA
Capítulo 1: INTRODUCCiÓN
1.1
1.2
1.3
1.4
1.4
1.5
1.5
1.6
1.7
1.7
HISTORIA
APLICACIONES MODERNAS
HISTORIA Y APLICACIONES
MODERNAS . .. .... . . ..... . .. . ... 4
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
FUNDAMENTALES . .............. . ...... .. . . .. 5
CONCEPTOS
LEYESDE
NEWTON .. .. . ........................... . ..... 6
LEYES
DE NEWTON
UNIDADES
UN
IDADES ..... . .......... .... .. . ......... .... .. . .. . . . . 7
GRAViTACIÓN ... . .. . . ..... .. ... . ..... . ................. 8
GRAViTACIÓN
DIMENSiONES
11
D IMENS iONES ............................ . ....... . . . .. 11
PLANTEAMIENTO
RESOLUCIÓN DE
DE LOS PROBLEMAS DE
DE
PLANTEAM
IE NTO Y RESOLUCIÓN
DINÁMICA ...................... . ............... . . .. . . 11
11
DINÁMICA
Capítulo 2: CINEMÁTICA
CINEMÁTICA DEL PUNTO
PUNTO
Capítulo
2.1
2.2
2.2
2.3
2.3
2.4
2.5
2.5
3
15
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
...................................... 16
MOVIMIENTO
RECTILÍNEO
M
O VIMIENTO RECT
ILíNEO ............ . ... .... .. ......... 17
MOVIMIENTO CU
CURVILíNEO
PLANO ................. . ..... 33
MOVIMIENTO
RVILíNEO PLANO
COORDENADAS RECTANGULARES (x-y)
(x-y) ... . .... .. .... . ..... 36
COORDENADAS
COORDENADAS
TANGENClAL Y NORMAL
NORMAL (n-t)
(n-t) . . . . . . . . . . . . . . 46
COO
RDENADAS TANGENCIAL
xv
http://gratislibrospdf.com/
XVI
XVI
íNDICE
ANAlíTICO
íNDICE ANAlíTICO
2.6
2.6
2.7
2.7
2.8
2.8
2.9
COORDENADAS
COORDENADAS POLARES
POLARES (r-e)
(r-e) .... . . . ....... . . ... . . ... . .. 57
57
MOVIMIENTO
MOVIMIENTO CURVILíNEO
CURVILíNEO EN
EN EL
EL ESPACIO .. . . .. . . .... . .. .. 69
MOVIMIENTO RELATIVO (EJES
(EJESEN
ROTACIÓN) ) . .. . . . . .. . . . ... 75
MOVIMIENTO
EN ROTACIÓN
MOVIMIENTO
PUNTOS MATERIALES
MOVIM
IEN TO VINCULADO
VINCULADO DE PUNTOS
CONECTADOS . .. .. . .. ... . ... . .. . . . ..... . . . ...... . .. . . . 84
CONECTADOS
2.10 REPASO
REPASO Y RESOLUCiÓN
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS .. . .. . . ... .. ... . . .. 91
91
2.10
CINÉTICA DEL
DEL PUNTO
PUNTO MATERIAL
Capítulo 3: CINÉTICA
99
3.1 INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
3.1
. . ...... . .. .. .... .. .. . . . . . . . .. . ...... 100
SECCiÓN A.
100
SECCIÓN
A. FUERZA,
FUERZA, MASA
MASA Y
Y ACELERACIÓN
ACELERACIÓN ..................... 100
3.2
3.3
3.4
3.5
SEGUNDA LEY
LEY DE NEWTON
NEWTON . ............ .. .. . . . . ........ 100
SEGUNDA
ECUACIÓN DEL
DEL MOVIMIENTO
MOVIMIENTO Y RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN DE
DE PROBLEMAS 104
ECUACIÓN
MOVIMIENTO
MOVIMIEN
TO RECTILÍNEO ... .. .. .. . . . . . . . .. .. . ... . . .. . . 106
MOVIMIENTO CURVI
CURVILíNEO
MOVIMIENTO
LíNEO . .. ... . .. . . . . .... . .. ... .. .... 120
(
SECCiÓN B. TRABAJO
TRABAJO Y
135
SECCIÓN
Y ENERGíA
ENERGíA . ............................. . 135
3.6 TRABAJO Y ENERGíA CINÉTICA
ClNÉTICA .. . ... .. . .. . . ...... . . .... . 135
3.7 ENERGíA POTENCIAL
POTENCIAL .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. .. .. .. . ... 152
SECCiÓN C.
C. IMPULSO
CANTIDAD
DE
164
SECCIÓN
IMPULSO y CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
MOVIMIENTO . ............ . 164
S
3.8 INTRODU
INTRODUCCIÓN
CCIÓN . . .. .. . . .. . . .. ....... . ..... . .. . ... .. . 164
3.9 IMPULSO
IMPULSO Y CANTIDAD
CANTIDAD DE MOVIM
MOVIMIENTO
IENTO . . . .. . ... .. . . . . .. . 165
3.10 IMPU
IMPULSO
MOMENTO CINÉTICO
ClNÉTICO . . . . .. .. . ...... 178
3.10
LSO ANGULAR
ANGULAR Y MOMENTO
SECCiÓN D.
SECCIÓN
D. APLICACIONES
APLICACIONES ESPECIALES
ESPECIALES ......................... 187
3.11
3.12
3.13
3.14
3.14
3.15
3.15
INTRODUCCIÓN . . . . .. . . .. . .. .. .. .. . .. . .. . ..... . . .. ..
INTRODUCCIÓN
CHOQUE . .. . . . .. . ... . . .. .. . . . . .. . .. .. . .. . . . . . . ... . .
CHOQUE
MOVIMIENTO BAJO FU
FUERZAS
CENTRALES . . .. . . . . . . .... . .
MOVIMIENTO
ERZAS CENTRALES
MOVIMIENTO RELATiVO . . . . .. . .. . .. . . . ... . .. . . . ... . ...
MOVIMIENTO
REPASO Y RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . .,
REPASO
CINÉTICA DE
DE LOS
LOS SISTEMAS
SISTEMASDE
Capítulo 4: CINÉTICA
DE
PUNTOS MATERIALES
MATERIALES
PUNTOS
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
. 187
187
. 187
198
210
210
2200
22
S
231
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
. . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . ..... . .. . . . .. 232
GENERALIZACIÓN DE LA SEGUNDA
SEGUNDA LEY
LEY DE
DE NEWTON
NEWTON .. .. . .. 23
2322
GENERALIZACIÓN
TRABAJO Y ENERGíA .. . .. . ........... .. . . . . .. .... . . . . . 234
234
IMPULSO Y CANTIDAD
CANTIDAD DE
DE MOVIMIENTO
MOVIMIENTO . . .... .. . . . .. . .. .. 235
IMPULSO
CONSERVACIÓN DE LA ENERGíA Y LA CANTIDAD
CANTIDAD
CONSERVACIÓN
MOVIMIENTO
DE MOVIMI
EN TO . ............ . . . ... . . . . .. . .. . . .. . . .... 239
MOVIMIENTO ESTACI
ESTACIONARIO
DE
UN MEDI
MEDIO
CONTINUO
4.6 MOVIMIENTO
ONA RI O D
E UN
O CO
NTINU O . . . . 249
4.7 MASA
MASA VARIABLE .. . .. . . . .. . .. . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . .. . .. 264
4.7
http://gratislibrospdf.com/
S
SI
PARTE
11 DINÁMICA DE LOS
PARTE11DINÁMICA
LOS CUERPOS RíGIDOS
RíGIDOS
Capítulo 5: CINEMÁTICA
LOS
CINEMÁTICA PLANA DE LOS
CUERPOS
CUERPOS RíGIDOS
RíGIDOS
5.1
5.2
5.2
5.3
5.4
5.4
5.5
5.6
5.6
5.7
5.8
5.8
281
INTRODUCCIÓN
. . .. . . ..... . . . ... .... . . . .. . . . . . . . ... . 282
INTRODUCCIÓN
ROTACIÓN
ROTACiÓN ....... . . .. . .. ... .. . .... .. ..... . ... .. .. .. . 284
MOVIM
IENTO ABSOLUTO
ABSO LUTO . ...... . . ... ... . . . . . .. . .. . .. . . 292
MOVIMIENTO
VELOCIDAD
VELOCIDAD RELATIVA . .. . . .. .. .... .. . ................ . 303
CEN
TRO INSTANTÁNEO
CENTRO
INSTANTÁNEO DE
DE ROTACIÓN
ROTACIÓN .... . ..... . .. ... . .. 317
ACE LERACIÓN RELATIVA ........ . ..... . . .. .. . ..... . . .. . 323
ACELERACIÓN
MOVIM
IENTO RELATIVO A E
JES EN
MOVIMIENTO
EJES
EN ROTACIÓN
ROTACIÓN. . . ...
. . . . ...
. . . . ..
. .. . 335
REPASO
REPASO Y RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
PROBLEMAS. . . . . . . . . . . . . . . . ... . 350
Capítulo 6: CINÉTICA
CINÉTICA PLANA DE
DE LOS
LOS CUERPOS
CUERPOS RíGIDOS
RíGIDOS 357
6.1
... . ....... . .... . ... . . . . . . . . ... . ... . . 358
6.1 INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
4
4
5
8
SECCiÓN
SECCIÓN A. FUERZA,
FUERZA, MASA
MASA Y
Y ACELERACiÓN
ACELERACiÓN .................... . 359
359
6.2
6.3
6.3
6.4
6.5
6.5
ECUACIONES
. . . .. . . . . . . .. . 359
ECUAClONES GENERALES
GENERALES DEL
DEL MOVIMIENTO
MOVIMIENTO
TRASLACIÓN
TRASLACIÓN .............................. . ... . . .. ... 365
ROTACIÓN EN
EN TORNO
TORNO A UN
UN EJE
EJEFIJO
ROTACIÓN
FIJO ... . ... .. . ........ . . 375
MOVIMIENTO
MOVIMIENTO PLANO
PLANO GENERAL .... . . .. .. . . . ...... . ... . . 387
7
7
7
8
O
O
SECCiÓN
ENERGÍA . ............................. . 402
SECCiÓN B. TRABAJO
TRABAJO Y
Y ENERGÍA
402
6.6
6.6
6.7
RELACIONES ENTRE
ENTRE EL
EL TRABAJO Y LA ENERGíA .... . ..... . .. 402
DETERM
INACIÓ N DE ACELERACIONES
AC EL ERACIONES MEDIANTE
DETERMINACIÓN
MEDIANTE EL
EL
TEOREMA
VIVAS ; TRABAJOS VIRTU
ALES . . . . . 4
19
TEOREMA DE
DE LAS
LAS FUERZAS
FUERZAS VIVAS;
VIRTUALES
419
SECCiÓN C.
C. IMPULSO
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
MOVIMIENTO
427
SECCiÓN
IMPULSO y CANTIDAD
. ........... . 427
6.8
6.9
RELAC
IONES ENTR
E EL
RELACIONES
ENTRE
EL IMPULSO
IMPULSO Y LA CANTIDAD
CANTIDAD
DE
DE MOVIMIENTO
MOVIMIENTO Y EL
EL MOMENTO
MOMENTO CINÉTICO
ClNÉTICO .. . ..... . .. . . . . 427
427
REPASO
REPASO Y RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN DE
DE PROBLEMAS . . ........ .... . .. . 443
Capítulo 7: INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN A LA
LA DINÁMICA
DINÁMICA DE
DE LOS
LOS
CUERPOS RíGIDOS
RíGIDOS EN
EN EL
EL ESPACIO
ESPACIO
7.1
451
INTRODUCCIÓN
.. . . ..... . .... .. . .... . .. . .......... . . 452
INTRODUCCIÓN
SECCiÓN A.
A. CiNEMÁTICA
CiNEMÁTiCA ..................................... 452
452
SECCiÓN
7.2
7.2
7.3
TRAS
LACIÓN . .. . . ... . . . . . .... . . .. .. . . . . .. ... ... . . . . . . 452
452
TRASLACIÓN
ROTACIÓN
FIJO .... . ....... . .... . .. . 453
ROTACIÓN EN
EN TORNO
TORNO A UN
UN EJE
EJEFIJO
XVII
XVII
http://gratislibrospdf.com/
XVIII
XVIII
íNDICE ANALíTICO
ANALíTICO
íNDICE
7.4
7.5
7.5
7.6
MOVIMIENTO
PLANO GENERAL
GENERAL . . ........ .. . . . . .. . ...... 453
MOVIM
IENTO PLANO
ROTACIÓN
TORNO A UN
454
ROTACIÓN EN
EN TORNO
UN PUNTO
PUNTO FIJO
FIJO .. . .... . . ... . .... 454
MOVIMIENTO
MOVIM
IENTO GENERAL . .... ... ..... ......... .. . ...... 464
464
SECCiÓN B.
B. CINÉTICA
C1NÉTICA ........................................ 475
SECCIÓN
7.7
7.8
7.9
7.9
MOMENTO CINÉTICO
ClNÉTICO .. . .. .. . ... . .. . .... . ..... . . ....... 475
MOMENTO
ClNÉTICA ................ . . . . ........... ... .. 478
ENERGíA CINÉTICA
478
ECUAClONES CINÉTICAS y
MOVIMIENTO
.486
ECUACIONES
Y ENERGÉTICAS
ENERGÉTICAS DEL MOVIM
IENTO . .486
7.10 MOVIM
MOVIMIENTO
PLANO GENERAL
GENERAL ........... . ... .. .. . ... . . 489
7.10
IENTO PLANO
MOVIMIENTO
GIROSCÓPICO:
PRECESiÓN
UNIFORME
7.11 MOVIM
IENTO G
IROSCÓPICO: PREC
ESiÓN UN
IFORME . .. . ... 495
Capítulo 8:
8: VIBRACiÓN
TIEMPO
Capítulo
VIBRACiÓN Y
Y RESPUESTA
RESPUESTA EN EL
EL TIEMPO
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
515
515
INTRODUCCIÓN
516
INTRODUCCIÓN
. . ... .. . .. . . .. . ... .. ... . .. . .... . ..... 516
OSCILACIONES
LIBRES
DE UN
UN PUNTO
PUNTO MATERIA
MATERIALL ............ 517
OSCI
LACIONES LI
BRES DE
OSCILACIONES
FORZADAS DE UN
UN PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL .. .. . ... 532
OSC
ILACIONES FORZADAS
OSCILACIONES DE UN
UN CUERPO RíG
RíGIDO
OSCILACIONES
IDO .... . ..... . .. .. . . . . 545
MÉTODOS EN
ENERGÉTICOS
MÉTODOS
ERGÉTI COS .................... .. .... . . . . . 555
REPASO Y RESO
RESOLUCIÓN
REPASO
LUCIÓN DE PROBLEMAS . .. . ... . ... . .. .... 564
Apéndice
Apéndice A: MOMENTOS
MOMENTOS DE INERCIA
INERCIA
DE UNA
UNA SUPERFICIE
SUPERFICIE
571
571
Apéndice
MOMENTOS DE INERCIA
INERCIA DE MASAS
MASAS
Apéndice B: MOMENTOS
573
573
B.l
MOMENTOS DE
DE INERCIA MÁSICOS
MÁSICOS RESPECTO
RESPECTOA
UN EJE
EJE .. .... 573
B.l MOMENTOS
A UN
B.2 PRODUCTOS
PRODUCTOS DE INERCIA .. . . . .. . . ................ .... .. 587
587
Apéndice C: TEMAS
TEMAS ESCOGIDOS
Apéndice
ESCOGIDOS DE MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS
Cl
Cl
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C7
C8
C9
597
597
INTRODUCCIÓN . . ...... . . . .. . .. .. ... .. . . . . . . .... . .. . . 597
INTRODUCCIÓN
GEOMETRíA PLANA
PLANA .. . .. .... . . . . . ....... . .. . .. . ........ 597
GEOMETRíA
GEOMETRíA
G
EOMETRíA DEL ESPACIO ... . .... . .. . . . .. ... . . . ....... . 598
ÁLGEBRA
Á LGEBRA ... . .... . . . . .. .. .. .... ....... . ..... ... .. . .. . 598
GEOMETRíA ANALÍTICA
GEOMETRíA
ANAL íTICA . . .. . .. . . . .. . .... .. . ... . . .. . .. .. 599
TRIGONOMETRíA
TR IGONOMETRíA .... .......... .. .. . .. ... . .... .. ...... 600
ÁLGEBRA VECTORIAL
600
VECTOR IAL . .. . .... ...... ..... . ..... . . ....... 600
SERIES
SER
IES ..... . ... . .... . ... . ... . . . . . . . . . .. . .. . ..... . .... 603
DERIVADAS . .... . .... . .... ..... . .... . . . .. ... ... . ... . . 604
DERIVADAS
http://gratislibrospdf.com/
(
í
Cl0 INTEGRALES
INTEGRALES ..................... . ...
. .............. ..604
. 604
Cl0
·················
Cll RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN DE
DE ECUACIONES
ECUACIONES POR
POR EL
ELMÉTODO
MÉTODO
Cll
NUMÉRICO DE
DE NEWTON
NEWTON .. . .. .. . .... .. ... . .............607
607
NUMÉRICO
.... . ...608
608
C12 TÉCNICAS
TÉCNI CAS ESCOGIDAS
ESCOGIDAS DE
DE INTEGRACiÓN
INTEGRACi ÓN NUMÉRiCA
NUMÉRiCA
C12
Apéndice D:
D: TABLAS
TABLAS ÚTILES
ÚTILES
Apéndice
D.l
D.l
D.2
D.2
D.3
D.3
D.4
D.4
613
613
PROPIEDADES FíSICAS
FíSI CAS .. . . ... ... ... .....................613
613
PROPIEDADES
CONSTANTES DEL
DEL SISTEMA
SISTEMA SOLAR
SOLAR .. . ........ . .... .... . ...614
614
CONSTANTES
PROPIEDADES DE
DE LAS
LAS FIGURAS
FIGURAS PLANAS
PLANAS .............. . ....614
614
PROPIEDADES
PROPIEDADES DE
DE SÓLIDOS
SÓLIDOS HOMOGÉNEOS
HOMOGÉNEOS . . . .... . . . ......617
617
PROPIEDADES
CRÉDITOS DE
DE LAS
LAS FOTOGRAFíAS
FOTOGRAFíAS
CRÉDITOS
621
621
íNDICE ALFABÉTICO
ALFABÉTICO
íNDICE
623
7
8
8
9
o
3
4
http://gratislibrospdf.com/
XIX
XIX
íNDICE
íNDICEANALÍTICO
ANALÍTICO
http://gratislibrospdf.com/
------------------~
PARTE 1
~
~
DINAMICA
DINAMICA DEL
DEL PUNTO
PUNTO MATERIAL
http://gratislibrospdf.com/
http://gratislibrospdf.com/
La técnica
técnica de
de los
los vuelos
vuelos espaciales
espaciales es
es un
un ejemplo
ejemplo de
de aplicación
aplicación masiva
masiva de
de los
los principios
principios fundamentales
fundamentales
de
de la Dinámica
Dinámica en
en el
el tecnificado
tecnificado mundo
mlmdo moderno.
moderno. La propulsión
propulsión de
de los
los cohetes,
cohetes, la predicción
predicción exacta
exacta de
de
las
las órbitas
órbitas aa describir
describir y el
el control
control y estabilidad
estabilidad de
de las
las maniobras
maniobras se
se cuentan
cuentan entre
entre las
las numerosas
numerosas difidificultades
cultades que
que demandan
demandan un
un conocimiento
conocimiento profundo
profundo de
de la
la Sinámica.
@inárnica.
http://gratislibrospdf.com/
4
1.1
HISTORIA Y
Y APLICACIONES
APLICACIONES MODERNAS
MODERNAS
HISTORIA
INTRODUCCiÓN
INTRODUCCIÓN A LA
LA DINÁMICA
DINÁMICA
Dinámica es la rama
rama de
Mecánica que
movimiento de
los cuerLa Dinámica
de la Mecánica
que estudia
estudia el movimiento
de los
cuerpos bajo
bajo la acción
acción de
de las fuerzas.
En los
los estudios
ingeniería su
ele seguir
pos
fuerzas. En
estudios de
de ingeniería
suele
seguir a la
las fuerzas
los cuerpos
reposo. La DiEstática, que
Estática,
que estudia
estudia la acción
acción de
de las
fuerzas sobre
sobre los
cuerpos en
en reposo.
námica consta
de dos
partes diferentes:
diferentes: una
una es la Cinemática,
námica
consta de
dos partes
Cinemática, que
que es el estudio
estudio
del movimiento
sin referencia
referencia a las fuerzas
fuerzas que
que lo causan,
otra es la Cinética,
Cinética,
del
movimiento sin
causan, y la otra
que
relaciona la acción
acción de
de las fuerzas
los cuerpos
con los
los movimientos
movimientos reque relaciona
fuerzas sobre
sobre los
cuerpos con
hallarán que
que el conocimiento
sultantes.
sultantes. Los estudiantes
estudiantes de
de ingeniería
ingeniería hallarán
conocimiento profundo
profundo
de la Dinámica
análisis más
de
Dinámica les proporcionará
proporcionará uno
uno de
de los
los instrumentos
instrumentos de
de análisis
más útiútipotentes.
les y potentes.
Históricamente, la Dinámica
Dinámica es una
una materia
materia relativamente
relativamente reciente
reciente compaHistóricamente,
comparada
estudio racional
rada con
con la Estática.
Estática. El mérito
mérito por
por la iniciación
iniciación del
del estudio
racional de
de la DináDinámica
atribuye a Galileo
Galileo (1564-1642), quién
quién realizó
cuidadosas observaciones
observaciones
mica se atribuye
realizó cuidadosas
sobre la caída
caída libre
de los
sobre planos
sobre
libre de
los cuerpos,
cuerpos, el movimiento
movimiento sobre
planos inclinados
inclinados y los
péndulos. A él se debe
debe en
en gran
científico de la investipéndulos.
gran parte
parte el planteamiento
planteamiento científico
investigación
de los problemas
físicos. Sufrió
Sufrió continuas
continuas y durísimas
durísimas críticas
críticas por
gación de
problemas físicos.
por nenegarse
aceptar las ideas
oficialmente vigentes
en su
su tiempo,
garse a aceptar
ideas oficialmente
vigentes en
tiempo, tales
tales como
como la
filosofía de Aristóteles,
según la cual,
ejemplo, los cuerpos
Aristóteles, según
cual, por
por ejemplo,
cuerpos pesados
pesados debedebefilosofía
rían
caer más
más rápidamente
que los
rían caer
rápidamente que
los livianos.
livianos. La inexistencia
inexistencia de medios
medios para
para
medir
obstáculo para
Galileo y los
medir el tiempo
tiempo con
con precisión
precisión fue un
un grave
grave obstáculo
para Galileo
los posposteriores avances
de importancia
en el estudio
estudio de
de la Dinámica
teriores
avances de
importancia en
Dinámica tuvieron
tuvieron que
que
aguardar hasta
que Huyghens
de péndulo
en 1657. Newton
aguardar
hasta que
Huyghens inventó
inventó el reloj
reloj de
péndulo en
Newton
de Galileo,
Galileo, pudo
formular con
(1642-1727), guiado
guiado por
por los
los trabajos
trabajos de
pudo formular
con precisión
precisión
las leyes
ello asentar
sobre una
sólida.
leyes del
del movimiento
movimiento y con
con ello
asentar la Dinámica
Dinámica sobre
una base
base sólida.
El famoso
famoso trabajo
en la primera
edición de
sus Printrabajo de Newton
Newton fue publicado
publicado en
primera edición
de sus
Principia, obra
obra universalmente
reconocida como
como una
contribuciones
universalmente reconocida
una de
de las
las mayores
mayores contribuciones
conocimiento. Además
de enunciar
enunciar las
que rigen
del
al conocimiento.
Además de
las leyes
leyes que
rigen el movimiento
movimiento del
punto material,
en formular
formular correctamente
correctamente la ley
punto
material, Newton
Newton fue el primero
primero en
ley de la
gravitación
cuando su
su descripción
era correcta,
correcta, tegravitación universal.
universal. Aún
Aún cuando
descripción matemática
matemática era
nía
que la idea
fuerza gravinía la impresión
impresión de que
idea de
de la transmisión
transmisión a distancia
distancia de la fuerza
gravitatoria
sin un
soporte era
era absurda.
absurda. Después
de Newton,
hicieron
tatoria sin
un medio
medio de soporte
Después de
Newton, hicieron
importantes
contribuciones a la Mecánica
importantes contribuciones
Mecánica Euler,
Euler, D'Alambert,
D'Alambert, Lagrange,
Lagrange, LaplaCoriolis, Einstein
otros.
Einstein y otros.
ce, Poinsot,
Poinsot, Coriolis,
Por
su aplicación
ser una
Por lo que
que respecta
respecta a su
aplicación técnica,
técnica, la Dinámica
Dinámica resulta
resulta ser
una
ciencia aún
aún moderna.
moderna. Sólo
Sólo desde
desde que
que las
estructuras funcionan
funcionan a
ciencia
las máquinas
máquinas y estructuras
grandes
con aceleraciones
aceleraciones apreciables
apreciables ha
sido necesario
efecgrandes velocidades
velocidades y con
ha sido
necesario efectuar
cálculos basados
de la Dinámica
en los
de la Estátuar cálculos
basados en los
los principios
principios de
Dinámica y no
no en
los de
Estática. Los
desarrollos tecnológicos
actuales exigen
exigen una
aplicación cada
cada
rápidos desarrollos
tecnológicos actuales
una aplicación
Los rápidos
vez
de los
principios de
de la Mecánica,
de los
vez mayor
mayor de
los principios
Mecánica, particularmente
particularmente de
los de la Dinámica.
son fundamentales
fundamentales para
námica. Estos
Estos principios
principios son
para el análisis
análisis y diseño
diseño de
de estructuras
móviles,
de
estructuras
fijas
sometidas
a
cargas
dinámicas,
de
tructuras móviles, de estructuras
sometidas
cargas dinámicas, de
mecanismos
sistemas de mando
automático, de cohetes
cohetes y naves
mecanismos robóticos,
robóticas, de sistemas
mando automático,
naves
espaciales, de
de vehículos
de transporte
aéreo, de
de instrumentos
espaciales,
vehículos de
transporte terrestre
terrestre y aéreo,
instrumentos basabasados en
en la balística
electrónica y de
de todos
como
dos
balística electrónica
de maquinaria
maquinaria de
todos los tipos
tipos tales
tales como
turbinas,
alternativas, grúas,
turbinas, bombas,
bombas, máquinas
máquinas alternativas,
grúas, máquinas
máquinas herramientas,
herramientas, etc.
El alumno
alumno cuyo
cuyo interés
estas actividades
actividades y de
de mumuinterés le lleve
lleve hacia
hacia una
una o más
más de estas
chas otras
otras se encontrará
encontrará en
en la necesidad
fundamentos de la Dichas
necesidad de
d e aplicar
aplicar los fundamentos
námica.
námica.
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r
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11
c
e
o
1
j
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c
d
o
d
c
fl
ti
d
té
v
g
----------------------------------------1.2
1.2
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
FUNDAMENTALES
CONCEPTOS
_-------.
......•.••
5
1.2 CONCEPTOS
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
FUNDAMENTALES
1.2
e
o
i-
Los conceptos
conceptos fundamentales
fundamentales de la Mecánica
Mecánica fueron
fueron expuestos
expuestos en
en el apartado
apartado
1.2
Estática. Se resumen
1.2 del tomo
tomo 1, Estática.
resumen a continuación
continuación acompañados
acompañados de comentacomentarios adicionales
adicionales de importancia
importancia particular
particular para
para el estudio
estudio de la Dinámica.
Dinámica.
Espacio es la región
región geométrica
geométrica ocupada
ocupada por
por los cuerpos.
cuerpos. La posición
posición en
en el
espacio se determina
determina respecto
respecto a un
un cierto
cierto sistema
sistema geométrico
geométrico de referencia
referencia memeespacio
diante
diante medidas
medidas lineales
lineales y angulares.
angulares. El sistema
sistema de referencia
referencia fundamental
fundamental en
en
son aplicables
aplicables las leyes
leyes de la Mecánica
Mecánica newtoniana
newtoniana o Mecánica
Mecánica clásica,
clásica,
el que son
es el sistema
primario o sistema
sistema inercial
inercial primario
sistema astronómico
astronómico de referencia,
referencia, que
que es un
un sistema
sistema
imaginario de ejes mutuamente
mutuamente ortogonales
ortogonales que
que se supone
supone no tienen
tienen traslación
traslación
imaginario
ni rotación
rotación en
en el espacio.
espacio. Las medidas
medidas indican
indican que
que las leyes
leyes de la Mecánica
Mecánica
newtoniana
newtoniana son
son válidas
válidas para
para este
este sistema
sistema de referencia
referencia en
en tanto
tanto que
que las velocivelocidades que
que intervengan
intervengan sean
sean despreciables
despreciables frente
frente a la de la luz,
luz, que
que es de
dades
300000 km
km / s. Las medidas
medidas efectuadas
efectuadas respecto
respecto a este
este sistema
sistema se dice
dice que
que son
son
absolutas y se considera
considera que
que este
este sistema
sistema está
está "fijo"
"fijo" en
en el espacio.
espacio. Un
Un sistema
sistema
solidario
solidario a la superficie
superficie de la Tierra
Tierra tiene
tiene un
un movimiento
movimiento un
un tanto
tanto complicado
complicado
sistema de referencia
referencia primario,
primario, lo cual
cual obliga
obliga a efectuar
efectuar una
una corrección
corrección de
en el sistema
las ecuaciones
ecuaciones fundamentales
fundamentales de la Mecánica
Mecánica cuando
cuando las medidas
medidas se realicen
realicen
respecto al sistema
sistema de referencia
referencia de la Tierra.
Tierra. Por
Por ejemplo,
ejemplo, en
en el cálculo
cálculo de
trarespecto
de trayectoria
de
cohetes
y
en
el
vuelo
espacial,
el
movimiento
absoluto
de
la
Tierra
yectoria
cohetes
en
vuelo espacial,
movimiento absoluto
Tierra
constituye un
un parámetro
parámetro importante.
importante. En la mayoría
mayoría de los problemas
problemas técnicos
técnicos
constituye
de máquinas
máquinas y estructuras
estructuras que
que permanecen
permanecen sobre
sobre la superficie
superficie terrestre,
terrestre, las correcciones son
son pequeñísimas
pequeñísimas y pueden
pueden despreciarse.
despreciarse. En estos
estos problemas
problemas se
rrecciones
pueden aplicar
aplicar directamente
directamente las leyes
leyes de la mecánica
mecánica a medidas
medidas efectuadas
efectuadas
pueden
respecto
respecto a la Tierra
Tierra y dichas
dichas medidas
medidas pueden
pueden considerarse
considerarse absolutas
absolutas desde
desde un
un
punto de vista
vista práctico.
práctico.
punto
El tiempo
tiempo es una
una medida
medida de la sucesión
sucesión de acontecimientos
acontecimientos y en
en la Mecánica
Mecánica
newtoniana
newtoniana se considera
considera una
una magnitud
magnitud absoluta.
absoluta.
medida cuantitativa
cuantitativa de la inercia
inercia o resistencia
resistencia que
que presentan
presentan
La masa es la medida
los cuerpos
cuerpos a cambiar
cambiar su estado
estado de movimiento.
movimiento. Puede
Puede asimismo
asimismo considerarse
considerarse
como la cantidad
cantidad de materia
materia que
que posee
posee un
un cuerpo
cuerpo y también
también como
como la propiepropiedad
dad que da origen
origen a la atracción
atracción gravitatoria.
gravitatoria.
fuerza es la acción,
acción, de naturaleza
naturaleza vectorial,
vectorial, que
que ejerce
ejerce un
un cuerpo
cuerpo sobre
sobre
La fuerza
cuerpo. Las propiedades
propiedades de las fuerzas
fuerzas fueron
fueron tratadas
tratadas a fondo
fondo en
en el tomo
tomo
otro cuerpo.
1, Estática.
punto material
material o partícula,
partícula, es un
un cuerpo
cuerpo de dimensiones
dimensiones despreciables.
despreciables.
Un punto
Además, cuando
cuando las dimensiones
dimensiones de un
un cuerpo
cuerpo no afectan
afectan a la descripción
descripción de
Además,
movimiento ni a la acción
acción de las fuerzas
fuerzas sobre
sobre él, el cuerpo
cuerpo puede
puede tratarse
tratarse
su movimiento
fuera una
una partícula.
partícula. Por
Por ejemplo,
ejemplo, para
para describir
describir la trayectoria
trayectoria de vuelo
vuelo
como si fuera
de un
un avión,
avión, éste
éste puede
puede tratarse
tratarse como
como una
una partícula.
partícula.
cuerpo rígido
rígido es aquél
aquél cuyas
cuyas variaciones
variaciones de forma
forma son
son despreciables
despreciables en
en
Un cuerpo
comparación con
con sus
sus dimensiones
dimensiones globales
globales o con
con las variaciones
variaciones de posición
posición
comparación
cuerpo como
como un
un todo.
todo. Como
Como ejemplo
ejemplo de la hipótesis
hipótesis de rigidez
rigidez citemos
citemos el
del cuerpo
un avión
avión en
en vuelo
vuelo en
en una
una turbulencia
turbulencia atmosférica.
atmosférica. En tal caso, la
caso de un
hace que
que los extremos
extremos de éstas
éstas se desplacen
desplacen unos
unos centímecentímeflexión de las alas hace
respecto al fuselaje
fuselaje de la aeronave,
aeronave, lo cual
cual carece
carece de importancia
importancia para
para la
tros respecto
distribución media
media de las fuerzas
fuerzas aerodinámicas
aerodinámicas ejercidas
ejercidas sobre
sobre las alas
alas o para
para
distribución
especificación del
del movimiento
movimiento del
del avión
avión en
en su
su conjunto
conjunto en
en su trayectoria
trayectoria de
la especificación
tanto, el tratamiento
tratamiento del
del avión
avión como
como cuerpo
cuerpo rígido
rígido no presenta
presenta ninninvuelo. Por tanto,
guna complicación.
complicación. En cambio,
cambio, si se tratara
tratara de examinar
examinar los esfuerzos
esfuerzos internos
internos
guna
http://gratislibrospdf.com/
6
INTRODUCCiÓN A LA
LA DINÁMICA
DINÁMICA
INTRODUCCiÓN
en la estructura
habría que
estructura de las alas debidos
debidos a cargas dinámicas
dinámicas cambiantes, habría
examinar las características de deformación
deformación de la estructura,
estructura, para
examinar
para lo cual ya no
podría considerarse
considerarse el avión como un
un cuerpo
cuerpo rígido
rígido..
podría
1, Estática,
ampliamente de vectores
En el tomo 1,
Estática, se trató ampliamente
vectores y escalares, por
por lo
perfectamente clara. Los escalares
que la diferencia entre ambos debe estar ya perfectamente
representan con letras bastardillas
bastardillas o cursivas y los vectores con letras negrise representan
Has.Así,
diremos que V (escalar) es el módulo
módulo del vector V. Al escribir a mano
llas.
Así, diremos
emplear una señal de identificación para
para los vectores que susties importante
importante emplear
tuya a la letra negrilla que se emplea
emplea en impresión.4generalmente
impresión~eneralmente se emplea
tuya
emplea un
un
signo en forma de flecha y el vector V se escribe V. Recuérdese, por
por ejemplo,
paralelos V 1l + V 2 Y V 1l + V 22 significan cosas
..que
que en el caso de dos vectores no paralelos
completamente diferentes.
diferentes.
completamente
Se
Se supone
supone que el lector ya está familiarizado
familiarizado con la geometría
geometría y el álgebra
estudios anteriores
anteriores de matemáticas
matemáticas y también
de los vectores gracias a sus estudios
también de
repasar tales temas encontrarán
encontrarán un
Estática. Quienes necesiten repasar
un breve
breve resumen
resumen
apéndice e junto
matemáticas de uso frecuente en
en el apéndice
junto con otras relaciones matemáticas
geometría suele ser una
Mecánica. La experiencia revela que la geometría
una fuente de difiestudio de la Mecánica. Ésta, por
por su propia
cultades en el estudio
propia naturaleza,
naturaleza, es
estudiantes deben tener presente
presente este hecho cuando
geométrica y los estudiantes
cuando repasen
repasen
matemáticas. Además
Además del álgebra vectorial, la Dinámica
sus conocimientos de matemáticas.
requiere el empleo del cálculo vectorial infinitesimal, cuyos elementos
elementos esenciaexpuestos en el texto a medida
medida que sean necesarios.
necesarios.
les serán expuestos
intervienen frecuentemente
frecuentemente las derivadas
derivadas respecto al tiempo
En Dinámica intervienen
abreviar la notación
notación se emplearán
tanto de vectores como de escalares. Para abreviar
emplearán
puntos sobre la cantidad
cantidad para
para representar
representar derivación
derivación respecto al tiempo.
puntos
tiempo. Así,
dx/dt y x
x significa d22x/dt
xi significa dx/dt
x/dt2.2.
1.3
LEYESDE
NEWTON
LEYES
DE NEWTON
En el apartado
apartado 1.4
1.4 del tomo 1,
1, Estática,
enunciaron las tres leyes del moviEstática, se enunciaron
miento de Newton
Newton y aquí se repiten
repiten dada
dada su especial importancia
importancia para
para la DiExpresadas en términos
términos modernos
modernos son las siguientes:
námica. Expresadas
ley. Un punto
punto material
material permanece
permanece en reposo
reposo o continúa
Primera ley.
continúa en moviuniforme si sobre él no se ejercen fuerzas desequilibradas.
desequilibradas.
miento rectilíneo y uniforme
ley. La aceleración de un punto
punto material
material es proporcional
proporcional a la fuerza
Segunda ley.
resultante que se ejerce sobre él y tiene la dirección y sentido
sentido de dicha fuerza.
resultante
1
e
Tercera ley.
ley. Las fuerzas de acción y reacción entre cuerpos
cuerpos en contacto son
intensidad y colineales y tienen sentidos
sentidos opuestos.
opuestos.
de igual intensidad
F
verificada mediante
mediante numerosas
La validez de estas leyes ha sido verificada
numerosas mediciofísicas de gran precisión. Las dos primeras
primeras son válidas
válidas para
nes físicas
para mediciones
mediciones
efectuadas en un sistema de referencia absoluto, pero
efectuadas
pero deben
deben corregirse levecuando lo son con respecto a un sistema de referencia que tenga
mente cuando
tenga aceleración, tal como la superficie terrestre.
segunda ley de Newton
Newton constituye
constituye la base de la mayoría
La segunda
mayoría de los análisis
Aplicada a un punto
punto material
material de masa m, sometido
una fuerza
en Mecánica. Aplicada
sometido a una
fuerza
F, puede
puede enunciarse
enunciarse en la forma
..resultante
resultante F,
y
= ma
F ==
http://gratislibrospdf.com/
(1.1)
(1.1 )
L
U
C
g
donde a es la aceleración que se origina medida en un sistema de referencia no
acelerado. La primera ley de Newton es consecuencia de la segunda, ya que no
habrá aceleración si la fuerza es nula y en tal caso la partícula debe estar en reposo o moviéndose a velocidad constante. La tercera ley constituye el principio
de acción y reacción que ya debemos conocer perfectamente de nuestros estudios de Estática.
1.4
7
1.4 UNIDADES
UNIDADES
En este tomo 2, Dinámica, se emplea el Sistema Métrico Internacional, pese a
que el antiguo Sistema Terrestre o Sistema Técnico, aún sigue empleándose
con frecuencia en la vida cotidiana.
En la tabla siguiente se resumen las cuatro magnitudes fundamentales de
la Mecánica y sus unidades en los dos sistemas:
Unidades SI
SISTEMA TERRESTREO TÉCNICO
Magnitud
Magnitud
dimensional
Unidad
Símbolo
Masa
Longitud
Tiempo
Fuerza
M
L
T
F
un¡dades{ kilogramo
básicas metro d
segun o
newton
kg
m
s
N
Unidad
-
{mel,"
Uru·da des
, .
segundo
básicas
kil opon di10
En el SI, las magnitudes fundamentales o básicas son la masa, la longitud y
el tiempo, y la fuerza es una magnitud derivada de éstas a través de la segunda
ley de Newton (ec. 1.1). En el Sistema Técnico, las magnitudes fundamentales
son la fuerza, la longitud y el tiempo, y la masa es una magnitud derivada de
éstas a través de la segunda ley de Newton. (Recuérdese que la unidad técnica
de masa carece de nombre y suele representarse con las letras UTM). El Sistema Internacional de unidades recibe el adjetivo de absoluto porque en el mismo
se toma la masa como unidad absoluta o fundamental. Del Sistema Técnico o
Terrestre se dice que es gravitatorio porque en él la fuerza (medida como atracción gravitatoria) constituye una magnitud fundamental. Esta distinción representa una diferencia esencial entre ambos sistemas.
La unidad internacional (o unidad SI) de fuerza recibe el nombre de newton
y es, por definición, la fuerza capaz de imprimir a una masa de un kilogramo
una aceleración de un metro por segundo al cuadrado. En el Sistema Técnico,
una unidad de masa adquirirá una aceleración de un metro por segundo al
cuadrado cuando sobre ella actúe una fuerza de un kilopondio. Entonces, según la ecuación 1.1, tenemos para estos sistemas
Unidades SI
(1 N) = (1 kg)(l
N =kg·m/s2
mi S2)
Unidades Técnicas
= (1 UTM)(l m/s2)
1 UTM=kp'm/seg2/m
(1 kp)
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Símbolo
UTM
m
seg
kgf, kp
88
INTRODUCCIÓN
INÁMICA
INTRODUCCiÓN A LA
LA D
DINÁMICA
En el Sistema
representa únicamente
únicamente una
una sola
Sistema Internacional
Internacional cada
cada símbolo
símbolo representa
sola
magnitud.
ponerse cuidado
palabra kilogramo
magnitud. Debe
Debe ponerse
cuidado en
en emplear
emplear la palabra
kilogramo únicamente
únicamente
como
unidad de
unidad de
como unidad
de masa
masa y nunca
nunca como
como unidad
de fuerza.
fuerza. Suele
Suele ser
ser habitual
habitual en
en el
lenguaje común
común expresar
expresar pesos
en kilogramos,
kilogramos, pero
debe quedar
quedar claro
claro que
que en
en
lenguaje
pesos en
pero debe
tal caso
pesos (fuerzas)
tal
caso lo que
que se está
está expresando
expresando son
son medidas
medidas de
de pesos
(fuerzas) en
en kilograkilogramos
por tanto
hecho de
mos fuerza
fuerza o kilopondios,
kilopondios, y que
que por
tanto está
está implícito
implícito el hecho
de que
que se están
pues, en
tán expresando
expresando en
en el Sistema
Sistema Técnico.
Técnico. Hay
Hay que
que tener
tener cuidado,
cuidado, pues,
en utilizar
utilizar
el símbolo
para representar
representar masas
símbolo kg
kg exclusivamente
exclusivamente para
masas en
en el Sistema
Sistema InternacioInternacional
símbolo kp
kp (o el kgf)
kgf) exclusivamente
exclusivamente para
representar fuerzas
fuerzas en
en el Sisnal y el símbolo
para representar
tema Técnico.
Técnico. Hacia
Hacia el final
final del
del apartado
apartado 1.5 próximo
tema
próximo se recordará
recordará la relación
relación
entre ambos
ambos sistemas,
sistemas, tal
tal como
como se expuso
expuso en
en el apartado
apartado 1.6 del
del tomo
tomo 1, Estátientre
Estática. En este
este texto
texto se emplea
emplea exclusivamente
exclusivamente el Sistema
Sistema Internacional,
Internacional, salvo
salvo en
en
ca.
algún problema
este capítulo
capítulo con
con fines
fines aclaratorios.
aclaratorios.
algún
problema de este
En Mecánica
unidades SI se irán
Mecánica se emplean
emplean otras
otras magnitudes
magnitudes cuyas
cuyas unidades
irán defidefiniendo a medida
uso coheniendo
medida que
que aparezcan
aparezcan en
en los capítulos
capítulos que
que siguen.
siguen. Para
Para el uso
coherente de
unidades hay
unas pautas,
pautas, las cuales
han seguido
rente
de estas
estas unidades
hay establecidas
establecidas unas
cuales se han
seguido
a lo largo
largo de todo
todo el libro.
libro.
1.5
GRAVITACiÓN
La ley
por Newton,
Newton, que
rige la atracción
ley de
de la gravitación,
gravitación, formulada
formulada por
que rige
atracción mutua
mutua
entre
entre cuerpos
cuerpos es
(1.2)
(1.2)
donde
donde
F == fuerza
fuerza de
de atracción
atracción mutua
mutua entre
entre dos
dos partículas
F
partículas
G == constante
universal llamada
constante universal
llamada constante
constante de
de gravitación
gravitación
mI, m2 = masas
masas de
de las partículas
mI,
partículas
rr = distancia
partículas
distancia entre
entre los centros
centros de
de las partículas
Según
Según datos
datos experimentales,
experimentales, el valor
valor de
de la constante
constante de gravitación
gravitación es
11)) m33/(kg
= 6,673(106,673(10-11
superficie terrestre,
terrestre, la única
fuerza gravigraviG =
/(kg . S2) . En la superficie
única fuerza
tatoria de
de intensidad
intensidad apreciable
apreciable es la debida
debida a la atracción
atracción ejercida
ejercida por
tatoria
por la Tierra.
Por ejemplo,
ejemplo, en
en el tomo
tomo 1, Estática,
vio que
que dos
dos bolas
de hierro
de 100
rra. Por
Estática, se vio
bolas de
hierro de
mm de
de diámetro
diámetro se ven
atraídas cada
cada una
Tierra con
con una
fuerza gravigravimm
ven atraídas
una por
por la Tierra
una fuerza
tatoria de 37,1 N, fuerza
fuerza ésta
ésta que
que llamamos
llamamos peso, pero
entre ellas
ellas se ejercen
ejercen una
tatoria
pero entre
una
fuerza de
de atracción
atracción mutua
mutua de 0,000 000 095 1 N.
fuerza
Dado que
que la atracción
atracción gravitatoria
gravitatoria que
que sufre
sufre un
cuerpo o peso
del cuerpo
cuerpo es
Dado
un cuerpo
peso del
una
fuerza,
los
pesos
deberán
expresarse
siempre
en
unidades
de
fuerza,
deuna fuerza,
pesos deberán expresarse siempre en unidades de fuerza, es decir, en
en newtons
(N)
en
el
Sistema
Internacional
o
bien
en
kilopondios
(kp)
o
kinewtons
en Sistema Internacional bien en kilopondios
logramos fuerza
fuerza (kgf) en
en el Sistema
Sistema Técnico.
Técnico. Por
Por desgracia
desgracia y como
como ya se ha
logramos
ha
señalado, la unidad
de masa
masa (kg) se ha
ha empleado
empleado habitualmente
habitualmente como
como medida
medida
señalado,
unidad de
de peso.
expresa en
en kilogramos,
kilogramos, la palabra
"peso" significa
significa técnicamente
de
peso. Si se expresa
palabra "peso"
técnicamente
"masa". Para
Para evitar
evitar confusiones,
confusiones, en
en este
este libro
libro se reserva
"peso" para
"masa".
reserva la palabra
palabra "peso"
para
expresar la atracción
atracción gravitatoria
gravitatoria y se expresará
expresará siempre
siempre en
en newtons
kiloponexpresar
newtons o kilopondios.
dios.
fuerza de atracción
atracción gravitatoria
gravitatoria que
que ejerce
ejerce la Tierra
Tierra sobre
sobre un
cuerpo deLa fuerza
un cuerpo
pende
de la posición
de éste
éste respecto
aquélla. Si la Tierra
Tierra fuese
fuese una
esfera
pende de
posición de
respecto de aquélla.
una esfera
perfecta
del mismo
mismo volumen,
volumen, un
cuerpo de masa
masa exactamente
exactamente 1 kg
kg se vería
vería
perfecta del
un cuerpo
http://gratislibrospdf.com/
9
9,840
Relativa a una Tierra sin rotación
9,830
-
9,820
1---
9,810
--6
»>
/'
(/)
/
9,800
/
o{¡
9,790
--- ----
,/
-
~
V
V
"
9,780
c.;
»>
-:
V
/
1'\
Relativa a la Tierra en rotación
(Fórmula Internacional
de la Gravedad)
9,770
O
(Ecuador)
30
60
Latitud, grados
Figura
90
(Polos)
1.1
atraído hacia el centro de la Tierra con una fuerza de 9,825 N si estuviera situado en la superficie terrestre, con una fuerza de 9,822 N a una altitud de 1 km,
con una fuerza de 9,523 N a una altitud de 100 km, con una fuerza de 7,340 N
a una altitud de 1000 km Y con una fuerza de 2,456 N a una altitud igual al radio medio de 6371 km de la Tierra. Se comprende de inmediato que la variación de la atracción gravitatoria es un dato a tener muy en cuenta en lo que
respecta a cohetes de gran altura y naves espaciales.
Todo cuerpo que se deje caer en el vacío desde una posición dada cerca de
la superficie terrestre tendrá siempre la misma aceleración g, tal como se deduce combinando las ecuaciones 1.1 y 1.2 Y eliminando el factor común que representa la masa del cuerpo que cae. Dicha combinación da
a
a
a
e
a
donde me es la masa de la Tierra y R es el radio de la Tierra l. Experimentalmente se ha determinado que la masa me y el radio medio R de la Tierra valen, respectivamente, 5,976(1024) kg Y 6,371(106) m. Si se aplican estos valores, junto al
de G ya citado, la expresión de g da un valor medio g = 9,825 mi s2.
La aceleración de la gravedad determinada según la ley de gravitación es la
aceleración que se mediría en una sistema de ejes de referencia cuyo centro estuviera en el centro de la Tierra pero que no girase con ésta. Respecto a estos
ejes "fijos", ese valor podría llamarse valor absoluto de g. A causa del hecho de
que la Tierra rota, la aceleración de un cuerpo en caída libre, medida desde una
posición solidaria a la superficie terrestre es levemente inferior al valor absoluto. Los valores exactos de la aceleración de la gravedad medidos con relación
a la superficie terrestre están afectados por el hecho de que la Tierra es un esferoide oblongo achatado por los polos. Tales valores pueden calcularse con un
1
Se puede demostrar que si se toma la Tierra como una esfera con distribución simétrica de su
masa respecto al centro, se puede considerar toda ella como un punto material con toda su masa
concentrada en el centro.
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1.5 GRA VII ACiÓN
l'
10
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN A LA
LA DINÁMICA
DINÁMICA
alto
precisión con
Fórmula Internacional
Internacional de la Gravedad
alto grado
grado de
de precisión
con la Fórmula
Gravedad de 1980,
que
que es
c
sen-2 yy + 0,000 023 sen
sen?4 yy + ..
.... )
g =
= 9,780327(1
9,780327(1 + 0,005 279 sen
donde
metros por
por segundo
donde yy es la latitud
latitud y g se expresa
expresa en
en metros
segundo al cuadrado.
cuadrado. La fórfórmula está
basada en
un modelo
modelo elipsoidal
para la Tierra
Tierra y además
tiene en
mula
está basada
en un
elipsoidal para
además tiene
en
cuenta
rotación de
gravedad
cuenta el efecto
efecto de la rotación
de ésta.
ésta. La aceleración
aceleración absoluta
absoluta de
de la gravedad
determinada
para una
una Tierra
rotación puede
puede calcularse,
buena aproxideterminada para
Tierra sin
sin rotación
calcularse, con
con buena
aproxipartir de los valores
valores relativos
relativos sumando
mación,
sumando 3,382(103,382(10-22)cos22 yy mi s2,
s2, con
con lo
mación, a partir
que
elimina el efecto
efecto de
de la rotación
figura 1.1 se presenta
que se elimina
rotación terrestre.
terrestre. En la figura
presenta la
variación con
valores absoluto
relativo de g al nivel
nivel del
mar.1
variación
con la latitud
latitud de
de los valores
absoluto y relativo
del mar.'
El valor
internacionalmente
aceptado para
aceleración de la
valor normalizado
normalizado internacionalmente
aceptado
para la aceleración
gravedad
relación a una
una Tierra
rotación, a nivel
nivel del
mar y a una
una latitud
gravedad con
con relación
Tierra en
en rotación,
del mar
latitud
de
Este valor
valor difiere
de 45°, es de 9,806 65 mi S2.
S2.Este
difiere levemente
levemente del
del que
que se obtiene
obtiene con
con
la Fórmula
Fórmula Internacional
Internacional de
particularizada para
para y= 45°.
45 Tal difede la Gravedad
Gravedad particularizada
diferencia
que achacarla
achacarla a que
que la Tierra
Tierra no
sea exactamente
exactamente un
elipsoide, tal
rencia hay
hay que
no sea
un elipsoide,
tal
como
Fórmula.
como se supone
supone al establecer
establecer dicha
dicha Fórmula.
La proximidad
grandes masas
sólidas y las variaciones
de densidad
densidad de
de
proximidad de grandes
masas sólidas
variaciones de
corteza terrestre
influyen también
en el valor
local de
de gg en
en cuantía
cuantía pequeña,
la corteza
terrestre influyen
también en
valor local
pequeña,
pero
detectable. En
casi todos
en que
que se efectúan
efectúan medipero detectable.
En casi
todos los problemas
problemas técnicos
técnicos en
mediciones sobre
sobre la superficie
superficie de la Tierra
Tierra se desprecian
desprecian la diferencia
diferencia entre
entre los vaciones
valores absoluto
absoluto y relativo
aceleración de
de la gravedad
gravedad y el efecto
efecto de
de las
lores
relativo de la aceleración
las
toma como
valor de
nivel del
mar 9,81 mi S2.
variaciones
locales, y se toma
como valor
de g al nivel
del mar
S2.
variaciones locales,
La variación
con la altitud
altitud se determina
determina fácilmente
fácilmente mediante
ley de
de
variación de g con
mediante la ley
la gravitación.
representa la aceleración
nivel
gravitación. Si go representa
aceleración absoluta
absoluta de
de la gravedad
gravedad al nivel
del mar,
absoluto a una
altura h es
del
mar, el valor
valor absoluto
una altura
o.
donde R es el radio
Tierra.
donde
radio de la Tierra.
La atracción
atracción gravitatoria
gravitatoria que
que la Tierra
Tierra ejerce
ejerce sobre
sobre un
cuerpo puede
calcuun cuerpo
puede calcularse partiendo
los resultados
del sencillo
sencillo experimento
experimento gravitatorio.
gravitatorio. Si la
larse
partiendo de los
resultados del
fuerza
peso verdadero
verdadero de
un cuerpo
W, como
fuerza de
de atracción
atracción gravitatoria
gravitatoria o peso
de un
cuerpo es W,
como ese
ese
cuerpo
una aceleración
vacío, la ecuación
cuerpo caerá
caerá con
con una
aceleración absoluta
absoluta g en
en el vacío,
ecuación 1.1 da
da
p
C
SI
fj
Si
U
te
el
si
té
sí
ti'
la
de
ec
su
Pa
W =
= mg
(1.3)
(1.3)
peso aparente
un cuerpo
un dinamómetro
El peso
aparente de
de un
cuerpo determinado
determinado con
con un
dinamómetro graduado
graduado
para
indicar la fuerza
fuerza correcta
correcta y unido
superficie terrestre,
será ligeramenligeramenpara indicar
unido a la superficie
terrestre, será
te inferior
su peso
diferencia se debe
debe a la rotación
rotación de
de la Tierra.
Tierra.
inferior a su
peso verdadero.
verdadero. La diferencia
La
del peso
aparente a la aceleración
aceleración de
de la gravedad
aparente o relativa,
La razón
razón del
peso aparente
gravedad aparente
relativa,
sigue dando
dando el valor
correcto de
de la masa.
aparente y la aceleración
aceleración resigue
valor correcto
masa. El peso
peso aparente
relativa
magnitudes que
miden en
lativa de la gravedad
gravedad son,
son, desde
desde luego,
luego, las
las magnitudes
que se miden
en los experimentos realizados
realizados en
Tierra.
perimentos
en la superficie
superficie de
de la Tierra.
como se estableció
estableció antes,
antes, se toma
de 9,81 mi s2
s2 al nivel
Si, tal
tal como
toma para
para g un
un valor
valor de
nivel
del mar,
según la ecuación
ecuación 1.3 el peso
de la masa
(véase tomo
del
mar, según
peso de
masa patrón
patrón (véase
tomo 1, Estática,
Estática,
apdo. 1.5) en
en unidades
será (1 kg)'(9,81ml
S2)== 9,81 N.
apdo.
unidades SI será
kg)·(9,81ml S2)
11
El estudiante
estudiante podrá
deducir estas relaciones para
estudiar el movimiento
podrá deducir
para una
una Tierra esférica al estudiar
movimiento
relativo en el capítulo
3.
capítulo 3.
http://gratislibrospdf.com/
es
sic
El
da
es
po
so
de
pn
físi
~------~~-------~~~-------------------------En el Sistema
peso de la masa
masa patrón
patrón es por
por definición
unidad
Sistema Técnico
Técnico el peso
definición la unidad
de fuerza
kilopondio o kilogramo-fuerza.
kilogramo-fuerza. Resulta
fuerza o kilopondio
Resulta entonces
entonces que
que
1 kp
kp == 9,81 N
n
d
io
a
puesto
que ambos
ambos valores
expresan el peso
de la misma
Según la ecuaecuavalores expresan
peso de
misma masa.
masa. Según
puesto que
en el Sistema
Sistema Técnico
Técnico la masa
(1/9,81) UTM.
como ya
ción 1.3, en
masa patrón
patrón valdrá
valdrá (1/9,81)
UTM. Tal como
ya
dicho, la unidad
en el Sistema
Sistema Técnico
Técnico carece
carece de
de nombre
especíse ha
ha dicho,
unidad de masa
masa en
nombre especísuele expresarse
expresarse mediante
iniciales UTM.
emplea en
en esta
esta obra,
obra,
fico y suele
mediante las iniciales
UTM. No
No se emplea
salvo en
en algunos
algunos problemas
este capítulo
capítulo a efectos
efectos aclaratorios.
aclaratorios.
salvo
problemas de este
1
la
d
n
eal
1.6
DIMENSIONES
DIMENSIONES
Una
dimensión dada,
dada, tal
como longitud,
longitud, puede
expresarse mediante
diferenUna dimensión
tal como
puede expresarse
mediante diferentes unidades
como metros,
milímetros o kilómetros.
distinguiremos
unidades como
metros, milímetros
kilómetros. Así
Así pues,
pues, distinguiremos
entre la palabra
dimensión y la palabra
unidad. Las relaciones
físicas deben
deben ser
ser
entre
palabra dimensión
palabra unidad.
relaciones físicas
siempre homogéneas
dimensionalmente, es decir,
decir, las
las dimensiones
dimensiones de
de todos
siempre
homogéneas dimensionalmente,
todos los
términos
ecuación han
de ser
ser las
las mismas.
acostumbra emplear
emplear los
términos de una
una ecuación
han de
mismas. Se acostumbra
símbolos L, F, T YM
longitud, fuerza,
fuerza, tiempo
símbolos
YM para
para representar
representar longitud,
tiempo y masa,
masa, respecrespectivamente.
En unidades
fuerza es una
derivada y en
en virtud
de
unidades SI la fuerza
una magnitud
magnitud derivada
virtud de
tivamente. En
ecuación 1.1 posee
las dimensiones
dimensiones de masa
aceleración o sea
sea
la ecuación
posee las
masa por
por aceleración
F
de
el
= ML/T2
ML/T2
=
Una
aplicación muy
importante del
del análisis
análisis dimensional
dimensional es la comprobación
comprobación
Una aplicación
muy importante
corrección dimensional
dimensional de las
las relaciones
físicas deducidas.
deducidas. Entre
Entre la velocide la corrección
relaciones físicas
velocidad v de un
cuerpo de
de masa
que, a partir
del reposo,
desplaza una
distandad
un cuerpo
masa m que,
partir del
reposo, se desplaza
una distanacción de una
fuerza F
F se deduce
deduce que
que existe
existe la relación
cia horizontal
horizontal x bajo
bajo la acción
una fuerza
relación
Fx
Fx --- 2~mv2
~mv2
li-
la
se
.3)
donde ~
coeficiente adimensional
adimensional resultante
de una
integración. Esta
Esta
donde
~ es un
un coeficiente
resultante de
una integración.
ecuación es dimensionalmente
dimensionalmente
correcta puesto
que al sustituir
sustituir por
ecuación
correcta
puesto que
por L M Y T resulta
sulta
[MLT-2][L]
= [M][LT-l]2
[MLT-2][L] =
[M][LT-l]2
Para que
que una
fórmula o ecuación
ecuación sea
sea correcta,
correcta, la homogeneidad
dimensional
Para
una fórmula
homogeneidad dimensional
condición necesaria
suficiente, ya
que los
los coeficientes
coeficientes adimenadimenes una
una condición
necesaria pero
pero no
no suficiente,
ya que
sionales no
comprobarse de
de este
este modo.
sionales
no pueden
pueden comprobarse
modo.
do
enfa.
va,
reexivel
ica,
ento
1.7
PLANTEAMIENTO Y
RESOLUCiÓN DE LOS PROBLEMAS
PROBLEMAS DE
PLANTEAMIENTO
Y RESOLUCiÓN
DINÁMICA
DINÁMICA
estudio de la Dinámica
Dinámica se dirige
dirige hacia
descripción de
de las
diversas canticantiEl estudio
hacia la descripción
las diversas
dades que
que intervienen
intervienen en
en el movimiento
de los
los cuerpos.
cuerpos. Esta
Esta descripción,
descripción, que
que
dades
movimiento de
formular predicciones
acerca del
del comcomes principalmente
principalmente matemática,
matemática, permite
permite formular
predicciones acerca
portamiento
dinámico. El estudiante
estudiante debe
debe reconocer
portamiento dinámico.
reconocer la necesidad
necesidad de un
un proceprocedual. Debe
Debe pensar
con arreglo
arreglo a la situación
situación física
física y también
so de pensamiento
pensamiento dual.
pensar con
también
acuerdo con
con la descripción
descripción matemática
correspondiente. El estudio
estudio de
de todo
de acuerdo
matemática correspondiente.
todo
problema
del pensamiento
del punto
de vista
problema requerirá
requerirá la transición
transición repetida
repetida del
pensamiento del
punto de
vista
duda de
de que
que las mayores
dificulfísico al punto
punto de vista
vista matemático.
matemático. No
No hay
hay duda
mayores dificul-
http://gratislibrospdf.com/
11
11
1.6 DIMENSIONES
DIMENSIONES
12
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCiÓN A LA
LA DINÁMICA
DINÁMICA
tades
que encuentran
encuentran los estudiantes
estudiantes en
en Mecánica
Mecánica es la falta
falta de capacidad
capacidad para
tades que
para
realizar esta
transición libremente,
vinculando estos
procesos mentales.
mentales. El
realizar
esta transición
libremente, vinculando
estos dos
dos procesos
estudiante
realizar un
un gran
para enlazar
estudiante deberá
deberá realizar
gran esfuerzo
esfuerzo para
enlazar cada
cada concepto
concepto físico
con
Deberá reconocer
reconocer que
que la formucon su
su correspondiente
correspondiente expresión
expresión matemática.
matemática. Deberá
formulación
matemática de un
un problema
problema físico representa
representa un
un modelo
modelo o descripción
lación matemática
descripción
límite
pero que
nunca alcanza
por completo
límite ideal,
ideal, que
que se aproxima
aproxima pero
que nunca
alcanza por
completo la situación
situación
física
real.
física real.
matemático idealizado
para un
un problema
problema técnico
técnico daAl construir
construir el modelo
modelo matemático
idealizado para
dado, siempre
harán ciertas
Algunas de
siempre se harán
ciertas aproximaciones.
aproximaciones. Algunas
de éstas
éstas serán
serán de
de índole
índole
matemática
otras de índole
índole física
física.. Por
Por ejemplo,
ejemplo, suele
suele ser
ser preciso
preciso despreciar
despreciar
matemática y otras
distancias,
pequeñas, frente
otras distancias,
distancias, ángulos
ángulos o fuerzas
fuerzas que
que sean
sean pequeñas,
frente a otras
distancias, ángulos
mucho mayores.
mayores. Si la variación
variación de velocidad
velocidad de
un cuerpo
gulos o fuerzas
fuerzas mucho
de un
cuerpo con
con
el tiempo
uniforme, será
Un
tiempo es casi uniforme,
será admisible
admisible suponer
suponer constante
constante la aceleración.
aceleración. Un
intervalo
movimiento que
no pueda
pueda describirse
toda su
intervalo de
de movimiento
que no
describirse fácilmente
fácilmente en
en toda
su extenextensión
pequeños intervalos,
uno de
pueda ser
sión suele
suele dividirse
dividirse en
en pequeños
intervalos,' cada
cada uno
de los cuales
cuales pueda
ser
aproximado.
retardador
rozamiento en
en los cojinetes,
aproximado. El efecto
efecto retar
dador del
del rozamiento
cojinetes, sobre
sobre el momovimiento adquirido
por una
una máquina
momentos
vimiento
adquirido por
máquina a consecuencia
consecuencia de fuerzas
fuerzas o momentos
aplicados,
puede a menudo
menudo despreciar
rozamiento son
peaplicados, se puede
despreciar si las fuerzas
fuerzas de rozamiento
son pequeñas.
mismas fuerzas
fuerzas no
no podrán
podrán despreciarse
despreciarse si el fin de
queñas. Sin embargo,
embargo, esas
esas mismas
de
la investigación
rendimiento de la máquina
máquina
investigación es determinar
determinar la disminución
disminución del
del rendimiento
a causa
proceso de
rozamiento. Así
Así pues,
pues, hasta
hasta qué
pueden forcausa del
del proceso
de rozamiento.
qué extremo
extremo pueden
mularse hipótesis,
hipótesis, dependerá
de la información
precisión
mularse
dependerá de
información que
que se desee
desee y de
de la precisión
exigida.
hipóexigida. El estudiante
estudiante deberá
deberá estar
estar constantemente
constantemente atento
atento a las diversas
diversas hipótesis que
hagan para
para la formulación
problemas reales.
reales. La habilidad
habilidad
tesis
que se hagan
formulación de
de los problemas
para comprender
utilizar las hipótesis
hipótesis apropiadas
para
comprender y utilizar
apropiadas en
en la formulación
formulación y solusolución
de problemas
problemas técnicos
técnicos es, ciertamente,
una de
más imción de
ciertamente, una
de las características
características más
importantes de un
un buen
buen ingeniero.
ingeniero. Junto
principios e
portantes
Junto con
con el desarrollo
desarrollo de los principios
instrumentos
necesarios en
moderna, uno
uno de
princiinstrumentos analíticos
analíticos necesarios
en la Dinámica
Dinámica moderna,
de los principales fines
proporcionar un
un máximo
máximo de
de oportunidades
para depales
fines de
de este
este libro
libro es proporcionar
oportunidades para
desarrollar
habilidad de
formulación de
modelos matemáticos.
matemáticos. Se hará
hará
sarrollar esta
esta habilidad
de formulación
de modelos
mucho hincapié
hincapié en
una amplia
variedad de
prácticos, que
mucho
en una
amplia variedad
de problemas
problemas prácticos,
que no
no sólo
sólo
exigen
también obligan
exigen el ejercicio
ejercicio completo
completo de la teoría,
teoría, sino
sino que
que también
obligan a considerar
considerar
decisiones que
que hay
que tomar
tomar relativas
hipótesis importantes.
importantes.
las decisiones
hay que
relativas a hipótesis
Es esencial
un método
problemas de
esencial un
método de
de ataque
ataque eficaz
eficaz de
de los problemas
de Mecánica,
Mecánica, como
como
de
todos los problemas
problemas técnicos.
técnicos. El desarrollo
hábito de
problemas
de todos
desarrollo del
del hábito
de formular
formular problemas
y de
de representar
sus soluciones
soluciones es de
de un
extraordinario. Cada
Cada resolución
resolución
representar sus
un valor
valor extraordinario.
debe
progresar a través
una sucesión
lógica de pasos
pasos que
debe progresar
través de
de una
sucesión lógica
que llevan
llevan desde
desde la hipótesis a la conclusión
representación deberá
un enunciado
pótesis
conclusión y su
su representación
deberá incluir
incluir un
enunciado claro
claro de
las partes
partes siguientes,
una de
toda claridad:
siguientes, cada
cada una
de ellas
ellas identificada
identificada con
con toda
claridad:
Datos
1. Datos
2. Resultados
pedidos
Resultados pedidos
necesarios
3. Diagramas
Diagramas necesarios
Cálculos
4. Cálculos
Respuestas y conclusiones
conclusiones
5. Respuestas
conveniente, además,
además, incorporar
incorporar una
serie de
de comprobaciones
comprobaciones de los cáluna serie
Es conveniente,
culos
puntos intermedios
resolución. Deberá
culos en
en puntos
intermedios de
de la resolución.
Deberá observarse
observarse si el orden
orden de
magnitud de
numéricos es razonable
razonable y deberá
magnitud
de los valores
valores numéricos
deberá comprobarse
comprobarse con
con
frecuencia
precisión y la homogeneidad
homogeneidad de los términos.
términos. Es también
frecuencia la precisión
también imporimportante que
trabajo sea
resoluciones
tante
que la distribución
distribución del
del trabajo
sea limpia
limpia y ordenada.
ordenada. Las resoluciones
descuidadas
no puedan
puedan ser leídas
por los demás,
poco
descuidadas que
que no
leídas fácilmente
fácilmente por
demás, son
son de poco
valor o carecen
verá que
una buena
buena forma
valor
carecen de él. Se verá
que la disciplina
disciplina inherente
inherente a una
forma
constituye en
misma una
una valiosísima
constituye
en sí misma
valiosísima ayuda
ayuda al desarrollo
desarrollo de
de las capacidades
capacidades
http://gratislibrospdf.com/
a
El
ea
u-
ón
ón
ión
pódad
lu-
erar
amo
mas
ción
ahio de
s cálende
e con
poriones
formulación y análisis.
análisis. Muchos
Muchos problemas
problemas que
que puedan
puedan parecer,
parecer, al principrincide formulación
difíciles y complicados,
complicados, resultan
resultan claros
claros y sencillos
sencillos una
una vez
vez que
que se han
pio, difíciles
han
afrontado con un
un método
método de ataque
ataque lógico
lógico y disciplinado.
disciplinado.
afrontado
Dinámica se basa
basa en
en un
un número
número sorprendentemente
sorprendente mente reducido
reducido de conconLa Dinámica
ceptos fundamentales
fundamentales e implica,
implica, principalmente,
principalmente, la aplicación
aplicación de estas
estas relaciorelacioceptos
fundamentales a una
una diversidad
diversidad de situaciones.
situaciones. Uno
Uno de los aspectos
aspectos más
más
nes fundamentales
valiosos del estudio
estudio de la Dinámica
Dinámica es la experiencia
experiencia adquirida
adquirida al razonar
parvaliosos
razonar partiendo de los principios
principios fundamentales.
fundamentales. Esta
experiencia no puede
puede obtenerse
obtenerse
tiendo
Esta experiencia
simplemente memorizando
memorizando las ecuaciones
ecuaciones de Cinemática
Dinámica que
que
simplemente
Cinemática y de Dinámica
describen diversos
diversos movimientos.
movimientos. Debe
Debe obtenerse
obtenerse enfrentándose
enfrentándose a una
una amplia
amplia
describen
variedad de problemas
problemas que
que obliguen
obliguen a la elección,
elección, empleo
empleo y extensión
extensión de los
variedad
principios
fundamentales para
para satisfacer
satisfacer las condiciones
condiciones dadas.
dadas.
principios fundamentales
describir las relaciones
relaciones entre
entre las fuerzas
fuerzas y los movimientos
movimientos que
que originan,
originan,
Al describir
esencial que
que se defina
defina claramente
claramente el sistema
sistema al cual
cual se aplica
aplica el principio.
es esencial
principio. A
sistema que
que hay
hay que
que aislar
aislar es un
un punto
punto material
material o partícula,
partícula, o un
un cuercuerveces, el sistema
rígido, mientras
mientras que
que otras
otras veces
veces son
son dos
dos o más
más cuerpos
cuerpos tomados
tomados juntos
po rígido,
juntos los
constituyen el sistema.
sistema. La definición
definición del
del sistema
sistema que
que se quiere
quiere analizar
analizar
que constituyen
queda clara
clara construyendo
construyendo su
su diagrama
diagrama de sólido
sólido libre. Este
Este diagrama
diagrama consiste
consiste en
en
queda
dibujo de forma
forma cerrada
cerrada que
que representa
representa los límites
límites exteriores
exteriores del
sistema
un dibujo
del sistema
definido. Se suprimen
suprimen todos
todos los cuerpos
que están
están en
en contacto
contacto con
con el sistema
sistema y
definido.
cuerpos que
ejercen fuerzas
fuerzas sobre
sobre él pero
pero no forman
forman parte
parte del
del mismo,
mismo, y se sustituyen
sustituyen por
por
ejercen
vectores que
que representen
representen las fuerzas
fuerzas que
que ejercen
sistema aislado.
aislado. De
vectores
ejercen sobre el sistema
manera se establece
establece una
una distinción
distinción clara
clara entre
entre la acción
acción y la reacción
reacción de
esta manera
cada fuerza
fuerza y se tienen
tienen en
en cuenta
cuenta todas las fuerzas
fuerzas que
que se ejercen
ejercen sobre
sobre el sistesistecada
desde el exterior.
exterior. Se supone
supone que
que el estudiante
estudiante está
está familiarizado
familiarizado con
con la técma desde
del trazado
diagramas de sólido
sólido libre,
libre, en
en la que
que ya
ya se habrá
habrá ejercitado
ejercitado
nica del
trazado de diagramas
anteriormente al estudiar
estudiar la Estática.
Estática.
anteriormente
aplicar las leyes
leyes de la Dinámica,
Dinámica, se pueden
pueden emplear
emplear directamente
directamente los vavaAl aplicar
lores
numéricos de las cantidades
cantidades al buscar
buscar la solución
solución o bien
bien pueden
pueden utilizarse
utilizarse
lores numéricos
símbolos algebraicos
algebraicos para
para representar
representar las cantidades
cantidades que
intervienen y dejar
dejar la
símbolos
que intervienen
respuesta en
en forma
forma d
dee fórmula.
fórmula. En el primer
primer procedimiento,
procedimiento, en
en cada
cada etapa
etapa del
del
respuesta
cálculo queda
queda en evidencia
evidencia el orden
orden de magnitud
magnitud de todas
todas las cantidades
cantidades excálculo
presadas en
en sus
sus unidades
unidades particulares.
particulares. Esto
Esto suele
suele ser
ser una
una ventaja
ventaja cuando
cuando se vavapresadas
significado práctico
práctico del orden
orden de magnitud
magnitud de los términos.
lore el significado
términos. Sin
embargo, la solución
solución simbólica
simbólica presenta
presenta varias
varias ventajas
ventajas respecto
respecto a la numérica.
numérica.
embargo,
primer lugar,
lugar, la abreviatura
abreviatura lograda
lograda con
con la utilización
utilización de símbolos
símbolos ayuda
ayuda a
En primer
concentrar la atención
atención sobre
sobre la interconexión
interconexión entre
entre la situación
situación física
física y la desdesconcentrar
cripción matemática
matemática con
con ella
ella relacionada.
relacionada. En segundo
segundo lugar,
una solución
solución simsimcripción
lugar, una
bólica permite
permite la comprobación
comprobación dimensional
dimensional que
que puede
puede realizarse
cada paso,
bólica
realizarse a cada
paso,
mientras que
que cuando
cuando se utilizan
utilizan valores
valores numéricos
numéricos no puede
puede comprobarse
comprobarse la
mientras
homogeneidad dimensional.
dimensional. En tercer
tercer lugar,
lugar, una
una solución
solución dimensional
dimensional se puepuehomogeneidad
emplear repetidamente
repetidamente para
para obtener
obtener respuestas
respuestas al mismo
mismo problema
cuando
de emplear
problema cuando
puedan existir
existir otros
otros conjuntos
conjuntos de valores
valores y unidades.
unidades. La facilidad
con ambos
ambos
puedan
facilidad con
métodos de solución
solución es esencial
esencial y convendrá
convendrá adquirir
adquirir una
una buena
buena práctica
práctica en
en la
métodos
resolución de problemas.
problemas.
resolución
estudiante descubrirá
descubrirá que
que hay
hay tres
tres maneras
maneras de
de hallar
hallar las soluciones
soluciones a las
El estudiante
distintas ecuaciones
ecuaciones de
Dinámica. Primera,
puede ser
ser una
una solución
solución matemámatemádistintas
de la Dinámica.
Primera, puede
directa por
por cálculo
cálculo manual
manual en
en la que
que las respuestas
respuestas aparezcan
aparezcan bien
bien con
con
tica directa
símbolos algebraicos,
algebraicos, bien
bien con
con resultados
resultados numéricos.
numéricos. La mayoría
mayoría de los proprosímbolos
blemas están
están comprendidos
comprendidos en
en esta
esta categoría.
categoría. Segunda,
Segunda, hay
hay problemas
problemas que
que se
blemas
resuelven fácilmente
fácilmente por
por métodos
métodos gráficos,
gráficos, como
como ocurre
ocurre en
en la determinación
determinación
resuelven
http://gratislibrospdf.com/
13
PLANTEAMIENTO
Y RESOLUCiÓN
RESOLUCiÓN
1.7 PLANTEAMIENTO
Y
DE LOS
LOS PROBLEMAS
PROBLEMAS DE
DE DINÁMICA
DINÁMICA
DE
14
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN A LA
LA DINÁMICA
DINÁMICA
de velocidades y aceleraciones en problemas
bidimenproblemas de movimiento
movimiento relativo bidimensional de cuerpos rígidos.
Dinámica, se presenta
presenta un
un
rígidos. Tercera, en este tomo 2,
2, Dinámica,
cierto número
problemas orientados
continuación de
número de problemas
orientados al ordenador.
ordenador. Situados a continuación
los problemas
problemas de repaso, se han
han elegido para
para ilustrar
ilustrar en qué tipos de problemas la solución mediante
punto evidenmediante ordenador
ordenador ofrece una ventaja de todo punto
te. La elección ddee la forma más expeditiva
un aspecto
expeditiva de resolución constituye un
importante
importante de la experiencia que se debe adquirir
adquirir en la resolución de problemas. Subrayemos, empero, que la experiencia más importante
importante que se debe adquirir en el estudio de la Dinámica reside en el planteamiento
planteamiento de los
sí.
problemas, a diferencia de lo que es su resolución en sí.
PROBLEMAS
PROBLEMAS
(Las
(Las constantes
constantes del Sistema Solar pueden
pueden encontrarse
encontrarse en la tabla D.2 del apéndice
apéndice D.)
1 .1
Hallar
.1
Hallar el peso en newtons
newtons de una persona
persona cuya masa es
80
80 kg. Expresar esta masa en UTM y calcular el correspondiencorrespondiente peso en kilopondios.
kilopondios.
Resp.
N, m == 8,15
Resp. W == 784,8
784,8N,
8,15 UTM,
UTM, W == 80
80 kp
1.2
Halle su propia
1 .2
propia masa en UTM.
UTM. Convierta
Convierta su peso en
newtons y calcule la correspondiente
correspondiente m
masa
newtons
asa en kilogramos.
1.3
¿A qué altura
altura h11 por encima del Polo Norte se reduce
reduce el
peso de un objeto al iO%
iO% de su valor en la superficie terrestre?
Supóngase
Supóngase que la Tierra es una esfera de radio
radio R
R y exprésese
exprésese h11
en función de R.
Resp.
Resp. h == 2,16R
2,16R
lanzadera
1.4
Una lanz
adera espacial describe una órbita circular a
250 km de altura. Calcular el valor absoluto
absoluto de g a esa altura
altura y
250
hallar el correspondiente
correspondiente peso verdadero
verdadero (fuerza gravitatoria)
gravitatoria)
de un pasajero del vehiculo cuyo peso es 880
880 N medido
medido en la
superficie terrestre
una latitud
terrestre a una
latitud de 45°.
45°. ¿Son
¿Son correctos, en sentido absoluto, los términos
términos "cero-g"
"cero-g" e "ingravidez"
"ingravidez" que a veces
se emplean
emplean para
para describir la situación
situación en las naves espaciales
en órbita?
F¿s que ejerce el Sol sobre un hombre
hombre
1.5
Calcular la fuerza F
90 kg que se encuentre
encuentre en la superficie de la Luna y compade 90
rarIa con la fuerza F,
FI que sobre el mismo hombre
hombre ejerce la Luna.
rarla
Resp.
=0,534N, FI=146N
F,=146N
Resp. Fs=0,534N,
Considérense dos esferas de diámetro
diámetro 100
100 mm cada
1.6
Considérense
exactamente en contacto. ¿A qué distancia
distancia r del centro de
una, exactamente
la Tierra serán iguales las fuerzas de atracción entre las esferas
y la que ejerce la Tierra sobre cada una?
gravedad para
para la
11.7
.7
Calcular la aceleración relativa de la gravedad
rotación y su valor absoluto
absoluto para
para una
una Tierra sin rotaTierra en rotación
ción al nivel del mar ya
ya una latitud
45°. CompaCompación
latitud norte o sur de 45°.
resultados con los valores
valores de la figura 1.1.
1.1.
rar los resultados
Resp. gre'
grel =
= 9,806
9,806 mi S2, gabs
gabs =
= 9,823
9,823 mi S2
Resp.
1.8
Hallar
fuerza que ejerce el Sol so1.8
Hallar el cociente RAA entre la fuerza
bre la Luna y la que ejerce la Tierra sobre la Luna
Luna en la posición
posición
A de ésta. Repetir el cálculo para
para la posición
posición B.
.".....-----...
"....
..-- - - -.... ........
......•..
/
/
/
II/
/I
/I
A Q
AQ
,"
'\.
Luz solar
"- \\
\\
~
~.,. .,.
\
(}
(}BB
\
I
\\
/
\\
II
'\.
"- '"....
<,
---
//
....-/
./
/
problema 1.8
1.8
Figura problema
1.9
Calcular a qué distancia
distancia dd del centro de la Tierra una
1.9
Calcular
partícula experimentará
experimentará la misma
misma atracción
atracción de la Tierra que de
partícula
la Luna. Nos limitamos
partícula sobre la
limitamos a las posiciones
posiciones de la partícula
recta que une los centros de la Tierra y la Luna. Justificar físifísicamente la existencia de dos soluciones.
Resp.
Resp. d == 346
346 000
000 km o 432
432 348 km
~Ti
~Ti
__ ~erra
~erra
__ ._._._
__
____
. _. _
I
I
Luna
Luna
.-----0----.----0-- ----
d---J
d---J
problema 1.9
1.9
Figura problema
Comprobar la homogeneidad
homogeneidad dimensional
dimensional de la ecua1.10 Comprobar
siguiente
ción siguiente
rnv =
rnv
f::
(F cos e)
f:~ (F
dt
dt
donde m es masa, v es velocidad,
velocidad, F
F es fuerza,
donde
t es tiempo.
http://gratislibrospdf.com/
eees un
un ángulo
ángulo y
enun
encto
blead-
los
lsoción
una
ede
re la
físi-
descripción de la trayectoria
un punto
punto material
material en términos
términos geométricos
geométricos y en
en función
función del
del tiempo
tiempo
La descripción
trayectoria de un
una parte
parte fundamental
fundamental de la Dinámica.
Dinámica. Esta
Esta fotografía
fotografía en
cadena de los rebotes
rebotes de una
una pelota
pelota registra
registra
en cadena
es una
trayectoria de la misma
misma y concuerda
concuerda muy
muy estrechamente
estrechamente con
con la trayectoria
trayectoria que
que somos
somos capaces
capaces de preprela trayectoria
decir mediante
mediante un
un cálculo
cálculo basado
basado en
en la gravedad
gravedad yen
y en la teoría
teoría de
de choques.
choques.
decir
http://gratislibrospdf.com/
2.1
16
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
z
R
x
\\
~~--_-=:"J \
~~¡¡-~-"":::::-,J
Trayectoria
Trayectoria
\\
\\
y
\
x
Figura 2.1
e
s
CINEMÁTICA DEL
DEL PUNTO
PUNTO
CINEMÁTICA
parte de la Dinámica que describe el movimiento
movimiento de los
La Cinemática es la parte
causan ni a las que se generan
generan a concuerpos sin referencia a las fuerzas que lo causan
mismo. Es frecuente referirse a ella como a la "geometría
"geometría del mosecuencia del mismo.
vimiento". El diseño de levas, engranajes, sistemas articulados
articulados y otros órganos
vimiento".
máquinas que controlan
controlan o producen
producen movimientos
movimientos previamente
previamente determinadeterminade máquinas
dos y el cálculo de las trayectorias
trayectorias de vuelo de aviones, cohetes y naves espaproblemas de cinemática que ocupan
ocupan la
ciales son algunos ejemplos de los problemas
ingenieros. El
El'conocimiento
profundo de la Cinemátiatención de los ingenieros.
-conocimiento práctico profundo
imprescindible para
para estudiar
estudiar Cinética, en la que se
ca es un requisito previo imprescindible
estudian las relaciones entre el movimiento
movimiento y las correspondientes
correspondientes fuerzas que
estudian
acompañan.
lo causan o lo acompañan.
estudio de la Cinemática considerando
considerando priEn este capítulo se comienza el estudio
movimiento de las partículas
partículas o puntos
puntos materiales. Una partícula
partícula o punpunmero el movimiento
dimensiones, comparadas
comparadas con el radio de
to material es todo cuerpo cuyas dimensiones,
curvatura de su trayectoria,
trayectoria, son tan pequeñas
pequeñas que su movimiento
movimiento puede
puede tracurvatura
movimiento de un punto.
punto. Por ejemplo, la envergadura
envergadura
tarse como si fuera el movimiento
de un reactor comercial que vuele de Los Angeles a New York no es significacurvatura de su trayectoria
trayectoria de vuelo y el considerar
considerar al
tiva comparada
comparada con la curvatura
partícula no debe plantear
plantear inconvenientes.
inconvenientes.
avión cual si fuera una partícula
movimiento de un punto
punto material
material puede
puede describirse de varias formas y
El movimiento
método más adecuado
adecuado o más cómodo depende
depende en gran medida
medida
la elección del método
presentan los datos. Resumamos brevede la experiencia y del modo en que se presentan
distintos métodos
métodos que se desarrollan
desarrollan en este capítulo refiriéndonos
refiriéndonos
mente los distintos
2.1 en la que se representa
representa un punto
punto material
material P moviéndose
moviéndose en el
a la figura 2.1
una trayectoria
trayectoria cualquiera.
cualquiera. Cuando
Cuando el punto
punto está obligado
espacio a lo largo de una
trayectoria prefijada, como si fuera una cuenta que
a moverse a lo largo de una trayectoria
deslizara por un alambre fijo,
fijo, se dice que el movimiento
movimiento es vinculado.
vinculado. Cuanse deslizara
movimiento es no vinculado
vinculado. . Una
do no existen guías materiales, se dice que el movimiento
pequeña piedra
piedra sujeta al extremo de una cuerda
cuerda a la que se hace mover circupequeña
larmente se encuentra
encuentra en movimiento
movimiento vinculado
vinculado hasta
hasta que se rompe la cuerda,
larmente
instante en que el movimiento
movimiento se convierte en no vinculado.
vinculado.
instante
punto P en un instante
instante t cualquiera
cualquiera puede
puede especificarse
La posición de un punto
mediante sus coordenadas
coordenadas rectangulares
rectangulares!l x,
x, yy y z, sus coordenadas
coordenadas cilíndricas
mediante
r, e
e y z o sus coordenadas
coordenadas esféricas R,
R, e
e y !/J.I/J. El movimiento
movimiento de P puede
puede asimisr,
mo describirse mediante
mediante mediciones
mediciones a lo largo de la tangente
tangente t y de la normal
normal
variables locales. La recta son a la trayectoria. Estos valores se conocen como variables
encuentra en el plano osculador
osculador de la curva
curva/.2 .
porte de 11n se encuentra
movimiento de partículas
partículas (y
(y de cuerpos rígidos) puede
puede describirse emEl movimiento
pleando coordenadas
coordenadas medidas
medidas respecto a ejes de referencia fijos
fijos (análisis del
pleando
movimiento absoluto)
absoluto) o empleando
empleando coordenadas
coordenadas medidas
medidas respecto a ejes
ejes de removimiento
movimiento relativo).
relativo). En los ap
apartados
ferencia móviles (análisis del movimiento
artados siguientes
desarrollan y aplican ambos tipos de descripción.
descripción.
se desarrollan
presente esta imagen cualitativa del movimiento
movimiento de un punto
punto maTeniendo presente
primera parte de este capítulo limitaremos nuestra
nuestra atención al caso
terial, en la primera
(
2
o
F
\i
d
e
z
a
F
r,
r
a
lA
1
TI
e
(
g
s
d
TI
11
2
Llamadas coordenadas
coordenadas cartesianas
cartesianas en honor
honor de René Descartes
Descartes (1596-1650l,
(1596-16501, matemático
matemático fra
francés
Llamadas
ncés
que fu
fuee uno
uno de los fundadores
fundadores de la geometría
geometría analítica.
analítica.
que
El plano
plano que
que contiene
contiene a P y a los dos
dos puntos
puntos A y B,
B, uno
uno a cada
cada lado
lado de P, se convierte
convierte en plano
plano
osculador cuando
cuando las distancias
distancias entre
dos pW1tOS
pW1tOSse
aproximan a cero. Osculador
Osculador deri
deriva
del latín,
latín,
entre dos
se aproximan
va del
osculador
osculari, que
que significa
significa "besar".
"besar",
osculari,
http://gratislibrospdf.com/
e
c
li
a
en el que
que todos
todos los
los movimientos
movimientos ocurren
ocurren o pueden
pueden reprerepremovimiento plano,
de movimiento
plano, en
sentarse
sentarse como
como si ocurrieran
ocurrieran en
en un
un solo
solo plano.
plano. Los
Los movimientos
movimientos de
de una
una gran
gran
proporción
proporción de
de máquinas
máquinas y estructuras
estructuras pueden
pueden representarse
representarse como
como movimienmovimientos planos.
planos. Más
Más adelante,
adelante, en
en el capítulo
capítulo 7, se presentará
presentará una
una introducción
introducción al momovimiento
vimiento tridimensional.
tridimensional. Empezaremos
Empezaremos el estudio
estudio del
del movimiento
movimiento plano
plano por
por el
movimiento
movimiento rectilíneo,
rectilíneo, movimiento
movimiento que
que tiene
tiene lugar
lugar a lo largo
largo de
de una
una línea
línea recta,
recta, a
lo que
que seguirá
seguirá la descripción
descripción del
del movimiento
movimiento a lo largo
largo de
de una
una curva
curva plana.
plana.
a
e
e
e
a
y
2.2
MOVIMIENTO
MOVIMIENTO RECTILíNEO
RECTILíNEO
Consideremos
P que
Consideremos un
un punto
punto material
material P
que se mueve
mueve a lo largo
largo de
de una
una recta
recta (fig.
2.2).
P en
2.2). La posición
posición de
de P
en un
un instante
instante cualquiera
cualquiera t puede
puede especificarse
especificarse por
por su
su
distancia s a cierto
cierto punto
punto de
de referencia
referencia O fijo en
en la recta.
recta. En
En el instante
I'lt el
distancia
instante t + M
punto se habrá
habrá desplazado
desplazado a P'
su coordenada
coordenada habrá
habrá pasado
ser s + t.s.
/.}.s.La
La
punto
P' y su
pasado a ser
variación
variación de
de la coordenada
coordenada de
de posición
posición durante
durante el intervalo
intervalo M
I'lt recibe
recibe el nombre
nombre
de desplazamiento
desplazamiento ó.s
I'ls del
del punto.
punto. Si éste
éste se moviera
moviera en
en el sentido
sentido negativo
negativo de
de s, el
desplazamiento sería
sería negativo.
negativo.
desplazamiento
La velocidad
velocidad media
media del
del punto
punto durante
durante el intervalo
intervalo de
de tiempo
tiempo ó.t
I'lt es el despladesplazamiento
zamiento dividido
dividido por
por el intervalo
intervalo de
de tiempo,
tiempo, o sea
sea vmed
vmed == ó.s
I'ls /I M.
I'lt. A medida
medida que
que
M
I'lt se va
va haciendo
haciendo menor
menor y tiende
tiende a cero
cero en
en el límite,
límite, la velocidad
velocidad media
media tiende
tiende
.
ó.s
a ser la velocidad
velocidad instantánea
llim
instantánea del
del punto,
punto, la cual
cual es v
~s, o sea
sea
1m A'
~t ....•O lJ.t
!J. t .....
o lJ.t
a
v = ds = s
S
dt
dt
o
e
a
e
17
2.2 MOVIMIENTO
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
RECTILÍNEO
2.2
(2.1 )
Resulta
Resulta así
así que
que la velocidad
velocidad es la variación
variación por
por unidad
unidad de
de tiempo
tiempo de
de la coordecoordenada
nada de
de posición
posición s, y será
será positiva
positiva o negativa
negativa según
según que
que el desplazamiento
desplazamiento correspondiente sea
rrespondiente
sea positivo
positivo o negativo.
negativo.
La aceleración
aceleración media
media del
del punto
punto material
material durante
durante el intervalo
intervalo de
de tiempo
tiempo ó.t
I'lt es
la variación
sea amed =
variación de
de su
su velocidad
velocidad dividida
dividida por
por el intervalo
intervalo de
de tiempo,
tiempo, o sea
I'lv/I I1t.
I'lt. A medida
medida que
que ó.t
I'lt se va
va haciendo
haciendo menor
menor y tiende
tiende a cero
cero en
en el límite,
límite, la
I1v
aceleración
aceleración media
media tiende
tiende a ser
ser la aceleración
aceleración instantánea
instantánea del
del punto,
punto, la cual
cual es
.. ó.v
Su
a=
o sea
= Mll1m
sea
....•o
o ó.t
I'lt''
!J.t .....
dv
dv
dt
dt
(2.2)
(2.2)
o bien
bien
aceleración será
será positiva
positiva o negativa
negativa según
según que
que la velocidad
velocidad aumente
aumente o disLa aceleración
disminuya.
minuya. Obsérvese
Obsérvese que
que la aceleración
aceleración sería
sería positiva
positiva en
en el caso
caso de
de que
que la partípartícula tuviese
tuviese una
una velocidad
velocidad negativa,
negativa, pero
pero fuese
fuese cada
cada instante
instante menos
menos negativa.
negativa.
cula
Cuando
Cuando el punto
punto disminuye
disminuye de
de velocidad
velocidad siendo
siendo ésta
ésta todavía
todavía positiva,
positiva, se dice
dice
que
tal caso,
que el punto
punto se está
está desacelerando;
desacelerando; en
en tal
caso, la aceleración
aceleración sería
sería negativa
negativa y su
su
sentido
sentido sería
sería opuesto
opuesto al de
de la velocidad.
velocidad.
realidad y tal
tal como
como veremos
veremos a partir
partir del
del próximo
próximo apartado
apartado 2.3, la velocivelociEn realidad
dad y la aceleración
aceleración son
son magnitudes
magnitudes vectoriales.
vectoriales. En
En lo que
que respecta
respecta al movimovidad
miento
miento rectilíneo
rectilíneo tratado
tratado en
en este
este apartado,
apartado, en
en el que
que la dirección
dirección del
del movimiento
movimiento
es la de
de la trayectoria
trayectoria recta
recta dada,
dada, el sentido
sentido del
del vector
vector sobre
sobre ésta
ésta última
última se espeespecifica mediante
mediante un
un signo
signo más
más o menos.
menos. Cuando
Cuando tratemos
tratemos del
del movimiento
movimiento curvicurvilíneo
tendremos en
líneo tendremos
en cuenta
cuenta los cambios
cambios de
de dirección
dirección de
de los vectores
vectores velocidad
velocidad y
aceleración, así
así como
como sus
sus cambios
cambios de
de intensidad.
intensidad.
aceleración,
http://gratislibrospdf.com/
--55
-----r------1J---- s
o
P P'
-- - --T - --s---l~T---Figura 2.2
2.2
+s
Eliminando el tiempo dt entre la ecuación 2.1 y la primera de las 2.21 resulta
una ecuación diferencial que relaciona el desplazamiento, la velocidad y la aceleración:
18
CINEMÁTICA
DEL PUNTO
v dv
ds
di
(a)
v = -
= ti
I
I
I
I
I
1
12
tI
v
(b)
V
12
11
n
(e)
a
11
I
I
I
-1 ¡-di
=
a ds
(2.3)
o bien
Las ecuaciones 2.1, 2.2 Y2.3 son las ecuaciones diferenciales del movimiento
rectilíneo de un punto. Los problemas de movimiento rectilíneo en los que intervengan variaciones finitas de los desplazamientos y velocidades se resuelven
integrando estas ecuaciones diferenciales fundamentales. El desplazamiento s,
la velocidad v y la aceleración a son cantidades algebraicas, por lo que sus signos, positivos o negativos, deberán observarse cuidadosamente.
Adviértase
que los sentidos positivos de v y a son los mismos que el de s.
Representando gráficamente las relaciones entre s, v, a y t se consigue aclarar considerablemente
la interpretación de las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento rectilíneo. En la figura 2.3a se representa un esquema de la
variación de s entre los instantes tI y t2 para un cierto movimiento rectilíneo conocido. Dibujando la tangente a la curva en un instante cualquiera t se obtiene
la pendiente, que es la velocidad v = ds / di, Y así resulta que la velocidad puede
determinarse en todos los puntos de la curva y representarse gráficamente en
función de los tiempos correspondientes, tal como se muestra en la figura 2.3b.
Análogamente, la pendiente dv / dt de la curva v-t en cualquier instante nos
dará la aceleración en dicho instante y, por tanto, podremos representar gráficamente la curva a-i como en la figura 2.3c.
En la figura 2.3b se ve en seguida que el área limitada bajo la curva v-t durante el tiempo dt es v dt que, según la ecuación 2.1 es el desplazamiento ds. En
consecuencia, el desplazamiento total de la partícula durante el intervalo t1 a
t2 es el área correspondiente bajo la curva, que es
12
o bien
Figura 2.3
S2 - S1
=
a
dv
= fl21, a dt
o bien
v2
- VI
A
(b)
v
e
SI
I
I
I
I
I
I
I
I
I
¡~a_¡
o bien
- V12)
= (área bajo la curva a-s)
Cuando se representa gráficamente la velocidad v en función del desplazamiento s (fig. 2.4b), la pendiente de la curva en un punto A cualquiera es
B
S2
ri
ZE
dE
gl
fic
fu
dE
(a
m
pE
tiE
Si
pe
Es
es
fin
gr¡
tra
blE
pu
(b;
ao
dVI
1
Figura 2.4
~(V22
re
= (área bajo la curva a-t)
Se observan otras dos relaciones gráficas. Cuando se representa la aceleración a en función del desplazamiento s (fig. 2.4a), el área limitada bajo la curva
durante un desplazamiento
ds es a ds que, según la ecuación 2.3, es
v dv = d(v2/2). Así pues, el área total limitada bajo la curva entre los desplazamientos SI y s2 será
v
e
d
ci
la
(área bajo la curva v-t)
Análogamente, en la figura 2.3c se ve que el área limitada bajo la curva a-i durante el tiempo dt es a dt que, según la primera de las ecuaciones 2.2, es dv. Así
pues, la variación total de la velocidad entre tI y t2 será el área correspondiente
limitada bajo la curva, que es
2
fVv,
d
tr
Las cantidades diferenciales se pueden multiplicar y dividir de la misma forma que las cantidades algebraicas.
http://gratislibrospdf.com/
ble
-----------------------------------------------_
lta
ce-
.3)
En
1
a
dv/ds.
AB a la curva
punto, por
por semejanza
de
dv/ds. Construyendo
Construyendo la normal
normal AB
curva en
en este
este punto,
semejanza de
triángulos
virtud de
de la ecuación
triángulos se ve que
que CB/v
CB/v =
= dv/ds.
dv/ds. Así
Así pues,
pues, en
en virtud
ecuación 2.3,
= v(dv/
v(dv/ ds) =
= a, que
que es la aceleración.
aceleración. Es necesario
necesario que
CB =
que los ejes de
de velocivelocidad y de desplazamiento
desplazamiento tengan
tengan la misma
misma escala
escala numérica
numérica para
que la aceleraaceleradad
para que
leída en
en metros,
metros, por
por ejemplo,
ejemplo, en
en la escala
escala de desplazamientos
ción leída
desplazamientos represente
represente
aceleración verdadera
verdadera en
en metros
metros por
por segundo
segundo cuadrado.
cuadrado.
la aceleración
representaciones gráficas
gráficas descritas
descritas son
son útiles
útiles no
sólo para
Las representaciones
no sólo
para visualizar
visualizar las
las
relaciones existentes
existentes entre
entre las distintas
distintas cantidades
cantidades cinemáticas
cinemáticas sino
sino también
relaciones
también
para estimar
estimar los resultados
por derivación
derivación o integración
integración gráfica
falta
, para
resultados por
gráfica cuando
cuando la falta
conocimiento de la relación
relación matemática
matemática no permita
permita su
su expresión
expresión en
en forma
forma
de conocimiento
función matemática
matemática explícita.
explícita. Los datos
datos experimentales
experimentales y los
de función
los movimientos
movimientos
que intervienen
intervienen relaciones
relaciones discontinuas
discontinuas entre
entre las
suelen estuestuen los que
las variables
variables suelen
diarse gráficamente.
gráficamente.
diarse
conoce el desplazamiento
desplazamiento s para
para todos
todos los valores
del tiempo
Si se conoce
valores del
tiempo t,t, las
las dederivaciones sucesivas
sucesivas (matemáticas
(matemáticas o gráficas)
gráficas) respecto
respecto a t darán
darán la velocidad
rivaciones
velocidad v
aceleración a. Sin embargo,
embargo, en
en muchos
muchos problemas
problemas no
conoce la relación
y la aceleración
no se conoce
relación
funcional entre
entre desplazamiento
desplazamiento y tiempo
tiempo y hay
hay que
que determinarla
funcional
determinarla por
por integraintegrasucesivas a partir
partir de la aceleración,
aceleración, que
que viene
viene determinada
ciones sucesivas
determinada por
por las
las fuerfuermomentos que
que se ejercen
ejercen sobre
sobre los cuerpos
cuerpos móviles
calcula a partir
zas y momentos
móviles y se calcula
partir
ecuaciones de la Cinética
Cinética que
que se estudiarán
estudiarán en
en capítulos
de las ecuaciones
capítulos posteriores.
posteriores. Según sea la naturaleza
naturaleza de las fuerzas
fuerzas y momentos,
momentos, la aceleración
especigún
aceleración podrá
podrá especicomo función
función del
del tiempo,
tiempo, la velocidad
velocidad o el desplazamiento,
ficarse como
desplazamiento, o como
como
función combinada
combinada de estas
estas cantidades.
cantidades. Indicamos
Indicamos a continuación
función
continuación el método
método
integración de la ecuación
ecuación diferencial
diferencial en
en cada
cada caso.
de integración
caso.
constante. Cuando
Cuando a es constante,
constante, podrá
(a) Aceleración
Aceleración constante.
podrá integrarse
integrarse directadirectamente la primera
primera de las ecuaciones
ecuaciones 2.2 y la ecuación
ecuación 2.3. Por
sencillez,
Por razón
razón de
de sencillez,
mente
para el principio
principio del
del intervalo
intervalo haremos
haremos s == so' v == Vo
O YY para
de
para
vo YY t == O
para un
un lapso
lapso de
tiempo t,t, las ecuaciones
ecuaciones integradas
integradas se convierten
convierten en
en
tiempo
aft dt
fr dv == aJt
af5 ds
fr ov ds == aJ5
v
Va
v
Vo
O
O
So
bien
o bien
= vo+at
v=
vo+at
bien
o bien
Si en la ecuación
ecuación 2.1 se sustituye
sustituye v por
por la expresión
expresión integrada
Si
integrada y se integra
integra resresobtiene
pecto a t,t, se obtiene
SS
SS
50
So
rava
es
la-
a-
es
"da-
ds =
= Jt
fl (voo + at)dt
at)dt
oO
bien
o bien
relaciones se limitan
limitan estrictamente
estrictamente al caso
caso particular
particular en
en que
aceleración
Estas relaciones
que la aceleración
constante. Los límites
límites de integración
integración dependen
dependen de
es constante.
de las
las condiciones
condiciones inicial
inicial y
para un
un problema
problema dado,
dado, puede
puede ser más
más conveniente
conveniente comenzar
final y, para
comenzar la inteintegración en
en un
un cierto
cierto instante
instante tI concreto
concreto y no en
en el instante
gración
instante t = O.
O.
Advertencia:
Uno de los errores
errores más
más corrientes
corrientes entre
entre los
Advertencia: Uno
los principiantes
principiantes es
tratar de utilizar
utilizar las ecuaciones
ecuaciones anteriores
anteriores en
en problemas
problemas de
de aceleración
aceleración variatratar
variaque no pueden
pueden aplicarse
aplicarse ya que
que se han
han obtenido
obtenido integrando
en el susuble, a los que
integrando en
puesto de aceleración
aceleración constante.
constante.
puesto
(b) La
La aceleración
aceleración dada como
como {unción
tiempo, a == ttt).
Sustituyendo la
(b)
función del tiempo,
f(l). Sustituyendo
aceleración a por
por la función
función en
en la primera
primera de las ecuaciones
f(t) ==
aceleración
ecuaciones 2.2 se tiene
tiene J(t)
dv/dt, y la multiplicación
multiplicación de ambos
ambos miembros
miembros por
por dt permite
separar las
dv/dt,
permite separar
las variavariaintegrar. Así
Así pues,
pues,
bles e integrar.
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_----19
2.2 MOVIMIENTO
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
RECTILÍNEO
20
CINEMÁTICA
CINEMÁTICA DEL PUNTO
PUNTO
dv
f(t) dt
dv == ftf l f(t)
dt
vv
ff Vo
va
o bien
bien
O
O
v
=
f~f(t)dt
= va + f~f(t)dt
De esta
esplazamiento
esta expresión
expresión integrada
integrada de
de v en
en función
función de
de t se obtendrá
obtendrá el d
desplazamiento
s integrando
integrando la ecuación
ecuación 2.1 que,
que, formalmente,
formalmente, sería
sería
Sfs
S
So
ds == ftfl V
v dt
dt
f~
s == So + f~ vv dt
dt
o bien
bien
oo
Si se emplea
utilizarán las condiciones
emplea la integral
integral indefinida,
indefinida, se utilizarán
condiciones en los límites
límites
para
establecer el valor
de las constantes
constantes de
de integración
integración con
con resultados
que separa establecer
valor de
resultados que
rán
iguales a los obtenidos
obtenidos utilizando
integral definida.
definida.
rán iguales
utilizando la integral
quiere, el desplazamiento
desplazamiento s se puede
obtener por
directa de
Si se quiere,
puede obtener
por resolución
resolución directa
la ecuación
ecuación diferencial
diferencial de
de segundo
segundo orden
orden S' = f(t)
obtenida sustituyendo
sustituyendo a por
j(t) obtenida
por
f(t)
en la segunda
segunda de las ecuaciones
ecuaciones 2.2.
f(t) en
s·
(c) La
La aceleración
aceleración dada como
como función
{unción de la velocidad,
velocidad, a =
= f(v).
itv). Sustituyendo
Sustituyendo
(e)
función en
en la primera
ecuaciones 2.2 tenemos
dv/dt, lo cual
cual
a por
por la función
primera ddee las ecuaciones
tenemos j(v)
j(v) == dv/dt,
permite
separar las variables
variables e integrar
integrar
permite separar
= ftf l dt
dt =
= fV
dv
t =
f V dv
o
Voo f(v)
f(v)
V
da v en
en función
función d
dee t. A continuación
continuación sería
sería necesario
despejar
Este resultado
resultado nos
nos da
necesario despejar
en función
función de t para
integrar la ecuación
ecuación 2.1 y obtener
obtener la coordenada
coordenada
s en
para poder
poder integrar
como función
función de t.
de posición
posición s como
Otra posibilidad
aplicar la función
función a == j(v)
en la primera
primera de
de las ecuaciones
ecuaciones
Otra
posibilidad es aplicar
j(v) en
que nos
da v dv
dv == j(v)
Entonces, se separan
separan las variables
integra
2.3, lo que
nos da
j(v) ds. Entonces,
variables y se integra
ecuación en
en la forma
forma
la ecuación
v
Ss
v
dv - fS ds
v dv
ff Vvao f(v)
f(v) - So
sea
o sea
vv
ss
dv
v dv
= So + ff Vova f(v)
=
f(v)
Obsérvese que
que esta
esta ecuación
ecuación da
da s en
en función
función de
de v sin
sin referencia
explícita a t.
Obsérvese
referencia explícita
(d) La
La aceleración
aceleración dada como
como función
{unción del
del desplazamiento,
desplazamiento, a == fes).
its).
(d)
yendo
función en
en la ecuación
ecuación 2.3 e integrando
integrando se tiene
yendo a por
por la función
tiene
vv
ff Voo
dv =
= fS
ds
v dv
f 5 f(s)
f( s) ds
sea
o sea
So
V
SustituSustitu-
va22 + 2f5
2fs f(s)
v22 == Va
f( s) ds
So
So
Seguidamente, despejamos
despejamos v para
obtener la función
función de
de s, v == g(s).
gt»). Podemos
Podemos
Seguidamente,
para obtener
entonces sustituir
sustituir v por
dt, separar
separar las variables
integrar en
en la forma
forma
entonces
por ds / dt,
variables e integrar
vv
ds
g(s)
ff Voo g(s)
V
JISI
d
= oo t
=
sea
o sea
Sf
ss
t =
=
So
So
ds
g(s)
g(s)
que da
da t como
como función
función de
de s. Finalmente,
Finalmente, podemos
disponer la expreexpreque
podemos volver
volver a disponer
sión resultante
que nos
dé s como
como función
función de
de t.
sión
resultante para
para que
nos dé
cada uno
casos anteriores,
anteriores, cuando
cuando la aceleración
aceleración varía
de acuerdo
acuerdo
En cada
uno de los casos
varía de
con cierta
cierta relación
funcional, la posibilidad
de resolver
ecuaciones por
con
relación funcional,
posibilidad de
resolver las ecuaciones
por integración
directa matemática
dependerá de la forma
forma de
de la función.
función. En los casos
casos
tegración directa
matemática dependerá
en los que
que la integración
integración sea
sea demasiado
demasiado engorrosa
engorrosa o difícil,
difícil, podrán
en
podrán utilizarse
utilizarse
métodos
integración gráficos,
gráficos, numéricos
ordenador.
métodos de integración
numéricos o por
por ordenador.
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II
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 2.1
,
ento
El desplazamiento
partícula obligada
desplazamiento de una
una partícula
obligada a moverse
moverse a lo largo de una
una recta está
está dado
por s == 2¡3 - 24t
24t + 6, donde
donde s se mide
mide en metros
metros desde un
un origen
origen conveniente,
conveniente, yy t en segundos. Hallar
Hallar (a) el tiempo
tiempo que tarda la partícula
adquirir una
una velocidad
velocidad de 72 mis
mis
gundos.
partícula en adquirir
desde el reposo en el instante
instante t == 0,
O, (b) su
su aceleración
aceleración cuando
cuando v == 30
30 mis
mis yy (e) su
su despladesplazamiento
zamiento en el intervalo
intervalo de t == 1 s a t == 4 s.
s.
Solución.
velocidad y la aceleración
Solución. La
La velocidad
aceleración se obtienen
obtienen derivando
derivando s respecto
respecto al
tiempo
Entonces
tiempo una
una y dos
dos veces,
veces, respectivamente.
respectivamente.
Entonces
endo
cual
[v
[v = s]
v == 6t
-24 mis
6t22-24
mis
[a
[a =
= v]
v]
a = 12t
12t m/s
m/s2 2
(a) Haciendo
Haciendo v == 72 mi
mi s, la expresión
expresión anterior
anterior de
de v da
da 72 == 6t22 - 24, de
de donde
donde
t = ±4 s. La raíz
raíz negativa
negativa da
da cuenta
cuenta de
de un
un valor
valor posible
posible de
de t antes
antes de
de que
que se iniini-
38
6
movimiento, por
por lo que
que carece
carece de
de sentido
sentido físico.
físico. Así
Así pues,
pues, el resultado
resultado dedecie el movimiento,
seado
seado es
pejar
ada
Resp.
Resp.
t = 4s
(b) Haciendo
Haciendo v = 30 mi
mi s en
en la expresión
expresión de
de v anterior
anterior se obtiene
obtiene 30 = 6t22 - 24 Y
Y
aquí resulta
resulta una
una raíz
raíz positiva
positiva t == 3 s, a la que
que corresponde
corresponde una
una aceleración
aceleración
de aquí
ones
tegra
2 2
a = 12(3) == 36m
36m/s/s
v,
m is
u, mis
,72
.72
Resp.
Resp.
---- 130
(c)El
desplazamiento
neto durante
durante el intervalo
intervalo especificado
especificado es
(e)
El desplaz.
a miento neto
al.
titu-
emos
I
O
0001;----:;-,..----::.!~-===;!~:==~-+-4
4 t,'
t,'
~s
= s4-s ]
~s
3 )-24(1)+6]
=
= [2(43)-24(4)+6]-[2(1
[2(43)-24(4)+6]-[2(13)-24(1)+6]
= 54m
54m
ru2-4
osea
--241 1
Resp.
Resp.
que
que representa
representa la distancia
distancia recorrida
recorrida por
por la partícula
partícula a lo largo
largo del
del eje x desde
desde la
posición
posición que
que ocupaba
ocupaba cuando
cuando t == 1 s hasta
hasta su
su posición
posición cuando
cuando t == 4 s.
Para
Para ver
ver mejor
mejor este
este movimiento,
movimiento, en
en las
las figuras
figuras se representan
representan gráficamente
gráficamente
s, v y a en
en función
función del
del tiempo
tiempo t. Como
Como el área
área limitada
limitada por
por la curva
curva v-t
v-t representa
representa
un
vemos
un desplazamiento,
desplazamiento,
vemos que
que la distancia
distancia realmente
realmente recorrida
recorrida desde
desde t == 1
1ss a
t == 4 s es igual
igual al área
área positiva
positiva ~S2-4
~S2-4 menos
menos el área
área negativa
negativa ~Sl-2'
~Sl-2'
~:8
" ~36
~48
1/
1/s2s2
"~36,
0000
1
2
3
t,.
4 t,'
CD Hay que
que tener
tener cuidado
cuidado para
para elegir
elegir el signo correcto
correcto cuando
cuando se saca
saca una
una raíz
cuadrada.
cuadrada. Cuando
Cuando la situación
situación requiere
requiere una
una única
única solución,
solución, la raíz positiva
positiva no es
necesariamente
necesariamente la adecuada.
adecuada.
o
xpre-
Adviértase
Adviértase que
que el desplazamiento
desplazamiento se representa
representa mediante
mediante la letra
letra cursiva
cursiva s,
mientras
mientras que
que la letra
letra s de tipo
tipo normal
normal se emplea
emplea para
para representar
representar segundos.
segundos.
Obsérvese en las representaciones
representaciones gráficas
gráficas que
que los valores
valores de v son las penpen® Obsérvese
dientes
dientes (s) de la curva
curva s-ty
s-ty que
que los valores
valores de a son las pendientes
pendientes (v)
(v) de la curcurv-t. Sugerencia:
Sugerencia: Integrar
Integrar v dt en ambos
comprobar el resultado
resultado
va v-t.
ambos intervalos
intervalos y comprobar
para
para ~s.
As. Demostrar
Demostrar que
que la distancia
distancia recorrida
recorrida durante
durante el intervalo
intervalo de t = 1 s a t =
4 s es 74 m.
21
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PROBLEMA
PROBLEMATIPO
TIPO 2.2
2.2
Una
Una partícula
partícula se
semueve
mueve aalololargo
largo del
del eje
ejexx con
con una
una velocidad
velocidad inicial
inicial VVxx ==50
50m/s
mis en
en elel
origen
origen en
en elelinstante
instante inicial
inicial t t==O.O. Durante
Durante los
loscuatro
cuatro primeros
primeros segundos
segundos carece
carecede
deaceaceleración
leración y,y, aapartir
partir de
deese
esemomento,
momento, sufre
sufre la
laacción
acción de
deuna
una fuerza
fuerza retardadora
reiardadora que
que lelecocomunica
10 m/s2.
munica una
una aceleración
aceleración constante
constante ü,
ax==--10
m/s2 Calcular
Calcular lalavelocidad
velocidad yy lalacoordenada
coordenada
'1'xx dedelalapartícula
partícula en
en los
los instantes
instantes tt==88ssYY tt==12
12 ssyy hallar
hallar lalacoordenada
coordenada xx máxima
máxima que
que
\Valcanza.
alcanza.
Solución.
Solución.
La
La velocidad
velocidad aa partir
partir de
de tt ==44 ss se
se calcula
calcula de
de
VVx ==
v",m/s
x
501----".
yy se
se representa
representa tal
tal como
como se
se muestra.
muestra. En
En los
los instantes
instantes especificados,
especificados, las
las velocidavelocidades son
son
des
1
::"J-10
o L---L_---'-_--L_...L....:'--L----L_
O
90
- 10t m/ s
90-10tm/s
12
-30
t, s
=
s,
tt = 88 s,
VV x
== 90
90 -10(8)
- 10(8) == 10
10 m/
m/ ss
tt =
= 12
12 s,
s,
VVx
== 90
/s
90 -10(12)
-10(12) == -- 30 m
mis
x
x
Resp.
Resp.
La
La coordenada
coordenada x
x de
de la
la partícula
partícula en
en cualquier
cualquier instante
instante posterior
posterior aa 4
4 ss es
es la
la distandistancia recorrida
recorrida durante
durante los cuatro
cuatro primeros
primeros segundos
segundos más
más la distancia
distancia recorrida
recorrida
después
en
después de
de la discontinuidad
discontinuidad
en la aceleración.
aceleración. O sea,
sea,
f~
- 10t) dt
dt =
5t22 +
90t -- 80 m
m
xx =
= 50(4) ++ f~ (90 -10t)
= -- 5t
+ 90t
Para
Para los
los dos
dos instantes
instantes especificados
especificados
tt = 8 s,
= -- 5(82) + 90(8) - 80 == 320 m
m
xx =
tt = 12 s,
s,
5(12 2) + 90(12)
90(12) -- 80 == 280 m
m
xx == - 5(122)
Resp.
Resp.
2
Cuando tt == 12
12 ss la
la coordenada
coordenada xx es
es menor
menor que
que cuando
cuando tt == 88 s,s, puesto
puesto que
que el
el momoCuando
vimiento tiene
tiene lugar
lugar en
en el
el sentido
sentido negativo
negativo del
del eje
eje xx después
después del
del instante
instante tt =
= 99 s.
s.
vimiento
Por tanto,
tanto, el
el valor
valor positivo
positivo máximo
máximo de
de la
la coordenada
coordenada xx corresponderá
corresponderá aa tt == 99 s;s;
Por
oo sea,
sea,
= -- 5(9
5(922)) ++ 90(9)
90(9) -- 80
80 == 325
325 m
m
xxmax
max =
Resp.
Resp.
o See veveque
que estos
estos desplazamientos
desplazamientos corresponden
correspondenaa las
las áreas
áreas limitadas
limitadaspor
porlalacurva
curva
0s
v-t
v-thasta
hasta elel valor
valor de
de tten
en cuestión.
cuestión.
CD Hay
Hayque
queacostumbrarse
acos umbrarseaaser
serflexible
flexible con
con los
lossímbolos.
símbolos. Para
Paralala coordenada
coordenadade
de
(!)
posición vale
valetanto
tanto elel símbolo
símboloxxcomo
comoelel s.s.
posición
o
Demostrarque
quelaladistancia
distanciatotal
tolalrecorrida
recorridadurante
durantelos
los12
12segundos
segundoseses370
370m.
m.
oo Demostrar
Obsérveseque
quelalaintegración
integraciónse
sehace
hacehasta
hastaun
uninstante
instantet tcualquiera
cualquierayyluego
luegose
se
(3) Obsérvese
sustituye
sustituyepor
por los
losvalores
valoresespecíficos.
específicos.
22
22
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PROBLEMA TIPO 2.3
resortes
La corredera
corredera montada
montada entre
entre dos
dos resortes
guía horizon
se mueve
mueve en la guía
horizontaltal con
con rozarozamiento
miento despreciable
despreciable yy tiene
tiene una
una velocivelocidad vo en la dirección
pasar por
por el
dirección s al pasar
centro
Los dos
centro donde
donde s == O
O Y t == O
O.. Los
dos resortes
juntos ejercen
fuerza retardasortes juntos
ejercen una
una fuerza
retardadora del
del movimiento
movimiento de la
la corredera
corredera que
que
comunica
proporcomunica a ésta
ésta una
una aceleración
aceleración proporcional
pero de
senticional al desplazamiento,
desplazamiento, pero
de sentido opuesto,
opuesto, yy de
de valor
valor a == --kk22s,s, donde
donde k
es una
tante. (Esta
preuna cons
constante.
(Esta constate
constate se presenta en forma
forma de
para que
senta
de cuadrado
cuadrado para
que las
las
expresiones
sean de
expresiones resultantes
resultantes sean
de manejo
manejo
más cómodo.
cómodo.) ) Hallar
las expresiones
expresiones del
más
Hallar las
desplazamiento s yy la
la velocidad
velocidad v como
como
desplazamiento
funciones del
tiempo t.
funciones
del tiempo
el
recoda
ue
'da-
~
I '
f~/WIiW\MI
Solución
especificada en función del desplazadesplazaSolución l./. Como la aceleración está especificada
miento, es posible integrar
integrar la relación diferencial v dv
dv == a ds. Entonces,
p.
ff v dvdv == ff -- k ss dsds + CC (C(C
22
1l
1, 1,
una constante)
una
constante)
o sea
v2
k2s2
"2 =-2+C1
Cuando
Cuando s == 0, v =
= Vo,
vo' por lo que C11 = voo22/2/ 2 y la velocidad
velocidad resulta
resulta
v
=
+
CD
En
En este
este caso,
caso, hemos
hemos empleado
empleado una
una
integral indefinida
indefinida y hemos
calcuintegral
hemos calculado la constante
constante de integración.
integración.
Como ejercicio
ejercicio práctico,
Como
práctico, puede
puede
obtenerse
obtenerse el mismo
mismo resultado
resultado utilizando
una integral
zando una
integral definida
definida con los
límites
límites adecuados.
adecuados.
JVo -k
2
2s2
Cuando v es positiva
sentido positivo
s) se toma la raíz positiva.
Cuando
positiva (en el sentido
positivo de s)
positiva. Esta
última expresión
expresión puede
integrarse haciendo
sustitución v por
ds// dt.
dt. Es decir,
puede integrarse
haciendo la sustitución
por ds
2
0-
9s.
9 s;
f
Jo
V 2
ds
_k2s2
=
f
dt + C2 (C2, una constante)
o sea
ks
1
ks
-k- arcsen - =
k
va
t + C2
Podemos volver
volver a probar
inteo Podemos
probar una intedefinida como
como antes.
antes.
gral definida
°°
para s == 0, la constante
constante de integración
integración resulta
Con la condición de que t == para
resulta
C2 =
y en la ecuación podemos
despejar s y entonces
entonces
yen
podemos despejar
°°
V
va
= kko sen kt
kt
=
Resp.
Resp.
ki
v =
= va cos kt
Resp.
Resp.
s
esp.
velocidad es v =
= ti que da
La velocidad
va
ade
ose
Om.
Solución
11.
Solución 11.
Como a
=
S·, la relación dada
dada puede
S",
puede escribirse en la forma
s + k2s
=
°
diferencial lineal ordinaria
ordinaria de segundo
segundo orden cuya solución
una ecuación diferencial
que es una
se conoce y es
Kt + B cos Kt
Kt
s = Asen
A sen Kt
23
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donde A, B YK son constantes. Aplicando esta expresión en la ecuación diferencial, se ve que la satisface si K = k. La velocidad es v = s y queda
0)
Este movimiento recibe el nombre
de movimiento armónico simple y
es característico de todas las oscilaciones en las que la fuerza restauradora y, por lo tanto, la aceleración,
es proporcional al desplazamiento
pero de signo contrario.
v
=
Ak cos kt - Bk sen kt
La condición inicial v = Vo cuando t = Oexige que A
cuando t = Oda B = O.Así pues, la solución es
0
Vo
T sen kt
s
v
y
=
= vol
Vo
k, y la condición s = O
cos kt
Resp.
PROBLEMA TIPO 2.4
CD
CD Un
Recuérdese que un nudo es una velocidad de una milla náutica (1852
m) por hora. Debe trabajarse directamente en nudos y horas.
(3) Hemos preferido integrar hasta un
valor genérico de v y su instante correspondiente t de forma que se obtenga la variación de v con t.
carguero se mueve a 8 nudos cuando sus motores se paran bruscamente. Sabiendo
que son necesarios 10 minutos para que el carguero reduzca su velocidad a 4 nudos, determinar y representar gráficamente la distancia s en millas náuticas recorridas por el
carguero y su velocidad v en nudos durante dicho intervalo como funciones del tiempo
t. La desaceleración del buque es proporcional al cuadrado de su velocidad, de forma que
a=-kv2
Solución.
Como se conocen el tiempo y las velocidades, es posible aplicados
directamente a la expresión de la aceleración en la definición fundamental a =
dv I di e integrar. Así pues,
_ kv2 = dv
dt
dv
v2
1 1
8
- +v S
I~ 1'-....
6
1'-t----r-
4
4
Ul
'"
.s
'"
u
'.0
'::J
.s
<f)
'§
'"
2
4
6
t,min
8
10
1,0
./
0,8
S
1 + Sk(1/6)
k dt
kt
Sv8
v
= 4 nudos
dv
=
-k
v2
SI
di
O
S
1+ Skt
y t= ~
v
k
=
i hora, se obtiene
S
1+ 6t
Resp.
La velocidad se representa gráficamente en función del tiempo tal como se
muestra.
La distancia se obtiene sustituyendo v por su expresión en la definición
v = ds/ dt e integrando. Así pues,
V
0,6
V
0,4
0,2
= -
Aplicando ahora los valores límites v
2
°°
= _
S
1+ 6t
V
1/
°°
2
4
6
t, min
8
10
ds
dt
I
SO
Sdt
1 + 6t =
SsO
ds
s
4
31n(1+6t)
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t
1
Resp.
La distancia s también se representa gráficamente en función del tiempo, tal
como se muestra, y así vemos que el buque ha recorrido una distancia
s = ~ ln(l +~) = ~ In 2 = 0,924millas (náuticas) durante los diez minutos.
24
I
2
F
v
PROBLEMAS
n-
Problemas introductorios
=0
Los problemas 2.1 a 2.5 se refieren al movimiento de un'punto
material que se mueve a lo largo del eje x representado en la figura.
----'.1 __
-1
-0-1--..LI--'O'W-:L..I
--~I--
O
1
En las etapas finales de alunizaje, el módulo lunar desciende bajo el impulso de su propio motor a una altura h = 5 m
de la superficie lunar, donde tiene una velocidad de descenso
de 2 mi s. Si el motor de descenso es apagado bruscamente en
este punto, calcular la velocidad del impacto del tren de aterrizaje contra la Luna. La gravedad lunar es ~ de la gravedad en
la Tierra.
Resp. v = 4,51 mi s
2.7
2
Figura problema
- - -
3
+5, m
2.1 a 2.5
2.1
La velocidad de un punto material está dada por v =
2012 - 100f + 50, donde v son metros por segundo y t son segun-
dos. Representar gráficamente, en función del tiempo i, la velocidad v y la aceleración a para los seis primeros segundos de
movimiento y calcular la velocidad cuando a es nula.
Resp. v = -75 mis
El desplazamiento de una partícula está dado por
s = 213 - 3012 + 100t - 50, donde s son metros y 1 son segundos. Representar gráficamente, en función del tiempo, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración durante los 12
primeros segundos de movimiento. Determinar el instante de
velocidad nula.
2.2
El desplazamiento de una partícula está dado por
s = (- 2 + 3 t) e- 0,5 I , donde s son metros y t son segundos. Representar gráficamente, en función del tiempo, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración durante los 20 primeros
segundos del movimiento. Determinar el instante de aceleraciónnula.
Resp. v
(4-1,5t)e-0,51
2.3
a=
a
(-3,5 + 0,751)e-
0,51,
1 = 4,67 s
2.4
La velocidad de un punto que se mueve a lo largo del
eje s está dada por v = 2 + 513/2, donde 1 son segundos y v son
metros por segundo. Calcular el desplazamiento s, la velocidad v y la aceleración a cuando 1 = 4 s. El punto se encuentra en
el origen s = O cuando t = O.
o se
íción
Resp.
, tal
cia
2.8
A partir de una velocidad inicial de 80 km Zh, un automóvil recorre 30 m antes de detenerse por completo. Con la
misma aceleración constante, ¿cuál sería la distancia de parada
s desde una velocidad inicial de 110 km/h?
Se dispara un proyectil hacia arriba con una velocidad
inicial de 200 mi s. Calcular la altura máxima h alcanzada por
el proyectil y el tiempo t que tarda en retornar al suelo desde el
momento del disparo. Despreciar la resistencia del aire y tomar
una aceleración de la gravedad constante e igual a 9,81 mi S2.
Resp. h = 2040 m, t = 40,8 s
2.9
En la figura se muestra la gráfica desplazamiento-tiempo del movimiento rectilíneo de una partícula durante un in2.10
2,5
La aceleración de un punto está dada por a = 4t - 30,
donde a son metros por segundo al cuadrado y t son segundos.
Hallar la velocidad y el desplazamiento como funciones del
tiempo. El desplazamiento inicial cuando t = O es So = - 5 m y
la velocidad inicial es Vo = 3 mi s.
Resp. v = 3 - 30t + 2t2
S =
10
8
--
<,
<,
6 6
<,
-5+3t-15t2+~t3
1'--
2.6
Calcular en "ges " la aceleración constante a que debe
proporcionar la catapulta de un portaviones para generar una
velocidad de lanzamiento de 290 km Zh en una distancia de
100 m. Se supone que el navío está fondeado.
2
4
6
8
t,5
Figura problema
2.10
25
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tervalo de 8 segundos. Hallar la velocidad media vmed en ese
intervalo y, dentro de unos límites de precisión aceptables, la
velocidad instantánea v para t = 4 s.
2.11
Durante un intervalo de 8 s la velocidad de un punto
material que se mueve en línea recta varía con el tiempo tal
como se representa. Dentro de unos límites de precisión aceptables, hallar en qué cantidad fla excede la aceleración media
en el intervalo a la aceleración en el instante t = 4 s. ¿Cuál es el
desplazamiento Ss durante el intervalo?
Resp. Su = 0,50 mi S2, fls = 64 m
el avión se encuentra inmóvil en la pista. El empuje de los motores permanece constante y el avión adquiere una aceleración
casi constante de O,4g. Si la velocidad de despegue es 200 km/ h,
calcular la distancia s y el tiempo t entre el reposo y el despegue.
Resp. s = 393 m, t = 14,16 s
2.14
Determinar con qué velocidad vertical Va hay que lanzar una bola desde A para que el tiempo de vuelo hasta el fondo del precipicio sea (a) 4 s y (b) 2 s.
I I
I I
I
Vo ~
14
12
./
10
~8
S;:,'
/
6
V
/
1/
\1
v
2
\-1
4
i, s
6
Figura problema
2.11
Figura problema
8
2.12
Se han obtenido datos experimentales del movimiento
de un punto material a lo largo de una recta midiendo la velocidad v para varios desplazamientos s. Se ha dibujado una curva que pasa por los puntos como se muestra en la figura.
Determinar la aceleración del punto cuando s = 20 m.
2.14
2.15
La niña de la figura hace rodar la pelota rampa arriba y
la recoge cuando retorna a ella. Para el ángulo
de inclinación
de la rampa y esa pelota, la aceleración negativa de ésta a lo largo del plano inclinado vale siempre 0,25g. Si la velocidad inicial de la pelota es 4 mi s, hallar la distancia s que recorre
rampa arriba hasta que empieza a retroceder y el tiempo que
tarda en regresar a manos de la niña.
e
Resp. s = 3,26 m, t = 3,26 s
r
1
a
F
t
8
1,
/
1/
6
2
e
V
/
n
V
q
l¡
e
/
2
V
Figura problema
2.15
...-/
15
20
25
Figura problema
e
30
s,m
2.12
Problemas representativos
2.16
Para comprobar los efectos de la "ingravidez" durante
cortos períodos de tiempo se ha proyectado una instalación de
pruebas en la que se acelera una cápsula verticalmente desde A
a B por medio de un émbolo impulsado por gas, lo que le permite ascender de B a y descender a B en condiciones de caída
libre. La cámara de pruebas consiste en un pozo profundo en el
que se ha hecho el vacío para eliminar cualquier resistencia
e
2.13
El piloto de un reactor de carga pone sus motores a plena potencia en despegue antes de soltar los frenos y mientras
2
e
26
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o
2
e
q
d
e lanl íon-
apreciable del
del aire.
aire. Si
Si elel émbolo
émbolo suministra
suministra una
una aceleración
aceleración
apreciable
constantede
de40g
40gdesde
desdeAAhasta
hastaBy
B ysisieleltiempo
tiempototal
totalde
delalaprueprueconstante
baen
enlas
lascondiciones
condicionesde
de"ingravidez"
"ingravidez"de
deBBaaCCes
es10
10s,s,calcular
calcular
ba
al turahhrequerida
requeridapara
paralalacámara.
cámara.Al
Alvolver
volveraaBBlalacápsula
cápsulade
de
lalaaltura
pruebase
serecoge
recogeen
en una
unacesta
cestacon
controzos
trozosde
depoliestireno
poliestirenoque
quese
se
prueba
introduceen
en la
lalínea
líneade
decaída.
caída.
introduce
l
350m
AA
Cápsula de
de pruebas
pruebas
Cápsula
Cilindro yy
Cilindro
émbolo
émbolo
acelerador ·
acelerador
Figura
Figura problema
problema
Instalación de
de prueba
prueba de
de "s
"g igual
igual aacere
Instalación
cerc
Figura problema
problema
Figura
vv22,, (m/s)2
(m/s)2
::~-~
::~~
2.16
2.16
velocidad de una
una partícula
partícula a lo largo del eje s5 esta
esta
2.17 La velocidad
por v == 55
5 5 33//22, , donde
milímetros y v está en milídada por
donde s5 está en milímetros
metros por
p or segundos. Hallar la aceleración cuando
cuando s5 vale 2 milímetros.
límetros.
Re5p.
Resp. a
a == 150
150 mm
mm/l S2
S2
2.18
mi s
2.18 Un corredor alcanza su celeridad máxima de 10,6
10,6 mis
aa los
los tt segundos
segundos de partir del reposo y bajo una aceleración
prácticamente constante. Si
Si mantiene luego esa velocidad y cubre
ar el
bre una distancia de 100
100 m
m en 10,5
10,5 s, hall
hallar
el intervalo de aceacet
y
su
aceleración
de
salida
m
edia
a.
leración
leración t y su
media a.
o
ión de
esdeA
lepere caída
oenel
stencia
A
A
B
B
.l.-_
Figura
Figura problema
problema
s, m
2.20
2.22 Sobre un punto
material,
punto m
aterial, que se mueve inicialmente
con una velocidad de 100
100 mi
m/ s,
s, actúa una fuerza retardadora.
retardadora.
En la
la figura se muestra el registro oscilo
oscilográfico
de
la desaceladesacelagráfico
ración. Estim
Estimar
s.
ración.
ar la velocidad del punto para tt == 4 ss y para tt == 8 s.
Desaceleración
Desaceleración
4g - - - - - - - 4g
- ("rAi'\r--,
11
II 11
11
11
11
11
11
11
11
11
2.20
2.20 Un
Un cuerpo
cuerpo se
se mueve
mueve en
en línea
línea recta
recta con
con una
una velocidad
velocidad
cuyo
cuyocuadrado
cuadrado disminuye
disminuye linealmente
linealmente con
con el
el desplazamiento
desplazamiento
entre
entre dos
dos puntos
puntos AA yy B,
B, los
los cuales
cuales están
están separados
separados 3400
3400 m
m tal
tal
como
esplazamiento /';s
comose
seindica.
indica. Hallar
Hallar el
elddesplazamiento
As del
del cuerpo
cuerpo durandurantetelos
losdos
dos últimos
últimos segundos
segundos antes
antes de
de llegar
llegar aa B.
B.
2.21
e 200
/h
2.21 Un
Un avión
avión aa reacción
reacción lleva
lleva una
una velocidad
velocidad dde
200 km
km/h
en
el
momento
de
aterrizar
y
dispone
de
600
m
de
pista
en
los
en el momento de aterrizar y dispone de 600 m de pista en los
que
quereduce
reducelalavelocidad
velocidad aa30
30 km/h.
km/h. Calcular
Calcularlalaaceleración
aceleraciónmemedia
diade
defrenado
frenado aaque
que necesita
necesitaelelavión.
avión.
Re5p.
Resp. aa==-2,51
-2,51 mi
m/S2S2
~--1.
°OL--l~
OO--------4~OO-- s,m
O 100
400
2.19
2.19 El
El ascensor
ascensor principal A
A de la
la Torre CN de Toronto
Taranta se
se
eleva
h
asta
unos
350
m
y
durante
la
mayor
parte
d
el
eleva hasta unos 350 m y durante la
del recorrido
recorrido
mantiene
/ h. Suponiendo
mantiene una
una velocidad
velocidad constante
constante de
de 22
22 km
km/h.
Suponiendo
que
que tanto
tanto la
la aceleración
aceleración como
como la
la desaceleración
desaceleración tengan
tengan un
un vavalor
stante de
el aslorcon
constante
de 0,25g,
0,25g, hallar
hallar la
la duración
duración tt del
del recorrido
recorrido ddel
ascensor.
censor.
Re5p.
Resp. tt == 59,8
59,8 ss
urante
2.19
2.19
O
O L---4f.- _ _- __
- -_
-1- 1_
- - -'\1: \,-_...1.
__ _
2
O
0
2
44
66
88
Tiempo t,t,ss
Tiempo
Figura problema
problema
2.22
Figura
2.22
2.23 Recorriendo
Recorriendo la
la distancia
distancia de
de 33km
km entre
entre AA yy D,
D,un
un auau2.23
tomóvil
viaja
a
100
km/h
entre
A
y
B
durante
t
segundos,
tomóvil viaja a 100 km/h entre A y B durante t segundos, yyaa
27
27
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e
60 km I h entre
y D también durante t segundos. Si entre B y
se aplican los frenos durante 4 segundos para comunicar al
vehículo una des aceleración uniforme, calcular t y la distancia
s entre A y B.
e
Resp. t
=
65,5 s, s = 1,819 km
100km/h
60km/h
A
T
f..<-----------
O
0,01
0,02
0,04
0,06
0,08
ax, m/s2
x,m
a., m/s2
3300
2890
2490
1723
994
317
0,10
0,12
0,14
-300
-844
-1306
-1676
-1943
-2100
0,16
0,18
0,20
C;;;:=-~"~0
3 km ---
Figura problema
x,m
>1
2.23
2.24
La posición, en milímetros, de un punto material está
dada por s = 27 - 12t + t2, donde t son segundos. Representar
gráficamente las relaciones s-t y v-t durante los primeros 9 segundos. Hallar el desplazamiento
neto L',sdurante ese intervalo y la distancia total recorrida D. Examinando la relación s-t,
¿qué conclusión puede sacarse acerca de la aceleración?
2.27
Un punto se mueve a lo largo del semieje x positivo con
una aceleración a, en mi S2 que aumenta linealmente con x expresada en milímetros, tal como se muestra en el gráfico correspondiente
a un intervalo del movimiento. Si en x = 40 rnm
la velocidad del punto es 0,4 m I s, hallar la velocidad en x =
120mm.
Resp. v
= 0,8
mis
4
2.25
Un motorista de patrulla parte del reposo en A dos segundos después de que un automóvil, que corre a 120 km/h,
pase por A. Si el patrullero acelera a razón de 6 mi S2 hasta alcanzar la velocidad de 150 km/h, máxima que le es permitida
y que mantiene, calcular la distancia s entre el punto A y el
punto en que rebasa al automóvil.
Resp. s = 912 m
-
120km/h
A
I
I
I
I
Figura problema
2
OL-~------------~
40
120
x,mm
Figura problema
2.27
2.28
El resorte de 350 mm se comprime hasta una longitud
de 200 mm, en que se suelta desde el reposo y acelera el bloque
deslizante A. La aceleración inicial de éste es de 130 mi S2 y
desde este valor disminuye linealmente con el desplazamiento
x del bloque hasta hacerse cero cuando el resorte recupera su
longitud original de 350 mm. Calcular el tiempo que tarda el
bloque en recorrer (a) 75 mm y (b) 150 mm.
2.25
2.26
La tabla que sigue da la aceleración ax del pistón de un
motor alternativo de combustión interna en función de su desplazamiento medido desde el punto muerto superior. Mediante una representación
gráfica de esta información, hallar la
velocidad máxima vmax del pistón.
1.200mm, 1
[ftMMG:J 1--350mm
->
t;
-1
k
d
Vv\J\J\JVV\
Figura problema
2
a
e
2.28
d
e
g
n
Figura problema
2.26
2.29
La aceleración de un punto que se mueve en el sentido
positivo de x varía como se muestra en función de la posición.
28
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II
Si su velocidad es 0,8 mi s cuando x
cuando x = 1,4m.
Resp. v = 1,166mi s
=
O,hallar la velocidad v
A
Tren"
I
1,6 km
130km/h
~
°0,421-_-_-_-_-_--+"..i~.•....
,
vocon
n r excocoOmm
enx =
I
I
I
I
I
I
I
I
0,4
0,8
~41'
13
-e+
LAutomóvil
Figura problema
2.31
1,2
x,m
2.29
Figura problema
2.30 Con un acelerómetro se mide la des aceleración del centro de masa G de un automóvil en una prueba de colisión y se
obtienen los resultados que se muestran, siendo x = 0,8 m la
distancia que recorre G tras el impacto. A partir de esta información, obtener un valor lo más aproximado posible de la velocidad de colisión v.
2.32 Si la velocidad v de un punto que se mueve en línea recta disminuye linealmente con su desplazamiento s desde 2 =
mi s hasta un valor que tiende a cero en s = 30 mi s, hallar su
aceleración a cuando s = 15 m y demostrar que el punto no llega nunca a s = 30 m.
20
v, mIs
~
O
<,
O
Figura problema
ngitud
bloque
1/S2 y
iento
erasu
ardael
../
~
0,2
.r:
0,6
V
0,8
-.r-.
x,m
Figura problema
10
2.30
<fJ
8
o
entido
sición.
2.32
2.33
avegando en calma, un buque reduce su velocidad al
aproximarse a la bocana de un puerto. Esta reducción tiene lugar desde los 10 nudos, cuando el buque pasa por la primera
baliza, hasta los 4 nudos, 6 minutos más tarde cuando el buque
pasa por la segunda baliza. Calcular aproximadamente la distancia t-,.s entre las balizas en millas náuticas utilizando la gráfica directamente. (Se recordará que un nudo es una velocidad
de una milla náutica por hora.)
Resp. t-,.s = 0,60 millas.
7
0,4
30
s,m
2.31 Un tren que viaja a 130 kmlh aplica los frenos al llegar
al punto A y reduce la velocidad con una desaceleración constante. Se observa entonces que la velocidad se ha reducido a 96
k111/h cuando pasa por un punto situado a 0,8 km por delante
de A. Un automóvil que va a 80 kmlh pasa por el punto B en
el mismo instante en que el tren llega al punto A. En un imprudente esfuerzo por ganar al tren en el cruce, el conductor "pisa
el acelerador a fondo". Calcular la aceleración a que debe adquirir el automóvil para que gane al tren en el cruce con l1I1
margen de cuatro segundos y determinar la velocidad v que
llevará cuando llegue al cruce.
Resp. a = 0,280 mi S2, v = 144,6krrr/ s
"d
§ 6
¡:;
<,
4
---
1---
2
O
O
2
t,min
Figura problema
2.34
4
6
2.33
Una partícula que se mueve en el sentido positivo del eje
x con una velocidad inicial de 12 mi s sufre W1afuerza retarda-
29
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una aceleración
aceleración negativa
negativa que
que varía
varía linealdora que
que le comunica
comunica una
dora
linealmente con
con el tiempo
tiempo durante
durante los 4 primeros
primeros segundos,
segundos, tal
mente
tal como
como
muestra. Durante
Durante los
los 5 segundos
segundos siguientes
siguientes la fuerza
fuerza se manse muestra.
mantiene constante
constante y también
también la aceleración.
aceleración. Representar
Representar gráficatiene
gráficamente
velocidad de la partícula
partícula durante
durante los 9 segundos
segundos y
mente la velocidad
especificar su
su valor
valor para
para t == 4 s. Determinar
Determinar también
especificar
también la distancia
distancia
que recorre
recorre la partícula
desde su
su posición
posición para
para t == O
Lll: que
partícula desde
Ohasta
hasta el
punto en
que se invierte
invierte el sentido
sentido de su
su movimiento.
movimiento.
punto
en que
4
049
aceleración
mueve por
aceleración cuando
cuando se mueve
por inercia
inercia puede
puede escribirse
escribirse
a = - el - e2vv22, , donde
son constantes
donde el y e2 son
constantes dependientes
dependientes
de
éste posee
de la configuración
configuración mecánica
m ecánica del
del vehículo.
vehículo. Si éste
posee una
una
velocidad
velocidad inicial
inicial va cuando
cuando se desembraga
desembraga el motor,
motor, deducir
deducir la
expresión de
expresión
de la
la distancia
distancia D que
que recorre
recorre desde
desde ese
ese momento
momento
hasta
hasta que
que se detiene.
detiene.
el -
el e
9
O~----------~-----------------I~S
~----------~-----------------I~S
Ul
II
I
6
I
I
N
--
I
I
-3
---------
Figura problema
problema 2.38
2.38
-"'-----------------'
problema 2.34
2.34
Figura problema
2.35
Un punto
punto parte
parte del
del reposo
reposo en
en x == -2 m y se mueve
2.35
Un
mueve a lo
largo
del eje x con
con una
velocidad cuya
cuya variación
variación se representa.
largo del
una velocidad
representa.
Representar gráficamente
gráficamente el desplazamiento
desplazamiento
Representar
y la aceleración
aceleración
correspondientes durante
durante los
los dos
dos segundos.
segundos. Determinar
Determinar el inscorrespondientes
instante
tante t en
en que
que pasa
pasa por
por el origen.
origen.
0,917 s
Resp. t == 0,917
2.39
Calcular la velocidad
velocidad de
de impacto
impacto de
de un
un cuerpo
cuerpo que
que se
2.39 Calcular
deje
800 km.
km. (a) Suponer
Suponer que
deje caer
caer desde
d esde una
una altura
altura h == 800
que la aceaceleración
s2 y
leración de
de la gravedad
gravedad es constante
constante de
de valor
valor go
ga == 9,81 m/
mi s2
(b) tener
en cuenta
de gg con
(b)
tener en
cuenta la variación
variación de
con la altura
altura (véase
(véase apdo.
apdo.
1.5). Se despreciarán
1.5).
despreciarán los
los efectos
efectos de
de la resistencia
resistencia atmosférica.
atmosférica.
3962 m/
3730 m/
Resp. (a) v == 3962
mi s, (b) v == 3730
mi s
1__
h
v, mis
v,
mis
1
3
O~----~------------~~~~--0,5
1,0
O
i, s
Q
Q
Figura problema
problema 2.39
2.39
problema 2.35
2.35
Figura problema
2.36
Un automóvil
automóvil se pone
pone en
en marcha
marcha con
con una
2.36
Un
una aceleración
aceleración
m/ S2,
S2,la
cual disminuye
disminuye linealmente
linealmente con
con el tiempo
tiempo hasta
de 6 mi
la cual
hasta
anularse a los 10 segundos,
segundos, instante
instante a partir
partir del
del cual
cual el vehículo
anularse
vehículo
continúa
constante. Hallar
Hallar el tiempo
tiempo t necesario
continúa a velocidad
velocidad constante.
necesario
para que
que el automóvil
automóvil recorra
recorra 400
400 m desde
desde que
que arrancó.
arrancó.
para
2.37
cuerpo que
que se mueve
en línea
línea recta
recta se le aplica
2.37
A un
un cuerpo
mueve en
aplica una
una
fuerza retardadora
retardad ora de
de modo
modo que,
que, durante
durante un
un intervalo
intervalo de
de su
su
fuerza
movimiento, su
su velocidad
velocidad v decrece
decrece a medida
medida que
que aumenta
aumenta su
su
movimiento,
coordenada de pos
posición
acuerdo con
con v22 == kls,
k/s, siendo
siendo k una
coordenada
ición s de acuerdo
una
constante. Si, en
en el instante
instante t == O,
O, el cuerpo
posee una
una velocidad
constante.
cuerpo posee
velocidad
hacia adelante
adelante de
de 50
50 mm
mm/ l s y su
su coordenada
coordenada de
de posición
posición es 225
hacia
225
mm, h
hallar
velocidad v para
para t == 3 s.
mm,
allar su velocidad
39,7 mmls
mm/s
Resp. v == 39,7
2.40
La bola
bola de
de acero
acero A, de
de diámetro
diámetro D,
D, se desliza
desliza libremente
libremente
2.40 La
a lo largo
largo de
de la varilla
varilla horizontal
horizontal que
que termina
termina en
en la
la pieza
pieza polar
polar
del
del electroimán.
electroimán. La fuerza
fuerza de
de atracción
atracción depende
depende de
de la inversa
inversa
del
del cuadrado
cuadrado de
de la distancia
distancia y la aceleración
aceleración resultante
resultante de
de la
bola
K/(L - x)2
bola es a = K/(L
x)2 , donde
donde K es una
una medida
medida de
de la intensiintensidad
dad del
del campo
campo magnético.
magnético. Determinar
Determinar la velocidad
velocidad v con
con que
que
la
suelta partiendo
la bola
bola golpea
golpea la
la pieza
pieza polar
polar si se
se suelta
partiendo del
del reposo
reposo
enx =
= O.
enx
O.
2.38
resistencia aerodinámica
aerodinámica al movimiento
movimiento de
2.38
La resistencia
de un
un autoautomóvil es casi proporcional
proporcional al cuadrado
cuadrado de
de su velocidad.
velocidad. La
móvil
La reresistencia adicional
adicional por
por rozamiento
rozamiento es constante,
constante, por
su
por lo que
que su
sistencia
30
http://gratislibrospdf.com/
t
1
Figura problema
problema 2.40
2.40
t
cribirse
dientes
seeuna
ducirla
omento
2.41
man2.41 El cuerpo
cuerpo que cae con una
una velocidad
velocidad va choca y se mantiene
por un juego
juego ddee
tiene en contacto con la plataforma
plataforma soportada
soportada por
cuerpo es a == gg - cy,
resortes. Tras el choque, la aceleración del cuerpo
donde Ce es una constante
positiva e y se mide
posición
constante positiva
mide desd
desdee la posición
original
original de la plataforma.
plataforma. Si
Si se observa
observa que la compresión
compresión
máxima
máxima de los resortes
resortes es YIIl'
YI/l' hallar
hallar la constante
constante c.
e.
Resp.
Resp. ce =
va--=--"..--"'+ 2gYm
2gYII1
Y~,
l·1--.
s5-----+.[. [
-2m 2m
II
··11
<h
---8
'"
;:>
0,250
0,250 1---,..
II
I
:
I
"CJ
"d
ro
'"
"CJ
"d
'0
o
0,125
0,125
>
O
c::
Q)
Figura problema
problema
2.41
Figura
2.41
----,-----,--
I
I
---+----~---
I
I
L-
O
O
O
~'
__ ~
2
I
r
2+~
2+~
I
I
I
2 + rr
2+n
I
I
~'
rr
4+n
~
__
_L
_
2rr
44+~
+ ~ 4 + 2n
2
Distancia s, m
Distancia
Figura
Figura problema
problema
2.42 El cono que cae con una
una velocidad
velocidad va choca y penetra
2.42
penetra en
material de embalaje. Tras el choque, la acelerael bloque de material
ción del cono es a == g _cy
_ey22, , donde
donde ce es una
una constante
constante positiva
ción
positiva e
es la distancia
distancia de penetración.
penetración. La profundidad
profundidad de penetrayy es
penetración máxima se observa
observa que es Ym
Ym'' hallar
hallar la constante
constante e.
ción
c.
2.44
2.45 Con una
dispara horizontalmente
una velocidad
velocidad va se dispara
horizontalmente un
proyectil de prueba
proyectil
prueba al interior
interior de un
un líquido
líquido viscoso. La fuerza
retardadora
proporcional al cuadrado
cuadrado de la velocidad,
retardadora es proporcional
velocid ad, por
por
aceleración es de la forma a == -- kv
lo que la aceleración
kv22. . Deducir
Deducir la expredistancia D recorrida
sión de la distancia
recorrida en el seno del líquido
líquido y el tiempo t que transcurre
transcurre hasta
hasta que la velocidad
velocidad se reduce
reduce a voo/2
/2.
Despreciar
Despreciar todo movimiento
movimiento vertical.
0,693/k, t == 11// (kvo)
(kvo)
Resp. D == 0,693/k,
,, .
.'.remente
za polar
inversa
te de la
intensiconque
1 reposo
:--.
.
.-;-
Figura problema
problema
Figura
2.42
---
~
!
2.43 Como área de aterrizaje
aterrizaje para
para grandes
grandes aviones
aviones a reac2.43
ciónse
propuesto un determinado
determinado lago
lago.. La velocidad
160
velocidad de 160
ción
se ha propuesto
km/h que lleva el avión en el momento
momento de tocar tierra
km/h
tierra debe re30 km/h
km/h en una
una distancia
distancia de 400
400 m. Si la desacelerades aceleraducirse a 30
ción es proporcional
proporcional al cuadrado
cuadrado de la velocidad
velocidad ddee la
ción
(a == -- Kv
Kv22),), determinar
determinar el valor
aeronave en el agua (a
valor ddel
el paraparámetro
una medida
medida de las dimensiones
dimensiones y
metro de diseño K, que sería una
forma de las paletas
paletas del tren de aterrizaje
aterrizaje que surcarían
surcarían el
forma
Determinar también
también el tiempo
tiempo t que dura
dura el intervalo
intervalo esagua. Determinar
pecificado.
pecificado.
4,18(10-3) mm'.1, t == 23,3
23,3 s
Resp. K == 4,18(102.44 El
El mando
mando de aceleración electrónico
electrónico de un
2.44
un tren
tren maquemaqueprogramado para
para que la velocidad
velocidad varíe
función de
ta esta programado
varíe en función
modo que se representa.
representa. Hallar
Hallar el tiempo
la posición del modo
tiempo que
vuelta completa.
tarda el tren en dar una vuelta
Figura
Figura problema
problema
2.45
2.46 Calcular
Calcular aproximadamente
aproximadamente la relación
entre v y t para
relación entre
para
el buque
buque en reducción
reducción de velocidad
velocidad del problema
problema 2.33 utilizanutilizanexpresión exponencial
exponencial v == voe -kt,
donde va
do la expresión
-kt, donde
Vo y kk son constantes
determinadas ppor
condiciones iniciales y finales.
tantes determinadas
or las condiciones
Calcular seguidamente
seguidamente la distancia
distancia s entre
entre las balizas.
Calcular
2.47 El modelo
aceleración del "drágster"
"drágster"
modelo matemático
m atem ático de la aceleración
donde el término
considera la resistenes a = cell - ce2voe- kt
kt ,, donde
término v22 considera
resistencia aerodinámica
aerodinámica y el
constantes positivas.
C1 Y
Y ce 22 son constantes
positivas. Si se sabe
1,64(10-4)
ensayos en túnel
que e2
C2 vale 1,64(10
- 4) m -1
- 1 (por ensayos
túnel de viento), hallar el
carrera de "drágs"dragsC1 si la velocidad
velocidad final es 305 km/h.
km / h. Una carrera
ter" es un
un recorrido
recorrido recto de 400 m a partir
partir de la salida.
=O
O 9,57 m/
S2
Resp. el
Cl =
m/ 52
31
31
http://gratislibrospdf.com/
~
v
Salida
Llegada
Llegada
400
400 m
k-----------~/'---
en contacto
contacto con
con el amortiguador.
amortiguador.
Los
dos resortes
exteriores
en
Los dos
resortes exteriores
originan
una desaceleración
proporcional a la deformación
originan una
des aceleración proporcional
deformación del
del
resorte. El resorte
resorte central
desaceleración cuando
resorte.
central aumenta
aumenta la desaceleración
cuando la
compresión
indica en la gráfica.
gráfica. DeDecompresión excede
excede de
de 0,5 m según
según se indica
terminar
compresión xx de
de los
los resortes
exteriores.
terminar la máxima
máxima compresión
resortes exteriores.
Figura problema
Figura
problema 2.47
2.47
Desaceleración
Desaceleración
m/s2
m/s2
~~~~C=r:zJ
2.48
Empleando el valor
valor de
de el calculado
calculado en
en el problema
2.48
Empleando
problema 2.47
hallar
necesita el "drágster"
problema
hallar el tiempo
tiempo t que
que necesita
"drágster" de
de ese
ese problema
para recorrer
para
recorrer los 400 m.
3000~
2000
1000
1000~
00
6
12
12 x, m
m
2.49
El movimiento
horizontal del
2.49
movimiento horizontal
del conjunto
conjunto de
de émbolo
émbolo y
vástago
por la resistencia
resistencia del
vástago está
está reprimido
reprimido por
del disco
disco solidario
solidario que
que
se desplaza
baí'ío de
velocidad del
desplaza dentro
dentro del bailo
de aceite.
aceite. Si la velocidad
del émboémbopara la que
Y si la des
desaceleración
lo es Vo
Vo en la posición
posición A para
que xx =
=O
OY
aceleración
forma que
kv, deducir
es proporcional
proporcional a v de forma
que a =
= -- kv,
deducir las expresioexpresiones
d e la coordenada
posición xx en
nes de la velocidad
velocidad v y de
coordenada de
de posición
en funfuntiempo t. Expresar
también v en función
tiempo.
ción del
del tiempo
Expresar también
función del
del tiempo.
Resp.
Resp. v
voe
vae --
v
va-kx
~s
~s
--"»-~
Figura problema
problema
Figura
vao
kl, x =
- e- k!]
=.
= 7([1
7([1V
I
II
kl]
2.52
2.52
2.53 Cuando
efecto de
resistencia aerodiná2.53
Cuando se incluye
incluye el efecto
de la resistencia
aerodinámica, la aceleración
una pelota
pelota de
béisbol que
mueve
mica,
aceleración yy de
de una
de béisbol
que se mueve
verticalmente hacia
hacia arriba
kv22,, mientras
mientras que
verticalmente
arriba es a" =
= -- g - kv
que cuancuando
mueve hacia
hacia abajo
kv2, donde
do se mueve
abajo la aceleración
aceleración es ad =
= -- g + kir',
donde
una constante
positiva y v es
es la velocidad
velocidad en
pekk es una
constante positiva
en mI
mi s. Si la pelota
hacia arriba
m I s desde
prácticamente el nivel
nivel
lota se lanza
lanza hacia
arriba a 30 mi
desde prácticamente
del
suelo, calcular
calcular la altura
altura h que
que alcanza
alcanza y su
su velocidad
del suelo,
velocidad vf
v¡
cuando
Tómese kk == 0,0066 mm-11 y supóngase
cuando choca
choca con
con el suelo.
suelo. Tómese
supóngase
que
que g es constante.
constante.
Resp.h = 35,9m, vf=23,7m/s
v¡ = 23 ,7 m /s
Resp.h=35,9m,
A
Figura
problema 2.49
2.49
Figura problema
2.50
objeto pequeño
pequeño se deja
caer desde
desde el reposo
dentro
2.50
Un objeto
deja caer
reposo dentro
de un
un depósito
depósito de
de aceite.
aceite. La aceleración
aceleración descendente
descendente del
objeto
de
del objeto
donde g es la aceleración
aceleración constante
constante debida
debida a la gravegravees g - kv, donde
dad, k es una
una constante
constante dependiente
dependiente de
de la viscosidad
del aceite
aceite
dad,
viscosidad del
forma del
del objeto
objeto y v es la velocidad
del obobvelocidad descendente
descendente del
y de la forma
jeto.
Deducir las expresiones
expresiones de
de la velocidad
del recorrido
velocidad y del
recorrido
jeto. Deducir
vertical y como
como funciones
funciones del
salida.
vertical
del tiempo
tiempo t tras
tras la salida.
una prueba
prueba en
en aire
aire en
calma, se deja
deja caer
caer una
de
2.51
En una
en calma,
una bola
bola de
acero de pequeño
pequeño tamaño
tamaño desde
desde una
altura considerable.
considerable. Su
acero
una altura
aceleración inicial
inicial g disminuye
disminuye en
constanen kv
kv22,, donde
donde k es una
una constanaceleración
velocidad de
de descenso.
descenso. Hallar
Hallar la velocidad
velocidad máxima
máxima
te y v es la velocidad
que alcanza
alcanza la bola
bola y expresar
expresar el recorrido
en función
que
recorrido vertical
vertical y en
función
tiempo t transcurrido
transcurrido desde
desde el inicio
de la caída.
caída.
inicio de
del tiempo
Resp. v max
Resp.
max =
jf, yy
~
cosh
= ~ In cosh
Jki
Jki
t
2.52
Un amortiguador,
amortiguador, compuesto
compuesto de
de un
de tres
2.52
Un
un juego
juego de
tres resorresorutiliza para
para detener
detener una
considerable que
que lleva
lleva
una masa
masa considerable
tes, se utiliza
una velocidad
velocidad horizontal
horizontal de
de 40 mI
mi s en
en el instante
en que
que entra
entra
una
instante en
Figura
Figura problema
problema
2.53
2.53
2.54
de béisbol
del problema
que se lanza
lanza
2.54 Para
Para la pelota
pelota de
béisbol del
problema 2.53 que
hacia
arriba con
con una
inicial de
de 30 mI
mi s, hallar
hacia arriba
una velocidad
velocidad inicial
hallar el tiemtiempo
tu que
que tarda
en ir desde
desde el suelo
suelo hasta
altura máxima
el..
po t"
tarda en
hasta la
la altura
máxima y el
que tarda,
td, desde
desde la altura
máxima hasta
suelo.
que
tarda, td,
altura máxima
hasta el suelo.
2.55
El combustible
combustible de
de un
cohete modelo
quema con
con tal
2.55
un cohete
modelo se quema
rapidez
que puede
suponerse que
que el cohete
cohete adquiere
adquiere su
su velocirapidez que
puede suponerse
velocidad de
de extinción
extinción de
de combustible
combustible de
de 120 mI
mi s cuando
cuando prácticadad
prácticamente
aún se encuentra
encuentra a nivel
'del suelo.
suelo. Entonces,
sube
mente aún
nivel -del
Entonces, sube
32
http://gratislibrospdf.com/
ores
del
o la
Des.
verticalmente por
por inercia
inercia hasta
altura máxima
máxima de
de la trayectrayecverticalmente
hasta la altura
Incluyendo la resistencia
resistencia aerodinámica,
aerodinámica, la aceleración
aceleración yy
toria. Incluyendo
durante
durante ese
ese movimiento
movimiento es a
a.,ll == -- g - 0,0005v
0,000Sv2,2, siendo
siendo metros
metros y
unidades. En
un pasegundos
segundos las
las unidades.
En la culminación
culminación se despliega
despliega un
paracaídas
racaídas desde
desde el morro
morro y el cohete
cohete adquiere
adquiere en
en seguida
seguida una
una
velocidad
velocidad de
de descenso
descenso constante
constante de
de 4 m
mI/ s. Estimar
Estimar el tiempo
tiempo
de vuelo
vuelo tI
t¡Resp. tI == 147,7
Resp.
147,7 s
constantes,
instante y g es
es la
constantes, v es la velocidad
velocidad vertical
vertical en
en cada
cada instante
aceleración de
de la gravedad,
gravedad, esencialmente
esencialmente constante
constante para
para vuevueaceleración
los
en la atmósfera.
efecto
los en
atmósfera. El término
término exponencial
exponencial representa
representa el efecto
de
combustide la disminución
disminución del
del empuje
empuje conforme
conforme se quema
quema el combustible,
de
ble, y el término
término -cv
-cv estima
estima el retardo
retardo debido
debido a la resistencia
resistencia de
la atmósfera.
de la velocidad
vertical del
del
atmósfera. Hallar
Hallar la expresión
expresión de
velocidad vertical
cohete
segundos después
cohete t segundos
después del
del disparo.
disparo.
Resp. vv = &(e -el
Resp.
-ct - 1) + ~(e
~(e
e
cc-b
-b
bt
bt -
e - el)
~
En
rápi•. 2.58
2.58
En el anteproyecto
anteproyecto de
de un
un sistema
sistema de
de transporte
transporte rápido
establece que
debe variar
variar con
con el
el
do se establece
que la velocidad
velocidad del
del tren
tren debe
tiempo
tal como
tren recorecotiempo tal
como se representa
representa en
en la figura,
figura, cuando
cuando el tren
rre
pendientes
rre los
los 3,2
3,2 km
km que
que separan
separan las
las estaciones
estaciones A y B. Las
Las pendientes
de
de la forma
forma
de las
las curvas
curvas de
de transición
transición de
de tercer
tercer grado
grado (que
(que son
son de
a + bt + ct
el tiempo
tiempo
ct22 + dt33 ) son
son nulas
nulas en
en los
los extremos.
extremos. Hallar
Hallar el
total
de recorrido
máxima.
total de
recorrido entre
entre las
las estaciones
estaciones y la aceleración
aceleración máxima.
Resp. t == 103,6
Resp.
103,6 s, amax
= 3,61
3,61 m/
mI s2
ma x =
A
Figura problema
problema
•
B
,ia 1-,1 i:9n L _ _ __
2.55
3,2 km _ _ __ _ _ _ __ ,~I
á-
ueve
anande
a penivel
ad vI
gase
~
Una
~ 2.56
Una partícula
partícula obligada
obligada a moverse
moverse en
en línea
línea recta
recta está
está
sometida
sometida a una
una fuerza
fuerza aceleradora
aceleradora que
que aumenta
aumenta con
con el tiempo
tiempo
y a una
una fuerza
fuerza retardadora
retardadora que
que aumenta
aumenta en
en proporción
proporción directa
directa
con la coordenada
coordenada de
de posición
posición x. La
La aceleración
aceleración resultante
resultante es
aa == Kt
K y kk son
Kt - kk22x,x, donde
donde K
son constantes
constantes positivas
positivas y donde
donde tanto
tanto
xx como
como x son
son cero
cero cuando
cuando t == O. Hallar
Hallar xx en
en función
función de
de t.
v,
km/h
v, km
/h
Funciones
Funciones de
.------ '''M
grado ~
'''''' g,"do
~
x
K
O~--~---------~--~~---
O~--~---------~--~~---
Resp. x = ¡¿3(kt
Resp.
0(kt - sen
sen kt)
1-15
~,-+-ol·-----.1-151-15 ~
1-15
-l:+-· -ill
ilt -
~
2.57
aceleración vertical
~2.57
La aceleración
vertical de
de un
un cohete
cohete de
de combustible
combustible
sólido
sólido está
está dada
dada por
por a = ke - bbtt - cv - g
g,, donde
donde k, b YY e son
son
2.3
lanza
tiema y el
on tal
elocicticasube
A
A
--,
B
B
t,
t, s
Figura problema
problema
2.58
2.58
MOVIMIENTO CURVILíNEO
CURVILíNEO PLANO
MOVIMIENTO
Iniciamos ahora
ahora el estudio
estudio del
del movimiento
movimiento de
de un
un punto
punto material
material a lo largo
largo de
de
Iniciamos
trayectoria curva
curva contenida
contenida en
en un
un solo
solo plano.
plano. Se ve en
en seguida
seguida que
que este
este
una trayectoria
movimiento es un
un caso
caso particular
del movimiento
movimiento más
más general
general presentado
presentado en
en
movimiento
particular del
ilustrado en
en la figura
figura 2.1. Si hacemos
hacemos que
que el plano
plano del
del movimoviel apartado
apartado 2.1 e ilustrado
miento coincida,
coincida, por
por ejemplo,
ejemplo, con
con el plano
plano x-y, las coordenadas
coordenadas z y rp de
de la fimiento
gura 2.1 serán
serán nulas
nulas ambas
ambas y R se confundirá
confundirá con
con t.
r. Tal como
como ya
ya se ha
ha dicho,
dicho,
gura
gran proporción
proporción de
de los movimientos
movimientos de los puntos
puntos y de
de las partículas
partículas mamauna gran
teriales que
que aparecen
aparecen en
en la práctica
práctica de
de la ingeniería
ingeniería pueden
pueden representarse
representarse como
como
teriales
movimientos planos.
planos.
movimientos
Antes de proseguir
proseguir con
con la descripción
descripción del
del movimiento
movimiento curvilíneo
curvilíneo plano
plano en
en
Antes
sistema específico
específico de
de coordenadas
coordenadas cualquiera,
cualquiera, vamos
vamos a describir
describir primeraprimeraun sistema
mente el movimiento
movimiento valiéndonos
valiéndonos del
del análisis
análisis vectorial,
vectorial, cuyos
cuyos resultados
resultados son
son
mente
independientes del
del sistema
sistema de coordenadas
coordenadas elegido.
elegido. Lo que
que sigue
sigue de este
este aparaparindependientes
constituye uno
uno de
de los
los temas
temas de
de mayor
mayor importancia
importancia entre
entre todos
todos los de la
tado constituye
33
33
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34
Trayectoria
CINEMÁTICA DEL PUNTO
PUNTO
CINEMÁTICA
l
v'
A'
I
r+M
: r+M
I
I
I
I
I
I
11
v
A
rr
f.\L1:
v
v
\
A
O
Figura 2.5
2.5
Figura
Dinámica; se trata
de la derivada
derivada temporal
temporal de un
un vector.
vector. Una
Dinámica;
trata de
Una porción
porción notablemennotablemenelevada de
de todos
todos los temas
temas tratados
tratados por
Dinámica dependen
dependen directamente
directamente
te elevada
por la Dinámica
de las variaciones
variaciones por
de tiempo
tiempo de
de magnitudes
magnitudes vectoriales,
vectoriales, por
que
de
por unidad
unidad de
por lo que
este tema
tema debe
debe dominarse
dominarse desde
desde el comienzo
comienzo ya
ya que
que las ocasiones
ocasiones en
en que
que debe
debe
este
hacerse
del mismo
mismo se presentan
constantemente.
hacerse uso
uso del
presentan constantemente.
Consideremos ahora
ahora el movimiento
movimiento de un
material a lo largo
largo de una
Consideremos
un punto
punto material
una
cur .¿lana como
como la representada
en la figura
figura 2.5. En el instante
instante t el punto
cur¿iana
representada en
punto se
encuentra en
en la posición
situada mediante
mediante el vector
vector de posición
medido resresencuentra
posición A,
A, situada
posición r medido
pecto
origen fijo conveniente
conveniente O. Si en
en el instante
instante t se conocen
conocen tanto
tanto el mómópecto a un
un origen
dulo como
como la dirección
dirección y el sentido
sentido de
de r, la posición
del punto
material estará
estará
dulo
posición del
punto material
especificada por
completo. En el instante
instante t + M
M el punto
encontrará en
en la poespecificada
por completo.
punto se encontrará
posición A', localizada
localizada por
vector de
de posición
L'lr.Se
observará que,
que, por
susición
por el vector
posición r + L1r.
Se observará
por supuesto,
esta última
expresión es una
suma vectorial
vectorial y no
suma de
de
puesto, esta
última expresión
una suma
no una
una suma
escalares. Durante
Durante el intervalo
intervalo de tiempo
tiempo L'lt
desplazamiento del
del punto
mateescalares.
L1t el desplazamiento
punto material
L'lr,que
vector que
que representa
cambio de
de posición
que evidenevidenrial es L1r,
que es un
un vector
representa el cambio
posición y que
temente es independiente
independiente del
del origen
elegido. En efecto,
efecto, si se hubiera
tomado
temente
origen elegido.
hubiera tomado
un
origen situado
situado en
en otra
otra posición,
vector de
de posición
sería distinto
distinto pero
un origen
posición, el vector
posición r sería
pero L'lr
L1r
sería el mismo.
mismo. La distancia
distancia realmente
moverse a lo
sería
realmente recorrida
recorrida por
por el punto
punto al moverse
largo de la trayectoria
trayectoria entre
entre A y A'
escalar longitud
longitud L1s
L'lsmedido
sobre la
largo
A' es el escalar
medido sobre
trayectoria. Distinguimos
Distinguimos pues
entre el vector
vector desplazamiento
desplazamiento L1r
L'lry
escalar
trayectoria.
pues entre
y el escalar
longitud L'ls.
longitud
L1s.
velocidad media
media del
del punto
material entre
entre A y A'
define Vmed
= L1r/
L'lr/L'lt
La velocidad
punto material
A' se define
Vmed =
L1t y
vector que
que tiene
tiene la dirección
dirección y el sentido
sentido de L1r
L'lry
cuyo módulo
de L1r
L'lr
es un
un vector
y cuyo
módulo es el de
dividido por
celeridad media
media del
del punto
material entre
entre Ay
cociente
dividido
por M. La celeridad
punto material
Ay A'es
A'es el cociente
escalar L'ls
Evidentemente el módulo
módulo del
del vector
vector velocidad
velocidad media
media y la celeescalar
L1s// M. Evidentemente
ridad media
media se aproximan
aproximan uno
otro a medida
medida que
que decrece
decrece el intervalo
intervalo M y A
ridad
uno a otro
YA'
acercan más
más y más.
más.
Y
A' se acercan
velocidad instantánea
instantánea v del
del punto
material se define
define como
como el valor
valor en
en ellíellíLa velocidad
punto material
mite de
de la velocidad
velocidad media
media cuando
cuando el intervalo
intervalo de
de tiempo
tiempo tiende
tiende a cero.
cero. EntonEntonmite
ces
vv
.
L'lr
L1r
l1m M-40L'lt
M-4 0L1t
L
Observemos que
que la dirección
dirección de
de L1r
L'lrse
aproxima a la de
de la tangente
tangente a la trayectrayecObservemos
se aproxima
toria cuando
cuando M tiende
tiende a cero
cero y que,
que, por
consiguiente, la velocidad
velocidad v será
será siemsiemtoria
por consiguiente,
pre
vector tangente
tangente a la trayectoria.
trayectoria. Ampliemos
Ampliemos ahora
ahora a las magnitudes
magnitudes
pre un
un vector
vectoriales la definición
definición fundamental
fundamental de
de derivada
derivada de un
escalar y escribamos
escribamos
vectoriales
un escalar
http://gratislibrospdf.com/
a
r
a
r
v=
v=
dr
dr
dt
dt
35
ii
(2.4)
(2.4)
derivada de un
un vector
vector sigue
sigue siendo
siendo un
un vector
vector y posee
posee tanto
tanto módulo
módulo como
como
La derivada
dirección y sentido.
sentido. El módulo
módulo de v recibe
recibe el nombre
nombre de
de celeridad
celeridad y es el escalar
escalar
dirección
ds
.
ds
vv== Iv I =
- = s
=-=s
dt
dt
ennte
ue
be
na
se
esó-
ará
0-
sude
te-
ar
ty
l1r
En este
este punto,
punto, debemos
debemos hacer
hacer una
una importante
importante distinción
distinción entre
entre lo que
que es el
módulo de la derivada
derivada y la derivada
derivada del módulo.
módulo. El módulo
módulo de la derivada
derivada puede
puede
escribirse
Idr / dt
escribirse de
de cualquiera
cualquiera de
de las formas
formas siguientes
siguientes Idr/
dtl l =
= lil
Irl =
= ss =
= Ivl
lvl == v y
representa
velocidad o celeridad
representa el módulo
módulo de
de la velocidad
celeridad del
del puntó.
punto. Por
Por otra
otra parte,
parte, la
derivada
dlrl / dt
derivada del
del módulo
módulo se escribe
escribe dlrl/
dt == dr / dt
dt == f yY representa
representa la variación
variación
por
por unidad
unidad de
de tiempo
tiempo de
de la longitud
longitud del
del vector
vector de posición
posición r. O sea, estas
estas dos
dos
derivadas
derivadas poseen
poseen significados
significados completamente
completamente diferentes
diferentes y debemos
debemos ser
ser sumasumamente
mente cuidadosos
cuidadosos para
para distinguir
distinguir una
una de la otra
otra tanto
tanto al pensar
pensar en
en ellas
ellas como
como
al escribirlas.
escribirlas. Por
Por esta
esta y otras
otras razones
razones se insta
insta al lector
lector a que
que adopte
adopte una
una misma
misma
notación
magnitudes vectoriales
notación de
de escritura
escritura manual
manual para
para todas
todas las magnitudes
vectoriales con
con el fin
de distinguirlas
distinguirlas de
de las magnitudes
magnitudes escalares.
escalares. Los símbolos
símbolos utilizados
utilizados con
con mamayor frecuencia
frecuencia son
son t y 'Q,
'Q, aunque
aunque también
también se utilizan
utilizan v y v .
Una vez
vez establecido
establecido el concepto
concepto de velocidad
velocidad como
como magnitud
magnitud vectorial,
vectorial, rereUna
gresemos a la figura
figura 2.5
representemos la velocidad
velocidad del
del punto
punto material
material en
en A
gresemos
2.5 y representemos
mediante
A' mediante
vector tangente
mediante el vector
vector tangente
tangente v y la velocidad
velocidad en
en A'
mediante el vector
tangente
Evidentemente, durante
durante el intervalo
intervalo /':,.t
vector velocidad
habrá variado.
v'. Evidentemente,
/::"t el vector
velocidad habrá
variado. Si
velocidad v en
en A se suma
suma (vectorialmente)
(vectorialmente) la variación
variación /':,.v
velocidad,
a la velocidad
/::"V de la velocidad,
resultar la velocidad
en A', por
por lo que
que podemos
podemos escribir
escribir v' - v == /::"v.
/':,.v.La
La
debe resultar
velocidad en
observación del
del diagrama
diagrama vectorial
vectorial revela
revela que
que /::"V
/':,.vdepende
tanto de
de la variavariaobservación
depende tanto
ción del
del módulo
módulo (longitud)
(longitud) de v como
como de
de la variación
variación de
de la dirección
dirección de v. Estas
Estas
dos variaciones
básicas de las derivadas
variaciones son
son características
características básicas
derivadas de los vectores.
vectores.
aceleración media
media del
del punto
punto material
material entre
entre A y A'
define como
como /::"v
/':,.v//!:,.t
A' se define
t:,.t y
La aceleración
vector cuya
cuya dirección
dirección y sentido
sentido son
son los de
de /::"v.
/':,.v.El
El módulo
módulo de
aceleración
es un
un vector
de la aceleración
media es el módulo
módulo de
de /::"v
/':,.vdividido
dividido por
por t:,.t.
!:,.t.
media
La aceleración
aceleración instantánea
instantánea a del
del punto
punto material
material se define
define como
como el valor
valor en
en el
límite de la aceleración
aceleración media
media cuando
cuando el intervalo
intervalo de
de tiempo
tiempo tiende
tiende a cero.
cero. O
sea,
v.
nte
eleyA
llíon-
a
Según
Según la definición
definición de derivada,
derivada, escribiremos
escribiremos
a
ecm-
des
os
/':,.v
.. /::"v
ll1m -
"'I--;O/':,.t
"'I.-,O/::,.t
dv
dv
dt
dt
(2.5)
(2.5)
A medida
medida que
que t:,.t
!:,.tse hace
hace menor
menor y tiende
tiende a cero,
cero, la dirección
dirección de la variación
variación
!:;.vse
aproxima
a
la
de
la
variación
infinitesimal
dv
y,
por
consiguiente,
/::;.V se aproxima
variación infinitesimal dv por consiguiente, a aa.. La
aceleración
aceleración incluye,
incluye, pues,
pues, el efecto
efecto de la variación
variación del
del módulo
módulo de
de v y de la vavariación de
de la dirección
dirección de
de v. Es manifiesto
manifiesto que,
que, en
en general,
general, la dirección
dirección de
de la
riación
aceleración de un
un punto
punto material
material en
en movimiento
movimiento curvilíneo
curvilíneo no
no es ni tangente
tangente
aceleración
ni normal
trayectoria. No
normal a la trayectoria.
No obstante,
obstante, sí que
que observamos
observamos que
que la componente
componente
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2.3 MOVIMIENTO
MOVIMIENTO CURVILÍNEO
CURVILÍNEO
PLANO
PLANO
u
36
CINEMÁTICA
DEL PUNTO
CINEMÁTICA DEL
PUNTO
n
((
Hodógrafa
Hodógrafa
2.6
Figura 2.6
p
P
SI
de la aceleración
aceleración normal
la trayectoria
trayectoria está
está dirigida
centro de
de curvade
normal a la
dirigida hacia
hacia el centro
curvatura
de la misma.
tura de
misma.
En
figura 2.6 se presenta
otro estudio
estudio que
que ayuda
ayuda a materializar
concepEn la figura
presenta otro
materializar el concepto de
de aceleración,
aceleración, habiéndose
efectos de
de comprensión
comprensión los
los vechabiéndose representado
representado a efectos
vectores
de posición
correspondientes
a tres
arbitrarias del
del punto
en su
su
tores de
posición correspondientes
tres posiciones
posiciones arbitrarias
punto en
trayectoria.
cada vector
de posición
corresponde un
trayectoria. A cada
vector de
posición corresponde
un vector
vector velocidad
velocidad tantangente a la
la trayectoria
= i.
i .Si
ahora dichos
dichos vectores
gente
trayectoria y la relación
relación es v =
Si se trazan
trazan ahora
vectores
velocidad
de un
cierto punto
arbitrario e, definirán
definirán una
curva llamada
llamada
velocidad a partir
partir de
un cierto
punto arbitrario
una curva
hodógrafa.
derivadas de
de dichos
dichos vectores
serán los
los vectores
acelehodógrafa. Las
Las derivadas
vectores velocidad
velocidad serán
vectores aceleración
que son
son tangentes
la hodógrafa.
que la
la aceleración
aceleración guarda
guarda
ración a == vv que
tangentes a la
hodógrafa. Se ve
ve que
con la velocidad
la misma
que la
la velocidad
con el vector
de posición.
con
velocidad la
misma relación
relación que
velocidad con
vector de
posición.
La
geométrica de
de las
las derivadas
derivadas del
del vector
de posición
del
La representación
representación geométrica
vector de
posición r y del
vector
de la
la figura
figura 2.5 se puede
describir la derivada
derivada
vector velocidad
velocidad v de
puede utilizar
utilizar para
para describir
de una
cantidad vectorial
cualquiera respecto
cualquier otra
otra variable
esde
una cantidad
vectorial cualquiera
respecto a t o a cualquier
variable escalar. Con
Con la introducción
introducción de
de la
la derivada
derivada de
de un
en las
las definiciones
definiciones de
de
calar.
un vector
vector en
velocidad
aceleración, importará
importará ahora
ahora establecer
establecer las
las reglas
reglas según
según las
cuales
velocidad y aceleración,
las cuales
pueda
llevarse a cabo
cabo la
la derivación
derivación de
de cantidades
cantidades escalares,
escalares, con
con la
la única
difepueda llevarse
única diferencia
del caso
caso del
del producto
en el cual
cual hay
que mantener
orden de
de
rencia del
producto vectorial
vectorial en
hay que
mantener el orden
los factores
factores. . Las
están desarrolladas
desarrolladas en
en el apartado
apartado C7 del
del
los
Las reglas
reglas mencionadas
mencionadas están
apéndice C
e y convendrá
convendrá repasarlas
repasarlas ahora
ahora mismo.
apéndice
mismo.
En
caso del
del movimiento
curvilíneo de
de un
en un
existen tres
En el caso
movimiento curvilíneo
un punto
punto en
un plano
plano existen
tres
sistemas de
de coordenadas
coordenadas diferentes
diferentes que
que son
son de
de uso
común para
la descripción
descripción
sistemas
uso común
para la
de dicho
dicho movimiento.
estudio de
de dichos
dichos sistemas
sistemas de
de coordenadas
coordenadas convenconvende
movimiento. Del
Del estudio
drá aprender
aprender a elegir
elegir adecuadamente
adecuadamente
sistema de
de referencia
drá
el sistema
referencia para
para un
un probleproblema
dado. Dicha
elección suele
suele revelar
se por
la forma
forma en
en que
que se especifican
los
ma dado.
Dicha elección
revelarse
por la
especifican los
datos. Vamos
desarrollar e ilustrar
ilustrar a continuación
continuación cada
cada uno
de los
los tres
sistedatos.
Vamos a desarrollar
uno de
tres sistemas
de coordenadas.
coordenadas.
mas de
\
\\
_l_v
_l _v
I1
I1
I1
.r
y
v,
v
)J
I1
I1
I1
I1
I
aa
I1
I1
I1
I1
\
a,/ \
r--'
Yj~(t
Yil2(t /
I__
--X
I_ _ --X
xi
xi
ii
Figura 2.7
2.7
a
p
S
rr
ft
te
Y
A
ci
es
Trayectoria
Trayectoria
Y
Y
CI
1
1
1
·1
I
2.4
2.4
COORDENADAS
RECTANGULARES
(x-y)
COORDENADAS
RECTANGULARES (x-y)
Este
sistema de
de referencia
en el caso
caso de
de movimientos
en
Este sistema
referencia es particularmente
particularmente útil
útil en
movimientos en
los que
que las
las componentes
componentes x e yy de
de la
la aceleración
aceleración están
están generadas
generadas o determinadas
determinadas
los
independientemente.
El movimiento
curvilíneo se obtiene,
obtiene, pues,
por combinacombinaindependientemente.
movimiento curvilíneo
pues, por
ción vectorial
de las
las componentes
componentes x e yy del
del vector
de posición,
de la
la velocidad
ción
vectorial de
vector de
posición, de
velocidad
y de
de la
la aceleración.
aceleración.
En
la figura
figura 2.7 vuelve
la trayectoria
del punto
punto material
de
En la
vuelve a representarse
representarse la
trayectoria del
material de
la figura
figura 2.5 junto
con los
los ejes
ejes x e y, y en
en la misma
incluyen el vector
de pola
junto con
misma se incluyen
vector de
posición r, la
la velocidad
la aceleración
aceleración a del
del punto
descritos en
en el
sición
velocidad v y la
punto material,
material, descritos
apartado 2.3, descompuestos
descompuestos en
en sus
sus componentes
componentes x e y. Utilizando
los vectores
apartado
Utilizando los
vectores
http://gratislibrospdf.com/
Iv
ci
lí:
d,
rr
dI
d
rE
unitarios i Y j, podemos
nentes x e y, o sea,
escribir los vectores
a
nceps vec-
de sus compo-
=
=
xi + yj
v
i
Xi + yj
v
r
Xi + yj
(2.6)
Al derivar respecto del tiempo, debe tenerse en cuenta que las derivadas temporales de los vectores unitarios son nulas ya que los módulos, direcciones y
sentidos de los mismos permanecen
constantes. Los valores escalares de las
componentes de v y a son simplemente
Vx = x , vy = y y ax = Vx =
ay = vy = y. (Tal como aparece en la figura 2.7, el sentido de ax es el x negativo
por lo que x será un número negativo.)
Como ya hemos observado previamente,
la dirección de la velocidad es
tangente siempre a la trayectoria, y de la figura resulta evidente que
x,
v = Jv; + v~
a
=
a2x + a2y
a
=
tg
Ll
u =
vy
Vx
Ja2 x + a2y
e
Si se mide el ángulo
en sentido antihorario a partir del eje x y hacia v, podemos ver que, para la configuración
de ejes representada,
es dy/dx = tg e = vy/ VxSi conocemos cada una de las coordenadas
x e y independientemente
como
funciones del tiempo, x = !1(t) e y = !2(t) , podremos combinarlas para obtener r como función del tiempo. Análogamente,
sus primeras derivadas x e
y se combinarán para damos v y sus derivadas segundas
e y para damos a.
Ahora bien, si se dan como funciones del tiempo las componentes
ax y ay de la
aceleración, podemos integrar cada una por separado respecto al tiempo, una
vez para obtener Vx y vy y de nuevo para obtener x = !1(t) e y = !2(t) . Eliminando el tiempo t entre estas dos últimas ecuaciones paramétricas
resulta la
ecuación de la trayectoria y = !(x).
Del estudio anterior debemos sacar la consecuencia
de que la representación por coordenadas
cartesianas rectangulares
de un movimiento
curvilíneo
no es más que la superposición
de las coordenadas
de dos movimientos
rectilíneas simultáneos según las direcciones x e y. Por tanto, todo lo expuesto en el
apartado 2.2 acerca del movimiento
rectilíneo puede aplicarse por separado a
cada uno de los movimientos
según los ejes x e y.
x
n tres
ipción
nvenrobleanlos
siste-
tosen
. adas
binacidad
rial de
de poen el
ctores
37
2.4 COORDENADAS
RECTANGULARES (x-y)
r
rva-
r, v y a en función
Movimiento de los proyectiles.
Una importante
aplicación de la teoría de la
cinemática plana es el estudio del movimiento y alcance de los proyectiles (balística). En un primer planteamiento
del problema, despreciamos
la resistencia
del aire y la curvatura y rotación de la Tierra, y admitimos que la altura máxima de la trayectoria es suficientemente
pequeña como para que la aceleración
de la gravedad podamos suponerla constante. Con estas hipótesis, para estudiar la trayectoria lo mejor es emplear coordenadas
rectangulares.
Para los ejes
representados
en la figura 2.8, las componentes
de la aceleración son
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38
yy
CINEMÁTICA
DEl PUNTO
PUNTO
CINEMÁTICA DEl
I
v
:
----- -- ~
__
___
¡V
~
-=-~ +-t :. __-=-~+iV·-'_-"""
I
Ix.......
1
Vx
.>
Va
'
J.l----,,//
(vy)o=vosene:
J
Ig
t
/:'
I
IVI
I
V;r
"/
I
,e
I
------1
-c
vy t---:,.~v
I
-,"\
-j-.L-------------------------~L--X
(vxlo
= Vo cos
e
2.8
Figura 2.8
de un
caso de
de aceleración
aceleración constante
constante como
como el tratado
general
Se trata,
trata, pues,
pues, de
un caso
tratado en general
en el apartado
apartado 2.2a,
2.2a, de
de cuyos
cuyos resultados
escribir
en
resultados hacemos
hacemos uso
uso para
para escribir
Vx
x
=
(vx)o
vy
Xo
(vx)ot
Xo + (vx)ot
v/ =
=
v/
yy
=
(vy)o - gt
= Yo
Yo + (vy)o
(vy)ot t =
(VY)02
2g(y (V
)02 - 2g(y
Y
~gt2
~gt2
Yo)
Yo)
En estas
estas expresiones,
expresiones, el subíndice
subíndice cero
cero se refiere
las condiciones
condiciones iniciales,
iniciales, que
que
En
refiere a las
suelen tomarse
como las
las correspondientes
correspondientes al punto
disparo, donde,
donde, en
en el caso
caso
suelen
tomarse como
punto ddee disparo,
ilustrado, Xo
Yo == O.
O.Adviértase
que aquí
aquí se toma
como cantidad
cantidad positiva.
ilustrado,
Xo == Yo
Adviértase que
toma gg como
positiva.
Vemos
que los
los movimientos
y son
son independientes
independientes
para
condiciones
Vemos que
movimientos x e Y
para las
las condiciones
de movimiento
simplificadas que
que se consideran.
consideran. Al eliminar
eliminar el tiempo
entre
de
movimiento simplificadas
tiempo t entre
las ecuaciones
ecuaciones de
de los
los desplazamientos
desplazamientos
x eY
y resulta
las
resulta una
una trayectoria
trayectoria parabólica
parabólica
(véase problema
tipo 2.6).
2.6). Si hubiera
que introducir
introducir la
la resistencia
del aire,
aire, que
que
(véase
problema tipo
hubiera que
resistencia del
cuadrado de
de la velocidad
velocidad (celeridad
(celeridad del
del proyectil),
las ecuaciones
ecuaciones
ddepende
epende ddel
el cuadrado
proyectil), las
de los
los movimientos
y estarían
estarían acopladas
acopladas (o sea,
sea, serían
serían interdependientes)
interdependientes)
y
de
movimientos x e Y
sería parabólica.
la trayectoria
trayectoria no
no sería
parabólica.
Cuando hay
que d
describir
de los
los proyectiles
con una
gran
Cuando
hay que
escribir el movimiento
movimiento de
proyectiles con
una gran
precisión,
intervienen grandes
grandes velocidades
velocidades y grandes
grandes alturas,
alturas, deben
deben tenerse
precisión, e intervienen
tenerse
cuenta la forma
forma del
del proyectil,
de g con
con la altitud,
altitud, la
de
en cuenta
proyectit la variación
variación de
la variación
variación de
densidad del
del aire
aire con
con la altitud
altitud y la rotación
de la Tierra.
Tierra. Estos
elementos hala densidad
rotación de
Estos elementos
hacen que
que las
las ecuaciones
ecuaciones del
del movimiento
sean considerablemente
complicadas y
cen
movimiento sean
considerablemente complicadas
suele ser
ser necesario
integración numérica.
suele
necesario recurrir
recurrir a la integración
numérica.
PROBLEMA TIPO
2.5
PROBLEMA
TIPO 2.5
El movimiento
curvilíneo de un
un punto
está definido
movimiento curvilíneo
punto está
definido por v xx = 50 - 16t e yy == 100 - 44tt22 ,
donde
además que
donde V xx son
son metros
metros por segundo,
segundo, yy son
son metros
metros yy t son
son segundos.
segundos. Se sabe además
cuando t == O
O es x == O
O.. Representar
trayectoria yy determinar
cuando
Representar la trayectoria
determinar la velocidad
velocidad yy la aceleracuando alcanza
alcanza la posición
ción cuando
posición yy == O.
I
Solución. La coordenada
coordenada x se obtiene
obtiene integrando
integrando la expresión
expresión d
dee Vti¿x y la compocomponente
aceleración derivando
derivando vxx'' O sea,
nente x de la aceleración
http://gratislibrospdf.com/
f~ dx = f~(50 - 16t)
ax
=
ft(50 - 16t)
dt
=
x
ax = - 16 mi
50t - St2
m
s2
1=0
Las componentes y de la velocidad y de la aceleración son
[vx
[ay
eral
= yl
=
vy
ay
vyl
=
=
E..(100 - 4t2)
dt
d
-(- St)
dt
vy
= -
ay
=
100
~
St mis
= 50-16(5)
-Sm/s2
=
J(-16)2+(-
3
y,m
/
40
I
20
1=55/
o
O
vy = - S(5) = - 40 mi s
a
'\
60
= - 30 mis
v = J(-30)2+(-40)2
= 50m/s
S)2
=
1-«
50
Ahora se calculan los valores correspondientes de x e y para distintos valores
de t y se representa gráficamente y en función de x, obteniendo la trayectoria representada en la figura.
Para y = O,0= 100 - 4t2, Yentonces t = 5 s. Para este valor del tiempo tenemos
Vx
--....j
40 A
x,m
20
Trayectoria
17,9m/s2
60
80
Trayectoria
I
I
I
I
I
que
easo
a.
ones
ntre
'liea
que
ones
es) y
Las componentes de la velocidad y de la aceleración y sus resultantes se representan por separado para el punto A en que y = O. O sea, para esa posición se tiene
v = - 30i-40j
mis
Resp.
m/s2
Resp.
Observemos que, como debe ser, el vector velocidad se encuentra sobre la tangente a la trayectoria, pero que el vector aceleración no es tangente a la trayectoria. Obsérvese en particular que el vector aceleración posee una componente
dirigida hacia el interior de la trayectoria. Ya dedujimos con relación a la figura
2.5 que es imposible que la aceleración tenga una componente dirigida hacia el
exterior de la trayectoria.
,
r
u¿ = - 30 mi
s/
,
ax = -16 mi S2,/
-'il-:/?1A
:
a = - 16i-Sj
I
I
:
:
v=50m/s
~
:
ay=-8m/s2
a=-17,9m/s2
vy=-40m/s2
PROBLEMA TIPO 2.6
Un cohete ha consumido todo su combustible cuando alcanza la posición A en
la que lleva una velocidad u y forma un
ángulo e respecto a la horizontal. Se inicia entonces el vuelo balística (no propulsado) y alcanza una altura máxima
adicional h en. una posición B tras recorrer una distancia horizontal s a partir de
A. Determinar las expresiones de h y s, el
tiempo t de vuelo entre A y B Y la ecuación de la trayectoria. Para el intervalo
de tiempo en cuestión, considérese una
Tierra plana con una aceleración de la
gravedad constante g y despréciese toda
resistencia por parte de la atmósfera.
y
1_---5
u /~
A/¿1_e~
----~
I
B
/,~-1~
propulsado
h
1
~-~x
~roPulsado
39
http://gratislibrospdf.com/
CD
G)
Este problema
problema no es sino la descripdescripproyectil
ción
ción del movimiento
movimiento de un proyectil
despreciando la resistencia
aire.
despreciando
resistencia del aire.
Solución. Como todas
Solución.
todas las componentes
componentes del movimiento
movimiento se expresan
expresan directadirectamente
horizontal y vertical, emplearemos
mente en función
función de las coordenadas
coordenadas horizontal
emplearemos un sisCD tema
rectangular x-y.
x-y. Al despreciar
Y ay
ay == -- g y
tema rectangular
despreciar la resistencia
resistencia atmosférica
atmosférica ay
ax =
=O
OY
el movimiento
movimiento resultante
resultante será una superposición
superposición directa
directa de dos movimientos
movimientos
rectilíneos de aceleración
aceleración constante.
constante. Así
[dx = V xx dt]
[dx
dt]
[dvyy
[dv
f~ u cos 8 dt
dt
f~
x =
f~Ysen
f~Ysen
=
= aydt]
aydt]
dv
dvyy
=
f~(-g)
= f~(-g)
dt
uyy
=
f~(usen8-gt)dt
= f~(usen8-gt)dt
y
[dyy = vit]
[d
vit]
ee
x = ut
ut cos 8
yy
=
sen 8-gt
= uusen
8-gt
=
utsen8-~gt2
= utsen8-~gt2
°
cuando vyy = 0,
O,lo
ocurre para
8- gt,
Se alcanza la posición
posición B cuando
lo cual ocurre
para O= uusen
sen 8g t, o sea
t
®
que el alcance
alcance total
total y el
que
proyectil distiempo
tiempo de vuelo
vuelo de un proyectil
parado desde
horizontal
parado
desde un plano
plano horizontal
hubieran sido el doble
hubieran
doble de los valores
valores
respectivos de s y t obtenidos
respectivos
obtenidos aquí.
aquí.
De haberse
haberse tenido
tenido en cuenta
cuenta la resistencia del aire,
aire, habría
que estencia
habría tenido
tenido que
tablecerse
tablecerse la dependencia
dependencia de las
componentes de la aceleración
aceleración con
componentes
la velocidad
velocidad antes
antes de proceder
proceder a la
integración
integración de las ecuaciones.
ecuaciones. Con
ello, el problema
problema se hace
hace mucho
mucho más
difícil.
Resp.
Resp.
Aplicando este valor del tiempo
tiempo en la expresión
expresión de yy se tiene la altura
altura adicional
adicional
Aplicando
máxima
máxima
o Vemos
(2)
=
= (u
(u sen 8)/g
8)/g
(U
(U
1 ----sen
- -8) sen 8 --g
- -8)2
---sen
--g
h --_ u 2
g
g
h
Resp.
Resp.
distancia horizontal
La distancia
horizontal se ve que es
s
U sen 8)
=
-g - cos 8
= u ( ---gU
s
(
sen28
u2sen28
2g
Resp.
Resp.
que es evidentemente
máxima cuando
evidentemente máxima
cuando 8 == 45°. La ecuación
ecuación de la trayectoria
trayectoria se
obtiene eliminando
eliminando t entre
entre las expresiones
expresiones de x e y, lo cual da
O"x22
o-x
Y = x tg 8-=8-~ 2 sec28
Y
2
2u
®
®
Resp.
Resp.
Esta ecuación
representa una parábola
ecuación representa
parábola vertical
vertical como la de la figura.
PROBLEMAS
PROBLEMAS
(En aquellos problemas
problemas de los que siguen
refieran a un
siguen que se refieran
proyectil que se mueva
proyectil
mueva en el aire se despreciará,
despreciará, salvo otra inempleará g =
= 9,81
9,81 m
m/i s2
s2 .)
.)
dicación, la resistencia
resistencia del aire y se empleará
Problemas
Problemas introductorios
introductorios
2.59 En el instante
posición de un punto
punto
instante t == 3,60 el vector
vector de posición
que se mueve
x-y es 2,76i - 3,28j
mueve en el plano
plano x-y
3,28j m
m.. En el instante
instante
3,62 el vector de posición ha cambiado
3,33j m. Hat == 3,62
cambiado a 2,79i - 3,33j
módulo v de la velocidad
velocidad media
media en ese intervalo
intervalo y el ánllar el módulo
gulo 8 que la misma
misma forma con el eje x.
Resp.
2,92 mi
m/ s,
s, 8 == -- 59,0°
59,0°
Resp. v =
= 2,92
velocidad de un punto
2.60 En el instante
instante t == 6 s la velocidad
punto que se
mueve en el plano
x-y es 4i + 5j m
m/i s,
s, y
en el instante
instante t == 6,1 s
mueve
plano x-y
yen
velocidad ha cambiado
cambiado a 4,3i + 5,4j
5,4j mis.
m/ s. Hallar
Hallar el módulo
módulo a
a
la velocidad
de la aceleración
aceleración media
media durante
durante el intervalo
intervalo de 0,1
0,1 s y el ángulo
ángulo
8 que la misma
misma forma con el eje x.
2.61
instante t == 3,65
un punto
punto que se
2.61 En el instante
3,65 s la velocidad
velocidad de un
mueve
plano x-y
x-y es 6,12i + 3,24j
mueve en el plano
3,24j mi
m/ s. Su aceleración
aceleración media durante
durante los 0,02
Hallar su velo0,02 s siguientes
siguientes es 3i + 6j m
m/i S2.
S2.Hallar
cidad
vector
cidad v en el instante
instante t == 3,67
3,67 s y el ángulo
ángulo 8 entre
entre el vector
aceleración media
media y el vector
vector velocidad
velocidad en el mismo
mismo instante.
instante.
aceleración
Resp.
6,2Oi+
3,36j m/
27,9°
Resp. v == 6,2Oi
+ 3,36j
m I s, 8 == 27,9°
coordenadas, en milímetros,
milímetros, de un
animado
un punto
punto animado
2.62 Las coordenadas,
movimiento curvilíneo
curvilíneo varían
varían con el tiempo
tiempo t,i, en segundos,
segundos,
de movimiento
de acuerdo
acuerdo con x == 2t
2t22 - 4t
4t e yy == 3t
3t33 -~
Hallar los módulos
módulos de
- ~ t3.. Hallar
velocidad v y la aceleración
aceleración a y los ángulos
ángulos que esos vectores
vectores
la velocidad
forman
forman con el eje xx en el instante
instante t == 2 s.
40
40
http://gratislibrospdf.com/
2
ais-
y
os
2.63
Un
2.63
Un techador
techador lanza
lanza una
una pequeña
pequeña herramienta
herramienta hacia
hacia un
un
ayudante
ayudante que
que está
está en el suelo.
suelo. ¿Cuál
¿Cuál es la velocidad
velocidad horizontal
horizontal
mínima
para que
justo por
mínima Vo para
que el objeto
objeto pase
pase justo
por el punto
punto B? Ubicar
Ubicar
punto de
de impacto
impacto especificando
especificando la distancia
distancia s indicada
en la
indicada en
el punto
figura.
figura.
Resp. Vo = 6,64
6,64 mI
mI s, s = 2,49
2,49 m
y
1
~~
.:»:
-~1--h
~t5
1
~----
--------~...: ........:...
A
1-----1
- - - - --
7,5
7,5 m
m -------;.-
Figura problema
problema 2.65
2.65
2.66
La coordenada
de un
un punto
punto animado
animado de
de un
un movimovi2.66
coordenada yy de
3
miento
por yy =
= 4t3 - 3t, donde
donde yy son
son metros
metros
miento curvilíneo
curvilíneo está
está dada
dada por
y t son
punto posee
posee una
una aceleración
aceleración en
en
son segundos.
segundos. Además,
Además, el punto
la dirección
= 12t
mI S2. Si la
la velocidad
velocidad en
en la direcdirecdirección x que
que vale
vale axx =
12t mI
ando t =
= O,calcular
O, calcular los
los módulos
módulos de
de la veveción
ción x es d
dee 4 mI
mI s cu
cuando
locidad
del punto
punto cuando
cuando t =
= 1
s. Dibujar
Dibujar v
locidad v y la aceleración
aceleración a del
1s.
solución.
y a en la solución.
Figura problema
problema 2.63
2.63
se
2.64 Los movimientos
2.64
movimientos x e yy de
de las guías
guías A y B,
B, cuyas
cuyas ranuras
ranuras
forman
forman ángulo
ángulo recto,
recto, controlan
controlan el movimiento
movimiento del
del pasador
pasador de
de
enlace
enlace P, que
que resbala
resbala por
por ambas
ambas ranuras.
ranuras. Durante
Durante un
un corto
corto inintervalo
tervalo esos
esos movimientos
movimientos están
están regidos
regidos por
por x = 20 + ~t2
~t2 e
yy = 15 - ~t3
~t3 , donde
donde x e yy son
son milímetros
milímetros y t son
son segundos.
segundos. CalCalasacular
cular los módulos
módulos d
dee la velocidad
velocidad v y la aceleración
aceleración a del p
pasapara t == 2 s. Esquematizar
Esquematizar
forma de
de la trayectoria
trayectoria e
dor para
la forma
indicar su curvatura
curvatura en
en ese
ese instante.
instante.
indicar
2.67
A un
combustible en
en la posición
posición re2.67
un cohete
cohete se le agota
agota el combustible
presentada
vuelo no
no propulsado
propulsado por
por encima
encima de
de
presentada y prosigue
prosigue en
en vuelo
atmósfera. Si su
su velocidad
velocidad en
1000 km
km Ih,
en esa
esa posición
posición era
era de
de 1000
/ h,
la atmósfera.
calcular la altura
altura adicional
adicional h.
calcular
h que
que alcanza
alcanza y el tiempo
tiempo t que
que tarda
tarda
en llegar
esa fase
fase del
del vuelo
vuelo la aceleración
aceleración de
de la
llegar a ella.
ella. Durante
Durante esa
gravedad
gravedad es 9,39
9,39 m
mi i S2.
Resp. hh. == 3,08
3,08 km,
Resp.
km, t =
= 25,6
25,6 s
v
Vertical
Vertical
=
=
1000
km/h
1000km/h
!!
sp.
Figura problema
problema 2.67
2.67
Problemas representativos
representativos
Problemas
ángulo
que se
ónmeu velovector
tanteo
imado
undos,
ulos de
ectores
2.68
vector de
de posición
posición de
2.68
El vector
de un
un punto
punto que
que se
se mueve
mueve en
en el
plano x-y
x-y está
está dado
dado por
por
plano
33 2)'
2).1+ 12t JJ
22tt
3
r = (3
3 -- 'ii tt
f+--x----j
f.--x ----j
problema 2.64
2.64
Figura problema
2.65
Un saltador
saltador de
de longitud
longitud se acerca
acerca a la raya
raya A con
con una
una
2.65
Un
velocidad
horizontal de
de 10 m
mi i s. Hallar
Hallar la componente
componente vertical
vertical
velocidad horizontal
velocidad de
de su
su centro
centro de
de gravedad,
gravedad, en
en el momento
momento del
del
vyy de la velocidad
brinco, necesaria
necesaria para
para que
que realice
realice el salto
salto representado.
representado.
¿Qué
brinco,
¿Qué
altura h sube
sube su centro
centro de
de gravedad?
gravedad?
altura
Resp. vyy = 3,68
3,68 m
mi i s, hti = 0,690
0,690 m
Resp.
4
t4. .
1+
donde r está
está en
en metros
metros y t está
donde
está en
en segundos.
segundos. Hallar
Hallar el ángulo
ángulo
que forman
forman la velocidad
velocidad v y la
que
la aceleración
aceleración a cuando
cuando (a) t =
= 2 s
y(b) t=3s.
t=3s.
y(b)
2.69
piloto de
de un
un avión
avión que
2.69
El piloto
que transporta
transporta una
una saca
saca de
de correos
correos
un lugar
lugar remoto
remoto desea
desea soltada
soltarla en
en el momento
momento justo
justo para
para que
que
a un
alcance el punto
punto A. ¿Qué
¿Qué ángulo
aJcance
ángulo ee deberá
deberá formar
formar la visual
visual al
blanco con
con la horizontal
horizontal en
blanco
en el instante
instante del
del lanzamiento?
lanzamiento?
Resp. e=
e= 21,7°
Resp.
21 ,7°
41
http://gratislibrospdf.com/
--
200km/h
200km
/h
2.73
2.73 Un
Unpunto
punto sesemueve
mueveen
enelelplano
planox-y
x-ycon
conuna
unacomponencomponenteteyy de
delalavelocidad,
velocidad, en
enmetros
metrospor
porsegundo,
segundo, dada
dada por
porv vyy==8t.
8t.
Su
Suaceleración
aceleración en
en lala dirección
dirección x,x,en
en metros
metros por
por segundos
segundos alal
cuadrado,
cuadrado, viene
viene dada
dada por
por aax x==4t,
4t, con
cont ten
ensegundos.
segundos. Cuando
Cuando
tt==O,O,Y
Y ==2,2,xx==OOY
Y VVxx ==O.O.Hallar
Hallar lalaecu
ación de
ecuación
delalatrayectoria
trayectoria yy
calcular
calcularlalaceleridad
celeridad del
del punto
punto cuando
cuando lalacoordenada
coordenada xxalcanalcanza
zaelelvalor
valor 18
18m.
m.
Resp.
Resp. (y(y -- 2)3
2)3== 144x
144x22, , VV ==30
30m/
m/ ss
2.74
/ s se
2.74 Con
Con una
una velocidad
velocidad va
va ==25
25m
m/s
sedispara
dispara un
un proyectil
proyectil
desde
desde elel suelo
suelo de
de un
un túnel
túnel de
de 55m
m de
de altura.
altura. Hallar
Hallar el
el alcance
alcance
máximo
máximo RRyy el
el ángulo
ángulo de
de disparo
disparo 8f) correspondiente.
correspondiente.
Figura problema 2.69
2.70 Demostrar
Demostrar el
el conocido
conocido hecho
hecho de
de que,
que, para
para una
una velociveloci2.70
dad de
de lanzamiento
lanzamiento dada
dada va,
va, el
el ángulo
ángulo de
de lanzamiento
lanzamiento 8f) ==45°
45°
dad
produce el
el máximo
máximo alcance
alcance R.
R.Hallar
Hallar éste.
éste. (Téngase
(Téngaseen
en cuenta
cuenta
produce
que esta
esta conclusión
conclusión no
no es
es válida
válida cuando
cuando en
en el
el análisis
análisis se
se incluincluque
ye la
la resistencia
resistencia del
del aire.)
aire.)
ye
-¡
5m
t A é::::::::::::::::::::::::::::::::==.::::::¡
2.71 Con
Con la
la condiciones
condiciones iniciales
iniciales indicadas,
indicadas, desde
desde el
el punto
punto A
A
2.71
se dispara
dispara un
un proyectiL
proyectil. Hallar
Hallar la
la distancia
distancia en
en pendiente
pendiente ss que
que
se
localiza el
el punto
punto B
B del
del impacto.
impacto. Calcular
Calcular el
el tiempo
tiempo de
de vuelo
vuelo t.t.
localiza
Resp.
s
=
1057m,
t
=
19,50s
Resp. s = 1057 m, t = 19,50 s
vo=120m/s
vo=120m/s
__
_--_
/ .---..-----.....~
/ /---'----"--..
A /8=40°
A /
"'",
""--"
8=40°
-,
"
800m
BOOm
\\
Vo = 25 m is
Figura problema
problema 2.74
2.74
2.75 Durante
Durante un cierto intervalo del movimiento
movimiento el
el pasador
pasador
P
es
obligado
a
moverse
por
la
ranura
parabólica
fija
P
ranura
fija merced a
la guía ranura
ranura vertical, la cual se mueve en la dirección x
x a la
velocidad constante de 20 mm/
mm / s. Las cantidades
cantidades están todas
en milímetros
milímetros y segundos.
segundos. Calcular los módulos
módulos de la velocidad
v
y
la
aceleración
a
del
pasador
P
cuando
= 60 mm.
dad
pasador cuando x =
Resp.
v
=
25
mm/s,
a
=
5
mm
/s2
Resp. v = mm/s, a =
z s?
Figura
Figura problema
problema 2.71
2.71
2.72
2.72 El
El punto
punto PP describe
describe la
la trayectoria
trayectoria circular
circular de
de radio
radio r,
r, tal
tal
como
como se
se ilustra.
ilustra. Si
Si == m
(¡) =
= constante,
constante, demostrar
demostrar que
que la
la aceleaceleración
ración de
de PP está
está siempre
siempre dirigida
dirigida hacia
hacia el
el centro.
centro.
ee
yy
E
II
II
II
II
II
..__-r-,
-----¡-/~
:pI~
" \P
I/
r
-:/ '
/
II
/I
r
\
II
" -----------
'" ""-
""-
Figura problema
problema 2.75
2.75
Figura
.........'"
:: 88
-------~----x
----- - -~ - -- -x
II
\\
\\
II
/
./' /
/'
//
Figura
Figuraproblema
problema 2.72
2.72
2.76 Si
Si elel tenista
tenista de
de lala figura
figura saca
saca horizontalmente
horizontalmente (f)
(8== O),
O),
2.76
calcular su
su velocidad
velocidad sisielel centro
centro de
de lala pelota
pelota salva
salva lala red
red de
de
calcular
0,90 m con
conun
unmárgen
márgen150mm.
150 mm.Determinar
Determinartambién
tambiénlaladistandistan0,90m
ciassdesde
desdelalared
redalalpunto
puntoen
enque
quelalapelota
pelotachoca
chocacon
conelelsuelo
suelo
cia
delalacancha.
cancha. Despreciar
Despreciarlalaresistencia
resistencia del
delaire
aireyy elelefecto
efectodel
del
de
girode
delalapelota.
pelota.
giro
42
42
http://gratislibrospdf.com/
8
oneny= 8t.
os al
ando
aria y
a1can-
........ _______ ---
---
___ --.
~
___ --v °1
~
~
2,55 m
0,9 m
2.80
2.80 Las
Las bolas
bolas de
de cojinete
cojinete salen
salen del
del canal
canal horizontal
horizontal aa una
W1a
velocidad
velocidad de
de módulo
módulo uu yy caen,
caen, según
según se
se muestra,
muestra, por
por el
el orificio
orificio
de
de 70
70 mm
mm de
de diámetro.
diámetro. Calcular
Calcular entre
entre qué
qué limites
limites puede
puede variar
variar
uu para
para que
que las
las bolas
bolas entren
entren en
en el
el orificio.
orificio. Los
Los casos
casos límites
límites se
se rerepresentan
presentan con
con trazo
trazo discontinuo.
discontinuo.
11,7 m
--------;>-1
-~~---11,7
m---~
yectil
cance
~~ -----j
1-
20 mm
Figura problema
problema 2.76
2.76
Figura
----+-~------~
,¿J
-
!
I
u
-+- -
2.77 Si
Si el
el tenista
tenista del
del problema
problema 2.76
2.76 saca
saca con
con una
una velocidad
velocidad v
2.77
de 130
130 km/h
km / h Y
Yun
un ángulo
ángulo =
= 5°,
5°, calcular
calcular la
la distancia
distancia con
con que
que
de
centro de
de la
la pelota
pelota salva
salva el
el borde
borde superior
superior de
de la
la red
red yy la
la disdisel centro
desde la
la red
red al
al punto
punto en
en que
que la
la pelota
pelota choca
choca con
con el
el suesuetancia ss desde
tancia
lo de
de la
la cancha.
cancha. Despreciar
Despreciar la
la resistencia
resistencia del
del aire
aire yy el
el efecto
efecto del
del
lo
giro de
de la
la pelota.
pelota.
giro
Resp. h = 107,5
107,5 mm,
mm, s = 5,15
5,15 m
m
Resp.
ee
2.78 La
La velocidad
velocidad de
de un
un proyectil
proyectil en
en la
la boca
boca de
de un
un fusil
fusil de
de larlar2.78
go alcance,
alcance, situado
situado en
en A,
A, es
es uu =
= 400
400 mI
mi s. Hallar
Hallar los
los dos
dos ángulos
ángulos
go
que permitirán
permitirán al
al proyectil
proyectil alcanzar
alcanzar el
el blanco
blanco BB
de elevación
elevación que
de
de la
la montaña.
montaña.
de
70
~mm~
Figura
Figura problema
problema 2.80
2.80
ee
2.81
2.81 Un
Un partícula
partícula es
es expulsada
expulsada del
del tubo
tubo A con
con una
una velocidad
velocidad
v yy formando
con el
y. Un
formando un
un ángulo
ángulo econ
el eje
eje vertical
verticaly.
Un intenso
intenso vienviento
horizontal comunica
comunica a la
la partícula
partícula una
una aceleración
aceleración horizonhorizonto horizontal
tal
constante en
en la
la dirección
dirección x. Si
Si la
la partícula
partícula golpea
golpea en
en el
el suelo
suelo
tal constante
en
en un
un punto
punto situado
situado exactamente
exactamente debajo
debajo de
de la
la posición
posición de
d e lanlanzamiento, hallar
zamiento,
hallar la
la altura
altura h del
del punto
punto A.
A. La
La aceleración
aceleración descendescendente
en la
dirección y puede
como la constante
constante g.
dente en
la dirección
puede tomarse
tomarse como
e
sador
rced a
x a la
todas
eloci-
Resp.
=
Resp. h =
sen
~v2 sen
~v2
cos e+~sen
e + ~sen ee))
ee((cos
1I
_
/I
:8//
:8
W
W
A lJI---
Figura problema
problema 2.78
2.78
I :
fI
160
X
vi:1fI---i _X
vi:
A
:
1
Ji :I
1I y
2.79
Se lanza
con
inicial
2.79
lanza un
un proyectil
proyectil
con una
una velocidad
velocidad
inicial de
de
200 m
miI s y un
un ángulo
ángulo de
de 60°
60° respecto
respecto a la horizontal.
horizontal. Calcular
Calcular
el alcance
edido pendiente
alcance R m
medido
pendiente arriba.
arriba.
Resp.
Resp. R == 2970
2970 m
i
h
\
\\
~~
1I
\:\1
\:
v
problema 2.81
2.81
Figura problema
fJ= O),
ed de
istansuelo
to del
Figura
Figura problema
problema 2.79
2.79
2.82
niño de la figura
figura lanza
lanza hacia
hacia arriba
arriba la
la pelota
pelota con
con una
una
2.82
El niño
velocidad Va
va == 12
12 mi
mI ss yy el
el viento
viento comunica
comunica aa la
la misma
misma una
una aceacevelocidad
2 hacia
leración horizontal
horizontal de
de 0,4
0,4 mi
m/sS2
izquierda. ¿Con
¿Con qué
qué
leración
hacia la izquierda.
angulo e hay
hay que
que lanzar
lanzar la pelota
pelota para
para que
que vuelva
vuelva al
al punto
punto de
de
angula
partida? Supóngase
Supóngase que
que el
el viento
viento no
no afecta
afecta al
al movimiento
movimiento ververpartida?
tical.
tical.
43
43
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electrones que se acercan a la placa superior. El campo confiere
a los electrones una aceleración elilm en la dirección E, donde e
es la carga del electrón y m su masa. Hallar la intensidad de
campo E que permite a los electrones alcanzar la mitad de la
distancia entre placas. Determinar también la distancia s.
E
f\
E
11
~r
11
r
~"
~"
~
~
~
~
~
Viento
2.85
Para pasar el control de calidad, las bolas de cojinete deben atravesar un orificio de dimensiones limitadas situado en
la parte más alta de su trayectoria después de rebotar, tal como
se representa, sobre una placa de gran masa. Calcu lar el ángulo
e que forma la velocidad de rebote con la horizontal y la velocidad v de las bolas cuando atraviesan el orificio.
Resp. = 68,2°, v =1,253 mi s
E
Figura problema
e
2.82
2.83
En los tubos de rayos catódicos, los electrones procedentes de la fuente viajan horizontalmente
a la velocidad va y
son desviados por un campo eléctrico E debido al gradiente de
tensiones entre las placas P. La fuerza deflectora produce una
aceleración en dirección vertical que vale elilm, donde e es la
carga del electrón y m su masa. Si se retiran las placas, los electrones se mueven en línea recta. Hallar la expresión de la desviación 8 para las dimensiones de tubo y placas representadas.
Resp. 8
=
eEI
mvÓ
\l
'\
(12 + b)
/
'"
'"
"
I
----~,l
"- "-
J500mm
,
\
\
,-e,
1,
(}
1,
\
"\~~~T~
1-400 mm
I í
----~--p
-- -±
--f-
~--=--.---.-------
T
CIIII~"'
'"
~l-+.
Figura problema
1
Figura problema
2.85
2.86
La boquilla de agua despide el líquido con una velocidad Va = 14 m I s y con un ángulo
= 40°. Determinar, respecto
al pie B del murete, el punto en que el agua llega al suelo. Despreciar el efecto del espesor del murete.
e
b
2.83
2.84
Desde A se emiten electrones con una velocidad v y un
angulo
al espacio comprendido entre las dos placas cargadas.
Entre éstas, el campo eléctrico es en el sentido E y repele los
e
A
t
1m
(}
--~
0,3m
B
======:::::r="
-
f
19
m ------~I
1 ..... ------
No a escala
b/2
Figura problema
!
,+
Fuente
de electrones
Figura problema
2.84
2.86
2.87
El agua sale de la boquilla del problema 2.86 con una
velocidad va = 14 mi s. ¿Para qué valor del ángulo
llegará el
agua al suelo lo más cerca posible del murete tras salvar el borde superior de éste? Despreciar el efecto del espesor del murete
y la resistencia del aire. ¿En qué punto llega el agua al suelo?
Resp. = 50,7°, a 0,835 a la derecha de B
e
e
44
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confiere
donde e
idad de
d de la
2.88 Determinar
Determinar la posición
posición h
h. del
del lugar
hacia el cual
cual debe
debe ti2.88
lugar hacia
rar el lanzador
lanzador la pelota
pelota para
para que
que impacte
impacte en
en los
los guantes
guantes del
del
parador. La pelota
pelota sale
sale a 40 m
mi i s.
parador.
métricamente
métricamente en torno
torno al centro
centro del
del aro
aro en
en razón
razón de
de que
que la pepelota
lota debe
debe franquear
franquear el borde
borde delantero
delantero del
del aro.)
aro.)
Resp.
Resp. 42,2°
42,2° ::;
~ e::;
e ~ 43,9°
43,9°
58,1" ~
58,1°::;
e ~ 60,1"
e::;
.
ete deadoen
alcomo
Iángulo
la velo-
25 mm ~ 105 mm
h
<,
<,
-,
Aro"
Aro"
\
\
1m
1m
0,6
0,6 m
m
//
Figura problema
2.88
problema 2.88
//
~/
~/
2.89
Un
marcar un
2.89
Un futbolista
futbolista intenta
intenta marcar
un gol
gol a 30 m de
de la porporcapaz de
de comunicar
comunicar a la pelota
pelota una
una velocidad
velocidad u de
de
tería. Si es capaz
30 m I1s, calcular
calcular el ángulo
ángulo mínimo
mínimo e
e para
para el cual
cual la pelota
pelota puepuede pasar
pasar rozando
rozando el travesaño
travesaño de
de la portería.
portería. (Sugerencia:
(Sugerencia: HaHacer m
In =
= tg e.)
e.)
Resp. e
e == 15,45°
15,45°
Resp.
0-- --------
---
- - - - - t + - - -I
120 mm 120
120mm
120
mm
-+--- 225
225 mm --+
---+ ----- 225
225 mm ---+
~
Figura problema
problema 2.91
2.91
2.92
El piloto
2.92
piloto d
dee un
un avión,
avión, que
que va a 300 km/h
km/h Y toma
toma altura
altura
con un
un ángulo
ángulo de
de 45°,
45°, lanza
un paquete
paquete en
en la posición
posición A. CalCalcon
lanza un
cular
cular la distancia
distancia horizontal
horizontal s y el tiempo
tiempo t desde
desde el momento
momento
del
del lanzamiento
lanzamiento hasta
hasta el momento
momento en
en que
que el paquete
paquete choca
choca con
con
el suelo.
suelo.
1,, - - - - - - - 30
30m
.1
~I
m - ------....j.1
1f
Figura problema
problema 2.89
2.89
a velocirespecto
elo.Des-
..I ..;;r----.....
2.90
Un baloncestista
falta con
2.90 Un
baloncestista quiere
quiere lanzar
lanzar una
una falta
con un
un ángulo
ángulo
e()== 50°
respecto a la horizontal,
50° respecto
horizontal, tal como
como se muestra.
muestra. ¿Qué
¿Qué vevelocidad
locidad inicial
inicial va
Vo hará
hará que
que la pelota
pelota pase
pase por
por el centro
centro del
del aro?
aro?
1'/\ 45°
300km / ~~
-
~
~
/ lA
-......~
""
.
"-"-
\
500 m
\
-\1.
\
\
IkE~---- s -----~)Ol
-----~)Ol
1""1
E~----
Figura problema
problema 2.92
2.92
3m
2.93
En
2.93
En el instante
instante t == O
O se lanza
lanza un
un proyectil
proyectil en el seno
seno de
de un
un
fluido experimental.
experimental. La
La velocidad
velocidad inicial
inicial es va
Vo y e
e es el ángulo
ángulo
fluido
4,125 m ------J
4,125
----1
y
Figura problema
problema 2.90.
2.90.
con una
llegará el
ar el borelmurete
al suelo?
2.91 En
En la figura
figura se ilustra
ilustra W1
un detalle
detalle de
de la pelota
pelota y el aro
aro del
del
problema
jugador lanza
peproblema 2.90.
2.90. Supóngase
Su póngase que
que el jugador
lanza siempre
siempre la pelota con
con W1a
una velocidad
velocidad va
Vo == 7,3 m
mi i s. Para
Para el margen
margen de
de posicioposiciones horizontales
horizontales indicado
indicado en
en la figura,
figura, hallar
hallar el correspondiente
correspondiente
intervalo
de valores
valores del
del ángulo
ángulo de
de lanzamiento
lanzamiento e. (Téngase
(Téngase en
en
intervalo de
cuenta
cuenta que
que las
las posiciones
posiciones horizontales
horizontales no
no están
están repartidas
repartidas si-
Figura problema
problema 2.93
2.93
45
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horizontal. La resistencia
traduce en
con la horizontal.
resistencia sobre el proyectil
proyectil se traduce
una aceleración aD
ao == -- kv,
kv, donde
donde k es una constante
constante y v es la veuna
locidad del proyectil. Determinar,
Determinar, como funciones del tiempo,
locidad
componentes x e yy tanto
tanto de la velocidad
velocidad como del desplazadesplazalas componentes
velocidad terminal? Se incluirán
incluirán los efectos
miento. ¿Cuál es la velocidad
gravitatoria.
de la aceleración gravitatoria.
e
va cos e
kt
Resp. Vxx =
=
(vacas
(vacos
e)e(-kt),x=
e)e(-kt),x=
kk
(l-e-kt) (l-e
mismo punto
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pasan por
por el mismo
punto A. El punto
derá a ser un punto
punto de la envolvente
envolvente a
a a medida
medida que las dos raíderá
tienden una
una a la otra.) Despreciar
Despreciar la resistencia
resistencia del aire y
ces tienden
suponer que g
g es constante.
constante.
suponer
22
22
uu
ox
<>x
Resp. yy =
= __
<2..::...Resp.
- <=2g 2u
2u22
2g
)
y
kt _&
kt-_&
(va sen e+&)e
e+&)evv y = (va
k
k
aa
::7'
/' -\
//
1
/
/I
11
1/
11
1
1
2.94 Un punto
punto P está localizado por su vector de posición r ==
e)i + (b22 sen e)j,
e)j, donde
donde bbIl y b2 son constantes y e es el án(bIl cos e)i
aumenta constantemente
constantemente a razón de
gulo entre r y el eje x. Si e aumenta
demostrar que P describe una trayectoria elíptica con una
demostrar
dirigida según r hacia el origen.
aceleración proporcional
proporcional a r dirigida
e
e,
I
~ _ __ L __ _ . P
:
I
----
01
r
ee
----
1
/
A 0",
\
\'
\
\ '\.
\ \'\
,
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
L:~(~~:=~~2:~\~~±\:=::=r--- X
Figura problema
problema 2.95
~
punto A se dispara
dispara un proyectil
proyectil con la veloci~ 2.96 En el punto
dad vo. Hallar
Hallar el ángulo
ángulo de disparo
disparo e
e que produce
dad
produce el máximo
pendiente de ángulo
ángulo a
ex (O
(O~
ex $~ 90°).
90°).
alcance R
R a lo largo de la pendiente
:o; a
Hallar los valores correspondientes
correspondientes a aex =
= O,
O,30°
Hallar
30° Y45°.
Y 45°.
y
II
II
......
/
¡
II
II
:y
90°2+ex,
45°, 60°,
60°,67,5°
Resp. e = 90
°2+ a, e = 45°,
67,5°
I
-----L-X
- - - - L- X
I
I
Figura problema
problema 2.94
I
Il~
~ 2.95 Hallar
Hallar la ecuación de la envolvente
envolvente a de las trayecto~
proyectiles disparados
disparados bajo distintos
distintos ánrias parabólicas
parabólicas de los proyectiles
velocidad en boca constante
constante u. (Sugerencia:
(Sugerencia:
gulos pero con velocidad
Sustituir m por
e el ángulo
ángulo de disparo
disparo en la ecuaSustituir
por tg e, siendo e
ción de la trayectoria. La dos raíces mI Y m
m22 de la ecuación
ecuación essegundo grado
grado en m dan
dan los dos
crita como ecuación de segundo
ángulos de disparo
disparo correspondientes
correspondientes a las dos trayectorias
trayectorias de
ángulos
2.5
Figura problema
problema 2.96
COORDENADAS
TANGENCIAL
y NORMAL
NORMAL (n-t)
COORDENADAS
T
ANGENCJAL Y
comienzo de este capítulo,
capítulo, en el apartado
apartado 22.1,
una de las formas
Al comienzo
.1, dijimos que una
habituales de describir
describir el movimiento
movimiento curvilíneo
curvilíneo se basa
empleo de
más habituales
basa en el empleo
componentes locales, las cuales son las componentes
componentes medidas
medidas a lo largo de
las componentes
tangente t y la normal
normal n a la trayectoria.
trayectoria. Estas coordenadas
coordenadas locales permiten
la tangente
permiten
describir de una
una manera
manera muy
muy natural
natural los movimientos
movimientos curvilíneos
curvilíneos y frecuendescribir
temente son las más directas
directas y prácticas.
representa en la figura
temente
prácticas. Tal como se representa
2.9, se supone
supone que los ejes t y n se desplazan
desplazan con el punto
material a lo largo de
2.9,
punto material
46
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Atenas raíaire y
la trayectoria desde A hacia B. El sentido positivo de n se toma, en todas las posiciones, dirigido siempre hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Como
puede apreciarse en la figura 2.9, el sentido positivo de n puede desplazarse de
uno a otro lado de la trayectoria si cambia el sentido de la curvatura.
Ahora vamos a emplear las coordenadas
t y n, introducidas en el apartado
2.3,para representar la velocidad v y la aceleración a de un punto material en
movimiento curvilíneo. Con este propósito, introduzcamos
los vectores unitarios e, según n Y e¡ según i, tal como se muestra en la figura 2.10a en el punto A
de la trayectoria del punto. Durante un intervalo infinitesimal de tiempo di, el
punto recorre la distancia infinitesimal ds comprendida
entre A y A'. Representando por p el radio de curvatura de la trayectoria en el punto considerado, vemOSque ds = p df3, donde f3 son radianes. Vemos que es innecesario considerar
la variación infinitesimal de p entre A y A' pues se introduciría
un término de
orden superior que desaparecería
en ellímite, por lo qu~ el módulo de la velocidad puede escribirse como v = ds / dt = P df3/ dt. Entonces, podemos escribir que
la velocidad es el vector
47
2.5 COORDENADAS TANGENClAL Y
NORMAL (n-l)
\
A
r!
e .L:><,
11,..,/
»>
\
./
In
1..----/
\~"--.
t\
--\-\
\
»:
~._~--
\
B
•...
In
I
I
t
Figura 2.9
(2.7)
velociáximo
::;90°).
I
I
Trayectoria
En el apartado 2.3 definimos la aceleración como a = dv / dt y con relación a la
figura 2.5 hicimos observar que se trata de un vector que da cuenta de las variaciones de la velocidad v tanto en módulo como en dirección. Diferenciemos
ahora v en la ecuación 2.7 aplicando la regla usual de derivación del producto
de un escalar por un vector ': resulta así
a
dv
dt
df3
por dt, queda de.] dt
t
I
I
I
I
I
I
I
-----------------(a)
a\
dv
el
=
=
en
(df3/ dt)e
el
1lf
que puede
escribirse
(b)
(e)
2.9 y el valor de /3 dado por v
=
p/3 en 2.8 de la acelera-
(2.10)
I
Veáse C7 en el apéndice
t
I
I
(2.9)
Aplicando la ecuación
ción resulta
I
\
11:<;
de,
formas
pleo de
argo de
ermiten
ecuena figura
largo de
le'
I
I
\
(2.8)
donde la derivada del vector e¡ es distinta de cero porque su dirección varía.
Para hallar él estudiemos la variación de et durante el desplazamiento
infinitesimal del punto de A a A' representado
en la figura 2.10a. El vector unitario
varía correspondientemente
de et a e' t y la diferencia de¡ entre ambos se representa en la parte b de la figura. En el límite, el módulo del vector diferencia de¡
es igual a la longitud del arco letldf3 = df3 que se obtiene haciendo girar el vector unitario e¡ el ángulo df3 expresado en radianes. El sentido de de¡ está dado
por e., Así pues, podemos escribir de¡ = en df3 y al dividir por df3 resulta
o bien, al dividir
\
e
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Figura 2.10
/{
48
donde
CINEMÁTICA
DEL PUNTO
a/1
-v = pf3'2
at
V
2
B
p
v~
fi
/
/
/
a
"
/-:
~ a/1 + al
/
;/
/
/
1/
(a)
/
/
/
/
/
/
(b)
A
Vectores aceleración de
un punto material que
se desplaza de A a B.
(a) Aumenta la celeridad;
(b) disminuye la celeridad.
Figura 2.11
Podemos observar también que at = v = d(p~)/ dt
p~ + p~. Sin embargo,
esta relación se aplica muy poco ya que son contadas las ocasiones en que debe
calcularse p.
Sólo si se ve con toda claridad la geometría de las variaciones vectoriales
que describe la ecuación 2.10,podrá ésta ser entendida por completo. En la figura 2.10a se representa el vector velocidad v del punto material cuando éste
se encuentra en A y v' cuando se encuentra en A'. La correspondiente variación
de velocidad es el vector dv que establece la dirección y el sentido de a. La componente n de dv se representa por dv; Yen el límite su módulo es igual a la longitud del arco engendrado por el vector v como radio cuando gira un ángulo
df3. Entonces es Idv /11 = v df3. Y la componente n de la aceleración es
a/1 = IdV/1I/dt = v(df3/dt) = vf3 como vimos antes. La componente t de dv se
representa por dv I Ysu módulo es sencillamente la variación dv del módulo del
vector velocidad; por tanto, la componente t de la aceleración volverá a resultar a, = dv/ dt = v = S". En la figura 2.10c se representan también las componentes vectoriales de la aceleración junto a las correspondientes componentes
vectoriales de la variación de la velocidad.
Es particularmente importante observar que la componente normal de la
aceleración an está siempre dirigida hacia el centro de curvatura C. Por otra parte,
la componente tangencial de la aceleración estará dirigida en el sentido t positivo del movimiento si la celeridad v aumenta, y en el sentido t negativo si la
celeridad v disminuye. En la figura 2.11 se representa esquemáticamente la variación del vector aceleración de un punto material que se mueve entre A y B
para los casos de celeridad creciente (a) y decreciente (b). En el punto de inflexión de la trayectoria la aceleración normal v2 / p se hace nula puesto que p
se hace infinito.
El movimiento circular constituye un importante caso particular del movimiento curvilíneo plano, en el cual el radio de curvatura p es el radio constante
r de la circunferencia y el ángulo f3 es el ángulo e que se mide desde cualquier
radio de referencia hasta OP (fig. 2.12). La velocidad y las componentes de la
aceleración de un punto material P pasan a ser, cuando el mismo describe un
movimiento circular,
v
re
ve
Figura 2.12
(2.11 )
Las ecuaciones 2.10 y 2.11 se cuentan entre las relaciones más utilizadas en Dinámica, por lo que las mismas y el significado de lo que representan deben dominarse a fondo.
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PROBLEMA TIPO 2.7
Previniéndose de la depresión y del cambia de rasante de la carretera, el conductor del automóvil aplica las frenas al
objeta de producir una desaceleración
constante. En elfonda A de la depresión
la velocidad es 100 km/h y en el punta
más elevada e del cambia de rasante, separada de A 120 m de carretera, es 50
km/h. Si las pasajeros experimentan en
A una aceleración total de 3 m/s2 y el radia de curvatura del cambia de rasante
en e es 150 m, calcular (a) el radia de
curvatura p en A, (b) la velocidad en el
punta de inflexión B y (e) la aceleración
total en C.
go,
ebe
ales
a fiéste
ción
afi-
lonlo
es
0)
e
60m
60m
:"fiiiI..._
B
A
150m
1
Solución. Podemos tratar el automóvil como punto material puesto que sus
dimensiones son reducidas en comparación con las de su trayectoria. Las velocidades son
VA =
(100 ~ )(3¿0~ s)( 1000~)
1000
3600
ve = 50
27,78 m/ s
13,89 mis
=
CD
En realidad, el radio de curvatura de
la carretera difiere en un metro
aproximadamente del de la trayectoria que sigue el centro de masa de
los pasajeros, pero despreciamos
esta diferencia relativamente pequeña.
Ahora hallamos la desaceleración constante a lo largo de la trayectoria
u
a va-
yB
e inue p
at =
v dv
=
fa
t
dsJ
+n
1 (2
2) _ (13,89)2 - (27,78)2 _ 241
/ 2
2s ve - v A 2(120)
- -,
m s
(a) Condiciones en A. Conocida la aceleración total y determinada
calcular fácilmente a" y consiguientemente p:
[a2
[an
= a/
= v2/
+ at
p]
(b) Condiciones en B.
infinito, an = O.
=
a/
2]
p
=
32 - (2,41)2
=
v2/a
n
=
3,19
(27,78)211,78
=
an
432 m
=
I
a=3m/52
al'
~t~"
podemos
=
at
=-
2,41 m/ s2
2.11)
1,78 m/52
~+t
1,78 m/ s2
Resp.
B~
~
- +t
= al = -2,41 m/52
a
Resp.
al =-2,41
(e) Condiciones en C.
=
al = -2,41 m/52
Como en el punto de inflexión el radio de curvatura es
a
:
m/52
e
121-----=-=-==-
La aceleración normal y total es
+t
all = 1,29 m/52
a
= 2,73
m/52 :
I
nDi-
ndo-
Empleando los vectores unitarios en Y el de las direcciones n y t, la aceleración
puede escribirse
a
=
1,2gen-2,41et
+n
m/s2
49
http://gratislibrospdf.com/
módulo es
es
cuyo módulo
cuyo
[a
[a == Ja~
Ja~ ++ af]
at]
Resp.
Resp.
Como
Como aclaración
aclaración se
se representan
representan los
los vectores aceleración correspondientes
correspondientes aa
cada uno de los
los tres puntos
puntos considerados.
considerados.
PROBLEMA TIPO 2.8
Un cohete mantiene
mantiene su eje en posición
posición
horizontal
fase propulsada
horizontal durante
durante la
lafase
propulsada de
vuelo a gran
gran altura.
altura. El empuje
empuje impriimprisu vuelo
una aceleración
aceleración horizon
horizontal
me al cohete una
tal
componente vertical
vertical de la
la'
de 6 m/s2 y la componente
aceleración es la aceleración
aceleración de la gravegraveaceleración
altura que es g == 9 m/s2.
m/s2. En
dad a dicha altura
instante representado
representado la velocidad
velocidad del
el instante
centro
centro de masa
masa G del cohete a lo largo de
su
grados es
su trayectoria
trayectoria inclinada
inclinada 15
15 grados
20.000
posición, deter20.000 km/h.
km/h. Para dicha posición,
determinar
minar (a) el radio de curvatura
curvatura de la traaumento de la
. yectoria
yectoria de vuelo,
vuelo, (b) el aumento
celeridad v por unidad
unidad de tiempo,
tiempo, (e)
(c) el
celeridad
desplazamiento angular
unidad
desplazamiento
angular ~~ por unidad
de tiempo
tiempo del radio de curvatura
curvatura CG
CG y
expresión vectorial
vectorial de la acelera(d) la expresión
ción
ción total
total a del cohete.
j .1
---~
___
o<oo.¿-;
",- ,G ; G
• ;> _
6m / s2
Horiz.
ji -- ~ 20(1()3)krn / h
jl
I11 1
-.. . .: ! . . . : : :-- - --..., --1
----~
G
/~ l
l!
m / 522
Pp g == 9 m/5
jj
e
Otra
Otra posibilidad
posibilidad es hallar
hallar la aceleraaceleraSolución. Sabemos que el radio
radio de curvatura
curvatura aparece
aparece en la expresión
expresión de la
Solución.
ción
después descomdescomción resultante
resultante y después
componente
normal
por
que
emplearemos
coordenadas
componente
normal
de
la
aceleración,
por
lo
que
emplearemos
coordenadas
10ponerla
ponerla en sus componentes
componentes locales
locales
para
describir
movimiento
G.
componentes
aceleración
G)
cales
para
describir
el
movimiento
de
G.
Las
componentes
t
y
n
de
la
aceleración
ty
ty n.
obtienen descomponiendo
descomponiendo las aceleraciones
aceleraciones vertical
vertical y horizontal
horizontal dadas
dadas
total se obtienen
en sus
sus componentes
componentes t y n y combinándolas
combinándolas a continuación.
continuación. Según
Según la figura, teen
nemos
nemos
(3) El
El factor
factor de
de conversión
conversión para
para pasar
pasar
sen 15' == 7,14 m/
mi s2
aann == 9 cos 15' - 6 sen
de
de km/h
km/h a mis
mis es
es
1000
1000 m/km
m/km
sen 15' + 6 cos 15' = 8,12 mi
m i s2
att = 9 sen
3600
3600 s/h
s/h =
= (1 m/s)/(3,6
m/s)/(3,6 km/h)
km/h)
11
®
(a)
(a)
Ahora
Ahora podemos
podemos calcular
calcular el radio
radio de
de curvatura
curvatura
ax=6m/s2
-----x
15° a,
: r-"'e
:
vv22
a ll =
= -p
a"
r --___
P
en
e ll
=
," ..••.et
t
11 , ,
1I ,I
~'
l'
l'
1,'
l'
-- ---~
g=9m/s
g= 9m2 /s 2
¡j
[a ,.,
= v 2 / p]
3
2
p == v2 == [20(10
[20(10 3)/3,6]2
)/ 3,6]2 ==432(10
432(106)6)
7,14
m
P
aan
714
'
m
n
'
Resp.
Resp.
(b) La variación
variación de
de vv por
por unidad
unidad de
de tiempo
tiempo es
es sencillamente
sencillamente la
la componente
componente tt de
de
(b)
la
la aceleración
aceleración
aa
VV
50
50
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8,12 m/s
m /2s 2
8,12
Resp.
Resp.
(e) El desplazamiento
por unidad
unidad de tiempo
desplazamiento angular
angular por
tiempo
/3
del radio de curvatura
curvatura
Ge
por
GC depende
depende de v y de p
p y está dado
dado por
[v
p/3]
[v = p/3l
3
3
= 20(10
20(10 )/
)/3,6
= 12,85(10
12,85(10-- 4) radl
= v/
v/pp =
3,6 =
rad l SS
f3.. =
4,32(10
4,32(1066))
Resp.
Resp.
(d)
unitarios en
respectiva(d) Empleando
Empleando los vectores unitarios
en y el
e¡ en las direcciones n y t,i, respectivamente, la aceleración total es
a
=
= 7,14e n + 8,12e tt m
mii s2
s2
Resp.
Resp.
ll
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Problemas introductorios
introductorios
Problemas
2.97 Un punto
material describe una
trayectoria circular de
2.97
punto material
una trayectoria
0,4m
módulo a de su aceleración si su ce0,4
m de radio. Calcular el módulo
constante y vale 0,6
0,6 m
mi i s y (h)
(b) si vale 0,6
0,6 mi
mi s pero
leridad (a) es constante
aumenta a razón
1,2 m
miI s cada segundo.
segundo.
aumenta
razón de 1,2
Resp.
0,9 m
mi i S2,
S2,(h)
(b) a = 1,5
1,5 m
mi i S2
S2
Resp. (a) a = 0,9
una
13,5 mi
mi s, hallar
medios de las aceuna celeridad
celeridad de 13,5
hallar los valores medios
leraciones normal
tangencial a la trayectoria
trayectoria entre ambos
leraciones
normal y tangencial
puntos.
puntos.
muestran seis vectores aceleración para
2.98 En la figura se muestran
para
automóvil cuyo vector velocidad
velocidad apunta
apunta hacia adelante.
el automóvil
describir con palaPara cada uno de esos vectores aceleración describir
bras el movimiento
movimiento instantáneo
instantáneo del vehículo.
Figura problema
Figura
problema 2.100
• v
2.101 El automóvil
automóvil pasa
pasa por
2.101
por la depresión
depresión A de la carretera
carretera con
una
celeridad constante
constante que confiere a su centro de masa G una
una celeridad
una
0,5g. Si el radio
curvatura de la carreteaceleración que vale 0,5g.
radio de curvatura
ra en A es 100
100 m, y si la distancia
distancia de la calzada
calzada al centro de
masa G es de 0,6
0,6 m, hallar
celeridad v del vehículo.
masa
hallar la celeridad
Resp.
79,5 km/h
km/h
Resp. v == 79,5
Figura problema
Figura
problema 2.98
material P describe una
trayectoria circular
2.99 Un punto
punto material
una trayectoria
instante considerado
considerado su celeridad
celeridad auradio. En el instante
de 3 m de radio.
mi i S2
S2y
módulo de su aceleración total
menta a razón
razón de 6 m
y el módulo
10 m
mii s2.
s2.Hallar
celeridad v en ese instante.
instante.
vale 10
Hallar su celeridad
Resp.
4,90 m
mi i s
Resp. v == 4,90
material describe la trayectoria
trayectoria curva repre2.100 Un punto
punto material
instante tA el punto
encuentra en A con una
sentada. Si en el instante
punto se encuentra
una
12 m
mii s y en el instante
instante tBB se encuentra
encuentra en B con
celeridad de 12
0,6 m
0,6
Figura problema
2.101
Figura
problema 2.101
camión experimenta
experimenta una
2.102 El chofer del camión
una aceleración de
0,4g cuando
cuando el vehículo
vehículo pasa, a celeridad
celeridad constante, por
0,4g
por la cima
A del cambio de rasante
carretera. En ese punto
rasante de la carretera.
punto el radio
curvatura de la carretera
carretera es 98 m y el centro de masa
masa G del
de curvatura
51
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(considerado como partícula)
partícula) se halla a 2 m por encima
chofer (considerado
la calzada. Calcular la celeridad
celeridad v del camión.
de la
A
Figuraproblema
2.102
Figura
problema 2.102
2.103 Una furgoneta
furgoneta se pone
pone en marcha
marcha en la carretera
carretera de ra2.103
curvatura constante
constante de 40 m y pperalte
El movidio de curvatura
eralte de 10°. El
lugar en un plano
plano horizontal.
horizontal. Si
Si la aceleración
miento tiene lugar
2, hallar el módulo
constante
adelante es 1,8 mi
m/sS2,
módulo a de la
tante hacia adelante
cons
iniciado el movimiento.
movimiento.
aceleración al cabo de 5 s de iniciado
2,71 m
m/i S2
S2
Resp. a == 2,71
sabiendo
sabiendo que la aceleración del vehículo es la aceleración gravitatoria a esa altura. (Observación:
(Observación: Repasar el apartado
apartado 22/5
vitatoria
I 5 en
lo
el radio de la
lo necesario y emplear
emplear los valores medios de g
g y ddel
Compréndase además
además que v es el módulo
módulo de la velociTierra. Compréndase
dad del satélite respecto al centro de la Tierra.)
Resp. v == 27,8(10
27,8(1033) ) km/h
km/h
2.106 Considerar
Considerar el eje
eje pol
polar
fijo en el espacio y
2.106
ar ddee la Tierra fijo
calcular el módulo
módulo de la aceleración a de un punto
punto P de la superficie de la Tierra situado
situado a 40 grados
grados de latihtd
latitud norte. El
El diámetro medio
medio de la Tierra es 12 742
742 km Y su velocidad
velocidad angular
angular
es 0,729(10
4) rad
0,729(10 --4)
rad/l s.
s.
N
N
e?
Y
r-,
I. "- \
.I \, ..... \ P
~ 40° \\
.,
-"\
,
\
-r-'I/
'---------r
i
S
Figura problema 2.106
2.106
Figuraproblema
Figuraproblema
Figura problema 2.103
2.103
una prueba
prueba de "ingravidez"
un reactor
reactor de transportranspor2.107 En una
2.107
"ingravidez" un
te que vuela
vuela a 800
800 km/h
km l h sigue
sigue una
una curva
curva vertical
vertical tal como se
Problemas
Problemas representativos
representativos
2.104
2.104 Un lanzadera
lanzadera espacial
espacial que describe
describe una
una órbita
órbita circular
circular
a un
un altura
altura h =
= 240
240 km sobre
sobre la superficie
s uperficie terrestre
terrestre debe poseer
poseer
una celeridad
celeridad de 27
27 955
955 km/h.
km/h. Calcular
Calcular la aceleración
aceleración gravitagravitatoria gg en esa altura.
altura. El radio
radio medio
medio de la Tierra
Tierra es 6371
6371 km.
(Comprobar
(Comprobar el resultado
resultado calculando
calculando gg mediante
mediante la fórmula
fórmula
gg
indica en la figura.
figura. ¿A que razón
razón ~
~ en grados
grados por
por segundo
segundo
indica
debe inclinar
inclinar el piloto
piloto la dirección
dirección de vuelo
vuelo para
para conseguir
conseguir en
la cabina dicha
dicha condición
condición de ingravidez?
ingravidez? La maniobra
maniobra se realiza a una
una altura
altura media
media de 8 km Yla
Y la aceleración
aceleración de la gravedad
gravedad
puede
puede tomarse
tomarse igual
igual a 9,79
9,79 m/s2.
mi S2.
Resp. ~~ =
= 2,52
2,52 grd/
grdl s
Resp.
== gO(R
gO(R ~~ .:hf ' donde
donde go =
= 9,821
9,821 m/
m i S2según
S2 según la tabla
tabla D.2
D.2 del
apéndice
apéndice D.)
~~
/'
G)
~
/"
_
h=240km
h=240km
~~
(
\
\
R
R
/
Figura problema 2.107
2.107
Figuraproblema
I)
2.108 El anteproyecto
anteproyecto de una
una estación
estación espacial
espacial "pequeña"
"pequeña"
2.108
"'.-/ J
'" -------./
Figuraproblema
Figura problema 2.104
2.104
2.105
Con una
una celeridad
celeridad constante
constante v un
un satélite
satélite describe
describe una
una
2.105 Con
órbita
órbita circular
circular a 320
320 km
km sobre
sobre la superficie
superficie terrestre.
terrestre. Calcular
Calcular v
que debe
debe girar
girar alrededor
alrededor de
de la Tierra
Tierra en órbita
órbita circular
circular consiste
consiste
que
en un
un anillo (toro) de sección
sección circular
circular según
según se muestra.
muestra. El espacio
pacio habitable
habitable dentro
dentro del
del toro
toro corresponde
corresponde a la sección A,
A,
donde
donde el "nivel
"nivel del
del suelo"
suelo" está
está a 6 m del centro
centro de la sección.
Calcular la celeridad
celeridad angular
angular N en
en revoluciones
revoluciones por
por minuto
minuto neCalcular
cesaria
cesaria para
para reproducir
reproducir la gravedad
gravedad normal
normal en
en la superficie
superficie terrestre (9,81
(9,81 g/m
g/m22).). Recuérdese
Recuérdese que
que no se percibiría
percibiría campo
campo
rrestre
52
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grav
itatorio alguno
nave espacial
rotación
alguno dentro
dentro de una
una nave
espacial sin
sin rotación
gravitatorio
que describiera
torno a la
describiera una
una órbita
órbita circular
circular en
en torno
la Tierra.
Tierra.
y
c·
Figura problema 2.110
2.110
Figuraproblema
"Nivel
"Nivel del suelo"
Sección A
Sección
de béisbol
lanza una
según las
las condicondijugador de
béisbol lanza
una pelota
p elota según
2.111 El jugador
ciones
representadas. Hallar
Hallar el radio
radio de
ciones iniciales
iniciales representadas.
de curvatura
curvatura de
trayectoria (a)
después
el lanzamiento
lanzamiento y
la trayectoria
(a) inmediatamente
inmediatamente
después d
del
(b)
vértice. Calcular,
variación de
(b) en
en el vértice.
Calcular, en
en cada
cada caso,
caso, la variación
de celericeleridad
por unidad
unidad de
tiempo.
dad por
de tiempo.
Resp. (a) pp =
= 105,9 m, v
mi S2; (b) pp =
= 68,8 m, v
Resp.
v == - 4,91 mi
v == O
Figura
problema 2.108
Figuraproblema
2.108
Va
= 30m/s
vo=30m/s
rse
o
en
~
2.109 Se representa
un motor
motor de
representa la distribución
distribución de
de un
de automóvil
automóvil
cuatro cilindros.
cilindros. Conform
Conforme e el motor
acelera la velocidad
de cuatro
motor se acelera
velocidad
correa varía
varía uniformemente
uniformemente
de 3 mi
inde la correa
de
m i s a 6 mi
m i s en un
un intervalo de dos
dos segundos.
segundos. Calcular
Calcular los
los módulos
de las
las aceleraaceleratervalo
módulos de
ciones de los puntos
puntos PI
P1 y P2 en el instante
instante medio
de ese
ese
ciones
medio de
intervalo.
intervalo.
Resp. ap1
= 338
338m/s
=1,5m/s
Resp.
=
m 2/, s2, ap2
=1
,5m2 / s2
p1
p2
~
®
- -- - - @------
60 mm
Figuraproblema
Figura
problema 2.111
Engranaje del
árbol de levas
aad
2.112
de la manivela
enganchado
pasador P de
manivela PO, engan
ch ado a la ranura
ranura
2.112 El pasador
horizontal
de la guía
guía C, manda
de ésta
ésta sobre
sobre la
horizontal de
manda el movimiento
movimiento de
varilla
fija.. Hallar
aceleración
de
varilla vertical
vertical fija
Hallar la velocidad
velocidad y la aceleración
de
e en función
función d
dee
== O
o y (b)
(b) si é =
Oy
si (a) =
= úJy
úJ y
=O
y =
= a.
e
Engranaje del
cigüeñal
cigü
eilal
a"
ee
e
é
ee
yy
e
ee
yy
Engranaje intermedio
intermedio
Figuraproblema
Figura
problema 2.109
2.109
po
2.110 Escribir
Escribir la expresión
expresión vectorial
vectorial de
de la aceleración
aceleración aa del
del
2.110
centro de masa
masa G del
del péndulo
péndulo simple
simple en coordenadas
coordenadas n-t
en
centro
n-t y en
coordenadas x-yen
x-y en el instante
instante en
en que
que e
e = 60° si é =
coordenadas
= 2,00 radl
rad l s
y == 2,45 radl
rad l S2.
e
e
e
Figuraproblema
Figura problema 2.112
2.112
53
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viaja por
por el tramo
tramo curvo
curvo de la carretera
carretera
2.113 Un automóvil
automóvil viaja
2.113
plana con
con una
una velocidad
velocidad que
que disminuye
disminuye a razón
razón de
de 0,6 m
mii s
plana
cada segundo.
segundo. Al pasar
pasar por
por el punto
punto A, su velocidad
velocidad es 16 m
mii s.
cada
Calcular el módulo
módulo de su aceleración
aceleración total
total cuando
cuando pasa
pasa por
por el
Calcular
punto B situado
situado 120 m más
más allá
allá de A. En
En B el radio
radio de
de curvatura
curvatura
punto
de la carretera
carretera es 60 m
m..
Resp.
a
=
1,961
mii S2
S2
Resp. =
m
2.116
2.116 En el punto
punto inferior
inferior A del
del rizo
rizo vertical
vertical interno,
interno, el módumódulo de
de la aceleración
aceleración total
total del
del avión
avión es 3g. Si la velocidad
velocidad aerodiaerodinámica (velocidad
(velocidad
respecto al aire)
aire) es 800 km
km/h
y ésta
ésta
námica
respecto
/h Y
aumenta a razón
razón de
de 20 km
kmlh
por segundo,
segundo, calcular
calcular el radio
radio de
de
aumenta
/ h por
curvatura p de
de la trayectoria
trayectoria en
en A.
curvatura
f3--~-
f3--~A
B
Figura problema
problema 2.113
2.113
Figura
A
2.114 El automóvil
automóvil C aumenta
aumenta de
de celeridad
celeridad uniformemente
2.114
uniformemente a
razón de
de 1,5 mi
S2cuando
pasa por
por la curva.
curva. Si el módulo
de la
razón
mi S2
cuando pasa
módulo de
aceleración total
total del
del automóvil
automóvil es 2,5 mi
mi S2
S2en
donde
en el
el punto
punto A donde
aceleración
radio de
de curvatura
curvatura es 200 m,
calcular la celeridad
celeridad v del
del autoautoel radio
m, calcular
móvil en
en ese
ese punto.
móvil
punto.
Figura problema
problema 2.116
2.116
En un
un determinado
punto de
de la
reentrada de
2.117 En
2.117
determinado
punto
la reentrada
de la lanzalanzadera
espacial en
en la atmósfera
atmósfera terrestre,
terrestre, la
total del
dera espacial
la aceleración
aceleración total
del
vehículo
ser representada
componentes.
vehículo puede
puede ser
representada mediante
mediante dos
dos componentes.
Una
esa altitud,
altitud, gg =
Una de
de éstas
éstas es
es la
la aceleración
aceleración gravitatoria
gravitatoria a esa
=
9,66 mi
m i s2.
S2. La
La segunda
vale 12,90
12,90 mi
m i S2y
S2 y se
se debe
debe a la
la resistencia
resistencia
9,66
segunda vale
de la atmósfera
la velocidad.
velocidad. La
La lanzadera
lanzadera se
se enende
atmósfera y es
es opuesta
opuesta a la
cuentra
de 48,2
km Y
su velocidad
cuentra a una
una altura
altura de
48,2 km
Yha
ha reducido
reducido su
velocidad ororde 28 300
300 km
km Zh
/ h a 15450
km / h en
en la
la dirección
dirección 8 =
= 1,50°.
1,50°.
bital de
bital
15450 kmlh
Para ese
ese instante
instante calcular
calcular el
el radio
radio de
de curvatura
curvatura pp de
de la
la trayectrayecPara
toria y la
la variación
variación vv por
por unidad
unidad de
de tiempo
tiempo de
de la
la celeridad.
celeridad.
toria
2
Resp. vv =
= -12,65
-12,65 mi
m/sS2,p
= 1907
1907 km
km
, p=
e
Figura problema
problema 2.114
2.114
11
2.115
del pasador
2.11 5 El movimiento
movimiento del
pasador A por
por la
la ranura
ranura circular
circular fija
está
la guía
asciende por
mandado por
por la
guía B, que
que asciende
por acción
acción del
del husillo
husillo
está mandado
con
durante un
una velocidad
velocidad va
Vo == 2 mi
m i s durante
un intervalo
intervalo del
del movimovicon una
miento.
componentes
normal
miento. Calcular
Calcular las
las componentes
normal y tangencial
tangencial de
de la
la
aceleración
del pasador
pasador A cuando
cuando pasa
pasa por
por la
la posición
posición en
en que
que
aceleración del
8= 30°.
30°.
Resp. anl1 =
S2, a¡
= 21,3
21,3 mi
m i S2,
al =
= -12,32
-12,32 mi
mi S2
S2
e=
Horizontal
v
problema 2.117
2.117
Figura problema
Figura problema
problema 2.115
2.115
Una partícula
partícula se
se mueve
mueve con
con celeridad
celeridad constante
constante v =
= 10
2.118 Una
2.118
m i s sobre
sobre la
la trayectoria
trayectoria circular
circular de
de la
la figura
figura de
de radio
radio rr =
= 2 m.
m.
mi
Durante
Durante el
el movimiento
movimiento de
de A
A aa B
B la
la velocidad
velocidad sufre
sufre una
una variavaria~v . Dividir
Dividir esta
esta variación
variación por
por el
el intervalo
intervalo de
de
ción vectorial
vectorial Av.
ción
tiempo correspondiente
correspondiente al
al paso
paso de
de uno
uno aa otro
otro punto
punto para
para obteobtetiempo
ner
ner la
la aceleración
aceleración normal
normal media
media para
para (a)
(a) Mi
~e =
= 30°,
30°, (b) L'.8
~e =
= 15°
15°
Y
Y (e)
(e) L'.8
~e =
= 5°.
5°. Comparar
Comparar estos
estos valores
valores con
con los
los de
de la
la aceleración
aceleración
normal
normal instantánea.
instantánea.
54
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---------------------------------------------------------u-
cuando pasa por el extremo A del semieje menor. En la superficie terrestre el valor absoluto de g es 9,821 mi S2 y el radio medio de la Tierra es 6371 km. Hallar el radio de curvatura p de la
órbita en el punto A.
ita
de
2.118
Figura problema
2.119 El auto de carreras A sigue la trayectoria a-a mientras
que el B sigue la b-b sobre la pista no peraltada. Si ambos vehículos llevan una celeridad constante limitada a la correspondiente a una aceleración lateral (normal) de 0,8g, hallar los
tiempos tA y tE que respectivamente
tardan los autos en recorrer la curva limitada por la recta e-e.
Resp. tA = 10,52 s, tE = 10,86 s
9.121 Cuando un bólido de carreras entra en una curva es deseable que la aceleración normal no la adquiera bruscamente,
pues de otro modo podría generarse un comportamiento
inestable. Para un vehículo que se mueva con una celeridad constante de 300 km Zh, determinar la relación entre el radio de
curvatura p de la curva y la distancia s a lo largo de la misma
durante los primeros 200 m para que an varíe tal como se muestra en la gráfica.
Resp. p = 1,573(105) I s (p y s en metros)
a
l1
O"glz
e
a-
el
es.
a
b
i
P
l
--~~~
O
-----
O
200
s,m
Figura problema
da
enorO°.
ec-
2.121
9.122 Un cohete en vuelo por encima de la atmósfera a una altura de 500 km tendría una aceleración de caída libre de g =
8,43 mi S2 y en ausencia de otras fuerzas que las de atracción
gravitatoria. Sin embargo, debido al empuje, el cohete tiene
una componente de aceleración adicional al de 8,80 mi S2 tangente a la trayectoria, que en el instante considerado forma un
ángulo de 30° con la vertical. Si en esta posición el cohete tiene
una velocidad v = 30 000 krrr/h, calcular el radio de curvatura
p de la trayectoria y la variación de v por unidad de tiempo.
b
2.119
Figura problema
_
2.120 Un satélite terrestre situado en una órbita elíptica ecuatorial, tal como se muestra, lleva una velocidad v de 17970 kmlh
16000
,A
=r.:
- km
_
o
/
~]
10
m.
de
te-
15°
ión
,-<
./
v /-~-::,-,
...
/' I \
/1/
<,
\ \r
\
"--,
\\
I
I
I
\
\
\
\
I
--1--'--'---
\\
I
I
\
\
-,
"<.
I
2.122
...-
----t---
Figura problema
Figura problema
II
/
/
/8000
km
2.120
2.123 En un ordenador, la cinta magnética corre tal como se
muestra por la polea loca. Si en el instante t = O, cuando la velocidad de la cinta es de 4 mi s, la aceleración del punto P de la
55
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cinta en
en contacto
contacto con
con la polea
polea forma
forma un
un ángulo
ángulo de
de 4° con
con la tantancinta
gente a ésta,
ésta, hallar
tiempo t necesario
necesario para
detener la polea
gente
hallar el tiempo
para detener
polea
con una
una desaceleración
desaceleración constante.
constante. Se supondrá
supondrá que
que no
no hay
hay resrescon
balamiento
entre la polea
cinta.
balamiento entre
polea y la cinta.
Resp.
=2,10(10.33)) s
Resp. t =2,10(10~
2.127 El conductor
conductor de
de un
un bólido
que se mueve
mueve a 250 km
km/h
en
bólido que
/ h en
2.127
tramo recto
recto aplica
los frenos
frenos en
en el punto
reduce la velocivelociel tramo
aplica los
punto A y reduce
dad uniformemente
uniformemente hasta
hasta 200 km
km/h/ h en
en el punto
largo de
de
dad
punto eC a lo largo
una distancia
distancia de
de 150 + 150 == 300 m
m.. Calcular
Calcular el módulo
módulo de
de la aceaceuna
leración total
total del
del bólido
un instante
instante después
después de
de su
su paso
bólido un
paso por
por B.
leración
Resp. a == 8,42 mi
mi S2
v
p
500 m
500
II
II
I
I
I
120mm
120
mm
/"
_ _______ _____________-+l__~~~~
II
-------------~--~~---~
II
t
v
Figura problema
problema
Figura
2.123
2.123
------M--------M
---A--150
m~B--l~
A--150 m~B--15~
Figura problema
problema
2.127
Figura
2.127
2.124 Una
Una partícula
del punto
punto O con
con una
una celeridad
celeridad
2.124
partícula P parte
parte del
despreciable y la aumenta
aumenta hasta
hasta el valor
valor v =
= J2iY, donde
donde yy es
despreciable
caída vertical
vertical desde
Cuando x == 15 m,
m, hallar
hallar la compocompola caída
desde O. Cuando
nente 11 de
de la aceleración
aceleración de
de la partícula.
(Véase el apartado
apartado
nente
partícula. (Véase
C.l0 del
apéndice C con
con relación
relación al radio
radio de
curvatura.)
C.l0
del apéndice
de curvatura.)
J2iY,
~
2.129 El pasador
pasador P está
está obligado
obligado a moverse
moverse en las
las guías
guías rara~ 2.129
las cuales
cuales se desplazan
desplazan perpendicularmente
entre sí.
nuradas, las
perpendicularmente entre
instante representado,
representado, A tiene
tiene una
una velocidad
velocidad hacia
hacia la dedeEn el instante
recha de
de 0,2 mi
mi s que
que decrece
decrece a razón
razón de
de 0,75 mi
mi s cada
cada segunsegunrecha
do. Al mismo
mismo tiempo
tiempo B
B se mueve
mueve h
hacia
abajo con
con una
una velocidad
velocidad
do.
acia abajo
de 0,15 mi
mi s decreciente
decreciente a razón
razón de
de 0,5 mi
mi s cada
cada segundo.
segundo. CalCalde
cular, para
ese instante,
instante, el radio
radio de
curvatura p de
de la trayectoria
trayectoria
para ese
de curvatura
cular,
seguida por
P.. ¿Es posible
determinar la variación
variación de
de p por
unipor P
p osible determinar
por uniseguida
dad d
dee tiempo?
tiempo?
dad
Resp. p == 1,25 m
Horizontal
o Horizontal
,
- - - - _ --"'-=-- - - ----- - - - x
~----~~-~-=-----------x
Vertical
Vertical
2.128 En
En un
un instante
instante dado,
dado, un
punto posee
siguiente posiposi2.128
un punto
posee la siguiente
ción, velocidad
velocidad y aceleración
aceleración relativas
relativas a un
un sistema
sistema de
de coordenacoordenación,
dasfijo:x=-3m, m , x=10m/s,
=2m/s
dasfijo:x=-3
x=10m / s, xx =
2m 2/,y=3m,
s2,y=3 m , y=10m/s,
y= 10m/ s,
yy == 9 m
mii S2. Hallar
Hallar y esquematizar
esquematizar los
los vectores
vectores urti
unitarios
en y ee¡l
tarios en
en función
función de
de los
los vectores
vectores unitarios
unitarios ii y j. Calcular
Calcular v,
u, al'
a¡, al1l1 Y
Y p.
en
yy == 0,008x
0,008x2 2 m
yy
Figura problema
problema
2.124
Figura
2.124
2.125 El vector
vector de
de posición
posición de
de un
un punto
que se mueve
mueve en el
2.125
punto que
plano
está dado
dado por
donde las
las unidades
de
plano x-y
x-y está
por r = ~~t2i
t2i + ~t3j
~t3j , donde
unidades de
son metros
metros y t son
son segu
segundos.
Calcular
radio de
de curvatura
curvatura p
r son
ndos. Calcu
lar el radio
de la trayectoria
trayectoria en la posición
correspondiente
Dibude
posición correspondiente
a t == 2 s. Dibujar
un esqu
esquema
de la velocidad
velocidad v y del
del radio
radio de
de curvatura
curvatura para
em a de
para
jar un
instante considerado.
considerado.
el instante
Resp. p == 41
41,7
,7 m
2.126 Como
Como prueba
de manejabilidad,
manejabilidad,
un automóvil
automóvil se concon2.126
prueba de
un
duce por
de "slalom"
"slalom" representada.
representada.
supone que
que la
la
duce
por la pista
pista de
Se supone
trayectoria del
del vehículo
vehículo es sinusoidal
sinusoidal y que
que la aceleración
aceleración latetrayectoria
lateral máxima
0,7g. Si los
los responsables
de la prueba
desean diresponsables de
prueba desean
ral
máxima es O,7g.
señar un
un "slalom"
"slalom" en
en el cu
cual
celeridad máxima
máxima sea
sea 80 km
km/h,
señar
al la celeridad
/ h,
¿cuál debe
debe ser
ser la sep
separación
de cono
cono a cono?
cono?
¿cuál
aración L de
I~
»:
-1~
------;7/~'-~~
»:
CSinu~ide
L -\
<,
--
~ __
--..=-"----jI...-:-3
'-::::
~
'--..~_
v
Figura problema
2.126
m
3m
Figura problema
problema
2.129
Figura
2.129
~
2.130 Una
Una partícula
partícula parte
del reposo
reposo en
en el origen
origen para
para re~ 2.130
parte del
correr la rama
rama positiva
de la
la curva
curva yy == 2x3//22, , de
de tal modo
modo que
que la
positiva de
correr
distancia s medida
medida desde
desde el origen
largo de
curva varía
varía
distancia
origen a lo largo
de la curva
con el tiempo
tiempo d
dee acuerdo
acuerdo con
con s == 2t
2t33,, donde
donde x, yy y z son
son milímecon
milímetros y t son
son segundos.
segundos. Hallar
Hallar el módulo
módulo de
de su
su aceleración
aceleración total
total
tros
cuando t == 1 s. (Buscar
(Buscar la expresión
expresión d
dee p en
en el apartado
apartado C.l0
C.l0
a cuando
del apéndice
apéndice C.)
del
Resp. a == 12,17
12,17 mml
mm l S2
56
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------·----------------------=---2.6
COORDENADAS
IIIlIIII __
•••••••••••••••••
POLARES (r-e)
57
2.6 COORDENADAS
aceB.
__
Pasamos a considerar ahora la tercera de las formas en que puede describirse
el movimiento curvilíneo plano, es decir, mediante coordenadas polares, en
cuyo caso la posición del punto material queda determinada por la longitud r
de su vector de posición respecto de un polo y por el ángulo
que forma aquél
con una posición de referencia. Las coordenadas polares resultan especialmente útiles para los movimientos vinculados a través de condiciones impuestas a
la distancia a un punto fijo o al valor de un ángulo, y cuando ha de observarse
un movimiento no vinculado mediante las medidas de una distancia a un punto fijo y de una posición angular.
En la figura 2.13a se representan las coordenadas polares de un punto que
describe una trayectoria curvilínea. Para medir
se emplea una recta fija cualquiera, corno puede ser el eje x. Los vectores unitarios e, y ee se establecen según los sentidos positivos de r y e, respectivamente. El módulo del vector de
posición r del punto A es la distancia radial r y su dirección y sentido están especificados por el vector unitario el" Así pues, la situación del punto material
A queda expresada por
POLARES (r-e)
e
e
osiena-
r
/s,
yet
p.
s rae sí.
degun'dad
Caltaria
uni-
=
\
\
y
\ee / /
I
I
I
I
I
I
I
\
o
Al derivar esta relación respecto al tiempo para obtener v = i ya = V, necesitaremos las derivadas temporales de los dos vectores unitarios e, y s» Las
expresiones de el' y ee se obtienen exactamente de la misma forma en que se
dedujo é, en el apartado precedente. Durante el intervalo de tiempo dt las direcciones coordenadas giran un ángulo de y los vectores unitarios giran también pasando de el' a e/ y de ee a ee' tal como se representa en la figura 2.13b.
Obsérvese que la variación de r está orientada en el sentido de positivo y que
dee está orientada en el sentido de r negativo. Como en el límite sus módulos
son iguales al vector unitario correspondiente multiplicado por el ángulo de en
radianes, podemos escribir de; = eedey dee = - er de. Dividiendo ambas ecuaciones por de resulta
I
I
/'
e
/
----------------
x
+e
-r
\
\
I dt = -
(del dt)er;
(2.12)
y
Con esto, ya estamos en disposición de derivar r = re; respecto al tiempo.
Aplicando la regla de derivación del producto de un escalar por un vector resulta
Aplicando la expresión de
cidad queda
el'
=
i
dada por 2.12, la expresión vectorial de la velo-
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\
e',
e,
e
v
e,
lA
I
I
I
I
~/
\ /",//
(a)
O bien, si dividimos por di, tendremos de; I dt = (del dt)ee y de¿
es decir, simplemente
C.10
I
I
,¡
\
rer
y
a reue la
varía
límetotal
Trayectoria
,
e
de
(b)
Figura 2.13
de,
donde
58
CINEMÁTICA
DEL PUNTO
Vr
=
i
ve
=
re
v
=
Jv2r + v2e
La componente r de v no es sino la variación de longitud del vector r por
unidad de tiempo. La componente 8 de v se debe a la rotación de r.
Diferenciemos ahora la expresión de v para obtener la aceleración a = v . Se
ve que la derivada de
e origina tres términos ya que los tres factores son
variables; entonces,
ree
Trayectoria
Aplicando los valores de
er y ee
dados por 2.12 y agrupando términos resulta
(2.14)
donde
V'
r
a, =
ae =
r-
re+
rfJ2
2ie
a = Ja~ + a~
La componente 8 de a podemos escribirla también como
(a)
ae
1d
= -r -dt (r28)
.
lo que puede verificarse fácilmente llevando a cabo la derivación. Esta expresión de aeencontrará su aplicación en el capítulo siguiente cuando tratemos del
momento cinético del punto material.
Sólo se ilega a la adecuada interpretación de los términos de la ecuación 2.14
cuando se ve con claridad la configuración geométrica y las variaciones físicas.
Con este objeto la figura 2.14a muestra los vectores velocidad y sus componentes r y 8 en la posición A y la posición A' después de un movimiento infinitesimal. Cada una de estas magnitudes sufre una variación en módulo, dirección y
sentido, como se ve en la figura 2.14b, donde se aprecian las siguientes:
de
(b)
Figura
2.14
Variación del módulo de vr. Es sencillamente el incremento de longitud de Vr,
o sea do, = di, Yel término de aceleración correspondiente es di I dt = r en el
sentido de r positivo.
Variación de la dirección de vr: Según puede verse en la figura, esta variación
es u, d8 = i d8 Ysu contribución a la aceleración es i de! dt = ie en el sentido
de 8 positivo.
Variación del módulo de Ve. Este término es la variación de longitud de v 8t o
sea d(re) y su contribución a la aceleración es d(re) / dt = re + ie en el sentido
de 8 positivo.
Variación de la dirección de Ve. Esta variación vale ve d8 = re d8y el término de aceleración correspondiente resulta ser r fJ(d 81 d t) = r fJ2 en el sentido de
r negativo.
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Agrupando
Agrupando términos
términos resulta
resulta ay
ar =
= f - r(J2 y aaee == re
re + 2ffJ
2ié como
como obtuvimos
obtuvimos anantes. Vemos
material en
en dirección
Vemos que
que f es la
la aceleración
aceleración que
que tendría
tendría el punto
punto material
dirección
radial
en ausencia
ausencia de
de variación
variación de
de e. El término
término - r(1r(J es la
la componente
componente normal
normal
radial en
aceleración en
en el caso
en que
que rr sea
constante, como
como en
movimiento cirde la aceleración
caso en
sea constante,
en el movimiento
circular. El término
término r es
es la
la aceleración
aceleración tangencial
tangencial que
que tendría
punto si r fuese
fuese
cular.
tendría el punto
constante, pero
pero sólo
representa una
una parte
parte de
de la aceleración
aceleración debida
debida a la
la variación
variación
constante,
sólo representa
módulo de
de ve
ve cuando
cuando r es variable.
variable. Finalmente,
Finalmente, el término
término 2ffJ
2ié se compone
compone
del módulo
dos efectos;
efectos; el primero
primero procede
procede de
de la
la parte
parte de
de la variación
variación en
magnitud d(r
d(r é)
de dos
en magnitud
fJ)
por la variación
variación en
por la variación
variación en
dirección de
Por
de ve por
en r y, el segundo,
segundo, por
en dirección
de vJr" . Por
consiguiente, el término
término 2ffJ
2ié representa
representa una
una combinación
combinación de
de variaciones
variaciones que
que
consiguiente,
aprecian con
con la
la misma
misma facilidad
facilidad que
que los
los otros
otros términos
términos de
de la aceleración.
aceleración.
no se aprecian
Obsérvese bien
bien la diferencia
diferencia existente
existente entre
la diferencial
diferencial dv
dv ry del
del vector
vector v y y
Obsérvese
entre la
variación do,
dV r del
del módulo
módulo de
de ti;
v y. Igualmente,
Igualmente, la diferencial
diferencial vectorial
vectorial dVe
dVe no
no es
es
la variación
mismo que
que la
la diferencial
diferencial dVe del
del módulo
módulo de
de ve. Al
Al dividir
dividir esas
esas diferenciales
diferenciales
lo mismo
por
por dt
dt para
para obtener
obtener las
las expresiones
expresiones de
de las
las derivadas,
derivadas, se ve
ve claramente
claramente que
que el
módulo de
de la
la derivada
derivada Idv,l
Idv,ldtl
y la derivada
derivada del
del módulo
módulo do.]
dv r / dt
dt no son
son iguales.
iguales.
módulo
dtl Yla
Por
en cuenta
no es
tendrá muy
muy en
cuenta que
que a,
arno
es u,
v r YY que
que ae no
no es
es ve .
Por lo mismo,
mismo, se tendrá
En la
la figura
representan la
la aceleración
aceleración a y sus
componentes. Cuando
En
figura 2.15 se representan
sus componentes.
Cuando
tenga una
una componente
componente normal
normal a la
la trayectoria
trayectoria sabemos
que, según
estudio
a tenga
sabemos que,
según el estudio
las componentes
componentes t y n realizado
realizado en
en el apartado
apartado 2.5 anterior,
anterior, el sentido
de la
la
de las
sentido de
componente
ser hacia
componente n debe
debe ser
hacia el centro
centro de
de curvatura.
curvatura.
En los
los casos
casos de
de trayectorias
trayectorias circulares,
circulares, en
en que
que r es
es constante,
constante, las
las ecuaciones
ecuaciones
En
2.14 pasan
pasan a ser
2.13 y 2.14
ser sencillamente
sencillamente
59
2.6
2.6
COORDENADAS POLARES (r-e)
COORDENADAS
(r-e)
ee
or
.Se
on
lta
14)
Trayectoria
Trayectoria
I
I
a
I
~
\
1
\1
A
1 \
1
/
\
\
/
/
/
r
o
redel
2.14
icas.
entesióny
Esta descripción
descripción es la misma
misma que
que la
la obtenida
obtenida con
con las
las componentes
componentes t y n, coincoinEsta
de e y t YY siendo
opuestos los
los sentidos
de r y n. Por
Por
cidiendo las
las direcciones
direcciones de
cidiendo
siendo opuestos
sentidos de
en el caso
caso de
de movimiento
movimiento circular
circular centrado
origen de
de coordendas
coordendas popoello, en
centrado en
en el origen
lares ay
ay =
= - aJl'
aJl"
lares
Las
expresiones de
Las expresiones
de a,
ar y ae en
en forma
forma escalar
escalar pueden
pueden obtenerse
obtenerse también
también por
por
derivación directa
directa de
de las
relaciones entre
entre coordenadas
coordenadas x = rr cos
cos e
derivación
las relaciones
e e yy = rr sen
sen e,
obteniéndose
rectangulares de
obteniéndose aaxx =
= xx y ay
ay =
= y . Cada
Cada una
una de
de estas
estas componentes
componentes rectangulares
de
la aceleración
se puede
en las
aceleración se
puede descomponer
descomponer en
las componentes
componentes radial
radial y transversal,
transversal,
las cuales,
expresiones de
ecuaciones 2.14.
cuales, combinadas,
combinadas, darán
darán las
las expresiones
de las
las ecuaciones
e
/)1(/
ee
Figura 2.15
2.15
Figura
y.
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 2.9
2.9
ción
tido
v¡¡,o
tido
rmiode
El giro
giro del brazo
brazo radial
radial ranurado
ranurado está
está regido por
e == 0,2t
0,2t + O
O,02t
e está
por e
,02t33,, donde
donde e
está
en
Simulradianes yy t está
está en segundos.
segundos. Simulen radianes
táneamente, el husillo
motorizado acciotáneamente,
husillo motorizado
controla su
na el cursar
cursor B yy controla
su distancia
distancia a
O según
está en
según r == 0,2 + O,04t22,, donde
donde r está
metros
Calcular la
metros yy t está
está en segundos.
segundos. Calcular
velocidad
velocidad yy la aceleración
aceleración del cursar
cursor en
el instante
instante t =
= 3 s.
A
--\
-'
.__ -=--.
http://gratislibrospdf.com/
e
1
CD Podemos
Podemos ver
ver que
que este
este problema
problema
CD
es
es
un caso
caso de
de movimiento
movimiento vinculado
vinculado en
en
un
que elelcentro
centro BBdel
del cursor
cursor está
está ligaligaelelque
do mecánicamente
mecánicamente alal giro
giro del
del brazo
brazo
do
ranurado yy aa la
la rotación
rotación del
del husillo.
husillo.
ranurado
~
"".
0,24
Vu,
r ==0,24
¿
¿
ve= 0,414m/s
0,414~mis
vo=
mis
m
is
BB
O,OSt
if == 0,08t
== 0,08(3)
0,OS(3) =
= 0,24
0,24 mi
mis s
¡'3
¡:3 == 0,08
O,OSmi
mi s2
s2
8e == 0,2t
0,2t ++0,02t
0,02t33
8e33 == 0,2(3)
0,2(3) ++ 0,02(3
0,02(333)) == 1,14
1,14 rad
rad
oo sea
sea 8e33 == 1,14(180/
1,14(lS0/ n)
n) == 65,3·
65,3·
0,2 ++ 0,06t
O,06t 2
e== 0,2
0,12t
e== 0,12t
fh
fh
2
------
- ---- -
[ve
ae = 0,557 mi S2
II
II
"I_ --r_ _ "":::""
""'/lc-----r---~B
B
2
m/s
arr ==-0,227
- 0,227 m
/s2
== 0,2
0,2 ++ 0,06(3
0,06(32)) == 0,74
0,74 rad
rad/l ss
83
e3 ==
0,12(3)
0,12(3) == 0,36
0,36 radl
radl s2
s2
De
De la
la ecuación
ecuación 2.13
2.13 se
se obtienen
obtienen las
las componentes
componentes de
de la
la velocidad
velocidad que,
que, para
para
=3
3 s,s, son
son
tt =
[z.,y =
= i]f]
[v
O
i3
f3
é
(}= 65,3°
65,3°
()=
--
rr33 =
= 0,2
0,2 ++0,04(3
0,04(322)) =
= 0,56
0,56 m
m
é
=0'56m/S
=0'56m/s
O
O
0,2++0,04t
0,04t22
rr == 0,2
O,OS
rr == 0,08
0,479 m
mis
vv==0.479
is
""'"
II
II
Solución.
Solución. Hallemos
Hallemos primeramente,
primeramente, para
para tt==3,3,elelvalor
valor de
de las
las coordenadas
coordenadas yy de
de
sus
sus derivadas
derivadas temporales
temporales que
que aparecen
aparecen en
en las
las expresiones
expresiones de
de la
la velocidad
velocidad yy de
de
G) lala aceleración
aceleración en
en coordenadas
coordenadas polares.
polares.
CD
[v
vvyr =0,24m/s
= 0,24 mis
= re]
ré]
=
ve
ve = 0,56(0,74) = 0,414 mis
mi s
= Jv:+v~]
Jv;+v~]
=
v == J(0,24)2
J(O,24)2 + (0,414)2 == 0,479 m
mi I s
Resp.
Resp.
Se representan
representan la velocidad
velocidad y sus componentes
componentes para
para la posición
posición del brazo
brazo espeespecificada.
cificada.
La ecuación
nos da
para t == 3 s son
ecuación 2.4 nos
da las componentes
componentes de
de la aceleración,
aceleración, que
que para
son
[ar
[ar =
2]
rr-re
- rfJ2]
ay
ay
[aee =
[a
2ie]
rer8 + 2fé]
m i s2
aee == 0,56(0,36) + 2(0,24)(0,74) = 0,557 mi
[a =
+ a~]
= Ja;
Ja:+a~]
= 0,08
O,OS- 0,56(0,74)2 = - 0,227 mi
mi s2
aa =
J( -- 0,227)2 + (0,557)2 =
mi s2
0,601 mi
Resp.
Resp.
representan también
también la
la aceleración
aceleración y sus
sus componentes
componentes para
para la
la posición
posición de
de
Se representan
65Y
65,3° del
del brazo.
brazo.
PROBLEMA TIPO
TIPO 2.10
2.10
PROBLEMA
Un
Un radar
radar de
de seguimiento
seguimiento se
se encuentra
encuentra
en
en elel mismo
mismo plano
plano vertical
vertical que
que lala trayectrayectoria
toria balística
balística de
de un
un cohete
cohete que
que realiza
realiza
un
un vuelo
vuelo no
no propulsado
propulsado por
por encima
encima de
de lala
atmósfera.
atmósfera. En
En elel instante
instante en
en que
que 8 == 30°
30°
los
los datos
datos de
de seguimiento
seguimiento son
son rr == 8(10
8(104)4)
m,
m, fi == 1200
1200 mis
mis yy == 0,80
0,80 grdls.
grdls. La
La
aceleración
aceleración del
del cohete
cohete eses únicamente
únicamente lala
vertical
vertical descendente
descendente debida
debida aa lala gravegravedad
dad que
que aa lala altura
altura considerada
considerada eses gg ==
9,20
9,20 mle'.
mls2 . En
En estas
estas condiciones,
condiciones, deterdeterminar
minar lala velocidad
velocidad del
del cohete
coheteyy los
los valovalores
res de
de rr yy 8.
e
+r
+r
__ ;r
---
" .;: ()
é
60
http://gratislibrospdf.com/
___
~~ ;r
e
e.
,,
I
I
ry
()
Solución. Según
Segúnlalaecuación
ecuación2.13,
2.13,las
lascomponentes
componentesdedelalavelocidad
velocidadson
son
Solución.
[v r =
Vr=1~~0,m/5
v, = 12~0.... m I s
il
=
1200mis
mis
vrv r = 1200
4)(0,80{&Ü) ==1117
=8(10
8(104)(0,80)(~)
1117mis
mis
I
veve=
[Ve = ré]
=J(l200)2
J(1200)2++(1117)2
(1117)2 ==1369
1369mis
m is
2
vv =
[v[v=Jv
= JV r2 ++vil
vi]
r
I
I
0
8=
8 =30°
30
Resp.
Resp.
/
I
/
I
~~ ./.1
//
ae = 4,60m/52
ar ==-- 9,20
9,20cos
cos 30
30· ==-- 7,97
7,97mi
m/s2
s2
ay
I
0
I
9,20 sen
sen30
30·
aaee == 9,20
0
4,60mi
m /s2
s2
==4,60
8=300~1
8 = 300 ~
1
A continuación,
continuación, igualamos
igualamos estos
estos valores
valores aa las
las expresiones
expresiones de
de al'ar Yy a(J
aeen
en coordecoordeA
nadas polares
polares en
en las
las que
que aparecen
aparecen las
las incógnitas
incógnitas rr yy
Así, según
según la
la ecuación
ecuación
nadas
Así,
2.14
2,14
e.e.
=r-r821
¡:- réZ]
- 7,97 ==
-7,97
[a r =
[a,
®
rr
I
I
I
~~ ;';"
e
2
I
I
I
ve=1117m/s
ve = 1117 m is
~/
~/
Comolalaaceleración
aceleracióntotal
totaldel
delcohete
cohetees
esgg== 9,20
9,20mi
m /S2S2dirigida
dirigidahacia
haciaabajo,
abajo,podepodeComo
moshallar
hallarfácilmente
fácilmentesus
suscomponentes
componentesrryy e para
paralalaposición
posicióndada.
dada.Tal
Talcomo
comose
se
mos
representaen
enlalafigura
figurason
son
representa
o
v v==1639
m/s/ s
........
1639m
I
<,
•
//
I
:;'
,,1;"
.
,
/,
, /....,
.
....
I
I
I
/I
I
I
II
I
'....
2
a=g=9,20m/5
a=g =9,20m / s2
//
r-
8(1044)()(0,801~OY
0,80 l~of
r - 8(10
Resp.
Resp.
2
= 7,63 m/s
m/s2
=
2(1200)(0,80 1~0)
4,60 == 8(1044)) + 2(1200)(0,801~0)
ee
3,61(10 -4)
-4) radl
rad / s2
ee = - 3,61(10
= -
Resp.
Resp.
Q)
necesario tomar el
CD Observemos
Observemos que en coordenadas
coordenadas polares no es siempre necesario
ángulo
ángulo
ee en
en sentido
sentido antihorario.
antihorario.
2 Obsérvese que la
®
la componente
componente r de la aceleración
aceleración tiene el sentido de r nega-
tivo,
tivo, por
por lo
lo que
que lleva
lleva el
el signo
signo menos.
menos.
®
No
No hay
hay que
que olvidarse
olvidarse de
de pasar
pasar éé de
de grd/s
grd/s arad/s.
arad/s.
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Problemas
Problemas introductorios
introductorios
2.131
2.131 La
Lapluma
pluma OAB
OAB gira
gira en
en torno
torno alalpunto
punto OOaalalavez
vez que
que elel
tramo
tramoAB
AB se
seextiende
extiende desde
desde elelinterior
interior del
deltramo
tramo OA.
OA. Hallar
Hallar lala
velocidad
velocidad yylalaaceleración
aceleración del
delcentro
centroBBde
delalapolea
poleapara
para las
lasconconsiguientes:
e
=
20°,
é
=
5
o
/
s,
=
2°
/
S2,
1
=
2
diciones
diciones siguientes: e = 20°, é = 5 ° I s, = 2° I S2, 1 = 2m,
m, ii==
2. Las
0,5
/ s, [ ==1,2
/ S2.
[ son
0,5mmis,
1,2mm/s
Lascantidades
cantidades i iyyi'
sonlas
lasderivadas
derivadas
temporales
temporales primera
primera yysegunda,
segunda, respectivamente,
respectivamente, de
delalalongilongitud
del
tramo
1
AB
.
tud del tramo 1AB.
Resp.
/ ss
Resp. vv==0,5e
O.Se,+
0,78Seeemmi
r + 0,785e
ee
r
a a==-1,26ge
,. ++0,401e
/ s2s2
- 1,26ge
0,401eeemmi
Figuraproblema
problema 2.131
2.131
Figura
r
6161
http://gratislibrospdf.com/
2.132
2.132 La posición del cursor
cursar P en el brazo ranurado
ranurado giratorio
OA está controlada por un tornillo motorizado
motorizado tal como se
muestra. En el instante representado
-20 rad
representado é= 8 rad
rad/s/ s y =
=-20
rad//
S2.
S2.También,
También, en ese instante, r = 200 mm,
mm, ii = - 300 mm
mm// s y f =
O. Hallar, en ese instante, las componentes r y e
e ddee la aceleración
deP.
deP.
e=
ee
A,," " r
B.
Tanto en A com
o en B
la celeridad del agua es constante.
B.Tanto
como
Bla
constante. Hallar la velocidad y la celeridad de una ppartícula
artícula ddee agua cuando
pasa por (a) el punto
punto A y (b) por el punto
punto B.
2.135
2.135 Merced a un mecanism·
mecanismoo interno, la velocidad angular
angular
de la nave espacial se mantiene
mantiene constante en el valor Q
Q =
= 0,05
rad/
rad/ s alrededor
alrededor del eje z mientras las plumas
plumas telescópicas se
extienden a velocidad
velocidad constante. La longitud
longitud 11 varía desde
extienden
prácticamente cero hasta
prácticamente
hasta 3 m. La aceleración máxima a la que
pueden
ódulos experimentales
pueden someterse los m
módulos
experimentales sensibles P es
m// S2.
s2.Hallar
Hallar la velocidad de extensión máxima ppermitiermiti0,011 m
da ii de las plumas.
Resp. ii == 32,8 mm
Resp.
mm// s
Figura problema
problema 2.132
2.132
2.133
2.133 Cuando
Cuando el cilindro hidráulico
hidráulico rota en torno a O,
O, la presión del aceite en su interior controla la longitud
longitud 11 al descubiervelocidad uniforme de rotación del
to de la biela P. Si
Si la velocidad
cilindro es é == 60 grd
disminuye constantemente
grd// s y 11 disminuye
constantemente a razón
razón
mm/ s,
s, calcular los módulos
módulos de la velocidad v y la acede 150 mm/
leración a del extremo B cuando 11 == 125 mm.
Resp.
/s, a = 632 mm/s2
Resp. v = 545 mm
mm/s,
mm/s2
e
Figura problema
problema 2.135
2.135
2.136
2.136 El movimiento
movimiento curvilíneo de un punto
punto material está regido por
olares r = t3/3/3 y e
por las coordenadas
coordenadas ppolares
e = 2 cos
cos (m/6),
(m/6),
donde
etros, e
donde r está en m
metros,
e en radianes
radianes y t en segundos.
segundos. EspeciEspecificar
ficar la velocidad
velocidad v y la aceleración a del punto
punto cuando
cuando t == 2 s.
s.
2.137 El
El cohete hhaa sido disparado
disparado verticalmente
verticalmente y es segui2.137
do por el radar
ando e
radar que se representa.
representa. Cu
Cuando
e llega a 60°,
60°, las
problema 2.133
2.133
Figura problema
2.134 La boquilla de la figura gira a la velocidad angular
angular
2.134
Q en torno a un eje
eje horizontal
horizontal fijo
fijo que pasa por O.
O. A
constante Q
consecuencia
diámetro según un factor de 2, la
con
secuen cia del cambio de diámetro
celeridad del agua con relación a la boquilla es v en A y 4v en
J
r
I
I
I
e
I
I
I
problema 2.13
2.13 7
Figura problema
problema 2.134
2.134
Figura problema
62
http://gratislibrospdf.com/
a-
do
ar
05
se
e
ue
es
ti-
otras mediciones correspondientes dan los valores r = 9 km,
T= 21 mi S2 y = 0,02 radl s. Hallar la velocidad y la aceleración del cohete para esa posición.
Resp. v = 360 mi s, a = 20,10 mi S2
é
Problemas representativos
En coordenadas polares, el movimiento curvilíneo de
un punto material es tal que el producto r2 é, en mi S2, varía
con el tiempo i, en segundos, del modo que se representa durante el periodo indicado. Calcular, aproximadamente, la componente e de su aceleración en el instante t = 5 s para el que r =
2.138
113m.
Figura problema
28
-,
24
2.140
En el instante representado, la estación de radar O mide
la variación por unidad de tiempo de la distancia a que se halla
la lanzadera espacial P supuesto fijo el punto O hallando i =
- 3472 mi s. Sabiendo que la lanzadera se encuentra en una órbita circular a una altura h = 240 km, hallar con esta información la celeridad orbital de la lanzadera.
Resp. v = 7766 mi s
2.141
-.
<,
<,
12
4
5
6
'-
7
8
t. s
Figura problema
p
2.138
.-----~
»>
El automóvil A se desplaza a velocidad constante v sobre la autopista recta y plana. El agente de policía trata de medir esa velocidad v con el radar de su automóvil P estacionado.
Siel radar mide la velocidad" según su visual", ¿cuál será la velocidad Vi que observe el agente? Particularizar la expresión general deducida para los valores v = 115 km Zh, L = 150 m y D =
6 m y extraer las conclusiones pertinentes.
2.139
re6),
ci-
s.
\\""'2;
~---~r /
---
/
!J¡,()~
/60
0
Figura problema
~
_
_
<,
2.141
Un satélite m se mueve en una órbita elíptica en torno a
la Tierra. No hay fuerza sobre el satélite en dirección transversal, por lo que ae = O. Probar la segunda ley de Kepler para el
movimiento planetario, según la cual el radio vector r barre
áreas iguales en tiempos iguales. El área dA barrida por el radio
vector durante el tiempo dt aparece sombreada en la figura.
2.142
Resp. u' = v ~,
ilas
u'
=
114,9 kmlh
L2+D2
~t
-- --A (]cjo~~
fn\~~
P ¡;J]j}bJ
I
....--E
I
1
-L~J
Figura problema
m
r ~
2.139
()
\
-,
I
La pieza AB gira entre dos valores del ángulo f3y su extremo A hace que gire también la pieza ranurada AC. Para el
instante representado, en que f3= 60°Y ~ = 0,6 radl s constante,
hallar los valores correspondientes de i, T, é y
Emplear las
ecuaciones 2.13 y 2.14.
I
2.140
e.
/
/
/
/'
/
Figura problema
2.142
63
http://gratislibrospdf.com/
2.143
2.143 Un punto materia
materiall P
P se
se mueve aa lo
lo largo
largo de
de la
la trayecto
trayectoria
ria
rr ==f{e),
a respecto aa la
J( e), simétric
simétrica
la recta
recta e=
e = O.o. Cuando
Cuando el
el punto
punto pasa
pasa
por
por la
la posición e== 0,
o, donde elel radio de curvatu
curvatura
la trayecto
trayecto-ra de la
ria
ad es
ria es
es p, su
su velocid
velocidad
es vv.. Deduci
Deducirr una expresió
expresión
en funfunn ddee 1;f en
ción
ción de v,
u, r y pp para el
el movimi
movimiento
posición.
ento del punto en esa posició
n.
R··esp. rr·· =
R
= -- v
2(1
1)-1)
- -- r
p
p r
p
r
o
_._~~.p
Figura
problema 2.145
Figuraproblema
2.145
_.-
2.146
robótico se está elevand
2.146 El
El brazo robótica
elevandoo y extendi
extendiendo
la
endo aa la
vez.
En
vez. En un
un instante
instante dado, = 30°,
30°, é = 10 grd lI s =
cte., 11 = 0,5 m,
= cte.,
ii == 0,2
S2. Calcul ar los módulo
0,2 mi s y ( = - 0,3 mi s2.Calcular
móduloss de la velocidad
ión a de la pieza asida P. Además
cidad v y la acelerac
aceleración
Además,, expresa
expresarr
vv ya
ya en función de los vectore
vectoress unitarios
unitario s ii y j.
Figura
problema 2.143
Figuraproblema
2.143
2.144
2.144 Mientra
Mientrass el brazo ranurad
ranuradoo gira en torno al punto
punto 0,
0, el
el
cursor
puede desplazarse
desplaz arse hacia el interior median
cursar P puede
mediante
el cordel
cordel
te el
S.
S. La
La posició
posiciónn angular
angular del brazo está dada por
ee
r
~~
t2
O,St -_ 20'
~~,
ee == 0,8t
I
~~<J~
\)~S~
donde
donde e
e está en radiane
radianess y t en segund
segundos.
Cuando tt == 0,
0, el
el curcuros. Cuando
sor
m, instante a partir
sar se halla en r == 1,6
1,6m,
partir del cual es llevado hhaacia
cia adentro
adentro a razón de 0,2
0,2 mis.
mi s. Hallar el módulo
módulo,, direcció
direcciónn yy
sentido del cursor
and o t == 4 s (expres
cursar cu
cuando
(expresado
mediante
el ánguánguado median
te el
lo a respecto al eje
eje x)
x)..
e
~
~
->.
l~
• .o
o
••• pp
Figura problema 2.146
Figuraproblema
2.146
2.147 Por
Por la guía horizontal
horizon tal fijase
fija se mueven
2.147
mueven el cursor
cursor y el pasador
P cu
yo movimiento
movimi ento lo manda
manda el brazo
dor P
cuyo
brazo ranurado
ranurad o giratorio
giratori o
OA. Si,
interval o del movimiento,
movimi ento, el brazo gira aa
OA.
Si, durante
durante un intervalo
una
velocid ad constante
constan te é =
= 22 rad
rad I s, hallar
una velocidad
h allar los módulos
mód ulos de la
velocid ad y la aceleración
acelerac ión del cursar
cursor en la ranura
velocidad
ranura en el instante
instante
e
r
I/
A/
A/
/
I
Figura problema 2.144
Figuraproblema
2.144
2.145 La leva tiene una forma tal que el centro del rodillo
2.145
rodillo A
A
que sigue su contorno
contorn o se mueve
mueve sobre la cardioide
que
cardioid e definida
definid a por
p or
= bb -- c cos e, donde
donde bb > c. Si la leva no gira, determinar
rr =
determi nar la
la aceaceleración aa de A en función de ee si el brazo
brazo ranurado
ranurad o gira
gira con
con
una velocidad
velocid ad angular
angular constante
constan te é == oi,
una
(o , en sentido
sentid o antihoraantihor ario.
e
o
Resp.
Resp. aa
Figura problema 2.147
Figuraproblema
2.147
64
64
http://gratislibrospdf.com/
en que
r de
que 8 == 60°.
60°. Hallar
Hallar asimismo
asimismo las
las componentes
componentes
de la velovelocidad
cidad y la aceleración.
aceleración.
- 267
Resp. v == 533
533 mm/s,
mm/s, v/"
ti; =
=267 mm/s,
mm/s,
a = 1232
1232 mm
mml / S2,
S2 , a
a,r = 616
616 mm/
mml S2
2.148
vuela en
2.148 Un
Un avión
avión que
que vuela
en línea
línea recta
recta ascendente
ascendente formando
formando
un ángulo
por un
un radar
un
ángulo [3
{3 con
con la horizontal
horizontal es
es seguido
seguido por
radar situado
situado
exactamente
exactamente debajo
debajo de
de la
la trayectoria
trayectoria de
de vuelo.
vuelo. En
En cierto
cierto instaninstanlos datos
rr = 3600
te se registran
registran los
datos siguientes:
siguientes:
3600 m,
m, il' = 11
110O m
ia]/ s,
e,
l'F == 6 m/
para ese
mI S2, 8 == 30°
30° Y é == 2,20
2,20 grd/
grd I s. Hallar,
Hallar, para
ese instante,
instante,
velocidad v,
o, el ángulo
ángulo de
de subida
subida [3,
{3, 8 y la aceleración
aceleración a.
a.
la velocidad
e
e
del
/ 4 y tiene
una aceleración
del reposo
reposo en
en 8 == n
n/4
tiene una
aceleración angular
angular constanconstante, 8 == a,
Hallar
ex, en
en sentido
sentido antihorario.
antihorario.
Hallar la
la aceleración
aceleración del
del vásvástago
tago cuando
cuando 8 == 3n/4
3n/4
e
2.151
un intervalo
del
el cilindro
2.151 Durante
Durante un
intervalo
del movimiento
movimiento
cilindro hihidráulico comunica
comunica al pasador
velocidad v == 2 m
mI/ s a lo
dráulico
pasador A una
una velocidad
brazo ranurado
largo ddee su
largo
su eje,
eje, lo
lo que
que a su
su vez
vez hace
hace que
que el brazo
ranurado rote
rote
en
valores de
en torno
torno a O. Hallar
Hallar los
los valores
de i,
r, ¡:i Y
y 8 en
en el
el instante
instante en
en que
que
8 == 30°.
de
30°. (Indicación:
(Indicación: Recuérdese
Recuérdese que
que todas
todas las
las componentes
componentes
de
aceleración son
son cero
cero cuando
cuando la
constante.)
la aceleración
la velocidad
velocidad es constante.)
Resp. 1;i = 1,732
Resp.
1,732 m
mI/ s
e
¡:i
=
= 3,33
3,33 m
mI/ s2, 8
e == -- 38,5
38,5 rad
radl/ s2
a la
,5 m,
velaresar
r
I
1
I
~e
~e
I1
1I
o _ _ _ 300',,-30° '..~
-------~
300mm~
2.148
Figura problema
problema 2.148
300mm~
2.151
Figura problema
problema 2.151
2.149 En
En un
instante dado,
dado, un
material posee
las sisi2.149
un instante
un punto
punto material
posee las
guientes componentes
componentes
de la posición,
la velocidad
velocidad y la
la aceleraaceleraguientes
de
posición, la
ción respecto
respecto a un
sistema de
coordenadas
m, yy ==
ción
un sistema
de coordenadas
fijo x-y:
x-y: xx == 4 m,
2 m,
2-13 m
tii]»,
- 2 mIs,
=-5mj2, y=5m/s2. 2 .DeDe2m,x
= 2J3
/s,yy = -2m
/s,x =-5mj2,y=5m/s
terminar los
los valores
valores siguientes
siguientes asociados
asociados a las
las coordenadas
coordenadas
poterminar
polares:
Acompañar el proceso
de cálculo
cálculo con
con un
lares: 8, é, 8, r, 1;l' y ¡:
j: . Acompañar
proceso de
un
esquema geométrico.
esquema
geométrico.
x
x
e, e,
asatorio
ira a
de la
tan te
Resp.
Resp. 8
= 26,6",
26,6", é
e == -- 0,746
0,746 rad
rad/ / s
=
= 2,24
2,24 rad
rad,' / s2
8e =
r
= 215
2)5 m,
m, i1; =
= 2,20
2,20 mIs,
mI s, l'i =
= 0,255
0,255 m/s2
mI s2
=
2.152 Un
Un disco
disco circular
circular gira
gira alrededor
alrededor de
de su
su centro
centro O con
con una
2.152
una
velocidad angular
constante líJ
Q) =
= é y lleva
lleva dos
dos pistones
cargavelocidad
angular constante
pistones cargados por
resortes tal
tal como
muestra. La
La distancia
distancia b que
que sobresobredos
por resortes
como se muestra.
sale cada
cada pistón
del borde
del disco
varía de
de acuerdo
acuerdo con
con b ==
pistón del
borde del
disco varía
sale
sen 2nnt,
Zttni, donde
donde ba es
es la longitud
longitud máxima
máxima que
que sobresale,
sobresale, n es
es
ba sen
la frecuencia
frecuencia constante
constante de
de oscilación
oscilación de
de los
los pistones
en las
las rarapistones en
la
nuras radiales
radiales y t es
es el
el tiempo.
tiempo. Hallar
Hallar los
los valores
valores máximos
máximos de
de
nuras
las componentes
componentes
de la aceleración
aceleración de
de los
los extremos
extremos A de
de los
los
las
r y 8 de
pistones
durante su
su movimiento.
movimiento.
pistones durante
e
2.150 El brazo
ranurado OA
OA obliga
obliga al
al pequeño
vástago a momo2.150
brazo ranurado
pequeño vástago
verse en
en la
la guía
espiral definida
definida por
K8. El brazo
OA parte
verse
guía espiral
por r == K8.
brazo OA
parte
A
2.152
Figura problema
problema 2.152
ee
.~
.~
2.150
Figura problema
problema 2.150
2.153 Se representa
representa nuevamente
nuevamente
satélite del
del problema
2.120,
el satélite
problema 2.120,
2.153
que lleva
lleva una
velocidad v == 17970
17970 km/h
km/h cuando
cuando pasa
pasa por
exque
una velocidad
por el extremo A del
del semieje
semieje menor.
menor. Calculando
Calculando según
según la ley
ley de
de la
la gragratremo
65
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vitación, la atracció
oria produce
vitación,
atracciónn gravitat
gravitatoria
produce una acelerac
aceleración
ión aa == aal'r
-1556
m / S2.
Para esa posición,
posició n, calcular la variación
-1556 mi
s2.Para
variació n de vv por
por
unidad de tiempo de la celerida
unidad
celeridadd del satélite y el valor de r
f ..
Resp. vv =
= -0,778
m / S2,
Resp.
-0,778 mi
S2, r
f =
S2
= - 0,388 mi
m / S2
jf
;(
=
=
16000
16000
v~~p
/ ,/
o
"'j
00
Ct)
.--<
/
/ .
, \ r
l'
I
1
1\,
"-
\
-,
\
'\
I
I
,
/
//
/
~
I \,\
/
If
/
//
\
!
\\
I
--1--·------
,
I
I
\
I
\
I
\
/
"
l'
-,
"'-,_
'
----t---
/
//
A
~ 1) 000
km
Figura problema 2.156
Figuraproblema
2.156
Figura
problema 2.153
Figuraproblema
2.153
2.154
instante t == Oel
Oel pequeño
pequeñ o bloque
2.154 En el instante
bloque P parte
parte del reposo
reposo
en
A y sube por el plano
en el punto
punto A
plano inclinad
inclinadoo con una
una acelerac
aceleración
ión
constan
te a. Expresa
constante
Expresarr fr en función del tiempo.
y
I
I
I
I
I
I
I
I
Figura problema 2.157
Figuraproblema
2.157
()
O~I'===R==.~IA
Figura problema 2.154
Figuraproblema
2.154
2.155
condici ones del problema
2.155 Para las condiciones
problem a 2.154, expresar
expresa r
función del tiempo.
R
Resp.
esp.
ee· =
eé enen
2.158 El
radar A sigue al cohete desde
2.158
El radar
desde la posición
lanzaposició n de lanzamiento A. A
A los 10 segundos
segund os de vuelo el radar
miento
radar registra
registra las
las memedicione s siguientes:
siguient es: r = 2200 m, f =
diciones
= 500 mi
m / s, fr =
= 4,66 mi
m / S2,
s2, e==
22°, é =
= 0,0788 radl
rad / s y {}= -- 0,0341 rad,'
22°,
rad / S2.Para
S2. Para ese instante
instante
e
e
e
Rat
Rat
sen a
----,-----; --,-Rat22 cos a + 4!a22t4t4
R2 + Rat
2.156
2.156 Un cohete que sigue una trayectoria
trayecto ria en el plano vertical
vertical
es
es seguido por un
un radar
radar A. En cierto instante
instante,, el radar
las meradar da las
medidas
2.
didas rr = 10,5 km, },i = 480 m
miis,s, é = O
Oy
rad/ S2.
y {}= - 0,00720 rad/s
Dibujar
posició n del cohete en ese instante
Dibujar la posición
instante y hallar
el radio
hallar el
radio
de curvatu
ra p de la trayectoria
trayecto ria en esa posición.
curvatura
posición .
e
e
2.157
ranurad o, en cuyo interior
2.157 El brazo ranurado,
interior se mueve
cursar
mueve el cursor
C,
posició n de C dentro
C, gira en torno a O. La posición
dentro de la ranura
está
ranura está
control
ada por el cordel que está sujeto en D y se mantiene
controlada
mantien e tentenso.
movimi ento el brazo
so. Durant
Durantee un interval
intervaloo del movimiento
brazo gira en sentido
ario con la velocidad
velocid ad angular
do antihor
antihorario
angular constante
constan te é == 44 rad
rad I/ s.
s.
La
DBC del cordel vale R, con lo que r == OOcuando
La longitu
longitudd DBC
cuando e ==
O.
Hallar el módulo
módulo a de la acelerac
O. Hallar
aceleración
cursar en la posición
ión del cursor
posició n
longitu d R
e== 30°. La longitud
R es 375 mm.
Resp. a == 12,22 mi
m/ S2
S2
e
\
r
"
\
\
\
e
e
66
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A
Figura problema 2.158
Figuraproblema
2.158
hallar el
el ángulo
ángulo f3f3 que
que forman
forman la
la horizontal
horizontal yy la
la tangente
tangente aa la
la
hallar
módulos de
de la
la velocidad
velocidad vv yy la
la aceacetrayectoria del
del cohete
cohete yy los
los módulos
trayectoria
leración aa del
del mismo.
mismo.
leración
2.159 El
El bloque
bloque PP se
se desliza
desliza por
por la
la superficie
superficie representada
representada
2.159
la celeridad
celeridad constante
constante vv == 0,6
0,6 m
m I/ ss yy pasa
pasa por
por el
el punto
punto O
O en
en
aa la
el instante
instante tt == O.
O. Siendo
Siendo R
R == 1,2
1,2 m,
m, hallar
hallar los
los valores
valores de
de
el
e, r,J;,
r,r, 8,
8,é, ri; yy
2.161
2.161 Durante
Durante una
una parte
parte de
de un
un rizo
rizo vertical
vertical un
un avión
avión describe
describe
un
un arco
arco de
de radio
radio pp== 600
600 m
m con
conuna
una celeridad
celeridad vv == 400
400 km/h.
km / h .EsEstando
tando en
en A,A, el
el ángulo
ángulo que
que forma
forma vv con
con la
la horizontal
horizontal es
es f3f3 == 30°
30°
Ylos
datos del
del seguimiento
seguimiento del
del radar
radar son
son rr == 800
800 m
m yy 8 == 30°.
30°.
Y los datos
Calcular
Calcular Vvr,r, VfP
vlP a,
aryY
Resp.
Resp. vvr r == 96,2
96,2 mIs,
mis, ve
ve == 55,6
55,6 mIs
mi s
e
e.e.
2 2
2, 2, e=-0,0390rad/s
aar r == 10,29m/s
10,29m/s
e=-0,0390rad/s
instante tt == 2(1
2( 1 ++ ~)
~) ..
eeenen elel instante
Resp. rr == 2,32
2,32 m,
m, l;i == 0,424
0,424 mI
m/ ss
Resp.
r
0,1345 mI
m / s2
s2
rf == -- 0,1345
15 °, 8é == 0,1830radl
0,1830 rad / s,
s, e== 0,025
0,025 radl
rad / s2
s2
8e == 15°,
e
yy
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
11
0
0
rr
!
le
B
ee
f---R
I-R-
Figuraproblema
Figura problema 2.161
2.161
Figura problema 2.159
2.159
Figuraproblema
brazo ranurado
torno de O dentro
2.160 El brazo
ranurado OA oscila en torno
dentro de los
límites indicados
manivela CP a través del pasaindicados y arrastra
arrastra a la manivela
dor P. Durante
movimiento, é
Durante un intervalo
intervalo del movimiento,
8 == K, constante.
aceleración
total de P
Hallar el valor de la correspondiente
correspondiente
para todo valor de 8 comprendido
comprendido entre los límites en que é
8 ==
K.
K. Emplear las coordenadas
coordenadas polares
polares r y 8.
8. Demostrar
Demostrar que permanecen constantes
constantes los módulos
módulos de la velocidad
velocidad y la aceleración
ción de PP en su trayectoria
trayectoria circular.
2.162
2.162 Un cable sujeto al vehículo
vehículo A pasa
pasa por
por la pequeña
pequeña polea
fija
C. Si el vehículo
fija BB y se arrolla en el tambor
tambor C.
vehículo se mueve
mueve con
una celeridad
celeridad constante
constante Vo == ii ,,hallar
expresión de la acelehallar la expresión
ración de un
un punto
situado entre BB y C,
C, en función
punto P del cable, situado
8. Expresar
también en función de 8.
8. (Observación:
(Observación: Adde e.
Expresar
también
componentes r y e
8 de la aceleración ddee A son
viértase que las componentes
ambas nulas.)
ee
~
~
\\
\\
e
Figuraproblema
2.162
Figura
problema 2.162
Figura
problema 2.160
Figuraproblema
2.160
2.163 El
Elpivote
pivote AA describe
describe una
una circunferencia
circunferencia de
de radio
radio 90
90mm
mm
2.163
mientras la
la manivela
manivela AC
AC gira
gira aa la
la velocidad
velocidad constante
constante
mientras
60 rad
rad /Is.
s. La
La pieza
pieza ranurada
ranurada gira
gira en
en torno
torno del
del punto
punto O
O
~~ == 60
667
7
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mientras que el vástago unido a A se mueve en vaivén dentro
de la ranura. Para la posición f3 = 30°, hallar r, r, y
e e.
Resp. i
3,58 mi s, r
=
=
315 mi s2
e = 17,86 rad,' s
e = - 1510 radl s2
t, s
z km
e, grados
t, s
r,km
e, grados
O
5
10
15
20
30
40
50
36,4
29,9
26,2
24,1
22,7
20,9
20,1
19,3
110,5
100,0
91,0
83,7
77,7
67,7
58,6
52,0
60
70
80
90
100
110
120
19,0
18,8
18,7
18,7
18,7
18,7
19,0
45,0
38,5
32,8
27,0
21,6
16,8
12,0
<,
~
.•..•
-----
300 rnrn
'W
\'"
--~--+_.I
\
"'-
\
"'"'-
\
\
Figuraproblema 2.163
"-
\ \ 1"J\,
~
\
\
r
\
\
Se presenta otra vez el jugador de béisbol del problema
2.111 y se añade más información. En el instante t = O,la pelota
sale proyectada con una velocidad inicial de 30 mi s que forma
un ángulo de 30° con la horizontal. Hallar los valores de
r. 1', r, e, y en el sistema de coordenadas x-y indicado para
el instante t = 0,5 s.
2.164
y
I
I
1
1
"ik~'1Ii>!~
n
!
I
I
\
\
\
\
\
f)
B
\
\
Figuraproblema 2.165
e e
I
\
~2.166
Si el brazo ranurado (problema 2.145) gira en sentido antihorario a una velocidad constante de 40 rpm y la leva
gira en sentido opuesto a 30 rpm, hallar la aceleración a del
centro del rodillo A cuando brazo y leva se hallan en una posición relativa tal que e = O.Los parámetros de la cardioide son
b = 100 mm y c = 75 mm. (Atención: Redefinir, según convenga,
las coordenadas tras observar que el ángulo e de la expresión
r = b - e cos eno es el ángulo absoluto que figura en la ecuación
2.14.)
.
Resp. a = 3,68 mi S2
Va = 30 mis
--1-2m
I
I
c=====~~======~·_--x
Figuraproblema 2.164
40 rey I min
Durante su regreso una cápsula espacial A es seguida
por la estación de radar B situada en el plano vertical de la trayectoria. Los valores de r y e se leen en función del tiempo y se
registran en la tabla adjunta. Hallar la velocidad v de la cápsula
cuando t = 40 s. Explicar cómo puede calcularse la aceleración
de la cápsula a partir de los datos tabulados.
Resp. v = 1020 km/h
2.165
68
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~Orev/rnin
Figuraproblema 2.166
2.7
MOVIMIENTO CURVILíNEO EN EL ESPACIO
69
2.7 MOVIMIENTO
El caso general de movimiento tridimensional de un punto material a lo largo
de una curva del espacio fue presentado en el apartado 2.1 e ilustrado en la figura 2.1. Ya se mencionaron los tres sistemas de coordenadas, rectangulares
(x-y-z), cilíndricas (r-8-z) y esféricas (R-8-rp) corrientemente utilizados para describir esta clase de movimientos. En la figura 2.16 se representan dichos sistemas y en la misma se indican también los vectores unitarios correspondientes
a cada sistema'.
Antes de exponer el uso de estos sistemas de coordenadas podemos observar que puede emplearse la descripción mediante las variables locales, descritas en el apartado 2.5, utilizando las coordenadas n y t dentro del plano
osculador. Este plano fue definido anteriormente como el plano que contiene
a la curva en dicha posición. Vemos que la velocidad v, que es tangente a la
curva, se halla en el plano osculador. La aceleración a del punto también se halla en el plano osculador y como en el caso del movimiento plano, puede representarse en función de su componente a¡ = tangente a la trayectoria, debida
a la variación del módulo de la velocidad y de su componente a.; = v2 / p normal
a la curva, debida a la variación de dirección de la velocidad. Como antes, p es
el radio de curvatura de la trayectoria en la posición considerada y sería medido dentro del plano osculador. Esta descripción del movimiento, que encontramos natural y directa para muchos problemas de movimiento plano, es de
poca utilidad en el caso del movimiento espacial porque el plano osculador
cambia de orientación continuamente, por lo que su empleo como referencia
resulta embarazoso. Por tanto, limitaremos nuestra atención a los tres sistemas
de coordenadas fijas representados en la figura 2.16.
CURVILÍNEO EN EL
ESPACIO
f)
R
v
ntieva
del
osison
ga,
ión
ión
(a) Coordenadas rectangulares (x-y-z), La ampliación de dos dimensiones a
tres dimensiones no ofrece dificultad especial. Basta simplemente añadir la coordenada z y sus dos derivadas temporales a las expresiones bidimensionales
2.6, de forma que el vector de posición R, la velocidad v y la aceleración a se
hacen
xi + yj + zk
R
=
v
R = xí +.vj + zk
= v = R = Xi + yj
a
Obsérvese que en tres dimensiones
no con r.
(2.15)
+ ik
el vector de posición se representa
con R y
(b) Coordenadas cilíndricas (r-O-r). Si se ha comprendido la descripción del
movimiento plano en coordenadas polares, no debe existir dificultad alguna
respecto a las coordenadas cilíndricas, puesto que sólo se necesita añadir la coordenada z y sus dos derivadas temporales. En coordenadas cilíndricas, el vector de posición R de un punto material es sencillamente
R = re; + zk
1 En una variante de las coordenadas esféricas bastante empleada, el ángulo
complemento.
I/J
se sustituye por su
http://gratislibrospdf.com/
'>...
1
~
X
Figura 2.16
70
CINEMÁTICA
PUNTO
CINEMÁTICA DEL PUNTO
ecuación 2.13
2.13 relativa
lugar de la ecuación
En lugar
relativa al movimiento
movimiento plano,
plano, la velocidad
velocidad puede
puede
escribirse
escribirse
v == fe
fer+réee+ik
r + rée e + ik
(2.16)
(2.16)
donde
donde
V rr
= fi
Ve
ve = ré
ré
Vzz
= iz
v = Jv/+vi+v/
V
Jv,2+vi+v/
Análogamente,
aceleración se escribe añadiendo
añadiendo la componente
componente z a la ecuaAnálogamente, la aceleración
2.14, lo que nos da
ción 2.14,
a = (f - riJ2)e r + (re + 2fé)ee + ik
(2.17)
(2.17)
donde
donde
= r - r()2
ar =r-r()2
ae
ae
d)+ 2fé
2fé
= re+
=
azz
=
!!
= r ddt (r
(r22é\JJ
=
z
a = Jar2+ai+az2
Jar2+ai+a z2
ee poseen
derivadas temporales
En tanto
tanto que los vectores
vectores unitarios
unitarios eerr y ee
poseen derivadas
temporales a causa
direcciones son variables,
obsérvese que el vector
de que sus direcciones
variables, obsérvese
vector unitario
unitario k de la
dirección z no varía
dirección y en consecuencia
consecuencia carece de derivadas
derivadas temdirección
varía de dirección
porales.
porales.
-1\
l.
(c) Coordenadas
Coordenadas esféricas
esféricas (R-()-<P).
(R-e-¡p).
Cuando para
situar la posición
(e)
Cuando
para situar
posición de un
un punpunto se emplean
emplean una
distancia radial
ángulos, como, por
una distancia
radial y dos ángulos,
por ejemplo, es el caso
aplican coordenadas
coordenadas esféricas. La deducción
deducción de la expresión
expresión de la
del radar,
radar, se aplican
velocidad
expresión de la aceleración
aceleración a es
velocidad v se realiza
realiza fácilmente; pero
pero la de la expresión
más complicada
complicada a causa de la geometría
geometría adicional
adicional necesaria.
necesaria. Por ello sólo daremos
aquí los resultados.
Empezamos señalando
señalando los vectores
eR' ee
ee
remos aquí
resultados. Empezamos
vectores unitarios
unitarios eR'
y e</J
e<l> tal como se muestran
figura 2.16.
2.16. Obsérvese
Obsérvese que el sentido
sentido del vector
muestran en la figura
eR es el que tendría
aumentara pero
eR
tendría el movimiento
movimiento del punto
punto P si R aumentara
pero manteniénmanteniénconstantes ()y
ey <p.
¡p. Asimismo,
sentido de e</Jes
e<l>es el que tendría
dose constantes
Asimismo, el sentido
tendría el movimienmovimiento de P si <p¡P aumentara
aumentara pero
constantes R y <p.
¡p. Finalmente,
pero manteniéndose
manteniéndose constantes
Finalmente, el
sentido de e</J
e<l>es el que tendría
aumentara pero
sentido
tendría el movimiento
movimiento de P si <p¡P aumentara
pero mantemanteniéndose
constantes R y ()e.. Las expresiones
expresiones de v y a resultantes
niéndose constantes
resultantes son
(2.18)
(2.18)
donde
donde
= R
R
VR =
ve
= Ré
=
Ré cos <p¡P
v"»
</J =
R~
= R~
http://gratislibrospdf.com/
uede
yy
(2.19)
(2.19)
a
2.16)
71
71
2.7
2.7 MOVIMIENTO
MOVIMIENTO CURVILÍNEO
CURVILÍNEO EN
EN EL
El
ESPACIO
ESPACIO
donde
donde
21/>
COS2lP
aaRR = RR-R~2_R¡j
- R~2 - RiJ cos
cos 1/>
lP dd R2 ..
cos
.. ..
ae == ~~ d/R28
2R()lP sen
sen 1/>
lP
ae
) ()) -- 2R81/>
d/
aq¡
a~ =
=
11 dd
..
r.2
r.2
..
R21/» + Rtf
R
R d/
d/R2lP)
Rtt sen
sen 1/>cos
lP cos 1/>
lP
Debemos mencionar
mencionar que
que pueden
pueden desarrollarse
desarrollarse transformaciones
transformaciones algebraialgebraiDebemos
cas lineales
lineales entre
entre dos
dos cualesquiera
cualesquiera de
de las
las tres
tres expresiones
expresiones de
de la
la velocidad
velocidad yy la
la
cas
aceleración en
en los
los tres
tres sistemas
sistemas de
de coordenadas.
coordenadas. Con
Con estas
estas transformaciones
transformaciones es
es
aceleración
posible, por
por ejemplo,
ejemplo, expresar
expresar las
las variables
variables del
del movimiento
movimiento en
en coordenadas
coordenadas
posible,
rectangulares si
si aquéllas
aquéllas se
se conocen
conocen en
en coordenadas
coordenadas esféricas,
esféricas, oo viceversa.
viceversa. El
El
rectangulares
manejo de
de estas
estas transformaciones
transformaciones es
es fácil
fácil con
con ayuda
ayuda del
del álgebra
álgebra matricial
matricial yy un
un
manejo
sencillo programa
programa de
de ordenador.
ordenador.
sencillo
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 2.11
parte del reposo y
El tornillo
tornillo motorizado
motorizado parte
recibe una
una velocidad
velocidad rotacional
rotacional que auaumenta
menta uniformemente
uniformemente con el tiempo
tiempo t
=
según
según
= kt,
ki, donde
donde k es una
una constante.
constante.
Determinar
Determinar las expresiones
expresiones de la velocivelocidad v y la aceleración
aceleración a del centro
centro de la
bola A cuando
cuando el tornillo
tornillo haya girado
girado
una vuelta
vuelta completa.
completa. El paso del tornillo
tornillo
(avance por vuelta)
vuelta) es L.
r---r---
ee
Solución.
Solución. El
El centro de la bola A describe una hélice contenida
contenida en una superficie
cie cilíndrica de radio b y las coordenadas
coordenadas cilíndricas r,
r, f)e y z quedan
quedan claramente
indicadas.
ee
Al
Al integrar
integrar la expresión
expresión de dada resulta
vuelta aa partir
partir del reposo tenemos
e = I'lf)
óe =
f)
f ee dt = ~kt2.
~kt2. Para una
2rr
27r == !kt
!kt22
22
.18)
con
con lo
lo que
que
2,.fiJk
tt == 2,.¡¡¡jk
yy así,
así, la
la velocidad
velocidad angular
angular al
al cabo
cabo de
de una
una vuelta
vuelta es
es
k(2,.fiJk) =
= 2jiik
2N
ee == ktkt == k(2,.¡¡¡jk)
http://gratislibrospdf.com/
CD A menos
menos que se comprenda
comprenda que el
Q)
ángulo del paso de la trayectoria
trayectoria heángulo
gobierna el movimiento
movimiento z
licoidal gobierna
relación al giro del
del tornillo,
tornillo, no
con relación
es posible
posible finalizar
finalizar el problema.
problema.
debemos tener
tener cuidado
cuidado en
en
Además, debemos
paso L por el
el perímetro
perímetro
dividir el paso
27rb y no
no por
por el
el diámetro
diámetro 2b
2b para
para obob2rrb
tener tg
tg y.y. Si
Si quedan
quedan dudas,
dudas, desarrodesarrotener
llar una
una vuelta
vuelta de
de la
la hélice
hélice descrita
descrita
llar
por el
el centro
centro de
de la
la bola.
bola.
por
El ángulo ydel
ydel paso de la hélice descrita
descrita por el centro de la bola gobierna
gobierna la
relación entre las componentes
componentes 8 y z de la velocidad
velocidad y está dado
dado por
L
/ (2nb)..
vemos en la figura que Ve == v cos y. Sustituyer:do
0" tg yY ==
=
L/(2nb)
.: Ent<?nces
Ent<:;mces
Sustituyer:do por
rectángulo y
triángulo rectángulo
(3) Dibujar
Dibujar un triángulo
\V el valor ve
ve ==
= r8
r 8 ==
= b 8 dado
dado porla
por la ecuación 2.16 resulta
resulta v == vel
ve/cos
~
cos y= b 8 I cos y.
recordar
recordar que si
si tg f3
f3 == a/b
a/b ,el
, el coObteniendo
ya
partir
y
Ysiendo
iJ
=
2jlik,
tenemos
Obteniendo
cos
ya
partir
de
tg
Y
siendo
8
==
2Jiik,
tenemos
ppara
ara la posición
2
seno de f3 se hace b/
b/ a22 + b2
seno
correspondiente al final de una vuelta
vuelta
correspondiente
o
JJa
o
Resp.
®
El signo
signo negativo de a
a,r es compatible
compatible
El
anterior
con nuestro conocimiento
conocimiento anterior
acerca de la componente
componente normal de
aceleración.
la aceleración.
componentes de la aceleración dadas
dadas por 2.1
2.177 se hacen
Las componentes
®
®
[ar ==
= r-riJ2
r - riJ2] ]
lar
0- b(2jlik)2 ==
= - 4bnk
4bnk
aayr === 0-b(2Jiik)2
[ae ==
= re
re++ 2f8]
2fiJ]
rae
aaee ===
bk + 2(0)(2Jiik)
2(0)(2jlik)
= bk
bk
bk
==
d
d
d
..
azz ==
di(v)
= di(v
= di(v
di(vee tg y) ==
= di(b8
di(b8 tg y)
z) ==
....
L
kL
kL
= (b tan y)8
y)8 ==
= b= ==
k ==
2nb
2n
2nb
2n
Ahora, combinando
combinando las componentes
componentes para
para obtener
obtener la aceleración total, tenemos
tenemos
(- 4bnk)2
4bnk)2 + (bk)2
(bk)2 + (~~)
(~)
(-
=
a ==
bkJ(l
2
Resp.
Resp.
+ 16n2) + L2/(4n2b2)
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Problemas introductorios
introductorios
Problemas
2.167 Supóngase
Supóngase que el tornillo motorizado
motorizado del problema
problema
2.167
tipo 2.11
aso ddee 30 mm.
2.11 tiene un ppaso
mm. Si b == 150
150 mm y si el tornillo
constante de 4 rps, calcular los valores de
gira a una velocidad
velocidad constante
la velocidad
velocidad y aceleración del centro de la bola A.
Resp. v == 3,77
3,77 m
mii s, a == 94,7
94,7 mi
mi S2
horizontal.
horizontal. La velocidad
velocidad de los vagones
vagones cuando
cuando pasan
pasan por A es
15 m
mii s y en dicho punto
punto la componente
componente de la aceleración según la tangente
tangente a la trayectoria
trayectoria es g cos y. El radio
radio efectivo de
la hélice cilíndrica es 5 m y el ángulo del paso de la hélice yy==
cuando
40°. Calcular el valor de la aceleración de los pasajeros cuando
pasan por el punto
punto A.
pasan
2.168
2.168 En cierto instante
instante la velocidad
velocidad y la aceleración de un
punto
aterial son v =
punto m
material
= 6i + 3j + 2k m
mii s ya
ya=
= 3i - j - 5k m
mii S2
S2..
Hallar el ángulo f3 que forman v y a y el radio ddee curvatura
curvatura p
plano osculador.
osculador.
en el plano
¡I
If
""
/1/1
1111
1/
11//
II
1Iti
_
11
_____
Ifti_____
_
tI
"
2.169
enadas rectangulares
2.169 Las coord
coordenadas
rectangulares de un punto
punto material
material
son x
--Jl
f\O~~i~/
f\O~~
i~/
V
Vo
11
vao
rr cos --t t y z ==
-t,t, yy ==
= rr sen va
= vot + 'ibt2.
'ibt2. Dibujar la
r
r
..
trayectoria
allar los módulos
trayectoria y hhallar
módulos de la velocidad
velocidad v y la aceleración a como funciones del tiempo t. Las cantidades
cantidades r, Vo
va y b son
constantes.
A
A
_____ -;;
»->:
~
~
Vert.
Figura
problema 2.170
Figuraproblema
2.170
2.170 Una atracción de feria llamada
llamada el "sacacorchos"
"sacacorchos" lleva a
2.170
interno de una hélice cilíndrica
los pasajeros a lo largo del lado interno
2.171 El órgano
órgano rotatorio
rotatorio de una cámara
cámara mezcladora
mezcladora ejecuta
movimiento axial periódico
periódico z == Zo sen 27mt
2nnt mientras
mientras gira
un movimiento
72
http://gratislibrospdf.com/
ee
la
y.
ón
con velocidad
velocidad angular
angular constante
constante
:=
expresión
con
= 0).
ro. Hallar
Hallar la expresión
del módulo máximo de la aceleración de un
un punto
punto A del borde
borde
r. La frecuencia n de la oscilación vertical es constante.
de radio r.
:= J
Jr20)4
16n44n4z
Resp. a max
r 2 ro4 + 16n
n4zo2o2
max =
p.
Figura problema
problema
Z
1
1
1
1
1
1
problema 2.171
Figura problema
2.171
~
/
os
/
/
-- "
2.173
2.173
n
......
r
Problemas representativos
representativos
Problemas
2.172 La antena del radar
radar P efectúa el seguimiento
seguimiento del avión
2.172
horizontalmente con una
celeridad u y
a reacción A que vuela horizontalmente
una celeridad
altura 11 por encima de P. Hallar
expresiones de las
Hallar las expresiones
a una altura
velocidad en las coordenadas
coordenadas esféricas cencomponentes de la velocidad
tradas definidas
definidas por el movimiento
movimiento de la antena.
antena.
h"adas
'X
"X
problema 2.174
2.174
Figura problema
2.175
Un avión
avión P despega
despega en A con una
Vo de
2.175
una velocidad
velocidad Va
250 km/h
dentro del plano vertical y'-z'
km / h Y
Y sube dentro
y' -z' bajo un
un ángulo
constante de 15° animado
animado de una
0,8 mi S2 seconstante
una aceleración de 0,8
gún
gún la trayectoria
trayectoria de vuelo.
vuelo. El radar
radar O observa la evolución del
vuelo. Descomponer
componentes ciciDescomponer la velocidad
velocidad de P en sus componentes
líndricas a los 60
60 segundos
segundos del despegue
despegue y determinar
determinar 1',
T, y ii
líndricas
(Sugerencia: Dibujar y relacionar las proyeccioen ese instante. (Sugerencia:
nes en los planos
componentes de la velocidad.)
planos x-y
x-y y x-z de las componentes
ee
problema 2.172
2.172
Figura problema
2.173 La boquilla
boquilla giratoria
giratoria rocía una
gran superficie circular
2.173
una gran
horizontal y gira a la velocidad
velocidad angular
angular constante
constante
:=
K. El
horizontal
= K.
Resp.
Resp. iT :=99,2m/s
=99,2m/s
ee =8,88(10-3)rad/s,
= 8,88(10- rad/s, iz =30,4m/s
=30,4m/s
3)
ee
constante i = c relaagua se mueve por el tubo a la velocidad
velocidad constante
expresiones de los módulos
módulos de la velotiva al tubo. Escribir las expresiones
cuando
cidad y de la aceleración de una
una partícula
partícula de agua P cuando
dada ¡¡del
pasa por una posición dada
del tubo giratorio.
Resp. v
a
JJcc22 + K2¡2
K2¡ 2 sen f3
f3
4c22
K sen f3JK2¡2
f3 J K2[2 + 4c
2.174 El
El pequeño
pequeño bloque P describe con la celeridad
celeridad constante
constante
2.174
ejecuta
asgira
contenida en la superficie inv la trayectoria circular de radio r contenida
Si es e = o
o en el instante t == O, hallar
componentes
hallar las componentes
clinada. Si
x, y y z de la velocidad y la aceleración como funciones del
tiempo.
problema 2.175
2.175
Figura problema
73
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2.176 El mecanismo
mecanismo robótico
robótico gira alrededor
alrededor de un
un eje vertiverti2.176
fijo a la vez que el brazo
brazo se alarga
alarga y se eleva. En un
un instante
instante
cal fijo
dado, 1/>=
1/>= 30°,
30°, ~
~ = 10 grd
grd/s/ s = cte., 1
1 = 0,5
0,5 m,
m, ii = 0,2
0,2 mis,
{=
dado,
m is, (=
mi/ S2 y Q.Q = 20 grd/
grdl s = cte. Hallar
Hallar los módulos
módulos de la velo- 0,3
0,3 m
cidad v y la aceleración
aceleración v de la pieza P
P asida.
cidad
x
problema 2.178
2.178
Figura problell.la
2.179
una altura
altura h, un
un avión describe un círculo horizontal
horizontal
2.179 A una
radio b a una
una celeridad
celeridad constante
constante u.
u. En está situado
situado un rade radio
e
problema 2.176
2.176
Figura problema
2.177 La estructura
estructura de la base de la escalera del coche de bom2.177
alrededor de un
un eje vertical que pasa por O con una
una
beros gira alrededor
velocidad angular
angular constante
constante Q
Q = 10 grd/
grdl s. Al mismo tiempo, la
velocidad
OB se eleva a la velocidad
velocidad constante
constante ~~ =
= 7 grd/
grdl s y el
escalera OB
tramo AB
AB avanza
avanza desde
desde el tramo OA
OA a la velocidad
velocidad constante
constante de
tramo
mi/ s.s. En el instante
instante considerado,
considerado, 1/1/>> = 30°,
30°, OA
OA = 9 m y AB
AB =
0,5 m
módulos de la velocidad
velocidad y aceleración del extre6 m. Hallar los módulos
mo B de la escalera.
seguimiento. Escribir las expresiones
expresiones de la velocidad
velocidad
dar de seguimiento.
coordenadas esféricas definidas
definidas por
por el radar
radar
para las coordenadas
del avión para
función de la posición
posición f3
f3 de aquél.
en función
Resp.
Resp. vRR ='
==
vq¡ =
,ve
sen
,ve= = u
usen
f32:f3
22
¡¿
-hu cos f}
2
J4b
2
sen2~ +
h
2
zz
I e
CJ..)
---_ - - _ -...........
1I1......---...........-- - . . . -. .
I /
I
J4b sen2~
sen2~ + h
h
22
Resp. vv = 2,96
2,96 m
mi/ s, aa = 0,672
0,672 m
mi/ S2
Resp.
Q
f3
bu sen f3
Ck_--b-rl°
C
k---b-rl°
/
o /
I
I
h
_--_----'~
-+-uu
'~
--
11
II
1
1
I
I
,/
,/
//11
1
11
11
1
R
R
;'
;'
II1 1
I1 1
III I
II
~~·---i-~8?~'--i-~'",:1
r
I
'",:1
,-e ,-JJ
'<7f,-,,
,
<,
problema 2.177
2.177
Figura problema
))
,,~ ~
,,
_-y
_-y
<,
problema 2.179
2.179
Figura problema
2.178 En una prueba
prueba del mecanismo
mecanismo de accionamiento de la
2.178
antena telescópica de una nave espacial, el eje
eje de sujeción gira
antena
alrededor del eje
eje fijo
fijoz
velocidad angular
angular constante Hallar
Hallar
alrededor
z a la velocidad
las componentes
componentes R,
R, ay
ay 1/1/>> de la aceleración a del extremo de la aninstante en que L = 1,2 m y f3
f3 = 45°
45° si durante
durante el movitena en el instante
permanecen constantes
constantes las velocidades
velocidades
= 2 rad
radl/ s,
miento permanecen
=
~ =
/ sy L
/s.
= ~~ rad
rad/sy
L==0,9
0,9 m
mis.
e.
e.
ee
2.180 Para las condiciones
condiciones del problema
problema 2.175
2.175 descomponer
descomponer
2.180
velocidad del avión P
P en sus componentes
componentes esféricas a los 60
la velocidad
segundos del despegue
hallar R, y ~~ en ese instante.
instante. (Susegundos
despegue y hallar
gerencia: Dibujar y relacionar
proyeccioones de la velocidad
velocidad
gerencia:
relacionar las proyeccioones
plano x-y
plano vertical que contiene a r y R.)
en el plano
x-y y en el plano
74
http://gratislibrospdf.com/
ee
2.181
rota en
torno al eje
vertical z con
una velociveloci2.181 El disco
disco A rota
en torno
eje vertical
con una
dad
rad I s. Simultáneamente,
el brazo
brazo
dad constante
constante úl =
= 8 =
= ni 3 rad
Simultáneamente,
articulado
velocidad constante
~ =
l 3 rad
articulado OB se
se eleva
eleva a la velocidad
constante ~
= 2n
2rr./3
rad/ l s.
En
mide desde
En el instante
instante t = O, es 8 = !/J
!/J = O. El ángulo
ángulo 8 se
se mide
desde el
el eje
eje
de
referencia fijo
hacia afuera
por la
vade referencia
fijo x. La
La esferita
esferita se
se desliza
desliza hacia
afuera por
la varilla
según R == 50 + 200
200 t2,, donde
donde R son
son milímetros
serilla según
milímetros y t son
son segundos.
módulo de
total a de
de P cuando
gundos. Hallar
Hallar el módulo
de la
la aceleración
aceleración total
cuando
t == 0,5 s.
Resp.
0,904 mi
Resp. a == 0,904
m i S2
úl
z
~2.183 Aprovechar
Aprovechar los
resultados del
problema 2.182 para
para
~2.183
los resultados
del problema
obtener
de
esobtener las
las componentes
componentes
de la aceleración
aceleración en
en coordenadas
coordenadas
esdirectamente
el vector
vector de
de posiposiféricas
féricas (ecs.
(ecs. 2.19) diferenciando
diferenciando
directamente
el
ción R
R == ReR'
ReR.
ción
~2.184 Los
una de
de
un parque
parque
~2.184
Los carros
carros de
de una
de las
las instalaciones
instalaciones
de un
unos brazos
brazos de
ddee atracciones
atracciones están
están sujetos
sujetos a unos
de longitud
longitud R, los
los
cuales están
están articulados
articulados en
en un
un plato
central giratorio
giratorio que
que arrasarrascuales
plato central
tra
conjunto en
en torno
eje vertical,
con una
constorno al eje
vertical, con
una velocidad
velocidad constra al conjunto
tante
Los carros
carros suben
suben y bajan
siguiendo la
tante úl == 8. Los
bajan por
por la pista
pista siguiendo
relación
(hI2)(1
cos 28). Hallar
Hallar las
las expresiones
expresiones
de R, 8 Y
relación z == (h
I 2)(1 - cos
de
Y
de la
la velocidad
de cada
cada carro
carro cuando
cuando éste
éste pasa
la posi!/J!/J de
velocidad v de
pasa por
por la
posición 8 == ni 4.
ción
úl
Resp. v»«R
Resp.
e
O
J 1- c~r
O,,ve == RúlJ1ve
Rúl
húl
húl
x
tal
ra-
=
=
---;::::===
vtjJ =
= -==--==
v",
ad
J1-c~r
J1-c~r
ar
Figura
2.181
Figura problema
problema 2.181
~2.182
En la
la figura
figura 2.16 asignar
asignar los
los vectores
~2.182 En
vectores unitarios
unitarios eR, ea
y eetjJ
las direcciones
direcciones
de la
la coordenadas
coordenadas
esféricas y hallar
tp a las
de
esféricas
hallar
__ - x
eR, ee
ee y etp
etjJ..
eR,
Resp.
eR
Resp. eR
~etjJ+ (8 cos !/J)ee
ee = ee
cos !/J)eRR + (8 sen
sen !/J)e
!/J)etjJ
(8 cos
",
etjJ = - ~eR
e",
~eR -
2.8
2.8
sen !/J)ee
(8 sen
Figura
2.184
Figura problema 2.184
MOVIMIENTO RELATIVO
TRASLACIÓN)
MOVIMIENTO
RELATIVO (EJESEN
(EJES EN TRASLACIÓN)
apartados precedentes
de este
este capítulo
capítulo hemos
descrito el movimiento
de
En los apartados
precedentes de
hemos descrito
movimiento de
coordenadas referidas
los puntos
puntos materiales
materiales utilizando
utilizando coordenadas
referidas a ejes de referencia
referencia fijos. Los desplazamientos,
desplazamientos, velocidades
velocidades y aceleraciones
aceleraciones determinados
determinados de
de esta
esta
forma se llaman
llaman absolutos.
absolutos. No
obstante, no
siempre es útil
conveniente ememforma
No obstante,
no siempre
útil ni
ni conveniente
plear
conjunto de
observar un
en la práctica
plear un
un conjunto
de ejes fijos para
para observar
un movimiento
movimiento y en
práctica
existen numerosos
en los que
que se simplifica
simplifica el estudio
estudio del
del movimienexisten
numerosos problemas
problemas en
movimiento empleando
empleando mediciones
efectuadas respecto
sistema de referencia
mediciones efectuadas
respecto a un
un sistema
referencia mómóvil. Tales
Tales mediciones,
cuando se combinan
combinan con
con el movimiento
absoluto del
del
mediciones, cuando
movimiento absoluto
sistema de coordenadas
coordenadas móvil,
determinar el movimiento
absosistema
móvil, nos
nos permiten
permiten determinar
movimiento absoluto en cuestión.
cuestión. Este procedimiento
conoce como
análisis por
movimiento
luto
procedimiento se conoce
como análisis
por movimiento
absoluto. .
absoluto
del sistema
sistema de
de coordenadas
coordenadas móvil
especifica respecto
El movimiento
movimiento del
móvil se especifica
respecto a
un
sistema de coorden
coordenadas
fijo.. En sentido
sentido estricto,
estricto, tal sistema
sistema fijo sería,
sería, según
según
un sistema
adas fijo
la Mecánica
Mecánica Clásica
Clásica de Newton,
sistema inercial
inercial fundamental
fundamental constituido
constituido
Newton, el sistema
75
http://gratislibrospdf.com/
76
CINEMÁTICA
CINEMÁTICA DEL PUNTO
PUNTO
y
A
y
y
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
oO
fB
---------- X
Figura 2.17
2.17
por
en el espacio.
espacio. Para
Para las aplicaciones
aplicaciones
por un
un sistema
sistema de ejes que
que se suponen
suponen fijos en
prácticas
sistema fijo cualquier
cualquier sistema
sistema cuyo
cuyo
prácticas cotidianas,
cotidianas, puede
puede tomarse
tomarse como
como sistema
movimiento absoluto
absoluto sea
sea despreciable
despreciable en
movimiento
en lo que
que respecta
respecta al problema
problema tratado.
tratado.
En la mayoría
planteados en
en la superficie
superficie temayoría de los problemas
problemas de ingeniería
ingeniería planteados
rrestre, nos
nos resultará
resultará suficientemente
suficientemente preciso
preciso tomar
tomar como
como sistema
sistema de
de referenreferenrrestre,
despreciando el movimiento
movimiento de
de ésta.
ésta.
cia fijo un
un sistema
sistema de ejes fijos a la Tierra,
Tierra, despreciando
Para
movimiento de satélites
satélites en
en torno
torno a
Para los problemas
problemas en
en los que
que interviene
interviene el movimiento
la Tierra,
formada por
por un
un sistema
sistema de
de coordecoordeTierra, una
una referencia
referencia conveniente
conveniente está
está formada
nadas
de rotación
rotación de la Tierra.
Tierra. Para
Para describir
describir
nadas cuyo
cuyo origen
origen se encuentre
encuentre en
en el eje de
un
viaje interplanetario,
un sistema
sistema de referencia
referencia no
no giratorio
giratorio
un viaje
interplanetario, será
será apropiado
apropiado un
fijo en
en el centro
centro del
del Sol. Así
Así pues,
pues, la elección
elección del
sistema
fijo
depende
de
la clase
del sistema
depende
clase
problema en
en cuestión.
cuestión.
de problema
este apartado
apartado vamos
vamos a limitar
limitar nuestra
nuestra atención
sistemas de
En este
atención a sistemas
de referencia
referencia
en
giran. El movimiento
movimiento observado
observado desde
desde
en movimiento
movimiento que
que se trasladan
trasladan pero
pero no
no giran.
sistemas
apartado 5.7 del
del capítulo
capítulo 5, que
que trata
trata
sistemas en rotación
rotación será
será examinado
examinado en
en el apartado
de la cinemática
donde dicho
dicho procedimiento
procedimiento recibe
recibe
cinemática de los cuerpos
cuerpos rígidos
rígidos y donde
una
importancia. Además,
Además, vamos
vamos a limitar
limitar
una aplicación
aplicación concreta
concreta pero
pero de gran
gran importancia.
también nuestra
nuestra atención
atención al análisis
análisis por
por movimiento
también
movimiento relativo
relativo del
del movimiento
movimiento
curvilíneo
curvilíneo plano.
plano.
Consideremos
que pueden
pueden estar
estar dotados
dotados
Consideremos ahora
ahora dos
dos puntos
puntos materiales
materiales A y B que
de sendos
un plano
plano dado
dado o en
en planos
planos paralelos
paralelos
sendos movimientos
movimientos curvilíneos
curvilíneos en
en un
(fig. 2.17)
punto B
B el origen
origen de
de un
un sistema
sistema de ejes
2.17).. Arbitrariamente,
Arbitrariamente, fijamos
fijamos en
en el punto
x-yen
de A desde
desde nuesnuesx-y en traslación
traslación (no giratorios)
giratorios) y observamos
observamos el movimiento
movimiento de
tra posición
posición móvil
móvil de B. El vector
vector de posición
posición de
tra
de A observado
observado relativamente
relativamente al
sistema
x-y es rAIB
yj, donde
significa "A con
con relación
relación
sistema x-y
rA/B = xi + yj,
donde el subíndice
subíndice "A/B"
"A/B" significa
a B" o "A respecto
son ii y j, Y x
respecto a B". Los vectores
vectores unitarios
unitarios según
según los ejes x e yy son
e yy son
en los ejes x-y.
x-y. La posición
posición absoluta
absoluta de
de B
son las coordenadas
coordenadas de A medidas
medidas en
está
medido desde
origen de los ejes fijos X-Y.
X-Y. Se ve,
está definida
definida por
por el vector
vector rB
rBmedido
desde el origen
por
está determinada
determinada por
por el vector
vector
por tanto,
tanto, que
que la posición
posición absoluta
absoluta de A está
II
II
Derivemos
respecto del
del tiempo,
tiempo, una
una vez
vez para
para obDerivemos ahora
ahora esta
esta ecuación
ecuación vectorial
vectorial respecto
tener velocidades
velocidades y dos
dos veces
veces para
para obtener
obtener aceleraciones.
tener
aceleraciones. Así
Así pues,
pues,
o bien
bien
o bien
bien
VA
VA
vB+vAIB
== vB+vAIB
(2.20)
(2.20)
(2.21 )
En la ecuación
que observamos
observamos desde
desde nuestra
nuestra posición
posición
ecuación 2.20, la velocidad
velocidad de A que
B ligada
x-y es fAlB
fAlB =
= v A/B
AIB =
= Xi
xi + yj . Este
Este término
término es la
ligada a los ejes móviles
móviles x-y
velocidad
en la ecuación
ecuación 2.21 la aceleración
aceleración
velocidad de A respecto
respecto a B. Análogamente,
Análogamente, en
de A que
desde
posición no
no giratoria
giratoria de
de B es
que observamos
observamos
desde nuestra
nuestra posición
iAlB =
= v
VAlB
= Xi
Xi +
+.vj
término es la aceleración
rAIB
AlB =
.vj . Este término
aceleración de
de A respecto
respecto a B. TenTengamos
los vectores
vectores unitarios
unitarios ii y j carecen
carecen de
gamos buen
buen cuidado
cuidado en
en observar
observar que
que los
derivadas
además de
de sus
sus módulos,
módulos, permanecen
permanecen
derivadas puesto
puesto que
que sus
sus direcciones,
direcciones, además
invariables.
de referencia
referencia en
en rotarotainvariables. (Más adelante,
adelante, cuando
cuando tratemos
tratemos de los ejes de
de los vectores
vectores unitarios
unitarios cuando
cuando
ción, deberemos
deberemos tener
tener en
en cuenta
cuenta las derivadas
derivadas de
éstos cambien
cambien de dirección.)
dirección.)
éstos
http://gratislibrospdf.com/
o
ir
o
e
a
e
ta
e
al'
to
os
os
es
sal
ón
La ecuación
ecuación 2.20 (o la 2.21) dice
dice que
que la velocidad
velocidad (o la aceleración)
aceleración) absoluta
absoluta
igual a la velocidad
velocidad (o la aceleración)
aceleración) absoluta
absoluta de B más,
más, vectorialmenvectorialmende A es igual
te, la velocidad
velocidad (o la aceleración)
aceleración) de A relativa
relativa a B,
B, que
que mediría
mediría un
un observador
observador
que
pueden expresarque s~
se moviera
moviera con
con B. Los términos
términos del
del movimiento
movimiento relativo
relativo pueden
expresaren cualquier
cualquier sistema
sistema móvil
móvil de coordenadas
que sea
sea conveniente
conveniente --rectanguse en
coordenadas que
rectangular, normal
y a tal fin pueden
las
normal y tangencial
tangencial o polarpolarpueden emplearse
emplearse las
formulaciones
diformulaciones de los apartados
apartados anteriores.
anteriores. El sistema
sistema fijo apropiado
apropiado según
según dichos
te.
chos apartados
apartados se convie~te
convierte en
en el sistem
sistemaa móvil
móvil del
del apartado
apartado presen
presente.
La selección
selección del
del punto
punto móvil
móvil B para
para asociarle
asociarle el sistema
sistema de coordenadas
coordenadas es
arbitraria. Igualmente
Igualmente se podría
podría utilizar
utilizar el punto
punto A
A para
para asociarle
asociarle el sistema
sistema
arbitraria.
móvil,
relativo corresponmóvil, en
en cuyo
cuyo caso
caso las tres
tres ecuaciones
ecuaciones del
del movimiento
movimiento relativo
correspondientes
dientes a la posición,
posición, velocidad
velocidad y aceleración
aceleración serían
serían
77
2.8 MOVIMIENTO
(EJES EN
2.8
MOVIMIENTO RELATIVO (EJESEN
TRASLACIÓN)
TRASLACIÓN)
yy
I
I
I
I
y
Seve,portanto,quer
-rA
/ B ya
yaB/AB / A == - aAA/B/ B
Se ve, por tanto, que rBB/A/ A
- rA/B/ ,B,vB
vB/A/ A == -- vA
V A/B
En el análisis
aceleraanálisis del
del movimiento
movimiento relativo
relativo importa
importa percatarse
percatarse de que
que la aceleración
x-y es igual
que
ción de una
una partícula
partícula observada
observada desde
desde u
unn sistema
sistema en
en traslación
traslación x-y
igual que
la observada
observada desde
desde un
un sistema
sistema X- y si el sistema
sistema móvil
móvil lleva
lleva velocidad
velocidad constanconstante. Esta
Esta conclusión
conclusión amplía
amplía la aplicabilidad
aplicabilidad de la segunda
segunda ley de
de Newton,
Newton, tratatratada en
en el capítulo
capítulo 3. En consecuencia,
consecuencia, concluimos
concluimos que
que todo
todo sistema
sistema de
da
de ejes
dotado de velocidad
velocidad absoluta
absoluta constante
constante puede
puede ser
ser utilizado
utilizado en
en lugar
lugar de
de un
dotado
un sistema
tema "fijo"
"fijo" para
para la determinación
determinación de aceleraciones.
aceleraciones. Todo
Todo sistema
sistema de referencia
referencia
en traslación
traslación que
que no posea
posea aceleración
aceleración se conoce
conoce como
como sistema
sistema inercial.
inercial.
I
I
II
II
I
lA
lA
--- ·x
I
I
I
II
II
:
fa
- -- --- - --- -- x
O ------------x
Figura
2.18
Figura 2.18
'X
B
e,
PROBLEMA TIPO
TIPO 2.12
2.12
b-
20)
21 )
ión
s la
ión
es
ende
cen
atado
viajan en el reactor
reactor coLos pasajeros
pasajeros que viajan
mercial A
que vuela
vuela hacia el este
este con
mercial
A que
una celeridad
celeridad constante
constante de 800
800 km/h
km/h obuna
servan un
un segundo
reactor B
B que
que pasa
servan
segundo reactor
por
volando horizonhorizonpor debajo del primero
primero volando
talmente. Aunque
está setalmente.
Aunque el morro
morro de B está
Ha/ando en la dirección
dirección 45
45°° nordeste,
nordeste, el
iialando
avión B se presenta
avión
presenta a los pasajeros
pasajeros de A
A
como
separándose de éste
éste bajo el ángulo
ángulo
como separándose
representado. Hallar
Hallar la velocidad
velocidad
de 60° representado.
verdadera de B.
verdadera
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Solución.
Los ejes
ejes de referencia móviles x-y
x-y están ligados aa A donde se efecefecLos
Solución.
túan la observaciones relativas. Por tanto, escribamos
CD
1 Cada avión
tratado como
como punto
punto Q)
CD
es tratado
material.
material.
o
0)
3
Identifiquemos seguidamente
seguidamente datos e incógnitas.
incógnitas. La velocidad
velocidad vA
vA es conocida,
Identifiquemos
módulo
El
60° de la dirección de vvB/A'
tanto
en
módulo
como
en
dirección.
El
ángulo
de
60°
B/A, veSuponemos que no hay viento
viento lateSuponemos
010cidad
observadores
movimiento
locidad
que
parece
tener
B
a
los
observadores
en
movimiento
de
A,
es
conocido
produzca deriva.
deriva.
ral que produzca
verdadera de B tiene la dirección de 45°
45° según la cual está dirigiy la velocidad verdadera
quedan son los módulos
módulos de VVBB Y
YvvB/Ada. Las dos incógnitas que quedan
B/A- Podemos resol0) ver la ecuación vectorial por tres procedimientos
procedimientos diferentes.
®
Conviene familiarizarse
familiarizarse con las tres
tres
Conviene
soluciones.
soluciones.
(1) Gráfica.
Gráfica.
punto P dibujando
dibujando VA
VA
(1)
Comencemos la suma de vectores desde un punto
conveniente y después
después tracemos una recta por el extremo de VA
vA que
a la escala conveniente
vB/A- A continuación,
continuación, tracemos por P la dirección
tenga la dirección conocida de vB/AY el punto
punto de corte e de ambas rectas nos da la única solución
VB Y
conocida de vB
permite completar
completar el triángulo
triángulo de vectores y medir
medir a escala los valores
que nos permite
\\
resultan ser
\\
desconocidos, que resultan
®
\\
devB/A
\\Dir.
Dir. de
v B/A
\\
VBI
A = 586
586
BIA
60°•\ \
P..
P
•\
VA =
= 800 km
km/h
vA
/h \
km/h
km/h
=
y
717
VBB = 717
km/h
km/h
Resp.
Resp.
(11) Trigonométrica.
Trigonométrica.
(11)
Se hace un esquema
esquema del triángulo
triángulo de vectores para evidenciar la geometría,
geometría, lo que nos da
800 sen 60:
60°
800
sen 75°
75
717
717 km/h
km / h
Resp.
Resp.
(11I)Algebraica
(/11) Algebraica vectoria/.
vectorial. Empleando
Empleando los vectores unitarios
unitarios ii y j podemos
podemos expresar
presar como sigue en forma vectorial cada una
Wla de las velocidades
velocidades
VA
800i
km / h
800i km/h
V
vBIBI A = (V
( VBIBI A
o Debemos
Debemos estar
estar dispuestos
dispuestos a identifiidentifi-
car
car cuál
cuál es la relación
relación trigonométritrigonométrica apropiada,
apropiada, que
que en este
este caso
caso es el
teorema
teorema de
de los senos.
senos.
45°)i + (V
(vBB sen 45°)j
45°)j
vBB = ((VvBB cos 45°)i
Vemos
Vemos que
que en este
este problema
problema conconcreto
creto las soluciones
soluciones gráfica
gráfica y trigotrigonométrica
nométrica son
son más
más breves
breves que
que la
algebraica
algebraica vectorial.
vectorial.
00
Aplicando
Aplicando estas expresiones
expresiones en la ecuación de la velocidad
velocidad relativa
relativa y operando
operando
con las componentes
componentes ii y j resulta
resulta
( Componentes
Componentes i)
(Componentes
( Componentes j)j)
®
®
00
cos 60
60 )(_i)
)(_i) + (V
(VBIBI Asen
A sen 60
60 )j)j
=
vBB sen 45°
45° =
= VVBIBI Asen
A sen 60°
60°
VBB
cos 45°
45°
= 800
800 - VVBI
A cos
COS 60°
BI A
® Resolviendo
Resolviendo este sistema
sistema de ecuaciones
ecuaciones resultan
resultan los módulos
módulos de las velocidades
velocidades
desconocidos
desconocidos
V
A =
VBI
BIA
586
586 km/h
km / h
yy
V
VB =
B
717
717 km/h
km / h
Resp.
Resp.
Vale la pena
pena observar
observar cuál sería la solución
solución de este problema
problema desde
desde el punto
punto de
vista
vista de un
un observador
observador de B. Fijando en
en BB unos
unos ejes de referencia, escribiríamos
escribiríamos
VA
VA=
= vB+
vB + VB/A;
V B/A; entonces, la velocidad
velocidad aparente
aparente de A
A observada
observada desde
desde BB es vA/B'
A/B'
opuesta
opuesta a vB/Av B/A-
78
78
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(
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 2.13
2.13
_~!_ILL
: - - - - - , - - Y-------'\
El automóvil
automóvil AA está
está acelerándose
acelerándose en
en la
la
El
dirección de
de su
su movimiento
movimiento aa razón
razón de
de
dirección
2 El
1,2 mls
1111S2
El automóvil
automóvil BB está
está tomando
tomando
1,2
una
curva
de 150
150 m
m de
de radio
radio con
con una
una ceceuna curva de
leridad constante
constante de
de 54
54 kmlh.
kmlh. Hallar
Hallar la
la
leridad
velocidad yy la
la aceleración
aceleración aparentes
aparentes del
del
velocidad
automóvil BB respecto
respecto aa un
un observador
observadol'
automóvil
que viaje
viaje en
en el
el automóvil
automóvil AA si
si éste
éste ha
ha alalque
canzado una
una celeridad
celeridad de
de 72
72 kml]:
kmlh en
en las
las
canzado
posiciones representadas.
representadas.
posiciones
o
1-
A
e
n
x - ~-IJI:Jl]-~~ - CII:llJ - ~ x-
CD
CD También
También podría
podría haberse
haberse seguido
seguido un
un
procedimiento
procedimiento gráfico
gráfico oo algebraico
algebraico
vectorial.
vectorial.
VA = 20
mis
" ,e,
,,
VB/A ",
n
,,
Solución. Como
Como se trata
trata del
del movimiento
movimiento de
de Brespecto
B respecto aa A,
A, tomamos
tomamos unos
unos ejes
ejes
Solución.
de referencia
referencia no giratorios
giratorios fijos
fijos en
en A.
A.
Velocidad.
Velocidad.
ecuación de la velocidad
velocidad relativa
relativa es
La ecuación
módulos de las velocidades
velocidades de A
AyB
B en la posición
posición considerada
considerada son
son
y los módulos
=
VA
VA =
7,2/ 3,6 == 20 mIs
mIs
7,2/3,6
vVBB
=
o Póngase
Póngase cuidado
cuidado para
para elegir
elegir entre
entre
54/ 3,6 = 15 mI
mis
54/3,6
Dibujando el triángulo
triángulo de velocidades
velocidades en el orden
orden indicado
indicado por
por la ecuación
ecuación y
Dibujando
resulta
aplicando los teoremas del coseno y de los senos resulta
ex-
= 18,03
mi s
18,03 mi
V
VB!
B; A =
Aceleración.
Aceleración.
ee =
La ecuación de la aceleración relativa es
[a l1 =v 2 / p)
Trazando,
Trazando, tal como
como se
se muestra,
muestra, el
el triángulo
triángulo de
de aceleraciones
aceleraciones en
en el
el orden
orden marcado
do por
por la
la ecuación
ecuación yy proyectando
proyectando en
en las
las direcciones
direcciones xx ee y se
se obtienen
obtienen las
las correscorrespondientes
pondientes componentes
componentes de
de aBIA
aB/A
(a
-1,2 == 0,099
CaB!; A)x
A) == 1,5
1,5cos
cos 30·
30°-1,2
0,099m
mIi s2
s2
B
des
x
(a
CaBB!; A)y
A)y ==
1,5
1,5sen
sen 30·
30° == 0,750
0,750m
mIi s2
s2
de
(0,099)2 ++ (0,750)2
de donde
donde aaBB;! AA == JJCO,099)2
(0,750)2== 0,757
0,757m
mii s2
s2
Resp.
Resp.
La
BIA puede
Ladirección
dirección de
de aaS/A
puede especificarse
especificarse mediante
mediante el
el ángulo
ángulo f3f3 que,
que, según
según el
el teoteorema
rema de
de los
los senos,
senos, será
será
2
1,5
1,5
sen
sen f3f3
0,757
0,757
sen
sen 30·
30°
arcsen(0~7;7 0,5)
0,5)
f3f3 == arcsen(oj~7
==
Resp.
Resp.
46,1°
46,1"
La
La aceleración de A se conoce
conoce y la aceleración
aceleración de B es normal
normal aa la curva en la din
y
su
módulo
es
rección
rección
su módulo es
do
los dos
dos valores
valores 82.5°
82.5 0 yy 180
180 -- 82,5
82,5
97,5º.
97,52.
=
97,S·
97,5°
Resp.
Resp.
Sugerencia: Para aumentar
aumentar la famiSugerencia:
liarización con el manejo
manejo de ecuaecualiarización
ciones vectoriales,
vectoriales, se sugiere
sugiere escribir
escribir
ciones
nuevamente las ecuaciones
ecuaciones del monuevamente
vimiento
relativo
forma vB
ve ,1A =
=
vimiento relativo en la forma
VB
VA
Y
aB/A
=
aB
aAYdibujar
otra
ve - VA aBIA =aB a:1 Ydibujar otra
polígonos vectoriales
vectoriales de forvez los polígonos
ma que se adapten
adapten aa estas otras
otras expresiones.
presiones.
Advertencia. Hasta
Hasta aquí
aquí sólo
sólo estaestaAdvertencia.
mos
en
disposición
de
manejar
el
mos en disposición de manejar el
movimiento relativo
relativo aa ejes
ejes no
no giratogiratomovimiento
rios. Si
Si hubiéramos
hubiéramos fijado
fijado los
los ejes
ejes de
de
rios.
referencia rígidamente
rígidamente al
al automóvil
automóvil
referencia
B, éstos
éstos girarían
girarían con
con el
el automóvil
automóvil yy
B,
hallaríamos que
que los
los términos
términos de
de vevehallaríamos
locidad yy aceleración
aceleración relativos
relativos aa los
los
locidad
ejes giratorios
giratorios no
no son
son opuestos
opuestos aa los
los
ejes
medidos en
en los
los ejes
ejes no
no giratorios
giratorios que
que
medidos
se mueven
mueven con
con A.
A. los
los ejes
ejes giratorios
giratorios
se
se tratan
tratan en
en el
el apartado
apartado 5.7.
5.7.
se
79
79
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PROBLEMAS
Problemas introductorios
2.185 Los trenes A y B viajan por sendas vías paralelas. El
tren A posee una celeridad de 80 km/h Y está desacelerándose
a razón de 2 mi S2, mientras que el B mantiene una celeridad
de 40 km/h. Hallar la velocidad y la aceleración del tren B respecto al A.
Resp. vBIA = 120i km/h, aBIA = - 2i mi S2
A
---------·x
B
2.188 Un velero ciñe por babor con viento norte. La corredera
registra una celeridad del casco de 6,5 nudos. El "axiómetro"
(cordel ligero atado al aparejo) indica que la dirección aparente
del viento forma un ángulo de 35° con el eje del barco. ¿Cuál es
la verdadera
celeridad del viento v,/
Figuraproblema 2.185
2.186· El avión de pasajeros B vuela hacia el este con una velocidad vB = 800 km/h. Un reactor militar que viaja hacia el sur
con una velocidad VA = 1200 km/h pasa por debajo de B volando un poco más bajo. ¿Qué velocidad les parece que lleva A a los
pasajeros de B y cuál es la dirección de esa velocidad aparente?
I
I
I
N
t
~
B
__
Figuraproblema 2.188
I
2.189 Para aumentar
de velocidad,
el ésquiador acuático A
corta por la estela de la lancha de remolque B, que posee una
velocidad de 60 km/h. En el instante en que (J = 30°, la trayectoria verdadera
del esquiador forma un ángulo f3 = 50° con el
+VA
---x
VB
Figuraproblema 2.186
2.187 El trenA viaja con una celeridad constante VA = 120 km/h
por la vía recta y plana. El conductor del automóvil B, previendo el paso a nivel
disminuye la velocidad de 90 km/h de su
vehículo a razón de 3 mi S2. Hallar la velocidad y la aceleración
del tren respecto al automóvil.
e
Resp. v A/B
aA/B
= 70,9i - 46,9j
= 1,5i
km/h
+ 2,60j mi
s2
Figuraproblema 2.189
80
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cabo de
de enganche.
enganche. Para
Para esa
esa posición
posición hallar
hallar la
la velocidad
velocidad vVA
del
A del
cabo
esquiador yy el
el valor
valor de
de
esquiador
Resp. VA
VA =
= 80,8
80,8 km/h,
km/h, =
= 0,887
0,887 rad/s
rad/s
Resp.
e.e.
N (0°)
I
ee
A
._-- --~
I
I
~
-¿7
Problemas representativos
representativos
Problemas
2.190 Se
Se representan
representan dos
dos automóviles
automóviles AA yy BB que
que viajan
viajan por
por
2.190
calzadas rectas.
rectas. Si
Si el
el incremento
incremento por
por unidad
unidad de
de tiempo
tiempo de
de la
la
calzadas
distancia AB
AB que
que separa
separa aa ambos
ambos es
es igual
igual al
al módulo
módulo de
de la
la vevedistancia
entre ellos
ellos que
que está
está quieto,
quieto, ¿que
¿que puede
puede afirafirlocidad relativa
relativa entre
locidad
de las
las velocidades
velocidades de
de los
los vehículos?
vehiculos?
marse acerca
acerca de
marse
10°
---.
B
Figuraproblema
Figura problema 2.192
2.192
2.193
2.193 El
El jugador
jugador de
de hockey
hockey AA guía
guía el
el disco
disco con
con su
su bastón
bastón en
en la
la
dirección
que se
se indica
indica con
con una
una celeridad
celeridad VA
VA =
= 44 m/
m / s. Al
Al hacer
hacer
dirección que
un
un pase
pase aa su
su compañero
compañero de
de equipo
equipo B, que
que está
está quieto,
quieto, ¿cuál
¿cuál
debe
debe ser
ser el
el ángulo
ángulo de
de tiro
tiro a respecto
respecto aa su
su visual
visual si
si lanza
lan za con
con
una
una celeridad
celeridad inicial
inicial de
de 7 m
m// s respecto
respecto aa sí
sí mismo?
mismo?
Resp.
Resp. aa =
= 23,8°
Figura problema 2.190
2.190
Figuraproblema
automóvil A posee
posee una
una celeridad
celeridad hacia
hacia adelante
adelante de
de
2.191 El automóvil
18 km/h
km / h y está
está acelerando
acelerando a 3 m / s2.
S2. Hallar
Hallar la
la velocidad
velocidad y la
respecto al observador
que está
suaceleración del
del vehículo
vehiculo respecto
aceleración
observador B, que
está subido en
una barquilla
barquilla no
no giratoria
giratoria de
noria. Ésta
Ésta posee
posee una
una
bido
en una
de la noria.
velocidad angular
constante Q
Q =
rpm.
velocidad
angular constante
= 3 rpm.
Resp. v AlB
A/B =
= 3, OOi
OOi + 2, OOjkm/h
OOj km / h
Resp.
a AlB
A/ B =
2.194
con rumbo
oeste a 15 nudos
nudos y el B
2.194 El barco
barco A navega
navega con
rumbo oeste
con rumbo
sudoeste. La marcación
e de
de B relativa
de 80°
con
rumbo sudoeste.
marcación e
relativa a A es de
y no
las tres
de la tarde
tarde la distancia
distancia entre
entre A y B es de
de
no varía.
varía. Si a las
tres de
náuticas, ¿cuándo
¿cuándo ocurrirá
ocurrirá la colisión
colisión si ninguno
de los
8 millas
millas náuticas,
ninguno de
dos cambia
cambia el rumbo
velocidad? ¿A qué
qué velocidad
velocidad navega
navega
dos
rumbo o la velocidad?
3,63i+
m / s2
3,63i+ 0,628j m/s2
yy
1I
B?
B?
I
B
Figuraproblema
Figura
problema 2.193
2.193
I
LL __
__ -x
~E
~B
//\ \\
A
so
SO
\\
\
Figura
problema 2.191
Figuraproblema
\
\
.....;
~
2.192
2.192 Un
Un barco
barco pequeño
pequeño capaz
capaz de desarrollar
desarrollar 66 nudos
nudos en
aguas
aguas tranquilas
tranquilas se
se mantiene'
mantiene' proa
proa al
al este
este mientras
mientras que
que es
es imimpulsado
pulsado hacia
hacia el
el sur
sur por
por una
una corriente
corriente oceánica.
oceánica. El rumbo
rumbo ververdadero
dadero del
del barco
barco es de
de A aa B,
B, separados
separados una
una distancia
distancia de
de 10
10
millas
millas náuticas
náuticas que
que requiere
requiere 22 horas
horas exactamente.
exactamente. Determinar
Determinar
la
la celeridad
celeridad VVw de
de la
la corriente
corriente y su
su dirección
dirección medida
medida en
en sentido
sentido
horario
horario desde
desde el
el norte.
norte.
9~
OJ~A
O ~~A
~
~
Figuraproblema
2.194
Figura
problema 2.194
2.195 En
En el
el instante
instante representado
representado la
la velocidad
velocidad del
del automóvil
automóvil
2.195
es de
de 100
100 km
km/h
aumenta aa razón
razón de
de 88 km/h
km/h cada
cada segundo.
segundo.
A es
/ h Y aumenta
A la
la vez,
vez, el
el automóvil
automóvil B
B lleva
lleva una
una velocidad
velocidad de
de 100
100 km/h
km/h cuancuanA
81
81
http://gratislibrospdf.com/
do toma
toma lalacurva
curva yy disminuye
disminuye de
de velocidad
velocidad aa razón
razón de
de 88km
kmlh
do
lh
cada segundo.
segundo. Hallar
Hallar la
la aceleración
aceleración que
que los
los pasajeros
pasajeros del
del autoautocada
móvil AA aprecian
aprecian en
en el
el B.
B.
móvil
Resp. aB
aB/A
4,4i ++ 2,57j
2,57j m
mii S2
S2
Resp.
IA ==-- 4,4i
2.199
2.199 En
En el
el instante
instante representado
representado la
la aceleración
aceleración del
del automóautomóvil
vil A
A tiene
tiene la
la dirección
dirección de
de su
su movimiento
movimiento yy el
el automóvil
automóvil BB tiene
tiene
una
una celeridad
celeridad de
de 72
72 km/h
kmlh que
que está
está aumentando.
aumentando. Si
Si la
la aceleraaceleraallar la
ción
ción de
de BB observada
observada desd
desdee AA es
es cero
cero en
en ese
ese instante,
instante, hhallar
la
aceleración
e tiempo
aceleración de
de A
A yy la
la variación
variación por
por unidad
unidad dde
tiempo de
de la
la ceceleridad
leridad de
de B.
B.
Resp.
Resp. aaAA = 3,14
3,14 m
mii S2,
S2,vB
'ÚB =
= 2,22
2,22 m
mii S2
s2
tt
I
~~
R:j\) {\'
~?)
A
AI_
e- - -- - y - - -
2.198
ateriales que
2.198 Para
Para tres
tres puntos
puntos m
materiales
que se
se mueven
mueven en
en un
un mismismo
lano oo en
mo pplano
en planos
planos paralelos,
paralelos, demostrar
demostrar que
que la
la velocidad
velocidad yy
la
as respecto
la aceleración
aceleración relativ
relativas
respecto aa ejes
ejessin
sin rotación
rotación cumplen
cumplen las
las
ecuaciones
elB Y
ecuaciones vvAIB
A/B =
= vVAle
A/C +
+ vvC/B
Y aAIB
aA/B =
= aAle
aA/C +
+ aelB'
aC/B'
II
t
II
II
II
2.196 En
En el
el instante representado
representado el automóvil
automóvil A m
marcha
2.196
arch a por
la curva
curva circular
circular aa la velocidad constante de 50 km /I h, mientras
mientras
la
el B
B di
disminuye
velocidad a razón de 8 km/h
kmlh por segunque el
sminuye de velocidad
do. Hallar la
la aceleración que el automóvil
automóvil A parece llevar a un
do.
observador que viaje en el automóvil
automóvil B.
observador
/ 1
tf
/~
A~/
1
I
180m
1
1
1
I
_ _ ,-1_-
~
150
I
111
---------,--~ - - -- - - --,---
~
./
"""---- B DCllJ -----
30°
30°
\
Figura problema
problema 2.199
2.199
/->
/
/-r
/~
~
'~ /
~/
/~~
\
/
\
B
/~ ;r
/
2.200 Dos aviones, A y B, vuelan
vu elan horizontalmente
horizontalmente en el mismo
rrUsmo
2.200
plano vertical
vertical a las altitudes
altitudes respectivas
respectivas de 2,40
2,40 km YY 1,80
plano
1,80 km YY
respectivas velocidades
velocidades de 800
800 kmlh
kmlh YY 600
600 km/h.
km / h. Cuando
Cuando
a las respectivas
ángulo eede
d e la visual
visual de BB a A llega a los 30°, hallar
hallar la variavariael ángulo
por unidad
unidad de tiempo
tiempo con que
que aumentan
aumentan la distancia
distan cia
ciones por
r A/B de a A
A a BB y el ángulo
ángulo e.
rA/B
IY
IY
I1
L_-x
L--x
~
~
Figura
Figura problema
problema 2.196
2.196
2.197
2.197 Los satélites A
A yy BB describen
describen la misma
misma órbita
órbita circular de
altura
altura h =
= 1500
1500 km. Hallar
Hallar el módulo
módulo de la aceleración del satélite
un observador
observad or sin rotación
rotación situado
situado en
en el satéte BB con relación a un
lite A.
A. Emplear
Emplear go
go == 9,825
9,825 mi
m i s2como
s2 como aceleración
aceleración gravitatoria
gravitatoria en
en
la superficie de la Tierra
Tierra yy R
R=
= 6371
6371 km
km como
como radio
radio de
de la
la misma.
misma.
Resp. aB/A
aBIA =
= 9,10
9,10 mi
m i S2
s2
A
A
~
~
yy
I1
y~t-~
y~t-""
107
!~I
\
1
\\
J¡J¡ =
=
I
/
I
A
45° :
/
))
1
1500
1500 km/~
ktn/ ' "
\
I/
I/
I/
I/
I/
I1 //
le I/
le
-- xx
/J AA
/)
'--- ------
I/
I
I/
I/
I/
I1 I/
~
~
, VB
"VB
BB
'-- --------
Figura
Figura problema
problema 2.197
2.197
Figura problema
problema 2.200
2.200
Figura
82
82
http://gratislibrospdf.com/
terrestre está
está situado
situado en
en una
circular
2.201 Un
Un satélite
satélite terrestre
2.201
una órbita
órbita circular
polar a una
una altura
altura de
de 240 km,
km, que
que requiere
requiere una
una velocidad
velocidad orbiorbipolar
tal de
h con
de 27 940 km
km l/h
con relación
relación al centro
centro de
de la Tierra,
Tierra, consideconsiderado
va de
cuando pasa
pasa
rado éste
éste fijo en
en el espacio.
espacio. Si va
de sur
sur a norte,
norte, cuando
sobre
paresobre un
un observador
observador en
en el Ecuador
Ecuador ¿en
¿en qué
qué dirección
dirección le parecerá a éste
la Tierra
Tierra es
es
éste que
que se mueve?
mueve? El radio
radio ecuatorial
ecuatorial de
de la
km Y su
su velocidad
velocidad angular
angular 0,729(10
0,729(10 --4)
radll s.
6378 km
4) rad
Resp. Dirección
norte hacia
hacia el
Dirección aparente,
aparente, 3,43°
3,43° del
del norte
oeste
oeste (356,57°)
(356,57°)
2.204 Arrancando
Arrancando de
la posición
posición marcada
con "x",
un jugajuga2.204
de la
marcada con
"x", un
dor de
fútbol americano
ejecuta la carrera
carrera que
en
dor
de fútbol
americano B
B ejecuta
que se muestra
muestra en
la figura
partir del
una celeridad
la
figura y a partir
del quiebro
quiebro en
en P corre
corre con
con una
celeridad
constante VB == 7 mi
en la dirección
Q lanconstante
m i s en
dirección indicada.
indicada. El interior
interior Q
lanza la
la pelota
pelota con
una velocidad
velocidad horizontal
horizontal de
mi s en
moza
con una
de 30 mi
en el momento en
que el receptor
receptor B pasa
pasa por
por P. Hallar
Hallar el ángulo
mento
en que
ángulo a con
con
que el interior
de ésta
que
interior debe
debe lanzar
lanzar la pelota
pelota y la
la velocidad
velocidad de
ésta con
con
relación al receptor
receptor en
momento en
en que
la recoge.
recoge. DesDesrelación
en el momento
que éste
éste la
preciar
de la pelota.
preciar el movimiento
movimiento vertical
vertical de
pelota.
2.202 El avión
avión B vuela
vuela a una
una celeridad
celeridad constante
constante VB
= 600 km
krrr/h
2.202
VB =
lh
a lila
m . Cuando
una
una altura
altura de
de 1800 m.
Cuando el avión
avión A se encuentra
encuentra a una
altura
vertical que
que
altura de
de 3000 m, su
su visual
visual a B se halla
halla en
en el plano
plano vertical
contiene
contiene a la trayectoria
trayectoria de
de vuelo
vuelo de
de B y forma
forma un
un ángulo
ángulo e
e == 30°
30°
vertical. Hallar
Hallar el valor
valor de
de la velocidad
velocidad que
que debe.ría
con la vertical.
debe.ría manmantener A para
tiempo transtranstener
para que
que se produjera
produjera una
una colisión.
colisión. ¿Que
¿Que tiempo
curriría desde
desde el instante
instante descrito
descrito hasta
hasta la colisión
colisión si no
curriría
no se
efectuara
efectuara alguna
alguna maniobra
maniobra evasiva?
evasiva?
y
I
I
le\
1
1\ \
I
\
1I
\\
\
I
VA
~
x-------¡\
X-------¡\
30~\",
\\
3000m
3000m
\\
\\
\\
--x
---x
-----_
- - - - - - - ____
----
B
300~\,"
A
----~-----------------~------------1\
12°
1\
_____ 12°
"'IIpp
15 m
15m
\\
\\
Q
----
Figura problema
problema 2.204
2.204
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
------~
-- - --1800
--1800 m
m
- - - --~ ____ B
VB
problema 2.202
2.202
Figura problema
2.203 El aeroplano
aeroplano A vuela
vuela horizontalmente
horizontalmente
a la velocidad
2.203
velocidad
constante de
de 200 kmlh
krn/I. remolcando
remolcando al planeador
planeador B, que
que está
está gaconstante
ganando altitud.
altitud. Si la longitud
longitud del
del cable
cable de
de remolque
remolque es r =
= 60 m
nando
e aumenta
aumenta constantemente
constantemente
razón de
de 5 grados
grados por
segundo,
ye
a razón
por segundo,
hallar los módulos
módulos de
de la velocidad
velocidad v y la aceleración
aceleración a del
hallar
del plaplaneador en
en el instante
instante en
en que
que e
e == 15°.
neador
Resp. vB
VB = 206 km/
km/h,h, aB = 0,457
0,457 m
mii S2 de
de B a A
~
con una
~ 2.205
2.205 Un
Un bateador
bateador golpea
golpea la pelota
pelota A con
una velocidad
velocidad
inicial
de Vo
Va =
= 30 mi
directamente hacia
forinicial de
m i s directamente
hacia el jugador
jugador B y formando
ángulo de
de 30°
30° con
con la
mando un
un ángulo
la horizontal;
horizontal; la pelota
pelota se halla
halla iniinicialmente a 0,90 m del
del suelo.
suelo. El jugador
cialmente
jugador B
B necesita
necesita 0,25 s para
para
estimar donde
donde debe
debe recoger
recoger la pelota
comienza a desplazarse
desplazarse
estimar
pelota y comienza
hacia
esa posición
celeridad constante.
constante. Gracias
Gracias a su
su gran
hacia esa
posición a celeridad
gran exexperiencia,
ajusta su
su carrera
carrera de
que llega
periencia, el jugador
jugador B ajusta
de modo
modo que
llega a la
"posición de
de recogida"
de re"posición
recogida" a la vez
vez que
que la pelota.
pelota. La
La posición
posición de
recogida es el punto
del campo
campo en
en que
que la
altura de
de la pelota
cogida
punto del
la altura
pelota es 2,1
m.
de la pelota
con relación
en el
m . Hallar
Hallar la velocidad
velocidad de
pelota con
relación al jugador
jugador en
momento
en que
que se hace
ella.
momento en
hace con
con ella.
Resp. v A/B
= 21,5i
A/B =
21 ,5i + 14,19j
14,19j mi
mi s
yy
I
I
L--x
L- - x
B
B
--___ B
____
=-.,l.,g:::;;;;;¡¡:c~¡ ~
!
A
-----~"'--.-~
65m
65m
~I
~I
Figura problema
problema 2.205
2.205
problema 2.203
2.203
Figura problema
83
http://gratislibrospdf.com/
~2.206 El avión A,
A, con equipo detector de radar, vuela hori~2.206
km de altura y aumenta
zontalmente a 12
12km
aumenta su celeridad a razón de
zontalmente
mI/ s cada segundo. Su radar
detecta un
vuela en
1,2 m
radar detecta
un avión que vuel.a
la misma dirección y en el mismo plano
plano vertical a una
una altura
altura de
18 km. Si
Si la celeridad
celeridad de A es de 1000
1000 km
krrr/h
instante en
18
/ h en el instante
30°, determinar
determinar los valores de r
r y en ese mismo insque e
e== 30°,
celeridad constante
constante de 1500
1500km/h.
tante si B tiene una celeridad
km/h.
km
18 km
rr =
-..•..
---- ..r"-' .••..----A
0,1660(10-- 3) rad/s
ee = 0,1660(10
rad /s
2 2
3)
Figura
problema 2.206
Figuraproblema
2.206
2.9
2.9
A\
A
ii
A'{DC
A ' f~C
I
Q7
~
1
Figura
2.19
Figura 2.19
-----
- .....- - - -..r"-' ...... - . - - - - - - - - -
- 0,637
0,637 m
mI/ s2
=
B
B
~/,2~
~/12~
ee
Resp.
Resp.
_,
----------~~-
----------~ ~-
JJ
MOVIMIENTO VINCULADO
MOVIMIENTO
VINCULADO DE PUNTOS
PUNTOS MATERIALES
MATERIALES
CONECTADOS
CONECTADOS
movimientos de puntos
Hay ocasiones en que los movimientos
puntos materiales están interrelavirtud de los vínculos que establecen miembros
miembros que conectan
cionados en virtud
unos a otros y se hace necesario tener en cuenta tales vínculos, o ligaduras,
ligaduras,
cuando
puncuando hay que determinar
determinar los movimientos
movimientos respectivos de los distintos
distintos puntos.
Consideremos primero
interconectados A
Consideremos
primero el sencillo sistema de dos puntos
puntos interconectados
perfectamente evidente
y B de la figura 2.19.
2.19. Aunque
Aunque sea perfectamente
evidente que el movimiento
movimiento
horizontal de A es doble que el movimiento
horizontal
movimiento vertical de B,
B, emplearemos
emplearemos este
ilustrar el método de análisis que luego trasladaremos
trasladaremos a situaciopara ilustrar
ejemplo para
resultados no pueden
pueden deducirse
nes más complicadas, en las que los resultados
deducirse por mera
observación. Es obvio que el movimiento
movimiento de B es el mismo que el del centro de
su polea, por lo que estableceremos las coordenadas
coordenadas de posición x e yy medidas
medidas
adecuada. La longitud
longitud total del cable es
desde una referencia adecuada.
L
=x+
T + 2y +
71:1'
nTI
+b
L, r2'
r» rl
TI Y
y b, las dos primeras
derivadas temporales
temporales de esta
Siendo constantes L,
primeras derivadas
ecuación dan
oo == xx + 2y
2y
O
O == xx + 2y
2y
o sea
O
O =
= VVAA + 2vBB
o sea
00== aAA + 2aBB
Las ecuaciones de ligadura
velocidad y la aceleración indican que,
ligadura de la velocidad
para
coordenadas elegidas, el signo de la velocidad
velocidad de A debe ser opuesto
opuesto
para las coordenadas
al de la velocidad de B y lo mismo para
para las aceleraciones. La ecuaciones de ligadura son válidas para
movimiento del sistema en uno u otro sentido.
gadura
para el movimiento
Como los resultados
resultados no dependen
dependen de las longitudes
longitudes ni de los radios de las
poleas, podemos
movimiento sin considerar
considerar esos parámetros.
podemos analizar el movimiento
parámetros. En la
parte
izquierda de la figura 2.19
2.19se
ampliada del diámetro
parte izquierda
se representa
representa una
una vista ampliada
horizontal
instante cualquiera. Es evidente
evidente
horizontal A'B'C
A'B'C de la polea horizontal
horizontal en un instante
84
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que A Y A'
A' tienen las mismas
mismas magnitudes
magnitudes cinemáticas, al igual que B y B'
B'.. Durante un desplazamiento
A' se ve fácilmente que B'
desplazamiento infinitesimal
infinitesimal de A'
B' se desplaza la mitad, ya que el punto
punto e considerado
considerado como punto
punto del cable no se mueve.
Así, derivando
derivando respecto
respecto al tiempo
tiempo mentalmente,
mentalmente, deducimos
deducimos por inspección
inspección las
Así,
relaciones entre las velocidades
velocidades y entre las aceleraciones.
aceleraciones. De hecho, la polea es
una rueda
rueda que gira sobre el cable vertical fijo.
fijo. (La
(La cinemática de la rueda
rueda se trata con mayor
mayor extensión
extensión en el capítulo
capítulo 5,
5, dedicado
dedicado al movimiento
movimiento del cuerpo
cuerpo rígido.)
gido.) Del sistema de la figura 2.19
2.19 se dice que tiene un
un grado de libertad
libertad puesto
puesto
que basta con una
una variable, x o y, para
para defüúr
definir las posiciones de todas
todas sus partes.
tes.
En la figura 2.20
grados de libertad.
2.20 se representa
representa un sistema de dos grados
libertad. Aquí
Aquí la
posición del cilindro inferior depende
depende de los valores independientes
independientes de las dos
coordenadas
coordenadas YA e YB. Las longitudes
longitudes de los cables unidos
unidos a los cilindros
cilindros A y B
pueden
pueden escribirse, respectivamente,
respectivamente,
L
LAA =
=
LB
85
2.9
2.9 MOVIMIENTO
MOVIMIENTO VINCULADO
VINCULADO DE
PUNTOS
PUNTOS MATERIALES CONECTADOS
CONECTADOS
Y
Y A + 2Y
Y oD + cte
=
= YB+Ye+(Ye-Yo)+cte
YB + Ye + (Ye - YD) + cte
y sus derivadas
derivadas temporales
temporales son
oo == YA + 2yo
2YD
y
0=YB+2Ye-Yo
0=YB+2Ye-YD
0=YA+
0=YA+2YD 2yO
y
0=YB+2Ye-Yo
0=YB+2Ye-YD
r
términos en Yo
YD yen
y en Yo
YD resulta
resulta
Eliminando los términos
a
+ 2vBB + 4vee == O
O
=
= O
O
o bien
VA
YA+2YB+4Ye=0
YA+2YB+4Ye
=O
o bien
+2a
O
aAA +
2aBB+4a
+ 4a
c e == O
YA+2YB+4Ye
YA+2YB+4Ye
términos no pueden
pueden ser positivos
Evidentemente, los signos de los tres términos
positivos a la vez.
Así, por ejemplo, si tanto
tanto A como B tienen
tienen velocidades
velocidades descendentes
descendente s (positiAsí,
vas),la
velocidad de e será ascendente
ascendente (negativa).
vas),
la velocidad
resultados se llega observando
observando el movimiento
movimiento de las dos poA los mismos resultados
leas e y D.
D. Con un incremento
incremento dYA
dYA (con YB fija),
fija), el centro de O se mueve
mueve hacia
leas
una distancia
distancia dYA
dYA /2 Y
Yhace
mueva hacia arriba
arriba una
una
arriba una
hace que el centro de e se mueva
distancia dYA
dYA/4./ 4. Con un incremento
incremento dYB (con YA fija),
fija), el centro de e sube una
una
dYB //2.
combinación de los dos movimientos
movimientos da un movimiento
movimiento asdistancia dYB
2. La combinación
cendente
e,
o
s
la
o
te
conlo
Ve =
= vA
A /4 + vB //22 como antes.
antes. Una habilidad
habilidad muy
muy importante
importante es la
con
lo que - Ve
para representarse
representarse mentalmente
mentalmente la geometría
geometría real del movimiento.
movimiento.
capacidad para
segundo de los problemas
problemas tipo que siguen
siguen se ilustra
ilustra una
una segunda
segunda clase
En el segundo
miembro de enlace cambia de dirección con el movide vínculo en la que el miembro
miento.
miento.
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Figura
Figura 2.20
2.20
PROBLEMA TIPO 2.14 ,
En el aparejo de lafigura el cilindro A posee una velocidad descendente de 0,3 m/s.
Hallar la velocidad ascendente de B. Resolver por dos procedimientos.
Solución (/). Los centros de las poleas A y B los ubicamos mediante las coordenadas YA e Y B medidas desde posiciones fijas. La longitud constante del cable
del aparejo es
dSBSdSB
: (e)
A
2d'~
I
:
dSB
~2dSA
dSB
(a)
donde las constantes comprenden las longitudes fijas de cable en contacto con
los perímetros de las poleas y la separación vertical constante entre las dos poleas de arriba a la izquierda. Derivando respecto al tiempo resulta
(b)
0)
L = 3YB + 2YA + constantes
0)
Despreciamos la leve oblicuidad de
los cables entre B y C.
Sustituyendo por
Al
°=
o Elsigno negativo indica que la velo- o
cidad de es en sentido
B
ascendente.
vA
= YA
= 0,3
m/ s y por
3(vB) + 2(0,3)
o bien
vB =
YB
vB
resulta
=
-0,2m/s
Resp.
Solución (11). Se acompaña un diagrama ampliado de las poleas en A, B Y C.
Durante un movimiento infinitesimal ds A del centro de A, el extremo izquierdo
de su diámetro horizontal no se mueve porque está en contacto con la parte fija
del cable. Por tanto, tal como se muestra, el extremo derecho se mueve 2ds A' Este
movimiento se transmite al extremo izquierdo del diámetro horizontal de B.
Además, como e tiene su centro inmóvil, vemos que los desplazamientos en
cada lado son iguales y opuestos. Entonces, en la polea B, el extremo derecho del
diámetro tiene un desplazamiento descendente igual al ascendente dSB de su
centro. Observando la geometría concluimos que
Pn
o bien
hac
2.2
Dividiendo por dt resulta
!vE I
=
~vA
2.2
arr:
~(0,3)
0,2 m/ s (ascendente)
Resp.
SiE
tan
86
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PROBLEMA
PROBLEMATIPO
TIPO 2.15
2.15
El tractor
tractor AA se
se emplea
emplea para
para izar
izar elel embaembaEl
lajecon
con elel aparejo
aparejo representado.
representado. Si
Si AA popolaje
see una
una velocidad
velocidad vvAA hacia
hacia adelante,
adelante,
see
hallar, en
enfunción
función de
de x,x, la
la velocidad
velocidad hahahallar,
cia arriba
arriba VB
VB del
del embalaje.
embalaje.
cia
1----X---->-1
¡---- - x - - --,..;
Solución. La
La posición
posición del
del tractor
tractor la
la especificamos
especificamos con
con la coordenada
coordenada x,
x, yy la del
del
Solución.
coordenada y, medidas
medidas ambas
ambas desde
desde la misma
misma referencia
referencia fija. La
La
embalaje con la coordenada
longitud total
total constante
constante del
del cable es
longitud
G)
CD En
En
Mecánica
Mecánica se
se presenta
presenta con
con frefrecuencia
la
necesidad
de
derivar
cuencia la necesidad de derivar la
la
relación
relación existente
existente entre
entre los
los lados
lados de
de
un
un triángulo
triángulo rectángulo.
rectángulo.
2
= 2(h
2(h -- y)
y) + 11=
= 2(h
2(h -- y)
y) + Jh
J h2 2 + xx2
L =
Derivando respecto
respecto al tiempo
tiempo resulta
resulta
Derivando
··
xX
xX
O
O = - 2 yy+
+ ¡;-::;---;;
2
2
2
",Jhh +
+xx2
Con
por VB
Con las sustituciones
sustituciones por VA
VA =
=XY
Ypor
VB =
=
Y
Y queda
queda
Resp.
Resp.
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Problemas
Problemas introductorios
introductorios
2.207
está animado
2.207 Si
Siel
elbloque
bloque BBestá
animado de
de una
una velocidad
velocidad de
de 1,2
1,2mi
mi ss
hacia
la izquierda,
haciala
izquierda, hallar
hallar la
la velocidad
velocidad del
del cilindro
cilindro A.
A.
Resp.
Resp. VA
VA ==0,4
0,4mi
miss hacia
hacia abajo
abajo
2.208
2.208 El
El torno
torno que
que equipa
equipa alal camión
camión tira
tira de
de éste
éste pendiente
pendiente
arriba
mediante laladisposición
arribamediante
disposición de
decable
cableyy polea
polea que
que se
semuestra.
muestra.
SiSiel
el cable
cablese
searrolla
arrolla en
eneleltambor
tambor aarazón
razón de
de40
40mm
rnmll s,s,¿cuánto
¿cuánto
tarda
tardaelelcamión
camión en
enascender
ascender 44mmpendiente
pendiente arriba?
arriba?
Figura problema
problema 2.207
2.207
Figura
87
87
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B
B
A
Figuraproblema
2.208
Figura
problema 2.208
Figura
problema 2.210
Figuraproblema
2.210
2.209 El
El cilindro
cilindro B
Bdesciende
0,6 m
miI s y tiene una aceleración
aceleración
2.209
desciende a 0,6
ascendente de 0,15
0,15 mi
Calcular la velocidad
velocidad y aceleración
mi S2. Calcular
ascendente
A.
bloque A.
del bloque
Resp. VA == 0,9 m
mis
arriba),
Resp.
i s (hacia arriba),
aA
aA == 0,225
0,225 mi
m i S2 (hacia abajo)
w
Figura problema 2.211
2.211
Figuraproblema
Figuraproblema
Figura problema 2.209
2.209
2.210
2.210 La velocidad
velocidad descendente
descendente del
del bloque
bloque B,
B, en
en metros
metros por
por
22
segundo,
segundo, está
está dada
dada por
por VB
VB =
= tt I 2
2 + tt33 I 6. Calcular
Calcular la aceleración
aceleración
de
de A
A cuando
cuando tt =
= 22 s.
s.
2.211
2.211 Hallar
Hallar la distancia
distancia hh que
que sube
sube la
la carga
carga W
W durante
durante 55 sesegundos
gundos si
si el
el tambor
tambor del
del mecanismo
mecanismo de
de izado
izado arrolla
arrolla el
el cable
cable aa
razón
razón de
de 320
320 mml
mm I s.
s.
Resp.
Resp. hh =
= 400
400 mm
mm
2.212
2.212 Hallar
Hallar la
la ecuación
ecuación de
d e ligadura
ligadura que
que relaciona
relaciona las
las aceleraaceleraciones
cuerpos AA yy B.
B. Supóngase
Supóngase que
que la
la superficie
superficie supesupeciones de
d e los
los cuerpos
rior
rior de
de AA permanece
permanece horizontal.
horizontal.
'88
'88
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Figura problema 2.212
2.212
Figuraproblema
Problemas representativos
rf
2.213 Hallar la relación que rige las velocidades de los cuatro
cilindros. Expresar como positivas las velocidades descendenteso ¿Cuántos grados de libertad tiene el sistema?
Resp. 4v A + 8VB + 4vc + VD = O, tres grados de libertad
:f
-l
\ft~
-
1m
-
1
tf-
~
Figura problema
e
Figura problema
2.213
cr
I
1.~~~J---X
y
i
Figura problema
If(
Figura problema
,
~
2.216
2.217 Los cursores A y B se deslizan a lo largo de las barras fijas y están enlazados por una cuerda de longitud L. Si el cursar
A posee una velocidad v A = X hacia la derecha, expresar la velocidad vB = - s de B en función de x, VA y s.
;ft~ -J
~
2.215
y
B
2.214 Los tornos eléctricos del andamio permiten elevarlo o
bajarlo. Cuando giran en el sentido indicado, el andamio sube.
Si los tornos tienen unos tambores de 200 mm de diámetro y giran a 40 rpm, hallar la velocidad ascendente v del andamio.
t
f
f
Resp. "s
=
s+
J2x
------¡;;V A
x + ,.;2s
2.214
2.215 El andamio del problema 2.214 se modifica montando
los tornos en el suelo y no en el mismo andamio. Las demás
condiciones son las mismas. Hallar la velocidad ascendente v
del andamio.
Resp. v = 104,7 mm/ s
2.216 Los cursores A y B se deslizan por las barras fijas perpendiculares y están enlazados por una cuerda de longitud L.
Hallar la aceleración ax del cursar B en función de y si el cursar
A está animado de una velocidad ascendente constante v A-
Figura problema
2.217
89
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2.218 Para un valor dado de y, hallar la velocidad ascendente
de A en función de la velocidad descendente de B. Despreciar
los diámetros de las poleas.
2b---~>1
B
Figura problema
Figura problema
2.218
2.219 Para acelerar el izado de embalajes que se representa en
el problema tipo 2.15, el aparejo se modifica del modo que se
muestra. Si el tractor A avanza con una velocidad VA- hallar
una expresión para la velocidad ascendente VB del embalaje en
función de x. Despreciar la pequeña distancia entre el tractor y
su polea de modo que ambos tengan esencialmente la misma
velocidad. Comparar los resultados con los del problema tipo
2.15.
~2.221 Bajo la acción de la fuerza P, el bloque B está animado de una aceleración de 3 m/ S2 hacia la derecha. En el instante
en que la velocidad de B es 2 m/ s, también hacia la derecha,
hallar la velocidad y la aceleración de B relativas a A y la velocidad absoluta del punto C del cable.
Resp. vBIA = 0,5 m/ s, aBIA = 0,75 m / S2,
ve = 1 m/ s, todas hacia la derecha
.f.)
Resp. "e
2.220
.
A
.
e
(..}-
.
.f.)
Figura problema
B
.
~
2.221
~2.222 Despreciar el diámetro de la pequeña polea sujeta al
cuerpo A y hallar el módulo de la velocidad total de B en función de la velocidad v A con que el cuerpo A se mueve hacia la
derecha. Se supondrá que el cable entre B y la polea permanece
vertical y el resultado se escribirá para cualquier valor de x.
"
+ h2
x2 + h2
2x2
Resp. vB
1-----
vA
r-x
x ---~
Figura problema
=
I
I
2.219
h
~
A
2.220 El pequeño cuerpo A, asimilable a una partícula, está
montado en una varilla sin peso que puede girar en torno a O
y, por tanto, está obligado a moverse en un arco circular de radio 1'. Hallar la velocidad de A en función de la velocidad descendente VB del contrapeso y del ángulo e.
90
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Figura problema
2.222
2.10
2.10
REPASO Y
Y RESOLUCIÓN
RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS
PROBLEMAS
REPASO
En
este capítulo
desarrollado e ilustrado
ilustrado los elementos
elementos fundamentales
fundamentales
En este
capítulo hemos
hemos desarrollado
de la teoría
teoría y aplicaciones
movimiento de
puntos materiamateriaaplicaciones que
que describen
describen el movimiento
de los puntos
lector revise
revise esta
materia antes
les. Es importante
importante que
que el lector
esta materia
antes de
de proseguir
proseguir con
con la
consolidación
punto.
consolidación y ampliación
ampliación de sus
sus conocimientos
conocimientos de la cinemática
cinemática del
del punto.
procedimientos desarrollados
Los conceptos
conceptos y procedimientos
desarrollados y expuestos
expuestos en
en este
este capítulo
capítulo
constituyen
base sobre
por completo
toda la Dinámica
Dinámica y el
constituyen la base
sobre la que
que descansa
descansa por
completo toda
avance
los temas
temas que
avance satisfactorio
satisfactorio en
en los
que siguen
siguen sólo
sólo se conseguirá
conseguirá conociendo
conociendo a
fondo
fondo el contenido
contenido de
de este
este capítulo.
capítulo.
temporal de
un vector
vector es con
mucho el concepto
La derivada
derivada temporal
de un
con mucho
concepto más
más imporimportante comprendido
las contribuciotante
comprendido en
en este
este capítulo
capítulo y ciertamente
ciertamente ocurre
ocurre que
que las
contribuciones independientes
las variaciones
variaciones en
módulo y dirección
derivada
nes
independientes de
de las
en módulo
dirección de
de la derivada
son
Dinámica
son fundamentales.
fundamentales. A medida
medida que
que avancemos
avancemos en
en el estudio
estudio de la Dinámica
tendremos
más ocasiones
para examinar
temporales de
vectores ditendremos más
ocasiones para
examinar derivadas
derivadas temporales
de vectores
diferentes
relativas al vector
vector de
posición yyaa la velocidad
velocidad y aplicaremos
ferentes a las relativas
de posición
aplicaremos directamente los
los fundamentos
métodos desarrollados
rectamente
fundamentos y métodos
desarrollados en
en este
este capítulo
capítulo 2.
Cuando
nos concentramos
los aspectos
un tema,
tem a, no
no siemCuando nos
concentramos en
en los
aspectos concretos
concretos de
de un
siempre se comprenden
las relaciones
relaciones existentes
partes. Por
Por
pre
comprenden con
con claridad
claridad las
existentes entre
entre sus
sus partes.
otra
parte, cuando
pauta que
marca una
una lección
lección deotra parte,
cuando el estudiante
estudiante dispone
dispone de la pauta
que marca
determinada acerca
un tema,
tema, puede
puede reconocer
reconocer automáticamente
terminada
acerca de
de un
automáticamente la categoría
categoría
de un
un problema
problema y el método
método adecuado
para su
adecuado para
su solución;
solución; sin
sin embargo,
embargo, cuando
cuando
carezca
pauta, deberá
por sí mismo
mismo el método
método de
resolución. La
carezca de
de dicha
dicha pauta,
deberá elegir
elegir por
de resolución.
capacidad
procedimiento más
más apropiado
capacidad para
para elegir
elegir el procedimiento
apropiado es, sin
sin duda,
duda, la clave
clave
para plantear
plantear y resolver
resolver acertadamente
los problemas
problemas de
ingeniería y una
una de
para
acertadamente los
de ingeniería
de
mejores maneras
maneras para
para adquirir
los distintos
mélas mejores
adquirir esta
esta capacidad
capacidad es comparar
comparar los
distintos métodos posibles
posibles tras
tras haber
haber analizado
uno.
todos
analizado cada
cada uno.
Para facilitar
muy provechoso
provechoso que
Para
facilitar esta
esta comparación
comparación será
será muy
que seamos
seamos capaces
capaces
de descomponer
un problema
problema y clasificar
descomponer un
clasificar como
como sigue
sigue sus
sus siguientes
siguientes aspectos.
aspectos.
(a) Tipo de movimiento.
movimiento.
Existen tres
tres categorías:
Existen
categorías:
Movimiento
rectilíneo (una
Movimiento rectilíneo
(una coordenada)
coordenada)
Movimiento curvilíneo
Movimiento
curvilíneo plano
plano (dos
(dos coordenadas)
coordenadas)
Movimiento curvilíneo
Movimiento
curvilíneo en
en el espacio
espacio (tres
(tres coordenadas)
coordenadas)
Generalmente,
propia geometría
geometría de cada
problema permite
permite efectuar
inmeGeneralmente, la propia
cada problema
efectuar de inmediato
esta identificación.
identificación. Como
diato esta
Como excepción
excepción a esta
esta división
división en
en categorías
categorías se señala
señala
el caso
interesan las
las cantidades
medidas a lo largo
largo de la
caso en
en que
que sólo
sólo interesan
cantidades cinemáticas
cinemáticas medidas
trayectoria; en
tales situaciones,
puede emplearse
trayectoria;
en tales
situaciones, puede
emplearse como
como coordenada
coordenada la distancia
distancia
medida a lo largo
largo de la trayectoria
trayectoria curva
unión de sus
temporales
medida
curva en
en unión
sus derivadas
derivadas temporales
escalares
tangencial fi.
escalares que
que proporcionan
proporcionan la celeridad
celeridad Isl y la aceleración
aceleración tangencial
s.
movimiento plano
plano es más
más sencillo
generar y controlar,
El movimiento
sencillo de
de generar
controlar, especialmente
especialmente
en
maquinaria, que
movimiento en
por lo que
una gran
proporen la maquinaria,
que el movimiento
en el espacio,
espacio, por
que una
gran proporción
problemas de
movimiento que
nuestra atención
ción de los problemas
de movimiento
que ocuparán
ocuparán nuestra
atención caen
caen en
en
la categoría
categoría de
curvilíneo plano.
de rectilíneo
rectilíneo o curvilíneo
plano.
referencia. Corrientemente,
Corrientemente,laslas mediciones
cinemáticas
(b) Inmovilidad
Inmovilidad de la referencia.
mediciones cinemáticas
efectúan respecto
de referencia
(movimiento absoluto)
absoluto) y respecto
se efectúan
respecto a ejes de
referencia fijos (movimiento
respecto
a ejes en
movimiento (movimiento
relativo). La elección
en movimiento
(movimiento relativo).
elección de
de los ejes adecuados
adecuados
depende
problema. Para
Para la mayor
mayor parte
parte de los problemas
problemas técnicos,
técnicos, unos
unos
depende del
del problema.
ejes ligados
ligados a la Tierra
Tierra son
suficientemente
"fijos",
aunque
entre
excepciones
son suficientemente "fijos", aunque entre excepciones
de importancia
importancia se cuentan
movimiento interplanetario
interplaIl.etario y de satélites
cuentan el movimiento
satélites artifiartificiales,
trayectorias
balísticas
de
precisión,
navegación
y
otras.
Las
ecuaciones
ciales, trayectorias balísticas
precisión, navegación
otras.
ecuaciones
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91
2.10 REPASO
REPASO Y
Y RESOLUCiÓN
DE
2.10
RESOLUCiÓN
DE
PROBLEMAS
PROBLEMAS
del movimiento
movimiento relativo
relativo tratadas
tratadas en
del
en este
este capítulo
capítulo 2 se limitan
limitan a los ejes de
de refereferencia en
en traslación.
traslación.
rencia
92
92
CINEMÁTICA
CINEMÁTICA DEL PUNTO
PUNTO
(e)
De importancia
básica es la
la elección
elección de
de las
las coordenadas.
coordenadas. La
(c) Coordenadas.
Coordenadas.
importancia básica
descripción del
del movimiento
movimiento se ha
descripción
ha llevado
llevado a cabo
cabo empleando
empleando
Coordenadas
cartesianas (rectangulares)
(rectangulares)
Coordenadas (x-y) y (x-y-z)
(x-y-z) cartesianas
Coordenadas normales
normales y tangenciales
tangenciales (n-t)
(n-t)
Coordenadas
Coordenadas
Coordenadas polares
polares (1'-8)
(r-e)
Coordenadas cilíndricas
cilíndricas (r-8-z)
(r-e-z)
Coordenadas
Coordenadas esféricas
esféricas (R
(R-8-rp)
Coordenadas
-8- ¡P)
yy
I
I
I
,----
no se especifican
especifican las coordenadas,
coordenadas, la elección
Si no
elección de
de éstas
éstas dependerá
dependerá habitualhabitualmente de cómo
cómo se genera
genera o se mide
mente
mide el movimiento.
movimiento. Así,
Así, en
en el caso
caso de
de un
un punto
punto
material que
que se deslice
deslice radialmente
radialmente a lo largo
material
largo de
de una
una varilla
varilla giratoria,
giratoria, lo natural
natural
será emplear
emplear coordenadas
coordenadas polares.
polares. Un
seguimiento por
será
Un seguimiento
por radar
radar reclama
reclama el empleo
empleo
coordenadas polares
de coordenadas
polares o esféricas.
esféricas. Si medimos
medimos a lo largo
largo de
de una
una trayectoria
trayectoria curcurvilínea, lo indicado
indicado son
son las coordenadas
coordenadas normal
vilínea,
normal y tangencial.
tangencial. Un
Un trazador
trazador de
de dos
dos
coordenadas hace
hace intervenir
intervenir evidentemente
evidentemente coordenadas
coordenadas
coordenadas rectangulares.
rectangulares.
En la figura
figura 2.21 se reúnen
reúnen las
En
las representaciones
representaciones de
d e la velocidad
velocidad v y la aceleaceleración a del
del movimiento
movimiento curvilíneo
curvilíneo en
r-e. Muchas
ración
en coordenadas
coordenadas x-y,
x-y, n-t
n-t y 1'-8.
Muchas veces
veces
puede ser
ser necesario
necesario pasar
pasar la descripción
descripción de
movimiento de
sistema de
puede
de un
un movimiento
de sistema
de coordenadas a otro
otro y la figura
figura 2.21 contiene
ordenadas
contiene la
la información
información precisa
precisa para
para ello.
ello.
X
I
/
/
y
:~-~------------------x
-s . I
:
r
/
= X
Vx
vy
=
y
v" = O
VI = V
V, =
= rr
= re
r8
v,
Va =
(a) Componentes
Componentes de velocidad
velocidad
(a)
y
1
1
()
1
_ __ _ ~
\
//A
I
\
..... /
1
\\
1
1
:
,
.,
"
~
a'J
I
1
//
~
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I
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I
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I \ '{
I
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/
a e '"
"
I
I
(1
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/
n
a Trayectona
.
ay
\
.....a
r
'a x
y
~- Y- --- --- --- -- --- --- x
:
a,
//
v2 / p
a, =i;-rlf
aH =
(b)
(b)
1
ay
=y
a, = 1;
aa =rB+2ie
Componentes de aceleración
Componentes
2.21
Figura 2.21
Aproximaciones.
Una de
de las
las habilidades
(d) Aproximaciones.
Una
habilidades más
más importantes
importantes que
que debe
debe adadquirirse es la de
de efectuar
efectuar las
las aproximaciones
aproximaciones apropiadas.
quirirse
apropiadas. La hipótesis
hipótesis de
de aceleaceleración constante
constante es válida
cuando las
ración
válida cuando
las fuerzas
fuerzas que
que causan
causan la aceleración
aceleración no
no
varían apreciablemente.
apreciablemente. Si los
los datos
varían
datos relativos
relativos al movimiento
movimiento se adquieren
adquieren emempíricamente, debemos
debemos emplear
emplear estos
píricamente,
estos datos
datos no
no exactos
exactos para
para conseguir
conseguir la
la desdescripción mejor
mejor posible,
menudo con
cripción
posible, a menudo
con ayuda
ayuda de
de aproximaciones
aproximaciones gráficas
gráficas o
numéricas.
numéricas.
Procedimiento
matemático.
Con
(e) Procedimiento
matemático.
Con frecuencia
frecuencia es posible
posible elegir
elegir el procediprocedimiento de resolución
resolución entre
entre álgebra
álgebra escalar,
miento
escalar, álgebra
álgebra vectorial,
vectorial, trigonometría
trigonometría y
geometría. Se han
han expuesto
expuesto todos
todos ellos
geometría.
ellos y es importante
importante aprenderlos
aprenderlos todos.
todos. El mémétodo elegido
elegido depende
depende de la geometría
geometría del
todo
del problema,
problema, de
de cómo
cómo aparecen
aparecen los datos
datos
precisión deseada.
deseada. Por
Por cuanto
y de la precisión
cuanto que
que por
por propia
propia naturaleza
naturaleza la Mecánica
Mecánica es
geométrica, se anima
anima al lector
lector a que
su habilidad
geométrica,
que desarrolle
desarrolle su
habilidad para
para esquematizar
esquematizar
gráficamente relaciones
relaciones vectoriales
vectoriales como
gráficamente
como ayuda
ayuda para
para descubrir
descubrir las
las relaciones
relaciones
geométricas y trigonométricas
geométricas
trigonométricas adecuadas
adecuadas y como
como medio
medio para
para resolver
resolver gráficagráficamente ecuaciones
ecuaciones vectoriales.
vectoriales. La representación
mente
representación geométrica
geométrica constituye
constituye la desdescripción más
más directa
directa en
en la inmensa
inmensa mayoría
cripción
mayoría de
de los
los problemas
problemas de
de Mecánica.
Mecánica.
PROBLEMAS DE REPASO
REPASO
PROBLEMAS
2.223 La posición de un punto
punto en una línea recta está dada
dada
2.223
0,41 - 6t
6 t + t22, , donde
donde s está en metros y t en segunpor s = 8e- 0,41
Hallar la velocidad
velocidad v cuando
cuando la aceleración es 3 mi S2
S2.
dos. Hallar
Resp. v == -7,27
-7,27 mi s
Resp.
2.224 Las coordenadas
coordenadas polares
polares de un punto
punto material
material son r ==
2.224
f} =
= 2t radianes,
radianes, donde
donde t son segundos.
segundos. Ha30 mm, constante, y (J
cuando (Jf} == 60060°.
llar yy cuando
2.225 Un diseñador
2.225
diseñador inexperto
inexperto del terraplén
terraplén para
para un
un nuevo
gran velocidad
tren de gran
velocidad propone
propone unir
unir un tramo
tramo recto de vía a un
tramo circular de 600
tramo
600 m de radio, tal como se muestra.
muestra. Para
Para un
celeridad de 150
150 km/h,
tren que viaje a la celeridad
km / h, representar
representar gráficamente
m
ente el valor
valor absoluto
absoluto de su aceleración
aceleración como función de
d e la
distancia entre
distancia
entre los puntos
puntos A y e y explicar por
por qué este diseño
inaceptable.
es inaceptable.
Resp.
Resp. aann =
= 2,89
2,89 mi S2 (de B a e)
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2.228
pequeñocilindro
cilindroseselelecomunica
comunicaun
unmovimiento
movimientoaalolo
2.228 Al
Alpequeño
\i\
fe.La
¡Wi<
W
largo
que
largode
delalavarilla
varillagiratoria
giratoriadado
dadopor
porr l'=="o
ro++bbsen
sen2nt
2nt
queejeejer
-r
cuta
cutaentre
entrer l'=="nro++bbYYr l'==roro- - b,b,siendo
siendot teleltiempo
tiempotranscurrido
transcurrido
desde
desdeelelinstante
instanteen
enque
queelelcilindro
cilindropasa
pasapor
porlalaposición
posiciónr r=="oy
ro yr -r
es
eselelperiodo
periodo de
de oscilación
oscilación(el
(eltiempo
tiempoque
quedura
durauna
unaoscilación
oscilación
completa).
entorno
tornoalaleje
ejevertiverticompleta).Simultáneamente,
Simultáneamente,lalavarilla
varillagira
giraen
cal
calcon
conuna
unavelocidad
velocidadangular
angularconstante
constante Hallar
Hallarelelvalor
valorde
der r
para
paraelelcual
cuales
esnula
nulalalaaceleración
aceleraciónradial
radial(o
(osea,
sea,en
enlaladirección
direcciónr).r).
6
I
I
II
II
..
ee
111 1111 111 111 111111 11 1111 111 1111 111 111 111
~llllllllllllIllllllillll
AA
e.e.
BB
Figuraproblema
problema
Figura
2.225
2.225
Inmediatamente tras
tras ser
ser golpeada
golpeada por
por el
el bastón,
bastón, una
una
2.226 inmediatamente
2.226
pelota de
de golf
go lfadquiere
adquiere una
unavelocidad
velocidad de
de 38
38 m
mIIss que
que forma
forma un
un
pelota
áng ulo de
de 35°
35°con
con la
lahorizontal.
horizontal. Localizar
Localizarla
la posición
posicióndel
del punto
punto
ángulo
de caída.
caída.
de
dos
eleces
co-
38 mis
mi s
38
Figura
Figura problema
problema
adeleno
emesso
ediía y
méatas
a es
tizar
Figura problema
problema
Figura
2.228
2.228
2.226
2.226
polipasto diferencial
diferencial de la figura las dos poleas
poleas su2.227 En el polipasto
periores son solidarias.
periores
solidarias. El cable está arrollado
arrollado alrededor
alrededor de la
más pequeña
pequeña con su extremo
extremo fijo
fijo a ella para
para que no resbale. Hallar la aceleración
aceleración ascendente
ascendente aB
aB del cilindro B, si el cilindro A
posee una aceleración descendente
descendente de 2 m
mi i S2.
S2. (Sugerencia:
(Sugerencia:
Analizar geométricamente
geométricamente las consecuencias
consecuencias de un movimienmovimiento
to infinitesimal
infinitesimal del
del cilindro
cilindro A.)
A.)
Resp.
Resp. aB
aB == 0,25
0,25 m
mi i S2
s2
2.229
2.229 En
En la
la figura
figura se
se representa
representa el
el disparo
disparo de
de un
un pequeño
pequeño proproyectil
yectil con
con una
una velocidad
velocidad inicial
inicial de
de 500
500 mi
m i S2
S2 y
y un
un ángulo
ángulo de
de 60°
60°
respecto
horizontal. Despreciar
Despreciar la
la resistencia
resistencia atmosférica
atmosférica yy
respecto aa la
la horizontal.
las
de g
g yy calcular
las variaciones
variaciones de
calcular el
el radio
radio de
d e curvatura
curvatura pp de
de la
la tratrayectoria del proyectil
proyectil 30 s después
después del disparo.
disparo.
yectoria
Resp. p == 9,53
9,53 km
Resp.
//
//
//
/'
/
'
I/
lOOmm
uu=500m/s
= 500m/s
() =
60°
oo
Figura problema
problema
2.229
Figura
2.229
AA
BB
iseño
Figura
2.227
Figura problema
problema
2.227
2.230 Se
Searroja
arroja una
una piedra
piedra pendiente
pendiente abajo
abajotal
tal como
comose
semuesmues2.230
tra.
Hallar
el
módulo
u
y
la
dirección
e
de
su
velocidad
inicial
tra . Hallar el módulo u y la dirección e d e su velocidad inicial
para
que
se
eleve
12
m
y
alcance
una
distancia
de
50
m
a
larpara que se eleve 12 m y alcance una distancia de 50 m a lololargode
delalapendiente.
pendiente.
go
93
93
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-
------------:;-/'
/~
U
-- ""--
"-
/
/
"-
,,
\
\
\
\
\
\
\
\
\
3
\,
problema 2.232
2.232
Figura problema
verticalmente un cohete cuya trayectoria es
2.333 Se
2.333
Se dispara
dispara verticalmente
es
seguida
radar del problema
problema 2.137 que aquí vuelve a rereseguida por el radar
presentarse.
instante en que e
presentarse. En el instante
e == 60°, las mediciones señarad l s y r == 7500 mm y se encuentra
la
lan i:J == 0,03 rad/
encuentra que la
aceleración vertical del cohete es aa == 20 m/
mi S2.
Para dicho insS2.Para
tante hallar los valores de fj; y i:J.
e
e.
problema 2.230
2.230
Figura problema
Resp. j;r = 24,1 m/
m i s2
Resp.
s2
ee = - 1,784(10-
La tercera fase de un cohete se separa
separa de la segunda
segunda con
velocidad u de 15 000 km/h
kmlh en A y realiza a continuación
continuación
una velocidad
un vuelo balístico hasta B.
B. En este punto, donde
donde la trayectoria
forma con la horizontal
horizontal el ángulo de 20° se procede al encendido del cohete motor. La operación
operación se realiza prácticamente
prácticamente por
encima de la atmósfera, pudiendo
pudiendo considerarse
considerarse que en todo el
intervalo la aceleración de la gravedad
gravedad se mantiene
mantiene constante
en dirección y sentido
mi s2.
sentido siendo su valor de 9 m/
s2. Calcular el
B. (Esta cantidad
cantidad se necesita
tiempo t empleado
empleado en ir de A a B.
para el diseño del sistema de encendido.) Hallar también el correspondiente incremento
incremento de altura
rrespondiente
altura h.
Resp. t = 3 min 28 s, h = 418 km
Resp.
2.231
2.231
33))
= -
radl s2
rad/
s2
J
r
8
problema 2.233
2.233
Figura problema
ti
2.234
ejercicio de entrenamiento,
entrenamiento, el piloto
2.234 Como parte
parte de un ejercicio
del avión A ajusta su velocidad
velocidad aerodinámica
velocidad reaerodinámica (o velocidad
km l h mientras
mientras aún se encuentra
encuentra en la
lativa al viento) a 220 km/h
porción horizontal
horizontal de
d e la trayectoria de aproximación
porción
aproximación y después mantiene
mantiene una
una velocidad
velocidad constante mientras
mientras recorre la trapués
yectoria de planeo que forma un ángulo de 10° con la
horizontal. La velocidad
velocidad absoluta del portaviones
portaviones es 30 km/h
km/h
km/h. ¿Cuál será, para un observador
y la del viento es 48 km/h.
observador situado
tuado en el barco, el ángulo f3 que forme con la horizontal
horizontal la
trayectoria
trayectoria de planeo?
problema 2.231
2.231
Figura problema
2.232 El desplazamiento
2.232
desplazamiento angular
angular de la centrífuga
centrífuga está dado
dado
= 4[t
4[t + 30e
0,031 - 30] rad, donde
por
30e - 0,031
donde t son segundos
segundos y es
t=
en el momento
momento de la puesta
puesta en marcha. Si la persona
persona pier=O
Oen
de el conocimiento para
para un umbral
umbral de aceleración de 10g, ha-
ee
--
instante ocurre tal cosa.
llar en qué instante
cosa. Comprobar
Comprobar que la
cuando la aceleración
aceleración tangencial es despreciable
despreciable cuando
acerca al valor 10g
normal se acerca
10g..
94
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--.. ___ "'=~
--.,..
1100
0
0
A
A
--...----
------
-:
-- :=
30km/h
30km/h
problema 2.234
2.234
Figura problema
::= 48
48 km/h
km / h
e ¿¿-E---E-
2.235 La rotación del brazo OP está controlada por el
movimiento horizontal del vástago ranurado vertical. Si i =
1,2 mi s y x = 9 mi S2cuando x = 50 mm, hallar
y en ese
instante.
Resp. é = 13,86 rad I s, = 215 radl S2
é
e
e
iaes
a re-
Figura problema
señaue la
ins-
o
Figura problema
2.235
2.236 Un punto P que describe una trayectoria circular plana
está localizado por las coordenadas polares representadas. En
un instante determinado r = 2m, 8 = 60°, u, = 3 mi s, ve = 4 mi s,
ar=-10 mi s y ae= - 5 mi S2.Para dicho instante, calcular el radio de curvatura p de la trayectoria. Además, situar gráficamente el centro de curvatura C.
r
<,
,
I
I
I
I
I
I
I
,
I
r
I
e
~2.239
La varilla OA se mantiene con un ángulo constante
f3 = 30° Y gira alrededor de la vertical con celeridad angular
constante de 120 rpm. Simultáneamente el cursor P oscila a lo
largo de la varilla a una distancia variable del pivote fijo O
dada en milímetros por R = 400 + 100 sen Znni, donde la frecuencia de oscilación n, a lo largo de la varilla, es constante e
igual a 2 ciclos por segundo, y el tiempo se mide en segundos.
Calcular la aceleración del cursor en el instante en que su velocidad R a lo largo de la varilla sea máxima.
Resp. a = 35,3 mi s2
y
p
<,
2.237
e~ I
I
x----------
piloto
ad reen la
y deslatraon la
km/h
dar sintalla
/h
Figura problema
o
2.236
2.237 El cilindro A posee una celeridad constante hacia abajo
de 1 mi s. Calcular la velocidad del cilindro B para (a) 8 = 45°,
(b) 8 = 30° Y (e) 8 = 15°. El resorte se encuentra estirado durante
el intervalo de movimiento que interesa y las poleas están conectadas por el cable de longitud constante.
Resp. (a) VB = 0,293 mi s (hacia la derecha)
(b) VB = O, (e) VB = 0,250 mi s (hacia la izquierda)
2.238 Un punto posee las siguientes componentes de posición, velocidad y aceleración: x = 50 m, y = 25 m, i = -10 mi s,
y = 10 mi s, x = -10 mi S2,y = 5 mi S2.Calcularlos valores de
u, a, et, e", at, at, a", al!' o, e., e¡¡, Vr, v-: V¡¡,V o a., a., a¡¡, a¡¡, r, i, i , 8,
é y Expresar todos los vectores en función de i y j y representarlos gráficamente en unos ejes x-ya medida que se van
obteniendo los valores necesarios.
e.
o
Figura problema
2.239
~2.240
La antena del radar seguidor oscila en torno a su eje
vertical según 8 = 80 cos ox, donde úJ es la pulsación constante y
280 es la amplitud de la oscilación. Simultáneamente, el ángulo
de elevación <fi aumenta uniformemente a razón de ~ = K. Encontrar la expresión del módulo a de la aceleración del comete
emisor (a) cuando pasa por la posición A y (b) cuando pasa por
la posición superior B, suponiendo que e = O en ese instante.
Resp. (a) a
(b) a
b JK4 + úJ48a cos?
<fi
bKJK2 + 4úJ48a
95
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B
B
---------problema 2.240
Figura problema
*PROBLEMAS ESPECIALES
ESPECIALES PARA ORDENADOR
ORDENADOR
*PROBLEMAS
*2.241
reposo en x
*2.241 Dos puntos
puntos A y B parten
parten del reposo
ven siguiendo
siguiendo trayectorias
trayectorias paralelas
según x A
paralelas según
OYse
O
Y se mue7rt
nt
0,16 sen "2 y
= 0,16
=
=
donde XA
Y xB
están en metros
metros y t está en segundos
segundos
0,08t, donde
XA Y
xB están
contados desde
desde el inicio del movimiento.
movimiento. Hallar
Hallar el instante
instante t
contados
(donde t > O)
O)en
tienen el mismo desplazadesplaza(donde
en que ambos puntos
puntos tienen
miento y calcular ese desplazamiento
desplazamiento x.
Resp. t == 1,473s,
1,473s,xx == 0,1178
0,1178m
m
xB
=
XB =
*2.242 Retornamos
Retornamos a la leva fija
rotatorio del problema
*2.242
fija y brazo
brazo rotatorio
problema
2.166.La
seguidor A se mueva
mueva si2.166.
La forma de la leva hhace
ace que el seguidor
guiendo una
una cardioide
cardioide ddee ecu
ecuación
ación r == b - c cos e, con b > c. Si
guiendo
100 mm, CC == 50 mm y el brazo
brazo gira a la velocidad
velocidad constante
b == 100
= 2 rad I s,
s, representar
representar gráficam
gráficamente
módulos de la veloci=
ente los módulos
e= OOyy e=
e= 180°.
180°.Jusddad
ad v y la aceleración a del pasador
pasador A entre e=
Juse == o.
tificar el valor de la aceleración para
para e
ee
problema 2.242
Figura problema
*2.243 Se representa
representa otra vez el "drágster" del problema
problema 2.47.
2.47.
*2.243
aceleración está ddada
donde ccll se sabe que
La aceleración
ad a por
por a == Cl - C2V2, donde
9,15 mi S2 pero
Hallar
sabiendo que el
vale 9,15
pero C2 se ddesconoce.
esconoce. H
allar C2 sabiendo
piloto
recorrido de 400
400 m en 9,4
9,4 s. A
continuación,
piloto realiza el recorrido
A continu
ación, representar
gráficamente
velocidad y la aceleración en función
presentar gráficam
ente la velocidad
tiempo.
del tiempo.
Resp. c2
c2 =
= 7,93(10
7,93(10--5)5) m -1
-1
Salida
Salida
Llegada
Llegada
~1~~--------------~JL---400m~
~1~~----------------JL---400m~
problema 2.243
Figura problema
*2.244 La guía con la ranura
ranura vertical recibe un m
movimiento
*2.244
ovimiento oshorizontal definido por xx == 100
100 sen 2t, donde
donde xx son micilatorio horizontal
pasador P a
límetros y t son segundos. La oscilación obliga al pasador
ranura parabólica fija
fija cuya forma responde
moverse por
por la ranura
responde a y ==
xX22 1100, siendo y también
también milímetros. Representar
Representar gráficamenmódulo v ddee la velocidad
te, en función del tiempo, el módulo
velocidad del pasador durante
durante el intervalo
intervalo necesario
necesario ppara
sador
ara que P se ddesplace
esplace
desde el centro hasta
hasta el extremo en que xx == 100
100 mm.
mm. Hallar
Hallar y
desde
valor máximo de v y comprobar
comprobar analíticamente
analíticamente los
localizar el valor
resultados.
resultados.
96
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La resistencia
resistencia del aire produce
produce una
una aceleración adicional
adicional kv
kv22
hacia abajo proporcional
proporcional al cuadrado
cuadrado de la velocidad
velocidad v.
v. Tomando
constante, calcular el coeficiente kk..
mando g == 9,81
9,81 mi
mi s2,
s2,constante,
Resp.
Resp. k == 1,200(101,200(10-3)3 ) mm-11
y
I
t- x----<>-j
.-------------~I--__,~~
, r------.
:-1
*2.246
*2.246 Un barco de 16 000
000 toneladas
toneladas de desplazamiento
desplazamiento total
zarpa
zarpa con mar en calma bajo un empuje
empuje constante
constante de las hélices
250 kN. Al movimiento
movimiento el agua
agua opone
opone una resistencia total
T == 250
dada por
por R == 4,50v22,, donde
donde R son kilonewtons
kilonewtons y v son metros
metros
dada
por segundo.
segundo. Representar
Representar gráficamente
gráficamente su celeridad
celeridad v,
u, en nudos, en función de la distancia
distancia recorrida,
recorrida, en millas náuticas, a
lo largo de las cinco primeras
primeras millas desde
desde el punto
punto de partida.
partida.
Hallar
Hallar la celeridad
celeridad al cabo de una
una milla. ¿Cuál es la celeridad
celeridad
máxima
máxima que el barco puede
puede alcanzar?
Figura problema
problema 2.244
2.244
*2.245 Se dispara
dispara una
una bala verticalmente
verticalmente hacia arriba
arriba con una
una
*2.245
velocidad
velocidad en boca de 610
610 mi s y alcanza una
una altura
altura de 1,6 km.
osrruPa
y=
enpalace
ary
los
97
97
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movimiento curvilíneo
curvilíneo de una partícula
partícula está siempre
siempre acompañado
acompañado de una aceleración, la cual, a su
El movimiento
requiere la existencia de una
una fuerza que sostenga
sostenga el movimiento.
movimiento. Para diseñar
diseñar la estructura
estructura portante
portante
vez, requiere
arte acto de feria hay que tener en cuenta
cuenta la fuerza que acompafia
acompaña a la aceleración que
de los rizos de este arteacto
se genera.
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100
3.1
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
CINÉTICA DEl
DEl PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
ClNÉTlCA
De acuerdo
acuerdo con
con la segunda
ley de
de Newton,
Newton, cuando
cuando un
un punto
punto material
material se halla
halla
De
segunda ley
sometido
de fuerzas
no equilibrado,
equilibrado, el punto
punto material
material experiexperisometido a una
una sistema
sistema de
fuerzas no
menta un
un movimiento
movimiento acelerado.
acelerado. La cinética
cinética estudia
estudia las
las relaciones
relaciones existentes
existentes
menta
entre los
los sistemas
de fuerzas
fuerzas que
que no
no están
las variaciones
variaciones de
de momoentre
sistemas de
están en
en equilibrio
equilibrio y las
vimiento que
que originan.
originan. En
En este
este capítulo
capítulo 3 estudiaremos
estudiaremos la cinética
cinética del
del punto
punto
vimiento
material, tema
tema que
que requiere
requiere combinar
combinar nuestros
nuestros conocimientos
conocimientos acerca
acerca de
de dos
dos
material,
partes de
de la Mecánica
Mecánica previamente
que son
las propiedades
propiedades de
de las
partes
previamente estudiadas,
estudiadas, que
son las
fuerzas,
desarrolladas al comienzo
comienzo de
de la Estática,
fuerzas, descritas
descritas y desarrolladas
Estática, y la Cinemática
Cinemática
del
en el capítulo
del punto
punto material,
material, que
que acabamos
acabamos de
de tratar
tratar en
capítulo 2. Apoyándonos
Apoyándonos en
en
la segunda
segunda ley
en disposición
ley de
de Newton,
Newton, ya
ya estamos
estamos en
disposición de
de combinar
combinar ambos
ambos tetemas
resolver los
mas y prepararnos
prepararnos para
para resolver
los problemas
problemas reales
reales en
en los
los que
que intervengan
intervengan
fuerzas,
fuerzas, masas
masas y movimientos.
movimientos.
Los
Los problemas
problemas de
de Cinética
Cinética pueden
pueden abordarse
abordarse por
por tres
tres procedimientos:
procedimientos: (A)
aplicación
segunda ley
(llamado método
aplicación directa
directa de
de la segunda
ley de
de Newton
Newton (llamado
método de
de la fuerza,
fuerza,
masa
(B) aplicación
(teorema de
masa y aceleración),
aceleración), (B)
aplicación de
de principios
principios energéticos
energéticos (teorema
de las
las
fuerzas
en el impulfuerzas vivas)
vivas) y (C) resolución
resolución mediante
mediante procedimientos
procedimientos basados
basados en
impulestos procedimientos,
procedimientos, cada
cantidad de
de movimiento.
movimiento. De estos
cada uno
uno presenta
presenta
so y la cantidad
sus ventajas
sus características
este capítulo
en
sus
ventajas y sus
características particulares
particulares y este
capítulo 3 está
está dividido
dividido en
tres
tres partes
partes que
que se corresponden
corresponden con
con los
los tres
tres procedimientos
procedimientos mencionados.
mencionados. Se
añade
en la que
añade una
una cuarta
cuarta parte
parte en
que se tratan
tratan aplicaciones
aplicaciones especiales
especiales y combinacombinaciones
ciones de
de los tres
tres procedimientos
procedimientos generales.
generales. Antes
Antes de
de proseguir,
proseguir, recomendarecomendamos
encarecidamente
un
mos encarecidamente
un repaso
repaso minucioso
minucioso de
de las
las definiciones
definiciones y conceptos
conceptos
contenidos
son esenciales
para las
contenidos en
en el capítulo
capítulo 1, ya
ya que
que son
esenciales para
las exposiciones
exposiciones que
que siguen.
guen.
SECCCIÓN A.
SECCCIÓN
A. FUERZA,
FUERZA, MASA
MASA Y
Y ACELERACiÓN
ACELERACiÓN
~I
I
3.2
3.2
SEGUNDA LEY DE
SEGUNDA
DE NEWTON
NEWTON
La relación
establecida por
segunda ley
relación básica
básica entre
entre fuerza
fuerza y aceleración
aceleración es establecida
por la segunda
ley
de
(ec.l .l.). La
su
de Newton
Newton (ec.1.1).
La validez
validez de
de dicha
dicha leyes
leyes puramente
puramente experimental
experimental y su
significado fundamental
significado
fundamental se describirá
describirá con
con ayuda
ayuda de
de un
un experimento
experimento ideal
ideal en
en el
cual
supone que
sin error
error alguno.
cual se supone
que la fuerza
fuerza y la aceleración
aceleración se miden
miden sin
alguno. Se aísla
aísla
un
sistema inercial
primario! l y se le somete
somete a la acción
un punto
punto material
material en
en el sistema
inercial primario
acción de
de
la fuerza
FI / al
fuerza única
única FI. Se mide
mide la aceleración
aceleración al
al de
de la partícula
partícula y el cociente
cociente Fd
al
de
será un
de los
los módulos
módulos de
de la fuerza
fuerza y la aceleración
aceleración será
un número
número CII cuyo
cuyo valor
valor dedependerá
en que
penderá de
de las
las unidades
unidades en
que se midan
midan las
las fuerzas
fuerzas y las
las aceleraciones.
aceleraciones. El experimento
repite sometiendo
sometiendo a ese
perimento se repite
ese mismo
mismo punto
punto a otra
otra fuerza
fuerza F2 y midiendo
midiendo
la aceleración
F22/ / a2
dará un
aceleración correspondiente
correspondiente a2. De
De nuevo,
nuevo, el cociente
cociente F
a2 dará
un número
número
C22•• Se repite
el
experimento
tantas
veces
como
se
quiera.
De
los
resultados
repite experimento tantas veces como
quiera. De
resultados se
extraen
dos
conclusiones
importantes.
Primera,
los
cocientes
entre
extraen dos conclusiones importantes. Primera,
cocientes entre las
las fuerzas
fuerzas
aplicadas
son todos
aplicadas y las
las correspondientes
correspondientes aceleraciones
aceleraciones son
todos iguales
iguales a un
un mismo
mismo
número,
número, con
con tal
tal que
que no
no se cambie
cambie de
de unidades
unidades de
de medida
medida en
en los
los experimentos.
experimentos.
1
El sistema
sistema de referencia
imaginasistema inercial
inercial primario
primario o sistema
referencia astronómico,
astronómico, es un sistema
sistema de
d e ejes imaginario que se supone
supone carente
1.
carente de rotación
rotación o traslación
traslación en el espacio. Véase apartado
apartado 2,
2, capítulo
capítulo 1.
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Así pues,
pues,
Así
101
SEGUNDA LEY DE NEWTON
3.2 SEGUNDA
NEWTON
F
aa
e,
una
constante
una constante
Concluimos en
en que
que e es una
constante que
que mide
cierta propiedad
invariaConcluimos
una constante
mide cierta
propiedad invariable del
del punto
punto material.
Esta propiedad
inercia del
del punto
que es
ble
material. Esta
propiedad es la inercia
punto material,
material, que
su resistencia
resistencia a variar
variar de velocidad.
velocidad. En
En el caso
caso de
de un
de mucha
su
un punto
punto material
material de
mucha
inercia (e grande)
grande) la aceleración
aceleración será
será pequeña
fuerza F dada
dada y, recíinercia
pequeña para
para una
una fuerza
reCÍprocamente, si la inercia
inercia es pequeña,
aceleración será
será grande.
grande. Como
Como medida
procamente,
pequeña, la aceleración
medida
cuantitativa de
de la inercia
inercia se toma
que podemos
escribir e ==
cuantitativa
toma la masa
masa m, por
por lo que
p odemos escribir
donde k .es una
constante que
que depende
depende de
de las
las unidades
empleadas. Así
km, donde
una constante
unidades empleadas.
Así
pues, tenemos
tenemos la relación
experimental
pues,
relación experimental
F
= kma
=
kma
(3.1 )
donde F es la magnitud
magnitud de
de la fuerza
fuerza resultante
que se ejerce
ejerce sobre
sobre el punto
madonde
resultante que
punto material de
de masa
masa m y a es el módulo
de la aceleración
aceleración que
que adquiere
adquiere éste.
éste.
terial
módulo de
segunda conclusión
conclusión que
que extraemos
extraemos del
del experimento
experimento ideal
ideal es que
que la aceaceLa segunda
leración tiene
tiene siempre
siempre la misma
dirección y sentido
sentido que
que la fuerza
fuerza aplicada.
aplicada. Así
leración
misma dirección
Así
pues, la ecuación
ecuación 3.1 es una
vectorial que
que puede
escribirse en
en la forma
forma
pues,
una relación
relación vectorial
puede escribirse
= kma
F =
kma
(3.2)
(3.2)
Pese a la imposibilidad
imposibilidad de
de efectuar
efectuar un
experimento ideal
ideal como
como el descrito,
descrito,
Pese
un experimento
conclusiones se infieren
infieren de
de la mediciones
de innumerables
innumerables experimentos
experimentos
las conclusiones
mediciones de
realizados con
con precisión
cuyos resultados
resultados se predicen
correctamente a partir
realizados
precisión cuyos
predicen correctamente
partir
hipótesis en
en que
que se basa
experimento ideal.
ideal. Una
de las
las comprobaciocomprobaciode las hipótesis
basa el experimento
Una de
nes más
más precisas
precisas se encuentra
encuentra en
en la exacta
exacta predicción
de los
los movimientos
de
nes
predicción de
movimientos de
planetas basada
basada en
en la ecuación
ecuación 3.2.
los planetas
y
u
el
la
inercia/es. Si bien
las conclusiones
conclusiones del
del experimento
experimento ideal
ideal se han
(a) Sistemas inerciales.
bien las
han
obtenido para
para mediciones
efectuadas respecto
sistema inercial
inercial primario
"fiobtenido
mediciones efectuadas
respecto al sistema
primario "fijo",
son válidas
válidas igualmente
igualmente para
cualquier sistesistepara mediciones
mediciones hechas
hechas respecto
respecto a cualquier
jo", son
ma de
de referencia
referencia no
giratorio que
que se traslade
constante respecto
ma
no giratorio
traslade a velocidad
velocidad constante
respecto al
sistema primario.
primario. Cuando
Cuando en
en el apartado
apartado 2.8 estudiamos
estudiamos el movimiento
sistema
movimiento relatirelativimos que
que las
las aceleraciones
aceleraciones medidas
en todo
sistema que
que se traslade
sin
vo, vimos
medidas en
todo sistema
traslade sin
aceleración son
son las
las mismas
que las
las medidas
desde el sistema
sistema primario.
aceleración
mismas que
medidas desde
primario. Así
Así
pues, la segunda
segunda ley
ley de
de Newton
cumple también
en todo
sistema no
acelepues,
Newton se cumple
también en
todo sistema
no acelerado, por
por lo que
que podemos
podemos definir
definir que
que sistema
inercial es todo
sistema en
en el que
que
rado,
sistema inercial
todo sistema
válida la ecuación
ecuación 3.2.
es válida
experimento descrito
descrito se realizase
en la superficie
superficie terrestre
las
Si el experimento
realizase en
terrestre y todas
todas las
mediciones se efectuaran
efectuaran relativas
sistema de
de referencia
solidario al suelo,
suelo,
mediciones
relativas al sistema
referencia solidario
resultados medidos
ligera discrepancia
discrepancia al aplicarlos
aplicarlos en
en la
los resultados
medidos presentarían
presentarían una
una ligera
ecuación 3.2. Esta
Esta discrepancia
discrepancia se debería
debería al hecho
de que
que la aceleración
aceleración mediecuación
hecho de
medida no
no sería
sería la aceleración
aceleración absoluta
absoluta correcta.
correcta. La discrepancia
discrepancia desaparecería
desaparecería
da
cuando se tuvieran
tuvieran en
en cuenta
cuenta las
las correcciones
correcciones debidas
debidas a las
las componentes
componentes de
de
cuando
aceleración de
de la Tierra.
Tierra. En
En la mayoría
de los
los problemas
aceleración
mayoría de
problemas técnicos
técnicos referentes
referentes a
movimientos de
de estructuras
estructuras y máquinas
en la superficie
dichas comovimientos
máquinas en
superficie terrestre,
terrestre, dichas
rrecciones son
son despreciables.
despreciables. En
En tal
caso, las
las aceleraciones
aceleraciones medidas
rrecciones
tal caso,
medidas respecto
respecto a
de referencia
referencia solidarios
solidarios a la sJ.lperficie
superficie terrestre,
considerarse
los ejes de
terrestre, pueden
pueden considerarse
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102
CINÉTICA
ClNÉTlCA DEl
DEl PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
puede aplicarse
aplicarse la ecuación
ecuación 3.2 a las mediciones
absolutas" y puede
"absolutas"
mediciones experimentales
experimentales
efectuadas
que el error
error sea
sea apreciable.'
apreciable. 1
efectuadas en
en la superficie
superficie terrestre
terrestre sin
sin que
Existe
problemas, particularmente
particularmente referentes
referentes a coExiste un
un número
número creciente
creciente de problemas,
hetes
en que
que las
las componentes
componentes de
de la aceleración
aceleración
hetes y diseño
diseño de naves
naves espaciales,
espaciales, en
Tierra tienen
tienen una
una importancia
importancia primordial.
de la Tierra
primordial. Para
Para tales
tales cuestiones
cuestiones es esenesenuna comprensión
comprensión perfecta
perfecta de las
las bases
cial una
bases fundamentales
fundamentales de
de la ley de
de Newton
Newton
y que
adecuadas de
de la aceleración
aceleración absoluta.
absoluta.
que se empleen
empleen las componentes
componentes adecuadas
Con
anterioridad
a
1905
se
habían
verificado
las
leyes
de
Con anterioridad
habían verificado las leyes de la Mecánica
Mecánica
newtoniana
experimentos físicos
físicos y se consideraba
consideraba que
newtoniana mediante
mediante innumerables
innumerables experimentos
que
aquéllas
definitiva del
del movimiento
movimiento de
de los cuerpos.
cuerpos.
aquéllas constituían
constituían la descripción
descripción definitiva
concepto de tiempo,
tiempo, considerado
considerado como
El concepto
como magnitud
magnitud absoluta
absoluta en
en la teoría
teoría de
de
Newton,
básicamente diferente
diferente en
en la teoría
teoría de
de la RelNewton, sufrió
sufrió una
una interpretación
interpretación básicamente
atividad enunciada
enunciada por
por Einstein
en 1905. El nuevo
atividad
Einstein en
nuevo concepto
concepto exigía
exigía reformular
reformular
por
completo las leyes
Mecánica. La teoría
teoría de
de la Relatividad
Relatividad
por completo
leyes aceptadas
aceptadas por
por la Mecánica.
pudo parecer
parecer ridícula
ridícula en
en un
un principio,
pudo
principio, pero
pero ha
ha tenido
tenido comprobación
comprobación experiexp erimental
todos los
los científicos
científicos del
del mundo.
mundo. Aun
Aun cuancuanmental y en
en la actualidad
actualidad la aceptan
aceptan todos
do
diferencia entre
de Newton
Newton y la de
de Einstein,
Einstein,
do es fundamental
fundamental la diferencia
entre la Mecánica
Mecánica de
los resultados
sólo presentan
presentan una
una diferencia
diferencia prácprácresultados obtenidos
obtenidos por
por las dos
dos teorías
teorías sólo
tica cuando
cuya celeridad
celeridad sea
sea del
del orden
orden de
de la de
de la
cuando intervienen
intervienen velocidades
velocidades cuya
6
luz
.2 Problemas
referentes a partículas
partículas atómicas
atómicas y
luz (300 x 10 mi S)
S).2
Problemas importantes
importantes referentes
nucleares, por
por ejemplo,
ejemplo, llevan
llevan consigo
consigo cálculos
nucleares,
cálculos basados
basados en
en la teoría
teoría de
de la RelaRelatividad
tanto a físicos
físicos como
como a ingenieros.
ingenieros.
tividad y afectan
afectan de manera
manera fundamental
fundamental tanto
11
(b) Unidades. En la ecuación
acostumbra a tomar
tomar k igual
igual a la unidad,
unidad,
ecuación 3.2 se acostumbra
con
Newton toma
toma su
forma usual
usual
con lo que
que la ley de Newton
su forma
F
,.
I
== ma
(1.1
(1.1 )
Todo
cual kk sea
sea la unidad
unidad recibe
recibe el nombre
de sisTodo sistema
sistema de unidades
unidades para
para el cual
nombre de
tema cinético.
cinético. Así
Así pues,
pues, en
en un
un sistema
sistema cinético
tema
cinético las
las unidades
unidades de
de fuerza,
fuerza, masa
masa y
aceleración no son
son independientes.
independientes. Tal
aceleración
Tal como
como se expuso
expuso en
en el apartado
apartado 1.4, la
unidad SI de fuerza
fuerza es el newton
newton (símbolo
(símbolo N) y se deriva,
segununidad
deriva, a través
través de
de la segunda ley de Newton,
Newton, del
del producto
producto de la unidad
da
unidad fundamental
fundamental de
de masa
masa (kilogra(kilogramo, kg) por
por la unidad
unidad de aceleración
aceleración (metros
segundo al cuadrado,
mo,
(metros por
por segundo
cuadrado, mi S2);
S2);
11
magnitud
Podemos citar como ejemplo de la m
agnitud del error
error introducido
introducido al despreciar
d espreciar el movimiento
movimiento
ddee la Tierra en el caso de una partícula
partícula que se abandona
abandona libremente
librem ente partiendo
partiend o del reposo
reposo (relativo
altura h sobre el suelo. Puede
ti
vo a la Tierra) desde una altura
Puede demostrarse
d emostrarse que la rotación de
d e la Tierra
Ti erra
da origen a una aceleración hacia el Este (aceleración de
d e Coriolis) relativa
rela ti va a la Tierra y,
y, despred es prepartícula cae al suelo
sue lo a una
una distancia
distancia
ciando la resistencia del aire, la partícula
punto del suelo situado
situado directam
directamente
ente ddebajo
ebajo del punto
pun to inicial de
d e la caída.
caída . La velocial Este del punto
angular ddee la Tie
Tierra
w == 0,729
0,729 (10
{10-4)
dad angular
rra es úJ
-4) rad/s
rad / s yy la latitud,
latitud, Norte
N orte o Sur, es y. En latitud
latitu d de
de
45 y d
desde
200 m, la desviación
45°
esde una altura de 200
d esviación hacia
h acia el Este es xx =
= 43,9
43,9 mm.
La teoría de la Relatividad pone de manifiesto que no existe ningún
ningún sistema inercia1primario
inercia l primario
preferido y que las mediciones del tiempo que se hagan
hagan en
e n dos sistemas
sis temas de coordenadas
coordenadas que tendife rentes. Basándose en esto, los princigan una velocidad relativa el uno respecto al otro son diferentes.
pios ddee la Relatividad ddemuestran,
emuestran, por ejemplo, que un
un reloj que lleve un piloto de una nave
siguiendo una órbita circular polar de a 640
espacial que rodee la Tierra siguiendo
640 km de
d e altura a una
un a vekm/h
retrasaría respecto a un reloj
reloj situado
locidad de 27 080 km
/h retrasaría
situado en el Polo a razón de 0,000
0,000 00185
001 85 s
cada órbita.
0
2
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o sea, N = kg . mi S2.Este sistema se llama absoluto, pues la unidad de fuerza
depende del valor absoluto de la masa.
Por otra parte, en el Sistema Técnico la unidad de masa (UTM)se deriva de
la unidad de fuerza (kilogramo-fuerza, kgf, o kilopondio, kp) dividiendo ésta
por la aceleración (mi S2).Así pues, para la unidad técnica de masa se tiene
UTM = kp . s21 m. Este sistema recibe el nombre de graoitatorio, o terrestre, porque la masa se deduce de la fuerza producida por la atracción gravitatoria terrestre.
Por mediciones hechas con relación a la Tierra en rotación, se utiliza el valor
relativo de g, cuyo valor intemacionalmente admitido, al nivel del mar y a 45°
de latitud, es 9,806 65 mi S2.Salvo cuando se requiera una precisión mayor, para
valor de g se empleará 9,81 mi S2.Para mediciones relativas a la Tierra supuesta
sin movimiento de rotación, se utilizará el valor absoluto de g, que a 45° de latitud y a nivel del mar es de 9,8236 mi s2.La variación de ambos valores de g,
absoluto y relativo, al nivel del mar, se indica en la figura 1.1 del apartado 1.5.
Si bien en este texto se emplean sólo las unidades SI, nos referiremos ocasionalmente al Sistema Técnico, por lo que debemos aseguramos por completo
de que entendemos claramente cuáles son las unidades correctas de fuerza y
masa en cada uno de dichos sistemas. De estas unidades se trató en el apartado
1.4, pero será provechoso ponerlas aquí de manifiesto empleando números
sencillos, .antes de adentrarnos en las aplicaciones de la segunda ley de
Newton. Consideremos, primeramente, el experimento 'de caída libre representado en la figura 3.1a, en el que se suelta un objeto en reposo respecto a la
superficie terrestre y se permite que caiga libremente bajo la influencia de la
fuerza atractiva gravitatoria W que sufre el cuerpo y que llamamos peso. En
unidades SI, para una masa m = 1 kg el peso es W = 9,81N Yla aceleración descendente a correspondiente es g = 9,81 mi S2.En unidades técnicas, una masa
y
(a)
a
Caída libre gravitatoria
Sistema técnico
m=lUTM
(9,81 kp)
SI
m= 1 kg
);
Q
9
to
a·
ra
e·
w= 9,81 N
W= 9,81 kp
,
,
I
I
I
I
a
=s=
9,81 m/s2
(b)
a = g = 9,81 m/s2
Segunda ley de Newton
Sistema técnico
a = 1 m/s2
SI
a=lm/s2
F=l N
----
m = 1 kg
i= 1 kp
I
_
----
m=lUTM
Figura 3.1
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103
3.2 SEGUNDA LEY DE NEWTON
104
CINÉTICA DEL
DEl PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
CINÉTICA
S2I m) tiene
siendo igualmemnte
m == 1 UTM
UTM (1 kpkp· S2
tiene un
un peso
peso W
W=
= 9,81 kp,
kp, siendo
igualmemnte la aceleración gravitatoria
gravitatoria g = 9,81 mi
S2.
leración
mI S2.
figura 3.1b se ilustra
son las
sistema
En la figura
ilustra cuáles
cuáles son
las unidades
unidades propias
propias de
de cada
cada sistema
con un
un ejemplo
ejemplo muy
simple consistente
consistente en
en la aceleración
con
muy simple
aceleración de
de una
una masa
masa m a lo larlarhorizontal mediante
go de la horizontal
mediante una
una fuerza
fuerza F. En
En unidades
unidades SI, una
una fuerza
fuerza F == 1 N
produce una
S2sobre
este
produce
una aceleración
aceleración a = 1 mi
mI S2
sobre una
una masa
masa m = 1 kg. Expresando
Expresando este
mismo proceso
proceso y las
en unidades
mismo
las mismas
mismas cantidades
cantidades que
que intervienen
intervienen en
en él en
unidades técnitécnigravitatorias), diremos
diremos que
que una
una fuerza
fuerza F = 11/9,81
/ 9 ,81 kp
kp (1 kp
kp = 9,81 N)
cas (o sea, gravitatorias),
produce una
una aceleración
S2sobre
una masa
1/9,81
produce
aceleración a =
= 1 mi
mI S2
sobre una
masa m =
= 1
19,81 UTM
UTM (1 UTM
UTM
= 9,81 kg).
kg).
=
tendrá en
en cuenta
cuenta que
que la unidad
unidad SI de
de masa
masa es el kilogramo
kilogramo (kg) y que
que por
por
Se tendrá
tanto el peso
peso en
sistema debe
expresarse en
en newton
newton (N) según
según W =
= mg,
tanto
en este
este sistema
debe expresarse
siendo g == 9,81 mi
S2.En
sistema técnico,
un cuerpo
siendo
mI S2.
En el sistema
técnico, el peso
peso W de
de un
cuerpo se expresa
expresa
en kilogramos-fuerza,
kilogramos-fuerza, o kilopondio
(kp), y la masa
(kp . s2
s2I m), cuya
en
kilopondio (kp),
masa (kp
cuya unidad
unidad carece de nombre
nombre específico
específico y se representa
siendo
rece
representa UTM,
UTM, está
está dada
dada por
por m = WIg, siendo
mi S2.
S2.En
solemos referirnos
referimos al peso
un cuerpo
g == 9,81 mI
En el lenguaje
lenguaje cotidiano,
cotidiano, solemos
peso de
de un
cuerpo
cuando en
en realidad
su masa;
que ocurre
cuando
realidad hablamos
hablamos de
de su
masa; lo que
ocurre es que
que el número
número que
que
expresa su
su peso
sistema técnico
expresa su
expresa
peso (kp) en
en el sistema
técnico es el mismo
mismo número
número que
que expresa
masa en
en unidades
unidades SI. En
sigue, empleamos
sólo masas
masa
En lo que
que sigue,
empleamos sólo
masas y pesos
pesos expresaexpresados en
en unidades
unidades SI, salvo
salvo otra
en algunos
emplearemos la
dos
otra indicación,
indicación, y en
algunos casos
casos emplearemos
unidad técnica
unidad
técnica de
de fuerza
fuerza o kilopondio.
kilopondio.
3.3
ECUACiÓN DEL MOVIMIENTO
ECUACiÓN
MOVIMIENTO Y
Y RESOLUCiÓN
RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS
PROBLEMAS
Cuando un
un punto
sometido a la acción
Cuando
punto material
material de
de masa
masa m está
está sometido
acción de
de fuerzas
fuerzas conconcurrentes
Fl1 F2'
F2, F3'
F3, ... cuya
cuya suma
vectorial es LF, la ecuación
ecuación 1.1 queda
queda en
en la
currentes Fl'
suma vectorial
forma
forma
H,
•••
LF
LF
== ma
ma
(3.3)
(3.3)
resolución de
3.3 suele
suele expresarse
En la resolución
de problemas,
problemas, la ecuación
ecuación 3.3
expresarse descompuesta
descompuesta
en sus
sus tres
tres componentes
sistemas de
en
componentes escalares
escalares empleando
empleando alguno
alguno de
de los
los sistemas
de coorcoordenadas expuestos
expuestos en
en el capítulo
sistema de
denadas
capítulo 2. La elección
elección del
del sistema
de coordenadas
coordenadas
más
indicado se basa
más indicado
basa el tipo
tipo de
de movimiento
movimiento que
que interviene
interviene en
en el problema
problema y
constituye un
constituye
un paso
paso vital
vital en
en la formulación
formulación del
del mismo.
mismo. La ecuación
ecuación 3.3 o de
de
cualquiera de
ecuación de
cualquiera
de las componentes
componentes escalares
escalares de
de dicha
dicha ecuación
de fuerza,
fuerza, masa
masa y
aceleración, suele
suele recibir
aceleración,
recibir el nombre
nombre de
de ecuación
ecuación del movimiento
movimiento y proporciona
proporciona el
valor instantáneo
instantáneo de
aceleración que
fuerzas actuantes.
valor
de la aceleración
que corresponde
corresponde a las fuerzas
actuantes.
dos problemas
ecuación 3.3,
3.3, podemos
en(a) Los dos
problemas de
de la Dinámica.
Dinámica. Al aplicar
aplicar la ecuación
podemos enfrentamos a dos
frentarnos
dos tipos
tipos de
de problemas.
problemas. En
En el primer
primer caso,
caso, la aceleración
aceleración está
está especificada o bien
pecificada
bien puede
puede determinarse
determinarse a partir
partir de
de condiciones
condiciones cinemáticas
cinemáticas
determinadas. La fuerza
sobre el punto
determinadas.
fuerza que
que correspondientemente
correspondientemente actúa
actúa sobre
punto mamaterial cuyo
cuyo movimiento
especifica se determina
seguidamente sustituyendo
sustituyendo
terial
movimiento se especifica
determina seguidamente
directamente en
3.3. La resolución
este tipo
suele
directamente
en la ecuación
ecuación 3.3.
resolución de
de este
tipo de
de problemas
problemas suele
ser bastante
bastante inmediata.
ser
inmediata.
segundo tipo
especifican una
En el segundo
tipo de
de problemas,
problemas, se especifican
una o más
más fuerzas
fuerzas de
de las
las
actuantes y debe
actuantes
debe determinarse
determinarse el movimiento
movimiento resultante.
resultante. Cuando
Cuando las
las fuerzas
fuerzas
sean constantes,
constantes, la aceleración
será constante,
fácilmente se deduce
sean
aceleración será
constante, como
como fácilmente
deduce de
de la
ecuación 3.3.
3.3. Cuando
sean funciones
tiempo, de
ecuación
Cuando las
las fuerzas
fuerzas sean
funciones del
del tiempo,
de la posición,
posición, de
de
velocidad o de
3.3 se convierte
en una
la velocidad
de la aceleración,
aceleración, la ecuación
ecuación 3.3
convierte en
una ecuación
ecuación
http://gratislibrospdf.com/
diferencial
para determinar
diferencial que
que debe
debe integrarse
integrarse para
determinar la velocidad
velocidad y el desplazadesplazamiento.
de este
este tipo
tipo suelen
suelen ser
ser más
laboriosos, ya
que la inteintemiento. Los problemas
problemas de
más laboriosos,
ya que
gración puede
dificultosa, especialmente
especialmente si la fuerza
fuerza es una
función en
en
gración
puede resultar
resultar dificultosa,
una función
la que
mezclan dos
más variables
variables cinemáticas.
práctica, es frecuente
que se mezclan
dos o más
cinemáticas. En la práctica,
frecuente
tener que
recurrir a técnicas
técnicas de integración
tener
que recurrir
integración aproximada,
aproximada, especialmente
especialmente si interintervienen datos
procedivienen
datos experimentales.
experimentales. En el apartado
apartado 2.2 se desarrollaron
desarrollaron los procedipara integrar
matemáticamente la aceleración
mientos para
mientos
integrar matemáticamente
aceleración cuando
cuando ésta
ésta es función
función
de las variables
variables cinemáticas;
pueden aplicarse
procedimientos
cinemáticas; pueden
aplicarse estos
estos mismos
mismos procedimientos
cuando
una función
mismos parámetros,
parámetros, ya
cuando la fuerza
fuerza sea
sea una
función especificada
especificada de
de los mismos
que
masa.
que la fuerza
fuerza y la aceleración
aceleración sólo
sólo difieren
difieren en
en el factor
factor constante
constante de
de la masa.
y
e
y
1
(b) Movimiento
Movimiento vinculado
tipos de
movimiento
vinculado yy no vinculado.
vinculado. Existen
Existen dos
dos tipos
de movimiento
físicamente diferenciados
diferenciados descritos
descritos ambos
ambos por
ecuación 3.3. El primero
físicamente
por la ecuación
primero de
ellos es el movimiento
movimiento no vinculado
una partícula
partícula libre
maellos
vinculado que
que ejecuta
ejecuta una
libre de guías
guías materiales al describir
una trayectoria
trayectoria determinada
por su
moviteriales
describir una
determinada sólo
sólo por
su estado
estado de
de movimiento
inicial y por
fuerzas de
de origen
origen exterior.
exterior. Un
avión o un
cohete en
en
miento inicial
por las fuerzas
Un avión
un cohete
vuelo y un
un electrón
moviéndose en
un campo
movivuelo
electrón moviéndose
en un
campo eléctrico
eléctrico son
son ejemplos
ejemplos de movimientos no
no vinculados.
vinculados. El segundo
movimiento vinculado
mientos
segundo tipo
tipo es el movimiento
vinculado en
en el que
que la
trayectoria de la partícula
partícula está
total o parcialmente
parcialmente obligado
por guías
materiatrayectoria
está total
obligado por
guías materiales o ligaduras.
Un disco
hockey sobre
hielo se mueve
mueve con
parligaduras. Un
disco de
de hockey
sobre hielo
con la ligadura
ligadura parcial que
hielo. Un
Un tren
tren que
mueve a lo largo
vía y un
un cursor
cursor
que supone
supone el hielo.
que se mueve
largo de su
su vía
deslizándose
un eje fijo son
movimiento totalmente
totalmente
deslizándose a lo largo
largo de
de un
son ejemplos
ejemplos de
de movimiento
vinculado.
de las
fuerzas actuantes
actuantes sobre
sobre un
vinculado. Algunas
Algunas de
las fuerzas
un punto
punto material
material durante
durante
movimiento vinculado
éste pueden
ser de
de origen
origen exterior
exterior y otras
otras pueden
el movimiento
vinculado de éste
pueden ser
pueden
de los vínculos,
ligaduras, sobre
sobre la partícula.
aplicar la
ser las reacciones
reacciones de
vínculos, o ligaduras,
partícula. Al aplicar
ecuación 3.3 deben
deben incluirse
incluirse todas las fuerzas,
activas como
como re
activas, que
que
ecuación
fuerzas, tanto
tanto activas
reactivas,
actúan sobre la partícula.
actúan
partícula.
elección del
del sistema
sistema de coordenadas
coordenadas viene
viene frecuentemente
frecuentemente determinado
determinado
La elección
por
geometría de
de las ligaduras.
ligaduras. Así, si un
por el número
número y la geometría
un punto
punto material
material puede
puede
moverse
libremente por
espacio, como
como le ocurre
centro de
de masa
moverse libremente
por el espacio,
ocurre al centro
masa de un
un cohete
en vuelo
vuelo libre,
libre, se dice
dice que
que el punto
libertad, ya
que se
hete en
punto tiene
tiene tres grados
grados de libertad,
ya que
requieren
coordenadas independientes
independientes
para
especificar la posición
del
requieren tres
tres coordenadas
para especificar
posición del
punto
en un
instante cualquiera.
cualquiera. Deberán
Deberán integrarse
integrarse las tres
componentes de
de
punto en
un instante
tres componentes
ecuación del
del movimiento
obtener las coordenadas
coordenadas espaciales
espaciales en
en funfunla ecuación
movimiento para
para obtener
ción del
del tiempo.
material está
está obligado
obligado a moverse
sobre una
superción
tiempo. Si un
un punto
punto material
moverse sobre
una supercomo sería
sería el caso
caso de
de un
un bolita
deslizándose sobre
sobre la superficie
superficie curva
curva de
de
ficie, como
bolita deslizándose
una
sólo serán
serán necesarias
dos coordenadas
coordenadas para
especificar su
su posición
una taza,
taza, sólo
necesarias dos
para especificar
posición y
este caso
caso se dice
dice que
que tiene
libertad. Si un
está
..en
e n este
tiene dos grados
grados de libertad.
un punto
punto material
material está
obligado a moverse
largo de
de una
trayectoria lineal
lineal fija, como
como en
en el caso
caso de
obligado
moverse a lo largo
una trayectoria
una
cuenta que
que se deslice
deslice por
por un
alambre fijo, su
deberá especificarse
especificarse
una cuenta
un alambre
su posición
posición deberá
con la coordenada
medida a lo largo
punto sólo
coordenada medida
largo del
del alambre.
alambre. En este
este caso, el punto
sólo
tiene
un grado
tiene un
grado de libertad.
libertad.
aplicar cualquiera
cualquiera de las ecuaciones
ecuaciones del
del
(c) Diagrama para sólido
sólido libre. Al aplicar
movimiento
fuerza-masa-aceleración
absolutamente necesario
intermovimiento fuerza-mas
a-aceleración es absolutamente
necesario hacer
hacer intervenir correctamente
correctamente todas las
fuerzas que
que se ejercen
ejercen sobre
sobre el punto
punto material
venir
las fuerzas
material o
partícula.
fuerzas de
de las que
que se puede
puede prescindir
son aquéllas
aquéllas cuyos
cuyos
partícula. Las únicas
únicas fuerzas
prescindir son
módulos
sean despreciables
despreciables frente
frente a las de las demás
demás fuerzas
fuerzas que
que se ejercen,
ejercen,
módulos sean
como por
ejemplo son
son despreciables
despreciables las fuerzas
fuerzas de
de atracción
atracción mutua
entre dos
dos
como
por ejemplo
mutua entre
corpúsculos frente
frente a su
su atracción
atracción por
de un
cuerpo celeste,
celeste, tal
como la
corpúsculos
por parte
parte de
un cuerpo
tal como
Tierra. La suma
suma vectorial
ecuación 3.3 significa
significa la suma
suma vectorial
de
Tierra.
vectorial LF de la ecuación
vectorial de
todas las fuerzas
fuerzas que
que se ejercen
ejercen sobre el punto
material en
en cuestión.
cuestión. Análogapunto material
Análoga-
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105
3.3 ECUACiÓN
Y
ECUACiÓN DEL MOVIMIENTO
MOVIMIENTO Y
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
106
CINÉTICA
ClNÉTICA DEl
DEl PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
~i•
mente,
suma escalar
escalar correspondiente
correspondiente de las fuerzas
fuerzas en
en una
una cualquiera
cualquiera de las
mente, la suma
direcciones
direcciones componentes
componentes significa
significa la suma
suma de las componentes
componentes de todas las
fuerzas
fuerzas que
que se ejercen
ejercen sobre el punto
punto en
en dicha
dicha dirección.
dirección. La única
única manera
manera fiable
de hacer
hacer intervenir
intervenir todas
todas las fuerzas
fuerzas es aislar
aislar el punto
punto material
material considerado
considerado de
todos los cuerpos
cuerpos en
en contacto
contacto con
con él que
que influyan
influyan sobre
sobre él y sustituir
sustituir los cuerpos
cuerpos
suprimidos
suprimidos por
por las fuerzas
fuerzas que
que ejercen
ejercen sobre
sobre el punto
punto aislado.
aislado. El diagrama
diagrama para
sólido libre resultante
resultante es el medio
medio por
por el cual
cual toda
toda fuerza,
fuerza, conocida
conocida o no, que
que se
sólido
ejerza
ejerza sobre
sobre el punto
punto material
material quede
quede representada
representada y, por
por tanto,
tanto, sea tenida
tenida en
en
cuenta.
cuenta. Solamente
Solamente después
después de haber
haber dado
dado este
este paso
paso primordial
primordial podrá
podrá proceprocederse
derse a escribir
escribir la ecuación
ecuación o ecuaciones
ecuaciones del
del movimiento
movimiento apropiadas.
apropiadas. El
diagrama para
sólido libre
cumple en
en Dinámica
Dinámica el mismo
mismo papel
papel clave
clave que
que en
diagrama
para sólido
libre cumple
un método
fiable para
Estática.
Estática. Éste no es más
más que
que establecer
establecer un
método completamente
completamente fiable
para el
cálculo correcto
correcto de la resultante
resultante de todas
todas las fuerzas
fuerzas reales
que se ejercen
ejercen sobre
sobre
cálculo
reales que
punto material
punto de que
que se trate.
trate. En Estática,
Estática, esta
esta resultante
resultante era
era nunuel punto
material o el punto
mientras que
que en
Dinámica se iguala
iguala al producto
producto de la masa
masa por
por la aceleraacelerala, mientras
en Dinámica
ción. Si el estudiante
estudiante se da cuenta
cuenta de que
que las ecuaciones
ecuaciones del
del movimiento
movimiento deben
deben
ción.
interpretarse exacta
exacta y literalmente,
literalmente, y si al hacerlo
hacerlo respeta
respeta el significado
significado escalar
escalar
interpretarse
vectorial del
del signo
signo igual
igual en
en la ecuación
ecuación del
del movimiento,
movimiento, encontrará
encontrará un
un mínimíniy vectorial
dificultad. Todo
Todo estudiante
estudiante experimentado
experimentado de Mecánica
Mecánica técnica
técnica comcommo de dificultad.
prende que
que la observancia
observancia cuidadosa
cuidadosa y sistemática
sistemática del
del método
método del CUeTpO
cuerpo libre es
prende
importante que
que puede
puede aprender
aprender en
en el estudio
estudio de la Mecánica
Mecánica técla lección más importante
Como parte
parte del trazado
trazado de un
un diagrama
diagrama para
para sólido
sólido libre
libre deberán
deberán indiindinica. Como
carse claramente
claramente los ejes de coordenadas
coordenadas y sus
sus sentidos
sentidos positivos.
positivos. Cuando
Cuando se
carse
escriban las ecuaciones
ecuaciones del
del movimiento,
movimiento, todas
todas las sumas
sumas de fuerzas
fuerzas deberán
deberán
escriban
compatibles con
con la elección
elección de los sentidos
sentidos positivos.
positivos. Además,
Además, para
para ayudar
ayudar
ser compatibles
identificación de las fuerzas
fuerzas exteriores
exteriores que
que actúen
actúen sobre
sobre cada
cada cuerpo
cuerpo en
a la identificación
cuestión, dichas
dichas fuerzas
fuerzas se representarán
representarán con vectores
vectores azules
azules de trazo
grueso
cuestión,
trazo grueso
en el resto
resto de la obra.
obra. Los problemas
problemas tipo
tipo 3.1 a 3.5 incluidos
incluidos en
en el apartado
apartado sien
guiente contienen
contienen cinco ejemplos
ejemplos de diagramas
diagramas para
para sólido
sólido libre
libre que
que pueden
pueden
guiente
repasarse fácilmente
fácilmente como
como recordatorio
recordatorio de cómo
cómo se construyen.
construyen.
repasarse
resolver problemas,
problemas, el estudiante
estudiante suele
suele preguntarse
preguntarse cómo
cómo empezar
empezar y
Al resolver
qué pasos
pasos debe
debe seguir
seguir para
para llegar
llegar a la solución.
solución. Esta dificultad
dificultad se reducirá
reducirá al
qué
mínimo si se acostumbra
acostumbra a encontrar
encontrar primeramente
primeramente alguna
alguna relación
relación entre
entre la
mínimo
cantidad incógnita
incógnita del
del problema
problema y otras
otras cantidades,
cantidades, conocidas
conocidas y desconocidas.
desconocidas.
cantidad
continuación se encontrarán
encontrarán otras
otras relaciones
relaciones existentes
existentes entre
entre dichas
dichas cantidacantidaA continuación
des desconocidas
desconocidas y otras
otras cantidades,
cantidades, conocidas
conocidas o no. Por
último, se establece
establece
des
Por último,
dependencia de los datos
datos originales
originales y se indica
indica el procedimiento
procedimiento para
para el anáanála dependencia
cálculo. Emplear
Emplear unos
unos minutos
minutos en
en organizar
organizar el plan
plan de enfoque
enfoque melisis y el cálculo.
diante el reconocimiento
reconocimiento de la dependencia
dependencia entre
entre sí de las distintas
distintas cantidades,
cantidades,
diante
siempre será
será provechoso
provechoso y por
por lo general
general evitará
evitará que
que se retrase
retrase el alcanzar
alcanzar la
siempre
solución a causa
causa de cálculos
cálculos inútiles.
inútiles.
solución
3.4
MOVIMIENTO RECTILíNEO
RECTILíNEO
MOVIMIENTO
Pasamos ahora
ahora a aplicar
aplicar los conceptos
conceptos examinados
examinados en
en los apartados
apartados 3.2 y 3.3 a
Pasamos
problemas de movimiento
movimiento de puntos
puntos materiales
materiales empezando
empezando en
en este
este aparaparlos problemas
tado por
por el movimiento
movimiento rectilíneo
rectilíneo y tratando
tratando el movimiento
movimiento curvilíneo
curvilíneo en
en el
tado
apartado 3.5. En ambos
ambos apartados
apartados se estudiarán
estudiarán los movimientos
movimientos de los cuercuerapartado
pos que
que pueden
pueden ser tratados
tratados como
como puntos
puntos materiales
materiales o partículas.
Esta simplisimplipos
partículas. Esta
ficación es aceptable
aceptable mientras
mientras sólo
sólo nos
nos interese
interese el movimiento
movimiento de la línea
línea
ficación
descrita por
por el centro
centro de masa
masa del
del cuerpo,
cuerpo, en
en cuyo
cuyo caso
caso las fuerzas
fuerzas pueden
pueden tratradescrita
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tarse como si concurrieran en el centro de masa. Cuando en el capítulo 6 examinemos la cinética de los cuerpos rígidos, incluiremos la acción de las fuerzas
no concurrentes sobre el movimiento de los cuerpos.
Si, por ejemplo, tomamos la dirección x coincidente con la del movimiento
rectilíneo de un punto material de masa m, las componentes y y z de la aceleración serán nulas y las componentes escalares de la ecuación 3.3 se hacen
I.Fx
=
107
3.4 MOVIMIENTO
RECTILíNEO
ma;
I.Fy
O
I.Fz
O
(3.4)
En aquellos casos en que no sea posible hacer coincidir una de las direcciones
coordenadas con la del movimiento, tendremos en el caso más general tres
ecuaciones componentes
I.Fx
m«.
=,
I.Fy
I.Fz
=
(3.5)
maz
donde la aceleración y la fuerza resultante
están dadas por
a = axi + ayj + azk
a
,.,¡fa2x
+ a2y + a2y
I.F = I.F xi + I.Fyj + I.Fzk
II.FI = J(I.Fx)2
+ (I.Fy)2 + (I.Fzf
PROBLEMA TIPO 3.1
y
I
I
I
Un hombre de 75 kg de masa se halla de
pie sobre una báscula de resortes en el
interior de un ascensor. Durante los tres
primeros segundos de movimiento a
partir del reposo, la tensión T del cable
soportan te es 8300 N. Calcular la lectura R de la balanza en neuiion durante
ese intervalo y la velocidad de ascenso v
del ascensor alfinal del mismo. La masa
total del hombre, el ascensor y la báscula
es de 750 kg.
tT=8300N
y
I
I
I
m tay
t
t(5(9'81)
= 736 N
t
R
750(9,81)= 7360N
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Solución.
La fuerza que registra la báscula y la velocidad dependen de la aceleración del ascensor, que es constante porque lo son las fuerzas durante el intervalo. A partir del diagrama para sólido libre del conjunto de hombre,
ascensor y báscula, la aceleración resulta ser
8300 - 7360 = 750ay
ay = 1,257 m/ s2
En la báscula se lee la fuerza ejercida sobre ella por los pies del hombre. La reacción igual y opuesta R a esa acción se representa en el diagrama para sólido libre
del hombre aislado solo con su peso, y la ecuación de movimiento correspondiente es
CD
Si la báscula estuviera calibrada en
kilogramos, su lectura habría sido
830/9,81 = 84 ,6 kg que, desde luego, no sería su verdadera masa puesto que la medida fue hecha en un
sistema no inercial. Sugerencia: Resolver nuevamente este problema
empleando unidades del sistema
técnico.
CD
[¿Fy
=
mayl
R - 736 = 75(1,257)
R
830 N
Resp.
La velocidad al cabo de los tres segundos es
[~v =
f
a dt]
v- O=
fa
1,257
dt
v = 3,77 mis
Resp.
PROBLEMA TIPO 3.2
H
Una pequeña góndola de inspección, de
masa 200 kg, corre a lo largo del cable
aéreo y está controlada por el cable que
se sujeta en A. Hallar su aceleración
cuando el cable de control está horizontal y con una tensión T = 2,4 kN. Calcular también lafuerza total P que el cable
de sustentación ejerce sobre las ruedas.
I
y
a ~/x
;::- ;:;.::/]5
12
G
T=2,4kN
Solución.
El diagrama para sólido libre de la góndola y sus ruedas como un
todo, y tratadas como si fueran una partícula, incluye la tracción T de 2,4 kN, el
peso W = mg = 200(9,81) = 1962 N Y la fuerza P que el cable ejerce sobre las ruedas.
El vehículo se encuentra en equilibrio en la dirección y ya que no hay aceleración en esa dirección. Entonces
W=mg=1962N
CD
Colocando los ejes de coordenadas
paralela y perpendicularmente a la
dirección de la aceleración podemos
resolver por separado las dos componentes escalares de la ecuación
del movimiento. ¿Sería lo mismo si x
e y se hubieran tomado horizontal y
vertical respectivamente?
P - 2,4(~) - 1,962@)
=
O
P = 2,73 kN
Resp.
CD
En la dirección x la ecuación del movimiento nos da
a
108
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7,30 m/s2
Resp.
PROBLEMA
PROBLEMATIPO
TIPO3.3
3.3
bloqueAAdedehormigón
hormigóndede125
125kgkgsese
ElElbloque
abandonadesde
desdeelelreposo
reposoenenlalaposición
posición
abandona
y
arrastra
el
tronco
representada
representada y arrastra el tronco dede
200 kg
kg por
por lala rampa
rampa dede 30°
30 ° arriba.
arriba.
200
Siendo0,5
0,5elelcoeficiente
coeficientedederozamiento
rozamiento
Siendo
troncoyyrampa,
rampa,hallar
hallarlala
cinéticoentre
entretronco
cinético
velocidad del
del tronco
tronco cuando
cuando elel bloque
bloque
velocidad
da
contra
el
suelo
en
B.
da contra el suelo en B.
o
CD
Solución. Los
Los movimientos
movimientos del
del tronco
troncoyy elelbloque
bloque son
son claramente
claramente interdepeninterdepenSolución.
dientes. Aunque
Aunqueya
ya deba
deba ser
ser evidente
evidente que
que lala aceleración
aceleración del
deltronco
tronco rampa
rampaarriba
arriba
dientes.
es lala mitad
mitad que
que lala aceleración
aceleración descendente
descendente de
de A,
A, podemos
podemos comprobado
comprobarlo formalformales
longitud constante
constante del
del cable
cable es
es LL == 2sc
2sc ++ SSAA ++ constante,
constante, donde
donde lala consconsmente. La
La longitud
mente.
tante corresponde
corresponde aa las
las longitudes
longitudes de
de cable
cable arrolladas
arrolladas en
en las
las poleas.
poleas. Derivando
Derivando
tante
dos veces
veces respecto
respecto al
al tiempo
tiempo resulta
resulta OO == 25'C
2É;"c +
+ SÉ;"A;
A ; oo sea
sea
dos
T
\
\200(9,81) N
\
\
//''\
Suponemos aquí
aquí que
que las
las masas
masas de
de las
las poleas
poleas son
son despreciables
despreciables yy que
que giran
giran
Suponemos
con unos
unos rozamientos
rozamientos despreciables.
despreciables. Con
Con estas
estas hipótesis
hipótesis el
el diagrama
diagrama para
para sólido
sólido
con
de la
la polea
polea revela
revela el
la traclibre de
libre
el equilibrio
equilibrio de
de fuerzas
fuerzas y momentos,
momentos, de
de donde
donde la
tractronco es
bloque. Obsérvese
ción
ción en
en el cable
cable sujeto
sujeto al tronco
es doble
doble que
que la
la del
del sujeto
sujeto al bloque.
Obsérvese
que
son
que las
las aceleraciones
aceleraciones del
del tronco
tronco y
y la
la polea
polea
son iguales.
iguales.
En
En el diagrama
diagrama para
para sólido
sólido libre
libre del
del tronco
tronco se muestra
muestra la fuerza
fuerza de
de rozamienrozamiento f.1J'l
!1,;N que
que se opone
opone al movimiento
movimiento rampa
rampa arriba.
arriba. El equilibrio
equilibrio del
del tronco
tronco en
en la
e
N
CD
CD
e
dirección
dirección yy da
da
N
N -- 200(9,81)
200(9,81) cos
cos 30·
30·
2
== OO
0,5(1699)
0,5(1699)-- 2T
2T ++200(9,81)
200(9,81) sen
sen 30·
30·
A
o
4
=
200
200 aac
c
125(9,81)
125(9,81)-- TT == 125a
125aAA
aacc == -- 0,888
0,888mi
mI s2s2
VA
las
coordenadas empleadas
empleadas para
Las coordenadas
para exexpresar
la
relación
del
vínculo
cinétipresar la relación del vínculo cinético final
final deben
deben ser
ser coherentes
coherentes con
con las
las
co
empleadas en
en las
las ecuaciones
ecuaciones cinéticinétiempleadas
caso
cas.
cometería suponiendo T= 125(9,81)
N,pues
puesen
ental
tal caso
caso elelbloque
bloque AAno
nosese
N,
aceleraría.
aceleraría.
1004NN
TT == 1004
2(1,777)(6) == 4,62
= JJ2(1,777)(6)
4,62mi
mIs s
1+
Obsérvese elel grave
grave error
error que
que se
se
o0) Obsérvese
cometería suponiendo T = 125(9,81)
Durante
Durante lalacaída
caída de
de 66mm con
con aceleración
aceleración constante,
constante, elelbloque
bloque adquiere
adquiere lalavelocivelocidad
dad
[v[v22 ==2ax]
2ax]
~:
125(9,81) N
mente el
el tronco
tronco subirá
subirá por
por la
la rampa
rampa
mente
calculando la
la fuerza
fuerza que
que debe
debe ejerejercalculando
cer el
el cable
cable para
para iniciar
iniciar el
el movimovicer
miento aa partir
partir del
del estado
estado de
de
miento
equilibrio.
Esta
fuerza
es
2T
=
0,5N
equilibrio. Esta fuerza es 2T = 0,5N
200(9,81 )sen
)sen 30°
30° =
= 1831
1831 N,
N, oo sea
sea
++ 200(9,81
915 N,
N, inferior
inferior alal peso
peso 1226
1226 del
del
TT==915
bloque
A.
Así
pues,
el
troco
se
movebloque A. Así pues, el troco se moverampa arriba.
arriba.
rárá rampa
Resolviendo
Resolviendo elel sistema
sistema de
de tres
tres ecuaciones
ecuaciones en
en ac,
ao aA
aAY
YTT obtenemos
obtenemos
aaA
T
.
o
Para
Para el
el bloque
bloque tenemos,
tenemos, en
en la
la dirección
dirección positiva
positiva hacia
hacia abajo,
abajo,
2
= 1,777
1,777 m/s
m/s2
2T~
Podemos comprobar
comprobar que
que efectivaefectiva(3) Podemos
N == 1699
1699 N
N
N
yy la
la ecuación
ecuación del
del movimiento
movimiento en
en la
la dirección
dirección xx da
da
[+
[+ ~t HH== ma]
ma]
, /0,5 N
x/
0= 2a
2acc + aaAA
0=
eh
Resp.
Resp.
o
Como en
en este
este sistema
sistema las
las fuerzas
fuerzas
@ Como
permanecen constantes,
constantes, las
lasaceleraacelerapermanecen
ciones resultantes
resultantes permanecen
permanecen tamtamciones
biénconstantes.
constantes.
bién
109
109
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PROBLEMA TIPO 3.4
El modelo a escala de un nuevo barco
tiene una masa de 10 kg Y se ensaya en
un canal hidrodinámico para determinar su resistencia al movimiento a través del agua a distintas velocidades. En
el gráfico se plasman los resultados del
ensayo, pudiendo aproximarse la resistencia muy fielmente mediante la curva
parabólica de trazo discontinuo que se
representa. Si el modelo se abandona a
sí mismo cuando su celeridad es 2 mls,
hallar el tiempo t necesario para que la
celeridad se reduzca a 1 mls y la correspondiente distancia recorrida x.
8
I
I
6
/
R,N
/
4
,,.••.~
2
.••.
j ....
--
1
2
u, mis
La relación aproximada entre resistencia y velocidad puede tomarse
R = kv2, donde k se determina haciendo R = 8 N Yv = 2 mI s, lo que da k = 8/22 =
2 N· s2/m2. O sea R = 2v2.
La única fuerza horizontal que actúa sobre el modelo es R, por lo que
Solución.
1
Póngase cuidado en observar el signo menos de R.
CD
_ 2v2
o bien
=
10 dv
dt
Separando variables e integrando se obtiene
fto dt
Entonces, cuando v
-SfD dv
2 v2
= vo/2 = 1 mI
s, el tiempo es t
=
SCI-~)
=
2,S s
Resp.
La distancia recorrida durante estos 2,S segundos se obtiene integrando
v = dx/dt.Asípues,
v = 1O/(S+2t) de forma que
® Sugerencia:
Expresar la distancia x
tras la suelta en función de la velocidad v y ver si concuerda con la relación resultante x = 5 In(vo/v).
=
o
f~ dx
= fa's S ~02t
x
= ~oln(S + 2t) ]5,5 = 3,47 m
Resp.
PROBLEMA TIPO 3.5
La corredera de masa m se desliza por el
eje vertical hacia arriba bajo la acción de
una fuerza F de módulo constante y dirección variable. Si e = ki, donde k es
una constante, y si la corredera parte del
reposo siendo e = O, hallar el módulo F
de lafuerza que actúa sobre la corredera
cuando ésta se acerca al reposo cuando
e =71:12. El coeficiente de rozamiento
cinéiico entre el eje y la corredera es flc
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F
rng
ecuació n
escribim os lala ecuación
libre, escribimos
sólido libre,
para sólido
Solución.
diagram a para
dibujar elel diagrama
Tras dibujar
Solución. Tras
resulta
direcció n yy yy resulta
para lala dirección
del
movimi ento para
del movimiento
FF cos
cos
CD
desdel desfunción del
en función
expresa ra eeen
CD SiSi sese expresara
dv
dv
mg ==m
dt
m dt
!le-rng
ee==Ilc-
Sustitue.Sustitusen e.
N == FF sen
que N
requier e que
horizon tal requiere
donde
direcció n horizontal
la dirección
en la
equilibr io en
el equilibrio
donde el
s
tenemo
os
genéric tenemos
límites genéricos
entre límites
yendo
in tegrand o entre
kt ee integrando
por kt
yendo por
ee
J~
f!
m
rng)dt == m
kt -- mg)dt
sen kt
(F
!lJ sen
kt -- IlJ
cos kt
(F cos
plazamiento
del
lugar del
en lugar
vertical yy en
plazam iento vertical
itiempo
t,
la
aceleración
se
converticonvert
se
ión
acelerac
tiempo t, la
ría
desplazadel desplazafunción del
una función
en una
ría en
miento
dy.
dv ==aa dy.
emplearíamos vv dv
miento yy emplearíamos
f~ dv
J~
dv
en
convier te en
se convierte
que se
que
FF
rnv
= mv
rngt =
- 1)] - mgt
kt -1)]
!le(cos kt
¡;Jsen
kt + Ilc(cos
7([sen kt
Para
Para
2
que
modo que
de modo
O, de
ni 2 yy vv == O,
hace t = rr/2
se hace
e=
tiempo se
ni 2, elel tiempo
e= rr/2,
F
-[1+//(0-1)]k
~c
mgrr
=0
2k
F =
=
y
mgrr
rngn
2(12(1 - Il!le)
c)
Resp.
Resp.
Q)Vemos
depenno depenresultados no
los resultados
que los
Q)Vemos que
den
de
unidad de
por unidad
variación por
k, variación
de k,
den de
tiempo
fuerza.
de la fuerza.
dirección de
la dirección
de la
tiempo de
r
PROBLEMAS
LEMAS
PROB
ctorios
as introdu
Problemas
introductorios
Problem
vil de
3.1
En un
unaa prueba
prueba de
de frenado
frenado, , el automó
automóvil
de tracción
tracción dedeEn
3.1
de
inicial
d
celerida
una
de
partir
a
m
50
lantera
se
detiene
en
partir
una
celeridad
inicial
de
en
detiene
lantera
ras puede
95 km I/h.
Sabiendoo que
que a las ruedas
ruedas delante
delanteras
puede atribuir
atribuir- h. Sabiend
seles
90% de la fuerza
fuerza de frenado
frenado, , hallar
hallar la
la fuerza
fuerza de
de frenado
frenado
les el 90%
se
Ff en cada
cada rueda
rueda delante
delanterara y la fuerza
fuerza de
de frenado
frenado Fr
F, en
en cada
cada
F¡
lleva
kg,
1200
de
rueda trasera.
trasera. Supone
Suponer r que
que el vehícul
vehículo,o, de 1200kg. lleva una
una
rueda
te.
eración constan
desacel
des aceleración
constante.
Resp.
Resp. F¡
Ff== 3760
3760 N,
N, Fr
r, == 418
418 N
N
1----------- -- 50 m --- -- - - . ;¡,. ,IO1
f-I50 m -------
Figura problem
problemaa 3.2
Figura
3.3
¿Qué fracción
fracción nn del
del peso
peso del
del avión
avión a reacción
reacción represe
represen-n¿Qué
3.3
cia
resisten
la
ta
el
empuje
neto
(empuje
morro
menos
resistencia
menos
T
morro
el
en
ta el empuje neto (empuje
ánun
do
forman
del
aire
R)
necesario
para
que
avión
suba
formando
un
ánsuba
avión
el
que
para
io
necesar
R)
del aire
ión a en la digulo e
e con
con la
la horizon
horizontal
animado o ddee una
una acelerac
aceleración
tal animad
gulo
rección de
de vuelo?
vuelo?
rección
••••..
O
=
V2
V2 =
/h
V1 == 95
95 km
km/h
v,
~_R
Resp. nn == sen
sen e+
e+ ~~
Resp.
gg
Figura
Figura problem
problemaa 3.1
3.1
re el
3.2
El embalaj
embalajee de
de 50
50 kg
kg se
se deposit
depositaa poco
poco aa poco
poco sob
sobre
el
El
3.2
ad nula.
plano
inclinadoo con
con una
una velocid
velocidad
nula. Describ
Describirir qué
qué ocurre
ocurre
ano inclinad
pl
(a) e=
e= 15°
150 yy (b)
(b) e=
e= 10°.
100.
sisi (a)
T
Figura problem
problemaa 3.3
3.3
Figura
111
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3.4
El
3.4
El embalaj
embalajee de 50
50 kg se proyect
proyectaa a lo largo del suelo desde
con una celerida
de el
el punto
punto x == O
Ocon
celeridadd inicial de 7 mi
mi s. Siendo 0,4
0,4
el
nte de rozamie
nto cinético
el coeficie
coeficiente
rozamiento
cinético,, calcular el tiempo
que
tiempo que
tarda en pararse
pararse y la distanci
distanciaa x que recorre.
recorre.
-
horizon
tal neta F que deben ejercer las correas sobre la niña
horizontal
niña
para que
ezca fija
para
que ésta perman
permanezca
fija a la silla. La niña se tratará como
si
punto material
materia l y se definirá
si fuera
fuera un punto
definiránn las hipótes
hipótesis
comple-is comple
mentari as que puedan
puedan ser necesarias
necesarias para
mentarias
para el análisis.
Resp. F == 833
833 N
vO=
Vo = 7m/s
7 mis
~
/le
Jle ==
0,4
0,4
Figura
problem a 3.4
Figura problema
3.5
problem a 3.4 se proyecta
3.5
El embalaj
embalajee del problema
proyect a ahora hacia
hacia
abajo
por una rampa
rampa con una celeridad
celerida d inicial de 7 mi
abajo por
mi s.s. Calcular
tiempo tt que tarda
tarda en pararse
lar el
el tiempo
pararse y la distanc
distancia
ia x que recorre
si (a) e
8== 15°
15° Y (b) si e
8== 30°.
30°.
Resp. (a) t == 5,59
5,59 s, x == 19,58
19,58m,
m,
(b)
(b) El embalaj
embalajee no se detiene
Figura
Figura problem
problema a 3.7
Figura problem
Figura
problema a
u
••
•
lO
3.8
El collarín A se desliza libremente
3.8
libreme nte a lo largo del eje
eje liso
liso
B
montad o en el bastido
r. El plano de éste es vertical.
Bmontado
bastidor.
Hallar
vertical. Hallar la
la
acelerac
ión a del bastidor
bastido r necesar
aceleración
necesaria
ia para que el collarín
coll arín se manmantenga en una posición
posició n fija
eje.
fija respecto al eje.
3.5
3.6
Durant
espegue , cada uno de los cuatro
3.6
Durantee la carrera de ddespegue,
motores
pasajero s de 300
motores de un avión ddee pasajeros
300 Mg produc
producee un
un emempuje
te de 180
puje casi constan
constante
180 kN. Hallar
Hallar la longitud
pista relongitu d s de pista
requerida
ad ddee despegu
querida si la velocid
velocidad
despeguee es ddee 220
220 km/h.
Calcularr
km / h. Calcula
ss primero
primero para
para un ddespegue
espegue pendiente
sentido de
de A
pendien te arriba en sentido
A
aa By
B y después
para un despegu
después para
despeguee pendiente
sentido de
de
pendien te abajo, en sentido
B aa A,
a lo largo de la pista leveme
B
A, a
levemente
las
nte inclinada.
inclinad a. Despreciar
Desprec iar las
resistencias ddel
el aire y a la roda
resistencias
dura.
rodadur
a.
0,5
B
---aa
Figura problema
Figura
problem a
3.8
3.9
Calcula
3.9
Calcularr la acelerac
aceleración
de 150
150 kg
ión vertical a del cilindro de
kg
en los
los dos casos ilustrados.
ilustrad os. Desprec
en
Despreciar
iar el rozamiento
rozamie nto y la
la masa
masa
de las poleas.
Resp. (a)
m i S2,
Resp.
(a) a == 1,401
1,401mi
s2, (b) a =
= 3,27
3,27 m
mi i s2
S2
~=0'~~~1~==~~~~·~~····§··§~~~~~~~J
A
JJ Horizon
Horizontaltal
Figura
problem a 3.6
Figura problema
3.7
Como parte del proceso de diseño de una sillita de segu3.7
ridad
para
nií'los, un ingeniero
ingenie ro examina
ridad para niños,
condicio-examin a el conjunto
conjunt o de condicio
nes posibles
posibles siguientes:
siguien tes: Una niña de 12
nes
12kg
kg viaja en la sillita, que
que
aa su
firmem ente sujeta al asiento del automó
su vez está firmemente
automóvil.
Éste
vil. Éste
s1.úre
sufre un choque frontal con otro vehícul
vehículo.
celeridadd inicial Vo
Vo
o. La celerida
del
vil es de 50 km lZh,
del automó
automóvil
durante el
el
h, que se reduce a cero durante
ch oque de 0,2
n . Suponie
choque
0,2ss de duració
duración.
Suponiendo
choque
ndo que durante
durante el choque
el
vil se desacel
ere uniformemente,
uniform emente, estimar la fuerza
el automó
automóvil
desacelere
fuerza
112
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(al
(a)
(b)
(bl
Figura
problem a 3.9
Figura problema
Problemas
Problemas representativos
representativos
Un automóvil
automóvil desciende
desciende del cerro por la pendiente
pendiente el
e}
aplicados de modo
modo que la celeridad
celeridad v
con los frenos levemente
levemente aplicados
se mantiene
mantiene constante.
constante. En el punto
punto A, la pendiente
pendiente disminuye
disminuye
bruscamente
bruscamente a e
e2.. Si
Si el chofer no varía
varía la fuerza de frenado,
frenado, hallar la aceleración a del automóvil
automóvil a partir
partir del punto
punto A. ParticuParticularizar la expresión
expresión deducida
deducida para
para el
e} == 6° Y 8z
e2 == 2°.
3.10
3.10
100
99
98
98
3
22
11
problema 3.13
3.13
Figura problema
banda transportadora
transportadora A, que se mueve
mueve a la velociLa banda
dad VI
mi s, conduce
conduce objetos pequeños
pequeños hasta
hasta la rampa
rampa de
dad
v} == 0,4 mi
longitud. Si la banda
banda transportadora
transportadora B tiene una
una celeri2 m de longitud.
dad V2 == 0,9
0,9 mi
mi s y los objetos llegan
llegan a ella sin resbalar,
resbalar, calcular
calcular
dad
rampa.
el coeficiente de rozamiento
rozamiento I1c
u¿ entre
entre los objetos y la rampa.
3.14
3.14
Figura
Figura problema
problema 3.10
3.10
El coeficiente de rozamiento
plataforma
rozamiento estático entre la plataforma
del camión y la caja
caja que transporta
transporta es 0,3. Hallar
Hallar la distancia
distancia
mínima de frenado
frenado que puede
puede recorrer
recorrer el camión, partiendo
partiendo de
una celeridad
/ h yY siendo
celeridad de 70
70 km
km/h
siendo constante
constante la aceleración durante el frenado, sin que la caja resbale hacia adelante.
adelante.
Resp. s == 64,3
Resp.
64,3 m
3.11
problema 3.14
3.14
Figura problema
Se observa
figura lleva una
observa que el bloque
bloque de la figura
una velocidad VI
20 m I s al pasar
pasar por
por el punto
punto A y una
una velocidad
velocidad V2 ==
dad
v} =
= 20
10 mi
mi s al pasar
pasar por
por el punto
punto B del plano
plano inclinado.
inclinado. Calcular
Calcular el
coeficiente de rozamiento
entre el bloque
rozamiento cinético l1e
I1c entre
bloque y el plano
plano
si x =
= 75
75 m
my e
e == 15°.
15°.
Resp.
Resp. u¿
I1c == 0,479
0,479
3.15
3.15
A
~x
Figura
Figura problema
problema 3.11
- - vI
~B
I
Si
una veSi el camión del problema
problema 3.11
3.11 se detiene
detiene desde
desde una
adelante de 70
70 km/h
km/h en una
una distancia
distancia de
locidad inicial hacia adelante
50 m y bajo una desaceleración
desaceleración uniforme,
uniforme, averiguar
averiguar si la caja
espaldera de la plataforma.
plataforma. Si
Si golpea, calcular
golpea contra la espaldera
calcular
la
respecto al vehículo
vehículo en el momento
momento del
la celeridad de la caja respecto
rozamiento tómense
tómense l1e
l1e =
= 0,3
impacto. Como coeficientes de rozamiento
0,3 Y
Y
Jie== 0,25.
0,25.
I1c
--_
3.12
3.12
compone de una locomotora
locomotora de 180 Mg Y
Un tren se compone
cien vagones tolva de 90 Mg. Si,
Si, al poner
poner en marcha
marcha el convoy
cien
locomotora ejerce sobre los raíles una
una fuerza
fuerza
desde el reposo, la locomotora
rozamiento de 180 kN, calcular las fuerzas en los enganches
enganches
de rozamiento
100. Suponer
Suponer que no hay huelgos
huelgo s en los enganches
enganches y des1 y 100.
el rozamiento.
rozamiento.
preciar el
Resp. T11 == 176,5
176,5kN,
= 1765
1765 N
Resp.
kN, TlOO
lOO =
3.13
3.13
problema 3.15
3.15
Figura problema
Un motor
motor de iones de cesio para
para la propulsión
propulsión en el espacio interestelar
empuje
diseñado para
para producir
producir un
un empuje
interestelar se ha diseñado
constante
constante de 2,5
2,5 N durante
durante largos
largos períodos
períodos de tiempo. Si el motor está impulsando
espacial en una
impulsando una
una nave espacial
una misión
misión interplainterplanetaria,
netaria, calcular
calcular el tiempo
tiempo t necesario
necesario para
para que la velocidad
velocidad
aumente
65 000
aumente de 40 000
000 km/h
km / h a 65
000 km/h.
km / h . Hallar
Hallar también
también la distancia s recorrida
recorrida durante
Supóngase
durante ese intervalo
intervalo de tiempo. Supóngase
que la nave se está moviendo
moviendo en una
una región
región lejana del espacio
donde
empuje de su motor
fuerza que acdonde el empuje
motor iónico es la única
única fuerza
túa
túa sobre ella en la dirección
dirección de su movimiento.
movimiento.
3.16
3.16
113
113
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3.17
Durante
3.17
Durante un
un ensayo de fiabilidad, una
una tarjeta de circuito
impreso
una vibradora
impreso de masa m se sujeta a una
vibradora electromagnética
electromagnética
y se somete a un movimiento
movimiento armónico x == X sen rot,
on, donde
donde X
es la amplitud
amplitud del movimiento,
movimiento, ro
m es la pulsación
pulsación en radianes
radianes
por segundo
segundo y t es el tiempo. Hallar
Hallar el módulo
módulo Fmax
max de la fuerza
horizontal máxima que la máquina
máquina ejerce sobre la tarjeta.
horizontal
Resp. F
Fmax
= mXoJ
mXoJ
Resp.
max =
3.20
Hallar la aceleración de cada cilindro y la tracción que
Hallar
3.20
sufre el cable superior
desde el resuperior cuando
cuando el sistema se libera desde
poso.
poleas.
poso. Despreciar
Despreciar el rozamiento
rozamiento y las masas
masas de las poleas.
A
50
50 kg
Figura problema
3.20
problema 3.20
Figura problema
problema 3.17
3.17
3.18
El punto
punto O es el eje de giro de un péndulo
péndulo simple que
3.18 El
libremente en el plano
plano vertical de la placa.
placa. Si
Si ésta recibe
oscila libremente
constante a dirigida
dirigida plano
plano inclinado
inclinado e
e arriba,
una aceleración constante
expresión del ángulo
ángulo constante
constante f3 que adopta
adopta el pénescribir la expresión
siguen al arranque.
arranque.
dulo tras el cese de las oscilaciones que siguen
Despreciar la masa del brazo
brazo del péndulo.
péndulo.
Despreciar
3.21
Se repite aquí
2.209 a la que
3.21
aquí la ilustración
ilustración del problema
problema 2.209
se añade
añade información
información acerca de las masas. Despreciar
Despreciar todos los
rozamientos y las masas de las poleas y hallar
hallar las aceleraciones
rozamientos
cuerpos A y B cuando
cuando se abandonan
abandonan desde
desde el reposo.
de los cuerpos
Resp. aAA
Resp.
1,204 mi
m/s2s2 plano
plano abajo
1,204
aBB
0,682 mi
mi s2 hacia arriba
0,682
H
••
'1
10kg
10kg
problema 3.21
3.21
Figura problema
Figura problema
problema 3.18
3.18
3.19
Si los coeficientes de rozamiento
rozamiento estático y cinético en3.19
Si
bloque A de 20 kg Y el carretón
carretón B de 100
100 kg son prácticatre el bloque
0,50, hallar
hallar la aceleración de cada parte
parte para
para (a)
mente iguales a 0,50,
(b) P = 40 N.
P = 60 N Y (b)
N.
3.22
El sistema se abandona
abandona desde
desde el reposo
reposo con el cable ten3.22
El
Despreciando la pequeña
pequeña masa de la polea y el rozamiento
so. Despreciando
rozamiento
cuerpo y la tracción
Ten
en ella, calcular la aceleración de cada cuerpo
tracción Ten
instante inicial si (a) f.1e
0,25 Y f.1c
el cable en el instante
/.le = 0,25
/.le = 0,20
0,20 Y (b)
(b) f.1e
/.le =
=
0,15 Y f.1c
0,10.
0,15
/.le == 0,10.
2,a2 , a =
Resp.
m/s
m /2 s 2
Resp. (a)a
(a)aAA == 1,095
1,095m/s
0,981m/s
B
B == 0,981
(b)aAA
=
== 0,667m
0,667m/s/2s 2
aB =
20kg
20kg
100kg
100
kg
problema 3.22
3.22
Figura problema
Figura problema
problema 3.19
3.19
114
114
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El
El aparejo del problema
problema 3.22
3.22 se modifica como se muesJ.1e =
= 0,25
0,25 Y J.1c
J.1e =
= 0,20,
0,20,
tra. Para unos coeficientes de rozamiento
rozamiento J.1e
calcular la aceleración de cada cuerpo
cuerpo y la tracción T en el cable.
cable.
3.23
3.23
Resp. aA
1,450 mi
mi s2
s2 hacia abajo
1,450
aBB
0,725
0,725 m
mii s2
s2 hacia arriba
T=105,4N
T
105,4 N
3.26
La aceleración del carro A de 50
3.26
50 kg en sus guías lisas
verticales está controlada
por la tracción T que se ejerce en el
controlada por
espigas fijas
fijas al cacable de accionamiento
accionamiento que pasa
pasa por las dos espigas
Hallar el valor de T necesario para
para que la aceleración desrro. Hallar
cendente
0,20 el coeficiente
cendente del carro no rebase los 1,2 m
mii S2 si es 0,20
de rozamiento
rozamiento entre el cable y las espigas. (Recuérdese que la
relación que guardan
guardan las tracciones que sufre un cable flexible
deslizarse por una
una superficie cilíndrica es T22 =
= T11eJ.lf3.)
eP¡3. )
al deslizarse
B
B
Figura problema
problema 3.23
3.23
~~TT
El mecanismo de la figura es un acelerómetro y se compone de un émbolo A de 100
100 g que deforma el resorte cuando
cuando la
carcasa
carcasa recibe una aceleración ascendente
ascendente a. Expresar qué constante recuperadora
recuperad ora necesita el resorte para
para que el émbolo lo
acorte 6 mm desde la posición de equilibrio y toque el contacto
eléctrico cuando
cuando la aceleración que aumenta
aumenta lenta y constanteeléctrico
5g. Puede
Puede despreciarse
despreciarse el rozamiento.
mente alcance el valor de 5g.
3.24
3.24
Figura problema
problema 3.26
3.26
3.27
Un jugador
horizontalmente una
3.27
jugador de béisbollanza
béisbol lanza horizontalmente
una pelota
pelota tiene
hacia un radar
radar manual
manual sensible a la velocidad.
velocidad. La pelota
una masa de 0,146
0,146 kg Y
Y un perímetro
perímetro de 230
230 mm. Si
Si en x =
= O
Ola
celeridad es Vo == 140
140 km /Zh,
celeridad en función del
celeridad
h, calcular la celeridad
aerodinámica
tiempo. Se
Se supondrá
supondrá que la resistencia horizontal
horizontal aerodinámica
al movimiento
donde Coo es el
al
movimiento de la pelota
pelota es O = CD(~pv2)S,
CD(~pv2)S, donde
ves la celeridad
celeridad
coeficiente de retardo,
retardo, p es la densidad
densidad del aire, ves
y S es la superficie de la sección frontal de la pelota. Para Coo tómese un valor de 0,4.
componente yy del
0,4. Puede
Puede despreciarse
despreciarse la componente
movimiento pero justificando
movimiento
justificando la validez de esta hipótesis. Pardistancia aproxiticularizar el resultado
resultado para
para x == 18 m, que es la distancia
mada entre la mano del lanzador
puesto meta.
mada
lanzador y el puesto
PSx / m) = voe- 5,22(IO-3)x
5,22(lO- 3)x
Resp. vv = voe(
voe(-- O,5C
O,5CooPSx/m)
Resp.
Figura problema
problema 3.24
3.24
VIS
= 127,5
127,5
km/h
kmlh
Un cilindro de masa m descansa
descansa sobre un carrito base
tal como se representa.
representa. Si f3 == 45° Y e
() == 30°,
30°, calcular la aceleratal
ción
ción pendiente
pendiente arriba máxima
máxima a que puede
puede comunicarse
comunicarse al carrito sin que el cilindro pierda
pierda contacto en B.
B.
Resp. a == 0,366g
3.25
3.25
o
n
Figura problema
problema 3.27
3.27
Figura problema
problema 3.25
3.25
3.28
movimiento horizontal
3.28
La resistencia total R al movimiento
horizontal de un
cohete experimental
representa
experimental que se mueve
mueve sobre carriles se representa
mediante
continua del gráfico. Aproximar
Aproximar R mediante
mediante la línea continua
mediante
la línea de trazos y determinar
determinar la distancia
distancia x que el cohete debe
recorrer en los raíles desde su estado
estado de reposo
reposo hasta
recorrer
hasta alcanzar
alcanzar
una
velocidad de 400
motores del couna velocidad
400 m
mii s. El empuje
empuje T de los motores
115
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hete es prácticamente constante y vale 300 kN, Yel peso total
del cohete permanece, también, prácticamente constante y vale
2Mg.
deja caer un cono de acero de masa m desde una altura h que
penetre en el material. La resistencia R de éste a la penetración
depende de la sección transversal frontal del objeto penetrante,
y por ello es proporcional al cuadrado de la distancia x penetrada por el cono, o sea, R = - kx2. Si el cono se detiene a una
distancia x = d, hallar la constante k en función de las condiciones y resultados del ensayo.
300
v....
1/
200
....
V
•..•
....
v ~
•..•
•..• V
100
I"""/"
V
100
200 300
v, mis
Figura problema
400
500
J
3.28
3.29 La velocidad de contacto de un reactor de masa 5 Mg es
de 300 km/h, instante en que se despliega el paracaídas de frenado y se cortan motores. Si la resistencia total sobre el avión
varía con la velocidad tal como muestra el gráfico, calcular la
distancia de pista x que recorre el avión hasta que su velocidad
se reduce a 150 km/h. La variación de la resistencia puede
aproximarse mediante la expresión D = kv2, donde k es una
constante.
Resp. x = 201 m
If'
.
Figura problema
3.30
3.31 El collarín de 1,8 kg se deja caer desde el reposo sobre
el resorte elástico sin masa, cuya constante recuperadora es
1750 N 1m y que está comprimido una distancia de 150 mm.
Hallar la aceleración a del collarín como función del desplazamiento vertical x del mismo medido en metros desde el punto
de suelta. Determinar la velocidad v del collarín cuando x =
0,15m. El rozamiento es despreciable.
Resp. ax = 136,0- 972x, v = 4,35 mi s
11
"
t
x
120
~ 100
el 80
.g'"
V
1
/
60
/
/
.~ 40
Jl
/
V
20
Figura problema
3.31
V
00
»>
100
200
Velocidad v, km/ s
Figura problema
300
3.29
3.30 En un ensayo para determinar las características al
aplastamiento de un relleno de poliestireno para embalajes, se
3.32 Una fuerza constante P arrastra una cadena pesada de
masa p por unidad de longitud por una superficie horizontal
compuesta de una zona lisa y una zona rugosa. Si al comienzo
la cadena descansa sobre la superficie lisa, siendo x = OYJ.1.c el
coeficiente de rozamiento cinético entre la cadena y la superficie rugosa, determinar la velocidad v de la cadena para x = L.
Supóngase que la cadena permanece tirante y que por ello se
116
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mueve toda a la vez durante el movimiento. ¿Cuál será el valor
mínimo de P para que la cadena permanezca tirante? (Indicación: La aceleración no debe hacerse negativa.)
3.35 Al carro inicialmente en reposo se aplica una fuerza P.
Hallar la velocidad y el desplazamiento en el instante t = 5 s
para cada una de las evoluciones P1 y P2 de la fuerza. Despreciar el rozamiento.
Resp. Para P1: v = 12,5 mi s, s = 20,8 m
Para P2: v = 8,33 mi s, s = 10,42 m
P,N
Rugosa,¡.le
Lisa
3.32
Figura problema
50
1
1
1
3.33 Una cadena de longitud 21 y masa p por unidad de longitud cuelga del modo representado. Si al extremo Bse le da un
leve desplazamiento hacia abajo, el desequilibrio genera una
aceleración. Hallar la aceleración de la cadena en función del
desplazamiento hacia arriba x del extremo A y determinar la
velocidad v del extremo A cuando llega arriba. Despreciar la
masa y el diámetro de la polea.
Resp. a
re
es
ato
(-
=
yg,
v
=
Jil
I . 10kg
I-!-
"+1
O """'=--
1'--
O
Parábola
t, s
5
3.35
Figura problema
3.36 Hallar las aceleraciones de los cuerpos A y B Y la tracción en el cable a consecuencia de la aplicación de la fuerza de
250 N. Despreciar todos los rozamientos y las masas de las poleas.
r
35kg
1
l
A
Figura problema
3.36
B
Figura problema
3.33
3.34 Una barra de longitud 1 y masa despreciable enlaza el
carrito de masa M y la partícula de masa m. Si el carrito está
animado de una aceleración uniforme a hacia la derecha, ¿qué
ángulo e con la vertical forma la barra libremente oscilante
cuando ésta alcanza la posición estacionaria? Hallar la fuerza
neta P (no representada) a aplicar al carrito para que éste adquiera la aceleración especificada.
3.37 Para ensayar la resistencia al movimiento de un baño
de aceite, se suelta una pequeña bola de acero de masa m desde
el reposo en la superficie (y = O).Si la resistencia al movimiento
está dada por R = kv, donde k es constante, deducir una expresión para la profundidad h necesaria para que la bola adquiera
una velocidad v.
_~
k2
Resp. h -
(
1
In 1- kv/(mg)
)_mv
k
-a
o se
Figura problema
Figura problema
3.34
3.37
117
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3.38
Si la bola de acero del problema 3.37 se abandona desde
el reposo en la superficie de un líquido en cuyo seno la resistencia al movimiento es R = co', donde e es una constante y v
es la velocidad de descenso de la bola, determinar la profundidad h necesaria para que la bola adquiera una velocidad v.
3.39
Se representan dos montajes diferentes del dispositivo
de elevación de un ascensor. El ascensor A con el motor y el
tambor instalados en él posee una masa total de 900 kg. El ascensor B con el tambor, pero sin motor instalado, posee también una masa de 900 kg. Si en ambos casos el motor aplica un
par constante de 600 m· N, durante 2 s, a su tambor de 250 mm
de diámetro, elegir el montaje que produzca la mayor aceleración ascendente y hallar la correspondiente velocidad v del ascensor a los 1,2 s de la partida desde el reposo. La masa del
tambor del motor es pequeña y puede analizarse como si estuviera en equilibrio. Despreciar las masas de cables y poleas y
todos los rozamientos.
Resp. La mayor aceleración la da el montaje (a) v =
7,43 mis
1-<1
3.41
Un amortiguador es un mecanismo que ofrece una resistencia a la compresión o a la tracción dada por R = co, donde
e es una constante y v es la variación de longitud del amortiguador por unidad de tiempo. Se representa el ensayo de un
amortiguador de constante e = 3000 . slm con un cilindro de
100 kg suspendido de él. El sistema se suelta con el cable tirante en el punto y = O Y se deja que se alargue. Hallar (a) la velocidad uniforme Vs del extremo inferior del amortiguador y (b)
el instante t y el desplazamiento y del extremo inferior cuando
el cilindro alcanza el 90% de su velocidad uniforme. Despreciar las masas del pistón y su biela.
Resp. (a) Vs = 0,327 mi s
(b) t = 0,0768 s, Y = 15,29 mm
~
~
I
deformado y el sistema está en reposo, se aplica al cilindro una
fuerza constante de 10 N, hallar la velocidad del cilindro cuando x = 40 mm y el máximo desplazamiento del mismo.
25O
mm
qb\
q
A
B
m
Figura problema
=
100 kg
3.41
¡-.,
I
(al
250
mm
(bl
3.42
Las correderas A y B están conectadas mediante una barra rígida liviana de longitud 1 = 0,5 m y se mueven sin rozamiento por las guías horizontales. Para la posición XA = 0,4 m,
la velocidad de A es vA = 0,9 m I s hacia la derecha. Hallar la
aceleración de cada corredera y la fuerza que sufre la barra en
ese instante.
~
Figura problema
3.39
3.40
El resorte de constante k = 200 N I m está sujeto al soporte y al cilindro de 2 kg que se desliza libremente por la guía horizontal. Si en el instante t = O, en que el resorte no está
~
I
Posición de equilibrio
I
¡rl
P=40N
•
200N/m
ION
2kg
Figura problema
1----
3.40
XA
----
Figura problema
118
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3.42
un
de
an10-
3.43 Las
Lascorrederas
correderasAAyyBestán
B estánconectadas
conectadasmediante
medianteuna
unababa3.43
rrarígida
rígidaliviana
livianayysesemueven
muevensin
sinrozamiento
rozamientopor
porlas
lasranuras,
ranuras,
rra
lascuales
cualessesehallan
hallanambas
ambasen
enelelplano
planovertical.
vertical.En
Enlalaposición
p osición
las
ilustrada,lalavelocidad
velocidadde
deAAeses0,4
0,4mi
mis shacia
hacialaladerecha.
d erecha.Hallar
Hallar
ilustrada,
la
aceleración
de
cada
corredera
y
la
fuerza
sobre
la
barra
en
la aceleración de cada corredera y la fuerza sobre la barra en
ese
instante.
ese instante.
2 (hacia la derecha),
Resp.aA=
aA =7,95
7,95mi
m/s
Resp.
s2 (hacia
la derecha),
aB==8,04
8,04mi
miS2(hacia
S2 (haciaabajo)
abajo)
aB
T=25,0
25,0NN
T=
PP
Figura
Figuraproblema
problema 3.46
3.46
~~3.47
3.47 El
El sistema
sistemase
seabandona
abandona desde
desdeelelreposo
reposoen
enlalaposiposición
representada.
Calcular
la
tensión
T
de
la
cuerda
ción representada. Calcular la tensión T de la cuerdayylalaaceleaceleración
del bloque
bloque de
de 30
30 kg.
kg. Se
Se desprecian
d esprecian lala masa
masa de
de lala
ración aa del
pequeña
pequeñapolea
p olea sujeta
sujeta alal bloque
bloque yy elel rozamiento
rozamiento en
en lalamisma.
mism a.
(Sugerencia:
(Sugerencia: Empezar
Empezarestableciendo
estableciendo lala relación
relación cinemática
cinemáticaenentre
delos
los dos
dos cuerpos.)
cuerpos.)
trelas
las aceleraciones
aceleracionesde
Resp.
a == 0,766
Resp. TT == 138,0
138,0N, ,a
0,766mi
miS2
S2
(h)
do
re-
Figura problema
problema 3.43
3.43
Figura
e
¿Para qué
qué valor(es)
valor(es) del
del ángulo
ángulo e tendrá
tendrá el
el bloque
bloque de
de
¿Para
35 kg
kg una
una aceleración
aceleración de
de 99 mi
m i s2hacia
S2 h acia la
la derecha?
derecha?
35
3.44
3.44
44
~3
~3
P=450N
P=450N
d 35~
. --~
~~
!le
!le =
= 0,6,
0,6,!le
u¿ == 0,5
0,5
abaoza-
Am,
ar la
Figura
Figura problema
problema 3.44
3.44
Figura problema
problema 3.47
3.47
Figura
3.45
Calcular
3.45
Calcular la
la aceleración
aceleración del
del bloque
bloque AA en
en el
el instante
instante rerepresentado.
asa de
presentado. Despreciar
Despreciar la
la m
masa
de la
la polea.
polea.
Resp.
Resp. aax ==1,406
1,406 mi
mi S2s2
~ 3.48
3.48
Dos esferas
esferas dde
hierro, ambas
ambas dde
100 mm
mm de
de diám
diáme~
Dos
e hierro,
e 100
etro, se
se abandonan
abandonan desde
desde el
el reposo
reposo con
con una
una separación
separación entre
entre
tro,
centros de
de 11m
m.. Supóngase
Supóngase que
que se
se encuentran
encuentran en
en un
un lugar
lugar del
del
centros
espacio ddonde
no hay
hay otra
otra fuerza
fuerza que
que la
la atracción
atracción gravitatoria
gravitatoria
onde no
espacio
mutua yy calcular
calcular el
el tiempo
tiempo tt necesario
necesario para
para que
que las
las esferas
esferas enenmutua
tren
en
contacto
entre
sí
y
la
celeridad
absoluta
v
de
cada
una
tren en contacto entre sí y la celeridad absoluta v de cada una
tocarse.
alal tocarse.
Resp. tt == 13
13 hh 33
33 min
min
Resp.
x
a en
30°
!l.u, == 0,50}
40
0,50}
40kg
kg
!le
=
0
,40
~
••
!le = 0,40 ~
<,
~
T=
N
T= 100
100N
= 4,76(10
4,76(10 -- 5)
5) mmiiss
vv =
C:::::=::::::::~::=:::::::::"'''::::::::::i
~::::::,::::::::::::::::::::::::::::-==::::::l
Figura
Figuraproblema
problema 3.45
3.45
100mm
100
mm
~
~ 3.46
3.46
Con
Conlos
losbloques
bloques inicialmente
inicialmenteen
enreposo,
reposo,lalafuerza
fuerzaPP
. Representar
aumenta
aumentalentamente
lentamente desde
desdecero
cerohasta
hasta260
260NN.
Representar grágráficamente,
ficamente,en
enfunción
funciónde
deP,P,las
lasaceleraciones
aceleracionesde
deambas
ambasmasas.
masas.
-1-\I
rO
(J
l.l.
l1m-m --
Figuraproblema
problema
Figura
O
O
...•.•
1
---.I
3.48
3.48
119
119
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120
3.5
MOVIMIENTO
MOVIMIENTO CURVILÍNEO
CURVILÍNEO
CINÉTICA
CINÉTICA DEL PUNTO
PUNTO MATERIAL
Volvamos ahora
ahora nuestra
nuestra atención
atención a la cinética
cinética de
Volvamos
de los
los puntos
puntos materiales
materiales que
que
describen
aplicar la segunda
segunda ley
ley de
de Newton,
Newton,
describen trayectorias
trayectorias curvilíneas
curvilíneas planas.
planas. Al aplicar
representada
de las tres
tres expresiones
expresiones de
de la acerepresentada por
por la ecuación
ecuación 3.3, haremos
haremos uso
uso de
leración en
en el movimiento
movimiento curvilíneo
curvilíneo que
que desarrollamos
desarrollamos y utilizamos
leración
utilizamos en
en los
apartados
apartados 2.4, 2.5 Y 2.6.
El sistema
de las condiciones
condiciones del
del problema
problema
sistema de coordenadas
coordenadas elegido
elegido depende
depende de
y constituye
un problema
problema de
de movimiento
movimiento
constituye un
un decisión
decisión fundamental
fundamental al resolver
resolver un
curvilíneo.
de tres
tres formas
formas diferentes
diferentes
curvilíneo. Escribamos
Escribamos ahora
ahora de
de nuevo
nuevo la ecuación
ecuación 3.3 de
cuya
sea el más
más adecuado.
adecuado.
cuya elección
elección depende
depende de
de qué
qué sistema
sistema de
de coordenadas
coordenadas sea
Coordenadas
Coordenadas rectangulares
rectangulares (apdo.
(apdo. 2.4, fig. 2.7)
L.F
í:.F xx =
= ma
maxx
(3.6)
(3.6)
í:.Fyy =
= ma
may
L.F
y
donde
donde
y
Coordenadas tangencial
tangencíal y normal
normal (apdo.
(apdo. 2.5, fig. 2.10)
Coordenadas
I.Fnn =
= ma
ma;n
'LF
I.Ft t
'LF
(3.7)
(3.7)
= ma
ma¡t
=
donde
donde
·2
·2
.
ann =
pf3 =
= pf3
= v221p/p =
= vf3,
j
a,
=
v,
y
pf3
v = p~
I
Coordenadas
polares (apdo.
Coordenadas polares
(apdo. 2.6), fig. 2.15)
I.Frr == mar
mar
'LF
I.Fee == ma
ma¿e
'LF
donde
donde
(3.8)
(3.8)
y
Al aplicar
deberá seguirse
seguirse el proproaplicar las anteriores
anteriores ecuaciones
ecuaciones de
de movimiento,
movimiento, deberá
cedimiento
anterior para
para el movimiento
movimiento recreccedimiento general
general establecido
establecido en
en el apartado
apartado anterior
tilíneo. Así
tipo de
de movimiento
movimiento y elegido
elegido el
tilíneo.
Así pues,
pues, una
una vez
vez identificado
identificado el tipo
sistema
diagrama para
para sólido
sólido libre
del
sistema de
de coordenadas,
coordenadas, deberá
deberá dibujarse
dibujarse el diagrama
libre del
cuerpo considerado
considerado com
comoo punto
punto material.
cuerpo
material. A continuación,
continuación, se obtendrán
obtendrán de
de la
manera
de las
las fuerzas
fuerzas apropiadas.
apropiadas. El
manera habitual
habitual las sumas
sumas de
de las componentes
componentes de
diagrama
para que
que no
no se produzcan
produzcan erroerrodiagrama para
para sólido
sólido libre
libre deberá
deberá ser
ser completo
completo para
calcular las sumas
sumas de
de las componentes
componentes de
res al calcular
de las
las fuerzas.
fuerzas. Particularmente,
Particularmente, se
pondrá
una suma
suma de
de componentes
componentes de
de las
pondrá cuidado
cuidado en
en que
que el sentido
sentido asignado
asignado a una
fuerzas sea
concordante con
con el sentido
sentido correspondiente
correspondiente del
fuerzas
sea concordante
del término
término de
de la aceleración. Así, en
en la primera
primera de
de las ecuaciones
ecuaciones 3.7, por
leración.
por ejemplo,
ejemplo, el sentido
sentido posipositivo del
del eje n se toma
hacía el centro
centro de
de curvatura,
curvatura, y entonces
tivo
toma hacia
entonces el sentido
sentido positivo
positivo
de la suma
suma de
de componentes
componentes 'LF
I.FI1n debe
debe tomarse
tomarse también
de curde
también hacía
hacia el centro
centro de
curvatura
de la aceleración
aceleración a;
all =
= v 2// p.
vatura para
para que
que concuerde
concuerde con
con el sentido
sentido positivo
positivo de
http://gratislibrospdf.com/
PROBLEMA
PROBLEMATIPO
TIPO3.6
3.6
e
AA
a
o
s
I
I
I
I
I
I
Hallarlalaceleridad
celeridadmáxima
máximavvque
quepuede
puede
Hallar
tener elelbloque
bloquedeslizante
deslizantesin
sinque
quepierda
pierda
tener
contactocon
conlalasuperficie
superficiealalpasar
pasarpor
porelel
contacto
punto
A.
punto A.
•
Solución. La
Lacondición
condiciónpara
paraque
que se
sepierda
pierdael
elcontacto
contactoes
esque
quese
seanule
anulela
lafuerza
fuerza
Solución.
normal N
N que
que la
la superficie
superficie ejerce
ejerce sobre
sobre el
el bloque.
bloque. Sumando
Sumando fuerzas
fuerzas en
en la
la direcdirecnormal
ción
normal
positiva
resulta
ción normal positiva resulta
v22
mg=m v-mg=m
pp
vv ==
JiP
JiP
Resp.
Resp.
JiP,
en A
A la celeridad
celeridad es menor
menor que
que JiP, existirá
existirá una
una fuerza
fuerza hacia
hacia arriba
arriba que
que la
la
Si en
superficie ejerce sobre
sobre el bloque.
bloque. Para
Para que
que éste
éste pueda
pueda pasar
pasar por
por A con
con una
una celesuperficie
ridad mayor
mayor que
que JiP la ligadura
ligadura debe
debe ser
ser bilateral,
bilateral, es decir, debe
debe existir
existir una
una
ridad
segunda superficie
superficie curva
curva por
por encima
encima del bloque
bloque que produzca
produzca una
una reacción
reacción nornorsegunda
mal hacia
hacia abajo.
abajo.
mal
7)
mg
rng
~
~
D----t
0----1
tN=ü
tN=ü
I
I
I
I
nn
JiP
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.7
3.7
PROBLEMA
.8)
fO-
ecel
del
la
Se
Se abandonan
abandonan libremente
libremente en
en A,
A, partienpartiendo
do del
del reposo,
reposo, objetos
objetos pequeños
pequeños que
que caen
caen
deslizándose
deslizándose por
por la
la superficie
supelficie lisa
lisa circucircular
lar de
de radio
radio R
R hasta
hasta una
una correa
correa sin
sin fin
fin B.
B.
Determinar
en
función
de
e
la
expreDeterminar en función de e la expresión
sión de
de lala fuerza
fuerza normal
normal de
de contacto
contacto NN
que
que se
se ejerce
ejerce entre
entre lala guía
guía yy cada
cada objeto
objeto
yy especificar
especificar lala velocidad
velocidad angular
angular OJQ)que
que
ha
hade
de tener
tener lalapolea
polea de
de radio
radio rrde
de la
lacorrea
correa
sin
sin fin
fin para
para evitar
evitar cualquier
cualquier deslizadeslizamiento
miento sobre
sobre lalacorrea
correa alalser
ser transferidos
transferidos
aaésta
ésta los
los objetos.
objetos.
A
R
R
--~
--/1
//
¡¡
,
lB
,.---,
r¿ )f~ o
. El
fO-
, se
las
cesivo
f-
Solución.
Solución. En
Enlalafigura
figurapuede
puede verse
verseeleldiagrama
diagrama para
parasólido
sólidolibre
libredel
delobjeto
objetojunjuntotocon
conlas
lasdirecciones
direccionescoordenadas
coordenadas nnyyt.t.La
Lafuerza
fuerzanormal
normal NNdepende
depende de
delalacomcomponente
ponente normal
normal nnde
delalaaceleración
aceleraciónlalacual,
cual,aasu
suvez,
vez,depende
depende de
delalavelocidad.
velocidad.
Esta
Estaserá
seráacumulativa
acumulativa en
envirtud
virtud de
delalaaceleración
aceleracióntangencial.
tangencial. Luego,
Luego,en
enprimer
primer
lugar,
buscaremos
al
para
una
posición
genérica
cualquiera
lugar, buscaremos at para una posición genérica cualquiera
mg
mg cos
cosee==mat
mal
aal
cosee
t == ggcos
I p.
121
121
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11
Aquíesesesencial
esencial que
que comprendamos
comprendamos Q)
Aquí
CDIntegrando,
Integrando, ahora
ahorapodemos
podemos hallar
hallar lalavelocidad
velocidad
necesidad de
de expresar
expresar lalaaceleraaceleralalanecesidad
ción tangencial
tangencial como
como función
función de
de lala
ción
dv ==a¡at ds]
ds]
vv22 == 2gR
[v[v dv
f~f~ vv dv
dv == f~g
fgg cos
cos e8d(Re)
d(R8)
2gR sen
sen e8
posición para
para que
que vv pueda
pueda hallarse
hallarse
posición
integrando lala relación
relación cinemática
cinemática
integrando
La
Lafuerza
fuerza normal
normal lalaobtenemos
obtenemos sumando
sumando las
lasfuerzas
fuerzas en
enlaladirección
dirección nn positiva,
positiva,
dv ==ala,ds,
ds,en
en lalaque
que todas
todas las
lascancanvvdv
que
es
la
dirección
de
la
componente
normal
de
la
aceleración.
que
es
la
dirección
de
la
componente
normal
de
la
aceleración.
tidades
se
miden
a
lo
largo
de
la
tratidades se miden a lo largo de la trayectoria.
yectoria.
vv22
NN == 3mg
Resp.
[LF n = ma,J
NN-- mg
mg sen
sen e8 == m
m RR
3mg sen
sen e8
Resp.
La
Lapolea
polea debe
debe girar
girar aa la
la velocidad
velocidad vv ==rw
reopara
para e8=n/
=n/ 2,2,por
por lo
lo que
que
wO) == ,J2gRIr
,J2gRIr
Resp.
Resp.
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.8
3.8
Un
Un automóvil
automóvil de 1500
1500 kg entra en un
tramo curvo de una carretera horizontal
horizontal
y disminuye
disminuye la marcha uniformemente
uniformemente
km/h en A
desde una celeridad de 100 km/h
hasta 50 km/h
km/h al pasar por C. El radio de
curvatura
curvatura de la carretera es de 400 m en
A y de 80 m
lafuerza
m en C. Determinar
Determinar la
fuerza
ruetotal que ejerce la calzada sobre las ruedas en
en las posiciones
posiciones A,
A, BB YY C. El punto
punto
inflexión donde
donde la curvatura
curvatura
BB es el de inflexión
cambia
cambia de sentido.
sentido.
1I
p = 400 ID
p=400m
n
p=80m
_1
(B)
(B)
Solución. El
El automóvil
automóvil vamos
vamos aa tratarlo
tratarlo como
como aa una
una partícula,
partícula, por
por lo
lo que
que el
el
Solución.
efecto de
de todas
todas las
las fuerzas
fuerzas que
que la
la calzada
calzada ejerce
ejerce sobre
sobre las
las cubiertas
cubiertas lo
lo asimilareasimilareefecto
mos aa una
una única
única fuerza.
fuerza. Como
Como el
el movimiento
movimiento es
es en
en la
la dirección
dirección de
de la
la carretera,
carretera,
mos
la aceleración
aceleración del
del vehículo
vehículo la
la especificaremos
especificaremos empleando
empleando las
las coordenadas
coordenadas tantanla
gencial
normaL
gencial yy normal.
La aceleración
aceleración tangencial
tangencial constante
constante tiene
tiene la
la dirección
dirección tt negativa
negativa yy su
su módumóduLa
lo
lo es
es
0) Véase
Véase que
que el
el
valor
valor numenco
numenco del
del
coeficiente
coeficiente de
de conversión
conversión para
para pasar
pasar
de
de km/h
km/h aa mis
mis es
es 1000/3600,
1000/3600, oo sea
sea
1/3,6.
1/3,6.
@2 Obsérvese
Obsérvese que
que a 17 está
está siempre
siempre diridirial!
gida
centro de
de curvatura.
curvatura.
gida hacia
hacia elel centro
(A)
I
I
n
F¡
.»:
(B)
~ '-1
F
('yV
F
»>
t
Fn(;::l
F17( ,//
(C)~/
(C) ~/
/ / F¡
FI <.
" 1
aa
CD
CD
= 1(50/3,6)2
1(50/3,6)2-- (100/3,6)21
(100/3,6 )21 == 1,45
1,45m/
m/s2
s2
=
tt
2(200)
2(200)
Lascomponentes
componentesnormales
normalesde
delalaaceleración
aceleraciónen
enA,
A, BBYYCCson
son
Las
[a n
= v 2 /p]
enA,
A,
en
a
(100/3,6)2 = 1,93 m/s2
= 1,93 m/s2
=(100/3,6)2
400
400
an n =
enB,
B,
en
aan n ==OO
enC,
C,
en
«;
an = (50~~,6)2
nn
122
http://gratislibrospdf.com/
= (50 /803,6)2
2,41m/s2
m /s2
2,41
Aplicandolalasegunda
segundaley
leyde
deNewton
Newtonen
enlas
lasdirecciones
direccionesnnyyt tdel
deldiagrama
diagrama
Aplicando
parasólido
sólidolibre
libredel
delautomóvil
automóvilresulta
resulta
para
33
[LFnn==ma
ma]ll ]
[LF
n
0)
oObsérvese
Obsérveseque
queelelsentido
sentidode
de FIIdebe
debe
FF"
n == 1500(1,45)
1500(1,45) == 2170
2170NN
[LF ¡== mat]
mal]
[LFt
enA,
A,
en
FII
coincidir
dea¡¡"
a l!'
coincidircon
conelelde
1500(1,93) == 2894
2894NN
F" == 1500(1,93)
FI1
enB,B,
en
Fn ==OO
Fn
enC,
en
C,
1500(2,41)
FFnn == 1500(2,41)
3617N
3617N
Asípues,
pues,lalafuerza
fuerzahorizontal
horizontal que
queactúa
actúasobre
sobrelas
lasruedas
ruedas
Así
en A,
A,
en
JF; ++FfF¡ == J(2894)2
J(2894)2 ++(2170)2
(2170)2 == 3617
3617NN
FF == JF~
Resp.
Resp.
en B,
B,
en
F t == 2170
2170 NN
FF == E¡
Resp.
Resp.
enC,
en
C,
JF; ++FfF¡ == J(3617)2
J(3617)2 ++ (2170)2
(2170)2 == 4218
4218 N
N
FF = JF~
Resp.
Resp.
o SiSi sese desea,
desea, puede
puede calcularse
calcularse el
el ánángulo formado por a y F con la direc-
gulo formado por a y F con la dirección
ción de
de la
la carretera.
carretera.
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.9
3.9
0) Adviértase
Adviértase que,
que, para
para las
las observacioobservacioG)
Calcular
Calcular el
el módulo
módulo vv de
de la
la velocidad
velocidad nenecesaria
cesaria para
para que
que la
la nave
nave espacial
espacial SS se
se
mantenga
mantenga en
en una
una órbita
órbita circular
circular aa una
una
altura
altura de
de 320
320 kilómetros
kilómetros sobre
sobre lala supersuperficie
ficie terrestre.
terrestre.
CD
Solución.
Solución. Tal
Talcomo
comose
semuestra
muestra en
enel
eldiagrama
diagrama para
para sólido
sólido libre,
libre, la
laúnica
única fuerza
fuerza
externa
externa actuante
actuante sobre
sobre la
la nave
nave espacial
espacial es
es lala atracción
atracción gravitatoria
gravitatoria de
de la
la Tierra
Tierra
(el
(elpeso).
peso). Sumando
Sumando fuerzas
fuerzas en
en la
ladirección
dirección normal
normal tenemos
tenemos
[LF 1l = ma ll ]
_rcm:_CL.
_rcm;_~
vv -- ~(R+h)
~(R+h) -- R~~
R~(R7h)
2
donde
. Introduciendo
dondese
seha
hasubstituido
substituido Cme
Cme por
porgR
gR2.
Introduciendo los
losvalores
valoresnuméricos
numéricos tenetenemos
mos
9,825
9,825
vv = (6371)(1000)
(6371)(1000) (6371
(6371++320)(1000)
320)(1000)
7720 mis
mIs
7720
Resp.
Resp.
nes que
que se
se hagan
hagan en
en un
un sistema
sistema de
de
nes
referencia
inercial,
no
existen
magreferencia inercial, no existen magnitudes como
como la
la "fuerza
"fuerza centrífuga"
centrífuga"
nitudes
actuante en
en la
la semidirección
semidirección nn neganegaactuante
tiva. Además,
Además, ni
ni la
la nave
nave ni
ni sus
sus ocuocutiva.
pantes
son
"ingrávidos",
porque
el
pantes son "ingrávidos", porque el
peso
de
cada
uno
lo
dicta
la
ley
de
la
peso de cada uno lo dicta la ley de la
Gravitación Universal
Universal de
de Newton.
Newton. A
A
Gravitación
esa altura,
altura, los
los pesos
pesos son
son del
del orden
orden un
un
esa
10% menores
menores que
que en
en la
la superficie
superficie
10%
de
la
Tierra.
Finalmente,
la expreexprede la Tierra. Finalmente, la
sión "cero-g'
"cero-g' es
es asimismo
asimismo engañosa.
engañosa.
sión
Sólo es
es haciendo
haciendo las
las observaciones
observaciones
Sólo
respecto
a
un
sistema
de coordenacoordenarespecto a un sistema de
das que
que tenga
tenga una
una aceleración
aceleración igual
igual
das
gravitatoria (como
(como una
una nave
nave esesaa lala gravitatoria
pacial en
en órbita)
órbita) cuando
cuando nos
nos parece
parece
pacial
estar en
en una
una región
región de
de "cero-g'.
"ceso-g',
estar
Pero lalamagnitud
magnitud que
que se
seanula
anula aaborborPero
dode
deuna
una nave
nave espacial
espacial en
enórbita
órbita no
no
do
sino lalaya
yaconocida
conocida fuerza
fuerza normal
normal
esessino
asociada, por
por ejemplo,
ejemplo, aa un
un objeto
objeto
asociada,
que esté
esté en
encontacto
contacto con
con una
unasupersuperque
ficiehorizontal
horizontal dentro
dentro de
delalanave.
nave.
ficie
123
123
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PROBLEMA
PROBLEMATIPO
TIPO 3.10
3.10
o
El tubo
tubo AA gira
gira en
en torno
torno alal eje
eje vertical
vertical O
O
El
aa una
una velocidad
velocidad angular
angular constante
constante
éB == úJúJ YY contiene
contiene un
un pequeño
pequeño émbolo
émbolo
cilíndrico BB de
de masa
masa m,
m, cuya
cuya posición
posición
cilíndrico
radial
radial está
está mandada
mandada por
por la
la cuerda
cuerda que
que
atraviesa
atraviesa libremente
libremente elel tubo
tubo yy elel eje
eje yy
está arrollada
arrollada al
al tambor
tambor de
de radio
radio b.b. DeDeestá
terminar la
la tensión
tensión TT en
en la
la cuerda
cuerda y la
la
terminar
componente
componente horizontal
horizontal FFe() de la
la fuerza
fuerza
ejercida por el
el tubo
tubo sobre el
el émbolo
émbolo si
si la
la
ejercida
velocidad angular
angular del tambor
tambor es
es %'
OJo, cuyo
velocidad
sentido
sentido es primero
primero el correspondiente
correspondiente al
caso (a)
(a) y luego el correspondiente
correspondiente al
caso (b)
(b).. Despreciar
Despreciar los rozamientos.
rozamientos.
-------
rr
bg:~úIo
.
caso
(b)
@
caso
caso (a)
(a)
++8
8
.
8=w
¿;-jr
T
T
I
III
i¡
I
B
B
+-0------~-----
t
+r
+r
Fe
Fo
variable, utilizaremos
coordenadas polares
polares
Solución. Siendo l'r variable,
utilizaremos la expresión
expresión en coordenadas
ecuación del movimiento
movimiento (ecs.
diagrama para
para sólido
de la ecuación
(ecs. 3.8).
3.8). El diagrama
sólido libre de BB que
se representa
representa en vista
vista horizontal,
horizontal, sólo revela
revela a TT y a Fe.
F()- Las ecuaciones
ecuaciones del movimiento
vimiento son
son
Caso (a).
Caso
Con ri
Con
m(f == m(i
r(2 )
riJ2)
[2:Frr =
= marl
ma r ]
[LF
-T
-T
[2:F e =
= mael
ma e]
[LFe
Fe =
= m(r8+2fB)
m(rfJ+ 2ié)
Fe
b úJo,Y == OY
O Y 8fJ == O,
O, las
las fuerzas
fuerzas se
se hacen
hacen
== ++ búJo'y
mrm2
TT == mr
or
<D Caso
Caso (b).
(b).
CD
Con rl'
Con
Resp.
Resp.
búJo,Y ==OY
O Y 8fJ ==O,
O, las
las fuerzas
fuerzas se
se hacen
hacen
== ++ búJo'y
TT ==mror:
mrm2
Resp.
Resp.
Q) Elsigno
El signo menos
menos muestra
muestra que
que Fefutiene
tiene elel sentido
sentidoopuesto
opuesto al
al que
que se
se indica
indica en
en elel
CD
diagrama
diagrama para
pdrasólido
sólido libre.
libre.
124
124
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PROBLEMAS
PROBLEMAS
Problemas
Problemas introductorios
introductorios
3.49 El
El pequeño
pequeño bloque A de 2 kg se desliza hacia abajo por
por
por el punto
punto más bajo B con una
una cela trayectoria curva y pasa por
mi s. Si en este punto
p unto el radio de curvatura
leridad de 4 mi
curvatura es de
1,5
m, hallar
hallar la fuerza normal
normal N que en el mismo ejerce la tra1,5m,
bloque. ¿Hacen falta datos
datos acerca del rozayectoria sobre el bloque.
miento?
41,0 N (hacia arriba), no
Resp. N == 41,0
prueba homologada
homologada para
para determinar
3.52 La prueba
determinar la aceleración
un automóvil
lateral máxima de un
automóvil consiste en conducirlo
conducirlo siguiendo
circunferencia de 60
60 m de diámetro
diámetro pintada
guiendo una circunferencia
pintada sobre
una superficie plana
plana asfaltada. El conductor
una
conductor aumenta
aumenta lentamente la celeridad
celeridad del vehículo hasta
hasta que no le es posible manruedas a caballo de la línea. Si
tener las dos parejas de ruedas
Si esta
celeridad máxima vale 55 km/h
automóvil de 1400
1400kg,
celeridad
km / h para un automóvil
kg,
all en g y calcular el
hallar su capacidad
capacidad de aceleración lateral a"
módulo FF de la fuerza de rozamiento
rozamiento total que ejerce la calzada
módulo
sobre las cubiertas
n eumáticos.
cubiertas de los neumáticos.
B
B
problema 3.49
Figura problema
3.50 A la cuenta
1,5 kg se le comunica una
una celeridad
cuenta P de 1,5kg
celeridad inim I s en el punto
punto A de la guía lisa, la cual es una
una curva
cial
cial de 2 mi
plana horizontal.
entre la
horizontal. Si en el punto
punto B la fuerza normal
normal entre
cuenta y la guía tiene un módulo
h allar el radio de
módulo de 0,8
0,8 N, hallar
curvatura
trayectoria en ese punto.
punto.
curvatura p de la trayectoria
problema 3.52
Figura problema
A
automóvil del problema
3.52 viaja a 40 km/h
cuando
3.53 El automóvil
problema 3.52
km/h cuando
el conductor
prosigue moviénconductor aplica los frenos y el vehículo prosigue
dose a lo largo de la trayectoria
trayectoria circular. ¿Cuál es la máxima
desaceleración posible si las cubiertas
cubiertas admiten
admiten una fuerza de
rozamiento máxima de 10,6
rozamiento
10,6 kN?
Resp. al
a¡ == -- 6,36
6,36 mi
mi S2
B
B
problema 3.50
Figura problema
3.51
pasa por
por la cima B del tramo cir3.51 Si
Si el bloque A de 2 kg pasa
una celeridad
celeridad de 2 mi
m i s, calcular el
cular de la trayectoria con una
ormal que la trayectoria
trayectoria ejerce sobre el
módulo N de la fuerza nnormal
punto B.
B. Hallar la máxima
máxima celeridad
celeridad v que el blobloque en el punto
que puede
perder contacto con la trayectoria.
puede llevar en B sin perder
= 9,62
= 4,20
4,20 mi
mis
Resp. N =
9,62 N, v =
3.54 Una corredera
corredera de 0,8
lanza desde A hacia
h acia arriba
0,8 kg se lanza
por la barra
barra fija
un plano
plano vertical. Si se observa que
por
fija situada
situada en un
la corredera
una celeridad
pasar por
por B,hallar
B, hallar
corredera lleva una
celeridad de 4 m I s al pasar
(a) el módulo
módulo N de la fuerza que la barra
barra ejerce sobre ella y (b)
la aceleración negativa
negativa que lleva. Despreciar
Despreciar el rozamiento.
rozamiento.
11
B
B
11
1
1
11
1
1
1
1
1
1
11
11
,\
p== 1,8
1,8m
\ P
m
\,
, 30°1
0°1
O6 m \ ,3
06m
\ ''1111
,
1
1
-------~
\ 30°:
\30°:
,\
1
1
,\
,\
-------~
I
1
I
1
'1
problema 3.54
Figura problema
problema 3.51
Figura problema
3.51
125
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3.55 Las
Lasdos
dosesferitas
esferitaspueden
pueden moverse
moverse libremente
libremente por
porelelinin3.55
teriorde
delas
lascámaras
cámarasesféricas
esféricasrotativas
rotativas de
deradio
radio RR==200
200mm.
mm.
terior
lasesferitas
esferitasse
semantienen
mantienen en
enun
un posición
posición angular
angular estacionaestacionaSiSilas
ria
f3
=
45°,
hallar
la
velocidad
angular
Q
del
mecanismo.
ria f3 = 45°, hallar la velocidad angular Q del mecanismo.
Resp. QQ ==3,64
3,64rad
rad// ss
Resp.
II
II
QQ
el:=>
el:=>
--
~3R---f--3R
,,
600
/h
600km
km/h
Figura
problema
Figura problema 3.57
3.57
I,I,
++
3.58
3.58 Un
Un avión
avión aa reacción
reacción vuela
vuela siguiendo
siguiendo la
la trayectoria
trayectoria rerepresentada
presentada al
al objeto
objeto de
de que
que unos
unos astronautas
astronautas experimenten
experimenten
unas
unas condiciones
condiciones de
de "ingravidez"
"ingravidez" similares
similares aa las
las reinantes
reinantes en
en
un
un vehículo
vehículo espacial
espacial en
en órbita.
órbita. Si
Sien
en el
el punto
punto más
más alto
alto la
la celericeleridad
dad es
es de
de 900
900km/h,
km/h, ¿qué
¿qué radio
radio de
de curvatura
curvatura pp hace falta
falta para
para
simular
exactamente
la
situación
de
"caída
libre"
orbital?
simular exactamente la situación de "caída libre"
111111
I111
Figura problema
problema 3.55
3.55
Figura
3.56 Un muchacho voltea una pequeña
pequeña pelota de 50
50 gg unida
3.56
al extremo de un cuerda de 11 m
m de longitud, de tal modo que
al
la pelota describe una circunferencia situada
situada en un plano verla
tical tal como se representa.
representa. ¿Qué celeridad mínima debe llevar
la pelota en la posición 1?
1? Si
Si esta celeridad
celeridad se mantiene
mantiene en toda
cuerda cuando
cuando
la circunferencia, hallar la tracción que sufre la cuerda
tendrá en cuenta el movila pelota está en la posición 2. No se tendrá
miento de
mano del
miento
de la
la mano
del muchacho.
mud1acho.
11.J.)
I
I
<,
J.) "
/
/I
II
\
\
\
"\\
\\
\\
III
f
Figura problema
problema 3.58
3.59 El miembro
miembro DA
alrededor de un eje horizontal
horizontal que
OA rota alrededor
pasa
por
D
animado
de
una
velocidad
angular
constante
pasa por O animado
una velocidad angular constante antihoraria Q)
ro =
= 3 rad
rad / s. Cuando
Cuando pasa por
por la posición
posición ()
e== O, se le cohoraria
un pequeño
pequeño bloque
bloque de masa
masa m
In a una
una distancia
distancia radial
radial r =
=
loca un
observa que
que el bloque
bloque resbala
resbala para
para ()
e== 50°,hallar
50°, hallar
450 mm. Si se observa
rozamiento estático
estático !le
J.1e entre
entre el bloque
bloque yy el
el
el coeficiente de rozamiento
miembro.
miembro.
Resp. !le
J.1e=
= 0,549
Resp.
t~1
t\~1I
tt
\
f
11m
m
\\
\\
\\
2'-<-,
2'-<-,//
//
//
3
Figura
Figura problema
problema 3.56
3.56
Figura problema
problema 3.59
3.59
Figura
3.57
3.57 Con
Conun
unceleridad
celeridadconstante
constantede
de600km/h,
600 km / h, un
unpiloto
pilotodesdescribe
aviónuna
unacircunferencia
circunferenciavertical
vertical de
de radio
radio 1000m.
1000 m .
cribe con
con su
su avión
Calcular
quesobre
sobreel
elpiloto
pilotoejerce
ejerceel
elasiento
asientoen
enel
elpunpunCalcularla
lafuerza
fuerzaque
to
en el
toAA yyen
elpunto
puntoB.
B.
Resp.
A == 3380
Resp. NNA
3380N,
N,NNB B== 1617N
1617
Problemas representativos
representativos
Problemas
3.60 Hallar
Hallar aa qué
qué altitud
altitud hh (en
(en kilómetros)
kilómetros) por
por encima
encima de
de lala
3.60
unsatélite
satéliteartificial
artificialtendrá
tendráelelmismo
mismoperíodo
período
superficieterrestre
terrestreun
superficie
queelelde
de rotación
rotaciónabsoluta
absolutade
delalaTierra,
Tierra, elelcual
cuales
esde
de23,9344h.
23,9344 h .
que
126
126
http://gratislibrospdf.com/
r
z
e
c
f
n
Si
Si tal órbita se encuentra
encuentra en el plano
plano ecuatorial, se dice de ella
que es geosíncrona
geosíncrona porque
porque el satélite parece no moverse
moverse con relación a un observador
observador solidario
solidario de la Tierra.
lación
3.61
Cuando
3.61
Cuando el patinador
patinador pasa
pasa la curva
curva indicada
indicada las celeridades de su centro de masa para
para e == o, 45°
45° y 90° son, respectirespectivamente 8,5
Hallar la fuerza normal
8,5 m
mii s, 6 m
mii s y O.
O.Hallar
normal entre la
superficie y las ruedas
ruedas del patín
patín si la masa
masa conjunta
conjunta del patinapatinador
el centro
dar y el patín
patín es de 70 kg Y
Yel
centro de masa se halla a 750
750 mm
superficie.
de la superficie.
Resp. No = 2040
2040 N,
N, N45
1158 N,
N, N90
45 = 1158
90 = O
e
00
00
~-----
I
Figura problema
problema 3.63
3.64 ¿Cuál debe ser el ángulo
ángulo e
e del peralte
peralte de la curva
curva de
450 m de radio
radio de la pista
pista de carreras
carreras para
para que un
un bólido
bólido que
corra a 200
/ h no tienda
tomar
200 km
km/h
tienda a derrapar
derrapar lateralmente
lateralmente al tomar
la curva?
curva?
4,5 m
I
I
I
I
pp == 450 m
m --'"l
--3>-j
I
11
11
Figura problema
problema 3.61
3.61
3.62
3.62 Un pequeño
pequeño objeto A se mantiene
mantiene contra
contra la pared
pared vertical del recinto cilíndrico giratorio
giratorio de radio
merced a la fuerza
radio r merced
cal
rozamiento estático entre
entre
centrífuga. Siendo fle
f.1.e el coeficiente de rozamiento
el objeto y el recipiente,
recipiente, determinar
determinar la expresión
expresión de la velocidad de giro mínima
mínima é = ro
co del recipiente
recipiente para
para que el objeto no
resbale por la pared
pared vertical.
resbale
é
Figura problema
problema 3.64
3.65 En A los carros de un artefacto
artefacto de feria llevan
llevan una
una celeridad
de vB == 12
i s. Si uno de los pasajeros,
ridad v A = 22 m I s y en B
Bde
12 m
mis.
pasajeros,
de 75
75 kg de masa, está sentado
sentado en una
una balanza
balanza (que acusa la
fuerza
fuerza normal
normal que se ejerce sobre ella), hallar
hallar las lecturas
lecturas de la
balanza
balanza cuando
cuando el carro pasa
pasa por
por los puntos
puntos A y B.
B. Supóngase
Supóngase
que ni las piernas
piernas ni los brazos
brazos de la persona
persona soportan
soportan una
una
fuerza
apreciable.
fuerza apreciable.
NBB== 198,5
N
Resp. NA
NA = 1643
1643 N, N
198,5N
\\
Figura problema
problema 3.62
a
o
3.63
3.63 El avión de 30 Mg sube según
según el ángulo
ángulo e =15° con un
empuje en tobera T de 180
empuje
180 kN. En el instante
instante representado,
representado, su
300 km
km/h
aumenta a razón
razón de 1,96
1,96 m
mii S2. Adeceleridad es 300
/ h Y aumenta
más e
más
e disminuye
disminuye conforme
conforme el avión comienza
comienza a ponerse
ponerse horizontal. Si
Si en ese instante
instante el radio
radio de curvatura
curvatura de la trayectoria
trayectoria
zontal.
es
km, calcular la sus
sustentación
y la resistencia
es 20
20km,
tentación L
Ly
resistencia aerodinámiaerodinámica
ca D.
D. (La
(La sustentación
sustentación L y la resistencia
resistencia aerodinámica
aerodinámica D son las
fuerzas
fuerzas aerodinámicas
aerodinámicas perpendicular
perpendicular y opuesta,
opuesta, respectivarespectivamente, a la dirección del vuelo.)
mente,
Resp,
45,0 kN, L == 274
274 kN
Resp. D = 45,0
A
Figura problema
problema 3.65
brazo ranurado
ranurado gira uniformemente
uniformemente en el plano
plano ho3.66 El brazo
rizontal alrededor
alrededor de su centro
centro a razón
é=10 rad/s
rad/s y lleva
rizontal
razón de é=10
una
una deslizadera
deslizadera montada
montada sobre resortes
resortes de 1,5
1,5 kg que oscila libremente en la ranura.
Si la deslizadera
deslizad era lleva una
una velocidad
velocidad de
bremente
ranura. Si
600
por el centro, de600 mm
rnmll s respecto
respecto a la ranura
ranura cuando
cuando pasa
pasa por
terminar el empuje
empuje lateral
lateral horizontal
horizontal P
P que ejerce el brazo
brazo raterminar
127
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nurado sobre
sobre la deslizadera
deslizadera en dicho
dicho instante.
instante. Determinar
Determinar qué
qué
nurado
lado, A o B,
B, de la ranura
ranura está
está en contacto
contacto con
con la deslizadera.
deslizadera,
lado,
3.69
El brazo
3.69
brazo ranurado
ranurado rota
rota en el plano
plano horizontal
horizontal en torno
torno
al eje fijo vertical
vertical que
que pasa
pasa por
por el punto
punto O. El cursor
cursar e de 2 kg
es atraido
atraído hacia
hacia O,
0, tirando
tirando de la cuerda
cuerda S,
S, a razón
razón de 50 mm
mm/ / s.
En el instante
instante en que
que r == 225 mm,
mrn, el brazo
brazo lleva
lleva una
una velocidad
velocidad
angular
angular antihoraria
antihoraria w
m=
= 6 rad/
rad / s y está
está desacelerándose
des acelerándose a razón
razón
de 2 rad
allar la tracción
rad / S2.
S2. Para
Para ese instante,
instante, h
hallar
tracción T que
que sufre
sufre la
cuerda
cuerda y el módulo
módulo N de la fuerza
fuerza que
que ejercen
ejercen sobre
sobre el cursor
cursar
los lados
lados de
de la ranura
ranura radial
radial lisa. Indicar
Indicar qué
qué lado
lado de ésta,
ésta, A o
B,
B, está
está en
en contacto
contacto con
con el cursor.
cursar.
Resp.
Resp. T == 16,20
16,20 N, N == 2,10
2,10 N, el lado
lado B
Figura problema
problema 3.66
3.66
3.67
instante t == O
O la placa
placa cuadrada
cuadrada se halla
en reposo
3.67
En el instante
halla en
reposo
posición A y, a partir
de ese
ese momento,
descrien la posición
partir de
momento, se traslada
traslada describiendo una
circunferencia vertical
según e
e == 1,5t
1,5t22,, donde
donde el rebiendo
una circunferencia
vertical según
corrido angular
angular e
e está
está en
en radianes
está en
radianes y el tiempo
tiempo t está
corrido
segundos. Con
Con un
adhesivo se sujeta
sujeta temporalmente
segundos.
un adhesivo
temporalmente a la placa
placa
un pequeño
pequeño instrumento
instrumento P de
de 0,4
0,4 kg. Hallar
fuerza cortante
cortante
un
Hallar la fuerza
que el adhesivo
adhesivo debe
debe soportar
soportar en
instante t == 3 s.
F que
en el instante
Resp. FF == 45,6
Resp.
45,6 N
<
,.,------ r--
: (:; I
'"
r= 1,5 m
'"
/
3.70
esferita de
de masa
los dos
alambres incialLa esferita
masa m
m cuelga
cuelga de
de los
dos alambres
incial3.70 La
mente en
en reposo.
reposo. Si de
de repente
repente se corta
uno de
de los
los alambres,
alambres,
mente
corta uno
hallar
hallar el cociente
cociente kk entre
entre la
la tracción
tracción que
que sufre
sufre el otro
otro alambre
alambre
inmediatamente
inmediatamente después
despu és del
del corte
corte y la
la que
que sufría
sufría el mismo
mismo
alambre
alambre en
en la situación
situación de
de equilibrio
equilibrio inicial.
inicial.
I
~ __ J
/ \8
Figura problema
problema 3.69
3.69
\
\
o~/_--\...--~ A
Figura problema
problema 3.67
3.67
3.68
Calcular cuál
3.68 Calcular
cuál debe
debe ser
ser la
la velocidad
velocidad de
de rotación
rotación N del
del arartefacto
de feria
feria para
para que
que los
los brazos
brazos de
de las
las góndolas
góndolas adquieran
adquieran
tefacto de
un
un ángulo
ángulo de
de 60°
60° con
con la
la vertical.
vertical. Despreciar
Despreciar las
las masas
masas de
de los
los
brazos
brazos a los
los que
que están
están sujetas
sujetas las
las góndolas
góndolas y tratar
tratar éstas
éstas como
como
partículas.
partículas.
Figura problema
problema 3.70
3.70
3.71 Se representa
representa el
el tambor
tambor rotatorio
rotatorio de
de una
una secadora
secadora de
de roro3.71
pa. Hallar
Hallar la
la velocidad
velocidad angular
angular Q
Q para
para la
la cual
cual la
la ropa
ropa y el tamtampa.
Figura problema
problema 3.71
3.71
Figura problema
problema 3.68
3.68
128
128
http://gratislibrospdf.com/
bar pierden
pierden contacto en 8 == 50°. Suponer
equeñas
Suponer que las ppequeñas
hasta la pérdida
pérdida de contacto.
paletas impiden
impiden el resbalamiento
resbalamiento hasta
Resp.
Resp. Q
Q =
= 4,77
4,77 rad
rad// s
o
g
s,
d
c.broúJ
~
I1
3.72 El artefacto de feria gira en torno al punto
punto fijo
fijo O.
O. Un meerdo
can
ismo (no incluido
canismo
incluido en la ilustración)
ilustración) lo impulsa
impulsa de acu
acuerdo
con
con 8e = (n/
(n/3)3) sen 0,950t,
0,950t, donde
donde 8 está en radianes
radianes y t está en segundos. Hallar
Hallar la fuerza normal
normal máxima N que ejerce el asiengundos.
un viajero de masa m
In y decidir qué viajeros sufren la
to sobre LlI1
máxima fuerza.
n
a
o
Figura problema
problema 3.74
3.75 Un automóvil
kg entra
punto A en la doautomóvil de 1500
1500kg
entra por el punto
ble curva, con una
una celeridad
celeridad de 96
96 km/h,
km/h, con los frenos aplicareducir uniformemente
uniformemente la celeridad
dos al efecto de reducir
celeridad hasta
hasta los
72 km/h
km/h a lo largo de una distancia
distancia de 90 m medida
72
medida entre los
puntos
curvatura de la trayectoria
trayectoria
puntos A y B ddee la curva. El radio
radio de curvatura
automóvil es de 180
180 m en el punto
punto B. Calcular la fuerza de
del automóvil
rozamiento
ruedas del
rozamiento total que la calzada ejerce en BB sobre las ruedas
automóvil, punto
punto en el cual la carretera
carretera es horizontal.
automóvil,
horizontal.
Resp. F == 4220
Resp.
4220 N
problema 3.72
Figura problema
aIes,
re
o
3.73 Se
Se coloca un pequeño
pequeño objeto dentro
dentro de la cazoleta cónica,
ca, en la posición que se indica.
indica. Si
Si el coeficiente de rozamiento
rozamiento
estático
estático entre el objeto y la superficie cónica es 0,30,
0,30, ¿para qué
velocidades de rotación en torno al eje
eje vertical no se deslizará
deslizará
el objeto?
objeto? Considérese
Considérese que los cambios de celeridad
celeridad se realizan
realizan
tan
tan lentamente
lentamente que se pueda
pueda despreciar
despreciar la aceleración angular.
angular.
Resp.
Resp. 3,41
3,41 < ro
m<< 7,21
7,21 rad
rad/s/ s
~_~_-__
__ BB
------ [(Jj-..:
[(Jj -..:
ü>------.•...
_------
A
180
m
180m
problema 3.75
Figura problema
I¡O,2m
O,2m
,,
-+
información, la ilustración
3.76 Se repite aquí, con más información,
ilustración del
d el
brazo robótico
robótico del problema
problema 2.146.En
2.146.En un
brazo
u n instante
instante dado
dado 8= 30°,
30°,
2, 2 1 = 0,5 m, i; 0,4 mIs y { =
= 40 grd/s,
grd/s,
= 120 grd
grd/s/s
=
=
i= mis ( =
, 1=
m / S2. Calcular
Calcular las fuerzas
fuerzas radial
radial y transversal
- 0,3 m/
transversal F,.y
F,. y Fe
Fe que
ee
ee
roam-
r
problema 3.73
Figura problema
Se coloca un ppequeño
In en la superficie
superficie
equeño objeto ddee masa m
3.74 Se
cónica rotatoria,
rotatoria, en el radio que se indica. Si
Si el coeficiente de
cónica
0,80,
rozamiento estático entre el objeto y la superficie cónica es 0,80,
calcular la velocidad
velocidad angular
angular máxima
máxima ro
m del cono alrededor
alrededor del
calcular
eje vertical de tal manera
manera que el objeto no se deslice. Considéeje
cambios
velocidad angular
angular son muy lentos.
rese que los camb
ios de velocidad
problema 3.76
Figura problema
129
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el brazo ejerce sobre la pieza asida P, cuya masa es de 1,2 kg.
Comparar
Comparar la solución con la correspondiente
correspondiente al caso de equilibrio estático en la misma posición.
3.77
El
3.77
El brazo de un robot mueve la esfera S de 2 kg en un
Cuando el ángulo e vale 30°, la velocidad anguplano vertical. Cuando
lar del brazo en torno al eje
eje vertical que pasa p0f O es de 50
grd// s,
s, horaria, y su aceleración es de 200 grd
grd// S2, antihoraria.
antihoraria.
grd
Además, el elemento hidráulico
hidráulico se acorta a la velocidad
velocidad constante de 500 mm
mm// s.
s. Hallar la fuerza de agarre mínima necesaria P si el coeficiente
coeficiente de rozamiento
rozamiento estático entre la esferá y la
Comparar P con la fuerza de
superficies de agarre es de 0,5. Comparar
requerida para
agarre mínima P
Pee requerida
para sujetar la esfera en equilibrio
estático en la posición de 30°.
Resp. P = 27,0 N, P,
Pe =19,62 N
e
3.79 El
3.79
El camión de plataforma
plataforma abierta del problema
problema 3.78 parte del reposo en una carretera ddee radio de curvatura
curvatura constante
igual a 30 m y un peralte
peralte de 10°. Si
Si la aceleración uniforme haadelante del vehículo es de 2 m / S2, hallar el tiempo t que
cia adelante
transcurre
transcurre hasta que la caja
caja empieza a resbalar por la plataforcoeficiente de rozamiento
rozamiento estático entre la caja
caja y el piso
ma. El coeficiente
= 0,3 Y
Yel
es f.le
f.1e =
el camión se mueve en un plano horizontal.
Resp.
Resp. t = 5,58 s
3.80
El collar A de 0,8 kg montado
3.80
montado entre resortes oscila a lo
largo de la barra
barra horizontal
horizontal que, a su vez, gira con una velocivelocidad angular
angular constante ()() == 6 rad
rad// s.
s. En cierto instante, r aumendad
ta a razón
razón de 800 mm
mm//s.
s. Si
Si entre el collar y la barra el
coeficiente
coeficiente de rozamiento
rozamiento cinético vale 0,40, calcular la fuerza
de rozamiento
rozamiento F que en ese instante
instante ejerce
ejerce la barra
barra sobre el cocollar.
p
Vertical
Vertical
~s
~s
~P
~p
~
~
s
Figura problema
problema 3.80
3.80
j
1I
Figura problema
problema 3.77
3.77
3.78 Un camión de plataforma
plataforma abierta que viaja a 100 km
km/h
3.78
/h
circula por una curva de 300 m de radio peraltada
peraltada hacia adentro con un ángulo de 10°. Si
Si el coeficiente
coeficiente de rozamiento
rozamiento estático entre el piso de la plataforma
plataforma y la caja
caja de 200 kg que
transporta
transporta es 0,70, calcular la fuerza de rozamiento
rozamiento F que actúa
sobre la caja.
caja.
---p
----p
3.81
El tambor de 650 mm gira en torno a un eje
eje horizontal
horizontal
con la velocidad angular
angular constante Q
Q =
= 7,5 rad
rad// s.
s. El
El pequeño
pequeño
bloque A no posee movimiento
movimiento con relación al tambor cuando
pasa por la posición e
e== OO.. Hallar el coeficiente
coeficiente de rozamiento
rozamiento
estático f.le
f.1e entre el bloque y el tambor si se observa que aquél
resbala al llegar a (a) e
e = 50° Y (b) ee = 100°.
100°. Comprobar
Comprobar que el
contacto no se pierde
pierde hasta e
e = 100°.
Resp. (a) f.le
f.1e = 0,306, (b) f.le
f.1e = 0,583
11
)1
-1
1
1
Figura problema
problema 3.81
Figura problema
problema 3.78
3.78
3.82
El
3.82
El cursor de 2 kg ajusta holgadamente
holgadamente en la ranura
ranura lisa
del disco que gira en torno a un eje
eje vertical que pasa por O.
O. El
puede moverse levem
levemente
ranura antes de
de. que
cursor puede
ente por la ranura
uno de los alambres se tense. Si
Si el disco gira partiendo
partiendo del re-
130
130
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instante t == O
Oanimado
una aceleración angular
angular
poso en el instante
animado de una
horaria
constante de 0,5
0,5 rad I S2, representar
representar gráficamente
gráficamente en
horaria constante
intervalo O
O :o;
~ t :o;
~ Ss,
Ss, las tensiones
tensiones en
función del tiempo
tiempo t,i, en el intervalo
alambres 1 y 2 Y
Y el módulo
módulo N de la fuerza normal
normal a la ralos alambres
nura.
nura.
Vertical
Vertical
o
Figura problema
problema 3.84
vehículo de pequeñas
pequeñas dimensiones
dimensiones entra
3.85 Un vehículo
entra en el punpuntrayectoria con una
una velocidad
velocidad Vo y gana
to más alto A de la trayectoria
gana velocidad
Hallar la expresión
expresión del
locidad conforme desciende
desciende por ella. Hallar
ángulo
vehículo abandona
abandona su traángulo f3
f3 hasta
hasta la posición
posición en que el vehículo
convierte en un proyectil. Despreciar
Despreciar el rozamienrozamienyectoria y se convierte
to y tratar
tratar el vehículo como una
una partícula.
partícula.
Figura problema
problema 3.82
tal
ño
do
to
él
el
3.83
3.83 El cohete se mueve
mueve en un plano
plano vertical y se le da un impulso mediante
mediante un empuje
empuje T de 32 kN. Además
Además se encuentra
encuentra
sometido a una resistencia atmosférica
atmosférica R de 9,6 kN. Si
Si el cohete
tiene una velocidad
velocidad de 3000
3000 m
mi i s y si la aceleración de la gravealtura en que se halla el cohete, calcular
dad es de 6 mi
m i S2 a la altura
curvatura p de su trayectoria
trayectoria para
posición reprepara la posición
el radio de curvatura
sentada y la variación
variación por unidad
unidad de tiempo
tiempo del módulo
módulo v de
la
la velocidad del cohete. La masa del cohete en el instante
instante con2000 kg.
siderado es 2000
3000 km, v
v == 6,00
6,00 m
mi i S2
Resp. p == 3000
v2
22
v2 )
Resp. f3
f3 = 48,2°
48,2°
f3 = arceas
arccos ( :3 + 3g~
3gOR ', f3
Vo
A
-...
-------
'"'" , ,
I
I
I
I
I
1//
I
I
I
I
I
\
//
//
/
//
i¡3)/
~~------ ------
R
Vertical
Vertical
"\, \ B
\
\
..
\
\
\
\
Figura problema
problema 3.85
II
3.86 Un tramo
una sucesión
sucesión de crestramo de carretera
carretera comprende
comprende una
contorno se suposupotas y valles regularmente
regularmente espaciados
espaciados y cuyo contorno
ne representado
= b sen (27rX/L).
representado por la función yy =
(2nxIL). ¿Qué
celeridad máxima puede
puede llevar el automóvil
automóvil A en una
celeridad
una cresta
perder contacto con la calzada? Si el vehículo conserva esa
sin perder
celeridad
celeridad crítica, ¿cuánto vale la reacción total N sobre las ruedas en el fondo de un valle? La masa
automóvil es m.
masa del automóvil
T
Figura problema
problema 3.83
lisa
.El
que
1re-
3.84 Se
Se coloca una
una pequeña
pequeña moneda
moneda sobre la superficie
superficie hori3.84
zontal del disco giratorio. Si
Si éste parte
parte del reposo y está animazontal
do de una aceleración angular
angular constante
constante ij == ex, hallar
hallar cuántas
cuántas
revoluciones N da el disco antes de que la moneda
moneda resbala.
resbala. El
revoluciones
coeficientede
rozamiento estático entre
entre disco y moneda
moneda es /-le'
/-le'
coeficiente
de rozamiento
problema 3.86
Figura problema
131
131
http://gratislibrospdf.com/
3.87 En
En el
el fondo
fondo de
de la
la depresión
depresión el
el automóvil
automóvil lleva
lleva una
una celecele3.87
ridad de
de 70
70km
km/h
Yel
conductor aplica
aplica los
los frenos
frenos produciendo
produciendo
ridad
lh Y
el conductor
una desaceleración
desaceleración de
de 0,5
0,5 g.
g. ¿Qué
¿Qué ángulo
ángulo mínimo
mínimo e
()de
inclinauna
d e inclinación debe
debe tener
tener el
el cojín
cojín del
del asiento
asiento para
para que
que el
el paquete no
no resresción
bale hacia
hacia adelante?
adelante? El
El coeficiente
coeficiente de
de rozamiento
rozamiento estático
estático entre
bale
el paquete
paquete yy el
el asiento
asiento es
es (a)
(a) 0,2
0,2 yy (b)
(b) 0,4.
0,4.
el
Resp. (a)
(a) e
() = 7,34°,
7,34°,(b)
(b) e
() = - 3,16°
3,16°
A
:~---- -----
r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I
B
B
Figura problema
problema 3.89
Cojín ddel
asiento
Cojín
el asiento
problema 3.87
Figura problema
"
Animadas ddee una velocidad
velocidad horizontal
4,1 mi s,
s, las
3.88 Animadas
horizontal de 4,1
65 g cada una, ppenetran
enetran por A en el
bolitas ddee acero, de masa 65
canal semicircular vertical. Hallar, en función de ()y
y la velocidad vB
VB de las bolas en B,
B, la fuerza R que el canal ejerce
ejerce sobre
desprecia el rozamiento.
cada una de ellas. Se desprecia
rozamiento.
3.90 Un satélite S,
S, cuya masa en el instante del lanzamiento
lanzamiento
era de 150
150 kg,
kg. es puesto en órbita elíptica alrededor
alrededor de la
la TieTierra. En el instante representado
representado en la figura, el satélite se encuentra a una distancia r == 10
10 729
729 km del centro de la Tierra y
tiene una velocidad
velocidad v == 26
26 730
730 kmlh
kmlh formando un ángulo f3f3==
60°
La única fuerza que actúa
60° con la línea radial que pasa por S.
S.La
sobre el satélite es la atracción terrestre, que es de 519
519 N en esas
condiciones. Calcular el valor de r
r en la posición descrita.
e
r
f3 =11
,----;
V
e
60°11
-_~-- 1
~, II
r= 10 729 km
l .~
problema 3.90
Figura problema
--
VA =
= 4,1
4,1
mano derecha
derech a un
un lanzador
lanzador de béisbollanza
béisbol lanza un
3.91
Con la mano
p elota curva
curva apuntada
apuntada inicialmente
inicialmente al borde
borde derecho
derecho del puespuespelota
m/s
m /s
A
150
Figura
Figura problema
problema 3.88
3.89
3.89 Un
Un pequeño
pequeño vehículo
vehículo de
d e propulsión
propulsión por
por cohete,
cohete, cuya
masa
masa es m, viaja hacia
h acia abajo por
por la
la trayectoria
trayectoria circular
circular de
d e radio
radio
efectivo r bajo la
la acción de
de su propio
propio peso
peso y del
del empuje
empuje constante
tante TT que
que le
le proporciona
proporciona el
el motor.
motor. Si el vehículo
vehículo parte
parte del
del rereposo
poso en
en A,
A, determinar
determinar su
su velocidad
velocidad vv cuando
cuando llega
llega aa B
B y la
la
fuerza
fuerza N
N ejercida
ejercida por
por la
la guía
guía sobre
sobre las ruedas
ruedas antes
antes de
d e llegar
llegar aa
B.
B. Despreciar
Despreciar los
los rozamiento
rozamientoss yy las
las pérdidas
pérdidas de
de masa
masa del
del cocohete.
hete.
Resp.
Resp. vv =
1~r
mm
rnrn
J(~ +2g)
B
11
11
11
11
t:t:
111 1
1111
1111
++
:: 18 m
m
1111
11 1
1111
1111
1111
¡I11
1111
A~
A~
Figura problema
problema 3.91
3.91
Figura
N
N = Tn+3mg
T7r+3mg
132
132
http://gratislibrospdf.com/
quebrán curva"quebránpelota se curva"
la pelota
to
represe nta, la
B. Tal como se representa,
meta B.Tal
to meta
te
constan
al
orizont
h
d
celerida
dose"
150mm.
Suponiendo
una
celeridad
horizontal
constante
dose" 150 mm. Suponie ndo una
,
vertical
ento
vv =
38
m
/
s
y
despreciando
el
movimiento
vertical,
calcular
movimi
o
= 38 m I y desp reciand
trala trade la
curvatu ra pp de
de curvatura
m edio de
aproximadamente
radio medio
(a) el radio
aproxim adamen te (a)
la
sobre la
normal R que actúa sobre
yectoria
fu erza normal
(b) la fuerza
la pelota yy (b)
d e la
yec toria de
misma.
masa de 146 g de la misma.
0,1952 N
Resp.
1080 m, R = 0,1952N
Resp. pp == 1080m,
partícul a
abando na la partícula
O, se abandona
3.92
instante t = O,se
Desde rr == ro, en el instante
3.92 Desde
el
éste, el
respecto
ad
velocid
P
en
el
interior
del
tubo
liso
sin
velocidad
respecto
a éste,
tubo
interior
P en
toren
úJo
te
constan
angular
ad
cual
se
hace
girar
a
una
velocidad
angular
constante
COa
en
torvelocid
una
girar
ace
h
cual
posició n raradial oV ;r , la posición
no
velocid ad radial
Hallar la velocidad
vertical. Hallar
eje vertical.
un eje
no aa un
tiempo t.t.
del
función del tiempo
ve en función
dial
tangenc ial Ve
velocid ad tangencial
dial r1" y la velocidad
ad
velocid
la
,
radiales
fuerzas radiales, velocidad
Explicar
ausenci a de fuerzas
por qué, en ausencia
Explica r por
traente
gráficam
ntar
radial
aumenta
con
el
tiempo.
Representar
gráficamente
la
traReprese
radial aument a
para
tubo para
hasta que sale del tubo
yectoria
partícul a hasta
d e la partícula
absolu ta de
yectoria absoluta
radl
yúJo
1'0
=
0,1
m,
1
=
1
m
YCOa
=
1
rad/
s.
l
ro =
\
"
Figura
problem a 3.94
Figura problema
3.95
radiales lisas gira alredepalas radiales
d e palas
centrífu ga de
bomba centrífuga
La bomba
3.95 La
Calcula r la
ú) . Calcular
dor
de
su
eje
vertical
con
celeridad
angular
= úJ.
angular
d
celerida
vertical
dor de su eje
p artícula de
una partícula
sobre una
fuerza
palas sobre
d e las palas
una de
por una
ejercida por
N ejercida
fuerza N
pala. La
largo de la pala.
masa
afuera a lo largo
movers e ésta hacia afuera
al moverse
m al
masa m
ase
Supóng
radial.
ad
partícula
se
introduce
en
r
=
"n
sin
velocidad
radial.
Supóngase
velocid
1"0
r=
partícula se introdu ce
que
la
partícula
sólo
toca
el
costado
de
la
pala.
costado
a
que partícul
ee
Resp.
N
Resp. N
Jr2 -- r5r6
2mw2 Jr2
= 2moJ
=
Figura problema
problem a 3.92
Figura problema
problem a 3.95
las
hipótes is de que las
3.93 En el problema
3.92 se suprim
suprimee la hipótesis
problem a 3.92
3.93
coeficiente de rosuperficies
admite que existe un coeficiente
roies son lisas y se admite
superfic
Hao. Haartícula y el tubo giratori
zamiento
J1c entre la ppartícula
giratorio.
o cinético J.l.c
zamient
ésta
si
la
partícu
la
de
r
n
posició
llar,
partícula si ésta
t, la posición
llar, en función del tiempo i,
O. Se supon= O.Se
ando tt =
= ro cu
se suelta
suelta sin velocidad
cuando
suponvelocid ad relativa en r =
se
.
estático
nto
rozamie
drá
vencido
rozamiento
estático.
el
drá
Resp. r
=
1'0
[CJ1c+JJ1Z+1)eWO(-
puede sokg puede
d e 1350
3.96
automóvil
1350kg
vil de
neumát ico del automó
Cada neumático
3.96 Cada
. Esta
calzada
portar
una
fuerza
máxima
de
2500N
paralela
a
la
calzada.
paralela
d e 2500 N
portar una fuerza
en
te
fuerza
límite
es
prácticamente
constante
todos
los
moviconstan
mente
práctica
fuerza límite
vehícul o y es almientos
curvilíneos,
eos, del vehículo
rectilíne os o curvilín
posibles, rectilíneos
mientos posibles,
ones de
canzado sólo
sólo si el mismo no patina.
condiciones
patina. En estas condici
canzado
~
~
!1c+j¡1"f+l)t
2JJ1Z + 1
+ C- J1 + JJ1Z + l)ewO(c
1
!1c+J!1z+ )t
10m
]
y
3.94 La
delgada uniform
uniformee de longitu
longitudd L,
L, masa m
m y
La varilla delgada
3.94
en
ú),
alta
te
constan
angular
ad
sección
A,
gira
con
una
velocidad
angular
constante
úJ,
en
velocid
con
sección A,
un plano
plano horizon
horizontal
eje vertical O-O
O-O que pasa por
por
tal en torno al eje
un
sobre
es
actuant
tales
horizon
su
centro.
Analizando
horizontales
actuantes
sobre
fuerzas
las
ndo
Analiza
su centro.
do que se indica, deducir
el element
elemento
diferencial
acelerado
deducir una
una
ial acelera
o diferenc
el
la varilla en
sufre
expresión
esfuerzoo de tracción (J
(J que
en
ara el esfuerz
n ppara
expresió
erzo
nado esfu
ente denomi
función de 1".
r. El
El esfuerzo
esfuerzo,, comúnm
comúnmente
denominado
esfuerzo
función
centrífugo,
divididaa por la
la secsecgo, es igual a la fuerza de tracción dividid
centrífu
A.
ción
ciónA.
--1r--1r
- - -- -- -- -- -- -- -- .[]J]-.[IIJ-- -- -- -- -- -- --- -- -- -- -- -_
--A
!
I
I
I
I
problemaa 3.96
Figura problem
133
http://gratislibrospdf.com/
frenado aatope,
tope, hallar
hallar laladistancia
distancia total
total de
de parada
parada sssisilos
losfrenos
frenos
frenado
comienzan aaaplicarse
aplicarse en
en elelpunto
punto A,
A, donde
donde lalavelocidad
velocidad es
esde
de
comienzan
25 m
miI s,s,yyel
elau
automóvil
sigue lalalínea
línea de
de división
división de
de lalacarretera.
carretera.
25
tomóvil sigue
Resp. ss==47,4
47,4 m
m
Resp.
Resp.s
Resp.s
~ 3.97
3.97 El
Eltubo
tubo hueco
hueco rota
rota en
en torno
torno al
aleje
ejehorizontal
horizontal que
que pasa
pasa
~
por OOcon
con una
una velocidad
velocidad angular
angular constante
constante %.
%. En
Enrr ==O
OYYcuanpor
cuando ee== O
O se
se introduce
introduce una
una partícula
partícula de
de masa
masa mm con
con una
una velocivelocido
dad relativa
relativa nula,
nula, la
la cual
cual se
se desliza
desliza hacia
hacia afuera
afuera por
por el
el interior
interior
dad
liso del
del tubo.
tubo. Hallar
Hallar rr en
en función
función de
de e.e.
liso
,II,
CZ~
~~
~
Resp. r == ~
~
(senh e-sen
e - sen e)e)
Resp.r
(senh
,,
Vo
Va
I
2wo
2w
o
Figura
Figura problema
problema 3.99
3.99
~
~ 3.100
3.100 Desde
Desde el
el reposo
reposo en
en A
A se
se suelta
suelta un
un pequeño
pequeño objeto
objeto
que
que se
se desliza
desliza con
con rozamiento
rozamiento por
por la
la trayectoria
trayectoria circular.
circular. Si
Si el
el
coeficiente
coeficiente de
de rozamiento
rozamiento es
es 0,2,
0,2, hallar
hallar la
la velocidad
velocidad del
del objeto
objeto
cuando
cuando pasa
pasa por
por B.
B. (Indicación:
(Indicación: Escribir
Escribir las
las ecuaciones
ecuaciones del momovimiento
vimiento en coordenadas
coordenadas locales
locales nn yy t,i, eliminar N yy hacer
hacer la
sustitución
sustitución v dv == a¡
a¡ rr de.
de. Resulta así una ecuación diferencial
inhomogénea
inhomogénea de la forma dyldx
dyldx + j(x)y
j(x)y == g(x), cuya solución se
se
conoce perfectamente.)
perfectamente.)
Resp.
Resp. v == 5,52
5,52 mI
mi ss
1 '1
Figura problema
problema 3.97
A
~
~
El pequeño
carrito
3.98 El
pequeño péndulo
péndulo de masa m cuelga de un carrito
que corre
corre por
por un
Inicialmente el
el carrito
carrito yy el
el
que
un raíl
rm1 horizontal.
horizontal. Inicialmente
péndulo
carrito recibe un
péndulo se hallan
hallan en reposo
reposo con e == O. Si el carrito
un
aceleración constante
a == g,
g, hallar
ángulo máximo
máximo eemax
que
aceleración
constante a
hallar el ángulo
max
alcanza el péndulo
en
sus
oscilaciones.
Hallar
también
la
tracpéndulo
Hallar también
ción
ción TT que
que sufre
sufre la
la cuerda
cuerda en
en función
función de
de e.
Resp.
= lr/2, T = mg(3 sen e + 3 cos ee-- 2)
Resp. eemax
max = n/ 2, T = mg(3 sen e
e
,.f---~~--~~-- ,f-
/
!
/!
II
J.lc =
0,2,,
/le
= 0,2
..-rII
~mm
B
B
Figura problema
problema 3.100
3.100
Figura
brazo ranurado
ranurado OB gira
gira en
en un
un plano
plano horizontal
horizontal en
en
~~ 3.101 El brazo
torno al punto
punto O de
de la leva
leva circular
circular fija con
con una
una velocidad
velocidad anantorno
gular =
= 15 rad
radlI s. El
El resorte
resorte tiene
tiene un
un constante
con stante recuperadora
recuperadora
gular
ee
B
B
m,
Figura
Figura problema
problema 3.98
3.98
+
~~ 3.99
3.99 Un
Un collarín
collarín de
de masa
masa mm recibe
recibe una
una velocidad
velocidad inicial
inicial
de
de módulo
módulo Va
va sobre
sobre la
la guía
guía circular
circular horizontal
horizontal hecha
hecha de
de varilla
varilla
delgada.
delgada.Siendo
Siendo J.1c
J.1cel
el coeficiente
coeficiente de
de rozamiento
rozamiento cinético,
cinético, hallar
hallar
la
ladistancia
distancia que
que recorre
recorre el
el collarín
collarín antes
antes de
de pararse.
pararse. (Indicación:
(Indicación:
Recuérdese
Recu érdese que
qu e la
la fuerza
fuerza de
de rozamiento
rozamiento depende
depende sólo
sólo de
d e la
la
fuerza
fuerza normal
normal total.)
total.)
134
134
http://gratislibrospdf.com/
0,1 m
m 0,1
0,1 m
m
0,1
Figura problema
problema 3.101
3.101
Figura
longitud natural
natural cuando
cuando e
e == O.O.El
de 5 kN / m y está en su longitud
El rodillo
Hallar la fuerza normal
liso A tiene una masa
masa de 0,5
0,5 kg. Hallar
normal N que
la leva ejerce sobre A y también
también la fuerza R que sobre A ejercen
los costados de la ranura
ranura cuando
cuando e
e== 45°.
45°. Las superficies
superficies son todesprecia el pequeño
pequeño diámetro
diámetro del rodillo.
das lisas. Se desprecia
Resp.
Resp. N = 81,6 N, R = 38,7 N
A
~
~
posición de reposo
reposo en A la pequeña
pequeña vagoneta
vagoneta
3.102 En su posición
recibe un
un pequeño
pequeño impulso
impulso que la precipita,
precipita, con una
una velocidad
velocidad
inicial despreciable,
despreciable, por
por la trayectoria
trayectoria parabólica
parabólica contenida
contenida en
un plano vertical. Despreciar
Despreciar el rozamiento
rozamiento y demostrar
demostrar que la
vagoneta
vagoneta se mantiene
mantiene en contacto con la parábola
parábola para
para todos
los valores de k.
__
Resp.
Resp. N
N -
mg
mg
2 2 3/2
3/2
(1
(1 + 4k x )
yy
problema 3.102
Figura problema
>O
O
SECCiÓN
SECCiÓN B. TRABAJO
TRABAJO Y ENERGíA
ENERGíA
3.6
TRABAJO
TRABAJO Y ENERGíA
ENERGíA CINÉTICA
CINÉTICA
.t
n
ra
1
En los dos
dos apartados
apartados anteriores
anteriores se aplicó
aplicó la segunda
segunda ley de
de Newton
Newton F == ma a
diversos
diversos problemas
problemas de movimiento
movimiento de
de puntos
puntos materiales
materiales para
para establecer
establecer la relación
lación que
que en
en cada
cada instante
instante guardan
guardan la fuerza
fuerza resultante
resultante actuante
actuante sobre
sobre el punpunaceleración que
que éste
éste adquiere.
adquiere. Cuando
Cuando se quería
quería obtener
obtener la variación
variación de
to y la aceleración
velocidad
velocidad o el desplazamiento
desplazamiento correspondiente
correspondiente del
del punto,
punto, se integraba
integraba la ecuaecuaresultante de
de aplicar
aplicar las
las ecuaciones
ecuaciones cinemáticas
cinemáticas adecuadas.
adecuadas.
ción resultante
Hay dos
dos clases
clases generales
generales de
de problemas
problemas en
en los que
que interesa
interesa conocer
conocer los efecefecHay
tos acumulativos
acumulativos de las
las fuerzas
fuerzas no
no equilibradas
equilibradas actuantes
actuantes sobre
sobre un
un punto
punto mamaterial.
terial. Respectivamente,
Respectivamente, en
en estos
estos casos
casos interviene
interviene la integración
integración de
de las
las fuerzas
fuerzas
respecto al desplazamiento
desplazamiento
del punto
punto y la integración
integración de
de las
las fuerzas
fuerzas respecto
respecto
del
respecto
tiempo que
que dura
dura su
su aplicación.
aplicación. Los resultados
resultados de esas
esas integraciones
integraciones pueden
pueden
al tiempo
incorporarse directamente
directamente a las
las ecuaciones
ecuaciones que
que rigen
rigen el movimiento,
con lo
incorporarse
movimiento, con
resulta innecesario
innecesario despejar
despejar directamente
directamente la aceleración.
aceleración. La integración
integración
que resulta
respecto al desplazamiento
desplazamiento
conduce a ecuaciones
ecuaciones que
que relacionan
relacionan trabajo
trabajo y
conduce
respecto
energía, las
las cuales
cuales son
son el tema
tema de
de este
este apartado.
apartado. La integración
integración respecto
respecto al
energía,
tiempo conduce
conduce a las
las ecuaciones
ecuaciones que
que relacionan
relacionan impulso
impulso y cantidad
cantidad de
de movimovitiempo
miento, las
las cuales
cuales se estudian
estudian en
en la parte
parte e de
de este
este capítulo.
capítulo.
miento,
(a)
Estableceremos ahora
ahora el significado
significado cualitativo
cualitativo del
del término
término tratra(a) Trabajo.
Estableceremos
bajo.' En
En la figura
figura 3.2a se muestra
muestra una
una fuerza
fuerza F actuando
actuando sobre
sobre una
una partícula
partícula A
bajo.l
que se desplaza
desplaza a lo largo
largo de la trayectoria
trayectoria representada.
representada. El vector
vector de
de posición
posición
que
medido desde
desde un
un origen
origen convenido
convenido 0,
0, sitúa
sitúa a la partícula
su paso
paso por
por el
r, medido
partícula a su
punto A y dr es el desplazamiento
desplazamiento infinitesimal
infinitesimal asociado
asociado a un
un movimiento
movimiento ininpunto
1
desarrolló también
también al estudiar
estudiar el principio
principio de los trabajos
trabajos virtuales
El concepto de trabajo se desarrolló
virtuales en
1,Estática.
el capítulo 7 del tomo 1,
Estática.
135
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136
CINÉTICA
CINÉTlCA DEl
DEl PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
finitesimal desde A a A '.'. Por definición, el trabajo de la fuerza F durante
durante el desplazamiento
plazamiento infinitesimal
infinitesimal dr es
dU
dU == F· dr
dr
F
dr
a A'
;:--;: ----
/
/'
A
/'
r
r + dr
El
El valor de este producto
producto escalar es dU
dU == F ds cos a,
a, donde
donde a es el ángulo que
forman F y dr, y ds es el módulo
módulo de dr. Esta expresión puede
puede interpretarse
interpretarse como
el desplazamiento
multiplicado por la componente
desplazamiento multiplicado
componente F
F¡t == F cos a en la dirección
del desplazamiento,
discontinuo. De
desplazamiento, tal como representan
representan las rectas de trazo discontinuo.
otra forma, el trabajo dU
dU puede
puede interpretarse
interpretarse también como la fuerza multiplicada por la componente
componente del desplazamiento
desplazamiento ds cos a en la dirección de la fuerza, tal como representan
3.2b. Definido así
representan las rectas de trazo lleno de la figura 3.2b.
el trabajo, debemos observar
que
la
componente
F"
=
F
sen
a normal
normal al desobservar
componente Frt
F
plazamiento no efectúa trabajo. Por tanto, el trabajo dU
dU puede
puede escribirse
plazamiento
o
dU =
F¡ ds
dU
= F,
(a)
componente qúe
que realiza trabajo F
F,t tenga el
El trabajo será positivo cuando la componente
sentido que el desplazamiento
desplazamiento y será negativo
negativo cuando
cuando ambos sentidos
mismo sentido
sentidos
opuestos. Llamamos fuerzas
activas a las fuerzas que realizan
realizan trabajo; a las
sean opuestos.
fuerzas activas
ligadura, que no realizan
realizan trabajo, las llamamos fuerzas
reactivas.
de ligadura,
fuerzas reactivas.
unidad SI
SI de trabajo es igual a la unidad
(N) por la unidad
unidad de
La unidad
unidad de fuerza (N)
desplazamiento (m);
(m); o sea, N . m. Esta unidad
unidad recibe el nombre
nombre de joule
desplazamiento
joule y es,
una fuerza de 1 N cuando
cuando se desplaza
desplaza una
por definición, el trabajo que efectúa una
propia dirección. El uso del joule como unidad
unidad de
distancia de un metro en su propia
ambigüedad con las
trabajo (y de energía) en vez de N . m evitará la posible ambigüedad
unidades de momento
momento de una
una fuerza o de un par de fuerzas que se expresan
expresan
unidades
enm·N.
enm·N.
observarse que el trabajo es una
magnitud escalar, dada
dada por el proDebe observarse
una magnitud
medidas ambas a lo
ducto escalar, o interno, de una fuerza por una distancia, medidas
largo de la misma línea. El momento, por su parte, es una magnitud
magnitud vectorial
dada por el producto
producto vectorial de un vector de posición por una fuerza.
dada
Durante un desplazamiento
desplazamiento finito del punto
punto de aplicación de una fuerza,
Durante
ésta realiza un trabajo
I ~I
(b)
Figura 3.2
Figura
=
u=
ff
F· dr
o sea
F,
u ==
//11
//
=F¡ds
dU =F,ds
dU
11
11
1
1
1
1
1
1
1
1
11
S2
Figura 3.3
Figura
ff
F¡ ds
integración es preciso conocer la relación existente entre las
Para efectuar esta integración
componentes de la fuerza y sus respectivas
respectivas coordenadas
coordenadas y las relaciones entre
componentes
F¡ y s.
s. Si
Si no se conociese la relación funcional como expresión
expresión matemática
matemática inteF¡
estuviera especificada en forma de datos aproximados
aproximados o experigrable, pero estuviera
podría calcularse el trabajo efectuando
efectuando una
numérica o
mentales, podría
una integración
integración numérica
representada por el área limitada
limitada bajo la curva
curva de F¡en
Ften fungráfica que estaría representada
s, según
según se indica en la figura 3.3.
3.3.
ción de s,
realizado sobre un cuerpo por una
Un ejemplo muy corriente de trabajo realizado
encontramos en la acción de un resorte sobre un cuerpo mofuerza variable lo encontramos
http://gratislibrospdf.com/
es-
ue
mo
ión
De
plierasí
es-
Tracción
F
Compresión
Compresión
lAr
~LC L1i
F=kx
""-----'--------'--------'---x
X
Xl
~
X2
Xl
~
x2
xl
D~p
I
F=kx
F=kx
~x
~x
-i
~
X2
x2
Xx
I
D~p
P ---.o~F=kx
--j
--j
~X~
k
I
S2
estirar
Sin estirar
comprimir
Sin comprimir
3.4
Figura 3.4
a el
dos
las
proala
arial
rza,
e las
entre
inteperiiea a
fununa
mo-
unido. Supondremos
Supondremos aquí que el resorte es del tipo lineal
vible al que se halle unido.
recuperadora o rigidez k, de tal modo
común de constante
constante recuperadora
modo que la fuerza F que
proporcional a su deformación
deformación x, es
desarrolla, de tracción o compresión, es proporcional
F == kx. En la figura 3.4
3.4 se representan
representan los dos casos en que el cuerpo se
decir, F
para alargar el resorte
mueve (por acción de fuerzas que no se indican) bien para
longitud x, bien para
para comprimirlo
comprimirlo una
una longitud
longitud x.
una longitud
x . En cada caso, la fuerza
ejerce el resorte sobre el cuerpo es de sentido
sentido contrario
contrario al desplazamiento,
desplazamiento,
que ejerce
negativo. Así pues, tanto si
por lo que el trabajo que realiza sobre el cuerpo es negativo.
el resorte se alarga como si se acorta, el trabajo realizado
realizado sobre el cuerpo es neel
gativo
gativo y vale
Cuando un resorte se libera, desde un estado de tracción o de compresión,
Cuando
3.4 que su deformación
vemos ahora en los dos ejemplos de la figura 3.4
deformación cambia
X2 a una
una deformación
deformación menor Xl. En esta situación
situación la fuerza que actúa en
desde X2
mismo sentido
sentido que el desplacualquiera de los dos casos sobre el cuerpo tiene el mismo
realizado sobre el cuerpo es positivo.
zamiento y, por tanto, el trabajo realizado
positivo.
El valor del trabajo, positivo
positivo o negativo, se ve que es igual al área trapezoitrapezoiEl
sombreada que para
para ambos casos se representa
representa en la figura 3.4.
3.4. Al calcular
dal sombreada
el trabajo efectuado
efectuado por la fuerza de un resorte debe ponerse
ponerse cuidado
cuidado en comel
unidades en las que se expresen
expresen k y x sean coherentes.
coherentes. Es decir,
probar que las unidades
N/m.
si x está en metros, k debe estar en N/m.
realidad, la expresión
expresión F == kx es de naturaleza
naturaleza elástica y sólo es válida
En realidad,
partes del resorte carecen de aceleración. El estudio
cuando todas las partes
estudio dinámico
comportamiento de un resorte cuando
cuando se tiene en cuenta su masa es basdel comportamiento
complicado y no vamos a tratarlo
tratarlo aquí; supondremos
supondremos que la masa del retante complicado
pequeña comparada
comparada con las masas de otras partes
partes del sistema que
sorte es pequeña
implicará errores
estén aceleradas, en cuyo caso la relación estática lineal no implicará
apreciables.
Consideremos ahora el trabajo realizado
realizado sobre una partícula
partícula de masa m (fig.
Consideremos
3.5)que
describiendo una
una trayectoria
trayectoria curva bajo la acción de la fuer3.5)
que se mueve describiendo
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137
3.6 TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA
CINÉTICA
3.6
138
CINÉTICA DEL
DEL PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
CINÉTICA
za F, que
representa la resultante
resultante ~F de
de todas
todas las
las fuerzas
que representa
fuerzas que
que actúan
actúan sobre
sobre la
partícula.
posición de
de m es establecida
por el vector
posición r, y su
despartícula. La posición
establecida por
vector de
de posición
su desplazamiento
trayectoria durante
tiempo dt está
representado
plazamiento a lo largo
largo de
de su
su trayectoria
durante el tiempo
está representado
por
variación dr de
su vector
vector de posición.
posición. El trabajo
trabajo de
un despladesplapor la variación
de su
de F durante
durante un
zamiento finito
finito de la partícula
desde el punto
zamiento
partícula desde
punto 1 al punto
punto 2 es
rJ
UI_2
z
F·dr
I
=
f52
F¡ ds
51
donde
límites especifican
los puntos
puntos inicial
inicial y final
intervalo de
movidonde los límites
especifican los
final del
del intervalo
de movimiento en
en cuestión.
cuestión. Introduciendo
segunda ley
de Newton
expremiento
Introduciendo la segunda
ley de
Newton F = ma,
ma, la expresión
todas las
las fuerzas
queda
sión del
del trabajo
trabajo de
de todas
fuerzas queda
UII-2-2
o
x
Figura
Figura 3.5
JJIrI
F . dr
22 ma·
ma· dr
== f5f5
s,
5,
Pero
= al
tangencial de
aceleración de
Pero a . dr =
al ds, donde
donde al
at es la componente
componente tangencial
de la aceleración
de m
y ds es el módulo
módulo de
de dr. Atendiendo
Atendiendo a la velocidad
velocidad v de
de la partícula,
partícula, la ecuación
ecuación
2.3 da
al ds =
= v dv. Con
expresión del
del trabajo
trabajo de F queda
da a,
Con ello, la expresión
queda en
en la forma
forma
U I _2
I ~,
= JI
r
F· dr
2 mv dv = ~m(vl-v/)
= fV
v,
(3.9)
(3.9)
donde
integración se ha
ha efectuado
puntos 1 y 2 de la curva
donde la integración
efectuado entre
entre los puntos
curva en
en los
cuales
velocidades tienen
tienen por
por módulo
módulo VI
cuales las velocidades
VI y V2' respectivamente.
respectivamente.
(b) Energía cinética.
cinética.
por definición,
definición,
por
energía cínética
cinética T de
partícula o punto
punto material
material es,
La energía
de la partícula
T = ~ mv 2
(3.10)
(3.10)
sobre la partícula
que ésta
ésta adquiera
adquiera una
y es el trabajo
trabajo total
total a realizar
realizar sobre
partícula para
para que
una vevelocidad de
del estado
estado de reposo.
locidad
de módulo
módulo v partiendo
partiendo del
reposo. La energía
energía cinética
cinética T es
una magnitud
magnitud escalar
escalar cuya
cuya unidad
que es siempre
una
unidad SI es el N . m,
m , o joule
joule (J), y que
siempre
positiva independientemente
de cuáles
cuáles sean
sean la dirección
sentido de
de la vepositiva
independientemente de
dirección y el sentido
velocidad. La ecuación
ecuación 3.9 podemos
escribirla otra
otra vez
en la forma
forma más
simple
locidad.
podemos escribirla
vez en
más simple
(3.11 )
que es la ecu
ecuación
que relaciona
efectuado sobre
sobre un
que
ación que
relaciona el trabajo
trabajo efectuado
un punto
punto material
material
con la variación
de su
su energía
energía emética,
con
variación de
cinética, relación
relación conocida
conocida de
de antiguo
antiguo como
como teoque fuerza
que ha
rema de las fuerzas
fuerzas vivas,
vivas, ya
ya que
fuerza viva
viva es otro
otro nombre
nombre que
ha recibido
recibido la
energía cinética.
fuerzas que
que
energía
cinética. N os dice
dice que
que el trabajo total efectuado
efectuado por
por todas
todas las
las fuerzas
ejercen sobre
sobre un
durante el intervalo
de movimiento
desde
se ejercen
un punto
punto material
material durante
intervalo de
movimiento desde
estado 1 al estado
estado 2 es igual
igual a la correspondiente
correspondiente variación
variación de energía
el estado
energía cinética
cinética
del punto
punto material.
T es siempre
siempre positiva,
su variación
ser
del
material. Aunque
Aunque T
positiva, su
variación I1T
t:,.T puede
puede ser
positiva, negativa
de esta
esta forma
forma concisa,
ecuación 3.11 nos
positiva,
negativa o nula.
nula. Escrita
Escrita de
concisa, la ecuación
nos informa de
de que
que el trabajo
conlleva un
de energía
energía cinética.
forma
trabajo siempre
siempre conlleva
un cambio de
cinética.
Otra manera
de entender
entender el teorema
de las
fuerzas vivas
sería afirmar
afirmar que
que
Otra
manera de
teorema de
las fuerzas
vivas sería
energía cinética
energía
la energía
cinética inicial
inicial TI más
más el trabajo
trabajo realizado
realizado UlI--22 es igual
igual a la energía
cinética final
final T 2 o sea
sea
cinética
(3.11a)
(3.11a)
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Expresado así, el teorema
obedeciendo a la sucesión
sucesión naExpresado
teorema presenta
presenta los términos
términos obedeciendo
natural
acontecimientos. Es obvio
obvio que
que ambas
ambas formas,
formas, la 3.11 y la 3.11a,
tural de
de los acontecimientos.
3.11a, son
equivalentes.
equivalentes.
Vemos
ahora de
de la ecuación
ecuación 3.11 que
que el teorema
teorema de
de las fuerzas
fuerzas vivas
Vemos ahora
vivas presenpresenta la importante
importante ventaja
evitar el cálculo
cálculo de la aceleración
aceleración y lleva
lleva directadirectaventaja de evitar
mente
de velocidad
como funciones
funciones de
de las fuerzas
fuerzas que
que
mente a las variaciones
variaciones de
velocidad como
trabajan.
de las fuerzas
fuerzas vivas
sólo intervienen
intervienen aquellas
aquellas
trabajan. Es más,
más, en el teorema
teorema de
vivas sólo
fuerzas que
que trabajan
dan lugar
lugar a variaciones
en las
las velocidades.
fuerzas
trabajan y dan
variaciones de módulo
módulo en
velocidades.
Consideremos dos
dos o más
conexiones exentas
exentas de
de rozaConsideremos
más partículas
partículas unidas
unidas por
por conexiones
rozamiento y que
que no
deformarse elásticamente.
elásticamente. Las fuerzas
fuerzas de las conexioconexiomiento
no pueden
pueden deformarse
nes
aparecen por
de igual
igual módulo
dirección y sentidos
sentidos opuestos,
opuestos, y
nes aparecen
por parejas
parejas de
módulo y dirección
de aplicación
aplicación de
de tales
fuerzas tendrán
componentes
los puntos
puntos de
tales fuerzas
tendrán necesariamente
necesariamente componentes
desplazamiento iguales
iguales en
en la dirección
dirección de
de las fuerzas.
fuerzas. Por
Por tanto,
de desplazamiento
tanto, el trabajo
trabajo
efectuado por
dichas fuerzas
fuerzas internas
internas será
será nulo
del
total efectuado
p or dichas
nulo para
para todo
todo movimiento
m ovimiento del
sistema de
de las
las dos
dos o más
conectadas. Así
ecuación 3.11 será
será
sistema
más partículas
p artículas conectadas.
Así pues,
pues, la ecuación
aplicable al sistema
sistema total,
siendo UI--22 el trabajo
efectuado sobre
sistema
aplicable
total, siendo
trabajo total
total efectuado
sobre el sistema
por
fuerzas exteriores
exteriores a él y siendo
siendo !'!.T
flT la variación
energía cipor las fuerzas
variación T22 -- TI de la energía
nética
del sistema.
sistema. La energía
energía cinética
cinética total
suma de
de las energías
energías
nética total
total del
total es la suma
cinéticas de
de todos
elementos del
del sistema.
sistema. Podemos
Podemos observar
observar ahora
ahora que
que una
cinéticas
todos los elementos
una
nueva
del teorema
de las fuerzas
fuerzas vivas
consiste en
en que
que permite
anánueva ventaja
ventaja del
teorema de
vivas consiste
permite el anásistema de
de puntos
de la manera
descrita, sin
sin nelisis de un
un sistema
puntos materiales,
materiales, unidos
unidos de
manera descrita,
necesidad de
de desmembrar
desmembrar el sistema.
sistema.
cesidad
del teorema
de las
las fuerzas
fuerzas vivas
aislamiento del
del
teorema de
vivas reclama
reclama el aislamiento
La aplicación
aplicación del
punto
del sistema
sistema en
en cuestión.
cuestión. En el caso
caso de un
solo,
punto material
material o del
un punto
punto material
material solo,
deberá trazarse
diagrama para sólido libre
libre donde
donde se representen
deberá
trazarse un
un diagrama
representen todas
todas las
fuerzas externamente
externamente aplicadas.
aplicadas. En el caso
caso de
de sistemas
sistemas de
de puntos
fuerzas
puntos materiales
materiales
unidos
sin miembros
elásticos, puede
diagrama de
defuerunidos rígidamente
rígidamente sin
miembros elásticos,
puede trazarse
trazarse un
un diagrama
fuerzas activas
activas donde
donde sólo
sólo se incluyan
incluyan las
fuerzas que
que trabajen.
trabajen.' 1
las fuerzas
a
e
e
a
e
a
capacidad de
de una
cantidad de trabajo
(e) Potencia.
Potencia. La capacidad
una máquina
máquina se mide
mide por
por la cantidad
trabajo
de energía
energía que
que entrega
entrega por
que realiza
realiza o de
por unidad
unidad de tiempo.
tiempo. El trabajo
trabajo total
total o
energía producida
constituye una
capacidad puesto
que un
un
energía
producida no
no constituye
una medida
medida de tal
tal capacidad
puesto que
motor,
que sea, puede
entregar una
gran cantidad
cantidad de energía
energía si se
motor, por
por pequeño
pequeño que
puede entregar
una gran
suficiente. Por
Por otra
otra parte,
requieren máquinas
grandes y muy
muy pole da tiempo
tiempo suficiente.
parte, se requieren
máquinas grandes
potentes
conseguir grandes
grandes cantidades
cantidades de energía
energía en períodos
tentes para
para conseguir
períodos de tiempo
tiempo cortos. De esta
esta forma,
forma, la capacidad
capacidad de las máquinas
clasifica de
de acuerdo
acuerdo con
con su
su
máquinas se clasifica
potencia, que
que por
definición es la cantidad
cantidad de trabajo efectuada
efectuada por unidad
unidad de tiempo.
tiempo.
por definición
acuerdo con
con ello, la potencia
desarrollada por
fuerza F que
que realiza
De acuerdo
potencia P desarrollada
por una
una fuerza
realiza
un
dU/dt == F . dr / dt.
di. Como
Como dr / dt es la velocidad
del punto
un trabajo
trabajo U es P == dU/dt
velocidad v del
punto
aplicación de
de la fuerza,
fuerza, tenemos
de aplicación
tenemos
(3.12)
escalar y su unidad
La potencia
potencia es, evidentemente,
evidentemente, una
una magnitud
magnitud escalar
unidad SI es
N·m / s == J
J // s, que
que recibe
de watt
watt (W) y es un
segundo.
recibe el nombre
nombre de
un joule
joule por
por segundo.
cociente entre
entre el trabajo
(d) Rendimiento.
Rendimiento. El cociente
trabajo realizado
realizado por una
una máquina
máquina y el
trabajo
esa máquina
durante un
intervalo de
de tiempo
trabajo realizado
realizado sobre esa
máquina durante
un mismo
mismo intervalo
tiempo rerecibe el nombre
rendimiento mecánico
mecánico emm de
de la máquina.
esta definición
definición se
nombre de rendimiento
máquina. En esta
1
El diagrama
diagrama de fuerzas activas fue introducido
introducido en el método
El
método de los trabajos virtuales.
virtuales. Véase el
capítulo 7 del tomo
1,Estática.
Estática.
tom o 1,
http://gratislibrospdf.com/
139
3.6 TRABAJO
TRABAJO Y
ENERGÍA CINÉTICA
C1NÉTICA
3.6
Y ENERGÍA
140
140
C1NÉTlCA
DEL PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
CINÉTICA DEL
supone
supone que
que lalamáquina
máquina funciona
funciona regularmente
regularmente de
de forma
forma que
que en
en su
su interior
interior no
no
se
acumula
ni
se
consume
energía.
El
rendimiento
es
siempre
inferior
se acumula ni se consume energía. El rendimiento es siempre inferior aala
launiunidad
dad puesto
puesto que
que todo
todo mecanismo
mecanismo funciona
funciona siempre
siempre con
con cierta
cierta pérdida
pérdida de
de enerenergía
y
no
puede
crearse
energía
en
el
interior
de
la
máquina.
En
los
dispositivos
gía y no puede crearse energía en el interior de la máquina. En los dispositivos
mecánicos
mecánicos que
que incluyen
incluyen piezas
piezas móviles
móviles existirá
existirá siempre
siempre alguna
alguna pérdida
pérdida de
de
energía
a
causa
del
trabajo
negativo
realizado
por
las
fuerzas
de
rozamiento
energía a causa del trabajo negativo realizado por las fuerzas de rozamiento
cinético,
cinético, trabajo
trabajo que
que se
se transforma
transforma en
en energía
energía calorífica
calorífica yy que
que aasu
su vez
vez se
se disipa
disipa
en
en el
el ambiente.
ambiente. En
En un
un instante
instante dado,
dado, el
el rendimiento
rendimiento mecánico
mecánico puede
puede expresarexpresarse en
en función
función de
de la
la potencia
potencia mecánica
mecánica PP por
por
se
Pútil
Pútil
PPconsumida
consumid a
Además
Además de
de pérdidas
pérdidas de
de energía
energía producidas
producidas por
por el
el rozamiento,
rozamiento, puede
puede haber
haber
además
pérdidas
de
energía
eléctrica
y
térmica,
en
cuyo
caso
intervendrán
además pérdidas de energía eléctrica y térmica, en cuyo caso intervendrán
también
también el
el rendimiento
rendimiento eléctrico
eléctrico ee
eeyy el
el rendimiento
rendimiento térmico
térmico el.
el. En
En tales
tales circunstancircunstancias, el
el rendimiento
rendimiento global
global sería
sería
cias,
I
"
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.11
••
t!
I ~
Calcular la velocidad
Calcular
ve/ocidad vv de la caja de 50 kg
kg
cuando
cuando llega al final
final B de la rampa
rampa si en
en
AA recibe una
una velocidad
velocidad inicial
inicial de 4 mis
mis
rampa
rampa abajo. El coeficiente
coeficiente de rozamienrozamiento cinético
cinético es 0,30.
0,30.
50(9,81)
50(9,81) NN
Solución. El
El diagrama
diagrama para
para sólido
sólido libre
libre de
de la
la caja
caja comprende
comprende la
la fuerza
fuerza normal
normal
Solución.
R yy la
la fuerza
fuerza de
de rozamiento
rozamiento cinético
cinético FF calculada
calculada del
del modo
modo usual.
usual. El
El trabajo
trabajo reareaR
lizado por
por la
la componente
componente del
del peso
peso paralela
paralela al
al plano
plano es
es positivo,
positivo, mientras
mientras que
que el
el
lizado
de la
la fuerza
fuerza de
de rozamiento
rozamiento es
es negativo.
negativo. El
El trabajo
trabajo realizado
realizado sobre
sobre la
la caja
caja durante
durante
de
el
el movimiento
movimiento es
es
b
N .....,- \
f.1cR == 142
142N
~\
PcR
R
N
R =474
= 474N
CD
CD
CD Como
Como el
el trabajo
trabajo realizado
realizado total
total es
es
negativo,
negativo, resulta
resulta que
que la
la energía
energía cinécinética
tica disminuye.
disminuye.
[U == Fsl
Fs]
[U
Ul_l 2_2 == [50(9,81)
[50(9,81) sen
sen 15°
15°-142]10
-142]10 == -152
-152 JJ
U
La
La variación
variación de
de energía
energía cinética
cinética es
es TT22 -- TI
TI =
= flT
I:!T
El
El teorema
teorema de
de las
las fuerzas
fuerzas vivas
vivas da
da
[U1.l2_=2 = flT]
I:!T]
[U
9,93(mi
(mis2)
S2)
vv2 2 == 9,93
http://gratislibrospdf.com/
-152 ==25(v
25(v22-16)
-16)
-152
3,15mi
m is
vv == 3,15
s
Resp.
Resp.
o
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.12
3.12
ros
de
to
El camión
camión de
de plataforma
plataforma abierta,
abierta, que
que
El
transporta un
un embalaje
embalaje de
de 80
80 kg,
kg, parte
parte
transporta
del reposo
reposo yy alcanza
alcanza una
una celeridad
celeridad de
de
del
72
km/h
en
una
distancia
de
75
m
a
lo
72 kmln en una distancia de 75 m a lo
largo de-una
de-una carretera
carretera horizontal
horizontal bajo
bajo
largo
aceleración constante.
constante.Calcular
Calcularelel trabatrabaaceleración
de las
las fuerzas
fuerzas de
de rozamiento
rozamiento que
que acacjojo de
túan
sobre
el
embalaje
si
los
coeficientes
túan sobre el embalaje si los coeficientes
de rozamiento
rozamiento estático
estático yy cinético
cinético entre
entre
de
embalaje yy plataforma
plataforma son,
son, respectivarespectivaembalaje
mente, (a)
(a) 0,30
0,30 yy 0,28,
0,28, óó (b)
(b) 0,25
0,25 Y
Y 0,20.
0,20.
mente,
pa
er
án
Solución. Si el
el embalaje
embalaje no
no resbala
resbala sobre
sobre la
la plataforma,
plataforma, su
su aceleración
aceleración será
será la
la
Solución.
misma que
que la
la del
del camión,
camión, y ésta
ésta es
misma
a
a
[v2 2 =
= 2as]
2as ]
[v
Caso (a).
(a).
Caso
22
(72 / 3,6)2 == 267
267 / 2
== vv2s == (72/3,6)2
2(75)
,m s
2s
2(75)
,m
s
80(9,81) N
N
c6 F~t
F ~t
~~a
Esta aceleración
aceleración requiere
requiere que
que sobre
sobre el bloque
bloque actúe
actúe la fuerza
fuerza de
de ro-
zamiento
zamiento
+
a
80(9,81) N
[F == mal
mal
[F
= 80(2,67)
80(2,67) =
= 213
213 N
FF =
menor que el máximo
máximo valor
valor posible
posible de f.1.eN
f.1eN =
= 0,30(80)(9,81)
0,30(80)(9,81) =
= 235
235 N. Por
Por
que es menor
resbala y el trabajo
trabajo efectuado
efectuado por
por la auténtica
fuerza de rotanto, el embalaje
embalaje no resbala
auténtica fuerza
zamiento,
zamiento, que es la estática
estática de 213 N es
[U
[U =
= Fs]
Fs]
_2 =
U ll _
213(75) == 16000 JJ
2= 213(75)
o sea
16,0 kJ
16,0
Para f.1e
f.1.e == 0,25,
0,25, la fuerza de rozamiento
rozamiento máxima
máxima posible
posible es
0,25(80)(9,81)
0,25(80)(9,81)== 196
196 N, ligeramente
ligeramente inferior
inferior al valor de 213
213 N necesario
necesario para
para que
no haya deslizamiento.
deslizamiento. Resulta pues
pues que el embalaje resbala y el valor de la fuerza de rozamiento
rozamiento está determinado
determinado por el coeficiente cinético y es F ==
0,20(80)(9,81)
0,20(80)(9,81)== 157
157 N
N.. La aceleración
aceleración se hace
Caso
Caso (b).
[F
[F == mal
mal
aa == F/m
F/m == 157/80
157/80 == 1,96m/s
1,96m/s22
Las
Las distancias
distancias recorridas
recorridas por el
el embalaje
embalaje yy el
el camión son
son proporcionales
proporcionales aa sus
sus
aceleraciones.
aceleraciones. Entonces,
Entonces, el
el embalaje
embalaje se
se desplaza
desplaza (1,96/2,67)75
(1,96/2,67)75 == 55,2
55,2 m,
m, yy el
el tratrabajo
bajo efectuado
efectuado por
por la
la fuerza
fuerza de
de rozamiento
rozamiento cinético
cinético es
es
[U
[U == Fs]
Fs]
2
U
Ull-_22
== 157(55,2)
157(55,2) =
= 8660
8660JJ
oo sea
sea
8,66kJ
kJ
8,66
Resp.
Resp.
1 Obsérvese
CD
Obsérvese que
que las
lasfuerzas
fuerzas de
de rozamiento
rozamiento estático
estático no
no trabajan
trabajan cuando
cuando ambas
ambas susuperficies
perficies en
en contacto
contacto están
están en
en reposo.
reposo. Cuando
Cuando se
se mueven,
mueven, no
no obstante,
obstante, como
como ocuocurre
rre en
en este
este caso,
caso, la
la fuerza
fuerza de
de rozamiento
rozamiento estático
estático que
que actúa
actúa sobre
sobre el
el embalaje
embalaje hace
hace
un
un trabajo
trabajo positivo
positivo yy la
la que
que actúa
actúa sobre
sobre la
la plataforma
plataforma hace
hace un
un trabajo
trabajo negativo.
negativo.
o
2 Este
Este problema
problema muestra
muestra que
que una
una fuerza
fuerza de
de rozamiento
rozamiento cinético
cinético puede
puede realizar
realizar
una
una trabajo
trabajo positivo
positivo cuando
cuando lala superficie
superficie que
que soporta
soporta el
el objeto
objeto yy que
que genera
genera la
la
fuerza
fuerza de
de rozamiento
rozamiento está
está en
en movimiento.
movimiento. SiSila
la superficie
superficie portante
portante está
está en
en reporeposo,
so, lala fuerza
fuerza de
de rozamiento
rozamiento cinético
cinético que
que actúa
actúa sobre
sobre lala parte
parte móvil
móvil realizará
realizará un
un
trabajo
trabajo negativo.
negativo.
141
141
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¡
¡;
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.13
3.13
I
El bloque
bloque A de 50 kg está
está montado
montado sobre
rodillos
forma que puede
puede moverse
rodillos de forma
moverse con
rozamiento
rozamiento despreciable
despreciable por el carril hofijo bajo la acción de la fuerza
fuerza
rizontal
rizontal fijo
constante
constante de 300
300 N
N que actúa
actúa sóbre
sobre el cable. El bloque
bloque se abandona
abandona en A desde el
estando el resorte
resorte al que está
está uniunireposo, estando
estirado inicialmente
inicialmente Xl
Xl =
= 0,233
0,233 m.
do estirado
rigidez del resorte
N/m.
La rigidez
resorte es k == 80 N
1m. Calcular la velocidad
velocidad v del bloque
bloque cuando
cuando
cular
B.
llega a la posición
posición B.
I
-
300 N
.>
~
80x
300N
300N
Ir
, 0,9m
0,9m
A
-lJ
I-X¡+1,2m
I-X¡+1,2m
I
Partiremos de la hipótesis
hipótesis de que la rigidez
rigidez del resorte
resorte es suficienSolución. Partiremos
temente reducida
reducida para
para permitir
permitir que el bloque
bloque llegue a la posición
posición B. Se
Se represenrepresentemente
para una
una posición
posición cualquiera,
cualquiera, el diagrama
diagrama de fuerzas activas del sistema
sistema
ta, para
formado poi
por bloque
bloque y cable. La fuerza del resorte 80x y la tensión
tensión de 300
300 N son
formado
exteriores al sistema
sistema que realizan
realizan trabajo sobre el mismo. La
las únicas fuerzas exteriores
fuerza que ejerce el carril sobre el bloque, el peso de éste, y la reacción de la pequeña polea
polea sobre el cable no realizan
realizan trabajo sobre el sistema
sistema y no se incluyen
incluyen
queña
diagrama de fuerzas activas.
en el diagrama
Cuando el bloque
bloque se mueve
mueve desde
desde XX == O
O ,233
0,233 + 1,2 == 1,433,
1,433, el traCuando
J33 m a XX == 0,233
efectuado por la tensión
tensión del resorte que actúa sobre el bloque
bloque es negativo
negativo y
bajo efectuado
vale
t
I ~
e
[U =
[U
dx]
ff F dx]
Ull__22
rr'233
433
=
80x dx =
= - JO
JO'233
= ,
40x2
40x2
JJ ,433
,433
1
1
0,233
0,233
=
= -- 80,0
80,0
JJ
constante de 300
300 N aplicada
aplicada al cable realiza
realiza sobre el
El trabajo que la fuerza constante
producto de ésta por el desplazamiento
desplazamiento horizontal
horizontal del cable sobre
sistema es el producto
C, el cual vale JJ(l,2)2
(0,9)2 - 0,9 = 0,6 m
m. . Así pues, el trabajo realila polea C,
(l,2)2 + (0,9)2
300(0,6) == 180
180 J. Aplicando
Aplicando ahora el teorema
teorema de las fuerzas vivas se obzado es 300(0,6)
tiene
[Ul-l2-2 =
~T]
[U
= ~T]
80,0 + 180
180
- 80,0
= ~(50)(v2
~(50)(v2 =
O)
2,Om/s
v = 2,Om/s
Resp.
Resp.
Observemos particularmente
particularmente la ventaja
ventaja de haber
haber tomado
tomado un sistema
sistema como el
Observemos
Si el sistema
sistema hubiera
hubiera estado
formado sólo por el bloque,
bloque, la componente
componente
elegido. Si
estado formado
horizontal de la tensión
tensión del cable de 300
300 N habría
habría tenido
tenido que integrarse
integrarse a lo largo
horizontal
desplazamiento de 1,2 m. Esta operación
requeriría un esfuerzo
esfuerzo notablemennotablemendel desplazamiento
operación requeriría
superior que el necesario en la solución
solución ofrecida.
ofrecida. De haber
haber existido
existido un rozate superior
miento apreciable
apreciable entre el bloque
bloque y su carril de guía, se habría
habría visto la necesidad
necesidad
miento
bloque en solitario con el fin de calcular la fuerza normal
normal variable y,
de aislar el bloque
partir de la misma, la fuerza de rozamiento
rozamiento variable. A continuación,
continuación, hubiera
hubiera
a partir
integrar la fuerza de rozamiento
rozamiento a lo largo del desplazamiento
desplazamiento
sido necesario integrar
para calcular el
el trabajo negativo
negativo realizado
realizado por la misma.
para
Q) Si la variable
variable x se
se hubiera
hubiera medido
medido a partir
partir de la posición
posición de
de partida
partida A, la tentensión del
del resorte
resorte habría
habría sido
sido 80(0,233
los límites
límites de
de integración
integración O y 1.2
1,2 m.
sión
80(0.233 + x) y los
142
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PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.14
3.14
El torno
torno motorizado
motorizado AA iza
iza elel tronco
tronco de
de
El
360 kg
kgpor
porelel plano
plano inclinado
inclinado30°
30°aalala cece360
leridad de
de 1,2
1,2 mis.
mis. Si
Si lala potencia
pote1?cia útil
útil dedeleridad
sarrollada por
por elel torno
torno es
es de
de 44 kW,
kW,
sarrollada
calcular elel coeficiente
coeficiente de
de rozamiento
rozamiento
calcular
cinético J1.c
I1centre
entre tronco
tronco yy plano.
plano. ¿Cual
¿Cuál
cinético
sería la
la correspondiente
correspondiente aceleración
aceleración insinssería
tantánea aa del
del tronco,
tronco, sisi la
la potencia
potencia auautantánea
mentase repentinamente
repentinamente aa66 kW?
kW?
mentase
AA
Solución. Según
Según el
el diagrama
diagrama para
para sólido
sólido libre
libre del
del tronco
tronco tenemos
tenemos N
N =
=
Solución.
360(9,81) cos 30°
30° =
= 3058
3058 N,
N, Y
Y la
la fuerza
fuerza de
de rozamiento
rozamiento cinético
cinético valdrá
valdrá 3058J1.c
305811c.
360(9,81)
la celeridad
celeridad es
es constante,
constante, las
las fuerzas
fuerzas están
están en
en equilibrio,
equilibrio, por
por lo
lo que
que
Como la
36:V¡
~
30°
30°
potencia útil
útil del
del torno
torno nos
nos da
da la tensión
tensión del
del cable
La potencia
\
= P IvIv == 4000/1,2
4000 / 1,2 =
= 3333 N
=
J1.
I1c
c =
0,513
0,513
N
N
CD Obsérvese
Obsérvese que
que los kilowatt
kilowatt se pasan
pasan
Sustituyendo
por su valor
valor resulta
resulta
Sustituyendo T
T por
3333
3333 = 305811c
3058J1.c + 1766
1766
xX
~
=3058J1.
305811cc + 1766
TT =
T
-'
./
36~
305811cc -- 360(9,81)
360(9,81) sen
sen 30°
30· == O
TT -- 3058J1.
[P
Tv]
[P = Tv]
-'
-'
aa watt.
watt. Asimismo
Asimismo empleam
empleam s lis
J/s y
no
no N·m/s.
N-mis.
Resp.
Resp.
Cuando
potencia aumenta,
tensión pasa
pasa a ser momentáneamente
momentáneamente
Cuando la potencia
aumenta, la tensión
[P =
= Tv]
Tv]
T
=
/ 1,2 =
= P IIvv =
= 6000
6000/1,2
= 5000
5000 N
o
y la aceÚ~ración
aceleración correspondiente
correspondiente es
[¿F
P~Fxx == ma)
maJ
2
medida que
que aumenta
aumenta la celeridad,
celeridad,
(3) A medida
5000
5000 - 3058(0,513)
3058(0,513)-- 360(9,81)
360(9,81) sen 30·
30° == 360a
360a
2
a == 4,63
m/s2
4,63m/s
Resp.
la aceleración
aceleración disminuye
disminuye hasta
hasta que
aquélla
se
estabiliza
en
un
aquélla
estabiliza
un valor superior a 1,2 mis.
mis.
perior
PROBLEMA TIPO
TIPO 33 .15
.15
PROBLEMA
I
Un
Un satélite
satélite de
de masa
masa m
m se
se coloca
colocaen
en órbita
órbita
elíptica
elíptica en
en torno
torno aa lala Tierra.
Tierra. En
En elel punto
punto
AA su
su distancia
distancia aalala Tierra
Tierra es
es hhl1==500
500 km
km
yy su
su velocidad
velocidad VI
vI ==30
30000
000 km/h.
km/h. DeterDeterminar
minar lalavelocidad
velocidad V2
V2del
del satélite
satélite cuando
cuando
llega
llega alal punto
punto B,
B, aa una
una distancia
distancia hh22 ==
1200
1200 km
km de
de lala Tierra.
Tierra.
143
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Solución.
se mueve
mueve fuera
fuera de
de la
la atmósfera
atmósfera terrestre,
terrestre, por
por lo
lo que
que la
la úniúniSolución. El
El satélite
satélite se
ca
ca fuerza
fuerza que
que sobre
sobre él
él actúa
actúa es
es la
la atracción
atracción gravitatoria
gravitatoria de
de la
la Tierra.
Tierra. Siendo
Siendo me
me yy
R
R la
la masa
masa yy el
el radio de
de la
la Tierra,
Tierra, respectivamente,
respectivamente, la
la ley
ley de
de la
la atracción
atracción universal
universal
(ec.
mf¡2, cuando
(ec. 1.2)
1.2) nos
nos da
da F == Gmm.lr2
Gmm.[r: == gR
gR22m/,z,
cuando se
se sustituyen
sustituyen los
los valores
valores en
en la
la susuperficie F == mg
mg yy r == R
R por Cm
Cm,e == gR2. El
El u"abajo
trabajo realizado
realizado por F se debe
debe únicamente aa la
la componente
componente radial
radial del movimiento
movimiento aa lo
lo largo de
de la recta soporte
soporte de
de F
negativo cuando
cuando rr aumenta.
aumenta.
yy es negativo
lB
r22 F ddrr --= - mg
2fr22
U
Ul12
-2 --= -- ff r F
mgRR2fr
r~
r~1
1
dr
-dI'
mgR
T2
~
2(r---1 r1)
2
1
El teorema
teorema de las fuerzas vivas U
UlI-_2 2 == I1T
flT da
El
CD
0)
Obsérvese que el resultado es indeObsérvese
la masa del satélite.
pendiente de la
o Para
Para el radio
radio R de la
la Tierra,
Tierra, consul®
tar la
la tabla D.2
0.2 del apéndice
apéndice D.
O.
tar
CD
mgR 2( -1 - -1) = 1
2m (2
v2
r2
r1
- VI
2)
= VI 2 + 2g R2(1-
v22
T2
1)
- -
TI
numéricos resulta
resulta
00Introduciendo
Introduciendo los valores numéricos
(1010- ) )
(1010000)2
v/
3T
V/ = ( 30
""3,6" + 2(9,81)[(6371)(10 3)]2 6371
6371 + 1200
1200 - 6371
6371 + 500
500
3
3
3
=
= 69,44(10
69,44(1066) -10,72(10
-10,72(1066) ) =
= 58,73(106)(ml
58,73(106)(m/ s)2
s)2
I .'
vV22 == 7663
7663 m is
/s
o sea
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Problemas
Problemas inlroductorios
introductorios
vV2 == 7663(3,6)
/h
7663(3,6) = 27590 km
km/h
Resp.
Resp.
(\
r
-r (\
1 1
I I
3.103
3.103 Cuando
Cuando xx =
= O,el
O, el resorte
resorte tiene su longitud
longitud natural.
natural. Si el
I1 I1
cuerpo
100 mm hasta
cuerpo se desplaza
desplaza desde
desde su posición
posición inicial xl
Xl =
= 100
hasta
la posición
posición final X2
x2 =
= 200 mrn,
mm, hallar
hallar (a) el trabajo
trabajo que
que realiza
realiza el
resorte
resorte sob-reel
sob"r e el cuerpo
cuerpo y (b) el trabajo
trabajo que
que sobre
sobre el cuerpo
cuerpo realiza su propio
propio peso.
Resp.
Resp. (a) U
Ull-2-2 =
= - 60 J, (b) U 1-2
1-2 =
= 2,35 JJ
hit
h
1
I
+
Figura problema 3.104
3.104
Figuraproblema
3.105 En el punto
punto A
A el pequeño
pequeño cuerpo
cuerpo posee
posee una
una celeridad
celeridad
3.105
v =
= 5 mi
mi s. Despreciando
Despreciando el rozamiento,
rozamiento, hallar
hallar su
su celeridad
celeridad VB
VB
en el punto
punto B,tras
B, tras haberse
haberse elevado
elevado 0,8 m. ¿Es necesario
necesario conocer
conocer
en
perfil de la pista?
pista?
el perfil
Resp. vB
vB =
= 3,05 mi
m i s; no
no
Resp.
A
VA
Figuraproblema
Figura problema 3.103
3.103
3.104
3.104 Aplicando
Aplicando el teorema
teorema de
de las
las fuerzas
fuerzas vivashallar
vivas'hallar una
una expresión
para la
la máxima
máxima altura
altura que
que alcanza
alcanza un
un proyectil
proyectil lanzado
lanzado
presión para
desde
desde el suelo
suelo con
con una
una velocidad
velocidad inicial
inicial vo.
vo.Evaluar
Evaluar la expresión
expresión
hallada
para Vo
Vo =
= 50 mi
m i s.
s. Supóngase
Supóngase que
que la
la aceleración
aceleración gravitagravitahallada para
toria
toria es
es constante
constante yy despréciese
despréciese la
la resistencia
resistencia del
del aire.
aire.
-. ~=-~
144
144
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----;~~~::!r,D::rL-~B
A
Figura problema 3.105
3.105
Figuraproblema
3.106
3.106 Al proyectar
proyectar un parachoques
parachoques elástico para
para un automóautomóvil de 1500
desea que el vehículo
1500 kg, se desea
vehículo se detenga
detenga desde
desde una
celeridad de 8 km
/ h con una
km/h
una longitud
longitud de deformación
deformación de los
150 mm. Especificar qué constante
constante recuperadora
recuperadora
resortes de 150
uno de los dos resortes
resortes montados
montados detrás
detrás del
debe tener cada uno
parachoques. Ambos
Ambos están
están sin deformar
deformar al inicio del impacto.
parachoques.
+----f+--
-
750
750 mm
mm
----+j
--
-
+i
r
375mm
375 mm
J1
.""
Figura problema
problema 3.109
3.109
3.110
abandona desde
3.110 El anillo de 2 kg se abandona
desde el reposo
reposo en A y se
desliza por
por la varilla
varilla inclinada
inclinada fija en el plano
plano vertical. El coefidesliza
ciente de rozamiento
rozamiento cinético es 0,4.
0,4. Calcular
Calcular (a) la velocidad
velocidad v
(b) el acortamiento
del anillo cuando
cuando golpea
golpea contra
contra el resorte
resorte y (b)
acortamiento
máximo x del resorte.
máximo
resorte.
problema 3.106
3.106
Figura problema
3.107 El pequeño
pequeño collar de masa
masa m se suelta
suelta desde
desde el reposo
reposo
3.107
rozamiento apreciable, por
por la varilla curen A y se desliza, sin rozamiento
condiciones dadas,
dadas, la
va vertical. Expresar, en función de las condiciones
cuando choca con la base B.
velocidad v del collar cuando
Resp. v ==
2kg
J2ih
~\\\~\
~\
0,5 m
)
b ---.1
I
I
I
----T--r
I
I
I
I
I
I
Figura problema
problema 3.110
3.110
problema 3.107
3.107
Figura problema
ridad
ad
VB
nacer
3.108 Si
Si para
para el collar deslizante
deslizante del problema
problema 3.107
3.107 es m ==
3.108
0,5 kg, b
b=
0,8 m y h
h = 1,5
1,5 m y, además,
además, la velocidad
velocidad del collar
0,5
= 0,8
4,70 mi
mi s al chocar con la base B tras haber
haber partido
partido del rees de 4,70
3.111
sube con una
Vo =
105 km/h
3.111 El automóvil
automóvil sube
una celeridad
celeridad va
= 105
km/h por
por
la pendiente
conductor aplica los frependiente del 6 por
por ciento cuando
cuando el conductor
fninos en el punto
punto A, haciendo
haciendo que todas
todas las ruedas
ruedas patinen.
patinen. El
coeficiente de rozamiento
resbaladiza de
rozamiento cinético en la calzada
calzada resbaladiza
lluvia
u¿ =
lluvia es J1c
= 0,6. Hallar
Hallar la distancia
distancia de parada
parada SAB'
SAB. Repetir
Repetir los
cálculos para
para el caso en que el vehículo
vehículo se mueva
mueva cuesta
cuesta abajo
de B aA.
aA.
Resp.
80,4 m
Resp. SAB'
SAB. =
= 65,8
65,8 m, SBA =
= 80,4
poso, calcular el trabajo Q
Q realizado
realizado por
por el rozamiento.
rozamiento. ¿Qué se
energía perdida?
perdida?
hace de la energía
3.109 El
El anillo de 0,8
0,8 kg se desliza
desliza con rozamiento
rozamiento despreciadesprecia3.109
A
inmovilizada en el plano
plano vertical. Si
Si
ble a lo largo de la varilla inmovilizada
parte del reposo
reposo en A bajo la acción de la fuerza horiel anillo parte
constante de 8 N, calcular su velocidad
velocidad v cuando
cuando choca
zontal constante
B.
con el tope B.
4,73 m
mi i s
Resp. v == 4,73
_vo
_
vo
JJ66
100
100
Figura problema
problema 3.111
3.111
145
http://gratislibrospdf.com/
11'
3.112 La
Lamuchacha
muchacha de
de54
54kg
kgsube
subeeleltramo
tramode
deescalera
escaleraen
encincin3.112
cosegundos.
segundos. Determinar
Determinar lalapotencia
potencia útil
útil media
media que
que desarrodesarroco
lla.
lla.
,
\
1
/
lA
2,75 m
60N
60N
Figura
problema 3.115
Figuraproblema
3.115
Figuraproblema
3.112
Figura
problema 3.112
Problemas representativos
representativos
Problemas
3.113 El
El vector
vector de
de posición
posición de
de un
un punto
punto material
material es
es rr == 8ti
8ti ++
3.113
2
1,2t
j
0,5(t3
-l)k,
donde
t
es
el
tiempo
en
segundos
desde
el
1,2t2j - 0,5(t3 -l)k, donde t es el tiempo en segundos desde el
inicio
del
movimiento
y
r
se
expresa
en
metros.
Para
el
instante
inicio del movimiento y r se expresa en metros. Para el instante
s, determinar
determinar la
la potencia
potencia PP desarrollada
desarrollada por
por la
la fuerza
fuerza FF ==
tt == 44 s,
10i -- 20j
20j -- 36k
36k N
N que
que actúa
actúa sobre
sobre el
el punto
punto material.
material.
10i
Resp. PP == 0,992
0,992 kW
kW
Resp.
3.114 La escalera mecánica de unos grandes
grandes almacenes trans3.114
porta
una
carga
constante
de
36
personas
minuto desde la
porta
constante
36 personas por minuto
primera
planta
hasta
la
segunda,
con
una
diferencia
primera planta
segunda,
una diferencia de nivel de
7 m. La masa
masa media
media de las personas
personas es de 65 kg. Si el motor
motor que
dispositivo entrega
calcular el rendimiento
rendimiento
acciona el dispositivo
entrega 3 kW, calcular
mecánico
mecánico del
del sistema.
sistema.
3.116
3.116 Un
Un automóvil
automóvil de
de 1500
1500kg
kg de
de masa
masa parte
parte del
del reposo
reposo al
al
pie
de
una
cuesta
del
10
por
ciento
y
alcanza
una
celeridad
pie de una cuesta del 10 por ciento y alcanza una celeridad de
de
50
50 km/h
km/h aa los
los 100
100 m
m de
de estar
estar uniformemente
uniformemente acelerado
acelerado penpendiente
diente arriba.
arriba. ¿Qué
¿Qué potencia
potencia PP entrega
entrega el
el motor
motor aa las
las ruedas
ruedas
motrices
matrices cuando
cuando el
el vehículo
vehículo adquiere
adquiere esa
esa velocidad?
velocidad?
3.117
3.117 Un
Un automóvil
automóvil de
de 1200
1200 kg
kg entra,
entra, aa 100
100 km/h,
kmlh, en
en una
una
pendiente
pendiente del
del 88 por
por ciento.
ciento. El
El conductor
conductor aplica
aplica los
los frenos yy rereduce
duce la
la velocidad
velocidad hasta 25
25 km/h
kmlh en
en una
una distancia de
de 0,5
0,5 km
km
medida
medida aa lo largo
largo de la
la calzada. Calcular la energía perdida
perdida Q
Q
en forma de calor disipado
disipado en los frenos. Despréciese cualquier
cualquier
pérdida
pérdida por rozamientos
rozamientos de otro origen tal como la resistencia
del aire.
Resp. Q == 903
903 kJ
3.118
A se emplea
3.118 La unidad
unidad motriz
motriz A
emplea para
para elevar
elevar el cilindro
cilindro de
300 kg a la velocidad
velocidad constante
constante de 2 mi
mi s. Si el wattímetro
wattímetro B reun consumo
consumo de potencia
potencia eléctrica
eléctrica de 2,20
2,20 kW, calcular
calcular el
gistra un
gistra
rendimiento combinado
combinado electromecánico
electromecánico ee del sistema.
sistema.
rendimiento
100
100
kg
kg
Figuraproblema
Figura problema 3.114
3.114
300
300
kg
kg
l2m/s
3.115
3.115 La
Labola
bolade
de44kg
kg Yla
Y lavarilla
varillaliviana
livianaaaella
ellaunida
unidarotan
rotanen
en
un
unplano
plano vertical
verticalen
en torno
tornoalaleje
ejefijo
fijo O.
O. Si
Sielel conjunto
conjuntose
seabanabandona
dona desde
desdeelelreposo
reposo en
en e == ooyyse
semueve
muevebajo
bajolalaacción
acciónde
delala
fuerza
fuerzade
de60
60N,
N,que
quese
semantiene
mantienenormal
normalaalalavarilla,
varilla,hallar
hallarlalavevelocidad
locidadvvde
delalabola
bolacuando
cuando eetiende
tiendeaa90°.
90°.La
Labola
bolapuede
puedetratratarse
tarsecomo
comomasa
masapuntual.
puntual.
Resp.
Resp.vv== 1,881
1,881mi
m iss
Figura problema 3.118
3.118
Figuraproblema
e
3.119 El
Elcollar
collarcilíndrico
cilíndricode
de66kg
kgse
sesuelta
sueltadesde
desdeelelreposo
reposoen
en
3.119
posiciónindicada.
indicada.Calcular
Calcularsu
suvelocidad
velocidadvvcuando
cuandoelelresorte
resorte
lalaposición
seha
hacomprimido
comprimido50
50mm.
mm.
se
Resp.vv== 2,41
2,41mi
m iss
Resp.
146
146
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libre es 7,5 mm y la masa de la bala es 14 g, determinar la velocidad en boca. Despreciar el efecto del rozamiento en el cañón
comparado con la fuerza de los gases sobre la bala. Recuérdese
que un megapascal (MPa) vale 106 NI m2•
Resp. v = 940 mi s
6kg
A
3.122 El anillo de 0,8 kg se desliza libremente por la varilla circular fija. Calcular su velocidad v cuando choca con el tope B
sabiendo que sube bajo la acción de la fuerza constante de 40 N
que se ejerce sobre la cuerda. Ésta está guiada por las pequeñas
poleas fijas.
k= 12kN/m
Figura problema 3.119
oso al
adde
s y re0,5 km
didaQ
alquier
stencia
40N,
En el diseño estructural de los pisos superiores de una
nave industrial, hay que tener en cuenta la posibilidad de caídas accidentales de maquinaria pesada a través de una distancia corta. Para una máquina de masa m que caiga una distancia
muy corta sobre un suelo que actúe elásticamente, determinar
la fuerza máxima F que soporta el piso. (El modelo de este problema es una masa m montada sobre apoyos a una distancia
despreciable por encima de un resorte de rigidez k, teniendo
lugar la acción cuando los apoyos se retiran bruscamente.)
3.120
Figura problema 3.122
drode
o B recularel
3.123 Los dos sistemas se sueltan desde el reposo. Calcular la
velocidad v de cada cilindro de 25 kg después de que los de 20
kg hayan descendido 2 m. El cilindro de 10 kg del caso (a) está
sustituido por una fuerza de 10(9,81)N en el caso (b).
Resp. (a) v = 1,889 mi s, (b) v = 2,09 mi s
Figura problema 3.120
3.121 La presión p en el interior del cañón de un fusil varía
con la posición de la bala tal como muestra el gráfico. Si el ca-
300
~
ro
e,
~
~
/
200
I
:g
V>
Q)
•..
100
\
I
¡:::
p...
1\
\
11
-,
10 (9,81)N
(a)
Figura problema 3.123
~
200
poso en
1resorte
p_1
600
400
x,rnm
)
Figura problema 3.121
800
(b)
1000
El carro A de la grúa puente se desplaza a 0,9 mi s cuando bruscamente se detiene. (a) Para el caso en que la distancia
d sea grande en el momento de la parada, calcular el ángulo
3.124
147
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Ir
máximo de oscilación e
e de los cables.
cables. (b) Para el caso en que d
valga 0,75
en el momento
0,75en
momento de parada,
parada, calcular la celeridad
celeridad v con
que la bola pesada
pesada B
B golpea el muro. Despreciar
Despreciar las masas de
los cables,
cables, las poleas y el gancho, pero tener en cuenta el diámetro de 0,8
0,8 m de la bola B.
B.
penetra el cono,
cono, o sea, es R == kX4
Si el cono se
tancia x que penetra
X 4 . Si
distancia x == d, hallar la constante k en función de
detiene a una distancia
las condiciones y resultados
resultados del ensayo. Aplicar una sola vez el
teorema de las fuerzas vivas.
0,9 m
0,9
~
~
Figura problema
problema 3.126
3.126
~d
~d
0,8
m
O,Sm
I
1iP~
Figura problema
problema 3.124
3.124
3.125
3.125 La esfera parte
parte de la posición A con una
una velocidad
velocidad de 3
3.127
3.127 Al sistema articulado
articulado se aplica una fuerza horizontal
horizontal
constante P == 700
700 N del modo que se indica. Estando la esfera
14 kg inicialmente en reposo sobre el soporte
soporte cuando
cuando e
e ==
de 14
60°,
60°, calcular su velocidad
velocidad v cuando
cuando e
e se aproxima
aproxima al valor cero
y la bola se acerca a su posición más alta.
Resp. v == 3,88
3,88 m
mii s
mii s y oscila en un
m
un plano vertical. En la posición más baja, el
una barra
barra fija
fija en B y la esfera continúa
continúa oscicordón choca con una
siguiendo el arco punteado.
punteado. Calcular la velocidad
velocidad ve
ve de
lando siguiendo
cuando llega a la posición C.
C.
la esfera cuando
Resp. ve
ve == 3,59
3,59 m
mii s
1:60
r,
0
0
1,2m
1,2m
sm
O'l
,
e
ii
---,- ~- --/~
--} B
>- . ./
>-,./
I '\
l
,_Á....._I
'-JA
~A
I
__ --/ - ......
, _ Á....._I__
I
//
"...../
//
pp
/
mis
// / 33m/s
problema 3.125
3.125
Figura problema
problema 3.127
3.127
Figura problema
3.126 En un ensayo para
para determinar
determinar las características de
3.126
aplastamiento de un material de empacado,
empacado, se deja caer sobre
aplastamiento
para que
éste un cono de acero de masa m desde una altura h para
lo penetre. El radio del cono depende
depende del cuadrado
cuadrado de la dismedida desde la punta.
punta. La resistencia R del material
tancia medida
material a la
penetración depende
depende de la sección transversal
transversal del objeto penepenetración
es, por ello,
ello, proporcional
proporcional a la cuarta potencia
potencia de la distrante y es,
3.128 El carro de 150
150 kg inicia su descenso por el plano incli3.128
nado con una velocidad
mii s,
s, cuando
cuando al cable se aplica una
velocidad de 3 m
constante de 550
550 N del modo que se indica. Calcular la
fuerza constante
velocidad ddel
B.Demostrar
velocidad
el carro al llegar a B.
Demostrar que, en ausencia de
rozamiento, esa velocidad
velocidad es independiente
rozamiento,
independiente de que la velocidad inicial del carro en A fuese ascendente
ascendente o descendente.
descendente.
dad
148
148
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550
se
e
~...".--- ---,-
el
plano
planovertical
verticalsegún
segúnseseindica.
indica.SiSielelcohete
cohetepropulsor
propulsorejerce
ejerceun
un
empuje
empujeconstante
constanteTTde
de1,5
1,5kN
kNdesde
desdeAAhasta
hastaBBen
enque
queseseapaga,
apaga,
hallar
distanciassque
querueda
ruedaelelvehículo
veruculopor
porlalapendiente
pendienteananhallarlaladistancia
tes
depararse.
pararse.La
Lapérdida
pérdidade
demasa
masapor
porlalaexpulsión
expulsiónde
degases
gases
tesde
del
pequeñayyse
sepuede
puededespreciar.
despreciar.
delcohete
cohetees
espequeña
Resp.
s
=
160,0
m
Resp. s = 160,0 m
¡:~\
¡~:\
12
Figura problema
problema 3.128
3.128
Figura
120m
120m
\\
\
\
\
3.129 En
En un
un apartadero
apartadero de
de clasificación
clasificación ferroviaria,
ferroviaria, un
un vagón
vagón
3.129
de mercancías
mercancías de
de 68
68 Mg
Mg que
que pasa
pasa por
porAA aa 0,5
0,5 mi
miss penetra
penetra en
en BB
de
\
TT
en un
un tramo
tramo de
de freno
freno de
de vía
vía que
que le
le ejerce
ejerce una
una fuerza
fuerzaretardadoTetardadoen
32 kN
kN en
en sentido
sentido opuesto
opuesto al
al movimiento.
movimiento. ¿A
¿A lo
lo largo
largo de
de
ra de
de 32
fa
qué
distancia
x
debe
actuar
el
freno
de
vía
para
limitar
a
3
mi
qué distancia x debe actuar el freno de vía para limitar a 3 mi ss
la velocidad
velocidad en
en ee del
del vagón?
vagón?
la
Resp.
x
=
53,2
m
Resp. x = 53,2 m
AA
Figura
31
Figura problema
problema 3.1
3.131
3.132
3.132 Las
Las correderas
correderas AA yy B
B tienen
tienen una
una masa
masa de
de 22 kg
kg cada
cada una
una
yy se
mueven
sin
rozamiento
apreciable
por
sus
guías
se mueven sin rozamiento apreciable por sus guías respectirespecti-
tal
era
6=
era
e
(Escala vertical
vertical exagerada)
exagerada)
(Escala
vas,
situándose yy en
en la
la dirección
dirección vertical.
vertical. En
En el
el centro
centro de
de la
la babavas, situándose
rra
rra de
de enlace,
enlace, de
de masa
masa despreciable,
despreciable, se
se aplica
aplica una
una fuerza
fuerza
horizontal
horizontal de
de 20
20 N
N Yel
Y el conjunto
conjunto se abandona
abandona desde
desde el reposo
reposo
con
con e=
e= o.o. Calcular
Calcular con
con qué.velocidad
qué. velocidad vvAA choca
choca A
A con
con la
la guía
guía hohorizontal,
cuando e =
= 90°.
rizontal, cuando
e
Figura problema
problema 3.129
3.129
Figura
yy
I
I
I
3.130
3.130 El cilindro de 6
6 kg se abandona
abandona desde
desde el reposo en la
posición indicada
indicada yy cae sobre el resorte precomprimido
precomprimido 50
50 mm
mediante la pletina
y
los
alambres
de
sujeción
sin
peso.
Si
ple tina y
Si la ririgidez
gidez del resorte es 44 kN I m,
m, calcular el acortamiento
acortamiento adicional
I
A
A
88del
del resorte que produce
produce el
el cilindro en
en su
su caída
caída antes de rebotar.
tar.
6 kg
~.
mII.~
xx - - - - - BB
o
100mm
sr] ~ [~
I
\
Figuraproblema
problema 3.132
3.132
Figura
i
Figura
30
Figuraproblema
problema 3.1
3.130
3.131
3.131 Un
Unveruculo
vehículo de
deprueba
prueba pequeño,
pequeño, propulsado
propulsado por
por cohecohete,
te,con
conuna
una masa
masa total
totalde
de100
100kg,
kg,parte
parte del
delreposo
reposo en
enAAyy avanavanZ&,
Z&, con
conrozamiento
rozamiento despreciable,
despreciable, aa lolo largo
largo de
de lala pista
pista en
en elel
3.133 El
Elmontaje
montaje de
de dos
dos resortes
resortes sirve
sirve para
para detener
detener el
elémbolo
émbolo
3.133
de0,5
0,5kg
kgdesde
desde una
una celeridad
celeridad de
de55mi
misseeinvertir
invertir su
sumovimienmovimiende
to.El
Elresorte
resorte interno
interno aumenta
aumenta la
la desaceleración
des aceleración yy su
su posición
posición
to.
seajusta
ajusta aaefectos
efectosde
decontrolar
controlar elelpunto
punto exacto
exactoen
enque
que tiene
tieneluluse
garlalainversión.
inversión. SiSise
sedesea
desea que
que ese
esepunto
punto se
secorresponda
corresponda con
con
gar
un acortamiento
acortamiento 88==200
200mm
mm del
delresorte
resorte externo,
externo, especificar
especificarelel
un
149
149
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ajuste del resorte interno mediante la distancia s. La rigidez del
resorte externo es 300 N I m y la del resorte interno es 150 NI m.
Resp. s = 142,3mm
saria para mantener unas velocidades constantes de 50 y 100
en una carretera plana, (b) la potencia necesaria para
mantener una velocidad de 100 km/h hacia arriba y hacia abajo de una pendiente del seis por ciento y (e) la velocidad constante que no necesita potencia para bajar por la pendiente del
seis por ciento.
km/h
Resp. (a)Pso
=
4,34 kW, PlOO
=
13,89kW
(b)P arriba = 28,6 kW, P abajo = - 800 W
(c)v
= 105,6 kml
h
3.133
Figura problema
3.134 El anillo A de 7 kg se desliza sin rozamiento apreciable
por la barra vertical. Cuando el anillo parte del reposo desde la
posición más baja, señalada en la figura, se mueve hacia arriba
bajo la acción de una fuerza constante F = 200 N aplicada mediante el cable. Calcular la constante k del resorte para que la
compresión .de éste quede limitada sólo a 75 mm. La posición
de la pequeña polea B es fija.
3.136 El movimiento vertical del bloque de 20 kg está gobernado por las dos fuerzas P aplicadas a los extremos A y B del sistema articulado, estando A y B limitados a moverse por la guía
horizontal. Si al sistema, inicialmente en reposo con ()= 60°, se
aplican unas fuerzas P = 1100N, hallar la velocidad ascendente
v del bloque cuando ()tiende a 180°.Despréciense el rozamiento
y las masas de las varillas articuladas y adviértase que P es mayor que su valor para el equilibrio, el cual es (5WI 2) ctg 30° =
850N.
I .'
225mm
h
20kg
T---
\
450mm
F
A
3.134
Figura problema
3.135 Extensos ensayos de un automóvil experimental de 900
kg revelan que la fuerza de resistencia aerodinámica F o y la
fuerza no aerodinámica total de resistencia a la rodadura FR
varían tal como se representa. Determinar (a) la potencia nece-
300
Z
/
200
~
/
100
o
O
3.136
1/
cO
&:
Figura problema
3.137 Al sistema, inicialmente en reposo, se aplica la fuerza
P = 40 N. Hallar las celeridades de A y B después de que A se
haya desplazado 0,4 m.
Resp. VA = 1,180mis, VB= 2,36 mis
/
FR (constante)
B
1;;
(parabólica) f----I
I
40
80
120
Celeridad v, km/h
V
Figura problema
3.135
Figura problema
150
http://gratislibrospdf.com/
3.137
00
ara
bansdel
3.138 En
Enla
la posición
posicióninicial
inicial indicada
indicadala
lacorredera
corredera de
de 25
25 kg
kg está
está
3.138
animada de
de una
una velocidad
velocidad Va
Va == 0,6
0,6 mi
m iss al
al deslizarse
deslizarse por
por el
el raíl
raíl
animada
inclinado bajo
bajo la
la acción
acción de
de la
la gravedad
gravedad yy el
el rozamiento.
rozamiento. Entre
Entre
inclinado
la corredera
corredera yy el
el raíl
raíl hay
hay un
un coeficiente
coeficiente de
de rozamiento
rozamiento cinético
cinético
la
de 0,5.Calcular
0,5. Calcular la
lavelocidad
velocidad de
de la
la corredera
rorredera cuando
cuando pasa
pasa por
por la
la
de
posición en
en que
que el
el resorte
resorte se
se ha
ha comprimido
comprimido una
una distancia
distancia xx =
=
posición
100 mm. El
El resorte
resorte ofrece
ofrece una
una resistencia
resistencia aa la
la compresión
compresión e yy es
es
100mm.
"duro", pues
pues su
su rigidez
rigidez aumenta
aumenta con
con la
la deformación
deformación
del tipo
tipo "duro",
del
tal como
como se
se muestra
muestra en
en la
la gráfica
gráfica adjunta.
adjunta.
tal
I(
C,kN
C,kN
-.
'"
Resp.
Resp.
r
Figura problema
problema
Figura
A
V
2
V2
)113
m + vfVf)1/3
3PS
3PS
= ((
v
3.138
~
3.139 El
El bloque
bloque de 10
desde el reposo
reposo en el punto
punto
3.139
10 kg se suelta
suelta desde
B, en que el resorte está alargado
alargado 0,5
longitud
0,5 m respecto
respecto a su longitud
natural, y se mueve
mueve sobre la superficie horizontal.
horizontal. El coeficiente
te de rozamiento
rozamiento cinético entre ésta y el bloque
bloque es de 0,30.
0,30. Calcular
cular (a) la velocidad
velocidad v del bloque
bloque cuando
cuando pasa por el punto
punto A
y (b) la
la longitud
longitud máxima x que el bloque
bloque recorre a la izquierda
izquierda
de
A.
deA.
Resp.
Resp. v == 2,13
2,13 mi
mi s,
s, x == 0,304
0,304 m
m
e
3.140
3.140
3.141
3.141 Bajo
Bajo la
la acción
acción de
de la
la fuerza
fuerza motriz
motriz FF el
el automóvil
automóvil de
de
masa
masa m
m acelera
acelera desde
desde una
una celeridad
celeridad VI
VI hasta
hasta otra
otra mayor
mayor V2
V2 a
a lo
lo
largo
largo de
de una
una distancia
distancia ss de
de la
la carretera
carretera horizontal.
horizontal. Si
Si el
el motor
motor
desarrolla
desarrolla una
una potencia
potencia útil
útil constante
constante P,
P, hallar
hallar V2'
V2' El
El automóvil
automóvil
puede
puede tratarse
tratarse como
como una
una partícula
partícula sometida
sometida aa la
la acción
acción de
de la
la
única
única fuerza
fuerza horizontal
horizontal F.
F.
Va= 0,6 mis
$"
Figura
Figura problema
problema
3.141
Figura
Figura problema
problema
cilindro de 10 kg se abandona
3.142 El cilindro
abandona desde
desde el reposo
reposo con
deformar. Hallar
Hallar (a) la velox == 1 m, en que el resorte
resorte está sin deformar.
cidad máxima
máxima vV del cilindro y el valor de x correspondiente
correspondiente y
(b) el valor máximo de x durante
durante el movimiento.
movimiento. La rigidez del
450 NI
NI m
m..
resorte es de 450
B
11
erza
Ase
x
)1e =
= 0,30
0,30
Pe
Figura
3.139
Figura problema
problema
3.139
3.140
3.140 Los
Los tres
tres resortes
resortes de
de constantes
constantes iguales
iguales tienen
tienen sus
sus longilongitudes
tudes naturales
naturales cuando
cuando se
se suelta
suelta el
el carro
carro desde
desde el
el reposo
reposo en
en la
la
posición
Si kk == 120
kg, hallar
posiciónxx == O.
O.Si
120NIIm
m yy m
m=
= 10
10kg,
hallar (a)
(a) la
la celeridad
celeridad
vv del
del carro
carro cuando
cuando xx == 50
50 mm,
mm, (b)
(b) el
el desplazamiento
desplazamiento máximo
máximo
xXmax
del carro
carro yy (e)
(e) el
el desplazamiento
desplazamiento estacionario
estacionario xXest
que exisexisest que
max del
tiría
tiríatras
tras el
el cese
cese de
de las
las oscilaciones.
oscilaciones.
I
10kg
10
kg
Figura problema
problema
3.142
Figura
3.142
151
151
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152
CINÉTICA DEL
CINÉTICA
DEL PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
\
\
,...J0
\
j
mg
Vg=mgh
\
h
\
)"Jv
'-(
g
=0
I
I
(a)
(a)
3.7
ENERGíA POTENCIAL
POTENCIAL
En el apartado
apartado anterior, dedicado
dedicado al trabajo y la energía
energía cinética, se aislaba un
punto
material
o
partícula,
o
se
aislaba
un
conjunto
de éstos unidos
unidos entre sí y
punto material partícula,
un
se determinada
el
trabajo
realizado
sobre
el
punto
material
o
sobre
el conjunto
determinada
realizado
punto material
de puntos
puntos por
por fuerzas gravitatorias
o
por
fuerzas
elásticas
o
de
otra
naturaleza,
gravitatorias
naturaleza,
externamente
término U que figura en el teoexternamente aplicadas, al objeto de calcular el término
rema de las fuerzas vivas.
vivas. En este apartado
trata del trabajo de las fuerzas
apartado se trata
gravitatorias y elásticas introduciendo
introduciendo el concepto de energía
energía potencial.
gravitatorias
potencial. Este
concepto simplifica los cálculos en numerosos
numerosos problemas.
problemas.
(a) Energía
Energía potencial
potencial gravitatoria.
gravitatoria. Empecemos considerando
considerando el movimiento
movimiento
de una
una masa puntual
puntual m en la proximidad
proximidad inmediata
inmediata de la superficie terrestre,
donde
mg es prácticamente
prácticamente constante
donde la atracción gravitatoria
gravitatoria (peso) mg
constante (fig. 3.6a).
La energía
potencial gravitatoria
gravitatoria Vgg de esa masa puntual
energía potencial
puntual es, por definición, el tramgh que se realiza contra
para elevar la masa una
una
bajo mgh
contra el campo gravitatorio
gravitatorio para
distancia
un plano
plano de referencia arbitrario
distancia h por encima de un
arbitrario en el que V gg se toma
energía potencial
como cero. Así pues, la energía
potencial puede
puede escribirse
(3.14)
(3.14)
Vgg =
mgh
= mgh
energía potencial
Este trabajo recibe el nombre
nombre de energía
potencial porque
porque puede
puede convertirse en
energía si permitimos
energía
permitimos que la masa puntual
puntual realice un
un trabajo sobre un
un cuerpo
portante,
situado a menor
portante, mientras
mientras regresa
regresa a su plano
plano original de referencia situado
menor alaltura h == h1 a otra más elevada
elevada h = h2,, la variación
tura. Al pasar
pasar de una
una altura
variación de
energía potencial
energía
potencial es
(b))
(b
Figura 3.6
3.6
Figura
correspondiente trabajo que realiza la fuerza gravitatoria
gravitatoria sobre la masa punEl correspondiente
puntual es -mgt-.h.
-mgoñ. Así pues, el trabajo efectuado
efectuado por
gravitatoria es igual
por la fuerza gravitatoria
y opuesto
opuesto a la variación
energía potencial.
variación de energía
Al considerar
considerar grandes
grandes variaciones
altitud en el campo gravitatorio
gravitatorio tevariaciones de altitud
rrestre
(fig. 3/
3/ 6b), la fuerza gravitatoria
gravitatoria Gmm
Gmmef?
rrestre (fig.
j r == mgR2/r
mgR2/r22 ya no puede
puede considerarse constante.
constante. El trabajo efectuado
efectuado contra
contra esa fuerza para
derarse
para cambiar la
posición
desde r a r'
r' es la variación
posición radial
radial de la masa puntual
puntual desde
variación Vg'- Vgg de la
energía gravitatoria:
energía
gravitatoria:
= mgR2(~
= V gg''- V
mgR2dr =
mgR2(~ -~)
-~) =
r2
r r
gg
r2
S mgR2dr
S
r'
r
acostumbra a tomar
Se acostumbra
tomar V gg''
tiene
=
=
Opara
r'
O
para r'
=V gg =-
=
=
00
00
con lo que, con esta referencia, se
mgR2
mgR2
r
De r1
correspondiente cambio de energía
energía potencial
rl a r2' el correspondiente
potencial es
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(3.15)
que, como
resulta ser
trabajo efectuado
por la fuerza
como antes,
antes, resulta
ser igual
igual y opuesta
opuesta al trabajo
efectuado por
fuerza
gravitatoria.
Adviértase que
potencial de
una masa
puntual depengravitatoria. Adviértase
que la energía
energía potencial
de una
masa puntual
depende sólo
posición, h ó r, y no
no de la trayectoria
trayectoria concreta
haya seguido
sólo de
de su
su posición,
concreta que
que haya
seguido
para llegar
posición.
para
llegar a esa
esa posición.
(b)
potencial elástica.
potencial lo en(b) Energía potencial
elástica. El segundo
segundo ejemplo
ejemplo de energía
energía potencial
encontramos en
en la deformación
deformación de
de los
los cuerpos
cuerpos elásticos,
elásticos, como
como es el caso
caso de
de los
los
contramos
resortes.
que se realiza
sobre un
deformarlo se almacena
almacena
resortes. El trabajo
trabajo que
realiza sobre
un resorte
resorte para
para deformarlo
en el mismo
mismo y recibe
recibe el nombre
nombre de
potencial elástica
elástica Ve'
de energía
energía potencial
Ve' Esta
Esta energía
energía es
recuperable en
trabajo que
realiza el resorte
resorte sobre
recuperable
en forma
forma de
de trabajo
que realiza
sobre el cuerpo
cuerpo al que
que
está
unido por
por su
móvil, durante
restauración del
resorte a su
está unido
su extremo
extremo móvil,
durante la restauración
del resorte
su lonlongitud
natural. En
un resorte
resorte lineal
unidimensional de
rigidez k, que
gitud natural.
En el caso
caso de
de un
lineal unidimensional
de rigidez
que
tratamos en
tratamos
en el apartado
apartado 3.6 e ilustramos
ilustramos en
en la figura
figura 3.4, la fuerza
fuerza que
que soporta
soporta
para toda
deformación x, tracción
tracción o compresión,
medida desde
posición no
no
para
toda deformación
compresión, medida
desde su
su posición
deformada,
natural, es FF == kx.
kx. O sea, definimos
potencial
deformada, o longitud
longitud natural,
definimos la energía
energía potencial
elástica
un resorte
resorte como
valor del
trabajo necesario
necesario para
para deformarlo
una
elástica de un
como el valor
del trabajo
deformado una
longitud
longitud x y, entonces,
entonces,
V ee
=
= IXfXOO kx
kx
dx
dx
=
= 22!kX2
!kx2
(3.16)
(3.16)
Si la deformación,
tracción o compresión,
un resorte
resorte aumenta
deformación, de
de tracción
compresión, de un
aumenta desde
desde
a X2
X2 durante
movimiento, la variación
variación de
potencial
durante el intervalo
intervalo de
de movimiento,
de energía
energía potencial
del resorte
resorte será
valor final
valor inicial,
será su
su valor
final menos
menos su
su valor
inicial, es decir
decir
Xl
que es positiva.
deformación del
del resorte
disminuye desde
desde X2
que
positiva. Y al revés,
revés, si la deformación
resorte disminuye
X2 a
durante
movimiento, la variación
variación de
potencial se
durante el intervalo
intervalo de
de movimiento,
de su
su energía
energía potencial
hará
cuantía de
de estos
estos cambios
cambios está
está representada
área trapehará negativa.
negativa. La cuantía
representada por
por el área
trapezoidal sombreada
sombreada de
de la figura
figura 3.4.
zoidal
Como
sobre el resorte
resorte por
por el cuerpo
Como la fuerza
fuerza ejercida
ejercida sobre
cuerpo móvil
móvil es igual
igual y opuesopuesF ejercida
sobre el cuerpo
por el resorte
resorte (fig. 3.4), resulta
resulta que
trata a la
la fuerza
fuerza F
ejercida sobre
cuerpo por
que el trabajo realizado
resorte es igual
realizado sobre
bajo
realizado sobre
sobre el resorte
igual al realizado
sobre el cuerpo
cuerpo cambiado
cambiado
de signo.
realizado por
por el resorte
resorte sobre
podesigno. Por
Por tanto,
tanto, el trabajo
trabajo U realizado
sobre el cuerpo
cuerpo podereemplazarlo por
por - L1
variación de energía
potencial del
resorte cammos reemplazado
~ Ve
Ve'' O variación
energía potencial
del resorte
cambiada de
tal que
resorte esté
biada
de signo,
signo, con
con tal
que el resorte
esté en
en este
este caso
caso incluido
incluido en
en el sistema.
sistema.
xl
Xl
(e)
fuerzas vivas. Con
miembro elástico
(e) Teorema
Teorema de las fuerzas
Con el miembro
elástico incluido
incluido en
en el sistema, modifiquemos
modifiquemos ahora
vivas de
fortema,
ahora la expresión
expresión del
del teorema
teorema de
de las
las fuerza
fuerza vivas
de forma que
potencial. Si representamos
representamos por
por U\_2
ma
que incluya
incluya los términos
términos de
de energía
energía potencial.
U'1-2
el trabajo
trabajo que
partícula efectúan
son ni de
que sobre
sobre la partícula
efectúan las
las fuerzas
fuerzas que
que no son
de la gravegravedad
resorte, la ecuación
relaciona el trabajo
trabajo con
variación de
dad ni del
del resorte,
ecuación 3.11 que
que relaciona
con la variación
de
energía
en la forma
sea
energía cinética
cinética queda
queda en
forma U\_2
U\_2 + ((- LlV
L1Vg)) + ((- LlV
L1Ve)) == LlT,
L1T, o sea
(3.17)
(3.17)
Esta otra
manera de
relación entre
trabajo y energía
utiotra manera
de expresar
expresar la relación
entre trabajo
energía suele
suele ser
ser de
de utilización mucho
más cómoda
cómoda que
que la ecuación
ecuación 3.11, ya
que el trabajo
de las
las fuerfuerlización
mucho más
ya que
trabajo de
zas de la gravedad
resorte se considera
gravedad y el de
de las
las del
del resorte
considera atendiendo
atendiendo a las
las
posiciones extremas
resorte elástiposiciones
extremas del
del centro
centro de
de gravedad
gravedad y de la longitud
longitud del
del resorte
elásti-
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153
3.7 ENERGÍA POTENCIAL
154
CINÉTICA
CINÉTICA DEl
DEl PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
co. El camino
posiciones extremas
camino seguido
seguido entre
entre dichas
dichas posiciones
extremas carece
carece de importancia
importancia
en
e.
en el cálculo
cálculo de ~ Vgg y ~ V
Ve.
Obsérvese
puede escribirse
Obsérvese que
que la ecuación
ecuación 3.17 puede
escribirse otra
otra vez
vez en
en la forma
forma
T1+Vg
(al
I ,,~
N
F11
\~I
~I
I
I~ F2
I~F2
F=kx
F=kx
W=mg
W
= mg
U
Ull-2 =
= t:J.T
st
1
«v,
1
+U'12=T
2+Vg
-
2
+Ve
2
(3.17a)
(3.17a)
Para aclarar
aclarar más
más la diferencia
diferencia entre
entre las aplicaciones
aplicaciones de las ecuaciones
ecuaciones 3.11
Para
representa una
una partícula
partícula de masa
y 3.17, en
en la figura
figura 3.7 se representa
masa m obligada
obligada a descridescribir una
una trayectoria
bajo la acción
bir
trayectoria fija bajo
acción de las fuerzas
fuerzas Fl
F1 y F
F2'2, la fuerza
fuerza gravitatoria
gravitatoria
W == mg,
mg, la fuerza
fuerza F del
del resorte
figura se preresorte y la reacción
reacción N. En la parte
parte b de la figura
presenta el diagrama
diagrama para
sólido libre
libre de la partícula
aislada y se calcula
calcula el trabajo
trabajo
senta
para sólido
partícula aislada
de las fuerzas
resorte F == kx
para el intervalo
fuerzas F
Fl'1, F
F2'2, W y la del
del resorte
kx para
intervalo de movimiento
movimiento
en
desde A hasta
hasta B, trabajo
en cuestión,
cuestión, es decir,
decir, desde
trabajo que
que se iguala,
iguala, mediante
mediante la ecuaecuación 3.11, a la variación
variación de energía
energía cinética
cinética ~T. La reacción
ligadura N es
ción
reacción de ligadura
normal a la trayectoria
parte c de la figura
normal
trayectoria y no trabaja.
trabaja. En la parte
figura se ilustra
ilustra el otro
otro
procedimiento y el resorte
resorte se incluye
parte del
trabajo de Fl y
procedimiento
incluye como
como parte
del sistema.
sistema. El trabajo
F2 durante
U'l-2 de la ecuación
durante el intervalo
intervalo es el término
término U'l-2
ecuación 3.17 y en
en el segundo
segundo
miembro
potenciales gramiembro de la ecuación
ecuación figuran
figuran las variaciones
variaciones de las energías
energías potenciales
gravitatoria
primer método,
realizado
vitatoria y elástica.
elástica. Adviértase
Adviértase que,
que, con el primer
método, el trabajo
trabajo realizado
por F == kx
podría requerir
requerir una
una integración
por
kx podría
integración algo
algo molesta
molesta al tener
tener en
en cuenta
cuenta las
variaciones en
en módulo
módulo y dirección
dirección de F conforme
conforme la partícula
desplaza desde
desde
variaciones
partícula se desplaza
A hacia
B. Sin embargo,
embargo, con
con el segundo
segundo método
método sólo harían
longitudes
hacia B.
harían falta las longitudes
inicial
resorte para
para calcular
e' lo cual
notablemente los
inicial y final del
del resorte
calcular ~ V
Ve'
cual simplifica
simplifica notablemente
cálculos.
cálculos.
Para
un sistema
partícula y resorte,
resorte, la otra
Para un
sistema de partícula
otra expresión
expresión (ec. 3.17) del
del teoreteorema
podemos volver
ma de las fuerzas
fuerzas vivas
vivas podemos
volver a escribirla
escribirla
(bl
(bl
(3.17b)
(3.17b)
-¡
donde
partícula y con
donde E == T + Vgg + Ve
Ve es la energía
energía mecánica
mecánica total
total de la partícula
con el resorte
unido a ella. La ecuación
.17b afirma
neto realizado
realizado sobre
sorte unido
ecuación 33.17b
afirma que
que el trabajo
trabajo neto
sobre
el sistema
por todas
no gravitatorias
sistema por
todas las fuerzas
fuerzas no
gravitatorias ni elásticas
elásticas es igual
igual a la variavariación
ción total
total de la energía
energía mecánica
mecánica del
del sistema.
sistema. En los casos
casos en
en que
que sólo intervenintervengan
fuerzas de ligadura
gan fuerzas
fuerzas elásticas,
elásticas, fuerzas
fuerzas gravitatorias
gravitatorias y fuerzas
ligadura que
que no
trabajen,
U ' es nulo
nulo y la ecuación
trabajen, el término
término U'
ecuación de la energía
energía se queda
queda en
en
~E
~E
Vg=O
U'1_2 = tlT + tl vg + tl Ve
(el
Figura 3.7
3.7
=
= O
O
o sea
E == constante
constante
(3.18)
(3.18)
Cuando E sea
sea contante,
contante, pues,
vemos que
que se podrán
cambios de enerCuando
pues, vemos
podrán producir
producir cambios
enercinética a potencial
viceversa, con
con tal que
que no
varíe la energía
energía mecánica
mecánica togía cinética
potencial y viceversa,
no varíe
tal T + Vgg + V
e' La ecuación
principio de
Ve'
ecuación 3.18 expresa
expresa el principio
de conservación
conservación de
de la energía
energía
dinámica.
dinámica.
Campos de fuerzas
fuerzas conservativos.
conservativos.
Hemos
visto que
que el trabajo
trabajo realizado
ll(d)
(d) Campos
Hemos visto
realizado
contra una
fuerza gravitatoria
gravitatoria o elástica
elástica sólo depende
depende de la variación
variación total
total de
contra
una fuerza
posición
trayectoria concretamente
concretamente seguida
seguida para
alcanzar la nueposición pero
pero no de la trayectoria
para alcanzar
nueLas fuerzas
fuerzas de dichas
dichas características
características están
están asociadas
asociadas a campos
campos de
va posición.
posición. Las
de
fuerzas
conservativos que
que poseen
matemática de gran
gran importanimportanfuerzas conservativos
poseen una
una propiedad
propiedad matemática
Consideremos un
campo de fuerzas
fuerzas cuya
cuya fuerza
fuerza F sea
sea función
función de las coorcoorcia. Consideremos
un campo
1
1
Optativo.
Optativo.
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155
denadas
realizado por
desplazamiento dr de
denadas (fig.
(fig. 3.8).
3.8). El trabajo
trabajo realizado
por F durante
durante un
un desplazamiento
de
su
su punto
punto de
de aplicación
aplicación es dU
dU == F . dr y el trabajo
trabajo total
total cuando
cuando se
se desplaza
desplaza desde
desde
1 aa22 es
es
3.7 ENERGÍA
ENERGÍA POTENCIAL
POTENCIAL
2
yy
II
\
La
general, del
La integral
integral fJ F·dr es
es una
una integral
integral curvilínea
curvilínea que
que depende,
depende, en
en general,
del camicamino
del
no seguido
seguido para
para ir de
de un
un punto
punto 1 a otro
otro punto
punto 2 cualesquiera
cualesquiera
del espacio.
espacio. Sin
Sin
embargo, si F·dr
F-dr fuese
fuese una
una diferencial
diferencial exacta
exacta'1 -- dV
dV de
de una
una cierta
cierta función
función escalar
escalar
embargo,
V de
tendríamos
de las
las coordenadas,
coordenadas,
tendríamos
\\
\\
\
i\
F
I
I
I
/I
dr
/I
//
rr
(3.19)
(3.19)
./0
//
//
11
o
o
s
e
s
s
que
que sólo
sólo depende
depende de
de los
los puntos
puntos extremos
extremos del
del movimiento
movimiento y que,
que, en
en consecuenconsecuencia, será
será independiente
independiente del
del camino
camino seguido.
seguido. El signo
signo menos
menos ante
ante dV
dV es arbitrario
arbitrario
y sólo
sólo se toma
toma para
para que
que haya
haya concordancia
concordancia con
con la
la designación
designación habitual
habitual del
del sigsigno de
de la
la variación
variación de
de energía
energía potencial
potencial en
en el campo
campo gravitatorio
gravitatorio
terrestre. Si
no
terrestre.
existe
existe V,
V, la
la variación
variación diferencial
diferencial de
de V podrá
podrá escribirse
escribirse en
en la
la forma
forma
av
av
av
av dx+av dy+av dz
dV=
dV = - dx+dy+ax
ay
ax
ay
az
az
Comparándola
con - dV
dV = F·dr
F·dr = Fx
E, dx +
+F
Fyy dy
dy +
+F¿
tiene
Comparándola
con
Fz dz se tiene
F
x
ee
a-
o
av
= _ av
F = _ av
av
F == __ av
av
ay
yy
ay
- ax
ax
z
az
La fuerza
fuerza también
también puede
puede escribirse
escribirse en
en la
la forma
forma vectorial
vectorial
(3.20)
(3.20)
F =
= - VV
VV
donde
donde el símbolo
símbolo V representa
representa el operador
operador vectorial
vectorial "nabla"
"nabla" que
que es
es
a a
.a
.a ka
ka-=1
- +)-+
=1-+)-+
n
n· ·
8)
v
ax
ax
ay
ay
az
r-
oía
o
de
ede
nr-
cantidad V se denomina
denomina función
la expresión
expresión V V recibe
recibe el nomnomLa cantidad
función potencial
potencial y la
bre de
de gradiente
gradiente de la función
bre
función potencial.
potencial.
Cuando
de
Cuando las
las componentes
componentes
de una
una fuerza
fuerza pueden
pueden derivarse
derivarse de
de un
un potencial
potencial
de
descrita, se
de la manera
manera descrita,
se dice
dice que
que la
la fuerza
fuerza es
es conservativa
conservativa y se
se deduce
deduce que
que el
trabajo
del
trabajo efectuado
efectuado por
por F entre
entre dos
dos puntos
puntos cualesquiera
cualesquiera es
es independiente
independiente
del cacamino
mino seguido.
seguido.
1
di/! == P
P dx
dx + Q
Q dy
dy + R dz será diferencial
diferencial exacta en las coordenadas
coordenadas
Recordemos que una
una función difJ
x-y-z
x-y-z si
ap _ aQ
ay - ax
ap
dP
dZ
az
aR
dR
dX
ax
dQ
aQ _ dR
aR
az -- dy
ay
dZ
http://gratislibrospdf.com/
x
Z
z
Figura
Figura 3.8
3.8
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.16
3.16
I
La
Lacorredera
correderaAA de
de10
10kg
kgsesemueve
mueve sin
sin rorozamiento
zamiento en
enun
un plano
plano vertical
vertical aalololargo
largo
de lalaguía
guía inclinada.
inclinada. El
El resorte
resorte unido
unido aa
de
ella tiene
tiene una
una constante
constante de
de 60
60 N/m
N/m yy
ella
está
está sometido
sometido aaun
un alargamiento
alargamiento de
de 0,6
0,6
m
m en
en lalaposición
posición A,
A, desde
desdelalaque
quese
sesuelta
suelta
lala corredera
corredera partiendo
partiendo del
del reposo.
reposo. Se
Se
aplica una
una fuerza
fuerza constante
constante de
de 250
250 NNaa
aplica
una cuerda
cuerda ligera
ligera que
que pasa
pasa por
por una
una pepeuna
queña
queña polea
polea en
en B.
B. La
La polea
polea no
no ofrece
ofrece reresistencia
sistencia alal movimiento
movimiento de
de lala cuerda.
cuerda.
Calcular
Calcular lala velocidad
velocidad vv de
de lala corredera
corredera
cuando pasa
pasa por
por elel punto
punto C.
C.
cuando
Solución.
La
Solución.
La corredera
corredera yy la
la cuerda
cuerda inextensible, junto con el
el resorte, serán analizados
lizados como
como un
un sistema
sistema único,
único, lo que permitirá
permitirá emplear
emplear la ecuación 3.17.
3.17. La
La
única fuerza
fuerza que actúa sobre
sobre este
este sistema realizando
realizando trabajo es la tensión
tensión de 250
250
N aplicada
aplicada a la cuerda. Mientras la corredera
corredera se mueve
mueve desde
desde A a C,
C, el punto
punto de
aplicación de la fuerza de 250
250 N se mueve
mueve una distancia
distancia AB
AB - BC
BC ó 1,5
1,5 - 0,9
0,9 ==
0,6m. Así
,,'
.,
CD
I,
U'
1-2 = 250(0,6)
250(0,6) = 150
U'l-2
150 JJ
~.'
La variación
variación de energía
energía cinética de la corredera
corredera es
•.
I
donde la velocidad
velocidad inicial Vo
Va es nula.
nula. El incremento
incremento de
de energía
energía potencial
potencial gravigravidonde
tatoria
tatoria es
óV
Vgg == mg(óh)
mg(óh) == 10(9,81)(1,2sen
10(9,81)(1,2 sen 30°)
30°)
ó
58,9 JJ
58,9
El incremento
incremento de
de energía
energía potencial
potencial elástica
elástica es
es
El
®
®
Sustituyendo por
por sus
sus valores
valores en
en la
la otra
otra ecuación
ecuaciónenergética
energética resulta
resulta
Sustituyendo
sr
[U' 1-2 == óT ++ óó VVg g++ Óó Ve]
V e]
[U'l_2
150 ==~(10)v2
~(10)v2 ++58,9
58,9 ++ 86,4
86,4
150
0,974mis
mis
vv == 0,974
Resp.
Resp.
m
las reacciones
reacciones de
de lala guía
guía sobre
sobre lala corredera
corredera son
son perpendiculares
perpendiculares aa lala direcdirecCD las
su movimiento
movimientoyyno
no realiza
realizatrabajo.
trabajo.
ción de
desu
ción
oo
Como elel desplazamiento
desplazamientodel
del centro
centrode
demasa
masade
delala corredera
correderatiene
tieneuna
unacomcomComo
ponente
ponenteascendente,
ascendente,Ótl":~
":~es
espositivo.
positivo.
®
Hayque
quecuidar
cuidarde
deno
nocometer
cometerelelerror
errorde
deemplear
emplear1k(x2
~k(x2- - xx )2
1)2 como
comoexpreexpre® Hay
1
Ve.Se
Senecesita
necesitalaladiferencia
diferenciade
delos
loscuadrados
cuadradósyyno
noelelcuadrado
cuadradode
delaladidisiónde
deóó\1;..
sión
ferencia.
ferencia.
156
156
http://gratislibrospdf.com/
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.17
3.17
10,6
1
0 , 6 m------i
m------¡
parLa corredera
corredera de 3 kg se abandona
abandona parpunto A yy se destiendo
tiendo del reposo en el punto
liza
liza con rozamiento
rozamiento despreciable
despreciable en un
un
plano vertical
guía circuplano
vertical a lo largo de la guía
circular. El resorte
resorte al que está
está unida
unida tiene
tiene
una
N/m yy su
su longitud
una constante
constante de 350 Nlm
longitud
Hallar la velocidad
natural
natural es de 0,6
0,6 m. Hallar
velocidad
corredera al pasar
de la corredera
pasar por
por la posición
posición B.
Solución.
trabajos del peso y la fuerza del resorte
corredera se traLos trabajos
resorte sobre la corredera
tarán
potenciales, y la reacción de la guía
tarán como variaciones
variaciones de energías
energías potenciales,
guía sobre la
corredera
perpendicular al movimiento
realiza trabajo. Por tanto, U' 1-2 ==
corredera es perpendicular
movimiento y no realiza
O.Las
variaciones de las energías
energías potencial
sistema formado
formado por
O.
Las variaciones
potencial y cinética del sistema
por la
corredera
corredera y el muelle
muelle son
~Ve
~Ve
=
~k(xi-xi) =
~(350){(0,6[J2-1])2-(0,6)2} =
= ~k(xi-xl)
= ~(350){(0,6[J2-1])2_(0,6)2}
= -52,2J
-52,2J
~h =
~ V gg =
= W
W~h
= 3(9,81)(3(9,81)(- 0,6) =
= -- 17,66 JJ
~T =
~m (vi-vi) =
~3(vi-0) =
~T
= ~m(vi-vl)
= ~3(vi-0)
= 1,5vi
1,5vi
[~T + ~ V
+ ~Ve
[~T
Vg+~
Ve = O]
O]
g
vBB
1,5vi-17,66
-52,2
1,5vi-17,66
-52,2
O
=
= 6,82 mis
mi s
Resp.
Resp.
<D
CD Obsérvese
Obsérvese
que si calculáramos
calculáramos el
trabajo realizado por la fuerza del
resorte actuante
actuante sobre la corredera
mediante la integral fF·dr
fF·dr los cálculos se alargarían
alargarían porque habríamos
de tener en cuenta la variación del
módulo de la fuerza y también la del
ángulo que forma ésta con la tangente a la trayectoria. Obsérvese
Obsérvese
además que VB depende
depende sólo de las
condiciones
condiciones en los extremos y no
requiere conocer
conocer la forma de la
trayectoria.
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Problemas introductorios
introductorios
Problemas
3.143
La dos partículas
partículas de masas
unidas por
por
3.143
masas iguales
iguales están
están unidas
una varilla
varilla de masa
masa despreciable.
despreciable. Si se abandonan
abandonan desde
desde el reposo en la posición
indicada y se deslizan
deslizan sin rozamiento
posición indicada
rozamiento por
por
guía vertical
vertical plana,
calcular su velocidad
velocidad v cuando
cuando A llega a
la guía
plana, calcular
la posición
posición de B y ésta se encuentra
encuentra en B'.
Resp. v == 2,21
Resp.
2,21 mi
mi s
3.144
La corredera
reposo en A
3.144
corredera de 4 kg se abandona
abandona desde
desde el reposo
y se desliza
por la varilla
desliza con rozamiento
rozamiento despreciable
despreciable por
varilla circular
A
¿!)
:\-------r
-------::;;¡
------ - ~
SOOmm
SOOmm :
I
I
I
I
I
:B
:B
:
0,6m
I
I
I
v
.s:
~
B'
B'
~~
~~\
~-~~~~~~~~~~~~~\ J
k = 20 kN/m
k=20
kN/m
problema 3.144
3.144
Figura problema
problema 3.143
3.143
Figura problema
157
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vertical.Hallar
Hallar(a)
(a)lalavelocidad
velocidadvvde
delalacorredera
correderacuando
cuandollega
llega
vertical.
punto más
másbajo
bajoBByy(b)
(b)laladeformación
deformaciónmáxima
máximaxxdel
delresorte.
resorte.
alalpunto
3.145 El
Elresorte
resorte tiene
tiene una
una longitud
longitud natural
natural de
de 0,4
0,4 mm yy una
una
3.145
constantede
de200
200NI
NI m.
m.La
Lacorredera
correderaunida
unida aaélélse
sesuelta
sueltaen
enrereconstante
posoen
enelelpunto
punto AAyyse
semueve
mueveen
enelelplano
plano vertical.
vertical.Calcular
Calcularlala
poso
velocidadvvde
delalacorredera
corredera cuando
cuando llega
llegaaaBBen
enausencia
ausenciade
derorovelocidad
zamiento.
zamiento.
Resp. vv ==1,537
1,537 mi
mi ss
Resp.
3.147
3.147 La
Lapequeña
pequeña cuenta
cuenta de
de0,25
0,25 kg
kgseseabandona
abandona sin
sinvelocivelocidad
en
A
y
corre
a
lo
largo
del
alambre
liso
inmóvil.
dad en A y corre a lo largo del alambre liso inmóvil.Hallar
Hallarlala
fuerza
fuerzaNNentre
entreelelalambre
alambre yylalacuenta
cuentacuando
cuando ésta
éstapasa
pasapor
por elel
punto
punto B.B.
Resp.
Resp. NN ==14,42
14,42 NN
A"l
Ml
0,6
0,6 m
m
J
~
L__
I
JUUUU¡¡¡UUU¡UU L
yvvvvnvvvyvnnvvnnv
__
~A
Figura
Figura problema
problema 3.147
3.147
B
JI
1"
• H
Figura problema
problema 3.145
3.145
3.148
3.148 Cuando
Cuando la
la corredera
corredera de
de masa
masa m
m pasa
pasa por
por B,
B, el
el resorte
resorte de
de
constante kk tiene su longitud
natural.
Si
la
corredera
parte del
longitud natural. Si la
reposo en A,
A, hallar su celeridad cuando pasa por los
los puntos
puntos B
B
yy C. ¿Qué fuerza normal ejerce
ejerce la guía sobre la corredera en la
posición C?
C? Despreciar el rozamiento
rozamiento entre la corredera yy la
guía, la cual está en un plano vertical.
3.146
punto PP del cilindro de 2 kg posee una
una velocidad
velocidad ini3.146 El punto
cial va
Vo =
= 0,8 mi
m i s al pasar
pasar por
por la posición
posición A.
A. Despreciando
Despreciando la
masa de las poleas
poleas y el cable, hallar
hallar la distancia
distancia yy del punto
punto P
P
por
debajo
de
A
cuando
el
cilindro
de
3
kg
ha
adquirido
por
A cuando cilindro
3
ha adquirido una
una
velocidad
s.
velocidad ascendente
ascendente de
de 0,6
0,6 mi
mis.
ee
Figura problema
problema 3.148
3.148
Figura
p
AA
3kg
3kg
2kg
2kg
Figura
Figuraproblema
problema 3.146
3.146
3.149 La
Labarra
barra liviana
liviana está
está articulada
articulada en
en OO aa un
un eje
eje de
de giro
giro yy
3.149
lleva las
las dos
dos masas
masas puntuales
puntuales de
de 22yy 44 kg.
kg. Si
Si la
labarra
barra se
se abanabanlleva
dona desde
desde el
el reposo
reposo con
con ee== 60°
60°YYoscila
oscila en
en el
elplano
plano vertical,
vertical,
dona
(a) la
lavelocidad
velocidad vv de
de lalamasa
masa de
de22kg
kginmediatamente
inmediatamente
calcular (a)
calcular
antesde
dechocar
chocarcon
conelelresorte
resorteen
enlalaposición
posiciónmarcada
marcadaaatrazos
trazos
antes
(b)lalacompresión
compresiónmáxima
máximaxxdel
delresorte.
resorte.Se
Sesupondrá
supondráque
quexxes
es
yy(b)
pequeñade
demodo
modoque
quelalaposición
posiciónde
delalabarra
barracuando
cuandocompricompripequeña
meelelresorte
resortees
esprácticamente
prácticamentehorizontal.
horizontal.
me
Resp.(a)
(a)vv==1,162
1,162mi
mis,s,(b)
(b)xx==12,07
12,07mm
mm
Resp.
158
158
http://gratislibrospdf.com/
canismo
canismoparte
partedel
delreposo
reposoen
enlalaposición
posicióne()==20°,
20°,hallar
hallarsusuvelovelocidad
cidadangular
angular cuando
cuandoe()==O.La
O. Lamasa
masammde
decada
cadaesfera
esferaeses33kg.
kg.
Tratar
Tratarlas
lasesferas
esferascomo
comopartículas
partículasyydespreciar
despreciarlas
lasmasas
masasde
delas
las
varillas
varillasyylos
losresortes.
resortes.
Resp.
Resp. ==4,22
4,22radl
radlss
4kg
4kg
é
I
k=35kN/m
/~,
/
/
I
__
_____
I
I \
,
,/~,
,
,
_ _ _1 1
,
é
\
,--
"r-'
\
,
I
I/
e
t
I
e
3.152
3.152 El
Elcilindro
cilindrode
de0,9
0,9kg
kgseseabandona
abandonadesde
desdeelelreposo
reposoen
enAA
yyse
sedesliza
deslizalibremente
librementepor
porlalavarilla
varillahacia
haciaarriba,
arriba,chocando
chocandocon
con
eleltope
topeBBaalalavelocidad
velocidadv.v.La
Lalongitud
longitudnatural
naturaldel
d elresorte
resortede
deririgidez
gidezkk== 24
24N IImmes
es375
375mm.
mm.Calcular
Calcularv.v.
//
//
Figura problema 3.149
3.149
Problemas representativos
representativos
Problemas
3.1 50 El
El anillo
anillo de
de 77 kg
kg se
se desliza
desliza libremente
libremente por
por la
la barra
barra fija
fija
3.150
vertical yy recibe
recibe una
una velocidad
velocidad ascendente
ascendente Va
Vo =
= 2,5
2,5 m
m Ii ss en
en la
la
vertical
posición representada.
representada. El
El anillo
anillo comprime
comprime el
el resorte
resorte de
de arriba
arriba
posición
es así
así proyectado
proyectado hacia
hacia abajo.
abajo. Calcular
Calcular la
la deformación
deformación máximáxiyy es
ma
x
resultante
en
el
resorte
inferior.
ma x resultante en el resorte inferior.
e
el
B
la
la
Figura
Figura problema
problema 3.152
3.152
3.153 Las
Las dos
dos barras
iguales de
de masa
masa despreciable
despreciable parten
parten aa la
barras iguales
la
3.153
vez del
del reposo
reposo con
con ()e == 30°.
30°. Hallar
Hallar la
velocidad vv de
de cada
cada esfera
esfera
vez
la velocidad
de 1,2
1,2 kg
kg cuando
cuando ()e=
90°, posición
posición en
en que
que el
el resorte
resorte tiene
tiene su
su lonlonde
= 90°,
gitud
natural.
gitud natural.
Resp. v == 2,71
2,71 mi
mi ss
k=
m
k = 8,4kN/
8,4kN/m
Figura
Figura problema
problema 3-150
3-150
150 mm
rr150mm-j
--¡
3.151
kN I1m,
m, tienen
3.151 Los
Los dos
dos resortes,
resortes, ambos
ambos de
de rigidez
rigidez kk ==1,2
1,2kN
tienen
longitudes
iguales
y
están
sin
deformar
cuando
()
=
O.
longitudes iguales y están sin deformar cuando e = o. Si
Siel
el meme-
/"'./
/
/
--
/
k
I
mm
I
1,2kg
1,2
kg
\
I
\
mm
/
I
//
'"
Figura
Figuraproblema
problema 3.151
3.151
/
I
I
/
1,2kg
1,2
kg
Figura problema
problema 3.153
3.153
Figura
3.154 Se
Seddesea
que elelrecipiente
recipiente de
de45
45kg,
kg,alalser
serabandonado
abandonado
3.154
esea que
enreposo
reposoen
enlalaposición
posición representada,
representada, llegue
lleguesin
sinvelocidad
velocidad aalala
en
plataforma situada
situada 22mmpor
por debajo.
debajo.Especificar
Especificarlalamasa
masa mm que
que
plataforma
debetener
tenerelelcontrapeso.
contrapeso.
debe
159
159
http://gratislibrospdf.com/
11
==
1¡..I·---- + - - - - 77mm-
~
------1'1
----1'1
3.157
unrizo
rizointerno
internopara
parauna
unaatracción
atracciónde
deferia,
feria,
3.157 Al
Aldiseñar
diseñarun
------------------
1,Sm
1,S
m
L
~ ._ -- - -- - -
tT
2m
2m
_
I
4Skg
4Skg
mm
¡+
Figura problema
problema 3.154
3.154
Figura
antener una
sese desea
desea mmantener
una aceleración
aceleración centrípeta
centrípeta constante
constante en
en
toda
toda su
sulongitud
longitud.. Suponer
Suponer que
queesesdespreciable
despreciable lalapérdida
pérdida de
de
energía
energíadurante
durante elelmovimiento
movimiento yyhallar
hallarelelradio
radiode
decurvatura
curvatura PP
de
delalatrayectoria
trayectoriaen
enfunción
funciónde
delalaaltura
alturayypor
porencima
encimadel
delpunto
punto
más
bajo
A,
donde
la
velocidad
y
el
radio
de
curvatura
más bajo A, donde la velocidad y el radio de curvatura son
sonVoVo
yyPo,
Po,respectivamente.
respectivamente. Para
Paraun
unvalor
valorde
dePo
Podado,
dado, ¿cuál
¿cuáles
eselelvavamínimo
de
Vo
para
que
el
vehículo
no
se
separe
de
la
lor
lor mínimo de Vo para que el vehículo no se separe de lapista
pista
en
enlalacima
cimadel
delrizo?
rizo?
Resp.
Resp. pp == pa(
Po(ll -- ~),
~), va
vamm. . == ~
V
va
mm
o
¡p;g
3.155 Si
Siel
el sistema
sistema se
se suelta
suelta desde
desde el
el reposo,
reposo, hhallar
las celericeleri3.155
allar las
dades de
de ambas
ambas masas
masas cuando
cuando BB ha
ha recorrido
recorrido 11m.
m. Despreciar
Despreciar
dades
el rozamiento
rozamiento yy las
las masa
masa de
de las
las poleas.
poleas.
el
Resp. vVA
0,616mis,
Vs == 0,924
0,924mis
Resp.
A == 0,616
mI s, vB
mI s
II
yy
'"
L
L~_______
A
A
o~
Figura
Figura problema
problema 3.157
3.157
3.158
el mismo
3.158 La
La masa
masa del
del anillo
anillo es
es 22 kg
kg Y
Yel
mismo está
está unido
unido al
al resorresor-
..
masa despreciable
rigidez es
N II m
my
y longitud
nate
te de
de masa
despreciable cuya
cuya rigidez
es 30
30 N
longitud na,5
m
.
El
anillo
se
suelta
en
A
desde
el
reposo
y
sube
por
turall
tural 1,5 m.
A
el vástago liso bajo la acción de la fuerza constante de 40 N. Calvelocidad v del anillo cuando
cuando pasa por
por la posición B.
B.
cular la velocidad
1"
, ~
~
,
B
Figura
Figura problema
problema 3.155
3.155
•••,
.0-
3.156
3.156 La
La corredera
corredera e
C de
de 1,5kg
1,5 kg se
se mueve
mueve por
por la
la varilla
varilla inmóvil
inmóvil
bajo
del resorte
resorte cuya
cuya longitud
longitud natural
natural es
es de
de 0,3
0,3 m.
m. Si
Si
bajo la
la acción
acción del
la
la velocidad
velocidad de
de la
la corredera
corredera es
es de
de 22 mi
mI ss en
en el
el punto
punto AA yy de
de 33
mi
mI ss en
en el
el punto
punto B,
B, calcular
calcular el
el trabajo
trabajo U¡
Uf que
que realiza
realiza el
el rozarozamiento
entre
esos
dos
puntos,
Hallar
asimismo
la
fuerza
miento entre esos dos puntos. Hallar asimismo la fuerza de
de rorozamiento
zamiento media
media que
que actúa
actúa sobre
sobre la
la corredera
corredera entre
entre AA yy BB si
si la
la
longitud
longitud del
del trayecto
trayecto es
es de
de 0,70
0,70 m.
m. El
El plano
plano x-y
x-y es
es horizontal.
horizontaL
zI
K
I -,
I
:
I
-¡
-,
I
-,
-.
I _---y-
I
I
I
I
I
I
I
I
Figuraproblema
problema 3.158
3.158
Figura
Figura problema
3.156
3.159 Una
Unanave
naveespacial
espacialmmse
sedirige
dirigehacia
haciaelelcentro
centrode
delalaLuna
Luna
3.159
con
una
velocidad
de
3000
km
/
h
cuando
se
halla
a
una
distancon una velocidad de 3000km/h cuando se halla a una distanciade
delalasuperficie
superficiede
denuestro
nuestrosatélite
satéliteigual
igualalalradio
radioRRdel
delmismiscia
Calcular lala velocidad
velocidad de
de impacto
impacto vv contra
contra lala superficie
superficie
m o. Calcular
mo.
lunarsisiaalalanave
naveespacial
espaciallelefallan
fallanlos
losretrocohetes.
retrocohetes.Se
Sesupone
supone
lunar
quelalaLuna
Lunasesehalla
hallainmóvil
inmóvilen
enelelespacio.
espacio.El
Elradio
radiode
deésta
éstaesesRR
que
160
160
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1738 km Y la aceleración de la gravedad en su superficie es
1,62 m/s2.
Resp. v = 6740 km/h
=
cribe la trayectoria señalada con trazo discontinuo y pasa por
el punto B, a 125 mm directamente por debajo de A. Calcular la
velocidad VB cuando pasa por B. La rigidez de cada resorte es
1800N/m.
Resp. vB = 2,68 m/ s
Un saltador con pértiga de 80 kg, cuya pértiga uniforme
de 4,9 m tiene una masa de 4,5 kg, se aproxima al obstáculo con
una velocidad v y consigue salvar apenas la barra a una altura
de 5,5 m. Al pasar por encima de la barra, su velocidad y la de
la pértiga son prácticamente nulas. Calcular el valor mínimo
posible de v para que pueda dar el salto. Durante la aproximación los centros de gravedad tanto del atleta como de la pértiga
horizontal se hallan a 1,1 m por encima del suelo.
3.162
Figura problema
3.159
El sistema formado por las dos esferas y las varillas acodadas en ángulo recto se abandona desde el reposo en la posición e = O.Hallar la constante k del resorte, si se observa que el
sistema se halla momentáneamente en reposo cuando e = 45°.
Para e = o el resorte tiene su longitud natural. Tratar las esferas
como partícuias y despreciar el rozamiento.
T
3.160
5,5 m
I
11
1/
H
/
I
~
V
4,9 m
V
Figura problema
2kg
-
3.162
f-
a-
Cuando el cilindro de 5 kg se abandona en reposo en la
guía vertical con e = O, cada resorte de rigidez k = 3,5 kN / m
está sin comprimir. Las barras pueden deslizarse libremente
por sus collarines giratorios y comprimir los resortes. Calcular
la velocidad v del cilindro al pasar por la posición e = 30°.
Resp. v = 0,972 m/ s
3.163
Figura problema
3.160
En la posición A, correspondiente al estado no deformado de los dos resortes horizontales, la bola de 1,5 kg recibe una
velocidad inicial v A = 2,5 m / s en el plano vertical. La bola des-
3.161
lISO
/""~
VA
/
\
/'
a
sde
ne
sR
mm ~ 150mm
Figura problema
J
3.163
J
~~~~~~WMWM~
r---300mm
I
A • (
,
1/
¿lB
/
/
300 mm
/
vB
Figura problema
3.161
-------....¡
El punto fijo O ocupa uno de los focos de la guía elíptica. El resorte tiene una rigidez de 3 N / m y está sin estirar cuando la corredera está en A. Si la celeridad v A es tal que la
celeridad de la corredera de 0,4 kg se aproxima a cero en C, hallar su celeridad en B. La guía lisa está en un plano vertical. (Si
3.164
161
http://gratislibrospdf.com/
FííííX
es necesario, véase la ecuación 3.39 con relación a la geometría
de la elipse.)
B
~
~k
C-
r
600mm
v
--======::;;...--------"_L
~j
v
3.166
Figura problema
f-800rnrn-l
Figura problema
.
"
J
,,
3.164
3.165 El mecanismo se suelta desde el reposo con e = 180°,en
que el resorte no comprimido de rigidez k = 900 N I m está iniciando el contacto con la base inferior del anillo de 4 kg. Hallar
el ángulo e correspondiente a la máxima compresión del resorte. El movimiento tiene lugar en el plano vertical y la masa de
las barras puede despreciarse.
Resp. e = 43,8°
3.167 El mecanismo articulado de barras mueve la esfera de
3 kg Yel resorte tiene su longitud natural cuando e = 90°. Si el
mecanismo parte del reposo en e = 90°, calcular la velocidad v
de la esfera cuando pasa por la posición e = 135°.Las barras están en el plano vertical y sus masas son pequeñas y pueden
despreciarse.
Resp. v = 1,143mi s
3 kg
••
t .'
,
••
..
1-- 500rnrn~
Figura problema
3.167
3.168 La longitud natural del resorte es de 625 mm. Si el sistema se abandona en reposo en la posición representada, hallar
Figura problema
3.165
3.166 El cilindro de masa m está sujeto en A al soporte del collarín mediante un resorte de rigidez k. El collarín se ajusta holgadamente en el árbol vertical, el cual hace descender al
collarín y al cilindro con una velocidad constante v. Cuando el
collarín choca con la base B, se detiene bruscamente prácticamente sin rebote. Hallar la deformación adicional máxima 8
del resorte tras el impacto.
r
650mm
162
http://gratislibrospdf.com/
1
o
k---
600rnrn
Figura problema
----J
3.168
AA
celeridadvvde
delalabola
bola(a)
(a)cuando
cuandoha
hadescendido
descendidouna
unadistandistanlalaceleridad
de250
250mm
mmyy(b)
(b)cuando
cuandolalavarilla
varillaha
hagirado
girado35°.
35°.
ciavertical
verticalde
cia
3.169 Las
Lasvagonetas
vagonetasde
deunas
unasmontañas
montañasrusas
rusasllevan
llevanuna
unacelecele3.169
ridadV2V2== 90
90km/h
km/hen
en elelpunto
puntomás
másbajo
bajode
delalapista.
pista.Hallar
Hallarsu
su
ridad
enelelpunto
puntomás
másalto
altode
delalamisma.
misma.Despreciar
Despreciarlalapérpérvelocidaden
velocidad
didade
deenergía
energíapor
porrozamiento.
rozamiento. (Advertencia:
(Advertencia: Mucho
Muchocuidado
cuidado
dida
conlalavariación
variaciónde
deenergía
energíapotencial
potencialdel
deltren
trende
devagonetas.)
vagonetas.)
con
Resp. V2
V2=
= 35,1
35,1 km/h
km / h
Resp.
A
.JI r
B ( --
~",, \
----Figura
Figura problema
problema 3.171
3.171
--
V2
3.172
3.172 Un
Unsatélite
satélite artificial
artificialse
se pone
poneen
en órbita
órbitaelíptica
elípticaalrededor
alrededor
de
la
Tierra
y
su
velocidad
en
el
perigeo
P
es
de la Tierra y su velocidad en el perigeo P es Vp.
Vp. Hallar
Hallar la
la exexpresión
presión de
d e la
la velocidad
velocidad vvAA en
en el
el apogeo
apogeo A.
A. Los
Los radios
radios de
de AA yy PP
son,
A y
y rp.
rp. Téngase
Téngase en
en cuenta
cuenta que
que la
la energía
energía
son, respectivamente,
respectivamente, rJ'A
total
permanece constante.
constante.
total permanece
Figura problema
problema 3.169
3.169
Figura
3.170 La corredera
corredera de 0,6
0,6 kg parte
parte del
d el reposo
reposo en A y se desligu ía parabólica
parabólica lisa (contenida
(contenida en un plano
plano vertical)
za por la guía
bajo la influencia
influencia de su propio
propio peso y del resorte
resorte de constante
constante
120
120 NI
NI m. Hallar
Hallar la celeridad
celeridad de la corredera
corredera cuando
cuando pasa
pasa por
B y la correspondiente
al que la guía ejerce sobre
correspondiente fuerza norm
normal
ella.
ella. La
La longitud
longitud natural
natural del
del resorte
resorte es
es 200
200 mm.
mm.
Figura
Figura problema
problema 3.172
3.173 El
El vástago
vástago del
del émbolo
émbolo vertical
vertical de
de 22 kg
kg ocupa
ocupa la
la posición
posición
3.173
marcada aa trazos
trazos cuando
cuando descansa
descansa en
en equilibrio
equilibrio ap
apoyado
en el
el
marcada
oyado en
resorte de
de rígidez
rígidez kk == 1,6
1,6 kN
kN I m
m.. El
El extremo
extremo superior
superior del
del resorresorresorte
te está soldado al
al émbolo y el
el inferior a la placa de base. Si
Si se
te
eleva
el
émbolo
40
mm
por
encima
de
su
posición
de
equilibrio
eleva el émbolo 40 mm por encima de su posición d e equilibrio
se suelta
suelta partiendo
partiendo del reposo,
reposo, calcular la velocidad
velocidad vv cuando
yy se
golpea contra
contra el
el disco
disco A.
A. El
El rozamiento
rozamiento es
es despreciable.
despreciable.
golpea
Resp. vv =1,119
=1,119mi
mi ss
Resp.
m=2kg
BB
Figura
Figura problema
problema 3.170
3.170
k= 1,6kN/m
acial
3.171
e regreso
3.171 En
Enelelviaje
viaje dde
regreso aa lala Tierra,
Tierra, una
una cápsula
cápsula esp
espacial
tiene
tieneuna
una velocidad
velocidad absoluta
absoluta de
de24
24000
000km/h
km/h en
enelelpunto
punto AA que
que
km del
dista
dista 7000
7000km
delcentro
centro de
delalaTierra.
Tierra.Calcular
Calcular lalavelocidad
velocidad ababsoluta
soluta de
de lalacápsula
cápsula cuando
cuando alcanza
alcanza elelpunto
punto BBaa6500
6500km
km del
del
centro
centrode
delalaTierra.
Tierra.La
Latrayectoria
trayectoria entre
entreestos
estosdos
dospuntos
puntos queda
queda
fuera
ósfera terrestre.
fuerade
delalainfluencia
influencia de
delalaatm
atmósfera
terrestre.
Resp.
/h
Resp. vB
vB==26
26300
300km
km/h
40mm[!
!...f6mm
A'--, "
Figuraproblema
problema 3.173
3.173
Figura
163
163
http://gratislibrospdf.com/
, f;ss
3.174 La cuerda que se representa en la parte a de la figura se
suelta a partir del reposo en la guía lisa semicircular y adquiere
una velocidad v cuando ha abandonado por completo la guía
tal como se ve en la parte b de la figura. Hallar v. (Sugerencia:
Al hallar la variación de energía potencial, imagínese que la
porción semicircular de la cuerda correspondiente a la posición inicial pasa a ser la parte inferior de la cuerda de longitud
equivalente en la posición final.)
(a)
pedido arrollando varias vueltas de cable en torno al tambor y
la longitud de cable arrollado en el tambor puede despreciarse
en comparación con L. Si los vagones arrancan del reposo con
x = OYM es constante, deducir la expresión de la velocidad de
cada vagón en función de x. Despreciar la masa del tambor y
todos los rozamientos.
Resp. v = J2m ~ PLJ~x
(b)
(a)
T
T
L/2
0,6 m
(b)
(e)
T
-..iy
1
~
..
- pgx(L - x) sen 8
;
Figura problema
Figura problema
3.175
Figura problema
3.176
3.174
~ 3.175 El extremo libre de una cuerda de longitud L y masa
p por unidad de longitud se suelta desde el reposo tal como se
muestra en la parte a de la figura. Hallar la velocidad v de la
porción móvil de la cuerda en función de y. Discutir el significado de v cuando y = L Yexplicar todos los cambios energéticos.
Resp. v =
J2gy L-y/2
L-y
~ 3.176 El funicular se compone de dos vagones de pasajeros, de masa m cada uno, sujetos cada uno a un extremo del cable de longitud L y masa p por unidad de longitud. El sistema
se acciona aplicando un par M al tambor de radio r instalado
en la parte superior del recorrido. El resbalamiento queda im-
SECCiÓN C. IMPULSO y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
3.8
INTRODUCCIÓN
En los dos apartados anteriores hemos centrado nuestra atención en las ecuaciones que relacionan trabajo y energía deducidas al integrar respecto al desplazamiento del punto material la ecuación del movimiento F = ma. Como
consecuencia encontramos que las variaciones de velocidad pueden expresar164
http://gratislibrospdf.com/
y
n
y
se directamente
directamente en
en función
función del
del trabajo
trabajo o en
en función
función de
de la
la variación
variación de
de energía
energía
se
total. En
En los
los dos
dos apartados
apartados siguientes,
siguientes, vamos
vamos a dirigir
dirigir la
la atención
atención a la
la integraintegratotal.
ción de
de la
la ecuación
ecuación del
del movimiento
movimiento respecto
respecto al
al tiempo
tiempo y no
no respecto
respecto al
al despladesplación
zamiento y ello
ello nos
nos llevará
llevará a las
las ecuaciones
ecuaciones del
del impulso
impulso y la
la cantidad
cantidad de
de
zamiento
movimiento. Veremos
Veremos que
que estas
estas ecuaciones
ecuaciones facilitan
facilitan notablemente
notablemente la
la resoluresolumovimiento.
de numerosos
numerosos problemas
problemas en
en que
que las
las fuerzas
fuerzas aplicadas
aplicadas actúan
actúan durante
durante ininción de
ción
tervalos de
de tiempos
tiempos cortísimos
cortísimos (como
(como en
en los
los problemas
problemas de
de choques)
choques) o bien
bien
tervalos
durante intervalos
intervalos de
de tiempo
tiempo especificados.
especificados.
durante
165
165
3.9
3.9 IMPULSO
IMPULSO Y CANTIDAD
CANTIDAD DE
MOVIMIENTO
MOVIMIENTO
zz
3.9
~=mv
--_
-- _
Consideremos de
de nuevo
nuevo el
el movimiento
movimiento curvilíneo
curvilíneo general
general en
en el espacio
espacio de
de un
un
Consideremos
punto material
material de
de masa
masa m (fig. 3.9),
3.9), cuyo
cuyo vector
vector de
de posición
posición es
es r con
con relación
relación a
punto
un origen
origen fijo O.
O. La
La velocidad
velocidad de
de esa
esa partícula
partícula es
es v =
= ii: Y
Y es
es tangente
tangente a su
su tratraun
yectoria (que
(que se representa
representa en
en trazo
trazo discontinuo).
discontinuo) . La
La resultante
resultante LF de
de todas
todas las
las
yectoria
fuerzas actuantes
actuantes sobre
sobre m tiene
tiene la
la misma
misma dirección
dirección y sentido
sentido que
que su
su aceleraacelerafuerzas
ecuación fundamental
fundamental del
del movimiento
movimiento (ec.
(ec. 3.3)
3.3) para
para esta
esta partícula
partícula popoción. La ecuación
demos
escribirla en
en la
la forma
forma
demos escribirla
LF
LF
mv
(3.21 )
sea
o sea
donde,
velocidad es la cantidad
cantidad de
donde, por
por definición,
definición, el producto
producto de
de la masa
masa por
por la velocidad
movimiento G =
de la masa
masa puntual
Según la ecuación
movimiento
= mv
mv de
puntual o partícula.
partícula. Según
ecuación 3.21 la resultante de todas las
lasfuerzas
actúan sobre un
un punto
material es igual
igual a la variación
variación
sultante
fuerzas que actúan
punto material
por unidad
unidad de tiempo
cantidad de movimiento.
movimiento. La unidad
unidad SI de
de cantidad
cantidad de
de
tiempo de la cantidad
movimiento será
será kg'm/
kg·m/ s o, lo que
que es lo mismo,
mismo, N . s.
movimiento
Como
Como la 3.21 es una
una ecuación
ecuación vectorial,
vectorial, debemos
debemos tener
tener presente
presente que,
que, adeademás de ser
ser iguales
iguales los
los módulos
módulos de LF y G, la dirección
dirección y sentido
sentido de
de la fuerza
fuerza
más
resultante
resultante deben
deben coincidir
coincidir con
con la dirección
dirección y sentido
sentido de
de la derivada
derivada temporal
temporal
cantidad de movimiento,
movimiento, que
que tiene
tiene la misma
misma dirección
dirección y sentido
sentido que
que la
de la cantidad
derivada temporal
temporal de la velocidad.
velocidad. La ecuación
ecuación 3.21 es una
una de
de las
las relaciones
relaciones
derivada
más útiles
útiles e importantes
importantes de la Dinámica
Dinámica y conserva
conserva su
su validez
validez en
en tanto
tanto no
no varíe
varíe
más
masa m de la partícula.
partícula. En
En el apartado
apartado 4.7 del
del capítulo
capítulo 4 se trata
trata
con el tiempo
tiempo la masa
en que
que m varía
varía con
con el tiempo.
tiempo. De momento,
momento, las tres
tres componentes
componentes esdel caso en
calares de la ecuación
ecuación 3.21 podemos
podemos escribirlas
escribirlas en
en la forma
forma
calares
(3.22)
(3.22)
cuadesomo
sar-
cuales pueden
pueden aplicarse
aplicarse independientemente
independientemente
unas de otras.
otras.
las cuales
unas
Hasta aquí,
aquí, en
en este
este apartado
apartado no hemos
hemos hecho
hecho otra
otra cosa
cosa que
que escribir
escribir de otra
otra
Hasta
manera
manera la segunda
segunda ley de Newton
Newton e introducir
introducir en
en ella
ella la cantidad
cantidad de movimovimiento. No obstante,
obstante, ahora
ahora podemos
podemos describir
describir el efecto
efecto de la fuerza
fuerza resultante
resultante
miento.
IF
LF sobre
sobre el movimiento
movimiento del
del punto
punto material
material a través
través de un
un intervalo
intervalo de tiempo
tiempo
más que
que integrar
integrar la ecuación
ecuación 3.21 respecto
respecto al tiempo
tiempo t. Al multiplicar
multiplicar
finito sin más
ecuación por
por dt resulta
resulta LF dt == dG, e integrando
integrando ésta
ésta entre
entre los instantes
instantes tI y
la ecuación
t2 obtenemos
obtenemos
~G
.-1G
http://gratislibrospdf.com/
.
r
_
-" --LF
~ LF
-~~
G vv \\
m\ /y
/ y
"'>,
~=mv
IMPULSO Y
Y CANTIDAD
CANTIDAD DE
DE MOVIMIENTO
MOVIMIENTO
(3.23)
(3.23)
v =
x\
\\
" tr
VI
VI 'NI
'.-. Trayectoria
Trayectoria
xx
Figura 3.9
3.9
166
CINÉTICA
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
CINÉTICA DEL
DEL PUNTO
donde
donde G
G2 == mV2
mV2 es la cantidad
cantidad de movimiento
movimiento en el instante
instante t22 y G1I == mV
mV1I es la
cantidad
cantidad de movimiento
movimiento en el instante
instante tI. El producto
producto de la fuerza por el tiempo se llama impulso
fuerza, y la ecuación 3.23
impulso de la
lafuerza,
3.23 dice que el impulso
impulso total de la
fuerza
igual a la correspondiente
correspondiente variación
variación de la cantidad
cantidad de
fuerza que se ejerce sobre m es igual
movimiento.
3.23 suele conocerse como teorema de la cantidad
movimiento. Esta relación 3.23
cantidad de movimiento.
vimiento.
La ecuación 3.23
3.23 podríamos
podríamos escribirla también
también como
(3.23a)
(3.23a)
'"
que simplemente
simplemente establece que la cantidad
cantidad de movimiento
movimiento inicial del punto
punto
material más el impulso
impulso que recibe es igual a su cantidad
cantidad de movimiento
movimiento final.
final.
material
impulso es un vector que, en el caso general, puede
puede variar
La integral del impulso
tanto en módulo
módulo como en dirección durante
durante el intervalo
intervalo de tiempo. En tales
expresar LF y G en forma de componentes
componentes y luego
condiciones, será necesario expresar
componentes integradas.
integradas. Entonces, la ecuación 3.23
3.23 descompuesdescompuescombinar las componentes
componentes escalares se convierte en
ta en sus componentes
.
rf
f::::
S
rf
l2
111
Fuerza, F
F
Fuerza,
F22
F
l.
• *,
•
- - - - - - - - - - --
F11
F
l2
1111
111
122
Tiempo,1 t
Tiempo,
3.10
Figura 3.10
LFx
dt
LFx dt
(mvJx2 )2 -- (mv
(mvX)lX )l
(mv
LFy dt
LFy
(m
(mvvYY)2)2 -- (mv
(mvYY)l ) l
LFz
(mvz)2
(mvz)l
z)l
LFz dt == (mv
z)2 - (mv
completamente independientes.
independientes. Las expreEstas tres ecuaciones escalares son completamente
correspondientes a la ecuación vectorial 3.23a no son sino esa
siones escalares correspondientes
reordenada.
misma ecuación reordenada.
actúan sobre un punto
punto material
material vaEn ocasiones, alguna
alguna de las fuerzas que actúan
algún modo
modo que se determina
determina experimentalmente
experimentalmente u otros
ría con el tiempo de algún
procedimientos aproximados.
aproximados. En estos casos,
casos, debe recurrirse
recurrirse a la integración
integración
procedimientos
partícula
gráfica o numérica.
numérica. Por ejemplo, si una fuerza F que actúa sobre una partícula
una dirección dada
dada varía con el tiempo
tiempo t tal como se muestra
muestra en la figura
en una
3.10,el
impulso
3.10,
el impulso
SI
fl2
2
1,
1,
instantes tI
t, y t22 será el área comF dt de esa fuerza entre los instantes
prendida bajo la curva.
curva.
prendida
impulso es necesario incluir el efecto de todas las fuerzas que
Al calcular el impulso
módulo sea despreciable.
despreciable. El lector debe
se ejercen sobre m salvo aquellas cuyo módulo
perfectamente al corriente de que el único procedimiento
procedimiento fiable para
para
estar ya perfectamente
partícula en cuestión
tener en cuenta los efectos de todas las fuerzas es aislar la partícula
dibujando su diagrama
diagrama para sólido libre.
dibujando
Conservación de la cantidad
cantidad de movimiento.
movimiento.
Si la fuerza resultante
resultante que actúa
Conservación
Si
punto material
material es nula
nula durante
durante un
un intervalo
intervalo de tiempo, vemos que la
sobre un punto
ecuación 3.21
3.21 impone que su cantidad
cantidad de movimiento
movimiento G permanezca
permanezca constanSe dice, en tal caso,
caso, que la cantidad
cantidad de movimiento
movimiento del punto
punto material
material se conte. Se
Puede ocurrir
ocurrir que la cantidad
cantidad de movimiento
movimiento se conserve según
según una
una de
serva. Puede
coordenadas, como la x, pero no siempre
siempre en las direcciones yy o
las direcciones coordenadas,
z. Un examen
diagrama para
para sólido libre de la partícula
partícula revelará si
z.
examen atento del diagrama
http://gratislibrospdf.com/
su cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento total
total es
es nula
nula en
en alguna
alguna dirección.
dirección. Si
Si es
es así,
así, la
la correscorressu
pondiente cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento no
no varía
varía (se
(se conserva)
conserva) en
en esa
esa dirección.
dirección.
pondiente
Consideremos ahora
ahora el
el movimiento
movimiento de
de dos
dos puntos
puntos materiales
materiales aa yy bb que
que ininConsideremos
teractúan durante
durante un
un intervalo
intervalo de
de tiempo.
tiempo. Si,
Si, durante
durante ese
ese intervalo,
intervalo, las
las únicas
únicas
teractúan
no equilibradas
equilibradas que
que se
se ejercen
ejercen sobre
sobre esas
esas partículas
partículas son
son las
las fuerzas
fuerzas rerefuerzas no
fuerzas
cíprocas FF yy -- F,
F, resulta
resulta que
que la
la cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento de
de la
la partícula
partícula aa es
es la
la
cíprocas
opuesta aa la
la cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento de
de la
la partícula
partícula b.
b. Por
Por consiguiente,
consiguiente, según
según
opuesta
la ecuación
ecuación 3.23,
3.23, la
la variación
variación ~Ga
óG a de
de la
la cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento de
de aa es
es la
la vavala
riación ~Gb
óG b de
de bb cambiada
cambiada de
de signo.
signo. Es
Es decir,
decir, tenemos
tenemos que
que ~Ga
óG a =
= -- ~
óG
Gbb;; oo sea,
sea,
riación
(G n + Gbb)) =
= O.Así
O. Así pues,
pues, durante
durante el
el intervalo,
intervalo, la
la cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento total
total
~ó (G,
G = Gaa + Gbb del
del sistema
sistema permanece
permanece constante
constante y podemos
podemos escribir
escribir
G
óG =
=0
~G
O
sea
oo sea
167
167
3.9
3.9 IMPULSO
IMPULSO Y
Y CANTIDAD
CANTIDAD DE
DE
MOVIMIENTO
MOVIMIENTO
(3.24)
(3.24)
Esta
Esta ecuación
ecuación 3.24
3.24 expresa
expresa el
el principio
principio de conservación
conservación de la cantidad
cantidad de movimovi-
miento.
miento.
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.18
3.18
z
Una
puntual de 0,2
kg se mueve
Una masa
masa puntual
0,2 kg
mueve
dentro
plano vertical
y-z (z vertical,
vertical,
dentro del plano
vertical y-z
su propio
propio
yy horizontal)
horizontal) bajo la acción
acción de su
fuerza F que
peso yy de una
una fuerza
que vana
varía con
con el
tiempo.
Su cantidad
tiempo. Su
cantidad de movimiento,
movimiento, en
kg·m/s,
por G == ~~(t22++ 3)j kg·m/s, está
está dada por
~~ (¡3
4)k,
donde
(¡-3 donde t es el tiempo
tiempo en segundos.
gundos. Determinar
Determinar F para tt == 2 s.
~O
~+
~
Arriba
Arriba
tt
O,2(9,81)k N
- ü,2(9,81)k
'-------y
L -_ __ __ _ _
y
El peso, expresado
expresado vectorialmente,
vectorialmente, es - 0,2(9,81)k
0,2(9,81)k N. La ecuación
ecuación
Solución. El
que relaciona las fuerzas con la cantidad
cantidad de movimiento
movimiento queda
queda
[LF =
G]
0,2(9,81)k == ft[
ft[~(t2
~(t3 - 4)k]
F - O,2(9,81)k
~(t2 + 3)j - ~(t3
= 3tj
3tj -- 2t
2t2k
=
Para tt == 2s
0,2(9,81)k + 3(2)j - 2(2
2(222)k
)k
F == O,2(9,81)k
-6,04k
== 6j -6,04k
Entonces
Entonces
+ (6,04)2
(6,04)2 == 8,51
8,51 N
N
F == J622 +
J6
Resp.
Resp.
11 No
se incluyen
No debe
debe olvidarse
olvidarse que
que en
en LF
2:Fse
incluyen todas
todas las
las fuerzas
fuerzas que actúan
actúan sobre
sobre
la
la partícula,
partícula, entre
entre las
las cuales
cuales se
se encuentra
encuentra el
el peso.
peso.
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PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.19
3.19
I
y
Una masa
masa puntual
puntual de
de 0,5
0,5 kg
kg lleva
lleva una
una
Una
velocidad uu == 10
10 mIs
mis dirigida
dirigida según
según elel
velocidad
eje xx en
en elel instante
instante tt ==o.O. Sobre
Sobre esta
esta parpareje
tícula se
seejercen
ejercen las
lasfuerzas
Fl yy FF22 cuyas
cuyas
tícula
fuerzas Fl
intensidades varían
varían con
con el
el tiempo
tiempo según
según
intensidades
se indica
indica en
en lalagráfica
gráfica adjunta.
adjunta. DetermiDetermise
nar la
la velocidad
velocidad final vv de
de la
la partícula
partícula al
al
nar
cabo de
de 33 segundos.
segundos.
cabo
F,N
F,N
..- -..--- x
Fl
U
4~
II
F
F]
F]
4~
22
F22
O
O
O
O
11
22
33
t,1, ss
Solución.
Solución. Al
Al aplicar
aplicar el
el teorema
teorema de
de la
la cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento en
en forma
forma de
de
componentes,
componentes, se
se obtiene
obtiene para
para las
las direcciones xx ee y respectivamente
respectivamente
-[
1)] == 0,5(vx -10)
-[ 4(1)
4(1) + 2(3
2(3 --1)]
-10)
"
I
vVxx
=
m/s
= -6
-6m/s
:\------ ---- Sj
Sj m
mis
:\
is
j
[1(2)
[1(2)++ 2(3 - 2)]
10 m
mis
:: vv == 10
is
II
II
II
1,
.I
v"»
=
y =
8x = 126,9°
1-6im/s
1-6i
m is
__
'I
__'tt == 3
3s
s ',
-,
,,
O)
O)
8m/s
8 mis
Así pues,
pues,
\
\
sS
=
= 0,5(vyy --
\\
\
\,
\
,,
,
1t=2s
= 2 s,",
~
\\
66
-6i+8j
v = -6i+8j
\
\
y,m
y, m
\
ex =
ex
\\
44
\\
22
O
O
l=ls./
t=ls . /
2
4
6
mis
mis
\\
II
II
o
y
J6
2 +2 82
v = J62+8
arctg _8
_8 = 126,9°
126,9°
arctg
66
mis
10 mis
Resp.
Resp.
Si bien
bien no
no se solicita, se ha
ha representado
representado la
la trayectoria
trayectoria de
de la masa
masa puntual
puntual dudurante los
los tres
tres primeros
primeros segundos.
segundos. Se representa
representa la
la velocidad
velocidad para
para tt =
= 3 s junto
junto
rante
con
con sus
sus componentes.
componentes.
x,m
x, m
impulso en
en cada
cada dirección
dirección es
es el
el área
área correspondiente
correspondiente situada
situada bajo
bajo la
la curva
curva
CD ElEl impulso
de la
la fuerza
fuerza en
en función
función del
del tiempo.
tiempo. Obsérvese
Obsérvese que
que FF11tiene
tiene el
el sentido
sentido de
de xx neganegade
tivo,
tivo, por
por lo
lo que
que produce
produce un
un impulso
impulso negativo.
negativo.
o
Muy importante
importante es
es tener
tener en
en cuenta
cuenta que
que deben
deben respetarse
respetarse cuidadadosamente
cuidadadosamente
Muy
los signos
signos algebraicos
algebraicos alal aplicar
aplicar las
las ecuaciones
ecuaciones de
de lala cantidad
cantidad de
de movimiento.
movimiento.
los
Además, debemos
debemos tener
tener presente
presente que
que elel impulso
impulso yy lala cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento
Además,
son magnitudes
magnitudes vectoriales,
vectoriales, alal contrario
contrario que
que elel trabajo
trabajo yy lala energía,
energía, que"son
que· son esesson
calares.
calares.
168
168
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PROBLEMA TIPO 3.20
P
Una vagoneta de mina de 150 kg rueda
rampa abajo a 4 mis cuando en el instante t = O se aplica al cable una fuerza
P, tal como se representa. Esa fuerza aumenta constantemente con el tiempo
hasta valer 600 N cuando t = 4 s, instante a partir del cual conserva ese valor. Calcular: (a) el instante tI en que la
vagoneta invierte su marcha y (b) la velocidad v de la misma para t = 8 s. Se
tratará la vagoneta como si fuera una
masa puntual.
P,N
600
I
I
I
I
I
:"''''t~
I
I
00
Solución.
I
I
4
Se representa la gráfica de la variación
diagrama para sólido libre de la vagoneta.
tI
8
i, s
de P con el tiempo y el
Parte (a).
La vagoneta invierte su marcha cuando su velocidad se anula. Supongamos que ese estado se alcanza para t = 4 + lit segundos. La ecuación de la
cantidad de movimiento aplicada en la dirección x nos dará
U 'LFxdt
= m.ó.vx]
~(4)(2)(600)+ 2(600),ó,t -150(9,81) sen 30°(4 +,ó,t)
464,ó,t =
,ó,t =
1143
2,46 s
=
=
t
Al aplicar la ecuación de la cantidad
Parte (b).
150(0 - [- 4])
4 + 2,46
=
6,46 s
de movimiento
Resp.
al intervalo
completo resulta
U 'LFydt
=
m.ó.vy]
~(4)(2)(600)+ 4(2)(600),ó,t
=
-150(9,81) sen 30°(8)
150v
=
714
v
=
150(v - [-
4])
4,76 mis
Se habría obtenido el mismo resultado estudiando
Resp.
el intervalo comprendido
en-
tre tI y 8 s.
CD
El diagrama para sólido libre nos impide caer en el error de calcular el impulso producido por una fuerza P en lugar de 2P u olvidar el impulso producido por
el peso. El primer término de la ecuación es el área triangular de la relación P- t
durante los 4 primeros segundos, doblada para la fuerza 2P. Los signos se han escrito en concordancia con el sentido positivo asignado a la coordenada de posición
169
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PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.21
3.21
Labala
baladede50
50g,g,que
quesesedesplaza
desplazaaa600
600mis,
mls,
La
choca
chocacentralmente
centralmente con
conelelbloque
bloquedede44kg
kg
YY seseincrusta
incrusta en
en él.él.SiSielelbloque
bloque sesedeslideslizaba,
zaba, sobre
sobreun
un plano
plano horizontal
horizontal liso,
liso, con
con
una
una celeridad
celeridad de
de12
12 mis,
mls, en
en laladirección
dirección
queseseindica,
indica, justo
justo antes
antes del
delimpacto,
impacto, dedeque
terminar lala velocidad
velocidad vv del
del bloque
bloque yy lala
terminar
bala
bala inmediatamente
inmediatamente después
después del
del impacimpacto.
to.
16,83m/s
L~ 16,83
mis
/8=52,4°
/ 8=52,40
///\, __ L_-x
/
...•...
\
/
\
("""
I
\/
. ,,'\
II
II
II
0
0
0
0
Escribir que
que la
la variación
variación de
de la
la canticantiCD Escribir
dad de
de movimiento
movimiento es
es igual
igual aa cero,
cero,
dad
L.G =
= O,
O,es
lo mismo
mismo que
que afirmar
afirmar que
que
Le
es lo
las
cantidades
de
movimiento
inicial
las cantidades de movimiento inicial
final son
son iguales.
iguales .
yy final
•I
~~ +
/s
+600m
600m/s
0,OSO(600j)
+ 4(12)(cos
30 i ++ sen
0,050(600j)+
4(12)(cos30
sen 30
30 j)
lo •
1,
#(J5io0_--'
, ---,
12
m is
12m/s
Solución.
Solución. Como
Como la
la fuerza
fuerza del
del impacto
impacto es
es interna
interna al
al sistema
sistema compuesto
compuesto por
por el
el
bloque
bloque yy la
labala
bala yy no
no hay
hay fuerzas
fuerzas exteriores
exteriores que
que actúen
actúen sobre
sobre el
elsistema
sistema en
en el
elplaplano
no del
del movimiento,
movimiento, se
se deduce
deduce que
que la
la cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento del
del sistema
sistema se
se
conserva
conserva en
en las
las direcciones
direcciones xx ee y.
y. Por
Por lo
lo tanto,
tanto,
///",
__ L_-x
i>
",-'
I 1. . . .
'\v~i
. . -c.i
ylyl
::
(4
(4 ++ O,OSO)v
0,050)v
+ 13,33j
vv == 10,26i
1O,26i+
13,33j mi
mIss
Resp.
Resp.
La celeridad final
final yy su
su dirección son,
son, pues,
La
[v
= Jv; +v~]
[v=Jv~+v~]
v == J(10,26)2
J(10,26)2 + (13,33)2
(13,33)2
t
g
ee ==
13,33
13,33
10,26
10,26
1,30
1,30
16,83
mi s
16,83mIs
ee ==
S2,4°
52,4°
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
PROBLEMAS
PROBLEMAS
'"
Problemas
Problemas introductorios
introductorios
3.177
3.177 El
El automóvil
automóvil de
de 1500kg
lS00 kg sube
sube aa 30
30 km/h
km/h por
por la
la pendienpendiente
del
10
por
ciento
cuando
el
conductor
acelera
durante
te del 10 por ciento cuando el conductor acelera durante 88 ss
hasta
hasta los
los 60
60 km/h.
km/h. Calcular
Calcular el
el valor
valor medio
medio temporal
temporal FF de
de la
la
fuerza
fuerza total
total tangente
tangente aa la
la calzada
calzada que
que soportan
soportan los
los neumáticos
neumáticos
durante
durantelos
los88s.s. Tratar
Tratarel
elvehículo
vehículo como
comouna
una partícula
partículayy despredespreciar
ciarla
la resistencia
resistencia del
del aire.
aire.
Resp.
Resp.FF== 3,03
3,03 kN
kN
v
~ 1
10
10
Figura
Figuraproblema
problema
3.177
3.177
3.178 La
La velocidad
velocidad de
de una
una partícula
partícula de
de 1,2
1,2 kg
kg está
está dada
dada por
por
3.178
1,St3i3i ++ (2,4(2,4 - 3t
3t2)j2)j ++ 5k,
Sk, donde
donde vv está
está en
en metros
metros por
por segunsegunvv ==1,5t
do yy el
el tiempo
tiempo tt está
está en
en segundos.
segundos. Hallar
Hallar la
la cantidad
cantidad de
de movimovido
miento G
G de
de la
la partícula,
partícula, su
su módulo
módulo GG yy la
la fuerza
fuerza total
total que
que
miento
actúa sobre
sobre la
la partícula
partícula cuando
cuando tt == 22 s.s.
actúa
3.179 Los
Los dos
dos motores
motores de
de maniobra
maniobraorbital
orbitalde
de la
lalanzadera
lanzadera eses3.179
unempuje
empuje de
d e25
2S kN
kN cada
cadauno.
uno.Si
Siel
elvehículo
vehículo
pacial desarrollan
desarrollanun
pacial
suórbita
órbitacon
conuna
unaceleridad
celeridadde
de26
26000
km/h,¿cuánto
¿cuántotartarrecorresu
recorre
000km/h,
daría en
enalcanzar
alcanzaruna
una celeridad
celeridad de
de 26
26200
200km/h
km/h tras
trashaber
haberenendaría
lanzadera
tiene
una
masa
de
90
Mg.
cendido
ambos
motores?
La
cendido ambos motores? La lanzadera tiene una masa de 90Mg.
Resp. t t== 11min
min 36
36ss
Resp.
3.180 Bajola
Bajo laacción
accióndel
delempuje
empujeTTde
desu
sumotor
motoryyde
delalaresistenresisten3.180
del aire,
aire, igual
igualyy opuesta
opuestaaa T,
T, un
unavión
aviónde
depropulsión
propulsiónaa
ciaRRdel
cia
demasa
masa10
10Mg
Mgvuela
vuelahorizontalmente
horizontalmentecon
conuna
unacelericelerichorrode
chorro
dad
constante
de
1000
km/h.
El
piloto
enciende
dos
cohetes
dad constante de 1000 km/h. El piloto enciende dos cohetes
cadade
delos
loscuales
cualesdesarrolla
desarrollaun
unempuje
empujeTo
Tode
de88kN
kN
auxiliares,cada
auxiliares,
170
170
http://gratislibrospdf.com/
durante 99 s.s. Si
Si el
el avión
avión adquiere
adquiere una
una velocidad
velocidad horizontal
horizontal de
de
durante
1050 km/h
km l h al
al cabo
cabo de
de los
los nueve
nueve segundos,
segundos, calcular
calcular el
el increincre1050
medio temporal
temporal !lR
till. de
de la
la resistencia
resistencia del
del aire.
aire. La
La masa
masa
mento medio
mento
del combustible
combustible consumido
consumido es
es despreciable
despreciable en
en comparación
comparación
del
con la
la del
del avión.
avión.
con
E E - - -- -- - - 20
20 m
m ------- - - - -1...•:;-------¡"'I
--1
==-
f~X:KY
f:x=n
-
~
4km/h
4km / h
Figura
Figura problema
problema 3.183
3.183
R
Figura problema
problema 3.180
3.180
Figura
Un proyectil
proyectil de
de 75 g que
que va
va a 600 mi
m i s choca yy se incrusincrus3.181 Un
3.181
en el bloque
bloque de
de 50 kg.
kg, inicialmente
inicialmente inmóvil.
inmóvil. Calcular
Calcular la
la enerenerta en
pierde en
en el impacto.
impacto. Expresar
Expresar la respuesta
respuesta como
como
gía que se pierde
Ii1EI y como porcentaje
porcentaje n de la energía
energía original
original
absoluto I!lEI
valor absoluto
E del sistema.
Ii1EI = 13480
13480 J, n = 99,9%
Resp. I!lEI
3.184
3.184 Un
Un vagón
vagón de
de carga
carga de
de masa
masa m
m yy celeridad
celeridad inicial
inicial vv choca
choca
yy engancha
engancha con
con otros
otros dos
dos vagones
vagones iguales.
iguales. Calcular
Calcular la
la celericeleridad
dad final
final v'
v' del
del grupo
grupo de
de tres
tres vagones
vagones yy la
la fracción
fracción nn de
de energía
energía
perdida
perdida si
si (a)
(a) la
la distancia
distancia de
de separación
separación inicial
inicial es
es dd =
= O(o
O (o sea,
sea,
los
los dos
dos vagones
vagones inmóviles
inmóviles están
están inicialmente
inicialmente enganchados
enganchados sin
sin
huelgo
huelgo entre
entre ellos)
ellos) yy (b)
(b) la
la distancia
distancia dd OYlos
O Y los vagones
vagones están
están
desenganchados
desenganchados yy algo
algo separados.
separados. Despreciar
Despreciar la
la resistencia
resistencia aa
la
rodadura.
la rodadura.
"*'*
'ij:O,
vv
[
t;P.I()() I ! !! () I
75 g 600m/s
600 m i s
75g
-- --~ ----+----~---
(l()
Figura
Figura problema
problema 3.184
3.184
problema 3.181
Figura problema
mueve a 3
3.182 El vagón
vagón de carga A de masa total 80
80 Mg se mueve
km
/ h sobre una vía horizontal
km/h
horizontal de una playa
playa de maniobras.
maniobras. El
vagón B de masa total 60
I h alcanza
60 Mg y que se mueve
mueve a 5 km
km/h
al
al vagón A y se engancha
engancha al mismo. Hallar
Hallar (a) la velocidad
velocidad v del
conjunto de ambos vagones
vagones cuando
cuando se muevan
muevan a la vez tras el
enganche y (b) la pérdida
pérdida de energía
energía Ii1EI
j!lEj originada
originada por el impacto.
pacto.
3.185 El alunizador
alunizador de 200 kg desciende
desciende sobre la superficie
superficie
lunar
lunar a 6 m
miI s cuando
cuando se enciende
enciende el retromotor.
retromotor. Si éste genera
un
un empuje
empuje T durante
durante 4 s que varía
varía con el tiempo
tiempo tal como se
muestra
muestra y entonces
entonces se corta, calcular
calcular la velocidad
velocidad del vehículo
cuando
suponiendo que aún
cuando t =
= 5 s suponiendo
aún no haya
haya tocado suelo. En la
superficie de la Luna
gravedad vale 1,62
1,62 mi
superficie
Luna la gravedad
mi S2.
Resp. v == 2,10
2,10 mis
mi s
T,N
T,N
3km/h
3km/h
5km
/h
5km/h
~
~
~
~
800
800
, i :,,:,¡
i
¡
=1 ¡
...•...
B
B
AA
OL---~--~-
O
Figura
Figura problema
problema 3.182
3.182
3.183
3.183 Un
Un muchacho
muchacho de
de masa
masa 50
50 kg
kg corre
corre yy salta
salta aa su
su trineo
trineo de
de
10
kg con
10kg
con una
una velocidad
velocidad horizontal
horizontal de
de 44 mi
mi s.
s.Si
Siel
el muchacho
muchacho yy
el
el trineo
trineo se
se deslizan
deslizan 20
20m
m sobre
sobre la
la nieve
nieve plana
plana antes
antes de
de detenerdetenerse,
se,calcular
calcular el
el coeficiente
coeficiente de
de rozamiento
rozamiento Jie
f.1c entre
entre la
la nieve
nieve yy los
los
patines
patines del
del trineo.
trineo.
Resp.
Resp. Jie
f.1c == 0,028
0,028
22
t,i, ss
44
Figura problema
problema 3.185
3.185
Figura
3.186 El
El bloque
bloque de
de 99 kg
kg se
se mueve
mueve hacia
hacia la
la derecha
derecha sobre
sobre una
una
3.186
superficie horizontal
horizontal con
con una
una velocidad
velocidad de
de 0,6
0,6m
mii ss cuando,
cuando, en
en
superficie
el instante
instante tt ==O
O,se
le aplica
aplica una
una fuerza
fuerza P.
P. Calcular
Calcular su
su velocidad
velocidad
el
, se le
171
171
http://gratislibrospdf.com/
i-
cuandot t==0,4
0,4s.s.ElElcoeficiente
coeficientede
derozamiento
rozamiento cinético
cinéticoentre
entrebloblocuando
queyysuperficie
superficieesesPe
J.1c==0,3.
0,3.
que
P,N
P,N
Vo
721-----,
72
1-----...,
0,6 m i s
PP
------,
36 ---------f36
-- -- --If
-----,
LI
3.189
está so3.189 El
Elcarro
carro de
de 44kg,
kg.en
en reposo
reposo en
en elelinstante
instante t t ==O,O,está
so!le ==0,3
0,3
!le
I
I
I
I
O '-
=
----..
canismo
canismode
deexpulsión,
expulsión,éste
éstepermanece
permaneceen
encontacto
contactocon
conelelsatélite
satélite
durante
durante 44segundos
segundos yylelecomunica
comunicauna
unavelocidad
velocidad de
de0,3
0,3mI
mi ssen
en
laladirección
dirección zzrelativa
relativa aalalalanzadera.
lanzadera. La
Lamasa
masa de
de ésta
ésta es
esde
de
90
adquiere elelvehículo
90 Mg.
Mg.Hallar
Hallar qué
quévelocidad
velocidad v/v/adquiere
vehículoen
enlaladirecdirección
ciónz2negativa
negativa como
comoconsecuencia
consecuencia de
delalaexpulsión.
expulsión. Hallar
Hallar asiasimismo
mismo lalamedia
media temporal
temporal FF de
delalafuerza
fuerza de
deexpulsión.
expulsión.
metido
metido aa lala acción
acción de
de una
una fuerza
fuerza horizontal
horizontal que
que varía
varía con
con elel
tiempo
tiempo tal
tal como
como se
semuestra.
muestra. Despreciar
Despreciar elelrozamiento
rozamiento yyhallar
hallar
lalavelocidad
velocidad del
del carro
carro para
para tt == 11ssYYtt == 33s.s.
Resp.
Resp. VVl1 == 0,417
0,417 mI
mi s,s, v3
V3=
= 8,96
8,96 mI
mi ss
-L. __
OL------'------'-O
0,2
0,4
0,2
O
0,4
Figuraproblema
3.186
Figura
problema 3.186
•• I
r ,
z
Problemas representativos
representativos
Problemas
3.187 El
El superpetrolero
superpetrolero tiene
tiene un
un desplazamiento
desplazamiento total
total (masa)
(masa)
3.187
de 150
150 000
000 toneladas (métricas)
(métricas) yy está
está quieto
quieto en
en el
el agua
agua cuando
cuando
de
el remolcador
remolcador comienza
comienza aa remolcarlo.
remolcarlo. Si
Si en
en el
el cable
cable de
de arrastre
arrastre
el
se desarrolla
desarrolla una tensión constante de
de 200 kN,
kN, calcular
calcular el
el tiemse
la velocidad de un nudo
po necesario para llevar el barco hasta la
reposo. A
A esta reducida
reducida velocidad, la resistencia del
a partir del reposo.
casco al
al movimiento
movimiento a través del agua es muy pequeña
pequeña y puecasco
de despreciarse
despreciarse (1
(1 nudo
nudo == 1,852
1,852 km
km/h).
de
/ h).
Resp.
6,84 min
min
Resp. tt == 6,84
,I
20°
~!
30
- -- - -------E -------------Recta
Recta
u;- 20
- -- -- -
ro
N
~
Parábola
Parábola
;:l
\.t..
FF
O~~----~------~---
Ol.....¿"-----'-----~ __
O
22
44
O
Tiempo
Tiempo "t, ss
Figura
problema 3.189
Figuraproblema
3.189
3.190 El carro de masa m
nI está sometido
3.190
sometido a la fuerza FF decreexponencialmente, que representa
representa una
una carga por
por impacciente exponencialmente,
por explosión.
explosión. Si
Si el carro
carro está inmóvil
inmóvil en el instante
instante tt =
= O,
O,
to o por
hallar su velocidad
velocidad v y su desplazamiento
desplazamiento s como funciones
funciones del
hallar
tiempo. ¿Cuánto
¿Cuánto vale v cuando
cuando tt crece mucho?
mucho?
tiempo.
&:-------------
Figuraproblema
Figura problema 3.187
3.187
3.188
3.188 La lanzadera
lanzadera espacial
espacial lanza
lanza un
un satélite
satélite de
de 800
800 kg
kg expulexpulsándolo
sándolo desde
desde el
el compartimiento
compartimiento de
de carga.
carga. Al
Al activarse
activarse el
el meme-
zz
II
II
tt
vv
iiII
10
~1.m.1
Figuraproblema
Figura problema 3.188
3.188
O
L-.
=~ __
O
Figura problema 3.190
3.190
Figuraproblema
yy
./
./
./
./
s,
Ti empo tt
Tiempo
II
x/
s,
3.191 La
Lavelocidad
velocidaddel
delproyectil
proyectilde
de140
140gges
esde
de600
600m
mI1sscuancuan3.191
doengancha
enganchalas
lastres
tresarandelas
arandelasde
de100
100ggcada
cadauna
unayyse
selas
laslleva
lleva
do
consigo.Hallar
Hallarlalavelocidad
velocidadvvcomún
comúnde
deproyectil
proyectilyyarandelas.
arandelas.
consigo.
Hallartambién
tambiénlalapérdida
pérdidade
deenergía
energía I~EI
I""EI durante
durantelalainteracinteracHallar
ción.
ción.
Resp.vv==190,9
190,9mi
m1
I""EI ==17,18(10)3
17,18(10)3J J
Resp.
s,s, I~EI
172
172
http://gratislibrospdf.com/
--
600mis
mis
600
~
--
II
II
--
--
Figuraproblema
problema 3.191
3.191
Figura
3.192 El
Elautomóvil
automóvil Bestá
B estáparado
paradocuando
cuandolo
logolpea
golpeaelelautomóautomó3.192
vilAA que
que se
se mueve
mueve con
conuna
una celeridad
celeridadv.
v. Tras
Traslalacolisión
colisiónambos
ambos
vil
vehículos quedan
quedan trabados
trabadosyy se
semueven
m"ueven con
conla
laceleridad
celeridadvv'.'.La
La
vehículos
masa del
del automóvil
automóvil AA es
es mmyy la
la del
del automóvil
automóvil BBes
es pm,
pm, siendo
siendo
masa
la relación
relación entre
entre las
las masas
masas de
de los
los automóviles
automóviles BByyA.
A. Si
Sila
la cocoppla
lisión dura
dura St,
M, expresar
expresar la
la velocidad
velocid ad común
comúnu'
v 'tras
tras la
la colisión
colisión yy
lisión
la aceleración
aceleración media
media de
de cada
cada vehículo
vehículo durante
durante la
la colisión
colisión en
en
la
función de
de u,
v, ppee M.
M. Calcular
Calcular el
el valor
valor de
d e la
la expresión
expresión deducida
deducida
función
para pp == 0,5.
0,5.
para
3.194
Unsistema
sistemade
deevacuación
evacuaciónde
deemergencia
emergenciade
d elalatorre
torrede
de
3.194 Un
lanzamiento
deastronautas
astronautasconsiste
consisteen
enun
uncable
cablede
delanzamienlanzamienlanzamientode
totode
degran
granlongitud
longitudpor
porelelque
quelalacesta
cestade
desalvamento
salvamentodesciende
desciende
hasta
una
distancia
de
seguridad.
'Las
cesta,
hasta una distancia de seguridad . Las cesta, con
consus
susdos
dosocuocupantes,
pantes,tiene
tieneuna
unamasa
masade
de320kg
320 kgYse
Y seacerca
acercaaalalamalla
mallahorizonhorizontalmente
talmentecon
conuna
unaceleridad
celeridadde
de28
28mI
mIs.s.La
Lamalla
mallaestá
estásujeta
sujetaalal
cable
cablepor
poruna
unaatadura
ataduramovible
movibleyyestá
estáunida
unidaaa20
20mm de
decadena
cadena
pesada
pesada cuya
cuya masa
masa es
es de
de 18
18kg/m.
kg / m .Entre
Entre lala cadena
cadenayy elelsuelo
suelo
hay
hayun
uncoeficiente
coeficientede
derozamiento
rozamientocinético
cinéticode
de0,70.Hallar
0,70. Hallarlalavevelocidad
locidadinicial
inicialvvde
delalacadena
cadenacuando
cuandolalacesta
cestase
seacopla
acoplaaalalamamalla
lla yy elel tiempo
tiempo tt que
que tarda
tarda en
en detenerse
detenerse lala cesta
cesta después
después del
d el
acoplo.
Se
supondrá
que
todos
los
eslabones
de
la
acoplo. Se supondrá que todos los eslabones de la cadena
cadena se
se
mantienen
mantienenen
en contacto
contactocon
conel
elsuelo.
suelo.
pm
pm
m
m
v
~
~~
~
~
B
B
A
A
20 ll1
Figura problema
problema 3.192
3.192
Figura
Figura
Figura problema
problema 3.194
3.194
3.193
azo ddee un martinete
martinete tiene una masa
m asa de 450kg
450 kg Ycae,
Y cae,
3.193 El m
mazo
sin
velocidad
inicial,
desd
e
una
altura
de
1
4
sobre
la
cabeza
ddee
sin
inicial, desde
un pilote de 240
240 kg que está hincado 0,9
0,9 m en el suelo. Se
Se observa
serva que después del choque el
el mazo se mueve con el pilote
sin
sin rebote apreciable. Hallar la velocidad común de mazo y pilote
espués del impacto.
lote inmediatamente
inmediatamente ddespués
impacto. ¿Puede justificarse
la
la aplicación
aplicación del
del principio de
de la
la cantidad
cantidad de
de movimiento aun
aun
cuando
cuando los
los pesos
pesos actúen
actúen durante
durante el
el impacto?
impacto?
Resp.
Resp. vv == 3,42
3,42mI
mI ss
lA
nva
las.
ac-
3.195 El
El camión
camión remolque
remolque con
con el
el automóvil
automóvil de
de 1200
1200 kg
que
3.195
kg que
arrastra se
se aacelera
uniformemente ddesde
30 km/h
km/h hasta
hasta
arrastra
celera uniformemente
esde 30
70 km
km/h
lo largo
largo de
de un
un intervalo
intervalo de
de 15
15s.
La resistencia
resistencia media
media
70
1h aa lo
s. La
la rodadura
rodadura del
del automóvil
automóvil es
es de
de 500
500 N
N durante
durante todo
todo ese
ese ininaa la
tervalo.
Suponiendo
que
el
ángulo
de
60°
represente
la
positervalo. Suponiendo que el ángulo d e 60° represente la posición media del cable
cable durante
durante el
el intervalo, hallar la
la tensión
ción
en el
el cable.
cable.
media en
Resp. TT == 2780
2780N
N
Resp.
m
I
o"m]'
Figura
Figuraproblema
problema 3.193
3.193
Figura problema
problema 3.195
3.195
Figura
3.196 Un
Un camión
camión de
de88Mg
Mgdescansa
descansa en
enlalacubierta
cubierta dde
unabarbar3.196
e una
cazade
de 240
240Mg
Mgde
de desplazamiento
desplazamiento que
que reposa
reposa en
en agua
agua encalencalcaza
camiónarranca
arranca yyse
seencamina
encaminahacia
hacialalaproa
proacon
conuna
una
mmada.
ad a. SiSielelcamión
velocidad vVrel
km/h
relativa aalalaembarcación,
embarcación, calcular
calcular lala
velocidad
reJ ==66km
l h relativa
173
173
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velocidad x de ésta. La resistencia del agua al movimiento de
la barcaza es despreciable a baja velocidad.
Figura problema
3.200 Unas medidas realizadas con gran precisión durante el
choque del cilindro metálico de 200 g con la placa cargada por
resorte revelan que entre la fuerza de contacto F y el instante t
del choque existe una relación semielíptica como la representada. Hallar la velocidad de rebote v del cilindro si éste choca
con la placa a 6 mi s.
6 mis
3.196
-
3.197 El movimiento vertical del cilindro de 3 kg está gobernado por las fuerzas P aplicadas a los rodillos de los extremos
del sistema articulado de la figura. Si la velocidad ascendente
del cilindro aumenta de 2 a 4 mi s en dos segundos, calcular la
fuerza media Rmed que actúa bajo cada rodillo durante los dos
segundos. Estudiar el sistema completo como un todo y despreciar la pequeña masa del sistema articulado.
Resp. Rmed = 16,22N
t •
v
30N ---0"'0'0
6
Q
I
\
I
\
P
O
I
\
p
O
I
I
°
I
0,08
t, s
3.200
Figura problema
3.201 El movimiento de la caja de 9 kg en las guías lisas verticales lo controlan las tensiones T1 y T2 en los cables. Si la barquilla lleva una velocidad descendente de 1,2 mi s en el
instante t = O,hallar su velocidad v cuando t = 10 s.
Resp. v = 0,700mi s hacia arriba
1,
'I
Figura problema
3.197
250
I
:<:: 200
",' 150
3.198 Hallar el tiempo que necesita una locomotora dieseleléctrica, que produce una tracción de enganche constante de
270kN, para aumentar la celeridad de un tren de carga de 1600
Mg desde 32 km I h hasta 48 km I h subiendo por una pendiente
del 1 por ciento. El tren presenta una resistencia de 50 N por
megagramo.
100
1
50
-'
t-
~
00
1
'It2
-I-,--r-1
1
1
1
1
1
1
TI
~
~
¡.r.,
I
1
-I~
1
--1_
1
1
1
f-J
:
I
4
6
8
10
i, s
3.199 Una nave espacial que viaja por el espacio lejano está
programada para aumentar de celeridad en una cuantía prefijada /'<,.v encendiendo el motor durante un tiempo especificado
t. Al cabo de un veinticinco por ciento del recorrido propulsado, el motor falla y a partir de ese instante genera sólo la mitad
de su empuje normal. ¿Qué porcentaje n de /'<,.v se consigue si
el motor cohete se mantiene encendido durante el tiempo t planeado? ¿Cuánto tiempo adicional t ' tendría que seguir funcionando el cohete para que compensara la avería?
Resp. n
=
62,5%, t'
= ~t
Figura problema
3.201
3.202 Las etapas tercera y cuarta de un cohete vuelan por
inercia a 15000 km/h cuando se enciende el motor de la cuarta
etapa originando la separación de ambas bajo la acción de un
empuje T y su reacción. Si la velocidad v de la cuarta etapa es
10m I s mayor que la velocidad V1 de la tercera etapa al final del
intervalo de 0,5 s que dura la separación, calcular el empuje
medio T durante ese período. Las masas de la tercera y cuarta
174
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etapas en el instante
instante de la separación
separación son 40 y 60 kg, respectivamente. Supóngase
Supóngase que todo el chorro del motor de la cuarta
cuarta
etapa golpea contra la tercera etapa
una fuerza igual y conetapa con una
traria a T.
T.
3.205 Un cuerpo
kg, que se mueve
mueve sobre una
una superficie
cuerpo de 4 kg.
horizontal
horizontal lisa con una
una velocidad
velocidad de 10 mi
m i s en la dirección x,
x,
está sometido
tiempo tal como se
sometido a la fuerza F
F;x que varía con el tiempo
muestra.
datos experimentales
experimentales mediante
muestra. Aproximar
Aproximar los datos
mediante la líhallar la velocidad
velocidad del cuerpo (a)
nea de trazos que se indica y hallar
en t == 0,6 s y (b)
(b) en t == 0,9 s.
Resp. (a) v = 2 mis,
m i s, (b) v =-2,5
= -2,5 mis
mis
44'a etapa
etapa
3·
3a etapa
etapa
.1~F----g;¿~~~¡
---
,
~--;>---
---v
V1
teoro de 10 kg que se mueve
mueve a una
una velocidad
velocidad V rnrn de módulo
módulo
queda incrustado
incrustado en
5000 km/h
km / h en la dirección indicada
indicada y que queda
la misma. Hallar
Hallar la velocidad
velocidad final v del centro de masa G de la
nave y el ángulo
ángulo f3 entre
entre v y la velocidad
velocidad inicial VV ss de la nave.
Figura
3.202
Figura problema
problema
3.203
km / h
3.203 El
El automóvil
automóvil B
B (1500 kg) viaja hacia el oeste a 48 km/h
Ychoca
automóvil A (1600 kg) que viaja hacia el norte a
Y
choca con el automóvil
240
32
km/h. Si
32km/h.
Si los vehículos se empotran
empotran uno en otro y se despladespla-
después del choque, calcular el módulo
zan juntos después
módulo v de su veinmediatamente después
después del accidente y el
locidad común inmediatamente
ángulo e
e que forma el vector
vectar velocidad
velocidad con la dirección norte.
km/h, e
e = 54,6°
Resp. v = 28,5 km/h,
O~~~f---------*-----~-----~s
o~~~~--------*-----~-----t,s
-120
-120
N
N
I
I
I
W - - - - -:-:- - I
t~A
t~A
32km!hh
32km/
Figura problema
problema
Figura
3.205
48km/h
48km/ h
-+-~
-tB1J)Dj
-[BIJ)D¡
abandona en el re3.206 El tapón
tapón cilíndrico A de masa mA
m A se abandona
poso en B y se desliza por la guía circular lisa, en cuyo pie choexpresión
ca con el bloque
bloque e y se encaja en el mismo. Escribir la expresión
distancia s que recorren
tapón antes de detenerde la distancia
recorren bloque
bloque y tapón
se. El coeficiente de rozamiento
rozamiento cinético entre el bloque y la superficie horizontal
horizontal es /-Le'
f.le-
B
B
Figura problema
problema
Figura
3.203
B
3.204 Una nave espacial de 1000 kg viaja par
3.204
por el espacio lejano
con una celeridad V ss == 2000 mi s cuando
cuando choca con ella un
un mecon
~
._
I
r
._
.
_
._
.
_
.
-
z
J1c
Ilc
me
me
Figura problema
problema
Figura
3.206
x
Figura problema
problema
Figura
3.204
linealmente con el tiempo tal
3.207 La fuerza P, que varía linealmente
como se representa,
representa, se aplica al bloque
bloque de 10 kg inicialmente en
reposo. Si
Si los coeficientes de rozamiento
rozamiento estático y dinámico
valen
valen 0,6 y 0,4, respectivamente,
respectivamente, hallar
hallar la velocidad
velocidad del bloque
para
para t == 4 s.
Resp. v == 6,61 mi
mis
175
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P,N
P,N
Fuerza
Fuerza FF
100 ---------100
---- --- -
b
O~--~~L---~lOkg
10
kg
\ 45N
---'\~....i
'-J
---P
--- P
u, == 0,6,
0,6,Ile
u¿== 0,4
0,4
Ile
Figura problema
problema 3.207
3.207
Figura
3.211
3.211 Un
Un cuerpo
cuerpo de
de 10
10 kg
kg se
se mueve
mueve en
en línea
línea recta
recta horizontal
horizontal
3.208 El
El carro
carro de
de 30
30 kg
kg se
se mueve
mueve por
por el
el raíl
raíl horizontal
horizontal con
con roro3.208
zamiento despreciable
despreciable bajo
bajo la
la acción
acción de
de la
la fuerza
fuerza senoidal
senoidal FF ==
zamiento
40 sen
sen n:t
nt N
N medida
medida positivamente
positivamente hacia
hacia la
la izqu
izquierda
tal como
como
40
ierda tal
se indica.
indica. Si
Si en
en tt == O
Oel
carro tiene
tiene una velocidad
velocidad vv de
de 1,5
1,5 mi
mi ss
se
el carro
hacia la
la izquierda, hallar
hallar su
su velocidad
velocidad vv cuando
cuando tt == 11s.s. Por
Por simsimhacia
observación, ¿cuál
¿cuál será
será la
la velocidad del
del carro
carro cuando
cuando tt == 22 s7
s?
ple observación,
.. ' ,
Figura
Figura problema
problema 3.210
3.210
~ _ _ _ _-..L......_
Oo 0<.-_
' - -_
t,t,ss
O
44
O
con
con una
una velocidad
velocidad de
de 33 mi
mi ss cuando
cuando se
se le
le aplica
aplica una
una fuerza
fuerza hohorizontal
rizontal PP perpendicular
perpendicular aa la
la dirección
dirección inicial
inicial del
del movimiento.
movimiento.
Si
SiPP varía
varía según
según se
se muestra
muestra en
en la
la gráfica,
gráfica, permaneciendo
permaneciendo consconstante
tante su
su dirección
dirección yy es
es la
la única
única fuerza
fuerza que
que actúa
actúa sobre
sobre el
el cuerpo
cuerpo
en
en el
el plano
plano del
del movimiento, hallar la
la velocidad del
del cuerpo
cuerpo para
tt == 22 ss yy el
el ángulo
ángulo e que
que forma
forma con
con la
la dirección de
de P.
P.
R
esp. v == 3,91
,2°
Resp.
3,91 m
miis,s, e=
e = 50
50,2°
P,N
P,N
++F,N
F,N
20
1,5 m
mis
1,5
/s
---- - -------+xx
--- -- +
9'M~ -401--------t= O
1,
•I
II
II
II
II
:¡,--------f,',
00
- 401-- ----
1
I
--r--.---,
I
- - r -- ¡----¡
2 t,t, s
---
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
1
1
t, s
1,5
1,5
2
2
OL-----~~--~_
o
Figura problema
problema 3.208
3.208
problema 3.211
3.211
Figura problema
3.209
3.209 El remolcador
remolcador de 500 toneladas
toneladas arrastra
arrastra la gabarra
gabarra carbonera
bonera de 900
900 toneladas
toneladas a la velocidad
velocidad constante
constante de 6 nudos.
nudos.
Durante
Durante un
un corto período
período de tiempo
tiempo el torno
torno de popa
popa recoge cable de arrastre
arrastre a razón
razón de 0,5 mi
mi s. Calcular
Calcular la celeridad
celeridad reducireducida v del remolcador
remolcador durante
durante ese intervalo.
intervalo. Se supondrá
supondrá que el
cable está horizontal.
horizontal. (Recuérdese, 1 nudo
nudo =
= 1,852
1,852 km/h.)
km / h.)
3.212 Un cuerpo
cuerpo de 0,5 kg oscila a lo largo
largo del eje horizontal
horizontal
3.212
única acción de
de una
una fuerza
fuerza alternativa
alternativa en
en la dirección
dirección
xx bajo la única
x, cuya
cuya amplitud
amplitud decrece
decrece con
con el tiempo
tiempo tt tal como
como se muestra
muestra y
está dada
dada por
por FFxx =
= 4e
4e --1t cos 27ft,
2m, donde
donde FFxx está
está en
en newtons
newtons yy ten
ten
está
segundos. Si en
en el
el instante
instante tt =
= Oel
O el cuerpo
cuerpo lleva
lleva una
una velocidad
velocidad
segundos.
mi s en
en la
la dirección
dirección xx negativa,
negativa, hallar
hallar su
su velocidad
velocidad vven
de 1,2 mi
en
el
el instante
instante tt =
=2
2 s.
s.
Figura
Figura problema
problema 3.209
3.209
4
3.210
3.210 El
El carro
carro de
de 10
10 kg
kg se
se halla
halla inmóvil
inmóvil en
en el
el instante
instante tt == O
O
cuando
al FF== bb++45
cuando es
es sometido
sometido aala
la fuerza
fuerza senoid
senoidal
45 sen
sen 6t,
6t, donde
donde
FFyy bbestán
están en
en newtons
newtons yy el
el tiempo
tiempo tt está
está en
en segundos.
segundos. (a)
(a) Si
Si bb==
22
22 N,,hallar
hallar su
su velocidad
velocidad vv cuando
cuando tt == 1,5
1,5 s.s. (b)
(b) Hallar
Hallar el
el valor
valor
de
de bbpara
para el
el que
que la
la velocidad
velocidad sería
sería nula
nula tras
tras finalizar
finalizar el
el primer
primer
ciclo
ciclo de
de aplicación
aplicación de
de la
la fuerza.
fuerza. Despreciar
Despreciar el
el rozamiento
rozamiento
176
176
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0~4---4-~~--~~~-O
-J--
Figuraproblema
problema 3.212
3.212
Figura
i,
s
3.213 ElEldisco
discode
dehockey
hockeysobre
sobrehielo
hielode
demasa
masa0,20kg
0,20 kglleva
llevauna
una
3.213
velocidad
de
12
m
I
s
antes
de
recibir
un
golpe
de
"stick".
Tras
velocidad de 12 mi s antes de recibir un golpe de "stick". Tras
impacto,eleldisco
discosesedesplaza
desplazaen
enlaladirección
direcciónindicada
indicadaaalalaveveelelimpacto,
de
18
mi
s.
Si
el
"stick"
permanece
en
contacto
con
locidad
locidad de 18 mi s. Si el "stick" permanece en contacto con elel
discodurante
durante0,04
0,04s,s,calcular
calcularelelmódulo
módulode
dela'
la'fuerza
mediaFF
disco
fuerza media
queejerce
ejercesobre
sobreeleldisco
discodurante
duranteelelcontacto
contactoyyhallar
hallarelelángulo
ángulo
que
queforma
formaFFcon
conlaladirección
direcciónx.x.
f3f3que
Resp.FF== 147,8N,
147,8 N,f3f3== 12,02°
12,02°
Resp.
llar
llarelelángulo
ángulof3f3que
queforma
formaRRcon
conlalahorizontal.
horizontal.Comentar
Comentarcómo
cómo
sesetrata
trataelelpeso
pesode
delalapelota
pelotadurante
duranteelelimpacto.
impacto.
Resp.
Resp.RR==43,0,
43,0,f3f3==8,68°
8,68°
Figura
Figura problema
problema 3.215
3.215
3.216
3.216 El
Elbloque
bloque de
de 10
10kg
kg descansa
descansasobre
sobre la
la superficie
superficiehorizonhorizontal
cuando
recibe
la
acción
de
la
fuerza
T
durante
tal cuando recibe la acción de la fuerza T durante 77 segundos.
segundos.
Se
Se representa
representa la
la variación
variación de
de TT con
con el
el tiempo.
tiempo. Calcular
Calcular la
la velovelocidad
máxima alcanzada
alcanzada por
por el
el bloque
bloque yy el
el tiempo
tiempo total
total t..t
M duducidad máxima
rante
rante el
el cual
cual el
el bloque
bloque se
se halla
halla en
en movimiento.
movimiento. Los
Los coeficientes
coeficientes
de
de rozamiento
rozamiento estático
estático yy cinético
cinético valen
valen ambos
ambos 0,50.
0,50.
3.213
Figura problema
problema 3.213
Figura
T,N
T,N
100
100
3.214 La pelota
pelota de béisbol
béisbol se mueve
mueve con una
una velocidad
velocidad horihorikm I h inmediatamente
iIU11ediatamente antes de golpear
golpear contra
contra el
zontal de 135
135km/h
bate. Inmediatamente
Inmediatamente tras
tras el
el impacto,
impacto, la
la velocidad
de la
la pelota
pelota
bate.
velocidad de
de 146
g es de 210
un án146g
210 km/h
km/h formando,
formando, tal como se muestra,
muestra, un
gulo de 35°
35° con la horizontal.
horizontal. Hallar
Hallar las componentes
componentes x e y
y de
la
pelota durante
la fuerza media R que ejerce el bate sobre la pelota
durante el
impacto de 0,02
elota
0,02 s.
s. Comentar
Comentar cómo se trata el peso de la ppelota
(a)
(a) durante
durante el
el impacto yy (b)
(b) transcurridos
transcurridos los dos o tres primeros
ros segundos
segundos tras
tras el
el impacto.
impacto.
d
n
210km / h/
/
I
I
10 kg
kg
t+
T
u; =l1c
= ·j.lc =
= 0,50
0,50
l1e
40
40
--
-----+1--,
O~------~----~O
44
77
t,t, ss
Figura problema
problema 3.216
3.216
Figura
3.217 La
La carretilla
carretilla de
de mina
mina cargada
cargada tiene
tiene una
una masa
masa de
de 33 Mg.
Mg. El
El
3.217
tambor
izador
produce
una
tracción
T
en
el
cable
de
acuerdo
con
tambor izador produce una tracción T en el cable de acuerdo con
/
n
--------- ----
/
35°
"'""~V-- ~---- -u: .\~9--~------
135
/h
135 km
km/h
T,kN
T,kN
16
16
Figura
Figura problema
problema 3.214
3.214
1--
'~--""-~I
1
1
3.215
3.215 La
Latenista
tenistagolpea
golpealalapelota
pelota con
conlalaraqueta
raqueta mientras
mientras lalapepelota
lotaaún
aúnse
seestá
estáelevando.
elevando. Antes
Antesde
dechocar
chocarcon
conlalaraqueta,
raqueta, lalaceceleridad
leridad de
delalapelota
pelota esesV1VI ==15
15mi
mi ssyyv2v2==22
22mi
mi ssdespués
después del
del
impacto,
impacto,en
enlas
lasdirecciones
direcciones que
queseseindican.
indican. SiSilalapelota
pelota de
de60
60gg
con
la
raqueta
durante
0,05
s,
hallar
el
módulo
está
en
contacto
está en contacto con la raqueta durante 0,05 s, hallar el módulo
de
delalafuerza
fuerzamedia
mediaRRque
queejerce
ejercelalaraqueta
raqueta sobre
sobrelalapelota.
pelota.HaHa-
1
I
I
22
44
66
t,t,s s
Figuraproblema
problema 3.217
3.217
Figura
177
177
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el cronograma
Si la caja
caja descansa sobre A cuancronograma que se muestra. Si
do se arranca el tambor, hallar la celeridad v de la caja
caja cuando
cuando
s. Pueden
Pueden despreciarse las pérdidas
pérdidas por rozamiento.
rozamiento.
t == 6 s.
Resp. v == 9,13
mi s
Resp.
9,13 mi
ne el agua al movimiento
movimiento dadas
dadas las reducidas
reducidas velocidades
velocidades que
intervienen.
intervienen.
Resp. V2 == 40,0
Resp.
40,0 mml
mml s
mA
~ 3.218 El péndulo
péndulo simple A
Ylongitud
~
A de masa
masa
Y
longitud 1 cuelga
del trole B
B de masa mB'
mB' Si el sistema se suelta desd~
desde el reposo
en e
hallar la velocidad
e == O,O,hallar
velocidad vVBB del trole cuando
cuando e
e = 90°. El
El rodespreciable..
zamiento es despreciable
2g1
__ mAJ
mAJ .------=---;-1
//
1
Figura
3.219
Figura problema
problema
r--=---::--
Resp,v
Resp,vB B
-
mBB
+m
+mAA mBB
~
toneladas de desplazamien~ 3.220 Un lanzatorpedos
lanzatorpedos de 60
60 toneladas
desplazamiento navega a 18
18 nudos
nudos cuando
cuando dispara
dispara horizontalmente
horizontalmente un torpedo de 140
pedo
140 kg con el tubo lanzador
lanzador a 30°,
30°, tal como se
torpedo lleva una
representa.
representa. Si,
Si, cuando abandona
abandona el tubo, el torpedo
mi s con relación a la embarcación, hallar la revelocidad de 6 mi
instantánea de velocidad óv
Su que experimenta
experimenta ésta. (Re(Reducción instantánea
cuérdese que un nudo
km/h.) Resolver también este
nudo son 1,852
1,852km/h.)
problema
problema refiriendo el movimiento
movimiento a un sistema de coordenadas que se mueva
mueva con la velocidad
velocidad inicial de la embarcación.
Resp. óv
Resp.
~V =
= 0,0121
0,0121 mi
mi s
Figura
3.218
Figura problema
problema
1,
.I
~
~ 3.219 Dos barcazas
barcazas que desplazan
desplazan (cuya masa es de) 500
500
toneladas métricas cada una están fondeadas
fondeadas en aguas
aguas tranquitoneladas
tranquilas. Un conductor
conductor acrobático pone en marcha
marcha su automóvil
automóvil de
las.
1500
1500 kg en A, atraviesa
atraviesa la cubierta
cubierta y se separa
separa del extremo de
la rampa
l h respecto a barcaza
rampa de 15°
15° a la celeridad
celeridad de 50 km
kmlh
barcaza y
rampa. El
El conductor
conductor consigue salvar el vacío y detiene en B
B su
automóvil con relación a la barcaza
velocidad vl
vI
automóvil
barcaza 2. Calcular la velocidad
imprime a la barcaza
barcaza.. Despreciar
que se imprime
Despreciar la resistencia que opo-
3.10
3.10
IMPULSO
IMPULSO ANGULAR
ANGULAR Y MOMENTO
MOMENTO CINÉTICO
ClNÉTICO
Además
de las
Además de
las ecuaciones
ecuaciones que
que relacionan
relacionan el impulso
impulso con
con la cantidad
cantidad de
de movimovimiento,
miento, existe
existe un
un sistema
sistema paralelo
paralelo de
de ecuaciones
ecuaciones que
que relacionan
relacionan el impulso
impulso anangular con
con el momento
momento cinético.
cinético. Empecemos
Empecemos definiendo
definiendo qué
qué es momento
momento
gular
cinético. En
En la figura
figura 3.11a
3.11a se representa
representa un
un punto
punto material
material P de
de masa
masa m que
que se
cinético.
mueve
mueve a lo largo
largo de
de una
una curva
curva en
en el espacio
espacio y que
que queda
queda localizado
localizado mediante
mediante
su
su vector
vector de
de posición
posición r respecto
respecto a un
un origen
origen conveniente
conveniente O de
de coordenadas
coordenadas fijas
x-y-z. La velocidad
x-y-z.
velocidad del
del punto
punto es v == ii: Y su
su cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento G == mv. El
momento
momento respecto
respecto al origen
origen O del
del vector
vector cantidad
cantidad de movimiento
movimiento mv es, por
por defidefinición, el momento
P respecto
respecto a O y vendrá
nición,
momento cinético
cinético Ho
Ha de
de P
vendrá dado
dado por
por el producproducto vectorial
vectorial que
que expresa
expresa el momento
momento de
de un
un vector
vector
H
xmv
Hao =
= rrxmv
(3.25)
(3.25)
Así
un vector
su
Así pues,
pues, se trata
trata de
de un
vector perpendicular
perpendicular al plano
plano A definido
definido por
por r y v y su
sentido
la regla
sentido es, desde
desde luego,
luego, el definido
definido por
por la
regla de
de la mano
mano derecha.
derecha.
178
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179
Las componentes escalares del momento cinético pueden obtenerse del desarrollo
3.10 IMPULSO ANGULAR Y
MOMENTO CINÉTICO
r Xmv
o bien
z
(3.26)
A~
Ho=rxmv
\
,
con lo que
/
/
/
/
O
/
/
/
/
X
Cada una de estas expresiones del momento cinético puede comprobarse fácilmente con ayuda de la figura 3.12,en la que pueden verse las tres componentes
de la cantidad de movimiento, tomando los momentos de dichas componentes
respecto a los ejes respectivos.
Para que se imagine mejor qué es el momento cinético, en la figura 3.11b se
representan en dos dimensiones coincidentes con el plano A los vectores representados en la parte a de la figura, contemplándose el movimiento en el plano
A definido por r y v. El módulo del momento de mv respecto a O es sencillamente la cantidad de movimiento mv multiplicada por el brazo de momento
r sen e, o sea, mur sen e que es el módulo del producto vectorial Ho = r x mv .
En unidades SI el momento cinético se expresará en kg·(m/ sj-m = kg·m2 / s =
m·N/s.
Estamos ya preparados para relacionar el momento de las fuerzas actuantes
sobre el punto material P con su momento cinético. Si LF representa la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el punto material P de la figura 3.11,
su momento Mo respecto al origen O es el producto vectorial
LMO
o
(a)
Vista en el plano A
(b)
Figura
3.11
= rXLF = s x.m»
en el que se ha introducido la segunda ley de Newton LF = mv . Si derivamos
la ecuación 3.25 respecto al tiempo, haciendo uso de la regla de derivación del
producto vectorial (véase el punto 9 del apartado C.7 del apéndice C) resulta
Ho =
i X mv + r X mv
=
V
X mv
+r
X
z
mv
El término v X mv es nulo porque el producto vectorial de dos vectores paralelos es idénticamente nulo. Al sustituir valores en la expresión de LMO resulta
(3.27)
O
x
j)
u
La ecuación 3.27 establece que el momento respecto al punto fijo O de todas lasfuerzas que actúan sobre m es igual a la variación por unidad de tiempo del momento
cinético de m respecto a O. Esta relación, especialmente cuando se amplía a los
sistemas de puntos materiales, rígidos o no, constituye uno de los instrumen-
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Figura
3.12
180
180
-------------------------CINÉTICA DEl
DEL PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
CINÉTICA
tos
tos de
de análisis
análisis más
más eficaces
eficaces de
de toda
toda la
la Dinámica.
Dinámica. Las
Las componentes
componentes escalares
escalares de
de
la ecuación
ecuación 3.27
3.27 son
son
la
LMa
x
= Ha
x
LMa
LMa yy == H
Haayy
LMa
LMa zz
== Ha
Ha z
z
(3.28)
(3.28)
La
La ecuación
ecuación 3.27
3.27 proporciona
proporciona la
la relación
relación instantánea
instantánea existente
existente entre
entre el
el momomento
mento yy la
la variación
variación del
del momento
momento cinético
cinético por
por unidad
unidad de
de tiempo.
tiempo. Para
Para obtener
obtener
el
el efecto
efecto del
del momento
momento LMo
LMO sobre
sobre el
el momento
momento cinético
cinético de
de la
la partícula
partícula en
en un
un inintervalo
tervalo de
de tiempo
tiempo finito,
finito, podemos
podemos integrar
integrar la
la ecuación
ecuación 3.27
3.27 desde
desde el instante
instante tItI
hasta
hasta el
el instante
instante tt22.. Multiplicando
Multiplicando la ecuación
ecuación por
por dt
dt se tiene
tiene LMo
LMO dt
dt == dH
dHoo que
que
puede integrarse,
integrarse, dando
dando
puede
(3.29)
(3.29)
donde
donde Ha
Ha 22 =
= r 2 XX mV
mV22 Y Ha
Ha 11 =
= r 1 XX mv11.. Al producto
producto del momento
momento por
por el
tiempo
tiempo se le denomina
denomina impulso
impulso angular
angular y la ecuación
ecuación 3.29 dice que
que el impulso
impulso angular
gular total aplicado a m respecto al punto
punto fijo O es
es igual a la correspondiente
correspondiente variación
variación
de momento
momento cinético
cinético respecto al punto
punto Jijo
fijo O. Esta
Esta relación
relación 3.29 suele
suele conocerse
conocerse
como teorema del momento
momento cinético
cinéiico ..
como
La ecuación
ecuación 3.29 podríamos
podríamos haberla
haberla escrito
escrito también
también
(3.29a)
(3.29a)
que
que el momento
momento cinético
cinético inicial
inicial del
punto material
material
que simplemente
simplemente establece
establece que
del punto
más el impulso
impulso angular
angular que
recibe es igual
igual a su
su momento
momento cinético
cinético final.
más
que recibe
final. Las
unidades que
que miden
miden el impulso
impulso angular
momento cinético
cinético son
evidenteunidades
angular y el momento
son evidente2
2
mente
las
mismas,
es
decir,
m·N·s
ó
kg·m
s
en
el
Sistema
Internacional.
/
mente las mismas,
decir, m-N's kg·m
en
Sistema Internacional.
Como en
en el caso
caso del
del impulso
impulso y la
la cantidad
cantidad de
de movimiento,
movimiento, la ecuación
ecuación que
que
Como
relaciona el impulso
impulso angular
angular con
con el momento
momento cinético
cinético es
es una
una ecuación
ecuación vectorivectorirelaciona
en la
la que
que durante
durante el
el intervalo
intervalo de
de integración
integración pueden
pueden tener
tener lugar
lugar variaciones
variaciones
al, en
tanto de
de módulo
módulo como
como de
de dirección.
dirección. En
En estas
estas condiciones,
condiciones, será
será necesario
necesario extanto
persar LMa
LMa Y
Y Ha
Ha según
según sus
sus componentes
componentes yy luego
luego combinar
combinar las
las componentes
componentes
persar
integradas.
integradas. Así,
Así, la
la componente
componente x de
de la
la ecuación
ecuación 3.29
3.29 será
será
(H o )2 -- (Ha)l
(Ha)l
(Ha)2
m[(vzy -- VvyyZ)2Z)2 -- (vzy
(v zy -m[(vzy
VyZ)l]
VyZ)l]
donde los
los subíndices
subíndices 1 yy 22 se
se refieren
refieren aa los
los valores
valores de
de las
las cantidades
cantidades corresponcorrespondonde
Para las
las componentes
componentes yy yy ZZ de
de la
la integral
integral del
del momodientes aa los
los instantes
instantes tItI yy tt22.. Para
dientes
mento
mento cinético
cinético se
se tienen
tienen expresiones
expresiones análogas.
análogas.
impulso angular
angular yy al
al momento
momento cinético
cinético
Las relaciones
relaciones anteriores
anteriores relativas
relativas al
al impulso
Las
han desarrollado
desarrollado con
con toda
toda generalidad
generalidad para
para tres
tres dimensiones.
dimensiones. Por
Por otra
otra parparse han
se
te, la
la mayoría
mayoría de
de los
los casos
casos particulares
particulares de
de los
los que
que vamos
vamos aa ocuparnos
ocuparnos pueden
pueden
te,
estudiarse como
como problemas
problemas de
de movimiento
movimiento plano,
plano, en
en los
los que
que se
se toman
toman momoestudiarse
mentos respecto
respecto aa un
un solo
solo eje
eje normal
normal al
al plano
plano del
del movimiento.
movimiento. En
En tales
tales casos,
casos,
mentos
momento cinético
cinético podrá
podrá variar
variar de
de módulo
módulo yy de
de sentido,
sentido, pero
pero su
su dirección
dirección
el momento
el
permanecerá inalterada.
inalterada. Así,
Así, para
para un
un punto
punto material
material de
de masa
masa m
m que
que describe
describe
permanecerá
una
trayectoria
curva
contenida
en
el
plano
x-y
(fig.
3.13),
los
momentos
una trayectoria curva contenida en el plano x-y (fig. 3.13), los momentos
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181
181
3.10 IMPULSO ANGULAR Y
Y
MOMENTO CINÉTICO
ClNÉTICO
MOMENTO
respecto a O en los puntos
puntos 1 y 2 poseen
poseen los módulos
módulos
cinéticos respecto
Ha¡
= IrIrlI xX mvll =
= mvId
miud; l Y Ha2
=
Ir2
X
1
=
mv
d
,
respectivamente.
H
a, =
=
Ir
x
mv
1
=
mv
d
respectivamente.
,
22 2 2
2
2
2
a2
HaY
Haa 2 se representan
representan en sentido
sentido antihorario
antihorario según
según lo indica
En la figura, H
a, Y H
indica
momento de la cantidad
cantidad de movimiento.
movimiento. La ecuación 3.29 aplicada
aplicada al
el del momento
movimiento entre los puntos
puntos 1 y 2 durante
durante el intervalo
intervalo de tiempo
tiempo de tI
tI a t2 se
movimiento
convierte en la ecuación escalar
¡
o sea
contribuir a aclarar la relación entre las formas vectorial y escalar de
que debe contribuir
la relación entre el impulso
impulso angular
angular y el momento
momento cinético.
aportan ninguna
ninguna información
información básica nueva,
nueva,
Las ecuaciones 3.21 y 3.27 no aportan
maneras de expresar
expresar la segunda
segunda ley de Newton.
Newton. Sin
pues no son más que otras maneras
capítulos posteriores
posteriores veremos
veremos que las ecuaciones del movimiento
movimiento
embargo, en capítulos
expresadas en función de la velocidad
velocidad de variación
variación de la cantidad
cantidad de moviexpresadas
momento cinético son aplicables al movimiento
movimiento de cuerpos
cuerpos rígimiento y del momento
constituyen un método
método muy general y eficaz para
resolver
dos y no rígidos y constituyen
para resolver
multitud de problemas.
problemas. Para describir el movimiento
punto material
material
multitud
movimiento de un punto
movimiento plano
plano de un cuerpo rígido no suele ser precisa
precisa la total
único o el movimiento
generalidad de la ecuación 3.27, pero sí encuentra
encuentra una
una importantísima
importantísima aplicageneralidad
estudio del movimiento
movimiento espacial de los cuerpos
cuerpos rígidos, tema del que
ción en el estudio
una introducción
introducción en el capítulo
capítulo 7.
7.
se ofrece una
Conservación del momento
momento cinético.
cinético. Si
Si el momento resultante respecto a un
Conservación
fijoO
punto fijo
O de todas las fuerzas actuantes sobre un punto
punto material es nulo durante un intervalo de tiempo, vemos que la ecuación 3.27 impone que su momento
cinéticoH
Ha
punto permanezca
permanezca constante. Se
Se dice,
dice, en tal caso,
caso, que el
cinético
a respecto a ese punto
cinético del punto
punto material se conserva.
conserva. Puede ocurrir que el momento
momento cinético
cinéticose
eje, pero no respecto a otro. Un examen atento
cinético
se conserve respecto a un eje,
del diagrama para sólido libre de la partícula revelará si es nulo el momento respunto fijo
fijo de la fuerza resultante que se ejerce
ejerce sobre la partícula, en
pecto a un punto
cuyo caso el momento cinético
cinético respecto a ese punto
(se conserva).
cuyo
punto no varía (se
Consideremos ahora
ahora el movimiento
movimiento de dos puntos
puntos materiales
materiales a y b que inConsideremos
teractúan durante
durante un intervalo
intervalo de tiempo. Si,
Si, durante
durante ese intervalo,
intervalo, las únicas
teractúan
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182
182
CINÉTlCA DEL
DEl PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
CINÉTICA
fuerzas
fuerzas no
noequilibradas
equilibradas que
quese
seejercen
ejercensobre
sobre esas
esaspartículas
partículas son
sonlas
lasfuerzas
fuerzas FFyy
-- FFde
de acción
acciónrecíproca,
recíproca, resulta
resulta que
que los
losmomentos
momentos de
de esas
esas dos
dos fuerzas
fuerzas iguales
iguales
yy opuestas
opuestas respecto
respecto aacualquier
cualquier punto
punto fijo
fijoOOque
que no
no esté
esté en
en sus
sus rectas
rectas soporte
soporte
son
son iguales
iguales yy opuestos.
opuestos. Si
Siaplicamos
aplicamos lalaecuación
ecuación 3.29
3.29aalalapartícula
partícula aa yy luego
luego aa
la
la partícula
partícula b,b,obtenemos
obtenemos ~Ha
fiHa ++~Hb
fiHb ==OO (donde
(donde los
los momentos
momentos cinéticos
cinéticos se
setotoman
man respecto
respecto alalpunto
punto O).
O).Así
Así pues,
pues, durante
durante elelintervalo,
intervalo, elelmomento
momento cinético
cinético
total
total del
del sistema
sistema permanece
permanece constante
constante yy podemos
podemos escribir
escribir
AH¿
oo sea
sea
= O
=
Ha 1
(3.30)
(3.30)
Ha 2
Esta
Esta ecuación
ecuación 3.30
3.30expresa
expresa el
el principio
principio de
de conservación
conservación del
del momento
momento cinético.
cinético.
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.22
3.22
~,
bloque de
de 22 kg
kg se
se desliza
desliza por
El pequeño bloque
una supelficie
superficie horizontal
horizontal lisa
lisa bajo
bajo las
las acacuna
de la
lafuerza
del resorte
resorte y una fuerfuerciones de
fuerza del
F. El momento
momento cinético
cinético del bloque
za F.
el tiempo tal como
respecto a O varía con el
representa la gráfica.
gráfica. Para t == 6,5 s, se
representa
sabe que r == 15 cm y [3
13 == 60
60°.°. Hallar
Hallar F
instante.
en ese instante.
,
1:1
i'
1,
o
•I
Solución. El único momento
momento de las fuerzas respecto a O es el debido
debido a F ya que
Solución.
la fuerza
fuerza del resorte
resorte pasa
pasa por
por O.
O. Así pues, I.M
EMa
= Fr
Fr sen 13.
[3. Según la gráfica, la
a =
Ha por
por unidad
unidad de tiempo
tiempo para
para t =
= 6,5 s es muy
muy aproximadamente
aproximadamente
variación de
d e Ha
variación
4)/I (7 - 6), o sea Ha = 4 kg
kg·. mi
m/s2
ecuación de la cantidad
cantidad de
(8 - 4)
S2 = 4 N·m. La ecuación
movimiento
movimiento nos da
da
t, s
G)
CD En
En este
este caso
caso no
no precisamos
precisamos notación
notación
vectorial
vectorial ya que
que tratamos
tratamos de
de un movimiento
vimiento plano
plano en
en el que
que no varía
varía la
dirección
dirección del
del vector
vector Ho.
Ha.
G)
CD
[I.Ma=Hal
F(O,150) sen
sen 60· = 4
F(0,150)
= 30,8
30,8 N
N
FF =
Resp.
Resp.
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.23
3.23
PROBLEMA
I
Una partícula
partícula se
se lanza
lanza con
con una
una velocivelociUna
dad inicial
inicial Va
vatangente
tangente al
al borde
borde horizonhorizondad
tal
tal de
de un
un cuenco
cuenco liso
liso hemisjérico
hemisféricoyy en
en un
un
punto
punto AA situado
situado aa una
una distancia
distancia ra
ro del
del
eje
eje de
de simetría
simetría vertical,
vertical, tal
tal como
como se
se
muestra
muestra en
en lafigura.
la figura. La
La partícula
partícula alal papasar
sarpor
porelelpunto
punto B,B, aauna
unadistancia
distancia hhpor
por
debajo
debajoAAyyaauna
unadistancia
distanciarrdel
deleje
ejede
desisimetría
lleva una
una velocidad
velocidad v.v.
metría vertical,
vertical, lleva
Hallar
Hallarelelángulo
ángulo eeque
queforman
forman su
suvelocivelocidad
dad con
con lala tangente
tangente horizontal
horizontal aalala susuperficie
perficiedel
del cuenco
cuencoen
endicho
dichopunto.
punto.
http://gratislibrospdf.com/
-'"
reacció n
la reacción
y la
peso y
partícul a son su peso
Solución.. Las
Las fuerzas que actúan
actúan sobre la partícula
Solución
profuerzas
estas fuerzas proNingun a de estas
normal
ejercida por
superficie
ie lisa del cuenco. Ninguna
por la superfic
normal ejercida
cinético
to
momen
el
ará
duce momen
momento
respecto al eje O-O, por
conservará momento cinético
por lo que se conserv
to respecto
duce
respecto
eje. Así
respecto a ese eje.
mvoro
mvr cos
=
e
tanplano tanCD El
mide en el plano
ángulo eese mide
El ángulo
hemisférica en
gente
superficie hemisférica
gente a la superficie
el punto
punto B.
por lo que
Tambiénn se conserv
conservaa la energía
energía,, por
Tambié
~mv2 + OO
~mv02 + mgh
mgh =
= ~mv2
~mv02
+2gh
JV0022+2gh
v = JV
2
2 - h2
resulta
por '0
Eliminando
sustituyendo
r2 por
r02resulta
endo ,2
ndo v y sustituy
Elimina
voro
e
=
JV02 + 2ghJr02 - h2 cos
= arcos
e
Resp.
Resp.
I-,,:=-o=_
Jl+~ Jl- h
2
v02
r02
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Problemas
introdu ctorios
as introductorios
Problem
to cinético respect
3.221 Hallar
módulo Ha
momento
respectoo al
Ha del momen
Hallar el módulo
3.221
ón vectodefinici
la
punto
O
de
la
esfera
kg
empleando
definición
ndo
emplea
(a)
2
de
punto de la esfera
escamiento
procedi
el
te
rial
de
momento
(b)
mediante
procedimiento
median
(b)
y
cinético
to
momen
de
rial
x-y.
lar equival
equivalente.
centro de la esfera está en el plano
plano x-y.
ente. El centro
lar
Resp.
Ha == 69,3
69,3 kg·m2// s
Resp. Ha
°
yy
kg
partícul a de 4 kg
una partícula
3.223 En
posició n de una
vector de posición
metros, el vector
En metros,
3.223
33ii - 2t;
tiempo
está
dado
por
r
=
3t
3tk,
donde
t
es
el
tiempo
en
segundonde
2tj 3tk,
está dado por =
la
momen to cinético de la
dos. Para
módulo del momento
hallar el módulo
= 3 s, hallar
Para tt =
dos.
todas
origen
partícula
y
el
módulo
del
momento
respecto
al
origen
de
todas
respecto
to
momen
módulo
partícul a y el
las fuerzas
actúan sobre ella.
fuerzas que actúan
N ·m
= 260 Nrn
Resp.
N·m·s, M =
= 389 N'm's,
Resp. H =
velocid ad
una velocidad
alcanza una
3.224
reposo y alcanza
arranca del reposo
montaje arranca
El montaje
3.224 El
fuerza
una
angular
de
150
rpm
bajo
la
acción
de
una
fuerza
T
de
20 N que
rpm
angular de
m /s
77m/s
I
2k~
i
2k~
II
II
I
I
:5 m
I
15m
II
I
12m
12m
: _______________
~I
x
-- -- -- --- ----- -~ - --- - - x
O
problemaa 3.221
Figura problem
iento y el
3.222 En
En un cierto instante
instante,, la cantida
cantidadd de movim
movimiento
3.222
vament e, G
vector de
posiciónn de una partícula
respectivamente,
G ==
partícul a son, respecti
de posició
vector
Ha
módulo
el
Hallar
3i -- 2j
2; +
+ 3k kg·m/
4j - 3k m. Hallar módulo Ha
kg·m / s y r == 3i + 4;
-_ 3i
de
origen
al
respecto
del
momento
cinético
de
la
partícula
respecto
origen
coa
partícul
del momen to
ordenadas.
as.
ordenad
~T
3.224
Figura problema
problem a 3.224
183
http://gratislibrospdf.com/
se
se aplica
aplica aa la
la cuerda
cuerda durante
durante tt segundo
segundos.s. Hallar
Hallar t.t. Desprec
Despreciar
el
iar el
rozamie
nto yy todas
rozamiento
todas las
las masas
masas salvo
salvo la
la de
de las
las cuatro
cuatro esferas
esferas de
de
33 kg,
kg, las
las cuales
cuales pueden
pueden tratarse
tratarse como
como partícul
partículas.
as.
3.225
3.225 Una
Una partícul
partícula a de
de masa
masa m
m se
se mueve
mueve con
con rozamie
rozamiento
desnto despreciab
preciablele sobre
sobre una
una superfic
superficieie horizon
horizontal
está unida
unida en
en O
O aa
tal yy está
un
un resorte
resorte liviano.
liviano. En
En la
la posició
posiciónn A
A la
la velocid
velocidad
de la
la partícul
partícula a
ad de
es
es VA
VA =
=4
4m
m i/ s.
s. Hallar
Hallar la
la velocid
velocidad
VB de
de la
la partícul
partícula a cuando
cuando
ad VB
pasa por
por la
la posició
posiciónn B.
B.
pasa
VB =
= 5,43
5,43 mi
m/ ss
Resp. VB
Figura
Figura problem
problemaa 3.22
3.2277
3.228
3.228 La
La única
única fuerza
fuerza que
que actúa
actúa sobre
sobre un satélite
satélite terrestr
terrestre e que
que
viaja
por
fuera
de
la
atmósfe
viaja por fuera de la atmósferara terrestr
terrestre e es la atracció
atracciónn gravitagravitatoria
toria radial.
radial. El
El momen
momentoto de dicha
dicha fuerza
fuerza es nulo
nulo respecto
respecto al
centro
de
la
Tierra
2
tomado
como
centro de la Tierra tomado como punto
punto fijo. Demost
Demostrar
que 11'2
rar que
é
perman
ece constan
permanece
constantete durante
durante el movimi
movimiento
del satélite.
satélite .
ento del
e
.. ' •.
,
~
Figura problem
problemaa 3.225
3.225
1,
,I
i~,
,',
•• "1,.
'
3.226
3.226 Las
Las dos
dos esferas,
esferas, de
de masa
masa m cada
cada una,
una, están
están montad
montadasas en
en
las
las varillas
varillas livianas
livianas que
que rotan
rotan en
en un
un plano
plano horizon
horizontaltal aa la
la velovelocidad
cidad angular
angular () en
en torno
torno al eje vertical
vertical fijo. Si
Si se
se hacen
hacen descendescender
der las
las varillas
varillas, , median
mediantete un
un mecanismo
interno, hasta
hasta las
las
mecani smo interno,
posicion
ntadas a trazos
posicioneses represe
representadas
trazos sin
sin interfer
interferirir con
con la
la libertad
libertad
de
rotación en
de rotación
en torno
torno al eje vertical,
hallar la
la nueva
velocidadad
vertical, hallar
nueva velocid
angular
ondient e a la nueva
angular ()' corresp
correspondiente
posición n de
de las
las esferas.
esferas.
nueva posició
e
e'
m
m
Figura
problema 3.228
Figura problema
3.228
3.229
central atractiv
3.229 La
La fuerza
fuerza central
atractiva a F que
que actúa
actúa sobre
sobre un
satélite
un satélite
terrestr
tiene un
un momento
momen to nulo
nulo respecto
respecto al centro
terrestre e tiene
centro O de
de la
la TieTierra. Para
Para la
la órbita
órbita elíptica
elíptica cuyos
ejes mayor
rra.
cuyos ejes
mayor y menor
menor se
se indican
indican
en la figura,
figura, un
un satélite
satélite tendría
tendría en
en el perigeo,
enIa
perigeo , situado
situado aa 390
390 km
km
de altura,
altura, una
una velocidad
velocid ad de
de 33 880
880 km/h.
km / h . Hallar
de
Hallar la velocidad
velocid ad
del satélite
satélite en
en el
el punto
punto B y en
en el
el apogeo
apogeo A.
del
A. El radio
radio de
de la Tierra
Tierra
es 6371
es
6371 km.
km.
Resp. vB
VB =
= 19
19 540
540 km/h,
km l h, VA
VA =
Resp.
= 11 290
290 km/h
km/h
f
Figura problema
problema 3.226
3.226
...--....
]
Problemas representativos
Problemas
representativos
3.227 La
La pequeña
pequeñ a esfera
esfera de
3.227
de masa
masa m que
que se
se desplaza
desplaz a con
con la
la ceceleridad vv choca
choca yy se
se queda
queda unida
leridad
unida al
al extremo
extremo del
del dispositivo
disposi tivo ininmóvil que
que puede
puede girar
girar libremente
libreme nte en
móvil
en torno
torno aa un
un eje
eje vertical
vertical que
que
pasa por
por O.
O. Hallar
Hallar la
la velocidad
velocid ad angular
pasa
angular úJ
(J) del
del conjunto
conjunt o después
después
del impacto
impacto yy calcular
calcular la
del
la variación
variació n Af
ó-E que
que experimenta
experim enta la
la enerenergía
gía del
del sistema.
sistema .
Resp.
Resp.
)t /
0
~ I
:::: I
t----..
I
""'
B
- "-" 33880 km / h
/
\
l'
-
390 km
vv
E
22
E __ 1
= 2L'!'J.
2L' ó- -- -- 44: rnv
mv
úJ
(J) =
Figura problema
problema 3.229
Figura
3.229
184
http://gratislibrospdf.com/
\
t (
ee
...•
3.230
Expresar en función de e
del
e la aceleración angular
angular
3.230 Expresar
péndulo simple
simple utilizando
utilizando la expresión
relativa a la derivada
péndulo
expresión relativa
derivada
temporal
temporal del momento
momento cinético.
10
el
I
I
I
I
I
Figura problema 3.232
Figuraproblema
3.232
2.233
2.233 Calcular
Calcular los módulos
módulos del momento
momento cinético de la Luna
respecto al centro de la Tierra y el del momento
momento cinético de la
respecto
Tierra respecto
respecto al centro de la Luna. Supóngase
Supóngase en cada caso
que la órbita
órbita es circular y consultar
consultar la tabla D.2 en lo necesario.
In
Figura problema 3.230
Figuraproblema
3.230
40) kg'm
Resp.
2,66(10 40
kg'm22/s/s
Resp. HT
HT =
= 2,66(10
3.231 Un pequeña
pequeña partícula
partícula de 0,1
una velocidad
velocidad de
0,1 kg recibe una
plano horizontal
horizontal x-y
x-y y es guiada
banda curva
2 mi s en el plano
guiada por la banda
fija.
El rozamiento
rozamiento es despreciable.
partícula cruza el
fija.El
despreciable. Cuando
Cuando la partícula
eje
velocidad tiene la dirección x, y cuando
eje y por A, su velocidad
cuando cruza
cruza el
eje
B, su velocidad
velocidad forma un
un ángulo
x . En
ejexx por B,su
ángulo de 60°
60° con el eje x.
B, el radio de curvatura
trayectoria es 500
mm. Hallar
Hallar la
B,
curvatura de la trayectoria
500 mm.
derivada temporal
Ha de la partícula
derivada
temporal del momento
momento cinético Ha
partícula respor 0, tanto
tanto para
para el punto
punto A como para
para el B.
B.
pecto al z que pasa por
Ha =
=O
O
B, Ha = - 0,120
/ 2s 2
En B,
0,120 kg·
kg· m22/s
Resp.En
Resp.En A,
34) kg'm
2,89(10 34
kg'm22/s/ s
HLL = 2,89(10
3.234
bloque de 4 kg (representado
3.234 La esfera de 6 kg Y el bloque
(representado en
sección) están
brazo de masa
masa despreciable
están sujetos al brazo
despreciable que rota
en el plano
un eje horizontal
horizontal que pasa
pasa por
por O.
plano vertical en torno a un
O.
El cilindro
cilindro de 2 kg se deja caer desde
desde el reposo en A y se encaja
en el hueco del bloque
bloque cuando
brazo alcanza la posición hocuando el brazo
rizontal.
instante antes de la unión,
rizontal. Un instante
unión, el brazo
brazo lleva una
una velocidad
roo == 2 rad
rad I s.
Hallar la velocidad
velocidad angular
cidad angular
angular %
s. Hallar
angular del
brazo inmediatamente
brazo
inmediatamente después
después de que el cilindro se haya asentado en el bloque.
z
Z
2kg
?lA
' % iJ
I
I
I
y
x
600 mm
1
If-~l1
- - ~ -- -- - -I1 _I __ ..J_
Figura problema 3.231
Figuraproblema
-----
2.232
iguales m pueden
pueden ddeslizarse
eslizarse a
2.232 Las dos esferas de masas iguales
barra horizontal
horizontal giratoria. Si inicialmente
lo largo de la barra
inicialmente están
están
trabadas
distancia r del eje
eje de giro, estando
trabadas a una distancia
estando el conjunto
girando a una
angular %'
girando
una velocidad
velocidad angular
roo, hallar
hallar la nueva
nueva velocidad
velocidad
angular Q)
después de soltar las esferas y que éstas se hayan
fiangular
w después
hayan finalmente situado
situado en los extremos
extremos de la barra
distancia
barra a una
una distancia
radial de 21'.
2r. Hallar
cinéHallar asimismo qué fracción n de la energía cinética inicial se pierde.
pierde. Despreciar
Despreciar la pequeña
pequeña masa de la barra
barra y
eje.
el eje.
500 Q¡rn
-----J
1
4kg
4kg
Figuraproblema
3.234
Figura problema 3.234
3.235 En el punto
Sol, un cometa
3.235
punto A de máxima
máxima proximidad
proximidad al Sol,
tiene una
600 mi s. Hallar
componentes
una velocidad
velocidad VA == 57 600
Hallar las componentes
radial
donde la
radial y transversal
transversal de su velocidad
velocidad VB en el punto
punto B,
B, donde
distancia radial
120(1066)) km.
distancia
radial al Sol es de 120(10
km.
Resp. Vrr =
= 27100 m
mi i s, vfJ
ve =
= 38
38 400
mi i s
Resp.
400 m
185
http://gratislibrospdf.com/
ma
maun
unángulo
ángulof3f3con
conlalatangente
tangentehorizontal.
horizontal.Cuando
Cuandolalapartícula
partícula
llega
llegaalalpunto
punto BBaauna
unadistancia
distanciahhpor
pordebajo
debajode
deA,
A,hallar
hallarlalaexexpresión
presión del
delángulo
ángulo eeque
que forma
forma su
suvelocidad
velocidad con
conlalatangente
tangente
horizontal
horizontal en
enB.B.
cos
cosf3f3
Resp.
Resp. ee =
= arcos
arcos
~
11+~
+ V 22
"'~"'
"~"
120(1066) )km
km----./
+-, /
120(10
\\
/1
\
R5
R5
\
-W-'A
-W-'A
o
Va
//
3.238
con valores
y rr conocidos,
3.238 En
Enelelproblema
problema 3.237,
3.237,con
valores de
deVovo, f3f3y
conocidos,
hallar
hallar la
la altura
altura máxima
máxima bb por
por encima
encima del
del punto
punto AA que
que alcanza
alcanza
la
lapartícula
partícula yy elelmódulo
módulo vv de
de su
su velocidad
velocidad en
en ese
esepunto.
punto.
//
//
//
///
80(1066))
80(10
km
km
Figura problema
problema
Figura
3.235
3.235
3.236 Una
Una partícula
partícula se
se mueve
mueve por
por el
el interior
interior liso
liso de
de una
una cáscás3.236
cara cónica
cónica yy recibe
recibe una
una velocidad
velocidad Vo
Vo tangente
tangente al
al borde
borde horihoricara
zontal en
en el
el punto
punto A.
A. Cuando
Cuando pasa
pasa por el
el punto
punto B,
B, aa una
una
zontal
distancia zz por debajo
debajo de
de A,
A, su
su velocidad
velocidad vv forma
forma un
un ángulo e
distancia
con la
la horizontal
horizontal tangente aa la
la superficie en
en B.
B.Hallar
las exprecon
Hallar las
siones de
de e yy la
la celeridad
celeridad v.
v.
siones
e
~ t ,
3.239
3.239 Determinar
Determinar el
el momento
momento cinético
cinético Ha
Ha respecto
respecto al
al punto
punto
de
de lanzamiento
lanzamiento O
O del
del proyectil
proyectil de
de masa
masa m
m que
que se
se dispara
dispara con
con
una
una celeridad
celeridad Vo
Vobajo
bajo un
un ángulo
ángulo e,e, tal
tal como
comose
serepresenta,
representa, (a)
(a) en
en
el
el momento
momento del
del disparo
disparo yy (b)
(b) en
en el
el momento
momento del
del impacto.
impacto. JusJustificar
tificar cualitativamente
cualitativamente los
los dos
dos resultados.
resultados. Despreciar
Despreciar la
la resisresistencia
tencia atmosférica.
atmosférica.
2
2mv03
2mv 3 sen
sen2ee cos
cos e
e
a "----Resp. (a)
(a) Ha
Ha == O,
O, (b)H
(b)Haa == -----=-----gg
':
i'
1,
01
Figura problema
Figura
problema 3.239
Figura
Figura problema
problema 3.236
3.236
3.237
3.237 Una
Una partícula
partícula se
se suelta
suelta sobre
sobre la
la pared
pared interna
interna lisa
lisa de
de un
un
depósito
depósito cilíndrico
cilíndrico en
en el
el punto
punto AA con
con una
una velocidad
velocidad Vo
Vo que
que forfor-
3.240 Un
Un péndulo
péndulo se compone
compone de dos masas
m asas concentradas
concentradas de
3.240
3,2
kg
montadas,
tal
como
se
muestra,
en
una
barra liviana
liviana
3,2 kg montadas,
como
muestra, en una barra
pero rígida.
rígida. Cuando
Cuando una
una bala
bala de 50 g,
g, que
que va
va aa vv =
= 300
300 mi
mi s en
en
pero
la dirección
dirección indicada,
indicada, impacta
impacta en
en la
la masa
masa inferior
inferior yy se
se incrusta
incrusta
la
en ella,
ella, oscila
oscila con
con una
una velocidad
velocidad angular
angular (O
úJ=
=6
6 rad
radI ss de
de sentido
sentido
en
horario en
en torno
torno aa la
la posición
posición vertical.
vertical. Calcular
Calcular la
la velocidad
velocidad
horario
angular (O'
úJ' que
que posee
posee el
el péndulo
péndulo inmediatamente
inmediatamente tras
tras el
el imimangular
pacto yy determinar
determinar su
su elongación
elongación angular
angular máxima
máxima e.e.
pacto
Figura
Figuraproblema
problema 3.237
3.237
Figuraproblema
problema 3.240
3.240
Figura
186
186
http://gratislibrospdf.com/
3.241
pequeña partícula
masa m y la cuerda,
partícula de masa
cuerda, a la que
3.241 La pequeña
está ligada, giran
una velocidad
velocidad angular
giran con una
angular O) sobre la supersuperficie horizontal
muestra en sección. CuanCuanficie
horizontal del disco liso, que se muestra
disminuye ligeramente,
ligeramente, r aumenta
aumenta y O)
O) cambia.
do la fuerza FF disminuye
Determinar la velocidad
demosDeterminar
velocidad de cambio de O) respecto
respecto a rr yy demostrar que el trabajo hecho por
durante un desplazamiento
desplazamiento dr
dr
por F durante
es igual a la variación
variación de la energía
partícula.
energía cinética de la partícula.
dO)
dO)
Resp.
Resp. -
dr
dr
20)
20)
= --- -
~ 3.242 El conjunto
~
conjunto de dos esferas de 5 kg está girando
girando libremente
e == 90°. Si la fuerza
mente en torno
torno al eje vertical
vertical a 40 rpm
rpm con e
F
necesaria para
para mantener
mantener esa posición
posición se aumenta
F necesaria
aumenta y eleva el
e se reduce
reduce a 60°,
60°, hallar
velocidad anguanillo base y e
hallar la nueva
nueva velocidad
Hallar también
variar la
lar O) • Hallar
también el trabajo U que realiza
realiza F para
para variar
configuración
todas
configuración del sistema. Se supondrán
supondrán despreciables
despreciables todas
las masas
masas salvo las de la esferas.
Resp.
rad / s, U =
Resp. O) = 3,00
3,00 rad/
= 5,34
5,34 JJ
r
lOOmm!
lOOmm!
I
w<=-?
ú) <=-?
r- rr----I
r-----1
1:-------1
1=------j,.JJlI
m
t
F
Figura
problema 3.242
Figura problema
Figura
problema 3.241
Figura problema
-e-
SECCiÓN
APLICACIONES ESPECIALES
SECCiÓN D. APLICACIONES
3.11
3.11
INTRODUCCiÓN
INTRODUCCiÓN
En las
las tres
de este
este capítulo
capítulo se han
desarrollado e ilustrado
ilustrado los
los
En
tres primeras
primeras partes
partes de
han desarrollado
principios
fundamentales
y los
los métodos
métodos propios
de la cinética
cinética de
de los
los puntos
principios fundamentales
propios de
puntos
materiales.
Ello incluía
incluía la aplicación
aplicación directa
directa de
de la segunda
segunda ley
ley de
de Newton
de
materiales. Ello
Newton y de
los teoremas
teoremas de
movimiento y del
momento
de las
las fuerzas
fuerzas vivas,
vivas, de
de la cantidad
cantidad de
de movimiento
del momento
cinético.
prestó una
una atención
particular al tipo
problema para
para el que
cinético. Se prestó
atención particular
tipo de
de problema
que es
más adecuado
uno de
planteamientos.
más
adecuado cada
cada uno
de los planteamientos.
En
parte D se tratan
brevemente algunos
temas que
merecen una
una atenEn esta
esta parte
tratan brevemente
algunos temas
que merecen
atención
particularizada. Estos
hacen necesario
necesario profundizar
profundizar más
ción particularizada.
Estos temas
temas hacen
más en
en la apliaplicación
principios fundamentales
de
por ello,
cación de
de los
los principios
fundamentales
de la Dinámica
Dinámica y, por
ello, su
su estudio
estudio
amplía la base
de conocimientos
conocimientos de
de la Mecánica.
Mecánica.
amplía
base de
3.12
3.12
CHOQUE
CHOQUE
Una
aplicación de
de los
los principios
del impulso
impulso y la cantidad
cantidad de
de moUna importante
importante aplicación
principios del
movimiento
encuentra en
en la descripción
descripción del
del comportamiento
comportamiento
de los
los cuerpos
cuerpos
vimiento se encuentra
de
que chocan.
chocan. El choque
choque se refiere
colisión de
de dos
dos cuerpos
cuerpos y se caracteriza
caracteriza por
que
refiere a la colisión
por
la generación
relativamente intensas
generación de
de fuerzas
fuerzas de
de contacto
contacto relativamente
intensas que
que actúan
actúan durandurantiempos muy
muy breves.
breves. Antes
Antes de
tema, conviene
te tiempos
de abordar
abordar el tema,
conviene que
que advirtamos
advirtamos
que un
choque es un
fenómeno muy
muy complejo
complejo que
que da
da lugar
lugar a la deformación
deformación
que
un choque
un fenómeno
de los materiales
de éstos
éstos con
con generación
generación de
calor y sonido.
sonido.
de
materiales y a la recuperación
recuperación de
de calor
187
http://gratislibrospdf.com/
188
CINÉTICA
DEl PUNTO
ClNÉTICA DEl
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
>
V1
Vl
V2
~~
~~
--~-~--~- ~- (a)
(a) Antes del choque
choque
~
Vo
~Vo
-00(b)
(b)
Máx
ima deforma
c ión
Máxima
deformación
durante
durante eell choqu
choquee
Vl/
Vl'
~~
<
V2'
~~
--~~---Q)-Q}-(e) Después
Después de
dell choqu
choquee
Figura
Figura 3.14
3.14
Unas pequeñas
pequeñas variaciones
variaciones en
un choque
pueden originar
Unas
en las
las condiciones
condiciones de
de un
choque pueden
originar
grandes
propio proceso
proceso y, por
por tanto,
tanto, en
grandes cambios
cambios en
en el propio
en la situación
situación inmediatainmediatamente posterior
posterior a éste.
Por ello, no
no hay
hay que
mente
éste. Por
que depositar
depositar excesiva
excesiva confianza
confianza en
en los
resultados de
de los cálculos.
cálculos.
resultados
(a)
(a) Choque
Choque central
central frontal. Como
Como introducción
introducción al estudio
estudio del
del choque
choque consiconsideremos
masa mI
mI Y m2
mueven a lo largo
una misma
misma
deremos dos
dos esferas
esferas de
de masa
m2 que
que se mueven
largo de
de una
recta
3.14a) a las
las velocidades
VI y
VI es mayor
que V2' tendrá
lugar una
recta (fig. 3.14a)
velocidades vI
Y V2. Si VI
mayor que
tendrá lugar
una
colisión
según la recta
recta que
une los
colisión estando
estando las fuerzas
fuerzas de contacto
contacto dirigidas
dirigidas según
que. une
centros;
esta situación
situación recibe
de choque
choque central
central frontal.
Iniciado el conconcentros; esta
recibe el nombre
nombre de
frontal. Iniciado
tacto, tiene
un corto
período de
hasta que
tacto,
tiene lugar
lugar un
corto período
de deformación
deformación que
que dura
dura hasta
que la susuperficie de contacto
contacto entre
perficie
entre ambas
ambas esferas
esferas deja
deja de
de crecer,
crecer, en
en cuyo
cuyo instante
instante (fig.
3.14b)
viajan a la misma
misma velocidad.
velocidad. Durante
Durante el resto
resto ddel
el tiempo
tiempo de
3.14b) las dos
dos viajan
de contacto tiene
tiene lugar
un período
período de restauración,
restauración, durante
tacto
lugar un
durante el cual
cual la superficie
superficie de
contacto
reduce a cero.
En la parte
parte c de
representa la situación
contacto se reduce
cero. En
de la figura
figura se representa
situación
final, en
poseen las
nuevas velocidades
velocidades vVII ' Y V2
en que
que ya las esferas
esferas poseen
las nuevas
V2"" siendo
siendo VVII '
necesariamente menor
menor que
Arbitrariamente se suponen
todas las
necesariamente
que V2 ''.. Arbitrariamente
suponen positivas
positivas todas
velocidades dirigidas
hacia la derecha,
por lo que
notación escalar
velocidades
dirigidas hacia
derecha, por
que con
con esta
esta notación
escalar
toda velocidad
velocidad dirigida
hacia la izquierda
negativo. Si el choque
toda
dirigida hacia
izquierda llevará
llevará signo
signo negativo.
choque
no es excesivamente
violento y si las
no
excesivamente violento
las esferas
esferas son
son elásticas
elásticas en
en sumo
sumo grado,
grado, éstas
éstas
recuperarán
su forma
forma original
original tras
de restauración;
choque es
recuperarán su
tras el período
período de
restauración; si el choque
más
violento y las
las esferas
esferas son
son menos
elásticas, puede
que éstas
éstas adquieadquiemás violento
menos elásticas,
puede resultar
resultar que
ran deformaciones
permanentes.
ran
deformaciones permanentes.
Tal como
vimos en
como vimos
en el apartado
apartado 3.9, dado
dado que
que durante
durante el choque
choque las fuerzas
fuerzas
de
tienen el mismo
mismo módulo
módulo y sentidos
la cantidad
movide contacto
contacto tienen
sentidos opuestos,
opuestos, la
cantidad de
de movimiento del
permanece constante.
Así pues,
pues, aplicando
miento
del sistema
sistema permanece
constante. Así
aplicando la ley d
dee la conconservación
movimiento podemos
podemos escribir
servación de
de la cantidad
cantidad de
de movimiento
escribir
(3.31 )
V
V11
--+
~
V2
--+
~
t, ~--~------~_
--~_ Fd
Periodo
deformación
Peri odo de deformación
Va
--+
~
Vo
--+
~
___ ~_
~_
F, _~
_~
__ _
--+
~
Vl'1'
V
--+
~
v2'
V2'
hipótesis de que
todas las
Ello en
en la hipótesis
que todas
las fuerzas
fuerzas que
que actúen
actúen sobre
sobre las
las esferas
esferas duranduranrelativamente
te el choque,
choque, diferentes
diferentes a las fuerzas
fuerzas de
de contacto
contacto internas,
internas, sean
sean relativamente
pequeñas y produzcan
produzcan impulsos
pequeñas
impulsos despreciables
despreciables en
en comparación
comparación con
con el impulso
impulso
asociado
una de
durante el ch
oque.
asociado a cada
cada una
de las fuerzas
fuerzas internas
internas desarrolladas
desarrolladas durante
choque.
Suponemos,
además, que
breve duración
no tienen
tienen luSuponemos, además,
que durante
durante la breve
duración del
del choque
choque no
lugar
posición apreciables.
gar cambios
cambios de
de posición
apreciables.
Para
condiciones iniciales
iniciales y unas
dadas, la ecuación
ecuación de
de conserconserPara unas
unas condiciones
unas masas
masas dadas,
vación de
movimiento contiene
vación
de la cantidad
cantidad de
de movimiento
contiene dos
dos incógnitas,
incógnitas, VI'
VI' Y V2 ''.. Es evievidentemente
necesaria
adicional para
determinar las
dentemente
necesaria una
una relación
relación adicional
para poder
poder determinar
velocidades
finales. En
esta relación
debe reflejarse
capacidad de
de los cuerpos
cuerpos
velocidades finales.
En esta
relación debe
reflejarse la capacidad
en
para recuperarse
recuperarse del
puede expresarse
mediante el coen contacto
contacto para
del choque
choque y puede
expresarse mediante
ciente e del
del impulso
impulso durante
durante el tiempo
de restauración
impulso durante
durante el
ciente
tiempo de
restauración y el impulso
tiempo
cociente recibe
de coeficiente
coeficiente de restitutiempo de ddeformación.
eformación. Este
Este cociente
recibe el nombre
nombre de
restitude las
las fuerzas
fuerzas
ción. Si representamos
representamos por
por F,
Fr YFd,
Y Fd, respectivamente,
respectivamente, los módulos
módulos de
contacto durante
durante los períodos
de restauración
de deformación
deformación (fig. 3.15),
de contacto
períodos de
restauración y de
definición de
de e combinada
combinada con
con el teorema
de la cantidad
cantidad d
dee movimiento
la definición
teorema de
movimiento nos
nos
dará para
dará
para la masa
masa puntual
puntual 1
Periodo de restauración
restauración
Periodo
Figura 3.15
Figura
e
mI [[-- v/
))
mI
v/ -- ((- Va
Va)]
m I [- v a - (- VI
mI[-Va-(VI)])]
http://gratislibrospdf.com/
y análogamente,
análogamente, para
para la masa
masa puntual
puntual 2 tendremos
tendremos
189
3.12
3.12 CHOQUE
CHOQUE
e
JS r,
II
lo
Fr dt
va)]
m22[-v
[-v
2'-(2 ' - (- va)]
m 22[-v
[- av-(-v])]
(
V
O
I )]
v2' - va
--va- v2
estas ecuaciones
ecuaciones -se ha
ha puesto
puesto cuidado
cuidado en
en expresar
expresar la variación
variación de la can
cantiEn estas
tidad
movimiento (y por
por tanto,
tanto, ~v)
L1v) en
en el mismo
mismo sentido
sentido que
impulso (y por
por
dad de movimiento
que el impulso
tanto la fuerza).
fuerza). El tiempo
tiempo durante
durante el cual
cual tiene
tiene lugar
lugar la deformación
deformación es ttao Y el
tanto
tiempo
tiempo de contacto
contacto total
total es t. Eliminando
Eliminando va entre
entre las dos
dos ecuaciones
ecuaciones y despedespejando
resulta
jando e resulta
e
velocidad relativa
relativa de separaciónl
separaciónl
I velocidad
I velocidad
velocidad relativa
relativa de acercamientol
acercamiento]
Materiales perfectamente
Materiales
perfectamente elásticos
elásticos
----------------------------
,------------,------------Vidrio
Vidrio con vidrio
vidrio
\ \,
\
Ampliemos ahora
ahora las relaciones
relaciones obtenidas
obtenidas al esAmpliemos
tudiar
caso en
tudiar el choque
choque central
central frontal
frontal al caso
en que
que las velocidades
velocidades iniciales
iniciales y finales
finales
no sean
sean paralelas
paralelas (fig. 3.17). En esta
esta situación,
situación, las esferas
esferas de masas
masas mI
m] Y
y m2' dodotadas
mismo plano,
tadas de las velocidades
velocidades iniciales
iniciales vI
v] Y
y V2
V2 contenidas
contenidas en
en el mismo
plano, se aceraceruna a la otra
otra siguiendo
siguiendo trayectorias
trayectorias de colisión
colisión tal como
como se representa
representa en
en la
can una
parte
figura. Las direcciones
direcciones de los vectores
vectores velocidad
velocidad se miden
miden arbitraarbitraparte a de la figura.
riamente a partir
partir de la dirección
dirección tangente
tangente común
común a las superficies
superficies en
en contacto
contacto
riamente
3.17b). Así
Así pues,
pues, las componentes
componentes de la velocidad
velocidad inicial
inicial según
según los ejes t y
(fig. 3.17b).
n son
son (V
(Vl)/l
v]I sen
sen el'
e], (VI)I
(V])I = Vv]I cos ev (V2)
(V2)"/1 = VI
v] sen
sen el
el y (V2)t
(V2)¡ = V2
v2 cos e22·. En
11
I) " = - V
parte ce de la figura
figura se representa
representa la situación
situación resultante
resultante tras
tras el rebote.
rebote. Las
la parte
http://gratislibrospdf.com/
11
\
(3.32)
(3.32)
además de las condiciones
condiciones iniciales
iniciales se conoce
conoce e para
para el choque
choque en
en cuescuesSi además
tión, las ecuaciones
ecuaciones 3.31 y 3.32 nos
nos darán
darán sendas
sendas ecuaciones
ecuaciones de las velocidades
velocidades
finales desconocidas.
desconocidas.
finales
choque van
Los fenómenos
fenómenos de choque
van casi siempre
siempre acompañados
acompañados de pérdida
pérdida de
de
energía, que
que puede
calcularse restando
restando a la energía
energía cinética
cinética del
del sistema
sistema inmeinmeenergía,
puede calcularse
diatamente antes
antes del
del choque
choque la energía
energía cinética
cinética del
del sistema
sistema inmediatamente
inmediatamente
diatamente
después
después del choque.
choque. Esta
Esta pérdida
pérdida de
de energía
energía tiene
tiene lugar
lugar mediante
mediante la generageneración de
de calor
calor durante
durante la deformación
deformación inelástica
inelástica localizada
localizada del
del material,
material, memediante la generación
generación y disipación
disipación de ondas
ondas elásticas
elásticas en
en el interior
interior de los
diante
cuerpos
de energía
acústica.
cuerpos y mediante
mediante la generación
generación de
energía acústica.
Según esta
esta teoría
clásica del
del choque,
choque, un
un valor
valor e
e = 1 significa
significa que
que la capacicapaciSegún
teoría clásica
dad
dad de los dos
dos cuerpos
cuerpos para
para restaurarse
restaurarse es igual
igual a su tendencia
tendencia a deformarse.
deformarse.
Esta condición
condición es la de choque
choque elástico,
elástico, sin
sin pérdida
pérdida de energía.
energía. En cambio,
cambio, un
un vavaOcaracteriza
choque inelástico
inelástico o plástico
en el cual
cual los cuerpos
cuerpos quedan
quedan
lor e == O
caracteriza al choque
plástico en
unidos
después del
del choque
choque y la pérdida
pérdida de
energía es máxima.
máxima. Todos
Todos los casos
casos
unidos después
de energía
de choque
entre estos
choque se encuentran
encuentran entre
estos dos
dos casos
casos extremos.
extremos. También
También debe
debe indiindicarse que
que se asocia
asocia un
un coeficiente
coeficiente de restitución
restitución a cada
cada par
cuerpos en
en conconcarse
par de cuerpos
tacto.
coeficiente de restitución
restitución se considera
considera a menudo
menudo constante
constante para
para geomegeomeEl coeficiente
trías dadas
dadas y para
para una
una combinación
combinación dada
dada de materiales
materiales en contacto.
contacto. En realirealidad,
dad, depende
depende de la velocidad
velocidad de choque
choque y tiende
tiende a la unidad
unidad cuando
cuando la
velocidad de choque
choque tiende
tiende a cero
cero tal como
como se representa
representa esquemáticamente
esquemáticamente en
en
velocidad
figura 3.16. Por
Por lo general,
general, los valores
valores de e consignados
consignados en
en manuales
manuales no
no son
son
la figura
fidedignos.
fidedignos.
(b) Choque
Choque central
central oblicuo.
oblicuo.
(b)
Coeficiente
Coeficiente de
restitución ee
restitución
"
,----------,-----------
\
Acero con acero
Acero
\
"
Plomo con plomo
plomo
Plomo
•......
....... _---------_---------Materiales perfectamente
Materiales
perfec~~~~ J?~sticos
J?~ s ticos
Q<===-===':::::'='='=:'=':=O-=-==-O'=-'='-=='-=='-==
'-===--Q Velocidad
Velocidad relativa
O
relativa al choque
choque
Figura 3.16
3.16
Figura
(al
(al
(bl
(el
(el
11
11
I
I
O
[F]
h
h
~ -F
- F
~
O:
II
I
too
Tiempo, t
(el)
(el)
(el
(el
Figura
Figura 3.17
3.17
190
CINÉTICA
ClNÉTICA DEl
DEl PUNTO
PUNTO MATERIAL
fuerzas de contacto, representadas
representadas por
por F y - F en la parte
parte d de la figura, varían
varían
desde
desde cero hasta
hasta su valor máximo durante
durante el período
período de deformación, para
anularse nuevamente
nuevamente durante
durante el período
período de restauración,
anularse
restauración, tal como se indica en
parte ee de la figura, donde
donde t es el intervalo
intervalo de duración
duración del choque.
la parte
Para unos valores iniciales dados
dados de mI,
mI, m2'
m2' (VI)",
(VI)I1' (VI)¡,
(VI)¡, (V2)"
(V2)11 y (V2)
(V2)/ ¡ se tendrán cuatro incógnitas, es decir, (VI
(VI ')",
')", (VI
(VI ')¡, (V2 ')1'1 y (V2
(V2 'JI'
')/. Entonces las cuatro
drán
ecuaciones que necesitamos
necesitamos son:
(1)
(1) La cantidad
cantidad de movimiento
movimiento se conserva
conserva en la dirección n, lo que nos da
(2) Y
Y(3)
Se conserva la cantidad
cantidad de movimiento
movimiento de cada masa en la direc(2)
(3) Se
pues ninguna
ninguna de ellas recibe impulso
impulso alguno según
según esa dirección. Así
ción x, pues
pues,
m
mII(v(v1')t
I ')¡
m22(v
(v2')t
2') ¡
':
\ '
(4) El coeficiente de restitución,
restitución, al igual que en el caso del choque central
(4)
módulos del impulso
impulso restaurador
restaurador y del impulso
impulso de
frontal, es el cociente de los módulos
3.32 será pues
pues aplicable a las componentes
componentes de las vedeformación. La ecuación 3.32
locidades
notación utilizada
utilizada en la figura 3.17
3.17 tendrelocidades en la dirección n y con la notación
mos
ee
(V2')n n - (v1I')n
(V2')
')n
(v2)n
(v1l)n)n - (V2)n
halladas las cuatro componentes
componentes de las velocidades,
velocidades, finales,
finales, los ánUna vez halladas
3.17 se determinan
determinan fácilmente.
gulos 811'' Y 822' de la figura 3.17
TIPO 3.24
3.24
PROBLEMA TIPO
El mazo
mazo de un
un martinete
martinete de hincar
hincar pilopilouna masa de 800 kg Y se suelta,
tes tiene una
suelta,
encima
a partir
partir del reposo, desde 2 m por encima
2400 kg. Si se
de la cabeza del pilote
pilote de 2400
observa que el mazo
mazo rebota hasta
hasta una
una alobserva
impacto sobre el pitura de 0,1 m tras su impacto
calcular (a) la velocidad
velocidad vpp' ' del
lote, calcular
pilote
inmediatamente tras el impacto,
impacto,
pilote inmediatamente
coeficiente de restitución
restitución aplicable
aplicable
(b) el coeficiente
yy (e)
(c) la pérdida
energía
pérdida porcentual
porcentual de energía
impacto
debida al impacto
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Altura de
de caída
caída 2 m
Altura
h
h
'}}Jf~~lJj,fY.
'.cD;f~~l&~,f>
111
11I
Rebote
Rebote
m
0,1 m
--------------------------------------------Solución.
La conservación de la energía durante una caída libre nos da v
J2iii para las velocidades inicial y final del mazo. O sea
Vm
=
J2(9,81)(2)
=
vm' = J2(9,81)(0,1)
6,26 mI s
=
=
.:O
1,40 mIs
Mazo
La conservación de la cantidad de movimiento del sistema formado por
mazo y pilote nos da
(a)
vr'
800(6,26) + O = 800(- 1,40) + 2400vr'
=
2,55 mI s
Des~ués del
coque
Antes del
choque
',.0
Resp.
lO
Pilote
I
I
I
Ot""
01"
Y
(b)
El coeficiente de restitución resulta ser
e
=
! vel. rel. de separación!
[vel. rel. de acercamiento!
2,55 + 1,40 = O 63
6,26 + O
'
=
e
Resp.
(c)
La energía cinética del sistema inmediatamente antes del impacto es la
misma que posee el mazo en reposo con relación al pilote y vale
T = Vg
=
mgh = 800(8,91)(2)
=
CD los
impulsos debidos a los pesos del
mazo y el pilote son muy pequeños
comparados con los impulsos de las
fuerza de choque y por ello se desprecian durante éste.
15 700 J
Inmediatamente después del impacto la energía cinética T' es
T' = ~(800)(1,40)2+ ~(2400)(2,55)2 = 8590
J
Por tanto, la pérdida porcentual de energía será
15700 - 8590(100)
15700
.
"
=
45
'
301
/0
:•.•.. ~~".,.. ,
Resp.
.
.
.
Sobre la placa metálica de gran masa se
lanza una bola de acero a la velocidad de
16 mis bajo el ángulo de 30° indicado.
Siendo 0,5 el coeficiente de restitución
efectivo entre la bola y la placa, calcular
la velocidad u' y el ángulo e' de rebote.
PROBLEMA TIPO 3.25
6
W« Fchoque
t
2
CD Obsérvese
Solución.
La bola será el cuerpo 1 y la placa será el cuerpo 2. La masa de la placa puede suponerse infinita y, por tanto, su velocidad después del impacto será
nula. El coeficiente de restitución debe aplicarse a las componentes de las velocidades normales a la placa, que tienen la dirección de las fuerzas de contacto, y
entonces
0,5
- 16 sen 30· - O
http://gratislibrospdf.com/
Fchoque
aquí que al ser la masa infinita no hay posibilidad de aplicar
al sistema el principio de conservación de la cantidad de movimiento en la dirección Vi' En el diagrama
para sólido libre se observa que hemos despreciado el impulso producido por el peso W, ya que éste es
muy pequeño comparado con la
fuerza de contacto.
La
de movimiento
movimiento de
de lalabola
bola permanece
permanece inalterada
inalterada en
en laladirección
dirección t,i,
Lacantidad
cantidad de
pues
pues suponiendo
suponiendo superficies
superficies lisas
lisasno
no actúan
actúan fuerzas
fuerzas sobre
sobre lalabola
bola en
enesa
esadirecdirección.Así
Asípues,
pues,
ción.
La
Lavelocidad
velocidad de
de rebote
rebote v'
u' yy elelángulo
ángulo e'
e'correspondiente
correspondiente serán
serán
e, =
arctg
(VI')n)
(vI')t
( 4 )
= arctg
arctg (13~86)
13,86 = 16,1
16,1
0
Resp.
Resp.
o
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.26
3.26
t , ,
•
I
~
I
_'"
l
¡,
11
\
\
\'I-:
~
\~
()
()
~
2r
2r
\
\
f'
y'
La partícula
partícula esférica 11 lleva una
una velocivelocimis en la dirección
dirección indicada
indicada
dad vI == 6 mIs
yy choca con la partícula
esférica 2, de
partícula esférica
igual masa
iniigual
masa yy diámetro,
diámetro, que
que se halla
halla inicialmente en reposo. Si en estas
estas condicondicialmente
ciones
ciones el coeficiente
coeficiente de restitución
restitución ee es
0,6, determinar
determinar el movimiento
movimiento de cada
0,6,
masa después
después del choque.
choque. Calcular
Calcular tamtammasa
bién el porcentaje
porcentaje de energía
energía perdida
perdida aa
bién
causa
causa del
del choque.
choque.
2~
I
I
I
1(j
V1
V1
Solución. Durante
Durante el
el contacto
contacto la
la geometría
geometría indica
indica que
que la
la normal
normal 11n aa las
las supersuperSolución.
ficies en
en contacto
contacto forma
forma un
un ángulo
ángulo ee=
= 30°
30° con
con la
la dirección
dirección de
de Vv
Vv tal
tal como
como se
se ininficies
CD dica
di ca en
en la
la figura.
figura. Así,
Así, las
las componentes
componentes iniciales
iniciales de
de las
las velocidades
velocidades serán
serán (vI)n
(Vl) n=
=
C})
vI cos
cos 30°
30° == 66 cos
cos 30°
30° ==5,196
5,196 mi
m Is,s, (VI)t
(Vl)/ == VIVI sen
sen 30°
30° == 66 sen
sen 30°
30° == 33 mi
m Iss yy (V2)n
(V2)"==
VI
(V2)t
(V2)1 == O.O.
La conservación
conservaciónde
de la
la cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento del
del sistema
sistema de
de dos
dos partículas
partículas
La
en
en la
la dirección
dirección 1111 da
da
11
11
oosea,
sea,como
como m¡
mI == m2f
mu
11
11
\
\
\
\
\
\
~F//
~F//
ofu
(a)
(a)
Lafórmula
fórmul adel
delcoeficiente
coeficientede
derestitución
restituciónes
es
La
e
=
(V2')n - (vI')¡¡
(vI)n - (v2)n
192
192
http://gratislibrospdf.com/
0,6
0,6
(V 1')11
(V(V
2 ')11- - (vI')n
2')¡¡
5,196-- OO
5,196
(b)
(b)
®2
Resolviendoelelsistema
sistemadedeecuaciones
ecuacionesformado
formadopor
por(a)(a)yy(b)(h)resulta
resulta
Resolviendo
(v 2 ') n = 4,16 m / s
Conlalahipótesis
hipótesisde
deque
quelas
lassuperficies
superficiesson
sonlisas,
lisas,no
nohay
hayfuerzas
fuerzasen
enlaladirección
direcciónt t
Con
en tonces,en
enesa
esadirección
direcciónseseconservan
conservanlas
lascantidades
cantidadesde
d emovimiento
movimientode
delas
las
y,y,entonces,
partículas.OOsea,
sea,para
paralas
laspartículas
p artículas11yy22sesetiene
tiene
partículas.
3
®
)t = m1(v
')t
mm
1(v
1)t1 = mI(v
I')t1
I(v
m/s
(v(vI')t1') t == (v(vI)t1 )t == 33mis
) f = m 2(v
') f
mm2(v
2(v
2)2t = m2(v
2')2 t
(v2')t
(v2)t2 )t == OO
(v
2 ')t == (v
Las celeridades
celeridadesfinales
finales de
delas
laspartículas
partículasson
son
Las
El ángulo
án gulo (J(J que
que v¡'
v1' forma
forma con
con la
la dirección
dirección ttes
El
es
1 ')n
,
n )]
v')
(V 1
( 1,039
1039) = 19,1°
arctg ( (v
(V'f
arctg (-3-)
3efY == arctg
== arctg
= 19,1
( 2')n
Resp.
Resp.
o
2
11
mI =
= m2las
m2 las energías
energías cinéticas inmediatamente
inmediatamente antes
antes e inmediatamente
inmediatamente desdesCon m1
pués
del
choque
son
pués del choque son
2 ~m2v/ = ~m (6) 2 + O = 18m
=
= ~ml
~mI v112 +
+ ~m2v/
= ~m(6)2 + O = 18m
v '2 +
v '2
--= !m
+ !m
~m(3,17)2
+ !m(4
~m(4,l6)2
=
2~mIvI'2
11
2~m2v2'2
2
2-=-!m(3
2 ' 17)2 +
2
' 16)2 =
T
TT''
13
13,68m
, 68m
El
ergía perdida
El porcentaje
porcentaje de
de en
energía
perdida será,
será, pues,
pues,
IL\EI(100)
IL\EI(100)
EE
TT -- r(100)
T'(100)
TT
18m - 13,68m(100)
18m
= 24%
Resp.
Resp.
CD
CD EsEsesencial
esencial establecer
establecer unas
unas coordenadas
coordenadas nnyy ttrespectivamente
respectivamente normal
normal yy tantanQ
Q
gente
gente aa las
las superficies
superficies en
en contacto.
contacto. los
los cálculos
cálculos relativos
relativos alal ángulo
ángulo de
de 30
30 son
son
cruciales
cruciales en
en lolo que
que sigue.
sigue.
o
(3) Adviértase
Adviértase que
que aunque
aunque en
en elel problema
problema clásico
clásico del
del choque
choque central
central oblicuo
oblicuo
haya
haya cuatro
cuatro ecuaciones
ecuaciones en
en cuatro
cuatro incógnitas,
incógnitas, sólo
sólo están
están acopladas
acopladas una
una pareja.
pareja.
®®
Obsérvese
Obsérvese que
que lalapartícula
partícula 22carece
carece de
de componente
componente t ten
ensus
susvelocidades
velocidades iniinicial
cialyyfinal.
final. Por
Portanto,
tanto, susuvelocidad
velocidad final
final VV2'
está confinada
confinada en
enlaladirección
dirección n.n.
2 está
193
193
http://gratislibrospdf.com/
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Problemas introductorios
introductorios
Problemas
VI' Y V2
V2'' después
después del
3.243 Calcular las velocidades
velocidades finales VI'
deslizan a lo largo de la bachoque de los dos cilindros que se deslizan
0,6.
rra lisa horizontal.
horizontal. El coeficiente de restitución
restitución es e == 0,6.
Resp.
VI' =
= 4,52
izquierda),
Resp. VI'
4,52 mi
m i s (hacia la izquierda),
V2'' =
= 2,68
2,68 mi
V2
mi s (hacia la derecha)
-~~~~¡~F
~~~~~F
VI
VI
= 7 mi/s
s
=7m
pm
~ ~~
V
B
A
Figura problema
problema 3.246
V2 = 5 mi s
v2=5m/s
mI =
=
mI
= 3 kg
2 kg
m2 =
Figura problema
problema 3.243
t t t
m
suelen rechazarse
consiguen
3.224 Las pelotas de tenis suelen
rechazarse si no consiguen
rebotar hasta el nivel de la cintura
cintura cuando
cuando se las deja caer desSi una
exactamente la
de el nivel de los hombros.
hombros. Si
una de ellas pasa exactamente
prueba
prueba tal como se indica en la figura, hallar
hallar el coeficiente de
restitución
perdida en
restitución e y el porcentaje n de la energía original perdida
el choque.
3.247 La esfera de masa mI
mI se mueve
mueve con una
una velocidad
velocidad inicial VI dirigida
dirigida como se indica y golpea a la esfera de masa m2'
Para un coeficiente de restitución
restitución e, hallar
hallar para
para qué cociente
mI
m2 resulta
queda inmóvil tras el choque.
mI I m2
resulta que mI
mI se queda
m
Resp.
-..2 == ee
Resp . .....!
m
m22
---~-----~-----~-----~---
m,
mI
Figura problema
problema 3.247
--\
mA rueda
derecha al chocar
3.248 El vagón
vagón A de masa mA
rueda hacia la derecha
mB en reposo inicialmente. Si
Si ambos
con el vagón B de masa mB
vagones se acoplan tras el impacto, demostrar
demostrar que la fracción
mal (m
(mAA + mB)'
mB)'
de energía perdida
perdida vale mBI
--'--\-01
1f
- \-\ /Pl 1600
\ I
IfIJlOO
I/IJI00
11II
\
\ /
\ I
1600
mm
mm mm
VV
((l~
t.¡
Figura problema
problema 3.244
Si la pelota de tenis del problema
3.244 tiene un coeficoefi3.245 Si
problema 3.244
0,8 al chocar con el suelo de la cancha,
restitución e == 0,8
ciente de restitución
lanzarse hacia abajo deshallar la velocidad
velocidad va con la que debe lanzarse
de la altura
altura de 1600
1600 mm correspondiente
correspondiente al nivel de los hombros para
para que regrese hasta
hasta la misma altura
altura tras rebotar
rebotar una
una
vez en la superficie de la cancha.
Resp.
mi s
Resp. Va == 4,20
4,20 mi
aquílos dos automóviles
automóviles del problema
3.192.
3.246 Se repiten
repiten aquílos
problema 3.192.
El
El B está inicialmente parado
parado y recibe el golpe del A que lleva
una celeridad
celeridad v. Si
Si la masa del automóvil
automóvil B es pm,
pm, siendo m
m la
masa del A
P una constante
constante positiva,
AyP
positiva, y si el coeficiente de restitución es e == 0,1
0,1 expresar
expresar las celeridades
celeridades V A'
VB' de los dos
A' Y VB'
automóviles después
después del choque en función de pp y v.
v. Evaluar
automóviles
expresiones para
0,5.
las expresiones
para pp == 0,5.
A
A
B
B
Figura problema
problema 3.248
Problemas representativos
representativos
Problemas
deslizarse libre3.249 Tres cilindros de acero iguales pueden
pueden deslizarse
mente por el árbol horizontal
fijo. Los cilindros 2 y 3 están en
horizontal fijo.
reposo y a ellos se aproxima
aproxima el cilindro 1 con una
celeridad u.
una celeridad
Expresar la velocidad
velocidad final V del cilindro 3 en función de u y del
restitución e.
coeficiente de restitución
2
u
Resp.
Resp. V = 4(1
4(1 + e)
194
http://gratislibrospdf.com/
--
aproximadamente.
aproximadamente.¿Cuál
¿Cuáldebería
deberíaser
serlalamasa
masadel
delmazo?
mazo?CalcuCalcular
larlalavelocidad
velocidadv Vdel
delpilote
piloteinmediatamente
inmediatamentedespués
despuésdel
delchochoque
quesisicae
caeelelmazo
mazosobre
sobreelelpilote
pilotedesde
desdeuna
unaaltura
alturade
de44metros.
metros.
Calcular
tambiénlalapérdida
pérdidade
deenergía
energía!lE
óEen
encada
cadagolpe.
golpe.
Calculartambién
uu
11
22
33
3.249
Figuraproblema
problema 3.249
Figura
3.250 El
Elcilindro
cilindro11de
demasa
masammque
quese
semueve
mueveaalalavelocidad
velocidadVlVI
3.250
golpea
contra
el
cilindro
2
de
masa
2m
inicialmente
enreposo.
reposo.
golpea contra el cilindro 2 de masa 2m inicialmente en
¡.
te
Lafuerza
fuerzade
decontacto
contactoFFvaría
varíacon
coneleltiempo
tiempotal
talcomo
comose
sereprerepreLa
senta,siendo
siendot tdlaladuración
duracióndel
delperíodo
períodode
dedeformación
deformaciónyy i;trlala
senta,
d
duración del
del período
período de
de restauración.
restauración. Hallar
Hallar lala velocidad
velocidad V2'
V2'
duración
delcilindro
cilindro22inmediatamente
inmediatamentedespués
después del
delchoque
choqueen
enfunción
función
del
de la
la velocidad
velocidad inicial
inicial VlvI del
del cilindro
cilindro para
para (a)
(a) i,t r == td'
td,
de
(b)
t
=
0,5
t
Y
(e)
t
=
O.
r
d
r
(b) i, = 0,5 td Y (e) t, = O.
--VI
V2
_F
Vl'
Figura problema
problema 3.252
3 .252
Figura
=O
3.253
3.253 ¿A
¿A qué
qué altura
altura hhhay
hay que
que servir
servir horizontalmente
horizontalmente la
la pelopelo-
__
m
m
_
(Después)
____ (Después)
Vl'
Fuerza, F
(Antes)
(Antes)
2m
2m
_
- _
I"L-_----+_--\JVL
rL-----¡.----4/V-'-- Tiempo,
Tiempo,
tt
V 2'
V2'
Figura problema
problema 3.250
3.250
Figura
'n
ta
ta de
de ping-pong
ping-pong para
para que
que su
su centro
centro salve
salve la
la red
red como
como se
se indica?
indica?
Hallar
también
h
.
El
coeficiente
de
restitución
en
los
Hallar también h22 . El coeficiente de restitución en los impactos
impactos
entre
entre la
la pelota
pelota yy la
la mesa
mesa es
es ee =
= 0,9
0,9 yY el
el radio
radio de
de la
la pelota
pelota es
es rr =
=
18,75mm.
18,75 mm.
Resp.
Resp. hh == 273
273 mm,
mm, hh22 =
= 185,8mm
185,8 mm
3.251
3.251 Hallar
Hallar el
el coeficiente
coeficiente de
de restitución
restitución ee para
para una
una bola
bola de
de
acero
acero que
que caiga
caiga desde
desde el
el reposo
reposo desde
desde una
una altura
altura hh sobre
sobre una
una
placa
placa de
de acero
acero de
de gran
gran masa
masa sabiendo
sabiendo que
que en
en el
el segundo
segundo rebote
rebote
.
sube
hasta
una
altura
h
sube hasta una altura h22·
h
h)
h2 1/
4
1/4
Resp.
Resp. ee == ((:)
Figura problema
problema 3.253
3.253
Figura
3.254 La
Labola
bola de
de acero
acero choca
choca con
con la
la pesada
pesada placa
placa de
de acero
acero con
con
3.254
una celeridad
celeridad va
va==24
24mI
mi ssyyun
un ángulo
ángulo de
de 60°
60°con
conla
lahorizontal.
horizontal.
una
Sielelcoeficiente
coeficiente de
de restitución
restitución es
es ee==0,8,
0,8,calcular
calcular la
la celeridad
celeridad vv
Si
y
la
dirección
e
con
que
la
bola
sale
rebotada
de
la
placa.
y la dirección e con que la bola sale rebotada de la placa.
Figura
Figuraproblema
problema 3.251
3.251
3.252
3.252 Al
Alseleccionar
seleccionarelelmazo
mazode
deun
unmartinete
martinete sesedesea
deseaque
queen
en
cada
cadagolpe
golpeelelmazo
mazo ceda
cedatoda
toda su
suenergía
energía cinética.
cinética.Es
Esdecir,
decir,lala
del
mazo
inmediatamente
después
del
choque
velocidad
velocidad del mazo inmediatamente después del choquedebe
debe
ser
sernula.
nula.Los
Lospilotes
pilotesque
quesesetrabajan
trabajanson
sonde
de300
300kg
kgcada
cadauno
unoyy
lalaexperiencia
experienciaindica
indicaque
queelelcoeficiente
coeficientede
derestitución
restitución será
será0,3
0,3
Figuraproblema
problema 3.254
3.254
Figura
195
195
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3.255 ElElproblema
problema anterior
anterior sesemodifica
modifica de
demodo
modo que
que lalaplaca
placa
3.255
conlalaque
que ch
choca
bola tiene
tiene ahora
ahora una
una masa
masa igual
igual aalaladde
ésta
oca lalabola
e ésta
con
y
está
apoyada
como
se
muestra.
Calcular
las
velocidades
finay está apoyada como se muestra. Calcular las velocidades finalesde
de ambas
ambas mmasas
inmediatamente después
después del
del choque
choque sisilala
les
asas inmediatamente
placa está
está inmóvil
inmóvil yylas
lasdemás
demás condiciones
condiciones son
son las
lasmismas
mismas que
que
placa
en elelproblema
problema anterior.
anterior.
en
Resp. Pelota,
Pelota, Vv1'1' ==12,20
12,20mmi/ s,s,ee==-- 9,83°
9,83°
Resp.
Placa, V2
v2'
18,71m
mii ss(hacia
(hacia abajo)
abajo)
Placa,
' ==18,71
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I I
-(
, /~-(
f
\
/
I
I
I
f
/
I
I
\ \
I
,\.
I I
I
I
I
I
,
I
",.'
-
--+-
V II
Vl
Figura
Figura problema
problema 3.257
3.257
3.258
3.258 La
La bola
bola se
se suelta
suelta en
en la
la posición
posición AA yy cae
cae sobre
sobre el
el plano
plano ininclinado
e 0,75
clinado desde
desde una
una altura
altura dde
0,75 m
m.. Si
Sien
en el
el choque
choque el
el coeficiencoeficienallar el
te
te de
de restitución
restitución es
es ee == 0,85,
0,85, hhallar
el alcance
alcance R
R medido
medido plano
plano
abajo.
abajo.
Figura problema
problema 3.255
3.255
Figura
-o----OA
i
0,75 m
1,
3.256 H
Hay
que introducir
introducir la
la bola
bola de
de billar
billar B
B en
en la
la tronera
tronera latelate3.256
ay que
ral D
D jugándola
jugándola con
con rebote
rebote por
por la
la bbanda
en C.
C. Especificar
Especificar la
la popoanda en
ral
sición
x
del
impacto
en
la
banda
para
un
coeficiente
de
sición x del impacto en la b anda p ara un coeficiente de
restitución
(a)
e
=
1
Y
(b)
e
=
0,8.
restitución (a) e = 1 Y (b) e = 0,8.
:
I
t
_-~,
->
-'---f---'''--G;:;:,.t~/'
'1
.
tI
h,
,', .
8t============j?;::::=:;::D
9t============,~Dt===:J
t::::=:j
....
\\
1: :
1
A O
O
A
BO
80
:\ v
¡\Z
I
¡i
//
\/1
\ /1
i
:
d/2
d/2
3.259 En
En una
una partida
partida de
de billar
billar la
la bola
bola blanca
blanca AA debe
debe golpear
golpear aa
3.259
bola ocho
ocho en
en la
la posición
posición que
que se
se indica
indica al
al objeto
objeto de
de lanzarla
lanz arla
la bola
la
tronera
a
una
velocidad
V2
'
.
La
bola
blanca
tiene
una
contra
la
contra la tronera a una velocidad v2 '. La bola blanca tiene una
velocidad V1
V1 antes
antes del
d el choque
choque yy una
una velocidad
velocidad V1
V 1'' después
después del
del
velocidad
choque.El
El coeficiente
coeficiente de
d e restitución
restitución es
es 0,9.
0,9. Las
Las dos
dos bolas
bolas tienen
tienen
choque.
f~
~~===;
I
I-X_C
l.
~
:
O:
I
!
:
I
I
\ '
3.258
3.258
d/2
d/2
~
/-:-t
/ -:-t
:
/
/
Figura problema
problema
Figura
d
•
Figura
Figura problema
problema 3.256
3.256
3.257
representan nn esferas
esferas de
de igual
igual masa
m asa mm
3.257 En
En lala figura
figura se
se representan
que
que cuelgan
cuelgan alineadas
~lin eada s de
de otros
otros tantos
tantos cables
cables yy de
de forma
forma que
que
casi
casisesetocan
tocanuna
unaaaotra.
otra.SiSisesesuelta
su eltalalaesfera
esfera11desde
desdelalaposición
posición
de
detrazos
trazosyygolpea
golpealalaesfera
esfera22aalalavelocidad
velocidadVv
Vvescribir
escribirlalaexpreexpresión
sión de
de lala velocidad
velocidad VII de
de lala enésima
enésima esfera
esfera inmediatamente
inmediatamente
después
despuésde
deser
sergolpeada
golpeadapor
porlalacontigua
contiguaaaella.
ella.ElElcoeficiente
coeficientede
de
restitución
común
es
e.
restitución común es e.
VII
Resp.
Resp.
e)n-1
e)/- vI
11++
VII == ((-2- 2-
VII
VI
1
Figuraproblema
problema 3.259
3.259
Figura
196
196
http://gratislibrospdf.com/
----------------------------------------------------ee
iguales masa
masa yy diámetro.
diámetro. Calcular
Calcular elel ángulo
án gulo de
d e rebote
rebote yy lala
iguales
de energía
energía cinética
cinética que
que se
se pierde
pierde en
en elel choque.
choque.
fracción nn de
fracción
Resp. ==2,86°,
2,86°, nn ==0,0475
0,0475
Resp.
yy
II
ee
VB=
vB=
12
12mis
m is
L-
I
~kgL-
dos bolas
bolas de
de acero
acero iguales
iguales se
se mueven
mueven con
con las
las velociveloci3.260 La
La dos
3.260
dades iniciales
iniciales vvAA yy vB
VB Ychocan
Y chocan como
como se
se muestra.
muestra. Siendo
Siendo ee== 0,7
0,7
dades
elcoeficiente
coeficiente de
de restitución,
restitución, hallar
hallar la
la velocidad
velocidad de
de cada
cada bola
bola ininel
mediatamente tras
tras el
el impacto
impacto yy el
el porcentaje
porcentaje nn de
de energía
energía cinécinémediatamente
perdida.
tica perdida.
tica
!2kg
10kgrD::::~"10kgrn:::=~~ ___ xx
__ -UB
~~~UB
--
45°1
45°1
AA
/VA
mis/ s
jVA== 1313m
yy
Figura
Figura problema
problema 3.262
3.262
II
vA=6 m /s l
vA=6m/sl
~oo :
~Oo:
3.263
3.263 Determinar
Determinar el
el coeficiente
coeficiente de
de restitución
restitución ee que
que hace
hace que
que
la
la bola
bola rebote
rebote tal
tal como
como se
se muestra
muestra escalera
escalera abajo.
abajo. La
La huella
huella yy la
la
contrahuella
contrahuella tienen
tienen las
las mismas
mismas medidas,
medidas, dd yy hh respectivamenrespectivamente,
en todos
todos los
los escalones
escalones yy la
la bola
b ola rebota
rebota hasta
h asta la
la misma
misma altura
altura
te, en
hh I por
por encima
encima de
de cada
cada escalón.
escalón. ¿Qué
¿Qué velocidad
velocidad Vxx hace
hace falta
falta
para
para que
que la
la bola
bola impacte
impacte en
en el
el centro
centro de
de cada
cada huella?
huella?
::8----,
8----,
f
t
V8=8m/s
tVB=8m/s
Figura problema
problema 3.260
3.260
Figura
Resp. ee ==
Resp.
3.261 La
La esfera
esfera A tiene
tiene una
una masa
masa de
de 23 kg
kg Y un
un radio
radio de
de 75
3.261
mm, mientras
m ientras la
la B tiene
tiene una
una masa
masa de
de 4 kg
kg Y un
un radio
radio de
de 50 mm.
mm.
mm,
describen las
las trayectorias
trayectorias paralelas
paralelas representarepresentaSi inicialmente
inicialmente describen
das
las velocidades
velocidades indicadas,
indicadas, hallar
hallar sus
sus velocidades
velocidades inmedas con
con las
inmediatamente tras
tras el impacto.
impacto. Especificar
los ángulos
diatamente
Especificar los
ángulos eA
eA y e
eBBque
que
forman
velocidad de
rebote con
coefiforman los
los vectores
vectores velocidad
de rebote
con el eje x. El coefirestitución es 0,4 y se desprecia
rozamiento.
ciente
ciente de
de restitución
desprecia el rozamiento.
Resp. v AA' == 2,46 mi
Resp.
m / s, e
eAA== 40,3°
40,3°
V
B' = 9,16 m i s, B
= - 88,7°
vB!=9,16m/s,
B=-88,7°
h--¡---h"
J"J;1;
h'h"
+
+
1'
1
Vx =
=
v,
~d
¡~+h
ru
~
Jii'
+ ,.¡h'
h' +
h
,.¡ h'
h'+
+h
/--'
f
ee
Figura problema
problema 3.263
3.263
yy
I
. II
A
3.264 En un
un minigolf
minigolf un
un tiro
tiro desde
desde la posición
posición A hacia
hacia el hoyo
hoyo
3.264
debe realizarse
realizarse con
con rebote
rebote en la banda
banda de 45°. Empleando
Empleando la
D debe
teoría de este
este apartado,
apartado, determinar
determinar la distancia
distancia x para
para la cual
cual
teoría
conseguirá el hoyo.
hoyo. El coeficiente
coeficiente de restitución
restitución asociado
asociado al
se conseguirá
choque con la banda
banda es e == 0,8.
choque
v',
0~x
~-x
---O----r
---0----Fs
4m/s
4m/s
mm
75mm
----
2d-r~~~
- ---
12
m is
12m/s
B
B
Figura
Figura problema
problema 3.261
3.261
3.262
3.262 La
La esfera
esfera A
A choca
choca con
con la
la esfera
esfera B
B tal
tal como
como se
se representa.
representa.
Si
Si es
es ee ==0,5
0,5 el
el coeficiente
coeficiente de
de restitución,
restitución, hallar
hallar las
las componentes
componentes
xx ee yy de
'esfera inmediatamente
de la
la velocidad
velocidad de
de cada
cadaesfera
inmediatamente tras
tras el
el imimpacto.
pacto. El
El movimiento
movimiento está
está confinado
confinado en
en el
el plano
plano x-y.
x-y.
-t
-t
yo
yD
dd
liI¡
tti'
i'
.1
.1
-A-=--~~--e'\. 45°
-..1-=----=------=------.:-=
í/xC~
-J.Ix
¡::=:==========~B
~==========~
450
B
Figura problema
problema 3.264
3.264
Figura
197
197
http://gratislibrospdf.com/
o
u
3.265 Durante el precalentarniento anterior a un partido, dos
pelotas de baloncesto chocan, tal como se muestra, encima del
aro. Inmediatamente antes, la pelota 1 lleva una velocidad vl
que forma un ángulo de 30° con la horizontal. Si, también inmediatamente antes del choque, la pelota 2 lleva una velocidad V2
de módulo igual al de Vl' hallar los dos posibles valores del ángulo e, medidos respecto a la horizontal, que pueden hacer que
la pelota 1entre directamente por el centro del aro. El coeficiente de restitución es e = 0,8.
Resp. e = 82,3° ó - 22,3°
de la esquina izquierda e al punto donde la bola blanca golpea
en la banda después de chocar con la bola ocho. Las bolas, de
masa iguales, tienen 50 mm de diámetro y el coeficiente de restitución es e = 0,9.
~ 3.267 Un niño lanza una pelota desde el punto A con una
celeridad de 15 mi s. La pelota golpea el muro en el punto B y
luego regresa exactamente al punto A. Hallar cuál ha de ser el
ángulo a si el coeficiente de restitución en el choque con la pared es e = 0,5.
Resp. a = 11,55° 78,4°
ó
2
-----~------.::¡,B
/
/
..#:'---
----
-- --"
/
-Q--
3m
l'
Figura problema
¡,
Figura problema
3.265
1,
,I
l'
h,
,',.
,....
En una partida de billar, la bola ocho ha de ser golpeada
por la blanca A para que la impulse a entrar por la tronera de
la esquina derecha B. Especificar la distancia x desde la tronera
3.266
,
1200mm
_600mm_
~ 3.268 La esfera de 2 kg se proyecta horizontalmente con
una velocidad de 10 mi s contra el carro de 10 kg apoyado en
el resorte de 1600 N I m de rigidez. Inicialmente el carro está en
reposo y el resorte sin comprimir. Si el coeficiente de restitución es 0,6, calcular la velocidad de rebote u', el ángulo de rebote (J y el máximo desplazamiento 8 del carro tras el impacto.
Resp. v' = 6,04 mi s, e = 85,9°, e = 165,0 mm
!+-x -+30~+
mm
..
r
700m m
e
3.267
v'
\r>.
-;;¡¡!:--
-,
'
\
30°/'
./ B "
\
\
,
\
/
k=1600N/m
I
\
\
-~::...
/'
I
1
A
0- Figura problema
3.266
- -
3.13
Figura problema
MOVIMIENTO
3.268
BAJO FUERZAS CENTRALES
Cuando un punto material se mueve bajo la acción de una fuerza dirigida hacia
un centro de atracción fijo, el movimiento se dice que está originado por una
fuerza central. El ejemplo más común de dicho tipo de movimiento se encuentra
en los planetas y satélites. La leyes que rigen ese movimiento fueron deducidas
198
http://gratislibrospdf.com/
-~----------""'---------------r
por
por Kepler
Kepler (1571-1630)
(1571-1630) observando
observando el movimiento
movimiento de
de los planetas.
planetas. La dinámica
dinámica
del movimiento
movimiento bajo
bajo la acción
acción de fuerzas
centrales es esencial
esencial para
para el cálculo
cálculo y
del
fuerzas centrales
proyecto
proyecto de cohetes
cohetes de
de vuelo
vuelo a gran
gran altura,
altura, satélites
satélites artificiales
artificiales y vehículos
vehículos esespaciales de
paciales
de toda
toda clase.
clase.
Consideremos
punto material
Consideremos un
un punto
material de masa
masa m (fig. 3.18)
3.18) que
que se mueva
mueva bajo
bajo la
acción
acción de
de la atracción
atracción central
central gravitatoria
gravitatoria
19~
19~
3.13
3.13 MOVIMIENTO
MOVIMIENTO BAJO FUERZAS
CENTRALES
mmo
mmo
F=
G- 2
F=G-
~
~
r2
\
v
donde
donde mo es la masa
masa del
del cuerpo
cuerpo atractivo
atractivo supuesto
supuesto fijo, G es la constante
constante de
de la
gravitación
que separa
punto de
gravitación universal
universal y r es la distancia
distancia que
separa las masas.
masas. El punto
de masa
masa
m podría
podría representar
representar a la Tierra
Tierra o un
un satélite
satélite artificial
artificial en
en su movimiento
movimiento orbital
orbital
alrededor de
de la Tierra
Tierra por
encima de
de la atmósfera.
atmósfera. El sistema
sistema de
de coordenadas
coordenadas
alrededor
por encima
más
más práctico
práctico es el de coordenadas
coordenadas polares
polares en
en el plano
plano del
del movimiento
movimiento ya
ya que
que
F está
está siempre
siempre dirigida
dirigida según
según el sentido
sentido negativo
negativo de
de la dirección
dirección radial
radial y no
no hahabrá fuerzas
fuerzas en
en la dirección
dirección transversal.
transversal.
brá
Podemos aplicar
aplicar directamente
directamente las ecuaciones
ecuaciones 3.8 para
para las direcciones
direcciones radial
radial
Podemos
y transversal
transversal obteniendo
obteniendo
mmo
mmo
--GGr22
oo
m(i --ril)
m(i
riJ)
(3.33)
(3.33)
m(rf)+2re)
m(re+2ifJ)
Se ve que
por r / m es igual
que la segunda
segunda de
de estas
estas ecuaciones
ecuaciones multiplicadas
multiplicadas por
igual a
d(r
d(r22 fJ)
e) / dt
dt =
= O,
o, que
que integrada
integrada da
da
r 2 fJ
= h,
una
una constante
constante
(3.34)
(3.34)
Se pone
pone de manifiesto
manifiesto el significado
significado físico de
de la ecuación
ecuación 3.34
3.34 observando
observando que
que
momento cinético
cinético r X mv de
de m
m respecto
respecto a mo tiene
tiene por
por módulo
módulo mr
mr:2 fJ. Así
Así
el momento
pues, la ecuación
ecuación 3.34
3.34 sólo
sólo dice
dice que
que el momento
momento cinético
cinético de m respecto
respecto a mo perperpues,
manece
manece constante,
constante, o sea, se conserva.
conserva. Esto
Esto se deduce
deduce fácilmente
fácilmente de
de la ecuación
ecuación
3.27
3.27 donde
donde se observa
observa que
que el momento
momento cinético
cinético H
Hao permanece
permanece constante
constante (se
conserva)
punto
conserva) si no
no se ejerce
ejerce sobre
sobre el punto
punto ningún
ningún momento
momento respecto
respecto a un
un punto
fijo O.
Nótese que
Nótese
que durante
durante el tiempo
tiempo dt
dt el radio
radio vector
vector barre
barre una
una área
área (sombreada
(sombreada
en la figura
figura 3.18)
3.18) que
que vale
vale dA.=
dA.= q r)(r.de)
r)(r.de). . Por
Por tanto,
tanto, la velocidad
velocidad con
con que
que el raradio vector
vector barre
barre esa
esa área
área es A =
= ~r2eque
~r2eque es constante
constante según
según la ecuación
ecuación 3.34.
3.34.
Esta conclusión
segunda ley de
conclusión constituye
constituye la segunda
de Kepler
Kepler del
del movimiento
movimiento planetario
planetario
que
que dice
dice que
que en
en tiempos
tiempos iguales
iguales se barren
barren áreas
áreas iguales.
iguales.
La forma
forma de
de la trayectoria
trayectoria que
que sigue
sigue m puede
puede obtenerse
obtenerse resolviendo
resolviendo la priprimera
mera de
de las ecuaciones
ecuaciones 3.33
3.33 eliminando
eliminando el tiempo
tiempo t en
en combinación
combinación con
con la ecuaecuación
)it,, que
ción 3.34.
3.34. Para
Para ello es útil
útil el cambio
cambio de
de variable
variable r == l/u
l/u. . Así
Así ir =
= -- (11
(1/ u22)ü
que
virtud de la ecuación
ecuación 3.34
3.34 queda
queda en
en la forma
forma ir =
= -h(itl
-h(ü/ fJ)
e) o sea
sea
en virtud
1; =
ld e). La segunda
u / de
= h(du
h(du/de).
segunda derivada
derivada respecto
respecto al tiempo
tiempo es ii == -- h(d
h(d22u/
de22) ) fJ
2
que
u/ de
que combinada
combinada con
con 3.34
3.34 da
da ij; == -- h22uu22(d(d2u/
de22),), que
que aplicada
aplicada en
en la primera
primera de
de
ecuaciones 3.33
3.33 da
da
las ecuaciones
e.
e
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Foco
Foco
Figura
Figura 3.18
3.18
I
Directriz
Directriz
200
200
sea
oosea
ClNÉTICA DEL
DEL PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
CINÉTICA
(3.35)
(3.35)
que
que es
es una
una ecuación
ecuación diferencial
diferencial lineal
lineal inhomogénea.
inhomogénea. La
La integración
integración de
de esta
esta coconocida
nocida ecuación
ecuación de
de segundo
segundo orden
orden puede
puede efectuarse
efectuarse por
por sustitución
sustitución directa
directa yy es
es
Hipérbola ee >>11
Hipérbola
uU
Parábola ee=1
=1
Parábola
1
rr
Gm
Gm o
== --1 == ecos
ecos (e
(8 ++ O)
5) ++ --22-o
hh
donde
donde ee yy [)(5son
son las
las dos
dos constantes
constantes de
de integración.
integración. El
El ángulo
ángulo de
de fase
fase puede
puede elieliminarse
o sea,
minarse eligiendo
eligiendo un
un eje
eje xx tal
tal que
que rr sea
sea mínimo
mínimo cuando
cuando e
8 == o.
O.O
sea,
Elipse e <1
Gm
Gmoo
eecos
cos e
8+
+ --¡:;2
--¡:;2
11
rr
(3.36)
(3.36)
a(l- e)
2a---/--+--;.¡
2a
- --/---f--"'¡
La
La interpretación
interpretación de 3.36 requiere
requiere el conocimiento
conocimiento de las ecuaciones
ecuaciones de las
secciones
secciones cónicas.
cónicas. Recordemos
Recordemos que una
una sección
sección cónica
cónica está
está formada
formada por
por elluellugar geométrico
geométrico de un
un punto
punto que se mueve
mueve de tal manera
manera que
que el cociente
cociente e entre
entre
su distancia
distancia a un
un punto
punto (foco) y a una
una recta
recta (directriz)
(directriz) es constante.
constante. Así pues,
pues,
de la figura
figura 3.18, e == rr / (d - Tr cos 8),
8), que
que podemos
podemos volver
volver a escribir
escribir de la forma
forma
1
-1-T =
-1
=- cos e+
8+d
ed
r
Figura 3.19
Figura
3.19
d
(3.37)
(3.37)
ed
que es de
de la misma
misma forma
forma que
que la ecuación
ecuación 3.36. Se ve,
ve, por
por tanto,
tanto, que
que el movimovique
miento de
de m tiene
tiene lugar
lugar a lo largo
largo de
de una
una sección
cónica en
que dd == l/e
l/e y
miento
sección cónica
en la que
ed =
= h22/ / (Gmo),
(Gmo), o sea
sea
(3.38)
(3.38)
e
Hay tres
tres casos
casos aa considerar:
considerar: ee <
< 11 (elipse),
(elipse), ee == 11 (parábola)
(parábola) yy ee >
> 11 (hipérbola).
(hipérbola).
Hay
En la
la figura
figura 3.19
3.19 se
se representan
representan las
las trayectorias
trayectorias correspondientes.
correspondientes.
En
e
Caso 1: elipse
elipse (e
(e <
< 1).
1). De
De la
la ecuación
ecuación 3.37
3.37 resulta
resulta que
que rr es
es mínimo
mínimo cuando
cuando 8 ==
Caso
o y eses máximo
máximo cuando
cuando 8 == tt:
n. Así
Así pues,
pues,
OY
e
ed
ed
ed
ed
2a ==rmin
T min +
+ rmax
T max ==-1-1- ++ -12a
+e -1--e
-e
+e
sea
oo sea
a
a
=
ed
ed
11-ee22
Expresando la
la distancia
distancia dd en
en función
función de
de a,a, la
la ecuación
ecuación 3.37
3.37 yy los
los valores
valores máximáxiExpresando
mo yy mínimo
mínimo de
de rT pueden
pueden escribirse
escribirse en
en la
la forma
forma
mo
11
rr
= a(l
a(l-e)
rrmin
- e)
min =
e
1 ++ecos
e cos 8
1
a(l
a(l -- ee22) )
rrmax
max
(3.39)
(3.39)
a(l+e)
==a(l
+ e)
Además, lalarelación
relación bb == aJ1aJ 1 - ee22, , que
que resulta
resulta de
de lalageometría
geometríade
de lalaelipse,
elipse, da
da
Además,
expresióndel
delsemieje
semiejemenor.
menor.Se
Seve
veque
quecuando
cuandoee== Ola
Olaelipse
elipsese
seconvierte
convierteen
en
lalaexpresión
unacircunferencia
circunferenciade
deradio
radiorr== a.a.La
Laecuación
ecuación3.39
3.39constituye
constituyelalaexpresión
expresiónmamauna
http://gratislibrospdf.com/
temática
primera ley de Kepler,
temática de
de la antigua
antigua primera
Kepler, según
según la cual
cual los planetas
planetas descridescriben órbitas
órbitas elípticas
elípticas en
en uno
uno de cuyos
cuyos focos
focos se encuentra
encuentra el Sol.
ben
órbita elíptica
elíptica es igual
igual al área
área total
total A de la elipse
elipse dividida
dividida
El período
período r de la órbita
por la velocidad
velocidad areolar
areolar constante
constante Ji
A con
con que
que se barre
barre el área.
área. Así
Así pues,
por
pues,
r = Al A = nab
2 fJ
!r
2
sea
o sea
rr
=
=
201
3.13
ENTO BAJO FUERZAS
3.13 MOVIMI
MOVIMIENTO
CENTRALES
CENTRALES
2nab
2nab
h
virtud de
de la ecuación
ecuación 3.34. Aplicando
Aplicando la 3.38, la identidad
identidad d
d == 1/
1/ C, las
las relarelaen virtud
2)
ciones geométricas
geométricas a = ed / (1
(1 - e2
= a J1
para la elipse
elipse y la equivalenequivalenciones
)y b =
JI - e22 para
Gmo= gR
tiene, tras
tras simplificar,
simplificar,
cia Gmo=
gR22 se tiene,
rr
3/ 2
a312
a
= 2n-2n-=
(3.40)
(3.40)
RJg
RJg
Obsérvese que
que en
en esta
esta ecuación
ecuación R es el radio
radio medio
medio del
del cuerpo
cuerpo atractivo
atractivo central
central
Obsérvese
que g es el valor
valor absoluto
absoluto de la aceleración
aceleración gravitatoria
gravitatoria en
en la superficie
superficie del
del
y que
mismo.
mismo.
ecuación 3.40 expresa
expresa la tercera ley de
de Kepler
Kepler del
del movimiento
movimiento planetario
planetario
La ecuación
que dice
dice que
que los cuadrados
cuadrados de
de los períodos
revolución son
son proporcionales
proporcionales
que
períodos de revolución
cubos de
de los semiejes
semiejes mayores
mayores de
de las órbitas.
órbitas.
a los cubos
Caso 11:
1/: parábola
(e =
= 1).
Caso
parábola (e
11
:¡:r
=
=
ecuaciones 3.37 y 3.38 se convierten
convierten en
en
Las ecuaciones
e¡U
i1 + cos e)
11
y
radio vector
vector y la dimensión
dimensión a se hacen
hacen infinitos
infinitos al tender
tender
El radio
ee a n.
Caso 1//:
11/: hipérbola
hipérbola (e
(e>> 1). De
De la ecuación
ecuación 3.37 se ve que
que la distancia
distancia radial
radial r
Caso
hace infinita
infinita para
para los dos
dos valores
valores del
del ángulo
ángulo polar
polar el y - el definidos
definidos por
por cos
se hace
= -1
-l/e./ e. Tan
Tan sólo
sólo la rama
rama 1
1correspondiente
el1 << e<
representa
11el1 =
correspondiente a - 11
11< 11el1 (fig. 3.20) representa
un movimiento
físicamente posible.
La' rama
rama 11
11corresponde
ángulos del
del secun
movimiento físicamente
posible. La·
corresponde a ángulos
restante (con
(con r negativa).
negativa). Pueden
Pueden emplearse
emplearse r positivas
positivas para
para esta
esta rama
rama si se
tor restante
sustituye e por
por e-n
e-n y - r por
por r. Así, la ecuación
ecuación 3.37 queda
queda de
de la forma
forma
sustituye
111
1
11
=
= - cos (11
(e - n) + - r
d
ed
--
ee
11
1 cos
-= - +--+--
sea
o sea
rr
ed
d
Pero esta
esta expresión
expresión está
está en
en contradicción
contradicción con
con la forma
forma de
de la ecuación
ecuación 3.36, dondonPero
Gmo/ h22 es necesariamente
necesariamente positivo.
Por tanto,
tanto, la rama
rama 11
11no
existe (salvo
(salvo en
en
de Gmo/
positivo. Por
no existe
de fuerzas
fuerzas repulsivas).
repulsivas).
el caso de
Consideremos ahora
ahora las energías
energías del
del punto
punto de masa
masa m. El sistema
sistema es conconConsideremos
servativo y la energía
energía constante
constante E
suma de su
su energía
energía cinética
cinética T y de
de
servativo
E de m es la suma
energía potencial
V. La energía
energía cinética
cinética es T
su energía
potencial V.
9)
= ~mv2
~mv2 =
= ~m(f2
~m(r2 + rfJ2)
di)
=
y, se-
gún la ecuación
ecuación 3.15 la energía
energía potencial
mgR2/ r. Recuérdese
Recuérdese que
que g es
gún
potencial es V = - mgR2/
aceleración absoluta
absoluta de la gravedad
gravedad medida
medida en
en la superficie
superficie del
del cuerpo
cuerpo
la aceleración
2
atractivo,
que
R
es
el
radio
de
éste
y
que
Gmo
=
gR2.
Así
pues,
atractivo, que
radio de éste que
= gR . Así pues,
da
en
a-
http://gratislibrospdf.com/
Figura .3.20
.3.20
Figura
202
202
CINÉTICA DEL
DEL PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
CINÉTICA
El
El valor
valor constante
constante de
de EE puede
puede determinarse
determinarse aa partir
partir de
de su
su valor
valor para
para e
(1==O,O,dondonde
de ir == O,O,11Ir
Ir == CC ++gR
gR2 IIhh22 según
según la
la ecuación
ecuación 3.36
3.36 yy re
re == hlr
hlr según
según la
la ecuación
ecuación
3.34.
3.34. Aplicándolos
Aplicándolos en
en la
la expresión
expresión de
de EE yy simplificando
simplificando se
se tiene
tiene
Sustituyendo
ahora
Sustituyendo
ahora C
C por
por su
su valor
valor de
de la
la ecuación
ecuación 3.38,
3.38, que
que se
se puede
puede escribir
escribir
2C
como hh2
eg R? se
se obtiene
obtiene
como
C == egR2
ee
=
++
2Eh2
(3.41)
(3.41 )
1+---
mg2R4
Hay
Hay que
que tomar
tomar el
el signo
signo positivo
positivo del
del radical
radical porque
porque ee es
es positiva
positiva por
por definición.
definición.
Se ve que
que ahora
ahora que
que para
para la
la
Se
, 1, '
,i
i'
irbita elíptica
elíptica
;rbita
;rbita
irbita parabólica
parabólica
;rbita
irbita hiperbólica
hiperbólica
e << 1,
1,
e =
= 1,
1,
e> 1,
1,
E es
es negativé
negativa
E es nula
nula
E es positivo
posítiv.
Estas
Estas conclusiones
conclusiones dependen,
dependen, desde
desde luego,
luego, de
de la elección
elección arbitraria
arbitraria del
del cero
cero de
de
energía potencial
potencial (V == O cuando
cuando rr =
= 00
00).
energía
).
La
La expresión
expresión de
de la velocidad
velocidad v de
de m puede
puede hallarse
hallarse a partir
partir de
de la ecuación
ecuación
de la
la energía,
energía, la cual
cual es
de
!mv2 _ mgR2
r
2
= E
La energía
energía total
total E se
se obtiene
obtiene de
de la
la ecuación
ecuación 3.41
3.41 combinando
combinando la
la ecuación
ecuación 3.38
3.38 y
La
C = dd = a(1
a(l - e2)
e2) I ee para
para dar
dar la
la órbita
órbita elíptica
elíptica
la 1 I C
la
E = E
2m
gR2m
gR
2a
(3.42)
(3.42)
Sustituyendo en
en la
la ecuación
ecuación de
de la
la energía
energía yy despejando
despejando se
se tiene
tiene
Sustituyendo
(3.43)
(3.43)
de la
la cual
cual puede
puede calcularse
calcularse el
el módulo
módulo de
de la
la velocidad
velocidad para
para una
una órbita
órbita particuparticude
lar en
en función
función de
de la
la distancia
distancia radial
radial r.r. Combinando
Combinando con
con la
la ecuación
ecuación 3.39
3.39 las
las exexlar
presiones de
de rrmax
m ax Y
Yrrmin
min correspondientes
correspondientes al
al perigeo
perigeo yy al
al apogeo
apogeo (ec.
(ec. 3.39),
3.39), las
las
presiones
velocidades en
en esas
esas dos
dos posiciones
posiciones de
de la
la órbita
órbita elíptica
elíptica quedan,
quedan, respectivamenrespectivamenvelocidades
te,
en lala forma
forma
te, en
(3.44)
(3.44)
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En el apéndice D se incluyen datos numéricos referentes al sistema solar
que resultan útiles al aplicar las relaciones anteriores a problemas de movimiento planetario.
Los cálculos anteriores se basan en tres hipótesis:
203
3.13 MOVIMIENTO
BAJO FUERZAS
CENTRALES
1. Los dos cuerpos poseen unas masas esféricamente simétricas, por lo que
pueden tratarse como si sus masas estuvieran concentradas en sus centros respectivos, es decir, como si fueran puntos materiales o partículas.
2. No hay más fuerzas presentes que la gravitatoria que cada masa ejerce
sobre la otra.
3. La masa ma está fija en el espacio.
La hipótesis (1) es excelente para cuerpos que se hallan distantes del cuerpo
atractivo central, cual es el caso de la mayoría de los objetos celestes. Una clase
muy importante de problemas para los que la hipótesis (1)resulta deficiente es
la que se refiere a satélites artificiales que navegan en la proximidad inmediata
de planetas achatados. En lo que respecta a la hipótesis (2) haremos la observación de que la resistencia aerodinámica no es una fuerza que habitualmente
pueda ignorarse al estudiar las órbitas de satélites artificiales de baja altitud.
En el caso de un satélite artificial en órbita terrestre, la hipótesis (3) introduce
un error despreciable porque el cociente entre las masas del satélite y de la Tierra es muy pequeño. Por el contrario, para el sistema Tierra-Luna se introduce
un error pequeño pero significativo si se recurre a la hipótesis (3): adviértase
que la masa lunar es del orden de 1/81 veces la terrestre.
Elproblema de los dos cuerpos. Vamos ahora a tener en cuenta el movimiento de ambas masas y admitiremos la presencia de otras fuerzas, además de las
de atracción mutua, examinando el llamado problema de los" dos cuerpos perturbados". En la figura 3.21 se representa la masa principal ma, la masa secundaria m, sus respectivos vectores de posición rl Yr2 relativos a una referencia
inercial, las fuerzas gravitatorias F y - F Yuna fuerza P no mutua que se ejerce
sobre la masa m. Esta fuerza P puede deberse a la resistencia aerodinámica, a
la presión solar, a la presencia de un tercer cuerpo, a actividades de pilotaje, a
un campo gravitatorio no esférico o una combinación de éstas u otras causas.
Aplicando la segunda ley de Newton a cada masa resulta
mma
G--r
mma
-G--
y
1'3
Dividiendo la primera por
la primera resulta
- G
ma,
(ma
la segunda por
+ m)
r+-
1'3
r
P
m
y restando la segunda menos
f2 - fl
m
Figura 3.21
P
i
1'3
f
o sea
..
r+ G
(ma+m)
r
3
r
=
P
m
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m
(3.45)
204
204
C1NÉTICA
DEL PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
CINÉTICA DEL
Esta
Esta ecuación
ecuación 3.45
3.45es
es una
una ecuación
ecuación diferencial
diferencial de
de segundo
segundo orden
orden que,
que, una
una vez
vez
resuelta,
resuelta, proporciona
proporciona el
el vector
vector de
de posición
posición relativa
relativa rr en
en función
función del
del tiempo.
tiempo.
Habitualmente
ara integrar
Habitualmente hacen
hacen falta
falta técnicas
técnicas numéricas
numéricas ppara
integrar las
las ecuaciones
ecuaciones didiferenciales escalares
escalares equivalentes
equivalentes aa la
la vectorial
vectorial 3.45,
3.45,particularmente
particularmente si
si PP no
no es
es
nula.
, se tiene
nula. Si
Si mo
mo »» m
m yy PP == O
O,se
tiene el problema
problema de
de los
los dos
dos cuerpos
cuerpos restringido,
cuya ecuación de movimiento
movimiento es
es
cuya
G 3
O
.... G
mo
=-_ O
r+
-3 r
r+
rr
(3.45a)
(3.45a)
Expresando
Expresando r yy ¡:i en
en coordenadas
coordenadas polares, la ecuación 3.45a
3.45a se hace
t t •
l.
i'
I
ti
,
I
I
I
Al igualar
igualar los coeficientes de los vectores unitarios
unitarios iguales, retornamos
retornamos a las
las
3.33.
ecuaciones 3.33.
Y 3.45a
La comparación
comparación de las ecuaciones 3.45
3.45 (con P == O)
O)Y
3.45a nos permite
permite suavizar la hipótesis
hipótesis de que la masa mo esté fija
fija en el espacio. Si
Si en las expresiones
deducidas
deducidas con la hipótesis
hipótesis de que mo está fija
fija sustituimos
sustituimos ésta por mo + m
m tenemos entonces expresiones
expresiones que dan cuenta del movimiento
movimiento mo. Por ejemplo, la
expresión
expresión corregida
corregida del período
período de la órbita elíptica de m
m en torno a mo será,
será,
según 3.40,
3.40,
según
r
"
312
a3/2
(3.45b)
(3.45b)
22nn ----;:::=:======;
r=;:::;::::==:::;:
JG(mo
JG(mo+ + m)
donde se ha empleado
empleado la igualdad
R2g == Gmo.
donde
igualdad R2g
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.27
3.27
I
Desde su
su cohete
cohete portador
portador se lanza
lanza un
un
Desde
satélite
satélite artificial
artificial en
en el
el punto
punto BB del
ecuador
ecuador para
para ser
ser colocado en
en una
una órórbita
bita elíptica
elíptica cuya
cuya altura
altura de perigeo
perigeo es
2000 km.
km . Siendo
Siendo 4000
4000 km
km la altura
altura de
2000
apogeo, calcular
calcular (a) la ve/ocidad
velocidad de
de
perigeo vp
vp necesaria
necesaria yy la
la velocidad
velocidad de
de
perigeo
apogeo
apogeo correspondiente
correspondiente vA,
v A, (b) la vevelocidad en
en el
el punto
punto e en
en el
el que
que la alallocidad
tura
tura del
del satélite
satélite es
es 2500
2500 km
km yy (e)
(c) el
el
período
período r-r de
de una
una órbita
órbita completa.
completa.
http://gratislibrospdf.com/
/
A
VA
./---f---.. . e
//
./ '.~ i' .~~"2500km
/
~
.
\t
" 1R
(
'c'!
vp
1
. ------f~·--·--. P
~,
1
·0
""
I
I'
'-
I
I'
---~ --.,....,...
B
.//
//
/
"",4,;-O_OO~E--_1 2 742
742 km
km
¡...4"O_OO~~_12
~---_.~--------~
~----'~ ----~
3
ecuacio las ecuaciode las
obtiene n de
se obtienen
apogeo se
Las
perigeo yy apogeo
de perigeo
velocid ades de
Las velocidades
que
las que
en las
3.44, en
nes 3.44,
nes
Solución.
(a)
Solución. (a)
12742/2
0.2
tabla 0.2
de lala tabla
km de
6371 km
12742/ 2 == 6371
del
emse emAsimismo, se
D. Asimismo,
apéndice D.
del apéndice
plea
acelerade lala aceleraabsoluto de
valor absoluto
plea elel valor
2
ción
de
la
gravedad
g
=
9,824
m/s
m/s2
9,824
=
g
d
graveda
la
ción de
mencionado
1.5.
apartad o 1.5.
en elel apartado
mencionado en
km
10371 km
== 10371
8371km
2000 == 8371km
6371 ++ 2000
rl'rnin
min == 6371
km
9371 km
mro,)/2 == 9371
aa == (r(1'rnin+
min + rrrnaJ/2
4000
rl'rnax
6371 ++ 4000
max == 6371
pues,
Así pues,
Así
vv == R
R
p
P
Vv A
A
rg
lt
rg
~~
~a
10371
10371
8371
8371
rnax
6371(10 33)) I---'-:~~
= 6371(10
max =
r1mm
rnin
oo sea
sea
mis
7261 mis
== 7261
km / h
26140
26140 km/h
Resp.
Resp.
8371
J 10371
9,825
6371(10 33)) J--'--'-'-:-~
== R rg Jr min
= 6371(10
min =
9371(103)
J'
~~
~a
max
rrrnax
mis
== 5861 mis
oo sea
sea
8371
10371
km/h
21099 km/h
21099
Resp.
Resp.
=
2500 =
6371 + 2500
= 6371+
Tierra es rr =
centro de la Tierra
A
distanci a al centro
2500 km, la distancia
altura de 2500km,
la altura
A la
es
e
punto
el
en punto es
velocid ad en
8871km.
ecuació n 3.43, la velocidad
Según la ecuación
8871 km. Según
(b)
(b)
vev e2 --
=
;a) -
km / h
24773 km/h
24773
Resp.
Resp.
ser
período de la órbita, que resulta
La ecuació
ecuaciónn 3.40 nos da el período
resulta ser
La
3
®
a 3/2 2 =
3/2 =
10 3)]
= 2na3
= 2n [(9371)(
[(9371)(10
)]3/2
= 9026
9026 s
/
rr =
RJg
Jg
R
3 )J 9,825
3)J9,825
(6371)(100
(6371)(1
o sea
h
r = 2,507
2,507h
al
o Hay
cuidado al
gran cuidado
poner gran
que poner
Hay que
manejar las unidades.s. lo
seguro
más seguro
lo más
manejar las unidade
suele
unidades
las unidades
con las
trabajar con
ser trabajar
suele ser
fundamentales,
metros
en
este
caso,
caso,
este
en
fundamentales, metros
yy hacer
las
conversiones
al
final.
final.
iones
convers
las
hacer
®
interel interque el
aquí que
observar aquí
Debemos observar
® Debemos
_ 1 _)~
3 2( _ 1_ _ 18742
(3)
)
2(982
2 gR2(~r -_~)
] 8871 -18 ;42\~310 3
2gR2G
, 5 [(6371) 10 )f(8;71
- 2(9,825)[(6371)(10
2a =
= 47,353(10
)(m/l s)2
47,353(10 66)(m
=
ve == 6881
o sea
mis
6881 mis
Ve
(e)
(e)
CD
radio
del radio
medio del
valor medio
emplea elel valor
Se emplea
CD Se
Resp.
Resp.
valo
sucepasos sucedos pasos
entre dos
tiempo entre
de tiempo
valo de
sivos
sobre
registre sobre
que registre
satélite que
del satélite
sivos del
en
su
situado en
observador situado
cabeza un observador
su cabeza
el
ecuador
es
mayor
que
el
tiempo
tiempo
que
el ecuado r es mayor
calculado
que el
puesto que
caso, puesto
este caso,
en este
calculado en
observador
desplazado en
habrá desplazado
observador se habrá
el
rotación de
de la rotación
causa de
espacio aa causa
el espacio
la
Tierra
contemplada
verticalmente
mente
vertical
plada
la Tierra contem
desde
el
polo
norte.
norte.
polo
desde
PROBLEMAS
LEMAS
PROB
naades mencio
(A menos que se
se indique
indique otra cosa,
cosa, las velocid
velocidades
menciona(A
sistema
un
a
respecto
miden
se
tes
siguien
das
en
los
problemas
siguientes
miden
a
un
sistema
problem as
das en
de referenc
referencia
giratorioo cuyo origen coincid
coincidee con
con el
el centro
centro
ia no giratori
de
del cuerpo
cuerpo atractiv
atractivo.
Además,, si
si no
no se
se dice otra
otra cosa,
cosa, se
se despredespreo. Además
del
ámica. Tómese
ciará la
la resisten
resistencia
aerodinámica.
Tómese gg == 9,825
9,825m
m/i S2
S2 como
como
cia aerodin
ciará
e yy
terresh'
ie
superfic
la
en
d
graveda
la
de
aceleración
absoluta
de
la
gravedad
en
la
superficie
terrestre
a
acelerac ión absolut
Tierra.)
la
de
radio
como
km
R
=
6371
km
como
radio
de
la
Tierra.)
R = 6371
ctorios
as introdu
Problem
Problemas
introductorios
ra espacia
3.269 ¿Qué
¿Qué velocid
velocidad
debe poseer
poseer la
la lanzade
lanzadera
espaciall
ad vv debe
3.269
circuórbita
una
en
Hubble
l
espacia
para
colocar
el
telescopio
espacial
Hubble
en
una
órbita
circuio
telescop
el
para colocar
ie terrestre
lar aa una
una altura
altura de
de 590
590km
por encima
encima de
de la
la superfic
superficie
terrestre??
km por
lar
is
Resp
Resp. . vv == 7569
7569m
mis
Figura problem
problema a 3.269
3.269
Figura
205
205
http://gratislibrospdf.com/
•
3.270
ad de un ingenio espacia
3.270 Calcula
Calcularr la velocid
velocidad
espaciall en órbita
órbita
alreded
or de la Luna a una altitud
alrededor
altitud de 80 km.
de velocidad
velocid ad óv
necesar io para
L'.v necesario
para alcanza
alcanzarr el punto
punto B,
B, que
que se
se hahalla
lla a una
una distanci
distanciaa 6R
6R del centro de la Tierra? ¿En qué punto
punto de
de
la
la órbita
órbita circular original debe producirse
incremento
de
produci rse ese increme
nto de
velocid
velocidad?
ad?
Resp. L'.v
óv == 1257
Resp.
1257mi
mI s
3.274
3.274 Hallar
Hallar la celerida
celeridadd v que necesita
en
necesita un satélite terrestre
terrestre en
el
punto A para
para que su órbita sea (a) circular
el punto
circular,, (b) elíptica de exexcentrici
dad e
= 0,1,
0,1, (e) elíptica de excentr
centricidad
e=
excentricidad
e=
(d) paicidad e
= 0,9
0,9 Y (d)
parabólica
rabólica.. En los casos (b) y (e), A es el perigeo.
perigeo .
cuJ~
Cff
J~
Figura problema
problem a 3.270
3.271
inar la celerida
3.271 Determ
Determinar
celeridadd relativa
relativa al Sol que debe poseer
poseer
una
una nave
nave espacia
espaciall a una
una distanc
distancia
150(1066)) del Sol (es decir,
decir,
ia de 150(10
en
proxim idades de la órbita
en las proximidades
órbita terrestre
terrestre)) para
espara que pueda
pueda escapar
capar del sistema solar. Consul
Consultar
ápendices
tar la tabla D.2 de los ápendic
es
en lo necesar
necesario.
io.
Resp.
Resp. v == 151
151 400
400 kmlh
km/h
3.272
rar que la trayectoria
trayecto ria de la Luna es cóncava ha3.272 Demost
Demostrar
hacia
posició n representada.
represe ntada. Se
cia el Sol en la posición
Se supond
supondrá
el Sol,
Sol,
rá que el
la Tierra y la Luna están alineados.
alinead os.
Luz solar
Luz
solar
Tierra
Tierra
Luna
Luna
R R
Figura problema
problem a 3.274
3.275 El vehículo
vehícul o orbital lanzado
3.275
lanzado a Marte con ocasión del proproyecto
yecto Viking fue calculad
calculadoo de forma que diese una
una vuelta
vuelta comcompleta al planeta
planeta exactam
ente en el mismo
pleta
exactamente
mismo tiempo
tiempo que tarda
tarda
Marte
Marte en girar
girar una
una vez en torno a su propio
es
propio eje.
eje. Este tiempo
tiempo es
24 h,
h, 37
min y 23 s. Con ello se consigu
24
37 min
consiguió
ió que el vehículo
vehícul o orbital
pasara por
por encima del lugar
lugar de llegada
pasara
llegada al planeta
planeta de la cápsula
cápsula
de
je a la misma
misma hora
de aterriza
aterrizaje
hora de cada día marcian
marcianoo a una altura
altura
mínima
(periáps ide) del vehículo
vehícul o orbital. En el proyect
mínima (periápside)
proyectoo ViViking 1,
la altura
periáps ide del vehícul
king
1,la
altura del periápside
vehículoo orbital era 1508
1508km.
km.
Utilizan
do los datos conteni
Utilizando
contenidos
apéndicee D,
dos en la tabla D.2 del apéndic
D,
calcular
altura máxima (apoáps
calcular la altura
(apoápside)
en
ide) ha
ha del vehículo
vehícul o orbital en
trayecto ria elíptica
su trayectoria
elíptica..
Resp. ha
ha =
Resp.
= 32 600
600 km
Figura problem
problemaa 3.272
-------..... "'---------"
/'/'
3.273 Un satélite describe
describ e una órbita circular de radio
3.273
radio 2R,
2R,
donde R es el radio
radio de la Tierra. ¿Cuál
donde
¿Cuál es el mínimo
mínimo incremento
increme nto
/'
/
/I /
/I
I
....•..•.
"'"
\\
ha
ha
= 1508 km
h;\ =
km
\
\\
""" """---..........--------_...-
"- ""
/'
/
/
/'
Figura problema
problem a 3.275
problem a 3.273
Figura problema
3.276
cuatro satélites mayores
mayore s de Júpiter
3.276 De
De los cuatro
(descubiertos
Júpiter (descub
iertos
por Galileo
Galileo en 1610),
Ganime des es el más grande
por
1610),Ganímedes
grande y se sabe que
que
tiene una
una masa de 1,490(10
tiene
1,490(102323)) kg Y un
1,070
un radio
radio orbital de 1,070
6 km
(10
trayecto ria casi circular en torno
(106)) km
en su trayectoria
torno a Júpiter. La
La
masa
de éste es 1,900(10
masa de
1,900(102727)) kg (318
(318veces
veces la masa de la Tierra) y
y
su
radio ecuator
ial es 142
su radio
ecuatorial
142 800
800 km. Calcula
Calcularr la fuerza gravitatogravitat oria FF que
Júpiter ejerce sobre Ganime
ria
que Júpiter
Ganímedes
aceleración
des y hallar
hallar la acelerac
ión
aal!n de
de éste
éste respecto
respecto al centro de Júpiter. Emplear
Emplea r este resultado
resultad o
206
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observa do
valorobservado
elvalor
conel
compar arlocon
para
períodor1: yycompararlo
elperíodo
calcularel
paracalcular
h.)
23,93h.)
sidéreo ==23,93
día sidéreo
sidéreos . (1(1 día
de
días sidéreos.
7,16 días
de7,16
km
600km
32600
Resp. haha== 32
Resp.
representativos
Problemas representativos
Problemas
km
240km
es240
terrestr ees
satéliteterrestre
unsatélite
deun
perigeo de
3.277
Si
la
altura
del
delperigeo
altura
la
3.277 Si
órbitayy
laórbita
dela
excentr icidad eede
laexcentricidad
calcular la
Yla
km, calcular
400km,
apogeo400
de apogeo
Yla de
espacio .
el espacio.
en el
comple ta en
órbita completa
una órbita
de una
el
período 'r1:de
el período
s
5446
,1:=
0,01196 'r= 5446 s
Resp. ee== 0,01196,
Resp.
volver aa
de volver
del
objeto de
periódi cament e alal objeto
enciend e periódicamente
se enciende
satélite se
del satélite
debido
centrar
la
masa.
De
este
modo
se
contrarresta
el
retardo
debido
retardo
centrar la masa. De este modo se contrar resta el
tecircular
aa las
resistencias.
Si
el
satélite
describe
una
órbita
circular
teórbita
una
e
las resisten cias. Si el satélite describ
del
total
ido
rrestre
a
200
km
de
altitud
y
el
tiempo
de
encendido
total
del
encend
de
tiempo
el
y
rrestre a 200 km de altitud
órbitas,
10 órbitas,
generador
durante 10
segund os durante
300 segundos
de 300
es de
empuje es
de empuje
generad or de
100
de 100
satélite
hallar
la
fuerza
resistente
O
que
actúa
sobre
el
satélite
de
el
sobre
actúa
que
D
te
resisten
hallar la fuerza
.
N
2
de
E
kg.
El
generador
de
empuje
produce
una
fuerza
E
de
2
N.
fuerza
una
e
produc
empuje
de
or
generad
El
kg.
Resp.
0,01132 NN
Resp. OD == 0,01132
excende excenpolar de
órbita polar
una órbita
describ e una
terrestr e describe
3.278
satélite terrestre
Un satélite
3.278 Un
norte.
polo
el
sobre
km
320
a
mínima a 320 km sobre el polo norte.
tricidad
altura mínima
la altura
con la
0,2 con
tricidad 0,2
cuando
satélite
el
bajo
ente
exactam
Un
observador
A
situado
exactamente
bajo
el
satélite
cuando
situado
A
dor
Un observa
la
en la
f>.f3 en
variació n 1'1f3
una variación
observa una
B observa
en B
éste
ecuado r en
el ecuador
por el
pasa por
éste pasa
en
B
n
posició
la
a
regresa a la posición Ben
mismo regresa
el mismo
cuando el
longitud
satélite cuando
del satélite
longitu d del
f>.f3.
Calcula r 1'1f3.
Tierra. Calcular
la Tierra.
torno aa la
en torno
vuelta en
su
siguien te vuelta
su siguiente
---~~
TT
D
Figura
3.283
problem a 3.283
Figura problema
que
para que
3.284
indicad a para
direcció n indicada
la dirección
en la
VB en
velocid ad VB
la velocidad
Hallar la
3.284 Hallar
circula
trayectoria
de
la
nave
espacial
sea
tangente
a
la
órbita
circuórbita
la
a
e
la trayecto ria de la nave espacia l sea tangent
lar
punto C.
en el punto
2R en
radio 2R
de radio
lar de
4R
4R
R
R
R
R
."-,
/---/
I
\C
(
problem a 3.278
Figura problema
una altura
3.279 Un satélite
satélite pasa
norte con una
altura
pasa sobre el polo norte
iciuna órbita
para el perigeo
perigeo de 500
500 km en una
órbita elíptica
elíptica de excentr
excentriciad absolut
0,7. Calcula
Calcularr la velocid
velocidad
absolutaa vv del
del satélite
satélite cuando
cuando
dad e == 0,7.
atravies
atraviesaa el ecuador
ecuador..
/h
Resp.
Resp. v =
= 25 680
680 km
km/h
espaciall se halla en una órbita circular
circular aa una
una
3.280 Una nave espacia
ad f>.v
nto de velocid
altura de 200 km. ¿Qué increme
incremento
velocidad
I'1v debe
debe cococampo
del
escape
que
para
cohete
motor
municar
al
su
del
campo
su
ingenio
al
r
munica
orio terrestre
gravitat
gravitatorio
terrestre??
3.281 En
En una de
de las órbitas
órbitas descrita
descritass por la
la nave espacia
espaciall ApoApo3.281
ie de
ia aa la
lo alreded
alrededor
de la
la Luna,
Luna, su
su distanc
distancia
la superfic
superficie
de ésta
ésta vavaor de
lo
ad máxima
riaba de
de 100
100 aa 300
300 km.
km. Calcula
Calcularr la
la velocid
velocidad
máxima de
de la
la nave
nave
riaba
e esa
dentro
dentro dde
esa órbita.
órbita.
p == 6024
Resp.
Resp. vVp
6024 km/h
km/h
ia de
3.282 Determ
Determinar
la diferenc
diferencia
de energía
energía f>.E
I'1E entre
entre un
un vehícuvehícuinar la
3.282
iento en
lanzam
de
rma
platafo
su
en
kg
lo
orbital
de
80
000
kg
en
su
plataforma
de
lanzamiento
en
000
80
lo orbital de
o en
Cabo Cañave
Cañaveral
(latitud 25°)
25°) yy el
el mismo
mismo vehícul
vehículo
en una
una órbita
órbita
ral (latitud
Cabo
circular de
de altitud
altitud hh ==300
300 km.
km.
circular
s" es
3.283 Un
Un satélite
satélite ""sin
retardos"
es el
el que
que lleva
lleva en
en su
su interior
interior
sin retardo
3.283
como
tal
tra una
una cámara
cámara en
en la
la que
que se
seencuen
encuentra
una masa
masa tal como se
semuesmuesuna
ye aa causa
tra. Si
Sila
la celerida
celeridad
del satélite
satélite disminu
disminuye
causa de
de las
las resisresisd del
tra.
ye yy por
tencias, la
la de
de la
la masa
masa no
no disminu
disminuye
por tanto
tanto se
se mueve
mueve con
con
tencias,
relación aala
lacámara
cámara como
comose
seindica
indica en
enla
lafigura.
figura. Este
Estecambio
cambio de
de
relación
or de
s yy el
posición
lo detecta
detectan
unos sensore
sensores
el generad
generador
de empuje
empuje
n unos
n lo
posició
B
Figura problem
problemaa 3.284
Figura
3.285 Dos
Dos satélites
satélites B
By
describen
en la misma órbita circular de
y e describ
3.285
800
km
de
altura.
Tal
como
se
B va 2000
2000 km
el satélite B
indica,
se
800 km de altura. Tal como
\)\)\) :'1~ ,
~
~
¿-'/
B
~
<'\
/ /
\ \
I I
/!
I ~
I
(
I \
I
I
J
\
\
~
\ \
I
I I
"'
\
\
\
800 km
"
"" "
_ ::r'
_----~
/
........... ___
........ _
Figura problem
problemaa 3.285
3.285
Figura
.)
207
http://gratislibrospdf.com/
C Mostrar que C puede
"pisando
por delante del C.
puede alcanzar a B "pisando
los frenos". Concretamente,
Concretamente, ¿en qué cuantía t'1v
I'1v debe reducirse
los
reducirse
encuentre con B
la velocidad orbital circular de C para
para que se encuentre
Comprobar que C
período en su nueva
nueva órbita elíptica? Comprobar
tras un período
no choca con la Tierra en su órbita elíptica.
Resp.
I'1v == 115,5
115,5 mi
Resp. t'1v
m/s
f3 que forma la intersección de la trayectoria
trayectoria con
llar el ángulo f3
Supóngase que la posición B del vehícula superficie terrestre. Supóngase
corresponde al final del funcionamiento
funcionamiento de los motores de
lo corresponde
maniobra
lugar pérdida
altura durante
durante ese
m
aniobra y que no tiene lugar
pérdida de altura
funcionamiento.
funcionamiento.
Resp.
f3 == 151Y
151Y
Resp. f3
mueve en una órbita circular a una altura
altura
3.286 Un satélite se mueve
320 km sobre la superficie terrestre.
terrestre. Si
Si un motor cohete del
de 320
incremento de velocidad
velocidad de 300
300 m
mi / s en la
produce un incremento
satélite produce
dirección de su movimiento
movimiento durante
durante un tiempo muy corto, calcalpara la nueva
nueva posición de su apocular la altura H del satélite para
geo.
geo.
B
?.-----........
-7
/;l'
altura
3.287 Un satélite artificial se coloca en su órbita a una altura
velocidad absoluta Vo
va bajo un ángulo de vuelo f3
f3 tal
H con un velocidad
Hallar la expresión
expresión de la velocidad
velocidad v del sacomo se muestra. Hallar
distancia radial r al centro
télite en su órbita en función de su distancia
de la Tierra.
Resp.
=v
Resp. v22 =
2
O
O
2gR2(! __
+ 2gR2(!
__
I
'-..
II
It
/3--1
I\
I \.
\C
\
l
'1>
" \/320km
/J'
\
J
\
¡
»>
""'-
/
/
-;(
<, _-_/
./
Figura problema
problema 3.289
1_)
1
_)
r R+H
R+H
3.290 Un satélite se pone en órbita polar circular a una distanCuando en A pasa por encima
cia H de la superficie terrestre. Cuando
del polo norte, se activa su retropropulsor
retropropulsor produciéndose
produciéndose un
momentáneo que reduce la velocidad
velocidad hasta
hasta
empuje negativo
negativo momentáneo
un valor que asegura
Deducir la exasegura el aterrizaje en el ecuador. Deducir
presión
velocidad t'1v
I'1vAA necesaria en A. Obpresión de la reducción
reducción de velocidad
sérvese que A es el apogeo de la trayectoria elíptica.
Figura problema
problema 3.287
A
Demostrar que la velocidad
velocidad de un satélite que viaje en
3.288 Demostrar
cuando llega al extremo C del seórbita circular vale RJi1(¡
RJg1a cuando
Demostrar asimismo que la velocidad
velocidad es la mismieje menor. Demostrar
ma que en una órbita circular de radio
radio a.
~-r=-~
I
-,
Vc ~~~ ~
Ve
/.....-
I
/----
I
~
.•••..••..•..
............
I
"-\\
,,R/
. R.¡f \\
\--\--- --f--------*'-----t-- +--~--- _t_
/
a
,
\\ "//
I,I
?f
I/
B
b
b
Y
Y
/
'"
"'- ~
Figura problema
problema 3.290
--.l,
./ ?f
--- --11----' ./
Figura problema
problema 3.288
80 Mg describe una órbita cir3.289 La lanzadera
lanzadera espacial de 80
altura de 320
320 km. Los dos motores
motores ddel
el sistema de
cular a una altura
maniobra orbital, cada uno de los cuales produce
maniobra
produce un empuje de
27kN,
encienden en retroempuje
durante 150
150segundos.
27
kN, se encienden
retroempuje durante
segundos. Ha-
3.291 Una estación de seguimiento
seguimiento instalada
instalada en el ecuador
ecuador
3.291
ecuatorial que describe un satélite en direcobserva la órbita ecuatorial
Si la altura
altura en el perigeo es H == 150
150km
Ysu
ción oeste-este. Si
km Y
su vealtura en el apogeo
locidad es v en la vertical de la estación y su altura
1500km,
velocidad angular
angular pp (relaes 1500
km, hallar la expresión de la velocidad
tiva a la Tierra) con que debe hacerse girar el reflector de la antena cuando
cuando el satélite se encuentra
encuentra justo en
encima.
cima. Calcular p. La
velocidad angular
angular de la Tierra es to
0,7292(10-4)rad I/ s.
s.
velocidad
ro == 0,7292(10-4)
Resp.
0,0514 rad
Resp. pp == 0,0514
rad/' s
208
http://gratislibrospdf.com/
,
\
n
\
\
Jv
'/'
+
I
/
/
3.291
problema 3.291
Figura
Figura problema
Figura
3.294
problema 3.294
Figura problema
de
celerida d de
una celeridad
proyect il con una
un proyectil
3.292
dispara un
Desde B se dispara
3.292 Desde
tal
horizon tal tal
= 30° con la horizontal
2000
ángulo ex =
un ángulo
forman do un
m i s formando
2000 mi
.
h
máxima
altura
la
Hallar
ax
m
como se indica. Hallar altura máxima hmax'
necesar io en el
ex necesario
problem
el
en problemaa 3.294.
punto
definid a en
trayecto ria definida
de la trayectoria
B de
punto B
Resp.
= 38,8°
Resp. ex =
3.295
lanzam iento
ángulo de lanzamiento
el ángulo
Calcula r el
3.295 Calcular
órbita circuuna órbita
3.296
inyecta rse en una
debe inyectarse
espacia l S debe
nave espacial
La nave
3.296 La
instalac ión,
en la instalación,
lar
avería en
una avería
d e una
culpa de
Por culpa
km. Por
400 km.
altura 400
de altura
lar de
circular ,
órbita
para
la
celeridad
de
inyección
ves
la
correcta
para
la
órbita
circular,
correcta
es
v
ón
inyecci
de
la celerida d
direcció n
pero
ángulo ex con la dirección
un ángulo
velocid ad inicial v forma un
la velocidad
pero la
para
permisi ble ex para
que
máximo permisible
error máximo
pretend ía. ¿Cuál es el error
se pretendía.
que se
resisten
iar
Desprec
que
el
vehículo
no
choque
con
la
Tierra?
Despreciar
la
resistenchoque
que el vehícul o
cia atmosférica.
rica.
atmosfé
o
D
/.----r~VB
VB
/.'--r~
ex
a
/l1max
I/ / hmax-
•"\
•
,
(
....
B
"' B
/
I
"\
m is
2000 mis
= 2000
=
//
•
•
,y-f3---vr
, {3»«/ /I
\
:-\"'
//
\
'f
~
v
O
.,ex
a
S
~'trtr~
./,
/
/
/
/'"
/,
<,
............
<,
"-
/Q \
3.292
problema 3.292
Figura
Figura problema
I
/
/
,l.1
+
~
.'.'~
"'"\
\\ I
..
•.
I
JJ
\\
estrella s
las estrellas
por las
3.293 El
El sistema estelar binario está formad
formadoo por
3.293
de
centro
al
en
órbitas
en
A
y
B,
las
cuales
giran
torno
centro
de
ambas
A y B,
¡ calculad o con
período orbital 'r1"/calculadocon
rar el período
masa del sistema
sistema.. Compa
Comparar
n¡ calhipótesis
fija con el período
período 'r1""1calis de que la estrella A esté fija
la hipótes
s.
culado sin esa hipótesi
hipótesis.
00 ss
00 s, 'r1""1
¡ = 217600
Resp. 'r1"1=
21760000
= 207400
20740000
Resp.
n¡ =
/
\
\"
\
400 km
400km
-.....
"..........
__
......
-='?"/
".-
//
/
---'"
Figura problema
3.296
problema 3.296
Figura
3.297 Una
Una nave
nave espacia
espaciall de 800
800kg
describee una órbikg de masa describ
3.297
y se desea que
Tierra
ta
circular
a
6000
la
de
encima
por
km
6000
a
ta circular
.60003 \
km A
a 3.293
Figura
Figura problem
problema
3.293
3000
3000
km
km
iento nead de
3.294 Calcula
Calcularr el
el módulo de
de la
la velocid
velocidad
de lanzam
lanzamiento
ne3.294
interil
proyect
del
ria
trayecto
la
que
cesaria
en
el
Bpara
que
la
trayectoria
del
proyectil
interpara
B
punto
cesaria en el
e 90°.
seque aa la
la superfic
superficie
terrestree bajo
bajo un ángulo
ángulo f3f3 dde
90°. La
La
ie terrestr
seque
ria es
altitud del
del vértice
vértice de
de la
la trayecto
trayectoria
es 0,5
0,5 R.
R.
altitud
Figuraproblem
problema
3.297
a 3.297
Figura
209
209
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cambie a otra órbita elíptica cuya altura
altura de perigeo sea 3000
3000
muestra. La transferencia
transferencia se lleva a cabo encenkm, tal como se muestra.
diendo en A el retromotor
diendo
retromotor y produciendo
produciendo un empuje inverso
de 2000
2000 N. Calcular el tiempo t que debe estar activado el motor.
Resp. t == 162
Resp.
162 s
Resp.
I1v AA
Resp. D.v
= 2370
2370 mis
mi s
~
3.298 En cierto instante
instante un
~ 3.298
un ingenio espacial tiene en su órvelocidad que se indican. Hallar la
bita elíptica la posición y la velocidad
longitud
mayor de la órbita y el ángulo
longitud a del semieje mayor
ángulo agudo
agudo a
que forma el semieje mayor
mayor con la recta L. ¿Acabará el satélite
chocando con la Tierra?
Resp. aa == 7462
km, a=
a = 72,8°;
Resp.
7462km,
72,8 no
= 1447
mi s
1447 mis
0
;
problema 3.299
Figura problema
3.299
km
1000 km
~ 3.300
una velocidad
velocidad de 3200
mi s en la
~
3.300 El satélite lleva en B una
3200 mi
dirección indicada.
Hallar el ángulo
punto e del
indicada. Hallar
ángulo que sitúa el punto
choque
choque con la Tierra.
Resp.
109,1°o
Resp. f3 == 109,1
problema 3.298
Figura problema
3.298
~
3.299 Un vehículo espacial que se mueve
~ 3.299
mueve en una
una órbita circular de radio
radio r¡
r} cambia a otra órbita circular de radio
radio mayor'2
mayor r 2
mediante
desde A hasta
mediante un tramo elíptico desde
hasta B.
B. (Esta trayectoria
trayectoria
Hohmann.) El salto se
se conoce como elipse de cambio de Hohmann.)
mediante un
un incremento
brusco de celeridad
A
efectúa mediante
incremento brusco
celeridad D.v
I1vAA en A
B. Escríbanse las expresiones
y un segundo
segundo incremento
incremento D.VB
I1vB en B.
expresiones
de D.v
radios indicados
I1vAA e D.VB
I1vB en función de los radios
indicados y del valor g de
la gravedad
gravedad en la superficie terrestre. Si
Si ambos D.v
I1v son positipuede suceder
vos, ¿cómo puede
suceder que la celeridad
celeridad en la órbita 2 sea
menor
1? Calcular
Calcular el valor numérico
I1v si
menor que en la 1?
numérico de cada D.v
I'}
= (6371
+ 500)
Y r2 =
= (6371
+ 35 800)
1"1=
(6371+
500) km Y1"2
(6371+
800) km. Obsérvese que
se ha tomado
tomado '2
r 2 como radio de órbita.
Figura problema
3.300
problema 3.300
3.14 MOVIMIENTO
MOVIMIENTO RELATIVO
RELATIVO
material hemos
En lo que llevamos de esta exposición de la cinética del punto
punto material
aplicado
Newton y los teoremas
teoremas de las fuerzas vivas y de la
aplicado la segunda
segunda ley de Newton
cantidad
movimiento a problemas
problemas en los que el movimiento
movimiento se mide respeccantidad de movimiento
un sistema de referencia que se supone
to a un
supone fijo.
fijo. Lo más aproximado
aproximado a un sisprimario o sistema de
tema de referencia "fijo" es el sistema de referencia primario
por un
un conjunto de ejes ligados a
referencia astronómico, que está constituido
constituido por
las estrellas fijas
fijas.. Se
Se considera, entonces, que todos los demás
demás sistemas de refe210
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rencia se mueven en el espacio, incluidos todos los sistemas de referencia ligados a la Tierra.
Las aceleraciones de los puntos ligados a la Tierra medidas en el sistema
primario son, empero, muy pequeñas y normalmente se desprecian en la gran
mayoría de las mediciones efectuadas sobre la superficie terrestre. Por ejemplo, la aceleración del centro de la Tierra, en su órbita casi circular alrededor
del Sol supuesto fijo, es 0,00593 mi S2y la aceleración de un punto del ecuador
al nivel del mar respecto al centro de la Tierra supuesto fijo es 0,00399mi s2.Es
evidente que estas aceleraciones resultan pequeñas comparadas con g y con la
mayoría de las aceleraciones que intervienen en las aplicaciones de índole técnica; así pues, sólo cometemos un pequeño error al hacer la hipótesis de que
los sistemas de referencia ligados a la Tierra equivalen a un sistema de referencia fijo.
(a)
Ecuación del movimiento relativo.
211
3.14 MOVIMIENTO RELATIVO
Consideremos una partícula de masa
m (fig. 3.22) cuyo movimiento se observa desde un sistema de ejes x-y-z dotado
de un movimiento de traslación respecto a un sistema de referencia fijo X-y-Z,
de forma que las direcciones x, y y z permanecen siempre paralelas a las direcciones X, Y YZ. El estudio del movimiento con relación a un sistema de referencia que gire lo reservamos para los apartados 5.7 y 7.7 posteriores. Sea aB la
aceleración del origen B de x-y-z. La aceleración de A observada desde o respecto a x-y-z es arel = a A / B = r A / B y, en virtud de la relación para la aceleración relativa expuesta en el apartado 2.8, la aceleración absoluta de A es
Figura 3.22
f
Entonces, la segunda ley de Newton LF
= maA
se escribirá
(3.46)
La suma de fuerzas LF queda de manifiesto, como siempre, mediante un
diagrama para sólido libre completo, el cual será el mismo para un observador
en x-y-z que para un observador en X-Y-Z, puesto que en tal diagrama sólo se
representan las fuerzas reales que actúan sobre el punto material. Concluimos
de inmediato que la segunda ley de Newton no se cumple en un sistema acelerado ya que LF *- m arel'
a
y
y
y
a
Principio de D'Alambert.
Cuando se observa un punto material desde un sistema de ejes fijo X-Y-Z (fig. 3.23a), se mide su aceleración absoluta a y se aplica
la conocida relación LF = ma. Cuando el mismo punto se observa desde un sistema móvil x-y-z solidario del punto en su origen (fig. 3.23b), éste necesariamente parece encontrarse en reposo en el sistema x-y-z. Si el observador
pretende que el punto está en equilibrio en x-y-z, deduce la conclusión de que
se ejerce una fuerza -ma que equilibra a LF. Este punto de vista, que permite
tratar los problemas de Dinámica con los métodos de la Estática, fue enunciado
en 1743por D'Alambert en su Traiié de Dynamique. Este método equivale, simplemente, a escribir la ecuación del movimiento de manera LF - ma = O,que
tiene la forma de una suma nula de fuerzas si se considera -ma como fuerza. A
esta fuerza ficticia se le da el nombre de fuerza de inercia y al estado artificial de
equilibrio así creado se la el nombre de equilibrio dinámico. La transformación
aparente de un problema de Dinámica en otro de Estática se conoce con el
nombre de principio de D'Alamberi.
http://gratislibrospdf.com/
I
1
If
/
Lma
m Q---
mQ
x
I
I
n
I
1
1
X
(a)
LF
X
(b)
Figura 3.23
212
212
CINÉTICA
C1NÉTICA DEL
DEL PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
(a)
(a)
,
.
I , "
T
Y
T
Y
--~
1111-) --~
--~
11-
--.~
11-
_ mroJ
mror'
__
1 11
mg
rng
mg
mg
(b)
(b)
(e)
Figura 3.24
3.24
Figura
Hay
principio de
de
Hay diferencia
diferencia de opiniones
opiniones acerca
acerca de
de la interpretación
interpretación del
del principio
D'Alambert, pero
pero en
en este
este libro
libro la forma
en que
que suele
suele ser
ser conocido
conocido se trata
D'Alambert,
forma en
trata prinprincipalmente como
como cuestión
cuestión de interés
interés histórico.
histórico. Se enunció
enunció en
en un
un tiempo
cipalmente
tiempo en
en el
cual el conocimiento
conocimiento y la experiencia
experiencia que
que se tenían
tenían en
en el campo
campo de
de la Dinámica
cual
Dinámica
eran muy
muy limitados
limitados y constituyó
constituyó un
un intento
intento de
de exponer
exponer la Dinámica
Dinámica mediante
eran
mediante
principios de
de la Estática
Estática que,
que, por
por entonces,
entonces, se conocían
conocían de
de modo
los principios
modo mucho
mucho
más completo.
completo. Este
recurso de describir
describir una
situación real
real empleando
empleando una
más
Este recurso
una situación
una situación artificial
artificial ya
ya no
no es necesario
necesario actualmente,
actualmente, pues
pues hoy
hoy día
día se dispone
tuación
dispone de
de
conocimientos y experiencias
acerca de
de los fenómenos
fenómenos dinámicos
dinámicos que
conocimientos
experiencias acerca
que respalrespaldan decisivamente
decisivamente los procedimientos
procedimientos directos
directos de
de pensar
pensar en
en términos
términos de
dan
de DináDinámica y no de
de Estática.
Estática. Resulta
Resulta algo
algo difícilmente
difícilmente justificable
persistencia en
mica
justificable la persistencia
en la
aceptación de
de la Estática
Estática como
como medio
medio para
para comprender
comprender la Dinámica,
Dinámica, particuaceptación
particularmente en
en vista
vista de
de los esfuerzos
esfuerzos continuos
continuos que
que se hacen
hacen para
para conocer
larmente
conocer y desdescribir
cribir los fenómenos
fenómenos físicos
físicos de
de manera
manera que
que no resulten
resulten desfigurados.
desfigurados.
Citaremos
únicamente un
del principio
principio de
de
Citaremos únicamente
un ejemplo
ejemplo sencillo
sencillo de
de aplicación
aplicación del
D'Alambert. El péndulo
péndulo cónico
de masa
masa m (fig. 3.24a)
3.24a) se mueve
mueve describiendo
D'Alambert.
cónico de
describiendo
una
(1). Aplicando
Aplicando
una circunferencia
circunferencia horizontal
horizontal de
de radio
radio r con
con velocidad
velocidad angular
angular 0).
directamente
de la acedirectamente la ecuación
ecuación de
de movimiento
movimiento LF
~F = mar¡ en
en la dirección
dirección n de
leración, el diagrama
diagrama para
para sólido
sólido libre,
libre, que
que se representa
representa en
en la parte
parte bb de
leración,
de la figura, muestra
muestra que
que T sen
sen e
8 == mroJ.
mror . Combinando
Combinando
esta ecuación
ecuación con
gura,
esta
con la
correspondiente
e -- mg = O,
O,
correspondiente al requisito
requisito de
de equilibrio
equilibrio en
en la dirección
dirección y, T cos 8
pueden hallarse
hallarse la incógnitas
incógnitas T y e.
8. Pero
Pero si los ejes de referencia
referencia se tomaran
pueden
tomaran
unidos
En conconunidos a la partícula,
partícula, ésta
ésta aparecería
aparecería en
en equilibrio
equilibrio relativo
relativo a esos
esos ejes. En
secuencia,
imagisecuencia, habría
habría que
que añadir
añadir la fuerza
fuerza de inercia
inercia -ma,
-ma, lo que
que equivale
equivale a imaginar
según se
nar la aplicación
aplicación de mroJ
mroJ en
en sentido
sentido opuesto
opuesto al de
de la aceleración,
aceleración, según
indica
para
sólido libre,
libre, la
indica en
en la parte
parte c de
de la figura.
figura. Con
Con este
este pseudodiagrama
pseudodiagrama
para sólido
suma
sen eque, desde
desde lueluesuma nula
nula de
de fuerzas
fuerzas según
según la dirección
dirección n da
da T sen
8- mroJ
mror == O
Oque,
go, da
esta formulaformulada el mismo
mismo resultado
resultado que
que antes.
antes. Podemos
Podemos concluir
concluir que
que con
con esta
ción
porque
ción no se obtiene
obtiene ventaja
ventaja alguna.
alguna. Los autores
autores desaconsejan
desaconsejan su
su empleo
empleo porque
no supone
inexistente
supone ninguna
ninguna simplificación
simplificación y, en
en cambio,
cambio, agrega
agrega una
una fuerza
fuerza inexistente
al diagrama.
circular,
diagrama. En el caso
caso de una
una partícula
partícula que
que recorra
recorra una
una trayectoria
trayectoria circular,
esta hipotética
hipotética fuerza
fuerza de
de inercia
inercia se denomina
denomina fuerza
centrífuga ya
ya que
esta
fuerza centrífuga
que está
está diridirigida
de la acegida en
en el sentido
sentido de
de alejamiento
alejamiento del
del centro
centro y su
su sentido
sentido es opuesto
opuesto al de
leración.
cuenta de
fuerza
leración. Se insta
insta al alumno
alumno a que
que se dé
dé cuenta
de que
que no existe
existe tal fuerza
centrífuga aplicada
aplicada a la partícula.
partícula. La única
única fuerza
fuerza horizontal
horizontal que
que podría
denocentrífuga
podría denominarse
de la tractracminarse adecuadamente
adecuadamente centrífuga
centrífuga sería
sería la componente
componente horizontal
horizontal de
ción
ción T que
que la partícula
partícula ejerce
ejerce sobre
sobre el hilo.
hilo.
relativo a sistemas
sistemas en traslación uniforme.
uniforme. Al estudiar
(b) Movimiento
Movimiento relativo
estudiar el momovimiento
material relativo
movimiento,
vimiento de un
un punto
punto material
relativo a sistemas
sistemas de
de referencia
referencia en
en movimiento,
importante considerar
considerar el caso particular
particular en
en que
que se observa
observa el movimiento
es importante
movimiento
desde
constandesde un
un sistema
sistema de referencia
referencia en
en traslación
traslación que
que se mueva
mueva a velocidad
velocidad constante. Si los ejes x-y-z
será aB
aB =
=O
x-y-z de la figura
figura 3.22 se mueven
mueven a velocidad
velocidad constante,
constante, será
Y la aceleración
A =
ecuación
aceleración del punto
punto material
material será
será aaA
= arel'
are!. Por
Por consiguiente,
consiguiente, la ecuación
3.46 puede
puede escribirse
escribirse
~F
LF
= marel
mare!
=
(3.47)
(3.47)
que nos
nos dice
dice que
que la segunda
segunda ley
ley de
de Newton
cumple para
para mediciones
mediciones efecque
Newton se cumple
tuadas en
un sistema
sistema que
que se mueva
mueva a velocidad
velocidad constante.
sistema se conotuadas
en un
constante. Tal sistema
conocomo sistema
sistema de
de referencia
referencia newtoniano,
newtoniano, o inercial.
inercial. Los observadores
ce como
observadores
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solidarios
solidarios del
del sistema
sistema móvil
móvil y los
los solidarios
solidarios del
del sistema
sistema fijo concordarán
concordarán en
en sus
sus
designaciones
designaciones de
de la fuerza
fuerza resultante
resultante que
que actúa
actúa sobre
sobre la partícula
partícula al dibujar
dibujar sus
sus
diagramas
diagramas para
para sólido
sólido libre,
libre, pues
pues éstos
éstos serán
serán exactamente
exactamente iguales
iguales siempre
siempre que
que
eviten
eviten el uso
uso de las
las llamadas
llamadas "fuerzas
"fuerzas de
de inercia".
inercia".
Vamos
teoremas de
Vamos a examinar
examinar ahora
ahora el tema
tema paralelo
paralelo de
de la validez
validez de
de los
los teoremas
de
las fuerzas
fuerzas vivas
de la cantidad
vivas y de
cantidad de
de movimiento
movimiento respecto
respecto a un
un sistema
sistema no
no giratorio
ratorio en
en traslación
traslación uniforme.
uniforme. Regresemos
Regresemos a la figura
figura 3.22 en
en la que
que los
los ejes
x-y-z
respecto
a
los
ejes
fijos
XY-Z.
La
x-y-z se mueven
mueven a velocidad
velocidad constante
constante vB
vB == rB
respecto
B
trayectoria
partícula en
en x-y-z
está regida
regida por
por rrel Y
Y se representa
representa esquemáesquemátrayectoria de la partícula
x-y-z está
ticamente en
x-y-z es dU
ticamente
en la figura
figura 3.25. El trabajo
trabajo que
que LF efectúa
efectúa en
en x-y-z
dUrel
= LF·dr
LF·dfrel'
rel =
re1.
Pero
Pero LF = maA
maA = marel
marel ya que
que aB
aB == O. Además,
Además, arel
arel ·dr
·dfrel
dVrel por
por la misma
misma
rel = vrel dVrel
razón
que en
razón que
en el apartado
apartado 2.25 sobre
sobre movimiento
movimiento curvilíneo
curvilíneo era
era a
a¡t ds = v dv. Así
Así
pues,
pues, tenelllOS
tenemos
213
213
3.14
3.14 MOVIMIENTO
MOVIMIENTO RELATIVO
RELATIVO
Trayectoria I,F
LF
'\.
relativa a
'\.
x-y-z
""
x-y-z
-,__
-~r'el
'__ ~r'el
z\ ylL:; {¿l .,~=~=V rel
a
ylCly
B~
B~
O
O
cinética relativa
relativa en
en x-y-z
definimos como
como Tre
La energía
energía cinética
x-y-z la definimos
rel!
que se tiene
tiene
que
=~ mvri
mvri
de forma
forma
=~
de
X
y
"-""-""-"x
Figura 3.25
3.25
Figura
(3.48)
(3.48)
sea
o sea
'r
que muestra
muestra que
que el teorema
teorema de
de las fuerzas
fuerzas vivas
vivas es válido
válido para
para mediciones
mediciones
lo que
efectuadas en
en sistemas
sistemas en
en traslación
traslación uniforme.
uniforme.
efectuadas
impulso
sobre la partícula
partícula
durante
el tiempo
tiempo dt es
En x-y-z
x-y-z el impulso
sobre
durante
LF
dt =
= maAA dt
dt =
= marel
mare! dt.
dt. Pero
Pero marel
mare! dt
dt =
= m dVrel
dVrel =
= d(mvrel)
d(mvre!) y así
así
I,F dt
Enx-y-z
cantidad de
de movimiento
movimiento del
del punto
punto material
material la definimos
definimos Grel
mVrel
En
x-y-z la cantidad
rel == mVrel
nos da
da LF
dGrel
dividir por
por dt e integrar
integrar resulta
resulta
y ello nos
I,F dt == dG
rel. . Al dividir
LF
o
n
y
ff I,F
LF dt =
= AGrel
rel
(3.49)
(3.49)
Así pues,
pues, el teorema
teorema de
de la cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento relativa
relativa a un
un sistema
sistema de
de reAsí
ferencia fijo se cumple
cumple también
también para
para mediciones
mediciones efectuadas
efectuadas en
en un
un sistema
sistema en
en
ferencia
traslación uniforme.
uniforme.
traslación
Finalmente, definimos
definimos el momento
momento cinético
cinético del
del punto
punto material
material respecto
respecto a
Finalmente,
un punto
punto en
en x -y-z,
-y-z, como
como puede
puede ser
ser el origen
origen B, como
como el momento
momento de
de la cantidad
cantidad
un
movimiento relativa.
relativa.
Entonces,
=
frel
!.
derivada
temporal
de movimiento
Entonces,
H
=
rrel
X
G
.
La
derivada
temporal
B
re
Brel
rel
rel·
.
·
de esta
rrel X Grel cuyo
esta expresión
expresión es HB,.I
HB'CI=
= rrel X Grel
cuyo primer
primer sumando
sumando es
rel + frel
vrel X
Y el segundo
o
sea,
la
suma
de
,
Vrel
X mVrel
mVrel =
= O
OY
segundo es rrel
frel X
X LF =
= LM
LMB'
suma
de los
los momoB
mentos respecto
respecto a B
B de
de todas
todas las
las fuerzas
fuerzas que
que actúan
actúan sobre
sobre m. Así
Así pues,
pues, tenemos
tenemos
mentos
(3~50)
(3~50)
que muestra
muestra que
que el teorema
teorema del
del momento
momento cinético
cinético es válido
válido en
en los
los sistemas
sistemas
lo que
en traslación
traslación uniforme.
uniforme.
en
Aun cuando
cuando sean
sean válidos
válidos los teoremas
teoremas de las fuerzas
fuerzas vivas
vivas y de
de la cantidad
cantidad
Aun
movimiento en
en un
un sistema
sistema en
en traslación
traslación uniforme,
uniforme, las
las expresiones
expresiones del
del tratrade movimiento
http://gratislibrospdf.com/
v"'
214
214
CINÉTICA
ClNÉTICA DEL
DEL PUNTO
PUNTO MATERIAL
MATERIAL
bajo, la energía
energía cinética y la cantidad
cantidad de movimiento
movimiento son diferentes
diferentes de las correspondientes
rrespondientes al sistema
sistema fijo.
fijo. Así
(dU
(dU
= LF· dr
drAA) )"*
of. (dU
(dUrelrel =
= LF· drrel
=
rel))
(T = ~mv})
~mv}) "*
of. (T
(Trel
~mvri)
(T
rel = ~mvri)
(G = mv
mv A)
of. (G
(Grel = mV
mVrel)
(G
A) "*
rel )
ecuaciones 3.47 a 3.50
3.50 constituyen
constituyen una
una demostración
demostración formal de las ecuaLas ecuaciones
Newton en todos
todos los sistemas
sistemas no giratorios
giratorios en traslación
traslación uniforme.
uniforme.
ciones de Newton
Esta conclusión
conclusión podría
podría haberse
haberse sospechado
sospechado del hecho de que LF
LF == ma
ma depende
depende
pero no de la velocidad.
velocidad. Además,
Además, podemos
podemos concluir que no
de la aceleración, pero
es posible
posible llevar a cabo experimento
experimento alguno
alguno en un
un sistema
sistema en traslación
traslación uniforme (sistema de referencia
referencia inercial) que sea capaz de revelar
revelar la velocidad
velocidad absoluta
luta de tal sistema, pues
pues todos
todos los experimentos
experimentos mecánicos darán
darán los mismos
mismos
resultados en todos
sistemas de referencia
referencia inerciales.
resultados
todos los sistemas
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.28
3.28
Un péndulo
péndulo simple
simple de masa m yy longilongitud
tud rr está montado
montado sobre la batea de
ferrocarril que posee la aceleración
ferrocarril
aceleración horizontal
pénzontal constante
constante ao
ao indicada.
indicada. Si el péndulo se suelta
suelta desde el reposo con
O,,
relación a la batea en la posición
posición e == O
hallar el valor
valor de la tensión
tensión T de la varivaridespreciable en función
lla de masa despreciable
función de e.
Hallar también
también T
T para e
e == 11:11:/2/2 YY ee == 11:.11:.
Hallar
o 00----- - - e
11',
', e
-
xx
ff
In',
1
~
1
~
1
T
1
yy
/
// "
t
mg
Diagrama para
sólido libre
.
re2
2
/
/
//
o/~
ao
o/~ao
"!J
"!J
''
re
ao
~~~~~
__-L~__~~~LU ~
Solución.
sistema x-y móvil lo vinculamos
vinculamos al vagón
vagón en traslación
traslación situando
situando
Solución.
El sistema
por comodidad
Relativamente a este sistema
comodidad el origen en O.
O. Relativamente
sistema de coordenadas,
coordenadas, las
naturalmente ubicadas,
ubicadas, ya que el movimiento
movimiento es circular
direcciones n y t son las naturalmente
x-y. La aceleración de m es la dada
respecto
respecto a x-y.
dada por la relación de aceleraciones
,
,
'"
o
r8
Componentes de
la aceleración
aceleración
donde
donde arel es la aceleración que mediría
mediría un observador
observador que se trasladase
trasladase con el
observador mediría
mediría una componente
componente n de valor r é 2 Y
Yuna
una compovagón. Este observador
nente
nente t de valor re.
re. Las tres componentes
componentes de la aceleración absoluta
absoluta ddee m se representan
presentan en el esquema.
esquema.
Primeramente
Primeramente aplicamos
aplicamos la segunda
segunda ley de Newton
Newton según
según la dirección t y
obtenemos
obtenemos
é
CD
Empezamos con la dirección
dirección t porporEmpezamos
que en la ecuación
ecuación de la dirección
dirección n,
que
que contiene
contiene la incógnita
incógnita T,
T,intervieinterviene iP,
que a su vez se obtiene
tP, que
obtiene de
una
una integración
integración de
ee .
CD
mg
mg cos e
e == mere
m(re - aoo sen e)
re
re == g cos e
e + aoo sen
http://gratislibrospdf.com/
ee
e
Alintegrar
integrarpara
paraobtener
obtener é en
enfunción
funciónde
deeeresulta
resulta
Al
1 cos e+ a sen e)de
cos e+ aoosen e)de
fe'ofoe'eedede. .== fefeoo1r(g¡;(g
if2
iJ2
11
¡;[gsen
sen ee+
cos e)]
e)]
""22 == r[g
+ aao(1o(1 - cos
Apliquemosahora
ahoralalasegunda
segundaley
leyde
deNewton
Tewtonsegún
segúnlaladirección
direcciónn,
n,teniendo
teniendo
Apliquemos
encuenta
cuentaque
quelalacomponente
componentenn de
delalaaceleración
aceleraciónabsoluta
absolutaes
es rif2
r iJ2-- aaoocos
cos e.e.
en
2
[¿F" = ma,,]
o2 ~omprob~r
Comprobar sin
sin lugar
lugar aa dudas
dudas que
que
mg sen
sen ee == m(rif2
m(riJ2-- aaoocos
cos e)e)
TT-- mg
e de e d
e de == e d ee puede
puede obtenerse
obtenerse de
de
vv dv
dv == a,a t ds
ds dividido
dividido por
por ?
il.
[2 g sen
sen ee++2a
2aoo(1(1 - cos
cos e)e) -- aaoocos
cos e]
e]
== mm[2g
m[3g sen
sen e+a
e+oa(2-3
cos e)]
e)]
TT == m[3g
o(2 -3 cos
Resp.
Resp.
Para e=
e=n/2
n/ 2yy e=
e=ttntenemos
tenemos
Para
¡¡;/2
TTn:/2
= m[3g(1)
m[3g(1) ++ aaoo(2(2 -- O)]
O)] == m(3g
m(3g ++ 2a
2aoo) )
=
m[ 3g(0) +a
Smao o
T ¡¡; == m[3g(0)+a
Tn:
o(2 - 3[- 1])] == 5ma
o(2-3[-1])]
Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 3.29
3.29
.
La batea
batea de
de ferrocarril
ferrocarril se
se mueve
mueve aa celericeleriLa
dad constante
constante Vo
va yy transporta
transporta un
un torno
torno
dad
que produce
produce una
una tracción
tmcción constante
constante P
que
en
pequeña vagoneta.
vagoneta.
en el
el cable
cable unido
unido a
a la
la pequeña
Esta tiene
Esta
tiene una
una masa
masa m
m yy rueda
rueda librelibremente
mente sobre
sobre la
la superficie
superficie horizontal,
horizontal,
partiendo del
partiendo
del reposo
reposo relativo
relativo al
al vagón
vagón en
en
el
instante
en
que
x
=
O
Y
X
=
el instante en que x = O Y X = Xo
Xo =
= b.
b.
Aplicar
Aplicar el
el teorema
teorema de
de las
las fuerzas
fuerzas vivas
vivas aa
la
la vagoneta,
vagoneta, primero
primero para
para un
un observaobservador
dor que
que se
se mueva
mueva con
con el
el sistema
sistema de
de refereferencia
de
la
batea
y,
después,
pam
rencia de la batea y, después, para un
un
observador
observador situado
situado en
en tierra.
tierra. Poner
Poner de
de
manifiesto
manifiesto lala compatibilidad
compatibilidad de
de ambas
ambas
expresiones.
expresiones.
Solución.
Solución.
rr -1-1
x=o
x=o
bb
Para
Para un
un observador
observador situado
situado en
en la
la batea
batea el
el trabajo
trabajo de
de PP es
es
f~
UUre1
dx == Px
Px
re1 == f~ PP dx
siendo
siendo PP constante
constante
La
Lavariación
variación de
de energía
energía cinética
cinéticarelativa
relativa aalalabatea
batea es
es
~~
~~
II
G) la
la única
única coordenada
coordenada que
que puede
puede
(D
medir elel observador
observador móvil
móvil es
es x.x.
medir
yyelelteorema
teorema de
delas
lasfuerzas
fuerzas vivas
vivasnos
nosdará
dará para
para elelobservador
observador móvil
móvil
215
215
http://gratislibrospdf.com/
Para
dOr en
Para el
el observa
observador
en tierra
tierra el
el trabajo
trabajo de
de P
P es
es
uu == f~
f: PP dX
dX == P(X
P(X -- b)
b)
yy la
la variació
variaciónn de
de energía
energía cinética
cinética observa
observada
desde tierra es
es
da desde
® Para
dor en
Para el
el observa
observador
en tierra
tierra la
la velovelo- (3)
®
cidad
cidad inicial
inicial de
de la
la vagonet
vagonetaa es
es vo,
vo,
por
lo
que
su energía cinética es
por
lo
I1
22 que su energía cinética es
2zmvo·
mvo'
!J.T =
= ~rn(X2
~m(X2 _ v 2)
óT
- v 0a )
por lo
lo que
que el
el teorema
teorema de
de las
las fuerzas
fuerzas vivas,
vivas, para el
el observa
observador
inmóvil,, resulta
resulta
dor inmóvil
[U =
= óT]
!J.T]
[U
11
.. 22
22
P(X
P(X -- b)
b) == 2rn(X
zm(X -- VVa
o)
Para
ibilidad de esta exp
resión con la corresp
Para ver
ver la
la compat
compatibilidad
expresión
correspondiente
ondient e al observador
vador móvil pueden
pueden hacerse las sustituc
sustituciones
siguientes:
iones siguien
tes:
x
== xo
+ x,
Xa+X,
Entoncess
Entonce
o ElEl símbolo
símbolo t represen
representata el tiempo
tiempo de
de
t
I, •
movimi
movimiento
desde x == O hasta
hasta x == x.
x.
ento desde
El
El desplaz
desplazamiento
vagonetaa
amiento de la vagonet
Xo - b es la velocida
velocidadd de ésta multiplicada
plicada por el tiempo
tiempo t,t, o sea Xo -- b
b=
=
voto
vot. Además
Además,, como
como la acelera
aceleración
ción
constan
constantete multipli
multiplicada
por el tiemtiemcada por
po es igual a la variació
variaciónn de velocivelocidad, es i;i' t = ii ..
dad,
••, "
P(X
P(X -- b)
b) =
= Px
Px +
+ P(x
P(xao - b) =
= Px
Px + rni(x
m;i'(xoo - b)
®
=
= Px
Px + rnivot
m;i'vot =
= Px
Px + rnvox
mvox
y
con
con lo
lo cual el teorema
teorema de las fuerzas
fuerzas vivas se expresa
expresará
rá ahora
que no
no es
~rnx2 tal como concluy
que
es sino
sino Px
Px =
= ~mi2
concluyóó el observador
así que
que
observa dor móvil. Vemos así
la diferencia
diferencia entre
entre ambas
ambas expresiones
expresi ones del teorema
la
teorema de las fuerzas
fuerzas vivas
vivas es
es
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Problemas introductorios
Problemas
introductorios
3.301 El carro
carro con los ejes x-y
3.301
x-y solidarios
solidari os se mueve
mueve hacia
hacia la
la dederecha con una
una celeridad
celerida d absoluta
recha
absolut a de 2 mi
m / s. A la
la vez,
vez, el
el brazo
brazo
peso de longitud
longitu d 11=
sin peso
= 0,5 m rota
rota en
en torno
torno al punto
punto B
B del
del carro
carro
velocid ad angular
angular constante
con la velocidad
constan te é =
= 2 radl
rad / s. Si
Si la
la masa
masa de
de
la esfera
esfera es m
m=
= 3 kg.
kg, hallar
hallar las cantidades
cantida des siguientes
siguien tes para
para la
la esesfera cuando
cuando ee=
= o: G, Gre
¡,, T,
T, Trerel¡,, Ha
HaY
YH
HB,el
' donde el
rel
el subíndisubíndi B rel ,donde
ce "rel"
"rel" indica
indica medición
medició n respecto
ce
respecto aa los ejes
ejes x-y.
x-y. El punto
punto O
O es
es
un punto
punto inercialmente
inercial mente fijo que
un
en
el
instante
que coincide
coincide con B
B en el instante
considerado.
conside rado.
e
216
216
http://gratislibrospdf.com/
yy
1I
•
•
--+ ~
( rtr~\ O,B
'"
1\:
.
' - -. /
--x-
1
.
Figura problema
problema 3.301
3.301
Figura
v
Resp.
Resp. G
T
tanto absoluto
explicar el significado
significado del térmiabsoluto como relativo
relativo y explicar
no muv.
9i kg·m
kg·m/s,
3i kg'm
kg-m /s
Zs
9i
/s, Grel
rel = 3i
13,5
13,5 J, T rel = 1,5 J
J
kg ' m2 H
kg ' m2
_45k
=_15k
_45kkg'm2
=_15kkg'm2
,
s
B
rel
'
S
Brel
II
1
3.302
3.302 El portaviones
portaviones se mueve
mueve con celeridad
celeridad constante
constante y lanza un avión a reacción de 3 Mg a lo largo de la cubierta
cubierta de 75
catapulta accionada
accionada a vapor. Si
Si el avión
m por medio de una catapulta
abandona la cubierta
cubierta con una velocidad
velocidad de 240
240 km
km/h
abandona
/ h relativa
al portaviones
portaviones y si el empuje
empuje del reactor es constante
constante e igual a
despegue, calcular la fuerza constante
constante P ejer22 kN durante
durante el despegue,
catapulta sobre el avión durante
durante los 75 m del recocida por la catapulta
rrido del carro de lanzamiento.
lanzamiento.
Figura
3.304
Figura problema
problema 3.304
3.305
mueve con la celeridad
celeridad cons3.305 La escalera mecánica se mueve
tante u == 0,8 m
50 kg se encuentra
encuentra en ella
mii s. Un muchacha
muchacha de 50
inicialmente en reposo, pero
pero en A comienza
inicialmente
comienza a acelerarse uniformemente.
punto B, situado
situado a
formemente. En el momento
momento en que llega al punto
una distancia
distancia s = 7 m del punto
punto A,
una
A, su celeridad
celeridad es v =
= 2 m I s respecto a la escalera. Hallar
componentes horizontal
horizontal y vertiHallar las componentes
cal de la fuerza media
media F que la escalera ejerce sobre los pies de
muchacha.
la muchacha.
Resp.
Fver =
= 497
497 N
N
Resp. Fhor
Fhor =
= 12,95
12,95 N,
N, r.;
Figura
Figura problema
problema 3.302
3.302
3.303 La furgoneta
furgoneta de 2000
2000 kg es conducida
conducida desde la posición
posición
3.303
A hasta la B sobre la barcaza
A
barcaza que es remolcada
remolcada a una celeridad
celeridad
constante va
Va =
= 16
16 km/h.
km/h. La furgoneta
furgoneta arranca
arranca estando
estando parada
parada
embarcación en el punto
punto A,
A, se acelera hasta
hasta v =
= 24
24
respecto a la embarcación
km/h
barcaza en 25 m y, al final,
final, se detiene
detiene merkm
/ h respecto a la barcaza
ced a una
una desaceleración del mismo valor. Hallar
Hallar el módulo
módulo de
la fuerza total F que se ejerce entre los neumáticos
neumáticos de la furgoneta y la barcaza
barcaza durante
durante la maniobra
maniobra descrita.
Resp.
F == 1778
Resp. F
1778 N
N
r- --t--tr25m
25m
A
kmA
va == 16 lan
-
-1-1
Figura
3.305
Figura problema
problema 3.305
25m
25m
vv=2~/h
= 24 lan / h
A
B
B
A
r'(:;"6--""~,-_---",g=,>,---_
....••
:;"=-_:,,,,CEl".:.;,
...---""~,-----g=",,------,,,,:,;,=-_:..,CE-
--
-~======
Figura
Figura problema
problema 3.303
3.303
3.304
3.304 Un niño de masa m está de pie inicialmente
inicialmente en reposo
respecto a la alfombra rodante,
rodante, que está animada
animada de una celeridad horizontal
horizontal constante
constante uu.. El niño se decide a avanzar
avanzar más
rápido
punto A con una
rápido y comienza
comienza a caminar
caminar desde
desde el punto
una celeridad creciente has
ta llegar al punto
una celeridad
hasta
punto B
B con una
celeridad ix == v
respecto a la alfombra
alfombra rodante.
rodante. Mientras
Mientras se acelera, genera
genera una
fuerza horizontal
entre sus zapatos
horizontal media
media F
F entre
zapatos y la alfombra. EsEspara sus movimientos
movimientos
cribir el teorema de las fuerzas vivas para
3.306 Dos naves espaciales A y B
3.306
B viajan
viajan por
por el espacio lejano
trayectoria recta. B
B se encuentra
encuentra a 20
20 km
a lo largo de la misma
misma trayectoria
directamente por delante
delante de A,
A, respecto
directamente
respecto a la que lleva una
una velocidad
estabilizar la separación
separación en 1000
locidad de 2 km
kmll s. Si se desea estabilizar
1000
hallar que retroempuje
retroempuje F constante
km, hallar
constante hay que aplicar a la
nave B, cuya masa es de 200
Calcular el tiempo
tiempo t que debe
200 kg. Calcular
durar
durar la aplicación del retroempuje.
retroempuje.
Problemas
Problemas representativos
representativos
3.307
kg, se mueve
mueve con rozamiento
rozamiento
3.307 El cursor
cursar A, de masa 2 kg.
despreciable
30° de la placa deslizante
deslizante
despreciable por la ranura
ranura inclinada
inclinada 30°
vertical. ¿Qué aceleración vertical
vertical aa hay que comunicar
comunicar a la
absoluta del cursar
cursor esté dirigida
dirigida
placa para
para que la aceleración absoluta
217
217
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verticalmente
verticalmente hacia abajo?
abajo? ¿Cuál será el valor de la fuerza correspondiente
rrespondiente R que sobre el cursor ejerza la ranura?
ranura?
Resp.
mi S2, R = O
Resp. ao
ao = 16,99
16,99mi
B
ao
l}"~~~:-----'-----'i?~~~:::::
•
•
•
-:::;:a;;;:-
•
w:::;:
••
A_M
W::;:W w:;:;:w:;;:w
w:;;:w:::;;:-
----+-
-=-
Figura problema
problema 3.310
A
3.311
3.311 Un péndulo
péndulo simple está instalado
instalado en un ascensor que se
acelera hacia arriba tal como se indica. Si
Si se separa
separa un ángulo
8ea0 de la vertical y se abandona
abandona desde el reposo respecto al ascensor, hallar la tracción T
Too que sufre la varilla liviana de suspensión cuando
cuando 8=
e= O.O.Particularizar
resultado para
para 800 =
= ni
ti] 2.
2.
pensión
Particularizar el resultado
)
Resp.
Resp. T
Too == m(g
m(g + ao)(3 - 2 cos (ea)
0
Figura problema
problema 3.307
3.308 Si
Si el portaviones
portaviones del problema
problema 3.302
3.302 se mueve
mueve con
celeridad constante
constante u y su catapulta
catapulta lanza un avión de masa
celeridad
m con una
una velocidad
velocidad v relativa
relativa al portaviones
portaviones y en el sentido
sentido
u, la energía cinética del avión respecto a tierra es
de u,
~m(v
~m(v + u)2
u)2 = ~mv2
~mv2 + ~mu2
~mu2 + muv
muv al final del lanzamiento.
lanzamiento. Si
el avión es lanzado
lanzado por la misma catapulta
catapulta con la misma fuerza
aceleradora, estando
estando el portaviones
portaviones parado,
parado, su energía cinética
es ~mv2
~mv2 . Explicar la diferencia entre ambas expresiones.
3.309 La catapulta
catapulta de lanzamiento
lanzamiento del portaaviones
portaaviones comunica al reactor de 7 Mg una aceleración constante y lo proyecta
proyecta a
100m
medida a lo largo de la cubierta de vueuna distancia de 100
m medida
lo sesgada. El
El navío se mueve con una celeridad
celeridad uniforme
uniforme ve
ve ==
16 mi
mi s.
s. Si
Si para
para el despegue
despegue se necesita que el avión lleve una
celeridad
celeridad absoluta
absoluta de 90
90 mi
mi s,
s, hallar la fuerza total F
F que proporcionan
catapulta y los motores del avión.
porcionan la catapulta
Resp.
kN
Resp. F == 194,0
194,0kN
In
Figura problema
problema 3.311
3.311
parte del reposo relativo al tubo
3.312 La cápsula de masa m parte
horizontal
horizontal estando
estando el resorte de rigidez k comprimido
comprimido inicialmente una longitud
longitud 8.
8. La batea está dotada
dotada de una velocidad
constante Vo
va hacia la derecha. Aplicar el teorema de las fuerzas
constante
vivas al movimiento
movimiento de la cápsula tanto para
para un observador
observador
para un observador
observador fijo
fijo en tierra.
solidario del vehículo como para
Poner de manifiesto la compatibilidad
compatibilidad de ambas expresiones.
(Sugerencia:
(Sugerencia: En el segundo
segundo caso,
caso, incluir el resorte en el sistema
observador.)
del observador.)
k
In
problema 3.312
Figura problema
Figura problema 3.309
Si la batea de ferrocarril recibe una
una aceleración ao
ao == 0,2
0,2
3.310 Si
mi S2 a partir
partir del reposo, calcular la correspondiente
correspondiente tracción T
mi
en el cable sujeto al embalaje A de 50
50 kg. Despreciar
Despreciar la masa de
la polea B y el rozamiento
rozamiento en ella. El
El coeficiente de rozamiento
rozamiento
entre el embalaje y la superficie horizontal
horizontal de la batea es
J.1.e
!le =
= 0,30
0,30
3.313 Los coeficientes de rozamiento
rozamiento entre la plataforma
plataforma del
camión y el embalaje son J.1.e
!le == 0,8
0,8 YJ.1.e
u¿ == 0,7. El
El coeficiente de rozamiento
zamiento cinético entre los neumáticos
neumáticos del camión y la calzada
0,9. Si
Si el camión se para desde una celeridad inicial
inicial de15
de15 mi
mi s
es 0,9.
frenando al máximo (con
(con las ruedas patinando), determinar en
embalaje o la velocidad
qué lugar de la plataforma se detiene el embalaje
218
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relativa al vehículo con que la misma golpea la espaldera
la plataforma.
Resp. Vrel = 2,46 m / s
Vrel
Figura problema
de
3.313
Para pequeñas amplitudes 81 el péndulo simple de soporte fijo O ejecuta un movimiento armónico simple de período r = 2nNg
alrededor de la verticaL Si el soporte O recibe
un aceleración horizontal aaf pequeña pero constante, demostrar
que el péndulo oscila alrededor de un eje inclinado 80 =aa / g con
el mismo período que con el soporte fijo, con tal que la amplitud
el siga siendo pequeña.
3.314
Soporte
fijo
Soporte
la celeridad del ascensor es Va. Hallar la altura de rebote 172 (a)
si va es constante y (b) si el ascensor recibe una aceleración ascendente a = g/ 4 desde el momento en que se suelta la bola. El
coeficiente de restitución en el impacto es e.
Resp. (a) y (b) 172 = e2h1
~ 3.316 El bloquecito A se desliza con rozamiento despreciable pendiente abajo del bloque inclinado que se mueve hacia la
derecha a la celeridad constante v = va. Con el teorema de las
fuerzas vivas hallar el módulo v A de la velocidad absoluta del
bloquecito cuando éste pasa por C, si se suelta en B sin velocidad relativa al bloque. Aplicar el teorema desde el punto de
vista tanto de un observador solidario del bloque como del
suelo y conciliar ambos resultados.
Resp. v A
=
(v02 + 2g1 sen 8
+ 2vo cos 8J2g1 sen 8)1/2
v
acelerado
11,0
e
1"
11'
1
I
1
1
,
Figura problema
'
\
3.316
1 ,1
,
le11'e1 ',
1
:
...."
1
'.•.....•J-
'
'
,
I
..•"
_¡- -', .../
f-<--
Vertical
lativa respecto al primero.
eo = aolg
Figura problema
~ 3.317 Repetir el problema 3.316 pero con el bloque llevando una aceleración constante aa hacia la derecha. La velocidad
del bloque es va cuando el bloquecito se suelta sin velocidad re-
Resp.
3.314
vi
v02 + 2g1 sen 8
+ 2 sen 8 (g cos
donde d = v
~ 3.315 Desde el reposo relativo al ascensor se deja caer una
bola desde un altura 171 por encima del suelo. En ese instante,
J
o g
e + ao
sen 8)d
21
sen 8-ao cos 8
aol
+ ----~~----~
g sen 8- ao cos 8
a
el
10-
f
111
í 11
Vo
da
15
en
ad
= ti
Figura problema
3.135
4
~ 3.318 Cuando se suelta una masa puntual desde el reposo
relativo a la superficie terrestre en un punto de latitud y, la aceleración inicial aparente es la aceleración relativa debida a la
gravedad grelo La aceleración absoluta g debida a la gravedad
está dirigida hacia el centro de la Tierra. Deducir una expresión de grel en función de g, R, m y y, donde R es el radio de la
Tierra supuesta esférica y m es la velocidad angular constante
de la Tierra en su giro alrededor del eje que pasa por los polos
supuesto fijo. (Aunque los ejes x-y-z estén unidos a la Tierra y
por ello giren, puede emplearse la ecuación 3.46 en tanto que
la masa puntual carece de velocidad relativa a x-y-z.) ilndica-
219
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ción: Obtener
os priObtener una
una expresión
expresión aproximada
aproximada mediante
mediante los d
dos
primeros
meros términos
términos del
del desarrollo
desarrollo binómico.)
binómico.)
Resp.
Res
p.
grel =
g-Rw2cos2{1-~~)+
g-RoJcos2~1-~~)+
...
= 9,825
9,825 - 0,03382
0,03382 cos22yy
mi s2
Figura problema
problema 3.318
3.318
3.15
3.15
REPASO
REPASO Y RESOLUCiÓN
RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS
PROBLEMAS
En este
procedimientos fundamentales
fundamentales
este capítulo
capítulo 3 hemos
hemos desarrollado
desarrollado los tres
tres procedimientos
para
materiales. Esta
Esta experiencia
experiencia es
para resolver
resolver problemas
problemas de cinética
cinética de puntos
puntos materiales.
básica en
en el estudio
estudio de la Dinámica
Dinámica y sirve
sirve de fundamento
fundamento para
para el estudio
estudio subsubbásica
de los
los deformables.
deformables. Hemos
Hemos
siguiente
siguiente de la dinámica
dinámica de los cuerpos
cuerpos rígidos
rígidos y de
comenzado aplicando
aplicando la seglmda
segunda ley de Newton
Newton I.F =
comenzado
= ma a la determinación
determinación
de la relación
aceleración que
que producen.
producen. UtiUtirelación instantánea
instantánea entre
entre las fuerzas
fuerzas y la aceleración
lizando lo aprendido
aprendido en
en el capítulo
capítulo 2 para
para identificar
lizando
identificar la clase
clase de
de movimiento
movimiento y
ayudándonos
libre, que
que ya nos
nos es familiar,
familiar, para
para
ayudándonos con
con el diagrama
diagrama para
para sólido
sólido libre,
asegurarnos
fuerzas, hemos
podido resolver
resolver
asegurarnos que
que se tienen
tienen en
en cuenta
cuenta todas
todas las
las fuerzas,
hemos podido
una
coordenadas x-y
x-y y r-e
r-e para
para los
los
una gran
gran variedad
variedad de problemas
problemas empleando
empleando coordenadas
problemas
coordenadas x-y-z,
x-y-z, r-B-z
r-e-z y R-9-i/>
R-e-I/> para
para los
problemas de movimiento
movimiento plano
plano y coordenadas
problemas
problemas tridimensionales.
tridimensionales.
segundo lugar,
lugar, hemos
hemos integrado
ecuación fundamental
En segundo
integrado la ecuación
fundamental de
de movimienmovimiendesplazamiento y deducido
deducido el teorema
respecto al desplazamiento
teorema de
de las
las fuerzas
fuerzas vivito I.F == ma respecto
cual nos
nos permite
permite relacionar
relacionar las velocidades
velocidades iniciales
iniciales y finales
finales con
con el
vas, el cual
trabajo realizado
realizado por
por las fuerzas
fuerzas exteriores
exteriores al sistema
sistema definido.
definido. Este
Este procediproceditrabajo
miento fue ampliado
ampliado para
para incluir
incluir la energía
energía potencial,
miento
potencial, tanto
tanto elástica
elástica como
como gragravitatoria. Empleando
Empleando
estos instrumentos
instrumentos
descubrimos
estos
descubrimos que
que el método
método
vitatoria.
energético es particularmente
particularmente valioso
valioso en
en el caso
energético
caso de
de los
los sistemas
sistemas conservativos,
conservativos,
decir, sistemas
sistemas en
en los cuales
cuales las pérdidas
pérdidas de
de energía
energía por
por rozamiento
rozamiento o por
por
es decir,
otras formas
formas de disipación
disipación son
son despreciables.
despreciables.
otras
Seguidamente, escribimos
escribimos de nuevo
nuevo la segunda
segunda ley de
Seguidamente,
de Newton
Newton bajo
bajo la forforma de igualdad
igualdad entre
entre la fuerza
fuerza y la variación
variación de
ma
de la cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento por
por
unidad de tiempo,
tiempo, y de igualdad
igualdad entre
entre el momento
momento y la variación
unidad
variación del
del momento
momento
cinético por
por unidad
unidad de tiempo.
tiempo. A continuación,
continuación, integramos
relaciones
cinético
integramos esas
esas relaciones
para obtener
obtener las expresiones
expresiones del
del impulso
impulso y del
para
del impulso
impulso angular
angular en
en función
función de
de
cantidad de
movimiento y del
del momento
momento cinético,
la cantidad
de movimiento
cinético, respectivamente;
respectivamente; estas
estas expresiones fueron
fueron luego
luego aplicadas
aplicadas a intervalos
intervalos de
presiones
de movimiento
movimiento en
en casos
casos en
en que
que
fuerzas eran
eran funciones
funciones del
del tiempo.
tiempo. Además,
Además, hemos
las fuerzas
hemos examinado
examinado las
las acciones
acciones
recíprocas entre
entre puntos
puntos materiales
materiales para
para las condiciones
condiciones en
en que
que se conservan
conservan la
recíprocas
cantidad d~
de movimiento
movimiento y el momento
momento cinético
cinético .
cantidad
parte de este
este capítulo
capítulo 3 hemos
hemos aplicado
última parte
aplicado los
los tres
tres métodos
métodos funfun. En la última
damentales a temas
temas definidos.
definidos. Concretamente,
Concretamente, hemos
damentales
hemos visto
visto que
que el principio
principio de
de
220
220
http://gratislibrospdf.com/
221
cantidad de movimiento
movimiento permite
desarrollar cómodamente
cómodamente
conservación de la cantidad
permite desarrollar
puntuales. Seguidamente,
Seguidamente, helas relaciones que rigen los choques entre masas puntuales.
comprobado que la aplicación directa de la segunda
segunda ley de Newton
Newton posimos comprobado
determinación de las prop(edades
propiedades de la trayectoria
trayectoria descrita por
por una
bilita la determinación
una
puntual sometida
sometida a la acción de una
una fuerza central. Finalmente, hemos
masa puntual
cualquiera de los tres procedimientos
procedimientos fundamentales
fundamentales es aplicable al
visto que cualquiera
movimiento de una masa puntual
puntual relativo a un sistema de referencia en traslación.
Es
evidente que para
para resolver acertadamente
acertadamente problemas
problemas de cinética del
Es evidente
indispensable conocer la cinemática del punto
punto material es condición indispensable
punto material. Análogamente,
Análogamente, los desarrollos
desarrollos analíticos asociados a los sistemas de
terial.
materiales y a los sólidos rígidos, a los que se dedica el resto de esta DiDipuntos materiales
dependen fuertemente
fuertemente de los principios
fundamentales expuestos
expuestos en
námica, dependen
principios fundamentales
3.
este capítulo 3.
REPASO Y RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN DE
3.15 REPASO
PROBLEMAS
PROBLEMAS
PROBLEMAS DE
DE REPASO
REPASO
PROBLEMAS
3.319 Un contrapeso
contrapeso de equilibrado
equilibrado de 30
30 g se sujeta a una de
3.319
las superficies verticales de la llanta de una rueda
rueda mediante
mediante un
las
adhesivo. A continuación,
continuación, la rueda
rueda se comprueba
comprueba en la máquiequilibrad ora. Si el adhesivo
adhesivo puede
puede soportar
soportar una fuerza
na equilibradora.
80 N, hallar
hallar la velocidad
velocidad de rotación
constante máxima de 80
contrapeso no se desprende.
desprende. Se
Se supomáxima N para la que el contrapeso
velocidad son muy graduales.
graduales.
ne que los cambios de velocidad
Resp. N == 1177
1177rpm
rpm
F,N
F,N
,
,r- ---',
t= O
t = 1,5 s
4m/s/s
4m
,
,
r- - - - l
'r<
v'
----
10
v
'u-
8
r,.!
O
~0,4 *1 ~0,4
~0,4 *1
O ~0,4
t,i, s
problema 3.320
Figura problema
1,5
3.321 La caja se halla en reposo en el punto
punto A cuando
cuando recibe
3.321
empujón cuesta abajo.
abajo. Si
Si el coeficiente de rozamiento
rozamiento
un empujón
rampa es 0,30
0,30 entre A y B Y
Y0,22
cinético entre la caja y la rampa
0,22 entre
hallar su celeridad
celeridad en los puntos
puntos B y C.
C.
B y e, hallar
Resp. Vs
vB =
= 2,87
2,87 m
mii s, ve
ve =
= 1,533
1,533mi
mis
=
= 0,28
0,28
I1c
= 0,22
0,22
f.!c=
f.!e
l1e
problema 3.319
Figura problema
B
instante t == O,
O,el
mueve libremen3.320 En el instante
el carrito de 2 kg se mueve
horizontal a la celeridad
celeridad de 4 m
mii s.
s. Una fuerza aplite sobre la horizontal
opuesto al movimiento
movimiento produce
produce dos
cada al carrito en sentido opuesto
muestra la gráfica
"picos" de impulso, uno tras otro, tal como muestra
instrumento que midió las fuerzas
fuerzas.. Utilizar las
de lecturas del instrumento
aproximación de las fuerzas y determidetermilíneas de trazos como aproximación
velocidad v del carrito para
para t == 1,5
1,5 s.
nar la velocidad
e
~k-7m~
problema 3.321
Figura problema
3.322 Seis
Seis esferas iguales están
están dispuestas
dispuestas como se muestra
muestra
izquierdo se sueltan
sueltan
en la figura. Las dos esferas del extremo izquierdo
http://gratislibrospdf.com/
desd
posicio nes indicad
as en trazos y golpean
desdee las posiciones
indicadas
golpean a la esfera 33
con
endo que el coeficie
con la
la celerida
celeridadd VI
VI.' Suponi
Suponiendo
coeficiente
nte de restiturestitución común sea e == 1,
ción
1, explica
explicarr por qué del extremo derecho sasalen
celerida d VI
len dos
dos esferas con la celeridad
VI y no una sola esfera con la
la
celerida
celeridadd 2vI.
2 VI '
,, ,,
,, , ,,,
,, ,,
,, , ,,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Figura problem
problemaa 3.324
... -.!., " ,.....--.!...!.
,/ ....-..:.\
/
f
1\
,,,
//
ff
,\
l'" ,,
--'
---V¡
V1
3.325
3.325 Para la órbita elíptica en torno a la Tierra de un
un ingenio
espacia
l, hallar
hallar la celeridad
celerida d V A en el punto
espacial,
punto A que produzca
produz ca una
una
altura
200 km. ¿Cuál es la excentricidad
altura de perigeo
perigeo de 200
excentr icidad ee de
de la
la
órbita?
Resp. VI
Resp.
VI =
= 7451
7451mi
0,0295
mI s, e == 0,0295
VI
problem a 3.322
Figura problema
, ..
,
f"
f
..
3.323
te k se compri
3.323 El
El resorte de constan
constante
comprime
me y se suelta de
de rerepente,
haciend
partícul a de masa m salga resbala
pente, haciendoo que la partícula
resbalando
ndo
por la pista.
pista. Hallar la mínima compre
por
compresión
la
sión 8 del resorte
resorte para
para la
cual
partícul a no pierde
cual la partícula
pierde contact
contactoo con el tramo
de
la
tramo rizado
rizado de la
ie de la pista es lisa a excepción
pista. La superfic
superficie
excepci ón del tramo
tramo rurugoso
longitu d s == R,
R, donde
donde el coeficie
goso de longitud
coeficiente
rozamiento
nte de rozamie
nto
cinético vale 11e/le'
Resp.
Resp. 8
=
=
E
VA
¡I
/'
A
...- e
"""" '\
\
6bOkm
\0. :
mgR(5 + 2/l)
mgR{5
211e)
kk
\
t
!
"'"
B
B
\
--- B
7
..-/
I
1200km
problem a 3.325
Figura problema
8
3.326
últimas apariciones
aparicio nes del cometa Halley tuvieron
3.326 Las dos últimas
tuviero n
lugar
y 1986.
Su distanc
lugar en 1910
1910y
1986.Su
distancia
ia de máxima aproximación
aproxim ación al
al
Sol
Sol es
es más o menos igual a la mitad
mitad de la distanc
distancia
Tieia entre
entre la
la Tierra y el Sol.
Hallar la distanc
rra
Sol. Hallar
distancia
Sol. Desia máxima
máxima del cometa al Sol.
Despreciar los efectos gravitatorios
gravitat orios de los demás
preciar
d emás planetas.
planetas.
3.327
bloque A de 3 kg se abando
3.327 El bloque
abandona
na en reposo en la posiposición de 60° indicada
indicad a y choca luego con el carrito B de
ción
kg. Si
Si
d e 1 kg.
k~
~ m
A
I+s=R+1
Zona rugosa
rugosa !le
Zona
l1e
Figura problema
problem a 3.323
3.324
nta un embrag
3.324 En la figura se represe
representa
embrague
centrífugo
consue centrífu
go constituido,
tituido, en parte, por una cruceta rotatoria
impulsa cuacuarotatori a A que impulsa
tro émbolo
B. Cuando
tro
émboloss B.
Cuando la cruceta empiez
empiezaa a girar en torno aa su
su
centro a la celerida
celeridadd 0),
m, los émbolos
émbolo s se mueven
mueven hacia afuera
afuera yy
empuja n contra la superfic
empujan
superficie
interior de
e haciéndola
ie interior
d e la rueda
rueda C
haciénd ola
girar. La rueda
girar.
rueda y la cruceta son independientes,
indepen dientes , salvo el rozarozamiento
o. Si
miento de contact
contacto.
Si la masa ddee cada émbolo es 2 kg Y
Ysu
censu centro de masa está en G,
coeficiente de rozamiento
tro
G, y si el coeficiente
rozamie nto cinético
entre los émbolos
émbolo s y la rueda
ru eda es 0,40,calcular
entre
0,40, calcular el momento
momen to máxim áximo M
puede transmitirse
transmi tirse a la rueda
mo
M que
que puede
para una
rueda e
C para
una celeridad
celerida d
de la cruceta de 3000
3000 rpm.
222
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Figura problema
problem a 3.327
en el choque el coeficiente de restitución es e = 0,7,hallar hasta
qué distancia s el carrito B rebasa el punto C. Despreciar el rozamiento.
Resp. s = 2,28 m
3.328 La bala de 60 g se dispara a los dos bloques que descansan sobre un superficie con la cual el coeficiente de rozamiento
cinético es 0,5. La bala atraviesa el bloque de 8 kg Yse queda
alojada en el bloque de 6 kg. Los dos bloques se desplazan las
distancias que se indican. Calcular la velocidad inicial v de la
bala.
v
----+-
I
la
I
)
~:;.::'
60g~====~==~====~~~~'~~~
0,50 11-«<----- ---->1
u¿ =
1,2 m
Figura problema
3.328
I rEO
I
~
El auto A
comienza
a patinar
=
~JgR, xmin
L
Colisión
15 m
Vista lateral
I
m:::::I11
I
B
15 m----o>~--
3.330
Figura problema
3.331 La esferita de masa m está unida mediante una cuerda
a un pivote O y describe una circunferencia de radio r sobre el
plano liso inclinado un ángulo e respecto a la horizontal. Si en
la posición más alta A la esferita tiene una celeridad u, hallar la
tracción T que sufre la cuerda cuando la esferita pasa por las
posiciones B a 90° y e abajo.
Resp. T B
Te
3.329 Una persona lanza a rodar una bola con celeridad u desde el punto. A del suelo. Si x = 3R, hallar la celeridad u necesaria para que la bola retorne a A tras rodar por la superficie
semicircular entre B y e y describir una trayectoria balística
desde C. ¿Cuál debe ser el valor mínimo de x para que pueda
lograrse el juego si el contacto debe mantenerse hasta el punto
C?Despreciar el rozamiento.
Resp. u
Vista desde
arriba
1
2
e)
2
= m (Ur + 5g sen e)
=
m(Ur
+ 2g sen
= 2R
e
3.331
Figura problema
n
al
3.332 La pella de masilla de 2 kg cae desde 2 m sobre el bloque de 18 kg inicialmente en reposo sobre los dos resortes, de
_---x---->~IB
l-
Figura problema
2kg
3.329
Si
3.330 Un accidente de automóviles ocurre así: El conductor
de un automóvil de tamaño normal (vehículo A, 1800kg) viaja
por una calzada horizontal seca, acercándose a un automóvil
pequeño (vehículo B, 900 kg) parado. Exactamente 15 metros
antes de la colisión, el conductor aplica los frenos y hace patinar las cuatro ruedas. Tras el choque, el vehículo A patina 15
metros más y el B, cuyo conductor tenía los frenos aplicados a
fondo, patina 30 metros. En la figura se representan las posiciones finales de los vehículos. Siendo 0,9 el coeficiente de rozamiento, ¿estaba el conductor de A rebasando el límite de
velocidad de 90 km/h antes de aplicar los frenos?
I
----J
2m
81
:::k
:::k
k= 1,2 kN/m
Figura problema
3.332
223
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constante k = 1,2 kN / m cada uno. Calcular la compresión adicional 8 de los resortes a causa del impacto de la masilla que se
adhiere al bloque al contactarlo.
3.333 Sobre una autopista situada en el ecuador, en dirección
este-oeste y a nivel del mar, viaja un automóvil de masa m a la
celeridad VI. Si la autopista sigue la curvatura terrestre, deducir
una expresión para la diferencia M entre la fuerza total que sobre las ruedas del vehículo ejerce la calzada cuando el mismo
viaja en sentido este y cuando viaja en sentido oeste. Hallar el
valor de /:"P para m = 1500 kg Y o, = 200 km/h. La velocidad angular w de la Tierra es 0,7292(10 - 4) rad/ s. Despreciar el movimiento del centro de la Tierra.
3.336 Con () = 0° el sistema se abandona desde el reposo. La
cuerda de la que cuelga el cilindro de 1,5 kg esta arrollada y
sujeta en la polea liviana O de 50 mm de diámetro, de la cual
son solidarios los brazos de masa despreciable con sus esferas
de 2 kg. Los centros de éstas distan 250 y 375 mm del eje que
pasa por O. Hallar la velocidad hacia abajo del cilindro cuando
()= 30°.
25mm
Resp. M = - 4mwvr, /:"P = -24,3 N
3.334 El tubo hueco cuarto-circular de sección circular parte
del reposo en el instante t = O Ygira alrededor de O en un plano
horizontal con una aceleración angular constante antihoraria
= 2 rad / s2. ¿En qué instante t se deslizará respecto al tubo la
partícula P de 0,5 kg? El coeficiente de rozamiento estático entre la partícula y el tubo es fle = 0,8.
o
e
2 kg
Figura problema
3.336
11
1
e
1
¡
Figura problema
3.334
3.335 Un lanzador de béisbollanza una pelota rápida con una
velocidad horizontal de 145 kml.h. El bateador consigue una
carrera completa al batear por encima de la valla del campo. La
pelota de 146 kg recorre una distancia horizontal de 110 m, con
una velocidad inicial en la dirección a 45° que se indica. Hallar
el valor de la fuerza media Fmed que el bate ejerce sobre la pelota durante el contacto de 0,01 s entre ambos cuerpos. Despreciar la resistencia del aire durante el vuelo de la pelota.
Resp. Fmed = 987 N
3.337 El cursar
lleva una celeridad de 3 m / s al pasar por el
punto A de la guía, la cual se halla en un plano vertical. El coeficiente de rozamiento cinético entre el cursar y la guía es flc = 0,6.
Calcular la desaceleración tangencial a¡ del cursar inmediatamente después de pasar por A si (a) el orificio del cursar y la
sección de la guía son ambos circulares y (b) si orificio y sección
de la guía son ambos cuadrados. En el caso (b), los lados del
cuadrado están verticales y horizontales. Se supone que entre
el cursar y la guía hay un leve huelgo.
Resp. (a)at =-10,75m/s2,
(b)at=-14,89m/s2
(a)
/
\(i
A
y
Figura problema
<r >
Bate
Figura problema
3.335
I\
,_/
/'
http://gratislibrospdf.com/
¿
-4'
/"'"
~'N...y~ q"'9k.../~·97·7
O O
"+----
\~.
~
e
3.337
3.338 En muchos ambientes se ha extendido el deporte del
"puenting". En el caso que se ilustra, un hombre de 80 kg salta
desde el punto A del puente con la cuerda elástica sujeta a sus
tobillos atados y cae 20 m antes de que los diecisiete metros
elásticos de aquélla comiencen a estirarse. Los tres metros no
elásticos del extremo superior de la cuerda no se estiran apreciablemente. Se observa que el hombre cae una distancia total
224
~<f'W....x97"
(b)
las
Desprec iar las
aHiba. Despreciar
hacia arriba.
de
antes de
ser proyectado
proyect ado hacia
de ser
m antes
44 m
de 44
adora
recuper
te
constan
la
pérdidas
de
energía
y
calcular
la
constante
recuperadora
kk
(a)
calcular
energía
de
pérdida s
ad
velocid
(b)
,
elástica
por
metro
de
longitud
de
la
cuerda
elástica,
(b)
la
velocidad
cuerda
la
de
d
longitu
de
metro
por
acelecaída y (e) su
máxima
que alcanza el hombre
su caída
su aceleen su
hombre en
máxima vvOlax
m ax que alcanza
partíuna
como
tratarse como una partíración
máxima amax
. El hombre
puede tratarse
hombre puede
ración máxima
m ax '
cuerda.
de la cuerda.
cula sujeta
sujeta al extremo
extremo de
cula
de
prueba de
de prueba
vil de
3.340
automóvil
nuevam ente el automó
represe nta nuevamente
Se representa
3.340 Se
velocila velocideterm inado que
ha determinado
choques
que la
2.30 y se ha
problem a 2.30
del problema
choque s del
de
es de
vehícul o es
del vehículo
masa del
la masa
dad
de impacto
38,9 km/h.
km/h. Si la
de 38,9
era de
impacto era
dad de
la
calcular
m,
0,8 m, calcular la
= 0,8
1100
aplasta xx =
se aplasta
delante ra se
parte delantera
su parte
Y su
kg Y
1100 kg
dulo
obstácu
el
contra obstáculo dufuerza
ejerce contra
mismo ejerce
el mismo
que el
med que
Fmed
media F
fuerza media
no
med no
Fmed
mueve, F
no se mueve,
rante
obstácu lo no
que el obstáculo
Dado que
impacto . Dado
el impacto.
rante el
ramos
conside
,
análisis
al
ación
trabaja.
Como
primera
aproximación
análisis,
consideramos
trabaja. Como primera aproxim
indilas indicomo las
partes como
dos partes
que
compuesto
sto ddee dos
está compue
automó vil está
el automóvil
que el
duranm
0,8
mueve
kg,
cadas.
La
parte
intacta,
de
masa
650
kg,
se
mueve
0,8
m
duran650
masa
de
cadas. La parte intacta,
parte
La parte
de 8g. La
media de
te
el choque
des aceleración
eración media
una desacel
con una
choque con
te el
llemasa
de
centro
su
kg
acordeonada
tiene
una
masa
de
450
kg
Y
centro
de
masa
llede
masa
una
tiene
da
ona
acorde
parte
cada
ndo
analiza
med
F
va
una
desaceleración
de
4g.
Hallar
med
analizando
cada
parte
Hallar
de
eración
desacel
una
va
durante el
de energía
por
separado o yy determinar
energía !'lE
!lE durante
el
pérdida de
determ inar la pérdida
por separad
choque.
choque.
--
38,9 km/h
~==~.-3~S~,9-km/h
~
"---
650kg
6_5_0
_kg
kg
450 kg
I 450
Sg
8g
4g
1
\O,S.\
n
3.338
Figura problem
problemaa 3.338
Figura
3.339
satélite en
satélite en
en órbita
órbita elípelípcircular A y el satélite
órbita circular
en órbita
El satélite
3.339 El
masas de
las
Si
C.
punto
tica
colisionanan y se incrusta
incrustan n en
en el punto
las masas
de
B colision
tica B
órbita rela órbita
ambos son
son iguales,
iguales, hallar
altitud máxima
máxima hmax
de la
rehallar la altitud
max de
ambos
sultante. .
sultante
km
Resp.
1438 km
= 1438
Resp. hmax
m ax =
Figura
problemaa 3.340
3.340
Figura problem
proes prorecreati va es
máquin a recreativa
3.341 El
El objeto
objeto del
del juego
de una
una máquina
juego de
3.341
Cuando
agujero E. Cuando
por el agujero
entre por
yectar la
modo que
que entre
de modo
partícul a de
la partícula
yectar
partícul a
la partícula
se
comprime
resorte y se
repentin amente , la
suelta repentinamente,
se suelta
el resorte
me el
se compri
Be,
rugoso
tramo
el
salvo tramo rugoso Be,
es
por la pista,
lisa salvo
que es lisa
pista, que
lanzada por
es lanzada
punel
En
/le'
cinético
nto
donde
hay
un
coeficiente
de
rozamiento
cinético
J.1e
En
el
pundonde hay un coeficie nte de rozamie
la compre
Hallar la
proyect il. Hallar
to
en un
compre- un proyectil.
convier te en
partícu lase convierte
la partícula-se
D la
to D
el
en el
entre
a
partícul
que
sión
(5
del
resorte
necesaria
para
que
la
partícula
entre
en
para
ia
sión 8 del resorte necesar
d~1
* Dr\---d-\
;>1- O
el
----",
¡E
--- -----, ¡E
la
11
A
Zona ru gosa
Agujero
Agujero
)le
3.341
Figura problem
problemaa 3.341
Figura
Figura problema
3.339
problema 3.339
Figura
225
http://gratislibrospdf.com/
agujero E. Establecer las condiciones
condiciones que deben cumplir
cumplir las
longitudes
longitudes dd y p.
/5 =
=
Resp. 8
T[g: +
+ 2p(1
2p(1 + Ilcc)]
)]
d?
d e 2J2p
2J2p
3.342 Un lanzamiento
pelota dé en el punto
punto
lanzamiento largo hace que la pelota
Y después contra el suelo en el punpunA del muro
muro (donde
(donde el
el =
= 0,5)
0,5)Ydespués
(donde e2
e2 =
= 0,3).
situado fuera del cuadro
to B (donde
0,3). El jugador
jugador situado
cuadro desea
recoger la pelota cuando
alla a 1,2
cuando ésta se hhalla
1,2 m sobre el suelo y a
por delante
0,6
0,6 m por
delante suyo, tal como se muestra.
muestra. Hallar
Hallar a qué dismuro debe situarse
situarse para
pelota en esas
tancia x del muro
para recoger la pelota
condiciones.
condiciones. Adviértase
Adviértase que hay dos soluciones
soluciones posibles.
~
~ 3.344 Las fuerzas retardadoras
retardadoras que actúan
actúan sobre un auto de
aerodinámica Fo
Fo Y
Yuna
carreras son la resistencia aerodinámica
una fuerza nnoo aerodinámica FR. La primera
Fo =
= Coo(( ~p
donde Coo es el cocorodinámica
primera es Fo
~p v22)S,
)S, donde
eficiente aerodinámico,
aerodinámico, p es la densidad
densidad del aire, v es la
celeridad del auto y S == 2,8
2,8 m 2 es la superficie frontal proyectada del vehículo. La fuerza no aerodinámica
aerodinámica FFRR se mantiene
mantiene
constante
plancha metálica en buen
buen estado, el
constante a 900
900 N. Con la plancha
automóvil tiene un coeficiente aerodinámico
aerodinámico C o == 0,3
0,3 Y
Yuna
una veautomóvil
320 km
km/h.
un choque leve, la plancha
locidad máxima v == 320
/ h. Tras un
dañada
parte delantera
dañada de la parte
delantera hace que el coeficiente aerodináaerodinámico pase a C
Co' == 0,4.
0,4. ¿Qué velocidad
velocidad máxima v' corresponde
corresponde
a este nuevo
nuevo valor del coeficiente aerodinámico?
aerodinámico?
Resp.
293 km
km/h
Resp. v' == 293
/h
. B
----------------I
- - - - - - - - - - xx
Figura problema
problema 3.342
Figura problema
problema 3.344
3.343 Una de las misiones de la lanzadera
lanzadera espacial es colocar
satélites de comunicaciones
comunicaciones a baja altura. En B se enciende
enciende un
un
cohete de refuerzo
refuerzo y el satélite se coloca en una
una órbita elíptica
de cambio, cuyo apogeo tiene la altitud
para el
altitud necesaria
necesaria para
geosincronismo. (Una órbita geosíncrona
geosíncrona es una
una órbita circular
geosincronismo.
situada
p eríodo coincide con el
situada en el plano
plano del ecuador
ecuador cuyo período
período de la rotación
período
rotación absoluta
absoluta de la Tierra, de tal modo
modo que un
un
estacionario a todo observasatélite en esas condiciones parece
parece estacionario
dor solidario
solidario de la Tierra.) Seguidamente,
Seguidamente, en C,
C, se enciende
enciende un
segundo
segundo cohete de refuerzo
refuerzo y se consigue la órbita final. En
una de las primeras
primeras misiones de la lanzadera,
lanzadera, desde ésta se lanB, donde
donde h1l == 275
275 km, un
un satélite de 700
700 kg. El cohete de
zó en B,
refuerzo debía actuar
actuar durante
durante t == 90
90 segundos,
segundos, formando
formando una
una
refuerzo
900 km. El cohete se averió duranduranórbita de cambio con h22 == 35 900
funcionamiento y las observaciones
observaciones de radar
radar determinadeterminate su funcionamiento
altura de apogeo de la órbita
órbita de cambio fue sólo de
ron que la altura
1125km.
Hallar el tiempo
durante el cual el motor
motor cohete
1125
km. Hallar
tiempo real t' durante
supone que la pérdida
funcionó antes de averiarse. Se supone
pérdida de masa
durante el funcionamiento
funcionamiento del
del..
cohete de refuerzo
refuerzo es despreciadespreciadurante
.. cohete
ble.
Resp. itI' == 8,47
Resp.
8,47 s
~ 3.345 Se comunica una elevada
elevada velocidad
velocidad inicial,
inicial, en el pla~
no horizontal, a la pequeña
pequeña partícula
partícula de masa m que enrolla la
226
http://gratislibrospdf.com/
o
!
11
~~I
11
I
i
O
Figura problema
problema 3.345
cuerda en el eje vertical fijode radio a. Si la velocidad angular de
la cuerda es % cuando la distancia de la partícula al punto de
tangencia es 7"0' hallar la velocidad angular O) de la cuerda y su
tensión Tcuando ha girado un ángulo 0). ¿Qué principio de conservación se aplica? ¿Por qué?
Resp.
O)
=
duzca a 5 km/h desde una inicial de 90 km/h. Se supondrá que
la calzada es horizontal y recta y que no hay viento.
Resp. P45 = 2,11 kW, P90 = 11,25 kW
t = 250 s, s = 1775 m
wa
a
1--e
7"
o
r
//
l/
270
Z
~ 3.346 Para un automóvil de 1000 kg se han efectuado extensos estudios en tunel de viento y en marcha por propia inercia, los cuales revelan que la resistencia aerodinámica FD y la
fuerza no aerodinámica de resistencia a la rodadura FR varían
con la celeridad según se muestra en las curvas. Hallar (a) la
potencia P requerida para mantener velocidades constantes de
45 y 90 km/h y (b) el tiempo t y la distancia s que necesita el
vehículo para que su celeridad, a motor desembragado, se re-
.
'"
FR (recta)
~
;::l
~
A
//
180
N
/
90
FD (parábola)
//
/
o
/
O
/'
./'"'
........
30
60
90
120
Velocidad u, km/h
Figura problema
3.346
*PROBLEMAS ESPECIALES PARA ORDENADOR
*3.347 Retornamos al tambor giratorio del problema 3.81. El
tambor de 650 mm rota en torno a un eje horizontal con una velocidad angular constante O = 7,5 rad/ s. El pequeño bloque A
carece de movimiento relativo a la superficie del tambor cuando pasa por la posición inferior en que e = O.Hallar el coeficiente de rozamiento estático f.le que permitiría deslizarse al bloque
en una posición angular e; representar gráficamente el resultado en el intervalo O:s; e:s; 180°. Hallar el coeficiente mínimo requerido f.lmin para que el bloque permanezca fijo con relación al
tambor durante una vuelta completa de éste. Para un coeficiente de rozamiento levemente menor que f.lmjn ¿a qué valor de e
se iniciaría el resbalamiento?
Resp. f.lmin= 0,636, e = 122,5°
figura, representar gráficamente la posición del punto e para
el intervalo de valores del coeficiente de restitución 0,5:S;e:S;0,9.
(El valor de e es común a A y B.) ¿Para qué valor de e es x = O
en el punto C, y cuál es el correspondiente valor de y?
A
~==~==========;===========~--x
1
..----tm -----.1
Figura problema
3.348
Q=7,5rad~
*3.349 El péndulo simple de longitud 1 = 0,5 m posee una velocidad angular o = 0,2 rad / s en el instante t = O,en que e = o.
e
"
r=325mm
eo = 0,2 rad/ s
Figura problema
3.347
*3.348 La tenista se ejercita lanzando la pelota contra la pared A. La pelota rebota en B en el suelo de la cancha y se eleva
hasta su máxirn'a altura C. Para las condiciones indicadas en la
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Figura problema
3.349
Deducir una
expresión integral
que define
define el
Deducir
una expresión
integral para
para el instante
instante t que
momento
posición angular
momento en
en que
que se alcanza
alcanza la posición
angular arbitraria
arbitraria e.
e. Representar gráficamente
gráficamente t en
en función
función de
de
presentar
o8
ff
Resp.
0,5 o
o
Resp. t = 0,5
O~
e~ ~.
ee para
para O
~e
de
J 9,81 sen
J9,81
sen
ee + 0,01
0,01
0,409 s
s
'r t = 0,409
O~
adhesivo falla cuando
cuando la fuerza
fuerza cortante
cortante F alcanalcanO
~ t ~ 5 s. Si el adhesivo
instante t y la posición
posición angular
za los 30
30 N, determinar
determinar el instante
angular e
e en
en
que tiene
lugar el fallo.
que
tiene lugar
fallo .
Resp.
3,40 s, e
e == 663°
663°
Resp. t =
= 3,40
*3.352
El mecanismo
en un
*3.352
mecanismo representado
representado se halla
halla en
un plano
plano ververtical
en reposo
en la posición
60°, para
cual el resorte
tical y en
reposo en
posición e == 60°,
para la cual
resorte
e
En la figura
figura se representa
otra vez
atracción de ferepresenta otra
vez la atracción
problema 3.68.
3.68. Hallar
gráficamente el ánria del problema
Hallar y representar
representar gráficamente
gulo e
e en función
función de la velocidad
O~
velocidad de
de rotación
rotación N para
para O
~ N ~ 10
gulo
rpm.
l~s masas
masas de
brazos a los que
rpm. Despreciar
Despreciar las
de los brazos
que están
están sujetas
sujetas
las góndolas
tratar éstas
masas puntuales.
góndolas y tratar
éstas como
como masas
puntuales. Calcular
Calcular el
valor de e
e para
para N';
N ~ 8 rpm.
rpm.
valor
-*3.350
'*3.350
tiene su
natural y desde
que se suelta.
Representar
tiene
su longitud
longitud natural
desde la que
suelta. Representar
gráficamente en
en función
función de e la celeridad
celeridad de
de la esfera
esfera de 5 kg Y
gráficamente
hallar (a) la celeridad
máxima de la esfera
valor de
hallar
celeridad máxima
esfera y el valor
de e
e correscorrespondiente
ángulo máximo
e que
que gira
gira la barra.
pondiente y (b) el ángulo
m áximo e
barra. Pueden
Pueden
despreciarse el rozamiento
de las barras.
despreciarse
rozamiento y la masa
masa de
barras.
e
II
375
mm
375mm
J
problema 3.352
Figura problema
3.352
problema 3.350
Figura problema
3.350
de 9 kg
kg se sujeta
de
La esfera
esfera A de
sujeta formando
formando el ángulo
ángulo de
60°, tal como
como se representa,
después se suelta
suelta y golpea
golpea a la es60°,
representa, y después
fera
este choque
choque el coeficiente
coeficiente de
de restitución
restitución es
fera B de 4,5
4,5 kg.
kg. En este
0,75. La esfera
esfera B está
está unida
extremo de
de una
e == 0,75.
unida al extremo
una varilla
varilla liviana
liviana
giratoria
en torno
alargar
torno al punto
punto O. Estando
Estando inicialmente
inicialmente sin alargar
giratoria en
de constante
constante k == 1,5
1,5 kN,
ángulo máximo
e
el resorte
resorte de
kN, hallar
hallar el ángulo
máximo e
que gira
gira la varilla
choque.
que
varilla tras
tras el choque.
Resp. e
21,4°
Resp.
e == 21,4°
*3.353
*3.353
aquí un
sistema similar
similar al del
del problema
Se representa
representa aquí
un sistema
problema
3.67.
placa cuadrada
halla en
reposo en la posición
posición A en
3.67. La placa
cuadrada se halla
en reposo
en
el instante
Y después
un movimiento
movimiento de traslación
traslación
instante t == O
OY
después ejecuta
ejecuta un
siguiendo
una circunferencia
vertical de
siguiendo una
circunferencia vertical
de acuerdo
acuerdo con
con e
e == kt22,,
donde k == 1 rad
s2, el desplazamiento
desplazamiento e
e está
está en
en radianes
donde
rad / s2,
radianes y el
tiempo t está
está en
en segundos.
segundos. Un
instrumento P de 0,4
0,4
Un pequeño
pequeño instrumento
tiempo
kg se fija temporalmente
temporalmente a la placa
placa con
un adhesivo.
Represencon un
adhesivo. Representar
erza cortante
requerida en
tiempo t para
para
tar la fu
fuerza
cortante F requerida
en función
función del
del tiempo
*3.351
*3.351
A
k-600mm~
k--600mm~
Figura problema
problema 3.353
3.353
Figura problema
3.351
problema 3.351
228
228
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Los ensayos en tunel de viento para determinar la resistencia de cierta esfera de 0,1 kg en una corriente de aire a baja
velocidad dan como resultado la curva que se representa con
trazo lleno. Si la esfera se suelta desde el reposo en aire encalmado, emplear esos datos para predecir su velocidad v trasuna
caída de 10 m desde el reposo. Multiplicar por dx la ecuación de
movimiento y reescribirla como ecuación en diferencias finitas
a intervalos de un metro. A continuación, despejar v aproximando la información de la gráfica mediante la expresión analítica R = kv2, para la cual la concordancia en v = 6,5 mi s
representa una media aceptablemente compatible con los datos
experimentales dentro de la zona considerada. (Véase que de la
curva resulta k = 0,0133N·s2 1m2.)
2,0
*3.354
1,6
z¡:¿
T-----
/
x
1/
LO
/
1,2
m =0,1 kg
í/
/
,,
0,8
,/
~,
0,4
°°
~
1
[.Y
2 3 4
5 6 7 8
v, mis
9
10
Figura problema 3.354
229
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http://gratislibrospdf.com/
Ladinámica
dinámica de
de un
un conjunto
conjunto de
de masas
masas oode
de un
un sistema
sistema material
material cualquiera,
cualquiera, es
esuna
una generalización
generalización de
de la
la dinámica
dinámica de
de
La
una masa
masa puntual
puntual yysu
su desarrollo
desarrollo conduce
conduce aalas
lasecuaciones
ecuaciones de
de traslación
traslación yyrotación
rotación que
que describen
describen elelmovimiento
movimiento de
de
una
los cuerpos
cuerpos tanto
tanto rígidos
rígidos como
como deformables.
deformables. La
Lalanzadera
lanzadera espacial
espacial con
con sus
sus cohetes
cohetes auxiliares
auxiliares de
de refuerzo
refuerzo desprendesprenlos
dibles yysu
su combustible
combustible consumible
consumible constituye
constituye un
un excelente
excelente ejemplo
ejemplo de
de sistema
sistema no
no rígido
rígido con
conpérdida
pérdida másica.
másica.
dibles
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232
CINÉTICA
C1NÉTICA DE
DE LOS
LOS SISTEMAS
SISTEMAS DE
DE
PUNTOS
PUNTOS MATERIALES
MATERIALES
4.1
4.1
En los dos capítulos precedentes
fundamentos de la dinámica
precedentes se trató de los fundamentos
del movimiento
movimiento de un punto
punto material. Aun
Aun cuando
cuando en el capítulo
capítulo 31a
3 la atención
se centrara
un solo punto,
punto, al estudiar
estudiar los teocentrara principalmente
principalmente en la cinética de un
remas de las fuerzas vivas y de la cantidad
cantidad de movimiento
movimiento se hizo una
una breve
referencia al movimiento
puntos materiales, considerando
considerando que juntos
juntos
movimiento de dos puntos
formaban
desarrollo de la Dinámica va a ser
formaban un sistema. El paso siguiente
siguiente en el desarrollo
extender
movimiento de un
un solo punto
punto material
material a la desextender esos principios
principios del movimiento
cripción del movimiento
un sistema
puntos materiales. Esta ammovimiento de un
sistema general de puntos
pliación dota de unidad
apartados restantes
restantes de este libro, lo cual nos
unidad a los apartados
permitirá
cuerpos rígidos y también
también del movimiento
permitirá tratar
tratar del movimiento
movimiento de cuerpos
movimiento
de sistemas no rígidos. Se recuerda
recuerda que un
un cuerpo
cuerpo rígido es un
un sistema de punpunmutuas permanecen
tos cuyas distancias mutuas
permanecen esencialmente
esencialmente invariables.
invariables. Los movimientos globales que se dan
dan en máquinas,
máquinas, vehículos
vehículos terrestres
terrestres y aéreos,
cohetes y naves especiales y otras muchas
muchas estructuras
estructuras móviles, constituyen
constituyen
problemas de cuerpos rígidos.
ejemplos de problemas
rígidos. En cambio, un
un cuerpo no rígido
puede ser un sólido del que interese estudiar
puede
estudiar la dependencia
dependencia del tiempo
tiempo de las
debidas a deformaciones,
variaciones de forma debidas
deformaciones, elásticas o no. O bien, podemos
podemos
dada compuesta
lídefinir como cuerpo no rígido a una
una masa dada
compuesta por
por partículas
partículas líquidas o gaseosas animadas
animadas de una
quidas
una velocidad
velocidad de circulación dependiente
dependiente del
tiempo. Como ejemplos tendríamos
tendríamos el aire y el combustible
tiempo.
combustible que circulan
circulan por la
turbina de un motor de avión, los gases quemados
turbina
quemados que salen por la tobera del
motor de un cohete o el agua que atraviesa
atraviesa una
una bomba
bomba rotatoria.
Aunque la ampliación
ampliación de las ecuaciones del movimiento
Aunque
movimiento de una
una partícula
partícula
única a un sistema general de partículas
partículas se lleva a cabo sin dificultades
dificultades excesiexcesivas, no es posible confiar en que pueda
pueda comprenderse
comprenderse toda la generalidad
generalidad e
importancia de esos principios
principios ampliados
importancia
ampliados sin una
una experiencia
experiencia considerable
considerable en
resolución de problemas.
problemas. Por ello, recomendamos
la resolución
recomendamos vivamente
vivamente que se repasen
repasen
durante lo que queda
con frecuencia, durante
queda del estudio
estudio de la Dinámica, los resultados
resultados
obtienen en los apartados
siguientes. De ese modo, la unidad
generales que se obtienen
apartados siguientes.
unidad
subyacente en estos principios
principios más amplios
subyacente
amplios de la Dinámica
Dinámica se perfilará
perfilará mejor
conseguirá una
una visión más amplia
y se conseguirá
amplia del tema.
4.2
II
II
II
r.II
' r·
i
II
II
II
II
II
o ""
,-, ,-,
sistema
Contorno del sistema
Contorno
,-,
Figura 4.1
INTRODUCCiÓN
INTRODUCCiÓN
GENERALIZACiÓN DE
DE LA
LA SEGUNDA LEY
LEYDE
NEWTON
GENERALIZACIÓN
DE NEWTON
Extenderemos ahora la segunda
segunda ley de Newton
teoremas de las fuerzas
Extenderemos
Newton y los teoremas
cantidad de movimiento
vivas y de la cantidad
movimiento de un
un punto
punto material
material para
para que cubran
un
un sistema genérico de n puntos
puntos materiales
materiales limitados
limitados por
por una
una superficie cerra(fig. 4.1).
4.1). Dicha superficie límite podría
da en el espacio (fig.
podría ser, por ejemplo, la sucuerpo rígido dado, la superficie limitad
perficie exterior de un cuerpo
limitad ora de una
porción arbitraria
arbitraria del cuerpo, la superficie exterior de un
porción
un cohete que contenga
cuerpos tanto rígidos como deformables
deformables o un volumen
volumen particular
particular de partículas
partículas
sistema considerado
de un fluido. En cada caso, el sistema
considerado es la masa
masa interior
interior a la envoltura y dicha masa debe definirse o aislarse claramente.
voltura
En la figura 4.1 se representa
representa un
un punto
punto material
material de masa mi,
m;, aislado del sistema del que forma parte, con las fuerzas Fl'
F1, F2'
F2, F3'
F3, .....,., que sobre él ejercen agenexteriores al contorno
contorno del sistema, y las fuerzas fl!
... , que sobre él
tes exteriores
f l1 f22,, f33,, ...
interiores al contorno. Las fuerzas exteriores se deben
ejercen agentes interiores
deben al contacsistema o bien
to con cuerpos externos al sistema
bien son fuerzas gravitatorias,
gravitatorias, eléctricas o
interiores son de reacción con otros puntos
magnéticas. Las fuerzas interiores
puntos materiales
materiales
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interiores al contorno del sistema. La posición de mi la define su vector de posición T¡medido desde un sistema inercial de ejes de referencia fijos'! El centro
de masa G del sistema de puntos materiales aislado lo determina su vector de
posición r que, según la definición de centro de masa tal como vimos en Estática, está dado por
a.
n
e
mi
= I,m¡T¡
donde la masa total del sistema es m = Em; El signo sumatorio I, representa una
suma I,I'= 1 que se extiende a la totalidad de los n puntos materiales. La segunda ley de Newton aplicada a mi da
s
o
Fl + F2 + F3 + .. - + f1 + f2 + f3 + ...
donde r¡ es la aceleración de mi- Para cada punto del sistema puede escribirse
una ecuación análoga. Si estas ecuaciones, escritas para todos los puntos del sistema, se suman todas miembro a miembro, resulta
i-
s,
n
I,F + I,f = I,m¡r¡
o
s
s
Resulta entonces que el término I,F se convierte en la suma (vectorial) de todas la
fuerzas que los agentes exteriores al sistema ejercen sobre todos los puntos materiales del sistema aislado, mientras que I,f se convierte en la suma (vectorial)
de todas las fuerzas que actúan sobre todos los puntos materiales debidas a las
acciones internas y a las reacciones entre los puntos materiales. Esta última suma
es idénticamente nula siempre, ya que las fuerzas interiores aparecen siempre
dos a dos opuestas, pues son acción y reacción. Derivando dos veces respecto al
tiempo la ecuación de definición de r , se tiene mi = I,Fmir¡, donde m carece de
derivadas respecto al tiempo puesto que no hay masa que entre o salga del sistema.f Sustituyendo en la suma de las ecuaciones del movimiento se tiene
el
la
el
a
l-
e
n
n
~
I,F
s
d
as
as
n-
is-
m.i¡
=
mi
o sea
I,F
=
ma
(4.1 )
donde a es la aceleración i del centro de masa del sistema.
La ecuación 4.1 es la segunda ley de Newton generalizada para el movimiento de un sistema de puntos materiales y lleva el nombre de ecuación del movimiento de m. La ecuación dice que la resultante de las fuerzas exteriores que
se ejercen sobre un sistema cualquiera de puntos materiales es igual al producto de la masa total del sistema por la aceleración del centro de masa. Esta ley
expresa el llamado principio del movimiento del centro de masa. Obsérvese que a
es la aceleración del punto geométrico que representa en cada instante la posición del centro de masa de los n puntos materiales dados. En el caso de un
cuerpo deformable esta aceleración no tiene por qué representar la aceleración
de ningún punto material particular. Obsérvese también que la ecuación 4.1 es
válida en cada instante y constituye, por tanto, una relación instantánea. La
ecuación 4.1 para el sistema material no puede inferirse directamente de la
ecuación 3.3 para el punto material único, sino que debe demostrarse. La ecuación 4.1 puede expresarse en forma de componentes mediante las coordenadas
Il-
él
ea
es
I
2
En el apartado 3.14 vimos que todo sistema de ejes no giratorio ni acelerado constituye un sistema inercial en el que son válidos los principios de la Mecánica de Newton.
Cuando 111 es función del tiempo, se presenta una situación más complicada, que se estudia en
el apartado 4.7 bajo el encabezamiento de masa variable.
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233
4.2 GENERALIZACIÓN DE LA
SEGUNDA LEY DE NEWTON
x-y-z
empleando el sistema de coordenadas
coordenadas que mejor convenga
convenga al problema
x-y-z O empleando
problema
234
234
ClNÉTlCA DE LOS
lOS SISTEMAS
SISTEMAS DE
CINÉTICA
PU NTOS MATERIALES
PUNTOS
en cuestión. Entonces,
(4.1 a)
Aun cuando
cuando la ecuación 4.1,
4.1, como ecuación vectorial que es, exige que la
Aun
a tenga
tenga la misma
misma dirección que la resultante
aceleración a
resultante de las fuerzas exteriores LF,
1:F,no
deduce de aquí que LF
1:Fpase
G. En general, LF
1:F
no se deduce
pase necesariamente
necesariamente por
por G.
no pasará
G, tal como demostraremos
demostraremos después.
después.
pasará por G,
4.3
TRABAJO Y ENERGíA
ENERGíA
TRABAJO
apartado 3.6
3.6 se desarrolló
desarrolló el teorema
teorema de las fuerzas vivas para
En el apartado
para un punto
punto
material y se indicó asimismo su aplicabilidad
aplicabilidad a un
material
un sistema de dos puntos
puntos maahora en el sistema general de la figura 4.1
4.1 en donde
donde
teriales unidos.
unidos. Fijémonos ahora
material genérico de masa mi
mi
la relación entre trabajo y energía para
para el punto
punto material
(Ul-I2-)¡2)¡ = I:lT¡.
I:lTi. En este caso (U
(Ul-I2-)2 ) es el trabajo efectuado
efectuado sobre m¡
mi por todas las
es (U
F1 + F2 + F3
F3+ ...
... aplicadas
aplicadas desde
desde agentes exteriores al sistema y por
fuerzas F¡= FI
todas las fuerzas f¡
f¡=
.interiores al sistema.
sistema. La energía cinética de
todas
= f 1l + f 2 + f3 + .. .interiores
m¡ es T¡
Ti =
donde V¡
Vi es el módulo
módulo de la velocidad
velocidad Vi
f¡.
mi
= ~m¡v?,
~ miv?, donde
Vi = r¡.
suma de las ecuaciones correspondientes
correspondientes al teorema
teorema
Para todo el sistema, la suma
de las fuerzas vivas aplicado a cada uno de sus puntos
es
1:(U
_
)¡=
1:I:lT¡,
puntos L(UlI -22 )i = LI:lT¡, la cual
puede
mediante la ecuación 3.11
3.11 del apartado
apartado 3.6; es decir,
puede representarse
representarse mediante
o sea
.\
.: ..•.,
\~
J\
J
I
~
J
Figura 4.2
4.2
Figura
\
\
\
\
\
\
\
"11/-"
(4.2
)
(4.2)
donde UlI--22 = L(
1:( UlI--22)¡)¡ es el trabajo efectuado
efectuado por todas las fuerzas sobre todos
donde
materiales y I:lT
I:lT es la variación
variación de energía
energía cinética total T = LT¡.
1:T¡.
los puntos
puntos materiales
cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos unidos
En el caso de un cuerpo
unidos
por
rozamiento no se efectúa trabajo resultante
resultante por parpor conexiones ideales sin rozamiento
momentos de interacción
interacción interiores
interiores en las conexiones, y vete de las fuerzas o momentos
interiores f¡
fi y - ff¡i
mos que el trabajo realizado
realizado por
por todas las parejas de fuerza interiores
actuantes en cada conexión (fig.
(fig. 4.2)
4.2) del sistema es nulo por tener los puntos
actuantes
puntos
de aplicación iguales componentes
componentes del desplazamiento
desplazamiento en la dirección de las
efectuado sobre el sistema por
resulta ser el trabajo efectuado
por las
fuerzas. En tal caso UlI--22 resulta
fuerzas exteriores únicamente.
únicamente.
deformable que tenga
tenga miembros
miembros elástiEn el caso de un sistema mecánico deformable
almacenar energía, parte
efectuado por las fuerzas
cos capaces de almacenar
parte del trabajo efectuado
alterar la energía potencial
interna V
Ve'e. Adeexteriores se invierte en alterar
potencial elástica interna
más, si del término
término del trabajo se excluye
excluye el trabajo de las fuerzas gravitatorias
gravitatorias
y este trabajo se incluye como"
como"variaciones
energía potencial
gravitatoria
variaciones de la energía
potencial gravitatoria
igualar el trabajo total U
'1-2, realizado
durante
V g,, podremos
podremos igualar
U '1-2,
realizado sobre el sistema durante
un intervalo
intervalo del movimiento,
movimiento, a la variación
variación I:lE de la energía mecánica del sistema. Así pues, U '1-2
\ -2 = I:lE, o sea
(4.3)
o bien
TI + V g1 + V e1 + U'1-2
= T 2 + V g2 + Ve 2
3.17 y 3.17a.
3.17a.
que son las mismas que las ecuaciones 3.17
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~-
-.//-
<//.:Jjf;;lr~;~::¿:P~!~i-~::f':!j¿:~~~fi~L~{:4~{;;i·
EF
= G
(4.3a)
(4.3a)
Examinemosahora
ahoracon
conmayor
mayordetalle
detallelalaexpresión
expresiónTT == 'L~m¡v¡
L~m ¡v¡2 2de
delalaenerenerExaminemos
gíacinética
cinéticadedelalamasa
masadel
delsistema.
sistema.Según
Segúnlas
lasecuaciones
ecuacionesdel
delmovimiento
movimientorelarelagía
tivoexaminadas
examinadasenenelelapartado
apartado 2.8,
2.8, lalavelocidad
velocidad dedeuno
unocualquiera
cualquieradedelos
los
tivo
puntosdel
delsistema
sistemapuede
puedeescribirse
escribirse
puntos
v+p¡
v¡v¡==v+p¡
siendovv lalavelocidad
velocidaddel
delcentro
centrode
demasa
masaGGyy p¡p¡lalavelocidad
velocidadde
dem¡
m¡respecto
respectoaa
siendo
W1
sistema
de
referencia
que
se
mueva
con
el
centro
de
masa
G.
Recordemos
un sistema de referencia que se mueva con el centro de masa G. Recordemos
que vv¡¡22 ==VV¡¡. .VV¡¡YYescribamos
escribamoscomo
comosigue
siguelalaenergía
energíacinética
cinéticadel
delsistema
sistema
que
TT
L!m·v
. ·vv·1 1 == 'L!m.(v
L!m.(v
p'.)
(v++p'.)
p'1 1.)
'L!m·v.·
++p'.)
. .(v
22 1 1 1 I
22 1 1
11
~l
~l
~
~1
-2
~1
l'·l'p1.122++L.m·v·
~.:..,m
-·v·
..
.:..,-m
·v- 2++usm.
.:..,-m
ism»
p.p.
I
I p. I
I
I
22
22
1
1
1
1
1
Como p,p¡ se
se mide
mide desde
desde el
el centro
centro de
de masa,
masa, es
es 'Lm¡p¡
Lm¡p¡ == OY
O Yelel tercer
tercer término
término es
es
Como
v· 'Lm¡p¡
Lm¡p¡
v'
v· :t1t 'L(m¡p¡)
L(m¡p¡) == O.
O. Además,
Además, 'L~m¡v2
L~m¡v2 == ~v2'Lm¡
iv 2Lm¡ == ~mv2.
~mv2. Por
Por tantan== v·
to, la
la energía
energía cinética
cinética total
total queda
queda
to,
T
T
22 + 'L!m'lp'
L!m·lp·
.122
==!mv
2!mv +
2
2
11
2
.1
1I
(4.4)
(4.4)
Esta ecuación
ecuación expresa
expresa el
el hecho
hecho de
de que
que la
la energía
energía cinética
cinética total
total de
de un
un sistema
sistema de
de
Esta
masas
es
igual
a
la
energía
de
traslación
del
centro
de
masa
del
sistema
en
conmasas
igual la energía de traslación del centro de masa del sistema en conjunto más
más la energía
energía debida
debida al movimiento
movimiento de
de todos
todos los
los puntos
puntos respecto
respecto al cencenjunto
tro de
de masa.
masa.
tro
4.4
4.4
IMPULSO
IMPULSO Y
Y CANTIDAD
CANTIDAD DE
DE MOVIMIENTO
MOVIMIENTO
(a)
Tal como
(a) Cantidad
Cantidad de movimiento.
movimiento.
como definimos
definimos en el apartado
apartado 3.8, la canticantidad
dad de movimiento
movimiento de un
un punto
punto material
material cualquiera
cualquiera del sistema
sistema descrito
descrito en la
figura
= r¡i¡ la
figura 4.1
4.1 es
es G¡=
G¡= m¡v¡,
m.v], siendo
siendo V¡
V¡=
la velocidad
velocidad de
de mi'
mi' La
La cantidad
cantidad de
de movimovimiento
miento del
del sistema
sistema se
se define
define como
como la
la suma
suma vectorial
vectorial de
de las
las cantidades
cantidades de
de momovimiento
vimiento de
de todos
todos los
los puntos
puntos materiales
materiales del
del mismo,
mismo, oo sea,
sea, G
G == Lm¡
Em¡ Vi'
Vi'
Sustituyendo
Sustituyendo la
la expresión
expresión de
de la
la velocidad
velocidad relativa
relativa Vi
V¡== V
v ++ p¡
p¡ Y
Y teniendo
teniendo en
en
cuenta
, tenemos
cuenta que
que Lm¡
Em¡ p¡
p¡== mp
mp == O
O,tenemos
G
=
'Lm¡(v + p¡)
Lm¡v
'Lm¡v++1tLm¡p¡
:t'Lm¡Pi
· + E-(O)
= vLm
v'Lm·+
~(O)
I1
dt
dt
oosea
sea
(4.5)
(4.5)
G = mv
Así
Así pues,
pues, lalacantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento de
de todo
todo sistema
sistema material
material de
de masa
masa consconstante
tante es
eselelproducto
producto de
delalamasa
masa por
por ~alavelocidad
velocidad de
desu
su centro
centro de
de masa.
masa.
La
Laderivada
derivada temporal
temporal de
deGGes
esmv
mil == ma
ma,, que
que según
según lalaecuación
ecuación 4.1
4.1es
eslalareresultante
sultante de
delas
lasfuerzas
fuerzas exteriores
exteriores que
que actúan
actúan sobre
sobre elelsistema.
sistema. Luego
Luego
(4.6)
(4.6)
LF
'LF ==GG
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235
235
4.4
4.4 IMPULSO
IMPULSOYYCANTIDAD
CANTIDADDE
DE
MOVIMIENTO
MOVIMIENTO
236
236
ClNÉTICA DE LOS
LOS SISTEMAS
SISTEMAS DE
CINÉTICA
PUNTOS MATERIALES
MATERIALES
PUNTOS
3.21 para
para un punto
punto material
material único.
que tiene la misma forma que la ecuación 3.21
4.6 dice que la resultante
resultante de las fuerzas exteriores de todo sistema
La ecuación 4.6
material es igual a la variación por unidad
unidad de tiempo de la cantidad
cantidad de movimaterial
constituye otra forma de la ecuación 4.1 de la segunda
segunda ley
miento del sistema y constituye
Newton generalizada.
generalizada. En la ecuación 4.6 la masa total se mantiene
mantiene constande Newton
durante la derivación
derivación respecto al tiempo, por
por lo que dicha ecuación no será
te durante
aplicable a sistemas cuya masa varíe con el tiempo.
Momento cinético.
cinético.
momento cinético de un sistema de puntos
puntos mate(b) Momento
El momento
cualquiera vamos a tratarlo
tratarlo determinándolo
determinándolo respecto a un punto
punto fijo
fijo O,
O,
riales cualquiera
puntos materiales
materiales y respecto a un
respecto al centro de masa G del sistema de puntos
punto cualquiera~.
cualquiera~.como
4.3, que puede
puede estar animado
animado de una
punto
como el P de la figura 4.3,
ap == rp.
aceleración ap
Contorno
Contorno
del sistema
'.../
'../
(Respecto a O). Por definición, el momento
momento cinético respecto al punto
punto O,
O, fijo
fijo
(Respecto
newtoniano, del sistema de masas que nos ocupa es
en el sistema de referencia newtoniano,
suma vectorial de los momentos
momentos respecto a O de las cantidades
cantidades de movila suma
puntos materiales
materiales que integran
integran el sistema y se expresa
miento de todos los puntos
G(fijo)
O(fijo)
Figura 4.3
4.3
Figura
derivada temporal
temporal de esta suma
suma de productos
productos vectoriales es
La derivada
L(t¡ x m¡v¡)
m¡v¡)+
L(r¡x
m¡v¡). El primer
primer sumatorio
sumatorio desaparece
desaparece porque
porque el
Ha == L(t¡
+ L(r¡
x m¡v¡).
producto vectorial de dos vectores iguales
iguales, , t¡
i¡ Y v¡, es nulo. El
El segundo
segundo sumaproducto
m¡a¡) = L(r¡
L(r¡x
suma vectorial de los momentos
momentos restorio es L(r¡x
L(r¡ x m¡a¡)
x F¡), o sea, la suma
actúan sobre todos los puntos
puntos del sistema.
pecto a O de todas las fuerzas que actúan
suma de momentos
momentos LMa
representa únicamente
únicamente los momentos
momentos de las
LMO representa
Esta suma
puesto que las internas
internas son iguales y opuestas
opuestas
fuerzas exteriores al sistema, puesto
suma de sus momentos
momentos es nula. Así pues, la suma
suma de
dos a dos y, por
por tanto, la suma
momentos queda
queda
los momentos
(4.7)
(4.7)
3.27referente
punto material.
cuya forma es igual a la de la ecuación 3.27
referente a un único punto
4.7 establece que el momento
momento resultante
resultante respecto a un punto
punto fijo
fijo
Esta ecuación 4.7
cualquiera de todas las fuerzas exteriores actuantes
actuantes sobre un sistema de puntos
puntos
cualquiera
materiales es igual a la derivada
derivada temporal
temporal del momento
momento cinético del sistema
materiales
punto fijo.
fijo. Al igual que en el caso de la cantidad
cantidad de movirespecto al mismo punto
4.7 no es válida
válida si la masa total del sistema varía con el
miento, la ecuación 4.7
tiempo.
(Respecto a G).
(Respecto
momento cinético respecto al centro de masa G es la suma
suma
El momento
momentos respecto a G de las cantidades
cantidades de movimiento
movimiento de todos los
de los momentos
puntos materiales
materiales del sistema y es
puntos
(4.8)
(4.8)
Podemos escribir la velocidad
velocidad absoluta
absoluta ti,¡ como Ci
(f: + p¡),
p¡), con lo que H
Hee queda
queda
Podemos
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En esta ecuación el primer
miembro puede
puede volver a escriprimer término
término del segundo
segundo miembro
I.m¡p¡,
porque I.m¡p¡
según la definición
definición de
¡p ¡, que es nulo porque
I.m ¡p ¡ =
= O según
birse como - f x I.m
centro de masa. Por tanto, se tiene
(4.8a)
(4.8a)
La
momento cinético absoluto
absoluto porque
porque en
La expresión
expresión 4.8
4.8 recibe el nombre
nombre de momento
ella
nombre de
ella se
se emplea
emplea la velocidad
velocidad absoluta
absoluta r¡
f¡.. La expresión
expresión 4.8a recibe el nombre
momento cinético relativo
velocidad relativa
relativa p¡
p ¡ . Torelativo porque
porque en ella se emplea
emplea la velocidad
mando como referencia el centro de masa
momentos cinéticos
masa G,
G, se ve que los momentos
absoluto y relativo son iguales. Veremos que esta igualdad
mantiene
igualdad no se mantiene
cuando se toma como referencia
referencia un punto
para un
un punto
punto de refepunto arbitrario
arbitrario P; para
fijo O no hay distinción.
distinción.
rencia fijo
Derivando
Derivando 4.8
4.8 respecto
respecto al tiempo
tiempo resulta
resulta
El primer
primer sumatorio
sumatorio es I.(p¡
I.(p¡ x m;f)
m;f) + I.(p¡
El
I.(p¡ x m¡p¡).
m ¡p¡). El primer
primer térmico puede
puede
.
. d
I.m¡p¡
-f x d t I.miP¡
resulta ser nulo
volver a escribirse en la forma - rf x I.m
¡p¡ = -r
I.m¡p¡ y resulta
nulo
:t
por la definición de centro de masa. El segundo
término es nulo porque
porque es nulo
nulo
segundo término
el producto
paralelos. Si F¡es
F¡ es la resultante
resultante de todas
todas
producto vectorial de dos vectores paralelos.
las fuerzas exteriores actuantes
y f i es la resultante
resultante de todas
todas las fuerzas
actuantes sobre m¡
mi Yf¡es
fuerzas
Newton el segundo
interiores actuantes
actuantes sobre mi'
mi' según
según la segunda
segunda ley de Newton
segundo suqueda I.[p¡
I.[p¡ x (F¡
(F¡+f¡)]
= I.(p¡
I.(p¡ x F¡)
suma de los
+ f¡)] =
F¡) =
= I.Me,
I.M e , que es la suma
matorio queda
momentos de todas
respecto al punto
punto G.
Recordemos que
todas las fuerzas
fuerzas exteriores
exteriores respecto
G.Recordemos
momentos I.Pi
I.p¡ x f¡ de las fuerzas interiores
Queda enla suma de los momentos
interiores es nula. Queda
tonces
(4.9)
(4.9)
podemos emplear
emplear el momento
momento cinético absoluto
absoluto o bien el relativo.
donde podemos
4.7 y 4.9
4.9 se encuentran
encuentran entre
entre las relaciones más potentes
Las ecuaciones 4.7
potentes y
eficaces
válidas para
para cualquier
masas
eficaces que rigen la Dinámica
Dinámica y son válidas
cualquier sistema
sistema de masas
definido, rígido o deformable.
deformable.
(Respecto a P).
un punto
punto arbitrario
P). El momento
momento cinético respecto a un
arbitrario P (cuya
podría ser iip) ) lo expresamos
expresamos ahora
ahora con la notación
notación de la figura 4.3;
4.3;
aceleración podría
es decir,
primer término
término como P
P x I.m¡i~¡
Podemos escribir el primer
I.m¡i~¡ =
= pp x I.m¡v¡
I.m¡v j =
= pp x mv
mv..
El segundo
segundo término
término es I.p¡
I.p¡ x m¡r¡
m.i¡ =
= He.
He. Entonces, reordenando
El
reordenando resulta
resulta
Hpp
H
= He+P
He+P
=
x mv
mv
(4.10)
(4.10)
4.10 establece que el momento
momento cinético absoluto
absoluto respecto
Esta ecuación 4.10
respecto a un
punto cualquiera
cualquiera P es igual al momento
momento cinético respecto a G más el momento
punto
momento
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237
237
4.4 IMPULSO Y CANTIDAD
CANTIDAD DE
DE
MOVIMIENTO
MOVIMIENTO
238
CINÉTICA
DE LOS
CINÉTlCA DE
LOS SISTEMAS
SISTEMAS DE
DE
PUNTOS MATERIALES
MATERIALES
PUNTOS
movimiento m v
v del sistema supuesto
respecto a P de la cantidad
cantidad de movimiento
supuesto concentrado en G.
trado
G.
Ahora vamos a utilizar
desarrolló en
utilizar el principio
principio de los momentos
momentos que se desarrolló
Estática, según
puede representarse
representarse mediante
mediante
según el cual un sistema de fuerzas puede
una
fuerza
resultante
aplicada
a
un
punto
cualquiera,
como
el
G,
y
una
resultante aplicada
punto cualquiera,
G, el correspondiente
4.4 se representa,
aplicada en
pondiente par
par de fuerzas asociado. En la figura 4.4
representa, aplicada
G,
resultante ~F
LF de las fuerzas exteriores actuantes
G, la resultante
actuantes sobre el sistema acompañada del correspondiente
par de fuerzas de momento
LMe. Relacionando ahoñada
correspondiente par
momento ~Me.
momento resultante
resultante respecto a P de las fuerzas exteriores con el momento
momento
ra el momento
resultante de las mismas respecto a G podemos
podemos escribir
resultante
que, según
4.9 y 4.6,
4.6, se convierte en
según las ecuaciones 4.9
~Mp
He+pxma
LMp = He+jixma
p
Figura 4.4
4.4
Figura
(4.11
(4.11 )
Esta relación 4.11
4.11 nos permite
permite escribir la ecuación del momento
momento respecto a
cualquier
punto P que convenga
cualquier punto
convenga y es fácilmente imaginable
imaginable con ayuda
ayuda de la fifigura 4.4;
constituye una
estudio de la cicigura
4.4; por otra parte, constituye
una base rigurosa
rigurosa para
para el estudio
desarrolla en el capítulo 6.
6.
nética de los cuerpos rígidos que se desarrolla
Empleando
momento cinético respecto a P es posible desarrollar
Empleando el momento
desarrollar unas resegún la figura 4.3
laciones similares. De este modo, según
4.3
donde p;
sustituciones de
donde
pi es la ve~ocidad
ve~ocidad de m¡ respecto a P. Con las sustituciones
p;
= Pji + p¡ ,r podemos
pi == pji + p,
p¡ Y p;
pi =
podemos escribir
El primer
sumatorio es px
segundo sumatorio
sumatorio es pji x
primer sumatorio
jix mvrel
El
rel. . El segundo
tercero es -
tt
~m¡p¡
Lm¡p¡
yel
yel
ppx ~m¡p¡,
según la definición de cenLm¡p¡, y estos dos son ambos nulos según
tro de masa.
sumatorio es (He)rel.
(He)rel. Reordenando
Reordenando términos
masa. El cuarto sumatorio
términos resulta
resulta
(4.12)
(4.12)
donde (Hdrel
(Hdrel es el mismo que He
He (véanse las ecuaciones 4.8
4.8a). Adviértase
donde
4.8 y 4.8a).
Adviértase
similitud entre las ecuaciones 4.12
4.10.
la similitud
4.12 y 4.10.
expresarla en funLa ecuación del momento
momento respecto a P podemos
podemos ahora expresarla
Derivando respecto al tiempo
ción del momento
momento cinético respecto a P. Derivando
tiempo la definición (HP}rel
(HP)rel =
= ~p;
m¡p; y sustituyendo
sustituyendo r¡
resulta
LPi x m¡pi
r¡ == rp + p;,
pi, resulta
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n
te
s-
Elprimer
sumatorio es idénticamente
idénticamente nulo y el segundo
segundo es la suma
suma ¿M
¿Mpp de los
El
primer sumatorio
todas las fuerzas exteriores. El tercer sumatorio
sumatorio se
momentos respecto a P
P de todas
hace ¿pi
¿p; x m
m¡a
= - a pp x ¿m¡pi
¿m¡p; =
= - a p x mp =
= p x ma
map. . Sustituyendo
Sustituyendo y
hace
¡a pp =
reordenando términos
términos resulta
resulta
reordenando
n
to
(4.13)
(4.13)
Estaecuación
4.13reviste
una forma muy
muy cómoda
cómoda cuando
cuando se emplea
emplea como cenEsta
ecuación 4.13
reviste una
tro de momentos
momentos un
un punto
punto PP cuya aceleración se conozca. Además,
Además, adquiere
adquiere
tro
la forma más sencilla
cumple cualquiera
cualquiera de las condiciones
condiciones siguientes:
cuando se cumple
1)
a
fiie-
e
1. aapp = O
O (equivalente
(equivalente a la 4.7)
4.7)
1.
P == O
O (equivalente
(equivalente a la 4.9)
4.9)
2. P
P Y ap son paralelos
paralelos (la recta soporte
soporte de
3. P
4.5
4.5
pasa por G)
G)
pasa
DE LA
LA ENERGíA
ENERGíAY
LA CANTIDAD
CANTIDAD DE
DE
CONSERVACiÓN DE
Y LA
MOVIMIENTO
MOVIMIENTO
Se da con mucha
mucha frecuencia el caso de que la energía
energía mecánica total de un
un sisSe
durante algún
algún intervalo
intervalo de su movimiento.
movimiento. Otras veces ocurre
ocurre
tema no varíe durante
experimenta una
una variación
variación neta en su cantidad
cantidad de movimienmovimienque el sistema no experimenta
to. Estas situaciones
situaciones se tratan
tratan seguidamente
seguidamente por separado.
separado.
to.
Conservación de la energía.
energía. De un
sistema material
material se dice que es conserconser(a) Conservación
un sistema
vativo si no pierde
pierde energía
energía en virtud
virtud de fuerzas
fuerzas de rozamiento
interno que reavativo
rozamiento interno
lizan un trabajo negativo
negativo o en virtud
virtud de miembros
miembros no elásticos que disipan
disipan
recorrer ciclos.
ciclos. Si
Si durante
durante un
un intervalo
intervalo del movimiento
movimiento no hay fuerenergía al recorrer
zas exteriores (gravitatorias
deriven de un
un potencial) que realicen
(gravitatorias u otras que deriven
trabajo sobre un
un sistema
sistema conservativo,
conservativo, no se pierde
pierde nada
nada de la energía
energía del sistrabajo
tema. En tal caso es llE
l1.E =
= 0,
0, es decir, Einicial
Einicial = Efinal.
Efinal. Por tanto, la ecuación 4.3 potema.
demos escribirla
el
Il-
ap
(4.14)
(4.14)
o sea
(4.14a)
2)
se
nfi-
energía mecánica.
mecánica. Este principio
principio sólo
que expresa el principio
principio de conservación
conservación de la energía
vale en el caso ideal en que el rozamiento
rozamiento cinético interno
interno es suficientemente
suficientemente
vale
para ser despreciado.
despreciado.
pequeño como para
(b) Conservación
Conservación de la cantidad
cantidad de movimiento.
movimiento.
Si, para
para un
un cierto intervalo
intervalo
(b)
Si,
resultante ¿F de las fuerzas
fuerzas exteriores
exteriores que se ejercen sobre un
un sisde tiempo, la resultante
conservativo o no, es nula,
nula, la ecuación 4.6 exige que G
G == O, con
tema material, conservativo
durante dicho intervalo
intervalo de tiempo
lo cual durante
tiempo
(4.15)
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239
CONSERVACiÓN DE
DE LA ENERGíA
4.5 CONSERVACIÓN
CANTIDAD DE
DE MOVIMIENTO
MOVIMIENTO
Y LA CANTIDAD
240
240
CINÉTICA
CINÉTICA DE
DE LOS
LOS SISTEMAS
SISTEMAS DE
DE
PUNTOS
PUNTOS MATERIALES
MATERIALES
lo que expresa
principio de conservación
conservación de la cantidad
cantidad de movimiento.
movimiento. Así pues,
expresa el principio
en ausencia
movimiento de un
ausencia de un
un impulso
impulso exterior la cantidad
cantidad de movimiento
un sistema
permanece invariable.
permanece
invariable.
Análogamente,
Análogamente, si el momento
momento resultante
resultante respecto a un punto
punto fijo
fijo O o respecto al centro de masa G de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre un
material es nulo, las ecuaciones 4.7
4.7 y 4.9
4.9 exigen, respectivamente,
respectivamente, que
sistema material
(4.16)
(4.16)
bien que
o bien
expresan el principio
conservación del momento
momento cinético
cinético para
para un
Esta relaciones expresan
principio de conservación
sistema material
material cualquiera
cualquiera en ausencia
ausencia de impulso
impulso angular.
angular. Así pues, si no
sistema
impulso angular
angular respecto
respecto a un
un punto
punto fijo
fijo (o respecto
respecto al centro de masa), el
hay impulso
momento cinético del sistema respecto
respecto al punto
punto fijo
fijo (o respecto
respecto al centro de mamomento
permanece invariable.
invariable. Una y otra ecuación pueden
pueden cumplirse
cumplirse independienindependiensa) permanece
temente la una
una de la otra.
temente
apartado 3.14
3.14 demostramos
demostramos que las leyes fundamentales
fundamentales de la MecáEn el apartado
cumplen para
para mediciones
mediciones realizadas
realizadas en un
un sistema
sistema de ejes
Newton se cumplen
nica de Newton
traslación uniforme.
uniforme. Así pues, las ecuaciones 4.1
4.1 a 4.16
4.16 son válidas
válidas con tal
en traslación
cantidades de movimiento
movimiento se expresen
expresen con relación
relación a los ejes en
que todas las cantidades
traslación uniforme.
uniforme.
traslación
4.1 a la 4.16
4.16 figuran
figuran entre
entre las más importantes
importantes de los
Las ecuaciones de la 4.1
principios fundamentales
fundamentales deducidos
capítulo se han
han
deducidos de la Mecánica. En este capítulo
principios
deducido esas leyes a partir
partir del sistema
sistema más general
general de masa constante
constante a fin de
deducido
poner de manifiesto
manifiesto la generalidad
generalidad de las leyes. Estas hallarán
hallarán su utilización
utilización
poner
aplicadas a sistemas
sistemas materiales
materiales específicos tales como cuerpos
cuerpos rífrecuente al aplicarlas
deformabless y ciertos sistemas
sistemas fluidos que se estudian
estudian en los apartados
apartados
gidos y deformable
recomienda al lector que estudie
estudie detenidamente
detenidamente estas leyes y
que siguen. Se recomienda
compare con las fórmulas más restringidas
restringidas que aparecieron
aparecieron anterioranteriorque las compare
capítulo 3.
3.
mente en el capítulo
TIPO 4.1
PROBLEMA TIPO
yy
bj
bjmm
una esLas tres esferas de masa m cada una
armazón equiangular
equiangular rítán soldadas al armazón
gido de masa despreciable. El conjunto
conjunto
una superficie
horizontal
reposa sobre una
superficie horizontal
rígida. Si a uno
uno de los brazos se aplica,
rígida.
repentinamente, una
una fuerza
horizontal
repentinamente,
fuerza horizontal
indica, hallar
hallar (a) la aceleF tal como se indica,
ración del punto
punto O yy (b) la aceleración
e del armazón.
armazón.
e
http://gratislibrospdf.com/
FF
r
b
Soldadura
Soldadura ---....
m
m
esferas,
tres esferas,
las tres
de las
sistema de
del sistema
masa del
Solución.
de masa
centro de
el centro
es el
O es
punto O
(a) El punto
Solución. (a)
4.1.
n
ecuació
la
por
dada
por
lo
que
su
aceleración
estará
dada
por
la
ecuación
4.1.
estará
ión
por que su acelerac
s,
a
ma]
=mal
[LF =
[:EF
c-
aa = aa
ao
Fi
3ma
Fi = 3ma
F.
F.
Resp.
Resp.
3m11
= 3m
depend e
(DObsérvese
resultado depende
el resultado
que el
Q)Obsé rvese que
de FF yy
n de
sólo
del
módulo
y
de
la
dirección
direcció
la
de
y
módulo
del
sólo
F.
de F.
no
soporte de
recta soporte
la recta
sitúa la
que sitúa
de b, que
no de
ee
del
teorema del
el teorema
median te el
(b)
La
puede
determi narse mediante
puede determinarse
angular
acelerac ión angular
La aceleración
(b)
cada
de cada
ad de
velocid
la
que
e,
H
hallar
para
momento
cinético
(ec.
4.9).
Obsérvese,
para
hallar
He,
que
la
velocidad
se,
Obsérve
4.9).
cinético
to
momen
8,
es rr e.
x-y es
giratori os x-y
no giratorios
los ejes no
en los
medida en
esfera
masa O medida
de masa
centro de
respecto al centro
esfera respecto
del
cinético
to
momen
El
brazos.
los
de
donde
momento cinético del
común de los brazos.
angular común
velocid ad angular
la velocidad
es la
donde 8 es
movide movicantida des de
las cantidades
de las
momen tos de
sistema
los momentos
de los
suma de
la suma
es la
O es
respecto a O
sistema respecto
expresa
se
mismo
s
entonce
4.8,
n
miento,
tal
como
muestra
la
ecuación
4.8,
y
entonces
el
mismo
se
expresa
ecuació
la
muestra
miento, tal como
e
e
6)
o
el
an-
Ha
Ho
22
3mr2iJ2 8
== HG
3(mr8)r == 3mr
He == 3(mriJ)r
da
4.9 da
ecuació n 4.9
Entonces,
Entonces, la ecuación
nenula, neo
inicialmente nula,
sea inicialmente
Aunque 8 sea
® Aunque
é
[:EMG = HGl
áes
al
en
e
que
así
así que
Fb
=
Fb
3mr2
Resp.
Resp.
He
Ho = He
de Ha
cesitamos
expresión de
la expresión
cesitamos la
adepara
Observ emos adeHG' Observemos
obtener HG.
para obtener
model momás
indepen diente del
es independiente
que es
más que
O.
vimiento
de o.
vimiento de
ee
os
PROBLEMA
TIPO 4.2
EMA TIPO
PROBL
de
ón
yy
rí-
I
I
os
y
bJ. m
rr
ción
Articulación
Articula
nes
Consideremos
mismas condicio
condiciones
emos las mismas
Consider
4.1, pero con los
problema tipo 4.1,
que en el problema
brazos articulad
articuladosos en O sin que
que consticonstibrazos
tuyan un
un conjunto
conjunto rígido.
rígido. Explicar
Explicar la
tuyan
problemas.
diferenciaa entre
entre los dos problemas.
diferenci
m
m
izada se cumple
Solución.. La segund
segundaa ley de Newton
Newton general
generalizada
cumple para
para cualqui
cualquierer
Solución
la
es
G
masa
de
centro
del
a
ión
sistema
material,
por
lo
que
la
aceleración
centro
masa
G
es
la misma
misma
acelerac
sistema materia l, por que
sea
o
4.1,
tipo
a
problema tipo
que en el problem
F.
1
-1
Resp.
Resp.
3m
3m
ento de
ntado, el movimi
Aunque G
G coincid
coincidaa con O en el instante
instante represe
representado,
movimiento
de la
la artiartiAunque
no
éste
que
ya
G,
masa
de
centro
del
ento
culación
O
no
coincide
movimiento
centro
masa
G,
ya
que
éste
no
movimi
el
con
e
coincid
no
O
n
culació
varían.
brazos
los
se mantien
mantienee en O puesto
puesto que los ángulos
ángulos entre
entre
brazos varían.
se
Tanto :EM
HG tienen
tienen los mismos
mismos valores
valores en ambos
ambos problem
problemasas en
en el
el
M e como He
Tanto:E
es
angular
entos
movimi
los
a
problem
este
en
instante
considerado.
embargo,
problema
movimientos
angulares
o,
embarg
Sin
instante conside rado.
nte.
narse fácilme
de los
los brazos
brazos son diferent
diferentes
pueden determi
determinarse
fácilmente.
es y pueden
de
(D
<D
El present
presente e sistema
sistema podría
desmem- podría desmem
El
nes del
brarse y escribir
escribirsese las
las ecuacio
ecuaciones
del
brarse
parsus
de
movimiento
de
cada
una
de
sus
paruna
cada
movimiento de
tas una
tes para
para elimina
eliminar r las incógni
incógnitas
una
tes
por una.
una. Tambié
También n podría
podría seguirse
seguirse un
por
procedimiento
más sofistica
sofisticadodo basabasamiento más
procedi
do
en
las
ecuaciones
de Lagrang
Lagrange.e.
de
nes
do en las ecuacio
(Véase Dinámic
Dinámica,
del autor
autor principrincia, del
(Véase
pal, 2~
2ª edición
edición, , donde
donde se expone
expone ese
ese
pal,
método.) .)
método
241
http://gratislibrospdf.com/
°
I
PROBL
EMA TIPO
PROBLEMA
TIPO 4.3
4.3
,
Un
Un proyecti
proyectill de
de20
20 kg
kg de
de masa
masa se
sedispadisparara en
en elel punto
punto OO con
con una
una velocida
velocidad
d uu ==
300
300 mIs
mls contenid
contenidaa en
en elel plano
plano x-z
z-z yy con
con
lala inclinaci
ón indicada
inclinación
indicada.. Cuando
Cuando llega
llega alal
vértice
ia estalla
vértice PP de
desu
su trayector
trayectoria
estalla en
en tres
tres
fragmen
tos A,
fragmentos
A, BB YY C.
C. Inmedia
Inmediatamente
tamente
tras
n, se
tras lala explosió
explosión,
se observa
observa que
que elelfragfragmento
mento AA sube
sube una
una distancia
distancia vertical
vertical de
de
500
500 m
m por
por encima
encima de
de PP yy que
que elelfragmenfragmento
to BB tiene
tiene una
una velocida
velocidad
horizontal
d horizont
al VvBB
para finalmen
finalmentete llegar
llegar al
al suelo
suelo en
en elel punpunto
das las
to Q.
Q. Recupera
Recuperadas
las masas
masas de
de los
los fragmentos
mentos A,
A, BB YY CC se
se encuentr
encuentraa que
que sus
sus
masas
masas son 5,
5, 99 Y
Y 66 kg,
kg, respectiv
respectivamente.
amente.
Calcular
Calcular la
la velocida
velocidadd de/
del fragmen
fragmentoto C
inmedia
tamente después de
inmediatamente
de la
la explosió
explosión.
n.
Despreci
ar la
Despreciar
la resistenc
resistencia
atmosférica.
ia atmosfér
ica.
.
--xx
Solución
ento de los proyect
Solución.. Por
Por lo
lo que
que sabemo
sabemoss acerca del movimi
movimiento
proyectiles
iles (problema
tiempo necesar
io para que el proyectil
proyect il llegue a P y su ascenblema tipo
tipo 2.6),
2.6), el
el tiempo
necesario
sión vertical son
tt
hl
1
~i
g == 300(4/5)/9,81
300(4/5 )/9,81 == 24,5
== uzI
uz/ g
24,5 s
==
u 22
Uz
_z_
2g =
2g
2 = 2936
[(300)(4 /5)]2
2936
[(300)(4/5)J
2(9,81)
2(9,81)
m
El módulo
módulo de la velocidad
velocid ad de
de A es
J 2ghAA == J2(9,81)(500)
J 2(9,81)(500) == 99,0 mI
vvAA == J2gh
m I ss
Carecie ndo inicialmente
inicialm ente de
de componentes
compon entes z,
z, el
el fragmento
fragmen to BB necesita
Careciendo
necesita 24,5
24,5 ss para
para
volver
al
suelo.
Entonce
s
su
velocid
ad
horizon
tal,
que permanece
volver al suelo. Entonces su velocidad horizontal, que
perman ece constante,
constan te, es
es
vVB
B
CD
CD La
la velocidad
velocidad vv del
del proyectil
proyectil en
en el
el
vértice
vértice de
de su
su trayectoria
trayecto ria es,
es, por
por susupuesto,
puesto, lala componente
compon ente horizontal
horizontal de
de
su
su velocidad
velocidad inicial
inicial u,u, que
que es
es uu (3/5).
(3/5).
Como la
la fuerza
fuerza de
de la
la explosión
explosi ón es
es interior
interior al
al proyectil
proyect il yy al
Como
al sistema
sistema formado
formad o
por sus
sus tres
tres fragmentos,
fragmen tos, la
la cantidad
cantida d de
de movimiento
movimi ento del
por
del sistema
sistema permanece
perman ece
constan te durante
durante la
la explosión.
explosió n. Así
constante
Asípues,
pues,
[Gl = G2J
22
Obsérvese
Obsérve se que
que elel centro
centro de
de masa
masa de
de
los
lostres
tresfragmentos
fragmentos durante
durantesu
su vuelo
vuelo
sigue lala misma
sigue
misma trayectoria
trayecto ria que
que haha- (3)
(3)
bría
bríadescrito
descritoelelproyectil
proyectilsisino
nohubiehubieraraestallado.
estallado.
4000/24 ,5 == 163,5
163,5 mI
== s/sltt == 4000/24,5
s
mIs
mv
= mAvA +mBvB+meve
20(300)( ~)i == 5(99,Ok)+
5(99,Ok) +9(163,5)(i
9(163,5)(i cos
cos45'
45°++jj sen
20(300)(~)i
sen45')
45°)++6v
6ve
e
6ve
2560i-- 1040j
1040j-- 495k
6v
495k
e == 2560i
ve ==427i
427i-- 173j
173j-- 82,5k
82,5kmI
ve
mIss
ve == J(
J(427)2
427)2++(173)2
(173)2++(82,5)2
(82,5)2 == 468
468 mI
m Iss
ve
242
242
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Resp.
Resp.
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 4.4
4.4
La carretilla
carretilla AA de
de 16
16 kg
kg sese mueve
mueve horihoriLa
zontalmente aa lolo largo
largo de
de lala guía
guía con
con
zontalmente
una celeridad
celeridadde
de 1,20
1,20mis
mistransportando
transportando
una
dos juegos
juegos de
de bolas
bolas yy barras
barras sin
sin masa
masa
dos
quegiran
giran en
en torno
torno alaleje
eje OOde
de lala carreticarretique
lla. Las
Las bolas
bolas tienen
tienen una
una masa
masa de
de 1,6
1,6 kg
kg
lla.
cada una.
una. El
El conjunto
conjunto más
más adelantado
adelantado
cada
gira aa80
80 rpm
rpm en
en sentido
sentido antihorario
antihorarioyy elel
gira
más retrasado
retrasado aa 100
100 rpm
rpm en
en sentido
sentido hohomás
rario. Para
Para elel sistema
sistema completo
completo calcular
calcular
rario.
(a) la
la energía
energía cinéiica
cinética T,
T, (b)
(b) elel módulo
módulo GG
(a)
de la
la cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento yy (c)
(c) elel
de
módulo Ha
Ha del
del momento
momento cinético
cinético resresmódulo
pecto
al
punto
O.
pecto al punto O.
Solución.
Solución.
80rpm
80rpm
, -,
\\ 44 I
I
'-;/
' -;/
lOOrpm
100 rpm
Energía cinéiica.
cinética . La
La velocidad
velocidad de
de las
las bolas
bolas respecto
respecto aa O
O es
es .
Energía
(a)
80(2n)
80(2n)
(vrerell)1,2
\2 =
= 0,45°
0,45°
3,77 mIs
mis
(v
60 == 3,77
60
100(2n)
100(2n)
(vrerel)3,4
l\4 =
= 0,300
0,300"""60
= 3,14
3,14 mis
mis
(v
~
=
La ecuación
ecuación 4.4
4.4 nos
nos da
da la
la energía
energía cinética
cinética del
del sistema.
sistema. La
La parte
parte correspondiente
correspondiente
La
CD1
la traslación
traslación es
aa la
es
~mv2 ==
~ [16 + 4(1,
4(1, 6)](1,2)2
~[16
6)](1,2)2 =
= 16,13
16,13 JJ
La
correspondiente a la rotación
los cuadrados
velociLa parte
parte correspondiente
rotación depende
depende de
de los
cuadrados de
de las
las velocidades
relativas
y
vale
dades relativas y vale
L~m¡lp¡12
(~) (1,6)(3, 77)2] (1,2) + 2[(
~) (1,6)(3,14) 2 ] (3,4)
L~mdp¡12 =
= 2[
2[(~)(1,6)(3,77?](1,2)
2[(~)(1,6)(3,14)2](3,4)
== 22,74
22,74 + 15,79
15,79 == 38,53
38,53
JJ
La
La energía
energía cinética
cinética total
total
Resp.
(b)
Según
(b) Cantidad
Cantidad de movimiento.
movimiento.
Según la
la ecuación
ecuación 4.5, la
la cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento
del
sistema
es
la
masa
total
multiplicada
por
la
velocidad
va
del
centro
del sistema es la masa total multiplicada
por la velocidad Va del centro de
de masa.
masa.
Osea,
O sea,
[G
[G =mv]
= mv]
G
G == [16
[16 ++ 4(1,6)](1,2)
4(1,6)](1,2) == 26,88
26,88 kg·m
kg-m l/ ss
(e)
(e) Momento
Momento cinético
cinético respecto
respecto aa O.
O. El
El momento
momento cinético
cinético respecto
respecto aa O
O es
es debidebido
de
do aa los
los momentos
momentos de
de las
las cantidades
cantidades de
de movimiento
movimiento
de las
las bolas.
bolas. Tomando
Tomando
como
como positivo
positivo el
el sentido
sentido antihorario,
antihorario, tendremos
tendremos
4
Ha
Ha == Llr¡
Llr¡ xx m¡v¡1
m¡v¡1
H
a=
(1,2) -- [2(1,6)(0,300)(3,14)]
(3,4)
Ha
= [2(1,6)(0,450)(3,77)]
[2(1,6)(0,450)(3,77)](1,2)
[2(1,6)(0,300)(3,14)](3,4)
2/ss
5,43 -- 3,02
3,02 =
= 2,41
2,41 kg·m
kg-m/v
== 5,43
Resp.
Resp.
Obsérvese
Obsérvese que
que m es la masa
masa total,
total, la
de
cuatro bolas,
de la carretilla
carretilla más las cuatro
bolas,
yy que
que vv es la velocidad
velocidad del centro
centro
carretilla.
de masa O que
que es la de la carretilla.
(3) Obsérvese
Obsérvese
®
que el sentido
sentido de giro,
que
horario o antihorario,
antihorario, no importa
importa en
horario
lo que respecta
respecta al cálculo
cálculo de la enerenercinética, la cual depende
depende del
gía cinética,
cuadrado de la velocidad.
velocidad.
cuadrado
® Puede
Puede sentirse
sentirse la tentación
tentación de
de pasar
pasar
alto la contribución
contribución de
de las bolas
por alto
puesto que
que sus
sus cantidades
cantidades de
de movipuesto
miento respecto
respecto aa O
O tienen
tienen sentidos
sentidos
miento
opuestos en
en cada
cada pareja
pareja yy se
se anulan.
anulan.
opuestos
No
obstante,
cada
bola
tiene
una
No obstante, cada bola tiene una
componente de
de velocidad
velocidad vv y,
y, por
por
componente
tanto, una
una componente
componente de
de cantidad
cantidad
tanto,
de movimiento
movimiento mv.
mv .
de
Contrariamente al
al caso
caso de
de la
la energía
energía
o@ Contrariamente
cinética en que el sentido de giro es
cinética en que el sentido de giro es
indiferente, el
el momento
momento cinético
cinético es
es
indiferente,
una magnitud
magnitud vectorial
vectorial yy debe
debe teteuna
nerse en
en cuenta
cuenta el
el sentido
sentido de
de giro.
giro.
nerse
243
243
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PROBLEMAS
PROBLEMAS
Problemas introductorios
introductorios
Problemas
Tres monos A, B Y
e de 10,
18 kg.
kg, respectivamente,
YC
10, 15
15 Y
Y18
respectivamente,
trepan
trepan y bajan por la cuerda
cuerda suspendida
suspendida de D. En el instante
instante representado,
presentado, A desciende
desciende por la cuerda
cuerda con una aceleración de
2m
m i S2,
mii s2
s2y e
C se esfuerza en subir con una
una aceleración de 1,5
1,5mi
S2,
mientras que B sube a la velocidad
i s. Travelocidad constante de 0,8
0,8 m
mis.
tando el conjunto de cuerda
cuerda y monos como un sistema completo,
to, calcular la tensión T de la cuerda
cuerda en el punto
punto D.
Resp. T == 316
316 N
N
4.1
4.1
mediante las dos barras
barras de masa
masa despreciable
mediante
despreciable articuladas
articuladas libremente
cuelgan en un plano
plano vertical.
bremente en sus extremos
extremos y que cuelgan
Las esferas están obligadas
obligadas a moverse
moverse en la guía horizontallihorizontallisa. Si
Si se aplica una
una fuerza
fuerza horizontal
horizontal FF =
sao
= 50 N
N a una
una de las barras en la posición
posición que se indica, ¿cuál será la aceleración del
centro e
C del resorte? ¿Por qué no depende
depende el resultado
resultado de la dimensión
mensión b?
Resp. acc == 12,5
12,5 m
mi i S2
S2
2 kg
(}--;,'¡.JI/VV\fIfV\[I¡liM-n." 2 kg
"
Figura problema
4 .3
problema 4.3
Figura problema
problema
4.4
unidas me4.4
Las dos esferas, de masa m
m cada una,
una, están
están unidas
diante una cuerda
cuerda de longitud
longitud 2b (medida
diante
(medida desde
desde los centros de
las esferas) y se encuentran
reposo sobre una
una
encuentran inicialmente
inicialmente en reposo
superficie horizontal
horizontal lisa en la posición
posición indicada.
superficie
indicada. Si al centro A
de la cuerda
vertical FF de módulo
módulo constancuerda se aplica una
una fuerza vertical
te, hallar
hallar la velocidad
cuando éstas chocan al
velocidad v de cada esfera cuando
tender
máximo de FF las esferas no
tender ()e hacia 90°. ¿Para qué valor máximo
pierden
(Estudiar el sistema
sistema sin
pierden el contacto con la superficie? (Estudiar
desmembrarlo.)
desmembrarlo.)
4.1
4.1
4.2
Las tres esferitas, conectadas
conectadas por las cuerdas
cuerdas y el resordescansan en una
una superficie horizontal
horizontal lisa. Si
Si a una
una de las
te, descansan
cuerdas
cuerdas se aplica una
una fuerza F == 6,4
6,4 N, determinar
determinar la aceleración aji del centro de masa de las esferas en el instante
instante considerado.
FF
0,8kg
0,8kg
Figura problema
4.4
problema 4.4
0,3kg
0,5 kg
kg
Figura problema
problema 4.2
sistema está compuesto
compuesto de dos esferas lisas, de masa
masa
4.3
El sistema
hallan enlazadas
enlazadas por un resorte sin masa y
2 kg cada una. Se hallan
4.5
cantidad de movimiento
movimiento total
En el instante
instante t == 2,2
2,2 s la cantidad
de un
dado por
por G2,2.2=
= 3,4i - 2,6j
2,6j
un sistema
sistema de cinco partículas
partículas está dado
+ 4,6k kg'm
cantidad de movimienmovimienkg-m I Ss.. En el instante
instante t == 2,4 s, la cantidad
to ha cambiado
kg'm l s.
S. Calcular
Calcular el
cambiado a G2,4,4 == 3,7i - 2,2j
2,2j + 4,9k kg-m/
módulo
resultante de las fuermódulo F
F del valor medio
medio temporal
temporal de la resultante
exteriores que actúan
actúan sobre el sistema
zas exteriores
sistema durante
durante el intervalo.
intervalo.
Resp. F == 2,92
2,92 N
244
244
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4.6 Las
Lasdos
dospequeñas
p equeñasesferas,
esferas,dedemasa
masaInmcada
cadauna,
una,están
están
4.6
conectad asrígidamente
rígidamentemediante
m edian teuna
unavarilla
varilladed emasa
masadespredespreconectadas
ciab le.ElElcentro
centro dedeésta
éstaúltima
últimaposee
poseeuna
l!l1avelocidad
velocidadvvenenlala
ciable.
varillarota
rotaenensentido
sentidoantihorario
antihorarioaalalavelocivelocidirecciónx xyylalavarilla
dirección
dadconstante
constante é.Para
Paraun
unvalor
valordado
dadoded e 8escribir
escribirlas
lasexpresioexpresiodad
nes(a)
(a)de
d elalacantidad
canti daddedemovimiento
movimientode
decada
cadaesfera
esferayy(b)
(b)de
delala
nes
ee
e.
e
cantidadde
demovimiento
movimientoGGdel
delsistema
sistemade
delas
lasdos
dosesferas.
esferas.
cantidad
. .Problemas
Problemasrepresentativos
representativos
4.9
4.9 Dos
Dosbolas
bolasdedeacero,
acero,dedemasa
m asamIncada
cadauna,
una,están
estánsoldadas
soldadas
aauna
unavarilla
varillaliviana
livianaded elongitud
longitudLLe einicialmente
inicialm entereposan
reposansosobre
breuna
unasuperficie
superficiehorizontal
horizontallisa.
lisa.Repentinamente
Repentinamenteseseaplica
aplicaaa
lalavarilla,
varilla,tal
talcomo
comoseseindica,
indica,una
unafuerza
fuerzahorizontal
h orizontaldedemódulo
módulo
F.F.Hallar
Hallar(a)
(a)lalaaceleración
aceleracióninstantánea
instantánea adel
delcentro
centrodedemasa
masaGG
yy (b)
(b)lalacorrespondiente
correspondientevariación
va riación ij por
porunidad
unidadde
detiempo
tiempode
de
lala velocidad
velocidad angular
angula r del
del conjunto
conj unto alrededor
alrededor del
del centro
centro de
de
á
e
masa
masaG.
G.
l
FF
..
.. 2Fb
2Fb
Resp.
Resp. (a)
(a) aa==2m'
-2 '(b)e
(b)8 ==mL2
-2
~2
m
m
b
mL
IY
-:
b
Á
I
~
I __ ~ -----+
e
x
v
1
Figura problema
problema 4.6
4.6
Figura
yy
4.7
4.7
se compone
compone de
de cuatro
cuatro recipientes
recipientes cilíncilínU na centrífuga
centrífuga se
Una
m. cada
cada uno,
uno, situados
si tuados aa una
una distancia
distan cia radial
radial rr
dricos, de
d e masa
masa m
dricos,
del
eje
de
rotación.
Hallar
el
tiempo
t
n
ecesario
p
ara
que
la mámádel eje de rotación. Hallar el tiempo t necesario para que la
una velocidad
velocidad angular
an gular úJ
roaa partir
partir del
d el reposo
reposo yy sosoquina alcance
alcance una
quina
metida aa un
un par
par constante
constante M
M aplicado
El diámetro
metida
aplicado al
al árbol.
árbol. El
diámetro de
de
los
pequeño comparado
los cilindros
cilind ros es
es pequeño
comparado con
con rr y
y la
la masa
masa del
del árbol
árbol y
y
de
los
brazos
es
pequeña
comparada
con
m.
de los brazos es pequeña comparada con m.
o
Resp.
Resp. tt ==
n
2
4mr
4m1'2úJro
---¡;;;¡-M
I
I
I
TI
I
I
m111
Figura
Figura problema
problema 4.9
4.9
4.10
Las vagonetas
de mina
mina de
de 300
300 y
400 kg
ruedan aa lo
lo largo
largo
4.10
Las
vagonetas de
y 400
kg ruedan
de la
la vía
vía horizontal
horizontal en
en sentidos
sentidos opuestos
opuestos yy aa las
las celeridades
celeridades
de
respectivas de
de 0,6
0,6 yy 0,3
0,3 mi
m/ s.
s. Al
Al chocar,
chocar, se
se acoplan.
acoplan. Justo
Justo en
en el
el
respectivas
instante anterior
anterior al
al choque,
choque, un
un trozo
trozo de
de mineral
mineral de
de 100
100 kg
kg
instante
abandona la
la canaleta
canaleta ddee descarga
descarga aa 1,20
1,20 mi
m/ ss para
para caer
caer en
en la
la vavaabandona
goneta de
de 300
300 kg.
kg. Calcular
Calcular la
la velocidad
velocidad ddel
sistema después
después de
de
goneta
el sistema
que el
el trozo
trozo de
de mineral
mineral se
se hhaya
detenido o en
en la
la vagon
vagoneta.
¿Haque
aya detenid
eta. ¿Habría sido
sido la
la misma
misma la
la velocidad
velocidad final
final si
si las
las vagonetas
vagonetas se
se hubiehubiebría
ran acoplado
acoplado antes
antes de
de que
que cayera
cayera el
el h'ozo
trozo de
de mineral?
mineral?
ran
J
Figura
Figuraproblema
problema 4.7
4.7
al
6j
Il-
el
¡-
o.
4.8
Para
4.8
Para las
las condiciones
condiciones del
del problema
problema 4.6,
4.6, escribir
escribir las
las exexpresiones
presiones (a)
(a) de
de lala cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento absoluta
absoluta de
de cada
cada
esfera
ecto aaeeyy(b)
esfera resp
respecto
(b) de
de los
los momentos
momentos cinéticos
cinéticos absoluto
absoluto yy
relativo,
relativo, (HC)abs
(Hdabs yy(Hdrel'
(Hdrel' del
del sistema
sistema respecto
respecto aaC.C.
300kg
M
M
0,6mmis
0,6
Is
LJ
400kg
M
M
L
-+--
0,3mmis
0,3
Is
Figuraproblema
problema 4.10
4.10
Figura
245
245
http://gratislibrospdf.com/
4.11
Los tres vagones de carga ruedan por la vía horizontal
con las velocidades indicadas. Después de chocar, quedan enganchados y se mueven con una velocidad común v. Los vagones A, B Y C con sus cargas tienen unas masas respectivas de
65, 50 Y 75 Mg. Hallar v y el porcentaje de energía perdida en
el proceso de enganche.
Resp. v = 0,355km/h, n = 95,0%
2 km/h
1 km/h
y
I
I
1-0,4m~1
I
I
I
I
I
,~--~
I
I
I
0,3 m
:
~
,----------------.
1,5km/h
Figura problema
Figura problema
4.11
La muchacha A de 60 kg, el capitán B de 90 kg Yel marinero C de 80 kg están sentados en el esquife de 150 kg que se
desliza por el agua a la celeridad de un nudo. Si las tres personas cambian sus posiciones tal como se muestra en la segunda
figura, hallar la distancia x desde la proa del esquife a la posición que la misma ocuparía si las personas no se hubieran movido. Despreciar cualquier resistencia al movimiento que
pudiera presentar el agua. ¿Afecta al resultado final la secuencia en la que t~rigan lugar los cambios de posición?
4.12
I •1,
1,8m
-
e
-t175mrn
L
75mm
2 kg
e
1 kg
Figura problema
x
1,2m
1,8m
Figura problema
4.13
4.14
Las dos bolas están unidas a la varilla rígida liviana,
que cuelga del soporte mediante una cuerda.' Si sobre el conjunto, inicialmente en reposo, comienza a actuar la fuerza F =
60 N, calcular la aceleración correspondiente a del centro de
masa y la variación por unidad de tiempo
de la velocidad
angular de la varilla.
2,4 m
B
1 nudo
x
O
I '
4.14
1,2m
4.15
En cierto instante, los vectores de posición de las partículas A, B Y C, de 2, 3 Y4 kg de masa, respectivamente, son
rA = 2i + 3j m, rR= 2j - k m, y re = i - 2k m. En ese mismo instante, las velocidades son v A = iA = 2j - 2k mIs, vB = i =
B
2i + 3j mI s, y ve = ie = - 2j + k mI s. Calcular el momento cinético Ha del sistema de las tres partículas respecto al origen O.
Resp. Ha = - 19i - 2j - 12k kg-m? I s
4.12
4.13
Las cinco partículas conectadas tienen una masa de 0,6kg
cada una y G es el centro de masa del sistema. En cierto instante
el momento cinético del sistema respecto a G es 1,20k kg-m- I s,
y las componentes x e y de la velocidad de G son 3 y 4 mI s, respectivamente. Calcular el momento cinético Ha del sistema
respecto a O en ese instante.
Resp. Ha = 3,3k kg'm2 I s
4.16
En el instante t = 4 el momento cinético de un sistema
de seis partículas respecto a un punto fijo O es H4 = 3,65i + 4,27j
- 5,36k kgm? I s. En el instante t = 4,1 s, el momento cinético es
H4,l = 3,67i + 4,30j - 5,20k. Hallar el valor medio del momento
resultante respecto a O de todas las fuerzas que actúan sobre
las seis partículas durante el intervalo de 0,1 s.
4.17
Desde el vehículo de 1 Mg que se mueve a la velocidad
inicial VI = 1,2 mI s se disparan simultáneamente dos proyectiles de masa 10 kg cada uno en sentido opuesto al del movi-
246
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miento del vehículo. Cada proyectil posee una velocidad en
boca VI' = 1200 mi s respecto al cañón. Calcular la velocidad V2
del vehículo después del doble disparo.
Resp. v2 = 24,7 mi s
4- 30km/h
,
I
¡
I~~-I
Vl~
18m
-------i
Figuraproblema 4.20
La escalera mecánica de unos grandes almacenes forma
un ángulo de 30° con la horizontal y tarda 40 segundos en llevar a una persona desde la primera a la segunda planta, a través de una distancia vertical de 6 m. En un determinado
momento, en la escalera se hallan 10 personas, cuya masa media es de 70 kg. en reposo relativo a los escalones en movimiento. Además, tres muchachos de 54 kg de masa media corren
escalera abajo a una celeridad de 0,6 mi s relativa a los escalones en movimiento. Calcular la potencia útil que desarrolla el
motor de accionamiento de la escalera para mantener a ésta
con su celeridad constante. La potencia en vacío necesaria para
vencer los rozamientos en el mecanismo es de 1,8 kW.
Resp. P = 2,59 kW
4.21
Figuraproblema 4.17
e
d
La pequeña vagoneta de 20 kg de masa rueda libremente por la vía horizontal transportando la esfera de 5 kg montada
en la barra giratoria de masa despreciable en la quer = 0,4 m.
Un accionamiento por motor con reductor de velocidad mantiene la barra a una celeridad angular constante
= 4 rad zs. Si
la velocidad de la vagoneta es v = 0,6 m I s cuando ()= O,calcular
v cuando ()= 60°. Despreciar la masa de las ruedas y todos los
rozamientos.
4.18
e
Las dos esferitas, de masa m cada una, están conectadas
por una cuerda de longitud 2b (medida desde los centros de las
esferitas) e inicialmente se hallan en reposo sobre una superficie horizontal. Un proyectil de masa mo animado de una velocidad va perpendicular a la cuerda incide en el centro de ésta,
haciendo que la misma se doble tal como se indica en la parte
b de la figura. Hallar la velocidad v de mo cuando las dos esferitas están a punto de tocarse y el valor de ()se acerca a los 90°,
tal como se indica en la parte e de la figura. Hallar asimismo
en esa situación.
4.22
e
rn
Figuraproblema 4.18
riO,
m
Hallar el valor máximo de la velocidad v de la vagoneta
del problema 4.18 y el ángulo ()correspondiente.
Resp. v'= 0,920 mis, ()= 90°
4.19
a
7j
es
re
ad
tivi-
Las vagonetas de una montaña rusa pasan por la cima
de la pista circular con una celeridad de 30 km/h. Despreciar
el rozamiento y hallar su celeridad v cuando llegan al tramo
horizontal inferior. En la posición superior, el radio de la trayectoria circular de sus centros de masa es de 18 m y las seis tienen la misma masa.
4.20
to
I
I
,I
I
,..A
(al
m
(bl
(el
Figuraproblema 4.22
247
http://gratislibrospdf.com/
4.23
Las
4.23
Lasbarras
barras AAyyBBdde
10kg
kgdde
masa cada
cada una,
una, sesedeslizan
deslizan
e 10
e masa
sin
sinrozamie
rozamiento
por lalaguía
guía horizon
horizontal.
Como sesereprese
representa
en
nto por
tal. Como
nta en
lalafigura,
figura, elelmovimi
movimiento
controlado
por
la
palanca
de
masa
ento esescontrol
ado por la palanca de masa
desprec
despreciable
conectada
lasbarras.
barras. Calcula
Calcularr lalaacelerac
aceleración
del
iable conecta
da aalas
ión del
punto
punto eCde
delalapalanca
palanca cuando
cuando se
seaplica
aplica lalafuerza
fuerza dde
200
N
en
e 200 N en lala
forma
forma indicad
indicada.
Para compro
comprobar
resultadoo estudia
estudiarr lalacinéticinétia. Para
bar elelresultad
ca
eade
de cada
cada miembr
miembroo por
por separad
separadoo yyhallar
hallar ac
acpor
por conside
consideracioraciones
nes cinemát
cinemáticas
partir de
de las
las acelerac
aceleraciones
calculadas
de las
las
icas aa partir
iones calculad
as de
dos barras.
barras.
dos
Resp. ac
ac==10
10mi
mi S2S2
Resp.
cular
ión inicial
cular lalaacelerac
aceleración
inicial aa del
del centro
centro de
de masa
masa de
de las
las esferas,
esferas,
elelaument
ad angular
aumentoo ¡j por
por unidad
unidad de
de tiempo
tiempo de
de lalavelocid
velocidad
angular yy
lalaacelerac
ión inicial
aceleración
inicial aade
de lalaesfera
esfera superio
superior.
r.
Resp.
Resp. aa ==2,67
2,67 mi
mi s2,
s2,¡j ==15,40
15,40 radl
rad S2,
' s2,aa==5,33
5,33 mi
mi S2s2
e
e
200NN
200
22kg
kg
TT
++¡
200mm
200
mm
Figura
a 4.25
Figura problem
problema
4.25
100mm
100
mm
t
100mm
100
mm
~
~
4.26
Las
4.26
Las tres
tres esferas
esferas iguales,
iguales, de
de masa
masa m
m cada
cada una,
una; están
están sujetas
en
jetas en el
el plano
plano vertical
vertical sobre
sobre el
el plano
plano inclinad
inclinadoo 30
30°. Están
Están
también
iables. La
también soldada
soldadas s aa .las
Ias dos
dos varillas
varillas de
de masas
masas desprec
despreciables.
varilla
iable, está
varilla superio
superior,r, también
también de
de masa
masa desprec
despreciable,
está articula
articulada
da
libreme
nte
a
la
esfera
repentin amenlibremente a la esfera superio
superior r yy al
al soporte
soporte A. Si
Si repentinamente
ad v con
te se
se retira
retira el
el tope
tope B,
B, hallar
hallar la
la velocid
velocidad
con que
que la esfera
esfera susuperior
golpear
á
en
el
plano
inclinad
ese que
perior golpeará en el plano inclinado.o. (Obsérv
(Obsérvese
que la
corresp
ondient e velocid
ad de
correspondiente
velocidad
de la
la esfera
esfera central
central será
será vi 2.) ExpliExplicar
de energía
que tiene
tiene lugar
lugar cuando
cuando ha
ha cesado
car la
la pérdida
pérdida de
energía que
cesado
todo movimi
ento.
todo
movimiento.
0
•
Figura problem
problema
4.23
Figura
a 4.23
4.24
Las tres esferas,
4.24
esferas, de masa
masa m
m cada
cada una,
una, están
están sujetas
sujetas aa las
las
varillas
varillas livianas
livianas forman
formando
un conjunt
conjuntoo rígido
rígido que
que se
se mantien
mantiene e
do un
en el plano
plano vertical
vertical merced
merced aa la
la superfic
superficieie circular
circular lisa.
lisa. La
La fuerfuerza P de módulo
módulo constan
constantete se aplica
aplica perpend
perpendicularmente
la
icularm ente aa la
varilla
varilla y en el centro
centro de
de la misma.
Si el
el sistema
sistema parte
del
reposo
misma. Si
parte del reposo
= O, hallar
con e =
el sissishallar (a) la fuerza
fuerza mínima
mínima P
Pmin
min que
que hará
hará que
que el
tema se pare
tema
de
las
esferas
pare en ee=
= 60°
60 Y (b)
(b) la
la velocidad
velocid ad vv común
común de las esferas
.
11 yy 22 cuando
cuando ee== 60°
60 0 Y
Y PP =
= 2P
2Pmin
min ·
e
0
22
Figura problema
problema 4.26
4.26
Figura
11
~ 4.27
~ 4.27
Figura
Figura problema
problema 4.24
4.24
4.25 Las
Las tres
4.25
tresesferas
esferasiguales
igualesde
de22kg
kgestán
estánsoldadas
soldada saalas
lasvavarillas de
rillas
de masas
masas despreciables
d esprecia bles yy cuelgan
cuelgan de
de AA mediante
median te una
una
cuerda. La
cuerda.
Laesferas
esferasseseencuentran
encuen traninicialmente
inicialm enteen
enreposo
reposocuancuandoaalalasuperior
superio rseseaplica
do
horizontal
F
aplicauna
unafuerza
fuerza horizon tal F== 16
16N.
N.CalCal-
Una cuerda
cuerda flexible
flexible ee inextensible
inexten sible de
de masa
masa Pp por
Una
por
unidad
de
longitu
d
y
de
longitu digual
igualaa1114
I 4del
delperímetro
perímet rodel
unidad de longitud y de longitud
del
tamborde
deradio
radiorrse
sesuelta
sueltadesde
desdeelelreposo
reposoen
enlalaposición
posició ninditambor
indicadapor
porlas
laslíneas
líneasde
detrazos,
trazos, con
consu
suextremo
extremoBBsujeto
sujetoalalpunto
cada
punto
másalto
altodel
deltambor.
tambor.Hallar
Hallarlalapérdida
pérdidade
deenergía
energíaLlQ
óQdel
más
delsistesistema cuando
cuando finalmente
finalme nte lalacuerda
cuerda sese detiene
detienecon
consusuextremo
ma
extremoAA
enC.
C.¿A
¿Adónde
dóndeva
vaaaparar
pararlalaenergía
energíaperdida?
perdida ?
en
Resp.LlQ
óQ=
2
0,571pgr
pgr2
Resp.
~ 0,571
248
248
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en el tope B.
B. Despreciar
Despreciar el rozamiento
rozamiento y tratar
tratar el vehículo y el
vagón como si fueran
fueran masas puntuales.
puntuales.
Resp.
mii s
Resp. v == 1,186 m
B
Figura problema
problema 4.27
~
arra horizontal
equeño diáme~ 4.28 Una bbarra
horizontal de masa mI
mI Y
Y ppequeño
mediante dos alambres
alambres de longitud
longitud 11de
tro cuelga mediante
de un carrito de
m2' que puede
puede rodar
rodar sobre los dos raíles horizontales.
horizontales. Si
Si
masa n12'
el conjunto se abandona
abandona desde el reposo
alambres forreposo con los alan1bres
mando un ángulo 8 con la horizontal,
horizontal, hallar la velocidad
velocidad Vb/c de
la barra relativa al carrito y la velocidad
velocidad vvee del carrito en el insla
O.Despreciar
rozamiento y tratar el carrito y la barra
barra
tante 88== O.
Despreciar el rozamiento
como si fueran m
masas
puntuales en un plano de movimiento
movimiento
como
asas puntuales
vertical.
vertical.
J(1
Resp.
vb/e/e == J(l + m 11/m
8)
/m
Resp. vb
2)2gl(12 )2gl(1 - cos 8)
ve
==
=
2gl(1 - cos 8)
2gl(1
problema 4.29
4.29
Figura problema
~ 4.30
4.30
Una cuerda
cuerda fle
flexible
~
xible de masa pp por unidad
unidad de longieje vertical con una
tud se hace girar en torno a un eje
una velocidad
velocidad
angular constante úJ ==
Determinar la forma yy =j(x)
angular
Determinar
= ¡(x) que adcuerda cuando
cuando úJ es lo suficientemente
suficientemente grande
quiere la cuerda
grande para
medida a lo largo de la cu
cuerda,
que la distancia, medida
erda, desde
d esd e el extrecuerda hhasta
cualquier elemento
elemento de la misma
mo sujeto ddee la cuerda
asta cualquier
pueda suponerse
suponerse aproximadamente
aproximadamente igual al radio
pueda
radio horizontal
horizontal
correspondiente al elem
elemento.
puedee asimilarse a un
correspondiente
ento. La cuerda pued
sistemaa de partículas
partículas conectad
conectadas.
(Sugerencia: Dibujar el
sistem
as. (Sugerencia:
diagrama para
para sólido libre del trozo de cu
cuerda
diagrama
erd a representado
representádo y
ecuaciones
movimiento en las direcciones x e y.
escribir sus ecu
aciones de movimiento
dyldx == tg 8y
8y que la tensión T de la cuerda
Véase que dyldx
cuerda es nula
extremoo libre, donde
donde x =L.)
=1.)
en su extrem
e.
Resp. yy ==
Resp.
~
I)
~
ln( 1 + I)
w =8e
cbw=
c..b
~~~,'
problema 4.28
Figura problema
~~~"
y
Y
~ 4.29
4.29
~
25Mg
7,5Mg
Un vagón batea de 25
Mg carga un vehículo de 7,5
Mg
construida sobre la propia
Si el veen una rampa
ramp a de 5° construida
propia batea. Si
desdee el reposo, estando
estando el vagón
vagón también
también en
hículo se deja ir desd
cuando el primero
primero hhaa roreposo, hhallar
allar la velocidad v de éste cuando
12 m rampa
rampa abajo,
abajo, inmediatamente
golpear
dado s == 12
inmediatamente antes de golpear
4.6
4.6
L
I
I
«=:
___
_
_ _ ::o~
~"":::===-e
: ~
""::: ===-e
-i¡X""S_I
x""s ---1
--
(}o~ ~~
I
I
::o~
problema 4.30
4.30
Figura problema
MOVIMIENTO ESTACIONARIO
ESTACIONARIO DE
DE UN MEDIO
MEDIO CONTINUO
CONTINUO
MOVIMIENTO
expresión d
dee la cantidad
cantidad d
dee movimiento
movimiento obtenida
obtenida en el apartado
apartado 4.4 para
para
La expresión
un sistema
sistema material
material cualquiera
cualquiera proporciona
proporciona un
un procedimiento
procedimiento para
para estudiar
estudiar
un
directamente lo que
que ocurre
ocurre en el movimiento
movimiento de
de un
un m
medio
continuo en el que
que
directamente
edio continuo
varíe la cantidad
cantidad de
de movimiento.
movimiento. La dinámica
dinámica d
dee los medios
medios continuos
continuos es de
de
varíe
gran importancia
importancia para
para el estudio
estudio de
de las máquinas
máquinas de
de fluidos
fluidos de
de todo
todo tipo,
entre
gran
tipo, entre
que se cuentan
cuentan turbinas,
turbinas, bombas,
bombas, toberas,
toberas, motores
motores de
de reacción
reacción aerobios
aerobios y
las que
249
249
http://gratislibrospdf.com/
250
250
CINÉTICA
ClNÉTICA DE lOS
lOS SISTEMAS
SISTEMAS DE
PUNTOS MATERIALES
PUNTOS
i "
(a)
(al
'---
cohetes.
cohetes. El tratamiento
tratamiento que
que en
en este
este apartado
apartado damos
damos al movimiento
movimiento de los memedios
dios continuos
continuos no
no está
está pensado
pensado como
como sustitutivo
sustitutivo de la Mecánica
Mecánica de Fluidos,
Fluidos,
sino
la
sino que
que simplemente
simplemente pretende
pretende presentar
presentar los principios
principios y las ecuaciones
ecuaciones de la
cantidad
cantidad de
de movimiento
movimiento fundamentales
fundamentales de mayor
mayor aplicación
aplicación en
en Mecánica
Mecánica de
de
Fluidos
movimiento general
Fluidos y en
en el movimiento
general de
de medios
medios continuos,
continuos, sea
sea la forma
forma de
de éstos
éstos
líquida,
líquida, gaseosa
gaseosa o granular.
granular.
Uno
Uno de los casos
casos más
más importantes
importantes del
del movimiento
movimiento de
de un
un medio
medio continuo
continuo se
tiene en
en condiciones
condiciones estacionarias,
estacionarias, es decir,
decir, cuando
cuando la masa
masa que
que penetra
penetra por
por
tiene
unidad
unidad de
de tiempo
tiempo en
en un
un volumen
volumen dado
dado es igual
igual a la masa
masa que
que por
por unidad
unidad de
de
tiempo
tiempo abandona
abandona dicho
dicho volumen.
volumen. Este
Este puede
puede estar
estar encerrado
encerrado por
por un
un contorno
contorno
rígido, fijo o móvil,
móvil, tal
tal como
como la tobera
tobera de un
un avión
avión a reacción
reacción o de
de un
un cohete,
cohete, el
rígido,
espacio
de una
volumen interno
espacio entre
entre aletas
aletas de
una turbina
turbina de
de gas,
gas, el volumen
interno de
de una
una bomba
bomba
centrífuga
un codo
de tubería
centrífuga o el volumen
volumen interno
interno de
de un
codo de
tubería por
por la que
que fluya
fluya un
un fluifluido
do a velocidad
velocidad constante.
constante. El diseño
diseño de
de estas
estas máquinas
máquinas depende
depende del
del análisis
análisis de
de
las
las fuerzas
fuerzas y momentos
momentos que
que se desarrollan
desarrollan a consecuencia
consecuencia de
de las variaciones
variaciones
correspondientes
correspondientes de la cantidad
cantidad de movimiento
movimiento y del
del momento
momento cinético
cinético de la
masa
masa en
en circulación.
circulación.
Consideremos
Consideremos el recipiente
recipiente rígido,
rígido, cuya
cuya sección
sección se representa
representa en
en la figura
figura
4.5a, a cuyo
cuyo interior
interior penetra
penetra una
una corriente
corriente másica,
másica, por
por la sección
sección de
de entrada
entrada de
de
área
Al' a razón
razón de m'
m' por
área Al'
por unidad
unidad de
de tiempo.
tiempo. Por
Por la sección
sección de
de salida,
salida, de área
área
A2'
sale masa
masa del
del recipiente
recipiente en
en la misma
misma cantidad
cantidad por
por unidad
unidad de
de tiempo,
tiempo, por
por lo
A 2, sale
que
período de
que durante
durante el período
de observación
observación no
no se acumula
acumula ni disminuye
disminuye la masa
masa total contenida
contenida en
en el recipiente.
recipiente. La velocidad
de la corriente
corriente entrante
entrante es VI normal
normal
tal
velocidad de
a Al,
Al, y la velocidad
las
velocidad de
de la corriente
corriente saliente
saliente es V2
V2 normal
normal a A22· · Si son
son PI y P2
P2las
respectivas densidades
densidades de
de las corrientes,
corrientes, la continuidad
continuidad de circulación
circulación exige
exige
respectivas
/';"/'1
Instante
Instante t + M
Instante tf
Instante
(4.17)
(4.17)
(b)
(bl
Figura 4.5
4.5
Las fuerzas
fuerzas que
que se ejercen
ejercen las
las describiremos
describiremos aislando
aislando la masa
masa de
de fluido
fluido ininterior
terior al recipiente
recipiente o bien
bien el recipiente
recipiente completo
completo con
con el fluido
fluido interior
interior al mismo.
mismo.
primero sería
deseara describir
Lo primero
sería lo que
que se haría
haría si se deseara
describir las fuerzas
fuerzas que
que se desadesarrollan
rrollan entre
entre el recipiente
recipiente y el fluido;
fluido; lo segundo
segundo cuando
cuando interesen
interesen las fuerzas
fuerzas
exteriores
que acostumbra
exteriores al recipiente.
recipiente. La última
última situación
situación es la que
acostumbra a interesar,
interesar, en
en
cuyo
cuyo caso
caso el sistema
sistema aislado consta
consta de
de la estructura
estructura fija del
del recipiente
recipiente y del
del fluido
fluido
existente
existente en
en su
su interior
interior en
en un
un instante
instante particular.
particular. Ese aislamiento
aislamiento se describe
describe
mediante
mediante un
un sistema
sistema para
para sólido
sólido libre
libre de
de la masa
masa interior
interior a un
un volumen
volumen definidefinido
do por
por la superficie
superficie externa
externa del
del recipiente
recipiente y las
las superficies
superficies de
de entrada
entrada y salida.
salida.
Deberán
Deberán tenerse
tenerse en
en cuenta
cuenta todas
todas las fuerzas
fuerzas aplicadas
aplicadas exteriormente
exteriormente a ese
ese sistesistema
figura 4.5a se ha
ha representado
representado por
por LF
I:F la suma
suma vectorial
vectorial de
de ese sistesistema y en la figura
ma
ma de fuerzas
fuerzas exteriores.
exteriores. En
En LF
I:F se incluyen
incluyen las
las fuerzas
fuerzas que
que se ejercen
ejercen sobre
sobre el
recipiente
puntos de
estructuras, incluyendo
recipiente en
en sus
sus puntos
de sujeción
sujeción a otras
otras estructuras,
incluyendo las sujeciosujeciones
Al y A2'
A 2, si existen,
Al y A22 sobre
nes en
en Al
existen, las
las fuerzas
fuerzas que
que se ejercen
ejercen en
en Al
sobre el fluido
fluido
interior
interior al recipiente
recipiente debidas
debidas a cualquier
cualquier presión
presión estática
estática que
que pueda
pueda existir
existir en
el fluido
fluido en
fluido y la estructura
apreciaen dichas
dichas posiciones
posiciones y el peso
peso del
del fluido
estructura si es apreciable. La resultante
resultante LF
Ef de
de todas
todas estas
estas fuerzas
fuerzas exteriores
exteriores debe
debe ser
ser igual
igual a la variavariación
ción por
por unidad
unidad de tiempo
tiempo G
G de la cantidad
cantidad d
dee movimiento
movimiento del
del sistema
sistema
aislado,
aislado, en
en virtud
virtud de la ecuación
ecuación 4.6 desarrollada
desarrollada en
en el apartado
apartado 4.4 para
para todo
todo
sistema
sistema de masa
masa constante,
constante, rígido
rígido o deformable.
deformable.
expresión de G
G puede
puede hallarse
hallarse por
por análisis
análisis incremental.
incremental. La figura
figura 4.5b
4.5b
La expresión
presenta
presenta el sistema
sistema en
en el instante
instante t,t, cuando
cuando la masa
masa del
del sistema
sistema es la del
del recipienrecipiente, la que
que éste
éste contiene
contiene y un
un incremento
incremento de
de masa
masa f...m
Sm a punto
punto de
de entrar
entrar durante
durante
un tiempo
tiempo f...t. En el instante
instante tt + f...t la misma
misma masa
masa total
total es la del
del recipiente,
recipiente, la que
que
un
http://gratislibrospdf.com/
el
durant e el
recipie nte durante
abando na el recipiente
éste
que abandona
f.m que
igual Sm
increm ento igual
un incremento
contien e yy un
éste contiene
encontien e enque contiene
masa que
recipie nte yy la masa
tiempo
movim iento del recipiente
cantida d de movimiento
La cantidad
M. La
tiempo M.
variala
que
lo
por
M,
e
durant
ble
tre
las
secciones
Al
y
A
permanece
invariable
durante
M,
por
lo
que
la
variainvaria
ece
perman
tre las seccion es Al y 22
es
tiempo es
mismo tiempo
durant e ese mismo
sistem a durante
del sistema
ción
movim iento del
de movimiento
cantida d de
la cantidad
de la
ción de
es,
la
de
os
G
tiene G
límite se tiene
Dividiendo
pasand o al límite
M y pasando
por M
Dividie ndo por
se
or
de
,
u
(f.m)
l'1m (!'!..m)
m
m , = M-->O
!'!..t
f.t
M--70
donde
m' f.v,, donde
== m'tsv
dm
dm
dt
dt
4.6
ecuació n 4.6
Así pues, en virtud
virtud de la ecuación
:EF
m'f.v
LF = m'!'!..v
es
la
ra
de
a
lo
0-
al
as
1-
a.
eeel
(4.18)
(4.18)
soresulta nte sofuerza resultante
entre la fuerza
Esta
existen te entre
relació n existente
estable ce la relación
4.18 establece
ecuació n 4.18
Esta ecuación
másico
caudal
tes
ondien
corresp
bre
un
sistema
en
régimen
estacionario
y
los
correspondientes
caudal
másico
nario
bre un sistem a en régime n estacio
velocid ad. l
e incremento
vector velocidad'!
increm ento de vector
tiemde tiemunidad de
por unidad
variaci ón por
que la variación
Otra
posibilidad
sería
tener
cuenta que
en cuenta
tener en
Otra posibil idad
d
cantida
la
entre
ial)
(vector
cia
po
de
la
cantidad
de
movimiento
es
la
diferencia
(vectorial)
entre
la
cantidad
diferen
movim iento
po de la cantida d
mode
d
cantida
a
sistem
de
movimiento
que
por
unidad
de
tiempo
sale
del
sistema
y
la
cantidad
de
motiempo
por unidad
de movim iento
escribi r
podem os escribir
Entonc es, podemos
vimiento
entra en él. Entonces,
tiempo entra
unidad de tiempo
por unidad
que por
vimien to que
r.
anterio
do
resulta
G
=
m'v
m'v
;
=
m'Isv
,
que
concuerda
con
el
resultado
anterior.
rda
concue
G = m'v22 - m'v 1 = m' f.v,
potenaplicac iones más potenuna de las aplicaciones
En
observ ar una
podem os observar
momen to ya podemos
este momento
En este
a
sistem
un
para
obtuvo
lizada
tes
de
la
segunda
ley
de
Newton
generalizada
que
se
obtuvo
para
un
sistema
Newto n genera
tes de la segund a
(la
rígidas
las
partícu
incluye
a
sistem
material
cualquiera.
En
el
caso
presente,
el
sistema
incluye
partículas
rígidas
(la
presen te,
materia l cualqu iera.
mueve n
se mueven
materia les que se
puntos materiales
estructura
másica ) y puntos
corrien te másica)
limita la corriente
que limita
estruct ura que
cuyo
en cuyo
a,
sistem
del
límites
los
os
(el
sistema, en
Definid
movim iento). Definidos
continu o en movimiento).
medio continuo
(el medio
de
uso
hacer
posible
es
nario,
estacio
interior
posible hacer uso de
régime n estacionario,
constan te en régimen
masa es constante
la masa
interior la
poner
de
ha
se
te,
obstan
No
4.6.
n
ecuació 4.6.
la
generalidad
obstante, se ha de poner
lidad con que se ha escrito la ecuación
la genera
cualas cuaactuan tess sobre el sistema
cuidado
todas las fuerzas actuante
sistema,, las
cuenta todas
tener en cuenta
en tener
cuidad o en
libre.
solido
para
ma
diagra
el
les
son evidentes
correctamente
amente diagrama para solido libre.
eviden tes si se dibuja correct
les son
obtiene
nario se
régime n estacio
Para
el momento
cinéticoo de sistema
sistemass en régimen
estacionario
se obtiene
momen to cinétic
Para el
in0 , infijo
punto
un
a
o
respect
nte
una formul
formulación
momento
resultante respecto un punto fijo O,
to resulta
análog a. El momen
ación análoga.
una
igual
es
res,
exterio
fuerzas
las
todas
terior
exteriorr al sistem
sistemaa (fig.
4.5a), de todas
exteriores, es igual aa
(fig. 4.5a),
terior oo exterio
respect o
o
cinétic
to
la variaci
variación
momento cinético del sistem
sistemaa respecto
tiempo del momen
unidad de tiempo
por unidad
ón por
la
de
caso
el
en
cual,
la
4.7,
O. Este
hecho se
se estable
estableció
ecuaciónn 4.7,
de régime
régimenn
ció en la ecuació
Este hecho
aa O.
estacionario
un plano, queda
queda en la forma
nario en un
estacio
(4.19)
(4.19)
un mismo
en un
Cuandoo las
las velocid
velocidades
entrantee y salient
salientee no estén en
mismo
ades de las masas entrant
Cuand
te
siguien
manera
la
de
al
vectori
forma
en
plano,
la
ecuación
deberá
escribirse
vectorial
manera
siguiente
rse
plano, la ecuació n deberá escribi
(4.19a)
(4.19a)
masa del
Téngase cuidado
cuidado en no interpret
interpretar
dm/dt sea la derivada
derivada tempora
temporall de
de la
la masa
del sistema
sistema
ar que dm/dl
11 Téngase
rse éste
ce constant
aislado. Tal
Tal derivada
derivada es nula, pues la m
masa
permanece
constantee al
al encontra
encontrarse
éste
asa del sistema permane
aislado.
ario
tar el caudal másico
n, para represen
en régimen
régimen estacion
estacionario.
confusión,
representar
másico estacion
estacionario
ario. Para evitar la confusió
en
m' Y
y no dl71/dt.
dm/dt.
se emplea el símbolo /J1'
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251
251
4.6
ESTACIONARIO
MOVIM IENTO ESTACIONARIO
4.6 MOVIMIENTO
DE
CONTI NUO
MEDIO CONTINUO
UN MEDIO
DE UN
252
CINÉTICA
DE LOS
LOS SISTEMAS
DE
CINÉTICA DE
SISTEMASDE
PUNTOS MATERIALES
MATERIALES
I "
donde
Y d22 son los vectores
vectores de posición
posición de los centros
Al y A2 respecto
respecto al
centros de Al
donde dI
d¡ Yd
punto de referencia
Jeferencia O. En ambas
relaciones podría
podría tomarse
tomarse como centro de
punto
ambas relaciones
momentos el centro
masa G en virtud
virtud de la ecuación
4.9.
momentos
centro de masa
ecuación 4.9.
4.18 y 4.19
4.19 son relaciones
relaciones muy
muy sencillas que hallan
hallan una
una apliLas ecuaciones
ecuaciones 4.18
importante en la descripción
descripción de acciones relativamente
complicadas de
relativamente complicadas
cación importante
relacionan fuerzas
los fluidos. Debe observarse
observarse que estas ecuaciones
ecuaciones relacionan
fuerzas exteriores
exteriores
con las resultantes
resultantes variaciones
variaciones de la cantidad
movimiento y son indepencantidad de movimiento
independientes de la trayectoria
cantidad de movitrayectoria del flujo y de las variaciones
variaciones de la cantidad
dientes
miento internas
miento
internas al sistema.
El análisis anterior
anterior puede
puede aplicarse a sistemas que se muevan
muevan con celeridad
constante teniendo
cuenta que las relaciones fundamentales
fundamentales l:F
LF == G
G y LMa
LMo =
constante
teniendo en cuenta
Ho, o bien
bien l:M
sistemas que se mueven
mueven con celeridad
Ha,
LMee == He , son aplicables a sistemas
constante,
expuso en los apartados
apartados 3.12 y 4.4.
4.4. La única
única restricción
restricción es
constante, tal como se expuso
que la masa interior
permanezca constante
respecto al tiempo.
interior al sistema
sistema permanezca
constante respecto
Los problemas
continuación constituyen
constituyen tres ejemproblemas tipo que se presentan
presentan a continuación
plos de análisis de movimiento
estacionario de un
continuo e ilustran
ilustran la
movimiento estacionario
un medio
medio continuo
aplicación de los principios
contenidos en las ecuaciones
ecuaciones 4.18
principios contenidos
4.18 y 4.19.
4.19.
aplicación
PROBLEMA TIPO
PROBLEMA
TIPO 4.5
I
,
La paleta
paleta lisa de la figura
figura desvía
desvía la corriente
rriente fluida
fluida abierta
abierta de sección
sección recta
recta de
área A,
A, densidad
densidad p yy velocidad
velocidad v.
v. (a) Determinar las componentes
componentes R yy F de la
terminar
fuerza
fuerza necesaria
necesaria para mantener
mantener la paleta
paleta
una posición
en una
posición fija.
fija . (b) Hallar
Hallar las fuerfuerzas
cuando se da a la paleta
una velocivelocizas cuando
paleta una
dad constante
constante u inferior
inferior a v yy de su
su
mismo
mismo sentido.
sentido.
.r
yy
v'
A',40
_'ii4e
~v_~-~,_t_
~F--- x
c-F'i-- ~F--c-F'\-~
v ___ ~--
x
R
Paleta
Paleta fija
(a).
diagrama para
Solución. Parte
Parle (a).
Se representa
representa el diagrama
para sólido libre de la paleta
paleta
junto
cantidad de movimiento.
junto la porción
porción de fluido que sufre la variación
variación de cantidad
movimiento. Podemos aplicar el teorema
cantidad de movimiento
demos
teorema de la cantidad
movimiento al sistema aislado en
ambas direcciones x e y. Con la paleta
celeridad de salida
salida v'
ambas
paleta parada,
parada, la celeridad
v ' debe ser
entrada v, puesto
despreciamos el rozamiento.
igual a la de entrada
puesto que despreciamos
rozamiento. Las variaciones
variaciones
componentes de la velocidad
serán
de las componentes
velocidad serán
CD
CD
L3.V
Llv x x = u'
v' cos ee-v- v
== -- v(lv(l-
cos e)
y
L3.V
e-o
Llv y y =
= u'
v' sen e-o
aplicar la ecuación
ecuación 4.18
4.18 ha de
de poCD Al
Al aplicar
nerse
cuidado en los signos
signos
nerse mucho
mucho cuidado
algebraicos.
algebraicos. La
La variación
variación de v<
v, es el
valor
valor final menos
menos el valor
valor inicial meme·
didos en la dirección
dirección x positiva.
didos
positiva.
También debe
debe ponerse
cuidado al
También
ponerse cuidado
escribir Lf,
r,f< que
que es - f.
escribir
== v sen
e
El caudal
caudal másico es m'
aplicado en la ecuación
ecuación 4.18
m' == pAv
pAv y aplicado
4.18 resulta
resulta
[r,F x
= m' L3.Vx]
-v(l- cos e)l
e)]
-- F =
= pAv[
pAv[-v(lF = pAv
pAv2(12(1 - cos e)
[r,Fy
= m'L3.vy]
R
== pAv[v
e]
pAv[v sen el
R = pAv
pAv2 2 sen e
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Resp.
Resp.
Resp.
Resp.
al
la
es la
salir es
al salir
fluido al
del fluido
velocid ad final del
la velocidad
Cuando
mueve, la
paleta se mueve,
la paleta
Cuando la
recon
fluido
del
ad
velocid
la
más velocidad del fluido con resuma
paleta más
de la paleta
velocid ad u de
de la velocidad
vectoria l de
suma vectorial
velocila velocide la
compon entes de
dos componentes
estas dos
lación
de estas
combin ación de
u-v. La combinación
paleta u-v.
la paleta
lación aa la
La
a. La
indicad
forma
en
v'
fluido
dad,
da
la
velocidad
absoluta
final
del
fluido
v'
en
la
forma
indicada.
a
absolut
dad, da la velocid ad
decir,
es
partes,
dos
sus
de
entes
componente
x
de
v'
es
la
suma
de
las
componentes
de
sus
dos
partes,
es
decir,
compon
suma
v'
de
x
compon ente
cola code la
velocid ad de
de la velocidad
compon ente xx de
v'x
variació n de la componente
La variación
u. La
cos ee+ u.
u) cos
(v -- u)
= (v
v'x =
rriente
rriente es
Parte
(b).
Parte (b).
de
lide
=
ó.v
- u)cos
e+ (uu-v)
- v)
ose+(
(v-u)c
/).vxx = (v
== --(v
(v --u)(l
u)(l- -
cose)
cos
e)
compon ente
de la componente
variació n de
que la variación
La
sen e, con lo que
u) sen
(v -- u)
v' es (v
compon ente yy de v'
La componente
e.
sen
u)
(v
=
/).v
es
yy de la velocidad
corrient e ó.vyy = (v - u) sen e.
velocid ad de la corriente
variala variasufre la
que sufre
masa que
La
tiempo es la masa
unidad de tiempo
por unidad
que circula por
m'' que
masa m
La masa
sobre
circula
que
tiempo.
ción
de
la
cantidad
de
movimiento
por
unidad
de
tiempo.
Es
la
que
sobre
unidad
por
ento
movimi
d
cantida
la
ción de
tiemde
unidad
por
tobera
por la tobera por unidad de tiemla
que sale por
no la que
tiempo yy no
unidad de tiempo
por unidad
paleta por
la paleta
pues,
po.
po. Así pues,
ad
es
ID-
la
=
m'
m'
pA(v-u)
pA(v - u)
sentido s
los sentidos
aplicad o en los
4.18) aplicado
(ee. 4.18)
El
movimi ento (ec.
cantida d de movimiento
de la cantidad
princip io de
El principio
coorden adas da
positivos
positivo s de las coordenadas
== pA(v
(v u)[- (v
pA(v - u)[F == pA(v
u)2(1 pA(v - u)2(l-
-F
-F
R
=
= pA(v
pA(v -
u)(lu)(l-
e)]
cos e)]
Resp.
Resp.
e)
cos e)
valores dao Obsérvese
para los valores
que para
Obsérvese que
dos de u v, el ángulo
corresponángulo correspondos de u y
diente
máxima es
fuerza máxima
diente a la fuerza
180°.
180°.
ee ==
Resp.
Resp.
u)2sen e
)'
PROBLEMA
4.6
TIPO 4.6
PROBLEMA TIPO
I
respecta
lo que
u en
celeridad óptima
Para la
la paleta
móvil del
del problema
hallar la celeridad
óptima u
en lo
que respecta
4.5, hallar
tipo 4.5,
problema tipo
paleta móvil
Para
paleta.
la
sobre
fluido
del
acción
a la
la generac
generación
de la
la potencia
máxima por
por la acción
fluido sobre la paleta.
potencia máxima
ión de
a
perproblem a tipo 4,5 es
Solución.
representada
es perntada en la figura del problema
fuerza R represe
La fuerza
Solución. La
la
pero
o,
negativ
es
fuerza
la
de
pendicular
a
la
paleta
y
no
trabaja.
El
trabajo
F
negativo,
pero
la
El
.
trabaja
y
paleta
la
pendicu lar a
la
sobre
fluido
el
por
potencia
que desarro
desarrolla
F) ejercida por
sobre la
lla la fuerza (de reacción a F)
potenci a que
paleta móvil es
paleta
P
= Fu]
Fu]
[P =
= pA(v
pA(v =
u)2u(1cos e)
u)2u(l-
ondient e a la
La velocid
velocidad
de la
la paleta
paleta para
para la potenci
potenciaa máxima corresp
correspondiente
la paleta
paleta
ad de
La
por
cada
especifi
está
que
se
corriente,
especificada
e,
corrient
la
en
halla
que
2
pA(l - cos e)(v
e)(v22 - 4uv
4uv + 3u
3u2))
pA(l
(v-3u)(v-u)
= O
O
-3u)(v -u) =
(v
O
v
= 3
uu =
3
Resp.
onde aa poLa segund
segundaa solució
soluciónn u == v da una condici
condición
corresponde
poón de mínimo que corresp
La
emente
evident
y
flujo
el
to flujo y evidentemente
tencia nula.
nula. Un
Un ángulo
ángulo e
e == 180°
180 invierte por comple
completo
tencia
er valor de
producee tanto
tanto una
una fuerza como una potenci
potenciaa máxima
máximass para
para cualqui
cualquier
de u.
u.
produc
0
CD1 Este resultad
resultadoo
es solamen
solamentete aplicaaplicade
caso
el
ble
paleta
única.
En
En
única.
paleta
una
a
ble
varias paletas,
paletas, como
como son los álabes
álabes
varias
de un rotor
rotor de turbina,
turbina, el ritmo
ritmo al
de
es
cual
sale
el
fluido
por
toberas
toberas
las
por
cual
variael
mismo
tiene
lugar
la
lugar
tiene
que
al
mismo
el
ento.
ción de la cantida
cantidadd de movimi
movimiento.
ción
O sea,
sea, m'=
m'= pAven
pAv en vez de pA(v
pA(v - u).
u).
O
Con este cambio
cambio,, el valor óptimo
óptimo de
Con
u resulta
resulta ser u =
= v/2.
253
http://gratislibrospdf.com/
PROBL
EMA TIPO
PROBLEMA
TIPO 4.7
4.7
La
La tobera
tobera acodada
acodada tiene
tiene una
una sección
seccIón de
de
descarga
descarga de
deárea
área AA en
en BB yy una
una sección
sección de
de
admisión
admisión de
de área
área Ao
Aa en
en C.
C. En
En ella
ella penepenetra
tra un
un líquido
líquido que,
que, en
en lala tubería
tubería estática,
estática,
presenta
presenta una
una presión
presión manomé
mano métrica
trica pp yy
que
que sale
sale por
por la
la tobera
tobera con
con una
una velocida
velocidadd
vv en
en la
la dirección
dirección que
que se
se indica.
indica. Si
Si es
es p la
la
densidad
densidad constant
constantee del
del fluido,
fluido, escribir
escribir
las
nes de
las expresio
expresiones
de la
la tracción
tracción T,
T, la
la fuerfuerza
za cortante
cortante Q
Q yy elel momento
momento flector
flector M
M en
en
la
la sección
sección e de
de la
la tubería.
tubería.
y
~
,
I,
I
M'
M '
~
Q-TT ~
C2
__ - -- xx
pAo
pAo
l--b
l--b~1_1
e
=-----,,',"/#
BB
---='" -¡l\=jr-tr==Ir-tr=-=IT----I/""=col*- ;;l"W-~W'------ -__
~
~ v att
v
-
a
-1
~
Solución
Solución.. En
En el
el diagram
diagramaa para
para sólido
sólido libre de la tobera
tobera y el fluido
fluido conteni
contenido
do
en
ella
se
muestra
n
en ella se muestran la
la tracción
tracción T,
T, la fuerza
fuerza cortante
cortante Q y el momen
momentoto flector M
M que
que
actúan
actúan sobre
sobre la
la pestaña
pestaña de
de la tobera
tobera que la fija
fija a la tubería.
tubería. La fuerza
fuerza pAo
que se
se
pAo que
ejerce
ejerce sobre
sobre el
el fluido
fluido interior
interior a la tobera
tobera debida
debida a la presión
presión estática
estática es otra fuerfuerza exterior
exterior al sistema
sistema conside
considerado.
rado.
La
idad del caudal
La ecuació
ecuaciónn de
de la
la continu
continuidad
caudal para
para densida
densidadd constan
constantete requier
requieree
~
Q
donde
ad del
fluido al entrar
entrar en
en la tobera.
donde Vo
va es
es la
la velocid
velocidad
del fluido
la cantobera. El principio
princip io de
de la
cantidad
movimi ento (ec.
4.18) puede
puede aplicarse
aplicars e en las dos
tidad de
de movimiento
(ec, 4.18)
dos direcciones
direccio nes coordenacoorden adas para
para dar
dar
das
pAo -- TT
pAo
pAv(v cos ee -== pAv(v
vo)
T == pAo
pAo + PAv2(~
PAV 2 (:o -cos
- cos e)
e)
T
Resp.
Resp.
3
pAv(- vv sen
sen e-o)
e-O)
-Q == pAv(-
Q == pAv
pA2v 2 sen
sen ee
Q
Resp.
Resp.
La ecuación
ecuació n 4,19
4,19 aplicada
aplicad a en
La
en sentido
sentido horario
horario nos
nos da
da
M == pAv(va
pAv(va cos
cos e+vb
e+vb sen
sen e-O)
e - O)
M
2(a2(a cos
M == pAv
pAv
cos e+
e + bb sen
sen e)
e)
M
Resp.
Resp.
CD Insistimos
Insistimos otra
otra vez
vez en
en la
la necesidad
necesidad de
de observar
observar escrupulosamente
CD
escrupulosamente los
los signos
signos
algebraicos de
de los
los términos
términos de
de ambos
ambos miembros
miembros de
algebraicos
de las
las ecuaciones
ecuaciones 4.18
4.18 yy4.19.
4.19.
o lasLas fuerzas
fuerzas yy los
los momentos
momentos actuantes
actuantes sobre
sobre la
la tubería
tubería son
son iguales
iguales yyopuestos
opuestos
a
los
que
se representan
representan actuando
actuand sobre la tobera.
a los que se
o sobre la tobera.
254
254
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2
PROBLEMA
PROBLEMA TIPO
TIPO 4.8
4.8
UIl turborreactor
turborreactor de
de masa
masa total
total mm que
que
Un
vuela
a
la
celeridad
constante
v
consume
vuela a la celeridad constante v consume
U/1 caudal
caudal másico
másico de
de aire
aire m;'
ma yy lanza
lanza un
un
un
caudal másico
másico 111g'
111g'de
de gases
gases quemados
quell7ados aa
caudal
lavelocidad
velocidad uurelativa
relativaalalavión.
avión. El
El caudal
caudal
la
de
combustible
c01lsull7ido
es
cOllstante
de combustible consumido es constante yy
vale 111/ Las
Lasfuerzas
fuerzas aerodinámicas
aerodináll7icas que
que
vale
actúall sobre
sobreelel avión
avión son
son lala sustentacién
susteHtación
actúall
L, perpendicular
perpendicular aa la
la dirección
dirección de
de vuelo,
vuelo,
L,
la resistencia
resistencia D
O del
del aire
aire opuesta
opuesta al
al sensenyy la
tido del
del vuelo.
vuelo. Se
Se supone
supone que
que todas
todas las
las
tido
fuerzas originadas
originadas por
por la
la presión
presión estática
estática
fuerzas
sobre las
las euperficiee
supelficies de
de admisión
admisión yydel
del esessobre
cape están
están incluidas
incluidas en
en D.
D. Escribir
Escribir la
la
ecuación del
del movimiento
movimiento del
del avión
avión ee
ecuación
identificar el
el empuje
empuje T.
T.
identificar
I
117/
yy
\
2
\mg
Solución. En el diagrama
diagrama para
para sólido
sólido libre
libre del avión
avión junto
junto con el aire, el comSolución.
escape contenidos
contenidos en
en su
su interior
interior figuran
figuran sólo el peso
peso yy las
bustible yy el gas de escape
bustible
sustentación yy resistencia,
resistencia, tal como se definieron.
definieron. Fijemos unos
unos ejes
fuerzas de sustentación
x-y al avión y apliquemos
apliquemos la ecuación
ecuación de la cantidad
cantidad de movimiento
movimiento referida
referida al
x-y
sistema móvil.
El combustible
combustible lo tratamos
tratamos como una
una corriente
corriente estacionaria
estacionaria que penetrase
penetrase en
El
velocidad nula respecto
respecto al mismo y que saliese a la velocidad
velocidad relativa
relativa
el avión a velocidad
u por la corriente
corriente de escape. Aplicamos
Aplicamos ahora la ecuación
ecuación 4.18
4.18 con relación a los
por separado
ejes
ejes de referencia tratando
tratando por
separado a los caudales
caudales de aire y combustible.
Para la corriente
corriente de aire, la variación
variación de velocidad
velocidad en la dirección x respecto al
al
sistema móvil es
óV
= -(u-v)
flvna == -u-(-v)
-u-e-v)
-(u-v)
3
y para la corriente de combustible la variación de velocidad
velocidad en la dirección x respecto aa x-y
x-y es
es
óv
flv¡f
- uu-(O)
- (O)
_-x
_- x
L
mg
L
L
Obsérvese
CD Obsérvese
la corriente de aire
que la
del sistema corta al
al través a la
la corriente de aire
aire en la
la entrada de la
la
rriente
la corriente de aire en la
la totoma y a la
bera.
-u
-u
o
Así
Así pues, tenemos
Nos es
es posible
posible utilizar
utilizar ejes
ejes móviles
móviles
(3) Nos
-mgsen8-D=-rngsen8-D
= - m~(u-v)-m'.ru
m~(u-v)-míu
== -- m~u+
m~ u + m~v
m~v
mí
donde
donde se
se ha
ha hecho
hecho la
la sustitución
sustitución de
de m
m ~~++ mí por
por m
m ~~.. Cambiando
Cambiando los
los signos
signos reresul
ta
sulta
m~urn~u - m~v
m~v ==
mg
mg sen
sen 8+0
8+ D
que
que no
no es
es sino
sino una
una ecuación
ecuación que
que expresa
expresa el
elequilibrio
equilibrio del
del avión.
avión.
Si
Simodificamos
modificamos el
elcontorno
contorno del
del sistema
sistema para
para dejar
dejar aalalavista
vista las
lassuperficies
superficies ininteriores
teriores sobre
sobre las
las que
que actúan
actúan el
el aire
aire yy elel gas,
gas, obtendremos
obtendremos elel modelo
modelo simulado
simulado
que se
se trasladen
trasladen aa velocidad
velocidad consconsque
tante. Véanse
Véanse los
los apartados
apartados 3.14
3.14 yy
tante.
4.2.
4.2.
® Volando
Volando en
en el
el avión
avión observaríamos
observaríamos
®
que el
el aire
aire entra
entra en
en el
el sistema
sistema aa la
la
que
velocidad -- v,v, medida
medida en
en la
la direcdirecvelocidad
ción xx positiva
positiva yy que
que lo
lo abandona
abandona aa
ción
unavelocidad
velocidad cuya
cuya componente
componente xxes
es
una
u. la
la diferencia
diferencia entre
entre los
los valores
valores
-- u.
inicial yy final
final nos
nos da
da lala expresión
expresión ciciinicial
tada, es
es decir,
decir, -- uu-- ((- v)v) == -- (u
(u-v).
-v).
tada,
255
255
http://gratislibrospdf.com/
oVemos,
Vemos,pues,
pues,que
queel"empuje"
el "empuje" no
noeses
4
enrealidad
realidadlalafuerza
fuerzaexterior
exterioraplicaaplicaen
daalalavión
avión que
que sese representa
representaen
en lala
da
primera
figura,
pero
podemos
imagiprimera figura, pero podemos imaginariacomo
como sisilolofuera.
fuera.
naria
de
delalafigura
figuraen
enelelque
queelelaire
aireejerce
ejerceuna
unafuerza
fuerzam/v
ma'v sobre
sobreelelinterior
interiorde
delalaturbina
turbina
yyelelgas
gasde
deescape
escapereacciona
reaccionacontra
contralas
lassuperficies
superficiesinteriores
interiorescon
conuna
unafuerza
fuerzamm'gu.
'gu.
En
Enlalaúltima
última figura
figura sesemuestra
muestra elelmodelo
modelo habitualmente
habitualmente empleado
empleado con
conlos
los
el aire
efectos
efectosnetos
netosde
delas
lascantidades
cantidades de
demovimiento
movimiento ddel
aireyydel
delescape
escapesustituidos
sustituidos
porun
unempuje
empuje simulado
simulado
por
Resp.
Resp.
aplicado
aplicado alalavión
avión por
por un
un hipotético
hipotético agente
agente externo.
externo.
Como
Comosucede
sucede que
que m'¡
m' f es
esgeneralmente
generalmente sólo
sóloe12%
el2% de
demm~~oomenos,
menos, podemos
podemos
hacer
la
aproximación
m~
==
m'
a
Y
expresar
el
empuje
mediante
hacer la aproximación m~
m'a y expresar el empuje mediante
=
T=. m ~ (u-v)
Resp.
Resp.
Hemos
Hemos estudiado
estudiado el
el caso
caso de
de velocidad
velocidad constante.
constante. Aunque
Aunque los
los principios
principios de
de
la
la Mecánica
Mecánica de
de Newton
Newton no
no son
son válidos
válidos en
en general
general respecto
respecto aa ejes
ejes acelerados,
acelerados, se
se
demuestra
demuestra que
que puede
puede emplearse
emplearse la
la ecuación
ecuación FF == ma
ma con
con el
el modelo
modelo simulado
simulado yy
'escribir
'escribir TT -- mg
mg sen
sen e-- D
D == m
mv prácticamente
prácticamente sin
sin error.
error.
,,
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Problemas introductorios
introductorios
Problemas
De
caudal de
de 0,2
0,2 m
de aire
aire con
con
De la
la boquilla
boquilla mana
mana un
un caudal
m33/I ss de
una
velocidad
de
100
m/
s
que
es
desviado
por
el
álabe
rectanuna velocidad de 100 mi s que es desviado por el álabe rectangular.
necesaria para
para mantener
mantener inmóvil
inmóvil el
el
gular. Calcular
Calcular la
la fuerza
fuerza FF necesaria
3.3
álabe.
La
densidad
del
aire
es
1,206kg/m
álabe. La densidad del aire es 1,206 kg / m .
Resp.
Resp. FF =
= 24,1
24,1 N
N
4.31
4.31
n
FF
yy
I
I
I
tt
Figura problema
problema 4.32
4.32
Figura
\
\..
F_
~- - - x
Un supresor
supresor de
de ruido
ruido de
de motor
motor aa reacción
reacción consiste
consiste en
en
Un
una conducción
conducción móvil
móvil que
que se
se sitúa
sitúa directamente
directamente detrás
detrás de
de la
la
una
salida,
asegurándola
mediante
el
cable
A
y
que
desvía
hacia
salida, asegurándola mediante el cable A y que desvía hacia
arriba el
el chorro.
chorro. Durante
Durante una
una prueba
prueba en
en tierra,
tierra, el
el aparato
aparato ababarriba
sorbeaire
aire aaraz~
raz~de
de43
43kg/
kglssyy quema
quema combustible
combustibleaarazón
razónde
de
sorbe
4.33
4.33
Figura
Figuraproblema
problema 4.31
4.31
De
De lalaboquilla
boquillamana
mana un
uncaudal
caudal de
de 0,05
0,05 mm3/3 Iss de
de agua
agua
dulce
con
una
velocidad
de
30
m/
s
y
el
chorro
se
divide
dulce con una velocidad de 30 mi s y el chorro se divideen
endos
dos
corrientes
corrientesiguales
igualespor
poracción
accióndel
delálabe
álabefijo
fijoque
quelas
lasdesvía
desvía60°,
60°,
tal
muestra.Calcular
Calcularlalafuerza
fuerzaFFnecesaria
necesariapara
paramanmantalcomo
comosesemuestra.
3. 3 .
tener
tenerinmóvil
inmóvilelelálabe.
álabe.La
Ladensidad
densidaddel
delagua
aguaeses1000kg/m
1000 kg / m
4.32
4.32
256
256
http://gratislibrospdf.com/
Figuraproblema
problema 4.33
4.33
Figura
0,8kg/s.
kg I s.La
Lavelocidad
velocidadde
delos
losgases
gasesde
deescape
escapeesesde
de720
720mis.
mis.
0,8
Hallarlalatracción
tracciónTTque
quesufre
sufreelelcable.
cable.
Hallar
Resp.TT==32,6
32,6kN
kN
Resp.
4.34 El
El remolcador
remolcador contraincendios
contra incendios descarga
descargaun
unchorro
chorro de
de
4.34
3) 3 ) con
agua de
de mar
mar (densidad,
(densidad, 1030
1030 kg/m
kg/m
con una
una velocidad
velocidad de
de
agua
40mm/ Issaalalasalida
salidade
delalaboquilla
boquillayyaarazón
razónde
de0,080
0,080mm3/3 Is.s.CalCal40
cula!" elempuje
empujeque
quedebe
debedesarrollar
desarrollarlalaembarcación
embarcaciónpara
paramanmancularel
tenerseen
enuna
unaposición
posiciónfija
fija mientras
mientraslanza
lanzaagua.
agua.
tenerse
carga
cargaaalalavelocidad
velocidadvvaatravés
travésde
delas
lasdos
dossalidas
salidasB.
B.La
Lapresión
presión
en
los
puntos
A
y
B
de
las
corrientes
de
aire
es
la
atmosférica.
en los pun tos A y B de las corrientes de aire es la atmosférica.
Hallar
Hallarlalaexpresión
expresiónde
delalatensión
tensiónTTque
queseseejerce
ejercesobre
sobrelalabomba
bomba
aatravés
de
la
pestaña
C.
través de la pestaña C.
4.37
4.37 Funcionando
Funcionandoen
enagua
aguade
demar,
mar,elelesquí
esquíacuático
acuáticode
depropropulsión
a
chorro
alcanza
una
velocidad
máxima
de
70
km
pulsión a chorro alcanza una velocidad máxima de 70 km/ /h.h.La
La
toma
tomade
deagua
aguase
sehalla
hallaen
enun
untúnel
túnelhorizontal
horizontalen
enelelfondo
fondodel
delcascasco,
porlo
loque
queelelagua
aguapenetra
penetraen
enélla
éllaaalalavelocidad
velocidadde
de70
70km/h
km / h
co,por
con
relación
al
esquí.
La
bomba
mecánica
descarga
agua
procecon relación al esquí. La bomba mecánica descarga aguaprocedente
dente de
delalatobera
tobera de
de escape
escapehorizontal
horizontalde
de50
50mm
mm de
de diámetro
diámetro
aarazón
razón de
de 0,083
0,083m
m33/ Is.s. Calcular
Calcularlalaresistencia
resistenciaRRdel
delagua
agua sobre
sobre
el
el casco
casco aala
lavelocidad
velocidad de
de funcionamiento.
funcionamiento.
Resp.
Resp. RR == 1885
1885NN
Figura problema
problema 4.34
4.34
Figura
4.35 El
El reactor
reactor tiene
tiene una
una masa
masa de
de 4,6
4,6 Mg
Mg y,
y, aa determinada
determin ada
4.35
altura,
soporta
una
resistencia
aerodinámica
de
32 kN
kN aa una
una
altura, soporta una resistencia aerodinámica de 32
velocidad de
de 1000
1000 km/h.
km / h. El
El avión
avión consume
consume aire
aire a razón
razón de
de
velocidad
106 kg/
kg l s a través
través de
de su
su toma
toma de
de admisión
admisión yy gasta
gasta combustible
combustible
106
razón de 4 kg /I s. Si el escape
escape posee
posee una
lilla velocidad
velocidad hacia
hacia atrás
atrás
a razón
de
680
m
I
s
con
relación
a
la
tobera,
hallar
el
ángulo
de
elevade 680 m/
relación
hallar ángulo
elevaaparato es capaz
capaz de volar a una
una
ción máximo a bajo el que el aparato
ción
constante de 1000
1000 km/h
km I h a la altura
altura en cuestión.
celeridad constante
Resp. aa =
= 17,22°
Resp.
17,22°
Figura
Figura problema
problema 4.37
4.37
4.38 En la figura se representa
representa la vista
vista en
en planta
planta de un trineo
trineo
cohete experimental
experimental cuya velocidad
velocidad es de 300
300 m/
m I s cuando
cuando su
toma de agua delantera
delantera penetra
penetra en un
un canal de agua que actúa
dispositivo de frenado. El agua
como dispositivo
agua es desviada
desviada según ángumovimiento del trineo.
los rectos respecto al movimiento
trineo. Siendo de
10-22 m
m22 la
la superficie
superficie de
de admisión
admisión delantera,
delantera, calcular
calcular la
la fuer10fuer3
inicial. La
La densidad
densidad del agua es 1000
1000 kg
kg/m
/ m 3.
za de frenado inicial.
Figura
Figura problema
problema 4.35
4.35
4.36
4.36 La
La bomba
bomba representada
representada extrae
extrae aire
aire de
de densidad
densidad pp aa través
vésdel
del conducto
conducto AA de
de diámetro
diámetro dd con
con una velocidad
velocidad uu yy lo
lo desdeste
en
de la
Cuchilla
Canal de agua
Railes
Railes
v
hacia
o abónde
Figura problema
problema 4.38
4.38
Figura
Figura
Figuraproblema
problema 4.36
4.36
Problemas representativos
representativos
Problemas
4.39 El
Elálabe
álabe de
de 90°
90° se
semueve,
mueve, aa la
laceleridad
celeridad constante
constante de
de 10
10
4.39
mIs,s,en
ensentido
sentido opuesto
opuesto alaldel
del chorro
chorro de
deagua
agua dulce
dulce que
que mana
mana
mi
20 mi
mIss de
de lala boquilla
boquilla de
de 25
25 mm
mm de
de diámetro.
diámetro. Calcular
Calcular las
las
aa 20
fuerzas
F,
y
F
que
deben
ejercerse
sobre
el
álabe
para
mantefuerzas Fx Y Fyyque deben ejercerse sobre el álabe para mantenerloen
enmovimiento.
movimiento.
nerlo
Resp. Fx
F, ==442
442 N,
N, FFyy ==442
442 NN
Resp.
257
257
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yy
I
I
~'I
xw~om/,~_
100;;/5
r,
t
Fy
Figuraproblema
problema 4.39
4.39
Figura
4.40
Laplancha
plancha de
de acero
acerodde
25mm
mm de
deespesor
espesor yy1,2
1,2m
de anan4.40
La
e 25
m de
chura
penetra
en
los
rodillos
a
0,4
mi
s
y
su
espesor
se
reduce
chura penetra en los rodillos a 0,4 mi s y su espesor se reduce
19mm.
mm. Calcular
Calcular el
el pequeño
pequeño empuje
empuje horizontal
horizontal TT que
que sufren
sufren
aa 19
los
cojinetes
de
los
dos
rodillos.
los cojinetes de los dos rodillos.
4.42
En
4.42
Enuno
unode
delos
losprocedimientos
procedimientos más
másavanzados
avanzados para
paracorcortar
tarplacas
placasmetálicas
metálicasseseemplea
empleaun
unchorro
chorrode
deagua
aguaaaalta
altavelocivelocidad
dad que
que lleva
lleva en
en suspensión
suspensión polvo
polvo de
de granate
granate abrasivo.
abrasivo. ElEl
chorro
chorrobrota
brotade
delalaboquilla
boquillade
de25
25mm
mmde
dediámetro
diámetroyysigue
sigueeleltratrayecto
yectoque
quese
seindica
indicade
deun
unlado
ladoaaotro
otrodel
delespesor
espesor t tde
delalaplaca.
placa.
Conforme
Conformelalaplaca
placase
sedesplaza
desplaza lentamente
lentamente hacia
hacialaladerecha,
derecha,elel
abre
una
ranura
de
precisión
de
poca
anchura
chorro
chorro abre una ranura de precisión de poca anchura en
enlalaplaplaca.
La
mezcla
de
agua
y
abrasivo,
de
densidad
1100
kg
/ m33, , se
ca. La mezcla de agua y abrasivo, de densidad 1100kg/m
se
3
gasta
gastaescasamente
escasamente aarazón
razón de
de2(102(10-)3.).El
Elagua
agua sale
salede
delalacara
caraininferior
ferior de
delalaplaca
placa con
conuna
una velocidad
velocidad igual
igual alalsesenta
sesenta por
por ciento
ciento
de
la
que
tenía
al
incidir.en
la
cara
superior
saliendo
de la que tenía al incidir en la cara superior saliendo de
de lalaboboquilla.
quilla. Calcular
Calcular la
lafuerza
fuerza horizontal
horizontal FFnecesaria
necesaria para
para mantener
mantener
lala placa
placa contra
contra el
elchorro.
chorro.
Figura problema
problema 4.40
4.40
Figura
Figura problema
problema 4.42
4.42
Figura
El
El ventilador
ventilador de
de flujo
flujo axial
axial aspira
aspira aire
aire por
por la
la canalizacanalización
de
sección
circular
y
lo
descarga
en
B
con
una
velocidad
v.
ción de sección circular y lo d escarga en B con una velocidad v.
En
En A yy BB las
las densidades
densidades del
del aire
aire son,
son, respectivamente,
respectivamente, P AA Y
YPB'
Las
Las paletas
paletas deflectoras
deflectoras fijas
fijas D
D restablecen
restablecen el
el flujo
flujo axial
axial del
del aire
aire
después
de
pasar
éste
por
las
paletas
impulsaras
C.
Escribir
después de pasar éste por las paletas impulsoras C. Escribir la
la
expresión
la fuerza
fuerza horizontal
horizontal R
R que
que ejercen
ejercen sobre
sobre el
el grupo
grupo
expresión de
de la
ventilador
ventilador la
la brida
brida yy los
los pernos
pernos de
d e la
la sección
sección A.
A.
4.41
4.41
A
P PB·
2
4.43
4.43
En el
el ensayo
ensayo estático
estático de
de un
un montaje
montaje de
de motor
motor aa chorro
chorro
En
tobera de
de escape,
escape, el
el caudal
caudal másico
másico de
de aire
aire aspirado
aspirado es
es de
de
yy tobera
30
kg
l
s
y
el
consumo
de
combustible
es
de
1,6
kg
l
s.
La
sección
30 kgl s y el consumo de combustible es de 1,6kgl s. La sección
d e flujo,
flujo, la
la presión
presión estática
estática yy la
la velocidad
velocidad axial
axial del
d el flujo
flujo son
son las
las
de
siguientes
en
las
tres
secciones
que
se
indican:
siguientes en las tres secciones que se indican:
2
Resp.
Resp. RR ==
2
nd
( 1- P
4
PBB(
A v +
- PPA)
n: [ [P
1- PB)
~:)v2
+ (PB
(Pr
A)]]
l:1
TI
II
ff
Diám=d
Diám=d
~-=~~==~==~~~
__-d ~
o--_-J IF~ ~
Diám=d
Diám=d
L~~~~=~T~
L~~~~===:;T~
II
II
II
AA
BB
Figura
Figuraproblema
problema 4.441
4.441
AA
BB
Figuraproblema
problema 4.43
4.43
Figura
258
258
http://gratislibrospdf.com/
ee
Sección,m2
Presión estática, kPa
Velocidad axial, m I s
Sección A
Sección B
SecciónC
0;15
-14
120
0,16
140
315
0,06
14
600
Hallar la tracción T que sufre el elemento diagonal del soporte
y la fuerza F que sobre la brida B ejercen los pernos y la junta
4.46
El vehículo levitante experimental tiene una masa de
2,2 Mg. Aspirando aire a la presión atmosférica a través del
conducto de admisión circular B y descargándolo horizontalmente por debajo de la periferia del faldón C consigue mantenerse flotando en el aire. Para una velocidad de admisión v de
45 mi s, calcular la presión media p del aire a nivel del suelo
bajo la máquina de 6 m de diámetro. La densidad del aire es
1,206 kg/m3.
para mantener la tobera unida al cárter del motor.
Resp. T = 21,1 kN, F = 12,55 kN
4.44
A través del conducto estacionario A se hace circular
una corriente de aire a una velocidad de 15 mi s y sale por un
tramo de tobera experimental de sección Be. La presión estática media indicada en la sección B es de 1050 kPa y la densidad del aire a esa presión y a la temperatura existente es de
13,5 kg I m'. La presión estática media indicada en la sección de
salida C resulta ser de 14 kPa y la densidad del aire correspondiente es de 1,217 kg/m3. Calcular la fuerza T que sobre las
pestañas B ejercen los pernos y la junta para sujetar la tobera.
Figura problema
3m
Figura problema
4.46
4.47
Para un chorro que actúe sobre múltiples álabes de tal
modo que a cada álabe que entre en el chorro le siga inmediamente otro (véanse las figuras de los problemas 4.65 y 4.66), determinar la potencia máxima P que puede generarse para un
ángulo de álabe dado y la correspondiente celeridad periférica
óptima u de los álabes en función de la velocir;iaddel chorro
para potencia máxima. Modificar el problema tipo 4.6 suponiendo que el número de paletas es infinito de tal manera que
el ritmo al cual el fluido abandona la tobera es igual al ritmo al
cual el fluido pasa por las paletas.
4.44
Resp. P= !¡pAv3(1 - cos 8), u
'n
"',
4.45
En el aterrizaje de los reactores el empuje inverso se
consigue rotando los deflectores de escape tal como se muestra
en la figura, con lo que se invierte parcialmente el chorro de escape. Para un motor a reacción que gaste 40 kg de aire por segundo a una velocidad en tierra de 250 km/h Yconsuma 2 kg
de combustible por segundo, determinar el empuje inverso
como fracción n del empuje hacia adelante sin deflectores. La
velocidad de descarga es de 600 mi s respecto a la tobera. Se supone que el aire penetra en el motor a una velocidad igual a la
velocidad en tierra del avión.
Resp. n = 0,508
vl2
4.48
El codo de tubería de la figura tiene una sección recta de
área A y está soportado en su plano por la tensión T aplicada a
sus pestañas por los tubos contiguos (no ilustrados), Si la velocidad del líquido es u, su densidad p y su presión estática p, hallar T y mostrar que no depende del ángulo 8.
T
Figura problema
250kmjh
Figura problema
=
4.48
4.49
Un avion comercial que vuela horizontalmente a
800 km/h halla a su paso un fuerte aguacero que descarga
verticalmente a 6 mi s con una intensidad equivalente a una
pluviometría en tierra de 25 mm/h. La superficie superior del
avión proyectada en un plano horizontal es de 275 m2. Calcular
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la fuerza despreciable
despreciable F hacia abajo que la lluvia ejerce
ejerce sobre el
avión.
Resp.
N
Resp. F == 11,46
11,46N
I
I I
I
I I
.e-:
~
800
/h
800 km
km/h
I
I
Figura problema
problema 4.49
4.49
Figura problema
problema 4.51
4.51
4.50
En una prueba
4.50
prueba de funcionamiento
funcionamiento de un camión contraincendios con grúa alzamanguera,
alzamanguera, la máquina
máquina puede
puede rodar
rodar libremente con los frenos sueltos. Para la posición representada,
representada,
bremente
se observa que el camión comprime
mm el resorte de conscomprime 150
150mm
tante k == 15
15 kN / m a consecuencia del chorro de agua horizontal que brota de la lanza cuando
cuando se activa la bomba. Si
Si el
diámetro
diámetro de salida de la lanza es 30
30 mm, calcular la velocidad
velocidad
v del chorro cuando
cuando abandona
abandona la lanza. Hallar asimismo el momento adicional M que debe resistir la articulación
articulación A cuando
cuando la
funcionando con la lanza en la posición indicada.
bomba está funcionando
----v
1I
4.52
La tubería
4.52
tubería de retorno
retorno descarga
descarga a la atmósfera
atmósfera un
un
caudal
mar (den
sidad,
caudal constante
constante de 0,050
0,050 m33// s ddee agua
agua de mar
(densidad,
3
). En la sección A, la presión
presión estática del agua es de
1030
1030 kg
kg// m
m').
70
70 kPa por encima de la atmosférica. La sección en A tiene una
área de 12
12 500
500 mm
mrn-2 y en las dos salidas las secciones son de
2
2000
pernos de las bridas
acoplamiento se
2000 mm
mrn",. Si
Si los seis pernos
bridas ddee acoplamiento
aprietan
aprietan todos con una llave dinamométrica
dinamométrica de tal modo que
cada uno soporta
presión mesoporta una
una tracción de 750
750 N, hallar la presión
soporta la junta de las bridas. La superficie de brida
brida
dia pp que soporta
2 . Hallar también el moen contacto con la junta
junta es 10000 mm
mm-.
Hallar también
bloquea la
mento flector M en la sección A de la tubería si se bloquea
descarga izquierda
izquierda y el caudal se reduce a la mitad. Se
Se despredesprecian el peso de la tubería y el agua que ésta contiene.
problema 4.50
4.50
Figura problema
Figura problema
problema 4.52
4.52
4.51
La bomba
4.51
bomba de avenamiento
avenamiento tiene una
una masa total de
310 kg Y
Ybombea
0,125m
310
bombea un caudal de 0,125
m 3// s de agua dulce contra
Hallar la fuerza vertical R que se desarrolla
desarrolla
una altura de 6 m. Hallar
durante el funentre la base de apoyo y la brida
brida de la bomba
bomba A durante
bomba
cionamiento de ésta. La masa de agua contenida en la bomba
puede suponerse
suponerse equivalente
equivalente a una columna de 200
200 mm de
puede
diámetro"y
diámetrd
y 6 m de altura.
5980 N
Resp. R == 5980
El
El helicóptero
helicóptero de la figura tiene una masa m
111 y se mansuspendido en el aire al comunicar
comunicar una cantidad
cantidad de motiene suspendido
vimiento hacia abajo a una columna
columna de aire definida
definida por el
el
vimiento
Hallar la velocidad
límite del rotor según se indica en la figura. Hallar
dada al aire por el rotor en una sección del chorro
v hacia abajo dada
él, en donde
donde la presión
presión es la atmosférica y el rapor debajo de él,
r. Hallar
Hallar también
también la potencia
potencia P
P que debe dedio del chorro es r.
sarrollar el motor.
motor. Despréciese la energía
energía de rotación del aire,
sarrollar
4.53
4.53
260
260
http://gratislibrospdf.com/
cualquier elevación de temperatura debida al rozamiento con
el aire y cualquier variación de la densidad p del aire.
Res. v
p
=
!
0i3., p = ~2r~-;P
0i3.
r~-;P
agua es 1000 kg 1 m3. La presión estática del agua al entrar por
la base B es de 800 kPa.
Resp. T = 53,0 kN, V = 0,691 kN, M = 2,48 kN'm
/
\
\
I
\
\
\
\
\
\
\
I
I
I
/
I
I
\
=
I
I
I
\
/
\
\
\
I
I
~
~ !
~~
a
I
I
I
t t /
Figura problema
v ~r--f
4.55
I
Figura problema
Una terminal marítima para descarga de trigo a granel
está equipada de una tubería vertical dotada de una boquilla A
que aspira el grano y lo traslada al depósito. Calcular las componentes x e y de la fuerza F necesaria para cambiar la cantidad
de movimiento de la corriente de grano al doblar el codo. Identificar todas las fuerzas exteriormente aplicadas al codo y a la
masa de su interior. El aire fluye por la tubería de 350 mm de
diámetro con un caudal másico de 16 Mg por hora bajo una depresión de 250 mm de mercurio (p = - 36,7 kPa) y arrastra consigo 135 Mg de trigo por hora a una velocidad de 40 mi s.
4.56
4.53
4.54
El aire penetra en el tubo por A a razón de 6 kgl s a una
presión indicada de 1400 kPa y sale por el silbato a la presión
atmosférica a través de la abertura B. La velocidad con que
penetra el aire por A es de 45 mi s y la de escape por B es de
360 mis. Calcular la tensión T, la fuerza cortante Q y el momento flector M en la sección A del tubo. El área de flujo efectivo en A es 7500 mrrr'.
B
. ..-;':...• :-
"
.
......
~
~-~ ...~~f!!I!i¡¡¡¡jIFigura problema
4.54
Figura problema
La boca de incendios se ensaya sometiendo la columna a
W1aalta presión de 800 kPa. El caudal total es de 0,280 m3 1s. Este
2
se divide a partes iguales entre las dos salidas, de 3800 mm de
sección cada una. La sección transversal de la base de entrada
es de 6,80(104) mrrr'. Despreciar el peso de la boca y el agua que
contiene y calcular la tensión T, la fuerza cortante V y el momento flector M en la base B de la columna. La densidad del
4.56
4.55
La soplante aspira aire por la abertura axial A con una
velocidad VI y lo descarga a la presión y temperatura atmosféricas con una velocidad V2 por el conducto Bde 150 mm de diámetro. La máquina despacha 16 m3 de aire por minuto con el
motor y el ventilador funcionando a 3450 rpm. Si el motor con4.57
261
http://gratislibrospdf.com/
sume
sume un
una
potenciaa de
de 0,32
0,32 kW
kW en
en vacío
vacío (ambos
(ambos conduc
conductos
cea potenci
tos cen'ados),
rrados), cacalcular
potenciaa PP que
que consum
consumee funcion
funcionando
lcul ar lala potenci
ando
norma mente.
lrnen te.
normal
Resp.PP==0,671
0,671 kW
kW
Resp.
cidad
cidad del
del gas
gas de
de escape
escape uues
es 940
940 mi
mi ss con
con una
una contrap
contrapresión
res ión
(indicad
a)
nula
en
la
tobera
de
escape.
(indicada) nula en la tobera de escape. Calcula
Calcularr lala acelerac
aceleración
ión
inicial
ión alalsoltar
inicial aadel
del av
avión
soltar los
los frenos.
frenos.
Resp.
Resp.na==4,83
4,83 m
mii S2S2
-'~l
V1
c:::o.
~
~=-d€=~~,
Figura
a 4.59
Figura problem
problema
4.59
B
V2
V2
Figura problem
problema
4.57
Figura
a 4.57
4.58
Se
4.58
Se está
está exam
examinando
la viabi
viabilidad
de una
una embarc
embarcación
inando la
lid ad de
ación
aérea
onop la za de
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rnonoplaza
de despegu
despegue e y aterriza
aterrizajeje vertical
vertical. . El
El antepro
antepro- yecto
yecto demand
demanda a un motor
motor pequeñ
pequeñoo de
de alta
alta relación
relación potenci
potencial
a1
peso
peso que
que acc
accione
una bomba
bomba que
que introd
introduzca
aire por
por los
los conconione una
uzca aire
ductos
ductos a 70°con
70°con una
una velocid
velocidadad de
de entrada
entrada vv == 40
40 mi
mi ss aa una
una prepreión estática
sión
estática indicada
de -1,8
-1,8 kPa
kPa aa través
través de
de las
las superfic
superficiesies de
de
indicad a de
adm
isión de
admisión
de 0,1320
0,1320 111
en total.
total. El
se descarg
descarga a vertical
verticalmenm22 en
El aaire
ire se
mente hacia
hac ia abajo
abajo con
con una
una velocidad
420 mi
velocid ad uu =
= 420
mi s.s. Para
Para un
un pasajero
pasajero
de
de 90 kg,
calcular la
masa total
total máxima
tener
kg, calcular
la masa
máxima neta
neta 111
m que
que debe
debe tener
la máquina
máquin a para
la
que pueda
y
mantenerse
en
el
para que
pueda despegar
despega r y manten erse en el aire.
aire.
(Véase
(Véase la
la tabla
tab la D.1
0.1 para
para la
la densidad
densida d del
del aire.)
aire.)
4.60
El
ión militar
4.60
El av
avión
militar de
de despeg
despegueue yy aterriza
aterrizajeje vertical
vertical es
es cacapaz
de
elevarse
mente bajo
paz de elevarse vertical
verticalmente
bajo la
la acción
acción de
de su
su chorro
chorro de
de esescape,
cape, el
el cua
cuall puede
puede orientar
orientarsese desde
desde e ==
'= OO para
para despega
despegar r yy
suspend
erse hasta
almente. A
suspenderse
hasta e
e == 90°
90° para
para volar
volar norm
normalmente.
A plena
plena
carga,
el
avió
n
tiene
una
carga, el avión tiene una masa
masa de
de 8600
8600 kg. Bajo
Bajo la potenci
potencia a
máxima
máxima al
al despegu
despegue, e, su
su motor
motor turbofá
turbofán n consum
consume e 90 kg
kgll s ddee
aire
stible de
aire yy tiene
tiene una
una relación
relación airel
aire I combu
combustible
de 18. La velocid
velocidadad
del
del gas
gas de
de escap
escape es
es 1020
1020 mi
mi ss con
con una
una presión
presión esencia
esencialmente
lmente
igua
r ica en
igual l aa la
la atmosfé
atmosférica
en las
las toberas
tobera s de
de escape.
escape. Por
Por los
los ca
canales
na les
de
ira aaire
ire de
de admisió
admisión n se
se asp
aspira
de 1,206
1,206 kg
kgl l m33 de
de densida
densidad d a una
una
presión (indicad
total de
presión
(indicada)a) de
de -- 22 kPa
kPa en
en la
la sección
sección total
de entrada
entrada de
de
22
1,10
ll ar el
ángu lo e
para ddespegue
espegue vertical
vertical y la
la correscorres1,10 m
m . . Ha
Hallar
el ángulo
epara
pondien
acelerac ión vertical
vertical aay del
avión.
pondiente te aceleración
v del avión.
¡I
T-V70°
~
"'-./
II
,I I1
/ ~ctIP"='"
IDI
'el
,
1"1I
uu
Figura problema
problema 4.60
4.60
Figura
Figura
Figura problema
problema 4.58
4.58
El
Elreactor
reactor militar
militar tiene
tiene una
una masa
masa total
total de
de 10
10Mg
Mg YYestá
está
posado para
posado
para despegar
despeg ar con
con los
los frenos
fre nos aplicados
apli cados mientras
mientra s elel
motoraumenta
motor
aum entade
de revoluciones
revolu cioneshasta
hastalalamáxima
m áximapotencia.
potenci a. En
En
esa
de
aire
de
densidad
1,206
esa situación
situac ión aspira
asp ira48
48 kg/s
kg / s de a ire de densida d 1,206kg/m3
kg/m 3
porlos
loscanales
por
ca na lesde
deentrada
entrada con
conuna
unapresión
presiónestática
estática (indicada)
(indicad a)
de -- 2,0
2,0 kPa
de
kPa en
en las
las embocaduras
embocad uras dede los
los canales.
canales. La
La sección
sección
transve rsaltotal
transversal
to taldedeambos
amboscanales
ca nalesdedeentrada
entrada(uno
(unoenencada
cadacoscos22
tado)eses1,160
tado)
1,160mm. LaLa relación
relaciónaire
a ireIlcombustible
combu stibleeses18
18yylalavelovelo4.59
4.59
4.61 La
La soplante
sop lante eses accionada
acciona da por
por elel motor
motor eléctrico
eléctric o que
que
hace
g irar alal impulsor
impulso r aa 3450
3450 rpm
rpm yy lanza
lanza por
por lala salida
hace girar
sa lida ee de
de
150rnm
mm de
de diámetro
diám etro un
un caudal
caudalde
de aire
aire de
de 24
24 mm3 3I1min.
min oEl
150
Elaire
aire
penetra en
e n lala máquina
máquin aen
en elelsentido
sentidoyynegativo
negativ o con
co nuna
penetra
unadensidensi3m 3 El conjunto de
dad
de
1,206
kg
l
soplanteyysusumotor
dad de 1,206 kg/m . El conjunto de soplante
motoreléceléctrico tiene
tiene una
un a masa
masa dede 30
30 kg.
kg, con
con elel centro
centro dede masa
trico
masa enen G,
G,
exactam enteencima
encim adel
delcentro
centroentre
entrelos
lospernos
pernosded eanclaje
exactamente
anclajeAAyy
Calcula rlalafuerza
fue rzavertical
verti caltotal
totalque
qu esufren
sufrenlos
lossoportes
B.B.Calcular
sopo rtesAAyyB.B.
Resp.AA==159,0
159,0N,N,BB==135,3
135,3NN
Resp.
4.61
262
262
http://gratislibrospdf.com/
arriba.
arriba.SiSilalaboquilla,
boquilla,situada
situadapor
pordebajo
debajodedelalasección
secciónA-A,
A-A,tiene
tiene
una
unamasa
masadede3030kg,
kg,calcular
calcularlalacompresión
compresiónCeenenelelempalme
empalmeA-A.
A-A.
Resp.
Resp.Ce==265
265NN
250 mm
----1-x--
x --
A
mm
Figura problema
problema 4.61
4.61
Figura
4.62 Un
Un aspersor
aspersor gira
gira aa la
la velocidad
velocidad angular
angular constante
constante (Ow
~~ 4.62
distribuye un
un volumen
volumen de
de agua
agua Q
Q por
por unidad
unidad de
de tiempo.
tiempo.
yy distribuye
Cada una
una de
de las
las cuatro
cuatro boquillas
boquillas tiene
tiene una
una sección
sección de
de salida
salida A.
A.
Cada
Escribir la
la expresión
expresión del
del momento
momento M
M aplicado
aplicado al
al árbol
árbol del
del sursurEscribir
tidor necesario
necesario para
para mantener
mantener la
la rotación.
rotación. Para
Para una
una presión
presión
tidor
dada yy por
por tanto,
tanto, un
un gasto
gasto Q,
Q, ¿cuál
¿cuál debe
debe ser
ser la
la velocidad
velocidad mo
OJo del
del
dada
aspersor si
si no
no se
se aplica
aplica momento
momento alguno?
alguno? La
La densidad
densidad del
del
aspersor
agua es
es p.
p.
agua
d
.~ .. ¿.,~
412mm
Figura
Figura problema
problema 4.63
4.63
)W]
Resp. M
M =
== PQ[~
PQ[~ -- (1'2
(r 2 +
+ bb22)(O
Resp.
]
w O -
Qr
Q1'
3
~
~ 4.64
4.64 La
La bomba
bomba centrífuga
centrífuga trasiega
trasiega 20
20 m
m 3 de
de agua
agua dulce
dulce por
por
minuto
con unas
velocidades de
de entrada
entrada yy salida
salida de
de 18
18 mi
mi s.s. Al
minuto con
unas velocidades
Al
impulsor se
se le
le hace
girar en
en sentido
sentido horario
900 rpm
medianimpulsor
hace girar
horario aa 900
rpm mediante
un motor
motor de
de 40
40 kW.
kW. Estando
Estando la
la bomba
bomba llena
llena ppero
sin girar,
girar,
te un
ero sin
las reacciones
reacciones verticales
verticales en
en e
Cy
yD
O son
son de
de 250
250 N
N cada
cada una.
una. CalCallas
cular las
las reacciones
reacciones de
de la
la base
base de
de la
la bomba
bomba sobre
sobre e
C yy D.
D. Las
Las tentencular
siones en
en los
los tubos
tubos de
de unión
unión en
en A
A yy B
Bestán
equilibradas por
por las
las
están equilibradas
siones
respectivas
fuerzas
debidas
a
la
presión
estática
del
agua.
(Surespectivas fuerzas debidas a la presión estática del agua. (Sugerencia: Aislar
Aislar la
la bomba
bomba completa
completa yy el
el agua
agua contenida
contenida en
en su
su iningerencia:
terior entre
entre las
las secciones
secciones AA yy B
BY
Y aplicar
aplicar el
el teorema
teorema de
de la
la
terior
cantidad de
de movimiento
movimiento al
al sistema
sistema total.)
total.)
cantidad
Resp. eC==4340
4340 N
N (hacia
(hacia arriba),
arriba),
Resp.
0=
3840
N
(hacia
abajo)
D = 3840 N (hacia abajo)
4A(r2 + b 2)
U
Figura
Figura problema
problema 4.62
4.62
G,
y
B.
AA
~
~ 4.63
4.63 Se
Serepresenta
representa aquí
aquí W1a
unasección
secciónlongitudinal
longitudinal de
delalaboboquilla
de
succión
A
de
la
descargadora
de
trigo
del
problema
quilla de succión A de la descargadora de trigo del problema
4.56.
4.56. El
Eltubo
tubo externo
externo está
está unido
unido alalinterno
interno por
por varios
varios nervios
nervios
longitudinales
longitudinales que
que no
noestorban
estorban elelflujo
flujode
de aire.
aire.En
Eneleltubo
tubo ininterno
ternosesemantiene
mantiene una
unadepresión
depresión de
de230
230 mm
mmde
demercurio
mercurio (p(p===
-30,7
-30,7 kPa,
kPa,indicada)
indicada) yyen
enlalaparte
parte inferior
inferiordel
deltubo
tuboexterno
externosese
mantiene
mantienelalapresión
presiónatmosférica
atmosférica(p(p==O).
O).Entre
Entreelelespacio
espaciode
deamambos
/ m 33 aarazón
bostubos
tubosseseaspira
aspiraaire
airede
dedensidad
densidad 1,206
1,206 kg
kg/m
razón de
de
1616Mg
Mgpor
porhora,
hora,a alalapresión
presiónatmosférica,
atmosférica,elelcual
cualarrastra
arrastraconsigo
consigo
135
135Mg
Mgpor
porhora
horade
degrano
granocon
conuna
unavelocidad
velocidadde
de4040mi
mis stubo
tubo
II
ilsOi~
¡lsO¡~
mm mm
mm
mm
Figura
problema
4.64
Figura problema 4.64
263
263
http://gratislibrospdf.com/
~ 4.65 En la figura puede
puede verse un detalle del diafragma
~
diafragma A
giratorias Bde
B de una
una turbina
turbina
de la tobera estacionaria y las paletas giratorias
de gas. Los productos
productos de la combustión
combustión pasan
pasan a través de las paletas fijas
fijas del diafragma montadas
montadas a un ángulo de 27°
27° e inciden
sobre las paletas móviles del rotor. Los ángulos que se indican
se han
han tomado
tomado para
para que la velocidad del gas relativa a la paleta
móvil forme a la entrada
entrada el ángulo de 20°
20° para
para turbulencia
turbulencia ITÚmínima, correspondiente
correspondiente a una
una velocidad media
media de las paletas de
nirna,
315
Siel
315 mI s a un radio de 375mm.
375 mm. Si
el caudal de gas, rebasadas
rebasadas las
paletas, es de 15
15kg
s, determinar
kg I s,
determinar la potencia útil teórica P de la
turbina.
turbina. Despréciense los rozamientos
rozamientos mecánico y fluido con
las correspondientes
supóngase
correspondientes pérdidas
pérdidas de energía térmica, y supóngase
desvían por las superficies de las paletas
que todos los gases se desvían
paleta de módulo
módulo constante.
con una velocidad relativa a la paleta
Resp.
1,197MW
Resp. P =
= 1,197
MW
~
~ 4.66 En la figura puede
puede verse una
una turbina
turbina de central hidroeléctrica que funciona con una
columna estática de agua
una columna
igual a 300
300 m en cada una
una de sus seis toberas
toberas y gira a 270
270 rpm.
rueda y generador
generador debe desarrollar
desarrollar una
una poCada conjunto de rueda
tencia útil de 22 000
000 kW.
kW. El rendimiento
rendimiento del generador
generador puede
puede
considerarse
considerarse igual a 0,90y
0,90 y puede
puede esperarse
esperarse que el rendimiento
rendimiento
conversión de la energía
energía cinética de los chorros de agua en
de conversión
energía suministrada
por la turbina
turbina sea de 0,85.
0,85. La velocidad
energía
suministrada por
velocidad
periférica media
rueda para
media de la rueda
para rendimiento
rendimiento máximo es,
aproximadamente, el 47%
47% de la velocidad
velocidad del chorro. Si cada
aproximadamente,
álabe tiene la forma indicada
indicada en la figura, determinar
determinar el diámetro d del chorro y el diámetro
diámetro D de la rueda
rueda necesarios para
para las
anteriores condiciones. Supóngase
agua actúa sobre el
anteriores
Supóngase que el agua
tangente a cada uno
uno de los chorros.
álabe que esté tangente
Resp. d =
= 165,3
mm, D =
= 2,55
2,55 m
Resp.
165,3mm,
u
---6,
-6,
/
40l
J
~.lOo
v
Figura problema
problema 4.66
Figura problema
problema 4.65
4.7
4.7
MASA
MASA VARIABLE
VARIABLE
En el apartado
apartado 4.4 se han
han extendido
extendido las ecuaciones que describen
describen el movimienmovimiento de un punto
sistema de puntos
punto material
material para
para incluir
incluir un sistema
puntos materiales.
materiales. En ese
apartado, tal extensión
extensión nos llevó a las expresiones
expresiones de carácter
carácter totalmente
totalmente geneapartado,
= G, LMa
= Ha
H a y LMe
= He, que son las ecuaciones
4.6, 4.7 Y4.9,
Y 4.9,
ral LF =
LMa =
LMe =
ecuaciones 4.6,
respectivamente.
ecuaciones los sumatorios
sumatorios comprendían
respectivamente. Al deducir
deducir estas ecuaciones
comprendían un
número fijo
fijo de puntos
puntos materiales,
materiales, por
por lo que la masa del sistema
número
sistema estudiado
estudiado era
constante.
apartado 4.6 se extendieron
constante. En el apartado
extendieron esos principios
principios mediante
mediante las ecuaciones 4.18
4.18 y 4.19para
4.19 para describir
describir la acción de las fuerzas que se ejercen sobre un
sistema
definido por
por un
un volumen
volumen geométrico
geométrico atravesado
atravesado por
por un
un flujo másico
sistema definido
estacionario.
estacionario. La masa existente en el interior
interior del volumen
volumen considerado
considerado era, por
por
constante respecto al tiempo
tiempo y, por
por ello, pudieron
pudieron emplearse
emplearse las ecuaciotanto, constante
264
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265
v
4.7
4.7 MASA VARIABLE
VARIABLE
m m absorbe masa ( v > VO)
va)
(a)
(al
v
LF _
~(~j~~)};~R~'.;;:;i'-"~~
(bl
(b)
m m expulsa masa (v >VO)
>vo)
v
..--
XF -__
LF
vo
va
~;;¡¡
~~~_~~~~:;~
~~~~~~;~,;~~t~~
(el
(e)
m m expulsa masa (v>vo)
(v>vo)
Figura
Figura 4.6
4.6
nes 4.6,
4.7 Y
4.9. Cuando
4.6,4.7
Y4.9.
Cuando la masa interior
interior al contorno
contorno de un
un sistema
sistema que se considere no sea constante
constante con el tiempo, las relaciones anteriores
anteriores dejan de tener
tener
validez. 1
validez.'
Ahora
un sistema
Ahora vamos
vamos a desarrollar
desarrollar la ecuación
ecuación del movimiento
movimiento de un
sistema cuya
masa varíe con el tiempo. Para este caso simplificado
simplificado consideremos,
consideremos, primeraprimeramente, un
un cuerpo
cuerpo (fig.
(fig. 4.6a)
4.6a) que gane masa al absorber
absorber y expulsar
expulsar una
una corriente
corriente
de materia. La masa del cuerpo
cuerpo y su velocidad,
velocidad, en un
un instante
instante cualquiera,
cualquiera, son
respectivamente. Se supone
supone que la corriente de materia
materia se mueve
mueve en la
m y v, respectivamente.
sentido que m con una
una velocidad