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L'�preuve �crite de maths concours 2023-2024

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TOTA L
CR
PE
L’épreuve écrite de
Concours
20232024
2e édition
MATHS
•
•
•
•
Tout le cours pour réviser
Méthodologie et conseils
Tout pour s’entraîner
Annales 2022 corrigées
Thomas Petit
Collecon dirigée par Philippe-Jean Quillien
Concour s
L’épreuve écrite de
2023
20 24
MATHS
2e édion
Thomas Pet
Professeur agrégé de Mathémaques
ISBN 9782340-070028
©Ellipses Édition Marketing S.A., 2022
8/10 rue la Quintinie 75015 Paris
Table des maères
Avant-propos ..................................................................................................... 11
1. Se préparer à l’épreuve.................................................................................................12
2. Méthodologie de l’épreuve ...........................................................................................13
3. Les stratégies gagnantes .............................................................................................. 14
Pare 1. Nombres
Chapitre 1.
Calcul mental ................................................................................ 17
1. Addition mentale ..........................................................................................................17
A. Rappels ................................................................................................................................... 17
B. Exemples.................................................................................................................................18
2. Soustraction mentale....................................................................................................19
A. Rappels ...................................................................................................................................19
B. Exemples.................................................................................................................................20
3. Multiplication mentale ................................................................................................. 21
A. Rappels ...................................................................................................................................21
B. Exemples.................................................................................................................................22
4. Division mentale ..........................................................................................................23
A. Rappels ...................................................................................................................................23
B. Exemples.................................................................................................................................24
5. Pourcentage mental ...................................................................................................... 24
A. Rappels ...................................................................................................................................24
B. Exemples.................................................................................................................................25
n Exercices .....................................................................................................................................26
Corrigés ...........................................................................................................................................................................28
Chapitre 2.
Calcul posé.................................................................................... 31
1. Addition posée ............................................................................................................. 31
A. Nombres entiers .....................................................................................................................31
B. Nombres décimaux .................................................................................................................32
2. Soustraction posée .......................................................................................................33
A. Nombres entiers .....................................................................................................................33
B. Nombres décimaux .................................................................................................................34
3
3. Multiplication posée.....................................................................................................35
A. Nombres entiers .....................................................................................................................35
B. Nombres décimaux .................................................................................................................38
4. Division posée ..............................................................................................................39
A. Nombres entiers .....................................................................................................................39
B. Nombres décimaux .................................................................................................................43
n Exercices ........................................................................................................................................................44
Corrigés ...........................................................................................................................................................................45
Chapitre 3.
Arithméque des nombres eners ............................................... 49
1. Multiple ........................................................................................................................49
2. Diviseurs, division euclidienne ...................................................................................50
3. Critères de divisibilité ..................................................................................................52
4. Nombres premiers ........................................................................................................ 53
5. PGCD et PPCM............................................................................................................54
n Exercices .....................................................................................................................................56
Corrigés ...........................................................................................................................................................................58
Chapitre 4.
Fracons et pourcentages ............................................................. 63
1. Règles de calculs sur les fractions ............................................................................... 63
A. Les huit règles fondamentales ...............................................................................................63
B. Exemples.................................................................................................................................64
2. Simplicationsdefractions .........................................................................................66
A. Principes de base ...................................................................................................................66
B. Exemples.................................................................................................................................66
3. Ajouter et soustraire des fractions ............................................................................... 67
A. Rappels ...................................................................................................................................67
B. Exemples.................................................................................................................................67
4. Valeurs exactes, valeurs approchées de fractions .......................................................69
A. Rappels ...................................................................................................................................69
B. Exemples.................................................................................................................................69
5. Pourcentages ................................................................................................................71
A.
B.
C.
D.
Calculer un pourcentage .......................................................................................................71
Utiliser un pourcentage .........................................................................................................71
Traduire une augmentation par un pourcentage ..................................................................72
Traduire une diminution par un pourcentage .......................................................................72
n Exercices .....................................................................................................................................73
Corrigés ...........................................................................................................................................................................77
Chapitre 5.
Puissances et racines carrées ........................................................ 83
1. Règles de calculs sur les puissances ............................................................................ 83
A. Les huit règles fondamentales ...............................................................................................83
B. Exemples.................................................................................................................................84
2. Puissancesdedix,écriturescientique,approximations ...........................................86
A. Puissances de dix ...................................................................................................................86
B. Ecriturescientique...............................................................................................................88
C. Approximations d’un nombre ................................................................................................89
4
3. Règles de calculs sur les racines carrées .....................................................................90
A. Les carrés parfaits .................................................................................................................90
B. Lesquatrerèglesfondamentales ...........................................................................................90
n Exercices .....................................................................................................................................92
Corrigés ...........................................................................................................................................................................94
Chapitre 6.
Changements d’unités .................................................................. 97
1. Unités de longueur .......................................................................................................97
A. Le tableau des unités de longueur .........................................................................................97
B. Exemples.................................................................................................................................97
2. Unités de masse............................................................................................................99
A. Le tableau des unités de masse ..............................................................................................99
B. Exemple ..................................................................................................................................99
3. Unités de temps .......................................................................................................... 100
A. Années, jours, heures, minutes et secondes ........................................................................100
B. Exemples...............................................................................................................................100
4. Unités de surface........................................................................................................ 101
A. Le tableau des unités de surface.......................................................................................... 101
B. Exemples............................................................................................................................... 101
5. Unités de volume........................................................................................................102
A. Le tableau des unités de volume ..........................................................................................102
B. Cas particuliers des litres, décilitres, centilitres, millilitres .............................................103
6. Grandeurs produits ....................................................................................................104
7. Grandeursquotients ...................................................................................................105
A. Vitesse moyenne ...................................................................................................................105
B. Massevolumique .................................................................................................................. 106
C. Consommation .....................................................................................................................107
n Exercices ...................................................................................................................................108
Corrigés .........................................................................................................................................................................110
Chapitre 7.
Proporonnalité ......................................................................... 119
1. Règle de trois.............................................................................................................. 119
A. Ramener à l’unité ................................................................................................................. 119
B. Utiliser un produit en croix .................................................................................................120
2. Règle de trois inversée ............................................................................................... 121
n Exercices ................................................................................................................................... 122
Corrigés .........................................................................................................................................................................124
Chapitre 8.
Nombres réels, calcul liéral et algébrique ................................. 127
1. Nombres réels ............................................................................................................127
2. Priorité des opérations ...............................................................................................130
3. Développements ......................................................................................................... 131
A. Sansidentitéremarquable ................................................................................................... 131
B. Aveclesidentitésremarquables .......................................................................................... 133
4. Factorisations .............................................................................................................134
A. Sansidentitéremarquable ................................................................................................... 134
B. Aveclesidentitésremarquables .......................................................................................... 135
5
5. Résolutiond’équations ............................................................................................... 136
A. Les six règles de base...........................................................................................................136
B. Exemples...............................................................................................................................136
6. Résolutiond’inéquations............................................................................................138
A. Lesquatrerèglesdebase ....................................................................................................138
B. Exemples...............................................................................................................................139
n Exercices ................................................................................................................................... 141
Corrigés .........................................................................................................................................................................144
Pare 2. Géométrie classique
Chapitre 9.
Figures élémentaires du plan ...................................................... 151
1. Angles ........................................................................................................................ 151
2. Triangles..................................................................................................................... 152
A. Droitesremarquablesdutriangle ....................................................................................... 152
B. Trianglesremarquables ....................................................................................................... 152
C. Périmètre et aire d’un triangle ............................................................................................ 153
3. Quadrilatères..............................................................................................................154
A. Quadrilatères particuliers...................................................................................................154
B. Caractérisation par les diagonales ..................................................................................... 154
C. Périmètreetairedequadrilatèresparticuliers ..................................................................155
4. Cercle .........................................................................................................................156
A. Périmètre et aire d’un cercle ............................................................................................... 156
B. Théorèmes de l’angle inscrit et de l’angle au centre .......................................................... 156
n Exercices ................................................................................................................................... 157
Corrigés .........................................................................................................................................................................163
Chapitre 10. Théorème de Pythagore ............................................................. 171
1. Théorème de Pythagore ............................................................................................. 172
A. Énoncé .................................................................................................................................. 172
B. Exemples............................................................................................................................... 172
2. RéciproqueduthéorèmedePythagore...................................................................... 175
A. Énoncé .................................................................................................................................. 175
B. Exemple ................................................................................................................................ 175
3. Contraposée du théorème de Pythagore .................................................................... 176
A. Énoncé .................................................................................................................................. 176
B. Exemples............................................................................................................................... 176
n Exercices ................................................................................................................................... 178
Corrigés .........................................................................................................................................................................180
Chapitre 11. Théorème de Thalès ................................................................... 185
1. Théorème de Thalès ................................................................................................... 186
A. Énoncé ..................................................................................................................................186
B. Exemple ................................................................................................................................187
6
2. RéciproqueduthéorèmedeThalès ........................................................................... 189
A. Énoncé .................................................................................................................................. 189
B. Exemple ................................................................................................................................ 189
3. Contraposée du théorème de Thalès..........................................................................190
A. Énoncé ..................................................................................................................................190
B. Exemple ................................................................................................................................ 191
n Exercices ................................................................................................................................... 192
Corrigés .........................................................................................................................................................................197
Chapitre 12. Réducons et agrandissements .................................................. 201
1. Constructions ............................................................................................................. 201
A. Constructiond’uneréductiondegure ..............................................................................201
B. Constructiond’unagrandissementdegure......................................................................202
2. Effets sur les longueurs..............................................................................................203
3. Effets sur les surfaces ................................................................................................204
4. Effets sur les volumes ................................................................................................205
n Exercices ...................................................................................................................................206
Corrigés .........................................................................................................................................................................209
Chapitre 13. Trigonométrie ............................................................................. 213
1. Cosinus, sinus et tangente.......................................................................................... 214
A. La formule SOHCAHTOA .................................................................................................... 214
B. Exemple ................................................................................................................................ 215
2. Applicationsclassiques .............................................................................................. 216
A. Calculs d’angles ................................................................................................................... 216
B. Calculs de longueurs ........................................................................................................... 217
n Exercices ...................................................................................................................................220
Corrigés .........................................................................................................................................................................223
Chapitre 14. Transformaons.......................................................................... 227
1. Translation..................................................................................................................227
2. Rotation ......................................................................................................................228
3. Symétrie centrale .......................................................................................................228
4. Symétrie axiale ..........................................................................................................229
n Exercices ...................................................................................................................................230
Corrigés .........................................................................................................................................................................231
Chapitre 15. Solides élémentaires de l’espace ................................................ 233
1. Les solides « pointus » ...............................................................................................234
A. Quelssont-ils ? .....................................................................................................................234
B. Leur volume ..........................................................................................................................234
C. Exemples...............................................................................................................................234
2. Les solides « à deux bases » ......................................................................................236
A. Quelssont-ils ? ..................................................................................................................... 236
B. Leur volume ..........................................................................................................................236
C. Exemples...............................................................................................................................236
7
3. La sphère ....................................................................................................................238
A. Son volume ...........................................................................................................................238
B. Exemple ................................................................................................................................239
n Exercices ...................................................................................................................................240
Corrigés .........................................................................................................................................................................246
Pare 3. Repères, graphiques et foncons
Chapitre 16. Repères....................................................................................... 253
1. Coordonnées d’un point .............................................................................................253
A. Lecture des coordonnées d’un point ...................................................................................253
B. Placement d’un point à partir de ses coordonnées.............................................................255
2. Coordonnées d’un milieu ........................................................................................... 256
A. Formule ................................................................................................................................256
B. Exemple ................................................................................................................................256
3. Longueur d’un segment .............................................................................................257
A. Formule ................................................................................................................................257
B. Exemple ................................................................................................................................257
n Exercices ................................................................................................................................... 259
Corrigés .........................................................................................................................................................................260
Chapitre 17. Foncons .................................................................................... 263
1. Fonction et courbe......................................................................................................263
2. Image .......................................................................................................................... 264
A. Lecturegraphiqued’image .................................................................................................264
B. Calculalgébriqued’image ..................................................................................................265
3. Antécédent .................................................................................................................266
A. Lecturegraphiqued’antécédent..........................................................................................266
B. Calculalgébriqued’antécédent ..........................................................................................267
4. Fonction croissante, fonction décroissante ................................................................ 268
A. Fonction croissante ..............................................................................................................268
B. Fonction décroissante ..........................................................................................................268
5. Minimum, maximum d’une fonction ........................................................................269
A. Minimum d’une fonction ......................................................................................................269
B. Maximum d’une fonction .....................................................................................................270
6. Fonctionlinéaire,fonctionafne ..............................................................................272
A. Fonction linéaire ..................................................................................................................272
B. Fonctionafne .....................................................................................................................273
n Exercices ................................................................................................................................... 275
Corrigés .........................................................................................................................................................................279
8
Pare 4. Stasques et probabilités
Chapitre 18. Calcul stasque ........................................................................ 287
1. Moyenne ..................................................................................................................... 287
2. Étendue .......................................................................................................................288
3. Médiane ......................................................................................................................289
n Exercices ...................................................................................................................................290
Corrigés .........................................................................................................................................................................292
Chapitre 19. Calcul des probabilités ................................................................ 295
1. Vocabulaire ................................................................................................................295
2. Expériencesaléatoiresclassiquesàunseulacte ....................................................... 296
A. Lancer de pièce, de dé .........................................................................................................296
B. Tirage d’une carte, tirage d’une boule dans une urne .......................................................296
C. Choix d’une personne (à partir d’un tableau croisé d’effectifs) ........................................297
3. Expériences aléatoires à plusieurs actes....................................................................299
n Exercices ................................................................................................................................... 301
Corrigés .........................................................................................................................................................................304
Pare 5. Tableurs et programmaon
Chapitre 20. Tableurs ...................................................................................... 311
1. Présentation d’un tableur ........................................................................................... 311
A. Se repérer sur une feuille de calcul ..................................................................................... 312
B. Remplir une cellule .............................................................................................................. 312
2. Les instructions incontournables d’un tableur .......................................................... 315
3. L’adressage absolu et les dollars ($) .......................................................................... 316
n Exercices ................................................................................................................................... 318
Corrigés .........................................................................................................................................................................321
Chapitre 21. Programmaon ........................................................................... 323
1. Labyrinthes ................................................................................................................323
2. Figures ........................................................................................................................325
3. Calcul .........................................................................................................................326
n Exercices ................................................................................................................................... 327
Corrigés .........................................................................................................................................................................331
Formulaire CRPE............................................................................................... 335
9
Pare 6. Sujets du groupement académique
Sujet 1. Sujet du groupement académique .................................................... 345
n Énoncé ......................................................................................................................................345
Corrigé ........................................................................................................................................................................... 355
Sujet 2. Sujet du groupement académique .................................................... 365
n Énoncé ......................................................................................................................................365
Corrigé ........................................................................................................................................................................... 373
Sujet 3. Sujet du groupement académique .................................................... 385
n Énoncé ......................................................................................................................................385
Corrigé ...........................................................................................................................................................................394
10
Avant-propos
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Nombres
Chapitre 1
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19
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20
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21
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22
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23

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
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 
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
24
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28
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29
Chapitre 2
Calcul posé
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
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        
 

 
               
 


           

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        

31

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
 
        
 

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
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
             
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
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
   
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



([HPSOH   

   
      
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
32
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

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
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 
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 
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 


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33
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36
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    
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             

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          
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43

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44
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45
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46
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47
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48
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Chapitre 3
Arithméque
des nombres eners
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
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  

  


      
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              
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
49
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           
          
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51
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Chapitre 4
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71
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72
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73
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74
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75
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80
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81
Chapitre 5
Puissances
et racines carrées
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
   
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
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95
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
96
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Chapitre 6
Changements
d’unités
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        
 

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
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>ĞƚĂďůĞĂƵĚĞƐƵŶŝƚĠƐĚĞůŽŶŐƵĞƵƌƐ

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97
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103
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  
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104
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114
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115
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116
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      
    
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              
          

     
       
           
     

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

117
Chapitre 7
Proporonnalité
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          
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119
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120
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121
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
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122
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123
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                
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124
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126
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Chapitre 8
Nombres réels, calcul
liéral et algébrique
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127
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128
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
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129
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


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                
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
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130

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
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
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                            
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

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
131
      
                   
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        
                   
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       
                    
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       
                    
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         
                                     
                 
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           
                                    
                   

         
                                   
                


132

           
                                     
                  








              
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            
              

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
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
       
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

                       

                        
                


133
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
      
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         
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



                             
                              

                       


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143
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144
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145
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146
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148
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Pare 2
Géométrie
classique
Chapitre 9
Figures élémentaires
du plan
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153
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Chapitre 10
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Théorème de Pythagore
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Chapitre 11
Théorème de Thalès
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200
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Chapitre 12
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Réducons
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206
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210
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211
Chapitre 13
Trigonométrie
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213
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214
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215
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216
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223
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224
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225
Chapitre 14
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227
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228
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230
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
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231
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232
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Chapitre 15
Solides élémentaires
de l’espace
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         

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
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


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
         
          
   

233
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234
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       

  

   
  


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
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 
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

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
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248
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249
Pare 3
Repères, graphiques
et foncons
Chapitre 16
Repères
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260
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261
Chapitre 17
Foncons
L’élaboration de la notion de fonction fut très longue et démarra dans
l’Antiquité. Plus tard, Newton et Leibniz auront une importance décisive dans
son aboutissement. Voici ce qu’il faut bien connaître dans ce domaine.
1. Fonction et courbe
 Définition
Une fonction f est un « procédé », qui à chaque nombre x fait correspondre un
unique nombre f  x  . f  x  est alors appelée image de x par f.
 Notation
La fonction f est aussi notée f : x  f  x  et se prononce « fonction f qui à x
associe f  x  ».
 Définition
On appelle courbe représentative de la fonction f l’ensemble des points
M  x, y tels que y  f  x  .
 Notation
La courbe représentative de la fonction f est notée Cf .
251
263
2. Image
A. Lecture graphique d’image
 Principe
Les images se lisent en ordonnées, c’est-à-dire sur l’axe vertical (si on demande
l'image de 2 par exemple, on place 2 en abscisse [axe horizontal] et on lit
l'ordonnée correspondante).
Commentaire
Il y a au maximum une et une seule image !
 Exemple : On considère la courbe Cf ci-dessous :
Déterminer l’image de 2 par la fonction f.
252
264
 On place 2 en abscisse, et on lit l’ordonnée correspondante :
L’image de 2 par f vaut 3, on a donc : f  2   3 .
B. Calcul algébrique d’image
 Principe
Pour calculer l'image de 2 par f (par exemple), c'est-à-dire calculer f  2  , on
remplace x par 2 dans l'expression de f  x  .
 Exemple : On considère la fonction f définie par : f  x   x 2  5x 1, 6 .
Calculer l’image de 2.
 On a f  x   x 2  5x  1, 6 donc f  2   22  5 2  1,6  4  10  1,6  15,6 .
Ainsi l’image de 2 par f vaut 15,6, on a : f  2   15, 6 .
253
265
3. Antécédent
A. Lecture graphique d’antécédent
 Principe
Les antécédents se lisent en abscisses, c’est-à-dire sur l’axe horizontal (si on
demande un antécédent de 4 par exemple, on place 4 en ordonnée [axe vertical]
et on lit l’abscisse correspondante.
Commentaire
Il peut y avoir plusieurs antécédents !
 Exemple : On considère la courbe Cf ci-dessous :
Déterminer les antécédents de 4 par la fonction f.
254
266
 On place 4 en ordonnée, et on lit les abscisses correspondantes :
4 admet pour antécédents : 1 , 1 et 3.
B. Calcul algébrique d’antécédent
 Principe
Pour déterminer un antécédent de 9 par f (par exemple), on résout l’équation
f  x  9 .
 Exemple : On considère la fonction f définie par : f  x   x 2 . Calculer les
antécédents de 9.
 On résout l’équation f  x   9 c’est-à-dire x 2  9 .
Or x 2  9 équivaut à x  9 ou x   9 c’est-à-dire x  3 ou x   3 .
Ainsi 9 admet pour antécédents 3 et 3 .
255
267
4. Fonction croissante, fonction décroissante
A. Fonction croissante
 Définition
La fonction f est croissante si a  b entraîne f  a   f b  (ordre conservé) ;
B. Fonction décroissante
 Définition
La fonction f est décroissante si a  b entraîne f  a  f  b (ordre renversé) ;
Commentaire
Ainsi, une fonction croissante conserve l’ordre alors qu’une fonction
décroissante le renverse.
256
268
5. Minimum, maximum d’une fonction
A. Minimum d’une fonction
 Définition
La fonction f admet m comme minimum si pour tout x, f  x   m .
 Exemple : Soit f la fonction f dont la courbe est ci-dessous.
Déterminer la valeur du minimum de f.
257
269
 Complétons la courbe en repérant le « point le plus bas » :
La fonction f admet pour minimum 1.
B. Maximum d’une fonction
 Définition
La fonction f admet M comme maximum si pour tout x, f  x   M .
258
270
 Exemple : Soit f la fonction f dont la courbe est ci-dessous.
Déterminer la valeur du maximum de f.
 Complétons la courbe en repérant le « point le plus haut » :
La fonction f admet pour maximum 5.
259
271
6. Fonction linaire, fonction affine
A. Fonction linéaire
 Définition
Une fonction linéaire est une fonction de la forme x  ax . Le coefficient a est
appelé pente (ou coefficient directeur).
 Propriétés
1) La courbe représentative d’une fonction linaire est une droite
(d’équation y  ax ) qui passe par l’origine.
2) Si a  0 , la fonction linéaire x  ax est croissante (droite qui
« monte »).
Si a  0 , la fonction linéaire x  ax est décroissante (droite qui
« descend »).
Si a  0 , la fonction linéaire est constante (droite horizontale
d’équation y  0 ).
3) Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.
 Exemple : Le tarif d’un billet de train, en euros, est proportionnel au nombre
de km parcourus. Sachant qu’un billet de train d’un trajet de 100 km est
facturé 15 € :
1) Déterminer la fonction linéaire f, de variable x exprimée en km, associée
au tarif d’un billet de train exprimé en euros.
2) En déduire le tarif d’un billet de train d’un trajet de 160 km.

1) Considérons l’expression f  x   ax de la fonction linéaire f.
260
272
15
 0,15 .
100
Ainsi la fonction linéaire associée est f : x  f x   0,15x .
Comme f 100  15 , on a : a 100  15 ce qui donne a 
2) Le tarif d’un billet de train d’un trajet de 160 km est donc de :
f 160  0,15 160  24 (euros).
B. Fonction affine
 Définition
Une fonction affine est une fonction de la forme x  ax  b . Le coefficient a
est appelé pente (ou coefficient directeur) et le coefficient b est appelé ordonnée
à l’origine.
 Propriétés
1) La courbe représentative d’une fonction affine est une droite
(d’équation y  ax  b ) qui passe par le point de coordonnées  0;b  .
2) Si a  0 , la fonction affine x  ax  b est croissante (droite qui
« monte »).
Si a  0 , la fonction affine x  ax  b est décroissante (droite qui
« descend »).
Si a  0 , la fonction affine x  ax  b est constante (droite horizontale
d’équation y  b ).
 Exemple : Le tarif d’un trajet en taxi est constitué d’une « base » de 8 € (dès
qu’on monte dans le taxi) auquel il faut ajouter 1,50 € la minute.
1) Déterminer la fonction affine g associée au tarif du trajet où x est
exprimée en minutes et g  x  exprimé en euros.
2) En déduire le tarif en euros d’une course en taxi de vingt minutes.
261
273

1) Considérons l’expression g  x   ax  b de la fonction affine g.
Comme g  0  8 (car une course de 0 minutes coûte 8 euros, la base),
on a a  0  b  8 c’est-à-dire b  8 .
Comme g 1  8  1,50  9,50 (car une course d’une minute coûte 1,50
€ auquel il faut ajouter la base de 8 €), on a a  1  b  9,50 c’est-à-dire
a  8  9,50 c’est-à-dire a  9,50  8  1,50 .
Ainsi la fonction affine associée est x  g  x   1,50x  8 .
2) Une course de vingt minutes sera facturée :
g  20   1,50 20  8  30  8  38 (euros).
262
274
Exercices
Exercice 17.1
On considère la courbe Cf ci-dessous :
1) Déterminer l’image par la fonction f de :
a) 2
b) 0
c) 2
2) Est-ce que f 1  f  3 ? (On justifiera par valeurs approchées graphiques).
Exercice 17.2
1) Soit f la fonction définie par f  x   x 2  x  2,5 . Calculer l’image de 3.
2) Soit g la fonction définie par g x   x 2  x  5 . Calculer l’image de 0.
3) Soit h la fonction définie par h x   x 2  2x 1 . Calculer l’image de 0,1.
263
275
Exercice 17.3
On considère la courbe Cf ci-dessous :
Déterminer les antécédents de 2 par la fonction f.
Exercice 17.4
Soit f la fonction f définie par : f  x   x 2 . Calculer les antécédents de 16.
Exercice 17.5
Soit f la fonction f dont la courbe est ci-dessous.
Déterminer la valeur du minimum de f.
264
276
Exercice 17.6
Soit f la fonction f dont la courbe est ci-dessous.
Déterminer la valeur du maximum de f.
Exercice 17.7 (CRPE)
Le graphique ci-après représente l’aire d’une surface A  x  , en mètre carré, en
fonction de la longueur x en mètres.
265
277
1) Quelle est l’aire, en mètre carré, si la longueur x est égale à 3 m ?
2) Pour quelle(s) valeur(s) de la longueur x, l’aire est-elle égale à 12 m2 ?
3) Pour quelle valeur de la longueur x, l’aire est-elle maximale ?
Exercice 17.8
Au marché, un volailler vend 40 œufs au prix de huit euros.
1) Déterminer la fonction linéaire f associée au prix des œufs, où x est la
variable désignant le nombre d’œufs, et f  x le prix.
2) En déduire le tarif de 280 œufs.
Exercice 17.9
Un randonneur mesure la température en fonction de l’altitude où il se trouve.
A condition météorologiques comparables, il trouve 15°C à 400 m d’altitude
puis 11°C à 500 m d’altitude.
On considère t la fonction affine modélisant la température en fonction de
l’altitude, x étant exprimée en mètres et t  x  étant exprimée en °C.
1) Montrer que l’expression de t est : t  x   0,04x  31 .
2) En déduire, suivant ce modèle, la température à 650 m d’altitude.
266
278
Corrigés
Corrigé 17.1
1) Complétons la courbe :
Graphiquement, on a :
a) f   2  3
2)
b) f  0   1
c) f  2   1 .
Non, car graphiquement f 1   0;8 et f 3   1,8 , donc on a f 1  f 3  .
267
279
Corrigé 17.2
1) On a f  x  x2  x  2,5 donc f 3   3 2  3  2,5  9  3  2,5  8,5 .
Ainsi l’image de 3 par f vaut 8,5, on a : f 3   8,5 .
2) On a g  x   x2  x  5 donc g  0   02  0  5  5 .
Ainsi l’image de 0 par g vaut 5, on a : g  0   5 .
3) On a h  x   x2  2x  1 donc :
h  0,1  0,12  2  0,1  1  0,01  0, 2  1  1, 21.
Ainsi l’image de 0,1 par f vaut 1,21 on a : h 0,1  1,21 .
Corrigé 17.3
On place 2 en ordonnée, et on lit les abscisses correspondantes :
2 admet pour antécédents : 1, 3 et 5.
Corrigé 17.4
On résout l’équation f  x  16 c’est-à-dire x 2  16 .
Or x 2  16 équivaut à x  16 ou x   16 c’est-à-dire x  4 ou x   4 .
Ainsi 16 admet pour antécédents 4 et 4 .
268
280
Corrigé 17.5
Complétons la courbe en repérant le « point le plus bas » :
La fonction f admet pour minimum 2,5.
Corrigé 17.6
Complétons la courbe en repérant le « point le plus haut » :
La fonction f admet pour maximum 4.
269
281
Corrigé 17.7
Complétons la courbe. On en déduit que :
1) L’aire vaut 24 m 2 si la longueur x est égale à 3 m.
2) L’aire est-elle égale à 12 m 2 si la longueur x vaut 1 m.
3) L’aire est maximale lorsque la longueur x vaut 3,5 m.
Corrigé 17.8
1) Considérons l’expression f  x   ax de la fonction linéaire f.
8 1
  0, 2 .
40 5
Ainsi la fonction linéaire associée est f : x  f x   0, 2x .
Comme f  40   8 , on a : a  40  8 ce qui donne a 
270
282
2) Le tarif de 280 œufs est donc de : f  280  0,2  280  56 (euros).
Corrigé 17.9
1) Considérons l’expression t  x  ax  b de la fonction affine t.
Comme t  400   15 on a a  400  b  15 c’est-à-dire 400a  b 15 .
Comme t 500  11 on a a  500  b  11 c’est-à-dire 500a  b 11
Ainsi b 15  400a
et b  11  500a , ce qui donne :



15 400a 11 500a c’est-à-dire 100a   4 c’est-à-dire a  0, 04 .
Comme b  15  400a , on obtient : b  15  400   0,04   31 .
Ainsi la fonction affine associée est x  t  x    0,04x  31 .
2) La température à 650 m, suivant ce modèle, sera égale à
t  650    0,04  650  31  5 (°C).
271
283
Pare 4
Stasques
et probabilités
Chapitre 18
Calcul stasque



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287
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288
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289
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290
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291
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292
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293
Chapitre 19
Calcul des probabilités
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301
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302
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303
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304
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306
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308
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Pare 5
Tableurs
et programmaon
Chapitre 20

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311
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312
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313
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314
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319
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320
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321
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
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322
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Chapitre 21
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325
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326
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328
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329
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330
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331
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332
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333
Formulaire CRPE
Calcul mental
Pourcentages célèbres : 50 % (moitié) ; 25 % (quart) ; 10 % (dixième)
Arithmétique
Multiple de a : ka
a diviseur de b : il existe k tel que b  ka .
Division euclidienne de a par b : a  bq  r (avec r  b )
Critères de divisibilité : un entier est divisible par
- 2 si son chiffre des unités est pair
- 3 si la somme des chiffres l’est
- 4 si ses deux derniers chiffres forment un entier qui l’est
- 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5
- 6 s’il est à la fois divisible par 2 et par 3
- 9 si la somme de ses chiffres l’est
- 10 si son dernier chiffre est 0
PPCM a, b   PGCD  a, b  a  b
335
317
Fractions
a
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b b
a
b  a  d  ad
c b c b c
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a
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c b c
a
c ac
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b
b
b
c
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c
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c
c
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b
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a
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a b a b
 
c c
c
Pourcentages
Pourcentage :
Effectif
 100 (%)
Effectif total
t % c’est la fraction
t
100
t
.
100
t
Augmenter de t % revient à multiplier par 1 
.
100
Diminuer de t % revient à multiplier par 1 
Puissances
a 0  1 et a1  a
 a   a
a n  a
an 
n fois
am
an
a
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n
 a mn
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a m a n  a mn
n
an
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   n
 b
b
Puissances de dix
n
10 n  1000

01



0 et 10  0,00



n zéros
n
Ecriture scientifique : a  10
(avec 1  a  10 et n entier)
n zéros
Racines carrées
a b  a  b
 a
a
a

b
b
318
336
2
a
 a  a
2
Changements d’unités
Abréviations : k (kilo), h (hecto), da (déca), d (déci), c (centi), m (milli)
Longueurs
Masses
Surfaces
Volumes
3
3
3
3
3
Vol : 1 L  1000 cm  1 dm ; 1 dL  100 cm ; 1 cL  10 cm ; 1 mL 1 cm
Temps : 1 an  365,25 j ; 1 j  24 h ; 1 h  60 min ; 1 min  60 s
Proportionnalité
Règle de trois (achat, recettes, etc.) : ramener à l’unité ou produit en croix.
Règle de trois inversée (temps de parcours, héritage, etc.) : ramener à l’unité.
Calcul littéral
Prioriétés : parenthèses – multiplications et divisions – additions et soutractions
a   b  c  a  b  a  c ; a   b  c   a  b  a  c ;
a  b   c  a  c  b  c ;  a  b  c  a c  b c .
Développements et identités remarquables
a  b    c  d   a  c  a  d  b  c  b  d
a  b    c  d  a  c  a  d  b  c  b  d
a  b    c  d  a  c  a  d  b  c  b  d
a  b    c  d   a  c  a  d  b  c  b  d
2
2
a2  2ab  b2   a  b ; a 2  2ab  b 2   a  b 
; a 2  b2  a  b a  b 
319
337
Périmètres et aires
Triangles
Le périmètre d’un triangle de côtés a, b et c vaut p  a  b  c .
L’aire d’un triangle de base B et de hauteur h vaut A 
1
B h .
2
Quadrilatères
Le périmètre d’un quadrilatère de côtés a, b, c et d vaut p  a  b  c d .
2
L’aire d’un carré de côté a vaut a .
L’aire d’un rectangle de largeur L et de longueur l vaut L  l .
L’aire d’un parallélogramme de base B et de hauteur h vaut B h .
L’aire d’un trapèze de bases B et B’ et de hauteur h vaut
B  B
h .
2
Cercle
Le périmètre d’un cercle de rayon R vaut p  2 R avec   3,14 .
2
L’aire d’un cercle de rayon R vaut A  R avec   3,14 .
Théorèmes de géométrie
Théorème de l'angle inscrit : Deux angles inscrits qui interceptent le même arc
ont même mesure.
Théorème de l'angle au centre : La mesure d'un angle inscrit est égal à la moitié
de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc.
Conséquence : Si [AB] est un diamètre, alors AMB est rectangle en M.
2
2
2
Théorème de Pythagore (ABC triangle) : si Aˆ  90  alors BC  AB  AC .
Réciproque : si BC2  AB2  AC2 alors ˆA  90  .
Contraposée : Si BC2  AB2  AC2 , alors ABC n’est pas rectangle en A.
320
338
Théorème de Thalès (ABC triangle avec A, I, B alignés et A, J, C alignés) :
Si  IJ  / /  BC  alors
Réciproque : Si
AI AJ
IJ
.


AB AC BC
AI AJ
IJ
alors  IJ  / / BC .


AB AC BC
Contraposée : Si
AI
AJ
AI
IJ
AJ
IJ
(ou
ou
) alors  IJ et



AB AC
AB BC
AC BC
 BC ne sont pas parallèles.
Réductions et agrandissements
Au cours d’une réduction (ou agrandissement) de coefficient k :
- toutes les longueurs sont multipliées par k ;
- toutes les surfaces sont multipliées par k2 ;
- tous les volumes sont multipliés par k 3 .
Il y a réduction lorsque 0  k  1 et agrandissement lorsque k  1 .
Trigonométrie (SOHCAHTOA)
Opposé
Adjacent
Opposé
, Cosinus 
, Tangente 
Sinus 
.
Hypoténuse
H ypoténuse
Adjacent
Transformations
La translation (glissement), la rotation et la symétrie centrale sont directes
(l’image d’une figure ne nécessite pas de retourner le papier calque). Par contre
la symétrie axiale est indirecte (calque retourné).
Solides de l’espace
1
V  B h pour les solides « pointus » (pyramide, cône de révolution)
3
V  B h pour les solides « à deux bases » (cube, pavé, prisme, cylindre)
4
V   R3 pour la sphère de rayon R.
3
321
339
Repères
L’abscisse se lit sur l’axe horizontal. L’ordonnée se lit sur l’axe vertical.
Coordonnées de I milieu de [AB]
xI 
Longueur du segment [AB] (repère
orthonormé)
xA  xB
y  yB
, yI  A
2
2
AB 
 xB  x A  2  yB  yA  2
Fonctions
Les images se lisent en ordonnées. Les antécédents sur l’axe des abscisses.
f  a  est l’image de a. Un antécédent de k est une solution f  x   k .
f est croissante si a  b entraîne f a   f b  (ordre conservé)
f est décroissante si a  b entraîne f  a   f  b  (ordre renversé)
f admet m comme minimum si pour tout x, f  x   m .
f admet M comme maximum si pour tout x, f  x  M .
Fonction linéaire : x  ax (droite qui passe par l’origine).
Fonction affine : x  ax  b (droite qui passe par le point (0;b)).
Statistiques
x1 n1  x2 n2  x3 n3    xp np
moyenne de la série statistique  x i , n i  : m 
.
n1  n2  n3    np
Si G1 a pour moyenne m 1 et effectif n 1 et G 2 a pour moyenne m 2 et
n m n m
effectif n 2 . Alors : m  1 1 2 2 .
n1  n 2
Etendue  Max  Min .
La médiane (Med) d’une série statistique est la valeur telle que 50 % (environ)
lui soient inférieures et 50 % des valeurs lui soient supérieures
Probabilités
La probabilité d’un événement est égal au nombre de cas favorables à
l’événement divisé par le nombre de cas possibles.
322
340
Tableur
=MOYENNE(B3:E3) calcule la moyenne des cellules B3, C3, D3, E3.
=SOMME(B3:E3) calcule la somme des cellules B3, C3, D3, E3.
= ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) retourne un entier au hasard entre 1 et 6.
$A1 verrouille la colonne A mais pas la ligne (le nombre peut varier) ;
A$1 verrouille la ligne 1 mais pas la colonne (la lettre peut varier) ;
$A$1 verrouille la cellule A1.
PROGRAMMATION SCRATCH
Mouvement (avancer, tourner, aller, glisser, s’orienter, etc.)
Bleu
Apparence (dire, penser, costumes, etc.)
Violet
Son (jouer, volume, etc.)
Rose
Evénements (quand, envoyer, etc.)
Jaune
Contrôle (boucles répéter, instruction conditionnelle si, etc.)
Orange
Capteurs (demander valeur, couleurs, etc.)
Bleu ciel
Opérateurs (addition, soustraction, multiplication, etc.)
Vert
Variables (affecter une valeur, montrer, etc.)
Orange
Mes blocs (créer un bloc)
Rouge
323
341
Pare 6
Sujets du groupement
académique
Sujet 1
Sujet du groupement
académique
Durée : 3 heures.
L’épreuve est constituée d’un ensemble d’au moins trois exercices
indépendants, permettant de vérifier les connaissances du candidat.
L’usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de
la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021.
L’usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout
matériel électronique (y compris les montres connectées) est
rigoureusement interdit.
Exercice 1
Dans cette version adaptée du biathlon, les élèves ont à parcourir, en courant, 4
grands tours tracés avec des plots sur un stade comme dans la figure ci-dessous.
A l’issue de chacun des 3 premiers tours, ils se présentent au pas de tir et lancent
3 balles sur des cibles. S’ils atteignent 3 fois leur cible, ils n’ont pas de pénalité
et repartent pour le grand tour suivant. En revanche, pour chaque lancer manqué,
ils doivent effectuer un petit tour avant de repartir sur le grand tour.
Pour chaque élève on mesure la durée mise pour faire un parcours complet
(grands tours + lancers + petits tours de pénalité le cas échéant). L’objectif est de
mettre le moins de temps possible pour effectuer le parcours complet.
345
351
Partie 1
Dans cette partie, les élèves s’entraînent à la course sur le grand tour, sans
effectuer de lancer de balles.
1. Pour un élève de CE1, la longueur du grand tour est de 250 m.
a) On considère un élève, qui effectue les 4 tours en 10 minutes. Quelle
est sa vitesse moyenne de course, en mètre par minute ?
b) Un autre élève a couru les 4 tours à la vitesse moyenne de 150 m/min.
Déterminer sa vitesse moyenne en kilomètre par heure.
2. Dans le tableau ci-dessous, les longueurs d’un grand tour pour des élèves
de CM1 et de CM2 sont données, ainsi que les temps de course pour
effectuer 4 grands tours, de deux élèves (un en CM1 et un en CM2).
Elève
Longueur de 1 grand tour
Temps de course pour 4
grands tours
Elève de CM1
400 m
9 minutes et 30
secondes
Elève de CM2
500 m
11 minutes et 8
secondes
Déterminer la vitesse moyenne (en mètre par minute, arrondie à l’unité) de
chacun de ces deux élèves, lorsqu’ils ont réalisé les 4 grands tours.
352
346
Partie 2
Dans cette partie, des élèves de CE1 font l’épreuve de biathlon dans sa totalité :
Les 4 grands tours + les 3 épreuves de lancers de 3 balles + les éventuels tours de
pénalité.
On rappelle que pour un élève de CE1, la longueur du grand tour est de 250 m.
1. La longueur du tour de pénalité est de 20 m.
a) Sachant que le tour de pénalité forme un cercle, déterminer son
rayon. Arrondir au centimètre.
b) Un élève de CE1, qui court à la vitesse moyenne de 150 m/min, prend
le départ de l’épreuve. On suppose que pour effectuer 3 lancers, il
passe, à chaque fois, 30 secondes sur le pas de tir.
Quelle sera la durée totale que met cet élève pour réaliser le parcours
complet, s’il ne rate aucune cible au premier tour et qu’il rate une
cible au 2e tour puis deux cibles au 3e tour ? Donner la réponse en
minutes et secondes.
2. Le professeur des écoles souhaite aider ses élèves à développer une
stratégie pour améliorer leurs résultats. Il relève les performances d’un
même élève de CE1 qui fait 3 fois l’épreuve de biathlon dans sa totalité
en modifiant certains paramètres à chaque essai. Dans le tableau cidessous, Vmoy est la vitesse moyenne de cet élève sur les périodes de
course (4 grands tours + éventuels tours de pénalité).
a) La formule saisie en H3 puis recopiée vers le bas est
=1000+(C3+E3+G3)*20.
Expliquer le terme (C3+E3+G3)*20 dans le contexte de l’exercice.
b) Donner une formule qui pourra être introduite dans la cellule J3, de telle
sorte qu’elle puisse être recopiée vers le bas pour effectuer le calcul pour
les autres essais.
353
347
c) Donner une formule qui pourra être introduite dans la case « durée
totale » K3, de telle sorte qu’elle puisse être recopiée vers le bas pour
effectuer le calcul pour les autres essais.
Après calculs, on obtient le tableau complet ci-dessous :
d) Interpréter le tableau pour déterminer ce que l’élève a modifié entre
l’essai 2 et l’essai 3.
e) Si on analyse les performances de l’élève aux essais 2 et 3, quelle
hypothèse ce tableau permet-il de faire du point de vue des stratégies à
adopter ?
Exercice 2
On dispose d’un dé cubique non truqué dont les faces opposées sont identiques :
deux faces numérotées 0, deux faces numérotées 1 et deux faces numérotées 2.
1. On effectue deux lancers et on lit, à chaque lancer, le chiffre inscrit sur la
face supérieure. Les deux lancers permettent d’obtenir un nombre
décimal : le résultat du premier lancer donne le chiffre des unités et celui
du second lancer le chiffre des dixièmes.
a) Donner la liste de tous les nombres qu’on peut obtenir.
b) Justifier que la probabilité d’obtenir 1,2 est égale à 1/9.
c) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à
1?
d) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre décimal ?
2. Le tapis représenté ci-dessous est constitué de 36 carrés de côté 10 cm.
354
348
Ces carrés définissent trois zones Z1 , Z2 et Z 3 repérées par des
couleurs différentes.
Avec le même dé que précédemment, on effectue un lancer sur ce tapis
et on regarde la face supérieure. Si le dé tombe à cheval sur deux zones,
on le relance. On admet que la probabilité que le dé tombe dans une zone
est proportionnelle à l’aire de la zone.
a) Quelle est la probabilité que le dé tombe dans la zone Z2 ?
b) Quelle est la probabilité que le dé tombe en zone Z 2 et donne le
nombre 1 ?
c) Quelle est la probabilité que le dé tombe en zone Z2 et donne un
nombre pair ?
Exercice 3
Un enseignant d’une classe de CM2 a proposé ce problème à ses élèves.
Dans un bocal, un enfant a des billes vertes, des billes rouges et des billes bleues.
Il a 4 fois plus de billes rouges que de billes vertes et il a 3 billes vertes de plus
que de billes bleues. En tout il a 51 billes. Combien a-t-il de billes de chaque
couleur ?
(D’après un problème du Guide pour enseigner la résolution de problèmes au cours moyen, Ministère de
l’éducation nationale, 2021).
1. Voici la réponse proposée par Samira, une élève de la classe de CM2.
355
349
Proposer une version corrigée du schéma utilisé par Samira pour résoudre le
problème.
2.a) En notant v le nombre de billes vertes, déterminer, en fonction de v , le
nombre de billes rouges et le nombre de billes bleues.
2.b) Mettre le problème en équation et la résoudre pour répondre
algébriquement à la question posée dans l’énoncé.
Exercice 4
Le programme ci-dessous (programme 1) a été écrit avec le logiciel Scratch.
356
350
1. En prenant C  50 et 1 cm pour 10 pixels, tracer la figure construite en
utilisant le programme 1.
2. Quelle est la nature de la figure tracée ? Justifier la réponse.
3. On écrit le programme 2 en utilisant le bloc précédent, afin d’obtenir la
figure représentée ci-après.
a)
Quelles valeurs attribuer aux lettres A et N dans le programme 2
pour obtenir la figure correspondante ?
b) Quelle est la valeur de la variable C une fois le programme
exécuté ?
4. Comment peut-on modifier le programme 2 pour obtenir la figure cidessous pour laquelle chaque segment mesure 30 pixels ?
357
351
Exercice 5
Un ballon-sonde est un ballon à gaz utilisé pour faire des mesures locales dans
l’atmosphère. Dans le cadre du projet scientifique qu’elle anime pour sa classe de
CM2, une professeure des écoles a reçu un petit ballon-sonde, représenté cidessous :
Son enveloppe, composée de matières plastiques et de latex, a la forme, une fois
gonflée, d’un cône de révolution surmonté d’une demi-sphère.
Les dimensions données sur la figure ci-contre sont celles du ballon-sonde au sol,
sur le lieu du lâcher situé au niveau de la mer.
La pression atmosphérique diminuant avec l’altitude, le ballon se dilate en
prenant de la hauteur et ses dimensions augmentent jusqu’à l’éclatement après
une ascension de plus de vingt kilomètres.
On pourra si nécessaire, utiliser le formulaire ci-dessous.
358
352
Périmètre du disque
2r
Aire du disque
 r2
Volume du cône de révolution
1 2
r h
3
Aire de la surface latérale
 rg
Volume de la boule
4 3
r
3
Aire de la sphère
4r2
1.a) Montrer, en indiquant les étapes du calcul, que le volume exact du ballonsonde au niveau de la mer, est égal à 45 000 cm3 .
1.b) Donner le volume du ballon sonde en litre, arrondi à l’entier.
2. Montrer qu’une génératrice du cône mesure 9 000 cm.
3. En déduire que l’enveloppe totale du ballon-sonde, au niveau de la mer, a une
2
aire d’environ 1,5 m au dixième près.
4. Entre 0 mètre d’altitude et 4 500 mètres d’altitude, les longueurs du ballonsonde augmentent de 25%.
a) Par quel nombre les longueurs initiales sont-elles multipliées ?
b) Montrer que, à 4 500 mètres d’altitude, l’enveloppe totale du ballon-sonde a
2
une aire d’environ 2,3 m arrondie au dixième près.
c) Donner un arrondi, au litre près, du volume du ballon-sonde à 4 500 mètres
d’altitude.
5. On lâche le ballon à 0 mètre d’altitude. On relève alors une température de
15°C. A 4 500 mètres d’altitude, la température transmise est de 12 °C. Entre 0
et 12 000 m d’altitude, la température, en degré Celsius, en fonction de l’altitude
x, en mètre, peut-être modélisée par une fonction affine notée t.
Montrer que pour tout x entre 0 et 12 000, on a t x   0,006x  15 .
6. A partir de quelle altitude la température devient-elle négative ? Justifier le
résultat en résolvant une inéquation.
7. La professeure des écoles a réalisé, à l’aide d’un tableur, le calcul des
températures en fonction de l’altitude du ballon-sonde.
359
353
En observant les données du tableau, sachant que le ballon part de 0 mètre
d’altitude, à quelle altitude se trouve-t-il lorsque la température a baissé de 30°C ?
360
354
Corrigé
Commentaires
Exercice 1 : Il s’agit d’un exercice particulièrement pénible d’un point
de vue rédactionnel et calculatoire (pour les conversions de vitesse, les
calculs de distances). Il peut faire perdre un temps conséquent et
provoquer de l’exaspération, aussi il faut garder son calme.
 Stratégiquement, il serait prudent de traiter cet exercice en fin
d’épreuve. Même s’il ne comporte pas de difficultés insurmontables, il
risque de démoraliser bon nombre de candidats car il est très facile de
s’y perdre. Et puis, il y tellement d’autres exercices avec tellement
d’autres points à prendre qu’il serait imprudent de gaspiller trop de
temps sur une question à 0,25 points…
Exercice 2 : Il s’agit d’un exercice de probabilités extrêmement
classique. Nul doute que le correcteur sera très vigilant à la qualité de
construction des arbres et à une rédaction synthétique et claire. Toute
réponse lapidaire sera ignorée et sanctionnée. C’est donc un exercice
facile mais qu’il faut rédiger avec beaucoup de soin.
 Stratégiquement, on peut commencer par cet exercice sans aucun
problème. Sortir impérativement la règle pour construire de beaux
arbres de probabilité permettra de se mettre le correcteur dans la poche !
Exercice 3 : Cet exercice est assez délicat car il consiste à se mettre
dans la tête d’une élève qui a mal résolu un problème. Il faut donc passer
pas mal de temps à comprendre son schéma de résolution, la source de
son erreur puis la modification à lui apporter en respectant sa propre
logique. Très déstabilisant !
 Stratégiquement, il est judicieux de préparer sa propre résolution du
problème au brouillon. Cela permet déjà d’y voir plus clair avant de se
lancer dans la logique assez « obscure » du schéma. Dans cet exercice,
le correcteur évalue la capacité d’adaptation du candidat-enseignant à
des résolutions totalement personnelles d’élèves, ce qui arrive de plus
en plus dans la pratique.
Exercice 4 : Il s’agit d’un exercice d’algorithmique sous Scratch.
Aucune difficulté.
 Stratégiquement, c’est ce genre d’exercice qui permet de
« singulariser sa copie ». Peu de candidats travaillent les algorithmes,
c’est l’occasion de faire la différence ! Pourquoi ne pas résoudre cet
exercice en début d’épreuve, ce sont des points facilement gagnés !
Exercice 5 : Exercice pénible qui mérite beaucoup de concentration. La
géométrie dans l’espace et l’exploitation de données nécessite de
l’attention. Pas de réelle difficulté, sauf à déterminer algébriquement
361
355
les coefficients a et b d’une fonction affine (dont la représentation est
une droite) et à savoir résoudre une inéquation.
 Stratégiquement, il conviendrait de laisser plutôt cet exercice pour
la 2e partie de l’épreuve.
Exercice 1
Partie 1
1.a) La vitesse moyenne de course vaut :
d 4  250 m 1000 m

 100 m/min.
V 
t
10 min
10 min
150 m 0,150 km
b) 150 m / min 

 9 km / h .
1
1 min
h
60
Ainsi la vitesse moyenne est de 9 km/h.
30
2) 9 min 30 s  9,5 min car 30 s 
min  0,5 min .
60
Ainsi l’élève de CM1 a pour vitesse moyenne :
d 4  400 m
V 
c’est-à-dire : V  168 m/min.
t
9,5 min
8
11 min 8 s 11,133 min car 8 s 
min c’est-à-dire 0,133 min environ.
60
Ainsi l’élève de CM2 a pour vitesse moyenne :
d
4 500 m
c’est-à-dire : V  180 m/min.
V  c’est-à-dire V 
t
11,133 min
Partie 2
1.a) Soit r le rayon en mètres du cercle formé par le tour de pénalité. Alors
20
c’est-à-dire r  3,18 m.
2 r  20 c’est-à-dire : r 
2
b) Considérons le parcours complet de l’élève de CE1.
La durée totale est l’addition de :
- 4 fois la durée d’un grand tour ;
- 3 fois la durée d’un petit tour de pénalité ;
- 3 fois la durée des 3 lancers.
d
Or, avec la formule t  :
v
250 m
- la durée d’un grand tour vaut :
 1,666 min c’est-à150 m / min
362
356
dire : 1 min et 40 s (car 0,666 min  0,666  60 s  40 s ) ;
20 m
- la durée d’un demi-tour vaut :
 0,133 min c’est-à-dire
150 m / min
8 s (car 0,133 min  0,133  60 s  8 s ).
Ainsi on arrive à une durée totale de 8 min 34 s car :
4   1 min 40 s   3  8 s  3  30 s  4 min 160 s  24 s  90 s  4 min 274 s
et car 274 s  240 s  34 s  4 min 34 s .
2.a) Dans le contexte de l’exercice, le terme (C3+E3+G3)*20 désigne la distance
de pénalité totale.
d
b) Dans J3 on écrit =H3/(I3/60) car il s’agit de l’application de la formule v 
t
donnant la vitesse moyenne en m/min (d étant représentée par H3 et t par I3/60).
c) Dans K3, on écrit =(B3+D3+F3+I3)/60 car il s’agit de la durée totale en
secondes qu’on convertit en minutes en divisant par 60.
d) Les colonnes « durée(s) » du tableau indiquent qu’entre l’essai 2 et l’essai 3,
l’élève a diminué le temps passé à viser les cibles.
e) Les colonnes « cibles manquées » du tableau indiquent une contreperformance très nette de l’élève. La meilleure stratégie à adopter reste donc de
prendre le temps maximal autorisé (de 30 s) pour tirer.
Exercice 2
1) a) Les faces opposées du dé étant identique avec deux faces numérotées
0, deux faces numérotées 1 et deux faces numérotées 2, on peut utiliser
l’arbre ci-dessous pour déterminer toutes les issues possibles et ainsi tous
les nombres qu’on peut obtenir :
363
357
Ainsi, la liste des nombres qu’on peut obtenir est constitué de neuf nombres :
0 ; 0,1 ; 0,2 ; 1 ; 1,1 ; 1,2 ; 2 ; 2,1 ; 2,2.
1
car il y a un cas favorable
9
(1,2) pour neuf cas possibles listés dans la question 1)a).
1) c) La probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à 1 est égale
3
à : car il y a trois cas favorables (0 ; 0,1 ; 0,2) pour neuf cas possibles
9
listés dans la question 1)a).
2
1) d) La probabilité d’obtenir un nombre entier est égale à
car il y a deux
9
cas favorables (1 ; 2) pour neuf cas possibles listés dans la question 1)a).
9
1) e) La probabilité d’obtenir un nombre décimal est égale à  1 car il y
9
a neuf cas favorables (tous les nombres 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 1 ; 1,1 ; 1,2 ; 2 ; 2,1 ;
1) b) La probabilité d’obtenir 1,2 est égale à :
364
358
2,2 sont décimaux, même ceux qui sont entiers comme 1 qui peut s’écrire
sous la forme 1,0) pour neuf cas possibles.
12 1
2) a) La probabilité que le dé tombe dans la zone Z2 est égale à
 car
36 3
il y a 12 cas favorables (la zone Z 2 comporte 12 carrés) pour 36 cas
possibles (le tapis est constitué de 36 carrés).
2) b) Utilisons un arbre pondéré :
12 1 12 1 12
6
3 1
 



 .
36 3 36  3 108 54 27 9
2) c) Utilisons de nouveau l’arbre pondéré précédent mais en entourant cette
La probabilité cherchée vaut alors :
365
359
fois les branches concernant la zone Z2 et les deux nombres pairs :
La probabilité cherchée vaut alors :
12 1 12 1
1 1 2
   c’est-à-dire   .
36 3 36 3
9 9 9
Exercice 3
1) Voici une version corrigée du schéma utilisé par Samira pour résoudre le
problème, les modifications apportées étant entourées :
366
360
2.a) Soit r le nombre de billes rouges alors : r  4v .
Soit b le nombre de billes bleues, alors : b  v  3 .
2.b) Comme en tout il y a 51 billes, on a : v  r  b  51 et donc :
v  4v
v  3  51 c’est-à-dire 6v  3  51 c’est-à-dire 6v  3  3  51  3

r
b
6v 54
c’est-à-dire v  9 .

6
6
Conclusion : il y a 9 billes vertes, 4  9  36 billes rouges, et 9  3  6 billes
bleues.
c’est-à-dire 6v  54 c’est-à-dire
Exercice 4
1) On obtient :
2) Il s’agit d’un losange, car les quatre côtés sont égaux.
3) a) On prend :
 N  4 (car la figure est constituée de quatre motifs)
 A  45 car chaque nouvelle figure a tourné de 45° dans le sens
anti-horaire par rapport à la précédente.
367
361
c) Une fois le programme exécuté, on a C  150 ( 30  4  30 ).
4) On modifie la ligne :
 « tourner de A degrés » en « tourner de 90 degrés »
 « ajouter 30 à C » en « ajouter 0 à C ».
Exercice 5
1.a) VBallon sonde  VCône  Vdemi sphère .
1
Or VCône    30 2 90  27 000  cm 3
3
4
  30 3
36 000 

18 000  cm3 .
et Vdemi sphère  3
2
2
 
Ainsi VBallon sonde
 
 27 000  18 000  45 000  cm 3  .
1.b) On a : 1 cm 3  0,001 dm 3  0,001 L
Donc VBallon sonde  45 000 cm 3  45 000  0,001 L  45 L
VBallon sonde  141 L .
2) D’après le théorème de Pythagore, g 2  h 2  r
2
ce qui donne g 2  90 2  30
c’est-à-dire g 2  9 000 et donc g  9 000  cm  .
3) L’enveloppe totale du ballon sonde a pour aire :
1
 4  302    30  9 000  14595 cm2 c’est-à-dire 1, 4595
2
 
c’est-à-dire
 m2 
2
car
1 cm 2  0,01 dm 2  0,0001 m 2 c’est-à-dire 1,5 m 2 au dixième près.
4.a) Une augmentation de 25% se traduit par une multiplication par
25
1
 1,25 . Ainsi les longueurs initiales seront multipliées par 1,25.
100
4.b) Si les longueurs sont multipliées par 1,25 alors les aires seront multipliées
par 1, 25 2 (on « passe » d’une dimension à deux dimensions). Ainsi l’enveloppe
totale du ballon-sonde aura une aire d’environ 1,5 1, 25 2  2,3 ( m2 ) au dixième
près.
c) Si les longueurs sont multipliées par 1,25 alors les volumes seront multipliés
par 1, 253 (on « passe » d’une dimension à trois dimensions). Ainsi le volume du
ballon-sonde sera égal à 141 1,253  275 L (au litre près).
5) Puisque t est une fonction affine, t x  peut s’écrire sous la forme
368
362
t x   ax  b .
Comme à 0 mètre d’altitude, la température est de 15°C, on a t  0   15 c’est-àdire a  0  b  15 ce qui donne : b  15 .
Comme à 4500 mètres la température est de 12 °C, on a t  4500   12 c’està-dire a  4500  b   12 c’est-à-dire 4500a  15  12 ce qui donne
27
 0,006 .
4500a   27 c’est-à-dire a 
4500
Ainsi t  x   0,006x  15 .
6) Tout revient à résoudre l’inéquation t x   0 c’est-à-dire 0,006x  15  0
c’est-à-dire 0,006x   15 c’est-à-dire
0,006x
15

ce qui donne
0,006 0,006
x  2 500 .
Conclusion : la température devient négative à partir de 2 500 m d’altitude.
7) En lisant le tableau, on constate que la température a baissé de 30°C, en passant
de 15°C à  15 °C, à l’altitude 5 000 m.
369
363
Sujet 2
Sujet du groupement
académique
Durée : 3 heures.
L’épreuve est constituée d’un ensemble d’au moins trois exercices
indépendants, permettant de vérifier les connaissances du candidat.
L’usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de
la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021.
L’usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout
matériel électronique (y compris les montres connectées) est
rigoureusement interdit.
Exercice 1
Un enseignant de grande section propose à ses élèves un jeu pour travailler la
décomposition et la recomposition de nombres. Le jeu se compose de deux dés
cubiques équilibrés et de corps de fourmis à compléter avec des pattes comme
sur le dessin ci-dessous.
371
365
Sur les six faces du premier dé sont inscrits les nombres suivants : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4
et 5.
Sur les six faces du deuxième dé sont inscrits les nombres suivants : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;
5 et 5.
On donne à chaque élève un corps de fourmi et 6 pattes à fixer sur le corps.
Au début de la partie, chaque élève choisit un nombre compris entre 2 et 10. Ce
nombre reste le même durant toute la partie. A tout de rôle, chaque élève joue. Il
lance les deux dés :


Si la somme des nombres inscrits sur les faces supérieures des deux dés
est égale au nombre choisi par cet élève, alors celui-ci fixe une patte à sa
fourmi et relance les dés.
Sinon, c’est au joueur suivant de lancer les dés.
Il donne ensuite les dés au joueur suivant. La partie se termine lorsqu’un élève a
gagné, en fixant les six pattes de sa fourmi.
1. Un élève choisit un nombre et lance les dés.
a) Quelles sont les différentes sommes qu’il peut obtenir ?
4
b) Montrer que la probabilité qu’il obtienne 8 est égale à
.
36
2. Un autre élève choisit le nombre 6 et lance les dés.
a) Quelle est la probabilité qu’il gagne une patte pour sa fourmi dès son
premier lancer ?
b) Quelle est la probabilité qu’il gagne deux pattes pour sa fourmi en 2
lancers ?
3. Eden et Axelle commencent une partie. Eden choisit le nombre 6 et
Axelle choisit un autre nombre.
a) Qui a le plus de chance de gagner la partie ? Justifier.
b) Eden est-il sûr de gagner la partie ? Justifier.
Exercice 2
Dans le cadre d’une liaison écoles-collège, une professeure d’EPS et une
372
366
professeure des écoles organisent une course à vélo dont le parcours est composé
de quatre tronçons en ligne droite. La figure ci-dessous représente le parcours et
n’est pas à l’échelle.
Les élèves partent du point A et tournent dans le sens des aiguilles d’une montre.
Les dimensions sont les suivantes :
AB  960 m , BC  1, 05 km , CD  780 m et AD  660 m .
1. Montrer que la parcours a pour longueur 3 450 m.
2. Durant l’épreuve, Léo a réalisé, en 48 minutes, 2 tours complets et un
tiers de tour du parcours.
a) Déterminer la distance parcourue par Léo.
b) Donner la vitesse moyenne de Léo en km/h .
c) En gardant la même vitesse moyenne, Léo aura-t-il parcouru 15 km
en moins d’une heure et demie ? Justifier.
3. Une épreuve en relais est ensuite proposée. Tara parcourt les distances
AB et BC à une vitesse moyenne de 10 km/h et Kevin parcourt les
distances CD et DA à une vitesse moyenne de 6 km/h . Quelle est la
vitesse moyenne de ce binôme sur l’ensemble du parcours ? Justifier.
4. a) La diagonale [BD] mesure 1,05 km. Représenter le parcours à l’échelle
1
.
20 000
b) Amina a roulé à vélo pendant 25 minutes à une vitesse moyenne de
11,5 km/h . Placer sur la figure tracée à la question 4.a) le point S à
l’endroit où se trouve Amina au bout de sa course. Justifier.
373
367
Exercice 3
On considère un pavé droit ABCDA’B’C’D’ avec DD  5 cm , DC  6 cm et
DA  7 cm . On note L le point d’intersection des diagonales [AC] et [BD].
On souhaite creuser ce pavé, en retirant une pyramide OABCD de hauteur [OL].
Partie A
Dans cette partie, on suppose que OL  4 cm .
1. Montrer que AL  4, 6 cm .
2. Construire le triangle ALO en vraie grandeur.
3. a) Calculer le volume de la pyramide OABCD. On rappelle que le volume
d’une pyramide est égal au tiers du produit de l’aire de sa base par sa
hauteur.
b) Calculer le volume du pavé creusé.
Partie B
Dans cette partie, on pose OL  x où x est un nombre compris entre 0 et 5. Le
pavé creusé que l’on obtient est le socle en bois d’un trophée. Sur ce socle, on
pose une pyramide en verre OEFGH qui est un agrandissement de la pyramide
OABCD de rapport 2.
374
368
1.
2.
3.
4.
Exprimer le volume de la pyramide OABCD en fonction de x.
Montrer que le volume du socle en bois est 210  14x .
Montrer que le volume de la pyramide en verre OEFGH est 112x .
Quelle valeur choisir pour x, pour que le volume de la pyramide en verre
soit égal au double du volume du socle en bois ?
5. On considère les fonctions f et g définies pour tout x compris entre 0
et 5 par : f  x  210 14x et g  x   112x . On a représenté dans un
repère orthogonal ces deux fonctions.
a. Déterminer quelle fonction (f ou g) est représentée par chacune des
375
369
droites D1 et D2 ? Justifier.
b. Déterminer avec la précision permise par le graphique les valeurs de
x pour lesquelles le volume du socle en bois est inférieur ou égal au
volume de la pyramide en verre.
c. Retrouver le résultat précédent en posant puis en résolvant une
inéquation.
Exercice 4
1. Adam a réalisé le programme ci-dessous à l’aide du logiciel Scratch.
a. Montrer que si le nombre de départ est 3, le résultat est égal à 9.
b. Quel est le résultat donné par le programme si le nombre de départ
est 2,4.
c. Soit x le nombre de départ. Montrer que le programme d’Adam
retourne le nombre 2x 2  x  6 .
2. Pauline propose le programme de calcul suivant.
Choisis un nombre.
Elève-le au carré
Soustrais 3.
Multiplie par 2.
Soustrais le nombre de départ.
3. Montrer que, pour un même nombre de départ, les programmes de calcul
d’Adam et Pauline donnent le même résultat.
4. Déterminer le ou les nombres de départ possibles pour que les résultats
376
370
des programmes de calcul soient nuls. Justifier.
5. Adam souhaite automatiser les calculs de son programme pour les entiers
naturels. Il utilise un tableur dont la copie d’écran est donnée ci-dessous.
Quelle formule doit-il saisir dans la case B2 pour qu’il puisse l’étirer vers
le bas sur l’ensemble de la colonne ?
Exercice 5
En Amérique centrale, les Mayas utilisaient un système de numération
comprenant trois signes.
Le point
Le trait
La coquille
Le signe « coquille » indique l’absence de quantité.
Quelques correspondances entre écriture Maya et écriture décimale sont données
dans le tableau ci-dessous :
377
371
1. Donner la valeur du signe « point » et celle du signe « trait » dans
l’écriture de 7.
2. Le système maya est un système vigésimal (système qui a pour base 20).
Donner l’écriture maya du nombre 21.
3. Justifier l’écriture maya du nombre 37.
4. Donne l’écriture des deux nombres suivants dans notre système de
numération.
a.
b.
5. a. Donner l’écriture maya du nombre 25.
b. Donner l’écriture maya du nombre 101.
c. Le système de numération maya est qualifié, tout comme le système
de numération que nous utilisons, de système positionnel. Expliquer
pourquoi.
378
372
Corrigé
Commentaires
Exercice 1 : Il s’agit d’un exercice plutôt facile de probabilités. Il y a
un juste un tableau et un arbre de probabilités à construire. Nul doute
que le correcteur sera particulièrement attentif aux qualités
rédactionnelles du candidat.
 Stratégiquement, on peut commencer sans aucun problème par cet
exercice. Il faut soigner la rédaction, cet exercice a été conçu pour cela !
Exercice 2 : Il s’agit d’un exercice bien complet mêlant la géométrie,
la réflexion, et les conversions. Il est long et pénible à bien saisir.
 Stratégiquement, il vaut mieux traiter cet exercice en fin d’épreuve,
car il est plutôt chronophage. Il y a tellement de points à aller chercher
ailleurs !
Exercice 3 : Voici un exercice de géométrie dans l’espace, de
résolution d’équations, et de lecture graphique. Ce n’est pas un exercice
difficile mais il peut perdre bon nombre de candidats qui n’aiment pas
ces histoires de solides, de pyramides, de pavés, etc.
 Stratégiquement, un candidat peut se démarquer avec cet exercice
car bon nombre de candidats détestent la géométrie dans l’espace. Avec
du soin, il peut récupérer un nombre conséquent de points.
Exercice 4 : Il s’agit d’un exercice d’algorithmique plutôt facile.
Aucune difficulté pourvu qu’on ne rechigne pas à construire des
tableaux pour y voir plus clair. Ajoutons que l’avant-dernière question
nécessite une résolution d’équation produit-nul qui doit bloquer pas mal
de candidats.
 Stratégiquement, c’est ce genre d’exercice qui permet de
« singulariser sa copie ». Peu de candidats travaillent les algorithmes,
c’est l’occasion de faire la différence ! Pourquoi ne pas résoudre cet
exercice en début d’épreuve, ce sont des points facilement gagnés !
Exercice 5 : Voici un exercice particulièrement déstabilisant.
Heureusement, il est guidé. Mais il peut perdre un candidat, même bien
préparé, qui se demandera ce qu’on attend de lui. En fait, c’est un
exercice de réflexion pure où les connaissances classiques ne seront
quasi d’aucun secours. Désolé, il faut se creuser les méninges et ne pas
s’énerver, ce qui n’est pas facile, un jour d’épreuve…
 Stratégiquement, il conviendrait de laisser plutôt pour la 2e partie de
l’épreuve ce genre d’exercice.
379
373
Exercice 1
Construisons un tableau permettant de mieux visualiser les différentes sommes
qu’on peut obtenir, ce qui nous permettre de déterminer par la suite les différentes
probabilités demandées :
dé1
dé2
1
2
3
4
5
5
1
1 2 3 4
5
2
3
4
5
6
6
2
3
4
5
6
6
6
7
8
9
10
10
3
4
5
6
7
7
4
5
6
7
8
8
5
6
7
8
9
9
1) a) Les différentes sommes qu’on peut obtenir sont 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10.
4
b) La probabilité qu’il obtienne 8 vaut :
car il y a 4 cas favorables
36
dans le tableau (4 cases contiennent le nombre 8) pour 36 cas possibles
(les 36 cases du tableau).
2) a) La probabilité qu’il gagne une patte pour sa fourmi dès son premier
8
lancer vaut
car il y a 8 cas favorables (8 cases contiennent le nombre
36
6) pour 36 cas possibles (les 36 cases du tableau).
b) La probabilité qu’il gagne deux pattes pour sa fourmi en 2 lancers vaut
8 8
4


comme le montre l’arbre de probabilités suivant :
36 36 81
380
374
3) a) Eden a le plus de chances de gagner la partie car 6 est l’issue la plus
favorable (8 cas favorables) dans le tableau.
b) Non, mais Eden est celui qui a le plus de chances de la gagner. Pour
être sûr de gagner, il aurait fallu qu’Eden ait 100% de chances de gagner,
ce qui n’est pas le cas. En fait, Axelle a quand même une faible
probabilité de gagner.
Exercice 2
1) Le parcours a pour longueur : 960  1 050  780  660  3 450  m .
2) a)
La
distance
parcourue
par
Léo
vaut :
1
2  3 450   3 450  6 900 1 150  8 050 (m).
3
b) Distance parcourue par Léo : 8 050 m  8,050 km .
48
Temps de parcours de Léo : 48 min 
h  0,8 h .
60
8,050 km
 10,0625 km / h .
Vitesse moyenne de Léo :
0,8 h
c) En gardant la même vitesse moyenne, en une heure et demie c’est à
dire 1,5 h, Léo pourrait parcourir 10,0625  1,5  15,09375 (km).
Ainsi Léo aura parcouru 15 km en moins d’une heure et demie (très
381
375
légèrement moins d’une heure et demie).
3) Distance parcourue au total par Tara et Léo : 3,450 km.
0,960 1,050 0,780  0,660

 0, 441 (h).
Temps de parcours :
6

10

 

Pour Tara
Pour Léo
3,450 km
 7,82 km / h .
0, 441 h
4) a) Utilisons un tableau de proportionnalité pour construire le parcours à
1
l’échelle
:
20 000
Vitesse moyenne :
Vraie grandeur (cm)
AB  96 000
BC  105 000
CD 78 000
DA  66 000
BD  105 000
Représentation à l’échelle (cm)
96 000
AB 
 4,8
20 000
105 000
BC 
 5,25
20 000
78 000
CD 
 3,9
20 000
66 000
DA 
 3,3
20 000
105 000
BD 
 5, 25
20 000
Pour construire le quadrilatère ABCD à l’échelle, on part du point A, on trace le
segment horizontal [AB] de longueur 4,8 cm afin d’obtenir le point B. On prend
ensuite le compas et on trace le cercle C1 centré au point B avec pour écartement
5,25 cm. On déplace le compas puis on trace le cercle C 2 centré au point A avec
pour écartement 3,3 cm. A l’intersection des cercles C1 et C 2 , se trouve le point
D.
On déplace le compas puis on trace le cercle C 3 centré en D avec pour
écartement 3,9 cm. A l’intersection des cercles C1 et C 3 se trouve le point C.
On obtient alors :
382
376
4) b) Vitesse moyenne d’Amina : 11,5 km/h.
25
Temps de parcours d’Amina : 25 min 
h.
60
25
Distance parcourue par Amina : d  11,5 
 4,7917 (km) c’est-à60
dire 4792 m environ.
Amina se trouve sur le parcours à 4 792 m de A, donc à
4 792  960  3 832 m de B, donc à 3 832  1 050  2 782 m de C,
donc à 2 782  780  2 002 m de D, donc à 2 002  660  1 342 m de
nouveau de A (un tour a été effectué), donc à 1342  960  382 m de B.
382
 1,9 (cm) de B sur la figure. On obtient alors :
Or
20 000
383
377
Exercice 3
Partie A
1) ABCD étant un rectangle, ses diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi
AC
L est le milieu du segment [AC] et donc AL 
.
2
Le triangle ADC étant rectangle en D, car ABCD est un rectangle, on a
d’après le théorème de Pythagore, AC2  AD 2  DC2 ce qui donne
AC 2  7 2  6 2  49  36  85
c’est-à-dire
AC  85
et
donc
85
c’est-à-dire AL  4,6 (cm).
2
2) Le triangle ALO étant rectangle en L car [OL] est la hauteur de la
pyramide OABCD, on a d’après le théorème de Pythagore :
AO 2  AL2  LO 2 c’est-à-dire AO2  4,62  42  37,16 et donc
AL 
AO  37,16 c’est-à-dire AO  6,1 (cm). On obtient alors :
384
378
3) a)
Le
volume
de
la
pyramide
OABCD
1
1
1
3
 DA
 LO
V  Bh   
DC
   6  7  4  56 cm .


3
3
3
h
B
vaut :
 
b) Le volume du pavé creusé vaut, par soustraction du volume du pavé
droit ABCDA’B’C’D’ de la pyramide OABCD :
 
V  DC  DA  DD  56  6  7  5  56  210  56  154 cm3 .
Partie B
1) Le volume de la pyramide OABCD vaut :
1
1
1
 DA
 x   6  7  x  14x .
V  Bh   
DC


3
3
h 3
B
2) Le volume du socle en bois vaut, par soustraction du volume du pavé
droit ABCDA’B’C’D’ de la pyramide OABCD :
V  DC  DA  DD  14x  6  7  5  14x  210  14x .
3) Le volume de la pyramide en verre OEFGH est huit fois plus grand que
celui du volume de la pyramide OABCD car les dimensions étant
multipliées par 2, les volumes sont multipliés par 2 3  8 .
Ainsi, le volume de la pyramide en verre OEFGH vaut 8 14x  112x .
4) Cela revient à résoudre l’équation 112x  2   210  14x  .
Or 112x  2   210  14x  équivaut à 112x  420  28x c’est-à-dire
420
3 .
140
Ainsi il faut choisir x  3 pour que le volume de la pyramide en verre
soit égal au double du volume du socle en bois.
5) a)
Comme
f x   210  14x ,
on
a
f  0  210
et
140x  420 c’est-à-dire x 
f  5   210  14  5  210  70  140 . Ainsi la courbe de la fonction f est
représentée par la droite D1 qui passe par les points de coordonnées
385
379
 0; 210
et  5;140  . Par déduction, la courbe de la fonction g est
représentée par la droite D 2 .
b) Lorsque 1, 65  x  5 on a f  x   g x  (car la droite D1 est sous la
droite D2 ). f x  étant l’expression du volume du socle en bois et g x 
l’expression du volume de la pyramide en verre, on en déduit que les
valeurs de x pour lesquelles le volume du socle en bois est inférieur ou
égal au volume de la pyramide en verre sont comprises entre 1,65 et 5.
c) f  x  g x équivaut à 210  14x  112x ce qui équivaut à
210
 x c’est-à-dire 1,67  x (environ).
126
Comme les fonctions f et g ne sont définies que pour x compris entre 0
et 5, on en déduit que l’inéquation f  x   g x  équivaut à x compris
entre 1,67 (environ) et 5. On retrouve donc le résultat précédent, mais de
manière plus précise.
210  126x ce qui équivaut à
Exercice 4
1) a) En appliquant le programme d’Adam, on obtient :
Nombre de départ 3
Valeur 1
2 3  6
Valeur 2
639
Valeur 3
3  2 1
Résultat
9 1  9
Ainsi, si le nombre de départ est 3, le résultat est égal à 9.
b) En appliquant le programme d’Adam, on obtient :
Nombre de départ 2,4
2  2, 4  4,8
Valeur 1
4,8  3  7,8
Valeur 2
2,4  2  0,4
Valeur 3
7,8 0,4  3,12
Résultat
Ainsi, si le nombre de départ est 2,4, le résultat est égal à 3,12.
c) En appliquant le programme d’Adam, on obtient :
386
380
Nombre de départ
Valeur 1
Valeur 2
Valeur 3
Résultat
x
2x
2x  3
x2
 2x  3 x  2
 2x2  4x  3x  6
 2x2  x  6
Ainsi, si le nombre de départ est x, le résultat est égal à 2x2  x  6 .
2) a) En appliquant le programme de Pauline, on obtient :
Choisir un nombre
Elever au carré
Soustrais 3
Multiplie par 2
Soustrais le nombre de départ
3
9
6
12
12  3  9
Ainsi, si le nombre de départ est 3, le résultat obtenu est égal à 9.
b) En appliquant le programme de Pauline, on obtient :
Choisir un nombre
Elever au carré
Soustrais 3
Multiplie par 2
Soustrais le nombre de départ
Ainsi, si le nombre de départ est
7
3
49
9
49
49 27 22
3 


9
9
9
9
22
44
 2
9
9
44 7 44 21 23
 
 
9 3 9
9
9
7
23
, le résultat obtenu est égal à
.
3
9
3) En appliquant le programme de Pauline, on obtient :
387
381
Choisir un nombre
Elever au carré
Soustrais 3
x
x2
Multiplie par 2
2x 2  6
Soustrais le nombre de départ
2x 2  6  x
x2  3
Les deux expressions 2x 2  x  6 et 2x 2  6  x étant rigoureusement
égales, on en déduit que les programmes de calcul d’Adam et de Pauline
donnent le même résultat.
4) Cela
revient
à
2x2  x  6   2x  3  x  2 
2x 2  x  6  0
résoudre
(voir
question
1)
.
Or
c)).
Ainsi
2x  3  0

2x  x  6  0 équivaut à  2x  3 x  2   0 c’est-à-dire ou
x  2  0

3

x

2x
3



2


c’est-à-dire  ou
c’est-à-dire ou
.
x 2
x  2



Ainsi les nombres de départ donnant des résultats des programmes de
3
calcul nuls sont
et 2.
2
5) Dans B2, il écrit =2*A2*A2-A2-6. En effet la cellule A2 joue le rôle de
2
la variable x dans l’expression 2x 2  x  6 .
Exercice 5
1) Comme 7  5  2  1 , la valeur du signe « point » est 1 et celle du signe
« trait » est 5.
2) 21  1  20 . Ainsi 21 s’écrit :
3) 37  3  5  2  1  1  20 . Ainsi 37 s’écrit :
388
382
4) a) Il s’agit du nombre : 2  5  4  1  3  20  74 .
b) Il s’agit du nombre : 1 5  3  5  2  1  20  1  202  745 .
5) a) 25  1 5  1 20 . Ainsi l’écriture maya du nombre 25 est :
b) 101  1  5  20 . Ainsi l’écriture maya du nombre 101 est :
c) Tout comme le système de numération indienne, chaque chiffre ou symbole
n’a de valeur que par sa position. Aussi un simple point chez l’écriture maya peut
signifier une unité, ou bien une vingtaine selon que ce point est positionné à la
base ou au « 1er étage ».
389
383
Sujet 3
Sujet du groupement
académique
Durée : 3 heures.
L’épreuve est constituée d’un ensemble d’au moins trois exercices
indépendants, permettant de vérifier les connaissances du candidat.
L’usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de
la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021.
L’usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout
matériel électronique (y compris les montres connectées) est
rigoureusement interdit.
Exercice 1
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Donner la bonne réponse en la justifiant.
Une réponse erronée n’enlève pas de point. Une réponse non justifiée ne
rapporter pas de point.
1)
Quel est volume d’un cylindre d’une hauteur de 6 cm et de base un
disque d’un diamètre de 8 cm ?
Réponse A : 48 cm3 .
Réponse B : 96  cm 3 .
Réponse C : 144 cm3 .
Réponse D : 384  cm 3 .
2)
Le 1er juin, Nicolas lance une rumeur en la partageant avec trois
personnes. Chaque jour, une personne prévenue la veille prévient trois
391
385
nouvelles personnes qui ne sont pas encore informées. Combien de
personnes apprennent la rumeur le 10 juin ?
Réponse A : 30.
Réponse B : 1 000.
Réponse C : 59 049.
Réponse D : 177 147
3)
Le prix d’un article subit une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10
% quelques semaines plus tard. Au final :
Réponse A : le prix de l’article a baissé de 1 %.
Réponse B : l’article a retrouvé son prix initial.
Réponse C : le prix de l’article a augmenté de 1 %.
Réponse D : le prix article a augmenté de 5 %.
4)
4
est …
25
Réponse A : un nombre réel mais n’est pas un nombre rationnel.
Réponse B : un nombre rationnel mais n’est pas un nombre décimal.
Réponse C : un nombre décimal mais n’est pas un nombre entier.
Réponse D : un nombre entier.
5)
Le quart de
Réponse A :
1
.
3
Réponse B :
4
.
3
4
est …
12
392
386
Réponse C :
16
.
48
Réponse D :
4
.
48
6)
2
1
 5  5  est égal à
3
3
Réponse A : 5.
Réponse B :
20
.
9
Réponse C :
15
.
15
Réponse D :
20
.
90
7)
Le triangle ABC est rectangle en B. De plus, AB  8 cm et
AC 10 cm . L’aire du triangle ABC est :
Réponse A : 24 cm2 .
Réponse B : 40 cm2 .
Réponse C : 48 cm2 .
Réponse D : 80 cm2 .
387
Exercice 2
Célia s’entraîne à courir tous les jours de la semaine sur le même parcours.
1. Elle aimerait comparer ses résultats d’entraînement sur une semaine à
ceux de sa sœur qui s’entraîne également sur le même parcours.
Résultats obtenus par Célia cette
semaine :
Lundi : 33 min et 12 secondes
Mardi : 32 min et 4 secondes
Mercredi : 40 min et 25 secondes
Jeudi : 27 min et 11 secondes
Vendredi : 30 min
Samedi : 26 min et 38 secondes
Dimanche : 29 min et 1 seconde
Résultats obtenus par sa sœur
cette semaine :
Moyenne : 31 min et 13 secondes
Médiane : 30 min
Etendue : 3 min
a) Comparer les durées moyennes de course.
b) Comparer les durées médianes de course.
c) Avec les informations ci-dessus, Célia affirme « Je suis la seule de
nous deux à avoir réussi à effectuer ce parcours en moins de 28
minutes cette semaine ». Cette affirmation est-elle vraie ?
d) Avec les informations ci-dessus, sa sœur lui répond « Moi, j’ai été la
plus régulière de nous deux sur la semaine ». Expliquer ce
commentaire.
2. Le parcours d’entraînement de Célia est représenté ci-dessous :
Le diamètre  AB du demi-cercle reliant le point A au point B a pour
longueur 2 300 m.
1
a. Représenter le parcours à l’échelle
. Justifier l es mesures
20 000
retenues pour réaliser la construction à l’échelle.
b. Montrer que la distance du parcours, arrondie à l’unité, est d’environ
5 913 m.
c. Aujourd’hui, Célia a bouclé le parcours sur une durée de 33 minutes
et 36 secondes. Quelle a été sa vitesse moyenne en km/h, arrondie au
dixième près ?
388
394
d. Célia a l’habitude d’effectuer le parcours dans le sens des aiguilles
d’une montre en partant du point A. Sur la représentation de la
question 2.a, placer les points L, M et N correspondants
respectivement au quart, à la moitié et aux trois quarts du parcours.
Exercice 3
Dans ce problème, les figures qui sont dessinées ne sont pas représentées à
l’échelle.
Partie A : installation du potager
Une enseignante a le projet d’installer un potager rectangulaire ADEF sur une
parcelle de forme triangulaire ABC dans l’enceinte de l’école.
Les points A, B, C, D, E et F sont tels que :
 AB  24 m , AC  10 m et BC  26 m ;
 D   AB , E  BC et F  AC  .
La figure n’est pas réalisée à l’échelle.
1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
Dans la suite de cette partie, on souhaite déterminer où positionner le
point D sur [AB] pour que l’aire du rectangle hachuré ADEF soit la plus
grande possible.
2. Dans cette partie on considère que AD  4,8 m .
a. Montrer que la longueur DE est égale à 8 m.
b. En déduire l’aire du rectangle ADEF en m2 .
On note x la longueur, exprimée en mètre, du segment [AD].
395
389
5
x.
12
b. En déduire l’aire du rectangle ADEF en fonction de x.
3. a. Montrer que DE  10 
4. Le graphique ci-dessous représente l’aire, exprimée en mètre carré, du
rectangle ADEF en fonction de la longueur x en mètre.
A l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes :
a. Quelle est l’aire du potager si la longueur AD vaut 5 m
?
b. Pour quelle(s) valeur(s) de la longueur AD l’aire du potager est-elle égale
à 45 m 2 ?
c. Pour quelle(s) valeur(s) de la longueur AD l’aire du potager est-elle
supérieure ou égale à 50 m2 ?
d. Quelle est l’aire maximale du potager ? Donner la longueur et la largeur
du rectangle ADEF correspondant.
Partie B : Choix du terreau
Dans cette partie, le jardin est assimilé à un rectangle qui a pour longueur 12 m
et pour largeur 5 m. On souhaite entourer le jardin d’une bordure de 30 cm de
hauteur afin de remplir le pavé droit obtenu d’un mélange de terre et de terreau.
On négligera, dans cette partie, l’épaisseur de la bordure du jardin. Le mélange
est composé d’un tiers de terreau et de deux tiers de terre.
396
390
1. Montrer que le volume de terreau nécessaire pour le potager est de 6 m3
.
2. Trois magasins proposent les offres suivantes :
Magasin 1
Livraison : 20 €.
0,10 € le litre de terreau.
Magasin 2
Livraison offerte
2,35 € le sac de 20 litres de terreau.
20 % de remise immédiate après l’achat d’une carte de fidélité au prix
de 10 €.
Magasin 3
Livraison offerte pour tout achat supérieur à 50 €.
5,37 € le sac de 50 litres de terreau.
Quel magasin choisir pour avoir le tarif, livraison comprise, le plus
économique possible pour les 6 m3 nécessaires ?
Partie C : Plantation des fleurs
Dans la perspective d’offrir des bouquets de fleurs pour la fête de l’école,
l’enseignante souhaite planter des graines dans le potager. Dans la classe il y a 26
élèves et chaque élève reçoit 20 graines à semer. On a reporté ci-après ce que l’on
peut lire sur le paquet de graines choisi.
Taux de germination des graines : 90 %
Prix du paquet de graines : 4,53 €.
Ce paquet contient 50 graines.
Période de semis : d’avril à juin
Hauteur adulte : 50 cm.
On rappelle que le taux de germination d’un paquet de graines indique le
pourcentage de graines qui devraient germer et donc produire une fleur.
397
391
1. Combien de fleurs un élève peut peut-il espérer voir pousser ?
2. Quel sera le budget à prévoir pour l’achat des graines.
3. En plus des graines, des bulbes de tulipes et de jonquilles sont plantés.
a. L’enseignante en plante sur un sixième du potager puis un peu plus
loin sur un huitième de ce même potager. Un élève affirmer que les
bulbes représentent plus de 25 % du potager. A-t-il raison ?
b. Elle met dans un panier 30 bulbes de jonquilles et des bulbes de
tulipes. La proportion de bulbes de jonquilles dans le panier est de
5
. Calculer le nombre de bulbes de tulipes dans ce panier.
6
Exercice 4
Voici un programme écrit avec le logiciel Scratch.
1. Représenter la figure obtenue lorsque le programme est exécuté. On
398
392
prendra 1 mm pour 1 pixel.
2. Marie souhaite obtenir la figure ci-dessous où chaque tiret mesure 10
pixels et est séparé du précédent de 10 pixels.
Quelle(s) modification(s) doit-elle apporter au programme ?
3. a. Léo souhaite modifier le programme donné pour que l’on obtienne la
figure ci-dessous.
Quelle(s) modification(s) doit-il apporter au programme de départ ?
b. Quel type de transformation géométrique permet de passer d’un tiret à
un autre ?
399
393
Corrigé
Commentaires
Exercice 1 : Il s’agit d’un QCM très simple qui devrait récompenser les
candidats qui ont bien révisé. Foncez les yeux fermés !
 Stratégiquement, on peut commencer sans aucun problème par cet
exercice. Attention à bien justifier car c’est exigé !
Exercice 2 : Il s’agit d’un exercice de statistiques et de géométrie plus
délicat qu’il ne semble à cause de problèmes de conversions. Attention,
la moindre erreur de calcul sera fatale !
 Stratégiquement, on peut laisser cet exercice pour la fin de
l’épreuve. La dernière question est particulièrement pénible, car elle
force à réfléchir au positionnement d’un point sur un demi-cercle, ce
qui est très inhabituel !
Exercice 3 : Cet exercice est long mais sans grande difficulté. Il
combine, réflexion, théorèmes classiques de géométrie comme le
théorème de Pythagore et le théorème de Thalès, et le calcul algébrique.
Il faut être soigneux et précis car nul doute que le correcteur sera
particulièrement attentif à la qualité de la rédaction et aux étapes de
calculs.
 Stratégiquement, il est judicieux de démarrer en deuxième partie
d’épreuve cet exercice.
Exercice 4 : Il s’agit d’un exercice d’algorithmique sous Scratch.
Aucune difficulté.
 Stratégiquement, on peut attaquer cet exercice assez vite durant
l’épreuve. Il permet de « singulariser sa copie » et de gagner des points,
car les candidats n’aiment pas la programmation et ne la travaillent pas
assez.
Exercice 1
1) Réponse B.
 4 2  6  96
Justification : V  B  h  
B
h
cm3  .
2) Réponse C.
Justification : Au 1er juin, 3  31 personnes apprennent la rumeur.
Au 2 juin, 9  3 2 personnes apprennent la rumeur.
Au 3 juin, 27  33 personnes apprennent la rumeur, etc.
Au 10 juin, 310  59 049 personnes apprennent la rumeur.
400
394
3) Réponse A.
Justification : Une augmentation de 10% se traduit par une multiplication
par 1,10. Une diminution de 10% se traduit par une multiplication par
0,90. Comme 1,10  0,90  0,99 , une hausse de 10 % suivie d’une baisse
de 10 % se traduit par une diminution de 1%.
Ainsi, au final le prix de l’article a baissé de 1 %.
4) Réponse C.
4 16

 0,16 . Il s’agit d’un nombre décimal non entier.
Justification :
25 100
5) Réponse D.
1 4 1 4
4

Justification :  
.
4 12 4 12 48
6) Réponse A.
2
1 10 5 15
Justification :  5  5     5 .
3
3 3 3 3
7) Réponse A.
Justification :
D’après le théorème de Pythagore, AB2  BC2  AC2 , ce qui donne
BC2  AC2  AB2  102  82  100  64  36 et donc BC  36  6 .
B  h BC  AB 6  8 48



 24 cm2 .
L’aire du triangle vaut alors
2
2
2
2
 
Exercice 2
1) a)
La
moyenne
de
Célia
vaut :
12
4
25
11
12
38
1
33   32   40   27   33   30  26   29 
60
60
60
60
60
60
60
7
 31,45 (min) c’est-à-dire : 31 min et 27 s (environ) car 0,45  60  27 .
Ainsi Célia et sa sœur ont des moyennes très proches, à 14 secondes près
au désavantage de Célia.
b) La médiane de Célia vaut 30 minutes, il s’agit de la valeur centrale, la
quatrième, une fois que les sept valeurs de la série statistique sont rangées
dans l’ordre croissant :
26 min 38 s – 27 min 11 s – 29 min 1s – 30 min – 32 min 4s – 33 min 12s
401
395
– 40 min 25 s.
Ainsi, les durées médianes de course de Célia et de sa sœur sont
identiques.
c) L’affirmation est vraie. En effet, à supposer que la sœur de Célia ait
réalisé le parcours en moins de 28 minutes, alors sa durée de parcours
minimale serait inférieure à 28 minutes. En considérant l’étendue égale à
3 min, elle aurait donc une durée de parcours maximale inférieure à 31
minutes. Impossible dans ces conditions d’obtenir une moyenne de 31
min et 13 secondes !
d) L’étendue de Célia est égale à 13 min 47s. En effet :
40min 25 s  26min 38 s  13min 47 s .
A moyenne et médiane comparables, la sœur de Célia est bien plus
régulière avec son étendue égale à 3 min.
2) a) Le diamètre réel est de 2 300 m, c’est-à-dire 230 000 cm.
230 000
 11,5 (cm). Pour réaliser la
Le diamètre à l’échelle vaut donc
20 000
construction à l’échelle, il nous reste à tracer un demi-cercle de rayon
5,75 cm, on obtient alors :
b) La distance du parcours vaut :
2
300 
Diamètre
2  1 150
2

 5 913 (m).
Demipérimètre du cercle de rayon 1150
c) On a d  5,913 km et t  33 min 36 s  33,6 min (car
36
 0,6 ) c’est-à60
33,6
d 5,913 km
 0,56 ) et donc v  
 10,6 km / h .
t
0,56 h
60
1
1
d)  591 300  20 000  7,4 (cm).  591 300  20 000  14,8 (cm)
4
2
dire 0,56 h (car
402
396
3
 591 300  20 000  22,2 (cm).
4
11,5
 18,1 (cm) ce qui correspond à 180 ° :
Comme le demi-cercle mesure 
2
7,4
 180  74 par proportionnalité) pour le
 7,4 cm correspond à 74° (
18,1
point L ;
14,8
180   147 par
 14,8
cm
correspond à
147°
(
18,1
proportionnalité) pour le point M ;
 22,2 cm se décompose en 18,1  4,1 cm pour le point N.
Ce qui donne :
Exercice 3
Partie A
1) AB2  AC2  24 2  10 2  676 et BC2  262  676 .
Comme AB2  AC2  BC 2 , on en déduit d’après la réciproque du théorème de
Pythagore, que le triangle ABC est bien rectangle en A.
2) a) Comme ADEF est un rectangle, on a  DE  / /  AC  . D’après le théorème
DE BD
DE BA  AD


c’est-à-dire
c’est-à-dire
AC BA
10
BA
DE 24  4,8
DE 19, 2
19, 2
c’est-à-dire
c’est-à-dire DE 


 10  8 (m).
10
24
10
24
24
b) Aire ADEF  AD  DE  4,8  8  38,4 ( m2 ).
de Thalès, on a :
403
397
DE BA  AD
DE 24  x


c’est-à-dire
c’est-à-dire
10
BA
10
24
5
 24  x  240  10x 240 10x
DE  10  



 10  x .

24
24
24
12
 24 
5 
5

b) Aire ADEF  AD  DE  x  10  x   10x  x 2 .
12 
12

3) a) D’après Thalès,
4) a) 40 m2 (environ) car l’image de 5 vaut 40 (environ).
b) Pour AD  6 m ou AD  18 m car 45 a pour antécédents 6 et 18.
c) Pour AD compris entre 7,2 m et 16,8 m (approximativement).
d) L’aire maximale du potager vaut 60 m 2 . On l’obtient pour une longueur AD
mesurant
(m)
et
une
largeur
DE
qui
vaut
x  12
5
5
10   x  10  12  10  5  5 (m).
12
12
Partie B
1) Le pavé droit a pour volume V  12 5 0,30  18
 m3  . Comme le
mélange est composé d’un tiers de terreau, le volume de terreau
1
nécessaire pour le potager est de 18  6 m3 .
3
 
2) 6 m 3  6 000 L . Ainsi :
 S’adresser au magasin 1 reviendra à une facture de
20
0,10  6000  620 €.
  

Livraison

terreau
S’adresser au magasin 2 reviendra à une facture de
6000
6000
 0, 20  2,35 

 574 €.
2,35 
10

20
20
 

 carte de fidélité
sacs de terreau

remise de 20%
S’adresser au magasin 3 reviendra à une facture de
6000
5,37 

 644, 4 €.
0
50
 Livraison offerte
sacs de t erreau
Ainsi, il faut choisir le magasin 2.
Partie C
1) Chaque élève reçoit 20 graines à germer, donc peut espérer voir
0,90  20  18 graines germer et donc voir 18 fleurs pousser.
2) 26  20  520 graines sont à prévoir donc un minimum de 11 paquets de
404
398
50 graines (car 10 paquets de suffiraient pas) c’est-à-dire un budget de
11  4,53  49,83 (€).
1 1
3) a)   0,2916 c’est-à-dire 29,16% environ. L’élève a raison.
6 8
5
b) 30 bulbes de jonquilles représentent des bulbes.
6
30
1
 6 bulbes de jonquilles représentent des bulbes.
Ainsi,
5
6
Il y a donc un total de 6  6  36 bulbes.
1
1
Comme des 36 bulbes sont des bulbes de tulipes, il y a 36  6
6
6
bulbes de tulipes.
Exercice 4
1) On obtient (sachant que chaque segment mesure 10 mm c’est-à-dire 1
cm) :
2) On remplace l’instruction « Répéter 4 fois » par « Répéter 8 fois » et
l’instruction « Tourner 90° » par « Tourner de 0° ».
3) a) On remplace l’instruction « Répéter 4 fois » par « Répéter 8 fois » et
l’instruction « Tourner 90° » par « Tourner de 45° ».
b) Une rotation dont le centre est le centre de la figure et l’angle 45° dans
le sens contraire des aiguilles d’une montre.
405
399
TOTAL
CR
PE
Concours
20232024
2e édition
Les mathématiques constituent l’une des épreuves écrites d’admissibilité des concours
de recrutement des professeurs des écoles (CRPE). L’épreuve se présente sous la forme
d’un sujet à traiter en 3 heures. Ce sujet comporte diérents exercices indépendants
consistant à vérier les connaissances mathématiques ainsi que la démarche scientique
(réexion abstraite et savoir-faire techniques basés sur de solides méthodes) du
candidat.
Cet ouvrage a été conçu pour aider dans leur préparation les candidats aux CRPE,
an qu’ils se préparent de façon autonome ou dans le cadre des INSPÉ (master Métiers
de l’enseignement, de l’éducation et de la formation [MEEF]) pour l’enseignement à
l’école primaire. Il s’adresse aussi à tous les professeurs des écoles en poste qui
souhaitent parfaire leur formation en mathématiques.
L’ouvrage vous propose :
des rappels de cours précis sur les notions classiques en mathématiques (nombres,
géométrie, algèbre, statistiques, probabilités, fonctions, tableurs, programmation) ;
ͥ
des exemples et exercices illustrant toutes ces notions an de les assimiler ecacement et d’y développer des automatismes ;
ͥ
ͥ
les corrigés des 3 sujets nationaux des CRPE 2022 pour la préparation de l’épreuve.
Thomas Petit est professeur agrégé de mathématiques, auteur de plusieurs livres aux éditions
Ellipses (collections «Method’» et «Compétences attendues»).
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