МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ
МЕТОДИЧНI ВКАЗІВКИ
ДО САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ
З ДИСЦИПЛIНИ
“ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА”
(для студентів денної та заочної форм навчання
Спеціальності 123 “Комп’ютерна інженерія”)
Харків 2017
Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни “Дискретна математика” для студентів денної та заочної форм навчання спеціальності 123
“Комп’ютерна інженерія” / Упоряд.: С.В. Чумаченко – Харків: ХНУРЕ, 2017.–
40 с.
Упорядники: ЧУМАЧЕНКО Світлана Вікторівна
Вiдповiдальний випусковий
Г.Ф. Кривуля
Редактор
Пiдп. до друку
Умов.друк.арк. 3,3
Зам. №
Формат 60x84 1/16.
Облiк. вид.арк.
Цiна договiрна.
Папiр друк.
Тираж 100 прим.
---------------------------------------------------------------------------------------------------ХНУРЕ, 61166 Харкiв, просп. Ленiна, 14.
---------------------------------------------------------------------------------------------------Надруковано в учбово-виробничому
видавничо-поліграфічному центрі ХНУРЕ
61166 Харкiв, просп. Ленiна, 14.
2
ЗМІСТ
Вступ
1 Загальні методичні вказівки
2 Тематичний зміст дисципліни
2.1 Тематичний зміст дисципліни та розподіл часу на її вивчення
2.2. Практичні заняття
3 Рекомендована література
3.1 Список літератури
3.2 Аналіз літератури та рекомендації по її використанню
4 Методичні вказівки з вивчення дисципліни
5 Критерії оцінювання знань та вмінь
5.1 Рейтингова оцінка за дисципліною
5.2 Необхідний обсяг знань для одержання модульного іспиту
5.3 Необхідний обсяг умінь для одержання заліку
5.4. Критерії оцінювання роботи студента протягом семестру
Висновки
3
4
4
5
6
11
12
12
14
19
37
38
38
39
40
40
ВСТУП
“Методичні вказівки з структури, змісту та оформлення навчальнометодичної літератури, 2002”, які є нормативними документами Харківського
національного університету радіоелектроніки, визначають, що методичні вказівки до самостійної роботи є основою комплексу методичних вказівок з дисципліни. Вони можуть бути єдиними для всіх форм навчання. Методичні вказівки
до самостійної роботи визначають логічний зв'язок і порядок вивчення всіх тематичних розділів навчальної дисципліни, в тому числі тих, що надаються студентам для самостійного вивчення, порядок проведення лабораторних робіт та
практичних занять, виконання розрахунково-графічних завдань. Ці методичні
вказівки можуть бути особливо корисними студентам денного відділення, які
мають індивідуальний навчальний план з вільним графіком відвідування занять, а також студентам заочної і дистанційної форм навчання.
Курс «Дискретна математика» є основним для вивчення дисциплін напрямку «Комп’ютерна інженерія». Він містить розділи: теорія множин, булева алгебра, де розглядаються методи мінімізації булевих функцій, елементи дискретної оптимізації. На основі запропонованих розділів вивчаються важливіші дисципліни комп’ютерної інженерії: технічна діагностика обчислювальних систем
та мереж, проектування цифрових систем, теорія цифрових автоматів, системне
проектування, програмування. Орієнтована на студентів напрямку спеціальності 123 «Комп’ютерна інженерія».
Особливістю курсу є те, що він складений з точки зору використання основних теоретичних понять в області комп’ютерної інженерії та містить приклади
такого застосування. В ході вивчення дисципліни студенти мають засвоїти теоретичний матеріал, навчитися самостійно розв’язувати практичні завдання,
оформити ряд розрахунково-графічних завдань, виконати контрольні роботи,
відповісти на тестові запитання.
1 ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
Основною метою навчальної дисципліни «Дискретна математика» є формування у студентів базових знань в області дискретної математики, необхідних для освоєння методів аналізу й синтезу апаратних і програмних засобів цифрових обчислювальних систем і мереж різного призначення.
Обґрунтування вивчення дисципліни. У теперішній час такі дисципліни як
теорія цифрових автоматів, автоматизація проектування обчислювальної техніки, тестування цифрових систем широко використовують оптимізаційні методи
дискретної математики. Знання, що отримані в курсі дискретної математики,
необхідні при розробці обчислювальних пристроїв, систем та мереж, їх апаратного та програмного забезпечення. В дискретній математиці особливе місце займають задачі, що пов’язані з упорядкуванням та побудовою складних цифрових систем шляхом раціонального або оптимального з’єднання елементів, а та-
4
кож задачі, розв’язування яких засновано на побудові відношень між різного
роду об’єктами. Наприклад:
1. Трасування та розміщення компонентів цифрової схеми таким чином,
щоб будь-які два провідники не перетиналися між собою.
2. Знайти для двох точок топології цифрової схеми оптимальне трасування
в умовах заданих обмежень.
3. Є корпоративна комп’ютерна мережа, що з’єднує між собою декілька
сотень робочих станцій. Для кожного кабельного сегмента відома його пропускна здатність (Кбіт/с). Указати оптимальний маршрут між двома будь-якими
робочими станціями, який би забезпечував максимальний трафик.
4. Виконати оптимальний синтез цифрової системи за наявності бібліотеки
примітивів, що уявляють собою IP-cores (захищені від несанкціонованого доступу авторські розробки, що можуть бути реалізовані в апаратурі).
Подібні задачі, як правило, технологічно формулюються та ефективно
розв’язуються з використанням графової структури, що наглядно ілюструє взаємозв’язки між компонентами реальної системи.
У результаті вивчення дисципліни студенти повинні:
знати: математичний апарат дискретної математики: множини і відношення, операції над ними, формальні правила представлення, мінімізації і реалізації логічних функцій; математичний апарат теорії графів: множини і відношення, операції над ними; графи й операції над ними, основні оптимізаційні алгоритми та методи теорії графів (гілок та мереж, динамічного програмування,
Краскала, Дейкстри); методи визначення гамільтонових та ейлеревих циклів в
графах.
уміти: формулювати і вирішувати практичні задачі синтезу й аналізу цифрових дискретних об’єктів на основі вибору найбільш раціонального математичного апарату теорії графів з метою її оптимального рішення.
При вивченні дисципліни використовуються лекційні і практичні заняття,
що сприяє більш ефективному засвоєнню теоретичної частини дисципліни в
прикладному плані.
Матеріал предмету вивчається в наступному порядку: основні поняття теорії множин, булева алгебра, комбінаторний аналіз, основи теорії графів (елементарні поняття), оптимізаційні алгоритми на графах (задачі прикладного характеру, що застосовуються у комп’ютерній інженерії.
2 ТЕМАТИЧНИЙ ЗМІСТ ДИСЦИПЛІНИ
За навчальним планом на вивчення дисципліни відводиться 180 год., з них
лекцій ̶ 50 годин, практичних занять ̶ 22 годин, самостійної роботи ̶ 96 годин, з яких 60 години ̶ на вивчення теоретичного матеріалу та додаткових тем
з використанням конспектів та навчальної літератури, 22 годин ̶ виконання
домашніх завдань за темами практичних занять, 7 годин ̶ виконання розрахунково-графічних завдань, 2 години ̶ виконання домашньої контрольної роботи,
5
4 години ̶ підготовка до підсумкового тестування. Семестровий контроль –
комбінований іспит (1 семестр).
2.1 Тематичний зміст дисципліни та розподіл часу на її вивчення
Навчальний матеріал дисципліни «Дискретна математика» вивчається в
аудиторному режимі та в режимі самостійної роботи. Дисципліна складається з
4 розділів, які містять 6, 10, 4 та 5 підтем відповідно.
В табл. 2.1 наведений перелік тематичних розділів зазначеної дисципліни.
Тут використовуються такі скорочення: "ЛК" – лекції, "ПЗ" – практичні заняття, "СРС" – самостійна робота студентів, "АКР" – аудиторна контрольна робота, "ДКР" – домашня контрольна робота, "РГЗ" – розрахунково-графічне завдання. У відповідних стовпцях вказана кількість годин, відведених на вивчення зазначених тем.
Таблиця 2.1 – Зміст дисципліни і розподіл часу за темами аудиторного та
самостійного вивчення
Назви змістових
Кількість годин
модулів і тем
денна форма
Заочна форма
усього
у тому числі
усього
у тому числі
л п лаб інд с.р.
л п лаб інд с.р.
1
2
3 4 5
6
7
8
9 10 11 12 13
Модуль 1
Змістовий модуль 1. Теорія множин
Тема 1. Мета,
2 1
5
предмет, задачі,
дисципліни. Основи теорії множин. Закони і тотожності алгебри
множин Кантора
(аксіоматика алгебри Кантора).
Тема 2. Відповід2 1
3
ності та їх властивості. Функції.
Відображення.
Тема 3. Відно2 1
3
шення. Операції
над відношеннями. Алгебра відношень.
Тема 4. Бінарні
2 1
5
відношення (спо-
6
соби завдання та
властивості). Відношення еквівалентності. Класи
еквівалентності та
їх властивості.
Матриця бінарного відношення еквівалентності.
Тема 5. Упорядкована множина.
Бінарне відношення порядку.
Тема 6. Структури. Ізоморфізм
множин, алгебр.
Алгебраїчні системи.
Разом за змістовим модулем 1
Тема 1. Математична логіка. Основні поняття алгебри логіки. Таблиці істинності.
Логічні функції.
Закони і тотожності алгебри логіки
(аксіоматика алгебри Буля).
Тема 2. ДНФ та
КНФ. ДДНФ та
ДКНФ. Теорема
Шеннона та її
слідство.
Тема 3. Булеві
функції від двох
змінних та їх властивості (способи
переходу від табличної до аналітичної і схемотехнічної форм зо-
42
2
1
4
2
1
4
12 6
24
Змістовий модуль 2. Булева алгебра
2 2
4
2
2
4
2
1
4
7
браження функцій). Функції
Шефера та Пірса.
Тема 4. Способи
зображення булевих функцій: числовий, аналітичний, геометричний, кубічний,
схемотехнічний.
Тема 5. Класи булевих функцій.
Повнота функцій.
Теорема ПостаЯблонського
(критерій повноти).
Тема 6. Апарат
булевих похідних.
Тема 7. Методи
мінімізації булевих функцій. Метод мінімізуючих
карт (карти Карно). Метод невизначених коефіцієнтів для базиса ІАБО-НІ.
Тема 8. Метод
Квайна мінімізації
булевих функцій.
Модифікований
метод КвайнаМак-Класки мінімізації булевих
функцій.
Тема 9. Метод
граф-схем мінімізації булевих функцій.
Тема 10. Метод
суттєвих змінних
мінімізації булевих функцій.
2
2
4
2
4
2
2
5
1
4
2
4
2
4
2
3
8
Разом за змістовим модулем 2
68
20 8
40
Змістовий модуль 3. Комбінаторний аналіз
Тема 1. Елементи
2 1
3
комбінаторного
аналізу. Правила
суми та добутку.
Перестановки та
підстановки.
Тема 2. Формули
2 1
3
бінома Ньютона
та полінома.
Тема 3. Сполу2 1
3
чення. Розміщення. Геометрична
інтерпретація чисел C kn .
Тема 4. Поняття
2 1
3
вибірки. Вибірки
з повтореннями.
Узагальнення
введених визначень за допомогою поняття вибірки.
Разом за змісто24
8 4
12
вим модулем 3
Змістовий модуль 4. Теорія графів
Тема 1. Теорія
2 1
3
графів. Основні
поняття теорії
графів. Суміжність та інцидентність. Операції
над графами. Орієнтовані графи.
Зв’язність графів.
Поняття ланцюга,
шляху, дерева.
Ізоморфізм графів. Способи завдання та зображення графів (ма-
9
триці суміжності,
інциденцій). Цикли, матриця циклів.
Тема 2. Ейлерів
цикл.
Ейлерів
граф.
Побудова
ейлерового циклу.
Гамільтонів цикл.
Гамільтонів граф.
Побудова гамільтонового
циклу
(метод перебору
РобертсаФлореса).
Тема 3. Остовний
підграф
графа.
Алгоритм побудови остова мінімальної довжини
(алгоритм Краскала). Побудова
ланцюгів мінімальної
довжини
(алгоритм Дейкстри).
Тема 4. Оптимізація графів. Метод гілок та границь розв’язку
задачі комівояжера. Загальна модель задачі пошуку. Метод динамічного програмування розв’язку
задачі комівояжера.
Тема 5. Упорядковані дерева. Бінарні дерева, їх
застосування у
задачах теорії кодування (бінарні
2
3
2
4
2
4
2
4
10
дерева, префіксний код, вартість
декодування). Задача побудови оптимального дерева бінарного пошуку (алгоритм
Гільберта-Мура).
Усього
годин
РАЗОМ
32
10 4
18
180
50 22
94
(+14
конс)
2.2. Практичні заняття
Тематичний розподіл практичних занять за годинами наведено в табл. 2.2.
Таблиця 2.2 – Перелік практичних занять
№
Назва теми
Кількість
з/п
годин
1 Елементи теорії множин. Доведення законів алгебри
2
множин Кантора. Перетворення теоретико-множинних
виразів.
2 Декартів добуток. Відповідності та їх властивості. Фун2
кції. Відображення.
3 Відношення. Операції над відношеннями. Алгебра від2
ношень.
конс.
4 Бінарні відношення (способи завдання та властивості).
2
Відношення еквівалентності. Класи еквівалентності та їх
властивості. Матриця бінарного відношення еквівалентності.
5 Упорядкована множина. Бінарне відношення порядку.
2
Структури.
конс.
6 Основні поняття алгебри логіки. Таблиці істинності.
2
Доведення законів булевої алгебри за допомогою таблиць істинності.
7 Перетворення логічних виразів. ДНФ та КНФ. ДДНФ та
2
ДКНФ. Теорема Шеннона та її слідство.
8 Класи булевих функцій. Функціональна повнота.
2
9 Аудиторна контрольна робота №1.
2
Контрольна точка № 1
конс.
10 Елементи комбінаторного аналізу. Правила суми та до2
бутку. Перестановки та подстановки.
11
11
12
13
14
15
16
17
Формули бінома та полінома.
Сполучення. Розміщення. Конфігурації з повтореннями.
Контрольна точка №2
Теорія графів. Основні поняття теорії графів. Суміжність
та інцидентність. Операції над графами. Матриці суміжності, інциденцій, циклів. Ейлерів цикл. Ейлерів граф.
Побудова ейлерового циклу. Гамільтонів цикл. Гамільтонів граф. Побудова гамільтонового циклу (метод перебору Робертса-Флореса).
Остовний підграф графа. Алгоритм побудови остова мінімальної довжини (алгоритм Краскала). Побудова ланцюгів мінімальної довжини (алгоритм Дейкстри).
Задача комівояжера
Дерева
Підсумкове тестування
2
2
конс.
2
2
2 конс
2
2 конс
3 РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
3.1 Список літератури
Основні літературні джерела (бібліотека ХНУРЕ, кафедра АПОТ)
1. Горбатов, В.А. Основы дискретной математики [Текст]: підручник / В.А.
Горбатов. – М.: Высшая школа, 1986. – 311 с.
2. Тевяшев, А.Д. Основы дискретной математики в примерах и задачах (для
специальности «прикладная математика») [Текст]: навч. посібник / А.Д. Тевяшев, И.Г. Гусарова; Харьков: ХНУРЭ, 2003. – 272 с.
3. Бондаренко, М.Ф. Компьютерная дискретная математика [Текст]: підручник / М.Ф. Бондаренко, Н.В. Белоус, А.Г. Руткас – Харьков: СМИТ, 2004. – 480 с.
4. Гаврилов, Г.П. Сборник задач по дискретной математике [Текст] / Г.П.
Гаврилов, А.А. Сапоженко – М.: Наука, 1977. – 368 с.
5. Лавров, И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов [Текст] / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова – М.: Наука, 1984. – 224
с. (1975 – 240 с.; М.: Физматлит, 1995. – 247 с.)
6. Кузнецов, О.П. Дискретная математика для инженера [Текст] / О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон-Вельский – М.: Энергия, 1980. – 344 с. (М.: Энергоатомиздат, 1988. – 479с.)
7. Кристофидес Н. Теория графов. Апгоритмический подход. – М.: Мир,
1978. – 432 с.
8. Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. В.П. Козырева /Под ред. Г.П.
Гаврилова. – М.: Мир, 1973. – 300 с.
Додаткова література
12
9. Трачик, В. Дискретные устройства автоматики [Текст]: пер. с польск. /
В. Трачик; Под ред. Д.А. Поспелова. – М.: Энергия, 1978. – 456 с.
10. Сигорский, В.П. Математический аппарат инженера [Текст] / В.П. Сигорский. – М.: Техника, 1975. – 768 с.
11. Вавилов, Е.Н. Синтез схем электронных цифровых машин [Текст] /
Е.Н. Вавилов, Г.Н. Портной – М.: Советское радио, 1963. – 440 с.
12. Майоров, С.А. Структура цифровых вычислительных машин [Текст] /
С.А. Майоров, Г.И. Новиков – Л.: Машиностроение, 1979. – 384 с.
13. Хаханов, В.И. Техническая диагностика элементов и узлов персональных компьютеров: навч. посібник [Текст] / В.И. Хаханов – Киев: ИСМО, 1997.
– 308 с.
14. Савельев, А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов [Текст] / А.Я.
Савельев – М.: Высшая школа, 1987. – 272 с.
15. Миллер, Р. Теория переключательных схем [Текст] / Р. Миллер – М.:
Наука, 1970. Т.1. 416с.
16. Миллер, Р. Теория переключательных схем [Текст] / Р. Миллер – М.:
Наука, 1971. Т.2. 304с.
17. Беннеттс, Р.Д. Проектирование тестопригодных логических схем: пер.
с англ. / Р.Д. Беннетс – М.: Радио и связь. 1990. – 176 с.
18. Бондаренко, М.Ф. Проектирование и диагностика компьютерных систем и сетей [Текст] / М.Ф. Бондаренко, Г.Ф. Кривуля, В.Г. Рябцев, С.А. Фрадков, В.И. Хаханов – К.: НМЦ ВО. – 2000.– 306 с.
19. Новиков, Ф.А. Дискретная математика для программистов [Текст] /
Ф.А. Новиков – С.-П., 2003. – 460 с. (2000 р. – 304 с.; 2001 р., 2002 р.).
20. Богомолов, А.М. Аналитические методы в задачах контроля и анализа
дискретных устройств [Текст] / А.М. Богомолов, Д.В. Сперанский – Саратов:
Изд-во Саратовкого ун-та, 1986. 240 с. (с.154-164).
Електронні та гіпертекстові матеріали:
21. Горбатов, В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика [Електронний ресурс] / В.А. Горбатов – М.: Наука.
Физматлит, 2000. – 544 с.
http://libsearch.kture.kharkov.ua/ftplib/Knigi/scanNov05/gorbatov.djvu
22. Brown, S.D. Fundamentals of digital logic with VHDL design [Електронний ресурс] / S.D. Brown, Z.G. Vranesic − USA: McGraw-Hill Companies, 2000. −
840p. (кафедра АПОТ, електронний ресурс: www.mhhe.com/brawnvranesic).
23. Abramovici, M. Digital System Testing and Testable Design [Електронний
ресурс] / M. Abramovici , M.A. Breuer, A.D. Friedman – Digital – Computer
Science Press, 1998. – 652 p.
24. Чумаченко, С.В. Лекции по курсу «Дискретная математика» [Електронний ресурс] / С.В. Чумаченко – Харків, ХНУРЕ. – 2007. – 114 с. // Електронна бібліотека ХНУРЕ та кафедри АПОТ. Ауд. 320: ...\\Nserv\Library\
Education\Чумаченко
25. Хаханов, В.І. Дискретна математика. Дистанційний підручник (сертифікований електронний курс) [Електронний ресурс] / В.И. Хаханов, С.В. Чума13
ченко – Електронна бібліотека ХНУРЕ та кафедри АПОТ. Ауд. 320:
...\\Nserv\Library\ Education\Чумаченко
26. Чумаченко С.В. Курс слайд-лекций по дисциплине «Дискретная математика» [Електронний ресурс] / С.В. Чумаченко – Електронна бібліотека ХНУРЕ та кафедри АПОТ. Ауд. 320: ...\\Nserv\Library\Education\Чумаченко
27. Шкиль, А.С. Арифметические и логические основы цифровых автоматов. Гипертекстовые учебные материалы (электрон. учебник) [Електронний ресурс] / А.С. Шкиль. 2004.
http/…/10.13.20.100/nserv/library/education/Шкиль/ЛМ/Лк_лб/st_text/index.htm.
28. Чумаченко С.В. Итоговый тест по дисциплине «Дискретная математика» для системы OpenTEST (электрон. вариант) / С.В. Чумаченко. 2005.
http/…/10.13.20.100/nserv/library/education/Чумаченко/Дискретная математика/Самостоятельная_работа/Tests_ДМ.doc.
Методичні вказівки:
29. Хаханов, В.І., Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика” [Текст] / В.І. Хаханов, І.В. Хаханова, Е.М. Кулак, С.В. Чумаченко – Харків, ХНУРЕ. – 2001. – 87с.
30. Чумаченко, С.В., Методичні вказівки до практичних занять з курсу
“Спеціальні розділи дискретної математики” [Електронний ресурс] / С.В. Чумаченко – Харків, ХНУРЕ. – 2012. – 26 с.
3.2 Аналіз літератури та рекомендації по її використанню
Весь перелік наведених літературних джерел поділено на основні, додаткові, електронні і гіпертекстові, а також методичні вказівки. Як основні джерела використані підручники та навчальні посібники, які є в бібліотеці університету в достатній кількості, гіпертекстовий підручник, який знаходиться в електронній бібліотеці кафедри АПОТ та електронній бібліотеці ХНУРЕ, а також
збірники задач та книги з окремих розділів дискретної математики. Як додаткова література вказані джерела, які вміщують більш розширену інформацію за
вказаною тематикою, у тому числі англійською мовою.
У підручнику [1, 21] описано основи дискретної математики та практично
орієнтовані методи дискретної оптимізації. Розглянуто методи мінімізації булевих функцій, основи теорії графів та окремі оптимізаційні алгоритми. Методики
та алгоритми доведені до інженерного рівня розуміння їхнього практичного застосування на прикладах обчислювальних систем. Може бути корисним при
вивченні більшості тем навчальної дисципліни «Дискретна математика» за засвоєнні її основ. Для студентів вузів, що навчаються за спеціальностями «Прикладна математика», «Електронні обчислювальні машини», «Автоматизовані
системи управління», «Конструювання та виробництво електроннообчислювальної апаратури», «Системи автоматизованого проектування». Є в
бібліотеці університету в кількості 121 примірник. Електронна версія документа:
14
http://libsearch.kture.kharkov.ua/ftplib/ebooks_rus/_MATH/_DISKRETMATH/Gorbatov-Osnovy_diskretnoy_matematiki-M-Vycsh_shkola-1986-rus.djvu
У навчальному посібнику [2] викладено основні поняття теорії множин,
математичної логіки, комбінаторики, теорії графів і теорії алгоритмів. Після
кожного теоретичного розділу наведено приклади розвʼязання аудиторних задач та задачі для самостійного вирішення. Посібник орієнтовано на спеціальності факультету прикладної математики, можна використовувати для самостійного вивчення курсу. Не містить питання щодо мінімізації булевих функцій, але
більш уваги приділяється логіці та зчисленню предикатів. Є в бібліотеці університету у кількості 89 примірників.
Підручник [3] містить основні розділи дискретної математики — теорія
множин, теорія відношень, математична логіка, (булева алгебра, логіка висловлювань, логіка предикатів, елементи багатозначної логіки), алгебраїчні структури, автомати, алгоритми, формальні мови та граматики, теорія графів та комбінаторика. Підручник призначено для студентів, що вивчають дискретну математику за спеціальностями «Комп’ютерні науки», «Комп’ютерна інженерія»,
аспірантів, спеціалістів у галузі проектування програмного забезпечення та автоматизованих інформаційних систем. Не містить елементи схемо технічного
зображення булевих функцій та спеціальні методи їх мінімізації, що необхідні
для фахівців з напрямку комп’ютерної інженерії. Є в бібліотеці університету в
кількості 464 примірники.
Збірник задач [4] рекомендовано як посібник для практичних занять з курсу дискретної математики. Він містить як вправи для початкового знайомства
з основними поняттями та фактами дискретної математики, так і задачі підвищеної складності. Потребує від студентів високої математичної культури. Є в
бібліотеці університету в кількості 168 примірників.
В книзі [5] систематично викладено основи теорії множин, математичної
логіки та теорії алгоритмів у формі задач, що містять вказівки для розв’язання
та відповіді. До кожного параграфу додається короткий вступ, який складається
з теоретичних формулювань необхідних визначень. Є в бібліотеці університету в кількості: 7 примірників (видання 1975 р.); 4 примірники (видання 1984 р.);
електронна версія документа (видання 1995 р.) за посиланням
http://libsearch.kture.kharkov.ua/ftplib/Knigi/scanNov05/lavrov.djvu
В [6] викладені основні поняття теорії множин, алгебри логіки, теорії
графів, теорії алгоритмів та формальних систем. Для інженерів, що спеціалізуються в області автоматизованого управління та проектування обчислювальної
техніки, системного програмування, передачі інформації, а також студентів та
аспірантів відповідних спеціальностей. Рекомендується звернути увагу на теми,
пов’язані з теорією множин та відношень. Є в бібліотеці університету в кількості: 36 примірників (видання 1980 р.), 21 примірник (видання 1988 р.), електронна версія документа:
http://libsearch.kture.kharkov.ua/ftplib/Knigi/scanNov05/kuznecov.djvu
В книзі [7] досить повно надані різноманітні алгоритми, пов’язані з находженням структурних та числових характеристик об’єктів з теорії графів.
15
Книга [8] написана одним из видных специалистов по дискретной математике и содержит изложение основніх фактов теории графов во взаимосвязи с
теоретической кибернетикой, теорией автоматов, исследованием операций,
теорией кодирования, теорией игр. Книга полезна студентам университетов и
технических вузов.
В [9, 10] викладаються практично важливі розділи математичного апарату, що використовуються в інженерній справі: множини, матриці, графи, логіка,
ймовірність. Теоретичний матеріал ілюструється технічними прикладами. Призначені для інженерно-технічних працівників та студентів вузів відповідних
спеціальностей. Є в бібліотеці університету в кількості 13 та 73 примірники
відповідно.
В [11, 12] розглядаються основні принципи побудови цифрових обчислювальних машин та їх структурних одиниць – операційних пристроїв (регістрів,
лічильників, суматорів). Найбільш уваги приділяється питанням схемної організації цифрових обчислювачів. Використовується апарат теорії цифрових автоматів. Послідовно вводяться поняття з області структурної теорії схем. Книги
орієнтовані на спеціалістів, що працюють в області проектування та застосування засобів цифрової техніки, а також як посібники для студентів, що вивчають цифрову техніку та автоматизовані системи управління. Є в бібліотеці університету в кількості 6 та 57 примірники відповідно.
Навчальний посібник [13] містить опис практично орієнтованих методів
тестового і функціонального діагностування обчислювальних пристроїв, що
входять до складу спеціалізованих ЕОМ і персональних комп’ютерів. Подано
математичний апарат кубічного числення для компактного описання табличних
моделей цифрових і мікропроцесорних об’єктів, наведено методи і алгоритми
їхнього аналізу з метою проектування діагностичного забезпечення. Досліджуються методи логічного моделювання, генерації тестів, проектування алгоритмів пошуку дефектів, тестування мікропроцесорних структур. Методики, алгоритми доведені до інженерного рівня розуміння їхнього практичного застосування на прикладах діагностування обчислювальних систем. Навчальний посібник призначений для студентів і аспірантів спеціальностей комп’ютерної інженерії, спеціалістів у галузі застосування комп’ютерних технологій у технічній діагностиці. Є в бібліотеці університету в кількості 22 примірники та в бібліотеці кафедри АПОТ.
В [14] викладені засоби представлення інформації в цифрових автоматах,
методи виконання арифметичних та логічних операцій в них, а також методи
логічного опису та методи логічного проектування цифрових пристроїв. Приділяється увага методам мінімізації логічних виразів. Теоретичний матеріал ілюструється прикладами та супроводжується питаннями для самоконтролю. Є в бібліотеці університету в кількості 207 примірників. Електронна версія документа:
http://libsearch.kture.kharkov.ua/ftplib/ebooks_rus/_RT/_Systems_engineering/Savelj
ev-Prikladnaja_teorija_cifrovyh_avtomatov-M-Vysch_shkola-1987-rus.djvu
16
В [15] викладені основні положення теорії булевих алгебр та розглянуто її
зв’язок з теорією структур та груп. Досить уваги приділяється проблемі мінімізації найбільш загального типу схем з двома рівнями елементів. Розглядаються
методи синтезу багатовихідних схем з використанням теорії функціональної
декомпозиції. Наприкінці кожного розділу наведено вправи та надано бібліографічний огляд. Є в бібліотеці університету в кількості 5 примірників.
В [16] викладено елементи теорії кінцевих автоматів, питання мінімізації
числа станів, методи кодування станів з урахуванням вимог простоти структури, способи побудови схем. Книга орієнтовано на наукових працівників та інженерів, що працюють в області автоматики та обчислювальної техніки, а також на студентів та аспірантів, що спеціалізуються у цій області. Є в бібліотеці
університету в одному примірнику та в електронній версії у бібліотеці кафедри АПОТ.
Книга [17] англійського фахівця узагальнені результати дослідження та
практичної реалізації в області проектування тестопригодних логічних схем.
Обговорено переваги і недоліки структурних методів тестопригодного проектування, проаналізовано методи вбудованого тестування схем з використанням
суміщених генераторів тестових послідовностей і накопичувачів сигнатур. Запропоновано підхід, заснований на поєднанні детермінованих та імовірнісних
методів тестового діагностування. Книга орієнтовано для інженерно-технічних
працівників, пов'язаних зі створенням і застосуванням діагностичних схем. Для
студентів рекомендовано як професійно-орієнтована література для загального
ознайомлення. Є в бібліотеці університету в кількості 7 примірників.
В [18] розглянуто технології складання та модернізації персонального
комп'ютера на основі сучасних комплектуючих виробів, що випускаються провідними фірмами-виробниками. Описано фізичні основи функціонування елементів, вузлів і приладів обчислювальної системи. Проведено порівняльний
аналіз номенклатури комплектуючих виробів з позиції швидкодії вартості проектованого комп'ютера. Обґрунтовано рекомендації щодо оптимальної настройки апаратури та інсталяції системного й програмного забезпечення комп'ютера. Удосконалено методи й засоби тестування, моделювання, оптимізації
та верифікації програмно-апаратурного комплексу комп'ютерної системи. Запропоновано сучасні технології проектування, складання, налагодження, модернізації, оптимізації, сервісного та діагностичного обслуговування комп'ютерних систем і локальних мереж. Є в бібліотеці університету в кількості 30 примірників.
У підручнику [19] викладені основні розділи дискретної математики та
описані найважливіші алгоритми на дискретних структурах даних. Основу книги складає матеріал лекційного курсу, який автор читає в СанктПетербурзькому державному технічному університеті. Для студентів вузів,
програмістів та всіх бажаючих вивчити дискретну математику. Є в бібліотеці
університету в кількості 1 примірник (2001 р. видання), 3 примірники (2002 р.
видання). Електронна версія документа (2000 р. видання):
17
http:\\libsearch.kture.kharkov.ua\ftplib\ebooks_rus\_MATH\_DISKRETMATH\Novikov-Diskretnaya_matematika_dlya_programmistov-SPb-Piter-2000rus.djvu
В [20] систематично досліджується структура напівгрупи перетворень кінцевої множини відносно еквівалентності, що зберігає специфікацію. На цій
основі детально досліджено структуру класів автоматів. Застосовується апарат
булева диференційного числення. Книга є в бібліотеці кафедри АПОТ.
В підручнику [21] викладаються основи багатосортних множин, математичної логіки, теорії графів та мографів, теорії формальних граматик та автоматів, прикладної теорії алгоритмів і характеризаційного аналізу, які у сукупності
утворюють основи дискретної математики, що представляють собою методично взаємозв’язний курс "Комп’ютерно-інформаційна математика". Для студентів технічних університетів, академій та інститутів, які обучаються за спеціальністю "Інформатика та обчислювальна техніка", а також наукових працівників
та інженерів, що працюють в області інформатики та обчислювальної техніки.
Електронна версія документа:
http://libsearch.kture.kharkov.ua/ftplib/Knigi/scanNov05/gorbatov.djvu
В [22] наведено основи цифрової логіки та методи проектування логічних
схем з VHDL-моделюванням. Підкреслюється синтез схем та пояснюється, як
схеми реалізуються в реальних кристалах. Основні поняття ілюструються за
допомогою невеликих прикладів, що легко зрозуміти. Книга є в одному примірнику на кафедрі АПОТ ХНУРЕ та частково в електронному варіанті в електронній бібліотеці кафедри АПОТ.
Книга [23] присвячена тестуванню цифрових систем та тестопридатному
проектуванню, де використовуються основні поняття булевої алгебри. Є в одному примірнику та в електронній бібліотеці на кафедрі АПОТ.
Електронний курс лекцій [24] містить конспект з дисципліни «Дискретна
математика», що читається на факультеті комп’ютерної інженерії та управління.
Гіпертекстовий підручник [25] вміщує необхідний мінімум знань та вмінь
за всіма розділами дисципліни «Дискретна математика», є досить придатним
матеріалом для самостійного вивчення курсу студентами денного та заочного
відділень, сертифікований Центром дистанційного навчання ХНУРЕ. В ньому
наведено основні визначення за розділами дисципліни, описані методи дискретної оптимізації, показаний зв’язок з поняттями комп’ютерної інженерії, розглянуто основні приклади розв’язання задач за розділами, що вивчаються, а саме: спрощення теоретико-множинних виразів та доведення тотожностей, класифікація відповідностей, операції над відношеннями, характеристики бінарних
відношень, упорядковані множини, таблиці істинності булевих функцій, перетворення логічних виразів та їх приведення до різних форм, елементи схемотехнічного зображення булевих функцій, приклади мінімізації булевих функцій,
основні задачі комбінаторного аналізу, теорії графів, приклади реалізації оптимізаційних алгоритмів на графах. Обсяг гіпертекстового підручника (дві диске-
18
ти 1.44 Мб) дозволяє легко переміщувати його між комп’ютерами. Цей гіпертекстовий підручник є в електронній бібліотеці кафедри АПОТ.
Курс [26] містить комплект слайд-лекцій з дисципліни «Дискретна математика» за програмою факультету комп’ютерної інженерії та управління. Сертифікований Центром дистанційного навчання ХНУРЕ. Є в електронній бібліотеці кафедри АПОТ.
Гіпертекстовий підручник [27] в основному містить відомості, які відносяться до дисципліни "Прикладна теорія цифрових автоматів". С точки зору вивчення методів логічного моделювання інтерес має п’ятий розділ другої частини підручника, де викладені основи кубічного числення, основні його операції
та процедури виконання прямої та обратної імплікацій, які лежать в основі кубічного моделювання. Обсяг гіпертекстового підручника (дві дискети 1.44 Мб)
дозволяє легко переміщувати його між комп’ютерами. Цей гіпертекстовий підручник є в електронній бібліотеці кафедри АПОТ.
4 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ З ВИВЧЕННЯ ДИСЦИПЛІНИ
Розділ методичних вказівок з вивчення дисципліни побудований таким
чином, що для тем аудиторного вивчення наведений стислий зміст основних
положень навчального матеріалу цієї теми та рекомендації по використанню літературних джерел. Для тем самостійного вивчення крім цього наведені приклади виконання розрахунково-графічних завдань та варіанти для самостійного
виконання цих завдань.
При вивченні тем, які наведені в табл. 2.1, слід користуватися наступними
рекомендаціями, а саме: отримувати необхідні теоретичні знання та виконувати
необхідні розрахункові завдання. Для якісного вивчення відповідних тем та
здійснення самоперевірки, студенти мають відповісти на контрольні запитання
в кінці кожної теми або в кінці відповідних розділів в методичних вказівок [29,
30] та тестові запитання [25, 28].
4.1. Мета, задачі, предмет дисципліни. Основи теорії множин. Закони і
тотожності алгебри множин Кантора (аксіоматика алгебри Кантора): відношення приналежності та включення; булеан, міцність множини та булеану; закони
алгебри множин; доведення законів алгебри множин Кантора; перетворення теоретико-множинних виразів.
Література за темою: основна – [1, c. 4-8], [2, c.4-24], [3, c.3-7], [5, c.4-10],
додаткова – [19, c. 4-10].
Завдання для самостійного розв’язання (домашня самостійна робота):
Довести тотожності:
13) A \ (A \ B) = A  B ,
1) A  B = A  (B \ A) ,
14) A∆ (A∆B) = B ,
2) A  (B \ A) = ∅ ,
15) A = (A  B)  (A \ B) ,
3) (A  B) \ C = (A \ C)  (B \ C) ,
16) (A  B)  (A  B) = A ,
4) A \ (B \ C) = (A \ B)  (A  C) ,
17) A∆∅ = A ,
19
18) A∆A = ∅ ,
19) A∆U = A ,
20) A∆ (B∆C) = (A∆B)∆C ,
Спростити вирази:
а) C \ ( A ∩ B) ∩ C ,
5) ( A  B)  A = A  B ,
6) ( A  B)  A = A  B ,
7) A \ (B  C) = (A \ B) \ C ,
8) A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C) ,
9) A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C) ,
10) A \ B = A \ (A  B) ,
11) A  (B \ C) = (A  B) \ C =
= (A  B) \ (A  C) ,
б) (A  B)  C  (A  B  C) ,
в) (A \ B)  (B \ A)  (A  B) ,
г) (A  C)  (B  C)  (A  D)  (B  D) .
12) A \ B \ C = (A \ C) \ (B \ C) ,
Приклади розв’язання задач
б) Спростити вираз (A  B)  C  (A  B  C) на основі законів теорії множин:
(A  B)  C  (A  B  C)
Інволюц .,
асоц.
=
Де Моргана
=
(A  B)  C  ( A  B  C ) =
A  B  [ C  ( A  B  C )]
Елімінації
=
AB C
14) Довести тотожність: A∆ ( A∆B) = B .
Доведення:
def∆
.
def∆
A∆(A∆B) = A∆[(A \ B)  (B \ A)] = {A \ [(A \ B)  (B \ A)]}  {[(A \ B)  (B \ A)] \ A} =
def \
= {A \ [(A  B)  (B  A )]}  {[(A  B)  (B  A )] \ A} =
def \
= {A  [(A  B)  (B  A )]}  {[(A  B)  (B  A )]  A} =
Де Моргана ,
дистриб.
=
{A  (A  B)  (B  A )}  {( A  B  A )  (B  A  A )} =
Де Моргана ,
комут., ідемпот .
=
A  B)  (B  A )} =
{A  ( A  B )  ( B  A )}  {( A


Протирiч
Iнволюц.
=
{A  ( A  B)  ( B  A)}  {(∅  B)  (B  A )} =
(
( (
(
Порецького
Const
Const
= {A  B  ( B  A)}  {∅  (B  A )} = {A  (B  A)}  {B  A} =
(
( (
(
Порецького
Комут., ідемпот.
=
{B  A}  {B  A}
Зклеювання
=
B
4.2. Відповідності та їх властивості. Функції. Відображення : декартів добуток, відповідності та їх властивості, функції, відображення.
Література за темою: основна – [1, c. 9-12], [2, c. 11-17], [5, c. 4-10], [6, c.
8-15], додаткова – [19, c. 4-24].
20
4.3. Відношення. Операції над відношеннями. Алгебра відношень: визначення відношення, сумісність відношень, операції над відношеннями
(об’єднання, перетин, різниця, доповнення, розширений декартів добуток), реляційна алгебра.
Література за темою: основна – [1, c. 9-12], [2, c. 4-24], [5, с. 8-12], [6, c.
16-30], додаткова – [9, c. 12-21], [19, с. 4-24].
4.4. Бінарні відношення (способи завдання та властивості). Відношення
еквівалентності. Класи еквівалентності та їх властивості. Матриця бінарного відношення еквівалентності: визначення бінарного відношення, способи завдання
бінарних відношень, властивості бінарних відношень (рефлексивність, симетричність, транзитивність), бінарне відношення еквівалентності (визначення,
графічна інтерпретація, класи еквівалентності).
Література за темою: основна – [1, c. 9-12], [2, c. 4-24], [6, c. 16-30], додаткова – [9, c. 12-21], [19, c.4-24].
4.5. Упорядкована множина. Бінарне відношення порядку: визначення бінарного відношення порядку, упорядковані множини, діаграми Хасе.
Література за темою: основна – [1, c. 9-12], [2, c. 4-24], [6, c. 16-30], , додаткова – [9, c. 12-21], [19, c.4-24].
4.6. Структури. Ізоморфізм множин, алгебр. Алгебраїчні системи: визначення структури, властивості структур, дедекіндові та дистрибутивні структури, систематизація алгебраїчних систем.
Література за темою: основна – [1, c. 9-12], [2, c. 4-24], [5, c.4-10],[6, c. 1630], додаткова – [19, c. 12-21].
4.7. Математична логіка. Основні поняття алгебри логіки. Таблиці істинності. Логічні функції. Закони і тотожності алгебри логіки (аксіоматика алгебри
Буля).
4.8. ДНФ та КНФ. ДДНФ та ДКНФ. Теорема Шеннона та її слідство: булеві змінні та булеві функції, основні логічні операції, закони булевої алгебри,
диз’юнктивні та кон’юнктивні нормальні форми (ДНФ та КНФ)та КНФ), досконалі ДНФ та КНФ, теорема Шеннона.
Література за темою: основна – [1, c. 32-61], [2,3], [6,c.59-64], додаткова –
[14-18], [19, c. 263-268], [23, 24].
4.9. Булеві функції від двох змінних та їх властивості (способи переходу
від табличної до аналітичної і схемотехнічної форм зображення функцій). Функції Шефера та Пірса. Способи зображення булевих функцій: числовий, аналітичний, геометричний, кубічний, схемотехнічний (тема 2.4): функції від двох
змінних, сума за модулем два, еквівалентність, імплікація, Вебба, Шефера, форми зображення булевих функцій, їх взаємозв’язок.
Література за темою: основна – [1, c. 32-61], [2,3], [4, c. 256-260], [6,c.5979], додаткова – [14-18], [19, c. 263-268].
4.10. Класи булевих функцій. Повнота функцій. Теорема ПостаЯблонського, критерій повноти: класи функцій; функції, що зберігають константу нуль; функції, що зберігають константу одиниця; самодвоїсті функції; мо-
21
нотонні функції; поліноми та лінійні функції; необхідна та достатня умова повноти системи функцій.
Література за темою: основна – [1, c. 32-61], [2,3], [4, c. 263-268], [6,c.5979], додаткова – [19, c. 256-260].
Приклад розв’язання контрольної роботи.
Обґрунтувати, чи належить булева функція f ( x, y, z) = xy ∨ xz до класів, що сохраняють константу нуль ( K 0 ) та одиниця ( K1 ), а також до класів самодвоїстих
( K C ), монотонних ( K M ) і лінійних ( K Л ) функцій.
Розв’язок. Для аналізу функції слід скласти її таблицю істинності:
№ x
xz xy f = xy ∨ xz
y z x
0
0 0 0 1
0
0
0
1
2
1
0
1
0
0
0
3
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1
0
4
5
6
7
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
З таблиці істинності слідують властивості функції:
1) Функція на наборі з нулей приймає нульове значення, отже, надлежить до
класу функцій, що зберігають константу нуль: f (0,0,0) = 0 ⇒ f ∈ K 0 .
2) На наборі з одиниць функція приймає значення одиниця, отже, вона надлежить до класу функцій, які зберігають константу одиниця: f (1,1,1) = 1 ⇒ f ∈ K 1 .
3) Функція монотонна, якщо на кожній парі наборів, які порівняні, її значення
також порівняні. Для дослідження функції на монотонність складається гіперкуб та виконується аналіз розподілення значень функції в ньому:
1
011
(3)
1
001
(1)
1
111(7)
101
0 (5)
010 0
(2)
1 110
(6)
0
100
(4)
0 000(0)
Аналіз розподілу значень функції в гіперкубі показує, що функція не є моно22
тонною, оскілки існує нуль, що покриває одиницю, а саме: (0,0,1) < (1,0,1) , але
f (0,0,1) ≤/ f (1,0,1) . Таким чином, f ∉ K М .
4) Функція самодвоїста, якщо на кожній парі протилежних наборів вона приймає протилежні значення. З таблиці істинності видно, що існують пари протилежних наборів, на яких значення функції співпадають. Наприклад:
f (0,0,1) = f (1,1,0) = 1 .
5) Якщо вважати, що функція лінійна, тоді її можна представити у вигляді поліному першої степені:
f л ( x , y, z) = k 0 ⊕ k 1 ⋅ x ⊕ k 2 ⋅ y ⊕ k 3 ⋅ z, k i ∈ {0,1}, i = 0,3 .
Щоб знайти значення невідомих коефіцієнтів k i , слід скористатися значеннями
функції на 0, 1, 2 и 4 двійкових наборах, тобто на наборі з нулей та на всіх наборах, які містять одну одиницю:
f (0,0,0) = 0 ,
f (1,0,0) = 0 ,
f (0,1,0) = 0 ,
f (0,0,1) = 1 .
Після підстановки вказаних наборів до поліному слід дорівняти отримані результати до тих значень, які функція приймає на відповідних наборах, звідки
випливає система рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів:
f л (0,0,0) = k 0 ⊕ k 1 ⋅ 0 ⊕ k 2 ⋅ y ⊕ k 3 ⋅ 0 = k 0 = 0 ,
f л (1,0,0) = k 0 ⊕ k 1 ⋅ 1 ⊕ k 2 ⋅ 0 ⊕ k 3 ⋅ 0 = k 0 ⊕ k 1 = 0 ,
f л (0,1,0) = k 0 ⊕ k 1 ⋅ 0 ⊕ k 2 ⋅ 1 ⊕ k 3 ⋅ 0 = k 0 ⊕ k 2 = 0 ,
f л (0,0,1) = k 0 ⊕ k 1 ⋅ 0 ⊕ k 2 ⋅ 0 ⊕ k 3 ⋅ 1 = k 0 ⊕ k 3 = 1 .
З системи видно, що коефіцієнт k 0 вже є визначеним та дорівнює нулю. Інші
коефіцієнти обчислюються через k 0 з урахуванням властивостей функції додавання за модулем два:
0 ⊕ k1 = 0 ⇒ k1 = 0 ,
0 ⊕ k2 = 0 ⇒ k2 = 0 ,
0 ⊕ k 3 = 1 ⇒ k 3 = 1.
Отже, слід підставити знайдені коефіцієнти в поліном та перетворити його:
f л ( x , y, z) = 0 ⊕ 0 ⋅ x ⊕ 0 ⋅ y ⊕ 1 ⋅ z = z ≠ xy ∨ xz = f ( x , y, z) .
Оскільки отриманий вираз не співпадає з виразом, яким подано сама функція за
умовою, припущення про її лінійність не є вірним: f ∉ K Л .
Отже, функція не належить до класу самодвоїстих: f ∉ K C .
Таким чином, функція f ( x , y, z) = xy ∨ xz зберігає константи нуль та одиниця,
не є монотонною, самодвоїстою та лінійною.
23
4.11. Апарат булевих похідних: визначення нульової та одиничної остаточних функцій, булева похідна першого порядку, змішана похідна, булеві похідні вищих порядків, фізичний зміст булевих похідних.
Література: основна – [1, c. 61-70], додаткова – [20, c. с.154-164].
Математичний апарат булева диференційного числення використовується
в структурно-аналітичних методах синтезу тестів для комбінаційних пристроїв.
Булеві похідні дозволяють аналітично виразити умови активізації шляхів у схемі.
Завдання для самостійного виконання за темою «Булеві похідні»
(розрахункове завдання №1)
Визначити всі булеві похідні для функції f ( x1 , x 2 , x 3 ) та пояснити їх фізичний
зміст на прикладі активізації функціонального елементу:
1) f = x1x 2 x 3 , 2) f = x1 ∨ x 2 x 3 , 3) f = x1 ∨ x 2 x 3 .
Приклад. Визначити всі булеві похідні для функції f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 ∨ x 2 x 3 .
Пояснити їхній фізичний зміст.
Розв’язок. 1. Визначення похідних першого порядку:
∂f
= f (0, x 2 , x 3 ) ⊕ f (1, x 2 , x 3 ) = x 2 x 3 ⊕ 1 = x 2 x 3 = x 2 ∨ x 3 ;
∂x1
∂f
= f ( x1,0, x 3 ) ⊕ f ( x1,1, x 3 ) = x1 ⊕ ( x1 ∨ x 3 ) = x1x 3 ;
∂x 2
∂f
= f ( x1, x 2 ,0) ⊕ f ( x1, x 2 ,1) = x1 ⊕ ( x1 ∨ x 2 ) = x1x 2 .
∂x 3
Фізичний зміст: похідна першого порядку визначає умову, за якій функція змінює значення при зміні змінної xi. Функція f змінює значення, коли модифікується змінна x1 за умови, що x 2 ∨ x 3 = 1 , тобто x2=0 і (або) x3=0. Аналогічно
для x2 – x1x 3 = 1 ⇒ x1 = 0, x 3 = 1 , і x1x 2 = 1 ⇒ x1 = 0, x 2 = 1 .
2. Обчислення змішаних похідних другого порядку:
∂ 2f
∂  ∂f 

 = (0 ∨ x 3 ) ⊕ (1 ∨ x 3 ) = 1 ⊕ x 3 = x 3 ;
=
∂x1∂x 2 ∂x 2  ∂x1 
∂ 2f
∂  ∂f 
 = x2 ⊕1 = x2 ;

=
∂x1∂x 3 ∂x 3  ∂x1 
∂ 2f
∂  ∂f 
 = 0 ⊕ x1 = x1 ;

=
∂x 2∂x 3 ∂x 3  ∂x 2 
∂ 3f
∂  ∂ 2f 
третього порядку: ∂x ∂x ∂x = ∂x  ∂x ∂x  = 0 ⊕ 1 = 1 .
1 2 3
3 1 2
24
3) Обчислення змішаних похідних другого порядку:
∂ 2f
∂f
∂f
∂ 2f
=
⊕
⊕
= ( x 2 ∨ x 3 ) ⊕ x1x 3 ⊕ x 3 =
∂ ( x1x 2 ) ∂x1 ∂x 2 ∂x1∂x 2
= ( x 2 ∨ x 3 ) ⊕ x1x 3 ⊕ x 3 = ( x 2 ∨ x 3 ) ⊕ ( x1 ∨ x 3 ) ⋅ x 3 = ( x 2 ∨ x 3 ) ⊕ x1x 3 =
= ( x 2 ∨ x 3 ) ⋅ x1x 3 ∨ ( x 2 ∨ x 3 ) ⋅ x1x 3 = x1x 2 x 3 ∨ x1x 2 ∨ x 3 = x1x 2 ∨ x1x 2 ∨ x 3 .
Фізичний зміст: функція f змінює значення при будь-якому одночасному переключенні змінних x1 і x2, коли x3=0, або, незалежно від стану x3, при переключенні x1 і x2 з 11 на 00 або з 00 на 11.
∂ 2f
∂f
∂f
∂ 2f
=
⊕
⊕
= ( x 2 ∨ x 3 ) ⊕ x1x 2 ⊕ x 2 =
∂ ( x1x 3 ) ∂x1 ∂x 3 ∂x1∂x 3
= ( x 2 ∨ x 3 ) ⊕ x1x 2 ⊕ x 2 = ( x 2 ∨ x 3 ) ⊕ ( x1 ∨ x 2 ) ⋅ x 2 = ( x 2 ∨ x 3 ) ⊕ x1x 2 =
= ( x 2 ∨ x 3 ) ⋅ x1x 2 ∨ ( x 2 ∨ x 3 ) ⋅ x1x 2 = x1x 2 x 3 ∨ x1x 3 ∨ x 2 = x1x 3 ∨ x1x 3 ∨ x 2 .
Фізичний зміст: функція f змінює значення при будь-якому одночасному переключенні змінних x1 і x3, коли x2=0, або незалежно від стану x2 при переключенні x1 і x3 з 11 на 00 чи з 00 на 11.
∂f
∂ 2f
∂f
∂ 2f
= x1x 3 ⊕ x1x 2 ⊕ x1 = x1x 3 ⊕ x1x 2 =
⊕
=
⊕
∂ ( x 2 x 3 ) ∂x 2 ∂x 3 ∂x 2 dx 3
= x1x 3 ⋅ x1x 2 ∨ x1x 3 ⋅ x1x 2 = ( x1 ∨ x 3 ) ⋅ x1x 2 ∨ x1x 3 ⋅ ( x1 ∨ x 2 ) =
= x1x 2 x 3 ∨ x1x 2 x 3 = x1 ( x 2 x 3 ∨ x 2 x 3 ) .
Фізичний зміст: функція f змінює значення, коли x1=0, при переключенні x2 і x3
з 11 на 00 чи з 00 на 11.
Третього порядку
∂ 3f
∂f
∂f
∂f
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
∂ 3f
=
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
=
∂ ( x1x 2 x 3 ) ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x1∂x 2 ∂x1∂x 3 ∂x 2∂x 3 ∂x1∂x 2∂x 3
= ( x 2 ∨ x 3 ) ⊕ x1x 3 ⊕ x1x 2 ⊕ x 3 ⊕ x 2 ⊕ x1 ⊕ ( x1x 2 ∨ x1x 2 ∨ x 3 ) ⊕
⊕ ( x1x 3 ∨ x1x 3 ∨ x 2 ) ⊕ x1 ( x 2 x 3 ∨ x 2 x 3 ) ⊕ 1 = x1x 2 x 3 ∨ x1x 2 x 3 ∨
∨ x1x 2 x 3 ∨ x1x 2 x 3 ∨ x1x 2 x 3 ∨ x1x 2 x 3 .
Таким чином, функція змінює значення при переключенні вхідних векторів:
2 ↔ 5, 1↔ 6 , 0 ↔ 7 .
4.12. Методи мінімізації булевих функцій. Метод мінімізуючих карт (карти Карно). Метод невизначених коефіцієнтів для базиса І-АБО-НІ. Зв’язок таблиць істинності з картами Карно для булевих функцій від двох, трьох, чотирьох
змінних. Зображення функцій на картах Карно. Отримання аналітичної форми
функції за картою Карно. Спрощений стандарт карт Карно. Мінімізація функцій
25
за картами Карно (зклеювання сусідніх кліток, мінімізуючі контури). Метод невизначених коефіцієнтів для отримання мінімальної ДНФ.
Література за темою: основна – [1, c. 32-61], додаткова – [14, с. 222240], [15, 16].
Завдання для самостійного розв’язання (розрахункове завдання № 2)
Приклад. Знайти мінімальну форму для функції від трьох змінних:
f ( x1 , x 2 , x 3 ) = ∨ (0,2,4,7) = x1x 2 x 3 ∨ x1x 2 x 3 ∨ x1x 2 x 3 ∨ x1x 2 x 3
1
методом невизначених коефіцієнтів. Виконати перевірку аналітично та за картами Карно.
1. Слід записати систему рівнянь у вигляді таблиці:
№ x1 x 2
x3
Коефіцієти системи
0
0
0
0
k10
k 02
k 30
00
k12
00
k 13
k 00
23
000
k 123
1
1
0
0
1
k 10
k 02
k13
00
k 12
01
k13
k 01
23
001
k 123
0
2
0
1
0
k 10
k 12
k 30
01
k 12
00
k 13
k10
23
010
k 123
1
3
0
1
1
k 10
k 12
k13
01
k 12
01
k13
k11
23
011
k 123
0
4
1
0
0
k 11
k 02
k 30
k10
12
k10
13
k 00
23
k 100
123
1
5
1
0
1
k11
k 02
k13
k10
12
k 11
13
k 01
23
k101
123
0
6
1
1
0
k11
k 12
k 30
k11
12
k10
13
k10
23
k 110
123
0
7
1
1
1
k11
k 12
k13
k11
12
k 11
13
k11
23
k111
123
1
fi
2. В рядках, де функція приймає нульові значення ( fi = 0 ) всі коефіцієнти дорівнюються нулю.
3. Рівні нулю коефіцієнти, які визначені в п. 2, слід викреслити з рядків, де
вони зустрічаються, коли f i = 1 :
fi
№ x1 x 2 x 3
Коефіцієнти системи
0
0
0
0
k10
k 02
k 30
00
k12
00
k 13
k 00
23
000
k 123
1
1
0
0
1
k 10
k 02
k13
00
k 12
01
k13
k 01
23
001
k 123
0
2
0
1
0
k 10
k 12
k 30
01
k 12
00
k 13
k10
23
010
k 123
1
3
0
1
1
k 10
k 12
k13
01
k 12
01
k13
k11
23
011
k 123
0
4
1
0
0
k 11
k 02
k 30
k10
12
k10
13
k 00
23
k 100
123
1
5
1
0
1
k11
k 02
k13
k10
12
k 11
13
k 01
23
k101
123
0
6
1
1
0
k11
k 12
k 30
k11
12
k10
13
k10
23
k 110
123
0
7
1
1
1
k11
k 12
k13
k11
12
k 11
13
k11
23
k111
123
1
26
4. Модифікована система рівнянь складається з рядків таблиці з правою частиною одиниця ( f i = 1):
00
000
∨ k 00
k13
23 ∨ k123 = 1, (0)
00
010
∨ k123
= 1, (2)
k13
100
k 00
23 ∨ k123 = 1, ( 4)
k111
(7 )
123 = 1,
5. Вибор мінімального покриття. Щоб рівняння (0), (2), (4) оберталися на тотожності, досить, щоби хоча б один з коефіцієнтів у кожному з них був дорів00
неним одиниці. Спільним для рівнянь (0) і (2) є коефіцієнт k13
, тоді в (4) слід
обрати коефіцієнт з мінімальною кількістю індексів k 00
23 :
00
000
∨ k 00
k13
23 ∨ k123 = 1, (0)
00
010
∨ k123
= 1,
k13
(2)
∨ k100
123 = 1,
k111
123 = 1.
( 4)
k 00
23
(7 )
00
111
Таким чином, k 13
= k 00
23 = k 123 = 1 , що відповідає мінімальній ДНФ:
f min ДНФ ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1x 3 ∨ x 2 x 3 ∨ x1x 2 x 3 .
Перевірка за допомогою карт Карно. Слід зобразити функцію на карті Карно:
x2
1
x1
1
1
1
x3
Отже, зклеювання сусідніх пар комірок дає: 0 і 2 ⇒ x 1 x 3 , 0 і 4 ⇒ x 2 x 3 ; комірці №7 відповідає терм x1x 2 x 3 . Таким чином, отримали той же результат:
f min ДНФ ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1x 3 ∨ x 2 x 3 ∨ x1x 2 x 3 .
Перевірка аналітично на основі законів булевої алгебри:
f СДНФ ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 x 2 x 3 ∨ x 1 x 2 x 3 ) ∨ x 1 x 2 x 3 ∨ x 1 x 2 x 3
дистриб.
з −н зклеюв.
по перем. x 2
=
дистриб.
= (x1x 3 ∨ x1x 2 x 3 ) ∨ x1x 2 x 3 = x 3 (x1 ∨ x1x 2 ) ∨ x1x 2 x 3 =
дистриб.
= x 3 ( x 1 ∨ x 1 )( x 1 ∨ x 2 ) ∨ x 1 x 2 x 3 = x 3 ( x 1 ∨ x 2 ) ∨ x 1 x 2 x 3 =
= x 1 x 3 ∨ x 2 x 3 ∨ x 1 x 2 x 3 = f minДНФ ( x 1 , x 2 , x 3 )
Постановка індивідуального завдання
Значення для булевої функції від трьох змінних визначаються за алгоритмом:
зіставити першім вісьма буквам прізвища (ім’я, по батькові) їх номери в алфавіті, праним номерам відповідає значення 0, непарним – 1)
27
А–1
Б–2
В–3
Г–4
Д–5
Е–6
Ё–7
Ж–8
Наприклад:
З–9
И – 10
Й – 11
К – 12
Л – 13
М – 14
Н – 15
О – 16
П – 17
Р – 18
С – 19
Т – 20
У – 21
Ф – 22
Х – 23
Ц – 24
Ч – 25
Ш – 26
Щ – 27
Ъ – 28
Ы – 29
Ь – 30
Э – 31
Ю – 32
Я – 33
Прізвище Ч у м а ч е н к
№ букви 25 21 14 1 25 6 15 12
Значення 1 1 0 1 1 0 1 0
Отже, функція f ( x 1 , x 2 , x 3 ) задається наступною таблицею істинності:
0
1
2
3
4
5
6
7
№ набору
( x 1 , x 2 , x 3 ) (0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
1
1
0
1
1
0
1
0
f ( x1 , x 2 , x 3 )
кцій.
4.13. Метод Квайна. Метод Квайна-Мак-Класки мінімізації булевих фун-
Література: додаткова – [14, с. 222-240].
4.14. Метод граф-схем зображення та мінімізації булевих функцій (тема
2.11). Метод суттєвих змінних.
Література: додаткова – [25, 26].
4.15. Метод суттєвих змінних мінімізації булевих функцій.
Література: додаткова – [25, 26].
4.16. Елементи комбінаторного аналізу. Правила суми та добутку. Перестановки та підстановки. Поняття перестановки. Поняття підстановки. Теоретико-множинна інтерпретація підстановки як взаємно-однозначної відповідності
множини на себе. Тотожна підстановка. Група підстановок. Сумісність підстановок. Нерухомі точки підстановки. Добуток підстановок. Графова інтерпретація підстановки. Цикли підстановки. Розкладання підстановки у добуток попарно незалежних циклів. Інверсії підстановки. Парність підстановки. Перестановки з повтореннями.
Література за темою: основна – [4, c. 170-184].
Завдання для самостійного розв’язання (домашня робота)
1) Знайти добуток підстановок четвертого ступеня. Довести, що він не є комутативним:
 1 2 3 4 4 1 2 3 4
 , π 2 = 
π14 = 
 .
 2 1 4 3
3 1 4 2
28
Розв’язок. Відповідно до правила обчислення добутку маємо:
 1 2 3 4   1 2 3 4  1 2 3 4 
 ⋅ 
 = 
 .
π14 ⋅ π 42 = 
2
1
4
3
3
1
4
2
1
3
2
4

 
 

Перемножування підстановок у зворотному порядку дає:
1 2 3 4  1 2 3 4  1 2 3 4
 ⋅ 
 = 
 .
π 42 ⋅ π14 = 
3 1 4 2  2 1 4 3  4 2 3 1
Видно, що результати відрізняються.
 1 2 3
 .
2) Визначити парність підстановки π13 = 
 2 1 3
 1 2 3
 , необхідно
Розв’язок. Щоб визначити парність підстановки π13 = 
2
1
3


3
знайти кількість інверсій у ній Z(π1 ) . Для цього треба послідовно виконати всі
попарні порівняння стовпців:
1< 2
1< 3 2 < 3
– інверсія;
;
.
2 >1
2 < 3 1< 3
Отже, кількість інверсій Z(π13 ) = 1 , тобто підстановка непарна.
 1 2 3 4 5
 у вигляді добутку циклів.
3) Представити підстановку π 5 = 
4
2
5
3
1


Розв’язок. Щоб представити підстановку у вигляді розкладання в добуток незалежних циклів, варто переставити стовпці так, щоб утворюючі цикли елементи
перебували поруч:
 1 2 3 4 5   1 4 3 5 2 

 =
= (1, 4, 3, 5) ⋅ (2) .


4
2
5
3
1
4
3
5
1
2

 

Підстановки можна інтерпретувати у вигляді графа, де вершинами є елементи
множини, на якій задана підстановка, а дуги визначають зв'язок між вершинами
відповідно до відображення, що задає підстановку.
4) Дати геометричну інтерпретацію підстановки:
1 2 3 4 5

 .
 2 3 1 5 4
Розв’язок. Слід представити підстановку у вигляді розкладання в добуток циклів:
1 2 3 4 5

 = (1,2,3)(4,5) .
2
3
1
5
4


Даній підстановці відповідає граф G =< M, U > , де множина вершин
29
M = {1,2,3,4,5} , а множина ребер U встановлює зв'язок між вершинами
U = {(1,2), (2,3), (3,1), (4,5), (5,4)} . Графова діаграма представлена на рисунку:
1
2
5
3
4
Постановка завдань:
Завдання 1. Зобразити підстановку у вигляді добутку попарно незалежних
циклів та навести відповідну графову діаграму:
а)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 ,
π 9 = 
1 9 3 7 6 5 8 4 2 
в)
1 2 3 4 5 6 7 8 
 .
π 8 = 
8 1 3 5 4 7 6 2
б)
 1 2 3 4 5 6
 ,
π 6 = 
 2 3 4 1 6 5
Завдання 2. Визначити добуток підстановок та показати, що він не є комутативним:
а)
 1 2 3 4 1 2 3 4
 
 ,
π14 π 42 = 
 4 2 1 3 3 4 2 1
в)
 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
 
 
 ,
π16 π 62 π 36 = 
 6 2 3 1 4 5 3 1 2 5 6 4 3 2 5 4 1 6
б)
 1 2 1 2 3
 

π 2 π 3 = 
 2 1 3 1 2
Завдання 3. Визначити парність підстановки
,
1 2 3 4 5
 .
π 5 = 
3 2 1 5 4
Завдання 4. Скільки нерухомих точок має підстановка
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 ?
π 9 = 
1 9 3 4 6 5 7 8 2 
4.17. Формули бінома Ньютона та полінома. Біноміальний коефіцієнт.
Трикутник Паскаля. Властивості біноміальних коефіцієнтів. Поліноміальний
коефіцієнт. Сума поліноміальних коефіцієнтів.
Література за темою: основна – [2-4].
Завдання для самостійного розв’язання (домашня робота)
1) Знайти біноміальний коефіцієнт середнього члена розкладання (3 + y)18 .
Розв’язок. Середньому члену розкладання відповідає індекс k =
же:
30
n 18
= = 9 , от2 2
9
C kn = C18
=
10 ⋅ 11 ⋅ 12 ⋅ 13 ⋅ 14 ⋅ 15 ⋅ 16 ⋅ 17 ⋅ 18
18!
= 11 ⋅ 4 ⋅ 13 ⋅ 5 ⋅ 17 = 48620
=
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9
9!(18 − 9)!
2) Знайти середній член розкладання (3 + y)18 .
Розв’язок. Розкладання бінома (3 + y)18 відповідно до формули (19.10) має ви18
k 18− k k
гляд: (3 + y)18 = ∑ C18
3
y . Середньому члену розкладання відповідає інk =0
декс k=9. Оскільки біноміальний коефіцієнт середнього члена для даного розкладання визначений у прикладі 19.5, сам середній член має вигляд:
9 18−9 9
T9 = C18
3
y = 48620 ⋅ 39 ⋅ y 9 .
3) Знайти розкладання бінома (2 − x ) 5 . Перевірити, що сума біноміальних
коефіцієнтів погоджується з формулою (19.12).
Розв’язок. Відповідно до формули (19.11), розкладання (2 − x ) 5 має вигляд:
5
(2 − x ) 5 = ∑ (−1) k C 5k 2 5−k x k .
k =0
Біноміальні коефіцієнти доцільно обчислювати з урахуванням властивості симетрії, що дозволяє визначити пари однакових коефіцієнтів і в цьому випадку
записується як C 5k = C 55−k . Тоді: C 0 = C 55 = 1 , C15 = C 54 = 5 , C 52 = C 53 = 10 .
З урахуванням знайдених коефіцієнтів розкладання бінома записується так:
5
(2 − x ) 5 = ∑ (−1) k C 5k 2 5−k x k = (−1) 0 C 50 2 5−0 x 0 + (−1)1 C15 2 5−1 x 1 +
+ (−1)
2
k =0
2 5− 2 2
C5 2 x
+ (−1) 3 C 35 2 5−3 x 3 + (−1) 4 C 54 2 5−4 x 4 + (−1) 5 C 55 2 5−5 x 5 =
= 2 5 − 5 ⋅ 2 4 x + 10 ⋅ 2 3 x 2 − 10 ⋅ 2 2 x 3 + 5 ⋅ 2x 4 − x 5 =
= 32 − 80x + 80x 2 − 40x 3 + 10x 4 − x 5 .
Додавання всіх біноміальних коефіцієнтів дає:
5
C 50 + C15 + .C 52 + C 35 + C 54 + C 55 = ∑ C 5k = 32 = 2 5 .
k =0
4)
Визначити
значення
поліноміального
коефіцієнта
при
k 1 = 3, k 2 = 2, k 3 = 2, n = 7 .
Розв’язок. Відповідно до визначення поліноміального коефіцієнта, сума чисел
k i , i = 1,2,3 , повинна дорівнювати значенню n . Ця умова виконується: 3+2+2=7.
Отже, можна застосувати формулу для обчислення поліноміального коефіцієнта:
7!
4!⋅5 ⋅ 6 ⋅ 7
C 7 (3, 2, 2) =
=
= 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 210 .
3! 2! 2!
4!
31
5) Одержати розкладання полінома (1 + 2 y − 3z) 3 .
Розв’язок. З формули полінома слідує:
(1 + 2 y − 3z) 3 = 13 + 3 ⋅ 12 (2 y) + 3 ⋅ 12 (−3z) + 3 ⋅ 1(2 y) 2 + 6 ⋅ 1 ⋅ 2 y(−3z) +
+ 3 ⋅ 1(2 y) 2 + (−3z) 3 + 3(2 y) 2 (−3z) + 3(2 y)(−3z) 2 + (−3z) 3 =
= 1 + 6 y − 9z + 12 y 2 − 36 yz + 12 y 2 − 27 z 3 − 36 y 2 z + 54 yz 2 − 27 z 3 .
Постановка завдань:
1) Написати розкладання бінома:
a)
( x + 1) 7 ;
б)
( x − 2) 5
; в)
(3x + 2 y) 4
; г)
1
(x 2 − ) 6
x
; д)
( x 2 − y) 6 .
2) Знайти біномиальний коефіцієнт середнього члена розкладання
3) Знайти четвертий член розкладання
(8x − 5 y) 6
4) Знайти середній член розкладання: а)
5) Написати розкладання бінома
коефіцієнтів.
.
.
(7 + x )16 ;
(2 x − 3z) 7 ,
(a + 6) 20
б)
(3 − y)18 .
а також знайти суму біноміальних
4.18. Сполучення. Розміщення. Геометрична інтерпретація чисел C nk . Формула підрахунку кількості сполучень. Зв’язок з біноміальними коефіцієнтами.
Сума біноміальних коефіцієнтів. Формула підрахунку кількості розміщень.
Зв’язок розміщень з перестановками.
Література за темою: основна – [2-4].
4.19. Поняття вибірки. Вибірки з повтореннями. Узагальнення введених
визначень за допомогою поняття вибірки. Комбінаторні конфігурації з повтореннями. Узагальнення введених понять (тема 3.4). Вибірка як взаємозв’язок
комбінаторник конфігурацій. Вибірки з повтореннями та без. Класифікація
комбінаторних конфігурацій. Схеми щодо розв’язання задач.
Література за темою: основна – [2-4].
1)
2)
3)
4)
5)
Завдання для самостійного розв’язання
(постановка індивідуальних завдань)
Скільки існує різних перестановок букв Вашого прізвища?
Скільки існує різних переставлень букв Вашого імені?
Скільки існує переставлень з повтореннями з букв Вашого імені?
Скільки сполучень із трьох різних букв можна побудувати, використовуючи букви Вашого по-батькові?
Скільки розміщень з трьох різних букв можна побудувати, використовуючи букви Вашого прізвища?
32
4.20. Теорія графів. Основні поняття теорії графів. Суміжність та інцидентність. Операції над графами. Композиції графів. Орієнтовані графи.
Зв’язність графів. Поняття ланцюга, шляху, дерева. Ізоморфізм графів. Способи
завдання та зображення графів (матриці суміжності, інциденцій). Цикли, матриця циклів.
Література за темою: основна – [7,8].
4.21. Ейлерів цикл. Ейлерів граф. Побудова ейлерового циклу. Гамільтонів цикл. Гамільтонів граф. Побудова гамільтонового циклу (метод перебору
Робертса-Флореса).
Література за темою: основна – [7,8].
Завдання для самостійного розв’язання
Проаналізувати, чи є даний граф ейлеровим/напівейлеровим/гамільтоновим.
Скласти матрицю суміжностей.
Вариант
Завдання
v
v
1
v
v
.
2
1
2
3
4
a
3
b
d
e
4
c
3
4
1
2
5
2
5
1
3
6
4
5
6
7
8
a1
v2
a5
v5
9
10
33
v1
a3
a4
a7
a2
v3
a6
v4
11
x1
x3
x2
x7
x4
x6
x8
x5
12
v1
13
v3
v2
v4
v5
x2
14
2
4
1
10
x3
5
x1
2
4
x4
ñ
15
b
d
a
e
ñ
16
b
d
e
a
a
17
b
c
f
e
18
d
x1
x4
x3
x2
19
ñ
a
d
G
20
3
x2
x1
10
14
x3
11
x8
9 3
8
2
14
x7
6 10
6
x4
8
x6
19 5
5
x5
8
7
3
x9
G
A
21
B
D
C
Приклад розв’язання:
Граф називається ейлеровим, якщо він має эйлерів цикл, тобто замкнутий
маршрут, який містить кожне ребро графа тілько один раз (вершини можут повторюватися).
Для графа, наведеного на рисунку, один з ейлеровых циклів: abcdefcghea.
34
b
a
e
f
d
c
g
Згідно з критерієм, граф є эйлеровим тоді й тільки тоді, коли всі йго вершини мають парний ступінь:
G=<V,U> ейлерів ⇔ ∀v∈V degv=2n, n∈ N
Всі вершини графа, що розглядається, мають парні ступені:
deg a= deg b= deg g= deg h= deg d= deg f=2, deg e= deg c=4.
Якщо в графі є дві вершини непарного ступеню, то існує ейлеровий ланцюг, який починається в одній з них та закінчується у другій. При цьому граф
называєтся напівейлеровим.
В графі, що наведенийнижче, вершини v1 і v3 мають непарні ступені:
degv1=3, degv3=3, отже, граф є напівейлеровим. Ейлерові ланцюги, що отримуються за алгоритмом Фльорі, починаются та закінчуються у вершинах з непарними ступенями v1 і v3:
v1,v2,v4,v3,v2,v1,v3
h
v1
v2
v3
v4
Гамильтонів граф містить гамільтонів цикл – замкнутий маршрут, що містить кожну вершину графа тільки один раз, причому не обов’язково всі ребра
повинні входити в обход. Для отримання такого цикла у даному графі досить
пройти за зовнішніма ребрами: v1,v2,v4,v3,v1.
Таким чином, даний граф є напівейлеровим та гамільтоновим.
4.22. Остовний підграф графа. Алгоритм побудови остова мінімальної
довжини (алгоритм Краскала). Побудова ланцюгів мінімальної довжини (алгоритм Дейкстри).
Література за темою: основна – [7,8].
4.23. Оптимізація графів. Метод гілок та границь розв’язку задачі комівояжера. Загальна модель задачі пошуку. Алгоритм повного перебору усіх вершин (алгоритм пошуку в глибину з поверненням або алгоритм перебору часткових рішень). Метод динамічного програмування розв’язку задачі комівояжера.
Література за темою: основна – [7,8].
4.24. Упорядковані дерева. Бінарні дерева, їх застосування у задачах теорії кодування (бінарні дерева, префіксний код, вартість декодування). Задача
побудови оптимального дерева бінарного пошуку (алгоритм Гільберта-Мура).
Література за темою: основна – [7,8].
35
Завдання для самостійного розв’язання
Для графа, що містить 7 вершин, отримати найкоротший кістяк (остов) за
алгоритмом Краскала з урахуванням індивідуальних даних для постановки задачи.
Зразок розв’язку
Дана матриця вагових коефіцієнтів розміру 7x7. Верхнєтрикутну частину
(без діагоналі) слід заповнити числами (ПІБ, порядковий номер букви в алфавиті делить на 4 и брать остаток от деления). Елемент матриці задає довжину
v( v i , v j ) = cij . Побудувати остів найребра, що з’єдує вершини ν i и ν j :
меншої довжини для такого графа.
Матрица для ПІБ «Чумаченко Светлана Викторовна» має вигляд:
v1
v1
∞
v2
н
15
∞
v2
v3
v4
в
3
а
1
н
15
е
6
в
3
∞
v3
∞
v4
v5
а
1
к
12
m
20
и
10
∞
v5
v6
у
21
ч
25
о
16
л
13
к
12
∞
v6
v7
ч
25
м
14
е
6
с
19
а
1
m
20
∞
v7
Після розрахунку вагові коефіцієнти розподіляються наступним чином:
v1
v2
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
∞
3
3
1
3
2
3
1
0
0
2
1
1
0
1
0
1
2
2
3
1
0
∞
v3
∞
∞
v4
∞
v5
∞
v6
∞
v7
Реалізація алгоритму Краскала:
1. Слід впорядкувати ребра за неубуванням (у порядку ≤ ) їх вагових коефіцієнтів (довжин):
U 1 = ( v1 , v 5 ), w 1 = 1 ,
U 8 = ( v 2 , v 4 ), w 8 = 2 ;
U 2 = ( v1 , v 6 ), w 2 = 1;
U 9 = ( v 2 , v 7 ), w 9 = 2;
36
U 3 = ( v1 , v 7 ), w 3 = 1 ;
U 10 = ( v 3 , v 7 ), w 10 = 2 ;
U 4 = ( v 2 , v 3 ), w 4 = 1 ;
U 11 = ( v 4 , v 5 ), w 11 = 2;
U 5 = ( v 2 , v 6 ), w 5 = 1;
U 12 = ( v1 , v 2 ), w 12 = 2 ;
U 6 = ( v 4 , v 6 ), w 6 = 1 ;
U 13 = ( v1 , v 3 ), w 13 = 2 ;
U 7 = ( v 5 , v 7 ), w 7 = 1;
U 15 = ( v 3 , v 4 ), w 14 = 2 .
2. Обираємо перше за списком ребро U 1 та додаємо його до остову;
ребро U 2 також додаємо до остову, оскільки воно не складає циклів з попередніми;
ребро U3 додаємо до остову (його додавання не призводить до циклів циклов з попередніми ребрами, що вже додані до остову, який будується);
ребро U 4 додаємо до остову, оскільки воно не складає циклів з попередніми;
ребро U5 додаємо до остову;
ребро U 6 додаємо до остову.
Довжина остову дорівнює сумі довжин ребере, що входять в нього, тобто 6:
n = 7 – кількість вершин в графі, n − 1 = 7 − 1 = 6 – кількість ребер в остові,
m = 16 ребер у графі з постановки задачі;
6 log 16 = 6 ⋅ 4 = 24 – складність обчислень.
5 КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ ТА ВМІНЬ
5.1 Кількісні критерії оцінювання
Як підсумковий контроль для дисципліни «Дискретна математика» використовується модульний іспит. Специфіка цього виду контролю обумовлює
формування підсумкової оцінки за результатами роботи протягом всього семестру та оцінювання проходження різних видів занять. При цьому виді контролю
іспит вважається складеним успішно, якщо протягом семестру студент отримав
за всі контрольні заходи 60 балів у 100-бальній системі.
При оцінювання роботи студента протягом семестру підсумкова рейтингова оцінка розраховується як сума оцінок за різні види занять та контрольні
заходи. Кожне практичне заняття оцінюється у 2 бали (за присутність та активну роботу). Поточні контрольні заходи оцінюються у 5-7 балів та додаються у
загальних рейтинг. Максимальний можливий рейтинг протягом семестру – 100
балів.
Середньозважена система оцінювання обумовлює розбивку дисципліни
на змістовні модулі, максимальна сума балів за які дорівнює 100. Всередині
змістовного модуля проводиться дві контрольні точки за результатами практичних занять, сума балів за окремі види контрольних заходів дорівнює 30. Оцінка, отримана студентом за дисципліну в цілому складається с з суми оцінок за
дві контрольні точки (максимум – 60 балів) та підсумкового теоретичного тестування (максимум – 40 балів). Для отримання оцінки "задовільно" за дисципліну студент повинен здобути не менше 60 балів у сукупності за практику та
37
теорію за всіма змістовними модулями, а саме: відпрацювати всі практичні заняття, виконати з позитивною оцінкою розрахункові завдання, аудиторну контрольну роботу, домашню самостійну роботу, поточні бланкові тестування та
пройти підсумкове тестування.
В таблиці 5.1 наведені рейтингові оцінки окремих видів занять та змістовних модулів в дисципліні «Дискретна математика».
Таблиця 5.1 –Рейтингові оцінки окремих видів занять та змістовних модулів
Вид заняття / контрольний захід Ваговий коефіцієнт
Практичне заняття (Пз) № 1
2
Пз № 2
2
Пз № 3
2
Пз № 4
2
Пз № 5
2
Пз № 6
2
Пз № 7
2
Пз № 8
2
Пз № 9
2
Пз № 10
2
Пз № 11
2
Бланковий тест (БТ) № 1
5
БТ № 2
5
БТ № 3
5
КР
5
Точка контролю № 1
30
БТ № 4
5
Розрахункове завдання (РЗ) № 1
5
РЗ № 2
5
Аудиторна контрольна робота (АКР)
8
Точка контролю № 2
30
Підсумкове тестування
40
5.2 Якісні критерії оцінювання: необхідний обсяг знань для одержання
модульного іспиту
1. Теорія множин. Закони і тотожності алгебри множин Кантора (аксіоматика алгебри Кантора): Відношення приналежності та включення. Булеан,
міцність множини та булеану. Властивості відповідностей та їх класифікація.
Відношення, їх сумісність, операції над відношеннями. Бінарні відношення, їх
властивості та класифікація (відношення еквівалентності та порядку). Структури – основні поняття.
38
2. Булева алгебра. Основні поняття алгебри логіки. Таблиці істинності.
Логічні функції. Закони і тотожності алгебри логіки (аксіоматика алгебри Буля). ДНФ та КНФ. ДДНФ та ДКНФ. Теорема Шеннона та її слідство. Булеві
функції від двох змінних та їх властивості (способи переходу від табличної до
аналітичної і схемотехнічної форм зображення функцій). Функції Шефера та
Пірса. Способи зображення булевих функцій: числовий, аналітичний, геометричний, кубічний, схемотехнічний. Класи булевих функцій. Повнота функцій.
Теорема Поста-Яблонського (критерій повноти). Основні формули для обчислення булевих похідних. Методи мінімізації булевих функцій. Метод мінімізуючих карт (карти Карно). Метод невизначених коефіцієнтів для базиса І-АБОНІ. Основні етапи методів Квайна, Квайна-Мак-Класки, граф-схем, суттєвих
змінних.
3. Комбінаторний аналіз. Основні поняття комбінаторного аналізу. Правила суми та добутку. Комбінаторні конфігурації та їх класифікація: перестановки, підстановки, сполучення, розміщення. Комбінаторні конфігурації з повтореннями. Основні формули підрахунку кількості комбінаторних конфігурацій.
Формула бінома Ньютона. Поліноміальна формула. Формули біноміального та
поліноміального коефіцієнтів. Комбінаторні конфігурації з повтореннями. Правила суми та добутку.
4. Теорія графів. Основні поняття та математичний апарат теорії графів:
графи й операції над ними, основні оптимізаційні алгоритми та методи теорії
графів (гілок та мереж, динамічного програмування, Краскала, Дейкстри); методи визначення гамільтонових та ейлеревих циклів в графах.
5.3 Необхідний обсяг умінь для одержання заліку
1. Уміти доводити закони алгебри множин; перетворювати теоретикомножинні вирази.
2. Уміти характеризувати відповідності за їх властивостями.
3. Уміти виконувати елементарні операції над відношеннями.
4. Уміти описувати бінарні відношення та визначати їх властивості за допомогою матриці суміжностей та графів.
5. Уміти визначати додаткові та порівняні елементи частково впорядкованих множин та структур.
6. Уміти складати таблиці істинності мулевих функцій.
7. Уміти доводити основні тотожності мулевої алгебри за допомогою таблиць істинності.
8. Уміти перетворювати довільні булеві функції до ДНФ та КНФ, ДДНФ
та ДКНФ.
9. Уміти виконувати розкладання булевих функцій за теоремою Шеннона.
10. Уміти відновлювати аналітичний вигляд булевої функції за таблицею
істинності, застосовувати способи переходу від табличної до аналітичної і схемотехнічної форм зображення булевих функцій.
11. Уміти аналізувати належність булевих функцій класам.
39
12. Уміти виконувати мінімізацію булевих функцій будь-яким відомим
методом.
13. Уміти застосовувати формулу бінома, обчислювати біноміальні коефіцієнти з урахуванням властивості симетрії.
14. Уміти застосовувати формулу полінома та обчислювати поліноміальні
коефіцієнти.
15. Уміти складати формувати та розрізнювати основні комбінаторні
конфігурації: перестановки, підстановки, перестановки з повтореннями
(комбінаторна інтерпретація); сполучення; сполучення з повтореннями.
16. Уміти підраховувати кількість комбінаторних об’єктів.
17. Уміти визначати типи маршрутів і циклі на графах.
18. Уміти застосовувати критерії визначення ейлерових графів.
19. Уміти визначати гамільтонові графи.
20. Уміти знаходити остовні дерева мінімальної ваги.
21. Уміти визначати ланцюги мінімальної довжини з заданої вершини
графа.
22. Уміти розв’язувати задачу комівояжера.
5.4. Критерії оцінювання роботи студента протягом семестру
1. Задовільно, D, E (60-74). Мати мінімум знань і умінь. Відпрацювати всі
практичні заняття. Знати елементарні формули, уміти самостійно розв’язувати
прості завдання.
2. Добре, С (75-89). Твердо знати мінімум знань і умінь. Знати теоретичні
положення, вміти застосовувати їх на прктиці, уміти розв’язувати завдання середнього рівня складності.
3. Відмінно, А, В (90-100). Знати всі теми. Орієнтуватися в гіпертекстовому і друкованих підручниках та посібниках. Досконально знати всі формули
та теоретичні положення. Уміти розв’язувати завдання за пройденим курсом,
давати інтерпретацію булевим функціям.
Модульний іспит не виставляється у разі, якщо студент має суттєві вади
знань з багатьох тем навчальної дисципліни, не відпрацював і не захистив поточні роботи, а також не виконав розрахункових завдань.
ВИСНОВКИ
Методичні вказівки з самостійної роботи для студентів денного та заочного відділень орієнтовані на систематичне вивчення дисципліни з урахуванням
самостійної роботи студентів. Методичні вказівки в логічній послідовності зв'язують між собою вивчення теоретичного матеріалу, підготовку студентів з
практичних занять, виконання розрахунково-графічних завдань. Наведені методичні вказівки орієнтовані на самостійну роботу студентів денної, заочної (дистанційної) форм навчання, а також екстернату.
40