TOTA L CR PE L’épreuve écrite de Concours 20232024 2e édition MATHS • • • • Tout le cours pour réviser Méthodologie et conseils Tout pour s’entraîner Annales 2022 corrigées Thomas Petit Collecon dirigée par Philippe-Jean Quillien Concour s L’épreuve écrite de 2023 20 24 MATHS 2e édion Thomas Pet Professeur agrégé de Mathémaques ISBN 9782340-070028 ©Ellipses Édition Marketing S.A., 2022 8/10 rue la Quintinie 75015 Paris Table des maères Avant-propos ..................................................................................................... 11 1. Se préparer à l’épreuve.................................................................................................12 2. Méthodologie de l’épreuve ...........................................................................................13 3. Les stratégies gagnantes .............................................................................................. 14 Pare 1. Nombres Chapitre 1. Calcul mental ................................................................................ 17 1. Addition mentale ..........................................................................................................17 A. Rappels ................................................................................................................................... 17 B. Exemples.................................................................................................................................18 2. Soustraction mentale....................................................................................................19 A. Rappels ...................................................................................................................................19 B. Exemples.................................................................................................................................20 3. Multiplication mentale ................................................................................................. 21 A. Rappels ...................................................................................................................................21 B. Exemples.................................................................................................................................22 4. Division mentale ..........................................................................................................23 A. Rappels ...................................................................................................................................23 B. Exemples.................................................................................................................................24 5. Pourcentage mental ...................................................................................................... 24 A. Rappels ...................................................................................................................................24 B. Exemples.................................................................................................................................25 n Exercices .....................................................................................................................................26 Corrigés ...........................................................................................................................................................................28 Chapitre 2. Calcul posé.................................................................................... 31 1. Addition posée ............................................................................................................. 31 A. Nombres entiers .....................................................................................................................31 B. Nombres décimaux .................................................................................................................32 2. Soustraction posée .......................................................................................................33 A. Nombres entiers .....................................................................................................................33 B. Nombres décimaux .................................................................................................................34 3 3. Multiplication posée.....................................................................................................35 A. Nombres entiers .....................................................................................................................35 B. Nombres décimaux .................................................................................................................38 4. Division posée ..............................................................................................................39 A. Nombres entiers .....................................................................................................................39 B. Nombres décimaux .................................................................................................................43 n Exercices ........................................................................................................................................................44 Corrigés ...........................................................................................................................................................................45 Chapitre 3. Arithméque des nombres eners ............................................... 49 1. Multiple ........................................................................................................................49 2. Diviseurs, division euclidienne ...................................................................................50 3. Critères de divisibilité ..................................................................................................52 4. Nombres premiers ........................................................................................................ 53 5. PGCD et PPCM............................................................................................................54 n Exercices .....................................................................................................................................56 Corrigés ...........................................................................................................................................................................58 Chapitre 4. Fracons et pourcentages ............................................................. 63 1. Règles de calculs sur les fractions ............................................................................... 63 A. Les huit règles fondamentales ...............................................................................................63 B. Exemples.................................................................................................................................64 2. Simplicationsdefractions .........................................................................................66 A. Principes de base ...................................................................................................................66 B. Exemples.................................................................................................................................66 3. Ajouter et soustraire des fractions ............................................................................... 67 A. Rappels ...................................................................................................................................67 B. Exemples.................................................................................................................................67 4. Valeurs exactes, valeurs approchées de fractions .......................................................69 A. Rappels ...................................................................................................................................69 B. Exemples.................................................................................................................................69 5. Pourcentages ................................................................................................................71 A. B. C. D. Calculer un pourcentage .......................................................................................................71 Utiliser un pourcentage .........................................................................................................71 Traduire une augmentation par un pourcentage ..................................................................72 Traduire une diminution par un pourcentage .......................................................................72 n Exercices .....................................................................................................................................73 Corrigés ...........................................................................................................................................................................77 Chapitre 5. Puissances et racines carrées ........................................................ 83 1. Règles de calculs sur les puissances ............................................................................ 83 A. Les huit règles fondamentales ...............................................................................................83 B. Exemples.................................................................................................................................84 2. Puissancesdedix,écriturescientique,approximations ...........................................86 A. Puissances de dix ...................................................................................................................86 B. Ecriturescientique...............................................................................................................88 C. Approximations d’un nombre ................................................................................................89 4 3. Règles de calculs sur les racines carrées .....................................................................90 A. Les carrés parfaits .................................................................................................................90 B. Lesquatrerèglesfondamentales ...........................................................................................90 n Exercices .....................................................................................................................................92 Corrigés ...........................................................................................................................................................................94 Chapitre 6. Changements d’unités .................................................................. 97 1. Unités de longueur .......................................................................................................97 A. Le tableau des unités de longueur .........................................................................................97 B. Exemples.................................................................................................................................97 2. Unités de masse............................................................................................................99 A. Le tableau des unités de masse ..............................................................................................99 B. Exemple ..................................................................................................................................99 3. Unités de temps .......................................................................................................... 100 A. Années, jours, heures, minutes et secondes ........................................................................100 B. Exemples...............................................................................................................................100 4. Unités de surface........................................................................................................ 101 A. Le tableau des unités de surface.......................................................................................... 101 B. Exemples............................................................................................................................... 101 5. Unités de volume........................................................................................................102 A. Le tableau des unités de volume ..........................................................................................102 B. Cas particuliers des litres, décilitres, centilitres, millilitres .............................................103 6. Grandeurs produits ....................................................................................................104 7. Grandeursquotients ...................................................................................................105 A. Vitesse moyenne ...................................................................................................................105 B. Massevolumique .................................................................................................................. 106 C. Consommation .....................................................................................................................107 n Exercices ...................................................................................................................................108 Corrigés .........................................................................................................................................................................110 Chapitre 7. Proporonnalité ......................................................................... 119 1. Règle de trois.............................................................................................................. 119 A. Ramener à l’unité ................................................................................................................. 119 B. Utiliser un produit en croix .................................................................................................120 2. Règle de trois inversée ............................................................................................... 121 n Exercices ................................................................................................................................... 122 Corrigés .........................................................................................................................................................................124 Chapitre 8. Nombres réels, calcul liéral et algébrique ................................. 127 1. Nombres réels ............................................................................................................127 2. Priorité des opérations ...............................................................................................130 3. Développements ......................................................................................................... 131 A. Sansidentitéremarquable ................................................................................................... 131 B. Aveclesidentitésremarquables .......................................................................................... 133 4. Factorisations .............................................................................................................134 A. Sansidentitéremarquable ................................................................................................... 134 B. Aveclesidentitésremarquables .......................................................................................... 135 5 5. Résolutiond’équations ............................................................................................... 136 A. Les six règles de base...........................................................................................................136 B. Exemples...............................................................................................................................136 6. Résolutiond’inéquations............................................................................................138 A. Lesquatrerèglesdebase ....................................................................................................138 B. Exemples...............................................................................................................................139 n Exercices ................................................................................................................................... 141 Corrigés .........................................................................................................................................................................144 Pare 2. Géométrie classique Chapitre 9. Figures élémentaires du plan ...................................................... 151 1. Angles ........................................................................................................................ 151 2. Triangles..................................................................................................................... 152 A. Droitesremarquablesdutriangle ....................................................................................... 152 B. Trianglesremarquables ....................................................................................................... 152 C. Périmètre et aire d’un triangle ............................................................................................ 153 3. Quadrilatères..............................................................................................................154 A. Quadrilatères particuliers...................................................................................................154 B. Caractérisation par les diagonales ..................................................................................... 154 C. Périmètreetairedequadrilatèresparticuliers ..................................................................155 4. Cercle .........................................................................................................................156 A. Périmètre et aire d’un cercle ............................................................................................... 156 B. Théorèmes de l’angle inscrit et de l’angle au centre .......................................................... 156 n Exercices ................................................................................................................................... 157 Corrigés .........................................................................................................................................................................163 Chapitre 10. Théorème de Pythagore ............................................................. 171 1. Théorème de Pythagore ............................................................................................. 172 A. Énoncé .................................................................................................................................. 172 B. Exemples............................................................................................................................... 172 2. RéciproqueduthéorèmedePythagore...................................................................... 175 A. Énoncé .................................................................................................................................. 175 B. Exemple ................................................................................................................................ 175 3. Contraposée du théorème de Pythagore .................................................................... 176 A. Énoncé .................................................................................................................................. 176 B. Exemples............................................................................................................................... 176 n Exercices ................................................................................................................................... 178 Corrigés .........................................................................................................................................................................180 Chapitre 11. Théorème de Thalès ................................................................... 185 1. Théorème de Thalès ................................................................................................... 186 A. Énoncé ..................................................................................................................................186 B. Exemple ................................................................................................................................187 6 2. RéciproqueduthéorèmedeThalès ........................................................................... 189 A. Énoncé .................................................................................................................................. 189 B. Exemple ................................................................................................................................ 189 3. Contraposée du théorème de Thalès..........................................................................190 A. Énoncé ..................................................................................................................................190 B. Exemple ................................................................................................................................ 191 n Exercices ................................................................................................................................... 192 Corrigés .........................................................................................................................................................................197 Chapitre 12. Réducons et agrandissements .................................................. 201 1. Constructions ............................................................................................................. 201 A. Constructiond’uneréductiondegure ..............................................................................201 B. Constructiond’unagrandissementdegure......................................................................202 2. Effets sur les longueurs..............................................................................................203 3. Effets sur les surfaces ................................................................................................204 4. Effets sur les volumes ................................................................................................205 n Exercices ...................................................................................................................................206 Corrigés .........................................................................................................................................................................209 Chapitre 13. Trigonométrie ............................................................................. 213 1. Cosinus, sinus et tangente.......................................................................................... 214 A. La formule SOHCAHTOA .................................................................................................... 214 B. Exemple ................................................................................................................................ 215 2. Applicationsclassiques .............................................................................................. 216 A. Calculs d’angles ................................................................................................................... 216 B. Calculs de longueurs ........................................................................................................... 217 n Exercices ...................................................................................................................................220 Corrigés .........................................................................................................................................................................223 Chapitre 14. Transformaons.......................................................................... 227 1. Translation..................................................................................................................227 2. Rotation ......................................................................................................................228 3. Symétrie centrale .......................................................................................................228 4. Symétrie axiale ..........................................................................................................229 n Exercices ...................................................................................................................................230 Corrigés .........................................................................................................................................................................231 Chapitre 15. Solides élémentaires de l’espace ................................................ 233 1. Les solides « pointus » ...............................................................................................234 A. Quelssont-ils ? .....................................................................................................................234 B. Leur volume ..........................................................................................................................234 C. Exemples...............................................................................................................................234 2. Les solides « à deux bases » ......................................................................................236 A. Quelssont-ils ? ..................................................................................................................... 236 B. Leur volume ..........................................................................................................................236 C. Exemples...............................................................................................................................236 7 3. La sphère ....................................................................................................................238 A. Son volume ...........................................................................................................................238 B. Exemple ................................................................................................................................239 n Exercices ...................................................................................................................................240 Corrigés .........................................................................................................................................................................246 Pare 3. Repères, graphiques et foncons Chapitre 16. Repères....................................................................................... 253 1. Coordonnées d’un point .............................................................................................253 A. Lecture des coordonnées d’un point ...................................................................................253 B. Placement d’un point à partir de ses coordonnées.............................................................255 2. Coordonnées d’un milieu ........................................................................................... 256 A. Formule ................................................................................................................................256 B. Exemple ................................................................................................................................256 3. Longueur d’un segment .............................................................................................257 A. Formule ................................................................................................................................257 B. Exemple ................................................................................................................................257 n Exercices ................................................................................................................................... 259 Corrigés .........................................................................................................................................................................260 Chapitre 17. Foncons .................................................................................... 263 1. Fonction et courbe......................................................................................................263 2. Image .......................................................................................................................... 264 A. Lecturegraphiqued’image .................................................................................................264 B. Calculalgébriqued’image ..................................................................................................265 3. Antécédent .................................................................................................................266 A. Lecturegraphiqued’antécédent..........................................................................................266 B. Calculalgébriqued’antécédent ..........................................................................................267 4. Fonction croissante, fonction décroissante ................................................................ 268 A. Fonction croissante ..............................................................................................................268 B. Fonction décroissante ..........................................................................................................268 5. Minimum, maximum d’une fonction ........................................................................269 A. Minimum d’une fonction ......................................................................................................269 B. Maximum d’une fonction .....................................................................................................270 6. Fonctionlinéaire,fonctionafne ..............................................................................272 A. Fonction linéaire ..................................................................................................................272 B. Fonctionafne .....................................................................................................................273 n Exercices ................................................................................................................................... 275 Corrigés .........................................................................................................................................................................279 8 Pare 4. Stasques et probabilités Chapitre 18. Calcul stasque ........................................................................ 287 1. Moyenne ..................................................................................................................... 287 2. Étendue .......................................................................................................................288 3. Médiane ......................................................................................................................289 n Exercices ...................................................................................................................................290 Corrigés .........................................................................................................................................................................292 Chapitre 19. Calcul des probabilités ................................................................ 295 1. Vocabulaire ................................................................................................................295 2. Expériencesaléatoiresclassiquesàunseulacte ....................................................... 296 A. Lancer de pièce, de dé .........................................................................................................296 B. Tirage d’une carte, tirage d’une boule dans une urne .......................................................296 C. Choix d’une personne (à partir d’un tableau croisé d’effectifs) ........................................297 3. Expériences aléatoires à plusieurs actes....................................................................299 n Exercices ................................................................................................................................... 301 Corrigés .........................................................................................................................................................................304 Pare 5. Tableurs et programmaon Chapitre 20. Tableurs ...................................................................................... 311 1. Présentation d’un tableur ........................................................................................... 311 A. Se repérer sur une feuille de calcul ..................................................................................... 312 B. Remplir une cellule .............................................................................................................. 312 2. Les instructions incontournables d’un tableur .......................................................... 315 3. L’adressage absolu et les dollars ($) .......................................................................... 316 n Exercices ................................................................................................................................... 318 Corrigés .........................................................................................................................................................................321 Chapitre 21. Programmaon ........................................................................... 323 1. Labyrinthes ................................................................................................................323 2. Figures ........................................................................................................................325 3. Calcul .........................................................................................................................326 n Exercices ................................................................................................................................... 327 Corrigés .........................................................................................................................................................................331 Formulaire CRPE............................................................................................... 335 9 Pare 6. Sujets du groupement académique Sujet 1. Sujet du groupement académique .................................................... 345 n Énoncé ......................................................................................................................................345 Corrigé ........................................................................................................................................................................... 355 Sujet 2. Sujet du groupement académique .................................................... 365 n Énoncé ......................................................................................................................................365 Corrigé ........................................................................................................................................................................... 373 Sujet 3. Sujet du groupement académique .................................................... 385 n Énoncé ......................................................................................................................................385 Corrigé ...........................................................................................................................................................................394 10 Avant-propos 11 6HIDEULTXHUXQIRUPXODLUHFRXUW 6HPLQXWHUSHQGDQWOHVUpYLVLRQV )DLUHWRXVOHVH[HUFLFHV (WDOHUOHVUpYLVLRQVHWQHSDVV¶\SUHQGUHDXGHUQLHUPRPHQW 5HIDLUHDXPLQLPXPTXDWUHIRLVFKDTXHH[HUFLFHSXLVOHUpVXPHU 12 7RXMRXUVOLUHO¶pQRQFpHQHQWLHUDYDQWGHGpPDUUHU 7RXMRXUVFRPPHQFHUSDUO¶H[RTXLYRXVSDUDvWOHSOXVVLPSOH 1HSDVQpJOLJHUOHVRLQHWODUpGDFWLRQ 6HPLQXWHUSHQGDQWO¶pSUHXYH 3UHQGUHWRXVOHVSRLQWVERQVjSUHQGUH 13 14 Pare 1 Nombres Chapitre 1 Calcul mental 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Chapitre 2 Calcul posé 31 ([HPSOHDYHFUHWHQXH &RPPHQWDLUH ([HPSOH 32 ([HPSOHVDQVUHWHQXH &RPPHQWDLUH ([HPSOHDYHFUHWHQXH 33 34 35 36 ([HPSOHDYHFUHWHQXH &RPPHQWDLUH ([HPSOH 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 Chapitre 3 Arithméque des nombres eners 49 'pILQLWLRQ ([HPSOH 'pILQLWLRQ GLYLVLRQ HXFOLGLHQQH 5HPDUTXH ([HPSOH 50 51 3URSULpWpVFULWqUHVGHGLYLVLELOLWpSDU 52 53 54 55 56 57 58 59 60 &HVGRX]HGLYLVHXUVpWDQWSDURUGUHFURLVVDQW HW 61 Chapitre 4 ͘ &ƌĂĐƚŝŽŶƐĞƚ ƉŽƵƌĐĞŶƚĂŐĞƐ ͘ ϭZğŐůĞƐĚĞĐĂůĐƵůƐƐƵƌůĞƐĨƌĂĐƚŝŽŶƐ ͘ >ĞƐŚƵŝƚƌğŐůĞƐĨŽŶĚĂŵĞŶƚĂůĞƐ 63 64 65 66 67 68 ͘ ϰsĂůĞƵƌƐĞdžĂĐƚĞƐ͕ǀĂůĞƵƌƐĂƉƉƌŽĐŚĠĞƐĚĞĨƌĂĐƚŝŽŶƐ ͘ ZĂƉƉĞůƐ ͘ džĞŵƉůĞƐ 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 Chapitre 5 Puissances et racines carrées ͘ ͘ ϭZğŐůĞƐĚĞĐĂůĐƵůƐƵƌůĞƐƉƵŝƐƐĂŶĐĞƐ ͘ >ĞƐŚƵŝƚƌğŐůĞƐĨŽŶĚĂŵĞŶƚĂůĞƐ 83 84 85 86 87 88 89 90 2QUHWURXYHDLQVLO¶pJDOLWp 6LPSOLILHU HW HW 6LPSOLILHU HW HW 2QUHWURXYHDLQVLO¶pJDOLWp SXLVTXH 91 92 93 94 95 96 Chapitre 6 Changements d’unités ͘ ͛ ͘ ϭhŶŝƚĠƐĚĞůŽŶŐƵĞƵƌ ͘ >ĞƚĂďůĞĂƵĚĞƐƵŶŝƚĠƐĚĞůŽŶŐƵĞƵƌƐ ͘ džĞŵƉůĞƐ 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 'RF&DUDFWpULVWLTXHVGHODERXLOORLUH 'RF(QHUJLHpOHFWULTXH 'RF3UL[GHO¶pQHUJLHpOHFWULTXH 109 110 111 112 113 114 115 116 117 Chapitre 7 Proporonnalité ͘ ͘ ϭZğŐůĞĚĞƚƌŽŝƐ ͘ ZĂŵĞŶĞƌăů͛ƵŶŝƚĠ 119 120 121 122 123 124 125 126 Chapitre 8 Nombres réels, calcul liéral et algébrique 127 128 129 130 131 132 133 134 135 ͘ ϱZĠƐŽůƵƚŝŽŶĚ͛ĠƋƵĂƚŝŽŶƐ ͘ >ĞƐƐŝdžƌğŐůĞƐĚĞďĂƐĞ ͘ džĞŵƉůĞƐ 136 137 138 139 140 141 'pYHORSSHU [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ 'pYHORSSHU [ )DFWRULVHU [ )DFWRULVHU [ [ [ 5pVRXGUH [ [ 142 [ [ 143 144 145 146 147 148 Pare 2 Géométrie classique Chapitre 9 Figures élémentaires du plan 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 $%&HVWXQWULDQJOHUHFWDQJOHHQ$>$+@HVWODKDXWHXULVVXHGH$ ([SOLTXHUSRXUTXRL $+ %& $& $% (QGpGXLUH$+ 161 162 163 164 165 166 167 168 169 Chapitre 10 Théorème de Pythagore 171 172 &RPPHQWDLUH ([HPSOHFpOqEUH K\SRWpQXVH G¶XQ WULDQJOH UHFWDQJOH LVRFqOH 173 ([HPSOHFpOqEUHKDXWHXUG¶XQWULDQJOHpTXLODWpUDO &RPPHQWDLUH 174 ͘ ϮZĠĐŝƉƌŽƋƵĞĚƵƚŚĠŽƌğŵĞĚĞWLJƚŚĂŐŽƌĞ ͘ ŶŽŶĐĠ ͘ džĞŵƉůĞ 175 ͘ ϯŽŶƚƌĂƉŽƐĠĞĚƵƚŚĠŽƌğŵĞĚĞWLJƚŚĂŐŽƌĞ ͘ ŶŽŶĐĠ ͘ džĞŵƉůĞ 176 177 178 179 180 181 182 183 184 Chapitre 11 Théorème de Thalès 185 186 187 188 ͘ ϮZĠĐŝƉƌŽƋƵĞĚƵƚŚĠŽƌğŵĞĚĞdŚĂůğƐ ͘ ŶŽŶĐĠ ͘ džĞŵƉůĞ 189 190 191 6RLW$%&XQWULDQJOHR ,- %& $, ,% ,- &DOFXOHUODORQJXHXU%& 6RLW$%&XQWULDQJOHR ,- %& $% $, $- &DOFXOHUODORQJXHXU$& 192 193 194 195 196 197 198 199 200 Chapitre 12 Réducons et agrandissements 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 Chapitre 13 Trigonométrie 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 Chapitre 14 Transformaons 227 228 /HV V\PpWULHV D[LDOHV ©LQYHUVHQWª OHV ILJXUHV (OOHV VRQW VXSHUSRVDEOHV XQLTXHPHQWVLRQUHWRXUQHOHFDOTXH 229 230 231 3RXUSDVVHUGXSHQWDJRQHDXSHQWDJRQHRQXWLOLVHODWUDQVODWLRQGHYHFWHXU &' RX OD WUDQVODWLRQ JOLVVDQW GH & YHUV ' VL RQ YHXW pYLWHU GH SDUOHU GH YHFWHXUQRWLRQDVVH]FRPSOH[H 232 Chapitre 15 Solides élémentaires de l’espace 233 ͨ ͩ ͘ ϭ>ĞƐƐŽůŝĚĞƐƉŽŝŶƚƵƐ ͘ YƵĞůƐƐŽŶƚͲŝůƐ͍ ͘ >ĞƵƌǀŽůƵŵĞ ͘ džĞŵƉůĞƐ 234 235 ͨ ͩ ͘ Ϯ>ĞƐƐŽůŝĚĞƐăĚĞƵdžďĂƐĞƐ ͘ YƵĞůƐƐŽŶƚͲŝůƐ͍ ͘ >ĞƵƌǀŽůƵŵĞ ͘ džĞŵƉůĞƐ 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 Pare 3 Repères, graphiques et foncons Chapitre 16 Repères 253 254 255 256 257 258 259 260 261 Chapitre 17 Foncons L’élaboration de la notion de fonction fut très longue et démarra dans l’Antiquité. Plus tard, Newton et Leibniz auront une importance décisive dans son aboutissement. Voici ce qu’il faut bien connaître dans ce domaine. 1. Fonction et courbe Définition Une fonction f est un « procédé », qui à chaque nombre x fait correspondre un unique nombre f x . f x est alors appelée image de x par f. Notation La fonction f est aussi notée f : x f x et se prononce « fonction f qui à x associe f x ». Définition On appelle courbe représentative de la fonction f l’ensemble des points M x, y tels que y f x . Notation La courbe représentative de la fonction f est notée Cf . 251 263 2. Image A. Lecture graphique d’image Principe Les images se lisent en ordonnées, c’est-à-dire sur l’axe vertical (si on demande l'image de 2 par exemple, on place 2 en abscisse [axe horizontal] et on lit l'ordonnée correspondante). Commentaire Il y a au maximum une et une seule image ! Exemple : On considère la courbe Cf ci-dessous : Déterminer l’image de 2 par la fonction f. 252 264 On place 2 en abscisse, et on lit l’ordonnée correspondante : L’image de 2 par f vaut 3, on a donc : f 2 3 . B. Calcul algébrique d’image Principe Pour calculer l'image de 2 par f (par exemple), c'est-à-dire calculer f 2 , on remplace x par 2 dans l'expression de f x . Exemple : On considère la fonction f définie par : f x x 2 5x 1, 6 . Calculer l’image de 2. On a f x x 2 5x 1, 6 donc f 2 22 5 2 1,6 4 10 1,6 15,6 . Ainsi l’image de 2 par f vaut 15,6, on a : f 2 15, 6 . 253 265 3. Antécédent A. Lecture graphique d’antécédent Principe Les antécédents se lisent en abscisses, c’est-à-dire sur l’axe horizontal (si on demande un antécédent de 4 par exemple, on place 4 en ordonnée [axe vertical] et on lit l’abscisse correspondante. Commentaire Il peut y avoir plusieurs antécédents ! Exemple : On considère la courbe Cf ci-dessous : Déterminer les antécédents de 4 par la fonction f. 254 266 On place 4 en ordonnée, et on lit les abscisses correspondantes : 4 admet pour antécédents : 1 , 1 et 3. B. Calcul algébrique d’antécédent Principe Pour déterminer un antécédent de 9 par f (par exemple), on résout l’équation f x 9 . Exemple : On considère la fonction f définie par : f x x 2 . Calculer les antécédents de 9. On résout l’équation f x 9 c’est-à-dire x 2 9 . Or x 2 9 équivaut à x 9 ou x 9 c’est-à-dire x 3 ou x 3 . Ainsi 9 admet pour antécédents 3 et 3 . 255 267 4. Fonction croissante, fonction décroissante A. Fonction croissante Définition La fonction f est croissante si a b entraîne f a f b (ordre conservé) ; B. Fonction décroissante Définition La fonction f est décroissante si a b entraîne f a f b (ordre renversé) ; Commentaire Ainsi, une fonction croissante conserve l’ordre alors qu’une fonction décroissante le renverse. 256 268 5. Minimum, maximum d’une fonction A. Minimum d’une fonction Définition La fonction f admet m comme minimum si pour tout x, f x m . Exemple : Soit f la fonction f dont la courbe est ci-dessous. Déterminer la valeur du minimum de f. 257 269 Complétons la courbe en repérant le « point le plus bas » : La fonction f admet pour minimum 1. B. Maximum d’une fonction Définition La fonction f admet M comme maximum si pour tout x, f x M . 258 270 Exemple : Soit f la fonction f dont la courbe est ci-dessous. Déterminer la valeur du maximum de f. Complétons la courbe en repérant le « point le plus haut » : La fonction f admet pour maximum 5. 259 271 6. Fonction linaire, fonction affine A. Fonction linéaire Définition Une fonction linéaire est une fonction de la forme x ax . Le coefficient a est appelé pente (ou coefficient directeur). Propriétés 1) La courbe représentative d’une fonction linaire est une droite (d’équation y ax ) qui passe par l’origine. 2) Si a 0 , la fonction linéaire x ax est croissante (droite qui « monte »). Si a 0 , la fonction linéaire x ax est décroissante (droite qui « descend »). Si a 0 , la fonction linéaire est constante (droite horizontale d’équation y 0 ). 3) Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité. Exemple : Le tarif d’un billet de train, en euros, est proportionnel au nombre de km parcourus. Sachant qu’un billet de train d’un trajet de 100 km est facturé 15 € : 1) Déterminer la fonction linéaire f, de variable x exprimée en km, associée au tarif d’un billet de train exprimé en euros. 2) En déduire le tarif d’un billet de train d’un trajet de 160 km. 1) Considérons l’expression f x ax de la fonction linéaire f. 260 272 15 0,15 . 100 Ainsi la fonction linéaire associée est f : x f x 0,15x . Comme f 100 15 , on a : a 100 15 ce qui donne a 2) Le tarif d’un billet de train d’un trajet de 160 km est donc de : f 160 0,15 160 24 (euros). B. Fonction affine Définition Une fonction affine est une fonction de la forme x ax b . Le coefficient a est appelé pente (ou coefficient directeur) et le coefficient b est appelé ordonnée à l’origine. Propriétés 1) La courbe représentative d’une fonction affine est une droite (d’équation y ax b ) qui passe par le point de coordonnées 0;b . 2) Si a 0 , la fonction affine x ax b est croissante (droite qui « monte »). Si a 0 , la fonction affine x ax b est décroissante (droite qui « descend »). Si a 0 , la fonction affine x ax b est constante (droite horizontale d’équation y b ). Exemple : Le tarif d’un trajet en taxi est constitué d’une « base » de 8 € (dès qu’on monte dans le taxi) auquel il faut ajouter 1,50 € la minute. 1) Déterminer la fonction affine g associée au tarif du trajet où x est exprimée en minutes et g x exprimé en euros. 2) En déduire le tarif en euros d’une course en taxi de vingt minutes. 261 273 1) Considérons l’expression g x ax b de la fonction affine g. Comme g 0 8 (car une course de 0 minutes coûte 8 euros, la base), on a a 0 b 8 c’est-à-dire b 8 . Comme g 1 8 1,50 9,50 (car une course d’une minute coûte 1,50 € auquel il faut ajouter la base de 8 €), on a a 1 b 9,50 c’est-à-dire a 8 9,50 c’est-à-dire a 9,50 8 1,50 . Ainsi la fonction affine associée est x g x 1,50x 8 . 2) Une course de vingt minutes sera facturée : g 20 1,50 20 8 30 8 38 (euros). 262 274 Exercices Exercice 17.1 On considère la courbe Cf ci-dessous : 1) Déterminer l’image par la fonction f de : a) 2 b) 0 c) 2 2) Est-ce que f 1 f 3 ? (On justifiera par valeurs approchées graphiques). Exercice 17.2 1) Soit f la fonction définie par f x x 2 x 2,5 . Calculer l’image de 3. 2) Soit g la fonction définie par g x x 2 x 5 . Calculer l’image de 0. 3) Soit h la fonction définie par h x x 2 2x 1 . Calculer l’image de 0,1. 263 275 Exercice 17.3 On considère la courbe Cf ci-dessous : Déterminer les antécédents de 2 par la fonction f. Exercice 17.4 Soit f la fonction f définie par : f x x 2 . Calculer les antécédents de 16. Exercice 17.5 Soit f la fonction f dont la courbe est ci-dessous. Déterminer la valeur du minimum de f. 264 276 Exercice 17.6 Soit f la fonction f dont la courbe est ci-dessous. Déterminer la valeur du maximum de f. Exercice 17.7 (CRPE) Le graphique ci-après représente l’aire d’une surface A x , en mètre carré, en fonction de la longueur x en mètres. 265 277 1) Quelle est l’aire, en mètre carré, si la longueur x est égale à 3 m ? 2) Pour quelle(s) valeur(s) de la longueur x, l’aire est-elle égale à 12 m2 ? 3) Pour quelle valeur de la longueur x, l’aire est-elle maximale ? Exercice 17.8 Au marché, un volailler vend 40 œufs au prix de huit euros. 1) Déterminer la fonction linéaire f associée au prix des œufs, où x est la variable désignant le nombre d’œufs, et f x le prix. 2) En déduire le tarif de 280 œufs. Exercice 17.9 Un randonneur mesure la température en fonction de l’altitude où il se trouve. A condition météorologiques comparables, il trouve 15°C à 400 m d’altitude puis 11°C à 500 m d’altitude. On considère t la fonction affine modélisant la température en fonction de l’altitude, x étant exprimée en mètres et t x étant exprimée en °C. 1) Montrer que l’expression de t est : t x 0,04x 31 . 2) En déduire, suivant ce modèle, la température à 650 m d’altitude. 266 278 Corrigés Corrigé 17.1 1) Complétons la courbe : Graphiquement, on a : a) f 2 3 2) b) f 0 1 c) f 2 1 . Non, car graphiquement f 1 0;8 et f 3 1,8 , donc on a f 1 f 3 . 267 279 Corrigé 17.2 1) On a f x x2 x 2,5 donc f 3 3 2 3 2,5 9 3 2,5 8,5 . Ainsi l’image de 3 par f vaut 8,5, on a : f 3 8,5 . 2) On a g x x2 x 5 donc g 0 02 0 5 5 . Ainsi l’image de 0 par g vaut 5, on a : g 0 5 . 3) On a h x x2 2x 1 donc : h 0,1 0,12 2 0,1 1 0,01 0, 2 1 1, 21. Ainsi l’image de 0,1 par f vaut 1,21 on a : h 0,1 1,21 . Corrigé 17.3 On place 2 en ordonnée, et on lit les abscisses correspondantes : 2 admet pour antécédents : 1, 3 et 5. Corrigé 17.4 On résout l’équation f x 16 c’est-à-dire x 2 16 . Or x 2 16 équivaut à x 16 ou x 16 c’est-à-dire x 4 ou x 4 . Ainsi 16 admet pour antécédents 4 et 4 . 268 280 Corrigé 17.5 Complétons la courbe en repérant le « point le plus bas » : La fonction f admet pour minimum 2,5. Corrigé 17.6 Complétons la courbe en repérant le « point le plus haut » : La fonction f admet pour maximum 4. 269 281 Corrigé 17.7 Complétons la courbe. On en déduit que : 1) L’aire vaut 24 m 2 si la longueur x est égale à 3 m. 2) L’aire est-elle égale à 12 m 2 si la longueur x vaut 1 m. 3) L’aire est maximale lorsque la longueur x vaut 3,5 m. Corrigé 17.8 1) Considérons l’expression f x ax de la fonction linéaire f. 8 1 0, 2 . 40 5 Ainsi la fonction linéaire associée est f : x f x 0, 2x . Comme f 40 8 , on a : a 40 8 ce qui donne a 270 282 2) Le tarif de 280 œufs est donc de : f 280 0,2 280 56 (euros). Corrigé 17.9 1) Considérons l’expression t x ax b de la fonction affine t. Comme t 400 15 on a a 400 b 15 c’est-à-dire 400a b 15 . Comme t 500 11 on a a 500 b 11 c’est-à-dire 500a b 11 Ainsi b 15 400a et b 11 500a , ce qui donne : 15 400a 11 500a c’est-à-dire 100a 4 c’est-à-dire a 0, 04 . Comme b 15 400a , on obtient : b 15 400 0,04 31 . Ainsi la fonction affine associée est x t x 0,04x 31 . 2) La température à 650 m, suivant ce modèle, sera égale à t 650 0,04 650 31 5 (°C). 271 283 Pare 4 Stasques et probabilités Chapitre 18 Calcul stasque 287 288 289 290 291 292 293 Chapitre 19 Calcul des probabilités 295 ͘ ϮdžƉĠƌŝĞŶĐĞƐĂůĠĂƚŽŝƌĞƐĐůĂƐƐŝƋƵĞƐăƵŶƐĞƵůĂĐƚĞ ͘ >ĂŶĐĞƌĚĞƉŝğĐĞ͕ůĂŶĐĞƌĚĞĚĠ ͘ dŝƌĂŐĞĚ͛ƵŶĞĐĂƌƚĞ͕ƚŝƌĂŐĞĚ͛ƵŶĞďŽƵůĞĚĂŶƐƵŶĞƵƌŶĞ 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 Pare 5 Tableurs et programmaon Chapitre 20 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 Chapitre 21 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 Formulaire CRPE Calcul mental Pourcentages célèbres : 50 % (moitié) ; 25 % (quart) ; 10 % (dixième) Arithmétique Multiple de a : ka a diviseur de b : il existe k tel que b ka . Division euclidienne de a par b : a bq r (avec r b ) Critères de divisibilité : un entier est divisible par - 2 si son chiffre des unités est pair - 3 si la somme des chiffres l’est - 4 si ses deux derniers chiffres forment un entier qui l’est - 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 - 6 s’il est à la fois divisible par 2 et par 3 - 9 si la somme de ses chiffres l’est - 10 si son dernier chiffre est 0 PPCM a, b PGCD a, b a b 335 317 Fractions a 1 a b b a b a d ad c b c b c d a c a c b d b d a a b a c b c a c ac a b b b c a b a b c c c b a b c c 1 b b a c ac a a 1 a b a b c c c Pourcentages Pourcentage : Effectif 100 (%) Effectif total t % c’est la fraction t 100 t . 100 t Augmenter de t % revient à multiplier par 1 . 100 Diminuer de t % revient à multiplier par 1 Puissances a 0 1 et a1 a a a a n a an n fois am an a m n am n a mn 1 an a b n a n bn a m a n a mn n an a n b b Puissances de dix n 10 n 1000 01 0 et 10 0,00 n zéros n Ecriture scientifique : a 10 (avec 1 a 10 et n entier) n zéros Racines carrées a b a b a a a b b 318 336 2 a a a 2 Changements d’unités Abréviations : k (kilo), h (hecto), da (déca), d (déci), c (centi), m (milli) Longueurs Masses Surfaces Volumes 3 3 3 3 3 Vol : 1 L 1000 cm 1 dm ; 1 dL 100 cm ; 1 cL 10 cm ; 1 mL 1 cm Temps : 1 an 365,25 j ; 1 j 24 h ; 1 h 60 min ; 1 min 60 s Proportionnalité Règle de trois (achat, recettes, etc.) : ramener à l’unité ou produit en croix. Règle de trois inversée (temps de parcours, héritage, etc.) : ramener à l’unité. Calcul littéral Prioriétés : parenthèses – multiplications et divisions – additions et soutractions a b c a b a c ; a b c a b a c ; a b c a c b c ; a b c a c b c . Développements et identités remarquables a b c d a c a d b c b d a b c d a c a d b c b d a b c d a c a d b c b d a b c d a c a d b c b d 2 2 a2 2ab b2 a b ; a 2 2ab b 2 a b ; a 2 b2 a b a b 319 337 Périmètres et aires Triangles Le périmètre d’un triangle de côtés a, b et c vaut p a b c . L’aire d’un triangle de base B et de hauteur h vaut A 1 B h . 2 Quadrilatères Le périmètre d’un quadrilatère de côtés a, b, c et d vaut p a b c d . 2 L’aire d’un carré de côté a vaut a . L’aire d’un rectangle de largeur L et de longueur l vaut L l . L’aire d’un parallélogramme de base B et de hauteur h vaut B h . L’aire d’un trapèze de bases B et B’ et de hauteur h vaut B B h . 2 Cercle Le périmètre d’un cercle de rayon R vaut p 2 R avec 3,14 . 2 L’aire d’un cercle de rayon R vaut A R avec 3,14 . Théorèmes de géométrie Théorème de l'angle inscrit : Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont même mesure. Théorème de l'angle au centre : La mesure d'un angle inscrit est égal à la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc. Conséquence : Si [AB] est un diamètre, alors AMB est rectangle en M. 2 2 2 Théorème de Pythagore (ABC triangle) : si Aˆ 90 alors BC AB AC . Réciproque : si BC2 AB2 AC2 alors ˆA 90 . Contraposée : Si BC2 AB2 AC2 , alors ABC n’est pas rectangle en A. 320 338 Théorème de Thalès (ABC triangle avec A, I, B alignés et A, J, C alignés) : Si IJ / / BC alors Réciproque : Si AI AJ IJ . AB AC BC AI AJ IJ alors IJ / / BC . AB AC BC Contraposée : Si AI AJ AI IJ AJ IJ (ou ou ) alors IJ et AB AC AB BC AC BC BC ne sont pas parallèles. Réductions et agrandissements Au cours d’une réduction (ou agrandissement) de coefficient k : - toutes les longueurs sont multipliées par k ; - toutes les surfaces sont multipliées par k2 ; - tous les volumes sont multipliés par k 3 . Il y a réduction lorsque 0 k 1 et agrandissement lorsque k 1 . Trigonométrie (SOHCAHTOA) Opposé Adjacent Opposé , Cosinus , Tangente Sinus . Hypoténuse H ypoténuse Adjacent Transformations La translation (glissement), la rotation et la symétrie centrale sont directes (l’image d’une figure ne nécessite pas de retourner le papier calque). Par contre la symétrie axiale est indirecte (calque retourné). Solides de l’espace 1 V B h pour les solides « pointus » (pyramide, cône de révolution) 3 V B h pour les solides « à deux bases » (cube, pavé, prisme, cylindre) 4 V R3 pour la sphère de rayon R. 3 321 339 Repères L’abscisse se lit sur l’axe horizontal. L’ordonnée se lit sur l’axe vertical. Coordonnées de I milieu de [AB] xI Longueur du segment [AB] (repère orthonormé) xA xB y yB , yI A 2 2 AB xB x A 2 yB yA 2 Fonctions Les images se lisent en ordonnées. Les antécédents sur l’axe des abscisses. f a est l’image de a. Un antécédent de k est une solution f x k . f est croissante si a b entraîne f a f b (ordre conservé) f est décroissante si a b entraîne f a f b (ordre renversé) f admet m comme minimum si pour tout x, f x m . f admet M comme maximum si pour tout x, f x M . Fonction linéaire : x ax (droite qui passe par l’origine). Fonction affine : x ax b (droite qui passe par le point (0;b)). Statistiques x1 n1 x2 n2 x3 n3 xp np moyenne de la série statistique x i , n i : m . n1 n2 n3 np Si G1 a pour moyenne m 1 et effectif n 1 et G 2 a pour moyenne m 2 et n m n m effectif n 2 . Alors : m 1 1 2 2 . n1 n 2 Etendue Max Min . La médiane (Med) d’une série statistique est la valeur telle que 50 % (environ) lui soient inférieures et 50 % des valeurs lui soient supérieures Probabilités La probabilité d’un événement est égal au nombre de cas favorables à l’événement divisé par le nombre de cas possibles. 322 340 Tableur =MOYENNE(B3:E3) calcule la moyenne des cellules B3, C3, D3, E3. =SOMME(B3:E3) calcule la somme des cellules B3, C3, D3, E3. = ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) retourne un entier au hasard entre 1 et 6. $A1 verrouille la colonne A mais pas la ligne (le nombre peut varier) ; A$1 verrouille la ligne 1 mais pas la colonne (la lettre peut varier) ; $A$1 verrouille la cellule A1. PROGRAMMATION SCRATCH Mouvement (avancer, tourner, aller, glisser, s’orienter, etc.) Bleu Apparence (dire, penser, costumes, etc.) Violet Son (jouer, volume, etc.) Rose Evénements (quand, envoyer, etc.) Jaune Contrôle (boucles répéter, instruction conditionnelle si, etc.) Orange Capteurs (demander valeur, couleurs, etc.) Bleu ciel Opérateurs (addition, soustraction, multiplication, etc.) Vert Variables (affecter une valeur, montrer, etc.) Orange Mes blocs (créer un bloc) Rouge 323 341 Pare 6 Sujets du groupement académique Sujet 1 Sujet du groupement académique Durée : 3 heures. L’épreuve est constituée d’un ensemble d’au moins trois exercices indépendants, permettant de vérifier les connaissances du candidat. L’usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021. L’usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout matériel électronique (y compris les montres connectées) est rigoureusement interdit. Exercice 1 Dans cette version adaptée du biathlon, les élèves ont à parcourir, en courant, 4 grands tours tracés avec des plots sur un stade comme dans la figure ci-dessous. A l’issue de chacun des 3 premiers tours, ils se présentent au pas de tir et lancent 3 balles sur des cibles. S’ils atteignent 3 fois leur cible, ils n’ont pas de pénalité et repartent pour le grand tour suivant. En revanche, pour chaque lancer manqué, ils doivent effectuer un petit tour avant de repartir sur le grand tour. Pour chaque élève on mesure la durée mise pour faire un parcours complet (grands tours + lancers + petits tours de pénalité le cas échéant). L’objectif est de mettre le moins de temps possible pour effectuer le parcours complet. 345 351 Partie 1 Dans cette partie, les élèves s’entraînent à la course sur le grand tour, sans effectuer de lancer de balles. 1. Pour un élève de CE1, la longueur du grand tour est de 250 m. a) On considère un élève, qui effectue les 4 tours en 10 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne de course, en mètre par minute ? b) Un autre élève a couru les 4 tours à la vitesse moyenne de 150 m/min. Déterminer sa vitesse moyenne en kilomètre par heure. 2. Dans le tableau ci-dessous, les longueurs d’un grand tour pour des élèves de CM1 et de CM2 sont données, ainsi que les temps de course pour effectuer 4 grands tours, de deux élèves (un en CM1 et un en CM2). Elève Longueur de 1 grand tour Temps de course pour 4 grands tours Elève de CM1 400 m 9 minutes et 30 secondes Elève de CM2 500 m 11 minutes et 8 secondes Déterminer la vitesse moyenne (en mètre par minute, arrondie à l’unité) de chacun de ces deux élèves, lorsqu’ils ont réalisé les 4 grands tours. 352 346 Partie 2 Dans cette partie, des élèves de CE1 font l’épreuve de biathlon dans sa totalité : Les 4 grands tours + les 3 épreuves de lancers de 3 balles + les éventuels tours de pénalité. On rappelle que pour un élève de CE1, la longueur du grand tour est de 250 m. 1. La longueur du tour de pénalité est de 20 m. a) Sachant que le tour de pénalité forme un cercle, déterminer son rayon. Arrondir au centimètre. b) Un élève de CE1, qui court à la vitesse moyenne de 150 m/min, prend le départ de l’épreuve. On suppose que pour effectuer 3 lancers, il passe, à chaque fois, 30 secondes sur le pas de tir. Quelle sera la durée totale que met cet élève pour réaliser le parcours complet, s’il ne rate aucune cible au premier tour et qu’il rate une cible au 2e tour puis deux cibles au 3e tour ? Donner la réponse en minutes et secondes. 2. Le professeur des écoles souhaite aider ses élèves à développer une stratégie pour améliorer leurs résultats. Il relève les performances d’un même élève de CE1 qui fait 3 fois l’épreuve de biathlon dans sa totalité en modifiant certains paramètres à chaque essai. Dans le tableau cidessous, Vmoy est la vitesse moyenne de cet élève sur les périodes de course (4 grands tours + éventuels tours de pénalité). a) La formule saisie en H3 puis recopiée vers le bas est =1000+(C3+E3+G3)*20. Expliquer le terme (C3+E3+G3)*20 dans le contexte de l’exercice. b) Donner une formule qui pourra être introduite dans la cellule J3, de telle sorte qu’elle puisse être recopiée vers le bas pour effectuer le calcul pour les autres essais. 353 347 c) Donner une formule qui pourra être introduite dans la case « durée totale » K3, de telle sorte qu’elle puisse être recopiée vers le bas pour effectuer le calcul pour les autres essais. Après calculs, on obtient le tableau complet ci-dessous : d) Interpréter le tableau pour déterminer ce que l’élève a modifié entre l’essai 2 et l’essai 3. e) Si on analyse les performances de l’élève aux essais 2 et 3, quelle hypothèse ce tableau permet-il de faire du point de vue des stratégies à adopter ? Exercice 2 On dispose d’un dé cubique non truqué dont les faces opposées sont identiques : deux faces numérotées 0, deux faces numérotées 1 et deux faces numérotées 2. 1. On effectue deux lancers et on lit, à chaque lancer, le chiffre inscrit sur la face supérieure. Les deux lancers permettent d’obtenir un nombre décimal : le résultat du premier lancer donne le chiffre des unités et celui du second lancer le chiffre des dixièmes. a) Donner la liste de tous les nombres qu’on peut obtenir. b) Justifier que la probabilité d’obtenir 1,2 est égale à 1/9. c) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à 1? d) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre décimal ? 2. Le tapis représenté ci-dessous est constitué de 36 carrés de côté 10 cm. 354 348 Ces carrés définissent trois zones Z1 , Z2 et Z 3 repérées par des couleurs différentes. Avec le même dé que précédemment, on effectue un lancer sur ce tapis et on regarde la face supérieure. Si le dé tombe à cheval sur deux zones, on le relance. On admet que la probabilité que le dé tombe dans une zone est proportionnelle à l’aire de la zone. a) Quelle est la probabilité que le dé tombe dans la zone Z2 ? b) Quelle est la probabilité que le dé tombe en zone Z 2 et donne le nombre 1 ? c) Quelle est la probabilité que le dé tombe en zone Z2 et donne un nombre pair ? Exercice 3 Un enseignant d’une classe de CM2 a proposé ce problème à ses élèves. Dans un bocal, un enfant a des billes vertes, des billes rouges et des billes bleues. Il a 4 fois plus de billes rouges que de billes vertes et il a 3 billes vertes de plus que de billes bleues. En tout il a 51 billes. Combien a-t-il de billes de chaque couleur ? (D’après un problème du Guide pour enseigner la résolution de problèmes au cours moyen, Ministère de l’éducation nationale, 2021). 1. Voici la réponse proposée par Samira, une élève de la classe de CM2. 355 349 Proposer une version corrigée du schéma utilisé par Samira pour résoudre le problème. 2.a) En notant v le nombre de billes vertes, déterminer, en fonction de v , le nombre de billes rouges et le nombre de billes bleues. 2.b) Mettre le problème en équation et la résoudre pour répondre algébriquement à la question posée dans l’énoncé. Exercice 4 Le programme ci-dessous (programme 1) a été écrit avec le logiciel Scratch. 356 350 1. En prenant C 50 et 1 cm pour 10 pixels, tracer la figure construite en utilisant le programme 1. 2. Quelle est la nature de la figure tracée ? Justifier la réponse. 3. On écrit le programme 2 en utilisant le bloc précédent, afin d’obtenir la figure représentée ci-après. a) Quelles valeurs attribuer aux lettres A et N dans le programme 2 pour obtenir la figure correspondante ? b) Quelle est la valeur de la variable C une fois le programme exécuté ? 4. Comment peut-on modifier le programme 2 pour obtenir la figure cidessous pour laquelle chaque segment mesure 30 pixels ? 357 351 Exercice 5 Un ballon-sonde est un ballon à gaz utilisé pour faire des mesures locales dans l’atmosphère. Dans le cadre du projet scientifique qu’elle anime pour sa classe de CM2, une professeure des écoles a reçu un petit ballon-sonde, représenté cidessous : Son enveloppe, composée de matières plastiques et de latex, a la forme, une fois gonflée, d’un cône de révolution surmonté d’une demi-sphère. Les dimensions données sur la figure ci-contre sont celles du ballon-sonde au sol, sur le lieu du lâcher situé au niveau de la mer. La pression atmosphérique diminuant avec l’altitude, le ballon se dilate en prenant de la hauteur et ses dimensions augmentent jusqu’à l’éclatement après une ascension de plus de vingt kilomètres. On pourra si nécessaire, utiliser le formulaire ci-dessous. 358 352 Périmètre du disque 2r Aire du disque r2 Volume du cône de révolution 1 2 r h 3 Aire de la surface latérale rg Volume de la boule 4 3 r 3 Aire de la sphère 4r2 1.a) Montrer, en indiquant les étapes du calcul, que le volume exact du ballonsonde au niveau de la mer, est égal à 45 000 cm3 . 1.b) Donner le volume du ballon sonde en litre, arrondi à l’entier. 2. Montrer qu’une génératrice du cône mesure 9 000 cm. 3. En déduire que l’enveloppe totale du ballon-sonde, au niveau de la mer, a une 2 aire d’environ 1,5 m au dixième près. 4. Entre 0 mètre d’altitude et 4 500 mètres d’altitude, les longueurs du ballonsonde augmentent de 25%. a) Par quel nombre les longueurs initiales sont-elles multipliées ? b) Montrer que, à 4 500 mètres d’altitude, l’enveloppe totale du ballon-sonde a 2 une aire d’environ 2,3 m arrondie au dixième près. c) Donner un arrondi, au litre près, du volume du ballon-sonde à 4 500 mètres d’altitude. 5. On lâche le ballon à 0 mètre d’altitude. On relève alors une température de 15°C. A 4 500 mètres d’altitude, la température transmise est de 12 °C. Entre 0 et 12 000 m d’altitude, la température, en degré Celsius, en fonction de l’altitude x, en mètre, peut-être modélisée par une fonction affine notée t. Montrer que pour tout x entre 0 et 12 000, on a t x 0,006x 15 . 6. A partir de quelle altitude la température devient-elle négative ? Justifier le résultat en résolvant une inéquation. 7. La professeure des écoles a réalisé, à l’aide d’un tableur, le calcul des températures en fonction de l’altitude du ballon-sonde. 359 353 En observant les données du tableau, sachant que le ballon part de 0 mètre d’altitude, à quelle altitude se trouve-t-il lorsque la température a baissé de 30°C ? 360 354 Corrigé Commentaires Exercice 1 : Il s’agit d’un exercice particulièrement pénible d’un point de vue rédactionnel et calculatoire (pour les conversions de vitesse, les calculs de distances). Il peut faire perdre un temps conséquent et provoquer de l’exaspération, aussi il faut garder son calme. Stratégiquement, il serait prudent de traiter cet exercice en fin d’épreuve. Même s’il ne comporte pas de difficultés insurmontables, il risque de démoraliser bon nombre de candidats car il est très facile de s’y perdre. Et puis, il y tellement d’autres exercices avec tellement d’autres points à prendre qu’il serait imprudent de gaspiller trop de temps sur une question à 0,25 points… Exercice 2 : Il s’agit d’un exercice de probabilités extrêmement classique. Nul doute que le correcteur sera très vigilant à la qualité de construction des arbres et à une rédaction synthétique et claire. Toute réponse lapidaire sera ignorée et sanctionnée. C’est donc un exercice facile mais qu’il faut rédiger avec beaucoup de soin. Stratégiquement, on peut commencer par cet exercice sans aucun problème. Sortir impérativement la règle pour construire de beaux arbres de probabilité permettra de se mettre le correcteur dans la poche ! Exercice 3 : Cet exercice est assez délicat car il consiste à se mettre dans la tête d’une élève qui a mal résolu un problème. Il faut donc passer pas mal de temps à comprendre son schéma de résolution, la source de son erreur puis la modification à lui apporter en respectant sa propre logique. Très déstabilisant ! Stratégiquement, il est judicieux de préparer sa propre résolution du problème au brouillon. Cela permet déjà d’y voir plus clair avant de se lancer dans la logique assez « obscure » du schéma. Dans cet exercice, le correcteur évalue la capacité d’adaptation du candidat-enseignant à des résolutions totalement personnelles d’élèves, ce qui arrive de plus en plus dans la pratique. Exercice 4 : Il s’agit d’un exercice d’algorithmique sous Scratch. Aucune difficulté. Stratégiquement, c’est ce genre d’exercice qui permet de « singulariser sa copie ». Peu de candidats travaillent les algorithmes, c’est l’occasion de faire la différence ! Pourquoi ne pas résoudre cet exercice en début d’épreuve, ce sont des points facilement gagnés ! Exercice 5 : Exercice pénible qui mérite beaucoup de concentration. La géométrie dans l’espace et l’exploitation de données nécessite de l’attention. Pas de réelle difficulté, sauf à déterminer algébriquement 361 355 les coefficients a et b d’une fonction affine (dont la représentation est une droite) et à savoir résoudre une inéquation. Stratégiquement, il conviendrait de laisser plutôt cet exercice pour la 2e partie de l’épreuve. Exercice 1 Partie 1 1.a) La vitesse moyenne de course vaut : d 4 250 m 1000 m 100 m/min. V t 10 min 10 min 150 m 0,150 km b) 150 m / min 9 km / h . 1 1 min h 60 Ainsi la vitesse moyenne est de 9 km/h. 30 2) 9 min 30 s 9,5 min car 30 s min 0,5 min . 60 Ainsi l’élève de CM1 a pour vitesse moyenne : d 4 400 m V c’est-à-dire : V 168 m/min. t 9,5 min 8 11 min 8 s 11,133 min car 8 s min c’est-à-dire 0,133 min environ. 60 Ainsi l’élève de CM2 a pour vitesse moyenne : d 4 500 m c’est-à-dire : V 180 m/min. V c’est-à-dire V t 11,133 min Partie 2 1.a) Soit r le rayon en mètres du cercle formé par le tour de pénalité. Alors 20 c’est-à-dire r 3,18 m. 2 r 20 c’est-à-dire : r 2 b) Considérons le parcours complet de l’élève de CE1. La durée totale est l’addition de : - 4 fois la durée d’un grand tour ; - 3 fois la durée d’un petit tour de pénalité ; - 3 fois la durée des 3 lancers. d Or, avec la formule t : v 250 m - la durée d’un grand tour vaut : 1,666 min c’est-à150 m / min 362 356 dire : 1 min et 40 s (car 0,666 min 0,666 60 s 40 s ) ; 20 m - la durée d’un demi-tour vaut : 0,133 min c’est-à-dire 150 m / min 8 s (car 0,133 min 0,133 60 s 8 s ). Ainsi on arrive à une durée totale de 8 min 34 s car : 4 1 min 40 s 3 8 s 3 30 s 4 min 160 s 24 s 90 s 4 min 274 s et car 274 s 240 s 34 s 4 min 34 s . 2.a) Dans le contexte de l’exercice, le terme (C3+E3+G3)*20 désigne la distance de pénalité totale. d b) Dans J3 on écrit =H3/(I3/60) car il s’agit de l’application de la formule v t donnant la vitesse moyenne en m/min (d étant représentée par H3 et t par I3/60). c) Dans K3, on écrit =(B3+D3+F3+I3)/60 car il s’agit de la durée totale en secondes qu’on convertit en minutes en divisant par 60. d) Les colonnes « durée(s) » du tableau indiquent qu’entre l’essai 2 et l’essai 3, l’élève a diminué le temps passé à viser les cibles. e) Les colonnes « cibles manquées » du tableau indiquent une contreperformance très nette de l’élève. La meilleure stratégie à adopter reste donc de prendre le temps maximal autorisé (de 30 s) pour tirer. Exercice 2 1) a) Les faces opposées du dé étant identique avec deux faces numérotées 0, deux faces numérotées 1 et deux faces numérotées 2, on peut utiliser l’arbre ci-dessous pour déterminer toutes les issues possibles et ainsi tous les nombres qu’on peut obtenir : 363 357 Ainsi, la liste des nombres qu’on peut obtenir est constitué de neuf nombres : 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 1 ; 1,1 ; 1,2 ; 2 ; 2,1 ; 2,2. 1 car il y a un cas favorable 9 (1,2) pour neuf cas possibles listés dans la question 1)a). 1) c) La probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à 1 est égale 3 à : car il y a trois cas favorables (0 ; 0,1 ; 0,2) pour neuf cas possibles 9 listés dans la question 1)a). 2 1) d) La probabilité d’obtenir un nombre entier est égale à car il y a deux 9 cas favorables (1 ; 2) pour neuf cas possibles listés dans la question 1)a). 9 1) e) La probabilité d’obtenir un nombre décimal est égale à 1 car il y 9 a neuf cas favorables (tous les nombres 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 1 ; 1,1 ; 1,2 ; 2 ; 2,1 ; 1) b) La probabilité d’obtenir 1,2 est égale à : 364 358 2,2 sont décimaux, même ceux qui sont entiers comme 1 qui peut s’écrire sous la forme 1,0) pour neuf cas possibles. 12 1 2) a) La probabilité que le dé tombe dans la zone Z2 est égale à car 36 3 il y a 12 cas favorables (la zone Z 2 comporte 12 carrés) pour 36 cas possibles (le tapis est constitué de 36 carrés). 2) b) Utilisons un arbre pondéré : 12 1 12 1 12 6 3 1 . 36 3 36 3 108 54 27 9 2) c) Utilisons de nouveau l’arbre pondéré précédent mais en entourant cette La probabilité cherchée vaut alors : 365 359 fois les branches concernant la zone Z2 et les deux nombres pairs : La probabilité cherchée vaut alors : 12 1 12 1 1 1 2 c’est-à-dire . 36 3 36 3 9 9 9 Exercice 3 1) Voici une version corrigée du schéma utilisé par Samira pour résoudre le problème, les modifications apportées étant entourées : 366 360 2.a) Soit r le nombre de billes rouges alors : r 4v . Soit b le nombre de billes bleues, alors : b v 3 . 2.b) Comme en tout il y a 51 billes, on a : v r b 51 et donc : v 4v v 3 51 c’est-à-dire 6v 3 51 c’est-à-dire 6v 3 3 51 3 r b 6v 54 c’est-à-dire v 9 . 6 6 Conclusion : il y a 9 billes vertes, 4 9 36 billes rouges, et 9 3 6 billes bleues. c’est-à-dire 6v 54 c’est-à-dire Exercice 4 1) On obtient : 2) Il s’agit d’un losange, car les quatre côtés sont égaux. 3) a) On prend : N 4 (car la figure est constituée de quatre motifs) A 45 car chaque nouvelle figure a tourné de 45° dans le sens anti-horaire par rapport à la précédente. 367 361 c) Une fois le programme exécuté, on a C 150 ( 30 4 30 ). 4) On modifie la ligne : « tourner de A degrés » en « tourner de 90 degrés » « ajouter 30 à C » en « ajouter 0 à C ». Exercice 5 1.a) VBallon sonde VCône Vdemi sphère . 1 Or VCône 30 2 90 27 000 cm 3 3 4 30 3 36 000 18 000 cm3 . et Vdemi sphère 3 2 2 Ainsi VBallon sonde 27 000 18 000 45 000 cm 3 . 1.b) On a : 1 cm 3 0,001 dm 3 0,001 L Donc VBallon sonde 45 000 cm 3 45 000 0,001 L 45 L VBallon sonde 141 L . 2) D’après le théorème de Pythagore, g 2 h 2 r 2 ce qui donne g 2 90 2 30 c’est-à-dire g 2 9 000 et donc g 9 000 cm . 3) L’enveloppe totale du ballon sonde a pour aire : 1 4 302 30 9 000 14595 cm2 c’est-à-dire 1, 4595 2 c’est-à-dire m2 2 car 1 cm 2 0,01 dm 2 0,0001 m 2 c’est-à-dire 1,5 m 2 au dixième près. 4.a) Une augmentation de 25% se traduit par une multiplication par 25 1 1,25 . Ainsi les longueurs initiales seront multipliées par 1,25. 100 4.b) Si les longueurs sont multipliées par 1,25 alors les aires seront multipliées par 1, 25 2 (on « passe » d’une dimension à deux dimensions). Ainsi l’enveloppe totale du ballon-sonde aura une aire d’environ 1,5 1, 25 2 2,3 ( m2 ) au dixième près. c) Si les longueurs sont multipliées par 1,25 alors les volumes seront multipliés par 1, 253 (on « passe » d’une dimension à trois dimensions). Ainsi le volume du ballon-sonde sera égal à 141 1,253 275 L (au litre près). 5) Puisque t est une fonction affine, t x peut s’écrire sous la forme 368 362 t x ax b . Comme à 0 mètre d’altitude, la température est de 15°C, on a t 0 15 c’est-àdire a 0 b 15 ce qui donne : b 15 . Comme à 4500 mètres la température est de 12 °C, on a t 4500 12 c’està-dire a 4500 b 12 c’est-à-dire 4500a 15 12 ce qui donne 27 0,006 . 4500a 27 c’est-à-dire a 4500 Ainsi t x 0,006x 15 . 6) Tout revient à résoudre l’inéquation t x 0 c’est-à-dire 0,006x 15 0 c’est-à-dire 0,006x 15 c’est-à-dire 0,006x 15 ce qui donne 0,006 0,006 x 2 500 . Conclusion : la température devient négative à partir de 2 500 m d’altitude. 7) En lisant le tableau, on constate que la température a baissé de 30°C, en passant de 15°C à 15 °C, à l’altitude 5 000 m. 369 363 Sujet 2 Sujet du groupement académique Durée : 3 heures. L’épreuve est constituée d’un ensemble d’au moins trois exercices indépendants, permettant de vérifier les connaissances du candidat. L’usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021. L’usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout matériel électronique (y compris les montres connectées) est rigoureusement interdit. Exercice 1 Un enseignant de grande section propose à ses élèves un jeu pour travailler la décomposition et la recomposition de nombres. Le jeu se compose de deux dés cubiques équilibrés et de corps de fourmis à compléter avec des pattes comme sur le dessin ci-dessous. 371 365 Sur les six faces du premier dé sont inscrits les nombres suivants : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 5. Sur les six faces du deuxième dé sont inscrits les nombres suivants : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 5. On donne à chaque élève un corps de fourmi et 6 pattes à fixer sur le corps. Au début de la partie, chaque élève choisit un nombre compris entre 2 et 10. Ce nombre reste le même durant toute la partie. A tout de rôle, chaque élève joue. Il lance les deux dés : Si la somme des nombres inscrits sur les faces supérieures des deux dés est égale au nombre choisi par cet élève, alors celui-ci fixe une patte à sa fourmi et relance les dés. Sinon, c’est au joueur suivant de lancer les dés. Il donne ensuite les dés au joueur suivant. La partie se termine lorsqu’un élève a gagné, en fixant les six pattes de sa fourmi. 1. Un élève choisit un nombre et lance les dés. a) Quelles sont les différentes sommes qu’il peut obtenir ? 4 b) Montrer que la probabilité qu’il obtienne 8 est égale à . 36 2. Un autre élève choisit le nombre 6 et lance les dés. a) Quelle est la probabilité qu’il gagne une patte pour sa fourmi dès son premier lancer ? b) Quelle est la probabilité qu’il gagne deux pattes pour sa fourmi en 2 lancers ? 3. Eden et Axelle commencent une partie. Eden choisit le nombre 6 et Axelle choisit un autre nombre. a) Qui a le plus de chance de gagner la partie ? Justifier. b) Eden est-il sûr de gagner la partie ? Justifier. Exercice 2 Dans le cadre d’une liaison écoles-collège, une professeure d’EPS et une 372 366 professeure des écoles organisent une course à vélo dont le parcours est composé de quatre tronçons en ligne droite. La figure ci-dessous représente le parcours et n’est pas à l’échelle. Les élèves partent du point A et tournent dans le sens des aiguilles d’une montre. Les dimensions sont les suivantes : AB 960 m , BC 1, 05 km , CD 780 m et AD 660 m . 1. Montrer que la parcours a pour longueur 3 450 m. 2. Durant l’épreuve, Léo a réalisé, en 48 minutes, 2 tours complets et un tiers de tour du parcours. a) Déterminer la distance parcourue par Léo. b) Donner la vitesse moyenne de Léo en km/h . c) En gardant la même vitesse moyenne, Léo aura-t-il parcouru 15 km en moins d’une heure et demie ? Justifier. 3. Une épreuve en relais est ensuite proposée. Tara parcourt les distances AB et BC à une vitesse moyenne de 10 km/h et Kevin parcourt les distances CD et DA à une vitesse moyenne de 6 km/h . Quelle est la vitesse moyenne de ce binôme sur l’ensemble du parcours ? Justifier. 4. a) La diagonale [BD] mesure 1,05 km. Représenter le parcours à l’échelle 1 . 20 000 b) Amina a roulé à vélo pendant 25 minutes à une vitesse moyenne de 11,5 km/h . Placer sur la figure tracée à la question 4.a) le point S à l’endroit où se trouve Amina au bout de sa course. Justifier. 373 367 Exercice 3 On considère un pavé droit ABCDA’B’C’D’ avec DD 5 cm , DC 6 cm et DA 7 cm . On note L le point d’intersection des diagonales [AC] et [BD]. On souhaite creuser ce pavé, en retirant une pyramide OABCD de hauteur [OL]. Partie A Dans cette partie, on suppose que OL 4 cm . 1. Montrer que AL 4, 6 cm . 2. Construire le triangle ALO en vraie grandeur. 3. a) Calculer le volume de la pyramide OABCD. On rappelle que le volume d’une pyramide est égal au tiers du produit de l’aire de sa base par sa hauteur. b) Calculer le volume du pavé creusé. Partie B Dans cette partie, on pose OL x où x est un nombre compris entre 0 et 5. Le pavé creusé que l’on obtient est le socle en bois d’un trophée. Sur ce socle, on pose une pyramide en verre OEFGH qui est un agrandissement de la pyramide OABCD de rapport 2. 374 368 1. 2. 3. 4. Exprimer le volume de la pyramide OABCD en fonction de x. Montrer que le volume du socle en bois est 210 14x . Montrer que le volume de la pyramide en verre OEFGH est 112x . Quelle valeur choisir pour x, pour que le volume de la pyramide en verre soit égal au double du volume du socle en bois ? 5. On considère les fonctions f et g définies pour tout x compris entre 0 et 5 par : f x 210 14x et g x 112x . On a représenté dans un repère orthogonal ces deux fonctions. a. Déterminer quelle fonction (f ou g) est représentée par chacune des 375 369 droites D1 et D2 ? Justifier. b. Déterminer avec la précision permise par le graphique les valeurs de x pour lesquelles le volume du socle en bois est inférieur ou égal au volume de la pyramide en verre. c. Retrouver le résultat précédent en posant puis en résolvant une inéquation. Exercice 4 1. Adam a réalisé le programme ci-dessous à l’aide du logiciel Scratch. a. Montrer que si le nombre de départ est 3, le résultat est égal à 9. b. Quel est le résultat donné par le programme si le nombre de départ est 2,4. c. Soit x le nombre de départ. Montrer que le programme d’Adam retourne le nombre 2x 2 x 6 . 2. Pauline propose le programme de calcul suivant. Choisis un nombre. Elève-le au carré Soustrais 3. Multiplie par 2. Soustrais le nombre de départ. 3. Montrer que, pour un même nombre de départ, les programmes de calcul d’Adam et Pauline donnent le même résultat. 4. Déterminer le ou les nombres de départ possibles pour que les résultats 376 370 des programmes de calcul soient nuls. Justifier. 5. Adam souhaite automatiser les calculs de son programme pour les entiers naturels. Il utilise un tableur dont la copie d’écran est donnée ci-dessous. Quelle formule doit-il saisir dans la case B2 pour qu’il puisse l’étirer vers le bas sur l’ensemble de la colonne ? Exercice 5 En Amérique centrale, les Mayas utilisaient un système de numération comprenant trois signes. Le point Le trait La coquille Le signe « coquille » indique l’absence de quantité. Quelques correspondances entre écriture Maya et écriture décimale sont données dans le tableau ci-dessous : 377 371 1. Donner la valeur du signe « point » et celle du signe « trait » dans l’écriture de 7. 2. Le système maya est un système vigésimal (système qui a pour base 20). Donner l’écriture maya du nombre 21. 3. Justifier l’écriture maya du nombre 37. 4. Donne l’écriture des deux nombres suivants dans notre système de numération. a. b. 5. a. Donner l’écriture maya du nombre 25. b. Donner l’écriture maya du nombre 101. c. Le système de numération maya est qualifié, tout comme le système de numération que nous utilisons, de système positionnel. Expliquer pourquoi. 378 372 Corrigé Commentaires Exercice 1 : Il s’agit d’un exercice plutôt facile de probabilités. Il y a un juste un tableau et un arbre de probabilités à construire. Nul doute que le correcteur sera particulièrement attentif aux qualités rédactionnelles du candidat. Stratégiquement, on peut commencer sans aucun problème par cet exercice. Il faut soigner la rédaction, cet exercice a été conçu pour cela ! Exercice 2 : Il s’agit d’un exercice bien complet mêlant la géométrie, la réflexion, et les conversions. Il est long et pénible à bien saisir. Stratégiquement, il vaut mieux traiter cet exercice en fin d’épreuve, car il est plutôt chronophage. Il y a tellement de points à aller chercher ailleurs ! Exercice 3 : Voici un exercice de géométrie dans l’espace, de résolution d’équations, et de lecture graphique. Ce n’est pas un exercice difficile mais il peut perdre bon nombre de candidats qui n’aiment pas ces histoires de solides, de pyramides, de pavés, etc. Stratégiquement, un candidat peut se démarquer avec cet exercice car bon nombre de candidats détestent la géométrie dans l’espace. Avec du soin, il peut récupérer un nombre conséquent de points. Exercice 4 : Il s’agit d’un exercice d’algorithmique plutôt facile. Aucune difficulté pourvu qu’on ne rechigne pas à construire des tableaux pour y voir plus clair. Ajoutons que l’avant-dernière question nécessite une résolution d’équation produit-nul qui doit bloquer pas mal de candidats. Stratégiquement, c’est ce genre d’exercice qui permet de « singulariser sa copie ». Peu de candidats travaillent les algorithmes, c’est l’occasion de faire la différence ! Pourquoi ne pas résoudre cet exercice en début d’épreuve, ce sont des points facilement gagnés ! Exercice 5 : Voici un exercice particulièrement déstabilisant. Heureusement, il est guidé. Mais il peut perdre un candidat, même bien préparé, qui se demandera ce qu’on attend de lui. En fait, c’est un exercice de réflexion pure où les connaissances classiques ne seront quasi d’aucun secours. Désolé, il faut se creuser les méninges et ne pas s’énerver, ce qui n’est pas facile, un jour d’épreuve… Stratégiquement, il conviendrait de laisser plutôt pour la 2e partie de l’épreuve ce genre d’exercice. 379 373 Exercice 1 Construisons un tableau permettant de mieux visualiser les différentes sommes qu’on peut obtenir, ce qui nous permettre de déterminer par la suite les différentes probabilités demandées : dé1 dé2 1 2 3 4 5 5 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 6 2 3 4 5 6 6 6 7 8 9 10 10 3 4 5 6 7 7 4 5 6 7 8 8 5 6 7 8 9 9 1) a) Les différentes sommes qu’on peut obtenir sont 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 4 b) La probabilité qu’il obtienne 8 vaut : car il y a 4 cas favorables 36 dans le tableau (4 cases contiennent le nombre 8) pour 36 cas possibles (les 36 cases du tableau). 2) a) La probabilité qu’il gagne une patte pour sa fourmi dès son premier 8 lancer vaut car il y a 8 cas favorables (8 cases contiennent le nombre 36 6) pour 36 cas possibles (les 36 cases du tableau). b) La probabilité qu’il gagne deux pattes pour sa fourmi en 2 lancers vaut 8 8 4 comme le montre l’arbre de probabilités suivant : 36 36 81 380 374 3) a) Eden a le plus de chances de gagner la partie car 6 est l’issue la plus favorable (8 cas favorables) dans le tableau. b) Non, mais Eden est celui qui a le plus de chances de la gagner. Pour être sûr de gagner, il aurait fallu qu’Eden ait 100% de chances de gagner, ce qui n’est pas le cas. En fait, Axelle a quand même une faible probabilité de gagner. Exercice 2 1) Le parcours a pour longueur : 960 1 050 780 660 3 450 m . 2) a) La distance parcourue par Léo vaut : 1 2 3 450 3 450 6 900 1 150 8 050 (m). 3 b) Distance parcourue par Léo : 8 050 m 8,050 km . 48 Temps de parcours de Léo : 48 min h 0,8 h . 60 8,050 km 10,0625 km / h . Vitesse moyenne de Léo : 0,8 h c) En gardant la même vitesse moyenne, en une heure et demie c’est à dire 1,5 h, Léo pourrait parcourir 10,0625 1,5 15,09375 (km). Ainsi Léo aura parcouru 15 km en moins d’une heure et demie (très 381 375 légèrement moins d’une heure et demie). 3) Distance parcourue au total par Tara et Léo : 3,450 km. 0,960 1,050 0,780 0,660 0, 441 (h). Temps de parcours : 6 10 Pour Tara Pour Léo 3,450 km 7,82 km / h . 0, 441 h 4) a) Utilisons un tableau de proportionnalité pour construire le parcours à 1 l’échelle : 20 000 Vitesse moyenne : Vraie grandeur (cm) AB 96 000 BC 105 000 CD 78 000 DA 66 000 BD 105 000 Représentation à l’échelle (cm) 96 000 AB 4,8 20 000 105 000 BC 5,25 20 000 78 000 CD 3,9 20 000 66 000 DA 3,3 20 000 105 000 BD 5, 25 20 000 Pour construire le quadrilatère ABCD à l’échelle, on part du point A, on trace le segment horizontal [AB] de longueur 4,8 cm afin d’obtenir le point B. On prend ensuite le compas et on trace le cercle C1 centré au point B avec pour écartement 5,25 cm. On déplace le compas puis on trace le cercle C 2 centré au point A avec pour écartement 3,3 cm. A l’intersection des cercles C1 et C 2 , se trouve le point D. On déplace le compas puis on trace le cercle C 3 centré en D avec pour écartement 3,9 cm. A l’intersection des cercles C1 et C 3 se trouve le point C. On obtient alors : 382 376 4) b) Vitesse moyenne d’Amina : 11,5 km/h. 25 Temps de parcours d’Amina : 25 min h. 60 25 Distance parcourue par Amina : d 11,5 4,7917 (km) c’est-à60 dire 4792 m environ. Amina se trouve sur le parcours à 4 792 m de A, donc à 4 792 960 3 832 m de B, donc à 3 832 1 050 2 782 m de C, donc à 2 782 780 2 002 m de D, donc à 2 002 660 1 342 m de nouveau de A (un tour a été effectué), donc à 1342 960 382 m de B. 382 1,9 (cm) de B sur la figure. On obtient alors : Or 20 000 383 377 Exercice 3 Partie A 1) ABCD étant un rectangle, ses diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi AC L est le milieu du segment [AC] et donc AL . 2 Le triangle ADC étant rectangle en D, car ABCD est un rectangle, on a d’après le théorème de Pythagore, AC2 AD 2 DC2 ce qui donne AC 2 7 2 6 2 49 36 85 c’est-à-dire AC 85 et donc 85 c’est-à-dire AL 4,6 (cm). 2 2) Le triangle ALO étant rectangle en L car [OL] est la hauteur de la pyramide OABCD, on a d’après le théorème de Pythagore : AO 2 AL2 LO 2 c’est-à-dire AO2 4,62 42 37,16 et donc AL AO 37,16 c’est-à-dire AO 6,1 (cm). On obtient alors : 384 378 3) a) Le volume de la pyramide OABCD 1 1 1 3 DA LO V Bh DC 6 7 4 56 cm . 3 3 3 h B vaut : b) Le volume du pavé creusé vaut, par soustraction du volume du pavé droit ABCDA’B’C’D’ de la pyramide OABCD : V DC DA DD 56 6 7 5 56 210 56 154 cm3 . Partie B 1) Le volume de la pyramide OABCD vaut : 1 1 1 DA x 6 7 x 14x . V Bh DC 3 3 h 3 B 2) Le volume du socle en bois vaut, par soustraction du volume du pavé droit ABCDA’B’C’D’ de la pyramide OABCD : V DC DA DD 14x 6 7 5 14x 210 14x . 3) Le volume de la pyramide en verre OEFGH est huit fois plus grand que celui du volume de la pyramide OABCD car les dimensions étant multipliées par 2, les volumes sont multipliés par 2 3 8 . Ainsi, le volume de la pyramide en verre OEFGH vaut 8 14x 112x . 4) Cela revient à résoudre l’équation 112x 2 210 14x . Or 112x 2 210 14x équivaut à 112x 420 28x c’est-à-dire 420 3 . 140 Ainsi il faut choisir x 3 pour que le volume de la pyramide en verre soit égal au double du volume du socle en bois. 5) a) Comme f x 210 14x , on a f 0 210 et 140x 420 c’est-à-dire x f 5 210 14 5 210 70 140 . Ainsi la courbe de la fonction f est représentée par la droite D1 qui passe par les points de coordonnées 385 379 0; 210 et 5;140 . Par déduction, la courbe de la fonction g est représentée par la droite D 2 . b) Lorsque 1, 65 x 5 on a f x g x (car la droite D1 est sous la droite D2 ). f x étant l’expression du volume du socle en bois et g x l’expression du volume de la pyramide en verre, on en déduit que les valeurs de x pour lesquelles le volume du socle en bois est inférieur ou égal au volume de la pyramide en verre sont comprises entre 1,65 et 5. c) f x g x équivaut à 210 14x 112x ce qui équivaut à 210 x c’est-à-dire 1,67 x (environ). 126 Comme les fonctions f et g ne sont définies que pour x compris entre 0 et 5, on en déduit que l’inéquation f x g x équivaut à x compris entre 1,67 (environ) et 5. On retrouve donc le résultat précédent, mais de manière plus précise. 210 126x ce qui équivaut à Exercice 4 1) a) En appliquant le programme d’Adam, on obtient : Nombre de départ 3 Valeur 1 2 3 6 Valeur 2 639 Valeur 3 3 2 1 Résultat 9 1 9 Ainsi, si le nombre de départ est 3, le résultat est égal à 9. b) En appliquant le programme d’Adam, on obtient : Nombre de départ 2,4 2 2, 4 4,8 Valeur 1 4,8 3 7,8 Valeur 2 2,4 2 0,4 Valeur 3 7,8 0,4 3,12 Résultat Ainsi, si le nombre de départ est 2,4, le résultat est égal à 3,12. c) En appliquant le programme d’Adam, on obtient : 386 380 Nombre de départ Valeur 1 Valeur 2 Valeur 3 Résultat x 2x 2x 3 x2 2x 3 x 2 2x2 4x 3x 6 2x2 x 6 Ainsi, si le nombre de départ est x, le résultat est égal à 2x2 x 6 . 2) a) En appliquant le programme de Pauline, on obtient : Choisir un nombre Elever au carré Soustrais 3 Multiplie par 2 Soustrais le nombre de départ 3 9 6 12 12 3 9 Ainsi, si le nombre de départ est 3, le résultat obtenu est égal à 9. b) En appliquant le programme de Pauline, on obtient : Choisir un nombre Elever au carré Soustrais 3 Multiplie par 2 Soustrais le nombre de départ Ainsi, si le nombre de départ est 7 3 49 9 49 49 27 22 3 9 9 9 9 22 44 2 9 9 44 7 44 21 23 9 3 9 9 9 7 23 , le résultat obtenu est égal à . 3 9 3) En appliquant le programme de Pauline, on obtient : 387 381 Choisir un nombre Elever au carré Soustrais 3 x x2 Multiplie par 2 2x 2 6 Soustrais le nombre de départ 2x 2 6 x x2 3 Les deux expressions 2x 2 x 6 et 2x 2 6 x étant rigoureusement égales, on en déduit que les programmes de calcul d’Adam et de Pauline donnent le même résultat. 4) Cela revient à 2x2 x 6 2x 3 x 2 2x 2 x 6 0 résoudre (voir question 1) . Or c)). Ainsi 2x 3 0 2x x 6 0 équivaut à 2x 3 x 2 0 c’est-à-dire ou x 2 0 3 x 2x 3 2 c’est-à-dire ou c’est-à-dire ou . x 2 x 2 Ainsi les nombres de départ donnant des résultats des programmes de 3 calcul nuls sont et 2. 2 5) Dans B2, il écrit =2*A2*A2-A2-6. En effet la cellule A2 joue le rôle de 2 la variable x dans l’expression 2x 2 x 6 . Exercice 5 1) Comme 7 5 2 1 , la valeur du signe « point » est 1 et celle du signe « trait » est 5. 2) 21 1 20 . Ainsi 21 s’écrit : 3) 37 3 5 2 1 1 20 . Ainsi 37 s’écrit : 388 382 4) a) Il s’agit du nombre : 2 5 4 1 3 20 74 . b) Il s’agit du nombre : 1 5 3 5 2 1 20 1 202 745 . 5) a) 25 1 5 1 20 . Ainsi l’écriture maya du nombre 25 est : b) 101 1 5 20 . Ainsi l’écriture maya du nombre 101 est : c) Tout comme le système de numération indienne, chaque chiffre ou symbole n’a de valeur que par sa position. Aussi un simple point chez l’écriture maya peut signifier une unité, ou bien une vingtaine selon que ce point est positionné à la base ou au « 1er étage ». 389 383 Sujet 3 Sujet du groupement académique Durée : 3 heures. L’épreuve est constituée d’un ensemble d’au moins trois exercices indépendants, permettant de vérifier les connaissances du candidat. L’usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021. L’usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout matériel électronique (y compris les montres connectées) est rigoureusement interdit. Exercice 1 Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Donner la bonne réponse en la justifiant. Une réponse erronée n’enlève pas de point. Une réponse non justifiée ne rapporter pas de point. 1) Quel est volume d’un cylindre d’une hauteur de 6 cm et de base un disque d’un diamètre de 8 cm ? Réponse A : 48 cm3 . Réponse B : 96 cm 3 . Réponse C : 144 cm3 . Réponse D : 384 cm 3 . 2) Le 1er juin, Nicolas lance une rumeur en la partageant avec trois personnes. Chaque jour, une personne prévenue la veille prévient trois 391 385 nouvelles personnes qui ne sont pas encore informées. Combien de personnes apprennent la rumeur le 10 juin ? Réponse A : 30. Réponse B : 1 000. Réponse C : 59 049. Réponse D : 177 147 3) Le prix d’un article subit une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % quelques semaines plus tard. Au final : Réponse A : le prix de l’article a baissé de 1 %. Réponse B : l’article a retrouvé son prix initial. Réponse C : le prix de l’article a augmenté de 1 %. Réponse D : le prix article a augmenté de 5 %. 4) 4 est … 25 Réponse A : un nombre réel mais n’est pas un nombre rationnel. Réponse B : un nombre rationnel mais n’est pas un nombre décimal. Réponse C : un nombre décimal mais n’est pas un nombre entier. Réponse D : un nombre entier. 5) Le quart de Réponse A : 1 . 3 Réponse B : 4 . 3 4 est … 12 392 386 Réponse C : 16 . 48 Réponse D : 4 . 48 6) 2 1 5 5 est égal à 3 3 Réponse A : 5. Réponse B : 20 . 9 Réponse C : 15 . 15 Réponse D : 20 . 90 7) Le triangle ABC est rectangle en B. De plus, AB 8 cm et AC 10 cm . L’aire du triangle ABC est : Réponse A : 24 cm2 . Réponse B : 40 cm2 . Réponse C : 48 cm2 . Réponse D : 80 cm2 . 387 Exercice 2 Célia s’entraîne à courir tous les jours de la semaine sur le même parcours. 1. Elle aimerait comparer ses résultats d’entraînement sur une semaine à ceux de sa sœur qui s’entraîne également sur le même parcours. Résultats obtenus par Célia cette semaine : Lundi : 33 min et 12 secondes Mardi : 32 min et 4 secondes Mercredi : 40 min et 25 secondes Jeudi : 27 min et 11 secondes Vendredi : 30 min Samedi : 26 min et 38 secondes Dimanche : 29 min et 1 seconde Résultats obtenus par sa sœur cette semaine : Moyenne : 31 min et 13 secondes Médiane : 30 min Etendue : 3 min a) Comparer les durées moyennes de course. b) Comparer les durées médianes de course. c) Avec les informations ci-dessus, Célia affirme « Je suis la seule de nous deux à avoir réussi à effectuer ce parcours en moins de 28 minutes cette semaine ». Cette affirmation est-elle vraie ? d) Avec les informations ci-dessus, sa sœur lui répond « Moi, j’ai été la plus régulière de nous deux sur la semaine ». Expliquer ce commentaire. 2. Le parcours d’entraînement de Célia est représenté ci-dessous : Le diamètre AB du demi-cercle reliant le point A au point B a pour longueur 2 300 m. 1 a. Représenter le parcours à l’échelle . Justifier l es mesures 20 000 retenues pour réaliser la construction à l’échelle. b. Montrer que la distance du parcours, arrondie à l’unité, est d’environ 5 913 m. c. Aujourd’hui, Célia a bouclé le parcours sur une durée de 33 minutes et 36 secondes. Quelle a été sa vitesse moyenne en km/h, arrondie au dixième près ? 388 394 d. Célia a l’habitude d’effectuer le parcours dans le sens des aiguilles d’une montre en partant du point A. Sur la représentation de la question 2.a, placer les points L, M et N correspondants respectivement au quart, à la moitié et aux trois quarts du parcours. Exercice 3 Dans ce problème, les figures qui sont dessinées ne sont pas représentées à l’échelle. Partie A : installation du potager Une enseignante a le projet d’installer un potager rectangulaire ADEF sur une parcelle de forme triangulaire ABC dans l’enceinte de l’école. Les points A, B, C, D, E et F sont tels que : AB 24 m , AC 10 m et BC 26 m ; D AB , E BC et F AC . La figure n’est pas réalisée à l’échelle. 1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A. Dans la suite de cette partie, on souhaite déterminer où positionner le point D sur [AB] pour que l’aire du rectangle hachuré ADEF soit la plus grande possible. 2. Dans cette partie on considère que AD 4,8 m . a. Montrer que la longueur DE est égale à 8 m. b. En déduire l’aire du rectangle ADEF en m2 . On note x la longueur, exprimée en mètre, du segment [AD]. 395 389 5 x. 12 b. En déduire l’aire du rectangle ADEF en fonction de x. 3. a. Montrer que DE 10 4. Le graphique ci-dessous représente l’aire, exprimée en mètre carré, du rectangle ADEF en fonction de la longueur x en mètre. A l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes : a. Quelle est l’aire du potager si la longueur AD vaut 5 m ? b. Pour quelle(s) valeur(s) de la longueur AD l’aire du potager est-elle égale à 45 m 2 ? c. Pour quelle(s) valeur(s) de la longueur AD l’aire du potager est-elle supérieure ou égale à 50 m2 ? d. Quelle est l’aire maximale du potager ? Donner la longueur et la largeur du rectangle ADEF correspondant. Partie B : Choix du terreau Dans cette partie, le jardin est assimilé à un rectangle qui a pour longueur 12 m et pour largeur 5 m. On souhaite entourer le jardin d’une bordure de 30 cm de hauteur afin de remplir le pavé droit obtenu d’un mélange de terre et de terreau. On négligera, dans cette partie, l’épaisseur de la bordure du jardin. Le mélange est composé d’un tiers de terreau et de deux tiers de terre. 396 390 1. Montrer que le volume de terreau nécessaire pour le potager est de 6 m3 . 2. Trois magasins proposent les offres suivantes : Magasin 1 Livraison : 20 €. 0,10 € le litre de terreau. Magasin 2 Livraison offerte 2,35 € le sac de 20 litres de terreau. 20 % de remise immédiate après l’achat d’une carte de fidélité au prix de 10 €. Magasin 3 Livraison offerte pour tout achat supérieur à 50 €. 5,37 € le sac de 50 litres de terreau. Quel magasin choisir pour avoir le tarif, livraison comprise, le plus économique possible pour les 6 m3 nécessaires ? Partie C : Plantation des fleurs Dans la perspective d’offrir des bouquets de fleurs pour la fête de l’école, l’enseignante souhaite planter des graines dans le potager. Dans la classe il y a 26 élèves et chaque élève reçoit 20 graines à semer. On a reporté ci-après ce que l’on peut lire sur le paquet de graines choisi. Taux de germination des graines : 90 % Prix du paquet de graines : 4,53 €. Ce paquet contient 50 graines. Période de semis : d’avril à juin Hauteur adulte : 50 cm. On rappelle que le taux de germination d’un paquet de graines indique le pourcentage de graines qui devraient germer et donc produire une fleur. 397 391 1. Combien de fleurs un élève peut peut-il espérer voir pousser ? 2. Quel sera le budget à prévoir pour l’achat des graines. 3. En plus des graines, des bulbes de tulipes et de jonquilles sont plantés. a. L’enseignante en plante sur un sixième du potager puis un peu plus loin sur un huitième de ce même potager. Un élève affirmer que les bulbes représentent plus de 25 % du potager. A-t-il raison ? b. Elle met dans un panier 30 bulbes de jonquilles et des bulbes de tulipes. La proportion de bulbes de jonquilles dans le panier est de 5 . Calculer le nombre de bulbes de tulipes dans ce panier. 6 Exercice 4 Voici un programme écrit avec le logiciel Scratch. 1. Représenter la figure obtenue lorsque le programme est exécuté. On 398 392 prendra 1 mm pour 1 pixel. 2. Marie souhaite obtenir la figure ci-dessous où chaque tiret mesure 10 pixels et est séparé du précédent de 10 pixels. Quelle(s) modification(s) doit-elle apporter au programme ? 3. a. Léo souhaite modifier le programme donné pour que l’on obtienne la figure ci-dessous. Quelle(s) modification(s) doit-il apporter au programme de départ ? b. Quel type de transformation géométrique permet de passer d’un tiret à un autre ? 399 393 Corrigé Commentaires Exercice 1 : Il s’agit d’un QCM très simple qui devrait récompenser les candidats qui ont bien révisé. Foncez les yeux fermés ! Stratégiquement, on peut commencer sans aucun problème par cet exercice. Attention à bien justifier car c’est exigé ! Exercice 2 : Il s’agit d’un exercice de statistiques et de géométrie plus délicat qu’il ne semble à cause de problèmes de conversions. Attention, la moindre erreur de calcul sera fatale ! Stratégiquement, on peut laisser cet exercice pour la fin de l’épreuve. La dernière question est particulièrement pénible, car elle force à réfléchir au positionnement d’un point sur un demi-cercle, ce qui est très inhabituel ! Exercice 3 : Cet exercice est long mais sans grande difficulté. Il combine, réflexion, théorèmes classiques de géométrie comme le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès, et le calcul algébrique. Il faut être soigneux et précis car nul doute que le correcteur sera particulièrement attentif à la qualité de la rédaction et aux étapes de calculs. Stratégiquement, il est judicieux de démarrer en deuxième partie d’épreuve cet exercice. Exercice 4 : Il s’agit d’un exercice d’algorithmique sous Scratch. Aucune difficulté. Stratégiquement, on peut attaquer cet exercice assez vite durant l’épreuve. Il permet de « singulariser sa copie » et de gagner des points, car les candidats n’aiment pas la programmation et ne la travaillent pas assez. Exercice 1 1) Réponse B. 4 2 6 96 Justification : V B h B h cm3 . 2) Réponse C. Justification : Au 1er juin, 3 31 personnes apprennent la rumeur. Au 2 juin, 9 3 2 personnes apprennent la rumeur. Au 3 juin, 27 33 personnes apprennent la rumeur, etc. Au 10 juin, 310 59 049 personnes apprennent la rumeur. 400 394 3) Réponse A. Justification : Une augmentation de 10% se traduit par une multiplication par 1,10. Une diminution de 10% se traduit par une multiplication par 0,90. Comme 1,10 0,90 0,99 , une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % se traduit par une diminution de 1%. Ainsi, au final le prix de l’article a baissé de 1 %. 4) Réponse C. 4 16 0,16 . Il s’agit d’un nombre décimal non entier. Justification : 25 100 5) Réponse D. 1 4 1 4 4 Justification : . 4 12 4 12 48 6) Réponse A. 2 1 10 5 15 Justification : 5 5 5 . 3 3 3 3 3 7) Réponse A. Justification : D’après le théorème de Pythagore, AB2 BC2 AC2 , ce qui donne BC2 AC2 AB2 102 82 100 64 36 et donc BC 36 6 . B h BC AB 6 8 48 24 cm2 . L’aire du triangle vaut alors 2 2 2 2 Exercice 2 1) a) La moyenne de Célia vaut : 12 4 25 11 12 38 1 33 32 40 27 33 30 26 29 60 60 60 60 60 60 60 7 31,45 (min) c’est-à-dire : 31 min et 27 s (environ) car 0,45 60 27 . Ainsi Célia et sa sœur ont des moyennes très proches, à 14 secondes près au désavantage de Célia. b) La médiane de Célia vaut 30 minutes, il s’agit de la valeur centrale, la quatrième, une fois que les sept valeurs de la série statistique sont rangées dans l’ordre croissant : 26 min 38 s – 27 min 11 s – 29 min 1s – 30 min – 32 min 4s – 33 min 12s 401 395 – 40 min 25 s. Ainsi, les durées médianes de course de Célia et de sa sœur sont identiques. c) L’affirmation est vraie. En effet, à supposer que la sœur de Célia ait réalisé le parcours en moins de 28 minutes, alors sa durée de parcours minimale serait inférieure à 28 minutes. En considérant l’étendue égale à 3 min, elle aurait donc une durée de parcours maximale inférieure à 31 minutes. Impossible dans ces conditions d’obtenir une moyenne de 31 min et 13 secondes ! d) L’étendue de Célia est égale à 13 min 47s. En effet : 40min 25 s 26min 38 s 13min 47 s . A moyenne et médiane comparables, la sœur de Célia est bien plus régulière avec son étendue égale à 3 min. 2) a) Le diamètre réel est de 2 300 m, c’est-à-dire 230 000 cm. 230 000 11,5 (cm). Pour réaliser la Le diamètre à l’échelle vaut donc 20 000 construction à l’échelle, il nous reste à tracer un demi-cercle de rayon 5,75 cm, on obtient alors : b) La distance du parcours vaut : 2 300 Diamètre 2 1 150 2 5 913 (m). Demipérimètre du cercle de rayon 1150 c) On a d 5,913 km et t 33 min 36 s 33,6 min (car 36 0,6 ) c’est-à60 33,6 d 5,913 km 0,56 ) et donc v 10,6 km / h . t 0,56 h 60 1 1 d) 591 300 20 000 7,4 (cm). 591 300 20 000 14,8 (cm) 4 2 dire 0,56 h (car 402 396 3 591 300 20 000 22,2 (cm). 4 11,5 18,1 (cm) ce qui correspond à 180 ° : Comme le demi-cercle mesure 2 7,4 180 74 par proportionnalité) pour le 7,4 cm correspond à 74° ( 18,1 point L ; 14,8 180 147 par 14,8 cm correspond à 147° ( 18,1 proportionnalité) pour le point M ; 22,2 cm se décompose en 18,1 4,1 cm pour le point N. Ce qui donne : Exercice 3 Partie A 1) AB2 AC2 24 2 10 2 676 et BC2 262 676 . Comme AB2 AC2 BC 2 , on en déduit d’après la réciproque du théorème de Pythagore, que le triangle ABC est bien rectangle en A. 2) a) Comme ADEF est un rectangle, on a DE / / AC . D’après le théorème DE BD DE BA AD c’est-à-dire c’est-à-dire AC BA 10 BA DE 24 4,8 DE 19, 2 19, 2 c’est-à-dire c’est-à-dire DE 10 8 (m). 10 24 10 24 24 b) Aire ADEF AD DE 4,8 8 38,4 ( m2 ). de Thalès, on a : 403 397 DE BA AD DE 24 x c’est-à-dire c’est-à-dire 10 BA 10 24 5 24 x 240 10x 240 10x DE 10 10 x . 24 24 24 12 24 5 5 b) Aire ADEF AD DE x 10 x 10x x 2 . 12 12 3) a) D’après Thalès, 4) a) 40 m2 (environ) car l’image de 5 vaut 40 (environ). b) Pour AD 6 m ou AD 18 m car 45 a pour antécédents 6 et 18. c) Pour AD compris entre 7,2 m et 16,8 m (approximativement). d) L’aire maximale du potager vaut 60 m 2 . On l’obtient pour une longueur AD mesurant (m) et une largeur DE qui vaut x 12 5 5 10 x 10 12 10 5 5 (m). 12 12 Partie B 1) Le pavé droit a pour volume V 12 5 0,30 18 m3 . Comme le mélange est composé d’un tiers de terreau, le volume de terreau 1 nécessaire pour le potager est de 18 6 m3 . 3 2) 6 m 3 6 000 L . Ainsi : S’adresser au magasin 1 reviendra à une facture de 20 0,10 6000 620 €. Livraison terreau S’adresser au magasin 2 reviendra à une facture de 6000 6000 0, 20 2,35 574 €. 2,35 10 20 20 carte de fidélité sacs de terreau remise de 20% S’adresser au magasin 3 reviendra à une facture de 6000 5,37 644, 4 €. 0 50 Livraison offerte sacs de t erreau Ainsi, il faut choisir le magasin 2. Partie C 1) Chaque élève reçoit 20 graines à germer, donc peut espérer voir 0,90 20 18 graines germer et donc voir 18 fleurs pousser. 2) 26 20 520 graines sont à prévoir donc un minimum de 11 paquets de 404 398 50 graines (car 10 paquets de suffiraient pas) c’est-à-dire un budget de 11 4,53 49,83 (€). 1 1 3) a) 0,2916 c’est-à-dire 29,16% environ. L’élève a raison. 6 8 5 b) 30 bulbes de jonquilles représentent des bulbes. 6 30 1 6 bulbes de jonquilles représentent des bulbes. Ainsi, 5 6 Il y a donc un total de 6 6 36 bulbes. 1 1 Comme des 36 bulbes sont des bulbes de tulipes, il y a 36 6 6 6 bulbes de tulipes. Exercice 4 1) On obtient (sachant que chaque segment mesure 10 mm c’est-à-dire 1 cm) : 2) On remplace l’instruction « Répéter 4 fois » par « Répéter 8 fois » et l’instruction « Tourner 90° » par « Tourner de 0° ». 3) a) On remplace l’instruction « Répéter 4 fois » par « Répéter 8 fois » et l’instruction « Tourner 90° » par « Tourner de 45° ». b) Une rotation dont le centre est le centre de la figure et l’angle 45° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. 405 399 TOTAL CR PE Concours 20232024 2e édition Les mathématiques constituent l’une des épreuves écrites d’admissibilité des concours de recrutement des professeurs des écoles (CRPE). L’épreuve se présente sous la forme d’un sujet à traiter en 3 heures. Ce sujet comporte diérents exercices indépendants consistant à vérier les connaissances mathématiques ainsi que la démarche scientique (réexion abstraite et savoir-faire techniques basés sur de solides méthodes) du candidat. Cet ouvrage a été conçu pour aider dans leur préparation les candidats aux CRPE, an qu’ils se préparent de façon autonome ou dans le cadre des INSPÉ (master Métiers de l’enseignement, de l’éducation et de la formation [MEEF]) pour l’enseignement à l’école primaire. Il s’adresse aussi à tous les professeurs des écoles en poste qui souhaitent parfaire leur formation en mathématiques. L’ouvrage vous propose : des rappels de cours précis sur les notions classiques en mathématiques (nombres, géométrie, algèbre, statistiques, probabilités, fonctions, tableurs, programmation) ; ͥ des exemples et exercices illustrant toutes ces notions an de les assimiler ecacement et d’y développer des automatismes ; ͥ ͥ les corrigés des 3 sujets nationaux des CRPE 2022 pour la préparation de l’épreuve. Thomas Petit est professeur agrégé de mathématiques, auteur de plusieurs livres aux éditions Ellipses (collections «Method’» et «Compétences attendues»). -:HSMDOA=U\UUW]:
