UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
Matheus da Silva Lopes
Aspectos métricos dos códigos corretores de erros em
espaços poset
SEROPÉDICA
2018
Matheus da Silva Lopes
Aspectos métricos dos códigos corretores de erros em
espaços poset
Monografia apresentada à Banca Examinadora
da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, como requisito parcial para obtenção do
título de Bacharel em Matemática, sob a orientação do Prof. Dr. Luciano Vianna Félix.
SEROPÉDICA
2018
"Existe apenas um bem, o conhecimento, e um mal, a ignorância".
Sócrates.
ii
Agradecimentos
Agradeço à minha família, que sempre me deram apoio e suporte para eu conseguir me manter na faculdade, gostaria de agradecer a todos os meu amigos,Jaqueline,
Amanda, Mariane, Suellen, Gabriel entre outros, que sempre me motivaram a estudar
mesmo em momentos de desânimo. Agradeço também ao meu orientador, Luciano,
pela paciência e pelo tratamento ímpar. Agradeço à UFRRJ, como comunidade acadêmica. que, apesar dos estresses, me fez viver uma das melhores épocas da minha vida,
proporcionando uma apredizagem incondicional, sobre as pessoas e a vida.
iii
Resumo
Este trabalho tem como objetivo, analisar e compreender os aspectos métricos
em códigos corretores de erros,mais especificamente sobre espaços posets. Iniciamos
primeiramente desenvolvendo algumas definições e importantes teoremas sobre corpos finito, logo após estudaremos espaços métricos, abordando conceitos, definições
e teoremas de espaços vetoriais e métrica, provando que a métrica Hamming, uma
importante métrica na Teoria dos Códigos, é relamente métrica. Com esses conhecimentos em mãos, trataremos finalmente de códigos, abordando inicialmente coódigos
lineares e logo em seguida, estudando códigos posets, estudando a métrica poset, raio
de empacotamento e como eles se comportam em diferentes tipos de posets.
Palavras-Chave:Códigos Posets; Métrica; Códigos corretores de erros.
iv
Abstract
The objective of this work is to analyze and understand the metric aspects
in error correction codes, more specifically on posets spaces. We begin by developing some definitions and important theorems about finite fields, shortly after studying
metric spaces, approaching concepts, definitions and theorems of vector spaces and
metrics, proving that the Hamming metric, an important metric in Code Theory, is really a metric. With this knowledge at hand, we will finally deal with codes, initially
approaching linear codes and soon thereafter, studying poset codes, studying the poset
metric, packaging radius and how they behave in different types of posets.
Key-Words:Posets codes; Error correction codes; Metric.
v
Sumário
Introdução
1
1
Corpos
3
1.1
3
2
Espaços Métricos
7
2.1
Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.1
Subespaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.2
Bases e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
3
Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Códigos Corretores de Erros
15
3.1
Códigos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2
Códigos Poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.3
Métrica Poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.4
Raio de Empacotamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Considerações Finais
38
Referências Bibliográficas
39
vi
Introdução
A teoria dos Códigos corretores de erros tem como assunto principal a decodificação
de palavras em um código. um código é um subconjunto de uma tripla (X,Y,P), onde
X é de onde a palavra é enviada, chamado de fonte, e Y é a onde a palavra é recebida,
chamado de receptor, P é um modelo probabilistico de uma mensagem y ∈ Y dado que
x ∈ X foi enviado. Porém essa palavra pode sofrer algum ruído, sendo assim, sofrendo
uma diferença entre a palavra enviada e a palavra recebida.
Um modelo que simplifica bastante essa questão, é o chamado modelo ShannonWeaver, que reproduz um sistema de comunicação. Nele há uma fonte, do qual a mensagem é criada, um transmissor, onde a mensagem é codificada e enviada, um canal,
que em uma linguagem informal, é o caminho onde a mensagem pode sofrer ruidos(
Ruido de Canal), que enventualemente a modificam, um receptor, que também pode
ser chamado de decodificador, que codifica a mensagem recebida na possivel mensagem enviada, e por fim, um destinatário, que seria a pessoa ou "coisa"que recebe a
mensagem decodificada.
Temos a nossa frente um um problema, de que enventualmente a palavra enviada seja diferente da racebida, somos então introduzidos aos decodificadores, os quais
são critérios de decisão, que através de cálculos, encontram a palavra correspondente,
o critério de decisão ótimo é o decodificador de máxima verossimilhança, o qual é
baseado no modelo probabilístico do canal e que minimiza a probabilidade de erros.
Sob certas circunstâncias, o decodificador de máxima verossimilhança coincide com o decodificador de métrico de máxima proximidade, o qual é dada por uma
métrica 𝑑 : 𝑋 −→ 𝑋 e sugere-se decodificar o 𝑦 como 𝑎(𝑦) ∈ 𝐶 mais próximo de 𝑦.
1
Em 1995, Brualdi introduziu uma grande nova familia de métricas definidas
em espaços vetoriais sobre corpos finitos F𝑛𝑞 , nomeados como 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑 𝑠𝑒𝑡, ou
pela sigla 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑡,que tem esse nome devido a alguma ordem parcial definida no conjunto dos índices naturais [𝑛] = {1, 2, 3, · · · , 𝑛}. Além de possíveis usos práticos, as
métricas posets oferecem uma série de desafios, pois alguns conceitos que são trivializados pela métrica ed Hamming têm sua diferença amplificada por estas métricas.
Como exemplo disso, temos que a "distancia mínima"é um parâmetrp do código a ser
maximizado, mas o parâmetro realmente importante é o raio de empacotamento, o que
pode ser confundido com a distância mínima pelo fato de ser intrinsecamente relaci[︀ ]︀
, onde 𝑑 é a distância mínima de um código,
onados pela famosa equação 𝑅 = 𝑑−1
2
munido com a métrica Hamming. As métricas posets colocam esse e outros desafios
em cheque, sendo objeto de estudo durante os últimos anos,
2
Capítulo 1
Corpos
Nesse capítulo, desejamos trabalhar as definições, exemplos e teoremas de corpos finitos, fazendo uma breve introdução ao assunto, usaremos como referência, em grande
parte em livros de álgebra linear.
1.1
Corpo
Definição 1.1.1. Um corpo K é um conjunto de elementos, munido de duas operações,
que são chamadas, respectivamente, de adição, (+), e multiplicação,(·) munido das
seguintes propriedades:
1. Associatividade da adição: Quaisquer que sejam 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ K, tem-se que
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)
2. Comutatividade da adição: Para quaisquer que sejam 𝑥, 𝑦 ∈ K, então
𝑥+𝑦 =𝑦+𝑥
3. Elemento Neutro da adição: Existe um único elemento neutro, 0K , tal que para
todo 𝑥 ∈ K, tem-se que 𝑥 + 0K = 0K + 𝑥 = 𝑥. Observe que 0K não é necessariamente o zero que conhecemos dos números reais. Pode sim haver um corpo
cujo elemento neutro não seja o 0 como conhecemos.
3
4. Simetria na Soma:Todo elemento 𝑥 ∈ 𝐾 possui um simétrico, denotado por,
−𝑥, tal que a adição 𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0K
5. Associatividade da multiplicação: Para qualquer 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ K
(𝑥.𝑦).𝑧 = 𝑥.(𝑦.𝑧)
6. Comutatividade da multiplicação: Para todo 𝑥, 𝑦 ∈ K, a comutatividade nos diz
que, 𝑥.𝑦 = 𝑦.𝑥
7. Elementro Neutro da multiplicação: Existe um único elemento neutro, 1K tal
que para todo 𝑥 ∈ K, tem-se que 𝑥.1K = 1K .𝑥 = 𝑥. Observe que, assim como
no elemento neutro da adição o 1K não necessariamente é o número 1 como
conhecemos.
8. Inverso multiplicativo: Para todo 𝑥 ∈ K, existe um elemento inverso, denotado
por, 𝑥−1 , tal que 𝑥.(𝑥−1 ) = (𝑥−1 ).𝑥 = 1K
9. Distributiva: Para qualquer 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ K, teremos que 𝑥.(𝑦 + 𝑧) = 𝑥.𝑦 + 𝑥.𝑧
A partir dessas propriedades, temos uma série de consequências, como por
exemplo o inverso multiplicativo, o elemento neutro da adição e da multiplicação, e o
simétrico aditivo serem únicos. Podemos mostrar também que para qualquer 𝑥 ∈ K,
𝑥.0K = 0K ,e que −(−𝑥) = 𝑥. Esses resultados podem ser vistos em [4] [2]
Exemplo 1.1.2. O conjunto dos números racionais Q = { 𝑝𝑞 , 𝑝 ∈ Z, 𝑞 ∈ Z* munido
com as seguintes operações
𝑝 𝑝′
𝑝 · 𝑞 ′ + 𝑝′ · 𝑞
+ ′ =
;
𝑞 𝑞
𝑞·𝑞
e a multiplicação sendo definida por:
𝑝 · 𝑝′
𝑝 𝑝′
· ′ =
;
𝑞 𝑞
𝑞 · 𝑞′
também é um corpo, dizemos que Q é um subcorpo dos reais.
4
Exemplo 1.1.3. Os conjunto dos números reais R, e dos números complexos C, com
as operações usuais de adição e multiplicação são exemplos de corpos.
Exemplo 1.1.4. O conjunto Z2 = {0, 1}, onde com as operações
Tabela 1.2: Multiplicação
Tabela 1.1: Adição
+ 0
1
·
0
1
0
0
1
0 0
0
1
1
0
1 0
1
torna-se um corpo.
Exemplo 1.1.5. Seja 𝑞 = {𝑥 ∈ Z tal que 𝑝|(𝑥 − 𝑞)} e Z𝑝 = {0, · · · , 𝑝 − 1},com 𝑝
primo, sendo 𝑞 por sua vez é uma classe, de modo que, se 𝑥 ∈ Z𝑝 então existe uma
classe 𝑞 ∈ {0, · · · , 𝑝 − 1} tal que 𝑥 ∈ 𝑞, isto é, para todo 𝑥 ∈ Z tal que 𝑝|𝑥 possui resto
𝑞, fará parte da classe 𝑞. Essas classes também são conhecidas como classes residuais.
Esse conjunto de classes, munido com as operações de adição e multiplicação, definidas, respectivamente, por
𝑎+𝑏=𝑎+𝑏
e
𝑎 · 𝑏 = 𝑎.𝑏,
Será um corpo. Note que só será corpo quando 𝑝 for primo. Com efeito, Z4 não será
corpo.
O conjunto Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} definido com as operações de adição e multiplicação do 1.1.5 será um corpo finito. Por exemplo, o número 10 ∈ 0 pois o resto
da divisão de dez por cinco tem resto zero, de forma análoga, teremos que o número
11∈ 1, sendo assim teremos que 10 e 11 são equivalentes a, respectivamente, 0 e 1,
sendo assim teremos que 10 + 11 = 0 + 1 = 0 + 1 = 1
Os exemplos 1.1.4, 1.1.5 e ?? mostram uma classificação de corpo muito importante para o estudo de códigos, pois muitas vezes os códigos serão formados sobre
5
corpos finitos. Vamos então definir e mostrar propriedades de corpos finitos, enunciando, ao final da seção que todo corpo finito é isomorfo, ou seja, possui as mesmas
propriedades, que os corpos Z𝑝 , com 𝑝 primo. A demonstração desse teorema pode
ser vista em [3]. Isso nos facilita muito o entendimento sobre o código, pois se temos
algun corpo finito muito dificil de se trabalhar, podemos "substituí-lo"por algum Z𝑝 ,
onde conhecemos sua estrutura.
Definição 1.1.6. Um corpo finito é um corpo, com finitos elementos.
6
Capítulo 2
Espaços Métricos
Nosso objetivo nesse capítulo é introduzir a noção de espaços métricos. Para isso,
faremos um resumo de espaços e subespaços vetorias, juntamente com a noção de
base e dimensão de um espaço vetorial. Na segunda seção do capítulos falaremos
propriamente de métrica. Introduzindo a definição de algumas métricas famosas em
códigos, como a métrica Hamming e a métrica cadeia, e provando que são métricas.
Nesse capítulo usaremos como referência [5] e o [2].
2.1
Espaços Vetoriais
Agora que já sabemos o que é um corpo, podemos definir um espaço vetorial.
Definição 2.1.1. Seja V um conjunto, e K um corpo de escalares. Um espaço vetorial,
é definido por:
1. Tal conjunto V é munido de uma operação, chamada adição, que para cada 𝑣, 𝑧
e 𝑤 ∈ 𝑉 tem as seguintes propriedades:
(a) Associativa: 𝑣 + (𝑤 + 𝑧) = (𝑣 + 𝑤) + 𝑧
(b) Comutativa: 𝑣 + 𝑤 = 𝑤 + 𝑣
(c) Elemento Neutro: Existe um único vetor 0𝑉 ∈ 𝑉 , tal que, 𝑣 + 0𝑉 = 𝑣, para
todo 𝑣 ∈ 𝑉 .
7
(d) Simetria:Todo elemento 𝑣 ∈ 𝑉 possui um simétrico, denotado por, −𝑣, tal
que a adição 𝑣 + (−𝑣) = (−𝑣) + 𝑣 = 0𝑉
2. O conjuno V é munido de uma segunda operação, chamada multiplicação por
escalar, que tem as seguintes propriedades:
(a) Elemento Neutro dos Escalares: Para todo 𝑣 ∈ 𝑉 temos que 1K · 𝑣 = 𝑣
(b) Associatividade: Sendo 𝛼 e 𝛽 ∈ K, temos que (𝛼 · 𝛽) · 𝑣 = 𝛼 · (𝛽 · 𝑣), com
𝑣∈𝑉
(c) Distributiva por Escalar: Seja 𝑣 e 𝑤 ∈ 𝑉 , e 𝛼 ∈ K, então 𝛼 · (𝑣 + 𝑤) =
𝛼·𝑣+𝛼·𝑤
(d) Distributiva por Vetores: Sendo 𝛼 e 𝛽 ∈ 𝐾, temos que (𝛼 + 𝛽) · 𝑣 =
𝛼·𝑣+𝛽·𝑣
Podemos perceber que as propriedade da adição em V são idênticas a de um corpo,
porém, como acabamos de ver, a multiplicação é feita por escalares, não garantindo
nenhum tipo de multiplicação entre vetores de 𝑉 . Algumas propriedades de Espaços
Vetoriais, assim como vimos em corpos, estão implícitas nas propriedades acima mostrada, são elas: 𝑣 · 0K = 0 para todo 𝑣 ∈ 𝑉 ; se 𝛼 · 𝑣 = 0 então ou 𝛼 = 0K ou 𝑣 = 0𝑉 ,
assim como a unicidade do neutro, tanto da adição como da muliplicação e do inverso
aditivo.
Exemplo 2.1.2. Seja 𝑆 um conjunto qualquer não vazio e seja K um corpo, então o
conjunto das funções ℱ em que relaciona os elementos do conjunto 𝑆 com os do corpo
K, munido da operação adição definida por:
(f + g)(𝑠) = f (𝑠) + g(𝑠)
e a multiplicação por escalar definida como:
(𝑐f )(𝑠) = 𝑐f (𝑠)
Então temos que o conjunto das funções ℱ, é um espaço vetorial sobre K.
8
(2.1)
Exemplo 2.1.3. Seja o conjunto F𝑛𝑞 , cujos elementos são n-uplas, ou seja, se 𝑥 ∈ F𝑛𝑞
então 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 ), onde cada coordenada é é um elemento do corpo finito F𝑞 .
Esse conjunto será um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação,
definidas por:
Adição Dados 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 ) e 𝑦 = (𝑦1 , 𝑦2 , · · · , 𝑦𝑛 ) ∈ F𝑛𝑞 temos que
(𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 ) + (𝑦1 , 𝑦2 , · · · , 𝑦𝑛 ) = (𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥2 + 𝑦2 , · · · , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 )
Multiplicação Dados 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 ) ∈ F𝑛𝑞 e 𝑘 ∈ K temos que
𝑘 · 𝑥 = 𝑘 · (𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 ) = (𝑘 · 𝑥1 , 𝑘 · 𝑥2 , · · · , 𝑘 · 𝑥𝑛 )
2.1.1
Subespaços Vetoriais
Definição 2.1.4. Sendo 𝑉 um espaço vetorial, um subespaço vetorial 𝐸 de 𝑉 , é um
subconjunto de 𝑉 , 𝐸 ⊆ 𝑉 , com as seguintes propriedades:
1. 0𝑉 ∈ 𝐸;
2. Se 𝑣, 𝑤 ∈ 𝐸 então 𝑣 + 𝑤 ∈ 𝐸;
3. Se 𝑣 ∈ 𝐸 então, para todo 𝛼 pertencente a K, tem-se que 𝛼 · 𝑣 ∈ 𝑉
Em outras palavras, as propriedades nos diz que um subespaço é um subconjunto fechado pela soma e pela multiplicação por escalar.
Uma consequência interessante das propriedades de um subespaço vetorial, é
que, como 𝛼 · 𝑣 ∈ 𝐸 e 𝑣 + 𝑤 ∈ 𝐸 então 𝛼 · 𝑣 + 𝛽 · 𝑤 ∈ 𝐸, generalizando para n vetores,
teremos que 𝛼1 · 𝑣1 + 𝛼2 · 𝑣2 + · · · + 𝛼𝑛 · 𝑣𝑛 ∈ 𝐸, que é igual a dizer
𝑛
∑︁
𝛼𝑖 · 𝑣𝑖
(2.2)
𝑖=1
Essa consequência será bastante utilizada para classificar os subconjuntos 𝑆 do espaço
vetorial 𝑉 , são Linearmente Independentes (L.I), ou Linearmente Dependente (L.D),
em nosso próximo assunto, por agora, vamos a alguns exemplos de subespaços vetoriais.
9
Exemplo 2.1.5. Dado um espaço vetorial 𝑉 , temos que 𝑉 e {0} são subespaços vetoriais, chamaremo-os de subespaços triviais..
Exemplo 2.1.6. Dizemos que uma matriz 𝑀𝑛×𝑛 , sobre o corpo 𝐾 é simétrica, quando𝐴𝑖𝑗 =
𝐴𝑗𝑖 , para todo 𝑖, 𝑗 ∈ Z. O conjunto das matrizes simétricas formam um subespaço de
matrizes M𝑛×𝑛 sobre o corpo 𝐾.
Exemplo 2.1.7. O espaço das funções polinomiais, 𝒫(𝒳 ) é um subespaço sobre os
espaço das funções ℱ.
Exemplo 2.1.8. Sejam 𝑣, 𝑣1 , 𝑣2 , · · · , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 , então 𝐸 = {
∑︀𝑛
𝑖=1
𝛼𝑣𝑖 ; 𝛼 ∈ K} é um
subespaço vetorial,𝐸 é chamado o subconjunto das combinações lineares sobre V.
2.1.2
Bases e Dimensão
Nesta seção anunciaremos uma série de resultados clássicos de álgebra linear, que não
apresentaremos as demonstrações, porém, as mesmas podem ser encontradas, discutidas mais profundamente em [5] [2]
Para, começar nosso estudo, devemos definir o que é um conjunto Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD).
Definição 2.1.9. Um conjunto 𝑋 é Linearmente Dependente(LD), quando algum vetor
de 𝑋 pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores de 𝑋 ou seja,
𝛼𝑖 =
𝑛
∑︁
𝑐𝑗 𝛼 𝑗
(2.3)
𝑖̸=𝑗=1
Definição 2.1.10. Seja 𝑋 ⊂ 𝑉 , sendo 𝑉 um espaço vetorial, então um conjunto é dito
Linearmente Independente(LI) quando não é Linearmente Dependente. Sendo assim,
não exite escalares tal que
𝛼𝑖 ̸=
𝑛
∑︁
𝑐𝑗 𝛼 𝑗
(2.4)
𝑖̸=𝑗=1
Definição 2.1.11. Um espaço 𝑉 é dito gerado por 𝑆 ⊂ 𝑉 , se cada elemento 𝑣 ∈ 𝑉
pode ser escrito como combinação linear dos elementos de 𝑆.
10
Definição 2.1.12. Um conjunto de vetores 𝐵 é uma 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑉 se o mesmo conjunto é
LI e, além disso, gera todos os vetores de 𝑉
Isso significa que cada elemento de 𝑉 pode ser escrito, de maneira única,
como combinação linear dos vetores da base. Alguns teoremas interessantes, são os
seguintes, onde a demonstração pode ser encontrada em [2], [5].
Proposição 2.1.13. Se 𝑉 é um espaço vetorial, 𝐵 é uma base de 𝑉 e |𝐵| = 𝑛, então
qualquer outra base de 𝑉 tem 𝑛 elementos
Teorema 2.1.14. E um espaço vetorial de dimensão finita n. Então:
∙ Todo conjunto X de geradores de E contém uma base.
∙ Todo conjunto L.I {𝑣1 , · · · , 𝑣𝑚 } ⊂ 𝐸 está contido numa base.
∙ Todo subespaço vetorial 𝐹 ⊂ 𝐸 tem dimensão finita a qual é menor ou igual a
𝑛.
∙ Se a dimensão de subespaço do subespaço 𝐹 ⊂ 𝐸 é igual a 𝑛, então 𝐹 = 𝐸.
Definição 2.1.15. Definimos dimensão de um espaço 𝑉 como o número de elementos
que se encontram na base de 𝑉 .
2.2
Espaços Métricos
Para definirmos o que seria um espaço métrico, devemos definir o que é uma métrica.
Todas as definições e Teoremas desse capítulo pode ser visto em,[6], [3] e [1].
Definição 2.2.1. Uma métrica é uma aplicação 𝑑 : 𝑀 x𝑀 → R,que, dados 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈
𝑀 , satisfaz as seguintes propriedades:
𝑀1 : 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0, sendo 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦.
𝑀3 : 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥).
𝑀4 : 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦)
11
Como ela está definida em um conjunto 𝑀 , então diremos que esta é uma
métrica sobre 𝑀 , a propriedade 𝑀4 é conhecida como desigualdade triângular. A
seguir apresentaremos uma série de exemplos de métricas. A demonstração que as
seguintes funções são métricas podem ser encontradas em [6].
Exemplo 2.2.2 (Métrica Euclidiana). Segundo, seja a função 𝑑 : R𝑛 × R𝑛 → R e
𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 ) e 𝑦 = (𝑦1 , 𝑦2 · · · , 𝑦𝑛 ) pertencentes a R𝑛 . Definimos a métrica
euclidiana como:
𝑑(𝑥, 𝑦) =
√︀
(𝑥1 − 𝑦1 )2 + (𝑥2 − 𝑦1 )2 + · · · + (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 )2
ou
⎯
⎸ 𝑛
⎸∑︁
𝑑(𝑥, 𝑦) = ⎷ (𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 )2
𝑖=1
Exemplo 2.2.3 (Métrica Discreta). A função 𝑑 : 𝑀 × 𝑀 → {0, 1}, definida por
⎧
⎪
⎪
⎨1, 𝑠𝑒 𝑥 ̸= 𝑦
𝑑(𝑥, 𝑦) =
⎪
⎪
⎩0, 𝑠𝑒 𝑥 = 𝑦
é uma métrica.
Os próximos exemplos, são exemplos de métricas que são utilizadas frequentemente, na teoria dos códigos corretores de erros.
Definição 2.2.4 (Métrica de Hamming). Seja F𝑛𝑞 , munido de de uma metrica 𝑑, da
seguinte forma:
𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) = |{𝑖; 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 }|
Essa métrica define a distância em um espaço vetorial, de dimensão n, sendo
o valor de 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) a quantidade de coordenadas em que 𝑥 difere de 𝑦.
Exemplo 2.2.5. Métrica de Hamming.
Demonstração. Devemos provar então as propriedades de métrica:
12
M1 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) ≥ 0
Se 𝑥 ̸= 𝑦 isso significa que existe 𝑖 ∈ N tais que 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 e assim 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 1 > 0,
pois 𝑖 = {1, 2, · · · , 𝑛}
Se temos que 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡𝑎𝑟𝑟𝑜𝑤𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 ∀𝑖 ∈ {1, · · · , 𝑛} ⇒ 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) = 0
Se 𝑥 = 𝑦, isso implica que @𝑖 ∈ N, tal que 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 , logo 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) = 0
M2 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) = 𝑑𝐻 (𝑦, 𝑥)
Podemos observar que 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) = |{𝑖; 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 }| podemos perceber que se 𝑥𝑖 ̸=
𝑦𝑖 , então 𝑦𝑖 ̸= 𝑥𝑖 então teremos que |{𝑖; 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 }| = |{𝑖; 𝑦𝑖 ̸= 𝑥𝑖 }| e isto implica
que 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) = 𝑑𝐻 (𝑦, 𝑥)
M3 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑧) + 𝑑𝐻 (𝑧, 𝑦)
Seja 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ F𝑛𝑞 , sendo 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) = 𝑚 então agora temos três possibilidades
para 𝑧, sendo eles, 𝑧 = 𝑥, 𝑧 = 𝑦, 𝑧 ̸= 𝑥 e 𝑧 ̸= 𝑦.
Caso 1 (𝑧 = 𝑥) Sendo 𝑧 = 𝑥 então 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑧) = 0 porém 𝑑𝐻 (𝑧, 𝑦) = 𝑚, logo a desigualdade
vale. pois
𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) = 𝑚 = 0 + 𝑚 = 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑧) + 𝑑𝐻 (𝑧, 𝑦)
Ou seja, a igualdade vale. O caso em que 𝑧 = 𝑦 é análogo ao Caso 1, então
também irá valer a igualdade.
Caso 2 (𝑥 ̸= 𝑦) Sabemos que a contribuição das i-ésimas coordenadas de 𝑥 e 𝑦mpara 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦)
é igual a zero se 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 e igual a um se 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 . Portanto, nesse caso em
que 𝑥 ̸= 𝑦, então 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 , e portanto certamente não podemos ter 𝑥𝑖 = 𝑧𝑖
e 𝑦𝑖 = 𝑧𝑖 . Conseuqentemente, a contribuição das i-ésimas coordenadas a
𝑑𝐻 (𝑥, 𝑧)+𝑑𝐻 (𝑧, 𝑦) é maior ou igual a um, que é a contribuição das i-ésimas
coordenadas a 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦)
13
Definição 2.2.6. Seja um espaço vetorial F𝑛𝑞 , com a distância definida da seguinte
forma:
𝑑𝐶 (𝑥, 𝑦) =máx{𝑖; 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 }
Exemplo 2.2.7. Métrica cadeia:
Demonstração. Vamos provar que é métrica:
M1 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑦) ≥ 0
Se 𝑥 ̸= 𝑦 com 𝑥 e 𝑦 ∈ F𝑛𝑞 então existe 𝑖 ∈ 1, · · · , 𝑛 tal que 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 como 𝑖 é
natural, então 𝑖 > 0 e então 𝑑𝑐 (𝑥, 𝑦) > 0.
Se 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑦) = 0 então, temos que não existe 𝑖 ∈ {1, · · · , 𝑛} tal que 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖
então 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 ∀𝑖 ∈ {1, · · · , 𝑛}, logo 𝑥 = 𝑦.
Se 𝑥 = 𝑦 então para todo 𝑖 ∈ {1, · · · , 𝑛} temos 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 e então não existe 𝑖 tal
que 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 portanto 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑦) = 0.
M2 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑦) = 𝑑𝐶 (𝑦, 𝑥)
Por definição temos que 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑦) =máx{𝑖; 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 } = máx{𝑖; 𝑦𝑖 ̸= 𝑥𝑖 } =
𝑑𝐶 (𝑦, 𝑥)
M3 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦)
Temos aqui dois casos principais, quando 𝑥 = 𝑦 e quando 𝑥 ̸= 𝑦 que siginifica
que existe algum 𝑖 tal que 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 .
Quando 𝑥 = 𝑦 então 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑦) = 0 pois não existe coordenada 𝑖 tal que 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 ,
logo, qualquer que seja 𝑧 ∈ F𝑛𝑞 , teremos que 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦).
Quando 𝑥 ̸= 𝑦, então teremos que, seja 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑦) = 𝑚 logo, não se pode ter
𝑥𝑚 = 𝑧𝑚 e 𝑧𝑚 = 𝑦𝑚 . Sem perda de generalidade, tome 𝑥𝑚 ̸= 𝑧𝑚 ⇒ máx{𝑖; 𝑥𝑖 ̸=
𝑧𝑖 } ≥ 𝑚 ⇒ 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑦) ≥ 𝑚 ⇒ 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑦) = 𝑚 ≤ 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑧) ≤ 𝑑𝐶 (𝑥, 𝑧) + 𝑑𝐶 (𝑧, 𝑦)
Essa métrica nos diz que, a distância entre os elementos é dada pela maior
coordenada tal que 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 .
14
Capítulo 3
Códigos Corretores de Erros
Chegamos, com esse capítulo ao nosso tema central, códigos corretores de erros. Introduziremos aqui a definição de código e também de código lineares, falaremos também
sobre a matriz geradora e matriz teste de paridade, cuja as suas propriedades são interessantes, e por fim falaremos de códigos posets e raio de empacotamento em códigos
posets. Usaremos como referências [1], [7],[3], [2] e [?].
A teoria teve início na década de quarenta, onde os computadores eram muito
difíceis de serem mantidos, sendo assim, somente grupos de grande porte, como o
governo e universidades eram capazes desse feito. Em sua maioria, os computadores
eram utilizados para cálculos numéricos complexos.
Richard O. Hamming trabalhava com esses computadores no Bell’s Laboratory of Tecnology. O funcionamento desses computadores eram simplórios, de forma que após
detectar algum erro, todo o trabalho era descartado, e eles analisavam o próximo trabalho. Após semanas de trabalho jogado fora, Hamming tem a ideia de fazer as máquinas
não só detectarem, mas também corrigir os erros.
Atualmente, a teoria dos códigos corretores de erro é muito importante pois
está intrinsicamente ligada com o nosso dia a dia, televisão, telefone, etc. Vamos então
definir primeiramente o que seria um código.
Definição 3.0.1. Seja F𝑞 um corpo finito de cardinalidade 𝑚 ∈ N e F𝑛𝑞 o conjunto das
n-uplas com entradas em F𝑞 , um código é um subconjunto de F𝑛𝑞 .
15
3.1
Códigos Lineares
Definição 3.1.1. Seja 𝒞 ⊆ F𝑛𝑞 , chamaremos 𝒞 de um código linear se 𝒞 for um subespaço vetorial de F𝑛𝑞 .
Se 𝒞 é um subespaço 𝑘 − 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 de F𝑛𝑞 dizemos que 𝒞 é um [𝑛, 𝑘]𝑞
código, lembrando que um subespaço vetorial, não é apenas um conjunto, mas possui
propriedaes interessantes. Neste trabalho estudaremos apenas códigos lineares.
Definição 3.1.2. Dado 𝑥 ∈ F𝑛𝑞 , define-se o 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝐻𝑎𝑚𝑚𝑖𝑛𝑔 do elemento 𝑥 como
sendo o número inteiro
𝑤(𝑥) := |{𝑖; 𝑥𝑖 ̸= 0}|
Ou seja, o peso de um elemento 𝑥 ∈ F𝑛𝑞 , é o número de coordenadas que são
diferentes de zero. Lembrando que se um espaço 𝑉 tem dimensão 𝑛, então o elemento
𝑥 ∈ 𝑉 é da forma 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 ), sendo assim, não faz sentido o peso ser negativo, nem mesmo ser não inteiro. Note que pela definição 𝑤(𝑥) = 𝑑(𝑥, 0).
Outra definição bastante importante é a distância mínima de um código linear 𝒞, com
ela conseguimos determinar o quanto as palavras de 𝒞 estão dispersas em F𝑛𝑞 , ela também nos dá a possibilidade de, por exemplo, medir a quantidade de erros que podem
ser corrigidos em um código.
Definição 3.1.3. Seja 𝒞 ⊆ F𝑛𝑞 , um código linear. A distância mínima de 𝒞 é dada por:
𝑑(𝒞) = 𝑚𝑖𝑛{𝑑(𝑥, 𝑦); 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒞}
Observação: Seja 𝒞 ⊆ F𝑛𝑞 um código linear, com F𝑛𝑞 , temos que 𝑤(𝑥) =
𝑑(𝑥, 0)
Demonstração. Relembrando que a métrica Hamming é definida por
𝑑(𝑥, 𝑦) := |{𝑖; 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 ̸= 0}|
Então teremos que
𝑤(𝑥) := |{𝑖; 𝑥𝑖 ̸= 0}| = |{𝑖; 𝑥𝑖 − 0 ̸= 0}| = 𝑑(𝑥, 0).
16
Definição 3.1.4. Seja 𝒞 ⊆ F𝑛𝑞 e seja 𝑑: F𝑛𝑞 × F𝑛𝑞 → R+ , a métrica Hamming, o peso
mínimo do código (𝐶) é:
𝑤𝑑 (𝒞) = 𝑚𝑖𝑛{𝑤(𝑥); 𝑥 ∈ 𝒞∖{0}}
Proposição 3.1.5. Seja 𝒞 ⊆ F𝑛𝑞 um código linear, então 𝑤𝑑 (𝒞) = 𝑑(𝒞)
Demonstração. Sabemos que 𝑑(𝒞)=𝑚𝑖𝑛{𝑑(𝑥, 𝑦); 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒞}. Note que 𝑑(𝑥, 𝑦) =
𝑑(𝑥 − 𝑦, 0), pois 𝑑(𝑥, 𝑦) = |{𝑖; 𝑥𝑖 ̸= 𝑦𝑖 }| = |{𝑖; 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 ̸= 0}| = 𝑑(𝑥 − 𝑦, 0) e
tomando 𝑧 = 𝑥 − 𝑦, teremos que 𝑧 ∈ 𝒞, pois 𝒞 é um subespaço, sendo assim:
𝑑(𝒞) = 𝑚𝑖𝑛{𝑑(𝑥, 𝑦); 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒞} = 𝑚𝑖𝑛{𝑑(𝑥 − 𝑦, 0); 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒞} = 𝑚𝑖𝑛{𝑑(𝑧, 0); 𝑧 ∈ 𝒞}
Temos que 𝑑(𝑧, 0) = 𝑤(𝑧), logo, teremos que 𝑑(𝒞) = 𝑚𝑖𝑛{𝑑(𝑧, 0); 𝑧 ∈ 𝒞} =
𝑚𝑖𝑛{𝑤(𝑧); 𝑧 ∈ 𝒞} = 𝑤(𝐶).
Exemplo 3.1.6. Seja 𝒞 ⊆ F92 , com 𝒞 := {000001000, 000000010, 000000001, 000001010,
000001001, 000000011, 000001011} vamos calcular o peso mínimo 𝑤(𝒞) de 𝒞.
𝑥∈𝒞
𝑤(𝑥)
000001000
1
000000010
1
000000001
1
000001010
2
000001001
2
000000011
2
000001011
3
𝑤(𝒞)
1
17
3.2
Códigos Poset
Nesta seção iremos definir o que é um poset, mostrar vários exemplos de poset, como o
Cadeia, Anticadeia, Hierárquico, NRT , etc. Iremos também introduzir a métrica poset,
uma métrica interessante que generaliza métricas conhecidas, como a métrica Hamming e a métrica cadeia, mostraremos que ela é métrica e terminaramos analisando os
raios de empacotamento de códigos em espaços com diferentes métricas posets.
Uma relação 𝑅 de X em Y, é um subconjunto de 𝑋 × 𝑌 . Quando 𝑋=𝑌 ,
dizem-se simplesmenteque 𝑅 é uma relação em 𝑋. Para a relação 𝑅 ser uma relação
de ordem parcial tem que satisfazer três propriedades.
Definição 3.2.1. Uma relação 𝑅 entre 𝑋 e 𝑌 é dita ser de ordem, e denotada por ⪯,
se satisfaz as seguintes propriedades:
Reflexiva : Para todo 𝑥 ∈ 𝑋, (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅;
Transitiva : Se (𝑥, 𝑦) e (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅, então (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅;
Anti − simetrica : Se (𝑥, 𝑦) e (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅, então 𝑥 = 𝑦.
Neste caso, se (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅, denotamos que 𝑥 ⪯ 𝑦 e que 𝑥 e 𝑦 são comparáveis.
Se para quaisquer 𝑥 e 𝑦 ∈ 𝑋, eles são comparáveis, diremos que ⪯ é uma relação de
ordem totel.
Definição 3.2.2. Sejam 𝑋 um conjunto e ⪯ uma ordem parcial, então o par (X,⪯), que
é o conjunto 𝑋 munido da ordem parcial ⪯ é um Poset. (A palavra Poset, tem origem
no inglês, 𝑃 arcially 𝑜rdered 𝑠𝑒𝑡).
Exemplo 3.2.3. Afirmamos que (Z, ≤), onde ≤ é a relação de ordem usual dos inteiros, é um conjunto totalmente ordenado. Podemos perceber que ≤ obedece as três propriedades para ser uma relação de ordem, podemos perceber também que para qualquer
𝑥 e 𝑦 ∈ Z, tem-se que 𝑥 ≤ 𝑦. Portanto para qualquer 𝑥 e 𝑦 ∈ Z eles, são comparáveis,
logo ≤ é uma relação de ordem total.
Definição 3.2.4. Um 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 de um poset P, é um subconjunto 𝐼 ⊆ 𝑃 , tal que tem a
seguinte propriedade: se 𝑎 ∈ 𝐼 e 𝑏 ⪯ 𝑎, então 𝑏 ∈ 𝐼.
18
O conjunto de todos ideais do Poset 𝑃 é denotado por I(P), ou seja
I(P) = {𝑌 ⊆ 𝑃 |𝑌 é um ideal em 𝑃 }
Definição 3.2.5. Dado 𝐴 ⊆ 𝑃 , denotamos por ⟨𝐴⟩ o menor ideal de 𝑃 contendo 𝐴,
chamado ideal gerado por 𝐴. Uma outra forma de ver um ideal gerado é por interseções, ou seja, dado 𝐴 ⊆ 𝑋, o ideal gerado por 𝐴 é o menor ideal de 𝑃 que contém 𝐴,
ou seja
⟨𝐴⟩ =
⋂︀
𝐼∈I(P)𝑌 ⊆𝐼 𝐼
Um diagrama de Hasse de um poset 𝑃 = (𝑋, ⪯) é um grafo orientado que
tem 𝑋 como um conjunto de vértices. Uma aresta liga 𝑦 a 𝑥 se 𝑥 ≺ 𝑦 e não existe
𝑧 ∈ 𝑋 tal que 𝑥 ⪯ 𝑧 ⪯ 𝑦, o que nos mostra que se 𝑥 tem uma relação com 𝑦, então
não há nenhum elemento de 𝑋 intermediário nessa relação.
Quando ilustrado no plano, convenciana-se que se 𝑥 ≺ 𝑦, então o ponto que representa
𝑦 esta "mais alto"que o que representa 𝑥, de modo que é possível omitir as setas na
representação gráfica do grafo
Exemplo 3.2.6. Seja o Poset 𝑋 com a seguinte relação de ordem sobre {1, 2, · · · , 8},
sendo 𝑅 := {(1, 1)(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (1, 5), (1, 6), (1, 8),
(2, 5), (2, 6), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 7), (6, 8)}. Esse poset terá o seguinte Diagrama de Hasse abaixo:
Figura 3.1: Diagrama de Hasse do Poset X.
19
Podemos perceber nesse exemplo a diferença entre um ideal 𝐴, e um ideal gerado ⟨𝐴⟩.
O conjunto 𝐴 = {8, 7, 6, 4, 3, 2, 1} é um dos ideais que contém {8}, porém não é ⟨8⟩,
pois não é o menor ideal que contém {8}, sendo assim ⟨8⟩ = {8, 6, 3, 2, 1}, que é o
menor ideal que contém {8}.
Figura 3.2: Diagrama de Hasse do ideal 𝐴, que contém {8}.
Figura 3.3: Diagrama de Hasse de ⟨8⟩.
Definição 3.2.7. Se 𝑃 = (𝑋, ⪯) é um poset, 𝑖 ∈ 𝑋 é um elemento minimal de 𝑃 se
não existe 𝑗 ∈ 𝑋 tal que 𝑗 ≺ 𝑖. Um elemento 𝑖 ∈ 𝑋 é um elemento maximal de 𝑃 se
nao existe 𝑗 ∈ 𝑋 tal que 𝑖 ≺ 𝑗.
Iremos definir alguns conceitos, com o qual será mais fácil o entendimento
dos posets.
Definição 3.2.8. Dado um conjuto 𝑋 dizemos que ele recebe o 𝑟𝑜𝑡𝑢𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙
quando 𝑋 = [𝑛], onde [𝑛] = {1, 2, · · · , 𝑛}.
Definição 3.2.9. Dado 𝑖 ∈ 𝑋, a 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎, denotada por 𝑙(𝑖), de 𝑖 é o comprimento da
maior cadeia que tem 𝑖 como elemento maximal, ou seja
20
𝑙(𝑖) = 𝑚𝑎𝑥{𝑙; 𝑖1 ≺ 𝑖2 ≺ · · · ≺ 𝑖𝑙 = 𝑖; 𝑖1 𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑃 }
Definição 3.2.10. O k-ésimo nível, denotado por 𝐻𝑘 , do poset 𝑃 é o conjunto de
elementos de 𝑋 de altura 𝑘, ou seja
𝐻𝑘 := {𝑖 ∈ 𝑋; 𝑙(𝑖) = 𝑘}
Proposição 3.2.11. Seja 𝐴, 𝐵 ∈ ([𝑛], ⪯). Se 𝐴 ⊆ 𝐵 então ⟨𝐴⟩ ⊆ ⟨𝐵⟩.
Demonstração. Seja 𝑖 ∈ ⟨𝐴⟩, então teremos dois casos, ou 𝑖 é maximal em 𝐴, ou 𝑖
não é maximal em 𝐴.
Caso 1 Seja 𝑖 um maximal de ⟨𝐴⟩, então 𝑖 ∈ 𝐴 e como 𝐴 ⊂ 𝐵 então 𝑖 ∈ 𝐵, e portanto
𝑖 ∈ ⟨𝐵⟩. Concluimos que ⟨𝐴⟩ ⊆ ⟨𝐵⟩
Caso 2 Seja 𝑖 ∈ ⟨𝐴⟩, tal que 𝑖 não é um maximal de ⟨𝐴⟩, então existe 𝑗 ∈ 𝐴 tal que
𝑖 ≺ 𝑗, como 𝐴 ⊂ 𝐵 então 𝑗 ∈ 𝐵, logo 𝑗 ∈ ⟨𝐵⟩ e como ⟨𝐵⟩ é um ideal, então
teremos que 𝑖 ∈ ⟨𝐵⟩. Portanto ⟨𝐴⟩ ⊆ ⟨𝐵⟩.
A seguir iremos apresentar alguns exemplos de Poset:
21
Exemplo 3.2.12. Poset Cadeia
Seja 𝑃 = ([𝑛], ⪯) um poset totalmente ordenado, ou seja, (assumindo o rotulamento natural) dados 𝑖, 𝑗 ∈ [𝑛], 𝑖 ⪯ 𝑗 se, e somente se, 𝑖 ≤ 𝑗, onde ≤ é a relação
de ordem usual dos inteiros. Um poset cadeia sobre [𝑛] tem altura 𝑛 e cada nível tem
apenas um elemento.
Figura 3.4: Diagrama de Hasse de um ([4], ⪯) Poset Cadeia
Exemplo 3.2.13. Poset Anti-Cadeia
Um Poset anti-cadeia é um poset 𝑃 = ([𝑛], ⪯) tal que 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑃 , 𝑖 ⪯ 𝑗 se, e
somente se 𝑖 = 𝑗, ou seja, dois elementos distintos nunca são comparáveis. Segue que
em um poset anti-cadeia todos os elementos tem altura 1.
Figura 3.5: Diagrama de Hasse de um ([4], ⪯) Poset Anti-Cadeia
22
Exemplo 3.2.14. Poset NRT
Posets NRT, que é originado a partir de três nomes, a saber (N𝑖𝑒𝑑𝑒𝑟𝑟𝑒𝑖𝑡𝑒𝑟,
R𝑜𝑠𝑒𝑛𝑏𝑙𝑜𝑜𝑚, T𝑠𝑓 𝑎𝑠𝑚𝑎𝑛), foram apresentado pela primeira vez em [9] e [8]. Esse
poset é definidos para cada decomposição 𝑛 = 𝑚.ℎ, com 𝑚, 𝑛 ∈ Z colocando-se
𝑖 ⪯ 𝑗 ⇔ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑚 − 1 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑙.ℎ < 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ (𝑙 + 1).ℎ; 𝑙 ∈ {1, · · · 𝑛}
Por exemplo, dado um poset cadeia ([10], ⪯), temos que 𝑛 = 10, podemos
entao decompor, lembrando que 𝑚 e ℎ são intieros, 𝑛 = 𝑚.ℎ de duas formas possiveis,
𝑚 = 5 e ℎ = 2 ou 𝑚 = 2 e ℎ = 5. Tomemos o segundo caso, como exemplo, pela
definição teremos que:
𝑖 ⪯ 𝑗 ⇔ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 ≤ 𝑙 ≤ 1 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑙.5 < 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ (𝑙 + 1).5
Podemos perceber que existem duas possibilidades para 𝑙, a saber 𝑙 = 0 ou
𝑙 = 1 e, novamente pela definição,teremos quando 𝑙 = 0 e 𝑙 = 5, respectivamente que:
𝑖 ⪯ 𝑗 ⇔ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 ≤ 𝑙 ≤ 1 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 5
e
𝑖 ⪯ 𝑗 ⇔ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 ≤ 𝑙 ≤ 1 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 5 < 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 10
23
Fazendo o diagrama de Hasse desse poset, usando a definição de Poset NRT,
teremos:
Figura 3.6: Diagrama de Hasse de um ([10], ⪯]) Poset NRT
Podemos perceber ainda que o Poset NRT, generaliza o Poset Anti-Cadeia e
o Poset Cadeia, bastando tomar, 𝑚 = 𝑛 e ℎ = 1, para o Poset Anti-Cadeia, e para o
Poset Cadeia, basta tomar 𝑚 = 1 e ℎ = 𝑛.
24
Exemplo 3.2.15. Poset Árvore Uni-Raiz
Segundo [1], um poset 𝑃 = ([𝑛], ⪯) é uma árvore uni-raiz se, obedece três condições:
(i) Possui um único elemento minimal, que será chamado de raíz de P;
(ii) Para todo 𝑖 ∈ [𝑛], exceto a raiz, existe um outro 𝑗 ∈ [𝑛] tal que 𝑗 ≺ 𝑖
(iii) Para todo elemento 𝑖 ∈ 𝑃 o ideal gerado por {𝑖} é totalmente ordenado
Num poset árvore unirraiz dados 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑃 tais que 𝑖 ⪯ 𝑗 e @𝑘 ∈ [𝑛] tal que
𝑖 ≺ 𝑘 ≺ 𝑗, então 𝑖 e pai de 𝑗 e 𝑗 é filho de 𝑖.
Proposição 3.2.16. Dado 𝑖 ∈ [𝑛] e 𝑃 = ([𝑛], ⪯) uma árvore unirraiz, então, o elemento pai de 𝑖 ∈ [𝑛] é único.
Demonstração. Suponha por absurdo que o elemento 𝑖, possua dois pais 𝑗 e 𝑗 ′ , sabemos que o ideal gerado por 𝑖, a saber ⟨𝑖⟩, é totalmente ordenado, como, por definicão
de ideal, temos que se 𝑗 ≺ 𝑖 e 𝑖 ∈ ⟨𝑖⟩ então 𝑗 ∈ ⟨𝑖⟩ portanto como 𝑗 e 𝑗 ′ são pais de 𝑖
então 𝑗, 𝑗 ′ ∈ ⟨𝑖⟩.
Como ⟨𝑖⟩ é totalmente ordenado, então existe uma relação 𝑗 ⪯ 𝑗 ′ , porém
como 𝑗 é pai de 𝑖 então @𝑗 ′ tal que 𝑗 ≺ 𝑗 ′ ≺ 𝑖, logo 𝑗 ′ ⪯ 𝑗.
Da mesma forma, como 𝑗 ′ é pai de 𝑖 então @𝑗 tal que 𝑗 ′ ≺ 𝑗 ≺ 𝑖, logo 𝑗 ⪯ 𝑗 ′ ,
e pela propriedade anti-simétrica de uma relação R, temos que 𝑗 = 𝑗 ′ .
Definição 3.2.17. Uma árvore uni-raiz é dita regular por nível, se todo elemento no
k-ésimo nível de 𝑃 possui exatamente 𝑞𝑘 filhos, com 𝑘 ∈ {1, · · · , ℎ − 1}, ou seja,
todos os elementos de um mesmo nível possui a mesma quantidade de filhos.
Uma árvore uni-raiz é denotada pela quantidade de elementos que ela tem, seguido da quantidades de filhos nos respectivos níveis, dessa forma (𝑛; 𝑞1 , 𝑞2 , · · · , 𝑞ℎ−1 )
representa uma árvore unirraiz em que os elementos do 𝑗 − 𝑠𝑖𝑚𝑜 nível tem 𝑞𝑗 filhos,
lembrando que nao incluimos a altura ℎ pois no nível ℎ nenhum elemento possui filhos,
os elementos do nível ℎ são chamados de 𝑓 𝑜𝑙ℎ𝑎𝑠.
Para termos uma ideia melhor de como é a estrutura de uma árvore uni-raiz,
regular por nivel, observemos a Figura 3.7. Nela temos que a raiz, será {1}, que também é o primeiro nível, os respectivos filhos de {1} serão {2, 3}, e formarão o segundo
25
Figura 3.7: Diagrama de Hasse de uma (15; 2,3,1) árvore uni-raiz, regular por nível.
nivel da árvore, o terceiro nível será o conjunto {4, 5, 6, 7, 8, 9} onde {4, 5, 6} são filhos de {2} e {7, 8, 9} são os filhos de {3} e assim o quarto e último nível será formado
por {10, 11, 12, 13, 14, 15} e esses serão filhos dos elementos do terceiro nível. Note
que os elementos do primeiro e terceiro nível tem 1 filho, e os elementos do segundo
nível tem 3.
Exemplo 3.2.18. Poset Hierárquico
Um Poset 𝑃 = ([𝑛]; ⪯) é um poset hierárquico, denotado por (𝑛; 𝑛1 , · · · , 𝑛ℎ ),
se existe uma partição disjunta
[𝑛] =
∘
⋃︁
𝐻𝑙
𝑙=1,··· ,ℎ
de [𝑛] tal que 𝑖 ⪯ 𝑗 se e somente se 𝑖 ∈ 𝐻𝑙𝑖 , 𝑗 ∈ 𝐻𝑙𝑗 e 𝑙𝑖 < 𝑙𝑗 , onde cada classe 𝐻𝑖 é o
i-ésimo nível de 𝑃 , e | 𝐻𝑖 |= 𝑛𝑖 .
Apesar de uma definição novamente complicada, fica masi fácil de se entender
quando é mostrado no Diagrama de Hasse. O que a definição nos diz, é que [n] pode
ser particionado em várias classes disjuntas, onde cada classe vai representar um nível
do Poset Hierarquico. A relação entre os elementos é dado a partir das classes. O
elemento 𝑗 ∈ 𝐻𝑙𝑗 tem relação com todos os elementos 𝑖 ∈ 𝐻𝑙𝑖 de um nível menor, ou
seja quando 𝑙𝑖 < 𝑙𝑗 .
26
Vamos pôr como exemplo um (9; 4, 2, 3) poset hieraquico, temos então que
⋃︀
[𝑛] = 9 e pela descrição do poset temos que [𝑛] = ∘𝑙=1,2,3 𝐻𝑙 e onde 𝐻1 := {1, 2, 3, 4},
𝐻2 := {5, 6}, e 𝐻3 := {7, 8, 9}, então temos que, por exemplo, 5 ∈ 𝐻2 , pela definição,
𝑖 ⪯ 5, ∀𝑖 ∈ 𝐻1 , podemos perceber isso na Figura 3.8.
Figura 3.8: Diagrama de Hasse de um (9; 4,2,3) poset hierárquico.
3.3
Métrica Poset
Introduziremos agora uma importante métrica que generaliza as métricas de Hamming
e Cadeia, a métrica poset, definida por Brualdi [?] em 1995. Demonstraremos uma
série de resultados que serão utilizados para provar que a métrica poset é realmente
uma métrica.
Definição 3.3.1. Dado 𝑥 = (𝑥1 , · · · , 𝑥𝑛 ) ∈ F𝑛𝑞 , o suporte de 𝑥 é o conjunto dos índices
das coordenadas não nulas desse vetor, ou seja
𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥) = {𝑖; 𝑥𝑖 ̸= 0}
Definição 3.3.2. Seja 𝑃 = ([𝑛], ⪯) um poset e 𝑥 ∈ F𝑛𝑞 . O 𝑃 − 𝑝𝑒𝑠𝑜 de 𝑥 é definido
como sendo a cardinalidade, ou seja, a quantidade de elementos do ideal gerado pelo
suporte, em escrita matemática, temos:
𝑤𝑝 (𝑥) =| ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥)⟩ |
27
Exemplo 3.3.3. Seja em F11
2 os pelos posets 𝐴, 𝐶, 𝑈, 𝐻, Onde 𝐴 é um poset anticadeia, 𝐶 um poset cadeia, U um (11;2,2,1) poset árvore uni-raiz, regular por nível, e
𝐻 um (11;4,2,5) poset hierárquico, tome então o elemento 𝑣 = (00010001000) ∈ F11
2 ,
iremos calcular o peso de 𝑣, para isso teremos que calcular o suporte, e pela definição
Definição 3.3.1 temos que 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑣) = {4, 8}
𝑃 𝑜𝑠𝑒𝑡𝑠
⟨𝑠𝑢𝑝𝑝⟩
𝑤𝑝 (𝑣)
𝐴
{4, 8}
2
𝐶
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
8
𝑈
{1, 2, 4, 8}
4
𝐻
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
7
Para melhor exemplificar, faremos o Diagrama de Hasse, da árvore unirraiz e
hierarquico, respectivamente.
Figura 3.9: Poset (11;2,2,1) àrvore unirraiz e do ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(8)⟩, respectivamente.
Figura 3.10: Poset(11;4,2,5) hieráquico e ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(8)⟩, respectivamente.
28
Definição 3.3.4. Dados 𝑥, 𝑦 ∈ F𝑛𝑞 , a métrica poset é dada por
𝑑𝑝 (𝑥, 𝑦) = 𝑤𝑝 (𝑥 − 𝑦)
Agora, apresentaremos uma série de resultados que nos levará a concluir que
a métrica poset é uma métrica, conforme a Definição 2.2.1.
Proposição 3.3.5. Seja 𝑎, 𝑏 ∈ F𝑛𝑞 , então ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑎) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑏)⟩ ⊆ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑎)⟩∪⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑏)⟩
Demonstração. Seja 𝑖 ∈ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦)⟩ então teremos que ou 𝑖 é maximal, ou 𝑖
não é maximal.
1o Caso Se 𝑖 não é maximal, então ∃𝑗 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦) tal que 𝑖 ≺ 𝑗. Então 𝑗 ∈
𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥) ou 𝑗 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦). Sem perda de generalidade, suponha que 𝑗 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥),
logo como 𝑖 ⪯ 𝑗 então 𝑖 ∈ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥)⟩ e portanto 𝑖 ∈ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥)⟩ ∪ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦)⟩
2o Caso Se 𝑖 é maximal de ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦)⟩ então 𝑖 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦), sendo
assim 𝑖 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥) ou 𝑖 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦). Suponha sem perda de generalidade que
𝑖 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥) então 𝑖 ∈ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥)⟩ e cosequentemente 𝑖 ∈ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥)⟩∪⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦)⟩.
Em todos os casos temos que se 𝑖 ∈ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦)⟩ então
𝑖 ∈ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥)⟩ ∪ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦)⟩. Logo ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑎) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑏)⟩ ⊆ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑎)⟩ ∪ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑏)⟩.
Proposição 3.3.6. A medida poset é uma métrica.
Como sabemos, para provarmos que é métrica devemos provar as propriedades da Definição 2.2.1, sendo assim:
Demonstração.
𝑀1 : 𝑑𝑝 (𝑥, 𝑦) ≥ 0 𝑒 𝑑𝑝 (𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦
Pela definição de 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥) temos que 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥) é um número natural, portanto
sempre maior ou igual a zero,o ideal gerado por ele é um conjunto e | ⟨𝑠𝑢𝑝(𝑥 −
𝑦)⟩ | que definimos como cardinalidade desse conjunto, será sempre positiva,
assim 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0
(⇒) Devemos perceber que se 𝑑𝑝 (𝑥, 𝑦) = 0 então siginifica que
| ⟨𝑠𝑢𝑝(𝑥 − 𝑦)⟩ |= 0, ou seja,⟨𝑠𝑢𝑝(𝑥 − 𝑦)⟩ é um conjunto vazio, portanto,
29
𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑦) = ∅ e assim, 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 ∀𝑖 ∈ {1, · · · , 𝑛} o que nos mostra que
𝑥 = 𝑦.
(⇐) Se 𝑥 = 𝑦 então, significa que 𝑥 − 𝑦 = 0 e então 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 = 0 ∀𝑖 ∈ [𝑛], logo
𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑦) = ∅, o que nos mostra que ⟨𝑠𝑢𝑝(𝑥 − 𝑦)⟩ é vazio, e, sendo assim
| ⟨𝑠𝑢𝑝(𝑥 − 𝑦)⟩ |= 0
𝑀2 𝑑𝑝 (𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑝 (𝑦, 𝑥)
Mostraremos que 𝑠𝑢𝑝(𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑢𝑝(𝑦 = 𝑥). Para isso, temos que
𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑦) = {𝑖 ∈ [𝑛]; 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 ̸= 0} Temos também que
𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 ̸= 0 ⇒ 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 ⇒ 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 ̸= 0
Com isso temos que 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑦) = {𝑖 ∈ [𝑛]; 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 ̸= 0} = {𝑖 ∈ [𝑛]; 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 ̸=
0} = 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦−𝑥). Entao conseguimos concluir que ⟨𝑠𝑢𝑝(𝑥−𝑦)⟩ = ⟨𝑠𝑢𝑝(𝑦−𝑥)⟩
e sendo assim, | ⟨𝑠𝑢𝑝(𝑥 − 𝑦)⟩ |=| ⟨𝑠𝑢𝑝(𝑦 − 𝑥)⟩ |, ou seja, 𝑑𝑝 (𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑝 (𝑦, 𝑥)
𝑀3 𝑑𝑝 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑𝑝 (𝑥, 𝑧) + 𝑑𝑝 (𝑧, 𝑦)
Sendo 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ F𝑛𝑞 temos que:
(𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑧) + (𝑧 − 𝑦) ⇒ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑢𝑝𝑝{(𝑥 − 𝑧) + (𝑧 − 𝑦)}
Temos que 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑦) é um número natural, logo se 𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝(𝑥 − 𝑦) então
𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥)∖𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦) ou 𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦)∖𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥), vamos analisar caso a caso:
Caso 1 Seja 𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥)∖𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦) então teremos outros dois casos, 𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧)
ou 𝑚 ̸∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧).
Caso 1.1 Se 𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧),então como 𝑚 ̸∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦) então 𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧 − 𝑦) e
logo 𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑧) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧 − 𝑦)
Caso 1.2 Se 𝑚 ̸∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧) e como 𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥), então 𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑧). Logo
𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑧) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧 − 𝑦)
O segundo caso, onde 𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦)∖𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥), é análogo ao primeiro.
30
Como vimos que em todos os casos, temos que se 𝑚 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑦) ⇒ 𝑚 ∈
𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑦), logo, de forma análoga, temos que:
𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑢𝑝𝑝{(𝑥 − 𝑧) + (𝑧 − 𝑦)} ⊂ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑧) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧 − 𝑦)
Como 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑦) ⊂ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑧) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧 − 𝑦),temos que pela Proposição
3.2.11 que ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑦)⟩ ⊆ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑧) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧 − 𝑦)⟩ e pela Proposição
3.3.5 temos que ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑧) ∪ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧 − 𝑦)⟩ ⊆ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑧)⟩ ∪ ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧 − 𝑦)⟩.
Quando aplicamos a cardinalidade a essa relação de continência, teremos
| ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥−𝑦)⟩ |≤| ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥−𝑧)∪𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧−𝑦)⟩ |≤| ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥−𝑧)⟩∪⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧−𝑦)⟩ |⇒
⇒| ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥−𝑦)⟩ |≤| ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥−𝑧)⟩ | + | ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧−𝑦)⟩ | − | ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥−𝑧)∩𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧−𝑦)⟩ |⇒
⇒| ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑦)⟩ |≤| ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑥 − 𝑧)⟩ | + | ⟨𝑠𝑢𝑝𝑝(𝑧 − 𝑦)⟩ |⇒
⇒ 𝑑𝑝 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑𝑝 (𝑥, 𝑧) + 𝑑𝑝 (𝑧, 𝑦)
Definição 3.3.7. Um Espaço Poset, é um espaço F𝑛𝑞 , que é munido da métrica poset
𝑑𝑝 , denomidado em escrita matemática, como o par (F𝑛𝑞 , 𝑑𝑝 )
Definição 3.3.8. Seja 𝐶 ⊆ (F𝑛𝑞 , 𝑑𝑝 ), se 𝐶 é um código [𝑛, 𝑘]𝑞 , 𝐶 é denominado código
poset ou um P-código.
Definição 3.3.9. Seja o espaço F𝑛𝑞 munido da métrica poset 𝑑𝑝 e seja 𝐶 ⊆ F𝑛𝑞 um
código então a distância minima do código poset é definida como:
𝑑𝑝 (𝐶) := 𝑚𝑖𝑛{𝑑𝑝 (𝑥, 𝑦), 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒞∖{0}}
(3.1)
Como os códigos posets são códigos lineares em espaços munidos da métrica
poset, então a Proposição 3.1.7 também é válida para posets, e sendo assim para o
cálculo da distância mínima, pode-se fazer os cálculos apenas dos pesos dos elementos
pertencentes ao código.
31
Exemplo 3.3.10. Seja 𝒞 ⊆ F92 , com 𝒞 := {000001000, 000000010, 000000001, 000001010,
000001001, 000000011, 000001011} sendo também 𝐴 um poset anti-cadeia, 𝐶, um poset cadeia, 𝑈 , um (9;2,3) poset árvore uni-raiz, regular por nível, 𝐻, um (9;4,2,3) poset
hieráquico.
𝑥∈C
𝐴 𝐶
𝑈
𝐻
000001000
1
6
3
5
000000010
1
8
3
7
000000001
1
9
3
7
000001010
2
8
5
7
000001001
2
9
5
7
000000011
2
9
4
8
000001011
3
9
6
8
𝑑𝑝 (𝒞)
1
6
3
5
Podemos perceber que o elemento 000001000 ∈ 𝒞 é o elemento que possui
distância mínima em todos os posets até agora apresentados, e podemos perceber também que pode existir mais de um elemento no código tal que tenha distância mínima.
Como falamos anteriormente, a distancia minima pode ser dita como a diatancia do
elemento 𝑥 ao elemento nulo, que chamamos de 0, logo percebendo que existe mais
de um elemento que possui a distância mínima do código, podemos pensar que eles
estão na mesma "bola"com centro em 0 desse jeito podemos entrar em outro assunto
de importancia elevada, chamado Raio de Empacotamento.
3.4
Raio de Empacotamento
Definição 3.4.1. O raio de empacotamento de um código linear 𝒞 relativo à métrica 𝑑
é:
𝑅𝑑 (𝒞) := 𝑚𝑎𝑥{𝑟 ∈ R; 𝐵𝑑 (𝑐, 𝑟) ∩ 𝐵𝑑 (𝑐′ , 𝑟) = ∅ ∀𝑐, 𝑐′ ∈ 𝒞, 𝑐 ̸= 𝑐′ },
onde 𝐵𝑑 (𝑐, 𝑟) := {𝑥 ∈ F𝑛𝑞 ; 𝑑(𝑥, 𝑐) ≤ 𝑟}.
32
O raio de empacotamento de um código linear é o maximo tal que as bolas
métricas com esse raio, centradas nos elementos do código linear não tem nenhum
elemento em comum.
Figura 3.11: Raio de Empacotamento de um poset (X,⪯).
Uma pergunta que naturalmente surge, após ler a definição, é se tem uma
maneira de calcular o 𝑅𝑑 (𝐶) sem ter que testar cada raio para os elementos. Afirmamos que, se a métrica adotada for a métrica de Hamming, então 𝑅𝑑 (𝐶) é diretamente
determinado pela distância mínima do código.
Proposição 3.4.2. Seja 𝒞 ⊆ (F𝑛𝑞 , 𝑑𝐻 ) sendo 𝑑𝐻 a métrica de Hamming, então
𝑅𝑑 (𝒞) = ⌊
𝑑(𝒞) − 1
⌋
2
Onde ⌊𝑥⌋ é a parte inteira de 𝑥 ∈ R
⌋
Demonstração. Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒞, 𝑑 = 𝑑𝐻 (𝒞) e 𝑅 = ⌊ 𝑑−1
2
Suponha, por absurdo que existe 𝑤 ∈ 𝐵𝐻 (𝑥, 𝑅) ∩ 𝐵𝐻 (𝑦, 𝑅) e entao teremos
que
𝑑 = 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑤) + 𝑑𝐻 (𝑤, 𝑦) ≤ 2𝑅 ≤ 𝑑 − 1
Um absurdo. Observe que na primeira desigualdade usamos o fato que 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) é uma
métrica, então podemos usar a desigualdade triangular, e na segunda usamos o fato que
𝑤 ∈ 𝐵𝐻 (𝑥, 𝑅) ∩ 𝐵𝐻 (𝑦, 𝑅), que por definição significa que 𝑑𝐻 (𝑥, 𝑤), 𝑑𝐻 (𝑦, 𝑤) ≤ 𝑅,
na última usamos a definição de 𝑅 dado acima. Lembre-se que 𝑅 = ⌊ 𝑑−1
⌋ siginifica
2
33
⌋ e ⌊ 𝑑−1
⌋ ≤ 𝑅. Logo 𝐵𝐻 (𝑥, 𝑅) ∩ 𝐵𝐻 (𝑦, 𝑅) = ∅ Vamos mostrar agora
que 𝑅 ≤ ⌊ 𝑑−1
2
2
que R é o maior valor que pode ser atingido por 𝑅. Afirmamos que
⌊
𝑑−1
𝑑−1 1
⌋≥
−
2
2
2
Sabemos que 𝑑 ∈ N , então
𝑑−1≥𝑑−2⇒
𝑑−1
𝑑−2
≥
2
2
⌋ = 𝑚 − 1 com 𝑚 ∈ N, como 𝑑 é um número natural,
Afirmamos que ⌊ 𝑑−1
2
podemos analisar o que acontece quando ele for par, da forma 2𝑚 ou ímpar, da forma
2𝑚 − 1
⌋ = ⌊ 2𝑚−1
⌋ observamos que para 𝑚 = 1
1o caso Se 𝑑 = 2𝑚 enão teremos que ⌊ 𝑑−1
2
2
temos que ⌊ 2𝑚−1
⌋ = 𝑚 − 1 = 0, supomos que para 𝑚 vale, e mostraremos que
2
para 𝑚 + 1 também é válido. Teremos então que
⌊
2(𝑚 + 1) − 1
2𝑚 + 1
2𝑚 1
1
𝑑−1
⌋=
⌋=⌊
⌋=⌊
+ ⌋ = ⌊𝑚 + ⌋ = 𝑚
2
2
2
2
2
2
Como estamos lidando somente com a parte inteira de 𝑚 +
fração
1
2
1
2
então somar a
é como somar zero. e daí concluímos que ⌊ 𝑑−1
⌋ = 𝑚 − 1 quando
2
𝑑 = 2𝑚.
⌋≥
Vamos mostrar que a desigualdade ⌊ 𝑑−1
2
𝑑−1
2
− 21 vale. Temos que se 𝑑 = 2𝑚
então ficará
⌊
𝑑−1
2𝑚 − 2
2𝑚 − 1 1
𝑑−1 1
⌋=𝑚−1=
=
− =
−
2
2
2
2
2
2
Então quando 𝑑 é par vale a igualdade.
2o caso No segundo caso analizaremos quando 𝑑 é ímpar, ou seja 𝑑 = 2𝑚 − 1 com
𝑚 ∈ N. Teremos então
⌊
𝑑−1
(2𝑚 − 1) − 1
2𝑚 − 2
2(𝑚 − 1)
⌋=⌊
⌋=⌊
⌋=⌊
⌋ = ⌊𝑚 − 1⌋ = 𝑚 − 1
2
2
2
2
34
Na última igualdade usamos o fato de que 𝑚 é inteiro e por consequência 𝑚 − 1
𝑑−1
− 12
2
⌋≥
também o será. Vamos mostrar que a desigualdade ⌊ 𝑑−1
2
vale. Temos
que se 𝑑 = 2𝑚 − 1 então ficará.
⌊
𝑑−1
2𝑚 − 2
2𝑚 − 1 1
𝑑 1
𝑑−1 1
⌋=𝑚−1=
=
− = − >
−
2
2
2
2
2 2
2
2
Provamos que, quando 𝑑 for par, a igualdade vale, e quando for ímpar a desigualdade. Logo para qualquer 𝑑 ∈ N teremos que ⌊ 𝑑−1
⌋≥
2
𝑑−1
2
−
1
2
é válida.
A partir dessa desigualdade , podemos chegar a outra desigualde importante
⌋ temos então que:
para a demonstração, dado que 𝑅 = ⌊ 𝑑−1
2
⌊
𝑑−1 1
𝑑−2
𝑑−1
⌋≥
− ⇒𝑅≥
⇒ 2𝑅 ≥ 𝑑 − 2 ⇒ 2𝑅 + 2 ≥ 𝑑 ⇒ 2(𝑅 + 1) ≥ 𝑑
2
2
2
2
Sendo assim, sejam 𝑣, 𝑤 ∈ 𝒞 tais que 𝑑𝐻 (𝑣, 𝑤) = 𝑑, e 𝑘1 , · · · , 𝑘𝑑 as coorde-
nadas em que 𝑣 e 𝑤 diferem, Defina 𝑧 ∈ 𝒞 como sendo a palavra cujas coordenadas
𝑘1 , · · · , 𝑘𝑅+1 coincidem com 𝑣 e o resto das coordenadas coincide com 𝑤. então teremos por definição de 𝑑𝐻 (𝑧, 𝑤) = 𝑤𝐻 (𝑧 − 𝑤) = 𝑅 + 1 e 𝑑𝐻 (𝑧, 𝑣) = 𝑤𝐻 (𝑧 − 𝑣) =
𝑑 − (𝑅 + 1).
Podemos perceber que 𝑧 ∈ 𝐵𝐻 (𝑤, 𝑅+1) e devemos mostrar que 𝑧 ∈ 𝐵𝐻 (𝑣, 𝑅+
1), sabemos que 𝑑𝐻 (𝑧, 𝑤) = (𝑅 + 1) e como pela desigualdade que mostramos acima,
temos que
𝑑𝐻 (𝑧, 𝑣) = 𝑑 − (𝑅 + 1) ≤ 2(𝑅 + 1) − (𝑅 + 1) ≤ (𝑅 + 1)
Isso nos mostra que 𝑧 ∈ 𝐵𝐻 (𝑣, 𝑅 + 1) e portanto 𝑧 ∈ 𝐵𝐻 (𝑣, 𝑅 + 1) ∩
𝐵𝐻 (𝑤, 𝑅 + 1). E portanto, demonstramos que se adicionarmos mais uma unidade a 𝑅,
haverá um elemento 𝑧 ∈ 𝒞 tal que 𝑧 pertencerá a interseção das bolas com centro 𝑣 e
𝑤 e portanto 𝑅 é o valor máximo para o Raio de Empacotamento.
Observemos que essas propriedades valem pra códigos munidos da métrica
de Haming. Outras métricas podem causar complicações e contra-exemplos para tais
porposições. Um questionamento que pode se ter é se o raio de empacotamento, 𝑅𝑑 (𝒞),
35
tem limitantes inferior e superior, e a reposta a esta questão é afirmativa. Segundo [7],
temos a seguinte proposição.
Proposição 3.4.3. Seja C ⊆ Fnq um código e 𝑑 uma métrica sobre F𝑛𝑞 , então
⌊
𝑑(𝒞) − 1
⌋ ≤ 𝑅𝑑 (𝒞) ≤ 𝑑(𝒞) − 1
2
Demonstração. De fato, na primeira parte da demonstração, usamos apenas as propriedades de espaço métrico e nenhuma especial da métrica de Hamming. Logo, num
espaço métrico qualquer, temos um limitante inferior para o raio de empacotamento.
⌋.
Portanto, a parte esquerda da desigualdade, tem-se 𝑅 ≥ ⌊ 𝑑(𝒞)−1
2
A desigualdade da direita, é de fato, pois se 𝑅𝑑 (𝒞) = 𝑑(𝒞) então sendo 𝑑(𝒞) =
𝑑𝐻 (𝑥, 𝑦) para algum 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒞 então 𝑥 ∈ 𝐵𝐻 (𝑥, 𝑅𝑑 (𝒞)) ∩ 𝐵𝐻 (𝑦, 𝑅𝑑 (𝒞)). Logo 𝑅𝑑 (𝒞)
tem que ser no máximo 𝑑(𝒞) − 1, portanto 𝑅𝑑 (𝒞) ≤ 𝑑(𝒞) − 1
Agora que já falamos sobre raio de empacotamento para códigos lineares, essas propriedades também valem para um código poset. Sabemos que um código poset,
é um código linear com uma métrica poset, então é de se imaginar que as propriedades mostradas acima funcionem para um código poset. Analisaremos agora os raios
de empacotamento em alguns posets, comparando a métrica hamming com a métrica
hierárquica. Existem estudos como por exemplo [1] e [7], que trabalharam com a pesquisa de raios de empacotamentos em certos posets específicos, em [1], temos o raio
de empacotamento para códigos poset hierárquicos, e em [7] temos a generalização
dos raios de empacotamento para códigos poset.
Segundo [1] temos
Teorema 3.4.4. O Raio de Empacotamento de um código poset hierárquico é dado
por
𝑅𝑑𝑝 (𝒞) = 𝑠𝑡1 −1 + ⌊
𝜎𝑡1 − 1
⌋
2
E segundo [7] temos que o raio de empacotamento de qualquer poset é dado
por:
36
Teorema 3.4.5. Seja P um poset e 𝒞 ⊆ F𝑛𝑞 . Denotemos o ideal gerado pelo suporte
de uma palavra-código 𝑥 ∈ 𝒞 por 𝐼𝑥 . Então, o raio de empacotamento de 𝒞 é
𝑅𝑃 (𝒞) = 𝑚𝑖𝑛 𝑅(𝐼𝑥 )
Exemplo 3.4.6. Seja F16
2 e seja o código 𝒞 := ⟨𝑒8 ; 𝑒10 ⟩, onde 𝑒𝑖 é o vetor com a iésima
coordenada diferente de zero. Tomemos os posets cadeia(C), anti cadeia(A) e hierárquico {16;3;6;5;2}(H), N um poset NRT com duas cadeia disjuntas de comprimento 8
, e 𝑈 um poset (16; 1; 2; 3; 1) Árvore Unirraiz, sendo assim teremos.
𝑃 𝑜𝑠𝑒𝑡
𝑅(C)
𝐶
3
𝐴
0
𝐻
6
𝑁
0
𝑈
1
Como vimos anteriormente, os cálculos feitos para os posets cadeia e anti
cadeia, pode ser feita pela métrica poset, já que ela generaliza a métrica cadeia e a métrica de hamming, porém para os posets hierárquicos, o raio de empacotamento ainda
é definido pela distância mínima, porém não de um jeito tão simples, os raios de empacotamento dos posets NRT e Árvore Urirraiz, não se tem uma fórmula para se calcular,
calculamos apenas pelo trabalho braçal. Como vimos o raio de empacotamento pode
definir quantos erros podem ser definido, quanto maior o raio de empacotamento, melhor, no exemplo acima, podemos ver que o anticadeia é o melhor, porém códigos
anticadeia presentes em problemas de teoria dos códigos, são casos raros.
37
Considerações Finais
Neste capítulo podemos considerar alguns livros e estudos para quem deseja
a ampliação do conhecimento ao estudo de Teoria dos Códigos.
No capítulo um, falamos sobre corpos finitos, e suas propriedades e teoremas,
sugerimos o livro [?], que nos mostra uma visão totalmente algébrica, e também [?]
ao qual apesar de ser, também, totalmente algébrico, ele explora mais a visão voltada
para construir um conhecimento voltado para a teoria dos códigos.
No capítulo dois, temos dois temas, aos quais podem ser separados, para espaços vetorias temos que qualquer livro de álgebra linear satisfaça para o material em
código, dois livros que são referências, são o [2] e [5]. Ainda sobre o capítulo dois, mas
voltado para a Métrica, temos [5] para um conhecimento amplo dessa área, e também
temos novamente [3] onde ele cita brevemente o que é métrica.
No capítulo três, a grande referência para o estudo foi [1], [7], [3] onde o
primeiro faz um estudo sobre códigos e abrange os códigos posets, sendo o trabalho
que definiu um raio de empacotamento para um código poset Hierárquico, em [7]
temos um trabalho também em códigos posets de maneira sucinta, e abrangendo o raio
de empacotamento para algum código poset, o terceiro, não menos importante, não faz
referência aos códigos posets, porém se trata de outros tipos de códigos.
38
Referências Bibliográficas
[1] FELIX, L. CLASSIFICAÇÃO DE CÓDIGOS RELATIVA ÀS ORDENS HIERÁRQUICAS E PROPRIEDADE DE EXTENSÃO,UNICAMP, 2014 4-22.
[2] Hoffman,K.; Kunze, R. LINEAR ALGEBRA, Prentice-Hall, 1971.
[3] Hefez, A.; Villela, M.L.T. CÓDIGOS CORRETORES DE ERRO, IMPA,2008.
[4] Lang, S. ÁLGEBRA PARA GRADUAÇÃO, Springer-Velarg, 1990.
[5] Elon, A. ÁGEBRA LINEAR, IMPA, 2016.
[6] Elon, A. ESPAÇOS MÉTRICOS, IMPA, 1989.
[7] D’Oliveira, Lucas Raio de Empacotamento de Códigos Posets, UNICAMP, 2012.
[8] M.Rosembloom, M.A. Tsfasman Codes for m-metrics. Problems of information
transmition33(1), 45-52, 1997.
[9] H.Niederreiter. A combination problem for vector spaces over finite fields. Discrete Mathematic, 96:221-228, 1991.
39
Índice Remissivo
Definição
Matriz Teste de Paridade, 17
Métrica Poset, 28
Peso de um elemento, 14
P-peso, 27
Peso induzido por métrica, 15
Suporte de um elemento, 27
Raio de Empacotamento, 18
Definições
Relação de Ordem Parcial, 20
Arvore Uni-raiz regular por nivel, 25
Base, 9
Código, 14
Código Linear, 14
Código Poset, 20
Conjunto Linearmente Dependente, 9
Código Poset ou P-código, 28
Conjunto Linearmente Independente,
Códigos Perfeitos, 19, 31
9
Característica, 4
Corpo Finito, 4
Conjunto totalmente ordendado, 20
Distância Cadeia, 12
Corpo., 2
Elemento Pai, 25
Dimensão, 9
Espaço Vetorial1, 6
Distância Hamming, 11
Métrica, 10
Distância Mínima, 15
Subespaço Vetorial, 8
Distância mínima, 30
Exemplos
Elementos Comparáveis, 20
Distancia mínima posets, 31
Elementos Maximal e Minimal, 21
Espaços das Funções, 7
Espaço Poset ou P-Espaço, 28
Espaços de Matrizes, 7
Espaços Gerados, 9
P-Peso, 27
Ideal, 20
Peso de um Código, 15
Ideal Gerado, 20
Poset Anti-Cadeia, 21
Matriz Geradora, 16
Poset Cadeia, 21
40
Poset Hierárquico, 26
Teorema de LD , 10
Poset NRT, 22
Teorema de LI, 10
Subespaços das Funções, 9
Subespaços das Matrizes Simétricas,
9
Corpo Q, 3
Corpo R e C, 3
Corpo finito, 4
Poset Árvore Uni-Raiz, 25
Subespaços Triviais, 8
Métrica Poset, 29
Proposiçôes
Todo elemento possui um Pai, 25
Proposições
⟨𝐴⟩ ⊆ ⟨𝐵⟩, 20
Espaço de Dimensão Finita, 10
Ideal Gerado, 28
Limitantes de 𝑅𝑑 (C), 19
Raio de Empacotamento, 18
Distância Cadeia é uma Métrica , 12
Distância Hamming é uma métrica, 11
Matriz teste de paridade, 17
O elemento pai é único, 25
Peso de um Código , 15
Teoremas
Cdarateristica de um corpo finito, 4
Espaço vetorial de dimensão finita, 10
Subcorpo Finito isomorfo, 5
41