ISBN: 978-612-47379-0-9
9 786124 737909
Estadı́stica
Estudios Generales Letras
José Flores Delgado
ESTADÍSTICA
Copyright © 2017
Estudios Generales Letras
Pontificia Universidad Católica del Perú
Estudios Generales Letras
Av. Universitaria 1801, San Miguel
Teléfono: 626-2000
Correo electrónico: consultas-eeggll@pucp.pe
http://www.pucp.edu.pe
Derechos reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier
medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores.
Primera edición: setiembre de 2017
1000 ejemplares
Impreso en Perú - Printed in Peru
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N˚2016-10898
ISBN 978-612-47379-0-9
ISBN: 978-612-47379-0-9
9 786124 737909
Impresión: Tarea Asociación Gráfica Educativa
Pasaje María Auxiliadora 156, Breña
Setiembre 2017
Prólogo
Este trabajo corresponde a la séptima edición de las notas de
clases del curso de Estadı́stica impartidas por el autor durante varios
semestres a los alumnos de la especialidad de Economı́a en la Facultad
de Estudios Generales Letras de la Pontificia Universidad Católica del
Perú. Aunque el texto ha sido usado para la especialidad de economı́a,
gran parte también puede ser de utilidad para los alumnos de otras
áreas de los Estudios Generales Letras y otras facultades.
Agradezco a la Facultad de Estudios Generales Letras por
promover este tipo de trabajos y por el apoyo recibido para la
elaboración de este texto; a la Oficina de Publicaciones para la
docencia de nuestra Universidad por las publicaciones previas; a
la doctora Kathia Hanza, ex-directora de estudios de la Facultad
de Estudios Generales Letras, por el apoyo brindado en la primera
edición; al profesor Luis Vargas por la revisión de la primera versión
del texto; y a Luis Naters por la revisión de esta versión. También
agradezco a la sección de Matemáticas por las facilidades brindadas
para la elaboración de este libro.
Me permito también felicitar a ustedes, alumnos, por la madurez
demostrada al optar por esta universidad, sabiendo de su exigencia
y prestigio reconocidos; los invito a que contribuyan a mantenerlos,
como lo han hecho los que los precedieron.
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Finalmente, quiero advertir a los alumnos que este texto no
debe sustituir a los principales manuales del tema ni a las clases
ni a sus propios apuntes, que espero ahora puedan hacer en mejores
condiciones. La lectura de la bibliografı́a sobre el tema es necesaria y
valiosa para un mejor aprendizaje.
José Flores Delgado.
Lima, setiembre de 2017.
6
Índice
1. Estadı́stica descriptiva
11
1.1. ¿Qué es la Estadı́stica? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2. Nociones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3. Escalas o niveles de medición . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3.1. Escala nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3.2. Escala ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3.3. Escala de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3.4. Escala de razón . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.4. Organización y tratamiento de datos. Promedios y
percentiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.4.1. Caso de variables cualitativas . . . . . . . . . .
21
1.4.2. Caso de variables cuantitativas discretas . . . .
23
1.4.3. Caso de variables cuantitativas continuas . . .
25
1.5. Propiedades y uso de los promedios . . . . . . . . . . .
34
1.6. Medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
7
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
1.6.1. Propiedades de la desviación estándar . . . . .
40
1.7. Datos tipificados o estandarizados . . . . . . . . . . .
41
1.8. Diagrama de hojas y tallos
. . . . . . . . . . . . . . .
44
1.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2. Correlación y regresión lineal
65
2.1. Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.2. Índice de correlación de Pearson . . . . . . . . . . . .
66
2.3. Regresión lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.4. Análisis de varianza para la regresión . . . . . . . . . .
73
3. Probabilidad
76
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.2. Definición y propiedades de la probabilidad . . . . . .
79
3.3. Propiedades de la probabilidad . . . . . . . . . . . . .
81
3.4. Probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
La regla del producto
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
La regla de la probabilidad total . . . . . . . . . . . .
90
8
ÍNDICE
Profesor José Flores Delgado
La regla de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.5. Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.6. Probabilidad clásica y combinatoria . . . . . . . . . . 100
3.7. Probabilidad geométrica y frecuencial . . . . . . . . . 105
3.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4. Variable aleatoria
130
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2. Modelo probabilı́stico de una variable aleatoria . . . . 135
4.3. El valor esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3.1. Valor esperado de una función de una variable
aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3.2. Otras propiedades del valor esperado . . . . . . 144
4.4. Varianza y desviación estándar . . . . . . . . . . . . . 148
4.4.1. Propiedades de la varianza . . . . . . . . . . . 149
4.5. Función de distribución acumulada . . . . . . . . . . . 150
4.6. Propiedades de la distribución acumulada . . . . . . . 152
4.7. Técnica del cambio de variable . . . . . . . . . . . . . 153
4.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
5. Modelos probabilı́sticos importantes
192
5.1. Modelos relacionados con un proceso de Bernoulli . . . 192
5.1.1. El modelo o distribución binomial . . . . . . . 194
5.1.2. El modelo o distribución geométrico . . . . . . 198
5.1.3. El modelo o distribución de Pascal o binomial
negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.1.4. El modelo o distribución de Poisson . . . . . . 203
5.1.5. El modelo o distribución exponencial . . . . . . 205
5.1.6. Modelo o distribución gamma . . . . . . . . . . 207
5.2. Modelo gaussiano o distribución normal . . . . . . . . 209
5.3. Modelo o distribución lognormal . . . . . . . . . . . . 219
5.4. Modelo o distribución hipergeométrica . . . . . . . . . 222
5.5. Modelo o distribución uniforme . . . . . . . . . . . . . 223
5.6. Modelo o distribución Beta . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.7. La función generadora de momentos . . . . . . . . . . 229
5.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Bibliografı́a
261
10
1.
Estadı́stica descriptiva
1.1. ¿Qué es la Estadı́stica?
Como es natural, lo primero que debemos precisar es qué es la
Estadı́stica; en ese sentido, proponemos las observaciones siguientes.
¿De dónde proviene el término ‘estadı́stica’ ? Desde tiempos muy
remotos en la historia de la humanidad, 2300 años antes de Cristo,
encontramos evidencias históricas que demuestran que culturas antiguas, como la china, la hebrea, la griega (particularmente la ateniense) y la romana, formaron censos (listas, registros, resúmenes), por
razones de estado, por ejemplo, tributarios, alimentarios y militares.
Como puede imaginarse, en aquellos tiempos remotos, el habitante
común no estaba interesado en llevar a cabo semejante tarea, es decir,
esta generación de datos resumidos era una labor o competencia
exclusiva del estado; no es ahora difı́cil imaginar que de allı́ derive
el término estadı́stica, en cuanto a su acepción de censo, lista o
incluso resumen. Para ilustrar más este significado de estadı́stica,
recordemos las siguientes frases comunes:
“las estadı́sticas no mienten”
“las estadı́sticas demuestran que...”
“existen las mentiras, las grandes mentiras y las estadı́sticas”
Después de tratar del origen de la Estadı́stica, veamos ahora
el significado actual de esta. En efecto, hoy en dı́a, la estadı́stica
es considerada como una ciencia y su caracterı́stica principal,
11
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
ya no es solo obtener resúmenes; sino más bien, realizar
inferencias a partir de los resultados obtenidos de una
muestra relativamente pequeña de datos. A continuación,
damos dos ejemplos de esto último.
Ejemplo 1.1. Cuando estamos en épocas de elecciones, queremos
saber las preferencias de todo el electorado, pero encuestar a todos
resulta imposible, por razones de tiempo y dinero. Entonces, se
recurre a tomar adecuadamente una muestra y, a partir de los
resultados que se obtienen de ella, inferir lo que ocurrirá en general.
Ejemplo 1.2. En el proceso de producción de un artı́culo, interesa
comprobar si realmente se ha logrado el nivel de calidad deseado.
Evidentemente, usar todas las unidades fabricadas resulta muy
costoso y poco factible. Entonces, nuevamente, se opta por efectuar
el control de la calidad solo para una muestra de unidades
(apropiadamente elegida) para evidenciarse si está o no satisfecho
el nivel deseado.
Parece claro que las inferencias que resulten de lo observado,
en solo una muestra de la población de estudio, no tienen que ser
necesariamente verdaderas, sino que, más bien, están acompañadas
de cierto margen de error y nivel de confianza; es decir, son solo
‘estimaciones’ o aproximaciones de lo que realmente ocurre. Es
precisamente la búsqueda de estas medidas de error y de confianza
para las inferencias lo que convierte a la Estadı́stica en una ciencia,
pues, para ello, usa las Matemáticas y crea su propia teorı́a.
A continuación, empezamos dando algunas definiciones, conceptos
o ideas básicas.
12
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
1.2. Nociones básicas
Definición 1.1. La Estadı́stica es una ciencia que se ocupa de la
recolección, presentación y análisis de datos. La caracterı́stica que la
distingue es la de hacer generalizaciones o inferencias a partir de solo
una muestra.
Ejemplo 1.3. Un ejemplo de inferencia estadı́stica muy conocido
es la inferencia sobre las preferencias electorales. Por ejemplo,
“basándose en los resultados de una muestra de 1822 electores del
paı́s, se estima que el porcentaje de electores (en todo el paı́s) a favor
del candidato AT es de 41 %, con un margen de error de 2 % y un nivel
de confianza en esta inferencia del 95 %”. En este caso, el margen de
error significa que, en realidad, el verdadero porcentaje a favor del
candidato AT está entre 41 %−2 % y 41 %+2 %, es decir, entre 39 % y
43 %. El nivel de confianza significa que la metodologı́a seguida para
estimar dicho porcentaje acierta en el 95 % de las veces que es usada
con muestras de este tamaño; por lo tanto, al ser este porcentaje de
aciertos tan alto, se confı́a en que esta aplicación de la metodologı́a,
con la muestra dada, sea uno de los casos en que se acierta en la
inferencia.
Clasificación de la Estadı́stica Existen dos grandes ramas en la
Estadı́stica: la Estadı́stica descriptiva y la Estadı́stica inferencial.
La Estadı́stica descriptiva, como su nombre lo da a entender, no
va más allá de los datos disponibles, por ejemplo, la muestra; y lo que
interesa es describir qué muestran los datos. Es la parte más conocida
por la mayorı́a de las personas. Sus labores la encontramos, por
ejemplo, en las tablas y gráficas que se acostumbran presentar con el
fin de ilustrar ciertos patrones de tendencia que presenten los datos o,
13
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
simplemente, para que los resultados sean mejor entendidos. Se puede
decir que se ocupa de la primera etapa en el análisis de los datos: la
descripción o análisis exploratorio. La Estadı́stica inferencial, en
cambio, hace el trabajo más importante, es decir, lo que respecta a
las inferencias: segunda etapa en el análisis de los datos.
Observación 1.1. En realidad, en la Estadı́stica inferencial actual,
existen dos corrientes cuyas metodologı́as se contraponen: la llamada
Estadı́stica clásica, la que se acostumbra a enseñar y la más conocida;
y la Estadı́stica bayesiana —en honor a su impulsor Thomas Bayes
(1702-1761)—. Esta última estuvo demasiado tiempo olvidada,
pues requiere de mucho cálculo computacional. Con respecto a
fundamentos, la Estadı́stica bayesiana parece ser más formal. Por
ejemplo, la inferencia obtenida con la Estadı́stica clásica, como ya
hemos explicado, se basa en la aplicación de una técnica sobre
determinada muestra aleatoria disponible; entonces, sucede que, en
un alto porcentaje de las veces, la técnica produce un resultado o
inferencia acertada. Por tal razón, parece natural que quien la aplica
en una muestra en particular confı́e en que esa vez corresponda a uno
de los aciertos y no a uno de los desaciertos, salvo, claro está, que
la persona en cuestión se considere muy desafortunada; es decir, la
inferencia Estadı́stica clásica se sustenta en el llamado “principio
de la confianza”. En contraposición, para la Estadı́stica inferencial
bayesiana, el grado de credibilidad o de confianza, en una inferencia,
se debe basar solo en la oportunidad en la cual se esté aplicando,
es decir, en la muestra disponible sin considerar todas las veces en
las cuales se aplica. Entender esta exigencia de rigor requiere de un
espı́ritu filosófico innato en el hombre desde su origen; pero, más
allá de esta discusión, lo importante es que el objetivo básico es hacer
inferencias.
14
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
Definición 1.2. Una variable es cualquier caracterı́stica de interés.
Definición 1.3. Población es el conjunto de unidades, personas u
objetos sobre los cuales interesa observar una o más caracterı́sticas.
Definición 1.4. Una muestra es cualquier conjunto de una
población. La muestra se llama aleatoria si sus integrantes han sido
escogidos al azar.
Definición 1.5. Un dato u observación es cualquier medida,
resultado de haber observado una variable en una unidad de alguna
población.
Ejemplo 1.4. A continuación, veamos algunos ejemplos de variables,
todas referidas a la población de electores del Perú:
Preferencia electoral (opción del elector por determinado candidato
o ninguno)
Edad del elector (generalmente en años cumplidos)
Estado socioeconómico del elector
Número de integrantes en la familia del elector
Sexo del elector
Grado de instrucción del elector
Ingresos mensuales del elector
Definición 1.6. Las variables se suelen clasificar como cualitativas,
si tienen carácter no numérico, y cuantitativas, si representan
cantidades. A su vez, las variables cuantitativas se subclasifican
en discretas, si el conjunto de valores posibles de la variable
15
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
(denominado rango) puede ser enumerado, y en continuas, si este
conjunto de valores constituye un intervalo o reunión de intervalos.
Ejemplo 1.5. Veamos cómo se clasifican las variables dadas en el
ejemplo 1.4:
La preferencia electoral es una variable cualitativa: expresa la
intención de votar a favor o en contra de determinado candidato.
La edad del elector es una variable cuantitativa y, por la forma de
medirla usualmente, se la puede considerar discreta; formalmente,
deberı́a ser continua, pero, en la práctica, se mide en años cumplidos.
El estado socioeconómico del elector es también una variable
cualitativa, expresa el grupo o estrato socioeconómico al que
pertenece el elector.
El número de integrantes en la familia del elector es una variable
cuantitativa discreta, ya que representa una cantidad y, además, los
valores posibles que podrı́a asumir se pueden enumerar.
El sexo del elector es una variable cualitativa.
El grado de instrucción del elector también es una variable cualitativa,
pues, si bien representa un grado, esto solo significa más o menos
instrucción, pero no cantidad.
El ingreso mensual es una variable cuantitativa continua, pues
representa una cantidad y sus valores posibles, en teorı́a, constituyen
un intervalo.
16
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
1.3. Escalas o niveles de medición
Por medición, se puede entender al proceso de observación de
una caracterı́stica de interés sobre las unidades de la población. Esta
medición se debe expresar como un número que informe,
lo más precisamente posible, sobre la caracterı́stica en la
unidad observada. Claro está que no siempre los números
informarán lo mismo, pues depende de la naturaleza de
lo observado; según esto, se tienen distintos niveles de medición
o escalas. Solemos considerar cuatro niveles que trataremos a
continuación.
1.3.1.
Escala nominal
Aquı́, los números solo sirven para distinguir valores o categorı́as
diferentes de la variable.
Ejemplo 1.6. El sexo de los electores se mide a través de este nivel
de medición o escala. Una escala apropiada puede ser, por ejemplo,
la siguiente:
0 = femenino; 1= masculino.
En general, cualquier escala de este tipo es de la forma:
a = femenino; b = masculino.
Para ciertos a y b números reales, fijados previamente y con la única
condición de que sean diferentes.
17
Profesor José Flores Delgado
1.3.2.
Estadı́stica
Escala ordinal
Aquı́, los números, además de servir para distinguir, reflejan un
orden existente entre los valores de la variable según el menor o mayor
grado en el que se encuentre presente la caracterı́stica.
Ejemplo 1.7. El grado de instrucción del elector se suele medir con
este nivel. Para simplificar, supongamos que solo distinguimos cuatro
valores: analfabeto, primaria, secundaria y superior. Entonces, una
escala apropiada puede ser:
0 = analfabeto; 1 = primaria; 2 = secundaria; 3 = superior.
En general, cualquier escala de este tipo es de la forma:
a = analfabeto; b = primaria; c = secundaria; d = superior.
Para ciertos a, b, c y d números reales, fijados previamente y con la
única condición de que a < b < c < d.
1.3.3.
Escala de intervalo
Además de las caracterı́sticas anteriores, se tiene que las diferencias entre los números asignados representan propiamente cantidades
de la caracterı́stica medida. Esto se logra definiendo una unidad de
medida, y un cero u origen. Este último es arbitrario por no existir
naturalmente, es decir, no existe un valor que indique ausencia de la
caracterı́stica que se mide.
Ejemplo 1.8. El tiempo en el calendario actual es medido de esta
forma. Para ilustrar este tipo de escala, fijémonos en el acontecimiento
de tres eventos A, B y C en el calendario actual, como se muestra a
continuación:
18
Profesor José Flores Delgado
A.C.
0
Estadı́stica descriptiva
A
B
100
200
C
300
400
500
Es inexacto afirmar que el tiempo transcurrido hasta B sea el doble
del transcurrido hasta A. En efecto, esto puede parecer cierto en esta
escala del calendario gregoriano, en la que el origen, al no existir
naturalmente, ha sido fijado arbitrariamente; es decir, no significa
ausencia de tiempo transcurrido. Sin embargo, sı́ es cierto que la
diferencia entre el tiempo transcurrido hasta el acontecimiento A
y el transcurrido hasta B es la tercera parte de la correspondiente
diferencia existente entre B y C.
Observación 1.2. Si dos escalas de intervalo son equivalentes, es
decir, son útiles para medir la misma caracterı́stica, la relación
existente entre una medición, X, cualquiera, obtenida para un
elemento de la población, e Y , la correspondiente medición en el
mismo elemento, pero con la otra escala es:
Y = a + bX
Siendo a y b constantes independientes del objeto que se mide con
ambas escalas. Esto es ası́, pues b representa el posible cambio de
unidad, por ejemplo de años a siglos, y a representa el posible cambio
de origen.
1.3.4.
Escala de razón
Aquı́, los propios números asignados en la medición ya representan
cantidades de la caracterı́stica que se mide. Estas escalas se
caracterizan no solo por tener una unidad de medida, sino, también,
19
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
por poseer un cero u origen natural, el cual significa ausencia de la
caracterı́stica que se mide. Por esta razón, las proporciones entre los
propios números ya representan cantidades y de allı́ el nombre de
escala de “razón”.
Ejemplo 1.9. Los ingresos del elector se miden con este nivel o
escala, pues existe una unidad de medida (soles, dólares, etcétera), y
existe un cero absoluto u origen natural, es decir, un valor que, sin
importar la escala de razón empleada, indica ausencia de ingresos.
Por la misma razón, el número de integrantes de la familia del elector
también se mide con este nivel; en efecto, hay una unidad de medida
(unidades, decenas, etcétera) y el cero es único: indica que no hay
integrantes.
Observación 1.3. Si dos escalas de razón poseen equivalencia, es
decir, son útiles para medir la misma caracterı́stica, existirá una
relación entre una medición, X, cualquiera, obtenida para un
elemento de la población, e Y , la correspondiente medición en el
mismo elemento, pero con la otra escala. La relación existente entre
ambas es:
Y = bX
Siendo b una constante independiente del objeto sobre el que se mide
con ambas escalas. Esto es ası́, pues b representa el posible cambio de
unidad, por ejemplo de años a siglos, de soles a dólares o de unidades
a decenas.
20
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
1.4. Organización y tratamiento de datos. Promedios
y percentiles
A fin de poder detectar patrones de tendencia que puedan mostrar
los datos disponibles, es usual organizarlos en una distribución de
frecuencias, agrupándolos en clases y determinando las frecuencias,
es decir, el número o proporción de datos correspondiente a cada
una. Como veremos a continuación, el tratamiento depende del tipo
de variable, pero vale la pena señalar que no existe una única manera
de hacerlo. En todos los casos, suponemos que X es la variable de la
cual se han obtenido los n datos disponibles.
1.4.1.
Caso de variables cualitativas
Ejemplo 1.10. El tipo de crédito directo otorgado por la banca
múltiple es una variable cualitativa de interés en la supervisión de la
banca. Supongamos que se desea averiguar cómo se han distribuido
los créditos otorgados según el tipo; esta información la podemos
obtener de la página web de la Superintendencia de Banca y Seguros.
Ası́, la tabla siguiente muestra la distribución de esta variable al 31
de mayo de 2003:
Distribución del Tipo de Crédito
Concedido por la Banca Múltiple
Tipo de crédito
Número de deudores
Porcentaje de deudores
Hipotecario para vivienda
38 761
2,5
Comercial y a microempresa
237 882
15
De consumo
1 303 561
82,5
21
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
La distribución de frecuencias se representa mediante barras o
mediante sectores circulares; en ambos casos, los tamaños son
proporcionales a la frecuencia del valor que representa.
Ejemplo 1.11. La distribución del ejemplo anterior puede representarse mediante barras o sectores circulares como se muestra a continuación:
Distribución de los deudores según el tipo de crédito adquirido. Panel
superior: gráfico de barras. Panel inferior: gráfico de sectores circulares
Apreciamos claramente que la mayor parte de los créditos concedidos
son de consumo, con un 82,5 % del total de créditos asignados; sigue
el tipo de crédito comercial y a microempresas (con el 15 %); y el tipo
de crédito menos otorgado es el hipotecario, con solo un 2,5 %.
22
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
Al valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia se de
denomina moda; entonces, podemos decir que la moda del tipo de
crédito otorgado es el tipo de consumo.
1.4.2.
Caso de variables cuantitativas discretas
Ejemplo 1.12. A fin de estudiar el número de sucursales que tienen
las empresas de cierto ramo de la producción nacional, se tomó una
muestra de 80 estas empresas y se contó el número de sucursales que
tenı́a cada una. Ası́, se obtuvieron los resultados siguientes:
2
4
3
5
4
4
4
4
5
5
4
5
4
4
4
4
4
5
4
4
4
5
5
5
5
7
4
4
3
6
6
4
4
5
4
5
5
5
4
2
5 2 4 1 3 5 5 3 4 4 7 5 2
6 5 4 6 4 3 4 6 4 6 4 4 5
4 6 4 4 4 4 4 5 4 4 4 6 4
4
Estos datos se organizan en una distribución de frecuencia como sigue:
Distribución del
número de sucursales
Sucursales
Empresas
Acumulado
X
f
F
1
1
1
2
4
5
3
5
10
4
40
50
5
20
70
6
8
78
7
2
80
Una representación gráfica de esta distribución es la siguiente:
23
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Puede apreciarse que el número de sucursales tiende a concentrarse
alrededor de 4; es decir, la tendencia es hacia la centralización, pues
existe un valor central que sobresale en frecuencia y, alrededor de
este, se distribuyen los demás valores, que van disminuyendo en
frecuencia conforme se distancian del valor central. En este caso, es
fácil encontrar un valor promedio, es decir, uno que represente a la
mayor parte de los datos (el término medio).
Una medida de este valor central es, por ejemplo, la moda, 4
sucursales, o la media aritmética:
X̄ =
n
j=1
n
xj
=
1(1) + 2(4) + ... + 7(2)
346
=
= 4,325.
80
80
Las estadı́sticas más usadas para determinar un valor promedio son
la media aritmética, la moda y la mediana. La mediana, me , es el
valor que ocupa la posición central cuando los datos se ordenan; por
lo tanto, este valor tiene la propiedad de que la mitad de los datos
son menores o iguales que él. En el último ejemplo, la mediana es 4;
es decir, la mitad de las empresas tienen 4 sucursales o menos.
El promedio es, entonces, un valor medio, en el sentido de que se
parece a muchos de los datos; ası́, puede ser usado para representarlos.
24
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
Sin duda, el promedio es la estadı́stica más importante, pues da una
idea general de los valores de los datos.
1.4.3.
Caso de variables cuantitativas continuas
En este caso, los datos se agrupan en k intervalos de igual longitud
o amplitud, C; luego, se determinan las frecuencias de los intervalos.
También se acostumbra definir el representante o marca de clase de
cada intervalo, como el punto medio del intervalo. Este servirá para
aproximar todos los datos que se encuentren en dicho intervalo.
Ejemplo 1.13. En un cajero automático, se midió el tiempo de las
transacciones de cada uno de 25 clientes de una muestra aleatoria. Se
obtuvo en minutos:
0,19 1,39 2,16 1,23 0,75 2,59 1,40 0,02 0,71 2,41 3,53 1,17 1,16
1,61 3,76 0,96 1,94 1,65 4,75 1,59 0,47 2,01 0,82 0,92 3,07
Obtengamos, primero, las estadı́sticas usadas para determinar un
promedio, las cuales se complementarán con los patrones de tendencia
que se puedan detectar al organizar los datos en una distribución de
frecuencias y, más adelante, veremos otras estadı́sticas que servirán
para cuantificar la variabilidad existente entre los datos y, de este
modo, verificar la idoneidad de tales promedios. Ası́, la media
aritmética resulta: X̄ = (x1 + x2 + . . . +x25 )/25 = 42,26/25 = 1,6904.
Entonces, según este resultado, el tiempo promedio para efectuar las
transacciones es de 1,6904 min ; sin embargo, esto no es suficiente
para garantizar que realmente este valor sea un buen promedio. Estos
datos no tienen una moda, pues no existe uno que se repita más. La
mediana de estos datos es el número que ocupa la posición central
25
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
(en este caso el decimotercero), es decir, 1,4; ası́, tenemos que el
50 % de los clientes demoró 1,4 minutos o menos. Este último valor
también puede tomarse como promedio, pero, como ya se mencionó,
debe verificarse que realmente cumpla este rol.
Ahora pasemos a la detección de los posibles patrones de tendencia.
Para este fin, construyamos una distribución de frecuencias con k = 6
intervalos de igual longitud. Los datos extremos son x(1) = 0,02 y
x(25) = 4,75. Luego, el rango es R = 4,75 − 0,02 = 4,73. Ası́, la
longitud de cada uno de los k = 6 intervalos será C = 4,73/6 =
C = 0,78833..., pero, como no sale un valor exacto, es necesario
redondear. En este caso, podemos redondear a 2 decimales (pues los
datos solo tienen dos decimales, ası́, no vale la pena considerar más).
Es claro que el redondeo debe ser por exceso (hacia arriba), pues,
de otro modo, el mayor dato quedarı́a fuera. Tomamos C = 0,79.
El primer intervalo comenzarı́a en x(1) = 0,02 y terminarı́a en
x(1) + C = 0,02 + 0,79 = 0,81; el segundo empezarı́a en 0,81 y
terminarı́a en 0,81 + C = 1,60; y ası́ sucesivamente, hasta haber
completado los k = 6 intervalos. Con estos intervalos, se obtiene la
tabla, todavı́a incompleta, de la forma siguiente:
Tiempo
[0,02; 0,81]
]0,81; 1,60]
]1,60; 2,39]
]2,39; 3,18]
]3,18; 3,97]
]3,97; 4,76]
Marca
Frecuencia
Ahora, se distribuyen los datos uno por uno. Al final, se
habrá completado la tabla de frecuencias siguiente:
26
Profesor José Flores Delgado
Tiempo
[0,02; 0,81]
]0,81; 1,60]
]1,60; 2,39]
]2,39; 3,18]
]3,18; 3,97]
]3,97; 4,76]
Estadı́stica descriptiva
Marca
5
9
5
3
2
1
Frecuencia
Las otras partes de la tabla son las siguientes: xj = marca de
clase del intervalo j (punto medio del intervalo j); Fj = frecuencia
acumulada hasta el intervalo j; h = f /n y H = F/n. Con estas
completamos la tabla de la distribución de frecuencias
Tiempo
(minutos)
[0,02; 0,81]
]0,81; 1,60]
]1,60; 2,39]
]2,39; 3,18]
]3,18; 3,97]
]3,97; 4,76]
Marca
X
0,415
1,205
1,995
2,785
3,575
4,365
Distribución de los tiempos necesarios
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
f
acumulada
relativa
5
5
0,20
9
14
0,36
5
19
0,20
3
22
0,12
2
24
0,08
1
25
0,04
Frecuencia
acumulada relativa
0,20
0,56
0,76
0,88
0,96
1,00
Podemos representar la distribución de frecuencias con el histograma o el polı́gono de frecuencias. El histograma es una representación con barras de altura proporcionales a la frecuencia del
intervalo que representa. El polı́gono se obtiene uniendo, con lı́neas
continuas, cada punto con una abscisa igual a la marca de clase de un
intervalo y ordenada igual a la frecuencia de dicho intervalo. Existen
otras gráficas, como la gráfica de caja. A continuación, se presentan
estos dos gráficos para nuestro ejemplo anterior:
27
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
En cualquiera de estas gráficas, apreciamos los patrones de tendencia
que muestran los datos. Podemos empezar por mencionar lo evidente:
la variación natural de los datos. Es decir, no todos los clientes
necesitan el mismo tiempo; los valores correspondientes están entre
0,02 y 4,75 min. También se puede apreciar claramente que los
tiempos necesarios para que los clientes efectúen sus transacciones
tienden a distribuirse alrededor del intervalo entre 0,81 y 1,6, el cual
sobresale en frecuencia y, conforme consideramos tiempos con valores
28
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
que se alejan de este intervalo, son menos los clientes que necesitan de
este tiempo; es decir, se distingue un patrón de centralización, como
es razonable. Por lo observado, la media y mediana sı́ cumplen el
papel de promedio, y algo mejor la mediana por estar en el intervalo
central. Además, existen unos pocos clientes cuyos tiempos necesarios
son muy grandes en comparación con los otros; es decir, existe una
asimetrı́a o sesgo hacia valores altos.
Ahora, representaremos las frecuencias acumuladas mediante la ojiva
de frecuencias, usando los datos de nuestro ejemplo anterior:
Esta gráfica es de utilidad cuando, por ejemplo, queremos determinar
ubicaciones relativas en la distribución, como lo ilustra el ejemplo
siguiente.
Ejemplo 1.14. Al banco le interesa saber, entre otros detalles, si
necesita dar más recomendaciones en cuanto al uso del cajero para
bienestar de todos los clientes. Ası́, no solo le interesa que los tiempos
necesarios tiendan a centralizarse alrededor de un valor razonable,
sino también que no exista un sesgo indicativo de posible malestar en
29
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
los clientes que podrı́an estar esperando su turno por mucho tiempo.
En ese sentido, el banco considera un grupo de clientes ‘crı́tico’. Este
lo integran aquellos que necesitan mayores tiempos y que constituyen
la cuarta parte de los clientes. ¿A partir de qué tiempo un cliente de
la muestra ya es considerado dentro del grupo referido?
Ya hemos hablado sobre el patrón de tendencia a la centralización.
Ahora, para obtener el valor del tiempo a partir del cual un cliente
estará dentro del grupo ‘crı́tico’, basta observar en la ojiva anterior, el
porcentaje acumulado de 75 %, pues, si este grupo de mayores tiempos
constituyen una cuarta parte o 25 %, entonces, las otras tres cuartas
partes o 75 % (y cuyos tiempos correspondientes son inferiores) están
fuera del grupo. Ası́, es claro que el valor buscado, x, debe ser tal
que le corresponda un porcentaje acumulado igual a 75 %, es decir,
H(x) = 0,75. De aquı́, la solución es simple: basta ordenar los datos
para descubrir dicho valor, es decir, 2,16 minutos.
Supongamos ahora que se deseara resolver el problema, pero para
la población completa de clientes. Evidentemente, la solución es
compleja, casi inviable; por ello, podemos recurrir a una solución
estadı́stica: hacer una inferencia a partir de los datos de la muestra
disponible. Entonces, el valor obtenido en la muestra es solo una
estimación; es decir, podemos decir, que 2,16 es el tiempo estimado.
Sin embargo, para que esto sea realmente una inferencia estadı́stica,
habrı́a que cuantificar el error de estimación y el correspondiente nivel
de confianza en esta; ello será visto posteriormente.
El problema anterior también puede resolverse desde un punto de
vista probabilı́stico. Para ello, basta obtener un modelo que describa
las frecuencias relativas de los tiempos necesarios —más adelante nos
30
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
ocuparemos del estudio de modelos de esta naturaleza—. Podemos
considerar uno muy simple a partir de los datos de la muestra,
es decir, una función H, cuya gráfica corresponde a la ojiva dada
anteriormente. De allı́, observamos (o incluso simplemente de la tabla
de la distribución) que el valor buscado, x, está en el tercer intervalo,
es decir, x ∈]1,60; 2,39]; luego, concentrando nuestra atención en
este intervalo, obtenemos: x = 2,3505. Lo anterior se ilustra a
continuación:
Determinación de un percentil a partir de la ojiva
Con esta función, podemos averiguar, bajo un enfoque probabilı́stico,
todo lo relacionado con esta variable (el tiempo necesario para realizar
las transacciones en el cajero), como por ejemplo el tiempo promedio
necesario. De esto nos ocuparemos en el capı́tulo de probabilidad.
El ejemplo anterior también motiva la definición siguiente.
31
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Definición 1.7. Si K es un número entre 0 y 100, el percentil K
es el valor de los datos que tiene la propiedad de que el K % de las
observaciones es menor o igual que él. Podemos denotarlo por PK .
Ası́, H(PK ) = k / 100 o, equivalentemente, F (PK ) = nk / 100, siendo
n el número total de observaciones.
Observación 1.4. Nótese que el percentil es una medida de
posición o ubicación relativa dentro del grupo de observaciones.
Un ejemplo muy familiar para todos nosotros lo encontramos en la
universidad cuando se habla del “tercio superior” o, a veces, hasta
del “quinto superior”; el primer grupo corresponde a los alumnos con
un promedio ponderado de notas de, por lo menos, igual al P66,66 ;
y el segundo grupo está integrado por los alumnos cuyo promedio
ponderado de notas sea, por lo menos, igual al P80 . Estas medidas
son de suma utilidad cuando queremos comparar datos medidos en
diferentes unidades.
Ejemplo 1.15. Cuando usted, como es de esperarse, termine
satisfactoriamente sus estudios o haya completado buena parte
de ellos, querrá empezar a trabajar o, tal vez, querrá salir al
extranjero para realizar un posgrado; entonces, tendrá que preparar
su curriculum vitae; además, probablemente tenga que rendir un
examen de suficiencia en el idioma inglés y también le tendrán que
elaborar algunas cartas de recomendación. Para lo del inglés, lo que
importará será su ubicación relativa o percentil dentro de las notas
de dicho examen, mientras que, para la carta de recomendación,
será de suma importancia su percentil dentro del grupo de notas
de los alumnos de la universidad.
Definición 1.8. Gráfica de caja: es una gráfica que se obtiene con
los percentiles 25, 50 y 75, junto con el menor y mayor valor de los
datos. Se obtiene ası́ un buen resumen de los datos.
32
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
A continuación, hagamos la gráfica de caja que corresponde a los
datos del ejemplo 1.13, correspondientes a los tiempos necesarios para
realizar una transacción en un cajero automático. Las estadı́sticas
necesarias las presentamos en la tabla siguiente:
Tiempo necesario (min)
Mı́nimo
0,02
Máximo
4,75
Percentil 25
0,92
Percentil 75
2,16
Percentil 50
1,4
En esta gráfica, se puede apreciar que los tiempos necesarios para
realizar las transacciones varı́an entre 0,02 min y 4,75 min, mientras
que el 50 % de las tiempos centrales está entre 0,92 min y 2,16 min.
Esto da un rango medio de 2,48 min. Un promedio para estos tiempos
puede ser 1,4 min.
Observación 1.5. Una vez más, destacamos que la distribución
de los datos tiene por finalidad primordial detectar patrones de
tendencia que muestren estos datos y, en particular, proponer, a partir
de estos patrones, modelos para describir no solo la muestra de datos
disponibles, sino a la población entera de la que provienen estos. Las
estadı́sticas (resúmenes) de una muestra de datos disponible (media,
moda, mediana, etcétera) se obtienen directamente con los propios
datos sin necesidad de la distribución de frecuencias.
33
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
1.5. Propiedades y uso de los promedios
La importancia del promedio se debe a que, muchas veces,
necesitamos saber cómo son los datos en general y esto resulta más
importante que las particularidades de cada uno. A continuación,
damos algunas observaciones y propiedades de los promedios ya
definidos. Antes, debemos incidir, una vez más, en que la media
aritmética no es la única forma de obtener un promedio. Es la más
conocida, pues generalmente es la mejor, aunque no siempre es ası́.
1. La moda se puede calcular y tendrá significado en términos
de la variable medida, incluso con escalas nominales. Para la
mediana esto sucede a partir de escalas ordinales. Para la media
con escalas de razón y hasta con las de intervalo.
2. La moda y la mediana presentan dificultades en su cálculo.
Puede ocurrir que ninguno de los datos sobresalga en frecuencia;
en este caso, no existe la moda o, a veces, se admite la existencia
de dos o tres modas. Si el número de datos es par, existirı́an dos
de ellos que ocuparı́an las posiciones centrales al ser ordenados.
Si estos dos son iguales, no hay ningún problema, pero, si no lo
son, dos reglas son muy usadas: la primera consiste en tomar el
de menor valor, la cual es muy útil incluso con escalas ordinales
simplemente; la segunda, válida para escalas de intervalo o de
razón, consiste en tomar la media aritmética de los dos valores
centrales.
3. De estos tres promedios, solo la media es proporcional a la suma
n
total de las observaciones. Y se tiene que:
xj = nX̄. Ası́, solo
j=1
la media deberá usarse para este fin.
34
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
4. En el caso de variables cuantitativas, la media aritmética es
el promedio más usado. Esto se debe a que tiene mejores
propiedades y es más adecuada para la inferencia estadı́stica,
pues produce generalmente mejores estimaciones. Sin embargo,
como medida del promedio, la principal desventaja de la media
es que se ve afectada por la presencia de asimetrı́a o valores
extremos no compensados, desplazándose en esa dirección.
A continuación, se ilustra esto gráficamente para el caso de
una distribución correspondiente a una variable cuantitativa
continua con tendencia a la centralización:
El ejemplo 1.13 ilustra la situación de asimetrı́a hacia la
derecha, razón por cual la media resulta un poco mayor que
la mediana.
5. La media aritmética es el único punto de equilibrio: compensa
los valores que se encuentran a su izquierda con los de su
derecha. Se cumple que:
n
j=1
(xj − X̄) = 0 y si
n
j=1
(xj − x) = 0, entonces, x = X̄.
6. Considerando la distancia euclidiana, la media aritmética es el
punto que más cerca está de todos los datos en general; es decir,
35
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
para cualquier número real x se cumple que:
n
n
(xj − X̄)2 ≤
(xj − x)2 .
j=1
j=1
La propiedad anterior también se enuncia diciendo que la media
aritmética es el valor que tiene la propiedad de minimizar la
suma de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto
a él.
7. Considerando la distancia valor absoluto, la mediana es el punto
que más cerca está de todos los datos en general, es decir, para
cualquier número real x se cumple que:
n
n
| xj − M e | ≤
| xj − x |.
j=1
j=1
La propiedad anterior también se enuncia diciendo que la
mediana es el valor que tiene la propiedad de minimizar la suma
de los valores absolutos de las desviaciones de los datos respecto
a él.
8. Para cualesquiera a y b, que se fijen, si hacemos que cada dato
xj , se transforme en:
yj = a + bxj ,
entonces, la media aritmética resultante de estos datos,
ası́ transformados, también satisface dicha relación, es decir,
Ȳ = a + bX̄.
Esta propiedad nos dice cómo varı́a la media aritmética ante
cambios en la unidad de medida o del origen de la escala.
Ahora veamos las principales medidas de dispersión, la tendencia
natural de los datos a diferenciarse entre ellos.
36
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
1.6. Medidas de dispersión
La tendencia a la dispersión es la tendencia más natural en los
datos; sin ella, no existirı́an problemas que resolver y significa la
tendencia que tienen los datos a diferenciarse entre ellos, a ser menos
homogéneos y más heterogéneos, a estar más dispersos.
El Rango es la diferencia entre los dos valores más extremos, es decir,
entre el mayor y el menor de los datos. Lo podemos denotar por R.
Ası́, si como ya fue indicado antes, x(1) es el menor valor y x(n) es el
mayor, se tiene que:
R = x(n) − x(1)
Claramente, es una medida muy imprecisa, como se ilustra en el
ejemplo siguiente.
Ejemplo 1.16. Dadas las series de datos siguientes:
Serie 1 :
Serie 2 :
15
195
20
200
20
200
Datos
20
25
200 200 200
200
200
205
R
10
10
¿En cuál de las series dirı́a usted que los datos están menos dispersos?
La respuesta es en la segunda, pues puede apreciarse en ella que hay
mayor cantidad de datos parecidos a su promedio. El rango es una
medida muy imprecisa. Solo cuando el rango sea pequeño, tendremos
razones para pensar que no haya mucha dispersión.
El rango intercuartil Es la diferencia existente entre los percentiles
75 y 25. Lo podemos denotar por RI. Ası́:
RI = P75 − P25 .
37
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Esta medida refina al rango, pues ya no considera los dos valores más
extremos, sino a los cuartos superior e inferior; es decir, descarta los
datos que queden fuera del intervalo formado por estos percentiles y
se queda sólo con el 50 % restante, o sea, el 50 % central.
La desviación estándar Se define como una ‘distancia’ promedio
de los datos respecto a su media. Si la denotamos por S, tenemos
que:
n
(xj − X̄)2
j=1
S=
.
n
En esta fórmula, la raı́z cuadrada permite que esta medida se exprese
en las mismas unidades de los datos.
Si no se dividiera por n, se tendrı́a exactamente la distancia euclidiana
entre los puntos de Rn : (x1 , . . . , xn ) y (X̄, . . . , X̄). Entonces, esta
medida es una distancia promedio de los datos a su media. Cuanto
más grande sea este valor, más heterogéneos serán los datos y, cuanto
más pequeño sea, más homogéneos lo serán.
Esta estadı́stica es la medida de dispersión más usada por razones
similares a las que hacen de la media la medida de resumen o
promedio más usada, y, naturalmente, también presenta dificultades
cuando existe asimetrı́a.
La varianza es el cuadrado de la desviación estándar; por eso, se le
denota por S 2 .
El coeficiente de variación Se define como la proporción que
representa el valor de la desviación estándar respecto al de la media.
S
Se denota por CV. Ası́: CV = .
X̄
38
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
Al carecer de unidades, se le suele usar para comparar la dispersión
existente entre dos grupos de datos cuyas unidades no sean
comparables o cuyos promedios estén muy distanciados por
corresponder a distintas poblaciones.
Ejemplo 1.17. Veamos lo que ocurre con los datos del ejemplo 1.12.
Aprovechemos para obtener las principales estadı́sticas de estos datos
con ayuda del Excel, el cual tiene los procedimientos estadı́sticos en la
opción del menú de Herramientas llamada “Análisis de datos”(si esta
opción no estuviera activada se puede hacerlo en los Complementos
del menú de Herramientas). En la opción Análisis de datos, se pide el
procedimiento Estadı́stica descriptiva. Ası́, la secuencia anterior es:
Ası́, obtenemos, entre otras, las estadı́sticas siguientes:
Número de sucursales
Media
4,325
Error tı́pico
0,1204
Mediana
4
Moda
4
Desviación estándar
1,077
Varianza de la muestra
1,1589
Curtosis
1,1995
Coeficiente de asimetrı́a
-0,1874
Rango
6
Mı́nimo
1
Máximo
7
Suma
346
Cuenta
80
Mayor (20)
5
Menor (20)
4
Nivel de confianza (95 %)
0,2396
39
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
En este caso al procedimiento Estadı́stica Descriptiva se le solicitó el
resumen de estadı́sticas y, para que este incluya los percentiles 75 y 25,
se indicó el k-ésimo mayor y el k-ésimo menor correspondientes. En
este caso, como son 80 datos, estos corresponden al vigésimo mayor
y vigésimo menor, respectivamente (la cuarta parte de 80 es 20).
Como ya hemos visto, los datos están alrededor de 4. Vemos que
el rango es 6, mientras que el rango intercuartil es P75 − P25 =
5 − 4 = 1. Este último indica que no es muy grande la dispersión
en el número de sucursales, al igual que la desviación estándar que
es 1,077. Si queremos precisar mejor cuán grandes son estas medidas
de dispersión, hay que compararlas con la magnitud promedio de
los datos; ası́, apreciamos que la dispersión es relativamente baja.
Entonces, por lo visto hasta ahora sobre estos datos, concluimos que
el número promedio de sucursales es 4 y es relativamente pequeña la
variabilidad.
Ejemplo 1.18. En el ejemplo 1.13 la media, mediana, desviación
estándar y rango intercuartil son respectivamente 1,6904; 1,4; 1,1289
y 1,24. Ası́, con los patrones de tendencia observados y las estadı́sticas
anteriores, concluimos que, en promedio, los clientes tardan 1,4
minutos y la variabilidad promedio es de 1,2 minutos.
1.6.1.
Propiedades de la desviación estándar
1. Se verifica la fórmula siguiente, llamada fórmula de cálculo para
la varianza:
S2 =
n
j=1
x2j − nX̄ 2
n
40
=
n
j=1
x2j
n
− X̄ 2 .
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
2. Para cualesquiera a y b que se fijen, si hacemos que cada dato
xj se transforme en:
yj = a + bxj ,
entonces, la varianza resultante de estos datos ası́ transformados
satisface:
2
SY2 = b2 SX
Y, si b es positivo: SY = bSX .
3. Desigualdad de Chebychev Para cualquier número K > 0,
la proporción de datos que caen dentro del intervalo de extremos
X̄ − KS y X̄ + KS, es, por lo menos, igual a 1 − 1 / K 2 .
Esta propiedad permite establecer que, entre X̄ − 3S y X̄ + 3S,
se encuentran por lo menos 8/9 de los datos, es decir, el 88,89 %
(aproximadamente). De aquı́ que, mientras más disten los datos
respecto a su media, menos frecuentes serán.
Lo discutido al final también motiva, en parte, la definición
siguiente, relacionada con la ubicación relativa de un dato
respecto a la media de su grupo.
1.7. Datos tipificados o estandarizados
Si, en un grupo de datos, la media es X̄ y la desviación estándar
es SX , entonces, el valor tipificado de xj se denota por zj y se define
como:
xj − X̄
zj =
.
SX
Ası́, el dato tipificado no es más que su distancia respecto de la media
del grupo, pero expresada en términos de la desviación estándar.
Especı́ficamente, el signo del dato, ası́ tipificado, indica si el dato
41
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
está por debajo o por encima de la media del grupo. La magnitud, en
valor absoluto, indica cuán alejado está en términos del alejamiento
promedio de los datos (la desviación estándar). También es claro que,
al pasar los datos a esta escala, es decir aplicando tal fórmula de
transformación, los datos ası́ obtenidos preservan el orden original.
Además de lo mencionado antes, lo más importante es que al
transformar ası́ los datos, sin que importe cuál sea la media y
desviación estándar de los datos originales, los valores resultantes
tienen una media igual a cero y una desviación estándar igual
a 1, de allı́ el nombre de estandarizados. Esto último y el hecho
de que el orden se preserve al transformar ası́ los datos hacen
que esta transformación sea de utilidad, por ejemplo, cuando se
quiere comparar dos datos provenientes de grupos con medias muy
diferentes, o si corresponden a mediciones efectuadas en distintas
escalas.
Observación 1.6. La forma anterior no es la única utilizada para
estandarizar. Existen otras, como la puntuación T , para la cual la
media es 50 y la desviación estándar 10. No es difı́cil verificar que la
fórmula para este caso es la siguiente:
xj − X̄
T = 50 +
10.
SX
Esta es la fórmula que se utiliza para estandarizar las notas en
nuestra universidad, antes de obtener el coeficiente de rendimiento
estandarizado (CRAEST).
La deducción de esta fórmula es la siguiente:
Si X es la variable original, deseamos efectuar una transformación
simple de ella: Y = a + bX, con b > 0 (para conservar el orden
42
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
original de los valores de X), de modo que la media y desviación
estándar resultantes sean 50 y 10, respectivamente. Entonces, por la
propiedad 8 de la media y la propiedad 2 de la desviación estándar,
a y b deben satisfacer las ecuaciones siguientes:
a + b X̄ = 50
b SX = 10.
entonces, b =
10
10
y a = 50 −
X̄.
SX
SX
10
10
Ası́, Y = 50 −
X = 50 +
X̄ +
SX
SX
xj − X̄
SX
10.
Resulta claro que, al efectuar esta transformación, el orden de mérito
de los alumnos en un determinado curso, establecido por la nota final
(x), se mantiene al hacerlo con las notas estandarizadas (T ), pero
con la diferencia de que ahora la media es 50 y la desviación estándar
10, lo que facilita la comparación del rendimiento de dos alumnos de
diferentes facultades.
También se puede notar que, si el promedio ponderado de un alumno
está por debajo de la media de su facultad (esto es x < X̄), entonces
su CRAEST será menor que 50, pero, si su promedio está por arriba
de la media de su facultad (esto es x > X̄), entonces, su CRAEST
será mayor que 50.
Observación 1.7. En general, si se quiere una media Ȳ = ȳ y una
desviación estándar SY = sY , la fórmula de transformación es:
Y = ȳ +
xj − X̄
SX
43
sy
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
1.8. Diagrama de hojas y tallos
Este diagrama es una alternativa a la distribución de frecuencias
para la tarea de analizar los datos. En esta gráfica, cada dato se divide
en dos partes: su tallo y sus hojas.
Por ejemplo, a continuación, tenemos 21 datos:
72 71 65 54 78 85 63 61 51 77 85 83 63 55 57 73 73 68 73 75
77
Primero ordenamos los datos de menor a mayor:
51 54 55 57 61 63 63 65 68 71 72 73 73 73 75 77 77 78 83 85
85
Observamos que el menor dato es 51 y el mayor 85. Para cada dato,
podemos tomar la cifra de las decenas como tallo; entonces, la otra
será la hoja. Ası́, por ejemplo, para el dato 51: su tallo es 5, su hoja
1. Entonces, colocamos los tallos en una columna, como sigue:
5
6
7
8
Luego, escribimos cada hoja junto a su tallo:
5
6
7
8
1
1
1
3
4
3
2
5
5 7
3 5 8
3 3 5 7 7 8
5
44
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
1.9. Ejercicios resueltos
Ejercicio 1.1.
Muestre dos grupos de datos para verificar que el rango es una medida
de dispersión muy imprecisa.
Solución: Dadas las series de datos siguientes:
Serie 1:
195
200
200
200
205
Serie 2:
15
20
20
20
20
20
20
20
20
20
25
En ambas series, el rango es 10, pero, en la segunda, hay mayor
cantidad de datos parecidos entre sı́.
Ejercicio 1.2.
Muestre una serie de datos para los que no exista un promedio o
término medio.
Solución: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18,
19, 20, 21, 22, 23.
No existe una estadı́stica que sirva de término medio; es decir, los
datos no se parecen a un valor en particular.
Ejercicio 1.3.
En una compañı́a, la media aritmética de los sueldos es de S/. 2 500.
Se proponen dos alternativas de aumento. En la primera, se propone
incrementar a todos los empleados S/. 600, mientras que, en la
segunda, un aumento del 5 % más una bonificación de S/. 200. ¿Cuál
de las dos alternativas le representará más gasto a la compañı́a?
45
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Solución: Para responder la pregunta, basta comparar las medias
bajo cada alternativa, pues la media es proporcional a la suma total.
Veamos, entonces, cómo cambia la media con cada alternativa:
Según la primera alternativa, cada sueldo xj se transforma en yj =
600 + xj . Ası́, por la propiedad 8 de la media, resulta una media
Ȳ = 600 + X̄ = 600 + 2500 = S/. 3 100.
Para la segunda alternativa, cada sueldo xj se transforma en tj =
xj + 0,05 xj + 200 = 200 + 1,05 xj . Nuevamente, por la propiedad
anterior, resulta que la media, bajo esta alternativa, es T̄ = 200 +
1,05X̄ = 200 + (1,05)2500 = S/. 2 825.
Ası́, la primera alternativa le representará más gasto a la compañı́a.
Ejercicio 1.4.
A fin de tomar diferentes decisiones sobre el tiempo que permanece
inactivo un sistema de información durante un dı́a, se le solicita a
usted el valor promedio y el tiempo total de inactividad en un perı́odo
de 60 dı́as. Suponga que solo se tiene la información siguiente sobre
los tiempos registrados para cada uno de los dı́as de este perı́odo:
Mediana = 6 000 s; Media = 8 500 s.
Proporcione lo solicitado. Si fuera el caso, mencione la información
que se requiera para una mejor respuesta.
Solución: Sean x1 . . . x60 los tiempos de inactividad correspondientes
a los 60 dı́as de este perı́odo. Entonces, el tiempo total de inactividad
60
es
xj = 60 X̄ = 60 × 8 500 = 510 000.
j=1
46
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
Pero, para dar una respuesta apropiada para el tiempo promedio
de inactividad, se requiere mayor información. Podrı́amos optar
por la mediana, pensando que, si este valor difiere de la media,
probablemente se deba a que, en algunos dı́as, el tiempo de
inactividad es muy grande; pero, incluso, podrı́a ser que no se pueda
encontrar un buen promedio o término medio para los tiempos
registrados.
Ejercicio 1.5.
A fin de mejorar el rendimiento de los alumnos en un curso de
Estadı́stica, los alumnos fueron separados en dos grupos. Al primero
le fue dado un curso con herramientas computacionales modernas; al
segundo, un curso tradicional sin las herramientas computacionales.
Al cabo del curso, ambos grupos fueron evaluados con una misma
prueba. Las notas correspondientes fueron procesadas con el Excel y
se obtuvieron las distribuciones de frecuencias siguientes:
Con herramientas comp.
Notas
Alumnos
9
1
10
4
11
2
12
3
13
10
14
10
15
7
16
8
17
4
18
1
Sin herramientas comp.
Notas
Alumnos
9
4
10
7
11
12
12
9
13
10
14
3
15
3
16
2
a) Obtenga e interprete las estadı́sticas descriptivas que resumen
los datos.
47
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
b) Represente cada distribución con su respectiva gráfica de caja,
de modo que se muestre la conclusión al problema formulado.
Comente al respecto.
Solución:
a) Estadı́sticas importantes:
Estadı́stica
Cuenta
Media
Mediana
Moda
Desviación estándar
Mı́nimo
Máximo
Rango
Percentil 75
Percentil 25
Rango medio
Con
50
13,92
14
13 y 14
2,1174
9
18
9
16
13
3
Sin
50
11,9
12
11
1,7871
9
16
7
13
11
2
Fueron evaluados 50 alumnos con cada prueba.
La nota promedio (media) fue 13,92, cuando se usaron
herramientas computacionales, y 11,9 cuando no se usaron
dichas herramientas.
El 50 % de los alumnos tuvo una nota menor o igual que 14
cuando se usaron herramientas computacionales, y menor o
igual que 12 cuando no se usaron.
La mayorı́a de los alumnos tuvo una igual a 14 cuando se usaron
herramientas computacionales y 11 cuando no se usaron dichas
herramientas.
48
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
La diferencia promedio de las notas fue 2,1173 cuando se usaron
herramientas computacionales y 1,7871 cuando no se usaron
dichas herramientas.
La mı́nima nota fue 9 independientemente del uso de herramientas computacionales, pero, cuando se usaron dichas herramientas, la máxima nota fue 18, dos puntos más que cuando
no fueron usadas. Ello determina un rango de variación de las
notas de 9 en el primer caso y de 7 en el segundo.
El 75 % de los alumnos tuvo una nota menor o igual que 16
cuando se usaron herramientas computacionales, y menor o
igual que 13 cuando no se usaron.
El 25 % de los alumnos tuvo una nota menor o igual que 13
cuando se usaron herramientas computacionales, y menor o
igual que 11 cuando no se usaron.
El rango de variación medio de las notas fue 3 puntos cuando se
usaron herramientas computacionales y 2 cuando no se usaron
dichas herramientas.
b) Gráficas de cajas:
49
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Se concluye que, cuando se usaron las herramientas computacionales, el promedio de las notas aumentó (aproximadamente
dos puntos); sin embargo, las notas resultaron algo más heterogéneas, pues la variabilidad aumentó (aproximadamente un
punto).
50
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
1.10. Ejercicios propuestos
Ejercicio 1.1.
Redacte la conclusión dada en cada una de las partes siguientes, pero
según el contexto respectivo:
a) En un estudio sobre cambios en la conducta de drogadictos
de cierto grupo de personas, fue registrada la edad (en años)
en la cual dichas personas iniciaron el consumo de drogas. Se
concluyó que el 75 % de los datos registrados era mayor que 15.
b) En un estudio sobre cierto sector laboral, se registró el ingreso
mensual (en soles) de cada trabajador. Se concluyó que solo el
10 % de los datos registrados era superior a 3 500.
c) En un estudio acerca de las caracterı́sticas de ciertas cerámicas
precolombinas, fue registrado (en centı́metros) el diámetro
central de estas. Se concluyó que el 30 % de los datos registrados
estaba entre 20 cm y 25 cm.
Ejercicio 1.2.
Usando una misma escala, cierta caracterı́stica ha sido medida sobre
tres objetos, A, B y C, y se obtuvieron los valores 0; 40 y 20,
respectivamente.
a) Con esta información, no se puede asegurar que la escala usada
sea ordinal. Justifique con un ejemplo.
b) Con esta información, no se puede descartar que la escala usada
sea ordinal. Justifique con un ejemplo.
51
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
c) Con una segunda escala, también del mismo tipo de la primera,
se midió la misma caracterı́stica sobre estos objetos y se obtuvieron las mediciones siguientes: 10, 90 y 50, respectivamente.
¿Cuál puede ser el nivel de medición empleado?
d) Suponga que esta caracterı́stica sea cuantitativa y que la escala
usada sea de razón. Dé usted una variable que pueda servir como
ejemplo y brinde la información principal que proporcionarı́an
dichos valores acerca de ella.
Ejercicio 1.3.
Fue registrada la tolerancia de tres personas, A, B y C, empleando
una escala nominal, y se obtuvo los resultados siguientes:
A
B
C
3
5
5
¿Se puede deducir si una de estas personas es más tolerante que las
otras dos?
Ejercicio 1.4.
A continuación, se presentan tres series de datos y tres afirmaciones:
Serie 1: 1, 2, 4, 6, 6, 6, 6, 8, 10, 11.
Serie 2: 39, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 70.
Serie 3: 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9.
Afirmación 1: El producto de la mediana y el número de datos no
proporciona una buena idea de la suma total de los datos.
52
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
Afirmación 2: No siempre es fácil determinar un valor promedio.
Afirmación 3: El rango es una medida de dispersión muy imprecisa.
Identifique cada afirmación con la serie de datos que mejor refleje lo
sostenido en ella. Para la elección de cada serie, deberá indicar la
razón por la que descarta las otras.
Ejercicio 1.5.
En una clı́nica, cada una de dos terapias nuevas (A y B) para la
rehabilitación de pacientes con depresión se aplicó en uno de dos
grupos de igual número de pacientes (con caracterı́sticas similares)
que adolecı́an de este problema, y se obtuvieron las estadı́sticas
siguientes sobre las horas de terapia aplicadas hasta la recuperación
de los pacientes:
Horas de aplicación
Estadı́stica
Media
Mediana
Moda
Desviación estándar
Percentil 75
Percentil 25
Terapia A
66,5
66,5
66,5
15,5
86,0
47,0
Terapia B
77,0
63,0
63,0
16,5
83,0
50,0
a) Si los histogramas de cada muestra de datos mostraron una
tendencia a la centralización, determine la terapia que, en
general, necesitó de un menor tiempo de aplicación por paciente.
53
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
b) Si el gasto para la clı́nica, por hora de aplicación, fue el
mismo para cada terapia, ¿la aplicación de cuál de las terapias
significó un menor gasto total para la clı́nica?
c) Si, como criterio para decidir cuál de las terapias se debı́a
adoptar, se impuso la condición de que, a lo más, el 25 % de
los pacientes requieran más de 85 horas, ¿cuál de estas dos
terapias, si existe una, decidirı́a adoptar usted?
Ejercicio 1.6.
A continuación, se dan cuatro afirmaciones. Estudie la veracidad
de cada una de ellas. Además, si una afirmación es verdadera,
proporcione una serie de datos que refleje lo que esta sostiene. Si
considera que la afirmación es falsa, muestre una serie que exhiba lo
contrario.
i) Con el ‘promedio’ de una serie de 10 datos, se puede tener cierta
idea de la suma total de los datos, pero no necesariamente la
suma exacta.
ii) Para obtener un percentil de una serie de datos, obtenidos
de una variable cuantitativa continua, es necesario construir,
previamente, la distribución de frecuencias y usar la ojiva de
frecuencias acumuladas.
iii) El rango es una medida de dispersión muy imprecisa.
iv) Si una serie de datos tiene una media distinta de la mediana,
entonces, necesariamente existe un patrón de tendencia a la
centralización con sesgo.
54
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
Ejercicio 1.7.
A fin de estudiar la eficiencia de cierto programa usado para la
ubicación de archivos, se registró el tiempo que demoró el programa
para localizar la posición de memoria de cincuenta archivos de
caracterı́sticas similares. Se obtuvo los resultados siguientes:
[
]
]
]
]
]
]
]
Tiempo (s)
0,000; 0,125
0,125; 0,250
0,250; 0,375
0,375; 0,500
0,500; 0,625
0,625; 0,750
0,750; 0,875
0,875; 1,000
]
]
]
]
]
]
]
]
Frecuencia relativa
0,04
0,12
0,16
0,18
0,18
0,14
0,12
0,06
a) Una hipótesis sostiene que el tiempo necesario para localizar
la posición de memoria está, para la mayorı́a de los archivos,
alrededor de medio segundo y, conforme el tiempo se aleje de
este valor, se encontrarán menos archivos que requerirán de tal
tiempo. ¿Considera que los datos evidencian la validez de esta
hipótesis? Comente y justifique con el apoyo de una gráfica
conveniente.
x2
x3
b) La función G(x) = 6(
−
), 0 ≤ x ≤ 1 es una de
2
3
las funciones usadas para modelar (aproximar) la frecuencia
relativa acumulada hasta x, cuando 0 ≤ x ≤ 1. Según esta
función, ¿cuál serı́a el valor de la frecuencia que corresponde al
cuarto intervalo de la distribución de estos datos?
55
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 1.8.
Se hizo un muestreo aleatorio de 66 comunidades del paı́s para
averiguar el porcentaje de carencias básicas de las comunidades. Los
datos se muestran a continuación:
87,4
75,2
82,1
82,3
74,8
77,2
75,5
76,6
78
71,9
74,4
75,4
70,6
86,4
83,6
77,1
74,7
67,5
71
65,4
70,9
77,2
78,3
80,8
70,9
74,8
74,5
71,8
83,7
73
75,4
84,5
77
75,2
76,9
71,7
76
76,8
78,5
75,1
81,7
67,7
66,5
76,4
70,5
70,8
78,6
66,6
72,7
70,4
80,8
79,5
81,8
68,2
75,2
71,7
83,8
71,3
80,9
79,6
71,6
75,9
75,3
79
75,9
72,4
A fin de realizar una descripción estadı́stica de estos datos, primero,
se obtuvieron las principales estadı́sticas:
Porcentaje de Carencias
Media
75,68
Mediana
75,40
Moda
75,20
Desviación estándar
4,97
Rango
22,00
Mı́nimo
65,40
Máximo
87,40
Suma
4994,90
Cuenta
66,00
Mayor (17)
78,60
Menor(17)
71,70
Nivel de confianza (95 %)
1,22
56
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
A continuación, con el fin de detectar los posibles patrones de
tendencia, se construyó una distribución de frecuencias. Para esto,
primero, se usó la regla empı́rica “2 a la k,” la cual establece que el
número de intervalos es el menor entero, k, con la propiedad de que
2 elevado a la k sea mayor o igual que el número de datos, por lo que
se consideraron 7 intervalos de igual longitud.
Luego, se obtuvo la tabla siguiente:
Porcentaje
Frecuencia
relativa
Frecuencia
acumulada
68,55
0,09
0,09
71,70
0,17
0,26
74,85
0,15
0,41
78,00
0,30
0,71
81,15
0,14
0,85
84,30
0,11
0,95
87,45
0,05
1,00
En la primera columna de esta tabla, se encuentran los lı́mites
derechos de los intervalos y estos son cerrados.
a) Obtenga las conclusiones.
Debe incluir:
i) Interpretación de las estadı́sticas que arroja el Excel y
otras que considere necesarias.
ii) Estudio de los posibles patrones de tendencia que muestran estos datos, con ilustración gráfica, identificación e
interpretación de estos en el contexto dado.
iii) Conclusiones que integren los puntos anteriores.
57
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
b) En el estudio, se consideró que una comunidad estaba en
extrema pobreza si el porcentaje de carencias era superior al
70 %.
i) ¿Qué porcentaje de comunidades en extrema pobreza hay
en esta muestra?
ii) Como es sabido, la ojiva muestra la tendencia mostrada
por las frecuencias acumuladas de esta muestra de datos.
Considere la ojiva como la gráfica de una función
modelo para describir, bajo un enfoque probabilı́stico, el
porcentaje de carencias en las comunidades del paı́s. Según
este modelo, ¿cuál serı́a el porcentaje de comunidades en
el paı́s que se encuentra en extrema pobreza?
c) Determine en cuánto deberı́a disminuir el porcentaje de
carencias de cada comunidad para que la media de dicho
porcentaje sea solo del 55 %. Si se lograra esto, ¿qué ocurrirı́a
con la desviación estándar de dicho porcentaje?
Ejercicio 1.9.
Si x1 , . . . , xn es una serie de datos con media X̄ y desviación estándar
SX , determine la media y desviación estándar de la serie y1 , . . . , yn ,
en cada uno de los casos siguientes:
a) yj = 4 + 5(xj − X̄), j = 1, . . . , n.
b) yj = n(xj − X̄), j = 1, . . . , n.
c) yj = (xj − X̄) + xn , j = 1, . . . , n.
d) yj = 10xj − X̄, j = 1, . . . , n.
58
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
Ejercicio 1.10.
Para comparar la dureza del agua en dos ciudades, A y B, se tomaron
muestras de agua y se midió el contenido de calcio. Los resultados,
en miligramos por litro de agua, fueron los siguientes:
A
250
291
250
291
258
292
270
292
270
270
271
271
272
284
B
222
277
244
277
250
251
255
261
264
264
265
266
a) Haga las gráficas de caja, de manera que facilite la comparación
del contenido de calcio entre las muestras de agua de las
ciudades. Obtenga las conclusiones.
b) El tercer valor de la muestra de agua en la ciudad A fue 258, el
correspondiente a la B fue 250. ¿Cuál de estos valores representa
mayor contenido de calcio en su grupo?
Ejercicio 1.11.
En un banco, se quiere estudiar la implementación de una capacitación a fin de mejorar la atención que brindan los empleados. Con este
objetivo, se tomaron dos muestras de 50 empleados y se capacitó a
los de una de estas. Luego, se esperó a que todos los empleados hayan
atendido 10 clientes y se registró, para cada empleado, el número de
clientes que mostraron su insatisfacción por la atención recibida. Los
datos fueron procesados con el Excel y se obtuvieron, entre otros, los
resultados siguientes:
59
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Sin la Capacitación
Insatisfechos Empleados
1
1
2
4
3
2
4
3
5
10
6
10
7
7
8
8
9
4
10
1
Con la Capacitación
Insatisfechos Empleados
1
4
2
7
3
12
4
9
5
10
6
3
7
3
8
2
Obtenga conclusiones a partir de la descripción de estos datos. Incluya
estadı́sticas importantes y represente cada distribución mediante una
gráfica de caja y comente según esta.
Ejercicio 1.12.
A fin de fiscalizar el pago de impuestos de los empleados de cierto
sector laboral, se tomó una muestra aleatoria de 25 empleados,
entre los 10 000 que integran este sector. Los ingresos mensuales de
esta muestra (en miles de soles) se procesaron con las herramientas
estadı́sticas que proporciona el Excel y se obtuvo los resultados
siguientes:
Media
Mediana
Desviación estándar
Cuenta
60
9,69
9,40
1,15
25
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
a) Complete la información faltante en el gráfico.
b) Obtenga las conclusiones importantes que se derivan de esta
información.
c) Los ingresos mensuales de este sector superiores a 10 mil soles
serán gravados con un impuesto extraordinario de 100 soles. Se
presenta el problema de estimar la recaudación total mensual
que se obtendrá al aplicar el impuesto sobre este sector.
i) Resuelva el problema bajo un enfoque estadı́stico descriptivo; es decir, considere los resultados de la muestra para
obtener una estimación.
ii) Resuelva el problema bajo un enfoque probabilı́stico,
empleando como modelo a la función H, cuya gráfica
corresponde a la ojiva de frecuencias relativas acumuladas
de esta muestra.
61
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 1.13.
En un centro de trabajo al que llega una gran cantidad de clientes
por dı́a, los operarios fueron capacitados siguiendo un entrenamiento
patrón para realizar funciones del mismo tipo y con gran rapidez.
Los tiempos correspondientes hasta que se requiere un descanso
durante el dı́a de trabajo se distribuyen siguiendo una patrón de
tendencia a la centralización, cuya media y percentiles 25, 50 y
75 son 4,6; 2,75; 5,1 y 5,1 horas, respectivamente. Con el fin de
mejorar los tiempos anteriormente descritos, fue elaborado un nuevo
tipo de entrenamiento para realizar las mismas funciones diarias
y, al adiestrar a los operarios, los tiempos correspondientes dieron
una media y percentiles 25, 50 y 75 de 4,5; 4,1; 5,4 y 5,5 horas,
respectivamente. Además, la distribución de frecuencias con este
entrenamiento nuevo es como se representa a continuación:
Figura 1.1:
a) ¿Existe también un patrón de tendencia a la centralización
en la distribución de los tiempos correspondientes al nuevo
entrenamiento? Explique por qué podrı́a esperarse la existencia
de este patrón de tendencia en este contexto.
62
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica descriptiva
b) Respecto al entrenamiento patrón, se sostenı́a que un grupo de
operarios requerı́a una capacitación complementaria. ¿Está usted de acuerdo? ¿Qué puede decir al respecto si se trata de la
capacitación nueva?
c) El entrenamiento nuevo será implantado definitivamente, en
lugar del antiguo, si tanto el tiempo promedio, como la
variabilidad, resultaran mejores. Usted es encargado para
decidirlo, ¿cuál, según los datos, serı́a su decisión?
d) ¿Cuál es el tiempo mı́nimo para ser considerado en el “cuarto
mejor calificado” según cada entrenamiento?
e) ¿Cuál es el tiempo máximo para ser considerado en el “cuarto
menos calificado” según cada entrenamiento?
Ejercicio 1.14.
Un alumno obtuvo una nota de 14 en el curso A y esta corresponde
al percentil 40 de las notas en el curso. La nota de este alumno en el
curso B fue de 13 y esta corresponde al percentil 60 de las notas en
este curso. Determine en cuál de los dos cursos el alumno obtuvo un
mejor desempeño con respecto a los demás alumnos. Suponga que el
desempeño está dado por la nota y justifique su respuesta.
Ejercicio 1.15.
Durante el último perı́odo de doce meses, la rentabilidad mensual de
cierta operación financiera tuvo una media de 20 % y una desviación
estándar de 5 %. Si un agente invirtió cada mes un capital de 500
unidades monetarias, determı́nese la media y la desviación estándar
de los capitales finales mensuales en este perı́odo.
63
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Nota: si x1 , . . . , x12 son las rentabilidades (en porcentaje) de cada
uno de estos meses, observe que el capital final al cabo del j-ésimo
xj
mes es de 500 + 500 100
= 500 + 5xj .
64
2.
Correlación y regresión lineal
2.1. Correlación
Básicamente, el análisis de correlación lineal consiste en averiguar
si dos variables X e Y están asociadas o correlacionadas de manera
lineal. El objetivo principal del análisis de regresión lineal es predecir
el valor de una de las variables (la que se denomina dependiente y,
usualmente, se denota por Y ) a partir de un determinado valor de la
otra (variable independiente), para lo cual se determina la ecuación
del modelo lineal que relaciona a las dos variables. Para estos fines,
se dispone de una muestra de n observaciones conjuntas de ambas
variables, digamos (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), donde cada par corresponde
a la medición de X e Y, respectivamente, sobre una misma unidad
(sujeto u objeto) de observación.
La correlación se puede detectar fácilmente mediante la gráfica de
los pares dados en un sistema de coordenadas cartesianas, la que se
conoce como “Diagrama de dispersión” o de “esparcimiento”.
A continuación, se muestran los diagramas de dispersión correspondientes a cuatro tipos de asociación. Estos diagramas sugieren
que el promedio de los valores (xi − X̄)(yi − Ȳ ) es un indicador de
correlación lineal; a este se le llama covarianza y se denota por SX,Y .
SX,Y =
n
i=1
(xi − X̄)(yi − Ȳ )
n
65
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Como se aprecia en los gráficos anteriores, si los datos tienden
a seguir un patrón de tendencia lineal y directa (si una variable
aumenta, la otra también aumenta), entonces, la covarianza es
positiva; si, en cambio, la tendencia lineal es inversa (si una variable
aumenta la otra disminuye), la covarianza es negativa. Sin embargo,
este indicador no es tan preciso como el siguiente.
2.2. Índice de correlación de Pearson
A partir de la covarianza, se puede definir un mejor indicador
de correlación lineal llamado “ı́ndice de correlación de Pearson” y
denotado por r como se muestra a continuación:
r=
SX,Y
SX SY
66
Profesor José Flores Delgado
Correlación y regresión lineal
67
Una fórmula útil para el cálculo de r es la siguiente:
r=
n
j=1
(
n
j=1
xj yj − nX̄ Ȳ
x2j − nX̄ 2 )(
n
j=1
yj2 − nȲ 2 )
Las propiedades que tiene este indicador son las que se presentan a
continuación:
1. Está limitado entre −1 y 1; es decir: −1 ≤ r ≤ 1.
2. Solo en el caso de que entre los datos exista una relación lineal
exacta es r, en valor absoluto, igual a 1. Si dicha relación es
directa, r es igual a 1; y, si es inversa, r es igual a −1. Es decir,
se cumple que:
r = 1 ⇔ existen a y b, positivo, tales que: yj = a + bxj ,
j = 1, . . . , n.
r = −1 ⇔ existen a y b, negativo, tales que: yj = a + bxj ,
j = 1, . . . , n.
3. Este indicador es invariante ante transformaciones de los datos
que sean lineales y del mismo tipo (ambas directas o bien
ambas inversas). Se tiene que si uj = c + dxj y vj = e + f yj ,
j = 1, . . . , n, con d y f con el mismo signo, entonces, el
coeficiente de correlación de los datos, ası́ transformados, no
varı́a; es decir, rU,V = rX,Y .
Ejemplo 2.1. En un centro de procesamiento de datos, se está interesado en estudiar Y, el tiempo que se necesita en el computador
central para procesar una cantidad, X, de ciertos trabajos especiales.
Para este fin, determinados números de trabajos de este tipo fueron
67
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
procesados en diferentes oportunidades. Los resultados se presentan
a continuación:
X 2
Y 5,5
5
8
7
9
9
11
11
13
15
20
9
2
7 10
11 5,5 9,2 12
X 5
9 11 2
5
7 10
Y 8,4 11 12 5,9 8,2 9,4 12
9
11
15
20
15
20
7 11
8,4 13
10 2
7
12 5,5 8,6
Con estos datos, haremos un breve análisis de correlación lineal,
gráfica y cuantitativamente.
Gráficamente, construimos el diagrama de dispersión:
Se observa una fuerte tendencia lineal entre ambas variables, de modo
que a mayor número de trabajos le corresponde un mayor tiempo.
Cuantitativamente, usamos el coeficiente de correlación entre ambas
variables:
r=
n
j=1
(
n
j=1
x2j
xj yj − nX̄ Ȳ
− nX̄ 2 )(
n
j=1
68
yj2
= 0,96453
− nȲ 2 )
Profesor José Flores Delgado
Correlación y regresión lineal
69
Se ratifica lo apreciado en el gráfico; es decir, existe una fuerte relación
lineal (r ≈ 1) y directa (r > 0) entre el número de trabajos para
procesar y el tiempo correspondiente.
Ejemplo 2.2. En determinada empresa, se piensa que Y, el precio
de venta (en soles) de un producto, decrece conforme aumenta X, el
tiempo (en años) que tiene de uso este, y según el modelo Y = αβ X ,
para ciertos parámetros positivos α y β, con este último menor que 1
y expresados en unidades convenientes. Para corroborarlo, se dispuso
de la muestra conjunta de ambas variables siguiente:
X
1
3
6
8 9 10 12
Y 4500 1200 155 42 22 11 5
En este caso, el diagrama de dispersión es:
Claramente, se aprecia que las variables tienden a relacionarse, pero
no de forma lineal, sino, más bien, parece una forma exponencial
decreciente como la del tipo señalado.
Para analizar la validez de este modelo, no podemos usar el coeficiente
de correlación, pues no es lineal. Sin embargo, veamos cómo, en este
69
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
caso, es posible transformar el modelo formulado en uno equivalente
y que sı́ sea lineal. De este modo, podremos resolver el problema
aplicando la teorı́a al modelo lineal. Para esto, basta usar logaritmos;
en efecto:
Y = αβ X ⇔ LnY = Lnα + (Lnβ)X
Es decir, LnY y X están relacionados linealmente. Para estudiar el
modelo transformado en lineal, con variables LnY y X, usamos el
coeficiente de correlación. Al hacerlo, obtenemos: rLnY ; X = −0,9977.
Ası́, como este coeficiente grande, en valor absoluto, se concluye que
existe una fuerte relación lineal e inversa entre LnY y X. Por lo
tanto, también es fuertemente apreciable la formulada: Y = αβ X . A
continuación, se muestra la gráfica de LnY y X.
2.3. Regresión lineal simple
Si ya sabemos que los datos presentan una correlación lineal,
entonces, interesa ahora determinar cuál es la ecuación de la relación
que los aproxima, es decir, cuáles son los valores de a y b tales
que, para la mayorı́a de los datos xj e yj , se tenga que yj sea
aproximadamente igual a a + bxj . El método más conocido es el de
70
Profesor José Flores Delgado
Correlación y regresión lineal
71
los “cuadrados mı́nimos”. Bajo este método, los valores de a y b son
aquellos que minimizan la suma de los cuadrados:
Q(a,b) =
n
j=1
(yj − a − bxj )2
Se demuestra que estos valores son:
a = Ȳ − bX̄ y b = r
SY
SX
Geométricamente, la recta buscada es la que ‘mejor’ se ajusta a los
datos (como muestra la figura anterior).
Ejemplo 2.3. En el problema formulado en el ejemplo 2.1,
ya sabemos que, entre el tiempo de procesamiento, Y, y el
correspondiente número de trabajos X, existe una fuerte relación
lineal; es decir, esperamos que el modelo entre las dos variables sea:
Y = a + bX
Entonces, el paso siguiente serı́a averiguar los valores a y b que definen
dicha relación. Estos parámetros a y b los podemos estimar usando los
Y
datos dados y el método de los cuadrados mı́nimos. Ası́: b = r SSX
=
4,1706
0,96453 × 3,90427 = 1,03033; a = Ȳ − bX̄ = 10,832 − 1,03033(8,08) =
2,50693. Luego, el modelo estimado es: Ŷ = 2,50693 + 1,03033X.
71
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
En particular, podemos hacer el pronóstico de la variable dependiente
asociada a un valor cualquiera dentro del rango de valores registrados
de la variable independiente. Por ejemplo, la estimación del pronóstico para una cantidad de 8 trabajos es Ŷ = 2,50693 + 1,03033(8) =
10,75 minutos.
Ejemplo 2.4. En el contexto del ejemplo2.2, ya sabemos que, entre
el precio del producto, Y, y la correspondiente edad, predomina una
fuerte relación del tipo:
Y = αβ X ⇔ LnY = Lnα + (Lnβ)X
Para efectuar un pronóstico, estimamos los parámetros del modelo
transformado a lineal. Para esto, usamos las fórmulas dadas para el
modelo lineal Y = a+bX, con ‘Y ’ = LnY ; y ‘X’ = X; a = Lnα y b =
Lnβ. Ası́, usando los datos dados del ejemplo obtenemos:
b = Lnβ = rLnY ; X SLnY / SX = −0,638197, por lo tanto, β =
0,52824.
a = Ln α = Ȳ −bX̄ = LnY −(Lnβ)X̄ = 4,483054−(−0,638197)(7) =
8,95043, por lo tanto, α = 7711,20697.
Entonces, estimamos la ecuación del modelo esperado Ŷ
7711,20697(0,52824)X .
=
Ası́, por ejemplo, el pronóstico del precio del producto que tiene cinco
años de uso es Ŷ = 7711,20697(0,52824)5 = 317,16 soles.
Observación 2.1. Todo esto ha sido basado exclusivamente en una
muestra. Por lo tanto, serı́a válido sólo para los datos dados; es decir,
hemos trabajado simplemente a nivel descriptivo y no de inferencia.
Además, incluso para los propios datos, estarı́a faltando una medida
de la bondad de las estimaciones y del pronóstico. Lo último
72
Profesor José Flores Delgado
Correlación y regresión lineal
73
será completado a continuación, pero la inferencia correspondiente
no es materia del curso.
2.4. Análisis de varianza para la regresión
Veamos cómo se puede medir el poder explicativo de la variable
dependiente (X) sobre la independiente (Y ) a través de la regresión
planteada. Analizaremos la varianza de Y, llamada ”de la regresión”,
identificando dos fuentes que dan origen a ella.
El valor ajustado por la regresión de X sobre Y , para cada valor yj
de Y es:
ŷj = a + bxj = Ȳ + b(xj − X̄)
Y el correspondiente error es:
ej = yj − ŷj = yj − Ȳ − b(xj − X̄)
Tenemos lo siguiente:
La media de los valores ajustados es igual a la de los propios valores:
n
ŷj /n = Ȳ .
Ŷ =
j=1
La media de los errores de ajuste es cero: ē = 0.
La llamada suma de cuadrados total es:
SCT =
nSY2
=
n
j=1
(yj − Ȳ )2
Como sabemos, esta mide la variabilidad de Y .
73
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
La llamada suma de cuadrados de la regresión es:
SCR
= nSŶ2
=
=
n
j=1
n
j=1
= b2
(ŷj − Ŷ )2
(ŷj − Ȳ )2
n
j=1
(xj − X̄)2
2
= n b2 SX
Esta debe medir la variabilidad de la variable Ŷ , es decir, la de
los valores que se obtendrı́an para Y si se usara la regresión lineal
obtenida con X. Es claro que, si el ajuste es perfecto (lo cual sucede
solo si efectivamente la relación lineal entre X e Y es exacta), se
tendrá que Ŷ = Y y ası́ SŶ2 = SY2 .
La llamada suma de cuadrados de los errores es:
SCE = nSe2 =
n
j=1
=
n
(ej − ē)2
2
ej =
j=1
n
j=1
(yj − Ȳ − b(xj − X̄))2
Debe medir la variabilidad de los errores que se cometen al usar la
regresión lineal para ajustar los valores de Y. Ası́, también mide el
ajuste de los datos a la recta de regresión.
De las ecuaciones anteriores, se verifica la identidad siguiente llamada
descomposición de la varianza:
SCT = SCR + SCE
Ası́, las sumas anteriores tienen una nueva interpretación:
74
Profesor José Flores Delgado
Correlación y regresión lineal
75
SCR estarı́a midiendo la variabilidad de Y explicada por su relación
lineal con X, mientras que SCE estarı́a midiendo la otra parte de la
variabilidad.
De la descomposición anterior, se tiene la siguiente identidad:
1=
SCR SCE
+
SCT
SCT
A la proporción
R2 =
SCR
2
= rX,
Y
SCT
se le llama el coeficiente de determinación. Por lo visto en la
descomposición de la varianza, este coeficiente mide la proporción
de variabilidad de la variable dependiente que se debe a su relación
lineal con la variable independiente.
Una manera alternativa de interpretar el coeficiente de determinación,
R2 , se obtiene a partir de la relación siguiente:
R2 = r 2
Ŷ , Y
.
Por lo tanto, R2 es un indicador de la bondad del ajuste al considerar
la regresión de Y a partir de X.
Ejemplo 2.5. Ası́, en el contexto del ejemplo 2.1, no solo estamos,
ahora, en la capacidad de afirmar que la relación existente entre
el tiempo de procesamiento y la cantidad de trabajos asociada es
fuertemente lineal y directa, sino, además, podemos sostener que
2
el 93 % (rX,
= 0,93) de la variabilidad en el tiempo se debe a la
Y
asociación lineal existente con el número de trabajos para procesar.
75
3.
Probabilidad
3.1. Introducción
El objetivo es cuantificar las posibilidades que tengan ciertos
eventos inciertos. Sin duda, el evento incierto de mayor importancia
para la estadı́stica ocurre cuando se infiere algo a partir de solo una
muestra. En este caso, es importante averiguar la veracidad o el grado
de credibilidad que se le puede dar a dicha generalización; por eso, la
probabilidad es de suma importancia para la estadı́stica.
Es importante señalar que, muchas veces, se debe tomar una
decisión en un contexto de incertidumbre. En estos casos, la
probabilidad resulta muy útil para evaluar los riesgos.
Empezaremos tratando los conceptos básicos, propiedades y uso
de la probabilidad; luego, veremos algunos modelos probabilı́sticos.
Definición 3.1. Experimento aleatorio. Es cualquier experimento cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de realizarlo.
Definición 3.2. Espacio muestral asociado a un experimento
aleatorio. Es el conjunto de resultados posibles del experimento.
Usualmente, se denota por S u Ω.
Ejemplo 3.1. Un lote contiene unidades que pueden tener algún
defecto. Se escogerán dos unidades al azar y se determinará si estas
tienen algún defecto. Podemos considerar como espacio muestral a
76
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
Ω = { (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) }, con la convención siguiente: el
primer componente de cada par ordenado representa el estado de
la primera unidad y el segundo el de la otra, además 0 significa que
la unidad no tiene defectos y 1 que tiene alguno.
Definición 3.3. Evento. Es cualquier subconjunto del espacio
muestral.1 Es decir, salvo el caso del evento φ, un evento es cualquier
conjunto de resultados del experimento.
Ejemplo 3.2. A continuación, describamos algunos eventos del
ejemplo anterior:
a) Ambas unidades están en el mismo estado: A1 = {(0; 0),(1; 1)}.
Este evento tiene dos resultados, cualquiera de estos lleva a
ocurrir este evento.
b) La segunda unidad tiene defectos: A2 = {(0; 1),(1; 1)}.
Nuevamente, este evento tiene dos resultados y cualquiera de
estos lleva a ocurrir este evento.
c) Ambas unidades se encuentran con defectos: A3 = {(1; 1)}.
Este evento solo tiene un resultado, cuando ocurra dicho
resultado ocurrirá este evento.
Hemos definido los eventos como conjuntos. A continuación, formalizaremos la caracterı́stica más importante que estos poseen, es decir,
que pueden ocurrir.
Definición 3.4. Diremos que un evento ocurre cuando, al realizar el
experimento, el resultado obtenido es uno del evento.
1
En un curso avanzado de probabilidades, solo los conjuntos que pertenecen a
una familia llamada sigma-álgebra son considerados como eventos.
77
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Gracias a la definición anterior, podemos interpretar algunas de las
operaciones entre conjuntos en el contexto de eventos. Esto será de
suma importancia para hacer la conexión entre la formalidad y la
aplicación:
1. El conjunto vacı́o, φ, es denominado el evento imposible, pues
nunca ocurre.
2. El espacio muestral, Ω, es denominado el evento seguro, pues
siempre ocurre.
3. Si A y B son dos eventos de Ω, entonces:
a) A ∪ B es el evento que ocurre si, y solo si, al menos uno
de los dos eventos ocurre.
b) A ∩ B es el evento que ocurre si, y solo si, ambos eventos
ocurren.
4. Si A es un evento de Ω, entonces:
Ac = Ω − A es el evento complementario de A y este ocurre si,
y solo si, A no ocurre.
5. Si A y B son dos eventos de Ω que son disjuntos, es decir,
A ∩ B = φ, se dirá que estos eventos son excluyentes, pues no
pueden ocurrir juntos. Para resaltar este hecho, escribiremos
A B, en lugar de A ∪ B, cuando tengamos esta situación.
Ejemplo 3.3. Un inspector deberá revisar 3 trabajos; cualquiera
de estos puede haber satisfecho las especificaciones requeridas.
Definamos los eventos Ai : el trabajo i satisfizo las especificaciones,
i = 1, 2, 3.
78
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
A partir de estos eventos, expresemos los que siguen:
a) Los tres trabajos hayan satisfecho las especificaciones.
El evento de interés es A1 ∩ A2 ∩ A3 , cuyo complemento es
Ac1 ∪ Ac2 ∪ Ac3 .
b) Por lo menos uno de los trabajos haya satisfecho las especificaciones.
En este caso el evento de interés es
complemento es Ac1 ∩ Ac2 ∩ Ac3 .
A1 ∪ A2 ∪ A3 , cuyo
c) Solo dos de los trabajos hayan satisfecho las especificaciones.
El evento de interés es (A1 ∩ A2 ∩ Ac3 ) (A1 ∩ Ac2 ∩ A3 ) (Ac1 ∩
A2 ∩ A3 ).
d) Ninguno de los trabajos haya satisfecho las especificaciones.
El evento de interés es Ac1 ∩ Ac2 ∩ Ac3 .
e) Por lo menos uno de los trabajos no haya satisfecho las
especificaciones.
Este evento puede expresarse como: Ac1 ∪ Ac2 ∪ Ac3 .
3.2. Definición y propiedades de la probabilidad
Como ya se ha dicho, la probabilidad debe procurar reflejar
las posibilidades que tienen de ocurrir los eventos. Ası́, como los
eventos provienen de distintos experimentos, existen muchas formas
de asignar una probabilidad. A continuación, veamos cuándo una
asignación de probabilidades a los eventos de un espacio muestral se
79
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
considera, en efecto, una probabilidad. La definición de Kolmogorov
establece cuáles son las condiciones mı́nimas que debe satisfacer toda
asignación o regla de probabilidades a fin de lograr todo un conjunto
de propiedades.
Definición 3.5. Una probabilidad es una transformación, P , que
asigna a cada evento, A, de un espacio muestral, Ω, un número real:
P (A) y que satisface las tres propiedades siguientes, llamadas axiomas
de probabilidad:
A1 Para cualquier evento A: P (A) ≥ 0.
A2 La probabilidad del espacio muestral es 1 : P (Ω) = 1.
A3 Si A1 , A2 , . . . es una colección de eventos mutuamente excluyentes, entonces:
P (A1 A2 . . . ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . .
o, en notación abreviada:
∞
∞
P
Aj =
P (Aj )
j=1
j=1
Ejemplo 3.4. (Probabilidad Clásica) Si el experimento tiene
un número finito de resultados y cada uno de ellos se cree
que es igualmente posible, entonces la mejor manera de asignar
probabilidades a los eventos de su espacio muestral es la siguiente:
P (A) =
#(A)
, para cada evento A de Ω.
#(Ω)
Observación 3.1. Esta asignación es adecuada, pues, al ser cada
resultado igualmente probable de ocurrir, deberı́a tenerse que la
80
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
probabilidad de un evento sea proporcional al número de resultados
que este tenga (a mayores resultados, mayor probabilidad); la división
entre el número de resultados posibles se hace para estandarizar, es
decir, a fin de que toda probabilidad esté entre 0 y 1.
Ejemplo 3.5. En el ejemplo 3.1 tenemos que el espacio muestral es
finito, pues #(Ω) = 4. Supongamos que cada resultado sea igualmente
posible. Entonces, es adecuado asignar probabilidades de la manera
clásica, es decir:
#(A)
P (A) =
, ∀A ⊂ Ω.
4
En particular, considerando los eventos definidos en dicho ejemplo,
tenemos que:
a) La probabilidad de que ambas unidades estén igual es P (A1 ) =
#(A1 )
= 24 = 12 .
4
b) La probabilidad de que la segunda unidad no tenga defectos es
2)
P (A2 ) = #(A
= 24 = 12 .
4
c) La probabilidad de que las dos unidades no tengan defectos es
3)
P (A3 ) = #(A
= 14 .
4
A continuación, veamos algunas de las demás propiedades que se
derivan de las tres básicas.
3.3. Propiedades de la probabilidad
P 1 La probabilidad del evento imposible es nula: P ( φ ) = 0.
81
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
P 2 La probabilidad de un evento y la de su complemento suman 1:
P (A) + P (Ac ) = 1.
P 3 La probabilidad de cualquier evento, A, es menor o igual que
1: P (A) ≤ 1.
P 4 Si un evento A está incluido dentro de otro, B, entonces, su
probabilidad es a lo sumo igual a la de aquel: P (A) ≤ P (B).
P 5 Para cualesquiera A y B, eventos de Ω : P (B) = P (B ∩ A) +
P (B ∩ Ac ).
P 6 Para cualesquiera A y B, eventos de Ω : P (A ∪ B) =
P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Observación 3.2. Las dos últimas propiedades se generalizan para
tres o más eventos, como se enuncian en la propiedad que se da
después del ejemplo siguiente y en el primer ejercicio propuesto,
respectivamente.
Ejemplo 3.6. Dos personas suelen trabajar en equipo al realizar un
proyecto. La probabilidad de que, al realizar el proyecto, la primera
termine a tiempo su trabajo es de 0,7; y la de que termine a tiempo
la segunda es de 0,8. Además, la probabilidad de que ambas terminen
a tiempo su trabajo es de 0,51.
A modo de ejemplo, calculemos algunas probabilidades:
a) La probabilidad de que al menos una de estas personas termine
a destiempo su trabajo.
Consideremos los eventos A, que la primera persona termine a
tiempo su trabajo, y B, que la segunda termine a tiempo. De los
datos, tenemos que P (A) = 0,7, P (B) = 0,8 y P (A∩B) = 0,51.
82
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
Nos interesa calcular P (Ac ∪ B c ). Esta, por la propiedad 2 de la
probabilidad, se puede determinar por medio de la de su evento
complementario (que ambas terminen a tiempo):
1 − P (A ∩ B) = 1 − 0,51 = 0,49
A manera de ejercicio, obtenga la probabilidad anterior por
medio de la propiedad 6 de la probabilidad:
P (Ac ∪ B c ) = P (Ac ) + P (B c ) − P (Ac ∩ B c ).
b) La probabilidad de que la primera persona no termine a tiempo
su trabajo, pero sı́ la segunda.
En este caso, el evento que nos interesa, que la primera persona
no termine a tiempo su trabajo, pero sı́ la segunda, corresponde
al evento Ac ∩ B. Su probabilidad se puede obtener usando la
propiedad 5 de la probabilidad: P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac )
⇒ P (Ac ∩ B) = P (B) − P (B ∩ A) = 0,8 − 0,51 = 0,29.
c) La probabilidad de que solo una de estas personas no termine
a tiempo su trabajo.
Aquı́, el evento que interesa es (Ac ∩ B) (A ∩ B c ) (no termine
a tiempo la primera pero sı́ la segunda, o bien no termine a
tiempo la segunda pero sı́ la primera) y como en esta reunión los
eventos son excluyentes, basta sumar sus probabilidades (por el
axioma 3 de la probabilidad). Ası́:
P (Ac ∩B)(A∩B c ) = P (Ac ∩B)+P (A∩B c ) = 0,29+0,19 =
0,48
Aquı́ se ha obtenido P (A ∩ B c ) de manera análoga a como se
procedió en la parte anterior para hallar P (Ac ∩ B), es decir,
usando: P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B c ).
83
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
d) La probabilidad de que al menos una de estas personas termine
a tiempo su trabajo.
En este caso, nos interesa el evento (A ∪ B) (al menos una de
estas personas termine a tiempo su trabajo). Para determinarla,
podemos usar la propiedad 6:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0,7 + 0,8 − 0,51 = 0,99.
Compruebe que P (A ∪ B) = P (Ac ∩ B) + P (A ∩ B c ) + P (A ∩ B).
Los datos y eventos dados pueden representarse en la tabla
siguiente:
Bc
B
A
Ac
Totales
P (A ∩ B) = 0,01
P (Ac
∩ B)
P (A ∩
P (Ac
∩
Totales
Bc)
P (A) = 0,3
Bc)
P (Ac ) = 0,7
P (B c ) = 0,8
P (B) = 0,2
1
Observación 3.3. Tenga siempre presente el uso de las propiedades
de la probabilidad. No use la tabla anterior (u otras gráficas) como
justificación para el cálculo de probabilidades; solo use propiedades
para este fin.
Propiedad (Regla de la probabilidad total) Sean A1 , . . . , Ak ,
eventos mutuamente excluyentes (esto es, Ai ∩ Aj = φ, i = j) y
k
Ai = Ω), entonces, para todo evento, B, de
exhaustivos (es decir,
Ω:
i=1
P (B) =
k
i=1
P (B ∩ Ai )
Esta propiedad es una de las más importantes en las aplicaciones.
Las propiedades que satisfacen los eventos A1 , . . . , Ak (mutuamente
84
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
excluyentes y exhaustivos) se resumen diciendo que estos constituyen
una partición de Ω y se puede ilustrar como sigue:
Ejemplo 3.7. Para producir cierto bien, se usa solo uno de tres
procedimientos principales existentes (1, 2 y 3) y, opcionalmente, uno
secundario (4). La probabilidad de usar el procedimiento 1 es de 0,6;
la probabilidad de usar el procedimiento 1 con el secundario es igual a
0,24. La probabilidad de usar el procedimiento 2 sin el procedimiento
secundario es de 0,06. La probabilidad de usar el procedimiento 3 es
de 0,25; y la probabilidad de usar el procedimiento secundario con
este procedimiento es de 0,16.
Obtengamos la probabilidad de usar el procedimiento secundario:
Consideremos los eventos: Ai , usar el procedimiento i; para i =
1, . . . , 4.
Estos eventos nos permiten expresar los datos dados con las
notaciones necesarias para usar las propiedades de la probabilidad:
A1 A2 A3 = Ω, es decir, los eventos A1 , A2 y A3 son mutuamente
excluyentes y exhaustivos.
P (A1 ) = 0,6, P (A1 ∩ A4 ) = 0,24, P (A2 ∩ Ac4 ) = 0,06, P (A3 ) =
0,25 y P (A3 ∩ A4 ) = 0,16.
85
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Para obtener la probabilidad del evento que interesa, es decir, de
A4 , la descomposición A1 A2 A3 = Ω nos permite expresar
A4 = (A4 ∩ A1 ) (A4 ∩ A2 ) (A4 ∩ A3 ); por lo tanto, la probabilidad
pedida es:
P (A4 ) = P (A4 ∩ A1 ) (A4 ∩ A2 ) (A4 ∩ A3 )
= P (A4 ∩ A1 ) + P (A4 ∩ A2 ) + P (A4 ∩ A3 )
= 0,24 + P (A4 ∩ A2 ) + 0,16
Luego, basta obtener la probabilidad P (A4 ∩ A2 ). Para esto, puesto
que A1 A2 A3 = Ω, podemos deducir inmediatamente que,
P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 ) = 1 y ası́ P (A2 ) = 1 − 0,6 − 0,25 = 0,15.
Además, ya que P (A2 ) = P (A4 ∩ A2 ) + P (Ac4 ∩ A2 ), tenemos que
P (Ac4 ∩ A2 ) = P (A2 ) − 0,06 = 0,15 − 0,06. Ası́, P (A4 ) = 0,24 + 0,09 +
0,16 = 0,49.
3.4. Probabilidad condicional
Como ya sabemos, una probabilidad P definida sobre los eventos
de Ω cuantifica las posibilidades que tienen de ocurrir dichos eventos.
Sucede que, en el transcurrir del tiempo, podemos ir recibiendo
información que modifique el estado de incertidumbre que se tenı́a
sobre el experimento antes de realizarlo. Por ejemplo, si en una
empresa el 70 % de los proyectos que llegan se desarrollan a tiempo,
podemos decir que, si un proyecto llega, hay una probabilidad de
0,7 de desarrollarlo a tiempo; sin embargo, resulta que algunos
proyectos llegan solo con un mes de anticipación; ¿se podrá decir
que estos tienen la misma probabilidad de ser desarrollados a
tiempo? El conocimiento de esta información a lo mejor afectará las
probabilidades anteriores; por lo tanto, hay la necesidad de actualizar
86
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
las probabilidades iniciales con base en el conocimiento de la nueva
información adquirida. Dicho de otro modo, este conocimiento nos
debe llevar a un aprendizaje que se concreta o expresa en una nueva
regla de asignación de probabilidades, digamos P . Dicha información
nueva es expresada como la ocurrencia de un evento B; y la nueva
asignación de probabilidades P es llamada “probabilidad condicional
dado que ocurrió B” y se la define para cada evento A, a partir de la
probabilidad P, anterior a la información recibida, como:
P (A) =
P (A ∩ B)
P (B)
Además, se suele denotar a esta nueva asignación de probabilidades,
P , como P ( / B), es decir, para cada evento A de Ω se tiene que:
P (A/ B) =
P (A ∩ B)
P (B)
Obsérvese que para la asignación clásica resulta:
P (A ∩ B)
=
P (A/ B) =
P (B)
#(A∩B)
#(Ω)
#(B)
#(Ω)
=
#(A ∩ B)
#(B)
Por ello, se interpreta como la probabilidad de que ocurra A, cuando
el espacio Ω se reduce al evento B.
Observación 3.4. La probabilidad condicional es, en efecto, una
probabilidad, pues satisface:
A1. P (A/ B) ≥ 0, para cada A evento de Ω.
A2. P (Ω/ B) = 1.
A3. Para cualesquiera C y D, eventos excluyentes de Ω:
P (C D/ B) = P (C/ B) + P (D/ B).
87
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
En particular, satisface también cualquier otra propiedad de la
probabilidad:
P1. La probabilidad del evento imposible es nula: P (φ/ B) = 0.
P2. La probabilidad de cualquier evento A es menor o igual que 1:
P (A/ B) ≤ 1.
P3. La probabilidad de un evento más la de su complemento da 1:
P (A/ B) + P (Ac / B) = 1.
P4. Si un evento, C, está incluido dentro de otro, D, entonces, su
probabilidad es a lo sumo igual a la de aquel: P (C/ B) ≤
P (D/ B).
P5. Para cualesquiera C y D, eventos de Ω : P (C) = P (C ∩D/ B)+
P (C ∩ Dc / B).
P6. Para cualesquiera C y D, eventos de Ω:
P (C ∪ D/ B) = P (C/ B) + P (D/ B) − P (C ∩ D/ B).
Propiedad (Regla del producto): para cualesquiera A y B eventos
de Ω, se tiene que:
P (A ∩ B) = P (B)P (A/ B) = P (A)P (B/ A).
Observación 3.5. Esta regla es sumamente importante, pues
permite obtener la probabilidad que tienen de ocurrir conjuntamente
dos eventos, a partir de la de uno de ellos y la del otro condicional a
la ocurrencia del primero.
88
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
En general:
P (A1 ∩ . . . ∩ Ak )
= P (A1 )P (A2 / A1 )P (A3 / A1 ∩ A2 ) . . . P (Ak / A1 ∩ . . . ∩ Ak−1 ).
Ejemplo 3.8. Una empresa del paı́s se encuentra en cierto estado
financiero si posee dos caracterı́sticas, c1 y c2 ; la probabilidad de que
posea c1 es de 0,9. Además, una de cada cuatro empresas que posee
la caracterı́stica c1 también posee la c2 .
Usaremos la regla anterior para calcular la probabilidad de que una
de estas empresas, escogida arbitrariamente, se encuentre en dicho
estado financiero:
Ası́, consideremos los eventos A : la empresa presente la caracterı́stica
c1 , y B : presente c2 .
Por los datos: P (A) = 0,9 y P (B/ A) = 1/4 = 0,25.
Luego, por la regla del producto: P (A ∩ B) = P (A)P (B/ A) = 0,225.
Propiedad (reglas de la probabilidad total y de Bayes) Sean
A1 , . . . , Ak , eventos mutuamente excluyentes (esto es, Ai ∩ Aj = φ,
k
Ai = Ω), y B
para cualesquiera i = j) y exhaustivos (es decir,
i=1
otro evento. Esto se puede representar gráficamente como sigue:
89
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Entonces, tenemos las propiedades siguientes:
a) La regla de la probabilidad total: La probabilidad de
B puede obtenerse mediante una suma, como se muestra a
continuación:
P (B) =
k
i=1
P (B ∩ Ai ) =
k
P (Ai )P (B/ Ai )
i=1
Es común ilustrar esta regla mediante una tabla de probabilidades:
O, también, mediante un diagrama de árbol de probabilidades:
b) La regla de Bayes: Luego de saber de la ocurrencia del
evento B, la probabilidad que se le habı́a asignado a Aj (para
j = 1, . . . , k) se actualiza como:
P (Aj / B) =
P (Aj )P (B/ Aj )
P (Aj ∩ B)
= k
P (B)
P (Ai )P (B/ Ai )
i=1
90
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
Ejemplo 3.9. En una compañı́a, el 30 % de los proyectos es
encargado al administrador 1, el 20 % al administrador 2, y el resto al
administrador 3. Cuando el proyecto está a cargo del administrador
1, solo en el 1 % de estos se comete un error grave; en el 3 % si es el
administrador 2 quien está a cargo; y en el 4 % si es el administrador
3 el que está a cargo. ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error
grave al realizarse un proyecto?
En este caso, los porcentajes se refieren a las probabilidades
frecuenciales, y la pregunta puede ser resuelta con porcentajes y
un poco de razonamiento con aritmética, pero se trata de usar las
propiedades de probabilidad que ya hemos visto, como lo haremos a
continuación:
Podemos considerar los eventos Ai : el proyecto es realizado por el
administrador i, i = 1,2,3; y B : cometer un error grave al realizar el
proyecto.
Los datos son: P (A1 ) = 0,3; P (A2 ) = 0,2; P (A3 ) = 0,5; P (B/A1 ) =
0,01; P (B/A2 ) = 0,03 y P (B/A3 ) = 0,04.
Podemos ilustrar estos datos mediante la tabla siguiente:
B
A1
A2
A3
Total
P (B ∩ A1 )
P (B ∩ A2 )
P (B ∩ A3 )
P (B)
Bc
P (B c
Totales
P (A1 ) = 0,3
∩ A1 )
P (B c
∩ A2 )
P (A2 ) = 0,2
91
P (B c
∩ A3 )
P (A3 ) = 0,5
P (B c )
1
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
O mediante el diagrama de árbol siguiente:
Ası́, la probabilidad de cometer un error grave al realizar el proyecto
es:
P (B)
=
=
=
=
P (B ∩ A1 )
P (A1 ) P (B/ A1 )
(0,3)(0,01)
0,029.
+
+
+
P (B ∩ A2 )
P (A2 ) P (B/ A2 )
(0,2)(0,03)
92
+
+
+
P (B ∩ A3 )
P (A3 ) P (B/ A3 )
(0,5)(0,04)
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
Las probabilidades de la primera fila del cuadro o la de cada rama
del árbol pueden ser completadas usando la regla del producto,
P (B ∩ Ai ) = P (Ai )P (B/Ai ); ası́, obtenemos:
B
Bc
Totales
A1
P (B ∩ A1 ) = 0,003
P (B c ∩ A1 )
A2
P (B ∩ A2 ) = 0,006
P (B c ∩ A2 )
A3
P (B ∩ A3 ) = 0,02
P (B c ∩ A3 )
Total
P (B) = 0,029
P (B c )
P (A1 ) = 0,3
P (A2 ) = 0,2
P (A3 ) = 0,5
1
y
Ejercicio: Al realizar un proyecto se cometió un error grave, ¿cuál
administrador tiene mayor probabilidad de haberlo realizado?
93
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Sugerencia: examine las probabilidades:
P (Ai /B) =
P (Ai )P (B/Ai )
P (Ai ∩ B)
=
, para i = 1, 2 y 3;
P (B)
P (B)
y, luego, determine a cuál administrador corresponde la mayor
probabilidad.
3.5. Independencia
Definición 3.6. Dado un espacio muestral Ω, sobre cuyos eventos
se tiene definida una regla de asignación de probabilidades P, se dice
que dos eventos, A y B, son independientes si:
P (A/ B) = P (A).
O, equivalentemente, si: P (B/ A) = P (B).
Ası́, esto significa que el conocimiento de la ocurrencia de uno de los
eventos no altera la probabilidad de que ocurra el otro.
Ejemplo 3.10. En el análisis costo-beneficio de la compra de cierta
fábrica, se considera, para simplificar, que solo dos eventos pueden
determinar el cierre de la fábrica al cabo del primer año: una
demanda muy baja del producto que se fabricará o que la fábrica
se vuelva anticuada, debido a nuevas normas de control ambiental
(ver Benjamin 1970: 56).
En este caso, es razonable suponer que los eventos anteriores sean
independientes, pues la ocurrencia de uno de ellos no altera la
probabilidad de ocurrir el otro. Es decir, si denotamos por A al primer
evento y por B al segundo, es claro que:
P (A/ B) = P (A) y P (B/ A) = P (B).
94
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
Supongamos que la probabilidad de que ocurra el primer evento antes
mencionado sea 0,1, y 0,05 la del segundo. Entonces, la probabilidad
de que, durante el primer año, ocurra una demanda muy baja y que
la fábrica se vuelva anticuada puede obtenerse a partir de la regla del
producto y el concepto de independencia. Ası́, obtenemos que:
P (A ∩ B) = P (A)P (B/A) = P (A)P (B) = 0,1 × 0,05 = 0,005.
Lo visto en el ejemplo anterior motiva la definición equivalente
siguiente.
Propiedad 1: A y B son eventos independientes si y solo si:
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
Propiedad 2: Si A y B son eventos independientes, también lo son:
a) Ac y B; b) A y B c ; y
c) Ac y B c .
Observación 3.6. Ası́, podemos decir que dos eventos son independientes si la probabilidad de que ocurra uno de ellos no se altera aun
sabiendo si ocurrió o si no ocurrió el otro.
La definición y propiedad anteriores se generalizan para una colección
de eventos:
Definición 3.7. Una colección de eventos, {A1 , A2 , . . . }, son
independientes, si la probabilidad de que ocurran simultáneamente
cualquier número finito de estos eventos es igual al producto de las
probabilidades correspondientes.
Ası́, por ejemplo, si se consideran n de tales eventos, digamos,
Ai1 , Ai2 , . . . Ain , entonces:
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Ain ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) . . . P (Ain )
95
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Propiedad 3: Si en una colección de eventos independientes,
{A1 , A2 , . . . }, se sustituye cualquiera de los eventos Aij por su
complemento Acij , entonces, los eventos que resultan ası́ seguirán
siendo independientes.
Observación 3.7. Por ello, cuando se tiene independencia, ocurre
la simplificación siguiente de la regla del producto general:
P (Ai1 ∩ Ai2 . . . ∩ Ain )
= P (Ai1 )P (Ai2 / Ai1 )P (Ai3 / Ai1 ∩ Ai2 ) . . . P (Ain / Ai1 ∩ . . . ∩ Ain−1 )
Ejemplo 3.11. Los eventos A, B y C son independientes si se
cumplen las igualdades siguientes:
P (A ∩ B) = P (A)P (B), P (A ∩ C) = P (A)P (C),
P (B ∩ C) = P (B)P (C) y P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C).
Ejemplo 3.12. Sea Ω = {1, 2, 3, 4} y los eventos A = {1, 4}, B =
{2, 4} y C = {3, 4}. Si consideremos la probabilidad clásica tenemos,
como en Parzen (1960: 90, ejemplo 1D), que:
P (A) = P (B) = P (C) = 2/4 = 1/2,
P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 1/4
(pues A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = {4}).
Ası́:
P (A ∩ B) = P (A)P (B), P (A ∩ C) = P (A)P (C)
y P (B ∩ C) = P (B)P (C).
Sin embargo, P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C).
Es decir, estos tres eventos no son conjuntamente independientes,
pero dos cualesquiera de estos sı́ lo son.
96
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
Ejemplo 3.13. En el contexto del ejemplo 3.10, consideremos un
perı́odo de 3 años. Supongamos que, en cada uno de estos años, la
probabilidad de que la demanda sea muy baja se mantenga constante,
es decir, igual a 0,1, e independiente de los demás años. Interesa
obtener la probabilidad de los eventos siguientes:
a) En cada uno de estos años, la demanda sea muy baja.
b) Por lo menos en uno de los años de este perı́odo, la demanda
sea muy baja.
c) Solo en un año de este perı́odo la demanda sea muy baja.
d) Solo en dos años de este perı́odo la demanda sea muy baja.
e) Por lo menos en dos años la demanda sea muy baja.
Para obtenerlas, definamos los tres eventos siguientes:
Ai : Durante el año i, la demanda sea muy baja, i = 1, 2, 3.
a) Aquı́ estamos interesados en el evento A1 ∩ A2 ∩ A3 .
Por la independencia, tenemos que:
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = (0,1)3 .
b) En este caso, el evento de interés es A1 ∪ A2 ∪ A3 , cuyo
complemento es Ac1 ∩Ac2 ∩Ac3 . Por la independencia, resulta más
simple obtener la probabilidad del complemento, en efecto:
P (Ac1 ∩ Ac2 ∩ Ac3 ) =
=
=
=
97
P (Ac1 )P (Ac2 )P (Ac3 )
(1 − 0,1)(1 − 0,1)(1 − 0,1)
(1 − 0,1)3
(0,9)3
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ası́, P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 1 − P (Ac1 ∩ Ac2 ∩ Ac3 ) = 1 − (1 − 0,1)3 =
1 − (0,9)3 .
c) Aquı́, el evento que interesa es (A1 ∩ Ac2 ∩ Ac3 ) (Ac1 ∩ A2 ∩ Ac3 ) (Ac1 ∩ Ac2 ∩ A3 ).
Su probabilidad se puede obtener sumando las probabilidades
de cada uno de los eventos excluyentes anteriores, es decir:
P (A1 ∩ Ac2 ∩ Ac3 ) + P (Ac1 ∩ A2 ∩ Ac3 ) + P (Ac1 ∩ Ac2 ∩ A3 )
Nuevamente, por la independencia, tenemos que:
P (A1 ∩ Ac2 ∩ Ac3 ) = P (A1 )P (Ac2 )P (Ac3 ) = (0,1)(1 − 0,1)2
P (Ac1 ∩ A2 ∩ Ac3 ) = P (Ac1 )P (A2 )P (Ac3 ) = (0,1)(1 − 0,1)2
P (Ac1 ∩ Ac2 ∩ A3 ) = P (Ac1 )P (Ac2 )P (A3 ) = (0,1)(1 − 0,1)2
Por lo tanto, la probabilidad que interesa es 3(0,1)(1 − 0,1)2 =
3(0,1)(0,9)2 .
d) Aquı́, el evento que interesa es:
(A1 ∩ A2 ∩ Ac3 ) (A1 ∩ Ac2 ∩ A3 ) (Ac1 ∩ A2 ∩ A3 ).
Su probabilidad se puede obtener sumando las probabilidades
de cada uno de los eventos excluyentes anteriores, es decir:
P (A1 ∩ A2 ∩ Ac3 ) + P (A1 ∩ Ac2 ∩ A3 ) + P (Ac1 ∩ A2 ∩ A3 )
Nuevamente, por la independencia, tenemos que:
P (A1 ∩ A2 ∩ Ac3 ) = P (A1 )P (A2 )P (Ac3 ) = (0,1)2 (1 − 0,1)
P (A1 ∩ Ac2 ∩ A3 ) = P (A1 )P (Ac2 )P (A3 ) = (0,1)2 (1 − 0,1)
P (Ac1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P (Ac1 )P (A2 )P (A3 ) = (0,1)2 (1 − 0,1)
Por lo tanto, la probabilidad que interesa es 3(0,1)2 (1 − 0,1) =
3(0,1)2 (0,9).
98
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
e) Aquı́ el evento que interesa es la reunión del anterior, D, con el
primero, A, es decir:
DA
= (A1 ∩A2 ∩Ac3 )(A1 ∩Ac2 ∩A3 )(Ac1 ∩A2 ∩A3 )(A1 ∩A2 ∩A3 ).
Por tener eventos excluyentes, la probabilidad que interesa es
P (D A) = P (D) + P (A) = 3(0,1)2 (0,9) + (0,1)3 .
Observación 3.8. Se suele confundir el concepto de eventos
independientes con el de eventos excluyentes. Esto sucede porque, en
el lenguaje común y corriente, ı̈ndependencia”significa .autonomı́a”;
ası́, dos eventos excluyentes, al no tener elementos en común,
son autónomos en cuanto a sus elementos se refiere; sin embargo,
la independencia de eventos se refiere a la autonomı́a de las
probabilidades de ocurrir, de lo que carecen los eventos excluyentes,
pues, si ocurre uno de ellos, el otro tendrá una probabilidad nula de
ocurrir.
Propiedad 4: Si en una colección de eventos independientes se
escogen subcolecciones disjuntas (de este modo, ningún evento
estará en más de una subcolección) y, en cada subcolección, se
efectúan operaciones (de reunión, intersección o complemento) con
los eventos que la integran, entonces, los eventos que resultan de
estas operaciones también son independientes.
99
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
3.6. Probabilidad clásica y combinatoria
Como fue visto en el ejemplo 3.4, para calcular la probabilidad
clásica de un evento se requiere contar su número de resultados.
Existen técnicas que facilitan el conteo; estas son parte del llamado
.análisis combinatorio”. A continuación, describiremos brevemente
algunas.
Definición 3.8. (Número combinatorio) Si m y n son dos
números naturales, con m mayor o igual que n, al número
m
m!
= C nm =
n
n!(m − n)!
se le denomina combinatorio de m en n y nos da el número de
subconjuntos (o grupos), de tamaño n, que se pueden obtener a partir
de m elementos.
Por m! entendemos el producto de los primeros m números naturales,
es decir, m! = 1x 2x . . . x m, si m es mayor o igual que 1, y se define
0! como 1.
Ejemplo 3.14. Entre 20 empresas, de las cuales 5 son clasificadas
del tipo ‘a’ y las otras 15 del tipo ‘b’, se toma una muestra al azar
de 4 de estas. Podemos describir el espacio muestral asociado a este
experimento, Ω, como el conjunto de subconjuntos de tamaño 4 que
se pueden determinar con 20 elementos.
De este modo, se deduce que Ω tiene:
20
20!
20!
17 × 18 × 19 × 20
=
=
=
= 4 845
4
4! (20 − 4)!
4! 16!
1×2×3×4
elementos o resultados.
100
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
Si quisiéramos ser más precisos, podemos identificar a las empresas
por los números naturales, por ejemplo, del 1 al 20, donde los primeros
5 identifican a las del tipo a. Ası́:
Ω = { A / A ⊂ {1, . . . , 20}, #(A) = 4 }.
Note que todo elemento (resultado) A de Ω es un subconjunto (grupo)
del conjunto {1, . . . , 20}, integrado por 4 elementos.
Describamos dos eventos para ilustrar el uso del número combinatorio
en el conteo:
a) Seleccionar solo empresas del tipo a:
A1 = { {1, 2, 3, 4},{1, 2, 3, 5},{1, 2, 4, 5},{1, 3, 4, 5},{2, 3, 4, 5} }
En este caso, el subconjunto elegido, además de ser de cuatro
elementos, estos deben ser solo del conjunto {1,2,3,4,5}; por lo tanto,
A1 tiene:
5!
5
=
= 5 resultados o elementos.
4
4! 1!
Cualquiera de estos resultados determina la ocurrencia del evento A1 .
Es decir, hay 5 posibilidades, entre 4 845, de que ocurra A1 .
b) Seleccionar solo empresas del tipo b. Entonces, el grupo de 4
empresas debe estar integrado solo por 4 de las 6 del tipo b que
hay en total. Ası́, este evento, digamos A2 , tiene:
15
15!
12 × 13 × 14 × 15
=
=
= 1 365 resultados o elementos.
4
4! 11!
1×2×3×4
En este caso, hay 1 365 posibilidades entre 4 845 de que ocurra A2 .
Ası́, la probabilidad de seleccionar solo empresas del tipo b es de 1 365
en 4 845.
101
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
A continuación, mostramos algunos de estos resultados:
A2 = { {6, 7, 8, 9},{6, 7, 8, 10}, . . . . , {6, 7, 8, 20}, . . . . , {17, 18, 19, 20} }.
Definición 3.9. (Principio de la multiplicación) Si una primera
operación se puede llevar a cabo de m formas y, después de esta,
una segunda operación se puede realizar de n formas, entonces, la
operación de llevar a cabo la primera operación y, luego, la segunda
se puede realizar de m × n formas posibles.
Ejemplo 3.15. En el mismo ejemplo anterior, veamos dos eventos
más para ilustrar las dos técnicas vistas del análisis combinatorio:
a) A3 : Seleccionar solo tres empresas del tipo a. Ahora se completa
el grupo, de modo que tenga tres empresas del tipo a y solo
una del tipo b. Para determinar el número de resultados que
tiene este evento, podemos, por ejemplo, describir sus elementos
enumerándolos abreviadamente y como una matriz de m filas
y n columnas. De este modo, el producto m × n nos dará el
número de resultados. Veamos:




{1,
2,
3,
6},
{1,
2,
3,
7},
.
.
.
{1,
2,
3,
20},







{1, 2, 4, 6}, {1, 2, 4, 7}, . . . {1, 2, 4, 20}, 
A3 =


...
...
...
...






 {3, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 7}, . . . {3, 4, 5, 20} 
Notemos que se han listado los resultados anteriores siguiendo
un orden adecuado para evitar dejar fuera alguno de ellos.
También observemos que, en este arreglo, el número de filas
y el de columnas lo obtenemos usando el número combinatorio.
En efecto, como una fila es determinada por las tres empresas
5!
del tipo a que se hayan elegido, hay 53 = 3!2!
= 10 filas. De
102
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
modo similar, cada columna es determinada por la empresa
15!
del tipo b que se haya escogido. Ası́, hay 15
= 15
= 1!14!
1
columnas. Entonces, el número de casillas que hay en el arreglo
anterior es 10 × 15 = 150 (por el principio de la multiplicación).
Luego, el evento A3 tiene 150 resultados. Por lo tanto, hay 150
posibilidades entre 4 845 de que ocurra A3 .
b) A4 : Seleccionar dos empresas del tipo a y dos del tipo b.
Ahora tenemos que seleccionar dos empresas del tipo a, lo cual
5!
se puede hacer de 52 = 2!3!
= 10 maneras, y seleccionar dos
15!
empresas del tipo b, lo cual se puede hacer de 15
2 = 2!13! =
105 maneras. Ası́, por el principio de la multiplicación, hay
10×105 = 1 050 posibilidades para seleccionar dos empresas del
tipo a y dos del tipo b. Como lo hicimos con el evento anterior,
podemos escoger un orden apropiado que nos permita listar
todas estas posibilidades como un arreglo de filas y columnas:




{1,
2,
6,
7},
{1,
2,
6,
8},
.
.
.
{1,
2,
19,
20},






 {1, 3, 6, 7}, {1, 3, 6, 8}, . . . {1, 3, 19, 20}, 
A4 =


...
...
...
...






 {4, 5, 6, 7}, {4, 5, 6, 8}, . . . {4, 5, 19, 20} 
5!
En esta lista, hay 52 = 2!3!
= 10 filas. Cada una contiene
15
15!
2 = 2!13! = 105 columnas. Ası́, hay 10 × 15 = 150 casillas,
cada una representa a uno de los resultados que conducen a la
ocurrencia de este evento. Por lo tanto, las posibilidades de que,
al tomar al azar un grupo de 4 empresas, resulten dos del tipo
a y dos del tipo b son de 1050 en 4 845.
Observación 3.9. El principio de la multiplicación se generaliza
para tres o más operaciones.
Ejemplo 3.16. En el contexto del ejemplo 3.14, supongamos
ahora que, en cada una de las próximas semanas, se visitará una
103
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
empresa distinta y escogida aleatoriamente, y nos interesa obtener la
probabilidad de que, en la primera y cuarta semana, se visite a una
empresa del tipo a.
Ahora, el espacio muestral no estará integrado por subconjuntos o
grupos de tamaño 4, sino por cuartetos (grupo ordenado de tamaño
4), es decir:
Ω = {(a1 ,a2 ,a3 ,a4 )/ ai ∈ {1, . . . , 20}, ai = aj , i = j, i, j = 1, . . . , 20}
Puesto que la primera empresa que visitar puede ser cualquiera de
las 20, la segunda cualquiera de las 19 restantes, la tercera cualquiera
de las 18 restantes y, finalmente, la cuarta empresa por visitar puede
ser cualquiera de las 17 restantes, entonces, por el principio de la
multiplicación, el número de resultados posibles lo podemos obtener
mediante el producto siguiente: #(Ω) = 20 x 19 x 18 x 17 = 116 280.
Nuestro evento de interés lo podemos denotar por E y describirlo
como:
E = {(a1 ,a2 ,a3 ,a4 ) ∈ Ω / a1 , a4 ∈ {1,...,5}}
La primera empresa que visitar puede ser cualquiera de las 5 del
tipo a; la cuarta, cualquiera de las 4 del tipo a restantes; la segunda
empresa por visitar, cualquiera de las 18 empresas restantes (entre
las del tipo a y b); y la tercera, cualquiera de las 17 restantes.
Entonces, tenemos que #(E) = 5x4 × 18 × 17 = 6 120. Luego,
6 120
1
P (E) = #(E)
#(Ω) = 116 280 = 19 .
Observación 3.10. Si m y n son dos números naturales, con m
mayor o igual que n, al número:
Pnm =
m!
= m(m − 1) . . . (m − (n − 1))
(m − n)!
104
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
se le denomina número de permutaciones de m en n y nos da el
número de n-tuplas (grupos ordenados de tamaño n) que se pueden
obtener a partir de m elementos.
3.7. Probabilidad geométrica y frecuencial
Existe una infinidad de formas de asignar probabilidades a los
eventos de un espacio muestral. La más conocida de todas es
la llamada ”probabilidad clásica”, pero el uso de una de estas
dependerá de la situación en particular. A continuación, veamos dos
formas más.
Definición 3.10. (Probabilidad geométrica) Esta asignación es
análoga a la probabilidad clásica, pero, en este caso, el experimento
tiene un número infinito e innumerable de resultados, los cuales se
encuentran distribuidos aleatoria e indistintamente (uniformemente)
sobre toda una región. Esta región puede ser un intervalo (por
ejemplo, de tiempo), un área o un volumen. En este caso, una manera
natural de asignar probabilidades a los eventos del espacio muestral
(la región) es la siguiente:
P (A) =
medida de A
medida de Ω
esto para cada evento, A, de Ω.
La medida a la que se refiere la definición anterior depende de la
dimensión de la región. Ası́, en una dimensión, la medida usual es la
longitud; en dos dimensiones, el área; y, en tres, el volumen. Ahora,
la probabilidad de un evento es proporcional a su medida.
Ejemplo 3.17. El precio del bien A varı́a aleatoria y uniformemente
entre 100 y 200 soles, y el precio del bien B varı́a entre 200 y 300
105
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
soles de manera aleatoria y uniformemente para cualquiera que sea
el precio del bien A.
Una persona que desea adquirir una unidad de cada bien dispone de
un presupuesto de 450 soles. Se quiere cuantificar el riesgo que corre
esta persona de no conseguir su objetivo.
En este caso, el espacio muestral puede describirse como:
Ω = { (x; y) ∈ R2 / 100 ≤ x ≤ 200, 200 ≤ y ≤ 300}
Con la interpretación siguiente: si (x; y) es un resultado de Ω, quiere
decir que el precio del bien A es x soles y el del bien B es y soles.
La persona desea que su presupuesto de 450 soles alcance, es decir,
que ocurra el evento siguiente: E = { (x; y) ∈ Ω/ x + y ≤ 450}.
Lo podemos representar gráficamente junto al espacio muestral como
sigue:
Por la condición del problema, cada resultado se distribuye indistintamente en toda la región Ω. Luego, la asignación de probabilidades
106
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
adecuada para cada evento, A, de Ω es:
P (A) =
medida de A
área de A
área de A
=
=
.
medida de Ω
área de Ω
1002
En particular, la probabilidad de que el presupuesto de la persona
sea insuficiente es
P (E c ) =
50x50
2
1002
= 0,125
Esta probabilidad cuantifica el riesgo que corre la persona cuando
solo dispone de 450 soles para adquirir una unidad de cada bien.
Definición 3.11. Probabilidad frecuencial: Aquı́, la probabilidad
de un evento es la frecuencia relativa con la que este ocurre en
una gran cantidad de repeticiones del experimento. Por tal motivo,
se acostumbra interpretarla como el porcentaje de veces que suele
ocurrir el evento en consideración.
Ejemplo 3.18. En cierta región, se ha observado la distribución
de los ingresos familiares anuales (en ciertas unidades monetarias)
siguiente:
x
F (x)
0,5
0,2
0,75
0,4
1
0,51
1,5
0,64
2
0,75
2,5
0,8
4
0,90
8
0.99
9
1
Entonces, si obtenemos las probabilidades de la manera frecuencial,
podemos hacer, entre otras afirmaciones, las siguientes:
a) La probabilidad de que una familia tenga un ingreso anual de
1,5 um a lo sumo es 0,64 (puesto que el 64 % de las familias ha
tenido un ingreso de 1,5 um como máximo).
107
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
b) La probabilidad de que una familia tenga ingresos anuales entre
1 y 1,5 um es 0,13.
c) La probabilidad de que una familia tenga ingresos anuales
superiores a 2 um es 0,25, pues el 75 % de las familias ha tenido
un ingreso de hasta 2 um.
108
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
3.8. Ejercicios propuestos
Ejercicio 3.1.
Demuestre que la propiedad 6 de la probabilidad se generaliza como
sigue:
P (A1 ∪ . . . ∪ An )
n
P (Ai ∩ Aj ∩ Ak ) + . . . +
P (Ai ) −
P (Ai ∩ Aj ) +
=
i=1
i<j
i<j<k
(−1)n+1 P (A1 ∩ . . . ∩ An ).
En particular, si n = 3, se tiene que:
P (A1 ∪ A2 ∪ A3 )
= P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 ) − P (A1 ∩ A2 ) − P (A1 ∩ A3 ) − P (A2 ∩ A3 ) +
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ).
Ejercicio 3.2.
Cierto agente invierte en dos acciones con la meta de ganar más de
lo previsto en, por lo menos, una. La probabilidad de que gane más
de lo previsto en la primera es de 0,3 y la de que solo gane más de lo
previsto en la segunda es de 0,2.
Cuantifique la confianza en lograr la meta.
Ejercicio 3.3.
En un supermercado, los compradores tienen que elegir una de tres
opciones de pago: con dinero en efectivo, con crédito proporcionado
por el supermercado y con crédito proporcionado por otra entidad.
La probabilidad de que un comprador pague con dinero en efectivo
109
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
es de 0,5 y la probabilidad de que un comprador pague con crédito
proporcionado por el supermercado es de 0,3. El supermercado
propone a los compradores una donación al momento de pagar. La
probabilidad de que un comprador pague con dinero en efectivo y
acepte donar es de 0,1; la probabilidad de que un comprador pague
con crédito proporcionado por el supermercado y no acepte donar es
de 0,05; y la probabilidad de que un comprador pague con crédito
proporcionado por otra entidad y acepte donar es de 0,15.
a) Exprese los datos con eventos previamente definidos e identifique una partición conveniente del espacio muestral.
b) Determine la probabilidad de que un comprador pague con
crédito proporcionado por otra entidad.
c) Determine la probabilidad de que un comprador pague con
crédito proporcionado por el supermercado y acepte donar.
d) Determine la probabilidad de que un comprador acepte donar.
Ejercicio 3.4.
Sean P1 y P2 dos probabilidades definidas para los eventos de Ω.
Para cada evento A de Ω, se define Q(A) de la manera siguiente:
Q(A) =
3
1
P1 (A) + P2 (A) .
4
4
a) Demuestre que Q(A) ≥ 0, para todo evento A de Ω.
b) Halle Q(Ω).
110
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
c) Si A1 , A2 , . . . es una colección de eventos mutuamente excluyentes, demuestre que
Q(A1 A2 . . . ) = Q(A1 ) + Q(A2 ) + . . .
d) ¿Es Q una probabilidad?
Ejercicio 3.5.
Sea P una probabilidad definida para los eventos de Ω. Sea C un
evento tal que P (C) > 0. Se define, para cada evento A de Ω :
Q(A) =
P (A ∩ C)
.
P (C)
a) Demuestre que Q(A) ≥ 0, para todo evento A de Ω.
b) Halle Q(Ω).
c) Si A1 , A2 , . . . es una colección de eventos mutuamente excluyentes, demuestre que
Q(A1 A2 . . . ) = Q(A1 ) + Q(A2 ) + . . .
d) ¿Es Q una probabilidad?
Ejercicio 3.6.
Dados los eventos A1 , A2 y A3 , se sabe que
P (A1 ∩ A2 ∩ Ac3 ) = P (A1 ∩ Ac2 ∩ A3 ) = P (Ac1 ∩ A2 ∩ A3 ) =
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 81 .
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres eventos ocurran?
b) Halle la probabilidad de que solo dos de los tres eventos ocurran.
111
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
c) Halle la probabilidad de que, por lo menos, dos de los tres
eventos ocurran.
d) Halle la probabilidad de que, por lo menos, uno de los tres
eventos no ocurra.
Ejercicio 3.7.
Si P (A ∩ B c ∩ C) = 0,8 y P (A ∩ B c ∩ C ∩ Dc ) = 0,5.
a) Halle P (A ∩ B c ∩ C ∩ D).
b) Halle P (Ac ∪ B ∪ C c ∪ Dc ).
Ejercicio 3.8.
Se consideran “aguas duras” a aquellas que requieren cantidades considerables de jabón para producir espuma y ocasionan incrustaciones
en las tuberı́as de agua caliente, calentadores y otras unidades en las
cuales se incrementa la temperatura del agua.
Las aguas pueden clasificarse, según su dureza, en cuatro tipos: blanda (cuando contiene máximo 75 mg/L de CaCO3 ), moderadamente
dura (cuando contiene entre 75 y 150 mg/L de CaCO3 ), dura (cuando contiene más de 150 y hasta 300 mg/L de CaCO3 ) y muy dura
(cuando contiene más de 300 mg/L de CaCO3 ).
Un administrador, encargado de la comercialización de cierto jabón
que será vendido en todo el paı́s, ha determinado que:
i) La probabilidad de que el jabón sea usado con aguas
blandas es de 2/9.
112
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
ii) La probabilidad de que el jabón se use con aguas blandas,
pero no alcance los resultados deseados es de 1/36.
iii) Dos de cada cinco veces, el jabón se usará con aguas
moderadamente duras y alcanzará los resultados deseados.
iv) El 15 % de las veces, el jabón se usará con aguas duras y
alcanzará los resultados deseados.
v) La probabilidad de que el jabón se use con aguas muy
duras es de 0,3.
vi) La probabilidad de que el jabón se use con aguas muy
duras y no alcance los resultados esperados es de 0,2.
a) Exprese los datos dados con eventos previamente definidos e
identifique una partición conveniente del espacio muestral.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el jabón alcance los resultados
esperados y sea usado con aguas blandas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el jabón alcance los resultados
esperados y sea usado con aguas muy duras?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el jabón alcance los resultados
esperados?
Ejercicio 3.9.
Un trastorno se manifiesta si, y solo si, se presentan por lo menos
dos de tres sı́ntomas: s1 , s2 y s3 . La probabilidad de que se presenten
los sı́ntomas s1 y s2 es de 0,56. La probabilidad de que se presenten
estos tres sı́ntomas es de 0,504. La probabilidad de que se presenten
los sı́ntomas s1 y s3 , pero no s2 es de 0,105. La probabilidad de que
se presenten los sı́ntomas s2 y s3 pero no s1 es de 0,117.
113
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
a) Exprese los datos dados con eventos previamente definidos e
identifique una partición del espacio muestral.
b) La probabilidad de que se presenten los sı́ntomas s1 y s2 pero
no s3
c) La probabilidad de que se presenten los sı́ntomas s1 y s3 .
d) La probabilidad de que se presenten los sı́ntomas s1 y s2 pero
no s3
e) Determine la probabilidad de que se manifieste el trastorno.
Ejercicio 3.10.
La probabilidad de ganar en las operaciones financieras 1 y 2 son
iguales a 0,3 y 0,4, respectivamente; y la probabilidad de ganar en
ambas es de 0,2. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en, por lo menos,
una de estas operaciones?
Ejercicio 3.11.
En la producción de cierto bien, se puede usar, por lo menos, uno
de tres procedimientos secundarios (1, 2 y 3). Cada uno de estos
tiene una probabilidad de 0,55 de ser usado. La probabilidad de
que se usen el procedimiento 1 y 2 durante la producción es de
0,2. Los procedimientos 1 y 3 son utilizados durante la producción
con probabilidad de 0,25; lo mismo ocurre cuando se usan los
procedimientos 2 y 3. Además, la probabilidad de usar los tres
procedimientos en la producción es de 0,01.
Considere los eventos Ai : usar el procedimiento secundario i, para
i = 1, 2 y 3.
114
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
a) Use los eventos Ai , antes definidos, y operaciones de conjuntos
para expresar cada uno de los eventos siguientes:
i) E1 : usar, al menos, uno de los procedimientos secundarios
en la producción.
ii) E2 : usar uno o dos de los procedimientos secundarios en
la producción.
iii) E3 : usar, a lo sumo, dos de los procedimientos secundarios
en la producción.
iv) E4 : ninguno de los procedimientos secundarios es usado
en la producción.
b) Determine la probabilidad de los eventos descritos en la
parte anterior. Solo use propiedades de la probabilidad y los
resultados de la parte anterior.
Ejercicio 3.12.
Una entidad crediticia califica a las empresas de cierto grupo para
otorgarles un crédito si, y solo si, estas poseen al menos una de
tres caracterı́sticas (s1 , s2 , s3 ). La probabilidad de que una de estas
empresas posea una sola de las caracterı́sticas es de 0,28 y la
probabilidad de que posea solo dos, de 0,67. Considere los eventos
Ni : la cantidad de estas caracterı́sticas que posee una empresa es
igual a i, para i = 0, 1, 2, 3.
a) Use los eventos antes definidos para expresar los eventos
siguientes:
i) Una empresa de este grupo califique para el crédito.
ii) Una empresa de este grupo no califique para el crédito o
bien califique por tener las tres caracterı́sticas.
115
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
b) Determine el valor de la suma P (N0 )+P (N1 )+P (N2 )+P (N3 ).
c) Determine la probabilidad de que una empresa de este grupo
no califique para el crédito o bien califique por tener las tres
caracterı́sticas.
d) Suponga que la probabilidad de que una empresa de este
grupo califique para el crédito sea de 0,96. ¿Cuál serı́a la
probabilidad de que una de las empresas del grupo posea las
tres caracterı́sticas?
Ejercicio 3.13.
La producción de cierto bien tiene tres procedimientos secundarios,
(1, 2 y 3) y la probabilidad de usar, al menos uno de estos, es
de 0,9. En la producción, se pueden usar, al mismo tiempo, dos
procedimientos secundarios, 1 y 2, con probabilidad de 0,2; 1 y 3, con
probabilidad de 0,25; y 2 y 3 también con probabilidad de 0,25. Por
último, la probabilidad de usar los tres procedimientos secundarios
en la producción del bien es de 0,01. Determine la probabilidad de
cada uno de los eventos siguientes:
a) Solo se usen los procedimientos secundarios 1 y 2.
Recuerde la propiedad P (A∩B) = P (A∩B ∩C)+P (A∩B ∩C c )
b) Solo se usen los procedimientos secundarios 1 y 3.
c) Solo se usen los procedimientos secundarios 2 y 3.
d) Solo se usen dos de los procedimientos secundarios.
e) Se use solo uno de los procedimientos secundarios.
f) Ninguno de los procedimientos secundarios se use.
g) Se usen, como máximo, dos de los procedimientos secundarios.
116
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
Ejercicio 3.14.
Al poner a la venta un producto, el administrador responsable ha
determinado que solo puede presentarse una de las cuatro situaciones
de la demanda siguientes: muy desfavorable, desfavorable, favorable
y óptima. También ha calculado las probabilidades siguientes:
i) 1/8 de que la demanda sea muy desfavorable.
ii) 1/9 de que la demanda sea muy desfavorable y no se logren los
resultados deseados.
iii) 1/4 de que la demanda sea desfavorable.
iv) 0,15 de que la demanda sea desfavorable y se logren los
resultados deseados.
v) 1/4 de que la demanda sea favorable.
vi) 0,18 de que la demanda sea favorable y se logren los resultados
deseados.
vii) 0,1 de que la demanda sea óptima y no se logren los resultados
deseados.
a) Exprese los datos con eventos previamente definidos.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda sea muy desfavorable y se logren los resultados deseados?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda sea óptima?
d) Halle la probabilidad de que la demanda sea óptima y se logren
los resultados deseados.
e) Halle la probabilidad de que se logren los resultados deseados.
Ejercicio 3.15.
La probabilidad de fabricar un artı́culo defectuoso es de 0,1 y
la probabilidad de que un artı́culo fabricado defectuosamente sea
inservible es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de fabricar un artı́culo
defectuoso e inservible?
117
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 3.16.
Con el fin de ganar 5 000 soles, un inversionista realizará una de tres
opciones. La probabilidad de que se realice la opción 1 es de 0,3. Si
se realiza la opción 1, la probabilidad de ganar 5 000 soles es de 0,4.
Si se realiza la opción 2, lo cual ocurre con una probabilidad de 0,2,
la probabilidad de ganar 5 000 soles es de 0,1. Cuando se realiza la
opción 3, la probabilidad de ganar 5 000 soles es de 0,25.
Cuantifique la confianza del inversionista en esta situación.
Ejercicio 3.17.
En el contexto del ejemplo 3.8, suponga ahora que una empresa se
encuentra en dicho estado financiero si también posee la caracterı́stica
c3 . Si, además de la información ya dada, se sabe que el 75 % de las
empresas que poseen las caracterı́sticas c1 y c2 también presenta la
c3 ; ¿cuál es la probabilidad de que una empresa se encuentre en este
estado financiero?
Ejercicio 3.18.
En la identificación de una cerámica de cierto lugar arqueológico,2
esta puede ser, o bien preincaica, con probabilidad de 0,3, o bien
incaica. Para ayudar a la identificación de esta cerámica, se observa
si posee cierta caracterı́stica distintiva. Si la cerámica es preincaica,
la probabilidad que posea la caracterı́stica distintiva es de 0,6; pero,
si la cerámica es incaica, la probabilidad solo es de 0,1.
2
Este ejercicio es una simplificación de un problema de Reconocimiento de
Patrones. Una referencia es el libro Neural Networks for Pattern Recognition de
Christopher M. Bishop, Oxford University Press 2000.
118
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
a) Exprese los datos dados con eventos previamente definidos.
b) Determine la probabilidad de que la cerámica posea la
caracterı́stica distintiva.
c) En la identificación de una cerámica, se observó que poseı́a
la caracterı́stica distintiva. Si el arqueólogo encargado quiere
maximizar su confianza en la identificación, ¿la debe clasificar
como incaica o preincaica?
Ejercicio 3.19.
Estudios acerca de la calidad han determinado que un producto tiene
un problema de calidad cuando presentan los tres defectos siguientes:
1 (mala presentación), 2 (contenido) y 3 (peso). La probabilidad de
que el producto posea el defecto 1 es de 0,05. 1 de cada 4 unidades
del producto que presentan el defecto 1, también presentan el defecto
2. Además, se sabe que el 75 % de las unidades del producto que
presentan los defectos 1 y 2 también presenta el defecto 3. Determine
la probabilidad de que uno de los artı́culos del producto presente un
problema de calidad.
Ejercicio 3.20.
Al realizar tres proyectos, c1 , c2 y c3 , un economista estima las
probabilidades siguientes:
i) 0,3 de que el desarrollo de c3 no sea exitoso.
ii) 0,8 para el desarrollo exitoso de c2 si c3 resultara exitoso.
iii) 0,1 de que el desarrollo de c1 no sea exitoso si resultaran exitosos
c3 y c2 .
119
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
El economista obtendrá un beneficio si, y solo si, los tres proyectos
resultaran exitosos. Halle la probabilidad de que este economista
obtenga un beneficio.
Ejercicio 3.21.
Sean P, Q y R probabilidades tales que para cada evento A de Ω :
Q(A) = P (A/B) y R(A) = Q(A/C).
Demuestre que, para cada evento
A : R(A) = P (A/B ∩ C).
Ejercicio 3.22.
Sean P, Q, R y S probabilidades tales que, para cada evento A de
Ω:
Q(A) = P (A/B), R(A) = Q(A/C) y S(A) = R(A/D).
Demuestre que, para cada evento A :
S(A) = P (A/B ∩ C ∩ D).
Ejercicio 3.23.
Si P (A ∩ C/B) = 0,1, P (A ∩ C c /B) = 0,2, halle P (A/B).
Ejercicio 3.24.
Halle la probabilidad P (A∪B∪C ∪D) si se conocen las probabilidades
siguientes: P (A) = 0,1, P (B c /Ac ) = 0,8, P (C/Ac ∩ B c ) = 0,3 y
P (D/Ac ∩ B c ∩ C c ) = 0,4.
120
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
Ejercicio 3.25.
Al realizar tres proyectos, c1 , c2 y c3 , un economista estima las
probabilidades siguientes:
i) 0,7 para el desarrollo exitoso de c1 ;
ii) 0,8 para el desarrollo exitoso de c2 si c1 resultara exitoso;
iii) 0,6 para el desarrollo exitoso de c2 si c1 no resultara exitoso;
iv) 0,9 para el desarrollo exitoso de c3 si resultaran exitosos c1 y c2 ;
v) 0,75 para el desarrollo exitoso de c3 si resultara exitoso c1 , pero
no c2 ;
vi) 0,65 para el desarrollo exitoso de c3 si resultara exitoso c2 , pero
no c1 ;
vii) 0,5 para el desarrollo exitoso de c3 si no resultaran exitosos c1
ni c2 .
El economista obtendrá un beneficio si, y solo si, por lo menos dos
de los tres proyectos resultaran exitosos. Cuantifique el riesgo que
correrá al realizar los proyectos.
Ejercicio 3.26.
Se debe realizar una de dos inversiones. La probabilidad de que
se realice la inversión I es de 0,3. Si se realiza la inversión I, la
probabilidad de ganar 5 000 soles es de 0,4. Si se realiza la inversión
II, la probabilidad de ganar 5 000 soles es de 0,1.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se realice la inversión I y se
gane 5 000 soles?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se realice la inversión II y se
gane 5 000 soles?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se gane 5 000 soles?
d) Si se ganó 5 000 soles, ¿cuál inversión se realizó más probablemente?
121
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 3.27.
En el contexto del ejemplo 3.10, suponga un perı́odo de 4 años y que la
probabilidad de que la demanda sea muy baja se mantenga constante
durante este perı́odo; además, considere que la probabilidad de que
la fábrica se vuelva anticuada (por las nuevas normas de control
ambiental) al cabo del año i, dado que no se hizo antes, sea 1−(0,95)i ,
para i = 2, 3 y 4.
a) Determine la probabilidad de que, al cabo de este perı́odo, la
fábrica no tenga que cerrarse.
b) Generalice el resultado anterior para un perı́odo de n años.
¿Puede concluir lo que ocurrirá en el largo plazo?
Ejercicio 3.28.
De los reportes sobre una operación financiera, se tiene la información
siguiente:
– la probabilidad de ganar menos de 20 mil soles es de 0,35;
– el 40 % de las veces se gana entre 20 mil y 40 mil soles;
– cuando se gana menos de 20 mil soles, la probabilidad de no
lograr la meta es de 0,2;
– si se gana entre 20 mil y 40 mil soles, la probabilidad de que se
logre la meta es de 0,6;
– la probabilidad de ganar más de 40 mil soles, pero no lograr la
meta es de 0,01.
122
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
a) Halle la probabilidad de que se logre la meta.
b) Si se logró la meta, ¿en cuál de los tres rangos mencionados es
más probable que se encuentre la ganancia en la operación?
Recuerde justificar.
Ejercicio 3.29.
Las inversiones financieras (de resultados inciertos) han sido
clasificadas, según el riesgo de perder, en tres tipos: de riesgo bajo,
de riesgo normal y de riesgo alto.
Según las estadı́sticas, la probabilidad de realizar una inversión de
riesgo bajo es de 0,5 y la de realizar una inversión de riesgo normal
es de 0,3.
Si la inversión es de riesgo bajo, la probabilidad de perder es de 0,1.
La probabilidad de perder en una inversión de riesgo normal es de
0,15.
Solo en una de cada cinco inversiones de riesgo alto, no se pierde.
a) Exprese los datos dados con eventos previamente definidos.
b) Determine la probabilidad de perder cuando la inversión es de
riesgo alto.
c) Determine la probabilidad de perder en una inversión financiera.
d) Si se perdió en la inversión, halle la probabilidad de que haya
sido de riesgo bajo.
123
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 3.30.
En la producción de cierto bien, se usa solo uno de tres procedimientos
principales (1, 2 y 3) y, opcionalmente, por lo menos, uno de
dos procedimientos secundarios (4 y 5). Si se usa el procedimiento
1, lo cual ocurre con una probabilidad de 0,6, cada uno de los
procedimientos secundarios tiene una probabilidad igual a 0,4 de ser
usado; en este mismo caso, la probabilidad de que se usen ambos
procedimientos es de 0,2. Si se usa el procedimiento 2, pueden usarse
los procedimientos secundarios (4 y 5) de manera independiente cada
uno y con probabilidades 0,2 y 0,3, respectivamente. El procedimiento
3 puede usarse con una probabilidad de 0,25; en este caso, la
probabilidad de usar al menos uno de los procesos secundarios es
de 0,85.
a) ¿Cuál es la probabilidad de usar, al menos, uno de los
procedimientos secundarios en la producción del bien si se sabe
que se ha usado el procedimiento 1?
b) ¿Cuál es la probabilidad de usar, al menos, uno de los
procedimientos secundarios en la producción del bien y el
procedimiento 1?
c) ¿Cuál es la probabilidad de usar, al menos, uno de los
procedimientos secundarios?
Ejercicio 3.31.
En un supermercado, cada cliente decide, independientemente de los
demás, si compra un artı́culo en promoción. Se sabe que el 75 % de
los clientes suele comprar un artı́culo en promoción. Suponga que 4
clientes (1, 2, 3 y 4) ingresan en el supermercado.
124
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
Use los eventos: Ai , el cliente i decida comprar un artı́culo en
promoción, para i = 1, 2, 3 y 4, para expresar los eventos que se
dan a continuación y calcular sus probabilidades correspondientes:
a) Ninguno de los cuatro clientes decide comprar un artı́culo en
promoción.
b) Solo uno de los cuatro clientes decide comprar un artı́culo en
promoción.
c) Solo dos de los cuatro clientes decide comprar un artı́culo en
promoción.
d) Solo tres de los cuatro clientes decide comprar un artı́culo en
promoción.
e) Por lo menos uno de los cuatro clientes decide comprar un
artı́culo en promoción.
Ejercicio 3.32.
Halle la probabilidad P (A∪B∪C) en cada uno de los casos siguientes:
a) Estos eventos son excluyentes y cada uno tiene una probabilidad
de 0,1.
b) Estos eventos son independientes y cada uno tiene una
probabilidad de 0,1.
c) P (Ac ) = 0,3, P (B c /Ac ) = 0,4 y P (C/Ac ∩ B c ) = 0,8.
125
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 3.33.
Al invertir en las operaciones financieras 1, 2, 3, 4 y 5 se puede ganar
independientemente y con probabilidades iguales a 0,1; 0,2; 0,3; 0,4
y 0,5, respectivamente.
a) Exprese los datos dados con eventos previamente definidos.
b) Halle la probabilidad de ganar solamente en las operaciones 1
y 5.
c) Halle la probabilidad de ganar en, por lo menos, una de estas
operaciones.
d) Para un agente financiero, resulta rentable la inversión en las
cinco operaciones si, y solo si, gana en, por lo menos, una de las
tres primeras y gana en las dos últimas. Halle la probabilidad
de que resulte rentable la inversión en las cinco operaciones.
Ejercicio 3.34.
En una planta de producción continua de un producto, en cualquier
lapso de un minuto, puede producirse una imperfección con probabilidad de 0,3. Si, en perı́odos de observación que no se traslapan, las
imperfecciones producidas son independientes, cuán probables serán
los eventos siguientes, referidos a cuatro minutos de observación que
no se traslapan:
a) En los cuatro minutos de observación se produzca una
imperfección.
b) En al menos uno de los cuatro minutos de observación se
produzca una imperfección.
126
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
c) Solo en los dos primeros minutos de observación se produzca
una imperfección.
d) Solo en dos de los minutos de observación se produzca una
imperfección.
Ejercicio 3.35.
En el análisis costo-beneficio de la compra de cierta fábrica, se ha
determinado que, solo si alguno de los dos eventos siguientes ocurre,
se producirı́a una pérdida: el evento E1 , cuya probabilidad de ocurrir
es de 0,1 y el evento E2 , cuya probabilidad es de 0,05. También se
sabe que la probabilidad de que ocurran ambos eventos es de 0,02.
a) ¿Puede deducirse que los eventos E1 y E2 son independientes?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra una pérdida a causa
únicamente del evento E1 ?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra una pérdida a causa
únicamente del evento E2 ?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la compra ocasione una
pérdida?
Ejercicio 3.36.
{ A1 , . . . , A5 } es una colección de eventos independientes. Cada uno
tiene una probabilidad de 0,9. Determine la probabilidad de los
eventos siguientes:
(A1 ∪ Ac2 ) ∩ A3 y A1 ∪ A2 ∩ (A3 ∪ A4 ) ∪ A5 .
127
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 3.37.
En una obra, hay seis operarios. Cada uno puede cometer algún error
con una probabilidad de 0,05 e independientemente de los demás
operarios. Calcular sus respectivas probabilidades:
a) Ninguno de los 6 operarios comete un error.
b) Por lo menos 1 de los 6 operarios comete un error.
c) Solo 1 de los 6 operarios comete un error.
d) Solo 2 de los 6 operarios cometen un error.
e) Solo 3 de los 6 operarios cometen un error.
f) Los 6 operarios cometen un error.
g) A lo sumo 2 de los operarios cometen un error.
Ejercicio 3.38.
Con fines de auditorı́a sobre 18 empresas aseguradoras que funcionan
en nuestro medio (entre las cuales tenemos a El Pacı́fico PeruanoSuiza, Genarali Perú y La Positiva) se tomará una muestra aleatoria
de 5 de ellas. Determine la probabilidad de los eventos siguientes:
a) Que la muestra solo tenga 1 de las 3 empresas antes citadas.
b) Que la muestra solo tenga 2 de las 3 empresas antes citadas.
c) La muestra incluya a las 3 empresas mencionadas.
d) Que la muestra incluya al menos 1 de las 3 empresas antes
citadas.
128
Profesor José Flores Delgado
Probabilidad
Ejercicio 3.39.
En el contexto del ejemplo 3.17:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un presupuesto de 350 soles
garantice la adquisición de una unidad de cada bien?
b) Halle el presupuesto mı́nimo necesario para garantizar, con una
probabilidad mayor o igual que 0,95, la adquisición de una
unidad de cada bien.
c) Cuantifique el grado de confianza de aseverar que, con un
presupuesto de 450 soles, se puedan adquirir 2 unidades del
bien A y una del bien B.
129
4.
Variable aleatoria
4.1. Introducción
Si tenemos una variable, X, para la cual desconocemos cómo
asume sus valores, podemos cuantificar esta incertidumbre asignando
probabilidades sobre sus valores; de este modo, se tendrá un mejor
conocimiento de su comportamiento. Esta asignación debe ser tal
que nos permita obtener la probabilidad de que la variable X asuma
valores sobre cualquier subconjunto, A, de valores posibles, es decir,
P (X ∈ A). También es posible obtener un modelo o función que nos
dé tal asignación de probabilidades que permita una descripción de
la variable. A continuación, formalizamos un poco más lo anterior.
Definición 4.1. Sea Ω un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Una variable aleatoria es una función, X, que transforma
cada resultado, ω, del espacio muestral, en un número real X(ω).
X:
Ω→R
ω → X(ω)
130
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
Observación 4.1. ¿Qué interpretación podemos dar a esta definición
formal? Para averiguarlo, pongámonos en el papel de una persona
que recibe u observa los valores de la variable; para ella, estos
valores tendrán una naturaleza aleatoria, puesto que se originan al
transformar los resultados de un experimento aleatorio en números.
El experimento que da la aleatoriedad resulta, para dicha persona,
como una “caja negra”, pues esta solo recibe los valores y no observa
el experimento mismo. Por lo tanto, para tener una descripción
de ella, tendrá que hacerlo de manera indirecta y no a través del
experimento aleatorio en sı́.
Ejemplo 4.1. En el contexto del ejemplo 3.14 del capı́tulo anterior,
en el que se tienen 20 empresas, de las cuales 5 son clasificadas del
tipo ‘a’ y las otras 15 del tipo ‘b’, se toma una muestra al azar de 4
de estas. Entonces, el espacio muestral asociado a este experimento
es:
Ω = { A / A ⊂ {1, . . . , 20}, #(A) = 4 }
con la interpretación de que las empresas están identificadas por los
números naturales del 1 al 20 y los primeros 5 identifican a las del
tipo a.
A manera de ejemplo, consideremos la variable X definida como el
número de empresas del tipo a que resultarán en la muestra por
seleccionar. X es una variable: puede asumir como valores 0 o 1 o 2
o 3 o 4; es decir, el rango de X es RX = {0, 1, 2, 3, 4}. Además, X
asume sus valores de manera aleatoria.
Veamos cómo se generan los valores de X a partir del experimento
aleatorio que la origina; es decir, entremos en la caja negra, pues, en
este caso, es muy simple hacerlo.
131
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Describamos, por ejemplo, cómo se genera el valor 4 de X: el evento
X = 4 (las cuatro empresas seleccionadas son del tipo a). Dicho de
otro modo, cuáles son los resultados de este experimento que generan
este valor o cuál es el evento asociado a este valor:
{X = 4} = {{1, 2, 3, 4},{1, 2, 3, 5},{1, 2, 4, 5},{1, 3, 4, 5},{2, 3, 4, 5}}.
Note que todo resultado, ω, de este evento tiene la propiedad de ser
transformado en el número 4, es decir, X(ω) = 4, ya que han sido
seleccionadas cuatro de las empresas del tipo a. Son 54 = 5 resultados
que se convierten en el valor 4.
A continuación, hagamos lo mismo para el resto de los valores posibles
de esta variable:




{1,
2,
3,
6},
{1,
2,
3,
7},
.
.
.
{1,
2,
3,
20},






 {1, 2, 4, 6}, {1, 2, 4, 7}, . . . {1, 2, 4, 20}, 
{X = 3} =


...
...
...
...






 {3, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 7}, . . . {3, 4, 5, 20} 
En este caso, todo resultado, ω, de este evento tiene la propiedad de
ser transformado en el número 3, es decir, X(ω) = 3, ya que han sido
seleccionadas 3 de las empresas del tipo a. Son 53 × 15
1 = 10x15 =
150 resultados que se convierten en el valor 3.




{1,
2,
6,
7},
{1,
2,
6,
8},
.
.
.
{1,
2,
19,
20},






 {1, 3, 6, 7}, {1, 3, 6, 8}, . . . {1, 3, 19, 20}, 
{X = 2} =


...
...
...
...






 {4, 5, 6, 7}, {4, 5, 6, 8}, . . . {4, 5, 19, 20} 
Aquı́, todo resultado, ω, de este evento tiene la propiedad de ser
transformado en el número 2, es decir, X(ω) = 2, pues solo han sido
seleccionadas 2 de las empresas del tipo a. Son 52 × 15
2 = 10 × 15 =
150 resultados que se convierten en el valor 2.
132
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria


{1, 2, 3, 6}, {1, 2, 3, 7},



 {1, 2, 4, 6}, {1, 2, 4, 7},
{X = 1} =

...
...



 {3, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 7},
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
{1, 2, 3, 20},
{1, 2, 4, 20},
...
{3, 4, 5, 20}











Note que todo resultado, ω, de este evento tiene la propiedad de ser
transformado en el número 1, es decir, X(ω) = 1, pues solo ha sido
seleccionada 1 de las empresas del tipo a. Son 51 × 15
3 = 5 × 455 =
2 275 resultados que se convierten en el valor 1.
Finalmente:
{X = 0}
= { {6, 7, 8, 9},{6, 7, 8, 10}, . . . . , {6, 7, 8, 20}, . . . . , {17, 18, 19, 20} }.
Todo resultado, ω, de este evento tiene la propiedad de ser
transformado en el número 0, es decir, X(ω) = 0, ya que no han
sido seleccionadas empresas del tipo a. Son 15
4 = 1 365 resultados
que se convierten en el valor 0.
Definición 4.2. El rango de una variable aleatoria X es el conjunto
de valores posibles que puede asumir la variable. Se denota por RX .
Ejemplo 4.2. En el ejemplo anterior, el rango de la variable aleatoria
X es RX = {0, 1, 2, 3, 4}.
Definición 4.3. Se dice que una variable aleatoria es discreta si su
rango es un conjunto discreto y continua, si su rango es un conjunto
continuo.
Ejemplo 4.3. La variable aleatoria X del ejemplo 1 es discreta.
133
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejemplo 4.4. En el ejemplo 3.17 del tema anterior, en el que el
precio del bien A varı́a aleatoria y uniformemente entre 100 y 200
soles, y el precio del bien B varı́a entre 200 y 300 soles, el espacio
muestral es: Ω = { (x; y) ∈ R2 / 100 ≤ x ≤ 200, 200 ≤ y ≤ 300} Con
la interpretación siguiente: si (x; y) es un resultado de Ω, quiere decir
que el precio del bien A es x soles y el del bien B, y soles.
Consideremos ahora la variable T , definida como el precio total para
adquirir una unidad de cada uno de estos productos. Entonces, cada
resultado posible, ω = (x,y), es transformado por esta variable, T ,
en el número T ((x,y)) = x + y. Ası́, esta variable solo puede asumir
valores entre 300 y 500, es decir, RT = [300, 500]. Por lo tanto, T
es una variable aleatoria continua. Esto último se ilustra en la figura
siguiente:
Observación 4.2. Los dos ejemplos anteriores ilustran de manera
sencilla el concepto de variable aleatoria. En la aplicación práctica,
encontramos variables que se generan de modo complejo y, en estas
situaciones, usamos un modelo probabilı́stico para describirlas; esta
forma de hacerlo se describirá a continuación.
134
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
4.2. Modelo probabilı́stico de una variable aleatoria
Definición 4.4. Sea Ω un espacio muestral y P una asignación de
probabilidades definida sobre sus eventos. Entonces, el ‘modelo’1 o
distribución de probabilidades de una variable aleatoria, X, definida
en Ω, es una función f : RX → R, con la propiedad de que, para
cualquier subconjunto A, de valores posibles para la variable, es decir,
A ⊂ RX , se tiene que:
 
f (x), si X es discreta;



 x∈A
P (X ∈ A) =


f (x)dx, si X es continua.



A
Ası́, la probabilidad de que X tome valores en A se halla sumando o
integrando, según sea X discreta o continua, la función f en A.
Observación 4.3. En el contexto de la inferencia estadı́stica clásica,
la variable aleatoria y su modelo probabilı́stico modelan a una
caracterı́stica que se registra en toda una población. En cambio, en
la estadı́stica descriptiva, se dispone tan solo de una muestra de la
variable de la población; por lo tanto, la distribución de frecuencias
solo describe la frecuencia relativa de los valores en la muestra. Ası́,
esta es solo una aproximación o estimación de la distribución de
la variable de la población. Más formalmente, si para cada n ∈
+ , X , . . . , X es una muestra aleatoria de X, A ⊂
y p̄ =
1
n
la proporción de valores de la muestra que están en A; entonces,
un resultado conocido como la Ley Fuerte de los Grandes Números
garantiza que lı́m p̄ = P (X ∈ A) (con probabilidad 1).
n→∞
1
El término usual en la literatura estadı́stica es el de distribución, pero en este
texto, para enfatizar su utilidad, se usará el término de ‘modelo’; ası́ el autor
coincide, en este tratamiento, con Del Pino (2000).
135
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Nótese también que, si en la muestra se consideran solamente los
valores no repetidos, digamos x1 , . . . xk , y f r(x1 ), . . . ,f r(xk ) sus
respectivas frecuencias relativas, entonces, p̄ =
f r(x). Ası́, en
x∈A
la muestra, se usan las frecuencias relativas obtenidas, f r(x), pero,
para la población, estas frecuencias relativas son reemplazadas por
los valores proporcionados por el modelo probabilı́stico, f (x).
A continuación, ilustramos gráficamente el caso continuo:
Ejemplo 4.5. Veamos cómo es la distribución de probabilidades en
el rango de la variable del ejemplo 4.1. Para esto, consideremos x
cualquier valor posible para X y apliquemos la definición dada al
conjunto A = {x}. Entonces, resulta que:
P (X = x) = P (X ∈ {x}) =
es decir, f (x) = P (X = x).
136
y∈{x}
f (y) = f (x),
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
En la tabla siguiente, se muestran los valores de f (x) = P (X = x),
para cada valor posible de X :
x
0
1
f (x)
15
515
4
20
4
1
2
3
20
4
3
515
2
4
515
2
3
20
5
1
4
20
20
4
4
4
En este caso, tenemos la fórmula explı́cita general:
5 15 x
f (X = x) = P (X = x) =
204−x
,
4
para cualquier x ∈ RX = { 0, 1, 2, 3, 4 }.
De aquı́, si aplicamos la definición para cualquier subconjunto, A, de
valores posibles para la variable, es decir, A ⊂ RX , se tiene que:
15 x5 4−x
20
P (X = x) =
P (X ∈ A) =
x∈A
4
x∈A
Veamos cómo obtener las probabilidades de algunos eventos relacionados con esta variable X, a partir de su modelo probabilı́stico f .
i) La probabilidad de que sean seleccionadas más de 2 empresas
del tipo a es
5 15 5 15 4
+ 4 204−4
.
P (X > 2) =
f (x) = f (3) + f (4) = 3 204−3
4
x=3
4
ii) La probabilidad de seleccionar a lo más una empresa del tipo a
es
5 15 5 15 P (X ≤ 1) = f (0) + f (1) =
137
0
204−0
+
4
1
204−1
4
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
iii) La probabilidad de seleccionar tres empresas del tipo a es:
(5)( 15 )
P (X = 3) = f (3) = 3 204−3
(4)
Observación 4.4. El modelo probabilı́stico, f , de una variable
aleatoria, X, puede extenderse hacia todo número real, definiéndola
como 0 en los casos fuera del rango. Además, en el caso discreto, a
esta función se le llama también “función de probabilidad” y, en el
caso continuo, “función de densidad”.
Ejemplo 4.6. El ingreso en soles, en un sector, se considera una
variable aleatoria continua, X, cuyo modelo probabilı́stico está dado
por:


si 0 ≤ x < 1500
 0,0008x/1500,
f (x) =
0,002 − 0,0008x/1000, si 1500 ≤ x ≤ 2500


0,
en otro caso
A modo de ejemplo, obtengamos la probabilidad de que un trabajador
gane a lo sumo 1000 soles, es decir, P (X ≤ 1000). Como X es
continua, sigue, de la definición de f, que
1000
1000
0,0008
0,0008 x2 x=1000
P (X ≤ 1000) =
x dx =
f (x) dx =
1500
1500 2 x=0
0
0
=0,2667.
Ası́, el 26,67 % de los trabajadores de este sector gana a lo más 1000
soles.
138
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
También calculemos la probabilidad de que un trabajador gane 2000
soles o menos, es decir, la probabilidad P (X ≤ 2000). En este,
conviene usar el siguiente complemento:
2500
P (X ≤ 2000) = 1 − P (X > 2000) = 1 −
(0,002 −
2000
0,0008x/1000) dx = 1 − 0,1 = 0,9.
Ası́, el 90 % de los trabajadores de este sector gana, como máximo,
2000 soles.
Propiedades del modelo probabilı́stico
El modelo o distribución de probabilidades, f, de una variable
aleatoria X, satisface las propiedades siguientes:
1. Si X es discreta, para cualquier x ∈ RX se cumple que
f (x) = P (X = x).
2. Si X es continua, para cualquier valor x se tiene que P (X =
x) = 0.
3. Para cualquier x ∈ RX se cumple que f (x) ≥ 0.
4. Si X es discreta, se tiene que
x∈RX
139
f (x) = 1.
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
5. Si X es continua, se tiene que
f (x)dx = 1.
RX
6. Si X es continua, se cumple que f es el modelo probabilı́stico
de X, si y solo si
b
para cualesquiera a < b : P (a ≤ X ≤ b) = f (x)dx.
a
7. Si X es continua, para cualesquiera a < b, se tiene que
P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a < X < b)
= P (X ≤ b) − P (X ≤ a).
Observación 4.5. En las aplicaciones, para determinar el posible
modelo probabilı́stico de una variable aleatoria, se debe buscar entre
las funciones que satisfagan las propiedades 3 y 4 en el caso discreto,
y 3 y 5 en el caso continuo.
4.3. El valor esperado
Definición 4.5. La esperanza o media de una variable aleatoria, X,
cuyo modelo probabilı́stico es fX , se denota por E(X) o µX , y se
define, según sea la variable discreta o continua, mediante:
 xf (x) si X es discreta.



 x∈RX X
µX = E(X) =

xf (x)dx si X es continua.



X
RX
Observación 4.6. Resulta, entonces, que, en el caso discreto,
xP (X = x). Ası́, la esperanza o media es el
E(X) =
x∈RX
promedio de los valores posibles de la variable ponderados con sus
respectivas probabilidades. Para extender esta definición al caso
140
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
continuo, usamos la integral. En este caso, dicha integral tiene una
interpretación fı́sica: representa la abscisa del centro de gravedad de
un cuerpo cuya densidad es descrita por f . Por esta razón, cuando la
variable es continua a la función f , se le llama “función de densidad”.
Ejemplo 4.7. Para nuestro ejemplo 4.1 (con los datos del ejemplo
4.5), como X es discreta:
E(X) =
xf (x) =
4
xf (x)
x=0
x∈RX
= 0f (0) + 1f (1) + 2f (2) + 3f (3) + 4f (4)
(5)(15)
(5)(15)
(5)(15)
(5)(15)
= 0 + 1 1 20 3 + 2 2 20 2 + 3 3 20 1 + 4 4 20 0
(4)
(4)
(4)
(4)
=1
Entonces, cuando se extraen muestras de 4 empresas, se encontrará,
en promedio, una empresa del tipo a en cada muestra.
Observación 4.7. Cuando se registra u observa una gran cantidad
de valores de una variable aleatoria, la media de todos estos
es aproximadamente igual a la esperanza de la variable. Más
formalmente, si para cada n ∈ + , X1 , . . . , Xn es una muestra
n
aleatoria de X y X̄ = n1
Xj (la media de la muestra); entonces,
j=1
un resultado conocido por la Ley Fuerte de los Grandes Números,
establece que, con probabilidad 1, lı́m X̄ = E(X). De allı́ el nombre e
n→∞
importancia del valor esperado o media, pues, con este valor, podemos
anticipar lo que ocurrirá en promedio.
141
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejemplo 4.8. En el contexto del Ejemplo 4.6, la media o valor
esperado de los ingresos es
1500
2500
xf (x) dx =
xf (x) dx +
xf (x) dx
R
X
=
0
1500
1500
x(0,0008x/1500)dx+
0
2500
1500
x(0,002 − 0,0008x/1000)dx
= 600 + 733,33 = 1333,33
Es decir, el ingreso esperado o medio, en este sector, es de 1 333,33
soles.
4.3.1.
Valor esperado de una función de una variable
aleatoria
Sea X una variable aleatoria, con modelo probabilı́stico f (x), y g :
X
RX → R una función, entonces, la esperanza de la variable aleatoria
g(X) puede obtenerse usando la distribución de probabilidades de X,
según sea esta discreta o continua, como se indica a continuación:
 
g(x)f (x); si X es discreta.


X

x∈RX


E(g(X)) =



g(x)f (x)dx; si X es continua.



X
RX
Observación 4.8. Esta propiedad es muy importante por dos
razones. Desde el punto de vista práctico, al establecer que, con el
modelo probabilı́stico de una variable aleatoria se puede determinar el
valor esperado de cualquier función de esta, entonces, no es necesario
142
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
determinar el modelo para la variable que es función de otra cuyo
modelo es conocido. Desde el punto de vista teórico, permite deducir
otras propiedades del valor esperado relacionadas con funciones de
una variable aleatoria, como las que se darán más adelante.
Observe también que, en el caso discreto
E(g(X)) =
g(x)P (X = x).
x∈RX
Ejemplo 4.9. La demanda diaria de un artı́culo se considera una
variable aleatoria discreta, X, con modelo probabilı́stico:
f (x) =
2x
, x = 1, 2, 3, 4.
6(x!)
El fabricante de estos artı́culos decide producir 2 unidades diarias
durante un perı́odo de muchos dı́as. Cada unidad vendida del artı́culo
genera una utilidad de 5 soles, pero cualquier unidad que no se
vende al cabo del dı́a se desecha y genera una pérdida de 3 soles.
El fabricante desea saber cuál será la utilidad promedio durante este
perı́odo.
Como la utilidad diaria es una función g(X), usamos la propiedad
anterior para averiguarlo. Los valores de g y f se muestran en la
tabla siguiente:
x
g(x)
f (x)
1
2
3
5(1) − 3(1) = 2 5(2) − 3(0) = 10 5(2) − 3(0) = 10
1
1
2
21
22
23
6(1!) = 3
6(2!) = 3
6(3!) = 9
Ası́ la utilidad esperada está dada por:
4
E g(X) =
g(x)f (x) =
g(x)f (x)
x∈RX
x=1
143
4
10
24
6(4!) =
1
9
Profesor José Flores Delgado
=2×
1
3
+ 10 ×
1
3
+ 10 ×
Estadı́stica
2
9
+ 10 ×
1
9
=
22
3 .
Es decir, la utilidad diaria promedio, en este perı́odo, será de 7,33
soles.
Observación 4.9. Un error frecuente es pensar que E(g(X)) =
g(E(X)), es decir, que, para obtener el valor esperado de una función
de X, basta evaluar g en E(X). Una excepción ocurre cuando la
función g es lineal de la forma a + bX, como se verá más adelante.
Ejemplo 4.10. En el contexto del ejemplo anterior, determinemos
el valor esperado de X y verifiquemos que E(g(X)) no es igual a
g(E(X)).
Ası́, E(X) =
RX
xf (x) =
4
xf (x) = 1× 13 +2× 13 +3× 29 +4× 19 =
19
9 .
x=1
Es decir, en promedio, la demanda diaria es de 2,11 unidades.
Además, en la tabla del ejemplo anterior, se puede apreciar que
E(g(X)) = g(E(X)).
4.3.2.
Otras propiedades del valor esperado
1. El valor esperado de una constante es dicha constante.
2. Para cualesquiera que sean las constantes a y b : E(a + bX) =
a + bE(X).
3. Sean g1 , . . . , gn funciones y a0 , a1 , . . . , an , constantes, entonces,
E a0 + a1 g1 (X) + . . . + an gn (X) = a0 + a1 E(g1 (X)) + . . . +
an E(gn (X)).
144
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
Ejemplo 4.11. En el contexto del ejemplo 4.9, suponga que un
comerciante compra cada unidad demandada a 3 soles, y vende cada
una a 6 soles; además, la venta le produce un costo fijo de 2 soles.
Ası́, la utilidad del comerciante es Y = 6X − 3X − 2 = 3X − 2.
Por lo tanto, por la propiedad anterior y el resultado del ejemplo
anterior, la utilidad esperada del comerciante es E(Y ) = E(3X−2) =
13
3E(X) − 2 = 3( 19
9 )−2= 3 .
Ejemplo 4.12. Sea X una variable aleatoria tal que E(X m ) =
m! , ∀m ∈ + , entonces, E(1 + 2X − 3X 2 + X 3 ) = 1 + 2E(X) −
3E(X 2 ) + E(X 3 ) = 1 + 2(1!) − 3(2!) + 3! = 3.
Ejemplo 4.13. (Teorı́a de decisiones) Un comerciante debe decidir a
cuál de tres proveedores comprar cierto producto. La demanda puede
ser excelente, con probabilidad de 0,3; adecuada, con probabilidad de
0,5; o mala, con probabilidad de 0,2. Además, las utilidades semanales
(en soles) correspondientes dependen del proveedor y del estado de
la demanda de los consumidores, como se muestra a continuación:
Estado de la demanda
Excelente Adecuada Mala
Proveedor
1
2
3
4000
2800
3100
1900
2850
2900
1800
1900
1200
La variable aleatoria que nos interesa está asociada a los valores del
estado de la demanda. Entonces, definámosla de la manera siguiente:


 1 si el estado de la demanda es excelente.
X=
2 si el estado de la demanda es adecuado.


3 si el estado de la demanda es malo.
145
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Estos valores son arbitrarios: solo sirven para diferenciar los posibles
estados de la demanda.
a) Determinemos la mejor decisión y la utilidad correspondiente
para cada valor posible de la demanda:
Demanda X = x :
Decisión:
Utilidad= g(x) :
P (X = x) = f (x) :
1 = Excelente
Proveedor 1
4000
0,3
2 = Adecuada
Proveedor 3
2900
0,5
3 = Mala
Proveedor 2
1900
0,2
b) Determinemos cuál serı́a la utilidad promedio del comerciante si
este pudiera enterarse del estado de la demanda y, obviamente,
tomara la mejor decisión:
Como la utilidad es una función de X, el estado de la demanda,
podemos usar la propiedad anterior con g la función cuyos
valores correspondientes están en la tabla anterior. Ası́:
E(U )
=
g(x)fX (x) = 4000 × 0,3 + 2900 × 0,5 + 1900 × 0,2
x∈RX
= S/. 3 030.
c) El comerciante enfrentará esta situación durante muchas
semanas; por eso, desde un principio, quiere optar por uno de
los proveedores. ¿Cuál es la mejor decisión?
Por lo observado para el valor esperado, bastará comparar
las utilidades esperadas, E(Ui ), que corresponderı́an a cada
decisión posible (proveedor i elegido). Ası́, procediendo de
manera análoga a lo efectuado en la parte anterior, nuevamente,
podemos hacer una tabla que incluya los valores de estas
146
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
utilidades:
Demanda X = x :
U1 (x) :
U2 (x) :
U3 (x) :
P (X = x) = f (x) :
1 = Excelente
4000
2800
3100
0,3
2 = Adecuada
1900
2850
2900
0,5
3 = Mala
1800
1900
1200
0,2
Resultará:
E(U1 ) =
x∈RX
U1 (x)fX (x)
= 4000 × 0,3 + 1900 × 0,5 + 1800 × 0,2 = S/. 2 550
E(U2 ) =
U2 (x)fX (x)
x∈RX
= 2800 × 0,3 + 2850 × 0,5 + 1900 × 0,2 = S/. 2 645
E(U3 ) =
U3 (x)fX (x)
x∈RX
= 3100 × 0,3 + 2900 × 0,5 + 1200 × 0,2 = S/. 2 620.
Por lo tanto, la mejor decisión será optar por el segundo
proveedor, ya que, con este, el comerciante tendrá una mayor
utilidad promedio, en este caso, de S/. 2 645.
d) Supongamos que el comerciante podrı́a averiguar el estado de
la demanda pagando un precio. En promedio, ¿cuál será el valor
máximo que podrı́a pagar?
En la teorı́a de decisiones, este valor se llama el “valor esperado
de la información perfecta”. Lo obtenemos comparando las
utilidades esperadas antes obtenidas, bajo el conocimiento
perfecto del estado de la demanda y bajo incertidumbre. Ası́, el
comerciante deberá pagar, en promedio, S/. 3 030 − S/. 2 645 =
S/. 385 como máximo.
147
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
4.4. Varianza y desviación estándar
Definición 4.6. La varianza de una variable aleatoria X cuya media
o esperanza es µX , se define como: E(X − µX )2 y se la denota por
2 . Ası́,
V (X) o σX
2
σX
=
V (X) = E(X − µX )2 = E(X − E(X))2
A la raı́z cuadrada de la varianza, σX , se le llama “desviación
estándar”.
Observación 4.10. La desviación estándar mide la variabilidad
promedio respecto a la media. Por medio de la propiedad básica del
valor esperado, puede verificarse que:
2
σX
=
E(X 2 ) − µ2X
Ejemplo 4.14. Calculemos la desviación estándar de la variable X
del ejemplo 4.1 (con los datos de los ejemplos 4.5 y 4.7).
Primero, calculamos E(X 2 ). Para esto, basta usar la propiedad que
permite obtener el valor esperado de una función de una variable
aleatoria discreta. Ası́,
E(X 2 ) =
x2 f (x) =
4
x2 f (x)
x=0
x∈RX
2
2
= 0 f (0) + 1 f (1) + 22 f (2) + 32 f (3) + 42 f (4)
515
515
515
515
= 0 + 1 1203 + 4 2202 + 9 3201 + 16 4200
4
4
4
4
= 3,1053.
2 = E(X 2 ) − µ2 = 3,1053 − 12 = 2,1053; y σ = 1,4509.
Luego, σX
X
X
Entonces, en general, los valores de X no varı́an demasiado entorno
de su media.
148
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
Ejemplo 4.15. Calculemos ahora la desviación estándar de la
variable X del ejemplo 6.
Nuevamente, calculamos primero E(X 2 ), pero ahora usamos la
propiedad que permite obtener el valor esperado de una función de
una variable aleatoria continua:
1500
2500
2
2
2
E(X ) =
x2 f (x) dx
x f (x) dx =
x f (x) dx +
0
R
X
=
X
1500
1500
X
0,0008x
)dx
1500
0
2500
0,0008x
+
)dx
x2 (0,002 −
1000
1500
x2 (
= 675 000 + 1 366 666,7 = 2 041 666,7.
2 = E(X 2 ) − µ2 = 3 408 333,4 − (1333,3333)2 = 26 3889,0201
Ası́, σX
X
y σX = 513,70.
En resumen, el ingreso medio del sector es de 1 333,33 soles y la
desviación promedio de los ingresos entorno de esta media es de 513,7
soles.
4.4.1.
Propiedades de la varianza
La varianza tiene, entre otras, las propiedades siguientes:
1. Si a y b son constantes, entonces V (a + bX) = b2 V (X).
2. Desigualdad de Chebyshev: Si X es una variable aleatoria,
entonces, para cualquier k > 0 se cumple que:
1
P (| X − µX | ≤ kσX ) ≥ 1 − 2
k
149
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
o, equivalentemente:
P (| X − µX | > kσX ) <
1
k2
Observación 4.11. De la desigualdad anterior, se deduce que la
proporción de veces con la cual la variable asume valores que disten
de la media en más de tres veces la desviación estándar es menor que
un noveno. Por tal razón, a los valores que distan de la media en más
de tres veces la desviación estándar se les puede llamar valores “poco
frecuentes o inusuales”.
4.5. Función de distribución acumulada
Definición 4.7. Si X es una variable aleatoria, discreta o continua,
se define su función de distribución acumulada, FX , mediante:
FX (x) = P (X ≤ x), para cada x ∈ R.
Luego, recordando cómo se obtienen las probabilidades a través de la
ley o distribución de probabilidades de X, f (x), se tiene que:
X
FX (x) =
 
f (y);





y≤x
x
f (y) dy;
−∞
si X es discreta.
X
si X es continua.
X
Ejemplo 4.16. En el contexto del ejemplo 4.6, en el que el ingreso
en soles en un sector se considera una variable aleatoria continua, X,
con densidad:


si 0 ≤ x < 1500.
 0,0008x/1500,
f (x) =
0,002 − 0,0008x/1000, si 1500 ≤ x ≤ 2500.


0,
si x ∈
/ [ 0; 2500 ].
150
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
Obtengamos la distribución acumulada F (x) = P (X ≤ x) =
x
f (y) dy :
−∞
Si 0 < x ≤ 1500 : F (x) = P (X
x
0
≤ x) =
8
(0,0008y/1500)dy = x10−7 x2 .
3
x
fX (y) dy
=
0
Si 1500 ≤ x ≤ 2500 :
2500
fX (y) dy
F (x) = P (X ≤ x) = 1 − P (X > x) = 1 −
x
=1−
2500
x
(0,002 − 0,0008y/1000) dy = 0,002x − 4x10−7 x2 − 1,5.


0,
si x < 0.



 8 x10−7 x2 , si 0 ≤ x < 1500.
3
⇒ F (x) =

0,002x
− 4x10−7 x2 − 1,5, si 1500 ≤ x ≤ 2500.



 1, si x > 2500.
Ahora veamos dos casos que ilustran cómo la distribución acumulada
facilita el cálculo de las probabilidades:
151
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
a) La probabilidad de que un trabajador gane entre 1000 y 2000
es
P (1000 ≤ X ≤ 2000) = F (2000) − F (1000)
= 0,002(2000) − 4x10−7 (2000)2 − 1,5
− 83 x10−7 (1000)2
= 0,6333
Ası́, el 63,33 % de los trabajadores de este sector gana entre
entre 1000 y 2000 soles.
b) La probabilidad de que un trabajador gane más que el ingreso
promedio (1333,33) es
P (X > 1333,33) = 1 − F (1333,33) = 1 − 83 x10−7 x2 = 0,4741.
2500
1500
0,0008x
Con la densidad P (X > 1333,33) =
f (x)dx =
1500 dx +
1333,33
1333,33
2500
0,002−0,0008x
dx;
100
1500
con el complemento y la densidad
P (X > 1333,33) = 1 − P (X ≤ 1333,33) = 1 −
1 − 0,5259 = 0,4741.
0
1333,33
0,0008x
1500
dx =
4.6. Propiedades de la distribución acumulada
La función de distribución acumulada tiene las propiedades
siguientes:
1. La distribución acumulada es siempre creciente, y, si la variable
es continua y su rango es un intervalo, entonces es estrictamente
creciente sobre este intervalo.
152
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
2. F es siempre continua por la derecha, es decir, lı́m F (y) =
y → x+
F (x).
Además, el conjunto de puntos en los que presenta discontinuidad es enumerable y estos solo son aquellos que tienen probabilidad positiva, pues se cumple que para cada x:
lı́m F (y) = F (x) − P (X = x)
y→x−
3. P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) + P (X = a).
En particular, si X es continua, P (a ≤ x ≤ b) = F (b) − F (a).
4. Si X es continua con densidad continua, F (x) = f (x).
5. Si X es discreta y rango, digamos, RX = { a1 , a2 , . . . }, con
a1 < a2 < . . . , entonces, para i > 1, f (ai ) = P (X = ai ) =
F (ai ) − F (ai−1 ).
Observación 4.12. Las dos últimas propiedades establecen que
la distribución acumulada identifica al modelo o distribución de
probabilidades.
4.7. Técnica del cambio de variable
Sean X e Y dos variables aleatorias, con Y una función de X. En
algunos casos, se puede deducir el modelo probabilı́stico de Y a partir
del modelo de X. Una técnica para hacerlo se detalla a continuación:
a) Si Y es discreta f (y) = P (Y = y). Para hallar esta
Y
probabilidad, se expresa el evento Y = y en términos de X;
hecho esto, se obtiene la probabilidad con el modelo de X.
153
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
b) Cuando Y es continua f (y) = P (Y = y) = 0; ası́, lo explicado
Y
en la parte anterior no es útil. En este caso, primero, se
determina la función de distribución acumulada de Y, a partir
de F (y) = P (Y ≤ y). Es decir, se expresa el evento Y ≤ y en
Y
términos de X. Una vez hecho esto, se expresa la probabilidad
P (Y ≤ y) en términos de la distribución acumulada de X.
Obtenida FY , se deriva para obtener f (y) (esto último por una
Y
propiedad dada para los modelos de las variables continuas).
Ejemplo 4.17. Si la función de distribución (o modelo probabilı́stico) de la variable aleatoria positiva X está dada por fX (x) =
2 e−2x , x > 0, determinemos la función de densidad de la variable
Y = 4X. Para esto, no basta reemplazar x = y/4 en fX (x), como
podrı́amos pensar, pues el modelo probabilı́stico no es solo una función matemática. Además de ello, determina probabilidades y otras
cantidades relacionadas con la variable aleatoria (recuerde la definición).
Como Y es continua, primero, debemos determinar FY a partir de
FX :
FY (y) = P (Y ≤ y) = P (4X ≤ y) = P (X ≤ y/4) = FX (y/4).
Es decir, FY (y) = FX (y/4), luego se obtiene la derivada respecto de
y:
fY (y) = Dy FY (y)
= [ FX (y/4) ] Dy (y/4)
= [ fX (y/4) ] 14
= 2 e−2y/4 41
= 12 e−y/2 , y > 0.
154
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
Ejemplo 4.18. Sea X una variable aleatoria positiva, cuya función
de probabilidad (o modelo probabilı́stico) está dada por fX (x) =
x/210, para x = 1, . . . , 20. Sigamos la técnica antes descrita para
determinar la función de la variable Y = 2X.
Como Y es discreta: fY (y) = P (Y = y).
Además, P (Y = y) = P (2X = y) = P (X = y/2) = fX (y/2). Ası́,
fY (y) = fX (y/2) = y/420, para y = 2, 4, . . . , 40.
155
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
4.8. Ejercicios propuestos
Ejercicio 4.1.
El precio de una unidad del bien A varı́a en el conjunto { 1; 2; 3; 4 }.
Lo mismo ocurre con el precio del bien B, pero, además, el de B nunca
es mayor que el de A.
a) Interesa observar simultáneamente los precios unitarios de cada
bien. Determine, por extensión, un conjunto que describa el
espacio muestral asociado.
b) Considere el espacio muestral anterior y la variable aleatoria
X definida como el gasto total al comprar una unidad de cada
bien.
b1 ) Determine el evento (del espacio muestral) asociado con
X = 4.
b2 ) Determine el evento asociado con X = 3.
b3 ) Determine el evento asociado con X = 8.
b4 ) Halle el rango de X.
b5 ) Si se considera la probabilidad clásica, halle P (X = 4).
b6 ) Si se considera como modelo probabilı́stico de X a la
función definida por f (x) = x2 /203, halle P (X ≥ 3).
Ejercicio 4.2.
Cierto productor fabrica un bien cuya demanda semanal, en
toneladas, es una variable aleatoria X, con rango entre 0 y 10
toneladas, y función de densidad f (x) = x/50, x ∈ RX . Cada tonelada
tiene un costo de producción de 10 mil soles y un precio de venta de 25
156
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
mil soles. Suponga que, en cierta semana, el productor decide fabricar
cinco toneladas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de satisfacer la demanda?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se satisfaga la demanda y, al
mismo tiempo, el productor gane más de 30 mil soles?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda no sea satisfecha?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda no sea satisfecha
y, al mismo tiempo, el productor gane más de 30 mil soles?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el productor gane más de 30
mil soles?
f) Determine la producción semanal que maximiza la utilidad
esperada.
Ejercicio 4.3.
Sea X una variable aleatoria con rango { 1, . . . , 20 }. Determine el
modelo probabilı́stico si este es constante en el rango de la variable.
Ejercicio 4.4.
El número de automóviles que contaminan el ambiente cada minuto
es una variable aleatoria, X, cuyo modelo probabilı́stico está dado
−2 x
por f (x) = e x!2 , x = 0, 1, . . .
a) Determine la probabilidad de que, en un minuto, no circulen
automóviles que contaminen el ambiente.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un minuto, circulen más de
un automóvil que contamine el ambiente?
157
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 4.5.
Considere los 55 datos siguientes:
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10,
4
5,
6,
7,
8,
9,
10,
7,
8,
9,
10,
7,
8,
9,
10,
7
8,
9,
10,
9,
10,
9
a) Encuentre la proporción de veces que ocurre cada uno de los
valores anteriores y la media de estos datos, e indı́quelas en la
tabla siguiente:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p̄
b) Asuma que los valores dados correspondan a una muestra
aleatoria de la variable aleatoria X cuyo modelo probabilı́stico
está dado por f (x) = x/55. Use este modelo para completar la
tabla siguiente:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P (X = x)
c) Diga si los resultados obtenidos en las partes anteriores están
en armonı́a. Emplee la Ley Fuerte de los Grandes Números.
158
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
d) Obtenga X̄ (la media de la muestra de estos 55 datos) y E(X)
(el valor esperado de X); luego, diga si los resultados obtenidos
están en armonı́a con la Ley Fuerte de los Grandes Números.
Ejercicio 4.6.
Sea X una variable aleatoria continua que puede tomar cualquier
c
valor y modelo probabilı́stico dado por f (x) = 1+x
2 .
a) Determine el valor de la constante c.
b) Halle P (X > 0).
c) Demuestre que esta variable aleatoria no tiene valor esperado.
Ejercicio 4.7.
El ahorro de los habitantes de una ciudad (medido en miles de
soles) es considerado una variable aleatoria continua, X, cuyo modelo
probabilı́stico está determinado por la regla f (x) = x2 /9, 0 ≤ x ≤ 3.
a) Según este modelo probabilı́stico, ¿qué porcentaje de los
habitantes de esta ciudad ahorran más de mil soles?
b) Según este modelo probabilı́stico, ¿cuál es el ahorro promedio
de los habitantes de esta ciudad?
c) Según las autoridades, el consumo de los habitantes de la
ciudad, en función del ahorro, está dado por 1 + 4 X. Si esto es
ası́, halle el consumo promedio.
d) Suponga que las autoridades han estimado un impacto en la
economı́a igual a 1000X 2 . Si es ası́, halle el valor esperado de
este impacto.
159
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 4.8.
Cierto productor fabrica un bien cuya demanda semanal, en
kilogramos, es una variable aleatoria X con densidad f (x) =
0,002e−0,002x , x > 0. Cada kilogramo producido le cuesta 100 soles y
lo vende a 250 soles. Toda cantidad que no logra vender se pierde sin
generar un costo adicional al de su fabricación. Suponga que, cierta
semana, el productor decide fabricar 500 kilogramos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de satisfacer la demanda?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se satisfaga la demanda y, al
mismo tiempo, el productor gane más de 50 mil soles?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda no sea satisfecha?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda no sea satisfecha
y, al mismo tiempo, el productor gane más de 50 mil soles?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el productor gane más de 50
mil soles?
Ejercicio 4.9.
Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores y probabilidades
correspondientes se muestran en la tabla siguiente:
x
-2
0
2
P (X = x)
1/4
1/2
1/4
a) Halle P (X = 0).
b) Determine el valor esperado de X.
160
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
c) Determine el valor esperado de X 2 . ¿No deberı́a cumplirse que
E(X 2 ) = [ E(X) ]2 ?
d) Determine el valor esperado de 5 + 6X.
Ejercicio 4.10.
Se realizarán cinco inversiones; se sabe que, por lo menos, una resultará exitosa. Sea X la variable aleatoria definida como la cantidad
de inversiones que resulten exitosas. El modelo probabilı́stico de esta variable está determinado por f (x) = c 2−x , x ∈ RX , con c una
constante.
a) Determine el rango de la variable aleatoria X.
b) ¿Cuál es el valor de la constante c?
c) Halle la probabilidad de que más de 3 inversiones resulten
exitosas.
d) Halle la probabilidad de que más de 2 inversiones resulten
exitosas.
e) Halle el valor esperado del número de inversiones que resulten
exitosas.
f) Cada inversión tiene un costo de 100 soles; si la inversión resulta
exitosa, se gana 200 soles, pero, si no resulta exitosa, se pierde
150 soles. Obtenga el valor esperado de de la utilidad que
generará realizar estas 5 inversiones.
g) Halle el valor esperado de la razón existente entre el número de
inversiones que no resulten exitosas y el número de inversiones
que resulten exitosas.
161
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 4.11.
Sea X una variable aleatoria que puede asumir cualquier valor
positivo y función de densidad dada por f (x) = β e−β x , x > 0, con
β > 0.
a) Verifique que, en efecto, f determina un modelo probabilı́stico.
b) Demuestre que P (X > t + h / X > t) = P (X > h), ∀h >
0, ∀t > 0.
Ejercicio 4.12.
La distribución de los ingresos, X, de los trabajadores en cierto sector
laboral está determinada por la función de densidad definida entre 0
y 10 mil soles, y cuya gráfica se muestra en la figura siguiente:
Suponga que un impuesto de solidaridad es implantado en este sector:
los que ganan menos de 2000 soles quedan exonerados; los que ganen
entre 2000 y 3000 soles pagarán 10 soles; los que ganen más de 3000,
pero menos de 8000 pagarán 15 soles; y los que ganen más de 8000
soles pagarán 20 soles.
a) Halle el porcentaje de los trabajadores cuyos ingresos están
entre 2000 y 4000 soles.
b) ¿Qué porcentaje de trabajadores tendrá sus ingresos gravados
con el impuesto?
162
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
c) ¿Qué porcentaje de trabajadores deberá pagar más de 15 soles?
d) Determine el monto promedio que se pagará por este impuesto.
Hágalo con el modelo de X. Luego, use el modelo probabilı́stico
de la variable aleatoria Y, definida como el monto pagado por
trabajador debido al impuesto.
Ejercicio 4.13.
El tiempo (en años) hasta la ocurrencia de cierto evento catastrófico
se considera una variable aleatoria continua, X, con modelo probabilı́stico dado por: f (x) = 2 x/25 , 0 ≤ x ≤ 5.
a) Halle P (1 < X < 2).
b) ¿Cuál es la probabilidad de que dicho evento ocurra después de
2 años?
c) Si ya hace un año que no ocurre tal evento, determine la
probabilidad de que pasen más de 2 años más.
d) Una persona adquiere una póliza contra este tipo de evento que
cuesta 1000 soles. El contrato de la póliza estipula que esta vale
solo por un año y cubre solamente la primera vez que ocurra
el evento, de modo que, si el evento ocurre en este perı́odo, la
compañı́a aseguradora le pagará una suma indemnizatoria de 3
mil soles, pero no lo volverá hacer si ocurriera nuevamente el
evento.
d1 ) Determine la probabilidad de que la aseguradora gane 2
mil soles.
d2 ) Determine la utilidad esperada de la aseguradora.
163
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 4.14.
En cierta región, se tomó una muestra aleatoria de 100 habitantes y
se registró el ingreso mensual de cada uno (en miles de soles). Los
resultados obtenidos se resumen en la tabla siguiente:
Ingso. men.
Número de habitantes
[ 0, 1 [
6
[ 1, 2 [
19
[ 2, 3 [
33
[ 3, 4 [
31
[ 4, 5 ]
11
Para realizar inferencias sobre los ingresos en la región entera, se
decidió considerar al ingreso mensual (en miles de soles) de sus
habitantes como una variable aleatoria continua, X, con valores en el
intervalo [0, 5] y modelo probabilı́stico dado por



2
15
x,
si 0 ≤ x ≤ 3.
1
f (x) =
1 − 5 x, si 3 < x ≤ 5.


0,
en otro caso.
a) Use el modelo considerado para calcular la proporción de
habitantes en la región completa que ganan hasta 3 mil soles.
b) Diga si los valores observados (mostrados en la tabla anterior)
parecen estar en armonı́a con el modelo probabilı́stico considerado. Haga los cálculos que considere necesarios, de modo que
pueda sustentar su respuesta con estos y la Ley Fuerte de los
Grandes Números (aplicada a proporciones de muestras).
c) Halle E(X).
d) Interprete el valor obtenido en la parte anterior según este
contexto.
164
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
e) Para tomar en cuenta solo los ingresos de quienes ganan hasta
3 mil soles, se considera la función siguiente:
x, si 0 ≤ x ≤ 3.
g(x) =
0, si 3 < x.
Use esta función y el modelo probabilı́stico de X para hallar el
ingreso promedio de quienes ganan hasta tres mil soles. Luego,
calcule qué proporción representa este promedio obtenido
respecto del ingreso promedio en la región entera (también
obtenido con el modelo)
f) Un especialista afirma que el ingreso total de esta región
se distribuye desigualmente entre sus habitantes. Explique si
las proporciones obtenidas en las partes a y e reflejan esta
afirmación.
g) El gasto en alimentos de los habitantes de esta región está dado
por 1 + 21 X. Determine el gasto promedio en alimentos en esta
región.
Ejercicio 4.15.
En el contexto del ejercicio 3.27 del capı́tulo de probabilidad, halle el
rango, la función de probabilidad, el valor esperado y la desviación
estándar de la variable, X, definida como el número de años (del
perı́odo considerado) en los que la demanda es muy baja.
Generalizar el ejercicio para un perı́odo de n años.
Ejercicio 4.16.
Suponga que la proporción diaria de veces que ciertos comerciantes
evaden la entrega de una boleta de pago es una variable aleatoria
165
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
con función de densidad f (x) = 6x(1 − x), 0 ≤ x ≤ 1. Una muestra
aleatoria de 100 comerciantes fue supervisada durante un dı́a y se
registró, para cada uno de estos, la proporción diaria de evasiones:
Prop. de eva.
Comer.
[ 0, 0,2 [
9
[ 0,2, 0,4 [
26
[ 0,4, 0,6 [
30
[ 0,6, 0,8 [
25
[ 0,8, 1 ]
10
a) Determine la probabilidad que corresponde a cada uno de los
intervalos de la tabla anterior según el modelo dado; luego, diga
si estas probabilidades y los datos de la tabla están en armonı́a
con la Ley Fuerte de los Grandes Números (comente).
b) Determine e interprete el valor esperado de la proporción diaria
de evasión por comerciante.
Ejercicio 4.17.
El tiempo (en años) hasta la ocurrencia de cierto evento catastrófico
puede considerarse como una variable aleatoria continua con función
de densidad f (x) = 0,1e−0,1x , x > 0.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de 2 años hasta la
ocurrencia de dicho evento?
b) Si ya hace un año que no ocurre tal evento, determine la
probabilidad de que pasen más de 2 años todavı́a.
c) ¿Encuentra extraños los resultados obtenidos en las partes
anteriores? Generalice estos considerando t años, en lugar de
2, y h años transcurridos en lugar de uno.
166
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
d) Una persona adquiere una póliza contra este tipo de evento. El
contrato estipula que, si el evento ocurre antes del primer año, la
compañı́a aseguradora debe pagarle una suma indemnizatoria
de 3000 soles por una única vez. La póliza cuesta 5000 soles.
Determine la utilidad esperada de la aseguradora.
Ejercicio 4.18.
Supongamos que X, la demanda diaria de un artı́culo, ha sido considerada como una variable aleatoria discreta con modelo probabilı́stico:
2x
f (x) = 16 ( x!
), x = 1, 2, 3, 4.
a) Antes de optar por el modelo anterior se tenı́a información de
la demanda diaria correspondiente a 60 dı́as, que se resume por
la distribución de frecuencias siguiente:
¿Le parece a usted que la elección de la distribución de
probabilidades es coherente con esta información que se tenı́a?
b) ¿Cuál serı́a la demanda diaria esperada?
c) Cada artı́culo se vende por 5 soles. Cualquier artı́culo que no
se vende al cabo del dı́a se desecha, lo cual genera una pérdida
167
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
de 3 soles. El fabricante de estos artı́culos fijará su producción
diaria, N, que regirá a lo largo de muchos dı́as y debe decidirlo
entre uno de los valores posibles de la demanda: 1 o 2 o 3 o 4
artı́culos. ¿Cuál es su mejor decisión?
Ejercicio 4.19.
La cantidad mensual (en toneladas) que suele vender un comerciante
se considera una variable aleatoria continua, X, con rango RX =
[ 0, 5 ] y modelo probabilı́stico dado por: f (x) = 2 x/25 , 0 ≤ x ≤ 5.
a) Determine la cantidad promedio que el comerciante vende
mensualmente.
b) Determine la desviación estándar de la cantidad mensual que
vende el comerciante.
c) Adquirir cada tonelada le cuesta al comerciante 1 unidad
monetaria. El precio de venta por tonelada es de 3 unidades
monetarias. Además, hay un costo fijo mensual de cuatro
unidades monetarias. Halle el valor esperado y la varianza de
la utilidad del comerciante.
Ejercicio 4.20.
El ingreso mensual (en miles de soles) de las familias de cierta región
es una variable aleatoria continua, X, con rango el intervalo [0; 2], y
función de densidad f (x) = 1 − 12 x, 0 ≤ x ≤ 2. Para tomar en cuenta
solo los ingresos de las familias que ganan hasta y miles de soles, con
0 ≤ y ≤ 2, se considera la función g cuya regla de correspondencia es
la siguiente:
x, si 0 ≤ x ≤ y;
g(x) =
0, si x > y.
168
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
a) Halle h(y) = E(g(X)) : el ingreso promedio de quienes ganan
hasta y miles de soles.
h(y)
: la proporción del ingreso promedio
E(X)
de quienes ganan hasta y miles de soles, respecto al ingreso
promedio en la región, 0 ≤ y ≤ 2.
c) Halle el Coeficiente de Gini: 1 − 2E Φ(X) .
b) Halle Φ(y) =
d) Bosqueje la Curva de Lorenz, es decir, la formada por los
pares (F (x), Φ(x)). Concluya comparándola con la situación de
distribución sin desigualdad.
Ejercicio 4.21.
Para el estudio de la distribución de los ingresos de cierta región,
se decidió considerar al ingreso mensual (en miles de soles) de las
familias de esta región como una variable aleatoria continua, X, con
valores en el intervalo [0, 8] y modelo probabilı́stico determinado
por la función de distribución acumulada siguiente: F (x) = 14 x −
1 2
64 x , si 0 ≤ x ≤ 8.
a) Use solo F para obtener la probabilidad P (2 < X ≤ 4).
b) Halle f : el modelo probabilı́stico de X.
c) Halle E(X) e interprételo en este contexto.
d) Para tomar en cuenta solo los ingresos de las familias que ganan
hasta y miles de soles (0 ≤ y ≤ 8), se considera la función g,
con la regla de correspondencia siguiente:
x, si 0 ≤ x ≤ y,
g(x) =
0, si x > y.
169
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
d1 ) Halle h(y) = E(g(X)).
h(y)
, para 0 ≤ y ≤ 8. ¿Qué representa
d2 ) Se define Φ(y) =
E(X)
Φ(y)?
d3 ) Obtenga Φ(y) (para 0 ≤ y ≤ 8).
d4 ) Haga un bosquejo de la Curva de Lorenz, es decir, de la
curva formada por los pares (F (y), Φ(y)). Concluya.
d5 ) Halle el Coeficiente de Gini: 1 − 2E Φ(X) .
Ejercicio 4.22.
Sea X una variable aleatoria continua tal que P (X > 1) = 0,2. Sea
la variable aleatoria Y tal que Y = 1, si X > 1, e Y = 0, si X 1.
Determine el valor esperado de la variable Y.
Ejercicio 4.23.
El número de semanas, X, en las que una inversión es de alto
riesgo, durante cierto perı́odo de 8 semanas, tiene como modelo
c(5)x
probabilı́stico a la función dada por f (x) =
, x ∈ RX . También
x!
se sabe que, por lo menos en una semana (de este perı́odo), la
inversión es de alto riesgo, pero no en todas las semanas será ası́.
a) Determine el rango de la variable aleatoria X.
b) ¿Cuál es el valor de la constante c?
c) Determine la probabilidad de que, en más de la mitad de las
semanas (de este perı́odo), la inversión sea de alto riesgo.
d) Determine la probabilidad de que, en más de dos de las semanas
(de este perı́odo), la inversión sea de alto riesgo.
170
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
e) Halle el número promedio de semanas en las que la inversión
será de alto riesgo.
f) Cuando la inversión es de alto riesgo, la pérdida en la semana
es de 400 um, mientras que, cuando no lo es, se obtiene una
ganancia semanal de 500 um. Obtenga el valor esperado de la
utilidad semanal.
g) Determine el valor esperado de la proporción existente entre el
número de semanas en las que la inversión es de alto riesgo y el
número de semanas en las que no lo es.
Ejercicio 4.24.
Sea X una variable aleatoria con media 14 y desviación estándar 2.
a) Halle la media y la varianza de Y =
1
2
X − 6.
b) Halle las constantes a y b para que la transformación de X :
Y = a + bX tenga una media de 50 y una desviación estándar
de 10.
c) Use la desigualdad de Chebychev para tener una idea de cómo
es el valor de la probabilidad P (6 ≤ X ≤ 22).
d) Use la desigualdad de Chebychev para tener una idea de cómo
es el valor de la probabilidad P (6 ≤ X ≤ 20).
e) Use la desigualdad de Chebychev para tener una idea de cómo
es el valor de la probabilidad P (8 ≤ X ≤ 22).
Ejercicio 4.25.
Un psicoterapeuta que se especializa en problemas de autoestima
ha registrado el tiempo necesario que necesitan sus pacientes para
171
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
revertir este problema. Ası́, ha determinado que esta variable puede
considerarse continua, con un rango de valores entre 0,5 y 4,5 meses,
y función de densidad f (x) = x/10, 0,5 ≤ x ≤ 4,5.
a) Un alumno con problemas de autoestima inicia su terapia un
mes antes de sus exámenes finales. ¿Cuán probable es que este
tiempo sea suficiente para revertir su problema antes de dichos
exámenes?
b) Determine e interprete el valor esperado del tiempo que
necesitan los pacientes para revertir este problema.
c) El costo de la terapia (en soles) puede considerarse como una
variable, Y, que depende del tiempo necesario para revertir este
problema, X, como sigue:
Y =











400,
600,
1000,
2000,
si
si
si
si
0,5 ≤ X ≤ 1.
1 < X ≤ 2.
2 < X ≤ 3.
3 < X ≤ 4,5.
Determine e interprete el valor esperado del costo de la terapia.
Use el modelo probabilı́stico de X y, luego, el de Y.
Ejercicio 4.26.
La demanda de cierto producto es una variable aleatoria discreta, X,
con valores posibles entre 0 y 100 unidades y función de distribución
acumulada:
FX (x) =
x(x + 1)
, x ∈ { 0, 1, . . . , 100 }.
10 100
172
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
La utilidad del fabricante del producto, en función de la demanda y
en miles de soles, está dada por:
20X − 850, para X = 0, 1, . . . , 80.
g(X) =
750,
para X = 81, 82, . . . , 100.
a) Determine la probabilidad de que el productor obtenga por lo
menos 160 mil soles, pero menos de 750 mil.
b) Determine la media de la utilidad del productor.
c) Halle la función de probabilidad de la variable aleatoria Y =
g(X).
d) Emplee la definición de valor esperado y el resultado anterior
para determinar la media pedida en la parte b.
Ejercicio 4.27.
Tres pacientes inician un tratamiento que durará un mes. Sea X
el número de estos pacientes que estarán curados al cabo del mes.
Suponga que el modelo probabilı́stico para esta variable está dado
1
por: f (x) = 27
40 3x , x = 0, 1, 2, 3.
a) Determine el valor esperado del número de pacientes que
estarán curados al cabo del mes.
b) Determine la desviación estándar del número de pacientes que
estarán curados al cabo del mes.
c) El costo por paciente que se recupere al cabo del mes es de 3
unidades monetarias. Cada paciente que no se recupera al cabo
del mes origina un costo adicional de una unidad monetaria.
173
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Además, hay un costo fijo de 2 unidades monetarias. Halle el
valor esperado y la desviación estándar del costo total.
Ejercicio 4.28.
Al invertir una cantidad en una operación financiera, se obtiene
una tasa de rentabilidad, X, modelada por la función de densidad
siguiente:
x + c, si − 1 ≤ x < 0.
f (x) =
d − x, si 0 ≤ x ≤ 1.
con c y d constantes. Además, en tres de cada ocho inversiones, se
gana, pero menos del 50 % de lo invertido.
a) Determine las constantes c y d.
b) Determine la probabilidad de que la rentabilidad esté entre 0,3 y 0,7.
c) Halle el valore esperado de la rentabilidad.
d) Suponga que, al invertir en esta operación, se quiere que, en
el peor de los casos, se pierda una fracción r de lo invertido.
Determine el valor r para que lo anterior suceda con una
probabilidad de 0,95. Este valor r se conoce como el valor en
riesgo (VaR) que tiene una confianza del 95 %. Note que si c0 es
la cantidad invertida y cf es la cantidad al final de la inversión;
c − c0
entonces, X = f
. Si X > 0 : se gana; y si X < 0 : se
c0
pierde.
Ejercicio 4.29.
174
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
Sea X una variable aleatoria continua, con rango RX = [ 0, 5 ] y
modelo probabilı́stico dado por f (x) = 2 x/25 , 0 ≤ x ≤ 5. Halle
E g(X) si g(x) = 10x, 0 ≤ x ≤ 2 y g(x) = −5x, 2 < x ≤ 5.
Ejercicio 4.30.
Una municipalidad verificará si las tiendas de su distrito cumplen
una ordenanza dictada recientemente. Con este fin, se escogerá una
muestra aleatoria de 20 tiendas. La cantidad de tiendas en la muestra
que será seleccionada que incumplan la ordenanza es una variable
aleatoria, X, cuya función de probabilidad está dada por f (x) =
x/210, x = 0, 1, . . . , 20 .
a) Determine la probabilidad de que, por lo menos, cinco de las
tiendas de la muestra por seleccionar incumplan la ordenanza.
b) Determine e interprete el valor esperado del número de tiendas
en la muestra por seleccionar que incumplan la ordenanza.
c) Suponga que inspeccionar cada tienda de la muestra seleccionada costará 500 soles. Además, cada detección originará un
descuento de 500 soles en el costo, pues esta cantidad será pagada por el propietario de la tienda que incumpla la ordenanza,
pero cada tienda seleccionada que cumpla la ordenanza originará un costo adicional de 250 soles, pues el propietario de la
tienda recibirá un descuento en sus tributos por este valor. El
presupuesto para llevar a cabo este muestreo es de 12 750 soles.
c1 ) Cuantifique la confianza de este presupuesto para poder
llevar a cabo el muestreo.
c2 ) Determine e interprete el valor esperado del costo para
llevar a cabo el muestreo.
175
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 4.31.
El número de unidades defectuosas que se pueden encontrar en un lote
de artı́culos corresponde a una variable aleatoria X cuya distribución
acumulada es la siguiente:


0,
si
x<0





0,75, si 0 ≤ x < 1



 0,85, si 1 ≤ x < 2
F (x) =

0,925, si 2 ≤ x < 3





0,975, si 3 ≤ x < 4



 1,
si
x≥4
a) Use F solamente, sin obtener la función de probabilidad
asociada f, para obtener las probabilidades de los eventos
siguientes:
i) No encontrar unidades defectuosas en el lote.
ii) Encontrar, como máximo, 3 unidades defectuosas en el
lote.
iii) Encontrar, por lo menos, 1 unidad defectuosa, pero
máximo 3.
b) Determine el número promedio de unidades defectuosas.
Ejercicio 4.32.
El fabricante de cierto producto debe decidir la cantidad ‘t’ de
toneladas que debe fabricar mensualmente. Por estudios de mercado
realizados por el fabricante sobre la demanda para el mes siguiente, se
llegó a establecer que la demanda proyectada debe considerarse una
variable aleatoria continua, que puede asumir valores entre 0 y 10
176
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
toneladas y función de densidad f (x) = x/50, 0 ≤ x ≤ 10. El costo
de fabricación y el precio de venta proyectados por cada tonelada
del producto son 10 mil y 20 mil soles, respectivamente. Además, el
estudio de mercado le costó al fabricante 50 mil soles y, naturalmente,
deberá incluirlo en sus costos.
a) Suponga que el fabricante decidiera producir una cantidad t
igual a 8 toneladas. ¿Cuál serı́a la probabilidad de que gane
menos de 10 mil soles?
b) Determine el valor, t, que debe producir el fabricante para
maximizar su utilidad esperada.
Ejercicio 4.33.
El estudio de la demanda de un bien para el perı́odo de los próximos
tres años (1, 2 y 3) determinó que esta podrı́a ser muy baja
en cualquiera de estos años, de manera independiente y con una
probabilidad de un décimo. Las decisiones que se deben tomar
dependen de la variable aleatoria X, definida como la cantidad de
años (de este perı́odo) en los que la demanda será muy baja.
a) Determine la probabilidad de que, en los 3 años de este perı́odo,
la demanda del bien sea muy baja.
b) Determine la probabilidad de que, solo en 2 de los años de este
perı́odo, la demanda del bien sea muy baja.
c) Halle RX , el rango de la variable aleatoria X.
d) Determine fX , el modelo probabilı́stico de la variable X.
Sugerencia: considere los eventos Ai : la demanda será muy
baja en el año i; i = 1, 2 y 3.
177
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
e) Halle el valor esperado de la cantidad de años (de este perı́odo)
en los que la demanda será muy baja.
f) La utilidad de cierta inversión (en miles de soles) es una función
g(X), con


si x = 0.
 1000,
g(x) =
1000 − 200x, si x = 1 o 2.


1000 − 400x, si x = 3 o 4.
Determine el valor esperado de esta utilidad.
Ejercicio 4.34.
En cierta inversión, la utilidad generada es una variable aleatoria, X,
con valores entre 6,5 y 7,5 miles de soles y función de densidad dada
por:
57 51(x − 7)2
f (x) =
−
; 6,5 ≤ x ≤ 7,5.
40
10
a) Halle la probabilidad de que esta inversión genere más de 7 mil
soles de utilidad.
b) Una persona desea invertir de modo que su utilidad esperada
sea de 7 mil soles. ¿Esta inversión cumple este requerimiento?
c) Determine la probabilidad de que esta inversión genere utilidades superiores a la media.
d) Determine los valores de a y b, de modo que la probabilidad de
que la utilidad generada, X, esté en el intervalo [ a , b ] sea igual
a 0,95. Si es posible, hágalo de tal forma que la longitud de este
intervalo sea lo más pequeña posible.
e) Halle e interprete la utilidad esperada.
178
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
Ejercicio 4.35.
Se debe decidir cuál debe ser el tamaño de un lote de cierto artı́culo
que debe ser adquirido. El tamaño posible del lote puede ser 100,
200 o 400 unidades. Además, en cada lote, cada unidad sin defectos
genera una ganancia de 500 soles y cada unidad defectuosa origina
una pérdida de 300 soles. Por otra parte, se sabe que la proporción
de unidades defectuosas, por lote adquirido durante una semana, es
una variable aleatoria discreta, X, cuya distribución acumulada, F,
tiene la gráfica siguiente:
Suponga que el tamaño del lote que se adquirirá será el mismo para
un perı́odo de muchas semanas.
a) Si adquieren lotes de 100 unidades, ¿cuál será la utilidad
esperada por lote?
b) Si adquieren lotes de 200 unidades, ¿cuál será la utilidad
esperada por lote?
c) Si adquieren lotes de 400 unidades, ¿cuál será la utilidad
esperada por lote?
d) ¿Cuál es el tamaño óptimo del lote que se debe adquirir?
179
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 4.36.
La proporción de comerciantes evasores de cierto impuesto es
una variable aleatoria continua, X, cuyo modelo probabilı́stico
está determinado por la función: f (x) = 2,5 x, 0,1 < x < 0,9. La
X
pérdida para el fisco (en millones de soles) está determinada por la
variable Y = 10X + 5.
a) Halle la probabilidad de que la proporción de evasión sea
superior a 0,3.
b) Halle la probabilidad de que la pérdida del fisco esté entre 7 y
9 millones de soles.
c) Determine e interprete el valor esperado de la proporción de
evasión.
d) Determine e interprete la desviación estándar de la proporción
de evasión.
e) ¿Cuál es el valor esperado de la pérdida del fisco?
f) Determine, fY , la densidad de Y.
g) Emplee la definición del valor esperado y el resultado anterior
para determinar el valor esperado pedido en la pregunta e.
Ejercicio 4.37.
La demanda de cierto bien es descrita por una variable aleatoria
continua X, cuya función de distribución acumulada está dada por:
FX (x) = 1 − e−x − x e−x , x > 0. La utilidad de cierto comerciante
(en miles de soles) es una función de la demanda: g(X), con g dada
180
Profesor José Flores Delgado
por:
g(x) =
Variable aleatoria
1, si 0 < x ≤ 1.
x, si
x ≥ 1.
a) Halle la probabilidad de que la demanda sea mayor que 4.
b) Halle la probabilidad de que la demanda esté entre 2 y 5.
c) Halle la probabilidad de que el comerciante gane entre 2 mil y
3 mil soles.
d) Halle la probabilidad de que el comerciante gane entre 500 soles
y 3 mil soles.
e) Determine la función de densidad de X.
f) Determine e interprete el valor esperado de la demanda.
g) Determine la desviación estándar de la demanda.
h) Determine el valor esperado de la utilidad.
i) Determine la desviación estándar de la utilidad.
Ejercicio 4.38.
La duración, X (en horas), de un dispositivo electrónico tiene una
función de distribución acumulada dada por: FX (x) = 1 − e− x/3 ; x >
0.
a) Determine la probabilidad de que el dispositivo dure más de
dos horas.
b) Determine la probabilidad de que el dispositivo dure, máximo,
una hora.
181
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
c) Determine la probabilidad de que el dispositivo dure entre 2 y
4 horas.
d) Determine la media de la duración y su desviación estándar.
e) Halle la probabilidad P ( | X − µX | ≤ 2σX ).
Ejercicio 4.39.
Sea X es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad
dada por f (x) = 0,9 (0,1)x−1 , x ∈ N+ . Se define Y = X − 1.
X
a) Determine E(X).
b) Determine, f , la función de probabilidad de Y.
Y
c) Determine E(Y ) con la función de probabilidad de X y, luego,
con la de Y.
Ejercicio 4.40.
Sea X una variable aleatoria continua, positiva, con función de
2
distribución acumulada dada por FX (x) = 1 − e−4x , x > 0. Sea
Y = X2
a) Halle P (X > 2).
b) Halle P (2 ≤ X ≤ 4).
c) Determine, f , la función de densidad de X.
X
d) Determine, F , la función de distribución acumulada de Y.
Y
e) Determine, f , la función de densidad de Y.
Y
182
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
f) Determine E(Y ) con la función de densidad de Y y, luego, con
la de X.
Ejercicio 4.41.
2
Sea X una variable aleatoria continua tal que E(X t ) = et , ∀t ∈ R.
a) Halle E(X), E(X 2 ), E(X 3 ) y V (X).
b) Halle E( 2 + 3e−1 X + 4e−4 X 2 + e−9 X 3 ).
Ejercicio 4.42.
X es una variable aleatoria continua tal que E(X m ) =
√
π
2m+1
, ∀m > 0.
a) Halle E(1 + 12 X).
b) Halle la varianza de X.
c) Halle E(4 +
√5
π
X+
√2
π
X2 −
√3
π
X 3 ).
Ejercicio 4.43.
Sea X una variable aleatoria con rango RX = R, media 3,5 y
desviación estándar 0,25.
La utilidad que genera una inversión, en función de X, está dada por:
100; 2 ≤ X ≤ 4.
G(X) =
−160; X < 2 ó X > 4.
a) Si usa la desigualdad de Chebychev, ¿qué podrı́a concluir acerca
de la probabilidad P (3 ≤ X ≤ 4) ?
183
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
b) Según su conclusión anterior, ¿qué puede concluir acerca de la
probabilidad
P (2 ≤ X ≤ 4) ?
c) ¿Puede asegurarse que la media de estas utilidades sea por lo
menos 35?
Ejercicio 4.44.
Sea X una variable aleatoria continua y positiva, con función de
densidad f (continua) y función de distribución acumulada F.
a) Si F (x) = 1 − e−β x , x > 0 (con β > 0), demuestre que:
P (X > t + h / X > t) = P (X > h), ∀ h > 0, ∀t > 0.
b) Si P (X > t + h / X > t) = P (X > h), ∀ h, ∀t > 0, demuestre
que:
F (x) = 1 − e−β x , x > 0, con β = F (0) = f (0).
Sugerencia: exprese las probabilidades anteriores en términos
de F y compruebe que:
F (t + h) − F (t)
h
h→0
F (h)
= [1 − F (t)] lim
+
h
h→0
= [1 − F (t)] F (0) , ∀t > 0.
F (t) = lim
+
Ejercicio 4.45.
Si X ∼ Pareto(1; θ); es decir, f (x) = θ x−(θ+1) , x > 1, con θ > 0.
X
Determine E(X) y V (X).
184
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
Ejercicio 4.46.
El número de clientes que llegan a un cajero automático a realizar
diferentes operaciones hasta el primero que realiza una transferencia
hacia otra cuenta es una variable aleatoria discreta X cuya función de
distribución acumulada está dada por F (x) = 1 − (0,6)x , x = 1, 2, . . .
a) Halle la probabilidad de que el número de clientes que lleguen
al cajero, hasta el primero que realice una transferencia hacia
otra cuenta, sea mayor o igual que 2 pero menor o igual que 20.
Use solo F.
b) Halle P (X ≥ 4). Use solo F.
c) Halle f (x) = P (X = x), x = 1, 2, . . .
Ejercicio 4.47.
El tiempo (medido en minutos) hasta el primer automóvil que pasa
y contamina el ambiente es una variable aleatoria continua, X, cuya
función de distribución acumulada está dada por
F (x) = 1 − e−2x , x > 0.
a) Halle la probabilidad de que el tiempo hasta el primer automóvil
que pasa y contamina el ambiente esté entre 2 y 5 minutos. Use
solo F.
b) Halle P (X ≥ 4). Use solo F.
c) Halle f (x), x > 0.
Ejercicio 4.48.
En el contexto del ejemplo 3.17 del capı́tulo anterior:
185
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
a) Determine la función de distribución acumulada de la variable
aleatoria, T, definida como el precio de venta total de una
unidad de cada bien.
Sugerencia: use la probabilidad geométrica para determinar
P (T ≤ t).
b) Determine la función de densidad de la variable T, definida en
la parte anterior.
c) Obtenga e interprete el valor esperado y la desviación estándar
de T.
Ejercicio 4.49.
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad
f (x) = 4x3 ,0 ≤ x ≤ 1. Considere la variable Y = 5X, halle f .
X
Y
Use la técnica del cambio de variable descrita en la sección 4.7.
Ejercicio 4.50.
El modelo binomial, b(n; p), se caracteriza por la función de
probabilidad siguiente:
n x
f (x) =
p (1 − p)n−x , x = 0, 1, . . . , n,
x
donde n ∈ + y p ∈ (0, 1) los parámetros del modelo. Si X ∼ b(n; p)
e Y = n − X, deduzca e identifique el modelo probabilı́stico de Y .
m Puede ser útil recordar la identidad m
m = m−m .
Ejercicio 4.51.
Una variable aleatoria continua y positiva, X, tiene modelo exponencial con parámetro β (con β > 0) y se denota por X ∼ exp(β).2 , si
2
Véase el ejercicio propuesto 4.11.
186
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
su modelo probabilı́stico está dado por
f (x) = β e−β x, x > 0.
X
a) Si X ∼ exp(β), use la técnica del cambio de variable (descrita en
la sección 4.7) para hallar e identificar el modelo probabilı́stico
de Y = 17 X. Incluya los parámetros.
b) Si X ∼ exp(β), halle F (x), ∀x > 0.
X
c) Si X ∼ exp(β), halle el modelo de Y = eX .
d) Sea X como en el ejercicio 4.45, determine e identifique el
modelo de Y = Ln(X).
Ejercicio 4.52.
Se dice que una variable aleatoria continua y positiva, X, tiene modelo
gamma con parámetros α > 0 y β > 0, si su modelo probabilı́stico
está dado por
βα
f (x) =
xα−1 e−β x , x > 0;
Γ(α)
X
∞
donde Γ la función gamma, definida por Γ(z) =
tz−1 e−t dt, z > 0.
0
Esto se denota por X ∼ G(α, β). Si X ∼ G(α, β). Use la técnica del
cambio de variable (descrita en la sección 4.7) para hallar e identificar
el modelo probabilı́stico de Y = 2 X. Incluya los parámetros.
Ejercicio 4.53.
Se dice que una variable aleatoria continua y positiva, X, tiene modelo
Weibull con parámetros α > 0 y β > 0, si su modelo probabilı́stico
está dado por
α
f (x) = β α xα−1 e−β x , x > 0.
X
187
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Esto se denota por X ∼ W (α; β).
a) Si X ∼ W (α; β), halle e identifique el modelo probabilı́stico de
Y = 2 X.
b) Si X ∼ exp(β), halle e identifique el modelo probabilı́stico de
Y = X α.
Ejercicio 4.54.
Otro de los modelos probabilı́sticos importantes para variables
aleatorias positivas es el Weibull generalizado. Este modelo se
caracteriza por la distribución acumulada siguiente:
α γ
F (x) = 1 − e−βx
, x>0
donde α > 0, β > 0 y γ > 0. Si X es una variable positiva que tiene
este modelo, denotamos esto por X ∼ W g(α; β; γ).
a) Determine las probabilidades siguientes:
P (X > 5) y P (2 ≤ X < 5).
b) Use la técnica del cambio de variable para hallar e identificar
el modelo probabilı́stico de Y = δX, con δ > 0.
Ejercicio 4.55.
El modelo exponencial generalizado 3 es una extensión del modelo
exponencial, definido en el ejercicio 4.51, y es otro de los modelos
3
Gupta & Kundu (1999). Theory & methods: Generalized exponential
distributions. Australian and New Zealand Journal of Statistics, 41(2), 173–188.
188
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
importantes para variables aleatorias positivas. Este modelo se
caracteriza por la distribución acumulada siguiente:
α
F (x) = 1 − e−βx , x > 0
donde α > 0 y β > 0. Sea X una variable positiva que tiene este
modelo, denotamos esto por X ∼ expg(α; β). Use la técnica del
cambio de variable para hallar e identificar el modelo probabilı́stico
de Y = γX, con γ > 0.
Ejercicio 4.56.
Se dice que una variable aleatoria continua, X, tiene modelo normal
con parámetros µ y σ 2 (con µ ∈
y σ > 0), si su modelo
probabilı́stico está dado por
f (x) = √
X
1
2
1
e− 2 σ2 (x−µ) , − ∞ < x < ∞.
2π σ
Denotamos esto por X ∼ N (µ, σ 2 ). Si X ∼ N (µ, σ 2 ), use la técnica
del cambio de variable (descrita en la sección 4.7) para hallar e
identificar el modelo probabilı́stico de Y = a + b X (con a ∈
y
b > 0). No olvide dar los parámetros.
Ejercicio 4.57.
Sea X ∼ N (µ, σ 2 ), es decir, el modelo dado en el ejercicio 4.56.
Use la técnica del cambio de variable para hallar el modelo de
Y = (X − µ)/σ. Tenga el cuenta el ejercicio 4.52 para reconocer
el modelo obtenido anteriormente.
Ejercicio 4.58.
En la tabla siguiente, se muestran algunos valores de la función de
distribución acumulada, F, de una variable aleatoria X :
189
Profesor José Flores Delgado
x
F (x)
x
F (x)
x
F (x)
1,0
0,0190
4,5
0,6577
8,0
0,9182
1,5
0,0656
5,0
0,7350
8,5
0,9409
2,0
0,1429
5,5
0,7983
9,0
0,9576
Estadı́stica
2,5
0,2424
6,0
0,8488
9,5
0,9699
3,0
0,3528
6,5
0,8882
10,0
0,9788
3,5
0,4634
7,0
0,9182
10,5
0,9929
4,0
0,5665
7,5
0,9409
Determine P (2 ≤ X ≤ 10) en cada una de las situaciones siguientes:
a) el conjunto de valores posibles de X es RX =] 0; ∞ [ ;
b) el conjunto de valores posibles de X es RX = { 0; 0,5; 1; 1,5;
. . . ; 11,5; 12 }.
Ejercicio 4.59.
El fabricante de un producto ha fabricado las unidades que le son
demandas en cualquiera de dos de sus fábricas, A y B. El fabricante
se enfrenta al problema de continuar la producción solamente con
una de las dos fábricas, considerando para la decisión el costo de
producción.
Resuelva este problema a partir de los supuestos siguientes:
s1 ) La producción del producto tiene un costo de 5 mil soles
por unidad demandada e, independientemente de la cantidad
demandada, un costo fijo de 100 mil soles.
s2 ) La cantidad demanda para su producción es una variable
aleatoria discreta cuyos valores posibles conforman el conjunto
{ 0, 1, 2, 3 }.
190
Profesor José Flores Delgado
Variable aleatoria
s3 ) Cuando se usa la fábrica A, el modelo probabilı́stico de la
cantidad demandada está dado en la tabla siguiente:
x
0
1
2
3
f (x) 0,1 0,2 0,3 0,4
s4 ) Cuando se usa la fábrica B, el modelo probabilı́stico de la
cantidad demandada se muestra en la tabla siguiente:
x
0
1
2
3
g(x) 0,05 0,05 0,75 0,15
Justifique su solución mediante conceptos tratados en el capı́tulo.
191
5.
Modelos probabilı́sticos importantes
En las aplicaciones prácticas, algunas variables aleatorias se presentan con mucha frecuencia. Por tal motivo, a sus distribuciones de
probabilidad se les denomina “distribuciones importantes” y son usadas como modelos probabilı́sticos para describir el comportamiento
de variables que asumen sus valores de modo incierto. Estas distribuciones o variables ya han sido ampliamente estudiadas por importantes investigadores del área de las ciencias, personas que tuvieron
la capacidad de entrar en la “caja negra” donde se originaban estas variables y proporcionarnos la información más relevante en un
lenguaje a nuestro alcance; es decir, nos proporcionaron los supuestos básicos que las gobiernan para poder identificar más rápidamente
otras variables similares, ası́ como la función matemática o ley de
probabilidades que las describe. A continuación, veremos algunas de
estas y empezaremos con las que se originan a partir de dos de los
procesos más conocidos en probabilidad y estadı́stica: el proceso de
Bernoulli y el proceso de Poisson; luego, veremos otros modelos, como
el normal.
5.1. Modelos relacionados con un proceso de Bernoulli
Nuestro punto de partida para tratar con un proceso de Bernoulli
(y también con uno de Poisson) es un evento de interés. Sucede que, en
determinado momento, por alguna razón, nuestro interés se concentra
192
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
en un evento incierto. Por tal motivo, cuando este ocurra, podemos
decir que se ha tenido éxito; ası́, podemos denominar a este evento
de interés como E: “éxito”, mientras que a su complemento, como E c
o F , que significará “fracaso”. En el proceso de Bernoulli, se puede
decir que la observación es discreta, puesto que lo hacemos dentro
de una secuencia de ensayos u oportunidades: en cada uno de ellos,
puede ocurrir el evento que nos interesa o su complemento (todo lo
demás que puede ocurrir).
Supongamos que, en cualquier secuencia de ensayos, el evento E
ocurre independientemente y con la misma probabilidad en cada
ensayo. Si el proceso de observación del evento E se da bajo estas
condiciones, diremos que estamos frente a un proceso de Bernoulli.
Ası́, si definimos la secuencia de eventos E1 , E2 , . . . , con Ei
ocurrió E en el i-ésimo ensayo, tendremos que estos eventos son
independientes y con la misma probabilidad, la cual la denotamos
por p, la probabilidad de éxito; los complementos de estos eventos
tendrán como probabilidad a 1 − p, la probabilidad de fracaso, que
será denotada por q.
Ejemplo 5.1. Un producto se ofrece en venta con una promoción.
El promotor de ventas está interesado en averiguar si los clientes que
visitará comprarán el producto. Este visitará a muchos clientes; cada
uno de estos puede comprar el producto en promoción. Cada visita
origina un ensayo u oportunidad para observar si ocurre el evento de
interés: que el cliente compre el producto. Entonces, si cada cliente
puede comprar el producto independientemente de los demás y con
la misma probabilidad, se tendrá un proceso de Bernoulli.
193
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ahora, veamos los tres modelos que se generan a partir de un proceso
de Bernoulli.
5.1.1.
El modelo o distribución binomial
En un proceso de Bernoulli, definimos X como el número de
éxitos obtenidos, en n ensayos. Entonces, el modelo probabilı́stico
de X es dado por
n x n−x
f (x) = P (X = x) =
p q
, x = 0,1,. . . , n.
x
Cuando el modelo probabilı́stico de una variable aleatoria X es de esta
forma, se dice que X tiene distribución binomial con parámetros
n y p. Se denotará esto por: X ∼ b(n,p).
Los parámetros sirven para identificar una distribución especı́fica,
dentro de una familia de distribuciones, en este caso, de la forma
antes indicada.
Los valores esperados son
µX = np
y
2 = npq
σX
La distribución acumulada no tiene una fórmula explı́cita particular.
Ejemplo 5.2. En el contexto del ejemplo 5.1, supongamos que los
registros acerca de este tipo de promociones indican que el 75 % de
los clientes suele comprar el producto cuando se da esta promoción.
Ası́, tenemos que la probabilidad de nuestro evento de interés (que
el cliente visitado compre el producto) es P (E) = 0,75. Supongamos
ahora que el promotor visite a 50 clientes. Entonces, si X es el número
de clientes que comprarán el producto, tenemos que X ∼ b(50; 0,75).
194
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Esto se justifica porque X puede ser vista como el número de éxitos
en una secuencia de 50 eventos de un proceso de Bernoulli. Siendo
ası́, tenemos que la probabilidad de que x de estos clientes compren
el producto es
50
f (x) = P (X = x) =
(0,75)x (0,25)50−x , x = 0,1, . . . , 50.
x
En particular, la probabilidad de que 30 clientes compren el producto
es
50
P (X = 30) = f (30) =
(0,75)30 (0,25)50−30 = 0,0077.
30
La media (promedio) o valor esperado del número de clientes que
comprarán el producto es
µX = E(X) = np = (50)(0,75) = 37,5.
¿Entre qué valores se encontrará el grupo promedio de esta
distribución? Ya sabemos que este es el grupo de datos que está entre
µX ± σX .
Como ya se vio, µX = 37,5.
2 = npq = (50)(0,75)(0,25) = 9,375, ası́, σ = 3,0618.
Además, σX
X
Por lo tanto, los datos dentro del promedio estarán entre 34,4382
y 40,5618 o, equivalentemente, entre 35 y 40. Ası́, cuando se
dé esta promoción y se ofrezca a 50 clientes en muchas ocasiones,
observaremos con mayor frecuencia que el número de clientes que
comprarán este producto estará entre 35 y 40.
Obtengamos otra probabilidad, por ejemplo, la de que, a lo más, 45
de estos clientes compren el producto en promoción es P (X ≤ 45) y
conviene hallarla por el complemento:
195
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
P (X > 45)
= f (46) + f (47) + f (48) + f (49) + f (50)
=
+
+
50
(0,75)46 (0,25)50−46 +
46
50
(0,75)48 (0,25)50−48 +
48
50
50
(0,75)50 (0,25)50−50
50
(0,75)47 (0,25)50−47
47
50
49
(0,75)49 (0,25)50−49
= 0,0021.
Ası́, P (X ≤ 45) = 1 − P (X > 45) = 1 − 0,0021 = 0,9979.
Podemos también obtener probabilidades a partir de la distribución
acumulada, pero como esta no tiene una fórmula explı́cita, debemos
usar la computadora o, como era costumbre hace algún tiempo atrás,
con tablas.
Si usamos el Excel, podemos obtener muy rápidamente probabilidades en este contexto.
Por ejemplo, la probabilidad de que más de 25, pero a lo sumo 40
clientes compren el producto es
P (25 < X ≤ 40) = f (26) + · · · + f (40) = F (40) − F (25)
= 0,8363 − 0,0001 = 0,8362.
Se ha restado la probabilidad acumulada hasta 25, porque deseamos
excluir este valor.
O la probabilidad de que compren como mı́nimo 30, pero a lo sumo
45 clientes es
196
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
P (30 ≤ X ≤ 45) = f (30) + · · · + f (45) = F (45) − F (29)
= 0,9979 − 0,0063 = 0,9916.
Se ha restado la probabilidad acumulada hasta 29, porque debemos
incluir el valor 30.
Para terminar, la probabilidad de que por lo menos 35 clientes
compren el producto es
P (X ≥ 35) = 1 − P (X ≤ 34) = 1 − F (34) = 1 − 0,1631 = 0,8369.
Ejemplo 5.3. (modelo financiero binomial)
Cada dı́a, puede llevarse a cabo una operación financiera, la cual
puede resultar exitosa o fracasada. Cuando la operación es exitosa,
lo cual ocurre con probabilidad 0,7, se gana una proporción de lo
invertido igual a 0,02, mientras que, cuando la operación fracasa, se
pierde una fracción de lo invertido igual a 0,04. El capital inicial es
de 50 mil soles y, en las sucesivas operaciones, se invierte el monto
que resulta de las inversiones anteriores. Además, los resultados de las
operaciones financieras se asumen independientes. Por las condiciones
dadas, la secuencia de operaciones realizadas originan un proceso de
Bernoulli con evento de interés, E, de que la operación sea exitosa
(también pudo escogerse su complemento) con probabilidad p = 0,7.
En particular, X, el número de operaciones que resulten exitosas,
entre n llevadas a cabo, tiene distribución binomial con parámetros
n y p = 0,7, es decir, X ∼ b(n, 0,7).
Esta variable X nos permite determinar cuál será el valor del capital
acumulado, Y, hasta la enésima operación. En efecto, no es difı́cil
verificar que:
Y = 50 000(1 + 0,02)X (1 − 0,04)n−X
197
(5.1)
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Tenemos una situación de incertidumbre, pero la formalización
anterior nos permite cuantificar, mediante probabilidades, confianzas
y riesgos. Por ejemplo, si la inversión de los 50 mil soles se hace
con la meta de que, al cabo de 10 operaciones, se obtenga una
ganancia de, por lo menos, 5 mil soles, entonces, el riesgo que se corre
puede cuantificarse por la probabilidad de que el capital acumulado,
al cabo de las 10 operaciones, resulte menor que 55 mil soles; es
decir, la probabilidad P (Y < 55 000) que por la ecuación 5.1 dada
anteriormente, equivale a
P (50 000(1 + 0,02)X (1 − 0,04)10−X < 55 000)
o, despejando X
P (X < 8,3057) = 1 − fX (9) + fX (10)
9
10−9 + 10 (0,7)10 (0,3)10−10
= 1 − 10
9 (0,7) (0,3)
10
= 1 − 0,1493 = 0,8507
Es decir, el riesgo que corre el inversionista es bastante alto.
Otro asunto de interés al respecto se encuentra en el ejercicio
propuesto 5.8.
5.1.2.
El modelo o distribución geométrico
Definimos ahora, X, como el número de ensayos que son
necesarios para conseguir el primer éxito. Entonces, el modelo
probabilı́stico de X viene dado por
f (x) = P (X = x) = q x−1 p, x = 1, 2, . . .
Cuando el modelo probabilı́stico de una variable aleatoria X es de esta
forma, se dice que X tiene distribución geométrica con parámetro
p. Se denotará esto por X ∼ g(p).
198
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
2 = q/p2 .
µX = 1/p y σX
Los valores esperados son
La distribución acumulada está dada por:
F (x) = P (X ≤ x) =
x
j=1
q j−1 p = 1 − q x , x = 1, 2, . . .
Ejemplo 5.4. Continuando con el evento de interés anterior,
supongamos que ahora nos interese la variable X definida como el
número de clientes que debe visitar el promotor hasta el primero que
compre el producto. Entonces, como el proceso es de Bernoulli y X
puede verse como el número de ensayos (en la secuencia de visitas)
hasta lograr el primer éxito, se tiene que X ∼ g(0,75).
Ası́, la probabilidad de que el primer cliente, que compre el producto,
sea el x-ésimo que visite es
P (X = x) = f (x) = (0,25)x−1 (0,75), x = 1, 2, . . .
El valor esperado de esta variable es µX = 1/p = 1/0,75 = 4/3 =
1,333. Por lo tanto, si fueran muchas las visitas que haga el promotor y
asumimos condiciones similares para cada una de estas, en promedio,
en la primera visita, el cliente comprará el producto.
En este caso, como la distribución acumulada tiene una fórmula
explı́cita, podemos calcular muchas probabilidades usando dicha
fórmula:
F (x) = P (X ≤ x) = 1 − q x = 1 − (0,25)x ; x = 1, 2, . . .
Por ejemplo, la probabilidad de que el primer cliente que compre
el producto sea por lo menos el cuarto que visite, pero a lo más el
décimo, es:
P (4 ≤ X ≤ 10) = F (10)−F (3) = (1−(0,25)10 )−(1−(0,25)3 ) = 0,0156.
199
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Propiedad: esta es la única distribución discreta que satisface la
relación:
P (X > m + n / X > m) = P (X > n), ∀ m,n ∈ N+ .
Esta propiedad afirma que, si ya se han realizado m ensayos sin
haber obtenido un éxito, entonces, la probabilidad de que sean
necesarios n ensayos adicionales para lograrlo es exactamente igual
a la probabilidad que se tenı́a antes de realizar estos m ensayos. Por
ello, se dice que la distribución no tiene memoria.
5.1.3.
El modelo o distribución de Pascal o binomial
negativa
Si ahora X es el número de ensayos que son necesarios hasta conseguir el r-ésimo éxito, entonces, el modelo probabilı́stico
de X viene dado por
x − 1 x−r r
f (x) = P (X = x) =
q p , x = r, r + 1, . . .
r−1
Cuando el modelo probabilı́stico de una variable aleatoria X es de esta
forma, se dice que X tiene distribución de Pascal con parámetros
r y p. Se denotará esto por X ∼ P s(r,p).
Los valores esperados son
2 = rq/p2 .
µX = r/p y σX
La distribución acumulada no tiene una fórmula explı́cita particular.
Ejemplo 5.5. Nuevamente en el contexto del proceso de Bernoulli
de los ejemplos anteriores, sea ahora la variable X definida como el
número de clientes que debe visitar el promotor hasta el tercero que
200
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
compre el producto. Entonces, como el proceso es de Bernoulli y X
puede verse como el número de ensayos hasta lograr el tercer éxito,
se tiene que X ∼ g(0,75).
Ası́, la probabilidad de que el tercer cliente que compre el producto sea el x-ésimo visitado es
P (X = x) = f (x) =
x−1
x−3
3
(0,75) , x = 3, 4, . . .
3−1 (0,25)
Propiedades:
a) La variable X tiene distribución geométrica con parámetro p
si, y solo si, X tiene distribución de Pascal con parámetros 1 y
p.
b) La suma de variables independientes y cuya distribución
sea geométrica tiene una distribución de Pascal. Es decir,
si X1 , . . . , Xn son variables aleatorias independientes, con
n
distribución geométrica de parámetro p, entonces
Xj tiene
j=1
distribución de pascal con parámetros r = n y p.
En el proceso de Poisson, se observa el evento de interés, E, en
una región continua, como, por ejemplo, un intervalo de tiempo o un
área, y con los supuestos siguientes:
S1. La probabilidad de que ocurra E en una región de medida
pequeña, ∆t, es aproximadamente igual a ω ∆t, para cierta
constante positiva ω independiente de la medida de la región
∆t.
S2. La probabilidad de que ocurra E más de una vez en una región
pequeña es casi nula.
201
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
S3. Las ocurrencias de E en regiones excluyentes son independientes.
Si E ocurre satisfaciendo los supuestos anteriores, entonces
estamos frente a un proceso de Poisson con tasa, o promedio
de ocurrencias, ω por unidad de medida.
Ejemplo 5.6. Hoy que comenzamos a tomar más conciencia del
problema de la contaminación ambiental, podemos interesarnos en
observar, durante cierto perı́odo del dı́a, los vehı́culos que pasan y
contaminan el ambiente por determinada avenida. Supongamos que
se cumplen los siguientes supuestos:
S1. La probabilidad de que pase un vehı́culo que contamine el ambiente en una región de medida pequeña, ∆t, es aproximadamente proporcional a dicha medida, esto es, aproximadamente
igual a ω∆t, para cierta constante positiva ω independiente de
la medida de la región ∆t, digamos ω = 2 vehı́culos por minuto.
S2. La probabilidad de que pase más de un vehı́culo que contamine
el ambiente en un intervalo de tiempo muy pequeño es casi nula.
S3. Las ocurrencias de las llegadas de los automóviles que contaminan el ambiente, en regiones excluyentes, son independientes.
En este caso, los automóviles pasan y contaminan el ambiente según
un proceso de Poisson, con una tasa de 2 automóviles por minuto.
Veamos ahora las variables aleatorias y distribuciones de probabilidad que se generan a partir de un proceso de Poisson; cada una
tiene su análoga en el proceso de Bernoulli.
202
Profesor José Flores Delgado
5.1.4.
Modelos probabilı́sticos importantes
El modelo o distribución de Poisson
Si definimos X como el número de ocurrencias de E en una
región de medida t, entonces, el modelo probabilı́stico de X viene
dado por
f (x) = P (X = x) =
e−λ λx
, x = 0, 1, . . .
x!
con λ = ωt.
Cuando el modelo probabilı́stico de una variable aleatoria X es de esta
forma, se dice que X tiene distribución de Poisson con parámetro
λ. Se denotará esto por X ∼ P (λ).
2 = λ.
µ X = λ y σX
Los valores esperados son
La distribución acumulada no tiene una fórmula explı́cita particular.
Ejemplo 5.7. En el ejemplo 5.6, si X es el número de vehı́culos que
pasan durante un perı́odo de media hora y contaminan el ambiente,
entonces, X tiene distribución de Poisson con parámetro λ = ω t =
2 vehı́culos
minuto × 30 minutos = 60 vehı́culos.
Ası́, la probabilidad de que, durante un perı́odo de media hora, pasen
x vehı́culos que contaminen el ambiente es
P (X = x) = f (x) =
e−60 (60)x
, x = 0, 1, . . .
x!
En particular, la probabilidad de que, durante un perı́odo de media
hora, no pasen vehı́culos que contaminen el ambiente es
P (X = 0) = f (0) =
e−60 (60)0
= e−60 = 8,8 × 10−27 .
0!
O la probabilidad de que, durante un perı́odo de media hora, pasen
entre 59 y 61 vehı́culos que contaminen el ambiente es
203
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
P (59 ≤ X ≤ 61) = f (59) + f (60) + f (61)
=
e−60 (60)59 e−60 (60)60 e−60 (60)61
+
+
= 0,1535.
59!
60!
61!
También podemos obtener probabilidades a partir de la distribución
acumulada, F, la cual se obtiene con la ayuda de una computadora,
por ejemplo, la probabilidad de que, durante un perı́odo de media
hora, pasen entre 50 y 70 vehı́culos que contaminen el ambiente es:
P (50 ≤ X ≤ 70) = f (50) + . . . + f (70) = F (70) − F (49)
= 0,9098 − 0,0844 = 0,8254.
Propiedades:
a) Este proceso es estacionario en la región de observación en el
sentido de que la distribución del número de éxitos solo depende
de la medida de la región de observación y no de la parte de la
región escogida para la observación.
Ası́, el número de vehı́culos que pasan y contaminan el
ambiente en un perı́odo de una hora deberı́a comportarse
probabilı́sticamente igual si el perı́odo es de 8 a 9 de la mañana
o si es de 8 a 9 de la noche. Lo que ocurre en la realidad es
que, a veces, la tasa del proceso no es la misma a lo largo del
tiempo; es decir, existen procesos con tasas heterogéneas.
b) La distribución de Poisson puede verse como un caso lı́mite de la
distribución binomial. En efecto, si el número de observaciones,
n, crece indefinidamente y p tiende a cero, de modo que np
tienda a λ, la distribución binomial tiende a una distribución
de Poisson con parámetro λ.
204
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Una forma de entender la anterior propiedad es la siguiente:
dividamos la región de observación en una gran cantidad, n,
de partes muy pequeñas y excluyentes. Tenemos, entonces, una
secuencia de n partes y el número de éxitos en la región puede
obtenerse observando la cantidad de éxitos en cada una de estas
partes muy pequeñas; sin embargo, por los supuestos S2 y S3,
puede decirse que, en cada una de estas partes, solo puede
ocurrir una o ninguna vez el evento de interés y que, además,
estas ocurrencias son independientes. Por lo tanto, el número
de éxitos en estas n partes muy pequeñas (que también da el
número de éxitos en toda la región) sigue, aproximadamente,
una distribución binomial; esto es, se estarı́a aproximando la
distribución binomial a la de Poisson.
5.1.5.
El modelo o distribución exponencial
En el proceso de Poisson, si definimos X como la medida de
la región que habrá que observar hasta que se presente el
primer éxito, entonces, se puede verificar que la distribución de
probabilidades de X es dada por
f (x) = βe−βx ,x > 0; siendo β = ω.
Cuando la densidad de una variable aleatoria X es de esta forma, se
dice que X tiene distribución exponencial con parámetro β. Se
denotará esto por X ∼ exp(β).
A continuación, se muestran las gráficas de la densidad y de la
distribución acumulada:
205
Profesor José Flores Delgado
Los valores esperados son
La distribución acumulada,
Estadı́stica
2 = 1/β 2 .
µX = 1/β y σX
F (x) = P (X ≤ x) =
1 − e−βx , x > 0.
x
βe−βt dt =
0
Ejemplo 5.8. Nuevamente en el contexto del ejemplo 5.6, tenemos
que la variable X, definida como el tiempo (en minutos) que hay que
esperar hasta que pase el primer vehı́culo que contamine el ambiente,
sigue una distribución exponencial con parámetro β = 2 si medimos
el tiempo en minutos (recuérdese que la tasa del proceso de llegadas
de los vehı́culos que contaminan el ambiente es ω = 2 vehı́culos
minuto ).
Ası́, su modelo probabilı́stico está determinado por la función f (x) =
2e−2x ,x > 0 y su función de distribución acumulada es dada por
F (x) = 1 − e−2x , x > 0. En particular, la probabilidad de que
sea necesario esperar menos de 5 minutos hasta que pase el primer
vehı́culo que contamine el ambiente es
P (X < 5) = P (X ≤ 5) = F (5) = 1 − e−2(5) = 0,99995.
Propiedad: esta es la única distribución continua que satisface
P (X > t + h / X > t) = P (X > h), ∀ h, t > 0.
Según lo indicado en el caso de la distribución geométrica, se dice que
la distribución no tiene memoria. Por ejemplo, si suponemos que
206
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
la duración de una computadora tiene una distribución exponencial
y si tenemos que, al cabo de dos años, esta aún no se ha malogrado,
entonces, el riesgo de malograrse dentro del año siguiente serı́a
el mismo que el correspondiente a cuando esta era nueva. Una
interpretación que se le puede dar a esto, al parecer increı́ble, es que
cuando la computadora falla se debe a causas incidentales.
5.1.6.
Modelo o distribución gamma
En el proceso de Poisson, si definimos ahora X como la medida
de la región que se debe observar hasta que se presente
el r-ésimo éxito, entonces, el modelo probabilı́stico, o función de
densidad, de X es dado por
f (x) =
β α xα−1 e−βx
, x > 0,
Γ(α)
con α = r, β = ω > 0 y Γ la función gamma.
Cuando la densidad de una variable aleatoria X es de esta forma, se
dice que X tiene distribución gamma con parámetros α y β. Se
denotará esto por X ∼ G(α,β).
Observación 5.1. La función gamma, Γ, se define para todo y > 0,
∞
ty−1 e−t dt.
como: Γ(y) =
0
Tiene, entre otras, las propiedades siguientes: Γ(y+1) = yΓ(y); Γ(0,5) =
√
π y si y es natural positivo Γ(y) = (y − 1)!
La distribución gamma se extiende para todo α positivo y también
se le conoce como la distribución de Pearson Tipo-III y, cuando α es
un número natural, también se denomina distribución de Erlang.
207
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
La gráfica de la densidad es como se muestra a continuación:
2 = α/β 2 .
µX = α/β y σX
Los valores esperados son
Si el parámetro α es un número natural, la distribución acumulada
tiene la forma siguiente:
F (x) = 1 −
α−1
j=0
e−βx (βx)j
, x > 0.
j!
Ejemplo 5.9. Siguiendo con los ejemplos anteriores, si definimos la
variable X como el tiempo (en minutos) que habrá que esperar hasta
que pase el quinto vehı́culo que contamine el ambiente, tenemos que
X tiene distribución gamma con parámetros α = 5 y β = 2. Podemos,
por ejemplo, obtener la probabilidad de que el quinto vehı́culo que
pase y contamine el ambiente lo haga luego de 4 minutos:
P (X > 4) = 1 − P (X ≤ 4) = 1 − F (4) = 1 − (1 −
= 0,0996.
e−2(4) (2(4))j
)
j!
j=0
5−1
Propiedades. Este modelo tiene, entre otras, las propiedades
siguientes:
a) Se cumple que X tiene distribución exponencial de parámetro
β, si y solo si, X tiene distribución Gamma de parámetros α = 1
y β.
208
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
b) Si X1 , . . . , Xn son variables aleatorias independientes y con
distribución exponencial de parámetro β, entonces, la suma
n
tiene distribución gamma:
Xj ∼ G(n,β).
j=1
5.2. Modelo gaussiano o distribución normal
Si la densidad de una variable aleatoria X está dada por
2
f (x) = √
(x−µ)
1
e− 2σ2 , − ∞ < x < ∞; con σ > 0 y µ ∈ R.
2πσ
Se dice que X tiene distribución normal o gaussiana, con
parámetros µ y σ 2 . Esto lo denotamos por X ∼ N (µ,σ 2 ).
La gráfica de esta función es de la forma siguiente:
Es decir, la gráfica tiene forma de campana y es simétrica alrededor
de µ, con inflexiones en µ−σ y µ+σ. Además, las áreas a los extremos
de la media tienden a 0 conforme se distancian de esta, tanto ası́ que,
con fines prácticos, si consideramos solo cuatro decimales, el rango
de la variable se reduce al intervalo [µ − 4σ; µ + 4σ]; es decir, fuera
de este intervalo, f (x) es aproximadamente cero.
Los valores esperados son
2 = σ2.
µ X = µ y σX
209
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Observación 5.2.
a) Si µ = 0 y σ = 1 : la distribución se llama normal estándar.
Es decir, si Z ∼ N (0; 1)
1
f (z) = √
e−
Z
2π
z2
2
, − ∞ < z < ∞.
b) No hay una fórmula explı́cita para la distribución acumulada,
pero existen tablas para la distribución normal estándar. Ası́,
para poder usarlas, previamente se debe pasar a la forma
estándar, como se indica en la segunda de las propiedades que
se dan a continuación. Sin embargo, debe mencionarse que, hoy
en dı́a, estas tablas están cayendo en desuso; la razón es obvia:
las computadoras.
c) Originalmente, esta distribución fue propuesta por Karl Gauss
(1777-1855) para modelar errores (en el ejemplo siguiente, se
ilustra esta situación)
Propiedades del modelo gaussiano o normal
A continuación, veremos las propiedades de este modelo.
1. Propiedad de cerradura respecto a transformaciones
lineales.
Si X tiene distribución normal, entonces, la transformación lineal
Y = a + bX, para b = 0, también tiene distribución normal. Es decir,
2
X ∼ N (µX ; σX
) e Y = a + bX ⇒ Y ∼ N (µY ; σY2 ),
2.
donde µY = a + bµX y σY2 = b2 σX
210
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Ejemplo 5.10. Al medir con cierto instrumento la longitud, µ, de un
objeto, se produce un error aleatorio, . Es muy razonable modelar
este error con el modelo normal, con media 0 mm y desviación
estándar σ mm .
A continuación, determinamos el modelo probabilı́stico que describe
a X, la medición resultante. Para este fin, notemos que X = µ + ,
es decir, X es una transformación lineal de y este tiene distribución
normal, es decir, ∼ N (0; σ 2 ).
Por lo tanto, por la propiedad anterior: X ∼ N (µ; σ 2 ).
2. Propiedad de estandarización
Cualquier distribución normal puede convertirse en una normal
estándar. En efecto, si X tiene distribución normal y consideramos
Z=
X − µX
,
σX
2 ) y Z =
entonces, Z ∼ N (0, 1). Es decir, X ∼ N (µX ; σX
Z ∼ N (0, 1).
X − µX
⇒
σX
Por lo tanto,
F (x) = F (
X
Z
x−µX
σX
).
Esta transformación se deduce de la primera propiedad y se le conoce
como fórmula de estandarización.
Ejemplo 5.11. Los ingresos en cierto sector pueden ser modelados
por una variable X con distribución normal de media 20 unidades
monetarias (um) y desviación estándar de 5 um.
211
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
A manera de ejemplo, calculemos la probabilidad de que el ingreso
de un trabajador de este sector sea superior a 22 um, es decir, la
probabilidad P (X > 22). Para esto, obtenemos, primero, FX (22), y
tenemos dos formas de obtener esta probabilidad acumulada: con la
computadora o con una tabla de la distribución normal estándar.
Si usamos el Excel, solo debemos pedir FX (22) y se obtendrá inmediatamente FX (22) = 0,6554. Por lo tanto, P (X > 22) = 1 − FX (22) =
1 − 0,6554 = 0,3446.
Si usamos una tabla de la distribución normal estándar, como nuestra
variable X no es estándar, previamente debemos estandarizarla según
la segunda propiedad de la distribución normal.
En este caso, Z =
X−20
5
∼ N (0; 1). Ası́,
FX (22) = FZ
22 − 20 = FZ (0,4) = 0,6554.
5
Para hacer un cálculo más, supongamos que, en este sector, solo
los ingresos superiores a 25 um están sujetos a un impuesto
extraordinario y queremos averiguar, para el sector de trabajadores
que ganan más de 22 um, cuál es el porcentaje que paga este impuesto.
En este caso, basta obtener la probabilidad
P (X > 25/ X > 22) =
1−F (25)
=
X
1−F (22)
=
0,1587
0,3446
P (X>25∩X>22)
P (X>22)
=
P (X>25)
P (X>22)
= 0,4604.
X
Las probabilidades anteriores se han obtenido usando el programa
Excel, pero también pueden obtenerse usando una tabla de la
212
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
distribución normal estándar.
F (25) = F 25−20
= F (1) = 0,8413;
5
X
Z
Z
Y como ya se obtuvo antes
F (22) = F 22−20
= F (0,4) = 0,6554.
5
X
Z
Z
Ası́, el porcentaje buscado es 46,04 %.
3. Propiedad de cerradura de la distribución normal,
respecto de la suma
La suma de variables normales e independientes sigue teniendo
distribución normal:
Si X1 , . . . , Xn son variables aleatorias independientes y con distribun
ción normal, entonces, la suma de ellas, T =
Xj , también tiene
j=1
distribución normal:
T ∼ N (µT ; σT2 ), con µT =
En este caso,
Z=
n
µXj y σT2 =
j=1
n
j=1
2
σX
.
j
T − µT
∼ N (0,1).
σT
Observación 5.3. La propiedad anterior requiere las aclaraciones
siguientes:
Se dice que las variables aleatorias X1 , . . . , Xn son independientes
cuando, para cada Ai , conjunto de valores posibles para Xi , se tiene
que
P (X1 ∈ A1 ∩ . . . ∩ Xn ∈ An ) = P (X1 ∈ A1 ) . . . P (Xn ∈ An )
213
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
La esperanza de una suma de variables aleatorias es igual a la suma
n
n
de sus esperanzas, es decir: E
E(Xj ).
Xj =
j=1
j=1
Y cuando las variables son independientes, la varianza de su suma es
n
n
igual a la suma de sus varianzas, es decir, V (
Xj ) =
V (Xj ).
j=1
j=1
Además, si a esta propiedad le añadimos la de linealidad, tenemos
que
n
n
T = a0 +
aj µXj y σT2 =
aj Xj ∼ N (µT ; σT2 ), con µT = a0 +
n
j=1
j=1
j=1
2 , con a , a , . . . , a constantes, con por lo menos una de
a2j σX
n
0
1
j
estas distinta de cero.
Ejemplo 5.12. En el contexto del ejemplo anterior, supongamos
que para 10 trabajadores, cuyos ingresos son independientes, interesa
determinar la probabilidad de que la suma de los ingresos correspondientes esté entre 190 um y 240 um.
Para este fin, consideremos las variables Xj , el ingreso del j-ésimo
10
trabajador, j = 1, . . . , 10. Ası́, la suma los ingresos es T =
Xj ; e
j=1
interesa obtener la probabilidad P (190 ≤ T ≤ 240).
Tenemos que estas variables Xj tienen distribución normal (Xj ∼
N (20, 52 )) y son independientes. Entonces, podemos aplicar esta
propiedad de cerradura respecto de la suma para establecer que
10
T =
Xj también sigue una distribución normal, pero con una
j=1
media, µT , igual a la suma de las medias, es decir, µT = 200, y una
varianza, σT2 , igual a la suma de las varianzas, es decir, σT2 = 250.
214
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Ası́, T ∼ N (200, 250) y P (190 ≤ T ≤ 240) = FT (240) − FT (190) =
0,9943 − 0,2635 = 0,7307.
Para calcular las probabilidades anteriores con la distribución normal
estándar, debe considerarse la variable:
T − 200
T − µT
= √
.
σT
250
√
Ası́, FT (240) = FZ 240−200
= FZ (2,53) = 0,9943 y FT (190) =
250
190−200 FZ √250
= FZ (−0,63).
Z=
Ejemplo 5.13. En el contexto del ejemplo 5.10, suponga que,
para determinar la verdadera longitud del objeto, µ, se realizarán
n mediciones independientes con las caracterı́sticas mencionadas.
Luego, se estimará µ con la media aritmética de las mediciones
efectuadas, X̄.
a) Deducir la distribución de T = X1 + . . . + Xn , la suma de las
mediciones efectuadas y, a partir de esta, deduzca la de X̄.
b) Deducir la distribución de X̄.
c) Si n = 4 y σ = 5, halle la probabilidad de que el error de
estimación, |X̄ − µ|, sea a lo sumo 2 mm .
Solución:
a) Por lo visto en el ejemplo 5.10, cada una de las mediciones
X1 , . . . , Xn tiene distribución normal, con media µ y desviación
estándar σ; además, estas son independientes. Entonces, por
la propiedad anterior de la distribución normal, la suma de
215
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
estas variables, T, tiene distribución normal con media µT =
2 + . . . + σ2 = n σ2,
µX1 + . . . + µXn = n µ y varianza σT2 = σX
Xn
1
es decir, T ∼ N (n µ; n σ 2 ).
T
b) Como T ∼ N (n µ; n σ 2 ) y X̄ =
es una transformación lineal
n
de T , entonces, la primera propiedad de la distribución normal
establece que X̄ también tiene distribución normal, pero con
2 = 1 σ 2 = σ 2 , es decir,
media µX̄ = n1 µT = µ y varianza σX̄
n
n2 T
σ2
X̄ ∼ N (µ; n ).
c) Queremos determinar la probabilidad P (|X̄ −µ| ≤ 2) = FX̄ (µ+
2) − FX̄ (µ − 2).
2
La deducción anterior aplicada a este caso da X̄ ∼ N (µ; 54 ).
Es claro que no se puede usar directamente FX̄ , la distribución
acumulada de X̄, porque el valor de µ es desconocido; sin
embargo, con la estandarización, sı́ lo será.
X̄ − µ
X̄ − µ
∼ N (0; 1),
2,5
− FZ µ−2−µ
luego, FX̄ (µ + 2) − FX̄ (µ − 2) = FZ µ+2−µ
2,5
2,5
En efecto, en este caso, Z =
5
2
=
= FZ (0,8) − FZ (−0,8)
= 0,7881 − 0,2119 = 0,5763.
Observación 5.4. (Muestra aleatoria y distribución de la
media de una muestra)
Si X es una variable aleatoria, una muestra aleatoria de X, de
tamaño n, es un conjunto de n variables aleatorias, X1 , . . . , Xn ,
independientes y con la misma distribución que la de X.
Como consecuencia del ejemplo anterior, se tiene el resultado
siguiente:
216
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Si X1 , . . . , Xn es una muestra aleatoria de una variable, X, con
2 , entonces, su media
distribución normal de media µX y varianza σX
aritmética, X̄, tiene distribución normal con media µX y varianza
2
σX
σ2
, es decir: X̄ ∼ N (µ;
).
n
n
4. Teorema del lı́mite central (T.L.C.)
La suma de muchas variables independientes tiene una distribución
aproximadamente normal. En efecto, si las variables X1 , . . . , Xn son
independientes y n es suficientemente grande, entonces:
T =
n
Xj , tiene aproximadamente distribución normal de media
j=1
µT y varianza σT2 , con µT =
aprox.
T ∼
N (µT
,σ 2 ).
T
n
j=1
µXj y σT2 =
n
j=1
2 , es decir,
σX
j
En particular, si las Xj tienen la misma distribución: µT = nµ y
σT2 = nσ 2 , con µ y σ 2 la media y varianza común a todas las variables
Xj .
Ejemplo 5.14. Un inversionista recibe 100 utilidades, las cuales
pueden ser consideradas como variables aleatorias independientes
de igual distribución, con una media de 5 um y una desviación
estándar de 0,5 um. Interesa saber la probabilidad de que la
utilidad total recibida por el inversionista sea menor que 510 um
(el mı́nimo previsto). Para averiguar lo deseado consideremos, como
en el ejemplo anterior, las variables: Xj , la j-ésima utilidad recibida,
j = 1, . . . , 100. Como estas variables son muchas e independientes,
entonces, por la cuarta propiedad de la distribución normal (el
100
teorema del lı́mite central), la suma de estas, T =
Xj , sigue
j=1
217
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
aproximadamente una distribución normal con media µT , igual a la
suma de las medias, y varianza σT2 , igual a la suma de las varianzas,
es decir, µT = 500 y σ 2 = 25. Entonces tenemos que T ∼ N (500, 25),
luego podemos obtener la probabilidad de interés directamente con
el Excel. Es decir: P (T < 510) = FT (510) = 0,9772.
Obsérvese que, en este caso, para usar la distribución normal estándar
debe considerarse la variable:
T − µT
T − 500
Z=
∼ N (0; 1).
=
σT
5
Ası́, el cálculo de la probabilidad que interesa resulta ahora:
FT (510) = P (T ≤ 510) = FZ
510−500 5
= FZ (2) = 0,9772.
Ejemplo 5.15. En el contexto del ejemplo anterior, ¿cuál serı́a la
probabilidad de que la media de las utilidades recibidas sea menor o
igual a 5,1 um? Ahora se desea averiguar el valor de la probabilidad
100
P (X̄ ≤ 5,1), con X̄ =
Xj /100 = T /100.
j=1
T
≤ 5,1) = P (T ≤ 510) = FT (510) =
Ası́: P (X̄ ≤ 5,1) = P ( 100
FZ (2) = 0,9772.
También puede deducirse la distribución de X̄ a partir de la de
100
T
Xj . En efecto, como X̄ = 100
y T ∼ N (500; 25), entonces,
T =
j=1
por la propiedad de linealidad de la distribución normal, tenemos
2
2 ), con µ = µT = 500 = 5, y σ 2 = σT = 25 =
que: X̄ ∼ N (µX̄ , σX̄
100
100
X̄
1002
1002
X̄
0,0025, es decir, X̄ ∼ N (5; 0,0025).
Para usar la distribución normal estándar tenemos que: Z = X̄−5
0,05 ∼
5,1−5 N (0, 1). Ası́, P (X̄ ≤ 5,1) = FX̄ (5,1) = FZ 0,05 = FZ (2) = 0,9772.
218
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
5.3. Modelo o distribución lognormal
Se dice que una variable aleatoria, X, tiene distribución lognormal
si, y solo si, la transformación logaritmo natural de X, Ln(X),
tiene una distribución normal. Puede verificar que la densidad es la
siguiente:
(lnx − µ)2
−
1
f (x) = √
2σ 2
, x > 0.
x−1 e
2πσ
Esto lo denotamos por: X ∼ logN (µ; σ 2 ).
Las constantes µ ∈ R y σ 2 > 0, son los parámetros del modelo y estos
son también los parámetros de la distribución de Ln(X), es decir, se
tiene que Ln(X) ∼ N (µ, σ 2 ).
La gráfica de la función de densidad es de la forma siguiente:
Los valores esperados son
σ2
µX = e
(2µ+σ 2 )/2
µ2X (e − 1).
2 =e
y σX
2µ+σ 2
σ2
(e −1) =
Observación 5.5. En general, este modelo es útil para describir
datos con valores positivos y distribución asimétrica, como suele
ocurrir con los ingresos o algunos precios.
219
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
En la economı́a y las finanzas, esta distribución aparece, por
ejemplo, cuando el valor de cierta inversión es el resultado de
muchas variaciones ocasionadas por incrementos o reducciones
aleatorias; cada variación reduce o aumenta el valor actual en una
proporción aleatoria. Esto se conoce como la Ley de fragmentación
de Kolmogorov. Una explicación de la validez de esta ley se muestra
en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 5.16. En la enésima operación de una serie de operaciones
financieras, se invierte el capital acumulado, cuyo valor es Xn
unidades monetarias. La tasa de rentabilidad de esta operación se
define como
Xn − Xn−1
Rn =
,
Xn−1
con Xn−1 el valor del capital acumulado disponible antes de realizar
la operación.
Sigue inmediatamente que el valor del capital acumulado, Xn , en
función del capital invertido (Xn−1 ) y la tasa de rentabilidad de esta
inversión (Rn ), está dada por:
Xn = (1 + Rn )Xn−1
Y si usamos Wn = 1 + Rn , que se conoce como el factor de
capitalización, tenemos que:
Xn = Wn Xn−1
De aquı́, no es difı́cil verificar que Xn = W1 , . . . , Wn X0 , con X0 el
valor del capital inicial (un valor conocido).
Y si en esta última ecuación tomamos logaritmos resulta que:
Ln(Xn ) = Ln(W1 ) + Ln(W2 ) + . . . + Ln(Wn ) + Ln(X0 ).
220
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Supongamos un contexto financiero de incertidumbre según el cual
las tasas de rentabilidad, Ri , son variables aleatorias independientes;
entonces, ası́ también lo serán los factores de capitalización, Wi . Si,
además de este supuesto, tenemos muchas operaciones, entonces, por
el teorema del lı́mite central, tendremos que Ln(Xn ) tendrá aproximadamente una distribución normal y, por lo tanto, Xn una distribución lognormal.
Entonces, podemos decir que el valor del capital, al cabo de muchas
operaciones (en el largo plazo), sigue una distribución lognormal.
Ejemplo 5.17. Actualmente, en finanzas, se ha hecho bastante
conocido el modelo de precios de Black-Scholes1 . Por ejemplo, según
este modelo, la ecuación que describe la evolución del precio de un
stock en el tiempo es de la forma:
1
St = S0 exp [ (µ − σ 2 ) t + σXt ], t > 0,
(1)
2
donde: S0 > 0 es el precio inicial del stock; µ es el valor esperado
de la tasa instantánea de rentabilidad; σ > 0 es la volatilidad del
stock (estos últimos no se consideran aleatorios sino constantes) y Xt
es una variable aleatoria con distribución normal, de media cero y
varianza t, es decir, Xt ∼ N (0, t).
El modelo anterior puede escribirse como
1
(2)
LnSt = LnS0 + (µ − σ 2 ) t + σXt
2
Y como Xt tiene distribución normal, entonces, por la primera propiedad de la distribución normal, Ln(St ) también tendrá distribución
normal, es decir,
1
LnSt ∼ N ( LnS0 + (µ − σ 2 )t; σ 2 t )
(3)
2
1
Veáse Lars Tyge Nielsen (1999), ejemplo 1.7, p. 13.
221
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Por lo tanto, la distribución de St es lognormal.
Para ilustrar el uso de este modelo, supongamos que el valor inicial
del stock sea 20 um , que el valor esperado de la tasa instantánea de
rentabilidad sea 0,2 y que la volatilidad del stock sea 0,4. Entonces,
reemplazando estos valores en la ecuación (3), tenemos que:
LnS5 ∼ N (2,795; 0,8 )
En particular, la probabilidad de que el precio del stock, después de
5 unidades de tiempo, sea inferior a 55 um está dada por:
P (S5 < 55) = P (Ln(S5 ) < Ln(55)) = P (Ln(S5 ) < 4) = F (4) = 0,911.
Ln(S5 )
Y para usar la normal estándar tenemos que Z =
N (0, 1).
Ası́: F (4) = F
Ln(S5 )
Z
4−2,795 √
0,8
Ln(S5 ) − 2,795
√
0,8
∼
= F (1,35) = 0,911.
Z
5.4. Modelo o distribución hipergeométrica
Si de una población con N elementos, de los cuales M son de
interés, se toma una muestra aleatoria de n elementos; y definimos
X como el número de elementos de interés en la muestra,
entonces el modelo probabilı́stico de X viene dado por:
f (x) = P (X = x) =
N −M
CxM Cn−x
, x = 0, 1, . . . , n.
CnN
Cuando la ley de probabilidad de una variable aleatoria X es ası́, se
dice que tiene una distribución hipergeométrica con parámetros
N , M y n.
222
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Se denotará esto por: X ∼ H(N,M,n).
Observación 5.6. en realidad X asume valores que van, desde el
mayor de los valores entre 0 y n − (N − M ), hasta el menor de los
valores de n y M , es decir, no necesariamente entre 0 y n.
Los valores esperados son:
p= M
N y q = 1 − p.
2 = npq( N −n ), siendo
µX = np y σX
N −1
La distribución acumulada no tiene una fórmula explı́cita particular.
Observación 5.7. Si la muestra es con reposición, X ∼ b(n,p); y si
N es muy grande, en relación con n, la distribución hipergeométrica
se aproxima a la binomial.
Ejemplo 5.18. En el ejemplo 4.1 del capı́tulo anterior, la variable X,
el número de empresas del tipo a en la muestra de tamaño 4, tomada
de la población de 20 empresas entre las cuales 5 son del tipo a, sigue
una distribución hipergeométrica con parámetros: N = 20, M = 5 y
n = 4. Ası́, su modelo probabilı́stico está dado por la función:
5 15 f (X = x) = P (X = x) =
x
204−x
,
4
para cualquier x ∈ RX = { 0, 1, 2, 3, 4 }.
5.5. Modelo o distribución uniforme
Si una variable aleatoria X tiene como rango a un intervalo de
extremos finitos, a y b, y su densidad es constante, es decir, dada
por:
f (x) =
1
, a ≤ x ≤ b.
b−a
223
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Se dice que X tiene distribución uniforme. Denotamos esto por
X ∼ U (a,b).
La gráfica de la densidad es la de una función constante:
Los valores esperados son:
La distribución acumulada:
b.
µX =
2
a+b
2 = (b − a) .
y σX
2
12
F (x) = P (X ≤ x) =
x−a
,a≤x≤
b−a
Observación 5.8. Esta distribución es adecuada para describir a
una variable que asuma sus valores uniforme o indistintamente en un
intervalo de extremos finitos.
Propiedad: Sea U una variable aleatoria con distribución uniforme
en el intervalo [0, 1], es decir, U ∼ U [0,1], y X una variable aleatoria
con distribución acumulada F.
Caso 1: Si X es continua podemos asumir que F es continua sobre
RX y suponiendo que esta sea estrictamente creciente, entonces
tendrá una inversa F −1 . Definimos para cada 0 ≤ u ≤ 1 : G(u)
= F −1 (u).
Caso 2: Si X es discreta, definimos para cada 0 ≤ u ≤ 1 : G(u) =
min{x ∈ RX / F (x) ≥ u}
Entonces, en ambos casos, la variable transformada de U, G(U ), tiene
d
la misma distribución que la de X: G(U ) = X.
224
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Observación 5.9. La propiedad anterior nos dice cómo transformar
una variable aleatoria con distribución uniforme en [0, 1], U ∼ U [0,1],
en otra que tenga una distribución deseada. Esto permite generar
valores de una distribución arbitraria, a partir de valores generados de
una distribución uniforme y es la técnica más conocida en simulación.
Es decir, si u1 , . . . , un son n valores generados de una distribución
uniforme entre 0 y 1, entonces, los valores asociados a una variable
X, con distribución con acumulada F, se pueden generar como sigue.
En el caso que X sea continua, consideraremos:
xj = F −1 (uj ) ⇔ uj = F (xj ), j = 1, . . . , n.
Y en el caso que X sea discreta:
xj = G(uj ) = min{x ∈ RX / F (x) ≥ uj }, j = 1, . . . , n.
Ejemplo 5.19. Simulemos 50 valores de una variable aleatoria, X,
con modelo exponencial con parámetro β = 1/4.
Para generar, mediante simulación, 50 valores de X : x1 , . . . , x50 . Primero simulamos 50 valores de una variable aleatoria con distribución
uniforme en [0, 1], U ∼ U (0; 1). Por ejemplo, con una computadora
y el Excel obtenemos los números aleatorios siguientes:
0,674
0,696
0,734
0,070
0,377
0,558
0,926
0,126
0,973
0,661
0,682
0,271
0,732
0,948
0,519
0,914
0,073
0,493
0,592
0,603
0,104
0,817
0,194
0,580
0,504
0,273
0,639
0,470
0,479
0,480
0,854
0,005
0,019
0,832
0,614
0,430
0,947
0,191
0,208
0,213
0,508
0,906
0,870
0,522
0,345
0,089
0,449
0,785
0,524
0,878
Como X es continua, podemos considerar xj = G(uj ) = F −1 (uj ),
j = 1, . . . , 50.
Ası́, ya que X ∼ exp(1/4), se tiene que F (x) = 1 − e−x/4 , x > 0.
225
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Luego:
xj = F −1 (uj ) ⇔ uj = F (xj ) = 1−e−xj /4 ⇔ xj = −4Ln(1−uj ), j = 1, . . . , 30.
De este modo se obtienen los valores deseados:
4,480
4,761
5,299
0,290
1,891
3,263
10,406
0,537
14,506
4,330
4,582
1,266
5,274
11,861
2,930
9,815
0,305
2,715
3,589
3,691
0,439
6,800
0,864
3,471
2,801
1,277
4,072
2,540
2,611
2,618
7,683
0,019
0,077
7,137
3,806
2,246
11,770
0,850
0,932
0,956
2,833
9,442
8,168
2,951
1,695
0,374
2,382
6,152
2,973
8,429
Si consideramos estos datos generados como una muestra aleatoria de
X existe una técnica llamada “bondad de ajuste” para verificar que
efectivamente el modelo de esta variable es uno especificado, en este
caso exponencial con parámetro β = 1/4. A continuación aplicaremos
esta técnica que requiere una muestra grande, como lo es en este caso,
pero solo en la etapa descriptiva y no en la de inferencia.
Empezamos por ver cómo es la distribución de frecuencias de la
muestra generada:
X
frecuencia observada
frecuencia relativa observada
0−3
26
0,52
226
3−6
12
0,24
6−9
7
0,14
9−∞
5
0,1
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Se observa una tendencia decreciente, como ocurre en un una
distribución exponencial; pero esto -incluso en esta etapa descriptivoaún resulta impreciso, pues esta gráfica depende del número de
intervalos y además solo esta forma del polı́gono no garantiza que
la distribución exponencial con el parámetro especificado (β = 1/4).
Entonces, debemos comparar las frecuencias observadas (las de los
valores obtenidos para X) con las frecuencias esperadas, según la
distribución supuesta para X (en este caso exp (1/4)). A continuación
expresamos los valores de estos tipos de frecuencias en la tabla
siguiente:
X
frecuencia observada (oj )
frecuencia relativa observada (fj )
frec. relativa esperada (pj )
frec. esperada (ei = npj )
0−3
26
0,52
0,5276
26,3817
3−6
12
0,24∗
0,2492∗∗
12,4618∗∗∗
6−9
7
0,14
0,1177
5,8865
9−∞
5
0,1
0,1054
5,2700
Se observa que las frecuencias observadas están próximas a las
esperadas. Por lo tanto, el modelo especificado parece ajustar a los
datos; es decir, la simulación parece haber sido adecuada. ∗ 0,24 =
12/50; ∗∗ 0,2492 = FX (6) − FX (3); ∗∗∗ 12,4618 = 50 × 0,2492.
También se acostumbra ilustrar la conclusión con la llamada
gráfica de probabilidades, es decir, la gráfica de las frecuencias
relativas esperadas (probabilidades esperadas según el modelo) con
las correspondientes a las observadas:
227
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Se observa que las frecuencias observadas están próximas de las
esperadas. Por lo tanto, la simulación parece haber sido adecuada; es
decir, generado datos según el modelo especificado. Esto se cumple,
pues el método para simular lo establece y la cantidad de datos es
grande.
5.6. Modelo o distribución Beta
Se dice que la variable aleatoria X tiene modelo o distribución
beta, si su función de densidad está dada por:
f (x) =
Γ(α + β) α−1
x
(1 − x)β−1 , 0 ≤ x ≤ 1.
Γ(α)Γ(β)
con α > 0 y β > 0, los parámetros del modelo. Esto lo denotamos
por X ∼ B(α; β).
A continuación se muestran las gráficas tı́picas de este modelo, para
α = 1 y β = 1 :
228
Profesor José Flores Delgado
Los valores esperados son:
Modelos probabilı́sticos importantes
µX =
α
αβ
2 =
y σX
.
2
α+β
(α + β) (α + β + 1)
Observación 5.10. Esta distribución puede ser generalizada para
un intervalo de extremos arbitrarios, a < b, mediante el cambio de
variable Y = a + (b − a)X. En este caso la densidad de Y está dada
por:
fY (y) =
Γ(α + β)
(y − a)α−1 (b − y)β−1 /(b − a)α+β−1 , a ≤ y ≤ b.
Γ(α)Γ(β)
Además, la distribución uniforme en el intervalo de extremos 0 y 1
es un caso particular de esta distribución. En efecto: X ∼ U (0; 1) ⇔
X ∼ B(1; 1). Ası́, el modelo beta es de gran utilidad para modelar una
variable aleatoria que asume sus valores en un intervalo de extremos
finitos y aun cuando no sea de manera uniforme, generalizando de
este modo a la distribución uniforme.
5.7. La función generadora de momentos
Definición 5.1. Si X es una variable aleatoria, se define su función
generadora de momentos
MX : R →
R, mediante: MX(t) = E(et X ).
t → MX(t)
A continuación veamos la propiedad principal de la función generadora de momentos, esta explica el nombre que se le da. Aunque la
deduciremos para una variable discreta, similarmente se puede deducir para el caso continuo.
229
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Por la propiedad que permite obtener el valor esperado de una función
de una variable aleatoria, se tiene que:
MX(t) = E(et X )
=
etx fX (x)
x∈RX
Entonces, al derivar respecto de t y evaluar en cero, obtenemos:
MX (t) =
xetx fX (x)
x∈RX
M
(0) =
X
xfX (x)
x∈RX
Entonces, MX (0) = E(X). Pero se debe observar que no siempre es
posible hacer esta derivación.
Y al derivar una vez más respecto de t y evaluar en cero, obtenemos:
MX (t) =
x2 etx fX (x)
x∈RX
M (0)
X
=
x2 fX (x)
x∈RX
Entonces, MX (0) = E(X 2 ). Generalizando, tenemos que MX(j) (0) =
E(X j ).
230
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
2
Ejemplo 5.20. Si Z ∼ N (0; 1), entonces: MZ (t) = et /2 ∀t ∈
efecto:
MZ (t) = E(etZ )
∞
z2
1
=
etz √ e − 2 dz
2π
−∞
∞
z2
1
√ e tz− 2 dz
=
2π
−∞
∞
1
1
2
√ e − 2 (z −2tz) dz
=
2π
−∞
∞
1
1
2
2
2
√ e − 2 (z −2tz+t −t ) dz
=
2π
−∞
∞
1
1
2 1 2
√ e − 2 (z−t) + 2 t dz
=
2π
−∞
∞
1
1
2
2
√ e − 2 (z−t) dz
= e t /2
2π
−∞
. En
1
=
2
e t /2 ,
∀t ∈
.
Propiedad 1.
Si X es una variable aleatoria, con función generadora de momentos
MX , e Y = a + bX; entonces:
MY (t) = e a t MX (bt).
Ejemplo 5.21. Como se vio en el ejemplo anterior, si Z ∼ N (0; 1);
2
entonces, MZ (t) = e t /2 , ∀t ∈ R.
A partir de este resultado, usaremos la propiedad anterior para
determinar la función generadora de una normal con parámetros
arbitrarios, X ∼ N (µ; σ 2 ).
231
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ası́, si X ∼ N (µ; σ 2 ) :
X = a + b Z
X −µ
∼ N (0; 1) ⇒ X = µ + σ Z;
Z=
σ
luego, por la propiedad anterior MY (t) = e a t MX (bt) :
MX (t) = eµ t MZ (σ t) = e tµ eσ
2 2
e tµ+σ t /2 , ∀t ∈ .
2 t2 /2
= e tµ+σ
2 t2 /2
; ası́, MX (t) =
Propiedad 2.
La función generadora de momentos determina unı́vocamente el
modelo probabilı́stico.
Ejemplo 5.22. Demostremos la propiedad de cerradura del modelo
normal respecto de la transformación lineal. Es decir, si X ∼
2 ) e Y = a + b X, entonces: Y ∼ N (a + b µ ; b2 σ 2 ).
N (µX ; σX
X
X
Para esto, hallaremos la función generadora de Y y veremos que esta
2,
corresponde a la de una normal con parámetros a + b µX ; b2 σX
ası́ el resultado quedará garantizado por esta última propiedad de la
función generadora.
2 ), su función generadora
Como ya hemos visto, si X ∼ N (µX ; σX
está dada por:
2 2
MX (t) = e tµ+σ t /2 , ∀t ∈ .
Luego, como Y = a + b X, entonces, por la propiedad 1 se puede
derivar la función generadora de momentos de Y a partir de la de X :
MY (t) = e a t MX (bt)
2
= e a t e btµX +σX (bt)
2 /2
at+bµX t+b2 σ 2 t2 /2
, ∀bt ∈ R
X
=e
2 2
= e (a+b µX )t+(bσX ) t /2 , ∀t ∈ R.
232
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Ası́, la función generadora de momentos de Y corresponde a la de
2 ; y como la función
una normal con parámetros a + b µX ; y b2 σX
generadora determine unı́vocamente el modelo, entonces se puede
2 ).
afirmar que Y ∼ N (a + b µX ; b2 σX
Propiedad 3.
Si X1 , . . . , Xn son variables aleatorias independientes, entonces, la
función generadora de momentos de la suma es el producto de las
correspondientes a estas variables:
M (t)
= M (t) . . . M (t) .
X 1 + · · · + Xn
X1
Xn
Ejemplo 5.23. Demostremos la propiedad de cerradura del modelo
normal respecto de la suma de variables independientes.
2 ), para j = 1, . . . , n; entonces,
Es decir, si Xj ∼ N (µXj ; σX
j
2 + · · · + σ 2 ).
X1 + · · · + Xn ∼ N (µX1 + · · · + µXn ; σX
Xn
1
Para esto, hallaremos la función generadora de X1 + · · · + Xn y
veremos que esta corresponde a la de una normal con parámetros
2 +· · ·+σ 2 , ası́ el resultado quedará garantizado
µX1 +· · ·+µXn y σX
Xn
1
por esta última propiedad de la función generadora.
M (t)
= M (t)
X1 + · · · + Xn
...
M (t)
X1
=e
=e
MX1 +···+Xn (t) = e
Xn
tµX +σ 2 t2 /2
1
X1
... e
tµX +σ 2
n
Xn
tµX +σ 2 t2 /2 +... +tµX +σ 2
1
n
X1
Xn
t2 /2
t(µX +···+µX )+(σ 2 X +... + σ 2
n
1
233
1
t2 /2
Xn
)t2 /2
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Que era lo que se querı́a demostrar, es decir, la función generadora de
momentos de la suma corresponde a la de una normal con parámetros
2 + · · · + σ 2 , por lo tanto, este será el modelo
µX1 + · · · + µXn y σX
Xn
1
2 + · · · + σ 2 ).
de la suma: N (µX1 + · · · + µXn ; σX
Xn
1
234
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
5.8. Ejercicios propuestos
Ejercicio 5.1.
En cierto sector del comercio, los establecimientos comerciales pueden
pagar sus tributos a tiempo independientemente entre estos y en un
porcentaje del 95 %.
a) Identifique la distribución de la variable X definida como
el número de establecimientos, entre 8 por inspeccionar, que
paguen a tiempo sus tributos. A partir de esta distribución,
determine la probabilidad del evento siguiente:
Por lo menos 6 de los 8 establecimientos pagan a tiempo sus
tributos.
b) Identifique la distribución de la variable X definida como
el número de establecimientos que deben ser inspeccionados
hasta que se encuentre el primero que haya pagado a tiempo
sus tributos. A partir de esta distribución, determine la
probabilidad del evento siguiente:
El número de establecimientos inspeccionados, hasta el primero
que pague sus impuestos a tiempo, está entre 5 como mı́nimo y
15 como máximo.
c) Identifique la distribución de la variable X definida como el
número de establecimientos que deben inspeccionarse hasta que
se encuentre el cuarto que haya pagado a tiempo sus tributos. A
partir de esta distribución, determine la probabilidad del evento
siguiente:
235
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
El número de establecimientos inspeccionados, hasta el cuarto
que pague sus tributos a tiempo, está entre 5 como mı́nimo y 7
como máximo.
Ejercicio 5.2.
En una empresa de transporte, cada vehı́culo puede llegar a tiempo
independientemente de otros vehı́culos y con una probabilidad de 0,6.
a) En un dı́a, la terminal espera el arribo de 20 vehı́culos;
determine la probabilidad de que por lo menos dos de
estos vehı́culos lleguen a tiempo. Debe definir una variable e
identificar (justificando) su modelo.
b) Halle la probabilidad de que el primer vehı́culo que llegue a
tiempo sea por lo menos el vigésimo. Debe definir una variable
e identificar (justificando) su modelo.
c) Halle e interprete el valor esperado del número de vehı́culos
hasta el primero que llegue a tiempo.
d) Halle la probabilidad de que el tercer vehı́culo que llegue a
tiempo sea por lo menos el quinto. Debe definir una variable
e identificar (justificando) su modelo.
Ejercicio 5.3.
Suponga que los usuarios de un sistema de información llegan de
acuerdo con un proceso de Poisson con una tasa de 2 usuarios por
minuto.
a) Identifique la distribución de la variable X definida como
el número de usuarios que llegan al sistema en un perı́odo
236
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
de 5 minutos. A partir de esta distribución, determine la
probabilidad de que el número de usuarios que llegan al sistema
en un perı́odo de 5 minutos es por lo menos 6 y máximo 7.
b) Identifique la distribución de la variable X definida como el
tiempo (en minutos) hasta que llegue el primer usuario del
sistema. A partir de esta distribución, determine la probabilidad
de que se deba esperar entre 4 y 12 minutos hasta que llegue el
primer usuario.
c) Identifique la distribución de la variable X definida como el
tiempo (en minutos) hasta que llegue el tercer usuario del
sistema. A partir de esta distribución, determine la probabilidad
de que se espere por lo menos 3 minutos hasta que llegue el
tercer usuario.
Ejercicio 5.4.
Una agencia bancaria (que nunca cierra para los clientes) divide su
trabajo interno en perı́odos. Durante cada perı́odo, se debe realizar
cierta operación de verificación; esta se puede realizar mal con una
probabilidad de 0,9 e independientemente en cada perı́odo.
a) ¿Cuán probable es que esta operación se realice mal después del
quinto perı́odo?
b) Cada vez que dicha operación se realice mal, se deben registrar
algunos datos en una ficha especial. Al empezar la jornada de
trabajo de 10 perı́odos, el administrador se da cuenta de que
solo dispone de 5 de estas fichas, pero no solicita más. Determine
el número esperado de fichas que serán usadas durante esta
jornada de trabajo.
237
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
c) Determine la función de probabilidad de la variable aleatoria Y,
definida como la cantidad de perı́odos de trabajo antes de que
se realice mal dicha operación.
Ejercicio 5.5.
Determine la probabilidad de que por lo menos 2 vehı́culos lleguen a
tiempo en cada una de las situaciones siguientes:
a) Hay 20 vehı́culos en total; además, se sabe que cada vehı́culo
puede llegar a tiempo, independientemente entre ellos y con una
probabilidad de 0,6.
b) En un perı́odo de 2 minutos, además, se sabe que los vehı́culos
llegan a tiempo según un proceso de Poisson con una tasa de 5
vehı́culos por minuto.
Ejercicio 5.6.
Un educador ha elaborado una prueba de opción múltiple con 10
preguntas de 5 opciones cada una. El educador es consciente de que
algunos alumnos rendirán la prueba simplemente escogiendo al azar
una de las 5 opciones como respuesta y harán esto para cada una de
las preguntas de modo independiente. Por tal motivo, es necesario
penalizar las respuestas incorrectas. En las cuestiones siguientes, solo
considere este tipo de alumnos.
a) Identifique un proceso de observación de Bernoulli en el
contexto dado.
b) Determine el modelo probabilı́stico más adecuado para describir
a la variable X, el número de respuestas acertadas.
238
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
c) Determine e interprete el número de respuestas correctamente
contestadas.
d) Cada pregunta bien contestada vale 2 puntos. Determine cuánto
debe descontarse por cada pregunta mal contestada, de modo
que la nota esperada de los alumnos de este grupo sea 0.
Sugerencia: si k es el valor buscado, vea que la nota es 2X −
k(10 − X).
e) Uno de estos alumnos necesita por lo menos 14 en esta prueba
para aprobar el curso. Cuantifique el riesgo que correrá. Use el
valor de k obtenido en la parte anterior.
Ejercicio 5.7.
Los clientes de un banco que deben recibir un tratamiento especial
llegan de acuerdo con un proceso de Poisson con un tasa de un cliente
cada 20 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un perı́odo de media hora,
lleguen más de 2 clientes que deben recibir un tratamiento
especial en el banco?
b) A todo cliente que debe recibir un tratamiento especial se le
entrega un premio, pero, al empezar la jornada de trabajo, el
administrador se da cuenta de que solo dispone de 5 de estos
premios. Determine el número esperado de premios que serán
entregados durante la primera hora de atención.
c) Determine el tiempo que dispone el administrador para que,
con una probabilidad de 0,9, pueda completar una pequeña
239
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
labor antes de la llegada del primer cliente que deba recibir
un tratamiento especial.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que pase más de una hora hasta
la llegada del tercer cliente que deba recibir un tratamiento
especial en el banco?
Ejercicio 5.8.
En el contexto del modelo binomial de finanzas, descrito en el ejemplo
5.3, determine el valor esperado del capital acumulado al cabo de 10
operaciones.
Puede ser útil la fórmula del binomio de Newton: (a + b)n =
n n i n−i
.
i a b
i=0
Ejercicio 5.9.
La ocurrencia de cierto evento catastrófico ocurre de acuerdo con un
proceso de Poisson con una tasa de uno cada cinco años.
a) Halle la probabilidad de que, en una década, no ocurra más de
2 veces este evento.
b) Halle la probabilidad de que en, un perı́odo de 5 años, ocurra
más de 2 veces este evento catastrófico.
c) Un proyecto debe ejecutarse durante un perı́odo de 10 años.
Si este evento no se presenta durante el perı́odo de ejecución
del proyecto, el costo es de 200 unidades monetarias (um); en
otro caso, este costo se incrementa en 100 um por cada unidad
de tiempo faltante hasta completar la ejecución del proyecto.
Determine el valor esperado del costo de ejecución del proyecto.
240
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
d) ¿Cuán probable es que pasen más de 20 años hasta que ocurra
tres veces dicho evento?
e) Considerando las próximas 5 décadas, determine la probabilidad de que en por lo menos dos de estas el evento catastrófico
ocurra más de dos veces.
Asuma independencia y condiciones similares en cada una de
las 5 décadas.
Ejercicio 5.10.
Cierto evento imprevisto puede ocurrir durante cada mes, con una
probabilidad de 0,1 e independientemente de otros meses.
a) Al comenzar el mes, se inicia la ejecución de un proyecto que
debe tardar 10 meses. Además, el proyecto se concluirá en el
plazo previsto siempre y cuando el evento imprevisto no ocurra
en más de 2 meses de este plazo.
Cuantifique el riesgo que se corre al afirmar que la ejecución se
concluirá en el plazo previsto.
b) Una persona adquiere una póliza contra este tipo de evento, que
regirá durante los 5 meses siguientes. El contrato estipula que
si el evento ocurre antes del quinto mes, entonces, la compañı́a
aseguradora debe pagarle una suma indemnizatoria de 6 mil
soles, pero no volverá hacerlo si ocurriera nuevamente; además,
la persona solo hará un único pago de 10 mil soles.
Determine la utilidad esperada de la aseguradora.
c) Halle la probabilidad de que el evento ocurra por tercera vez
después del quinto mes.
241
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
Ejercicio 5.11.
Los pedidos llegan a cierto supermercado (que atiende las 24 horas
del dı́a) según un proceso de Poisson, con una media de 4 pedidos
por hora.
a) Desde que empezó un dı́a, ha pasado media hora y no ha llegado
el primer pedido. Halle la probabilidad de que este pedido
tampoco llegue durante la siguiente media hora.
b) Por dı́a, el supermercado tiene un costo de 250 soles, siempre y
cuando el primer pedido llegue durante las dos primeras horas
del dı́a; pero, por cada hora adicional (a las primeras dos horas
del dı́a) que tarde este primer pedido, dicho costo se incrementa
en 50 soles. Determine el costo esperado por dı́a.
Ejercicio 5.12.
Se sabe que la demanda anual de un bien puede ser muy baja en
cualquier año de manera independiente de otros años y con una
probabilidad de un décimo.
a) Un comerciante estudia la posibilidad de adquirir grandes
cantidades de este bien, en cada uno de los próximos 6 años.
a1 ) El comerciante ha calculado que su inversión será exitosa
si a lo más en 4 de estos 6 años la demanda del bien es
muy baja. Cuantifique el riesgo que corre.
a2 ) El comerciante ha calculado que, en cada año en el que
la demanda del bien sea muy baja perderá 10 um ; pero
en cada año en el que la demanda no sea muy baja
242
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
ganará 30 um. Determine e interprete la utilidad esperada
del comerciante.
b) Calcule la probabilidad de que el primer año en el que la
demanda sea muy baja sea por lo menos el quinto, pero máximo
el vigésimo.
Ejercicio 5.13.
Suponga que, durante un año, en cierto paı́s, los eventos catastróficos
ocurren según un proceso de Poisson con una tasa de 2 eventos
por mes. Además, cada evento catastrófico produce una daño cuya
magnitud es independiente de las correspondientes a otros eventos
catastróficos y con distribución exponencial. El diseño de “prevención
contra desastres”del Gobierno consideró un valor crı́tico para el
daño ocasionado por una catástrofe cuando esta es 3,5 veces la
media de dicha magnitud. Obtenga la “confiabilidad del diseño
prevención contra desastres”durante el perı́odo de un año, es decir,
la probabilidad de que, durante dicho perı́odo, ninguna de las
magnitudes de los daños que se produzcan supere el valor crı́tico2 .
Sugerencia: sean X el número de tales eventos en un año e Y, el
número de los que su magnitud supera el valor crı́tico. Se desea hallar
∞
P (Y = 0) =
P (X = 0 ∩ Y = 0). Note que si X = x : Y ∼ b(x,p),
x=0
con p = P (Z > 3,5/β), donde Z ∼ exp(β).
Ejercicio 5.14.
Una municipalidad verificará si las tiendas de su distrito cumplen
una ordenanza dictada recientemente. Con este fin, se escogerá una
2
Este ejercicio está basado en la teorı́a estudio de peligro sı́smico, presentada
en Alejandro Muñoz P. (2002).
243
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
muestra aleatoria de 20 tiendas del distrito. Además, por experiencia,
se sabe que el 25 % de estos establecimientos suele incumplir las
ordenanzas nuevas.
a) Identifique un proceso de observación de Bernoulli en el
contexto dado. Deberá asumir la validez de los supuestos
necesarios y dar su significado en este contexto.
b) Halle el modelo probabilı́stico que describe a la variable
X, definida como el número de tiendas en la muestra por
seleccionar que incumplen la ordenanza.
c) Determine la probabilidad de que por lo menos cinco de las
tiendas de la muestra por seleccionar incumplan la ordenanza.
d) Determine e interprete el valor esperado del número de tiendas
en la muestra por seleccionar que incumplan la ordenanza.
e) Suponga que inspeccionar cada tienda de la muestra seleccionada costará 500 soles. Además, cada detección originará un descuento de 500 soles en el costo, pues esta cantidad será pagada
por el propietario de la tienda que incumpla la ordenanza; por
el contrario, cada tienda seleccionada que cumpla la ordenanza
originará un costo adicional de 250 soles, pues el propietario de
la tienda recibirá un descuento en sus tributos por este valor.
Si el presupuesto para llevar a cabo este muestreo es de 12 750
soles:
e1 ) Cuantifique la confianza de este presupuesto para poder
llevar a cabo el muestreo.
e2 ) Determine e interprete el valor esperado del costo para
llevar a cabo el muestreo.
244
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Ejercicio 5.15.
Una compañı́a alquila un equipo que se puede descomponer durante
un mes independientemente de otros meses y con probabilidad de
0,2. El equipo se usará 20 meses. Cada mes, le generará un ingreso
de 1000 soles (ası́ se descomponga el equipo); además, cada mes en
el que se descomponga el equipo, le significará un egreso de 500 soles
por reparación.
a) Identifique el modelo probabilı́stico que describe a la variable,
X, definida como el número de meses (entre los 20) en los que
el equipo se descompondrá.
b) Halle el valor esperado y la desviación estándar del número de
meses en los que se descompondrá el equipo.
c) Determine la utilidad esperada de la compañı́a.
d) La compañı́a desea ganar, por lo menos, 18 500 soles. Cuantifique el riesgo que correrá.
Ejercicio 5.16.
Los pedidos llegan a una central según un proceso de Poisson con una
tasa de 3 por minuto.
a) Determine la probabilidad de que, en un intervalo de 10
minutos, lleguen más de 2 pedidos. Debe definir una variable e
identificar (justificando) su modelo.
b) Halle la probabilidad de que el primer pedido demore en llegar
más de 5 minutos pero menos de 10. Debe definir una variable
e identificar (justificando) su modelo.
245
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
c) Halle la probabilidad de que el segundo pedido demore en llegar
más de 5 minutos pero menos de 10. Debe definir una variable
e identificar (justificando) su modelo.
Ejercicio 5.17.
En una empresa de transporte, cada vehı́culo puede llegar a tiempo,
independientemente de otros vehı́culos y con una probabilidad de 0,6.
a) En un dı́a, la terminal espera el arribo de 20 vehı́culos;
determine la probabilidad de que por lo menos 2 de estos
vehı́culos lleguen a tiempo. Debe definir una variable e
identificar (justificando) su modelo.
b) Halle la probabilidad de que el primer vehı́culo que llegue a
tiempo sea por lo menos el vigésimo. Debe definir una variable
e identificar (justificando) su modelo.
Ejercicio 5.18.
Si X ∼ b(10; 0,1), encuentre f : la función de probabilidad de
Y
Y = 10 − X. Use la técnica descrita al final del capı́tulo anterior.
Ejercicio 5.19.
Si X ∼ exp(2), encuentre la función de densidad de Y = 3X. Use la
técnica descrita al final del capı́tulo anterior.
Ejercicio 5.20.
Una operación financiera resulta rentable con una probabilidad de
0,25.
246
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Un inversionista realizará esta operación en 20 oportunidades.
Para evaluar los riesgos, se supondrá que las operaciones originan
resultados independientes y que la probabilidad de que sea rentable
se mantiene constante. Determine la probabilidad de que por lo menos
3 de las operaciones resulten rentables. Debe definir una variable X
e identificar, justificando, su modelo.
Ejercicio 5.21.
Parte del trabajo de un promotor que trabaja en una Administradora
de Fondos de Pensiones (AFP) consistente en visitar a personas que
están afiliadas a una AFP distinta para tratar de convencerlos de que
se cambien a esta AFP. Este promotor, según su experiencia, estima
que la probabilidad de convencer a una persona es de apenas 0,05.
El promotor decide evaluar ciertos riesgos, para esto considerará que
este trabajo obedece un proceso de Bernoulli.
a) Diga cuáles son las 2 condiciones que se deben cumplir para
que, efectivamente, convencer a los afiliados, en las visitas que
realice el promotor, ocurra según un proceso de Bernoulli.
b) Durante el año que termina, la gerencia de la AFP considera que
el promotor ha realizado un buen trabajo; ası́, le ofrece otorgarle
una bonificación extraordinaria (por fin de año) siempre y
cuando convenza a, por lo menos, 3 clientes más. La dificultad
que enfrenta el promotor es que solo dispone de 20 visitas más;
entonces, antes de tomar una medida distinta a las usadas hasta
ahora, decide suponer que las condiciones mencionadas en la
parte anterior se verifican y emplear la teorı́a básica de modelos
probabilı́sticos para cuantificar su confianza actual en lograr
247
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
esta bonificación extraordinaria. Efectúe el procedimiento que
realizará el promotor y determine el valor que obtendrá.
Ejercicio 5.22.
Ciertas bacterias se presentan en un depósito de agua conforme un
proceso de Poisson con una tasa de cuatro bacterias por cm3 .
a) Determine la probabilidad de que, en un volumen de cinco
cm3 , se encuentren por lo menos 2 bacterias. Debe definir una
variable e identificar, justificando, su modelo.
b) Halle la probabilidad de que el volumen de agua que se debe
revisar hasta ubicar la primera bacteria esté entre 5 y 10 cm3 .
Ejercicio 5.23.
Sea X una variable aleatoria con modelo probabilı́stico normal, con
media µX y desviación estándar σX .
a) Obtenga el valor de la probabilidad P ( | X − µX | ≤ 2σX ).
b) Use la técnica de cambio de variable para demostrar la
propiedad de estandarización.
c) Use la técnica de cambio de variable para demostrar la
propiedad de cerradura del modelo normal respecto con
respecto a transformaciones lineales.
d) Use la técnica de cambio de variable, para demostrar que el
cuadrado de la variable estandarizada de X tiene distribución
gamma con parámetros α = β = 12 .
248
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Ejercicio 5.24.
El precio de una unidad del bien A es una variable aleatoria X con
modelo normal de media 30 soles y desviación estándar 4 soles. El
precio de una unidad del bien B es una variable aleatoria Y con
modelo normal de media 20 soles y desviación estándar 3 soles. Estas
dos variables son independientes.
a) Halle la probabilidad de que el precio de una unidad del bien
A sea mayor que 25 soles.
b) Se debe comprar una unidad del bien A y otra del bien B; halle
la probabilidad de que 55 soles sean suficientes.
c) Halle la probabilidad de que el precio de una unidad del bien
A sea mayor que el de una del bien B.
d) Halle la probabilidad de que el precio de una unidad del bien
A sea mayor que dos del bien B.
e) Se debe comprar una unidad del bien A y dos del bien B; halle
la probabilidad de que 60 soles sean suficientes.
Ejercicio 5.25.
La distribución de los tiempos necesarios para que las personas se
recuperen de la dolencia A se considera normal con media 14,5 horas
y desviación estándar 3 horas; mientras que el tiempo necesario
correspondiente a la recuperación de la dolencia B se considera
normal con media 13,5 horas y cuarto inferior a partir de 15 horas.
Suponiendo que existe independencia entre ambos tiempos:
249
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
a) Determine el porcentaje de personas que se recuperan de la
dolencia A después de 11 horas.
b) Determine la cantidad de horas, t, que deberı́a disminuir el
tiempo de recuperación de cada persona para reducir en 25
el porcentaje de personas que se recuperan de la dolencia A
después de 11 horas.
c) Halle la desviación estándar de los tiempos de recuperación de
la dolencia B.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos tiempos de recuperación
sean mayores que 11 horas?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de los tiempos de
recuperación de ambas dolencias, para una persona, sea mayor
que 11 horas?
f) ¿Cuál es el porcentaje de personas que se recuperan de la
dolencia A en mayor tiempo que el correspondiente a la dolencia
B?
Ejercicio 5.26.
En una operación financiera la tasa de rentabilidad, R, se considera
una variable aleatoria con distribución normal de media 0,05 y
desviación estándar 0,25.
a) Determine la probabilidad de que la tasa de rentabilidad R,
asociada a esta operación financiera, sea superior a 0,3.
b) Halle el valor en riesgo (VaR) de un grado de confianza del
95 %. Vea el ejercicio 4.28
250
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
c) Determine la probabilidad de que el factor de capitalización
W = 1 + R, asociado a esta operación, sea superior a 1,25.
d) Un inversionista coloca un capital de 10 unidades monetarias
(um), en esta operación financiera, a fin de ganar por lo menos
5,5 um. Cuantifique el riesgo que afrontará.
e) En el contexto de la parte anterior, determine cuál debe ser el
monto del capital que deberá colocar el inversionista para que,
con una probabilidad de 0,95 o más, la pérdida no pase de 5,5
um
f) Suponga que se realizan dos operaciones independientes con
estas caracterı́sticas, pero una de 10 um y la otra de 20 um
f1 ) Determine la probabilidad de que, R1 , la rentabilidad de
la primera inversión, sea menor o igual que 0,95.
f2 ) Determine la probabilidad de que, R2 , la rentabilidad de
la segunda inversión, sea mayor que 1,02.
f3 ) Halle la probabilidad que la suma de los capitales finales
sea por lo menos 30 um.
g) El capital acumulado al cabo de una gran cantidad de estas
operaciones tiene distribución lognormal con media 60,34 um
y desviación estándar 28,39 um. Determine la probabilidad de
que un capital inicial de 20 um genere más de 50 um de utilidad.
Ejercicio 5.27.
El modelo probabilı́stico de Pareto se usa para describir los ingresos,
su densidad es de la forma f (x) = α x−β , x > 0, donde α > 0 y β > 0
los parámetros del modelo.
251
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
a) Bosqueje, lo más precisamente posible, la gráfica de dicha
densidad.
b) Encuentre una fórmula explı́cita para la distribución acumulada.
c) Encuentre fórmulas explı́citas para la media y la desviación
estándar.
d) Determine la probabilidad de que el ingreso de una persona sea
superior a la media.
Ejercicio 5.28.
La distribución de los salarios en el sector A se considera normal con
una media de 1 450 soles y una desviación estándar de 300 soles. En
el sector B la distribución de los ingresos es normal con media 1 350
soles; además el 25 % de los asalariados gana más de 1 500 soles.
a) Determine el porcentaje de asalariados, en el sector A, que
ganan más de 1 100 soles.
b) Determine el percentil 75 de la distribución de los salarios en el
sector A.
c) ¿En cuál sector los salarios son menos variables?
d) Un promotor de créditos visita a una pareja de asalariados,
uno del sector A y el otro del B, para ofrecerles un crédito
que requiere un salario conjunto de por lo menos 2 500 soles.
¿Cuál es la probabilidad de que esta pareja cumpla el requisito
anterior para poder acceder al crédito? Asuma que los salarios
son independientes.
252
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
e) Se escoge al azar un asalariado de la ciudad A y otro de la B.
Determine la probabilidad de que el de la ciudad A gane más.
Asuma que los salarios son independientes.
f) En el contexto de la parte anterior, determine la probabilidad
de que ambos salarios se diferencien en 200 soles, como máximo.
Ejercicio 5.29.
Se realizarán 100 operaciones financieras, en cada una se invertirá 10
um , las tasas de rentabilidad correspondientes son variables aleatorias con modelos probabilı́sticos desconocidos; pero estas son independientes, cada una de las primeras 25 tiene una media de 0,01, y
cada una de las restantes 75 una media de 0,02. Cada tasa tiene una
desviación estándar de 0,3. Halle la probabilidad de que el capital
final esté entre 950 y 1100 um.
Ejercicio 5.30.
Para el ingreso familiar en una región se considera un modelo
lognormal con media 1,65 miles de soles y desviación estándar
2,16 miles de soles. En la tabla siguiente se muestra información
incompleta respecto a estos ingresos:
x
F (x)
0
0
0,5
0,2441
0,75
0,3868
1
---
1,5
---
2
---
2,5
---
4
---
8
0,9812
9
0,9860
x es un valor del ingreso familiar y F (x) la proporción de familias
con ingresos hasta x.
a) ¿El modelo parece estar en armonı́a con los datos?
253
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
b) Complete la tabla dada, a partir del modelo dado.
c) ¿Cuál es la proporción de familias con ingresos superiores a 5
mil soles?
Ejercicio 5.31.
La rentabilidad de la operación financiera AA es una variable X ∼
N (0; 0,12 ); mientras que la correspondiente a la operación BB es
Y ∼ N (0; 0,22 ), con X e Y independientes.
a) Determine el valor en riesgo (VaR), de la operación AA, de un
grado de confianza del 95 %; es decir, determine el valor x tal
que al invertir en AA, se tenga una probabilidad de 0,95 de que
la peor rentabilidad sea -x.
b) Un inversionista va a invertir un capital de 10 unidades
monetarias (um), con el objetivo de ganar por lo menos 0,25
um
b1 ) Determine cuál de las opciones siguientes le resultarı́a más
confiable:
b11 ) Invertir todo el capital en la operación AA.
Note que en este caso la ganancia resulta 10X.
b12 ) Invertir todo el capital en la operación BB.
b13 ) Invertir 6 um en la operación AA y las otras 4 um en
la BB.
Note que en este caso la ganancia resulta 4X + 6Y .
b2 ) Determine, de ser posible, en qué cantidades debe distribuir el inversionista las 10 um entre las dos operaciones,
para tener una confianza del 45 % de lograr su objetivo.
254
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Note que en este caso la ganancia resulta aX + (10 − a)Y ,
con a y 10−a las inversiones en AA y BB, respectivamente.
También recuerde que las soluciones de la
ecuación
√
−B+ B 2 −4AC
2
cuadrática
Ax + Bx + C = 0, son
y
2A
√
−B− B 2 −4AC
.
2A
Ejercicio 5.32.
Un inversionista compra hoy dia un activo financiero, con la
expectativa de que al cabo de 4 meses su precio sea de por lo menos
5 mil soles y ası́ vender el activo adquirido.
Considere que el precio del activo, en miles de soles, luego de t meses
es una variable aleatoria, Yt , descrita por el modelo de precios de
Black-Scholes 3 siguiente:
Yt = 0,005 exp(1,92t + 0,2Xt ),
con Xt ∼ N (0; t), para t > 0.
a) Evalúe el riesgo que correrá el inversionista.
Recuerde que para b > 0: exp(a) ≤ b ⇔ a ≤ Ln(b).
b) ¿Serı́a conveniente para el inversionista no esperar hasta el
cuarto mes, sino vender el activo luego de 2 meses solamente?
Responda a partir de probabilidades.
Ejercicio 5.33.
El capital acumulado al cabo de una gran cantidad de operaciones
financieras tiene una distribución lognormal, su media es de 60 um y
su desviación estándar de 28 um.
3
Veáse Lars Tyge Nielsen (1999), ejemplo 1.7, pág. 13.
255
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
a) Encuentre los parámetros de este modelo lognormal.
b) Halle la probabilidad de que un capital inicial de 20 um genere
más de 25 um de utilidad.
Ejercicio 5.34.
Los ingresos (en miles de soles), de los trabajadores de cierto sector,
son explicados por un modelo lognormal con parámetros µ = 3 y
σ 2 = 1.
a) Determine la probabilidad de que un trabajador gane 55 mil
soles o menos.
b) Halle la media y la desviación estándar de los ingresos en este
sector.
Ejercicio 5.35.
Sea X ∼ b(n; p).
a) Verifique, calculando, que MX (t) = E(etX ) = (pet +q)n , ∀t ∈
n n i n−i
Recuerde que (a + b)n =
.
i a b
.
i=0
b) Halle E(X) y E(X 2 ), a partir de la función generadora de
momentos.
c) Si Y = n − X, halle MY .
Recuerde la propiedad: si Y = a + bX, entonces, MY (t) =
e a t MX (bt).
d) Si Y = n − X, demuestre que X ∼ b(n; q).
256
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Use el resultado de la parte anterior y la propiedad por la que
la función generadora de momentos determina unı́vocamente el
modelo o distribución de la variable.
Ejercicio 5.36.
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros n = 1 y p.
a) Deducir la función generadora de momentos de X.
b) Use la función generadora de X para obtener E(X) y E(X 2 ).
c) Si X1 , . . . , Xn es una muestra aleatoria de X, deducir el modelo
de X1 + · · · + Xn , a partir de su función generadora de
momentos.
Ejercicio 5.37.
Sea X una variable aleatoria con distribución gamma de parámetros
α y β.
a) Demuestre que la función generadora de momentos de este
modelo está dada por:
MX (t) =
βα
, t < β.
(β − t)α
b) Sea Y = b X, con b > 0. Use la técnica de cambio de variable
para obtener fY : la función de densidad de Y. Luego identifique
el modelo obtenido.
c) Sea Y = b X, con b > 0. Use la técnica de la función generadora
de momentos para obtener el modelo probabilı́stico de Y.
257
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
d) Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias independientes y cada
una con modelo probabilı́stico gamma con primeros parámetros
α1 , . . . , αn , respectivamente, y segundos parámetros iguales a
β. Use la técnica de la función generadora de momentos para
determinar el modelo probabilı́stico (con sus parámetros) de
X1 + · · · + Xn .
e) Use la función generadora de X para obtener E(X) y E(X 2 ).
Ejercicio 5.38.
Sea X una variable aleatoria con distribución exponencial de
parámetro β.
a) Sea Y = b X, con b > 0. Use la técnica de cambio de variable
para obtener fY : la función de densidad de Y. Luego identifique
el modelo obtenido.
b) Halle la función generadora de X. Use la definición y propiedades del valor esperado.
c) Sea Y = b X, con b > 0. Use la técnica de la función generadora
de momentos para obtener el modelo probabilı́stico de Y.
d) Sean X1 , . . . , Xn variables anteriores independientes y cada
una con modelo probabilı́stico exponencial de parámetro β.
Use la técnica de la función generadora de momentos para
determinar el modelo probabilı́stico (con sus parámetros) de
X1 + · · · + Xn . Para esto último vea el resultado del ejercicio
siguiente.
258
Profesor José Flores Delgado
Modelos probabilı́sticos importantes
Ejercicio 5.39.
Sea X una variable aleatoria con distribución de Poisson de
parámetro λ.
a) Deducir la función generadora de momentos de X.
b) Use la función generadora de X para obtener E(X) y E(X 2 ).
c) Si X1 , . . . , Xn es una muestra aleatoria de X, deducir el modelo
de X1 + · · · + Xn , a partir de su función generadora de
momentos.
Ejercicio 5.40.
Sea X una variable aleatoria con distribución de Pascal con
parámetros r y p.
a) Deducir la función generadora de momentos de X.
b) Si X1 , . . . , Xn es una muestra aleatoria de X, deducir el modelo
de X1 + · · · + Xn , a partir de su función generadora de
momentos.
c) Use la función generadora de X para obtener E(X) y E(X 2 ).
Ejercicio 5.41.
Sea X ∼ g(p).
a) Verifique, calculando, que MX (t) = E(etX ) =
Recuerde que si 0 < r < 1 :
∞
i=1
259
ri =
r
1−r
.
pet
1−qet
, t < −ln q.
Profesor José Flores Delgado
Estadı́stica
b) Si X1 , . . . , Xn son independientes, determine el modelo probabilı́stico X1 + · · · + Xn , a partir de su función generadora.
Ejercicio 5.42.
Sea X una variable aleatoria con modelo probabilı́stico normal, media
igual a µ y varianza igual a σ 2 . Determine, de ser posible, el valor de
la constante c tal que
P ( | X − µ | ≤ cσ ) = 0,95.
Recuerde que |a| ≤ b ⇔ − b ≤ a ≤ b.
F (−z) = 1 − F (z).
Z
Z
260
Además, Z ∼ N (0; 1) ⇒
Profesor José Flores Delgado
Referencias bibliográficas
261
Referencias bibliográficas
BENJAMIN, Jack, y CORNELL, Allin
1970 Probability, Statistics and Decision for Civil Engineers. New
York: McGraw-Hill.
COWELL, Frank
1995 Measuring inequality. Londres: Prentice Hall.
DEL PINO, Guido
2000 Estadı́stica Teorı́a y Métodos. Santiago de Chile: Ediciones
Universidad Católica.
LARSON, Harold
1989 Introducción a la Teorı́a de Probabilidades e Inferencia
Estadı́stica. México D.F.: Limusa.
MUÑOZ, Alejandro
2002 Ingenierı́a sismorresistente. Lima: PUCP.
NIELSEN , Lars Tyge
1999 Pricing and hedging of derivate securities. Nueva York: Oxford
University Press.
PARZEN, Emanuel
1960 Modern probability theory and its applications. Nueva York:
Willey.
261
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