Uploaded by Зеленый Фонарь

Diskret math Hagarti

advertisement
программирования
Р. ХАГГАРТИ
Дискретная
математика для
программистов
Издание 2−е, исправленное
Перевод с английского
под редакцией С.А. Кулешова
с дополнениями А.А. Ковалева,
В.А. Головешкина, М.В. Ульянова
Допущено УМО вузов РФ
по образованию в области прикладной
математики в качестве учебного
пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся
по направлению подготовки
«Прикладная математика»
ТЕХНОСФЕРА
Москва
2012
УДК 519.854
ББК 22.176
Х13
Х13 Хаггарти Р.
Дискретная математика для программистов
Издание 2-е, исправленное
Москва: Техносфера, 2012. – 400 с., ISBN 978-5-94836-303-5
Основополагающее введение в дискретную математику, без знания которой невозможно успешно заниматься информатикой и программированием. Ни одно из
многочисленных изданий по этой дисциплине, вышедших на русском языке, не читается с таким удовольствием и пользой. В доступной и весьма увлекательной
форме автор рассказывает о фундаментальных понятиях дискретной математики – о
логике, множествах, графах, отношениях и булевых функциях. Теория изложена
кратко и иллюстрируется многочисленными простыми примерами, что делает ее доступной даже школьнику. После каждой главы (начиная со второй) рассматривается
приложение описанных методов к информатике.
Дополнения в издании на русском языке посвящены актуальным задачам
теории графов, рекурсивным алгоритмам, общей проблеме перебора и задачам целочисленного программирования.
Книга будет полезна студентам, изучающим курс дискретной математики, а
также всем желающим проникнуть в технику написания и проверки корректности
алгоритмов, включая программистов-практиков.
УДК 519.854
ББК 22.176
© Pearson Education Limited 2002
This translation of DISCRETE MATHEMATICS
FOR COMPUTING, First Edition is published by
arrangement with Pearson Education Limited.
© 2012, ЗАО «РИЦ «Техносфера», перевод на
русский язык, дополнения,
оригинал-макет, оформление
ISBN 978-5-94836-303-5
ISBN 0-201-73047-2 (англ.)
óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ
õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ................................................
ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ ..................................................................
6
9
çÌÁ×Á 1.
÷×ÅÄÅÎÉÅ ........................................................................
1.1. íÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ ............................................................
1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ ...................................................................
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1 ...........................................................
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù..................................................
11
11
14
19
21
çÌÁ×Á 2.
ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï .............................................
2.1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ É ÌÏÇÉËÁ .................................................
2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ .................................................
2.3. íÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ..................................................
2.4. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ.............................................
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2 ...........................................................
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù..................................................
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ................................
23
23
27
30
32
35
38
39
çÌÁ×Á 3.
ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ..........................................................
3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ ....................................
3.2. áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× ........................................................
3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× ......................................
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3 ...........................................................
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù..................................................
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ ....................................
44
44
51
53
58
61
63
çÌÁ×Á 4.
....................................................................
4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ....................................................
4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ .....................................................
4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ..........
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4 ...........................................................
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù..................................................
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ ..................
ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
çÌÁ×Á 5.
æÕÎË ÉÉ ........................................................................
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
ïÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ................
æÕÎË ÉÉ .....................................................................
ïÂÒÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ ......................
ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ .........................................................
68
68
73
77
82
85
86
91
91
96
102
105
4
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5 ........................................................... 108
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. 112
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ñÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ....... 113
çÌÁ×Á 6.
ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ .............................................................
6.1. ðÒÁ×ÉÌÁ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ......................................
6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ..............................................
6.3. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ ...........................................................
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6 ...........................................................
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù..................................................
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×..............................
117
117
120
128
131
135
136
çÌÁ×Á 7.
............................................................................
7.1. çÒÁÆÙ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ ..................................................
7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ ....................................................
7.3. äÅÒÅ×ØÑ.......................................................................
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7 ...........................................................
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù..................................................
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË .........................................
çÒÁÆÙ
141
142
147
152
158
163
165
çÌÁ×Á 8.
............................................
8.1. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ...............................................
8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ ..........................................................
8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ .........................................................
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 8 ...........................................................
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù..................................................
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ ..................................
ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
171
171
175
181
184
187
189
çÌÁ×Á 9.
âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
.............................................................
9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ.............................................................
9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ...............................................................
9.3. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ.................................................
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 9 ...........................................................
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù..................................................
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ................
194
194
200
205
208
211
212
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ...................................................
217
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ..................................
275
ä.1. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× ......................................... 275
ä.1.1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ........................................................... 277
5
ä.1.2. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ
ÇÒÁÆÁ .................................................................. 278
ä.1.3. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ
ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ............................................. 279
ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ ................................................... 281
ä.2.1. áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÍÁÔÒÉ Õ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ282
ä.2.2. ÷ÙÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ............................. 286
ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù ÉËÌÙ........................................................ 288
ä.3.1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ × ÇÒÁÆÅ .......... 289
ä.3.2. áÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÒÉ ................................................... 292
ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ........................................ 294
ä.4.1. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× .......................................... 300
...............................
ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ .........................................................
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ............
÷×ÅÄÅÎÉÅ..............................................................
ä.5.1. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ É Ï ÅÎËÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ .......................
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.1 .....................................................
ä.5.2. üÌÅÍÅÎÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅËÕÒÓÉÉ ....................................
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.2 .....................................................
ä.5.3. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ. òÁÚÎÏÓÔÎÙÊ É ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ................................................................
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.3 .....................................................
ä.5.4. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÏÄÓÞÅÔÙ ..
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.4 .....................................................
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÏÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ
ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ...........
÷×ÅÄÅÎÉÅ..............................................................
ä.6.1. ðÏÎÑÔÉÅ m-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ............................................................
ä.6.2. ïÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÔÉÉÚÁ ÉÑ É ÒÉÍÅÒÙ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ.............................
ä.6.3. NP-ÏÌÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ É ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ ...................
ä.6.4. ïÂÚÏÒ ÔÏÞÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ............................................
ä.6.5. ÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ....................
ä.6.6. íÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ É ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ........
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.6 ........................................................
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ
305
305
305
305
306
317
318
332
333
344
345
359
359
359
361
362
366
368
372
381
392
................................................................... 395
ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ ................................................
397
õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ
:=
ÎÅ P
P ÉQ
P ÉÌÉ Q
P ⇒Q
∀
∃
n!
{P } A {Q}
a∈S
a 6∈ S
{x : P (x)}
∅
N
Z
Q
R
A⊂S
A∪B
A∩B
A\B
U
A
A△B
|S |
(a; b)
A×B
R2
An
P (A)
M (i; j )
xRy
ÏÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ
ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P
ËÏÎßÀÎË ÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P É Q
ÄÉÚßÀÎË ÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P É Q
P ×ÌÅÞÅÔ Q
Ë×ÁÎÔÏÒ ×ÓÅÏÂÝÎÏÓÔÉ €ÄÌÑ ×ÓÅȁ
Ë×ÁÎÔÏÒ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ €ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅԁ
n ÆÁËÔÏÒÉÁÌ
ÒÅÄ- É ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A
a | ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S
a ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ x, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ
P (x) ÉÓÔÉÎÎÏ
ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
A | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B
ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B
ÒÁÚÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B
ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ A É B
ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S
ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ÁÒÁ
ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ A É B
ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÌÏÓËÏÓÔØ
ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ n ÜËÚÅÍÌÑÒÏ× A
ÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÑÞÅÊËÁ ÍÁÔÒÉ Ù, ÓÔÏÑÝÁÑ
× i-ÏÊ ÓÔÒÏËÅ É j -ÏÍ ÓÔÏÌÂ Å
ÁÒÁ (x; y ) ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ R
15
24
25
25
27
28
28
37
39
45
45
45
46
46
46
46
46
46
47
47
48
48
48
49
54
55
55
56
57
61
71
72
7
õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ
R∗
Ex
x≺y
ÒÏÅËÔ
ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ
×ÙÂÏÒ
R −1
S◦R
MN
f (x)
f : A −→ B
f (A)
f −1 :−→ A
g◦f
|x|
⌊x⌋
P (n; k )
C (n; k )
O (g (n))
Æ (v )
G = (V; E )
(G)
Kn
íïä
P
ðåò
Mk
M∗
d[v ℄
p
p∨q
p∧q
îå{é
ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R
ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x
x | ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË y
ÏÅÒÁ ÉÑ €ÒÏÅËԁ
ÏÅÒÁ ÉÑ €ÓÏÅÄÉÎÅÎÉŁ
ÏÅÒÁ ÉÑ €×ÙÂÏҁ
ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S
ÂÕÌÅ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ M É N
ÏÂÒÁÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x
ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ A × B
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f
ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ
ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ f É g
ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁ x
ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ ÞÉÓÌÁ x
ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ
Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ
ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ
Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ
ËÌÁÓÓ ÆÕÎË ÉÊ, ÒÁÓÔÕÝÉÈ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ g (n)
ÓÔÅÅÎØ ×ÅÒÛÉÎÙ
ÇÒÁÆ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V É
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÂÅÒ E
ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ
ÏÌÎÙÊ ÇÒÁÆ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï
ÇÒÁÆ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ
ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×Á ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁÍÉ
ÂÕÌÅ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ k ÜËÚÅÍÌÑÒÏ×
ÍÁÔÒÉ Ù M
ÍÁÔÒÉ Á ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ
ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ v
ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ p
ÄÉÚßÀÎË ÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p É q
ËÏÎßÀÎË ÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p É q
ÆÕÎË ÉÑ îå{é
75
78
80
87
88
89
91
92
94
97
97
97
102
104
110
110
121
123
137
143
143
146
148
154
160
171
176
176
182
195
195
195
200
8
õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ
a
a
b
ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ éìé
205
ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå
205
ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ é
205
ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå{é
205
ÆÕÎË ÉÑ îå{éìé
209
b
a
a
a
a b
b
îå{éìé
ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ
ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÅÌØ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÉ | ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÈÎÉËÅ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÊ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÍ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÕ.
ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÚÄÅÓØ ÔÅÍÙ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ É ÓÁÍÉ Ï ÓÅÂÅ, É × Ó×ÑÚÉ Ó
ÉÈ ÛÉÒÏËÏÊ ÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔØÀ ËÁË ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÔÁË
É × ÄÉÓ ÉÌÉÎÁÈ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÁÒÁÔ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÅ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ, ÏÉÒÁÀÔÓÑ
ÎÁ ÔÁËÉÅ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÁË
ÌÏÇÉËÁ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ÆÕÎË ÉÉ.
ÅÏÒÉÑ ÉÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÒÅÄÎÁÍÅÒÅÎÎÏ ËÒÁÔËÏ, Á ÏÂÓÕÖÄÁÅÍÙÅ ÚÄÅÓØ
ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÉ ×ÏÌÎÅ ÄÏÓÔÕÎÙ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ÓÏ ÓËÒÏÍÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËÏÊ. ÷ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÁÈ ÏÂÏÂÝÁÀÔÓÑ É ÒÁÚ×É×ÁÀÔÓÑ ËÌÀÞÅ×ÙÅ ÉÄÅÉ ËÕÒÓÁ, Á ËÁÖÄÁÑ ÇÌÁ×Á, ÎÁÞÉÎÁÑ
ÓÏ ×ÔÏÒÏÊ, ÓÎÁÂÖÅÎÁ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅÍ ÔÅÏÒÉÉ Ë ÒÁËÔÉËÅ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ
ÎÁÇÌÑÄÎÏ ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÀÔ, ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × ËÎÉÇÅ, ÒÅÛÁÅÔ ÚÁÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ. ëÁÖÄÁÑ ÇÌÁ×Á ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒÏÍ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ, Á ÞÔÏÂÙ ÏÏÝÒÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ
ÉÍÉ, ÏÌÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ËÏÎ Å ËÎÉÇÉ.
ïÓÎÏ×ÎÏÊ ÍÁÔÅÒÉÁÌ ËÎÉÇÉ ÏÑ×ÉÌÓÑ ÒÉ ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ Ë ÞÔÅÎÉÀ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ (ÇÏÄÏ×ÏÇÏ) ËÕÒÓÁ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ × ïËÓÆÏÒÄÅ. ïÎ ÒÁÓÓÞÉÔÁÎ
ÎÁ 20 ÌÅË ÉÊ. úÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÇÌÁ× ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ Ó×ÏÂÏÄÁ ×ÙÂÏÒÁ ÏÞÅÒÅÄÎÏÓÔÉ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ. üÔÏ ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØÀ
ÏÕÓËÁÔØ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÉÌÉ ÚÁÍÅÎÑÔØ ÉÈ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÍÉ,
ÄÅÌÁÅÔ ËÎÉÇÕ ÂÏÌÅÅ ÇÉÂËÏÊ É ÕÄÏÂÎÏÊ ÄÌÑ ÉÚÕÞÅÎÉÑ.
çÌÁ×Á 7
- çÌÁ×Á 8
6
çÌÁ×Á 4
6
çÌÁ×Á 1
- çÌÁ×Á 2
- çÌÁ×Á 3
?
çÌÁ×Á 9
- çÌÁ×Á 5
pp
ppp
p
?
- çÌÁ×Á 6
10
ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ
åÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÏÓÔÕÎÙÈ ÔÅËÓÔÏ× Ï ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ,
ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÉÈ ÓÈÏÖÉÊ ÍÁÔÅÒÉÁÌ. éÈ ÓÉÓÏË ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÒÅÄÍÅÔÁ ÒÉ×ÅÄÅÎ × ËÏÎ Å ËÎÉÇÉ. âÏÌÅÅ ÒÏÄ×ÉÎÕÔÙÅ ÕÞÅÂÎÉËÉ
Ï ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÔÒÅÂÕÀÔ ÂÏÌØÛÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÚÒÅÌÏÓÔÉ, É Ñ ÎÁÄÅÀÓØ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌÉ, ÕÓÅÛÎÏ Ï×ÌÁÄÅ×ÛÉÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅÍ
ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ËÎÉÇÉ, ÓÍÏÇÕÔ ÉÚÕÞÁÔØ ÉÈ ÂÏÌÅÅ ÌÅÇËÏ É Õ×ÅÒÅÎÎÏ.
ñ ÈÏÔÅÌ ÂÙ ÏÂÌÁÇÏÄÁÒÉÔØ Ó×ÏÉÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ËÔÏ ×ÙÄÅÒÖÁÌ ×ÓÅ
ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ É ÞÅÊ ÒÏÓÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÅÊ ÏÏÝÒÑÌ ÍÅÎÑ ÉÓÁÔØ ËÎÉÇÕ. íÏÑ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØ
ÁÄÒÅÓÏ×ÁÎÁ ÔÁËÖÅ ÒÅ ÅÎÚÅÎÔÁÍ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÁÒÉÁÎÔÁ, ÓÄÅÌÁ×ÛÉÍ ÍÎÏÇÏ ÏÌÅÚÎÙÈ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ, É ÓÏÔÒÕÄÎÉËÁÍ ÉÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Á €Pearson Edu ation ÚÁ ÉÈ ÕÓÉÌÉÑ, ÒÅÄÒÉÎÑÔÙÅ ÒÉ ÏÆÏÒÍÌÅÎÉÉ ÔÅËÓÔÁ.
é ÎÁËÏÎÅ , ÍÏÑ ÒÉÚÎÁÔÅÌØÎÏÓÔØ | ÓÕÒÕÇÅ, ÚÁ ÅÅ ÎÅÉÚÍÅÎÎÕÀ ÚÁÂÏÔÕ É ÏÄÄÅÒÖËÕ.
òÏÄ èÁÇÇÁÒÔÉ
ïËÓÆÏÒÄ
íÁÒÔ 2001
çìá÷á 1
÷÷åäåîéå
äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ É ÌÏÇÉËÁ ÌÅÖÁÔ × ÏÓÎÏ×Å ÌÀÂÏÇÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ. óÌÏ×Ï €ÄÉÓËÒÅÔÎÙʁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ €ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÅʁ, Á ÄÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÉÍÅÅÔ ÄÅÌÏ
Ó ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÑÍÉ ÏÂßÅËÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ, É ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÎÉÈ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÍÉ. üÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ
ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÙ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÎÅ Ó×ÑÚÁÎÙ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÈ ÎÁÓ ÍÎÏÖÅÓÔ× ËÏÎÅÞÎÙ ÉÌÉ, Ï
ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÓÞÅÔÎÙ.
üÔÁ ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÉ×ÌÅËÁÅÔÓÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ
ËÏÍØÀÔÅÒÅ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÁÁÒÁÔÎÙÈ ÓÒÅÄÓÔ× É ÒÏÇÒÁÍÍÎÏÇÏ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÒÉ×ÌÅÞÅÎÉÅÍ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÓÉÍ×ÏÌÏ× É ÍÁÎÉÕÌÑ ÉÉ ÄÁÎÎÙÍÉ. óÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÊ ÉÆÒÏ×ÏÊ ËÏÍØÀÔÅÒ | Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ËÏÎÅÞÎÁÑ
ÄÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ. ðÏÎÉÍÁÎÉÑ ÔÏÇÏ, ËÁË ÔÁËÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ,
ÍÏÖÎÏ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔØ, ÅÓÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÍÁÛÉÎÕ ËÁË ÄÉÓËÒÅÔÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÛÁ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÅÌØ ÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ
ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ | ÒÉÏÂÒÅÓÔÉ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÙ É ÔÅÈÎÉËÕ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ É ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ.
ëÏÇÄÁ É ËÁË ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÜÔÉ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÙ É ÔÅÈÎÉËÕ | ÏÓÎÏ×Á ÒÁÚÄÅÌÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ.
÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÂÒÏÓÉÍ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁ ÒÏ ÅÓÓ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÉÍÅÎÉÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ
ÚÁÄÁÞÉ. ÷ÙÂÒÁÎÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ×ÉÄ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ × ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ, ÎÏ É ÅÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ
ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÎÁÓÕÝÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. úÁÔÅÍ ÍÙ ÒÁÚÏ×ØÅÍ ÁÓËÁÌÅÏÄÏÂÎÙÊ1 ÓÅ×ÄÏËÏÄ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÒÅÄÓÔ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ××ÏÄÉÍÙÈ ÄÁÌÅÅ, ÄÌÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÊ ÔÒÁËÔÏ×ËÉ ÉÈ ËÏÍÁÎÄ.
1.1. íÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ
ðÒÏ ÅÓÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 1.1.
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ:
òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ (× ÍÉÌÑÈ) ÍÅÖÄÕ ÛÅÓÔØÀ ÛÏÔÌÁÎÄÓËÉÍÉ ÇÏÒÏÄÁÍÉ: áÂÅÒÄÉÎ, üÄÉÎÂÕÒÇ, æÏÒÔ õÉÌØÑÍ, çÌÁÚÇÏ, éÎ×ÅÒÎÅÓÓ
1
Pas al | ÑÚÙË ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ. |
ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
12
çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ
É ðÅÒÔ ÄÁÎÏ × ÔÁÂÌ. 1.1. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÄÏÒÏÖÎÕÀ ÓÅÔØ
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ×.
úÁÄÁÞÁ
òÅÛÅÎÉÅ
áÂÓÔÒÁËÔÎÁÑ
ÍÏÄÅÌØ
ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÁÑ
ÍÏÄÅÌØ
òÉÓÕÎÏË 1.1. óÈÅÍÁ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ
óÁÍÁ ÔÁÂÌÉ Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÊ ÍÏÄÅÌØÀ ÒÅÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ïÄÎÁËÏ ÄÌÑ ÎÁÛÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÙ ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÅÅ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÍÏÄÅÌØ.
ÁÂÌÉ Á 1.1
áÂÅÒÄÉÎ üÄÉÎÂÕÒÇ æÏÒÔ õÉÌØÑÍ çÌÁÚÇÏ éÎ×ÅÒÎÅÓÓ ðÅÒÔ
áÂÅÒÄÉÎ
üÄÉÎÂÕÒÇ
æÏÒÔ õÉÌØÑÍ
çÌÁÚÇÏ
éÎ×ÅÒÎÅÓÓ
ðÅÒÔ
|
120
147
142
107
81
120
|
132
42
157
45
147
132
|
108
66
105
142
42
108
|
168
61
107
157
66
168
|
112
81
45
105
61
112
|
íÙ ÎÁÒÉÓÕÅÍ ÇÒÁÆ , ÞØÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÇÏÒÏÄÁ, Á ÒÅÂÒÁ |
ÄÏÒÏÇÉ ÉÈ Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅ. âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ Ï ÇÒÁÆÁÈ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ × ÇÌÁ×Å 7. ëÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÎÁÛÅÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 1.2, ÓÎÁÂÖÅÎÏ ×ÅÓÏÍ , ËÏÔÏÒÙÊ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÁÂÌ. 1.1.
äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÉÎÓÔÒÕË ÉÊ, ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ
ËÏÔÏÒÙÈ ×ÌÅÞÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ×ÒÅÍÑ), ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÍ ÎÏ×ÙÊ
ÇÒÁÆ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÏÂÝÉÊ ×ÅÓ, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ× ÂÕÄÕÔ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÄÏÒÏÇÁÍÉ.
áÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ
ûÁÇ 1
÷ÙÂÅÒÉÔÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ É ÒÅÂÒÏ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÅ
ÅÅ Ó ÂÌÉÖÁÊÛÉÍ (Ï ×ÅÓÕ) ÓÏÓÅÄÏÍ.
1.1. íÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ
ûÁÇ 2
ûÁÇ 3
13
îÁÊÄÉÔÅ ÎÅ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÕÀ (ÅÝÅ) ×ÅÒÛÉÎÕ, ÂÌÉÖÅ ×ÓÅÇÏ
ÌÅÖÁÝÕÀ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ, É ÓÏÅÄÉÎÉÔÅ Ó ÎÅÊ.
ðÏ×ÔÏÒÑÊÔÅ ÛÁÇ 2 ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ ÏËÁ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÅ ÂÕÄÕÔ
ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÙ.
áÂÅÒÄÉÎ
•
81
120
107
147
ðÅÒÔ •
45
105
112
• üÄÉÎÂÕÒÇ
157
132
•
142
éÎ×ÅÒÎÅÓÓ •
• æÏÒÔ õÉÌØÑÍ
66
61
168
42
•
108
çÌÁÚÇÏ
òÉÓÕÎÏË 1.2.
îÁ ÒÉÓÕÎËÁÈ 1.3, 1.4 É 1.5 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÇÒÁÆÏ×,
ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ðÒÉÍÁ, ÅÓÌÉ ÎÁÞÉÎÁÔØ Ó ×ÅÒÛÉÎÙ ðÅÒÔ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÇÒÁÆ (Ó ÏÂÝÉÍ ×ÅÓÏÍ 339)
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ, ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ
ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ×.
áÂÅÒÄÉÎ
áÂÅÒÄÉÎ
•
ðÅÒÔ •
•
45
• üÄÉÎÂÕÒÇ
ðÅÒÔ •
•
• üÄÉÎÂÕÒÇ
•
• æÏÒÔ
éÎ×ÅÒÎÅÓÓ •
45
õÉÌØÑÍ
éÎ×ÅÒÎÅÓÓ •
•
42
• æÏÒÔ
õÉÌØÑÍ
•
çÌÁÚÇÏ
çÌÁÚÇÏ
òÉÓÕÎÏË 1.3.
áÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÒÉÍÅÎÑÌÉ, ÎÁÉÓÁÎ ÎÁ ÏÂÙÞÎÏÍ ÒÕÓÓËÏÍ
ÑÚÙËÅ. òÁÚÇÏ×ÏÒÎÙÊ ÑÚÙË ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÓÌÉÛËÏÍ ÍÎÏÇÏÒÅÞÉ×ÙÍ,
ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ É, × ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÜÔÏÇÏ, ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÚÁÕÔÁÎÎÏÊ ÒÏÂÌÅÍÅ. íÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÎÁÉÓÁÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÄÌÑ ËÏÍØÀÔÅÒÁ,
14
çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ
ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÎÏ ËÁËÏÊ ÑÚÙË ×ÙÂÒÁÔØ? ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÑÚÙË
ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÓËÒÙ×ÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÙÊ ÓÍÙÓÌ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ
ÏÔ ÎÅÏÙÔÎÏÇÏ ÞÉÔÁÔÅÌÑ! ðÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ËÏÍÒÏÍÉÓÓ × ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÉÉ | ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÓÅ×ÄÏËÏÄ , ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÎÅÂÏÌØÛÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓÔÒÕËÔÕÒÎÙÈ ÑÚÙËÏ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÍÅÓÔÅ Ó ÒÕÓÓËÏÏÄÏÂÎÙÍ ÏÉÓÁÎÉÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. ï ÎÅÍ ÉÄÅÔ
ÒÅÞØ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ.
áÂÅÒÄÉÎ
áÂÅÒÄÉÎ
•
•
81
81
ðÅÒÔ •
• üÄÉÎÂÕÒÇ
45
ðÅÒÔ •
45
• üÄÉÎÂÕÒÇ
105
•
éÎ×ÅÒÎÅÓÓ •
•
• æÏÒÔ
éÎ×ÅÒÎÅÓÓ •
õÉÌØÑÍ
42
•
42
• æÏÒÔ
õÉÌØÑÍ
•
çÌÁÚÇÏ
çÌÁÚÇÏ
òÉÓÕÎÏË 1.4.
áÂÅÒÄÉÎ
•
81
ðÅÒÔ •
45
• üÄÉÎÂÕÒÇ
105
•
éÎ×ÅÒÎÅÓÓ •
66
42
• æÏÒÔ
õÉÌØÑÍ
•
çÌÁÚÇÏ
òÉÓÕÎÏË 1.5.
1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ
íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÅ×ÄÏËÏÄ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ ðÁÓËÁÌÅ. áÌÇÏÒÉÔÍ × ÎÅÍ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
begin
ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÉÓÏÌÎÑÅÍÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ
ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ÕÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÏÒÑÄËÏÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ
end
óÔÒÏÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÂÌÏËÁÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ Ä×Å ËÁÔÅÇÏÒÉÉ: ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ É ÕÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ.
1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ
15
ïÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ
×ÅÌÉÞÉÎÙ É ÉÍÅÀÔ ÔÁËÕÀ ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕ:
ÉÍÑ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ := ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
ðÒÉÍÅÒ 1.2.1. (áÌÇÏÒÉÔÍ ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ, First É Se ond , É
ÒÉÓ×ÏÅÎÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ Sum .)
begin
First and Se ond ;
:=
Sum First + Se ond ;
Input
end
õÒÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÄÏÌÖÎÙ
×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÛÁÇÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. ïÅÒÁÔÏÒÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÙ×ÁÀÔ ÔÒÅÈ
ÔÉÏ×:
• ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ;
• ÕÓÌÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ;
• ÏÅÒÁÔÏÒ ÉËÌÁ.
óÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÓÉÓÏË ÏÅÒÁÔÏÒÏ×,
ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ËÁË ÏÔÄÅÌØÎÁÑ ËÏÍÁÎÄÁ × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ ÚÁÉÓÁÎÙ. óÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÉÍÅÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ:
begin
ÏÅÒÁÔÏÒ 1;
ÏÅÒÁÔÏÒ 2;
.........
ÏÅÒÁÔÏÒ n;
end
ðÒÉÍÅÒ 1.2.2. (áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÂÍÅÎÁ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ: One
É Two .)
begin
One and Two ;
Temp := One ;
One := Two ;
Two := Temp ;
Input
end
þÔÏÂÙ ÒÏÓÌÅÄÉÔØ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ One É T wo ÒÁ×ÎÙ 5 É 7 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, É ÏÂÒÁÔÉÍÓÑ Ë ÔÁÂÌ. 1.2.
16
çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ
ÁÂÌÉ Á 1.2
T emp
One
T wo
óÔÒÏËÁ 1
|
5
7
óÔÒÏËÁ 2
óÔÒÏËÁ 3
óÔÒÏËÁ 4
5
5
5
5
7
7
7
7
5
õÓÌÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÄÅÌÁÔØ ×ÙÂÏÒ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÍÉ ÓÉÔÕÁ ÉÑÍÉ. ïÎÉ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ if-then ÉÌÉ
if-then-else. îÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ ÕÓÌÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÔÁË:
begin
if ÕÓÌÏ×ÉÅ then ÏÅÒÁÔÏÒ
end
ÉÌÉ ÔÁË:
begin
if ÕÓÌÏ×ÉÅ then ÏÅÒÁÔÏÒ 1
else ÏÅÒÁÔÏÒ 2
end
ðÒÉÍÅÒ 1.2.3. (áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÑ ÞÉÓÌÁ n É ÒÉÓ×ÏÅÎÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ab .)
begin
Input n;
if n < 0 then ab := −n
else ab := n;
Output ab ;
end
÷ ÜÔÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÓÔÏÑÝÉÊ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÅ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ
ÒÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ n, Á × ÔÒÅÔØÅÊ | ÒÉ
ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ (É ÎÕÌÅ×ÏÍ). íÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ É ÄÒÕÇÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ,
ÒÅÛÁÀÝÉÊ ÔÕ ÖÅ ÚÁÄÁÞÕ, ÎÏ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÊ else:
begin
Input n;
if n < 0 then n := −n;
ab := n;
Output ab ;
end
úÄÅÓØ ÏÅÒÁÔÏÒ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏÞËÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n É ÉÇÎÏÒÉÒÕÅÔÓÑ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ.
1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ
17
÷ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÚÁÉÓÁÎÎÙÊ × ÔÒÅÔØÅÊ
ÓÔÒÏËÅ.
ïÅÒÁÔÏÒ
ÚÁÉÓÉ:
ÉËÌÁ ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÉËÌ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÏÄÎÕ ÉÚ ÆÏÒÍ
for X := A to Z do ÏÅÒÁÔÏÒ;
while ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ do ÏÅÒÁÔÏÒ;
repeat
ÏÅÒÁÔÏÒ 1;
ÏÅÒÁÔÏÒ 2;
.............
ÏÅÒÁÔÏÒ n;
until ÕÓÌÏ×ÉÅ.
(1)
(2)
(3)
úÄÅÓØ X | ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ, Á A É Z | ÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ É ËÏÎÅÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.
÷ ÓÌÕÞÁÅ (1) ÉËÌ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ. åÇÏ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
for ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á do ÏÅÒÁÔÏÒ
÷ ÓÌÕÞÁÅ (2) ÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ, Á ÄÏ
ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ × ÎÅÍ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍ.
ëÁË ÔÏÌØËÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÌÏÖÎÙÍ, ÉËÌ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ.
é ÎÁËÏÎÅ , × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ (3) ÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÏ ÔÅÈ
ÏÒ, ÏËÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÌÏÖÎÙÍ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÉÞÉÅ ÍÅÖÄÕ (2) É (3) ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÉËÌ ×ÙÏÌÎÉÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÒÁÚ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÑ
× ÎÅÍ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ.
ðÒÉÍÅÒ 1.2.4. (áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÅÒ×ÙÈ n
ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.)
begin
sum := 0;
for i := 1 to n do
begin
j := i ∗ i;
sum := sum + j ;
end
Output sum;
end
ðÒÏÓÌÅÄÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ × ÓÌÕÞÁÅ n = 4, ÚÁÉÓÁ× ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ × ÔÁÂÌ. 1.3
18
çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ
ÁÂÌÉ Á 1.3
ðÅÒÅÄ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅÍ ÉËÌÁ
ðÅÒ×ÙÊ
÷ÔÏÒÏÊ
ÒÅÔÉÊ
þÅÔ×ÅÒÔÙÊ
ÒÏÈÏÄ
ÒÏÈÏÄ
ÒÏÈÏÄ
ÒÏÈÏÄ
ÉËÌÁ
ÉËÌÁ
ÉËÌÁ
ÉËÌÁ
i
j
Sum
|
|
0
1
2
3
4
1
4
9
16
1
5
14
30
÷Ù×ÏÄÉÍÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ: sum = 30.
ðÒÉÍÅÒ 1.2.5. (áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÇÒÁÆÁ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÏÂÝÉÍ
×ÅÓÏÍ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ × ÄÁÎÎÏÍ Ó×ÑÚÎÏÍ ×Ú×ÅÛÅÎÎÏÍ
ÇÒÁÆÅ.)
begin
v := ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ;
u := ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ ÓÏÓÅÄÎÑÑ ×ÅÒÛÉÎÁ;
Ó×ÑÚÁÔØ v É u;
while ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ do
begin
u := ÎÅÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ, ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ
Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ;
ÓÏÅÄÉÎÉÔØ u Ó ÂÌÉÖÁÊÛÅÊ
end
ÉÚ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ;
end
üÔÏ | ÎÁÉÓÁÎÎÁÑ ÎÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ ×ÅÒÓÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ðÒÉÍÁ, Ó ËÏÔÏÒÙÍ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ ÒÁÎÅÅ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ó×ÑÚÎÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÇÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ (Ï ÒÅÂÒÁÍ) ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ (ÏÄÒÏÂÎÅÅ Ï ÜÔÏÍ ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 7, ÓÔÒ. 146).
ðÒÅ×ÒÁÝÅÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÒÁÂÏÔÁÀÝÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ | ÄÅÌÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÌÉ ËÕÒÓÁ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÁÎÎÙÈ, ÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ
ÏÂÓÕÖÄÁÔØ ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ × ÎÁÛÅÊ ËÎÉÇÅ. ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ
ÓÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ×
ÆÏÒÍÅ ÓÅ×ÄÏËÏÄÁ, Á ÄÒÕÇÉÅ ÏÆÏÒÍÌÅÎÙ ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÔÅÏÒÅÍ | ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁÑ É ÄÁÌÅËÏ
ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÎÁÉÓÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÔËÕÄÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÎÁÔØ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 1.2.5 ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÅÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ?
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1
19
÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÅÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÒÅÛÁÀÝÉÈ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÚÁÄÁÞÕ, ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÒÏÓ: ËÁËÏÊ ÉÚ ÎÉÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ? ÷ ÕÒÁÖÎÅÎÉÉ 1.5 ÒÉ×ÅÄÅÎ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ Ë×ÁÄÒÁÔÙ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (ËÁË É × ÒÉÍÅÒÅ 1.2.4). ïÂÁ ÒÁÂÏÔÁÀÔ. îÏ ËÁËÏÊ ÜÔÏ ÄÅÌÁÅÔ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÉÓÏÌØÚÕÅÔ
ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÅÎØÛÅ ÁÍÑÔÉ? ëÏÒÏÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ËÁËÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÌÕÞÛÉÍ?
ïÂÅ ÜÔÉ ÒÏÂÌÅÍÙ: ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ É ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× |
ÂÕÄÕÔ ÏÂÓÕÖÄÁÔØÓÑ × ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÇÌÁ×ÁÈ ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÍÙ ÏÓ×ÏÉÍ
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÁÁÒÁÔ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1
1.1. çÒÁÆ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ. 1.6 ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀ-
ÝÉÈ ÓÅÍØ ÄÅÒÅ×ÅÎØ. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÄÅÒÅ×ÎÑÍÉ ÚÁÄÁÎÏ ×
ÍÉÌÑÈ. éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ, ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ ÄÅÒÅ×ÎÉ.
B
Ñ
3
3
3
1
6
G
D
2
A
3
3
5
2
F
4
E
òÉÓÕÎÏË 1.6.
1.2. îÁÊÄÉÔÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×
ÓÌÕÞÁÑÈ
(Á) n = 3;
(Â) n = 5.
begin
f := 1;
Input n;
for i := 1 to n do
f := f ∗ i;
Output f ;
end
20
çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ
þÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÞÉÓÌÅ n?
1.3. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ i É j × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÒÉ m = 3 É n = 4:
begin
Input m, n;
i := 1;
j := m;
while i 6= n do
begin
i := i + 1;
j := j ∗ m;
end
Output j ;
end
ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÉ
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ m É n > 0. þÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÉ n = 0?
1.4. îÁÊÄÉÔÅ
ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ
ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ:
begin
f irst := 1;
Output f irst;
se ond := 1;
Output se ond;
next := f irst + se ond;
while next < 100 do
begin
Output next;
f irst := se ond;
se ond := next;
next := f irst + se ond;
end
end
ïÉÛÉÔÅ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ
ÅÅ ÞÌÅÎÏ×.
1.5. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ Ü×ÏÌÀ ÉÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ l, sum É k × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å ÒÉ n = 6.
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
21
begin
Input n;
k := 1;
l := 0;
sum := 0;
while k < 2n do
begin
l := l + k ;
sum := sum + l;
k := k + 2;
end
Output sum;
end
ïÉÛÉÔÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÉ ××ÏÄÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n.
1.6. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÓÅÔÉ ÄÏÒÏÇ, ÉÚ
ÕÒ. 1.1. ëÁËÏÊ ÏÌÕÞÉÌÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ?
begin
õÏÒÑÄÏÞÉÔÅ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ Ï ÕÂÙ×ÁÎÉÀ ×ÅÓÁ
É ÒÏÎÕÍÅÒÕÊÔÅ ÉÈ ÞÉÓÌÁÍÉ: 1, 2, 3, . . . É Ô. Ä.;
m := ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ;
ÏÓÔÁÔÏË := ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ;
ÔÅËÕÝÅÅ := 1;
while ÏÓÔÁÔÏË > m − 1 do
begin
if ÕÄÁÌÅÎÉÅ ÒÅÂÒÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ €ÔÅËÕÝÅŁ
ÎÅ ÎÁÒÕÛÁÅÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ then
begin
ÕÄÁÌÉÔØ ÒÅÂÒÏ €ÔÅËÕÝÅŁ;
ÏÓÔÁÔÏË := ÏÓÔÁÔÏË − 1;
end;
ÔÅËÕÝÅÅ := ÔÅËÕÝÅÅ + 1;
end
end
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ Á-
ÁÒÁÔ É ÔÅÈÎÉËÕ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÕÀ ÄÌÑ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÏÎÉÍÁÎÉÑ
×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ.
22
çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ
íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ | ÜÔÏ ÒÏ ÅÓÓ, ÒÉ×ÌÅËÁÀÝÉÊ
ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅÁÌØÎÙÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ.
çÒÁÆ (ÍÏÄÅÌØ) ÄÁÎÎÏÊ ÓÅÔÉ ÄÏÒÏÇ ÍÅÖÄÕ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅÒÛÉÎ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÈ ÇÏÒÏÄÁ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ
(×Ú×ÅÛÅÎÎÙÍÉ) ÒÅÂÒÁÍÉ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÉÍÉ ÄÏÒÏÇÉ.
áÌÇÏÒÉÔÍ | ÜÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ, ×ÙÏÌ-
ÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÌÅÞÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÚÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ
×ÒÅÍÑ.
áÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÄÌÑ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅÔÉ ÒÅÂÅÒ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÁÎÎÏÇÏ
×Ú×ÅÛÅÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ.
ðÓÅ×ÄÏËÏÄÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÓÔÒÕËÔÕÒÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÑÚÙËÁ, ÏÄ-
ÈÏÄÑÝÉÊ ÄÌÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ.
ïÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ.
õÒÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÄÏÌÖÎÙ
×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÛÁÇÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ.
óÏÓÔÁ×ÎÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÉÓÏË ÉÎÓÔÒÕË ÉÊ (ÏÅ-
ÒÁÔÏÒÏ×), ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ËÁË ÏÔÄÅÌØÎÁÑ ËÏÍÁÎÄÁ ×
ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ ÚÁÉÓÁÎÙ.
õÓÌÏ×ÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÄÅÌÁÔØ ×ÙÂÏÒ ÍÅÖÄÕ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÍÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÍÉ.
ÉËÌÁ ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÉËÌ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ËÏÍÁÎÄ ÏÄÈÏÄÑÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ.
ïÅÒÁÔÏÒ
çìá÷á 2
ìïçéëá é
äïëáúáåìøó÷ï
ìÏÇÉËÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ × ÌÀÂÏÊ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÄÉÓ ÉÌÉÎÅ É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
ÒÁ×ÉÌ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×Ù×ÏÄÁ (ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ). ìÏÇÉËÕ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÉÚ ËÏÎÔÅËÓÔÁ ÔÅÈ ÄÉÓ ÉÌÉÎ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ, É ÉÚÕÞÁÔØ ËÁË ÏÔÄÅÌØÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÎÁÕËÉ. áË ÅÎÔ × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å
ÂÕÄÅÔ ÓÄÅÌÁÎ ÉÍÅÎÎÏ ÎÁ ÌÏÇÉËÅ, ÌÅÖÁÝÅÊ × ÏÓÎÏ×Å ÎÅÏÓÏÒÉÍÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×.
íÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÌÏÇÉËÏÊ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, ÉÍÅÀÝÅÊ ÄÅÌÏ Ó ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØÀ (ÉÌÉ ÌÏÖÎÏÓÔØÀ) ÒÏÓÔÙÈ ÏÉÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ,
ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ËÏÒÏÔËÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÌÏÇÉËÕ ÒÅÄÉËÁÔÏ×. óËÁÖÅÍ ÓÒÁÚÕ, ÞÔÏ ÒÅÄÉËÁÔÁÍÉ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ1 . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÜÔÏÊ
ÇÌÁ×Å ÏÉÓÁÎÙ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× (ÒÑÍÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÍÅÔÏÄ €ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇρ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ), ÓÎÁÂÖÅÎÎÙÅ
ÒÏÓÔÙÍÉ ÒÉÍÅÒÁÍÉ ÒÏ×ÅÒËÉ ÆÁËÔÏ× Ï ÞÅÔÎÙÈ É ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÍÉ ÍÅÔÏÄÏÌÏÇÉÀ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. îÁËÏÎÅ , ÍÙ
ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÌØÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÍÅÔÏÄÏÍ
ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ.
ðÏÓÌÅ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ, ÒÁÚÍÅÝÅÎÎÙÈ × ËÏÎ Å ÇÌÁ×Ù, ÍÙ ×ÓÔÒÅÔÉÍÓÑ Ó ÅÒ×ÙÍÉ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÍÉ ÉÚÕÞÁÅÍÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× Ë ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ.
÷ ÎÉÈ ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ËÁË ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÒÉ ÒÏ×ÅÒËÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×.
2.1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ É ÌÏÇÉËÁ
óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ ÂÌÏËÁÍÉ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÌÏÇÉËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, Ô. Å. ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÙÍ (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÂÕË×ÏÊ é) ÉÌÉ ÌÏÖÎÙÍ (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ì). îÁÒÉÍÅÒ,
• ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ;
• óÁÒÁ | ÄÏËÔÏÒ;
1
• 29 | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ.
úÄÅÓØ ÎÕÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÌÏÇÉËÁ ÒÅÄÉËÁÔÏ× ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÌÏÇÉËÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ,
É ÍÙ ÅÀ ÔÏÖÅ ÚÁÊÍÅÍÓÑ.
24
çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ Ó×ÏÅÊ ÂÕË×ÏÊ. ðÕÓÔØ,
ÎÁÒÉÍÅÒ, P ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ €ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁс, Q | €óÁÒÁ | ÄÏËÔÏҁ É R | €29 | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌρ.
éÓÏÌØÚÕÑ ÔÁËÉÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ, ËÁË ÎÅ, ÉÌÉ, É, ÍÏÖÎÏ
ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÏ×ÙÅ, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ , ËÏÍÁÎÕÑ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÅ. îÁÒÉÍÅÒ,
• (ÎÅ P ) | ÜÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ €ÚÅÍÌÑ ÎÅ ÌÏÓËÁс;
• (P ÉÌÉ Q) | €ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ ÉÌÉ óÁÒÁ | ÄÏËÔÏҁ;
• (P É Q) | €ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ É óÁÒÁ | ÄÏËÔÏҁ.
ðÒÉÍÅÒ 2.1. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ €ÌÏÇÉËÁ | ÚÁÂÁ×Á, Á ÞÅÒÅÚ Q | €ÓÅÇÏÄÎÑ ÑÔÎÉ Á. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÒÁÚÉÔØ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ × ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ.
(Á) ìÏÇÉËÁ | ÎÅ ÚÁÂÁ×Á, É ÓÅÇÏÄÎÑ ÑÔÎÉ Á.
(Â) óÅÇÏÄÎÑ ÎÅ ÑÔÎÉ Á, ÄÁ É ÌÏÇÉËÁ | ÎÅ ÚÁÂÁ×Á.
(×) ìÉÂÏ ÌÏÇÉËÁ | ÚÁÂÁ×Á, ÌÉÂÏ ÓÅÇÏÄÎÑ ÑÔÎÉ Á.
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) (ÎÅ P ) É Q.
(Â) (ÎÅ P ) É (ÎÅ Q).
(×) P ÉÌÉ Q.
þÔÏÂÙ ÕÍÅÔØ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ ÓÏ ÓÍÙÓÌÏÍ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, Ô. Å. ËÁËÏÊ ÜÆÆÅËÔ ÏÎÉ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÁ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ÒÏÓÔÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÁËËÕÒÁÔÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ
ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÔÁÂÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ .
ïÔÒÉ ÁÎÉÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ×ÉÄÁ (ÎÅ P ), ÞØÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÔÒÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÀ P . ïÒÅÄÅÌÑÀÝÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÏÔÒÉ ÁÎÉÑ
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌ. 2.1.
ÁÂÌÉ Á 2.1
P
é
ì
(ÎÅ
P
ì
é
)
2.1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ É ÌÏÇÉËÁ
25
ëÏÎßÀÎË ÉÅÊ ÉÌÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ
P É Q ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ×ÉÄÁ (P É Q). ïÎÏ ÒÉ-
ÎÉÍÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÉÓÔÉÎÎÙ ÏÂÅ
ÅÇÏ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÉ. ÁËÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÈÏÒÏÛÏ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÏÂÙÞÎÙÍ ÏÎÉÍÁÎÉÅÍ ÓÏÀÚÁ €É × ÒÁÚÇÏ×ÏÒÎÏÍ ÑÚÙËÅ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ
ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ | ÔÁÂÌ. 2.2.
ÁÂÌÉ Á 2.2
P
Q
(P É
é
é
ì
ì
é
ì
é
ì
é
ì
ì
ì
)
Q
äÉÚßÀÎË ÉÅÊ ÉÌÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P
É Q ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (P ÉÌÉ Q). ïÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏ,
ÅÓÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÉÚ ÅÅ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ,
ÞÔÏ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÔÁËÖÅ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÏÂÙÄÅÎÎÙÍ ÏÎÉÍÁÎÉÅÍ ÓÏÀÚÁ €ÉÌɁ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, (P ÉÌÉ Q) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ €ÉÌÉ P ,
ÉÌÉ Q, ÉÌÉ É ÔÏ, É ÄÒÕÇÏŁ. ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ËÁË ÔÁÂÌ. 2.3.
ÁÂÌÉ Á 2.3
P
Q
é
é
ì
ì
é
ì
é
ì
(P ÉÌÉ
)
Q
é
é
é
ì
ðÒÉÍÅÒ 2.2. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ: €ÌÉÂÏ ÌÕÎÁ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÉÚ ÚÅÌÅÎÏÇÏ ÓÙÒÁ É çÅÎÒÉÈ VIII ÉÍÅÌ
ÛÅÓÔØ ÖÅÎ, ÉÌÉ ÎÅ ×ÅÒÎÏ, ÞÔÏ ÄÒÏÎÔ1 ×ÙÍÅҁ?
òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ €ÌÕÎÁ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÉÚ ÚÅÌÅÎÏÇÏ ÓÙÒÁ, ÞÅÒÅÚ Q | €çÅÎÒÉÈ VIII ÉÍÅÌ ÛÅÓÔØ ÖÅ΁ É ÞÅÒÅÚ
R | €ÄÒÏÎÔ ×ÙÍÅҁ. óÉÍ×ÏÌØÎÁÑ ÚÁÉÓØ ÄÁÎÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: (P É Q) ÉÌÉ (ÎÅ R). éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P ÌÏÖÎÏ,
Á Q É R ÉÓÔÉÎÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (P É Q) ÉÌÉ (ÎÅ R) ÉÍÅÅÔ
ÔÁËÏÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ: (ì É é) ÉÌÉ ì, ÞÔÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ì.
1
äÒÏÎÔ | ×ÙÍÅÒÛÁÑ ÔÉ Á ÏÔÒÑÄÁ ÇÏÌÕÂÅÏÂÒÁÚÎÙÈ, ÏÂÉÔÁ×ÛÁÑ ÎÁ ÏÓÔÒÏ×ÁÈ éÎÄÉÊÓËÏÇÏ ÏËÅÁÎÁ É ÉÓÔÒÅÂÌÅÎÎÁÑ × XVII{XVIII ×.×. ÚÁ×ÅÚÅÎÎÙÍÉ ÔÕÄÁ Ó×ÉÎØÑÍÉ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
26
çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
ä×Á ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÉÚ ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ ÖÅ
ÒÏÓÔÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ, ÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÕÔÑÍÉ, ÍÏÇÕÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ Ó×ÏÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ. ÁËÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ .
ðÒÉÍÅÒ 2.3. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (ÎÅ (P É (ÎÅ Q))) ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ ((ÎÅ P ) ÉÌÉ Q).
òÅÛÅÎÉÅ. úÁÏÌÎÉÍ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ (ÔÁÂÌ. 2.4)
ÄÌÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ:
R = (ÎÅ (P É (ÎÅ Q)))
É
S = ((ÎÅ P ) ÉÌÉ Q):
÷ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÅ ËÏÌÏÎËÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÂÏÉÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ P É Q.
ÁÂÌÉ Á 2.4
P
Q
é
é
ì
ì
é
ì
é
ì
ÎÅ
P
ì
ì
é
é
ÎÅ
Q
ì
é
ì
é
P
É (ÎÅ
ì
é
ì
ì
)
Q
R
S
é
ì
é
é
é
ì
é
é
ä×Å ÏÓÌÅÄÎÉÅ ËÏÌÏÎËÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÄÅÎÔÉÞÎÙ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ R ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ S .
÷ÁÖÎÏ ÉÚÕÞÉÔØ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÔÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ, ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ . ðÒÉÍÅÒÏÍ ÔÁËÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: €ÅÓÌÉ ÚÁ×ÔÒÁ ÂÕÄÅÔ ÓÕÂÂÏÔÁ,
ÔÏ ÓÅÇÏÄÎÑ | ÑÔÎÉ Á. ðÒÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
ÕÓÌÏ×ÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÚÌÉÞÁÔØ ÆÁËÔÉÞÅÓËÕÀ ÉÓÔÉÎÕ É ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ €ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q. ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ
ÒÅÄÏÓÙÌËÁ P ÉÓÔÉÎÎÁ, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ÌÉÇÉÞÅÓËÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ Q ÌÏÖÎÏ. ïÄÎÁËÏ ÅÓÌÉ ÏÓÙÌËÁ P ÌÏÖÎÁ, ÍÙ
ÉÍÅÅÍ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ É ËÏÇÄÁ Q ÌÏÖÎÏ, É ËÏÇÄÁ ÏÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏ.
ðÕÓÔØ P | (ÌÏÖÎÏÅ) ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 1 = 5, Q |
(ÔÏÖÅ ÌÏÖÎÏÅ) ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 3 = 7 É R | (ÉÓÔÉÎÎÏÅ) ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 4 = 4. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ: €ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q É
€ÅÓÌÉ P , ÔÏ R, | ÏÂÁ ÉÓÔÉÎÎÙ.
ðÒÉÍÅÒ 2.4.
òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ 1 = 5, ÔÏ, ÒÉÂÁ×ÌÑÑ 2 Ë ÏÂÅÉÍ ÞÁÓÔÑÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á,
ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ 3 = 7. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ €ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q
2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ
27
ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï. ÷ÙÞÔÅÍ ÔÅÅÒØ ÉÚ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 1 = 5 ÞÉÓÌÏ
3 É ÒÉÄÅÍ Ë −2 = 2. ðÏÜÔÏÍÕ (−2)2 = 22 , Ô. Å. 4 = 4. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
€ÅÓÌÉ P , ÔÏ R ÔÏÖÅ ×ÅÒÎÏ.
÷ ÌÏÇÉËÅ ÕÓÌÏ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ €ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÌÏÖÎÙÍ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÒÅÄÏÓÙÌËÁ P ÉÓÔÉÎÎÁ, Á
ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ Q ÌÏÖÎÏ. ÷ ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÏ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÉÓÔÉÎÎÙÍ.
éÓÏÌØÚÕÑ ÓÉÍ×ÏÌ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ €⇒, ÍÙ ÉÛÅÍ P ⇒ Q ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÕÓÌÏ×ÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ €ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q. ÁËÁÑ ÚÁÉÓØ ÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÁË €ÉÚ P ÓÌÅÄÕÅÔ Q ÉÌÉ, €P ×ÌÅÞÅÔ Q, ÉÌÉ €P ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ
ÄÌÑ Q, ÉÌÉ €Q ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÌÑ P .
ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌ. 2.5.
ÁÂÌÉ Á 2.5
P
Q
(P ⇒ Q)
é
é
ì
ì
é
ì
é
ì
é
ì
é
é
ðÒÉÍÅÒ 2.5. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ((ÎÅ Q) ⇒ (ÎÅ P )) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍ ÉÌÉ ËÏÎÔÒÁÏÚÉÔÉ×ÎÙÍ Ë ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ (P ⇒ Q).
ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ((ÎÅ Q) ⇒ (ÎÅ P )) ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ (P ⇒ Q).
òÅÛÅÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ (ÔÁÂÌ. 2.6).
ÁÂÌÉ Á 2.6
ÎÅ
P
ÎÅ
Q
(P ⇒ Q)
((ÎÅ
) ⇒ (ÎÅ
P
Q
é
é
é
ì
ì
ì
ì
é
é
ì
Q
é
ì
ì
ì
é
ì
é
é
ì
é
é
é
é
é
P
))
ðÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÓÔÏÌ Á ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÔÏ É
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ, ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ.
2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ
ìÏÇÉËÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ë ÒÏÓÔÙÍ ÄÅËÌÁÒÁÔÉ×ÎÙÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑÍ, ÇÄÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ | ÌÉÂÏ ÉÓÔÉÎÎÙ, ÌÉÂÏ
ÌÏÖÎÙ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÏÄÎÕ É ÂÏÌÅÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÍÏÇÕÔ
28
çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
ÂÙÔØ ×ÅÒÎÙÍÉ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÌÏÖÎÙÍÉ
ÒÉ ÄÒÕÇÉÈ.
ðÒÅÄÉËÁÔÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ,
ÒÉÎÉÍÁÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÙ ÉÌÉ ÌÖÉ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. îÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ €x | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ x = x2  Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÉËÁÔÏÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÏ
ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ x = 0 ÉÌÉ x = 1 É ÌÏÖÎÏ × ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.
ìÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÑÔØ É Ë ÒÅÄÉËÁÔÁÍ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÇÏ ÒÅÄÉËÁÔÁ × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÓÞÅÔÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÎÅÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ïÄÎÁËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ, ÅÝÅ ÎÅÚÎÁËÏÍÙÅ ÷ÁÍ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ Ë×ÁÎÔÏÒÁÍÉ ), ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ Ë ÒÅÄÉËÁÔÁÍ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔ
ÏÓÌÅÄÎÉÅ × ÌÏÖÎÙÅ ÉÌÉ ÉÓÔÉÎÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ.
ðÒÉÍÅÒ 2.6. ëÁËÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÉÓÔÉÎÎÙ, Á ËÁËÉÅ
ÌÏÖÎÙ?
(Á) óÕÍÍÁ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÕÇÌÏ× ÌÀÂÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÁ 180◦ .
(Â) õ ×ÓÅÈ ËÏÛÅË ÅÓÔØ È×ÏÓÔ.
(×) îÁÊÄÅÔÓÑ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ x2 = 2.
(Ç) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÓÔÏÅ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) éÓÔÉÎÎÏ.
(Â) ìÏÖÎÏ. õ ÂÅÓÈ×ÏÓÔÏÊ1 ËÏÛËÉ È×ÏÓÔÁ ÎÅÔ.
(×) ìÏÖÎÏ.
(Ç) éÓÔÉÎÎÏ. þÉÓÌÏ 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÒÏÓÔÙÍ, É ÞÅÔÎÙÍ.
÷ ÒÉÍÅÒÅ 2.6 ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÎÁÂÏÒÏÍ ÏÂßÅËÔÏ× É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑÍÉ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÏÂßÅËÔÏ×, ÉÌÉ ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ (ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ) Ï ËÒÁÊÎÅÊ
ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÏÂßÅËÔ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÊ ÄÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ.
÷ÙÒÁÖÅÎÉÑ €ÄÌÑ ×ÓÅȁ É €ÎÁÊÄÅÔÓс (€ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅԁ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ Ë×ÁÎÔÏÒÁÍÉ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ∀ É ∃ . ÷ËÌÀÞÁÑ ×
ÒÅÄÉËÁÔ Ë×ÁÎÔÏÒÙ, ÍÙ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÍ ÅÇÏ × ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ
ÒÅÄÉËÁÔ Ó Ë×ÁÎÔÏÒÁÍÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÉÌÉ ÌÏÖÎÙÍ.
1
âÅÓÈ×ÏÓÔÁÑ ËÏÛËÁ | ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØ ÄÏÍÁÛÎÅÊ ËÏÛËÉ. |
ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ
29
ðÒÉÍÅÒ 2.7. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P (x) ÒÅÄÉËÁÔ €x | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ É
x2 = 16. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÓÌÏ×ÁÍÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ: ∃ x : P (x) É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ
ÅÇÏ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ∃ x : P (x) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ x2 = 16. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ,
ËÏÎÅÞÎÏ, ÉÓÔÉÎÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 = 16 ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ×ÅÒÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÒÉ x = 4. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, x = −4 | ÔÁËÖÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÍ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ Ï ÚÎÁËÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÞÔÏÂÙ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ∃ x : P (x).
ðÒÉÍÅÒ 2.8. ðÕÓÔØ P (x) | ÒÅÄÉËÁÔ: €x | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ É
x2 +1 = 0. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÓÌÏ×ÁÍÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ: ∃ x : P (x) É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ
ÅÇÏ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ.
òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÔÁË: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ x2 + 1 = 0. ðÏ-
ÓËÏÌØËÕ Ë×ÁÄÒÁÔ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ, Ô. Å.
x2 > 0, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ x2 + 1 > 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ
∃ x : P (x) ÌÏÖÎÏ.
ïÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 2.8 ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ: ÎÅ ∃ x : P (x). üÔÏ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÓÔÉÎÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ,
ËÏÔÏÒÏÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ x2 + 1 = 0. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ËÁËÏ×Ï ÂÙ ÎÉ
ÂÙÌÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ x, x2 + 1 6= 0. ÷ ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ
ÚÁÉÓÁÔØ ËÁË ∀ x ÎÅ P (x).
äÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÄÉËÁÔÁ P (x) ÅÓÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ2 :
ÎÅ ∃ x : P (x) ⇔ ∀ x ÎÅ P (x);
ÎÅ ∀ x P (x) ⇔ ∃ x : P (x).
ëÁË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ, ËÏÇÄÁ × ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ Ë×ÁÎÔÏÒÁ.
ðÒÉÍÅÒ 2.9. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x É y | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á
P (x; y ) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÄÉËÁÔ x + y = 0. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÓËÁ-
ÚÙ×ÁÎÉÊ ÓÌÏ×ÁÍÉ É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÉÈ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ.
(Á) ∀ x ∃ y : P (x; y );
2
(Â) ∃ y : ∀ x P (x; y ).
÷ ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ
ÚÎÁÞËÏÍ € ⇔ . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
30
çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ∀ x ∃ y : P (x; y ) ÇÏ×ÏÒÉÔ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ y ,
ÞÔÏ x+y = 0. ïÎÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÅÒÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ËÁËÏÅ ÂÙ ÞÉÓÌÏ x
ÍÙ ÎÉ ×ÚÑÌÉ, ÞÉÓÌÏ y = −x ÏÂÒÁÝÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï x + y = 0 ×
×ÅÒÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï.
(Â) ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ∃ y : ∀ x P (x; y ) ÞÉÔÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ y , ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï x + y = 0. üÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÔÁË: ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ y , ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ
ÕËÁÚÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÌÏÖÎÏ.
2.3. íÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×
ðÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÉÑ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ | ÎÅÏÔßÅÍÌÅÍÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÏ×ÅÒËÉ
ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÏÚÎÉËÁÅÔ, ËÏÇÄÁ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ×ÉÄÁ
(P ⇒ Q). óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÔÉÏ× ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×,
×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ:
ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P ÉÓÔÉÎÎÏ É ÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ Q. ÁËÏÊ ÓÏÓÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÉÓËÌÀÞÁÅÔ ÓÉÔÕÁ ÉÀ, ËÏÇÄÁ P ÉÓÔÉÎÎÏ, Á Q | ÌÏÖÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÍÅÎÎÏ × ÜÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P ⇒ Q)
ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÌÏÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (ÓÍ. ÔÁÂÌ. 2.5 ÎÁ ÓÔÒ. 27).
1. ðÒÑÍÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ.
2. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ Q
ÌÏÖÎÏ É ÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÏÛÉÂÏÞÎÏÓÔØ P . Ï ÅÓÔØ, ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ, ÒÑÍÙÍ
ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÏ×ÅÒÑÅÍ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ ((ÎÅ Q) ⇒ (ÎÅ P )),
ÞÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÍÅÒÕ 2.5, ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ (P ⇒ Q).
ðÒÅÄÏÌÏÖÉ×, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P
ÉÓÔÉÎÎÏ, Á Q ÌÏÖÎÏ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. üÔÏÔ ÓÏÓÏ ÏÑÔØ-ÔÁËÉ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ
ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P ⇒ Q) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÌÏÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ P ÉÓÔÉÎÎÏ, Á Q ÌÏÖÎÏ.
3. íÅÔÏÄ €ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇρ.
ðÒÉÍÅÒ 2.10. ðÏËÁÖÉÔÅ ÒÑÍÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ xy Ä×ÕÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ x É y ×ÓÅÇÄÁ ÎÅÞÅÔÎÏ.
2.3. íÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×
31
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, É ×
ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ x, ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ x = 2m + 1, ÇÄÅ m | ÅÌÏÅ
ÞÉÓÌÏ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, y = 2n + 1 Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÅÌÙÍ n.
úÎÁÞÉÔ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
xy = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1
ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ.
ðÒÉÍÅÒ 2.11. ðÕÓÔØ n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÓÏÓÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÞÔÏ ÅÓÌÉ n2 ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ É n
ÎÅÞÅÔÎÏ.
òÅÛÅÎÉÅ. ïÔÒÉ ÁÎÉÅÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ Ï ÎÅÞÅÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ n2 ÓÌÕÖÉÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ €n2 ÞÅÔÎρ, Á ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ Ï ÞÅÔÎÏÓÔÉ n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ €ÞÉÓÌÏ n ÎÅÞÅÔÎρ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ ÒÑÍÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÞÔÏ ÞÅÔÎÏÓÔØ
ÞÉÓÌÁ n ×ÌÅÞÅÔ ÞÅÔÎÏÓÔØ ÅÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ n2 .
ÁË ËÁË n ÞÅÔÎÏ, ÔÏ n = 2m ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ m. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n2 = 4m2 = 2(2m2 ) | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
ðÒÉÍÅÒ 2.12. íÅÔÏÄÏÍ €ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇρ ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 = 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, Ô. Å. ÎÅ ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ ÄÒÏÂÉ Ó ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÉÔÅÌÅÍ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ.
òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ ÎÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÏÕÓÔÉÔØ, ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ x ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
x2 = 2 ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ, Ô. Å. ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÄÒÏÂÉ x = m
n Ó ÅÌÙÍÉ
m É n, ÒÉÞÅÍ n 6= 0. ðÒÅÄÏÌÏÖÉ× ÜÔÏ, ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÌÕÞÉÔØ
ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÌÉÂÏ Ó ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅÍ, ÌÉÂÏ Ó ËÁËÉÍ-ÔÏ ÒÁÎÅÅ ÄÏËÁÚÁÎÎÙÍ ÆÁËÔÏÍ.
ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ
2m
3m
× ×ÉÄÅ ÄÒÏÂÉ. îÁÒÉÍÅÒ, x = m
n = 2n = 3n É Ô. Ä. ïÄÎÁËÏ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ m É n ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔØ ÚÁÉÓÉ ÒÏÁÄÁÅÔ.
éÔÁË, ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ÄÒÏÂØ x = m
n ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÁ (m É n ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ). ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÞÉÓÌÏ x ÕÄÏ2
×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ x2 = 2. úÎÁÞÉÔ, m
m2 = 2n2 .
n = 2, ÏÔËÕÄÁ
2
éÚ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ m ÞÅÔÎÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, m ÔÏÖÅ ÞÅÔÎÏ (ÓÍ. ÕÒ. Á(Â)) É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ×
×ÉÄÅ m = 2p ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ p. ðÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁÉÀ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï m2 = 2n2 , ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ 4p2 = 2n2 , Ô. Å. n2 = 2p2 .
îÏ ÔÏÇÄÁ n ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ËÁË m, ÔÁË É n | ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÎÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ
32
çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
ÏÂÝÉÍ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ 2. åÓÌÉ ÖÅ ÔÅÅÒØ ×ÓÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ Õ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ ÄÒÏÂÉ m
n,
ÔÏ Õ×ÉÄÉÍ Ñ×ÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ.
îÁÊÄÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÍÕ ×Ù×ÏÄÕ:
ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 = 2 ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ,
Ô. Å. ÏÎÏ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ.
2.4. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ
ëÏÍØÀÔÅÒÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ
ÉÌÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÄÅÌÁÅÔ ÔÏ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÏ × ÅÅ ÓÅ ÉÆÉËÁÉÉ. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÍÏÖÅÔ ÄÁ×ÁÔØ
ÏÖÉÄÁÅÍÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÓÌÕÞÁÅ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÉÅÍÁÍÉ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÌÏÇÉËÉ, ÞÔÏ ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÂÕÄÕÔ ÏÌÕÞÁÔØÓÑ ÒÉ ÌÀÂÙÈ ××ÏÄÉÍÙÈ
ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ. ï ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ, ÒÁÚÍÅÝÅÎÎÏÍ × ËÏÎ Å ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Ù.
ðÒÏ×ÅÒËÁ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÉËÌÙ, ÎÕÖÄÁÅÔÓÑ × ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÍÏÝÎÏÍ ÍÅÔÏÄÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ €ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ . ðÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÍ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Á
ÜÔÏÇÏ ×ÁÖÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ, ÄÏËÁÚÁ× ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÅÇÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÎÁÂÏÒÁ a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
begin
i := 0;
M := 0;
while i < n do
begin
j := j + 1;
M := max(M; a);
end
end
äÅÊÓÔ×ÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁ ÎÁÂÏÒÅ ÄÁÎÎÙÈ: a1 = 4, a2 = 7, a3 = 3 É
a4 = 8 ÒÏÓÌÅÖÅÎÏ × ÔÁÂÌ. 2.7.
ÁÂÌÉ Á 2.7
j <
4?
j
M
0
1
0
4
äÁ
äÁ
2
3
4
7
7
8
äÁ
äÁ
îÅÔ
2.4. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ
33
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÙÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ M = 8, ÞÔÏ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ M ÒÁ×ÎÁ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÍÕ ÉÚ ÞÉÓÅÌ ÎÁÂÏÒÁ, ÒÏÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ Ë ÜÔÏÍÕ
ÍÏÍÅÎÔÕ.
îÏ ÂÕÄÅÔ ÌÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ××ÏÄÉÍÏÍ
ÎÁÂÏÒÅ ÞÉÓÅÌ ÄÌÉÎÙ n?
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ××ÏÄÉÍÙÊ ÎÁÂÏÒ a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an ÄÌÉÎÙ n É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Mk ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ M ÏÓÌÅ k -ÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ.
1. åÓÌÉ ÍÙ ××ÏÄÉÍ ÎÁÂÏÒ a1 ÄÌÉÎÙ 1, ÔÏ ÉËÌ ÓÄÅÌÁÅÔ ÔÏÌØËÏ
ÏÄÉÎ ÒÏÈÏÄ É M ÒÉÓ×ÏÉÔÓÑ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÚ 0 É a1 ,
ËÏÔÏÒÙÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ a1 (ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÂÏÌØÛÅ 0).
÷ ÜÔÏÍ ÒÏÓÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×Ù×ÏÄ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ.
2. åÓÌÉ ÏÓÌÅ k -ÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ Mk | ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ
ÎÁÂÏÒÁ a1 ; a2 ; : : : ; ak , ÔÏ ÏÓÌÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÏÈÏÄÁ Mk+1 ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏ max(Mk ; ak+1 ), Ô. Å. ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÎÁÂÏÒÁ
a1 ; a2 ; : : : ; ak ; ak+1 .
÷ . 1 ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ××ÏÄÉÍÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÄÌÉÎÙ 1. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÏÇÌÁÓÎÏ . 2, ÏÎ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÂÏÔÁÔØ É ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÄÌÉÎÙ 2. ÷ÎÏ×Ø ÒÉÍÅÎÑÑ . 2
ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÍÙ ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏ É
ÎÁ ÌÀÂÙÈ ÎÁÂÏÒÁÈ ÄÌÉÎÙ 3, É Ô. Ä. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÎÁ ÌÀÂÙÈ ÎÁÂÏÒÁÈ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ n, Ô. Å. ÏÎ
ËÏÒÒÅËÔÅÎ.
îÁ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
ðÒÉÎ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ
ðÕÓÔØ P (n) | ÒÅÄÉËÁÔ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ
1. P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ É
2. ∀ k > 1 ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ×ÅÒÎÁ.
ÏÇÄÁ P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ n.
ðÒÉÍÅÒ 2.13. äÏËÁÖÉÔÅ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
1 + 2 + ··· +n =
×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n.
n(n + 1)
2
34
çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
nn
òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ P (n) | ÒÅÄÉËÁÔ 1 + 2 + · · · + n =
.
2
÷ ÓÌÕÞÁÅ n = 1 ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á | ÒÏÓÔÏ 1, Á ×ÙÞÉÓÌÑÑ
(
+1)
ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ, ÏÌÕÞÁÅÍ
1(1 + 1)
= 1:
2
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 1 + 2 + · · · + k =
ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ k . ÏÇÄÁ
kk
( +1)
2
ÉÍÅÅÔ
1 + 2 + · · · + k + (k + 1) = (1 + 2 + · · · + k ) + (k + 1) =
k (k + 1)
=
+ (k + 1) =
2
1
=
k (k + 1) + 2(k + 1) =
2
1
=
(k + 2)(k + 1) =
2
(k + 1)(k + 2)
=
:
2
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k ÉÍÌÉËÁ ÉÑ
P (k ) ⇒ P (k + 1)
ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á. úÎÁÞÉÔ, Ï ÒÉÎ ÉÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÒÅÄÉËÁÔ P (n) ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n.
ðÒÉÍÅÒ 2.14. íÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
7n − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6 ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÏËÁÚÁÔÅÌÅ n.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ a ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ
ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ b ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
a = mb ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÅÌÏÍ ÞÉÓÌÅ m. îÁÒÉÍÅÒ, 51 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 17,
ÏÓËÏÌØËÕ 51 = 3 · 17. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ÎÁÛÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÄÅÌÉÍÏÓÔÉ ÞÉÓÅÌ, ËÏÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ
ÓÕÍÍÁ ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ b ÞÉÓÅÌ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ b.
ðÕÓÔØ P (n) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÄÉËÁÔ €7n − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6.
ðÒÉ n = 1 ÉÍÅÅÍ
7n − 1 = 7 − 1 = 6;
Ô. Å. ÒÅÄÉËÁÔ P (1) ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ 7k − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6 ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k . ÏÇÄÁ
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2
35
7k+1 − 1 = 7(7k ) − 1 =
= 7(7k − 1) + 7 − 1 =
= 7(7k − 1) + 6:
ÁË ËÁË 7k − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6, ÔÏ Ï ÕÏÍÑÎÕÔÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÄÅÌÉÍÏÓÔÉ
ÓÕÍÍÁ 7(7k − 1) + 6 ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6.
éÔÁË, 7k+1 − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6, ÔÁË ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k
ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ÉÓÔÉÎÎÁ.
éÎÄÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÒÅÄÉËÁÔÁ
P (n) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n.
ðÒÉÍÅÒ 2.15. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ x1 ; x2 ; : : : ; xn ÏÒÅ-
ÄÅÌÅÎÁ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
x1 = 1
É
xk+1 = xk + 8k
ÒÉ k > 1:
äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ: xn = (2n − 1)2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > 1.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÉËÁÔ xn = (2n − 1)2 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P (n). åÓÌÉ
n = 1, ÔÏ (2n − 1)2 = (2 − 1)2 = 1, ÞÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P (1).
äÏÕÓÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ xk = (2k − 1)2 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ k > 1. ÏÇÄÁ
xk+1 = xk + 8k =
= (2k − 1)2 + 8k =
= 4k 2 + 4k + 1 =
= (2k + 1)2 :
2
íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ xk+1 = 2(k + 1) − 1 É ÏÜÔÏÍÕ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ÄÏËÁÚÁÎÁ ÒÉ ×ÓÅÈ k > 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÍÕ ÒÉÎ ÉÕ, ÒÅÄÉËÁÔ P (n) ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ ×
ÉÓÔÉÎÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ n.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2
2.1. ðÕÓÔØ P , Q É R | ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÓËÁ-
ÚÙ×ÁÎÉÑ:
P:
ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ.
36
çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
Q:
R:
íÏÊ ÓÔÁËÁÎ ÕÓÔ.
óÅÊÞÁÓ ÔÒÉ ÞÁÓÁ.
úÁÉÛÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ËÁË ÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ×ËÌÀÞÁÀÝÅÅ P , Q É R.
(Á) ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ É ÍÏÊ ÓÔÁËÁÎ ÎÅ ÕÓÔ.
(Â) óÅÊÞÁÓ ÔÒÉ ÞÁÓÁ, Á Ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ.
(×) åÓÌÉ ÓÅÊÞÁÓ ÔÒÉ ÞÁÓÁ, ÔÏ Ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ.
(Ç) åÓÌÉ Ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ, ÔÏ ÍÏÊ ÓÔÁËÁÎ ÕÓÔ.
(Ä) åÓÌÉ Ñ ÎÅ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ, ÔÏ ÍÏÊ ÓÔÁËÁÎ ÎÅ ÕÓÔ.
2.2. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ: €ÒÏÚÙ ËÒÁÓÎÙŁ, Á ÞÅÒÅÚ Q |
€ÆÉÁÌËÉ ÓÉÎÉŁ. úÁÉÛÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ:
(Á) ÅÓÌÉ ÒÏÚÙ ÎÅ ËÒÁÓÎÙÅ, ÔÏ ÆÉÁÌËÉ ÎÅ ÓÉÎÉÅ;
(Â) ÒÏÚÙ ËÒÁÓÎÙÅ ÉÌÉ ÆÉÁÌËÉ ÎÅ ÓÉÎÉÅ;
(×) ÌÉÂÏ ÒÏÚÙ ËÒÁÓÎÙÅ, ÌÉÂÏ ÆÉÁÌËÉ ÓÉÎÉÅ (ÎÏ ÎÅ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ)
ËÁË ÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ.
éÓÏÌØÚÕÑ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÄÏËÁÖÉÔÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (Á) É (Â).
2.3. óÏÓÔÁ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÅ ÉÓÔÉÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
ÒÉ ÌÀÂÙÈ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ Ó×ÏÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÑÍÉ . ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁÂÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÎÁÊÄÉÔÅ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÉ ÓÒÅÄÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ:
(Á) ÎÅ (P É (ÎÅ P ));
(Â) P ⇒ (ÎÅ P );
(×) (P É (P ⇒ Q)) ⇒ Q.
2.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (P ⇒ Q) ⇒ R ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ ((ÎÅ P ) ⇒ R) É (Q ⇒ R).
2.5. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ x ÓÌÏ×Ï €ËÏÛËÁ, Á ÞÅÒÅÚ P (x) ÒÅÄÉËÁÔ €Õ x
ÅÓÔØ ÕÓف. úÁÉÛÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ × ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ
ÆÏÒÍÅ:
(Á) ÕÓÙ ÅÓÔØ Õ ×ÓÅÈ ËÏÛÅË;
(Â) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ËÏÛËÁ ÂÅÚ ÕÓÏ×;
(×) ÎÅ ÂÙ×ÁÅÔ ËÏÛÅË Ó ÕÓÁÍÉ.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2
37
úÁÉÛÉÔÅ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Â) × ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ,
Á ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (×) ÚÁÉÛÉÔÅ ËÁË ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ, ÔÁË
É ÓÌÏ×ÁÍÉ.
2.6. ðÕÓÔØ P (x) ÏÚÎÁÞÁÅÔ €x ×ÙÓÏËÉʁ, Á Q(x) | €x ÔÏÌÓÔÙʁ, ÇÄÅ
x | ËÁËÏÊ-ÔÏ ÞÅÌÏ×ÅË. ðÒÏÞÉÔÁÊÔÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ:
∀ x (P (x) É Q(x)):
îÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ÓÒÅÄÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ:
(Á) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÅËÔÏ ËÏÒÏÔËÉÊ É ÔÏÌÓÔÙÊ;
(Â) ÎÅÔ ÎÉËÏÇÏ ×ÙÓÏËÏÇÏ É ÈÕÄÏÇÏ;
(×) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÅËÔÏ ËÏÒÏÔËÉÊ ÉÌÉ ÈÕÄÏÊ.
2.7. (Á) ðÒÑÍÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÄÏËÁÖÉÔÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ-
×ÁÎÉÑ:
n É m | ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ⇒ n + m | ÞÉÓÌÏ ÞÅÔÎÏÅ.
(Â) äÁÊÔÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ:
n2 | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ⇒ n | ÞÅÔÎÏÅ.
(×) íÅÔÏÄÏÍ €ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇρ ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
n + m | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ⇒ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ, Á ÄÒÕÇÏÅ | ÎÅÞÅÔÎÙÍ.
2.8. äÏËÁÖÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ
ÉÎÄÕË ÉÉ.
(Á) 1 + 5 + 9 + · · · + (4n − 3) = n(2n − 1) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
ÞÉÓÅÌ n.
(Â) 12 +22 + · · · + n2 = 16 n(n +1)(2n +1) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
ÞÉÓÅÌ n.
(×)
+ 31·5 + · · · + (2n−1)1·(2n+1) =
ÞÉÓÅÌ n.
n
n ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
1
·
1 3
2
+1
(Ç) þÉÓÌÏ n3 − n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3 ÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÞÉÓÌÁ n.
(Ä) 1 · 1! + 2 · 2!+ · · · + n · n! = (n + 1)! − 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
ÞÉÓÅÌ n.
(óÉÍ×ÏÌ n! ÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÁË €n ÆÁËÔÏÒÉÁ́ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÔ 1 ÄÏ n ×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ:
n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n.)
38
çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
2.9. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ x1 ; x2 ; : : : ; xn ÏÒÅ-
ÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
x1 = 1
xk+1 =
É
xk
ÒÉ k > 1:
xk + 2
÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ x2 , x3 É x4 . äÏËÁÖÉÔÅ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ, ÞÔÏ
xn =
ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > 1.
1
2n − 1
2.10. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ x1 ; x2 ; : : : ; xn ÏÒÅ-
ÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
x1 = 1; x2 = 2
É
xk+1 = 2xk − xk−1
ÒÉ k > 1:
÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ x3 , x4 É x5 . îÁÊÄÉÔÅ ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ xn É
ÄÏËÁÖÉÔÅ ÅÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ.
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
ìÏÇÉËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÎÁÂÏÒ ÒÁ×ÉÌ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÂÏÓÎÏ-
×ÁÎÎÙÈ ×Ù×ÏÄÏ×.
÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÉÍÅÀÝÅÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ, Ô. Å. ÏÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÉÌÉ ÌÏÖÎÙÍ .
óÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÏ ÉÚ ÄÒÕÇÉÈ Ó Ï-
ÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÕÏÔÒÅÂÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ É, ÉÌÉ, ÅÓÌÉ ... ÔÏ É ÎÅ.
÷ ÔÁÂÌ. 2.8 Ó×ÅÄÅÎÙ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ É,
ÉÌÉ É ⇒.
ÁÂÌÉ Á 2.8
P
É
Q
P
ÉÌÉ
Q
(P ⇒ Q)
P
Q
é
é
é
ì
é
ì
é
é
é
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
é
é
ä×Á ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÎÁ
ÌÀÂÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ó×ÏÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×
39
÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÅÄÉËÁÔÏÍ É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÁË: P (x).
äÌÑ ×ÓÅÈ (∀) É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (∃) | ÜÔÏ Ë×ÁÎÔÏÒÙ.
ðÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÒÑÍÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ×ÉÄÁ
(P ⇒ Q) ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P ×Ù×ÏÄÑÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ Q.
ïÂÒÁÔÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (ÎÅ Q ⇒ ÎÅ P ) É (P ⇒ Q).
íÅÔÏÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÉÍÌÉËÁ ÉÉ (P ⇒ Q), ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÌÏÖÎÏÓÔÉ Q É ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P ÒÉÈÏÄÑÔ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ,
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÅÔÏÄÏÍ €ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇρ.
íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ ÏÌÅÚÎÁ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÉÓÔÉÎÎÏÇÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
ðÒÉÎ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ | ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ:
ðÕÓÔØ P (n) | ÒÅÄÉËÁÔ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ
1. P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ É
2. ∀ k > 1 ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ×ÅÒÎÁ.
ÏÇÄÁ P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ n.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×
þÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÏÎ ÄÅÌÁÅÔ ÉÍÅÎÎÏ ÔÏ, ÞÔÏ É ÒÅÄÕÓÍÏÔÒÅÎÏ), ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÓÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, × ÎÅÍ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÈ ÄÏ , × ÔÅÞÅÎÉÅ É ÏÓÌÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. üÔÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ É ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÏÖÎÏ
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÎÅÂÏÌØÛÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÉÌÉ ÒÅÄÉËÁÔÙ.
ðÕÓÔØ P | ÒÅÄÉËÁÔ, ÉÓÔÉÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ
A, É Q | ÒÅÄÉËÁÔ, ÏÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ËÏÔÏÒÙÍ ÄÏÌÖÎÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ {P } A {Q} ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ
€ÅÓÌÉ ÒÁÂÏÔÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÉÓÔÉÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÅÄÉËÁÔÁ P , ÔÏ ÏÎÁ ÚÁËÏÎÞÉÔÓÑ ÒÉ ÉÓÔÉÎÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ Q. ðÒÅÄÉËÁÔ P
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÈÏÄÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÉÌÉ ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅÍ , Á Q | ×ÙÈÏÄÎÙÍ
40
çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÉÌÉ ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅÍ . ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ {P } A {Q} ÓÁÍÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÉËÁÔÏÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ
A ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ {P } A {Q}. äÌÑ ÒÏÓÔÙÈ
ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÜÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÏ.
úÁÄÁÞÁ 1. äÏËÁÖÉÔÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ òÁÚÎÏÓÔØ .
òÁÚÎÏÓÔØ
begin
z := x − y ;
end
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅÍ P Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:
x = x1 É y = y1 . ðÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅ Q | ÜÔÏ z = x1 − y1 . ðÒÅÄÉËÁÔ
{P } òÁÚÎÏÓÔØ {Q}
ÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÁË €ÅÓÌÉ x = x1 É y = y1 , ÔÏ z = x1 − y1 . éÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ x = x1 É y = y1
× ÔÅÌÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ z , x É y . ó ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ: z = x − y , x = x1 É y = y1 ×ÌÅËÕÔ
ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï z = x1 − y1 .
ëÏÇÄÁ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ A ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ Ó
ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ, ÍÙ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÍ ÅÇÏ ÎÁ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÏÔÒÅÚËÉ A1 ; : : : ; An
É ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÅÏÞËÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ×ÉÄÁ
{P } A1 {Q1 }; {Q1 } A2 {Q2 }; : : : ; {Qn−1 } An {Q};
ÇÄÅ ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÓÌÕÖÉÔ ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ.
úÁÄÁÞÁ 2. äÏËÁÖÉÔÅ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ €ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏ-
ÇÏÞÌÅ΁ .
ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
{x |
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ}
begin
y := ax;
y := (y + b)x;
y := y + ;
end
{y = ax2 + bx + }
òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÏÂØÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÁ ËÕÓÏÞËÉ, ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×Á× ÒÉ ÜÔÏÍ
ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÅÄ- É ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÊ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×
41
{x = x1 }
begin
y := ax;
Q1 → {y = ax1 É x = x1 }
y := (y + b)x;
Q2 → {y = ax21 + bx1 }
y := y + ;
end
Q → {y = ax21 + bx1 + }
P →
ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÓÄÅÌÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ, ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ:
{P } y := ax {Q1 },
{Q1 } y := (y + b)x {Q2 },
{Q2 } y := y + {Q}, |
×ÅÒÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅÄÉËÁÔ
{P } ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ {Q}
ÉÓÔÉÎÅÎ, Ô. Å. ÁÌÇÏÒÉÔÍ ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ËÏÒÒÅËÔÅÎ.
áÌÇÏÒÉÔÍ Ó ÕÓÌÏ×ÎÙÍÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑÍÉ ÔÏÖÅ ÏÄÄÁÅÔÓÑ ÔÅÈÎÉËÅ
ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ëÏÇÄÁ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
if ... then, ×Ï ×ÈÏÄÎÙÈ É ×ÙÈÏÄÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÏÔÒÁÖÅÎÙ
ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÅ ÕÔÉ ÞÅÒÅÚ ×ÅÓØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ.
âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ: ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÎÏÅ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ
if ÕÓÌÏ×ÉÅ then
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 1;
else
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 2;
××ÏÄÉÔ ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅ P , Á ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÄÁÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÅ Q. ÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ
ÄÏËÁÚÁÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÏÂÏÉÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×:
É
{P É ÕÓÌÏ×ÉÅ} ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 1 {Q}
{P É ÎÅ (ÕÓÌÏ×ÉÅ)} ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 2 {Q}.
42
çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï
úÁÄÁÞÁ 3. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ íÏÄÕÌØ ËÏÒÒÅËÔÅÎ.
íÏÄÕÌØ
{x |
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ}
begin
if x > 0
then
ab := x;
else
abs := −x;
end
{abs | ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁ x}
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅÍ P × ÎÁÛÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÓÌÕÖÉÔ {x = x1 },
Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅÍ Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ {abs | ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁ x}.
ðÒÅÄÉËÁÔ {P É x > 0} abs := x {Q} ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ,
ÏÓËÏÌØËÕ ÍÏÄÕÌØ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x1 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÎÉÍ ÓÁÍÉÍ.
ðÒÅÄÉËÁÔ {P É ÎÅ (x > 0)} abs := −x {Q} ÔÏÖÅ ÉÓÔÉÎÅÎ, ÔÁË
ËÁË ÍÏÄÕÌØ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x1 ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÎÅÇÏ ÚÎÁËÏÍ.
éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÅÄ- É ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÊ ÒÉ ÒÏ×ÅÒËÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×,
× ËÏÔÏÒÙÈ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÉËÌÙ ÔÉÁ while ... do, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÇÒÏÍÏÚÄËÏ. ðÒÅÄÏÞÔÉÔÅÌØÎÅÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÔÁËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×
ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ.
úÁÄÁÞÁ 4. äÏËÁÖÉÔÅ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ë×ÁÄÒÁÔ .
ë×ÁÄÒÁÔ
{n |
ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ}
begin
sq := 0;
for i := 1 to n do
sq := sq + 2i − 1;
end
{sq = n2 }
òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ P (n) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÄÉËÁÔ €sq = n2 ÏÓÌÅ n-ÇÏ
ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ, Á sqk | ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ sq ÏÓÌÅ k -ÇÏ ÒÏÈÏÄÁ
ÉËÌÁ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ
(1) sq1 = 12 ;
(2) ÅÓÌÉ sqk = k 2 , ÔÏ sqk+1 = (k + 1)2 .
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×
43
ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ sq1 = 1 É ÕÎËÔ (1)
×ÙÏÌÎÅÎ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ k -ÏÊ ÅÔÌÉ ÉËÌÁ sqk = k 2 . ÏÇÄÁ
ÏÓÌÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÏÈÏÄÁ
sqk+1 = sqk + 2(k + 1) − 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÎËÔ (2) ÔÏÖÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ.
éÔÁË, ÍÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌÉ, ÞÔÏ P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ (. (1)). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Ï
×ÔÏÒÏÍÕ ÕÎËÔÕ ÉÍÌÉËÁ ÉÑ ((P (k ) ⇒ P (k + 1)) ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÒÉ
ÌÀÂÏÍ k > 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÎ ÉÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ
ÉÎÄÕË ÉÉ, P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n.
÷ ÚÁÄÁÞÅ 4 ÉËÌ for ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÉÔÅÒÁ ÉÊ
(ÒÏÈÏÄÏ×). ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÅÔÅÌØ ÉËÌÁ ÚÁÒÁÎÅÅ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ, ËÁË × ÉËÌÅ while ... do, ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÉÎÄÕË ÉÅÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÏÈÏÄÏ× ×ÓÅ ÖÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ É ÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ×ÙÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ. ðÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÂÕÄÅÔ
ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÅÔÅÌØ ÔÁËÏÇÏ ÉËÌÁ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ËÏÎÅÞÎÏ.
çìá÷á 3
åïòéñ
íîïöåó÷
ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× | ÏÄÉÎ ÉÚ ËÒÁÅÕÇÏÌØÎÙÈ ËÁÍÎÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ,
ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÉÊ ÕÄÏÂÎÙÊ ÑÚÙË ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÍÁÓÓÙ ËÏÎ Å ÉÊ ËÁË
× ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÔÁË É × É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ.
÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÉÛÅÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÏÓÏÂÙ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÚÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ. òÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ, ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ É
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÈ ÷ÅÎÎÁ.
áÎÁÌÏÇÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ ÍÅÖÄÕ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ É ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÇÌÁ×Ù, ÏÂÕÄÑÔ
ÎÁÓ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÔÏÖÄÅÓÔ×. îÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÜÔÉÈ ÔÏÖÄÅÓÔ×, ÓÏÂÒÁÎÎÙÈ ×ÍÅÓÔÅ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ
ÍÎÏÖÅÓÔ× É, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÂÕÄÕÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÙ ÄÌÑ ×Ù×ÏÄÁ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. úÄÅÓØ ÍÙ ÏÓ×ÏÉÍ ÔÁËÉÅ ÎÏ×ÙÅ ÏÎÑÔÉÑ,
ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÉÎ É ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑ, ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÄÅËÁÒÔÏ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÉÍÉÔÁ ÉÉ
ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÍÁÎÉÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÂÉÔ). ïÎÉ
ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÓ×ÏÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ.
÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ× É ÍÎÏÖÅÓÔ×
ÂÕÄÅÔ ÓÏÚÄÁÎÁ ÒÏÓÔÁÑ ÂÁÚÁ ÚÎÁÎÉÊ ÄÌÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÉÚ
ÂÁÚÙ ÄÁÎÎÙÈ Ï ÂÒÉÔÁÎÓËÉÈ ËÏÒÏÌÑÈ É ËÏÒÏÌÅ×ÁÈ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó çÅÏÒÇÁ I.
3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ
íÎÏÖÅÓÔ×Ï | ÜÔÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÏÂßÅËÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. îÁÒÉÍÅÒ,
• {üÓÓÅËÓ, êÏÒËÛÉÒ, äÅ×ÏÎ};
• {2, 3, 5, 7, 11};
• {ÓÙÒ, ÑÊ Ï, ÍÏÌÏËÏ, ÓÍÅÔÁÎÁ}.
÷ ÜÔÏÍ ÒÉÍÅÒÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÁËÌÀÞÅÎÙ × ÆÉÇÕÒÎÙÅ ÓËÏÂËÉ . þÔÏÂÙ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÓÙÌÏË, ÍÙ ÏÂÙÞÎÏ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÏÉÓÎÙÍÉ ÌÁÔÉÎÓËÉÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ. îÁ-
3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ
45
ÒÉÍÅÒ, S = {3; 2; 11; 5; 7} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÄÁÎÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×,
×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ.
÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÁÉÓØ a ∈ S ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂßÅËÔ a | ÜÌÅÍÅÎÔ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . þÁÓÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ a ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S . åÓÌÉ
ÏÂßÅËÔ a ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ S , ÔÏ ÉÛÕÔ: a 6∈ S .
íÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ×ÙÉÓÁÔØ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÉÈ, × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ
Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×. æÏÒÍÁÌØÎÏ ÍÙ ÉÛÅÍ
S = {x : P (x)}
ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ
ÒÅÄÉËÁÔ P (x) ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÚÁÉÓØ
S = {x : x | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ}
ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
S = {1; 3; 5; 7; : : :}:
ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ
× ×ÉÄÅ 2n − 1, ÇÄÅ n | ÌÀÂÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÅ
ÄÏÕÓÔÉÍÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÏÇÏ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
S = {2n − 1 : n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ}:
ðÒÉÍÅÒ 3.1. îÁÊÄÉÔÅ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÅÒÅÞÉ-
ÓÌÑÀÝÅÅ ÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ.
(Á) A = {x : x | ÅÌÏÅ É x2 + 4x = 12};
(Â) B = {x : x | ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÄÎÑ ÎÅÄÅÌÉ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÂÕË×Ù €Å};
(×) ó = {n2 : n | ÅÌÏÅ}.
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) åÓÌÉ x2 +4x = 12, ÔÏ x(x +4) = 12. ðÏÓËÏÌØËÕ x | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ,
ÄÅÌÑÝÅÅ 12, ÔÏ ÏÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÏ ÔÏÌØËÏ ±1, ±2, ±3, ±4,
±6 É ±12. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, x + 4 ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔ 12. ðÏÜÔÏÍÕ
ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ: x = −6 ÉÌÉ x = 2.
äÒÕÇÏÊ ÓÏÓÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÔÙÓËÁÎÉÉ ËÏÒÎÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 + 4x − 12 = 0. ïÎ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÏÍÕ ÖÅ
ÏÔ×ÅÔÕ x = −6 ÉÌÉ x = 2.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A = {−6; 2}.
46
çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×
(Â) B = {×ÔÏÒÎÉË, ÑÔÎÉ Á, ÓÕÂÂÏÔÁ}.
(×) ó = {0; 1; 4; 9; 16; : : :}.
îÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÉÓÅÌ ÓÔÏÌØ ÞÁÓÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ, ÞÔÏ ÉÍÅÀÔ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÎÁÚ×ÁÎÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ.
∅ | ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï;
N = {1; 2; 3; : : :} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ;
Z = {0; ±1; ±2; ±3; : : :} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ;
Q = { pq : p; q ∈ Z; q 6= 0} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ;
R = {×ÓÅ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ .
þÉÔÁÔÅÌØ ÄÏÌÖÅÎ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÎÉÇÁÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ N ×ËÌÀÞÁÀÔ É 0.
÷ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÑÚÙËÁÈ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÏÂßÑ×ÌÑÌÉÓØ ËÁË ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍÕ ÔÉÕ
ÄÁÎÎÙÈ . É ÄÁÎÎÙÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂßÅËÔÏ× ÓÏ
ÓÉÓËÏÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÎÉÍÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÉÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕËÁÚÁÎÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ
ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÀÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.
óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÏÓÏÂÏ× ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÏ×ÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ Ä×ÕÈ ÄÁÎÎÙÈ. ïÉÛÅÍ ËÏÒÏÔËÏ ÜÔÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ.
ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ×ÙÛÅÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÁÈ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÌÉ ÄÒÕÇÉÍ Â
ÏÌØÛÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ. îÁÒÉÍÅÒ, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ó = {0; 1; 4; 9; 16; : : :}
ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z = {0; ±1; ±2; ±3; : : :}.
çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
A ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S . üÔÏÔ ÆÁËÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÔÁË: A ⊂ S .
îÁ ÒÉÓ. 3.1 ÄÁÎÁ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÑ ÜÔÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ËÁÒÔÉÎËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ ÷ÅÎÎÁ.
ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÎÙÍÉ , ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÄÒÕÇÏÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×
ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
îÁ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÄÌÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× A = B ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ
ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÉÍÌÉËÁ ÉÊ:
{x ∈ A ⇒ x ∈ B }
É
{x ∈ B ⇒ x ∈ A}:
3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ
47
S
A
òÉÓÕÎÏË 3.1. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á
A
⊂S
ðÒÉÍÅÒ 3.2. ðÕÓÔØ
A = {n : n2 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ}
É
B = {n : n | ÎÅÞÅÔÎÏÅ
ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ}:
ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ A = B .
åÓÌÉ x ∈ A, ÔÏ x2 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. ëÁË ÍÙ
ÒÏ×ÅÒÉÌÉ × ÒÉÍÅÒÅ 2.11, ÏÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÁÍÏ ÞÉÓÌÏ x |
ÅÌÏÅ É ÎÅÞÅÔÎÏÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x ∈ B , Ô. Å. A ⊂ B .
÷ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÕÓÔØ x ∈ B . ÏÇÄÁ x | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ
ÞÉÓÌÏ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÍÅÒÕ 2.10, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ x2 ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÔ ÎÅÞÅÔÎÙÍ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, Á ÚÎÁÞÉÔ, x ∈ A. ÷ ×ÉÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÓÔÉ ×ÚÑÔÏÇÏ
ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ B ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ B ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ A, Ô. Å. B ⊂ A. éÔÁË, A = B .
òÅÛÅÎÉÅ.
ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
A ∪ B = {x : x ∈ A
ÉÌÉ x ∈ B }:
ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÌÉÂÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A, ÌÉÂÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B , Á ×ÏÚÍÏÖÎÏ É ÏÂÏÉÍ ÓÒÁÚÕ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ
÷ÅÎÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.2.
ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
A ∩ B = {x : x ∈ A
É x ∈ B }:
ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A, ÔÁË
É ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B . äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.3.
48
çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×
A
B
òÉÓÕÎÏË 3.2. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ
A
A
∪B
A
∩B
B
òÉÓÕÎÏË 3.3. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ
äÏÏÌÎÅÎÉÅÍ1 ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÄÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
A \ B = {x : x ∈ A É x 6∈ B }:
äÏÏÌÎÅÎÉÅ A \ B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ËÏÔÏÒÙÅ
ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ B (ÓÍ. ÒÉÓ. 3.4).
åÓÌÉ ÍÙ ÏÅÒÉÒÕÅÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÎÅËÏÅÇÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U , ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ U ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ
ÚÁÄÁÞÉ. îÁ ÎÁÛÉÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÈ ÷ÅÎÎÁ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË ËÁË ÒÁÚ É ÓÉÍ×ÏÌÉÚÉÒÕÅÔ ÜÔÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.
äÌÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ A ÄÏ U , Ô. Å. U \ A. ðÏÓËÏÌØËÕ × ËÁÖÄÏÊ
ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï U \ A ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ A É ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÏÓÔÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅÍ
1
äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÜÔÕ ÖÅ ÏÅÒÁ ÉÀ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁÚÎÏÓÔØÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ
49
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÎÉÍÁÑ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÁÂÏÔÁÅÍ Ó ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U , ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ
A = {x : ÎÅ (x ∈ A)}
⇔
A = {x : x 6∈ A}:
äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.5.
B
A
òÉÓÕÎÏË 3.4. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÒÁÚÎÏÓÔÉ
A
\B
A
òÉÓÕÎÏË 3.5. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ
A
óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔØÀ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
A △ B = {x : (x ∈ A É x 6∈ B )
ÉÌÉ (x ∈ B É x 6∈ A)}:
ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÔÅÈ É ÔÏÌØËÏ ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÉÂÏ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ A É ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ B , ÌÉÂÏ
ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ B , ÎÏ ÎÅ A. çÒÕÂÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ
ÒÁÚÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÌÅÖÁÝÉÈ ÌÉÂÏ × A, ÌÉÂÏ × B , ÎÏ ÎÅ
ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÁÑ ÎÏ×ÏÅ ÏÎÑÔÉÅ,
ÎÁÞÅÒÞÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.6.
50
çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×
B
A
òÉÓÕÎÏË 3.6. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ
A
△B
ðÒÉÍÅÒ 3.3. ðÕÓÔØ
A = {1; 3; 5; 7};
B = {2; 4; 6; 8};
C = {1; 2; 3; 4; 5}:
îÁÊÄÉÔÅ A ∪ C , B ∩ C , A \ C É B △ C .
òÅÛÅÎÉÅ.
A ∪ C = {1; 3; 5; 7; 2; 4};
B ∩ C = {2; 4};
A \ C = {7};
B △ C = (B \ C ) ∪ (C \ B ) = {6; 8} ∪ {1; 3; 5} = {6; 8; 1; 3; 5}.
ðÒÉÍÅÒ 3.4. ðÕÓÔØ
A = {x : 1 6 x 6 12 É x ÞÅÔÎÏÅ
ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ};
B = {x : 1 6 x 6 12 É x ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÒÁÔÎÏÅ 3}:
õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ (A ∩ B ) = A ∪ B .
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ
ÚÄÅÓØ ÓÌÕÖÉÔ
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}:
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ,
A = {2; 4; 6; 8; 10; 12}
É
B = {3; 6; 9; 12}:
3.2. áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×
51
ðÏÜÔÏÍÕ
É
(A ∩ B ) = {6; 12} = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11}
A ∪ B = {1; 3; 5; 7; 9; 11} ∪ {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11} =
= {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11}:
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (A ∩ B ) = A ∪ B .
3.2. áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×
éÚ ÏÅÒÁ ÉÊ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÛÌÁ ÒÅÞØ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ, ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÉÈ
ËÁÖÕÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍÉ, ÄÒÕÇÉÅ | ÍÅÎØÛÅ, ÎÏ ×ÓÅ ÔÒÅÂÕÀÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÂÕÄÕÔ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ1 ÍÅÖÄÕ
ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ É ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÄ ÒÅÄÉËÁÔÁÍÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÔÒÁÖÅÎÏ × ÔÁÂÌ. 3.1.
ÁÂÌÉ Á 3.1
ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ
ìÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ
∪
ÉÌÉ
ÎÅ
∩
É
⊂
⇒
ðÒÉÍÅÒ 3.5. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÉÍÅÅÔ
ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ: (A ∩ B ) = A ∪ B .
òÅÛÅÎÉÅ.
(A ∩ B ) = {x : x 6∈ (A ∩ B )} =
= {x : ÎÅ (x ∈ (A ∩ B ))} =
= {x : ÎÅ (x ∈ A) É (x ∈ B ))};
A ∪ B = {x : (x 6∈ A) ÉÌÉ (x 6∈ B )} =
= {x : (ÎÅ (x ∈ A)) ÉÌÉ (ÎÅ (x ∈ B ))}:
óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÌÅÇËÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×:
ÎÅ (P É Q)
1
É
(ÎÅ P ) ÉÌÉ (ÎÅ Q);
óÔÒÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÅÇÏ ÔÏÖÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÔØ. |
ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
52
çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×
ÇÄÅ P É Q | ÒÏÓÔÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ. ïÉÒÁÑÓØ ÔÅÅÒØ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ É ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ (ÔÁÂÌ. 3.1), ÍÏÖÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÒÅÄÉËÁÔ ÎÅ (P É Q) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ (A ∩ B ), Á (ÎÅ P ) ÉÌÉ (ÎÅ Q) | ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A∪B .
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (A ∩ B ) = A ∪ B .
ó×ÏÊÓÔ×Ï, ÄÏËÁÚÁÎÎÏÅ × ÒÉÍÅÒÅ 3.5, ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ËÁË ÏÄÉÎ ÉÚ ÚÁËÏÎÏ× ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ. æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÚÁËÏÎÁÍ
ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× . üÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á
ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÙ × ÔÁÂÌÉ Å 3.2. ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÏËÁÚÁÎÏ Ó
ÏÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÙ × ÒÉÍÅÒÅ 3.5.
÷ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏÅ ÉÚÕÞÅÎÉÅ Ó×ÏÄÁ ÚÁËÏÎÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÔÁÂÌ. 3.2)
ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ× ÒÁ×ÏÊ ËÏÌÏÎËÉ ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÏ ÉÚ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ÌÅ×ÏÊ ÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ
∪ ÎÁ ∩, ∅ ÎÁ U É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. ÁËÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÔÏÖÄÅÓÔ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁËÏÎÏÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ , Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á |
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ.
ÁÂÌÉ Á 3.2. úÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×
úÁËÏÎÙ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ
A
∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B ) ∪ C
A
∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B ) ∩ C
úÁËÏÎÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ
A
∪B =B∪A
A
∩B =B∩A
úÁËÏÎÙ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á
A
∪∅ =A
A
∩U =A
A
∪U =U
A
∩∅=∅
A
∪A=A
A
∩A=A
úÁËÏÎÙ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ
úÁËÏÎÙ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ
A
∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C )
A
∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C )
úÁËÏÎÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ
A
∪A=U
A
∩A=∅
U
=∅
∅=U
A
=A
A
=A
úÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ
(A ∪ B ) = A ∩ B
(A ∩ B ) = A ∪ B
úÁËÏÎ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×. åÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÄÁÎÎÏÇÏ
3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×
53
ÒÏÓÔÏÇÏ ÕÞÅÂÎÉËÁ. ïÄÎÁËÏ, ÒÉÎÑ× ÅÇÏ ÎÁ ×ÅÒÕ, ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ
ÓÅÂÅ ÖÉÚÎØ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÏËÁÚÁ× ËÁËÏÅ-ÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ× É ÏÂÒÁÔÉ× ÏÅÒÁ ÉÉ, ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÔØ É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï.
ðÒÉÍÅÒ 3.6. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÄÏËÁÖÉÔÅ,
ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A É B ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×Õ:
A △ B = (A ∪ B ) ∩ (A ∩ B ):
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÏÍÎÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×:
A △ B = (A ∩ B ) ∪ (B ∩ A):
óÏÇÌÁÓÎÏ ÚÁËÏÎÁÍ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÉÍÅÅÍ.
(A ∪ B ) ∩ (A ∩ B ) =
(Ú. ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ)
= (A ∪ B ) ∩ (A ∪ B )) =
(Ú. ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×Î.)
= (A ∩ (A ∪ B )) ∪ (B ∩ (A ∪ B )) =
(Ú. ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×Î.)
= ((A ∪ B ) ∩ A) ∪ ((A ∪ B ) ∩ B ) =
(Ú. ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×Î.)
= ((A ∩ A) ∪ (A ∩ B )) ∪ ((B ∩ A) ∪ (B ∩ B )) = (Ú. ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×Î.)
= ((A ∩ A) ∪ (B ∩ A)) ∪ ((A ∩ B ) ∪ (B ∩ B )) = (Ú. ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ)
= (∅ ∪ (B ∩ A)) ∪ ((A ∩ B ) ∪ ∅) =
(Ú. ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×Î.
É ÔÏÖÄÅÓÔ×Á)
= (A ∩ B ) ∪ (B ∩ A)
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
A △ B = (A ∪ B ) ∩ (A ∩ B );
ËÁË É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ.
3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×
÷ ÇÌÁ×Å 6 ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÚÕÞÁÔØ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÕ , ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ,
ÉÍÅÀÝÕÀ ÄÅÌÏ Ó ÏÄÓÞÅÔÏÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÔÅÈ ÉÌÉ ÉÎÙÈ
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. ÷ÏÒÏÓÙ ÅÒÅÓÞÅÔÁ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÙÍÉ, ËÏÇÄÁ
Õ ÷ÁÓ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÒÅÓÕÒÓÙ. îÁÒÉÍÅÒ, ÓËÏÌØËÏ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÍÏÖÅÔ
ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÔØ ÄÁÎÎÁÑ ËÏÍØÀÔÅÒÎÁÑ ÓÅÔØ? éÌÉ ÓËÏÌØËÏ ÏÅÒÁ ÉÊ
ÂÕÄÅÔ ÓÄÅÌÁÎÏ ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ?
54
çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×
íÏÝÎÏÓÔØÀ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÎÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ |S |.
óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÄÁÅÔ ÒÏÓÔÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. éÓÏÌØÚÕÑ ÉÎÄÕË ÉÀ, ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ
ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×.
æÏÒÍÕÌÁ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ.
|A ∪ B | = |A| + |B | − |A ∩ B |:
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 3.7, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×: A \ B , A ∩ B É B \ A, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ,
A = (A \ B ) ∪ (A ∩ B )
É
B = (B \ A) ∪ (A ∩ B ):
÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ:
|A \ B | = m;
|A ∩ B | = n;
|B \ A| = p:
ÏÇÄÁ |A| = m + n, |B | = n + p É
|A ∪ B | = m + n + p =
= (m + n) + (n + p) − n =
= |A| + |B | + |A ∩ B |:
A B
A B
òÉÓÕÎÏË 3.7.
B A
3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×
55
ðÒÉÍÅÒ 3.7. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ 63 ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÅÒ×ÏÇÏ ËÕÒÓÁ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÈ
ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÕ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ, ÍÏÖÅÔ ÏÓÅÝÁÔØ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ
ÌÅË ÉÉ. åÓÌÉ 16 ÉÚ ÎÉÈ ÓÌÕÛÁÀÔ ÅÝÅ ËÕÒÓ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÉ, 37 | ËÕÒÓ
ËÏÍÍÅÒÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ, É 5 ÉÚÕÞÁÀÔ ÏÂÅ ÜÔÉ ÄÉÓ ÉÌÉÎÙ, ÔÏ
ÓËÏÌØËÏ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÏÓÅÝÁÀÔ ÕÏÍÑÎÕÔÙÈ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÁÎÑÔÉÊ?
òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ.
A = {ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÓÌÕÛÁÀÝÉÅ ËÕÒÓ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÉ};
B = {ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÓÌÕÛÁÀÝÉÅ ËÕÒÓ ËÏÍÍÅÒÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ}:
ÏÇÄÁ
ðÏÜÔÏÍÕ,
|A| = 16;
|B | = 37;
|A ∩ B | = 5:
|A ∪ B | = 16 + 37 − 5 = 48:
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 63 − 48 = 15 ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÎÅ ÏÓÅÝÁÀÔ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ
ËÕÒÓÏ×.
æÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×,
ËÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÂÏÂÝÅÎÁ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×. óÌÕÞÁÊ ÔÒÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÉ×ÅÄÅÎ × ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÈ Ë ÜÔÏÊ
ÇÌÁ×Å.
ðÒÉ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÉ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÅÒÅÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ïÄÎÁËÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÂÏÔÁÔØ É Ó ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÎÁÂÏÒÁÍÉ. þÔÏÂÙ ÈÏÒÏÛÏ
ÏÓ×ÏÉÔØ ÜÔÏÔ ÎÏ×ÙÊ ÔÉ ÄÁÎÎÙÈ, ÍÙ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÏÊ.
õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÉÓØ ×ÉÄÁ (a; b), ÇÄÅ a | ÜÌÅÍÅÎÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, Á b | ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÍ ÉÌÉ
ÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ A × B .
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A × B = {(a; b) : a ∈ A É b ∈ B }. ïÅÒÁ ÉÑ
ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÍÅÅÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÌÏÔÎÕÀ ÏÄ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÏÎÑÔÉÑÍ €ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ  É €ÆÕÎËÉÑ , ÉÇÒÁÀÝÉÍ ÚÁÍÅÔÎÕÀ ÒÏÌØ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÍ
ÒÅÄÍÅÔ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÇÌÁ×.
ðÒÉÍÅÒ 3.8. ðÕÓÔØ A = {x; y } É B = {1; 2; 3}. îÁÊÄÉÔÅ ÄÅËÁÒÔÏ×Ù
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ: A × B , B × A É B × B .
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ A × B Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
{(x; 1); (x; 2); (x; 3); (y; 1); (y; 2); (y; 3)}:
56
çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×
ðÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ B × A | ÜÔÏ
{(1; x); (2; x); (3; x); (1; y ); (2; y ); (3; y )}:
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × B É B × A ÒÁÚÌÉÞÎÙ! ðÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ B × B ÓÌÕÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
{(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)}:
ïÓÎÏ×Ù×ÁÑÓØ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ 3.8, ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÒÁ×ÎÁ1
|A × B | = mn;
ÅÓÌÉ |A| = m É |B | = n:
åÓÌÉ ÖÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÉÌÉ ÓÒÁÚÕ ÏÂÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙ, ÔÏ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ.
ëÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÍÙ ÍÏÖÅÍ
ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÷ÅÎÎÁ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÕÀ ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × B ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 3.8
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.8
x
(x, 1)
(x, 2)
(x, 3)
y
(y, 1)
(y, 2)
(y, 3)
1
2
3
A
B
òÉÓÕÎÏË 3.8.
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á R ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÓÁÍÏ ÓÅÂÑ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï R×R
ÉÌÉ R2 , ËÁË ÅÇÏ ÞÁÓÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ
ÁÒ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (x; y ). éÈ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ËÁË
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞÅË ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï R2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ . ïÎÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.9
1
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁË, ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A
(Á ÉÈ ÒÏ×ÎÏ m ÛÔÕË) ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ × n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒÁÈ. |
ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×
57
äÅËÁÒÔÏ×ÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× A1 ,
A2 , . . . , An ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
A1 × A2 × · · · An = {(a1 ; a2 ; : : : ; an ) : ai ∈ Ai ; i = 1; 2; : : : ; n}:
üÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÒÏÓÔÏ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ , ÏÂßÅËÔÙ, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÒÁÂÏÔÁÀÔ ×ÓÅ ÑÚÙËÉ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÑÍÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÔÁËÖÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂßÅËÔ ÏÂÒÁÂÏÔËÉ × ÂÁÚÁÈ ÄÁÎÎÙÈ. ÷ÓÅ ÜÔÉ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ
ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÙ × ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÇÌÁ×ÁÈ.
y
(3, 2)
x
òÉÓÕÎÏË 3.9. äÅËÁÒÔÏ×Á ÌÏÓËÏÓÔØ
÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× A1 , A2 , . . . , An ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ A, ÍÙ ÉÛÅÍ An ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÑÍÏÇÏ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ n ÜËÚÅÍÌÑÒÏ× A.
ðÒÉÍÅÒ 3.9. ðÕÓÔØ B = {0; 1}. ïÉÛÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B n .
òÅÛÅÎÉÅ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕÌÅÊ É
ÅÄÉÎÉ ÄÌÉÎÙ n. ïÎÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÔÒÏËÏÊ ÂÉÔ ÉÌÉ ÂÉÔÏ×ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ ÄÌÉÎÙ n.
÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÎÁÛÅÇÏ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ËÁË
ÓÔÒÏËÁ ÂÉÔ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. ðÕÓÔØ S = {s1 ; s2 ; : : : ; sn }, ÒÉÞÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÙ ÏÍÅÔÉÌÉ ÞÉÓÌÏ×ÙÍÉ ÉÎÄÅËÓÁÍÉ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÓÓÙÌÏË. åÓÌÉ A ⊂ S , ÍÙ ÏÓÔÁ×ÉÍ ÅÍÕ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ n-ÂÉÔÎÕÀ
ÓÔÒÏËÕ (b1 ; b2 ; : : : ; bn ), ÇÄÅ bi = 1, ÅÓÌÉ si ∈ A É bi = 0 × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ÁËÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÂÉÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. ÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÉÍÉÔÉÒÏ×ÁÔØ ÏÅÒÁ ÉÉ
ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÍÉ Ë ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÁÍ, ÕÓÌÏ×É×ÉÛÉÓØ ÓÞÉÔÁÔØ 1
ÚÁ é, Á 0 ÚÁ ì.
58
çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×
ðÒÉÍÅÒ 3.10. ðÕÓÔØ S = {1; 2; 3; 4; 5}, A = {1; 3; 5} É B = {3; 4}.
÷ÙÉÓÁÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ A É B , Á ÚÁÔÅÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× A ∪ B , A ∩ B É B .
òÅÛÅÎÉÅ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ a = (1; 0; 1; 0; 1), Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÒÁ×ÅÎ b = (0; 0; 1; 1; 0). úÎÁÞÉÔ,
a ÉÌÉ b = (1; 0; 1; 0; 1) ÉÌÉ (0; 0; 1; 1; 0) = (1; 0; 1; 1; 1);
a É b = (1; 0; 1; 0; 1) É (0; 0; 1; 1; 0) = (0; 0; 1; 0; 0);
ÎÅ b = ÎÅ (0; 0; 1; 1; 0) = (1; 1; 0; 0; 1):
ðÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÎÁÍ €ÂÅÚ ÚÁÉÎËÉ ÒÏÞÉÔÁÔ؁
ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÔÒÅÂÕÅÍÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×: A ∪ B = {1; 3; 4; 5}, A ∩ B = {3}
É B = {1; 2; 5}.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3
3.1. (Á) ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×:
A = {x : x ∈ Z É 10 6 x 6 17};
B = {x : x ∈ Z É x2 < 24};
C = {x : x ∈ Z É 6x2 + x − 1 = 0};
D = {x : x ∈ R É 6x2 + x − 1 = 0}:
õËÁÚÁÎÉÅ: 6x2 + x − 1 = (3x − 1)(2x + 1):
(Â) ïÒÅÄÅÌÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ× ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á:
S = {2; 5; 8; 11; : : :};
T = {1;
1
3
;
1
7
;
1
15
; : : :}.
3.2. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ U = {p; q; r; s; t; u; v; w}. ðÕÓÔØ A = {p; q; r; s}, B =
= {r; t; v } É C = {p; s; t; u}. îÁÊÄÉÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ
ÍÎÏÖÅÓÔ×:
(Á) B ∩ C ;
(Â) A ∪ C ;
(Ä) (A ∪ B ) ∩ (A ∩ C );
(Ö) B \ C ;
(Ç) A ∩ B ∩ C ;
(Å) (A ∪ B );
(×) C ;
(Ú) B △ C .
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3
59
3.3. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÓÌÏ×ÁÒÑ ÒÕÓÓËÏÇÏ
ÑÚÙËÁ.
A = {x : x | ÓÌÏ×Ï, ÓÔÏÑÝÅÅ ÅÒÅÄ €ÓÏÂÁËÁ };
B = {x : x | ÓÌÏ×Ï, ÓÔÏÑÝÅÅ ÏÓÌÅ €ËÏÛËÁ};
C = {x : x | ÓÌÏ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ Ä×ÏÊÎÕÀ ÂÕË×Õ}.
÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÉÓÔÉÎÎÙ:
(Á) C ⊂ A ∪ B ;
(Â) €ÂÁÓÓÅÊ΁ ∈ B ∩ C ;
(×) €ÓÔÒÅÓӁ ∈ B △ C ;
(Ç) A ∩ B = ∅.
ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×:
(Ä) A ∩ B ∩ C ;
(Å) (A ∪ B ) ∩ C .
3.4. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ:
A = {3n : n ∈ Z É n > 4};
B = {2n : n ∈ Z};
C = {n : n ∈ Z É n2 6 100}.
(Á) éÓÏÌØÚÕÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ, ×ÙÒÁÚÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÅÒÅÚ A, B É C :
(i) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ;
(ii) {−10; −8; −6; −4; −2; 0; 2; 4; 6; 8; 10};
(iii) {6n : n ∈ Z É n > 2};
(iv) {−9; −7; −5; −3; −1; 1; 3; 5; 7; 9}.
(Â) úÁÉÛÉÔÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A \ B × ÒÅÄÉËÁÔÁÈ.
3.5. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÓÅÒÉÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÷ÅÎÎÁ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÈ ÚÁËÏÎ
ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ:
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ):
äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÚÁËÏÎ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ× ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
ÍÎÏÖÅÓÔ× A, B É C .
60
çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×
3.6. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÓÅÒÉÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÷ÅÎÎÁ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÈ ÓÌÅÄÕ-
ÀÝÅÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï:
A ∩ (B △ C ) = (A ∩ B ) △ (A ∩ C ):
ðÏËÁÖÉÔÅ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ (B △ C ) ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ (A ∪ B ) △ (A ∪ C ).
3.7. äÏËÁÖÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÚÁËÏÎÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ
ÔÏÖÄÅÓÔ×Á:
(Á) (A ∩ B ) ∪ B = A ∪ B ;
(Â) (A ∩ (B ∪ C )) = A ∪ B ∪ C ;
(×) (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅;
(Ç) (A \ B ) \ C = A \ (B ∪ C );
(Ä) A △ A △ A = A.
3.8. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÏÅÒÁ ÉÀ €∗ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ:
A ∗ B = (A ∩ B ):
éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÷ÅÎÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∗ B . ó ÏÍÏÝØÀ ÚÁËÏÎÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÄÏËÁÖÉÔÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á:
(Á) A ∗ A = A;
(Â) (A ∗ A) ∗ (B ∗ B ) = A ∪ B ;
(×) (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅;
(Ç) (A ∗ B ) ∗ (A ∗ B ) = A ∩ B .
3.9. (Á) ðÏËÁÖÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÷ÅÎÎÁ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, B É C ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ:
|A ∪ B ∪ C | =
=|A| + |B | + |C | − |A ∩ B | − |B ∩ C | − |A ∩ C | + |A ∩ B ∩ C |:
(Â) óÔÕÄÅÎÔÙ ÅÒ×ÏÇÏ ËÕÒÓÁ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÕ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ, ÍÏÇÕÔ ÏÓÅÝÁÔØ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÄÉÓ ÉÌÉÎÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÇÏÄÕ 25 ÉÚ ÎÉÈ ÒÅÄÏÞÌÉ ÉÚÕÞÁÔØ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ, 27 ×ÙÂÒÁÌÉ ÂÉÚÎÅÓ, Á 12 ÒÅÛÉÌÉ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÔÕÒÉÚÍÏÍ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÂÙÌÏ 20 ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÓÌÕÛÁÀÝÉÈ ËÕÒÓ
ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÉ É ÂÉÚÎÅÓÁ, ÑÔÅÒÏ ÉÚÕÞÁÌÉ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ É
ÔÕÒÉÚÍ, Á ÔÒÏÅ | ÔÕÒÉÚÍ É ÂÉÚÎÅÓ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÎÉËÔÏ
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
61
ÉÚ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÎÅ ÏÔ×ÁÖÉÌÓÑ ÏÓÅÝÁÔØ ÓÒÁÚÕ ÔÒÉ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ËÕÒÓÁ. óËÏÌØËÏ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÏÓÅÝÁÌÉ Ï ËÒÁÊÎÅÊ
ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ËÕÒÓ? óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÉÈ ÂÙÌÉ
Õ×ÌÅÞÅÎÙ ÔÏÌØËÏ ÔÕÒÉÚÍÏÍ?
3.10. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÎÅÕÓÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ A É B , ÅÓÌÉ ÉÍÅÅÔ
ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï A × B = B × A?
îÅÕÓÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, B É C ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ
A × B = A × C . óÌÅÄÕÅÔ ÌÉ ÏÔÓÀÄÁ, ÞÔÏ B = C ? ïÂßÑÓÎÉÔÅ
Ó×ÏÊ ÏÔ×ÅÔ.
3.11. ðÕÓÔØ A, B É C | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
(Á) A × (B ∩ C ) = (A × B ) ∩ (A × C );
(Â) (A ∪ B ) × C = (A × C ) ∪ (B × C ).
3.12. ðÏËÁÚÁÔÅÌØÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ P (A) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï,
ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A.
éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, P (A) = {C : C ⊂ A}.
(Á) îÁÊÄÉÔÅ P (A), ÅÓÌÉ A = {1; 2; 3}.
(Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ P (A) ∩ P (B ) = P (A ∩ B ) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B .
(×) ðÏËÁÖÉÔÅ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ, ÞÔÏ P (A) ∪ P (B ) ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó P (A ∪ B ).
3.13. ðÕÓÔØ U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} | ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ÷Ù-
ÉÛÉÔÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×:
A = {1; 2; 4; 5}
É
B = {3; 5}:
îÁÊÄÉÔÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× A ∪ B É
A △ B , ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ.
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
íÎÏÖÅÓÔ×Ï | ÜÔÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÏÂßÅËÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÅÇÏ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔÁÍÉ.
óÉÍ×ÏÌÏÍ ∅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, Á U | ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ.
N = {1; 2; 3; : : :} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
Z = {0; ±1; ±2; ±3; : : :} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ.
Q = { pq : p; q ÅÌÙÅ, q 6= 0} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
R = {×ÓÅ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
62
çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×
ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ S. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÔÁË: A ⊂ S .
ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÒÕÇÏÇÏ.
ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
A ∪ B = {x : x ∈ A ÉÌÉ x ∈ B }:
ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
A ∩ B = {x : x ∈ A É x ∈ B }:
äÏÏÌÎÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÄÏ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
A \ B = {x : x ∈ A É x 6∈ B }:
äÏÏÌÎÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A (ÄÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U ) ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
A = {x : x 6∈ A}:
óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔØÀ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
A △ B = {x : (x ∈ A É x 6∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ B É x 6∈ A)}:
éÚ ÌÀÂÏÇÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ,
ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ ∩ ÎÁ ∪, ∅ ÎÁ U É ÎÁÏÂÏÒÏÔ.
íÏÝÎÏÓÔØÀ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ |S |.
æÏÒÍÕÌÁ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ
|A ∪ B | = |A| + |B | − |A ∩ B |:
äÅËÁÒÔÏ×ÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Ï
A × B = {(a; b) : a ∈ A É b ∈ B }:
üÌÅÍÅÎÔÙ A × B ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÁÒÁÍÉ.
íÎÏÖÅÓÔ×Ï R × R ÉÌÉ R2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ.
âÉÔÏ×ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ (ÄÌÉÎÙ n) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B n ,
ÇÄÅ B = {0; 1}.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ
63
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ
üËÓÅÒÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏÚÄÁÅÔÓÑ Ó ÅÌØÀ ÏÄÍÅÎÉÔØ ÓÏÂÏÊ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× × ÄÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. üÔÏ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÎÁËÏÌÅÎÉÅÍ ÂÁÚÙ ÚÎÁÎÉÊ
ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÆÁËÔÏ× ×ÍÅÓÔÅ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÎÁÂÏÒÁ ÒÁ×ÉÌ ×Ù×ÏÄÁ .
÷ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÞÅÇÏ ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÚÁÒÏÓÙ ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×Ù×ÅÄÅÎÙ
ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÕÔÅÍ ÉÚ ÂÁÚÙ ÚÎÁÎÉÊ.
íÙ ÏÓÔÒÏÉÍ ÒÏÓÔÕÀ ÜËÓÅÒÔÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ €ËÏÒÏÌÅ×ÓËÁÑ ÄÉÎÁÓÔÉс ÄÌÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ×ÏÒÏÓÙ Ï ÁÎÇÌÉÊÓËÉÈ ËÏÒÏÌÑÈ É ËÏÒÏÌÅ×ÁÈ
É ÉÈ ÓÅÍØÑÈ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó çÅÏÒÇÁ I. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÍÙ ÏÄÇÏÔÏ×ÉÍ ÓÉÓÏË ÆÁËÔÏ×, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÒÅÄÉËÁÔÙ ÒÏÄÉÔÅÌØ É ÖÅÎÁ .
ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ I,
çÅÏÒÇ II)
ÖÅÎÁ (óÏÆÉÑ, çÅÏÒÇ I)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ III, çÅÏÒÇ IV)
ÖÅÎÁ (÷ÉÌØÇÅÌØÍÉÎÁ, çÅÏÒÇ II)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ III, ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV)
ÖÅÎÁ (ûÁÒÌÏÔÔÁ, çÅÏÒÇ III)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ III, üÄ×ÁÒÄ)
ÖÅÎÁ (ëÁÒÏÌÉÎÁ, çÅÏÒÇ IV)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (üÄ×ÁÒÄ, ÷ÉËÔÏÒÉÑ)
ÖÅÎÁ (áÄÅÌÁÉÄÁ, ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (÷ÉËÔÏÒÉÑ, üÄ×ÁÒÄ VII)
ÖÅÎÁ (÷ÉËÔÏÒÉÑ, áÌØÂÅÒÔ)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (üÄ×ÁÒÄ VII, çÅÏÒÇ V)
ÖÅÎÁ (áÌÅËÓÁÎÄÒÁ, üÄ×ÁÒÄ VII)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ V, üÄ×ÁÒÄ VIII)
ÖÅÎÁ (÷ÉËÔÏÒÉÑ íÁÒÉ, çÅÏÒÇ V)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ V, çÅÏÒÇ VI)
ÖÅÎÁ (åÌÉÚÁ×ÅÔÁ, çÅÏÒÇ VI)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ VI, åÌÉÚÁ×ÅÔÁ II)
ÖÅÎÁ (åÌÉÚÁ×ÅÔÁ II, æÉÌÌÉ)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (÷ÉËÔÏÒÉÑ, üÌÉÓ)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (üÌÉÓ, ÷ÉËÔÏÒÉÑ áÌØÂÅÒÔÁ)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (÷ÉËÔÏÒÉÑ áÌØÂÅÒÔÁ, üÌÉÓ{íÏÕÎÔÂÁÔÔÅÎ)
ÒÏÄÉÔÅÌØ (üÌÉÓ{íÏÕÎÔÂÁÔÔÅÎ, æÉÌÉ)
õÓÌÏ×ÉÍÓÑ, ÞÔÏ ÒÏÄÉÔÅÌØ (x; y ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÄÉÔÅÌÅÍ y , Á ÖÅÎÁ (x; y ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ x | ÖÅÎÁ y . üÔÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ
ÞÔÅÎÉÅ ÒÅÄÉËÁÔÏ×, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÈ ÑÚÙËÁÍÉ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÔÁËÉÍÉ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, PROLOG.
þÔÏÂÙ ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÓÔÁ×ÉÔØ ×ÏÒÏÓÙ ÅÒÅÄ
ÂÁÚÏÊ ÄÁÎÎÙÈ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÓÒÁÛÉ×ÁÅÍ: €Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ çÅÏÒÇ I
ÏÔ ÏÍ çÅÏÒÇÁ III?, ÔÏ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÄÉËÁÔ ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ I, çÅÏÒÇ 3) ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ × ÎÁÛÅÍ ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ×.
úÁÒÏÓÙ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ: €? | ÒÅÄÉËÁԁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÁÌÉÞÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ × ÒÅÄÉËÁÔÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ×ÏÒÏÓÕ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÚÁÒÏÓ €? | ÖÅÎÁ (x, çÅÏÒÇ IV)
ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÁË €ÂÙÌÁ ÌÉ ÖÅÎÁ Õ çÅÏÒÇÁ IV?. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÔ×ÅÔ
ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ÔÁË ËÁË, ÚÁÍÅÎÑÑ x ÎÁ €ëÁÒÏÌÉÎÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ, ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ × ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ×.
64
çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×
úÁÄÁÞÁ 1. îÁÊÄÉÔÅ ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁÒÏÓÙ:
(Á) ? | ÖÅÎÁ (åÌÉÚÁ×ÅÔÁ II, æÉÌÉ);
(Â) ? | ÒÏÄÉÔÅÌØ (óÏÆÉÑ, çÅÏÒÇ II);
(×) ? | ÖÅÎÝÉÎÁ (ëÁÒÏÌÉÎÁ);
(Ç) ? | ÖÅÎÁ (æÉÌÉ, åÌÉÚÁ×ÅÔÁ II).
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ×ÙÄÁÎ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÅÒ×ÙÊ
ÚÁÒÏÓ, ÔÁË ËÁË ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÎÅÇÏ × ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ× ÅÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÒÅÄÉËÁÔ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓ ÄÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÓÉÓÏË ÆÁËÔÏ× ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÉÚ
ÚÁÒÏÓÁ.
þÔÏÂÙ ÓÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ ÍÏÇÌÁ ÒÅÛÁÔØ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ. ðÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ
ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÎÏ×ÙÊ ÒÅÄÉËÁÔ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÅÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ
× ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ×. ïÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÚÁÒÏÓÙ Ï ÎÏ×ÙÈ ÒÅÄÉËÁÔÁÈ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ×Ù×ÅÄÅÎÙ ÉÚ ÓÉÓËÁ ÆÁËÔÏ×, ÇÅÎÅÒÉÒÕÑ,
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÏ×ÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ.
÷ ÓÉÓÔÅÍÅ €ËÏÒÏÌÅ×ÓËÁÑ ÄÉÎÁÓÔÉс ËÁÖÅÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ, ÞÔÏ
ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ x, ÏÁ×ÛÁÑ × ÖÅÎÁ (x; y ), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÖÅÎÝÉÎÅ. ÷ ÒÁ×ÉÌÅ (1) ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÒÅÄÉËÁÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ ÏÚÎÁÞÁÔØ, ÞÔÏ
€ÅÓÌÉ x | ÖÅÎÁ y , ÔÏ x | ÖÅÎÝÉÎÁ.
(1) ÖÅÎÝÉÎÁ (x) from ÖÅÎÁ (x; y ).
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ××ÅÄÅÍ ÒÁ×ÉÌÏ (2), ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÅÅ ÒÅÄÉËÁÔ ÍÕÖ .
ïÎ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ €ÅÓÌÉ x | ÖÅÎÁ y , ÔÏ y | ÍÕÖ x.
(2) ÍÕÖ (y; x) from ÖÅÎÁ (x; y ).
úÁÄÁÞÁ 2. ëÁË ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÚÁÒÏÓÙ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 1? ïÔ×ÅÔØÔÅ
ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÒÏÓÙ:
(Ä) ? | ÖÅÎÝÉÎÁ (üÌÉÓ{íÏÕÎÔÂÁÔÔÅÎ);
(Å) ? | ÍÕÖ (áÌØÂÅÒÔ, ÷ÉËÔÏÒÉÑ);
(Ö) ? | ÍÕÖÞÉÎÁ (áÌØÂÅÒÔ).
òÅÛÅÎÉÅ. ÅÅÒØ ÎÁ ÚÁÒÏÓ (×) ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 1 ÂÕÄÅÔ ÄÁÎ ÏÌÏÖÉÔÅÌØ-
ÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÁ×ÉÌÕ (1), ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÍÕ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÍÕ ÆÁËÔÕ:
ÖÅÎÁ (ëÁÒÏÌÉÎÁ, çÅÏÒÇ IV).
îÁ ÚÁÒÏÓ (Ä) ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ, ÔÁË ËÁË üÌÉÓ{íÏÕÎÔÂÁÔÔÅÎ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÓÉÓËÅ ÎÅ ÕÏÍÑÎÕÔÁ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÞØÅÊ-ÌÉÂÏ ÖÅÎÙ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ
65
ïÔ×ÅÔ × ÓÌÕÞÁÅ (Å) | ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ××ÉÄÕ ÎÁÌÉÞÉÑ × ÓÉÓËÅ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÖÅÎÁ (÷ÉËÔÏÒÉÑ, áÌØÂÅÒÔ) É ÒÁ×ÉÌÁ (2).
ïÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ÄÁÎ ÎÁ ÚÁÒÏÓ (Ö), ÔÁË ËÁË ÒÅÄÉËÁÔ
ÍÕÖÞÉÎÁ ÏËÁ ÅÝÅ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎ.
ðÏÄÈÏÄÑÝÅÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ, ÄÁÀÝÅÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔÉ Ë ÍÕÖÓËÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Á, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÁ×ÉÌÕ (1):
(3) ÍÕÖÞÉÎÁ (y ) from ÖÅÎÁ (x; y )
íÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÒÁ×ÉÌÏ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ
Ï ÓÙÎÏ×ØÑÈ:
(3) ÓÙÎ (x; y ) from (ÍÕÖÞÉÎÁ (x) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (y; x))
úÁÄÁÞÁ 3. ïÔ×ÅÔØÔÅ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁÒÏÓÙ:
(Á) ? | ÍÕÖÞÉÎÁ (÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV);
(Â) ? | ÓÙÎ (÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV, çÅÏÒÇ III);
(×) ? | ÓÙÎ (÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV, ûÁÒÌÏÔÔÁ);
(Ç) ? | ÓÙÎ (üÄ×ÁÒÄ VIII, çÅÏÒÇ V).
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÖÅÎÁ (áÄÅÌÁÉÄÁ,
÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV) Ï ÒÁ×ÉÌÕ (3).
(Â) ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ III,
÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV) ××ÉÄÕ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ÚÁÒÏÓ (Á) É
ÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ (4).
ïÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á ÚÁÒÏÓÁ | ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ.
ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÏÔ×ÅÔÁÈ ÎÁ (×) É (Ç) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ
Ô×ÅÒÄÏ ÒÉÄÅÒÖÉ×ÁÔØÓÑ ÆÁËÔÏ× É ÒÁ×ÉÌ ×Ù×ÏÄÁ, ××ÉÄÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ, ÎÁÌÏÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÓÉÓÔÅÍÕ. ÏÌØËÏ ÍÏÎÁÒÈÉ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÒÏÄÉÔÅÌÑÍÉ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÉÈ ÓÕÒÕÇÉ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÒÅÄÉËÁÔÅ
ÖÅÎÁ . ÁË, ÈÏÔÑ ûÁÒÌÏÔÔÁ ÂÙÌÁ ÚÁÍÕÖÅÍ ÚÁ çÅÏÒÇÏÍ III, É ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV | ÏÄÉÎ ÉÚ ÉÈ ÓÙÎÏ×ÅÊ, ÂÁÚÁ ÄÁÎÎÙÈ ÓÞÉÔÁÅÔ ÅÇÏ ÒÏÄÉÔÅÌÅÍ ÔÏÌØËÏ çÅÏÒÇÁ III. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ (4) ÎÅ ÍÏÖÅÔ
ÄÁÔØ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓ (×). ðÒÉÞÉÎÁ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ
ÏÔ×ÅÔÁ × ÓÌÕÞÁÅ (Ç) ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÓÉÓËÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÖÅÎÁ Õ üÄ×ÁÒÄÁ VIII. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÏ (3) ÄÁÅÔ ÏÔ×ÅÔ €îÅԁ ÎÁ ÚÁÒÏÓ
€? | ÍÕÖÞÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII).
66
çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×
ëÁË ÍÙ Õ×ÉÄÅÌÉ, × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÌÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊÓÑ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÄÁÎÎÙÈ, ËÁË ÜÔÏ ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ × ÒÅÁÌØÎÙÈ ÜËÓÅÒÔÎÙÈ
ÓÉÓÔÅÍÁÈ, ÔÏ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓ ÍÏÖÅÔ ÏÚÎÁÞÁÔØ, ÞÔÏ
ÎÁÍ ÒÏÓÔÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. äÏÌÖÎÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ Ë ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ
ÒÁ×ÉÌ ×Ù×ÏÄÁ É ×ÙÂÏÒÕ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ× ÂÁÚÙ ÄÁÎÎÙÈ ÍÏÖÅÔ
ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÜÔÕ ÒÏÂÌÅÍÕ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÒÉ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÏÔ×ÅÔÏ× ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏ×ÅÒÑÔØ É ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ × ÒÅÄÉËÁÔÁÈ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÏÅÒÁ ÉÑ ÎÅ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ, ÒÁÚÕÍÎÙÅ ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ
ÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ (A) É (B ):
(A) ÍÕÖÞÉÎÁ (x) from ÖÅÎÁ (x; y );
(B ) ÖÅÎÝÉÎÁ (x) from (ÎÅ ÍÕÖÞÉÎÁ (x)).
ðÏÒÏÂÕÅÍ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ÚÁÒÏÓ: €? | ÖÅÎÝÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII), ÏÓÎÏ×Ù×ÁÑÓØ ÎÁ ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ×, ÎÏ ÏÌØÚÕÑÓØ ÔÏÌØËÏ ÒÁ×ÉÌÁÍÉ (A) É (B ). îÁ ÚÁÒÏÓ €? | ÖÅÎÝÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII) ÂÕÄÅÔ ÏÌÕÞÅÎ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ €ÎÅ ÖÅÎÝÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII) ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ×Ù×ÅÄÅÎÎÙÍ ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÆÁËÔÏÍ. ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ (B ) ÎÁ ÚÁÒÏÓ €? | ÖÅÎÝÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII) ÂÕÄÅÔ ÄÁÎ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ! óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÒÁÚÒÅÛÁÔØ ÕÏÔÒÅÂÌÅÎÉÅ ÏÔÒÉ ÁÎÉÊ × ÒÁ×ÉÌÁÈ ×Ù×ÏÄÁ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÏÌÎÏÔÅ
ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ.
úÁÄÁÞÁ 4. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ ÄÌÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÍÁÔÅÒÑÈ ÉÚ ÜËÓÅÒÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ €ËÏÒÏÌÅ×ÓËÁÑ ÄÉÎÁÓÔÉс. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÍÁÔØ (x) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÚÁÒÏÓ ×ÙÄÁ×ÁÌÓÑ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ x |
ÖÅÎÁ ÞØÅÇÏ-ÔÏ ÒÏÄÉÔÅÌÑ ÉÌÉ x | ÖÅÎÝÉÎÁ É ÞÅÊ-ÔÏ ÒÏÄÉÔÅÌØ. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÎÏ×ÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó ÒÁ×ÉÌÏÍ (1) Ë ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÂÁÚÅ
ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÁÔÅÒÅÊ.
õÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÉÔÅÌØÎÙÍ ÌÉ ÏÌÕÞÉÌÏÓØ ÎÏ×ÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ?
òÅÛÅÎÉÅ. ÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÔÁË:
ÍÁÔØ (x) from ([ÖÅÎÁ (x; y ) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (z; y )℄ ÉÌÉ
ÉÌÉ [ÖÅÎÝÉÎÁ (x) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (x; y )℄).
þÁÓÔØ [ÖÅÎÁ (x; y ) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (z; y )℄ ÎÁÛÅÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔ ËÁË
€ÍÁÔ؁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ËÏÒÏÌÅ×: áÌÅËÓÁÎÄÒÁ, ûÁÒÌÏÔÔÁ, åÌÉÚÁ×ÅÔÁ, óÏÆÉÑ É ÷ÉËÔÏÒÉÑ íÁÒÉ. ÷ÔÏÒÁÑ ÞÁÓÔØ [ÖÅÎÝÉÎÁ (x) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (x; y )℄
×ÙÑ×ÉÔ ÷ÉËÔÏÒÉÀ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ
67
ïÄÎÁËÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ ÎÁÊÄÅÔ ÎÅ ×ÓÅÈ ÍÁÔÅÒÅÊ, ÏÓËÏÌØËÕ ÂÁÚÁ ÄÁÎÎÙÈ ÎÅÏÌÎÁ. ÷ ÎÅÊ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÅ ÚÁÉÓÁÎÙ
ÄÅÔÉ åÄÉÚÁ×ÅÔÙ II.
ðÅÒ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÉÌÁ ÂÕÄÅÔ ÓÞÉÔÁÔØ ÍÁÔÅÒÑÍÉ É ÍÁÞÅÈ. ëÒÏÍÅ
ÔÏÇÏ, ÒÏÂÌÅÍÁ ÂÕÄÅÔ ×ÏÚÎÉËÁÔØ É ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Õ ÍÏÎÁÒÈÁ ÂÙÌÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÖÅÎ. üÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ÒÉ ÏÙÔËÅ
ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØ ÒÅÁÌØÎÙÊ ÍÉÒ ÒÁÍËÁÍÉ ÒÏÓÔÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÏÄÅÌÉ.
çìá÷á 4
ïîïûåîéñ
ëÏÇÄÁ ÇÏ×ÏÒÑÔ Ï ÒÏÄÓÔ×Å Ä×ÕÈ ÞÅÌÏ×ÅË, èÏÒÁÓÁ É áÎÎÙ, ÔÏ ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÎÅËÁÑ ÓÅÍØÑ, Ë ÞÌÅÎÁÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎÉ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ.
õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ÁÒÁ (èÏÒÁÓ, áÎÎÁ) ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÌÀÄÅÊ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÍÅÖÄÕ èÏÒÁÓÏÍ É áÎÎÏÊ ÅÓÔØ ÎÅËÏÅ
ÒÏÄÓÔ×Ï (ËÕÚÉÎÁ, ÏÔÅ , É Ô. Ä. ). ÷ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A × B Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B
ÔÏÖÅ ×ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÁÒÙ × Ó×ÑÚÉ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÍÅÖÄÕ ÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ €ÒÏÄÓÔ×ÅÎÎÙŁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÔ
Õ ÄÒÕÇÉÈ.
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ËÁËÏÇÏÎÉÂÕÄØ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁ É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï K ÞÉÔÁÅÍÙÈ ÔÁÍ ËÕÒÓÏ×. ÷ ÒÑÍÏÍ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ S × K ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÂÏÌØÛÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ (s; k ), ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: ÓÔÕÄÅÎÔ s ÓÌÕÛÁÅÔ
ËÕÒÓ k . ðÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÔÒÁÖÁÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ €... ÓÌÕÛÁÅÔ ..., ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× É
ËÕÒÓÏ×.
äÌÑ ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ ÌÀÂÙÈ Ó×ÑÚÅÊ ÍÅÖÄÕ
ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ ÂÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÒÁÓÓËÁÖÅÍ Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÕÔÑÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ É ÏÂÓÕÄÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×Á. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÉÚÕÞÉÍ Ä×Á ×ÁÖÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÔÉÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ: ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. ïÎÉ ÞÁÓÔÏ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ËÁË × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÔÁË É × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÚÁÄÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÔÁÂÌÉ ÄÁÎÎÙÈ. ÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ
Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÔÁËÉÅ n-ÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ
ÒÏÓÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ .
4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
âÉÎÁÒÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A × B . ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ
A = B , ÍÙ ÇÏ×ÏÒÉÍ ÒÏÓÔÏ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ R ÎÁ A.
ðÒÉÍÅÒ 4.1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÅÎÅÁÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÄÒÅ×Ï, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ
ÒÉÓ. 4.1. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÅÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å P ÞÌÅÎÏ× ÜÔÏÊ ÓÅÍØÉ:
4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
69
(Á) R = {(x; y ) : x | ÄÅÄÕÛËÁ y };
(Â) S = {(x; y ) : x | ÓÅÓÔÒÁ y }.
æÒÅÄ & íÁ×ÉÓ
äÖÏÎ & íÁÒÉ
üÌÉÓ
ëÅÎ & óØÀ
äÖÅÊÎ
æÉÏÎÁ
íÁÊË
ðÅÎÎÉ
áÌÁÎ
òÉÓÕÎÏË 4.1.
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ: (æÒÅÄ, äÖÅÊÎ), (æÒÅÄ, æÉÏÎÁ), (æÒÅÄ, áÌÁÎ), (äÖÏÎ, äÖÅÊÎ), (äÖÏÎ, æÉÏÎÁ) É (äÖÏÎ,
áÌÁÎ).
(Â) S ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ: (óØÀ, ðÅÎÎÉ), (ðÅÎÎÉ, óØÀ), (äÖÅÊÎ, æÉÏÎÁ), (æÉÏÎÁ, äÖÅÊÎ), (áÌÉÓ, ëÅÎ), (óØÀ, íÁÊË), (ðÅÎÎÉ, íÁÊË),
(äÖÅÊÎ, áÌÁÎ) É (æÉÏÎÁ, áÌÁÎ).
ðÒÉÍÅÒ 4.2. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÂÉÎÁÒÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ A = {1; 3; 5; 7} É
B = {2; 4; 6}:
(Á) U = {(x; y ) : x + y = 9};
(Â) V = {(x; y ) : x < y }.
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) U ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ: (3; 6), (5; 4) É (7; 2);
(Â) V = {(1; 2); (1; 4); (1; 6); (3; 4); (3; 6); (5; 6)}.
ðÒÉÍÅÒ 4.3. íÎÏÖÅÓÔ×Ï
R = {(x; y ) : x | ÄÅÌÉÔÅÌØ y }
ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. îÁÊÄÉÔÅ
×ÓÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÅÍÕ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ.
70
çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
òÅÛÅÎÉÅ. R ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ: (1; 1), (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5),
(1; 6), (2; 2), (2; 4), (2; 6), (3; 3), (3; 6), (4; 4), (5; 5) É (6; 6).
ÅÅÒØ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó Ä×ÕÍÑ ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÄÁÎÎÏÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ. ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÏÎÑÔÉÉ €ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁƁ,
Á ×ÔÏÒÏÊ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÍÁÔÒÉ Ù.
ðÕÓÔØ A É B | Ä×Á ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É R | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. íÙ ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÔÏÞËÁÍÉ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R
ÎÁÒÉÓÕÅÍ ÓÔÒÅÌËÕ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÕÀ ÔÏÞËÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÁÒÙ. ÁËÏÊ ÏÂßÅËÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÇÒÁÆÏÍ ÉÌÉ
ÏÒÇÒÁÆÏÍ , ÔÏÞËÉ ÖÅ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÒÉÎÑÔÏ
ÎÁÚÙ×ÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ.
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ V ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A = {1; 3; 5; 7} É B = {2; 4; 6} ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.2 (Â). óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÏËÁÚÁÎ ÎÁ ÒÉÓ. 4.2.
1
2
3
4
5
6
7
òÉÓÕÎÏË 4.2. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ
V
ÍÅÖÄÕ
A
É
B
äÌÑ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÍÙ ÞÅÒÔÉÍ ÏÒÇÒÁÆ, ÞØÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÎÏÍÕ ÌÉÛØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ
A, Á ÓÔÒÅÌËÉ, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ,
ÎÁÈÏÄÑÝÉÈÓÑ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ.
ðÒÉÍÅÒ 4.4. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÇÒÁÆ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÉÚ
ÒÉÍÅÒÁ 4.3.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6};
ÔÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÛÅÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ. ïÎ ÒÉ×ÅÄÅÎ
ÎÁ ÒÉÓ. 4.3.
4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
òÉÓÕÎÏË 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ
R
ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
71
A
÷ÔÏÒÏÊ ÓÏÓÏ ÚÁÄÁÎÉÑ ÂÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÔÁÂÌÉ . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ
ÈÏÔÉÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A
É B . îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× É ×ÙÉÓÁÔØ ÉÈ ×
ËÁËÏÍ-ÎÉÂÕÄØ ÏÒÑÄËÅ. óÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ ÔÁË:
A = {a1 ; a2 ; : : : ; an };
B = {b1 ; b2 ; : : : ; bm }:
äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÚÁÏÌÎÉÍ ÔÁÂÌÉ Õ M Ó n ÓÔÒÏËÁÍÉ
É m ÓÔÏÌ ÁÍÉ. óÔÒÏËÉ €ÅÒÅÎÕÍÅÒÕǺ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A,
Á ÓÔÏÌ ٠| ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÒÑÄËÏÍ,
× ËÏÔÏÒÏÍ ÍÙ ×ÙÉÓÁÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. ñÞÅÊËÕ ÔÁÂÌÉ Ù, ÓÔÏÑÝÕÀ ÎÁ
ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÔÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ
M (i; j ), Á ÚÁÏÌÎÑÔØ ÅÅ ÂÕÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
M (i; j ) = é; ÅÓÌÉ (ai ; bj ) ∈ R;
M (i; j ) = ì; ÅÓÌÉ (ai ; bj ) 6∈ R;
ÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÔÁÂÌÉ Ù ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ n × m ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ .
÷ ÜÔÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ U ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.2(Á) Ó ÏÍÏÝØÀ
ÍÁÔÒÉ Ù ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
2
4
1
ì
3 
 ì
5  ì
7
é
ì
ì
é
ì

6

ì
é 
:
ì 
ì
72
çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
þÔÏÂÙ ÌÕÞÛÅ ÏÎÑÔØ ÔÁËÏÊ ÓÏÓÏ ÚÁÄÁÎÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÍÙ Ñ×ÎÏ ÏÍÅÔÉÌÉ ÓÔÏÌÂ Ù É ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÏ ÄÅÌÁÔØ ÎÅ
ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ.
ðÒÉÍÅÒ 4.5. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {a; b; ; d} ÚÁÄÁÅÔÓÑ
ÍÁÔÒÉ ÅÊ:

ì
 ì

 ì
é
é
ì
é
é

é
é
ì
ì
ì
é 
;
ì 
é
ÏÒÑÄÏË ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï× × ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÒÑÄËÕ ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. îÁÚÏ×ÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ,
ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ R.
òÅÛÅÎÉÅ. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ: (a; b),
(a; ), (b; ), (b; d), ( ; b), (d; a), (d; b) É (d; d).
ðÒÉÍÅÒ 4.6. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R
ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.3.
òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
1
2
3
4
5
6








1
2
3
4
5
6
é
ì
ì
ì
ì
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
é
ì
é
ì
ì
ì
é
é
ì
é
ì
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
é
é
é
ì
ì
é




:



åÓÌÉ R | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÔÏ ×ÍÅÓÔÏ ÚÁÉÓÉ (x; y ) ∈ R ÍÏÖÎÏ ÕÏÔÒÅÂÌÑÔØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ x R y . îÁÒÉÍÅÒ, ÒÅÄÉËÁÔ €x | ÓÅÓÔÒÁ
y  ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. ÷ ÒÉÍÅÒÅ 4.3
ÒÅÄÉËÁÔ €x | ÄÅÌÉÔÅÌØ y  ÄÁÅÔ ÑÓÎÏÅ ÓÌÏ×ÅÓÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÅÝÅ ÏÄÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.
ðÏÄ×ÏÄÑ ÉÔÏÇ ××ÏÄÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÏÌÅÚÎÏ ÎÁÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÏ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÏÓÏÂÏ×:
• ÓÌÏ×ÁÍÉ (Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×);
• ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ;
• ËÁË ÏÒÇÒÁÆ;
• ËÁË ÍÁÔÒÉ Á.
4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ
73
ðÒÉÍÅÒ 4.7. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 4} ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÇÒÁÆÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 4.7.
ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ
ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ
R, ×ÙÉÛÉÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ
ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ó ÏÍÏÝØÀ
ÒÅÄÉËÁÔÏ×.
òÉÓÕÎÏË 4.3.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ R = {(2; 1); (3; 2); (4; 3)}.
íÁÔÒÉ Á (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÎÎÏÇÏ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÏÒÑÄËÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
1
2
3
1
ì
2 
é

3  ì
4
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
ì
é

4

ì
ì 
:
ì 
ì
ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ× ÄÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÉÓÁÎÏ ËÁË
x − y = 1:
4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ
ïÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅÍ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å É ××ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÂÏÒ ÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×.
çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A
ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ A x R x;
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ , ÅÓÌÉ x R y ⇒ y R x ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÙ x É y ÉÚ A;
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ , ÅÓÌÉ (x R y É y R x ⇒ x = y ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ x É y ÉÚ A;
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ , ÅÓÌÉ (x R y É y R z ⇒ x R z ) ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÒÏÊËÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x; y; z ∈ A.
÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÜÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÅÓÌÉ (x; x) ∈ R ÄÌÑ
ÌÀÂÏÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x; ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÉÚ
×ËÌÀÞÅÎÉÑ (x; y ) ∈ R ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ (y; x) ∈ R; ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ
ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ: (x; y ) ∈ R É x 6= y ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ (y; x) 6∈ R; ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÅÓÌÉ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (x; y ) ∈ R É (y; z ) ∈ R ×ÌÅËÕÔ (x; z ) ∈ R.
74
çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
õ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÅÇÏ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÓÎÁÂÖÅÎÁ ÅÔÌÅÊ, Ô. Å. ÓÔÒÅÌËÏÊ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÅÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÅÊÓÑ × ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ×ÅÒÛÉÎÅ. ïÒÇÒÁÆ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÅÌËÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ x ×
×ÅÒÛÉÎÕ y ÉÍÅÅÔ ÓÔÒÅÌËÕ, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÕÀ × ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ: ÉÚ y
× x. åÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÔÏ ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÓÔÒÅÌËÉ ÉÚ
×ÅÒÛÉÎÙ x × ÎÅÓÏ×ÁÄÁÀÝÕÀ Ó ÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎÕ y , ÓÔÒÅÌËÁ ÉÚ y × x ÂÕÄÅÔ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÔØ. é, ÎÁËÏÎÅ , ÏÒÇÒÁÆ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÇÏ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÕÓÔÒÏÅÎ ÔÁË, ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ ÓÔÒÅÌËÁÍÉ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ x × y
É ÉÚ y × z Õ ÎÅÇÏ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÅÌËÁ É ÉÚ x × z .
ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÁÔÒÉ , ÚÁÄÁÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÂÕÄÅÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÊ, Ô. Å. ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÅ ÓÔÒÏË ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ
ÓÔÏÌ Ï×. ÁË ×ÏÔ, ÍÁÔÒÉ Á M , ÚÁÄÁÀÝÁÑ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ,
ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÔÅÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÓÔÏÑÝÉÊ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ (M (i; i)), ÒÁ×ÅÎ é; ÍÁÔÒÉ Á M ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ, Ô. Å. M (i; j ) = M (j; i); × ÍÁÔÒÉ Å ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ:
M (i; j ) = é É i 6= j ⇒ M (j; i) = ì:
ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÏÔÌÉÞÉÔÅÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÍÁÔÒÉ Ù ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÔÒÕÄÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÞÅÔËÏ É ÎÁÇÌÑÄÎÏ.
ðÒÉÍÅÒ 4.8. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ (ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ, ÓÉÍ-
ÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ, ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ) ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ:
(Á) €x ÄÅÌÉÔ y  ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ;
(Â) €x 6= y  ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ;
(×) €ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ y  ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ
ÌÀÄÅÊ.
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) ðÏÓËÏÌØËÕ x ×ÓÅÇÄÁ ÄÅÌÉÔ ÓÁÍ ÓÅÂÑ, ÔÏ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ. ïÎÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 2
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ 6, ÎÏ ÎÅ ÎÁÏÂÏÒÏÔ: 6 ÎÅ ÄÅÌÉÔ 2. ðÒÏ×ÅÒÉÍ,
ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÅÌÉÍÏÓÔÉ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x
ÄÅÌÉÔ y , Á y × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÄÅÌÉÔ z . ÏÇÄÁ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ y = mx ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ
4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ
75
ÞÉÓÌÁ m, Á ÉÚ ×ÔÏÒÏÇÏ | z = ny , ÇÄÅ n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, z = ny = (nm)x, Ô. Å. x ÄÅÌÉÔ z . úÎÁÞÉÔ,
ÄÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. îÁËÏÎÅ , ÎÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ: x ÄÅÌÉÔ y É y
ÄÅÌÉÔ x ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ y = x.
(Â) ÁË ËÁË ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ €x 6= x ÌÏÖÎÏ, ÔÏ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ. ïÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ x 6= y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ y 6= x. îÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÔÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, 2 6= 3 É 3 6= 2, ÎÏ, ÔÅÍ ÎÅ
ÍÅÎÅÅ, 2 = 2. îÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ
ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ x 6= y É y 6= x ÎÅÌØÚÑ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÞÔÏ x = y .
(×) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÎËÔÁ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÔÁË ËÁË ×ÏÚÒÁÓÔ ÌÀÂÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÒÏÖÉÔÙÈ ÉÍ ÌÅÔ.
ïÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ €ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ x
ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ y  ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ €ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ y ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ x. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÔÁË ËÁË, ÅÓÌÉ ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÁËÉÅ ÔÒÉ ÞÅÌÏ×ÅËÁ x, y É z ,
ÞÔÏ €ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ y , Á €ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï
ÌÅÔ y ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ z , ÔÏ ×ÓÅ ÔÒÏÅ ÂÕÄÕÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁ. ÁË ËÁË ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÍÎÏÇÏ ÒÏ×ÅÓÎÉËÏ×, ÔÏ
ÄÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ.
åÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÅÍ ÉÌÉ ÉÎÙÍ
Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÔÏ ÅÇÏ ÓÔÏÉÔ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÄÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R∗ ,
ËÏÔÏÒÏÅ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÕÖÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï. ðÏÄ €ÒÏÄÏÌÖÅÎÉǺ ÍÙ ÏÎÉÍÁÅÍ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ Ë ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ R ⊂ A × A ÔÁË, ÞÔÏ ÎÏ×ÏÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R∗ ÕÖÅ ÂÕÄÅÔ
ÏÂÌÁÄÁÔØ ÔÒÅÂÕÅÍÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R
ÂÕÄÅÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ × R∗ . ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ×ÎÏ×Ø ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R∗ ÂÕÄÅÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ R Ó ×ÙÄÅÌÅÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ R∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ R
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÎÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á.
âÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÏ, R∗ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á P , ÅÓÌÉ
1. R∗ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P ;
2. R ⊂ R∗ ;
3. R∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ R É ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P .
76
çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
ðÒÉÍÅÒ 4.9. ðÕÓÔØ A = {1; 2; 3}, Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ A ÚÁÄÁÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÁÒÁÍÉ:
R = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3)}:
ïÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÎÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. îÁÊÄÉÔÅ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ.
úÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ×ÓÅ ÁÒÙ ×ÉÄÁ (x; x). ðÏÜÔÏÍÕ, ÉÓËÏÍÏÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÉÍÅÅÔ
×ÉÄ:
òÅÛÅÎÉÅ.
R∗ = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (2; 2); (3; 3)};
ÇÄÅ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÁÒÙ ÏÔÄÅÌÅÎÙ ÏÔ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÔÏÞËÏÊ Ó ÚÁÑÔÏÊ.
úÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ×ÓÅ
ÁÒÙ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÉÓÈÏÄÎÙÍ. úÎÁÞÉÔ,
R∗ = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (2; 1); (3; 2)}:
þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÛÁÇÏ×. ÁË ËÁË R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÁÒÙ (3; 1)
É (1; 2), ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÂÑÚÁÎÏ ×ËÌÀÞÁÔØ × ÓÅÂÑ É ÁÒÕ (3; 2). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÁÒÙ (2; 3) É (3; 1) ÄÏÂÁ×ÌÑÀÔ ÁÒÕ (2; 1), Á ÁÒÙ (3; 1) É
(1; 3) | ÁÒÕ (3; 3). äÏÂÁ×ÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÜÔÉ ÁÒÙ:
R∗ ⊃ {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (3; 2); (2; 1); (3; 3)}:
ÅÅÒØ Õ ÎÁÓ ×ÏÚÎÉËÌÏ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ (2; 1) É (1; 2). óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÚÁÍÙËÁÎÉÅ R∗ ÄÏÌÖÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÁÒÕ (2; 2). ÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ
×ÓÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÁÒÙ ÍÙ ÄÏÂÁ×ÉÌÉ (ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÅÒÅÂÒÁÌÉ
×ÓÅ ÁÒÙ ÉÚ A2 ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
R∗ = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (3; 2); (2; 1); (3; 3); (2; 2)}:
íÅÔÏÄ, ËÏÔÏÒÙÍ ÍÙ ÎÁÛÌÉ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ × ÒÉÍÅÒÅ 4.9, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÅ ÉÆÉÞÅÎ. ÷ ÇÌÁ×Å 8 ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÂÏÌÅÅ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÏÄÈÏÄ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ Ï ÍÁÔÒÉ Å
ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ.
úÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÍÁÓÓÕ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ. äÏÕÓÔÉÍ, ÎÁÍ ÄÁÎ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, ÏÔÒÁÖÁÀÝÉÊ ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÕÀ ÓÅÔØ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÁÔÒÉ Á ÚÁÍÙËÁÎÉÑ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ
ÏÚ×ÏÌÉÔ ÎÁÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÅÒÅÒÁ×ÉÔØ
ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÍÅÓÔÁ × ÄÒÕÇÏÅ.
4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ
77
4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ
É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ
÷ ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÉÍÓÑ ÎÁ Ä×ÕÈ ×ÁÖÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ
ÔÉÁÈ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ.
òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ . ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÏÎÑÔÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ (Ô. Å. ÎÁÈÏÄÑÝÉÅÓÑ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ), ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÂÌÁÄÁÀÔ ËÁËÉÍÉ-ÔÏ ÏÂÝÉÍÉ ÒÉÚÎÁËÁÍÉ.
ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÉÍÅÒÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ.
• ïÔÎÏÛÅÎÉÅ €... ÉÍÅÅÔ ÔÅ ÖÅ ÕÇÌÙ, ÞÔÏ É ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ
ÏÄÏÂÎÙ.
• ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: x R y , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ
xy > 0 ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÉÍÅÀÔ
ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÚÎÁË.
• ïÔÎÏÛÅÎÉÅ €... ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ×ÏÚÒÁÓÔ, ÞÔÏ É ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. €üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙŁ ÌÀÄÉ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ Ë ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ
ÖÅ ×ÏÚÒÁÓÔÎÏÊ ÇÒÕÅ.
ðÒÉÍÅÒÙ ÎÁ×ÏÄÑÔ ÎÁ ÍÙÓÌØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÚÁÄÁÎÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÔÏ ×ÓÅ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÏÖÎÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ
ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ÷ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ × ÌÀÂÏÍ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ × ÓÁÍÏÍ
ÒÑÍÏÍ ÓÍÙÓÌÅ. îÁÌÉÞÉÅ ÔÁËÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ | Ä×ÉÖÕÝÁÑ ÓÉÌÁ ÌÀÂÏÊ
ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÏÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ.
òÁÚÂÉÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÎÅÕÓÔÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× A1 ; A2 , . . . An ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ
ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ:
1) A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ;
2) Ai ∩ Aj = ∅ ÒÉ i 6= j .
ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ai ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÌÏËÁÍÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ.
äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÎÁ ÑÔØ ÂÌÏËÏ× ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 4.4. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÂÌÏËÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ËÁË ÌÏÓËÕÔÙ, ÎÅ
78
çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
ÚÁÈÏÄÑÝÉÅ ÏÄÉÎ ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ. üÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÂÌÏËÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ
ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ ÏÂÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
òÉÓÕÎÏË 4.4.
ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÚÁÄÁÅÔ ÎÁ ÎÅÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ. âÌÏËÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÏÓÔÏÑÔ
ÉÚ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. íÙ ÓÅÊÞÁÓ ÄÏËÁÖÅÍ ÜÔÏ
ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. îÏ ÒÅÖÄÅ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ex ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ A ËÁË ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ex = {z ∈ A : z R x}.
äÏËÁÖÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ.
ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁ ÎÅÕÓÔÏÍ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A. ÏÇÄÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ
ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ A.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÞÁÓÔÅÊ.
óÎÁÞÁÌÁ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÕÓÔÙÍÉ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ × A. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, Ex | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
× A. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, R | ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, Ô. Å. x R x. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x ∈ Ex É Ex ÎÅ ÕÓÔÏ.
äÁÌÅÅ ÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ x R y ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Ex = Ey . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x R y É ×ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ z ∈ Ex . ÏÇÄÁ z R x É
x R y . ðÏÓËÏÌØËÕ R | ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ
z R y . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, z ∈ Ey . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ex ⊂ Ey . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ
ÍÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Ey ⊂ Ex , ÏÔËÕÄÁ Ex = Ey , ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
ÅÅÒØ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÅÒ×ÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÞÔÏ A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÅÏÒÅÍÁ.
4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ
79
ÎÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ëÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ × ÅÒ×ÏÊ
ÞÁÓÔÉ ÎÁÛÅÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, Ex | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × A É ÏÜÔÏÍÕ
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ × A. ÷ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÅÓÌÉ x ∈ A, ÔÏ x ∈ Ex . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, x ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÀ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. úÎÁÞÉÔ,
É A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÎÁÛÅÇÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
A ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ.
é, ÎÁËÏÎÅ , × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÞÁÓÔÉ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. üÔÉÍ ÍÙ ÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ×ÔÏÒÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ €ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇρ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ Ex ∩ Ey 6= ∅. ÏÇÄÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ
ÜÌÅÍÅÎÔ z × A, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÀ Ex ∩ Ey . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
z R x É z R y . ÁË ËÁË R | ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ x R z É z R y . ÷×ÉÄÕ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ R, ÜÔÏ ×ÌÅÞÅÔ x R y .
úÎÁÞÉÔ, Ï ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, Ex = Ey . éÔÁË, ÍÙ ÒÅÄÏÌÏÖÉÌÉ, ÞÔÏ ÒÁÚÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ex É Ey ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ
É ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÞÁÓÔØ ÎÁÛÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. ÅÏÒÅÍÁ
ÄÏËÁÚÁÎÁ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÓÌÕÖÁÔ
ÂÌÏËÁÍÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ×ÓÅ ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ: ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔØ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ.
ðÒÉÍÅÒ 4.10. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ R ÚÁÄÁÎÏ
ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: x R y , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ x − y | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. äÏËÁÖÉÔÅ,
ÞÔÏ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ
É ÏÉÛÉÔÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔ√
ÎÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ 0,
1
2
É
2.
òÅÛÅÎÉÅ. ÁË ËÁË x − x = 0 ∈ Z ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
x, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ. åÓÌÉ x − y ÞÉÓÌÏ ÅÌÏÅ, ÔÏ É ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ Ë ÎÅÍÕ y − x = −(x − y ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÙÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
R | ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ x − y É y − z | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ.
ÏÇÄÁ x − z = (x − y ) + (y − z ) | ÓÕÍÍÁ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, Ô. Å. ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ.
üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ R ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ.
éÔÁË, ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ R ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ.
ëÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ex ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
x ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ:
Ex = {z ∈ R : z − x |
ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ}:
80
çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
ðÏÜÔÏÍÕ,
E0 = Z;
1
| ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ} =
2
1
1 1 1 1
= {: : : ; −1 ; − ; ; 1 ; 2 ; : : :};
2
2 2 2 2
√
= {z ∈ R : z − 2 | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ} =
√ √
√
√
= {: : : ; −1 + 2; 2; 1 + 2; 2 + 2; : : :}:
E 1 = {z ∈ R : z −
2
E√2
òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ, ÎÏ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R
ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÉÞÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ . þÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ×ÁÖÅÎ × ÔÅÈ ÓÉÔÕÁ ÉÑÈ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ËÁË-ÔÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ÓÔÁÒÛÉÎÓÔ×Ï. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÅÛÉÔØ ÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ
ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÄÒÕÇÏÊ.
ðÒÉÍÅÒÙ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÏÒÑÄËÏ×.
• € 6  ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ;
• € ⊂  ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á;
• €... ÄÅÌÉÔ ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
íÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÞÁÓÔÉÞÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ .
åÓÌÉ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A, ÔÏ
ÒÉ x 6= y É x R y ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ x ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÉÌÉ
ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏÍ , Á y | ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍ . õ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ×ÚÑÔÏÇÏ
ÜÌÅÍÅÎÔÁ y ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÍÎÏÇÏ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÄÎÁËÏ ÅÓÌÉ x ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ y , É ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× z , ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÙÈ x R z É z R y , ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ x ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏÍ 1 y É ÉÛÅÍ x ≺ y .
îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏ× ÍÏÖÎÏ ÕÓÌÏ×ÎÏ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ
Ó ÏÍÏÝØÀ ÇÒÁÆÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÁË ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ . ÷ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, É
ÅÓÌÉ x ≺ y , ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ x ÏÍÅÝÁÅÔÓÑ ÎÉÖÅ ×ÅÒÛÉÎÙ y É ÓÏÅÄÉÎÑÅÔÓÑ
Ó ÎÅÊ ÒÅÂÒÏÍ.
äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ×ÙÄÁÓÔ ÏÌÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÎÅ ÏÌÅÎÉÍÓÑ ÏÄÎÑÔØÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÅÏÞËÁÍ
ÒÅÂÅÒ.
1
éÎÏÇÄÁ ÔÁËÖÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ
y
ÏËÒÙ×ÁÅÔ x. |
ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ
81
ðÒÉÍÅÒ 4.11. äÁÎÏ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ €... ÄÅÌÉÔÅÌØ ... ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 6; 12; 18}. óÏÓÔÁ×ØÔÅ
ÔÁÂÌÉ Õ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏ× É ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏ×,
ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ èÁÓÓÅ.
òÅÛÅÎÉÅ. ÁÂÌÉ Á É ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÉÖÅ.
ÁÂÌÉ Á 4.1
ÜÌÅÍÅÎÔ
ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË
ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË
1
ÎÅÔ
ÎÅÔ
2
1
1
3
1
1
6
1, 2, 3
2, 3
12
1, 2, 3, 6
6
18
1, 2, 3, 6
6
18
12
6
2
3
1
òÉÓÕÎÏË 4.5. äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ
ìÉÎÅÊÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÉÚ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÏÖÎÏ
×ÙÄÅÌÉÔØ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÊ É ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÊ.
ðÒÉÍÅÒÙ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ.
• € 6  ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ;
• ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÉÅ ÓÌÏ× × ÓÌÏ×ÁÒÅ.
òÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÏÒÔÉÒÕÀÝÉÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ ÔÒÅÂÕÀÔ,
ÞÔÏÂÙ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÏÒÔÉÒÕÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÂÙÌÉ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ×ÙÄÁ×ÁÔØ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÓÉÓÏË. äÒÕÇÉÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, ÒÅÄÏÌÁÇÁÑ, ÞÔÏ
× ÌÀÂÏÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÊÄÅÔÓÑ2 ÍÉÎÉÍÁÌØ2
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË. îÁÒÉÍÅÒ, × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÑÄËÁ € 6  ÎÅÔ ÎÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ, ÎÉ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ
ÜÌÅÍÅÎÔÁ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
82
çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ (ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏ×) É ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ (ÎÅ
ÉÍÅÀÝÉÊ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×).
þÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.11 ÏÂÌÁÄÁÅÔ
ÏÄÎÉÍ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÞÉÓÌÏÍ 1. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, × ÎÅÍ ÅÓÔØ Ä×Á ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ: 12 É 18. ÷ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×. ëÁÖÄÏÅ
ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÏÞËÅ ÒÅÂÅÒ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ èÁÓÓÅ. îÁÒÉÍÅÒ,
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {1; 2; 6; 18} ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ €... ÄÅÌÉÔÅÌØ ....
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4
4.1. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ É ÎÁÞÅÒÔÉÔÅ ÏÒÉ-
ÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÍÁÔÒÉ ÅÊ:
a
b
1
é
2  é
3
ì
ì
ì
é

d
é
é
é

ì
ì :
ì
4.2. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÔÕ-
ÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ N ÏÉÛÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ:
R ={(x; y ) : 2x + y = 9};
S ={(x; y ) : x + y < 7};
T ={(x; y ) : y = x2 }:
4.3. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {1; 2; 3; 4}, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: u R v ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ u + 2v |
ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ðÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ R ËÁÖÄÙÍ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ×:
(Á) ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ;
(Â) × ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ;
(×) × ×ÉÄÅ ÍÁÔÒÉ Ù.
4.4. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
ÌÀÄÅÊ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÙ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ ÉÌÉ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙ:
(Á) €... ÉÍÅÅÔ ÔÅÈ ÖÅ ÒÏÄÉÔÅÌÅÊ, ÞÔÏ É ...;
(Â) €... Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÒÁÔÏÍ ...;
(×) €... ÓÔÁÒÛÅ ÉÌÉ ÍÌÁÄÛÅ, ÞÅÍ ...;
(Ç) €... ÎÅ ×ÙÛÅ, ÞÅÍ ....
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4
83
4.5. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÎÉÖÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÎÁ Z
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÙÍÉ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍÉ, Á ËÁËÉÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍÉ?
(Á) €x + y | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌρ;
(Â) €x + y | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌρ;
(×) €xy | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌρ;
(Ç) €x + xy | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌρ.
4.6. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ, ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {x : x ∈ Z É 1 6 x 6 12}.
(Á) R = {(x; y ) : xy = 9};
(Â) S = {(x; y ) : 2x = 3y };
(×) ÚÁÍÙËÁÎÉÅ R Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ;
(Ç) ÚÁÍÙËÁÎÉÅ S Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ.
4.7. îÉÖÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. ïÉÛÉÔÅ ÎÁ
ÓÌÏ×ÁÈ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ × ËÁÖÄÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.
(Á) €x ÎÁ ÏÄÉÎ ÇÏÄ ÓÔÁÒÛÅ, ÞÅÍ y  ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÌÀÄÅÊ;
(Â) x = 2y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å N ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ;
(×) x < y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å R ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ;
(Ç) €x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÞÅÒØÀ y  ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÖÅÎÝÉÎ.
4.8. îÁÊÄÉÔÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ Ï ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ, Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ
É Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
(a; a); (b; b); ( ; ); (a; ); (a; d); (b; d); ( ; a); (d; a) ;
ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {a; b; ; d}. éÍÅÅÔ ÌÉ ÓÍÙÓÌ ÓÔÒÏÉÔØ
ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ?
4.9. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁ
ÄÁÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÏÉÛÉÔÅ ÂÌÏËÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A:
(Á) A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÎÉÇ × ÂÉÂÌÉÏÔÅËÅ, Á R ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: x R y , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ×ÅÔ ÅÒÅÌÅÔÁ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÅÔÏÍ ÅÒÅÌÅÔÁ y ;
(Â) A = Z, R ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: x R y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ,
ËÏÇÄÁ x − y | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ;
(×) A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÀÄÅÊ, É x R y , ÅÓÌÉ x ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÏÌ,
ÞÔÏ É y ;
84
çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
(Ç) A = R2 , R ÚÁÄÁÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ: (a; b) R ( ; d) × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ a2 + b2 = 2 + d2 .
4.10. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÁË: x R y × ÔÏÍ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ x2 − y 2 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÏÉÛÉÔÅ ËÌÁÓÓÙ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ.
4.11. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ èÁÓÓÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÞÁ-
ÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×:
(Á) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ €x ÄÅÌÉÔ y ;
(Â) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× × {1; 2; 3} Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
€X | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y .
4.12. äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A =
= {a; b; ; d; e; f; g; h} ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 4.6. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ R É ÎÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ É ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔÙ
ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A.
g
h
d
f
e
a
b
c
òÉÓÕÎÏË 4.6.
4.13. ìÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ (ÁÌÆÁ×ÉÔÎÙÊ) ÏÒÑÄÏË ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: Õ ÄÁÎÎÙÈ ÓÌÏ× X É Y ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ÂÕË×Õ ÚÁ
ÂÕË×ÏÊ, ÏÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÅÚ ×ÎÉÍÁÎÉÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ, ÏËÁ ÎÅ ÎÁÊÄÅÍ
ÁÒÕ ÒÁÚÎÙÈ. åÓÌÉ × ÜÔÏÊ ÁÒÅ ÂÕË×Á ÓÌÏ×Á X ÓÔÏÉÔ ÒÁÎØÛÅ (Ï ÁÌÆÁ×ÉÔÕ), ÎÅÖÅÌÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÂÕË×Á ÓÌÏ×Á Y ,
ÔÏ X ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ Y ; ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÂÕË×Ù ÓÌÏ×Á X ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ Y , ÎÏ ÏÎÏ ËÏÒÏÞÅ, ÔÏ X ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ Y , × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, Y ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ X .
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
85
õÏÒÑÄÏÞÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÌÏ×Á ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ: ÂÕÔÙÌËÁ,
ÂÁÎÁÎ, ÂÉÓË×ÉÔ, ÂÉ×ÅÎØ É ÂÁÎÄÖÏ . ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ÏÞÅÍÕ ÷Ù
×ÙÂÒÁÌÉ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÏÊ ÏÒÑÄÏË.
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
âÉÎÁÒÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R × A × B . åÓÌÉ A = B , ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ A.
âÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ
ÏÉÓÁÎÏ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ (ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×), ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ, ËÁË ÏÒÇÒÁÆ É Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÔÒÉ Ù.
ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ x R x ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ A;
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ, ÅÓÌÉ x R y ⇒ y R x ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y ∈ A;
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ, ÅÓÌÉ (x R y É y R x ⇒ x = y ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ
x; y ∈ A;
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ (x R y É y R z ) ⇒ x R z ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y z ∈ A.
ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R∗ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á P , ÅÓÌÉ
1) R∗ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P ;
2) R ⊂ R∗ ;
3) R∗ | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ
R É ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P .
òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ëÌÁÓÓÏÍ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
Ex = {z ∈ A : z R x}:
òÁÚÂÉÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× A1 ; A2 ; : : : ; An × A, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ:
A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An É Ai ∩ Aj = ∅ ÒÉ i 6= j:
ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ai ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÌÏËÁÍÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ. åÓÌÉ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁ A, ÔÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ A.
86
çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÉÞÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ. íÎÏÖÅÓÔ×Á, ÎÁ
ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÔÁËÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ.
ìÉÎÅÊÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å | ÜÔÏ ÔÁËÏÊ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÍÏÖÎÏ ÓÒÁ×ÎÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
åÓÌÉ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A É x R y ,
x 6= y , ÔÏ x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏÍ y . ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ x ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ y É ÎÅÔ ÔÁËÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ z , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ x R z
É z R y , ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ x | ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË y . ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÆÁËÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÔÁË: x ≺ y .
äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÇÒÁÆ, ÞØÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÚÏÂÒÁ-
ÖÁÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ,
ËÏÇÄÁ x ≺ y , ×ÅÒÛÉÎÁ x ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ×ÅÒÛÉÎÏÊ y É ÓÏÅÄÉÎÑÅÔÓÑ Ó ÎÅÊ ÒÅÂÒÏÍ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ
äÁÎÎÙÅ, ÈÒÁÎÑÝÉÅÓÑ × ËÏÍØÀÔÅÒÅ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÁÚÏÊ ÄÁÎÎÙÈ . ðÒÏÇÒÁÍÍÙ, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÉÚ×ÌÅËÁÅÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ
ÉÚ ÂÁÚÙ ÄÁÎÎÙÈ ÉÌÉ ×ÎÏÓÉÔ × ÎÅÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÍÉ
ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ (óõâä).
ÁÂÌÉ Á 4.2. T1 = ðÅÒÓÏÎÁÌØÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ
ìÉÞÎÙÊ
äÁÔÁ
ÎÏÍÅÒ æÁÍÉÌÉÑ ðÏÌ ÒÏÖÄ.
óÅÍÅÊÎÏÅ
ÏÌÏÖÅÎÉÅ
4000123 äÖÏÎÓ
ö
1.2.83
ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ 2 íÏÔÔ, îØÀÔÏÎ
5001476
5112391
5072411
5532289
5083001
5196236
4936201
í
ö
í
í
í
ö
ö
4.5.84
21.3.84
12.12.84
15.8.83
9.7.83
21.3.84
7.10.77
ÖÅÎÁÔ
ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ
ÈÏÌÏÓÔ
ÈÏÌÏÓÔ
ÖÅÎÁÔ
ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ
ÚÁÍÕÖÅÍ
óÉÎÇÈ
óÍÉÔ
óÍÉÔ
þÉÎÇ
çÒÁÎÔ
íÁËËÁÊ
æÒÅÎË
áÄÒÅÓ
4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ
17 ëÒÅÓÎÔ, óÉÆÏÒÔ
21 ðÁÄÄÉÎÇ ìÜÊÎ, ÷ÉÔÜÍ
4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ
18 éÆÆÌÅÊÒÏÁÄ, óÉÆÏÒÔ
133 õÆÆÒÏÁÄ, òÅÁÄÉÎÇ
11 æÉÎÎÒÏÁÄ, îØÀÔÏÎ
äÁÎÎÙÅ × ËÏÍØÀÔÅÒÅ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÙ × ×ÉÄÅ ÔÁÂÌÉ .
îÁÒÉÍÅÒ, ÔÁÂÌ. 4.2 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÇÒÕÅ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×: ÌÉÞÎÙÊ ÎÏÍÅÒ ÓÔÕÄÅÎÔÁ, ÆÁÍÉÌÉÀ, ÏÌ, ÄÁÔÕ ÒÏÖÄÅÎÉÑ, ÓÅÍÅÊÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ É ÁÄÒÅÓ. ÷ ÔÁÂÌ. 4.3 ÚÁÎÅÓÅÎÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÕÓÅ×ÁÅÍÏÓÔÉ
ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× Ï ÏÔÄÅÌØÎÙÍ ËÕÒÓÁÍ. üÔÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÓÏÓÔÁ×ÑÔ
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ
87
ÏÓÎÏ×Õ ÄÌÑ ÎÁÛÉÈ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÈÏÔÑ É ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÂÌÅÍÙ ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ Ó ÔÁÂÌ. 4.2 ÍÏÇÕÔ
×ÏÚÎÉËÎÕÔØ ÒÉ ÏÙÔËÅ ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
óÍÉÔÁÈ, Á × ÔÁÂÌ. 4.2 ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÄÅÔÁÌØÎÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÏÑ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ × ÔÁÂÌ. 4.3.
ÁÂÌÉ Á 4.3. T2 = õÓÅ×ÁÅÍÏÓÔØ
æÁÍÉÌÉÑ
ïÓÎÏ×Ù
ÍÁÔÅÍ.
ðÒÏÇÒ.
äÉÓËÒ.
ÍÁÔÅÍ.
÷ÙÞÉÓÌ.
ÓÉÓÔÅÍÙ
ëÁÍÍÉÎÇÓ
äÖÏÎÓ
çÒÁÎÔ
óÉÎÇÈ
æÒÅÎË
íÁËËÁÊ
ëÕËÓÏÎ
ÏÔÌ
ÈÏÒ
ÕÄÏ×Ì
ÕÄÏ×Ì
ÎÅÕÄ
ÏÔÌ
ÕÄÏ×Ì
ÈÏÒ
ÕÄÏ×Ì
ÈÏÒ
ÈÏÒ
ÎÅÕÄ
ÏÔÌ
ÏÔÌ
ÕÄÏ×Ì
ÈÏÒ
ÏÔÌ
ÏÔÌ
ÕÄÏ×Ì
ÈÏÒ
ÏÔÌ
ÏÔÌ
ÎÅÕÄ
ÕÄÏ×Ì
ÎÅÕÄ
ÕÄÏ×Ì
ÏÔÌ
ÈÏÒ
óÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉ Ù Ó n ËÏÌÏÎËÁÍÉ, ÏÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A1 ;
A2 ; : : : ; An ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÁË ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × ÒÑÍÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ A1 × A2 × · · · × An . óÔÒÏËÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÓÉÓÏË ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×,
Ï ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ Ai , Á ×ÓÑ ÔÁÂÌÉ Á ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ n-ÁÒÎÏÅ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÔÁÂÌ. 4.3 ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï T 2
× A1 × A2 × A3 × A4 × A5 , ÇÄÅ A1 | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÁÍÉÌÉÊ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×,
Á A2 = A3 = A4 = A5 = {ÏÔÌ, ÈÏÒ, ÕÄÏ×Ì, ÎÅÕÄ}. ïÄÉÎ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÜÔÏÇÏ ÑÔÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ | ÓÔÒÏËÁ (äÖÏÎÓ, ÈÏÒ, ÕÄÏ×Ì, ÈÏÒ,
ÎÅÕÄ), × ËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÉÓÁÎÙ Ï ÅÎËÉ äÖÏÎÓÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÉÍ ÚÁ ÞÅÔÙÒÅ
ÒÅÄÍÅÔÁ.
äÌÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ ÔÁÂÌÉ , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÁÂÏÒÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÎÉÍÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ: ÒÏÅËÔ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ É ×ÙÂÏÒ.
üÔÏ ÔÏÌØËÏ ÔÒÉ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, ÓÏÚÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÍÁÎÉÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ, ÔÅÏÒÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÑÚÙË
ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ É ÆÕÎË ÉÊ.
ïÅÒÁ ÉÑ ÒÏÅËÔ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔ ÎÏ×ÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ
ÓÔÏÌ Ï× ÓÔÁÒÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÅËÔ(1, {æÁÍÉÌÉÑ, áÄÒÅÓ}) ÓÏÚÄÁÅÔ ÔÁÂÌ. 4.4.
úÁÄÁÞÁ 1. îÁÊÔÉ
ÒÏÅËÔ(2, {æÁÍÉÌÉÑ, ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ., äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ.}).
òÅÛÅÎÉÅ. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 4.5
88
çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
ÁÂÌÉ Á 4.4. T3 = ÒÏÅËÔ(1, {æÁÍÉÌÉÑ, áÄÒÅÓ})
æÁÍÉÌÉÑ
áÄÒÅÓ
äÖÏÎÓ
2 íÏÔÔ, îØÀÔÏÎ
óÉÎÇÈ
óÍÉÔ
óÍÉÔ
þÉÎÇ
çÒÁÎÔ
íÁËËÁÊ
æÒÅÎË
4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ
17 ëÒÅÓÎÔ, óÉÆÏÒÔ
21 ðÁÄÄÉÎÇ ìÜÊÎ, ÷ÉÔÜÍ
4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ
18 éÆÆÌÅÊÒÏÁÄ, óÉÆÏÒÔ
133 õÆÆÒÏÁÄ, òÅÁÄÉÎÇ
11 æÉÎÎÒÏÁÄ, îØÀÔÏÎ
ÁÂÌÉ Á 4.5
æÁÍÉÌÉÑ
ïÓÎÏ×Ù
ÍÁÔÅÍ.
äÉÓËÒ.
ÍÁÔÅÍ.
ÏÔÌ
ÈÏÒ
ÕÄÏ×Ì
ÕÄÏ×Ì
ÎÅÕÄ
ÏÔÌ
ÕÄÏ×Ì
ÕÄÏ×Ì
ÈÏÒ
ÏÔÌ
ÏÔÌ
ÕÄÏ×Ì
ÈÏÒ
ÏÔÌ
ëÁÍÍÉÎÇÓ
äÖÏÎÓ
çÒÁÎÔ
óÉÎÇÈ
æÒÅÎË
íÁËËÁÊ
ëÕËÓÏÎ
ïÅÒÁ ÉÑ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔ Ä×Å ÔÁÂÌÉ Ù × Â
ÏÌØÛÕÀ, ×ÙÉÓÙ×ÁÑ × ÏÄÎÕ ÓÔÒÏËÕ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÏÂÝÅÍÕ ÁÔÒÉÂÕÔÕ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ R É S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ
Ä×ÕÍÑ ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ, ÒÉÞÅÍ R | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × ÒÑÍÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ A1 × · · · × Am × B1 × · · · × Bn , Á S | × ÒÑÍÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ
A1 × · · · × Am × C1 × · · · × Cp . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÝÉÅ ÁÔÒÉÂÕÔÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A1 ; A2 ; : : : ; Am . óÏÅÄÉÎÅÎÉÅ R É S | ÜÔÏ
ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × A1 × · · · × Am × B1 × · · · × Bn × C1 × · · · × Cp , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÉÄÁ (a1 ; a2 ; : : : ; am ; b1 ; b2 ; : : : ; bm ; 1 ; 2 ; : : : ; p ),
ÇÄÅ (a1 ; : : : ; am ; b1 ; : : : ; bm ) ÌÅÖÉÔ × R, Á (a1 ; : : : ; am ; 1 ; : : : ; p ) |
× ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å S .
îÁÒÉÍÅÒ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ(3, 2) ÄÁÅÔ ÔÁÂÌ. 4.6.
ÁÂÌÉ Á 4.6
æÁÍÉÌÉÑ
áÄÒÅÓ
ïÓÎÏ×Ù
ÍÁÔÅÍ.
ðÒÏÇÒ.
äÉÓËÒ.
ÍÁÔÅÍ.
÷ÙÞÉÓÌ.
ÓÉÓÔÅÍÙ
äÖÏÎÓ
çÒÁÎÔ
2 íÏÔÔ, îØÀÔÏÎ
18 éÆÆÌÅÊÒÏÁÄ, óÉÆÏÒÔ
ÈÏÒ
ÕÄÏ×Ì
ÕÄÏ×Ì
ÈÏÒ
ÈÏÒ
ÏÔÌ
ÎÅÕÄ
ÕÄÏ×Ì
óÉÎÇÈ
æÒÅÎË
íÁËËÁÊ
4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ
11 æÉÎÎÒÏÁÄ, îØÀÔÏÎ
133 õÆÆÒÏÁÄ, òÅÁÄÉÎÇ
ÕÄÏ×Ì
ÎÅÕÄ
ÏÔÌ
ÈÏÒ
ÎÅÕÄ
ÏÔÌ
ÏÔÌ
ÕÄÏ×Ì
ÈÏÒ
ÎÅÕÄ
ÕÄÏ×Ì
ÏÔÌ
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ
89
ïÅÒÁ ÉÑ ×ÙÂÏÒ ÏÔÂÉÒÁÅÔ ÓÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉ Ù, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ
ÏÄÈÏÄÑÝÅÍÕ ËÒÉÔÅÒÉÀ. îÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÂÏÒ(1, ðÏÌ = í É óÅÍÅÊÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ = öÅÎÁÔ) ×ÅÒÓÔÁÅÔ ÔÁÂÌ. 4.7.
ÁÂÌÉ Á 4.7
ìÉÞÎÙÊ
ÎÏÍÅÒ
æÁÍÉÌÉÑ
ðÏÌ
äÁÔÁ
ÒÏÖÄ.
óÅÍÅÊÎÏÅ
ÏÌÏÖÅÎÉÅ
5001476
5083001
óÉÎÇÈ
çÒÁÎÔ
í
í
4.5.84
9.7.83
ÖÅÎÁÔ
ÖÅÎÁÔ
áÄÒÅÓ
4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ
18 éÆÆÌÅÊÒÏÁÄ, óÉÆÏÒÔ
úÁÄÁÞÁ 2. îÁÊÄÉÔÅ ×ÙÂÏÒ(2, äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. = ÏÔÌ).
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÎÏ×ÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ (ÔÁÂÌ. 4.8) ×ÏÊÄÕÔ ÔÏÌØËÏ ÔÅ ÓÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉ Ù 2, Õ ËÏÔÏÒÙÈ × ÓÔÏÌ Å, ÏÍÅÞÅÎÎÏÍ äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ
ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÑÔØ €ÏỐ.
ÁÂÌÉ Á 4.8
æÁÍÉÌÉÑ
ïÓÎÏ×Ù
ÍÁÔÅÍ.
ðÒÏÇÒ.
äÉÓËÒ.
ÍÁÔÅÍ.
÷ÙÞÉÓÌ.
ÓÉÓÔÅÍÙ
çÒÁÎÔ
óÉÎÇÈ
ëÕËÓÏÎ
ÕÄÏ×Ì
ÕÄÏ×Ì
ÕÄÏ×Ì
ÈÏÒ
ÈÏÒ
ÏÔÌ
ÏÔÌ
ÏÔÌ
ÏÔÌ
ÕÄÏ×Ì
ÎÅÕÄ
ÈÏÒ
ëÁË ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÚ×ÏÌÉÔ ÎÁÍ ÉÚ×ÌÅËÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÉÚ ÂÁÚ ÄÁÎÎÙÈ.
úÁÄÁÞÁ 3. îÁÊÄÉÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÉÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÅÒÁ ÉÊ:
R1 = ÒÏÅËÔ(T2, {æÁÍÉÌÉÑ, ðÒÏÇÒ., ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ});
R2 = ×ÙÂÏÒ(R1, ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ = ÏÔÌ ÉÌÉ ðÒÏÇÒ. = ÏÔÌ);
òÅÛÅÎÉÅ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ×ÓÅ ÓÔÏÌ ٠ÔÁÂÌÉ Ù 2, ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ æÁÍÉÌÉÑ, ðÒÏÇÒ. É ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ, ÕÄÁÌÑÀÔÓÑ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ Ï-
ÌÕÞÉÔÓÑ ÔÁÂÌÉ Á R1. úÁÔÅÍ, × ÎÏ×ÏÊ ÔÁÂÌÉ Å ÎÕÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÔÏÌØËÏ
ÔÅ ÓÔÒÏËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÅÓÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ Ï ÅÎËÁ €ÏỐ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ
ÏÔÂÒÏÓÉÔØ. üÔÏ ÄÁÓÔ ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ R2 (ÔÁÂÌ. 4.9).
ÁÂÌÉ Á 4.9
æÁÍÉÌÉÑ
ðÒÏÇÒ.
÷ÙÞÉÓÌ.
ÓÉÓÔÅÍÙ
ëÁÍÍÉÎÇÓ
íÁËËÁÊ
ÈÏÒ
ÏÔÌ
ÏÔÌ
ÏÔÌ
ëÕËÓÏÎ
ÏÔÌ
ÈÏÒ
90
çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ
úÁÄÁÞÁ 4. îÁÊÄÉÔÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ:
R1 = ×ÙÂÏÒ(T1, ÏÌ = ö);
R2 = ÒÏÅËÔ(T2,{æÁÍÉÌÉÑ, äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ.});
R3 = ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ(R1, R2).
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ×ÙÂÅÒÅÍ ÉÚ ÔÁÂÌÉ Ù 1 ÓÔÒÏËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔ-
ÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÔÕÄÅÎÔËÁÍ, É ÓÏÓÔÁ×ÉÍ ÉÚ ÎÉÈ ÔÁÂÌÉ Õ R1. úÁÔÅÍ ÕÄÁÌÉÍ
ÉÚ 2 ×ÓÅ ÓÔÏÌ Ù, ËÒÏÍÅ Ä×ÕÈ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ, É ÏÌÕÞÉÍ ÔÁÂÌÉ Õ R2.
ïÂÝÉÍ ÁÔÒÉÂÕÔÏÍ ÔÁÂÌÉ R1 É R2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ æÁÍÉÌÉÑ. óÏÅÄÉÎÉ×
R1 É R2, ÏÌÕÞÉÍ ÉÓËÏÍÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ (ÔÁÂÌ. 4.10).
ÁÂÌÉ Á 4.10
ìÉÞÎÙÊ
ÎÏÍÅÒ
æÁÍÉÌÉÑ
ðÏÌ
äÁÔÁ
ÒÏÖÄ.
óÅÍÅÊÎÏÅ
ÏÌÏÖÅÎÉÅ
áÄÒÅÓ
4000123
äÖÏÎÓ
ö
1.2.83
ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ
5196236
íÁËËÁÊ
ö
21.3.84
ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ
4936201
æÒÅÎË
ö
7.10.77
ÚÁÍÕÖÅÍ
2 íÏÔÔ,
îØÀÔÏÎ
133 õÆÆÒÏÁÄ,
òÅÁÄÉÎÇ
11 æÉÎÎÒÏÁÄ,
îØÀÔÏÎ
äÉÓËÒ.
ÍÁÔÅÍ.
ÈÏÒ
ÈÏÒ
ÕÄÏ×Ì
úÁÄÁÞÁ 5. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÅÒÁ ÉÊ (×ÙÂÏÒ, ÒÏÅËÔ É ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ) ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÍÅÎ É ÁÄÒÅÓÏ× ×ÓÅÈ ÔÅÈ ÓÔÕÄÅÎ-
ÔÏË, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÌÕÞÉÌÉ Ï ÅÎËÕ ÎÅ ÎÉÖÅ €ÈÏҁ Ï ÏÂÏÉÍ ÒÅÄÍÅÔÁÍ:
ÏÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÄÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ.
òÅÛÅÎÉÅ. ïÄÎÁ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÏÅÒÁ ÉÊ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕ-
ÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
R1 = ×ÙÂÏÒ(1, ÏÌ = ö);
R2 = ×ÙÂÏÒ(2, äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. = €ÏỐ ÉÌÉ äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. = €ÈÏҁ);
R3 = ×ÙÂÏÒ(R2, ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. = €ÏỐ ÉÌÉ ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. = €ÈÏҁ);
R4 = ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ(R1, R3);
R = ÒÏÅËÔ(R4,{æÁÍÉÌÉÑ, áÄÒÅÓ}).
çìá÷á 5
æõîëãéé
æÕÎË ÉÉ ÉÇÒÁÀÔ ÅÎÔÒÁÌØÎÕÀ ÒÏÌØ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÇÄÅ ÏÎÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÌÀÂÙÈ ÒÏ ÅÓÓÏ×, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÄÎÏÇÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÅÒÅÈÏÄÑÔ × ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÄÒÕÇÏÇÏ. ÁËÉÅ
ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× | ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÉÄÅÑ, ÉÍÅÀÝÁÑ ÅÒ×ÏÓÔÅÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÏ ÅÓÓÏ×.
ëÁË ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÆÕÎË ÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÉÚ ÓÅÂÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÊ
ÔÉ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. ïÄÎÁËÏ ÅÒÅÄ ÔÅÍ, ËÁË ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ
ÆÕÎË ÉÉ, × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÒÏÄÏÌÖÉÍ ÒÁÂÏÔÕ ÎÁÄ ÂÉÎÁÒÎÙÍÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ, ÎÁÞÁÔÕÀ × ÇÌÁ×Å 4. úÄÅÓØ ÍÙ ÉÚÕÞÉÍ Ä×Á ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ
ÓÏÓÏÂÁ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÉÚ ÕÖÅ ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ.
üÔÉ ÓÏÓÏÂÙ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. õÏÍÑÎÕÔÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ×ÁÖÎÙ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÏÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÆÕÎË ÉÑÍ. ðÏÓÌÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÆÕÎË ÉÊ, Á ÚÁËÏÎÞÉÍ ÜÔÏ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÚÁËÏÎÏÍ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ËÁË ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ . üÔÏÔ, ÎÁ ÅÒ×ÙÊ
×ÚÇÌÑÄ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏÊ, ÆÁËÔ ÄÁÓÔ ÎÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÅÛÁÔØ ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ Ñ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ.
ëÁË ÎÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ, ÔÁË É ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÏÓ×ÑÝÅÎÙ ÒÉÍÅÎÅÎÉÀ ÆÕÎË ÉÊ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. íÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÑÚÙËÏÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ , ÈÏÔÑ É ÓÉÌØÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ (ÉÚ ÍÅÔÏÄÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ). ðÏËÁÖÅÍ, ËÁË Ó ÏÍÏÝØÀ
ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÙÅ.
5.1. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ
ðÕÓÔØ R | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B . ïÒÅÄÅÌÉÍ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R−1 ÍÅÖÄÕ B É A Ï ÆÏÒÍÕÌÅ:
R−1 = {(b; a) : (a; b) ∈ R}:
îÁÒÉÍÅÒ, ÏÂÒÁÔÎÙÍ Ë ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ €... ÒÏÄÉÔÅÌØ ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ ÂÕÄÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ €... ÒÅÂÅÎÏË ....
îÁ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ÓÔÒÅÌÏË × ÏÒÇÒÁÆÅ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÅÍ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ.
92
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
÷ÔÏÒÁÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÁ ÄÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ. ðÕÓÔØ R |
ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B , Á S | ÂÉÎÁÒÎÏÅ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ B É ÔÒÅÔØÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ C . ëÏÍÏÚÉ ÉÅÊ R É S
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ A É C , ËÏÔÏÒÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
S ◦ R É ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
S ◦ R = {(a; ) : a ∈ A;
∈ C É a R b; b S ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ b ∈ B }:
îÏ×ÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×
A É C , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ B × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÓÒÅÄÎÉËÏ×.
ðÒÉÍÅÒ 5.1. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ €a | ÓÅÓÔÒÁ b, Á S ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ €b | ÍÁÔØ  ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. ïÉÛÉÔÅ ÎÁ
ÓÌÏ×ÁÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ: S ◦ R É S ◦ S .
òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ a | ÓÅÓÔÒÁ b, Á b | ÍÁÔØ , ÔÏ a, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ
ÓÅÓÔÒÏÊ ÍÁÔÅÒÉ , Ô. Å. a ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÔÅÔÅÊ . óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
S ◦ R ÅÓÔØ ÎÉ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË €a | ÔÅÔÑ .
áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍÉ ÌÅÇËÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ S ◦ S |
ÜÔÏ €a | ÂÁÂÕÛËÁ .
ðÒÉÍÅÒ 5.2. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R É S ÚÁÄÁÎÙ ÏÒÇÒÁ-
ÆÁÍÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÒÉÓ. 5.1. îÁÊÄÉÔÅ ÏÒÇÒÁÆ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ S ◦ R.
aô
b
1
1
2
2
3
3
x
y
R
S
òÉÓÕÎÏË 5.1. ïÒÇÒÁÆÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ
R
É
S
òÅÛÅÎÉÅ. éÓÏÌØÚÕÑ ÏÒÇÒÁÆÙ, ×ÙÉÛÅÍ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ.
R = {(a; 1); (a; 2); (a; 3); (b; 2)}
É
S = {(1; y ); (2; x); (3; x)}:
ðÒÉÍÅÎÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ.
a R 1 É 1 S y ⇒ (a; y ) ∈ S ◦ R;
a R 2 É 2 S x ⇒ (a; x) ∈ S ◦ R;
5.1. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ
93
a R 3 É 3 S x ⇒ (a; x) ∈ S ◦ R;
b R 2 É 2 S x ⇒ (b; x) ∈ S ◦ R:
ÅÅÒØ ÎÁ ÒÉÓ. 5.2 ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÏÒÇÒÁÆ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ.
a
b
x
y
S R
òÉÓÕÎÏË 5.2. ïÒÇÒÁÆ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
S
◦R
ëÏÍÏÚÉ ÉÀ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ É Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÔÒÉ , ÉÈ ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ. éÍÅÑ ÍÁÔÒÉ Ù Ä×ÕÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÍÙ
ÏÓÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ. ïÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÉÌÉ
ÂÕÌÅ×ÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÁÔÒÉ .
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÒÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á:
A = {a1 ; a2 ; : : : ; an }; B = {b1 ; b2 ; : : : ; bm } É C = { 1 ;
2
; :::;
p }:
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ A É B , Á S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
ÍÅÖÄÕ B É C . îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á M ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
ÕÓÌÏ×ÉÅÍ:
M (i; j ) = é ÅÓÌÉ (ai ; bj ) ∈ R;
M (i; j ) = ì ÅÓÌÉ (ai ; bj ) 6∈ R:
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÍÁÔÒÉ Á N ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ÚÁÏÌÎÑÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ:
N (i; j ) = é ÅÓÌÉ (bi ;
j ) ∈ S;
N (i; j ) = ì ÅÓÌÉ (bi ; j ) 6∈ S:
åÓÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ bk ∈ B , ÞÔÏ ai R bk É bk S j , ÔÏ ×
i-ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù M ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ é. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × j -ÏÍ
ÓÔÏÌÂ Å ÍÁÔÒÉ Ù N ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ é.
ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÓËÏÌØËÕ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ai (S ◦ R) j , ÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ P (i; j ) ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù P ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ◦ R ÔÏÖÅ ÒÁ×ÎÏ é. åÓÌÉ ÖÅ × i-ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù M ÎÅÔ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ é, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÁËÏÍÕ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÀ × j -ÏÍ ÓÔÏÌ Å
ÍÁÔÒÉ Ù N , ÔÏ P (i; j ) = ì.
94
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á P ËÏÍÏÚÉ ÉÉ S ◦ R ÚÁÏÌÎÑÅÔÓÑ Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ:
P (i; j ) = [M (i; 1) É N (1; j )℄ ÉÌÉ
ÉÌÉ [M (i; 2) É N (2; j )℄
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
ÉÌÉ [M (i; n) É N (n; j )℄:
âÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ P = M N ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÂÕÌÅ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ .
ðÒÉÍÅÒ 5.3. ðÕÓÔØ R É S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 5.2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ
ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ◦ R Ó ÏÍÏÝØÀ ÂÕÌÅ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÍÁÔÒÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S .
òÅÛÅÎÉÅ. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÍÅÖÄÕ A = {a; b} É B = {1; 2; 3} ÚÁÄÁÅÔÓÑ
ÍÁÔÒÉ ÅÊ
M =
é
ì
é
é
é
ì
;
ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ËÏÔÏÒÏÊ ÏÍÅÞÅÎÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ×
ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ ×ÙÉÓÁÎÙ.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ B = {1; 2; 3} É C = {x; y },
ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÍÁÔÒÉ ÅÊ


ì é
N =  é ì :
é ì
úÎÁÞÉÔ, ÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á P ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ◦ R ÒÁ×ÎÁ ÂÕÌÅ×Õ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ


ì é
é é é 
é ì :
P =
ì é ì
é ì
÷ ÍÁÔÒÉ Å M ÅÓÔØ Ä×Å ÓÔÒÏËÉ, Á × ÍÁÔÒÉ Å N | Ä×Á ÓÔÏÌ Á. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÁÔÒÉ Á P ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÔÒÏË É Ä×ÕÈ ÓÔÏÌ Ï×.
ñÞÅÊËÁ P (1; 1) ÚÁÏÌÎÑÅÔÓÑ Ï ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù M É ÅÒ×ÏÍÕ ÓÔÏÌÂ Õ ÍÁÔÒÉ Ù N . âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ,


ì
P (1; 1) = é é é  é  = (é É ì) ÉÌÉ (é É é) ÉÌÉ (é É é)
é
= ì ÉÌÉ é ÉÌÉ é = é:
95
5.1. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù M ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ É ÔÒÅÔØÅÍ
ÍÅÓÔÁÈ ÓÔÏÉÔ é, ÔÁË ÖÅ ËÁË É × ÅÒ×ÏÍ ÓÔÏÌ ŠÍÁÔÒÉ Ù N . üÔÏÇÏ
ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ: P (1; 1) = é.
óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù M ÓÏ ×ÔÏÒÙÍ ÓÔÏÌ ÏÍ ÍÁÔÒÉ Ù N , ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ é. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (1; 2) = é.
ÁËÉÍ ÖÅ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù M É
ÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù N , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍ P (2; 1) = é.
îÁËÏÎÅ , P (2; 2) = ì, ÔÁË ËÁË ×ÔÏÒÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÍÁÔÒÉ Ù M É ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù N ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÍÅÓÔÁÈ.
éÔÁË,
é é
N =
:
é ì
ðÒÉÍÅÒ 5.4. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 4; 5} ÚÁÄÁ-
ÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ






ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
é
ì
ì
é
ì
é
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì



:


÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ R ◦ R É ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ÏÞÅÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ.
òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á ËÏÍÏÚÉ ÉÉ R ◦ R ÒÁ×ÎÁ






ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
é
ì
ì
é
ì
é
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì






ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
é
ì
ì
é
ì
é
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì


 
 
=
 
 
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
é
ì
é
ì
ì
é
ì
ì
é
ì
ì
é
ì
ì
é



:


üÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ R ◦ R ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ (x; z ), ÇÄÅ x R y É y R z ÄÌÑ
ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ y ∈ A. ðÏÜÔÏÍÕ × ÓÌÕÞÁÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ R ËÏÍÏÚÉÉÑ R ◦ R ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ R. ïÄÎÁËÏ ÉÚ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ é × ÍÁÔÒÉ ÁÈ, ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ, ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ R ◦ R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÁÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÌÅÖÁÔ × R. éÍÅÎÎÏ ÏÜÔÏÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÅ
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ.
96
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
5.2. æÕÎË ÉÉ
ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ Ó×ÑÚÅÊ ÍÅÖÄÕ
ÁÒÁÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÉÚ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B . æÕÎË ÉÉ |
ÜÔÏ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÌÏÖÅÎÙ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ.
æÕÎË ÉÅÊ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A Ó×ÑÚÁÎ Ó
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B . äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ a ∈ A ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÁÒÁ ÉÚ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÉÄÁ (a; b).
÷ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÆÕÎË ÉÑ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÇÒÁÆÏÍ,
Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÅÊ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ×ÙÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÓÔÒÅÌËÁ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÒÉÓ. 5.3 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÇÒÁÆ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÆÕÎËÉÀ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {a; b; } × {1; 2}, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÁÒ (a; 1), (b; 1)
É ( ; 2).
a
1
b
2
c
òÉÓÕÎÏË 5.3.
ðÒÉÍÅÒ 5.5. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A = {a; b; } É B = {1; 2; 3} Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÉÚ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × B .
(Á) f = {(a; 1); (a; 2); (b; 3); ( ; 2)};
(Â) g = {(a; 1); (b; 2); ( ; 1)};
(×) h = {(a; 1); ( ; 2)}.
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ f | ÎÅ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ a ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B : 1 É 2.
(Â) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ g Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ.
(×) ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÅÊ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ b ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ.
5.2. æÕÎË ÉÉ
97
ðÒÉÍÅÒ 5.6. ëÁËÉÅ ÉÚ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ:
(Á) €x | ÂÒÁÔ ÉÌÉ ÓÅÓÔÒÁ y  ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ;
(Â) ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÁÒÁÍÉ: {(x; x2 ) : x ∈ Z};
(×) ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å R, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÁÒÁÍÉ: {(x; y ) : x = y 2 }
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ?
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) üÔÏ ÎÅ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÓÔØ ÌÀÄÉ Ó ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÂÒÁÔØÑÍÉ
É ÓÅÓÔÒÁÍÉ, Á ÔÁËÖÅ ÂÙ×ÁÀÔ ÓÅÍØÉ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÅÂÅÎËÏÍ.
(Â) á ×ÏÔ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÁË ÒÁÚ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ Ï ËÁÖÄÏÍÕ
ÅÌÏÍÕ ÞÉÓÌÕ x ÅÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔ x2 ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ.
(×) ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ | ÎÅ
√ ÆÕÎË ÉÑ,√ÔÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÂÅ
ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ: (2; 2) É (2; − 2) | ÅÍÕ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ.
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÎÅÍ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÁÒÙ (x; y ) Ó ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ x.
ðÕÓÔØ f | ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B . ðÏÓËÏÌØËÕ
ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ x ∈ A ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ y ∈ B , ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ (x; y ) ∈ f , ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ: y = f (x), É ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ,
Á f (x) ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÂÒÁÚÏÍ x ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ f ÉÌÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ f ,
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ x.
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ f : A −→ B , ÞÔÏÂÙ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ,
ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ A × ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ B . íÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ , Á B | ÏÂÌÁÓÔØÀ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ1 f .
äÌÑ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, × ËÏÔÏÒÙÅ ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ
ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ A ÆÕÎË ÉÅÊ f , ××ÏÄÑÔ ÏÎÑÔÉÅ €ÏÂÒÁځ ÉÌÉ €ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉɁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × B , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÏÂÒÁÚÏ× ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
x ∈ A. ïÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ f (A) É ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
ÔÁË:
f (A) = {f (x) : x ∈ A}:
äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 5.4 ÓÌÕÖÉÔ ÕÄÏÂÎÏÊ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÅÊ ÆÕÎËÉÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å B .
1
äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÉÌÉ ÚÁÄÁÎÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A
ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å B . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
98
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
f
f(A)
A
B
òÉÓÕÎÏË 5.4. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÆÕÎË ÉÉ
f
: A −→ B
ëÏÇÄÁ ÍÙ ÒÁÂÏÔÁÅÍ Ó ÆÕÎË ÉÅÊ f : A −→ B , ÇÄÅ A É B | ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÇÒÁÆ ÜÔÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.
óÌÅÄÕÅÔ ÏÂÒÁÔÉÔØÓÑ Ë ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÄÅÅ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÅÅ ÇÒÁÆÉËÕ .
òÉÓÕÎÏË 5.5. çÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ
y
= f (x)
îÁÒÉÍÅÒ, ÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ f : R −→ R, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
f (x) = x2 , ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 5.5. çÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÏÓØ ÏÍÅÞÁÅÔÓÑ x
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ R. ÷ÅÒÔÉËÁÌØÎÁ ÏÓØ ÏÍÅÞÁÅÔÓÑ y É ÚÁÍÅÎÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ (× ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÔÏÖÅ R). ëÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ, Ô. Å. ÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÏÞÅË
(x; y ) ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ R × R, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ y = f (x). ÁË ËÁË,
ÎÁÒÉÍÅÒ, f (2) = 4, ÔÏÞËÁ (2; 4) ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, ÞÔÏ ×ÉÄÎÏ
ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ.
ðÒÉÍÅÒ 5.7. óÄÅÌÁÊÔÅ ÎÁÂÒÏÓÏË ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎË ÉÉ g : R −→ R,
ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ g (x) = 2 − x. îÁÊÄÉÔÅ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÉ x = 2
É x = 3. ïÔÍÅÔØÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÇÒÁÆÉËÅ.
5.2. æÕÎË ÉÉ
99
òÅÛÅÎÉÅ. þÅÒÔÅÖ ÇÒÁÆÉËÁ ÒÉ×ÅÄÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 5.6. ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÁÒÁÍ: g (2) = 0 É g (3) = −1.
y
x
(2, 0)
(3, -1)
òÉÓÕÎÏË 5.6. çÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ g (x) = 2 − x
ÅÅÒØ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ×ÁÖÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÆÕÎË ÉÊ.
ðÕÓÔØ f : A −→ B | ÆÕÎË ÉÑ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÉÌÉ ÉÎßÅË ÉÅÊ , ÉÌÉ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÊ , ÅÓÌÉ
f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2
ÄÌÑ ×ÓÅÈ a1 ; a2 ∈ A.
üÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ
a1 6= a2 ⇒ f (a1 ) 6= f (a2 );
Ô. Å. Õ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÅÔ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. éÎÙÍÉ
ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÁÚÎÙÅ ×ÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÄÁÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ.
âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÆÕÎË ÉÀ f ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÉÌÉ ÓÀÒßÅË ÉÅÊ , ÉÌÉ
ÆÕÎË ÉÅÊ €ÎÁ , ÅÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ b ∈ B ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ
a ∈ A, ÞÔÏ b = f (a). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ f .
íÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ f ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÂÉÅË ÉÅÊ , ÅÓÌÉ
ÏÎÁ ËÁË ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ.
ðÒÉÍÅÒ 5.8. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ ÎÁ
ÒÉÓ. 5.7, ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ, Á ËÁËÉÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙ. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓÅ ÂÉÅË ÉÉ.
100
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
(á)
(à)
a
1
a
1
b
2
b
2
c
3
c
3
a
1
a
1
b
2
b
2
(ã)
(â)
3
c
òÉÓÕÎÏË 5.7.
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) äÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ËÁË a, ÔÁË É b. ïÎÁ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÓÀÒßÅË ÉÅÊ, ××ÉÄÕ
ÔÏÇÏ, ÞÔÏ × ÜÌÅÍÅÎÔ 2 ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÅÒÅÈÏÄÉÔ.
(Â) äÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË ËÁË ÎÅ ÉÍÅÅÔ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ïÎÁ ÖÅ É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÅ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ.
(×) úÎÁÞÅÎÉÅ 1 ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ËÁË ÎÁ a, ÔÁË É ÎÁ b. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÎÁ ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. ïÄÎÁËÏ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ × ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ×ÈÏÄÑÔ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ
ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ.
(Ç) ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÎÏ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ.
ÏÌØËÏ × ÓÌÕÞÁÅ (Â) ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÂÉÅË ÉÀ.
ðÒÉÍÅÒ 5.9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ h : Z −→ Z, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ h(x) = x2 É ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, É ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÆÕÎË ÉÅÊ f : R −→ R, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÊ ÖÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f (x) = x2 ,
ÞÅÊ ÇÒÁÆÉË ÂÙÌ ÒÉ×ÅÄÅÎ ×ÙÛÅ. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ h ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÔÏÌØËÏ
5.2. æÕÎË ÉÉ
101
ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. æÁËÔÉÞÅÓËÉ ÇÒÁÆÉË h, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 5.8,
ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÅÒÉÉ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË.
y
9
4
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
òÉÓÕÎÏË 5.8. çÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ h(x) = x2 , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z.
þÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ h ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÉÅ
ÒÁÚÎÙÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ a1 6= a2 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ h(a1 ) = h(a2 ). îÁ ÇÒÁÆÉËÅ
×ÉÄÎÏ ÍÎÏÇÏ ÔÁËÉÈ ÁÒ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. îÁÒÉÍÅÒ, a1 = 2 É a2 = −2.
þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÑ Ó ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØÀ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÆÕÎË ÉÉ h. ïÑÔØ-ÔÁËÉ ÎÁÛ ÇÒÁÆÉË ÏÍÏÇÁÅÔ ÒÉ
ÒÅÛÅÎÉÉ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ìÀÂÏÅ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ −1, ÇÏÄÉÔÓÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ.
ðÒÉÍÅÒ 5.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ k : R −→ R, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ k (x) = 4x + 3, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ k (a1 ) = k (a2 ), Ô. Å.
4a1 + 3 = 4a2 + 3:
éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ 4a1 = 4a2 , ÏÔËÕÄÁ a1 = a2 . úÎÁÞÉÔ, k |
ÉÎßÅË ÉÑ.
ðÕÓÔØ b ∈ R. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
a ∈ R, ÞÔÏ h(a) = b. ñÓÎÏ, ÞÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å a ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ a = 14 (b − 3).
éÔÁË, k | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ.
ðÏÓËÏÌØËÕ k Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ÓÀÒßÅË ÉÅÊ É ÉÎßÅË ÉÅÊ,
ÔÏ ÏÎÁ | ÂÉÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ.
102
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
5.3. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ
É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ
îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : A −→ B | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ f −1 . åÓÌÉ
ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÓÎÏ×Á ÏÌÕÞÉÍ ÆÕÎË ÉÀ, ÔÏ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ É ÉÓÁÔØ f −1 : B −→ A ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ
ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ .
æÕÎË ÉÑ f ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ ×ÉÄÁ (a; b), ÇÄÅ b = f (a). ëÏÇÄÁ f ÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f −1 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ (b; a), ÇÄÅ a = f −1 (b).
úÎÁÞÉÔ, ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÄÏÌÖÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÕÓÌÏ×ÉÀ: ÅÓÌÉ
f (a) = b, ÔÏ f −1 (b) = a. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÅÒÅ×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ.
ðÒÉÍÅÒ 5.11. ëÁËÉÅ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ ÒÉÍÅÒÁ 5.8 ÏÂÒÁÔÉÍÙ?
òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅÍ
ÓÔÒÅÌÏË × ÏÒÇÒÁÆÅ, ÅÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÍ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÔÏÌØËÏ × ÓÌÕÞÁÅ (Â) ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÏÂÒÁÔÉÍÕÀ ÆÕÎË ÉÀ.
áËËÕÒÁÔÎÁÑ ÄÏ×ÏÄËÁ ÉÄÅÉ ÅÒÅÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÓÔÒÅÌÏË ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ
ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÁ ÄÌÑ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ k : R −→ R, k = 4x + 3 (ÓÍ. ÒÉÍÅÒ 5.10).
äÅÊÓÔ×ÉÅ k ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÛÁÇÏ×:
x - õÍÎÏÖÉÔØ
ÎÁ 4
4x - ðÒÉÂÁ×ÉÔØ
3
4x + 3-
ä×Å ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ËÏÍÁÎÄÙ: €ÕÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ 4 É €ÒÉÂÁ×ÉÔØ 3 |
ÌÅÇËÏ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ: €ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ 4 É €×ÙÞÅÓÔØ 3, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ ÓÔÒÅÌÏË ÄÁÅÔ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ:
1
4
(x − 3) òÁÚÄÅÌÉÔØ (x − 3)
ÎÁ 4
÷ÙÞÅÓÔØ 3
x
éÔÁË, k −1 : R −→ R ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ k −1 = 14 (x − 3).
îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÔ ÖÅ ÓÁÍÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ ÕÔÅÍ. ðÕÓÔØ y = k (x), ÔÁË ÞÔÏ x = k −1 (y ).
îÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ y = 4x + 3. ÷ÙÒÁÚÉ× ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y , ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ x = 14 (y − 3). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, k −1 (y ) = 14 (y − 3) ÉÌÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÏÂÙÞÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ x × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, k −1 (x) = 14 (x − 3),
ËÁË ÎÁÍ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ.
5.3. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ
103
ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × ÒÉÍÅÒÁÈ, ÏÂÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ
ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ, ÂÙÌÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÍÉ. üÔÏ ÎÅ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÅ: ÏÂÒÁÔÉÍÙ ÔÏÌØËÏ ÂÉÅË ÉÉ. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ ËÒÉÔÅÒÉÊ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ
ÄÌÑ ÏÂÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ f : A −→ B .
ÅÏÒÅÍÁ. æÕÎË ÉÑ f ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ
ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÞÁÓÔÅÊ.
óÎÁÞÁÌÁ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÂÉÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÂÒÁÔÉÍÁ. ðÕÓÔØ
f : A −→ B | ÂÉÅË ÉÑ. ëÁË ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, f ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ Ó
ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ×:
f = (a; b) : a ∈ A É f (a) = b :
ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÍÅÅÍ:
f −1 = (b; a) : a ∈ A É f (a) = b :
ðÏÓËÏÌØËÕ f ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ b ∈ B ÎÁÊÄÅÔÓÑ
ÔÁËÏÊ a ∈ A, ÞÔÏ f (a) = b. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ××ÉÄÕ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÉÉ f ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï b ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ÁÒÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ f −1 ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ,
ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ
ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. á ÜÔÏ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ f −1
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ, ËÁË É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ.
ÅÅÒØ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÂÑÚÁÎÁ ÂÙÔØ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ f −1 | ÆÕÎË ÉÑ. ÏÇÄÁ
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ b ∈ B ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ A, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ (b; a) ∈ f −1 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (a; b) ∈ f , Ô. Å. b = f (a). üÔÉÍ
ÄÏËÁÚÁÎÁ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ f .
äÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f ÏÓÔÕÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ f (a1 ) = f (a2 ). ÏÇÄÁ ÏÂÅ ÁÒÙ: (f (a1 ); a1 )
É (f (a2 ); a2 ) | ÌÅÖÁÔ × f −1 . ÁË ËÁË f −1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ, ÉÍÅÅÔ
ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: a1 = a2 , ÔÁË ÞÔÏ f ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ, ËÁË É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÏ×ÅÄÅÎÏ ÏÌÎÏÓÔØÀ: ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ É,
× ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÂÉÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÂÒÁÔÉÍÁ. ðÒÉÍÅÒ 5.12. ðÕÓÔØ
A = {x : x ∈ R É x 6= 1}
É f : A −→ A ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
f (x) =
x
x−1
:
104
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ f ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ É ÎÁÊÔÉ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÅÊ ÆÕÎË ÉÀ.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ f (a1 ) = f (a2 ). ÏÇÄÁ
a1
a1 − 1
úÎÁÞÉÔ,
a2
=
a2 − 1
:
a1 a2 − a1 = a1 a2 − a2 ;
ÏÔËÕÄÁ a1 = a2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ.
ðÕÓÔØ b ∈ A | ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ f . îÁÊÄÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔ a
ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÀ: f (a) = b, Ô. Å.
a
a−1
= b:
òÁÚÒÅÛÁÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ a, ÎÁÊÄÅÍ
a=
b
b−1
:
îÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÎÁÊÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔ a = b−b 1 ∈ A, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ f (a) = b. üÔÏ
Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÅÔ Ï ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ f .
éÔÁË, ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ËÁË ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË É ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. úÎÁÞÉÔ, ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ.
ïÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: f −1 (b) = a ×ÓÅÇÄÁ,
ËÏÇÄÁ f (a) = b. îÏ, ËÁË ÍÙ ÕÖÅ ×ÙÑÓÎÉÌÉ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ f ,
a=
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, f −1 : A −→ A,
b
b−1
f −1 (x) =
Ô. Å. ÆÕÎË ÉÑ f ÏÂÒÁÔÎÁ ÓÁÍÁ ÓÅÂÅ.
:
x
x−1
;
íÙ ÚÁËÏÎÞÉÍ ÜÔÏÔ ÁÒÁÇÒÁÆ ÉÚÕÞÅÎÉÅÍ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÆÕÎË ÉÊ.
üÔÉÍ ÏÎÑÔÉÅÍ ÂÏÌÅÅ ÌÅÇËÏ Ï×ÌÁÄÅÔØ, ÎÅÖÅÌÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÏÂÝÉÈ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, Ó ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ × ÎÁÞÁÌÅ ÇÌÁ×Ù.
åÓÌÉ f : A −→ B É g : B −→ C | ÆÕÎË ÉÉ, ÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ g ◦ f ÍÅÖÄÕ A É C ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ ×ÉÄÁ (a; ), ÇÄÅ ÄÌÑ
ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ b ∈ B (a; b) ∈ f É (b; ) ∈ g . ïÄÎÁËÏ ÜÌÅÍÅÎÔ b = f (a)
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï a, ÏÓËÏÌØËÕ f | ÆÕÎË ÉÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÜÌÅÍÅÎÔ = g (b) ÔÁËÖÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï b (g ÔÏÖÅ
5.4. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ
105
ÆÕÎË ÉÑ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÌÅÍÅÎÔ = g (f (a)) ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ a É, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ
f É g | ÓÎÏ×Á ÆÕÎË ÉÑ.
éÔÁË, ËÏÍÏÚÉ ÉÑ g ◦ f : A −→ C Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÊ Ï ÒÁ×ÉÌÕ (g ◦ f )(x) = g (f (x)).
ðÒÉÍÅÒ 5.13. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Å ÆÕÎË ÉÉ: f : R −→ R, f (x) = x2 É
g : R −→ R, g (x) = 4x + 3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ g ◦ f , f ◦ g , f ◦ f É g ◦ g .
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ ÎÏ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÎÁ R ÓÏ ÚÎÁÞÅ-
ÎÉÑÍÉ × R.
(g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g (x2 ) = 4x2 + 3;
(f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (4x + 3) = (4x + 3)2 = 16x2 + 24x + 9;
(f ◦ f )(x) = f (f (x)) = f (x2 ) = x4 ;
(g ◦ g )(x) = g (g (x)) = g (4x + 3) = 4(4x + 3) + 3 = 16x + 15.
÷ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÑÚÙËÁÈ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÛÉÒÏËÏ. ïÎÉ ÄÁÀÔ ÎÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ × ÏÄÒÏÇÒÁÍÍÙ . ÷ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÑÚÙËÏ× ÅÓÔØ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ÂÉÂÌÉÏÔÅËÉ Ó ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÞÁÓÔÏ ÒÉÍÅÎÑÀÝÉÍÉÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ, ÔÁËÉÍÉ ËÁË sin x, log x, |x| É Ô. Ä. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÎÉÈ ÌÅÇËÏ ÓÏÚÄÁ×ÁÔØ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ.
÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÍÏÝÎÙÈ ÑÚÙËÁÈ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ËÁË ÑÚÙËÉ
ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÆÕÎË ÉÊ. çÌÁ×ÎÁÑ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØ ÔÁËÉÈ ÑÚÙËÏ× |
×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ, ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ, ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ. þÔÏÂÙ ÕÍÅÔØ ÜÔÏ ÄÅÌÁÔØ, ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ × ÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Å Ï×ÌÁÄÅÔØ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÆÕÎË ÉÊ. ÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ËÁË ÒÁÚ É
ÂÕÄÅÔ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÁ ÔÁËÁÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ.
5.4. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ
ðÕÓÔØ f : A −→ B | ÆÕÎË ÉÑ, ÒÉÞÅÍ ËÁË A, ÔÁË É B | ËÏÎÅÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ A ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×:
a1 ; a2 ; : : : ; an . ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ÇÌÁÓÉÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ |A| > |B |, ÔÏ Ï
ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ1 . ðÒÏÝÅ
ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÁÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ai 6= aj , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ f (ai ) = f (aj ).
1
äÏÕÓËÁÑ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ×ÏÌØÎÏÓÔØ, ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ×
ÌÅÇËÏ ÚÁÏÍÉÎÁÀÝÅÊÓÑ ÆÏÒÍÅ: ÎÅÌØÚÑ ÒÁÓÓÁÄÉÔØ 10 ÚÁÊ Å× × 9 ËÌÅÔÏË ÔÁË, ÞÔÏÂÙ
× ËÁÖÄÏÊ ËÌÅÔËÅ ÓÉÄÅÌ ÏÄÉÎ ÚÁÑ . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
106
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÒÉÎ ÉÁ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ
ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÒÁÚÎÙÈ ÉÎÄÅËÓÏ× i 6= j ÍÙ ÉÍÅÅÍ: f (ai ) 6= f (aj ). ÏÇÄÁ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×:
f (a1 ); f (a2 ); : : : ; f (an ). é ÕÖ ×Ï ×ÓÑËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, |B | > n, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ: n = |A| > |B |. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÔØ ÈÏÔÑ
ÂÙ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ai ; aj ∈ A, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ f (ai ) = f (aj ).
ðÒÉÍÅÒ 5.14. ÷ Á×ÔÏÂÕÓÅ ÅÄÅÔ 15 ÌÀÄÅÊ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ
ÍÅÒÅ Õ Ä×ÏÉÈ ÉÚ ÎÉÈ ÄÅÎØ ÒÏÖÄÅÎÉÑ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÍÅÓÑ Å.
òÅÛÅÎÉÅ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÀÄÅÊ × Á×ÔÏÂÕÓÅ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÂÕË×ÏÊ A, Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ 12 ÍÅÓÑ Å× ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ B . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ
f : A −→ B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ËÁÖÄÏÍÕ ÞÅÌÏ×ÅËÕ ÉÚ Á×ÔÏÂÕÓÁ ÍÅÓÑ
ÅÇÏ ÒÏÖÄÅÎÉÑ. ÁË ËÁË |A| = 15, Á |B | = 12, ÔÏ |A| > |B |. ðÏ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ ÆÕÎË ÉÑ f ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, Ô. Å.
ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Á ÞÅÌÏ×ÅËÁ Ó ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ÍÅÓÑ ÅÍ ÒÏÖÄÅÎÉÑ.
úÁÄÁÞÕ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 5.14 ÌÅÇËÏ ÒÅÛÉÔØ É ÍÅÎÅÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ. äÁÎÏ 15 ÞÅÌÏ×ÅË É 12 ÍÅÓÑ Å×. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×ÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÒÏÄÉÌÉÓØ × ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÍÅÓÑ .
ðÒÉ ÜÔÏÍ ÔÒÕÄÎÏ ÏÎÑÔØ, ÚÁÞÅÍ ÎÁÍ ÒÉÍÅÎÑÔØ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ËÁË ÜÔÏ ÂÙÌÏ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. ïÄÎÁËÏ, ËÁË ÍÙ
Õ×ÉÄÉÍ ÄÁÌØÛÅ, ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÙ ÔÏÌØËÏ
Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÉÎ ÉÁ äÉÒÉÈÌÅ, ÅÓÌÉ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÁÍ ÕÄÁÓÔÓÑ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÏÄÈÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ. ðÏÉÓË ÎÕÖÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ | ×ÓÅÇÄÁ ÓÁÍÁÑ ÔÒÕÄÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ. ëÌÀÞÅ×ÁÑ ÉÄÅÑ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÎÏ×ÁÎ
ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ, ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÒÁÚÍÅÝÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÂßÅËÔÏ× (ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A) × ÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ
ËÌÅÔÏË (ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ). ðÏÜÔÏÍÕ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÏÂßÅËÔÁ ÏÁÄÕÔ × ÏÄÎÕ.
ðÒÉÍÅÒ 5.15. ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÆÁÍÉÌÉÊ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÚÁ-
ÉÓÁÎÏ × ÔÅÌÅÆÏÎÎÏÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ, ÞÔÏÂÙ Ó ÇÁÒÁÎÔÉÅÊ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ
ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å ÆÁÍÉÌÉÉ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ
ÖÅ ÂÕË×Ù É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ?
òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÁÍÉÌÉÊ × ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ, Á B |
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ ÂÕË×, ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ÉÚ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ, ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÀÝÅÇÏ 33 ÂÕË×Ù. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ f : A −→ B
ÆÕÎË ÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ËÁÖÄÏÊ ÆÁÍÉÌÉÉ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÁ ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÁÒÕ ÂÕË×: ÅÒ×ÕÀ É ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÂÕË×Ù ÆÁÍÉÌÉÉ. îÁÒÉÍÅÒ,
f (ëÕÚÎÅ Ï×) = (Ë; ×). íÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÓÏÄÅÒÖÉÔ 33 · 33 = 1 089 ÁÒ
ÂÕË×. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÎÁÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ |A| > |B | = 1 089,
5.4. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ
107
ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ÆÁÍÉÌÉÉ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÅÓÑ É ÏËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÂÕË×Ù. ðÏÜÔÏÍÕ ÔÅÌÅÆÏÎÎÙÊ ÓÒÁ×ÏÞÎÉË
ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 1 090 ÆÁÍÉÌÉÊ2 .
ðÒÉÍÅÒ 5.16. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÁËÉÅ ÂÙ ÑÔØ ÉÆÒ ÉÚ 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7 É 8 ÍÙ ÎÉ ×ÙÂÒÁÌÉ, ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å ÉÚ ÎÉÈ, ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÙÈ
ÒÁ×ÎÁ 9.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ÁÒÙ ÉÆÒ, ÄÁÀÝÉÈ × ÓÕÍÍÅ 9.
{1; 8}; {2; 7}; {3; 6}; {4; 5}:
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÑÔÉ ÉÆÒ (ÎÅ ×ÁÖÎÏ ËÁËÉÈ ËÏÎËÒÅÔÎÏ), Á ÞÅÒÅÚ B ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ:
B = {1; 8}; {2; 7}; {3; 6}; {4; 5} :
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ËÁÖÄÏÊ ÉÆÒÅ
ÉÚ ÑÔÅÒËÉ ÁÒÕ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B , ËÏÔÏÒÁÑ × ÎÅÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ. îÁÒÉÍÅÒ, f (3) = {3; 6}. ðÏ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å ÉÆÒÙ ÉÚ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÏÁÄÕÔ × ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÁÒÕ. ëÏÒÏÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, Ä×Å ÉÚ
ÑÔÉ ÉÆÒ ÄÁÄÕÔ × ÓÕÍÍÅ 9.
ðÒÉÎ É ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÉÀ f : A −→ B , ÇÄÅ A É B | ËÏÎÅÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. åÓÌÉ |A| > k |B |
ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ k , ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ÆÕÎË ÉÉ f , ËÏÔÏÒÏÅ ÏÎÁ ÂÕÄÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ k + 1 ÒÁÚ.
üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÑ
f ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ k ÒÁÚ, ÔÏ ×ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÓÏÓÔÏÉÔ ÎÅ
ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÉÚ k |B | ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
ðÒÉÍÅÒ 5.17. ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÆÁÍÉÌÉÊ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÚÁ-
ÉÓÁÎÏ × ÔÅÌÅÆÏÎÎÏÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ, ÞÔÏÂÙ Ó ÇÁÒÁÎÔÉÅÊ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ
ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ ÑÔØ ÆÁÍÉÌÉÊ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ
ÖÅ ÂÕË×Ù ÁÌÆÁ×ÉÔÁ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ?
òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ f : A −→ B | ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 5.15. ëÁË ÍÙ
ÕÖÅ ÏÄÓÞÉÔÁÌÉ, B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 1 089 ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. þÔÏÂÙ Ï ËÒÁÊÎÅÊ
ÍÅÒÅ ÑÔØ ÆÁÍÉÌÉÊ ÎÁÞÉÎÁÌÉÓØ É ÏËÁÎÞÉ×ÁÌÉÓØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ, ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ, ÞÔÏÂÙ |A| > 4|B | = 4 356. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÅÌÅÆÏÎÎÙÊ ÓÒÁ×ÏÞÎÉË ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÞÅÍ 4 357 ÁÂÏÎÅÎÔÏ×.
2
åÓÌÉ ÕÞÅÓÔØ, ÞÔÏ ÆÁÍÉÌÉÉ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó ÂÕË× €ø É €ÿ, ÔÏ ÔÒÅÂÕÅÍÙÊ
ÏÂßÅÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÁ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÍÅÎØÛÅ. ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ ÅÇÏ ÎÁÊÔÉ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
108
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
ðÒÉÍÅÒ 5.18. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÊ ÇÒÕÅ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÞÅÌÏ×ÅË
ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÒÏÅ, ÚÎÁËÏÍÙÅ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, ÉÌÉ ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ
ÎÅ ÚÎÁÀÝÉÅ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ x | ÏÄÉÎ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÌÀÄÅÊ, A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÑÔÉ ÌÀÄÅÊ × ÇÒÕÅ É B = {0; 1}. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÆÕÎË ÉÀ
f : A −→ B Ï ÒÁ×ÉÌÕ:
f (a) =
0; ÅÓÌÉ a ÎÅ ÚÎÁËÏÍ Ó x;
1; ÅÓÌÉ a ÚÎÁËÏÍ Ó x:
ðÏÓËÏÌØËÕ 5 = |A| > 2|B |, ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÒÉ ÞÅÌÏ×ÅËÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÉÂÏ
×ÓÅ ÚÎÁËÏÍÙ Ó x, ÌÉÂÏ ×ÓÅ ÔÒÏÅ ÅÇÏ ÎÅ ÚÎÁÀÔ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÔÒÉ ÞÅÌÏ×ÅËÁ a, b É ÚÎÁËÏÍÙ Ó x.
åÓÌÉ ×ÓÅ ÔÒÉ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÎÅ ÚÎÁËÏÍÙ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÁËÁÑ-ÔÏ ÁÒÁ, ÓËÁÖÅÍ a É b ÚÎÁÅÔ ÄÒÕÇ
ÄÒÕÇÁ. îÏ ÏÎÉ ÖÅ ÚÎÁËÏÍÙ É Ó x. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÔÒÏÅ ÌÀÄÅÊ: a, b É x |
ÈÏÒÏÛÉÅ ÚÎÁËÏÍÙÅ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÁÚÂÉÒÁÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ÎÁÛÌÁÓØ
ÔÒÏÊËÁ ÌÀÄÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ Ó x ÎÅ ÚÎÁËÏÍÙ.
ðÒÅÄÙÄÕÝÉÅ ÒÉÍÅÒÙ ÎÁÇÌÑÄÎÏ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÀÔ, ÞÔÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÒÉÎ ÉÁ äÉÒÉÈÌÅ ÔÒÅÂÕÅÔ ÁËËÕÒÁÔÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ É,
ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ, ÔÏÎËÉÈ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. õÄÁÞÎÏ, ÞÔÏ × ÎÁÛÉÈ ÒÉÍÅÒÁÈ ÂÙÌÏ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÓÌÏÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ A É B . ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÔÁË ÂÙ×ÁÅÔ ÄÁÌÅËÏ
ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, É × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÒÁÚÏ×ØÅÍ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÅÒÅÓÞÅÔÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÑÔ ÎÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ
ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÞØÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5
5.1. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ
{1; 2; 3}
É
{1; 2; 3; 4};
ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÁÒ:
R = (1; 1); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 4) :
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ
{1; 2; 3; 4}
É
{1; 2};
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5
109
ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÁÒ:
S = (1; 1); (1; 2); (2; 1); (3; 1); (4; 2) :
÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ R−1 , S −1 É S ◦ R. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ
(S ◦ R )− 1 = R − 1 ◦ S − 1 :
5.2. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ €... ÒÏÄÉÔÅÌØ ..., Á S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
€... ÂÒÁÔ ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. äÁÊÔÅ ËÒÁÔËÏÅ ÓÌÏ×ÅÓÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ: R−1 , S −1 , R ◦ S , S −1 ◦ R−1 É R ◦ R.
5.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÎÁ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A, ÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë ÎÅÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R−1 ÔÏÖÅ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A. ëÁËÏ×Á Ó×ÑÚØ
ÍÅÖÄÕ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ R É R−1 ?
5.4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ R É S ÚÁÄÁÎÙ ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ M É N ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ,
ÇÄÅ
M =
é
é
ì
ì
ì
é
É
é

é
N =
ì

ì
é
é
é
ì
é

é
ì :
é
÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÂÕÌÅ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ M N . ëÁËÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÜÔÉÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ?
5.5. ðÕÓÔØ A = {0; 2; 4; 6} É B = {1; 3; 5; 7}. ëÁËÉÅ ÉÚ ÎÉÖÅÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÆÕÎË ÉÑÍÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ A ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × B ?
(Á)
(6;
(Â) (2;
(×) (2;
(Ç) (6;
3); (2; 1); (0; 3); (4; 5) ;
3); (4; 7); (0; 1); (6; 5) ;
1); (4; 5); (6; 3) ;
1); (0; 3); (4; 1); (0; 7); (2; 5) .
ëÁËÉÅ ÉÚ ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ, Á ËÁËÉÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙ?
5.6. ðÒÏ ËÁÖÄÕÀ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÞØÉ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅ-
ÎÉÑ É ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó Z, ÓËÁÖÉÔÅ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÏÎÉ
ÉÎßÅË ÉÑÍÉ, ÓÀÒßÅË ÉÑÍÉ ÉÌÉ ÂÉÅË ÉÑÍÉ.
(Á) f (n) = 2n + 1;
110
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
(Â) g (n) =
(×) h(n) =
n;
ÅÓÌÉ n ÞÅÔÎÏ;
2
2n; ÅÓÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÏ;
n + 1;
n − 1;
ÅÓÌÉ n ÞÅÔÎÏ;
ÅÓÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÏ:
5.7. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÇÒÁÆÉËÉ ÆÕÎË ÉÊ:
(Á) f : Z −→ Z, f (x) = x2 + 1;
(Â) g : N −→ N, g (x) = 2x ;
(×) h : R −→ R, h(x) = 5x − 1;
2x − 3 ÅÓÌÉ x > 1;
(Ç) j : R −→ R, j (x) =
x+1
ÅÓÌÉ x < 1;
(Ä) k : R −→ R, k (x) = x + |x|;
(Å) l : R −→ R, l(x) = 2x − |x|.
îÁÚÏ×ÉÔÅ ÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ É ÓËÁÖÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÎÉÈ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ, Á ËÁËÉÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙ (|x| ÚÄÅÓØ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÏÄÕÌØ
ÞÉÓÌÁ x, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÊ Ó x ÒÉ x > 0 É ÒÁ×ÎÙÊ −x ÒÉ x < 0).
5.8. æÕÎË ÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÅÌÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÞÉÓÌÁ , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ x ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÅ x, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÔÁË: ⌊x⌋.
(Á) ðÕÓÔØ A = {−1; 0; 1; 2} É jÆÕÎË kÉÑ f : A −→ Z ÏÒÅ2
ÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: f (x) = x 3+1 : îÁÊÄÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÚÎÁÞÅÎÉÊ f .
(Â) ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÆÕÎË ÉÑ g : Z −→ Z, ÚÁÄÁÎÎÁÑ
ÆÏÒÍÕÌÏÊ
jnk
g (n) =
2
ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ, ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÉÌÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ.
5.9. æÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÚÁÄÁÎÁ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: f (x) = 1 + x2 , ÇÄÅ A
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ 0,
Á B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÂÅÚ 1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
f ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ É ÎÁÊÄÉÔÅ ÏÂÒÁÔÎÕÀ Ë ÎÅÊ ÆÕÎË ÉÀ.
5.10. æÕÎË ÉÉ f : R −→ R É g : R −→ R ÚÁÄÁÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ:
f (x) = x2
É
(
2x + 1;
g (x) =
−x;
ÅÓÌÉ x > 0;
ÅÓÌÉ x < 0:
÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ: f ◦ g , g ◦ f É g ◦ g .
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5
111
5.11. ðÕÓÔØ f : A −→ B É g : B −→ C | ÆÕÎË ÉÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
(Á) ÅÓÌÉ f É g ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ, ÔÏ g ◦ f ÔÏÖÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ;
(Â) ÅÓÌÉ f É g ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙ, ÔÏ g ◦ f ÔÏÖÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ;
(×) ÅÓÌÉ f É g ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÔÏ (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
5.12. (Á) óËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÎÕÖÎÏ ÂÒÏÓÉÔØ ÉÇÒÁÌØÎÕÀ ËÏÓÔØ, ÞÔÏÂÙ
ËÁËÏÅ-ÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÁ ÎÅÊ ×ÙÁÌÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×ÁÖÄÙ?
(Â) óËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÎÕÖÎÏ ÂÒÏÓÉÔØ Ä×Å ÉÇÒÁÌØÎÙÅ ËÏÓÔÉ, ÞÔÏÂÙ
Ó ÇÁÒÁÎÔÉÅÊ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ: ÓÕÍÍÁ ×ÙÁ×ÛÉÈ
ÏÞËÏ× ÏÑ×ÉÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×ÁÖÄÙ?
(×) óËÏÌØËÏ ËÁÒÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÔÁÝÉÔØ ÉÚ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ËÏÌÏÄÙ × 52 ËÁÒÔÙ, ÞÔÏÂÙ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÁÌÉÓØ ÈÏÔÑ ÂÙ
Ä×Å ÏÄÎÏÊ ÍÁÓÔÉ?
(Ç) óËÏÌØËÏ ËÁÒÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÔÁÝÉÔØ ÉÚ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ËÏÌÏÄÙ × 52 ËÁÒÔÙ, ÞÔÏÂÙ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÁÌÉÓØ ÈÏÔÑ ÂÙ
ÞÅÔÙÒÅ ÏÄÎÏÊ ÍÁÓÔÉ?
5.13. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ × ÏÄÎÏÍ ÓÅÌÅ ÒÏÖÉ×ÁÅÔ 79 ÓÅÍÅÊ, × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ
ËÏÔÏÒÙÈ Ï 2 ÒÅÂÅÎËÁ.
(Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ÓÅÍØÉ, ×
ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÍÅÓÑ Ù ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÏÉÈ ÄÅÔÅÊ, Ô. Å.,
ÅÓÌÉ × ÅÒ×ÏÊ ÓÅÍØÅ ÄÅÔÉ ÒÏÄÉÌÉÓØ × ÑÎ×ÁÒÅ É ÍÁÅ, ÔÏ É
×Ï ×ÔÏÒÏÊ | × ÑÎ×ÁÒÅ É ÍÁÅ.
(Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Õ ÛÅÓÔÅÒÙÈ ÄÅÔÅÊ ÉÍÅÎÁ
ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÂÕË×Ù.
5.14. ðÕÓÔØ S = {1; 2; : : : ; 20}.
(Á) ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ
×ÚÑÔØ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÞÔÏÂÙ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÉÚ ÎÉÈ
× ÓÕÍÍÅ ÄÁ×ÁÌÉ 22?
(Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÚÑÔØ 11 ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ,
ÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÂÕÄÅÔ ÄÅÌÉÔØ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ × ×ÙÂÏÒËÅ.
(õËÁÚÁÎÉÅ: ÉÓÏÌØÚÕÊÔÅ ÆÕÎË ÉÀ f , ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÖÄÏÍÕ ÅÌÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÅÇÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ. îÁÒÉÍÅÒ, f (12) = 3.)
112
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
ïÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ R ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ËÁË R−1 ; ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ B É A É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ: R−1 = (b; a) : (a; b) ∈ R .
ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B , É S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ B É ÔÒÅÔØÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ C . ëÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ A É C , ËÏÔÏÒÏÅ
ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ:
S ◦ R = (a; ) : a ∈ A; ∈ C É a R b; b S ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ b ∈ B :
ðÕÓÔØ M É N | ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ìÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÉÌÉ ÂÕÌÅ×ÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÁÔÒÉ M N
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ËÏÍÏÚÉ ÉÉ S ◦ R.
æÕÎË ÉÅÊ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × B , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ f ÍÅÖÄÕ A É B , ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ B .
úÁÉÓØ f : A −→ B ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÆÕÎË ÉÀ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B . íÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ f ,
Á B | ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f . íÙ ÉÛÅÍ y = f (x), ÞÔÏÂÙ
ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ y ∈ B | ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ f , ÒÉÎÉÍÁÅÍÏÅ
ÎÁ ÁÒÇÕÍÅÎÔÅ x. ÏÔ ÖÅ y ÅÝÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÂÒÁÚÏÍ x ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ f .
íÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × B :
f (A) = f (x) : x ∈ A (ÎÅ ÕÔÁÊÔÅ Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ).
æÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ (ÉÌÉ ×ÚÁÉÍÎÏ
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÊ), ÅÓÌÉ f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ a1 ; a2 ∈ A.
æÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÅÓÌÉ
ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ b ∈ B ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ a ∈ A, ÞÔÏ f (a) = b.
æÕÎË ÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ËÁË ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÂÉÅË ÉÅÊ ÉÌÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ.
åÓÌÉ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ÆÕÎË ÉÉ f ÓÎÏ×Á ÆÕÎË ÉÑ, ÔÏ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ f ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ. æÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ñÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ
113
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ. ïÂÒÁÔÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ Ë f ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ
ÓÉÍ×ÏÌÏÍ f −1 : B −→ A. åÓÌÉ f (a) = b, ÔÏ f −1 (b) = a.
ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ f : A −→ B | ÆÕÎËÉÑ, ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÁÑ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A × ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ,
ÒÉÞÅÍ |A| > |B |, ÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ f ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ
ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ. åÓÌÉ |A| > k |B | ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ k ,
ÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f Ï×ÔÏÒÉÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ k + 1 ÒÁÚ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ñÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ
ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ñÚÙË ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÅÒÉÒÕÅÔ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ,
ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. ÁËÉÅ ÑÚÙËÉ ÕÓÅÛÎÏ
ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÜËÓÅÒÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ, ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÂÝÅÓÍÙÓÌÏ×ÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÑÚÙËÏ×ÙÈ ÉÎÔÅÒÆÅÊÓÏ× É ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÀÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ
ÒÅÞÉ É ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ.
óÉÌÁ ÜÔÉÈ ÑÚÙËÏ× ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÉÈ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÉ ÓÔÒÏÉÔØ ÓÌÏÖÎÙÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÉÚ ÒÏÓÔÙÈ, ËÏÍÂÉÎÉÒÕÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÉÉ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ, ÓÏÚÄÁÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÔ ÓÌÏÖÎÙÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÄÏÓÔÕÎÙÅ É ×ÅÓØÍÁ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ.
úÄÅÓØ ÍÙ ÏÉÛÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÅÒÉÒÕÅÔ Ó ÔÅËÓÔÏÍ ÔÁË, ËÁË ÜÔÏ ÍÏÖÅÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ × ÒÏÓÔÏÍ
ÔÅËÓÔÏ×ÏÍ ÒÅÄÁËÔÏÒÅ.
ðÕÓÔØ C = €Á; €Â; €×; : : : ; €Ñ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÉÔÅÒ ÎÉÖÎÅÇÏ ÒÅÇÉÓÔÒÁËÌÁ×ÉÁÔÕÒÙ ËÏÍØÀÔÅÒÁ Ó ËÉÒÉÌÌÉ ÅÊ, Á P ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï 0; 1; 2; : : : . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ S ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÒÏË (ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ) ÜÔÉÈ ÌÉÔÅÒ. îÁÒÉÍÅÒ, €ÍÙÛ؁ | ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S, ËÁË É ÕÓÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ € .
äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ:
har
: S −→ C, ÇÄÅ
har(s)
| ÅÒ×ÁÑ ÂÕË×Á ÎÅÕÓÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ s.
: S −→ S, ÇÄÅ rest(s) | ÓÔÒÏËÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÉÚ ÎÅÕÓÔÏÊ
ÓÔÒÏËÉ s ÕÄÁÌÅÎÉÅÍ ÅÅ ÅÒ×ÏÊ ÌÉÔÅÒÙ.
rest
add har : C × S −→ S, ÇÄÅ add har( ; s) | ÓÔÒÏËÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÉÚ s ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ Ë ÅÅ ÎÁÞÁÌÕ ÌÉÔÅÒÙ .
len
: S −→ P, ÇÄÅ
len(s)
| ÞÉÓÌÏ ÌÉÔÅÒ × ÓÔÒÏËÅ s.
114
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
ðÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏ ÎÁÛÉ ÓÅ ÉÆÉÞÅÓËÉÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÁÓ ÎÅ
ÄÏÌÖÎÏ ×ÏÌÎÏ×ÁÔØ, ËÁË ÏÎÉ ÕÓÔÒÏÅÎÙ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÎÉÚËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÄÏÓÔÕ Ë ÎÉÍ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÔÁË ÖÅ,
ËÁË É Ë ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍ ÆÕÎË ÉÑÍ ÎÁ ËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÅ | ÒÏÓÔÙÍ ÎÁÖÁÔÉÅÍ ËÎÏËÉ.
úÁÄÁÞÁ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ
har(s),
len(rest(s)) É
add har
ÅÓÌÉ s = €ÓÏ΁.
har(s); add har
€Ì;
,
rest(s)
òÅÛÅÎÉÅ.
har(s)
=
har(€ÓÏ΁)
= €Ó;
len(rest(s))
= len(rest(€ÓÏ΁)) = len(€Ï΁) = 2;
add har
har(s); add har €Ì; rest(s)
=
= add har €Ó; add har €Ì; rest(€ÓÏ΁) =
= add har €Ó; add har(€Ì; €Ï΁) =
= add
har(€Ó;
€ÌÏ΁) = €ÓÌÏ΁.
úÁÄÁÞÁ 2. ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÆÕÎË ÉÉ
add har( har(s); add har( ; rest(s)));
ÇÄÅ s | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÎÅÕÓÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ, Á
| ÌÀÂÁÑ ÌÉÔÅÒÁ.
òÅÛÅÎÉÅ. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÜÔÁ
ÆÕÎË ÉÑ ×ÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÏ×ÕÀ ÌÉÔÅÒÕ €  ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÊ
ÌÉÔÅÒÙ ÓÔÒÏËÉ s.
úÁÄÁÞÁ 3. æÕÎË ÉÑ third : S −→ C ÎÕÖÎÁ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÔÒÅ-
ÔØÅÊ Ï ÓÞÅÔÕ ÌÉÔÅÒÙ × ÓÔÒÏËÅ ÉÚ ÔÒÅÈ É ÂÏÌÅÅ ÌÉÔÅÒ. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ
ÆÕÎË ÉÀ third ÞÅÒÅÚ har É rest.
òÅÛÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ ÌÉÔÅÒÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ s ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÊ ÄÌÉÎÙ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÅÒ×ÙÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ÓÔÒÏËÉ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÉÚ s ÕÄÁÌÅÎÉÅÍ
ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ. ðÏÜÔÏÍÕ
third(s)
=
har(rest(rest(s))):
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ñÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ
115
úÁÄÁÞÁ 4. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÁÊÄÉÔÅ
ÆÕÎË ÉÀ reverse2 : S −→ S, ËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÅÒ×ÙÅ Ä×Å
ÌÉÔÅÒÙ × ÓÔÒÏËÅ ÄÌÉÎÙ 2 É ÂÏÌÅÅ.
ðÕÓÔØ s | ××ÏÄÉÍÁÑ ÓÔÒÏËÁ. ðÅÒ×ÁÑ ÌÉÔÅÒÁ ×Ù×ÏÄÉÍÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÒÁ×ÎÁ har(rest(s)), Á ×ÔÏÒÁÑ | har(s). ïÓÔÁÌØÎÙÅ
ÌÉÔÅÒÙ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÉÚÍÅÎÎÙÍÉ É ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó rest(rest(s)). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ reverse2(s) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ:
òÅÛÅÎÉÅ.
add har( har(rest(s)); add har( har(s); rest(rest(s)))):
úÁÄÁÞÁ 5. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ×ÚÑ× × ËÁÞÅÓÔ×Å ××ÏÄÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ s = €ËÌρ.
Input s
begin
u := € ;
t := s;
i := 0;
while i < len(s) do
:= har(t);
t := rest(t);
u := add har( ; u);
i := i + 1;
end
Output u
þÔÏ ÄÅÌÁÅÔ ÜÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ?
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÏÓÌÅÄÉÍ ÚÁ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ , t, u É
i × ÔÅÞÅÎÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ÉËÌÁ while É Ó×ÅÄÅÍ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ
× ÔÁÂÌ. 5.1
ÁÂÌÉ Á 5.1
ðÒÏÈÏÄ
ÉËÌÁ
0
1
2
3
4
|
€Ë
€Ì
€Ï
€
t
u
i
€ËÌρ
€Ìρ
€Ï
€
€
€
€Ë
€Ìˁ
€ÏÌˁ
€ÏÌˁ
0
1
2
3
3
i <
4?
äÁ
äÁ
äÁ
äÁ
îÅÔ
áÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÌÉÔÅÒÙ ÓÔÒÏËÉ × ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ.
116
çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ
ëÁË ÷Ù ÍÏÇÌÉ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÁÛÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÎÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ××ÏÄÉÍÙÈ ÓÔÒÏË. îÁÒÉÍÅÒ, rest ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ
ÓÔÒÏËÅ s = € , Á reverse2 ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÓÔÒÏËÁÈ ÄÌÉÎÙ ÍÅÎØÛÅ 2. ðÒÉÞÉÎÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÍÁÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÅÒÕÔÓÑ ×ÈÏÄÎÙÅ
ÄÁÎÎÙÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÆÕÎË ÉÉ . õ ÎÉÈ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ×ÈÏÄÎÙÅ É ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ, ÎÏ
ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÚÎÁÞÅÎÉÊ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ rest Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÁË:
rest : S −→ S,
ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ: s ∈ S É s 6= € ,
ÇÄÅ rest(s) | ÓÔÒÏËÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÉÚ s, ÕÄÁÌÅÎÉÅÍ ÅÅ ÅÒ×ÏÊ ÌÉÔÅÒÙ.
òÁÂÏÔÁÑ Ó ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÂÙÔØ ÏÞÅÎØ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÙÍ. ðÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÆÕÎË ÉÑ
rest(rest(s)) ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÓÔÒÏËÁÈ ÄÌÉÎÙ 1 ÉÌÉ ÍÅÎØÛÅ, ÔÏ
ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ rest ◦ rest | s ∈ S É len(s) > 1.
çìá÷á 6
ëïíâéîáïòéëá
ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÅÊÓÑ ÏÄÓÞ£ÔÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. îÁ ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ,
ËÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, ×ÏÒÏÓ Ï ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÁÓÔÏ ÏÞÅÎØ ÔÒÕÄÎÏ
ÄÁÔØ ÏÔ×ÅÔ. íÙ ÕÖÅ ÒÅÛÁÌÉ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÚÁÄÁÞÉ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ (ÇÌÁ×Á 3) É ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ (ÇÌÁ×Á 5).
÷ ÜÔÏÊ ÖÅ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÏÂÒÁÔÉÍÓÑ Ë ÄÒÕÇÉÍ ÚÁÄÁÞÁÍ ÅÒÅÓÞÅÔÁ, ÞØÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ Ä×ÕÈ ÎÏ×ÙÈ ÒÉÎ ÉÏ×: ÒÁ×ÉÌ ÓÕÍÍÙ
É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ.
ïÂÝÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÓÞÅÔÁ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ×ÙÂÏÒËÏÊ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÌÅÚÎÏ
ÄÅÌÉÔØ ÎÁ ÔÉÙ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁË ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ: Ó
Ï×ÔÏÒÅÎÉÅÍ ÉÌÉ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, Ó ÕÞÅÔÏÍ ÏÒÑÄËÁ ×ÙÂÏÒÁ ÉÌÉ ÂÅÚ
ÏÎÏÇÏ. íÙ ×Ù×ÅÄÅÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÔÉÏ×
ÚÁÄÁÞ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Ù ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÂÉÎÏÍÏÍ îØÀÔÏÎÁ É ÕÓÔÁÎÏ×ÉÍ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÅÇÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ É ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌ ÏÄÓÞÅÔÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÁÎÅÅ. üÔÁ Ó×ÑÚØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ
ÏÂÏÂÝÅÎÁ ÎÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË
× ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ:
(x1 + x2 + · · · + xk )n :
ïÎÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ×ÙÂÏÒÏË ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÇÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ.
ðÏÓÌÅ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ É ËÒÁÔËÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ ÇÌÁ×Ù, ÍÙ ÚÁÊÍÅÍÓÑ
ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× . üÔÏ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÊ
Ë ÒÏÂÌÅÍÁÍ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÉ.
6.1. ðÒÁ×ÉÌÁ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
îÁÞÎÅÍ ÜÔÏÔ ÁÒÁÇÒÁÆ Ó ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÒÑÄÁ ÒÏÓÔÙÈ ÚÁÄÁÞ.
úÁÄÁÞÁ 1. ÷ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ËÏÎÄÉÔÅÒÓËÏÊ Ë ËÏÎ Õ ÒÁÂÏÞÅÇÏ ÄÎÑ
ÏÓÔÁÌÏÓØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÒÏÖÎÙÈ: ÞÅÔÙÒÅ ×ÁÎÉÌØÎÙÈ, Ä×Á ÛÏËÏÌÁÄÎÙÈ
É ÔÒÉ ÆÒÕËÔÏ×ÙÈ. ïÄÉÎ ÏËÕÁÔÅÌØ ÓÏÂÉÒÁÅÔÓÑ ËÕÉÔØ ÉÒÏÖÎÙÅ
ÅÒÅÄ ÚÁËÒÙÔÉÅÍ ËÏÎÄÉÔÅÒÓËÏÊ. óËÏÌØËÏ ÉÒÏÖÎÙÈ ÍÏÖÅÔ ×ÙÂÒÁÔØ
ÏËÕÁÔÅÌØ?
118
çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ
úÁÄÁÞÁ 2. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÓÍÅÛÁÎÎÕÀ ËÏÍÁÎÄÕ, ËÏÔÏÒÁÑ
ÂÕÄÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÍÅÓÔÎÙÊ ÔÅÎÎÉÓÎÙÊ ËÌÕ ÎÁ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑÈ. ÷ ÓÏÒÔÉ×ÎÏÍ ËÌÕÂÅ ÓÏÓÔÏÑÔ 6 ÖÅÎÝÉÎ É 9 ÍÕÖÞÉÎ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÁÒ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÄÌÑ ÕÞÁÓÔÉÑ × ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑÈ?
úÁÄÁÞÁ 3. óËÏÌØËÏ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó 3 ÉÌÉ 4?
ðÅÒ×ÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ ÏÄÓÞÅÔÏÍ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÉÒÏÖÎÙÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÍÙ ÒÏÓÔÏ ÍÏÖÅÍ ÓÌÏÖÉÔØ ÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á. üÔÏ
ÄÁÅÔ 4 + 2 + 3 = 9 ÉÒÏÖÎÙÈ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏËÕÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ
×ÙÂÏÒ.
÷Ï ×ÔÏÒÏÊ ÚÁÄÁÞÅ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 6 ÖÅÎÝÉÎ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÍÏÖÅÍ
×ÙÂÒÁÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØÎÉ Õ ËÌÕÂÁ, É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÍÙ ÍÏÖÅÍ
ÏÄÏÂÒÁÔØ ÁÒÔÎÅÒÁ ÓÒÅÄÉ ÄÅ×ÑÔÉ ÍÕÖÞÉÎ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÝÅÅ
ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÒÁ×ÎÏ 6 · 9 = 54.
üÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÔ Ä×Á ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ ÒÁ×ÉÌÁ ÅÒÅÓÞÅÔÁ.
ðÒÁ×ÉÌÏ ÓÕÍÍÙ ÇÌÁÓÉÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A É B | ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÏÂÙÔÉÑ, É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ A, É n2 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ B , ÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ
€A ÉÌÉ B  ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ n1 + n2 .
ðÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÁÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ k ÓÏÂÙÔÉÊ Ó n1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ ÅÒ×ÏÇÏ, n2 | ×ÔÏÒÏÇÏ, É Ô. Ä., ×ÌÏÔØ ÄÏ nk ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ
ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ k ÓÏÂÙÔÉÊ ÒÁ×ÎÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ
n1 · n2 · · · nk .
ðÒÁ×ÉÌÏ ÓÕÍÍÙ, Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ, | ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ A É B ËÁË
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÓÈÏÄÏ×, ÔÏ |A| = n1 , |B | = n2 ; Á ÏÓËÏÌØËÕ ÓÏÂÙÔÉÑ A É
B ÎÅ Ó×ÑÚÁÎÙ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. ÏÇÄÁ, Ï ÆÏÒÍÕÌÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É
ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ, |A ∪ B | = |A| + |B |, Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ B ÓÏÄÅÒÖÉÔ
n1 + n2 ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n1 + n2 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ
ÉÓÈÏÄÁ ÓÏÂÙÔÉÑ €A ÉÌÉ B .
ðÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÔÏÖÅ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁ ÑÚÙËÅ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ðÕÓÔØ A1 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï n1 ÉÓÈÏÄÏ× ÅÒ×ÏÇÏ
ÓÏÂÙÔÉÑ, A2 | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï n2 ÉÓÈÏÄÏ× ×ÔÏÒÏÇÏ, É Ô. Ä. ÏÇÄÁ ÌÀÂÕÀ
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ k ÓÏÂÙÔÉÊ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÜÌÅÍÅÎÔ
ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A1 × A2 × · · · × Ak , ÞØÑ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÁ
|A1 | · |A2 | · · · |Ak |.
ÅÅÒØ ÍÙ ÇÏÔÏ×Ù ÒÅÛÉÔØ ÔÒÅÔØÀ ÉÚ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ.
ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ÓÕÍÍÙ, ÔÁË É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. ÒÅÈÚÎÁÞÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ × ÚÁÄÁÞÅ, ÅÓÔÅ-
6.1. ðÒÁ×ÉÌÁ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
119
ÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ Ä×Á ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ËÌÁÓÓÁ.
ë ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÎÉÈ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÞÉÓÌÁ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÅÓÑ Ó 3, Á ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ | Ó 4. äÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ÞÉÓÅÌ × ÅÒ×ÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÉÎ ×ÏÚÍÏÖÎÙÊ ÉÓÈÏÄ ÄÌÑ ÅÒ×ÏÊ ÉÆÒÙ (ÏÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ
ÒÁ×ÎÁ 3), 10 ÉÓÈÏÄÏ× ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÊ É 10 ÉÓÈÏÄÏ× ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÉÆÒÙ.
ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅÇÏ ÞÉÓÅÌ × ÅÒ×ÏÍ ËÌÁÓÓÅ
ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ 1 · 10 · 10 = 100. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ËÌÁÓÓÅ. ïÎÏ ÔÏÖÅ ÒÁ×ÎÏ 100. îÁËÏÎÅ ,
Ï ÒÁ×ÉÌÕ ÓÕÍÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 100 + 100 = 200 ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈÓÑ Ó 3 ÉÌÉ 4.
ðÒÉÍÅÒ 6.1. ñ ÈÏÞÕ ×ÚÑÔØ Ó ÓÏÂÏÊ ÄÌÑ ÌÁÎÞÁ Ä×Á ÆÒÕËÔÁ. õ ÍÅÎÑ
ÅÓÔØ ÔÒÉ ÂÁÎÁÎÁ, ÞÅÔÙÒÅ ÑÂÌÏËÁ É Ä×Å ÇÒÕÛÉ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ
Ñ ÍÏÇÕ ×ÙÂÒÁÔØ Ä×Á ÆÒÕËÔÁ ÒÁÚÎÏÇÏ ×ÉÄÁ ÉÚ ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ Õ ÍÅÎÑ?
òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ Ñ ÓÏÂÉÒÁÀÓØ ×ÚÑÔØ ÏÄÉÎ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÁÎÁÎÏ× É ÏÄÎÏ ÉÚ
ÞÅÔÙÒÅÈ ÑÂÌÏË, ÔÏ ÓÄÅÌÁÔØ Ñ ÜÔÏ ÍÏÇÕ 3 · 4 = 12 ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ1 . âÁÎÁÎ É ÇÒÕÛÕ Ñ ÍÏÇÕ ×ÚÑÔØ 3 · 2 = 6 ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ.
îÁËÏÎÅ , ÇÒÕÛÕ É ÑÂÌÏËÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ 4 · 2 = 8 ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÔÒÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÔÏ
×ÓÅÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ Ä×Á ÆÒÕËÔÁ,
ÒÁ×ÎÏ 12 + 6 + 8 = 26.
ðÒÉÍÅÒ 6.2. çÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÇÉÓÔÒÁ ÉÏÎÎÙÊ ÚÎÁË ÌÅÇËÏ×ÏÇÏ
Á×ÔÏÍÏÂÉÌÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒÅÈ ÉÆÒ É ÔÒÅÈ ÂÕË× ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ
(ÎÅ ÓÞÉÔÁÑ ËÏÄÁ ÇÏÒÏÄÁ). âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ × ÎÏÍÅÒÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÕË× É ÉÆÒ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÊ Á×ÔÏÍÏÂÉÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÍÏÖÅÔ ×ÙÄÁÔØ çéâää?
òÅÛÅÎÉÅ. ëÁÖÄÕÀ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕË× ÎÏÍÅÒÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÉÚ 33 ÂÕË×
ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕË× ÒÁ×ÎÏ 33 · 33 · 33 = 35 937. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÞÉÓÌÏ
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÈ ÉÆÒ ÒÁ×ÎÏ 10 · 10 · 10 = 1 000. îÁËÏÎÅ ,
ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ Á×ÔÏÍÏÂÉÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕË×
É ÔÒÅÈ ÉÆÒ, ÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÄÁÅÔ ÉÓËÏÍÙÊ ÏÔ×ÅÔ: 35 937 000
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ Á×ÔÏÍÏÂÉÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÍÏÖÅÔ ×ÙÄÁÔØ çéâää.
1
÷ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÕÝÅÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÄÅÔÁÌØ: Ä×Á ÆÒÕËÔÁ ÏÄÎÏÇÏ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÑ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÈÏÖÉÍÉ ÏÄÉÎ ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ. åÓÌÉ ÂÙ ÍÙ ÎÅ ÍÏÇÌÉ ÏÔÌÉÞÉÔØ
ÏÄÉÎ ÂÁÎÁÎ ÏÔ ÄÒÕÇÏÇÏ É ÏÄÎÕ ÇÒÕÛÕ ÏÔ ÄÒÕÇÏÊ, ÏÔ×ÅÔ ÂÙÌ ÂÙ ÉÎÙÍ. | ðÒÉÍ.
ÅÒÅ× .
120
çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ
6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ
äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅÂÅÎËÕ ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ÍÅÛÏË Ó ËÏÎÆÅÔÁÍÉ ÔÒÅÈ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÊ: €íÉÛËÁ ÎÁ ÓÅ×ÅÒŁ (A), €á ÎÕ-ËÁ ÏÔÎÉÍɁ (B ) É €úÏÌÏÔÏÊ
ÅÔÕÛÏˁ (C ). óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÒÅÂÅÎÏË ÍÏÖÅÔ ×ÙÂÒÁÔØ Ä×Å
ËÏÎÆÅÔÙ ÉÚ ÍÅÛËÁ?
îÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÍÏÖÎÏ ÄÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÔ×ÅÔÏ× × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ
ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÅÇÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ. óÔÁ×Ñ ÚÁÄÁÞÕ, ÍÙ ÎÅ ÕÔÏÞÎÉÌÉ, ÍÏÖÎÏ
ÌÉ ÂÒÁÔØ ËÏÎÆÅÔÙ ÏÄÎÏÇÏ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÑ ÉÌÉ ÎÅÔ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ
ÌÉ ×ÚÑÔØ Ä×Å ËÏÎÆÅÔÙ €íÉÛËÁ ÎÁ ÓÅ×ÅÒŁ, Ô. Å. AA? ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ,
ÉÍÅÅÔ ÌÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÒÑÄÏË ×ÙÂÏÒÁ? éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÌÉ
×ÙÂÏÒ AB ÏÔ BA ÉÌÉ ÎÅÔ?
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÞÅÔÙÒÅ ÒÁÚÎÙÈ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ.
1. ðÏ×ÔÏÒÅÎÉÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ É ÏÒÑÄÏË ×ÙÂÏÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ. ÷ ÜÔÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 9 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ: AA, AB , AC , BA, BB , BC ,
CA, CB É CC .
2. úÁÒÅÝÅÎÏ ÂÒÁÔØ ËÏÎÆÅÔÙ ÏÄÎÏÇÏ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÑ, ÎÏ ÏÒÑÄÏË
ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ. ÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ | 6 ÓÌÕÞÁÅ×: AB , AC , BA, BC ,
CA É CB .
3. ðÏ×ÔÏÒÅÎÉÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ, ÎÏ ÏÒÑÄÏË ×ÙÂÏÒÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.
ÏÇÄÁ ÏÔ×ÅÔ | ÔÏÖÅ 6 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ: AA, AB , AC , BB , BC
É CC .
4. é, ÎÁËÏÎÅ , ÅÓÌÉ ÎÅÌØÚÑ ÂÒÁÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ËÏÎÆÅÔÙ, Á ÏÒÑÄÏË
ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÔÏ Õ ÒÅÂÅÎËÁ ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÒÉ ×ÁÒÉÁÎÔÁ
×ÙÂÏÒÁ: AB , AC É BC .
ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ÏÄÓÞÅÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÓÏÓÏÂÏ×
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÞÅÔËÏ ÏÎÉÍÁÔØ, Ï ËÁËÏÍ ÔÉÅ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ. þÔÏÂÙ ÒÁÚÌÉÞÁÔØ ÎÁ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÔÉ
ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ××ÅÄÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ.
îÁÞÎÅÍ Ó ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÈ ÔÅÒÍÉÎÏ×. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÂÅÒÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ x1 ; x2 ; : : : ; xk ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÍÏÝÎÏÓÔÉ k . ëÁÖÄÙÊ
ÔÁËÏÊ ÎÁÂÏÒ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ×ÙÂÏÒËÏÊ ÏÂßÅÍÁ k ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÌÉ, ÉÎÁÞÅ, (n; k )-×ÙÂÏÒËÏÊ. ÷ÙÂÏÒËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÎÅÊ ÚÁÄÁÎ. ðÒÉ ÜÔÏÍ Ä×Å
ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ×ÙÂÏÒËÉ, ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÌÉÛØ ÏÒÑÄËÏÍ ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÒÁÚÎÙÍÉ. åÓÌÉ ÖÅ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ×ÙÂÏÒËÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÔÏ ×ÙÂÏÒËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ . ÅÅÒØ ××ÅÄÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÅÒÍÉÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÔÉÏÍ
ÕÔÏÞÎÅÎÉÊ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ.
6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ
121
• (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅÍ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ (n; k )-×ÙÂÏÒËÁ, ÜÌÅÍÅÎÔÙ × ËÏÔÏÒÏÊ ÍÏÇÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ;
• (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅÍ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ (n; k )-×ÙÂÏÒËÁ, ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ × ËÏÔÏÒÏÊ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ ÚÁÒÅÝÅÎÏ;
• ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ (n; k )-×ÙÂÏÒËÁ Ó Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÍÉÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅÍ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ;
• ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ (n; k )-×ÙÂÏÒËÁ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅÍ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ .
ðÏÒÏÂÕÅÍ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ. îÁ ÅÒ×ÏÅ ÍÅÓÔÏ ×ÙÂÏÒËÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÏÓËÏÌØËÕ Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ
ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ, ÔÏ ÎÁ ×ÔÏÒÏÅ ÍÅÓÔÏ ÍÙ ÏÑÔØ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÏÊ
ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, É Ô. Ä. ðÏÓËÏÌØËÕ Õ ÎÁÓ k ÍÅÓÔ ×
×ÙÂÏÒËÅ, ÔÏ ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÒÁ×ÎÏ nk .
ðÒÉÍÅÒ 6.3. ãÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ × ËÏÍØÀÔÅÒÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÒÏÞËÏÊ
ÉÚ N Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÚÎÁËÏ×. ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÏÔ×ÅÄÅÎ ÎÁ ÚÎÁË (+ ÉÌÉ −),
Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ N − 1 ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÚÁ ÍÏÄÕÌØ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚ-
ÌÉÞÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÏÍØÀÔÅÒ?
òÅÛÅÎÉÅ. ä×ÏÉÞÎÁÑ ÉÆÒÁ | ÜÔÏ 0 ÉÌÉ 1. äÌÑ ÚÁÉÓÉ ÞÉÓÌÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ N ÔÁËÉÈ ÉÆÒ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ, ÒÅÄÓÔÁ-
×ÌÑÀÝÉÅ ÞÉÓÌÁ, ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ ÉÆÒÙ, É ÏÒÑÄÏË ÉÈ
ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ðÏÜÔÏÍÕ
ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó (2; N )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑÍÉ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ. ðÏ ×Ù×ÅÄÅÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÓÔÒÏË ÒÁ×ÎÏ 2N .
ðÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÅÇÄÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ
ÞÉÓÌÁ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÓÔÒÏË:
−000000 · · · 00
É
+ 000000 · · · 00;
ËÏÔÏÒÙÅ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ 0. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ËÏÍØÀÔÅÒ ÍÏÖÅÔ ÏÅÒÉÒÏ×ÁÔØ
(2N − 1) ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ.
äÌÑ ÞÉÓÌÁ ×ÓÅÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÏ
ÓÅ ÉÁÌØÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ1 : P (n; k ). ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ. îÁ ÅÒ×ÏÅ ÍÅÓÔÏ ×ÙÂÏÒËÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ðÏÓËÏÌØËÕ ÚÄÅÓØ ÎÁÍ ÎÅ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ, ÔÏ ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÍÅÓÔÁ
1
ðÏ ÓÔÁÒÏÊ ÒÕÓÓËÏÊ ÔÒÁÄÉ ÉÉ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ
ÅÒÅ× .
k
An
. |
ðÒÉÍ.
122
çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ
ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ (n − 1) ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. îÁ ÔÒÅÔØÅ | ÉÚ (n − 2) É ÔÁË ÄÁÌÅÅ, ×ÌÏÔØ ÄÏ k -ÇÏ ÍÅÓÔÁ, ËÕÄÁ ÍÏÖÎÏ
ÎÁÉÓÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ (n − k + 1) ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÅÅÒØ ÄÌÑ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ
ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. éÍÅÅÍ
P (n; k ) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1):
äÌÑ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÚÁÉÓÉ ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÔ 1 ÄÏ n ×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n ÆÁËÔÏÒÉÁÌ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ n!. ðÏÒÏÂÕÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÇÏ ÓÉÍ×ÏÌÁ ×ÙÒÁÚÉÔØ
P (n; k ), ÄÌÑ ÞÅÇÏ ÒÏÄÅÌÁÅÍ ÌÅÇËÉÅ, ÈÏÔØ É ÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ.
P (n; k ) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) =
(n − k )(n − k − 1) · · · 2 · 1
=
(n − k )(n − k − 1) · · · 2 · 1
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)(n − k )(n − k − 1) · · · 2 · 1
=
=
(n − k )(n − k − 1) · · · 2 · 1
n!
=
:
(n − k )!
= n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
éÔÁË, ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ
P (n; k ) =
n!
(n − k )!
:
ðÒÉÍÅÒ 6.4. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÞÅÔÙÒÅÈÂÕË×ÅÎÎÙÈ €ÓÌÏׁ ÍÏÖÎÏ
ÎÁÉÓÁÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÂÕË×Ù: Á, Ó, , Ï É Å, ÅÓÌÉ ÏÄ €ÓÌÏ×Ḯ ÍÙ ÂÕÄÅÍ
ÏÎÉÍÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÂÕË×, ÄÁÖÅ
ÅÓÌÉ ÜÔÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅ ÎÅÓÅÔ × ÓÅÂÅ ÎÉËÁËÏÇÏ ÓÍÙÓÌÁ.
òÅÛÅÎÉÅ. ëÁË ÄÏÇÏ×ÏÒÉÌÉÓØ, ÏÄ €ÓÌÏ×Ḯ ÍÙ ÏÎÉÍÁÅÍ ÌÀÂÕÀ
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÁÚÎÙÈ ÂÕË×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ
ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÄÁÎÎÙÈ. úÎÁÞÉÔ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÏÄÓÞÅÔÏÍ ÞÉÓÌÁ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ P (6; 4). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
P (6; 4) =
6!
6!
6·5·4·3·2·1
=
=
:
(6 − 4)!
2!
2·1
ðÏÓÌÅ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ:
P (6; 4) =
6 · 5 · 4 · 3· 6 2· 6 1
= 6 · 5 · 4 · 3 = 360:
6 2· 6 1
6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ
123
ÅÅÒØ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑÍÉ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, Ô. Å. ×ÙÂÏÒËÁÍÉ, ×
ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÑÄÏË ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ É Ï×ÔÏÒÙ ÚÁÒÅÝÅÎÙ. þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ
(n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ2 C (n; k ).
îÁÊÄÅÍ ÅÇÏ.
íÙ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÎÁÍ ÆÁËÔÏÍ: ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )n! . ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÁÚÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ P (n; k ) = (n−
k)!
ÍÅÝÅÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ
ÎÁÌÉÞÉÅÍ ÏÒÑÄËÁ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ P (n; k ), ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ C (n; k ).
åÓÌÉ ÍÙ ÏÊÍÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÍ ÏÔ×ÅÔ.
ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔ. ðÕÓÔØ n = 4, Á k = 3. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A = {1; 2; 3; 4}, ÏÔËÕÄÁ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÂÒÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. ëÁÖÄÏÅ
(4; 3)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ | ÜÔÏ ×ÙÂÏÒ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ
ÔÒÅÈ ÒÁÚÎÙÈ ÉÆÒ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÄÁÎÎÙÈ, ÒÉÞÅÍ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ
ÂÕÄÕÔ ÉÄÔÉ ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÉÆÒÙ, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {1; 2; 3} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ (4; 3)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅÍ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. ðÅÒÅÍÅÛÁ× ÉÆÒÙ × ×ÙÂÒÁÎÎÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å {2; 1; 3}, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ
ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ (ÏÒÑÄÏË ÎÅ ×ÁÖÅÎ), ÎÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÄÒÕÇÏÅ
ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅ (ÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ). ÁË ÓËÏÌØËÏ ÖÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ? ÷ÏÔ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ×ÏÒÏÓ, ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÂÅÄÅ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ (n = 4, k = 3) ÏÔ×ÅÔ ÌÅÇËÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÅÒÅÞÉÓÌÉ× ×ÒÕÞÎÕÀ ×ÓÅ
×ÁÒÉÁÎÔÙ. îÁÍ ÖÅ ÎÁÄÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ Ó ÏÂÝÉÍ ÓÌÕÞÁÅÍ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÅÇÏ ÂÏÌÅÅ ÞÅÔËÏ.
äÁÎÏ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, Ô. Å. ×ÙÂÒÁÎÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ⊂ A, ÇÄÅ |B | = k É |A| = n. óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÅÇÏ
ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÁÚÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ?
æÁËÔÉÞÅÓËÉ, ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï (k; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ
ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ! (ðÏÄÕÍÁÊÔÅ, ÏÞÅÍÕ.) îÏ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÍÙ ÚÎÁÅÍ3 :
P (k; k ) =
k!
= k !:
(k − k )!
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ËÁÖÄÏÅ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ k ! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ,
C (n; k ) =
2
P (n; k )
k!
=
n!
(n − k )! k !
:
k
òÁÎØÛÅ × òÏÓÓÉÉ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÂÙÌÏ ÒÉÎÑÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ
`n´ Cn , Á ÔÅÅÒØ Õ ÎÁÓ, ËÁË É
ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÀÄÕ × ÍÉÒÅ, ÅÇÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÔÁË: k . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
3
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 0! = 1. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
124
çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ
ðÒÉÍÅÒ 6.5. íÅÎÀ × ËÉÔÁÊÓËÏÍ ÒÅÓÔÏÒÁÎÅ ÄÁÅÔ ÷ÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ
×ÙÂÒÁÔØ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ÉÚ ÓÅÍÉ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÂÌÀÄ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÷Ù
ÍÏÖÅÔÅ ÓÄÅÌÁÔØ ÚÁËÁÚ?
òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó (7; 3)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÑÍÉ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅ-
ÎÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÔ×ÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÌÅÇËÏ:
C (7; 3) =
=
7!
7·6·5·4·3·2·1
7!
=
=
=
(7 − 3)! 3!
4! 3!
(4 · 3 · 2 · 1)(3 · 2 · 1)
7 · 6 · 5· 6 4· 6 3· 6 2· 6 1
7· 6 6 · 5
=
= 35:
(6 4· 6 3· 6 2· 6 1)(3 · 2 · 1)
6 3· 6 2· 6 1
éÔÁË, Õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ 35 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÁËÁÚÏ×.
ðÏÓÌÅÄÎÅÅ, ÞÔÏ ÍÙ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ, ÜÔÏ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ×ÙÂÏÒËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÑÄÏË ÎÅ ×ÁÖÅÎ, Á ×ÏÔ Ï×ÔÏÒÙ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÄÏÕÓËÁÀÔÓÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÒÑÄÏË × ÎÁÛÉÈ ×ÙÂÏÒËÁÈ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ, Á Ï×ÔÏÒÙ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÇÒÕÉÒÏ×ÁÔØ
×ÍÅÓÔÅ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÒÁÚÄÅÌÉ× ÇÒÕÙ ËÁËÉÍÉ-ÎÉÂÕÄØ ÍÅÔËÁÍÉ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ÍÙ ÓÄÅÌÁÌÉ ×ÙÂÏÒËÕ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ
ÉÚ ÑÔÉ ÂÕË×, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÏÊ ÉÚ a, Â É ×.
÷ÙÂÏÒËÕ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ Ä×ÕÈ €Á, ÏÄÎÏÊ €Â É Ä×ÕÈ €×, ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ËÁË ÁÁ|Â|××, Á ×ÙÂÏÒËÁ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù €Á É ÞÅÔÙÒÅÈ ÂÕË× €×
ÂÕÄÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÔÁË: Á||××××. äÏÇÏ×ÏÒÉÍÓÑ, ÞÔÏ ÓÌÅ×Á ÏÔ ÅÒ×ÏÊ ÍÅÔËÉ ÌÉÂÏ ÓÔÏÑÔ ÂÕË×Ù €Á, ÌÉÂÏ ÎÉÞÅÇÏ, ÓÒÁ×Á ÏÔ ×ÔÏÒÏÊ ÍÅÔËÉ |
ÌÉÂÏ €×, ÌÉÂÏ ÎÉÞÅÇÏ, Á ÂÕË×Ù €Â, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ × ×ÙÂÏÒËÅ, ÓÔÏÑÔ ÍÅÖÄÕ ÍÅÔËÁÍÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ
ÍÙ ×ÓÅÇÄÁ ÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÓÅÍØ ÑÞÅÅË (ÑÔØ ÂÕË× É Ä×Å ÍÅÔËÉ), ÒÉÞÅÍ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÙÂÏÒËÉ ÂÕÄÕÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÑÞÅÊËÁÍÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÏÑÔ
ÍÅÔËÉ. úÎÁÞÉÔ, ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÍÅÓÔÉÔØ Ä×Å
ÍÅÔËÉ × ÓÅÍØ ÑÞÅÅË. ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÓÔØ ÎÅ
ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (7; 2)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, Ô. Å. ÒÁ×ÎÏ C (7; 2). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÒ×ÕÀ ÍÅÔËÕ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ × ÌÀÂÕÀ
ÉÚ ÓÅÍÉ ÑÞÅÅË, Á ×ÔÏÒÕÀ | × ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÛÅÓÔÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÄÎÁ ÑÞÅÊËÁ ÕÖÅ ÚÁÎÑÔÁ. üÔÏ ÄÁÅÔ ÎÁÍ 7 · 6 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. úÁÍÅÔÉÍ ÔÅÅÒØ,
ÞÔÏ ÏÍÅÎÑ× ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÍÅÔËÉ ÍÅÓÔÁÍÉ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÚÁÏÌÎÅÎÉÅ ÑÞÅÅË. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, 7 · 6 ÎÕÖÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ 2. éÔÁË,
6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ
125
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁ×ÎÏ
7·6
7·6·5·4·3·2·1
=
=
2
(2 · 1)(5 · 4 · 3 · 2 · 1)
7!
7!
=
= C (7; 2):
=
5! · 2!
(7 − 2)! · 2!
÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÀ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ
(k ÏÂßÅËÔÏ× ÉÚ n ÄÁÎÎÙÈ), ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ n − 1 ÍÅÔËÁ É k ÏÂßÅËÔÏ×. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Õ ÎÁÓ ÂÕÄÅÔ (n − 1) + k ÑÞÅÅË ÄÌÑ
ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ. úÎÁÞÉÔ, ÞÉÓÌÏ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ (n − 1) ÍÅÔËÉ × (n + k − 1)
ÑÞÅÊËÕ. éÔÁË, ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ
C (n + k − 1; n − 1) =
(n + k − 1)!
(n + k − 1)!
=
:
(n + k − 1 − (n − 1))! (n − 1)!
k ! (n − 1)!
ðÒÉÍÅÒ 6.6. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÂÒÏ-
ÓÁÑ ÑÔØ ÉÇÒÁÌØÎÙÈ ËÏÓÔÅÊ?
òÅÛÅÎÉÅ. îÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÏÓÔÅÊ ÍÏÖÅÔ ×ÙÁÓÔØ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÄÏ ÛÅ-
ÓÔÉ ÏÞËÏ×, Ô. Å. ËÁÖÄÁÑ ËÏÓÔØ ÄÁÅÔ ÛÅÓÔØ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×. åÓÌÉ ÂÒÏÓÉÌÉ
ÑÔØ ËÏÓÔÅÊ, ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÑÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× (ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÅÓÔØ 6
×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ) Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ, Ô. Å. (6; 5)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÂÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÅ, ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÒÁ×ÎÏ
C (6 + 5 − 1; 6 − 1) = C (10; 5) =
10!
= 252:
5! 5!
÷ ÔÁÂÌ. 6.1 ÓÏÂÒÁÎÙ ×ÍÅÓÔÅ ×ÓÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÙÂÏÒÏË k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ
×Ù×ÅÌÉ × ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ.
ÁÂÌÉ Á 6.1
ðÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ
ðÏÒÑÄÏË ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ
üÌÅÍÅÎÔÙ
Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ
ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ
Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ
k
n
ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ
Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ
(n + k − 1)!
k ! (n − 1)!
üÌÅÍÅÎÔÙ ÎÅ
Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ
ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ
ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ
n!
(n − k)!
ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ
ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ
n!
(n − k)! k!
òÁÚÂÅÒÅÍ ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÇÌÑÄÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÎÕÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÞÅÎØ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÙÍ ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ.
126
çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ
÷ îÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ áÎÇÌÉÊÓËÏÊ ìÏÔÅÒÅÅ4 Ä×ÁÖÄÙ × ÎÅÄÅÌÀ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÛÅÓÔØ ÒÁÚÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÉÚ ÅÒ×ÙÈ 49 ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ìÀÂÏÊ, ËÔÏ ÕÇÁÄÁÅÔ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ×ÙÁ×ÛÉÈ ÎÏÍÅÒÏ×,
×ÙÉÇÒÁÅÔ ÇÌÁ×ÎÙÊ ÒÉÚ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÄÏÓÔÉÇÁÔØ ÍÉÌÌÉÏÎÁ ÆÕÎÔÏ× ÓÔÅÒÌÉÎÇÏ×.
ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÛÁÎÓÙ ×ÙÉÇÒÙÛÁ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÒÉÚÁ. ûÅÓÔÅÒËÁ ×ÙÉÇÒÙÛÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× | ÜÔÏ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ ÛÅÓÔÉ ÞÉÓÅÌ
ÉÚ 49 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï (49; 6)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ
Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ
49!
49!
=
= 13 983 816;
(49 − 6)! 6!
43! 6!
ÔÏ ÛÁÎÓÏ× ×ÙÉÇÒÁÔØ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÔ: 1 ÉÚ 13 983 816. çÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌØÛÅ ÛÁÎÓÏ× ÚÁ ÔÏ, ÞÔÏ × ÷ÁÓ ÏÁÄÅÔ ÍÏÌÎÉÑ, ÞÔÏ ÔÏÖÅ ÍÁÌÏ×ÅÒÏÑÔÎÏ.
ÅÍ, ËÔÏ ÕÇÁÄÁÌ ÑÔØ, ÞÅÔÙÒÅ ÉÌÉ ÔÒÉ ÎÏÍÅÒÁ, ÔÏÖÅ ÒÉÓÕÖÄÁÅÔÓÑ ÒÉÚ, ÈÏÔÑ É ÎÅ ÔÁËÏÊ ×ÅÞÁÔÌÑÀÝÉÊ. ðÒÅÍÉÑ ÔÁËÖÅ ÄÏÓÔÁÅÔÓÑ
É ÔÅÍ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ, ËÔÏ ÕÇÁÄÁÌ ÑÔØ ÎÏÍÅÒÏ×, Á ÛÅÓÔÏÊ, ÎÁÚ×ÁÎÎÙÊ
ÉÍÉ, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÍ, ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÎÁÚ×ÁÎÎÙÍ €ÒÉÚÏ×Ù́
ÎÏÍÅÒÏÍ.
÷ÅÌÉÞÉÎÁ ÄÅÎÅÖÎÏÇÏ ÒÉÚÁ, ÚÁ ÏÄÎÉÍ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
ÞÉÓÌÁ ÒÏÄÁÎÎÙÈ ÌÏÔÅÒÅÊÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ×. ëÁÖÄÙÊ ÂÉÌÅÔ, × ËÏÔÏÒÏÍ
ÍÏÖÎÏ ×ÙÉÓÁÔØ ÛÅÓÔØ ÎÏÍÅÒÏ×, ÓÔÏÉÔ $1 (ÏÄÉÎ ÆÕÎÔ), É ÌÀÂÏÊ, ËÔÏ
ÕÇÁÄÁÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ (É ÎÅ ÂÏÌØÛÅ) ×ÙÉÇÒÙÛÎÙÈ ÎÏÍÅÒÁ, Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÅÔ $10. ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÖÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ×ÙÉÇÒÙÛÁ $10.
éÔÁË, ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ Ó×ÏÉ ÛÅÓÔØ ÎÏÍÅÒÏ× ËÁË ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ: ×ÙÂÏÒËÁ ÔÒÅÈ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× É ×ÙÂÏÒËÁ ÔÒÅÈ ÎÅ×ÅÒÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× . óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (6; 3) ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÎÁÚ×ÁÔØ ÔÒÉ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÎÏÍÅÒÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÂßÑ×ÌÑÀÔÓÑ ×
ÓÒÅÄÕ ÉÌÉ ÓÕÂÂÏÔÕ ÞÌÅÎÁÍÉ ÖÀÒÉ, É C (43; 3) ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÎÅÕÄÁÞÎÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ. ÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ, ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÉÈ $10,
ÒÁ×ÎÏ
6!
43!
·
= 246 820:
C (6; 3) · C (43; 3) =
3! 3! 40! 3!
÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ×ÙÉÇÒÙÛÁ | ÜÔÏ ÄÏÌÑ ÕÄÁÞÎÏ ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÈ ËÁÒÔÏÞÅË
ËÏ ×ÓÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÚÁÏÌÎÅÎÉÑÍ, Ô. Å.
246 820
1
≈
≈ 0; 018:
13 983 816
57
4
ïÎÁ ÏÈÏÖÁ ÎÁ ÎÁÛÅ óÏÒÔÌÏÔÏ. |
ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ
127
ðÒÉÍÅÒ 6.7. ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ ÞÅÌÏ×ÅË, ×ËÌÀÞÁÑ íÁÒÉ É ðÅÔÅÒÁ, Ñ×ÌÑÀÔ-
ÓÑ ËÁÎÄÉÄÁÔÁÍÉ × ËÏÍÉÔÅÔ ÑÔÉ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ
ÎÁÂÒÁÔØ ÉÚ 12 ËÁÎÄÉÄÁÔÏ×? óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÉÈ
(Á) ×ËÌÀÞÁÀÔ ËÁË íÁÒÉ, ÔÁË É ðÅÔÅÒÁ;
(Â) ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔ ÎÉ íÁÒÉ, ÎÉ ðÅÔÅÒÁ;
(×) ×ËÌÀÞÁÀÔ ÌÉÂÏ íÁÒÉ, ÌÉÂÏ ðÅÔÅÒÁ, ÎÏ ÎÅ ÏÂÏÉÈ?
òÅÛÅÎÉÅ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
C (12; 5) =
×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÁ.
12!
= 792
7! 5!
(Á) åÓÌÉ íÁÒÉ É ðÅÔÅÒ ÕÖÅ ×ÙÂÒÁÎÙ × ËÏÍÉÔÅÔ, ÎÁÍ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÔØ × ÎÅÇÏ ÔÏÌØËÏ ÔÒÅÈ ÞÌÅÎÏ× ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÄÅÓÑÔÉ ËÁÎÄÉÄÁÔÏ×. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ
10!
= 120
7! 3!
ÓÏÓÏÂÁÍÉ. úÎÁÞÉÔ, íÁÒÉ É ðÅÔÅÒ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÞÌÅÎÁÍÉ 120
ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×.
C (10; 3) =
(Â) åÓÌÉ íÁÒÉ É ðÅÔÅÒ ÎÅ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ × ËÏÍÉÔÅÔÅ, ÔÏ ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ
×ÓÅÈ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ× ÉÚ ÄÅÓÑÔÉ ËÁÎÄÉÄÁÔÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ
10!
= 252
5! 5!
×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÎÉ íÁÒÉ,
ÎÉ ðÅÔÅÒÁ.
C (10; 5) =
(×) ïÄÉÎ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ× ÄÁÔØ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ ×
ÏÄÓÞÅÔÅ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ íÁÒÉ, ÎÏ ÂÅÚ ðÅÔÅÒÁ. éÈ
ÒÏ×ÎÏ C (10; 4). Ï ÖÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ×ËÌÀÞÁÀÔ ðÅÔÅÒÁ, ÎÏ
ÂÅÚ íÁÒÉ. úÎÁÞÉÔ, 2 · C (10; 4) ËÏÍÉÔÅÔÁ ÉÍÅÀÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÞÌÅÎÁ
ÌÉÂÏ íÁÒÉ, ÌÉÂÏ ðÅÔÅÒÁ, ÎÏ ÎÅ ÏÂÏÉÈ ÓÒÁÚÕ.
áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ 792 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ËÏÍÉÔÅÔÁ ÍÏÖÎÏ ÏÔÎÅÓÔÉ ×
ÔÏÞÎÏÓÔÉ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ËÁÔÅÇÏÒÉÊ: (Á), (Â) ÉÌÉ (×). úÎÁÞÉÔ, ÞÉÓÌÏ
ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ Ë ÏÓÌÅÄÎÅÊ, ÒÁ×ÎÏ
792 − 120 − 252 = 420:
128
çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ
6.3. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ
þÉÓÌÁ C (n; k ) ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ËÁË ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË
× ÂÉÎÏÍÅ (a + b)n . îÁÒÉÍÅÒ,
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) =
= aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb =
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 :
ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÏÓØÍÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ, ÓÔÏÑÝÉÈ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÎÁÛÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ×ÙÂÉÒÁÅÍÙÈ Ï ÏÄÎÏÊ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÓËÏÂËÉ. íÙ ×ÉÄÉÍ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ÒÏ×ÎÏ
ÔÒÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÏÄÎÕ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ a É Ä×Å b. üÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ
ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ C (3; 2) = 3 ÓÏÓÏÂÁ ×ÙÂÏÒÁ Ä×ÕÈ ÓËÏÂÏË ÉÚ
ÔÒÅÈ, ÏÔËÕÄÁ ÍÙ ×ÏÚØÍÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ b (Á ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÅÊÓÑ ÂÅÒÅÍ a).
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ É ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÜÔÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ: C (3; 0) = 1, C (3; 1) = 3, C (3; 2) = 3 É C (3; 3) = 1. þÔÏÂÙ
ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ C (n; k ), ×Ù×ÅÄÅÎÎÏÊ
× ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ 0! = 1.
éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÎÅ ÓÄÅÌÁÔØ ÎÉËÁËÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÂßÅËÔÏ×.
÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÒÁÓËÒÙ×ÁÑ ÓËÏÂËÉ × ÂÉÎÏÍÅ (a + b)n , ÍÙ ÂÕÄÅÍ
ÏÌÕÞÁÔØ ÞÌÅÎÙ ×ÉÄÁ an−k bk (ÇÄÅ k ÒÉÎÉÍÁÅÔ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÏÔ 0 ÄÏ n) ÒÉ ÅÒÅÍÎÏÖÅÎÉÉ ÓÉÍ×ÏÌÏ× b, ×ÚÑÔÙÈ ÉÚ k ÓËÏÂÏË, É a,
×ÚÑÔÙÈ ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ (n − k ) ÓËÏÂÏË. ÁË ËÁË ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ C (n; k )
ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ k ÓËÏÂÏË ÉÚ n, ÔÏ Õ ÎÁÓ ÂÕÄÅÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ C (n; k )
ÞÌÅÎÏ× ×ÉÄÁ an−k bk ÒÉ k = 0; 1; : : : ; n. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
(a + b)n = C (n; 0)an + C (n; 1)an−1 b + C (n; 2)an−2 b2 + · · · + C (n; n)bn :
üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÉÎÏÍÏÍ îØÀÔÏÎÁ . òÏ×ÎÏ ÏÜÔÏÍÕ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ C (n; k ) ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ .
âÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÏÌÅÚÎÏ ×ÙÓÔÒÏÉÔØ × ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ (ÓÍ. ÒÉÓ. 6.1).
C (0; 0)
(1; 0) C (1; 1)
C (2; 0)
C (2; 1)
C (2; 2)
C (3; 0)
C (3; 1)
C (3; 2)
C (3; 3)
C (4; 0)
C (4; 1)
C (4; 2)
C (4; 3)
C (4; 4)
C (5; 0)
C (5; 1)
C (5; 2)
C (5; 3)
C (5; 4)
C (5; 5)
C
:::
(
C n;
0)
:::
(
C n;
:::
1)
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
(
C n; n
òÉÓÕÎÏË 6.1. ÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ
:::
− 1)
:::
(
)
C n; n
6.3. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ
129
ëÁÖÄÁÑ (n + 1)-ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×, ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË ×
×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (a + b)n .
÷ÙÞÉÓÌÉ× ÎÅÓËÏÌØËÏ ÅÒ×ÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ
1
:::
1
1
5
:::
1
4
1
3
10
:::
1
2
6
1
3
10
1
4
:::
1
5
:::
1
1
:::
ÁË ËÁË C (n; 0) = C (n; n) = 1, ÎÁ ×ÎÅÛÎÉÈ ÓÔÏÒÏÎÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ ×ÓÅÇÄÁ ÓÔÏÑÔ ÅÄÉÎÉ Ù. óÉÍÍÅÔÒÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ×ÙÓÏÔÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á:
C (n; k ) = C (n; n − k );
ËÏÔÏÒÏÅ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ C (n; k ).
åÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÒÏÓÁÀÔÓÑ × ÇÌÁÚÁ ÒÉ
×ÚÇÌÑÄÅ ÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÏÖÉ× Ä×Á ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁ, ÓÔÏÑÝÉÈ × ÓÔÒÏËÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÞÉÓÌÏ
ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÏËÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÔÏÉÔ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÓÌÏÖÅÎÎÙÍÉ. üÔÏ
Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ËÁË ÆÏÒÍÕÌÁ ðÁÓËÁÌÑ :
C (n − 1; k − 1) + C (n − 1; k ) = C (n; k );
ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÁÑ ÒÉ 0 < k < n.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ:
(n − 1)!
(n − 1)!
+
=
(n − k )! (k − 1)! (n − k − 1)! k !
1
(n − 1)!
1
=
=
+
(n − k − 1)! (k − 1)! n − k k
(n − 1)!
n
=
=
(n − k − 1)! (k − 1)! (n − k )k
C (n − 1; k − 1) + C (n − 1; k ) =
=
n!
(n − k )! k !
= C (n; k ):
îÁÛÅ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï Ó ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÏÊ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÏÌÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÍÙ
ÎÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÁÄÁÞÕ Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Å ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÂÕË× × ÓÌÏ×Å €ëïìïâïë. ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÅÍÉ ÂÕË×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÓÔÁ×ÉÔØ
130
çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ
7! ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ïÄÎÁËÏ × ÎÅÍ ÅÓÔØ ÔÒÉ ÂÕË×Ù €ï É Ä×Å ÂÕË×Ù €ë.
ðÏÜÔÏÍÕ ÍÅÎÑÑ ÍÅÓÔÁÍÉ ÂÕË×Ù €ï ÉÌÉ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÕË×Ù €ë, ÍÙ
ÎÅ ÏÌÕÞÉÍ ÎÏ×ÙÈ €ÓÌÏׁ. ÁË ËÁË ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÔÒÅÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÒÁ×ÎÏ 3!, Á Ä×ÕÈ | 2!, ÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÓÅÇÏ
7!
= 420
3! 2!
ÒÁÚÎÙÈ €ÓÌÏׁ ÉÚ ÓÌÏ×Á €ëïìïâïë.
÷ ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÈ.
ÅÏÒÅÍÁ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
n!
n1 ! n2 ! · · · nr !
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n ÏÂßÅËÔÏ×, n1 ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë
ÔÉÕ 1, n2 | Ë ÔÉÕ 2, É Ô. Ä. ×ÌÏÔØ ÄÏ nr ÏÂßÅËÔÏ× ÔÉÁ r .
ðÒÉÍÅÒ 6.8. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÔØ 15 ÓÔÕÄÅÎ-
ÔÏ× Ï ÔÒÅÍ ÕÞÅÂÎÙÍ ÇÒÕÁÍ Ï ÑÔØ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× × ËÁÖÄÏÊ?
òÅÛÅÎÉÅ. õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 15 ÏÂßÅËÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÕÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ×
ÔÒÉ ÇÒÕÙ Ï ÑÔØ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ
15!
= 68 796
5! 5! 5!
ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ.
ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ n1 ! n2n!!··· nr ! ÎÏÓÑÔ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÍÕÌØÔÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ .
ïÎÉ ÓÔÏÑÔ ÒÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÈ xn1 1 xn2 2 · · · xnr r × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÓÔÅÅÎÉ
(x1 + x2 + · · · + xr )n .
÷ ÜÔÏÍ ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÞÌÅÎ ×ÉÄÁ xn1 1 xn2 2 · · · xnr r ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÅÒÅÍÎÏÖÁÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ x1 , ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÉÚ n1
ÓËÏÂÏË, x2 , ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÉÚ n2 ÓËÏÂÏË, É Ô. Ä. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xn1 1 xn2 2 · · · xnr r × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÅÎ ÞÉÓÌÕ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n
ÏÂßÅËÔÏ×, n1 ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÔÉÕ, n2 | ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ É Ô. Ä.
ðÒÉÍÅÒ 6.9. îÁÊÄÉÔÅ
(Á) ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 z 4 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + z )9 ;
(Â) ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + 3)7 .
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6
131
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 z 4 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + z )9
ÒÁ×ÅÎ
9!
= 1 260:
3! 2! 4!
(Â) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 z 2 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + z )7
ÒÁ×ÅÎ
7!
= 210:
3! 2! 2!
ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + z )7 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÞÌÅÎ 210x3 y 2 z 2 :
ðÏÌÏÖÉ× z = 3, ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + 3)7
ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÞÌÅÎ 1 890x3 y 2 . éÔÁË, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 ÉÚ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + 3)7 ÒÁ×ÅÎ 1 890.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6
6.1. (Á) õ ÞÅÌÏ×ÅËÁ ÅÓÔØ ÑÔØ ÉÄÖÁËÏ×, ×ÏÓÅÍØ ÒÕÂÁÛÅË É ÓÅÍØ
ÇÁÌÓÔÕËÏ×. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÓÔÀÍÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÅÄÍÅÔÏ×?
(Â) õ ÖÅÎÝÉÎÙ × ÛËÁÆÕ ×ÉÓÉÔ ÛÅÓÔØ ÌÁÔØÅ×, ÑÔØ ÀÂÏË É
ÔÒÉ ÂÌÕÚËÉ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÎÁÒÑÄÏ× ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ Ó×ÏÅÊ ÏÄÅÖÄÙ?
(×) ÷ ÈÏÌÏÄÉÌØÎÉËÅ ÓÔÏÉÔ ÍÏÒÏÖÅÎÏÅ ÛÅÓÔÉ ÒÁÚÎÙÈ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÊ. îÁ ÄÅÓÅÒÔ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÏÄÎÕ, Ä×Å ÉÌÉ ÄÁÖÅ ÔÒÉ
ÏÒ ÉÉ ÍÏÒÏÖÅÎÏÇÏ ÓÒÁÚÕ. óËÏÌØËÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÅÓÔØ
Õ ÷ÁÓ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÓÅÒÔÏ×?
6.2. (Á) ðÅÒÅ×ÅÒÔÙÛ | ÜÔÏ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅ Ï-
ÍÅÎÑÅÔ Ó×ÏÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÅÇÏ ÉÆÒÙ ÚÁÉÓÁÔØ ×
ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÙÈ
ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÅÊ? á ÓËÏÌØËÏ ÓÅÍÉÚÎÁÞÎÙÈ?
(Â) óËÏÌØËÏ ÞÅÔÙÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÈ 6 000,
ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÉÆÒÙ?
(×) ðÁÒÏÌØ, ÏÔËÒÙ×ÁÀÝÉÊ ÄÏÓÔÕ Ë ËÏÍØÀÔÅÒÕ, ÓÏÓÔÏÉÔ
ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÓÉÍ×ÏÌÏ×. ðÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÉÚ ÎÉÈ | ÓÔÒÏÞÎÙÅ ÂÕË×Ù ÌÁÔÉÎÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ (×ÓÅÇÏ 26 ÂÕË×), Á ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ
ÞÅÔÙÒÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ËÁË ÉÆÒÁÍÉ, ÔÁË É ÓÔÒÏÞÎÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ. óËÏÌØËÏ ÍÏÖÎÏ ÒÉÄÕÍÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒÏÌÅÊ?
132
çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ
6.3. ðÕÓÔØ S | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÅÔÙÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, × ÞØÅÊ ÄÅÓÑ-
ÔÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÉÆÒÙ: 0, 1, 2, 3, É 6, ÒÉÞÅÍ 0 ÎÁ
ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÓÔÏÑÔØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ.
(Á) ëÁËÏ×Á ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ?
(Â) óËÏÌØËÏ ÞÉÓÅÌ ÉÚ S × Ó×ÏÅÊ ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÎÅ ÉÍÅÀÔ
Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÉÆÒ?
(×) ëÁË ÍÎÏÇÏ ÞÅÔÎÙÈ ÓÒÅÄÉ ÞÉÓÅÌ ÕÎËÔÁ (Â)?
(Ç) óËÏÌØËÏ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ÕÎËÔÁ (Â) ÏËÁÖÕÔÓÑ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ 4 000?
6.4. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ:
(Á) P (7; 2), P (8; 5), P (6; 4) É P (n; n − 1);
(Â) C (10; 7), C (9; 2), C (8; 6) É C (n; n − 1).
õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ C (n; k ) = C (n; n − k ).
6.5. (Á) óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÒÉÓÕÖÄÅÎÉÑ ÅÒ-
×ÏÇÏ, ×ÔÏÒÏÇÏ É ÔÒÅÔØÅÇÏ ÍÅÓÔ ÓÅÍÎÁÄ ÁÔÉ ÕÞÁÓÔÎÉ ÁÍ
ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ Ï ÉËÅÂÁÎÅ?
(Â) ëÏÍÉÔÅÔ ÉÚ 20 ÞÌÅÎÏ× ÉÚÂÉÒÁÅÔ ÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌÑ É ÓÅËÒÅÔÁÒÑ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ?
(×) ðÁÒÏÌØ, ÏÔËÒÙ×ÁÀÝÉÊ ÄÏÓÔÕ Ë ËÏÍØÀÔÅÒÕ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ ÚÁÄÁÞÉ 6.2 (×). óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÁÒÏÌÅÊ
ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÉÚ ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏ×?
6.6. (Á) èÏËËÅÊÎÁÑ ËÏÍÁÎÄÁ ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÅÔ 18 ÉÇÒÏËÏ×. ïÄÉÎÎÁ-
Ä ÁÔØ ÉÚ ÎÉÈ ×ÈÏÄÑÔ × ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÓÏÓÔÁ×. ðÏÄÓÞÉÔÁÊÔÅ
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï×.
(Â) öÀÒÉ ÉÚ 5 ÖÅÎÝÉÎ É 7 ÍÕÖÞÉÎ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎÏ ÉÚ
ÓÉÓËÁ × 8 ÖÅÎÝÉÎ É 11 ÍÕÖÞÉÎ. óËÏÌØËÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÖÀÒÉ?
(×) ðÒÅÄÓÔÏÉÔ ×ÙÂÒÁÔØ ËÏÍÁÎÄÕ ÞÅÔÙÒÅÈ ÉÇÒÏËÏ× × ÇÏÌØÆ
ÉÚ ÑÔÉ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÉÇÒÏËÏ× É ÑÔÉ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ.
óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ ÔÒÅÈ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× É ÏÄÎÏÇÏ ÌÀÂÉÔÅÌÑ? óËÏÌØËÏ ËÏÍÁÎÄ ÓÏÓÔÏÉÔ
ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ?
6.7. ÷ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÁÒÌÁÍÅÎÔÁ ÎÕÖÎÏ ÏÔÏÂÒÁÔØ ÔÒÅÈ ÞÌÅ-
ÎÏ×, ÒÉÞÅÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÎÁÄÏ ÉÚ ÑÔÉ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÏ×, ÔÒÅÈ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÏ× É ÞÅÔÙÒÅÈ ÌÉÂÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔÏ×.
(Á) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ?
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6
133
(Â) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÅÓÌÉ × ÎÅÇÏ
ÄÏÌÖÅÎ ×ÈÏÄÉÔØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÌÉÂÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔ?
(×) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÅÓÌÉ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÙ É ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÙ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÅÇÏ ÞÌÅÎÁÍÉ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ?
(Ç) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÅÓÌÉ × ÎÅÇÏ
ÄÏÌÖÅÎ ×ÏÊÔÉ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒ É ÈÏÔÑ
ÂÙ ÏÄÉÎ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔ?
6.8. ÷ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÆÉÒÍÅ ×ÏÓÅÍØ ÞÅÌÏ×ÅË ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÓÔ×Å, ÑÔÅÒÏ | × ÏÔÄÅÌÅ ÓÂÙÔÁ, É ÔÒÏÅ | × ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÉ.
äÌÑ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÎÏ×ÏÊ ÒÏÄÕË ÉÉ ÂÙÌÏ ÒÅÛÅÎÏ ÒÉÇÌÁÓÉÔØ
ÎÁ ÓÏ×ÅÝÁÎÉÅ ÛÅÓÔÅÒÙÈ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÈ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ
ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ, ÅÓÌÉ
(Á) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÉÇÌÁÓÉÔØ Ï Ä×Á ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑ ÏÔ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÔÄÅÌÁ;
(Â) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÉÇÌÁÓÉÔØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×ÏÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á;
(×) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÔÒÅÈ ÏÔÄÅÌÏ×?
6.9. (Á) òÅÓÔÏÒÁÎ × Ó×ÏÅÍ ÍÅÎÀ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔ ÑÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÇÌÁ×-
ÎÙÈ ÂÌÀÄ. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÍÁÎÉÉ × ÛÅÓÔØ ÞÅÌÏ×ÅË ÚÁËÁÚÙ×ÁÅÔ Ó×ÏÅ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÂÌÀÄÏ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÚÁËÁÚÏ× ÍÏÖÅÔ
ÏÌÕÞÉÔØ ÏÆÉ ÉÁÎÔ?
(Â) ã×ÅÔÏÞÎÉ Á ÒÏÄÁÅÔ ÒÏÚÙ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÁÚÎÙÈ ÓÏÒÔÏ×. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÂÕËÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÄÀÖÉÎÙ ÒÏÚ?
6.10. ÷Ù ÏËÕÁÅÔÅ ÑÔØ ÒÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÓËÉÈ ÏÔËÒÙÔÏË × ÍÁÇÁÚÉÎÅ,
ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÞÅÔÙÒÅ ÒÁÚÎÙÈ ÔÉÁ ÒÉÇÌÑÎÕ×ÛÉÈÓÑ ÷ÁÍ ÏÔËÒÙÔÏË.
(Á) ëÁË ÍÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÏ× ÉÚ ÑÔÉ ÏÔËÒÙÔÏË ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ËÕÉÔØ?
(Â) óËÏÌØËÏ ÎÁÂÏÒÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÅÓÌÉ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ
ÔÏÌØËÏ Ä×ÕÍÑ ÔÉÁÍÉ ÏÔËÒÙÔÏË ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ, ÎÏ ËÕÉÔØ
×ÓÅ ÒÁ×ÎÏ ÑÔØ ÏÔËÒÙÔÏË?
6.11. ÷ÏÔ ×ÏÓØÍÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ:
1
7
21
35
35
21
7
1:
(Á) îÁÊÄÉÔÅ ÄÅ×ÑÔÕÀ É ÄÅÓÑÔÕÀ ÅÇÏ ÓÔÒÏËÉ.
134
çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ
(Â) ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ a, b É | ÔÒÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ
ÞÉÓÌÁ × ×ÏÓØÍÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ, ÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ ÄÅÓÑÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ËÁË ÓÕÍÍÕ:
a + 2b + .
(×) ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ðÁÓËÁÌÑ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:
C (n; k ) + 2C (n; k + 1) + C (n; k + 2) = C (n + 2; k + 2)
ÒÉ 0 6 k 6 n − 2.
(üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÆÁËÔ (Â) ÎÁ ×ÅÓØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË
ðÁÓËÁÌÑ.)
6.12. (Á) ðÏÌÏÖÉ× × ÂÉÎÏÍÅ îØÀÔÏÎÁ a = b = 1, ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ
ÌÀÂÏÇÏ n = 0; 1; 2; : : : ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ:
C (n; 0) + C (n; 1) + · · · + C (n; n) = 2n :
÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ, ÞÔÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ 2n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×.
(õËÁÚÁÎÉÅ: ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÓËÏÌØËÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÝÎÏÓÔÉ k ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × S .)
(Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
C (n; 0) − C (n; 1) + C (n; 2) − · · · + (−1)n C (n; n) = 0:
6.13. (Á) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ €ÓÌÏׁ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ ÓÌÏ×Á
€áâòáëáäáâòá?
(Â) óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÂÕË×Ù €ë?
(×) ÷ ÓËÏÌØËÉÈ ÉÚ ÎÉÈ ÏÂÅ ÂÕË×Ù €â ÓÔÏÑÔ ÒÑÄÏÍ?
6.14. (Á) îÁÊÄÉÔÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ a3 b5 ÏÓÌÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË
× ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (a + b)8 .
(Â) îÁÊÄÉÔÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xy 3 z 4 ÏÓÌÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (x + y + z )8 .
(×) îÁÊÄÉÔÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xy 2 z ÏÓÌÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË
× ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (x + 2y + z − 1)5 .
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
135
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
ðÒÁ×ÉÌÏ ÓÕÍÍÙ ÇÌÁÓÉÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A É B | ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÏÂÙÔÉÑ, ÒÉÞÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ A É n2 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÁ ÓÏÂÙÔÉÑ B , ÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ
€A ÉÌÉ B  ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ n1 + n2 .
ðÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÁÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ k ÓÏÂÙÔÉÊ Ó n1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ ÅÒ×ÏÇÏ, n2 | ×ÔÏÒÏÇÏ, É Ô. Ä., ×ÌÏÔØ ÄÏ nk ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ
ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ k ÓÏÂÙÔÉÊ ÒÁ×ÎÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ
n1 · n2 · · · nk .
íÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÍÏÝÎÏÓÔÉ n. åÓÌÉ ÒÉ
ÜÔÏÍ ÏÒÑÄÏË ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅ, Á × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ.
òÁÚÍÅÝÅÎÉÅ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÙÂÉÒÁÅÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÙ ÒÁÚÒÅÛÁÅÍ ÏÑ×ÌÑÔØÓÑ
ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍ, ÉÎÁÞÅ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅÍ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ É ÂÅÚ
Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ.
âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ | ÜÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ:
(a + b)n = C (n; 0)an + C (n; 1)an−1 b + C (n; 2)an−2 b2 + · · · + C (n; n)bn ;
ÇÄÅ
n!
C (n; k ) =
:
(n − k )! k !
ïÂÝÉÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ É (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ, ËÁË Ó
Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ, ÔÁË É ÂÅÚ ÏÎÙÈ ÄÁÎÙ × ÔÁÂÌ. 6.1.
ÁÂÌÉ Á 6.1
ðÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ
ðÏÒÑÄÏË ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ
üÌÅÍÅÎÔÙ
Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ
ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ
Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ
k
n
ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ
Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ
(n + k − 1)!
k ! (n − 1)!
üÌÅÍÅÎÔÙ ÎÅ
Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ
ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ
ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ
n!
(n − k)!
ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ
ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ
n!
(n − k)! k!
ÅÏÒÅÍÁ Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
n!
n1 ! n2 ! · · · nr !
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n ÏÂßÅËÔÏ×, n1 ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë
ÔÉÕ 1, n2 | Ë ÔÉÕ 2, É Ô. Ä. ×ÌÏÔØ ÄÏ nr ÏÂßÅËÔÏ× ÔÉÁ r .
136
çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×
ïÄÎÁ ÉÚ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ | ÓÏÚÄÁÎÉÅ É ÁÎÁÌÉÚ €ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔɁ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. äÌÑ ÕÓÅÛÎÏÇÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÔÁËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÍÅÔØ ÉÚÍÅÒÑÔØ ÚÁÔÒÁÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ×ÒÅÍÅÎÉ É ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÁÍÑÔÉ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ, ×
ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ Ï ÅÎÉ×ÁÅÍ ×ÒÅÍÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ïÄÉÎ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ× Ï ÅÎËÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ ×
ÏÄÓÞÅÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÔÓÑ ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏÂÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÅÓÔØ ÌÉ ÄÁÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï X × ÓÌÏ×ÁÒÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍ n ÓÌÏ×, ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ
ÏÉÓË . îÁÚ×ÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÔ ÓÌÏ×Ï X Ó ÅÒ×ÙÍ ÓÌÏ×ÏÍ ×
ÓÌÏ×ÁÒÅ, ÚÁÔÅÍ ÓÏ ×ÔÏÒÙÍ, É Ô. Ä. , ÏËÁ ÓÌÏ×Ï X ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎÏ
× ÓÌÏ×ÁÒÅ ÉÌÉ, × ÎÁÉÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎÏ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ×
ÎÁÉÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÏ n ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÒÉ Ä×ÏÉÞÎÏÍ (ÄÉÈÏÔÏÍÉÞÅÓËÏÍ) ÓÏÓÏÂÅ ÓÌÏ×Ï X ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ €ÓÒÅÄÎÉ́ ÉÚ ÓÌÏ×ÁÒÑ, Á ÏÔÏÍ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ
ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÉÅ ÓÌÏ×, ÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, × ËÁËÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÌÏ×ÁÒÑ (ÄÏ €ÓÒÅÄÎÅÇρ ÓÌÏ×Á ÉÌÉ ÏÓÌÅ ÎÅÇÏ) ÒÏÄÏÌÖÁÔØ ÏÉÓË. üÔÏÔ
ÒÏ ÅÓÓ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ × ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÓÌÏ×ÁÒÑ É Ô. Ä. ÷ ÎÁÉÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ (ÓÌÏ×Ï ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ × ÓÌÏ×ÁÒÅ) Ä×ÏÉÞÎÙÊ ÏÉÓË ÓÄÅÌÁÅÔ
1 + log2 n ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÔÁÂÌ. 6.2, Ä×ÏÉÞÎÙÊ ÏÉÓË ËÕÄÁ
ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÅÎ, ÞÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ.
ÁÂÌÉ Á 6.2
n
1 + log 2 n
8
64
4
7
218 = 250 000
19
îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ log2 2k = k .
úÁÄÁÞÁ 1. îÁ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× A, B , C , D É E ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ
n, 3n2 , 2n2 + 4n, n3 É 2n ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ.
ðÏÄÓÞÉÔÁÊÔÅ ×ÒÅÍÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÎÁ ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÒÉ n = 1,
n = 10, n = 100 É n = 1000, ÅÓÌÉ ÏÄÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÓÏ×ÅÒ-
ÛÁÅÔÓÑ ÚÁ 1 ÍÉÌÌÉÓÅËÕÎÄÕ.
òÅÛÅÎÉÅ. ïÔ×ÅÔÙ Ó×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌ. 6.3.
ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÔÁÂÌÉ Ù, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÇÒÏÍÎÁÑ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÁÚÎÉ Á ÍÅÖÄÕ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÍÉ × ÓÅÂÑ ÓÔÅÅÎÉ n (ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ), É ÔÅÍÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ n ×ÙÓÔÕÁÅÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏËÁ-
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×
137
ÚÁÔÅÌÑ (ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ). ðÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ ÓÔÁÒÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ n.
åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÉ ÉÍÅÀÔ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÓÔÁÒÛÕÀ ÓÔÅÅÎØ n, ÔÏ ÒÁÂÏÞÉÅ
ÅÒÉÏÄÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÂÌÉÚËÉ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ (ÓÍ. ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ B É C ).
ÁÂÌÉ Á 6.3
A
1
10
100
1000
B
C
2
n
3n
1 ÍÓ
10 ÍÓ
100 ÍÓ
1000 ÍÓ
3 ÍÓ
300 ÍÓ
30 Ó
0,83 Þ
D
2
3
E
2n + 4n
n
2n
6 ÍÓ
240 ÍÓ
20,4 Ó
0,56 Þ
1 ÍÓ
1Ó
0,28 Þ
11,6 ÄÎÅÊ
2 ÍÓ
1,024 Ó
4 · 1017 ×ÅËÏ×
10176 ×ÅËÏ×
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÉ f (n) É g (n) ÉÚÍÅÒÑÀÔ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÉÈ ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ×ÒÅÍÅÎÎ
ÏÊ
ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ . âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÆÕÎË ÉÉ f (x) ÎÅ
ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ Õ g (x), ÅÓÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ C , ÞÔÏ |f (n)| 6 C |g (n)| ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n.
üÔÏÔ ÆÁËÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ËÁË1 f (x) = O (g (n)).
úÁÄÁÞÁ 2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ 2n2 + 4n = O (n2 ).
òÅÛÅÎÉÅ. ÁË ËÁË n 6 n2 ÒÉ n > 1, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ
2n2 + 4n 6 2n2 + 4n2 = 6n2
ÄÌÑ ×ÓÅÈ n ∈ N. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÌÏÖÉ× C = 6 × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÞÔÏ 2n2 + 4n = O (n2 ).
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÌÅÇËÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ n2 6 2n2 + 4n ÒÉ n > 1. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, n2 = O (2n2 + 4n). ä×Å ÆÕÎË ÉÉ, ÔÁËÉÅ ËÁË n2 É 2n2 + 4n,
ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÄÒÕÇÏÊ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÆÕÎËÉÑÍÉ ÏÄÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ . æÕÎË ÉÉ, ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ Ó ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ B É C × ÚÁÄÁÞÅ 1 ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ É,
ËÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÌÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×
ÂÌÉÚËÉ.
íÙ ÍÏÖÅÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÉÅÒÁÒÈÉÞÅÓËÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÎÁ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÆÕÎË ÉÊ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ÂÏÌØÛÉÊ ÏÒÑÄÏË ÒÏ1
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ O(g (n)) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÅ ÏÄÎÕ, Á ÅÌÙÊ ËÌÁÓÓ ÆÕÎË ÉÊ, ÒÁÓÔÕÝÉÈ ÎÅ
ÂÙÓÔÒÅÅ g (n). ðÏÜÔÏÍÕ ÚÎÁË ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÚÄÅÓØ ÎÁÄÏ ÏÎÉÍÁÔØ ÕÓÌÏ×ÎÏ, Á ÉÍÅÎÎÏ,
ËÁË ÚÎÁË €∈. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
138
çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ
ÓÔÁ, ÞÅÍ ÒÅÄÙÄÕÝÁÑ. ïÄÉÎ ÉÚ ÒÉÍÅÒÏ× ÔÁËÏÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
2
3
: : : nk : :}:
2n
|n n n {z
↑
↑
↑
↑
ËÏÎÓÔÁÎÔÁ ÌÏÇÁÒÉÆÍ
ÏÌÉÎÏÍ
ÜËÓÏÎÅÎÔÁ
1
log n
÷ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÄÅÔÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÜÔÕ ÉÅÒÁÒÈÉÀ, ×ÓÔÁ×É× (n log n) ÍÅÖÄÕ n É n2 , (n2 log n) ÍÅÖÄÕ n2 É n3 É Ô. Ä.
÷ ÜÔÏÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ×ÁÖÎÏ ÔÏ, ÞÔÏ Ä×ÉÇÁÑÓØ ÏÔ ÅÅ ÌÅ×ÏÇÏ ËÒÁÑ Ë
ÒÁ×ÏÍÕ, ÍÙ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍ ÆÕÎË ÉÉ ×ÓÅ ÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÅÍ ÒÁ×ÅÅ × ÜÔÏÍ ÒÑÄÕ ÓÔÏÉÔ ÆÕÎË ÉÑ, ÔÅÍ ÂÙÓÔÒÅÅ
ÒÁÓÔÕÔ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÏÓÔÏÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ n. óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÒÁÆÉËÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ
ÎÁ ÒÉÓ. 6.2.
ÅÅÒØ ÌÀÂÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ×ÒÅÍÅÎÎ
ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ f (n) ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÆÕÎË ÉÀ g (n) ÉÚ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ÔÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ f (n) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ g (n), ÎÏ
ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÌÀÂÁÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ, ÓÔÏÑÝÁÑ ÌÅ×ÅÅ g (n). þÔÏÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ, ÍÙ ÏÍÏÝØÀ ÎÁÛÅÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ×ÙÄÅÌÑÅÍ × ÄÁÎÎÏÊ
ÆÕÎË ÉÉ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÂÙÓÔÒÏ ÒÁÓÔÕÝÉÊ ÞÌÅÎ (ÅÇÏ ÅÝÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÔÁÒÛÉÍ ÞÌÅÎÏÍ) É ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÎÁÛÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ×ÒÅÍÅÎÎ
ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ × ÉÅÒÁÒÈÉÉ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÆÕÎË ÉÀ f (n) = 9n + 3n6 + 7 log n. ñÓÎÏ,
ÞÔÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ (ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÎÁ
ËÏÔÏÒÙÅ ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÔÏ ÉÌÉ ÉÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ) ÎÅ ×ÌÉÑÀÔ ÎÁ ÏÒÑÄÏË
ÒÏÓÔÁ ÆÕÎË ÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ 9n = O (n), 3n6 = O (n6 ) É 7 log n = O (log n).
ðÏÓËÏÌØËÕ n É log n ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ × ÉÅÒÁÒÈÉÉ ÒÁÎØÛÅ, ÞÅÍ n6 , ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ËÁË 9n, ÔÁË É 7 log n ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÌÁÓÓÕ O (n6 ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f (n) = O (n6 ), É ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÂÙÓÔÒÏ ÒÁÓÔÕÝÉÍ ÞÌÅÎÏÍ Õ f (n)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÌÅÎ 3n6 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ f (n) ÒÁÓÔÕÔ ÎÅ
ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n6 . æÁËÔÉÞÅÓËÉ, × ÜÔÏÍ ÒÉÍÅÒÅ
ÆÕÎË ÉÑ f (n) ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ, ÞÔÏ É n6 .
úÁÄÁÞÁ 3. éÓÏÌØÚÕÑ ÉÅÒÁÒÈÉÀ ÆÕÎË ÉÊ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÛÌÁ ÒÅÞØ ×ÙÛÅ,
ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ Õ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ×ÒÅÍÅÎÎ
ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ:
(Á) n4 + 2n3 + 3;
(Â) 6n5 + 2n ;
(×) 5n + n2 log n.
òÅÛÅÎÉÅ.
(Á) äÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÌÁÓÓÕ O (n4 ), ÏÓËÏÌØËÕ n4 |
ÓÔÁÒÛÉÊ ÅÅ ÞÌÅÎ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×
139
(Â) üÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÌÁÓÓÕ O (2n ), ÏÓËÏÌØËÕ 2n | ÅÅ
ÓÔÁÒÛÉÊ ÞÌÅÎ.
(×) óÔÁÒÛÉÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÕÎË ÉÉ | ÜÔÏ n2 log n. ÁËÏÊ ÆÕÎËÉÉ ÎÅÔ × ÉÅÒÁÒÈÉÉ, Á ÅÓÌÉ ÂÙ ÏÎÁ ÂÙÌÁ, ÔÏ ÓÔÏÑÌÁ ÂÙ ÍÅÖÄÕ n2
É n3 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ
ÒÁÓÔÅÔ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ÆÕÎË ÉÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ × ËÌÁÓÓÅ O (n3 ).
òÉÓÕÎÏË 6.2. ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÆÕÎË ÉÊ
ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÆÕÎË ÉÉ ×ÒÅÍÅÎÎ
ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÌÀÂÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÅÛÉÔØ, ÞÔÏ × ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÁÍÅÔÒÁ n É ËÁËÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÔÏÉÔ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ
ÒÉ ÒÁÓÞÅÔÁÈ.
140
çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ
úÁÄÁÞÁ 4. îÁÊÄÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ ×ÒÅÍÅÎÎ
ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ
ÆÒÁÇÍÅÎÔÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÎÁÉÓÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ, ÏÄÓÞÉÔÁ× ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ x := x + 1, ËÏÔÏÒÙÅ × ÎÅÍ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ.
begin
for i := 1 to 2n do
for j := 1 to n do
for k := 1 to j do
x := x + 1;
end
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÎÅÛÎÉÊ ÉËÌ (ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ i) Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ 2n ÒÁÚ. ãÉËÌ, ÏÍÅÞÅÎÎÙÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ j , Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ n
ÒÁÚ. ðÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ j ÏÅÒÁ ÉÑ x := x + 1 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ j ÒÁÚ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÉËÌÁ i
ÏÅÒÁ ÉÑ x := x +1 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ 1+2+ · · · + n ÒÁÚ, ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏ 12 n(n +1).
úÎÁÞÉÔ ÆÕÎË ÉÑ ×ÒÅÍÅÎÎ
ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ T (n) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
T (n) = 2n ·
éÔÁË, T (n) = O (n3 ):
1
n(n + 1) = n2 (n + 1):
2
çìá÷á 7
çòáæù
çÒÁÆÙ ×ÏÚÎÉËÌÉ × ×ÏÓÅÍÎÁÄ ÁÔÏÍ ÓÔÏÌÅÔÉÉ, ËÏÇÄÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË, ìÅÏÎÁÒÄ üÊÌÅÒ, ÙÔÁÌÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÔÅÅÒØ ÕÖÅ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÕÀ
ÚÁÄÁÞÕ Ï ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÓËÉÈ ÍÏÓÔÁÈ. ÷ ÔÏ ×ÒÅÍÑ × ÇÏÒÏÄÅ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÅ ÂÙÌÏ Ä×Á ÏÓÔÒÏ×Á, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ÓÅÍØÀ ÍÏÓÔÁÍÉ Ó ÂÅÒÅÇÁÍÉ ÒÅËÉ
ðÒÅÇÏÌØ É ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7.1. úÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ: ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ ÒÏÇÕÌËÕ Ï ÇÏÒÏÄÕ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÞÔÏÂÙ, ÒÏÊÄÑ ÒÏ×ÎÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÍÏÓÔÕ, ×ÅÒÎÕÔØÓÑ × ÔÏ ÖÅ ÍÅÓÔÏ, ÏÔËÕÄÁ ÎÁÞÉÎÁÌÁÓØ ÒÏÇÕÌËÁ. òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ,
üÊÌÅÒ ÉÚÏÂÒÁÚÉÌ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇ × ×ÉÄÅ ÇÒÁÆÁ, ÏÔÏÖÄÅÓÔ×É× ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÞÁÓÔÑÍÉ ÇÏÒÏÄÁ, Á ÒÅÂÒÁ | Ó ÍÏÓÔÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÍÉ Ó×ÑÚÁÎÙ
ÜÔÉ ÞÁÓÔÉ. ëÁË ÍÙ ÏËÁÖÅÍ × § 7.1, üÊÌÅÒÕ ÕÄÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
ÉÓËÏÍÏÇÏ ÍÁÒÛÒÕÔÁ ÏÂÈÏÄÁ ÇÏÒÏÄÁ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.
C
c
g
d
A
e
D
a
Êåíèíãñáåðã
b
B
f
òÉÓÕÎÏË 7.1. óÈÅÍÁ ÓÔÁÒÏÇÏ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÁ
÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ××ÏÄÉÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÕÀ × ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ×, É ÒÁÚÂÉÒÁÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÅÛÁÅÍÙÈ Ó ÏÍÏÝØÀ ÇÒÁÆÏ×. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ
Ó ËÌÁÓÓÏÍ ÇÒÁÆÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÍ ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ. äÅÒÅ×ØÑ | ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÄÁÎÎÙÅ, ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÎÙÅ × ÉÅÒÁÒÈÉÞÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ. ðÏÉÓË Ï ÄÅÒÅ×Õ ÄÌÑ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÒÅÄÍÅÔÏ×
É ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÁ ÄÁÎÎÙÈ × ÄÅÒÅ×Å ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ×ÁÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ
142
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÕÓÉÌÉÊ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. ÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ É ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÏÊ É ÏÉÓËÏÍ ÄÁÎÎÙÈ, ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ × ÄÅÒÅ×ØÑ.
7.1. çÒÁÆÙ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ
îÁ ÒÉÓ. 7.1 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÓÅÍØ ÍÏÓÔÏ× ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÁ ÔÁË, ËÁË ÏÎÉ ÂÙÌÉ
ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ × ×ÏÓÅÍÎÁÄ ÁÔÏÍ ÓÔÏÌÅÔÉÉ. ÷ ÚÁÄÁÞÅ, Ë ËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÒÁÔÉÌÓÑ üÊÌÅÒ, ÓÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ: ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÎÁÊÔÉ ÍÁÒÛÒÕÔ ÒÏÇÕÌËÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÍÏÓÔÏ× É ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ
É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÍÅÓÔÅ ÇÏÒÏÄÁ?
íÏÄÅÌØ ÚÁÄÁÞÉ | ÜÔÏ ÇÒÁÆ , ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÅÒÛÉÎ
É ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅÂÅÒ , ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ. ÷ÅÒÛÉÎÙ A, B , C É D
ÓÉÍ×ÏÌÉÚÉÒÕÀÔ ÂÅÒÅÇÁ ÒÅËÉ É ÏÓÔÒÏ×Á, Á ÒÅÂÒÁ a, b, , d, e, f É g
ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÓÅÍØ ÍÏÓÔÏ× (ÓÍ. ÒÉÓ. 7.2). éÓËÏÍÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ (ÅÓÌÉ ÏÎ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÂÈÏÄÕ ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ
ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÒÏÈÏÄÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ðÒÏÈÏÄ ÒÅÂÒÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ,
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÀ ÒÅËÉ Ï ÍÏÓÔÕ.
C
c
d
e
A
d
a
g
D
f
B
òÉÓÕÎÏË 7.2. íÏÄÅÌØ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÍÏÓÔÁÈ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÁ
çÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ × ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, É ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ Ï ×ÓÅÍ ÒÅÂÒÁÍ ÇÒÁÆÁ ÒÏ×ÎÏ
ÏÄÉÎ ÒÁÚ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ . ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ (ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ É Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ), ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÈÏÄÉÔ ÉÓËÏÍÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ, ËÁË É ÓÁÍ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÉËÌÏÍ .
üÊÌÅÒ ÚÁÍÅÔÉÌ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÇÒÁÆÅ ÅÓÔØ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ, ÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
ÒÅÂÒÁ, ×ÅÄÕÝÅÇÏ × ËÁËÕÀ-ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÕ, ÄÏÌÖÎÏ ÎÁÊÔÉÓØ ÄÒÕÇÏÅ ÒÅÂÒÏ,
×ÙÈÏÄÑÝÅÅ ÉÚ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ1 , É ÏÌÕÞÉÌ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÎÁÂÌÀ1
úÁÊÄÑ × ×ÅÒÛÉÎÕ, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ×ÙÊÔÉ Ï ÔÏÍÕ ÖÅ ÒÅÂÒÕ, ÓÏÂÌÀÄÁÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ
ÚÁÄÁÞÉ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
7.1. çÒÁÆÙ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ
143
ÄÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ×Ù×ÏÄ: ÅÓÌÉ × ÄÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ,
ÔÏ Ë ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ÏÄÈÏÄÉÔØ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ.
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, üÊÌÅÒÕ ÕÄÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ É ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÔÁË ÞÔÏ ÇÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÌÀÂÁÑ ÁÒÁ ×ÅÒÛÉÎ Ó×ÑÚÁÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÒÅÂÅÒ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ üÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÍÅÀÔ ÞÅÔÎÕÀ ÓÔÅÅÎØ. óÔÅÅÎØÀ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ Æ (v ) ÒÅÂÅÒ, ÅÊ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ 2.
ÅÅÒØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÇÒÁÆÅ, ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÅÍ ÚÁÄÁÞÕ
Ï ÍÏÓÔÁÈ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÁ, ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ ÎÁÊÔÉ ÎÅÌØÚÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÓÔÅÅÎÉ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÎÅÞÅÔÎÙ: Æ (B ) = Æ (C ) = Æ (D ) = 3 É
Æ (A) = 5. ó ÌÅÇËÏÊ ÒÕËÉ üÊÌÅÒÁ ÇÒÁÆÙ, ÏÄÏÂÎÙÅ ÔÏÍÕ, ËÏÔÏÒÙÊ
ÍÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÌÉ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÍÏÓÔÁÈ, ÓÔÁÌÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, Á ÉÈ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ×ÙÒÏÓÌÏ
× ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ.
ðÒÏÓÔÏÊ ÇÒÁÆ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÁÒÁ G = (V; E ), ÇÄÅ V | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ, Á E | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ, ÒÉÞÅÍ G ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÅÔÅÌØ (ÒÅÂÅÒ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÈÓÑ × ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ) É ËÒÁÔÎÙÈ ÒÅÂÅÒ (ËÒÁÔÎÙÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÅÂÅÒ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ).
çÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 7.2, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ,
ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÅÒÛÉÎÙ A É B ÓÏÅÄÉÎÑÀÔÓÑ Ä×ÕÍÑ ÒÅÂÒÁÍÉ (ËÁË ÒÁÚ ÜÔÉ
ÒÅÂÒÁ É ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÒÁÔÎÙÍÉ).
ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ u É v × ÒÏÓÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÍÅÖÎÙÍÉ , ÅÓÌÉ
ÏÎÉ ÓÏÅÄÉÎÑÀÔÓÑ ËÁËÉÍ-ÔÏ ÒÅÂÒÏÍ e, ÒÏ ËÏÔÏÒÏÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÎÏ
ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏ ×ÅÒÛÉÎÅ u (É v ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï E ÒÅÂÅÒ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ ÓÍÅÖÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ,
ÏÒÅÄÅÌÑÑ ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÎÅÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Å V . ïÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ × ÒÏÓÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÅÔ ÅÔÅÌØ, Ô. Å. ÒÅÂÅÒ, ÏÂÁ ËÏÎ Á ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ×
ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ. óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ ÖÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ
ÆÁËÔÁ, ÞÔÏ ÒÅÂÒÏ e, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÅ ×ÅÒÛÉÎÕ u Ó v , ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ É v Ó u
(ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÅÂÒÁ ÎÅ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÙ, Ô. Å. ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ).
åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÂÒÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÅ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ u
É v , ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ËÁË uv (ÉÌÉ vu).
ìÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ,
ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁÍÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ .
óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ M ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ. á ÉÚ-ÚÁ
ÎÅÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù
M ÓÔÏÉÔ ÓÉÍ×ÏÌ €ì.
2
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁ v Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎ ÏÍ ÒÅÂÒÁ x, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ
ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
v
É
x
144
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
ðÒÉÍÅÒ 7.1. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÇÒÁÆ G(V; E ) Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V =
= {a; b; ; d; e} É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÂÅÒ E = {ab; ae; b ; bd; e; de}. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ.
òÅÛÅÎÉÅ. çÒÁÆ G ÏËÁÚÁÎ ÎÁ ÒÉÓ. 7.3.
c
b
a
d
e
òÉÓÕÎÏË 7.3.
åÇÏ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
a
a
ì
b 
é

b
é
ì
 ì é

d  ì é
e
é ì

ì
é
ì
ì
é
d
e
ì
é
ì
ì
é
é
ì
é
é
ì



:


äÌÑ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÇÒÁÆÁ ÎÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÏÌØËÏ ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÏÑÔ ÎÁÄ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ.
ðÏÄÇÒÁÆÏÍ ÇÒÁÆÁ G = (V; E ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÒÁÆ G′ = (V ′ ; E ′ ), ×
ËÏÔÏÒÏÍ E ′ ⊂ E É V ′ ⊂ V .
ðÒÉÍÅÒ 7.2. îÁÊÄÉÔÅ ÓÒÅÄÉ ÇÒÁÆÏ× H , K É L, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ ÎÁ
ÒÉÓ. 7.4, ÏÄÇÒÁÆÙ ÇÒÁÆÁ G.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÏ× G, H É K ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ
ÎÁ ÒÉÓ. 7.5. çÒÁÆÙ H É K | ÏÄÇÒÁÆÙ × G, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÎÁÛÉÈ
ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ. çÒÁÆ L ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÇÒÁÆÏÍ × G, ÏÓËÏÌØËÕ Õ ÎÅÇÏ
ÅÓÔØ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÎÄÅËÓÁ 4, Á Õ ÇÒÁÆÁ G ÔÁËÏÊ ÎÅÔ.
òÅÛÅÎÉÅ.
íÁÒÛÒÕÔÏÍ ÄÌÉÎÙ k × ÇÒÁÆÅ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; : : : ; k ÁÒÁ
vi−1 vi ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÔÁËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔ
ÞÅÒÅÚ v0 v1 : : : vk . îÁÒÉÍÅÒ, 1 4 3 2 5 | ÜÔÏ ÍÁÒÛÒÕÔ ÄÌÉÎÙ 4 ×
ÇÒÁÆÅ G ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 7.2.
7.1. çÒÁÆÙ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ
145
òÉÓÕÎÏË 7.4.
ãÉËÌÏÍ × ÇÒÁÆÅ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ
v0 ; v1 ; : : : ; vk , ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎ ÁÍÉ ÏÄÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ,
ÒÉÞÅÍ v0 = v1 , Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ (É ÒÅÂÒÁ) ÎÅ Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ.
éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÉËÌ | ÜÔÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ
ËÁÖÄÕÀ Ó×ÏÀ ×ÅÒÛÉÎÕ É ÒÅÂÒÏ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ.
òÉÓÕÎÏË 7.5.
ðÒÉÍÅÒ 7.3. îÁÊÄÉÔÅ ÉËÌÙ × ÇÒÁÆÅ G ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 7.2.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÅÓÔØ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ 5:
132541
É
1 2 5 4 3 1:
íÙ ÍÏÖÅÍ ÒÏÊÔÉ ÜÔÉ ÉËÌÙ ËÁË × ÏÄÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ, ÔÁË É × ÄÒÕ-
146
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
ÇÏÍ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉËÌÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÇÒÁÆÅ
ÅÓÔØ ÔÒÉ ÒÁÚÎÙÈ ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ 4:
1 2 5 4 1;
12341
É
2 5 4 3 2;
É Ä×Á ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ 3:
1231
É
1 3 4 1:
çÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅÔ ÉËÌÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Á ÉËÌÉÞÎÙÍ . óÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÅÒÅ×ØÅ×, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ × ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ
ÓÏÂÏÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ Á ÉËÌÉÞÎÙÈ ÇÒÁÆÏ×. ðÏÚÖÅ × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ
ÉÍÉ ÚÁÊÍÅÍÓÑ.
çÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ó×ÑÚÎÙÍ , ÅÓÌÉ ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ
ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÍÁÒÛÒÕÔ. ìÀÂÏÊ ÏÂÝÉÊ ÇÒÁÆ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÏÄÇÒÁÆÙ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏËÁÖÅÔÓÑ Ó×ÑÚÎÙÍ. íÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
ÔÁËÉÈ Ó×ÑÚÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏÍ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ (G). ÷ÏÒÏÓÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÉÍÅÀÔ ×ÁÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× Ë ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÍ ÓÅÔÑÍ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ.
áÌÇÏÒÉÔÍ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ.
ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÇÒÁÆ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ = (G), Ô. Å. ÞÉÓÌÁ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ
ÇÒÁÆÁ G.
begin
V ′ := V ;
:= 0;
while V ′ 6= ∅ do
begin
÷ÙÂÒÁÔØ y
∈ V ′;
îÁÊÔÉ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ ÍÁÒÛÒÕÔÏÍ Ó y ;
õÄÁÌÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ y ÉÚ V ′ É
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÒÅÂÒÁ ÉÚ E ;
end
:= + 1;
end
ðÒÉÍÅÒ 7.4. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÎÁ ÇÒÁ-
ÆÅ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 7.6.
7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ
147
òÉÓÕÎÏË 7.6.
òÅÛÅÎÉÅ. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 7.1.
ÁÂÌÉ Á 7.1
V
éÓÈÏÄÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
÷ÙÂÏÒ y = 1
÷ÙÂÏÒ y = 2
÷ÙÂÏÒ y = 7
′
{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
{2; 4; 5; 7}
{7}
∅
0
1
2
3
éÔÁË, (G) = 3. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 7.7.
òÉÓÕÎÏË 7.7.
7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ
íÙ ÎÁÞÁÌÉ ÜÔÕ ÇÌÁ×Õ Ó ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÈ ÇÒÁÆÏ×, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÍÁÒÛÒÕÔÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏÈÏÄÉÔ Ï ×ÓÅÍ ÒÅÂÒÁÍ ÇÒÁÆÁ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ðÏÈÏÖÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÉÓËÅ ÉËÌÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÇÏ
148
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÇÒÁÆÁ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ÁËÏÊ ÉËÌ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ , Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ
ÇÒÁÆ | ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ .
çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ ÓÌÕÖÁÔ ÍÏÄÅÌØÀ ÒÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÁÓÉÓÁÎÉÑ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÏÅÚÄÏ×, ÄÌÑ ÔÅÌÅËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÅÔÅÊ, É Ô. Ä.
÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÚÁÄÁÞÉ üÊÌÅÒÁ, ÒÏÓÔÏÇÏ ËÒÉÔÅÒÉÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÓÔÉ
ÇÒÁÆÁ ÏËÁ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. ðÏÉÓË ÈÏÒÏÛÅÇÏ ËÒÉÔÅÒÉÑ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ
ÉÚ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ×.
ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÍÎÏÇÉÅ ÇÒÁÆÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÇÒÁÆÅ ÌÀÂÁÑ ÁÒÁ ×ÅÒÛÉÎ ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÒÅÂÒÏÍ.
ÁËÏÊ ÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ Kn , ÇÄÅ n |
ÞÉÓÌÏ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, × ÌÀÂÏÍ ÏÌÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÍÏÖÎÏ ÏÔÙÓËÁÔØ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ.
ðÏÌÎÙÊ ÇÒÁÆ K5 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 7.8. åÇÏ ÉËÌ a b d e a,
ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ. ÷ ÎÅÍ ÅÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÉËÌÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÓÍÅÖÎÁ Ó ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ, ÔÏ
ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ×ÅÒÛÉÎÙ a, × ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÔÏÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉËÌÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ
×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ. äÁÌÅÅ Õ ÎÁÓ ÂÕÄÅÔ ÔÒÉ ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÔÒÅÔÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ É Ä×Á ÄÌÑ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ
ÍÙ ×ÅÒÎÅÍÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÕ a. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 4 · 3 · 2 = 24
ÉËÌÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÉËÌ ÍÏÖÎÏ ÒÏÈÏÄÉÔØ ËÁË × ÏÄÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ, ÔÁË É × ÄÒÕÇÏÍ, ÔÏ ÒÅÁÌØÎÏ × ÇÒÁÆÅ K5 ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ 12
ÒÁÚÎÙÈ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×1 .
òÉÓÕÎÏË 7.8. ðÏÌÎÙÊ ÇÒÁÆ
K5
ðÏÉÓË ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÉËÌÁ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ
(Ó×ÑÚÎÏÍ) ÇÒÁÆÅ | ÚÁÄÁÞÁ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÒÏÓÔÁÑ. ïÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ
Ï ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÔÒÕÄÏÅÍËÉÍ.
1
ä×Å ÒÁÚÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÅÒÛÉÎ: a b
ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÉËÌ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
d e a
É
a e d
b a
ÚÁÄÁÀÔ,
7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ
149
ðÒÉÍÅÒ 7.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÇÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 7.9, ÎÅ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ.
òÉÓÕÎÏË 7.9. ðÒÉÍÅÒ ÎÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÇÒÁÆÁ
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × Ó×ÑÚÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ. ëÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ v ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ C ×ÙÂÏÒÏÍ Ä×ÕÈ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ Ó ÎÅÊ ÒÅÂÅÒ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÍ ÉËÌÅ (ÏÓÌÅ ÕÄÁÌÅÎÉÑ ÌÉÛÎÉÈ ÒÅÂÅÒ) ÒÁ×ÎÁ 2. óÔÅÅÎÉ ×ÅÒÛÉÎ ÄÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ | 2 ÉÌÉ 3. ÷ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 2
×ÈÏÄÑÔ × ÉËÌ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÏÂÏÉÍÉ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÍÉ Ó ÎÉÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅÂÒÁ ab, ae, d, b, hi, hg É ij × ÔÏÍ ÉÌÉ ÉÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ
×ÈÏÄÑÔ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ C (ÓÍ. ÒÉÓ. 7.10).
òÅÂÒÏ bf ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÞÁÓÔØÀ ÉËÌÁ C , ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÔÁËÏÇÏ ÉËÌÁ ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÓÔÅÅÎØ 2. úÎÁÞÉÔ, ÒÅÂÒÁ f j É
f g ÏÂÑÚÁÎÙ ×ÈÏÄÉÔØ × ÉËÌ C , ÞÔÏÂÙ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÎÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÕ f .
îÏ ÔÏÇÄÁ ÒÅÂÒÁ je É gd ÎÉËÁË ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ ÉËÌÕ C , ÏÓËÏÌØËÕ × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ × ÎÅÍ ÏÑ×ÑÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ ÔÒÉ.
üÔÏ ×ÙÎÕÖÄÁÅÔ ÎÁÓ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÉËÌ ÒÅÂÒÏ ed, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë
ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ: ÒÅÂÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÂÙÌÉ ×ÙÎÕÖÄÅÎÙ ×ÙÂÒÁÔØ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ Ä×Á ÎÅÓ×ÑÚÎÙÈ ÉËÌÁ, Á ÎÅ ÏÄÉÎ, ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ
ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÉ. ÷Ù×ÏÄ: ÇÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 7.10, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ.
çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÎÏÇÉÈ
ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ. ïÓÎÏ×ÏÊ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÓÌÕÖÉÔ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ , ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ
ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å.
150
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
ëÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏ×ÅÒÛÉÔØ ÏÅÚÄËÕ Ï ÇÏÒÏÄÁÍ É ×ÅÒÎÕÔØÓÑ ÏÂÒÁÔÎÏ, ÏÂÙ×Á× × ËÁÖÄÏÍ ÇÏÒÏÄÅ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ,
Ó×ÅÄÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÚÁÔÒÁÔÙ ÎÁ ÅÒÅÄ×ÉÖÅÎÉÑ Ë ÍÉÎÉÍÕÍÕ.
òÉÓÕÎÏË 7.10. òÅÂÒÁ, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ
C
çÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÍÏÄÅÌØ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÇÒÁÆÁ, ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÇÏÒÏÄÁ, Á ÒÅÂÒÁ |
Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅ ÉÈ ÄÏÒÏÇÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÏÓÎÁÝÅÎÏ ×ÅÓÏÍ , ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÉÍ ÔÒÁÎÓÏÒÔÎÙÅ ÚÁÔÒÁÔÙ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÕÔÅÛÅÓÔ×ÉÑ Ï ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÄÏÒÏÇÅ, ÔÁËÉÅ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÉÌÉ ×ÒÅÍÑ Ä×ÉÖÅÎÉÑ Ï ÄÏÒÏÇÅ2 . äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ.
ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ
ÏËÁ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ. äÌÑ ÓÌÏÖÎÙÈ ÓÅÔÅÊ ÞÉÓÌÏ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×,
ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÄÌÑ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ, ÎÅÏÍÅÒÎÏ ÏÇÒÏÍÎÏ. ïÄÎÁËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÉÓËÁ ÓÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . óÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÄÁÓÔ ÉËÌ
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÎÏ ÎÁÊÄÅÎÎÙÊ ÉËÌ ÂÕÄÅÔ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ,
ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÞÅÍ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×! ïÄÉÎ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÍÙ ÓÅÊÞÁÓ É ÉÚÕÞÉÍ.
áÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÓÏÓÅÄÁ.
üÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÄÁÅÔ ÓÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÉËÌÙ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ Ó
2
çÒÁÆ, ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÓÎÁÝÅÎÏ ×ÅÓÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÍ
|
7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ
151
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V . ãÉËÌ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÂÕÄÅÔ ÓÏ×ÁÄÁÔØ Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔ , Á ÅÇÏ ÏÂÝÁÑ ÄÌÉÎÁ | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ w.
begin
end
÷ÙÂÒÁÔØ v ∈ V ;
ÍÁÒÛÒÕÔ := v ;
w := 0;
v ′ := v ;
ïÔÍÅÔÉÔØ v ′ ;
while ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ do
begin
÷ÙÂÒÁÔØ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ u,
ÂÌÉÖÁÊÛÕÀ Ë v ′ ;
ÍÁÒÛÒÕÔ := ÍÁÒÛÒÕÔ u;
w := w + ×ÅÓ ÒÅÂÒÁ v ′ u;
v ′ := u;
ïÔÍÅÔÉÔØ v ′ ;
end
ÍÁÒÛÒÕÔ := ÍÁÒÛÒÕÔ v ;
w := w + ×ÅÓ ÒÅÂÒÁ v ′ v ;
ðÒÉÍÅÒ 7.6. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÓÏÓÅÄÁ Ë ÇÒÁÆÕ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÍÕ ÎÁ ÒÉÓ. 7.11. úÁ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ×ÏÚØÍÉÔÅ ×ÅÒÛÉÎÕ D.
B
A
5
7
8
6
10
C
D
3
òÉÓÕÎÏË 7.11.
òÅÛÅÎÉÅ. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 7.2.
ÁÂÌÉ Á 7.2
u
éÓÈÏÄÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÏÈÏÄ
ÍÁÒÛÒÕÔ
|
D
C
DC
A
DC A
B
DC AB
B
DC ABD
′
w
v
0
3
C
9
14
24
D
A
B
B
152
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÂÙÌ ÎÁÊÄÅÎ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ
ÉËÌÏ× × ÜÔÏÍ
ÍÁÌÅÎØËÏÍ ÇÒÁÆÅ, ÍÏÖÎÏ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÅÝÅ Ä×Á ÄÒÕÇÉÈ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÁ: ABCDA ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ 23 É ACBDA ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ 31.
÷ ÏÌÎÏÍ ÇÒÁÆÅ Ó Ä×ÁÄ ÁÔØÀ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ 6; 1 · 1016 ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×, ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÒÅÂÕÅÔ
ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÍÎÏÇÏ ÍÁÛÉÎÎÏÊ ÁÍÑÔÉ É ×ÒÅÍÅÎÉ.
DCABD ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ 24. äÅÌÁÑ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÓÅÈ
7.3. äÅÒÅ×ØÑ
ëÁË ÕÏÍÉÎÁÌÏÓØ ÒÁÎÅÅ × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å, ÅÓÔØ ËÌÁÓÓ ÇÒÁÆÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ
ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ × ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ. çÒÁÆ G = (V; E ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ , ÅÓÌÉ
ÏÎ Ó×ÑÚÅÎ É Á ÉËÌÉÞÅÎ (Ô. Å. ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉËÌÏ×).
ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÇÒÁÆ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É m ÒÅÂÒÁÍÉ. íÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ,
ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ:
• ìÀÂÁÑ ÁÒÁ ×ÅÒÛÉÎ × G ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÕÔÅÍ.
• G Ó×ÑÚÅÎ É m = n − 1.
• G Ó×ÑÚÅÎ, Á ÕÄÁÌÅÎÉÅ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ ÎÁÒÕÛÁÅÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔØ ÇÒÁÆÁ.
• G Á ÉËÌÉÞÅÎ, ÎÏ ÅÓÌÉ ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ, ÔÏ × G
ÏÑ×ÉÔÓÑ ÉËÌ.
üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÂÅÚ
ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÒÕÄÁ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ ÓÏ ×ÔÏÒÙÍ ÉÚ ÎÉÈ. ÷
ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÅÒÅ×Ï Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÉÍÅÅÔ
ÒÏ×ÎÏ n − 1 ÒÅÂÒÏ.
ðÒÉÍÅÒ 7.7. äÏËÁÖÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÉÎÄÕË ÉÉ Ï ÞÉÓÌÕ ×ÅÒÛÉÎ, ÞÔÏ
ÄÌÑ ÄÅÒÅ×Á T Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É m ÒÅÂÒÁÍÉ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ:
m = n − 1.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÅÒÅ×Ï Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÉ n = 1.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÅÒÅ×Ï T Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ (É m ÒÅÂÒÁÍÉ), ÇÄÅ n > 1
É ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó k < n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ
k − 1 ÒÅÂÒÏ.
õÄÁÌÉÍ ÒÅÂÒÏ ÉÚ T . ðÏ ÔÒÅÔØÅÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÄÅÒÅ×Ï T ÏÓÌÅ ÜÔÏÊ
ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÒÅ×ÒÁÔÉÔÓÑ × ÎÅÓ×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ. ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ Ä×Å
ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, ÎÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÉËÌÏ× (× ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÇÒÁÆ T ÔÏÖÅ ÓÏÄÅÒÖÁÌ ÂÙ ÉËÌÙ É ÎÅ ÍÏÇ
7.3. äÅÒÅ×ØÑ
153
ÂÙ ÂÙÔØ ÄÅÒÅ×ÏÍ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ | ÔÏÖÅ ÄÅÒÅ×ØÑ.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÎÏ×ÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ ÞÅÒÅÚ T1 É T2 . ðÕÓÔØ n1 | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï
×ÅÒÛÉÎ Õ ÄÅÒÅ×Á T1 , Á n2 | Õ T2 . ðÏÓËÏÌØËÕ n1 + n2 = n, ÔÏ n1 < n
É n2 < n.
ðÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ÄÅÒÅ×Ï T1 ÉÍÅÅÔ n1 −1 ÒÅÂÒÏ, Á T2 |
n2 − 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï T ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÌÏ (Ó ÕÞÅÔÏÍ
ÏÄÎÏÇÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÇÏ) (n1 − 1) + (n2 − 1) + 1 = n − 1 ÒÅÂÒÏ, ÞÔÏ É
ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ.
îÅÓÌÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ Ó×ÑÚÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÄÇÒÁÆ, Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ. ðÏÄÇÒÁÆ × G, Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ É
×ËÌÀÞÁÀÝÉÊ × ÓÅÂÑ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ G, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÔÏ×Î
ÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ .
ïÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï × ÇÒÁÆÅ G ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÒÏÓÔÏ: ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÅÇÏ ÒÅÂÒÏ É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍ ÄÒÕÇÉÅ ÒÅÂÒÁ, ÎÅ ÓÏÚÄÁ×ÁÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÉËÌÏ×, ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÅÌØÚÑ ÂÕÄÅÔ ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÎÉËÁËÏÇÏ ÒÅÂÒÁ, ÎÅ ÏÌÕÞÉ× ÒÉ ÜÔÏÍ ÉËÌÁ. âÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÉÍÅÒÕ 7.7, ÍÙ
ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á × ÇÒÁÆÅ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÒÏ×ÎÏ n − 1 ÒÅÂÒÏ.
ðÒÉÍÅÒ 7.8. îÁÊÄÉÔÅ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÏÓÔÏ×ÎÙÈ ÄÅÒÅ×Á × ÇÒÁÆÅ, ÉÚÏ-
ÂÒÁÖÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 7.12.
òÉÓÕÎÏË 7.12. ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ
G
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÓÔÏ×ÎÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ×.
ïÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍ ×ÙÂÏÒÏÍ ÒÅÂÅÒ: a, b, d
É f . äÒÕÇÏÅ | b, , e É g . îÁÚ×ÁÎÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 7.13.
ðÒÏ ÅÓÓ, ÏÉÓÁÎÎÙÊ × ÒÉÍÅÒÅ 7.8, ÍÏÖÎÏ ÒÉÓÏÓÏÂÉÔØ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ :
îÕÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÖÅÌÅÚÎÏÄÏÒÏÖÎÕÀ ÓÅÔØ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÕÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÇÏÒÏÄÏ×. éÚ×ÅÓÔÎÁ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Á ÏÔÒÅÚËÁ ÕÔÅÊ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÏÊ ÁÒÏÊ ÇÏÒÏÄÏ×. ÒÅÂÕÅÔÓÑ
ÎÁÊÔÉ ÓÅÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ.
154
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
îÁ ÑÚÙËÅ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÁÊÔÉ
ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ. ÁËÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÉÎÑÔÏ
ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÏÓÔÏ×ÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÉÌÉ, ÓÏËÒÁÝÅÎÎÏ, íïä .
÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÚÄÅÓØ ÅÓÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï. ïÎ
ÏÈÏÖ ÎÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ, Ó ËÏÔÏÒÙÍ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ × ÇÌÁ×Å 1
ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ ÄÌÑ ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ
ÛÅÓÔÉ ÛÏÔÌÁÎÄÓËÉÈ ÇÏÒÏÄÏ×.
òÉÓÕÎÏË 7.13. ïÓÔÏ×ÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ ÇÒÁÆÁ
G
áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. ðÕÓÔØ
G = (V; E ) | Ó×ÑÚÎÙÊ ×Ú×ÅÛÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÓÔÒÏÉÔ íïä ×
ÇÒÁÆÅ G, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÂÉÒÁÑ ÒÅÂÒÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ
×ÅÓÁ ÄÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. íïä × ÁÍÑÔÉ ËÏÍØÀÔÅÒÁ
ÈÒÁÎÉÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á T ÒÅÂÅÒ.
begin
e := ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ G Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ×ÅÓÏÍ;
T := {e};
E ′ := E \ {e}
while E ′ 6= ∅
begin
e′ := ÒÅÂÒÏ ÉÚ E ′ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ;
T := T ∪ {e′ };
E ′ := ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÉÚ E ′ \ {T },
ÞØÅ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ Ë T ÎÅ ×ÅÄÅÔ
Ë ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ
ÉËÌÏ×;
end
end
ðÒÉÍÅÒ 7.9. ÷ ÔÁÂÌ. 7.3 ÄÁÎÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ (× ÍÉÌÑÈ) ÍÅÖÄÕ ÑÔØÀ
ÄÅÒÅ×ÎÑÍÉ A, B , C , D É E . îÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï.
7.3. äÅÒÅ×ØÑ
155
ÁÂÌÉ Á 7.3
A
B
C
D
E
D
|
13
3
9
13
|
11
11
3
11
|
9
9
11
9
|
9
13
7
2
E
9
13
7
2
|
A
B
C
òÅÛÅÎÉÅ. òÅÂÒÁ ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÅÒ×ÏÅ | ÒÅÂÒÏ
DE ×ÅÓÁ 2; ×ÔÏÒÏÅ | AC ×ÅÓÁ 3; ÔÒÅÔØÅ | CE ×ÅÓÁ 7. îÁ ÜÔÏÊ ÓÔÁÄÉÉ
ÓÔÒÏÑÝÅÅÓÑ ÄÅÒÅ×Ï ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÔÁË, ËÁË ÎÁ ÒÉÓ. 7.14
òÉÓÕÎÏË 7.14. ÷ÉÄ ÄÅÒÅ×Á ÏÓÌÅ ÔÒÅÈ ÛÁÇÏ×
óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ï ×ÅÓÕ ÒÅÂÒÁ | AD , AE É CD , ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ
ÉÍÅÅÔ ×ÅÓ 9. ïÄÎÁËÏ ËÁËÏÅ ÂÙ ÉÚ ÎÉÈ ÍÙ ÎÉ ÄÏÂÁ×ÉÌÉ, ÏÌÕÞÉÔÓÑ
ÉËÌ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÒÅÂÒÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ÉÚ ÞÉÓÌÁ
ÄÏÓÔÕÎÙÈ ÄÌÑ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Á. äÁÌÅÅ ÉÄÕÔ ÒÅÂÒÁ BC É BD ×ÅÓÁ 11.
íÏÖÎÏ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÌÀÂÏÅ ÉÚ ÎÉÈ, ÏÌÕÞÉ× ÒÉ ÜÔÏÍ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ
íïä: {AC; BC; CE; DE } ÉÌÉ {AC; BD; CE; DE } ×ÅÓÁ 23 ËÁÖÄÏÅ.
úÁÞÁÓÔÕÀ ÎÁÍ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÉÍÅÔØ ÄÅÒÅ×ØÑ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÉÅÒÁÒÈÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ, ÔÁËÉÅ,
ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÇÅÎÅÁÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÄÒÅ×Ï (ÒÉÓ. 7.15). îÁ ÎÅÍ ÏËÁÚÁÎÙ
ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÞÌÅÎÙ ÓÅÍØÉ âÅÒÎÕÌÌÉ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÙÌ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ Û×ÅÊ ÁÒÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ.
çÉÎÅÁÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÄÒÅ×Ï ÍÏÖÎÏ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ É ÂÏÌÅÅ ÓÖÁÔÏ. óÈÅÍÁ,
ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 7.16, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÒÉÍÅÒ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ. äÅÒÅ×ÏÍ Ó ËÏÒÎÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×Ï Ó ÏÄÎÏÊ
×ÙÄÅÌÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. éÍÅÎÎÏ ÜÔÁ ×ÙÄÅÌÅÎÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ËÏÒÎÅÍ ÄÅÒÅ×Á. ëÏÒÅÎØ, × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ €×ÅÌÉÞÁÊÛÅʁ ×ÅÒÛÉÎÏÊ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÄÏÎÁÞÁÌØÎÉË ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× âÅÒÎÕÌÌÉ). ÷ÅÒÛÉÎÙ ÄÅÒÅ×Á, ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ÄÁÎÎÏÊ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÙÎÏ×ØÑÍÉ . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ×ÅÒÛÉÎÁ, ÓÔÏÑÝÁÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÅÒÅÄ ÓÙÎÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÅ ÏÔ ÏÍ .
156
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
îÉËÏÌÁ
Ò. 1623
ñËÏ I
Ò. 1654
îÉËÏÌÁ I
Ò. 1662
îÉËÏÌÁ II
Ò. 1687
éÏÇÁÎ I
Ò. 1667
îÉËÏÌÁ III
Ò. 1695
äÁÎÉÉÌ I
Ò. 1700
éÏÇÁÎ II
Ò. 1710
òÉÓÕÎÏË 7.15. äÉÎÁÓÔÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ
òÉÓÕÎÏË 7.16. óÈÅÍÁ ÇÅÎÅÁÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÄÒÅ×Á âÅÒÎÕÌÌÉ
äÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ïÔÄÅÌØÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ Ó ËÏÒÎÅÍ (ÏÎÁ ÖÅ ÓÌÕÖÉÔ É ËÏÒÎÅÍ ÔÁËÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á). åÓÌÉ T1 , T2 , . . . , Tk | ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ
ÄÅÒÅ×ØÑ Ó ËÏÒÎÑÍÉ v1 , v2 , . . . , vk , ÔÏ ÇÒÁÆ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÎÏ×ÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v Ë ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ v1 , v2 , . . . , vk ÏÔÄÅÌØÎÙÍ ÒÅÂÒÏÍ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ T Ó ËÏÒÎÅÍ v . ÷ÅÒÛÉÎÙ v1 , . . . , vk
ÇÒÁÆÁ T | ÜÔÏ ÓÙÎÏ×ØÑ ËÏÒÎÑ v . íÙ ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó
ËÏÒÎÅÍ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÍ ÎÁ×ÅÒÈÕ, É ÓÙÎÏ×ØÑÍÉ, ÓÔÏÑÝÉÍÉ ÎÉÖÅ, ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ËÏÒÎÅÍ (ÓÍ. ÒÉÓ. 7.17). ëÁÖÄÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÄÅÒÅ×Á
Ó ËÏÒÎÅÍ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ËÏÒÅÎØ ÄÒÕÇÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ËÏÔÏÒÏÅ
€ÒÁÓÔÅԁ ÉÚ ÎÅÇÏ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×ÏÍ ÄÅÒÅ×Á T .
ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ×ÅÒÛÉÎÁ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ×ÅÒÈÕ ÄÅÒÅ×Á | ÅÇÏ ËÏÒÅÎØ, Á ×ÏÔ ÔÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÓÁÍÏÍ ÎÉÚÕ ÄÅÒÅ×Á (É ÎÅ ÉÍÅÀÔ
ÓÙÎÏ×ÅÊ) ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÉÓÔØÑÍÉ . ïÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ ËÏÒÎÑ É ÌÉÓÔØÅ×, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ .
ïÂÌÁÓÔØ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÄÅÒÅ×ØÅ× Ó ËÏÒÎÅÍ ÏÂÛÉÒÎÁ. üÔÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÁ, É ÂÉÏÌÏÇÉÑ, É ÍÅÎÅÄÖÍÅÎÔ. äÌÑ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë
7.3. äÅÒÅ×ØÑ
157
ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÉÌÉ ÂÉÎÁÒÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ Ó ËÏÒÎÅÍ. ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏÔÌÉÞÁÅÔ ÏÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÔÏ,
ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÓÙÎÏ×ÅÊ. ÷ Ä×ÏÉÞÎÏÍ
ÄÅÒÅ×Å Ó ËÏÒÎÅÍ ×ÎÉÚ ÏÔ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÄÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÒÅÂÅÒ.
òÉÓÕÎÏË 7.17.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ Ä×Á ÏÄÄÅÒÅ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ
ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÅ×ÙÍ É ÒÁ×ÙÍ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑÍÉ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ.
åÓÌÉ ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ Õ ËÁËÏÊ-ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÅÒÅ×Á ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÏÍÏË ÓÌÅ×Á, ÔÏ ÅÅ ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ (Ô. Å.
ÎÕÌÅ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï | ÜÔÏ ÄÅÒÅ×Ï ÂÅÚ ÅÄÉÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÒÁ×ÙÊ ÏÔÏÍÏË, ÔÏ ÅÅ ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï
ÂÕÄÅÔ ÎÕÌÅ×ÙÍ.
ðÒÉÍÅÒ 7.10. ðÕÓÔØ T | Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ
ÎÁ ÒÉÓ. 7.18.
òÉÓÕÎÏË 7.18. ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ
T
158
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
ïÒÅÄÅÌÉÔÅ
(Á)
(Â)
(×)
(Ç)
ËÏÒÅÎØ T ;
ËÏÒÅÎØ ÌÅ×ÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á ×ÅÒÛÉÎÙ B ;
ÌÉÓÔØÑ T ;
ÓÙÎÏ×ÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ C .
îÁÒÉÓÕÊÔÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ T ′ , ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÉÚ T ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÌÅ×ÙÈ É ÒÁ×ÙÈ ÏÄÄÅÒÅ×ØÅ× Õ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ.
òÅÛÅÎÉÅ. (Á) A; (Â) D ; (×) G, H , E , I É J ; (Ç) F .
ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ T ′ ÎÁÞÅÒÞÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7.19.
òÉÓÕÎÏË 7.19. ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ
T
′
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7
7.1. ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ÏÞÅÍÕ ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ ÒÏÓÔÏÇÏ
ÇÒÁÆÁ G ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÕÄ×ÏÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÅÇÏ ÒÅÂÅÒ. üÔÏÔ ÆÁËÔ
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÌÅÍÍÏÊ Ï ÜÓÔÁÆÅÔÅ.
éÓÏÌØÚÕÑ ÜÔÕ ÌÅÍÍÕ, ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÏÌÎÏÍ ÇÒÁÆÅ
n(n−1) ÒÅÂÅÒ.
Kn Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ
2
äÌÑ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n ÇÒÁÆ Kn ÂÕÄÅÔ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ?
7.2. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ, ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÏÓÔÏÊ
ÇÒÁÆ G ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÔÏ Õ ÎÅÇÏ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ï
ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7
159
7.3. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÇÒÁÆ, ÞØÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:








ì
é
ì
é
ì
é
é
ì
é
ì
é
ì
ì
é
ì
é
ì
é
é
ì
é
ì
é
ì
ì
é
ì
é
ì
ì
é
ì
é
ì
ì
ì




:



ïÉÛÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ Kn .
7.4. ÷×ÅÄÑ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅÒÛÉÎ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÇÒÁ-
ÆÏ× ÎÁ ÒÉÓ. 7.20 ÏÄÂÅÒÉÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÎÉÖÅ.
òÉÓÕÎÏË 7.20.
ì
 é

 é
ì

é
ì
ì
é
é
ì
ì
é
(Á)
 
ì
ì é
 é ì
é 
 
é   é é
ì
ì é
é
é
ì
é
(Â)
 
ì
ì é
 é ì
é 
 
é   ì é
ì
ì é
ì
é
ì
é
(Ó)

ì
é 

é 
ì
7.5. ëÁËÉÅ ÉÚ ÇÒÁÆÏ× ÎÁ ÒÉÓ. 7.21 ÍÏÇÕÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÏÄÇÒÁÆÁÍÉ
ÇÒÁÆÁ ÉÚ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ 7.3?
òÉÓÕÎÏË 7.21. ëÁÎÄÉÄÁÔÙ × ÏÄÇÒÁÆÙ
160
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
7.6. îÁÊÄÉÔÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù
ÉËÌÙ × ÇÒÁÆÅ ÎÁ ÒÉÓ. 7.22.
òÉÓÕÎÏË 7.22.
îÁÊÄÉÔÅ × ÎÅÍ ÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 3, 4, 5, 6 É 7.
7.7. îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ. 7.23 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÇÒÁÆ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ P .
òÉÓÕÎÏË 7.23. çÒÁÆ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ
îÁÊÄÉÔÅ × ÎÅÍ ÉËÌ ÄÌÉÎÙ 9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ P ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ.
7.8. éÓÏÌØÚÕÊÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÓÏÓÅÄÁ ÄÌÑ ÏÉÓËÁ ÇÁ-
ÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÉËÌÁ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ (ÒÉÓ. 7.24), ×ÚÑ× ÚÁ
ÉÓÈÏÄÎÕÀ
(Á) ×ÅÒÛÉÎÕ A;
(Â) ×ÅÒÛÉÎÕ D .
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7
161
òÉÓÕÎÏË 7.24. îÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ
7.9. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÇÒÁÆÙ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÍÁ-
ÔÒÉ ÁÍÉ

ì
 ì

 ì
(Á) 
 ì

 ì
é

ì
 ì

 ì
(Â) 
 ì

 ì
é
ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ:

ì ì ì ì é
ì ì é ì é 

ì ì ì é é 
;
é ì ì é ì 

ì é é ì ì 
é é ì ì ì

ì ì ì ì é
ì é ì ì ì 

é ì é ì é 
.
ì é ì é ì 

ì ì é ì ì 
ì é ì ì ì
7.10. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÄÅÒÅ×Ï T ÉÍÅÅÔ ÔÒÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 3 É ÞÅ-
ÔÙÒÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 2. ïÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÅÒÅ×Á ÉÍÅÀÔ
ÓÔÅÅÎØ 1. óËÏÌØËÏ ×ÅÒÛÉÎ ÓÔÅÅÎÉ 1 ÅÓÔØ Õ ÄÅÒÅ×Á T ?
(õËÁÚÁÎÉÅ: ÏÂÏÚÎÁÞØÔÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÄÅÒÅ×Á T ÞÅÒÅÚ n É ÒÉÍÅÎÉÔÅ ÌÅÍÍÕ Ï ÜÓÔÁÆÅÔÅ.)
7.11. ìÅÓÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÒÁÆ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ), ËÁÖÄÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ | ÄÅÒÅ×Ï. ðÕÓÔØ G | ÌÅÓ Ó n
×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É k ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ.
(Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ G ÉÍÅÅÔ n − k ÒÅÂÅÒ.
(Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ËÁÖÄÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÌÅÓÁ
G ÅÓÔØ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÔÏ G ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ï ËÒÁÊÎÅÊ
ÍÅÒÅ 2k ×ÅÒÛÉÎ ÓÔÅÅÎÉ 1.
162
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
(×) îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÌÅÓ Ó ÄÅ×ÑÔØÀ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É ÛÅÓÔØÀ ÒÅÂÒÁÍÉ,
× ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ ÑÔÉ ×ÅÒÛÉÎ ÓÔÅÅÎÉ 1.
7.12. îÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏ-
ÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7.25.
òÉÓÕÎÏË 7.25.
7.13. ÷ ÔÁÂÌ. 7.4 ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ (× ÍÉÌÑÈ) ÍÅÖÄÕ ÛÅÓÔØÀ
ÇÏÒÏÄÁÍÉ éÒÌÁÎÄÉÉ.
ÁÂÌÉ Á 7.4
áÔÌÏÎ
äÕÂÌÉÎ
çÏÌÕÜÊ
ìÉÍÅÒÉË
óÌÁÊÇÏ
õÜËÓÆÏÒÄ
áÔÌÏÎ
äÕÂÌÉÎ
çÏÌÕÜÊ
ìÉÍÅÒÉË
óÌÁÊÇÏ
õÜËÓÆÏÒÄ
|
78
56
73
71
114
78
|
132
121
135
96
56
132
|
64
85
154
73
121
64
|
144
116
71
135
85
144
|
185
114
96
154
116
185
|
éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÎÁÊÄÉÔÅ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ×.
7.14. çÌÕÂÉÎÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ T ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÄÌÉ-
ÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÕÔÉ ÏÔ ÎÅÅ Ë ËÏÒÎÀ ÄÅÒÅ×Á. çÌÕÂÉÎÁ ÇÒÁÆÁ
T | ÜÔÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ ÇÌÕÂÉÎÁ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ.
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
163
(Á) îÁÞÅÒÔÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÅÒÅ×ØÑ:
(i) ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ 1 Ó ÛÅÓÔØÀ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ;
(ii) ÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ 2;
(iii) ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ 3, ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÇÌÕÂÉÎÙ
i (i > 0) ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÍÅÅÔ (i + 1) ÓÙÎÁ.
(Â) ðÏËÁÖÉÔÅ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n, ÞÔÏ ÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï
Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ n ÉÍÅÅÔ 2n ÌÉÓÔØÅ×.
(ðÏÌÎÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ
×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ (ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÌÉÓÔØÅ×) ÉÍÅÀÔ Ï Ä×Á ÓÙÎÁ.)
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
çÒÁÆ G = (V; E ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á V , ÞØÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ, É ÍÎÏÖÅÓÔ×Á E ÅÇÏ ÒÅÂÅÒ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÎÅËÏ-
ÔÏÒÙÅ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ.
÷ÅÒÛÉÎÙ u É v ÇÒÁÆÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÍÅÖÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ
ËÁËÉÍ-ÔÏ ÒÅÂÒÏÍ e, ÒÏ ËÏÔÏÒÏÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏ ×ÅÒÛÉÎÁÍ u É v .
óÔÅÅÎØÀ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÓÞÉÔÁÀÔ ÞÉÓÌÏ Æ (v ) ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ, ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ v .
çÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÁÒÛÒÕÔ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ),
ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ × ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ×ÅÒÛÉÎÅ É
ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÒÅÂÒÕ ÇÒÁÆÁ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
üÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ. ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ Ó Ä×ÕÍÑ ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÞÅÔÎÕÀ ÓÔÅÅÎØ.
ìÅÍÍÁ Ï ÜÓÔÁÆÅÔÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G = (V; E ) ÒÁ×ÎÁ ÕÄ×ÏÅÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÅÇÏ ÒÅÂÅÒ.
ðÒÏÓÔÙÍ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÇÒÁÆ G = (V; E ) Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V É ËÏÎÅÞÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÂÅÒ E , × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅÔ
ÅÔÅÌØ É ËÒÁÔÎÙÈ ÒÅÂÅÒ.
ìÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÒÛÉÎ ÒÏÓÔÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G, ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁÍÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ.
164
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
ðÏÄÇÒÁÆÏÍ ÇÒÁÆÁ G = (V; E ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÒÁÆ G′ = (V ′ ; E ′ ), ×
ËÏÔÏÒÏÍ E ′ ⊂ E É V ′ ⊂ V .
íÁÒÛÒÕÔÏÍ ÄÌÉÎÙ k × ÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ ÓÏÓÅÄÎÉÈ
×ÅÒÛÉÎ vi−1 vi ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÒÅÂÒÏÍ.
ãÉËÌÏÍ × ÇÒÁÆÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ v0 ; v1 ; : : : ; v0 , Õ ËÏ-
ÔÏÒÏÇÏ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ËÒÏÍÅ ÅÒ×ÏÊ É ÏÓÌÅÄÎÅÊ, ÒÁÚÌÉÞÎÙ.
çÒÁÆ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÉËÌÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Á ÉËÌÉÞÎÙÍ.
ó×ÑÚÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÔ ÇÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ ×ÅÒÛÉÎ ÓÏ-
ÅÄÉÎÅÎÁ ÍÁÒÛÒÕÔÏÍ.
ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÍÏÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ.
çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÏÊ ÉËÌ × ÇÒÁÆÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏÈÏÄÉÔ
ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÇÒÁÆÁ, ÒÉÞÅÍ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. çÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ.
úÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÉÓËÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÉËÌÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÓÏÓÅÄÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ÓÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ
ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ.
ó×ÑÚÎÙÊ Á ÉËÌÉÞÎÙÊ ÇÒÁÆ G = (V; E ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Ï Ó×ÑÚÎÏÍ ÇÒÁÆÅ G = (V; E ) Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É m
ÒÅÂÒÁÍÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:
(Á) G | ÄÅÒÅ×Ï;
(Â) ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ G Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÔØ;
(×) G Ó×ÑÚÅÎ É m = n − 1;
(Ç) G Ó×ÑÚÅÎ, Á ÕÄÁÌÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ ÎÁÒÕÛÁÅÔ ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï;
(Ä) G Á ÉËÌÉÞÅÎ, ÎÏ ÓÏÅÄÉÎÑÑ ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ ÎÏ×ÙÍ ÒÅÂÒÏÍ,
ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÉËÌ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË
165
ïÓÔÏ×ÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÇÒÁÆÁ G ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÏÊ ÅÇÏ ÏÄÇÒÁÆ, ËÏÔÏÒÙÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ É ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ G. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊ-
ÔÉ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ
É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ.
äÅÒÅ×Ï Ó ÏÄÎÏÊ ×ÙÄÅÌÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÄÅÒÅ×ÏÍ Ó ËÏÒÎÅÍ, Á ×ÙÄÅÌÅÎÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ | ÅÇÏ ËÏÒÎÅÍ. ÷ÅÒÛÉÎÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ×ÅÒÛÉÎÏÊ v (É ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ Ó ÎÅÊ ÒÅÂÒÁÍÉ), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÙÎÏ×ØÑÍÉ ×ÅÒÛÉÎÙ v . ÷ÅÒÛÉÎÙ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÓÁÍÏÍ ÎÉÚÕ ÄÅÒÅ×Á (ÏÎÉ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÓÙÎÏ×ÅÊ), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÉÓÔØÑÍÉ.
÷ÅÒÛÉÎÙ, ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ ËÏÒÎÑ É ÌÉÓÔØÅ×, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ
×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ. îÕÌÅ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï | ÜÔÏ ÄÅÒÅ×Ï, ÎÅ ÉÍÅÀÝÅÅ ÎÉ
ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ.
ëÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ T Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×ÏÍ T . ÷ Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å Ó
ËÏÒÎÅÍ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÓÙÎÏ×ÅÊ, Á Ä×Á ÏÄÄÅÒÅ×Á ×ÅÒÛÉÎÙ v ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÌÅ×ÙÍ É ÒÁ×ÙÍ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑÍÉ, ÁÓÓÏÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ Ó v . ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÌÎÙÍ,
ÅÓÌÉ ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÌÉÓÔØÅ×, ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ Ï
Ä×Á ÓÙÎÁ.
çÌÕÂÉÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ T ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÌÉÎÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÍÁÒÛÒÕÔÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÇÏ ÅÅ Ó ËÏÒÎÅÍ. çÌÕÂÉÎÏÊ
ÇÒÁÆÁ T ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÕÀ ÇÌÕÂÉÎÕ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË
ä×ÏÉÞÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ Ó ËÏÒÎÅÍ ÏÞÅÎØ ÏÌÅÚÎÙ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ Ï ×ÙÂÏÒÅ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ï ×ÙÂÏÒÅ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÎÕÖÎÏ ËÌÁÓÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÉÌÉ ×ÅÓÔÉ × ÎÉÈ ÏÉÓË.
õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ, ÔÁËÉÅ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ, ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÉÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÒÏË ÌÉÔÅÒ, ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ
ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ (× ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ), ÍÏÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ
× ×ÉÄÅ ×ÅÒÛÉÎ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÉÈ ÏÒÑÄËÏÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÓÔÒÅÍÉÍÓÑ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏÂÙ ÄÁÎÎÙÅ, ÓÔÏÑÝÉÅ ×
ÌÅ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÂÙÌÉ ÂÙ ÍÅÎØÛÅ ÄÁÎÎÙÈ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, Á ÄÁÎÎÙÅ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÒÁ×ÏÍ ÅÅ
ÏÄÄÅÒÅ×Å | ÂÏÌØÛÅ. äÅÒÅ×Ï ÄÁÎÎÙÈ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕËÁÚÁÎÎÏÍÕ
ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ä×ÏÉÞÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÏÉÓËÁ .
166
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
îÁÒÉÍÅÒ, × ÄÅÒÅ×Å Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 7.26,
ÓÌÏ×Á ÆÒÁÚÙ €õ íïåçï ëïíðøàåòá åóø þéð îá íáåòéîóëïê ðìáå ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÙ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÓÌÏ×Ï × ÌÅ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ) ÓÌÏ×Õ, ÓÔÏÑÝÅÍÕ × ÜÔÏÊ
×ÅÒÛÉÎÅ, Á ËÁÖÄÏÅ ÓÌÏ×Ï ÅÅ ÒÁ×ÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ ÚÁ ÓÌÏ×ÏÍ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ.
ðìáå
íáåòéîóëïê
õ
íïåçï
åóø
ëïíðøàåòá
þéð
îá
òÉÓÕÎÏË 7.26. äÅÒÅ×Ï Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ
ðÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Ï ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ × ×ÉÄÅ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÉÓËÁ ËÁËÉÈ-ÔÏ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ, ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ ÄÁÎÎÙÈ × ÄÅÒÅ×Ï É ÅÞÁÔÉ ×ÓÅÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊÓÑ × ÄÅÒÅ×Å × ×ÉÄÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÓÉÓËÁ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÈÒÁÎÉÔÓÑ ÓÉÓÏË ÓÔÕÄÅÎÔÏ×
(ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ × ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ), × ËÏÔÏÒÏÍ ËÒÏÍÅ ÆÁÍÉÌÉÊ
É ÉÍÅÎ ÉÍÅÀÔÓÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ×ÁÖÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÓÔÕÄÅÎÔÁÈ. äÏÕÓÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ×ÏÚÎÉËÌÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÎÁÊÔÉ ËÁËÕÀ-ÔÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ × ÓÉÓËÅ ÉÌÉ ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÎÏ×ÙÅ ÚÁÉÓÉ Ë ÓÉÓËÕ. íÙ ÓÅÊÞÁÓ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÀÔ ÏÉÓË ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÄÏÂÁ×ÌÑÀÔ ÎÏ×ÙÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× Ë ÓÉÓËÕ É ×Ù×ÏÄÑÔ
ÎÁ ÅÞÁÔØ ×ÓÅ ÚÁÉÓÉ × ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ.
úÁÉÓÉ Ï ÓÔÕÄÅÎÔÁÈ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÙ × Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ (ËÁÖÄÁÑ ÚÁÉÓØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ), É ÎÁÛÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÂÕÄÕÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÙ ÜÔÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ É ËÏÒÎÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÂÕÄÕÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ÌÅ×ÙÅ É ÒÁ×ÙÅ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑ ×ÅÒÛÉÎ. þÔÏÂÙ ÜÔÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÉÉÓÁÔØ ËÁÖÄÏÊ
×ÅÒÛÉÎÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÌÀÞ ÄÌÑ ÉÄÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ É ÓÓÙÌÏË ÎÁ ÅÅ ÌÅ×ÏÅ
É ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑ (× ÓÔÒÕËÔÕÒÁÈ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÜÔÉÈ ÅÌÅÊ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ Ä×ÁÖÄÙ Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÉÓËÉ). éÚ ×ÓÅÈ ËÌÀÞÅÊ
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË
167
ÏÒÇÁÎÉÚÕÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï (× ÎÁÛÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ
ÏÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÏ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ).
áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÄÁÎÎÁÑ ÚÁÉÓØ (ËÌÀÞ
ÏÉÓËÁ ) ×ÅÒÛÉÎÏÊ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å ÏÉÓËÁ, ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ Ó ËÌÀÞÏÍ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á, É, ÒÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÌÅ×ÏÍ ÉÌÉ ÒÁ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑÈ.
ðÏÉÓË(ÄÅÒÅ×Ï)
begin
if ÄÅÒÅ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÅ then
ÏÉÓË := ÌÏÖØ;
else
if ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ = ËÌÀÞ ËÏÒÎÑ then
ÏÉÓË := ÉÓÔÉÎÁ;
else
if ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ < ËÌÀÞ ËÏÒÎÑ then
ÏÉÓË := ÏÉÓË (ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï);
else
ÏÉÓË := ÏÉÓË (ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï);
end
úÁÄÁÞÁ 1. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁÄ Ä×ÏÉÞÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ
ÏÉÓËÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 7.27. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ |
ÂÕË×Á R, Á ËÌÀÞÉ ×ÅÒÛÉÎ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ R > K , ÔÏ ÏÉÓË ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å ×ÅÒÛÉÎÙ K . ÁË ËÁË R < T , ÒÏ ÅÓÓ ÏÉÓËÁ ÅÒÅËÌÀÞÁÅÔÓÑ
ÎÁ ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ×ÅÒÛÉÎÙ T . îÁËÏÎÅ , ××ÉÄÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á R 6= M
É ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ÏÄÄÅÒÅ×ØÅ× Õ ×ÅÒÛÉÎÙ M , ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ É
ÓÏÏÂÝÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÎÅ ÂÙÌÁ ÎÁÊÄÅÎÁ.
K
T
C
M
V
òÉÓÕÎÏË 7.27.
áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ ×ÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÏ×ÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ (ËÌÀÞÉ ×ÓÔÁ×ÏË )
× Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ, ÓÏÚÄÁ×ÁÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÏ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÓÌÅ×Á ÉÌÉ ÓÒÁ×Á ÏÔ ÕÖÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÅÊ. üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
168
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ ×ÅÒÛÉÎ × ÏÌÕÞÉ×ÛÅÍÓÑ ÄÅÒÅ×Å ÏÄÞÉÎÑÌÉÓØ ÕÓÔÁÎÏ×É×ÛÅÍÕÓÑ ÏÒÑÄËÕ.
÷ÓÔÁ×ËÁ(ÚÁÉÓØ, ÄÅÒÅ×Ï)
begin
if ÄÅÒÅ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÅ then
ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÎÏ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ;
else
if ËÌÀÞ ×ÓÔÁ×ËÉ = ËÌÀÞ ËÏÒÎÑ then
×Ù×ÅÓÔÉ ÎÁ ÅÞÁÔØ:
€ÚÁÉÓØ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÄÅÒÅף;
else
end
if ËÌÀÞ ×ÓÔÁ×ËÉ < ËÌÀÞ ËÏÒÎÑ then
×ÓÔÁ×ËÁ := ×ÓÔÁ×ËÁ(ÚÁÉÓØ; ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï);
else
×ÓÔÁ×ËÁ := ×ÓÔÁ×ËÁ(ÚÁÉÓØ; ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï);
úÁÄÁÞÁ 2. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÓÔÁ×ËÉ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ
×ÅÒÛÉÎ R, A É L × ÄÅÒÅ×Ï ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 1.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ R > K , ÍÙ ÒÉÍÅÎÑÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ Ë
ÒÁ×ÏÍÕ ÏÄÄÅÒÅ×Õ ×ÅÒÛÉÎÙ K . äÁÌÅÅ ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ R < T . úÎÁ-
ÞÉÔ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ ÅÒÅËÌÀÞÁÅÔÓÑ ÎÁ ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ×ÅÒÛÉÎÙ T . ÁË ËÁË R > M É ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ×ÅÒÛÉÎÙ M ÎÕÌÅ×ÏÅ, ÔÏ
ÍÙ ÓÔÁ×ÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ R ÓÒÁ×Á ÏÔ M É ÏÌÕÞÁÅÍ ÄÅÒÅ×Ï, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. 7.28. ÅÅÒØ ×ÓÔÁ×ÉÍ A É L, ÏÓÔÒÏÉ× ÄÅÒÅ×Ï, ÏËÁÚÁÎÎÏÅ
ÎÁ ÒÉÓ. 7.29.
K
T
C
M
V
R
òÉÓÕÎÏË 7.28.
áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ
ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÏÂÁ×ÌÑÑ ÎÏ×ÙÅ ÄÁÎÎÙÅ × ÕÄÏÂÎÏÍ ÄÌÑ ÎÁÓ ÏÒÑÄËÅ. îÁÒÉÍÅÒ, Ä×ÏÉÞÎÏÅ
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË
169
ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ ÎÁ ÒÉÓ. 7.26 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÓÔÁ×ËÉ Ë ÎÕÌÅ×ÏÍÕ ÄÅÒÅ×Õ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÓÌÏ× ÆÒÁÚÙ €õ íïåçï ëïíðøàåòá åóø þéð îá íáåòéîóëïê
ðìáå × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ × ÎÅÊ ÚÁÉÓÁÎÙ.
K
T
C
M
A
V
R
L
òÉÓÕÎÏË 7.29.
áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏÂÈÏÄÁ ×Ù×ÏÄÉÔ ÎÁ ÅÞÁÔØ ×ÓÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀÓÑ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å ÏÉÓËÁ, × ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÍ ÏÒÑÄËÅ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÅÒÅ×Á ÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍ
ÏÒÑÄËÅ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ËÏÒÎÑ, ÅÞÁÔÁÅÔÓÑ ×ÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑÓÑ
× ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÌÅ×ÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á. úÁÔÅÍ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ÈÒÁÎÑÝÁÑÓÑ × ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, É ÎÁËÏÎÅ , ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ
×ÅÒÛÉÎÁÍ ÒÁ×ÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á.
ðÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÂÈÏÄ(ÄÅÒÅ×Ï)
begin
if ÄÅÒÅ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÅ then
ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÄÅÌÁÔØ;
else
begin
ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÂÈÏÄ(ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï);
ÎÁÅÞÁÔÁÔØ ËÏÒÎÅ×ÏÊ ËÌÀÞ;
ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÂÈÏÄ(ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï);
end
end
úÁÄÁÞÁ 3. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏÂÈÏÄÁ Ë ÄÅÒÅ×Õ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÍÕ × ÚÁÄÁÞÅ 2 ÏÓÌÅ ×ÓÔÁ×ËÉ R, A É L.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁÄ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÉÓÏË:
A; C; K; L; M; R; T ; V:
170
çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ
ïÎ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÂÈÏÄÕ ÄÅÒÅ×Á ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ (ÒÉÓ. 7.30)
É ÅÞÁÔÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ, ËÁË ÔÏÌØËÏ ÷Ù
ÒÏÛÌÉ ÏÄ ×ÅÒÛÉÎÏÊ.
K
T
C
M
A
V
R
L
òÉÓÕÎÏË 7.30.
çìá÷á 8
ïòéåîéòï÷áîîùå
çòáæù
íÙ ×ÅÒ×ÙÅ ÓÔÏÌËÎÕÌÉÓØ Ó ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÇÒÁÆÁÍÉ × ÇÌÁ×Å 4
ÒÉ ÏÉÓÁÎÉÉ Ä×ÏÊÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÉÌÉ,
ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ, ÏÒÇÒÁÆÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÉÔÕÁÉÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÅÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÍÅÖÄÕ ÏÂßÅËÔÁÍÉ. ÷ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÈÅÍÙ ÓÌÕÖÁÔ ÄÌÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÈÅÍ
ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÏËÏ×, ÓÅÔÅ×ÏÇÏ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ÚÁÄÁÎÉÊ. ÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ ÉÚ
ÔÅÏÒÉÉ ÏÒÇÒÁÆÏ× É ÏÂÓÕÄÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ðåò. ðåò | ÜÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ
ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×Á ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁÍÉ. îÁ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÅÅ
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ PERT | ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅ ÏÔ €Program Evaluation and Review
Te hnique. ðåò ÂÙÌÁ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÁ ÄÌÑ ÏÍÏÝÉ × ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÉ
ÏÄ×ÏÄÎÏÊ ÌÏÄËÉ ×ÏÅÎÎÏ-ÍÏÒÓËÏÇÏ ÆÌÏÔÁ óûá.
ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÇÌÁ×Ù ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÒÏÂÌÅÍÅ ÏÉÓËÁ ÕÔÅÊ × ÓÅÔÑÈ.
óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÕÔÅÊ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÔÒÉ
ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ (ÜÔÏ ÍÁÔÒÉ Ù ÚÁÍÙËÁÎÉÑ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ) ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÇÏ ÒÅÂÒÁÍÉ ÓÅÔÉ). ÷ § 8.2 ÏÉÓÁÎ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ËÁË ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ. üÔÉÍ ÍÙ, ÎÁËÏÎÅ , ÚÁ×ÅÒÛÉÍ ÒÁÂÏÔÕ,
ÎÁÞÁÔÕÀ × § 4.2. äÁÌÅÅ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ × ÓÅÔÑÈ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÎÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÉÇÒÁÅÔ ÅÎÔÒÁÌØÎÕÀ ÒÏÌØ ÒÉ ÓÏÚÄÁÎÉÉ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÔÁÂÌÉ
ÍÁÒÛÒÕÔÏ× × ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÅÔÑÈ.
8.1. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÉÌÉ ÏÒÇÒÁÆ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÁÒÕ G =
(V; E ), ÇÄÅ V | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ , Á E | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
ÎÁ V . çÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÇÒÁÆÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ Ó ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÄÕÇÁÍÉ ), ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÍÉ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ. óÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÄÕÇ ÏÂÒÁÚÕÅÔ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï E .
äÕÇÕ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÕÀ ÁÒÕ (u; v ) ×ÅÒÛÉÎ u É v ÏÒÇÒÁÆÁ G, ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ uv . ÷ ÒÏÓÔÏÍ ÏÒÇÒÁÆÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÅÔÌÉ É
172
çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
ËÒÁÔÎÙÅ ÄÕÇÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ u É v × ÏÒÇÒÁÆÅ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÄÕÇÉ uv ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ u × v , É ÎÅ ÂÏÌÅÅ
ÏÄÎÏÊ ÄÕÇÉ vu ÉÚ v × u. åÓÌÉ uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÔÏ u ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏÍ v .
îÁ ÒÉÓ. 8.1 ÒÉ×ÅÄÅÎ ÒÉÍÅÒ ÒÏÓÔÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ
×ÅÒÛÉÎ V = {a; b; ; d} É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÕÇ E = {ab; bd; b; db; d }.
òÉÓÕÎÏË 8.1. ðÒÉÍÅÒ ÏÒÇÒÁÆÁ
íÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÌÕÖÉÔ (ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ)
ÍÁÔÒÉ Á
a
a
ì
b 
 ì
b
é
ì
 ì é
d
ì é

d
ì
ì
ì
é

ì
é 

ì 
ì
(×ÅÒÛÉÎÙ a, É d ÚÄÅÓØ | ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÙ b).
ðÕÔÅÍ ÄÌÉÎÙ k × ÏÒÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ vi−1 vi ËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÒÁÚÕÅÔ
ÄÕÇÕ (i = 1; : : : ; k ).
ëÏÎÔÕÒÏÍ × ÏÒÇÒÁÆÅ G ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ
×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ÏÂÒÁÚÕÀÝÕÀ ÕÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÅÒ×ÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ v0 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÓÌÅÄÎÅÊ vk , Á ÄÒÕÇÉÈ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ×ÅÒÛÉÎ ×
ÎÅÊ ÎÅÔ. ïÒÇÒÁÆ G ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÍ , ÅÓÌÉ × ÎÅÍ ÎÅÔ ËÏÎÔÕÒÏ×.
âÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÅ ÏÒÇÒÁÆÙ ÏÌÅÚÎÙ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÏÄÅÌÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÊ,
ÚÁÄÁÞÉ × ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ (ËÏÎÔÕÒ × ÔÁËÏÊ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÁ ÉÌÉ ÉÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØÀ É ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÁÍÁ ÓÅÂÅ).
÷ ÚÁÄÁÞÅ Ï ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÚÁÄÁÎÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÊ
ÏÒÇÒÁÆ ÉÍÅÅÔ ËÏÄÏ×ÏÅ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ €ÓÉÓÔÅÍÁ ðåò.
8.1. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
173
ðÒÉÍÅÒ 8.1. äÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ ÍÁÇÉÓÔÒÁ ÂÉÏÌÏÇÉÉ ÓÔÕÄÅÎÔÕ
ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏÓÌÕÛÁÔØ ×ÏÓÅÍØ ËÕÒÓÏ×,
ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. üÔÁ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÔÁÂÌ. 8.1. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÓÉÓÔÅÍÕ ðåò, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÕÀ ÒÉÏÒÉÔÅÔÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ËÕÒÓÏ×.
ÁÂÌÉ Á 8.1
ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ ËÕÒÓÙ
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
âÉÏÔÅÈÎÏÌÏÇÉÑ
îÁÞÁÌØÎÙÊ ËÕÒÓ ÂÉÏÔÅÈÎÏÌÏÇÉÉ
ãÉÔÏÌÏÇÉÑ
óÔÒÕËÔÕÒÁ äîë
üÎÚÉÍÏÌÏÇÉÑ
äÉÅÔÏÌÏÇÉÑ
çÅÎÎÁÑ ÉÎÖÅÎÅÒÉÑ
âÉÏÌÏÇÉÑ ÞÅÌÏ×ÅËÁ
B
C
H
C
D, G
E
C
îÉËÁËÉÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ
òÅÛÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ ðåò (ÓÍ. ÒÉÓ. 8.2) | ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÏÒÇÒÁÆ, ÒÅÄ-
ÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÄÁÎÎÕÀ ÒÉÏÒÉÔÅÔÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ. ÷ÅÒÛÉÎÙ ÏÒÇÒÁÆÁ ×
ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ×ÏÓÅÍØ ËÕÒÓÏ×. äÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÓÓÙÌÏË ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÕÒÓÙ ÂÕË×ÁÍÉ ÌÁÔÉÎÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÏÔ A ÄÏ H. äÕÇÉ ÏÒÇÒÁÆÁ
ÏÔÒÁÖÁÀÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ × ÔÁÂÌÉ Å ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ
ÕÓ×ÏÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ.
òÉÓÕÎÏË 8.2. óÉÓÔÅÍÁ ðåò: ÒÉÏÒÅÔÅÔÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ËÕÒÓÏ×
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÕÄÅÎÔ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 8.1 ÎÁÍÅÒÅÎ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ
ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÅÍÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚÕÞÁÔØ ÒÅÄÍÅÔÙ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÉÈ
174
çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. ïÎ ÍÏÖÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ . áÌÇÏÒÉÔÍ ÓÏÚÄÁÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ 1, 2, 3, . . . , n | ÍÅÔËÉ ×ÅÒÛÉÎ É
uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÄÕÝÁÑ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ u Ó ÍÅÔËÏÊ i Ë ×ÅÒÛÉÎÅ v Ó
ÍÅÔËÏÊ j , ÔÏ i < j .
áÌÇÏÒÉÔÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ G = (V; E ). ÷ ÓÁÍÏÍ ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ
ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A(v ).
begin
for v ∈ V do
×ÙÞÉÓÌÉÔØ A(v );
label := 0;
whileÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ
A(v ) = ∅ do
begin
label := 1;
u := ×ÅÒÛÉÎÁ Ó A(u) = ∅;
ÒÉÓ×ÏÉÔØ ÍÅÔËÕ ×ÅÒÛÉÎÅ u;
for ËÁÖÄÏÊ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ∈ V do;
A(v ) := A(v ) \ {u};
end
end
áÌÇÏÒÉÔÍ ÕÓÅÛÎÏ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔ ÍÅÔËÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍ. ëÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÏÌÕÞÁÅÔ ÏÞÅÒÅÄÎÕÀ ÍÅÔËÕ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ Õ ÎÅÅ ÎÅÔ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×.
ðÒÉÍÅÒ 8.2. îÁÊÄÉÔÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÅÔÏË ÄÌÑ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÚÏ-
ÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.2.
òÅÛÅÎÉÅ.
ûÁÇ 0
ûÁÇ 1
ûÁÇ 2
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ× ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
A(A) = {B}, A(B) = {C}, A(C) = {H}, A(D) = {C},
A(E) = {D; G}, A(F) = {E}, A(G) = {C} É A(H) = ∅.
ðÅÒ×ÙÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÉÔØ ÍÅÔËÕ 1 ×ÅÒÛÉÎÅ H
É ÕÄÁÌÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ H ÉÚ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× A(v ).
A(A) = {B}, A(B) = {C}, A(C) = ∅, A(D) = {C},
A(E) = {D; G}, A(F) = {E} É A(G) = {C}.
÷ÔÏÒÏÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÉÔØ ÍÅÔËÕ 2 ×ÅÒÛÉÎÅ
C É ÕÄÁÌÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ C ÉÚ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× A(v ).
8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ
ûÁÇ 3
ûÁÇ 4
175
A(A) = {B}, A(B) = ∅, A(D) = ∅, A(E) = {D; G},
A(F) = {E} É A(G) = ∅.
ÒÅÔÉÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. ÅÅÒØ Õ ÎÁÓ ÏÑ×ÉÌÓÑ ×ÙÂÏÒ:
ËÁËÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÒÉÓ×ÏÉÔØ ÏÞÅÒÅÄÎÕÀ ÍÅÔËÕ? ÷ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÎÁÛÅÇÏ ×ÙÂÏÒÁ, ÏÌÕÞÁÔÓÑ ÒÁÚÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÅÔÏË. ðÒÉÓ×ÏÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÅÔËÕ 3 ×ÅÒÛÉÎÅ B,
É ÕÄÁÌÉÍ B ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× A(v ). A(A) = ∅, A(D) = ∅,
A(E) = {D; G}, A(F) = {E} É A(G) = ∅.
þÅÔ×ÅÒÔÙÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. íÙ ÓÎÏ×Á ÓÔÏÉÍ ÅÒÅÄ
×ÙÂÏÒÏÍ. îÁÚÎÁÞÉÍ ÍÅÔËÕ 4 ×ÅÒÛÉÎÅ A É ÕÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ A ÉÚ A(v ). A(D) = ∅, A(E) = {D; G}, A(F) = {E} É
A(G) = ∅.
ûÁÇ 5
ðÑÔÙÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÉÍ ÍÅÔËÕ 5 ×ÅÒÛÉÎÅ D
É ÕÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ D ÉÚ A(v ). A(E) = {G}, A(F) = {E} É
A(G) = ∅.
ûÁÇ 6
ûÅÓÔÏÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÉÍ ÍÅÔËÕ 6 ×ÅÒÛÉÎÅ
G É ÕÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ G ÉÚ A(v ). A(E) = ∅, É A(F) = ∅.
ûÁÇ 7
óÅÄØÍÏÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÁÅÍ ÍÅÔËÕ 7 ×ÅÒÛÉÎÅ E
É ÕÄÁÌÑÅÍ E ÉÚ ÓÉÓËÁ A(v ). ïÓÔÁÎÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ A(F) = ∅.
ûÁÇ 8
ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÏÈÏÄ
ÛÉÎÅ F.
ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÁÅÍ ÍÅÔËÕ 8 ×ÅÒ-
éÔÁË, ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÉÏÒÉÔÅÔÎÙÈ ÓÉÓËÏ×: H, C, B, A,
D, G, E, F. ïÎ ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÏÖÎÏ ÉÚÕÞÁÔØ ËÕÒÓÙ,
ÓÏÂÌÀÄÁÑ ÄÏÌÖÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ.
8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ
ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÕÓÅÛÎÏ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÓÈÅÍÁÔÉÞÎÏÇÏ
ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÁÜÒÏÌÉÎÉÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÇÏÒÏÄÁ ×ÓÅÇÏ ÍÉÒÁ, ÉÌÉ ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÅÔÅÊ ÍÅÖÄÕ ËÏÍØÀÔÅÒÁÍÉ. ÷ ÔÁËÉÈ ÓÅÔÑÈ ×ÁÖÎÏ ÚÎÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÙËÌÀÞÅÎÉÊ ÌÀÂÏÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ (ÄÕÇÉ
ÉÌÉ ×ÅÒÛÉÎÙ) Ï ×ÓÅÊ ÓÅÔÉ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÓÁÍÏÌÅÔ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÉÚÅÍÌÉÔØÓÑ ÄÌÑ ÄÏÚÁÒÁ×ËÉ
× ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÇÏÒÏÄÅ ×ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÎÅÂÌÁÇÏÒÉÑÔÎÙÈ ÏÇÏÄÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ,
ÔÏ ÏÛÉÂËÁ × ÅÇÏ ÅÒÅÁÄÒÅÓÁ ÉÉ ÇÒÏÚÉÔ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÏÊ: ÅÍÕ ÍÏÖÅÔ ÎÅ
È×ÁÔÉÔØ ÇÏÒÀÞÅÇÏ ÄÌÑ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏ ÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÇÏ ÁÜÒÏÏÒÔÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÏÄÎÁ ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÅÅÊ × ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ
ÓÅÔÉ ÎÅ ÒÁÂÏÔÁÀÔ, ÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÓÅÒ×ÅÒÙ ÍÏÇÕÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅÄÏÓÔÕÎÙÍÉ.
176
çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÚÁÄÁÞÅ Ï ÏÉÓËÅ ÕÔÅÊ ÍÅÖÄÕ
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÁÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎ × ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ.
ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÏÒÇÒÁÆ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ, Á M | ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Á
ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÂÕË×ÏÊ é ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ É
j -ÇÏ ÓÔÏÌ Á ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÎÁÌÉÞÉÅ ÄÕÇÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i
Ë ×ÅÒÛÉÎÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ j . äÕÇÁ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÔÅÍ ÄÌÉÎÙ 1. âÕÌÅ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù M Ó ÓÁÍÏÊ ÓÏÂÏÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
ÞÅÒÅÚ M 2 . ÷ ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Å ÂÕË×Á é ÓÉÍ×ÏÌÉÚÉÒÕÅÔ ÎÁÌÉÞÉÅ ÕÔÉ
ÄÌÉÎÙ 2. ðÏ ÍÁÔÒÉ Å M 3 = M · M · M ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÓÅ ÕÔÉ
ÄÌÉÎÙ 3, É ×ÏÏÂÝÅ, ÍÁÔÒÉ Á M k ÈÒÁÎÉÔ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÕÔÑÈ ÄÌÉÎÙ k .
îÁËÏÎÅ , × ÍÁÔÒÉ Å ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ
M ∗ = M ÉÌÉ M 2 ÉÌÉ : : : ÉÌÉ M n
ÚÁÉÓÁÎÙ ÕÔÉ ÌÀÂÏÊ ÄÌÉÎÙ ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ.
åÓÌÉ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ Ä×Å ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ, ÔÏ ×
ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÍÁÔÒÉ Á, ÞØÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ | ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ Ë ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ
ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ Ä×ÕÈ ÄÁÎÎÙÈ ÍÁÔÒÉ . âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ,




a11
a12 : : : a1(n−1)
a1n
b11
b12 : : : b1(n−1)
b1n
 a21 a22 : : : a2(n−1) a2n 



 ÉÌÉ  b21 b22 : : : b2(n−1) b2n  =
 ::: ::: :::
 ::: ::: :::
:::
::: 
:::
::: 
am1 am2 : : : am(n−1) amn
a11 ÉÌÉ b11
 a21 ÉÌÉ b21
=

:::
am1 ÉÌÉ bm1

bm1 bm2 : : : bm(n−1) bmn
a12 ÉÌÉ b12
a22 ÉÌÉ b22
:::
am2 ÉÌÉ bm2
:::
:::
:::
:::
a1n ÉÌÉ b1n
a2n ÉÌÉ b2n 
:

:::
amn ÉÌÉ bmn

íÁÔÒÉ Á ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G = (V; E ) ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ E ∗ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ E ÎÁ
×ÅÒÛÉÎÁÈ ÏÒÇÒÁÆÁ G.
ðÒÉÍÅÒ 8.3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÒÅÄÓÔÁ-
×ÌÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.3.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÎÁÉÛÅÍ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ.
ì
 ì
M =
 ì
ì

é
ì
ì
ì
ì
é
ì
é

ì
é 
:
ì 
ì
8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ
a
b
c
d
177
òÉÓÕÎÏË 8.3.
ë×ÁÄÒÁÔ ÍÁÔÒÉ Ù M ÒÁ×ÅÎ

 
ì é ì ì
ì



ì
ì
é
é
  ì
M2 = 
 ì ì ì ì · ì
ì ì é ì
ì
é
ì
ì
ì
ì
é
ì
é
 
ì
ì ì
 ì ì
é 
=
ì   ì ì
ì
ì ì
é
é
ì
ì

é
ì 
:
ì 
ì
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÂÕË×Á é × ÍÁÔÒÉ Å M 2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÔÑÍ ÄÌÉÎÙ 2
× ÏÒÇÒÁÆÅ G, Á ÉÍÅÎÎÏ: a b , a b d É b d .
äÁÌØÎÅÊÛÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÔÒÅÔØÅÊ É ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÅÅÎÑÍ ÍÁÔÒÉ Ù M .




ì ì é ì
ì ì ì ì
 ì ì ì ì 
 ì ì ì ì 



É
M3 = 
 ì ì ì ì 
 ì ì ì ì :
ì ì ì ì
ì ì ì ì
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ì

ì
M∗ = 
 ì
ì

é
ì
ì
ì
é
é
ì
é

é
é 
:
ì 
ì
ïÔÍÅÔÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ÂÕË×Á é × ×ÅÒÈÎÅÍ ÒÁ×ÏÍ ÕÇÌÕ ÍÁÔÒÉÙ M ∗ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ù M 2 É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÔÉ a b d.
äÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ ÏÒÇÒÁÆÏ× ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù M ∗ Ó ÏÍÏÝØÀ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ M ×ÓÅ × ÂÏÌØÛÕÀ ÓÔÅÅÎØ ÕÔÏÍÉÔÅÌØÎÏ É ÎÅÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ. âÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÙÊ ÕÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ M ∗ ÄÁÅÔ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ
õÏÒÛÅÌÌÁ.
ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÏÒÇÒÁÆ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ v1 ; v2 ; : : : ; vn . áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ W0 = M ,
W1 , W2 , . . . , Wn , ÒÉÞÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÁÔÒÉ Ù Wk (k > 1), ÓÔÏÑÝÉÊ ÎÁ
ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÇÏ ÓÔÏÌ Á Wk (i; j ), ÒÁ×ÅÎ é × ÔÏÍ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ (ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ) ÉÚ
178
çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
×ÅÒÛÉÎÙ vi × ×ÅÒÛÉÎÕ vj Ó ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
{v1 ; v2 ; : : : ; vk }.
íÁÔÒÉ Á W0 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÏÒÇÒÁÆÁ, Á
Wn | ÉÓËÏÍÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ M ∗ . õÄÁÞÎÏÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ
ÉËÌÁ for ÒÉÄÁÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÏÓÏÂÅÎÎÏÅ ÉÚÑÝÅÓÔ×Ï. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÅ ÒÏÈÏÄÙ ÜÔÏÇÏ ÉËÌÁ (ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÉÎÄÅËÓÏÍ k ) ×ÙÞÉÓÌÑÀÔ ÍÁÔÒÉ Ù W1 , W2 , . . . , Wn .
áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ.
üÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ W = M ∗ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G = (V; E ) Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M .
begin
W := M ;
for k = 1 to n do
for i = 1 to n do
for j = 1 to n do
W (i; j ) = W (i; j ) ÉÌÉ W (i; k ) É W (k; j ) ;
end
äÌÑ ÌÕÞÛÅÇÏ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ õÏÒÛÅÌÌÁ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ Ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ ×ÒÕÞÎÕÀ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ
ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÏÒÇÒÁÆÁ. ó ÜÔÏÊ ÅÌØÀ ÏÌÅÚÎÏ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ Ï ÛÁÇÁÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ.
úÁ ËÁÖÄÙÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ (ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉÎÄÅËÓÏÍ k ) ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ Wk , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÍÁÔÒÉ Ù Wk−1 .
þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ i-ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk , ÎÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ
×ÙÒÁÖÅÎÉÑ:
Wk−1 (i; j ) ÉÌÉ Wk−1 (i; k ) É Wk−1 (k; j )
(1)
ÒÉ ÒÁÚÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ j .
åÓÌÉ Wk−1 (i; k ) = ì, ÔÏ Wk−1 (i; k ) É Wk−1 (k; j ) = ì, É ÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (1) ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ Wk−1 (i; j ). éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ,
i-ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÎÅÉÚÍÅÎÎÏÊ . ÷ ÔÏÍ ÖÅ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ
Wk−1 (i; k ) = é, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ
×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (1) Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ
Wk−1 (i; k ) É Wk−1 (k; j ) . ðÒÉ ÜÔÏÍ i-ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ ÉÚ ÔÅËÕÝÅÊ ÓÔÒÏËÉ i É ÔÅËÕÝÅÊ
ÓÔÒÏËÉ k . çÏ×ÏÒÑ ÂÏÌÅÅ ÁËËÕÒÁÔÎÏ, ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ Wk ÏÓÔÕÁÀÔ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
1. âÅÒÅÍ k -ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù Wk−1 .
2. óÔÒÏËÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i (i = 1; : : : ; n), Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ
ÓÔÏÉÔ ì, ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ × i-ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk .
8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ
179
3. óÔÒÏËÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i (i = 1; : : : ; n), Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ
ÓÔÏÉÔ é, ÓÁÒÉ×ÁÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ Ó k -ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ,
Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ × i-ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk .
ðÒÉÍÅÒ 8.4. ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ õÏÒÛÅÌÌÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ
ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.4.
3
2
4
5
1
òÉÓÕÎÏË 8.4.
òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á W0 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ
ÏÒÇÒÁÆÁ.



W0 = 


ì
ì
é
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
ì
ì
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì



:


ÅÅÒØ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ W1 . õÞÉÔÙ×ÁÑ ÅÒ×ÙÊ ÛÁÇ, ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ
1-ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W0 . óÌÅÄÕÑ ÕËÁÚÁÎÉÑÍ ÛÁÇÁ 2, ÓËÏÉÒÕÅÍ
ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W0 Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 1, 2 É 4 × ÍÁÔÒÉ Õ W1 ÎÁ ÔÅ ÖÅ
ÍÅÓÔÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,


ì é ì ì ì
 ì ì é ì ì 


:
?
?
?
?
?
W1 = 


 ì ì ì ì ì 
? ? ? ? ?
äÁÌÅÅ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÛÁÇÕ 3, ÓÔÒÏËÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 3 ÍÁÔÒÉ Ù W1 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ ÉÚ 1-ÏÊ É 3-ÅÊ ÓÔÒÏË
ÍÁÔÒÉ Ù W0 . ðÏÜÔÏÍÕ


ì é ì ì ì
 ì ì é ì ì 



W1 = 
 é é ì é ì :
 ì ì ì ì ì 
? ? ? ? ?
180
çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
ïÑÔØ ÒÉÍÅÎÑÅÍ ÛÁÇ 3 ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ 5-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ
ÍÁÔÒÉ Ù W1 Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ, ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÊ Ë 5-ÏÊ É 1-ÏÊ
ÓÔÒÏËÁÍ ÍÁÔÒÉ Ù W0 . ðÏÌÕÞÁÅÍ


ì é ì ì ì
 ì ì é ì ì 



W1 = 
 é é ì é ì :
 ì ì ì ì ì 
é é é ì ì
íÁÔÒÉ Á W1 ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ. ÅÅÒØ ÓÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ W2 , Ï ÍÁÔÒÉÅ W1 . ÷ÚÇÌÑÄ ÎÁ 2-ÏÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W1 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÔÒÏËÉ
Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 2 É 4 ËÏÉÒÕÀÔÓÑ × W2 . ðÅÒ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÍÁÔÒÉ Ù W2 |
ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ Ë 1-ÏÊ É 2-ÏÊ ÓÔÒÏËÁÍ ÉÚ W1 .
ÒÅÔØÑ ÓÔÒÏËÁ × W2 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÁÒÉ×ÁÎÉÅÍ 3-ÅÊ É 2-ÏÊ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù W1 . é, ÎÁËÏÎÅ , ÑÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ W2 | ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ
ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ, ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÊ Ë 5-ÏÊ É 2-ÏÊ ÓÔÒÏËÁÍ W1 . úÎÁÞÉÔ,


ì é é ì ì
 ì ì é ì ì 


:
é
é
é
é
ì
W2 = 


 ì ì ì ì ì 
é é é ì ì
ïÔÍÅÔÉÍ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ 3-ÅÊ ÓÔÒÏËÉ É 3-ÇÏ
ÓÔÏÌ Á ÍÁÔÒÉ Ù W2 ÓÔÏÉÔ ÂÕË×Á é. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ËÏÎÔÕÒ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÅ 3, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ÏÄÎÕ ÉÌÉ ÏÂÅ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 1 É 2. ðÏÓÍÏÔÒÅ× ÎÁ
ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÒÇÒÁÆÁ (ÒÉÓ. 8.4), ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÔÕÒ ÄÌÉÎÙ 3: 3 1 2 3.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ Á W3 .


é é é é ì
 é é é é ì 



W3 = 
 é é é é ì :
 ì ì ì ì ì 
é é é é ì
ðÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ 4 ÎÅ ×ÙÈÏÄÉÔ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÄÕÇÉ, ÔÏ ÍÙ ÎÅ
ÓÍÏÖÅÍ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÕÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÇÏ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ 4.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÁÔÒÉ Á W4 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó W3 . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÏÒÇÒÁÆÅ
ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÄÕÇÉ, ×ÅÄÕÝÉÅ × ×ÅÒÛÉÎÕ 5. úÎÁÞÉÔ ÎÅÔ É ÕÔÅÊ, ÞÅÒÅÚ
ÎÅÅ ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ, Ô. Å. W5 = W4 . îÁËÏÎÅ , W5 = M ∗ , ÏÓËÏÌØËÕ ÇÒÁÆ
ÓÏÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÑÔÉ ×ÅÒÛÉÎ.
181
8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ
8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ
þÔÏÂÙ ÏÄÇÏÔÏ×ÉÔØ ÔÅÈÎÉËÕ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë
ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å, ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÁÄÁÞÕ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ ÁÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÏÒÇÒÁÆÅ. óÌÏ×Ï
€ËÒÁÔÞÁÊÛÉʁ ÚÄÅÓØ ×ÏÌÎÅ ÕÍÅÓÔÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ×ÅÓÁ
× ÏÒÇÒÁÆÅ | ÜÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÕÎËÔÁÍÉ.
ÉÉÞÎÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÄÅÌÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÍ ÏÒÇÒÁÆÏÍ, ÜÔÏ ÔÒÁÎÓÏÒÔÎÁÑ ÓÅÔØ (Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÔÏ×ÁÒÙ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚ
ÇÏÒÏÄÁ × ÇÏÒÏÄ) É ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÁÑ ÓÅÔØ (Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÅÒÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ).
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÎÁ ÒÉÓ. 8.5. ïÎ ÍÏÖÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÉÎÙ ÄÏÒÏÇ × ÍÉÌÑÈ ÍÅÖÄÕ ÛÅÓÔØÀ ÄÅÒÅ×ÎÑÍÉ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ × ÜÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÅ×ÅÌÉËÏ, ÔÏ ÅÒÅÂÒÁÔØ
×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÕÔÉ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÏÊ ÁÒÏÊ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÎÁÍ ×ÏÌÎÅ Ï ÓÉÌÁÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÉÊ
ÕÔØ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÅÒÅ×ÎÉ. ÷ ÒÅÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ,
×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÊ × ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ, ËÁË
ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÁÓÔÏÌØËÏ ×ÅÌÉËÏ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÕÒÏÝÅÎÎÙÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÏÉÓËÕ
ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ ÓÌÉÛËÏÍ ÎÅÜÆÆÅËÔÉ×ÅÎ.
1
B
C
5
2
4
F
A
1
3
D
E
2
òÉÓÕÎÏË 8.5. îÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ
óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ,
ÎÏ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ ÔÏÌØËÏ Ó ÏÄÎÉÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ äÅÊËÓÔÒÙ . ðÅÒÅÄ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÙ ÏÉÛÅÍ ÅÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ É
ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁ ÎÁÛÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. äÏÕÓÔÉÍ,
ÞÔÏ ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A Ë ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÏÒÇÒÁÆÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 8.5). ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ | ÜÔÏ ÕÔØ
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. ïÂ-
182
çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
ÝÉÊ ×ÅÓ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ ×ÅÓÏ× ×ÓÅÈ ÄÕÇ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ
ÕÔØ. ïÂÝÉÊ ×ÅÓ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ, ×ÅÄÕÝÅÇÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ u × ×ÅÒÛÉÎÕ v , ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÏÔ u ÄÏ v .
ïÒÅÄÅÌÉÍ ×ÅÓÏ×ÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ w, ÞØÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ w(u; v ) ÚÁÄÁÀÔÓÑ
ÆÏÒÍÕÌÏÊ


0;
w(u; v ) = ∞;


d;
ÅÓÌÉ u = v;
ÅÓÌÉ u É v ÎÅ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÄÕÇÏÊ,
ÅÓÌÉ uv | ÄÕÇÁ ×ÅÓÁ d:
äÌÑ ÎÁÛÅÇÏ ÇÒÁÆÁ ×ÅÓÏ×ÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
A
B
C
w=
D
E
F








A
B
C
D
E
F
0
∞
∞
∞
∞
∞
2
0
∞
∞
∞
∞
∞
1
0
∞
∞
∞

3 ∞ ∞
∞ 4 ∞ 

∞ ∞ 5 
:
0 2 ∞ 

∞ 0 1 
∞ ∞ 0
÷ ÔÅÞÅÎÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ v ÏÒÇÒÁÆÁ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ d[v ℄, ÒÁ×ÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÀ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A ÄÏ v . ðÅÒÅÄ
ÎÁÞÁÌÏÍ ÒÁÂÏÔÙ d[v ℄ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÅÓÏÍ ÄÕÇÉ (A; v ), ÅÓÌÉ ÔÁËÁÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ ∞ × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÒÏÈÏÄÉÔØ
×ÅÒÛÉÎÙ ÏÒÇÒÁÆÁ É ÕÔÏÞÎÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄.
îÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÔÍÅÞÁÅÔÓÑ ÏÄÎÁ ×ÅÒÛÉÎÁ u, ÄÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÖÅ ÎÁÊÄÅÎ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÏÔ A É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d[u℄ ÄÏ ÎÅÅ.
äÁÌÅÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ d[u℄ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ.
äÌÑ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ, ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ v , ÞÉÓÌÏ d[v ℄ ÂÕÄÅÔ ÍÅÎÑÅÔÓÑ
Ó ÕÞÅÔÏÍ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÙÊ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÄÏ ÎÉÈ ÏÔ A ÂÕÄÅÔ
ÒÏÈÏÄÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÏÔÍÅÞÅÎÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ u. áÌÇÏÒÉÔÍ ÚÁ×ÅÒÛÉÔÓÑ × ÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÂÕÄÕÔ ÏÔÍÅÞÅÎÙ É ÏÌÕÞÁÔ Ó×ÏÉ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄.
äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÛÁÇÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ÎÉÖÅ, × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÔÁÂÌ. 8.2 ÚÁÎÏÓÉÔÓÑ ÏÔÍÅÞÅÎÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ, ÔÅËÕÝÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄ É ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÌÕÖÉÒÎÙÍ ÛÒÉÆÔÏÍ ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ d[v ℄ ÓÒÅÄÉ
ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÔÁÂÌÉ Å ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄ ÄÌÑ ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ
×ÅÒÛÉÎ ÏÔÄÅÌÅÎÙ ÏÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÌÏÍÁÎÏÊ ÌÉÎÉÅÊ.
8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ
183
ÁÂÌÉ Á 8.2
ûÁÇ
0
1
2
3
4
5
ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ
×ÅÒÛÉÎÙ
A
B
D
C
E
F
òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ
A
B
C
D
E
F
îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ
×ÅÒÛÉÎÙ
0
0
2
∞
3
∞
∞
B; C; D; E; F
2
3
3
6
∞
C; D; E; F
0
0
0
0
2
2
2
2
3
3
3
3
3
5
∞
C; E; F
5
8
E; F
5
5
6
F
3
3
3
6
ûÁÇ 0
ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÍÓÑ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÍÉ ÕÔÑÍÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A, ÍÙ ÅÅ ÏÔÍÅÞÁÅÍ É ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ×ÅÓÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù w ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ d[v ℄.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÅÒ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÔÁÂÌÉ Ù. îÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ×ÓÅÈ d[v ℄ ÄÌÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ |
ÜÔÏ d[B ℄ = 2.
ûÁÇ 1
ïÔÍÅÞÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ B, ÔÁË ËÁË ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÌÉÖÁÊÛÅÊ Ë A.
÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÄÌÉÎÙ ÕÔÅÊ, ×ÅÄÕÝÉÈ ÏÔ A Ë ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍ
×ÅÒÛÉÎÁÍ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ B . åÓÌÉ ÎÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÍÅÎØÛÅ ÓÔÁÒÙÈ, ÔÏ ÍÅÎÑÅÍ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÎÁ ÎÏ×ÙÅ.
éÔÁË, ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÏÈÏÄÅ ÉËÌÁ ÕÔØ A B C ÉÍÅÅÔ ×ÅÓ 3,
Á ÕÔØ A B E | 6, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÓÔÁÒÙÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÄÏ
ÜÔÉÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÔ A ÂÙÌÉ ∞. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÁÏÌÎÑÑ ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÔÁÂÌÉ Ù, ÍÙ ÚÁÍÅÎÉÍ d[C ℄ ÎÁ 3 É d[E ℄ ÎÁ 6.
ûÁÇ 2
éÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ, ×ÅÒÛÉÎÙ C É D ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ
ÂÌÉÖÅ ×ÓÅÈ Ë A. ïÔÍÅÔÉÔØ ÍÏÖÎÏ ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÎÉÈ. ÷ÏÚØÍÅÍ
×ÅÒÛÉÎÕ D . ÁË ËÁË ÄÌÉÎÁ ÕÔÉ A D E ÒÁ×ÎÁ 5, ÔÅËÕÝÅÅ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ d[E ℄ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÍÅÎØÛÉÔØ ÄÏ 5. ÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÚÁÏÌÎÉÔØ ÔÒÅÔØÀ ÓÔÒÏÞËÕ ÔÁÂÌÉ Ù. îÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
d[v ℄ ÓÒÅÄÉ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ Ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ×ÅÒÛÉÎ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ C .
ûÁÇ 3
ïÔÍÅÞÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ C É ÏÄÒÁ×ÌÑÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄. ÅÅÒØ
ÍÏÖÎÏ ÄÏÊÔÉ É ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ F , ÓÌÅÄÕÑ ÕÔÅÍ A B C F . åÇÏ
ÄÌÉÎÁ, Á ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ É ÚÎÁÞÅÎÉÅ d[F ℄, ÒÁ×ÎÙ 8. ë ÜÔÏÍÕ
ÍÏÍÅÎÔÕ ÏÓÔÁÌÉÓØ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ: E É F .
ûÁÇ 4
íÙ ÏÔÍÅÞÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ E , ÞÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÍ ÕÍÅÎØÛÉÔØ
×ÅÌÉÞÉÎÕ d[F ℄ Ó 8 ÄÏ 6.
ûÁÇ 5
ïÔÍÅÞÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ F .
184
çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
áÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ.
ðÕÓÔØ (V; E ) | ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, É A | ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A ÄÏ ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ
v É ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔ ÅÇÏ ÄÌÉÎÕ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ d[v ℄. äÌÑ ×ÅÒÛÉÎ u É v ÞÅÒÅÚ
w(u; v ) ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ×ÅÓ ÄÕÇÉ uv , Á × ÓÉÓËÅ PATHTO(v ) ÅÒÅÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÙ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ ÏÔ A ÄÏ v .
begin
for ËÁÖÄÏÊ v ∈ V do
begin
d[v ℄ := w(A; v );
PATHTO(v ) := A;
end
ïÔÍÅÔÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ A;
while ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ do
begin
u := ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ
ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÏÔ A;
ïÔÍÅÔÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ u;
for ËÁÖÄÏÊ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v
Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ uv ∈ E do
begin
d′ := d[u℄ + w(u; v )
if d′ < d[v ℄ then
begin
d[v ℄ := d′ ;
PATHTO(v ) := PATHTO(u); v ;
end
end
end
end
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 8
8.1. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÏÒÇÒÁÆ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ {1; 2; 3; 4; 5; 6} É ÍÁÔÒÉ ÅÊ
ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ






é
é
ì
é
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
ì
é
é
ì
ì
é
é
ì
ì
é
é
é
ì
ì
é
é
ì
é
ì
é
ì
é
é
ì



:


îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 8
185
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÅÓ ËÁÖÄÏÊ ÄÕÇÉ ÒÁ×ÅÎ 1 É ÎÁÊÄÉÔÅ (ÅÓÌÉ
ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ)
(Á) ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ (ÕÔÉ) ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 1 ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 2;
(Â) ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ (ÕÔÉ) ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 3 ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 6;
(×) ËÏÎÔÕÒ ÄÌÉÎÙ 5.
8.2. ðÏÌÕÓÔÅÅÎØÀ ÉÓÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÏÒÇÒÁÆÁ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ ÄÕÇ Æ + (v ) ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÓÈÏÄÑÝÉÈ ÉÚ v , Á ÏÌÕÓÔÅÅÎØÀ ÚÁÈÏÄÁ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÞÉÓÌÏ ÄÕÇ Æ − (v ), ÚÁÈÏÄÑÝÉÈ ×
ÎÅÅ.
ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ÏÞÅÍÕ ÏÂÅ ÓÕÍÍÙ | ÏÌÕÓÔÅÅÎÅÊ ÉÓÈÏÄÁ É ÏÌÕÓÔÅÅÎÅÊ ÚÁÈÏÄÁ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ | ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÅÇÏ ÄÕÇ.
þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÞÉÓÌÅ ÂÕË× é × ÌÀÂÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù
ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ? á ËÁË ÒÏÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ÉÈ ÞÉÓÌÏ ×
ÌÀÂÏÍ ÓÔÏÌÂ Å?
8.3. ó×ÑÚÎÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÏÒÇÒÁÆ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
Ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ, ÅÓÌÉ ÚÁÂÙÔØ ÒÏ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ ÄÕÇ. ó ÄÒÕÇÏÊ
ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÙ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ, ×ÅÄÕÝÉÊ ÉÚ ÅÒ×ÏÊ ×Ï ×ÔÏÒÕÀ, ÔÏ ÔÁËÏÊ
ÏÒÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ .
(Á) ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ Ó×ÑÚÎÙÈ ÏÒÇÒÁÆÏ×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓ. 8.6, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍÉ.
òÉÓÕÎÏË 8.6. ó×ÑÚÎÙÅ ÏÒÇÒÁÆÙ
(Â) ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ËÁË ÎÕÖÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ÒÅÂÒÁ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÇÒÁÆÁ (Ô. Å. ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÒÅÂÒÅ ÓÔÒÅÌËÕ,
ÒÅ×ÒÁÔÉ× ÅÅ × ÄÕÇÕ), ÞÔÏÂÙ ÉÚ ÎÅÇÏ ÏÌÕÞÉÌÓÑ ÓÉÌØÎÏ
Ó×ÑÚÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ.
186
çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
(×) ïÂßÑÓÎÉÔÅ ×ÁÖÎÏÓÔØ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ: ÏÒÇÒÁÆ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÄÏÒÏÇ × ÇÏÒÏÄÅ, ÄÏÌÖÅÎ
ÂÙÔØ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ.
8.4. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ Ë (Á ÉË-
ÌÉÞÎÏÍÕ) ÏÒÇÒÁÆÕ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ:
a
b
a
ì
b 
é

ì
ì
é
ì
ì
ì

 ì

d 
 ì
e  ì
f
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
d
e
f
é
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
ì
é
ì
é
é
ì




:



îÁÉÛÉÔÅ ÎÏ×ÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌ ٠ËÏÔÏÒÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÎÏ×ÙÍÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ
×ÅÒÛÉÎ. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÎÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Å?
þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÖÉÄÁÔØ ÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ × ÓÌÕÞÁÅ ÏÒÇÒÁÆÁ ÉÚ ÕÒ. 8.1?
8.5. ÷ ÔÁÂÌ. 8.3 ÒÉ×ÅÄÅÎ ÓÉÓÏË ÄÅÊÓÔ×ÉÊ Ï ÒÉÇÏÔÏ×ÌÅÎÉÀ Ù-
ÌÅÎËÁ Ó ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ ÒÉÏÒÉÔÅÔÁÍÉ. õÏÒÑÄÏÞÉÔÅ ÓÉÓÏË
ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÏÒÉÔÅÔÁÍ.
ÁÂÌÉ Á 8.3
ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ
ÄÅÊÓÔ×ÉÑ
úÁÄÁÎÉÑ
á
â
÷
ç
ä
å
ö
äÏÂÁ×ÉÔØ ÌÕË Ë ÙÌÅÎËÕ
÷ÙÍÙÔØ ÓÁÌÁÔ-ÌÁÔÕË
ðÒÉÇÏÔÏ×ÉÔØ ÓÁÌÁÔÎÕÀ ÚÁÒÁ×ËÕ
ðÅÒÅÍÅÛÁÔØ ÖÁÒËÏÅ
ðÅÒÅÍÅÛÁÔØ ÓÁÌÁÔ
òÁÚÒÅÚÁÔØ ÙÌÅÎËÁ
òÁÓÔÅÒÅÔØ ÉÍÂÉÒØ
ú
é
ë
ðÏÄÁÔØ ÇÏÔÏ×ÏÅ ÂÌÀÄÏ
úÁÍÁÒÉÎÏ×ÁÔØ ÙÌÅÎËÁ
ðÏÓÔÁ×ÉÔØ ËÁÚÁÎÏË ÎÁ ÏÇÏÎØ
ì
ðÒÉÇÏÔÏ×ÉÔØ ÒÉÓ
é
ì
ì
ë
â, ÷
ÎÉËÁËÉÈ
é
é
å
á, ö, ú, ì
ÎÉËÁËÉÈ
8.6. ðÕÓÔØ M = M (i; j ) | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V = {1; 2; 3; : : : ; n}. îÁÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ× A(v )
×ÅÒÛÉÎÙ v ∈ V .
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
187
8.7. íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
ì
 ì
M =
 ì
é

é
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì

ì
ì 
:
é 
ì
÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ M 2 , M 3 É M 4 . îÁÊÄÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ M ∗ .
8.8. ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ õÏÒÛÅÌÌÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ W1 , W2 , W3 É
W4 ÄÌÑ ÏÒÇÒÁÆÁ G ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ
ÎÁÊÄÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ M ∗ .
8.9. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ äÅÊËÓÔÒÙ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÏÒ-
ÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.7, É ÎÁÊÄÉÔÅ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÄÏ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ
(Á) ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A;
(Â) ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ C .
òÉÓÕÎÏË 8.7.
8.10. ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ äÅÊËÓÔÒÙ ÎÁÊÄÉÔÅ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ
ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ S ÄÏ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÉÚ ÒÉÓ. 8.8. îÁÊÄÉÔÅ Ä×Á ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÉ ÏÔ S ÄÏ T .
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÇÒÁÆÏÍ ÉÌÉ ÏÒÇÒÁÆÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÒÕ G =
= (V; E ), ÇÄÅ V | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ, Á E | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
ÎÁ V . üÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á E ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÄÕÇÁÍÉ ÏÒÇÒÁÆÁ.
åÓÌÉ uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÕ u ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏÍ v .
188
çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
ðÕÔÅÍ ÄÌÉÎÙ k × ÏÒÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ vi−1 vi ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÄÕÇÕ (i = 1; : : : ; k ).
òÉÓÕÎÏË 8.8.
ëÏÎÔÕÒÏÍ × ÏÒÇÒÁÆÅ G ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ÏÂÒÁÚÕÀÝÕÀ ÕÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÅÒ×ÁÑ v0 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ
Ó ÏÓÌÅÄÎÅÊ, Á ÄÒÕÇÉÈ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÅÊ ÎÅÔ.
ïÒÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÍ, ÅÓÌÉ × ÎÅÍ ÎÅÔ ËÏÎÔÕÒÏ×. ÷ ÚÁÄÁÞÅ Ï ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÚÁÄÁÎÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ðåò.
ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ G = (V; E ) | ÜÔÏ ÍÅÔËÉ: 1, 2, 3, . . . , n ×ÅÒÛÉÎ, ÒÉÞÅÍ ÅÓÌÉ
uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ ×ÅÒÛÉÎÕ u Ó ÍÅÔËÏÊ i É ×ÅÒÛÉÎÕ v
Ó ÍÅÔËÏÊ j , ÔÏ i < j .
äÌÑ ÏÒÇÒÁÆÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÉÓÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ
ÍÅÔÏË ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÎÔÕÒÏ×. áÌÇÏÒÉÔÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ.
ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÏÒÇÒÁÆ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M . ìÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÓÔÅÅÎØ M k ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÈÒÁÎÉÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÕÔÅÊ ÄÌÉÎÙ k ÍÅÖÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÁÒÏÊ
×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ G. íÁÔÒÉ Á
M ∗ = M ÉÌÉ M 2 ÉÌÉ : : : ÉÌÉ M n
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ
189
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ. ÷ ÎÅÊ ÚÁÉÓÁÎÁ
ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÕÔÅÊ ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ.
áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÏ-
ÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ W0 , W1 , W2 , . . . , Wn , ÇÄÅ W0 = M , Wn = M ∗ Á ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k > 1
ÍÁÔÒÉ Á Wk ÓÔÒÏÉÔÓÑ Ï Wk−1 ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
1. âÅÒÅÍ k -ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù Wk−1 .
2. ëÁÖÄÕÀ ÓÔÒÏÞËÕ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ ì, ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk .
3. ëÁÖÄÕÀ ÓÔÒÏÞËÕ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ é, ÓÁÒÉ×ÁÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ Ó k -ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ, Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk .
ëÒÁÔÞÁÊÛÉÍ ÕÔÅÍ ÍÅÖÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÁÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÁÇÒÕ-
ÖÅÎÎÏÍ ÏÒÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÔØ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ. ïÂÝÉÊ
×ÅÓ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ, ×ÅÄÕÝÅÇÏ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ u Ë v , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÏÔ u ÄÏ v . åÓÌÉ ÕÔÉ ÏÔ u ÄÏ v ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ
ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ∞.
áÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÏÔ ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÏ ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ
õÄÁÞÎÏÊ ÍÏÄÅÌØÀ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÓÅÔÉ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, ÞØÉ ×ÅÒÛÉÎÙ (ÉÌÉ ÕÚÌÙ ) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÅ
ËÏÍÏÎÅÎÔÙ, Á ÄÕÇÉ | ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÌÉÎÉÉ Ó×ÑÚÉ. ëÁÖÄÁÑ ÄÕÇÁ ÔÁËÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÎÁÂÖÅÎÁ ×ÅÓÏÍ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÉÍ ÒÏÕÓËÎÕÀ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÌÉÎÉÉ.
òÉÓÕÎÏË 8.9 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÓÔÕÀ ÓÅÔØ ÉÚ ÓÅÍÉ ÕÚÌÏ×.
óÒÁÚÕ ÏÓÌÅ ××ÏÄÁ × ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÓÅÔÉ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁË
ÅÒÅÄÁ×ÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÎÅÓÍÅÖÎÙÍÉ ÕÚÌÁÍÉ. ðÒÏ ÅÄÕÒÁ ÓÔÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔÉÚÁ ÉÉ ÕÞÉÔÙ×ÁÅÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÒÏÕÓËÎÏÊ
ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÉ ÌÉÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÕÔÉ ÅÒÅÄÁÞ
ÍÅÖÄÕ ÕÚÌÁÍÉ. ÷ ÅÌÑÈ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ ÔÁËÉÈ ÕÔÅÊ × ÓÅÔÉ ÒÉÍÅÎÑÀÔ
ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÄÏÂÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ äÅÊËÓÔÒÙ. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÄÈÏÄÅ ÍÏÇÕÔ ×ÏÚÎÉËÁÔØ ÓÂÏÉ × ÌÉÎÉÑÈ ÉÌÉ ÕÚÌÁÈ ÓÅÔÉ. úÁÄÅÒÖËÉ ÅÒÅÄÁÞ
ÍÏÇÕÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ × ÔÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ ÒÅ×ÙÛÁÅÔÓÑ ÒÏÕÓËÎÁÑ
ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÌÉÎÉÉ.
190
çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
ðÒÏ ÅÄÕÒÁ äÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔÉÚÁ ÉÉ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ËÏÒÒÅËÔÉÒÕÅÔ ÒÏÕÓËÎÕÀ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÌÉÎÉÊ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÏÔÒÅÂÎÏÓÔÉ. þÔÏÂÙ
ÄÁÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÙÍ ÕÚÌÁÍ ÒÅÛÁÔØ, ËÏÇÄÁ É ËÕÄÁ ÅÒÅÄÁ×ÁÔØ ÎÏ×ÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎ ÒÏÔÏËÏÌ ÉÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÒÁ×ÉÌ. ëÁÖÄÙÊ ÕÚÅÌ ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÅÔ Ó×ÏÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÕÔÅÊ, ÔÁË ÞÔÏ
ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÒÁÓÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÁ Ï ×ÓÅÊ
ÓÅÔÉ.
òÉÓÕÎÏË 8.9. óÅÍÉÕÚÌÏ×ÁÑ ÓÅÔØ
ëÁÖÄÙÊ ÕÚÅÌ ÓÅÔÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 8.9, ÒÏÇÏÎÑÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÉÌÕÞÛÉÈ ÕÔÅÊ Ë ÄÒÕÇÉÍ ÕÚÌÁÍ
É ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÑÅÔ ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÄÅÒÅ×Õ, ÞÅÊ ËÏÒÅÎØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ €ÄÏÍÁÛÎÅÍÕ ÕÚÌՁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÕÚÌÁ 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ
ÄÅÒÅ×Ï ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.10.
òÅÁÌØÎÏ, ÄÌÑ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÌÀÂÏÍÕ ÕÚÌÕ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÁÂÌÉÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÕËÁÚÁÎÙ ÂÌÉÖÁÊÛÉÅ ÓÏÓÅÄÉ ÄÌÑ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ
ÔÏÍÕ ÉÌÉ ÉÎÏÍÕ ÁÄÒÅÓÁÔÕ1 . ÁËÁÑ ÔÁÂÌÉ Á, ÏÔÎÏÓÑÝÁÑÓÑ Ë ÕÚÌÕ 1,
ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÉÖÅ (ÔÁÂÌ. 8.4).
ÁÂÌÉ Á 8.4
áÄÒÅÓÁÔ
óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÚÅÌ
1
2
2
3
2
4
4
5
4
6
4
7
4
ÁÂÌÉ Õ ÂÌÉÖÁÊÛÉÈ ÓÏÓÅÄÅÊ × ÜÔÏÍ ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁÂÌÉ ÅÊ ÍÁÒÛÒÕÔÏ×. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ
191
úÁÄÁÞÁ 1. éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ, ÎÁÊÄÉÔÅ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ Õ-
ÔÉ ÏÔ ÕÚÌÁ 2 Ë ÌÀÂÏÍÕ ÄÒÕÇÏÍÕ Ï ÓÅÔÉ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÛÌÁ ÒÅÞØ ×ÙÛÅ.
ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÚÁÏÌÎÉÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÄÌÑ ÕÚÌÁ 2.
1
5
2
2
4
3
1
3
5
5
4
6
7
òÉÓÕÎÏË 8.10. äÅÒÅ×Ï ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÕÚÌÁ 1
òÅÛÅÎÉÅ. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 8.5.
ÁÂÌÉ Á 8.5
ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ
×ÅÒÛÉÎÙ
2
3
4
5
1
6
7
òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ
1
2
3
4
4
4
0
0
0
0
0
0
0
4
4
4
4
4
5
6
3
3
∞
∞
∞
3
3
3
3
3
3
3
∞
∞
3
3
3
3
3
4
6
6
6
4
4
4
4
6
6
6
7
∞
9
9
8
îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ
×ÅÒÛÉÎÙ
1,
1,
1,
1,
6,
7
3,
4,
5,
6,
7
4, 5, 6, 7
5, 6, 7
6, 7
7
8
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ
ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 2 Ë ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, PATHTO(6) = 2; 3; 6.
äÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ
ÒÉÓ. 8.11 É ÔÁÂÌ. 8.6 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ.
192
çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ
ÁÂÌÉ Á 8.6
áÄÒÅÓÁÔ
óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÚÅÌ
1
1
3
3
4
4
6
3
7
3
2
2
4
1
3
3
3
1
5
4
3
3
1
6
4
3
4
3
6
5
2
1
5
1
5
2
7
7
òÉÓÕÎÏË 8.11.
òÉÓÕÎÏË 8.12.
úÁÄÁÞÁ 2. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ×ÒÅÍÅÎÎ
ÁÑ ÚÁÄÅÒÖËÁ ÅÒÅÄÁÞÉ ÏÔ ÕÚÌÁ
2 Ë ÕÚÌÕ 4 ÕÍÅÎØÛÉÌÁÓØ Ó 3 ÄÏ 1. ëÁË ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÅÒÅ×Ï
ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÄÌÑ ÕÚÌÁ 2?
òÅÛÅÎÉÅ. ðÅÒÅÚÁÕÓÔÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ, ÕÓÔÁÎÏ×É× ×ÒÅÍÅÎÎ
ÕÀ
ÚÁÄÅÒÖËÕ ÎÁ ÌÉÎÉÉ 2 4, ÒÁ×ÎÕÀ 1. üÔÏ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÏ×ÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ× ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ. ïÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÁ
ÒÉÓ. 8.12.
óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ× | ÔÁÂÌ. 8.7.
ÁÂÌÉ Á 8.7
áÄÒÅÓÁÔ
óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÚÅÌ
1
4
3
3
4
4
5
4
6
3
7
4
úÁÄÁÞÁ 3. ëÁËÉÍÉ ÂÕÄÕÔ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛ-
ÒÕÔÏ× ÄÌÑ ÕÚÌÏ× 1 É 2, ÅÓÌÉ ÕÄÁÌÉÔØ ÌÉÎÉÉ ÍÅÖÄÕ ÕÚÌÁÍÉ 5 É 6?
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÉÎÉÑ 5 6 ÎÅ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÁ ÒÉ ÅÒÅÄÁÞÅ ÉÎ-
ÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÔ ÕÚÌÁ 2, ÔÏ ÅÇÏ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÔÁÂÌÉ Á
ÍÁÒÛÒÕÔÏ×, ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ × ÚÁÄÁÞÅ 1, ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ
193
þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÕÚÌÁ 1, ÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÏÉÓËÏÍ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ ÏÔ ÕÚÌÁ 1 Ë ÕÚÌÕ 6. áÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÎÁÈÏÄÉÔ ÔÁËÏÊ
ÕÔØ ÂÅÚ ÏÓÏÂÙÈ ÚÁÔÒÕÄÎÅÎÉÊ: PATHTO(6) = 1; 4; 5; 7; 6.
îÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ ÎÁÞÅÒÞÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.13.
ÁÂÌÉ Á 8.8 | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ×.
ÁÂÌÉ Á 8.8
áÄÒÅÓÁÔ
óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÚÅÌ
2
2
3
2
4
4
5
4
1
5
2
4
2
1
3
5
3
5
7
2
6
òÉÓÕÎÏË 8.13.
6
4
7
4
çìá÷á 9
âõìå÷á
áìçåâòá
âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ | ÜÔÏ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÅÊÓÑ
ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÁÎÁÌÉÚÏÍ. ïÅÒÁ ÉÉ É ÚÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ Ë ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÁÍ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÏÂÙÞÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ÏÅÒÉÒÕÅÔ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÍÉ ÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ.
÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÉÚÕÞÁÅÍ ÂÕÌÅ×Õ ÁÌÇÅÂÒÕ, Á ÉÍÅÎÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {0; 1} Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÎÅÍ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ, ËÏÎßÀÎË ÉÉ É ÏÔÒÉ ÁÎÉÑ. úÄÅÓØ ÂÕÄÕÔ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÙ ÚÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ
ÁÌÇÅÂÒÙ É ÒÏ×ÅÄÅÎÁ ÁÒÁÌÌÅÌØ ÍÅÖÄÕ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ, ÌÏÇÉËÏÊ
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 2) Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, É Ó ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×
(ÇÌÁ×Á 3) Ó ÄÒÕÇÏÊ. íÙ ÏËÁÖÅÍ, ËÁË ÂÕÌÅ×Ù ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ
ÚÁÉÓÁÎÙ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÎÏÓÑÝÅÊ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ €ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ
ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÚÄÅÓØ ÂÕÄÅÔ ÏÉÓÁÎ ÓÏÓÏÂ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ €ËÁÒÔÁ ëÁÒÎρ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÂÕÌÅ×ÙÈ
×ÙÒÁÖÅÎÉÊ.
ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÁÒÁÇÒÁÆ ÇÌÁ×Ù ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÔ, ËÁË ×ÓÑ ÒÁÚ×ÉÔÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ë ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÀ É ÕÒÏÝÅÎÉÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ.
ÁËÉÅ ÓÈÅÍÙ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ × ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×ÁÈ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÈ × ËÏÍØÀÔÅÒÁÈ, ËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÁÈ, ÔÅÌÅÆÏÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ É ÒÑÄÅ
ÄÒÕÇÉÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×. õËÁÚÁÎÎÕÀ ÔÅÍÕ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ Ë ÇÌÁ×Å.
÷ ÎÅÍ, ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÂÕÌÅ×Õ ÁÌÇÅÂÒÕ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÔØ 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ.
9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
ðÒÏÓÔÅÊÛÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B = {0; 1} ×ÍÅÓÔÅ
Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÎÅÍ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ (∨), ËÏÎßÀÎË ÉÉ
(∧) É ÏÔÒÉ ÁÎÉÑ ( ). äÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÅÒÁ ÉÊ (∨) É (∧) ÎÁ ÓÉÍ×ÏÌÁÈ 0 É
1 ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 9.1.
∨ 0 1
0
0 1
∧ 0 1
0
0 0
1
1 1
1
0 1
òÉÓÕÎÏË 9.1.
9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
195
äÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÔÒÉ ÁÎÉÑ ÎÁ 0 É 1 ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
0 = 1 É 1 = 0:
äÌÑ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p É q (Ô. Å. ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÈ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ 0 É 1) ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÔÁÂÌÉ Ù, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ
ÏÅÒÁ ÉÊ p, p ∨ q É p ∧ q (ÓÍ. ÔÁÂÌ. 9.1 É ÔÁÂÌ. 9.2).
ÁÂÌÉ Á 9.1
p
0
1
ÁÂÌÉ Á 9.2
p
p
q
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
p
∨q
0
1
1
1
p
∧q
0
0
0
1
üÔÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÎÁÏÍÉÎÁÀÔ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÅ, ÉÌÉ É É, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ×ÓÔÒÅÔÉÌÉÓØ × ÇÌÁ×Å 2. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÌÅÇËÏ ÔÒÁÎÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁÂÌ. 9.1 É ÔÁÂÌ. 9.2 ×
ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ × ÌÏÇÉËÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, ÚÁÍÅÎÉ×
ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ p É q ÎÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P É Q, É ÉÓÏÌØÚÕÑ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ì É é ×ÍÅÓÔÏ 0 É 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, p
ÚÁÍÅÎÉÔÓÑ ÎÁ (ÎÅ P ), p ∨ q | ÎÁ (P ÉÌÉ Q), Á p ∧ q | ÎÁ (P É Q).
ðÏÜÔÏÍÕ É × ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÁËÏÇÏ
ÓÏÒÔÁ ÔÁÂÌÉ Ù ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ.
íÙ ÍÏÖÅÍ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÔØ ÂÕÌÅ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÊ (∨), (∧) É ( ), ÏÌÕÞÁÑ ÂÕÌÅ×Ù ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ , ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÍÙ
ÓÔÒÏÉÌÉ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÉÚ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÈ, ËÏÍÁÎÕÑ ÉÈ Ó
ÏÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ.
ÁÂÌÉ Á 9.3. úÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ
úÁËÏÎÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ:
úÁËÏÎÙ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ:
úÁËÏÎÙ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ:
úÁËÏÎÙ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ:
úÁËÏÎÙ ÏÇÌÏÝÅÎÉÑ:
úÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ:
p
∧ q = q ∧ p,
p
∨ q = q ∨ p;
p
∧ (q ∧ r) = (p ∧ q ) ∧ r,
p
∨ (q ∨ r) = (p ∨ q ) ∨ r;
p
∧ (q ∨ r) = (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r),
p
∨ (q ∧ r) = (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r);
p
∧ p = p,
p
∨ p = p;
p
∧ (p ∨ q ) = p,
p
∨ (p ∧ q ) = p;
(p ∧ q ) = p ∨ q,
(p ∨ q ) = p ∧ q.
196
çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
ä×Á ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ , ÅÓÌÉ ÏÎÉ
ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ. ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÌÅÇËÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÚÁËÏÎÁÍÉ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ (ÓÍ. ÔÁÂÌÉ Õ ÎÁ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÓÔÒ.).
ðÒÉÍÅÒ 9.1. äÏËÁÖÉÔÅ ÚÁËÏÎ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ:
p ∧ (q ∨ r ) = (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ):
òÅÛÅÎÉÅ. ÒÅÂÕÅÍÙÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌ. 9.4.
ðÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÓÔÏÌ Á ÔÁÂÌÉ Ù ÏÌÎÏÓÔØÀ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ,
ÂÕÌÅ×Ù ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ p ∧ (q ∨ r ) É (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ.
ÁÂÌÉ Á 9.4
p
q
r
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
p
∧q
0
0
0
0
0
0
1
1
p
∧r
0
0
0
0
0
1
0
1
q
∨r
p
∧ (q ∨ r)
0
1
1
1
0
1
1
1
(p ∧ q ) ∨ (p ∧ r)
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
óÈÏÖÅÓÔØ ÎÁÚ×ÁÎÉÊ É ÆÏÒÍ ÚÁËÏÎÏ× ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÚÁËÏÎÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÉÚÕÞÅÎÎÙÈ × ÇÌÁ×Å 3, ÄÁÌÅËÏ
ÎÅ ÓÌÕÞÁÊÎÁ. ÷ ÔÁÂÌÉ Å, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÎÉÖÅ, ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÂÕÌÅ×ÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ, ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ
ÌÏÇÉËÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ É ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ.
ÁÂÌÉ Á 9.5
ìÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ
âÕÌÅ×Ù ÏÅÒÁ ÉÉ
ÉÌÉ
∪
∨
É
∩
∧
ÎÅ
óÔÏÉÔ ÒÁÚ É ÎÁ×ÓÅÇÄÁ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÚÁËÏÎÏ× ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ1 , ÞÔÏÂÙ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ
ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ Ó ÉÈ ÏÍÏÝØÀ, ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÑÓØ Ë ÔÁÂÌÉ ÁÍ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÁÔØ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÍÙ ÒÏ×ÅÒÑÌÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×.
1
ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. |
ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
197
ðÒÉÍÅÒ 9.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ (
p ∧ q ) ∧ (p ∨ q ) ÜË×É-
×ÁÌÅÎÔÎÏ p.
òÅÛÅÎÉÅ. óÄÅÌÁÅÍ ÎÅÓÌÏÖÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ.
(
p ∧ q ) ∧ (p ∨ q ) =
=
=
=
=
(
p) ∨ q ∧ (p ∨ q ) = (ÚÁËÏÎ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ)
(p ∨ q) ∧ (p ∨ q ) =
p ∨ (
q ∧ q) =
p∨0 =
(ÔÁË ËÁË (
p) = p)
(ÚÁËÏÎ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ)
(ÔÁË ËÁË q ∧ q = 0)
(Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ∨):
p
âÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÏÔ n ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p1 ; p2 ; : : : ; pn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : B n −→ B , ÞÔÏ f (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) | ÂÕÌÅ×Ï
×ÙÒÁÖÅÎÉÅ.
îÁÛÁ ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ ÚÁÄÁÞÁ | ÏËÁÚÁÔØ, ËÁË ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ×ÉÄÅ (ÏÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ). îÁÞÎÅÍ Ó ÎÅÂÏÌØÛÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ m(p; q; r ) ÏÔ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
p, q É r , ÞØÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÄÁÎÁ ÎÉÖÅ (ÔÁÂÌ. 9.6).
ÁÂÌÉ Á 9.6
p
q
r
m
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
æÕÎË ÉÑ m | ÒÉÍÅÒ ÍÉÎÔÅÒÍÁ , Ô. Å. ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ
ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 1 ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×.
ÁË ËÁË m(p; q; r ) = 1 ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ p = 0, q = 1 É r = 1, ÔÏ2
m(p; q; r ) = p ∧ q ∧ r:
÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ p ∧ q ∧ r ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ËÏÎßÀÎË ÉÅÊ .
2
äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÎßÀÎË ÉÉ ÆÕÎË ÉÑ
ÞÅÎÉÅ 1 ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ p = q = r = 1. ðÏÜÔÏÍÕ
∧ q ∧ r = 1 ⇔ p = 0;
p
q
= r = 1:
p
∧ q ∧ r ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁ-
198
çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
ðÒÉÍÅÒ 9.3. ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÌÀÂÏÊ ÍÉÎÔÅÒÍ ÍÏÖÎÏ ÚÁ-
ÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ËÏÎßÀÎË ÉÉ, Ô. Å. ËÁË ËÏÎßÀÎË ÉÀ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ pi ÉÌÉ ÉÈ ÏÔÒÉ ÁÎÉÊ. m(p1 ; p2 ; : : : ; pr )
òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ m(p1 ; p2 ; : : : ; pr ) | ÍÉÎÔÅÒÍ. ÏÇÄÁ × ÏÓÌÅÄÎÅÍ
ÓÔÏÌÂ Å ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ m ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ
ÅÄÉÎÉ Á. ÷ÏÚØÍÅÍ ÓÔÒÏËÕ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÓÉÍ×ÏÌ ×
ËÏÔÏÒÏÊ | 1. åÓÌÉ × ÜÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ pi = 1, ÔÏ × ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ËÏÎßÀÎË ÉÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÆÕÎË ÉÀ m, ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ pi ; Á ÅÓÌÉ
pi = 0, ÔÏ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ pi .
îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÍÉÎÔÅÒÍÁ ÉÚ ÔÁÂÌ. 9.6 ÔÁËÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 0, 1, 1, 1. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ m(0; 1; 1) = 1. ðÏÜÔÏÍÕ m(p; q; r ) = p ∧ q ∧ r .
ÅÅÒØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ËÏÎßÀÎË ÉÉ, ÍÙ ÚÁÉÛÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ËÁË ÄÉÚßÀÎË ÉÀ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ÚÁÉÓØ (ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ËÏÎßÀÎË ÉÊ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ f (p; q; r ), ÞØÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ | ÔÁÂÌ. 9.7. åÄÉÎÉ Ù ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÓÔÏÌ Á × ÜÔÏÊ
ÔÁÂÌÉ Å ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÒÅÍ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ:
p ∧ q ∧ r;
p ∧ q ∧ r;
p ∧ q ∧ r:
ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÁ ÎÁÌÏÖÅÎÉÅÍ
ÔÁÂÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×.
ÁÂÌÉ Á 9.7
p
q
r
f
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÉÚßÀÎË ÉÑ Ó 1 €ÏÇÌÏÝÁÅԁ ×ÓÅ ÎÕÌÉ (ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, f1 ∨ f2 ∨ · · · ∨ fs ÒÁ×ÎÏ 1 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÒÅÄÉ
9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
199
ÚÎÁÞÅÎÉÊ fi ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ 1), ÔÏ ÎÁÛÁ ÆÕÎË ÉÑ f ÒÁ×ÎÁ
ÄÉÚßÀÎË ÉÉ ÔÒÅÈ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×:
f (p; q; r ) = (
p ∧ q ∧ r ) ∨ (
p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r):
üÔÏ É ÅÓÔØ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÆÕÎË ÉÉ f . ïÞÅ×ÉÄÎÏ,
× ÔÏÊ ÖÅ ÆÏÒÍÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ Ó
ÌÀÂÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
ðÒÉÍÅÒ 9.4. îÁÊÄÉÔÅ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÂÕÌÅ×ÏÊ
q ∧ r ).
ÆÕÎË ÉÉ f = (p ∧ q ) ∨ (
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÔÁÂÌ. 9.8 ÚÁÉÛÅÍ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f .
ÁÂÌÉ Á 9.8
p
q
r
f
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
÷ÙÉÛÅÍ ÍÉÎÔÅÒÍÙ:
p ∧ q ∧ r;
p ∧ q ∧ r;
p ∧ q ∧ r;
p ∧ q ∧ r:
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓËÏÍÁÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ:
f (p; q; r ) = (
p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r ):
íÙ ÕÂÅÄÉÌÉÓØ ÎÁ ÏÙÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×. úÎÁÞÉÔ, ËÁÖÄÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÁ ÞÅÒÅÚ Ä×Å ÆÕÎËÉÉ ÏÔ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×: p ∨ q , p ∧ q É ÏÄÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÄÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ p. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ, ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÊ . éÔÁË,
{p ∨ q; p ∧ q; p} | ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎË ÉÊ. ïÄÎÁËÏ ÍÏÖÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ É ÍÅÎØÛÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÆÕÎË ÉÊ. îÁÒÉÍÅÒ, Ï ÚÁËÏÎÕ ÄÅ
íÏÒÇÁÎÁ (p ∨ q ) = p ∧ q. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
p ∨ q = (
p ∧ q):
200
çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
úÎÁÞÉÔ, ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÔÏÌØËÏ Ó ÏÍÏÝØÀ
Ä×ÕÈ ÏÅÒÁ ÉÊ: ∧ É , Ô. Å. {p ∧ q; p} | ÔÏÖÅ ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎËÉÊ. òÁÓÌÁÔÏÊ ÚÁ ÍÁÌÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ, ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ËÏÔÏÒÙÈ
ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÇÒÏÍÏÚÄËÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌ.
ðÒÉÍÅÒ 9.5. æÕÎË ÉÑ îå{é ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
p îå{é q = (p ∧ q ):
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ { îå{é } | ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎË ÉÊ.
òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ
ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ p, p ∨ q É p ∧ q ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÁ ÞÅÒÅÚ îå{é .
÷×ÉÄÕ ÚÁËÏÎÁ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ
p = (p ∧ p) = p îå{é p:
ðÏ ÚÁËÏÎÕ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ
p ∧ q) = (p îå{é p) ∧ (q îå{é q ) =
p ∨ q = (
= (p îå{é p) îå{é (q îå{é q ):
îÁËÏÎÅ ,
p ∧ q = (p ∧ q ) = (p îå{é q ) =
= (p îå{é q ) îå{é (p îå{é q ):
éÔÁË, { îå{é } | ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÅÒÁ ÉÊ.
9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ
ÅÅÒØ ÍÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ Ï €ÕÒÏÝÅÎÉɁ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
ÄÌÑ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ðÏÄ €ÕÒÏÝÅÎÉǺ ÍÙ ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÅÅ ÍÅÎØÛÅ ÓÉÍ×ÏÌÏ×, ÞÅÍ ÉÓÈÏÄÎÏÅ.
íÅÔÏÄ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÕÒÏÝÅÎÉÉ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÁ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ
ÂÏÌÅÅ ÇÒÏÍÏÚÄËÏÊ, ÞÅÍ ÓÁÍÁ ÆÕÎË ÉÑ. íÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÔÏÌØËÏ ÂÕÌÅ×Ù
ÆÕÎË ÉÉ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ÏÔ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ðÒÉ ÖÅÌÁÎÉÉ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÕÀ ÔÅÈÎÉËÕ ÍÏÖÎÏ ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁ ÆÕÎË ÉÉ Ó ÌÀÂÙÍ ÞÉÓÌÏÍ
ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×.
ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÚÁÉÓÙ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÀ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÕÓËÁÔØ ÓÉÍ×ÏÌ ∧
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÏÍÕ, ËÁË × ÏÂÙÞÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ÏÕÓËÁÀÔ ÓÉÍ×ÏÌ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ
pqr ∨ pqr ∨ pqr
×ÍÅÓÔÏ
(
p ∧ q ∧ r ) ∨ (
p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r):
9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ
201
üÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ | ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ. åÇÏ ÍÏÖÎÏ
ÕÒÏÓÔÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
pqr ∨ pqr ∨ pqr = (
pr q ∨ prq ) ∨ pqr =
= pr (
q ∨ q ) ∨ pqr =
= pr ∨ pqr
Ï ÚÁËÏÎÁÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ
É ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ
Ï ÚÁËÏÎÕ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ
ÔÁË ËÁË q ∨ q = 1:
íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ, ÞÅÍ ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÛÁÇÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ
ÍÙ ÓÏ×ÅÒÛÉÌÉ, ÕÒÏÝÁÑ ÆÕÎË ÉÀ, ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÁÔØ ÏÞÔÉ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ ÍÙ ÓÄÅÌÁÌÉ ÅÒÅÇÒÕÉÒÏ×ËÕ:
ÅÒÅÓÔÁ×ÉÌÉ É ×ÚÑÌÉ × ÓËÏÂËÉ Ä×Á ÍÉÎÔÅÒÍÁ, ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÔÏÌØËÏ
× ÏÄÎÏÍ ÓÉÍ×ÏÌÅ. úÁËÏÎ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÚ×ÏÌÉÌ ÎÁÍ ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ
ÛÁÇÅ ×ÙÎÅÓÔÉ ÏÄÉÎ ÍÉÎÔÅÒÍ ÚÁ ÓËÏÂËÉ, ÉÓËÌÀÞÉ× ÉÚ ÎÅÇÏ ÂÕÌÅ×Õ
ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ q .
õÒÏÝÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÊ ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ , ÍÅÔÏÄÁ, ÉÚÏÂÒÅÔÅÎÎÏÇÏ × 1950-ÙÈ ÇÏÄÁÈ ÄÌÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ
ÓÈÅÍ. ïÂÒÁÚÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ | ÜÔÏ ÎÁÇÌÑÄÎÁÑ ÓÈÅÍÁ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÁÑ ÄÌÑ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎÉÑ ÁÒ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÓÇÒÕÉÒÏ×ÁÔØ É ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ × ÏÄÎÏ ÒÏÓÔÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ.
÷ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p, q É r ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÔÁÂÌÉ Õ Ó Ä×ÕÍÑ ÓÔÒÏËÁÍÉ É ÞÅÔÙÒØÍÑ ÓÔÏÌ ÁÍÉ (ÒÉÓ. 9.2). óÔÏÌ ٠ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ÄÉÚßÀÎË ÉÑÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ
ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p É q É ÉÈ ÏÔÒÉ ÁÎÉÊ, Á ÓÔÒÏËÉ |
ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ r É ÅÅ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅÍ r.
pq
pq
pq
pq
r
r
òÉÓÕÎÏË 9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÊ ÔÒÅÈ
ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
íÅÔËÉ ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ÏÔ ÓÔÏÌ Á Ë ÓÔÏÌÂ Õ ×
ÎÉÈ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÒÏ×ÎÏ × ÏÄÎÏÍ ÓÉÍ×ÏÌÅ. ñÞÅÊËÉ ËÁÒÔÙ
ëÁÒÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÏÓØÍÉ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. åÓÌÉ ÎÁÍ ÄÁÎÏ ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×
ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÔÏ × ÑÞÅÊËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ
ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÍ × ÎÅÊ, ÍÙ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ ÉÆÒÕ 1. îÁÒÉÍÅÒ,
ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÂÕÌÅ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pqr ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.3.
202
çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
pq
r
pq
pq
1
1
r
pq
1
òÉÓÕÎÏË 9.3. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pqr
úÁÔÅÍ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ €ÇÒÕÉÒÏ×ÁÔ؁ ÁÒÙ €ÓÏÓÅÄÎÉȁ ÅÄÉÎÉ × ëÁÒÔÅ ëÁÒÎÏ (ÏÈÏÖÉÈ ÎÁ ÔÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ×ÙÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.3). ÁËÁÑ ÁÒÁ
× ÎÁÛÅÍ ÒÉÍÅÒÅ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ. ïÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÉÍÅÎÎÏ ÔÅÍ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÂßÅÄÉÎÉÌÉ × ÓÄÅÌÁÎÎÙÈ ÒÁÎÅÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ
ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ.
÷ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÉ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÒÁÚÍÅÔËÅ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ (ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÊ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÍÅÔËÉ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÓÔÏÌ Ï× ÏÔÌÉÞÉÌÉÓØ
ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ) ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÂÕÄÅÔ ÓËÒÙÔÁ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ËÁÒÔÅ ëÁÒÎÏ (ÒÉÓ. 9.4) ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pq r ∨ pqr
ÎÅ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÌÅÎÙ pqr É pqr ÍÏÖÎÏ ÓÇÒÕÉÒÏ×ÁÔØ.
pq
pq
pq
pq
r
1
r
1
1
òÉÓÕÎÏË 9.4. îÅÕÄÁÞÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÔÏÌ Ï× ËÁÒÔÙ
ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pq r ∨ pqr
ðÅÒÅÏÂÏÚÎÁÞÁÑ ÓÔÏÌÂ Ù Ó ÓÏÂÌÀÄÅÎÉÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ,
ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÕÀ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ (ÒÉÓ. 9.5). îÁ ÎÅÊ ÕÖÅ
ÞÌÅÎÙ ÄÌÑ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ ÓÔÏÑÔ ÒÑÄÏÍ.
pq
r
r
pq
pq
pq
1
1
1
òÉÓÕÎÏË 9.5. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÁÑ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ
×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pq r ∨ pqr
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
pqr ∨ pq r ∨ pqr = pq r ∨ (pqr ∨ pqr ) =
= pq r ∨ pr (
q ∨ q ) = pq r ∨ pr:
9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ
203
ðÒÉÍÅÒ 9.6. õÒÏÓÔÉÔÅ ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
pqr ∨ pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pq r:
òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÒÁÔÉÍ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÒÉÓ. 9.6, ÇÄÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔ-
ÓÔ×ÕÀÝÁÑ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ.
pq
pq
r
1
1
r
1
1
pq
pq
1
òÉÓÕÎÏË 9.6. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
pqr ∨ p
qr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pq r
éÚ ÎÅÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÄÁÎÎÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÅÓÔØ ÇÒÕÁ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ
ÍÉÎÔÅÒÍÏ×:
pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pq r;
ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ (á), É ÇÒÕÁ ÉÚ Ä×ÕÈ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×:
pq r ∨ pqr:
åÅ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ (â).
óÎÁÞÁÌÁ ÏÒÁÂÏÔÁÅÍ ÎÁÄ ÇÒÕÏÊ (á).
pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pq r = (p ∨ p)qr ∨ (p ∨ p)q r =
= qr ∨ q r = q (r ∨ r) = q:
ÅÅÒØ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÇÒÕÏÊ (â).
pq r ∨ pqr = pr(q ∨ q) = pr:
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÕÒÏÝÁÅÔÓÑ ÄÏ1 q ∨ pr.
1
÷ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏ ÓÌÅÄÑ ÚÁ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ, ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÍÉÎÔÅÒÍ pq r
ÚÄÅÓØ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ Ä×ÁÖÄÙ, ÈÏÔÑ × ÉÓÈÏÄÎÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÏÎ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎ ÔÏÌØËÏ
ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÏÛÉÂËÉ ÎÉËÁËÏÊ ÎÅÔ. üÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÚÁËÏÎÏÍ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ: f = f ∨ f , ÇÄÅ f | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ÒÉÅÍ
ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ Á×ÔÏÒÏÍ É ÄÁÌÅÅ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
204
çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
ðÒÉÍÅÒ 9.7. õÒÏÓÔÉÔÅ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ
f (p; q; r ) = (p ∨ q ) ∧ r ∨ (q ∨ r ):
òÅÛÅÎÉÅ. úÁÏÌÎÉÍ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f (ÔÁÂÌ. 9.9).
ÁÂÌÉ Á 9.9
p
q
r
f
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
ðÏ ÔÁÂÌÉ Å ÓÔÒÏÉÍ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÆÕÎË ÉÉ f :
pqr ∨ pqr ∨ pqr:
åÅ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.7.
pq
pq
pq
r
1
r
1
pq
1
òÉÓÕÎÏË 9.7. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pqr
éÚ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÎÁÛÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ
Ä×Å ÁÒÙ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÄÌÑ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ: pqr ∨ pqr É pqr ∨ pqr. ðÏÓÌÅ ÉÈ
ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÉ: pq É qr. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÈÏÄÎÁÑ
ÆÕÎË ÉÑ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ pq ∨ qr.
îÁÇÌÑÄÎÙÊ ÓÏÓÏ ÏÉÓËÁ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÄÌÑ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ, ËÏÔÏÒÙÊ
ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁ ÂÕÌÅ×Ù ÆÕÎË ÉÉ
ÞÅÔÙÒÅÈ, ÑÔÉ É ÄÁÖÅ ÛÅÓÔÉ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÏÓÌÏÖÎÅÎÉÑ ÄÅÌÁÀÔ ÍÅÔÏÄ ÍÁÌÏÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÅÌØÎÙÍ. åÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÓÏÓÏÂÙ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ. ïÓÏÂÅÎÎÏ ÒÉ×ÌÅËÁÔÅÌÅÎ ÍÅÔÏÄ ëÕÉÎÁ{
íÁË-ëÌÁÓËÉ. ïÎ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÎÙÊ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [??℄) É
ÒÉÍÅÎÉÍ Ë ÆÕÎË ÉÑÍ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
9.3. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ
205
9.3. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ
ïÄÎÏ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÌÅÖÉÔ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÓÈÅÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÌÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ ,
ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ × ×ÉÄÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ× Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ×ÈÏÄÏ× É ×ÙÈÏÄÏ×, ÒÉÞÅÍ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ×ÈÏÄÅ É ×ÙÈÏÄÅ
ÍÏÖÅÔ ÏÑ×ÌÑÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÁËÉÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á ÓÏÂÒÁÎÙ ÉÚ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× , ÇÅÎÅÒÉÒÕÀÝÉÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÂÕÌÅ×Ù ÏÅÒÁ ÉÉ. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 9.8.
a
a
a
b
a
b
éìé
îå
a
a b
b
é
îå{é
òÉÓÕÎÏË 9.8. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
óÏÅÄÉÎÑÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ×ÍÅÓÔÅ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ . ó ÅÅ ÏÍÏÝØÀ ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ
ÆÕÎË ÉÀ.
ðÒÉÍÅÒ 9.8. þÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÙ,
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 9.9?
p
1
q
3
6
2
7
4
r
5
òÉÓÕÎÏË 9.9. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ
206
çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÔÁÂÌ. 9.10 ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÙ ×ÈÏÄÙ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×Ù-
ÈÏÄÙ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÎÕÍÅÒÁ ÉÅÊ ÉÚ ÒÉÓ. 9.9.
ÁÂÌÉ Á 9.10
÷ÅÎÔÉÌØ
1
2
3
4
5
÷ÈÏÄ
÷ÙÈÏÄ
p; q
pq
p; q
pq
pq; r
pqr
pq ; r
pq r
pq; r
6
7
pq r
pqr; pq r
pqr
∨ pqr;
pq r
pqr
∨ pqr
pqr
∨ pqr ∨ pq r
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÓÈÅÍÙ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pq r.
äÉÁÇÒÁÍÍÙ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, ÅÓÌÉ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ é É éìé ÉÍÅÔØ ÎÅ Ï Ä×Á ×ÈÏÄÁ,
Á ÂÏÌØÛÅ. îÏ ÂÏÌÅÅ ×ÅÞÁÔÌÑÀÝÅÇÏ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÉÔØÓÑ, ÅÓÌÉ
ÒÉ×ÌÅÞØ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ ÄÌÑ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÎÁ
×ÙÈÏÄÅ ÓÌÏÖÎÏÊ ÓÈÅÍÙ.
ðÒÉÍÅÒ 9.9. õÒÏÓÔÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÕÀ ÓÈÅÍÏÊ ÉÚ ÒÉÍÅ-
ÒÁ 9.8 É ÎÁÊÄÉÔÅ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÕÀ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÅÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀ.
òÅÛÅÎÉÅ. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÔÒÅÂÕÅÍÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ
ÒÉÓ. 9.10. ïÎÁ ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÁÒÙ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÄÌÑ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ (ÏÄÎÁ ÉÚ
ÎÉÈ ÎÅ ×ÉÄÎÁ ÒÉ ÄÁÎÎÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÉ ÓÔÏÌ Ï×).
pq
r
1
r
1
pq
pq
1
òÉÓÕÎÏË 9.10. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
éÔÁË,
É
pq
pqr
∨ pqr ∨ pq r
pqr ∨ pq r = pq (r ∨ r) = pq
pqr ∨ pqr = (q ∨ q)pr = pr:
üÔÏ Ó×ÏÄÉÔ ÆÕÎË ÉÀ Ë ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ pq ∨ pr , ËÏÔÏÒÏÅ, ××ÉÄÕ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÒÅÄÕ ÉÒÕÅÔÓÑ Ë ÆÕÎË ÉÉ p(q ∨ r ).
9.3. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ
207
âÏÌÅÅ ÒÏÓÔÁÑ ÓÈÅÍÁ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÁÑ ÆÕÎË ÉÀ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 9.8, ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.11.
p
p(q r)
q
r
òÉÓÕÎÏË 9.11.
ðÒÉ ×ÙÞÅÒÞÉ×ÁÎÉÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ ÎÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ×ÓÅ ÔÉÙ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ×ÉÄÅÌÉ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {∨; } Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ
ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÛÉÓØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ é É îå.
âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ Ï ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÒÉÞÉÎÅ ÎÁÍ ÎÅÕÄÏÂÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÂÏÌØÛÏÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ, ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ
ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå{é .
ðÒÉÍÅÒ 9.10. îÁÞÅÒÔÉÔÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀ
ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ p(q ∨ r ), ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ îå{é .
òÅÛÅÎÉÅ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ
p(q ∨ r ) = p îå{é (q ∨ r ) îå{é p îå{é (q ∨ r ) :
á ×Ï-×ÔÏÒÙÈ,
q ∨ r = (q îå{é q ) îå{é (r îå{é r ):
éÓËÏÍÁÑ ÓÈÅÍÁ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.12.
òÉÓÕÎÏË 9.12. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÆÕÎË ÉÉ p (q ∨ r)
208
çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 9
9.1. úÁÏÌÎÑÑ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÄÏËÁÖÉÔÅ ÚÁËÏÎÙ
ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ.
9.2. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÒÏ×ÅÒØÔÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅ-
ÎÉÑ:
(Á) (p ∧ q) ∨ r = p ∨ q ∨ r;
(Â) ((p ∧ q) ∧ (r ∨ (p ∧ q))) = p ∨ q .
9.3. îÁÊÄÉÔÅ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÉÉ g (p; q; r; s), ÞØÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ | (ÔÁÂÌ. 9.11).
ÁÂÌÉ Á 9.11
p
q
r
s
f
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
9.4. úÁÏÌÎÉÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÂÕÌÅ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
p ∧ (
q ∨ r ) ∨ p ∧ (q ∨ r)
É ÎÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ.
9.5. úÁÉÛÉÔÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ (p ∧ q) ∧ r , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ:
(Á) ÏÅÒÁ ÉÉ ∨ É
;
(Â) ÆÕÎË ÉÀ îå{é .
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 9
209
9.6. âÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ îå{éìé ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
p îå{éìé q = (p ∨ q ):
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ {îå{éìé} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÊ.
9.7. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ ÂÕÌÅ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ Ó ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ
ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ
pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pqr
É ÎÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ÕÒÏÝÅÎÎÕÀ ×ÅÒÓÉÀ.
9.8. îÁÊÄÉÔÅ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÉÉ f (p; q; r ) Ó ÔÁÂÌÉ ÅÊ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ | ÔÁÂÌ. 9.12.
ÁÂÌÉ Á 9.12
p
q
r
f
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÅÅ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ É ÕÒÏÓÔÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ f .
9.9. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÕÀ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ
ÓÈÅÍÏÊ, ÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 9.13.
p
q
r
òÉÓÕÎÏË 9.13.
210
çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
éÓÏÌØÚÕÑ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ Ä×ÕÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: é É îå.
9.10. ó ÏÍÏÝØÀ ÚÁËÏÎÏ× ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ×ÙÒÁÖÅ-
ÎÉÅ
p îå{é (
q îå{é r )
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ
p ∨ (
q ∧ r ):
úÁÔÅÍ ÚÁÍÅÎÉÔÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÎÁ
ÒÉÓ. 9.14, ÎÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ ÅÊ, ÎÏ ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: é É éìé É ÏÄÎÏÇÏ ÉÎ×ÅÒÔÏÒÁ1 .
p
q
r
òÉÓÕÎÏË 9.14.
p
q
r
p
q
r
òÉÓÕÎÏË 9.15.
1
éÎ×ÅÒÔÏÒÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå. |
ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
211
9.11. äÏËÁÖÉÔÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ, ÉÚÏÂÒÁ-
ÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓ. 9.15.
9.12.
îÁÞÅÒÔÉÔÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ p îå{éìé q ,
ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå{é .
(õËÁÚÁÎÉÅ: ÎÁÞÎÉÔÅ Ó ÒÏ×ÅÒËÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ q îå{éìé q =
= (
p îå{é q), Á ÚÁÔÅÍ ÕÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ r ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×Õ r = r îå{é r .)
ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù
âÕÌÅ×Á ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ: 0 É 1.
âÕÌÅ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÍÏÖÎÏ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ∨,
∧ É ÄÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ.
âÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÏÔ n ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p1 ; p2 ; : : : ; pn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : B n −→ B , ÞÔÏ f (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) | ÂÕÌÅ×Ï
×ÙÒÁÖÅÎÉÅ.
âÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÉÎÔÅÒÍÏÍ, ÅÓÌÉ ÓÔÏÌÂÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁÉÓÁÎÙ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÕ
ÅÄÉÎÉ Õ.
ðÕÓÔØ p É q | ÂÕÌÅ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ. ÏÇÄÁ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ
ÚÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ:
ÁÂÌÉ Á 9.13. úÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ
úÁËÏÎÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ:
úÁËÏÎÙ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ:
úÁËÏÎÙ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ:
úÁËÏÎÙ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ:
úÁËÏÎÙ ÏÇÌÏÝÅÎÉÑ:
úÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ:
p
∧ q = q ∧ p,
p
∨ q = q ∨ p;
p
∧ (q ∧ r) = (p ∧ q ) ∧ r,
p
∨ (q ∨ r) = (p ∨ q ) ∨ r;
p
∧ (q ∨ r) = (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r),
p
∨ (q ∧ r) = (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r);
p
∧ p = p,
p
∨ p = p;
p
∧ (p ∨ q ) = p,
p
∨ (p ∧ q ) = p;
(p ∧ q ) = p ∨ q,
(p ∨ q ) = p ∧ q.
212
çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
ìÀÂÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÚÁÉÓÁÎÁ
ËÁË ÄÉÚßÀÎË ÉÑ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×. ÁËÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ.
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ, ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ
ÆÕÎË ÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÊ.
âÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ, ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ, ÞØÉ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌ ٠ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ËÏÎßÀÎË ÉÑÍÉ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÉÈ ÏÔÒÉ ÁÎÉÊ. ÷ ËÌÅÔËÁÈ ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù,
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ ÄÁÎÎÏÊ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ
ÆÏÒÍÙ, ÏÍÅÝÁÀÔÓÑ ÅÄÉÎÉ Ù.
ä×ÏÉÞÎÏÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï | ÜÔÏ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÅ, ÓÎÁÂÖÅÎÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ×ÈÏÄÏ× É ×ÙÈÏÄÏ×.
æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×,
ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÔ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÂÕÌÅ×Ù ÏÅÒÁ ÉÉ (ÒÉÓ. 9.16).
a
a
b
a
a
b
éìé
îå
a
a b
b
é
îå-é
òÉÓÕÎÏË 9.16. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, ÒÉÍÅÎÑÑ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ
ÄÌÑ ÕÍÅÎØÛÅÎÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÂÕÌÅ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÏÇÏ ÓÈÅÍÏÊ.
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ
ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ
2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ | ÜÔÏ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÓÕÍÍÕ
Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ2 ÞÉÓÅÌ, ×ÙÄÁ×ÁÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÔ×ÅÔÁ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. îÁÒÉÍÅÒ, 10 +2 11 = 101. äÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÙ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÍÙ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÓÔÒÏÉÍ ÏÌÕÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ
ÉÆÒ. ïÔ×ÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÍ Ä×ÏÉÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. îÁÒÉÍÅÒ, 1 +2 1 = 10.
2
úÁÉÓÁÎÎÙÈ × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ. |
ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ
213
ðÏÌÕÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ.
ðÕÓÔØ x É y ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÉÆÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄÓÔÏÉÔ
ÓÌÏÖÉÔØ, Á u É v | Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÉÆÒÙ ÓÕÍÍÙ, ÏÌÕÞÁÀÝÅÊÓÑ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 9.17.
Ïîëóáèòíûé
ñóììàòîð
òÉÓÕÎÏË 9.17.
ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ (ÔÁÂÌ. 9.14) ÒÏÑÓÎÑÅÔ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ××ÏÄÉÍÙÍÉ É ×Ù×ÏÄÉÍÙÍÉ ÉÆÒÁÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, u = xy (ÒÁÚÒÑÄ ÅÒÅÎÏÓÁ ) É v = x
y ∨ xy (ÓÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÍÏÄÕÌÀ 2 ).
ÁÂÌÉ Á 9.14
x
y
u
v
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
úÁÄÁÞÁ 1. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÁÑ ÎÁ
ÒÉÓ. 9.18, ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÏÌÕÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ.
x
y
1
4
2
3
òÉÓÕÎÏË 9.18. óÈÅÍÁ ÏÌÕÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÈÏÄÎÙÍÉ ÄÁÎÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 3 É 4 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁÚÒÑÄ
ÅÒÅÎÏÓÁ É ÓÕÍÍÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ 2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ (ÓÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 9.15).
214
çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
ÁÂÌÉ Á 9.15
ìÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ
÷×ÏÄ
÷Ù×ÏÄ
1
x; y
xy
xy
2
3
4
x; y
x; y
xy
xy; xy
∨ xy
xy
2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ.
îÁ ×ÈÏÄÅ 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ ÏÌÕÞÁÅÔ Ä×Á Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ
ÞÉÓÌÁ, Á ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ Õ ÎÅÇÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÒÁ×ÎÏÅ
ÓÕÍÍÅ ××ÏÄÉÍÙÈ ÞÉÓÅÌ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÞÉÓÌÁ × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ: 11 +2 10 = 101.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ a É b ÉÆÒÙ ÅÒ×ÏÇÏ ××ÏÄÉÍÏÇÏ × ÓÕÍÍÁÔÏÒ
ÞÉÓÌÁ, Á ÞÅÒÅÚ É d | ÉÆÒÙ ×ÔÏÒÏÇÏ (ÒÉÓ. 9.19). ðÕÓÔØ e, f É g |
ÉÆÒÙ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍÏÊ ÓÕÍÍÙ.
e
a
b
c
2-áèòíûé
ñóììàòîð
f
g
d
òÉÓÕÎÏË 9.19.
äÁÌÅÅ ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ, ËÁË É × ÓÌÕÞÁÅ Ó ÏÌÕÂÉÔÎÙÍ ÓÕÍÍÁÔÏÒÏÍ,
ÚÁÏÌÎÉÔØ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÉÆÒ e, f É g , ÓÞÉÔÁÑ ÉÈ ÂÕÌÅ×ÙÍÉ
ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÏÔ ××ÏÄÉÍÙÈ ÉÆÒ, ÕÒÏÓÔÉÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ Ó
ÏÍÏÝØÀ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ É ÎÁÞÅÒÔÉÔØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ. ïÄÎÁËÏ
ÍÙ ÏÓÔÕÉÍ ÉÎÁÞÅ: ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÏÌÕÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ × ËÁÞÅÓÔ×Å
ÂÌÏËÁ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÙ. óÈÅÍÁ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 9.20,
ÉÓÏÌØÚÕÅÔ Ä×Á ÏÌÕÂÉÔÎÙÈ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍ: a +2
É b +2 d.
óÕÍÍÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ 2 (ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ v2 ) ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÉÆÒÕ g . óËÌÁÄÙ×ÁÑ ÒÁÚÒÑÄ ÅÒÅÎÏÓÁ u2 Ó v1 Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÌÕÂÉÔÎÏÇÏ
ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ Ä×ÕÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÉÆÒÁÍÉ u3 É f . îÁËÏÎÅ , ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ ÓÕÍÍÙ, e, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÁ ÉÚ u1 É u3 Ó
ÏÍÏÝØÀ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ éìé.
úÁÄÁÞÁ 2. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÏÉÓÁÎÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÎÁ
ÒÉÍÅÒÅ ÓÕÍÍÙ 11 +2 10 = 101.
215
ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÍ ÄÁÎÏ:
a = 1;
b = 1;
= 1;
d = 0:
ÁË ËÁË a +2 = 1 +2 1 = 10, ÔÏ u1 = 1 É v1 = 0. ÷×ÉÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ
b +2 d = 1 +2 0 = 01, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ: u2 = 0 É v2 = 1, ÏÔËÕÄÁ g = 1.
äÁÌÅÅ, u2 +2 v1 = 0 +2 0 = 00, Ô. Å. u3 = 0. úÎÁÞÉÔ f = 0.
îÁËÏÎÅ , u1 ∨ u3 = 1 ∨ 0 = 1, ÞÔÏ ÄÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï e = 1.
éÔÁË, 11 +2 10 = 101, ËÁË É ÏÖÉÄÁÌÏÓØ.
òÉÓÕÎÏË 9.20.
òÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.21.
a
Ïîëóáèòíûé
b
ñóììàòîð 1
e
Ïîëóáèòíûé
ñóììàòîð 3
c
Ïîëóáèòíûé
d
ñóììàòîð 2
f
g
òÉÓÕÎÏË 9.21. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ
úÁÄÁÞÁ 3. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÒÏ ÅÓÓ ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ 11 É 01
ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÏÊ ÉÚ ÒÉÓ. 9.21.
òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ui É vi ÉÆÒÙ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÙÅ ÏÌÕÂÉÔÎÙÍ ÓÕÍÍÁÔÏÒÏÍ i ÒÉ i = 1, 2 É 3. ÁË ËÁË a = 1, b = 1, = 0 É
d = 1, ÔÏ
a +2
= 1 +2 0 = 01 ⇒ u1 = 0 É v1 = 1;
216
çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
b +2 d = 1 +2 1 = 10 ⇒ u2 = 1 É v2 = 0
(ÏÔËÕÄÁ g = 0):
ÅÅÒØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÌÕÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÍÙ ÉÍÅÅÍ v1 = 1 É u2 = 1. úÎÁÞÉÔ
v1 +2 u2 = 1 +2 1 = 10 ⇒ u3 = 1 É v3 = 0
(ÏÔËÕÄÁ f = 0):
îÁËÏÎÅ ,
u1 ∨ u3 = 0 ∨ 1 = 1;
(ÏÔËÕÄÁ e = 1):
éÔÁË, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÁÑ ÓÕÍÍÁ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÁÑ ÓÕÍÍÁÔÏÒÏÍ, ÒÁ×ÎÁ 100 =
= 11 +2 01, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÉÓÔÉÎÅ.
îÁ ÒÉÓ. 9.22 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 3-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ, ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÝÅÇÏ Ä×Á ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÞÉÓÌÁ Ó ÉÆÒÁÍÉ
a, b, É d, e, f ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÕÍÍÙ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÞÅÔÙÒÅÈÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÉÆÒÁÍÉ g , h, i É j .
a
Ïîëóáèòíûé
b
ñóììàòîð
g
Ïîëóáèòíûé
ñóììàòîð
h
c
d
e
2-áèòíûé
i
ñóììàòîð
j
f
òÉÓÕÎÏË 9.22. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 3-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ
úÁÄÁÞÁ 4. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÓÈÅÍÁ ÉÚ ÒÉÓ. 9.22 ÒÁ×ÉÌØÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÕÍÍÙ:
(Á) 110 +2 011;
(Â) 101 +2 111.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ 1001 × ÓÌÕÞÁÅ (Á) É 1100 × ÓÌÕ-
ÞÁÅ (Â).
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1
1.1. ïÄÎÁ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÅÔÅÊ ÄÏÒÏÇ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ Ó
ÎÁÞÁÌÏÍ × ×ÅÒÛÉÎÅ B ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò1.1.
òÉÓÕÎÏË ò1.1.
ïÂÝÁÑ ÄÌÉÎÁ ÌÀÂÏÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÓÅÔÉ ÒÁ×ÎÁ 14.
1.2. (Á) f = 6,
(Â) f = 120.
÷ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ f = n!.
1.3. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò1.1
ÁÂÌÉ Á ò1.1
i
j
1
2
3
4
3
9
27
81
i
6= 4?
äÁ
äÁ
äÁ
îÅÔ
ðÒÉ n > 0 ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ mn .
÷ ÓÌÕÞÁÅ n = 0 ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÕÄÅÔ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÏ. âÏÌÅÅ
ÔÏÇÏ, ÒÏÈÏÄÙ ÉËÌÁ ÂÕÄÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÁÍÅÔÒÁ
ÉËÌÁ1 i.
1
äÌÑ ÕÓÔÒÁÎÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÎÅÒÉÑÔÎÏÓÔÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÕÓÌÏ×ÉÅ
. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
i < n
i
6=
n
ÎÁ
218
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
1.4. ÷ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.
áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ æÉÂÏÎÁÞÞÉ,
ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÔÒÅÔØÅÇÏ, ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ Ä×ÕÈ
ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ.
1.5. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò1.2
ÁÂÌÉ Á ò1.2
l
sum
k
0
1
4
9
16
25
36
0
1
5
14
30
55
91
1
3
5
7
9
11
13
k <
12?
äÁ
äÁ
äÁ
äÁ
äÁ
äÁ
îÅÔ
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÅÒ×ÙÈ n ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
1.6. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò1.3
ÁÂÌÉ Á ò1.3
ÔÅËÕÝÅÅ
ÒÅÂÒÏ
×ÅÓ
1
2
3
BG
DE
EF
6
5
4
4
5
6
7
8
9
10
11
AB
BC
CD
EG
FG
AF
CE
CG
3
3
3
3
3
2
2
1
õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ Ó×ÏÂÏÄÁ ×ÙÂÏÒÁ ÒÉ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÉÉ ÒÅÂÅÒ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ×ÅÓÁ. éÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÏÓÔÁÔÏË = 11 É m = 7.
ãÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÑÔØ ÒÁÚ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ ÑÔØ ÒÅÂÅÒ:
BG, DE, EF, AB É EG. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÅÔØ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. ò1.2.
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
B
219
C
3
3
G
A
1
2
D
3
2
F
E
òÉÓÕÎÏË ò1.2. íÉÎÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÅÔØ
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2
2.1.
(Ç) P ⇒ Q,
(Á) P É (ÎÅ Q),
(Â) R É P ,
(Ä) (ÎÅ P ) ⇒ (ÎÅ Q).
(×) R ⇒ P ,
2.2. (Á) (ÎÅ P ) ⇒ (ÎÅ Q).
(Â) P ÉÌÉ (ÎÅ Q).
(×) (P ÉÌÉ Q) É (ÎÅ (P É Q)).
ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌ. ò2.1.
ÁÂÌÉ Á ò2.1
P
Q
é
é
ì
ì
é
ì
é
ì
ÎÅ
ÎÅ
P
ì
ì
é
é
Q
P
ì
é
ì
é
ÉÌÉ (ÎÅ
Q
)
((ÎÅ
P
) ⇒ (ÎÅ
é
é
ì
é
))
Q
é
é
ì
é
ðÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÓÔÏÌ Á ÔÁÂÌÉ Ù ÉÄÅÎÔÉÞÎÙ, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Á) É (Â) ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ.
2.3. ÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌ. ò2.2
É ÔÁÂÌ. ò2.3. éÚ ÎÉÈ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Á) É (×) |
ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÉ.
ÁÂÌÉ Á ò2.2
P
é
ì
ÎÅ
ì
é
P
P
É (ÎÅ
ì
ì
P
)
ÎÅ (P É (ÎÅ
é
é
P
))
P
⇒ ÎÅ
ì
é
P
220
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
ÁÂÌÉ Á ò2.3
P
⇒Q
P
É (P ⇒
)
Q
(P É (P ⇒ Q)) ⇒ Q
P
Q
é
é
é
é
é
é
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
é
ì
ì
ì
é
é
é
2.4. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò2.4.
ÁÂÌÉ Á ò2.4
P
Q R P
⇒ Q (ÎÅ
é
é
é
é
ì
ì
ì
ì
é
é
ì
ì
é
é
ì
ì
é
é
ì
ì
é
é
é
é
é
ì
é
ì
é
ì
é
ì
P
)⇒R
é
é
é
é
é
ì
é
ì
Q
`
⇒ R (P ⇒ Q) ⇒ R (ÎÅ
é
ì
é
é
é
ì
é
é
P
´ `
´
)⇒R É Q⇒R
é
ì
é
é
é
ì
é
ì
é
ì
é
é
é
ì
é
ì
íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á ÓÔÏÌ Á ÔÁÂÌÉ Ù ÉÄÅÎÔÉÞÎÙ.
üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ
(P ⇒ Q) ⇒ R
É
(ÎÅ P ) ⇒ R É Q ⇒ R
ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ.
2.5. (Á) ∀ x P (x);
(Â) ∃ x : ÎÅ P (x);
(×) ∀ x ÎÅ P (x).
ïÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Â) × ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ×ÙÇÌÑÄÉÔ
ÔÁË: ∀ x P (x) (Ô. Å. ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (Á) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅÍ
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Â)).
ïÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (×) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: ∃ x : P (x). åÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÞÉÔÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÎÁÊÄÅÔÓÑ ËÏÛËÁ Ó ÕÓÁÍÉ.
2.6. ÒÅÂÕÅÍÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÞÉÔÁÅÔÓÑ ÔÁË: ÌÀÂÏÊ ÞÅÌÏ×ÅË | ×Ù-
ÓÏËÉÊ É ÔÏÌÓÔÙÊ. åÇÏ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÏ × . (×).
2.7. (Á) þÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ n É m ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ n = 2a É
m = 2b, ÇÄÅ ËÁË a, ÔÁË É b | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
n + m = 2a + 2b = 2(a + b);
ÏÔËÕÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÞÅÔÎÏÓÔØ ÓÕÍÍÙ n + m.
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
221
(Â) åÓÌÉ n | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ n = 2a + 1 ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ
ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ a. ÷ÏÚ×ÅÄÑ n ×Ï ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÅÅÎØ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ
n2 = (2a + 1)2 = 4a2 + 4a + 1 = 2(2a2 + 2a) + 1:
úÎÁÞÉÔ, n2 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. éÔÁË, ÅÓÌÉ n2 | ÞÉÓÌÏ
ÞÅÔÎÏÅ, ÔÏ É n | ÞÅÔÎÏÅ.
(×) äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ n + m | ÎÅÞÅÔÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ, Á ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ: ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ n É m Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ, Á ÄÒÕÇÏÅ ÎÅÞÅÔÎÙÍ, |
ÌÏÖÎÏ. ïÔÒÉ ÁÎÉÅ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂÁ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÌÉÂÏ ÞÅÔÎÙ, ÌÉÂÏ ÎÅÞÅÔÎÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÔÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏÔÄÅÌØÎÏ.
åÓÌÉ ËÁË m, ÔÁË É n | ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ m = 2a É n = 2b
ÄÌÑ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ a É b. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÉÈ ÓÕÍÍÁ
n + m = 2a + 2b = 2(a + b)
ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÅÔÎÏÊ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ.
ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ m É n | ÎÅÞÅÔÎÙ. ÏÇÄÁ ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ m = 2a + 1, n = 2b + 1 Ó ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ a
É b. óÌÏÖÉ× ÉÈ, ÏÌÕÞÉÍ
n + m = (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b) + 2 = 2(a + b + 1);
ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ïÑÔØ ÒÉÛÌÉ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ Ó ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅÍ.
éÔÁË, ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ × ÏÂÏÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ×ÅÄÅÔ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏ.
2.8. (Á) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÒÅÄÉËÁÔ 1 + 5 + 9 + · · · + (4n − 3) = n(2n − 1)
ÞÅÒÅÚ P (n). ðÒÉ n = 1 ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÏÓÔÏÉÔ
ÔÏÌØËÏ ÉÚ 1. ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÏÓÌÅ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ n = 1 ÔÏÖÅ
ÏËÁÖÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ 1:
n(2n − 1) = 1 · (2 · 1 − 1) = 1:
ðÏÜÔÏÍÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ P (k ) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ k > 1.
îÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ×ÌÅÞÅÔ
ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (k + 1). óÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ.
222
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
1 + · · · + 4(k + 1) − 3 = 1 + · · · + (4k − 3) + (4k + 1) =
= k (2k − 1) + (4k + 1) =
= 2k 2 + 3k + 1 =
= (k + 1)(2k + 1) =
= (k + 1) 2(k + 1) − 1 :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÓÉÌÕ ÒÉÎ ÉÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ P (n)
ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ n > 1.
(Â) úÄÅÓØ P (n) ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÒÅÄÉËÁÔ:
12 + 22 + · · · + n2 =
1
n(n + 1)(2n + 1):
6
ÁË ËÁË 12 = 1 É 16 n(n + 1)(2n + 1) =
n = 1), ÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (1) ×ÅÒÎÏ.
1
6
· 1 · 2 · 3 = 1 (ÒÉ
äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ P (k ) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÅÌÏÍ k > 1
É ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (k + 1).
12 + · · · + (k + 1)2 = 12 + · · · + k 2 + (k + 1)2 =
1
= k (k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2 =
6
1
= (k + 1) k (2k + 1) + 6(k + 1) =
6
1
= (k + 1)(2k 2 + 7k + 6) =
6
1
= (k + 1) (2k + 3)(k + 2) =
6
1
= (k + 1) (k + 1) + 1 2(k + 1) + 1 :
6
éÔÁË, Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ P (n) ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ
ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n > 1.
(×) ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ P (n) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÄÉËÁÔ
1
1
1
n
+
+ ··· +
=
:
1·3 3·5
(2n − 1) · (2n + 1)
2n + 1
åÓÌÉ n = 1, ÔÏ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ
ÒÁ×ÁÑ |
n
1
= :
2n + 1
3
1
3
, Á
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
223
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (1) | ×ÅÒÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ.
ðÕÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (k ) ÉÓÔÉÎÎÏ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ k . ÏÇÄÁ
=
=
=
1
1
1
=
+
+ ··· +
1·3 3·5
2(k + 1) − 1 2(k + 1) + 1
1
1
1
+··· +
+
=
1·3
(2k − 1)(2k + 1) (2k + 1)(2k + 3)
k
2k + 1
+
1
k (2k + 3) + 1
=
=
(2k + 1)(2k + 3)
(2k + 1)(2k + 3)
2k 2 + 3k + 1
(2k + 1)(k + 1)
k+1
=
=
:
(2k + 1)(2k + 3)
(2k + 1)(2k + 3)
2k + 3
üÔÉÍÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍÉ ÍÙ ×Ù×ÅÌÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (k +1) ÉÚ
ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÂ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P (k ). úÎÁÞÉÔ, P (n) ÉÍÅÅÔ
ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n.
(Ç) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÒÅÄÉËÁÔ: €n3 − n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3 ÞÅÒÅÚ P (n).
ÁË ËÁË 13 − 1 = 0 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (1)
ÉÓÔÉÎÎÏ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ P (k ) ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÌÏÇÏ k > 1.
ÏÇÄÁ
(k + 1)3 − (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 2k =
= (k 3 − k ) + 3k 2 + 3k:
þÉÓÌÏ k 3 − k ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3 Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ,
ÓÕÍÍÁ 3k 2 + 3k = 3(k 2 + k ) ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3. úÎÁÞÉÔ,
É (k 3 − k ) + 3k 2 + 3k ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 3. ÅÍ ÓÁÍÙÍ
ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ: P (k ) ⇒ P (k + 1),
É ××ÉÄÕ ÒÉÎ ÉÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ P (n) ×ÅÒÎÏ
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n.
(Ä) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P (n) ÒÅÄÉËÁÔ:
1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1:
ðÏÄÓÔÁ×É× × ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï n = 1, ÏÌÕÞÉÍ ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï:
1 · 1! = (1 + 1)! − 1:
224
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
úÎÁÞÉÔ, P (1) ×ÅÒÎÏ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P (k ) ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k ×ÌÅÞÅÔ ÅÏÞËÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×:
1 · 1! + 2 · 2! + · · · + (k + 1) · (k + 1)! =
= 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + k · k ! + (k + 1) · (k + 1)! =
= (k + 1)! − 1 + (k + 1)!(k + 1) =
= (k + 1)!(k + 2) − 1 = (k + 2)! − 1;
× ËÏÎ Å ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÉÔ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (k +1), ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. úÎÁÞÉÔ, P (n) ×ÅÒÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ
ÚÎÁÞÅÎÉÉ n.
2.9. x2 = 13 , x3 =
1
7
É x4 =
1
15
.
ðÕÓÔØ P (n) | ÒÅÄÉËÁÔ xn = 2n1−1 . ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ n = 1 ×
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (1). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ
P (k ) ×ÅÒÎÏ ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ k > 1. ÏÇÄÁ
xk+1 =
xk
1
xk + 2
=
2k
−1
1
2k
−1
+2
=
1
1
= k+1
:
k
1 + 2(2 − 1)
2
−1
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (k ) ×ÌÅÞÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (k + 1).
úÎÁÞÉÔ, P (n) | ×ÅÒÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ n.
2.10. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÅÒ×ÙÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ:
x3 = 2x2 − x1 = 2 · 2 − 1 = 3;
x4 = 2x3 − x2 = 2 · 3 − 2 = 4;
x5 = 2x4 − x3 = 2 · 4 − 3 = 5:
îÁÛ ÏÙÔ ÎÁ×ÏÄÉÔ ÎÁ ÍÙÓÌØ, ÞÔÏ ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÅÎ Ó×ÏÅÍÕ ÎÏÍÅÒÕ. ðÏÙÔÁÅÍÓÑ ÜÔÏ ÄÏËÁÚÁÔØ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P (n) ÒÅÄÉËÁÔ xn = n. éÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (1) É P (2)
ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ
ÍÙ ÒÏ×ÅÌÉ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (3), P (4) É P (5).
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ k > 1 ÉÓÔÉÎÎÙ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P (k − 1) É P (k ). ÏÇÄÁ
xk+1 = 2xk − xk−1 = 2k − (k − 1) = k + 1:
éÔÁË, ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P (k + 1) ÉÚ
ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÂ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P (k − 1) É P (k ). ÅÍ ÓÁÍÙÍ,
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
225
ÏÍÎÑ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ
ÒÅÄÉËÁÔ P (n) ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3
3.1. (Á) A = {10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17};
B = {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4};
C=∅
; 1 1
D = −2; 3 ;
(Â) S = {3n − 1 : n ∈ N};
T = {1=(2n − 1) : n ∈ N}.
3.2. (Á) {t};
(Ç) ∅;
(Â) {p; q; r; s; t; u};
(×) {q; r; v; w};
(Ä) {p; s};
(Å) {u; w};
(Ö) {r; v };
(Ú)
{p; r; s; u; v };
3.3. (Á) éÓÔÉÎÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ A ∪ B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ× ÓÌÏ×ÁÒÑ.
(Â) éÓÔÉÎÎÏ, ÔÁË ËÁË ÓÌÏ×Ï €ÂÁÓÓÅÊ΁ ÓÔÏÉÔ ÅÒÅÄ ÓÌÏ×ÏÍ
€ËÏÛËÁ É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × B ; ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ,
ÄÁÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï ÉÍÅÅÔ Ä×ÏÊÎÕÀ ÂÕË×Õ €Ó.
(×) ìÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ B △ C ÍÏÖÎÏ
ÚÁÉÓÁÔØ ËÁË (B ∪ C ) \ (B ∩ C ), Á ÓÌÏ×Ï €ÓÔÒÅÓӁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B , ÔÁË É C , Ô. Å. ÏÎÏ ÌÅÖÉÔ × ÉÈ
ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ.
(Ç) ìÏÖÎÏ, ÉÂÏ × ÓÌÏ×ÁÒÅ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÍÅÖÄÕ ÓÌÏ×ÁÍÉ
€ËÏÛËÁ É €ÓÏÂÁËÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÅÍÁÌÏ ÄÒÕÇÉÈ ÓÌÏ×, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÏ×Ï €ÍÙÛ؁.
(Ä) óÌÏ×Á ÓÌÏ×ÁÒÑ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÅÓÑ ÍÅÖÄÕ ÓÌÏ×ÁÍÉ €ËÏÛËÁ É
€ÓÏÂÁËÁ É ÉÍÅÀÝÉÅ Ä×ÏÊÎÕÀ ÂÕË×Õ.
(Å) ÷ÓÅ ÓÌÏ×Á ÓÌÏ×ÁÒÑ, ÎÅÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ Ä×ÏÊÎÕÀ ÂÕË×Õ.
3.4. (Á)
(i)
B;
(ii) B ∩ C ;
(iii) A ∩ B ;
(iv) C \ B .
(Â) A \ B = {3n : n ∈ Z É n > 4; É n| ÎÅÞÅÔÎÏ}.
úÁÍÅÔØÔÅ, ÅÓÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ n ËÁË 2k + 1, ÔÏ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ
×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÔÁË: A \ B = {6k + 3 : k ∈ Z É k > 2}.
3.5. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÷ÅÎÎÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò3.1.
226
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
åÓÌÉ x ∈ A ∩ (B ∪ C ), ÔÏ x ∈ A É (x ∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ C ) .
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
(x ∈ A) É (x ∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ A) É (x ∈ C ) :
éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, x ∈ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ
ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ: A ∩ (B ∪ C ) ⊂ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ).
ïÂÒÁÔÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.
B
A
B
A
C
C
BÈC
A Ç (B È C)
B
A
B
A
C
C
A Ç B - ãîðç. øòðèõîâêà
A Ç C - âåðò. øòðèõîâêà
(A Ç B) È (A Ç C)
òÉÓÕÎÏË ò3.1.
3.6. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÷ÅÎÎÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò3.2.
B
A
B
A
C
C
A Ç (B D C)
BDC
B
A
B
A
C
C
A Ç B - ãîðç. øòðèõîâêà
A Ç C - âåðò. øòðèõîâêà
(A Ç B) D (A Ç C)
òÉÓÕÎÏË ò3.2.
ìÀÂÏÊ ÎÁÂÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ× A, B É C , × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÎÅ
ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÉÚ B , ÎÅ ÉÚ C , ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÒÁ×ÅÎ-
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
227
ÓÔ×Õ A ∪ (B △ C ) = (A ∪ B ) △ (A ∪ C ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÕÓÔØ
A = {1; 2}, B = {3; 4} É C = {4; 5}. ÏÇÄÁ
B △ C = {3; 5}
É
A ∪ (B △ C ) = {1; 2; 3; 5}:
ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ,
A ∪ B = {1; 2; 3; 4};
É
A ∪ C = {1; 2; 4; 5}
(A ∪ B ) △ (A ∪ C ) = {3; 5}:
3.7. (Á) ÷ÙÏÌÎÉÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ:
(A ∩ B ) ∪ B = (A ∪ B ) ∪ B = (Ú. ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ É ÄÏÏÌÎ.)
= A ∪ (B ∪ B ) = (Ú. ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ)
= A∪B
(Ú. ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ)
(Â) ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÚÁËÏÎÁÍÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×:
(A ∩ (B ∪ C )) = A ∪ (B ∪ C ) = (Ú. ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ É ÄÏÏÌÎ.)
= A∪B∪C
(ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ Ú. ÁÓÓÏ ÉÁÔ.)
(×) ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÉÍÅÅÍ
(A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) =
= (B ∪ (A ∪ C ) ∩ B ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ):
õÞÉÔÙ×ÁÑ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔØ, ÏÌÕÞÁÅÍ
(B ∪ (A ∪ C ) ∩ B ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) =
= (B ∩ B ) ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ):
ÅÅÒØ ÒÉÍÅÎÑÅÍ ÚÁËÏÎ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ.
(B ∩ B ) ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅ ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ):
ðÏ ÚÁËÏÎÁÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á É ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÍÕ ÏÔ×ÅÔÕ:
∅ ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅:
228
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
(Ç) óÄÅÌÁÅÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ:
(A \ B ) \ C = (A ∩ B ) \ C =
(Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ €\)
= (A ∩ B ) ∩ C = (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ €\)
= A ∩ (B ∩ C ) = (××ÉÄÕ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ)
= A ∩ (B ∪ C ) = (Ï ÚÁËÏÎÕ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ)
= A \ (B ∪ C )
(Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ €\)
(Ä) õÞÉÔÙ×ÁÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ É ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÌÕÞÁÅÍ:
A △ A = (A \ A) ∪ (A \ A) =
= (A \ A) =
= A∩A=
=∅
(Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ €△)
(Ï Ú. ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ)
(Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ €\)
(Ï Ú. ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ)
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
A△A△A=A△∅=
= (A \ ∅) ∪ (∅ \ A) =
(Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ €△)
= (A ∩ ∅) ∪ (∅ ∩ A) = (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ €\)
= A∪∅=
(Ï Ú. ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ,
=A
ËÏÍÍÕÔÁÔ. É ÔÏÖÄ.)
3.8. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò3.3.
B
A
òÉÓÕÎÏË ò3.3.
(Á) ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÅÒÁ ÉÉ €∗ É ÚÁËÏÎÕ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ
ÏÌÕÞÁÅÍ:
A ∗ A = (A ∩ A) = A:
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
229
(Â) õÞÉÔÙ×ÁÑ ÒÅÄÙÄÕÝÉÊ ÕÎËÔ ÚÁÄÁÞÉ, ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÏÅÒÁ ÉÑ €∗, Á ÚÁÔÅÍ ÒÉÍÅÎÉÍ ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ É ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ.
(A ∗ A) ∗ (B ∗ B ) = A ∗ B = (A ∩ B ) = A ∪ B:
(×) áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÍÏÇÁÀÔ ÒÅÛÉÔØ É ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÕÎËÔ ÚÁÄÁÞÉ.
(A ∗ B ) ∗ (A ∗ B ) = (A ∗ B ) =
= ((A ∩ B )) =
= A ∩ B:
3.9. (Á) äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò3.4.
B
A
2
6
5
4
1
3
7
C
8
òÉÓÕÎÏË ò3.4.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÅÔËÁÍÉ 1, 2, ... , 8, ËÁË
ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ, É ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ i ÓÏÄÅÒÖÉÔ ni ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÏÇÄÁ
|A| + |B | + |C | =
= (n1 + n2 + n4 + n5 ) + (n1 + n2 + n3 + n6 )+
+ (n1 + n3 + n4 + n7 ) =
= 3n1 + 2n2 + 2n3 + 2n4 + n5 + n6 + n7 :
ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ,
|A ∩ B | + |B ∩ C | + |A ∩ C | =
= (n1 + n2 ) + (n1 + n3 ) + (n1 + n4 ) =
= 3n1 + n2 + n3 + n4 :
230
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ,
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
|A ∩ B ∩ C | = n1 :
|A| + |B | + |C |−
− |A ∩ B | − |B ∩ C | − |A ∩ C | + |A ∩ B ∩ C | =
= 3n1 + 2n2 + 2n3 + 2n4 + n5 + n6 + n7 −
− 3n1 − n2 − n3 − n4 + n1 =
= n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 =
= |A ∪ B ∪ C |;
ÞÔÏ É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ1 .
(Â) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÉÚÕÞÁÀÝÉÈ
ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ, ÞÅÒÅÚ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÓÌÕÛÁÀÝÉÈ ËÕÒÓ ÂÉÚÎÅÓÁ, Á ÞÅÒÅÚ C | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÕÄÅÎÔÏ×,
ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÈÓÑ ÔÕÒÉÚÍÏÍ. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ É ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÕÎËÔÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
|A ∪ B ∪ C | = 25 + 27 + 12 − 20 − 5 − 3 = 36:
éÔÁË, 36 ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÏÓÅÝÁÀÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ËÕÒÓ. éÚÏÂÒÁÚÉÍ ÓÈÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÔÕÄÅÎÔÏ× (ÓÍ. ÒÉÓ. 3.5).
éÚ ÎÅÅ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÔ×ÅÒÏ ÉÚ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÏÓÅÝÁÌÉ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÌÅË ÉÉ Ï ÔÕÒÉÚÍÕ.
íÏÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÂÏÌÅÅ ÁËËÕÒÁÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ
ÚÁÄÁÞÉ2 . óÌÅÄÕÑ ××ÅÄÅÎÎÙÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÍ, ÎÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C \ (A ∪ B ), ÏÓËÏÌØËÕ × ÎÅÇÏ ×ÈÏÄÑÔ ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÅ ÔÕÒÉÚÍ, ÎÏ ÎÅ
ÏÓÅÝÁÀÝÉÅ ÎÉ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ, ÎÉ ÂÉÚÎÅÓ. äÌÑ ÎÁÞÁÌÁ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï C ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×:
C = (C \ A) ∪ (C ∩ A):
ðÏÜÔÏÍÕ
1
|C | = |C \ A| + |C ∩ A|:
éÓÏÌØÚÕÑ ÜÔÏÔ ÒÉÍÅÒ ËÁË ÏÄÓËÁÚËÕ, ÏÙÔÁÊÔÅÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÔÒÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
2
ïÎÏ ÄÁÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÞÉËÏÍ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
231
B
A
20
4
0
5
C
0
3
4
òÉÓÕÎÏË ò3.5.
éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ |C | = 12 É |C ∩ A| = 5. úÎÁÞÉÔ,
|C \ A| = 12 − 5 = 7. ÅÅÒØ ÎÕÖÎÏ ÏÂÒÁÔÉÔØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ Ë
ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ C \ A ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÅ ÔÕÒÉÚÍ, ÎÏ ÎÅ ÏÓÅÝÁÀÝÉÅ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ. ïÄÎÁËÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å C \ A ÍÏÇÕÔ ÏÓÔÁÔØÓÑ
ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ËÒÏÍÅ ÔÕÒÉÚÍÁ ÉÚÕÞÁÀÔ ÅÝÅ É ÂÉÚÎÅÓ. ÷ÙÂÒÏÓÉ×
ÉÈ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÉÓËÏÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï: (C \ A) \ B . äÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ÅÇÏ
ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÒÉÍÅÎÉÍ ÔÏÔ ÖÅ ÒÉÅÍ.
(C \ A) \ B = |C \ A| − (C \ A) ∩ B :
óÁÍÏÅ ÔÒÕÄÎÏÅ ÚÄÅÓØ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (C \ A) ∩ B .
ë ÎÅÍÕ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C , ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ
B , ÎÏ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ A. îÏ Ï ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ
C , ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ B , ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ A, ÔÁË ËÁË ×ÓÅ ÔÒÉ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÂÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÉÍÅÀÔ. úÎÁÞÉÔ,
(C \ A) ∩ B = C ∩ B ⇒ (C \ A) ∩ B = C ∩ B = 3:
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ:
12 − 5 − 3 = 4:
3.10. üÌÅÍÅÎÔÙ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A × B ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ (a; b), ÇÄÅ
a ∈ A É b ∈ B . åÓÌÉ A×B = B ×A, ÔÏ ÁÒÁ (a; b) ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
A × B ÄÏÌÖÎÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ É B × A, Ô. Å. a ∈ B É b ∈ A.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a ∈ A É ÌÀÂÏÇÏ b ∈ B , ÍÙ
ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ× A = B .
íÎÏÖÅÓÔ×Ï A × C ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ (a; ), × ËÏÔÏÒÙÈ a ∈ A É ∈ C . åÓÌÉ A × B = A × C , ÔÏ (a; ) ∈ A × B ,
ÏÔËÕÄÁ ∈ B . üÔÏ ÎÁÍ ÄÁÅÔ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ: C ⊂ B . íÅÎÑÑ × ÎÁÛÅÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B É C ÍÅÓÔÁÍÉ, ÍÏÖÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ,
ÞÔÏ B ⊂ C . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, B = C .
232
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
3.11. (Á) ðÕÓÔØ x ∈ A × (B ∩ C ). ÏÇÄÁ x = (a; t); ÇÄÅ a ∈ A É
t ∈ (B ∩ C ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, t ∈ B , Ô. Å. (a; t) ∈ A × B É,
ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ, t ∈ C ⇒ (a; t) ∈ A × C . úÎÁÞÉÔ, (a; t) ∈
(A × B ) ∩ (A × C ). éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ,
A × (B ∩ C ) ⊂ (A × B ) ∩ (A × C ):
é ÎÁÏÂÏÒÏÔ. åÓÌÉ x ∈ (A × B ) ∩ (A × C ), ÔÏ x ∈ A × B É
x ∈ A × C . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x = (a; t), ÒÉÞÅÍ a ∈ A, Á t
ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÁË B , ÔÁË É C , Ô. Å. t ∈ B ∩ C . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, x ∈ A × (B ∩ C ). üÔÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ
ÏÂÒÁÔÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ: (A × B ) ∩ (A × C ) ⊂ A × (B ∩ C ):
éÚ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×.
(Â) ðÕÓÔØ x ∈ (A ∪ B ) × C . ÏÇÄÁ x = (s; ), ÇÄÅ s ∈ (A ∪ B )
É ∈ C . ðÏÓËÏÌØËÕ s | ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ, ÔÏ ÌÉÂÏ
s ∈ A, É ÔÏÇÄÁ x ∈ A × C , ÌÉÂÏ s ∈ B , Ô. Å. x ∈ B × C .
÷ ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ x ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÉÂÏ A × C , ÌÉÂÏ B × C .
úÎÁÞÉÔ, x ∈ (A × C ) ∪ (B × C ).
é ÎÁÏÂÏÒÏÔ. åÓÌÉ x ∈ (A × C ) ∪ (B × C ), ÔÏ ÏÎ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ x = (s; ) ÇÄÅ ∈ C , Á s ÌÅÖÉÔ ÌÉÂÏ
× ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A, ÌÉÂÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å B . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ,
s ∈ (A ∪ B ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, x = (s; ) ∈ (A ∪ B ) × C .
÷×ÉÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÓÔÉ x ÍÏÖÎÏ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÞÔÏ
(A × C ) ∪ (B × C ) ⊂ (A ∪ B ) × C:
éÚ Ä×ÕÈ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÕÖÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×.
3.12. (Á) P (A) = ∅; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3} .
(Â) ðÕÓÔØ C ∈ P (A) ∩ P (B ). ÏÇÄÁ C ⊂ A É C ⊂ B , ÏÜÔÏÍÕ
C ⊂ (A ∩ B ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (A) ∩ P (B ) ⊂ P (A ∩ B ).
ÅÅÒØ ×ÏÚØÍÅÍ C ∈ P (A ∩ B ). ÏÇÄÁ C ⊂ (A ∩ B ), Ô. Å.
C ⊂ A É C ⊂ B . úÎÁÞÉÔ, P (A ∩ B ) ⊂ P (A) ∩P (B ). ïÔÓÀÄÁ
×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï P (A) ∩ P (B ) = P (A ∩ B ).
(×) üÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ P (A) ∪P (B ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÌÅÖÁÝÉÅ × A, É ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÌÅÖÁÝÉÅ × B .
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (A) ∪ P (B ) ⊂ P (A ∪ B ). ïÂÒÁÔÎÏÇÏ
ÖÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÎÅÔ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ A ∪ B ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÅÌÉËÏÍ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÌÉÂÏ × A,
ÌÉÂÏ × B . ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, A = {1; 2; 3}, B = {4; 5}, Á
C = {1; 2; 5}. ÏÇÄÁ, ËÏÎÅÞÎÏ, C ∈ P (A ∪ B ), ÎÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, C 6∈ P (A) ∪ P (B ).
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
233
3.13. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ a = (1; 1; 0; 1; 1; 0). èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÒÁ×ÅÎ b = (0; 0; 1; 0; 1; 0).
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ∪ B . ïÎ
ÒÁ×ÅÎ
a ÉÌÉ (ÎÅ b) = (1; 1; 0; 1; 1; 0) ÉÌÉ (1; 1; 0; 1; 0; 1) =
= (1; 1; 0; 1; 1; 1):
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A ∪ B = {1; 2; 4; 5; 6}.
èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A △ B ÒÁ×ÅÎ
(a É (ÎÅ b)) ÉÌÉ (b É (ÎÅ a)) =
= (1; 1; 0; 1; 1; 0) É (1; 1; 0; 1; 0; 1) ÉÌÉ
ÉÌÉ (0; 0; 1; 0; 1; 0) É (0; 0; 1; 0; 0; 1) =
= (1; 1; 0; 1; 0; 0) ÉÌÉ (0; 0; 1; 0; 0; 0) =
= (1; 1; 1; 1; 0; 0):
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, A △ B = {1; 2; 3; 4}.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4
(1; a); (1; ); (2; a); (2; ); (3; b); (3; ) . çÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò4.1.
4.2. R = (1; 7); (2; 5); (3; 3); (4; 1) .
S = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (2; 1); (2; 2); (2; 3);
(2; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (4; 1); (4; 2); (5; 1) .
4.1.
T = {(n; n2 ) : n ∈ N}.
òÉÓÕÎÏË ò4.1.
234
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
4.3. (Á) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ: R = (1; 1); (1; 2);
(1; 3); (1; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4) :
(Â) çÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò4.2.
òÉÓÕÎÏË ò4.2. çÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
R
(×) íÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
é
 ì

 é
ì

é
ì
é
ì
é
ì
é
ì

é
ì 
:
é 
ì
4.4. (Á) òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ.
(Â) ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ É ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ.
(×) óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ É ÎÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ.
(Ç) òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÎÏ ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ.
4.5. (Á) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÕÍÍÁ x + y ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó y + x.
ïÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÔÁË ËÁË ÞÉÓÌÏ x + x ×ÓÅÇÄÁ ÞÅÔÎÏ.
ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÉÂÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 1+4 É 4+3 |
ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á 1 + 3 | ÞÅÔÎÏÅ.
(Â) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ ××ÉÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ x
ÞÉÓÌÏ x + x | ÞÅÔÎÏ.
÷×ÉÄÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á x + y = y + x ÏÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ.
ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÙ x + y É y + z ÂÕÄÕÔ ÞÅÔÎÙÍÉ, ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ
×ÓÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÞÅÔÎÏÓÔØ (×ÓÅ ÞÅÔÎÙÅ
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
235
ÉÌÉ ×ÓÅ ÎÅÞÅÔÎÙÅ). ÷ ÌÀÂÏÍ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÌÕÞÁÅ× ÓÕÍÍÁ x + z
ÏËÁÖÅÔÓÑ ÞÅÔÎÏÊ.
(×) üÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ××ÉÄÕ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ: xy = yx.
ïÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÉÚ ÎÅÞÅÔÎÏÓÔÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ xy É yz ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÞÅÔÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ: x, y
É z . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ xz ÔÏÖÅ ÎÅÞÅÔÎÏ.
îÏ ÏÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÔÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, 2 · 2 = 4 |
ÞÉÓÌÏ ÞÅÔÎÏÅ.
(Ç) ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ x + x2 =
= x(x + 1) | ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÄÎÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÞÅÔÎÏ.
ðÏÜÔÏÍÕ É ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÇÄÁ ÂÕÄÅÔ ÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ.
ïÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ x + xy É y + yz |
ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ÌÉÂÏ x | ÞÅÔÎÏ (ÔÏÇÄÁ É x + xz |
ÞÅÔÎÏ), ÌÉÂÏ x | ÎÅÞÅÔÎÏ (ÔÏÇÄÁ ×ÓÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ: x, y
É z | ÎÅÞÅÔÎÙ É, ÓÎÏ×Á, x + xz | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). éÔÁË,
× ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ x + xz | ÞÉÓÌÏ ÞÅÔÎÏÅ, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.
âÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÉÍÅÒÕ: 2 + 2 · 3 = 8 | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÏ
3 + 3 · 2 = 9 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ
ÎÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ.
4.6. (Á) R = (1; 9); (3; 3); (9; 1) .
(Â) S = (3; 2); (6; 4); (9; 6); (12; 8) .
(×) ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
R ∪ (1; 1); (9; 9) :
(Ç) ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ S ÓÌÕÖÉÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
S ∪ (9; 4) :
4.7. (Á) €x ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÓÔÁÒÛÅ, ÞÅÍ y .
(Â) x = 2n y ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ n.
(×) x < y (ÏÓËÏÌØËÕ ÄÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ).
(Ç) €x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÏÍËÏÍ y ÖÅÎÓËÏÇÏ ÏÌÁ.
236
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
4.8. úÁÍÙËÁÎÉÅÍ Ï ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ ÓÌÕÖÉÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÚÁÄÁÎ-
ÎÏÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÁÒÁÍÉ:
(a; a); (b; b); ( ; ); (d; d); (a; ); (a; d); (b; d); ( ; a); (d; a) :
úÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ:
(a; a); (b; b); ( ; ); (a; ); (a; d); (b; d); ( ; a); (d; a); (d; b) :
þÔÏÂÙ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÄÏÂÁ×ÉÍ
ÁÒÕ (b; a) (ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÎÁÌÉÞÉÅ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÁÒ (b; d) É (d; a)),
( ; d) (ÉÚ-ÚÁ ( ; a) É (a; d)) É (d; d) (ÔÁË ËÁË × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÕÖÅ
ÅÓÔØ ÁÒÙ (d; a) É (a; d)).
ÅÅÒØ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍ ÁÒÕ (b; ) (ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÎÏ×ÕÀ ÁÒÕ (b; a) É
ÓÔÁÒÕÀ (a; )).
éÔÁË, ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ:
(a; a); (b; b); ( ; ); (a; ); (a; d); (b; d); ( ; a); (d; a);
(b; a) ( ; d); (d; ); (d; d); (b; ) :
åÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ, ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÁÒÙ (x; y ) É (y; x), ÇÄÅ x 6= y . ëÁËÉÅ ÂÙ ÁÒÙ ÍÙ ÎÉ
ÄÏÂÁ×ÉÌÉ Ë ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ, ÍÙ ÎÅ ÓÍÏÖÅÍ ÒÅÏÄÏÌÅÔØ ÜÔÕ ÎÅÒÉÑÔÎÏÓÔØ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÔÒÏÉÔØ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏ.
4.9. (Á) ëÁÖÄÙÊ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ËÎÉÇ,
ÅÒÅÌÅÔ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ×ÅÔ.
(Â) úÄÅÓØ ÅÓÔØ Ä×Á ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ
ÞÅÔÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÅÌÙÈ
ÞÉÓÅÌ.
(×) úÄÅÓØ ÔÏÖÅ Ä×Á ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ë ÏÄÎÏÍÕ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ×ÓÅ ÖÅÎÝÉÎÙ, Á Ë ÄÒÕÇÏÍÕ | ×ÓÅ ÍÕÖÞÉÎÙ.
(Ç) ëÁÖÄÙÊ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (0; 0).
4.10. ÁË ËÁË x2 − x2 = 0 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÒÅÆÌÅË-
ÓÉ×ÎÏ.
åÓÌÉ x2 − y 2 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÔÏ y 2 − x2 = −(x2 − y 2 ) ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ
ÎÁ 3. úÎÁÞÉÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ.
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
237
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÒÁÚÎÏÓÔÉ x2 − y 2 É y 2 − z 2 ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ 3.
ÏÇÄÁ x2 − z 2 = (x2 − y 2 ) + (y 2 − z 2 ) | ÓÕÍÍÁ ÞÉÓÅÌ, ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ 3. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÎÁ ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R.
ëÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÞÉÓÌÏ 0, ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
Ï ÒÁ×ÉÌÕ: E0 = {n : n2 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3}. ÁË ËÁË n2 ËÒÁÔÎÏ
ÔÒÅÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÁÍÏ ÞÉÓÌÏ n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3,
ÔÏ E0 = {0; ±3; ±6; : : :}.
ëÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÊ 1, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
E1 = {n : n2 − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3}:
ðÏÓËÏÌØËÕ n2 − 1 = (n − 1)(n +1), ÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ: (n − 1) ÉÌÉ
(n + 1) ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 3. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n = 3m ± 1, ÇÄÅ
m | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ É, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ, E1 = {::: − 1; 1; 2; 4; 5; :::}.
éÔÁË, ××ÉÄÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á E0 ∪ E1 = Z, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ Ä×Á
ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ: E0 É E1 .
4.11. (Á) äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò4.3.
òÉÓÕÎÏË ò4.3. äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ
(Â) äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
ÄÁÎÎÏÊ ÏÄÚÁÄÁÞÉ ÉÄÅÎÔÉÞÎÁ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ
ÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÏÌØËÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍ.
1 ↔ ∅;
6 ↔ {1; 2};
2 ↔ {1};
10 ↔ {1; 3};
3 ↔ {2};
15 ↔ {2; 3};
5 ↔ {3};
30 ↔ {1; 2; 3}:
238
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
4.12. R = (a; d); (a; g ); (b; e); (b; g ); (b; h); ( ; e); ( ; g ); ( ; h);
(d; g ); (e; g ); (e; h) :
íÉÎÉÍÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ: a, b,
É f.
íÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ: f , g É h.
4.13. õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÓÉÓÏË ÓÌÏ× ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
ÂÁÎÁÎ, ÂÁÎÄÖÏ, ÂÉ×ÅÎØ, ÂÉÓË×ÉÔ, ÂÕÔÙÌËÁ .
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5
5.1. R−1 = (1; 1); (1; 3); (3; 2); (4; 2); (4; 3) .
S −1 = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 4) .
S ◦ R = (1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 1); (3; 2) .
(S ◦ R)−1 = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3) .
R−1 ◦ S −1 = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3) =
= (S ◦ R)−1 .
5.2. R−1 | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ €... ÒÅÂÅÎÏË ....
S −1 | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ €... ÂÒÁÔ ÉÌÉ ÓÅÓÔÒÁ ....
R ◦ S | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ €... ÄÑÄÑ ....
S −1 ◦ R−1 | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ €... ÌÅÍÑÎÎÉË ÉÌÉ ÌÅÍÑÎÎÉ Á ....
R ◦ R | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ €... ÂÁÂÕÛËÁ ÉÌÉ ÄÅÄÕÛËÁ ....
5.3. ÁË ËÁË R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÔÏ ÏÎÏ ÒÅÆÌÅË-
ÓÉ×ÎÏ, ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. ÷×ÉÄÕ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ R, ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÁÒÙ ×ÉÄÁ (x; x). úÎÁÞÉÔ É R−1 ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÁÒÙ, Ô. Å. R−1 | ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x R−1 y É y R−1 x. ÏÇÄÁ, Ï
ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ y R x É x R y . âÌÁÇÏÄÁÒÑ
Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ x = y , ÏÔËÕÄÁ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R−1 ÔÏÖÅ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x R−1 y É y R−1 z . ÏÇÄÁ y R x É z R y . ðÏÓËÏÌØËÕ R | ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ z R x.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x R−1 z , Ô. Å. R−1 ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ.
ðÏÄ×ÏÄÑ ÉÔÏÇ ÎÁÛÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ R−1
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ R−1 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØ-
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
239
ÎÏ ÏÒÑÄËÁ R É ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ R−1 | ÜÔÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ R.
5.4.
MN =
é ì ì
é ì é

é ì é é
 é é ì ì = é ì é é :
é é é é
ì é é é

íÁÔÒÉ Á M N ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ S ◦ R.
5.5. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÕÎËÔÏ× (Á) É (Â) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ.
ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ (×) ÆÕÎË ÉÅÊ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ 0 ∈ A ÎÅ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÎÉËÁËÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ
ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B .
ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÕÎËÔÁ (Ç) ÔÏÖÅ ÎÅ ÆÕÎË ÉÑ, ÉÂÏ ÜÌÅÍÅÎÔÕ 0 ∈ A
× ÎÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B : 3 É 7.
æÕÎË ÉÑ ÕÎËÔÁ (Á) ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË ËÁË ÏÎÁ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ
Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A (6 É 0) × ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ
ÜÌÅÍÅÎÔ 3 ∈ B . üÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ,
××ÉÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ 7 ∈ B ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÚÎÁÞÅÎÉÊ.
æÕÎË ÉÑ ÕÎËÔÁ (Â) É ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, Ô. Å. ÏÎÁ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ.
5.6. (Á) åÓÌÉ f (a1 ) = f (a2 ), ÔÏ 2a1 + 1 = 2a2 + 1, ÏÔËÕÄÁ a1 = a2 .
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ó ÄÒÕÇÏÊ
ÓÔÏÒÏÎÙ, ÆÕÎË ÉÑ f ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÚÎÁÞÉÔ, f | ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ.
(Â) æÕÎË ÉÑ g ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, g (4) =
= g (1) = 2. äÁÌÅÅ, ÔÁË ËÁË g (2m) = m, ÇÄÅ m | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÉÉ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ Z. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ
g | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ.
(×) ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ h(n) | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÅÓÌÉ
n | ÞÅÔÎÏ, É ÞÅÔÎÏÅ, ÅÓÌÉ n | ÎÅÞÅÔÎÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÅÓÌÉ h(a1 ) = h(a2 ), ÔÏ ÌÉÂÏ a1 + 1 = a2 + 1, ÌÉÂÏ a1 − 1 =
= a2 − 1. ÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: a1 = a2 .
ðÏÜÔÏÍÕ h | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ.
åÓÌÉ m | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÞÉÓÌÏ m − 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ
É, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÆÕÎË ÉÉ h,
h(m − 1) = (m − 1) + 1 = m:
240
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
åÓÌÉ ÖÅ m | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ m + 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÎÅÞÅÔÎÙÍ É
h(m + 1) = (m + 1) − 1 = m:
üÔÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ËÁËÏ×Ï ÂÙ ÎÉ ÂÙÌÏ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ m, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ n (ÒÁ×ÎÏÅ (m − 1)
ÉÌÉ (m + 1)), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ h(n) = m. úÎÁÞÉÔ, h | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ.
5.7. çÒÁÆÉËÉ ÆÕÎË ÉÊ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò5.1.
(Á) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ
{n2 + 1 : n ∈ Z} = {1; 2; 5; 10; : : :}:
ÁË ËÁË f (−1) = f (1) = 2, ÏÎÁ ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. âÏÌÅÅ
ÔÏÇÏ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ f (x) = 3 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ f ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ.
(Â) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ g ÒÁ×ÎÏ
{2; 4; 8; 16; : : : }:
ðÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ g (a) = g (b) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ 2a = 2b ,
ËÏÔÏÒÏÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÒÁ×ÎÙÈ a É b. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, g | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ïÄÎÁËÏ ÏÎÁ ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ g (x) = 3 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ.
(×) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ h ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ R.
åÓÌÉ h(a) = h(b), ÔÏ 5a − 1 = 5b − 1, Ô. Å. a = b. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, h | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. á ÔÁË ËÁË h ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÌÀÂÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÔÏ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É
ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ.
(Ç) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ j ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ R. ÁË ËÁË j (−1) = j ( 32 ) = 0, j | ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. åÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÅÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ.
(Ä) ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ k ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ ÌÀÂÏÅ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÎÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ k ÎÅ
ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÏÎÁ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ, ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x1 < 0 É x2 < 0 ÉÍÅÅÔ
ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: k (x1 ) = k (x2 ) = 0.
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
á
â
ã
,
ä
å
òÉÓÕÎÏË ò5.1.
, åñëè x > 1
åñëè x < 1
241
242
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
(Å) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ l | ×ÓÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÎÁ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ.
åÓÌÉ x > 0, ÔÏ l(x) = x > 0, Á ÒÉ x < 0 l(x) = 3x < 0.
úÎÁÞÉÔ, × ÓÌÕÞÁÅ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ l(a) = l(b) ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ a É b ÂÕÄÕÔ ÉÍÅÔØ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÚÎÁË.
åÓÌÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ, ÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ l ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ: a = b. åÓÌÉ
ÖÅ a < 0 É b < 0, ÔÏ l(a) = l(b) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ,
ËÏÇÄÁ 3a = 3b; ÏÔËÕÄÁ a = b. éÔÁË, × ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ l(a) = l(b) ×ÌÅÞÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a = b, Ô. Å. l |
ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ.
j
k
2
2
(−1) +1
=
= 0: áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, f (0) = 0,
5.8. (Á) f (−1) =
3
3
f (1) = 0 É f (2) = 1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÆÕÎË ÉÉ f | ÜÔÏ {0; 1}.
(Â) æÕÎË ÉÑ g ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, g (0) =
= g (1) = 0. ïÄÎÁËÏ ÏÎÁ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ
2n
g (2n) =
= n;
2
ÇÄÅ n | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ.
5.9. åÓÌÉ f (a) = f (b), ÔÏ 1+ a2 = 1+ 2b , ÞÔÏ ×ÌÅÞÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a = b.
üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÆÕÎË ÉÉ g . õÒÁ×ÎÅÎÉÅ f (x) = y
2
ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ 1 + x2 = y , ÏÔËÕÄÁ x = y−
. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ
1
×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ y = 1, ËÏÔÏ-
ÒÏÅ ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ. ðÏ ÌÀÂÏÍÕ ÖÅ
ÄÒÕÇÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ x, ËÏÔÏÒÙÊ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ÜÔÏÔ ÜÌÅÍÅÎÔ ÆÕÎË ÉÅÊ f . úÎÁÞÉÔ, f |
ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ.
íÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ f ËÁË ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ. ïÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÎÅÊ ÆÕÎË2
.
ÉÑ f −1 : B −→ A ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f −1 (x) = x−
1
(2x + 1)2 ; ÅÓÌÉ x > 0;
5.10. (f ◦ g )(x) = f (g (x)) =
x2 ;
ÅÓÌÉ x < 0;
(g ◦ f )(x) = g (f (x)) = 2x2 + 1;
g (2x + 1); ÅÓÌÉ x > 0;
(g ◦ g )(x) = g (g (x)) =
g (−x);
ÅÓÌÉ x < 0:
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
243
åÓÌÉ x > 0, ÔÏ 2x + 1 > 1 É ÏÜÔÏÍÕ
g (2x + 1) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3:
åÓÌÉ x < 0, ÔÏ −x > 0. úÎÁÞÉÔ, g (−x) = 2(−x) + 1 = 1 − 2x:
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
4x + 3; ÅÓÌÉ x > 0;
(g ◦ g )(x) =
1 − 2x; ÅÓÌÉ x < 0:
5.11. (Á) òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ) ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÉÓÁÔØ ×
ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÏÍ ×ÉÄÅ: g (f (a1 )) = g (f (a2 )). ÷×ÉÄÕ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ g ÉÚ ÎÅÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ f (a1 ) = f (a2 ).
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, f | ÔÏÖÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. úÎÁÞÉÔ,
a1 = a2 . äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, g ◦ f | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË-
ÉÑ.
(Â) ðÕÓÔØ ∈ C . ÁË ËÁË g | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ b ∈ B , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ g (b) = . äÌÑ ÜÔÏÇÏ
b, ËÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f , ÏÔÙÝÅÔÓÑ
ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ A, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ f (a) = b. ðÒÏÕÓËÁÑ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÁÅÍ ×Ù×ÏÄ: ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
∈ C ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ A, ÞÔÏ g (f (a) = , ÞÔÏ
ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ g ◦ f .
(×) ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ f (a) = b É g (b) = . ÏÇÄÁ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÆÕÎË ÉÊ (g ◦f )(a) = . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
(g ◦ f )−1 ( ) = a. îÏ f −1 (b) = a É g −1 ( ) = b. ðÏÜÔÏÍÕ
(f −1 ◦ g −1 )( ) = f −1 (g −1 ( )) = f −1 (b) = a:
íÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ
ÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
∈ C ÉÍÅÅÔ ÍÅ-
(g ◦ f )−1 ( ) = (f −1 ◦ g −1 )( );
ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
5.12. (Á) îÁ ÉÇÒÁÌØÎÏÊ ËÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ×ÙÁÓÔØ ÏÄÎÏ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÞÉ-
ÓÅÌ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÂÒÏÓÁÑ ËÏÓÔØ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ
ÛÅÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ, ÂÒÏÓÁÑ ËÏÓÔØ ÓÅÍØ
ÒÁÚ, ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÞÉÓÌÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÒÁÚÁ.
(Â) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÁÒ ÏÞËÏ×,
ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÁÄÁÀÔ ÎÁ Ä×ÕÈ ÉÇÒÁÌØÎÙÈ ËÏÓÔÑÈ. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÖÅ ÜÔÉÈ ÁÒ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÂÒÏÓÁÎÉÊ ËÏÓÔÅÊ. ðÕÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B = {2; 3; 4; : : : ; 12} ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÕÍÍ ÏÞËÏ× ÎÁ ÁÒÅ ËÏÓÔÅÊ.
244
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÁÒÅ ÏÞËÏ× ÉÈ ÓÕÍÍÕ. âÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ |A| > |B |, ÔÏ ËÁËÁÑ-ÔÏ ÉÚ ÓÕÍÍ
×ÙÁÄÅÔ Ä×ÁÖÄÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ 12 ÂÒÏÓÁÎÉÊ ËÏÓÔÅÊ ÏÄÎÁ ÉÚ ÓÕÍÍ ÏÞËÏ× ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ Ä×ÁÖÄÙ.
(×) ÷ ÉÇÒÁÌØÎÙÈ ËÁÒÔÁÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÅÔÙÒÅ ÍÁÓÔÉ: ÔÒÅÆÙ,
ÉËÉ, ÂÕÂÎÙ É ÞÅÒ×Ù. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÙÔÁÝÉ× ÑÔØ ËÁÒÔ
ÉÚ ËÏÌÏÄÙ, ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ, ÞÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ÉÚ
ÎÉÈ ÏÄÎÏÊ ÍÁÓÔÉ.
(Ç) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÙÔÁÝÅÎÎÙÈ ËÁÒÔ, Á ÞÅÒÅÚ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÅÔÙÒÅÈ ËÁÒÔÏÞÎÙÈ ÍÁÓÔÅÊ. ðÕÓÔØ
ÆÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÖÄÏÊ ×ÙÔÁÝÅÎÎÏÊ ËÁÒÔÅ ÅÅ ÍÁÓÔØ. éÚ ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÇÏ ÒÉÎ ÉÁ äÉÒÉÈÌÅ
ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÉ |A| > 3|B | ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅ
ÍÅÎÅÅ ÞÅÔÙÒÅÈ ËÁÒÔ ÏËÁÖÕÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÍÁÓÔÉ. ðÏÌÕÞÁÅÍ
ÏÔ×ÅÔ: ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÔÁÝÉÔØ 13 ËÁÒÔ.
5.13. (Á)
ðÕÓÔØ A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÅÍÅÊ, ÒÏÖÉ×ÁÀÝÉÈ × ÓÅÌÅ, Á
B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒ ÍÅÓÑ Å×. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B , ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÖÄÏÊ
ÓÅÍØÅ ÁÒÕ ÍÅÓÑ Å×, × ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÄÉÌÉÓØ ÉÈ ÄÅÔÉ.
÷ ÇÏÄÕ ×ÓÅÇÏ 12 ÍÅÓÑ Å×, ÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ
ÁÒ ÍÅÓÑ Å× ÒÁ×ÎÏ 12 · 12 = 144. ÷ Ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ ÉÚ ÎÉÈ ×ÈÏÄÉÔ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÍÅÓÑ Á, Á × 132 ÏÓÔÁÌØÎÙÈ
ÁÒÁÈ | ÍÅÓÑ Ù ÒÁÚÎÙÅ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÒÅÓÔÁ×É× ÉÈ × ÁÒÅ, ÍÙ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÏÌÕÞÉÍ ÄÒÕÇÕÀ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ÁÒÕ
ÍÅÓÑ Å×, ÎÏ ÄÌÑ ÎÁÛÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÏÒÑÄÏË ÍÅÓÑ Å× × ÁÒÅ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÍÅÓÑ Å×, Ô. Å. ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B , ÒÁ×ÎÁ
|B | = 12 +
132
= 78:
2
ÁË ËÁË |A| = 79, Á |B | = 78, ÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÎ ÉÕ
äÉÒÉÈÌÅ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ä×Å ÓÅÍØÉ, ÄÅÔÉ × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÄÉÌÉÓØ
× ÏÄÎÉ É ÔÅ ÖÅ ÍÅÓÑ Ù.
(Â) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÔÅÊ, Á ÞÅÒÅÚ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A → B ,
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÒÅÂÅÎËÕ ÅÒ×ÕÀ ÂÕË×Õ ÅÇÏ ÉÍÅÎÉ. ðÏ
ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ |A| = 2 · 79 = 158. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ,
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ, Ó ËÏÔÏÒÙÈ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉ
ÍÏÖÅÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ ÉÍÑ ÒÅÂÅÎËÁ, | 31 (ÍÙ ×ÙÂÒÏÓÉÌÉ
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
245
ÚÎÁËÉ: €ÿ É €ø, Ó ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ ÎÉ ÏÄÎÏ ÓÌÏ×Ï). úÎÁÞÉÔ, |B | = 31. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, |A| > 5|B |,
ÞÔÏ, ××ÉÄÕ ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÇÏ ÒÉÎ ÉÁ äÉÒÉÈÌÅ, ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÎÁÍ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ 6 ÄÅÔÅÊ × ÓÅÌÅ,
ÉÍÅÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù.
5.14. (Á) ÷ÙÉÛÅÍ ÁÒÙ ÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÄÁÀÝÉÈ ×
ÓÕÍÍÅ ÞÉÓÌÏ 22: {2; 20}, {4; 18}, {6; 16}, {8; 14}, {10; 12}.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ
ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , Á ÞÅÒÅÚ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ
×ÙÛÅ ÁÒ. ðÕÓÔØ ÆÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔ-
ÓÔ×ÉÅ ×ÙÂÒÁÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÔÕ ÁÒÕ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎÏ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ. îÁÒÉÍÅÒ, f (6) = {6; 16}. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÉÎ É
äÉÒÉÈÌÅ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ |A| > |B |, ÔÏ
ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ä×Á ÞÉÓÌÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ f × ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÁÒÕ. á ÜÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ,
ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Á ÞÉÓÌÁ Ó ÓÕÍÍÏÊ, ÒÁ×ÎÏÊ 22. ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ |B | = 6. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÚÑÔØ 6 ÞÉÓÅÌ.
(Â) óÌÅÄÕÑ ÕËÁÚÁÎÉÀ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S , É ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ.
÷ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ 10 ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÏ 19. îÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ S | ÜÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ 1, 3, 5, 7 ÉÌÉ 9.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ B ÆÕÎË ÉÉ f ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S .
ðÕÓÔØ A | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × S , ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ |
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ 11 ÞÉÓÅÌ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A → B ,
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÞÉÓÌÕ n ∈ A ÅÇÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ
ÄÅÌÉÔÅÌØ. ÁË ËÁË |B | = 10, ÔÏ Ï ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ
ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Á ÞÉÓÌÁ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÕÄÅÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÉÈ ÞÅÒÅÚ n É m.
ÏÇÄÁ n = 2i b, ÇÄÅ b | ÎÅÞÅÔÎÏ1 , Á i = 0; 1; 2; 3; 4. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, m = 2j b, ÇÄÅ j = 0; 1; 2; 3; 4. åÓÌÉ i > j , ÔÏ
1
äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÌÁ n ÒÁ×ÅÎ b. ÏÇÄÁ
ÞÉÓÌÏ n′ = n=b | ÅÌÏÅ. åÓÌÉ n′ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÅ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÏÔÌÉÞÎÏÅ
ÏÔ 1, ÓËÁÖÅÍ, ÎÁ k, ÔÏ É ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÞÉÓÌÏ n ÂÕÄÅÔ ÎÁ ÎÅÇÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ,
ÞÉÓÌÏ n ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ kb, ËÏÔÏÒÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÙÍ. üÔÏ
ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ b ÓÒÅÄÉ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÞÉÓÌÁ n. úÎÁÞÉÔ, n′ =
= n=b ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ, ÏÔÌÉÞÎÏÇÏ ÏÔ 1. ðÏÜÔÏÍÕ
′
i
n = 2 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ i. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× .
246
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
m ÄÅÌÉÔ n. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÞÉÓÌÏ n ÄÅÌÉÔ m. ÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ 11 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÁÄÅÔÓÑ ÁÒÁ ÞÉÓÅÌ,
ÏÄÎÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÉÔ ÄÒÕÇÏÅ.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6
6.1. (Á) ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ 5 · 8 · 7 = 280
ÒÁÚÎÙÈ ËÏÓÔÀÍÏ×.
(Â) öÅÎÝÉÎÁ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ 5 · 3 = 15 ÒÁÚÎÙÈ ÎÁÒÑÄÏ× ÉÚ
ÑÔÉ ÀÂÏË É ÔÒÅÈ ÂÌÕÚÏË. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÇÏ
ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÓÍÅÎÉÔØ ÂÌÕÚËÕ É ÀÂËÕ ÎÁ ÌÁÔØÅ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ï ÒÁ×ÉÌÕ ÓÕÍÍÙ Õ ÎÅÅ ÅÓÔØ 15 + 6 = 21
×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÓÍÅÎÙ ÎÁÒÑÄÏ×.
(×) õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ ÛÅÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÓÅÒÔÏ× ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÏÒ ÉÉ
ÍÏÒÏÖÅÎÏÇÏ, 6·6 = 36 ÄÅÓÅÒÔÏ× ÉÚ Ä×ÕÈ ÏÒ ÉÊ É 63 = 216
ÉÚ ÔÒÅÈ. üÔÏ ÄÁÅÔ ×ÓÅÇÏ 6 + 36 + 216 = 258 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ
ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÄÅÓÅÒÔÁ.
6.2. (Á) ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 10 ÉÆÒ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 É 9.
ïÄÎÁËÏ × ÓÔÁÒÛÅÍ ÒÁÚÒÑÄÅ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,
ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÏÇÏ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÁ) ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÉÆÒÁ 0.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 9 · 102 = 900 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ
ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÅÒ×ÙÈ ÔÒÅÈ ÉÆÒ ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÏÇÏ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÁ. ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÅÇÏ ÉÆÒÙ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ
Ï ÅÒ×ÙÍ ÔÒÅÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 900
ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÙÈ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÅÊ.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ É ÄÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ÓÅÍÉÚÎÁÞÎÙÈ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÅÊ. îÏ ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÄÏÂÁ×É× × ÓÅÒÅÄÉÎÕ ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÏÇÏ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÉÆÒÕ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÓÅÍÉÚÎÁÞÎÙÊ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÔ×ÅÔ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ:
900 · 10 = 9000.
(Â) îÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÒÁ×Á Õ ÔÁËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÅÔ ÓÔÏÑÔØ 1,
3 ÉÌÉ 5. ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÒÁÚÒÑÄÙ ÍÏÖÎÏ ÚÁÏÌÎÑÔØ ÌÀÂÙÍÉ
ÎÅÞÅÔÎÙÍÉ ÉÆÒÁÍÉ (ÉÈ ×ÓÅÇÏ 5). ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
3 · 53 = 375 ÞÅÔÙÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÈ
6000, × ÞØÅÊ ÚÁÉÓÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÌØËÏ ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÉÆÒÙ.
(×) õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 262 = 676 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÅÒ×ÙÈ
Ä×ÕÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÁÒÏÌÑ. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÞÅÔÙÒÅÈ
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
247
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎ ÉÚ 36 ÓÉÍ×ÏÌÏ× (26 ÂÕË× É 10 ÉÆÒ).
üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ 364 = 1 679 616 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 676·1 679 616 = 1 135 420 416 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÁÒÏÌÅÊ.
6.3. (Á) îÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÔÁËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÌÀÂÁÑ ÉÚ
ÞÅÔÙÒÅÈ ÉÆÒ (1, 2, 3, É 6), Á ÎÁ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ | ÌÀÂÁÑ
ÉÚ ÑÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ 4 · 53 = 500
ÞÉÓÅÌ.
(Â) ðÅÒ×ÙÊ ÚÎÁË ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ. ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÔÒÉ ÚÎÁËÁ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ×ÙÂÏÒËÕ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÔÒÅÈ ÏÂßÅËÔÏ× ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ
×ÏÚÍÏÖÎÙÈ (ÏÄÎÏÇÏ 0 É ÔÒÅÈ ÎÅ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÎÙÈ ÅÝÅ
ÉÆÒ). ÷ÓÅÇÏ ÔÁËÉÈ ×ÙÂÏÒÏË | 4 · 3 · 2 = 24. úÎÁÞÉÔ,
4 · 24 = 96 ÞÉÓÅÌ ÉÚ S ÎÅ ÉÍÅÀÔ × Ó×ÏÅÊ ÚÁÉÓÉ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÉÆÒ.
(×) þÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÍÏÖÅÔ ÏËÁÎÞÉ×ÁÔØÓÑ ÉÆÒÁÍÉ: 0, 2 ÉÌÉ 6. åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ ÒÁ×ÎÁ 0, ÔÏ ÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ 4 · 3 · 2 = 24 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. åÓÌÉ
ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ | 2 ÉÌÉ 6, ÔÏ (ÔÁË ËÁË ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÍÏÖÅÔ
ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó 0) ÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ 3 · 3 · 2 = 18
ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ ÓÕÍÍÙ ÓÒÅÄÉ ÞÉÓÅÌ ÕÎËÔÁ (Â)
ÒÏ×ÎÏ 24 + 18 + 18 = 60 ÞÅÔÎÙÈ.
(Ç) þÔÏÂÙ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÕÎËÔÁ (Â) ÂÙÌÏ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ 4 000, ÏÎÏ
ÄÏÌÖÎÏ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó 4, 5 ÉÌÉ 6. ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÞÉÓÌÁ ÉÚ ÉÆÒ 0, 1, 2, 3, É 6. úÎÁÞÉÔ, ÎÕÖÎÙÅ
ÎÁÍ ÞÉÓÌÁ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó 6. ïÓÔÁÌØÎÙÅ 3 ÉÆÒÙ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÉÓÁÔØ 4 · 3 · 2 = 48 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. úÎÁÞÉÔ, 48 ÞÉÓÅÌ,
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ . (Â), ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÔ 4 000.
6.4. (Á) P (7; 2) = 42, P (8; 5) = 6 720, P (6; 4) = 360, P (n; 1) = n
É P (n; n − 1) = n!:
(Â) C (10; 7) = 120, C (9; 2) = 36, C (8; 6) = 28,
C (n; 1) = C (n; n − 1) = n.
þÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ k ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ n, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ n − k
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ n. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÔÂÉÒÁÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÌÉÂÏ ×ÚÑÔØ ÎÕÖÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï, ÌÉÂÏ ×ÙÂÒÏÓÉÔØ ÌÉÛÎÅÅ.
ðÏÜÔÏÍÕ C (n; k ) = C (n; n − k ).
248
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
ÉÚ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ:
C (n; n − k ) =
n!
n!
=
= C (n; k ):
(n − (n − k ))!(n − k )!
k !(n − k )!
6.5. (Á) ðÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÒÉÚÅÒÏ× ÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ, Á Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ ÚÁÒÅÝÅÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ P (17; 3) = 4080
×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÉÚÏ×ÙÈ ÍÅÓÔ.
(Â) úÄÅÓØ, ËÁË É × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ, ÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ É Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ ÚÁÒÅÝÅÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ
P (20; 2) = 380 ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌÑ É ÓÅËÒÅÔÁÒÑ ËÏÍÉÔÅÔÁ.
(×) ðÒÉÄÕÍÙ×ÁÑ ÁÒÏÌØ, ÎÁ ÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÍÅÓÔÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÓÔÒÏÞÎÙÅ ÂÕË×Ù. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ
P (26; 2) = 650 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ Ä×Å ÂÕË×Ù ÄÌÑ ÎÁÞÁÌÁ ÁÒÏÌÑ, Õ ÎÁÓ ÏÓÔÁÌÏÓØ 10
ÉÆÒ É 24 ÂÕË×Ù ÄÌÑ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÁÒÏÌÑ, ÏÓËÏÌØËÕ
ÓÉÍ×ÏÌÙ × ÎÅÍ ÎÅ ÍÏÇÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ. úÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ ÁÒÏÌÑ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ P (34; 4) = 1 113 024 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ï ÒÁ×ÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÍÙ
ÍÏÖÅÍ ÎÁÉÓÁÔØ 650 · 1 113 024 = 723 465 600 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÁÒÏÌÅÊ.
6.6. (Á)
ðÏÒÑÄÏË ÏÔÂÏÒÁ ÉÇÒÏËÏ× × ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÓÏÓÔÁ× ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ
ÉÍÅÅÔ É Ï×ÔÏÒÙ ÎÅ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ
C (18; 11) = 31 824 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ
ÓÏÓÔÁ×Á ËÏÍÁÎÄÙ.
(Â) öÅÎÓËÕÀ ÞÁÓÔØ ÖÀÒÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ C (8; 5) = 56
ÓÏÓÏÂÁÍÉ, Á ÍÕÖÓËÕÀ | C (11; 7) = 330 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 56 · 330 = 18 480 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÓÏÓÔÁ×Ï× ÖÀÒÉ.
(×) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (5; 3) = 10 ÓÏÓÏÂÏ× ÏÔÏÂÒÁÔØ ÔÒÅÈ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÉÇÒÏËÏ× É C (5; 1) = 5 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ
×ÙÂÏÒÁ ÌÀÂÉÔÅÌÑ. üÔÏ ÄÁÅÔ 10 · 5 = 50 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ, × ËÏÔÏÒÙÅ ×ÈÏÄÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÌÀÂÉÔÅÌØ. þÉÓÌÏ
×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× ÒÁ×ÎÏ C (5; 4) = 5.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÂÒÁÔØ 5 ÌÀÂÉÔÅÌØÓËÉÈ ËÏÍÁÎÄ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 5 + 5 = 10 ËÏÍÁÎÄ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ
ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ.
6.7. (Á)
íÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ C (12; 3) = 220 ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×.
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
249
(Â) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (8; 3) = 56 ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ×
ÓÅÂÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ìÉÂÅÒÁÌ-äÅÍÏËÒÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÁÒÔÉÉ.
ÁË ËÁË ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ 220 ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÂÅÚ ËÁËÉÈ-ÌÉÂÏ
ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×, ÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ×
ËÏÔÏÒÙÅ ×ÈÏÄÉÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÌÉÂÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔ, ÒÁ×ÎÏ
220 − 56 = 164.
(×) ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, × ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØ ÁÒÔÉÉ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÏ×, ÒÁ×ÎÏ C (9; 3) = 84. åÓÌÉ × ËÏÍÉÔÅÔ ÎÅ ×ÈÏÄÑÔ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÙ, ÔÏ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ
C (7; 3) = 35 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ. ÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 84 + 35 = 119 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×.
ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÄÓÞÅÔÅ ËÏÍÉÔÅÔÙ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÌÉÂÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔÏ×, ÍÙ ÕÞÉÔÙ×ÁÌÉ Ä×ÁÖÄÙ. éÈ
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁ×ÎÏ C (4; 3) = 4. ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 115 ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ.
(Ç) íÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ C (5; 2) · C (3; 1) = 10 · 3 = 30 ËÏÍÉÔÅÔÏ×,
ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ Ä×ÕÈ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÏ× É ÏÄÎÏÇÏ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÁ,
C (5; 1) · C (3; 2) = 15 ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ
ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÁ É Ä×ÕÈ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÏ×. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ
C (5; 1)·C (3; 1)·C (4; 1) = 60 ËÏÍÉÔÅÔÏ×, × ËÏÔÏÒÙÅ ×ÈÏÄÑÔ
ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ×ÓÅÈ ÁÒÔÉÊ. üÔÏ ÄÁÅÔ ÎÁÍ 30 + 15 + 60 =
= 105 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ.
6.8. (Á) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (8; 2) · C (5; 2) · C (3; 2) = 840 ÒÁÚÎÙÈ ÓÏÓÔÁ-
×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÑ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÅ ÒÉÇÌÁÛÅÎÙ Ï Ä×Á ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑ ÏÔ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÔÄÅÌÁ.
(Â) åÓÌÉ × ÓÏ×ÅÝÁÎÉÉ ÎÅ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (8; 6) = 28 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÓÏÚÙ×Á ÓÏ×ÅÝÁÎÉÑ. åÓÌÉ × ÓÏ×ÅÝÁÎÉÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÉÎ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
C (8; 1) · C (8; 5) = 448
×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÅÇÏ 28 + 448 = 476 ÒÁÚÎÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ ×ËÌÀÞÁÀÔ × ÓÅÂÑ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ
Ä×ÏÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á. ÁË ËÁË ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï
ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÎÁÌÏÖÅÎÙ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ, ÒÁ×ÎÏ C (16; 6) = 8 008, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 7 532 ÔÒÅÂÕÅÍÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï×.
(×) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ U ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ.
ëÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ . ÚÁÄÁÞÉ, ÅÇÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ
250
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
ÒÁ×ÎÁ |U | = 8 008: ðÕÓÔØ X | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÏÔÄÅÌÏ×. ÷ ÜÔÏÍ . ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X . ïÄÎÁËÏ, ÏÓÌÅ ÚÒÅÌÏÇÏ
ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÑ, ÍÏÖÎÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÒÏÝÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÅÇÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ x = U \ X , ÏÔËÕÄÁ ÌÅÇËÏ ÂÕÄÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÔ×ÅÔ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ×ËÌÀÞÁÅÔ ×
ÓÅÂÑ ÓÏÓÔÁ×Ù ÔÅÈ ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌÉ
ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÏÔÄÅÌÏ×.
ðÕÓÔØ A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ
ÎÅ ÒÉÇÌÁÓÉÌÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×ÅÎÎÉËÏ×, B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ ÂÅÚ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÏÔÄÅÌÁ ÓÂÙÔÁ É,
ÎÁËÏÎÅ , C | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÂÙÌÏ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÏ×. ïÞÅ×ÉÄÎÏ,
X = A ∪ B ∪ C:
íÙ ÕÖÅ ÕÍÅÅÍ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÔÒÅÈ
ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÓÍ. ÓÔÒ. 60). ðÒÉÍÅÎÉÍ ÎÁÛÉ ÚÎÁÎÉÑ
Ë ÜÔÏÊ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ.
|X | = |A ∪ B ∪ C | =
= |A| + |B | + |C |−
− |A ∩ B | − |A ∪ C | − |B ∩ C | + |A ∩ B ∩ C |:
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÈ × ÆÏÒÍÕÌÅ, ÏÔÄÅÌØÎÏ:
|A| = C (8; 6) = 28;
|B | = C (11; 6) = 462;
|C | = C (13; 6) = 1 716:
íÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∩ B ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÓÏÓÔÁ×Ù ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ,
ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÇÌÁÓÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÏ×. îÏ × ÓÏ×ÅÝÁÎÉÉ ÄÏÌÖÎÙ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÕÞÁÓÔÉÅ 6 ÞÅÌÏ×ÅË, Á ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÏ× | ×ÓÅÇÏ ÔÒÏÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A∩B = ∅ É |A∩B | = 0.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, A ∩ C ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÅÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ,
ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÔÏÌØËÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ÏÔÄÅÌÁ ÓÂÙÔÁ. ÷×ÉÄÕ ÍÁÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ ÔÁËÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ,
ÉÍÅÅÍ: |A ∩ C | = 0.
îÅÕÓÔÙÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ B ∩ C , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÙÌÉ ÔÏÌØËÏ
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
251
ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×ÅÎÎÉËÉ. ðÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÉ ÉÍÅÅÍ:
|B ∩ C | = C (8; 6) = 28:
ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ A ∩ B ∩ C = ∅, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, A ∩ B = ∅. éÔÁË,
|X | = |A ∪ B ∪ C | =
= 28 + 462 + 1 716 − 28 = 2 178:
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
|X | = |U | − |X | = 5 830:
6.9. (Á) ëÁÖÄÙÊ ÚÁËÁÚ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ
×ÙÂÏÒËÕ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÛÅÓÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÑÔÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÉÏ×. éÈ ÞÉÓÌÏ ÒÁ×ÎÏ C (n + k − 1; n − 1), ÇÄÅ n = 5 É
k = 6. úÎÁÞÉÔ, ÏÆÉ ÉÁÎÔ ÍÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ C (10; 4) = 210
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÁËÁÚÏ×.
(Â) ëÁÖÄÙÊ ÂÕËÅÔ | ÜÔÏ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ 12 ÒÏÚ Ó
Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÞÅÔÙÒÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÉÏ×. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ C (4 + 12 − 1; 4 − 1) = C (15; 3) = 455 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÕËÅÔÁ.
6.10. (Á) îÁÂÏÒ ÏÔËÒÙÔÏË | ÜÔÏ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ Ó Ï-
×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÑÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÞÅÔÙÒÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÉÏ×.
ðÏÜÔÏÍÕ ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ
C (4 + 5 − 1; 4 − 1) = C (8; 3) = 56
ÎÁÂÏÒÏ× ÏÔËÒÙÔÏË.
(Â) ÷ÙÂÒÁÔØ Ä×Á ÔÉÁ ÏÔËÒÙÔÏË ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÛÅÓÔØÀ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÏÓËÏÌØËÕ C (4; 2) = 6. ðÒÉ ËÁÖÄÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÓÄÅÌÁÔØ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ×ÙÂÏÒËÕ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÑÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÔÉÏ×.
üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ
C (2 + 5 − 1; 2 − 1) = C (6; 1) = 6
ÓÏÓÏÂÁÍÉ.
èÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÔÅÅÒØ ÅÒÅÍÎÏÖÉÔØ ÛÅÓÔØ ÎÁ ÛÅÓÔØ É ÏÌÕÞÉÔØ ÏÔ×ÅÔ. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÓÅÛÎÏÍ ÒÅÛÅÎÉÉ ÌÅÇËÏ ÄÏÕÓÔÉÔØ ÏÛÉÂËÕ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÍÙ
252
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
ÏÇÒÁÎÉÞÉÌÉÓØ ÔÉÁÍÉ A É B ÒÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÓËÉÈ ÏÔËÒÙÔÏË.
ÏÇÄÁ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÑÔÉ ÏÔËÒÙÔÏË ÜÔÉÈ
ÔÉÏ× ÏËÁÖÕÔÓÑ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ, ÅÌÉËÏÍ ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÉÚ ÏÔËÒÙÔÏË ÏÄÎÏÇÏ ÔÉÁ: 5A É 5B . åÓÌÉ ÖÅ ÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ
ÔÉÁÍÉ A É C , ÔÏ ÓÒÅÄÉ ÎÁÂÏÒÏ× ÏÔËÒÙÔÏË ÔÁËÉÈ ÔÉÏ×
ÂÕÄÕÔ ÎÁÂÏÒÙ 5A É 5C . úÎÁÞÉÔ, ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÒÁ×ÉÌÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÍÙ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÕÞÔÅÍ ÏÄÎÏÔÉÎÙÅ
ÎÁÂÏÒÙ ÏÔËÒÙÔÏË.
úÁÍÅÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÙÂÏÒÏË ÑÔÉ ÏÔËÒÙÔÏË Ä×ÕÈ
ÔÉÏ× Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ, ÞÔÏ × ÎÉÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÔËÒÙÔËÉ
ÏÂÏÉÈ ÔÉÏ×, ÒÁ×ÎÏ 6 − 2 = 4. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï
ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÔÏÂÒÁÔØ 5 ÎÅ ÏÄÎÏÔÉÎÙÈ ÏÔËÒÙÔÏË Ä×ÕÈ ×ÉÄÏ×, ÒÁ×ÎÏ 4 · 6 = 24. ïÓÔÁÌÏÓØ
ÕÞÅÓÔØ 4 ÏÄÎÏÔÉÎÙÈ ÎÁÂÏÒÁ. ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ: 28.
6.11. (Á) ÷ÏÓØÍÁÑ, ÄÅ×ÑÔÁÑ É ÄÅÓÑÔÁÑ ÓÔÒÏËÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ:
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 36 84 126 126 84 36 9 1:
(Â) ÷ÚÑ× ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÞÉÓÌÁ ÉÚ ×ÏÓØÍÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ
ðÁÓËÁÌÑ, ÏÌÕÞÉÍ
1 + 2 · 7 + 21 = 36;
7 + 2 · 21 + 35 = 84;
21 + 2 · 35 + 35 = 126;
É Ô. Ä. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ÄÅÓÑÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ.
(×) ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ ðÁÓËÁÌÑ
C (n; k ) + C (n; k + 1) = C (n + 1; k + 1)
É
C (n; k + 1) + C (n; k + 2) = C (n + 1; k + 2):
óÌÏÖÉ× ÜÔÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á, ÒÉÄÅÍ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ
C (n; k ) + 2C (n; k + 1) + C (n; k + 2) =
= C (n + 1; k + 1) + C (n + 1; k + 2):
÷ÎÏ×Ø ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ðÁÓËÁÌÑ, ÏÌÕÞÉÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ:
C (n; k ) + 2C (n; k + 1) + C (n; k + 2) = C (n + 2; k + 2):
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
253
6.12. (Á) ðÏÌÏÖÉ× a = b = 1 × ÂÉÎÏÍÅ îØÀÔÏÎÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ
C (n; 0) + C (n; 1) + · · · + C )n; n) = (1 + 1)n = 2n :
þÉÓÌÏ k -ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÍÏÝÎÏÓÔÉ n ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ k ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÉÚ n ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÂÅÚ ÕÞÅÔÁ ÏÒÑÄËÁ É Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. ëÁË
ÍÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ, ÏÎÏ ÒÁ×ÎÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ C (n; k ). ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á × S ÍÏÇÕÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ 0 ÉÌÉ 1, ÉÌÉ 2, ÉÌÉ ... ÉÌÉ
n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. úÎÁÞÉÔ, × n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ
C (n; 0) + C (n; 1) + · · · + C )n; n) = 2n
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×.
(Â) ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ a = 1, b = −1 × ÂÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ ÄÁÅÔ
C (n; 0) − C (n; 1) + C (n; 2) − · · · + (−1)n C (n; n) =
= (1 − 1)n = 0:
6.13. (Á)
óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 11! ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÂÕË× á, â, ò, á, ë, á, ä,
á, â, ò É á. ÁË ËÁË ÑÔØ ÂÕË× á, Ä×Å ÂÕË×Ù â É Ä×Å
ÂÕË×Ù ò ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÔÌÉÞÉÔØ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
11!
= 83 160
5!2!2!
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ €ÓÌÏׁ.
(Â) ðÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÕË×Ù á, â, ò, á, á, ä, á, â, ò É á, ÍÙ
ÍÏÖÅÍ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ
10!
= 7560
5!2!2!
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ €ÓÌÏׁ. òÏ×ÎÏ ÓÔÏÌØËÏ €ÓÌÏׁ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈÓÑ
Ó ÂÕË×Ù ë, ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÕË×Ù × ÓÌÏ×Å
€áâòáëáäáâòá.
(×) üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÌÅÇËÏ ÒÅÛÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ €â⁠ÓÞÉÔÁÔØ
ÏÄÎÏÊ ÂÕË×ÏÊ. éÔÁË, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ
10!
= 15 120
5!2!
ÒÁÚÎÙÈ ÓÌÏ×, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ
Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ.
254
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
6.14. (Á) éÓËÏÍÙÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÁ×ÅÎ C (8; 5) = 56.
(Â) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xy 3 z 4 , ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ
ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (x + y + z )8 , ÒÁ×ÅÎ
8!
= 280:
1!3!4!
(×) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ ab2 d, ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ
ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (a + b + + d)5 , ÒÁ×ÅÎ
5!
= 60:
1!2!1!1!
äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÑÔÁÑ ÓÔÅÅÎØ ÓÕÍÍÙ a + b + + d ÉÍÅÅÔ
ÞÌÅÎ 60ab2 d. ðÕÓÔØ a = x, b = 2y , = z É d = −1. ÏÇÄÁ,
ÒÁÓËÒÙ×ÁÑ ÓËÏÂËÉ × (x + 2y + z − 1)5 , ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÞÌÅÎ
60x(2y )2 z (−1) = −240xy 2 z . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ
ÒÉ xy 2 z × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (x + 2y + z − 1)5 ÒÁ×ÅÎ −240.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7
7.1. ëÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ G ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ,
ÏÎÏ ×ÎÏÓÉÔ ×ËÌÁÄ × ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ, ÒÁ×ÎÙÊ 1. ÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÕÍÍÉÒÕÑ ÓÔÅÅÎÉ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ, Ï ÞÅÍ ÎÕÖÎÏ
ÏÍÎÉÔØ, ÜÔÏ ÔÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ uv ÍÙ ÏÄÓÞÉÔÁÅÍ Ä×ÁÖÄÙ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÓÔÅÅÎÉ ×ÅÒÛÉÎÙ u É v . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ ÒÁ×ÎÁ ÕÄ×ÏÅÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÒÅÂÅÒ ×
ÒÏÓÔÏÍ ÇÒÁÆÅ.
ëÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ Kn ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ Ó ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. úÎÁÞÉÔ, ÓÔÅÅÎØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ
Kn ÒÁ×ÎÁ (n − 1). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ,
ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ n(n − 1). ðÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÌÅÍÍÅ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ
ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÒÁ×ÎÏ n(n2−1) .
ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÏÎÑÌÉ, ÓÔÅÅÎØ ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ
Kn ÒÁ×ÎÁ (n − 1). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÎÕÖÎÏ ×ÓÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ
ÇÒÁÆ G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÞÅÔÎÕÀ ÓÔÅÅÎØ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ Kn |
ÜÊÌÅÒÏ× ÇÒÁÆ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ n | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÂÏÌØÛÅÅ 1.
7.2. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÒÏÓÔÏÊ ÇÒÁÆ Ó n > 2 ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ S ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ. ÷×ÉÄÕ
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
255
ÒÏÓÔÏÔÙ ÇÒÁÆÁ G, ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÔÅÅÎØ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÁ n − 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
S ⊂ {0; 1; 2; : : : ; n − 1}:
ïÄÎÁËÏ S ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É 0, É n − 1, ×
ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ×ÅÒÛÉÎÁ ÓÔÅÅÎÉ n − 1 ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÓÏ ×ÓÅÍÉ
ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ É Ó ÔÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ
ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ 0, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. éÔÁË, |S | 6 n − 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : V −→ S , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÇÒÁÆÁ G ÅÅ ÓÔÅÅÎØ. ðÏÓËÏÌØËÕ |V | = n, ÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: |V | > |S |. ÁË ÞÔÏ, Ï ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ, ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÆÕÎË ÉÑ f ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÏÄÎÏ
É ÔÏ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, Ô. Å. Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ.
7.3. ðÒÏÎÕÍÅÒÕÅÍ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ-
ÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 6, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÏÍÅÒÁÍ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ. éÚÏÂÒÁÚÉÍ ÇÒÁÆ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.1.
2
3
4
1
5
6
òÉÓÕÎÏË ò7.1.
íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ Kn ÉÍÅÅÔ n ÓÔÒÏË É n
ÓÔÏÌ Ï×. îÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÅÅ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ (ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÓÔÒÏË ÓÏ
ÓÔÏÌ ÁÍÉ ÔÏÇÏ ÖÅ ÎÏÍÅÒÁ) ÓÔÏÉÔ ì, Á ×ÎÅ ÅÅ | é.
à
á
òÉÓÕÎÏË ò7.2.
â
256
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
7.4. ðÒÏÎÕÍÅÒÏ×Á× ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌ ٠ÍÁÔÒÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 4,
ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÇÒÁÆÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÔÉÍ ÍÁÔÒÉ ÁÍ (ÒÉÓ. ò7.2).
ïÂÏÚÎÁÞÉ× ÏÄÈÏÄÑÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÏ× G, H É K ,
ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.2 (a) ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÇÒÁÆ H , ÎÁ
ÒÉÓ. ò7.2 (Â) | ÇÒÁÆ K , Á ÎÁ ÒÉÓ. ò7.2 (×) | G.
7.5. îÁ ÒÉÓ. ò7.3 ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÔÅ ÇÒÁÆÙ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÇÒÁÆÁÍÉ ÇÒÁÆÁ ÉÚ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ 7.3.
7.6. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ ÉËÌÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÉËÌ
1 2 6 8 7 5 4 3 1:
óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉËÌÏ× ÄÌÉÎ 3, 4, 5, 6 É 7.
ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 3: 2 8 6 2, 2 8 7 2, 4 7 8 4 É 4 5 7 4.
ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 4: 2 7 8 6 2, 2 8 4 7 2 É 4 5 7 8 4.
ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 5: 1 2 7 4 3 1, 1 2 8 4 3 1, 2 6 8 4 7 2 É 2 7 5 4 8 2.
ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 6: 1 2 7 5 4 3 1, 1 2 8 7 4 3 1, 1 2 7 8 4 3 1 É 1 2 6 8 4 3 1.
ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 7: 1 2 6 8 7 4 3 1 É 1 3 4 5 7 8 2 1.
òÉÓÕÎÏË ò7.3.
7.7. ãÉËÌ ÄÌÉÎÙ 9: a b f j i d g h a.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ C ÇÉÏÔÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÇÒÁÆÁ P . ðÏÓËÏÌØËÕ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÄÏÌÖÅÎ ÏÂÏÊÔÉ ËÁË ×ÅÒÛÉÎÙ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ,
ÔÁË É ÏÍÅÝÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÌÕÞÁÈ Ú×ÅÚÄÙ, ÏÎ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ
ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÅÂÅÒ: ah, bf , i, dg ÉÌÉ ej . âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÉËÌ C ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÒÅÂÒÏ ah. ÅÅÒØ, ÞÔÏÂÙ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÉËÌ C ×ÅÒÛÉÎÕ a, ÎÕÖÎÏ
ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÒÅÂÒÏ ab ÉÌÉ ae. ÷×ÉÄÕ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ, ÎÅ ÎÁÒÕÛÁÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ×
ÉËÌ C ×ËÌÀÞÅÎÏ ÒÅÂÒÏ ae. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
257
× ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÍ ÉËÌÅ ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÉÎÄÅËÓ 2 (ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ
ÏÄÈÏÄÉÔ Ë ÎÅÊ, Á ÄÒÕÇÏÅ ×ÙÈÏÄÉÔ ÉÚ ÎÅÅ). ðÏÜÔÏÍÕ ÉËÌ C ÎÅ
ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÒÅÂÒÁ ab. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ
ÒÏÊÔÉ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ b (×ÏÊÔÉ × ÎÅÅ É ×ÙÊÔÉ). ðÏÜÔÏÍÕ ÉËÌ
C ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÂÁ ÒÅÂÒÁ: bf É b . ÷ÅÒÛÉÎÁ e ÄÏÌÖÎÁ ×ÈÏÄÉÔØ
× ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÓÏ ÓÔÅÅÎØÀ 2. ðÏÜÔÏÍÕ ÉËÌ C ÄÏÌÖÅÎ
ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÅÂÅÒ: ej ÉÌÉ de. òÁÚÂÅÒÅÍ ÜÔÉ ÓÌÕÞÁÉ
ÏÔÄÅÌØÎÏ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÉËÌ C ×ÈÏÄÉÔ ÒÅÂÒÏ ej . ÏÇÄÁ ÒÅÂÒÏ ed
ÎÁÍ ÒÉÄÅÔÓÑ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ. éÚÏÂÒÁÚÉÍ ÇÒÁÆ
ðÅÔÅÒÓÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.4, ×ÙÄÅÌÉ× ÎÁ ÎÅÍ ÒÅÂÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ
×ËÌÀÞÉÌÉ × ÉËÌ C , É ÕÄÁÌÉ× ÔÅ, ËÏÔÏÒÙÅ × C ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔØÓÑ ÎÅ ÍÏÇÕÔ.
b
f
a
c
h
i
j
e
g
d
òÉÓÕÎÏË ò7.4. ïÔÄÅÌØÎÙÅ ÒÅÂÒÁ ÇÉÏÔÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉËÌÁ
C
éÚ ÒÉÓÕÎËÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ d ÍÏÖÎÏ ÒÏÊÔÉ ÔÏÌØËÏ
Ï ÒÅÂÒÁÍ dg É d . úÎÁÞÉÔ, ÉÈ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÉËÌ
C . ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÒÅÂÒÏ i ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÛÎÉÍ É ÅÇÏ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÕÄÁÌÉÔØ. ÅÅÒØ × ÎÁÛÅÍ ÇÒÁÆÅ ÏÓÔÁÌÏÓØ Ä×Á ÒÅÂÒÁ,
ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎÅ i. ÷ËÌÀÞÁÑ ×ÅÒÛÉÎÕ i × ÉËÌ C , ÍÙ Ó
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØÀ ÄÏÌÖÎÙ ÄÏÂÁ×ÉÔØ Ë ÎÅÍÕ É ÒÅÂÒÁ hj É ji,
ÕÄÁÌÉ× ÒÉ ÜÔÏÍ hg É jf . ðÏÄ×ÏÄÑ ÉÔÏÇ ÜÔÏÍÕ ÜÔÁÕ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÎÁÛÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.5.
ÅÅÒØ ÍÙ ×ÙÎÕÖÄÅÎÙ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÉËÌ C ÒÅÂÒÏ f g , ÄÁÂÙ
ÉÍÅÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÏÊÔÉ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ f É g . ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁ-
258
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
ÔÅ C ÂÕÄÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÅÓ×ÑÚÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ, Ô. Å. ×ÏÏÂÝÅ
ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÉËÌÏÍ, ÎÅ ÇÏ×ÏÒÑ ÕÖÅ Ï ÅÇÏ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÓÔÉ. éÔÁË,
×ÙÂÏÒ ÒÅÂÒÁ ej ×ÅÄÅÔ Ë ÎÅÕÄÁÞÅ × ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á
ÉËÌÁ.
b
f
a
c
h
i
j
g
e
d
òÉÓÕÎÏË ò7.5.
b
f
a
c
h
i
j
g
e
d
òÉÓÕÎÏË ò7.6.
äÏÕÓÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÍÙ ×ËÌÀÞÉÌÉ × ÉËÌ C ÒÅÂÒÏ ed, Á ÒÅÂÒÏ ej , ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ×ÙÂÒÏÓÉÌÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÛÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ
ÂÕÄÕÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.6.
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
259
îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ. ò7.6 ÏÔÞÅÔÌÉ×Ï ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ ×ÅÒÛÉÎÙ j Ë ÉËÌÕ C ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÏÂÁ×ÉÔØ Ë ÎÅÍÕ
ÒÅÂÒÁ f j É ji. îÏ ÔÏÇÄÁ ÒÅÂÒÏ f g ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÛÎÉÍ, ÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÒÅÂÒÁ, ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ f , ÕÖÅ
×ÏÛÌÉ × ÉËÌ C . ÷ÙÂÒÏÓÉÍ ÒÅÂÒÏ f g .
ÅÅÒØ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ g ÏÓÔÁÌÏÓØ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÒÅÂÒÁ: gd É gh. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÉÈ Ë ÉËÌÕ, Á ÒÅÂÒÁ hi É d
ÏÔÂÒÏÓÉÔØ ËÁË ÎÅÎÕÖÎÙÅ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ ÒÉÓ. ò7.7,
ÏÄÎÏÇÏ ×ÚÇÌÑÄÁ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÑÔØ: ÍÙ
ÄÏÌÖÎÙ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ Ë ÉËÌÕ ÒÅÂÒÏ i , ÞÔÏ ÏÑÔØ ÒÉ×ÏÄÉÔ
ÎÁÓ Ë Ä×ÕÍ ÎÅÓ×ÑÚÎÙÍ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍ.
ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ × ÇÒÁÆÅ P ÎÅÔ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, P | ÎÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×
ÇÒÁÆ.
b
f
a
c
h
i
j
g
e
d
òÉÓÕÎÏË ò7.7.
7.8. (Á) áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÍÁÒÛÒÕÔ A C B D E A ÏÂÝÅÊ ÄÌÉ-
ÎÙ 4 + 2 + 3 + 2 + 8 = 19.
(Â) áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÍÁÒÛÒÕÔ D E B C A D ÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ 2 + 4 + 2 + 4 + 5 = 17.
7.9. ðÒÏÎÕÍÅÒÏ×Á× ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌ ٠ÍÁÔÒÉ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁÍÉ
ÏÔ 1 ÄÏ 6, ÏÓÔÒÏÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.8.
(Á) çÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.8 (Á) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉËÌ 2 4 5 3 6 2.
260
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
(Â) çÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.8 (Â) | ÄÅÒÅ×Ï, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎ Ó×ÑÚÅÎ, ÉÍÅÅÔ ÛÅÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ É ÑÔØ ÒÅÂÅÒ.
(á)
(à)
òÉÓÕÎÏË ò7.8.
7.10. ðÕÓÔØ n | ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÎÁÛÅÇÏ ÄÅÒÅ×Á. ÏÇÄÁ ÓÕÍÍÁ
ÉÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÒÁ×ÎÁ
3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + (n − 7) = n + 10:
ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÄÅÒÅ×Á T ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÒÏ×ÎÏ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ÍÅÎØÛÅ ÞÉÓÌÁ ×ÅÒÛÉÎ, Ô. Å. ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÒÁ×ÎÏ
n − 1. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÌÅÍÍÕ Ï ÜÓÔÁÆÅÔÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ:
n + 10 = 2(n − 1):
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n = 12, ÏÔËÕÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ
ÄÅÒÅ×Á T ÓÏ ÓÔÅÅÎØÀ 1 ÒÁ×ÎÏ ÑÔÉ.
7.11. (Á) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÌÅÓÁ G ÞÅÒÅÚ T1 , T2 , . . . , Tk . âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÄÅÒÅ×Ï Ti ÉÍÅÅÔ ni ×ÅÒÛÉÎ (i = 1; : : : ; k ).
õ ËÁÖÄÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ti ÅÓÔØ (ni − 1) ÒÅÂÅÒ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÝÅÅ
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÌÅÓÁ G ÒÁ×ÎÏ
(n1 −1)+(n2 −1)+· · ·+(nk −1) = n1 +n2 +· · ·+nk −k = n−k:
(Â) äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó Ä×ÕÍÑ É ÂÏÌÅÅ
×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×ÕÍÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ
ÓÔÅÅÎÉ 1. ðÕÓÔØ T | ÄÅÒÅ×Ï Ó r > 2 ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ Õ ÎÅÇÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 1.
ÏÇÄÁ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ r − 1 ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ
ÓÔÅÅÎØ 2 É ÂÏÌÅÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ÅÇÏ
×ÅÒÛÉÎ ÂÕÄÅÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 1 + 2(r − 1) = 2r − 1. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, Õ ÄÅÒÅ×Á T ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ r − 1 ÒÅÂÒÏ É, Ï
ÌÅÍÍÅ Ï ÜÓÔÁÆÅÔÅ, ÕÄ×ÏÅÎÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ 2(r − 1)
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
261
ÄÏÌÖÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÔØ Ó ÓÕÍÍÏÊ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎ, ËÏÔÏÒÁÑ,
ËÁË ÍÙ ×ÙÑÓÎÉÌÉ, ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 2r − 1. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ
ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÙÊ ÆÁËÔ.
(×) ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÅÛÅÎÎÙÊ . (Á) ÚÁÄÁÞÉ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
ÉÓËÏÍÙÊ ÌÅÓ G ÉÍÅÅÔ 9 − 6 = 3 ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ðÏ
. (Â) Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÁ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÄÏÌÖÎÁ
ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ (ÂÅÚ ÒÅÂÅÒ). ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ Ä×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÄÏÌÖÎÙ ÉÍÅÔØ ×ÏÓÅÍØ ×ÅÒÛÉÎ É
ÛÅÓÔØ ÒÅÂÅÒ. íÏÖÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÇÒÁÆÏ×, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÏÓÌÅÄÎÅÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ. ïÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.9. ïÎ ÉÍÅÅÔ ÑÔØ ×ÅÒÛÉÎ ÓÔÅÅÎÉ 1.
òÉÓÕÎÏË ò7.9.
7.12. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÅÂÒÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ ÄÏ ÔÅÈ
ÏÒ, ÏËÁ ÎÅ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÍ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ, ÓÌÅÄÑ ÒÉ
ÜÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÎÅ ÏÑ×ÌÑÌÉÓØ ÉËÌÙ. ïÄÎÁ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÂÅÒ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ: BE , AB , EF , EG, F H ,
DG É CD . íï, ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÎÁ
ÒÉÓ. ò7.10.
òÉÓÕÎÏË ò7.10.
7.13. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÇÏÒÏÄ áÔÌÏÎ, ÞÅÒÅÚ D | äÕÂÌÉÎ, ÞÅÒÅÚ
G | çÏÌÕÜÊ, ÞÅÒÅÚ L | ìÉÍÅÒÉË, ÞÅÒÅÚ S | óÌÁÊÇÏ É ÞÅÒÅÚ
262
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
W | õÜËÓÆÏÒÄ. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ: AG (×ÅÓÁ 56), GL (×ÅÓÁ 64) É AS (×ÅÓÁ 71). ïÎ ÚÁÂÒÁËÕÅÔ
ÒÅÂÒÏ AL (×ÅÓÁ 73), ÏÓËÏÌØËÕ ÄÏÂÁ×É× ÅÇÏ, ÏÌÕÞÉÔ ÉËÌ.
äÁÌÅÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÔÂÅÒÅÔ ÒÅÂÒÏ AD (×ÅÓÁ 78), Á ÒÅÂÒÏ GS
(×ÅÓÁ 85) ÚÁÂÒÁËÕÅÔ (ÉÎÁÞÅ ÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ ÉËÌ). ðÏÓÌÅÄÎÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔ ÒÅÂÒÏ DW (×ÅÓÏÍ 96). ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ íï (ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ 365), ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.11.
A
G
L
S
W
D
òÉÓÕÎÏË ò7.11. íï ÇÏÒÏÄÏ× éÒÌÁÎÄÉÉ
7.14. (Á) óÍÏÔÒÉ ÒÉÓ. ò7.12.
òÉÓÕÎÏË ò7.12.
(Â) ðÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ 1 ÉÍÅÅÔ 2 ÌÉÓÔÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, 21 = 2. úÎÁÞÉÔ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÒÉ
n = 1.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ k ÉÍÅÅÔ 2k ÌÉÓÔÁ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ k > 1. úÎÁÞÉÔ,
× ÏÌÎÏÍ Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ k + 1 ÂÕÄÅÔ 2k ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ×ÅÒÛÉÎ ÇÌÕÂÉÎÙ k . ÁË ËÁË ËÁÖÄÁÑ
ÉÚ ÜÔÉÈ ×ÅÒÛÉÎ ÉÍÅÅÔ Ä×ÕÈ ÓÙÎÏ×ÅÊ, × ÔÁËÏÍ ÇÒÁÆÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ 2 · 2k = 2k+1 ×ÅÒÛÉÎ ÇÌÕÂÉÎÙ k + 1. ïÓÔÁÌÏÓØ
ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÔÁËÏÊ ÇÌÕÂÉÎÙ × ÄÅÒÅ×Å
ÇÌÕÂÉÎÙ k + 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÓÔÏÍ. éÓÏÌØÚÕÑ ÒÉÎ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
263
ÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ n ÉÍÅÅÔ 2n
ÌÉÓÔØÅ×.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 8
8.1. óÍÏÔÒÉ ÒÉÓ. ò8.1.
(Á) ëÒÁÔÞÁÊÛÉÍ ÕÔÅÍ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 1 ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÕÔØ 1 4 6 2.
(Â) åÓÔØ Ä×Á ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 3 ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 6:
3 5 6 É 3 2 6.
(×) ïÄÉÎ ÉÚ ËÏÎÔÕÒÏ× ÄÌÉÎÙ 5 | ÜÔÏ ËÏÎÔÕÒ 1 4 6 3 2 1.
òÉÓÕÎÏË ò8.1.
8.2. ëÁÖÄÁÑ ÄÕÇÁ uv ×ÎÏÓÉÔ ×ËÌÁÄ, ÒÁ×ÎÙÊ 1, × ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÉÓÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ u É ÔÁËÏÊ ÖÅ ×ËÌÁÄ × ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÚÁÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÍÍÁ ÏÌÕÓÔÅÅÎÅÊ ÉÓÈÏÄÁ ×ÓÅÈ ×ÅÒ-
ÛÉÎ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÄÕÇ ÇÒÁÆÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ É ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÕÍÍÙ ÏÌÕÓÔÅÅÎÅÊ ÚÁÈÏÄÁ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ
×ÅÒÛÉÎÅ v ÏÒÇÒÁÆÁ. âÕË×Á €é × ÜÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ×
ÓÔÏÌ Å, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ×ÅÒÛÉÎÅ u × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ × ÇÒÁÆÅ ÅÓÔØ ÄÕÇÁ, ×ÅÄÕÝÁÑ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ v Ë
×ÅÒÛÉÎÅ u. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÓÌÏ ÂÕË× €é × ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÅ v , ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÌÕÓÔÅÅÎØÀ
ÉÓÈÏÄÁ Æ + (v ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÞÉÓÌÏ ÂÕË× €é, ÓÔÏÑÝÉÈ × ÓÔÏÌ Å
264
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÒÁ×ÎÏ ÏÌÕÓÔÅÅÎÉ ÚÁÈÏÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ Æ − (u).
8.3. (Á) ïÒÇÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÓÌÅ-
×Á, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÌÕÓÔÅÅÎØ
ÚÁÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ d ÒÁ×ÎÁ 0 (× ×ÅÒÛÉÎÕ d ÎÅ ×ÅÄÅÔ ÎÉËÁËÁÑ
ÄÕÇÁ). úÎÁÞÉÔ, ÍÙ ÎÅ ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÕÔÉ ÉÚ ÌÀÂÏÊ ÎÁÅÒÅÄ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÜÔÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ × ×ÅÒÛÉÎÕ d.
ïÒÇÒÁÆ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÊ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ ÒÉÓÕÎËÁ, ÔÏÖÅ ÎÅ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÔÏÌØËÏ Ï ÄÒÕÇÏÊ ÒÉÞÉÎÅ: ÉÚ
×ÅÒÛÉÎÙ d ÎÅ ×ÙÈÏÄÑÔ ÄÕÇÉ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÅÅ ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÉÓÈÏÄÁ ÒÁ×ÎÁ 0. ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÍÙ ÎÅ ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ
ÕÔÉ, ×ÅÄÕÝÅÇÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ d ËÕÄÁ ÂÙ ÔÏ ÎÉ ÂÙÌÏ.
ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÏÒÇÒÁÆ | ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ. ÷ ÎÅÍ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÔÕÒ a b d e a, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÕÔØ,
×ÅÄÕÝÉÊ ÏÔ ÅÒ×ÏÊ ËÏ ×ÔÏÒÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ b d e a | ÕÔØ
ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ b Ë a.
(Â) ðÕÓÔØ C | ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÍ ÇÒÁÆÅ.
ïÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÅÒÛÉÎÙ
ÇÒÁÆÁ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉËÌ C ÂÙÌ ÒÁ×ÅÎ
v0 v1 v2 : : : vk v0 :
ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÒÅÂÒÏ vi−1 vi ÒÅ×ÒÁÔÉÌÏÓØ × ÄÕÇÕ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ vi−1 É ËÏÎ ÏÍ
vi . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÅÒÛÉÎÁ vk ÂÙÌÁ ÎÁÞÁÌÏÍ ÄÕÇÉ vk v0 . ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ ÍÏÖÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÏÌÕÞÉ×ÛÉÊÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÒÇÒÁÆ ÂÕÄÅÔ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ
ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÕÔØ ÏÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ Ë ÌÀÂÏÊ
ÄÒÕÇÏÊ, ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÏÂÒÁÚÏ×Á×ÛÉÍÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ
ÕÔÅÍ v0 v1 v2 : : : vk v0 , ÒÏÈÏÄÑÝÉÍ ÞÅÒÅÚ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ.
(×) åÓÌÉ ÂÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÏÒÇÒÁÆ ÎÅ ÂÙÌ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÔÏ ÍÏÇÌÏ ÏËÁÚÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÊÏÎÁ ÇÏÒÏÄÁ
ÎÅÌØÚÑ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÁÓÔØ × ÄÒÕÇÏÊ.
8.4. ÷ÙÉÛÅÍ ÉÓÈÏÄÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×:
A(a) = {b}; A(b) = { }; A( ) = ∅; A(d) = {a; e};
A(e) = { }; A(f ) = {b; d; e}:
ðÒÉÓ×ÏÉ× ÎÏÍÅÒ 1 ×ÅÒÛÉÎÅ , ÕÄÁÌÉÍ ÅÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÍÉ ÅÊ ÄÕÇÁÍÉ. íÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ× ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ ÓÌÅÄÕ-
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
265
ÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
A(a) = {b}; A(b) = ∅; A(d) = {a; e};
A(e) = ∅; A(f ) = {b; d; e}:
ÅÅÒØ Õ ÎÁÓ ×ÏÚÎÉËÌÏ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÔÂÒÏÓÉÔØ. ðÒÉÓ×ÏÉÍ ÎÏÍÅÒ 2 ×ÅÒÛÉÎÅ b É ÕÄÁÌÉÍ ÅÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÕÇÁÍÉ. ðÏÌÕÞÉÍ ÎÏ×ÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅÅÄÅÎÔÏ×:
A(a) = ∅; A(d) = {a; e}; A(e) = ∅; A(f ) = {d; e}:
ïÑÔØ ÅÓÔØ Ó×ÏÂÏÄÁ × ×ÙÂÏÒÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÌÑ ÕÄÁÌÅÎÉÑ. ðÒÉÓ×ÏÉÍ ÎÏÍÅÒ 3 ×ÅÒÛÉÎÅ a É ÕÄÁÌÉÍ ÅÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÕÇÁÍÉ. ðÏÄÒÁ×ÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×:
A(d) = {e}; A(e) = ∅; A(f ) = {d; e}:
õÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ e ×ÍÅÓÔÅ Ó ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÍÉ ÅÊ ÄÕÇÁÍÉ, ÒÉÓ×ÏÉ× ÅÊ ÎÏÍÅÒ 4. ÏÇÄÁ
A{d} = ∅; A(f ) = {d}:
ðÒÉÓ×ÏÉÍ ÎÏÍÅÒ 5 ×ÅÒÛÉÎÅ d É ÕÄÁÌÉÍ ÅÅ, ×ÙÂÒÏÓÉ× É ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ Ë ÎÅÊ ÄÕÇÉ. ÅÅÒØ ÏÓÔÁÌÁÓØ ÏÄÎÁ ×ÅÒÛÉÎÁ Ó ÕÓÔÙÍ
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×:
A(f ) = ∅:
ðÒÉÓ×ÏÉÍ ×ÅÒÛÉÎÅ f ÎÏÍÅÒ 6.
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ
ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË: (1), b(2), a(3), e(4), d(5) É f (6). îÏ×ÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
b
a
e
d
f








ì
ì
ì
ì
ì
ì
b
a
e
d
f
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
é
ì
ì
ì
é
ì
é
é
ì




:



ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÔÏÌÂ Ù É ÓÔÒÏËÉ ÎÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÚÁÉÓÁÎÙ × ÏÒÑÄËÅ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÅÔÏË,
266
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
ÔÏ ÅÅ ×ÅÒÈÎÅÔÒÅÕÇÏÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÄÁÅÔ ÏÌÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÏÂ
ÏÒÇÒÁÆÅ.
÷ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ× ÏÒÇÒÁÆÁ ÉÚ ÕÒ. 8.1 ÎÅ ÕÓÔÙ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÜÔÏÍ ÏÒÇÒÁÆÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ËÏÎÔÕÒÙ É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÓÏÚÄÁÔØ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ.
áÌÇÏÒÉÔÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÎÅ ÓÍÏÖÅÔ ÒÉÓ×ÏÉÔØ
ÅÒ×ÕÀ ÍÅÔËÕ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ.
8.5. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ðåò ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò8.2.
À
Á
Â
Ã
Ä
Å
Æ
Ç
È
Ê
Ë
òÉÓÕÎÏË ò8.2. óÉÓÔÅÍÁ ðåò ÄÌÑ ÒÉÇÏÔÏ×ÌÅÎÉÑ ÙÌÅÎËÁ
éÓÈÏÄÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×:
A(á) = {é}; A(â) = {ì}; A(÷) = {ì}; A(ç) = {ë};
A(ä) = {â; ÷}; A(å) = ∅; A(ö) = {é}; A(ú) = {é};
A(é) = {å}; A(ë) = {á; ö; ú; ì}; A(ì) = ∅:
éÔÁË, ÒÉÓ×ÏÉ× ÍÅÔËÉ 1 É 2 ×ÅÒÛÉÎÁÍ å É ì ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ,
ÕÄÁÌÉÍ ÉÈ ÉÚ ÏÒÇÒÁÆÁ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÍÉ ÉÍ ÄÕÇÁÍÉ.
ÏÇÄÁ
A(á) = {é}; A(â) = ∅; A(÷) = ∅; A(ç) = {ë};
A(ä) = {â; ÷}; A(ö) = {é}; A(ú) = {é};
A(é) = ∅; A(ë) = {á; ö; ú}:
ïÂÏÚÎÁÞÉ× ×ÅÒÛÉÎÕ â ÍÅÔËÏÊ 3, ÷ | ÍÅÔËÏÊ 4 É é | ÍÅÔËÏÊ 5, ÕÄÁÌÉÍ â, ÷ É é ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÕÇÁÍÉ.
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
267
ÅÅÒØ
A(á) = ∅; A(ç) = {ë}; A(ä) = ∅; A(ö) = ∅;
A(ú) = ∅; A(ë) = {á; ö; ú}:
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ á ËÁË 6, ä ËÁË 7, ö ËÁË 8 É ú ËÁË 9 É ÕÄÁÌÉÍ ÜÔÉ
×ÅÒÛÉÎÙ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÕÇÁÍÉ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ
A(ç) = {ë}; A(ë) = ∅:
îÁËÏÎÅ , ÕÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ ë, ÒÉÓ×ÏÉ× ÅÊ ÍÅÔËÕ 10, Á ÚÁÔÅÍ
ÒÉÓ×ÏÉÍ ÍÅÔËÕ 11 ×ÅÒÛÉÎÅ ç. üÔÏ ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË å ì â ÷ é á ä ö ú ë ç.
8.6.
begin
for j := 1 to n do
A(j ) := ∅;
k := 1;
begin
while k 6 n do
if M (k; j ) = é then
A(j ) := A(j ) ∪ {k };
k := k + 1;
end
end
8.7.
ì

ì
M2 = 
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì

ì
ì é ì
ì ì é
ì

é  ì ì ì
ì
é ì ì
 
ì
ì
ì
ì
=
é é
ì
ì
ì
ì
ì
é
é
ì
ì
ì

ì
é
;
ì
ì
ì

ì
M3 = 
ì
é

ì

ì
M4 = 
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
ì
 
ì
ì ì


é é ì
=
ì ì é
ì
ì ì
 
é
é ì
ì é
ì
=
ì ì ì
ì
ì ì
ì
ì
ì
é
é
ì
ì
ì

ì
ì ì é


ì  ì ì ì
é  é ì ì
ì
ì é ì

ì
ì ì ì
é ì ì
ì

é  ì é ì
ì
ì ì é

é
ì
;
ì
ì

ì
ì
:
ì
é


ì
ì
é
ì
268
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
é
é
∗
2
3
4
M = M ÉÌÉ M ÉÌÉ M ÉÌÉ M = 
é
é
é
é
é
é

8.8.
ì
ì
M = W0 = 
ì
é

ì
ì
W2 = 
ì
é

é
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
ì
ì
é
é
é
ì
é
îÁËÏÎÅ ,

ì
ì
;
é
ì

ì
ì
;
é
ì
é

é
M ∗ = W4 = 
é
é

ì
ì
W1 = 
ì
é

ì
ì
W3 = 
ì
é

é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
ì
ì
é
ì
é
ì
ì
é
ì
ì
é
é
é
ì
é

é
é
:
é
é

ì
ì
;
é
ì

é
é
:
é
é

é
é
:
é
é
8.9. (Á) óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò8.1.
ÁÂÌÉ Á ò8.1
ûÁÇ
0
1
2
3
4
5
ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ
×ÅÒÛÉÎÙ
A
B
C
D
E
F
òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ
A
B
0
0
0
0
0
0
F
îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ
×ÅÒÛÉÎÙ
∞
∞
B; C; D; E; F
∞
∞
C; D; E; F
∞
23
D; E; F
C
D
E
3
10
∞
3
3
3
3
3
10
15
10
10
10
10
15
∞
15
15
15
17
17
17
23
E; F
F
23
ëÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A:
AB
ÄÌÉÎÙ 3,
AC
ÄÌÉÎÙ 10,
A C D ÄÌÉÎÙ 15.
(Â) óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò8.2.
A C D E ÄÌÉÎÙ 17,
A C D F ÄÌÉÎÙ 23.
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
269
ÁÂÌÉ Á ò8.2
ûÁÇ
òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ
ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ
×ÅÒÛÉÎÙ
A
B
C
D
E
F
îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ
×ÅÒÛÉÎÙ
C
∞
∞
5
∞
∞
A; B; D; E; F
D
∞
∞
0
0
5
7
13
A; B; E; F
E
∞
11
13
A; F
F
∞
11
11
7
7
7
A; B; F
∞
5
5
5
13
B
0
0
0
13
A
0
1
2
3
4
ëÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ C :
CD
ÄÌÉÎÙ 5,
C D E ÄÌÉÎÙ 7,
ÄÌÉÎÙ 11,
ÄÌÉÎÙ 13.
CDEB
CDF
8.10. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò8.3.
ÁÂÌÉ Á ò8.3
ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ
ûÁÇ
×ÅÒÛÉÎÙ
0
1
2
3
4
5
6
7
S
C
A
B
D
F
E
T
òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ
S
A
B
C
D
E
F
T
îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ
×ÅÒÛÉÎÙ
0
0
0
0
0
0
0
0
5
10 4
10 4
9 4
9 4
9 4
9 4
9 4
9 4
∞
∞
∞
∞
A; B; C; D; E; F; T
22 18
22 18
14 22 17
14 20 17
14 20 17
14 20 17
14 20 17
∞
A; B; D; E; F; T
∞
B; D; E; F; T
∞
26
26
E; F; T
25
T
5
5
5
5
5
5
5
14
14
D; E; F; T
E; T
25
ëÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ S :
SC
SA
S A; B
SCD
ÄÌÉÎÙ
ÄÌÉÎÙ
ÄÌÉÎÙ
ÄÌÉÎÙ
4,
5,
9,
14,
S AB F
S AB F E
S AB F E T
SCDET
ÄÌÉÎÙ
ÄÌÉÎÙ
ÄÌÉÎÙ
ÄÌÉÎÙ
17,
20,
25,
25.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 9
9.1. ÁÂ. ò9.1 É ÔÁÂÌ. ò9.2 | ÜÔÏ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÂÕÌÅ×ÙÈ
×ÙÒÁÖÅÎÉÊ, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÈ × ÚÁËÏÎÁÈ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ. ðÏÓÌÅÄÎÉÅ
Ä×Á ÓÔÏÌ Á × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÔÁÂÌÉ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù. úÎÁÞÉÔ, ÚÁËÏÎÙ
ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù.
270
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
ÁÂÌÉ Á ò9.1
p
q
p
q
∧ q
(p ∨ q )
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
∨ q
(p ∧ q )
1
1
1
0
1
1
1
0
p
∨q
p
ÁÂÌÉ Á ò9.2
p
q
p
q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
p
∧q
p
0
0
0
1
9.2. (Á) ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ, ÚÁËÏÎÙ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ (
q ) = q , ÏÌÕÞÁÅÍ
(p ∧ q) ∨ r = (
p ∨ q ) ∨ r = p ∨ q ∨ r:
(Â) éÓÏÌØÚÕÑ ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ, ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÏÇÌÏÝÅÎÉÑ, ÉÍÅÅÍ
((p ∧ q) ∧ (r ∨ (p ∧ q))) =
= (p ∧ q) ∨ (r ∨ (p ∧ q)) =
=
=
=
=
(
p ∨ q ) ∨ (
r ∧ (p ∧ q)) =
r ∧ (
p ∨ q )) =
(
p ∨ q ) ∨ (
((
p ∨ q ) ∨ r) ∧ (
p ∨ q) =
p ∨ q:
9.3. pqrs ∨ pqr s ∨ pqrs ∨ pq rs:
9.4. ðÕÓÔØ
f = p ∧ (
q ∨ r ) ∨ p ∧ (q ∨ r) :
ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÔÁÂÌ. ò9.3.
ðÏ ÔÁÂÌÉ Å ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ:
f = pqr ∨ pq r ∨ pqr ∨ pqr ∨ pqr ∨ pqr:
9.5. (Á) (p ∧ q) ∧ r =
(p ∧ q) ∧ r
= (p ∧ q) ∨ r =
= ((
p ∨ q ) ∨ r) = (p ∨ q ∨ r):
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
271
(Â) (p ∧ q) ∧ r =
= p ∧ (q îå{é q ) ∧ r =
= p ∧ (q îå{é q ) îå{é r îå{é
îå{é
p ∧ (q îå{é q ) îå{é r =
h
=
p îå{é (q îå{é q ) îå{é
i
îå{é r îå{é
îå{é p îå{é (q îå{é q )
h
îå{é
p îå{é (q îå{é q ) îå{é
i
îå{é p îå{é (q îå{é q )
îå{é r :
ÁÂÌÉ Á ò9.3
p
q
r
∧ (q ∨ r)
f
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
∨ r
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
q
q
∨ r
p
∧ (
q ∨ r)
p
9.6. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÆÕÎË ÉÉ p,
p ∨ q É p ∧ q ÞÅÒÅÚ p îå{éìé q . óÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ.
p = (p ∨ p) = p îå{éìé p;
p ∨ q = (p ∨ q ) = (p îå{éìé q ) =
= (p îå{éìé q ) îå{éìé (p îå{éìé q );
p ∧ q = (
p ∨ q) = p îå{éìé q =
= (p îå{éìé p) îå{éìé (q îå{éìé q ):
ðÏÌÎÏÔÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ÆÕÎË ÉÊ { îå{éìé } ÄÏËÁÚÁÎÁ.
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ,
ÞÔÏ ÏÌÎÏÔÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ÆÕÎË ÉÊ { îå{é } ÂÙÌÁ ÎÁÍÉ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÒÁÎÅÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÆÕÎË ÉÀ
p îå{é q ÞÅÒÅÚ p îå{éìé q .
272
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ
p îå{é q = (p ∧ q ) =
=
p ∨ q
=
= (
p îå{éìé q) =
= (p îå{éìé p) îå{éìé (q îå{éìé q ) :
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
p îå{é q = (p îå{éìé p) îå{éìé (q îå{éìé q )
îå{éìé (p îå{éìé p) îå{éìé (q îå{éìé q ) :
9.7. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.1.
pq
pq
pq
r
1
1
1
r
1
pq
òÉÓÕÎÏË ò9.1. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pqr
ïÎÁ ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÁÒÙ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÅÄÉÎÉ . ðÏÜÔÏÍÕ
pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pqr = (
pqr ∨ pqr ) ∨ (pq r ∨ pqr ) =
r ∨ r) =
= pr (
q ∨ q ) ∨ pq (
= pr ∨ pq:
9.8. f = pqr∨ pq r∨ pqr ∨ pqr: ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÆÕÎË ÉÉ f ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ
ÎÁ ÒÉÓ. ò9.2.
pq
r
r
pq
pq
pq
1
1
1
1
òÉÓÕÎÏË ò9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÆÕÎË ÉÉ
f
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
273
îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÌÅÇËÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÕ ÁÒÕ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÅÄÉÎÉ . ïÄÎÁËÏ ÉÈ Ä×Å (ÏÄÎÁ ÎÅ ×ÉÄÎÁ ÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÉ
ÓÔÏÌ Ï×). õÒÏÝÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÁÒ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÄÁÅÔ:
pqr ∨ pq r = pr
É
pqr ∨ pqr = pr:
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÅÍ: f = pr ∨ pr:
9.9. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÆÕÎË ÉÀ pqr ∨ pqr . åÅ
ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.3.
pq
r
pq
pq
1
1
pq
r
òÉÓÕÎÏË ò9.3. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÆÕÎË ÉÉ pqr ∨ pqr
õÒÏÝÁÑ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ pr . îÏ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.4.
p
r
òÉÓÕÎÏË ò9.4. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÆÕÎË ÉÉ pr
9.10. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ:
p îå{é (
q îå{é r ) = p îå{é (
q ∧ r) =
= p îå{é (q ∨ r) =
= p ∧ (q ∨ r) =
= p ∨ (q ∨ r) =
= p ∨ (
q ∧ r ):
éÓËÏÍÁÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.5.
9.11. ðÅÒ×ÁÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÆÕÎË ÉÀ pqr ∨
pq r∨ qr , ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÆÕÎË ÉÉ pqr ∨ pq r∨ pqr ∨ pqr , ÏÓËÏÌØËÕ
qr = (p ∨ p)qr:
274
òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ
÷ÔÏÒÁÑ ÓÈÅÍÁ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÆÕÎË ÉÀ pr ∨ pq . éÚ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ 9.7, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
pr ∨ pq = pqr ∨ pq r ∨ pqr ∨ pqr:
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÜÔÉ ÓÈÅÍÙ ÇÅÎÅÒÉÒÕÀÔ ÒÁ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, Ô. Å.
ÏÎÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ.
p
q
r
òÉÓÕÎÏË ò9.5. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÆÕÎË ÉÉ
p
∨ (
q ∧ r)
9.12. óÌÅÄÕÑ ÕËÁÚÁÎÉÀ Ë ÚÁÄÁÞÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ
p îå{éìé q = (p ∨ q ) = p ∧ q = (
p ∧ q) = (
p îå{é q) =
= (p îå{é p) îå{é (q îå{é q ) îå{é
îå{é (p îå{é p) îå{é (q îå{é q ) :
ÒÅÂÕÅÍÁÑ ÓÈÅÍÁ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.6.
p
q
òÉÓÕÎÏË ò9.6. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÆÕÎË ÉÉ
p
îå{éìé
q
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
á. á. ëÏ×ÁÌÅ×
ä.1. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ×
íÁÔÅÍÁÔÉËÅ ×ÓÅÇÄÁ ÂÙÌÏ ÒÉÓÕÝÅ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÅ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÉÈ ËÌÁÓÓÏ× ÚÁÄÁÞ. íÎÏÇÏÌÅÔÎÉÊ ÏÙÔ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ É ÒÁËÔÉËÁ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÜÔÉ Ä×Å ÓÔÏÒÏÎÙ | ÏÂÝÎÏÓÔØ ÍÅÔÏÄÁ É ÅÇÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ | ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÁÎÔÁÇÏÎÉÚÍÅ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏ ÚÎÁÔØ, É × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÜÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ × ÒÉÎ ÉÅ ÎÁÄÅÑÔØÓÑ
ÎÁ ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÂÝÉÈ É ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÉÌÉ ÎÁÄÏ ÓÏÚÎÁÔÅÌØÎÏ
ÉÄÔÉ Ï ÕÔÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ×ÓÅ ÂÏÌÅÅ ÕÚËÉÅ ËÌÁÓÓÙ É, ÏÌØÚÕÑÓØ ÉÈ ÓÅ ÉÆÉËÏÊ, ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØ ÄÌÑ ÎÉÈ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ.
âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÄÏÕÓËÁÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ ÅÒÅÂÏÒÁ. ïÄÎÁËÏ ÞÉÓÌÏ ÛÁÇÏ×
ÅÒÅÂÏÒÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÒÁÓÔÅÔ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ. äÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÂÌÅÍ ÜÔÏÇÏ ÔÉÁ ÕÄÁÅÔÓÑ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ (ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÅÎÅÅ ÔÒÕÄÏÅÍËÉÅ, ÞÅÍ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×) ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ.
ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÞÉÓÌÏ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÎÅ×ÅÌÉËÏ. äÌÑ ÏÔÌÉÞÉÑ €ÕÄÏÂÎÙȁ É €ÎÅÕÄÏÂÎÙȁ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ××ÏÄÑÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ. ÁË
ÚÁÄÁÞÕ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌÅÅ ÜËÏÎÏÍÉÞÎÙÊ, ÞÅÍ ÅÒÅÂÏÒ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÊ. åÓÌÉ ÖÅ ÔÁËÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁÊÔÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÏ ÚÁÄÁÞÕ
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÊ. óÔÁÌÏ ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÅÒÅÂÏÒÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÒÅÛÁÅÍÏÊ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ, ÅÓÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÅÛÁÀÝÉÊ ÅÅ ÚÁ
×ÒÅÍÑ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÏÌÉÎÏÍÏÍ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ.
ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÄÈÏÄÙ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÅ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ Ä×Å ËÁÔÅÇÏÒÉÉ. ë ÅÒ×ÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ
ÏÄÈÏÄÙ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÏÙÔËÁ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ, ÈÏÔÑ ÒÉ ÜÔÏÍ É ÒÉÚÎÁÅÔÓÑ ÎÅÉÚÂÅÖÎÏÓÔØ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ
ÒÁÂÏÔÙ. äÌÑ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÒÉÅÍÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁ ÍÅÔÏÄÅ €×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . ïÎÉ ÚÁËÌÀÞÁÀÔÓÑ × ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ €ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ
ÒÅÛÅÎÉʁ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ, É ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÍÏÝÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÈ ÒÁÓÏÚÎÁÔØ ÂÅÓÅÒÓÅËÔÉ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÉÞÎÙÅ
ÒÅÛÅÎÉÑ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÅÇÏ ÏÔ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÛÁÇÅ ÏÔÓÅËÁÅÔÓÑ ÅÌÁÑ
×ÅÔ×Ø.
ðÏÄÈÏÄÙ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÅÓÑ ËÏ ×ÔÏÒÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ, ÒÉÍÅÎÉÍÙ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ Ë
ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÏÎÎÙÍ ÚÁÄÁÞÁÍ. ïÎÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÒÉÅÍÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ
€ÓÎÉÖÅÎÉÅ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉʁ. íÅÔÏÄ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÔËÁÚÅ ÏÔ ÏÉÓËÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ
ÒÅÛÅÎÉÑ É × ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ×ÍÅÓÔÏ ÜÔÏÇÏ €ÈÏÒÏÛÅÇρ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁ ÜÔÏÍ ÒÉÅÍÅ, ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ €Ü×ÒÉÓÔÉÞÅÓËÉ-
276
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÍɁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÁÚÕÍÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÂÅÚ ÓÔÒÏÇÉÈ
ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÊ.
äÌÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÊ ×ÁÖÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ
ÉÈ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ÉÌÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ €ÎÁ ÒÁËÔÉËŁ ÉÌÉ €× ÓÒÅÄÎǺ. þÁÓÔÏ ÉÚÕÞÅÎÉÅ
Ï×ÅÄÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× €× ÓÒÅÄÎǺ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅÄÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÔÉÉÞÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÏÇÏÎËÅ ÓÏÅÒÎÉÞÁÀÝÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÁ ÜÔÏÍ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Å É ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×.
åÓÌÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÉ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ, ÏÄÞÉÎÑÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍÕ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÔÏ
ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÍÅÔÏÄ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ €ÓÌÕÞÁÊÎÙȁ ÚÁÄÁÞ, ÏÄÞÉÎÑÀÝÉÈÓÑ ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ
ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, É ÎÁ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÂÏÒËÅ ÉÓÓÌÅÄÕÀÔ Ï×ÅÄÅÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×.
äÌÑ ÚÁÄÁÞ, ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÈ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÇÒÁÆÏ×, ÔÁËÏÊ ÏÄÈÏÄ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏ× ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× Ó ÔÅÍÉ ÉÌÉ ÉÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁ ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ÜÔÁÅ, ÒÉ ÏÂÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÅÒÅÂÏÒÎÙÈ
ÚÁÄÁÞ É ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÂÏÒËÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× Ó ÔÅÍÉ ÉÌÉ ÉÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ,
ÏÄÞÉÎÑÀÝÅÊÓÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÍÕ ÚÁËÏÎÕ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ.
íÅÔÏÄ ÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Ù
ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, × ÑÞÅÊËÁÈ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é ÒÁÚÍÅÝÅÎÙ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ. äÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÁÔÞÉË ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ
ÞÉÓÅÌ, ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄. äÌÑ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ, ÚÎÁËÏÍÙÈ Ó
ÔÅÏÒÉÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÔÏÌØËÏ ÏÎÁÓÌÙÛËÅ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÏÔÌÉÞÉÅ
ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ
×ÓÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÎÉ ÒÉÎÉÍÁÀÔ | ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ
ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄ É ÉÈ ÔÁÂÌÉ Õ
ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ËÎÉÇÅ [21℄. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÌÀÂÏÊ ÑÚÙË ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏËÏÇÏ
ÕÒÏ×ÎÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔ × Ó×ÏÉÈ ÂÉÂÌÉÏÔÅËÁÈ ÄÁÔÞÉËÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
ðÕÓÔØ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÙÊ ÇÒÁÆ ÉÍÅÅÔ n ×ÅÒÛÉÎ É m ÒÅÂÅÒ ÉÌÉ ÄÕÇ. ÏÇÄÁ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÍÅÒ n × n, Á × ÅÅ ÑÞÅÊËÁÈ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÒÁÚÍÅÝÅÎÏ 2m ÂÕË× €é  ÄÌÑ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ (ÔÁË ËÁË ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÏÒÏÖÄÁÅÔ Ä×Å ÂÕË×Ù €é , ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù) É m ÂÕË× €é  | ÄÌÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ.
îÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÂÕË× €é  × ÑÞÅÊËÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÌÅÄÑ ÚÁ ÔÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÂÙÌÏ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÙÍ. ïÂÓÕÄÉÍ, ËÁË ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ.
îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÄÁÔÞÉËÏÍ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ R, ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄. îÁÍ ÖÅ ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÑÞÅÊËÕ ÍÁÔÒÉ Ù,
Ô. Å. ËÁË ÓÔÏÌÂÅ , ÔÁË É ÓÔÒÏËÕ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÁ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÁ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÍÁÓÛÔÁÂÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ×ÅÌÉÞÉÎÕ R, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÕÍÎÏÖÉÔØ ÅÅ ÎÁ
ÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ k. ÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ 12R ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 12℄, Á nR | ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; n℄. îÏ ÞÉÓÌÏ
nR ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÅÌÙÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÅÌÏÊ ÞÁÓÔÉ
⌊nR⌋ (ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÅ nR). ïÄ-
ä.1. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ×
277
ÎÁËÏ ÔÁËÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÎÁÓ ÔÏÖÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÕÓÔÒÏÉÔØ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ
ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ R ÏËÁÖÅÔÓÑ ÍÅÎØÛÅ n, ÔÏ ⌊nR⌋ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ 0, Á ÎÕÍÅÒÁ ÉÑ
ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï× ÎÁÛÅÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó 1. ÷ ÉÔÏÇÅ ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÎÏ×ÏÊ
ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ⌊nR⌋ +1, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÔ 1 ÄÏ n.
éÔÁË, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ËÁË ÎÏÍÅÒ ÓÔÏÌÂÁ, ÔÁË É ÎÏÍÅÒ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù, ÉÓÏÌØÚÕÑ Ä×Á ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅÌÉÞÉÎÙ
⌊nR⌋ +1. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÒÉ ÔÁËÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÍÙ ÎÅ ÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÏÓËÏÌØËÕ ÂÕÄÕÔ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÙ ÎÅ ÏÄÎÁ, Á Ä×Å ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ
×ÅÌÉÞÉÎÙ. éÚ ÓÏÚÄÁ×ÛÅÊÓÑ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÅÓÔØ ËÒÁÓÉ×ÙÊ ×ÙÈÏÄ. òÁÓÏÌÏÖÉÍ ×ÓÅ ÑÞÅÊËÉ ÍÁÔÒÉ Ù × ÏÄÎÕ ÓÔÒÏËÕ: ÓÎÁÞÁÌÁ ÂÕÄÕÔ ÉÄÔÉ ÑÞÅÊËÉ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù,
ÚÁ ÎÉÍÉ | ÑÞÅÊËÉ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÉ É Ô. Ä. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ ÓÔÒÏÞËÕ ÉÚ n
ÑÞÅÅË, ÒÉÞÅÍ ÑÞÅÊËÁ ÍÁÔÒÉ Ù, ÓÔÏÑÝÁÑ × i-ÏÊÓÔÒÏËÅ
É j -ÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ
ÎÏÍÅÒ N = (n − 1)i + j . ÅÅÒØ ×ÅÌÉÞÉÎÁ N = n R +1 ÂÕÄÅÔ ÄÁ×ÁÔØ ÎÁÍ ÑÞÅÊËÉ
ÍÁÔÒÉ Ù ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Á ÚÁËÏÎ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÔÒÅÂÕÅÍÙÍ, Ô. Å.
ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÙÍ. ïÓÔÁÌÏÓØ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÔÒÏËÕ i É ÓÔÏÌÂÅ j ÍÁÔÒÉ Ù, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÎÁÊÄÅÎÎÕÀ ÑÞÅÊËÕ. üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÏÎÑÔÎÙÈ,
ÆÏÒÍÕÌ:
N
i=
+ 1; j = N − (i − 1)n:
n
íÏÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ, × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ, ÎÅÓËÏÌØËÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ
×ÙÂÏÒÏË ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ.
1
2
2
ä.1.1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ
ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ
íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ É
m ÒÅÂÅÒ, ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÍÅÒ n × n É ÓÏÄÅÒÖÁÔØ 2m ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ é ,
ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ. ëÁË ÏÂÙÞÎÏ ×
ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÇÒÁÆ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÔÅÌØ, Ô. Å. ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i = 1; 2; : : : ; n;
M (i; i) = ì . îÁ ËÁÖÄÏÍ Ë-ÏÍ ÛÁÇÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (k = 1; 2; : : : ; m) ÂÕÄÅÍ ÏÌÕÞÁÔØ
ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÁÄÒÅÓ ÑÞÅÊËÉ
(i; j ) ÍÁÔÒÉ Ù É ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ × ÎÅÅ ÂÕË×Õ €é . åÓÌÉ ÑÞÅÊËÁ Ó ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÁÄÒÅÓÏÍ
(i; j ) ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÁËÕÀ ÂÕË×Õ ÉÌÉ i = j , ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÁÎÎÙÊ ÛÁÇ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ
ÎÅÕÄÁÞÎÙÍ É Õ×ÅÌÉÞÉÍ m ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ.
Input
n | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ;
m | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ;
M | ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ n × n,
ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÑÞÅÊËÁÈ ì ;
begin
for k = 1 to m do
begin
ÏÌÕÞÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ
1 íÏÖÅÔ ÔÁË ÓÌÕÞÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ
R
ÒÉÍÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 1. ÏÇÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ,
⌊nR⌋ + 1 =
ïÄÎÁËÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÍÁÌÁ, ÞÔÏ ÉÍ ÍÏÖÎÏ ÒÅÎÅÂÒÅÞØ.
n
+ 1.
278
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ R;
N := n R + 1;
i := ⌊N : n⌋ + 1;
j := N − (i − 1) · n;
if M (i; j ) 6= é and i 6= j then
begin
M (i; j ) := é ;
M (j; i) := é ;
2
end
Output M |
end
else
end
m := m + 1
ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ.
ä.1.2. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ
ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ
íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÏÒÇÒÁÆÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ É m ÄÕÇ, ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ
ÒÁÚÍÅÒ n×n É ÓÏÄÅÒÖÁÔØ m ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ é: óÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÒÇÒÁÆ
ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÔÅÌØ. îÁ ËÁÖÄÏÍ Ë-ÏÍ ÛÁÇÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (k = 1; 2; : : : ; m) ÂÕÄÅÍ
ÏÌÕÞÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÁÄÒÅÓ
ÑÞÅÊËÉ (i; j ) ÍÁÔÒÉ Ù É ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ × ÎÅÅ ÂÕË×Õ €é . åÓÌÉ ÑÞÅÊËÁ Ó ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÍ
ÁÄÒÅÓÏÍ (i; j ) ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ é ÉÌÉ i = j , ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÁÎÎÙÊ ÛÁÇ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ
ÎÅÕÄÁÞÎÙÍ, É Õ×ÅÌÉÞÉÍ m ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ.
Input
n | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ;
m | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÄÕÇ ÏÒÇÒÁÆÁ;
M | ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ n × n,
ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÑÞÅÊËÁÈ ì ;
begin
for k = 1 to m do
begin
ÏÌÕÞÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ
ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ R;
N := n R + 1;
i := ⌊N : n⌋ + 1;
j := N − (i − 1) · n;
if M (i; j ) 6= é and i 6= j then
2
else
begin
M (i; j ) := é ;
end
ä.1. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ×
end
Output M |
end
279
m := m + 1
ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ.
÷ ÅÌÏÍ ÒÑÄÅ ÓÌÕÞÁÅ× ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÏÂÌÁÄÁÌ
ËÁËÉÍÉ-ÔÏ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. ïÄÎÏ ÉÚ ÔÁËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× | ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ
ËÏÎÔÕÒÏ×. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ.
ä.1.3. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ
ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ
íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ É m ÄÕÇ, ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒ
n×n É ÓÏÄÅÒÖÉÔ m ÂÕË× €é : âÕÄÅÍ ÒÁÚÍÅÝÁÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é ×ÙÛÅ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁ×ÁÑ ÄÕÇÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÄÕÝÉÅ ÏÔ
×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÍÅÎØÛÉÍ ÎÏÍÅÒÏÍ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ÎÏÍÅÒÏÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ,
ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÎÅ ÓÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ËÏÎÔÕÒÏ×. ëÁË É ÒÁÎØÛÅ,
ÎÁ Ë-ÏÍ ÛÁÇÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (k = 1; 2; : : : ; m) ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÏÍÏÝØÀ
ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÁÄÒÅÓ ÑÞÅÊËÉ (i; j ) ÍÁÔÒÉ Ù É × ÓÌÕÞÁÅ
i < j , × ÑÞÅÊËÕ (i; j ), Á × ÓÌÕÞÁÅ i > j , × ÑÞÅÊËÕ (j; i) ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ ÂÕË×Õ €é . åÓÌÉ
ÑÞÅÊËÁ Ó ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÁÄÒÅÓÏÍ (i; j ) (× ÓÌÕÞÁÅ i < j ) ÉÌÉ (j; i) (× ÓÌÕÞÁÅ i > j )
ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ €é  ÉÌÉ i = j , ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÁÎÎÙÊ ÛÁÇ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅÕÄÁÞÎÙÍ
É Õ×ÅÌÉÞÉÍ m ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ.
Input
n | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ;
m | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÄÕÇ ÏÒÇÒÁÆÁ;
M | ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ n × n,
ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÑÞÅÊËÁÈ ì ;
begin
for k = 1 to m do
begin
ÏÌÕÞÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ
ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ R;
N := n R + 1;
i := ⌊N : n⌋ + 1;
j := N − (i − 1) · n;
if i 6= j and i < j and M (i; j ) 6= é then
M (i; j ) := é ;
if i 6= j and i > j and M (i; j ) 6= é then
M (j; i) := é ;
else
m := m + 1
2
end
end
Output M | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ.
ðÒÉÎ É ÒÁÂÏÔÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÄÉÎÁËÏ×, ÏÜÔÏÍÕ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÒÁÂÏÔÕ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÏÓÔÒÏÉÍ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ
280
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÇÒÁÆ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÁÂÌÉ ÅÊ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ËÎÉÇÉ äÖ. íÁËËÏÎÎÅÌÌ, ÕÖÅ
ÕÏÍÉÎÁ×ÛÅÊÓÑ ÚÄÅÓØ.
ðÒÉÍÅÒ ä.1.1. óÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÔØ ÏÒÇÒÁÆ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ 5 ×ÅÒÛÉÎ É 8 ÄÕÇ, É ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ÅÇÏ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÎÁÛÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n = 5 É m = 8. ðÒÏ ÅÓÓ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÁÂÌÉ Å:
ÁÂÌÉ Á ä.1.1
k
R
N
i
j
m
M
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
2
ì
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
3
2
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
3
2
1
2
3
4
5
0,21132
0,26215
0,79253
0,28052
0,93648
6
7
20
8
24
2
2
4
2
5
1
2
5
3
4
8
9
9
9
10
6
6
6
4
0,35606
9
2
4
10
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
3
7
7
7
5
7
7
7
5
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
2
ì
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
3
2
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
3
ì
é
ì
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
3
6 é ì ì
6
6 ì ì ì
4 ì ì ì
6
6
6
4
6 é ì é
6
6 ì ì ì
4 ì ì ì
2
7
ì
6 é ì
6
6 ì ì
4 ì ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
6 é ì é
6
6 ì ì ì
4 ì ì ì
ì
ì
ì
7
7
7
5
7
7
7
5
7
7
7
5
7
7
7
5
ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ
281
ðÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÔÁÂÌ. ä.1.1
2
8
0,16043
5
1
5
10
10
11
0,40480
0,74225
0,70183
11
19
18
3
4
4
1
4
3
10
11
11
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
é
ì
ì
é
ì
3
é
ì
ì
é
ì
3
7
7
7
5
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
2
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
é
ì
ì
é
ì
3
2
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
é
ì
ì
é
ì
3
2
9
ì
6 é ì é
6
6 ì ì ì
4 ì ì ì
6 é ì é
6
6 é ì ì
4 ì ì ì
6
6
6
4
6 é ì é
6
6 é ì ì
4 ì ì é
ì
ì
ì
7
7
7
5
7
7
7
5
7
7
7
5
ðÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. ä.1.
ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ
ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÈ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÇÒÁÆÏ×, ÂÙ×ÁÅÔ ×ÁÖÎÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ
ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ, ÎÏ
É ×ÙÑÓÎÉÔØ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÓÁÍÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ, Ô. Å. ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ÏÔÄÅÌØÎÏ ËÁÖÄÕÀ ËÏÍÏÎÅÎÔÕ ÉÌÉ ÎÁÊÔÉ
ÉÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ÄÏÒÏÖÎÏÇÏ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Á × ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ ÒÅÇÉÏÎÅ
ÓÔÒÁÎÙ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ ÍÅÖÄÕ ÎÁÓÅÌÅÎÎÙÍÉ ÕÎËÔÁÍÉ ÕÄÏÂÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÇÒÁÆÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ
ÇÒÁÆÁ | ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ ÍÅÖÄÕ ÇÒÕÏÊ ÎÁÓÅÌÅÎÎÙÈ
ÕÎËÔÏ×, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÁÑ ÄÏÓÔÕ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÁÓÅÌÅÎÎÏÇÏ ÕÎËÔÁ ÇÒÕÙ × ËÁÖÄÙÊ. åÓÌÉ ÔÁËÉÈ
ÇÒÕ ÎÅÓËÏÌØËÏ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÔØ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÏÒÏÇ (ÔÏ ÅÓÔØ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ ÒÅÂÅÒ × ÇÒÁÆ)
1
2
3
5
4
òÉÓÕÎÏË ä.1.
282
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÍÅÖÄÕ ÎÁÓÅÌÅÎÎÙÍÉ ÕÎËÔÁÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÇÒÕ Ó
ÅÌØÀ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÏÓÔÕÁ.
áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÁÍÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÏ×. ÷ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ Ï ÍÁÔÒÉ Å
ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ W ÏÒÇÒÁÆÁ (ÓÍ. ÓÔÒ. 176), × ËÏÔÏÒÏÊ ÈÒÁÎÉÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ×ÓÅÈ
ÕÔÑÈ ÍÅÖÄÕ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. îÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÏÎÑÔÉÅ ÄÌÑ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÍÁÔÒÉ Õ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÁÔÒÉ ÅÊ
Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. íÁÔÒÉ ÅÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ G Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ
ÍÁÔÒÉ Õ S ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á
ÓÔÏÉÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ S (i; j ) = é , ÅÓÌÉ i = j ÉÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÁÒÛÒÕÔ,
ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ i-ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó j -ÏÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÙ, ÔÏ
S (i; j ) = S (j; i), Ô. Å. ÍÁÔÒÉ Á Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ.
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ××ÅÄÅÍ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÏÎÑÔÉÅ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÂÓÕÖÄÁÌÏÓØ ÎÁ ÓÔÒ. 185). íÁÔÒÉ ÅÊ ÓÉÌØÎÏÊ
Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ C ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, Õ ËÏÔÏÒÏÊ
C (i; j ) = é , ÅÓÌÉ i = j ÉÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i ÄÏÓÔÉÖÉÍÁ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ j É, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ, j -ÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÄÏÓÔÉÖÉÍÁ ÉÚ i-ÏÊ. åÓÌÉ ÖÅ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅ
×ÙÏÌÎÅÎÏ, ÔÏ S (i; j ) = ì (Ô. Å. S (i; j ) = é ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ
Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ i É j ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ).
íÁÔÒÉ Á C ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÍÁÔÒÉ Ù W ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÔÏÌØËÏ ÔÅÍ, ÞÔÏ C (i; j ) = é ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÕÔÉ
ËÁË ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ i × j , ÔÁË É ÉÚ j × i. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, C (i; i) = é ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ i. óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ, ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÕÔÉ ÉÚ i-ÏÊ
×ÅÒÛÉÎÙ × j -ÕÀ W (i; j ) = é , Á W (j; i) = é ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÅÓÔØ ÕÔØ ÉÚ j -ÏÊ
×ÅÒÛÉÎÙ × i-ÕÀ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÑÞÅÊËÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ
ÍÏÖÎÏ ÚÁÏÌÎÑÔØ Ï ÒÁ×ÉÌÕ:
ÅÓÌÉ i = j;
C (i; j ) = é;
W (i; j ) É W (j; i); ÅÓÌÉ i 6= j:
óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÍÅÔÏÄÏ× ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ É ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ. ÷ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ ÕÖÅ ÂÙÌ ÏÉÓÁÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ
(ÓÍ. ÓÔÒ. 177). ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, Ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ É ÍÁÔÒÉ Õ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ
ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. éÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÕÖÅ ÓÈÅÍÁ ÅÒÅÎÏÓÉÔÓÑ ÎÁ ÜÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ
ÏÞÔÉ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ. ÏÌØËÏ × ÓÁÍÏÅ ÅÅ ÎÁÞÁÌÏ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÛÁÇ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÉÊ ÚÎÁÞÅÎÉÑ €é ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ S . ïÉÛÅÍ
ÁÌÇÏÒÉÔÍ É ÒÁÚÂÅÒÅÍ ÅÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÒÉÍÅÒÅ.
ä.2.1. áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÍÁÔÒÉ
Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ
Õ
ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÇÒÁÆ G(V; E ) Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M . áÌÇÏÒÉÔÍ
ÓÔÒÏÉÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÍÁÔÒÉ W , W , . . . , Wn, ÅÒ×ÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ
ÒÁ×ÎÁ
W = M ÉÌÉ E;
0
0
1
283
ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ
ÇÄÅ E | ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ×ÉÄÁ




é
ì
:::
ì
ì
é
:::
ì
:::
:::
:::
:::
ì
ì
:::
é


;

ÏÓÌÅÄÎÑÑ Wn | ÉÓËÏÍÁÑ ÍÁÔÒÉ Á Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ S , Á ÑÞÅÊËÉ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÍÁÔÒÉ
ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ:
Wk (i; j ) = Wk− (i; j ) ÉÌÉ Wk− (i; k) É Wk− (k; j ) ;
1
1
1
k = 1; :::; n; i = 1; :::; n; j = 1; :::; n:
ðÏÄÒÏÂÎÏÅ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÎÁ ÓÔÒ. 178.
ðÒÉÍÅÒ ä.2.1. éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G = (V; E ), ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ. ä.2, É ÎÁ ÅÅ ÏÓÎÏ×Å
ÏÌÕÞÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ.
òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ
ÏÒÇÒÁÆÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
2
3


ì ì é ì ì
 ì ì ì é ì 


1

M =
 ì é ì é é :
 ì é ì ì ì 
é ì ì é ì
4
5
óÏÇÌÁÓÎÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ, ÅÒ×ÁÑ ÍÁÔÒÉ Á W
ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÔÅÍ,
ÞÔÏ Õ ÎÅÅ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÓÔÏÑÔ ÂÕË×Ù €é . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,

é ì é ì ì
 ì é ì é ì 



W = M ÉÌÉ E = 
 ì é é é é :
 ì é ì é ì 
é ì ì é é
äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù W ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W É ÓËÏÉÒÕÅÍ ×ÓÅ ÓÔÒÏËÉ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ ÂÕË×Á €ì , × ÍÁÔÒÉ Õ W .
ðÏÌÕÞÉÍ

? ? ? ? ?
 ì é ì é ì 



W =
 ì é é é é :
 ì é ì é ì 
? ? ? ? ?
0
òÉÓÕÎÏË ä.2.
0
1
0
1
1
284
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
þÔÏÂÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W , ÄÅÊÓÔ×ÕÅÍ, ÓÌÅÄÕÑ ÕËÁÚÁÎÉÑÍ
ÎÁ ÓÔÒ. 178. ðÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W ÓÁÒÉ×ÁÅÍ Ó ÅÒ×ÏÊ ÖÅ ÓÔÒÏËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù W Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ, Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ × ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ
ÍÁÔÒÉ Ù W . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ ÂÅÚ
ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ × ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W .

é ì é ì ì
 ì é ì é ì 



W =
 ì é é é é :
 ì é ì é ì 
? ? ? ? ?
ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÑÔÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W . óÁÒÉ×ÁÅÍ ÅÒ×ÕÀ
ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W Ó ÑÔÏÊ ÅÅ ÓÔÒÏËÏÊ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ É ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ
ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÑÔÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W . éÔÁË,

é ì é ì ì
 ì é ì é ì 



W =
 ì é é é é :
 ì é ì é ì 
é ì é é é
óÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ W . ðÏÓËÏÌØËÕ × ÅÒ×ÏÊ É ÑÔÏÊ ÓÔÒÏËÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù W ÎÁ
×ÔÏÒÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ €ì , ÔÏ ËÏÉÒÕÅÍ ÜÔÉ ÓÔÒÏËÉ × ÍÁÔÒÉ Õ W . ÷ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÓÁÒÉ×ÁÅÍ ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÉÌÉ ÓÏ ×ÔÏÒÏÊ, ÔÒÅÔØÅÊ
É ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù W , ÚÁÉÓÙ×ÁÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ
ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W . ðÏÌÕÞÁÅÍ

é ì é ì ì
 ì é ì é ì 



W =
 ì é é é é :
 ì é ì é ì 
é ì é é é
ðÒÉ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ù W ×ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ ÉÇÒÁÅÔ ÔÒÅÔÉÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W . ðÏÓËÏÌØËÕ × ÜÔÏÍ ÓÔÏÌÂ Å É ÓÔÒÏËÁÈ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 2 É 4 ÓÔÏÉÔ ÂÕË×Á
€ì , ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ × ÍÁÔÒÉ Õ W ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ. úÁÔÅÍ ÅÒ×ÕÀ, ÔÒÅÔØÀ É ÑÔÕÀ ÓÔÒÏËÉ ÉÚ W ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÓÁÒÉÔØ Ó ÔÒÅÔØÅÊ É ÚÁÉÓÁÔØ
ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W . ðÏÌÕÞÁÅÍ

é é é é é
 ì é ì é ì 



W =
 ì é é é é :
 ì é ì é ì 
é é é é é
óÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ W . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÅÔ×ÅÒÔÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W .
÷ÓÅ ÓÔÒÏËÉ ÜÔÏÇÏ ÓÔÏÌ Á ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÂÕË×Ù €é , ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ
ÓÁÒÉÔØ ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÉÌÉ ÞÅÔ×ÅÒÔÕÀ ÓÔÒÏËÕ Ó ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù W
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
2
1
2
1
1
2
2
3
2
3
2
3
3
4
3
3
285
ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ
É ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÚÁÉÓÁÔØ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W . îÏ ×ÓÅ ÓÔÒÏËÉ
W ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÂÕË×Ù €é  × ÔÅÈ ÖÅ ÓÔÏÌ ÁÈ, ÞÔÏ É ÞÅÔ×ÅÒÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ (ÓÔÏÌ ٠2
É 4), ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÏÎÉ ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ. Ï ÅÓÔØ ÍÁÔÒÉ Ù W É W
ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.

é é é é é
 ì é ì é ì 



W =
 ì é é é é :
 ì é ì é ì 
é é é é é
îÁÊÄÅÍ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÍÁÔÒÉ Õ W . ðÑÔÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÕË×Ù
€ì  ×Ï ×ÔÏÒÏÊ É ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÒÏËÁÈ, ÏÜÔÏÍÕ ÜÔÉ ÓÔÒÏËÉ ÅÒÅÊÄÕÔ × ÍÁÔÒÉ Õ W
ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ. ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W ÓÁÒÉ×ÁÅÍ ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÉÌÉ Ó ÑÔÏÊ
ÓÔÒÏËÏÊ É ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ × ÍÁÔÒÉ Õ W . ðÏÌÕÞÁÅÍ 
é é é é é
 ì é ì é ì 



W =
 é é é é é :
 ì é ì é ì 
é é é é é
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÁÔÒÉ Á ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ
ÄÁÎÎÏÇÏÏÒÇÒÁÆÁ ÒÁ×ÎÁ

é é é é é
 ì é ì é ì 



W =
 é é é é é :
 ì é ì é ì 
é é é é é
éÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÓÔÒ. 282), ÏÌÕÞÉÍ

é ì é ì é
 ì é ì é ì 



C=
 é ì é ì é :
 ì é ì é ì 
é ì é ì é
åÓÌÉ ÇÒÁÆ ÉÍÅÅÔ ÎÅÂÏÌØÛÏÅ ËÏ3
ÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ É ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ÇÌÑÄÑ ÎÁ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Õ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÉÌÉ
ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÇÒÁÆÁ,
2
4
ÍÏÖÎÏ ÌÅÇËÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ÁË ÏÒÇÒÁÆ ÉÚ ÒÉ- 1
5
ÍÅÒÁ ä.2.1 ÉÍÅÅÔ Ä×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ
Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÒÉÓ. ä.3).
ïÄÎÁËÏ × ÚÁÄÁÞÁÈ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÈ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ, ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ ÏÞÅÎØ ×ÅÌÉËÏ É ÒÕÞÎÏÊ ÍÅÔÏÄ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÎÅÒÅÎÔÁÂÅÌÅÎ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÙÊ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ.
4
3
3
4
4
5
4
5
4
5
5
òÉÓÕÎÏË ä.3.
286
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ä.2.2. ÷ÙÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ
ïÉÛÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, Á ÔÁËÖÅ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÓÁÍÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ É ÉÈ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ × ÓÌÕÞÁÅ
ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ.
éÄÅÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ €é  ÌÀÂÏÊ i-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÉÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÓÅÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍÓÑ × ÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ i.
õÄÁÌÅÎÉÅ ÉÚ ÍÁÔÒÉ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ É Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï×, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ
ÜÔÉÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÄÁÌÅÎÉÀ ÉÚ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ
Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ó ÏÌÕÞÅÎÎÙÍ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ ÍÏÖÎÏ Ï×ÔÏÒÉÔØ ÏÉÓÁÎÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ, ×ÙÄÅÌÉ× ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ËÏÍÏÎÅÎÔÕ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, É ÔÁË ÄÁÌÅÅ, ÄÏ
ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÍÁÔÒÉ Á, ÎÅ ÉÍÅÀÝÁÑ ÎÉ ÓÔÏÌ Ï×, ÎÉ ÓÔÒÏË. ÁËÕÀ
ÍÁÔÒÉ Õ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÕÓÔÏÊ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ∅.
Input
V | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ G;
M | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G;
C | ÍÁÔÒÉ Á ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G;
begin
p := 0;
B := C ;
while B 6= ∅ do
begin
p := p + 1;
×ËÌÀÞÉÔØ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
Vp
×ÅÒÛÉÎÙ ÉÚ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ
ÍÁÔÒÉ Ù
B;
é
V,
ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÉ
Mp ×ÚÑÔØ ÏÄÍÁÔÒÉ Õ
M , ÎÁÈÏÄÑÝÕÀÓÑ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ
× ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÁÔÒÉ Ù
ÍÁÔÒÉ Ù
ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï×, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ
Vp ;
B ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù,
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ Vp ;
ÕÄÁÌÉÔØ ÉÚ V ×ÅÒÛÉÎÙ Vp ;
×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ
×ÙÞÅÒËÎÕÔØ ÉÚ
Output
end
end
p | ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G;
Vi , i = 1; 2; : : : p, | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ i-ÔÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ
Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Gi ÏÒÇÒÁÆÁ G;
Mi , i = 1; 2; : : : p; | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ i-ÔÏÊ
ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Gi ÏÒÇÒÁÆÁ G.
ðÒÉÍÅÒ ä.2.2. ïÒÅÄÅÌÉÔØ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G, ÏÌÕ-
ÞÅÎÎÏÇÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÒÇÒÁÆÏ× × ÒÉÍÅÒÅ ä.1.1, É ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ÉÈ ÏÔÄÅÌØÎÏ.
287
ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ
òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ
ÏÒÇÒÁÆÁ ÒÁ×ÎÁ

M
=





ì
é
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
é
ì
ì
é
ì
ì
é
é
ì
ì
é
ì

é
é
é
é
é
ì
é
ì
ì
ì
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é

é
ì
é
é
é
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
é
é
é
é
ì
é
é
é





:
ðÒÉÍÅÎÉ× ÍÅÔÏÄ õÏÒÛÅÌÌÁ, ÏÌÕÞÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ:
W
=











:
úÁÔÅÍ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÓÔÒ. 282),
ÎÁÈÏÄÉÍ


é
ì 

é 
C=
:
é 
é
÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÏÌÁÇÁÅÍ p :=0, B = C . íÁÔÒÉ





Á B 6= ∅, ÏÔÏÍÕ
×ÙÏÌÎÑÅÍ ÔÅÌÏ ÉËÌÁ.
{ ÏÌÁÇÁÅÍ p := p + 1 = 0 + 1 = 1;
{ V := {1; 3; 4; 5};
{ ÆÏÒÍÉÒÕÅÍ M , ×ÚÑ× ÉÚ M ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂÏ×, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á V :
1
1
1
M
1

:= 
ì
é
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
ì
é
é
ì
é
ì


:

îÁ ÜÔÏÍ ÜÔÁÅ ÍÙ ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ V É ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ
M ÅÒ×ÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G.
{ ×ÙÞÅÒËÉ×ÁÅÍ ÉÚ B ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌ Ù, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ V :
B := [é ℄;
{ ×ÙÞÅÒËÉ×ÁÅÍ ÉÚ V ×ÅÒÛÉÎÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ V , V := {2}.
ÁË ËÁË B 6= ∅, Ï×ÔÏÒÑÅÍ ÔÅÌÏ ÉËÌÁ.
{ ÏÌÁÇÁÅÍ p := p + 1 = 1 + 1 = 2;
{ ÆÏÒÍÉÒÕÅÍ V := {2};
1
1
1
1
2
288
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
{ ÆÏÒÍÉÒÕÅÍ M , ×ÚÑ× ÉÚ M ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÅ 2 ÍÎÏÖÅÓÔ×Á V :
M := [ì ℄ :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ V É ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M
×ÔÏÒÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G.
{ ×ÙÞÅÒËÉ×ÁÅÍ ÉÚ B ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌ Ù, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ V :
B := ∅:
ÁË ËÁË B = ∅, ÔÏ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÍ ÉËÌ É, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ×ÅÓØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÅÎÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÅÒÛÉÎ É ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ Ä×ÕÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ
ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G. ëÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ä.4.
2
2
2
2
2
2
ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù
ÉËÌÙ
÷ ÎÁÞÁÌÅ ÓÅÄØÍÏÊ ÇÌÁ×Ù ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ËÎÉÇÉ ÷Ù ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ Ó ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ Ï ËÅÎÉÇÓÂÅÒÇÓËÉÈ ÍÏÓÔÁÈ, ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÔÏÒÏÊ ××ÏÄÉÌÏÓØ ÏÎÑÔÉÅ
3 ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ É ÜÊÌÅÒÏ×Á ÇÒÁ2
ÆÁ. ÁÍ ÖÅ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ
ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÇÒÁÆÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÞÅÔÎÏÊ,
É ÓÏÏÂÝÁÌÓÑ ÔÁËÏÊ ÆÁËÔ: ÕÓÌÏ×ÉÅ
ÞÅÔÎÏÓÔÉ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ
5
4
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ × ÇÒÁÆÅ. úÁÄÁÞÁ Ï ÏÉÓËÅ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ × ÄÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÉÍÅÅÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. îÅ ÕÇÌÕÂÌÑÑÓØ
× ×ÙÓÏËÕÀ ÎÁÕËÕ, ÍÏÖÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÚÁÄÁÞÕ ÕÂÏÒËÉ ÕÌÉ ÇÏÒÏÄÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ×
ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÍÁÒÛÒÕÔ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÕÂÏÒÏÞÎÏÊ ÍÁÛÉÎÙ Ï
ÕÌÉ ÁÍ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁÊÏÎÁ ÇÏÒÏÄÁ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÎÁÞÉÎÁÌÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÌÓÑ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÍÅÓÔÅ É ÒÏÈÏÄÉÌ Ï ËÁÖÄÏÊ ÕÌÉ Å ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ
ÒÁÚÁ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ. óÈÅÍÕ ÕÌÉ ÒÁÊÏÎÁ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÇÒÁÆÁ,
ÒÅÂÒÁÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÕÌÉ Ù, Á ×ÅÒÛÉÎÁÍ | ÅÒÅËÒÅÓÔËÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ × ÇÒÁÆÅ.
úÁÄÁÞÕ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÁ×ÉÌÅ. îÁÞÎÅÍ ÍÁÒÛÒÕÔ P × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ a ÇÒÁÆÁ G É ÂÕÄÅÍ ÒÏÄÏÌÖÁÔØ ÅÇÏ, ÎÁÓËÏÌØËÏ
×ÏÚÍÏÖÎÏ, ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÞÅÒÅÚ ÎÏ×ÙÅ ÒÅÂÒÁ. ÁË ËÁË Ë ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ
ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ, ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÍÏÖÅÔ ÚÁËÏÎÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÉÓÈÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ a. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ Ó×ÏÅ
1
òÉÓÕÎÏË ä.4.
ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù
289
ÉËÌÙ
ÒÅÂÒÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ, Ô. Å. ÉËÌ P = a a a : : : ak a. åÓÌÉ P ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ×ÓÅ
ÒÅÂÒÁ G, ÕÄÁÌÉÍ ÉÚ G ÒÅÂÒÁ, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × P .
÷ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ G É ÉËÌÁ P ÉÍÅÀÔ ÞÅÔÎÙÅ ÓÔÅÅÎÉ. Ï ÖÅ′ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ É ÒÏ ÏÓÔÁÀÝÉÊÓÑ ÏÄÇÒÁÆ G . ÁË ËÁË ÇÒÁÆ G Ó×ÑÚÅÎ, ÔÏ
b
P‘
× P ÄÏÌÖÎÁ ÎÁÊÔÉÓØ ×ÅÒÛÉÎÁ as, ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÁÑ
′
ËÁËÏÍÕ-ÔÏ ÒÅÂÒÕ ÉÚ G . éÚ as ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ
ÎÏ×ÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ P ′, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÒÅÂÒÁ ÔÏÌØËÏ ÉÚ
a
b
ÏÄÇÒÁÆÁ G′. ÁËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔ ÍÏÖÅÔ ÚÁËÏÎÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÉ × ×ÅÒÛÉÎÕ as , Ô. Å.
P
P ′ = as b : : : bm as . îÏ ÔÏÇÄÁ ÉÚ P É P ′ ÍÏÖÎÏ a
ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÎÏ×ÙÊ ÉËÌ
a
a
P = a a : : : as b : : : bm as as : : : am a;
ËÏÔÏÒÙÊ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × a É ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÏÌØÛÅ
ÒÅÂÅÒ, ÞÅÍ P (ÓÍ. ÒÉÓ. ä.5). åÓÌÉ P ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÉËÌÏÍ, ÔÏ ÜÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ. ëÏÇÄÁ ÒÏ ÅÓÓ ÚÁËÏÎÞÉÔÓÑ,
ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ ÂÕÄÅÔ ÏÓÔÒÏÅÎ.
1
2
1
s
m
1
1
k
1
1
1
+1
òÉÓÕÎÏË ä.5.
1
ä.3.1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á
Input
ÉËÌÁ × ÇÒÁÆÅ
G(V; E ) | ËÏÎÅÞÎÙÊ Ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ Ó ÞÅÔÎÙÍÉ ÓÔÅÅÎÑÍÉ
begin
×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ;
×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ
ò := ∅;
a := d;
d∈V;
while E 6= ∅ do
begin
×ÙÂÒÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÂÒÏ
:= d;
P ′ := ∅;
repeat
begin
d ∈ ò , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ
(d; x) ∈ E ;
×ÙÂÒÁÔØ ÒÅÂÒÏ (d; y ) ∈E Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ:
(d;′ y) ∈= ′P ′;
P := P ∪ {(d; y)};
ÕÄÁÌÉÔØ ÒÅÂÒÏ (d; y ) ÉÚ å ;
d := y;
end;
until y 6=
if P 6= ∅ then ′
P := P (a; ) ∪ P ∪ P ( ; a);
290
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
else
end
P := P ′;
end
Output P |
G
ðÒÉÍÅÒ ä.3.1. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ × ÇÒÁÆÅ G(V; E ), ÅÓÌÉ
ÜÊÌÅÒÏ×
ÉËÌ ÇÒÁÆÁ
.
V = 1; 2; 3; 4; 5; 6 É
E = (1; 2); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (4; 6); (5; 6) :
òÅÛÅÎÉÅ. õÓÌÏ×ÉÍÓÑ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ: ÒÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÌÅ×Á ÎÁ-
ÒÁ×Ï × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ, ×ÙÂÉÒÁÔØ ÅÒ×ÙÊ ÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ.
îÁ ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ÜÔÁÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ d ∈ V .
{ ðÏÌÏÖÉÍ d := 1;
{ P := ∅;
{ a := d = 1.
÷ÙÏÌÎÑÅÍ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÉËÌÁ while E 6= ∅ do ... end. ÁË ËÁË ò = ∅,
ÎÏ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ×ÙÂÒÁÔØ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ É d ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÒÁ×ÎÏÅ 1.
{ := d = 1;
{ P ′ := ∅.
÷ÙÏÌÎÑÅÍ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÉËÌÁ repeat . ..until y 6= .
{ ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 1
(ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (1; 2));
{ ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 1 2;
{ ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (1; 2) ÉÚ å
(å := {(1; 4); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (4; 6); (5; 6)});
{ d := y = 2.
{ ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 2
(ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (2; 3));
{ ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 1 2 3;
{ ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (2; 3) ÉÚ å
(å := {(1; 4); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (4; 6); (5; 6)});
{ d := y = 3.
{ ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 3
(ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (3; 4));
{ ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 1 2 3 4;
ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù
ÉËÌÙ
291
{ ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (3; 4) ÉÚ å
(å := {(1; 4); (2; 4); (2; 5); (4; 6); (5; 6)});
{ d := y = 4.
{ ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 4
(ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (4; 1));
{ ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 1 2 3 4 1;
{ ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (1; 4) ÉÚ å (å := {(2; 4); (2; 5); (4; 6); (5; 6)});
{ d := y = 1.
÷ÙÏÌÎÉÌÏÓØ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏËÏÎÞÁÎÉÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÉËÌÁ, ÏÓËÏÌØËÕ Õ ÓÔÁÌ ÒÁ×ÅÎ Ó.
ÁË ËÁË ò = ∅, ÏÌÁÇÁÅÍ ò := ò ′ = 1 2 3 4 1. ðÏÓËÏÌØËÕ å 6= ∅, Ï×ÔÏÒÑÅÍ ×ÎÅÛÎÉÊ
ÉËÌ.
{ ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ d ∈ P , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÂÒÏ (d; x), ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÅ E (ÜÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ d = 2);
{ := d = 2;
{ P := ∅.
óÎÏ×Á ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ×ÙÏÌÎÅÎÉÀ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÉËÌÁ repeat .. .until
y 6= .
{ ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 2
(ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (2; 4));
{ ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 2 4;
{ ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (2; 4) ÉÚ å (å := {(2; 5); (4; 6); (5; 6)});
{ d := y = 4.
{ ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 4
(ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (4; 6));
{ ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 2 4 6;
{ ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (4; 6) ÉÚ å (å := {(2; 5); (5; 6)});
{ d := y = 6.
{ ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 6
(ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (6; 5));
{ ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 2 4 6 5;
{ ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (6; 5) ÉÚ å (å := {(2; 5)});
{ d := y = 5.
292
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
{ ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 5
(ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (5; 2));
{ ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 2 4 6 5 2;
{ ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (5; 2) ÉÚ å (å := ∅);
{ d := y = 2.
ðÏÓËÏÌØËÕ Õ = Ó = 2, ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÊ ÉËÌ ÚÁËÏÎÞÅÎ. ÁË ËÁË ò 6= ∅, ÏÌÁÇÁÅÍ
P := P (a; ) ∪ P ′ ∪ P ( ; a) = P (1; 2) ∪ P ′ ∪ P (2; 1) =
= 1 2 4 6 5 2 3 4 1:
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Ë ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ å = ∅. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÁËÏÎÞÅÎ ×ÎÅÛÎÉÊ
ÉËÌ É ×ÅÓØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÓÔÒÏÅÎ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ: ò = 2 4 6 5 2 3 4 1.
ä.3.2. áÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÒÉ
åÓÌÉ G ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ, Á ÞÔÏ-ÔÏ ×ÒÏÄÅ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ ÏÓÔÒÏÉÔØ
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÍÁÒÛÒÕÔÏ×,
ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ ×ÓÅ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ. òÅÛÉÔØ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÍÏÖÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ k ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ G ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ (ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ k |
ÞÅÔÎÏ). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ËÏÎ ÏÍ ÈÏÔÑ
ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ G ÍÁÒÛÒÕÔÏ× Pi . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ
ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÒÁ×ÎÏ k=2. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÔÁËÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÇÒÁÆ
G ÏËÒÙÔØ ÍÏÖÎÏ. þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ, ÒÁÓÛÉÒÉÍ G ÄÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G′ ,
ÄÏÂÁ×É× k=2 ÒÅÂÅÒ E ′, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ÏÇÄÁ G′ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ É ÉÍÅÅÔ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ P ′. ðÏÓÌÅ
ÕÄÁÌÅÎÉÑ ÉÚ P ′ ÒÅÂÅÒ E ′ ÇÒÁÆ ÒÁÚÌÏÖÉÔÓÑ ÎÁ k=2 ÕÞÁÓÔËÏ×, ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ G.
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÇÒÁÆÁ Ó ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÉËÌÏÍ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÁÚÕÍÎÕÀ ÓÈÅÍÕ ÏÂÈÏÄÁ ×ÙÓÔÁ×ËÉ, Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ËÏÒÉÄÏÒÁÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÅÔÉÔÅÌÉ
ÄÏÌÖÎÙ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕËÁÚÁÔÅÌÑÍ, ÒÏÊÔÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ Õ×ÉÄÅÔØ ËÁÖÄÙÊ ÜËÓÏÎÁÔ Ï
ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ. åÓÌÉ ÜËÓÏÎÁÔÙ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ Ï ÏÂÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ËÏÒÉÄÏÒÏ×, ÔÏ ÍÏÖÎÏ
ÎÁÒÁ×ÌÑÔØ ÏÓÅÔÉÔÅÌÅÊ ÞÅÒÅÚ ÎÉÈ Ä×ÁÖÄÙ, ÞÔÏÂÙ ËÁÖÄÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÂÙÌÁ ÏÓÍÏÔÒÅÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÏ.
üÔÏ ÎÅ ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÌÁÎ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ×ÙÓÔÁ×ËÉ,
ÔÁË ËÁË × ËÏÎÅÞÎÏÍ Ó×ÑÚÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ
ÉËÌ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÄ×ÏÉÔØ ÒÅÂÒÁ × ÄÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ G, ÒÁÓÝÅÌÑÑ
ËÁÖÄÏÅ ÎÁ ÁÒÕ ÄÕÇ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÊ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ. ÁËÁÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ €ÕÄ×ÏÅÎÉǺ ÇÒÁÆÁ. ðÏÌÕÞÉ×ÛÅÅÓÑ ÕÄ×ÏÅÎÉÅ Gd ÇÒÁÆÁ G, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÇÒÁÆÏÍ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á
ÉËÌÁ.
éÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ É ÚÁÄÁÞÕ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÜËÓËÕÒÓÉÏÎÎÏÇÏ ÍÁÒÛÒÕÔÁ ÄÌÑ ÏÓÍÏÔÒÁ ÄÏÓÔÏÒÉÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÇÏÒÏÄÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÍÁÒÛÒÕÔÁ
ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù
ÉËÌÙ
293
Ä×ÉÖÅÎÉÑ Á×ÔÏÂÕÓÁ Ï ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÓÈÅÍÅ ÇÏÒÏÄÓËÉÈ ÕÌÉ . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÍÁÒÛÒÕÔ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÎÅ ÒÏÈÏÄÉÌ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ Ï ËÁÖÄÏÊ ÉÚ
ÕÌÉ .
äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÉËÌÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÇÏ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ Ï ÏÄÎÏÍÕ
ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ, ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÒÁ×ÉÌÏ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÅ
ÜÒÒÉ.
îÁÞÉÎÁÑ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ a , ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÉÄÔÉ Ï ËÁËÏÍÕ-ÎÉÂÕÄØ
ÍÁÒÛÒÕÔÕ P , ÏÔÍÅÞÁÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÒÅÂÒÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÏ ÂÙÌÏ ÒÏÊÄÅÎÏ. åÓÌÉ ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ × ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ g × ÅÒ×ÙÊ ÒÁÚ, ÔÏ ÏÓÏÂÏ ÏÔÍÅÞÁÅÔÓÑ
ÅÒ×ÏÅ ×ÈÏÄÑÝÅÅ ÒÅÂÒÏ. éÚ ×ÅÒÛÉÎÙ g ×ÓÅÇÄÁ ÓÌÅÄÕÅÍ Ï ÒÅÂÒÕ (g; r), ËÏÔÏÒÏÅ ÉÌÉ
×ÏÏÂÝÅ ÅÝÅ ÎÅ ÂÙÌÏ ÒÏÊÄÅÎÏ, ÉÌÉ ÖÅ ÂÙÌÏ ÒÏÊÄÅÎÏ × ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ Ï ÅÒ×ÏÍÕ ×ÈÏÄÑÝÅÍÕ × g ÒÅÂÒÕ ÍÏÖÎÏ ÉÄÔÉ ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ,
ËÏÇÄÁ ÄÒÕÇÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÎÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ.
ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÒÏÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ g × ÅÉ P ÂÕÄÅÔ ÏÄÎÏ ×ÈÏÄÑÝÅÅ
ÒÅÂÒÏ É ÏÄÎÏ ×ÙÈÏÄÑÝÅÅ ÒÅÂÒÏ; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P ÍÏÖÅÔ ÚÁËÏÎÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ × a .
ãÅØ P ÄÏÌÖÎÁ ÏËÒÙ×ÁÔØ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ G Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ.
óÎÁÞÁÌÁ ÒÏ×ÅÒÉÍ ÜÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÅÂÅÒ Ó ËÏÎ ÏÍ × a . ÁË ËÁË P × ×ÅÒÛÉÎÅ a
ËÏÎÞÁÅÔÓÑ, ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ Ó ËÏÎ ÏÍ × a ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÕÖÅ ÏËÒÙÔÙ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ
ÏÔ a ; ÔÁË ËÁË × P ÞÉÓÌÏ ×ÈÏÄÑÝÉÈ É ×ÙÈÏÄÑÝÉÈ ÒÅÂÅÒ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ
×ÅÒÛÉÎÙ, ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ × a ÄÏÌÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏËÒÙÔÙÍ × ÏÂÏÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ.
ÒÅÂÕÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÏÓÔÁÌØÎÙÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ P .
ðÒÏÊÄÅÍ Ï P ÏÔ a ÄÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ an É ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÁÈ ai ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ ÏËÒÙÔÙ × ÏÂÏÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. ÷ÈÏÄÑÝÅÅ × an
ÒÅÂÒÏ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (ai ; an) É, Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ, ÏËÒÙÔÏ × ÏÂÏÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ.
îÏ ÅÒ×ÏÅ ×ÈÏÄÑÝÅÅ × an ÒÅÂÒÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÏ × P ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÄÒÕÇÉÈ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ×ÙÈÏÄÏ×; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ × an ÔÁËÖÅ ÄÏÌÖÎÙ
ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏËÒÙÔÙÍÉ × ÏÂÏÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÒÉ.
0
0
0
0
0
0
0
Input
n | ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ;
V | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ;
m | ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ;
E | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ;
M | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ;
begin
×ÙÂÒÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ
P := ∅;
k := 2m;
V ′ := V ;
while k 6= 0 do
a∈V;
0
294
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
begin
(a; b), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ
M (a; b) = é , ÒÉÞÅÍ × ÏÓÌÅÄÎÀÀ
ÏÞÅÒÅÄØ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÒÅÂÒÏ (a; b), ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÏÇÏ M (b; a) = ì ;
if b ∈ V ′ then
×ÙÂÒÁÔØ ÒÅÂÒÏ
begin
b ÉÚ V ′ ;
ÏÌÏÖÉÔØ M (a; b) := ì ;
ÕÄÁÌÉÔØ
else
end
Output P |
end
end
ÏÌÏÖÉÔØ
P := P ∪ {(a; b)};
k := k − 1;
a := b;
ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ
M (a; b) := ì ;
ÉËÌ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ
ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ
ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ.
ðÒÉÍÅÒ ä.3.2. ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÅÒÒÉ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ
ÉËÌ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.6 ÇÒÁÆÁ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ.
òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ, ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÒÅÂÅÒ
ÇÒÁÆÁ ÄÌÑ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ × ÉËÌ, ÂÕÄÅÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÅÒ×ÏÅ ÏÄÈÏÄÑÝÅÅ ÒÅÂÒÏ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ×ÏÚØ4 ÍÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 1. ðÒÏ ÅÓÓ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ÔÁÂÌ. ä.4.2. ðÅÒ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÔÁÂÌÉÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ ÍÁÓÓÉ×Ï×
É ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
5
1
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ
ÏÓÔÒÏÅÎ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÉËÌ:
ò = (1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5); (5; 4); (4; 5); (5; 1) :
3
2
òÉÓÕÎÏË ä.6.
ä.4. ïÅÒÁ
ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ
îÁÉÂÏÌÅÅ ÒÏÄÕËÔÉ×ÎÙÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÀÂÏÊ ÚÁÄÁÞÉ | ÉÚÕÞÉÔØ ÅÅ ÓÕÝÎÏÓÔØ. äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÚÁÄÁÞÕ ÍÏÖÎÏ
ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁ ÑÚÙËÅ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÔÎÏÓÑÝÅÊÓÑ Ë ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÍ
295
ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ
ÒÁÚÄÅÌÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÉÚÌÏÖÉÔØ ×
ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ. ë ÔÁËÉÍ ÚÁÄÁÞÁÍ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ É
ÚÁÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÛÁÀÔÓÑ ÒÏÂÌÅÍÙ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó
ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ (ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÁ ÓÔÒ. 81).
ÁÂÌÉ Á ä.4.2
k
a
(a; b)
V
′
P
M
2
12
1
{1; 2; 3; 4; 5}
∅
6é
6
6
6é
6
4ì
2
11
2
(1; 2)
{1; 3; 4; 5}
{(1; 2)}
3
(2; 3)
{1; 4; 5}
{(1; 2); (2; 3)}
9
1
(3; 1)
{4; 5}
{(1; 2); (2; 3); (3; 1)}
8
5
(1; 5)
{4}
{(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5)}
7
2
(5; 2)
{4}
{(1; 2); (2; 3);
(3; 1); (1; 5); (5; 2)}
6
1
(2; 1)
{4}
{(1; 2); (2; 3); (3; 1);
(1; 5); (5; 2); (2; 1)}
ì
é
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
é
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
é
ì
é
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
é
é
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
é
ì
ì
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
é
é
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
é
ì
ì
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
é
é
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
ì
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
é
é
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
ì
6é
6
6
6ì
6
4ì
2
é
ì
6é
6
6
6ì
6
4ì
2
ì
ì
6é
6
6
6ì
6
4ì
2
é
é
6é
6
6
6é
6
4ì
2
é
é
6é
6
6
6é
6
4ì
2
10
ì
ì
ì
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
é
ì
ì
é
ì
ì
ì
é
ì
ì
6ì
6
6
6ì
6
4ì
é
ì
ì
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
é
ì
3
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
5
296
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ðÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÔÁÂÌ. ä.4.2
2
5
3
(1; 3)
{4}
{(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5);
(5; 2) (2; 1); (1; 3)}
ì
ì
ì
ì
ì
6ì
6
6
6ì
6
4ì
ì
ì
ì
é
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
é
ì
ì é
ì
2
4
3
2
1
2
5
4
5
(3; 2)
(2; 5)
(5; 4)
(4; 5)
{4}
{4}
∅
∅
{(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5);
(5; 2) (2; 1); (1; 3); (3; 2)}
{(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2);
(2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5)}
{(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2);
(2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5); (5; 4)}
{(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2) (2; 1);
(1; 3); (3; 2); (2; 5); (5; 4); (4; 5)}
ì
ì
ì
ì
ì
6ì
6
6
6ì
6
4ì
ì
ì
ì
é
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
é
ì
ì é
ì
2
ì
ì
ì
ì
ì
6ì
6
6
6ì
6
4ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
é
é
ì
ì é
ì
2
ì
ì ì ì
ì
6ì
6
6
6ì
6
4ì
ì ì ì
ì
ì ì ì
ì
ì ì ì
é
é
ì ì ì
ì
2
ì
ì
ì ì
ì
6ì
6
6
6ì
6
4ì
ì
ì ì
ì
ì
ì ì
ì
ì
ì ì
ì
ì
ì ì
ì
é
2
0
4
(5; 1)
∅
{(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2) (2; 1);
(1; 3); (3; 2); (2; 5); (5; 4); (4; 5); (5; 1)}
ì ì ì
ì
ì
ì ì
ì
ì
ì ì
ì
ì
ì ì
ì
ì
ì ì ì
ì
ì
6ì
6
6
6ì
6
4ì
3
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
5
3
7
7
7
7
7
5
íÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ, Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÍ ÏÄÚÁÄÁÞÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ, ×ÙÏÌÎÑÅÍÙÈ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÂÁÚÅ ÄÁÎÎÙÈ (ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÜÌÅÍÅÎÔÏ×). îÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ËÏÍÁÎÄ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÉÓË, ×ÓÔÁ×ËÁ, ÕÄÁÌÅÎÉÅ É ÍÉÎÉÍÕÍ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÞÁÓÔØ ÚÁÄÁÞ ÏÉÓËÁ. ï ÜÔÉÈ É ÄÒÕÇÉÈ ÏÄÏÂÎÙÈ ËÏÍÁÎÄÁÈ
É ÏÊÄÅÔ ÒÅÞØ ÎÉÖÅ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ, ÔÉÉÞÎÙÈ ÄÌÑ
ÚÁÄÁÞ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ.
• ðÏÉÓË(a; S ) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔ Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S ; ÅÓÌÉ a ∈ S ,
ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÅÒÁ ÉÉ | ÏÔ×ÅÔ €ÄÁ; × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÏÔ×ÅÔ €ÎÅԁ.
ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ
•
•
297
÷ÓÔÁ×ËÁ(a; S ) ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ Á × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S , ÔÏ ÅÓÔØ ÚÁÍÅÎÑÅÔ S ÎÁ
S ∪ {a}.
áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏÂÈÏÄÁ(S ) ÅÞÁÔÁÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S Ó
ÓÏÂÌÀÄÅÎÉÅÍ ÏÒÑÄËÁ.
• õÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÕÄÁÌÑÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ Á ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÔÏ ÅÓÔØ ÚÁÍÅÎÑÅÔ S ÎÁ
S \ {a}.
• ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(S ; S ; S ) ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S É S , Ô. Å. ÓÔÒÏÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S = S ∪ S .
• íÉÎÉÍÕÍ(S ) ×ÙÄÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S .
ó ÅÒ×ÙÍÉ ÔÒÅÍÑ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÷Ù ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÙ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÇÌÁ×Å 7 ÎÁ ÓÔÒ. 167 É 169 . óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ, ËÏÔÏÒÏÊ
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÌÁÄÅÔØ, | ÜÔÏ ÏÅÒÁ ÉÑ ÍÉÎÉÍÕÍ(S ). äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å ÏÉÓËÁ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÕÔØ v ; v ; : : : ; vp , ÇÄÅ v |
ËÏÒÅÎØ ÄÅÒÅ×Á , vi | ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ ×ÅÒÛÉÎÙ vi− (i = 1; 2; : : : ; p), Á Õ ×ÅÒÛÉÎÙ vp
ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ. ëÌÀÞ ×ÅÒÛÉÎÙ vp É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ×
ÄÅÒÅ×Å . ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÏÌÅÚÎÏ ÉÍÅÔØ ÕËÁÚÁÔÅÌØ ÎÁ ×ÅÒÛÉÎÕ vp , ÞÔÏÂÙ
ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ÄÏÓÔÕ Ë ÎÁÉÍÅÎØÛÅÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÚÁ ÏÓÔÏÑÎÎÏÅ ×ÒÅÍÑ.
áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÍÉÎÉÍÕÍ(S ) ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÕÀ ÒÏÅÄÕÒÕ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(v), ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÕÀ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v. áÌÇÏÒÉÔÍ É ÒÏÅÄÕÒÁ ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
1
3
1
2
3
1
2
2
0
1
0
1
Input
Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ
ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
begin
if T = ∅ then output
else
S
€ÄÅÒÅ×Ï ÕÓÔρ;
ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(r)
(ÚÄÅÓØ r | ËÏÒÅÎØ ÄÅÒÅ×Á );
ÍÉÎÉÍÕÍ := l(v), ÇÄÅ v | ×ÏÚ×ÒÁÔ
ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ;
×ÙÚ×ÁÔØ ÒÏ ÅÄÕÒÕ
Output
end
ÏÔ×ÅÔ €ÄÅÒÅ×Ï ÕÓÔρ, ÅÓÌÉ
ÍÉÎÉÍÕÍ
ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÅÒÛÉÎ;
| ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÄÅÒÅ×Á
× ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.
Pro edure ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(v).
begin
if v ÉÍÅÅÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ w then return ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(w)
else return v
end
ðÒÉÍÅÒ ä.4.1. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÉÎÉÍÕÍ ÎÁ ÄÅÒÅ×Å ÏÉÓËÁ,
ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. ä.7
298
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
òÅÛÅÎÉÅ. äÅÒÅ×Ï ÎÅ ÕÓÔÏ, ÓÌÅ1
ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁ
if
ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(1).
÷ÅÒÛÉÎÁ 1 ÉÍÅÅÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ |
3
2
×ÅÒÛÉÎÕ 2, ÚÎÁÞÉÔ ×ÙÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏthen
end
ÅÄÕÒÁ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(2).
÷ÅÒÛÉÎÁ 2 ÉÍÅÅÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ | 4
6
×ÅÒÛÉÎÕ 4, ÚÎÁÞÉÔ ×ÙÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏ- begin
while
ÅÄÕÒÁ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(4).
÷ÅÒÛÉÎÁ 4 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ,
5
ÏÜÔÏÍÕ ×ÅÒÛÉÎÁ 4 É ÂÕÄÅÔ ×ÏÚ×ÒÁelse
ÔÏÍ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ.
ëÌÀÞÏÍ ×ÅÒÛÉÎÙ 4 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÏ×Ï begin, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ
ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÄÅÒÅ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÍÉÎÉÍÕÍ= begin.
òÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÏÅÒÁ ÉÀ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÉÓËÏ×ÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ× ÔÏÖÅ ÒÏÓÔÏ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ Á, ÏÄÌÅÖÁÝÉÊ ÕÄÁÌÅÎÉÀ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎ
× ×ÅÒÛÉÎÅ v. ÷ÏÚÍÏÖÎÙ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ:
• ×ÅÒÛÉÎÁ v Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÓÔÏÍ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ v ÒÏÓÔÏ ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÄÅÒÅ×Á;
• Õ ×ÅÒÛÉÎÙ v × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÄÉÎ ÓÙÎ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂßÑ×ÌÑÅÍ ÏÔ Á ×ÅÒÛÉÎÙ
v ÏÔ ÏÍ ÓÙÎÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v, ÕÄÁÌÑÑ ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ v ÉÚ ÄÅÒÅ×Á (ÅÓÌÉ v | ËÏÒÅÎØ,
ÔÏ ÅÇÏ ÓÙÎÁ ÄÅÌÁÅÍ ÎÏ×ÙÍ ËÏÒÎÅÍ);
• Õ ×ÅÒÛÉÎÙ v Ä×Á ÓÙÎÁ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÈÏÄÉÍ × ÌÅ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å ×ÅÒÛÉÎÙ
v ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ b, ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÕÄÁÌÑÅÍ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á ×ÅÒÛÉÎÕ,
ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ b, É ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÅ v ËÌÀÞ b. (úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÍÅÎØÛÉÈ a, ÜÌÅÍÅÎÔ b ÂÕÄÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÄÅÒÅ×Á. ëÒÏÍÅ
ÔÏÇÏ, ×ÅÒÛÉÎÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ b, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÌÉ ÌÉÓÔÏÍ, Ñ×ÌÑÀÝÉÍÓÑ ÞØÉÍÔÏ ÒÁ×ÙÍ ÓÙÎÏÍ, ÉÌÉ ÉÍÅÔØ ÔÏÌØËÏ ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï.)
ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÄÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÎÅ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÄÅÒÅ×Ï ÕÓÔÙÍ É ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔ Á × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÉÄÅÔÓÑ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÏÅÒÁ ÉÀ ÏÉÓË(a; S ), ÒÉÞÅÍ × ÓÌÕÞÁÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ
ÏÔ×ÅÔÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÄÁÔØ ËÒÏÍÅ ÏÔ×ÅÔÁ €ÄÁ É ÎÏÍÅÒ ×ÅÒÛÉÎÙ v, ËÌÀÞ ËÏÔÏÒÏÊ
ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó Á (ÄÁÌÅÅ ËÌÀÞ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ l(v)). ëÒÏÍÅ ÜÔÏÇÏ,
ÄÌÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÚÎÁÔØ É ÎÏÍÅÒ ×ÅÒÛÉÎÙ w,
Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÏÔ ÏÍ ×ÅÒÛÉÎÙ v. óÁÍÕ ÖÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÕÀ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S )
ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å.
Pro edure ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S )
begin
(1)
if v | ÌÉÓÔ then ÕÄÁÌÉÔØ v ÉÚ else
(2)
if v ÉÍÅÅÔ ÔÏÌØËÏ ÌÅ×ÏÇÏ ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ
òÉÓÕÎÏË ä.7.
ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ
(5)
(6)
(7)
u then
w then
ÎÁÚÎÁÞÉÔØ u ÓÙÎÏÍ w
ÒÁ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ
if v
else
(3)
(4)
299
else
ÉÍÅÅÔ ÏÔ Á
ÓÄÅÌÁÔØ
u ËÏÒÎÅÍ ÄÅÒÅ×Á,
ÒÉÓ×ÏÉ× ÅÍÕ ÎÏÍÅÒ v
ÎÁÊÔÉ × ÌÅ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å
b
v ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ
y;
ÜÌÅÍÅÎÔ , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÅ
return ÕÄÁÌÅÎÉÅ(b; S );
l(v) := b;
end
ðÒÉÍÅÒ ä.4.2. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÄÌÑ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ S , ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.7, ÅÓÌÉ a | ÜÔÏ ÓÌÏ×Ï €if .
òÅÛÅÎÉÅ. óÌÏ×Ï €if  ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÏ × ËÏÒ-
1
ÎÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 1, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ä×Á ÓÙÎÁ (×ÅÒend
ÛÉÎÙ 2 É 3), ÏÜÔÏÍÕ ×ÙÏÌÎÑÅÍ ÓÔÒÏËÕ (5)
ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. îÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÓÌÏ×Ï, ÍÅÎØÛÅÅ €if 
3
(ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ), ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÏÅ × ÌÅ×ÏÍ 4
then
ÏÄÄÅÒÅ×Å ËÏÒÎÑ É ÎÁÈÏÄÑÝÅÅÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÅ begin
2, | ÜÔÏ end. ÷ÙÚÙ×ÁÅÍ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(end; S ).
5
6
õÓÌÏ×ÉÅ ÓÔÒÏËÉ (2) ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÙÏÌÎÑelse
while
ÅÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ×ÅÒÛÉÎÁ 2 Ó ËÌÀÞÏÍ end ÉÍÅÅÔ ÔÏÌØËÏ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ. õÓÌÏ×ÉÅ ÓÔÒÏËÉ (3)
ÎÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ÕÄÁÌÑÅÍÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÓÔÒÏËÅ (4): ÄÅÌÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ 2 ËÏÒÎÅÍ, ÓÙÎÏ×ØÑÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÙ 4
(ÌÅ×ÙÍ) É 3 (ÒÁ×ÙÍ). òÁÂÏÔÁ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(end; S ) ÚÁËÏÎÞÅÎÁ.
ðÒÏÄÏÌÖÁÅÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (×ÙÏÌÎÑÅÍ ÓÔÒÏËÕ (7)): ÏÌÁÇÁÅÍ ËÌÀÞ
×ÅÒÛÉÎÙ 1 ÒÁ×ÎÙÍ €end (l(1) := end).
ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÄÅÒÅ×Ï ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.8.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÈÏÄÉÔØ
ÓÙÎÏ×ÅÊ, ÏÔ Á É ËÌÀÞ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ
ÓÄÅÌÁÔØ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÒÏÓÔÏ, ÅÓÌÉ ÄÅÒÅ×Ï × ÁÍÑÔÉ ËÏÍØÀÔÅÒÁ ÈÒÁÎÉÔÓÑ × ×ÉÄÅ
ÔÒÅÈ ÍÁÓÓÉ×Ï×: leftson, rightson É key. üÔÉ ÍÁÓÓÉ×Ù ÕÓÔÒÏÅÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ:
v; ÅÓÌÉ v | ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ ×ÅÒÛÉÎÙ i;
leftson(i) =
?; ÅÓÌÉ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ i ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ ÎÅÔ;
v; ÅÓÌÉ v | ÒÁ×ÙÊ ÓÙÎ ×ÅÒÛÉÎÙ i;
rightson(i) =
?; ÅÓÌÉ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ i ÒÁ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ ÎÅÔ;
key(i) = l (i) | ËÌÀÞ ×ÅÒÛÉÎÙ i:
òÉÓÕÎÏË ä.8.
300
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
îÁÒÉÍÅÒ, ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÉÓËÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. ä.7, Ó ÏÍÏÝØÀ
ÜÔÉÈ ÍÁÓÓÉ×Ï× ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
i
leftson
rightson
key
1
2
3
if
2
4
?
end
3
?
6
then
4
?
5
begin
5
?
?
else
6
?
?
while
ðÒÁ×ÉÌÁ ÏÉÓËÁ ÓÙÎÏ×ÅÊ É ËÌÀÞÁ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ÍÁÓÓÉ×Ï×. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÔ Á ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÓÔÒÏËÉ
ÍÁÓÓÉ×Ï× leftson ÉÌÉ rightson, × ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÏÍÅÒ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÏÔ ÏÍ ×ÅÒÛÉÎÙ 4 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁ 2, ÔÁË ËÁË ÞÉÓÌÏ 4 ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ×Ï
×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÓÓÉ×Á leftson.
ä.4.1. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×
ïÂÒÁÔÉÍÓÑ ÔÅÅÒØ Ë ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÏ ÅÓÔØ Ë ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅåÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S É S ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ, ÔÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÔÁËÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ É ÏÔ ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ. ïÄÉÎ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÓÏÂÏ× ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ
ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ×ÓÔÁ×ËÁ ÄÌÑ
ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × ÄÒÕÇÏÅ. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÅÒÁ ÉÀ ×ÓÔÁ×ËÁ ÒÅÄÏÞÔÉÔÅÌØÎÅÅ ×ÙÏÌÎÑÔØ ÎÁÄ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÅÌØÀ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ×ÒÅÍÅÎÉ ÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ
ÓÏÓÏÂ ÒÁÂÏÔÙ ÏÄÈÏÄÉÔ ËÁË ÄÌÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ, ÔÁË É ÄÌÑ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ×.
÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÏÂßÅÄÉÎÑÀÔÓÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. üÔÏ ÕÒÏÝÁÅÔ ÒÏ ÅÓÓ, ÔÁË ËÁË ÉÓÞÅÚÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÒÏ×ÅÒÑÔØ, ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ
ÌÉ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, ÌÉÂÏ ÕÄÁÌÑÔØ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ ÜËÚÅÍÌÑÒÙ
ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÉÚ S .
ðÒÏ ÅÄÕÒÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á × ÄÁÎÎÏÍ ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ
ÇÒÁÆÅ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÏÓÎÏ×Å
ÓÉÓËÏ×.
âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ 1, 2, . . ., n. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× |
ÔÁËÖÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. üÔÏ ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÒÏÓÔÏ ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ.
ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ × ÒÁÍËÁÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÚÁÄÁÞÉ, × ×ÉÄÅ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÓÉÓËÏ×. ÁËÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÁÎÎÙÈ
ÍÏÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
ÎÉÅ(S ; S ; S ).
1
2
3
1
2
3
ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ
301
óÆÏÒÍÉÒÕÅÍ Ä×Á ÍÁÓÓÉ×Á r É next ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n, × ËÏÔÏÒÙÈ r(i) | ÉÍÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔ i, Á next(i) ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÏÍÅÒ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÁÓÓÉ×Á r, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ ÔÏÍÕ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ, ÞÔÏ É ÜÌÅÍÅÎÔ i. åÓÌÉ i |
ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÔÏ ÏÌÏÖÉÍ next(i) = 0. äÌÑ ÕËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÎÁ ÅÒ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÍÁÓÓÉ× list,
ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ × ÚÁÄÁÞÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×, É
ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ list(j ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÏÍÅÒ ÅÒ×ÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÉÍÅÎÅÍ
j × ÍÁÓÓÉ×Å r.
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÆÏÒÍÉÒÕÅÍ ÍÁÓÓÉ× size, ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ size(j ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÉÍÅÎÅÍ j .
âÕÄÅÍ ÒÁÚÌÉÞÁÔØ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅÓÑ × ÍÁÓÓÉ×Å r, É
×ÎÅÛÎÉÅ ÉÍÅÎÁ, ÏÌÕÞÁÅÍÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ É ×ÎÅÛÎÉÍÉ ÉÍÅÎÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÓÓÉ×Ï× ext-name É int-name. üÌÅÍÅÎÔ
ÍÁÓÓÉ×Á ext-name(j ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÎÅÛÎÅÅ ÉÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÅ ÉÍÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÓÔØ j , Á int-name(k) | ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÅ ÉÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ×ÎÅÛÎÅÅ ÉÍÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ
ÅÓÔØ k:
ðÒÉÍÅÒ ä.4.3. éÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÍÁÓÓÉ×Ù, ÏÉÛÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; 3; 5; 7}; {2; 4; 8}; {6} Ó ×ÎÅÛÎÉÍÉ ÉÍÅÎÁÍÉ 1, 2, 3 É ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ ÉÍÅÎÁÍÉ
2, 3, 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÓÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÁ×ÎÏ ×ÏÓØÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÍÁÓÓÉ×Ï× r É next ÂÕÄÅÔ n = 8. ëÒÏÍÅ
ÔÏÇÏ, ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÎÏÍÅÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÁÓÓÉ×Ï× list, size, ext-name É ÚÎÁÞÅÎÉÑ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÁÓÓÉ×Á r | ÜÔÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×, Á ÍÁÓÓÉ×Á int-name |
×ÎÅÛÎÉÅ. óÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÚÁÎÅÓÅÍ ×
ÔÁÂÌÉ Ù.
ÁÂÌÉ Á ä.4.3
ÁÂÌÉ Á ä.4.4
ÁÂÌÉ Á ä.4.5
r
next
list
size
ext-name
1
2
3
1
6
1
3
1
2
2
3
4
2
1
4
1
2
3
3
2
5
3
2
3
2
3
1
4
3
8
5
2
7
6
1
0
7
2
0
8
3
0
int-name
áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(S ; S ; S ) ÓÏÓÔÏÉÔ × ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÉ Ë ÓÉÓËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÂÏÌØÛÅÇÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× S É S ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÒÉÓ×ÏÅÎÉÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÉÍÅÎÉ S . ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÒÁÚÍÅÒ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S .
1
1
2
3
2
3
3
302
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(i; j; k)
Input
i; j
| ×ÎÅÛÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×
i ÍÅÎØÛÅ ÒÁÚÍÅÒÁ j );
(ÕÓÔØ ÒÁÚÍÅÒ
ÍÁÓÓÉ×Ù r, next, list, size, ext-name, int-name;
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Output
begin
A := int-name(i);
B := int-name(j );
element := list(A);
while element 6= 0 do
begin
(element) := B;
last := element;
element := next(element)
r
end
(last) := list(B);
(B) := list(A);
size(B ) := size(B ) + size(A);
int-name(K ) := B ;
ext-name(B ) := k
next
list
end
ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×
i; j
Ó ×ÎÅÛÎÉÍ ÉÍÅÎÅÍ
k.
÷ ÒÏ ÅÓÓÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ:
1) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× i É j (ÓÔÒÏËÉ (1) É (2));
2) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÎÁÞÁÌÏ ÓÉÓËÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
(ÓÔÒÏËÁ (3));
3) ÒÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔ ÓÉÓÏË ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÉÚÍÅÎÑÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÁÓÓÉ×Á r ÎÁ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÅ ÉÍÑ ÂÏÌØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
(ÓÔÒÏËÉ (4){(7));
4) ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÕÔÅÍ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÅÒÅÄ ÂÏÌØÛÉÍ (ÓÔÒÏËÉ (8){(10));
5) ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔ ÎÏ×ÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÎÅÛÎÅÅ ÉÍÑ k.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÒÅÍÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á.
ðÒÉÍÅÒ ä.4.4. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(1; 2; 4) ÄÌÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ ä.4.3.
òÅÛÅÎÉÅ. óÔÒÕËÔÕÒÁ ÄÁÎÎÙÈ, ÏÌÕÞÉ×ÛÁÑÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ,
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÔÁÂÌÉ ÁÈ ä.4.6{ä.4.8.
303
ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ×ÁÖÎÙÊ ÓÏÓÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ, ×ÅÒÛÉÎÁÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, Á
ËÏÒÎÀ ÄÅÒÅ×Á | ÉÍÑ ÓÁÍÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ïÅÒÁ ÉÀ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(S ; S ; S ) ×
ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÏÌÎÉÔØ, ÒÅÏÂÒÁÚÕÑ ËÏÒÅÎØ ÄÅÒÅ×Á, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S × ÓÙÎÁ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ S , É ÚÁÍÅÎÑÑ ÉÍÑ ÄÅÒÅ×Á, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ S ÎÁ S (ÒÉ ÜÔÏÍ ÂÕÄÅÍ ÒÉÓÏÅÄÉÎÑÔØ ÍÅÎØÛÅÅ ÄÅÒÅ×Ï
Ë ÂÏÌØÛÅÍÕ). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÒÅÍÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÏÓÔÏÑÎÎÏ É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×.
1
1
2
3
2
2
ÁÂÌÉ Á ä.4.6
3
ÁÂÌÉ Á ä.4.7
ÁÂÌÉ Á ä.4.8
list
size
ext-name
1
6
1
3
1
{
4
2
2
7
4
2
{
2
5
3
{
{
{
3
1
2
8
4
{
{
{
4
2
5
2
7
6
1
0
7
2
0
8
2
1
r
next
1
2
3
2
2
3
4
int-name
óÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÓÏÂÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÓÓÉ×Ï× father , root , name , size , ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ
ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
íÁÓÓÉ× father ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ×ÓÅÈ
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×ØÅ×: father (i) ÒÁ×ÅÎ ÎÏÍÅÒÕ ÏÔ Á ×ÅÒÛÉÎÙ i. åÓÌÉ i | ËÏÒÅÎØ,
ÔÏ father (i) = 0. íÁÓÓÉ× root ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÎÏÍÅÒÁ ËÏÒÎÅÊ ÄÅÒÅ×ØÅ× ÄÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÏ ÅÓÔØ root (i) ÒÁ×ÅÎ ÎÏÍÅÒÕ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï i. size (i) ÒÁ×ÅÎ ÞÉÓÌÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á i. name (i) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×ÏÍ Ó ËÏÒÎÅÍ i. åÓÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁ i ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ, ÔÏ name (i) = 0.
ðÒÉÍÅÒ ä.4.5. éÓÏÌØÚÕÑ ÍÁÓÓÉ×Ù father , root , name É size , ×ÙÉÛÉÔÅ
ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ ä.4.3, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ,
ÞÔÏ ÜÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
1 = {1; 3; 5; 7}; 2 = {2; 4; 8}; 3 = {6}
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÒÉÓ. ä.9.
òÉÓÕÎÏË ä.9.
304
äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
òÅÛÅÎÉÅ. éÓËÏÍÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÄÁÎÎÙÈ Ó×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌÉ Ù ä.4.9 É ä.4.10.
ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(i; j; k).
Input
i, j
| ×ÎÅÛÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×
i
(ÕÓÔØ ÒÁÚÍÅÒ ÂÏÌØÛÅ ÒÁÚÍÅÒÁ
ÍÁÓÓÉ×Ù father , name , root , size ;
begin
Output
end
j );
large := root (i);
small := root (j );
father (small ) := large;
size (k ) := size (large) + size (small );
name (large) := k ;
name (small ) := 0;
root (k ) := large;
root (small ) := 0;
root (large) := 0;
i j
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× ,
ÁÂÌÉ Á ä.4.9
Ó ÉÍÅÎÅÍ
k.
ÁÂÌÉ Á ä.4.11
ÁÂÌÉ Á ä.4.10
father
name
1
3
0
father
name
4
1
3
1
3
0
2
4
0
2
4
3
2
4
0
3
0
1
3
6
1
3
0
4
4
0
2
4
3
0
5
6
3
0
5
3
0
0
3
6
0
3
7
1
0
7
1
0
8
4
0
8
4
0
root
size
ðÒÉÍÅÒ ä.4.6. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(i; j; k) Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ ÉÚ
ÒÉÍÅÒÁ ä.4.3. òÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔÅ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×Á.
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(1; 2; 4) ÎÁÄ ÄÁÎÎÙÍÉ
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÄÁÎÎÙÈ ÏÔÒÁÖÅÎÁ × ÔÁÂÌÉ ÁÈ ä.4.11 É ä.4.12. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.10.
ÁÂÌÉ Á ä.4.12
root
size
1
0
0
2
0
0
3
6
1
4
3
7
3
1
7
5
2
òÉÓÕÎÏË ä.10.
4
8
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
÷. á. çÏÌÏ×ÅÛËÉÎ, í. ÷. õÌØÑÎÏ×
ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ
÷ 2004 ÇÏÄÕ ÉÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï €ÅÈÎÏÓÆÅÒÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌÏ × ÓÅÒÉÉ €íÉÒ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉс ËÎÉÇÕ ò. èÁÇÇÁÒÔÉ €äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏׁ. ëÎÉÇÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÈÏÒÏÛÏ ÚÁÒÅËÏÍÅÎÄÏ×Á×ÛÉÍ ÓÅÂÑ ÕÞÅÂÎÙÍ ÏÓÏÂÉÅÍ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×,
ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ É ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ×, É ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÉ ÇÒÁÍÏÔÎÏ ÉÚÌÁÇÁÅÔ ÂÁÚÏ×ÙÅ
ÒÁÚÄÅÌÙ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ. ðÏ Ó×ÏÅÍÕ
ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÀ ËÎÉÇÁ ò.èÁÇÇÁÒÔÉ | ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÄÉÓËÒÅÔÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÄÕÍÁÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÏ× É ÚÁÄÁÞ.
îÏ ÔÅÏÒÉÑ É ÒÁËÔÉËÁ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÉËÔÕÀÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏÇÏ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Á Ó ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ, × Ó×ÑÚÉ Ó ÞÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ
ÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÙÍ ÒÁÓÛÉÒÉÔØ ÄÁÎÎÏÅ ÉÚÄÁÎÉÅ ÚÁ ÓÞÅÔ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ
ÇÌÁ× ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÈ ×ÏÒÏÓÁÍ Ï ÅÎËÉ É ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ, ËÏÎÅÞÎÙÍ ÒÁÚÎÏÓÔÑÍ, ÒÅËÕÒÓÉÉ É ÍÅÔÏÄÁÍ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÍ ÒÉ ÁÎÁÌÉÚÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ
×ÁÖÎÙÍ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ó ÒÏÂÌÅÍÏÊ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÍÅÔÏÄÁÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÉÇÒÁÀÝÉÍÉ ×ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ × ÒÁËÔÉËÅ
ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
íÁÔÅÒÉÁÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÌÅË ÉÏÎÎÙÅ ËÕÒÓÙ €äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ É €òÁÚÒÁÂÏÔËÁ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏׁ, ÞÉÔÁÅÍÙÅ Á×ÔÏÒÁÍÉ × íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÁËÁÄÅÍÉÉ ÒÉÂÏÒÏÓÔÒÏÅÎÉÑ É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ.
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
÷×ÅÄÅÎÉÅ
éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ, ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÆÕÎË ÉÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÕÖÅ ÄÁ×ÎÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÁÚÄÅÌÁÍÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ
ÜÔÉÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× × ÒÁËÔÉËÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ó×ÑÚÁÎÏ, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, Ó ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÍ ÁÎÁÌÉÚÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÌÏ×ÅËÕ, ×ÌÁÄÅÀÝÅÍÕ ÎÁ×ÙËÁÍÉ
ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÏÈÏÄÏ× ÉËÌÁ ÕÔÅÍ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ × ÅÇÏ ÔÅÌÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÓÞÅÔÞÉËÁ. ïÄÎÁËÏ
ËÏÇÄÁ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÏÌÕÞÅÎÉÉ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ,
ÞÔÏ ×ÁÖÎÏ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÂÌÁÓÔÉ ÅÇÏ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ É ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔÉ ×ÙÂÏÒÁ, ÔÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ
ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ Ñ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÅÊ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÏÔ ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ.
306
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÁ ÎÅÂÏÌØÛÏÍ ÆÒÁÇÍÅÎÔÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ:
for i = 1 to n
for j = i to n − i + 1
<ÔÅÌÏ
for j
for i
end
end
ÉËÌÁ
>
óËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÔÅÌÏ ÉËÌÁ, ÅÓÌÉ n = 10? ïÔ×ÅÔ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÍ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÏÍ. îÏ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ, ËÁËÏ×Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï
×ÙÏÌÎÅÎÉÊ ÉËÌÁ ËÁË ÆÕÎË ÉÑ ÏÔ n, ÔÒÅÂÕÅÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÁÁÒÁÔÁ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ
ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÌÕÞÅÎÉÀ ÆÕÎË ÉÉ S (n) ÄÌÑ
ÓÕÍÍÙ ×ÉÄÁ
S (n) = n + (n − 2) + (n − 4) + : : :
ÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÅÉÚÂÅÖÎÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÄÌÑ Ï ÅÎËÉ ÉÈ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÒÅÛÅÎÉÊ × ÚÁÄÁÞÁÈ ÅÒÅÂÏÒÁ, ËÏÔÏÒÙÍ ÏÓ×ÑÝÅÎ ×ÔÏÒÏÊ ÒÁÚÄÅÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ, ÔÒÅÂÕÅÔ × ÅÌÏÍ ÒÑÄÅ ÓÌÕÞÁÅ× ÓÅÉÁÌØÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÏÄÓÞÅÔÏ×, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÍÏÝÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ×
ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× × ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍ ×ÉÄÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ
ÆÕÎË ÉÊ.
éÚÌÏÖÅÎÉÀ ÏÓÎÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ×ÁÖÎÙÈ É ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ× × ÅÌÑÈ ÁÎÁÌÉÚÁ É ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ
ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÓ×ÑÝÅÎ ÄÁÎÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ.
ä.5.1. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ É Ï
ÅÎËÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ
ðÏÎÑÔÉÅ ÓÕÍÍÙ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ,
ÒÁËÔÉËÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÁÎÁÌÉÚÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. íÙ ÏÉÛÅÍ ËÒÁÔËÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÒÉ ÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ É Ï ÅÎËÅ, ÎÏ ×
ÎÁÞÁÌÅ ÎÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. òÅÞØ ÂÕÄÅÍ ×ÅÓÔÉ
Ï ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍÁÈ ÏÂÝÅÇÏ ×ÉÄÁ:
a + a + · · · + an ;
ÇÄÅ ak | ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÓÕÍÍÙ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ k | ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ. ëÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÓÕÍÍÙ ak ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÅ ÞÌÅÎÏÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÎ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ, ËÁË ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ k, Ô. Å. ak = f (k).
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÕÍÍÙ:
1+4+··· +n ;
(ä.1)
1 + 41 + · · · + n1 ;
(ä.2)
ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ (ä.1) | f (k) = k , Á ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ (ä.2) | f (k) = k .
úÁÉÓØ ÓÕÍÍÙ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÑ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÁ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ,
ÏÎÁ ÎÁÇÌÑÄÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ×ÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÍÙðÏÎÑÔÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ.
1
2
2
2
2
1
2
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
307
ÓÌÅÎÎÏ ÄÏÏÌÎÉÔØ ÎÅÄÏÓÔÁÀÝÉÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ, ÏÄÎÁËÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÁÍÉ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ | ÜÔÁ ÚÁÉÓØ ÇÒÏÍÏÚÄËÁ, Á ×Ï-×ÔÏÒÙÈ | ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÔÏÌËÏ×ÁÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ÂÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÏÍ ÏÄÈÏÄÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ
ÄÒÕÇÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ:
n
X
k=1
ak ;
ÉÌÉ
X
16
k 6n
ak :
(ä.3)
äÁÎÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ××ÅÄÅÎÏ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ öÏÚÅÆÏÍ æÕÒØÅ × 1820 ÇÏÄÕ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÇÍÁ-ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅÍ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÇÄÁ ÍÙ ÉÛÅÍ ÓÕÍÍÕ ×ÉÄÁ
(ä.3), ÔÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÀÔÓÑ Ä×Á ÍÏÍÅÎÔÁ. ðÅÒ×ÙÊ | ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÒÏÓÔÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÞÌÅÎÏ× ÓÕÍÍÙ ak Ï ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍÕ ÎÏÍÅÒÕ k. ÷ÔÏÒÏÊ |
ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÎÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ 1+2+3+4+5, ÔÏ ÎÅÔ ÓÍÙÓÌÁ ÉÓÁÔØ
1+2+ · · ·+5 ÉÌÉ ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ P k, Á ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÒÁÚÕ ÎÁÉÓÁÔØ 1+2+3+4+5 = 15,
k
É ÚÁÂÙÔØ ÒÏ ÏÄÏÂÎÙÅ €ÇÌÕÏÓÔɁ.
ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍÕ ÍÁÔÅÒÉÁÌÕ, ÒÉ×ÅÄÅÍ Ä×Å €ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉŁ
ÓÕÍÍÙ | ÓÕÍÍÙ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÊ. óÕÍÍÁ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ | ÜÔÏ ÓÕÍÍÁ ×ÉÄÁ
n
X
(a + (k − 1) · d) = na + (n −2 1)n d;
(ä.4)
k
Á ÓÕÍÍÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ | ÜÔÏ ÓÕÍÍÁ ×ÉÄÁ
n
X
qn − 1
aqk− = a
:
(ä.5)
q−1
k
æÏÒÍÕÌÙ (ä.4) É (ä.5) ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÎÉÖÅ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ.
óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÅÌÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÓÔÁ×ÉÍ ÅÒÅÄ ÓÏÂÏÊ, ÉÓÓÌÅÄÕÑ
ÓÕÍÍÙ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÉÄÅÁÌØÎÏÊ ÅÌØÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÒÏÓÔÏÇÏ
×ÉÄÁ ÆÕÎË ÉÉ S (n), ÔÁËÏÊ ÞÔÏ
5
=1
=1
1
=1
S (n) =
n
X
k=1
ak ;
Ô. Å. ÏÌÕÞÅÎÉÅ Ñ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÓÕÍÍÙ ÏÔ ×ÅÒÈÎÅÇÏ ÒÅÄÅÌÁ
ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÌÕÞÅÎÉÅ S (n) É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÅÌØÀ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ
ÓÕÍÍ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, ÈÏÔÑ ÎÉÖÅ ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ
ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ S (n). þÁÝÅ ÕÄÁÅÔÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÂÏÌÅÅ ÓËÒÏÍÎÕÀ
ÚÁÄÁÞÕ | ÚÁÄÁÞÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË ÓÕÍÍÙ.
÷ ÚÁÄÁÞÅ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË ÓÕÍÍ ÎÁÓ
ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÔ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, Ï ÅÎËÉ ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n. ðÒÅÖÄÅ
ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞ Ï ÅÎËÉ ÓÕÍÍ, ÎÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ
ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÆÕÎË ÉÊ. ÷×ÏÄÑ ÜÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÍÙ
íÅÔÏÄÙ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË ÓÕÍÍ.
308
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÚÁÒÁÎÅÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÑÈ, ÓÔÒÅÍÑÝÉÈÓÑ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÒÉ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÉ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ n.
ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÆÕÎË ÉÊ
f n = 0, ÔÏ ÉÛÅÍ f (n) = o(g (n)) (ÞÉÔÁ1. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ Ï-ÍÁÌÏÅ. åÓÌÉ nlim
→∞ g n
ÅÔÓÑ €ÜÆ ÏÔ ÜÎ ÅÓÔØ Ï ÍÁÌÏÅ ÏÔ ÖÅ ÏÔ Ü΁).
2. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ï-ÂÏÌØÛÏÅ. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÏ , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ fg nn < ÄÌÑ
×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n, ÔÏ ÉÛÅÍ f (n) = O(g(n)) (ÞÉÔÁÅÔÓÑ €ÜÆ ÏÔ ÜÎ ÅÓÔØ O ÂÏÌØÛÏÅ
ÏÔ ÖÅ ÏÔ Ü΁). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ o-ÍÁÌÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É O-ÂÏÌØÛÉÍ,
ÎÏ ÎÅ ÎÁÏÂÏÒÏÔ.
3. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ . åÓÌÉ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ > 0
É > 0, Á ÔÁË ÖÅ ÞÉÓÌÏ n , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > n ×ÙÏÌÎÅÎÏ g(n) 6
6 f (n) 6 g (n), ÔÏ ÉÛÅÍ f (n) = (g (n)). åÓÌÉ f (n) = (g (n)) ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ
g(n) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÔÏÞÎÏÊ Ï ÅÎËÏÊ ÄÌÑ f (n).
f n = 1, ÔÏ ÉÛÅÍ f (n) ∼ g (n) (ÞÉÔÁÅÔÓÑ €ÜÆ
4. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ. åÓÌÉ nlim
→∞ g n
ÏÔ ÜÎ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÖÅ ÏÔ Ü΁). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï: f (n) ∼ g(n), ÔÏ
f (n) = g(n) + o(g(n)).
ðÏÌÕÞÅÎÉÅ ÏÄÏÂÎÙÈ Ï ÅÎÏË É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÒÉ
Ï ÅÎËÅ ÓÕÍÍ. åÓÌÉ ÎÅ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
0
0
1
2
(
)
(
)
S (n) =
n
X
k=1
ak ;
ÔÏ ÌÕÞÛÉÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ Ï ÅÎËÁ ÓÕÍÍÙ S (n) | ÆÕÎË ÉÑ g(n), ÞÔÏ
S (n) ∼ g(n). îÏ ÔÁËÕÀ Ï ÅÎËÕ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÄËÏ.
îÅÌÏÈÏÊ Ï ÅÎËÏÊ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ Ï ÅÎËÁ S (n) = (g(n)), ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÑ É , Á ÎÅ ÒÏÓÔÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ. ï ÅÎËÁ S (n) = O(g(n))
ÔÁËÖÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÄÅÌÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×Ù×ÏÄÙ Ï ÈÁÒÁËÔÅÒÅ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ.
1
2
ðÒÉÍÅÒ ä.5.1. ðÏÌÕÞÉÔØ Ï ÅÎËÕ O-ÂÏÌØÛÏÅ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ S (n) = kPn k .
òÅÛÅÎÉÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ 1 6 k 6 n ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï k
3
=1
ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ
S (n) =
n
X
k=1
k
3
6
n
X
k=1
n
3
3
6 n3
,
=n :
4
üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ
S (n) =
n
X
k=1
k
3
= O(n ):
4
íÅÔÏÄ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. óÕÔØ ÍÅÔÏÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÙ €ÕÇÁÄÙ×ÁǺ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÒÏ×ÅÒÑÅÍ ÅÇÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÒÉ n = 1, É, ÓÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
×ÅÒÅÎ ÒÉ n = n, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÅÇÏ ÄÌÑ n + 1.
309
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
éÓÏÌØÚÕÑ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ, ÏÙÔÁÅÍÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ g(n) = n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÔÏÞÎÏÊ Ï ÅÎËÏÊ ÄÌÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÕÍÍÙ
n
X
S (n) = k ; Ô. Å. S (n) = (n ):
4
3
4
k=1
äÌÑ ÜÔÏÇÏ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ Ï ÅÎËÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ É ÔÁËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ n , ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > n ×ÙÏÌÎÅÎÏ
n
X
S (n) = k > n :
(ä.6)
1
0
0
3
4
1
k=1
îÅ ÂÕÄÅÍ ËÏÎËÒÅÔÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ . óÁÍ ÍÅÔÏÄ ÏÚ×ÏÌÉÔ ÄÁÔØ Ï ÅÎËÕ
ÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÕ. ðÕÓÔØ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ (ä.6). ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÁË ÏÄÏÂÒÁÔØ , ÞÔÏ ÂÙ ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > n ÂÙÌÏ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
1
1
0
S (n + 1) =
nX
+1
k=1
k
3
>
(n + 1) :
1
(ä.7)
4
ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÅÏÞËÕ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. éÍÅÅÍ
S (n + 1) =
ÔÏÇÄÁ
S (n + 1) =
n
X
k=1
k
3
nX
+1
k=1
k
3
=
n
X
k
k=1
3
+(n + 1) ;
3
+(n + 1) = S (n) + (n + 1)
3
3
>
1
n
4
+ (n + 1) :
3
åÓÌÉ ÎÁÍ ÕÄÁÓÔÓÑ ÏÄÏÂÒÁÔØ ÔÁËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ , ÞÔÏ
n + (n + 1) > (n + 1)
(ä.8)
ÒÉ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n, ÔÏ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ä.7), ËÏÔÏÒÏÅ
ÎÁÍ É ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÍÅÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ä.8),
ÒÅÏÂÒÁÚÕÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ
(n + 1) > · ((n + 1) − n ); Ó 6 4n +(6nn+ +1)4n + 1 :
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > 1 ×ÙÏÌÎÅÎÏ
(n + 1)
n
1;
>
=
4n + 6n + 4n + 1 4n + 6n + 4n + n 15
ÔÏÇÄÁ ×ÙÂÅÒÅÍ = , ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ S (1) = 1 > 1 , ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ
ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ×ÙÏÌÎÅÎÏ
n
X
1
S (n) = k > n :
15
1
1
4
3
4
1
1
3
3
4
1
4
1
3
3
3
1
2
3
2
3
3
1
3
1
3
15
3
4
15
3
4
k=1
òÁÎÅÅ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ×ÙÏÌÎÅÎÏ S (n) 6 n , ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÒÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ = , = 1, S (n) = (n ), É ÆÕÎË ÉÑ g(n) = n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÔÏÞÎÏÊ Ï ÅÎËÏÊ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ S (n).
4
1
1
15
2
4
4
310
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
íÅÔÏÄ ÏÞÌÅÎÎÙÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÉÚÌÁÇÁÔØ ÄÁÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ, ÎÁÏÍÎÉÍ
ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ðÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÎÉÈ | ËÏÎÅÞÎÙÅ ÓÕÍÍÙ ÄÏÕÓËÁÀÔ ÌÀÂÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ. ÷ÔÏÒÏÅ | ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÓÕÍÍÙ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÑÚÙËÏÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ
n
n
n
X
X
X
( ak + dbk ) = ak +d bk :
k=1
k=1
k=1
ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÍÙ ÍÏÖÅÍ
ÒÅÎÅÂÒÅÇÁÔØ ÌÀÂÙÍ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ.
íÅÔÏÄ ÏÞÌÅÎÎÙÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÆÁËÔÅ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÀÔÓÑ
Ä×Å ËÏÎÅÞÎÙÅ ÓÕÍÍÙ
n
n
X
X
U (n) = ak ; V (n) = bk ;
k=1
k=1
ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ k ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ak 6 bk . ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ U (n) 6 V (n). üÔÏÔ ÆÁËÔ ÕÄÏÂÅÎ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ
Ï ÅÎÏË. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÓÕÍÍÁ,
ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÌÉ ÅÅ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ Ï ÅÎËÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.2. ðÏÌÕÞÉÔØ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ
U (n) =
n
X
k=1
k
k+1
2k− :
1
òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÂÅÒÅÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÇÒÅÓÓÉÀ | ÓÕÍÍÕ
V (n) =
n
X
k=1
2k − ;
1
n
ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ | ÆÏÒÍÕÌÁ (ä.5) É ÒÁ×ÎÁ V (n) = P 2k− = 2n − 1.
k
ðÏÓËÏÌØËÕ k k < 1, ÔÏ U (n) 6 V (n) = 2n − 1, É ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ
U (n) = O(2n ):
íÅÔÏÄ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ. åÝÅ ÏÄÉÎ ÏÌÅÚÎÙÊ ÒÉÅÍ |
ÜÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ. üÔÏÔ ÒÉÅÍ ÕÄÏÂÎÏ ÒÉÍÅÎÑÔØ ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÕÍÍ, ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ ak = f (k), É ÒÉ ÜÔÏÍ ÆÕÎË ÉÑ
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ y = f (x) ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÁ ÄÌÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x.
åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ y = f (x) ÎÅ ÕÂÙ×ÁÅÔ, ÔÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ
=1
+1
ak 6
kZ+1
k
f (x) dx
É
ak >
Zk
k −1
f (x) dx;
1
311
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
n
ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ | ÆÕÎË ÉÉ S (n) = P ak ÉÍÅÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ï ÅÎËÉ
S (n) 6
k=1
nZ+1
f (x) dx
É
S (n) > a
+
1
1
Zn
f (x) dx:
1
åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ y = f (x) ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ, ÔÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ
kZ+1
ak >
f (x) dx
k
É
ak 6
k −1
É ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ S (n) ÉÍÅÅÍ
S (n) >
nZ+1
f (x) dx
É
Zk
S (n) 6 a
1
f (x) dx;
+
1
Zn
f (x) dx:
1
ðÒÉÍÅÒ ä.5.3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÓÕÍÍÕ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÑÄÁ S (n) = kPn k Ó ÅÌØÀ
1
ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ÅÎËÉ.
òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x , ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ
ÕÂÙ×ÁÅÔ ÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. éÍÅÅÍ
nZ
n
1 dx 6 S (n) 6 1 + Z 1 dx;
=1
1
+1
x
1
x
1
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ln(n + 1) 6 S (n) 6 1 + ln(n). éÚ ÄÁÎÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÌÅÇËÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ S (n) ∼ ln(n). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ É ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÞÔÏ
S (n) = ln(n) + O(1):
ðÒÉÍÅÒ ä.5.4. ðÒÉÍÅÎÉÔØPnÍÅÔÏÄ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÄÌÑ
ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÕÍÍÙ S (n) =
k=1
ln k:
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÆÕÎË ÉÑ y = ln x ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÔÏ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ï ÅÎËÉ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ
Zn
ln xdx <
n
X
1
1
ln k <
nZ+1
ln xdx:
1
ðÏÓËÏÌØËÕ ln xdx = x ln x − x, ÔÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ Ï ÅÎËÕ ÓÕÍÍÙ
R
n ln n − n <
n
X
k=1
ln k < (n + 1) ln(n + 1) − (n + 1):
312
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ðÏÌÕÞÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ
n
X
ln k ∼ n ln n:
k=1
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë ÏÌÕÞÅÎÎÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ Ï ÅÎËÕ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n!. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ n! = 1 × 2 × 3 × · · · × n, Á ÏÓËÏÌØËÕ
n
P
n
n
k
n
n! = e
= ek ; ÔÏ n < n! < (n + 1) :
ln(
!)
=1
+1
ln
en
en+1
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ É ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÙÅ Ï ÅÎËÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n!,
× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÁ óÔÉÒÌÉÎÇÁ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ [16℄).
ðÒÉÍÅÒ ä.5.5. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ kPn k = O(1).
òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ
1
2
=1
1
n
X
k
k=1
2
6
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x , ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ ÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ÏÇÄÁ
n
n
X
1 6 1 + Z 1 dx = 1 − 1 + 1 = 2 − 1 6 2;
1
2
k=1 k
2
x
n
2
1
n
ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. îÁ ×ÓÑËÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ R dx
x = −x.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.6. éÓÏÌØÚÕÑ ÍÅÔÏÄ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ
Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ, ÎÁÊÔÉ
n
P
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ S (n) = k :
2
1
3
k=1
òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÊ Ï ÅÎËÉ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ k > 1 ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
Zk
x dx < k <
3
3
k −1
ÏÔËÕÄÁ
ÎÏ ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ
S (n) =
k=1
x dx;
3
k
S (n) =
n
X
k+1
Z
n
X
k=1
k <
3
k >
3
Zn
3
0
nZ+1
x dx =
1
3
1
4
x dx = n ;
4
1 ((n + 1)
4
4
−
1):
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ g(n) =
1
4
n
4
313
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ S (n) ÄÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ n. éÍÅÅÍ
1 6 (1S=(4)nn) 6 (1=4)(((1n=+4)n1) − 1) ;
(1 + 1=n) − 1=n = 1:
lim (1=4)(((1n=+4)n1) − 1) = nlim
→∞
n→∞
1
éÚ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
S (n)
lim
= 1;
n→∞ (1=4) n
É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ
n
X
1
S (n) = k ∼ n :
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
4
k=1
äÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ
× Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ × ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÅÌÙÊ ÒÑÄ ÍÅÔÏÄÏ×,
ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÉÚÌÏÖÉÍ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÅ É ÕÏÔÒÅÂÉÔÅÌØÎÙÅ.
íÅÔÏÄ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÏÝÎÙÊ
É ÛÉÒÏËÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÊ ÍÅÔÏÄ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ É ÄÌÑ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ
ÓÕÍÍ. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÅÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÕÍÍÙ
ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ
n
X
(a + (k − 1) · d) = na + (n −2 1)n d:
k
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
n
X
S (n) = (a + (k − 1) · d):
íÅÔÏÄÙ ÔÏÞÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ.
S (n)
=1
k=1
ðÒÉ n = 1 ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÄÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÎÁ
×ÅÒÎÁ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n, ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ (n + 1) ÉÍÅÅÍ
S (n + 1) =
nX
+1
k=1
(a + (k − 1) · d) =
n
X
k=1
(a + (k − 1) · d) + a + nd = S (n) + a + nd;
ÏÓËÏÌØËÕ S (n) = na + (n −2 1)n d, ÔÏ
(n − 1)n d + a + nd = (n + 1)a + n(n + 1) d;
S (n + 1) = na +
2
2
ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ.
íÅÔÏÄ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×. íÅÔÏÄ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ×ÉÄ ÆÕÎËÉÉ S (n) ÉÚ×ÅÓÔÅÎ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË, Á
ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÙ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ
ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ.
314
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏÔnÍÅÔÏÄ ÎÁ ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÏÍ ÒÉÍÅÒÅ | ÎÁÊÄÅÍ ÔÏÞÎÏÅ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ S (n) = P k : ÷ ÓÉÌÕ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ Ï ÅÎÏË ÏÙÔÁÅÍÓÑ
k
ÉÓËÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ × ×ÉÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÏÔ n, Ô. Å. × ×ÉÄÅ
S (n) = An + Bn + Cn + Dn + E:
(ä.9)
ðÏÓËÏÌØËÕ S (1) = 1 | ÂÁÚÉÓ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÔÏ ÉÍÅÅÍ
A + B + C + D + E = 1:
ðÕÓÔØ S (n) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (ä.9) | ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÔÏÇÄÁ
S (n + 1) = A(n + 1) + B (n + 1) + C (n + 1) + D(n + 1) + E;
Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ
S (n + 1) = S (n) + (n + 1) :
(ä.10)
ÏÇÄÁ, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (ä.10) ÚÎÁÞÅÎÉÅ S (n) ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.9), ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
An + Bn + Cn + Dn + E + (n + 1) =
= A(n + 1) + B(n + 1) + C (n + 1) + D(n + 1) + E;
ËÏÔÏÒÏÅ ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ n, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× A, B, C , D.

4A = 1;



6A + 3B = 3;
4A + 3B + 2C = 3;



A + B + C + D = 1:
òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÏÌÕÞÁÅÍ A = , B = , C = , D = 0. úÎÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ A, B, C , D ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
A + B + C + D + E = 1;
ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ E = 0, É, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× × (ä.9) ÉÍÅÅÍ
n
X
1 = 1 n + 1 n + 1 n = n (n + 1) :
S (n) =
k
4
2
4
4
k
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å €ÂÅÓÌÁÔÎÏÇÏ ÒÉÌÏÖÅÎÉс ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÌÀÂÏÙÔÎÏÅ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. ðÏÓËÏÌØËÕ
(1 + 2 + · · · + n) = n(n2+ 1) ; ÔÏ (1 + 2 + · · · + n ) = (1 + 2 + · · · + n) :
íÅÔÏÄ ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÎÕÌÑ. éÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÒÉÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×, Á ÉÍÅÎÎÏ ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÅ ÎÕÌÑ, ÚÁÉÓÁÎÎÏÇÏ Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÙÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ. îÁÒÑÄÕ Ó ÜÔÉÍ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÅÒÅÉÓÙ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ÄÒÕÇÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ, ËÏÔÏÒÁÑ ÔÁËÖÅ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ
Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
3
=1
4
3
4
2
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
1
1
1
4
2
2
2
4
3
2
2
3
=1
3
3
3
2
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
315
ðÒÉÍÅÒ ä.5.7. îÁÊÔÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ S (n) ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ
S (n) =
n
X
k=1
1
k(k + 2)
:
òÅÛÅÎÉÅ. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ S (n)
1 ; S (2) = 1 + 1 = 11 :
3
3 8 24
ðÅÒÅÉÛÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÓÕÍÍÙ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÁÞÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ
n X
1
1
S (n) =
2k − 2(k + 2) ;
k
É ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ, ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ
n n
n
X
1X
1−1X
1 :
1
1
S (n) =
−
=
2k 2(k + 2) 2 k k 2 k k + 2
k
S (1) =
=1
=1
=1
=1
÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÕÍÍ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ
n
n
X
1 ; V (n) = X
1 ;
U (n) =
k
k
+
2
k
k
=1
=1
É ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ ×ÔÏÒÕÀ ÓÕÍÍÕ | V (n). äÌÑ ÅÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÕÄÏÂÎÏ ÒÉÂÁ×ÉÔØ ÎÏÌØ,
ÚÁÉÓÁÎÎÙÊ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ | 0 = + − − , ÔÏÇÄÁ ÉÍÅÅÍ
1
1
1
1
1
2
1
2
n
1 = 1 + 1 +X
1 − 1 − 1 = nX 1 − 1 − 1 =
1 2 k k+2 1 2 k k 1 2
k k+2
n
X
= k1 + n +1 1 + n +1 2 − 11 − 12 ;
k
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
1 + 1 − 1 − 1;
V (n) = U (n) +
n+1 n+2 1 2
ÏÔËÕÄÁ
1
1
1
1
1
1
S (n) = (U (n) − V (n)) = U (n) − U (n) −
−
+ + :
2
2
n+1 n+2 1 2
ðÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÉ n > 3 ÓÕÍÍÁ S (n) = 34 − 2(n 1+ 1) − 2(n 1+ 2) .
V (n) =
n
X
=1
=1
+2
=1
=1
316
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ðÒÉÍÅÒ ä.5.8. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÅÝÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ ÍÅÔÏÄÏÍ
ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÎÕÌÑ, ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÓÕÍÍÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ É ÄÏËÁÖÅÍ ÆÏÒÍÕÌÕ (ä.5).
òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÕÍÍÁ S (n) = kPn aqk . ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÅÅ Ë ×ÉÄÕ
−1
=1
S (n) =
n
X
k=1
aqk−
1
= a+
n
X
aqk−
k=2
1
=a+q
n
X
k=2
aqk−
= a + (q
2
k=2
n
aq − aqn
ÍÙ ÓÎÏ×Á ÒÉÂÁ×ÉÌÉ ÎÏÌØ, ÚÁÉÓÁÎÎÙÊ × ×ÉÄÅ 0 = (
S (n) = a + (q
k=2
nX
+1
= a + q(
ÁË ËÁË
n
X
k=2
aqk−
aqk−
2
2
n
X
+ aqn) − aqn = a + q(
) − aqn = a(1 − qn) + q(
aqk−
k=1
k=1
aqk−
1
aqk−
2
+ aqn) − aqn;
), ÄÁÌÅÅ ÏÌÕÞÁÅÍ
k=2
n
X
n
X
n
X
2
+ aqn− ) − aqn =
1
aqk− ):
1
= S (n);
ÔÏ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ S (n) ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
S (n) = a(1 − qn ) + qS (n);
ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÓËÏÍÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
n
X
qn − 1
S (n) = aqk− = a
:
q−1
k
1
=1
íÅÔÏÄ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ
ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÎÏÇÄÁ ÔÁËÖÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÅÚÎÙÍ
ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍ. ðÏËÁÖÅÍ ÜÔÏ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÕÍÍÕ
×ÉÄÁ
n
X
(ä.11)
S (n) = k3k :
k=1
÷ÎÁÞÁÌÅ €ÕÓÌÏÖÎÉ́ ÚÁÄÁÞÕ. ÷ÍÅÓÔÏ ÄÁÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ
f (x) =
n
X
k=1
kxk ;
ÔÏÇÄÁ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÁÑ ÎÁÓ ÓÕÍÍÁ ÅÓÔØ ÒÏÓÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÆÕÎË ÉÉ
× ÔÏÞËÅ x = 3, Ô. Å.
n
X
k3k = f (3):
k=1
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
317
ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÉÔÏÇÅ ÏÚ×ÏÌÑÔ
ÎÁÊÔÉ ÄÁÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ.
f (x) =
n
P
xk
k=1
n
X
k=1
kxk = x
n
X
k=1
kxk−
1
n
X
= x dxd (
k=1
xk ):
óÕÍÍÁ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ
n
n
X
X
xn − 1 xn − x
xk = x · xk− = x
= x−1 :
x−1
+1
1
k=1
k=1
÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ, ÉÍÅÅÍ
n
d X
nxn
(
xk ) =
dx k
+1
=1
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
(n + 1)xn + 1 :
(x − 1)
−
2
(n + 1)xn + 1 ;
(ä.12)
(x − 1)
k
É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x = 3, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ
n
X
3
k3k = f (3) = (n3n − (n + 1)3n + 1):
4
k
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÕÍÍ
×ÉÄÁ (ä.11) Ó ÒÁÚÎÙÍÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÔÅÅÎÉ. ÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÕÍÍÁ
f (x) =
n
X
kxk = x
nxn
+1
−
2
=1
+1
=1
S (n) =
n
X
k=1
k2k = f (2);
ËÏÔÏÒÁÑ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÒÉ ÁÎÁÌÉÚÅ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ ÏÌÕÞÅÎÁ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.12).
íÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÅÔÏÄÙ Ï ÅÎËÉ É ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ
ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÓÓÍÏ∞
P
ÔÒÅÎÉÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ×ÉÄÁ ak , ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÑÄÁÍÉ, É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÍÅÔÏÍk ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ
ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ.
=1
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.1
ä.5.1.1. îÁÊÄÉÔÅ ÓÕÍÍÕ kPn (2n − 2k).
ä.5.1.2. îÁÊÄÉÔÅ ÓÕÍÍÕ kPn k k .
=1
1
=1
( +1)
318
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ä.5.1.3. îÁÊÄÉÔÅ ÔÏÞÎÕÀ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ kPn √k.
=1
n
P
ä.5.1.4. îÁÊÄÉÔÅ ÔÏÞÎÕÀ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ k
ä.5.1.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ kPn
=1
√1
k3
= O(1).
=1
√1
k
.
ä.5.2. üÌÅÍÅÎÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅËÕÒÓÉÉ
ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÉÚÌÏÖÅÎÉÀ ÏÂÝÅÊ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅËÕÒÓÉÉ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Å ÚÁÄÁÞÉ. ðÅÒ×ÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ËÏÔÏÒÁÑ
ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÎÅÍÎÏÇÏ ÓÔÒÁÎÎÏÊ, ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 0; 7x = 2, ÎÏ
ÎÁÛ ËÏÍØÀÔÅÒ ÔÁËÏ×, ÞÔÏ ÏÎ ÕÍÅÅÔ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ, ×ÙÞÉÔÁÔØ, ÕÍÎÏÖÁÔØ É ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ, ÎÏ ÎÅ ÕÍÅÅÔ ÄÅÌÉÔØ. ðÒÅÄÌÏÖÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÚ×ÏÌÉÔ ÜÔÏÍÕ ÓÔÒÁÎÎÏÍÕ ËÏÍØÀÔÅÒÕ ÒÅÛÉÔØ ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (ÇÏ×ÏÒÑ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÉÍ ÓÔÉÌÅÍ, ÍÙ
ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÒÁÚÒÅÛÉÍÁ × ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ).
ðÅÒÅÉÛÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ x = 0; 3x + 2, ÚÁÄÁÄÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x = 1 É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ xn , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
x = 1;
(ä.13)
xn = 0; 3xn + 2:
íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ. éÚÕÞÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ rn = |xn − xn |. ðÏÓËÏÌØËÕ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (ä.13)
xn = 0; 3xn + 2, É xn = 0; 3xn + 2, ÔÏ ÉÍÅÅÍ
xn − xn = 0; 3 · (xn − xn ):
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, rn = 0; 3 · rn . ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. ÁË ËÁË x = 1, ÔÏ x = 2; 3, ÔÏÇÄÁ ÒÉ n > 2 ÉÍÅÅÍ
|xn − x | = |(xn − xn− ) + (xn− − xn− ) + · · · + (x − x ) + (x − x )|:
÷ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÍÏÄÕÌÑ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁÉÓÁÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
|xn − x | 6 |xn − xn− | + |xn− − xn− | + · · · + |x − x | + |x − x |;
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
|xn − x | 6 rn− + rn− + · · · + r + r ;
Á ÏÓËÏÌØËÕ rn = 0; 3 · rn , ÔÏ
|xn − x | 6 0; 3n− r + 0; 3n− r + · · · + 0; 3r + r :
éÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ
1 − 0; 3n− ;
|xn − x | 6 r
1 − 0; 3
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ xn .
òÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ.
1
1
+1
+1
+1
+2
+1
+2
+1
+1
+1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
2
2
2
1
+1
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
319
äÁÌÅÅ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ dmn = |xn − xm|, É ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÂÕÄÅÍ ÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ n > m.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÒÏÄÅÌÁÎÎÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
dmn 6 rn− + rn− + · · · + rm + rm ;
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
1 − 0; 3n−m :
dmn 6 0; 3n− r + 0; 3n− r + · · · + 0; 3mr + 0; 3m− r = 0; 3m− r
1 − 0; 3
ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ n = n ("), ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÙÈ
n > n , m > n ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ dmn < ". éÚ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÌÎÏÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ ÒÉ n
ÓÔÒÅÍÑÝÅÍÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ.
xn = z , É ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÒÅÄÅÌÕ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ xn = 0; 3xn +2.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ nlim
→∞
éÍÅÅÍ nlim
xn = nlim
(0; 3xn + 2), ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ z = 0; 3z + 2, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
→∞
→∞
ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÅÄÅÌÁ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÊ
ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅÛÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÌÀÂÏÊ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ, ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÅÒÁ ÉÀ ÄÅÌÅÎÉÑ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ (ä.13) ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ
ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ
ÞÅÒÅÚ ÅÇÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ.
√
÷ÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÞÁ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ
a (a > 0), ÅÓÌÉ ÒÁÚÒÅÛÁÅÔÓÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÞÅÔÙÒÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ |√ÓÌÏÖÅÎÉÅ, ×ÙÞÉÔÁÎÉÅ, ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ, ÄÅÌÅÎÉÅ É ÏÅÒÁ ÉÀ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ. úÎÁÞÅÎÉÅ a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ
ËÏÒÎÅÍ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x = a. ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
2x = x + a, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ
1 a
x= x+ :
2
x
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÕÀ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ:
x = 1;
(ä.14)
xn = (xn + xan ):
ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÁÍ
ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÆÕÎË ÉÉ
1 a
y(x) = x + ;
2
x
ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ, ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ÅÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
dy 1 a
=
1
−
:
dx 2
x
√
ðÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ
√ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ ÒÉ x √= a.
æÕÎË ÉÑ y(x) ÕÂÙ×ÁÅÔ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; a) É ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÎÁ√ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ ( a; ∞).
ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÔÏÞËÁ x = a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ
ÍÉÎÉÍÕÍÁ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ×ÓÅÈ
ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÉÍÅÅÍ
√
1 a + √a = √a:
y>
2
a
1
2
1
3
2
1
+1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
+1
+1
2
2
2
1
+1
1
2
2
320
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
úÎÁÞÉÔ, ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÒÏÍÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÒ×ÏÇÏ, ÂÏÌØÛÅ
ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÙ √a: xn > √a ÒÉ n > 1. äÁÌÅÅ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ×ÔÏÒÏÇÏ,√ ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ, Ô. Å. xn 6 xn ÒÉ n > 2.
îÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÒÉ x > a ×ÙÏÌÎÅÎÏ
1 x + a 6 1 x + x = x:
2
x
2
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ×ÔÏÒÏÇÏ, ÎÏ ÉÚ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÏÇÒÁÎÉxn = z É, ÅÒÅÈÏÄÑ Ë
ÞÅÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ nlim
→∞
ÒÅÄÅÌÕ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ
1
a
xn = xn +
;
2
xn
ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÅÄÅÌÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
1 a
z= z+ ;
2
z
ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁ×ÅÎ z = √a. úÁÉÓÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÑÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ Ï ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÞÅÒÅÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÅ, ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ × ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ËÏÒÎÉ Ó ÎÕÖÎÏÊ ÓÔÅÅÎØÀ ÔÏÞÎÏÓÔÉ.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏÍ ÍÅÔÏÄÅ,
ÒÉÍÅÎÑÅÍÏÍ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, É ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÏÄ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ €ÍÅÔÏÄ ÓÖÁÔÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉʁ. óÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÅÔÏÄ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÉÄÅÀ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. äÁÌÅÅ ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÏÑÓÎÑÀÝÉÅ ÓÍÙÓÌ
ÏÎÑÔÉÑ ÒÅËÕÒÓÉÉ.
îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÁÄÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ × ×ÉÄÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ×, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÏÞÔÉÔÅÌØÎÙÍ. ïÄÎÁËÏ ÜÔÏ
ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÆÕÎË ÉÀ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÒÉ ÏÍÏÝÉ
€ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ, ÓÕÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎË ÉÉ T (n), ÇÄÅ
ÁÒÇÕÍÅÎÔ n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. (ïÂÙÞÎÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ n > 0 ÉÌÉ n > 1).
òÅËÕÒÓÉ×ÎÏÅ ÚÁÄÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ×ËÌÀÞÁÅÔ Ä×Á ÜÔÁÁ.
ðÅÒ×ÙÊ ÜÔÁ. æÕÎË ÉÑ T (n) ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ × ×ÉÄÅ ÞÉÓÌÏ×ÙÈ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n: 1 6 n 6 m.
÷ÔÏÒÏÊ ÜÔÁ. úÁÄÁÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄ ÉÌÉ ÆÏÒÍÕÌÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ, ÚÎÁÑ ×ÓÅ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ T (n) ÒÉ n 6 k (k > m), ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÉ n = k + 1,
Ô. Å. ÎÁÊÔÉ T (k + 1) | ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÏÉÓÙ×ÁÀÝÉÅ
ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ.
ðÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÚÁÉÓØ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÜÔÁÏ×, ÏÂÙÞÎÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÎÁÑ ÆÉÇÕÒÎÏÊ ÓËÏÂËÏÊ
ÎÏÓÉÔ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
.
n
P
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ S (n) = ak ÔÁËÖÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ËÁË ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ
k
ÆÕÎË ÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ
S (0) = 0;
(ä.15)
S (k) = S (k − 1) + ak ; k > 1:
+1
+1
òÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ.
=1
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
321
ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÒÉÍÅÒ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f (n) = n!,
ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ ÆÁËÔÏÒÉÁÌÏÍ. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÎÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
n! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n − 1) × n;
ÎÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ËÏÍØÀÔÅÒÙ ÏËÁ ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÅ ÎÅ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÀÔ. ðÏÜÔÏÍÕ × ÅÌÑÈ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÜÔÕ ÆÕÎË ÉÀ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÁÞÅ. ðÒÉÂÅÇÎÅÍ Ë ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÍÕ ÚÁÄÁÎÉÀ ÆÕÎË ÉÉ
f (0) = 1;
(ä.16)
f (k) = k · f (k − 1); k > 1:
ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ Ï ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÏ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ËÁË
ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.13), (ä.14)), ÔÁË É ÆÕÎË ÉÉ (ÓÍ.
ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.15), (ä.16)). ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÌÉ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÉÌÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ ÆÕÎË ÉÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ f (k) = ak .
ðÒÉ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ
ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ x ; x ; :::; xn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ
Ó ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÒÅÄÙÓÔÏÒÉÅÊ, ÅÓÌÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ
ÏÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÞÌÅÎÏ×. ïÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÁ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
xn = f (xn− ; xn− ; :::; xn−i ); ÇÄÅ n > i:
åÓÌÉ xn ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÓÅÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÞÌÅÎÏ×, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ
ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÏÌÎÕÀ ÒÅÄÙÓÔÏÒÉÀ.
ãÅÌÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÁ×ÑÔÓÑ ÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÌÉ ÆÕÎË ÉÊ, ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÅÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÚÎÉËÁÌÉ ÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ÷ ÉÄÅÁÌÅ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÊÔÉ Ñ×ÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ
ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÉÌÉ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÛÅ ÉÄÅÁÌØÎÏÅ ÖÅÌÁÎÉÅ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, Á ÔÏÞÎÅÅ, ËÒÁÊÎÅ ÒÅÄËÏ,
ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÎÁÛÉÍÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÞÁÝÅ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÔØÓÑ
ÉÚÕÞÅÎÉÅÍ ÁÓÉÍÔÏÔÉËÉ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÌÉ ÆÕÎËÉÉ ÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÁÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ
ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ Ñ×ÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÉÌÉ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ.
úÁÄÁÞÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Ñ×ÎÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÉÌÉ
ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÅÊ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ .
ëÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ.
1
1
2
2
ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆ-
ìÉÎÅÊÎÙÍ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ p ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ Ó ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÒÅÄÙÓÔÏÒÉÅÊ.
322
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÎÏÛÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
an = an−
+ an− + · · · + pan−p ; ÇÄÅ p 6= 0:
òÅÛÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÂÌÁÄÁÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. ðÕÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ b ; b ; :::; bn É ; ;
:::; n Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. äÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ
ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÉÈ ÞÅÒÅÚ B = {b ; b ; :::; bn}, É C = { ; ; :::; n }, ÔÏÇÄÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ D = b · B + · C , (ÇÄÅ b É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ), Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ
ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÷ É ó , ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.
òÅÛÅÎÉÅ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÛÅÎÉÀ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ p. þÔÏÂÙ ÄÁÔØ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ËÁÒÔÉÎÕ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ p = 2. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÜÔÕ ÁÎÁÌÏÇÉÀ. ïÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
dy
dy
+ d dx
+ d y = 0:
(ä.17)
dx
ìÉÎÅÊÎÏÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ 2 ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
(ä.18)
an = an− + an− ⇒ an − an− − an− = 0:
òÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ
y = ex . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (ä.17), ÏÌÕÞÁÅÍ
ex + d ex + d ex = 0; + d + d = 0:
äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ + d + d = 0, ËÏÔÏÒÏÅ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ.
òÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ 2 ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ an = rn . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (ä.18),
ÏÌÕÞÁÅÍ
rn = rn− + rn− ; r − r − = 0:
äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ r ÏÌÕÞÅÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ r − r − = 0, ËÏÔÏÒÏÅ
ÔÁËÖÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ.
÷ÏÚÍÏÖÎÙ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ, ÒÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÞÅÒÅÚ A É B ÂÕÄÅÍ
ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ.
óÌÕÞÁÊ I. åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ + d + d = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ = k , = k , ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ y = Aek x +
k
x
+Be . åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ r − r − = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ r = r , r = r , ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ an = Arn + Brn .
óÌÕÞÁÊ II. åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ + d + d = 0 ÉÍÅÅÔ
Ä×Á ÒÁ×ÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ = = k, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
323
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ y = Aekx +
kx
+Bxe . åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ r − r − = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁ×ÎÙÈ
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ r = r = a, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
n.
ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ an = Aan + Bna
n
ðÏÑÓÎÉÍ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an = a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ r = a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an = nan. ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÜÔÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ × ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (ä.18)
nan = (n − 1)an− + (n − 2)an− ;
É ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÄÁÎÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ×ÉÄÕ
nan− (a − a − ) + an− ( a + 2 ) = 0:
ðÏÓËÏÌØËÕ a | ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÔÏ (a − a − ) = 0,
Á Ô. Ë. a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2, ÔÏ ( a + 2 ) = 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an = nan ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.
óÌÕÞÁÊ III. åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ + d + d = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÑ = ± i, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ y =
= Ae x os x + Be x sin x.
åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ r − r − = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÍÌÅËÓÎÏ
ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÑ r = ± i, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ an = A · ( + i)n + B · ( − i)n.
÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ É ÅÒÅÉÛÅÍ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ × ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÏÍ ×ÉÄÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ
ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÔÁËÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÁÑ É ÍÎÉÍÁÑ ÞÁÓÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ëÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ + i
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ
+ i = ( os ' + i sin ');
p
ÇÄÅ ÍÏÄÕÌØ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÒÁ×ÅÎ =
+ , Á ÁÒÇÕÍÅÎÔ ' ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ
os ' = ; sin ' = (0 6 ' < 2):
óÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ íÕÁ×ÒÁ (( os ' + i sin ')) n = n( os n'+i sin n'). ðÏÓËÏÌØËÕ É ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÁÑ É ÍÎÉÍÁÑ ÞÁÓÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ nÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ bn = n os n' É n =
= sin n' ÂÕÄÕÔ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ an = An os n' + Bn sin n'.
2
1
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
324
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ðÒÉÍÅÒÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.9. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÒÑÄÁ) æÉÂÏÎÁÞÞÉ
fb(n), ÚÁÄÁÎÎÏÊ × ×ÉÄÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ
fb(1) = 1; fb(2) = 1;
fb(n) = fb(n − 1) + fb(n − 2) ; n > 3:
(ä.19)
òÅÛÅÎÉÅ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÄÌÑ
ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r =
= r + 1 ÉÌÉ r − r − 1 = 0, ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ
√
1
± 5
r; =
2 ;
ÔÏÇÄÁ
√ !n
√ !n
1
+
5
1
− 5
fb(n) = ·
+d· 2
:
2
2
2
1 2
ïÒÅÄÅÌÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ É d. ðÏÓËÏÌØËÕ fb(1) = 1, ÔÏ
√ !
√ !
1
+
5
1
− 5
·
2 + d · 2 = 1;
Á ÏÓËÏÌØËÕ × ÓÉÌÕ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (ä.19) fb(2) = 1, ÔÏ
√ !
√ !
1
+
5
1
− 5
·
+d· 2
= 1:
2
íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÓÉÓÔÅÍÕ Ä×ÕÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó Ä×ÕÍÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÄÌÑ
ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É d. òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÏÌÕÞÁÅÍ = √ ; d = − √ ; ÔÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ
√ !n
√ !n
1
1
+
5
1
1
− 5
fb(n) = √
−√
:
5 2
5 2
2
2
1
1
5
5
ðÒÉÍÅÒ ä.5.10. îÁÊÔÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÄÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÒÅËÕÒ-
ÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÒÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ)
a = 7; a = 19;
an = 4an− − 3an− ; n > 2 :
òÅÛÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = 4r −3 ÉÌÉ r −4r +3 = 0,
ÒÅÛÁÑ ÅÇÏ ÏÌÕÞÁÅÍ r = 1, r = 3, ÔÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
an = + d · 3n:
ðÏÓËÏÌØËÕ a = 7, ÔÏ + 3d = 7, Á ÏÓËÏÌØËÕ a = 19, ÔÏ + 9d = 19. òÅÛÁÑ
ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÏÌÕÞÁÅÍ = 1, d = 2, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë
an = 1 + 2 · 3n:
1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
325
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
ðÒÉÍÅÒ ä.5.11. òÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
a = 4; a = 12;
an = 4an− − 4an− ; n > 2:
1
2
1
2
òÅÛÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = 4r − 4 ÉÌÉ r − 4r +
2
2
+4 = 0, ÒÅÛÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ r = r = 2. ðÏÓËÏÌØËÕ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁ×ÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
an = · 2n + d · n · 2n :
ðÏÓËÏÌØËÕ a = 4, ÔÏ 2 + 2d = 4, Ô. Ë. × ÓÉÌÕ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
a = 12, ÔÏ 4 + 8d = 12. òÅÛÁÑ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÏÌÕÞÁÅÍ = 1,
d = 1, ÔÏÇÄÁ
an = 2n + n · 2n :
ðÒÉÍÅÒ ä.5.12. òÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
a = 1; a = −2;
an = 2an− − 4an− ; n > 2:
òÅÛÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = 2r −4 ÉÌÉ r −2r +4 = 0.
òÅÛÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ r ; = 1 ± √3i. ðÏÓËÏÌØËÕ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÑ, ÔÏ√ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÉÈ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ. íÏÄÕÌØ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ = 1 + 3 = 2. äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÉÍÅÅÍ
√
1
os ' = 2 ; sin ' = 23 ; ' = 3 ;
ÔÏÇÄÁ
n n +
d · 2n sin
an = · 2n os
3
3 :
éÓÏÌØÚÕÑ Ñ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ,
ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
+ √3d√= 1;
−2 + 2 3d = −2;
ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÕÀ, ÏÌÕÞÁÅÍ = 1, d = 0, ÔÏÇÄÁ
n an = 2n os
3 :
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1 2
ïÂÏÂÝÅÎÉÅ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ
ÛÅÎÉÑ
an = an−
p.
äÌÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏ-
+ an− + · · · pan−p; ÇÄÅ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
rp = rp− + rp− + · · · + p ;
1
1
2
1
2
1
2
2
= 0;
p6
326
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÉÌÉ
rp − rp− − rp− − · · · − p = 0:
åÓÌÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ r = b Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ m, ÔÏ ÏÎÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔ m ÒÅÛÅÎÉÊ ×ÉÄÁ
an = bn ; an = nbn ; an = n bn ; : : : ; an = nm− bn :
åÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÁÒÙ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ r = ( os ' ±
±i sin ') Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ m, ÔÏ ÏÎÉ
ÏÒÏÖÄÁÀÔ 2m ÒÅÛÅÎÉÊ ×ÉÄÁ:

an = n sin sn';
 an = n os n' ;
n
an = n os n' ;
an = nn sin n';

m
− n
an = n os n' ; an = nm− n sin n';
1
1
2
2
2
1
1
1
É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.13. òÅÛÉÔØ
ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
a = 3; a = 10; a = 19;
an = 4an− − 5an− + 2an− ; n > 3:
òÅÛÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = 4r − 5r + 2 ÉÌÉ
r − 4r + 5r − 2 = 0. äÁÎÎÏÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ
ËÏÒÎÉ r = r = 1, r = 2. ðÏÓËÏÌØËÕ r = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2, ÔÏ
ÜÔÏÔ ËÏÒÅÎØ ÏÒÏÖÄÁÅÔ
Ä×Á ÒÅÛÅÎÉÑ: an = 1; an = n, Á ËÏÒÅÎØ r = 2 ÏÒÏÖÄÁÅÔ
ÒÅÛÅÎÉÅ an = 2n. ÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
an = b + n + d2n . äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ b, , d ÉÍÅÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

 b + + 2d = 3;
b + 2 + 4d = 10;

b + 3 + 8d = 19;
ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÕÀ, ÏÌÕÞÁÅÍ b = 0; = 1; d = 1, ÔÏÇÄÁ
an = n + 2n :
1
2
1
1
2
2
3
3
2
2
1
2
3
ìÉÎÅÊÎÙÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏ-
p ìÉÎÅÊÎÙÍ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ p ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
an = an− + an− + · · · + p an−p + g(n);
(ä.20)
ÇÄÅ p 6= 0, Á g(n) | ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ.
íÅÔÏÄ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. îÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÅ
ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ g(n), (ÔÏ ÅÓÔØ ÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ ÎÕÌÀ) É ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. äÁÌÅÅ ÉÝÅÔÓÑ ËÁËÏÅ-ÌÉÂÏ ÞÁÓÔÎÏÅ
ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÓÕÍÍÁ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ É ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÊ
ÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ
.
1
1
2
2
327
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
ÍÅÔÏÄ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÔÏ ÒÏÂÌÅÍÁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ €ÕÇÁÄÁÔ؁ ÌÀÂÏÅ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.
äÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ×ÉÄÏ× ÆÕÎË ÉÉ g(n) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÊ ÒÉÅÍ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. ï ÜÔÏÍ ÒÉÅÍÅ ÍÙ ÓËÁÖÅÍ ÎÉÖÅ, Á ÏËÁ ÏÔÍÅÔÉÍ ÏÄÉÎ ÏÌÅÚÎÙÊ ÆÁËÔ. åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ g(n) ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÁ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ
ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ g(n) = g (n) + g (n) É ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÎÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ
an = an− + an− + · · · + p an−p + g (n);
an = an− + an− + · · · + p an−p + g (n);
ÔÏ ÓÕÍÍÁ ÔÁËÉÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÂÕÄÅÔ ÔÁËÖÅ ÞÁÓÔÎÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (ä.20). ëÁÓÁÑÓØ ×ÏÒÏÓÁ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÏÔÍÅÔÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ.
åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ g(n) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ g(n) = Pm(n) · bn, ÇÄÅ Pm(n) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ m, ÔÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÏ × ×ÉÄÅ an = ns · Qm(n) · bn, ÇÄÅ
Qm (n) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÔÏÊ ÖÅ ÓÔÅÅÎÉ ÞÔÏ É Pm (n), s | ËÒÁÔÎÏÓÔØ ËÏÒÎÑ r = b ×
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ. åÓÌÉ r = b ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÔÏ s = 0. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pm(n) ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ
Pm (n) = Pm (n) · 1n .
ðÒÉÍÅÒ ä.5.14. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
an = 4an− − 3an− + 5 · 2n + (5n + 4):
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
1
2
òÅÛÅÎÉÅ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÌÏÓØ ÒÁÎÅÅ, É
ÂÙÌÉ ÎÁÊÄÅÎÙ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ r = 1, r = 3. ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ an = + d · 3n, ÇÄÅ É d ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ
ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÒÉÍÅÒÅ
ÆÕÎË ÉÑ g(n) = 5 · 2n + (5n + 4). ïÎÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
n
Ä×ÕÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ g (n) = 5 · 2 É g (n) = (5n + 4).
÷ÎÁÞÁÌÅ ÎÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = 4an− − 3an− + 5 · 2n.
éÍÅÅÍ ÆÕÎË ÉÀ g (n) ×ÉÄÁ g (n) = Pm(n)·bn , ÇÄÅ Pm(n) = 5 | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÕÌÅ×ÏÊ
ÓÔÅÅÎÉ É ÚÎÁÞÉÔ m = 0; b = 2 É ÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ b = 2 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ ÅÇÏ ËÒÁÔÎÏÓÔØ s = 0. ÏÇÄÁ
ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ an = n · Q (n) · 2n = A · 2n, ÇÄÅ A |
ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÉÚ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÄÁÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ
1
A · 2n = 4A · 2n− − 3A · 2n− + 5 · 2n ⇒ − A = 5; A = −20;
4
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ an = −20 · 2n.
äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = 4an− − 3an− + (5n + 4).
éÍÅÅÍ ÆÕÎË ÉÀ g (n) ×ÉÄÁ g (n) = Pm(n) · bn, ÇÄÅ Pm (n) = 5n + 4 | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ É ÚÎÁÞÉÔ m = 1; b = 1, É ÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ b = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 1, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ s = 1. ÏÇÄÁ
ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ an = n · Q (n) · 1n = n(An + B), ÇÄÅ
1
1
2
2
1
1
0
1
0
2
1
2
2
1
2
1
1
2
328
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
A É B | ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÉÚ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔ-
ÎÏÛÅÎÉÑ. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÄÁÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ
n(An + B ) = 4(n − 1)(A(n − 1) + B ) − 3(n − 2)(A(n − 2) + B ) + (5n + 4):
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ n, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ A É B.
4A + 5 = 0;
−8A + 2B + 4 = 0;
ÒÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÏÌÕÞÁÅÍ A = − , B = −7, ÔÏÇÄÁ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
5
an = −20 · 2n + n(− n − 7):
4
ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÏ
5
an = −20 · 2n + n(− n − 7) + + d · 3n ;
4
ÇÄÅ É d | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ.
5
4
òÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ Ó ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ É-
òÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ Ó ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
an = b(n) · an− + (n); n > 1;
ÇÄÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ a ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÚÁÒÁÎÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ.
éÄÅÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÅÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ F (n), ÒÁ×ÎÏÇÏ
1 :
F (n) = Q
n
b(k)
ÅÎÔÁÍÉ.
1
0
k=1
õÍÎÏÖÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ. ðÏÌÕÞÉÍ
an
n− b(n)
= aQ
+ Qn (n) :
n
n
Q
b(k )
b(k)
b(k)
1
k=1
k=1
k=1
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ yn = b(n + 1) · F (n + 1) · an , ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÅÒÅÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ yn = yn− + F (n) · (n). üÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÛÁÅÔÓÑ
ÒÏÓÔÙÍ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ
n
P
a
+
F (k) · (k)
n
X
k
yn = y + F (k) · (k); ÔÏÇÄÁ an =
:
b(n + 1) · F (n + 1)
k
1
0
=1
0
=1
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
329
ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÏÂÌÅÍÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ
Ë ÒÏÂÌÅÍÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍ
n
Y
k=1
b(k) = e
ln
n
Q
k=1
b(k)
=e
n
P
k=1
ln
b(k)
;
ÔÏ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÔÁËÉÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÏÒÏÓÕ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.15. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
a = 0;
an = nn an− + 2; n > 1:
òÅÛÅÎÉÅ. óÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
1 = 1 :
F (n) = Q
n
n+1
0
+1
1
k=1
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ
k+1
k
yn = b(n + 1) · F (n + 1) · an =
n+1
(n + 2) · an = (n + 1) · an:
n+2
äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ yn ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
y = 0;
yn = yn− + n ;
ÏÔËÕÄÁ
n
n
X
2 ; an = 2(n + 1) X
1 :
yn =
k+1
k+1
0
2
1
+1
k=1
k=1
íÅÔÏÄÙ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ÅÎËÉ ÆÕÎË ÉÊ, ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏ-
÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎËÉÀ ÅÌÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÑ ÅÅ ÞÅÒÅÚ T (n).
ïÄÉÎ ÉÚ ÒÉÅÍÏ×, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÙÈ Ï ÅÎÏË |
ÜÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÔÁËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f (n), ËÏÔÏÒÁÑ ÍÁÖÏÒÉÒÏ×ÁÌÁ ÂÙ T (n) ÄÌÑ ×ÓÅÈ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ n, Ô. Å. ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ T (n) 6 f (n). éÎÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÅÍ. úÁÄÁÅÔÓÑ ×ÉÄ ÆÕÎË ÉÉ
f (n), × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÁÒÁÍÅÔÒÏ×, Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ
ÁÒÁÍÅÔÒÏ× ÕÔÏÞÎÑÀÔÓÑ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á.
ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏÔ ÒÉÅÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.16. ï ÅÎÉÔØ ÆÕÎË ÉÀ, ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
T (1) = ;
(ä.21)
T (n) = 2T ([ n ℄) + n; n > 1;
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ [x℄ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ.
ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ.
1
2
2
330
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
òÅÛÅÎÉÅ. âÕÄÅÍ ÉÓËÁÔØ f (n) × ×ÉÄÅ f (n) = a · n · log n + b, ÇÄÅ a É b ÏËÁ ÎÅ-
ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÁÒÁÍÅÔÒÙ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. ðÒÉ
n = 1 Ï ÅÎËÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ, ÅÓÌÉ ÏÌÏÖÉÔØ b > . ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ ÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ k < n ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
T (k) 6 a · k · log k + b:
ðÏÌÁÇÁÑ k = [ n ℄, É ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (ä.21) ÏÌÕÞÁÅÍ
h n i
n
n T (n) = 2T
+
n 6 2 (a · k · log k + b) + n 6 2 a log + b + n =
2
2 2
= a · n · log n − a · n + n + 2b 6 a · n · log n + b:
ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÌÕÞÅÎÏ × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ a > +b. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ ÂÕÄÅÔ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ, ÞÔÏ b > É a > + b.
íÏÖÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ b = , a = + . ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ
n > 1 ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ Ï ÅÎËÁ
T (n) 6 ( + ) · n · log n + :
üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ T (n) = O(n · log n). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞÎÏÊ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ÅÎËÏÊ. íÙ ÌÉÛØ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ T (n)
ÒÁÓÔÅÔ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ ÞÅÍ f (n) = n · log n. é ÕÖ ÅÓÌÉ ÂÙÔØ ÓÏ×ÓÅÍ ÓÔÒÏÇÉÍ, ÔÏ
ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÁ × ×ÉÄÅ
T (n) 6 ( + ) · n∗ log n∗ + ;
ÇÄÅ n∗ = n, ÅÓÌÉ n ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, É n∗ = n + 1 × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. éÓÏÌØÚÕÑ
ÏÅÒÁ ÉÀ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÓÔÁÔËÁ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ, n∗ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ
n∗ = n + n mod 2:
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
äÒÕÇÏÊ ÒÉÅÍ | ÜÔÏ Ï ÅÎËÁ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÍ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ
ÒÉÍÅÒÅ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.17. ï ÅÎÉÔØ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ T (n) = 3T ([ n ℄) + n:
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ m, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ 4m− < n 6 4m, É ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ×
ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ
T (n) 6 3T (4m− ) + 4m;
ÎÏ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ T (4m− ) = 3T (4m− )+4m− , É ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÅÒ×ÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ÏÌÕÞÁÅÍ
3
m
−
m
−
m
m
−
m
T (n) 6 3 3T (4 ) + 4
+4 =3 T 4 +4 1+ 4 :
ðÏÓËÏÌØËÕ
T (4m− ) = 3T (4m− ) + 4m− ;
íÅÔÏÄ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ.
4
1
1
1
2
2
1
1
2
2
3
2
2
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
331
ÔÏ Ï×ÔÏÒÉÍ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ
3 3 ;
T (n) 6 3 T (4 ) + 4 1 + +
4 4
É ÒÏÄÏÌÖÁÑ ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
m− !
3
3
3
m
m
T (n) 6 3 T (1) + 4 1 + +
+
···+
:
4 4
4
ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÓÕÍÍÁ × ËÒÕÇÌÙÈ ÓËÏÂËÁÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ ÓÏ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ q = 3=4, É ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÅ ÒÅ×ÙÛÁÅÔ ÓÕÍÍÙ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁ×ÎÁ 4, ÔÏÇÄÁ
T (n) 6 3m T (1) + 4m :
îÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ×ÙÂÏÒÁ ÞÉÓÌÁ m ÉÍÅÅÍ m 6 log n + 1, É
T (n) 6 3 n · T (1) + 16n;
ÎÏ ÔÁË ËÁË 3 n = n = o(n), ÔÏ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ T (n) = O(n).
3
m−3
2
m
2
!
1
+1
4
log4
log4
+1
log4 3
ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎËÁÈ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ
óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ, ÄÏËÁÚÁÎÎÁÑ × 1980 Ç. äÖ. âÅÎÔÌÉ, ä. èÁËÅÎ
É äÖ. óÁËÓÏÍ [20℄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÏÝÎÙÍ ÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ
Ï ÅÎËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ×ÉÄÁ. ÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÒÉ Ï ÅÎËÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ
ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÁ ÍÅÔÏÄÅ ÄÅËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ ä.5.16 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ
ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ, ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÏÍÕ äÖ.æÏÎ îÅÊÍÁÎÏÍ | ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÓÌÉÑÎÉÅÍ.
ÅÏÒÅÍÁ. (J. L. Bentley, Dorothea Haken, J. B. Saxe, 1980) ðÕÓÔØ a > 1 É b > 1 |
ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, f (n) | ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, T (n) ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÒÉ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ
ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n ÆÏÒÍÕÌÏÊ
h n i
T (n) = aT
+ f (n);
b
ÔÏÇÄÁ:
1) ÅÓÌÉ f (n) = O(n b a−") ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ " > 0, ÔÏ
T (n) = (n b a );
2) ÅÓÌÉ f (n) = (n b a), ÔÏ
T (n) = (n b a logb n);
3) ÅÓÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ
> 0 É " > 0, ÞÔÏ ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n ×ÙÏÌÎÅÎÏ f (n) >
> n b a " É ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ d < 1, ÔÁËÁÑ ÞÔÏ, ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ
n
a · f ( ) 6 d · f (n); ÔÏ T (n) = (f (n)):
b
ÆÕÎË ÉÊ.
log
log
log
log
log
+
332
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒÙ Ï ÅÎËÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ Ó ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ
ÄÁÎÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.18. ðÏÌÕÞÉÔØ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÆÕÎË ÉÉ T (n) = 8T ([ n ℄)+n:
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ a = 8, b = 4, f (n) = n, Á
n ba = n
= n = n√n:
ðÏÓËÏÌØËÕ f (n) = O(n√n) ÄÌÑ " = √1=:2, ÔÏ, ÒÉÍÅÎÑÑ ÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ
ÔÅÏÒÅÍÙ, ÄÅÌÁÅÍ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ T (n) = (n n).
ðÒÉÍÅÒ ä.5.19. ðÏÌÕÞÉÔØ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÆÕÎË ÉÉ T (n) = T ([ n ℄)+5:
òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ a = 1, b = 4=3, f (n) = 5, Á
n b a = n = = n = (1);
ÏÜÔÏÍÕ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ×ÔÏÒÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÔÅÏÒÅÍÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ
f (n) = 5 = (n b a ) = (1);
ÔÏ ÏÌÕÞÁÅÍ Ï ÅÎËÕ T (n) = (log = n).
ðÒÉÍÅÒ ä.5.20. ðÏÌÕÞÉÔØ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ
Ï ÅÎËÕ ÆÕÎË ÉÉ
h n i
T (n) = 2T
4 + n log n:
òÅÛÅÎÉÅ. íÙ ÉÍÅÅÍ a = 2, b =; 4," f (n) = n log n, Á n b a = n = n =: = √n,
ÆÕÎË ÉÑ f (n) = n log n > n , ÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ n É " = 0; 5. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÌÑ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÔÅÏÒÅÍÙ. äÌÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ n ÉÍÅÅÍ
2f n4 = 2 n4 log n4 6 12 n log n = d · f (n); ÇÄÅ d = 12 < 1;
ÕÓÌÏ×ÉÅ ×ÙÏÌÎÅÎÏ, É ÔÏÇÄÁ T (n) = (n log n).
4
log
3
2
log4 8
3
4
log
log4 3 1
0
log
4 3
4
log
4
0 5+
log4 2
1
2
4
4
4
4
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.2
ä.5.2.1. úÁÉÓÁÔØ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ × ×ÉÄÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ.
ä.5.2.2. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ
(
a = 1; an = 2an−
1
+ an ; n > 1;
ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ ÒÉ n → ∞ É ÎÁÊÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÒÅÄÅÌÁ.
ä.5.2.3. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
1
2
2 1
an = an− + n + n − :
3
3
3 3
1
3
1
1
8
2
2
−1
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
333
ä.5.2.4. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
an = 2an−
+ 2:
ä.5.2.5. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
an = −5an− − 6an− :
ä.5.2.6. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
an = −6an− − 9an−
ä.5.2.7. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
an = −2an− − 2an− :
ä.5.2.8. åÓÌÉ ÷Ù ÓÞÉÔÁÅÔÅ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ
ÆÕÎË ÉÉ, ÔÏ ÏÒÏÂÕÊÔÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ Ä×ÁÖÄÙ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ
ÆÕÎË ÉÉ áËËÅÒÍÁÎÁ | A(3; 5), ËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ

 n + 1; m = 0;
A(m; n) = A(m − 1; n); n = 0;

A(m − 1; A(m; n − 1)):
−n
1
1
1
1
2
2
2
ä.5.3. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ.
òÁÚÎÏÓÔÎÙÊ É ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÏ Ï ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÙÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÈ. ÷ ÏÓÎÏ×Å ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÈ ÌÅÖÉÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ D, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
f (x + h) − f (x)
Df (x) = lim
:
h→
h
îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
ÆÕÎË ÉÊ ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ.
éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÒÁÚÎÏÓÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÇÏ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
f (x) = f (x + 1) − f (x):
ïÅÒÁÔÏÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏ-ÒÁÚÎÏÓÔÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, × ËÏÔÏÒÏÍ
ÏÇÒÁÎÉÞÉÌÉÓØ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ É, ×ÍÅÓÔÏ h → 0, ×ÚÑÔÏ
ÂÌÉÖÁÊÛÅÅ Ë ÎÕÌÀ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ | h = 1.
äÁÌÅÅ ÓÌÅÄÏ×ÁÌÏ ÂÙ ÉÚÕÞÉÔØ Ó×ÏÊÓÔ×Á ××ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ, ÎÏ ÍÙ ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÅÍ ÏÚÄÎÅÅ. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÕÊÄÅÍ ÎÅÍÎÏÇÏ ×ÅÒÅÄ, ÞÔÏÂÙ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÓÍÙÓÌ ÔÏÇÏ,
ÒÁÄÉ ÞÅÇÏ ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÌÓÑ ÔÁËÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ.
ëÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ËÁË ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÁÎÁÌÏÇ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
0
334
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ïÅÒÁÔÏÒ D × ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ
ÉÍÅÅÔ
ÏÂÒÁÔÎÙÊ
ÏÅÒÁÔÏÒ
|
ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ,
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÙÊ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ R . ó×ÑÚØ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
g(x) = Df (x); ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
R
R
g(x)dx =f (x) + C: Ï ÅÓÔØ g(x)dx | ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎË ÉÉ
g(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÁÓÓÏÍ ÆÕÎË ÉÊ, ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÁ g(x).
ÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏ-ÒÁÚÎÏÓÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ××ÅÄÅÍ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÅÍÕ
ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ P. ó×ÑÚØ ËÏÎÅÞÎÏ-ÒÁÚÎÏÓÔÎÏÇÏ É ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÅÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
g(x) = f (x);
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
X
g(x)Æx = f (x) + C:
P
úÄÅÓØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ g(x)Æx ÅÓÔØ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ÆÕÎË ÉÉ g(x) | ËÌÁÓÓ
ÆÕÎË ÉÊ, ËÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÙÈ ÅÓÔØ g(x). âÕË×Á €C  × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÏÓÔÏÑÎÎÕÀ, × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ
ÓÕÍÍÙ €C  ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÌÀÂÕÀ ÆÕÎË ÉÀ p(x), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ p(x + 1) = p(x):
ðÏËÁ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÏÎÑÔÎÏ, ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÅÌÅÊ ÍÙ ××ÅÌÉ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ
ÏÅÒÁÔÏÒ, É ×ÓÅ ÜÔÏ ÏËÁ ÎÁÏÍÉÎÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ |
ÒÉÄÅÔÓÑ ÅÝÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅÍÎÏÇÏ ÏÄÏÖÄÁÔØ.
ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ËÕÒÓ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÁËÖÅ ÏÎÑÔÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÓÍÙÓÌ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÎÅÍÎÏÇÏ ÏÍÎÉÔ.
÷ ÏÓÎÏ×Å ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÌÅÖÉÔ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁ{ ìÅÊÂÎÉ Á:
óÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ É ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ.
ïÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÓÕÍÍÙ.
g(x) = Df (x)
⇒
Zb
a
g(x)dx = f (x)
b
a
= f (b) − f (a):
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ
g(x) = f (x)
b
⇒
b
X
a
g(x)Æx= f (x)
b
a
= f (b) − f (a):
ïÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ P g(x)Æx ××ÅÄÅÎÁ ÒÏÓÔÏ Ï ÁÎÁÌÏÇÉÉ, ÎÏ ÞÔÏ ÏÎÁ ÒÅÄa
ÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÅÄÓÔÏÉÔ ÅÝÅ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ. ðÏËÁ ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ
ÎÁÂÏÒ ÓÉÍ×ÏÌÏ×. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÏÎÑÔØ ÓÍÙÓÌ ××ÅÄÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ×ÅÒÎÅÍÓÑ ÎÅÍÎÏÇÏ ÎÁÚÁÄ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÁÑ ÓÕÍÍÁ
k=b
X
k=a
g(k); b > a:
(ä.22)
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÏÔÙÓËÁÔØ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ
ÆÕÎË ÉÉ g(x), É ÏÎÁ ÒÁ×ÎÁ f (x), Ô. Å. g(x) = f (x + 1) − f (x): ÏÇÄÁ ÄÌÑ
ÓÕÍÍÕ
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
335
ÌÀÂÏÇÏ k ÉÍÅÅÍ g(k) = f (k + 1) − f (k). óÕÍÍÕ (ä.22) ÅÒÅÉÛÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ
ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÑ
k=b
X
k=a
g(k) = g(a) + g(a + 1) + g(a + 2) + · · · + g(b − 1) + g(b):
äÁÌÅÅ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ Ó×ÑÚØÀ ÍÅÖÄÕ ÆÕÎË ÉÑÍÉ g(x) É f (x), ÔÏÇÄÁ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ (ä.22) ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ×ÉÄ
k =b
X
k =a
g(k) = (f (a + 1) − f (a)) + (f (a + 2) − f (a + 1))+
+ (f (a + 3) − f (a + 2)) + · · · + (f (b) − f (b − 1)) + (f (b + 1) − f (b)) :
éÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ×ÉÄ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ × ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÓËÏÂËÁÈ ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁËÉ É ×ÚÁÉÍÎÏ ÕÎÉÞÔÏÖÁÀÔ ÄÒÕÇ
ÄÒÕÇÁ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ €×ÏÌÎÅ ÒÉÌÉÞÎÙʁ ×ÉÄ
k=b
X
k =a
g(k) = f (b + 1) − f (a);
É ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÏÑÓÎÑÅÔ ÓÍÙÓÌ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ, Ô. Å.
b
X
a
g(x)Æx =
k=
b−1
X
k=a
g(k):
ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
Za
a
Zb
g(x)dx = 0;
a
g(x)dx = −
Za
b
g(x)dx;
Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ
ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÕÍÍ ÏÌÏÖÉÍ:
a
P
1)
a
g(x)Æx = 0;
b
a
2) ÒÉ b < a ÉÍÅÅÍ P g(x)Æx = − P g(x)Æx.
a
b
äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ
Zb
a
g(x)dx +
Z
b
g(x)dx =
g(x)dx:
Z
a
þÉÔÁÔÅÌØ ÓÁÍ ÂÅÚ ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÒÕÄÁ ÍÏÖÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ
ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÕÍÍ
b
X
a
g(x)Æx +
X
b
g(x)Æx =
X
a
g(x)Æx:
336
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
÷ÓÏÍÎÉÍ ÚÎÁÍÅÎÉÔÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ Ï ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Ï
ÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ ×ÅÒÈÎÅÍÕ ÒÅÄÅÌÕ
D
Zx
a
g(t)dt = g(x):
áÎÁÌÏÇÏÍ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ
ÒÉ×ÏÄÉÍ ÎÉÖÅ
b+1
X
a
g(x)Æx −
b
X
a
g(x)Æx = (f (b + 1) − f (a)) − (f (b) − f (a)) = f (b + 1) − f (b) = g(b):
ðÏÄ×ÅÄÅÍ ÉÔÏÇ, ÒÁÄÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÚÁÎÉÍÁÌÉÓØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÓÕÍÍÁÍÉ. ðÕÓÔØ
k b
ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÓÕÍÍÕ ×ÉÄÁ P g(k); É ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ
k a
ÎÁÊÔÉ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÆÕÎË ÉÉ g(x)
X
g(x)Æx = f (x);
Ô. Å. ÎÁÊÔÉ ÔÁËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f (x), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÏÌÎÅÎÏ
f (x + 1) − f (x) = g(x):
ÏÇÄÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ÕÖÅ ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏÊ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ
(ËÏÎÅÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÓÁÍ ×ÉÄ ÆÕÎË ÉÉ f (x) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏÊ), Á ÉÍÅÎÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ÓÕÍÍÙ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
=
=
k=b
X
k=a
g(k) =
b+1
X
a
g(x)Æx = f (b + 1) − f (a):
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÏÂÌÅÍÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÓÕÍÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÏÂÌÅÍÅ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ
ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÕÍÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÂÙ ÒÉÄÁÔØ ÜÔÏÍÕ ÏÉÓËÕ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÁÚÕÍÎÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÉÚÕÞÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ
Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÁÚÎÏÓÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ .
ðÅÒ×ÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÉÌÉ ÒÁÚÎÏÓÔØ
ÅÒ×ÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÆÕÎË ÉÉ f , ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ f , ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ×ÙÛÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
f (x) = f (x + 1) − f (x):
÷ÔÏÒÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÉÌÉ ÒÁÚÎÏÓÔØ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÆÕÎË ÉÉ f , ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ
f , ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË
f (x) = (f (x)):
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
f (x) = (f (x)) = (f (x + 1) − f (x)) =
= (f (x + 2) − f (x + 1)) − (f (x + 1) − f (x)) = f (x + 2) − 2f (x + 1) + f (x) :
÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÏÒÑÄËÁ n ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ nf (x) = (n− f (x)). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏËÁ ÒÉÍÅÒÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ
ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ, ÎÉÖÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ nf (x).
ëÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ×ÙÓÛÉÈ ÏÒÑÄËÏ×.
2
2
2
1
337
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
ðÒÉÍÅÒ ä.5.21. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÏÔ ÄÏ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = x .
òÅÛÅÎÉÅ.
4
3
(x ) = (x + 1) − x = 3x + 3x + 1:
(x ) = ((x )) = (3x + 3x + 1) =
= (3(x + 1) + 3(x + 1) + 1) − (3x + 3x + 1) = 6x + 6:
(x ) = ( (x )) = (6x + 6) = (6(x + 1) + 6) − (6x + 6) = 6:
(x ) = ( (x )) = (6) = 0:
2
3
3
3
3
3
2
2
2
2
3
3
2
3
4
3
3
3
ðÒÉÍÅÒ ä.5.22. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = ax.
òÅÛÅÎÉÅ.
(ax ) = ax
+1
− ax
= (a − 1)ax:
(2x x) = 2x. éÚ ËÕÒìÅÇËÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ n(ax) = (a−1)nax, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ
x
ÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ D(e ) = e , ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
× ÒÁÍËÁÈ ÁÁÒÁÔÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÆÕÎË ÉÑ f (x) = 2x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÏÍ
ÜËÓÏÎÅÎÔÙ × ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÈ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.23. ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ (ax) ÄÏËÁÚÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ
ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÇÒÅÓÓÉÑ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ kkPn aqk
=
−1
;
ÔÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ g(x) = qx− . îÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ
=1
1
f (x) =
ÔÏÇÄÁ
kX
=n
k=1
aqk−
1
qx−
;
q−1
1
=
nX
+1
1
Ô. Å.
X
aqx− Æx = a
1
qx− Æx =
1
q x−
q−1
1
n+1
1
qx−
;
q−1
1
n
= a qq −−11 :
äÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ××ÅÄÅÍ ÏÅÒÁÔÏÒ E , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ E (f (x)) = f (x + 1); Á ÞÅÒÅÚ I ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
I (f (x)) = f (x);
ÔÏÇÄÁ ÏÅÒÁÔÏÒ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ
(f (x)) = f (x + 1) − f (x) = E (f (x)) − I (f (x)) = (E − I )(f (x)):
338
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ðÏÌÏÖÉÍ E = I , ÔÏÇÄÁ
n(f (x)) = (E − I )n(f (x)) = E n (f (x)) − n · E n− (f (x)) + · · ·
· · · + (−1)k · Cnk · E n−k (f (x)) + · · · + (−1)n E (f (x)) =
= f (x + n) − nf (x + n − 1) + · · ·
· · · + (−1)k · Cnk · f (x + n − k ) + · · · + (−1)n · f (x);
ÇÄÅ Cnk = k nn−k | ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×
ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÒÉÎÑÔÏÇÏ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÔÅËÓÔÅ ËÎÉÇÉ ò. èÁÇÇÁÒÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ C (n; kk),
Á×ÔÏÒÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÏÅ × ÏÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ | Cn .
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ×ÙÞÉÓÌÉÍ (f (x)), ÉÍÅÅÍ
(f (x)) = f (x + 4) − 4f (x + 3) + 6f (x + 2) − 4f (x + 1) + f (x):
ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÏ× E É , ËÏÔÏÒÙÅ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÂÅÚ
ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÒÕÄÁ ÍÏÖÅÔ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ.
E 1. ìÉÎÅÊÎÏÓÔØ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÆÕÎË ÉÊ f É g, É ÌÀÂÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
a É b ×ÙÏÌÎÅÎÏ E (af + bg) = aE (f ) + bE (g); (af + bg) = a(f ) + b(g). ëÒÏÍÅ
ÔÏÇÏ, ÉÍÅÅÍ: E = E ; E (a) = a; a = 0.
2. ëÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. îÉÖÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÁÎÁÌÏÇÉ ÆÏÒÍÕÌ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ É ÞÁÓÔÎÏÇÏ. ÷ ËÕÒÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ
ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
D(fg) = fD(g) + gD(f ):
äÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÍ
(f (x)g(x)) = f (x + 1)g(x + 1) − f (x)g(x) =
=f (x + 1)g(x + 1) − f (x)g(x + 1) + f (x)g(x + 1) − f (x)g(x) =
=g(x + 1)(f (x + 1) − f (x)) + f (x)(g(x + 1) − g(x)) =
=(f (x))E (g(x)) + f (x)(g(x)) = (f · g + Eg · f )(x);
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
(fg) = f · (g) + E (g) · (f ):
(ä.23)
3. ëÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÞÁÓÔÎÏÇÏ. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ
ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ
f
D
= gD(f ) g− fD(g) :
g
÷ ÓÌÕÞÁÅ
ËÏÎÅÞÎÏÊ
ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÍ
1) − f (x) = f (x + 1)g(x) − f (x)g(x + 1) =
fg((xx)) = fg((xx ++ 1)
g(x)
g(x)g(x + 1)
= f (x + 1)g(x) − f (x)gg((xx))g+(xf+(x1))g(x) − f (x)g(x + 1) =
= g(x)(f (x + 1) − fg((xx)))g(−xf+(x1))(g(x + 1) − g(x)) = g(x)(fg((xx)))g−(xf+(x1))(g(x)) ;
0
1
0
!
!(
)!
4
4
ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
É
.
2
339
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
(ä.24)
fg = g · (gf )· E−(fg)· (g) :
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ×, ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁÈ
(ä.23) É (ä.24).
ðÒÉÍÅÒ ä.5.24.
îÁÊÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ
Á) (2x + 3x + 4x + 5); Â) ((x + 4x + 3)(x + 5)); ×) ( x x x ).
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ (x) = (x +1) − x = 1, (x ) = (x +1) − x =
2x + 1, É ÒÁÎÅÅ ÂÙÌÏ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ (x ) = 3x + 3x + 1.
Á) îÁÊÔÉ (2x + 3x + 4x + 5).
(2x + 3x + 4x + 5) = 2(x ) + 3(x ) + 4(x) + 5(1) =
= 2(3x + 3x + 1) + 3(2x + 1) + 4(1) + 0 = 6x + 12x + 9:
Â) îÁÊÔÉ ((x + 4x + 3)(x + 5)). éÓÏÌØÚÕÅÍ ÆÏÒÍÕÌÕ (ä.23), É ÏÌÕÞÁÅÍ
((x + 4x + 3)(x + 5)) = (x + 4x + 3) · (x + 5) + E (x + 5)(x + 4x + 3) =
= (x + 4x + 3) · 1 + ((x + 1) + 5)(2x + 1 + 4)) =
= (x + 4x + 3) + (x + 6)(2x + 5):
×) îÁÊÔÉ ( x x x ). îÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.24) ÉÍÅÅÍ
x + 4x + 3
x + 5 = (x + 5) · (x + 4(xx++3)5)E−((xx++5)4x + 3) · (x + 5) =
+ 4) − (x + 4x + 3) · 1 =
= (x + 5) · (2(xx ++ 15)((
x + 1) + 5)
= (x + 5)(2(xx++5)5)(−x (+x 6)+ 4x + 3) :
3
2
2
2
+4 +3
+5
2
3
3
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+4
+3
+5
2
2
2
2
2
÷ ÅÌÑÈ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÊÄÅÍ
(xn ) | ÉÓÏÌØÚÕÑ ÂÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ ÏÌÕÞÁÅÍ
(xn ) = (x + 1)n − xn = nxn− + n(n2− 1) xn− + · · · + Cnk · xn−k + · · · + 1;
ÎÏ ÏÂÙÞÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
D(xn ) = nxn− :
íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = xn ÉÍÅÅÔ ÄÏ×ÏÌØÎÏ
ÓÌÏÖÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ É ÜÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÓÁÍÙÊ ÒÉÑÔÎÙÊ ÆÁËÔ, ÏÓËÏÌØËÕ Ó ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÞÁÓÔÏ ÉÍÅÔØ ÄÅÌÏ ÒÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ. ðÏÙÔÁÅÍÓÑ
×ÙÂÒÁÔØÓÑ ÉÚ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ÒÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ ÏÔÅÒÑÈ.
æÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ.
1
2
1
340
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
÷×ÅÄÅÍ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x n , ËÏÔÏÒÕÀ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ ÒÉ x > n > 0
n
x = 1; n = 0;
x n = x · (x − 1) · (x − 2) · · · (x − n + 1); n > 0:
æÁËÔÉÞÅÓËÉ ÆÕÎË ÉÑ f (x) = x n ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n,
ÒÁ×ÄÁ ÎÅ ÓÁÍÏÇÏ ÒÉÑÔÎÏÇÏ ×ÉÄÁ, ÅÓÌÉ ÒÁÓËÒÙÔØ ÓËÏÂËÉ. îÏ ÓÅÊÞÁÓ ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ÆÁËÔ, ×ÙÞÉÓÌÉ× ÅÇÏ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ.
(x n ) = (x + 1) · (x) · (x − 1) · · · (x − n + 2) − x · (x − 1) · (x − 2) · · · (x − n + 1) =
= (x · (x − 1) · (x − 2) · · · (x − n + 2)) · ((x + 1) − (x − n + 1)
= nx · (x − 1) · (x − 2) · · · (x − n + 2) = nx n− :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÁÁÒÁÔÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊnÆÕÎË ÉÑ f (x) = x n
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = x .
æÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ n ÎÁÚÏ×ÅÍ ÆÕÎË ÉÀ ×ÉÄÁ
f (x) = an x n + an− x n− + · · · + a x + a x + a :
÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÅÒØÅÚÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.25. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ
f (x) = 4x − 5x + 7x + 2:
(
(
)
(
)
(
(
)
)
)
(
1)
(
(
)
1
(
1)
(3)
òÅÛÅÎÉÅ.
(f (x)) = (4x
= 4 · 3x
(3)
(2)
2
(2)
(2)
1
(1)
)
0
(1)
5x + 7x + 2) = 4(x ) − 5(x ) + 7(x ) + (2) =
− 5 · 2x + 7 · 1 + 0 = 12x − 10x + 7:
(2)
−
(1)
(3)
(1)
(2)
(2)
(1)
(1)
ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÂÙÞÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ.
ïÓÔÁÅÔÓÑ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÍ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÂÙÞÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÎÏ
ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÜÔÏÍÕ
×ÏÒÏÓÕ, ÎÁÏÍÎÉÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ ÏÄÎÕ ÔÅÏÒÅÍÕ, ÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ËÁË ÔÅÏÒÅÍÁ âÅÚÕ.
ÅÏÒÅÍÁ. ïÓÔÁÔÏË, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
f (x) = an xn + an− xn− + · · · + a x + a x + a
(ÓÔÅÅÎÉ n > 1) ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ (x − a), ÒÁ×ÅÎ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
× ÔÏÞËÅ x = a, Ô. Å. f (a).
óÈÅÍÕ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÏÂÙÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ÏÑÓÎÉÍ
ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ | ÕÓÔØ f (x) = x . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÄÏÌÖÅÎ
ÉÍÅÔØ ÔÕ ÖÅ ÓÔÅÅÎØ, ÞÔÏ É ÉÓÈÏÄÎÙÊ, ÚÎÁÞÉÔ ÉÍÅÅÍ
x =a x +a x +a x +a x +a :
òÁÓÉÛÅÍ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ
x = a x(x − 1)(x − 2)(x − 3) + a x(x − 1)(x − 2) + a x(x − 1) + a x + a :
1
1
2
2
1
0
4
4
4
4
4
(4)
3
(3)
3
2
(2)
1
(1)
0
2
1
0
341
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
ÅÅÒØ ÌÅ×ÕÀ É ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÜÔÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÏÄÅÌÉÍ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ x. ïÓÔÁÔËÉ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙ:
× ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ | ÎÕÌÀ, Á × ÒÁ×ÏÊ | a , ÔÏÇÄÁ a = 0. þÁÓÔÎÏÅ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ
ÒÁ×ÎÏ x , × ÒÁ×ÏÊ ÏÌÕÞÁÅÍ
a (x − 1)(x − 2)(x − 3) + a (x − 1)(x − 2) + a (x − 1) + a ;
ÔÏÇÄÁ ÉÍÅÅÍ
x = a (x − 1)(x − 2)(x − 3) + a (x − 1)(x − 2) + a (x − 1) + a :
ÅÅÒØ ÏÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ | (x − 1). ïÓÔÁÔËÉ:
× ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÓÔÁÔÏË ÒÁ×ÅÎ 1, × ÒÁ×ÏÊ | a , ÔÏÇÄÁ a = 1. þÁÓÔÎÏÅ × ÌÅ×ÏÊ
ÞÁÓÔÉ | x + x + 1, × ÒÁ×ÏÊ | a (x − 2)(x − 3) + a (x − 2) + a , ÔÏÇÄÁ ÉÍÅÅÍ
x + x + 1 = a (x − 2)(x − 3) + a (x − 2) + a :
ðÏÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ (x − 2). ïÓÔÁÔËÉ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÓÔÁÔÏË ÒÁ×ÅÎ 7, × ÒÁ×ÏÊ | a , ÔÏÇÄÁ a = 7. þÁÓÔÎÙÅ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ | x + 3, × ÒÁ×ÏÊ |
a (x − 3) + a , ÔÏÇÄÁ x + 3 = a (x − 3) + a .
é ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÄÅÌÅÎÉÅ | ÏÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ (x − 3). ïÓÔÁÔËÉ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ
ÏÓÔÁÔÏË ÒÁ×ÅÎ 6, × ÒÁ×ÏÊ | a , ÔÏÇÄÁ a = 6. þÁÓÔÎÙÅ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ | 1,
× ÒÁ×ÏÊ | a , ÚÎÁÞÉÔ a = 1. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ
x = x + 6x + 7x + x :
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÒÉÍÅÎÉÍÁ ÄÌÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ËÁË ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ. ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁË ÖÅ, ÞÔÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÓÔÁÒÛÉÈ
ÓÔÅÅÎÑÈ É Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ÞÌÅÎÙ ÎÅ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÉ ÅÒÅÈÏÄÅ ÏÔ ÏÂÙÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
Ë ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÍÕ. ðÏÓËÏÌØËÕ x n = nx n− , É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, xnn = x n ; ÔÏ ÍÙ
ÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ
X
xn
x n Æx =
;
n+1
ÍÙ ÏÕÓËÁÅÍ ÒÉ ÜÔÏÍ €ó  × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÄÌÑ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ.
÷ÏÓÏÌØÚÕn
P
ÅÍÓÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ x ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ k :
k
æÕÎË ÉÑ f (x) = x ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÁ ËÁË ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ × ×ÉÄÅ
x = x + 6x + 7x + x ;
ÔÏÇÄÁ
0
0
3
4
3
3
2
4
3
2
1
2
2
1
1
3
4
2
4
1
4
2
3
2
2
3
4
3
3
4
3
4
4
(
)
(4)
(
(3)
(2)
(1)
( +1)
1)
(
)
+1
(
(
+1)
)
4
4
=0
4
4
n
X
k
k=0
=
4
x=0
x Æx =
4
nX
+1
x=0
(3)
(5)
(4)
(3)
(4)
(3)
(2)
n+1
0
2
(2)
(1)
(x + 6x + 7x + x )Æx =
x
x
x
+
6
+
7
+
5
4
3
2
1)(3n + 3n − 1) :
= n(n + 1)(2n + 30
=
x
nX
+1
(4)
(2)
=
(1)
x(x − 1)(2x − 1)(3x
30
2
−
3x − 1 n =
+1
0
342
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
äÏ ÓÉÈ ÏÒ ÚÁÉÓØ
ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÁ, ÞÔÏ n > 0. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ××ÅÓÔÉ ÁÎÁÌÏÇ ÄÌÑ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÔÅÅÎÉ. äÌÑ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ
Ó×ÑÚØ
xn
x n− =
:
(ä.25)
x−n+1
ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ x n ÄÌÑ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÔÅÅÎÉ. ðÏÌÁÇÁÑ n = 1, ÏÌÕÞÁÅÍ
xn
(
æÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ.
)
(
(
)
1)
(
)
= x −x1 + 1 = 1;
(1)
x
(0)
Á ÏÌÁÇÁÑ n = 0, ÉÍÅÅÍ
= x −x0 + 1 = x +1 1 :
éÓÏÌØÚÕÑ ÍÅÔÏÄ ÉÎÄÕË ÉÉ É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (ä.25) ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ
1
x −m =
(m + x) m ;
ÄÌÑ ×ÓÅÈ m > 1, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÎÅ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ. ðÒÉ m = 1 ÏÌÕÞÁÅÍ
1 = 1 :
x− =
(1 + x) (1 + x)
x−
(
(0)
1)
(
)
(
(
)
1)
(1)
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x −k =
(
x −k −
(
k x)(k) ;
1
( +
ÔÏÇÄÁ
−k
= x +x k + 1 = (x +1k) k · x + 1k + 1 =
= (x + k)(x + k 1− 1) · · · (x + 1) · x + 1k + 1 =
= (x + k + 1)(x + k)(x1 + k − 1) · · · (x + 1) = (x + k 1+ 1) m :
(
1)
)
)
( )
(
)
éÓÏÌØÚÕÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ×ÙÞÉÓÌÉÍ (x −n ), ÏÌÕÞÁÅÍ
1
1
−n
(x ) = (x + n + 1) n − (x + n) n =
1
1
= (x + n + 1) · (x + n) · · · (x + 2) − (x + n) · (x + n − 1) · · · (x + 1) =
1
1
1
= (x + n) · (x + n − 1) · · · (x + 2) (x + n + 1) − (x + 1) =
(
(
)
)
(
)
(
)
= (x + n + 1) · (−x n+ n) · · · (x + 1) = (x + n −+n1) n = −nx −n− :
óÒÁ×ÎÉÔÅ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÎÁ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x−n , ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ: D(x−n) = −nx−n− .
(
(
1)
+1)
1
343
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ÏÔ ÆÕÎË ÉÉ x −n ÒÁ×ÎÁ
(
X
x −n
(−n + 1) :
x −n Æx =
(
)
(
)
+1)
÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÍ ËÕÒÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÅÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ | ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ.
äÌÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
ÆÕÎË ÉÊ f É g ÒÁÎÅÅ ÂÙÌÁ ÏÌÕÞÅÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
(fg) = f · (g) + E (g) · (f );
ÏÜÔÏÍÕ
X
X
X
(fg)Æx = f · (g)Æx + E (g) · (f )Æx;
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÆÏÒÍÕÌÕ
X
X
f · (g)Æx = (fg) − E (g) · (f )Æx;
ËÏÔÏÒÁÑ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ.
æÏÒÍÕÌÁ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ É ÅÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.26. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ S (n) = kPn k2k .
òÅÛÅÎÉÅ.
=0
ÎÏ ÔÁË ËÁË 2
P x
Æx
kX
=n
k=0
= 2x ;
x
(1)
nX
+1
k2
=
k
nX
+1
x2x Æx;
0
= x; ÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÅÒÅÉÛÅÍ × ×ÉÄÅ
x2x Æx =
0
nX
+1
x
(1)
(2x)Æx;
0
É ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ, ÏÌÕÞÁÅÍ
nX
+1
x2x Æx =
0
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
nX
+1
x
(1)
(2x)Æx = (x (2x))
(1)
0
= (x2x)
n+1
0
−
= (n + 1) · 2n
S (n) =
nX
+1
0
+1
n
X
k=0
n+1
0
(2x )Æx = (x2x)
+1
2
− n+2
−
nX
+1
+ 2;
k2k = (n + 1) · 2n
+1
2
(1)
)Æx =
0
n+1
0
E (2x )(x
−
− n+2
(2x )
+1
+ 2:
n+1
0
=
344
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ðÒÉÍÅÒ ä.5.27. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ S (n) = kPn k 3k .
òÅÛÅÎÉÅ.
P x óÄÅÌÁÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ.
2
=0
1) 3 Æx = x .
2) x = x(x − 1) + x = x + x .
3) E (3x) = 3x = 3 · 3x.
ó ÕÞÅÔÏÍ ÜÔÉÈ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ, ÉÍÅÅÍ
n
nX
nX 1
X
k 3k =
x 3x Æx =
x +x
(3x)Æx =
2
k
n
nX
1
1
x
= x + x 2 (3 )
−
E (3x) x + x Æx =
2
nX n
= 12 x 3x − 32
2x + 1 3xÆx =
nX 3x n
1
3
x
=2 x3
−
2x + 1 2 Æx =
2
nX
n
n
= 12 x 3x − 34 3x(2x + 1)
+ 43 E (3x) 2x + 1 Æx =
nX
n
n
= 12 x 3x − 34 3x(2x + 1)
+ 29 3xÆx =
n
n
n
+ 29 · 12 (3x) =
= 12 x 3x − 34 3x(2x + 1)
= 12 (n + 1) · 3n − 34 (2n + 3) · 3n + 34 + 94 · 3n − 94 =
n
= 3 2 (n − n + 1) − 32 :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
n
X
3n (n − n + 1) − 3 :
S (n) = k 3k =
2
2
3
2
2
(2)
(1)
+1
+1
+1
2
=0
(2)
2
0
(1)
0
+1
(2)
+1
(1)
(2)
0
+1
+1
2
(1)
0
0
+1
+1
2
(1)
0
0
+1
2
0
+1
+1
(1)
0
0
+1
0
+1
(1)
0
2
(1)
0
+1
2
+1
+1
(1)
0
2
(1)
0
+1
0
+1
0
+1
+1
+1
2
+1
2
2
k=0
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.3
ä.5.3.1. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ x · 5x.
x
ä.5.3.2. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ 2x3+ 1 .
ä.5.3.3. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ x + 7 x.
2
3
3
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
345
ä.5.3.4. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x :
ä.5.3.5. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÆÕÎË ÉÀ
3
f (x) = 2x
4
ä.5.3.6. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ kPn k .
ä.5.3.7. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ kPn k 2k .
−
3x + 5x − 1:
2
2
=0
3
=0
ä.5.4. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ
ÏÄÓÞÅÔÙ
äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÏÂßÅËÔÏÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ × ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ
(a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·):
íÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÄÁÌÅÅ Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÈ ÞÉÓÅÌ. ðÒÉ
ÜÔÏÍ ÍÙ ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÍ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÕÀ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ, ÓÞÉÔÁÑ ×ÓÅ ÅÅ ÞÌÅÎÙ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó
ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ, ÒÁ×ÎÙÍÉ ÎÕÌÀ. éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÔÁ×ÉÔ Ó×ÏÅÊ ÅÌØÀ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÅ ËÁË ÎÁÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ, Á ËÁË
ÅÄÉÎÏÇÏ ÅÌÏÇÏ. æÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÏÄÈÏÄ ÁÁÒÁÔÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ
ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
∞
X
ak z k ;
(ä.26)
k
ÇÄÅ z ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÁË ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
óÕÍÍÁ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ (ÍÙ ÅÅ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ G(z)) É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ
ÆÕÎË ÉÑ G(z) ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·) ÒÁ×ÎÁ
0
1
2
=0
0
G(z ) =
∞
X
k=0
1
2
ak z k :
ïÄÎÏ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Ï ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÕÖÅ ×ÉÄÎÏ. ÷ÍÅÓÔÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ
ÎÁÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ ÄÅÌÏ Ó ÏÄÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÜÔÏ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×Ï
ÂÕÄÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁËÏ×ÙÍ, ÅÓÌÉ ÓÁÍÁ ÆÕÎË ÉÑ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÙÊ
×ÉÄ. îÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÅÚÏÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ | ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÎÁÑ ÆÕÎË ÉÀ G(z), ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·), | ÂÅÚ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ÎÅÇÏ ×ÓÅ
ÄÁÌØÎÅÊÛÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÔÅÒÑÀÔ ×ÓÑËÉÊ ÓÍÙÓÌ.
íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ×ÄÁ×ÁÔØÓÑ × ÔÏÎËÏÓÔÉ ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÉ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ. ðÒÉ ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÂÏÌØÛÉÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÒÑÄ (ä.26) ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ
ÓÈÏÄÉÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ËÒÕÇÅ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = 0,
Á ÆÕÎË ÉÑ G(z) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÜÔÏÍ ËÒÕÇÅ. ÏÇÄÁ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÒÑÄÁ ÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ
0
0
1
2
1
2
346
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ × ÔÏÞËÅ z = 0. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÑÄÁ ÅÊÌÏÒÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
1
an = Dn (G(z )) ;
(ä.27)
n!
z
=0
ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ Dn (G(z)) z ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÒÑÄËÁ n ÆÕÎË ÉÉ G(z) × ÔÏÞËÅ
z = 0.
óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÍ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÍÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.28. ïÒÅÄÅÌÉÔØ
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ
ÆÕÎË ÉÅÊ G(z) = (az + b)n.
òÅÛÅÎÉÅ. íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÏÍÎÉÔ ÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÒÁ×ÉÌÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ:
D((az + b)n ) = n(az + b)n− a;
D ((az + b)n ) = n(n − 1)(az + b)n− a ;
Dk ((az + b)n ) = n(n − 1) · · · (n − k + 1)(az + b)n−k ak ; ÒÉ k 6 n;
Dk ((az + b)n ) = 0; ÒÉ k > n:
ÁË ËÁË ÄÌÑ ÞÌÅÎÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ
(ä.27), ÔÏ ÉÍÅÅÍ

1

a = bn; a = nabn− ; a = n(n − 1)a bn− ;



1 n(n − 1) · · · (n − k + 1)a2!k bn−k ; k 6 n;
a
=
k

k!



ak = 0; k > n:
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ
n(n − 1) · · · 2 · 1
1 n(n − 1) · · · (n − k + 1) = 1 ·
= n! = Cnk ;
k!
k! (n − k)(n − k − 1) · · · 2 · 1 k!(n − k)!
ÇÄÅ Cnk | ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÉÓÌÏ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ
ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÉÚ n Ï k. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÁÎÎÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·), ÇÄÅ
ak = Cnk ak bn−k ; k 6 n;
(ä.28)
ak = 0; k > n:
=0
1
2
2
0
1
1
0
1
2
2
2
2
2
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ. ðÕÓÔØ G(z) = (z − b)n, ÔÏÇÄÁ
ak = Cnk (−1)n−k bn−k ; k 6 n;
ak = 0; k > n:
é ÅÝÅ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÙÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ G(z) = (1 + z)n, Ï (ä.28) ÉÍÅÅÍ
ak = Cnk ; k 6 n;
ak = 0; k > n;
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
347
Ô. Å. ÆÕÎË ÉÑ G(z) = (1 + z)n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÉÚ n Ï k.
ÅÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ
1 ; m > 0;
G(z ) =
(az + b)m
1
(m + 1)(m + 2) · · · (m + k) ak ;
k
k
D (g(z )) = D
=
(
−1)k
m
(az + b)
(az + b)m k
ÔÏÇÄÁ
1
(m + 1)(m + 2) · · · (m + k) ak = (−1)k ak · 1 · 1 · 2 · · · (m + k) ;
ak = (−1)k
k!
bm k
bm k k!
1 · 2···m
ÉÌÉ × ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÍ ×ÉÄÅ
+1
+1
+1+
+1+
+1+
ak
ak = (−1)k m k · Cmm k :
b
(ä.29)
+
+1+
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÕÓÔØ
1
G(z ) =
(z − b)m ;
ÔÏÇÄÁ
1
ak = (−1)m m k · Cmm k :
b
÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ
1
k
m
G(z ) =
(1 + z)m ⇒ ak = (−1) · Cm
Á, ÅÓÌÉ
1
m
G(z ) =
(1 − z)m ⇒ ak = Cm k :
+1
(ä.30)
+1
+1+
+
k;
+
+1
+
ïÔÄÅÌØÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ m = 0 | × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
1
G(z ) =
(1 + z) ;
ÔÏÇÄÁ ak = (−1)k , Ô. Å. ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ó ÞÅÒÅÄÕÀÝÉÍÉÓÑ
ÚÎÁËÁÍÉ, É, ÎÁËÏÎÅ , ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ
1
G(z ) =
(1 − z)
ÉÍÅÅÍ ak = 1, Ô. Å. ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÙ ÅÄÉÎÉ Å.
îÁÊÄÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ
1 − zn :
G(z ) =
(1 − z)
+1
348
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ Ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ÅÝÅ ÎÅ ÚÁÂÙÌ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÙ
ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, É ÏÎ ×ÓÏÍÎÉÔ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ
ÉÎÏÅ, ËÁË ÓÕÍÍÁ
1 − zn = 1 + z + z + · · · + zn:
G(z ) =
(1 − z)
ðÏÜÔÏÍÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÄÁÎÎÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎËÉÉ, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: ak = 1 ÒÉ k 6 n; ak = 0 ÒÉ k > n. üÔÏÔ ×Ù×ÏÄ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ
ÏÌÕÞÉÔØ ÄÒÕÇÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÅÓÌÉ ÏÂÒÁÔÉÔØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÏÄÎÏ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ.
ðÕÓÔØ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G(z) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ;
a ; : : : ; an ; · · · ). ÏÇÄÁ ÆÕÎË ÉÉ G (z ) = z n · G(z ), n > 0 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bn; · · ·) É ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ Ó×ÑÚØ: bk = 0 ÒÉ k < n; bk = ak−n ÒÉ k > n. Ï ÅÓÔØ ÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ
ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ zn ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÄ×ÉÇÁÅÔÓÑ
ÎÁ n ÛÁÇÏ× ×ÒÁ×Ï. ó ÕÞÅÔÏÍ ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÌÑ
ÆÕÎË ÉÉ
1 − zn
G(z ) =
(1 − z)
ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ.
ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ
ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ ÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍ. ìÉÎÅÊÎÏÓÔØ
ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÓÅËÔÅ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Å ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a ; a ;
a ; : : : ; an ; · · · ) É (b ; b ; b ; : : : ; bn ; · · ·), ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ G (z) É G (z), ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ
( · a + d · b ; · a + d · b ; : : : ; · an + d · bn; : : :)
ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z) ÒÁ×ÎÁ
G(z ) = · G (z ) + d · G (z ):
+1
2
2
0
1
0
1
1
0
1
2
+1
2
0
1
1
2
2
0
0
1
1
1
2
÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÅÔÏÄÙ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ, ÎÏ × ÎÁÞÁÌÅ ÎÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÁËÔÙ, ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× × ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. íÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ n (ÅÇÏ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ
ÞÅÒÅÚ Pn(z)) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
Pn (z ) = an z n + an− z n− + · · · + a z + a z + a ;
ÇÄÅ a ; a ; a ; : : : ; an × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, an 6= 0.
ëÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ Pn ( ) = 0. åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, ÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ Pn(z) =
= (z − )Pn− (z), ÇÄÅ Pn− (z) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÓÔÅÅÎÉ. þÉÓÌÏ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ r, ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ Pn (z) = (z − )r Pn−r (z), ÇÄÅ Pn−r ( ) 6= 0. íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n ÉÍÅÅÔ
íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÄÒÏÂÉ.
1
0
1
2
1
1
1
2
2
1
0
349
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
ÒÏ×ÎÏ n ËÏÒÎÅÊ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÉÈ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÆÁËÔ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
Pn (z ) = an z n + an− z n− + · · · + a z + a z + a
ÉÍÅÅÔ k ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ; ; :::; k ËÒÁÔÎÏÓÔÉ r ; r ; :::; rk ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, Ô. Å.
(r + r + · · · + rk = n), ÔÏ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ
Pn (z ) = an (z − )r (z − )r · · · (z − k )rk :
1
1
1
1
2
2
2
1
1
0
2
2
1
1
2
2
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ R(z) = PPmn zz ; ÇÄÅ
Pn (z ) É Pm (z ) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÓÔÅÅÎÅÊ. òÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ, ÅÓÌÉ ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ ÓÔÒÏÇÏ
ÂÏÌØÛÅ ÓÔÅÅÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ ÄÒÏÂØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ. åÓÌÉ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ R(z) = PPmn zz Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ
ÄÒÏÂØÀ, ÔÏ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ
R(z ) = Pn−m (z ) + R (z );
ÇÄÅ Pn−m(z) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n − m, R (z) | ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ.
üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ (ÉÌÉ ÒÏÓÔÅÊÛÅÊ) ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
×ÉÄÁ
A
R(z ) =
(z − a)m :
òÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ
R(z )
( )
( )
( )
( )
1
1
ìÀÂÁÑ ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÁ × ÓÕÍÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÈÅÍÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ. îÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÅ ÄÌÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ÅÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ É ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂÉ. ðÒÏÂÌÅÍÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏ. ðÒÁ×ÉÌØÎÁÑ
ÄÒÏÂØ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÓÕÍÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ. óÏÓÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ÍÙ ÉÚÌÏÖÉÌÉ ÒÁÎÅÅ.
óÈÅÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ
ÄÒÏÂÉ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ
ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ×ÉÄÁ
P (z )
R(z ) = n ; m > n;
Pm (z )
ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ Pm (z) = bmzm + bm− zm− + · · · + b z + b z + b
ÉÍÅÅÔ k ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ; ; :::; k ËÒÁÔÎÏÓÔÉ r ; r ; :::; rk ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ É,
ÚÎÁÞÉÔ, ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ
Pm (z ) = bm (z − )r (z − )r · · · (z − k )rk ;
òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ.
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
2
1
0
350
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÔÏÇÄÁ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ R(z) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ
P (z )
Pn (z )
R(z ) = n =
=
P (z ) b (z − )r (z − )r · · · (z − )rk
m
m
A ;r1
1
1
A ;r1 −
2
k
2
+ · · · + (zA−; ) +
+ · · · + (zA−; ) + · · ·
+ · · · + (zA−k; ) :
k
= (z − )r + (z − )r −
+ (z A− ;r )r + (z A− ;r )−r −
Ak;rk
Ak;rk −
+
···+
r
k
(z − k ) (z − k )rk −
óÏÓÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÍÙ ÏËÁÖÅÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÁÈ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.29. îÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÁ×ÎÁ
4z − z − 9 :
G(z ) =
(z + 2)(z + 1)(z − 1)
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1 1
1
2 1
1
1
2
1
1
0
1
2
2
òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÄÒÏÂÉ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÄÒÏÂÅÊ
ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ
4z − z − 9
A
B
C
(z + 2)(z + 1)(z − 1) = (z + 2) + (z + 1) + (z − 1) :
ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÏËÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ A; B; C . ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁ×ÅÎ (z +2)(z +1)(z − 1), Ô. Å. Ë ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, É ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÞÉÓÌÉÔÅÌÉ × ÒÁ×ÏÊ É ÌÅ×ÏÊ
ÞÁÓÔÑÈ, ÏÌÕÞÁÅÍ
4z − z − 9 = A(z + 1)(z − 1) + B(z + 2)(z − 1) + C (z + 2)(z + 1): (ä.31)
÷ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ (ä.31) ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ
z É ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ A, B , C .

 A + B + C = 4;
B + 3C = −1;

−A − 2B + 2C = −9:
òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÄÁÎÎÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÅÛÁÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÏÓËÏÌØËÕ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÍ ÕÔÅÍ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ä.31) ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ËÁË ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ×ÅÒÎÏÅ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ z. ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÌÅ×ÕÀ É ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á z = −2, ÏÌÕÞÉÍ 9 = 3A, É A = 3,
ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ z = −1, ÉÍÅÅÍ −4 = −2B, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ B = 2. ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ z = 1
ÄÁÅÔ −6 = 6C , ÏÔËÕÄÁ C = −1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
4z − z − 9
3
2
1
(z + 2)(z + 1)(z − 1) = (z + 2) + (z + 1) − (z − 1) :
2
2
2
351
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z , ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.29) nÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bn; · · ·) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = −n , ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ bn = (−1)n, ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− ÓÏÇÌÁÓÎÏ
(ä.29) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = (−1). îÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ
ÞÉÔÁÔÅÌØ ÂÅÚ ÏÓÏÂÙÈ ÕÓÉÌÉÊ ÄÏ×ÅÄÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏ ËÏÎ Á.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.30. îÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎËÉÑ ÒÁ×ÎÁ
4z − 8
G(z ) =
(z − 3)(z − 1) :
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÒÏÂØ ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ, ÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÅ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ ×ÉÄÁ
A
B
C
4z − 8
(z − 3)(z − 1) = (z − 3) + (z − 1) + (z − 1) :
ðÒÉ×ÏÄÑ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ É ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÞÉÓÌÉÔÅÌÉ × ÌÅ×ÏÊ É ÒÁ×ÏÊ
ÞÁÓÔÑÈ, ÏÌÕÞÁÅÍ
4z − 8 = A(z − 1) + B(z − 3) + C (z − 3)(z − 1):
(ä.32)
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ z, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ A, B, C .

 A + C = 0;
−2A + B − 4C = 4;

A − 3B + 3C = −8:
òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. ðÏÓÔÕÁÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ
ÒÉÍÅÒÕ 1.29, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ä.32) ËÁË ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ×ÅÒÎÏÅ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ z. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÌÅ×ÕÀ É ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
z = 3, ÏÌÕÞÉÍ 4 = 4A, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ A = 1, ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ × (ä.32) z = 1 ÄÁÅÔ
−4 = −2B , É B = 2. éÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ C = −1, ÔÏÇÄÁ
4z − 8 = 1 + 2 − 1 :
(z − 3)(z − 1) (z − 3) (z − 1) (z − 1)
äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.29) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = − n , Á ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bn; · · ·) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = C n = (n + 1). äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÊÄÅÎÁ ÒÁÎÅÅ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.31. îÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ
ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÁ×ÎÁ G(z) = z − z :
òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ G(z) × ×ÉÄÅ
4
G(z ) =
(z − (1 + i))(z − (1 − i)) :
1
+2
1)
2 +1
(
0
1
1
2
1
+1
1
2
2
2
2
2
2
1
3
1
1
3 +1
0
1
1
(
1
1+
2
1
0
2
4
2 +2
1
2
1)2
352
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ
4
A
B
(z − (1 + i))(z − (1 − i)) = (z − (1 + i)) + (z − (1 − i)) :
áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÒÅÄÅÌÑÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ
A = −2i, B = 2i, ÔÏÇÄÁ
−2i
4
2i
(z − (1 + i))(z − (1 − i)) = (z − (1 + i)) + (z − (1 − i)) :
äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− i , ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.29), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = − i n ; Á ÄÌÑ ÄÒÏÂÉ z− −i ; ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( ; ; ; : : : ; n; · · ·) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
1
n=−
(1 − i)n :
ÏÇÄÁ
1
1
i
n
n
an = −2ibn + 2i n = 2i
−
=
n
n
(1 + i)
(1 − i)
2n ((1 − i) − (1 + i) ):
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ
√
√ 1 + i = 2( os 4 + i sin 4 ); 1 − i = 2 os − 4 + i sin − 4 ;
ÔÏÇÄÁ
(1 + i)n = 2 n os(n + 1) 4 + i sin(n + 1) 4 ;
(1 − i)n = 2 n os(n + 1) − 4 + i sin(n + 1) − 4 :
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
n
i n an = n 2
=
2
sin(
n + 1)
−2i sin(n + 1)
2
4
4 :
1
(
(1+ ))
1
(1+ ) +1
0
1
1
(
(1
))
2
+1
+1
+1
+1
+1
2
+1
+1
2
+1
+1
+1
2
3−
2
äÏ ÜÔÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ
ÍÙ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ÁÁÒÁÔ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÒÕÇÉÈ ÚÁÄÁÞ.
ðÏËÁÖÅÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÁÈ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÜÔÏÔ ÁÁÒÁÔ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.32. îÁÊÔÉ an ÄÌÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
a = 0;
an = an− + n ; n > 1:
ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ É ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.
0
1
1
2
1
2
òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ G(z) = nP anzn: ïÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÅËÕÒ∞
ÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
=0
1
2
an = an−
1
+ 21n
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
353
ÕÍÎÏÖÉÍ ÎÁ zn É ÒÏÓÕÍÍÉÒÕÅÍ Ï n ÏÔ 1 ÄÏ ∞, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÁÅÍ
∞
∞
∞
X
X
1X
1 z n;
an z n =
an− z n +
n
2
2
n
n
n
ÏÓËÏÌØËÕ a = 0, ÔÏ
∞
∞
X
X
an z n =
an z n = G(z ):
1
=1
=1
=1
0
n=1
n=0
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÓÕÍÍÙ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÉÍÅÅÍ
∞
X
n=1
∞
X
∞
X
an− z n =
an z n
1
=z
+1
n=0
∞ n
X
z
∞
X
n=0
an z n = zG(z );
1 zn =
= z2 · 1 −1 z = − z −z 2 ;
n
2
2
n
n
ËÁË ÓÕÍÍÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. ÏÇÄÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ G(z)
z
1
G(z ) = zG(z ) −
;
2
z−2
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
2z :
G(z ) =
(z − 2)
=1
2
=1
2
äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ
×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
, ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.30), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ1
n+1
bn = n · Cn = n :
2
2
ðÏÓËÏÌØËÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ z ÓÄ×ÉÇÁÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ×ÒÁ×Ï,
ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÉ n > 1
n
an = 2bn− = n :
2
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ a = 0, ÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÅÒÎÁ É ÒÉ n = 0.
1
z−2)2
(
1
+1
+2
+2
1
0
ðÒÉÍÅÒ ä.5.33. òÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ



a = 0;
a = 1;
an = an−
0
1
3
4
1
−
1
8
an−
2
+
9
32
n + ; n > 2:
3
8
òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ G(z) = nP anzn: ïÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÅËÕÒ∞
ÒÅÎÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÕÍÎÏÖÉÍ ÎÁ zn É ÒÏÓÕÍÍÉÒÕÅÍ Ï n × ÒÅÄÅÌÁÈ 2 6 n < ∞.
∞
∞
∞
∞
∞
X
1X
3X
9X
3X
an z n =
an− z n −
an− z n +
nz n +
z n:
4
8
32
8
n
n
n
n
n
=0
1
=2
=2
2
=2
=2
=2
354
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ
∞
∞
X
X
n
an z =
an z n − a
n=2
∞
X
n=2
∞
X
n=2
∞
X
n=2
∞
X
n=0
∞
X
an− z n =
1
an− z n =
2
nz n
=z
z
zn =
n=1
∞
X
n=0
∞
X
n=2
0
an z n
+1
an z n
+2
nz n−1
= G(z) − z;
− a1 z
∞
X
=
n=0
an z n
+1
= zG(z);
= z G(z);
2
∞
X
= z dzd
zn
n
=2
2
− a0 z
!
= z dzd
z
2
1−z
= −(1z −+z2)z ;
3
2
2
1− z:
ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ G(z) ÉÍÅÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
3
1
9(z − 2z ) + 3z ;
G(z ) − z = zG(z ) − z G(z ) −
4
8
32(1 − z) 8(1 − z)
ÔÏÇÄÁ
11z − 34z + 32z
11z − 34z + 32z
G(z ) =
4(z − 1) (z − 6z + 8) = 4(z − 1) (z − 2)(z − 4) :
òÁÚÌÏÖÉÍ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ
11z − 34z + 32z = A + B + C + D :
(z − 1) (z − 2)(z − 4) (z − 1) (z − 1) z − 2 z − 4
ïÒÅÄÅÌÑÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ
11z − 34z + 32z = A(z − 2)(z − 4) + B(z − 1)(z − 2)(z − 4)+
+ C (z − 1) (z − 4) + D(z − 1) (z − 2):
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ z, ÏÌÕÞÁÅÍ
B + C + D = 11;



A − 7B − 6C − 4D = −34;
−6A + 15B + 9C + 5D = 32;



8A − 12B − 4C − 2D = 0:
þÁÓÔØ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍ ÕÔÅÍ. ðÏÌÁÇÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ z = 1, z = 2 É z = 4 ÏÌÕÞÁÅÍ 3A = 9, A = 3; −2C = 16, C = −8;
18D = 288, D = 16. ÏÇÄÁ B = 3. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
3
3
2
4
G(z ) =
4(z − 1) + 4(z − 1) − z − 2 + z − 4 ;
ÉÓÏÌØÚÕÑ (ä.30), ÏÌÕÞÁÅÍ
n n
3
3
1
1
3 1 1
an = (n + 1) − +
4
4 2 − 4 = 4 n + 2n − 4n :
n=2
3
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
355
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
ðÒÉÍÅÒ ä.5.34. éÓÏÌØÚÕÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ Ï-
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÞÉÓÅÌ æÉÂÏÎÁÞÞÉ. þÉÓÌÁ æÉÂÏÎÁÞÞÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÙ
ËÁË ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ
×ÉÄÁ

 a = 0;
a = 1;

an = an− + an− ; n > 2:
0
1
1
2
òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ G(z) = nP anzn, ÕÍÎÏÖÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ
∞
ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ zn É ÒÏÓÕÍÍÉÒÕÅÍ Ï n × ÒÅÄÅÌÁÈ 2 6 n < ∞, ×
ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ
∞
∞
∞
X
X
X
an z n =
an− z n + an− z n:
=0
n=2
1
n=2
2
n=2
òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÓÕÍÍÙ × ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ, ÉÍÅÅÍ:
∞
∞
X
X
an z n =
an z n − a − a z = G(z ) − z;
n=2
∞
X
n=2
∞
X
n=2
n=0
∞
X
an− z n =
1
an− z n =
2
n=1
∞
X
n=0
0
an z n
+1
an z n
+2
1
=
∞
X
n=0
an z n
+1
− a0 z
=z
= z G(z):
∞
X
n=0
an z n = zG(z );
2
îÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ
G(z ) − z = zG(z ) + z G(z );
−z
G(z ) =
= − √ −z − −√ =
z +z−1
2
z−
2
= √15 ·
ÔÏÇÄÁ
1
an = √
5
−
√
−1+ 5
2
z− −
√
1+
2
5
1+
z−
5
2
+
−1−
5
1−
√
5
2
2n√ − 2n√ = √1 1 + √5
n
n
5 2
−1 + 5
−1 − 5
!
5
2
√
2
z−−
1
!
!n
;
1 1 − √5
−√
5 2
!n
:
ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÅÝÅ ÏÄÎÉÍ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ðÕÓÔØ ÄÁÎÙ Ä×Å ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A = (a ; a ; a ;
: : : ; an ; · · · ) É B = (b ; b ; b ; : : : ; bn ; · · ·), ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÙ
G (z ) É G (z ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ Ó×ÅÒÔËÏÊ C = A ∗ B ÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ C = ( ; ; ; : : : ; n; · · ·), ÔÁËÁÑ ÞÔÏ
ó×ÅÒÔËÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ.
0
0
1
1
2
2
n
=
n
X
k=0
0
ak bn−k :
1
2
1
2
356
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z) ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ C ÒÁ×ÎÁ
G(z ) = G (z ) · G (z ):
ïÔÍÅÔÉÍ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ÆÁËÔ. åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ B = (b ; b ; b ; : : : ; bn; · · ·)
ÔÁËÏ×Á, ÞÔÏ bn = 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n, ÔÏ Ó×ÅÒÔËÁ C = A ∗ B ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A = (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·), Ô. Å.
n
X
ak :
n=
1
2
0
0
1
1
2
2
k=0
ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ B, ÓÏÓÔÏÑÝÅÊ ÉÚ ÅÄÉÎÉ , ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ
ÆÕÎË ÉÑ G (z) ÒÁ×ÎÁ G (z) = −z , ÔÏ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ
G(z ), ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ C | ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A, ÒÁ×ÎÁ
1
G(z ) =
1 − z · G (z):
éÓÏÌØÚÕÅÍ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ A: (an = n ). îÁÛÁ ÅÌØ | ÎÁÊÔÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ
ÆÕÎË ÉÀ G (z) ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A, ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ
∞
X
G (z ) =
n zn:
n
éÍÅÅÍ
!
!
∞
∞
∞
∞
X
X
X
d X
d
−
−
n
n
n
n
G (z ) =
z nz
=
n z =z n z =z
nz = z
dz
dz
2
1
2
1
1
2
1
2
1
=0
1
2
2
n=0
n=1
!!
∞
X
n
z
= z dzd z dzd
n
z+z
= (1 − z) :
=1
2
1
1
n=1
= z dzd z dzd
z
1−z
= z dzd
n=1
z
(1 − z) =
2
3
ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ C = A ∗ B, B = (1; 1; : : : ; 1) ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ
ÆÕÎË ÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
1
z+z
G(z ) =
1 − z · G (z) = (1 − z) :
òÁÚÌÏÖÉÍ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ
z+z
A
B
C
D
G(z ) =
=
+
+
+
(z − 1) (z − 1) (z − 1) (z − 1) (z − 1) ;
É ÏÓÌÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÏÌÕÞÁÅÍ
z + z = A + B (z − 1) + C (z − 1) + D(z − 1) ;
ÔÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
D = 0;



C − 3D = 1;
B − 2C + 3D = 1;



A − B + C − D = 0:
2
1
4
2
4
2
4
3
2
2
3
ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ
357
òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÌÕÞÁÅÍ: D = 0, C = 1, B = 3, A = 2, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
2 + 3 + 1 :
G(z ) =
(z − 1) (z − 1) (z − 1)
éÓÏÌØÚÕÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (ä.29), ÏÌÕÞÁÅÍ
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
sn = k = 2 · Cn − 3 · Cn + Cn =
:
6
k
4
2
3
3
2
+3
2
1
+2
+1
=0
÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÉÍÅÒÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÁÁÒÁÔÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅËÏÔÏÒÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× É ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ
ÚÁÄÁÞ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÉ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ÕÔÏÞÎÉÍ ÎÁÛÅ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× Cnk | ÞÉÓÌÁ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÉÚ n Ï k. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ n > 0, ÔÏÇÄÁ

 Cnk = 0; k < 0; k > n;
n!
; 0 6 k 6 n:
 Cnk =
k!(n − k)!
òÁÎÅÅ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ (1+ z)n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a ; a ; a ; : : : ; an; : : :), ÇÄÅ ak = Cnk . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ k > n ×ÓÅ
ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ
ÞÉÓÌÁ m É r, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ m + r = n.
ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G (z) = (1 + z)m ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ
(b ; b ; b ; : : : ; bk ; : : :), ÇÄÅ bk = Cmk , Á ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G (z) = (1 + z)r
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( ; ; ; : : : ; k ; : : :), ÇÄÅ k = Crk .
ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÜÔÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÆÕÎË ÉÑ
G(z ) = G (z ) · G (z ) = (1 + z )m (1 + z )r = (1 + z )m r = (1 + z )n :
üÔÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ
ak = Cnk . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; ak ; : : :) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
Ó×ÅÒÔËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ (b ; b ; b ; : : : ; bk ; : : :) É ( ; ; ; : : : ; k ; : : :), ÓÌÅÄÏk
×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k ÉÍÅÅÍ ak = P bl k−l : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÏÄÓÞÅÔÙ É ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ.
0
1
2
1
0
1
2
2
0
1
1
2
+
2
0
0
Cnk =
1
2
l=0
k
X
l=0
1
0
2
1
2
l · ó k −l ;
óm
r
ÔÁË ËÁË n = r + m, ÔÏ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ
Crk m =
+
k
X
l=0
l · ó k −l ;
óm
r
ÜÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌÏÍ Ó×ÅÒÔËÉ ÷ÁÎÄÅÒÍÏÎÄÁ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÒÉÍÅÒ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G (z) = (1+ z)n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ
(b ; b ; b ; : : : ; bn; : : :), ÇÄÅ bk = Cnk . ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ
n
ÆÕÎË ÉÉ G (z) = (1−z) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( ; ; ; : : : ; k ; : : :),
ÇÄÅ k = (−1)k Cnk .
1
0
2
1
2
0
1
2
358
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÜÔÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÆÕÎË ÉÑ
G(z ) = G (z )G (z ) = (1 + z )n (1 − z )n = (1 − z )n :
üÔÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ;
: : : ; ak ; : : :), ÇÄÅ
a m = (−1)m Cnm ; a m = 0:
ðÏÓËÏÌØËÕ
k
X
ak = bl k − l ;
1
2
2
0
2
2
1
2
+1
l=0
ÔÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÄÌÑ a m
2
am=
2
m
X
2
l=0
bl · m−l =
2
m
X
2
l=0
ónl · (−1) m−l · Cnm−l ;
2
2
É ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×
m
X
(−1)m · Cnm = (−1)l · ónl · Cnm−l :
2
2
l=0
ÅÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒÙ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÚÁÄÁÞ.
ðÒÉÍÅÒ ä.5.35. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÄÁÔØ ÓÕÍÍÕ × 12 ËÏÅÅË, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÍÏÎÅÔÙ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ ÔÏÌØËÏ × 1 É 5 ËÏÅÅË.
òÅÛÅÎÉÅ. þÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÄÁÔØ ÓÕÍÍÕ × k ËÏÅÅË ÏÄÎÏËÏÅÅÞÎÙÍÉ ÍÏÎÅÔÁÍÉ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bk ; : : :), ÇÄÅ bk = 1. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ
ÆÕÎË ÉÑ ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ G (z) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
1
G (z ) = 1 + z + z + · · · + z k + · · · =
1− z:
äÌÑ ÍÏÎÅÔ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ × 5 ËÏÅÅË ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( ; ;
; : : : ; k ; : : :), ÇÄÅ k = 1, ÅÓÌÉ k ËÒÁÔÎÏ 5 É k = 0 × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ G (z) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
1
G (z ) = 1 + z + z + · · · + z k + · · · =
1−z :
ÏÇÄÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ ÓÏÓÏÂÏ× ÄÌÑ ÓÕÍÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÁÔØ
ÏÄÎÏËÏÅÅÞÎÙÍÉ É ÑÔÉËÏÅÅÞÎÙÍÉ ÍÏÎÅÔÁÍÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÅÒÔËÏÊ ÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ É, ÚÎÁÞÉÔ, ÅÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z) ÒÁ×ÎÁ
1 · 1 :
G(z ) = G (z ) · G (z ) =
1−z 1−z
ÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÁÔØ ÓÕÍÍÕ × n ËÏÅÅË ÒÁ×ÎÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÕ ÒÉ zn. îÁÊÄÅÍ ÜÔÏÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÄÌÑ n = 12. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ
0
1
2
1
2
1
0
2
2
2
5
10
5
5
1
2
5
1
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
359
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÆÕÎË ÉÊ × ×ÉÄÅ ÒÑÄÁ. îÅÔÒÕÄÎÏ
ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ z ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÔÒÅÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ:
z = z · 1; z = z · z ; z = z · z ;
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÒÉ ÓÏÓÏÂÁ.
12
12
12
12
7
5
12
2
10
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.4
ä.5.4.1. îÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÑÝÉÍ ÆÕÎË ÉÑÍ G(z):
(Á) G(z) = 4 −1 z ; (×) G(z) = z − 6zz + 8 ;
(Â) G(z) = 9 +1 z ; (Ç) G(z) = (z − 1) 1(2z + 1) .
ä.5.4.2. ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÒÅÛÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
(Á) aan == 2;3an− − 2n + 3; n > 0:

 a = 2;
(Â)  a = 6;
an = 6an− − 8an− + 3n − 23n + 36; n > 1:
ä.5.4.3. éÍÅÀÔÓÑ ÞÉÓÌÁ 1, 2, 3, 4, 5. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÓÕÍÍÉÒÕÑ ÜÔÉ
ÞÉÓÌÁ, ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ 6, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ
ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ. ðÏÒÑÄÏË ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÉÇÒÁÅÔ ÒÏÌÉ.
2
2
2
2
0
1
0
1
1
2
2
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÏÞÎÙÅ
ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ
ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ
ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ
÷×ÅÄÅÎÉÅ
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ Õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ ÍÏÎÅÔÙ ÎÏÍÉÎÁÌÏÍ 2, 3, 5, 6 É 7 ÆÌÏÒÉÎÏ×, Ï ÏÄÎÏÊ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÏÍÉÎÁÌÁ, É ÷Ù ÈÏÔÉÔÅ ÂÅÚ ÓÄÁÞÉ ÏÌÁÔÉÔØ ÏËÕËÕ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ
21 ÆÌÏÒÉÎ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÎÁÂÒÁÔØ ÉÚ ÄÁÎÎÙÈ ÍÏÎÅÔ ÓÕÍÍÕ ÒÁ×ÎÕÀ 21? á ÅÓÌÉ ÏÎÒÁ×É×ÛÉÊÓÑ ÷ÁÍ ÔÏ×ÁÒ ÓÔÏÉÔ 22 ÆÌÏÒÉÎÁ? íÙ ÓÔÁÌËÉ×ÁÅÍÓÑ Ó ÚÁÄÁÞÅÊ, × ËÏÔÏÒÏÊ
ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÒÅÂÒÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ | × ÓÌÕÞÁÅ,
ÅÓÌÉ ÷Ù ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÅ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÔÏ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÇÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÒÅÂÒÁÔØ ×ÏÏÂÝÅ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ. âÏÌÅÅ
ÄÅÔÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÅÌÏÍÕ ÒÑÄÕ ×ÏÒÏÓÏ×: ÓËÏÌØËÏ ×ÏÏÂÝÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ËÁËÏÊ ËÏÍØÀÔÅÒ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍ ÎÁÍ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ
360
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÒÅÛÅÎÉÑ ÉÌÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÉÄÅÀ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ?
üÔÏ ÒÏÓÔÏÊ ÒÉÍÅÒ ÏÞÅÎØ €ÎÅ ÒÏÓÔÏʁ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÂÏÒÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ËÁË
ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÕÍÍÅ | ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ ÕÔÅÍ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÎÉÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ, ÚÁÒÁÎÅÅ ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ?
äÁÄÉÍ ÂÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÕÍÍÅ. ëÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÉÓÁÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÅÓÔØ? ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÏÄÈÏÄ ÔÁËÏ×: ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ
ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÒÉÓ×ÏÉ× ÉÍ ÎÏÍÅÒÁ | A = (a ; : : : ; an) É
××ÅÄÅÍ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï x = (x ; : : : xn ); xi ∈ { 0; 1 }.
úÎÁÞÅÎÉÅ xi = 1 ÇÏ×ÏÒÉÔ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ai Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i ×ËÌÀÞÅÎÏ × ÓÕÍÍÕ,
ÎÁÒÉÍÅÒ, x = (0; 1; 1; 1; 1) ÅÓÔØ ÏÉÓÁÎÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ × 21 ÆÌÏÒÉÎ. íÙ
ÍÏÖÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á x ËÁË ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÉ × ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍ n- ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÉÌÉ ËÁË ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ × ÜÔÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÉÓËÕ ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÉ
(×ÅËÔÏÒÁ) x Ó ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ (0; 1) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ × n- ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ×
ËÏÔÏÒÏÊ ÅÌÅ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f (x) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ.
ðÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÄÈÏÄÅ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÕÍÍÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÔÅÅÒØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÁÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
A = (a ; : : : ; an ) É ÞÉÓÌÏ V . ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ
x = (x ; : : : ; xn), ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X = x| xi ∈ {0; 1} , É ÅÌÅ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
1
1
1
1
f (x) =
n
X
i=1
xi · ai ;
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ ÏÄÎÕ ÉÌÉ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ x ∈ X ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ f (x) = V ÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ,
ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÔ.
úÁÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÔÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÔ×ÅÔÉÔØ É ÎÁ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ÓËÏÌØËÏ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. åÓÌÉ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ x ËÁË ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÂÉÔÏ× Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ
ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ÔÒÅÂÕÅÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ 2n ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÉÍÅÎÎÏ ÓÔÏÌØËÏn ÞÉÓÅÌ ÍÙ
ÍÏÖÅÍ ÚÁÉÓÁÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ n ÂÉÔÏ×, ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ | |X | = 2 . ÷ ÔÁËÏÍ
ÏÂßÅÍÅ ÏÌÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÚÁ ÒÅÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÄÁÖÅ ÒÉ ÎÅÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÊ ÒÁÓÞÅÔ. ðÕÓÔØ ÎÁ ÏÅÒÁ ÉÀ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ËÏÍØÀÔÅÒ ÚÁÔÒÁÞÉ×ÁÅÔ 10 ÔÁËÔÏ× (ÜÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ),
É ÍÙ ÒÅÛÁÅÍ ÚÁÄÁÞÕ Ï ÓÕÍÍÅ ÉÚ 40 ÞÉÓÅÌ. äÌÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ 40 ÞÉÓÅÌ É ÒÏ×ÅÒËÉ
ÂÕÄÅÔ ÚÁÔÒÁÞÅÎÏ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 400 ÔÁËÔÏ×, ÔÏÇÄÁ ÒÏ ÅÓÓÏÒ Ó ÞÁÓÔÏÔÏÊ 4çÇ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÅÒÅÂÒÁÔØ 10ÍÌÎ. ×ÁÒÉÁÎÔÏ× × ÓÅËÕÎÄÕ. þÉÓÌÏ 2 ≈ 10 , ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÖÉÄÁÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÏÒÑÄËÁ 100000ÓÅË., ÞÔÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÏËÏÌÏ 28 ÞÁÓÏ×, Ô. Å. ÂÏÌÅÅ ÓÕÔÏË. úÁÍÅÔØÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÕÍÍÅ ÉÚ 41 ÞÉÓÌÁ ×ÒÅÍÑ ÂÕÄÅÔ
Õ×ÅÌÉÞÅÎÏ ×Ä×ÏÅ.
ÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ €ÚÁÄÁÞÁÍÉ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÒÉ×ÅÌÏ × 1960-È ÇÏÄÁÈ Ë ×ÁÖÎÙÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÔÅÏÒÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× É ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÚÕÞÁÀÝÅÇÏ
ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÍÅÔÏÄÙ É ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ.
÷×ÅÄÅÎÉÀ × ÄÁÎÎÕÀ ÒÏÂÌÅÍÁÔÉËÕ É ÏÓ×ÑÝÅÎ ÄÁÎÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ.
40
12
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
ä.6.1. ðÏÎÑÔÉÅ
m
-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á
361
ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
ðÒÉ ÉÚÌÏÖÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÕÄÏÂÎÏ, ËÁË ÜÔÏ ÍÙ ÕÖÅ
×ÉÄÅÌÉ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ, ÏÂÏÂÝÁÀÝÕÀ ÎÁÛÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ
ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÅÌÙÈ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÔÏ ÎÁÓ
ÂÕÄÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ÷ÎÁÞÁÌÅ ÏÉÛÅÍ
ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ m-ÍÅÒÎÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï [18℄.
âÕÄÅÍ ÎÁÚ×ÁÔØ m-ÍÅÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÅÊ (x ; x ; : : : ; xm), ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ mm ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
x ; x ; : : : ; xm , É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÉÍ×ÏÌÏÍ A . ëÁÖÄÕÀ ÔÁËÕÀ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÏÞËÏÊ m-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÏÂÏÚÎÁÞÁÑ ÅÅ ÞÅÒÅÚ x, Á ÞÉÓÌÁ x ; x ; : : : ; xm ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ÔÏÞËÉ x.
åÓÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ m-ÍÅÒÎÏÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
×ÅËÔÏÒÏ× x, ××ÅÓÔÉ ÏÎÑÔÉÅ ÓÕÍÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ× ËÁË ×ÅËÔÏÒ Ó ÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ É ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ËÁË ÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ
m-ÍÅÒÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï.
ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Am ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ m-ÍÅÒÎÙÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎ-m
ÓÔ×ÏÍ, ÅÓÌÉ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÔÏÞËÁÍÉ x, y m-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A
ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÏÅ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ (x; y) É ×ÙÒÁÖÁÀÝÅÅÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
p
(x; y) = (x − y ) + (x − y ) + · · · + (xn − yn ) :
(ä.33)
ïÂÝÅÕÏÔÒÅÂÉÔÅÌØÎÙÍ ÄÌÑ m-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ E m. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, × ËÏÔÏÒÏÍ ÕËÁÚÁÎÏ ÒÁ×ÉÌÏ, ÓÔÁ×ÑÝÅÅ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÌÀÂÙÍ Ä×ÕÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ x; y ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ
ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ | (x; y), ËÏÔÏÒÏÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÔÒÅÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ:
1) (x; y) = (y; x);
2) (x; y) 6 (x; z) + (z; y);
3) (x; y) > 0, (x; y) = 0 ⇔ x = y,
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ,
××ÅÄÅÎÎÏÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
(ä.33) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÜÔÉÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï E m Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ.
ðÏÄÒÏÂÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÏÂÝÅÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ É ÁËÓÉÏÍÁÔÉËÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ, ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ É ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈmÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × [18℄ É [27℄.
îÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï E ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÞËÉ, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. ÷ ÅÌÑÈ ÆÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÉ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ
ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ
ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
E m , ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÔÏÌØËÏ ÔÅ
ÔÏÞËÉ ÉÚ E m, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÍÅÀÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÜÔÏ
ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï m-ÍÅÒÎÙÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÇÏ ÞÅÒÅÚ Ezm:
Ezm = {x| x ∈ E m ; x = (x ; x ; : : : ; xm ); xi ∈ Z ∀i = 1; m};
ÇÄÅ Z | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ.
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
362
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ïÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ × ÚÁÄÁÞÁÈ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÎÅ ×Ó£ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ezm, Á ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÅÇÏ ÔÏÞÅË | × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ, ÉÍÅÀÝÉÍÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ. ÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÜÔÉÍ ××ÅÄÅÍ
ÏÎÑÔÉÅ m-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ËÕÂÁ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË y ÉÚ Ezm, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (y ; y ; : : : ; ym) ËÏÔÏÒÙÈ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ
y − x 6 k; y − x 6 k; : : : ; ym − xm 6 k; yi > xi ∀i = 1; m;
(ä.34)
ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ m-ÍÅÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ËÕÂÏÍ Ó ÒÅÂÒÏÍ k Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ
x = (x ; x ; : : : ; xm ), x ∈ Ezm, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÇÏ ÞÅÒÅÚ Cubmz(x; k).
ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÅÒÅÂÏÒÕ ÔÏÞÅË m-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ËÕÂÁ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ 0 = (0; : : : ; 0),
m (0; k ), ÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÙÍ ××ÅÓÔÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÅ ÏÂÏÔ. Å. ËÕÂÁ Cub
z
ÚÎÁÞÅÎÉÅ: kzm = Cubmz(0; k). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 1mz | ÜÔÏ m-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÎÕÌÅ, ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÍÅÀÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ | 0 ÉÌÉ 1. níÙ ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÙ Ó ÜÔÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÔÏÞÅË | × ÒÁÍËÁÈ ÅÒÅÂÏÒÁ ÔÏÞÅË ÉÚ 1z ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÕÍÍÅ n
ÞÉÓÅÌ.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË Y ÉÚ Ezm, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (y ; y ; : : : ; ym) ËÏÔÏÒÙÈ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ (x; y) = r, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ
m-ÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ
ÒÁÄÉÕÓÁ r Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x = (x ; x ; : : : ; xm ), x ∈ Ezm, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÅ ÞÅÒÅÚ
Szm (x; r).
óËÏÌØËÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË ÓÏÄÅÒÖÉÔ m-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ? ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÁÖÎÙÍ, ÔÁË ËÁË ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÕËÁÚÁÔØ ×ÅÒÈÎÀÀ Ï ÅÎËÕ
ÇÒÁÎÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÙÔÁÅÍÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÅÅ ÕÔÅÍ ÏÌÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ ÔÏÞÅË. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÓÉÌÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ (ä.34)
ËÁÖÄÁÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ ÔÏÞËÉ ËÕÂÁ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ k +1 ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ,
É ÍÙ ÉÍÅÅÍ m ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÄÌÑ ÔÏÞËÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezm, ÔÏ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ×Ù×ÏÄÕ, ÞÔÏ |Cubmz(x; k)m| = (k + 1)m ×ÎÅ
ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ
ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ËÕÂÁ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÁÖÅ ËÕ 1z ÓÏÄÅÒÖÉÔ 2m ÔÏÞÅË. üÔÏÔ ÎÅÕÔÅÛÉÔÅÌØÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ É ÚÁÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÓËÁÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÏËÒÁÝÁÀÝÉÅ ÅÒÅÂÏÒ.
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
ä.6.2. ïÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÔÉÉÚÁ
ÉÑ É ÒÉÍÅÒÙ ÚÁÄÁÞ
ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÏÉÓÁÎÉÀ ÏÂÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, Á×ÔÏÒÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÈÏÔÅÌÉ ÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ
ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÅ ÔÏÌËÏ×ÁÎÉÅ ÔÅÒÍÉÎÁ €ÚÁÄÁÞÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉс. ðÏÄ ÜÔÉÍ ÔÅÒÍÉÎÏÍ Á×ÔÏÒÙ ÏÎÉÍÁÀÔ ÚÁÄÁÞÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÌÀÂÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÚÎÁÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ
ÏÂÌÁÓÔÉ m-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ
(ÕÓÌÏ×ÉÑÈ) ÏÂÝÅÇÏ ×ÉÄÁ, ÚÁÄÁÀÝÉÈ ÔÁËÏÅ ÓÕÖÅÎÉÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ,
ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁËÌÀÞÅÎÏ × ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÏÎÅÞÎÙÊ m-ÍÅÒÎÙÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ.
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
363
ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï G × ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezm. îÁ ÔÏÞËÁÈ x ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á G ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f (x) : G → R, ÇÄÅ R | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. üÔÕ
ÆÕÎË ÉÀ ÍÙ ÂÕÄÅÍ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ, ÓÌÅÄÕÑ [27℄, ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÌÅ×ÙÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏÍ
ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÒÁ×ÎÏ ÏÌÏÖÅÎÎÙÅ ÔÅÒÍÉÎÙ | ÏËÁÚÁÔÅÌØ ËÁÞÅÓÔ×Á ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ, ÆÕÎË ÉÑ ÏÔÅÒØ, ËÒÉÔÅÒÉÊ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ É Ô. Ä.
ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÙ ÔÁËÖÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ (ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á) ÎÁ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ gi(x) : G → R, i = 1; k × ×ÉÄÅ
gi (x) 6 ai ; ai ∈ R; i = 1; k;
ÔÏÇÄÁ ÏÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
f (x) → min; ÒÉ gi (x) 6 ai ; ai ∈ R; i = 1; k; x ∈ G:
(ä.35)
÷ ÚÁÄÁÞÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÊ ×ÅËÔÏÒ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ |
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ, É ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ G, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍ
ÅÌÅ×ÏÍÕ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÕ f (x). òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ (ä.35) ÔÏÞÎÏ | ÚÎÁÞÉÔ ÎÁÊÔÉ ËÁËÏÊÎÉÂÕÄØ ÉÌÉ ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ (ä.35), ÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ
ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÎÁ.
áÌÇÏÒÉÔÍÙ É ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ×ÉÄÁ (ä.35) ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ
ÓÏÂÏÊ ÏÂÌÁÓÔØ G, ËÁËÏÊ ×ÉÄ ÉÍÅÅÔ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ É ËÁËÏ×Á ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÆÕÎËÉÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ. ðÏ ÓÔÒÕËÔÕÒÅ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ, ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É
ÆÕÎË ÉÑÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÉÉÚÁ ÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ
ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ:
{ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ f (x) É
gi (x) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁÍÉ;
{ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÈÏÔÑ ÂÙ
ÏÄÉÎ ÉÚ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏ× f (x) ÉÌÉ gi(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ
ÞÁÓÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÉËÌÁÄÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ.
éÚ ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÏÌÎÏ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎ ËÌÁÓÓ ÚÁÄÁÞ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÏÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ, Á ÅÌÅ×ÏÊ
ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ É ÆÕÎË ÉÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ | ×ÙÕËÌÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. ÷ ÜÔÏÍ ËÌÁÓÓÅ ×ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÚÁÄÁÞÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Em ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÙÍ ,
ÅÓÌÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÌÀÂÏÊ ÁÒÏÊ Ó×ÏÉÈ ÔÏÞÅË, ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ É ×ÅÓØ ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÉÈ
ÏÔÒÅÚÏË. îÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f (x), ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ×ÙÕËÌÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å G
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÏÊ ×ÎÉÚ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y ∈ G ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
∀ ; 0 6 6 1; f ( x + (1 − )y ) 6 f (x) + (1 − )f (y ):
ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÍÅÒÙ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
ïÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ.
ÉÉÚÁ ÉÑ ÚÁÄÁÞ
ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
364
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ðÕÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ
ÉÚ n ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ Ë n ÒÁÚÎÙÍ ÔÉÁÍ. ëÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎ × ÅÌÑÈ Ï×ÙÛÅÎÉÑ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÓÅÊ
ÓÉÓÔÅÍÙ × ÅÌÏÍ. ðÕÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ xi ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× i- ÏÇÏ ÔÉÁ, ×ËÌÀÞÅÎÎÙÈ × ÓÉÓÔÅÍÕ, xi > 1, i = 1; n. ïÄÉÎ ÉÚ ÜÔÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÛÔÁÔÎÏÍ
ÒÅÖÉÍÅ ÆÕÎË ÉÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÒÅÚÅÒ×Å. íÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ,
ÞÔÏ ÚÁÄÁÎÙ ÆÕÎË ÉÉ fi(xi ), ÄÁÀÝÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ
Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÔÉÁ i, × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á. åÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÏÔËÁÚÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÔÉÁ i | pi, ÔÏ ÆÕÎË ÉÑ fi (xi ) ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ,
ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ
fi (xi ) = 1 − pxi i :
íÙ ÈÏÔÉÍ ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ, ÏÔÒÁÖÁÀÝÉÊ ÏËÁÚÁÔÅÌØ
ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ × ÅÌÏÍ, ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÓÕÍÍÁÒÎÙÅ ÚÁÔÒÁÔÙ. ÷ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÏËÁÚÁÔÅÌØ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÅÓÔØ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ Ï ÔÉÁÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, Á ÚÎÁÞÅÎÉÅ | ÅÓÔØ
ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÚÁÔÒÁÔÙ, ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÅÓÔØ ÚÁÄÁÞÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ ÒÅÚÅÒ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÁÖÄÏÇÏ ÔÉÁ, ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÕÀÝÉÈ
ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÊ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ
úÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
n
Y
i=1
fi (xi ) → max;
n
X
i=1
ai · xi 6 ;
x = (x ; : : : ; xn) ∈ Ezn;
1
xi > 1:
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØÀ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÏÓÔØ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ | ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ É ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÚÁÔÒÁÔ ÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÔÉÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ xi ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÄÒÕÇÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ xj ; j 6= i. úÁÄÁÞÉ Ó ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁÍÉ É
ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÙ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ,
ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÚÄÎÅÅ.
îÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÎÁÂÖÅÎÉÅ ÒÅÄÒÉÑÔÉÑ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÅÇÏÓÑ ÓÂÏÒËÏÊ, ËÏÍÌÅËÔÕÀÝÉÍÉ ÄÅÔÁÌÑÍÉ × ËÏÎÔÅÊÎÅÒÁÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÚÇÏÔÁ×ÌÉ×ÁÀÔÓÑ É ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÄÒÕÇÉÈ ÇÏÒÏÄÏ×. íÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ × ÓÎÁÂÖÅÎÉÉ ÒÅÄÒÉÑÔÉÑ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ n ÇÏÒÏÄÏ×.
ðÕÓÔØ xi | ÅÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÎÔÅÊÎÅÒÏ×, ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍÙÈ ÉÚ i-ÏÇÏ ÇÏÒÏÄÁ, Á i |
ÓÕÍÍÁÒÎÁÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á É ÄÏÓÔÁ×ËÉ ÏÄÎÏÇÏ ËÏÎÔÅÊÎÅÒÁ ÄÅÔÁÌÅÊ ÉÚ
ÇÏÒÏÄÁ i, i = 1; n. ÏÇÄÁ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÒÉ×ÅÚÅÎÎÙÈ ËÏÎÔÅÊÎÅÒÏ× ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ
n
X
f (x) =
i · xi :
úÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÎÁÂÖÅÎÉÑ.
i=1
ðÏÔÒÅÂÎÏÓÔØ ÒÅÄÒÉÑÔÉÑ × ËÏÍÌÅËÔÕÀÝÉÈ ÄÅÔÁÌÑÈ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ b (ËÏÎÔÅÊÎÅÒÏ×), ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÀ
n
X
i=1
xi = b:
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
365
ðÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Ï ÄÅÔÁÌÅÊ × ÇÏÒÏÄÅ i ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ bi, Á ÏÂÒÁÔÎÙÅ ÅÒÅ×ÏÚËÉ ÉÓËÌÀÞÅÎÙ, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ. ÷ ÜÔÉÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑÈ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
n
X
xi = b; 0 6 xi 6 bi ; i = 1; n; x ∈ Ezn :
f (x) → min;
i=1
÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ (x ∈ E n ) | ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÒÅÛÁÅÍÁÑ
ÚÁÄÁÞÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÍÙ ÏÂÒÁÝÁÅÍ ÅÅ × ÚÁÄÁÞÕ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ
ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÕÔÅÍ ÏÍÅÝÅÎÉÑ ÔÏ×ÁÒÏ× × ËÏÎÔÅÊÎÅÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍÉ ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ ÅÒÅ×ÏÚËÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ ÅÒÅÂÏÒÁ | ÜÔÏ n-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÎÕÌÅ, É ÒÅÂÒÁÍÉ
ÄÌÉÎÙ bi.
ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ, ÂÏÌÅÅ ÂÌÉÚËÕÀ É ÏÎÑÔÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÁÍ. óÕÔØ ÚÁÄÁÞÉ Ó×ÏÄÉÔÓÑ
Ë ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÀ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÓÉÓÁÎÉÑ ÒÁÂÏÔÙ ÍÎÏÇÏÒÏ ÅÓÓÏÒÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ.
ðÕÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ m ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ×, Ï ËÏÔÏÒÙÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÔØ n ÚÁÄÁÎÉÊ, ÒÉÞÅÍ n > m. åÓÌÉ ÔÁËÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÅÓÔØ,
ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÒÏ ÅÓÓÏÒ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÅÍÕ ÚÁÄÁÎÉÑ. íÙ
ÚÁÒÁÎÅÅ ÚÎÁÅÍ ×ÒÅÍÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÚÁÄÁÎÉÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÒÏ ÅÓÓÏÒÅ, ÉÌÉ
ÉÍÅÅÍ ÅÇÏ Ï ÅÎËÕ. ðÕÓÔØ tij | ÅÓÔØ ×ÒÅÍÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÚÁÄÁÎÉÑ i ÎÁ ÒÏ ÅÓÓÏÒÅ j .
îÁÛÁ ÅÌØ | ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÓÕÍÍÁÒÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ×ÓÅÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÚÁÄÁÎÉÊ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÅËÔÏÒ x × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn, É ÂÕÄÅÍ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ËÏÍÏÎÅÎÔÙ xi ÜÔÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ËÁË ÎÏÍÅÒ ÒÏ ÅÓÓÏÒÁ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÚÁÄÁÎÉÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i. üÔÏÔ ×ÅËÔÏÒ É ÂÕÄÅÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ €ÒÁÓÉÓÁÎÉǺ ÒÁÂÏÔÙ
ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ×. ðÏÓËÏÌØËÕ ÉÍÅÅÔÓÑ m ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ×, É ËÁÖÄÏÅ ÚÁÄÁÎÉÅ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ
ÎÁÚÎÁÞÅÎÏ ÎÁ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÒÏ ÅÓÓÏÒ, ÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ
1 6 xi 6 m; i = 1; n;
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÌÁÓÔØÀ G ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ 1 = (1; 1; : : : ; 1) × n-ÍÅÒÎÏÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ó ÒÅÂÒÏÍ
(m − 1) | Cubnz(1; m − 1).
ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÅÓØ ÎÁÂÏÒ ÚÁÄÁÎÉÊ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ×ÙÏÌÎÅÎÎÙÍ, ËÏÇÄÁ ÏÓÌÅÄÎÉÊ (Ï
×ÒÅÍÅÎÉ) ÒÏ ÅÓÓÏÒ ÚÁ×ÅÒÛÉÔ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÚÁÄÁÎÉÑ, ÔÏ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÉÏÎÁÌ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎ × ×ÉÄÅ
f (x) = jmax
{ T } → min;
;m j
ÇÄÅ Tj | ×ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙ ÒÏ ÅÓÓÏÒÁ j , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ËÁË
ïÔÉÍÉÚÁ ÉÑ ÍÎÏÇÏÒÏ ÅÓÓÏÒÎÏÇÏ ÒÁÓÉÓÁÎÉÑ.
=1
Tj =
n
X
i=1
[xi = j ℄ · tij ;
ÇÄÅ ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ÎÏÔÁ ÉÀ áÊ×ÅÒÓÏÎÁ | [k = l℄ = 1, ÅÓÌÉ k = l, ÉÎÁÞÅ | 0.
îÉÖÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ, ËÁË ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ Ë ÔÏÞÎÙÍ ÍÅÔÏÄÁÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
366
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ä.6.3. NP-ÏÌÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ É ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
éÚ ÏÂÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÅ
ÒÅÛÅÎÉÅ, ÏÌÎÙÍ ÅÒÅÂÏÒÏÍ ÔÏÞÅË × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ËÕÂÁ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÔÒÅÂÕÅÔ ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÚÁÔÒÁÔ, ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏ
ÚÁ×ÉÓÑÝÉÈ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. üÔÏ, ÏÄÎÁËÏ, ÎÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÁËÏ×Á
ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÁÑ Ï ÅÎËÁ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ. íÙ ÍÏÖÅÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÞÉÓÅÌ ai , i = 1; n, ËÁË ÚÁÄÁÞÕ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ
ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ezn ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÜÔÉÈ ÞÉÓÅÌ, Á ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
f (x) =
n
X
i=1
i · v(xi ) → max;
1 6 xi 6 n
∀i
= 1; n;
v(xi ) = axi :
îÏ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÒÅÛÁÅÔÓÑ Ó Ï ÅÎËÏÊ (n ln n). íÏÖÅÍ ÌÉ ÍÙ
×ÓÅ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÅÛÉÔØ ÔÁË ÂÙÓÔÒÏ? ðÏÌÕÞÅÎÉÅ
ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÈ
ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ.
éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÚÁÄÁÞ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ××ÅÄÅÎÉÅÍ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ
1960-È ÇÏÄÏ× ËÌÁÓÓÁ P ËÁË ËÌÁÓÓÁ ÚÁÄÁÞ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ
ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ: ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ËÌÁÓÓÕ P , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÅÛÁÀÝÉÊ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÚÁ ×ÒÅÍÑ O(nk ), ÇÄÅ n | ÄÌÉÎÁ ×ÈÏÄÁ
ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, Á k ÅÓÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ n [20℄. éÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ËÌÁÓÓ P |
ÜÔÏ ËÌÁÓÓ ÚÁÄÁÞ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ÒÅÛÉÔØ, ÉÌÉ ËÌÁÓÓ ÒÅÁÌØÎÏ ÒÅÛÁÅÍÙÈ
ÚÁÄÁÞ. ðÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔØ ÚÁÄÁÞÉ Ë ËÌÁÓÓÕ P ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ
×ÏÒÏÓ Ï ÇÒÁÎÉ ÁÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ × ÓÍÙÓÌÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÅÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ | ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ
ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ P ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÄÁÖÅ ÄÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ.
ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÌÕÞÁÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. íÙ ×ÒÁ×Å ÚÁÄÁÔØ ×ÏÒÏÓ | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, É ÎÁÓËÏÌØËÏ ÂÙÓÔÒÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÅÇÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ?
÷ ÒÁÍËÁÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ×ÏÒÏÓÁ × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÌÁÓÓ
NP | ËÌÁÓÓ ÂÙÓÔÒÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÙÈ ÚÁÄÁÞ. úÁÄÁÞÁ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ËÌÁÓÓÕ NP, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ ×ÒÅÍÑ O(nk ).
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ (ãð) × ÏÂÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÜÔÏÍÕ ËÌÁÓÓÕ. óÌÅÄÕÑ ÏÄÈÏÄÕ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, ÂÕÄÅÍ
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÎÅ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÏÎÎÙÅ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ãð, Á ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ × ×ÉÄÅ
ÚÁÄÁÞ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ
∃x : f (x) 6 C; x ∈ Ezn ; ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ:
(ä.36)
gi (x) 6 ai ; ai ∈ R; i = 1; k É x ∈ G:
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ãð × ÔÁËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÄÏÌÖÅÎ ÌÉÂÏ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞËÕ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ (ä.36), ÌÉÂÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÉ
ÎÅÔ. åÓÌÉ ÎÁÍ ÒÅÄßÑ×ÌÅÎ ÏÔ×ÅÔ, É ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
f (x) É gi (x) ÉÍÅÅÔ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ, ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÕÀ ÏÔ n, ÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ, ÔÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÒÏ×ÅÒËÉ
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
367
ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ (ä.36) ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÁÄÁÞÁ ãð ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ
ËÌÁÓÓÕ NP.
ëÁËÏ×Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÏ× P É NP? îÁ ÓÅÇÏÄÎÑ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÅ
ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ËÁË ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ËÌÁÓÓÏ× (P = NP), ÔÁË É ÉÈ ÎÅÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ.
ðÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ËÌÁÓÓÁ NP. üÔÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÅÝÅ ÏÄÎÏÇÏ
ËÌÁÓÓÁ, Á ÉÍÅÎÎÏ ËÌÁÓÓÁ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ÷ 1971 ÇÏÄÕ ëÕË ××ÅÌ ÏÎÑÔÉÅ NPÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ËÁË ÏÄËÌÁÓÓÁ × NP | ÜÔÏ ÚÁÄÁÞÉ, Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÚÁ ×ÒÅÍÑ, ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ, ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ Ó×ÅÄÅÎÙ ÌÀÂÙÅ ÄÒÕÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ
ËÌÁÓÓÁ NP.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÁ NPC (NP- omplete ) ÔÒÅÂÕÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ Ä×ÕÈ
ÕÓÌÏ×ÉÊ: ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÚÁÄÁÞÁ ÄÏÌÖÎÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ ËÌÁÓÓÕ NP, É, ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, Ë ÎÅÊ
ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏ ÄÏÌÖÎÙ Ó×ÏÄÉÔØÓÑ ×ÓÅ ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ NP. éÓÔÏÒÉÞÅÓËÉ ÅÒ×ÏÅ
ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï NP-ÏÌÎÏÔÙ ÂÙÌÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÏ ëÕËÏÍ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔÉ
ÓÈÅÍÙ. íÅÔÏÄ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÂÙÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎ ò. ëÁÒÏÍ É
ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÉÍ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á NP-ÏÌÎÏÔÙ ÅÌÏÇÏ ÒÑÄÁ ÚÁÄÁÞ. ïÉÓÁÎÉÅ
ÒÑÄÁ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÎÁÊÔÉ × [20℄, ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ ×
ÔÅÏÒÉÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × [22℄.
÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÄÌÑ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÎÅ ÎÁÊÄÅÎÙ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ, É ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× ÏÌÁÇÁÀÔ, ÞÔÏ ÉÈ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅÌØÚÑ ÒÅÛÉÔØ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, ÎÏ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉ ÒÏÂÌÅÍÁ P = NP ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÏÊ. NP-ÏÌÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÅ ËÁË ÚÁÄÁÞÉ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ, ÅÒÅÓÔÁÀÔ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ Ë ËÌÁÓÓÕ NP, Ô. Ë. ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÌØÚÑ
ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ NP-ÔÒÕÄÎÙÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ [27℄.
÷ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ × ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÏÎÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ
ÅÌÙÊ ÒÑÄ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë NP-ÔÒÕÄÎÙÍ [20℄,
× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÜÔÏ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÁÓÉÓÁÎÉÊ É ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ, Á ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÕÍÍÅ | NP-ÏÌÎÏÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁ ÓÅÇÏÄÎÑ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÍÕ ÏÔ×ÅÔÕ ÎÁ ÒÏÂÌÅÍÕ P = NP [20℄, ÔÏ, ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÎÅÔ É ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ
ãð × ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÏÎÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ Ó ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÁ ÒÅÛÅÎÉÑ (ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ). óÅÇÏÄÎÑ × ÎÁÕÞÎÙÈ ÕÂÌÉËÁ ÉÑÈ ÒÏÄÏÌÖÁÀÔ ÒÅÄÌÁÇÁÔØÓÑ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØÓÑ ËÁË Ü×ÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ, ÔÁË É
"-ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ [20℄ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÔÁÎÏ×ÏË ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ [14℄, [9℄. äÒÕÇÏÊ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ
ÁÓÅËÔ ÉÚÕÞÅÎÉÑ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ÉÈ ËÁË ÚÁÄÁÞ × ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÅÊ Ï ÅÎËÏÊ ÞÉÓÌÁ ×ÅÒÛÉÎ
ÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÚÁÄÁÞÉ. âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ
ÏÌÕÞÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × [13℄ É [12℄.
÷ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÔÅÒÍÉÎ €ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÂÏÒÁ, ËÁË ÁÎÁÌÏÇ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ÷ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÔÅÒÍÉÎÁ × 1960-Å ÇÏÄÙ ÍÏÖÎÏ
×ÉÄÉÍÏ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÔÏÞÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× Ó ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ
Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÉÓËÏÍÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÒÅÛÅÎÉÑ. òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÔÏÞÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ãð, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ËÌÁÓÓÕ NPC, × ÓÉÌÕ ×ÙÛÅ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ
368
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÔÁËÖÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍÉ. üÔÉ ÍÅÔÏÄÙ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ × ÅÌÏÍ ÒÑÄÅ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÁÖÎÙÈ ÏÓÔÁÎÏ×ÏË ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÌÕÞÉÔØ
ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÕÔÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ
ÅÒÅÂÏÒÁ.
ä.6.4. ïÂÚÏÒ ÔÏÞÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ
ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ðÅÒ×ÙÅ ÒÁÂÏÔÙ Ï ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍÕ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÀ ÂÙÌÉ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ ×
ËÏÎ Å 1950-È | ÎÁÞÁÌÅ 1960-È ÇÏÄÏ×. úÁ ÒÏÛÅÄÛÅÅ ×ÒÅÍÑ ÂÙÌÏ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× É ÍÅÔÏÄÏ×, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÉÈ ËÁË ÔÏÞÎÏÅ,
ÔÁË É ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ.
íÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÏ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÄÌÑ ÔÅÈ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ
Ë ËÌÁÓÓÕ NPC. îÏ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× (Ó ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÇÒÅÛÎÏÓÔØÀ) ÄÌÑ ÍÎÏÇÉÈ ËÌÁÓÓÏ× ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÓÔÏÌØ ÖÅ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÊ ÒÏÂÌÅÍÏÊ, ÞÔÏ É ÏÉÓË ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ [27℄. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÄÌÑ ÒÑÄÁ ÚÁÄÁÞ ÔÁËÉÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ.
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ë ÔÁËÉÍ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÁÓÉÓÁÎÉÑ ÍÎÏÇÏÒÏ ÅÓÓÏÒÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ, É Ï ÏÔÉÍÁÌØÎÏÍ ÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎÉÉ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÅ ÛÉÒÏËÏ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÏ×ÙÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÁ ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ
ÁÎÁÌÏÇÉÑÈ | ÍÙ ÉÍÅÅÍ × ×ÉÄÕ ÇÅÎÅÔÉÞÅÓËÉÅ É ÍÕÒÁ×ØÉÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ, ÕÓÅÛÎÏ
ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÅ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. îÅÂÏÌØÛÏÅ
××ÅÄÅÎÉÅ × ÜÔÉ ÍÅÔÏÄÙ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × [22℄.
ðÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÍ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÉÉ, ÔÏÞÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÉÓÁÎÙ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÏÂÝÉÍÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ, ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÉÄÅÑÈ ÍÅÔÏÄÁ ÏÔÓÅÞÅÎÉÑ É ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ,
× ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÑÍÉ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. îÉÖÅ
ÍÙ ÉÚÌÁÇÁÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÎ ÉÙ ÜÔÉÈ ÍÅÔÏÄÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÁÌÅÅ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÚÁÄÁÞÉ
ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ Ó×ÅÒÈÕ | ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ, × ËÏÔÏÒÙÊ ×ÉÓÁÎ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË,
ÆÏÒÍÉÒÕÅÍÙÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ, ÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÙÊ
ÅÒÅÂÏÒ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× | ÔÏÞÅË ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ÷ ÁÎÇÌÏÑÚÙÞÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ British museum te hnique | ÔÅÈÎÉËÁ ÂÒÉÔÁÎÓËÏÇÏ ÍÕÚÅÑ. íÙ ÙÔÁÅÍÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÂÏÒÁ ÍÅÔÏÄÏÍ ÅÒÅÂÏÒÁ, ÎÏ ÎÁÓ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÒÏÂÌÅÍÁ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ | ËÁË ÔÏÌØËÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ
ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÂÏÌØÛÏÊ | ÅÒÅÂÏÒ ÔÒÅÂÕÅÔ, ÈÏÔÑ É
ËÏÎÅÞÎÏÇÏ, ÎÏ ÁÓÔÒÏÎÏÍÉÞÅÓËÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ. ðÏÒÏÂÕÊÔÅ, ÎÁÒÉÍÅÒ,n Ï ÅÎÉÔØ, ÒÉ
ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n ×ÁÛ ËÏÍØÀÔÅÒ ÒÅÛÉÔ ÚÁÄÁÞÕ ÅÒÅÂÏÒÁ × ËÕÂÅ 1z ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ
ÚÁ ÏÄÉÎ ÞÁÓ.
íÅÔÏÄ ÏÌÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ.
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
369
éÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ç. äÁÎ ÉÇÕ É ò.çÏÍÏÒÉ [27℄.
éÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÍÅÔÏÄ ÂÙÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. óÕÔØ ÉÄÅÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÎÁÞÁÌÅ ÒÅÎÅÂÒÅÞØ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ É ÏÙÔÁÔØÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. åÓÌÉ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ,
ÔÏ ÔÏÇÄÁ ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ.
åÓÌÉ ÖÅ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ ÏÌÕÞÅÎÏ ÎÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÔÏ Ë ÉÓÈÏÄÎÙÍ
ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏ×ÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔÓÑ
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ÂÙ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÎÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÌÏ ÎÏ×ÏÍÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ, Á ÌÀÂÏÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÌÏ
ÅÍÕ. ïÉÓÁÎÎÁÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ Ó ÎÏ×ÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÁ ÏÄÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÂÏÌØÛÅ. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ×ÎÏ×Ø ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÎÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔØ, É, ÒÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ
ÄÏÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÏ×ÙÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ. þÅÒÅÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÔÅÒÁ ÉÊ, ÂÕÄÅÔ ÌÉÂÏ
ÎÁÊÄÅÎÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÌÉÂÏ ÏÞÅÒÅÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ÏËÁÖÅÔÓÑ
ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÊ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÉÔÅÒÁ ÉÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÓÏÓÏÂÁ
ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ. ÷ ÏÂÝÅÍ ×ÉÄÅ ÍÅÔÏÄ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
íÅÔÏÄ ÏÔÓÅÞÅÎÉÊ.
Pro edure
Begin
1.
While
íÅÔÏÄ ÏÔÓÅÞÅÎÉÊ
òÅÛÉÔØ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ
Ó ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ
End.
(ÏËÁ ÎÅ ÎÁÊÄÅÎÏ
ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÌÉ
ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÎÁ)
begin
2.1.
2.2.
end
óÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÎÏ×ÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ, ÏÔÓÅËÁÀÝÅÅ
ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÎÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ.
òÅÛÉÔØ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ó ÎÏ×ÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ.
(while)
÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÔÓÅËÁÀÝÅÊ
ÏÔ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÉÓÈÏÄÎÙÍÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ, ÎÏ ÎÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÕÀ, ×ÅÒÛÉÎÕ
É ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÊ ×ÓÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. üÔÁ ÁÎÁÌÏÇÉÑ É ÄÁÌÁ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÍÅÔÏÄÁÍ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÁ ÉÄÅÑÈ ç. äÁÎ ÉÇÁ | €ÍÅÔÏÄÙ
ÏÔÓÅÞÅÎÉʁ.
ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÂÙÌÁ ÒÅÄÌÏÖÅÎÁ × ÒÁÂÏÔÁÈ
á. ìÜÎÄÁ É á. äÏÊÇÁ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍÕ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÀ × ÎÁÞÁÌÅ
1960-È ÇÏÄÏ×. íÅÔÏÄ ÓÔÁÌ ÛÉÒÏËÏ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÄÅÔÁÌØÎÏ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÏÍÕ
É ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ äÖ.ìÉÔÌÁ, ë.íÅÒÔÉ, ä. óÕÉÎÉ É ë. ëÜÒÏÌ [7℄ ÄÌÑ
ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ËÏÔÏÒÁÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ NP-ÏÌÎÏÊ (ËÌÁÓÓ NPC).
íÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ .
370
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÙÔËÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ, ÚÁ ÓÞÅÔ ÁÎÁÌÉÚÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÏÂÝÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÏÄÌÅÖÁÝÉÈ ÅÒÅÂÏÒÕ. îÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙÍ ÜÔÁÏÍ ÍÅÔÏÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÑ×ÌÅÎÉÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÔÏÞÅË, ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ.
íÅÔÏÄ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË
ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅÍ, É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ Ï ÅÎÏË ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ ÚÁÄÁÞÉ (ÎÉÖÎÉÈ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ ÍÉÎÉÍÕÍ) ÎÁ
×ÙÄÅÌÅÎÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ | ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÇÒÁÎÉ .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÏÉÓËÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ, É ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ
ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÔÓÅÞÅÎÉÉ ÔÅÈ ×ÅÔ×ÅÊ ÜÔÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ
ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ.
ðÒÏÂÌÅÍÁ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÁ Ë ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ×ÙÂÏÒÅ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ É ÒÉÎ ÉÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÏÓÔÅÊÛÅÇÏ ÓÏÓÏÂÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÏÄÈÏÄ | ÒÅÛÉÔØ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÒÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍÕ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÔÏÞÅË. ïÂÙÞÎÏ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ É Ï ÅÎÉ×ÁÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÉÒÁÀÔÓÑ
ÎÁ ÓÅ ÉÆÉËÕ ÚÁÄÁÞÉ. ðÒÉ ÕÄÁÞÎÏ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑÈ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅ ÅÒÅÂÏÒÁ
ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ
ÚÎÁÞÉÍÙÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ, ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ.
íÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÂÙÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎ É ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎ ò.âÅÌÌÍÁÎÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ 1960-È ÇÏÄÏ× [11℄. õÓÌÏ×ÉÑ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÁ ÔÒÅÂÕÀÔ, ÞÔÏÂÙ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÌ ÓÏÂÏÊ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ, Ô. Å.
íÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
f (x) =
n
X
i=1
gi (xi );
ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÌÁÂÌÅÎÏ ÄÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ
ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÏÓÔÉ [27℄. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÏÉÓÁÎÉÅ ÉÄÅÉ ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ, ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ ÅÇÏ Á×ÔÏÒÁ [11℄. üËÏÎÏÍÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁÉÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
n
X
i=1
xi = C;
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÁË ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÏÂÝÉÊ ÒÅÓÕÒÓ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎ Ï n ÒÏ ÅÓÓÁÍ, ÒÉÎÏÓÑÝÉÍ ÄÏÈÏÄ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÊ ÆÕÎË ÉÑÍÉ gi(xi ),
i = 1; n × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ É ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ xi . äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁËÓÉÍÉÚÁ ÉÉ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ f (x) → max, ×ÍÅÓÔÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÏÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÄÁÎÎÙÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÓÕÒÓÏ× É ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ
ÒÏ ÅÓÓÏ×, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÅÌÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÚÁÄÁÞ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÞÉÓÌÏ n ÍÏÖÅÔ
ÒÉÎÉÍÁÔØ ÌÀÂÙÅ ÅÌÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ
ÓÔÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÒÏ ÅÓÓ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÔÏ ÏÄÈÏÄ ò.âÅÌÌÍÁÎÁ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÅÅ × ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÊ ÒÏ ÅÓÓ, ÔÒÅÂÕÑ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÓÕÒÓÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ Ï ËÁÖÄÏÍÕ
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
371
ÒÏ ÅÓÓÕ, ÞÔÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ É ÏÔÒÁÖÅÎÏ × ÎÁÚ×ÁÎÉÉ ÍÅÔÏÄÁ | ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ [11℄.
íÁËÓÉÍÕÍ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ f (x) × ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÒÏ ÅÓÓÏ× n, É ÏÔ ÏÂÝÅÇÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÒÅÓÕÒÓÁ C . üÔÁ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ
× ÏÄÈÏÄÅ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ Ñ×ÎÏ ÕÔÅÍ ÚÁÄÁÎÉÑ
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÊ {fm( )}, m = 1; n, 0 6 6 C , ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
fm (
) = max
f (x);
xm
xm > 0;
m
X
k=1
xk = :
æÕÎË ÉÑ fm( ) ×ÙÒÁÖÁÅÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÄÏÈÏÄ, ÏÌÕÞÁÅÍÙÊ ÏÔ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÓÕÒÓÁ Ï m ÒÏ ÅÓÓÁÍ. ÷ Ä×ÕÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ
×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏ. ÷ ÒÁÚÕÍÎÏÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÄÏÈÏÄ ÏÔ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ
ÒÅÓÕÒÓÁ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ | gm(0) = 0, ∀m = 1; n, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ fm(0) = 0, ∀m = 1; n.
ÁËÖÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ > 0 ÆÕÎË ÉÑ f ( ) = g ( ).
äÌÑ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÓÕÒÓÁ ÍÅÖÄÕ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÒÏ ÅÓÓÁÍÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅ fm( ) É
fm− ( ) ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ m É . åÓÌÉ xm | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÓÕÒÓÁ, ÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÅ ÄÌÑ ÒÏ ÅÓÓÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ m, ÔÏ ÏÓÔÁÀÝÅÅÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï | ( − xm )
ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÏ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÄÏÈÏÄÁ ÏÔ
ÏÓÔÁÀÝÉÈÓÑ m − 1 ÒÏ ÅÓÓÏ×. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ xm ÓÏ×ÏËÕÎÙÊ ÄÏÈÏÄ ÏÔ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Ï m ÒÏ ÅÓÓÁÍ ÓÏÓÔÁ×ÉÔ
gm(xm ) + fm− ( − xm ):
ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÍ ÂÕÄÅÔ ÔÁËÏÊ ×ÙÂÏÒ ÚÎÁÞÅÎÉÑ xm, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÕÅÔ ÜÔÕ ÆÕÎË ÉÀ, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÍÕ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ
ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ [11℄.
(
f ( ) = g ( );
fm ( ) = max [gm (xm ) + fm− ( − xm )℄; ∀m = 2; n; > 0:
6xm 6
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÁÄÁÞÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ × ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÏÔÉÍÉÚÁÉÉ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÏËÒÁÝÁÅÔ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÑ. îÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ
ÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ ÍÅÔÏÄÁ ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÀÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ (ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÏÓÔÉ) ÎÁ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÅ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ
ÓÌÉÛËÏÍ ÓÌÏÖÎÏÊ, É ÄÏÕÓËÁÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ
ÆÕÎË ÉÊ âÅÌÌÍÁÎÁ ÞÅÒÅÚ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ €ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍɁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ.
äÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÉÄÅÉ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ €ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙȁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÒÉ×ÅÌÏ
Ë ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÎÏ×ÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ,
× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ | ÍÅÔÏÄÁ ÑÄÅÒ (ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ [27℄, [26℄).
1
1
1
1
1
0
1
1
372
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ä.6.5. ÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ
ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ
îÁÞÉÎÁÑ Ó ËÏÎ Á 50-È ÇÏÄÏ× XX ×ÅËÁ, ËÏÇÄÁ ò. âÅÌÌÍÁÎ ÒÅÄÌÏÖÉÌ É ÏÂÏÓÎÏ×ÁÌ
ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ
Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÒÉ×ÌÅËÁÅÔ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ× É ÕÞÅÎÙÈ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÈÓÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÏÊ É ÁÎÁÌÉÚÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ðÏ×ÙÛÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ
Ë ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, ÒÁ×ÎÏ ËÁË É Ë ÅÅ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÑÍ, Ó×ÑÚÁÎ Ó ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÍÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÂÌÁÓÔÑÍÉ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ. úÁÍÅÔÉÍ × ÜÔÏÊ Ó×ÑÚÉ, ÞÔÏ ÍÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÈÏÔÑ É ÏÚ×ÏÌÉÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÏËÒÁÔÉÔØ
ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÎÏ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÅ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ.
÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÒÏÓÔ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ É, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÄÏÓÔÕÎÏÊ ÏÅÒÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÍÑÔÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ËÏÍØÀÔÅÒÏ× ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ÒÑÄÁ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, Ó×ÏÄÑÝÉÈÓÑ Ë ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï
ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÕÁËÏ×ËÅ, Ó ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÔÏÞÎÙÈ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÈ ÍÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
éÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÕÁËÏ×ËÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ËÎÉÇÅ ò.âÅÌÌÍÁÎÁ É ó. äÒÅÊÆÕÓÁ [11℄ É ÓÔÁÔØÅ [25℄, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÊ ÁÎÁÌÉÚÕ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ ÂÅÌÌÍÁÎÏ×ÓËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. íÙ ÈÏÔÉÍ ÎÅ ÔÏÌØËÏ
ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ ÍÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÎÏ, É ÉÓÏÌØÚÕÑ
ÍÅÔÏÄÙ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÌÕÞÉÔØ Ï ÅÎËÉ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ
ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÈ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×.
ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ Õ
ÎÁÓ ÅÓÔØ ÒÀËÚÁË Ó ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍ ÄÎÏÍ É ÎÅÒÁÓÔÑÖÉÍÙÍÉ ÓÔÅÎËÁÍÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ×ÙÓÏÔÙ. õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÔÁËÖÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÇÒÕ ËÏÒÏÂÏË, Ó ÔÁËÉÍ ÖÅ ÄÎÏÍ, ËÁË
Õ ÒÀËÚÁËÁ. ÷ ÌÀÂÏÊ ÇÒÕÅ ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ ËÏÒÏÂÏË, É ËÁÖÄÁÑ ËÏÒÏÂËÁ × ÇÒÕÅ
ÏÄÉÎÁËÏ×Á Ï ×ÙÓÏÔÅ É ÉÍÅÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ. îÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ ÔÁË ÕÁËÏ×ÁÔØ ÒÀËÚÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÚÁËÒÙ×ÁÌÓÑ, É ÓÕÍÍÁ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÕÁËÏ×ÁÎÎÙÈ ËÏÒÏÂÏË
ÂÙÌÁ ÂÙ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ. èÏÔÑ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÏÂßÅÍÏÍ, ÎÏ × ÒÅÁÌØÎÏÓÔÉ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÔÏÌØËÏ ×ÙÓÏÔÕ ÒÀËÚÁËÁ É ×ÙÓÏÔÙ ËÏÒÏÂÏË | × ÜÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÚÁÄÁÞÁ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ Õ ÎÁÓ ÎÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÓÏÓÔÁ× ËÏÒÏÂÏË ×
ÒÀËÚÁËÅ, ÔÏ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÙÂÒÁÔØ ËÏÒÏÂËÉ ÉÚ
ÇÒÕÙ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÄÅÌØÎÏÊ (ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ×ÙÓÏÔÙ) ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ.
îÏ, Ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÒÁÚÒÅÚÁÔØ ËÏÒÏÂËÉ Ï ×ÙÓÏÔÅ | ÚÁÄÁÞÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ, É ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏ. îÁÒÉÍÅÒ, ÉÚ
Ä×ÕÈ ÇÒÕ ËÏÒÏÂÏË Ó ×ÙÓÏÔÁÍÉ 5 É 7 É ÓÔÏÉÍÏÓÔÑÍÉ 10 É 18, × ÒÀËÚÁË ×ÙÓÏÔÏÊ
10 ÌÕÞÛÅ ÏÌÏÖÉÔØ Ä×Å ËÏÒÏÂËÉ ÉÚ ÅÒ×ÏÊ ÇÒÕÙ, ÞÅÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ×ÔÏÒÏÊ. äÒÕÇÁÑ
ÉÄÅÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÕÁËÏ×ËÉ
ÒÀËÚÁËÁ É ×ÙÂÒÁÔØ ÎÁÉÌÕÞÛÉÊ, ÎÏ ÅÓÌÉ ÒÀËÚÁË ÏÞÅÎØ ×ÙÓÏËÉÊ, É Õ ÎÁÓ ÍÎÏÇÏ
ÒÁÚÎÙÈ ÇÒÕ ËÏÒÏÂÏË, ÔÏ ÔÁËÏÊ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ÍÏÖÅÔ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÍÅÓÑ Å×
ÓÞÅÔÁ, ÄÁÖÅ ÎÁ ÏÞÅÎØ ÍÏÝÎÏÍ ËÏÍØÀÔÅÒÅ.
üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ, ËÁË ÚÁÄÁÞÁ Ï ÕÁËÏ×ËÅ ÒÀËÚÁËÁ, ÂÏÌÅÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ |
ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ, ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ
óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ.
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
373
ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÅÇÏÄÎÑ ÁËÔÕÁÌØÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÕÞÅÎÉÅ
ÉÍÅÎÎÏ ÔÏÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. ë ÔÁËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓËÒÏÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ, ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÁËÅÔÁ ÁË ÉÊ ÎÁ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ
ÓÕÍÍÕ. îÁ ÏÓÎÏ×Å ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÒÉ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Å ÇÒÕ ËÏÒÏÂÏË ÍÏÖÎÏ ÄÁÖÅ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÄÅÖÎÕÀ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÕ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÂÝÕÀ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÕÁËÏ×ËÉ:
ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×
Y = {yi }; yi = {vi ; i }; i = 1; n;
ÇÄÅ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ yi ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÁÚÍÅÒÏÍ vi, ÉÌÉ €ÏÂßÅÍḮ × ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÚÁÄÁÞ ÕÁËÏ×ËÉ, É ÅÎÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ i ,
ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ ÏÔÒÁÖÁÅÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÚÎÁÞÉÍÙÅ ÒÅÄÏÞÔÅÎÉÑ ÄÌÑ ÚÁÇÒÕÚËÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÉÁ.
ÁË ÖÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÚÁÄÁÎ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ V . ÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ yi ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÉÁÍÉ ÇÒÕÚÏ×. äÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÚÁÇÒÕÖÁÅÍÙÈ × ÏÂßÅÍ V ÜÌÅÍÅÎÔÏ× yi ××ÅÄÅÍ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ:
x = {xi }; x = 1; n;
ÇÄÅ xi | ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÅÌÏÅ, Ô. Å. x ∈ Ezn, xi > 0. úÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ
×ÅËÔÏÒÁ xi = k ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÚÁÇÒÕÚËÅ k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÔÉÁ yi × ÏÂßÅÍ V .
óÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÕÁËÏ×ÏË ÏÂßÅÍÁ V ÇÒÕÚÁÍÉ ÉÚ Y ÄÏÌÖÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÏÄÎÁ ÕÁËÏ×ËÁ, ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÕÀÝÁÑ ÓÕÍÍÁÒÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ,
ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
íÁËÓÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ:
íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ.
Pn (x) =
n
X
i=1
ÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ
n
X
i=1
xi · i → max;
xi · vi 6 V:
óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ (ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁÒÎÙÊ ÏÂßÅÍ, ÚÁÎÉÍÁÅÍÙÊ ÇÒÕÚÁÍÉ ×ÓÅÈ ÔÉÏ× × ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÁÈ, ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ
×ÅËÔÏÒÏÍ x, ÎÅ ÄÏÌÖÅÎ ÒÅ×ÙÛÁÔØ ÏÂÝÅÇÏ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ.
òÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÅÇÏ ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ, ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ä×ÕÍÑ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ:
{ ÔÁÂÌÉÞÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÏÉÒÁÀÝÉÍÓÑ ÎÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ É ÈÒÁÎÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ×
ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÏÂßÅÍÁ;
ðÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ.
374
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
{ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÍ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÌÌÍÁÎÁ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ.
ïÂÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ: | É ÔÁÂÌÉÞÎÙÊ, É ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÅÒÁÉÊ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÚÁ×ÉÓÉÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÄÁÎÎÙÈ ÎÁ ×ÈÏÄÅ,
ÎÏ É ÏÔ ÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ï ÅÎËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÂÕÄÅÔ
ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n; V; v ; : : : ; vn, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁÔÒÕÄÎÑÅÔ ÁÎÁÌÉÚ. íÙ
××ÏÄÉÍ ÁÒÁÍÅÔÒ k = Vv ; ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÝÉÊ, ÓËÏÌØËÏ ÇÒÕÚÏ× ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÏÂßÅÍÁ
n
1 X
v = · vi
n
1
i=1
ÒÁÚÍÅÝÁÅÔÓÑ × ÏÂßÅÍÅ ÕÁËÏ×ËÉ V . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÒÅÁÌØÎÏÓÔÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÀÂÙÈ ÇÒÕÚÏ×, ÒÁÚÍÅÝÅÎÎÙÈ × ÏÂßÅÍÅ V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, ÎÏ ÄÌÑ Ï ÅÎËÉ
×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ × ÓÒÅÄÎÅÍ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÁÒÁÍÅÔÒ k
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍ (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ) ÞÉÓÌÏÍ.
ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ
ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ (ÓÍ. ä.6.4), ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÑÅÍÙÍ ÒÅÓÕÒÓÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ V , Á ÆÕÎË ÉÉ ÄÏÈÏÄÁ | gi(xi ) = i ·xi . îÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÄÏÈÏÄ (ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÕÁËÏ×ËÉ), ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏÍ Pn(x), ÕÔÅÍ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÒÅÓÕÒÓÁ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ ÍÅÖÄÕ ÇÒÕÚÁÍÉ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÔÉÏ×. ÷ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ
ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
âÅÌÌÍÁÎÁ, ËÏÔÏÒÏÅ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ
ÕÁËÏ×ËÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ [11℄.

f (v) = 0;


 fm (v ) = max{xm · m + fm− (v − xm · vm )};
xm
(ä.37)

v

 m = 1; n; v = 0; V ; xm = 0; 1; : : : ;
:
vk
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÅÔÏÄ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ
ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÅ ÌÀÂÏÇÏ ÄÉÓËÒÅÔÁ ÏÂßÅÍÁ ÒÅÄÙÄÕÝÉÍÉ ÔÉÁÍÉ ÇÒÕÚÏ×.
ïÄÉÎ ÉÚ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ | ÜÔÏ ÔÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ ÏÌÕÞÉÔØ ÎÁÂÏÒ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅ ÔÏÌØËÏ
ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÏÂßÅÍÁ V , ÎÏ É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÜÔÏÇÏ ÏÂßÅÍÁ.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÅËÔÏÒ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ÏÂßÅÍÁ v ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ yi ,
i = 1; m, m 6 n, ÞÅÒÅÚ xm
v , Á ÞÅÒÅÚ fm (v ) ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ×
ÜÔÏÍ ÏÂßÅÍÅ. ÷ ÓÉÌÕ ÒÉÎ ÉÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ [11℄ fm(v) = max
Pm (x); Á ÏÒÑÄÏË ÒÅÄßÑ×ÌÅÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× yi ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ. xm
æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÌÌÍÁÎÁ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ.
0
1
ÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ.
375
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
òÅÛÅÎÉÅ ÔÁÂÌÉÞÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ (ä.37).
òÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÌÅ×ÏÊ
ÆÕÎË ÉÉ fn(v) É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ xnv ÄÌÑ ×ÓÅÈ
ÏÂßÅÍÏ× v ÏÔ 0 ÄÏ V ÉÓÈÏÄÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ (ÇÒÕÚÁÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÉÏ×) ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ ÔÁÂÌÉÞÎÙÊ ÓÏÓÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÏÂßÅÍÏ× ÕÁËÏ×ËÉ, ÔÏ ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁÉÀ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÞÕ×ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÅÌÅ×ÏÊ
ÆÕÎË ÉÉ fn(v) Ï ÉÚÍÅÎÅÎÉÀ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ
ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. íÙ ÒÅÛÁÅÍ ÚÁÄÁÞÕ Ó ÔÒÅÍÑ ÔÉÁÍÉ ÇÒÕÚÏ×, ÒÉ ÜÔÏÍ
ÏÂÝÉÊ ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ V = 10. éÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÏÂßÅÍÁÈ É ÓÔÏÉÍÏÓÔÑÈ ÔÉÏ×
ÇÒÕÚÏ× ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌ. ä.6.1.
ÁÂÌÉ Á ä.6.1.
ÁÂÌÉ Á ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ
i
vi
i
1
2
3
2
3
5
3
4
7
ÁÂÌÉÞÎÁÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÌÌÍÁÎÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍÕ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÀ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÕÁËÏ×ËÕ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÉÓËÒÅÔÏ× ÏÂßÅÍÁ ÏÔ 1 ÄÏ 10,
ÒÉ×ÅÄÅÎÎÕÀ × ÔÁÂÌ. ä.6.2. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ×ÙÚÏ× × ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (ä.37) × ÔÁÂÌÉÞÎÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ Ë ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÔÁÂÌÉ Å ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ.
ÁÂÌÉ Á ä.6.2. ÁÂÌÉ Á ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÄÏÈÏÄÁ
v
x1
f1 (v )
v
x1
x2
f2 (v )
v
x1
x2
x3
f3 (v )
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
2
1
3
2
1
0
3
2
1
0
0
3
3
1
3
3
0
1
5
3
0
1
0
5
4
2
6
4
2
0
6
4
0
0
1
7
5
2
6
5
1
1
8
5
1
1
0
8
6
3
9
6
0
2
10
6
0
2
0
10
7
3
9
7
2
1
11
7
0
1
1
12
8
4
12
8
1
2
13
8
0
0
2
14
9
4
12
9
0
3
15
9
0
3
0
15
10
5
15
10
2
2
16
10
?
?
?
?
⇒
⇒
ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÔÏ, ËÁË ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÓÏÓÔÁ× ÇÒÕÚÏ×, ÏÔÉÍÁÌØÎÏ ÚÁÏÌÎÑÀÝÉÈ ÏÂßÅÍ, ÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ | ÔÁËÁÑ ÞÕ×ÓÔ×É-
376
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ï ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÁ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
ÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ.
Pro edure
ÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ
éÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑ
boxV [1::n℄ boxC [1::n℄
x[1::n; 0::V ℄ x1[1::n; 0::V ℄
(
,
| ÍÁÓÓÉ×Ù ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ)
(
,
| ÍÁÓÓÉ×Ù ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ
ÕÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ÔÅËÕÝÅÇÏ É ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×)
f [0::V ℄
(
| ÆÕÎË ÉÑ âÅÌÌÍÁÎÁ | ÏÔÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ
ÕÁËÏ×ËÉ × ÏÂßÅÍÅ )
v
Input
n | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×
V | ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ
boxV [1::n℄ | ÏÂßÅÍÙ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×
boxC [1::n℄ | ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×
Begin
for i = 0 to V
begin
æÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÄÌÑ ÇÒÕÚÏ× ÔÉÁ 1
(Ï ×ÓÅÍ ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ)
x[1; i℄ = i div boxV [1℄ (ÞÉÓÌÏ ÇÒÕÚÏ× ÔÉÁ 1 × ÏÂßÅÍÅ i)
x1[1; i℄ = x[1; i℄
f [i℄ = x[1; i℄ ∗ boxC [1℄
end
ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ
for i = 2 to N
begin
( ÉËÌ Ï ÔÉÁÍ ÇÒÕÚÏ×)
V i = boxV [i℄
Ci = boxC [i℄
for v = 0 to V
begin
( ÉËÌ Ï ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ)
maxKol = 0;
maxC = f [v℄
if V i 6 v then (ÇÒÕÚ ÔÉÁ i ÒÁÚÍÅÝÁÅÔÓÑ × ÏÂßÅÍÅ v)
begin
z = v div V i (z | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÕÚÁ
ÔÉÁ i × ÏÂßÅÍÅ v )
for k = 0 toz ( ÉËÌ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ f )
begin
if (maxC < (Ci ∗ k + f [v − k ∗ V i℄)) then
begin
end
end
maxC = Ci ∗ k + f [v − k ∗ V i℄
maxKol = k
end
(ËÏÎÅ
ÉËÌÁ Ï
(end if
6 )
Vi
v
k)
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
377
(ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ |
ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÕÁËÏ×ËÉ)
end
for l = 1 to i − 1
x[l; v℄ = x1[l; v − maxKol ∗ V i℄
end
(for l)
x[i; v℄ = maxKol
(ËÏÎÅ
ÉËÌÁ Ï ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ)
ðÅÒÅÈÏÄ Ë ÎÏ×ÏÍÕ ÔÉÕ ÇÒÕÚÁ
(ËÏÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Á ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ)
ÏÂßÑ×ÉÔØ ÍÁÓÓÉ×
ÍÁÓÓÉ×ÏÍ
(ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Á ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ
ÕÁËÏ×ÏË ×ÓÅÈ ÄÉÓËÒÅÔÏ× ÏÂßÅÍÁ ÇÒÕÚÁÍÉ ÔÉÏ×)
x1
x
for l = 1 to V
sum = 0
for j = 1 to i
sum = sum + x[j; l℄ ∗ boxC [j ℄
end
j
f [l℄ = sum
end
end
Output
(end for
i
)
(end for l)
(ËÏÎÅ
ÉËÌÁ Ï ÔÉÁÍ ÇÒÕÚÏ×)
f [V ℄ | ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ × ÏÂßÅÍÅ V
x[1::n; V ℄ | ×ÅËÔÏÒ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ
End
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ÓÏÚÄÁÄÉÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÊ ÍÁÓÓÉ× ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ, ÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÔÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÌÕÞÉÔ ×ÓÅ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÉÓËÒÅÔÏ× ÏÂßÅÍÁ É ×ÓÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÅÄßÑ×ÌÅÎÉÑ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×.
ï ÅÎÉÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÕÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ × ÓÒÅÄÎÅÍ ÄÌÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ
ÒÉÎÑÔÏÊ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ. íÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÇÒÕÚÙ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÏÂßÅÍ, ÒÁ×ÎÙÊ ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅ ÂÏÌÅÅ k ÇÒÕÚÏ× ËÁÖÄÏÇÏ ÔÉÁ
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÍÅÝÅÎÏ × ÏÂßÅÍÅ V .
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ × ÉËÌÅ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÅÌÅ×ÏÇÏ
ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ ÉÍÅÅÔ ÏÒÑÄÏË (1), ÒÁ×ÎÏ ËÁË É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ, ÕÒÁ×ÌÑÅÍÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÉËÌÏÍ Ï ÄÉÓËÒÅÔÕ ÏÂßÅÍÁ. ãÉËÌ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÀ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÉËÌÁ Ï ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ, É ÉÈ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌ. ä.6.3.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÏ×ÏËÕÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÏÈÏÄÏ× ×ÎÅÛÎÅÇÏ (Ï v) É ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ (Ï z) ÉËÌÏ× ÒÁ×ÎÏ
V · (1) + (1 · v + 2 · v + · · · + (k − 1) · v + k) · (1) =
kX
−
(ä.38)
= (1) · (V + k + v · i) = (1) · V + k + v · k · (k2− 1) ;
i
ï ÅÎËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ.
1
=1
378
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÓÉÌÕ ××ÅÄÅÎÎÏÊ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ k = V=v, ÔÏ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ × (ä.38) ÄÁÅÔ
ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÉËÌÏ×
V
V
+ Vv
n·V
2·v
· (1);
2v + 2
É ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ ÉËÌ Ï ÔÉÁÍ ÇÒÕÚÏ× ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ n ÒÁÚ, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÕÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ×ÉÄÅ
2
2
:
ÁÂÌÉ Á ä.6.3. áÎÁÌÉÚ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ
úÎÁÞÅÎÉÑ ÓÞÅÔÞÉËÁ ÉËÌÁ Ï
ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ
ÏÔ 0 ÄÏ
ÏÔ
v
ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÏÈÏÄÏ× ÉËÌÁ
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ
−1
ÄÏ 2 · v
v
0
−1
1
...
ÏÔ (k
...
− 1) · v ÄÏ
ÒÉ
k
ÉËÌÏ×
k
·v−1
k
·v =V
−1
k
äÒÕÇÉÍ ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ
ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÎÁÒÑÍÕÀ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÌÌÍÁÎÁ | ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (ä.37). òÅËÕÒÓÉÑ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÕÁËÏ×ËÉ ÇÒÕÚÁÍÉ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÔÉÏ× × ÍÅÎØÛÅÍ ÏÂßÅÍÅ.
óÈÅÍÁÔÉÞÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ. ÁËÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÏÂßÅÍÁ 10
ÔÉÁÍÉ ÇÒÕÚÏ×, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌÉ Å ÔÁÂÌ. ä.6.1 ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ ä.11.
òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ.
òÉÓÕÎÏË ä.11. äÅÒÅ×Ï ÒÅËÕÒÓÉÊ, Ï-
F3 (10)
ÒÏÖÄÁÅÍÏÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÕÁËÏ×ËÉ
x3 =2
x3 =0
x3 =1
F2 (10)
F2 (6)
x2 =3
x2 =0
x2 =1 x2 =2
F1 ( 10 )
F1 (7)
F1(4)
x2 =2
x2 =0
F2(2)
x2 =0
x2 =1
F1(1)
F1 (6)
F1(3)
F1(0)
F1 (2)
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
379
òÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ.
Fun tionF (V; x)
(ÏÉÓÁÎÉÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ)
V | ÔÅËÕÝÉÊ ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ)
x | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×)
(boxV [1::n℄, boxC [1::n℄ | ÍÁÓÓÉ×Ù ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ)
(F | ÆÕÎË ÉÑ âÅÌÌÍÁÎÁ | ÏÔÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÕÁËÏ×ËÉ
× ÏÂßÅÍÅ V ÇÒÕÚÁÍÉ x ÔÉÏ×)
(
(
Begin
if x = 0
then (
(
= 0)
ÉÌÉ V = 0)
F = 0 (ÆÕÎË ÉÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÔ-ÔØ)
ÉÌÉ
V
ïÓÔÁÎÏ× ÒÅËÕÒÓÉÉ | ÒÑÍÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÒÉ
x=0
else
begin
if x = 1
then (
begin
ïÓÔÁÎÏ× ÒÅËÕÒÓÉÉ | ÒÑÍÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÒÉ
k = V=boxV [1℄
F = k ∗ boxC [1℄ (ÆÕÎË
x = 1)
ÉÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÔÉÍ. ÓÔ-ÔØ)
(ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ)
end
else (
begin
òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ×ÙÚÏ×Ù ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ max F
)
Max = 0;
k = V div boxV [x℄
if k = 0
then
F = F (V; x − 1)
else
begin
for i = 0 to k
Cost = i ∗ boxC [x℄ + F ((V − boxV [x℄ ∗ i); x − 1)
if Cost > Max
then
end
F
Max = Cost
Optx = i
(for i)
= Max(ÆÕÎË
ÉÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ
ÓÔÏÉÍÏÓÔØ)
æÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ
ïÔÉÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÕÚÏ× ÔÉÁ
× ÏÂßÅÍÅ
end
V
ÒÁ×ÎÏ
(if k = 0 else)
x = 1 else)
end (if x = 0 ÉÌÉ V = 0 else)
end
(if
Optx
x
380
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
(ÆÕÎË ÉÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÕÁËÏ×ËÉ
× ÏÂßÅÍÅ
Return
End
V
ÇÒÕÚÁÍÉ x ÔÉÏ×)
ðÒÉÍÅÒ ×ÙÚÏ×Á ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ | F(1000, 15).
ÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÑÍÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ×ÅÒÛÉÎ × ÄÅÒÅ×Å
ÒÅËÕÒÓÉÉ. íÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ É ÏÂÒÁÂÏÔËÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ
×ÙÚÏ×Á ×ËÌÀÞÅÎÁ × ÜÔÏÔ ×ÙÚÏ×. ÁËÉÍ
R (1,1)=1
ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÉËÌÁ ÎÁÈÏÖÄÅ1
0
ÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÒÁÚÎÅÓÅÎÁ Ï ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ×ÙÚÏ×ÁÍ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅËÕÒR (2,1)=3
ÓÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ×ÙÏÌÎÑÅÔ ÏÒÑÄËÁ (1)
0
1
0
ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ÏÄÉÎ ×ÙÚÏ×. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
R (3,1)=6
ÎÁÛÁ
ÚÁÄÁÞÁ | ÏÙÔÁÔØÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ Ñ×1
0
0
0
ÎÕÀ
ÆÏÒÍÕÌÕ
ÄÌÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÅÒÛÉÎ ÄÅR (4,1)=10 ÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ××ÅÄÅÎÎÏÊ Á0
1
0
0
0
ÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ R(n; k)
R (5,1)=15
ÆÕÎË ÉÀ, ÚÁÄÁÀÝÕÀ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ,
× ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n É k. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÉ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n É k. æÒÁÇÍÅÎÔÙ ÄÅÒÅ×Á ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ k = 1 É k = 2 ÏËÁÚÁÎÙ
ÎÁ ÒÉÓ. ä.12 É ä.13.
ï ÅÎËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ.
òÉÓÕÎÏË ä.12. æÒÁÇÍÅÎÔ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ
ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
k
=1
R(1,2)=1
0
2
1
R(2,2)=4
0
1
2
0
1
0
R(3,2)=10
0
1
2
0 1
0
0
1
0
0
R(4,2)=20
0
1
2
0
1
0
0 1
0
0
0 1
0
0
0
R(5,2)=35
òÉÓÕÎÏË ä.13. æÒÁÇÍÅÎÔ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
k
= 2.
äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ R(n; k) ÏÓÔÒÏÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ, ÅÒ×ÙÅ ÓÅÍØ ÓÔÒÏË ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ä.13.
ÅÅÒØ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ R(n; k) ÜÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ | ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, É ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÏÍÅÒÁÍÉ ÓÔÒÏË
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ n É k | m = (n + k), ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ
R(n; k) = Cnn−k ;
(ä.39)
1
+
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
381
É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÁÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÚÁÄÁÞÉ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
(1) · R(n; k) = (Cnn−k );
É ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ n ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÉ k = n − 2,
× ÓÉÌÕ Ó×ÏÊÓÔ× ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×.
1
+
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
m=6
m=7
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
òÉÓÕÎÏË ä.14. ÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ | ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ.
ä.6.6. íÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ
É ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ
íÙ ÉÚÌÁÇÁÅÍ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÖ.ìÉÔÌÁ, ë.íÅÒÔÉ, ä. óÕÉÎÉ É ë. ëÜÒÏÌ
ÄÌÑ ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÏÉÒÁÑÓØ
ÎÁ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÕÀ ÓÔÁÔØÀ Á×ÔÏÒÏ× [7℄, É ÅÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ × [17℄. éÓÏÌØÚÕÅÍÙÊ ÎÁÍÉ
ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × [17℄. íÙ ÈÏÔÉÍ
ÏËÁÚÁÔØ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÎÅ ÒÏÓÔÏ ÍÅÔÏÄ ÁÄÁÔÉÒÕÅÔÓÑ Ë ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, É ËÁË
ËÒÁÓÉ×Ï ×ÓÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÒÅÏÄÏÌÅÎÙ.
ëÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒ | ÜÔÏ ÓÏÔÒÕÄÎÉË ÔÏÒÇÏ×ÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ, ÚÁÄÁÞÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÓÅÔÉÔØ ÒÑÄ ÇÏÒÏÄÏ×
Ó ÅÌØÀ ÒÅËÌÁÍÙ É ÒÏÄÁÖÉ ÔÏ×ÁÒÏ×. íÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒ ÖÉ×ÅÔ
× ÓÔÒÁÎÅ Ó ÒÁÚ×ÉÔÏÊ ÔÒÁÎÓÏÒÔÎÏÊ ÓÅÔØÀ, É ÍÅÖÄÕ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÏÊ ÇÏÒÏÄÏ× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÔÒÁÎÓÏÒÔÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÕÒÏÍ ÏÒÑÄÏË
ÏÓÅÝÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÇÏÒÏÄÏ×, É ÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ËÁÖÄÙÊ ÇÏÒÏÄ ÂÙÌ ÏÓÅÝÅÎ ÔÏÌØËÏ
ÏÄÉÎ ÒÁÚ | ÜÔÏ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÔÏ×. óÔÏÉÍÏÓÔÉ
ÒÏÅÚÄÁ ÍÅÖÄÕ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, ÒÉÞÅÍ, × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÒÏÅÚÄÁ
ÔÕÄÁ É ÏÂÒÁÔÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙ | ÜÔÏ ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ.
óÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÁÍÁ ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÊ ÔÕÒ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÍÅÌ ÂÙ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÔÕÒÏ× |
ËÏÎÅÞÎÏ, É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÒÑÍÙÍ ÅÒÅÂÏÒÏÍ ÔÕÒÏ×. ï ÅÎÉÍ ÏÂßÅÍ
ÔÁËÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ × ÚÁÄÁÞÅ Ó n ÇÏÒÏÄÁÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÕÒ | ÜÔÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÉËÌ,
ÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÕÎËÔÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÇÏÒÏÄ. ïÔÒÁ×ÌÑÑÓØ ÉÚ
ÎÅÇÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ n − 1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, É ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÏÄÉÎ ÉÈ ÎÉÈ. ÷ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÇÏÒÏÄÅ ÔÁËÉÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÂÕÄÅÔ n − 2, Ô. Ë. ×ÏÚ×ÒÁÔ ÏÂÒÁÔÎÏ ÚÁÒÅÝÅÎ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÙÂÏÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍ, ÔÏ ÏÌÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ
(n − 1)! ÔÕÒÏ×, É ÅÒÅÂÏÒÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÄÌÑ ÒÅÁÌØÎÙÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÒÉÅÍÌÅÍÙÍ.
óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ.
382
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
áÓÓÏ ÉÉÒÕÑ ÇÏÒÏÄÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ
ÇÒÁÆÁ, Á ÕÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÒÏÅÚÄÁ Ó ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ | ÍÙ
ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÌÎÙÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ÇÒÁÆ ÂÅÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÅÔÅÌØ ÎÁ n ×ÅÒÛÉÎÁÈ. çÒÁÆ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÉÓÁÎ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ C , ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ËÏÔÏÒÏÊ | ij ÒÁ×ÎÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ (ÉÚÍÅÒÑÅÍÏÊ ÒÅÁÌØÎÏ × ÅÄÉÎÉ ÁÈ ×ÒÅÍÅÎÉ, ÄÅÎÅÇ ÉÌÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ) ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÅÚÄÁ ÉÚ ÇÏÒÏÄÁ i × ÇÏÒÏÄ j .
úÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ, ÅÓÌÉ ij = ji , ∀i 6= j , i; j = 1; n,
Ô. Å. ÅÓÌÉ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÒÏÅÚÄÁ ÍÅÖÄÕ ËÁÖÄÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ, É ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË. ïÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÅÔÅÌØ
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÏ ËÁË ii = ∞, ∀i = 1; n (ÏÄÕÍÁÊÔÅ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÷Ù ÂÕÄÅÔÅ
ÒÅÁÌÉÚÏ×Ù×ÁÔØ ÜÔÏ × ÒÅÁÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ?).
úÁÄÁÞÁ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ËÁË ÚÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ
ÏËÒÙ×ÁÀÝÅÇÏ (ÏÌÎÏÇÏ) ÉËÌÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ
ÔÕÒÏÍ, ÎÁ ÏÌÎÏÍ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ, ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ (× ÏÂÝÅÍ
ÓÌÕÞÁÅ) ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ C .
úÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ËÁË ÚÁÄÁÞÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ
ÒÁÚÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÏË, Á×ÔÏÒÙ ÒÅÄÌÁÇÁÀÔ Ä×Á ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÄÈÏÄÁ.
−n
. äÌÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑ1. ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn
ÖÅÒÁ, ËÁË ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÒÅÄÅÌÉÍ ×ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÛÁ ÅÌØ | ×ÙÂÏÒ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÂÅÒ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ,
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÔÕÒ, ÉÚ ×ÓÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ
ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ x, ËÁË ÕËÁÚÁÔÅÌÉ ÎÁ ×ÙÂÉÒÁÅÍÙÅ ÒÅÂÒÁ. ðÏÌÎÙÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÎÁ n ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔ n · (n − 1) = n − n ÒÅÂÅÒ | ÜÔÏ É
ÅÓÔØ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÎÁÛÅÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ëÏÍÏÎÅÎÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ x
ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 0 ÉÌÉ 1, ÕËÁÚÙ×ÁÑ ÎÁ ×ÙÂÉÒÁÅÍÙÅ ÒÅÂÒÁ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x ∈ 1nz −n. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÕÒ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÏ×ÎÏ n ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ×ÅËÔÏÒ x ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÒÏ×ÎÏ n ËÏÍÏÎÅÎÔ, ÒÁ×ÎÙÈ ÅÄÉÎÉ Å. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÅÒÅÂÏÒÁ | ÜÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÌÕÓÆÅÒÙ (xi > 0) Ó
ÒÁÄÉÕÓÏÍ ÒÁ×ÎÙÍ√ √n, É Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ. ÷ ÒÉÎÑÔÙÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ (ÓÍ. ä.6.1)
ÜÔÏ | Szn −n(0; n). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÜÔÏÊ ÓÆÅÒÙ Ó ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍÉ
ÅÌÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÂÒÁ, ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ Ï ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍ ×ÅËÔÏÒÁ x, ÄÏÌÖÎÙ
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÔÕÒ.
äÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ××ÅÓÔÉ
Ä×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÄÁÌÅÅ ÞÅÒÅÚ N | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ
N = {i| i = 1; n};
ÞÅÒÅÚ M | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
M = {i| i = 1; n − n};
É ÞÅÒÅÚ R | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ïÒÅÄÅÌÉÍ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
v
M→
N × N; v(i) = (k; l);
ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ×.
ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ
ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
2
2
2
2
2
+
383
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
ËÏÔÏÒÏÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÎÏÍÅÒÕ ÒÅÂÒÁ i ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ
ÎÏÍÅÒÁ ÁÒ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ ÒÅÂÒÕ ×ÅÒÛÉÎ | (k; l), É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
M → R ; (i) = v i = kl ;
ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁÄÁÅÔ ×ÅÓÁ (ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ) ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÒÅÂÅÒ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÍÉÎÉÍÉÚÁ ÉÉ ÏÂÝÅÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÏÂßÅÚÄÁ ÇÏÒÏÄÏ×, ÔÏ
ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
+
( )
f (x) =



2
nX
−n
i=1
(i) · xi ; f (x) → min; ÒÉ
2
nP
−n
xi ∈ { 0; 1 };
xi = n; x ∈ Szn −n (0; n) ;
i
n ÒÅÂÅÒ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ×ÅËÔÏÒÕ x; ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÔÕÒ.
2
√
=1
íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ×
ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ.
2. ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− . ðÒÅÄÙÄÕÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ
ËÁÖÕÝÕÀÓÑ ÒÏÓÔÏÔÕ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ×ÅËÔÏÒÁ x, ÉÍÅÅÔ ÓÅÒØ£ÚÎÙÊ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏË | ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÔÏÌØËÏ ÎÅÍÎÏÇÉÅ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÔÕÒ (ÓÍ. ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ). íÙ ÈÏÔÉÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn−
ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÌÉ ÔÕÒ. åÓÌÉ ÜÔÏ ÔÁË, ÔÏ ÏÁÄÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÏ×ÅÒËÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÕÒÁ ÄÌÑ ÔÏÞÅË ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÕÍÅÎØÛÉÔØ
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á.
îÏ×ÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÎÑÔÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. âÕÄÅÍ ÄÁÌÅÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ (k; l), l > k ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ k; k + 1; : : : ; l, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÉÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË (l − k + 1)!.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË (2; n) | ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ |(2; n)| = (n−2+1)! =
= (n − 1)! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË | ÒÏ×ÎÏ ÓÔÏÌØËÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÕÒÏ×
ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ × ÚÁÄÁÞÅ Ó n ÇÏÒÏÄÁÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÕÒ | ÜÔÏ ÏÌÎÙÊ ÉËÌ Ï
×ÓÅÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ, ÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÔÕÒÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ.
íÙ ÆÉËÓÉÒÕÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ ÏÄÉÎ, É ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ
ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (2; n) ÚÁÄÁÅÔ ÏÒÑÄÏË ÏÂÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÅÒ×ÏÊ, É ÏÓÌÅ
ÏÓÌÅÄÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÜÔÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ, ÍÙ ÓÎÏ×Á ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÍÓÑ × ÎÁÞÁÌÏ ÔÕÒÁ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÎÁÛÅÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ x × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− | ÜÔÏ
ÞÉÓÌÁ ÏÔ Ä×ÕÈ ÄÏ n, Á ÓÁÍ ×ÅËÔÏÒ ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÉÚ
(2; n), É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁÉÓÁÔØ
xi ∈ { 2; n }; i = 1; n − 1; xi 6= xj ; ÒÉ i 6= j; x ∈ (2; n):
(ä.40)
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× x ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÉÚ
(2; n) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ zn− (2; n). çÄÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×
x × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ (ä.40)? úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ ÏÅÒÁÉÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÁ, ÔÏ ÓÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ËÏÍÏÎÅÎÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×
x ÏÄÉÎÁËÏ×Á | ÜÔÏ ÒÁÚÎÙÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÞÉÓÅÌ ÏÔ Ä×ÕÈ ÄÏ n. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÏÞËÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× x Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÌÕÓÆÅÒÙ × Ezn−
1
1
1
1
1
1
384
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ É ÒÁÄÉÕÓÏÍ
v
u n
uX
t
i2
i=2
n · (n + 1) · (2n + 1)
− 1; x ∈ Szn− (0; r );
6
ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ
× ÒÁÚÄÅÌÅ ä.5.
îÁÍ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ, ËÁË ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÒÅÂÅÒ | ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÕÖÅ ××ÅÄÅÎÎÙÍÉ × ÅÒ×ÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ, É ÏÒÅÄÅÌÉÍ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
N × N → R ; (i; j ) = ij ; (i; i) = ∞;
ËÏÔÏÒÏÅ ËÁÖÄÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÅ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ, ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏÇÏ ÜÔÏÊ ÁÒÅ, ÒÅÂÒÁ.
÷ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÍ ÆÏÒÍÁÌÉÚÍÅ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− ÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ
r=
=
r
1
+
1
f (x) =
(1; x ) + (xn− ; 1) +
x=(
(
)
xi ; xi+1 ;
i=1
x1 ; : : : ; xn ∈ zn−1 ; n
1
1
nX
−2
f (x) → min;
ÒÉ
)
(2 ):
òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ÄÁÌÅÅ ÍÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÒÁÂÏÔÁÅÔ, ÈÏÔÑ É ÎÅ Ñ×ÎÏ,
ÉÍÅÎÎÏ Ó ÜÔÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ.
÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÂÝÅÊ ÉÄÅÅÊ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ×ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ
ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÏÌÖÎÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÄÅÌÑÔØÓÑ ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÅÌØÀ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ | ÜÔÏ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. ó ËÁÖÄÙÍ ÔÁËÉÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ
ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ Ó×ÑÚÁÎÁ Ï ÅÎËÁ (ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÒÉ ÏÉÓËÅ ÍÉÎÉÍÕÍÁ), ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÁÑ ÏÔÓÅÞÅÎÉÅ ÔÅÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ | ÜÔÏ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÎÉ . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ
Ë ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÀ ÄÒÅ×Ï×ÉÄÎÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ.
÷ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÔÁËÉÍ ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
×ÓÅÈ ÔÕÒÏ× ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, É ÍÙ ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÕÅÍ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÔÕÒÁ. éÚÌÁÇÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÉÄÅÉ Á×ÔÏÒÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ | ÜÔÏ Ó×ÏÅÇÏ
ÒÏÄÁ ËÌÁÓÓÉËÁ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . äÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÉÓÁÔØ Ä×Å ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ | ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ É ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÎÉ . îÁÞÎÅÍ
ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ Ó ÒÏ ÅÄÕÒÙ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ.
íÙ ÎÁÞÉÎÁÅÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ Ó ËÏÒÎÑ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ €×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÕÒÏׁ, Ô. Å. ÜÔÁ ×ÅÒÛÉÎÁ ÄÅÒÅ×Á
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ×ÓÅÈ (n − 1)! ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÕÒÏ× × ÚÁÄÁÞÅ Ó n ÇÏÒÏÄÁÍÉ. ÷ÅÔ×É, ×ÙÈÏÄÑÝÉÅ ÉÚ ËÏÒÎÑ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ×ÙÂÏÒÏÍ ÏÄÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ, ÓËÁÖÅÍ
ÒÅÂÒÁ (k; l). éÄÅÑ Á×ÔÏÒÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÔÅËÕÝÅÅ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ× ÎÁ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á: ÏÄÎÏ, ËÏÔÏÒÏÅ, ×ÅÓØÍÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÕÒ, É ÄÒÕÇÏÅ, ËÏÔÏÒÏÅ, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÜÔÏÇÏ ÔÕÒÁ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÅÂÒÏ (k; l) | ÏÎÏ, ËÁË ÍÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ×ÈÏÄÉÔ × ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÕÒ,
òÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ÉÄÅÊ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ
ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ.
385
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
É ÒÁÚÄÅÌÑÅÍ R ÎÁ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {k; l} É {k; l}. ÷Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {k; l} ×ÈÏÄÑÔ ×ÓÅ
ÔÕÒÙ ÉÚ R, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÒÅÂÒÏ (k; l), Ô. Å. ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÎÅÇÏ, Á ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
{k; l} | ÔÕÒÙ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÄÅÑ Á×ÔÏÒÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÞÅÎØ ÅÒÓÅËÔÉ×ÎÁ | ÅÓÌÉ ÍÙ ÔÁË ÏÒÇÁÎÉÚÕÅÍ ÒÏ ÅÓÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ÂÕÄÅÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ €ÒÁ×ÉÌØÎÏŁ
ÒÅÂÒÏ, ÔÏ ×ÅÓØ ÒÏ ÅÓÓ ÂÕÄÅÔ ÚÁ×ÅÒÛÅÎ ÚÁ n ÛÁÇÏ×.
ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÒÉÍÅÒÅ. ÷ ÔÁÂÌ. ä.6.4 ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ Ó ÑÔØÀ
ÇÏÒÏÄÁÍÉ.
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÅÔÅÎÄÅÎÔÏ× ÎÁ ÒÅÂÒÏ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÒÅÂÒÁ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÎÅÂÏÌØÛÉÅ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ ÎÁ ÒÅÂÒÅ
(3; 5), ÉÍÅÀÝÅÍ ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ×Ï ×ÓÅÊ ÍÁÔÒÉ Å. îÉÖÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÄÒÕÇÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. ëÏÒÅÎØ É ÅÒ×ÙÊ ÕÒÏ×ÅÎØ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ ÂÕÄÕÔ ÔÏÇÄÁ ÔÁËÉÍÉ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.15. úÁÍÅÔÉÍ,
ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÔÕÒ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÏÄÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÕÒÏ×ÎÑ 1. åÓÌÉ ÂÙ ÍÙ
ËÁË-ÔÏ ÍÏÇÌÉ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {3; 5} ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ
ÔÕÒÁ, ÔÏ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {3; 5} | × ÜÔÏÊ ÉÄÅÅ,
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, É ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ ÓÕÔØ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ .
ÁÂÌÉ Á ä.6.4. íÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ
1
2
3
4
5
∞
25
40
31
27
2
2
∞
17
30
25
3
19
15
∞
6
1
4
9
50
24
∞
6
5
22
8
7
10
∞
1
ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ, ÍÙ ÒÁÚÄÅÌÑÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {3; 5} ÔÁËÖÅ, ËÁË
É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R. óÌÅÄÕÀÝÅÅ Ï ÄÅÛÅ×ÉÚÎÅ ÒÅÂÒÏ × ÍÁÔÒÉ Å | ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (2; 1)
ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ 5. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {3; 5} ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÔÕÒÏ×, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÒÅÂÒÏ (2; 1), É ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ×, ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÜÔÏ
ÒÅÂÒÏ. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÏÉÓËÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.15.
òÉÓÕÎÏË ä.15.
æÒÁÇ-
47
ÍÅÎÔ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á
R-Âñå
òóðû
ÒÅÛÅÎÉÊ
Óðîâåíü 0
49
62
{3,5}
{3,5}
{2,1}
Óðîâåíü 1
{2,1}
Óðîâåíü 2
ðÕÔØ ÏÔ ËÏÒÎÑ Ë ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÄÅÒÅ×Á ×ÙÄÅÌÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÒÅÂÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ, ÉÌÉ ÎÅ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ×ËÌÀÞÅÎÙ ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ
386
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÌÅ×ÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÕÒÏ×ÎÑ 2 ÎÁ ÒÉÓ. ä.15 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÕÒÏ×, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÅÂÒÏ (3; 5) É ÎÅ ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÅÂÒÏ (2; 1). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏ ÅÄÕÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÉ ÔÅËÕÝÅÇÏ
ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÕÒÏ× ÎÁ Ä×Á ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÕÔÅÍ ×ÙÂÏÒÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÅÂÒÁ.
ÅÅÒØ ÒÁÓÓËÁÖÅÍ Ï ÉÄÅÅ Á×ÔÏÒÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, Ó×ÑÚÁÎÎÏÊ Ó ÒÏ ÅÄÕÒÏÊ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÇÒÁÎÉ . ó ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÄÅÒÅ×Á ÍÙ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÍ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ
ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÎÉÖÎÉÈ ÇÒÁÎÉ | ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÆÁËÔÏÒ, ÄÁÀÝÉÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ
ÅÒÅÂÏÒÁ × ÌÀÂÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÅÍ ÍÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . ïÞÅ×ÉÄÎÏ,
ÞÔÏ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÏÌÕÞÉÔØ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÙÅ ÎÉÖÎÉÅ ÇÒÁÎÉ Ù. ðÒÉÞÉÎÁ
ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ÏÌÎÙÊ ÔÕÒ ÓÏ
ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ Ct. åÓÌÉ ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á, Ó×ÑÚÁÎÎÁÑ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÔÕÒÏ×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ Ct, ÔÏ ÄÏ ËÏÎ Á
ÒÏ ÅÓÓÁ ÏÉÓËÁ ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÜÔÕ É ×ÓÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁ ÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, Ô. Ë. ÅÓÌÉ ÍÙ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ, ÔÏ ×ÓÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅÓÑ × ÜÔÏÊ
×ÅÒÛÉÎÅ ÔÕÒÙ ÉÍÅÀÔ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÂÏÌØÛÕÀ, ÞÅÍ ÕÖÅ ÎÁÊÄÅÎÎÙÊ ÔÕÒ.
ïÓÎÏ×ÎÏÊ ÛÁÇ ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÎÉÖÎÉÈ ÇÒÁÎÉ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ËÁË ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. üÔÁ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ Ä×ÕÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÈ:
1. ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ËÁÖÄÙÊ ÏÌÎÙÊ ÔÕÒ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÌØËÏ
ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ (ÒÅÂÒÏ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ) ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÔÏÌ Á
É ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ
×ÅÒÎÏ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÏÄÉÎ É ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ
ÓÔÒÏËÉ É ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÔÏÌ Á, ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÔÕÒ.
2. åÓÌÉ ×ÙÞÅÓÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ h ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÓÔÒÏËÉ ÉÌÉ ÓÔÏÌÂÁ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, ÔÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ÒÉ ÎÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Å ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÎÁ h ÍÅÎØÛÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÏÊ ÔÕÒ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÒÅÂÒÏ ÉÚ
ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÉÌÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÔÏÌ Á, ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÔÕÒÏ× ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ÎÁ
h. üÔÏ ×ÙÞÉÔÁÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÓÔÒÏËÉ (ÉÌÉ ÓÔÏÌ Á) ÍÁÔÒÉÙ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. ðÕÓÔØ t | ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÕÒ ÒÉ ÍÁÔÒÉ Å ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ C .
óÔÏÉÍÏÓÔØ ÔÕÒÁ t ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ËÁË z(t) = P ij .
i;j )∈t
(
åÓÌÉ ÍÁÔÒÉ Á C ′ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ù C ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÓÔÒÏËÉ (ÉÌÉ ÓÔÏÌÂÁ), ÔÏ ÔÕÒ t ÄÏÌÖÅÎ ÏÓÔÁ×ÁÔØÓÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÍ ÔÕÒÏÍ É × ÍÁÔÒÉ Å C ′, ÒÉ ÜÔÏÍ
ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÔÕÒÏ× Ó×ÑÚÁÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
z (t) = h + z ′ (t);
ÇÄÅ z′(t) | ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÔÕÒÁ t × ÍÁÔÒÉ Å C ′.
ðÏÄ ÒÏ ÅÄÕÒÏÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ×ÓÅÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: ÍÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÈÏÄÉÍ ÓÔÒÏËÉ É ×ÙÞÉÔÁÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ
ÜÌÅÍÅÎÔÁ hi ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÜÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ. úÁÔÅÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÔÏÌ Á. åÓÌÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÏÌ Á
ÉÌÉ ÓÔÒÏËÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ hi = 0, ÔÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÉÌÉ ÓÔÒÏËÁ ÕÖÅ ÒÉ×Å-
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
387
ÄÅÎÙ, É ÍÙ ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÓÔÏÌÂ Õ ÉÌÉ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ:
X
hi :
h=
×ÓÅ ÓÔÒÏËÉ
É ÓÔÏÌÂ Ù
ðÏÌÕÞÅÎÎÕÀ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÉÚ C .
÷ ÔÁÂÌ. ä.6.5 ÏËÁÚÁÎÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. úÎÁÞÅÎÉÑ hi
ÄÁÎÙ × ËÏÎ Å ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌ Á (ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌ ٠ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ).
ïÂÝÅÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ h = 25 + 5 + 1 + 6 + 7 + 3 = 47, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á R ÒÁ×ÎÁ 47, Ô. Å.
z (t) = h + z ′ (t) > h = 47;
ÔÁË ËÁË z′(t) > 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ t ÒÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å C ′. üÔÁ ÇÒÁÎÉ Á É
ÕËÁÚÁÎÁ ÏËÏÌÏ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á ÎÁ ÒÉÓ. ä.15. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÅÂÒÁ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÎÕÌÅ×ÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ × ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÔÕÒ, ÔÏ ÍÙ ÓÒÁÚÕ ÏÌÕÞÉÌÉ
ÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ (Ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÜÔÏ ÏÞÔÉ ÞÔÏ ×ÓÅÇÄÁ ÎÅ ÔÁË).
óÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÏÒÏÓ | ÜÔÏ ×ÏÒÏÓ Ï ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÒÎÅ×ÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ. á×ÔÏÒÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÓÔÒÏÑÔ ÜÔÉ Ï ÅÎËÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
ÁÂÌÉ Á ä.6.5. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ
1
2
3
4
5
1
∞
25
40
31
27
h1
= 25
2
2
∞
17
30
25
h2
=5
3
19
15
∞
6
1
h3
=1
4
9
50
24
∞
6
h4
=6
5
22
8
7
10
∞
h5
=7
h6
=0
h7
=0
h8
=0
h9
=3
h10
=0
ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÒÅÂÒÏ (3; 5) ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ËÁÖÄÏÍ ÔÕÒÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5}.
üÔÏÔ ÆÁËÔ ÒÅÑÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÙÂÏÒÕ ÒÅÂÒÁ (5; 3), ÔÁË ËÁË ÒÅÂÒÁ (3; 5) É (5; 3) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÉËÌ, Á ÜÔÏ ÎÅ ÄÏÕÓËÁÅÔÓÑ ÎÉ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ ÔÕÒÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÅÂÒÏ (5; 3) ÉÓËÌÀÞÁÅÍ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ, ÏÌÏÖÉ× ÚÎÁÞÅÎÉÅ = ∞. óÔÒÏËÕ 3 É ÓÔÏÌÂÅ 5
ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ÉÚ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÔÕÒÏ× {3; 5}, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÕÖÅ ÅÓÔØ ÒÅÂÒÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ 3 × ×ÅÒÛÉÎÕ 5.
þÁÓÔØ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, ÉÚ ÔÁÂÌ. ä.6.5, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÕÄÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÏÉÓËÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÔÕÒÏ× {3; 5}, ÏËÁÚÁÎÁ × ÔÁÂÌ. ä.6.6.
ïÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ Ë ÍÁÔÒÉ Å ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, ÏËÁÚÁÎÎÏÊ × ÔÁÂÌ. ä.6.7 ÓÏ
ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ h = 15. ÅÅÒØ ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5}
ÒÁ×ÎÁ 47+15=62, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÏ ÏËÏÌÏ ×ÅÒÛÉÎÙ {3; 5} ÎÁ ÒÉÓ. ä.15.
53
388
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÁÂÌÉ Á ä.6.6.
ÁÂÌÉ Á ä.6.7.
íÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ
ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ
ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
{3; 5}
ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
1
2
3
4
1
∞
0
15
3
2
0
∞
12
22
4
3
44
18
∞
5
5
1
∞
0
1
2
3
{3; 5}
4
1
∞
0
3
3
0
2
0
∞
0
22
0
4
0
41
3
∞
h3
5
15
1
∞
0
0
0
h = 12
=3
0
0
îÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ.
òÅÂÒÏ (3; 5) ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, ÏÜÔÏÍÕ ÏÌÁÇÁÅÍ = ∞
× ÍÁÔÒÉ Å, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ × ÔÁÂÌ. ä.6.5. ÷ ÌÀÂÏÊ ÔÕÒ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÂÕÄÅÔ
×ÈÏÄÉÔØ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÒÅÂÒÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ 3 É ËÁËÏÅ-ÔÏ ÒÅÂÒÏ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ 5. óÁÍÏÅ
ÄÅÛÅ×ÏÅ ÒÅÂÒÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ 3, ÉÓËÌÀÞÁÑ ÓÔÁÒÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (3; 5), ÉÍÅÅÔ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ 2,
Á ÓÁÍÏÅ ÄÅÛÅ×ÏÅ ÒÅÂÒÏ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ 5 ÉÍÅÅÔ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÉÖÎÑÑ
ÇÒÁÎÉ Á ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {3; 5} ÒÁ×ÎÁ 47 + 2 + 0 = 49 (ÒÉÓ. ä.15).
ðÒÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÎÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÓÏËÒÁÔÉÔØ ÅÅ ÒÁÚÍÅÒ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ, ËÁÖÄÙÊ
ÒÁÚ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á { k; l }, ÔÁË ÞÔÏ ÍÙ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÏËÒÁÝÁÅÍ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÔÒÁÔÙ. åÝÅ ÏÄÉÎ ×Ù×ÏÄ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ
ÔÕÒ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ, ÍÅÎØÛÅÊ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏÊ 62, ÔÏ ÔÏÇÄÁ ÍÙ
ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ {3; 5}, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÍ
ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ {3; 5} × ÄÅÒÅ×Å ÏÔÒÁÂÏÔÁÎÁ. ÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÅÌØÀ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ {3; 5} × ÎÁÄÅÖÄÅ ÎÁÊÔÉ ÔÕÒ ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ ×
ÒÅÄÅÌÁÈ 49 6 Ct 6 62.
ÅÅÒØ,
ËÏÇÄÁ ÑÓÎÏ, ËÁË × ÏÂÝÉÈ ÞÅÒÔÁÈ, ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ É ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ
ÇÒÁÎÉ , ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÈÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ
(í÷ç) ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÒÉÎÑÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ.
ðÕÓÔØ X | ÔÅËÕÝÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, Á (k; l) | ÒÅÂÒÏ Ï ËÏÔÏÒÏÍÕ
ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁ X ,
ÞÅÒÅÚ Y É Y . íÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ÅÓÔØ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ× ÉÚ X , ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ
ÒÅÂÒÏ (k; l), Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ× ÉÚ X , ÎÅ ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ
ÒÅÂÒÏ (k; l). ÷ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÎÉÖÎÉÅ ÇÒÁÎÉ Ù ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× Y É Y ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ w(Y ) É w(Y ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. óÁÍÙÊ ÄÅÛÅ×ÙÊ ÔÕÒ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ×
ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ z , ÒÉÞÅÍ × ÍÏÍÅÎÔ ÉÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÉ z = ∞.
35
áÌÇÏÒÉÔÍ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ
Pro edure
Input
Begin
1.
2.
3.
While (w(X ) < z0)
ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ.
0
0
áÌÇÏÒÉÔÍ í÷ç ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ
÷×ÏÄ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ É ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ
éÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑ
ðÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ
C
õÓÔÁÎÏ×ËÁ ËÏÒÎÑ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ
X=R
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
begin
4.
(k; l)
5.
w(Y)
6.
w(Y )
if
then
begin
7.
if (w(Y ) < z0)
then
begin
z 0 = w(Y )
end (if (w(Y ) < z0)
end
8.
X
9.
end
w(X ) < z 0
÷ÙÂÏÒ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ
ðÒÏ ÅÓÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. óÏÚÄÁÎÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ
É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ
.
ðÒÏ ÅÓÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. óÏÚÄÁÎÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ
É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ
389
Y
Y
.
(ÒÁÚÍÅÒ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ × ×ÅÒÛÉÎÅ
Y
= 2)
ðÒÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÝÅÊ Ï ÅÎËÉ ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎÙ
Y
(ÚÁÏÍÉÎÁÅÍ ÔÕÒ)
(if)
÷ÙÂÏÒ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á
ÒÅÛÅÎÉÊ, É ÕÓÔÁÎÏ×ËÁ
÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÌÉ ÞÔÅÎÉÅ ÆÒÁÇÍÅÎÔÁ ÍÁÔÒÉ Ù
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ
(while
)
ïÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ
End
X
C,
z 0 ÎÁÊÄÅÎÏ
÷ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÕËÒÕÎÅÎÎÏÊ
ÓÈÅÍÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÓÔÁÌÉÓØ ÎÅÒÁÓËÒÙÔÙÍÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÁÖÎÙÅ ÄÅÔÁÌÉ,
ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÂÓÕÄÉÔØ.
üÔÁ 1. õÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÉÌÉ ÉÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑ,
ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÔÒÕÄÁ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÁ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ | ÜÔÏ ×ÙÂÏÒ
ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÈÒÁÎÅÎÉÑ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ | ÉÍÅÊÔÅ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ. üÔÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ
ÓÏÓÏÂÁ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÁÍÑÔÉ ÏÄ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÅÒÅ×Á.
üÔÁ 2. ðÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ | ÜÔÏ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÒÁÎÅÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ; ÄÅÔÁÌÉ ÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å
ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ.
üÔÁ 3. éÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑ ËÏÒÎÑ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. ïÓÎÏ×ÎÏÊ ×ÏÒÏÓ × ÔÏÍ,
ÂÕÄÅÔ ÌÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÄÅÒÅ×Á ÈÒÁÎÉÔØÓÑ É ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÅ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÔÅËÕÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÁ
ÏÓÎÏ×Å ÉÓÈÏÄÎÏÊ. üÔÏ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ×ÙÂÏÒ ÍÅÖÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÅÌØÎÏÓÔØÀ É ÔÒÅÂÕÅÍÙÍ ÏÂßÅÍÏÍ ÁÍÑÔÉ.
üÔÁ 4. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÏÂÓÕÖÄÁÌÉ, ×ÙÂÏÒ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ (k; l)
ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y É Y , ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁ ÔÅËÕÝÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÛÅÎÉÊ X . òÅÂÒÏ (k; l) ÄÌÑ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ, ÎÕÖÎÏ
×ÙÂÉÒÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ ÂÏÌØÛÕÀ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Y , ÞÔÏ ÏÂÌÅÇÞÉÔ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÅ Ï ÅÎËÉ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y . ÁËÉÍ
ïÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÜÔÁÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ.
390
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÙÔÁÅÍÓÑ ÚÁÓÔÁ×ÉÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y , ÙÔÁÑÓØ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ×ÓÅÇÏ ÚÁ n ÛÁÇÏ×. ëÁË ÒÉÍÅÎÉÔØ ÜÔÉ ÉÄÅÉ Ë
×ÙÂÏÒÕ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ (k; l)? ÷ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ
C ′ , Ó×ÑÚÁÎÎÏÊ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ X , ËÁÖÄÁÑ ÓÔÒÏËÁ É ÓÔÏÌÂÅ ÉÍÅÀÔ ÈÏÔÑ ÂÙ Ï ÏÄÎÏÍÕ
ÎÕÌÅ×ÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ (ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË, ÔÏ ÍÁÔÒÉ Á C ′ ÎÅ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ).
íÏÖÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÒÅÂÒÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÔÉÍ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÓÔÏÉÍÏÓÔÑÍ,
ÂÕÄÕÔ Ó ÂÏÌØÛÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ×ÈÏÄÉÔØ × ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÕÒ, ÞÅÍ ÒÅÂÒÁ Ó ÂÏÌØÛÉÍÉ ÓÔÏÉÍÏÓÔÑÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÍÙ ×ÙÂÅÒÅÍ ÏÄÎÏ ÉÚ
ÎÉÈ, ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÈÏÔÉÍ, ÞÔÏÂÙ Õ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y = {k; l} ÂÙÌÁ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌØÛÁÑ
ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á. ðÕÓÔØ ÒÅÂÒÏ (k; l) ÉÍÅÅÔ kl = 0, É ÏÂÒÁÝÁÑÓØ Ë ÒÏ ÅÄÕÒÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ Ù, ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y ÜÔÁ ÇÒÁÎÉ Á ÚÁÄÁÅÔÓÑ
× ×ÉÄÅ
w(Y ) = w(X ) + min il + min kj :
j; j 6 l
i; i6 k
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÅÂÅÒ (k; l), Õ ËÏÔÏÒÙÈ kl = 0 × ÔÅËÕÝÅÊ ÍÁÔÒÉ Å
C ′ ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÁÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ Ù |
w(Y ). âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÎÁ ÜÔÁÅ 4 ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
=
Pro edure
Begin
(
S
=
÷ÙÂÏÒ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ
(i; j )
ðÕÓÔØ
| ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ
, ÔÁËÉÈ,
ÞÔÏ
× ÔÅËÕÝÅÊ ÍÁÔÒÉ Å ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ .
ðÏÌÏÖÉÍ ij
ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ × ÓÔÒÏËÅ , ÉÓËÌÀÞÁÑ
Ó[i; j ℄ = 0
D = min (
ó
Ó[i; j ℄)
+
min (ÓÔÏÉÍÏÓÔØ × ÓÔÏÌÂ Å j , ÉÓËÌÀÞÁÑ Ó[i; j ℄)
)
1. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ Dij ÄÌÑ ×ÓÅÈ (i; j ) ∈ S
2. ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÅÂÒÏ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ (k; l) ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ
Dkl = max(Dij ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ (i; j ) ∈ S
i
End
üÔÁ 5. îÁ ÜÔÏÍ ÜÔÁÅ ÍÙ ÒÅÁÌÉÚÕÅÍ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ, É ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍ × ÏÉÓËÏ×ÏÅ
ÄÅÒÅ×Ï ×ÅÒÛÉÎÕ Y , ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÚÁ X . ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
Y ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
w(Y ) = w(X ) + Dkl ;
ÇÄÅ Dkl ÕÖÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÏ ÎÁ ÜÔÁÅ 4.
üÔÁ 6. ÷ÅÒÛÉÎÅ Y , ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÚÁ X , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ×
ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÔÏ ÒÅÂÒÏ (k; l), ËÏÔÏÒÏÅ ×ÙÂÒÁÎÏ ÎÁ ÜÔÁÅ 4. ðÒÉ
ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÅ Y ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ
ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÔÕÒÁ, É ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ
ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÉÍ ÉËÌÁÍ, ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÚÁÒÅÝÅÎÙ. äÅÔÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ.
Pro edure
begin
1.
æÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎÙ
C
éÚ ÍÁÔÒÉ Ù
ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎÙ
ÓÔÒÏËÕ
É ÓÔÏÌÂÅ
.
k
l
X
ÉÓËÌÀÞÁÅÍ
Y
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
391
if
(k; l)
X
then
begin
2.
p
q
3. ó [p; q℄ = ∞
end
4.
h=
5.
w(Y ) = w(X ) + h
end
üÔÁ 7. ÷ ËÏÎ Å ËÏÎ Ï×, ÒÏ ÅÓÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ,
(ÒÅÂÒÏ
ÎÅ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÏ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÒÅÂÅÒ, ×ËÌÀÞÅÎÎÙÈ
× ÔÕÒ Ï ÕÔÉ ÏÔ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ
)
îÁÈÏÄÉÍ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ |
É ËÏÎÅÞÎÙÊ |
ÇÏÒÏÄ ÕÔÉ
÷ÙÏÌÎÑÅÍ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù
ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ.
ÓÕÍÍÁ ËÏÎÓÔÁÎÔ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ.
÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ
ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍ ÔÁË ÍÁÌÏ ÔÕÒÏ×, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ É ÒÏ×ÅÓÔÉ
Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÂÅÚ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. ëÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ, ÒÏ ËÏÔÏÒÏÅ
ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÕÒÁÈ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y , ÓÏËÒÁÝÁÅÔ ÒÁÚÍÅÒ
ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÎÁ ÏÄÎÕ ÓÔÒÏËÕ É ÏÄÉÎ ÓÔÏÌÂÅ . åÓÌÉ × ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ
ÂÙÌÏ n ÇÏÒÏÄÏ×, Á ÔÅËÕÝÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒ 2 × 2, ÔÏ ÕÖÅ n − 2 ÒÅÂÅÒ
ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÔÕÒÅ ÉÚ Y , ÏÜÔÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÁÍÏÅ ÂÏÌØÛÅÅ Ä×Á
ÔÕÒÁ, É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÝÕÀ Ï ÅÎËÕ, É ÏÌÕÞÉÔØ ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ
ÔÕÒ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. ÷ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÉÈ ÒÁÓÏÚÎÁÔØ, ÍÙ ÏÓÔÁ×ÉÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å
ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ.
üÔÁ 8. ÅÅÒØ ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ X , ÏÔ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÏÄÉÔØ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ. üÔÏÔ ×ÙÂÏÒ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÅÎ. íÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÕ
×ÅÒÛÉÎÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ, É ÉÚ
ËÏÔÏÒÏÊ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÎÅ ×ÙÈÏÄÑÔ ×ÅÔ×É, Ô. Å.| ÜÔÏ ÌÉÓÔ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á
ÒÅÛÅÎÉÊ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ.
üÔÁ 9. ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ×ÙÂÒÁÌÉ ÎÏ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á X × ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÅËÕÝÅÊ, ÔÏ ÎÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ ÎÁ ÜÔÏÍ ÜÔÁÅ | ÏÌÕÞÉÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ
×ÅÒÛÉÎÅ X ÍÁÔÒÉ Õ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. åÓÌÉ ÍÙ ÈÒÁÎÉÍ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ×ÍÅÓÔÅ
Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÔÏ ÍÁÔÒÉ Á ÕÖÅ ÅÓÔØ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÍ
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ ÕÔØ ÏÔ ËÏÒÎÑ ÄÏ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ËÏÒÒÅËÔÉÒÏ×ÁÔØ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ.
÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÜÔÁÏ× ÒÉ×ÅÄÅÍ (ÒÉÓ. ä.16) ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÌÑ
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×.
ëÁËÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× × ÓÍÙÓÌÅ
×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÖÉÄÁÔØ? ïÂÏ ×ÓÅÈ ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÈ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÈ ÍÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÉÌÉ ÉÍÅÀÔÓÑ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÉÈ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ × ÈÕÄÛÅÍ
ÓÌÕÞÁÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ. ÷ ÌÕÞÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÅÓÌÉ ÍÙ ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÓÏËÒÁÝÁÅÍ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, ÔÏ Ï ÅÎËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ. üÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ô. Ë. Ï ÅÎËÁ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ
ÜÔÁÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ | ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÒÁÚÍÅÒÕ (n) ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, É × ÌÕÞÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ n ÒÁÚ | ÍÙ
ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ × ÔÕÒ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÒÅÂÅÒ. ÁïÂÓÕÖÄÅÎÉÅ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÕÌÕÞÛÅÎÉÑ.
392
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÏÊ ÒÁÚÂÒÏÓ ÏÖÉÄÁÅÍÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ
ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ n, ÚÁ×ÉÓÑÝÉÊ ÏÔ ÞÉÓÌÅÎÎÙÈ
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. íÙ ÉÍÅÅÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÅÎÎÏ-ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ Ó
ÓÉÌØÎÏÊ ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØÀ. ÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ ÏÖÉÄÁÅÍÏÊ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÅÎ É ÞÁÓÔÏ ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÎÁÛÉÈ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ.
R 47
âñå
òóðû
{2,1}
62
74
{4,1}
50
{2,1}
62
{4,1}
68
53
{4,5}
{4,5}
65
{1,4}
64
{1,4}
òÉÓÕÎÏË ä.16. äÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ
ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ
ÄÌÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÉÚ ÔÁÂÌ. ä.6.4
îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÅÓÓÉÍÉÚÍ × ÔÅÏÒÉÉ, ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ
ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÓÒÁ×ÌÑÅÔÓÑ, × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ×, Ó ÚÁÄÁÞÁÍÉ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÏÒÑÄËÁ 50 ÚÁ ÒÅÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ïÓÏÂÏ ÏÄÞÅÒËÎÅÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏ ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ËÌÁÓÓÕ NPC.
íÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÒÑÄ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÕÌÕÞÛÅÎÉÊ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÏÓÔÙÈ (ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ) ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÔÕÒÁ Ó ÅÌØÀ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÖÅ ÎÁ ÒÁÎÎÉÈ ÛÁÇÁÈ
×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ.
îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.6
ë ××ÅÄÅÎÉÀ.
ä.6.1. ðÏÒÏÂÕÊÔÅ ÎÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÕÍÍÅ × 22 ÆÌÏÒÉÎÁ, ÎÁÏ-
ÍÎÉÍ, ÞÔÏ Õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ ÍÏÎÅÔÙ ÎÏÍÉÎÁÌÏÍ 2, 3, 5, 6 É 7 ÆÌÏÒÉÎÏ×. ëÁËÏÊ
Õ ÷ÁÓ ÏÌÕÞÉÌÓÑ ÏÔ×ÅÔ, É ÓËÏÌØËÏ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÓÕÍÍÙ ÷Ù ÅÒÅÂÒÁÌÉ?
ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ
ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ä.6.2. éÚ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ | V É ÏÂßÅÍÙ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× | vi. ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ, ËÁË
393
ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ
ÍÏÖÎÏ ÔÏÞÎÅÅ, ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÅÒÅÂÏÒÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ
ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÏÍ, É ÎÁÊÔÉ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ.
ä.6.3. åÓÌÉ ÷Ù ÏÂÒÁÔÉÌÉ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÔÏ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÓÔÒÏËÁ ÔÁÂÌ. ä.6.2, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÁÑ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ, ÚÁÏÌÎÅÎÁ ÚÎÁËÁÍÉ ×ÏÒÏÓÁ |
ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÉÍÅÀÝÅÊÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÕÁËÏ×ËÉ ×ÓÅÈ ÄÉÓËÒÅÔÏ×
ÏÂßÅÍÁ ÇÒÕÚÁÍÉ ÅÒ×ÏÇÏ, É ×ÔÏÒÏÇÏ ÔÉÁ ÎÁÊÄÉÔÅ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÌÌÍÁÎÁ, ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÂßÅÍÁ 10 É
ÔÒÅÈ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×.
ä.6.4. ëÁË ÂÕÄÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÆÒÁÇÍÅÎÔ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ, ÅÓÌÉ × ÓÒÅÄÎÅÍ
ÇÒÕÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÉÁ ÒÁÚÍÅÝÁÅÔÓÑ × ÏÂßÅÍÅ ÕÁËÏ×ËÉ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÔÒÅÈ
ÒÁÚ | k = 3. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÒÏ×ÎÅÊ ÜÔÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ
ÒÉÓ. ä.13.
ä.6.5. éÓÏÌØÚÕÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ, ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (14) É ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.11. ïÂßÅÍÙ É ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×
ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌÉ Å.
3
i
vi
i
1
3
5
2
4
6
3
5
7
ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ
ä.6.6. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÌÑ ÔÕÒÁ × ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁ-
ÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ,
ËÁË ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn −n. òÅÂÒÁ, ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ ×ÅËÔÏÒÁ xi = 1,
ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÔÕÒ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ
ÏÉÓÁÎÉÅÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n ÞÉÓÅÌ, É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ, ××ÅÄÅÎÎÙÍÉ × ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ.
ä.6.7. ÷ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn −n ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ M | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÜÔÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, Õ
ËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÌØËÏ n ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÁ×ÎÙ ÅÄÉÎÉ Å, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÎÕÌÅ×ÙÅ |
ÉÍÅÎÎÏ ÏÎÉ É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÌÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÒÅÂÏÒÁ × ÜÔÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ
M = Cnn −n ;
ÜÔÏ ÅÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÔØ n ÅÄÉÎÉ Ï n − n ÏÚÉÉÑÍ.
ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ Ï ÅÎÉÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (n − 1)!=M | ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÏ×Á ÄÏÌÑ
€ÎÁÓÔÏÑÝÉȁ ÔÕÒÏ× × ÏÂÝÅÍ ÏÂßÅÍÅ ÅÒÅÂÏÒÁ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ Ï ÅÎËÉ ÆÁËÔÏÒÉÁÌÁ ÉÚ ÒÁÚÄÅÌÁ 1, É Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ:
ln(1 − x) ≈ −x, 0 6 x ≪ 1.
ä.6.8. ï ÅÎÉÔÅ, ÓËÏÌØËÏ ÔÕÒÏ× ×ÈÏÄÉÔ × ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {k; l} ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ
×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ Ó n ÇÏÒÏÄÁÍÉ?
2
2
2
2
394
äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ
ä.6.9. ðÒÅÄÌÏÖÉÔÅ ÄÒÕÇÉÅ ÉÄÅÉ Ï ×ÙÂÏÒÕ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÍÅ-
ÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. ëÁË ×Ù ÄÕÍÁÅÔÅ,
ÍÏÖÅÔ ÌÉ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÜÔÁÁ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÚÁ ÓÞÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ
ÂÏÌØÛÅÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÒÅÂÅÒ, ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÓÏËÒÁÝÅÎÉÀ ÏÂÝÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÅÛÅÎÉÑ? îÁ ÎÁÛ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁÉÌÕÞÛÉÍ ÏÔ×ÅÔÏÍ ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÅ
×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÏ×.
ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ
[1℄ Garnier, R. and Taylor, J. (1992) Dis rete Mathemati s for New Te hnology ,
Bristol: Institute of Physi s Publishing.
[2℄ Gersting, J. L. (1999) Mathemati al Stru tures for Computer S ien e , 4th edn,
San Fran is o: W. H. Freeman.
[3℄ Johnsonbaugh, R. (2001) Dis rete Mathemati s , 5th edn, New Jersey: Prenti e
Hall.
[4℄ Rosen, K. H. (1998) Dis rete Mathemati s and Its Appli ations , New York:
M Graw-Hill.
[5℄ Ross, K.A. and Wright, C.R. B. (1999) Dis rete Mathemati s , 4th edn, New
Jersey: Prenti e Hall.
[6℄ Truss, J. K. (1999) Dis rete Mathemati s for Computer S ientists , 2nd edn,
Harlow: Addison-Wesley.
[7℄ Little R. D. C., Murty K. G., Sweeney D. W., Karel C. An Algorithm for the
Traveling Salesman Problem . Oper. Res., 11: 979{989 (1963) (IM).
[8℄ áÎÄÅÒÓÏÎ äÖ. äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ : ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ.
í.: éÚÄÁÔÅÌØËÉÊ ÄÏÍ €÷ÉÌØÑÍӁ. 2003.
[9℄ áÎÄÒÅÅ×Á ë.ç., îÉËÉÔÏ× ó.á. ïÔÉÍÉÚÁ ÉÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÙÒØÑ × ÚÁÄÁÞÅ
ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓËÒÏÑ // éÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÅ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÉ. 2003. ‚ 11. Ó. 24 { 29.
[10℄ áÈÏ á., èÏËÒÏÆÔ äÖ., õÌØÍÁÎ äÖ. óÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÁÎÎÙÈ É ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ : ðÅÒ.
Ó ÁÎÇÌ.: | í.: éÚÄÁÔÅÌØÓËÉÊ ÄÏÍ €÷ÉÌØÑÍӁ, 2001 Ç.
[11℄ âÅÌÌÍÁÎ ò., äÒÅÊÆÕÓ ò. ðÒÉËÌÁÄÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ : ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. í.: îÁÕËÁ, çÌÁ×ÎÁÑ ÒÅÄÁË ÉÑ ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ
ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ, 1965.
[12℄ âÏÎÄÁÒÅÎËÏ ÷. á. ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ
(http://edu.yar.ru/russian/pedbank/sor-pro/bondarenko).
[13℄ âÏÎÄÁÒÅÎËÏ ÷. á. ðÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÙÅ ÇÒÁÆÙ É ÓÌÏÖÎÏÓÔØ × ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ
ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ . ñÒÏÓÌÁ×ÌØ: ñÒÏÓÌÁ×ÓËÉÊ ÇÏÓÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ, 1995.
[14℄ ÷ÁÌÅÅ×Á á.æ., çÁÒÅÅ× é.æ., íÕÈÁÞÅ×Á ü.á. úÁÄÁÞÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ:
ÒÁÎÄÏÍÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÍÅÔÏÄ ÅÒÅÂÏÒÁ Ó
ÕÓÅÞÅÎÉÅÍ // éÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÅ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÉ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. 2003. ‚ 2. 24 Ó.
[15℄ çÒÉÎ ä., ëÎÕÔ ä. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÁÎÁÌÉÚÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× . í.: íÉÒ,
1987. | 120 Ó.
[16℄ çÒÜÈÅÍ ò., ëÎÕÔ ä., ðÁÔÁÛÎÉË ï. ëÏÎËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. ïÓÎÏ×ÁÎÉÅ
ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ : ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. í.: íÉÒ, 1998.
[17℄ çÕÄÍÁÎ ó., èÉÄÅÔÎÉÅÍÉ ó. ÷ÅÄÅÎÉÅ × ÒÁÚÒÁÂÏÔËÕ É ÁÎÁÌÉÚ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× .
í.: íÉÒ, 1981.
396
ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ
[18℄ éÌØÉÎ ÷. á., óÁÄÏ×ÎÉÞÉÊ ÷. á., óÅÎÄÏ× âÌ. è. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ .
í.: îÁÕËÁ. çÌÁ×ÎÁÑ ÒÅÄÁË ÉÑ ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ, 1979.
[19℄ ëÎÕÔ ä. éÓËÕÓÓÔ×Ï ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ . ÏÍÁ 1, 2, 3. 3-Å ÉÚÄ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ.:
õÞ. ÏÓ. í.: éÚÄ. ÄÏÍ €÷ÉÌØÑÍӁ, 2001 Ç.
[20℄ ëÏÒÍÅÎ ., ìÅÊÚÅÒÓÏÎ þ., òÉ×ÅÓÔ ò. áÌÇÏÒÉÔÍÙ: ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ É ÁÎÁÌÉÚ. í.:
íãîíï, 2001 Ç.
[21℄ íÁËËÏÎÅÌÌ äÖ. áÎÁÌÉÚ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ÷×ÏÄÎÙÊ ËÕÒÓ . í.: òéã ÅÈÎÏÓÆÅÒÁ,
2002.
[22℄ íÁËËÏÎÅÌÌ äÖ. ïÓÎÏ×Ù ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. 2-Å ÄÏÏÌÎÅÎÎÏÅ ÉÚÄÁÎÉÅ .
í.: ÅÈÎÏÓÆÅÒÁ, 2004.
[23℄ îÅÆÅÄÏ× ÷.î., ïÓÉÏ×Á ÷. á. ëÕÒÓ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ . í.: íáé,
1992.
[24℄ îÏ×ÉËÏ× æ. á. äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ× . óðÂ.: ðÉÔÅÒ,
2001.
[25℄ õÌØÑÎÏ× í. ÷., çÕÒÉÎ æ. å., éÓÁËÏ× á. C., âÕÄÁÒÁÇÉÎ ÷. å. óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÙÊ
ÁÎÁÌÉÚ ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ É ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ
ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ // Exponenta Pro íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ. 2004.
‚ 2(6). ó. 64{70.
[26℄ ûÅ×ÞÅÎËÏ ÷. î. ëÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ,
í.: æÉÚÍÁÔÌÉÔ, 1995.
[27℄ àÄÉÎ ä.â., çÏÒÑÛËÏ á.ð., îÅÍÉÒÏ×ÓËÉÊ á.ó. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ
ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ ÕÓÔÒÏÊÓÔ× É ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× áóõ . í.: òÁÄÉÏ É Ó×ÑÚØ, 1982.
[28℄ ñÂÌÏÎÓËÉÊ ó. ÷. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÄÉÓËÒÅÔÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ . í.: îÁÕËÁ, 1986.
ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ
ÁÌÇÏÒÉÔÍ , 12
äÅÊËÓÔÒÙ, 181
×ÓÔÁ×ËÉ, 167
ÏÉÓËÁ, 167
ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏÂÈÏÄÁ, 169
ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ
ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ, 174
ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔ, 172
Á ÉËÌÉÞÎÙÊ, 146
ÂÉÅË ÉÑ, 99
ÂÉÔÏ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ, 57
ÂÌÏËÉ, 77
ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ, 197
ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, 195
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 93
ÂÕÌÅ×Ù ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ, 196
ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, 195
×ÅÒÛÉÎÁ, 171
×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ, 156
ÇÒÁÆÁ, 142
×ÅÒÛÉÎÙ ÓÍÅÖÎÙÅ, 143
×ÅÓ ÒÅÂÒÁ, 150
×ÙÂÏÒ, 87
×ÙÂÏÒËÁ, 120
ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ, 120
ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ, 120
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ
ËÏÎÔÒÁÏÚÉÔÉ×ÎÏÅ, 27
ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ, 27
ÕÓÌÏ×ÎÏÅ, 26
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ, 26
ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ, 24
ÇÌÕÂÉÎÁ ×ÅÒÛÉÎÙ, 162
ÇÒÁÆÁ, 162
ÇÒÁÆ 12, 142
Á ÉËÌÉÞÎÙÊ, 146
ÇÒÁÆ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×, 148
ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ, 150, 181
ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ, 70
ÏÌÎÙÊ, 148
ÒÏÓÔÏÊ, 143
Ó×ÑÚÎÙÊ, 146
ÜÊÌÅÒÏ×, 142
ÇÒÁÆÉË, 98
Ä×ÏÉÞÎÙÊ ÏÉÓË, 136
ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÌÏÓËÏÓÔØ, 56
ÄÅËÁÒÔÏ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 55
ÄÅÒÅ×Ï, 152
Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ, 165
Ä×ÏÉÞÎÏÅ, 157
ÏÌÎÏÅ, 163
Ó ËÏÒÎÅÍ, 155
ÎÕÌÅ×ÏÅ, 157
ÏÓÔÏ×ÎÏÅ, 153
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ, 154
ÄÅÒÅ×ØÑ ÂÉÎÁÒÎÙÅ, 157
ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ, 80
ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ
ÆÏÒÍÁ, 198
ÄÉÚßÀÎË ÉÑ, 25, 194
ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÁÑ
ÍÁÒÛÒÕÔÉÚÁ ÉÑ, 190
ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ, 48
ÄÕÇÁ, 171
ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, 149
ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ, 153
ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ, 27
ÚÁËÏÎ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ, 52
ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, 75
398
ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ, 97
ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏÅ ÒÅÂÒÏ, 143
ÉÎßÅË ÉÑ, 99
ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, 78
ËÌÀÞ, 166
×ÓÔÁ×ËÉ, 167
ÏÉÓËÁ, 167
ËÏÎÔÕÒ, 172
ËÏÎßÀÎË ÉÑ, 25, 194
ËÏÒÅÎØ ÄÅÒÅ×Á, 155
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ
ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ, 128
ÍÕÌØÔÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ, 130
ÌÅÓ, 161
ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, 81
ÌÉÓÔØÑ ÄÅÒÅ×Á, 156
ÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 93
ÓÌÏÖÅÎÉÅ, 25
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ, 25
ÍÁÒÛÒÕÔ, 144
ÍÁÔÒÉ Á, 71
×ÅÓÏ×ÁÑ, 182
ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ, 176
ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, 143
ÍÉÎÔÅÒÍ, 197
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, 44
ÚÎÁÞÅÎÉÊ, 97
ÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÅ, 61
ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ, 48
ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ, 80
ÍÏÝÎÏÓÔØ, 54
ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ
ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË, 80
ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, 97
ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, 97
ÏÂÒÁÚ, 97
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ, 47
ÏÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ, 15
ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ, 15
ÉËÌÁ, 17
ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ, 15
ÕÓÌÏ×ÎÙÅ, 16
ÏÅÒÁ ÉÑ, 46
ÏÒÇÒÁÆ, 70, 171
Ó×ÑÚÎÙÊ, 185
ÏÒÇÒÁÆ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ, 185
ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, 171
ÏÔÅ , 155
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, 55
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ, 73
ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, 68
ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, 73
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ, 73
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ, 73
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, 77
ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ, 24, 194
ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ, 47
ÅÔÌÑ, 143
ÏÄÇÒÁÆ, 144
ÏÄÄÅÒÅ×Ï, 156
ÌÅ×ÏÅ, 157
ÒÁ×ÏÅ, 157
ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, 46
ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎË ÉÊ, 199
ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÚÁÈÏÄÁ, 185
ÉÓÈÏÄÁ, 185
ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ, 137
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ
ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË, 174
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÉÓË, 136
ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, 80
ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅ, 40
ÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ, 63
ÒÅÄÏÓÙÌËÁ, 27
ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅ, 39
ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË, 80
ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, 80
ÒÏÇÒÁÍÍÁ ËÏÒÒÅËÔÎÁÑ, 32
ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ, 32
ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ
ÒÏÅËÔ, 87
ÒÏÔÏËÏÌ, 190
ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 55
ÓÅ×ÄÏËÏÄ, 14
ÕÔØ, 172
ÒÁ×ÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, 46
ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ, 77
ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅ
ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, 121
Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ, 121
ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, 182
ÒÅÂÒÏ, 142
ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏÅ, 143
ËÒÁÔÎÏÅ, 143
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ, 49
ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ, 87
ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË, 142
ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ
ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, 121
Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ, 121
ÓÔÁÔÉÞÅÓËÁÑ
ÍÁÒÛÒÕÔÉÚÁ ÉÑ, 189
ÓÔÅÅÎØ ×ÅÒÛÉÎÙ × ÇÒÁÆÅ, 143
ÓÔÒÏËÁ ÂÉÔ, 57
ÓÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, 150
ÓÙÎ, 155
ÓÀÒßÅË ÉÑ, 99
ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, 24
ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÑ, 36
ÔÉ ÄÁÎÎÙÈ, 46
ÔÏÖÄÅÓÔ×Á Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ, 52
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ, 128
ÕÚÅÌ, 189
ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ÁÒÁ, 55
ÕÓÌÏ×ÉÅ ×ÈÏÄÎÏÅ, 39
×ÙÈÏÄÎÏÅ, 40
ÆÏÒÍÕÌÁ ðÁÓËÁÌÑ, 129
ÆÕÎË ÉÉ ÏÄÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ, 137
ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, 205
ÆÕÎË ÉÑ, 55, 96
ÆÕÎË ÉÑ €ÎÁ, 99
ÂÉÅËÔÉ×ÎÁÑ, 99
×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ, 99
×ÒÅÍÅÎÎ
ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, 137
ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ, 99
ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ, 102
ÏÂÒÁÔÎÁÑ, 102
ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁÑ, 136
ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ, 99
ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ, 116
ÆÕÎË ÉÑ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ, 137
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ, 57
ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ ÞÉÓÌÁ, 110
ÉËÌ, 17, 145
ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×, 148
ÜÊÌÅÒÏ×, 142
ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, 80
ÞÉÓÌÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ, 46
ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ, 46
ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ, 46
ÅÌÙÅ, 46
ÞÉÓÌÏ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, 146
ÜËÓÅÒÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ, 63
ÜÌÅÍÅÎÔ, 44
ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ
ËÏÎßÀÎË ÉÑ, 197
ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ, 77
ÑÚÙË ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ
ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, 91
399
Производство книг на заказ
Издательство «Техносфера»
тел.: (495) 234-01-10
e-mail: knigi@technosphera.ru
Реклама в книгах:
• модульная
• статьи
Подробная информация о книгах на сайте
http://www.technosphera.ru
Хаггарти Род
Дискретная математика для программистов
Издание 2-е, исправленное
Компьютерная верстка – С.А. Кулешов
Дизайн – М.В. Лисусина
Выпускающий редактор – О.Н. Кулешова
Ответственный за выпуск – С.А. Орлов
Формат 70 х 100/16. Печать офсетная.
Гарнитура Computer modern LaTeX
Печ.л. 25. Тираж 1000 экз., Зак. №
Бумага офсет №1, плотность 65 г/м2
Издательство «Техносфера»
Москва, ул. Краснопролетарская, д.16, стр.2
Отпечатано в типографии ОАО ПИК «Идел-Пресс»
420066 г. Казань, ул. Декабристов, 2.
Download