CURSO: CÁLCULO BÁSICO
Unidad 1: Lógica y Conjuntos
Tema 1: Lógica I
1.1.
Tema 1: Lógica I
2
Índice
1.1.1.Enunciados y proposiciones
1.1.2.Descripción de una proposición
1.1.3.Proposiciones simples y compuestas
1.1.4.Función proposicional
1.1.5.Tablas de verdad
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Capacidades
Resuelve problemas de conjuntos y de lógica proposicional utilizando
las propiedades y leyes correspondientes.
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Introducción
Lo que se estudiará a continuación son algunas nociones de la lógica tal como se concibe en la
actualidad. Hemos visto que razonamos llevando a cabo inferencias; aquí se nos ofrece un
instrumento para determinar la validez de las mismas, estudiaremos la lógica como un
sistema formal que opera sobre los procesos de razonamiento mediante el cálculo, aplicando
precisas reglas de inferencia.
Seguramente los procedimientos de la lógica te recordarán bastante a las matemáticas. Esto
no es casual, la lógica simbólica surge como resultado de la matematización de la lógica
tradicional.
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Enunciados y proposiciones
Enunciado
• ¿Qué día es hoy?
Se denomina enunciado a toda expresión del lenguaje
común, el cual puede ser una frase, oración o
expresión algebraica.
• ¡auxilio!
• Lima es la capital del Perú
• X+2>3
Proposición lógica
Llamada también enunciado cerrada; es todo
enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero (V) o
falso (F) sin ninguna ambigüedad. Las proposiciones
lógicas se denotan con letras minúsculas tales como:
p, q, r, s, …
• El sol es una estrella
• 2+3>6
• Luis y María son hermanos
• Paris es la capital de Bolivia
• Juan estudia y trabaja
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Descripción de una proposición
Es una expresión lingüística, libre de ambigüedades ,que tiene la propiedad de ser verdadera o
falsa pero nunca ambas simultáneamente.
Por ejemplo:
SON PROPOSICIONES
El 2 es un número primo
 25 es divisible entre 3
 6 + 5 = 10
El aula A1-205 está en el
2do piso
 José Olaya es Boliviano.
Manuel
saco
20
en
matemática
Si estudias entonces los
problemas de matemáticas
son fáciles
NO SON PROPOSICIONES
 ¡Pare inmediatamente!
 ¿15 y 18 tienen la misma
cantidad de divisores?.
 En realidad, ¿a qué se
refiere?.
 ¿Miguel Grau es chileno?
 ¡ Qué hermosos son tus
ojos !
 ¿lloverá mañana?
 Haz esto por favor
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Proposición simple y compuesta
PROPOSICIONES SIMPLES
Llamadas también
proposiciones atómicas o
elementales; son aquellas
proposiciones con
una sola idea, carecen de
conjunciones gramaticales
y adverbio de negación (no).
Ejemplos:
●p: Rubén es arquitecto.
●q: Luis es compañero de
José.
●r: 3 y 4 son números
consecutivos.
● María y Pedro son
hermanos
PROPOSICIÓN
PROPOSICIONES COMPUESTAS
Llamados también
proposiciones moleculares;
son aquellas proposiciones con
dos o más
ideas unidas por conjunciones
gramaticales;
o que contienen el adverbio de
negación no.
Ejemplos:
● Luciana estudia Contabilidad
o Administración
●2 + 8 ≥ 6
●No es cierto que hoy sea lunes
●Estudia, entonces ingresarás
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Función proposicional
Es toda expresión que contiene una o más variables que al ser sustituidas por elementos del
universo en que estamos trabajando, forman una proposición.
Esta función no es una proposición en sí, por lo que no tiene valor de verdad, pero si asignamos
un valor a su variable independiente (particularizamos para cierto X), la expresión que
obtenemos sí lo tiene.
Escribiremos esta función de la forma P(x) donde P es nuestra función proposicional, x nuestro
sujeto y luego tendremos nuestra cuasi-proposición.
Por ejemplo: P(x): x >= 5 , donde si particularizamos para un cierto x, P(x) da lugar a una
proposición.
*NOTA: En estas expresiones, al igual que nos explicaban en la escuela primaria,
tenemos un sujeto y un predicado. En el ejemplo X>=5 , X es el sujeto y el resto de la
expresión el predicado.
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Tablas de verdad
CONECTORES LÓGICOS
Son símbolos que reemplazan a las conjunciones gramaticales y al adverbio de negación; estos
conectores permiten relacionar dos o más proposiciones simples, entre los más importantes
tenemos:
Negación
Conjunción
Notación: ∼
Notación: ∧
Se lee: No es cierto que …
Se lee: … y …
Ejemplo:
Ejemplo:
p: Luis viajó a Ica:
p: Ángel estudia
q: Ángel trabaja
∼ p : No es cierto que Luis viajó a Ica
p ∧q : Ángel estudia y trabaja
∼p
p
Tabla de verdad:
V
F
p
q
p∧q
Tabla de verdad:
F
V
V
V
V
NOTA: Algunas equivalencias de
la negación son:
“no”; no es el caso...”
V
F
F
F
V
F
F
F
F
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Tablas de verdad
Disyunción inclusiva o débil
Notación: ∨
Se lee: … o …
Ejemplo:
p: José va al teatro.
q: José va al cine.
p ∨ q : José va al teatro o al cine
Tabla de verdad:
Disyunción exclusiva o fuerte
Notación: ∆
Se lee: o… o …
Ejemplo:
p: José va al teatro.
q: José va al cine.
p ∆ q : José va o al teatro o al cine
Tabla de verdad:
p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
p
q
p∆q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
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Tablas de verdad
Condicional
Bicondiconal
Notación: →
Se lee: … entonces ….
p: Bertha nació en Lima.
q: Bertha es piurana.
p→q : Bertha nació en Lima , entonces es
piurana
Tabla de verdad
Notación: ↔
Se lee: … si y solo si
Ejemplo:
p: Mañana es miércoles
q: Hoy es martes
p ↔ q: Mañana es miércoles si y solo si hoy es
martes.
Tabla de verdad:
p
q
p→q
p
q
p↔q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
NOTA: Otras formas son:
por consiguientes, luego; de manera que, etc.
Condiciones inversa ya que; puesto que;
porque, etc.
NOTA: Algunas equivalentes pueden ser
cuando y solo cuando; entonces
y solo
entonces.
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Ejercicios
Relacionar con flechas al que corresponda
A) Condicional
I. Noeseselel caso
caso
No
B) Bicondicional
II.oo
C)
Conjunción
Conjunción
III.
Entonces
entonces
D)
Disyuncióndebil
débil
Disyuncion
IV.y y
E)
Negación
negación
V.
solo si
si
Si Siy ysolo
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Ejercicios
Si ~(p ∨ q) es verdadero, determina (p → q) ∧ q
Verdadero
Solución
Falso
14
Ejercicios
Solución:
Falso
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Conclusiones
• Las proposiciones tienen valor de verdad (o son verdaderos o son falsos).
• Las proposiciones son simples (atómicas) y compuestas (moleculares).
• La función proposicional es toda expresión que contiene una o más variables que al ser
sustituidas por elementos del universo en que estamos trabajando, forman una
proposición.
• Los conectores permiten relacionar dos o más proposiciones simples.
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Referencias bibliográficas
• Corbalan, Fernando (s.f.) La Matemática Aplicada a la Vida Cotidiana. España: GRAO.
• Alsina, Claudi (1998) Enseñar Matemática. España: GRAO.
• Rico, Luis (2000) La educación matemática en la enseñanza secundaria. Barcelona: Horsori.
• Espinoza Ramos, Eduardo (2002) Matemática Básica. Lima: Servicios Gráficos.
• Rojo, Armando (2002) Álgebra. Tomo I. Buenos Aires: El Ateneo.
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