Diskret math Hagarti

программирования Р. ХАГГАРТИ Дискретная математика для программистов Издание 2−е, исправленное Перевод с английского под редакцией С.А. Кулешова с дополнениями А.А. Ковалева, В.А. Головешкина, М.В. Ульянова Допущено УМО вузов РФ по образованию в области прикладной математики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Прикладная математика» ТЕХНОСФЕРА Москва 2012 УДК 519.854 ББК 22.176 Х13 Х13 Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов Издание 2-е, исправленное Москва: Техносфера, 2012. – 400 с., ISBN 978-5-94836-303-5 Основополагающее введение в дискретную математику, без знания которой невозможно успешно заниматься информатикой и программированием. Ни одно из многочисленных изданий по этой дисциплине, вышедших на русском языке, не читается с таким удовольствием и пользой. В доступной и весьма увлекательной форме автор рассказывает о фундаментальных понятиях дискретной математики – о логике, множествах, графах, отношениях и булевых функциях. Теория изложена кратко и иллюстрируется многочисленными простыми примерами, что делает ее доступной даже школьнику. После каждой главы (начиная со второй) рассматривается приложение описанных методов к информатике. Дополнения в издании на русском языке посвящены актуальным задачам теории графов, рекурсивным алгоритмам, общей проблеме перебора и задачам целочисленного программирования. Книга будет полезна студентам, изучающим курс дискретной математики, а также всем желающим проникнуть в технику написания и проверки корректности алгоритмов, включая программистов-практиков. УДК 519.854 ББК 22.176 © Pearson Education Limited 2002 This translation of DISCRETE MATHEMATICS FOR COMPUTING, First Edition is published by arrangement with Pearson Education Limited. © 2012, ЗАО «РИЦ «Техносфера», перевод на русский язык, дополнения, оригинал-макет, оформление ISBN 978-5-94836-303-5 ISBN 0-201-73047-2 (англ.) óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ................................................ ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ .................................................................. 6 9 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ ........................................................................ 1.1. íÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ ............................................................ 1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ ................................................................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. 11 11 14 19 21 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ............................................. 2.1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ É ÌÏÇÉËÁ ................................................. 2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ ................................................. 2.3. íÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× .................................................. 2.4. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ............................................. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ................................ 23 23 27 30 32 35 38 39 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× .......................................................... 3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ .................................... 3.2. áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× ........................................................ 3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× ...................................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ .................................... 44 44 51 53 58 61 63 çÌÁ×Á 4. .................................................................... 4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ .................................................... 4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ..................................................... 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ .......... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ .................. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ........................................................................ 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ................ æÕÎË ÉÉ ..................................................................... ïÂÒÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ ...................... ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ......................................................... 68 68 73 77 82 85 86 91 91 96 102 105 4 îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5 ........................................................... 108 ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. 112 ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ñÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ....... 113 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ............................................................. 6.1. ðÒÁ×ÉÌÁ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ...................................... 6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ .............................................. 6.3. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ ........................................................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×.............................. 117 117 120 128 131 135 136 çÌÁ×Á 7. ............................................................................ 7.1. çÒÁÆÙ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ .................................................. 7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ .................................................... 7.3. äÅÒÅ×ØÑ....................................................................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË ......................................... çÒÁÆÙ 141 142 147 152 158 163 165 çÌÁ×Á 8. ............................................ 8.1. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ............................................... 8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ .......................................................... 8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ......................................................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 8 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ .................................. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ 171 171 175 181 184 187 189 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ............................................................. 9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ............................................................. 9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ............................................................... 9.3. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ................................................. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 9 ........................................................... ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù.................................................. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ................ 194 194 200 205 208 211 212 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ................................................... 217 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ .................................. 275 ä.1. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× ......................................... 275 ä.1.1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ........................................................... 277 5 ä.1.2. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ .................................................................. 278 ä.1.3. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ............................................. 279 ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ ................................................... 281 ä.2.1. áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÍÁÔÒÉ Õ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ282 ä.2.2. ÷ÙÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ............................. 286 ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù ÉËÌÙ........................................................ 288 ä.3.1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ × ÇÒÁÆÅ .......... 289 ä.3.2. áÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÒÉ ................................................... 292 ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ........................................ 294 ä.4.1. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× .......................................... 300 ............................... ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ ......................................................... ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ............ ÷×ÅÄÅÎÉÅ.............................................................. ä.5.1. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ É Ï ÅÎËÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ....................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.1 ..................................................... ä.5.2. üÌÅÍÅÎÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅËÕÒÓÉÉ .................................... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.2 ..................................................... ä.5.3. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ. òÁÚÎÏÓÔÎÙÊ É ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ................................................................ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.3 ..................................................... ä.5.4. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÏÄÓÞÅÔÙ .. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.4 ..................................................... ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÏÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ........... ÷×ÅÄÅÎÉÅ.............................................................. ä.6.1. ðÏÎÑÔÉÅ m-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ............................................................ ä.6.2. ïÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÔÉÉÚÁ ÉÑ É ÒÉÍÅÒÙ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ............................. ä.6.3. NP-ÏÌÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ É ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ ................... ä.6.4. ïÂÚÏÒ ÔÏÞÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ............................................ ä.6.5. ÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ .................... ä.6.6. íÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ É ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ........ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.6 ........................................................ äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ 305 305 305 305 306 317 318 332 333 344 345 359 359 359 361 362 366 368 372 381 392 ................................................................... 395 ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ ................................................ 397 õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ := ÎÅ P P ÉQ P ÉÌÉ Q P ⇒Q ∀ ∃ n! {P } A {Q} a∈S a 6∈ S {x : P (x)} ∅ N Z Q R A⊂S A∪B A∩B A\B U A A△B |S | (a; b) A×B R2 An P (A) M (i; j ) xRy ÏÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P ËÏÎßÀÎË ÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P É Q ÄÉÚßÀÎË ÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P É Q P ×ÌÅÞÅÔ Q Ë×ÁÎÔÏÒ ×ÓÅÏÂÝÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ Ë×ÁÎÔÏÒ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n ÆÁËÔÏÒÉÁÌ ÒÅÄ- É ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A a | ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S a ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ x, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ P (x) ÉÓÔÉÎÎÏ ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ A | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÒÁÚÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ A É B ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ÁÒÁ ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ A É B ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÌÏÓËÏÓÔØ ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ n ÜËÚÅÍÌÑÒÏ× A ÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÑÞÅÊËÁ ÍÁÔÒÉ Ù, ÓÔÏÑÝÁÑ × i-ÏÊ ÓÔÒÏËÅ É j -ÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ÁÒÁ (x; y ) ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ R 15 24 25 25 27 28 28 37 39 45 45 45 46 46 46 46 46 46 47 47 48 48 48 49 54 55 55 56 57 61 71 72 7 õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ R∗ Ex x≺y ÒÏÅËÔ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÙÂÏÒ R −1 S◦R MN f (x) f : A −→ B f (A) f −1 :−→ A g◦f |x| ⌊x⌋ P (n; k ) C (n; k ) O (g (n)) Æ (v ) G = (V; E ) (G) Kn íïä P ðåò Mk M∗ d[v ℄ p p∨q p∧q îå{é ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x x | ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË y ÏÅÒÁ ÉÑ ÒÏÅËÔ ÏÅÒÁ ÉÑ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÅÒÁ ÉÑ ×ÙÂÏÒ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S ÂÕÌÅ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ M É N ÏÂÒÁÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ A × B ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ f É g ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁ x ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ ÞÉÓÌÁ x ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ËÌÁÓÓ ÆÕÎË ÉÊ, ÒÁÓÔÕÝÉÈ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ g (n) ÓÔÅÅÎØ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÂÅÒ E ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÌÎÙÊ ÇÒÁÆ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÇÒÁÆ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×Á ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁÍÉ ÂÕÌÅ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ k ÜËÚÅÍÌÑÒÏ× ÍÁÔÒÉ Ù M ÍÁÔÒÉ Á ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ p ÄÉÚßÀÎË ÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p É q ËÏÎßÀÎË ÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p É q ÆÕÎË ÉÑ îå{é 75 78 80 87 88 89 91 92 94 97 97 97 102 104 110 110 121 123 137 143 143 146 148 154 160 171 176 176 182 195 195 195 200 8 õËÁÚÁÔÅÌØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ a a b ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ éìé 205 ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå 205 ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ é 205 ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå{é 205 ÆÕÎË ÉÑ îå{éìé 209 b a a a a b b îå{éìé ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÅÌØ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÉ | ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ ÏÂ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÈÎÉËÅ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÊ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÍ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÕ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÚÄÅÓØ ÔÅÍÙ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ É ÓÁÍÉ Ï ÓÅÂÅ, É × Ó×ÑÚÉ Ó ÉÈ ÛÉÒÏËÏÊ ÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔØÀ ËÁË ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÔÁË É × ÄÉÓ ÉÌÉÎÁÈ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÁÒÁÔ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÅ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ, ÏÉÒÁÀÔÓÑ ÎÁ ÔÁËÉÅ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÁË ÌÏÇÉËÁ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ÆÕÎË ÉÉ. ÅÏÒÉÑ ÉÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÒÅÄÎÁÍÅÒÅÎÎÏ ËÒÁÔËÏ, Á ÏÂÓÕÖÄÁÅÍÙÅ ÚÄÅÓØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÉ ×ÏÌÎÅ ÄÏÓÔÕÎÙ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ÓÏ ÓËÒÏÍÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËÏÊ. ÷ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÁÈ ÏÂÏÂÝÁÀÔÓÑ É ÒÁÚ×É×ÁÀÔÓÑ ËÌÀÞÅ×ÙÅ ÉÄÅÉ ËÕÒÓÁ, Á ËÁÖÄÁÑ ÇÌÁ×Á, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ×ÔÏÒÏÊ, ÓÎÁÂÖÅÎÁ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅÍ ÔÅÏÒÉÉ Ë ÒÁËÔÉËÅ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏ ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÀÔ, ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × ËÎÉÇÅ, ÒÅÛÁÅÔ ÚÁÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ. ëÁÖÄÁÑ ÇÌÁ×Á ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒÏÍ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ, Á ÞÔÏÂÙ ÏÏÝÒÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÉÍÉ, ÏÌÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ËÏÎ Å ËÎÉÇÉ. ïÓÎÏ×ÎÏÊ ÍÁÔÅÒÉÁÌ ËÎÉÇÉ ÏÑ×ÉÌÓÑ ÒÉ ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ Ë ÞÔÅÎÉÀ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ (ÇÏÄÏ×ÏÇÏ) ËÕÒÓÁ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ × ïËÓÆÏÒÄÅ. ïÎ ÒÁÓÓÞÉÔÁÎ ÎÁ 20 ÌÅË ÉÊ. úÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÇÌÁ× ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ Ó×ÏÂÏÄÁ ×ÙÂÏÒÁ ÏÞÅÒÅÄÎÏÓÔÉ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ. üÔÏ ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØÀ ÏÕÓËÁÔØ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÉÌÉ ÚÁÍÅÎÑÔØ ÉÈ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÍÉ, ÄÅÌÁÅÔ ËÎÉÇÕ ÂÏÌÅÅ ÇÉÂËÏÊ É ÕÄÏÂÎÏÊ ÄÌÑ ÉÚÕÞÅÎÉÑ. çÌÁ×Á 7 - çÌÁ×Á 8 6 çÌÁ×Á 4 6 çÌÁ×Á 1 - çÌÁ×Á 2 - çÌÁ×Á 3 ? çÌÁ×Á 9 - çÌÁ×Á 5 pp ppp p ? - çÌÁ×Á 6 10 ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ åÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÏÓÔÕÎÙÈ ÔÅËÓÔÏ× Ï ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÉÈ ÓÈÏÖÉÊ ÍÁÔÅÒÉÁÌ. éÈ ÓÉÓÏË ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÒÅÄÍÅÔÁ ÒÉ×ÅÄÅÎ × ËÏÎ Å ËÎÉÇÉ. âÏÌÅÅ ÒÏÄ×ÉÎÕÔÙÅ ÕÞÅÂÎÉËÉ Ï ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÔÒÅÂÕÀÔ ÂÏÌØÛÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÚÒÅÌÏÓÔÉ, É Ñ ÎÁÄÅÀÓØ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌÉ, ÕÓÅÛÎÏ Ï×ÌÁÄÅ×ÛÉÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅÍ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ËÎÉÇÉ, ÓÍÏÇÕÔ ÉÚÕÞÁÔØ ÉÈ ÂÏÌÅÅ ÌÅÇËÏ É Õ×ÅÒÅÎÎÏ. ñ ÈÏÔÅÌ ÂÙ ÏÂÌÁÇÏÄÁÒÉÔØ Ó×ÏÉÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ËÔÏ ×ÙÄÅÒÖÁÌ ×ÓÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ É ÞÅÊ ÒÏÓÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÅÊ ÏÏÝÒÑÌ ÍÅÎÑ ÉÓÁÔØ ËÎÉÇÕ. íÏÑ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØ ÁÄÒÅÓÏ×ÁÎÁ ÔÁËÖÅ ÒÅ ÅÎÚÅÎÔÁÍ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÁÒÉÁÎÔÁ, ÓÄÅÌÁ×ÛÉÍ ÍÎÏÇÏ ÏÌÅÚÎÙÈ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ, É ÓÏÔÒÕÄÎÉËÁÍ ÉÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Á Pearson Edu ation ÚÁ ÉÈ ÕÓÉÌÉÑ, ÒÅÄÒÉÎÑÔÙÅ ÒÉ ÏÆÏÒÍÌÅÎÉÉ ÔÅËÓÔÁ. é ÎÁËÏÎÅ , ÍÏÑ ÒÉÚÎÁÔÅÌØÎÏÓÔØ | ÓÕÒÕÇÅ, ÚÁ ÅÅ ÎÅÉÚÍÅÎÎÕÀ ÚÁÂÏÔÕ É ÏÄÄÅÒÖËÕ. òÏÄ èÁÇÇÁÒÔÉ ïËÓÆÏÒÄ íÁÒÔ 2001 çìá÷á 1 ÷÷åäåîéå äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ É ÌÏÇÉËÁ ÌÅÖÁÔ × ÏÓÎÏ×Å ÌÀÂÏÇÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ. óÌÏ×Ï ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ, Á ÄÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÉÍÅÅÔ ÄÅÌÏ Ó ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÑÍÉ ÏÂßÅËÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ, É ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÎÉÈ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÍÉ. üÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÙ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÎÅ Ó×ÑÚÁÎÙ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÈ ÎÁÓ ÍÎÏÖÅÓÔ× ËÏÎÅÞÎÙ ÉÌÉ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÓÞÅÔÎÙ. üÔÁ ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÉ×ÌÅËÁÅÔÓÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÁÁÒÁÔÎÙÈ ÓÒÅÄÓÔ× É ÒÏÇÒÁÍÍÎÏÇÏ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÒÉ×ÌÅÞÅÎÉÅÍ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÓÉÍ×ÏÌÏ× É ÍÁÎÉÕÌÑ ÉÉ ÄÁÎÎÙÍÉ. óÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÊ ÉÆÒÏ×ÏÊ ËÏÍØÀÔÅÒ | Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÄÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ. ðÏÎÉÍÁÎÉÑ ÔÏÇÏ, ËÁË ÔÁËÁÑ ÍÁÛÉÎÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ, ÍÏÖÎÏ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔØ, ÅÓÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÍÁÛÉÎÕ ËÁË ÄÉÓËÒÅÔÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÛÁ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÅÌØ ÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ | ÒÉÏÂÒÅÓÔÉ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÙ É ÔÅÈÎÉËÕ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ É ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ. ëÏÇÄÁ É ËÁË ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÜÔÉ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÙ É ÔÅÈÎÉËÕ | ÏÓÎÏ×Á ÒÁÚÄÅÌÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÂÒÏÓÉÍ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁ ÒÏ ÅÓÓ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÉÍÅÎÉÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ÙÂÒÁÎÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ×ÉÄ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ × ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ, ÎÏ É ÅÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÎÁÓÕÝÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. úÁÔÅÍ ÍÙ ÒÁÚÏ×ØÅÍ ÁÓËÁÌÅÏÄÏÂÎÙÊ1 ÓÅ×ÄÏËÏÄ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÒÅÄÓÔ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ××ÏÄÉÍÙÈ ÄÁÌÅÅ, ÄÌÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÊ ÔÒÁËÔÏ×ËÉ ÉÈ ËÏÍÁÎÄ. 1.1. íÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ ðÒÏ ÅÓÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 1.1. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ: òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ (× ÍÉÌÑÈ) ÍÅÖÄÕ ÛÅÓÔØÀ ÛÏÔÌÁÎÄÓËÉÍÉ ÇÏÒÏÄÁÍÉ: áÂÅÒÄÉÎ, üÄÉÎÂÕÒÇ, æÏÒÔ õÉÌØÑÍ, çÌÁÚÇÏ, éÎ×ÅÒÎÅÓÓ 1 Pas al | ÑÚÙË ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 12 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ É ðÅÒÔ ÄÁÎÏ × ÔÁÂÌ. 1.1. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÄÏÒÏÖÎÕÀ ÓÅÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ×. úÁÄÁÞÁ òÅÛÅÎÉÅ áÂÓÔÒÁËÔÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ òÉÓÕÎÏË 1.1. óÈÅÍÁ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ óÁÍÁ ÔÁÂÌÉ Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÊ ÍÏÄÅÌØÀ ÒÅÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ïÄÎÁËÏ ÄÌÑ ÎÁÛÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÙ ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÅÅ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÍÏÄÅÌØ. ÁÂÌÉ Á 1.1 áÂÅÒÄÉÎ üÄÉÎÂÕÒÇ æÏÒÔ õÉÌØÑÍ çÌÁÚÇÏ éÎ×ÅÒÎÅÓÓ ðÅÒÔ áÂÅÒÄÉÎ üÄÉÎÂÕÒÇ æÏÒÔ õÉÌØÑÍ çÌÁÚÇÏ éÎ×ÅÒÎÅÓÓ ðÅÒÔ | 120 147 142 107 81 120 | 132 42 157 45 147 132 | 108 66 105 142 42 108 | 168 61 107 157 66 168 | 112 81 45 105 61 112 | íÙ ÎÁÒÉÓÕÅÍ ÇÒÁÆ , ÞØÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÇÏÒÏÄÁ, Á ÒÅÂÒÁ | ÄÏÒÏÇÉ ÉÈ Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅ. âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ Ï ÇÒÁÆÁÈ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ × ÇÌÁ×Å 7. ëÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÎÁÛÅÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 1.2, ÓÎÁÂÖÅÎÏ ×ÅÓÏÍ , ËÏÔÏÒÙÊ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÁÂÌ. 1.1. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÉÎÓÔÒÕË ÉÊ, ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÌÅÞÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ×ÒÅÍÑ), ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÇÒÁÆ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÏÂÝÉÊ ×ÅÓ, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ× ÂÕÄÕÔ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÄÏÒÏÇÁÍÉ. áÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ ûÁÇ 1 ÷ÙÂÅÒÉÔÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ É ÒÅÂÒÏ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÅ ÅÅ Ó ÂÌÉÖÁÊÛÉÍ (Ï ×ÅÓÕ) ÓÏÓÅÄÏÍ. 1.1. íÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ ûÁÇ 2 ûÁÇ 3 13 îÁÊÄÉÔÅ ÎÅ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÕÀ (ÅÝÅ) ×ÅÒÛÉÎÕ, ÂÌÉÖÅ ×ÓÅÇÏ ÌÅÖÁÝÕÀ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ, É ÓÏÅÄÉÎÉÔÅ Ó ÎÅÊ. ðÏ×ÔÏÒÑÊÔÅ ÛÁÇ 2 ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ ÏËÁ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÅ ÂÕÄÕÔ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÙ. áÂÅÒÄÉÎ • 81 120 107 147 ðÅÒÔ • 45 105 112 • üÄÉÎÂÕÒÇ 157 132 • 142 éÎ×ÅÒÎÅÓÓ • • æÏÒÔ õÉÌØÑÍ 66 61 168 42 • 108 çÌÁÚÇÏ òÉÓÕÎÏË 1.2. îÁ ÒÉÓÕÎËÁÈ 1.3, 1.4 É 1.5 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÇÒÁÆÏ×, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ðÒÉÍÁ, ÅÓÌÉ ÎÁÞÉÎÁÔØ Ó ×ÅÒÛÉÎÙ ðÅÒÔ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÇÒÁÆ (Ó ÏÂÝÉÍ ×ÅÓÏÍ 339) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ, ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ×. áÂÅÒÄÉÎ áÂÅÒÄÉÎ • ðÅÒÔ • • 45 • üÄÉÎÂÕÒÇ ðÅÒÔ • • • üÄÉÎÂÕÒÇ • • æÏÒÔ éÎ×ÅÒÎÅÓÓ • 45 õÉÌØÑÍ éÎ×ÅÒÎÅÓÓ • • 42 • æÏÒÔ õÉÌØÑÍ • çÌÁÚÇÏ çÌÁÚÇÏ òÉÓÕÎÏË 1.3. áÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÒÉÍÅÎÑÌÉ, ÎÁÉÓÁÎ ÎÁ ÏÂÙÞÎÏÍ ÒÕÓÓËÏÍ ÑÚÙËÅ. òÁÚÇÏ×ÏÒÎÙÊ ÑÚÙË ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÓÌÉÛËÏÍ ÍÎÏÇÏÒÅÞÉ×ÙÍ, ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ É, × ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÜÔÏÇÏ, ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÚÁÕÔÁÎÎÏÊ ÒÏÂÌÅÍÅ. íÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÎÁÉÓÁÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÄÌÑ ËÏÍØÀÔÅÒÁ, 14 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÎÏ ËÁËÏÊ ÑÚÙË ×ÙÂÒÁÔØ? ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÑÚÙË ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÓËÒÙ×ÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÙÊ ÓÍÙÓÌ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÔ ÎÅÏÙÔÎÏÇÏ ÞÉÔÁÔÅÌÑ! ðÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ËÏÍÒÏÍÉÓÓ × ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÉÉ | ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÓÅ×ÄÏËÏÄ , ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÎÅÂÏÌØÛÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓÔÒÕËÔÕÒÎÙÈ ÑÚÙËÏ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÍÅÓÔÅ Ó ÒÕÓÓËÏÏÄÏÂÎÙÍ ÏÉÓÁÎÉÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. ï ÎÅÍ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ. áÂÅÒÄÉÎ áÂÅÒÄÉÎ • • 81 81 ðÅÒÔ • • üÄÉÎÂÕÒÇ 45 ðÅÒÔ • 45 • üÄÉÎÂÕÒÇ 105 • éÎ×ÅÒÎÅÓÓ • • • æÏÒÔ éÎ×ÅÒÎÅÓÓ • õÉÌØÑÍ 42 • 42 • æÏÒÔ õÉÌØÑÍ • çÌÁÚÇÏ çÌÁÚÇÏ òÉÓÕÎÏË 1.4. áÂÅÒÄÉÎ • 81 ðÅÒÔ • 45 • üÄÉÎÂÕÒÇ 105 • éÎ×ÅÒÎÅÓÓ • 66 42 • æÏÒÔ õÉÌØÑÍ • çÌÁÚÇÏ òÉÓÕÎÏË 1.5. 1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÅ×ÄÏËÏÄ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁ ðÁÓËÁÌÅ. áÌÇÏÒÉÔÍ × ÎÅÍ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. begin ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÉÓÏÌÎÑÅÍÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ÕÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÏÒÑÄËÏÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ end óÔÒÏÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÂÌÏËÁÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ Ä×Å ËÁÔÅÇÏÒÉÉ: ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ É ÕÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ. 1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ 15 ïÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ ÒÉÉÓÙ×ÁÅÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ É ÉÍÅÀÔ ÔÁËÕÀ ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕ: ÉÍÑ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ := ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ðÒÉÍÅÒ 1.2.1. (áÌÇÏÒÉÔÍ ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ, First É Se ond , É ÒÉÓ×ÏÅÎÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ Sum .) begin First and Se ond ; := Sum First + Se ond ; Input end õÒÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÛÁÇÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. ïÅÒÁÔÏÒÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÙ×ÁÀÔ ÔÒÅÈ ÔÉÏ×: • ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ; • ÕÓÌÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ; • ÏÅÒÁÔÏÒ ÉËÌÁ. óÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÓÉÓÏË ÏÅÒÁÔÏÒÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ËÁË ÏÔÄÅÌØÎÁÑ ËÏÍÁÎÄÁ × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ ÚÁÉÓÁÎÙ. óÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÉÍÅÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ: begin ÏÅÒÁÔÏÒ 1; ÏÅÒÁÔÏÒ 2; ......... ÏÅÒÁÔÏÒ n; end ðÒÉÍÅÒ 1.2.2. (áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÂÍÅÎÁ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ: One É Two .) begin One and Two ; Temp := One ; One := Two ; Two := Temp ; Input end þÔÏÂÙ ÒÏÓÌÅÄÉÔØ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ One É T wo ÒÁ×ÎÙ 5 É 7 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, É ÏÂÒÁÔÉÍÓÑ Ë ÔÁÂÌ. 1.2. 16 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ ÁÂÌÉ Á 1.2 T emp One T wo óÔÒÏËÁ 1 | 5 7 óÔÒÏËÁ 2 óÔÒÏËÁ 3 óÔÒÏËÁ 4 5 5 5 5 7 7 7 7 5 õÓÌÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÄÅÌÁÔØ ×ÙÂÏÒ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÍÉ ÓÉÔÕÁ ÉÑÍÉ. ïÎÉ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ if-then ÉÌÉ if-then-else. îÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ ÕÓÌÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÔÁË: begin if ÕÓÌÏ×ÉÅ then ÏÅÒÁÔÏÒ end ÉÌÉ ÔÁË: begin if ÕÓÌÏ×ÉÅ then ÏÅÒÁÔÏÒ 1 else ÏÅÒÁÔÏÒ 2 end ðÒÉÍÅÒ 1.2.3. (áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÑ ÞÉÓÌÁ n É ÒÉÓ×ÏÅÎÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ab .) begin Input n; if n < 0 then ab := −n else ab := n; Output ab ; end ÷ ÜÔÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÓÔÏÑÝÉÊ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÅ, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ n, Á × ÔÒÅÔØÅÊ | ÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ (É ÎÕÌÅ×ÏÍ). íÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ É ÄÒÕÇÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÅÛÁÀÝÉÊ ÔÕ ÖÅ ÚÁÄÁÞÕ, ÎÏ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÊ else: begin Input n; if n < 0 then n := −n; ab := n; Output ab ; end úÄÅÓØ ÏÅÒÁÔÏÒ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏÞËÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n É ÉÇÎÏÒÉÒÕÅÔÓÑ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ. 1.2. ðÓÅ×ÄÏËÏÄ 17 ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÚÁÉÓÁÎÎÙÊ × ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÒÏËÅ. ïÅÒÁÔÏÒ ÚÁÉÓÉ: ÉËÌÁ ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÉËÌ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÏÄÎÕ ÉÚ ÆÏÒÍ for X := A to Z do ÏÅÒÁÔÏÒ; while ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ do ÏÅÒÁÔÏÒ; repeat ÏÅÒÁÔÏÒ 1; ÏÅÒÁÔÏÒ 2; ............. ÏÅÒÁÔÏÒ n; until ÕÓÌÏ×ÉÅ. (1) (2) (3) úÄÅÓØ X | ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ, Á A É Z | ÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ É ËÏÎÅÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ (1) ÉËÌ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ. åÇÏ ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: for ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á do ÏÅÒÁÔÏÒ ÷ ÓÌÕÞÁÅ (2) ÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ, Á ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ × ÎÅÍ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍ. ëÁË ÔÏÌØËÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÌÏÖÎÙÍ, ÉËÌ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ. é ÎÁËÏÎÅ , × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ (3) ÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÌÏÖÎÙÍ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÉÞÉÅ ÍÅÖÄÕ (2) É (3) ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÉËÌ ×ÙÏÌÎÉÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÒÁÚ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÑ × ÎÅÍ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ. ðÒÉÍÅÒ 1.2.4. (áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÅÒ×ÙÈ n ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.) begin sum := 0; for i := 1 to n do begin j := i ∗ i; sum := sum + j ; end Output sum; end ðÒÏÓÌÅÄÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ × ÓÌÕÞÁÅ n = 4, ÚÁÉÓÁ× ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ × ÔÁÂÌ. 1.3 18 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ ÁÂÌÉ Á 1.3 ðÅÒÅÄ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅÍ ÉËÌÁ ðÅÒ×ÙÊ ÷ÔÏÒÏÊ ÒÅÔÉÊ þÅÔ×ÅÒÔÙÊ ÒÏÈÏÄ ÒÏÈÏÄ ÒÏÈÏÄ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ ÉËÌÁ ÉËÌÁ ÉËÌÁ i j Sum | | 0 1 2 3 4 1 4 9 16 1 5 14 30 ÷Ù×ÏÄÉÍÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ: sum = 30. ðÒÉÍÅÒ 1.2.5. (áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÇÒÁÆÁ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÏÂÝÉÍ ×ÅÓÏÍ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ × ÄÁÎÎÏÍ Ó×ÑÚÎÏÍ ×Ú×ÅÛÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ.) begin v := ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ; u := ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ ÓÏÓÅÄÎÑÑ ×ÅÒÛÉÎÁ; Ó×ÑÚÁÔØ v É u; while ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ do begin u := ÎÅÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ, ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ; ÓÏÅÄÉÎÉÔØ u Ó ÂÌÉÖÁÊÛÅÊ end ÉÚ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ; end üÔÏ | ÎÁÉÓÁÎÎÁÑ ÎÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ ×ÅÒÓÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ðÒÉÍÁ, Ó ËÏÔÏÒÙÍ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ ÒÁÎÅÅ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ó×ÑÚÎÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÇÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ (Ï ÒÅÂÒÁÍ) ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ (ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÏÂ ÜÔÏÍ ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 7, ÓÔÒ. 146). ðÒÅ×ÒÁÝÅÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÒÁÂÏÔÁÀÝÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ | ÄÅÌÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÌÉ ËÕÒÓÁ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÁÎÎÙÈ, ÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÏÂÓÕÖÄÁÔØ ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ × ÎÁÛÅÊ ËÎÉÇÅ. ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ ÓÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ÆÏÒÍÅ ÓÅ×ÄÏËÏÄÁ, Á ÄÒÕÇÉÅ ÏÆÏÒÍÌÅÎÙ ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÔÅÏÒÅÍ | ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁÑ É ÄÁÌÅËÏ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÎÁÉÓÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÔËÕÄÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÎÁÔØ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 1.2.5 ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÅÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ? îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1 19 ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÅÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÒÅÛÁÀÝÉÈ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÚÁÄÁÞÕ, ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÒÏÓ: ËÁËÏÊ ÉÚ ÎÉÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ? ÷ ÕÒÁÖÎÅÎÉÉ 1.5 ÒÉ×ÅÄÅÎ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ Ë×ÁÄÒÁÔÙ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (ËÁË É × ÒÉÍÅÒÅ 1.2.4). ïÂÁ ÒÁÂÏÔÁÀÔ. îÏ ËÁËÏÊ ÜÔÏ ÄÅÌÁÅÔ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÅÎØÛÅ ÁÍÑÔÉ? ëÏÒÏÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ËÁËÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÌÕÞÛÉÍ? ïÂÅ ÜÔÉ ÒÏÂÌÅÍÙ: ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ É ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× | ÂÕÄÕÔ ÏÂÓÕÖÄÁÔØÓÑ × ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÇÌÁ×ÁÈ ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÍÙ ÏÓ×ÏÉÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÁÁÒÁÔ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1 1.1. çÒÁÆ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ. 1.6 ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀ- ÝÉÈ ÓÅÍØ ÄÅÒÅ×ÅÎØ. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÄÅÒÅ×ÎÑÍÉ ÚÁÄÁÎÏ × ÍÉÌÑÈ. éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ, ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ ÄÅÒÅ×ÎÉ. B Ñ 3 3 3 1 6 G D 2 A 3 3 5 2 F 4 E òÉÓÕÎÏË 1.6. 1.2. îÁÊÄÉÔÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÓÌÕÞÁÑÈ (Á) n = 3; (Â) n = 5. begin f := 1; Input n; for i := 1 to n do f := f ∗ i; Output f ; end 20 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ þÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÞÉÓÌÅ n? 1.3. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ i É j × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÒÉ m = 3 É n = 4: begin Input m, n; i := 1; j := m; while i 6= n do begin i := i + 1; j := j ∗ m; end Output j ; end ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ m É n > 0. þÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÉ n = 0? 1.4. îÁÊÄÉÔÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ: begin f irst := 1; Output f irst; se ond := 1; Output se ond; next := f irst + se ond; while next < 100 do begin Output next; f irst := se ond; se ond := next; next := f irst + se ond; end end ïÉÛÉÔÅ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÅÅ ÞÌÅÎÏ×. 1.5. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ Ü×ÏÌÀ ÉÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ l, sum É k × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å ÒÉ n = 6. ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 21 begin Input n; k := 1; l := 0; sum := 0; while k < 2n do begin l := l + k ; sum := sum + l; k := k + 2; end Output sum; end ïÉÛÉÔÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÉ ××ÏÄÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n. 1.6. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÓÅÔÉ ÄÏÒÏÇ, ÉÚ ÕÒ. 1.1. ëÁËÏÊ ÏÌÕÞÉÌÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ? begin õÏÒÑÄÏÞÉÔÅ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ Ï ÕÂÙ×ÁÎÉÀ ×ÅÓÁ É ÒÏÎÕÍÅÒÕÊÔÅ ÉÈ ÞÉÓÌÁÍÉ: 1, 2, 3, . . . É Ô. Ä.; m := ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ; ÏÓÔÁÔÏË := ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ; ÔÅËÕÝÅÅ := 1; while ÏÓÔÁÔÏË > m − 1 do begin if ÕÄÁÌÅÎÉÅ ÒÅÂÒÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ ÔÅËÕÝÅÅ ÎÅ ÎÁÒÕÛÁÅÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ then begin ÕÄÁÌÉÔØ ÒÅÂÒÏ ÔÅËÕÝÅÅ; ÏÓÔÁÔÏË := ÏÓÔÁÔÏË − 1; end; ÔÅËÕÝÅÅ := ÔÅËÕÝÅÅ + 1; end end ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ Á- ÁÒÁÔ É ÔÅÈÎÉËÕ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÕÀ ÄÌÑ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÏÎÉÍÁÎÉÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ. 22 çÌÁ×Á 1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÅ | ÜÔÏ ÒÏ ÅÓÓ, ÒÉ×ÌÅËÁÀÝÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅÁÌØÎÙÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ. çÒÁÆ (ÍÏÄÅÌØ) ÄÁÎÎÏÊ ÓÅÔÉ ÄÏÒÏÇ ÍÅÖÄÕ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅÒÛÉÎ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÈ ÇÏÒÏÄÁ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ (×Ú×ÅÛÅÎÎÙÍÉ) ÒÅÂÒÁÍÉ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÉÍÉ ÄÏÒÏÇÉ. áÌÇÏÒÉÔÍ | ÜÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ, ×ÙÏÌ- ÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÌÅÞÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÚÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. áÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÄÌÑ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÓÅÔÉ ÒÅÂÅÒ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÁÎÎÏÇÏ ×Ú×ÅÛÅÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. ðÓÅ×ÄÏËÏÄÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÓÔÒÕËÔÕÒÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÑÚÙËÁ, ÏÄ- ÈÏÄÑÝÉÊ ÄÌÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ. ïÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. õÒÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÛÁÇÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. óÏÓÔÁ×ÎÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÉÓÏË ÉÎÓÔÒÕË ÉÊ (ÏÅ- ÒÁÔÏÒÏ×), ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ËÁË ÏÔÄÅÌØÎÁÑ ËÏÍÁÎÄÁ × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ ÚÁÉÓÁÎÙ. õÓÌÏ×ÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÄÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÄÅÌÁÔØ ×ÙÂÏÒ ÍÅÖÄÕ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÍÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÍÉ. ÉËÌÁ ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÉËÌ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ËÏÍÁÎÄ ÏÄÈÏÄÑÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ. ïÅÒÁÔÏÒ çìá÷á 2 ìïçéëá é äïëáúáåìøó÷ï ìÏÇÉËÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ × ÌÀÂÏÊ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÄÉÓ ÉÌÉÎÅ É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÒÁ×ÉÌ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×Ù×ÏÄÁ (ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ). ìÏÇÉËÕ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÉÚ ËÏÎÔÅËÓÔÁ ÔÅÈ ÄÉÓ ÉÌÉÎ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ, É ÉÚÕÞÁÔØ ËÁË ÏÔÄÅÌØÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÎÁÕËÉ. áË ÅÎÔ × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÂÕÄÅÔ ÓÄÅÌÁÎ ÉÍÅÎÎÏ ÎÁ ÌÏÇÉËÅ, ÌÅÖÁÝÅÊ × ÏÓÎÏ×Å ÎÅÏÓÏÒÉÍÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×. íÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÌÏÇÉËÏÊ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, ÉÍÅÀÝÅÊ ÄÅÌÏ Ó ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØÀ (ÉÌÉ ÌÏÖÎÏÓÔØÀ) ÒÏÓÔÙÈ ÏÉÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ËÏÒÏÔËÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÌÏÇÉËÕ ÒÅÄÉËÁÔÏ×. óËÁÖÅÍ ÓÒÁÚÕ, ÞÔÏ ÒÅÄÉËÁÔÁÍÉ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ1 . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÏÉÓÁÎÙ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× (ÒÑÍÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÍÅÔÏÄ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ), ÓÎÁÂÖÅÎÎÙÅ ÒÏÓÔÙÍÉ ÒÉÍÅÒÁÍÉ ÒÏ×ÅÒËÉ ÆÁËÔÏ× Ï ÞÅÔÎÙÈ É ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÍÉ ÍÅÔÏÄÏÌÏÇÉÀ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. îÁËÏÎÅ , ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÌØÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. ðÏÓÌÅ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ, ÒÁÚÍÅÝÅÎÎÙÈ × ËÏÎ Å ÇÌÁ×Ù, ÍÙ ×ÓÔÒÅÔÉÍÓÑ Ó ÅÒ×ÙÍÉ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÍÉ ÉÚÕÞÁÅÍÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× Ë ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. ÷ ÎÉÈ ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ËÁË ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÒÉ ÒÏ×ÅÒËÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. 2.1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ É ÌÏÇÉËÁ óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ ÂÌÏËÁÍÉ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÌÏÇÉËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, Ô. Å. ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÙÍ (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÂÕË×ÏÊ é) ÉÌÉ ÌÏÖÎÙÍ (ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ì). îÁÒÉÍÅÒ, • ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ; • óÁÒÁ | ÄÏËÔÏÒ; 1 • 29 | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. úÄÅÓØ ÎÕÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÌÏÇÉËÁ ÒÅÄÉËÁÔÏ× ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÌÏÇÉËÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, É ÍÙ ÅÀ ÔÏÖÅ ÚÁÊÍÅÍÓÑ. 24 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ Ó×ÏÅÊ ÂÕË×ÏÊ. ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, P ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ, Q | óÁÒÁ | ÄÏËÔÏÒ É R | 29 | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. éÓÏÌØÚÕÑ ÔÁËÉÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ, ËÁË ÎÅ, ÉÌÉ, É, ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÏ×ÙÅ, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ , ËÏÍÁÎÕÑ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÅ. îÁÒÉÍÅÒ, • (ÎÅ P ) | ÜÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÚÅÍÌÑ ÎÅ ÌÏÓËÁÑ; • (P ÉÌÉ Q) | ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ ÉÌÉ óÁÒÁ | ÄÏËÔÏÒ; • (P É Q) | ÚÅÍÌÑ ÌÏÓËÁÑ É óÁÒÁ | ÄÏËÔÏÒ. ðÒÉÍÅÒ 2.1. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÌÏÇÉËÁ | ÚÁÂÁ×Á, Á ÞÅÒÅÚ Q | ÓÅÇÏÄÎÑ ÑÔÎÉ Á. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÒÁÚÉÔØ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ × ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ. (Á) ìÏÇÉËÁ | ÎÅ ÚÁÂÁ×Á, É ÓÅÇÏÄÎÑ ÑÔÎÉ Á. (Â) óÅÇÏÄÎÑ ÎÅ ÑÔÎÉ Á, ÄÁ É ÌÏÇÉËÁ | ÎÅ ÚÁÂÁ×Á. (×) ìÉÂÏ ÌÏÇÉËÁ | ÚÁÂÁ×Á, ÌÉÂÏ ÓÅÇÏÄÎÑ ÑÔÎÉ Á. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) (ÎÅ P ) É Q. (Â) (ÎÅ P ) É (ÎÅ Q). (×) P ÉÌÉ Q. þÔÏÂÙ ÕÍÅÔØ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ ÓÏ ÓÍÙÓÌÏÍ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, Ô. Å. ËÁËÏÊ ÜÆÆÅËÔ ÏÎÉ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÁ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÏÓÔÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÁËËÕÒÁÔÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÔÁÂÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ . ïÔÒÉ ÁÎÉÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ×ÉÄÁ (ÎÅ P ), ÞØÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÔÒÏÇÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÀ P . ïÒÅÄÅÌÑÀÝÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÏÔÒÉ ÁÎÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌ. 2.1. ÁÂÌÉ Á 2.1 P é ì (ÎÅ P ì é ) 2.1. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ É ÌÏÇÉËÁ 25 ëÏÎßÀÎË ÉÅÊ ÉÌÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P É Q ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ×ÉÄÁ (P É Q). ïÎÏ ÒÉ- ÎÉÍÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÉÓÔÉÎÎÙ ÏÂÅ ÅÇÏ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÉ. ÁËÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÈÏÒÏÛÏ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÏÂÙÞÎÙÍ ÏÎÉÍÁÎÉÅÍ ÓÏÀÚÁ É × ÒÁÚÇÏ×ÏÒÎÏÍ ÑÚÙËÅ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ | ÔÁÂÌ. 2.2. ÁÂÌÉ Á 2.2 P Q (P É é é ì ì é ì é ì é ì ì ì ) Q äÉÚßÀÎË ÉÅÊ ÉÌÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ P É Q ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (P ÉÌÉ Q). ïÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏ, ÅÓÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÉÚ ÅÅ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÞÔÏ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÔÁËÖÅ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÏÂÙÄÅÎÎÙÍ ÏÎÉÍÁÎÉÅÍ ÓÏÀÚÁ ÉÌÉ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, (P ÉÌÉ Q) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÌÉ P , ÉÌÉ Q, ÉÌÉ É ÔÏ, É ÄÒÕÇÏÅ. ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ËÁË ÔÁÂÌ. 2.3. ÁÂÌÉ Á 2.3 P Q é é ì ì é ì é ì (P ÉÌÉ ) Q é é é ì ðÒÉÍÅÒ 2.2. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ ÏÂ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ: ÌÉÂÏ ÌÕÎÁ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÉÚ ÚÅÌÅÎÏÇÏ ÓÙÒÁ É çÅÎÒÉÈ VIII ÉÍÅÌ ÛÅÓÔØ ÖÅÎ, ÉÌÉ ÎÅ ×ÅÒÎÏ, ÞÔÏ ÄÒÏÎÔ1 ×ÙÍÅÒ? òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÌÕÎÁ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÉÚ ÚÅÌÅÎÏÇÏ ÓÙÒÁ, ÞÅÒÅÚ Q | çÅÎÒÉÈ VIII ÉÍÅÌ ÛÅÓÔØ ÖÅÎ É ÞÅÒÅÚ R | ÄÒÏÎÔ ×ÙÍÅÒ. óÉÍ×ÏÌØÎÁÑ ÚÁÉÓØ ÄÁÎÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: (P É Q) ÉÌÉ (ÎÅ R). éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P ÌÏÖÎÏ, Á Q É R ÉÓÔÉÎÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (P É Q) ÉÌÉ (ÎÅ R) ÉÍÅÅÔ ÔÁËÏÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ: (ì É é) ÉÌÉ ì, ÞÔÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ì. 1 äÒÏÎÔ | ×ÙÍÅÒÛÁÑ ÔÉ Á ÏÔÒÑÄÁ ÇÏÌÕÂÅÏÂÒÁÚÎÙÈ, ÏÂÉÔÁ×ÛÁÑ ÎÁ ÏÓÔÒÏ×ÁÈ éÎÄÉÊÓËÏÇÏ ÏËÅÁÎÁ É ÉÓÔÒÅÂÌÅÎÎÁÑ × XVII{XVIII ×.×. ÚÁ×ÅÚÅÎÎÙÍÉ ÔÕÄÁ Ó×ÉÎØÑÍÉ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 26 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ä×Á ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÉÚ ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ ÖÅ ÒÏÓÔÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ, ÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÕÔÑÍÉ, ÍÏÇÕÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ Ó×ÏÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ. ÁËÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ . ðÒÉÍÅÒ 2.3. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (ÎÅ (P É (ÎÅ Q))) ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ ((ÎÅ P ) ÉÌÉ Q). òÅÛÅÎÉÅ. úÁÏÌÎÉÍ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ (ÔÁÂÌ. 2.4) ÄÌÑ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ: R = (ÎÅ (P É (ÎÅ Q))) É S = ((ÎÅ P ) ÉÌÉ Q): ÷ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÅ ËÏÌÏÎËÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÂÏÉÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ P É Q. ÁÂÌÉ Á 2.4 P Q é é ì ì é ì é ì ÎÅ P ì ì é é ÎÅ Q ì é ì é P É (ÎÅ ì é ì ì ) Q R S é ì é é é ì é é ä×Å ÏÓÌÅÄÎÉÅ ËÏÌÏÎËÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÄÅÎÔÉÞÎÙ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ R ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ S . ÷ÁÖÎÏ ÉÚÕÞÉÔØ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÔÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ, ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ . ðÒÉÍÅÒÏÍ ÔÁËÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: ÅÓÌÉ ÚÁ×ÔÒÁ ÂÕÄÅÔ ÓÕÂÂÏÔÁ, ÔÏ ÓÅÇÏÄÎÑ | ÑÔÎÉ Á. ðÒÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÕÓÌÏ×ÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÚÌÉÞÁÔØ ÆÁËÔÉÞÅÓËÕÀ ÉÓÔÉÎÕ É ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q. ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÒÅÄÏÓÙÌËÁ P ÉÓÔÉÎÎÁ, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ÌÉÇÉÞÅÓËÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ Q ÌÏÖÎÏ. ïÄÎÁËÏ ÅÓÌÉ ÏÓÙÌËÁ P ÌÏÖÎÁ, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ É ËÏÇÄÁ Q ÌÏÖÎÏ, É ËÏÇÄÁ ÏÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏ. ðÕÓÔØ P | (ÌÏÖÎÏÅ) ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 1 = 5, Q | (ÔÏÖÅ ÌÏÖÎÏÅ) ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 3 = 7 É R | (ÉÓÔÉÎÎÏÅ) ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 4 = 4. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ: ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q É ÅÓÌÉ P , ÔÏ R, | ÏÂÁ ÉÓÔÉÎÎÙ. ðÒÉÍÅÒ 2.4. òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ 1 = 5, ÔÏ, ÒÉÂÁ×ÌÑÑ 2 Ë ÏÂÅÉÍ ÞÁÓÔÑÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ 3 = 7. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q 2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ 27 ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï. ÷ÙÞÔÅÍ ÔÅÅÒØ ÉÚ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 1 = 5 ÞÉÓÌÏ 3 É ÒÉÄÅÍ Ë −2 = 2. ðÏÜÔÏÍÕ (−2)2 = 22 , Ô. Å. 4 = 4. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ P , ÔÏ R ÔÏÖÅ ×ÅÒÎÏ. ÷ ÌÏÇÉËÅ ÕÓÌÏ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÌÏÖÎÙÍ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÒÅÄÏÓÙÌËÁ P ÉÓÔÉÎÎÁ, Á ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ Q ÌÏÖÎÏ. ÷ ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÏ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÉÓÔÉÎÎÙÍ. éÓÏÌØÚÕÑ ÓÉÍ×ÏÌ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ ⇒, ÍÙ ÉÛÅÍ P ⇒ Q ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÕÓÌÏ×ÎÏÇÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÅÓÌÉ P , ÔÏ Q. ÁËÁÑ ÚÁÉÓØ ÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÁË ÉÚ P ÓÌÅÄÕÅÔ Q ÉÌÉ, P ×ÌÅÞÅÔ Q, ÉÌÉ P ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ Q, ÉÌÉ Q ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÌÑ P . ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌ. 2.5. ÁÂÌÉ Á 2.5 P Q (P ⇒ Q) é é ì ì é ì é ì é ì é é ðÒÉÍÅÒ 2.5. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ((ÎÅ Q) ⇒ (ÎÅ P )) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍ ÉÌÉ ËÏÎÔÒÁÏÚÉÔÉ×ÎÙÍ Ë ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ (P ⇒ Q). ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ((ÎÅ Q) ⇒ (ÎÅ P )) ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ (P ⇒ Q). òÅÛÅÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ (ÔÁÂÌ. 2.6). ÁÂÌÉ Á 2.6 ÎÅ P ÎÅ Q (P ⇒ Q) ((ÎÅ ) ⇒ (ÎÅ P Q é é é ì ì ì ì é é ì Q é ì ì ì é ì é é ì é é é é é P )) ðÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÓÔÏÌÂ Á ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÔÏ É ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ, ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. 2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ ìÏÇÉËÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ë ÒÏÓÔÙÍ ÄÅËÌÁÒÁÔÉ×ÎÙÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑÍ, ÇÄÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ | ÌÉÂÏ ÉÓÔÉÎÎÙ, ÌÉÂÏ ÌÏÖÎÙ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÏÄÎÕ É ÂÏÌÅÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÍÏÇÕÔ 28 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÂÙÔØ ×ÅÒÎÙÍÉ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÌÏÖÎÙÍÉ ÒÉ ÄÒÕÇÉÈ. ðÒÅÄÉËÁÔÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÙ ÉÌÉ ÌÖÉ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. îÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ x | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ x = x2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÉËÁÔÏÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ x = 0 ÉÌÉ x = 1 É ÌÏÖÎÏ × ÌÀÂÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ìÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÑÔØ É Ë ÒÅÄÉËÁÔÁÍ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÇÏ ÒÅÄÉËÁÔÁ × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÓÞÅÔÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÎÅÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ïÄÎÁËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ, ÅÝÅ ÎÅÚÎÁËÏÍÙÅ ÷ÁÍ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ Ë×ÁÎÔÏÒÁÍÉ ), ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ Ë ÒÅÄÉËÁÔÁÍ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÓÌÅÄÎÉÅ × ÌÏÖÎÙÅ ÉÌÉ ÉÓÔÉÎÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ. ðÒÉÍÅÒ 2.6. ëÁËÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÉÓÔÉÎÎÙ, Á ËÁËÉÅ ÌÏÖÎÙ? (Á) óÕÍÍÁ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÕÇÌÏ× ÌÀÂÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÁ 180◦ . (Â) õ ×ÓÅÈ ËÏÛÅË ÅÓÔØ È×ÏÓÔ. (×) îÁÊÄÅÔÓÑ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ x2 = 2. (Ç) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÓÔÏÅ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) éÓÔÉÎÎÏ. (Â) ìÏÖÎÏ. õ ÂÅÓÈ×ÏÓÔÏÊ1 ËÏÛËÉ È×ÏÓÔÁ ÎÅÔ. (×) ìÏÖÎÏ. (Ç) éÓÔÉÎÎÏ. þÉÓÌÏ 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÒÏÓÔÙÍ, É ÞÅÔÎÙÍ. ÷ ÒÉÍÅÒÅ 2.6 ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÎÁÂÏÒÏÍ ÏÂßÅËÔÏ× É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑÍÉ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÏÂßÅËÔÏ×, ÉÌÉ ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ (ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ) Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÏÂßÅËÔ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÊ ÄÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ É ÎÁÊÄÅÔÓÑ (ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ Ë×ÁÎÔÏÒÁÍÉ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ∀ É ∃ . ÷ËÌÀÞÁÑ × ÒÅÄÉËÁÔ Ë×ÁÎÔÏÒÙ, ÍÙ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÍ ÅÇÏ × ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÅÄÉËÁÔ Ó Ë×ÁÎÔÏÒÁÍÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÉÌÉ ÌÏÖÎÙÍ. 1 âÅÓÈ×ÏÓÔÁÑ ËÏÛËÁ | ÒÁÚÎÏ×ÉÄÎÏÓÔØ ÄÏÍÁÛÎÅÊ ËÏÛËÉ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 2.2. ðÒÅÄÉËÁÔÙ É Ë×ÁÎÔÏÒÙ 29 ðÒÉÍÅÒ 2.7. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P (x) ÒÅÄÉËÁÔ x | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ É x2 = 16. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÓÌÏ×ÁÍÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ: ∃ x : P (x) É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÅÇÏ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ∃ x : P (x) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ x2 = 16. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÉÓÔÉÎÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 = 16 ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ×ÅÒÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÒÉ x = 4. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, x = −4 | ÔÁËÖÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÍ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ Ï ÚÎÁËÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÞÔÏÂÙ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ∃ x : P (x). ðÒÉÍÅÒ 2.8. ðÕÓÔØ P (x) | ÒÅÄÉËÁÔ: x | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ É x2 +1 = 0. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÓÌÏ×ÁÍÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ: ∃ x : P (x) É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÅÇÏ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÔÁË: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ x2 + 1 = 0. ðÏ- ÓËÏÌØËÕ Ë×ÁÄÒÁÔ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ, Ô. Å. x2 > 0, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ x2 + 1 > 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ∃ x : P (x) ÌÏÖÎÏ. ïÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 2.8 ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ: ÎÅ ∃ x : P (x). üÔÏ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÓÔÉÎÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ x2 + 1 = 0. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ËÁËÏ×Ï ÂÙ ÎÉ ÂÙÌÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ x, x2 + 1 6= 0. ÷ ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ËÁË ∀ x ÎÅ P (x). äÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÄÉËÁÔÁ P (x) ÅÓÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ2 : ÎÅ ∃ x : P (x) ⇔ ∀ x ÎÅ P (x); ÎÅ ∀ x P (x) ⇔ ∃ x : P (x). ëÁË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ, ËÏÇÄÁ × ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ Ë×ÁÎÔÏÒÁ. ðÒÉÍÅÒ 2.9. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x É y | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á P (x; y ) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÄÉËÁÔ x + y = 0. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÓËÁ- ÚÙ×ÁÎÉÊ ÓÌÏ×ÁÍÉ É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÉÈ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ. (Á) ∀ x ∃ y : P (x; y ); 2 (Â) ∃ y : ∀ x P (x; y ). ÷ ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ ÚÎÁÞËÏÍ ⇔ . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 30 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï òÅÛÅÎÉÅ. (Á) ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ∀ x ∃ y : P (x; y ) ÇÏ×ÏÒÉÔ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ y , ÞÔÏ x+y = 0. ïÎÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÅÒÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ËÁËÏÅ ÂÙ ÞÉÓÌÏ x ÍÙ ÎÉ ×ÚÑÌÉ, ÞÉÓÌÏ y = −x ÏÂÒÁÝÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï x + y = 0 × ×ÅÒÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï. (Â) ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ∃ y : ∀ x P (x; y ) ÞÉÔÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ y , ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï x + y = 0. üÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÔÁË: ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ y , ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÌÏÖÎÏ. 2.3. íÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ðÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÉÑ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ | ÎÅÏÔßÅÍÌÅÍÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÏ×ÅÒËÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÏÚÎÉËÁÅÔ, ËÏÇÄÁ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ×ÉÄÁ (P ⇒ Q). óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÔÉÏ× ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ: ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P ÉÓÔÉÎÎÏ É ÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ Q. ÁËÏÊ ÓÏÓÏÂ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÉÓËÌÀÞÁÅÔ ÓÉÔÕÁ ÉÀ, ËÏÇÄÁ P ÉÓÔÉÎÎÏ, Á Q | ÌÏÖÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÍÅÎÎÏ × ÜÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P ⇒ Q) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÌÏÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (ÓÍ. ÔÁÂÌ. 2.5 ÎÁ ÓÔÒ. 27). 1. ðÒÑÍÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ. 2. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ Q ÌÏÖÎÏ É ÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÏÛÉÂÏÞÎÏÓÔØ P . Ï ÅÓÔØ, ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ, ÒÑÍÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÏ×ÅÒÑÅÍ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ ((ÎÅ Q) ⇒ (ÎÅ P )), ÞÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÍÅÒÕ 2.5, ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ (P ⇒ Q). ðÒÅÄÏÌÏÖÉ×, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P ÉÓÔÉÎÎÏ, Á Q ÌÏÖÎÏ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. üÔÏÔ ÓÏÓÏÂ ÏÑÔØ-ÔÁËÉ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P ⇒ Q) ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÌÏÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ P ÉÓÔÉÎÎÏ, Á Q ÌÏÖÎÏ. 3. íÅÔÏÄ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ. ðÒÉÍÅÒ 2.10. ðÏËÁÖÉÔÅ ÒÑÍÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ xy Ä×ÕÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ x É y ×ÓÅÇÄÁ ÎÅÞÅÔÎÏ. 2.3. íÅÔÏÄÙ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× 31 òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, É × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ x, ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ x = 2m + 1, ÇÄÅ m | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, y = 2n + 1 Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÅÌÙÍ n. úÎÁÞÉÔ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ xy = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1 ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. ðÒÉÍÅÒ 2.11. ðÕÓÔØ n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÓÏÓÏÂ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ÞÔÏ ÅÓÌÉ n2 ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ É n ÎÅÞÅÔÎÏ. òÅÛÅÎÉÅ. ïÔÒÉ ÁÎÉÅÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ Ï ÎÅÞÅÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ n2 ÓÌÕÖÉÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ n2 ÞÅÔÎÏ, Á ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ Ï ÞÅÔÎÏÓÔÉ n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÞÉÓÌÏ n ÎÅÞÅÔÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ ÒÑÍÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÞÔÏ ÞÅÔÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ n ×ÌÅÞÅÔ ÞÅÔÎÏÓÔØ ÅÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ n2 . ÁË ËÁË n ÞÅÔÎÏ, ÔÏ n = 2m ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ m. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n2 = 4m2 = 2(2m2 ) | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ðÒÉÍÅÒ 2.12. íÅÔÏÄÏÍ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 = 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, Ô. Å. ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ ÄÒÏÂÉ Ó ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÉÔÅÌÅÍ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ. òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ ÎÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÏÕÓÔÉÔØ, ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ x ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 = 2 ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ, Ô. Å. ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÄÒÏÂÉ x = m n Ó ÅÌÙÍÉ m É n, ÒÉÞÅÍ n 6= 0. ðÒÅÄÏÌÏÖÉ× ÜÔÏ, ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÌÉÂÏ Ó ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅÍ, ÌÉÂÏ Ó ËÁËÉÍ-ÔÏ ÒÁÎÅÅ ÄÏËÁÚÁÎÎÙÍ ÆÁËÔÏÍ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ 2m 3m × ×ÉÄÅ ÄÒÏÂÉ. îÁÒÉÍÅÒ, x = m n = 2n = 3n É Ô. Ä. ïÄÎÁËÏ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ m É n ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔØ ÚÁÉÓÉ ÒÏÁÄÁÅÔ. éÔÁË, ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ÄÒÏÂØ x = m n ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÁ (m É n ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ). ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÞÉÓÌÏ x ÕÄÏ2 ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ x2 = 2. úÎÁÞÉÔ, m m2 = 2n2 . n = 2, ÏÔËÕÄÁ 2 éÚ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ m ÞÅÔÎÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, m ÔÏÖÅ ÞÅÔÎÏ (ÓÍ. ÕÒ. Á(Â)) É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ×ÉÄÅ m = 2p ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ p. ðÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁÉÀ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï m2 = 2n2 , ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ 4p2 = 2n2 , Ô. Å. n2 = 2p2 . îÏ ÔÏÇÄÁ n ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ËÁË m, ÔÁË É n | ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÎÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ 32 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÂÝÉÍ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ 2. åÓÌÉ ÖÅ ÔÅÅÒØ ×ÓÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ Õ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ ÄÒÏÂÉ m n, ÔÏ Õ×ÉÄÉÍ Ñ×ÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. îÁÊÄÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÍÕ ×Ù×ÏÄÕ: ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 = 2 ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, Ô. Å. ÏÎÏ ÉÒÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ. 2.4. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ ëÏÍØÀÔÅÒÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÉÌÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÄÅÌÁÅÔ ÔÏ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÏ × ÅÅ ÓÅ ÉÆÉËÁÉÉ. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÍÏÖÅÔ ÄÁ×ÁÔØ ÏÖÉÄÁÅÍÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÓÌÕÞÁÅ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÉÅÍÁÍÉ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÌÏÇÉËÉ, ÞÔÏ ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÂÕÄÕÔ ÏÌÕÞÁÔØÓÑ ÒÉ ÌÀÂÙÈ ××ÏÄÉÍÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ. ï ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÁÈ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ, ÒÁÚÍÅÝÅÎÎÏÍ × ËÏÎ Å ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Ù. ðÒÏ×ÅÒËÁ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÉËÌÙ, ÎÕÖÄÁÅÔÓÑ × ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÍÏÝÎÏÍ ÍÅÔÏÄÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ . ðÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÍ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Á ÜÔÏÇÏ ×ÁÖÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ, ÄÏËÁÚÁ× ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÅÇÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÎÁÂÏÒÁ a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. begin i := 0; M := 0; while i < n do begin j := j + 1; M := max(M; a); end end äÅÊÓÔ×ÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁ ÎÁÂÏÒÅ ÄÁÎÎÙÈ: a1 = 4, a2 = 7, a3 = 3 É a4 = 8 ÒÏÓÌÅÖÅÎÏ × ÔÁÂÌ. 2.7. ÁÂÌÉ Á 2.7 j < 4? j M 0 1 0 4 äÁ äÁ 2 3 4 7 7 8 äÁ äÁ îÅÔ 2.4. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ 33 ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÙÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ M = 8, ÞÔÏ ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ M ÒÁ×ÎÁ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÍÕ ÉÚ ÞÉÓÅÌ ÎÁÂÏÒÁ, ÒÏÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ Ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ. îÏ ÂÕÄÅÔ ÌÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ××ÏÄÉÍÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÞÉÓÅÌ ÄÌÉÎÙ n? òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ××ÏÄÉÍÙÊ ÎÁÂÏÒ a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an ÄÌÉÎÙ n É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Mk ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ M ÏÓÌÅ k -ÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ. 1. åÓÌÉ ÍÙ ××ÏÄÉÍ ÎÁÂÏÒ a1 ÄÌÉÎÙ 1, ÔÏ ÉËÌ ÓÄÅÌÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÏÈÏÄ É M ÒÉÓ×ÏÉÔÓÑ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÉÚ 0 É a1 , ËÏÔÏÒÙÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ a1 (ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÂÏÌØÛÅ 0). ÷ ÜÔÏÍ ÒÏÓÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×Ù×ÏÄ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ. 2. åÓÌÉ ÏÓÌÅ k -ÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ Mk | ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÎÁÂÏÒÁ a1 ; a2 ; : : : ; ak , ÔÏ ÏÓÌÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÏÈÏÄÁ Mk+1 ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏ max(Mk ; ak+1 ), Ô. Å. ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÎÁÂÏÒÁ a1 ; a2 ; : : : ; ak ; ak+1 . ÷ . 1 ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ××ÏÄÉÍÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÄÌÉÎÙ 1. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÏÇÌÁÓÎÏ . 2, ÏÎ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÂÏÔÁÔØ É ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÄÌÉÎÙ 2. ÷ÎÏ×Ø ÒÉÍÅÎÑÑ . 2 ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÍÙ ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏ É ÎÁ ÌÀÂÙÈ ÎÁÂÏÒÁÈ ÄÌÉÎÙ 3, É Ô. Ä. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÎÁ ÌÀÂÙÈ ÎÁÂÏÒÁÈ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ n, Ô. Å. ÏÎ ËÏÒÒÅËÔÅÎ. îÁ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÒÉÎ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ ðÕÓÔØ P (n) | ÒÅÄÉËÁÔ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ 1. P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ É 2. ∀ k > 1 ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ×ÅÒÎÁ. ÏÇÄÁ P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ n. ðÒÉÍÅÒ 2.13. äÏËÁÖÉÔÅ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 1 + 2 + ··· +n = ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n. n(n + 1) 2 34 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï nn òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ P (n) | ÒÅÄÉËÁÔ 1 + 2 + · · · + n = . 2 ÷ ÓÌÕÞÁÅ n = 1 ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á | ÒÏÓÔÏ 1, Á ×ÙÞÉÓÌÑÑ ( +1) ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ, ÏÌÕÞÁÅÍ 1(1 + 1) = 1: 2 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 1 + 2 + · · · + k = ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ k . ÏÇÄÁ kk ( +1) 2 ÉÍÅÅÔ 1 + 2 + · · · + k + (k + 1) = (1 + 2 + · · · + k ) + (k + 1) = k (k + 1) = + (k + 1) = 2 1 = k (k + 1) + 2(k + 1) = 2 1 = (k + 2)(k + 1) = 2 (k + 1)(k + 2) = : 2 ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k ÉÍÌÉËÁ ÉÑ P (k ) ⇒ P (k + 1) ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á. úÎÁÞÉÔ, Ï ÒÉÎ ÉÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÒÅÄÉËÁÔ P (n) ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n. ðÒÉÍÅÒ 2.14. íÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ 7n − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6 ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÏËÁÚÁÔÅÌÅ n. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ a ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ b ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a = mb ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÅÌÏÍ ÞÉÓÌÅ m. îÁÒÉÍÅÒ, 51 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 17, ÏÓËÏÌØËÕ 51 = 3 · 17. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ÎÁÛÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÄÅÌÉÍÏÓÔÉ ÞÉÓÅÌ, ËÏÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ b ÞÉÓÅÌ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ b. ðÕÓÔØ P (n) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÄÉËÁÔ 7n − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6. ðÒÉ n = 1 ÉÍÅÅÍ 7n − 1 = 7 − 1 = 6; Ô. Å. ÒÅÄÉËÁÔ P (1) ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ 7k − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6 ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k . ÏÇÄÁ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2 35 7k+1 − 1 = 7(7k ) − 1 = = 7(7k − 1) + 7 − 1 = = 7(7k − 1) + 6: ÁË ËÁË 7k − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6, ÔÏ Ï ÕÏÍÑÎÕÔÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÄÅÌÉÍÏÓÔÉ ÓÕÍÍÁ 7(7k − 1) + 6 ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6. éÔÁË, 7k+1 − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 6, ÔÁË ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ÉÓÔÉÎÎÁ. éÎÄÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÒÅÄÉËÁÔÁ P (n) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n. ðÒÉÍÅÒ 2.15. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ x1 ; x2 ; : : : ; xn ÏÒÅ- ÄÅÌÅÎÁ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: x1 = 1 É xk+1 = xk + 8k ÒÉ k > 1: äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ: xn = (2n − 1)2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > 1. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÉËÁÔ xn = (2n − 1)2 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P (n). åÓÌÉ n = 1, ÔÏ (2n − 1)2 = (2 − 1)2 = 1, ÞÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P (1). äÏÕÓÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ xk = (2k − 1)2 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ k > 1. ÏÇÄÁ xk+1 = xk + 8k = = (2k − 1)2 + 8k = = 4k 2 + 4k + 1 = = (2k + 1)2 : 2 íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ xk+1 = 2(k + 1) − 1 É ÏÜÔÏÍÕ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ÄÏËÁÚÁÎÁ ÒÉ ×ÓÅÈ k > 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÍÕ ÒÉÎ ÉÕ, ÒÅÄÉËÁÔ P (n) ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÉÓÔÉÎÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ n. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2 2.1. ðÕÓÔØ P , Q É R | ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÓËÁ- ÚÙ×ÁÎÉÑ: P: ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ. 36 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Q: R: íÏÊ ÓÔÁËÁÎ ÕÓÔ. óÅÊÞÁÓ ÔÒÉ ÞÁÓÁ. úÁÉÛÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ËÁË ÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ×ËÌÀÞÁÀÝÅÅ P , Q É R. (Á) ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ É ÍÏÊ ÓÔÁËÁÎ ÎÅ ÕÓÔ. (Â) óÅÊÞÁÓ ÔÒÉ ÞÁÓÁ, Á Ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ. (×) åÓÌÉ ÓÅÊÞÁÓ ÔÒÉ ÞÁÓÁ, ÔÏ Ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ. (Ç) åÓÌÉ Ñ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ, ÔÏ ÍÏÊ ÓÔÁËÁÎ ÕÓÔ. (Ä) åÓÌÉ Ñ ÎÅ ÕÍÉÒÁÀ ÏÔ ÖÁÖÄÙ, ÔÏ ÍÏÊ ÓÔÁËÁÎ ÎÅ ÕÓÔ. 2.2. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ: ÒÏÚÙ ËÒÁÓÎÙÅ, Á ÞÅÒÅÚ Q | ÆÉÁÌËÉ ÓÉÎÉÅ. úÁÉÛÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ: (Á) ÅÓÌÉ ÒÏÚÙ ÎÅ ËÒÁÓÎÙÅ, ÔÏ ÆÉÁÌËÉ ÎÅ ÓÉÎÉÅ; (Â) ÒÏÚÙ ËÒÁÓÎÙÅ ÉÌÉ ÆÉÁÌËÉ ÎÅ ÓÉÎÉÅ; (×) ÌÉÂÏ ÒÏÚÙ ËÒÁÓÎÙÅ, ÌÉÂÏ ÆÉÁÌËÉ ÓÉÎÉÅ (ÎÏ ÎÅ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ) ËÁË ÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ. éÓÏÌØÚÕÑ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÄÏËÁÖÉÔÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (Á) É (Â). 2.3. óÏÓÔÁ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÅ ÉÓÔÉÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÉ ÌÀÂÙÈ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ Ó×ÏÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÑÍÉ . ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁÂÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÎÁÊÄÉÔÅ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÉ ÓÒÅÄÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ: (Á) ÎÅ (P É (ÎÅ P )); (Â) P ⇒ (ÎÅ P ); (×) (P É (P ⇒ Q)) ⇒ Q. 2.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (P ⇒ Q) ⇒ R ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ ((ÎÅ P ) ⇒ R) É (Q ⇒ R). 2.5. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ x ÓÌÏ×Ï ËÏÛËÁ, Á ÞÅÒÅÚ P (x) ÒÅÄÉËÁÔ Õ x ÅÓÔØ ÕÓÙ. úÁÉÛÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ × ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ: (Á) ÕÓÙ ÅÓÔØ Õ ×ÓÅÈ ËÏÛÅË; (Â) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ËÏÛËÁ ÂÅÚ ÕÓÏ×; (×) ÎÅ ÂÙ×ÁÅÔ ËÏÛÅË Ó ÕÓÁÍÉ. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2 37 úÁÉÛÉÔÅ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Â) × ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ, Á ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (×) ÚÁÉÛÉÔÅ ËÁË ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ, ÔÁË É ÓÌÏ×ÁÍÉ. 2.6. ðÕÓÔØ P (x) ÏÚÎÁÞÁÅÔ x ×ÙÓÏËÉÊ, Á Q(x) | x ÔÏÌÓÔÙÊ, ÇÄÅ x | ËÁËÏÊ-ÔÏ ÞÅÌÏ×ÅË. ðÒÏÞÉÔÁÊÔÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ: ∀ x (P (x) É Q(x)): îÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ÓÒÅÄÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ: (Á) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÅËÔÏ ËÏÒÏÔËÉÊ É ÔÏÌÓÔÙÊ; (Â) ÎÅÔ ÎÉËÏÇÏ ×ÙÓÏËÏÇÏ É ÈÕÄÏÇÏ; (×) ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÅËÔÏ ËÏÒÏÔËÉÊ ÉÌÉ ÈÕÄÏÊ. 2.7. (Á) ðÒÑÍÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÄÏËÁÖÉÔÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ- ×ÁÎÉÑ: n É m | ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ⇒ n + m | ÞÉÓÌÏ ÞÅÔÎÏÅ. (Â) äÁÊÔÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ: n2 | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ⇒ n | ÞÅÔÎÏÅ. (×) íÅÔÏÄÏÍ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ n + m | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ⇒ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ, Á ÄÒÕÇÏÅ | ÎÅÞÅÔÎÙÍ. 2.8. äÏËÁÖÉÔÅ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. (Á) 1 + 5 + 9 + · · · + (4n − 3) = n(2n − 1) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n. (Â) 12 +22 + · · · + n2 = 16 n(n +1)(2n +1) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n. (×) + 31·5 + · · · + (2n−1)1·(2n+1) = ÞÉÓÅÌ n. n n ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ 1 · 1 3 2 +1 (Ç) þÉÓÌÏ n3 − n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3 ÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÞÉÓÌÁ n. (Ä) 1 · 1! + 2 · 2!+ · · · + n · n! = (n + 1)! − 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n. (óÉÍ×ÏÌ n! ÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÁË n ÆÁËÔÏÒÉÁÌ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÔ 1 ÄÏ n ×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ: n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n.) 38 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï 2.9. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ x1 ; x2 ; : : : ; xn ÏÒÅ- ÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ x1 = 1 xk+1 = É xk ÒÉ k > 1: xk + 2 ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ x2 , x3 É x4 . äÏËÁÖÉÔÅ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ, ÞÔÏ xn = ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > 1. 1 2n − 1 2.10. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ x1 ; x2 ; : : : ; xn ÏÒÅ- ÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ x1 = 1; x2 = 2 É xk+1 = 2xk − xk−1 ÒÉ k > 1: ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ x3 , x4 É x5 . îÁÊÄÉÔÅ ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ xn É ÄÏËÁÖÉÔÅ ÅÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ. ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù ìÏÇÉËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÎÁÂÏÒ ÒÁ×ÉÌ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÂÏÓÎÏ- ×ÁÎÎÙÈ ×Ù×ÏÄÏ×. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÉÍÅÀÝÅÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, Ô. Å. ÏÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÉÌÉ ÌÏÖÎÙÍ . óÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÏ ÉÚ ÄÒÕÇÉÈ Ó Ï- ÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÕÏÔÒÅÂÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ É, ÉÌÉ, ÅÓÌÉ ... ÔÏ É ÎÅ. ÷ ÔÁÂÌ. 2.8 Ó×ÅÄÅÎÙ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ É, ÉÌÉ É ⇒. ÁÂÌÉ Á 2.8 P É Q P ÉÌÉ Q (P ⇒ Q) P Q é é é ì é ì é é é ì ì ì é ì ì ì é ì é é ä×Á ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ó×ÏÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× 39 ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÅÄÉËÁÔÏÍ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÁË: P (x). äÌÑ ×ÓÅÈ (∀) É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (∃) | ÜÔÏ Ë×ÁÎÔÏÒÙ. ðÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÒÑÍÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ×ÉÄÁ (P ⇒ Q) ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÂ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P ×Ù×ÏÄÑÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ Q. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (ÎÅ Q ⇒ ÎÅ P ) É (P ⇒ Q). íÅÔÏÄ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÉÍÌÉËÁ ÉÉ (P ⇒ Q), ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ Ï ÌÏÖÎÏÓÔÉ Q É ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P ÒÉÈÏÄÑÔ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÅÔÏÄÏÍ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ ÏÌÅÚÎÁ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ, ÉÓÔÉÎÎÏÇÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ðÒÉÎ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ | ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ: ðÕÓÔØ P (n) | ÒÅÄÉËÁÔ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ 1. P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ É 2. ∀ k > 1 ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (P (k ) ⇒ P (k + 1)) ×ÅÒÎÁ. ÏÇÄÁ P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ n. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× þÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÏÎ ÄÅÌÁÅÔ ÉÍÅÎÎÏ ÔÏ, ÞÔÏ É ÒÅÄÕÓÍÏÔÒÅÎÏ), ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÓÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, × ÎÅÍ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÈ ÄÏ , × ÔÅÞÅÎÉÅ É ÏÓÌÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. üÔÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ É ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÎÅÂÏÌØÛÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÉÌÉ ÒÅÄÉËÁÔÙ. ðÕÓÔØ P | ÒÅÄÉËÁÔ, ÉÓÔÉÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A, É Q | ÒÅÄÉËÁÔ, ÏÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ËÏÔÏÒÙÍ ÄÏÌÖÎÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ. ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ {P } A {Q} ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÁÂÏÔÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÉÓÔÉÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÅÄÉËÁÔÁ P , ÔÏ ÏÎÁ ÚÁËÏÎÞÉÔÓÑ ÒÉ ÉÓÔÉÎÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ Q. ðÒÅÄÉËÁÔ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÈÏÄÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÉÌÉ ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅÍ , Á Q | ×ÙÈÏÄÎÙÍ 40 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÉÌÉ ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅÍ . ÷ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ {P } A {Q} ÓÁÍÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÉËÁÔÏÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ A ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ {P } A {Q}. äÌÑ ÒÏÓÔÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÜÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÏ. úÁÄÁÞÁ 1. äÏËÁÖÉÔÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ òÁÚÎÏÓÔØ . òÁÚÎÏÓÔØ begin z := x − y ; end òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅÍ P Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: x = x1 É y = y1 . ðÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅ Q | ÜÔÏ z = x1 − y1 . ðÒÅÄÉËÁÔ {P } òÁÚÎÏÓÔØ {Q} ÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÁË ÅÓÌÉ x = x1 É y = y1 , ÔÏ z = x1 − y1 . éÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ x = x1 É y = y1 × ÔÅÌÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ z , x É y . ó ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ: z = x − y , x = x1 É y = y1 ×ÌÅËÕÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï z = x1 − y1 . ëÏÇÄÁ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ A ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ Ó ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ, ÍÙ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÍ ÅÇÏ ÎÁ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÏÔÒÅÚËÉ A1 ; : : : ; An É ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÅÏÞËÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ×ÉÄÁ {P } A1 {Q1 }; {Q1 } A2 {Q2 }; : : : ; {Qn−1 } An {Q}; ÇÄÅ ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÓÌÕÖÉÔ ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ. úÁÄÁÞÁ 2. äÏËÁÖÉÔÅ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏ- ÇÏÞÌÅÎ . ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ {x | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ} begin y := ax; y := (y + b)x; y := y + ; end {y = ax2 + bx + } òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÏÂØÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÁ ËÕÓÏÞËÉ, ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×Á× ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÅÄ- É ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÊ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× 41 {x = x1 } begin y := ax; Q1 → {y = ax1 É x = x1 } y := (y + b)x; Q2 → {y = ax21 + bx1 } y := y + ; end Q → {y = ax21 + bx1 + } P → ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÓÄÅÌÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ, ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ: {P } y := ax {Q1 }, {Q1 } y := (y + b)x {Q2 }, {Q2 } y := y + {Q}, | ×ÅÒÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅÄÉËÁÔ {P } ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ {Q} ÉÓÔÉÎÅÎ, Ô. Å. ÁÌÇÏÒÉÔÍ ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ËÏÒÒÅËÔÅÎ. áÌÇÏÒÉÔÍ Ó ÕÓÌÏ×ÎÙÍÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑÍÉ ÔÏÖÅ ÏÄÄÁÅÔÓÑ ÔÅÈÎÉËÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ëÏÇÄÁ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ if ... then, ×Ï ×ÈÏÄÎÙÈ É ×ÙÈÏÄÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÏÔÒÁÖÅÎÙ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÅ ÕÔÉ ÞÅÒÅÚ ×ÅÓØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ: ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÎÏÅ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ if ÕÓÌÏ×ÉÅ then ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 1; else ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 2; ××ÏÄÉÔ ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅ P , Á ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÄÁÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÅ Q. ÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÏÂÏÉÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×: É {P É ÕÓÌÏ×ÉÅ} ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 1 {Q} {P É ÎÅ (ÕÓÌÏ×ÉÅ)} ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ 2 {Q}. 42 çÌÁ×Á 2. ìÏÇÉËÁ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï úÁÄÁÞÁ 3. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ íÏÄÕÌØ ËÏÒÒÅËÔÅÎ. íÏÄÕÌØ {x | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ} begin if x > 0 then ab := x; else abs := −x; end {abs | ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁ x} òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅÍ P × ÎÁÛÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÓÌÕÖÉÔ {x = x1 }, Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅÍ Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ {abs | ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁ x}. ðÒÅÄÉËÁÔ {P É x > 0} abs := x {Q} ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÏÄÕÌØ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x1 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÎÉÍ ÓÁÍÉÍ. ðÒÅÄÉËÁÔ {P É ÎÅ (x > 0)} abs := −x {Q} ÔÏÖÅ ÉÓÔÉÎÅÎ, ÔÁË ËÁË ÍÏÄÕÌØ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x1 ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÎÅÇÏ ÚÎÁËÏÍ. éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÅÄ- É ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÊ ÒÉ ÒÏ×ÅÒËÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, × ËÏÔÏÒÙÈ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÉËÌÙ ÔÉÁ while ... do, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÇÒÏÍÏÚÄËÏ. ðÒÅÄÏÞÔÉÔÅÌØÎÅÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÔÁËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. úÁÄÁÞÁ 4. äÏËÁÖÉÔÅ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ë×ÁÄÒÁÔ . ë×ÁÄÒÁÔ {n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ} begin sq := 0; for i := 1 to n do sq := sq + 2i − 1; end {sq = n2 } òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ P (n) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÄÉËÁÔ sq = n2 ÏÓÌÅ n-ÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ, Á sqk | ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ sq ÏÓÌÅ k -ÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ (1) sq1 = 12 ; (2) ÅÓÌÉ sqk = k 2 , ÔÏ sqk+1 = (k + 1)2 . ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× 43 ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÈÏÄÁ ÉËÌÁ sq1 = 1 É ÕÎËÔ (1) ×ÙÏÌÎÅÎ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ k -ÏÊ ÅÔÌÉ ÉËÌÁ sqk = k 2 . ÏÇÄÁ ÏÓÌÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÏÈÏÄÁ sqk+1 = sqk + 2(k + 1) − 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÎËÔ (2) ÔÏÖÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ. éÔÁË, ÍÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌÉ, ÞÔÏ P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ (. (1)). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Ï ×ÔÏÒÏÍÕ ÕÎËÔÕ ÉÍÌÉËÁ ÉÑ ((P (k ) ⇒ P (k + 1)) ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÒÉ ÌÀÂÏÍ k > 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÎ ÉÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ, P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n. ÷ ÚÁÄÁÞÅ 4 ÉËÌ for ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÉÔÅÒÁ ÉÊ (ÒÏÈÏÄÏ×). ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÅÔÅÌØ ÉËÌÁ ÚÁÒÁÎÅÅ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ, ËÁË × ÉËÌÅ while ... do, ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÉÎÄÕË ÉÅÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÏÈÏÄÏ× ×ÓÅ ÖÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ É ÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ×ÙÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ. ðÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÅÔÅÌØ ÔÁËÏÇÏ ÉËÌÁ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ËÏÎÅÞÎÏ. çìá÷á 3 åïòéñ íîïöåó÷ ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× | ÏÄÉÎ ÉÚ ËÒÁÅÕÇÏÌØÎÙÈ ËÁÍÎÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÉÊ ÕÄÏÂÎÙÊ ÑÚÙË ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÍÁÓÓÙ ËÏÎ Å ÉÊ ËÁË × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÔÁË É × É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. ÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÉÛÅÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÏÓÏÂÙ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÚÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ. òÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ, ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ É ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÈ ÷ÅÎÎÁ. áÎÁÌÏÇÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ ÍÅÖÄÕ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ É ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÇÌÁ×Ù, ÏÂÕÄÑÔ ÎÁÓ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÔÏÖÄÅÓÔ×. îÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÜÔÉÈ ÔÏÖÄÅÓÔ×, ÓÏÂÒÁÎÎÙÈ ×ÍÅÓÔÅ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× É, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÂÕÄÕÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÙ ÄÌÑ ×Ù×ÏÄÁ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. úÄÅÓØ ÍÙ ÏÓ×ÏÉÍ ÔÁËÉÅ ÎÏ×ÙÅ ÏÎÑÔÉÑ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÉÎ É ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑ, ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÄÅËÁÒÔÏ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÉÍÉÔÁ ÉÉ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÍÁÎÉÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÂÉÔ). ïÎÉ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÓ×ÏÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ. ÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ× É ÍÎÏÖÅÓÔ× ÂÕÄÅÔ ÓÏÚÄÁÎÁ ÒÏÓÔÁÑ ÂÁÚÁ ÚÎÁÎÉÊ ÄÌÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÉÚ ÂÁÚÙ ÄÁÎÎÙÈ Ï ÂÒÉÔÁÎÓËÉÈ ËÏÒÏÌÑÈ É ËÏÒÏÌÅ×ÁÈ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó çÅÏÒÇÁ I. 3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ íÎÏÖÅÓÔ×Ï | ÜÔÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÏÂßÅËÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. îÁÒÉÍÅÒ, • {üÓÓÅËÓ, êÏÒËÛÉÒ, äÅ×ÏÎ}; • {2, 3, 5, 7, 11}; • {ÓÙÒ, ÑÊ Ï, ÍÏÌÏËÏ, ÓÍÅÔÁÎÁ}. ÷ ÜÔÏÍ ÒÉÍÅÒÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÁËÌÀÞÅÎÙ × ÆÉÇÕÒÎÙÅ ÓËÏÂËÉ . þÔÏÂÙ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÓÙÌÏË, ÍÙ ÏÂÙÞÎÏ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÏÉÓÎÙÍÉ ÌÁÔÉÎÓËÉÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ. îÁ- 3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ 45 ÒÉÍÅÒ, S = {3; 2; 11; 5; 7} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÄÁÎÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÚÁÉÓØ a ∈ S ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂßÅËÔ a | ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . þÁÓÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ a ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S . åÓÌÉ ÏÂßÅËÔ a ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ S , ÔÏ ÉÛÕÔ: a 6∈ S . íÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ×ÙÉÓÁÔØ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÉÈ, × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×. æÏÒÍÁÌØÎÏ ÍÙ ÉÛÅÍ S = {x : P (x)} ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÄÉËÁÔ P (x) ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÚÁÉÓØ S = {x : x | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ} ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S = {1; 3; 5; 7; : : :}: ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ 2n − 1, ÇÄÅ n | ÌÀÂÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÅ ÄÏÕÓÔÉÍÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÏÇÏ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: S = {2n − 1 : n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ}: ðÒÉÍÅÒ 3.1. îÁÊÄÉÔÅ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÅÒÅÞÉ- ÓÌÑÀÝÅÅ ÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. (Á) A = {x : x | ÅÌÏÅ É x2 + 4x = 12}; (Â) B = {x : x | ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÄÎÑ ÎÅÄÅÌÉ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÂÕË×Ù Å}; (×) ó = {n2 : n | ÅÌÏÅ}. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) åÓÌÉ x2 +4x = 12, ÔÏ x(x +4) = 12. ðÏÓËÏÌØËÕ x | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÄÅÌÑÝÅÅ 12, ÔÏ ÏÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÏ ÔÏÌØËÏ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 É ±12. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, x + 4 ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔ 12. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ: x = −6 ÉÌÉ x = 2. äÒÕÇÏÊ ÓÏÓÏÂ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÔÙÓËÁÎÉÉ ËÏÒÎÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 + 4x − 12 = 0. ïÎ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÏÔ×ÅÔÕ x = −6 ÉÌÉ x = 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A = {−6; 2}. 46 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× (Â) B = {×ÔÏÒÎÉË, ÑÔÎÉ Á, ÓÕÂÂÏÔÁ}. (×) ó = {0; 1; 4; 9; 16; : : :}. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÉÓÅÌ ÓÔÏÌØ ÞÁÓÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ, ÞÔÏ ÉÍÅÀÔ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÎÁÚ×ÁÎÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. ∅ | ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï; N = {1; 2; 3; : : :} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ; Z = {0; ±1; ±2; ±3; : : :} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ; Q = { pq : p; q ∈ Z; q 6= 0} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ; R = {×ÓÅ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ . þÉÔÁÔÅÌØ ÄÏÌÖÅÎ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ËÎÉÇÁÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ N ×ËÌÀÞÁÀÔ É 0. ÷ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÑÚÙËÁÈ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÏÂßÑ×ÌÑÌÉÓØ ËÁË ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍÕ ÔÉÕ ÄÁÎÎÙÈ . É ÄÁÎÎÙÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂßÅËÔÏ× ÓÏ ÓÉÓËÏÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÎÉÍÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÉÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕËÁÚÁÎÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÀÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÏÓÏÂÏ× ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÏ×ÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ Ä×ÕÈ ÄÁÎÎÙÈ. ïÉÛÅÍ ËÏÒÏÔËÏ ÜÔÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ×ÙÛÅÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÁÈ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÌÉ ÄÒÕÇÉÍ Â ÏÌØÛÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ. îÁÒÉÍÅÒ, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ó = {0; 1; 4; 9; 16; : : :} ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z = {0; ±1; ±2; ±3; : : :}. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S . üÔÏÔ ÆÁËÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÔÁË: A ⊂ S . îÁ ÒÉÓ. 3.1 ÄÁÎÁ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÑ ÜÔÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ËÁÒÔÉÎËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ ÷ÅÎÎÁ. ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÎÙÍÉ , ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÄÒÕÇÏÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. îÁ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÄÌÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× A = B ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÉÍÌÉËÁ ÉÊ: {x ∈ A ⇒ x ∈ B } É {x ∈ B ⇒ x ∈ A}: 3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ 47 S A òÉÓÕÎÏË 3.1. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ⊂S ðÒÉÍÅÒ 3.2. ðÕÓÔØ A = {n : n2 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ} É B = {n : n | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ}: ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ A = B . åÓÌÉ x ∈ A, ÔÏ x2 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. ëÁË ÍÙ ÒÏ×ÅÒÉÌÉ × ÒÉÍÅÒÅ 2.11, ÏÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÁÍÏ ÞÉÓÌÏ x | ÅÌÏÅ É ÎÅÞÅÔÎÏÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x ∈ B , Ô. Å. A ⊂ B . ÷ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÕÓÔØ x ∈ B . ÏÇÄÁ x | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÍÅÒÕ 2.10, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ x2 ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÔ ÎÅÞÅÔÎÙÍ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, Á ÚÎÁÞÉÔ, x ∈ A. ÷ ×ÉÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÓÔÉ ×ÚÑÔÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ B ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ B ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ A, Ô. Å. B ⊂ A. éÔÁË, A = B . òÅÛÅÎÉÅ. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ B = {x : x ∈ A ÉÌÉ x ∈ B }: ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÌÉÂÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A, ÌÉÂÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B , Á ×ÏÚÍÏÖÎÏ É ÏÂÏÉÍ ÓÒÁÚÕ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.2. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∩ B = {x : x ∈ A É x ∈ B }: ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A, ÔÁË É ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B . äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.3. 48 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× A B òÉÓÕÎÏË 3.2. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ A A ∪B A ∩B B òÉÓÕÎÏË 3.3. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ äÏÏÌÎÅÎÉÅÍ1 ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÄÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ A \ B = {x : x ∈ A É x 6∈ B }: äÏÏÌÎÅÎÉÅ A \ B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ B (ÓÍ. ÒÉÓ. 3.4). åÓÌÉ ÍÙ ÏÅÒÉÒÕÅÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÎÅËÏÅÇÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U , ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ U ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. îÁ ÎÁÛÉÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÈ ÷ÅÎÎÁ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË ËÁË ÒÁÚ É ÓÉÍ×ÏÌÉÚÉÒÕÅÔ ÜÔÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. äÌÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ A ÄÏ U , Ô. Å. U \ A. ðÏÓËÏÌØËÕ × ËÁÖÄÏÊ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï U \ A ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ A É ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÏÓÔÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅÍ 1 äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÜÔÕ ÖÅ ÏÅÒÁ ÉÀ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁÚÎÏÓÔØÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 3.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ 49 ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÎÉÍÁÑ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÁÂÏÔÁÅÍ Ó ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U , ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ A = {x : ÎÅ (x ∈ A)} ⇔ A = {x : x 6∈ A}: äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.5. B A òÉÓÕÎÏË 3.4. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÒÁÚÎÏÓÔÉ A \B A òÉÓÕÎÏË 3.5. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ A óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔØÀ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A △ B = {x : (x ∈ A É x 6∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ B É x 6∈ A)}: ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÔÅÈ É ÔÏÌØËÏ ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÉÂÏ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ A É ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ B , ÌÉÂÏ ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ B , ÎÏ ÎÅ A. çÒÕÂÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÌÅÖÁÝÉÈ ÌÉÂÏ × A, ÌÉÂÏ × B , ÎÏ ÎÅ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÁÑ ÎÏ×ÏÅ ÏÎÑÔÉÅ, ÎÁÞÅÒÞÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.6. 50 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× B A òÉÓÕÎÏË 3.6. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ A △B ðÒÉÍÅÒ 3.3. ðÕÓÔØ A = {1; 3; 5; 7}; B = {2; 4; 6; 8}; C = {1; 2; 3; 4; 5}: îÁÊÄÉÔÅ A ∪ C , B ∩ C , A \ C É B △ C . òÅÛÅÎÉÅ. A ∪ C = {1; 3; 5; 7; 2; 4}; B ∩ C = {2; 4}; A \ C = {7}; B △ C = (B \ C ) ∪ (C \ B ) = {6; 8} ∪ {1; 3; 5} = {6; 8; 1; 3; 5}. ðÒÉÍÅÒ 3.4. ðÕÓÔØ A = {x : 1 6 x 6 12 É x ÞÅÔÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ}; B = {x : 1 6 x 6 12 É x ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÒÁÔÎÏÅ 3}: õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ (A ∩ B ) = A ∪ B . òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÚÄÅÓØ ÓÌÕÖÉÔ U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}: ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, A = {2; 4; 6; 8; 10; 12} É B = {3; 6; 9; 12}: 3.2. áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× 51 ðÏÜÔÏÍÕ É (A ∩ B ) = {6; 12} = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11} A ∪ B = {1; 3; 5; 7; 9; 11} ∪ {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11} = = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11}: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (A ∩ B ) = A ∪ B . 3.2. áÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× éÚ ÏÅÒÁ ÉÊ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÛÌÁ ÒÅÞØ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ, ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÉÈ ËÁÖÕÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍÉ, ÄÒÕÇÉÅ | ÍÅÎØÛÅ, ÎÏ ×ÓÅ ÔÒÅÂÕÀÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÂÕÄÕÔ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ1 ÍÅÖÄÕ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ É ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÄ ÒÅÄÉËÁÔÁÍÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÔÒÁÖÅÎÏ × ÔÁÂÌ. 3.1. ÁÂÌÉ Á 3.1 ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ìÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ∪ ÉÌÉ ÎÅ ∩ É ⊂ ⇒ ðÒÉÍÅÒ 3.5. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ: (A ∩ B ) = A ∪ B . òÅÛÅÎÉÅ. (A ∩ B ) = {x : x 6∈ (A ∩ B )} = = {x : ÎÅ (x ∈ (A ∩ B ))} = = {x : ÎÅ (x ∈ A) É (x ∈ B ))}; A ∪ B = {x : (x 6∈ A) ÉÌÉ (x 6∈ B )} = = {x : (ÎÅ (x ∈ A)) ÉÌÉ (ÎÅ (x ∈ B ))}: óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÌÅÇËÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×: ÎÅ (P É Q) 1 É (ÎÅ P ) ÉÌÉ (ÎÅ Q); óÔÒÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÅÇÏ ÔÏÖÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÔØ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 52 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÇÄÅ P É Q | ÒÏÓÔÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ. ïÉÒÁÑÓØ ÔÅÅÒØ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ É ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ (ÔÁÂÌ. 3.1), ÍÏÖÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÒÅÄÉËÁÔ ÎÅ (P É Q) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ (A ∩ B ), Á (ÎÅ P ) ÉÌÉ (ÎÅ Q) | ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A∪B . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (A ∩ B ) = A ∪ B . ó×ÏÊÓÔ×Ï, ÄÏËÁÚÁÎÎÏÅ × ÒÉÍÅÒÅ 3.5, ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ËÁË ÏÄÉÎ ÉÚ ÚÁËÏÎÏ× ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ. æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÚÁËÏÎÁÍ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× . üÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÙ × ÔÁÂÌÉ Å 3.2. ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÏËÁÚÁÎÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÙ × ÒÉÍÅÒÅ 3.5. ÷ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏÅ ÉÚÕÞÅÎÉÅ Ó×ÏÄÁ ÚÁËÏÎÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÔÁÂÌ. 3.2) ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ× ÒÁ×ÏÊ ËÏÌÏÎËÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÏ ÉÚ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ÌÅ×ÏÊ ÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ ∪ ÎÁ ∩, ∅ ÎÁ U É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. ÁËÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÔÏÖÄÅÓÔ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁËÏÎÏÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ , Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á | Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. ÁÂÌÉ Á 3.2. úÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× úÁËÏÎÙ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B ) ∪ C A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B ) ∩ C úÁËÏÎÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ A ∪B =B∪A A ∩B =B∩A úÁËÏÎÙ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á A ∪∅ =A A ∩U =A A ∪U =U A ∩∅=∅ A ∪A=A A ∩A=A úÁËÏÎÙ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ úÁËÏÎÙ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) úÁËÏÎÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ A ∪A=U A ∩A=∅ U =∅ ∅=U A =A A =A úÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ (A ∪ B ) = A ∩ B (A ∩ B ) = A ∪ B úÁËÏÎ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×. åÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÄÁÎÎÏÇÏ 3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× 53 ÒÏÓÔÏÇÏ ÕÞÅÂÎÉËÁ. ïÄÎÁËÏ, ÒÉÎÑ× ÅÇÏ ÎÁ ×ÅÒÕ, ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ ÓÅÂÅ ÖÉÚÎØ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÏËÁÚÁ× ËÁËÏÅ-ÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ× É ÏÂÒÁÔÉ× ÏÅÒÁ ÉÉ, ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÔØ É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï. ðÒÉÍÅÒ 3.6. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A É B ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×Õ: A △ B = (A ∪ B ) ∩ (A ∩ B ): òÅÛÅÎÉÅ. îÁÏÍÎÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÍÎÏ- ÖÅÓÔ×: A △ B = (A ∩ B ) ∪ (B ∩ A): óÏÇÌÁÓÎÏ ÚÁËÏÎÁÍ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÉÍÅÅÍ. (A ∪ B ) ∩ (A ∩ B ) = (Ú. ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ B )) = (Ú. ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×Î.) = (A ∩ (A ∪ B )) ∪ (B ∩ (A ∪ B )) = (Ú. ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×Î.) = ((A ∪ B ) ∩ A) ∪ ((A ∪ B ) ∩ B ) = (Ú. ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×Î.) = ((A ∩ A) ∪ (A ∩ B )) ∪ ((B ∩ A) ∪ (B ∩ B )) = (Ú. ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×Î.) = ((A ∩ A) ∪ (B ∩ A)) ∪ ((A ∩ B ) ∪ (B ∩ B )) = (Ú. ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ) = (∅ ∪ (B ∩ A)) ∪ ((A ∩ B ) ∪ ∅) = (Ú. ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×Î. É ÔÏÖÄÅÓÔ×Á) = (A ∩ B ) ∪ (B ∩ A) óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A △ B = (A ∪ B ) ∩ (A ∩ B ); ËÁË É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ. 3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× ÷ ÇÌÁ×Å 6 ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÚÕÞÁÔØ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÕ , ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÍÅÀÝÕÀ ÄÅÌÏ Ó ÏÄÓÞÅÔÏÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÔÅÈ ÉÌÉ ÉÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. ÷ÏÒÏÓÙ ÅÒÅÓÞÅÔÁ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÙÍÉ, ËÏÇÄÁ Õ ÷ÁÓ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÒÅÓÕÒÓÙ. îÁÒÉÍÅÒ, ÓËÏÌØËÏ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÍÏÖÅÔ ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÔØ ÄÁÎÎÁÑ ËÏÍØÀÔÅÒÎÁÑ ÓÅÔØ? éÌÉ ÓËÏÌØËÏ ÏÅÒÁ ÉÊ ÂÕÄÅÔ ÓÄÅÌÁÎÏ ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ? 54 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× íÏÝÎÏÓÔØÀ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÎÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ |S |. óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÄÁÅÔ ÒÏÓÔÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. éÓÏÌØÚÕÑ ÉÎÄÕË ÉÀ, ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×. æÏÒÍÕÌÁ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ. |A ∪ B | = |A| + |B | − |A ∩ B |: äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 3.7, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×: A \ B , A ∩ B É B \ A, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, A = (A \ B ) ∪ (A ∩ B ) É B = (B \ A) ∪ (A ∩ B ): ÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ: |A \ B | = m; |A ∩ B | = n; |B \ A| = p: ÏÇÄÁ |A| = m + n, |B | = n + p É |A ∪ B | = m + n + p = = (m + n) + (n + p) − n = = |A| + |B | + |A ∩ B |: A B A B òÉÓÕÎÏË 3.7. B A 3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× 55 ðÒÉÍÅÒ 3.7. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ 63 ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÅÒ×ÏÇÏ ËÕÒÓÁ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÈ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÕ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ, ÍÏÖÅÔ ÏÓÅÝÁÔØ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÌÅË ÉÉ. åÓÌÉ 16 ÉÚ ÎÉÈ ÓÌÕÛÁÀÔ ÅÝÅ ËÕÒÓ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÉ, 37 | ËÕÒÓ ËÏÍÍÅÒÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ, É 5 ÉÚÕÞÁÀÔ ÏÂÅ ÜÔÉ ÄÉÓ ÉÌÉÎÙ, ÔÏ ÓËÏÌØËÏ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÏÓÅÝÁÀÔ ÕÏÍÑÎÕÔÙÈ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÁÎÑÔÉÊ? òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. A = {ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÓÌÕÛÁÀÝÉÅ ËÕÒÓ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÉ}; B = {ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÓÌÕÛÁÀÝÉÅ ËÕÒÓ ËÏÍÍÅÒÞÅÓËÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ}: ÏÇÄÁ ðÏÜÔÏÍÕ, |A| = 16; |B | = 37; |A ∩ B | = 5: |A ∪ B | = 16 + 37 − 5 = 48: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 63 − 48 = 15 ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÎÅ ÏÓÅÝÁÀÔ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ËÕÒÓÏ×. æÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ËÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÂÏÂÝÅÎÁ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×. óÌÕÞÁÊ ÔÒÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÉ×ÅÄÅÎ × ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÈ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å. ðÒÉ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÉ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÅÒÅÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ïÄÎÁËÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÂÏÔÁÔØ É Ó ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÎÁÂÏÒÁÍÉ. þÔÏÂÙ ÈÏÒÏÛÏ ÏÓ×ÏÉÔØ ÜÔÏÔ ÎÏ×ÙÊ ÔÉ ÄÁÎÎÙÈ, ÍÙ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÏÊ. õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÉÓØ ×ÉÄÁ (a; b), ÇÄÅ a | ÜÌÅÍÅÎÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, Á b | ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÍ ÉÌÉ ÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ A × B . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A × B = {(a; b) : a ∈ A É b ∈ B }. ïÅÒÁ ÉÑ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÍÅÅÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÌÏÔÎÕÀ ÏÄ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÏÎÑÔÉÑÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ É ÆÕÎËÉÑ , ÉÇÒÁÀÝÉÍ ÚÁÍÅÔÎÕÀ ÒÏÌØ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÍ ÒÅÄÍÅÔ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÇÌÁ×. ðÒÉÍÅÒ 3.8. ðÕÓÔØ A = {x; y } É B = {1; 2; 3}. îÁÊÄÉÔÅ ÄÅËÁÒÔÏ×Ù ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ: A × B , B × A É B × B . òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ A × B Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {(x; 1); (x; 2); (x; 3); (y; 1); (y; 2); (y; 3)}: 56 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ðÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ B × A | ÜÔÏ {(1; x); (2; x); (3; x); (1; y ); (2; y ); (3; y )}: úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × B É B × A ÒÁÚÌÉÞÎÙ! ðÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ B × B ÓÌÕÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)}: ïÓÎÏ×Ù×ÁÑÓØ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ 3.8, ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÒÁ×ÎÁ1 |A × B | = mn; ÅÓÌÉ |A| = m É |B | = n: åÓÌÉ ÖÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÉÌÉ ÓÒÁÚÕ ÏÂÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙ, ÔÏ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ. ëÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÷ÅÎÎÁ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÕÀ ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × B ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 3.8 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.8 x (x, 1) (x, 2) (x, 3) y (y, 1) (y, 2) (y, 3) 1 2 3 A B òÉÓÕÎÏË 3.8. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á R ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÓÁÍÏ ÓÅÂÑ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï R×R ÉÌÉ R2 , ËÁË ÅÇÏ ÞÁÓÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (x; y ). éÈ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ËÁË ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞÅË ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï R2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ . ïÎÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 3.9 1 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁË, ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A (Á ÉÈ ÒÏ×ÎÏ m ÛÔÕË) ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ × n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒÁÈ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 3.3. äÁÌØÎÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× 57 äÅËÁÒÔÏ×ÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× A1 , A2 , . . . , An ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A1 × A2 × · · · An = {(a1 ; a2 ; : : : ; an ) : ai ∈ Ai ; i = 1; 2; : : : ; n}: üÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÒÏÓÔÏ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ , ÏÂßÅËÔÙ, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÒÁÂÏÔÁÀÔ ×ÓÅ ÑÚÙËÉ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÑÍÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÔÁËÖÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂßÅËÔ ÏÂÒÁÂÏÔËÉ × ÂÁÚÁÈ ÄÁÎÎÙÈ. ÷ÓÅ ÜÔÉ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÙ × ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÇÌÁ×ÁÈ. y (3, 2) x òÉÓÕÎÏË 3.9. äÅËÁÒÔÏ×Á ÌÏÓËÏÓÔØ ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× A1 , A2 , . . . , An ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ A, ÍÙ ÉÛÅÍ An ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ n ÜËÚÅÍÌÑÒÏ× A. ðÒÉÍÅÒ 3.9. ðÕÓÔØ B = {0; 1}. ïÉÛÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B n . òÅÛÅÎÉÅ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÕÌÅÊ É ÅÄÉÎÉ ÄÌÉÎÙ n. ïÎÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÔÒÏËÏÊ ÂÉÔ ÉÌÉ ÂÉÔÏ×ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ ÄÌÉÎÙ n. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÎÁÛÅÇÏ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ËÁË ÓÔÒÏËÁ ÂÉÔ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. ðÕÓÔØ S = {s1 ; s2 ; : : : ; sn }, ÒÉÞÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÙ ÏÍÅÔÉÌÉ ÞÉÓÌÏ×ÙÍÉ ÉÎÄÅËÓÁÍÉ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÓÓÙÌÏË. åÓÌÉ A ⊂ S , ÍÙ ÏÓÔÁ×ÉÍ ÅÍÕ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ n-ÂÉÔÎÕÀ ÓÔÒÏËÕ (b1 ; b2 ; : : : ; bn ), ÇÄÅ bi = 1, ÅÓÌÉ si ∈ A É bi = 0 × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ÁËÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÂÉÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. ÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÉÍÉÔÉÒÏ×ÁÔØ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÍÉ Ë ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÁÍ, ÕÓÌÏ×É×ÉÛÉÓØ ÓÞÉÔÁÔØ 1 ÚÁ é, Á 0 ÚÁ ì. 58 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ðÒÉÍÅÒ 3.10. ðÕÓÔØ S = {1; 2; 3; 4; 5}, A = {1; 3; 5} É B = {3; 4}. ÷ÙÉÓÁÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ A É B , Á ÚÁÔÅÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× A ∪ B , A ∩ B É B . òÅÛÅÎÉÅ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ a = (1; 0; 1; 0; 1), Á ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÒÁ×ÅÎ b = (0; 0; 1; 1; 0). úÎÁÞÉÔ, a ÉÌÉ b = (1; 0; 1; 0; 1) ÉÌÉ (0; 0; 1; 1; 0) = (1; 0; 1; 1; 1); a É b = (1; 0; 1; 0; 1) É (0; 0; 1; 1; 0) = (0; 0; 1; 0; 0); ÎÅ b = ÎÅ (0; 0; 1; 1; 0) = (1; 1; 0; 0; 1): ðÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÎÁÍ ÂÅÚ ÚÁÉÎËÉ ÒÏÞÉÔÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÔÒÅÂÕÅÍÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×: A ∪ B = {1; 3; 4; 5}, A ∩ B = {3} É B = {1; 2; 5}. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3 3.1. (Á) ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×: A = {x : x ∈ Z É 10 6 x 6 17}; B = {x : x ∈ Z É x2 < 24}; C = {x : x ∈ Z É 6x2 + x − 1 = 0}; D = {x : x ∈ R É 6x2 + x − 1 = 0}: õËÁÚÁÎÉÅ: 6x2 + x − 1 = (3x − 1)(2x + 1): (Â) ïÒÅÄÅÌÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ× ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á: S = {2; 5; 8; 11; : : :}; T = {1; 1 3 ; 1 7 ; 1 15 ; : : :}. 3.2. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ U = {p; q; r; s; t; u; v; w}. ðÕÓÔØ A = {p; q; r; s}, B = = {r; t; v } É C = {p; s; t; u}. îÁÊÄÉÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×: (Á) B ∩ C ; (Â) A ∪ C ; (Ä) (A ∪ B ) ∩ (A ∩ C ); (Ö) B \ C ; (Ç) A ∩ B ∩ C ; (Å) (A ∪ B ); (×) C ; (Ú) B △ C . îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3 59 3.3. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÓÌÏ×ÁÒÑ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ. A = {x : x | ÓÌÏ×Ï, ÓÔÏÑÝÅÅ ÅÒÅÄ ÓÏÂÁËÁ }; B = {x : x | ÓÌÏ×Ï, ÓÔÏÑÝÅÅ ÏÓÌÅ ËÏÛËÁ}; C = {x : x | ÓÌÏ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ Ä×ÏÊÎÕÀ ÂÕË×Õ}. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÉÓÔÉÎÎÙ: (Á) C ⊂ A ∪ B ; (Â) ÂÁÓÓÅÊÎ ∈ B ∩ C ; (×) ÓÔÒÅÓÓ ∈ B △ C ; (Ç) A ∩ B = ∅. ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×: (Ä) A ∩ B ∩ C ; (Å) (A ∪ B ) ∩ C . 3.4. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ: A = {3n : n ∈ Z É n > 4}; B = {2n : n ∈ Z}; C = {n : n ∈ Z É n2 6 100}. (Á) éÓÏÌØÚÕÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ, ×ÙÒÁÚÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÅÒÅÚ A, B É C : (i) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ; (ii) {−10; −8; −6; −4; −2; 0; 2; 4; 6; 8; 10}; (iii) {6n : n ∈ Z É n > 2}; (iv) {−9; −7; −5; −3; −1; 1; 3; 5; 7; 9}. (Â) úÁÉÛÉÔÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A \ B × ÒÅÄÉËÁÔÁÈ. 3.5. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÓÅÒÉÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÷ÅÎÎÁ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÈ ÚÁËÏÎ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ: A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ): äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÚÁËÏÎ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ× ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A, B É C . 60 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× 3.6. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÓÅÒÉÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÷ÅÎÎÁ, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÈ ÓÌÅÄÕ- ÀÝÅÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï: A ∩ (B △ C ) = (A ∩ B ) △ (A ∩ C ): ðÏËÁÖÉÔÅ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ (B △ C ) ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ (A ∪ B ) △ (A ∪ C ). 3.7. äÏËÁÖÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÚÁËÏÎÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á: (Á) (A ∩ B ) ∪ B = A ∪ B ; (Â) (A ∩ (B ∪ C )) = A ∪ B ∪ C ; (×) (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅; (Ç) (A \ B ) \ C = A \ (B ∪ C ); (Ä) A △ A △ A = A. 3.8. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÏÅÒÁ ÉÀ ∗ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ: A ∗ B = (A ∩ B ): éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÷ÅÎÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∗ B . ó ÏÍÏÝØÀ ÚÁËÏÎÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÄÏËÁÖÉÔÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á: (Á) A ∗ A = A; (Â) (A ∗ A) ∗ (B ∗ B ) = A ∪ B ; (×) (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅; (Ç) (A ∗ B ) ∗ (A ∗ B ) = A ∩ B . 3.9. (Á) ðÏËÁÖÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÷ÅÎÎÁ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, B É C ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ: |A ∪ B ∪ C | = =|A| + |B | + |C | − |A ∩ B | − |B ∩ C | − |A ∩ C | + |A ∩ B ∩ C |: (Â) óÔÕÄÅÎÔÙ ÅÒ×ÏÇÏ ËÕÒÓÁ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÕ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ, ÍÏÇÕÔ ÏÓÅÝÁÔØ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÄÉÓ ÉÌÉÎÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÇÏÄÕ 25 ÉÚ ÎÉÈ ÒÅÄÏÞÌÉ ÉÚÕÞÁÔØ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ, 27 ×ÙÂÒÁÌÉ ÂÉÚÎÅÓ, Á 12 ÒÅÛÉÌÉ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÔÕÒÉÚÍÏÍ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÂÙÌÏ 20 ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÓÌÕÛÁÀÝÉÈ ËÕÒÓ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÉ É ÂÉÚÎÅÓÁ, ÑÔÅÒÏ ÉÚÕÞÁÌÉ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ É ÔÕÒÉÚÍ, Á ÔÒÏÅ | ÔÕÒÉÚÍ É ÂÉÚÎÅÓ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÎÉËÔÏ ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 61 ÉÚ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÎÅ ÏÔ×ÁÖÉÌÓÑ ÏÓÅÝÁÔØ ÓÒÁÚÕ ÔÒÉ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ËÕÒÓÁ. óËÏÌØËÏ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÏÓÅÝÁÌÉ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ËÕÒÓ? óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÉÈ ÂÙÌÉ Õ×ÌÅÞÅÎÙ ÔÏÌØËÏ ÔÕÒÉÚÍÏÍ? 3.10. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÎÅÕÓÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ A É B , ÅÓÌÉ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï A × B = B × A? îÅÕÓÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, B É C ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ A × B = A × C . óÌÅÄÕÅÔ ÌÉ ÏÔÓÀÄÁ, ÞÔÏ B = C ? ïÂßÑÓÎÉÔÅ Ó×ÏÊ ÏÔ×ÅÔ. 3.11. ðÕÓÔØ A, B É C | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ (Á) A × (B ∩ C ) = (A × B ) ∩ (A × C ); (Â) (A ∪ B ) × C = (A × C ) ∪ (B × C ). 3.12. ðÏËÁÚÁÔÅÌØÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ P (A) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, P (A) = {C : C ⊂ A}. (Á) îÁÊÄÉÔÅ P (A), ÅÓÌÉ A = {1; 2; 3}. (Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ P (A) ∩ P (B ) = P (A ∩ B ) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B . (×) ðÏËÁÖÉÔÅ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ, ÞÔÏ P (A) ∪ P (B ) ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó P (A ∪ B ). 3.13. ðÕÓÔØ U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} | ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ÷Ù- ÉÛÉÔÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×: A = {1; 2; 4; 5} É B = {3; 5}: îÁÊÄÉÔÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× A ∪ B É A △ B , ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù íÎÏÖÅÓÔ×Ï | ÜÔÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÏÂßÅËÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÅÇÏ ÜÌÅ- ÍÅÎÔÁÍÉ. óÉÍ×ÏÌÏÍ ∅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, Á U | ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ. N = {1; 2; 3; : : :} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. Z = {0; ±1; ±2; ±3; : : :} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. Q = { pq : p; q ÅÌÙÅ, q 6= 0} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. R = {×ÓÅ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÅ ÄÒÏÂÉ} | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. 62 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ S. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÔÁË: A ⊂ S . ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÒÕÇÏÇÏ. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ B = {x : x ∈ A ÉÌÉ x ∈ B }: ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∩ B = {x : x ∈ A É x ∈ B }: äÏÏÌÎÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÄÏ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A \ B = {x : x ∈ A É x 6∈ B }: äÏÏÌÎÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A (ÄÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á U ) ÎÁ- ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A = {x : x 6∈ A}: óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔØÀ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A △ B = {x : (x ∈ A É x 6∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ B É x 6∈ A)}: éÚ ÌÀÂÏÇÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ, ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ ∩ ÎÁ ∪, ∅ ÎÁ U É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. íÏÝÎÏÓÔØÀ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ |S |. æÏÒÍÕÌÁ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ |A ∪ B | = |A| + |B | − |A ∩ B |: äÅËÁÒÔÏ×ÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅ- ÓÔ×Ï A × B = {(a; b) : a ∈ A É b ∈ B }: üÌÅÍÅÎÔÙ A × B ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÁÒÁÍÉ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï R × R ÉÌÉ R2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ. âÉÔÏ×ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ (ÄÌÉÎÙ n) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B n , ÇÄÅ B = {0; 1}. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ 63 ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ üËÓÅÒÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏÚÄÁÅÔÓÑ Ó ÅÌØÀ ÏÄÍÅÎÉÔØ ÓÏÂÏÊ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× × ÄÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. üÔÏ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÎÁËÏÌÅÎÉÅÍ ÂÁÚÙ ÚÎÁÎÉÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÆÁËÔÏ× ×ÍÅÓÔÅ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÎÁÂÏÒÁ ÒÁ×ÉÌ ×Ù×ÏÄÁ . ÷ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÞÅÇÏ ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÚÁÒÏÓÙ ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×Ù×ÅÄÅÎÙ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÕÔÅÍ ÉÚ ÂÁÚÙ ÚÎÁÎÉÊ. íÙ ÏÓÔÒÏÉÍ ÒÏÓÔÕÀ ÜËÓÅÒÔÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÒÏÌÅ×ÓËÁÑ ÄÉÎÁÓÔÉÑ ÄÌÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ×ÏÒÏÓÙ ÏÂ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÈ ËÏÒÏÌÑÈ É ËÏÒÏÌÅ×ÁÈ É ÉÈ ÓÅÍØÑÈ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó çÅÏÒÇÁ I. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÍÙ ÏÄÇÏÔÏ×ÉÍ ÓÉÓÏË ÆÁËÔÏ×, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÒÅÄÉËÁÔÙ ÒÏÄÉÔÅÌØ É ÖÅÎÁ . ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ I, çÅÏÒÇ II) ÖÅÎÁ (óÏÆÉÑ, çÅÏÒÇ I) ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ III, çÅÏÒÇ IV) ÖÅÎÁ (÷ÉÌØÇÅÌØÍÉÎÁ, çÅÏÒÇ II) ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ III, ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV) ÖÅÎÁ (ûÁÒÌÏÔÔÁ, çÅÏÒÇ III) ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ III, üÄ×ÁÒÄ) ÖÅÎÁ (ëÁÒÏÌÉÎÁ, çÅÏÒÇ IV) ÒÏÄÉÔÅÌØ (üÄ×ÁÒÄ, ÷ÉËÔÏÒÉÑ) ÖÅÎÁ (áÄÅÌÁÉÄÁ, ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV) ÒÏÄÉÔÅÌØ (÷ÉËÔÏÒÉÑ, üÄ×ÁÒÄ VII) ÖÅÎÁ (÷ÉËÔÏÒÉÑ, áÌØÂÅÒÔ) ÒÏÄÉÔÅÌØ (üÄ×ÁÒÄ VII, çÅÏÒÇ V) ÖÅÎÁ (áÌÅËÓÁÎÄÒÁ, üÄ×ÁÒÄ VII) ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ V, üÄ×ÁÒÄ VIII) ÖÅÎÁ (÷ÉËÔÏÒÉÑ íÁÒÉ, çÅÏÒÇ V) ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ V, çÅÏÒÇ VI) ÖÅÎÁ (åÌÉÚÁ×ÅÔÁ, çÅÏÒÇ VI) ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ VI, åÌÉÚÁ×ÅÔÁ II) ÖÅÎÁ (åÌÉÚÁ×ÅÔÁ II, æÉÌÌÉ) ÒÏÄÉÔÅÌØ (÷ÉËÔÏÒÉÑ, üÌÉÓ) ÒÏÄÉÔÅÌØ (üÌÉÓ, ÷ÉËÔÏÒÉÑ áÌØÂÅÒÔÁ) ÒÏÄÉÔÅÌØ (÷ÉËÔÏÒÉÑ áÌØÂÅÒÔÁ, üÌÉÓ{íÏÕÎÔÂÁÔÔÅÎ) ÒÏÄÉÔÅÌØ (üÌÉÓ{íÏÕÎÔÂÁÔÔÅÎ, æÉÌÉ) õÓÌÏ×ÉÍÓÑ, ÞÔÏ ÒÏÄÉÔÅÌØ (x; y ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÄÉÔÅÌÅÍ y , Á ÖÅÎÁ (x; y ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ x | ÖÅÎÁ y . üÔÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÞÔÅÎÉÅ ÒÅÄÉËÁÔÏ×, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÈ ÑÚÙËÁÍÉ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÔÁËÉÍÉ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, PROLOG. þÔÏÂÙ ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÓÔÁ×ÉÔØ ×ÏÒÏÓÙ ÅÒÅÄ ÂÁÚÏÊ ÄÁÎÎÙÈ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÓÒÁÛÉ×ÁÅÍ: Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ çÅÏÒÇ I ÏÔ ÏÍ çÅÏÒÇÁ III?, ÔÏ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÄÉËÁÔ ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ I, çÅÏÒÇ 3) ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ × ÎÁÛÅÍ ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ×. úÁÒÏÓÙ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ: ? | ÒÅÄÉËÁÔ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÎÁÌÉÞÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ × ÒÅÄÉËÁÔÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ×ÏÒÏÓÕ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÚÁÒÏÓ ? | ÖÅÎÁ (x, çÅÏÒÇ IV) ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÁË ÂÙÌÁ ÌÉ ÖÅÎÁ Õ çÅÏÒÇÁ IV?. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÔ×ÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ÔÁË ËÁË, ÚÁÍÅÎÑÑ x ÎÁ ëÁÒÏÌÉÎÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ, ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ × ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ×. 64 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× úÁÄÁÞÁ 1. îÁÊÄÉÔÅ ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁÒÏÓÙ: (Á) ? | ÖÅÎÁ (åÌÉÚÁ×ÅÔÁ II, æÉÌÉ); (Â) ? | ÒÏÄÉÔÅÌØ (óÏÆÉÑ, çÅÏÒÇ II); (×) ? | ÖÅÎÝÉÎÁ (ëÁÒÏÌÉÎÁ); (Ç) ? | ÖÅÎÁ (æÉÌÉ, åÌÉÚÁ×ÅÔÁ II). òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ×ÙÄÁÎ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ÚÁÒÏÓ, ÔÁË ËÁË ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÎÅÇÏ × ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ× ÅÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÒÅÄÉËÁÔ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓ ÄÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÓÉÓÏË ÆÁËÔÏ× ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÉÚ ÚÁÒÏÓÁ. þÔÏÂÙ ÓÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ ÍÏÇÌÁ ÒÅÛÁÔØ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ. ðÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÎÏ×ÙÊ ÒÅÄÉËÁÔ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÅÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ × ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ×. ïÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÚÁÒÏÓÙ Ï ÎÏ×ÙÈ ÒÅÄÉËÁÔÁÈ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ×Ù×ÅÄÅÎÙ ÉÚ ÓÉÓËÁ ÆÁËÔÏ×, ÇÅÎÅÒÉÒÕÑ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÏ×ÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ. ÷ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÒÏÌÅ×ÓËÁÑ ÄÉÎÁÓÔÉÑ ËÁÖÅÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ, ÞÔÏ ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ x, ÏÁ×ÛÁÑ × ÖÅÎÁ (x; y ), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÖÅÎÝÉÎÅ. ÷ ÒÁ×ÉÌÅ (1) ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÎÏ×ÙÊ ÒÅÄÉËÁÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ ÏÚÎÁÞÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ x | ÖÅÎÁ y , ÔÏ x | ÖÅÎÝÉÎÁ. (1) ÖÅÎÝÉÎÁ (x) from ÖÅÎÁ (x; y ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ××ÅÄÅÍ ÒÁ×ÉÌÏ (2), ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÅÅ ÒÅÄÉËÁÔ ÍÕÖ . ïÎ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ x | ÖÅÎÁ y , ÔÏ y | ÍÕÖ x. (2) ÍÕÖ (y; x) from ÖÅÎÁ (x; y ). úÁÄÁÞÁ 2. ëÁË ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ ÏÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÚÁÒÏÓÙ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 1? ïÔ×ÅÔØÔÅ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÒÏÓÙ: (Ä) ? | ÖÅÎÝÉÎÁ (üÌÉÓ{íÏÕÎÔÂÁÔÔÅÎ); (Å) ? | ÍÕÖ (áÌØÂÅÒÔ, ÷ÉËÔÏÒÉÑ); (Ö) ? | ÍÕÖÞÉÎÁ (áÌØÂÅÒÔ). òÅÛÅÎÉÅ. ÅÅÒØ ÎÁ ÚÁÒÏÓ (×) ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 1 ÂÕÄÅÔ ÄÁÎ ÏÌÏÖÉÔÅÌØ- ÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÁ×ÉÌÕ (1), ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÍÕ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÍÕ ÆÁËÔÕ: ÖÅÎÁ (ëÁÒÏÌÉÎÁ, çÅÏÒÇ IV). îÁ ÚÁÒÏÓ (Ä) ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ, ÔÁË ËÁË üÌÉÓ{íÏÕÎÔÂÁÔÔÅÎ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÓÉÓËÅ ÎÅ ÕÏÍÑÎÕÔÁ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÞØÅÊ-ÌÉÂÏ ÖÅÎÙ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ 65 ïÔ×ÅÔ × ÓÌÕÞÁÅ (Å) | ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ××ÉÄÕ ÎÁÌÉÞÉÑ × ÓÉÓËÅ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÖÅÎÁ (÷ÉËÔÏÒÉÑ, áÌØÂÅÒÔ) É ÒÁ×ÉÌÁ (2). ïÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ÄÁÎ ÎÁ ÚÁÒÏÓ (Ö), ÔÁË ËÁË ÒÅÄÉËÁÔ ÍÕÖÞÉÎÁ ÏËÁ ÅÝÅ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎ. ðÏÄÈÏÄÑÝÅÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ, ÄÁÀÝÅÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔÉ Ë ÍÕÖÓËÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓÔ×Á, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÁ×ÉÌÕ (1): (3) ÍÕÖÞÉÎÁ (y ) from ÖÅÎÁ (x; y ) íÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÒÁ×ÉÌÏ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÓÙÎÏ×ØÑÈ: (3) ÓÙÎ (x; y ) from (ÍÕÖÞÉÎÁ (x) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (y; x)) úÁÄÁÞÁ 3. ïÔ×ÅÔØÔÅ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁÒÏÓÙ: (Á) ? | ÍÕÖÞÉÎÁ (÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV); (Â) ? | ÓÙÎ (÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV, çÅÏÒÇ III); (×) ? | ÓÙÎ (÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV, ûÁÒÌÏÔÔÁ); (Ç) ? | ÓÙÎ (üÄ×ÁÒÄ VIII, çÅÏÒÇ V). òÅÛÅÎÉÅ. (Á) ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÖÅÎÁ (áÄÅÌÁÉÄÁ, ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV) Ï ÒÁ×ÉÌÕ (3). (Â) ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÉËÁÔÁ ÒÏÄÉÔÅÌØ (çÅÏÒÇ III, ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV) ××ÉÄÕ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ÚÁÒÏÓ (Á) É ÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ (4). ïÔ×ÅÔÙ ÎÁ ÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á ÚÁÒÏÓÁ | ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ. ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÏÔ×ÅÔÁÈ ÎÁ (×) É (Ç) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ Ô×ÅÒÄÏ ÒÉÄÅÒÖÉ×ÁÔØÓÑ ÆÁËÔÏ× É ÒÁ×ÉÌ ×Ù×ÏÄÁ, ××ÉÄÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ, ÎÁÌÏÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÓÉÓÔÅÍÕ. ÏÌØËÏ ÍÏÎÁÒÈÉ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÒÏÄÉÔÅÌÑÍÉ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÉÈ ÓÕÒÕÇÉ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÒÅÄÉËÁÔÅ ÖÅÎÁ . ÁË, ÈÏÔÑ ûÁÒÌÏÔÔÁ ÂÙÌÁ ÚÁÍÕÖÅÍ ÚÁ çÅÏÒÇÏÍ III, É ÷ÉÌØÇÅÌØÍ IV | ÏÄÉÎ ÉÚ ÉÈ ÓÙÎÏ×ÅÊ, ÂÁÚÁ ÄÁÎÎÙÈ ÓÞÉÔÁÅÔ ÅÇÏ ÒÏÄÉÔÅÌÅÍ ÔÏÌØËÏ çÅÏÒÇÁ III. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ (4) ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÄÁÔØ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓ (×). ðÒÉÞÉÎÁ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ × ÓÌÕÞÁÅ (Ç) ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ÓÉÓËÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÖÅÎÁ Õ üÄ×ÁÒÄÁ VIII. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÏ (3) ÄÁÅÔ ÏÔ×ÅÔ îÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓ ? | ÍÕÖÞÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII). 66 çÌÁ×Á 3. ÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ëÁË ÍÙ Õ×ÉÄÅÌÉ, × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÌÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊÓÑ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÄÁÎÎÙÈ, ËÁË ÜÔÏ ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ × ÒÅÁÌØÎÙÈ ÜËÓÅÒÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ, ÔÏ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÚÁÒÏÓ ÍÏÖÅÔ ÏÚÎÁÞÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÒÏÓÔÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. äÏÌÖÎÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ Ë ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÒÁ×ÉÌ ×Ù×ÏÄÁ É ×ÙÂÏÒÕ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ× ÂÁÚÙ ÄÁÎÎÙÈ ÍÏÖÅÔ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÒÅÛÉÔØ ÜÔÕ ÒÏÂÌÅÍÕ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÒÉ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÏÔ×ÅÔÏ× ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏ×ÅÒÑÔØ É ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ × ÒÅÄÉËÁÔÁÈ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÏÅÒÁ ÉÑ ÎÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ, ÒÁÚÕÍÎÙÅ ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ (A) É (B ): (A) ÍÕÖÞÉÎÁ (x) from ÖÅÎÁ (x; y ); (B ) ÖÅÎÝÉÎÁ (x) from (ÎÅ ÍÕÖÞÉÎÁ (x)). ðÏÒÏÂÕÅÍ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ÚÁÒÏÓ: ? | ÖÅÎÝÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII), ÏÓÎÏ×Ù×ÁÑÓØ ÎÁ ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÓÉÓËÅ ÆÁËÔÏ×, ÎÏ ÏÌØÚÕÑÓØ ÔÏÌØËÏ ÒÁ×ÉÌÁÍÉ (A) É (B ). îÁ ÚÁÒÏÓ ? | ÖÅÎÝÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII) ÂÕÄÅÔ ÏÌÕÞÅÎ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÎÅ ÖÅÎÝÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII) ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ×Ù×ÅÄÅÎÎÙÍ ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÆÁËÔÏÍ. ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ (B ) ÎÁ ÚÁÒÏÓ ? | ÖÅÎÝÉÎÁ (üÄ×ÁÒÄ VIII) ÂÕÄÅÔ ÄÁÎ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ! óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÒÁÚÒÅÛÁÔØ ÕÏÔÒÅÂÌÅÎÉÅ ÏÔÒÉ ÁÎÉÊ × ÒÁ×ÉÌÁÈ ×Ù×ÏÄÁ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÏÌÎÏÔÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. úÁÄÁÞÁ 4. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ ÄÌÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ï ÍÁÔÅÒÑÈ ÉÚ ÜËÓÅÒÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ËÏÒÏÌÅ×ÓËÁÑ ÄÉÎÁÓÔÉÑ. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÍÁÔØ (x) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÚÁÒÏÓ ×ÙÄÁ×ÁÌÓÑ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ x | ÖÅÎÁ ÞØÅÇÏ-ÔÏ ÒÏÄÉÔÅÌÑ ÉÌÉ x | ÖÅÎÝÉÎÁ É ÞÅÊ-ÔÏ ÒÏÄÉÔÅÌØ. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÎÏ×ÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó ÒÁ×ÉÌÏÍ (1) Ë ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÂÁÚÅ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÁÔÅÒÅÊ. õÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÉÔÅÌØÎÙÍ ÌÉ ÏÌÕÞÉÌÏÓØ ÎÏ×ÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ? òÅÛÅÎÉÅ. ÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÔÁË: ÍÁÔØ (x) from ([ÖÅÎÁ (x; y ) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (z; y )℄ ÉÌÉ ÉÌÉ [ÖÅÎÝÉÎÁ (x) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (x; y )℄). þÁÓÔØ [ÖÅÎÁ (x; y ) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (z; y )℄ ÎÁÛÅÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔ ËÁË ÍÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ËÏÒÏÌÅ×: áÌÅËÓÁÎÄÒÁ, ûÁÒÌÏÔÔÁ, åÌÉÚÁ×ÅÔÁ, óÏÆÉÑ É ÷ÉËÔÏÒÉÑ íÁÒÉ. ÷ÔÏÒÁÑ ÞÁÓÔØ [ÖÅÎÝÉÎÁ (x) É ÒÏÄÉÔÅÌØ (x; y )℄ ×ÙÑ×ÉÔ ÷ÉËÔÏÒÉÀ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ Ó ÂÁÚÏÊ ÚÎÁÎÉÊ 67 ïÄÎÁËÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×Ù×ÏÄÁ ÎÁÊÄÅÔ ÎÅ ×ÓÅÈ ÍÁÔÅÒÅÊ, ÏÓËÏÌØËÕ ÂÁÚÁ ÄÁÎÎÙÈ ÎÅÏÌÎÁ. ÷ ÎÅÊ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÅ ÚÁÉÓÁÎÙ ÄÅÔÉ åÄÉÚÁ×ÅÔÙ II. ðÅÒ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÉÌÁ ÂÕÄÅÔ ÓÞÉÔÁÔØ ÍÁÔÅÒÑÍÉ É ÍÁÞÅÈ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÒÏÂÌÅÍÁ ÂÕÄÅÔ ×ÏÚÎÉËÁÔØ É ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Õ ÍÏÎÁÒÈÁ ÂÙÌÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÖÅÎ. üÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ÒÉ ÏÙÔËÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØ ÒÅÁÌØÎÙÊ ÍÉÒ ÒÁÍËÁÍÉ ÒÏÓÔÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÏÄÅÌÉ. çìá÷á 4 ïîïûåîéñ ëÏÇÄÁ ÇÏ×ÏÒÑÔ Ï ÒÏÄÓÔ×Å Ä×ÕÈ ÞÅÌÏ×ÅË, èÏÒÁÓÁ É áÎÎÙ, ÔÏ ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÎÅËÁÑ ÓÅÍØÑ, Ë ÞÌÅÎÁÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎÉ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ. õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ÁÒÁ (èÏÒÁÓ, áÎÎÁ) ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÌÀÄÅÊ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÍÅÖÄÕ èÏÒÁÓÏÍ É áÎÎÏÊ ÅÓÔØ ÎÅËÏÅ ÒÏÄÓÔ×Ï (ËÕÚÉÎÁ, ÏÔÅ , É Ô. Ä. ). ÷ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A × B Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B ÔÏÖÅ ×ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÁÒÙ × Ó×ÑÚÉ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÍÅÖÄÕ ÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÄÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÔ Õ ÄÒÕÇÉÈ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ËÁËÏÇÏÎÉÂÕÄØ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁ É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï K ÞÉÔÁÅÍÙÈ ÔÁÍ ËÕÒÓÏ×. ÷ ÒÑÍÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ S × K ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÂÏÌØÛÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ (s; k ), ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ: ÓÔÕÄÅÎÔ s ÓÌÕÛÁÅÔ ËÕÒÓ k . ðÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÔÒÁÖÁÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÓÌÕÛÁÅÔ ..., ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× É ËÕÒÓÏ×. äÌÑ ÓÔÒÏÇÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ ÌÀÂÙÈ Ó×ÑÚÅÊ ÍÅÖÄÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ ÂÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÒÁÓÓËÁÖÅÍ Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÕÔÑÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ É ÏÂÓÕÄÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×Á. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÉÚÕÞÉÍ Ä×Á ×ÁÖÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÔÉÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ: ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. ïÎÉ ÞÁÓÔÏ ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ËÁË × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÔÁË É × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÚÁÄÁÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÔÁÂÌÉ ÄÁÎÎÙÈ. ÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÔÁËÉÅ n-ÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÒÏÓÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ . 4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ âÉÎÁÒÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A × B . ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ A = B , ÍÙ ÇÏ×ÏÒÉÍ ÒÏÓÔÏ ÏÂ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ R ÎÁ A. ðÒÉÍÅÒ 4.1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÅÎÅÁÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÄÒÅ×Ï, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. 4.1. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÅÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å P ÞÌÅÎÏ× ÜÔÏÊ ÓÅÍØÉ: 4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ 69 (Á) R = {(x; y ) : x | ÄÅÄÕÛËÁ y }; (Â) S = {(x; y ) : x | ÓÅÓÔÒÁ y }. æÒÅÄ & íÁ×ÉÓ äÖÏÎ & íÁÒÉ üÌÉÓ ëÅÎ & óØÀ äÖÅÊÎ æÉÏÎÁ íÁÊË ðÅÎÎÉ áÌÁÎ òÉÓÕÎÏË 4.1. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ: (æÒÅÄ, äÖÅÊÎ), (æÒÅÄ, æÉÏÎÁ), (æÒÅÄ, áÌÁÎ), (äÖÏÎ, äÖÅÊÎ), (äÖÏÎ, æÉÏÎÁ) É (äÖÏÎ, áÌÁÎ). (Â) S ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ: (óØÀ, ðÅÎÎÉ), (ðÅÎÎÉ, óØÀ), (äÖÅÊÎ, æÉÏÎÁ), (æÉÏÎÁ, äÖÅÊÎ), (áÌÉÓ, ëÅÎ), (óØÀ, íÁÊË), (ðÅÎÎÉ, íÁÊË), (äÖÅÊÎ, áÌÁÎ) É (æÉÏÎÁ, áÌÁÎ). ðÒÉÍÅÒ 4.2. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÂÉÎÁÒÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ A = {1; 3; 5; 7} É B = {2; 4; 6}: (Á) U = {(x; y ) : x + y = 9}; (Â) V = {(x; y ) : x < y }. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) U ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ: (3; 6), (5; 4) É (7; 2); (Â) V = {(1; 2); (1; 4); (1; 6); (3; 4); (3; 6); (5; 6)}. ðÒÉÍÅÒ 4.3. íÎÏÖÅÓÔ×Ï R = {(x; y ) : x | ÄÅÌÉÔÅÌØ y } ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÅÍÕ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ. 70 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ òÅÛÅÎÉÅ. R ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ: (1; 1), (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 2), (2; 4), (2; 6), (3; 3), (3; 6), (4; 4), (5; 5) É (6; 6). ÅÅÒØ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó Ä×ÕÍÑ ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÄÁÎÎÏÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ. ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÏÎÑÔÉÉ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, Á ×ÔÏÒÏÊ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÍÁÔÒÉ Ù. ðÕÓÔØ A É B | Ä×Á ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É R | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. íÙ ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÔÏÞËÁÍÉ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÎÁÒÉÓÕÅÍ ÓÔÒÅÌËÕ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÕÀ ÔÏÞËÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÁÒÙ. ÁËÏÊ ÏÂßÅËÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÇÒÁÆÏÍ ÉÌÉ ÏÒÇÒÁÆÏÍ , ÔÏÞËÉ ÖÅ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ V ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A = {1; 3; 5; 7} É B = {2; 4; 6} ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.2 (Â). óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÏËÁÚÁÎ ÎÁ ÒÉÓ. 4.2. 1 2 3 4 5 6 7 òÉÓÕÎÏË 4.2. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ V ÍÅÖÄÕ A É B äÌÑ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÍÙ ÞÅÒÔÉÍ ÏÒÇÒÁÆ, ÞØÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÎÏÍÕ ÌÉÛØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A, Á ÓÔÒÅÌËÉ, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÈÓÑ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ. ðÒÉÍÅÒ 4.4. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÇÒÁÆ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.3. òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; ÔÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÛÅÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ. ïÎ ÒÉ×ÅÄÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 4.3. 4.1. âÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ òÉÓÕÎÏË 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å 71 A ÷ÔÏÒÏÊ ÓÏÓÏÂ ÚÁÄÁÎÉÑ ÂÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÔÁÂÌÉ . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B . îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ× É ×ÙÉÓÁÔØ ÉÈ × ËÁËÏÍ-ÎÉÂÕÄØ ÏÒÑÄËÅ. óÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ ÔÁË: A = {a1 ; a2 ; : : : ; an }; B = {b1 ; b2 ; : : : ; bm }: äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÚÁÏÌÎÉÍ ÔÁÂÌÉ Õ M Ó n ÓÔÒÏËÁÍÉ É m ÓÔÏÌÂ ÁÍÉ. óÔÒÏËÉ ÅÒÅÎÕÍÅÒÕÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, Á ÓÔÏÌÂ Ù | ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÒÑÄËÏÍ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÙ ×ÙÉÓÁÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. ñÞÅÊËÕ ÔÁÂÌÉ Ù, ÓÔÏÑÝÕÀ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÔÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ M (i; j ), Á ÚÁÏÌÎÑÔØ ÅÅ ÂÕÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: M (i; j ) = é; ÅÓÌÉ (ai ; bj ) ∈ R; M (i; j ) = ì; ÅÓÌÉ (ai ; bj ) 6∈ R; ÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÔÁÂÌÉ Ù ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ n × m ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ . ÷ ÜÔÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ U ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.2(Á) Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÔÒÉ Ù ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: 2 4 1 ì 3   ì 5  ì 7 é ì ì é ì  6  ì é  : ì  ì 72 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ þÔÏÂÙ ÌÕÞÛÅ ÏÎÑÔØ ÔÁËÏÊ ÓÏÓÏÂ ÚÁÄÁÎÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÍÙ Ñ×ÎÏ ÏÍÅÔÉÌÉ ÓÔÏÌÂ Ù É ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÏ ÄÅÌÁÔØ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ. ðÒÉÍÅÒ 4.5. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {a; b; ; d} ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ:  ì  ì   ì é é ì é é  é é ì ì ì é  ; ì  é ÏÒÑÄÏË ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂ Ï× × ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÒÑÄËÕ ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. îÁÚÏ×ÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ R. òÅÛÅÎÉÅ. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ: (a; b), (a; ), (b; ), (b; d), ( ; b), (d; a), (d; b) É (d; d). ðÒÉÍÅÒ 4.6. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.3. òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: 1 2 3 4 5 6         1 2 3 4 5 6 é ì ì ì ì ì é é ì ì ì ì é ì é ì ì ì é é ì é ì ì é ì ì ì é ì é é é ì ì é     :    åÓÌÉ R | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÔÏ ×ÍÅÓÔÏ ÚÁÉÓÉ (x; y ) ∈ R ÍÏÖÎÏ ÕÏÔÒÅÂÌÑÔØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ x R y . îÁÒÉÍÅÒ, ÒÅÄÉËÁÔ x | ÓÅÓÔÒÁ y ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. ÷ ÒÉÍÅÒÅ 4.3 ÒÅÄÉËÁÔ x | ÄÅÌÉÔÅÌØ y ÄÁÅÔ ÑÓÎÏÅ ÓÌÏ×ÅÓÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÅÝÅ ÏÄÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ðÏÄ×ÏÄÑ ÉÔÏÇ ××ÏÄÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÏÌÅÚÎÏ ÎÁÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÏ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÏÓÏÂÏ×: • ÓÌÏ×ÁÍÉ (Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×); • ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ; • ËÁË ÏÒÇÒÁÆ; • ËÁË ÍÁÔÒÉ Á. 4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ 73 ðÒÉÍÅÒ 4.7. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 4} ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÇÒÁÆÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 4.7. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ R, ×ÙÉÛÉÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ×. òÉÓÕÎÏË 4.3. òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ R = {(2; 1); (3; 2); (4; 3)}. íÁÔÒÉ Á (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÎÎÏÇÏ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÏÒÑÄËÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: 1 2 3 1 ì 2  é  3  ì 4 ì ì ì é ì ì ì ì é  4  ì ì  : ì  ì ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ× ÄÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÉÓÁÎÏ ËÁË x − y = 1: 4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ïÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅÍ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å É ××ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÂÏÒ ÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ A x R x; ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ , ÅÓÌÉ x R y ⇒ y R x ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÙ x É y ÉÚ A; ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ , ÅÓÌÉ (x R y É y R x ⇒ x = y ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ x É y ÉÚ A; ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ , ÅÓÌÉ (x R y É y R z ⇒ x R z ) ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÒÏÊËÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x; y; z ∈ A. ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÜÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÅÓÌÉ (x; x) ∈ R ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x; ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÉÚ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (x; y ) ∈ R ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ (y; x) ∈ R; ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ: (x; y ) ∈ R É x 6= y ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ (y; x) 6∈ R; ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÅÓÌÉ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (x; y ) ∈ R É (y; z ) ∈ R ×ÌÅËÕÔ (x; z ) ∈ R. 74 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ õ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÅÇÏ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÓÎÁÂÖÅÎÁ ÅÔÌÅÊ, Ô. Å. ÓÔÒÅÌËÏÊ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÅÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÅÊÓÑ × ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ×ÅÒÛÉÎÅ. ïÒÇÒÁÆ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÅÌËÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ x × ×ÅÒÛÉÎÕ y ÉÍÅÅÔ ÓÔÒÅÌËÕ, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÕÀ × ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ: ÉÚ y × x. åÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÔÏ ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÓÔÒÅÌËÉ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ x × ÎÅÓÏ×ÁÄÁÀÝÕÀ Ó ÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎÕ y , ÓÔÒÅÌËÁ ÉÚ y × x ÂÕÄÅÔ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÔØ. é, ÎÁËÏÎÅ , ÏÒÇÒÁÆ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÕÓÔÒÏÅÎ ÔÁË, ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ ÓÔÒÅÌËÁÍÉ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ x × y É ÉÚ y × z Õ ÎÅÇÏ ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÅÌËÁ É ÉÚ x × z . ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÁÔÒÉ , ÚÁÄÁÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÂÕÄÅÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÊ, Ô. Å. ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÅ ÓÔÒÏË ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÓÔÏÌÂ Ï×. ÁË ×ÏÔ, ÍÁÔÒÉ Á M , ÚÁÄÁÀÝÁÑ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÔÅÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÓÔÏÑÝÉÊ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ (M (i; i)), ÒÁ×ÅÎ é; ÍÁÔÒÉ Á M ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ, Ô. Å. M (i; j ) = M (j; i); × ÍÁÔÒÉ Å ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ: M (i; j ) = é É i 6= j ⇒ M (j; i) = ì: ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÏÔÌÉÞÉÔÅÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÍÁÔÒÉ Ù ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÔÒÕÄÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÞÅÔËÏ É ÎÁÇÌÑÄÎÏ. ðÒÉÍÅÒ 4.8. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ (ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ, ÓÉÍ- ÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ, ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ) ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ: (Á) x ÄÅÌÉÔ y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; (Â) x 6= y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ; (×) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) ðÏÓËÏÌØËÕ x ×ÓÅÇÄÁ ÄÅÌÉÔ ÓÁÍ ÓÅÂÑ, ÔÏ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ. ïÎÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ 6, ÎÏ ÎÅ ÎÁÏÂÏÒÏÔ: 6 ÎÅ ÄÅÌÉÔ 2. ðÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÅÌÉÍÏÓÔÉ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x ÄÅÌÉÔ y , Á y × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÄÅÌÉÔ z . ÏÇÄÁ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ y = mx ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ 4.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ 75 ÞÉÓÌÁ m, Á ÉÚ ×ÔÏÒÏÇÏ | z = ny , ÇÄÅ n | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, z = ny = (nm)x, Ô. Å. x ÄÅÌÉÔ z . úÎÁÞÉÔ, ÄÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. îÁËÏÎÅ , ÎÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÊ: x ÄÅÌÉÔ y É y ÄÅÌÉÔ x ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ y = x. (Â) ÁË ËÁË ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ x 6= x ÌÏÖÎÏ, ÔÏ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ. ïÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ x 6= y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ y 6= x. îÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÔÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, 2 6= 3 É 3 6= 2, ÎÏ, ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, 2 = 2. îÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ x 6= y É y 6= x ÎÅÌØÚÑ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÞÔÏ x = y . (×) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÎËÔÁ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÔÁË ËÁË ×ÏÚÒÁÓÔ ÌÀÂÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÒÏÖÉÔÙÈ ÉÍ ÌÅÔ. ïÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ y ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÀ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ y ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ x. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÔÁË ËÁË, ÅÓÌÉ ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÁËÉÅ ÔÒÉ ÞÅÌÏ×ÅËÁ x, y É z , ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ y , Á ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÅÔ y ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ z , ÔÏ ×ÓÅ ÔÒÏÅ ÂÕÄÕÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁ. ÁË ËÁË ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÍÎÏÇÏ ÒÏ×ÅÓÎÉËÏ×, ÔÏ ÄÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. åÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÅÍ ÉÌÉ ÉÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÔÏ ÅÇÏ ÓÔÏÉÔ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÄÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R∗ , ËÏÔÏÒÏÅ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÕÖÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï. ðÏÄ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ ÍÙ ÏÎÉÍÁÅÍ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ Ë ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ R ⊂ A × A ÔÁË, ÞÔÏ ÎÏ×ÏÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R∗ ÕÖÅ ÂÕÄÅÔ ÏÂÌÁÄÁÔØ ÔÒÅÂÕÅÍÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ÂÕÄÅÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ × R∗ . ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ×ÎÏ×Ø ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R∗ ÂÕÄÅÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ R Ó ×ÙÄÅÌÅÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ R∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ R ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÎÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á. âÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÏ, R∗ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á P , ÅÓÌÉ 1. R∗ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P ; 2. R ⊂ R∗ ; 3. R∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ R É ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P . 76 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ðÒÉÍÅÒ 4.9. ðÕÓÔØ A = {1; 2; 3}, Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ A ÚÁÄÁÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÁÒÁÍÉ: R = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3)}: ïÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÎÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. îÁÊÄÉÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ. úÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ×ÓÅ ÁÒÙ ×ÉÄÁ (x; x). ðÏÜÔÏÍÕ, ÉÓËÏÍÏÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: òÅÛÅÎÉÅ. R∗ = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (2; 2); (3; 3)}; ÇÄÅ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÁÒÙ ÏÔÄÅÌÅÎÙ ÏÔ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÔÏÞËÏÊ Ó ÚÁÑÔÏÊ. úÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ×ÓÅ ÁÒÙ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÉÓÈÏÄÎÙÍ. úÎÁÞÉÔ, R∗ = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (2; 1); (3; 2)}: þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÛÁÇÏ×. ÁË ËÁË R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÁÒÙ (3; 1) É (1; 2), ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÂÑÚÁÎÏ ×ËÌÀÞÁÔØ × ÓÅÂÑ É ÁÒÕ (3; 2). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÁÒÙ (2; 3) É (3; 1) ÄÏÂÁ×ÌÑÀÔ ÁÒÕ (2; 1), Á ÁÒÙ (3; 1) É (1; 3) | ÁÒÕ (3; 3). äÏÂÁ×ÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÜÔÉ ÁÒÙ: R∗ ⊃ {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (3; 2); (2; 1); (3; 3)}: ÅÅÒØ Õ ÎÁÓ ×ÏÚÎÉËÌÏ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ (2; 1) É (1; 2). óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÚÁÍÙËÁÎÉÅ R∗ ÄÏÌÖÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÁÒÕ (2; 2). ÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÁÒÙ ÍÙ ÄÏÂÁ×ÉÌÉ (ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÅÒÅÂÒÁÌÉ ×ÓÅ ÁÒÙ ÉÚ A2 ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, R∗ = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (3; 2); (2; 1); (3; 3); (2; 2)}: íÅÔÏÄ, ËÏÔÏÒÙÍ ÍÙ ÎÁÛÌÉ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ × ÒÉÍÅÒÅ 4.9, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÅ ÉÆÉÞÅÎ. ÷ ÇÌÁ×Å 8 ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÂÏÌÅÅ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÏÄÈÏÄ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ Ï ÍÁÔÒÉ Å ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ. úÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÍÁÓÓÕ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ. äÏÕÓÔÉÍ, ÎÁÍ ÄÁÎ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, ÏÔÒÁÖÁÀÝÉÊ ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÕÀ ÓÅÔØ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÁÔÒÉ Á ÚÁÍÙËÁÎÉÑ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÚ×ÏÌÉÔ ÎÁÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÅÒÅÒÁ×ÉÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÍÅÓÔÁ × ÄÒÕÇÏÅ. 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ 77 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÷ ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÉÍÓÑ ÎÁ Ä×ÕÈ ×ÁÖÎÙÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÔÉÁÈ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ . ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÏÎÑÔÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ (Ô. Å. ÎÁÈÏÄÑÝÉÅÓÑ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ), ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÂÌÁÄÁÀÔ ËÁËÉÍÉ-ÔÏ ÏÂÝÉÍÉ ÒÉÚÎÁËÁÍÉ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÉÍÅÒÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. • ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÉÍÅÅÔ ÔÅ ÖÅ ÕÇÌÙ, ÞÔÏ É ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÏÄÏÂÎÙ. • ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: x R y , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ xy > 0 ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÚÎÁË. • ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ×ÏÚÒÁÓÔ, ÞÔÏ É ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÌÀÄÉ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ Ë ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ×ÏÚÒÁÓÔÎÏÊ ÇÒÕÅ. ðÒÉÍÅÒÙ ÎÁ×ÏÄÑÔ ÎÁ ÍÙÓÌØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÚÁÄÁÎÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÔÏ ×ÓÅ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÏÖÎÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ÷ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ × ÌÀÂÏÍ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ × ÓÁÍÏÍ ÒÑÍÏÍ ÓÍÙÓÌÅ. îÁÌÉÞÉÅ ÔÁËÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ | Ä×ÉÖÕÝÁÑ ÓÉÌÁ ÌÀÂÏÊ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÏÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. òÁÚÂÉÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÎÅÕÓÔÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× A1 ; A2 , . . . An ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ: 1) A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ; 2) Ai ∩ Aj = ∅ ÒÉ i 6= j . ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ai ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÌÏËÁÍÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÎÁ ÑÔØ ÂÌÏËÏ× ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 4.4. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÂÌÏËÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ËÁË ÌÏÓËÕÔÙ, ÎÅ 78 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÚÁÈÏÄÑÝÉÅ ÏÄÉÎ ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ. üÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÂÌÏËÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ ÏÂÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. òÉÓÕÎÏË 4.4. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÚÁÄÁÅÔ ÎÁ ÎÅÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ. âÌÏËÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. íÙ ÓÅÊÞÁÓ ÄÏËÁÖÅÍ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. îÏ ÒÅÖÄÅ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ex ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ A ËÁË ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ex = {z ∈ A : z R x}. äÏËÁÖÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁ ÎÅÕÓÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A. ÏÇÄÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ A. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÞÁÓÔÅÊ. óÎÁÞÁÌÁ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÕÓÔÙÍÉ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ × A. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, Ex | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × A. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, R | ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, Ô. Å. x R x. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x ∈ Ex É Ex ÎÅ ÕÓÔÏ. äÁÌÅÅ ÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ x R y ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Ex = Ey . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x R y É ×ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ z ∈ Ex . ÏÇÄÁ z R x É x R y . ðÏÓËÏÌØËÕ R | ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ z R y . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, z ∈ Ey . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ex ⊂ Ey . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Ey ⊂ Ex , ÏÔËÕÄÁ Ex = Ey , ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. ÅÅÒØ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÅÒ×ÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÞÔÏ A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÅÏÒÅÍÁ. 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ 79 ÎÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ëÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ × ÅÒ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÁÛÅÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, Ex | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × A É ÏÜÔÏÍÕ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ × A. ÷ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÅÓÌÉ x ∈ A, ÔÏ x ∈ Ex . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, x ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÀ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. úÎÁÞÉÔ, É A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÎÁÛÅÇÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. é, ÎÁËÏÎÅ , × ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÞÁÓÔÉ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. üÔÉÍ ÍÙ ÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ×ÔÏÒÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ Ex ∩ Ey 6= ∅. ÏÇÄÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ z × A, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÀ Ex ∩ Ey . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, z R x É z R y . ÁË ËÁË R | ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ x R z É z R y . ÷×ÉÄÕ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ R, ÜÔÏ ×ÌÅÞÅÔ x R y . úÎÁÞÉÔ, Ï ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, Ex = Ey . éÔÁË, ÍÙ ÒÅÄÏÌÏÖÉÌÉ, ÞÔÏ ÒÁÚÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ex É Ey ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ É ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÞÁÓÔØ ÎÁÛÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÓÌÕÖÁÔ ÂÌÏËÁÍÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ×ÓÅ ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ: ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔØ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ. ðÒÉÍÅÒ 4.10. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ R ÚÁÄÁÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: x R y , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ x − y | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÏÉÛÉÔÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔ√ ÎÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ 0, 1 2 É 2. òÅÛÅÎÉÅ. ÁË ËÁË x − x = 0 ∈ Z ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ. åÓÌÉ x − y ÞÉÓÌÏ ÅÌÏÅ, ÔÏ É ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ Ë ÎÅÍÕ y − x = −(x − y ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÙÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, R | ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ x − y É y − z | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ. ÏÇÄÁ x − z = (x − y ) + (y − z ) | ÓÕÍÍÁ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, Ô. Å. ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ R ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. éÔÁË, ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ R ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ëÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ex ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ x ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ: Ex = {z ∈ R : z − x | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ}: 80 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ðÏÜÔÏÍÕ, E0 = Z; 1 | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ} = 2 1 1 1 1 1 = {: : : ; −1 ; − ; ; 1 ; 2 ; : : :}; 2 2 2 2 2 √ = {z ∈ R : z − 2 | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ} = √ √ √ √ = {: : : ; −1 + 2; 2; 1 + 2; 2 + 2; : : :}: E 1 = {z ∈ R : z − 2 E√2 òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ, ÎÏ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÉÞÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ . þÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ×ÁÖÅÎ × ÔÅÈ ÓÉÔÕÁ ÉÑÈ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ËÁË-ÔÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ÓÔÁÒÛÉÎÓÔ×Ï. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÅÛÉÔØ ÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÄÒÕÇÏÊ. ðÒÉÍÅÒÙ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÏÒÑÄËÏ×. • 6 ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; • ⊂ ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á; • ... ÄÅÌÉÔ ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. íÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÞÁÓÔÉÞÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ . åÓÌÉ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A, ÔÏ ÒÉ x 6= y É x R y ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ x ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÉÌÉ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏÍ , Á y | ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍ . õ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ×ÚÑÔÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ y ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÍÎÏÇÏ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÄÎÁËÏ ÅÓÌÉ x ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ y , É ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× z , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ x R z É z R y , ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ x ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏÍ 1 y É ÉÛÅÍ x ≺ y . îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏ× ÍÏÖÎÏ ÕÓÌÏ×ÎÏ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÇÒÁÆÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ËÁË ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ . ÷ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, É ÅÓÌÉ x ≺ y , ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ x ÏÍÅÝÁÅÔÓÑ ÎÉÖÅ ×ÅÒÛÉÎÙ y É ÓÏÅÄÉÎÑÅÔÓÑ Ó ÎÅÊ ÒÅÂÒÏÍ. äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ×ÙÄÁÓÔ ÏÌÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÏÂ ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÎÅ ÏÌÅÎÉÍÓÑ ÏÄÎÑÔØÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÅÏÞËÁÍ ÒÅÂÅÒ. 1 éÎÏÇÄÁ ÔÁËÖÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ y ÏËÒÙ×ÁÅÔ x. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 4.3. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ 81 ðÒÉÍÅÒ 4.11. äÁÎÏ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÄÅÌÉÔÅÌØ ... ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 6; 12; 18}. óÏÓÔÁ×ØÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏ× É ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏ×, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ èÁÓÓÅ. òÅÛÅÎÉÅ. ÁÂÌÉ Á É ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÉÖÅ. ÁÂÌÉ Á 4.1 ÜÌÅÍÅÎÔ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË 1 ÎÅÔ ÎÅÔ 2 1 1 3 1 1 6 1, 2, 3 2, 3 12 1, 2, 3, 6 6 18 1, 2, 3, 6 6 18 12 6 2 3 1 òÉÓÕÎÏË 4.5. äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ìÉÎÅÊÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÉÚ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÊ É ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÊ. ðÒÉÍÅÒÙ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. • 6 ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; • ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÉÅ ÓÌÏ× × ÓÌÏ×ÁÒÅ. òÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÏÒÔÉÒÕÀÝÉÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ ÔÒÅÂÕÀÔ, ÞÔÏÂÙ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÏÒÔÉÒÕÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÂÙÌÉ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ×ÙÄÁ×ÁÔØ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÓÉÓÏË. äÒÕÇÉÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, ÒÅÄÏÌÁÇÁÑ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÊÄÅÔÓÑ2 ÍÉÎÉÍÁÌØ2 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË. îÁÒÉÍÅÒ, × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÑÄËÁ 6 ÎÅÔ ÎÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ, ÎÉ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 82 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ (ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏ×) É ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ (ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÊ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×). þÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 4.11 ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÄÎÉÍ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÞÉÓÌÏÍ 1. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, × ÎÅÍ ÅÓÔØ Ä×Á ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ: 12 É 18. ÷ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×. ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÏÞËÅ ÒÅÂÅÒ ÎÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ èÁÓÓÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {1; 2; 6; 18} ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ... ÄÅÌÉÔÅÌØ .... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4 4.1. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ É ÎÁÞÅÒÔÉÔÅ ÏÒÉ- ÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÍÁÔÒÉ ÅÊ: a b 1 é 2  é 3 ì ì ì é  d é é é  ì ì : ì 4.2. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÁÔÕ- ÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ N ÏÉÛÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ: R ={(x; y ) : 2x + y = 9}; S ={(x; y ) : x + y < 7}; T ={(x; y ) : y = x2 }: 4.3. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {1; 2; 3; 4}, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: u R v ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ u + 2v | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ðÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ R ËÁÖÄÙÍ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ×: (Á) ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ; (Â) × ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ; (×) × ×ÉÄÅ ÍÁÔÒÉ Ù. 4.4. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÌÀÄÅÊ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÙ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ ÉÌÉ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙ: (Á) ... ÉÍÅÅÔ ÔÅÈ ÖÅ ÒÏÄÉÔÅÌÅÊ, ÞÔÏ É ...; (Â) ... Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÒÁÔÏÍ ...; (×) ... ÓÔÁÒÛÅ ÉÌÉ ÍÌÁÄÛÅ, ÞÅÍ ...; (Ç) ... ÎÅ ×ÙÛÅ, ÞÅÍ .... îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4 83 4.5. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÎÉÖÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÎÁ Z Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÙÍÉ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍÉ, Á ËÁËÉÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍÉ? (Á) x + y | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ; (Â) x + y | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ; (×) xy | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ; (Ç) x + xy | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. 4.6. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ, ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {x : x ∈ Z É 1 6 x 6 12}. (Á) R = {(x; y ) : xy = 9}; (Â) S = {(x; y ) : 2x = 3y }; (×) ÚÁÍÙËÁÎÉÅ R Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ; (Ç) ÚÁÍÙËÁÎÉÅ S Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ. 4.7. îÉÖÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ × ËÁÖÄÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. (Á) x ÎÁ ÏÄÉÎ ÇÏÄ ÓÔÁÒÛÅ, ÞÅÍ y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÌÀÄÅÊ; (Â) x = 2y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å N ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; (×) x < y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å R ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ; (Ç) x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÞÅÒØÀ y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÖÅÎÝÉÎ. 4.8. îÁÊÄÉÔÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ Ï ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ, Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ É Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (a; a); (b; b); ( ; ); (a; ); (a; d); (b; d); ( ; a); (d; a) ; ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {a; b; ; d}. éÍÅÅÔ ÌÉ ÓÍÙÓÌ ÓÔÒÏÉÔØ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ? 4.9. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁ ÄÁÎÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÏÉÛÉÔÅ ÂÌÏËÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A: (Á) A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÎÉÇ × ÂÉÂÌÉÏÔÅËÅ, Á R ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: x R y , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ×ÅÔ ÅÒÅÌÅÔÁ x ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÅÔÏÍ ÅÒÅÌÅÔÁ y ; (Â) A = Z, R ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: x R y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ x − y | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ; (×) A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÀÄÅÊ, É x R y , ÅÓÌÉ x ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÏÌ, ÞÔÏ É y ; 84 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ (Ç) A = R2 , R ÚÁÄÁÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ: (a; b) R ( ; d) × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ a2 + b2 = 2 + d2 . 4.10. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÁË: x R y × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ x2 − y 2 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÏÉÛÉÔÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. 4.11. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ èÁÓÓÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÞÁ- ÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×: (Á) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ x ÄÅÌÉÔ y ; (Â) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× × {1; 2; 3} Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ X | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y . 4.12. äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = = {a; b; ; d; e; f; g; h} ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 4.6. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ R É ÎÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ É ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. g h d f e a b c òÉÓÕÎÏË 4.6. 4.13. ìÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ (ÁÌÆÁ×ÉÔÎÙÊ) ÏÒÑÄÏË ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: Õ ÄÁÎÎÙÈ ÓÌÏ× X É Y ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ÂÕË×Õ ÚÁ ÂÕË×ÏÊ, ÏÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÅÚ ×ÎÉÍÁÎÉÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ, ÏËÁ ÎÅ ÎÁÊÄÅÍ ÁÒÕ ÒÁÚÎÙÈ. åÓÌÉ × ÜÔÏÊ ÁÒÅ ÂÕË×Á ÓÌÏ×Á X ÓÔÏÉÔ ÒÁÎØÛÅ (Ï ÁÌÆÁ×ÉÔÕ), ÎÅÖÅÌÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÂÕË×Á ÓÌÏ×Á Y , ÔÏ X ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ Y ; ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÂÕË×Ù ÓÌÏ×Á X ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ Y , ÎÏ ÏÎÏ ËÏÒÏÞÅ, ÔÏ X ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ Y , × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, Y ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ X . ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 85 õÏÒÑÄÏÞÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÌÏ×Á ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ: ÂÕÔÙÌËÁ, ÂÁÎÁÎ, ÂÉÓË×ÉÔ, ÂÉ×ÅÎØ É ÂÁÎÄÖÏ . ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ÏÞÅÍÕ ÷Ù ×ÙÂÒÁÌÉ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÏÊ ÏÒÑÄÏË. ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù âÉÎÁÒÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R × A × B . åÓÌÉ A = B , ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ A. âÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÉÓÁÎÏ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ (ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÒÅÄÉËÁÔÏ×), ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ, ËÁË ÏÒÇÒÁÆ É Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÔÒÉ Ù. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ x R x ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ A; ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ, ÅÓÌÉ x R y ⇒ y R x ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y ∈ A; ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ, ÅÓÌÉ (x R y É y R x ⇒ x = y ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y ∈ A; ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ (x R y É y R z ) ⇒ x R z ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y z ∈ A. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R∗ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á P , ÅÓÌÉ 1) R∗ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P ; 2) R ⊂ R∗ ; 3) R∗ | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ R É ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ P . òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ëÌÁÓÓÏÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ x ∈ A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ex = {z ∈ A : z R x}: òÁÚÂÉÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× A1 ; A2 ; : : : ; An × A, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ: A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An É Ai ∩ Aj = ∅ ÒÉ i 6= j: ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ai ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÌÏËÁÍÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ. åÓÌÉ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁ A, ÔÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ A. 86 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÉÞÎÙÍ ÏÒÑÄËÏÍ. íÎÏÖÅÓÔ×Á, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÔÁËÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ. ìÉÎÅÊÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å | ÜÔÏ ÔÁËÏÊ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÍÏÖÎÏ ÓÒÁ×ÎÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. åÓÌÉ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A É x R y , x 6= y , ÔÏ x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉËÏÍ y . ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ x ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ y É ÎÅÔ ÔÁËÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ z , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ x R z É z R y , ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ x | ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË y . ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÆÁËÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÔÁË: x ≺ y . äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÇÒÁÆ, ÞØÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÚÏÂÒÁ- ÖÁÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ÷ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ x ≺ y , ×ÅÒÛÉÎÁ x ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ×ÅÒÛÉÎÏÊ y É ÓÏÅÄÉÎÑÅÔÓÑ Ó ÎÅÊ ÒÅÂÒÏÍ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ äÁÎÎÙÅ, ÈÒÁÎÑÝÉÅÓÑ × ËÏÍØÀÔÅÒÅ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÂÁÚÏÊ ÄÁÎÎÙÈ . ðÒÏÇÒÁÍÍÙ, Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌØ ÉÚ×ÌÅËÁÅÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÉÚ ÂÁÚÙ ÄÁÎÎÙÈ ÉÌÉ ×ÎÏÓÉÔ × ÎÅÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÍÉ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ (óõâä). ÁÂÌÉ Á 4.2. T1 = ðÅÒÓÏÎÁÌØÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ìÉÞÎÙÊ äÁÔÁ ÎÏÍÅÒ æÁÍÉÌÉÑ ðÏÌ ÒÏÖÄ. óÅÍÅÊÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ 4000123 äÖÏÎÓ ö 1.2.83 ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ 2 íÏÔÔ, îØÀÔÏÎ 5001476 5112391 5072411 5532289 5083001 5196236 4936201 í ö í í í ö ö 4.5.84 21.3.84 12.12.84 15.8.83 9.7.83 21.3.84 7.10.77 ÖÅÎÁÔ ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ ÈÏÌÏÓÔ ÈÏÌÏÓÔ ÖÅÎÁÔ ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ ÚÁÍÕÖÅÍ óÉÎÇÈ óÍÉÔ óÍÉÔ þÉÎÇ çÒÁÎÔ íÁËËÁÊ æÒÅÎË áÄÒÅÓ 4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ 17 ëÒÅÓÎÔ, óÉÆÏÒÔ 21 ðÁÄÄÉÎÇ ìÜÊÎ, ÷ÉÔÜÍ 4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ 18 éÆÆÌÅÊÒÏÁÄ, óÉÆÏÒÔ 133 õÆÆÒÏÁÄ, òÅÁÄÉÎÇ 11 æÉÎÎÒÏÁÄ, îØÀÔÏÎ äÁÎÎÙÅ × ËÏÍØÀÔÅÒÅ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÙ × ×ÉÄÅ ÔÁÂÌÉ . îÁÒÉÍÅÒ, ÔÁÂÌ. 4.2 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÇÒÕÅ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×: ÌÉÞÎÙÊ ÎÏÍÅÒ ÓÔÕÄÅÎÔÁ, ÆÁÍÉÌÉÀ, ÏÌ, ÄÁÔÕ ÒÏÖÄÅÎÉÑ, ÓÅÍÅÊÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ É ÁÄÒÅÓ. ÷ ÔÁÂÌ. 4.3 ÚÁÎÅÓÅÎÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÏÂ ÕÓÅ×ÁÅÍÏÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× Ï ÏÔÄÅÌØÎÙÍ ËÕÒÓÁÍ. üÔÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÓÏÓÔÁ×ÑÔ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ 87 ÏÓÎÏ×Õ ÄÌÑ ÎÁÛÉÈ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÈÏÔÑ É ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÂÌÅÍÙ ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ Ó ÔÁÂÌ. 4.2 ÍÏÇÕÔ ×ÏÚÎÉËÎÕÔØ ÒÉ ÏÙÔËÅ ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ óÍÉÔÁÈ, Á × ÔÁÂÌ. 4.2 ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÄÅÔÁÌØÎÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÏÑ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ × ÔÁÂÌ. 4.3. ÁÂÌÉ Á 4.3. T2 = õÓÅ×ÁÅÍÏÓÔØ æÁÍÉÌÉÑ ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. ðÒÏÇÒ. äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ ëÁÍÍÉÎÇÓ äÖÏÎÓ çÒÁÎÔ óÉÎÇÈ æÒÅÎË íÁËËÁÊ ëÕËÓÏÎ ÏÔÌ ÈÏÒ ÕÄÏ×Ì ÕÄÏ×Ì ÎÅÕÄ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÈÏÒ ÎÅÕÄ ÏÔÌ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÏÔÌ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÏÔÌ ÏÔÌ ÎÅÕÄ ÕÄÏ×Ì ÎÅÕÄ ÕÄÏ×Ì ÏÔÌ ÈÏÒ óÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉ Ù Ó n ËÏÌÏÎËÁÍÉ, ÏÍÅÞÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A1 ; A2 ; : : : ; An ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÁË ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × ÒÑÍÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ A1 × A2 × · · · × An . óÔÒÏËÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÓÉÓÏË ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, Ï ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ Ai , Á ×ÓÑ ÔÁÂÌÉ Á ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ n-ÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÔÁÂÌ. 4.3 ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï T 2 × A1 × A2 × A3 × A4 × A5 , ÇÄÅ A1 | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÁÍÉÌÉÊ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, Á A2 = A3 = A4 = A5 = {ÏÔÌ, ÈÏÒ, ÕÄÏ×Ì, ÎÅÕÄ}. ïÄÉÎ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÜÔÏÇÏ ÑÔÉÎÁÒÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ | ÓÔÒÏËÁ (äÖÏÎÓ, ÈÏÒ, ÕÄÏ×Ì, ÈÏÒ, ÎÅÕÄ), × ËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÉÓÁÎÙ Ï ÅÎËÉ äÖÏÎÓÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÉÍ ÚÁ ÞÅÔÙÒÅ ÒÅÄÍÅÔÁ. äÌÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ É ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ ÔÁÂÌÉ , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÁÂÏÒÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÎÉÍÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ: ÒÏÅËÔ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ É ×ÙÂÏÒ. üÔÏ ÔÏÌØËÏ ÔÒÉ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, ÓÏÚÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÍÁÎÉÕÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ, ÔÅÏÒÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÑÚÙË ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ É ÆÕÎË ÉÊ. ïÅÒÁ ÉÑ ÒÏÅËÔ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔ ÎÏ×ÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÔÏÌÂ Ï× ÓÔÁÒÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÅËÔ(1, {æÁÍÉÌÉÑ, áÄÒÅÓ}) ÓÏÚÄÁÅÔ ÔÁÂÌ. 4.4. úÁÄÁÞÁ 1. îÁÊÔÉ ÒÏÅËÔ(2, {æÁÍÉÌÉÑ, ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ., äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ.}). òÅÛÅÎÉÅ. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 4.5 88 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÁÂÌÉ Á 4.4. T3 = ÒÏÅËÔ(1, {æÁÍÉÌÉÑ, áÄÒÅÓ}) æÁÍÉÌÉÑ áÄÒÅÓ äÖÏÎÓ 2 íÏÔÔ, îØÀÔÏÎ óÉÎÇÈ óÍÉÔ óÍÉÔ þÉÎÇ çÒÁÎÔ íÁËËÁÊ æÒÅÎË 4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ 17 ëÒÅÓÎÔ, óÉÆÏÒÔ 21 ðÁÄÄÉÎÇ ìÜÊÎ, ÷ÉÔÜÍ 4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ 18 éÆÆÌÅÊÒÏÁÄ, óÉÆÏÒÔ 133 õÆÆÒÏÁÄ, òÅÁÄÉÎÇ 11 æÉÎÎÒÏÁÄ, îØÀÔÏÎ ÁÂÌÉ Á 4.5 æÁÍÉÌÉÑ ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. ÏÔÌ ÈÏÒ ÕÄÏ×Ì ÕÄÏ×Ì ÎÅÕÄ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÏÔÌ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÏÔÌ ëÁÍÍÉÎÇÓ äÖÏÎÓ çÒÁÎÔ óÉÎÇÈ æÒÅÎË íÁËËÁÊ ëÕËÓÏÎ ïÅÒÁ ÉÑ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔ Ä×Å ÔÁÂÌÉ Ù × Â ÏÌØÛÕÀ, ×ÙÉÓÙ×ÁÑ × ÏÄÎÕ ÓÔÒÏËÕ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÏÂÝÅÍÕ ÁÔÒÉÂÕÔÕ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ R É S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ Ä×ÕÍÑ ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ, ÒÉÞÅÍ R | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × ÒÑÍÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ A1 × · · · × Am × B1 × · · · × Bn , Á S | × ÒÑÍÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ A1 × · · · × Am × C1 × · · · × Cp . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÝÉÅ ÁÔÒÉÂÕÔÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A1 ; A2 ; : : : ; Am . óÏÅÄÉÎÅÎÉÅ R É S | ÜÔÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × A1 × · · · × Am × B1 × · · · × Bn × C1 × · · · × Cp , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÉÄÁ (a1 ; a2 ; : : : ; am ; b1 ; b2 ; : : : ; bm ; 1 ; 2 ; : : : ; p ), ÇÄÅ (a1 ; : : : ; am ; b1 ; : : : ; bm ) ÌÅÖÉÔ × R, Á (a1 ; : : : ; am ; 1 ; : : : ; p ) | × ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å S . îÁÒÉÍÅÒ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ(3, 2) ÄÁÅÔ ÔÁÂÌ. 4.6. ÁÂÌÉ Á 4.6 æÁÍÉÌÉÑ áÄÒÅÓ ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. ðÒÏÇÒ. äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ äÖÏÎÓ çÒÁÎÔ 2 íÏÔÔ, îØÀÔÏÎ 18 éÆÆÌÅÊÒÏÁÄ, óÉÆÏÒÔ ÈÏÒ ÕÄÏ×Ì ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÈÏÒ ÏÔÌ ÎÅÕÄ ÕÄÏ×Ì óÉÎÇÈ æÒÅÎË íÁËËÁÊ 4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ 11 æÉÎÎÒÏÁÄ, îØÀÔÏÎ 133 õÆÆÒÏÁÄ, òÅÁÄÉÎÇ ÕÄÏ×Ì ÎÅÕÄ ÏÔÌ ÈÏÒ ÎÅÕÄ ÏÔÌ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÎÅÕÄ ÕÄÏ×Ì ÏÔÌ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÁÚÁÍÉ ÄÁÎÎÙÈ 89 ïÅÒÁ ÉÑ ×ÙÂÏÒ ÏÔÂÉÒÁÅÔ ÓÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉ Ù, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÏÄÈÏÄÑÝÅÍÕ ËÒÉÔÅÒÉÀ. îÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÂÏÒ(1, ðÏÌ = í É óÅÍÅÊÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ = öÅÎÁÔ) ×ÅÒÓÔÁÅÔ ÔÁÂÌ. 4.7. ÁÂÌÉ Á 4.7 ìÉÞÎÙÊ ÎÏÍÅÒ æÁÍÉÌÉÑ ðÏÌ äÁÔÁ ÒÏÖÄ. óÅÍÅÊÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ 5001476 5083001 óÉÎÇÈ çÒÁÎÔ í í 4.5.84 9.7.83 ÖÅÎÁÔ ÖÅÎÁÔ áÄÒÅÓ 4á îØÀÒÁÏÄ, óÉÆÏÒÔ 18 éÆÆÌÅÊÒÏÁÄ, óÉÆÏÒÔ úÁÄÁÞÁ 2. îÁÊÄÉÔÅ ×ÙÂÏÒ(2, äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. = ÏÔÌ). òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÎÏ×ÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ (ÔÁÂÌ. 4.8) ×ÏÊÄÕÔ ÔÏÌØËÏ ÔÅ ÓÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉ Ù 2, Õ ËÏÔÏÒÙÈ × ÓÔÏÌÂ Å, ÏÍÅÞÅÎÎÏÍ äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÏÔÌ. ÁÂÌÉ Á 4.8 æÁÍÉÌÉÑ ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. ðÒÏÇÒ. äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ çÒÁÎÔ óÉÎÇÈ ëÕËÓÏÎ ÕÄÏ×Ì ÕÄÏ×Ì ÕÄÏ×Ì ÈÏÒ ÈÏÒ ÏÔÌ ÏÔÌ ÏÔÌ ÏÔÌ ÕÄÏ×Ì ÎÅÕÄ ÈÏÒ ëÁË ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÚ×ÏÌÉÔ ÎÁÍ ÉÚ×ÌÅËÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÉÚ ÂÁÚ ÄÁÎÎÙÈ. úÁÄÁÞÁ 3. îÁÊÄÉÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÉÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÅÒÁ ÉÊ: R1 = ÒÏÅËÔ(T2, {æÁÍÉÌÉÑ, ðÒÏÇÒ., ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ}); R2 = ×ÙÂÏÒ(R1, ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ = ÏÔÌ ÉÌÉ ðÒÏÇÒ. = ÏÔÌ); òÅÛÅÎÉÅ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ×ÓÅ ÓÔÏÌÂ Ù ÔÁÂÌÉ Ù 2, ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ æÁÍÉÌÉÑ, ðÒÏÇÒ. É ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ, ÕÄÁÌÑÀÔÓÑ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ Ï- ÌÕÞÉÔÓÑ ÔÁÂÌÉ Á R1. úÁÔÅÍ, × ÎÏ×ÏÊ ÔÁÂÌÉ Å ÎÕÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÅ ÓÔÒÏËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÅÓÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ Ï ÅÎËÁ ÏÔÌ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÏÔÂÒÏÓÉÔØ. üÔÏ ÄÁÓÔ ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ R2 (ÔÁÂÌ. 4.9). ÁÂÌÉ Á 4.9 æÁÍÉÌÉÑ ðÒÏÇÒ. ÷ÙÞÉÓÌ. ÓÉÓÔÅÍÙ ëÁÍÍÉÎÇÓ íÁËËÁÊ ÈÏÒ ÏÔÌ ÏÔÌ ÏÔÌ ëÕËÓÏÎ ÏÔÌ ÈÏÒ 90 çÌÁ×Á 4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ úÁÄÁÞÁ 4. îÁÊÄÉÔÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ: R1 = ×ÙÂÏÒ(T1, ÏÌ = ö); R2 = ÒÏÅËÔ(T2,{æÁÍÉÌÉÑ, äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ.}); R3 = ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ(R1, R2). òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ×ÙÂÅÒÅÍ ÉÚ ÔÁÂÌÉ Ù 1 ÓÔÒÏËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔ- ÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÔÕÄÅÎÔËÁÍ, É ÓÏÓÔÁ×ÉÍ ÉÚ ÎÉÈ ÔÁÂÌÉ Õ R1. úÁÔÅÍ ÕÄÁÌÉÍ ÉÚ 2 ×ÓÅ ÓÔÏÌÂ Ù, ËÒÏÍÅ Ä×ÕÈ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ, É ÏÌÕÞÉÍ ÔÁÂÌÉ Õ R2. ïÂÝÉÍ ÁÔÒÉÂÕÔÏÍ ÔÁÂÌÉ R1 É R2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ æÁÍÉÌÉÑ. óÏÅÄÉÎÉ× R1 É R2, ÏÌÕÞÉÍ ÉÓËÏÍÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ (ÔÁÂÌ. 4.10). ÁÂÌÉ Á 4.10 ìÉÞÎÙÊ ÎÏÍÅÒ æÁÍÉÌÉÑ ðÏÌ äÁÔÁ ÒÏÖÄ. óÅÍÅÊÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ áÄÒÅÓ 4000123 äÖÏÎÓ ö 1.2.83 ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ 5196236 íÁËËÁÊ ö 21.3.84 ÎÅ ÚÁÍÕÖÅÍ 4936201 æÒÅÎË ö 7.10.77 ÚÁÍÕÖÅÍ 2 íÏÔÔ, îØÀÔÏÎ 133 õÆÆÒÏÁÄ, òÅÁÄÉÎÇ 11 æÉÎÎÒÏÁÄ, îØÀÔÏÎ äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. ÈÏÒ ÈÏÒ ÕÄÏ×Ì úÁÄÁÞÁ 5. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÅÒÁ ÉÊ (×ÙÂÏÒ, ÒÏÅËÔ É ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ) ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÍÅÎ É ÁÄÒÅÓÏ× ×ÓÅÈ ÔÅÈ ÓÔÕÄÅÎ- ÔÏË, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÌÕÞÉÌÉ Ï ÅÎËÕ ÎÅ ÎÉÖÅ ÈÏÒ Ï ÏÂÏÉÍ ÒÅÄÍÅÔÁÍ: ÏÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÄÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. òÅÛÅÎÉÅ. ïÄÎÁ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÏÅÒÁ ÉÊ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕ- ÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. R1 = ×ÙÂÏÒ(1, ÏÌ = ö); R2 = ×ÙÂÏÒ(2, äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. = ÏÔÌ ÉÌÉ äÉÓËÒ. ÍÁÔÅÍ. = ÈÏÒ); R3 = ×ÙÂÏÒ(R2, ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. = ÏÔÌ ÉÌÉ ïÓÎÏ×Ù ÍÁÔÅÍ. = ÈÏÒ); R4 = ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ(R1, R3); R = ÒÏÅËÔ(R4,{æÁÍÉÌÉÑ, áÄÒÅÓ}). çìá÷á 5 æõîëãéé æÕÎË ÉÉ ÉÇÒÁÀÔ ÅÎÔÒÁÌØÎÕÀ ÒÏÌØ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÇÄÅ ÏÎÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ÌÀÂÙÈ ÒÏ ÅÓÓÏ×, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÅÒÅÈÏÄÑÔ × ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÄÒÕÇÏÇÏ. ÁËÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× | ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÉÄÅÑ, ÉÍÅÀÝÁÑ ÅÒ×ÏÓÔÅÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÏ ÅÓÓÏ×. ëÁË ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÆÕÎË ÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÉÚ ÓÅÂÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÊ ÔÉ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. ïÄÎÁËÏ ÅÒÅÄ ÔÅÍ, ËÁË ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÆÕÎË ÉÉ, × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÒÏÄÏÌÖÉÍ ÒÁÂÏÔÕ ÎÁÄ ÂÉÎÁÒÎÙÍÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ, ÎÁÞÁÔÕÀ × ÇÌÁ×Å 4. úÄÅÓØ ÍÙ ÉÚÕÞÉÍ Ä×Á ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÓÏÓÏÂÁ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÉÚ ÕÖÅ ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ. üÔÉ ÓÏÓÏÂÙ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. õÏÍÑÎÕÔÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ×ÁÖÎÙ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÏÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÆÕÎË ÉÑÍ. ðÏÓÌÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÆÕÎË ÉÊ, Á ÚÁËÏÎÞÉÍ ÜÔÏ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÚÁËÏÎÏÍ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ËÁË ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ . üÔÏÔ, ÎÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏÊ, ÆÁËÔ ÄÁÓÔ ÎÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÅÛÁÔØ ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ Ñ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ. ëÁË ÎÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ, ÔÁË É ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÏÓ×ÑÝÅÎÙ ÒÉÍÅÎÅÎÉÀ ÆÕÎË ÉÊ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. íÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÑÚÙËÏÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ , ÈÏÔÑ É ÓÉÌØÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍ (ÉÚ ÍÅÔÏÄÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ). ðÏËÁÖÅÍ, ËÁË Ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÙÅ. 5.1. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ðÕÓÔØ R | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B . ïÒÅÄÅÌÉÍ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R−1 ÍÅÖÄÕ B É A Ï ÆÏÒÍÕÌÅ: R−1 = {(b; a) : (a; b) ∈ R}: îÁÒÉÍÅÒ, ÏÂÒÁÔÎÙÍ Ë ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ... ÒÏÄÉÔÅÌØ ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ ÂÕÄÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÒÅÂÅÎÏË .... îÁ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ÓÔÒÅÌÏË × ÏÒÇÒÁÆÅ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÅÍ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. 92 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ÷ÔÏÒÁÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÁ ÄÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ. ðÕÓÔØ R | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B , Á S | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ B É ÔÒÅÔØÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ C . ëÏÍÏÚÉ ÉÅÊ R É S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ A É C , ËÏÔÏÒÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ S ◦ R É ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: S ◦ R = {(a; ) : a ∈ A; ∈ C É a R b; b S ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ b ∈ B }: îÏ×ÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É C , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ B × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÓÒÅÄÎÉËÏ×. ðÒÉÍÅÒ 5.1. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ a | ÓÅÓÔÒÁ b, Á S ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ b | ÍÁÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ: S ◦ R É S ◦ S . òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ a | ÓÅÓÔÒÁ b, Á b | ÍÁÔØ , ÔÏ a, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ ÓÅÓÔÒÏÊ ÍÁÔÅÒÉ , Ô. Å. a ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÔÅÔÅÊ . óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ S ◦ R ÅÓÔØ ÎÉ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË a | ÔÅÔÑ . áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍÉ ÌÅÇËÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ S ◦ S | ÜÔÏ a | ÂÁÂÕÛËÁ . ðÒÉÍÅÒ 5.2. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R É S ÚÁÄÁÎÙ ÏÒÇÒÁ- ÆÁÍÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÒÉÓ. 5.1. îÁÊÄÉÔÅ ÏÒÇÒÁÆ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ S ◦ R. aô b 1 1 2 2 3 3 x y R S òÉÓÕÎÏË 5.1. ïÒÇÒÁÆÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S òÅÛÅÎÉÅ. éÓÏÌØÚÕÑ ÏÒÇÒÁÆÙ, ×ÙÉÛÅÍ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ. R = {(a; 1); (a; 2); (a; 3); (b; 2)} É S = {(1; y ); (2; x); (3; x)}: ðÒÉÍÅÎÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. a R 1 É 1 S y ⇒ (a; y ) ∈ S ◦ R; a R 2 É 2 S x ⇒ (a; x) ∈ S ◦ R; 5.1. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ 93 a R 3 É 3 S x ⇒ (a; x) ∈ S ◦ R; b R 2 É 2 S x ⇒ (b; x) ∈ S ◦ R: ÅÅÒØ ÎÁ ÒÉÓ. 5.2 ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÏÒÇÒÁÆ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ. a b x y S R òÉÓÕÎÏË 5.2. ïÒÇÒÁÆ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ◦R ëÏÍÏÚÉ ÉÀ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ É Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÔÒÉ , ÉÈ ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ. éÍÅÑ ÍÁÔÒÉ Ù Ä×ÕÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ. ïÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÉÌÉ ÂÕÌÅ×ÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÁÔÒÉ . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÒÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á: A = {a1 ; a2 ; : : : ; an }; B = {b1 ; b2 ; : : : ; bm } É C = { 1 ; 2 ; :::; p }: ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ A É B , Á S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ B É C . îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á M ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: M (i; j ) = é ÅÓÌÉ (ai ; bj ) ∈ R; M (i; j ) = ì ÅÓÌÉ (ai ; bj ) 6∈ R: áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÍÁÔÒÉ Á N ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ÚÁÏÌÎÑÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ: N (i; j ) = é ÅÓÌÉ (bi ; j ) ∈ S; N (i; j ) = ì ÅÓÌÉ (bi ; j ) 6∈ S: åÓÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ bk ∈ B , ÞÔÏ ai R bk É bk S j , ÔÏ × i-ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù M ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ é. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × j -ÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ÍÁÔÒÉ Ù N ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ é. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÓËÏÌØËÕ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ai (S ◦ R) j , ÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ P (i; j ) ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù P ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ◦ R ÔÏÖÅ ÒÁ×ÎÏ é. åÓÌÉ ÖÅ × i-ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù M ÎÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ é, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÁËÏÍÕ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÀ × j -ÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ÍÁÔÒÉ Ù N , ÔÏ P (i; j ) = ì. 94 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á P ËÏÍÏÚÉ ÉÉ S ◦ R ÚÁÏÌÎÑÅÔÓÑ Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ: P (i; j ) = [M (i; 1) É N (1; j )℄ ÉÌÉ ÉÌÉ [M (i; 2) É N (2; j )℄ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ÉÌÉ [M (i; n) É N (n; j )℄: âÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ P = M N ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÂÕÌÅ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ . ðÒÉÍÅÒ 5.3. ðÕÓÔØ R É S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 5.2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ◦ R Ó ÏÍÏÝØÀ ÂÕÌÅ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÍÁÔÒÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S . òÅÛÅÎÉÅ. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÍÅÖÄÕ A = {a; b} É B = {1; 2; 3} ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ M = é ì é é é ì ; ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ËÏÔÏÒÏÊ ÏÍÅÞÅÎÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ ×ÙÉÓÁÎÙ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ B = {1; 2; 3} É C = {x; y }, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÍÁÔÒÉ ÅÊ   ì é N =  é ì : é ì úÎÁÞÉÔ, ÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á P ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ S ◦ R ÒÁ×ÎÁ ÂÕÌÅ×Õ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ   ì é é é é  é ì : P = ì é ì é ì ÷ ÍÁÔÒÉ Å M ÅÓÔØ Ä×Å ÓÔÒÏËÉ, Á × ÍÁÔÒÉ Å N | Ä×Á ÓÔÏÌÂ Á. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÁÔÒÉ Á P ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÔÒÏË É Ä×ÕÈ ÓÔÏÌÂ Ï×. ñÞÅÊËÁ P (1; 1) ÚÁÏÌÎÑÅÔÓÑ Ï ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù M É ÅÒ×ÏÍÕ ÓÔÏÌÂ Õ ÍÁÔÒÉ Ù N . âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ,   ì P (1; 1) = é é é  é  = (é É ì) ÉÌÉ (é É é) ÉÌÉ (é É é) é = ì ÉÌÉ é ÉÌÉ é = é: 95 5.1. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù M ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ É ÔÒÅÔØÅÍ ÍÅÓÔÁÈ ÓÔÏÉÔ é, ÔÁË ÖÅ ËÁË É × ÅÒ×ÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ÍÁÔÒÉ Ù N . üÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ: P (1; 1) = é. óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù M ÓÏ ×ÔÏÒÙÍ ÓÔÏÌÂ ÏÍ ÍÁÔÒÉ Ù N , ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ é. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (1; 2) = é. ÁËÉÍ ÖÅ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù M É ÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù N , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍ P (2; 1) = é. îÁËÏÎÅ , P (2; 2) = ì, ÔÁË ËÁË ×ÔÏÒÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÍÁÔÒÉ Ù M É ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù N ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÍÅÓÔÁÈ. éÔÁË, é é N = : é ì ðÒÉÍÅÒ 5.4. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A = {1; 2; 3; 4; 5} ÚÁÄÁ- ÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ       ì ì ì ì ì ì é ì ì é é ì ì é ì é ì é ì ì ì é ì ì ì    :   ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ R ◦ R É ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ÏÞÅÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ. òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á ËÏÍÏÚÉ ÉÉ R ◦ R ÒÁ×ÎÁ       ì ì ì ì ì ì é ì ì é é ì ì é ì é ì é ì ì ì é ì ì ì       ì ì ì ì ì ì é ì ì é é ì ì é ì é ì é ì ì ì é ì ì ì       =     ì ì ì ì ì ì é ì ì é é ì é ì ì é ì ì é ì ì é ì ì é    :   üÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ R ◦ R ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ (x; z ), ÇÄÅ x R y É y R z ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ y ∈ A. ðÏÜÔÏÍÕ × ÓÌÕÞÁÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ R ËÏÍÏÚÉÉÑ R ◦ R ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ R. ïÄÎÁËÏ ÉÚ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é × ÍÁÔÒÉ ÁÈ, ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ, ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ R ◦ R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÁÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÌÅÖÁÔ × R. éÍÅÎÎÏ ÏÜÔÏÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. 96 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ 5.2. æÕÎË ÉÉ ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ Ó×ÑÚÅÊ ÍÅÖÄÕ ÁÒÁÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÉÚ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× A É B . æÕÎË ÉÉ | ÜÔÏ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÌÏÖÅÎÙ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ. æÕÎË ÉÅÊ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A Ó×ÑÚÁÎ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B . äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ a ∈ A ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÁÒÁ ÉÚ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÉÄÁ (a; b). ÷ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÆÕÎË ÉÑ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÇÒÁÆÏÍ, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÅÊ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ×ÙÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÓÔÒÅÌËÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÒÉÓ. 5.3 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÇÒÁÆ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÆÕÎËÉÀ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {a; b; } × {1; 2}, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÁÒ (a; 1), (b; 1) É ( ; 2). a 1 b 2 c òÉÓÕÎÏË 5.3. ðÒÉÍÅÒ 5.5. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A = {a; b; } É B = {1; 2; 3} Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × B . (Á) f = {(a; 1); (a; 2); (b; 3); ( ; 2)}; (Â) g = {(a; 1); (b; 2); ( ; 1)}; (×) h = {(a; 1); ( ; 2)}. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ f | ÎÅ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ a ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B : 1 É 2. (Â) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ g Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ. (×) ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÅÊ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ b ÎÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. 5.2. æÕÎË ÉÉ 97 ðÒÉÍÅÒ 5.6. ëÁËÉÅ ÉÚ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ: (Á) x | ÂÒÁÔ ÉÌÉ ÓÅÓÔÒÁ y ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ; (Â) ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÁÒÁÍÉ: {(x; x2 ) : x ∈ Z}; (×) ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å R, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÁÒÁÍÉ: {(x; y ) : x = y 2 } Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ? òÅÛÅÎÉÅ. (Á) üÔÏ ÎÅ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÓÔØ ÌÀÄÉ Ó ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÂÒÁÔØÑÍÉ É ÓÅÓÔÒÁÍÉ, Á ÔÁËÖÅ ÂÙ×ÁÀÔ ÓÅÍØÉ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÅÂÅÎËÏÍ. (Â) á ×ÏÔ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÁË ÒÁÚ ÆÕÎË ÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÅÌÏÍÕ ÞÉÓÌÕ x ÅÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔ x2 ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. (×) ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ | ÎÅ √ ÆÕÎË ÉÑ,√ÔÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÂÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ: (2; 2) É (2; − 2) | ÅÍÕ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÎÅÍ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÁÒÙ (x; y ) Ó ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ x. ðÕÓÔØ f | ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B . ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ x ∈ A ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ y ∈ B , ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ (x; y ) ∈ f , ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ: y = f (x), É ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B , Á f (x) ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÂÒÁÚÏÍ x ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ f ÉÌÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ f , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ x. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ f : A −→ B , ÞÔÏÂÙ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ A × ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ B . íÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ , Á B | ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ1 f . äÌÑ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, × ËÏÔÏÒÙÅ ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ A ÆÕÎË ÉÅÊ f , ××ÏÄÑÔ ÏÎÑÔÉÅ ÏÂÒÁÚ ÉÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × B , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÏÂÒÁÚÏ× ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x ∈ A. ïÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ f (A) É ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÁË: f (A) = {f (x) : x ∈ A}: äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 5.4 ÓÌÕÖÉÔ ÕÄÏÂÎÏÊ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÅÊ ÆÕÎËÉÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å B . 1 äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÉÌÉ ÚÁÄÁÎÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å B . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 98 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ f f(A) A B òÉÓÕÎÏË 5.4. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÆÕÎË ÉÉ f : A −→ B ëÏÇÄÁ ÍÙ ÒÁÂÏÔÁÅÍ Ó ÆÕÎË ÉÅÊ f : A −→ B , ÇÄÅ A É B | ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÇÒÁÆ ÜÔÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. óÌÅÄÕÅÔ ÏÂÒÁÔÉÔØÓÑ Ë ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÄÅÅ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÅÅ ÇÒÁÆÉËÕ . òÉÓÕÎÏË 5.5. çÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ y = f (x) îÁÒÉÍÅÒ, ÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ f : R −→ R, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f (x) = x2 , ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 5.5. çÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÏÓØ ÏÍÅÞÁÅÔÓÑ x É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ R. ÷ÅÒÔÉËÁÌØÎÁ ÏÓØ ÏÍÅÞÁÅÔÓÑ y É ÚÁÍÅÎÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ (× ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÏÖÅ R). ëÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ, Ô. Å. ÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÏÞÅË (x; y ) ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ R × R, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ y = f (x). ÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, f (2) = 4, ÔÏÞËÁ (2; 4) ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ, ÞÔÏ ×ÉÄÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ. ðÒÉÍÅÒ 5.7. óÄÅÌÁÊÔÅ ÎÁÂÒÏÓÏË ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎË ÉÉ g : R −→ R, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ g (x) = 2 − x. îÁÊÄÉÔÅ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÉ x = 2 É x = 3. ïÔÍÅÔØÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÇÒÁÆÉËÅ. 5.2. æÕÎË ÉÉ 99 òÅÛÅÎÉÅ. þÅÒÔÅÖ ÇÒÁÆÉËÁ ÒÉ×ÅÄÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 5.6. ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÁÒÁÍ: g (2) = 0 É g (3) = −1. y x (2, 0) (3, -1) òÉÓÕÎÏË 5.6. çÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ g (x) = 2 − x ÅÅÒØ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ×ÁÖÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÆÕÎË ÉÊ. ðÕÓÔØ f : A −→ B | ÆÕÎË ÉÑ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÉÌÉ ÉÎßÅË ÉÅÊ , ÉÌÉ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÊ , ÅÓÌÉ f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ a1 ; a2 ∈ A. üÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ a1 6= a2 ⇒ f (a1 ) 6= f (a2 ); Ô. Å. Õ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÅÔ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÁÚÎÙÅ ×ÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÄÁÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÆÕÎË ÉÀ f ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÉÌÉ ÓÀÒßÅË ÉÅÊ , ÉÌÉ ÆÕÎË ÉÅÊ ÎÁ , ÅÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ b ∈ B ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ a ∈ A, ÞÔÏ b = f (a). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ f . íÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ f ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÂÉÅË ÉÅÊ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ËÁË ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. ðÒÉÍÅÒ 5.8. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓ. 5.7, ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ, Á ËÁËÉÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙ. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓÅ ÂÉÅË ÉÉ. 100 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ (á) (à) a 1 a 1 b 2 b 2 c 3 c 3 a 1 a 1 b 2 b 2 (ã) (â) 3 c òÉÓÕÎÏË 5.7. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) äÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ËÁË a, ÔÁË É b. ïÎÁ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÓÀÒßÅË ÉÅÊ, ××ÉÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ × ÜÌÅÍÅÎÔ 2 ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÅÒÅÈÏÄÉÔ. (Â) äÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË ËÁË ÎÅ ÉÍÅÅÔ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ïÎÁ ÖÅ É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. (×) úÎÁÞÅÎÉÅ 1 ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ËÁË ÎÁ a, ÔÁË É ÎÁ b. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÎÁ ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. ïÄÎÁËÏ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ × ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ×ÈÏÄÑÔ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. (Ç) ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÎÏ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. ÏÌØËÏ × ÓÌÕÞÁÅ (Â) ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÂÉÅË ÉÀ. ðÒÉÍÅÒ 5.9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ h : Z −→ Z, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ h(x) = x2 É ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, É ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÆÕÎË ÉÅÊ f : R −→ R, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÊ ÖÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f (x) = x2 , ÞÅÊ ÇÒÁÆÉË ÂÙÌ ÒÉ×ÅÄÅÎ ×ÙÛÅ. îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ h ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÔÏÌØËÏ 5.2. æÕÎË ÉÉ 101 ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. æÁËÔÉÞÅÓËÉ ÇÒÁÆÉË h, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 5.8, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÅÒÉÉ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÔÏÞÅË. y 9 4 1 x -3 -2 -1 1 2 3 òÉÓÕÎÏË 5.8. çÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ h(x) = x2 , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z. þÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ h ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÉÅ ÒÁÚÎÙÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ a1 6= a2 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ h(a1 ) = h(a2 ). îÁ ÇÒÁÆÉËÅ ×ÉÄÎÏ ÍÎÏÇÏ ÔÁËÉÈ ÁÒ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. îÁÒÉÍÅÒ, a1 = 2 É a2 = −2. þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÑ Ó ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØÀ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÆÕÎË ÉÉ h. ïÑÔØ-ÔÁËÉ ÎÁÛ ÇÒÁÆÉË ÏÍÏÇÁÅÔ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ìÀÂÏÅ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ −1, ÇÏÄÉÔÓÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ. ðÒÉÍÅÒ 5.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ k : R −→ R, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ k (x) = 4x + 3, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ k (a1 ) = k (a2 ), Ô. Å. 4a1 + 3 = 4a2 + 3: éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ 4a1 = 4a2 , ÏÔËÕÄÁ a1 = a2 . úÎÁÞÉÔ, k | ÉÎßÅË ÉÑ. ðÕÓÔØ b ∈ R. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ a ∈ R, ÞÔÏ h(a) = b. ñÓÎÏ, ÞÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å a ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ a = 14 (b − 3). éÔÁË, k | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ k Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ÓÀÒßÅË ÉÅÊ É ÉÎßÅË ÉÅÊ, ÔÏ ÏÎÁ | ÂÉÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. 102 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ 5.3. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : A −→ B | ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ f −1 . åÓÌÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÓÎÏ×Á ÏÌÕÞÉÍ ÆÕÎË ÉÀ, ÔÏ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ É ÉÓÁÔØ f −1 : B −→ A ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ . æÕÎË ÉÑ f ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ ×ÉÄÁ (a; b), ÇÄÅ b = f (a). ëÏÇÄÁ f ÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f −1 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ (b; a), ÇÄÅ a = f −1 (b). úÎÁÞÉÔ, ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÄÏÌÖÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÕÓÌÏ×ÉÀ: ÅÓÌÉ f (a) = b, ÔÏ f −1 (b) = a. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÅÒÅ×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ. ðÒÉÍÅÒ 5.11. ëÁËÉÅ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ ÒÉÍÅÒÁ 5.8 ÏÂÒÁÔÉÍÙ? òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅÍ ÓÔÒÅÌÏË × ÏÒÇÒÁÆÅ, ÅÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÍ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÔÏÌØËÏ × ÓÌÕÞÁÅ (Â) ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÏÂÒÁÔÉÍÕÀ ÆÕÎË ÉÀ. áËËÕÒÁÔÎÁÑ ÄÏ×ÏÄËÁ ÉÄÅÉ ÅÒÅÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÓÔÒÅÌÏË ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÁ ÄÌÑ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ k : R −→ R, k = 4x + 3 (ÓÍ. ÒÉÍÅÒ 5.10). äÅÊÓÔ×ÉÅ k ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÛÁÇÏ×: x - õÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ 4 4x - ðÒÉÂÁ×ÉÔØ 3 4x + 3- ä×Å ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ËÏÍÁÎÄÙ: ÕÍÎÏÖÉÔØ ÎÁ 4 É ÒÉÂÁ×ÉÔØ 3 | ÌÅÇËÏ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ: ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ 4 É ×ÙÞÅÓÔØ 3, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ ÓÔÒÅÌÏË ÄÁÅÔ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ: 1 4 (x − 3) òÁÚÄÅÌÉÔØ (x − 3) ÎÁ 4 ÷ÙÞÅÓÔØ 3 x éÔÁË, k −1 : R −→ R ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ k −1 = 14 (x − 3). îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÔ ÖÅ ÓÁÍÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ ÕÔÅÍ. ðÕÓÔØ y = k (x), ÔÁË ÞÔÏ x = k −1 (y ). îÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ y = 4x + 3. ÷ÙÒÁÚÉ× ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y , ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ x = 14 (y − 3). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, k −1 (y ) = 14 (y − 3) ÉÌÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÏÂÙÞÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ x × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, k −1 (x) = 14 (x − 3), ËÁË ÎÁÍ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. 5.3. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ 103 ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × ÒÉÍÅÒÁÈ, ÏÂÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ, ÂÙÌÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÍÉ. üÔÏ ÎÅ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÅ: ÏÂÒÁÔÉÍÙ ÔÏÌØËÏ ÂÉÅË ÉÉ. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ ËÒÉÔÅÒÉÊ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ ÄÌÑ ÏÂÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ f : A −→ B . ÅÏÒÅÍÁ. æÕÎË ÉÑ f ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÞÁÓÔÅÊ. óÎÁÞÁÌÁ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÂÉÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÂÒÁÔÉÍÁ. ðÕÓÔØ f : A −→ B | ÂÉÅË ÉÑ. ëÁË ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, f ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅÄÉËÁÔÏ×: f = (a; b) : a ∈ A É f (a) = b : ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÍÅÅÍ: f −1 = (b; a) : a ∈ A É f (a) = b : ðÏÓËÏÌØËÕ f ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ b ∈ B ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ a ∈ A, ÞÔÏ f (a) = b. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ××ÉÄÕ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÉÉ f ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï b ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ÁÒÙ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ f −1 ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A. á ÜÔÏ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ f −1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ, ËÁË É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ. ÅÅÒØ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÂÑÚÁÎÁ ÂÙÔØ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ f −1 | ÆÕÎË ÉÑ. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ b ∈ B ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ A, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ (b; a) ∈ f −1 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (a; b) ∈ f , Ô. Å. b = f (a). üÔÉÍ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ f . äÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f ÏÓÔÕÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ f (a1 ) = f (a2 ). ÏÇÄÁ ÏÂÅ ÁÒÙ: (f (a1 ); a1 ) É (f (a2 ); a2 ) | ÌÅÖÁÔ × f −1 . ÁË ËÁË f −1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ, ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: a1 = a2 , ÔÁË ÞÔÏ f ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ, ËÁË É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÏ×ÅÄÅÎÏ ÏÌÎÏÓÔØÀ: ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ É, × ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÂÉÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÂÒÁÔÉÍÁ. ðÒÉÍÅÒ 5.12. ðÕÓÔØ A = {x : x ∈ R É x 6= 1} É f : A −→ A ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: f (x) = x x−1 : 104 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ f ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ É ÎÁÊÔÉ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÅÊ ÆÕÎË ÉÀ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ f (a1 ) = f (a2 ). ÏÇÄÁ a1 a1 − 1 úÎÁÞÉÔ, a2 = a2 − 1 : a1 a2 − a1 = a1 a2 − a2 ; ÏÔËÕÄÁ a1 = a2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. ðÕÓÔØ b ∈ A | ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ f . îÁÊÄÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔ a ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÀ: f (a) = b, Ô. Å. a a−1 = b: òÁÚÒÅÛÁÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ a, ÎÁÊÄÅÍ a= b b−1 : îÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÎÁÊÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔ a = b−b 1 ∈ A, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ f (a) = b. üÔÏ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÅÔ Ï ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ f . éÔÁË, ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ËÁË ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË É ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. úÎÁÞÉÔ, ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ. ïÂÒÁÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: f −1 (b) = a ×ÓÅÇÄÁ, ËÏÇÄÁ f (a) = b. îÏ, ËÁË ÍÙ ÕÖÅ ×ÙÑÓÎÉÌÉ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ f , a= ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, f −1 : A −→ A, b b−1 f −1 (x) = Ô. Å. ÆÕÎË ÉÑ f ÏÂÒÁÔÎÁ ÓÁÍÁ ÓÅÂÅ. : x x−1 ; íÙ ÚÁËÏÎÞÉÍ ÜÔÏÔ ÁÒÁÇÒÁÆ ÉÚÕÞÅÎÉÅÍ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÆÕÎË ÉÊ. üÔÉÍ ÏÎÑÔÉÅÍ ÂÏÌÅÅ ÌÅÇËÏ Ï×ÌÁÄÅÔØ, ÎÅÖÅÌÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÏÂÝÉÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, Ó ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ × ÎÁÞÁÌÅ ÇÌÁ×Ù. åÓÌÉ f : A −→ B É g : B −→ C | ÆÕÎË ÉÉ, ÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ g ◦ f ÍÅÖÄÕ A É C ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ ×ÉÄÁ (a; ), ÇÄÅ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ b ∈ B (a; b) ∈ f É (b; ) ∈ g . ïÄÎÁËÏ ÜÌÅÍÅÎÔ b = f (a) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï a, ÏÓËÏÌØËÕ f | ÆÕÎË ÉÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÜÌÅÍÅÎÔ = g (b) ÔÁËÖÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï b (g ÔÏÖÅ 5.4. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ 105 ÆÕÎË ÉÑ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÌÅÍÅÎÔ = g (f (a)) ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ a É, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÆÕÎË ÉÊ f É g | ÓÎÏ×Á ÆÕÎË ÉÑ. éÔÁË, ËÏÍÏÚÉ ÉÑ g ◦ f : A −→ C Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÊ Ï ÒÁ×ÉÌÕ (g ◦ f )(x) = g (f (x)). ðÒÉÍÅÒ 5.13. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Å ÆÕÎË ÉÉ: f : R −→ R, f (x) = x2 É g : R −→ R, g (x) = 4x + 3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ g ◦ f , f ◦ g , f ◦ f É g ◦ g . òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ ÎÏ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÎÁ R ÓÏ ÚÎÁÞÅ- ÎÉÑÍÉ × R. (g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g (x2 ) = 4x2 + 3; (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (4x + 3) = (4x + 3)2 = 16x2 + 24x + 9; (f ◦ f )(x) = f (f (x)) = f (x2 ) = x4 ; (g ◦ g )(x) = g (g (x)) = g (4x + 3) = 4(4x + 3) + 3 = 16x + 15. ÷ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÑÚÙËÁÈ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÏÞÅÎØ ÛÉÒÏËÏ. ïÎÉ ÄÁÀÔ ÎÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ × ÏÄÒÏÇÒÁÍÍÙ . ÷ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÑÚÙËÏ× ÅÓÔØ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ÂÉÂÌÉÏÔÅËÉ Ó ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÞÁÓÔÏ ÒÉÍÅÎÑÀÝÉÍÉÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ, ÔÁËÉÍÉ ËÁË sin x, log x, |x| É Ô. Ä. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÎÉÈ ÌÅÇËÏ ÓÏÚÄÁ×ÁÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÍÏÝÎÙÈ ÑÚÙËÁÈ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ËÁË ÑÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÆÕÎË ÉÊ. çÌÁ×ÎÁÑ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØ ÔÁËÉÈ ÑÚÙËÏ× | ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ, ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÈ, ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ. þÔÏÂÙ ÕÍÅÔØ ÜÔÏ ÄÅÌÁÔØ, ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ × ÓÏ×ÅÒÛÅÎÓÔ×Å Ï×ÌÁÄÅÔØ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÆÕÎË ÉÊ. ÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ËÁË ÒÁÚ É ÂÕÄÅÔ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÁ ÔÁËÁÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ. 5.4. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ðÕÓÔØ f : A −→ B | ÆÕÎË ÉÑ, ÒÉÞÅÍ ËÁË A, ÔÁË É B | ËÏÎÅÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ A ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: a1 ; a2 ; : : : ; an . ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ÇÌÁÓÉÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ |A| > |B |, ÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ1 . ðÒÏÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÁÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ai 6= aj , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ f (ai ) = f (aj ). 1 äÏÕÓËÁÑ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ×ÏÌØÎÏÓÔØ, ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ × ÌÅÇËÏ ÚÁÏÍÉÎÁÀÝÅÊÓÑ ÆÏÒÍÅ: ÎÅÌØÚÑ ÒÁÓÓÁÄÉÔØ 10 ÚÁÊ Å× × 9 ËÌÅÔÏË ÔÁË, ÞÔÏÂÙ × ËÁÖÄÏÊ ËÌÅÔËÅ ÓÉÄÅÌ ÏÄÉÎ ÚÁÑ . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 106 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÒÉÎ ÉÁ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÒÁÚÎÙÈ ÉÎÄÅËÓÏ× i 6= j ÍÙ ÉÍÅÅÍ: f (ai ) 6= f (aj ). ÏÇÄÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: f (a1 ); f (a2 ); : : : ; f (an ). é ÕÖ ×Ï ×ÓÑËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, |B | > n, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ: n = |A| > |B |. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ai ; aj ∈ A, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ f (ai ) = f (aj ). ðÒÉÍÅÒ 5.14. ÷ Á×ÔÏÂÕÓÅ ÅÄÅÔ 15 ÌÀÄÅÊ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Õ Ä×ÏÉÈ ÉÚ ÎÉÈ ÄÅÎØ ÒÏÖÄÅÎÉÑ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÍÅÓÑ Å. òÅÛÅÎÉÅ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÀÄÅÊ × Á×ÔÏÂÕÓÅ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÂÕË×ÏÊ A, Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ 12 ÍÅÓÑ Å× ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ B . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ËÁÖÄÏÍÕ ÞÅÌÏ×ÅËÕ ÉÚ Á×ÔÏÂÕÓÁ ÍÅÓÑ ÅÇÏ ÒÏÖÄÅÎÉÑ. ÁË ËÁË |A| = 15, Á |B | = 12, ÔÏ |A| > |B |. ðÏ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ ÆÕÎË ÉÑ f ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, Ô. Å. ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Á ÞÅÌÏ×ÅËÁ Ó ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ÍÅÓÑ ÅÍ ÒÏÖÄÅÎÉÑ. úÁÄÁÞÕ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 5.14 ÌÅÇËÏ ÒÅÛÉÔØ É ÍÅÎÅÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ. äÁÎÏ 15 ÞÅÌÏ×ÅË É 12 ÍÅÓÑ Å×. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×ÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÒÏÄÉÌÉÓØ × ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÍÅÓÑ . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÔÒÕÄÎÏ ÏÎÑÔØ, ÚÁÞÅÍ ÎÁÍ ÒÉÍÅÎÑÔØ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ËÁË ÜÔÏ ÂÙÌÏ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. ïÄÎÁËÏ, ËÁË ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ ÄÁÌØÛÅ, ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÙ ÔÏÌØËÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÉÎ ÉÁ äÉÒÉÈÌÅ, ÅÓÌÉ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÁÍ ÕÄÁÓÔÓÑ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÏÄÈÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ. ðÏÉÓË ÎÕÖÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ | ×ÓÅÇÄÁ ÓÁÍÁÑ ÔÒÕÄÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ. ëÌÀÞÅ×ÁÑ ÉÄÅÑ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ, ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f ÒÁÚÍÅÝÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÂßÅËÔÏ× (ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A) × ÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ËÌÅÔÏË (ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ). ðÏÜÔÏÍÕ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÏÂßÅËÔÁ ÏÁÄÕÔ × ÏÄÎÕ. ðÒÉÍÅÒ 5.15. ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÆÁÍÉÌÉÊ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÚÁ- ÉÓÁÎÏ × ÔÅÌÅÆÏÎÎÏÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ, ÞÔÏÂÙ Ó ÇÁÒÁÎÔÉÅÊ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å ÆÁÍÉÌÉÉ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÂÕË×Ù É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ? òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÁÍÉÌÉÊ × ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ, Á B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ ÂÕË×, ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ÉÚ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ, ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÀÝÅÇÏ 33 ÂÕË×Ù. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ f : A −→ B ÆÕÎË ÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ËÁÖÄÏÊ ÆÁÍÉÌÉÉ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÁ ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÁÒÕ ÂÕË×: ÅÒ×ÕÀ É ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÂÕË×Ù ÆÁÍÉÌÉÉ. îÁÒÉÍÅÒ, f (ëÕÚÎÅ Ï×) = (Ë; ×). íÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÓÏÄÅÒÖÉÔ 33 · 33 = 1 089 ÁÒ ÂÕË×. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÎÁÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ |A| > |B | = 1 089, 5.4. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ 107 ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ÆÁÍÉÌÉÉ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÅÓÑ É ÏËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÂÕË×Ù. ðÏÜÔÏÍÕ ÔÅÌÅÆÏÎÎÙÊ ÓÒÁ×ÏÞÎÉË ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 1 090 ÆÁÍÉÌÉÊ2 . ðÒÉÍÅÒ 5.16. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÁËÉÅ ÂÙ ÑÔØ ÉÆÒ ÉÚ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 É 8 ÍÙ ÎÉ ×ÙÂÒÁÌÉ, ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å ÉÚ ÎÉÈ, ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÁ 9. òÅÛÅÎÉÅ. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ÁÒÙ ÉÆÒ, ÄÁÀÝÉÈ × ÓÕÍÍÅ 9. {1; 8}; {2; 7}; {3; 6}; {4; 5}: ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÑÔÉ ÉÆÒ (ÎÅ ×ÁÖÎÏ ËÁËÉÈ ËÏÎËÒÅÔÎÏ), Á ÞÅÒÅÚ B ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ: B = {1; 8}; {2; 7}; {3; 6}; {4; 5} : òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ËÁÖÄÏÊ ÉÆÒÅ ÉÚ ÑÔÅÒËÉ ÁÒÕ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B , ËÏÔÏÒÁÑ × ÎÅÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ. îÁÒÉÍÅÒ, f (3) = {3; 6}. ðÏ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å ÉÆÒÙ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÏÁÄÕÔ × ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÁÒÕ. ëÏÒÏÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, Ä×Å ÉÚ ÑÔÉ ÉÆÒ ÄÁÄÕÔ × ÓÕÍÍÅ 9. ðÒÉÎ É ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÉÀ f : A −→ B , ÇÄÅ A É B | ËÏÎÅÞÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. åÓÌÉ |A| > k |B | ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ k , ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ f , ËÏÔÏÒÏÅ ÏÎÁ ÂÕÄÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ k + 1 ÒÁÚ. üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÑ f ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ k ÒÁÚ, ÔÏ ×ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÓÏÓÔÏÉÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÉÚ k |B | ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ðÒÉÍÅÒ 5.17. ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÆÁÍÉÌÉÊ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÚÁ- ÉÓÁÎÏ × ÔÅÌÅÆÏÎÎÏÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÅ, ÞÔÏÂÙ Ó ÇÁÒÁÎÔÉÅÊ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ ÑÔØ ÆÁÍÉÌÉÊ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÂÕË×Ù ÁÌÆÁ×ÉÔÁ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ? òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ f : A −→ B | ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 5.15. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÏÄÓÞÉÔÁÌÉ, B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 1 089 ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. þÔÏÂÙ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÑÔØ ÆÁÍÉÌÉÊ ÎÁÞÉÎÁÌÉÓØ É ÏËÁÎÞÉ×ÁÌÉÓØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ, ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ, ÞÔÏÂÙ |A| > 4|B | = 4 356. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÅÌÅÆÏÎÎÙÊ ÓÒÁ×ÏÞÎÉË ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÞÅÍ 4 357 ÁÂÏÎÅÎÔÏ×. 2 åÓÌÉ ÕÞÅÓÔØ, ÞÔÏ ÆÁÍÉÌÉÉ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó ÂÕË× ø É ÿ, ÔÏ ÔÒÅÂÕÅÍÙÊ ÏÂßÅÍ ÓÒÁ×ÏÞÎÉËÁ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÍÅÎØÛÅ. ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ ÅÇÏ ÎÁÊÔÉ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 108 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ðÒÉÍÅÒ 5.18. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÊ ÇÒÕÅ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÞÅÌÏ×ÅË ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÒÏÅ, ÚÎÁËÏÍÙÅ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, ÉÌÉ ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ ÚÎÁÀÝÉÅ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ x | ÏÄÉÎ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÌÀÄÅÊ, A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÑÔÉ ÌÀÄÅÊ × ÇÒÕÅ É B = {0; 1}. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B Ï ÒÁ×ÉÌÕ: f (a) = 0; ÅÓÌÉ a ÎÅ ÚÎÁËÏÍ Ó x; 1; ÅÓÌÉ a ÚÎÁËÏÍ Ó x: ðÏÓËÏÌØËÕ 5 = |A| > 2|B |, ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÒÉ ÞÅÌÏ×ÅËÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÉÂÏ ×ÓÅ ÚÎÁËÏÍÙ Ó x, ÌÉÂÏ ×ÓÅ ÔÒÏÅ ÅÇÏ ÎÅ ÚÎÁÀÔ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÔÒÉ ÞÅÌÏ×ÅËÁ a, b É ÚÎÁËÏÍÙ Ó x. åÓÌÉ ×ÓÅ ÔÒÉ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÎÅ ÚÎÁËÏÍÙ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÁËÁÑ-ÔÏ ÁÒÁ, ÓËÁÖÅÍ a É b ÚÎÁÅÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ. îÏ ÏÎÉ ÖÅ ÚÎÁËÏÍÙ É Ó x. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÔÒÏÅ ÌÀÄÅÊ: a, b É x | ÈÏÒÏÛÉÅ ÚÎÁËÏÍÙÅ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÁÚÂÉÒÁÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ÎÁÛÌÁÓØ ÔÒÏÊËÁ ÌÀÄÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ Ó x ÎÅ ÚÎÁËÏÍÙ. ðÒÅÄÙÄÕÝÉÅ ÒÉÍÅÒÙ ÎÁÇÌÑÄÎÏ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÀÔ, ÞÔÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÒÉÎ ÉÁ äÉÒÉÈÌÅ ÔÒÅÂÕÅÔ ÁËËÕÒÁÔÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ É, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ, ÔÏÎËÉÈ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. õÄÁÞÎÏ, ÞÔÏ × ÎÁÛÉÈ ÒÉÍÅÒÁÈ ÂÙÌÏ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÎÅÓÌÏÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ A É B . ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÔÁË ÂÙ×ÁÅÔ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, É × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÒÁÚÏ×ØÅÍ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÅÒÅÓÞÅÔÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÑÔ ÎÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÑÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÞØÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5 5.1. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ {1; 2; 3} É {1; 2; 3; 4}; ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÁÒ: R = (1; 1); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 4) : ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ {1; 2; 3; 4} É {1; 2}; îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5 109 ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÁÒ: S = (1; 1); (1; 2); (2; 1); (3; 1); (4; 2) : ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ R−1 , S −1 É S ◦ R. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ (S ◦ R )− 1 = R − 1 ◦ S − 1 : 5.2. ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÒÏÄÉÔÅÌØ ..., Á S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÂÒÁÔ ... ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÌÀÄÅÊ. äÁÊÔÅ ËÒÁÔËÏÅ ÓÌÏ×ÅÓÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ: R−1 , S −1 , R ◦ S , S −1 ◦ R−1 É R ◦ R. 5.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A, ÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë ÎÅÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R−1 ÔÏÖÅ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A. ëÁËÏ×Á Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ R É R−1 ? 5.4. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ R É S ÚÁÄÁÎÙ ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ M É N ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÇÄÅ M = é é ì ì ì é É é  é N = ì  ì é é é ì é  é ì : é ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÂÕÌÅ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ M N . ëÁËÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÜÔÉÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ? 5.5. ðÕÓÔØ A = {0; 2; 4; 6} É B = {1; 3; 5; 7}. ëÁËÉÅ ÉÚ ÎÉÖÅÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ A ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × B ? (Á) (6; (Â) (2; (×) (2; (Ç) (6; 3); (2; 1); (0; 3); (4; 5) ; 3); (4; 7); (0; 1); (6; 5) ; 1); (4; 5); (6; 3) ; 1); (0; 3); (4; 1); (0; 7); (2; 5) . ëÁËÉÅ ÉÚ ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ, Á ËÁËÉÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙ? 5.6. ðÒÏ ËÁÖÄÕÀ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÞØÉ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅ- ÎÉÑ É ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó Z, ÓËÁÖÉÔÅ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÏÎÉ ÉÎßÅË ÉÑÍÉ, ÓÀÒßÅË ÉÑÍÉ ÉÌÉ ÂÉÅË ÉÑÍÉ. (Á) f (n) = 2n + 1; 110 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ (Â) g (n) = (×) h(n) = n; ÅÓÌÉ n ÞÅÔÎÏ; 2 2n; ÅÓÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÏ; n + 1; n − 1; ÅÓÌÉ n ÞÅÔÎÏ; ÅÓÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÏ: 5.7. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÇÒÁÆÉËÉ ÆÕÎË ÉÊ: (Á) f : Z −→ Z, f (x) = x2 + 1; (Â) g : N −→ N, g (x) = 2x ; (×) h : R −→ R, h(x) = 5x − 1; 2x − 3 ÅÓÌÉ x > 1; (Ç) j : R −→ R, j (x) = x+1 ÅÓÌÉ x < 1; (Ä) k : R −→ R, k (x) = x + |x|; (Å) l : R −→ R, l(x) = 2x − |x|. îÁÚÏ×ÉÔÅ ÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ É ÓËÁÖÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÎÉÈ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ, Á ËÁËÉÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙ (|x| ÚÄÅÓØ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÏÄÕÌØ ÞÉÓÌÁ x, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÊ Ó x ÒÉ x > 0 É ÒÁ×ÎÙÊ −x ÒÉ x < 0). 5.8. æÕÎË ÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÅÌÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÞÉÓÌÁ , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ x ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÅ x, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÔÁË: ⌊x⌋. (Á) ðÕÓÔØ A = {−1; 0; 1; 2} É jÆÕÎË kÉÑ f : A −→ Z ÏÒÅ2 ÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: f (x) = x 3+1 : îÁÊÄÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ f . (Â) ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÆÕÎË ÉÑ g : Z −→ Z, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ jnk g (n) = 2 ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ, ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÉÌÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ. 5.9. æÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÚÁÄÁÎÁ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: f (x) = 1 + x2 , ÇÄÅ A ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ 0, Á B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÂÅÚ 1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ f ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ É ÎÁÊÄÉÔÅ ÏÂÒÁÔÎÕÀ Ë ÎÅÊ ÆÕÎË ÉÀ. 5.10. æÕÎË ÉÉ f : R −→ R É g : R −→ R ÚÁÄÁÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: f (x) = x2 É ( 2x + 1; g (x) = −x; ÅÓÌÉ x > 0; ÅÓÌÉ x < 0: ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ: f ◦ g , g ◦ f É g ◦ g . îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5 111 5.11. ðÕÓÔØ f : A −→ B É g : B −→ C | ÆÕÎË ÉÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ (Á) ÅÓÌÉ f É g ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ, ÔÏ g ◦ f ÔÏÖÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ; (Â) ÅÓÌÉ f É g ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÙ, ÔÏ g ◦ f ÔÏÖÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ; (×) ÅÓÌÉ f É g ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÔÏ (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . 5.12. (Á) óËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÎÕÖÎÏ ÂÒÏÓÉÔØ ÉÇÒÁÌØÎÕÀ ËÏÓÔØ, ÞÔÏÂÙ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÁ ÎÅÊ ×ÙÁÌÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×ÁÖÄÙ? (Â) óËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÎÕÖÎÏ ÂÒÏÓÉÔØ Ä×Å ÉÇÒÁÌØÎÙÅ ËÏÓÔÉ, ÞÔÏÂÙ Ó ÇÁÒÁÎÔÉÅÊ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ: ÓÕÍÍÁ ×ÙÁ×ÛÉÈ ÏÞËÏ× ÏÑ×ÉÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×ÁÖÄÙ? (×) óËÏÌØËÏ ËÁÒÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÔÁÝÉÔØ ÉÚ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ËÏÌÏÄÙ × 52 ËÁÒÔÙ, ÞÔÏÂÙ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÁÌÉÓØ ÈÏÔÑ ÂÙ Ä×Å ÏÄÎÏÊ ÍÁÓÔÉ? (Ç) óËÏÌØËÏ ËÁÒÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÔÁÝÉÔØ ÉÚ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ËÏÌÏÄÙ × 52 ËÁÒÔÙ, ÞÔÏÂÙ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÁÌÉÓØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÞÅÔÙÒÅ ÏÄÎÏÊ ÍÁÓÔÉ? 5.13. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ × ÏÄÎÏÍ ÓÅÌÅ ÒÏÖÉ×ÁÅÔ 79 ÓÅÍÅÊ, × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ Ï 2 ÒÅÂÅÎËÁ. (Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ÓÅÍØÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÍÅÓÑ Ù ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÏÉÈ ÄÅÔÅÊ, Ô. Å., ÅÓÌÉ × ÅÒ×ÏÊ ÓÅÍØÅ ÄÅÔÉ ÒÏÄÉÌÉÓØ × ÑÎ×ÁÒÅ É ÍÁÅ, ÔÏ É ×Ï ×ÔÏÒÏÊ | × ÑÎ×ÁÒÅ É ÍÁÅ. (Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Õ ÛÅÓÔÅÒÙÈ ÄÅÔÅÊ ÉÍÅÎÁ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÂÕË×Ù. 5.14. ðÕÓÔØ S = {1; 2; : : : ; 20}. (Á) ëÁËÏÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÚÑÔØ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÞÔÏÂÙ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÉÚ ÎÉÈ × ÓÕÍÍÅ ÄÁ×ÁÌÉ 22? (Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÚÑÔØ 11 ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÂÕÄÅÔ ÄÅÌÉÔØ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ × ×ÙÂÏÒËÅ. (õËÁÚÁÎÉÅ: ÉÓÏÌØÚÕÊÔÅ ÆÕÎË ÉÀ f , ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÖÄÏÍÕ ÅÌÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÅÇÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ. îÁÒÉÍÅÒ, f (12) = 3.) 112 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù ïÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ R ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ËÁË R−1 ; ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ B É A É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒ: R−1 = (b; a) : (a; b) ∈ R . ðÕÓÔØ R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B , É S | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ B É ÔÒÅÔØÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ C . ëÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ A É C , ËÏÔÏÒÏÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: S ◦ R = (a; ) : a ∈ A; ∈ C É a R b; b S ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ b ∈ B : ðÕÓÔØ M É N | ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ R É S ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ìÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÉÌÉ ÂÕÌÅ×ÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÁÔÒÉ M N ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ËÏÍÏÚÉ ÉÉ S ◦ R. æÕÎË ÉÅÊ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × B , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ f ÍÅÖÄÕ A É B , ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ B . úÁÉÓØ f : A −→ B ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÆÕÎË ÉÀ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B . íÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ f , Á B | ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f . íÙ ÉÛÅÍ y = f (x), ÞÔÏÂÙ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ, ÞÔÏ y ∈ B | ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ f , ÒÉÎÉÍÁÅÍÏÅ ÎÁ ÁÒÇÕÍÅÎÔÅ x. ÏÔ ÖÅ y ÅÝÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÂÒÁÚÏÍ x ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ f . íÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × B : f (A) = f (x) : x ∈ A (ÎÅ ÕÔÁÊÔÅ Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ). æÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ (ÉÌÉ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÊ), ÅÓÌÉ f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ a1 ; a2 ∈ A. æÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ b ∈ B ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ a ∈ A, ÞÔÏ f (a) = b. æÕÎË ÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ËÁË ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÉÅË ÉÅÊ ÉÌÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÊ. åÓÌÉ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ÆÕÎË ÉÉ f ÓÎÏ×Á ÆÕÎË ÉÑ, ÔÏ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ f ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ. æÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ñÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ 113 ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÂÉÅËÔÉ×ÎÁ. ïÂÒÁÔÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ Ë f ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ f −1 : B −→ A. åÓÌÉ f (a) = b, ÔÏ f −1 (b) = a. ðÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ f : A −→ B | ÆÕÎËÉÑ, ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÁÑ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A × ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B , ÒÉÞÅÍ |A| > |B |, ÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ f ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ. åÓÌÉ |A| > k |B | ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ k , ÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f Ï×ÔÏÒÉÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ k + 1 ÒÁÚ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ñÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ñÚÙË ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÅÒÉÒÕÅÔ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. ÁËÉÅ ÑÚÙËÉ ÕÓÅÛÎÏ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÜËÓÅÒÔÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ, ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÂÝÅÓÍÙÓÌÏ×ÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÑÚÙËÏ×ÙÈ ÉÎÔÅÒÆÅÊÓÏ× É ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÀÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÒÅÞÉ É ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. óÉÌÁ ÜÔÉÈ ÑÚÙËÏ× ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÉÈ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÉ ÓÔÒÏÉÔØ ÓÌÏÖÎÙÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÉÚ ÒÏÓÔÙÈ, ËÏÍÂÉÎÉÒÕÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÉÉ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ, ÓÏÚÄÁÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÔ ÓÌÏÖÎÙÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÄÏÓÔÕÎÙÅ É ×ÅÓØÍÁ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. úÄÅÓØ ÍÙ ÏÉÛÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÅÒÉÒÕÅÔ Ó ÔÅËÓÔÏÍ ÔÁË, ËÁË ÜÔÏ ÍÏÖÅÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ × ÒÏÓÔÏÍ ÔÅËÓÔÏ×ÏÍ ÒÅÄÁËÔÏÒÅ. ðÕÓÔØ C = Á; Â; ×; : : : ; Ñ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÉÔÅÒ ÎÉÖÎÅÇÏ ÒÅÇÉÓÔÒÁËÌÁ×ÉÁÔÕÒÙ ËÏÍØÀÔÅÒÁ Ó ËÉÒÉÌÌÉ ÅÊ, Á P ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï 0; 1; 2; : : : . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ S ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÒÏË (ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ) ÜÔÉÈ ÌÉÔÅÒ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÙÛØ | ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S, ËÁË É ÕÓÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ . äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ: har : S −→ C, ÇÄÅ har(s) | ÅÒ×ÁÑ ÂÕË×Á ÎÅÕÓÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ s. : S −→ S, ÇÄÅ rest(s) | ÓÔÒÏËÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÉÚ ÎÅÕÓÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ s ÕÄÁÌÅÎÉÅÍ ÅÅ ÅÒ×ÏÊ ÌÉÔÅÒÙ. rest add har : C × S −→ S, ÇÄÅ add har( ; s) | ÓÔÒÏËÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÉÚ s ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ Ë ÅÅ ÎÁÞÁÌÕ ÌÉÔÅÒÙ . len : S −→ P, ÇÄÅ len(s) | ÞÉÓÌÏ ÌÉÔÅÒ × ÓÔÒÏËÅ s. 114 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ðÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏ ÎÁÛÉ ÓÅ ÉÆÉÞÅÓËÉÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÁÓ ÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ×ÏÌÎÏ×ÁÔØ, ËÁË ÏÎÉ ÕÓÔÒÏÅÎÙ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÎÉÚËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÄÏÓÔÕ Ë ÎÉÍ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É Ë ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÍ ÆÕÎË ÉÑÍ ÎÁ ËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÅ | ÒÏÓÔÙÍ ÎÁÖÁÔÉÅÍ ËÎÏËÉ. úÁÄÁÞÁ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ har(s), len(rest(s)) É add har ÅÓÌÉ s = ÓÏÎ. har(s); add har Ì; , rest(s) òÅÛÅÎÉÅ. har(s) = har(ÓÏÎ) = Ó; len(rest(s)) = len(rest(ÓÏÎ)) = len(ÏÎ) = 2; add har har(s); add har Ì; rest(s) = = add har Ó; add har Ì; rest(ÓÏÎ) = = add har Ó; add har(Ì; ÏÎ) = = add har(Ó; ÌÏÎ) = ÓÌÏÎ. úÁÄÁÞÁ 2. ïÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÆÕÎË ÉÉ add har( har(s); add har( ; rest(s))); ÇÄÅ s | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÎÅÕÓÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ, Á | ÌÀÂÁÑ ÌÉÔÅÒÁ. òÅÛÅÎÉÅ. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ×ÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÏ×ÕÀ ÌÉÔÅÒÕ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÊ ÌÉÔÅÒÙ ÓÔÒÏËÉ s. úÁÄÁÞÁ 3. æÕÎË ÉÑ third : S −→ C ÎÕÖÎÁ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÔÒÅ- ÔØÅÊ Ï ÓÞÅÔÕ ÌÉÔÅÒÙ × ÓÔÒÏËÅ ÉÚ ÔÒÅÈ É ÂÏÌÅÅ ÌÉÔÅÒ. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ third ÞÅÒÅÚ har É rest. òÅÛÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ ÌÉÔÅÒÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ s ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÊ ÄÌÉÎÙ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÅÒ×ÙÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ÓÔÒÏËÉ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÉÚ s ÕÄÁÌÅÎÉÅÍ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ. ðÏÜÔÏÍÕ third(s) = har(rest(rest(s))): ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ñÚÙËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ 115 úÁÄÁÞÁ 4. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ reverse2 : S −→ S, ËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÅÒ×ÙÅ Ä×Å ÌÉÔÅÒÙ × ÓÔÒÏËÅ ÄÌÉÎÙ 2 É ÂÏÌÅÅ. ðÕÓÔØ s | ××ÏÄÉÍÁÑ ÓÔÒÏËÁ. ðÅÒ×ÁÑ ÌÉÔÅÒÁ ×Ù×ÏÄÉÍÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÒÁ×ÎÁ har(rest(s)), Á ×ÔÏÒÁÑ | har(s). ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÌÉÔÅÒÙ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÉÚÍÅÎÎÙÍÉ É ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó rest(rest(s)). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ reverse2(s) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: òÅÛÅÎÉÅ. add har( har(rest(s)); add har( har(s); rest(rest(s)))): úÁÄÁÞÁ 5. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ×ÚÑ× × ËÁÞÅÓÔ×Å ××ÏÄÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ s = ËÌÏ. Input s begin u := ; t := s; i := 0; while i < len(s) do := har(t); t := rest(t); u := add har( ; u); i := i + 1; end Output u þÔÏ ÄÅÌÁÅÔ ÜÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ? òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÏÓÌÅÄÉÍ ÚÁ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ , t, u É i × ÔÅÞÅÎÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ÉËÌÁ while É Ó×ÅÄÅÍ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ × ÔÁÂÌ. 5.1 ÁÂÌÉ Á 5.1 ðÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ 0 1 2 3 4 | Ë Ì Ï t u i ËÌÏ ÌÏ Ï Ë ÌË ÏÌË ÏÌË 0 1 2 3 3 i < 4? äÁ äÁ äÁ äÁ îÅÔ áÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÌÉÔÅÒÙ ÓÔÒÏËÉ × ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. 116 çÌÁ×Á 5. æÕÎË ÉÉ ëÁË ÷Ù ÍÏÇÌÉ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÁÛÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÎÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ××ÏÄÉÍÙÈ ÓÔÒÏË. îÁÒÉÍÅÒ, rest ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÓÔÒÏËÅ s = , Á reverse2 ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÓÔÒÏËÁÈ ÄÌÉÎÙ ÍÅÎØÛÅ 2. ðÒÉÞÉÎÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÍÁÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÅÒÕÔÓÑ ×ÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÅ ÆÕÎË ÉÉ . õ ÎÉÈ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ×ÈÏÄÎÙÅ É ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ, ÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÚÎÁÞÅÎÉÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ ÆÕÎË ÉÑ rest Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÁË: rest : S −→ S, ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ: s ∈ S É s 6= , ÇÄÅ rest(s) | ÓÔÒÏËÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÉÚ s, ÕÄÁÌÅÎÉÅÍ ÅÅ ÅÒ×ÏÊ ÌÉÔÅÒÙ. òÁÂÏÔÁÑ Ó ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÂÙÔØ ÏÞÅÎØ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÙÍ. ðÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÆÕÎË ÉÑ rest(rest(s)) ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÓÔÒÏËÁÈ ÄÌÉÎÙ 1 ÉÌÉ ÍÅÎØÛÅ, ÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ rest ◦ rest | s ∈ S É len(s) > 1. çìá÷á 6 ëïíâéîáïòéëá ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÅÊÓÑ ÏÄÓÞ£ÔÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×. îÁ ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ, ËÁÚÁÌÏÓØ ÂÙ, ×ÏÒÏÓ Ï ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÁÓÔÏ ÏÞÅÎØ ÔÒÕÄÎÏ ÄÁÔØ ÏÔ×ÅÔ. íÙ ÕÖÅ ÒÅÛÁÌÉ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÚÁÄÁÞÉ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ (ÇÌÁ×Á 3) É ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ (ÇÌÁ×Á 5). ÷ ÜÔÏÊ ÖÅ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÏÂÒÁÔÉÍÓÑ Ë ÄÒÕÇÉÍ ÚÁÄÁÞÁÍ ÅÒÅÓÞÅÔÁ, ÞØÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ Ä×ÕÈ ÎÏ×ÙÈ ÒÉÎ ÉÏ×: ÒÁ×ÉÌ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. ïÂÝÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÓÞÅÔÁ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ×ÙÂÏÒËÏÊ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÌÅÚÎÏ ÄÅÌÉÔØ ÎÁ ÔÉÙ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁË ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ: Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÅÍ ÉÌÉ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, Ó ÕÞÅÔÏÍ ÏÒÑÄËÁ ×ÙÂÏÒÁ ÉÌÉ ÂÅÚ ÏÎÏÇÏ. íÙ ×Ù×ÅÄÅÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÔÉÏ× ÚÁÄÁÞ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Ù ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÂÉÎÏÍÏÍ îØÀÔÏÎÁ É ÕÓÔÁÎÏ×ÉÍ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÅÇÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ É ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌ ÏÄÓÞÅÔÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÁÎÅÅ. üÔÁ Ó×ÑÚØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÂÏÂÝÅÎÁ ÎÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ: (x1 + x2 + · · · + xk )n : ïÎÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ×ÙÂÏÒÏË ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÇÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ. ðÏÓÌÅ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ É ËÒÁÔËÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ ÇÌÁ×Ù, ÍÙ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× . üÔÏ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÊ Ë ÒÏÂÌÅÍÁÍ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÉ. 6.1. ðÒÁ×ÉÌÁ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ îÁÞÎÅÍ ÜÔÏÔ ÁÒÁÇÒÁÆ Ó ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÒÑÄÁ ÒÏÓÔÙÈ ÚÁÄÁÞ. úÁÄÁÞÁ 1. ÷ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ËÏÎÄÉÔÅÒÓËÏÊ Ë ËÏÎ Õ ÒÁÂÏÞÅÇÏ ÄÎÑ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÒÏÖÎÙÈ: ÞÅÔÙÒÅ ×ÁÎÉÌØÎÙÈ, Ä×Á ÛÏËÏÌÁÄÎÙÈ É ÔÒÉ ÆÒÕËÔÏ×ÙÈ. ïÄÉÎ ÏËÕÁÔÅÌØ ÓÏÂÉÒÁÅÔÓÑ ËÕÉÔØ ÉÒÏÖÎÙÅ ÅÒÅÄ ÚÁËÒÙÔÉÅÍ ËÏÎÄÉÔÅÒÓËÏÊ. óËÏÌØËÏ ÉÒÏÖÎÙÈ ÍÏÖÅÔ ×ÙÂÒÁÔØ ÏËÕÁÔÅÌØ? 118 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ úÁÄÁÞÁ 2. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÓÍÅÛÁÎÎÕÀ ËÏÍÁÎÄÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÕÄÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÍÅÓÔÎÙÊ ÔÅÎÎÉÓÎÙÊ ËÌÕÂ ÎÁ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑÈ. ÷ ÓÏÒÔÉ×ÎÏÍ ËÌÕÂÅ ÓÏÓÔÏÑÔ 6 ÖÅÎÝÉÎ É 9 ÍÕÖÞÉÎ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÄÌÑ ÕÞÁÓÔÉÑ × ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑÈ? úÁÄÁÞÁ 3. óËÏÌØËÏ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó 3 ÉÌÉ 4? ðÅÒ×ÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ ÏÄÓÞÅÔÏÍ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÉÒÏÖÎÙÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÍÙ ÒÏÓÔÏ ÍÏÖÅÍ ÓÌÏÖÉÔØ ÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á. üÔÏ ÄÁÅÔ 4 + 2 + 3 = 9 ÉÒÏÖÎÙÈ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏËÕÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ×ÙÂÏÒ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÊ ÚÁÄÁÞÅ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 6 ÖÅÎÝÉÎ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØÎÉ Õ ËÌÕÂÁ, É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÄÏÂÒÁÔØ ÁÒÔÎÅÒÁ ÓÒÅÄÉ ÄÅ×ÑÔÉ ÍÕÖÞÉÎ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÒÁ×ÎÏ 6 · 9 = 54. üÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÔ Ä×Á ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÈ ÒÁ×ÉÌÁ ÅÒÅÓÞÅÔÁ. ðÒÁ×ÉÌÏ ÓÕÍÍÙ ÇÌÁÓÉÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A É B | ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÏÂÙÔÉÑ, É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ A, É n2 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ B , ÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ A ÉÌÉ B ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ n1 + n2 . ðÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÁÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ k ÓÏÂÙÔÉÊ Ó n1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ ÅÒ×ÏÇÏ, n2 | ×ÔÏÒÏÇÏ, É Ô. Ä., ×ÌÏÔØ ÄÏ nk ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ k ÓÏÂÙÔÉÊ ÒÁ×ÎÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ n1 · n2 · · · nk . ðÒÁ×ÉÌÏ ÓÕÍÍÙ, Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ, | ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ A É B ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÓÈÏÄÏ×, ÔÏ |A| = n1 , |B | = n2 ; Á ÏÓËÏÌØËÕ ÓÏÂÙÔÉÑ A É B ÎÅ Ó×ÑÚÁÎÙ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. ÏÇÄÁ, Ï ÆÏÒÍÕÌÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÉÓËÌÀÞÅÎÉÊ, |A ∪ B | = |A| + |B |, Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∪ B ÓÏÄÅÒÖÉÔ n1 + n2 ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n1 + n2 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÁ ÓÏÂÙÔÉÑ A ÉÌÉ B . ðÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÔÏÖÅ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁ ÑÚÙËÅ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ðÕÓÔØ A1 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï n1 ÉÓÈÏÄÏ× ÅÒ×ÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ, A2 | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï n2 ÉÓÈÏÄÏ× ×ÔÏÒÏÇÏ, É Ô. Ä. ÏÇÄÁ ÌÀÂÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ k ÓÏÂÙÔÉÊ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÜÌÅÍÅÎÔ ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A1 × A2 × · · · × Ak , ÞØÑ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÁ |A1 | · |A2 | · · · |Ak |. ÅÅÒØ ÍÙ ÇÏÔÏ×Ù ÒÅÛÉÔØ ÔÒÅÔØÀ ÉÚ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ÓÕÍÍÙ, ÔÁË É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. ÒÅÈÚÎÁÞÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ × ÚÁÄÁÞÅ, ÅÓÔÅ- 6.1. ðÒÁ×ÉÌÁ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ 119 ÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ Ä×Á ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ËÌÁÓÓÁ. ë ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÎÉÈ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÞÉÓÌÁ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÅÓÑ Ó 3, Á ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ | Ó 4. äÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ÞÉÓÅÌ × ÅÒ×ÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÉÎ ×ÏÚÍÏÖÎÙÊ ÉÓÈÏÄ ÄÌÑ ÅÒ×ÏÊ ÉÆÒÙ (ÏÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÁ 3), 10 ÉÓÈÏÄÏ× ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÊ É 10 ÉÓÈÏÄÏ× ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÉÆÒÙ. ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅÇÏ ÞÉÓÅÌ × ÅÒ×ÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ 1 · 10 · 10 = 100. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ËÌÁÓÓÅ. ïÎÏ ÔÏÖÅ ÒÁ×ÎÏ 100. îÁËÏÎÅ , Ï ÒÁ×ÉÌÕ ÓÕÍÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 100 + 100 = 200 ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈÓÑ Ó 3 ÉÌÉ 4. ðÒÉÍÅÒ 6.1. ñ ÈÏÞÕ ×ÚÑÔØ Ó ÓÏÂÏÊ ÄÌÑ ÌÁÎÞÁ Ä×Á ÆÒÕËÔÁ. õ ÍÅÎÑ ÅÓÔØ ÔÒÉ ÂÁÎÁÎÁ, ÞÅÔÙÒÅ ÑÂÌÏËÁ É Ä×Å ÇÒÕÛÉ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ Ñ ÍÏÇÕ ×ÙÂÒÁÔØ Ä×Á ÆÒÕËÔÁ ÒÁÚÎÏÇÏ ×ÉÄÁ ÉÚ ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ Õ ÍÅÎÑ? òÅÛÅÎÉÅ. åÓÌÉ Ñ ÓÏÂÉÒÁÀÓØ ×ÚÑÔØ ÏÄÉÎ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÁÎÁÎÏ× É ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÑÂÌÏË, ÔÏ ÓÄÅÌÁÔØ Ñ ÜÔÏ ÍÏÇÕ 3 · 4 = 12 ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ1 . âÁÎÁÎ É ÇÒÕÛÕ Ñ ÍÏÇÕ ×ÚÑÔØ 3 · 2 = 6 ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. îÁËÏÎÅ , ÇÒÕÛÕ É ÑÂÌÏËÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ 4 · 2 = 8 ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÔÒÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÔÏ ×ÓÅÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ Ä×Á ÆÒÕËÔÁ, ÒÁ×ÎÏ 12 + 6 + 8 = 26. ðÒÉÍÅÒ 6.2. çÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÇÉÓÔÒÁ ÉÏÎÎÙÊ ÚÎÁË ÌÅÇËÏ×ÏÇÏ Á×ÔÏÍÏÂÉÌÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒÅÈ ÉÆÒ É ÔÒÅÈ ÂÕË× ÒÕÓÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ (ÎÅ ÓÞÉÔÁÑ ËÏÄÁ ÇÏÒÏÄÁ). âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ × ÎÏÍÅÒÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÕË× É ÉÆÒ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÊ Á×ÔÏÍÏÂÉÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÍÏÖÅÔ ×ÙÄÁÔØ çéâää? òÅÛÅÎÉÅ. ëÁÖÄÕÀ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕË× ÎÏÍÅÒÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÉÚ 33 ÂÕË× ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕË× ÒÁ×ÎÏ 33 · 33 · 33 = 35 937. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÞÉÓÌÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÈ ÉÆÒ ÒÁ×ÎÏ 10 · 10 · 10 = 1 000. îÁËÏÎÅ , ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ Á×ÔÏÍÏÂÉÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕË× É ÔÒÅÈ ÉÆÒ, ÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÄÁÅÔ ÉÓËÏÍÙÊ ÏÔ×ÅÔ: 35 937 000 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ Á×ÔÏÍÏÂÉÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÍÏÖÅÔ ×ÙÄÁÔØ çéâää. 1 ÷ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÕÝÅÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÄÅÔÁÌØ: Ä×Á ÆÒÕËÔÁ ÏÄÎÏÇÏ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÑ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÈÏÖÉÍÉ ÏÄÉÎ ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ. åÓÌÉ ÂÙ ÍÙ ÎÅ ÍÏÇÌÉ ÏÔÌÉÞÉÔØ ÏÄÉÎ ÂÁÎÁÎ ÏÔ ÄÒÕÇÏÇÏ É ÏÄÎÕ ÇÒÕÛÕ ÏÔ ÄÒÕÇÏÊ, ÏÔ×ÅÔ ÂÙÌ ÂÙ ÉÎÙÍ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 120 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ 6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅÂÅÎËÕ ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ÍÅÛÏË Ó ËÏÎÆÅÔÁÍÉ ÔÒÅÈ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÊ: íÉÛËÁ ÎÁ ÓÅ×ÅÒÅ (A), á ÎÕ-ËÁ ÏÔÎÉÍÉ (B ) É úÏÌÏÔÏÊ ÅÔÕÛÏË (C ). óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÒÅÂÅÎÏË ÍÏÖÅÔ ×ÙÂÒÁÔØ Ä×Å ËÏÎÆÅÔÙ ÉÚ ÍÅÛËÁ? îÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÍÏÖÎÏ ÄÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÔ×ÅÔÏ× × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÅÇÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ. óÔÁ×Ñ ÚÁÄÁÞÕ, ÍÙ ÎÅ ÕÔÏÞÎÉÌÉ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÂÒÁÔØ ËÏÎÆÅÔÙ ÏÄÎÏÇÏ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÑ ÉÌÉ ÎÅÔ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ ×ÚÑÔØ Ä×Å ËÏÎÆÅÔÙ íÉÛËÁ ÎÁ ÓÅ×ÅÒÅ, Ô. Å. AA? ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÍÅÅÔ ÌÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÒÑÄÏË ×ÙÂÏÒÁ? éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÌÉ ×ÙÂÏÒ AB ÏÔ BA ÉÌÉ ÎÅÔ? ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÞÅÔÙÒÅ ÒÁÚÎÙÈ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ. 1. ðÏ×ÔÏÒÅÎÉÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ É ÏÒÑÄÏË ×ÙÂÏÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 9 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ: AA, AB , AC , BA, BB , BC , CA, CB É CC . 2. úÁÒÅÝÅÎÏ ÂÒÁÔØ ËÏÎÆÅÔÙ ÏÄÎÏÇÏ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÑ, ÎÏ ÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ. ÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ | 6 ÓÌÕÞÁÅ×: AB , AC , BA, BC , CA É CB . 3. ðÏ×ÔÏÒÅÎÉÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ, ÎÏ ÏÒÑÄÏË ×ÙÂÏÒÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÏÇÄÁ ÏÔ×ÅÔ | ÔÏÖÅ 6 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ: AA, AB , AC , BB , BC É CC . 4. é, ÎÁËÏÎÅ , ÅÓÌÉ ÎÅÌØÚÑ ÂÒÁÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ËÏÎÆÅÔÙ, Á ÏÒÑÄÏË ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÔÏ Õ ÒÅÂÅÎËÁ ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÒÉ ×ÁÒÉÁÎÔÁ ×ÙÂÏÒÁ: AB , AC É BC . ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ÏÄÓÞÅÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÓÏÓÏÂÏ× ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÞÅÔËÏ ÏÎÉÍÁÔØ, Ï ËÁËÏÍ ÔÉÅ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ. þÔÏÂÙ ÒÁÚÌÉÞÁÔØ ÎÁ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÔÉ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ××ÅÄÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ. îÁÞÎÅÍ Ó ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÈ ÔÅÒÍÉÎÏ×. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÂÅÒÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ x1 ; x2 ; : : : ; xk ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÍÏÝÎÏÓÔÉ k . ëÁÖÄÙÊ ÔÁËÏÊ ÎÁÂÏÒ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ×ÙÂÏÒËÏÊ ÏÂßÅÍÁ k ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÌÉ, ÉÎÁÞÅ, (n; k )-×ÙÂÏÒËÏÊ. ÷ÙÂÏÒËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÎÅÊ ÚÁÄÁÎ. ðÒÉ ÜÔÏÍ Ä×Å ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ×ÙÂÏÒËÉ, ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÌÉÛØ ÏÒÑÄËÏÍ ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÒÁÚÎÙÍÉ. åÓÌÉ ÖÅ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ×ÙÂÏÒËÅ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÔÏ ×ÙÂÏÒËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ . ÅÅÒØ ××ÅÄÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÅÒÍÉÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÔÉÏÍ ÕÔÏÞÎÅÎÉÊ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ. 6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ 121 • (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅÍ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ (n; k )-×ÙÂÏÒËÁ, ÜÌÅÍÅÎÔÙ × ËÏÔÏÒÏÊ ÍÏÇÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ; • (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅÍ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ (n; k )-×ÙÂÏÒËÁ, ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ × ËÏÔÏÒÏÊ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ ÚÁÒÅÝÅÎÏ; • ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ (n; k )-×ÙÂÏÒËÁ Ó Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÍÉÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅÍ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ; • ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ (n; k )-×ÙÂÏÒËÁ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅÍ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ . ðÏÒÏÂÕÅÍ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ. îÁ ÅÒ×ÏÅ ÍÅÓÔÏ ×ÙÂÏÒËÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÏÓËÏÌØËÕ Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ, ÔÏ ÎÁ ×ÔÏÒÏÅ ÍÅÓÔÏ ÍÙ ÏÑÔØ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, É Ô. Ä. ðÏÓËÏÌØËÕ Õ ÎÁÓ k ÍÅÓÔ × ×ÙÂÏÒËÅ, ÔÏ ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÒÁ×ÎÏ nk . ðÒÉÍÅÒ 6.3. ãÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ × ËÏÍØÀÔÅÒÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÒÏÞËÏÊ ÉÚ N Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÚÎÁËÏ×. ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÏÔ×ÅÄÅÎ ÎÁ ÚÎÁË (+ ÉÌÉ −), Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ N − 1 ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÚÁ ÍÏÄÕÌØ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚ- ÌÉÞÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÏÖÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ËÏÍØÀÔÅÒ? òÅÛÅÎÉÅ. ä×ÏÉÞÎÁÑ ÉÆÒÁ | ÜÔÏ 0 ÉÌÉ 1. äÌÑ ÚÁÉÓÉ ÞÉÓÌÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ N ÔÁËÉÈ ÉÆÒ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ, ÒÅÄÓÔÁ- ×ÌÑÀÝÉÅ ÞÉÓÌÁ, ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ ÉÆÒÙ, É ÏÒÑÄÏË ÉÈ ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó (2; N )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑÍÉ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ. ðÏ ×Ù×ÅÄÅÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÓÔÒÏË ÒÁ×ÎÏ 2N . ðÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÅÇÄÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÓÔÒÏË: −000000 · · · 00 É + 000000 · · · 00; ËÏÔÏÒÙÅ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ 0. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ËÏÍØÀÔÅÒ ÍÏÖÅÔ ÏÅÒÉÒÏ×ÁÔØ (2N − 1) ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. äÌÑ ÞÉÓÌÁ ×ÓÅÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÏ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ1 : P (n; k ). ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ. îÁ ÅÒ×ÏÅ ÍÅÓÔÏ ×ÙÂÏÒËÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ðÏÓËÏÌØËÕ ÚÄÅÓØ ÎÁÍ ÎÅ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ, ÔÏ ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÍÅÓÔÁ 1 ðÏ ÓÔÁÒÏÊ ÒÕÓÓËÏÊ ÔÒÁÄÉ ÉÉ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ÅÒÅ× . k An . | ðÒÉÍ. 122 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ (n − 1) ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. îÁ ÔÒÅÔØÅ | ÉÚ (n − 2) É ÔÁË ÄÁÌÅÅ, ×ÌÏÔØ ÄÏ k -ÇÏ ÍÅÓÔÁ, ËÕÄÁ ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ (n − k + 1) ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÅÅÒØ ÄÌÑ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. éÍÅÅÍ P (n; k ) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1): äÌÑ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÚÁÉÓÉ ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÔ 1 ÄÏ n ×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n ÆÁËÔÏÒÉÁÌ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ n!. ðÏÒÏÂÕÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÇÏ ÓÉÍ×ÏÌÁ ×ÙÒÁÚÉÔØ P (n; k ), ÄÌÑ ÞÅÇÏ ÒÏÄÅÌÁÅÍ ÌÅÇËÉÅ, ÈÏÔØ É ÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. P (n; k ) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) = (n − k )(n − k − 1) · · · 2 · 1 = (n − k )(n − k − 1) · · · 2 · 1 n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)(n − k )(n − k − 1) · · · 2 · 1 = = (n − k )(n − k − 1) · · · 2 · 1 n! = : (n − k )! = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) éÔÁË, ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ P (n; k ) = n! (n − k )! : ðÒÉÍÅÒ 6.4. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÞÅÔÙÒÅÈÂÕË×ÅÎÎÙÈ ÓÌÏ× ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÂÕË×Ù: Á, Ó, , Ï É Å, ÅÓÌÉ ÏÄ ÓÌÏ×ÏÍ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÎÉÍÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÂÕË×, ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÜÔÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÅ ÎÅÓÅÔ × ÓÅÂÅ ÎÉËÁËÏÇÏ ÓÍÙÓÌÁ. òÅÛÅÎÉÅ. ëÁË ÄÏÇÏ×ÏÒÉÌÉÓØ, ÏÄ ÓÌÏ×ÏÍ ÍÙ ÏÎÉÍÁÅÍ ÌÀÂÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÁÚÎÙÈ ÂÕË×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÄÁÎÎÙÈ. úÎÁÞÉÔ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÏÄÓÞÅÔÏÍ ÞÉÓÌÁ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ P (6; 4). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (6; 4) = 6! 6! 6·5·4·3·2·1 = = : (6 − 4)! 2! 2·1 ðÏÓÌÅ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ: P (6; 4) = 6 · 5 · 4 · 3· 6 2· 6 1 = 6 · 5 · 4 · 3 = 360: 6 2· 6 1 6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ 123 ÅÅÒØ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑÍÉ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, Ô. Å. ×ÙÂÏÒËÁÍÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÑÄÏË ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ É Ï×ÔÏÒÙ ÚÁÒÅÝÅÎÙ. þÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ2 C (n; k ). îÁÊÄÅÍ ÅÇÏ. íÙ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÎÁÍ ÆÁËÔÏÍ: ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (n; k )n! . ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÁÚÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ P (n; k ) = (n− k)! ÍÅÝÅÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÎÁÌÉÞÉÅÍ ÏÒÑÄËÁ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ P (n; k ), ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ C (n; k ). åÓÌÉ ÍÙ ÏÊÍÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÍ ÏÔ×ÅÔ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔ. ðÕÓÔØ n = 4, Á k = 3. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A = {1; 2; 3; 4}, ÏÔËÕÄÁ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÂÒÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. ëÁÖÄÏÅ (4; 3)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ | ÜÔÏ ×ÙÂÏÒ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÔÒÅÈ ÒÁÚÎÙÈ ÉÆÒ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÄÁÎÎÙÈ, ÒÉÞÅÍ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÂÕÄÕÔ ÉÄÔÉ ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÉÆÒÙ, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {1; 2; 3} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ (4; 3)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅÍ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. ðÅÒÅÍÅÛÁ× ÉÆÒÙ × ×ÙÂÒÁÎÎÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å {2; 1; 3}, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ (ÏÒÑÄÏË ÎÅ ×ÁÖÅÎ), ÎÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÄÒÕÇÏÅ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅ (ÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ). ÁË ÓËÏÌØËÏ ÖÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ? ÷ÏÔ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ×ÏÒÏÓ, ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÂÅÄÅ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ (n = 4, k = 3) ÏÔ×ÅÔ ÌÅÇËÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÅÒÅÞÉÓÌÉ× ×ÒÕÞÎÕÀ ×ÓÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ. îÁÍ ÖÅ ÎÁÄÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ Ó ÏÂÝÉÍ ÓÌÕÞÁÅÍ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÅÇÏ ÂÏÌÅÅ ÞÅÔËÏ. äÁÎÏ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, Ô. Å. ×ÙÂÒÁÎÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ⊂ A, ÇÄÅ |B | = k É |A| = n. óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÁÚÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ? æÁËÔÉÞÅÓËÉ, ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï (k; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ! (ðÏÄÕÍÁÊÔÅ, ÏÞÅÍÕ.) îÏ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÍÙ ÚÎÁÅÍ3 : P (k; k ) = k! = k !: (k − k )! ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ËÁÖÄÏÅ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ k ! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, C (n; k ) = 2 P (n; k ) k! = n! (n − k )! k ! : k òÁÎØÛÅ × òÏÓÓÉÉ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÂÙÌÏ ÒÉÎÑÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ `n´ Cn , Á ÔÅÅÒØ Õ ÎÁÓ, ËÁË É ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÓÀÄÕ × ÍÉÒÅ, ÅÇÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÔÁË: k . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 3 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 0! = 1. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 124 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ðÒÉÍÅÒ 6.5. íÅÎÀ × ËÉÔÁÊÓËÏÍ ÒÅÓÔÏÒÁÎÅ ÄÁÅÔ ÷ÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ×ÙÂÒÁÔØ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ÉÚ ÓÅÍÉ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÂÌÀÄ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÓÄÅÌÁÔØ ÚÁËÁÚ? òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó (7; 3)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÑÍÉ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅ- ÎÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÔ×ÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÌÅÇËÏ: C (7; 3) = = 7! 7·6·5·4·3·2·1 7! = = = (7 − 3)! 3! 4! 3! (4 · 3 · 2 · 1)(3 · 2 · 1) 7 · 6 · 5· 6 4· 6 3· 6 2· 6 1 7· 6 6 · 5 = = 35: (6 4· 6 3· 6 2· 6 1)(3 · 2 · 1) 6 3· 6 2· 6 1 éÔÁË, Õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ 35 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÁËÁÚÏ×. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ, ÞÔÏ ÍÙ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ, ÜÔÏ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ×ÙÂÏÒËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÑÄÏË ÎÅ ×ÁÖÅÎ, Á ×ÏÔ Ï×ÔÏÒÙ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÄÏÕÓËÁÀÔÓÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÒÑÄÏË × ÎÁÛÉÈ ×ÙÂÏÒËÁÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ, Á Ï×ÔÏÒÙ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÇÒÕÉÒÏ×ÁÔØ ×ÍÅÓÔÅ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÒÁÚÄÅÌÉ× ÇÒÕÙ ËÁËÉÍÉ-ÎÉÂÕÄØ ÍÅÔËÁÍÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ÍÙ ÓÄÅÌÁÌÉ ×ÙÂÏÒËÕ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÑÔÉ ÂÕË×, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÏÊ ÉÚ a, Â É ×. ÷ÙÂÏÒËÕ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ Ä×ÕÈ Á, ÏÄÎÏÊ Â É Ä×ÕÈ ×, ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ËÁË ÁÁ|Â|××, Á ×ÙÂÏÒËÁ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù Á É ÞÅÔÙÒÅÈ ÂÕË× × ÂÕÄÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÔÁË: Á||××××. äÏÇÏ×ÏÒÉÍÓÑ, ÞÔÏ ÓÌÅ×Á ÏÔ ÅÒ×ÏÊ ÍÅÔËÉ ÌÉÂÏ ÓÔÏÑÔ ÂÕË×Ù Á, ÌÉÂÏ ÎÉÞÅÇÏ, ÓÒÁ×Á ÏÔ ×ÔÏÒÏÊ ÍÅÔËÉ | ÌÉÂÏ ×, ÌÉÂÏ ÎÉÞÅÇÏ, Á ÂÕË×Ù Â, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ × ×ÙÂÏÒËÅ, ÓÔÏÑÔ ÍÅÖÄÕ ÍÅÔËÁÍÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÍÙ ×ÓÅÇÄÁ ÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÓÅÍØ ÑÞÅÅË (ÑÔØ ÂÕË× É Ä×Å ÍÅÔËÉ), ÒÉÞÅÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÙÂÏÒËÉ ÂÕÄÕÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÑÞÅÊËÁÍÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÏÑÔ ÍÅÔËÉ. úÎÁÞÉÔ, ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÍÅÓÔÉÔØ Ä×Å ÍÅÔËÉ × ÓÅÍØ ÑÞÅÅË. ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ (7; 2)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, Ô. Å. ÒÁ×ÎÏ C (7; 2). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÒ×ÕÀ ÍÅÔËÕ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ × ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÓÅÍÉ ÑÞÅÅË, Á ×ÔÏÒÕÀ | × ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÛÅÓÔÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÄÎÁ ÑÞÅÊËÁ ÕÖÅ ÚÁÎÑÔÁ. üÔÏ ÄÁÅÔ ÎÁÍ 7 · 6 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. úÁÍÅÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÏÍÅÎÑ× ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÍÅÔËÉ ÍÅÓÔÁÍÉ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÚÁÏÌÎÅÎÉÅ ÑÞÅÅË. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, 7 · 6 ÎÕÖÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ 2. éÔÁË, 6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ 125 ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁ×ÎÏ 7·6 7·6·5·4·3·2·1 = = 2 (2 · 1)(5 · 4 · 3 · 2 · 1) 7! 7! = = C (7; 2): = 5! · 2! (7 − 2)! · 2! ÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÀ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ (k ÏÂßÅËÔÏ× ÉÚ n ÄÁÎÎÙÈ), ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ n − 1 ÍÅÔËÁ É k ÏÂßÅËÔÏ×. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Õ ÎÁÓ ÂÕÄÅÔ (n − 1) + k ÑÞÅÅË ÄÌÑ ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ. úÎÁÞÉÔ, ÞÉÓÌÏ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ (n − 1) ÍÅÔËÉ × (n + k − 1) ÑÞÅÊËÕ. éÔÁË, ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ C (n + k − 1; n − 1) = (n + k − 1)! (n + k − 1)! = : (n + k − 1 − (n − 1))! (n − 1)! k ! (n − 1)! ðÒÉÍÅÒ 6.6. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÂÒÏ- ÓÁÑ ÑÔØ ÉÇÒÁÌØÎÙÈ ËÏÓÔÅÊ? òÅÛÅÎÉÅ. îÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÏÓÔÅÊ ÍÏÖÅÔ ×ÙÁÓÔØ ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÄÏ ÛÅ- ÓÔÉ ÏÞËÏ×, Ô. Å. ËÁÖÄÁÑ ËÏÓÔØ ÄÁÅÔ ÛÅÓÔØ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×. åÓÌÉ ÂÒÏÓÉÌÉ ÑÔØ ËÏÓÔÅÊ, ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÑÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× (ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÅÓÔØ 6 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ) Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ, Ô. Å. (6; 5)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÂÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÅ, ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÒÁ×ÎÏ C (6 + 5 − 1; 6 − 1) = C (10; 5) = 10! = 252: 5! 5! ÷ ÔÁÂÌ. 6.1 ÓÏÂÒÁÎÙ ×ÍÅÓÔÅ ×ÓÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÙÂÏÒÏË k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ×Ù×ÅÌÉ × ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ. ÁÂÌÉ Á 6.1 ðÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ ðÏÒÑÄÏË ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ üÌÅÍÅÎÔÙ Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ k n ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ (n + k − 1)! k ! (n − 1)! üÌÅÍÅÎÔÙ ÎÅ Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ n! (n − k)! ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ n! (n − k)! k! òÁÚÂÅÒÅÍ ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÇÌÑÄÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÎÕÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÞÅÎØ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÙÍ ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. 126 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÷ îÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ áÎÇÌÉÊÓËÏÊ ìÏÔÅÒÅÅ4 Ä×ÁÖÄÙ × ÎÅÄÅÌÀ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÛÅÓÔØ ÒÁÚÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÉÚ ÅÒ×ÙÈ 49 ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ìÀÂÏÊ, ËÔÏ ÕÇÁÄÁÅÔ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ×ÙÁ×ÛÉÈ ÎÏÍÅÒÏ×, ×ÙÉÇÒÁÅÔ ÇÌÁ×ÎÙÊ ÒÉÚ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÄÏÓÔÉÇÁÔØ ÍÉÌÌÉÏÎÁ ÆÕÎÔÏ× ÓÔÅÒÌÉÎÇÏ×. ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÛÁÎÓÙ ×ÙÉÇÒÙÛÁ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÒÉÚÁ. ûÅÓÔÅÒËÁ ×ÙÉÇÒÙÛÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× | ÜÔÏ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ ÛÅÓÔÉ ÞÉÓÅÌ ÉÚ 49 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï (49; 6)-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ 49! 49! = = 13 983 816; (49 − 6)! 6! 43! 6! ÔÏ ÛÁÎÓÏ× ×ÙÉÇÒÁÔØ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÔ: 1 ÉÚ 13 983 816. çÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌØÛÅ ÛÁÎÓÏ× ÚÁ ÔÏ, ÞÔÏ × ÷ÁÓ ÏÁÄÅÔ ÍÏÌÎÉÑ, ÞÔÏ ÔÏÖÅ ÍÁÌÏ×ÅÒÏÑÔÎÏ. ÅÍ, ËÔÏ ÕÇÁÄÁÌ ÑÔØ, ÞÅÔÙÒÅ ÉÌÉ ÔÒÉ ÎÏÍÅÒÁ, ÔÏÖÅ ÒÉÓÕÖÄÁÅÔÓÑ ÒÉÚ, ÈÏÔÑ É ÎÅ ÔÁËÏÊ ×ÅÞÁÔÌÑÀÝÉÊ. ðÒÅÍÉÑ ÔÁËÖÅ ÄÏÓÔÁÅÔÓÑ É ÔÅÍ ÕÞÁÓÔÎÉËÁÍ, ËÔÏ ÕÇÁÄÁÌ ÑÔØ ÎÏÍÅÒÏ×, Á ÛÅÓÔÏÊ, ÎÁÚ×ÁÎÎÙÊ ÉÍÉ, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÍ, ÓÌÕÞÁÊÎÏ ÎÁÚ×ÁÎÎÙÍ ÒÉÚÏ×ÙÍ ÎÏÍÅÒÏÍ. ÷ÅÌÉÞÉÎÁ ÄÅÎÅÖÎÏÇÏ ÒÉÚÁ, ÚÁ ÏÄÎÉÍ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÞÉÓÌÁ ÒÏÄÁÎÎÙÈ ÌÏÔÅÒÅÊÎÙÈ ÂÉÌÅÔÏ×. ëÁÖÄÙÊ ÂÉÌÅÔ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÏÖÎÏ ×ÙÉÓÁÔØ ÛÅÓÔØ ÎÏÍÅÒÏ×, ÓÔÏÉÔ $1 (ÏÄÉÎ ÆÕÎÔ), É ÌÀÂÏÊ, ËÔÏ ÕÇÁÄÁÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ (É ÎÅ ÂÏÌØÛÅ) ×ÙÉÇÒÙÛÎÙÈ ÎÏÍÅÒÁ, Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÅÔ $10. ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÖÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ×ÙÉÇÒÙÛÁ $10. éÔÁË, ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ Ó×ÏÉ ÛÅÓÔØ ÎÏÍÅÒÏ× ËÁË ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÈ ÓÏÂÙÔÉÊ: ×ÙÂÏÒËÁ ÔÒÅÈ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× É ×ÙÂÏÒËÁ ÔÒÅÈ ÎÅ×ÅÒÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× . óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (6; 3) ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÎÁÚ×ÁÔØ ÔÒÉ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÎÏÍÅÒÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÂßÑ×ÌÑÀÔÓÑ × ÓÒÅÄÕ ÉÌÉ ÓÕÂÂÏÔÕ ÞÌÅÎÁÍÉ ÖÀÒÉ, É C (43; 3) ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÎÅÕÄÁÞÎÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ. ÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ, ×ÙÉÇÒÙ×ÁÀÝÉÈ $10, ÒÁ×ÎÏ 6! 43! · = 246 820: C (6; 3) · C (43; 3) = 3! 3! 40! 3! ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ×ÙÉÇÒÙÛÁ | ÜÔÏ ÄÏÌÑ ÕÄÁÞÎÏ ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÈ ËÁÒÔÏÞÅË ËÏ ×ÓÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÚÁÏÌÎÅÎÉÑÍ, Ô. Å. 246 820 1 ≈ ≈ 0; 018: 13 983 816 57 4 ïÎÁ ÏÈÏÖÁ ÎÁ ÎÁÛÅ óÏÒÔÌÏÔÏ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 6.2. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ 127 ðÒÉÍÅÒ 6.7. ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ ÞÅÌÏ×ÅË, ×ËÌÀÞÁÑ íÁÒÉ É ðÅÔÅÒÁ, Ñ×ÌÑÀÔ- ÓÑ ËÁÎÄÉÄÁÔÁÍÉ × ËÏÍÉÔÅÔ ÑÔÉ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÎÁÂÒÁÔØ ÉÚ 12 ËÁÎÄÉÄÁÔÏ×? óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÉÈ (Á) ×ËÌÀÞÁÀÔ ËÁË íÁÒÉ, ÔÁË É ðÅÔÅÒÁ; (Â) ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔ ÎÉ íÁÒÉ, ÎÉ ðÅÔÅÒÁ; (×) ×ËÌÀÞÁÀÔ ÌÉÂÏ íÁÒÉ, ÌÉÂÏ ðÅÔÅÒÁ, ÎÏ ÎÅ ÏÂÏÉÈ? òÅÛÅÎÉÅ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (12; 5) = ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÁ. 12! = 792 7! 5! (Á) åÓÌÉ íÁÒÉ É ðÅÔÅÒ ÕÖÅ ×ÙÂÒÁÎÙ × ËÏÍÉÔÅÔ, ÎÁÍ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÔØ × ÎÅÇÏ ÔÏÌØËÏ ÔÒÅÈ ÞÌÅÎÏ× ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÄÅÓÑÔÉ ËÁÎÄÉÄÁÔÏ×. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ 10! = 120 7! 3! ÓÏÓÏÂÁÍÉ. úÎÁÞÉÔ, íÁÒÉ É ðÅÔÅÒ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÞÌÅÎÁÍÉ 120 ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×. C (10; 3) = (Â) åÓÌÉ íÁÒÉ É ðÅÔÅÒ ÎÅ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ × ËÏÍÉÔÅÔÅ, ÔÏ ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ× ÉÚ ÄÅÓÑÔÉ ËÁÎÄÉÄÁÔÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 10! = 252 5! 5! ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÎÉ íÁÒÉ, ÎÉ ðÅÔÅÒÁ. C (10; 5) = (×) ïÄÉÎ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ× ÄÁÔØ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÄÓÞÅÔÅ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ íÁÒÉ, ÎÏ ÂÅÚ ðÅÔÅÒÁ. éÈ ÒÏ×ÎÏ C (10; 4). Ï ÖÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ×ËÌÀÞÁÀÔ ðÅÔÅÒÁ, ÎÏ ÂÅÚ íÁÒÉ. úÎÁÞÉÔ, 2 · C (10; 4) ËÏÍÉÔÅÔÁ ÉÍÅÀÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÞÌÅÎÁ ÌÉÂÏ íÁÒÉ, ÌÉÂÏ ðÅÔÅÒÁ, ÎÏ ÎÅ ÏÂÏÉÈ ÓÒÁÚÕ. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ 792 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ËÏÍÉÔÅÔÁ ÍÏÖÎÏ ÏÔÎÅÓÔÉ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ËÁÔÅÇÏÒÉÊ: (Á), (Â) ÉÌÉ (×). úÎÁÞÉÔ, ÞÉÓÌÏ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ Ë ÏÓÌÅÄÎÅÊ, ÒÁ×ÎÏ 792 − 120 − 252 = 420: 128 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ 6.3. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ þÉÓÌÁ C (n; k ) ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ËÁË ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË × ÂÉÎÏÍÅ (a + b)n . îÁÒÉÍÅÒ, (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb = = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 : ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ÏÓØÍÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ, ÓÔÏÑÝÉÈ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÎÁÛÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ×ÙÂÉÒÁÅÍÙÈ Ï ÏÄÎÏÊ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÓËÏÂËÉ. íÙ ×ÉÄÉÍ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÏÄÎÕ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ a É Ä×Å b. üÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ C (3; 2) = 3 ÓÏÓÏÂÁ ×ÙÂÏÒÁ Ä×ÕÈ ÓËÏÂÏË ÉÚ ÔÒÅÈ, ÏÔËÕÄÁ ÍÙ ×ÏÚØÍÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ b (Á ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÅÊÓÑ ÂÅÒÅÍ a). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ É ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÜÔÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ: C (3; 0) = 1, C (3; 1) = 3, C (3; 2) = 3 É C (3; 3) = 1. þÔÏÂÙ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ C (n; k ), ×Ù×ÅÄÅÎÎÏÊ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ 0! = 1. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÎÅ ÓÄÅÌÁÔØ ÎÉËÁËÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÂßÅËÔÏ×. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÒÁÓËÒÙ×ÁÑ ÓËÏÂËÉ × ÂÉÎÏÍÅ (a + b)n , ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÌÕÞÁÔØ ÞÌÅÎÙ ×ÉÄÁ an−k bk (ÇÄÅ k ÒÉÎÉÍÁÅÔ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÔ 0 ÄÏ n) ÒÉ ÅÒÅÍÎÏÖÅÎÉÉ ÓÉÍ×ÏÌÏ× b, ×ÚÑÔÙÈ ÉÚ k ÓËÏÂÏË, É a, ×ÚÑÔÙÈ ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ (n − k ) ÓËÏÂÏË. ÁË ËÁË ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ C (n; k ) ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ k ÓËÏÂÏË ÉÚ n, ÔÏ Õ ÎÁÓ ÂÕÄÅÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ C (n; k ) ÞÌÅÎÏ× ×ÉÄÁ an−k bk ÒÉ k = 0; 1; : : : ; n. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (a + b)n = C (n; 0)an + C (n; 1)an−1 b + C (n; 2)an−2 b2 + · · · + C (n; n)bn : üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÉÎÏÍÏÍ îØÀÔÏÎÁ . òÏ×ÎÏ ÏÜÔÏÍÕ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ C (n; k ) ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ . âÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÏÌÅÚÎÏ ×ÙÓÔÒÏÉÔØ × ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ (ÓÍ. ÒÉÓ. 6.1). C (0; 0) (1; 0) C (1; 1) C (2; 0) C (2; 1) C (2; 2) C (3; 0) C (3; 1) C (3; 2) C (3; 3) C (4; 0) C (4; 1) C (4; 2) C (4; 3) C (4; 4) C (5; 0) C (5; 1) C (5; 2) C (5; 3) C (5; 4) C (5; 5) C ::: ( C n; 0) ::: ( C n; ::: 1) ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ( C n; n òÉÓÕÎÏË 6.1. ÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ ::: − 1) ::: ( ) C n; n 6.3. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ 129 ëÁÖÄÁÑ (n + 1)-ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×, ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (a + b)n . ÷ÙÞÉÓÌÉ× ÎÅÓËÏÌØËÏ ÅÒ×ÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ 1 ::: 1 1 5 ::: 1 4 1 3 10 ::: 1 2 6 1 3 10 1 4 ::: 1 5 ::: 1 1 ::: ÁË ËÁË C (n; 0) = C (n; n) = 1, ÎÁ ×ÎÅÛÎÉÈ ÓÔÏÒÏÎÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ ×ÓÅÇÄÁ ÓÔÏÑÔ ÅÄÉÎÉ Ù. óÉÍÍÅÔÒÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ×ÙÓÏÔÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á: C (n; k ) = C (n; n − k ); ËÏÔÏÒÏÅ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ C (n; k ). åÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÒÏÓÁÀÔÓÑ × ÇÌÁÚÁ ÒÉ ×ÚÇÌÑÄÅ ÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÏÖÉ× Ä×Á ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁ, ÓÔÏÑÝÉÈ × ÓÔÒÏËÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÏËÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÔÏÉÔ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÓÌÏÖÅÎÎÙÍÉ. üÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ËÁË ÆÏÒÍÕÌÁ ðÁÓËÁÌÑ : C (n − 1; k − 1) + C (n − 1; k ) = C (n; k ); ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÁÑ ÒÉ 0 < k < n. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ: (n − 1)! (n − 1)! + = (n − k )! (k − 1)! (n − k − 1)! k ! 1 (n − 1)! 1 = = + (n − k − 1)! (k − 1)! n − k k (n − 1)! n = = (n − k − 1)! (k − 1)! (n − k )k C (n − 1; k − 1) + C (n − 1; k ) = = n! (n − k )! k ! = C (n; k ): îÁÛÅ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï Ó ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÏÊ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÏÌÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÎÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÁÄÁÞÕ Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Å ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÂÕË× × ÓÌÏ×Å ëïìïâïë. ïÎÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÅÍÉ ÂÕË×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÓÔÁ×ÉÔØ 130 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ 7! ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ïÄÎÁËÏ × ÎÅÍ ÅÓÔØ ÔÒÉ ÂÕË×Ù ï É Ä×Å ÂÕË×Ù ë. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÅÎÑÑ ÍÅÓÔÁÍÉ ÂÕË×Ù ï ÉÌÉ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÕË×Ù ë, ÍÙ ÎÅ ÏÌÕÞÉÍ ÎÏ×ÙÈ ÓÌÏ×. ÁË ËÁË ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÔÒÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÒÁ×ÎÏ 3!, Á Ä×ÕÈ | 2!, ÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÓÅÇÏ 7! = 420 3! 2! ÒÁÚÎÙÈ ÓÌÏ× ÉÚ ÓÌÏ×Á ëïìïâïë. ÷ ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÈ. ÅÏÒÅÍÁ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n! n1 ! n2 ! · · · nr ! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n ÏÂßÅËÔÏ×, n1 ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÔÉÕ 1, n2 | Ë ÔÉÕ 2, É Ô. Ä. ×ÌÏÔØ ÄÏ nr ÏÂßÅËÔÏ× ÔÉÁ r . ðÒÉÍÅÒ 6.8. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÔØ 15 ÓÔÕÄÅÎ- ÔÏ× Ï ÔÒÅÍ ÕÞÅÂÎÙÍ ÇÒÕÁÍ Ï ÑÔØ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× × ËÁÖÄÏÊ? òÅÛÅÎÉÅ. õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 15 ÏÂßÅËÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÕÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ × ÔÒÉ ÇÒÕÙ Ï ÑÔØ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ 15! = 68 796 5! 5! 5! ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ n1 ! n2n!!··· nr ! ÎÏÓÑÔ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÍÕÌØÔÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ . ïÎÉ ÓÔÏÑÔ ÒÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÈ xn1 1 xn2 2 · · · xnr r × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÓÔÅÅÎÉ (x1 + x2 + · · · + xr )n . ÷ ÜÔÏÍ ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÞÌÅÎ ×ÉÄÁ xn1 1 xn2 2 · · · xnr r ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÅÒÅÍÎÏÖÁÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ x1 , ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÉÚ n1 ÓËÏÂÏË, x2 , ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÉÚ n2 ÓËÏÂÏË, É Ô. Ä. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xn1 1 xn2 2 · · · xnr r × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÅÎ ÞÉÓÌÕ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n ÏÂßÅËÔÏ×, n1 ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÔÉÕ, n2 | ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ É Ô. Ä. ðÒÉÍÅÒ 6.9. îÁÊÄÉÔÅ (Á) ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 z 4 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + z )9 ; (Â) ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + 3)7 . îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6 131 òÅÛÅÎÉÅ. (Á) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 z 4 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + z )9 ÒÁ×ÅÎ 9! = 1 260: 3! 2! 4! (Â) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 z 2 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + z )7 ÒÁ×ÅÎ 7! = 210: 3! 2! 2! ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + z )7 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÞÌÅÎ 210x3 y 2 z 2 : ðÏÌÏÖÉ× z = 3, ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + 3)7 ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÞÌÅÎ 1 890x3 y 2 . éÔÁË, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ x3 y 2 ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ (x + y + 3)7 ÒÁ×ÅÎ 1 890. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6 6.1. (Á) õ ÞÅÌÏ×ÅËÁ ÅÓÔØ ÑÔØ ÉÄÖÁËÏ×, ×ÏÓÅÍØ ÒÕÂÁÛÅË É ÓÅÍØ ÇÁÌÓÔÕËÏ×. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÓÔÀÍÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÅÄÍÅÔÏ×? (Â) õ ÖÅÎÝÉÎÙ × ÛËÁÆÕ ×ÉÓÉÔ ÛÅÓÔØ ÌÁÔØÅ×, ÑÔØ ÀÂÏË É ÔÒÉ ÂÌÕÚËÉ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÎÁÒÑÄÏ× ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ Ó×ÏÅÊ ÏÄÅÖÄÙ? (×) ÷ ÈÏÌÏÄÉÌØÎÉËÅ ÓÔÏÉÔ ÍÏÒÏÖÅÎÏÅ ÛÅÓÔÉ ÒÁÚÎÙÈ ÎÁÉÍÅÎÏ×ÁÎÉÊ. îÁ ÄÅÓÅÒÔ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÏÄÎÕ, Ä×Å ÉÌÉ ÄÁÖÅ ÔÒÉ ÏÒ ÉÉ ÍÏÒÏÖÅÎÏÇÏ ÓÒÁÚÕ. óËÏÌØËÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÅÓÔØ Õ ÷ÁÓ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÓÅÒÔÏ×? 6.2. (Á) ðÅÒÅ×ÅÒÔÙÛ | ÜÔÏ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÅ Ï- ÍÅÎÑÅÔ Ó×ÏÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÅÇÏ ÉÆÒÙ ÚÁÉÓÁÔØ × ÏÂÒÁÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÙÈ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÅÊ? á ÓËÏÌØËÏ ÓÅÍÉÚÎÁÞÎÙÈ? (Â) óËÏÌØËÏ ÞÅÔÙÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÈ 6 000, ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÉÆÒÙ? (×) ðÁÒÏÌØ, ÏÔËÒÙ×ÁÀÝÉÊ ÄÏÓÔÕ Ë ËÏÍØÀÔÅÒÕ, ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÓÉÍ×ÏÌÏ×. ðÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÉÚ ÎÉÈ | ÓÔÒÏÞÎÙÅ ÂÕË×Ù ÌÁÔÉÎÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ (×ÓÅÇÏ 26 ÂÕË×), Á ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÞÅÔÙÒÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ËÁË ÉÆÒÁÍÉ, ÔÁË É ÓÔÒÏÞÎÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ. óËÏÌØËÏ ÍÏÖÎÏ ÒÉÄÕÍÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒÏÌÅÊ? 132 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ 6.3. ðÕÓÔØ S | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÅÔÙÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, × ÞØÅÊ ÄÅÓÑ- ÔÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÉÆÒÙ: 0, 1, 2, 3, É 6, ÒÉÞÅÍ 0 ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÓÔÏÑÔØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ. (Á) ëÁËÏ×Á ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ? (Â) óËÏÌØËÏ ÞÉÓÅÌ ÉÚ S × Ó×ÏÅÊ ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ ÎÅ ÉÍÅÀÔ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÉÆÒ? (×) ëÁË ÍÎÏÇÏ ÞÅÔÎÙÈ ÓÒÅÄÉ ÞÉÓÅÌ ÕÎËÔÁ (Â)? (Ç) óËÏÌØËÏ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ÕÎËÔÁ (Â) ÏËÁÖÕÔÓÑ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ 4 000? 6.4. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ: (Á) P (7; 2), P (8; 5), P (6; 4) É P (n; n − 1); (Â) C (10; 7), C (9; 2), C (8; 6) É C (n; n − 1). õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ C (n; k ) = C (n; n − k ). 6.5. (Á) óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÒÉÓÕÖÄÅÎÉÑ ÅÒ- ×ÏÇÏ, ×ÔÏÒÏÇÏ É ÔÒÅÔØÅÇÏ ÍÅÓÔ ÓÅÍÎÁÄ ÁÔÉ ÕÞÁÓÔÎÉ ÁÍ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÊ Ï ÉËÅÂÁÎÅ? (Â) ëÏÍÉÔÅÔ ÉÚ 20 ÞÌÅÎÏ× ÉÚÂÉÒÁÅÔ ÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌÑ É ÓÅËÒÅÔÁÒÑ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ? (×) ðÁÒÏÌØ, ÏÔËÒÙ×ÁÀÝÉÊ ÄÏÓÔÕ Ë ËÏÍØÀÔÅÒÕ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ ÚÁÄÁÞÉ 6.2 (×). óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÁÒÏÌÅÊ ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÉÚ ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏ×? 6.6. (Á) èÏËËÅÊÎÁÑ ËÏÍÁÎÄÁ ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÅÔ 18 ÉÇÒÏËÏ×. ïÄÉÎÎÁ- Ä ÁÔØ ÉÚ ÎÉÈ ×ÈÏÄÑÔ × ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÓÏÓÔÁ×. ðÏÄÓÞÉÔÁÊÔÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï×. (Â) öÀÒÉ ÉÚ 5 ÖÅÎÝÉÎ É 7 ÍÕÖÞÉÎ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎÏ ÉÚ ÓÉÓËÁ × 8 ÖÅÎÝÉÎ É 11 ÍÕÖÞÉÎ. óËÏÌØËÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÖÀÒÉ? (×) ðÒÅÄÓÔÏÉÔ ×ÙÂÒÁÔØ ËÏÍÁÎÄÕ ÞÅÔÙÒÅÈ ÉÇÒÏËÏ× × ÇÏÌØÆ ÉÚ ÑÔÉ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÉÇÒÏËÏ× É ÑÔÉ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ ÔÒÅÈ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× É ÏÄÎÏÇÏ ÌÀÂÉÔÅÌÑ? óËÏÌØËÏ ËÏÍÁÎÄ ÓÏÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ? 6.7. ÷ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÁÒÌÁÍÅÎÔÁ ÎÕÖÎÏ ÏÔÏÂÒÁÔØ ÔÒÅÈ ÞÌÅ- ÎÏ×, ÒÉÞÅÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÎÁÄÏ ÉÚ ÑÔÉ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÏ×, ÔÒÅÈ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÏ× É ÞÅÔÙÒÅÈ ÌÉÂÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔÏ×. (Á) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ? îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6 133 (Â) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÅÓÌÉ × ÎÅÇÏ ÄÏÌÖÅÎ ×ÈÏÄÉÔØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÌÉÂÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔ? (×) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÅÓÌÉ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÙ É ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÙ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÅÇÏ ÞÌÅÎÁÍÉ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ? (Ç) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÅÓÌÉ × ÎÅÇÏ ÄÏÌÖÅÎ ×ÏÊÔÉ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒ É ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔ? 6.8. ÷ ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÆÉÒÍÅ ×ÏÓÅÍØ ÞÅÌÏ×ÅË ÒÁÂÏÔÁÀÔ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÄ- ÓÔ×Å, ÑÔÅÒÏ | × ÏÔÄÅÌÅ ÓÂÙÔÁ, É ÔÒÏÅ | × ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÉ. äÌÑ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÎÏ×ÏÊ ÒÏÄÕË ÉÉ ÂÙÌÏ ÒÅÛÅÎÏ ÒÉÇÌÁÓÉÔØ ÎÁ ÓÏ×ÅÝÁÎÉÅ ÛÅÓÔÅÒÙÈ ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÈ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ, ÅÓÌÉ (Á) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÉÇÌÁÓÉÔØ Ï Ä×Á ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑ ÏÔ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÔÄÅÌÁ; (Â) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÉÇÌÁÓÉÔØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×ÏÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á; (×) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÔÒÅÈ ÏÔÄÅÌÏ×? 6.9. (Á) òÅÓÔÏÒÁÎ × Ó×ÏÅÍ ÍÅÎÀ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔ ÑÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÇÌÁ×- ÎÙÈ ÂÌÀÄ. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÍÁÎÉÉ × ÛÅÓÔØ ÞÅÌÏ×ÅË ÚÁËÁÚÙ×ÁÅÔ Ó×ÏÅ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÂÌÀÄÏ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÚÁËÁÚÏ× ÍÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÆÉ ÉÁÎÔ? (Â) ã×ÅÔÏÞÎÉ Á ÒÏÄÁÅÔ ÒÏÚÙ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÁÚÎÙÈ ÓÏÒÔÏ×. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÂÕËÅÔÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÄÀÖÉÎÙ ÒÏÚ? 6.10. ÷Ù ÏËÕÁÅÔÅ ÑÔØ ÒÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÓËÉÈ ÏÔËÒÙÔÏË × ÍÁÇÁÚÉÎÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÞÅÔÙÒÅ ÒÁÚÎÙÈ ÔÉÁ ÒÉÇÌÑÎÕ×ÛÉÈÓÑ ÷ÁÍ ÏÔËÒÙÔÏË. (Á) ëÁË ÍÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÏ× ÉÚ ÑÔÉ ÏÔËÒÙÔÏË ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ËÕÉÔØ? (Â) óËÏÌØËÏ ÎÁÂÏÒÏ× ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ, ÅÓÌÉ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ Ä×ÕÍÑ ÔÉÁÍÉ ÏÔËÒÙÔÏË ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ, ÎÏ ËÕÉÔØ ×ÓÅ ÒÁ×ÎÏ ÑÔØ ÏÔËÒÙÔÏË? 6.11. ÷ÏÔ ×ÏÓØÍÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ: 1 7 21 35 35 21 7 1: (Á) îÁÊÄÉÔÅ ÄÅ×ÑÔÕÀ É ÄÅÓÑÔÕÀ ÅÇÏ ÓÔÒÏËÉ. 134 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ (Â) ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ a, b É | ÔÒÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁ × ×ÏÓØÍÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ, ÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ ÄÅÓÑÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ËÁË ÓÕÍÍÕ: a + 2b + . (×) ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ðÁÓËÁÌÑ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: C (n; k ) + 2C (n; k + 1) + C (n; k + 2) = C (n + 2; k + 2) ÒÉ 0 6 k 6 n − 2. (üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÏÂÏÂÝÁÅÔ ÆÁËÔ (Â) ÎÁ ×ÅÓØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ.) 6.12. (Á) ðÏÌÏÖÉ× × ÂÉÎÏÍÅ îØÀÔÏÎÁ a = b = 1, ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n = 0; 1; 2; : : : ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ: C (n; 0) + C (n; 1) + · · · + C (n; n) = 2n : ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ, ÞÔÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ 2n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×. (õËÁÚÁÎÉÅ: ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÓËÏÌØËÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÝÎÏÓÔÉ k ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × S .) (Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ C (n; 0) − C (n; 1) + C (n; 2) − · · · + (−1)n C (n; n) = 0: 6.13. (Á) óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÓÌÏ× ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ ÓÌÏ×Á áâòáëáäáâòá? (Â) óËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÂÕË×Ù ë? (×) ÷ ÓËÏÌØËÉÈ ÉÚ ÎÉÈ ÏÂÅ ÂÕË×Ù â ÓÔÏÑÔ ÒÑÄÏÍ? 6.14. (Á) îÁÊÄÉÔÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ a3 b5 ÏÓÌÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (a + b)8 . (Â) îÁÊÄÉÔÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xy 3 z 4 ÏÓÌÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (x + y + z )8 . (×) îÁÊÄÉÔÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xy 2 z ÏÓÌÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (x + 2y + z − 1)5 . ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 135 ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù ðÒÁ×ÉÌÏ ÓÕÍÍÙ ÇÌÁÓÉÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ A É B | ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÏÂÙÔÉÑ, ÒÉÞÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ A É n2 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÁ ÓÏÂÙÔÉÑ B , ÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÓÏÂÙÔÉÑ A ÉÌÉ B ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ n1 + n2 . ðÒÁ×ÉÌÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÄÁÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ k ÓÏÂÙÔÉÊ Ó n1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÉÓÈÏÄÁÍÉ ÅÒ×ÏÇÏ, n2 | ×ÔÏÒÏÇÏ, É Ô. Ä., ×ÌÏÔØ ÄÏ nk ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ× ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÉÓÈÏÄÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ k ÓÏÂÙÔÉÊ ÒÁ×ÎÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ n1 · n2 · · · nk . íÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÍÏÝÎÏÓÔÉ n. åÓÌÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÒÑÄÏË ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅ, Á × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ. òÁÚÍÅÝÅÎÉÅ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÙÂÉÒÁÅÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÙ ÒÁÚÒÅÛÁÅÍ ÏÑ×ÌÑÔØÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍ, ÉÎÁÞÅ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅÍ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ É ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ | ÜÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ: (a + b)n = C (n; 0)an + C (n; 1)an−1 b + C (n; 2)an−2 b2 + · · · + C (n; n)bn ; ÇÄÅ n! C (n; k ) = : (n − k )! k ! ïÂÝÉÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ (n; k )-ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ É (n; k )-ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ, ËÁË Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ, ÔÁË É ÂÅÚ ÏÎÙÈ ÄÁÎÙ × ÔÁÂÌ. 6.1. ÁÂÌÉ Á 6.1 ðÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ ðÏÒÑÄÏË ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ üÌÅÍÅÎÔÙ Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ k n ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ (n + k − 1)! k ! (n − 1)! üÌÅÍÅÎÔÙ ÎÅ Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ n! (n − k)! ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ n! (n − k)! k! ÅÏÒÅÍÁ Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n! n1 ! n2 ! · · · nr ! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n ÏÂßÅËÔÏ×, n1 ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÔÉÕ 1, n2 | Ë ÔÉÕ 2, É Ô. Ä. ×ÌÏÔØ ÄÏ nr ÏÂßÅËÔÏ× ÔÉÁ r . 136 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ïÄÎÁ ÉÚ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ | ÓÏÚÄÁÎÉÅ É ÁÎÁÌÉÚ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. äÌÑ ÕÓÅÛÎÏÇÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÔÁËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÍÅÔØ ÉÚÍÅÒÑÔØ ÚÁÔÒÁÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ×ÒÅÍÅÎÉ É ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÁÍÑÔÉ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ Ï ÅÎÉ×ÁÅÍ ×ÒÅÍÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ïÄÉÎ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ× Ï ÅÎËÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÄÓÞÅÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÔÓÑ ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ. îÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏÂÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÅÓÔØ ÌÉ ÄÁÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï X × ÓÌÏ×ÁÒÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍ n ÓÌÏ×, ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÉÓË . îÁÚ×ÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÔ ÓÌÏ×Ï X Ó ÅÒ×ÙÍ ÓÌÏ×ÏÍ × ÓÌÏ×ÁÒÅ, ÚÁÔÅÍ ÓÏ ×ÔÏÒÙÍ, É Ô. Ä. , ÏËÁ ÓÌÏ×Ï X ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎÏ × ÓÌÏ×ÁÒÅ ÉÌÉ, × ÎÁÉÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎÏ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, × ÎÁÉÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÏ n ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÒÉ Ä×ÏÉÞÎÏÍ (ÄÉÈÏÔÏÍÉÞÅÓËÏÍ) ÓÏÓÏÂÅ ÓÌÏ×Ï X ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ ÓÒÅÄÎÉÍ ÉÚ ÓÌÏ×ÁÒÑ, Á ÏÔÏÍ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÉÅ ÓÌÏ×, ÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, × ËÁËÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÌÏ×ÁÒÑ (ÄÏ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÓÌÏ×Á ÉÌÉ ÏÓÌÅ ÎÅÇÏ) ÒÏÄÏÌÖÁÔØ ÏÉÓË. üÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ × ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÓÌÏ×ÁÒÑ É Ô. Ä. ÷ ÎÁÉÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ (ÓÌÏ×Ï ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ × ÓÌÏ×ÁÒÅ) Ä×ÏÉÞÎÙÊ ÏÉÓË ÓÄÅÌÁÅÔ 1 + log2 n ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÔÁÂÌ. 6.2, Ä×ÏÉÞÎÙÊ ÏÉÓË ËÕÄÁ ÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÅÎ, ÞÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ. ÁÂÌÉ Á 6.2 n 1 + log 2 n 8 64 4 7 218 = 250 000 19 îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ log2 2k = k . úÁÄÁÞÁ 1. îÁ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× A, B , C , D É E ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ n, 3n2 , 2n2 + 4n, n3 É 2n ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÏÄÓÞÉÔÁÊÔÅ ×ÒÅÍÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÎÁ ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÒÉ n = 1, n = 10, n = 100 É n = 1000, ÅÓÌÉ ÏÄÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÓÏ×ÅÒ- ÛÁÅÔÓÑ ÚÁ 1 ÍÉÌÌÉÓÅËÕÎÄÕ. òÅÛÅÎÉÅ. ïÔ×ÅÔÙ Ó×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌ. 6.3. ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÔÁÂÌÉ Ù, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÇÒÏÍÎÁÑ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÁÚÎÉ Á ÍÅÖÄÕ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÍÉ × ÓÅÂÑ ÓÔÅÅÎÉ n (ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ), É ÔÅÍÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ n ×ÙÓÔÕÁÅÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏËÁ- ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× 137 ÚÁÔÅÌÑ (ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ). ðÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ ÓÔÁÒÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ n. åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÉ ÉÍÅÀÔ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÓÔÁÒÛÕÀ ÓÔÅÅÎØ n, ÔÏ ÒÁÂÏÞÉÅ ÅÒÉÏÄÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÂÌÉÚËÉ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ (ÓÍ. ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ B É C ). ÁÂÌÉ Á 6.3 A 1 10 100 1000 B C 2 n 3n 1 ÍÓ 10 ÍÓ 100 ÍÓ 1000 ÍÓ 3 ÍÓ 300 ÍÓ 30 Ó 0,83 Þ D 2 3 E 2n + 4n n 2n 6 ÍÓ 240 ÍÓ 20,4 Ó 0,56 Þ 1 ÍÓ 1Ó 0,28 Þ 11,6 ÄÎÅÊ 2 ÍÓ 1,024 Ó 4 · 1017 ×ÅËÏ× 10176 ×ÅËÏ× ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÉ f (n) É g (n) ÉÚÍÅÒÑÀÔ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÉÈ ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ . âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÆÕÎË ÉÉ f (x) ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ Õ g (x), ÅÓÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ C , ÞÔÏ |f (n)| 6 C |g (n)| ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ËÁË1 f (x) = O (g (n)). úÁÄÁÞÁ 2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ 2n2 + 4n = O (n2 ). òÅÛÅÎÉÅ. ÁË ËÁË n 6 n2 ÒÉ n > 1, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ 2n2 + 4n 6 2n2 + 4n2 = 6n2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ n ∈ N. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÌÏÖÉ× C = 6 × ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÞÔÏ 2n2 + 4n = O (n2 ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÌÅÇËÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ n2 6 2n2 + 4n ÒÉ n > 1. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, n2 = O (2n2 + 4n). ä×Å ÆÕÎË ÉÉ, ÔÁËÉÅ ËÁË n2 É 2n2 + 4n, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÄÒÕÇÏÊ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÆÕÎËÉÑÍÉ ÏÄÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ . æÕÎË ÉÉ, ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ Ó ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ B É C × ÚÁÄÁÞÅ 1 ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ É, ËÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÌÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÂÌÉÚËÉ. íÙ ÍÏÖÅÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÉÅÒÁÒÈÉÞÅÓËÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÆÕÎË ÉÊ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ÂÏÌØÛÉÊ ÏÒÑÄÏË ÒÏ1 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ O(g (n)) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÅ ÏÄÎÕ, Á ÅÌÙÊ ËÌÁÓÓ ÆÕÎË ÉÊ, ÒÁÓÔÕÝÉÈ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ g (n). ðÏÜÔÏÍÕ ÚÎÁË ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÚÄÅÓØ ÎÁÄÏ ÏÎÉÍÁÔØ ÕÓÌÏ×ÎÏ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ËÁË ÚÎÁË ∈. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 138 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ ÓÔÁ, ÞÅÍ ÒÅÄÙÄÕÝÁÑ. ïÄÉÎ ÉÚ ÒÉÍÅÒÏ× ÔÁËÏÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: 2 3 : : : nk : :}: 2n |n n n {z ↑ ↑ ↑ ↑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ ÌÏÇÁÒÉÆÍ ÏÌÉÎÏÍ ÜËÓÏÎÅÎÔÁ 1 log n ÷ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÄÅÔÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÜÔÕ ÉÅÒÁÒÈÉÀ, ×ÓÔÁ×É× (n log n) ÍÅÖÄÕ n É n2 , (n2 log n) ÍÅÖÄÕ n2 É n3 É Ô. Ä. ÷ ÜÔÏÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ×ÁÖÎÏ ÔÏ, ÞÔÏ Ä×ÉÇÁÑÓØ ÏÔ ÅÅ ÌÅ×ÏÇÏ ËÒÁÑ Ë ÒÁ×ÏÍÕ, ÍÙ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍ ÆÕÎË ÉÉ ×ÓÅ ÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÅÍ ÒÁ×ÅÅ × ÜÔÏÍ ÒÑÄÕ ÓÔÏÉÔ ÆÕÎË ÉÑ, ÔÅÍ ÂÙÓÔÒÅÅ ÒÁÓÔÕÔ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÒÏÓÔÏÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ n. óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÒÁÆÉËÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 6.2. ÅÅÒØ ÌÀÂÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ f (n) ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÆÕÎË ÉÀ g (n) ÉÚ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ f (n) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ g (n), ÎÏ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÌÀÂÁÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ, ÓÔÏÑÝÁÑ ÌÅ×ÅÅ g (n). þÔÏÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ, ÍÙ ÏÍÏÝØÀ ÎÁÛÅÊ ÉÅÒÁÒÈÉÉ ×ÙÄÅÌÑÅÍ × ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÂÙÓÔÒÏ ÒÁÓÔÕÝÉÊ ÞÌÅÎ (ÅÇÏ ÅÝÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÔÁÒÛÉÍ ÞÌÅÎÏÍ) É ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÎÁÛÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ × ÉÅÒÁÒÈÉÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÆÕÎË ÉÀ f (n) = 9n + 3n6 + 7 log n. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ (ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÔÏ ÉÌÉ ÉÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ) ÎÅ ×ÌÉÑÀÔ ÎÁ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÆÕÎË ÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ 9n = O (n), 3n6 = O (n6 ) É 7 log n = O (log n). ðÏÓËÏÌØËÕ n É log n ÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ × ÉÅÒÁÒÈÉÉ ÒÁÎØÛÅ, ÞÅÍ n6 , ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ËÁË 9n, ÔÁË É 7 log n ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÌÁÓÓÕ O (n6 ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f (n) = O (n6 ), É ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÂÙÓÔÒÏ ÒÁÓÔÕÝÉÍ ÞÌÅÎÏÍ Õ f (n) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÌÅÎ 3n6 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ f (n) ÒÁÓÔÕÔ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n6 . æÁËÔÉÞÅÓËÉ, × ÜÔÏÍ ÒÉÍÅÒÅ ÆÕÎË ÉÑ f (n) ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ, ÞÔÏ É n6 . úÁÄÁÞÁ 3. éÓÏÌØÚÕÑ ÉÅÒÁÒÈÉÀ ÆÕÎË ÉÊ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÛÌÁ ÒÅÞØ ×ÙÛÅ, ÏÒÅÄÅÌÉÔÅ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ Õ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ: (Á) n4 + 2n3 + 3; (Â) 6n5 + 2n ; (×) 5n + n2 log n. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) äÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÌÁÓÓÕ O (n4 ), ÏÓËÏÌØËÕ n4 | ÓÔÁÒÛÉÊ ÅÅ ÞÌÅÎ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. üÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× 139 (Â) üÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÌÁÓÓÕ O (2n ), ÏÓËÏÌØËÕ 2n | ÅÅ ÓÔÁÒÛÉÊ ÞÌÅÎ. (×) óÔÁÒÛÉÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÕÎË ÉÉ | ÜÔÏ n2 log n. ÁËÏÊ ÆÕÎËÉÉ ÎÅÔ × ÉÅÒÁÒÈÉÉ, Á ÅÓÌÉ ÂÙ ÏÎÁ ÂÙÌÁ, ÔÏ ÓÔÏÑÌÁ ÂÙ ÍÅÖÄÕ n2 É n3 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÁÓÔÅÔ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ÆÕÎË ÉÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ × ËÌÁÓÓÅ O (n3 ). òÉÓÕÎÏË 6.2. ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ ÆÕÎË ÉÊ ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÆÕÎË ÉÉ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÌÀÂÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÅÛÉÔØ, ÞÔÏ × ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÒÁÍÅÔÒÁ n É ËÁËÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÔÏÉÔ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ÒÉ ÒÁÓÞÅÔÁÈ. 140 çÌÁ×Á 6. ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ úÁÄÁÞÁ 4. îÁÊÄÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÆÒÁÇÍÅÎÔÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÎÁÉÓÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ, ÏÄÓÞÉÔÁ× ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ x := x + 1, ËÏÔÏÒÙÅ × ÎÅÍ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ. begin for i := 1 to 2n do for j := 1 to n do for k := 1 to j do x := x + 1; end òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÎÅÛÎÉÊ ÉËÌ (ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ i) Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ 2n ÒÁÚ. ãÉËÌ, ÏÍÅÞÅÎÎÙÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ j , Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ n ÒÁÚ. ðÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ j ÏÅÒÁ ÉÑ x := x + 1 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ j ÒÁÚ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÉËÌÁ i ÏÅÒÁ ÉÑ x := x +1 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ 1+2+ · · · + n ÒÁÚ, ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏ 12 n(n +1). úÎÁÞÉÔ ÆÕÎË ÉÑ ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ T (n) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: T (n) = 2n · éÔÁË, T (n) = O (n3 ): 1 n(n + 1) = n2 (n + 1): 2 çìá÷á 7 çòáæù çÒÁÆÙ ×ÏÚÎÉËÌÉ × ×ÏÓÅÍÎÁÄ ÁÔÏÍ ÓÔÏÌÅÔÉÉ, ËÏÇÄÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË, ìÅÏÎÁÒÄ üÊÌÅÒ, ÙÔÁÌÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÔÅÅÒØ ÕÖÅ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÕÀ ÚÁÄÁÞÕ Ï ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÓËÉÈ ÍÏÓÔÁÈ. ÷ ÔÏ ×ÒÅÍÑ × ÇÏÒÏÄÅ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÅ ÂÙÌÏ Ä×Á ÏÓÔÒÏ×Á, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ ÓÅÍØÀ ÍÏÓÔÁÍÉ Ó ÂÅÒÅÇÁÍÉ ÒÅËÉ ðÒÅÇÏÌØ É ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7.1. úÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ: ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ ÒÏÇÕÌËÕ Ï ÇÏÒÏÄÕ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ, ÒÏÊÄÑ ÒÏ×ÎÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÍÏÓÔÕ, ×ÅÒÎÕÔØÓÑ × ÔÏ ÖÅ ÍÅÓÔÏ, ÏÔËÕÄÁ ÎÁÞÉÎÁÌÁÓØ ÒÏÇÕÌËÁ. òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ, üÊÌÅÒ ÉÚÏÂÒÁÚÉÌ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇ × ×ÉÄÅ ÇÒÁÆÁ, ÏÔÏÖÄÅÓÔ×É× ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÞÁÓÔÑÍÉ ÇÏÒÏÄÁ, Á ÒÅÂÒÁ | Ó ÍÏÓÔÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÍÉ Ó×ÑÚÁÎÙ ÜÔÉ ÞÁÓÔÉ. ëÁË ÍÙ ÏËÁÖÅÍ × § 7.1, üÊÌÅÒÕ ÕÄÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÏÇÏ ÍÁÒÛÒÕÔÁ ÏÂÈÏÄÁ ÇÏÒÏÄÁ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. C c g d A e D a Êåíèíãñáåðã b B f òÉÓÕÎÏË 7.1. óÈÅÍÁ ÓÔÁÒÏÇÏ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÁ ÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ××ÏÄÉÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÕÀ × ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ×, É ÒÁÚÂÉÒÁÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÅÛÁÅÍÙÈ Ó ÏÍÏÝØÀ ÇÒÁÆÏ×. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ËÌÁÓÓÏÍ ÇÒÁÆÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÍ ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ. äÅÒÅ×ØÑ | ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÄÁÎÎÙÅ, ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÎÙÅ × ÉÅÒÁÒÈÉÞÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ. ðÏÉÓË Ï ÄÅÒÅ×Õ ÄÌÑ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÒÅÄÍÅÔÏ× É ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÁ ÄÁÎÎÙÈ × ÄÅÒÅ×Å ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ×ÁÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ 142 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÕÓÉÌÉÊ × ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ. ÷ ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ É ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÏÊ É ÏÉÓËÏÍ ÄÁÎÎÙÈ, ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ × ÄÅÒÅ×ØÑ. 7.1. çÒÁÆÙ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ îÁ ÒÉÓ. 7.1 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÓÅÍØ ÍÏÓÔÏ× ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÁ ÔÁË, ËÁË ÏÎÉ ÂÙÌÉ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ × ×ÏÓÅÍÎÁÄ ÁÔÏÍ ÓÔÏÌÅÔÉÉ. ÷ ÚÁÄÁÞÅ, Ë ËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÒÁÔÉÌÓÑ üÊÌÅÒ, ÓÒÁÛÉ×ÁÅÔÓÑ: ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÎÁÊÔÉ ÍÁÒÛÒÕÔ ÒÏÇÕÌËÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÍÏÓÔÏ× É ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÍÅÓÔÅ ÇÏÒÏÄÁ? íÏÄÅÌØ ÚÁÄÁÞÉ | ÜÔÏ ÇÒÁÆ , ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÅÒÛÉÎ É ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅÂÅÒ , ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ. ÷ÅÒÛÉÎÙ A, B , C É D ÓÉÍ×ÏÌÉÚÉÒÕÀÔ ÂÅÒÅÇÁ ÒÅËÉ É ÏÓÔÒÏ×Á, Á ÒÅÂÒÁ a, b, , d, e, f É g ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÓÅÍØ ÍÏÓÔÏ× (ÓÍ. ÒÉÓ. 7.2). éÓËÏÍÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÂÈÏÄÕ ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÒÏÈÏÄÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ðÒÏÈÏÄ ÒÅÂÒÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÀ ÒÅËÉ Ï ÍÏÓÔÕ. C c d e A d a g D f B òÉÓÕÎÏË 7.2. íÏÄÅÌØ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÍÏÓÔÁÈ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÁ çÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ × ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, É ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ Ï ×ÓÅÍ ÒÅÂÒÁÍ ÇÒÁÆÁ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ . ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ (ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ É Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ), ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÈÏÄÉÔ ÉÓËÏÍÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ, ËÁË É ÓÁÍ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÉËÌÏÍ . üÊÌÅÒ ÚÁÍÅÔÉÌ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÇÒÁÆÅ ÅÓÔØ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ, ÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÅÂÒÁ, ×ÅÄÕÝÅÇÏ × ËÁËÕÀ-ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÕ, ÄÏÌÖÎÏ ÎÁÊÔÉÓØ ÄÒÕÇÏÅ ÒÅÂÒÏ, ×ÙÈÏÄÑÝÅÅ ÉÚ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ1 , É ÏÌÕÞÉÌ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÎÁÂÌÀ1 úÁÊÄÑ × ×ÅÒÛÉÎÕ, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ×ÙÊÔÉ Ï ÔÏÍÕ ÖÅ ÒÅÂÒÕ, ÓÏÂÌÀÄÁÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 7.1. çÒÁÆÙ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ 143 ÄÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ×Ù×ÏÄ: ÅÓÌÉ × ÄÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ, ÔÏ Ë ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ÏÄÈÏÄÉÔØ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, üÊÌÅÒÕ ÕÄÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ É ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÔÁË ÞÔÏ ÇÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÌÀÂÁÑ ÁÒÁ ×ÅÒÛÉÎ Ó×ÑÚÁÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÒÅÂÅÒ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ üÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÍÅÀÔ ÞÅÔÎÕÀ ÓÔÅÅÎØ. óÔÅÅÎØÀ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ Æ (v ) ÒÅÂÅÒ, ÅÊ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ 2. ÅÅÒØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÇÒÁÆÅ, ÍÏÄÅÌÉÒÕÀÝÅÍ ÚÁÄÁÞÕ Ï ÍÏÓÔÁÈ ëÅÎÉÇÓÂÅÒÇÁ, ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ ÎÁÊÔÉ ÎÅÌØÚÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÓÔÅÅÎÉ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÎÅÞÅÔÎÙ: Æ (B ) = Æ (C ) = Æ (D ) = 3 É Æ (A) = 5. ó ÌÅÇËÏÊ ÒÕËÉ üÊÌÅÒÁ ÇÒÁÆÙ, ÏÄÏÂÎÙÅ ÔÏÍÕ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÌÉ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÍÏÓÔÁÈ, ÓÔÁÌÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, Á ÉÈ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ×ÙÒÏÓÌÏ × ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ðÒÏÓÔÏÊ ÇÒÁÆ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÁÒÁ G = (V; E ), ÇÄÅ V | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ, Á E | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ, ÒÉÞÅÍ G ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÅÔÅÌØ (ÒÅÂÅÒ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÈÓÑ × ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ) É ËÒÁÔÎÙÈ ÒÅÂÅÒ (ËÒÁÔÎÙÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÅÂÅÒ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ). çÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 7.2, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÅÒÛÉÎÙ A É B ÓÏÅÄÉÎÑÀÔÓÑ Ä×ÕÍÑ ÒÅÂÒÁÍÉ (ËÁË ÒÁÚ ÜÔÉ ÒÅÂÒÁ É ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÒÁÔÎÙÍÉ). ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ u É v × ÒÏÓÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÍÅÖÎÙÍÉ , ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÓÏÅÄÉÎÑÀÔÓÑ ËÁËÉÍ-ÔÏ ÒÅÂÒÏÍ e, ÒÏ ËÏÔÏÒÏÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏ ×ÅÒÛÉÎÅ u (É v ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï E ÒÅÂÅÒ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ ÓÍÅÖÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ, ÏÒÅÄÅÌÑÑ ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÎÅÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å V . ïÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ × ÒÏÓÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÅÔ ÅÔÅÌØ, Ô. Å. ÒÅÂÅÒ, ÏÂÁ ËÏÎ Á ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ. óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ ÖÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÞÔÏ ÒÅÂÒÏ e, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÅ ×ÅÒÛÉÎÕ u Ó v , ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ É v Ó u (ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÅÂÒÁ ÎÅ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÙ, Ô. Å. ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ). åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÂÒÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÅ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ u É v , ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ËÁË uv (ÉÌÉ vu). ìÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ, ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁÍÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ . óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ M ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ. á ÉÚ-ÚÁ ÎÅÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù M ÓÔÏÉÔ ÓÉÍ×ÏÌ ì. 2 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁ v Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎ ÏÍ ÒÅÂÒÁ x, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . v É x 144 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ðÒÉÍÅÒ 7.1. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÇÒÁÆ G(V; E ) Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V = = {a; b; ; d; e} É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÂÅÒ E = {ab; ae; b ; bd; e; de}. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ. òÅÛÅÎÉÅ. çÒÁÆ G ÏËÁÚÁÎ ÎÁ ÒÉÓ. 7.3. c b a d e òÉÓÕÎÏË 7.3. åÇÏ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: a a ì b  é  b é ì  ì é  d  ì é e é ì  ì é ì ì é d e ì é ì ì é é ì é é ì    :   äÌÑ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÇÒÁÆÁ ÎÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÏÌØËÏ ÔÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÏÑÔ ÎÁÄ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ. ðÏÄÇÒÁÆÏÍ ÇÒÁÆÁ G = (V; E ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÒÁÆ G′ = (V ′ ; E ′ ), × ËÏÔÏÒÏÍ E ′ ⊂ E É V ′ ⊂ V . ðÒÉÍÅÒ 7.2. îÁÊÄÉÔÅ ÓÒÅÄÉ ÇÒÁÆÏ× H , K É L, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓ. 7.4, ÏÄÇÒÁÆÙ ÇÒÁÆÁ G. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÏ× G, H É K ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7.5. çÒÁÆÙ H É K | ÏÄÇÒÁÆÙ × G, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÎÁÛÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ. çÒÁÆ L ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÇÒÁÆÏÍ × G, ÏÓËÏÌØËÕ Õ ÎÅÇÏ ÅÓÔØ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÎÄÅËÓÁ 4, Á Õ ÇÒÁÆÁ G ÔÁËÏÊ ÎÅÔ. òÅÛÅÎÉÅ. íÁÒÛÒÕÔÏÍ ÄÌÉÎÙ k × ÇÒÁÆÅ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; : : : ; k ÁÒÁ vi−1 vi ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÔÁËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔ ÞÅÒÅÚ v0 v1 : : : vk . îÁÒÉÍÅÒ, 1 4 3 2 5 | ÜÔÏ ÍÁÒÛÒÕÔ ÄÌÉÎÙ 4 × ÇÒÁÆÅ G ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 7.2. 7.1. çÒÁÆÙ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ 145 òÉÓÕÎÏË 7.4. ãÉËÌÏÍ × ÇÒÁÆÅ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎ ÁÍÉ ÏÄÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ, ÒÉÞÅÍ v0 = v1 , Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ (É ÒÅÂÒÁ) ÎÅ Ï×ÔÏÒÑÀÔÓÑ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÉËÌ | ÜÔÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ Ó×ÏÀ ×ÅÒÛÉÎÕ É ÒÅÂÒÏ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. òÉÓÕÎÏË 7.5. ðÒÉÍÅÒ 7.3. îÁÊÄÉÔÅ ÉËÌÙ × ÇÒÁÆÅ G ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 7.2. òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÅÓÔØ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ 5: 132541 É 1 2 5 4 3 1: íÙ ÍÏÖÅÍ ÒÏÊÔÉ ÜÔÉ ÉËÌÙ ËÁË × ÏÄÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ, ÔÁË É × ÄÒÕ- 146 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ÇÏÍ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉËÌÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÇÒÁÆÅ ÅÓÔØ ÔÒÉ ÒÁÚÎÙÈ ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ 4: 1 2 5 4 1; 12341 É 2 5 4 3 2; É Ä×Á ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ 3: 1231 É 1 3 4 1: çÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅÔ ÉËÌÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Á ÉËÌÉÞÎÙÍ . óÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÅÒÅ×ØÅ×, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ × ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ Á ÉËÌÉÞÎÙÈ ÇÒÁÆÏ×. ðÏÚÖÅ × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÉÍÉ ÚÁÊÍÅÍÓÑ. çÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ó×ÑÚÎÙÍ , ÅÓÌÉ ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÍÁÒÛÒÕÔ. ìÀÂÏÊ ÏÂÝÉÊ ÇÒÁÆ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÏÄÇÒÁÆÙ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏËÁÖÅÔÓÑ Ó×ÑÚÎÙÍ. íÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÔÁËÉÈ Ó×ÑÚÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏÍ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ (G). ÷ÏÒÏÓÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÉÍÅÀÔ ×ÁÖÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× Ë ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÍ ÓÅÔÑÍ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ. áÌÇÏÒÉÔÍ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÇÒÁÆ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ = (G), Ô. Å. ÞÉÓÌÁ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G. begin V ′ := V ; := 0; while V ′ 6= ∅ do begin ÷ÙÂÒÁÔØ y ∈ V ′; îÁÊÔÉ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ ÍÁÒÛÒÕÔÏÍ Ó y ; õÄÁÌÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ y ÉÚ V ′ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÒÅÂÒÁ ÉÚ E ; end := + 1; end ðÒÉÍÅÒ 7.4. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÎÁ ÇÒÁ- ÆÅ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 7.6. 7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ 147 òÉÓÕÎÏË 7.6. òÅÛÅÎÉÅ. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 7.1. ÁÂÌÉ Á 7.1 V éÓÈÏÄÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÷ÙÂÏÒ y = 1 ÷ÙÂÏÒ y = 2 ÷ÙÂÏÒ y = 7 ′ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} {2; 4; 5; 7} {7} ∅ 0 1 2 3 éÔÁË, (G) = 3. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 7.7. òÉÓÕÎÏË 7.7. 7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ íÙ ÎÁÞÁÌÉ ÜÔÕ ÇÌÁ×Õ Ó ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÈ ÇÒÁÆÏ×, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÍÁÒÛÒÕÔÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏÈÏÄÉÔ Ï ×ÓÅÍ ÒÅÂÒÁÍ ÇÒÁÆÁ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ðÏÈÏÖÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÉÓËÅ ÉËÌÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÇÏ 148 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÇÒÁÆÁ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ÁËÏÊ ÉËÌ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ , Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÇÒÁÆ | ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ . çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ ÓÌÕÖÁÔ ÍÏÄÅÌØÀ ÒÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÁÓÉÓÁÎÉÑ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÏÅÚÄÏ×, ÄÌÑ ÔÅÌÅËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÅÔÅÊ, É Ô. Ä. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÚÁÄÁÞÉ üÊÌÅÒÁ, ÒÏÓÔÏÇÏ ËÒÉÔÅÒÉÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÏËÁ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. ðÏÉÓË ÈÏÒÏÛÅÇÏ ËÒÉÔÅÒÉÑ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ×. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÍÎÏÇÉÅ ÇÒÁÆÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÇÒÁÆÅ ÌÀÂÁÑ ÁÒÁ ×ÅÒÛÉÎ ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÒÅÂÒÏÍ. ÁËÏÊ ÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ Kn , ÇÄÅ n | ÞÉÓÌÏ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, × ÌÀÂÏÍ ÏÌÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÍÏÖÎÏ ÏÔÙÓËÁÔØ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ. ðÏÌÎÙÊ ÇÒÁÆ K5 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. 7.8. åÇÏ ÉËÌ a b d e a, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ. ÷ ÎÅÍ ÅÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÉËÌÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÓÍÅÖÎÁ Ó ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ, ÔÏ ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ×ÅÒÛÉÎÙ a, × ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÔÏÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉËÌÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ. äÁÌÅÅ Õ ÎÁÓ ÂÕÄÅÔ ÔÒÉ ×ÁÒÉÁÎÔÁ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÔÒÅÔÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ É Ä×Á ÄÌÑ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÍÙ ×ÅÒÎÅÍÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÕ a. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 4 · 3 · 2 = 24 ÉËÌÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÉËÌ ÍÏÖÎÏ ÒÏÈÏÄÉÔØ ËÁË × ÏÄÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ, ÔÁË É × ÄÒÕÇÏÍ, ÔÏ ÒÅÁÌØÎÏ × ÇÒÁÆÅ K5 ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ 12 ÒÁÚÎÙÈ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×1 . òÉÓÕÎÏË 7.8. ðÏÌÎÙÊ ÇÒÁÆ K5 ðÏÉÓË ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÉËÌÁ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ (Ó×ÑÚÎÏÍ) ÇÒÁÆÅ | ÚÁÄÁÞÁ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÒÏÓÔÁÑ. ïÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ Ï ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÔÒÕÄÏÅÍËÉÍ. 1 ä×Å ÒÁÚÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÅÒÛÉÎ: a b ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÉËÌ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . d e a É a e d b a ÚÁÄÁÀÔ, 7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ 149 ðÒÉÍÅÒ 7.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÇÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 7.9, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ. òÉÓÕÎÏË 7.9. ðÒÉÍÅÒ ÎÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÇÒÁÆÁ òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × Ó×ÑÚÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ. ëÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ v ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ C ×ÙÂÏÒÏÍ Ä×ÕÈ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ Ó ÎÅÊ ÒÅÂÅÒ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÍ ÉËÌÅ (ÏÓÌÅ ÕÄÁÌÅÎÉÑ ÌÉÛÎÉÈ ÒÅÂÅÒ) ÒÁ×ÎÁ 2. óÔÅÅÎÉ ×ÅÒÛÉÎ ÄÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ | 2 ÉÌÉ 3. ÷ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 2 ×ÈÏÄÑÔ × ÉËÌ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÏÂÏÉÍÉ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÍÉ Ó ÎÉÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅÂÒÁ ab, ae, d, b, hi, hg É ij × ÔÏÍ ÉÌÉ ÉÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ ×ÈÏÄÑÔ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ C (ÓÍ. ÒÉÓ. 7.10). òÅÂÒÏ bf ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÞÁÓÔØÀ ÉËÌÁ C , ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÔÁËÏÇÏ ÉËÌÁ ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÓÔÅÅÎØ 2. úÎÁÞÉÔ, ÒÅÂÒÁ f j É f g ÏÂÑÚÁÎÙ ×ÈÏÄÉÔØ × ÉËÌ C , ÞÔÏÂÙ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÎÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÕ f . îÏ ÔÏÇÄÁ ÒÅÂÒÁ je É gd ÎÉËÁË ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ ÉËÌÕ C , ÏÓËÏÌØËÕ × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ × ÎÅÍ ÏÑ×ÑÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ ÔÒÉ. üÔÏ ×ÙÎÕÖÄÁÅÔ ÎÁÓ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÉËÌ ÒÅÂÒÏ ed, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ: ÒÅÂÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÂÙÌÉ ×ÙÎÕÖÄÅÎÙ ×ÙÂÒÁÔØ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ Ä×Á ÎÅÓ×ÑÚÎÙÈ ÉËÌÁ, Á ÎÅ ÏÄÉÎ, ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÉ. ÷Ù×ÏÄ: ÇÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. 7.10, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÎÏÇÉÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ. ïÓÎÏ×ÏÊ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÓÌÕÖÉÔ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ , ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å. 150 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ëÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏ×ÅÒÛÉÔØ ÏÅÚÄËÕ Ï ÇÏÒÏÄÁÍ É ×ÅÒÎÕÔØÓÑ ÏÂÒÁÔÎÏ, ÏÂÙ×Á× × ËÁÖÄÏÍ ÇÏÒÏÄÅ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ, Ó×ÅÄÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÚÁÔÒÁÔÙ ÎÁ ÅÒÅÄ×ÉÖÅÎÉÑ Ë ÍÉÎÉÍÕÍÕ. òÉÓÕÎÏË 7.10. òÅÂÒÁ, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ C çÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÍÏÄÅÌØ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÇÒÁÆÁ, ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÇÏÒÏÄÁ, Á ÒÅÂÒÁ | Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅ ÉÈ ÄÏÒÏÇÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÏÓÎÁÝÅÎÏ ×ÅÓÏÍ , ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÉÍ ÔÒÁÎÓÏÒÔÎÙÅ ÚÁÔÒÁÔÙ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÕÔÅÛÅÓÔ×ÉÑ Ï ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÄÏÒÏÇÅ, ÔÁËÉÅ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÉÌÉ ×ÒÅÍÑ Ä×ÉÖÅÎÉÑ Ï ÄÏÒÏÇÅ2 . äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÏËÁ ÎÅ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ. äÌÑ ÓÌÏÖÎÙÈ ÓÅÔÅÊ ÞÉÓÌÏ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÄÌÑ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ, ÎÅÏÍÅÒÎÏ ÏÇÒÏÍÎÏ. ïÄÎÁËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÉÓËÁ ÓÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ . óÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÄÁÓÔ ÉËÌ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÎÏ ÎÁÊÄÅÎÎÙÊ ÉËÌ ÂÕÄÅÔ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÞÅÍ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×! ïÄÉÎ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÍÙ ÓÅÊÞÁÓ É ÉÚÕÞÉÍ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÓÏÓÅÄÁ. üÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÄÁÅÔ ÓÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÉËÌÙ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ Ó 2 çÒÁÆ, ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÓÎÁÝÅÎÏ ×ÅÓÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÍ | 7.2. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÇÒÁÆÙ 151 ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V . ãÉËÌ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÂÕÄÅÔ ÓÏ×ÁÄÁÔØ Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔ , Á ÅÇÏ ÏÂÝÁÑ ÄÌÉÎÁ | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ w. begin end ÷ÙÂÒÁÔØ v ∈ V ; ÍÁÒÛÒÕÔ := v ; w := 0; v ′ := v ; ïÔÍÅÔÉÔØ v ′ ; while ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ do begin ÷ÙÂÒÁÔØ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ u, ÂÌÉÖÁÊÛÕÀ Ë v ′ ; ÍÁÒÛÒÕÔ := ÍÁÒÛÒÕÔ u; w := w + ×ÅÓ ÒÅÂÒÁ v ′ u; v ′ := u; ïÔÍÅÔÉÔØ v ′ ; end ÍÁÒÛÒÕÔ := ÍÁÒÛÒÕÔ v ; w := w + ×ÅÓ ÒÅÂÒÁ v ′ v ; ðÒÉÍÅÒ 7.6. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÓÏÓÅÄÁ Ë ÇÒÁÆÕ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÍÕ ÎÁ ÒÉÓ. 7.11. úÁ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ×ÏÚØÍÉÔÅ ×ÅÒÛÉÎÕ D. B A 5 7 8 6 10 C D 3 òÉÓÕÎÏË 7.11. òÅÛÅÎÉÅ. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 7.2. ÁÂÌÉ Á 7.2 u éÓÈÏÄÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÏÈÏÄ ÍÁÒÛÒÕÔ | D C DC A DC A B DC AB B DC ABD ′ w v 0 3 C 9 14 24 D A B B 152 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÂÙÌ ÎÁÊÄÅÎ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÉËÌÏ× × ÜÔÏÍ ÍÁÌÅÎØËÏÍ ÇÒÁÆÅ, ÍÏÖÎÏ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÅÝÅ Ä×Á ÄÒÕÇÉÈ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÁ: ABCDA ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ 23 É ACBDA ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ 31. ÷ ÏÌÎÏÍ ÇÒÁÆÅ Ó Ä×ÁÄ ÁÔØÀ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ 6; 1 · 1016 ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×, ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÒÅÂÕÅÔ ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÍÎÏÇÏ ÍÁÛÉÎÎÏÊ ÁÍÑÔÉ É ×ÒÅÍÅÎÉ. DCABD ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ 24. äÅÌÁÑ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÓÅÈ 7.3. äÅÒÅ×ØÑ ëÁË ÕÏÍÉÎÁÌÏÓØ ÒÁÎÅÅ × ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å, ÅÓÔØ ËÌÁÓÓ ÇÒÁÆÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ × ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ. çÒÁÆ G = (V; E ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ , ÅÓÌÉ ÏÎ Ó×ÑÚÅÎ É Á ÉËÌÉÞÅÎ (Ô. Å. ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉËÌÏ×). ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÇÒÁÆ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É m ÒÅÂÒÁÍÉ. íÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ: • ìÀÂÁÑ ÁÒÁ ×ÅÒÛÉÎ × G ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÕÔÅÍ. • G Ó×ÑÚÅÎ É m = n − 1. • G Ó×ÑÚÅÎ, Á ÕÄÁÌÅÎÉÅ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ ÎÁÒÕÛÁÅÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔØ ÇÒÁÆÁ. • G Á ÉËÌÉÞÅÎ, ÎÏ ÅÓÌÉ ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ, ÔÏ × G ÏÑ×ÉÔÓÑ ÉËÌ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Á ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÂÅÚ ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÒÕÄÁ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ ÓÏ ×ÔÏÒÙÍ ÉÚ ÎÉÈ. ÷ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÅÒÅ×Ï Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ n − 1 ÒÅÂÒÏ. ðÒÉÍÅÒ 7.7. äÏËÁÖÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÉÎÄÕË ÉÉ Ï ÞÉÓÌÕ ×ÅÒÛÉÎ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÄÅÒÅ×Á T Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É m ÒÅÂÒÁÍÉ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ: m = n − 1. òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÅÒÅ×Ï Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÉ n = 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÅÒÅ×Ï T Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ (É m ÒÅÂÒÁÍÉ), ÇÄÅ n > 1 É ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó k < n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ k − 1 ÒÅÂÒÏ. õÄÁÌÉÍ ÒÅÂÒÏ ÉÚ T . ðÏ ÔÒÅÔØÅÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÄÅÒÅ×Ï T ÏÓÌÅ ÜÔÏÊ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÒÅ×ÒÁÔÉÔÓÑ × ÎÅÓ×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ. ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ Ä×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, ÎÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÉËÌÏ× (× ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÇÒÁÆ T ÔÏÖÅ ÓÏÄÅÒÖÁÌ ÂÙ ÉËÌÙ É ÎÅ ÍÏÇ 7.3. äÅÒÅ×ØÑ 153 ÂÙ ÂÙÔØ ÄÅÒÅ×ÏÍ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ | ÔÏÖÅ ÄÅÒÅ×ØÑ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÎÏ×ÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ ÞÅÒÅÚ T1 É T2 . ðÕÓÔØ n1 | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ Õ ÄÅÒÅ×Á T1 , Á n2 | Õ T2 . ðÏÓËÏÌØËÕ n1 + n2 = n, ÔÏ n1 < n É n2 < n. ðÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ÄÅÒÅ×Ï T1 ÉÍÅÅÔ n1 −1 ÒÅÂÒÏ, Á T2 | n2 − 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï T ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÌÏ (Ó ÕÞÅÔÏÍ ÏÄÎÏÇÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÇÏ) (n1 − 1) + (n2 − 1) + 1 = n − 1 ÒÅÂÒÏ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. îÅÓÌÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ Ó×ÑÚÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÄÇÒÁÆ, Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ. ðÏÄÇÒÁÆ × G, Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ É ×ËÌÀÞÁÀÝÉÊ × ÓÅÂÑ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ G, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÔÏ×Î ÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ . ïÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï × ÇÒÁÆÅ G ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÒÏÓÔÏ: ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÅÇÏ ÒÅÂÒÏ É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍ ÄÒÕÇÉÅ ÒÅÂÒÁ, ÎÅ ÓÏÚÄÁ×ÁÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÉËÌÏ×, ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÅÌØÚÑ ÂÕÄÅÔ ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÎÉËÁËÏÇÏ ÒÅÂÒÁ, ÎÅ ÏÌÕÞÉ× ÒÉ ÜÔÏÍ ÉËÌÁ. âÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÉÍÅÒÕ 7.7, ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á × ÇÒÁÆÅ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÒÏ×ÎÏ n − 1 ÒÅÂÒÏ. ðÒÉÍÅÒ 7.8. îÁÊÄÉÔÅ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÏÓÔÏ×ÎÙÈ ÄÅÒÅ×Á × ÇÒÁÆÅ, ÉÚÏ- ÂÒÁÖÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 7.12. òÉÓÕÎÏË 7.12. ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ G òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÓÔÏ×ÎÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ×. ïÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍ ×ÙÂÏÒÏÍ ÒÅÂÅÒ: a, b, d É f . äÒÕÇÏÅ | b, , e É g . îÁÚ×ÁÎÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 7.13. ðÒÏ ÅÓÓ, ÏÉÓÁÎÎÙÊ × ÒÉÍÅÒÅ 7.8, ÍÏÖÎÏ ÒÉÓÏÓÏÂÉÔØ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ : îÕÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÖÅÌÅÚÎÏÄÏÒÏÖÎÕÀ ÓÅÔØ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÕÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÇÏÒÏÄÏ×. éÚ×ÅÓÔÎÁ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Á ÏÔÒÅÚËÁ ÕÔÅÊ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÏÊ ÁÒÏÊ ÇÏÒÏÄÏ×. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÓÅÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ. 154 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ îÁ ÑÚÙËÅ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÁÊÔÉ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ. ÁËÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÏÓÔÏ×ÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÉÌÉ, ÓÏËÒÁÝÅÎÎÏ, íïä . ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÚÄÅÓØ ÅÓÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï. ïÎ ÏÈÏÖ ÎÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ðÒÉÍÁ, Ó ËÏÔÏÒÙÍ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ × ÇÌÁ×Å 1 ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ ÄÌÑ ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÛÏÔÌÁÎÄÓËÉÈ ÇÏÒÏÄÏ×. òÉÓÕÎÏË 7.13. ïÓÔÏ×ÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ ÇÒÁÆÁ G áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | Ó×ÑÚÎÙÊ ×Ú×ÅÛÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÓÔÒÏÉÔ íïä × ÇÒÁÆÅ G, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÂÉÒÁÑ ÒÅÂÒÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ×ÅÓÁ ÄÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. íïä × ÁÍÑÔÉ ËÏÍØÀÔÅÒÁ ÈÒÁÎÉÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á T ÒÅÂÅÒ. begin e := ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ G Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ×ÅÓÏÍ; T := {e}; E ′ := E \ {e} while E ′ 6= ∅ begin e′ := ÒÅÂÒÏ ÉÚ E ′ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ; T := T ∪ {e′ }; E ′ := ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÉÚ E ′ \ {T }, ÞØÅ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ Ë T ÎÅ ×ÅÄÅÔ Ë ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ ÉËÌÏ×; end end ðÒÉÍÅÒ 7.9. ÷ ÔÁÂÌ. 7.3 ÄÁÎÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ (× ÍÉÌÑÈ) ÍÅÖÄÕ ÑÔØÀ ÄÅÒÅ×ÎÑÍÉ A, B , C , D É E . îÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï. 7.3. äÅÒÅ×ØÑ 155 ÁÂÌÉ Á 7.3 A B C D E D | 13 3 9 13 | 11 11 3 11 | 9 9 11 9 | 9 13 7 2 E 9 13 7 2 | A B C òÅÛÅÎÉÅ. òÅÂÒÁ ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÅÒ×ÏÅ | ÒÅÂÒÏ DE ×ÅÓÁ 2; ×ÔÏÒÏÅ | AC ×ÅÓÁ 3; ÔÒÅÔØÅ | CE ×ÅÓÁ 7. îÁ ÜÔÏÊ ÓÔÁÄÉÉ ÓÔÒÏÑÝÅÅÓÑ ÄÅÒÅ×Ï ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÔÁË, ËÁË ÎÁ ÒÉÓ. 7.14 òÉÓÕÎÏË 7.14. ÷ÉÄ ÄÅÒÅ×Á ÏÓÌÅ ÔÒÅÈ ÛÁÇÏ× óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ï ×ÅÓÕ ÒÅÂÒÁ | AD , AE É CD , ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ×ÅÓ 9. ïÄÎÁËÏ ËÁËÏÅ ÂÙ ÉÚ ÎÉÈ ÍÙ ÎÉ ÄÏÂÁ×ÉÌÉ, ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÉËÌ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÒÅÂÒÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ÉÚ ÞÉÓÌÁ ÄÏÓÔÕÎÙÈ ÄÌÑ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Á. äÁÌÅÅ ÉÄÕÔ ÒÅÂÒÁ BC É BD ×ÅÓÁ 11. íÏÖÎÏ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÌÀÂÏÅ ÉÚ ÎÉÈ, ÏÌÕÞÉ× ÒÉ ÜÔÏÍ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ íïä: {AC; BC; CE; DE } ÉÌÉ {AC; BD; CE; DE } ×ÅÓÁ 23 ËÁÖÄÏÅ. úÁÞÁÓÔÕÀ ÎÁÍ ÈÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÉÍÅÔØ ÄÅÒÅ×ØÑ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÉÅÒÁÒÈÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ, ÔÁËÉÅ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÇÅÎÅÁÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÄÒÅ×Ï (ÒÉÓ. 7.15). îÁ ÎÅÍ ÏËÁÚÁÎÙ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÞÌÅÎÙ ÓÅÍØÉ âÅÒÎÕÌÌÉ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÙÌ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ Û×ÅÊ ÁÒÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ. çÉÎÅÁÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÄÒÅ×Ï ÍÏÖÎÏ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ É ÂÏÌÅÅ ÓÖÁÔÏ. óÈÅÍÁ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 7.16, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÒÉÍÅÒ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ. äÅÒÅ×ÏÍ Ó ËÏÒÎÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×Ï Ó ÏÄÎÏÊ ×ÙÄÅÌÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. éÍÅÎÎÏ ÜÔÁ ×ÙÄÅÌÅÎÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÄÅÒÅ×Á. ëÏÒÅÎØ, × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ×ÅÌÉÞÁÊÛÅÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÄÏÎÁÞÁÌØÎÉË ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× âÅÒÎÕÌÌÉ). ÷ÅÒÛÉÎÙ ÄÅÒÅ×Á, ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ÄÁÎÎÏÊ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÙÎÏ×ØÑÍÉ . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ×ÅÒÛÉÎÁ, ÓÔÏÑÝÁÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÅÒÅÄ ÓÙÎÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÅ ÏÔ ÏÍ . 156 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ îÉËÏÌÁ Ò. 1623 ñËÏÂ I Ò. 1654 îÉËÏÌÁ I Ò. 1662 îÉËÏÌÁ II Ò. 1687 éÏÇÁÎ I Ò. 1667 îÉËÏÌÁ III Ò. 1695 äÁÎÉÉÌ I Ò. 1700 éÏÇÁÎ II Ò. 1710 òÉÓÕÎÏË 7.15. äÉÎÁÓÔÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ òÉÓÕÎÏË 7.16. óÈÅÍÁ ÇÅÎÅÁÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÄÒÅ×Á âÅÒÎÕÌÌÉ äÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ïÔÄÅÌØÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ Ó ËÏÒÎÅÍ (ÏÎÁ ÖÅ ÓÌÕÖÉÔ É ËÏÒÎÅÍ ÔÁËÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á). åÓÌÉ T1 , T2 , . . . , Tk | ÎÅÓ×ÑÚÁÎÎÙÅ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÄÅÒÅ×ØÑ Ó ËÏÒÎÑÍÉ v1 , v2 , . . . , vk , ÔÏ ÇÒÁÆ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÎÏ×ÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v Ë ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ v1 , v2 , . . . , vk ÏÔÄÅÌØÎÙÍ ÒÅÂÒÏÍ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ T Ó ËÏÒÎÅÍ v . ÷ÅÒÛÉÎÙ v1 , . . . , vk ÇÒÁÆÁ T | ÜÔÏ ÓÙÎÏ×ØÑ ËÏÒÎÑ v . íÙ ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÍ ÎÁ×ÅÒÈÕ, É ÓÙÎÏ×ØÑÍÉ, ÓÔÏÑÝÉÍÉ ÎÉÖÅ, ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ËÏÒÎÅÍ (ÓÍ. ÒÉÓ. 7.17). ëÁÖÄÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ËÏÒÅÎØ ÄÒÕÇÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÁÓÔÅÔ ÉÚ ÎÅÇÏ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×ÏÍ ÄÅÒÅ×Á T . ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ, ×ÅÒÛÉÎÁ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ×ÅÒÈÕ ÄÅÒÅ×Á | ÅÇÏ ËÏÒÅÎØ, Á ×ÏÔ ÔÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÓÁÍÏÍ ÎÉÚÕ ÄÅÒÅ×Á (É ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÓÙÎÏ×ÅÊ) ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÉÓÔØÑÍÉ . ïÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ ËÏÒÎÑ É ÌÉÓÔØÅ×, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ . ïÂÌÁÓÔØ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÄÅÒÅ×ØÅ× Ó ËÏÒÎÅÍ ÏÂÛÉÒÎÁ. üÔÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÁ, É ÂÉÏÌÏÇÉÑ, É ÍÅÎÅÄÖÍÅÎÔ. äÌÑ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë 7.3. äÅÒÅ×ØÑ 157 ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÅ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÉÌÉ ÂÉÎÁÒÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ Ó ËÏÒÎÅÍ. ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏÔÌÉÞÁÅÔ ÏÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÔÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÓÙÎÏ×ÅÊ. ÷ Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å Ó ËÏÒÎÅÍ ×ÎÉÚ ÏÔ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÄÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÒÅÂÅÒ. òÉÓÕÎÏË 7.17. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ Ä×Á ÏÄÄÅÒÅ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÅ×ÙÍ É ÒÁ×ÙÍ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑÍÉ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ. åÓÌÉ ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ Õ ËÁËÏÊ-ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÅÒÅ×Á ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÏÍÏË ÓÌÅ×Á, ÔÏ ÅÅ ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ (Ô. Å. ÎÕÌÅ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï | ÜÔÏ ÄÅÒÅ×Ï ÂÅÚ ÅÄÉÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÒÁ×ÙÊ ÏÔÏÍÏË, ÔÏ ÅÅ ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ÂÕÄÅÔ ÎÕÌÅ×ÙÍ. ðÒÉÍÅÒ 7.10. ðÕÓÔØ T | Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. 7.18. òÉÓÕÎÏË 7.18. ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ T 158 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ïÒÅÄÅÌÉÔÅ (Á) (Â) (×) (Ç) ËÏÒÅÎØ T ; ËÏÒÅÎØ ÌÅ×ÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á ×ÅÒÛÉÎÙ B ; ÌÉÓÔØÑ T ; ÓÙÎÏ×ÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ C . îÁÒÉÓÕÊÔÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ T ′ , ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÉÚ T ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÌÅ×ÙÈ É ÒÁ×ÙÈ ÏÄÄÅÒÅ×ØÅ× Õ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ. òÅÛÅÎÉÅ. (Á) A; (Â) D ; (×) G, H , E , I É J ; (Ç) F . ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ T ′ ÎÁÞÅÒÞÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7.19. òÉÓÕÎÏË 7.19. ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ T ′ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7 7.1. ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ÏÞÅÍÕ ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ ÒÏÓÔÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÕÄ×ÏÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÅÇÏ ÒÅÂÅÒ. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÌÅÍÍÏÊ ÏÂ ÜÓÔÁÆÅÔÅ. éÓÏÌØÚÕÑ ÜÔÕ ÌÅÍÍÕ, ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÏÌÎÏÍ ÇÒÁÆÅ n(n−1) ÒÅÂÅÒ. Kn Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ 2 äÌÑ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n ÇÒÁÆ Kn ÂÕÄÅÔ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ? 7.2. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ, ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÏÓÔÏÊ ÇÒÁÆ G ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÔÏ Õ ÎÅÇÏ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7 159 7.3. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÇÒÁÆ, ÞØÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:         ì é ì é ì é é ì é ì é ì ì é ì é ì é é ì é ì é ì ì é ì é ì ì é ì é ì ì ì     :    ïÉÛÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ Kn . 7.4. ÷×ÅÄÑ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅÒÛÉÎ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÇÒÁ- ÆÏ× ÎÁ ÒÉÓ. 7.20 ÏÄÂÅÒÉÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÎÉÖÅ. òÉÓÕÎÏË 7.20. ì  é   é ì  é ì ì é é ì ì é (Á)   ì ì é  é ì é    é   é é ì ì é é é ì é (Â)   ì ì é  é ì é    é   ì é ì ì é ì é ì é (Ó)  ì é   é  ì 7.5. ëÁËÉÅ ÉÚ ÇÒÁÆÏ× ÎÁ ÒÉÓ. 7.21 ÍÏÇÕÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÏÄÇÒÁÆÁÍÉ ÇÒÁÆÁ ÉÚ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ 7.3? òÉÓÕÎÏË 7.21. ëÁÎÄÉÄÁÔÙ × ÏÄÇÒÁÆÙ 160 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ 7.6. îÁÊÄÉÔÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Ù ÉËÌÙ × ÇÒÁÆÅ ÎÁ ÒÉÓ. 7.22. òÉÓÕÎÏË 7.22. îÁÊÄÉÔÅ × ÎÅÍ ÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 3, 4, 5, 6 É 7. 7.7. îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ. 7.23 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÇÒÁÆ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ P . òÉÓÕÎÏË 7.23. çÒÁÆ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ îÁÊÄÉÔÅ × ÎÅÍ ÉËÌ ÄÌÉÎÙ 9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ P ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ. 7.8. éÓÏÌØÚÕÊÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÓÏÓÅÄÁ ÄÌÑ ÏÉÓËÁ ÇÁ- ÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÉËÌÁ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ (ÒÉÓ. 7.24), ×ÚÑ× ÚÁ ÉÓÈÏÄÎÕÀ (Á) ×ÅÒÛÉÎÕ A; (Â) ×ÅÒÛÉÎÕ D . îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7 161 òÉÓÕÎÏË 7.24. îÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ 7.9. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÇÒÁÆÙ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÍÁ- ÔÒÉ ÁÍÉ  ì  ì   ì (Á)   ì   ì é  ì  ì   ì (Â)   ì   ì é ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ:  ì ì ì ì é ì ì é ì é   ì ì ì é é  ; é ì ì é ì   ì é é ì ì  é é ì ì ì  ì ì ì ì é ì é ì ì ì   é ì é ì é  . ì é ì é ì   ì ì é ì ì  ì é ì ì ì 7.10. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÄÅÒÅ×Ï T ÉÍÅÅÔ ÔÒÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 3 É ÞÅ- ÔÙÒÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 2. ïÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÅÒÅ×Á ÉÍÅÀÔ ÓÔÅÅÎØ 1. óËÏÌØËÏ ×ÅÒÛÉÎ ÓÔÅÅÎÉ 1 ÅÓÔØ Õ ÄÅÒÅ×Á T ? (õËÁÚÁÎÉÅ: ÏÂÏÚÎÁÞØÔÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÄÅÒÅ×Á T ÞÅÒÅÚ n É ÒÉÍÅÎÉÔÅ ÌÅÍÍÕ ÏÂ ÜÓÔÁÆÅÔÅ.) 7.11. ìÅÓÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÒÁÆ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ), ËÁÖÄÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ | ÄÅÒÅ×Ï. ðÕÓÔØ G | ÌÅÓ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É k ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. (Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ G ÉÍÅÅÔ n − k ÒÅÂÅÒ. (Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ËÁÖÄÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÌÅÓÁ G ÅÓÔØ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÔÏ G ÓÏÄÅÒÖÉÔ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ 2k ×ÅÒÛÉÎ ÓÔÅÅÎÉ 1. 162 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ (×) îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÌÅÓ Ó ÄÅ×ÑÔØÀ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É ÛÅÓÔØÀ ÒÅÂÒÁÍÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ ÑÔÉ ×ÅÒÛÉÎ ÓÔÅÅÎÉ 1. 7.12. îÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏ- ÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 7.25. òÉÓÕÎÏË 7.25. 7.13. ÷ ÔÁÂÌ. 7.4 ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ (× ÍÉÌÑÈ) ÍÅÖÄÕ ÛÅÓÔØÀ ÇÏÒÏÄÁÍÉ éÒÌÁÎÄÉÉ. ÁÂÌÉ Á 7.4 áÔÌÏÎ äÕÂÌÉÎ çÏÌÕÜÊ ìÉÍÅÒÉË óÌÁÊÇÏ õÜËÓÆÏÒÄ áÔÌÏÎ äÕÂÌÉÎ çÏÌÕÜÊ ìÉÍÅÒÉË óÌÁÊÇÏ õÜËÓÆÏÒÄ | 78 56 73 71 114 78 | 132 121 135 96 56 132 | 64 85 154 73 121 64 | 144 116 71 135 85 144 | 185 114 96 154 116 185 | éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÎÁÊÄÉÔÅ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÕÀ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÇÏÒÏÄÏ×. 7.14. çÌÕÂÉÎÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ T ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÄÌÉ- ÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÕÔÉ ÏÔ ÎÅÅ Ë ËÏÒÎÀ ÄÅÒÅ×Á. çÌÕÂÉÎÁ ÇÒÁÆÁ T | ÜÔÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ ÇÌÕÂÉÎÁ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ. ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 163 (Á) îÁÞÅÒÔÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÅÒÅ×ØÑ: (i) ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ 1 Ó ÛÅÓÔØÀ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ; (ii) ÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ 2; (iii) ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ 3, ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÇÌÕÂÉÎÙ i (i > 0) ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÍÅÅÔ (i + 1) ÓÙÎÁ. (Â) ðÏËÁÖÉÔÅ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n, ÞÔÏ ÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ n ÉÍÅÅÔ 2n ÌÉÓÔØÅ×. (ðÏÌÎÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ (ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÌÉÓÔØÅ×) ÉÍÅÀÔ Ï Ä×Á ÓÙÎÁ.) ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù çÒÁÆ G = (V; E ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á V , ÞØÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ, É ÍÎÏÖÅÓÔ×Á E ÅÇÏ ÒÅÂÅÒ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÎÅËÏ- ÔÏÒÙÅ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ. ÷ÅÒÛÉÎÙ u É v ÇÒÁÆÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÍÅÖÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ËÁËÉÍ-ÔÏ ÒÅÂÒÏÍ e, ÒÏ ËÏÔÏÒÏÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏ ×ÅÒÛÉÎÁÍ u É v . óÔÅÅÎØÀ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÓÞÉÔÁÀÔ ÞÉÓÌÏ Æ (v ) ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ, ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ v . çÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÁÒÛÒÕÔ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ), ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ × ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ×ÅÒÛÉÎÅ É ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÒÅÂÒÕ ÇÒÁÆÁ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ üÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ. ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ Ó Ä×ÕÍÑ ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÞÅÔÎÕÀ ÓÔÅÅÎØ. ìÅÍÍÁ ÏÂ ÜÓÔÁÆÅÔÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G = (V; E ) ÒÁ×ÎÁ ÕÄ×ÏÅÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÅÇÏ ÒÅÂÅÒ. ðÒÏÓÔÙÍ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÇÒÁÆ G = (V; E ) Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V É ËÏÎÅÞÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÂÅÒ E , × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅÔ ÅÔÅÌØ É ËÒÁÔÎÙÈ ÒÅÂÅÒ. ìÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÒÛÉÎ ÒÏÓÔÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G, ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁÍÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ. 164 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ðÏÄÇÒÁÆÏÍ ÇÒÁÆÁ G = (V; E ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÒÁÆ G′ = (V ′ ; E ′ ), × ËÏÔÏÒÏÍ E ′ ⊂ E É V ′ ⊂ V . íÁÒÛÒÕÔÏÍ ÄÌÉÎÙ k × ÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ×ÅÒÛÉÎ vi−1 vi ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÒÅÂÒÏÍ. ãÉËÌÏÍ × ÇÒÁÆÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ v0 ; v1 ; : : : ; v0 , Õ ËÏ- ÔÏÒÏÇÏ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ËÒÏÍÅ ÅÒ×ÏÊ É ÏÓÌÅÄÎÅÊ, ÒÁÚÌÉÞÎÙ. çÒÁÆ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÉËÌÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Á ÉËÌÉÞÎÙÍ. ó×ÑÚÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÔ ÇÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ ×ÅÒÛÉÎ ÓÏ- ÅÄÉÎÅÎÁ ÍÁÒÛÒÕÔÏÍ. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÍÏÖÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. çÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÏÊ ÉËÌ × ÇÒÁÆÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÇÒÁÆÁ, ÒÉÞÅÍ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. çÒÁÆ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ. úÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÉÓËÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÉËÌÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÂÌÉÖÁÊÛÅÇÏ ÓÏÓÅÄÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ÓÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. ó×ÑÚÎÙÊ Á ÉËÌÉÞÎÙÊ ÇÒÁÆ G = (V; E ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Ï Ó×ÑÚÎÏÍ ÇÒÁÆÅ G = (V; E ) Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É m ÒÅÂÒÁÍÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (Á) G | ÄÅÒÅ×Ï; (Â) ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ G Ó×ÑÚÙ×ÁÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÔØ; (×) G Ó×ÑÚÅÎ É m = n − 1; (Ç) G Ó×ÑÚÅÎ, Á ÕÄÁÌÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ ÎÁÒÕÛÁÅÔ ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï; (Ä) G Á ÉËÌÉÞÅÎ, ÎÏ ÓÏÅÄÉÎÑÑ ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ ÎÏ×ÙÍ ÒÅÂÒÏÍ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÉËÌ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË 165 ïÓÔÏ×ÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÇÒÁÆÁ G ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÏÊ ÅÇÏ ÏÄÇÒÁÆ, ËÏÔÏÒÙÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ É ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ G. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊ- ÔÉ ÏÓÔÏ×ÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ. äÅÒÅ×Ï Ó ÏÄÎÏÊ ×ÙÄÅÌÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÄÅÒÅ×ÏÍ Ó ËÏÒÎÅÍ, Á ×ÙÄÅÌÅÎÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ | ÅÇÏ ËÏÒÎÅÍ. ÷ÅÒÛÉÎÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ×ÅÒÛÉÎÏÊ v (É ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ Ó ÎÅÊ ÒÅÂÒÁÍÉ), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÙÎÏ×ØÑÍÉ ×ÅÒÛÉÎÙ v . ÷ÅÒÛÉÎÙ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÓÁÍÏÍ ÎÉÚÕ ÄÅÒÅ×Á (ÏÎÉ ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÓÙÎÏ×ÅÊ), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÉÓÔØÑÍÉ. ÷ÅÒÛÉÎÙ, ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ ËÏÒÎÑ É ÌÉÓÔØÅ×, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ. îÕÌÅ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï | ÜÔÏ ÄÅÒÅ×Ï, ÎÅ ÉÍÅÀÝÅÅ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ. ëÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ T Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×ÏÍ T . ÷ Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å Ó ËÏÒÎÅÍ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÓÙÎÏ×ÅÊ, Á Ä×Á ÏÄÄÅÒÅ×Á ×ÅÒÛÉÎÙ v ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÌÅ×ÙÍ É ÒÁ×ÙÍ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑÍÉ, ÁÓÓÏÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ Ó v . ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÌÎÙÍ, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÌÉÓÔØÅ×, ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ Ï Ä×Á ÓÙÎÁ. çÌÕÂÉÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ T ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÌÉÎÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÍÁÒÛÒÕÔÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÇÏ ÅÅ Ó ËÏÒÎÅÍ. çÌÕÂÉÎÏÊ ÇÒÁÆÁ T ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÕÀ ÇÌÕÂÉÎÕ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË ä×ÏÉÞÎÙÅ ÄÅÒÅ×ØÑ Ó ËÏÒÎÅÍ ÏÞÅÎØ ÏÌÅÚÎÙ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ Ï ×ÙÂÏÒÅ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ï ×ÙÂÏÒÅ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÎÕÖÎÏ ËÌÁÓÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÔØ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÉÌÉ ×ÅÓÔÉ × ÎÉÈ ÏÉÓË. õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ, ÔÁËÉÅ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ, ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÉÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÒÏË ÌÉÔÅÒ, ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ (× ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ), ÍÏÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ × ×ÉÄÅ ×ÅÒÛÉÎ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ó ËÏÒÎÅÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÉÈ ÏÒÑÄËÏÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÓÔÒÅÍÉÍÓÑ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏÂÙ ÄÁÎÎÙÅ, ÓÔÏÑÝÉÅ × ÌÅ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÂÙÌÉ ÂÙ ÍÅÎØÛÅ ÄÁÎÎÙÈ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, Á ÄÁÎÎÙÅ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÒÁ×ÏÍ ÅÅ ÏÄÄÅÒÅ×Å | ÂÏÌØÛÅ. äÅÒÅ×Ï ÄÁÎÎÙÈ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕËÁÚÁÎÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ä×ÏÉÞÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÏÉÓËÁ . 166 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ îÁÒÉÍÅÒ, × ÄÅÒÅ×Å Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 7.26, ÓÌÏ×Á ÆÒÁÚÙ õ íïåçï ëïíðøàåòá åóø þéð îá íáåòéîóëïê ðìáå ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÙ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÓÌÏ×Ï × ÌÅ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ) ÓÌÏ×Õ, ÓÔÏÑÝÅÍÕ × ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, Á ËÁÖÄÏÅ ÓÌÏ×Ï ÅÅ ÒÁ×ÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ ÚÁ ÓÌÏ×ÏÍ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ. ðìáå íáåòéîóëïê õ íïåçï åóø ëïíðøàåòá þéð îá òÉÓÕÎÏË 7.26. äÅÒÅ×Ï Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ ðÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Ï ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ × ×ÉÄÅ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÉÓËÁ ËÁËÉÈ-ÔÏ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ, ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÎÏ×ÙÈ ÄÁÎÎÙÈ × ÄÅÒÅ×Ï É ÅÞÁÔÉ ×ÓÅÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊÓÑ × ÄÅÒÅ×Å × ×ÉÄÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÓÉÓËÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÈÒÁÎÉÔÓÑ ÓÉÓÏË ÓÔÕÄÅÎÔÏ× (ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ × ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ), × ËÏÔÏÒÏÍ ËÒÏÍÅ ÆÁÍÉÌÉÊ É ÉÍÅÎ ÉÍÅÀÔÓÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ×ÁÖÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÓÔÕÄÅÎÔÁÈ. äÏÕÓÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ×ÏÚÎÉËÌÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÎÁÊÔÉ ËÁËÕÀ-ÔÏ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ × ÓÉÓËÅ ÉÌÉ ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÎÏ×ÙÅ ÚÁÉÓÉ Ë ÓÉÓËÕ. íÙ ÓÅÊÞÁÓ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ Ó ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÀÔ ÏÉÓË ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÄÏÂÁ×ÌÑÀÔ ÎÏ×ÙÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× Ë ÓÉÓËÕ É ×Ù×ÏÄÑÔ ÎÁ ÅÞÁÔØ ×ÓÅ ÚÁÉÓÉ × ÁÌÆÁ×ÉÔÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. úÁÉÓÉ Ï ÓÔÕÄÅÎÔÁÈ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÙ × Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ (ËÁÖÄÁÑ ÚÁÉÓØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ), É ÎÁÛÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÂÕÄÕÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÙ ÜÔÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ É ËÏÒÎÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÂÕÄÕÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ÌÅ×ÙÅ É ÒÁ×ÙÅ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑ ×ÅÒÛÉÎ. þÔÏÂÙ ÜÔÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÉÉÓÁÔØ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÌÀÞ ÄÌÑ ÉÄÅÎÔÉÆÉËÁ ÉÉ É ÓÓÙÌÏË ÎÁ ÅÅ ÌÅ×ÏÅ É ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑ (× ÓÔÒÕËÔÕÒÁÈ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÜÔÉÈ ÅÌÅÊ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ Ä×ÁÖÄÙ Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ ÓÉÓËÉ). éÚ ×ÓÅÈ ËÌÀÞÅÊ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË 167 ÏÒÇÁÎÉÚÕÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï (× ÎÁÛÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÏÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÏ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ). áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÉÓËÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÄÁÎÎÁÑ ÚÁÉÓØ (ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ ) ×ÅÒÛÉÎÏÊ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å ÏÉÓËÁ, ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ Ó ËÌÀÞÏÍ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á, É, ÒÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÌÅ×ÏÍ ÉÌÉ ÒÁ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×ØÑÈ. ðÏÉÓË(ÄÅÒÅ×Ï) begin if ÄÅÒÅ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÅ then ÏÉÓË := ÌÏÖØ; else if ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ = ËÌÀÞ ËÏÒÎÑ then ÏÉÓË := ÉÓÔÉÎÁ; else if ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ < ËÌÀÞ ËÏÒÎÑ then ÏÉÓË := ÏÉÓË (ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï); else ÏÉÓË := ÏÉÓË (ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï); end úÁÄÁÞÁ 1. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁÄ Ä×ÏÉÞÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÏÉÓËÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. 7.27. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ËÌÀÞ ÏÉÓËÁ | ÂÕË×Á R, Á ËÌÀÞÉ ×ÅÒÛÉÎ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ R > K , ÔÏ ÏÉÓË ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å ×ÅÒÛÉÎÙ K . ÁË ËÁË R < T , ÒÏ ÅÓÓ ÏÉÓËÁ ÅÒÅËÌÀÞÁÅÔÓÑ ÎÁ ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ×ÅÒÛÉÎÙ T . îÁËÏÎÅ , ××ÉÄÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á R 6= M É ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ÏÄÄÅÒÅ×ØÅ× Õ ×ÅÒÛÉÎÙ M , ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ É ÓÏÏÂÝÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÎÅ ÂÙÌÁ ÎÁÊÄÅÎÁ. K T C M V òÉÓÕÎÏË 7.27. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ ×ÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÏ×ÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ (ËÌÀÞÉ ×ÓÔÁ×ÏË ) × Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ, ÓÏÚÄÁ×ÁÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÏ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÓÌÅ×Á ÉÌÉ ÓÒÁ×Á ÏÔ ÕÖÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÅÊ. üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, 168 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ËÌÀÞÉ ×ÅÒÛÉÎ × ÏÌÕÞÉ×ÛÅÍÓÑ ÄÅÒÅ×Å ÏÄÞÉÎÑÌÉÓØ ÕÓÔÁÎÏ×É×ÛÅÍÕÓÑ ÏÒÑÄËÕ. ÷ÓÔÁ×ËÁ(ÚÁÉÓØ, ÄÅÒÅ×Ï) begin if ÄÅÒÅ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÅ then ÄÏÂÁ×ÉÔØ ÎÏ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ; else if ËÌÀÞ ×ÓÔÁ×ËÉ = ËÌÀÞ ËÏÒÎÑ then ×Ù×ÅÓÔÉ ÎÁ ÅÞÁÔØ: ÚÁÉÓØ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÄÅÒÅ×Å; else end if ËÌÀÞ ×ÓÔÁ×ËÉ < ËÌÀÞ ËÏÒÎÑ then ×ÓÔÁ×ËÁ := ×ÓÔÁ×ËÁ(ÚÁÉÓØ; ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï); else ×ÓÔÁ×ËÁ := ×ÓÔÁ×ËÁ(ÚÁÉÓØ; ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï); úÁÄÁÞÁ 2. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÓÔÁ×ËÉ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ×ÅÒÛÉÎ R, A É L × ÄÅÒÅ×Ï ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 1. òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ R > K , ÍÙ ÒÉÍÅÎÑÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ Ë ÒÁ×ÏÍÕ ÏÄÄÅÒÅ×Õ ×ÅÒÛÉÎÙ K . äÁÌÅÅ ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ R < T . úÎÁ- ÞÉÔ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ ÅÒÅËÌÀÞÁÅÔÓÑ ÎÁ ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ×ÅÒÛÉÎÙ T . ÁË ËÁË R > M É ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï ×ÅÒÛÉÎÙ M ÎÕÌÅ×ÏÅ, ÔÏ ÍÙ ÓÔÁ×ÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ R ÓÒÁ×Á ÏÔ M É ÏÌÕÞÁÅÍ ÄÅÒÅ×Ï, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. 7.28. ÅÅÒØ ×ÓÔÁ×ÉÍ A É L, ÏÓÔÒÏÉ× ÄÅÒÅ×Ï, ÏËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. 7.29. K T C M V R òÉÓÕÎÏË 7.28. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÓÔÁ×ËÉ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÏÂÁ×ÌÑÑ ÎÏ×ÙÅ ÄÁÎÎÙÅ × ÕÄÏÂÎÏÍ ÄÌÑ ÎÁÓ ÏÒÑÄËÅ. îÁÒÉÍÅÒ, Ä×ÏÉÞÎÏÅ ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. óÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË 169 ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ ÎÁ ÒÉÓ. 7.26 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÓÔÁ×ËÉ Ë ÎÕÌÅ×ÏÍÕ ÄÅÒÅ×Õ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÓÌÏ× ÆÒÁÚÙ õ íïåçï ëïíðøàåòá åóø þéð îá íáåòéîóëïê ðìáå × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ × ÎÅÊ ÚÁÉÓÁÎÙ. K T C M A V R L òÉÓÕÎÏË 7.29. áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏÂÈÏÄÁ ×Ù×ÏÄÉÔ ÎÁ ÅÞÁÔØ ×ÓÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀÓÑ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å ÏÉÓËÁ, × ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÍ ÏÒÑÄËÅ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÅÒÅ×Á ÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ËÏÒÎÑ, ÅÞÁÔÁÅÔÓÑ ×ÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÌÅ×ÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á. úÁÔÅÍ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ÈÒÁÎÑÝÁÑÓÑ × ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, É ÎÁËÏÎÅ , ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÒÁ×ÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á. ðÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÂÈÏÄ(ÄÅÒÅ×Ï) begin if ÄÅÒÅ×Ï ÎÕÌÅ×ÏÅ then ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÄÅÌÁÔØ; else begin ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÂÈÏÄ(ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï); ÎÁÅÞÁÔÁÔØ ËÏÒÎÅ×ÏÊ ËÌÀÞ; ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÂÈÏÄ(ÒÁ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï); end end úÁÄÁÞÁ 3. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏÂÈÏÄÁ Ë ÄÅÒÅ×Õ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÍÕ × ÚÁÄÁÞÅ 2 ÏÓÌÅ ×ÓÔÁ×ËÉ R, A É L. òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁÄ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÉÓÏË: A; C; K; L; M; R; T ; V: 170 çÌÁ×Á 7. çÒÁÆÙ ïÎ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÂÈÏÄÕ ÄÅÒÅ×Á ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ (ÒÉÓ. 7.30) É ÅÞÁÔÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ, ËÁË ÔÏÌØËÏ ÷Ù ÒÏÛÌÉ ÏÄ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. K T C M A V R L òÉÓÕÎÏË 7.30. çìá÷á 8 ïòéåîéòï÷áîîùå çòáæù íÙ ×ÅÒ×ÙÅ ÓÔÏÌËÎÕÌÉÓØ Ó ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÇÒÁÆÁÍÉ × ÇÌÁ×Å 4 ÒÉ ÏÉÓÁÎÉÉ Ä×ÏÊÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÉÌÉ, ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ, ÏÒÇÒÁÆÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÉÔÕÁÉÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÅÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÍÅÖÄÕ ÏÂßÅËÔÁÍÉ. ÷ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÈÅÍÙ ÓÌÕÖÁÔ ÄÌÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÈÅÍ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÏËÏ×, ÓÅÔÅ×ÏÇÏ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÁÄÁÎÉÊ. ÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ÏÒÇÒÁÆÏ× É ÏÂÓÕÄÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ðåò. ðåò | ÜÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×Á ÒÁÚÒÁÂÏÔËÁÍÉ. îÁ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÅÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ PERT | ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅ ÏÔ Program Evaluation and Review Te hnique. ðåò ÂÙÌÁ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÁ ÄÌÑ ÏÍÏÝÉ × ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÏÄ×ÏÄÎÏÊ ÌÏÄËÉ ×ÏÅÎÎÏ-ÍÏÒÓËÏÇÏ ÆÌÏÔÁ óûá. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÇÌÁ×Ù ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÒÏÂÌÅÍÅ ÏÉÓËÁ ÕÔÅÊ × ÓÅÔÑÈ. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÕÔÅÊ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÔÒÉ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ (ÜÔÏ ÍÁÔÒÉ Ù ÚÁÍÙËÁÎÉÑ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ) ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÇÏ ÒÅÂÒÁÍÉ ÓÅÔÉ). ÷ § 8.2 ÏÉÓÁÎ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ËÁË ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ. üÔÉÍ ÍÙ, ÎÁËÏÎÅ , ÚÁ×ÅÒÛÉÍ ÒÁÂÏÔÕ, ÎÁÞÁÔÕÀ × § 4.2. äÁÌÅÅ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ × ÓÅÔÑÈ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÎÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÉÇÒÁÅÔ ÅÎÔÒÁÌØÎÕÀ ÒÏÌØ ÒÉ ÓÏÚÄÁÎÉÉ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÈ ÔÁÂÌÉ ÍÁÒÛÒÕÔÏ× × ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÅÔÑÈ. 8.1. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÉÌÉ ÏÒÇÒÁÆ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÁÒÕ G = (V; E ), ÇÄÅ V | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ , Á E | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ V . çÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÇÒÁÆÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ Ó ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ ÄÕÇÁÍÉ ), ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÍÉ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ. óÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÄÕÇ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï E . äÕÇÕ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÕÀ ÁÒÕ (u; v ) ×ÅÒÛÉÎ u É v ÏÒÇÒÁÆÁ G, ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ uv . ÷ ÒÏÓÔÏÍ ÏÒÇÒÁÆÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÅÔÌÉ É 172 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ËÒÁÔÎÙÅ ÄÕÇÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ u É v × ÏÒÇÒÁÆÅ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÄÕÇÉ uv ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ u × v , É ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÄÕÇÉ vu ÉÚ v × u. åÓÌÉ uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÔÏ u ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏÍ v . îÁ ÒÉÓ. 8.1 ÒÉ×ÅÄÅÎ ÒÉÍÅÒ ÒÏÓÔÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V = {a; b; ; d} É ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÕÇ E = {ab; bd; b; db; d }. òÉÓÕÎÏË 8.1. ðÒÉÍÅÒ ÏÒÇÒÁÆÁ íÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÌÕÖÉÔ (ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ) ÍÁÔÒÉ Á a a ì b   ì b é ì  ì é d ì é  d ì ì ì é  ì é   ì  ì (×ÅÒÛÉÎÙ a, É d ÚÄÅÓØ | ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÙ b). ðÕÔÅÍ ÄÌÉÎÙ k × ÏÒÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ vi−1 vi ËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÄÕÇÕ (i = 1; : : : ; k ). ëÏÎÔÕÒÏÍ × ÏÒÇÒÁÆÅ G ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ÏÂÒÁÚÕÀÝÕÀ ÕÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÅÒ×ÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ v0 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÓÌÅÄÎÅÊ vk , Á ÄÒÕÇÉÈ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÅÊ ÎÅÔ. ïÒÇÒÁÆ G ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÍ , ÅÓÌÉ × ÎÅÍ ÎÅÔ ËÏÎÔÕÒÏ×. âÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÅ ÏÒÇÒÁÆÙ ÏÌÅÚÎÙ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÏÄÅÌÅÊ ÓÉÔÕÁ ÉÊ, ÚÁÄÁÞÉ × ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ × ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍ ÏÒÑÄËÅ (ËÏÎÔÕÒ × ÔÁËÏÊ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÁ ÉÌÉ ÉÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔØÀ É ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÁÍÁ ÓÅÂÅ). ÷ ÚÁÄÁÞÅ Ï ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÚÁÄÁÎÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÉÍÅÅÔ ËÏÄÏ×ÏÅ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÁ ðåò. 8.1. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ 173 ðÒÉÍÅÒ 8.1. äÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ ÍÁÇÉÓÔÒÁ ÂÉÏÌÏÇÉÉ ÓÔÕÄÅÎÔÕ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏÓÌÕÛÁÔØ ×ÏÓÅÍØ ËÕÒÓÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. üÔÁ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÔÁÂÌ. 8.1. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÓÉÓÔÅÍÕ ðåò, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÕÀ ÒÉÏÒÉÔÅÔÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ËÕÒÓÏ×. ÁÂÌÉ Á 8.1 ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ ËÕÒÓÙ (A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) âÉÏÔÅÈÎÏÌÏÇÉÑ îÁÞÁÌØÎÙÊ ËÕÒÓ ÂÉÏÔÅÈÎÏÌÏÇÉÉ ãÉÔÏÌÏÇÉÑ óÔÒÕËÔÕÒÁ äîë üÎÚÉÍÏÌÏÇÉÑ äÉÅÔÏÌÏÇÉÑ çÅÎÎÁÑ ÉÎÖÅÎÅÒÉÑ âÉÏÌÏÇÉÑ ÞÅÌÏ×ÅËÁ B C H C D, G E C îÉËÁËÉÈ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ òÅÛÅÎÉÅ. óÉÓÔÅÍÁ ðåò (ÓÍ. ÒÉÓ. 8.2) | ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÏÒÇÒÁÆ, ÒÅÄ- ÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÄÁÎÎÕÀ ÒÉÏÒÉÔÅÔÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ. ÷ÅÒÛÉÎÙ ÏÒÇÒÁÆÁ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ×ÏÓÅÍØ ËÕÒÓÏ×. äÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÓÓÙÌÏË ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÕÒÓÙ ÂÕË×ÁÍÉ ÌÁÔÉÎÓËÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÏÔ A ÄÏ H. äÕÇÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÏÔÒÁÖÁÀÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ × ÔÁÂÌÉ Å ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÕÓ×ÏÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ. òÉÓÕÎÏË 8.2. óÉÓÔÅÍÁ ðåò: ÒÉÏÒÅÔÅÔÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ËÕÒÓÏ× ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÕÄÅÎÔ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 8.1 ÎÁÍÅÒÅÎ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÅÍÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚÕÞÁÔØ ÒÅÄÍÅÔÙ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÉÈ 174 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ. ïÎ ÍÏÖÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ . áÌÇÏÒÉÔÍ ÓÏÚÄÁÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ 1, 2, 3, . . . , n | ÍÅÔËÉ ×ÅÒÛÉÎ É uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÄÕÝÁÑ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ u Ó ÍÅÔËÏÊ i Ë ×ÅÒÛÉÎÅ v Ó ÍÅÔËÏÊ j , ÔÏ i < j . áÌÇÏÒÉÔÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ G = (V; E ). ÷ ÓÁÍÏÍ ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A(v ). begin for v ∈ V do ×ÙÞÉÓÌÉÔØ A(v ); label := 0; whileÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ A(v ) = ∅ do begin label := 1; u := ×ÅÒÛÉÎÁ Ó A(u) = ∅; ÒÉÓ×ÏÉÔØ ÍÅÔËÕ ×ÅÒÛÉÎÅ u; for ËÁÖÄÏÊ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v ∈ V do; A(v ) := A(v ) \ {u}; end end áÌÇÏÒÉÔÍ ÕÓÅÛÎÏ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔ ÍÅÔËÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍ. ëÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÏÌÕÞÁÅÔ ÏÞÅÒÅÄÎÕÀ ÍÅÔËÕ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ Õ ÎÅÅ ÎÅÔ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×. ðÒÉÍÅÒ 8.2. îÁÊÄÉÔÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÅÔÏË ÄÌÑ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÚÏ- ÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.2. òÅÛÅÎÉÅ. ûÁÇ 0 ûÁÇ 1 ûÁÇ 2 íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ× ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: A(A) = {B}, A(B) = {C}, A(C) = {H}, A(D) = {C}, A(E) = {D; G}, A(F) = {E}, A(G) = {C} É A(H) = ∅. ðÅÒ×ÙÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÉÔØ ÍÅÔËÕ 1 ×ÅÒÛÉÎÅ H É ÕÄÁÌÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ H ÉÚ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× A(v ). A(A) = {B}, A(B) = {C}, A(C) = ∅, A(D) = {C}, A(E) = {D; G}, A(F) = {E} É A(G) = {C}. ÷ÔÏÒÏÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÉÔØ ÍÅÔËÕ 2 ×ÅÒÛÉÎÅ C É ÕÄÁÌÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ C ÉÚ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× A(v ). 8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ ûÁÇ 3 ûÁÇ 4 175 A(A) = {B}, A(B) = ∅, A(D) = ∅, A(E) = {D; G}, A(F) = {E} É A(G) = ∅. ÒÅÔÉÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. ÅÅÒØ Õ ÎÁÓ ÏÑ×ÉÌÓÑ ×ÙÂÏÒ: ËÁËÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÒÉÓ×ÏÉÔØ ÏÞÅÒÅÄÎÕÀ ÍÅÔËÕ? ÷ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÎÁÛÅÇÏ ×ÙÂÏÒÁ, ÏÌÕÞÁÔÓÑ ÒÁÚÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÅÔÏË. ðÒÉÓ×ÏÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÅÔËÕ 3 ×ÅÒÛÉÎÅ B, É ÕÄÁÌÉÍ B ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× A(v ). A(A) = ∅, A(D) = ∅, A(E) = {D; G}, A(F) = {E} É A(G) = ∅. þÅÔ×ÅÒÔÙÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. íÙ ÓÎÏ×Á ÓÔÏÉÍ ÅÒÅÄ ×ÙÂÏÒÏÍ. îÁÚÎÁÞÉÍ ÍÅÔËÕ 4 ×ÅÒÛÉÎÅ A É ÕÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ A ÉÚ A(v ). A(D) = ∅, A(E) = {D; G}, A(F) = {E} É A(G) = ∅. ûÁÇ 5 ðÑÔÙÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÉÍ ÍÅÔËÕ 5 ×ÅÒÛÉÎÅ D É ÕÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ D ÉÚ A(v ). A(E) = {G}, A(F) = {E} É A(G) = ∅. ûÁÇ 6 ûÅÓÔÏÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÉÍ ÍÅÔËÕ 6 ×ÅÒÛÉÎÅ G É ÕÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ G ÉÚ A(v ). A(E) = ∅, É A(F) = ∅. ûÁÇ 7 óÅÄØÍÏÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÁÅÍ ÍÅÔËÕ 7 ×ÅÒÛÉÎÅ E É ÕÄÁÌÑÅÍ E ÉÚ ÓÉÓËÁ A(v ). ïÓÔÁÎÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ A(F) = ∅. ûÁÇ 8 ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÏÈÏÄ ÛÉÎÅ F. ÉËÌÁ while. îÁÚÎÁÞÁÅÍ ÍÅÔËÕ 8 ×ÅÒ- éÔÁË, ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÉÏÒÉÔÅÔÎÙÈ ÓÉÓËÏ×: H, C, B, A, D, G, E, F. ïÎ ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÏÒÑÄÏË, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÏÖÎÏ ÉÚÕÞÁÔØ ËÕÒÓÙ, ÓÏÂÌÀÄÁÑ ÄÏÌÖÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. 8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÕÓÅÛÎÏ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÓÈÅÍÁÔÉÞÎÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÁÜÒÏÌÉÎÉÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÇÏÒÏÄÁ ×ÓÅÇÏ ÍÉÒÁ, ÉÌÉ ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÅÔÅÊ ÍÅÖÄÕ ËÏÍØÀÔÅÒÁÍÉ. ÷ ÔÁËÉÈ ÓÅÔÑÈ ×ÁÖÎÏ ÚÎÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÙËÌÀÞÅÎÉÊ ÌÀÂÏÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ (ÄÕÇÉ ÉÌÉ ×ÅÒÛÉÎÙ) Ï ×ÓÅÊ ÓÅÔÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÓÁÍÏÌÅÔ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÉÚÅÍÌÉÔØÓÑ ÄÌÑ ÄÏÚÁÒÁ×ËÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÇÏÒÏÄÅ ×ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÎÅÂÌÁÇÏÒÉÑÔÎÙÈ ÏÇÏÄÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ÔÏ ÏÛÉÂËÁ × ÅÇÏ ÅÒÅÁÄÒÅÓÁ ÉÉ ÇÒÏÚÉÔ ËÁÔÁÓÔÒÏÆÏÊ: ÅÍÕ ÍÏÖÅÔ ÎÅ È×ÁÔÉÔØ ÇÏÒÀÞÅÇÏ ÄÌÑ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏ ÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÇÏ ÁÜÒÏÏÒÔÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÏÄÎÁ ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÅÅÊ × ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÓÅÔÉ ÎÅ ÒÁÂÏÔÁÀÔ, ÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÌØÚÏ×ÁÔÅÌÅÊ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÓÅÒ×ÅÒÙ ÍÏÇÕÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅÄÏÓÔÕÎÙÍÉ. 176 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÚÁÄÁÞÅ Ï ÏÉÓËÅ ÕÔÅÊ ÍÅÖÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÁÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎ × ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÏÒÇÒÁÆ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ, Á M | ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÂÕË×ÏÊ é ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÎÁÌÉÞÉÅ ÄÕÇÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i Ë ×ÅÒÛÉÎÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ j . äÕÇÁ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÔÅÍ ÄÌÉÎÙ 1. âÕÌÅ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù M Ó ÓÁÍÏÊ ÓÏÂÏÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ M 2 . ÷ ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Å ÂÕË×Á é ÓÉÍ×ÏÌÉÚÉÒÕÅÔ ÎÁÌÉÞÉÅ ÕÔÉ ÄÌÉÎÙ 2. ðÏ ÍÁÔÒÉ Å M 3 = M · M · M ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÓÅ ÕÔÉ ÄÌÉÎÙ 3, É ×ÏÏÂÝÅ, ÍÁÔÒÉ Á M k ÈÒÁÎÉÔ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÕÔÑÈ ÄÌÉÎÙ k . îÁËÏÎÅ , × ÍÁÔÒÉ Å ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ M ∗ = M ÉÌÉ M 2 ÉÌÉ : : : ÉÌÉ M n ÚÁÉÓÁÎÙ ÕÔÉ ÌÀÂÏÊ ÄÌÉÎÙ ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. åÓÌÉ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ Ä×Å ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ, ÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÍÁÔÒÉ Á, ÞØÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ | ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ Ë ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ Ä×ÕÈ ÄÁÎÎÙÈ ÍÁÔÒÉ . âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ,     a11 a12 : : : a1(n−1) a1n b11 b12 : : : b1(n−1) b1n  a21 a22 : : : a2(n−1) a2n      ÉÌÉ  b21 b22 : : : b2(n−1) b2n  =  ::: ::: :::  ::: ::: ::: ::: :::  ::: :::  am1 am2 : : : am(n−1) amn a11 ÉÌÉ b11  a21 ÉÌÉ b21 =  ::: am1 ÉÌÉ bm1  bm1 bm2 : : : bm(n−1) bmn a12 ÉÌÉ b12 a22 ÉÌÉ b22 ::: am2 ÉÌÉ bm2 ::: ::: ::: ::: a1n ÉÌÉ b1n a2n ÉÌÉ b2n  :  ::: amn ÉÌÉ bmn  íÁÔÒÉ Á ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G = (V; E ) ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ E ∗ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ E ÎÁ ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÏÒÇÒÁÆÁ G. ðÒÉÍÅÒ 8.3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÒÅÄÓÔÁ- ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.3. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÎÁÉÛÅÍ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ. ì  ì M =  ì ì  é ì ì ì ì é ì é  ì é  : ì  ì 8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ a b c d 177 òÉÓÕÎÏË 8.3. ë×ÁÄÒÁÔ ÍÁÔÒÉ Ù M ÒÁ×ÅÎ    ì é ì ì ì    ì ì é é   ì M2 =   ì ì ì ì · ì ì ì é ì ì é ì ì ì ì é ì é   ì ì ì  ì ì é  = ì   ì ì ì ì ì é é ì ì  é ì  : ì  ì úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÂÕË×Á é × ÍÁÔÒÉ Å M 2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÔÑÍ ÄÌÉÎÙ 2 × ÏÒÇÒÁÆÅ G, Á ÉÍÅÎÎÏ: a b , a b d É b d . äÁÌØÎÅÊÛÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÔÒÅÔØÅÊ É ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÅÅÎÑÍ ÍÁÔÒÉ Ù M .     ì ì é ì ì ì ì ì  ì ì ì ì   ì ì ì ì     É M3 =   ì ì ì ì   ì ì ì ì : ì ì ì ì ì ì ì ì óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ì  ì M∗ =   ì ì  é ì ì ì é é ì é  é é  : ì  ì ïÔÍÅÔÉÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ ÂÕË×Á é × ×ÅÒÈÎÅÍ ÒÁ×ÏÍ ÕÇÌÕ ÍÁÔÒÉÙ M ∗ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ù M 2 É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÔÉ a b d. äÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ ÏÒÇÒÁÆÏ× ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù M ∗ Ó ÏÍÏÝØÀ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ M ×ÓÅ × ÂÏÌØÛÕÀ ÓÔÅÅÎØ ÕÔÏÍÉÔÅÌØÎÏ É ÎÅÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ. âÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÙÊ ÕÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ M ∗ ÄÁÅÔ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÏÒÇÒÁÆ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ v1 ; v2 ; : : : ; vn . áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ W0 = M , W1 , W2 , . . . , Wn , ÒÉÞÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÁÔÒÉ Ù Wk (k > 1), ÓÔÏÑÝÉÊ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÇÏ ÓÔÏÌÂ Á Wk (i; j ), ÒÁ×ÅÎ é × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ (ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ) ÉÚ 178 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ×ÅÒÛÉÎÙ vi × ×ÅÒÛÉÎÕ vj Ó ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {v1 ; v2 ; : : : ; vk }. íÁÔÒÉ Á W0 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÏÒÇÒÁÆÁ, Á Wn | ÉÓËÏÍÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ M ∗ . õÄÁÞÎÏÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÉËÌÁ for ÒÉÄÁÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÏÓÏÂÅÎÎÏÅ ÉÚÑÝÅÓÔ×Ï. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÅ ÒÏÈÏÄÙ ÜÔÏÇÏ ÉËÌÁ (ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÉÎÄÅËÓÏÍ k ) ×ÙÞÉÓÌÑÀÔ ÍÁÔÒÉ Ù W1 , W2 , . . . , Wn . áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ. üÔÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ W = M ∗ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G = (V; E ) Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M . begin W := M ; for k = 1 to n do for i = 1 to n do for j = 1 to n do W (i; j ) = W (i; j ) ÉÌÉ W (i; k ) É W (k; j ) ; end äÌÑ ÌÕÞÛÅÇÏ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ õÏÒÛÅÌÌÁ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ Ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ ×ÒÕÞÎÕÀ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÏÒÇÒÁÆÁ. ó ÜÔÏÊ ÅÌØÀ ÏÌÅÚÎÏ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ Ï ÛÁÇÁÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. úÁ ËÁÖÄÙÊ ÒÏÈÏÄ ÉËÌÁ (ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉÎÄÅËÓÏÍ k ) ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ Wk , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÍÁÔÒÉ Ù Wk−1 . þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ i-ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk , ÎÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ: Wk−1 (i; j ) ÉÌÉ Wk−1 (i; k ) É Wk−1 (k; j ) (1) ÒÉ ÒÁÚÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ j . åÓÌÉ Wk−1 (i; k ) = ì, ÔÏ Wk−1 (i; k ) É Wk−1 (k; j ) = ì, É ÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (1) ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ Wk−1 (i; j ). éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, i-ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÎÅÉÚÍÅÎÎÏÊ . ÷ ÔÏÍ ÖÅ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ Wk−1 (i; k ) = é, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (1) Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ Wk−1 (i; k ) É Wk−1 (k; j ) . ðÒÉ ÜÔÏÍ i-ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ ÉÚ ÔÅËÕÝÅÊ ÓÔÒÏËÉ i É ÔÅËÕÝÅÊ ÓÔÒÏËÉ k . çÏ×ÏÒÑ ÂÏÌÅÅ ÁËËÕÒÁÔÎÏ, ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ Wk ÏÓÔÕÁÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. 1. âÅÒÅÍ k -ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù Wk−1 . 2. óÔÒÏËÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i (i = 1; : : : ; n), Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ ì, ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ × i-ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk . 8.2. ðÕÔÉ × ÏÒÇÒÁÆÁÈ 179 3. óÔÒÏËÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i (i = 1; : : : ; n), Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ é, ÓÁÒÉ×ÁÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ Ó k -ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ, Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ × i-ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk . ðÒÉÍÅÒ 8.4. ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ õÏÒÛÅÌÌÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.4. 3 2 4 5 1 òÉÓÕÎÏË 8.4. òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á W0 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ.    W0 =    ì ì é ì é é ì ì ì ì ì é ì ì é ì ì é ì ì ì ì ì ì ì    :   ÅÅÒØ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ W1 . õÞÉÔÙ×ÁÑ ÅÒ×ÙÊ ÛÁÇ, ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ 1-ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W0 . óÌÅÄÕÑ ÕËÁÚÁÎÉÑÍ ÛÁÇÁ 2, ÓËÏÉÒÕÅÍ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W0 Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 1, 2 É 4 × ÍÁÔÒÉ Õ W1 ÎÁ ÔÅ ÖÅ ÍÅÓÔÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,   ì é ì ì ì  ì ì é ì ì    : ? ? ? ? ? W1 =     ì ì ì ì ì  ? ? ? ? ? äÁÌÅÅ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÛÁÇÕ 3, ÓÔÒÏËÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 3 ÍÁÔÒÉ Ù W1 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ ÉÚ 1-ÏÊ É 3-ÅÊ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù W0 . ðÏÜÔÏÍÕ   ì é ì ì ì  ì ì é ì ì     W1 =   é é ì é ì :  ì ì ì ì ì  ? ? ? ? ? 180 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ïÑÔØ ÒÉÍÅÎÑÅÍ ÛÁÇ 3 ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ 5-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W1 Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ, ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÊ Ë 5-ÏÊ É 1-ÏÊ ÓÔÒÏËÁÍ ÍÁÔÒÉ Ù W0 . ðÏÌÕÞÁÅÍ   ì é ì ì ì  ì ì é ì ì     W1 =   é é ì é ì :  ì ì ì ì ì  é é é ì ì íÁÔÒÉ Á W1 ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ. ÅÅÒØ ÓÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ W2 , Ï ÍÁÔÒÉÅ W1 . ÷ÚÇÌÑÄ ÎÁ 2-ÏÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W1 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÔÒÏËÉ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 2 É 4 ËÏÉÒÕÀÔÓÑ × W2 . ðÅÒ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÍÁÔÒÉ Ù W2 | ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ Ë 1-ÏÊ É 2-ÏÊ ÓÔÒÏËÁÍ ÉÚ W1 . ÒÅÔØÑ ÓÔÒÏËÁ × W2 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÁÒÉ×ÁÎÉÅÍ 3-ÅÊ É 2-ÏÊ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù W1 . é, ÎÁËÏÎÅ , ÑÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ W2 | ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ, ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÊ Ë 5-ÏÊ É 2-ÏÊ ÓÔÒÏËÁÍ W1 . úÎÁÞÉÔ,   ì é é ì ì  ì ì é ì ì    : é é é é ì W2 =     ì ì ì ì ì  é é é ì ì ïÔÍÅÔÉÍ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ 3-ÅÊ ÓÔÒÏËÉ É 3-ÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÍÁÔÒÉ Ù W2 ÓÔÏÉÔ ÂÕË×Á é. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÔÕÒ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÊÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÊÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÅ 3, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ÏÄÎÕ ÉÌÉ ÏÂÅ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 1 É 2. ðÏÓÍÏÔÒÅ× ÎÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÒÇÒÁÆÁ (ÒÉÓ. 8.4), ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÔÕÒ ÄÌÉÎÙ 3: 3 1 2 3. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ Á W3 .   é é é é ì  é é é é ì     W3 =   é é é é ì :  ì ì ì ì ì  é é é é ì ðÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ 4 ÎÅ ×ÙÈÏÄÉÔ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÄÕÇÉ, ÔÏ ÍÙ ÎÅ ÓÍÏÖÅÍ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÕÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÇÏ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ 4. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÁÔÒÉ Á W4 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó W3 . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÏÒÇÒÁÆÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÄÕÇÉ, ×ÅÄÕÝÉÅ × ×ÅÒÛÉÎÕ 5. úÎÁÞÉÔ ÎÅÔ É ÕÔÅÊ, ÞÅÒÅÚ ÎÅÅ ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ, Ô. Å. W5 = W4 . îÁËÏÎÅ , W5 = M ∗ , ÏÓËÏÌØËÕ ÇÒÁÆ ÓÏÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÑÔÉ ×ÅÒÛÉÎ. 181 8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ 8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ þÔÏÂÙ ÏÄÇÏÔÏ×ÉÔØ ÔÅÈÎÉËÕ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å, ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÁÄÁÞÕ ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÅÇÏ ÁÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÏÒÇÒÁÆÅ. óÌÏ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÚÄÅÓØ ×ÏÌÎÅ ÕÍÅÓÔÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ×ÅÓÁ × ÏÒÇÒÁÆÅ | ÜÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÕÎËÔÁÍÉ. ÉÉÞÎÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÄÅÌÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÍ ÏÒÇÒÁÆÏÍ, ÜÔÏ ÔÒÁÎÓÏÒÔÎÁÑ ÓÅÔØ (Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÔÏ×ÁÒÙ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÇÏÒÏÄÁ × ÇÏÒÏÄ) É ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÁÑ ÓÅÔØ (Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÅÒÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÎÁ ÒÉÓ. 8.5. ïÎ ÍÏÖÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÉÎÙ ÄÏÒÏÇ × ÍÉÌÑÈ ÍÅÖÄÕ ÛÅÓÔØÀ ÄÅÒÅ×ÎÑÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ × ÜÔÏÍ ÇÒÁÆÅ ÎÅ×ÅÌÉËÏ, ÔÏ ÅÒÅÂÒÁÔØ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÕÔÉ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÏÊ ÁÒÏÊ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÎÁÍ ×ÏÌÎÅ Ï ÓÉÌÁÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÉÊ ÕÔØ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÅÒÅ×ÎÉ. ÷ ÒÅÁÌØÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÊ × ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÁÓÔÏÌØËÏ ×ÅÌÉËÏ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÕÒÏÝÅÎÎÙÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÏÉÓËÕ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ ÓÌÉÛËÏÍ ÎÅÜÆÆÅËÔÉ×ÅÎ. 1 B C 5 2 4 F A 1 3 D E 2 òÉÓÕÎÏË 8.5. îÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ, ÎÏ ÍÙ ÏÚÎÁËÏÍÉÍÓÑ ÔÏÌØËÏ Ó ÏÄÎÉÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ äÅÊËÓÔÒÙ . ðÅÒÅÄ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÙ ÏÉÛÅÍ ÅÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ É ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁ ÎÁÛÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A Ë ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÏÒÇÒÁÆÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 8.5). ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ | ÜÔÏ ÕÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. ïÂ- 182 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÝÉÊ ×ÅÓ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ ×ÅÓÏ× ×ÓÅÈ ÄÕÇ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÕÔØ. ïÂÝÉÊ ×ÅÓ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ, ×ÅÄÕÝÅÇÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ u × ×ÅÒÛÉÎÕ v , ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÏÔ u ÄÏ v . ïÒÅÄÅÌÉÍ ×ÅÓÏ×ÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ w, ÞØÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ w(u; v ) ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ   0; w(u; v ) = ∞;   d; ÅÓÌÉ u = v; ÅÓÌÉ u É v ÎÅ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÄÕÇÏÊ, ÅÓÌÉ uv | ÄÕÇÁ ×ÅÓÁ d: äÌÑ ÎÁÛÅÇÏ ÇÒÁÆÁ ×ÅÓÏ×ÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: A B C w= D E F         A B C D E F 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 0 ∞ ∞ ∞  3 ∞ ∞ ∞ 4 ∞   ∞ ∞ 5  : 0 2 ∞   ∞ 0 1  ∞ ∞ 0 ÷ ÔÅÞÅÎÉÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ v ÏÒÇÒÁÆÁ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ d[v ℄, ÒÁ×ÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÀ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A ÄÏ v . ðÅÒÅÄ ÎÁÞÁÌÏÍ ÒÁÂÏÔÙ d[v ℄ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÅÓÏÍ ÄÕÇÉ (A; v ), ÅÓÌÉ ÔÁËÁÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ ∞ × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÒÏÈÏÄÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÒÇÒÁÆÁ É ÕÔÏÞÎÑÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄. îÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÔÍÅÞÁÅÔÓÑ ÏÄÎÁ ×ÅÒÛÉÎÁ u, ÄÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÖÅ ÎÁÊÄÅÎ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÏÔ A É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d[u℄ ÄÏ ÎÅÅ. äÁÌÅÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ d[u℄ ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ. äÌÑ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ, ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ v , ÞÉÓÌÏ d[v ℄ ÂÕÄÅÔ ÍÅÎÑÅÔÓÑ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÙÊ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÄÏ ÎÉÈ ÏÔ A ÂÕÄÅÔ ÒÏÈÏÄÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÏÔÍÅÞÅÎÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ u. áÌÇÏÒÉÔÍ ÚÁ×ÅÒÛÉÔÓÑ × ÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÂÕÄÕÔ ÏÔÍÅÞÅÎÙ É ÏÌÕÞÁÔ Ó×ÏÉ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÛÁÇÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ÎÉÖÅ, × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÔÁÂÌ. 8.2 ÚÁÎÏÓÉÔÓÑ ÏÔÍÅÞÅÎÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ, ÔÅËÕÝÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄ É ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÌÕÖÉÒÎÙÍ ÛÒÉÆÔÏÍ ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ d[v ℄ ÓÒÅÄÉ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÔÁÂÌÉ Å ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄ ÄÌÑ ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÔÄÅÌÅÎÙ ÏÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÌÏÍÁÎÏÊ ÌÉÎÉÅÊ. 8.3. ëÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ 183 ÁÂÌÉ Á 8.2 ûÁÇ 0 1 2 3 4 5 ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ A B D C E F òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ A B C D E F îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ 0 0 2 ∞ 3 ∞ ∞ B; C; D; E; F 2 3 3 6 ∞ C; D; E; F 0 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 3 3 5 ∞ C; E; F 5 8 E; F 5 5 6 F 3 3 3 6 ûÁÇ 0 ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÍÓÑ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÍÉ ÕÔÑÍÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A, ÍÙ ÅÅ ÏÔÍÅÞÁÅÍ É ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ×ÅÓÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù w ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ d[v ℄. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÅÒ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÔÁÂÌÉ Ù. îÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ×ÓÅÈ d[v ℄ ÄÌÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ | ÜÔÏ d[B ℄ = 2. ûÁÇ 1 ïÔÍÅÞÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ B, ÔÁË ËÁË ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÌÉÖÁÊÛÅÊ Ë A. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÄÌÉÎÙ ÕÔÅÊ, ×ÅÄÕÝÉÈ ÏÔ A Ë ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ B . åÓÌÉ ÎÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÍÅÎØÛÅ ÓÔÁÒÙÈ, ÔÏ ÍÅÎÑÅÍ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÎÁ ÎÏ×ÙÅ. éÔÁË, ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÏÈÏÄÅ ÉËÌÁ ÕÔØ A B C ÉÍÅÅÔ ×ÅÓ 3, Á ÕÔØ A B E | 6, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÓÔÁÒÙÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÄÏ ÜÔÉÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÔ A ÂÙÌÉ ∞. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÁÏÌÎÑÑ ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÔÁÂÌÉ Ù, ÍÙ ÚÁÍÅÎÉÍ d[C ℄ ÎÁ 3 É d[E ℄ ÎÁ 6. ûÁÇ 2 éÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ, ×ÅÒÛÉÎÙ C É D ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÂÌÉÖÅ ×ÓÅÈ Ë A. ïÔÍÅÔÉÔØ ÍÏÖÎÏ ÌÀÂÕÀ ÉÚ ÎÉÈ. ÷ÏÚØÍÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ D . ÁË ËÁË ÄÌÉÎÁ ÕÔÉ A D E ÒÁ×ÎÁ 5, ÔÅËÕÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ d[E ℄ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÍÅÎØÛÉÔØ ÄÏ 5. ÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÚÁÏÌÎÉÔØ ÔÒÅÔØÀ ÓÔÒÏÞËÕ ÔÁÂÌÉ Ù. îÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ d[v ℄ ÓÒÅÄÉ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÈ Ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ×ÅÒÛÉÎ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ C . ûÁÇ 3 ïÔÍÅÞÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ C É ÏÄÒÁ×ÌÑÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ d[v ℄. ÅÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÄÏÊÔÉ É ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ F , ÓÌÅÄÕÑ ÕÔÅÍ A B C F . åÇÏ ÄÌÉÎÁ, Á ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ É ÚÎÁÞÅÎÉÅ d[F ℄, ÒÁ×ÎÙ 8. ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ÏÓÔÁÌÉÓØ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍÉ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ: E É F . ûÁÇ 4 íÙ ÏÔÍÅÞÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ E , ÞÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÍ ÕÍÅÎØÛÉÔØ ×ÅÌÉÞÉÎÕ d[F ℄ Ó 8 ÄÏ 6. ûÁÇ 5 ïÔÍÅÞÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ F . 184 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ áÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ. ðÕÓÔØ (V; E ) | ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, É A | ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A ÄÏ ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v É ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔ ÅÇÏ ÄÌÉÎÕ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ d[v ℄. äÌÑ ×ÅÒÛÉÎ u É v ÞÅÒÅÚ w(u; v ) ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ×ÅÓ ÄÕÇÉ uv , Á × ÓÉÓËÅ PATHTO(v ) ÅÒÅÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÙ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ ÏÔ A ÄÏ v . begin for ËÁÖÄÏÊ v ∈ V do begin d[v ℄ := w(A; v ); PATHTO(v ) := A; end ïÔÍÅÔÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ A; while ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ do begin u := ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÏÔ A; ïÔÍÅÔÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ u; for ËÁÖÄÏÊ ÎÅÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ v Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ uv ∈ E do begin d′ := d[u℄ + w(u; v ) if d′ < d[v ℄ then begin d[v ℄ := d′ ; PATHTO(v ) := PATHTO(u); v ; end end end end îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 8 8.1. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÏÒÇÒÁÆ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ {1; 2; 3; 4; 5; 6} É ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ       é é ì é ì ì ì ì é ì ì é ì é é ì ì é é ì ì é é é ì ì é é ì é ì é ì é é ì    :   îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 8 185 ðÒÅÄÏÌÏÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÅÓ ËÁÖÄÏÊ ÄÕÇÉ ÒÁ×ÅÎ 1 É ÎÁÊÄÉÔÅ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) (Á) ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ (ÕÔÉ) ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 1 ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 2; (Â) ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ (ÕÔÉ) ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 3 ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 6; (×) ËÏÎÔÕÒ ÄÌÉÎÙ 5. 8.2. ðÏÌÕÓÔÅÅÎØÀ ÉÓÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÏÒÇÒÁÆÁ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ ÄÕÇ Æ + (v ) ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÓÈÏÄÑÝÉÈ ÉÚ v , Á ÏÌÕÓÔÅÅÎØÀ ÚÁÈÏÄÁ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÞÉÓÌÏ ÄÕÇ Æ − (v ), ÚÁÈÏÄÑÝÉÈ × ÎÅÅ. ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ÏÞÅÍÕ ÏÂÅ ÓÕÍÍÙ | ÏÌÕÓÔÅÅÎÅÊ ÉÓÈÏÄÁ É ÏÌÕÓÔÅÅÎÅÊ ÚÁÈÏÄÁ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ | ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÅÇÏ ÄÕÇ. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÞÉÓÌÅ ÂÕË× é × ÌÀÂÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ? á ËÁË ÒÏÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ÉÈ ÞÉÓÌÏ × ÌÀÂÏÍ ÓÔÏÌÂ Å? 8.3. ó×ÑÚÎÙÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÏÒÇÒÁÆ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ, ÅÓÌÉ ÚÁÂÙÔØ ÒÏ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ ÄÕÇ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÙ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ, ×ÅÄÕÝÉÊ ÉÚ ÅÒ×ÏÊ ×Ï ×ÔÏÒÕÀ, ÔÏ ÔÁËÏÊ ÏÒÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ . (Á) ïÒÅÄÅÌÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ Ó×ÑÚÎÙÈ ÏÒÇÒÁÆÏ×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓ. 8.6, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍÉ. òÉÓÕÎÏË 8.6. ó×ÑÚÎÙÅ ÏÒÇÒÁÆÙ (Â) ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ËÁË ÎÕÖÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ÒÅÂÒÁ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÇÒÁÆÁ (Ô. Å. ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÒÅÂÒÅ ÓÔÒÅÌËÕ, ÒÅ×ÒÁÔÉ× ÅÅ × ÄÕÇÕ), ÞÔÏÂÙ ÉÚ ÎÅÇÏ ÏÌÕÞÉÌÓÑ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ. 186 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ (×) ïÂßÑÓÎÉÔÅ ×ÁÖÎÏÓÔØ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ: ÏÒÇÒÁÆ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÄÎÏÓÔÏÒÏÎÎÉÈ ÄÏÒÏÇ × ÇÏÒÏÄÅ, ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ. 8.4. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ Ë (Á ÉË- ÌÉÞÎÏÍÕ) ÏÒÇÒÁÆÕ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ: a b a ì b  é  ì ì é ì ì ì   ì  d   ì e  ì f ì ì ì ì ì ì ì d e f é ì ì ì é ì ì ì é ì ì ì ì é ì é é ì     :    îÁÉÛÉÔÅ ÎÏ×ÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ËÏÔÏÒÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÎÏ×ÙÍÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ×ÅÒÛÉÎ. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÎÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Å? þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÖÉÄÁÔØ ÏÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ × ÓÌÕÞÁÅ ÏÒÇÒÁÆÁ ÉÚ ÕÒ. 8.1? 8.5. ÷ ÔÁÂÌ. 8.3 ÒÉ×ÅÄÅÎ ÓÉÓÏË ÄÅÊÓÔ×ÉÊ Ï ÒÉÇÏÔÏ×ÌÅÎÉÀ Ù- ÌÅÎËÁ Ó ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ ÒÉÏÒÉÔÅÔÁÍÉ. õÏÒÑÄÏÞÉÔÅ ÓÉÓÏË ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÏÒÉÔÅÔÁÍ. ÁÂÌÉ Á 8.3 ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ úÁÄÁÎÉÑ á â ÷ ç ä å ö äÏÂÁ×ÉÔØ ÌÕË Ë ÙÌÅÎËÕ ÷ÙÍÙÔØ ÓÁÌÁÔ-ÌÁÔÕË ðÒÉÇÏÔÏ×ÉÔØ ÓÁÌÁÔÎÕÀ ÚÁÒÁ×ËÕ ðÅÒÅÍÅÛÁÔØ ÖÁÒËÏÅ ðÅÒÅÍÅÛÁÔØ ÓÁÌÁÔ òÁÚÒÅÚÁÔØ ÙÌÅÎËÁ òÁÓÔÅÒÅÔØ ÉÍÂÉÒØ ú é ë ðÏÄÁÔØ ÇÏÔÏ×ÏÅ ÂÌÀÄÏ úÁÍÁÒÉÎÏ×ÁÔØ ÙÌÅÎËÁ ðÏÓÔÁ×ÉÔØ ËÁÚÁÎÏË ÎÁ ÏÇÏÎØ ì ðÒÉÇÏÔÏ×ÉÔØ ÒÉÓ é ì ì ë â, ÷ ÎÉËÁËÉÈ é é å á, ö, ú, ì ÎÉËÁËÉÈ 8.6. ðÕÓÔØ M = M (i; j ) | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ V = {1; 2; 3; : : : ; n}. îÁÉÛÉÔÅ ÎÁ ÓÅ×ÄÏËÏÄÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ× A(v ) ×ÅÒÛÉÎÙ v ∈ V . ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 187 8.7. íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ì  ì M =  ì é  é ì ì ì ì é ì ì  ì ì  : é  ì ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ M 2 , M 3 É M 4 . îÁÊÄÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ M ∗ . 8.8. ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ õÏÒÛÅÌÌÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ W1 , W2 , W3 É W4 ÄÌÑ ÏÒÇÒÁÆÁ G ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÎÁÊÄÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ M ∗ . 8.9. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ äÅÊËÓÔÒÙ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÏÒ- ÇÒÁÆÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.7, É ÎÁÊÄÉÔÅ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÄÏ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ (Á) ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A; (Â) ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ C . òÉÓÕÎÏË 8.7. 8.10. ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ äÅÊËÓÔÒÙ ÎÁÊÄÉÔÅ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÔØ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ S ÄÏ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÉÚ ÒÉÓ. 8.8. îÁÊÄÉÔÅ Ä×Á ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÉ ÏÔ S ÄÏ T . ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÇÒÁÆÏÍ ÉÌÉ ÏÒÇÒÁÆÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÒÕ G = = (V; E ), ÇÄÅ V | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ, Á E | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ V . üÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á E ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÄÕÇÁÍÉ ÏÒÇÒÁÆÁ. åÓÌÉ uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÔÏ ×ÅÒÛÉÎÕ u ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏÍ v . 188 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ðÕÔÅÍ ÄÌÉÎÙ k × ÏÒÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁËÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÁÑ ÁÒÁ vi−1 vi ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÄÕÇÕ (i = 1; : : : ; k ). òÉÓÕÎÏË 8.8. ëÏÎÔÕÒÏÍ × ÏÒÇÒÁÆÅ G ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ v0 ; v1 ; : : : ; vk , ÏÂÒÁÚÕÀÝÕÀ ÕÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÅÒ×ÁÑ v0 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÓÌÅÄÎÅÊ, Á ÄÒÕÇÉÈ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÅÊ ÎÅÔ. ïÒÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÍ, ÅÓÌÉ × ÎÅÍ ÎÅÔ ËÏÎÔÕÒÏ×. ÷ ÚÁÄÁÞÅ Ï ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÚÁÄÁÎÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ðåò. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ G = (V; E ) | ÜÔÏ ÍÅÔËÉ: 1, 2, 3, . . . , n ×ÅÒÛÉÎ, ÒÉÞÅÍ ÅÓÌÉ uv | ÄÕÇÁ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ ×ÅÒÛÉÎÕ u Ó ÍÅÔËÏÊ i É ×ÅÒÛÉÎÕ v Ó ÍÅÔËÏÊ j , ÔÏ i < j . äÌÑ ÏÒÇÒÁÆÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÉÓÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÎÔÕÒÏ×. áÌÇÏÒÉÔÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÏÒÇÒÁÆ Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M . ìÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÓÔÅÅÎØ M k ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÈÒÁÎÉÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÕÔÅÊ ÄÌÉÎÙ k ÍÅÖÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÁÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ G. íÁÔÒÉ Á M ∗ = M ÉÌÉ M 2 ÉÌÉ : : : ÉÌÉ M n ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ 189 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ. ÷ ÎÅÊ ÚÁÉÓÁÎÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÕÔÅÊ ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÏ- ÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ W0 , W1 , W2 , . . . , Wn , ÇÄÅ W0 = M , Wn = M ∗ Á ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k > 1 ÍÁÔÒÉ Á Wk ÓÔÒÏÉÔÓÑ Ï Wk−1 ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: 1. âÅÒÅÍ k -ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù Wk−1 . 2. ëÁÖÄÕÀ ÓÔÒÏÞËÕ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ ì, ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk . 3. ëÁÖÄÕÀ ÓÔÒÏÞËÕ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ k -ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ é, ÓÁÒÉ×ÁÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ Ó k -ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ, Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù Wk . ëÒÁÔÞÁÊÛÉÍ ÕÔÅÍ ÍÅÖÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÁÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎ × ÎÁÇÒÕ- ÖÅÎÎÏÍ ÏÒÇÒÁÆÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÔØ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ. ïÂÝÉÊ ×ÅÓ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ, ×ÅÄÕÝÅÇÏ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ u Ë v , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÏÔ u ÄÏ v . åÓÌÉ ÕÔÉ ÏÔ u ÄÏ v ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÒÉÎÑÔÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ∞. áÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ × ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÏÔ ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÏ ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ õÄÁÞÎÏÊ ÍÏÄÅÌØÀ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÓÅÔÉ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, ÞØÉ ×ÅÒÛÉÎÙ (ÉÌÉ ÕÚÌÙ ) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ, Á ÄÕÇÉ | ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÌÉÎÉÉ Ó×ÑÚÉ. ëÁÖÄÁÑ ÄÕÇÁ ÔÁËÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÎÁÂÖÅÎÁ ×ÅÓÏÍ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÝÉÍ ÒÏÕÓËÎÕÀ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÌÉÎÉÉ. òÉÓÕÎÏË 8.9 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÓÔÕÀ ÓÅÔØ ÉÚ ÓÅÍÉ ÕÚÌÏ×. óÒÁÚÕ ÏÓÌÅ ××ÏÄÁ × ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÓÅÔÉ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÅÒÅÄÁ×ÁÔØ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÎÅÓÍÅÖÎÙÍÉ ÕÚÌÁÍÉ. ðÒÏ ÅÄÕÒÁ ÓÔÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔÉÚÁ ÉÉ ÕÞÉÔÙ×ÁÅÔ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÒÏÕÓËÎÏÊ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÉ ÌÉÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÕÔÉ ÅÒÅÄÁÞ ÍÅÖÄÕ ÕÚÌÁÍÉ. ÷ ÅÌÑÈ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ ÔÁËÉÈ ÕÔÅÊ × ÓÅÔÉ ÒÉÍÅÎÑÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÄÏÂÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ äÅÊËÓÔÒÙ. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÄÈÏÄÅ ÍÏÇÕÔ ×ÏÚÎÉËÁÔØ ÓÂÏÉ × ÌÉÎÉÑÈ ÉÌÉ ÕÚÌÁÈ ÓÅÔÉ. úÁÄÅÒÖËÉ ÅÒÅÄÁÞ ÍÏÇÕÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ × ÔÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ ÒÅ×ÙÛÁÅÔÓÑ ÒÏÕÓËÎÁÑ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÌÉÎÉÉ. 190 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ðÒÏ ÅÄÕÒÁ äÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔÉÚÁ ÉÉ ÏÓÔÏÑÎÎÏ ËÏÒÒÅËÔÉÒÕÅÔ ÒÏÕÓËÎÕÀ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÌÉÎÉÊ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÏÔÒÅÂÎÏÓÔÉ. þÔÏÂÙ ÄÁÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÙÍ ÕÚÌÁÍ ÒÅÛÁÔØ, ËÏÇÄÁ É ËÕÄÁ ÅÒÅÄÁ×ÁÔØ ÎÏ×ÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ, ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎ ÒÏÔÏËÏÌ ÉÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ×ÉÌ. ëÁÖÄÙÊ ÕÚÅÌ ÏÄÄÅÒÖÉ×ÁÅÔ Ó×ÏÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÕÔÅÊ, ÔÁË ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÒÁÓÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÁ Ï ×ÓÅÊ ÓÅÔÉ. òÉÓÕÎÏË 8.9. óÅÍÉÕÚÌÏ×ÁÑ ÓÅÔØ ëÁÖÄÙÊ ÕÚÅÌ ÓÅÔÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 8.9, ÒÏÇÏÎÑÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁÉÌÕÞÛÉÈ ÕÔÅÊ Ë ÄÒÕÇÉÍ ÕÚÌÁÍ É ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÑÅÔ ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ Ï ÄÅÒÅ×Õ, ÞÅÊ ËÏÒÅÎØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÄÏÍÁÛÎÅÍÕ ÕÚÌÕ. îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÕÚÌÁ 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.10. òÅÁÌØÎÏ, ÄÌÑ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÌÀÂÏÍÕ ÕÚÌÕ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÁÂÌÉÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÕËÁÚÁÎÙ ÂÌÉÖÁÊÛÉÅ ÓÏÓÅÄÉ ÄÌÑ ÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ ÔÏÍÕ ÉÌÉ ÉÎÏÍÕ ÁÄÒÅÓÁÔÕ1 . ÁËÁÑ ÔÁÂÌÉ Á, ÏÔÎÏÓÑÝÁÑÓÑ Ë ÕÚÌÕ 1, ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÉÖÅ (ÔÁÂÌ. 8.4). ÁÂÌÉ Á 8.4 áÄÒÅÓÁÔ óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÚÅÌ 1 2 2 3 2 4 4 5 4 6 4 7 4 ÁÂÌÉ Õ ÂÌÉÖÁÊÛÉÈ ÓÏÓÅÄÅÊ × ÜÔÏÍ ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÁÂÌÉ ÅÊ ÍÁÒÛÒÕÔÏ×. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ 191 úÁÄÁÞÁ 1. éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ, ÎÁÊÄÉÔÅ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ Õ- ÔÉ ÏÔ ÕÚÌÁ 2 Ë ÌÀÂÏÍÕ ÄÒÕÇÏÍÕ Ï ÓÅÔÉ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÛÌÁ ÒÅÞØ ×ÙÛÅ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÚÁÏÌÎÉÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÄÌÑ ÕÚÌÁ 2. 1 5 2 2 4 3 1 3 5 5 4 6 7 òÉÓÕÎÏË 8.10. äÅÒÅ×Ï ÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÕÚÌÁ 1 òÅÛÅÎÉÅ. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 8.5. ÁÂÌÉ Á 8.5 ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ 2 3 4 5 1 6 7 òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 1 2 3 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4 4 5 6 3 3 ∞ ∞ ∞ 3 3 3 3 3 3 3 ∞ ∞ 3 3 3 3 3 4 6 6 6 4 4 4 4 6 6 6 7 ∞ 9 9 8 îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ 1, 1, 1, 1, 6, 7 3, 4, 5, 6, 7 4, 5, 6, 7 5, 6, 7 6, 7 7 8 ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ËÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 2 Ë ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, PATHTO(6) = 2; 3; 6. äÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 8.11 É ÔÁÂÌ. 8.6 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. 192 çÌÁ×Á 8. ïÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÇÒÁÆÙ ÁÂÌÉ Á 8.6 áÄÒÅÓÁÔ óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÚÅÌ 1 1 3 3 4 4 6 3 7 3 2 2 4 1 3 3 3 1 5 4 3 3 1 6 4 3 4 3 6 5 2 1 5 1 5 2 7 7 òÉÓÕÎÏË 8.11. òÉÓÕÎÏË 8.12. úÁÄÁÞÁ 2. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ×ÒÅÍÅÎÎ ÁÑ ÚÁÄÅÒÖËÁ ÅÒÅÄÁÞÉ ÏÔ ÕÚÌÁ 2 Ë ÕÚÌÕ 4 ÕÍÅÎØÛÉÌÁÓØ Ó 3 ÄÏ 1. ëÁË ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÄÌÑ ÕÚÌÁ 2? òÅÛÅÎÉÅ. ðÅÒÅÚÁÕÓÔÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ, ÕÓÔÁÎÏ×É× ×ÒÅÍÅÎÎ ÕÀ ÚÁÄÅÒÖËÕ ÎÁ ÌÉÎÉÉ 2 4, ÒÁ×ÎÕÀ 1. üÔÏ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÏ×ÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ× ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ. ïÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.12. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ× | ÔÁÂÌ. 8.7. ÁÂÌÉ Á 8.7 áÄÒÅÓÁÔ óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÚÅÌ 1 4 3 3 4 4 5 4 6 3 7 4 úÁÄÁÞÁ 3. ëÁËÉÍÉ ÂÕÄÕÔ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛ- ÒÕÔÏ× ÄÌÑ ÕÚÌÏ× 1 É 2, ÅÓÌÉ ÕÄÁÌÉÔØ ÌÉÎÉÉ ÍÅÖÄÕ ÕÚÌÁÍÉ 5 É 6? òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÉÎÉÑ 5 6 ÎÅ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÁ ÒÉ ÅÒÅÄÁÞÅ ÉÎ- ÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÔ ÕÚÌÁ 2, ÔÏ ÅÇÏ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ É ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ×, ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ × ÚÁÄÁÞÅ 1, ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÏÎÎÙÅ ÓÅÔÉ 193 þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÕÚÌÁ 1, ÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÏÉÓËÏÍ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÕÔÉ ÏÔ ÕÚÌÁ 1 Ë ÕÚÌÕ 6. áÌÇÏÒÉÔÍ äÅÊËÓÔÒÙ ÎÁÈÏÄÉÔ ÔÁËÏÊ ÕÔØ ÂÅÚ ÏÓÏÂÙÈ ÚÁÔÒÕÄÎÅÎÉÊ: PATHTO(6) = 1; 4; 5; 7; 6. îÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÅÊ ÎÁÞÅÒÞÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 8.13. ÁÂÌÉ Á 8.8 | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÍÁÒÛÒÕÔÏ×. ÁÂÌÉ Á 8.8 áÄÒÅÓÁÔ óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÚÅÌ 2 2 3 2 4 4 5 4 1 5 2 4 2 1 3 5 3 5 7 2 6 òÉÓÕÎÏË 8.13. 6 4 7 4 çìá÷á 9 âõìå÷á áìçåâòá âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ | ÜÔÏ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÅÊÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÁÎÁÌÉÚÏÍ. ïÅÒÁ ÉÉ É ÚÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ Ë ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÁÍ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÏÂÙÞÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ÏÅÒÉÒÕÅÔ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÍÉ ÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÉÚÕÞÁÅÍ ÂÕÌÅ×Õ ÁÌÇÅÂÒÕ, Á ÉÍÅÎÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {0; 1} Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÎÅÍ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ, ËÏÎßÀÎË ÉÉ É ÏÔÒÉ ÁÎÉÑ. úÄÅÓØ ÂÕÄÕÔ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÙ ÚÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ É ÒÏ×ÅÄÅÎÁ ÁÒÁÌÌÅÌØ ÍÅÖÄÕ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ, ÌÏÇÉËÏÊ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (ÓÍ. ÇÌÁ×Õ 2) Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, É Ó ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÇÌÁ×Á 3) Ó ÄÒÕÇÏÊ. íÙ ÏËÁÖÅÍ, ËÁË ÂÕÌÅ×Ù ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÙ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÎÏÓÑÝÅÊ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÚÄÅÓØ ÂÕÄÅÔ ÏÉÓÁÎ ÓÏÓÏÂ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÁÒÁÇÒÁÆ ÇÌÁ×Ù ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÔ, ËÁË ×ÓÑ ÒÁÚ×ÉÔÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ë ËÏÎÓÔÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÀ É ÕÒÏÝÅÎÉÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ. ÁËÉÅ ÓÈÅÍÙ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ × ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×ÁÈ, ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÈ × ËÏÍØÀÔÅÒÁÈ, ËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÁÈ, ÔÅÌÅÆÏÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÈ É ÒÑÄÅ ÄÒÕÇÉÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×. õËÁÚÁÎÎÕÀ ÔÅÍÕ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ ÒÉÌÏÖÅÎÉÅ Ë ÇÌÁ×Å. ÷ ÎÅÍ, ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÂÕÌÅ×Õ ÁÌÇÅÂÒÕ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÔØ 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ. 9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ðÒÏÓÔÅÊÛÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B = {0; 1} ×ÍÅÓÔÅ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÎÅÍ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ (∨), ËÏÎßÀÎË ÉÉ (∧) É ÏÔÒÉ ÁÎÉÑ ( ). äÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÅÒÁ ÉÊ (∨) É (∧) ÎÁ ÓÉÍ×ÏÌÁÈ 0 É 1 ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 9.1. ∨ 0 1 0 0 1 ∧ 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 òÉÓÕÎÏË 9.1. 9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ 195 äÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÔÒÉ ÁÎÉÑ ÎÁ 0 É 1 ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: 0 = 1 É 1 = 0: äÌÑ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p É q (Ô. Å. ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 0 É 1) ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÔÁÂÌÉ Ù, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÏÅÒÁ ÉÊ p, p ∨ q É p ∧ q (ÓÍ. ÔÁÂÌ. 9.1 É ÔÁÂÌ. 9.2). ÁÂÌÉ Á 9.1 p 0 1 ÁÂÌÉ Á 9.2 p p q 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 p ∨q 0 1 1 1 p ∧q 0 0 0 1 üÔÉ ÔÁÂÌÉ Ù ÎÁÏÍÉÎÁÀÔ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÅ, ÉÌÉ É É, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ×ÓÔÒÅÔÉÌÉÓØ × ÇÌÁ×Å 2. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÌÅÇËÏ ÔÒÁÎÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁÂÌ. 9.1 É ÔÁÂÌ. 9.2 × ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ × ÌÏÇÉËÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, ÚÁÍÅÎÉ× ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ p É q ÎÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P É Q, É ÉÓÏÌØÚÕÑ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ì É é ×ÍÅÓÔÏ 0 É 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, p ÚÁÍÅÎÉÔÓÑ ÎÁ (ÎÅ P ), p ∨ q | ÎÁ (P ÉÌÉ Q), Á p ∧ q | ÎÁ (P É Q). ðÏÜÔÏÍÕ É × ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÔÁÂÌÉ Ù ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ. íÙ ÍÏÖÅÍ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÔØ ÂÕÌÅ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÊ (∨), (∧) É ( ), ÏÌÕÞÁÑ ÂÕÌÅ×Ù ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ , ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÍÙ ÓÔÒÏÉÌÉ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÉÚ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÈ, ËÏÍÁÎÕÑ ÉÈ Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ. ÁÂÌÉ Á 9.3. úÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ úÁËÏÎÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÏÇÌÏÝÅÎÉÑ: úÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ: p ∧ q = q ∧ p, p ∨ q = q ∨ p; p ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q ) ∧ r, p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q ) ∨ r; p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r), p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r); p ∧ p = p, p ∨ p = p; p ∧ (p ∨ q ) = p, p ∨ (p ∧ q ) = p; (p ∧ q ) = p ∨ q, (p ∨ q ) = p ∧ q. 196 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ä×Á ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ , ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ. ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÌÅÇËÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÚÁËÏÎÁÍÉ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ (ÓÍ. ÔÁÂÌÉ Õ ÎÁ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÓÔÒ.). ðÒÉÍÅÒ 9.1. äÏËÁÖÉÔÅ ÚÁËÏÎ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ: p ∧ (q ∨ r ) = (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ): òÅÛÅÎÉÅ. ÒÅÂÕÅÍÙÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌ. 9.4. ðÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÓÔÏÌÂ Á ÔÁÂÌÉ Ù ÏÌÎÏÓÔØÀ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÂÕÌÅ×Ù ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ p ∧ (q ∨ r ) É (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. ÁÂÌÉ Á 9.4 p q r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 p ∧q 0 0 0 0 0 0 1 1 p ∧r 0 0 0 0 0 1 0 1 q ∨r p ∧ (q ∨ r) 0 1 1 1 0 1 1 1 (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r) 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 óÈÏÖÅÓÔØ ÎÁÚ×ÁÎÉÊ É ÆÏÒÍ ÚÁËÏÎÏ× ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÚÁËÏÎÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÉÚÕÞÅÎÎÙÈ × ÇÌÁ×Å 3, ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ÓÌÕÞÁÊÎÁ. ÷ ÔÁÂÌÉ Å, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÎÉÖÅ, ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÂÕÌÅ×ÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ, ÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ ÌÏÇÉËÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ É ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ. ÁÂÌÉ Á 9.5 ìÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ âÕÌÅ×Ù ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ ∪ ∨ É ∩ ∧ ÎÅ óÔÏÉÔ ÒÁÚ É ÎÁ×ÓÅÇÄÁ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÚÁËÏÎÏ× ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ1 , ÞÔÏÂÙ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ Ó ÉÈ ÏÍÏÝØÀ, ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÑÓØ Ë ÔÁÂÌÉ ÁÍ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÁÔØ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÍÙ ÒÏ×ÅÒÑÌÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×. 1 ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ 197 ðÒÉÍÅÒ 9.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ( p ∧ q ) ∧ (p ∨ q ) ÜË×É- ×ÁÌÅÎÔÎÏ p. òÅÛÅÎÉÅ. óÄÅÌÁÅÍ ÎÅÓÌÏÖÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ( p ∧ q ) ∧ (p ∨ q ) = = = = = ( p) ∨ q ∧ (p ∨ q ) = (ÚÁËÏÎ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ) (p ∨ q) ∧ (p ∨ q ) = p ∨ ( q ∧ q) = p∨0 = (ÔÁË ËÁË ( p) = p) (ÚÁËÏÎ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ) (ÔÁË ËÁË q ∧ q = 0) (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ∨): p âÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÏÔ n ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p1 ; p2 ; : : : ; pn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : B n −→ B , ÞÔÏ f (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) | ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ. îÁÛÁ ÂÌÉÖÁÊÛÁÑ ÚÁÄÁÞÁ | ÏËÁÚÁÔØ, ËÁË ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ×ÉÄÅ (ÏÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ). îÁÞÎÅÍ Ó ÎÅÂÏÌØÛÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ m(p; q; r ) ÏÔ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p, q É r , ÞØÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÄÁÎÁ ÎÉÖÅ (ÔÁÂÌ. 9.6). ÁÂÌÉ Á 9.6 p q r m 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 æÕÎË ÉÑ m | ÒÉÍÅÒ ÍÉÎÔÅÒÍÁ , Ô. Å. ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 1 ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×. ÁË ËÁË m(p; q; r ) = 1 ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ p = 0, q = 1 É r = 1, ÔÏ2 m(p; q; r ) = p ∧ q ∧ r: ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ p ∧ q ∧ r ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ËÏÎßÀÎË ÉÅÊ . 2 äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÎßÀÎË ÉÉ ÆÕÎË ÉÑ ÞÅÎÉÅ 1 ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ p = q = r = 1. ðÏÜÔÏÍÕ ∧ q ∧ r = 1 ⇔ p = 0; p q = r = 1: p ∧ q ∧ r ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÚÎÁ- 198 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ðÒÉÍÅÒ 9.3. ïÂßÑÓÎÉÔÅ, ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÌÀÂÏÊ ÍÉÎÔÅÒÍ ÍÏÖÎÏ ÚÁ- ÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ËÏÎßÀÎË ÉÉ, Ô. Å. ËÁË ËÏÎßÀÎË ÉÀ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ pi ÉÌÉ ÉÈ ÏÔÒÉ ÁÎÉÊ. m(p1 ; p2 ; : : : ; pr ) òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ m(p1 ; p2 ; : : : ; pr ) | ÍÉÎÔÅÒÍ. ÏÇÄÁ × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÔÏÌÂ Å ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ m ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ ÅÄÉÎÉ Á. ÷ÏÚØÍÅÍ ÓÔÒÏËÕ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÓÉÍ×ÏÌ × ËÏÔÏÒÏÊ | 1. åÓÌÉ × ÜÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ pi = 1, ÔÏ × ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ËÏÎßÀÎË ÉÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÆÕÎË ÉÀ m, ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ pi ; Á ÅÓÌÉ pi = 0, ÔÏ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ pi . îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÍÉÎÔÅÒÍÁ ÉÚ ÔÁÂÌ. 9.6 ÔÁËÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 0, 1, 1, 1. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ m(0; 1; 1) = 1. ðÏÜÔÏÍÕ m(p; q; r ) = p ∧ q ∧ r . ÅÅÒØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ËÏÎßÀÎË ÉÉ, ÍÙ ÚÁÉÛÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ËÁË ÄÉÚßÀÎË ÉÀ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ÚÁÉÓØ (ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ËÏÎßÀÎË ÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ f (p; q; r ), ÞØÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ | ÔÁÂÌ. 9.7. åÄÉÎÉ Ù ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÓÔÏÌÂ Á × ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Å ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÒÅÍ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ: p ∧ q ∧ r; p ∧ q ∧ r; p ∧ q ∧ r: ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÁ ÎÁÌÏÖÅÎÉÅÍ ÔÁÂÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×. ÁÂÌÉ Á 9.7 p q r f 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÉÚßÀÎË ÉÑ Ó 1 ÏÇÌÏÝÁÅÔ ×ÓÅ ÎÕÌÉ (ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, f1 ∨ f2 ∨ · · · ∨ fs ÒÁ×ÎÏ 1 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÒÅÄÉ 9.1. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ 199 ÚÎÁÞÅÎÉÊ fi ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ 1), ÔÏ ÎÁÛÁ ÆÕÎË ÉÑ f ÒÁ×ÎÁ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ ÔÒÅÈ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×: f (p; q; r ) = ( p ∧ q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r): üÔÏ É ÅÓÔØ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÆÕÎË ÉÉ f . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, × ÔÏÊ ÖÅ ÆÏÒÍÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ Ó ÌÀÂÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ðÒÉÍÅÒ 9.4. îÁÊÄÉÔÅ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÂÕÌÅ×ÏÊ q ∧ r ). ÆÕÎË ÉÉ f = (p ∧ q ) ∨ ( òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÔÁÂÌ. 9.8 ÚÁÉÛÅÍ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f . ÁÂÌÉ Á 9.8 p q r f 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 ÷ÙÉÛÅÍ ÍÉÎÔÅÒÍÙ: p ∧ q ∧ r; p ∧ q ∧ r; p ∧ q ∧ r; p ∧ q ∧ r: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓËÏÍÁÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ: f (p; q; r ) = ( p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r ): íÙ ÕÂÅÄÉÌÉÓØ ÎÁ ÏÙÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÄÉÚßÀÎË ÉÉ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×. úÎÁÞÉÔ, ËÁÖÄÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÁ ÞÅÒÅÚ Ä×Å ÆÕÎËÉÉ ÏÔ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×: p ∨ q , p ∧ q É ÏÄÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÏÄÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ p. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ, ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÊ . éÔÁË, {p ∨ q; p ∧ q; p} | ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎË ÉÊ. ïÄÎÁËÏ ÍÏÖÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ É ÍÅÎØÛÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÆÕÎË ÉÊ. îÁÒÉÍÅÒ, Ï ÚÁËÏÎÕ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ (p ∨ q ) = p ∧ q. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, p ∨ q = ( p ∧ q): 200 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ úÎÁÞÉÔ, ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÔÏÌØËÏ Ó ÏÍÏÝØÀ Ä×ÕÈ ÏÅÒÁ ÉÊ: ∧ É , Ô. Å. {p ∧ q; p} | ÔÏÖÅ ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎËÉÊ. òÁÓÌÁÔÏÊ ÚÁ ÍÁÌÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ, ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÇÒÏÍÏÚÄËÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌ. ðÒÉÍÅÒ 9.5. æÕÎË ÉÑ îå{é ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ: p îå{é q = (p ∧ q ): ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ { îå{é } | ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎË ÉÊ. òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ p, p ∨ q É p ∧ q ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÁ ÞÅÒÅÚ îå{é . ÷×ÉÄÕ ÚÁËÏÎÁ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ p = (p ∧ p) = p îå{é p: ðÏ ÚÁËÏÎÕ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ p ∧ q) = (p îå{é p) ∧ (q îå{é q ) = p ∨ q = ( = (p îå{é p) îå{é (q îå{é q ): îÁËÏÎÅ , p ∧ q = (p ∧ q ) = (p îå{é q ) = = (p îå{é q ) îå{é (p îå{é q ): éÔÁË, { îå{é } | ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÅÒÁ ÉÊ. 9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÅÅÒØ ÍÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÏÂ ÕÒÏÝÅÎÉÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ðÏÄ ÕÒÏÝÅÎÉÅÍ ÍÙ ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÅÅ ÍÅÎØÛÅ ÓÉÍ×ÏÌÏ×, ÞÅÍ ÉÓÈÏÄÎÏÅ. íÅÔÏÄ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÕÒÏÝÅÎÉÉ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÁ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÂÏÌÅÅ ÇÒÏÍÏÚÄËÏÊ, ÞÅÍ ÓÁÍÁ ÆÕÎË ÉÑ. íÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÔÏÌØËÏ ÂÕÌÅ×Ù ÆÕÎË ÉÉ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ÏÔ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ðÒÉ ÖÅÌÁÎÉÉ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÕÀ ÔÅÈÎÉËÕ ÍÏÖÎÏ ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁ ÆÕÎË ÉÉ Ó ÌÀÂÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÚÁÉÓÙ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÀ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÕÓËÁÔØ ÓÉÍ×ÏÌ ∧ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÏÍÕ, ËÁË × ÏÂÙÞÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ÏÕÓËÁÀÔ ÓÉÍ×ÏÌ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ pqr ∨ pqr ∨ pqr ×ÍÅÓÔÏ ( p ∧ q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q ∧ r): 9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ 201 üÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ | ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ. åÇÏ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: pqr ∨ pqr ∨ pqr = ( pr q ∨ prq ) ∨ pqr = = pr ( q ∨ q ) ∨ pqr = = pr ∨ pqr Ï ÚÁËÏÎÁÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ Ï ÚÁËÏÎÕ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÔÁË ËÁË q ∨ q = 1: íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ, ÞÅÍ ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÛÁÇÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÓÏ×ÅÒÛÉÌÉ, ÕÒÏÝÁÑ ÆÕÎË ÉÀ, ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÁÔØ ÏÞÔÉ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ ÍÙ ÓÄÅÌÁÌÉ ÅÒÅÇÒÕÉÒÏ×ËÕ: ÅÒÅÓÔÁ×ÉÌÉ É ×ÚÑÌÉ × ÓËÏÂËÉ Ä×Á ÍÉÎÔÅÒÍÁ, ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÏÄÎÏÍ ÓÉÍ×ÏÌÅ. úÁËÏÎ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÚ×ÏÌÉÌ ÎÁÍ ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ÛÁÇÅ ×ÙÎÅÓÔÉ ÏÄÉÎ ÍÉÎÔÅÒÍ ÚÁ ÓËÏÂËÉ, ÉÓËÌÀÞÉ× ÉÚ ÎÅÇÏ ÂÕÌÅ×Õ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ q . õÒÏÝÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÊ ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ , ÍÅÔÏÄÁ, ÉÚÏÂÒÅÔÅÎÎÏÇÏ × 1950-ÙÈ ÇÏÄÁÈ ÄÌÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÉ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÓÈÅÍ. ïÂÒÁÚÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ | ÜÔÏ ÎÁÇÌÑÄÎÁÑ ÓÈÅÍÁ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÁÑ ÄÌÑ ÏÂÎÁÒÕÖÅÎÉÑ ÁÒ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÓÇÒÕÉÒÏ×ÁÔØ É ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ × ÏÄÎÏ ÒÏÓÔÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p, q É r ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÔÁÂÌÉ Õ Ó Ä×ÕÍÑ ÓÔÒÏËÁÍÉ É ÞÅÔÙÒØÍÑ ÓÔÏÌÂ ÁÍÉ (ÒÉÓ. 9.2). óÔÏÌÂ Ù ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ÄÉÚßÀÎË ÉÑÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p É q É ÉÈ ÏÔÒÉ ÁÎÉÊ, Á ÓÔÒÏËÉ | ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ r É ÅÅ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅÍ r. pq pq pq pq r r òÉÓÕÎÏË 9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÊ ÔÒÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ íÅÔËÉ ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ÏÔ ÓÔÏÌÂ Á Ë ÓÔÏÌÂ Õ × ÎÉÈ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÒÏ×ÎÏ × ÏÄÎÏÍ ÓÉÍ×ÏÌÅ. ñÞÅÊËÉ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÏÓØÍÉ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÉÚ ÔÒÅÈ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. åÓÌÉ ÎÁÍ ÄÁÎÏ ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÔÏ × ÑÞÅÊËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÍ × ÎÅÊ, ÍÙ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ ÉÆÒÕ 1. îÁÒÉÍÅÒ, ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÂÕÌÅ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pqr ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.3. 202 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ pq r pq pq 1 1 r pq 1 òÉÓÕÎÏË 9.3. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pqr úÁÔÅÍ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÇÒÕÉÒÏ×ÁÔØ ÁÒÙ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÅÄÉÎÉ × ëÁÒÔÅ ëÁÒÎÏ (ÏÈÏÖÉÈ ÎÁ ÔÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ×ÙÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.3). ÁËÁÑ ÁÒÁ × ÎÁÛÅÍ ÒÉÍÅÒÅ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ. ïÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÉÍÅÎÎÏ ÔÅÍ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÂßÅÄÉÎÉÌÉ × ÓÄÅÌÁÎÎÙÈ ÒÁÎÅÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ. ÷ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÉ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÒÁÚÍÅÔËÅ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ (ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÊ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÍÅÔËÉ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÓÔÏÌÂ Ï× ÏÔÌÉÞÉÌÉÓØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ) ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÂÕÄÅÔ ÓËÒÙÔÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ËÁÒÔÅ ëÁÒÎÏ (ÒÉÓ. 9.4) ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pq r ∨ pqr ÎÅ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÌÅÎÙ pqr É pqr ÍÏÖÎÏ ÓÇÒÕÉÒÏ×ÁÔØ. pq pq pq pq r 1 r 1 1 òÉÓÕÎÏË 9.4. îÅÕÄÁÞÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÔÏÌÂ Ï× ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pq r ∨ pqr ðÅÒÅÏÂÏÚÎÁÞÁÑ ÓÔÏÌÂ Ù Ó ÓÏÂÌÀÄÅÎÉÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÕÀ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ (ÒÉÓ. 9.5). îÁ ÎÅÊ ÕÖÅ ÞÌÅÎÙ ÄÌÑ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ ÓÔÏÑÔ ÒÑÄÏÍ. pq r r pq pq pq 1 1 1 òÉÓÕÎÏË 9.5. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÁÑ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pq r ∨ pqr óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, pqr ∨ pq r ∨ pqr = pq r ∨ (pqr ∨ pqr ) = = pq r ∨ pr ( q ∨ q ) = pq r ∨ pr: 9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ 203 ðÒÉÍÅÒ 9.6. õÒÏÓÔÉÔÅ ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ pqr ∨ pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pq r: òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÒÁÔÉÍ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÒÉÓ. 9.6, ÇÄÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÓÏÏÔ×ÅÔ- ÓÔ×ÕÀÝÁÑ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ. pq pq r 1 1 r 1 1 pq pq 1 òÉÓÕÎÏË 9.6. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ p qr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pq r éÚ ÎÅÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÄÁÎÎÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÅÓÔØ ÇÒÕÁ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×: pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pq r; ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ (á), É ÇÒÕÁ ÉÚ Ä×ÕÈ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×: pq r ∨ pqr: åÅ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ (â). óÎÁÞÁÌÁ ÏÒÁÂÏÔÁÅÍ ÎÁÄ ÇÒÕÏÊ (á). pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pq r = (p ∨ p)qr ∨ (p ∨ p)q r = = qr ∨ q r = q (r ∨ r) = q: ÅÅÒØ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÇÒÕÏÊ (â). pq r ∨ pqr = pr(q ∨ q) = pr: ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓÈÏÄÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÕÒÏÝÁÅÔÓÑ ÄÏ1 q ∨ pr. 1 ÷ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏ ÓÌÅÄÑ ÚÁ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ, ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÍÉÎÔÅÒÍ pq r ÚÄÅÓØ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ Ä×ÁÖÄÙ, ÈÏÔÑ × ÉÓÈÏÄÎÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÏÎ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÏÛÉÂËÉ ÎÉËÁËÏÊ ÎÅÔ. üÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÚÁËÏÎÏÍ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ: f = f ∨ f , ÇÄÅ f | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ÒÉÅÍ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ Á×ÔÏÒÏÍ É ÄÁÌÅÅ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 204 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ðÒÉÍÅÒ 9.7. õÒÏÓÔÉÔÅ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ f (p; q; r ) = (p ∨ q ) ∧ r ∨ (q ∨ r ): òÅÛÅÎÉÅ. úÁÏÌÎÉÍ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f (ÔÁÂÌ. 9.9). ÁÂÌÉ Á 9.9 p q r f 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 ðÏ ÔÁÂÌÉ Å ÓÔÒÏÉÍ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÆÕÎË ÉÉ f : pqr ∨ pqr ∨ pqr: åÅ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.7. pq pq pq r 1 r 1 pq 1 òÉÓÕÎÏË 9.7. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pqr éÚ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÎÁÛÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Å ÁÒÙ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÄÌÑ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ: pqr ∨ pqr É pqr ∨ pqr. ðÏÓÌÅ ÉÈ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÉ: pq É qr. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ pq ∨ qr. îÁÇÌÑÄÎÙÊ ÓÏÓÏÂ ÏÉÓËÁ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÄÌÑ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ, ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁ ÂÕÌÅ×Ù ÆÕÎË ÉÉ ÞÅÔÙÒÅÈ, ÑÔÉ É ÄÁÖÅ ÛÅÓÔÉ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÏÓÌÏÖÎÅÎÉÑ ÄÅÌÁÀÔ ÍÅÔÏÄ ÍÁÌÏÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÅÌØÎÙÍ. åÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ ÓÏÓÏÂÙ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ. ïÓÏÂÅÎÎÏ ÒÉ×ÌÅËÁÔÅÌÅÎ ÍÅÔÏÄ ëÕÉÎÁ{ íÁË-ëÌÁÓËÉ. ïÎ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÎÙÊ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [??℄) É ÒÉÍÅÎÉÍ Ë ÆÕÎË ÉÑÍ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. 9.3. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ 205 9.3. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ ïÄÎÏ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÌÅÖÉÔ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÓÈÅÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÌÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ , ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ × ×ÉÄÅ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÙÈ ÕÓÔÒÏÊÓÔ× Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ×ÈÏÄÏ× É ×ÙÈÏÄÏ×, ÒÉÞÅÍ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ×ÈÏÄÅ É ×ÙÈÏÄÅ ÍÏÖÅÔ ÏÑ×ÌÑÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ÁËÉÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Á ÓÏÂÒÁÎÙ ÉÚ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× , ÇÅÎÅÒÉÒÕÀÝÉÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÂÕÌÅ×Ù ÏÅÒÁ ÉÉ. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 9.8. a a a b a b éìé îå a a b b é îå{é òÉÓÕÎÏË 9.8. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× óÏÅÄÉÎÑÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ×ÍÅÓÔÅ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ . ó ÅÅ ÏÍÏÝØÀ ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ. ðÒÉÍÅÒ 9.8. þÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÙ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 9.9? p 1 q 3 6 2 7 4 r 5 òÉÓÕÎÏË 9.9. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 206 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÔÁÂÌ. 9.10 ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÙ ×ÈÏÄÙ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×Ù- ÈÏÄÙ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÎÕÍÅÒÁ ÉÅÊ ÉÚ ÒÉÓ. 9.9. ÁÂÌÉ Á 9.10 ÷ÅÎÔÉÌØ 1 2 3 4 5 ÷ÈÏÄ ÷ÙÈÏÄ p; q pq p; q pq pq; r pqr pq ; r pq r pq; r 6 7 pq r pqr; pq r pqr ∨ pqr; pq r pqr ∨ pqr pqr ∨ pqr ∨ pq r ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÓÈÅÍÙ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pq r. äÉÁÇÒÁÍÍÙ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, ÅÓÌÉ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ é É éìé ÉÍÅÔØ ÎÅ Ï Ä×Á ×ÈÏÄÁ, Á ÂÏÌØÛÅ. îÏ ÂÏÌÅÅ ×ÅÞÁÔÌÑÀÝÅÇÏ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÉÔØÓÑ, ÅÓÌÉ ÒÉ×ÌÅÞØ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ ÄÌÑ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÓÌÏÖÎÏÊ ÓÈÅÍÙ. ðÒÉÍÅÒ 9.9. õÒÏÓÔÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÕÀ ÓÈÅÍÏÊ ÉÚ ÒÉÍÅ- ÒÁ 9.8 É ÎÁÊÄÉÔÅ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÕÀ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÅÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀ. òÅÛÅÎÉÅ. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÔÒÅÂÕÅÍÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.10. ïÎÁ ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÁÒÙ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÄÌÑ ÇÒÕÉÒÏ×ËÉ (ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÈ ÎÅ ×ÉÄÎÁ ÒÉ ÄÁÎÎÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÉ ÓÔÏÌÂ Ï×). pq r 1 r 1 pq pq 1 òÉÓÕÎÏË 9.10. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ éÔÁË, É pq pqr ∨ pqr ∨ pq r pqr ∨ pq r = pq (r ∨ r) = pq pqr ∨ pqr = (q ∨ q)pr = pr: üÔÏ Ó×ÏÄÉÔ ÆÕÎË ÉÀ Ë ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ pq ∨ pr , ËÏÔÏÒÏÅ, ××ÉÄÕ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÒÅÄÕ ÉÒÕÅÔÓÑ Ë ÆÕÎË ÉÉ p(q ∨ r ). 9.3. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÈÅÍÙ 207 âÏÌÅÅ ÒÏÓÔÁÑ ÓÈÅÍÁ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÁÑ ÆÕÎË ÉÀ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ 9.8, ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.11. p p(q r) q r òÉÓÕÎÏË 9.11. ðÒÉ ×ÙÞÅÒÞÉ×ÁÎÉÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ ÎÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ×ÓÅ ÔÉÙ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ×ÉÄÅÌÉ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {∨; } Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÛÉÓØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ é É îå. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ Ï ÔÏÊ ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÒÉÞÉÎÅ ÎÁÍ ÎÅÕÄÏÂÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÂÏÌØÛÏÅ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ, ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå{é . ðÒÉÍÅÒ 9.10. îÁÞÅÒÔÉÔÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ p(q ∨ r ), ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ îå{é . òÅÛÅÎÉÅ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ p(q ∨ r ) = p îå{é (q ∨ r ) îå{é p îå{é (q ∨ r ) : á ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, q ∨ r = (q îå{é q ) îå{é (r îå{é r ): éÓËÏÍÁÑ ÓÈÅÍÁ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.12. òÉÓÕÎÏË 9.12. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÆÕÎË ÉÉ p (q ∨ r) 208 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 9 9.1. úÁÏÌÎÑÑ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, ÄÏËÁÖÉÔÅ ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ. 9.2. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÒÏ×ÅÒØÔÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅ- ÎÉÑ: (Á) (p ∧ q) ∨ r = p ∨ q ∨ r; (Â) ((p ∧ q) ∧ (r ∨ (p ∧ q))) = p ∨ q . 9.3. îÁÊÄÉÔÅ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÉÉ g (p; q; r; s), ÞØÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ | (ÔÁÂÌ. 9.11). ÁÂÌÉ Á 9.11 p q r s f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 9.4. úÁÏÌÎÉÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÂÕÌÅ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ p ∧ ( q ∨ r ) ∨ p ∧ (q ∨ r) É ÎÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ. 9.5. úÁÉÛÉÔÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ (p ∧ q) ∧ r , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ: (Á) ÏÅÒÁ ÉÉ ∨ É ; (Â) ÆÕÎË ÉÀ îå{é . îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 9 209 9.6. âÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ îå{éìé ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ p îå{éìé q = (p ∨ q ): ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ {îå{éìé} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÊ. 9.7. éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ ÂÕÌÅ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ Ó ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pqr É ÎÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ÕÒÏÝÅÎÎÕÀ ×ÅÒÓÉÀ. 9.8. îÁÊÄÉÔÅ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÉÉ f (p; q; r ) Ó ÔÁÂÌÉ ÅÊ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ | ÔÁÂÌ. 9.12. ÁÂÌÉ Á 9.12 p q r f 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÅÅ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ É ÕÒÏÓÔÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ f . 9.9. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÕÀ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÏÊ, ÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 9.13. p q r òÉÓÕÎÏË 9.13. 210 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ éÓÏÌØÚÕÑ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ Ä×ÕÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: é É îå. 9.10. ó ÏÍÏÝØÀ ÚÁËÏÎÏ× ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ×ÙÒÁÖÅ- ÎÉÅ p îå{é ( q îå{é r ) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÀ p ∨ ( q ∧ r ): úÁÔÅÍ ÚÁÍÅÎÉÔÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÎÁ ÒÉÓ. 9.14, ÎÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ ÅÊ, ÎÏ ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: é É éìé É ÏÄÎÏÇÏ ÉÎ×ÅÒÔÏÒÁ1 . p q r òÉÓÕÎÏË 9.14. p q r p q r òÉÓÕÎÏË 9.15. 1 éÎ×ÅÒÔÏÒÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù 211 9.11. äÏËÁÖÉÔÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ, ÉÚÏÂÒÁ- ÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓ. 9.15. 9.12. îÁÞÅÒÔÉÔÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ p îå{éìé q , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ îå{é . (õËÁÚÁÎÉÅ: ÎÁÞÎÉÔÅ Ó ÒÏ×ÅÒËÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ q îå{éìé q = = ( p îå{é q), Á ÚÁÔÅÍ ÕÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ r ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×Õ r = r îå{é r .) ëÒÁÔËÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÇÌÁ×Ù âÕÌÅ×Á ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ: 0 É 1. âÕÌÅ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÍÏÖÎÏ ËÏÍÂÉÎÉÒÏ×ÁÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ∨, ∧ É ÄÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ. âÕÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÏÔ n ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ p1 ; p2 ; : : : ; pn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : B n −→ B , ÞÔÏ f (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) | ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ. âÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÉÎÔÅÒÍÏÍ, ÅÓÌÉ ÓÔÏÌÂÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁÉÓÁÎÙ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÕ ÅÄÉÎÉ Õ. ðÕÓÔØ p É q | ÂÕÌÅ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ. ÏÇÄÁ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ: ÁÂÌÉ Á 9.13. úÁËÏÎÙ ÂÕÌÅ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ úÁËÏÎÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ: úÁËÏÎÙ ÏÇÌÏÝÅÎÉÑ: úÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ: p ∧ q = q ∧ p, p ∨ q = q ∨ p; p ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q ) ∧ r, p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q ) ∨ r; p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r), p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r); p ∧ p = p, p ∨ p = p; p ∧ (p ∨ q ) = p, p ∨ (p ∧ q ) = p; (p ∧ q ) = p ∨ q, (p ∨ q ) = p ∧ q. 212 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ìÀÂÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÚÁÉÓÁÎÁ ËÁË ÄÉÚßÀÎË ÉÑ ÍÉÎÔÅÒÍÏ×. ÁËÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ, ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎË ÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÊ. âÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ, ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ, ÞØÉ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ËÏÎßÀÎË ÉÑÍÉ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÉÈ ÏÔÒÉ ÁÎÉÊ. ÷ ËÌÅÔËÁÈ ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÉÎÔÅÒÍÁÍ ÄÁÎÎÏÊ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÙ, ÏÍÅÝÁÀÔÓÑ ÅÄÉÎÉ Ù. ä×ÏÉÞÎÏÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï | ÜÔÏ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÏÅ, ÓÎÁÂÖÅÎÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ×ÈÏÄÏ× É ×ÙÈÏÄÏ×. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÁÌÉÚÕÀÔ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÂÕÌÅ×Ù ÏÅÒÁ ÉÉ (ÒÉÓ. 9.16). a a b a a b éìé îå a a b b é îå-é òÉÓÕÎÏË 9.16. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, ÒÉÍÅÎÑÑ ËÁÒÔÕ ëÁÒÎÏ ÄÌÑ ÕÍÅÎØÛÅÎÉÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÂÕÌÅ×Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÏÇÏ ÓÈÅÍÏÊ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ | ÜÔÏ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÓÕÍÍÕ Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ2 ÞÉÓÅÌ, ×ÙÄÁ×ÁÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÔ×ÅÔÁ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. îÁÒÉÍÅÒ, 10 +2 11 = 101. äÌÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÙ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÍÙ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÓÔÒÏÉÍ ÏÌÕÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÉÆÒ. ïÔ×ÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÍ Ä×ÏÉÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. îÁÒÉÍÅÒ, 1 +2 1 = 10. 2 úÁÉÓÁÎÎÙÈ × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ 213 ðÏÌÕÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ. ðÕÓÔØ x É y ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÉÆÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄÓÔÏÉÔ ÓÌÏÖÉÔØ, Á u É v | Ä×ÏÉÞÎÙÅ ÉÆÒÙ ÓÕÍÍÙ, ÏÌÕÞÁÀÝÅÊÓÑ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 9.17. Ïîëóáèòíûé ñóììàòîð òÉÓÕÎÏË 9.17. ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ (ÔÁÂÌ. 9.14) ÒÏÑÓÎÑÅÔ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ××ÏÄÉÍÙÍÉ É ×Ù×ÏÄÉÍÙÍÉ ÉÆÒÁÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, u = xy (ÒÁÚÒÑÄ ÅÒÅÎÏÓÁ ) É v = x y ∨ xy (ÓÌÏÖÅÎÉÅ Ï ÍÏÄÕÌÀ 2 ). ÁÂÌÉ Á 9.14 x y u v 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 úÁÄÁÞÁ 1. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 9.18, ÒÅÁÌÉÚÕÅÔ ÏÌÕÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ. x y 1 4 2 3 òÉÓÕÎÏË 9.18. óÈÅÍÁ ÏÌÕÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÈÏÄÎÙÍÉ ÄÁÎÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 3 É 4 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁÚÒÑÄ ÅÒÅÎÏÓÁ É ÓÕÍÍÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ 2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ (ÓÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. 9.15). 214 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ÁÂÌÉ Á 9.15 ìÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÷×ÏÄ ÷Ù×ÏÄ 1 x; y xy xy 2 3 4 x; y x; y xy xy; xy ∨ xy xy 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ. îÁ ×ÈÏÄÅ 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ ÏÌÕÞÁÅÔ Ä×Á Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÞÉÓÌÁ, Á ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ Õ ÎÅÇÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÒÁ×ÎÏÅ ÓÕÍÍÅ ××ÏÄÉÍÙÈ ÞÉÓÅÌ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, 2-ÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÞÉÓÌÁ × Ä×ÏÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ: 11 +2 10 = 101. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ a É b ÉÆÒÙ ÅÒ×ÏÇÏ ××ÏÄÉÍÏÇÏ × ÓÕÍÍÁÔÏÒ ÞÉÓÌÁ, Á ÞÅÒÅÚ É d | ÉÆÒÙ ×ÔÏÒÏÇÏ (ÒÉÓ. 9.19). ðÕÓÔØ e, f É g | ÉÆÒÙ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍÏÊ ÓÕÍÍÙ. e a b c 2-áèòíûé ñóììàòîð f g d òÉÓÕÎÏË 9.19. äÁÌÅÅ ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ, ËÁË É × ÓÌÕÞÁÅ Ó ÏÌÕÂÉÔÎÙÍ ÓÕÍÍÁÔÏÒÏÍ, ÚÁÏÌÎÉÔØ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÉÆÒ e, f É g , ÓÞÉÔÁÑ ÉÈ ÂÕÌÅ×ÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÏÔ ××ÏÄÉÍÙÈ ÉÆÒ, ÕÒÏÓÔÉÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ËÁÒÔÙ ëÁÒÎÏ É ÎÁÞÅÒÔÉÔØ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÈÅÍÕ. ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÏÓÔÕÉÍ ÉÎÁÞÅ: ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÏÌÕÂÉÔÎÙÊ ÓÕÍÍÁÔÏÒ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÂÌÏËÁ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÙ. óÈÅÍÁ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 9.20, ÉÓÏÌØÚÕÅÔ Ä×Á ÏÌÕÂÉÔÎÙÈ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍ: a +2 É b +2 d. óÕÍÍÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ 2 (ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ v2 ) ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÉÆÒÕ g . óËÌÁÄÙ×ÁÑ ÒÁÚÒÑÄ ÅÒÅÎÏÓÁ u2 Ó v1 Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÌÕÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ Ä×ÕÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÉÆÒÁÍÉ u3 É f . îÁËÏÎÅ , ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ ÓÕÍÍÙ, e, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÁ ÉÚ u1 É u3 Ó ÏÍÏÝØÀ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ éìé. úÁÄÁÞÁ 2. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÏÉÓÁÎÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÓÕÍÍÙ 11 +2 10 = 101. 215 ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ òÅÛÅÎÉÅ. îÁÍ ÄÁÎÏ: a = 1; b = 1; = 1; d = 0: ÁË ËÁË a +2 = 1 +2 1 = 10, ÔÏ u1 = 1 É v1 = 0. ÷×ÉÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ b +2 d = 1 +2 0 = 01, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ: u2 = 0 É v2 = 1, ÏÔËÕÄÁ g = 1. äÁÌÅÅ, u2 +2 v1 = 0 +2 0 = 00, Ô. Å. u3 = 0. úÎÁÞÉÔ f = 0. îÁËÏÎÅ , u1 ∨ u3 = 1 ∨ 0 = 1, ÞÔÏ ÄÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï e = 1. éÔÁË, 11 +2 10 = 101, ËÁË É ÏÖÉÄÁÌÏÓØ. òÉÓÕÎÏË 9.20. òÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.21. a Ïîëóáèòíûé b ñóììàòîð 1 e Ïîëóáèòíûé ñóììàòîð 3 c Ïîëóáèòíûé d ñóììàòîð 2 f g òÉÓÕÎÏË 9.21. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 2-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ úÁÄÁÞÁ 3. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÒÏ ÅÓÓ ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ 11 É 01 ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÈÅÍÏÊ ÉÚ ÒÉÓ. 9.21. òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ui É vi ÉÆÒÙ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÙÅ ÏÌÕÂÉÔÎÙÍ ÓÕÍÍÁÔÏÒÏÍ i ÒÉ i = 1, 2 É 3. ÁË ËÁË a = 1, b = 1, = 0 É d = 1, ÔÏ a +2 = 1 +2 0 = 01 ⇒ u1 = 0 É v1 = 1; 216 çÌÁ×Á 9. âÕÌÅ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ b +2 d = 1 +2 1 = 10 ⇒ u2 = 1 É v2 = 0 (ÏÔËÕÄÁ g = 0): ÅÅÒØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÌÕÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ ÍÙ ÉÍÅÅÍ v1 = 1 É u2 = 1. úÎÁÞÉÔ v1 +2 u2 = 1 +2 1 = 10 ⇒ u3 = 1 É v3 = 0 (ÏÔËÕÄÁ f = 0): îÁËÏÎÅ , u1 ∨ u3 = 0 ∨ 1 = 1; (ÏÔËÕÄÁ e = 1): éÔÁË, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÁÑ ÓÕÍÍÁ, ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÁÑ ÓÕÍÍÁÔÏÒÏÍ, ÒÁ×ÎÁ 100 = = 11 +2 01, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÉÓÔÉÎÅ. îÁ ÒÉÓ. 9.22 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 3-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ, ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÝÅÇÏ Ä×Á ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÞÉÓÌÁ Ó ÉÆÒÁÍÉ a, b, É d, e, f ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÕÍÍÙ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÞÅÔÙÒÅÈÚÎÁÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÉÆÒÁÍÉ g , h, i É j . a Ïîëóáèòíûé b ñóììàòîð g Ïîëóáèòíûé ñóììàòîð h c d e 2-áèòíûé i ñóììàòîð j f òÉÓÕÎÏË 9.22. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ 3-ÂÉÔÎÏÇÏ ÓÕÍÍÁÔÏÒÁ úÁÄÁÞÁ 4. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÓÈÅÍÁ ÉÚ ÒÉÓ. 9.22 ÒÁ×ÉÌØÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÕÍÍÙ: (Á) 110 +2 011; (Â) 101 +2 111. òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ 1001 × ÓÌÕÞÁÅ (Á) É 1100 × ÓÌÕ- ÞÁÅ (Â). òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1 1.1. ïÄÎÁ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÅÔÅÊ ÄÏÒÏÇ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ×ÅÒÛÉÎÅ B ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò1.1. òÉÓÕÎÏË ò1.1. ïÂÝÁÑ ÄÌÉÎÁ ÌÀÂÏÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÓÅÔÉ ÒÁ×ÎÁ 14. 1.2. (Á) f = 6, (Â) f = 120. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ f = n!. 1.3. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò1.1 ÁÂÌÉ Á ò1.1 i j 1 2 3 4 3 9 27 81 i 6= 4? äÁ äÁ äÁ îÅÔ ðÒÉ n > 0 ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ mn . ÷ ÓÌÕÞÁÅ n = 0 ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÂÕÄÅÔ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÏ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÒÏÈÏÄÙ ÉËÌÁ ÂÕÄÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÉÓÔÉÎÎÙÍ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÁÍÅÔÒÁ ÉËÌÁ1 i. 1 äÌÑ ÕÓÔÒÁÎÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÎÅÒÉÑÔÎÏÓÔÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÕÓÌÏ×ÉÅ . | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . i < n i 6= n ÎÁ 218 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1.4. ÷ÙÈÏÄÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ æÉÂÏÎÁÞÞÉ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÔÒÅÔØÅÇÏ, ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ Ä×ÕÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ. 1.5. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò1.2 ÁÂÌÉ Á ò1.2 l sum k 0 1 4 9 16 25 36 0 1 5 14 30 55 91 1 3 5 7 9 11 13 k < 12? äÁ äÁ äÁ äÁ äÁ äÁ îÅÔ ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÅÒ×ÙÈ n ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. 1.6. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò1.3 ÁÂÌÉ Á ò1.3 ÔÅËÕÝÅÅ ÒÅÂÒÏ ×ÅÓ 1 2 3 BG DE EF 6 5 4 4 5 6 7 8 9 10 11 AB BC CD EG FG AF CE CG 3 3 3 3 3 2 2 1 õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ Ó×ÏÂÏÄÁ ×ÙÂÏÒÁ ÒÉ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÉÉ ÒÅÂÅÒ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ×ÅÓÁ. éÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÏÓÔÁÔÏË = 11 É m = 7. ãÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÑÔØ ÒÁÚ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ ÑÔØ ÒÅÂÅÒ: BG, DE, EF, AB É EG. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÅÔØ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. ò1.2. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ B 219 C 3 3 G A 1 2 D 3 2 F E òÉÓÕÎÏË ò1.2. íÉÎÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÅÔØ îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 2 2.1. (Ç) P ⇒ Q, (Á) P É (ÎÅ Q), (Â) R É P , (Ä) (ÎÅ P ) ⇒ (ÎÅ Q). (×) R ⇒ P , 2.2. (Á) (ÎÅ P ) ⇒ (ÎÅ Q). (Â) P ÉÌÉ (ÎÅ Q). (×) (P ÉÌÉ Q) É (ÎÅ (P É Q)). ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌ. ò2.1. ÁÂÌÉ Á ò2.1 P Q é é ì ì é ì é ì ÎÅ ÎÅ P ì ì é é Q P ì é ì é ÉÌÉ (ÎÅ Q ) ((ÎÅ P ) ⇒ (ÎÅ é é ì é )) Q é é ì é ðÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÓÔÏÌÂ Á ÔÁÂÌÉ Ù ÉÄÅÎÔÉÞÎÙ, ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Á) É (Â) ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. 2.3. ÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌ. ò2.2 É ÔÁÂÌ. ò2.3. éÚ ÎÉÈ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Á) É (×) | ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÉ. ÁÂÌÉ Á ò2.2 P é ì ÎÅ ì é P P É (ÎÅ ì ì P ) ÎÅ (P É (ÎÅ é é P )) P ⇒ ÎÅ ì é P 220 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÁÂÌÉ Á ò2.3 P ⇒Q P É (P ⇒ ) Q (P É (P ⇒ Q)) ⇒ Q P Q é é é é é é ì ì ì é ì ì é é ì ì ì é é é 2.4. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò2.4. ÁÂÌÉ Á ò2.4 P Q R P ⇒ Q (ÎÅ é é é é ì ì ì ì é é ì ì é é ì ì é é ì ì é é é é é ì é ì é ì é ì P )⇒R é é é é é ì é ì Q ` ⇒ R (P ⇒ Q) ⇒ R (ÎÅ é ì é é é ì é é P ´ ` ´ )⇒R É Q⇒R é ì é é é ì é ì é ì é é é ì é ì íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á ÓÔÏÌÂ Á ÔÁÂÌÉ Ù ÉÄÅÎÔÉÞÎÙ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (P ⇒ Q) ⇒ R É (ÎÅ P ) ⇒ R É Q ⇒ R ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. 2.5. (Á) ∀ x P (x); (Â) ∃ x : ÎÅ P (x); (×) ∀ x ÎÅ P (x). ïÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Â) × ÓÉÍ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÔÁË: ∀ x P (x) (Ô. Å. ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ (Á) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅÍ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (Â)). ïÔÒÉ ÁÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ (×) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: ∃ x : P (x). åÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÞÉÔÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÎÁÊÄÅÔÓÑ ËÏÛËÁ Ó ÕÓÁÍÉ. 2.6. ÒÅÂÕÅÍÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÞÉÔÁÅÔÓÑ ÔÁË: ÌÀÂÏÊ ÞÅÌÏ×ÅË | ×Ù- ÓÏËÉÊ É ÔÏÌÓÔÙÊ. åÇÏ ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÏ × . (×). 2.7. (Á) þÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ n É m ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ n = 2a É m = 2b, ÇÄÅ ËÁË a, ÔÁË É b | ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n + m = 2a + 2b = 2(a + b); ÏÔËÕÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÞÅÔÎÏÓÔØ ÓÕÍÍÙ n + m. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 221 (Â) åÓÌÉ n | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ n = 2a + 1 ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ a. ÷ÏÚ×ÅÄÑ n ×Ï ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÅÅÎØ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ n2 = (2a + 1)2 = 4a2 + 4a + 1 = 2(2a2 + 2a) + 1: úÎÁÞÉÔ, n2 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. éÔÁË, ÅÓÌÉ n2 | ÞÉÓÌÏ ÞÅÔÎÏÅ, ÔÏ É n | ÞÅÔÎÏÅ. (×) äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ n + m | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ: ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ n É m Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ, Á ÄÒÕÇÏÅ ÎÅÞÅÔÎÙÍ, | ÌÏÖÎÏ. ïÔÒÉ ÁÎÉÅ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂÁ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÌÉÂÏ ÞÅÔÎÙ, ÌÉÂÏ ÎÅÞÅÔÎÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÔÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÏÔÄÅÌØÎÏ. åÓÌÉ ËÁË m, ÔÁË É n | ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ m = 2a É n = 2b ÄÌÑ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ a É b. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÉÈ ÓÕÍÍÁ n + m = 2a + 2b = 2(a + b) ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÅÔÎÏÊ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ m É n | ÎÅÞÅÔÎÙ. ÏÇÄÁ ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ m = 2a + 1, n = 2b + 1 Ó ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ a É b. óÌÏÖÉ× ÉÈ, ÏÌÕÞÉÍ n + m = (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b) + 2 = 2(a + b + 1); ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ïÑÔØ ÒÉÛÌÉ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ Ó ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅÍ. éÔÁË, ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ × ÏÂÏÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ×ÅÄÅÔ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏ. 2.8. (Á) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÒÅÄÉËÁÔ 1 + 5 + 9 + · · · + (4n − 3) = n(2n − 1) ÞÅÒÅÚ P (n). ðÒÉ n = 1 ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÏÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ ÉÚ 1. ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÏÓÌÅ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ n = 1 ÔÏÖÅ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ 1: n(2n − 1) = 1 · (2 · 1 − 1) = 1: ðÏÜÔÏÍÕ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ P (k ) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ k > 1. îÁÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ×ÌÅÞÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (k + 1). óÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ. 222 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 1 + · · · + 4(k + 1) − 3 = 1 + · · · + (4k − 3) + (4k + 1) = = k (2k − 1) + (4k + 1) = = 2k 2 + 3k + 1 = = (k + 1)(2k + 1) = = (k + 1) 2(k + 1) − 1 : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÓÉÌÕ ÒÉÎ ÉÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ P (n) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ n > 1. (Â) úÄÅÓØ P (n) ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÒÅÄÉËÁÔ: 12 + 22 + · · · + n2 = 1 n(n + 1)(2n + 1): 6 ÁË ËÁË 12 = 1 É 16 n(n + 1)(2n + 1) = n = 1), ÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (1) ×ÅÒÎÏ. 1 6 · 1 · 2 · 3 = 1 (ÒÉ äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ P (k ) ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÅÌÏÍ k > 1 É ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (k + 1). 12 + · · · + (k + 1)2 = 12 + · · · + k 2 + (k + 1)2 = 1 = k (k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2 = 6 1 = (k + 1) k (2k + 1) + 6(k + 1) = 6 1 = (k + 1)(2k 2 + 7k + 6) = 6 1 = (k + 1) (2k + 3)(k + 2) = 6 1 = (k + 1) (k + 1) + 1 2(k + 1) + 1 : 6 éÔÁË, Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ P (n) ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n > 1. (×) ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ P (n) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÅÄÉËÁÔ 1 1 1 n + + ··· + = : 1·3 3·5 (2n − 1) · (2n + 1) 2n + 1 åÓÌÉ n = 1, ÔÏ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ ÒÁ×ÁÑ | n 1 = : 2n + 1 3 1 3 , Á òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 223 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (1) | ×ÅÒÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (k ) ÉÓÔÉÎÎÏ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ k . ÏÇÄÁ = = = 1 1 1 = + + ··· + 1·3 3·5 2(k + 1) − 1 2(k + 1) + 1 1 1 1 +··· + + = 1·3 (2k − 1)(2k + 1) (2k + 1)(2k + 3) k 2k + 1 + 1 k (2k + 3) + 1 = = (2k + 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3) 2k 2 + 3k + 1 (2k + 1)(k + 1) k+1 = = : (2k + 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3) 2k + 3 üÔÉÍÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍÉ ÍÙ ×Ù×ÅÌÉ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (k +1) ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÂ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P (k ). úÎÁÞÉÔ, P (n) ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n. (Ç) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÒÅÄÉËÁÔ: n3 − n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3 ÞÅÒÅÚ P (n). ÁË ËÁË 13 − 1 = 0 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÔÏ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (1) ÉÓÔÉÎÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ P (k ) ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÌÏÇÏ k > 1. ÏÇÄÁ (k + 1)3 − (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 2k = = (k 3 − k ) + 3k 2 + 3k: þÉÓÌÏ k 3 − k ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3 Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÓÕÍÍÁ 3k 2 + 3k = 3(k 2 + k ) ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3. úÎÁÞÉÔ, É (k 3 − k ) + 3k 2 + 3k ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 3. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ: P (k ) ⇒ P (k + 1), É ××ÉÄÕ ÒÉÎ ÉÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ P (n) ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ n. (Ä) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P (n) ÒÅÄÉËÁÔ: 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1: ðÏÄÓÔÁ×É× × ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï n = 1, ÏÌÕÞÉÍ ÌÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï: 1 · 1! = (1 + 1)! − 1: 224 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ úÎÁÞÉÔ, P (1) ×ÅÒÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÏÂ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P (k ) ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ k ×ÌÅÞÅÔ ÅÏÞËÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×: 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + (k + 1) · (k + 1)! = = 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + k · k ! + (k + 1) · (k + 1)! = = (k + 1)! − 1 + (k + 1)!(k + 1) = = (k + 1)!(k + 2) − 1 = (k + 2)! − 1; × ËÏÎ Å ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÉÔ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ P (k +1), ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. úÎÁÞÉÔ, P (n) ×ÅÒÎÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ n. 2.9. x2 = 13 , x3 = 1 7 É x4 = 1 15 . ðÕÓÔØ P (n) | ÒÅÄÉËÁÔ xn = 2n1−1 . ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ n = 1 × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (1). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ P (k ) ×ÅÒÎÏ ÒÉ ËÁËÏÍ-ÔÏ k > 1. ÏÇÄÁ xk+1 = xk 1 xk + 2 = 2k −1 1 2k −1 +2 = 1 1 = k+1 : k 1 + 2(2 − 1) 2 −1 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (k ) ×ÌÅÞÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (k + 1). úÎÁÞÉÔ, P (n) | ×ÅÒÎÏÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ n. 2.10. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÅÒ×ÙÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ: x3 = 2x2 − x1 = 2 · 2 − 1 = 3; x4 = 2x3 − x2 = 2 · 3 − 2 = 4; x5 = 2x4 − x3 = 2 · 4 − 3 = 5: îÁÛ ÏÙÔ ÎÁ×ÏÄÉÔ ÎÁ ÍÙÓÌØ, ÞÔÏ ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÅÎ Ó×ÏÅÍÕ ÎÏÍÅÒÕ. ðÏÙÔÁÅÍÓÑ ÜÔÏ ÄÏËÁÚÁÔØ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P (n) ÒÅÄÉËÁÔ xn = n. éÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (1) É P (2) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÒÏ×ÅÌÉ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ P (3), P (4) É P (5). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ k > 1 ÉÓÔÉÎÎÙ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P (k − 1) É P (k ). ÏÇÄÁ xk+1 = 2xk − xk−1 = 2k − (k − 1) = k + 1: éÔÁË, ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ P (k + 1) ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ ÏÂ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ P (k − 1) É P (k ). ÅÍ ÓÁÍÙÍ, òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 225 ÏÍÎÑ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÒÅÄÉËÁÔ P (n) ÉÍÅÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3 3.1. (Á) A = {10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17}; B = {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}; C=∅ ; 1 1 D = −2; 3 ; (Â) S = {3n − 1 : n ∈ N}; T = {1=(2n − 1) : n ∈ N}. 3.2. (Á) {t}; (Ç) ∅; (Â) {p; q; r; s; t; u}; (×) {q; r; v; w}; (Ä) {p; s}; (Å) {u; w}; (Ö) {r; v }; (Ú) {p; r; s; u; v }; 3.3. (Á) éÓÔÉÎÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ A ∪ B ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ× ÓÌÏ×ÁÒÑ. (Â) éÓÔÉÎÎÏ, ÔÁË ËÁË ÓÌÏ×Ï ÂÁÓÓÅÊÎ ÓÔÏÉÔ ÅÒÅÄ ÓÌÏ×ÏÍ ËÏÛËÁ É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × B ; ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÁÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï ÉÍÅÅÔ Ä×ÏÊÎÕÀ ÂÕË×Õ Ó. (×) ìÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ B △ C ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ËÁË (B ∪ C ) \ (B ∩ C ), Á ÓÌÏ×Ï ÓÔÒÅÓÓ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B , ÔÁË É C , Ô. Å. ÏÎÏ ÌÅÖÉÔ × ÉÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ. (Ç) ìÏÖÎÏ, ÉÂÏ × ÓÌÏ×ÁÒÅ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÍÅÖÄÕ ÓÌÏ×ÁÍÉ ËÏÛËÁ É ÓÏÂÁËÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÅÍÁÌÏ ÄÒÕÇÉÈ ÓÌÏ×, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÏ×Ï ÍÙÛØ. (Ä) óÌÏ×Á ÓÌÏ×ÁÒÑ, ÎÁÈÏÄÑÝÉÅÓÑ ÍÅÖÄÕ ÓÌÏ×ÁÍÉ ËÏÛËÁ É ÓÏÂÁËÁ É ÉÍÅÀÝÉÅ Ä×ÏÊÎÕÀ ÂÕË×Õ. (Å) ÷ÓÅ ÓÌÏ×Á ÓÌÏ×ÁÒÑ, ÎÅÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ Ä×ÏÊÎÕÀ ÂÕË×Õ. 3.4. (Á) (i) B; (ii) B ∩ C ; (iii) A ∩ B ; (iv) C \ B . (Â) A \ B = {3n : n ∈ Z É n > 4; É n| ÎÅÞÅÔÎÏ}. úÁÍÅÔØÔÅ, ÅÓÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ n ËÁË 2k + 1, ÔÏ ÏÔ×ÅÔ ÂÕÄÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÔÁË: A \ B = {6k + 3 : k ∈ Z É k > 2}. 3.5. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÷ÅÎÎÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò3.1. 226 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ åÓÌÉ x ∈ A ∩ (B ∪ C ), ÔÏ x ∈ A É (x ∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ C ) . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (x ∈ A) É (x ∈ B ) ÉÌÉ (x ∈ A) É (x ∈ C ) : éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, x ∈ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ: A ∩ (B ∪ C ) ⊂ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). ïÂÒÁÔÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. B A B A C C BÈC A Ç (B È C) B A B A C C A Ç B - ãîðç. øòðèõîâêà A Ç C - âåðò. øòðèõîâêà (A Ç B) È (A Ç C) òÉÓÕÎÏË ò3.1. 3.6. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÷ÅÎÎÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò3.2. B A B A C C A Ç (B D C) BDC B A B A C C A Ç B - ãîðç. øòðèõîâêà A Ç C - âåðò. øòðèõîâêà (A Ç B) D (A Ç C) òÉÓÕÎÏË ò3.2. ìÀÂÏÊ ÎÁÂÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ× A, B É C , × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÉÚ B , ÎÅ ÉÚ C , ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÒÁ×ÅÎ- òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 227 ÓÔ×Õ A ∪ (B △ C ) = (A ∪ B ) △ (A ∪ C ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÕÓÔØ A = {1; 2}, B = {3; 4} É C = {4; 5}. ÏÇÄÁ B △ C = {3; 5} É A ∪ (B △ C ) = {1; 2; 3; 5}: ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, A ∪ B = {1; 2; 3; 4}; É A ∪ C = {1; 2; 4; 5} (A ∪ B ) △ (A ∪ C ) = {3; 5}: 3.7. (Á) ÷ÙÏÌÎÉÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ: (A ∩ B ) ∪ B = (A ∪ B ) ∪ B = (Ú. ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ É ÄÏÏÌÎ.) = A ∪ (B ∪ B ) = (Ú. ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ) = A∪B (Ú. ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ) (Â) ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÚÁËÏÎÁÍÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×: (A ∩ (B ∪ C )) = A ∪ (B ∪ C ) = (Ú. ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ É ÄÏÏÌÎ.) = A∪B∪C (ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ Ú. ÁÓÓÏ ÉÁÔ.) (×) ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÉÍÅÅÍ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ B ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = = (B ∪ (A ∪ C ) ∩ B ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ): õÞÉÔÙ×ÁÑ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔØ, ÏÌÕÞÁÅÍ (B ∪ (A ∪ C ) ∩ B ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = = (B ∩ B ) ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ): ÅÅÒØ ÒÉÍÅÎÑÅÍ ÚÁËÏÎ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. (B ∩ B ) ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅ ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ): ðÏ ÚÁËÏÎÁÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á É ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÍÕ ÏÔ×ÅÔÕ: ∅ ∪ (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = (A ∪ C ) ∩ (A ∪ C ) = ∅: 228 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ (Ç) óÄÅÌÁÅÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ: (A \ B ) \ C = (A ∩ B ) \ C = (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ \) = (A ∩ B ) ∩ C = (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ \) = A ∩ (B ∩ C ) = (××ÉÄÕ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ) = A ∩ (B ∪ C ) = (Ï ÚÁËÏÎÕ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ) = A \ (B ∪ C ) (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ \) (Ä) õÞÉÔÙ×ÁÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ É ÚÁËÏÎÙ ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÌÕÞÁÅÍ: A △ A = (A \ A) ∪ (A \ A) = = (A \ A) = = A∩A= =∅ (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ △) (Ï Ú. ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ) (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ \) (Ï Ú. ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ) óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A△A△A=A△∅= = (A \ ∅) ∪ (∅ \ A) = (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ △) = (A ∩ ∅) ∪ (∅ ∩ A) = (Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ \) = A∪∅= (Ï Ú. ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ, =A ËÏÍÍÕÔÁÔ. É ÔÏÖÄ.) 3.8. äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò3.3. B A òÉÓÕÎÏË ò3.3. (Á) ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ∗ É ÚÁËÏÎÕ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ ÏÌÕÞÁÅÍ: A ∗ A = (A ∩ A) = A: òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 229 (Â) õÞÉÔÙ×ÁÑ ÒÅÄÙÄÕÝÉÊ ÕÎËÔ ÚÁÄÁÞÉ, ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÏÅÒÁ ÉÑ ∗, Á ÚÁÔÅÍ ÒÉÍÅÎÉÍ ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ É ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. (A ∗ A) ∗ (B ∗ B ) = A ∗ B = (A ∩ B ) = A ∪ B: (×) áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÍÏÇÁÀÔ ÒÅÛÉÔØ É ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÕÎËÔ ÚÁÄÁÞÉ. (A ∗ B ) ∗ (A ∗ B ) = (A ∗ B ) = = ((A ∩ B )) = = A ∩ B: 3.9. (Á) äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÷ÅÎÎÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò3.4. B A 2 6 5 4 1 3 7 C 8 òÉÓÕÎÏË ò3.4. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÅÔËÁÍÉ 1, 2, ... , 8, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ, É ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ i ÓÏÄÅÒÖÉÔ ni ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÏÇÄÁ |A| + |B | + |C | = = (n1 + n2 + n4 + n5 ) + (n1 + n2 + n3 + n6 )+ + (n1 + n3 + n4 + n7 ) = = 3n1 + 2n2 + 2n3 + 2n4 + n5 + n6 + n7 : ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, |A ∩ B | + |B ∩ C | + |A ∩ C | = = (n1 + n2 ) + (n1 + n3 ) + (n1 + n4 ) = = 3n1 + n2 + n3 + n4 : 230 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, |A ∩ B ∩ C | = n1 : |A| + |B | + |C |− − |A ∩ B | − |B ∩ C | − |A ∩ C | + |A ∩ B ∩ C | = = 3n1 + 2n2 + 2n3 + 2n4 + n5 + n6 + n7 − − 3n1 − n2 − n3 − n4 + n1 = = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 = = |A ∪ B ∪ C |; ÞÔÏ É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ1 . (Â) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÉÚÕÞÁÀÝÉÈ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ, ÞÅÒÅÚ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÓÌÕÛÁÀÝÉÈ ËÕÒÓ ÂÉÚÎÅÓÁ, Á ÞÅÒÅÚ C | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÈÓÑ ÔÕÒÉÚÍÏÍ. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ É ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÕÎËÔÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ |A ∪ B ∪ C | = 25 + 27 + 12 − 20 − 5 − 3 = 36: éÔÁË, 36 ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÏÓÅÝÁÀÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ËÕÒÓ. éÚÏÂÒÁÚÉÍ ÓÈÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÔÕÄÅÎÔÏ× (ÓÍ. ÒÉÓ. 3.5). éÚ ÎÅÅ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÔ×ÅÒÏ ÉÚ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÏÓÅÝÁÌÉ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÌÅË ÉÉ Ï ÔÕÒÉÚÍÕ. íÏÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÂÏÌÅÅ ÁËËÕÒÁÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ2 . óÌÅÄÕÑ ××ÅÄÅÎÎÙÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÍ, ÎÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C \ (A ∪ B ), ÏÓËÏÌØËÕ × ÎÅÇÏ ×ÈÏÄÑÔ ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÅ ÔÕÒÉÚÍ, ÎÏ ÎÅ ÏÓÅÝÁÀÝÉÅ ÎÉ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ, ÎÉ ÂÉÚÎÅÓ. äÌÑ ÎÁÞÁÌÁ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï C ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×: C = (C \ A) ∪ (C ∩ A): ðÏÜÔÏÍÕ 1 |C | = |C \ A| + |C ∩ A|: éÓÏÌØÚÕÑ ÜÔÏÔ ÒÉÍÅÒ ËÁË ÏÄÓËÁÚËÕ, ÏÙÔÁÊÔÅÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÔÒÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 2 ïÎÏ ÄÁÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÞÉËÏÍ. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 231 B A 20 4 0 5 C 0 3 4 òÉÓÕÎÏË ò3.5. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ |C | = 12 É |C ∩ A| = 5. úÎÁÞÉÔ, |C \ A| = 12 − 5 = 7. ÅÅÒØ ÎÕÖÎÏ ÏÂÒÁÔÉÔØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ C \ A ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÅ ÔÕÒÉÚÍ, ÎÏ ÎÅ ÏÓÅÝÁÀÝÉÅ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÉÀ. ïÄÎÁËÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å C \ A ÍÏÇÕÔ ÏÓÔÁÔØÓÑ ÓÔÕÄÅÎÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ËÒÏÍÅ ÔÕÒÉÚÍÁ ÉÚÕÞÁÀÔ ÅÝÅ É ÂÉÚÎÅÓ. ÷ÙÂÒÏÓÉ× ÉÈ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÉÓËÏÍÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï: (C \ A) \ B . äÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ÅÇÏ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÒÉÍÅÎÉÍ ÔÏÔ ÖÅ ÒÉÅÍ. (C \ A) \ B = |C \ A| − (C \ A) ∩ B : óÁÍÏÅ ÔÒÕÄÎÏÅ ÚÄÅÓØ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (C \ A) ∩ B . ë ÎÅÍÕ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C , ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ B , ÎÏ ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ A. îÏ Ï ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ C , ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ B , ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ A, ÔÁË ËÁË ×ÓÅ ÔÒÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÂÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÉÍÅÀÔ. úÎÁÞÉÔ, (C \ A) ∩ B = C ∩ B ⇒ (C \ A) ∩ B = C ∩ B = 3: ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ: 12 − 5 − 3 = 4: 3.10. üÌÅÍÅÎÔÙ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ A × B ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ (a; b), ÇÄÅ a ∈ A É b ∈ B . åÓÌÉ A×B = B ×A, ÔÏ ÁÒÁ (a; b) ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A × B ÄÏÌÖÎÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ É B × A, Ô. Å. a ∈ B É b ∈ A. ðÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a ∈ A É ÌÀÂÏÇÏ b ∈ B , ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ× A = B . íÎÏÖÅÓÔ×Ï A × C ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ (a; ), × ËÏÔÏÒÙÈ a ∈ A É ∈ C . åÓÌÉ A × B = A × C , ÔÏ (a; ) ∈ A × B , ÏÔËÕÄÁ ∈ B . üÔÏ ÎÁÍ ÄÁÅÔ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ: C ⊂ B . íÅÎÑÑ × ÎÁÛÅÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B É C ÍÅÓÔÁÍÉ, ÍÏÖÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ B ⊂ C . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, B = C . 232 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 3.11. (Á) ðÕÓÔØ x ∈ A × (B ∩ C ). ÏÇÄÁ x = (a; t); ÇÄÅ a ∈ A É t ∈ (B ∩ C ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, t ∈ B , Ô. Å. (a; t) ∈ A × B É, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ, t ∈ C ⇒ (a; t) ∈ A × C . úÎÁÞÉÔ, (a; t) ∈ (A × B ) ∩ (A × C ). éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, A × (B ∩ C ) ⊂ (A × B ) ∩ (A × C ): é ÎÁÏÂÏÒÏÔ. åÓÌÉ x ∈ (A × B ) ∩ (A × C ), ÔÏ x ∈ A × B É x ∈ A × C . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x = (a; t), ÒÉÞÅÍ a ∈ A, Á t ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÁË B , ÔÁË É C , Ô. Å. t ∈ B ∩ C . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, x ∈ A × (B ∩ C ). üÔÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ: (A × B ) ∩ (A × C ) ⊂ A × (B ∩ C ): éÚ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×. (Â) ðÕÓÔØ x ∈ (A ∪ B ) × C . ÏÇÄÁ x = (s; ), ÇÄÅ s ∈ (A ∪ B ) É ∈ C . ðÏÓËÏÌØËÕ s | ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ, ÔÏ ÌÉÂÏ s ∈ A, É ÔÏÇÄÁ x ∈ A × C , ÌÉÂÏ s ∈ B , Ô. Å. x ∈ B × C . ÷ ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ x ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÉÂÏ A × C , ÌÉÂÏ B × C . úÎÁÞÉÔ, x ∈ (A × C ) ∪ (B × C ). é ÎÁÏÂÏÒÏÔ. åÓÌÉ x ∈ (A × C ) ∪ (B × C ), ÔÏ ÏÎ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ x = (s; ) ÇÄÅ ∈ C , Á s ÌÅÖÉÔ ÌÉÂÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A, ÌÉÂÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å B . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, s ∈ (A ∪ B ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, x = (s; ) ∈ (A ∪ B ) × C . ÷×ÉÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÓÔÉ x ÍÏÖÎÏ ÚÁËÌÀÞÉÔØ, ÞÔÏ (A × C ) ∪ (B × C ) ⊂ (A ∪ B ) × C: éÚ Ä×ÕÈ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÕÖÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×. 3.12. (Á) P (A) = ∅; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3} . (Â) ðÕÓÔØ C ∈ P (A) ∩ P (B ). ÏÇÄÁ C ⊂ A É C ⊂ B , ÏÜÔÏÍÕ C ⊂ (A ∩ B ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (A) ∩ P (B ) ⊂ P (A ∩ B ). ÅÅÒØ ×ÏÚØÍÅÍ C ∈ P (A ∩ B ). ÏÇÄÁ C ⊂ (A ∩ B ), Ô. Å. C ⊂ A É C ⊂ B . úÎÁÞÉÔ, P (A ∩ B ) ⊂ P (A) ∩P (B ). ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï P (A) ∩ P (B ) = P (A ∩ B ). (×) üÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ P (A) ∪P (B ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÌÅÖÁÝÉÅ × A, É ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÌÅÖÁÝÉÅ × B . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P (A) ∪ P (B ) ⊂ P (A ∪ B ). ïÂÒÁÔÎÏÇÏ ÖÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÎÅÔ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ A ∪ B ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÅÌÉËÏÍ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÌÉÂÏ × A, ÌÉÂÏ × B . ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, A = {1; 2; 3}, B = {4; 5}, Á C = {1; 2; 5}. ÏÇÄÁ, ËÏÎÅÞÎÏ, C ∈ P (A ∪ B ), ÎÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, C 6∈ P (A) ∪ P (B ). òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 233 3.13. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ a = (1; 1; 0; 1; 1; 0). èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÒÁ×ÅÎ b = (0; 0; 1; 0; 1; 0). ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A ∪ B . ïÎ ÒÁ×ÅÎ a ÉÌÉ (ÎÅ b) = (1; 1; 0; 1; 1; 0) ÉÌÉ (1; 1; 0; 1; 0; 1) = = (1; 1; 0; 1; 1; 1): óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A ∪ B = {1; 2; 4; 5; 6}. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A △ B ÒÁ×ÅÎ (a É (ÎÅ b)) ÉÌÉ (b É (ÎÅ a)) = = (1; 1; 0; 1; 1; 0) É (1; 1; 0; 1; 0; 1) ÉÌÉ ÉÌÉ (0; 0; 1; 0; 1; 0) É (0; 0; 1; 0; 0; 1) = = (1; 1; 0; 1; 0; 0) ÉÌÉ (0; 0; 1; 0; 0; 0) = = (1; 1; 1; 1; 0; 0): ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, A △ B = {1; 2; 3; 4}. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4 (1; a); (1; ); (2; a); (2; ); (3; b); (3; ) . çÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò4.1. 4.2. R = (1; 7); (2; 5); (3; 3); (4; 1) . S = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (4; 1); (4; 2); (5; 1) . 4.1. T = {(n; n2 ) : n ∈ N}. òÉÓÕÎÏË ò4.1. 234 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4.3. (Á) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ: R = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4) : (Â) çÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò4.2. òÉÓÕÎÏË ò4.2. çÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R (×) íÁÔÒÉ Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: é  ì   é ì  é ì é ì é ì é ì  é ì  : é  ì 4.4. (Á) òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. (Â) ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ É ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. (×) óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ É ÎÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. (Ç) òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÎÏ ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. 4.5. (Á) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÕÍÍÁ x + y ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó y + x. ïÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÔÁË ËÁË ÞÉÓÌÏ x + x ×ÓÅÇÄÁ ÞÅÔÎÏ. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÉÂÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 1+4 É 4+3 | ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á 1 + 3 | ÞÅÔÎÏÅ. (Â) ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ ××ÉÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ x ÞÉÓÌÏ x + x | ÞÅÔÎÏ. ÷×ÉÄÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á x + y = y + x ÏÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÙ x + y É y + z ÂÕÄÕÔ ÞÅÔÎÙÍÉ, ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÞÅÔÎÏÓÔØ (×ÓÅ ÞÅÔÎÙÅ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 235 ÉÌÉ ×ÓÅ ÎÅÞÅÔÎÙÅ). ÷ ÌÀÂÏÍ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÌÕÞÁÅ× ÓÕÍÍÁ x + z ÏËÁÖÅÔÓÑ ÞÅÔÎÏÊ. (×) üÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ××ÉÄÕ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ: xy = yx. ïÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÉÚ ÎÅÞÅÔÎÏÓÔÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ xy É yz ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÞÅÔÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ: x, y É z . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ xz ÔÏÖÅ ÎÅÞÅÔÎÏ. îÏ ÏÎÏ ÎÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÔÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, 2 · 2 = 4 | ÞÉÓÌÏ ÞÅÔÎÏÅ. (Ç) ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ x + x2 = = x(x + 1) | ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÄÎÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÞÅÔÎÏ. ðÏÜÔÏÍÕ É ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÇÄÁ ÂÕÄÅÔ ÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. ïÎÏ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ x + xy É y + yz | ÞÅÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ÌÉÂÏ x | ÞÅÔÎÏ (ÔÏÇÄÁ É x + xz | ÞÅÔÎÏ), ÌÉÂÏ x | ÎÅÞÅÔÎÏ (ÔÏÇÄÁ ×ÓÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ: x, y É z | ÎÅÞÅÔÎÙ É, ÓÎÏ×Á, x + xz | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). éÔÁË, × ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ x + xz | ÞÉÓÌÏ ÞÅÔÎÏÅ, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. âÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÉÍÅÒÕ: 2 + 2 · 3 = 8 | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÏ 3 + 3 · 2 = 9 | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁÛÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. 4.6. (Á) R = (1; 9); (3; 3); (9; 1) . (Â) S = (3; 2); (6; 4); (9; 6); (12; 8) . (×) ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ∪ (1; 1); (9; 9) : (Ç) ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ S ÓÌÕÖÉÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ S ∪ (9; 4) : 4.7. (Á) x ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÓÔÁÒÛÅ, ÞÅÍ y . (Â) x = 2n y ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ n. (×) x < y (ÏÓËÏÌØËÕ ÄÁÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ). (Ç) x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÏÍËÏÍ y ÖÅÎÓËÏÇÏ ÏÌÁ. 236 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4.8. úÁÍÙËÁÎÉÅÍ Ï ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ ÓÌÕÖÉÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÚÁÄÁÎ- ÎÏÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÁÒÁÍÉ: (a; a); (b; b); ( ; ); (d; d); (a; ); (a; d); (b; d); ( ; a); (d; a) : úÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ: (a; a); (b; b); ( ; ); (a; ); (a; d); (b; d); ( ; a); (d; a); (d; b) : þÔÏÂÙ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÄÏÂÁ×ÉÍ ÁÒÕ (b; a) (ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÎÁÌÉÞÉÅ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÁÒ (b; d) É (d; a)), ( ; d) (ÉÚ-ÚÁ ( ; a) É (a; d)) É (d; d) (ÔÁË ËÁË × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÕÖÅ ÅÓÔØ ÁÒÙ (d; a) É (a; d)). ÅÅÒØ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍ ÁÒÕ (b; ) (ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÎÏ×ÕÀ ÁÒÕ (b; a) É ÓÔÁÒÕÀ (a; )). éÔÁË, ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ: (a; a); (b; b); ( ; ); (a; ); (a; d); (b; d); ( ; a); (d; a); (b; a) ( ; d); (d; ); (d; d); (b; ) : åÓÌÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ, ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÁÒÙ (x; y ) É (y; x), ÇÄÅ x 6= y . ëÁËÉÅ ÂÙ ÁÒÙ ÍÙ ÎÉ ÄÏÂÁ×ÉÌÉ Ë ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ, ÍÙ ÎÅ ÓÍÏÖÅÍ ÒÅÏÄÏÌÅÔØ ÜÔÕ ÎÅÒÉÑÔÎÏÓÔØ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÔÒÏÉÔØ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ï ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÂÅÓÓÍÙÓÌÅÎÎÏ. 4.9. (Á) ëÁÖÄÙÊ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ËÎÉÇ, ÅÒÅÌÅÔ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÅÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ×ÅÔ. (Â) úÄÅÓØ ÅÓÔØ Ä×Á ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÞÅÔÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. (×) úÄÅÓØ ÔÏÖÅ Ä×Á ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ë ÏÄÎÏÍÕ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ×ÓÅ ÖÅÎÝÉÎÙ, Á Ë ÄÒÕÇÏÍÕ | ×ÓÅ ÍÕÖÞÉÎÙ. (Ç) ëÁÖÄÙÊ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (0; 0). 4.10. ÁË ËÁË x2 − x2 = 0 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÒÅÆÌÅË- ÓÉ×ÎÏ. åÓÌÉ x2 − y 2 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÔÏ y 2 − x2 = −(x2 − y 2 ) ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3. úÎÁÞÉÔ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 237 ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÒÁÚÎÏÓÔÉ x2 − y 2 É y 2 − z 2 ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ 3. ÏÇÄÁ x2 − z 2 = (x2 − y 2 ) + (y 2 − z 2 ) | ÓÕÍÍÁ ÞÉÓÅÌ, ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ 3. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÎÁ ÔÏÖÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R. ëÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÞÉÓÌÏ 0, ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ: E0 = {n : n2 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3}. ÁË ËÁË n2 ËÒÁÔÎÏ ÔÒÅÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÁÍÏ ÞÉÓÌÏ n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3, ÔÏ E0 = {0; ±3; ±6; : : :}. ëÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÊ 1, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: E1 = {n : n2 − 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 3}: ðÏÓËÏÌØËÕ n2 − 1 = (n − 1)(n +1), ÔÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ: (n − 1) ÉÌÉ (n + 1) ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 3. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n = 3m ± 1, ÇÄÅ m | ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ É, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ, E1 = {::: − 1; 1; 2; 4; 5; :::}. éÔÁË, ××ÉÄÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á E0 ∪ E1 = Z, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ËÌÁÓÓÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ: E0 É E1 . 4.11. (Á) äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò4.3. òÉÓÕÎÏË ò4.3. äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ (Â) äÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÄÁÎÎÏÊ ÏÄÚÁÄÁÞÉ ÉÄÅÎÔÉÞÎÁ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÔÏÌØËÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍ. 1 ↔ ∅; 6 ↔ {1; 2}; 2 ↔ {1}; 10 ↔ {1; 3}; 3 ↔ {2}; 15 ↔ {2; 3}; 5 ↔ {3}; 30 ↔ {1; 2; 3}: 238 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 4.12. R = (a; d); (a; g ); (b; e); (b; g ); (b; h); ( ; e); ( ; g ); ( ; h); (d; g ); (e; g ); (e; h) : íÉÎÉÍÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ: a, b, É f. íÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ: f , g É h. 4.13. õÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÊ ÓÉÓÏË ÓÌÏ× ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÂÁÎÁÎ, ÂÁÎÄÖÏ, ÂÉ×ÅÎØ, ÂÉÓË×ÉÔ, ÂÕÔÙÌËÁ . îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 5 5.1. R−1 = (1; 1); (1; 3); (3; 2); (4; 2); (4; 3) . S −1 = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 4) . S ◦ R = (1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 1); (3; 2) . (S ◦ R)−1 = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3) . R−1 ◦ S −1 = (1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3) = = (S ◦ R)−1 . 5.2. R−1 | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÒÅÂÅÎÏË .... S −1 | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÂÒÁÔ ÉÌÉ ÓÅÓÔÒÁ .... R ◦ S | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÄÑÄÑ .... S −1 ◦ R−1 | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÌÅÍÑÎÎÉË ÉÌÉ ÌÅÍÑÎÎÉ Á .... R ◦ R | ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ... ÂÁÂÕÛËÁ ÉÌÉ ÄÅÄÕÛËÁ .... 5.3. ÁË ËÁË R | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÔÏ ÏÎÏ ÒÅÆÌÅË- ÓÉ×ÎÏ, ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. ÷×ÉÄÕ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔÉ R, ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÁÒÙ ×ÉÄÁ (x; x). úÎÁÞÉÔ É R−1 ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÁÒÙ, Ô. Å. R−1 | ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x R−1 y É y R−1 x. ÏÇÄÁ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ y R x É x R y . âÌÁÇÏÄÁÒÑ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ x = y , ÏÔËÕÄÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ R−1 ÔÏÖÅ ÁÎÔÉÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x R−1 y É y R−1 z . ÏÇÄÁ y R x É z R y . ðÏÓËÏÌØËÕ R | ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ z R x. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x R−1 z , Ô. Å. R−1 ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. ðÏÄ×ÏÄÑ ÉÔÏÇ ÎÁÛÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ R−1 ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÞÁÓÔÉÞÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ R−1 ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØ- òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 239 ÎÏ ÏÒÑÄËÁ R É ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ R−1 | ÜÔÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ R. 5.4. MN = é ì ì é ì é  é ì é é  é é ì ì = é ì é é : é é é é ì é é é  íÁÔÒÉ Á M N ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ S ◦ R. 5.5. ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÕÎËÔÏ× (Á) É (Â) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑÍÉ. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ (×) ÆÕÎË ÉÅÊ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ 0 ∈ A ÎÅ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÎÉËÁËÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B . ïÔÎÏÛÅÎÉÑ ÕÎËÔÁ (Ç) ÔÏÖÅ ÎÅ ÆÕÎË ÉÑ, ÉÂÏ ÜÌÅÍÅÎÔÕ 0 ∈ A × ÎÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B : 3 É 7. æÕÎË ÉÑ ÕÎËÔÁ (Á) ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË ËÁË ÏÎÁ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A (6 É 0) × ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔ 3 ∈ B . üÔÁ ÆÕÎË ÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ, ××ÉÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ 7 ∈ B ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ. æÕÎË ÉÑ ÕÎËÔÁ (Â) É ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, Ô. Å. ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ. 5.6. (Á) åÓÌÉ f (a1 ) = f (a2 ), ÔÏ 2a1 + 1 = 2a2 + 1, ÏÔËÕÄÁ a1 = a2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÆÕÎË ÉÑ f ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÚÎÁÞÉÔ, f | ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. (Â) æÕÎË ÉÑ g ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, g (4) = = g (1) = 2. äÁÌÅÅ, ÔÁË ËÁË g (2m) = m, ÇÄÅ m | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÉÉ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ Z. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ g | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. (×) ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ h(n) | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÅÓÌÉ n | ÞÅÔÎÏ, É ÞÅÔÎÏÅ, ÅÓÌÉ n | ÎÅÞÅÔÎÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ h(a1 ) = h(a2 ), ÔÏ ÌÉÂÏ a1 + 1 = a2 + 1, ÌÉÂÏ a1 − 1 = = a2 − 1. ÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: a1 = a2 . ðÏÜÔÏÍÕ h | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. åÓÌÉ m | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÞÉÓÌÏ m − 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÅÔÎÙÍ É, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÆÕÎË ÉÉ h, h(m − 1) = (m − 1) + 1 = m: 240 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ åÓÌÉ ÖÅ m | ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ m + 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÙÍ É h(m + 1) = (m + 1) − 1 = m: üÔÉÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ËÁËÏ×Ï ÂÙ ÎÉ ÂÙÌÏ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ m, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ n (ÒÁ×ÎÏÅ (m − 1) ÉÌÉ (m + 1)), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ h(n) = m. úÎÁÞÉÔ, h | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. 5.7. çÒÁÆÉËÉ ÆÕÎË ÉÊ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò5.1. (Á) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ {n2 + 1 : n ∈ Z} = {1; 2; 5; 10; : : :}: ÁË ËÁË f (−1) = f (1) = 2, ÏÎÁ ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ f (x) = 3 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ f ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. (Â) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ g ÒÁ×ÎÏ {2; 4; 8; 16; : : : }: ðÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ g (a) = g (b) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ 2a = 2b , ËÏÔÏÒÏÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÒÁ×ÎÙÈ a É b. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, g | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. ïÄÎÁËÏ ÏÎÁ ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ g (x) = 3 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. (×) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ h ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ R. åÓÌÉ h(a) = h(b), ÔÏ 5a − 1 = 5b − 1, Ô. Å. a = b. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, h | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. á ÔÁË ËÁË h ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÌÀÂÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÔÏ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ. (Ç) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ j ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ R. ÁË ËÁË j (−1) = j ( 32 ) = 0, j | ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ. åÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÅÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ. (Ä) ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ k ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ ÌÀÂÏÅ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, Á ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÎÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ k ÎÅ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÏÎÁ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ, ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x1 < 0 É x2 < 0 ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: k (x1 ) = k (x2 ) = 0. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ á â ã , ä å òÉÓÕÎÏË ò5.1. , åñëè x > 1 åñëè x < 1 241 242 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ (Å) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ l | ×ÓÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÎÁ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. åÓÌÉ x > 0, ÔÏ l(x) = x > 0, Á ÒÉ x < 0 l(x) = 3x < 0. úÎÁÞÉÔ, × ÓÌÕÞÁÅ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ l(a) = l(b) ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ a É b ÂÕÄÕÔ ÉÍÅÔØ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÚÎÁË. åÓÌÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙ, ÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ l ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ: a = b. åÓÌÉ ÖÅ a < 0 É b < 0, ÔÏ l(a) = l(b) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ 3a = 3b; ÏÔËÕÄÁ a = b. éÔÁË, × ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ l(a) = l(b) ×ÌÅÞÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a = b, Ô. Å. l | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. j k 2 2 (−1) +1 = = 0: áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, f (0) = 0, 5.8. (Á) f (−1) = 3 3 f (1) = 0 É f (2) = 1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ f | ÜÔÏ {0; 1}. (Â) æÕÎË ÉÑ g ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, g (0) = = g (1) = 0. ïÄÎÁËÏ ÏÎÁ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ 2n g (2n) = = n; 2 ÇÄÅ n | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. 5.9. åÓÌÉ f (a) = f (b), ÔÏ 1+ a2 = 1+ 2b , ÞÔÏ ×ÌÅÞÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a = b. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÆÕÎË ÉÉ g . õÒÁ×ÎÅÎÉÅ f (x) = y 2 ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ 1 + x2 = y , ÏÔËÕÄÁ x = y− . ðÏÓÌÅÄÎÅÅ 1 ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ y = 1, ËÏÔÏ- ÒÏÅ ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÉ. ðÏ ÌÀÂÏÍÕ ÖÅ ÄÒÕÇÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ x, ËÏÔÏÒÙÊ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ÜÔÏÔ ÜÌÅÍÅÎÔ ÆÕÎË ÉÅÊ f . úÎÁÞÉÔ, f | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. íÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ f ËÁË ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁ, ÔÁË É ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ. ïÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÎÅÊ ÆÕÎË2 . ÉÑ f −1 : B −→ A ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f −1 (x) = x− 1 (2x + 1)2 ; ÅÓÌÉ x > 0; 5.10. (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = x2 ; ÅÓÌÉ x < 0; (g ◦ f )(x) = g (f (x)) = 2x2 + 1; g (2x + 1); ÅÓÌÉ x > 0; (g ◦ g )(x) = g (g (x)) = g (−x); ÅÓÌÉ x < 0: òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 243 åÓÌÉ x > 0, ÔÏ 2x + 1 > 1 É ÏÜÔÏÍÕ g (2x + 1) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3: åÓÌÉ x < 0, ÔÏ −x > 0. úÎÁÞÉÔ, g (−x) = 2(−x) + 1 = 1 − 2x: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 4x + 3; ÅÓÌÉ x > 0; (g ◦ g )(x) = 1 − 2x; ÅÓÌÉ x < 0: 5.11. (Á) òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ) ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÉÓÁÔØ × ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÏÍ ×ÉÄÅ: g (f (a1 )) = g (f (a2 )). ÷×ÉÄÕ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ g ÉÚ ÎÅÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ f (a1 ) = f (a2 ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, f | ÔÏÖÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. úÎÁÞÉÔ, a1 = a2 . äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, g ◦ f | ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË- ÉÑ. (Â) ðÕÓÔØ ∈ C . ÁË ËÁË g | ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ b ∈ B , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ g (b) = . äÌÑ ÜÔÏÇÏ b, ËÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f , ÏÔÙÝÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ A, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ f (a) = b. ðÒÏÕÓËÁÑ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÁÅÍ ×Ù×ÏÄ: ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ∈ C ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ A, ÞÔÏ g (f (a) = , ÞÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ g ◦ f . (×) ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ f (a) = b É g (b) = . ÏÇÄÁ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÆÕÎË ÉÊ (g ◦f )(a) = . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (g ◦ f )−1 ( ) = a. îÏ f −1 (b) = a É g −1 ( ) = b. ðÏÜÔÏÍÕ (f −1 ◦ g −1 )( ) = f −1 (g −1 ( )) = f −1 (b) = a: íÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ∈ C ÉÍÅÅÔ ÍÅ- (g ◦ f )−1 ( ) = (f −1 ◦ g −1 )( ); ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. 5.12. (Á) îÁ ÉÇÒÁÌØÎÏÊ ËÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ×ÙÁÓÔØ ÏÄÎÏ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÞÉ- ÓÅÌ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÂÒÏÓÁÑ ËÏÓÔØ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ÛÅÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÉÓÈÏÄÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ, ÂÒÏÓÁÑ ËÏÓÔØ ÓÅÍØ ÒÁÚ, ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÞÉÓÌÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÒÁÚÁ. (Â) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÁÒ ÏÞËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÁÄÁÀÔ ÎÁ Ä×ÕÈ ÉÇÒÁÌØÎÙÈ ËÏÓÔÑÈ. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÖÅ ÜÔÉÈ ÁÒ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å A ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÂÒÏÓÁÎÉÊ ËÏÓÔÅÊ. ðÕÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B = {2; 3; 4; : : : ; 12} ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÕÍÍ ÏÞËÏ× ÎÁ ÁÒÅ ËÏÓÔÅÊ. 244 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÁÒÅ ÏÞËÏ× ÉÈ ÓÕÍÍÕ. âÌÁÇÏÄÁÒÑ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ |A| > |B |, ÔÏ ËÁËÁÑ-ÔÏ ÉÚ ÓÕÍÍ ×ÙÁÄÅÔ Ä×ÁÖÄÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ 12 ÂÒÏÓÁÎÉÊ ËÏÓÔÅÊ ÏÄÎÁ ÉÚ ÓÕÍÍ ÏÞËÏ× ×ÓÔÒÅÔÉÔÓÑ Ä×ÁÖÄÙ. (×) ÷ ÉÇÒÁÌØÎÙÈ ËÁÒÔÁÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÅÔÙÒÅ ÍÁÓÔÉ: ÔÒÅÆÙ, ÉËÉ, ÂÕÂÎÙ É ÞÅÒ×Ù. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÙÔÁÝÉ× ÑÔØ ËÁÒÔ ÉÚ ËÏÌÏÄÙ, ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ, ÞÔÏ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Å ÉÚ ÎÉÈ ÏÄÎÏÊ ÍÁÓÔÉ. (Ç) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÙÔÁÝÅÎÎÙÈ ËÁÒÔ, Á ÞÅÒÅÚ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÅÔÙÒÅÈ ËÁÒÔÏÞÎÙÈ ÍÁÓÔÅÊ. ðÕÓÔØ ÆÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÖÄÏÊ ×ÙÔÁÝÅÎÎÏÊ ËÁÒÔÅ ÅÅ ÍÁÓÔØ. éÚ ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÇÏ ÒÉÎ ÉÁ äÉÒÉÈÌÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÉ |A| > 3|B | ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÞÅÔÙÒÅÈ ËÁÒÔ ÏËÁÖÕÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÍÁÓÔÉ. ðÏÌÕÞÁÅÍ ÏÔ×ÅÔ: ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÔÁÝÉÔØ 13 ËÁÒÔ. 5.13. (Á) ðÕÓÔØ A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÅÍÅÊ, ÒÏÖÉ×ÁÀÝÉÈ × ÓÅÌÅ, Á B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒ ÍÅÓÑ Å×. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A −→ B , ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÖÄÏÊ ÓÅÍØÅ ÁÒÕ ÍÅÓÑ Å×, × ËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÄÉÌÉÓØ ÉÈ ÄÅÔÉ. ÷ ÇÏÄÕ ×ÓÅÇÏ 12 ÍÅÓÑ Å×, ÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÍÅÓÑ Å× ÒÁ×ÎÏ 12 · 12 = 144. ÷ Ä×ÅÎÁÄ ÁÔØ ÉÚ ÎÉÈ ×ÈÏÄÉÔ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÍÅÓÑ Á, Á × 132 ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÁÒÁÈ | ÍÅÓÑ Ù ÒÁÚÎÙÅ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÒÅÓÔÁ×É× ÉÈ × ÁÒÅ, ÍÙ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÏÌÕÞÉÍ ÄÒÕÇÕÀ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ÁÒÕ ÍÅÓÑ Å×, ÎÏ ÄÌÑ ÎÁÛÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÏÒÑÄÏË ÍÅÓÑ Å× × ÁÒÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÍÅÓÑ Å×, Ô. Å. ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B , ÒÁ×ÎÁ |B | = 12 + 132 = 78: 2 ÁË ËÁË |A| = 79, Á |B | = 78, ÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ, ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ä×Å ÓÅÍØÉ, ÄÅÔÉ × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÄÉÌÉÓØ × ÏÄÎÉ É ÔÅ ÖÅ ÍÅÓÑ Ù. (Â) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÔÅÊ, Á ÞÅÒÅÚ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A → B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÒÅÂÅÎËÕ ÅÒ×ÕÀ ÂÕË×Õ ÅÇÏ ÉÍÅÎÉ. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ |A| = 2 · 79 = 158. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ, Ó ËÏÔÏÒÙÈ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉ ÍÏÖÅÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ ÉÍÑ ÒÅÂÅÎËÁ, | 31 (ÍÙ ×ÙÂÒÏÓÉÌÉ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 245 ÚÎÁËÉ: ÿ É ø, Ó ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ ÎÉ ÏÄÎÏ ÓÌÏ×Ï). úÎÁÞÉÔ, |B | = 31. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, |A| > 5|B |, ÞÔÏ, ××ÉÄÕ ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÇÏ ÒÉÎ ÉÁ äÉÒÉÈÌÅ, ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÎÁÍ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ 6 ÄÅÔÅÊ × ÓÅÌÅ, ÉÍÅÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù. 5.14. (Á) ÷ÙÉÛÅÍ ÁÒÙ ÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÄÁÀÝÉÈ × ÓÕÍÍÅ ÞÉÓÌÏ 22: {2; 20}, {4; 18}, {6; 16}, {8; 14}, {10; 12}. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , Á ÞÅÒÅÚ B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÙÉÓÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÁÒ. ðÕÓÔØ ÆÕÎË ÉÑ f : A −→ B ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔ- ÓÔ×ÉÅ ×ÙÂÒÁÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÔÕ ÁÒÕ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÎÏ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ. îÁÒÉÍÅÒ, f (6) = {6; 16}. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ |A| > |B |, ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ Ä×Á ÞÉÓÌÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ f × ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÁÒÕ. á ÜÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Á ÞÉÓÌÁ Ó ÓÕÍÍÏÊ, ÒÁ×ÎÏÊ 22. ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ |B | = 6. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÚÑÔØ 6 ÞÉÓÅÌ. (Â) óÌÅÄÕÑ ÕËÁÚÁÎÉÀ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S , É ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ÷ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ 10 ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÏ 19. îÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ S | ÜÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ 1, 3, 5, 7 ÉÌÉ 9. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ B ÆÕÎË ÉÉ f ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . ðÕÓÔØ A | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × S , ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ 11 ÞÉÓÅÌ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : A → B , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÞÉÓÌÕ n ∈ A ÅÇÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ. ÁË ËÁË |B | = 10, ÔÏ Ï ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Á ÞÉÓÌÁ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÕÄÅÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÉÈ ÞÅÒÅÚ n É m. ÏÇÄÁ n = 2i b, ÇÄÅ b | ÎÅÞÅÔÎÏ1 , Á i = 0; 1; 2; 3; 4. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, m = 2j b, ÇÄÅ j = 0; 1; 2; 3; 4. åÓÌÉ i > j , ÔÏ 1 äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÎÅÞÅÔÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÌÁ n ÒÁ×ÅÎ b. ÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ n′ = n=b | ÅÌÏÅ. åÓÌÉ n′ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÅ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÏÔÌÉÞÎÏÅ ÏÔ 1, ÓËÁÖÅÍ, ÎÁ k, ÔÏ É ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÞÉÓÌÏ n ÂÕÄÅÔ ÎÁ ÎÅÇÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÞÉÓÌÏ n ÄÏÌÖÎÏ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ kb, ËÏÔÏÒÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÙÍ. üÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ b ÓÒÅÄÉ ÎÅÞÅÔÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÞÉÓÌÁ n. úÎÁÞÉÔ, n′ = = n=b ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ, ÏÔÌÉÞÎÏÇÏ ÏÔ 1. ðÏÜÔÏÍÕ ′ i n = 2 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ i. | ðÒÉÍ. ÅÒÅ× . 246 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ m ÄÅÌÉÔ n. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÞÉÓÌÏ n ÄÅÌÉÔ m. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ 11 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÁÄÅÔÓÑ ÁÒÁ ÞÉÓÅÌ, ÏÄÎÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÉÔ ÄÒÕÇÏÅ. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6 6.1. (Á) ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ 5 · 8 · 7 = 280 ÒÁÚÎÙÈ ËÏÓÔÀÍÏ×. (Â) öÅÎÝÉÎÁ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ 5 · 3 = 15 ÒÁÚÎÙÈ ÎÁÒÑÄÏ× ÉÚ ÑÔÉ ÀÂÏË É ÔÒÅÈ ÂÌÕÚÏË. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÓÍÅÎÉÔØ ÂÌÕÚËÕ É ÀÂËÕ ÎÁ ÌÁÔØÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ï ÒÁ×ÉÌÕ ÓÕÍÍÙ Õ ÎÅÅ ÅÓÔØ 15 + 6 = 21 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÓÍÅÎÙ ÎÁÒÑÄÏ×. (×) õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ ÛÅÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÓÅÒÔÏ× ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÏÒ ÉÉ ÍÏÒÏÖÅÎÏÇÏ, 6·6 = 36 ÄÅÓÅÒÔÏ× ÉÚ Ä×ÕÈ ÏÒ ÉÊ É 63 = 216 ÉÚ ÔÒÅÈ. üÔÏ ÄÁÅÔ ×ÓÅÇÏ 6 + 36 + 216 = 258 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÄÅÓÅÒÔÁ. 6.2. (Á) ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 10 ÉÆÒ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 É 9. ïÄÎÁËÏ × ÓÔÁÒÛÅÍ ÒÁÚÒÑÄÅ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÏÇÏ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÁ) ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÉÆÒÁ 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 9 · 102 = 900 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÅÒ×ÙÈ ÔÒÅÈ ÉÆÒ ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÏÇÏ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÁ. ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÅÇÏ ÉÆÒÙ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ Ï ÅÒ×ÙÍ ÔÒÅÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 900 ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÙÈ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÅÊ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ É ÄÌÑ ÏÄÓÞÅÔÁ ÓÅÍÉÚÎÁÞÎÙÈ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÅÊ. îÏ ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÄÏÂÁ×É× × ÓÅÒÅÄÉÎÕ ÛÅÓÔÉÚÎÁÞÎÏÇÏ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÉÆÒÕ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÓÅÍÉÚÎÁÞÎÙÊ ÅÒÅ×ÅÒÔÙÛ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÔ×ÅÔ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ: 900 · 10 = 9000. (Â) îÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÒÁ×Á Õ ÔÁËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÅÔ ÓÔÏÑÔØ 1, 3 ÉÌÉ 5. ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÒÁÚÒÑÄÙ ÍÏÖÎÏ ÚÁÏÌÎÑÔØ ÌÀÂÙÍÉ ÎÅÞÅÔÎÙÍÉ ÉÆÒÁÍÉ (ÉÈ ×ÓÅÇÏ 5). ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 3 · 53 = 375 ÞÅÔÙÒÅÈÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÈ 6000, × ÞØÅÊ ÚÁÉÓÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÌØËÏ ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÉÆÒÙ. (×) õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 262 = 676 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÁÒÏÌÑ. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÞÅÔÙÒÅÈ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 247 ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎ ÉÚ 36 ÓÉÍ×ÏÌÏ× (26 ÂÕË× É 10 ÉÆÒ). üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ 364 = 1 679 616 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 676·1 679 616 = 1 135 420 416 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒÏÌÅÊ. 6.3. (Á) îÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÔÁËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÌÀÂÁÑ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÉÆÒ (1, 2, 3, É 6), Á ÎÁ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ | ÌÀÂÁÑ ÉÚ ÑÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ 4 · 53 = 500 ÞÉÓÅÌ. (Â) ðÅÒ×ÙÊ ÚÎÁË ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ. ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÔÒÉ ÚÎÁËÁ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ×ÙÂÏÒËÕ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÔÒÅÈ ÏÂßÅËÔÏ× ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ (ÏÄÎÏÇÏ 0 É ÔÒÅÈ ÎÅ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÎÙÈ ÅÝÅ ÉÆÒ). ÷ÓÅÇÏ ÔÁËÉÈ ×ÙÂÏÒÏË | 4 · 3 · 2 = 24. úÎÁÞÉÔ, 4 · 24 = 96 ÞÉÓÅÌ ÉÚ S ÎÅ ÉÍÅÀÔ × Ó×ÏÅÊ ÚÁÉÓÉ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÉÆÒ. (×) þÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÍÏÖÅÔ ÏËÁÎÞÉ×ÁÔØÓÑ ÉÆÒÁÍÉ: 0, 2 ÉÌÉ 6. åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ ÒÁ×ÎÁ 0, ÔÏ ÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ 4 · 3 · 2 = 24 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÆÒÁ | 2 ÉÌÉ 6, ÔÏ (ÔÁË ËÁË ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó 0) ÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ 3 · 3 · 2 = 18 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ðÏ ÒÁ×ÉÌÕ ÓÕÍÍÙ ÓÒÅÄÉ ÞÉÓÅÌ ÕÎËÔÁ (Â) ÒÏ×ÎÏ 24 + 18 + 18 = 60 ÞÅÔÎÙÈ. (Ç) þÔÏÂÙ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÕÎËÔÁ (Â) ÂÙÌÏ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ 4 000, ÏÎÏ ÄÏÌÖÎÏ ÎÁÞÉÎÁÔØÓÑ Ó 4, 5 ÉÌÉ 6. ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÞÉÓÌÁ ÉÚ ÉÆÒ 0, 1, 2, 3, É 6. úÎÁÞÉÔ, ÎÕÖÎÙÅ ÎÁÍ ÞÉÓÌÁ ÎÁÞÉÎÁÀÔÓÑ Ó 6. ïÓÔÁÌØÎÙÅ 3 ÉÆÒÙ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÉÓÁÔØ 4 · 3 · 2 = 48 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. úÎÁÞÉÔ, 48 ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ . (Â), ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÔ 4 000. 6.4. (Á) P (7; 2) = 42, P (8; 5) = 6 720, P (6; 4) = 360, P (n; 1) = n É P (n; n − 1) = n!: (Â) C (10; 7) = 120, C (9; 2) = 36, C (8; 6) = 28, C (n; 1) = C (n; n − 1) = n. þÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ k ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ n, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ n − k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ n. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÔÂÉÒÁÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÌÉÂÏ ×ÚÑÔØ ÎÕÖÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï, ÌÉÂÏ ×ÙÂÒÏÓÉÔØ ÌÉÛÎÅÅ. ðÏÜÔÏÍÕ C (n; k ) = C (n; n − k ). 248 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ: C (n; n − k ) = n! n! = = C (n; k ): (n − (n − k ))!(n − k )! k !(n − k )! 6.5. (Á) ðÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÒÉÚÅÒÏ× ÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ, Á Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ ÚÁÒÅÝÅÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ P (17; 3) = 4080 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÉÚÏ×ÙÈ ÍÅÓÔ. (Â) úÄÅÓØ, ËÁË É × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ, ÏÒÑÄÏË ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ É Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ ÚÁÒÅÝÅÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ P (20; 2) = 380 ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌÑ É ÓÅËÒÅÔÁÒÑ ËÏÍÉÔÅÔÁ. (×) ðÒÉÄÕÍÙ×ÁÑ ÁÒÏÌØ, ÎÁ ÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÍÅÓÔÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÓÔÒÏÞÎÙÅ ÂÕË×Ù. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ P (26; 2) = 650 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ Ä×Å ÂÕË×Ù ÄÌÑ ÎÁÞÁÌÁ ÁÒÏÌÑ, Õ ÎÁÓ ÏÓÔÁÌÏÓØ 10 ÉÆÒ É 24 ÂÕË×Ù ÄÌÑ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÁÒÏÌÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÉÍ×ÏÌÙ × ÎÅÍ ÎÅ ÍÏÇÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ. úÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ ÁÒÏÌÑ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ P (34; 4) = 1 113 024 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ï ÒÁ×ÉÌÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÉÓÁÔØ 650 · 1 113 024 = 723 465 600 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÒÏÌÅÊ. 6.6. (Á) ðÏÒÑÄÏË ÏÔÂÏÒÁ ÉÇÒÏËÏ× × ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÓÏÓÔÁ× ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÅÔ É Ï×ÔÏÒÙ ÎÅ ÒÁÚÒÅÛÅÎÙ. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ C (18; 11) = 31 824 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÓÏÓÔÁ×Á ËÏÍÁÎÄÙ. (Â) öÅÎÓËÕÀ ÞÁÓÔØ ÖÀÒÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ C (8; 5) = 56 ÓÏÓÏÂÁÍÉ, Á ÍÕÖÓËÕÀ | C (11; 7) = 330 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 56 · 330 = 18 480 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÖÀÒÉ. (×) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (5; 3) = 10 ÓÏÓÏÂÏ× ÏÔÏÂÒÁÔØ ÔÒÅÈ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÉÇÒÏËÏ× É C (5; 1) = 5 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ×ÙÂÏÒÁ ÌÀÂÉÔÅÌÑ. üÔÏ ÄÁÅÔ 10 · 5 = 50 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ, × ËÏÔÏÒÙÅ ×ÈÏÄÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÌÀÂÉÔÅÌØ. þÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× ÒÁ×ÎÏ C (5; 4) = 5. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÂÒÁÔØ 5 ÌÀÂÉÔÅÌØÓËÉÈ ËÏÍÁÎÄ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 5 + 5 = 10 ËÏÍÁÎÄ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏ× ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÌÀÂÉÔÅÌÅÊ. 6.7. (Á) íÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ C (12; 3) = 220 ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 249 (Â) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (8; 3) = 56 ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ × ÓÅÂÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ìÉÂÅÒÁÌ-äÅÍÏËÒÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÁÒÔÉÉ. ÁË ËÁË ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ 220 ËÏÍÉÔÅÔÏ× ÂÅÚ ËÁËÉÈ-ÌÉÂÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÅÇÏ ÞÌÅÎÏ×, ÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÍÉÔÅÔÏ×, × ËÏÔÏÒÙÅ ×ÈÏÄÉÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÌÉÂÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔ, ÒÁ×ÎÏ 220 − 56 = 164. (×) ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, × ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØ ÁÒÔÉÉ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÏ×, ÒÁ×ÎÏ C (9; 3) = 84. åÓÌÉ × ËÏÍÉÔÅÔ ÎÅ ×ÈÏÄÑÔ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÙ, ÔÏ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ C (7; 3) = 35 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÉÈ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 84 + 35 = 119 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÄÓÞÅÔÅ ËÏÍÉÔÅÔÙ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÌÉÂÅÒÁÌ-ÄÅÍÏËÒÁÔÏ×, ÍÙ ÕÞÉÔÙ×ÁÌÉ Ä×ÁÖÄÙ. éÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁ×ÎÏ C (4; 3) = 4. ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 115 ÒÁÚÎÙÈ ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÚÁÄÁÞÉ. (Ç) íÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ C (5; 2) · C (3; 1) = 10 · 3 = 30 ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ Ä×ÕÈ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÏ× É ÏÄÎÏÇÏ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÁ, C (5; 1) · C (3; 2) = 15 ËÏÍÉÔÅÔÏ×, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ËÏÎÓÅÒ×ÁÔÏÒÁ É Ä×ÕÈ ÌÅÊÂÏÒÉÓÔÏ×. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ C (5; 1)·C (3; 1)·C (4; 1) = 60 ËÏÍÉÔÅÔÏ×, × ËÏÔÏÒÙÅ ×ÈÏÄÑÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ×ÓÅÈ ÁÒÔÉÊ. üÔÏ ÄÁÅÔ ÎÁÍ 30 + 15 + 60 = = 105 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. 6.8. (Á) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (8; 2) · C (5; 2) · C (3; 2) = 840 ÒÁÚÎÙÈ ÓÏÓÔÁ- ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÑ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÅ ÒÉÇÌÁÛÅÎÙ Ï Ä×Á ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑ ÏÔ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÔÄÅÌÁ. (Â) åÓÌÉ × ÓÏ×ÅÝÁÎÉÉ ÎÅ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (8; 6) = 28 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÓÏÚÙ×Á ÓÏ×ÅÝÁÎÉÑ. åÓÌÉ × ÓÏ×ÅÝÁÎÉÉ ÕÞÁÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÉÎ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C (8; 1) · C (8; 5) = 448 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÅÇÏ 28 + 448 = 476 ÒÁÚÎÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ ×ËÌÀÞÁÀÔ × ÓÅÂÑ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ Ä×ÏÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á. ÁË ËÁË ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÎÁÌÏÖÅÎÙ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ, ÒÁ×ÎÏ C (16; 6) = 8 008, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 7 532 ÔÒÅÂÕÅÍÙÈ ÓÏÓÔÁ×Ï×. (×) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ U ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ. ëÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ . ÚÁÄÁÞÉ, ÅÇÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ 250 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÁ |U | = 8 008: ðÕÓÔØ X | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÏÔÄÅÌÏ×. ÷ ÜÔÏÍ . ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X . ïÄÎÁËÏ, ÏÓÌÅ ÚÒÅÌÏÇÏ ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÑ, ÍÏÖÎÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÒÏÝÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÅÇÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ x = U \ X , ÏÔËÕÄÁ ÌÅÇËÏ ÂÕÄÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÔ×ÅÔ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÓÏÓÔÁ×Ù ÔÅÈ ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÏÔÄÅÌÏ×. ðÕÓÔØ A | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÒÉÇÌÁÓÉÌÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×ÅÎÎÉËÏ×, B | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ ÂÅÚ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÏÔÄÅÌÁ ÓÂÙÔÁ É, ÎÁËÏÎÅ , C | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÂÙÌÏ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÏ×. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, X = A ∪ B ∪ C: íÙ ÕÖÅ ÕÍÅÅÍ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÔÒÅÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× (ÓÍ. ÓÔÒ. 60). ðÒÉÍÅÎÉÍ ÎÁÛÉ ÚÎÁÎÉÑ Ë ÜÔÏÊ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ. |X | = |A ∪ B ∪ C | = = |A| + |B | + |C |− − |A ∩ B | − |A ∪ C | − |B ∩ C | + |A ∩ B ∩ C |: ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÈ × ÆÏÒÍÕÌÅ, ÏÔÄÅÌØÎÏ: |A| = C (8; 6) = 28; |B | = C (11; 6) = 462; |C | = C (13; 6) = 1 716: íÎÏÖÅÓÔ×Ï A ∩ B ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÓÏÓÔÁ×Ù ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÇÌÁÓÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÏ×. îÏ × ÓÏ×ÅÝÁÎÉÉ ÄÏÌÖÎÙ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÕÞÁÓÔÉÅ 6 ÞÅÌÏ×ÅË, Á ÂÕÈÇÁÌÔÅÒÏ× | ×ÓÅÇÏ ÔÒÏÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, A∩B = ∅ É |A∩B | = 0. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, A ∩ C ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÅÈ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÔÏÌØËÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ ÏÔÄÅÌÁ ÓÂÙÔÁ. ÷×ÉÄÕ ÍÁÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ ÔÁËÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ, ÉÍÅÅÍ: |A ∩ C | = 0. îÅÕÓÔÙÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ B ∩ C , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÓÏÓÔÁ×Ï× ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÙÌÉ ÔÏÌØËÏ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 251 ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×ÅÎÎÉËÉ. ðÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÉ ÉÍÅÅÍ: |B ∩ C | = C (8; 6) = 28: ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ A ∩ B ∩ C = ∅, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, A ∩ B = ∅. éÔÁË, |X | = |A ∪ B ∪ C | = = 28 + 462 + 1 716 − 28 = 2 178: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, |X | = |U | − |X | = 5 830: 6.9. (Á) ëÁÖÄÙÊ ÚÁËÁÚ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ×ÙÂÏÒËÕ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÛÅÓÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÑÔÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÉÏ×. éÈ ÞÉÓÌÏ ÒÁ×ÎÏ C (n + k − 1; n − 1), ÇÄÅ n = 5 É k = 6. úÎÁÞÉÔ, ÏÆÉ ÉÁÎÔ ÍÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ C (10; 4) = 210 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÁËÁÚÏ×. (Â) ëÁÖÄÙÊ ÂÕËÅÔ | ÜÔÏ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ 12 ÒÏÚ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÞÅÔÙÒÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÉÏ×. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ C (4 + 12 − 1; 4 − 1) = C (15; 3) = 455 ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÂÕËÅÔÁ. 6.10. (Á) îÁÂÏÒ ÏÔËÒÙÔÏË | ÜÔÏ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ Ó Ï- ×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÑÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÞÅÔÙÒÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÉÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ C (4 + 5 − 1; 4 − 1) = C (8; 3) = 56 ÎÁÂÏÒÏ× ÏÔËÒÙÔÏË. (Â) ÷ÙÂÒÁÔØ Ä×Á ÔÉÁ ÏÔËÒÙÔÏË ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÛÅÓÔØÀ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÏÓËÏÌØËÕ C (4; 2) = 6. ðÒÉ ËÁÖÄÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÓÄÅÌÁÔØ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ×ÙÂÏÒËÕ Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÑÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÔÉÏ×. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ C (2 + 5 − 1; 2 − 1) = C (6; 1) = 6 ÓÏÓÏÂÁÍÉ. èÏÔÅÌÏÓØ ÂÙ ÔÅÅÒØ ÅÒÅÍÎÏÖÉÔØ ÛÅÓÔØ ÎÁ ÛÅÓÔØ É ÏÌÕÞÉÔØ ÏÔ×ÅÔ. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÓÅÛÎÏÍ ÒÅÛÅÎÉÉ ÌÅÇËÏ ÄÏÕÓÔÉÔØ ÏÛÉÂËÕ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÍÙ 252 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÏÇÒÁÎÉÞÉÌÉÓØ ÔÉÁÍÉ A É B ÒÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÓËÉÈ ÏÔËÒÙÔÏË. ÏÇÄÁ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÑÔÉ ÏÔËÒÙÔÏË ÜÔÉÈ ÔÉÏ× ÏËÁÖÕÔÓÑ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ, ÅÌÉËÏÍ ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÉÚ ÏÔËÒÙÔÏË ÏÄÎÏÇÏ ÔÉÁ: 5A É 5B . åÓÌÉ ÖÅ ÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÔÉÁÍÉ A É C , ÔÏ ÓÒÅÄÉ ÎÁÂÏÒÏ× ÏÔËÒÙÔÏË ÔÁËÉÈ ÔÉÏ× ÂÕÄÕÔ ÎÁÂÏÒÙ 5A É 5C . úÎÁÞÉÔ, ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÒÁ×ÉÌÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÍÙ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÕÞÔÅÍ ÏÄÎÏÔÉÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ÏÔËÒÙÔÏË. úÁÍÅÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÙÂÏÒÏË ÑÔÉ ÏÔËÒÙÔÏË Ä×ÕÈ ÔÉÏ× Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ, ÞÔÏ × ÎÉÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÔËÒÙÔËÉ ÏÂÏÉÈ ÔÉÏ×, ÒÁ×ÎÏ 6 − 2 = 4. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÔÏÂÒÁÔØ 5 ÎÅ ÏÄÎÏÔÉÎÙÈ ÏÔËÒÙÔÏË Ä×ÕÈ ×ÉÄÏ×, ÒÁ×ÎÏ 4 · 6 = 24. ïÓÔÁÌÏÓØ ÕÞÅÓÔØ 4 ÏÄÎÏÔÉÎÙÈ ÎÁÂÏÒÁ. ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ: 28. 6.11. (Á) ÷ÏÓØÍÁÑ, ÄÅ×ÑÔÁÑ É ÄÅÓÑÔÁÑ ÓÔÒÏËÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ: 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1: (Â) ÷ÚÑ× ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÞÉÓÌÁ ÉÚ ×ÏÓØÍÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ, ÏÌÕÞÉÍ 1 + 2 · 7 + 21 = 36; 7 + 2 · 21 + 35 = 84; 21 + 2 · 35 + 35 = 126; É Ô. Ä. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ÄÅÓÑÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ. (×) ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ ðÁÓËÁÌÑ C (n; k ) + C (n; k + 1) = C (n + 1; k + 1) É C (n; k + 1) + C (n; k + 2) = C (n + 1; k + 2): óÌÏÖÉ× ÜÔÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á, ÒÉÄÅÍ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ C (n; k ) + 2C (n; k + 1) + C (n; k + 2) = = C (n + 1; k + 1) + C (n + 1; k + 2): ÷ÎÏ×Ø ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ðÁÓËÁÌÑ, ÏÌÕÞÉÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ: C (n; k ) + 2C (n; k + 1) + C (n; k + 2) = C (n + 2; k + 2): òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 253 6.12. (Á) ðÏÌÏÖÉ× a = b = 1 × ÂÉÎÏÍÅ îØÀÔÏÎÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ C (n; 0) + C (n; 1) + · · · + C )n; n) = (1 + 1)n = 2n : þÉÓÌÏ k -ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S ÍÏÝÎÏÓÔÉ n ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ n ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÂÅÚ ÕÞÅÔÁ ÏÒÑÄËÁ É Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ, ÏÎÏ ÒÁ×ÎÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ C (n; k ). ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á × S ÍÏÇÕÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ 0 ÉÌÉ 1, ÉÌÉ 2, ÉÌÉ ... ÉÌÉ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. úÎÁÞÉÔ, × n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ C (n; 0) + C (n; 1) + · · · + C )n; n) = 2n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×. (Â) ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ a = 1, b = −1 × ÂÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ ÄÁÅÔ C (n; 0) − C (n; 1) + C (n; 2) − · · · + (−1)n C (n; n) = = (1 − 1)n = 0: 6.13. (Á) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 11! ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÂÕË× á, â, ò, á, ë, á, ä, á, â, ò É á. ÁË ËÁË ÑÔØ ÂÕË× á, Ä×Å ÂÕË×Ù â É Ä×Å ÂÕË×Ù ò ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÔÌÉÞÉÔØ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 11! = 83 160 5!2!2! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÌÏ×. (Â) ðÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÕË×Ù á, â, ò, á, á, ä, á, â, ò É á, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ 10! = 7560 5!2!2! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÌÏ×. òÏ×ÎÏ ÓÔÏÌØËÏ ÓÌÏ×, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈÓÑ Ó ÂÕË×Ù ë, ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÕË×Ù × ÓÌÏ×Å áâòáëáäáâòá. (×) üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÌÅÇËÏ ÒÅÛÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ââ ÓÞÉÔÁÔØ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×ÏÊ. éÔÁË, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ 10! = 15 120 5!2! ÒÁÚÎÙÈ ÓÌÏ×, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. 254 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 6.14. (Á) éÓËÏÍÙÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÁ×ÅÎ C (8; 5) = 56. (Â) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xy 3 z 4 , ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (x + y + z )8 , ÒÁ×ÅÎ 8! = 280: 1!3!4! (×) ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ ab2 d, ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (a + b + + d)5 , ÒÁ×ÅÎ 5! = 60: 1!2!1!1! äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÑÔÁÑ ÓÔÅÅÎØ ÓÕÍÍÙ a + b + + d ÉÍÅÅÔ ÞÌÅÎ 60ab2 d. ðÕÓÔØ a = x, b = 2y , = z É d = −1. ÏÇÄÁ, ÒÁÓËÒÙ×ÁÑ ÓËÏÂËÉ × (x + 2y + z − 1)5 , ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÞÌÅÎ 60x(2y )2 z (−1) = −240xy 2 z . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xy 2 z × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ (x + 2y + z − 1)5 ÒÁ×ÅÎ −240. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7 7.1. ëÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ G ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÏÎÏ ×ÎÏÓÉÔ ×ËÌÁÄ × ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ, ÒÁ×ÎÙÊ 1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÕÍÍÉÒÕÑ ÓÔÅÅÎÉ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ, Ï ÞÅÍ ÎÕÖÎÏ ÏÍÎÉÔØ, ÜÔÏ ÔÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ uv ÍÙ ÏÄÓÞÉÔÁÅÍ Ä×ÁÖÄÙ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÓÔÅÅÎÉ ×ÅÒÛÉÎÙ u É v . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ ÒÁ×ÎÁ ÕÄ×ÏÅÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÒÅÂÅÒ × ÒÏÓÔÏÍ ÇÒÁÆÅ. ëÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ Kn ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ Ó ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. úÎÁÞÉÔ, ÓÔÅÅÎØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ Kn ÒÁ×ÎÁ (n − 1). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ, ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ n(n − 1). ðÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÌÅÍÍÅ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÒÁ×ÎÏ n(n2−1) . ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÏÎÑÌÉ, ÓÔÅÅÎØ ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ Kn ÒÁ×ÎÁ (n − 1). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÎÕÖÎÏ ×ÓÏÍÎÉÔØ, ÞÔÏ ÇÒÁÆ G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉÍÅÅÔ ÞÅÔÎÕÀ ÓÔÅÅÎØ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ Kn | ÜÊÌÅÒÏ× ÇÒÁÆ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ n | ÎÅÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÂÏÌØÛÅÅ 1. 7.2. ðÕÓÔØ G = (V; E ) | ÒÏÓÔÏÊ ÇÒÁÆ Ó n > 2 ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ S ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ. ÷×ÉÄÕ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 255 ÒÏÓÔÏÔÙ ÇÒÁÆÁ G, ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÔÅÅÎØ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÁ n − 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, S ⊂ {0; 1; 2; : : : ; n − 1}: ïÄÎÁËÏ S ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É 0, É n − 1, × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ×ÅÒÛÉÎÁ ÓÔÅÅÎÉ n − 1 ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ É Ó ÔÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ 0, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. éÔÁË, |S | 6 n − 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f : V −→ S , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÇÒÁÆÁ G ÅÅ ÓÔÅÅÎØ. ðÏÓËÏÌØËÕ |V | = n, ÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: |V | > |S |. ÁË ÞÔÏ, Ï ÒÉÎ ÉÕ äÉÒÉÈÌÅ, ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÆÕÎË ÉÑ f ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, Ô. Å. Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ. 7.3. ðÒÏÎÕÍÅÒÕÅÍ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ- ÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 6, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÏÍÅÒÁÍ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ. éÚÏÂÒÁÚÉÍ ÇÒÁÆ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.1. 2 3 4 1 5 6 òÉÓÕÎÏË ò7.1. íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ Kn ÉÍÅÅÔ n ÓÔÒÏË É n ÓÔÏÌÂ Ï×. îÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÅÅ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ (ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÓÔÒÏË ÓÏ ÓÔÏÌÂ ÁÍÉ ÔÏÇÏ ÖÅ ÎÏÍÅÒÁ) ÓÔÏÉÔ ì, Á ×ÎÅ ÅÅ | é. à á òÉÓÕÎÏË ò7.2. â 256 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 7.4. ðÒÏÎÕÍÅÒÏ×Á× ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ÍÁÔÒÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 4, ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÇÒÁÆÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÔÉÍ ÍÁÔÒÉ ÁÍ (ÒÉÓ. ò7.2). ïÂÏÚÎÁÞÉ× ÏÄÈÏÄÑÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÏ× G, H É K , ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.2 (a) ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÇÒÁÆ H , ÎÁ ÒÉÓ. ò7.2 (Â) | ÇÒÁÆ K , Á ÎÁ ÒÉÓ. ò7.2 (×) | G. 7.5. îÁ ÒÉÓ. ò7.3 ÒÉ×ÅÄÅÎÙ ÔÅ ÇÒÁÆÙ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÇÒÁÆÁÍÉ ÇÒÁÆÁ ÉÚ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ 7.3. 7.6. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÍ ÉËÌÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌ 1 2 6 8 7 5 4 3 1: óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉËÌÏ× ÄÌÉÎ 3, 4, 5, 6 É 7. ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 3: 2 8 6 2, 2 8 7 2, 4 7 8 4 É 4 5 7 4. ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 4: 2 7 8 6 2, 2 8 4 7 2 É 4 5 7 8 4. ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 5: 1 2 7 4 3 1, 1 2 8 4 3 1, 2 6 8 4 7 2 É 2 7 5 4 8 2. ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 6: 1 2 7 5 4 3 1, 1 2 8 7 4 3 1, 1 2 7 8 4 3 1 É 1 2 6 8 4 3 1. ãÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 7: 1 2 6 8 7 4 3 1 É 1 3 4 5 7 8 2 1. òÉÓÕÎÏË ò7.3. 7.7. ãÉËÌ ÄÌÉÎÙ 9: a b f j i d g h a. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ C ÇÉÏÔÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÇÒÁÆÁ P . ðÏÓËÏÌØËÕ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÄÏÌÖÅÎ ÏÂÏÊÔÉ ËÁË ×ÅÒÛÉÎÙ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÁË É ÏÍÅÝÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÌÕÞÁÈ Ú×ÅÚÄÙ, ÏÎ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÅÂÅÒ: ah, bf , i, dg ÉÌÉ ej . âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÉËÌ C ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÒÅÂÒÏ ah. ÅÅÒØ, ÞÔÏÂÙ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÉËÌ C ×ÅÒÛÉÎÕ a, ÎÕÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÒÅÂÒÏ ab ÉÌÉ ae. ÷×ÉÄÕ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ, ÎÅ ÎÁÒÕÛÁÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ × ÉËÌ C ×ËÌÀÞÅÎÏ ÒÅÂÒÏ ae. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 257 × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÍ ÉËÌÅ ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÉÎÄÅËÓ 2 (ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ ÏÄÈÏÄÉÔ Ë ÎÅÊ, Á ÄÒÕÇÏÅ ×ÙÈÏÄÉÔ ÉÚ ÎÅÅ). ðÏÜÔÏÍÕ ÉËÌ C ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÒÅÂÒÁ ab. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÒÏÊÔÉ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ b (×ÏÊÔÉ × ÎÅÅ É ×ÙÊÔÉ). ðÏÜÔÏÍÕ ÉËÌ C ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÂÁ ÒÅÂÒÁ: bf É b . ÷ÅÒÛÉÎÁ e ÄÏÌÖÎÁ ×ÈÏÄÉÔØ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ ÓÏ ÓÔÅÅÎØÀ 2. ðÏÜÔÏÍÕ ÉËÌ C ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÅÂÅÒ: ej ÉÌÉ de. òÁÚÂÅÒÅÍ ÜÔÉ ÓÌÕÞÁÉ ÏÔÄÅÌØÎÏ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÉËÌ C ×ÈÏÄÉÔ ÒÅÂÒÏ ej . ÏÇÄÁ ÒÅÂÒÏ ed ÎÁÍ ÒÉÄÅÔÓÑ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ. éÚÏÂÒÁÚÉÍ ÇÒÁÆ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.4, ×ÙÄÅÌÉ× ÎÁ ÎÅÍ ÒÅÂÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ×ËÌÀÞÉÌÉ × ÉËÌ C , É ÕÄÁÌÉ× ÔÅ, ËÏÔÏÒÙÅ × C ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔØÓÑ ÎÅ ÍÏÇÕÔ. b f a c h i j e g d òÉÓÕÎÏË ò7.4. ïÔÄÅÌØÎÙÅ ÒÅÂÒÁ ÇÉÏÔÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉËÌÁ C éÚ ÒÉÓÕÎËÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ d ÍÏÖÎÏ ÒÏÊÔÉ ÔÏÌØËÏ Ï ÒÅÂÒÁÍ dg É d . úÎÁÞÉÔ, ÉÈ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÉËÌ C . ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÒÅÂÒÏ i ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÛÎÉÍ É ÅÇÏ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÕÄÁÌÉÔØ. ÅÅÒØ × ÎÁÛÅÍ ÇÒÁÆÅ ÏÓÔÁÌÏÓØ Ä×Á ÒÅÂÒÁ, ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎÅ i. ÷ËÌÀÞÁÑ ×ÅÒÛÉÎÕ i × ÉËÌ C , ÍÙ Ó ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØÀ ÄÏÌÖÎÙ ÄÏÂÁ×ÉÔØ Ë ÎÅÍÕ É ÒÅÂÒÁ hj É ji, ÕÄÁÌÉ× ÒÉ ÜÔÏÍ hg É jf . ðÏÄ×ÏÄÑ ÉÔÏÇ ÜÔÏÍÕ ÜÔÁÕ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÉÚÏÂÒÁÚÉÍ ÎÁÛÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.5. ÅÅÒØ ÍÙ ×ÙÎÕÖÄÅÎÙ ×ËÌÀÞÉÔØ × ÉËÌ C ÒÅÂÒÏ f g , ÄÁÂÙ ÉÍÅÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÏÊÔÉ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ f É g . ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁ- 258 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÔÅ C ÂÕÄÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÅÓ×ÑÚÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ, Ô. Å. ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÉËÌÏÍ, ÎÅ ÇÏ×ÏÒÑ ÕÖÅ Ï ÅÇÏ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÓÔÉ. éÔÁË, ×ÙÂÏÒ ÒÅÂÒÁ ej ×ÅÄÅÔ Ë ÎÅÕÄÁÞÅ × ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×Á ÉËÌÁ. b f a c h i j g e d òÉÓÕÎÏË ò7.5. b f a c h i j g e d òÉÓÕÎÏË ò7.6. äÏÕÓÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÍÙ ×ËÌÀÞÉÌÉ × ÉËÌ C ÒÅÂÒÏ ed, Á ÒÅÂÒÏ ej , ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ×ÙÂÒÏÓÉÌÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÛÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.6. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 259 îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ. ò7.6 ÏÔÞÅÔÌÉ×Ï ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ ×ÅÒÛÉÎÙ j Ë ÉËÌÕ C ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÏÂÁ×ÉÔØ Ë ÎÅÍÕ ÒÅÂÒÁ f j É ji. îÏ ÔÏÇÄÁ ÒÅÂÒÏ f g ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÛÎÉÍ, ÏÓËÏÌØËÕ Ä×Á ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÒÅÂÒÁ, ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ f , ÕÖÅ ×ÏÛÌÉ × ÉËÌ C . ÷ÙÂÒÏÓÉÍ ÒÅÂÒÏ f g . ÅÅÒØ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ g ÏÓÔÁÌÏÓØ ÔÏÌØËÏ Ä×Á ÒÅÂÒÁ: gd É gh. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÉÈ Ë ÉËÌÕ, Á ÒÅÂÒÁ hi É d ÏÔÂÒÏÓÉÔØ ËÁË ÎÅÎÕÖÎÙÅ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ ÒÉÓ. ò7.7, ÏÄÎÏÇÏ ×ÚÇÌÑÄÁ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÑÔØ: ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ Ë ÉËÌÕ ÒÅÂÒÏ i , ÞÔÏ ÏÑÔØ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë Ä×ÕÍ ÎÅÓ×ÑÚÎÙÍ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍ. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ × ÇÒÁÆÅ P ÎÅÔ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÙÈ ÉËÌÏ×. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, P | ÎÅ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÇÒÁÆ. b f a c h i j g e d òÉÓÕÎÏË ò7.7. 7.8. (Á) áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÍÁÒÛÒÕÔ A C B D E A ÏÂÝÅÊ ÄÌÉ- ÎÙ 4 + 2 + 3 + 2 + 8 = 19. (Â) áÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÍÁÒÛÒÕÔ D E B C A D ÏÂÝÅÊ ÄÌÉÎÙ 2 + 4 + 2 + 4 + 5 = 17. 7.9. ðÒÏÎÕÍÅÒÏ×Á× ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ÍÁÔÒÉ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ 6, ÏÓÔÒÏÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÇÒÁÆÙ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.8. (Á) çÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.8 (Á) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉËÌ 2 4 5 3 6 2. 260 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ (Â) çÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.8 (Â) | ÄÅÒÅ×Ï, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎ Ó×ÑÚÅÎ, ÉÍÅÅÔ ÛÅÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ É ÑÔØ ÒÅÂÅÒ. (á) (à) òÉÓÕÎÏË ò7.8. 7.10. ðÕÓÔØ n | ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÎÁÛÅÇÏ ÄÅÒÅ×Á. ÏÇÄÁ ÓÕÍÍÁ ÉÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÒÁ×ÎÁ 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + (n − 7) = n + 10: ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÄÅÒÅ×Á T ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÒÏ×ÎÏ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ÍÅÎØÛÅ ÞÉÓÌÁ ×ÅÒÛÉÎ, Ô. Å. ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÒÁ×ÎÏ n − 1. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÌÅÍÍÕ ÏÂ ÜÓÔÁÆÅÔÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ: n + 10 = 2(n − 1): óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n = 12, ÏÔËÕÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÄÅÒÅ×Á T ÓÏ ÓÔÅÅÎØÀ 1 ÒÁ×ÎÏ ÑÔÉ. 7.11. (Á) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÌÅÓÁ G ÞÅÒÅÚ T1 , T2 , . . . , Tk . âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÄÅÒÅ×Ï Ti ÉÍÅÅÔ ni ×ÅÒÛÉÎ (i = 1; : : : ; k ). õ ËÁÖÄÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ti ÅÓÔØ (ni − 1) ÒÅÂÅÒ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÌÅÓÁ G ÒÁ×ÎÏ (n1 −1)+(n2 −1)+· · ·+(nk −1) = n1 +n2 +· · ·+nk −k = n−k: (Â) äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó Ä×ÕÍÑ É ÂÏÌÅÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×ÕÍÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÓÔÅÅÎÉ 1. ðÕÓÔØ T | ÄÅÒÅ×Ï Ó r > 2 ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ Õ ÎÅÇÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÅÅÎÉ 1. ÏÇÄÁ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ r − 1 ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÓÔÅÅÎØ 2 É ÂÏÌÅÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÅÎÅÊ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÂÕÄÅÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 1 + 2(r − 1) = 2r − 1. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, Õ ÄÅÒÅ×Á T ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ r − 1 ÒÅÂÒÏ É, Ï ÌÅÍÍÅ ÏÂ ÜÓÔÁÆÅÔÅ, ÕÄ×ÏÅÎÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ 2(r − 1) òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 261 ÄÏÌÖÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÔØ Ó ÓÕÍÍÏÊ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎ, ËÏÔÏÒÁÑ, ËÁË ÍÙ ×ÙÑÓÎÉÌÉ, ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 2r − 1. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÙÊ ÆÁËÔ. (×) ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÅÛÅÎÎÙÊ . (Á) ÚÁÄÁÞÉ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÙÊ ÌÅÓ G ÉÍÅÅÔ 9 − 6 = 3 ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ðÏ . (Â) Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÎÁ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÄÏÌÖÎÁ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ (ÂÅÚ ÒÅÂÅÒ). ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ Ä×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÄÏÌÖÎÙ ÉÍÅÔØ ×ÏÓÅÍØ ×ÅÒÛÉÎ É ÛÅÓÔØ ÒÅÂÅÒ. íÏÖÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÇÒÁÆÏ×, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÏÓÌÅÄÎÅÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ. ïÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.9. ïÎ ÉÍÅÅÔ ÑÔØ ×ÅÒÛÉÎ ÓÔÅÅÎÉ 1. òÉÓÕÎÏË ò7.9. 7.12. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÅÂÒÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÅ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÍ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ, ÓÌÅÄÑ ÒÉ ÜÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÎÅ ÏÑ×ÌÑÌÉÓØ ÉËÌÙ. ïÄÎÁ ÉÚ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÂÅÒ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ: BE , AB , EF , EG, F H , DG É CD . íï, ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.10. òÉÓÕÎÏË ò7.10. 7.13. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A ÇÏÒÏÄ áÔÌÏÎ, ÞÅÒÅÚ D | äÕÂÌÉÎ, ÞÅÒÅÚ G | çÏÌÕÜÊ, ÞÅÒÅÚ L | ìÉÍÅÒÉË, ÞÅÒÅÚ S | óÌÁÊÇÏ É ÞÅÒÅÚ 262 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ W | õÜËÓÆÏÒÄ. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÉÒÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ: AG (×ÅÓÁ 56), GL (×ÅÓÁ 64) É AS (×ÅÓÁ 71). ïÎ ÚÁÂÒÁËÕÅÔ ÒÅÂÒÏ AL (×ÅÓÁ 73), ÏÓËÏÌØËÕ ÄÏÂÁ×É× ÅÇÏ, ÏÌÕÞÉÔ ÉËÌ. äÁÌÅÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÔÂÅÒÅÔ ÒÅÂÒÏ AD (×ÅÓÁ 78), Á ÒÅÂÒÏ GS (×ÅÓÁ 85) ÚÁÂÒÁËÕÅÔ (ÉÎÁÞÅ ÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ ÉËÌ). ðÏÓÌÅÄÎÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔ ÒÅÂÒÏ DW (×ÅÓÏÍ 96). ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ íï (ÏÂÝÅÇÏ ×ÅÓÁ 365), ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. ò7.11. A G L S W D òÉÓÕÎÏË ò7.11. íï ÇÏÒÏÄÏ× éÒÌÁÎÄÉÉ 7.14. (Á) óÍÏÔÒÉ ÒÉÓ. ò7.12. òÉÓÕÎÏË ò7.12. (Â) ðÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ 1 ÉÍÅÅÔ 2 ÌÉÓÔÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, 21 = 2. úÎÁÞÉÔ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÒÉ n = 1. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ k ÉÍÅÅÔ 2k ÌÉÓÔÁ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ k > 1. úÎÁÞÉÔ, × ÏÌÎÏÍ Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ k + 1 ÂÕÄÅÔ 2k ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ×ÅÒÛÉÎ ÇÌÕÂÉÎÙ k . ÁË ËÁË ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ×ÅÒÛÉÎ ÉÍÅÅÔ Ä×ÕÈ ÓÙÎÏ×ÅÊ, × ÔÁËÏÍ ÇÒÁÆÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ 2 · 2k = 2k+1 ×ÅÒÛÉÎ ÇÌÕÂÉÎÙ k + 1. ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÔÁËÏÊ ÇÌÕÂÉÎÙ × ÄÅÒÅ×Å ÇÌÕÂÉÎÙ k + 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÓÔÏÍ. éÓÏÌØÚÕÑ ÒÉÎ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 263 ÏÌÎÏÅ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï Ó ËÏÒÎÅÍ ÇÌÕÂÉÎÙ n ÉÍÅÅÔ 2n ÌÉÓÔØÅ×. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 8 8.1. óÍÏÔÒÉ ÒÉÓ. ò8.1. (Á) ëÒÁÔÞÁÊÛÉÍ ÕÔÅÍ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 1 ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÔØ 1 4 6 2. (Â) åÓÔØ Ä×Á ËÒÁÔÞÁÊÛÉÈ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ 3 ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ 6: 3 5 6 É 3 2 6. (×) ïÄÉÎ ÉÚ ËÏÎÔÕÒÏ× ÄÌÉÎÙ 5 | ÜÔÏ ËÏÎÔÕÒ 1 4 6 3 2 1. òÉÓÕÎÏË ò8.1. 8.2. ëÁÖÄÁÑ ÄÕÇÁ uv ×ÎÏÓÉÔ ×ËÌÁÄ, ÒÁ×ÎÙÊ 1, × ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÉÓÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ u É ÔÁËÏÊ ÖÅ ×ËÌÁÄ × ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÚÁÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÍÍÁ ÏÌÕÓÔÅÅÎÅÊ ÉÓÈÏÄÁ ×ÓÅÈ ×ÅÒ- ÛÉÎ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÄÕÇ ÇÒÁÆÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ É ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÕÍÍÙ ÏÌÕÓÔÅÅÎÅÊ ÚÁÈÏÄÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ×ÅÒÛÉÎÅ v ÏÒÇÒÁÆÁ. âÕË×Á é × ÜÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ × ÓÔÏÌÂ Å, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ×ÅÒÛÉÎÅ u × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ × ÇÒÁÆÅ ÅÓÔØ ÄÕÇÁ, ×ÅÄÕÝÁÑ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ v Ë ×ÅÒÛÉÎÅ u. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÓÌÏ ÂÕË× é × ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÅ v , ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÌÕÓÔÅÅÎØÀ ÉÓÈÏÄÁ Æ + (v ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÞÉÓÌÏ ÂÕË× é, ÓÔÏÑÝÉÈ × ÓÔÏÌÂ Å 264 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÒÁ×ÎÏ ÏÌÕÓÔÅÅÎÉ ÚÁÈÏÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ Æ − (u). 8.3. (Á) ïÒÇÒÁÆ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ × ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÓÌÅ- ×Á, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÚÁÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ d ÒÁ×ÎÁ 0 (× ×ÅÒÛÉÎÕ d ÎÅ ×ÅÄÅÔ ÎÉËÁËÁÑ ÄÕÇÁ). úÎÁÞÉÔ, ÍÙ ÎÅ ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÕÔÉ ÉÚ ÌÀÂÏÊ ÎÁÅÒÅÄ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÜÔÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ × ×ÅÒÛÉÎÕ d. ïÒÇÒÁÆ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÊ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ ÒÉÓÕÎËÁ, ÔÏÖÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÔÏÌØËÏ Ï ÄÒÕÇÏÊ ÒÉÞÉÎÅ: ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ d ÎÅ ×ÙÈÏÄÑÔ ÄÕÇÉ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÅÅ ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÉÓÈÏÄÁ ÒÁ×ÎÁ 0. ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÍÙ ÎÅ ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÕÔÉ, ×ÅÄÕÝÅÇÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ d ËÕÄÁ ÂÙ ÔÏ ÎÉ ÂÙÌÏ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÏÒÇÒÁÆ | ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ. ÷ ÎÅÍ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÔÕÒ a b d e a, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÕÔØ, ×ÅÄÕÝÉÊ ÏÔ ÅÒ×ÏÊ ËÏ ×ÔÏÒÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ b d e a | ÕÔØ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ b Ë a. (Â) ðÕÓÔØ C | ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ× ÉËÌ × ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×ÏÍ ÇÒÁÆÅ. ïÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉËÌ C ÂÙÌ ÒÁ×ÅÎ v0 v1 v2 : : : vk v0 : ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÕÅÍ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÒÅÂÒÏ vi−1 vi ÒÅ×ÒÁÔÉÌÏÓØ × ÄÕÇÕ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ vi−1 É ËÏÎ ÏÍ vi . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÅÒÛÉÎÁ vk ÂÙÌÁ ÎÁÞÁÌÏÍ ÄÕÇÉ vk v0 . ïÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ ÍÏÖÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÏÌÕÞÉ×ÛÉÊÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÒÇÒÁÆ ÂÕÄÅÔ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÕÔØ ÏÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ Ë ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ, ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÏÂÒÁÚÏ×Á×ÛÉÍÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÕÔÅÍ v0 v1 v2 : : : vk v0 , ÒÏÈÏÄÑÝÉÍ ÞÅÒÅÚ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. (×) åÓÌÉ ÂÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÏÒÇÒÁÆ ÎÅ ÂÙÌ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÔÏ ÍÏÇÌÏ ÏËÁÚÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÊÏÎÁ ÇÏÒÏÄÁ ÎÅÌØÚÑ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÁÓÔØ × ÄÒÕÇÏÊ. 8.4. ÷ÙÉÛÅÍ ÉÓÈÏÄÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×: A(a) = {b}; A(b) = { }; A( ) = ∅; A(d) = {a; e}; A(e) = { }; A(f ) = {b; d; e}: ðÒÉÓ×ÏÉ× ÎÏÍÅÒ 1 ×ÅÒÛÉÎÅ , ÕÄÁÌÉÍ ÅÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÍÉ ÅÊ ÄÕÇÁÍÉ. íÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ× ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ ÓÌÅÄÕ- òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 265 ÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: A(a) = {b}; A(b) = ∅; A(d) = {a; e}; A(e) = ∅; A(f ) = {b; d; e}: ÅÅÒØ Õ ÎÁÓ ×ÏÚÎÉËÌÏ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÔÂÒÏÓÉÔØ. ðÒÉÓ×ÏÉÍ ÎÏÍÅÒ 2 ×ÅÒÛÉÎÅ b É ÕÄÁÌÉÍ ÅÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÕÇÁÍÉ. ðÏÌÕÞÉÍ ÎÏ×ÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅÅÄÅÎÔÏ×: A(a) = ∅; A(d) = {a; e}; A(e) = ∅; A(f ) = {d; e}: ïÑÔØ ÅÓÔØ Ó×ÏÂÏÄÁ × ×ÙÂÏÒÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÌÑ ÕÄÁÌÅÎÉÑ. ðÒÉÓ×ÏÉÍ ÎÏÍÅÒ 3 ×ÅÒÛÉÎÅ a É ÕÄÁÌÉÍ ÅÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÕÇÁÍÉ. ðÏÄÒÁ×ÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×: A(d) = {e}; A(e) = ∅; A(f ) = {d; e}: õÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ e ×ÍÅÓÔÅ Ó ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÍÉ ÅÊ ÄÕÇÁÍÉ, ÒÉÓ×ÏÉ× ÅÊ ÎÏÍÅÒ 4. ÏÇÄÁ A{d} = ∅; A(f ) = {d}: ðÒÉÓ×ÏÉÍ ÎÏÍÅÒ 5 ×ÅÒÛÉÎÅ d É ÕÄÁÌÉÍ ÅÅ, ×ÙÂÒÏÓÉ× É ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ Ë ÎÅÊ ÄÕÇÉ. ÅÅÒØ ÏÓÔÁÌÁÓØ ÏÄÎÁ ×ÅÒÛÉÎÁ Ó ÕÓÔÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×: A(f ) = ∅: ðÒÉÓ×ÏÉÍ ×ÅÒÛÉÎÅ f ÎÏÍÅÒ 6. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË: (1), b(2), a(3), e(4), d(5) É f (6). îÏ×ÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: b a e d f         ì ì ì ì ì ì b a e d f é ì ì ì ì ì ì é ì ì ì ì é ì ì ì ì ì ì ì é é ì ì ì é ì é é ì     :    ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÔÏÌÂ Ù É ÓÔÒÏËÉ ÎÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÚÁÉÓÁÎÙ × ÏÒÑÄËÅ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÅÔÏË, 266 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÔÏ ÅÅ ×ÅÒÈÎÅÔÒÅÕÇÏÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÄÁÅÔ ÏÌÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÏÂ ÏÒÇÒÁÆÅ. ÷ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ× ÏÒÇÒÁÆÁ ÉÚ ÕÒ. 8.1 ÎÅ ÕÓÔÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÜÔÏÍ ÏÒÇÒÁÆÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ËÏÎÔÕÒÙ É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË ÓÏÚÄÁÔØ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. áÌÇÏÒÉÔÍ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÎÅ ÓÍÏÖÅÔ ÒÉÓ×ÏÉÔØ ÅÒ×ÕÀ ÍÅÔËÕ ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ. 8.5. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ðåò ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò8.2. À Á Â Ã Ä Å Æ Ç È Ê Ë òÉÓÕÎÏË ò8.2. óÉÓÔÅÍÁ ðåò ÄÌÑ ÒÉÇÏÔÏ×ÌÅÎÉÑ ÙÌÅÎËÁ éÓÈÏÄÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔÏ×: A(á) = {é}; A(â) = {ì}; A(÷) = {ì}; A(ç) = {ë}; A(ä) = {â; ÷}; A(å) = ∅; A(ö) = {é}; A(ú) = {é}; A(é) = {å}; A(ë) = {á; ö; ú; ì}; A(ì) = ∅: éÔÁË, ÒÉÓ×ÏÉ× ÍÅÔËÉ 1 É 2 ×ÅÒÛÉÎÁÍ å É ì ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÕÄÁÌÉÍ ÉÈ ÉÚ ÏÒÇÒÁÆÁ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÍÉ ÉÍ ÄÕÇÁÍÉ. ÏÇÄÁ A(á) = {é}; A(â) = ∅; A(÷) = ∅; A(ç) = {ë}; A(ä) = {â; ÷}; A(ö) = {é}; A(ú) = {é}; A(é) = ∅; A(ë) = {á; ö; ú}: ïÂÏÚÎÁÞÉ× ×ÅÒÛÉÎÕ â ÍÅÔËÏÊ 3, ÷ | ÍÅÔËÏÊ 4 É é | ÍÅÔËÏÊ 5, ÕÄÁÌÉÍ â, ÷ É é ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÕÇÁÍÉ. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 267 ÅÅÒØ A(á) = ∅; A(ç) = {ë}; A(ä) = ∅; A(ö) = ∅; A(ú) = ∅; A(ë) = {á; ö; ú}: ïÂÏÚÎÁÞÉÍ á ËÁË 6, ä ËÁË 7, ö ËÁË 8 É ú ËÁË 9 É ÕÄÁÌÉÍ ÜÔÉ ×ÅÒÛÉÎÙ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÄÕÇÁÍÉ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ A(ç) = {ë}; A(ë) = ∅: îÁËÏÎÅ , ÕÄÁÌÉÍ ×ÅÒÛÉÎÕ ë, ÒÉÓ×ÏÉ× ÅÊ ÍÅÔËÕ 10, Á ÚÁÔÅÍ ÒÉÓ×ÏÉÍ ÍÅÔËÕ 11 ×ÅÒÛÉÎÅ ç. üÔÏ ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË å ì â ÷ é á ä ö ú ë ç. 8.6. begin for j := 1 to n do A(j ) := ∅; k := 1; begin while k 6 n do if M (k; j ) = é then A(j ) := A(j ) ∪ {k }; k := k + 1; end end 8.7. ì  ì M2 =  ì é é ì ì ì ì é ì ì  ì ì é ì ì ì é ì  é  ì ì ì ì é ì ì   ì ì ì ì = é é ì ì ì ì ì é é ì ì ì  ì é ; ì ì ì  ì M3 =  ì é  ì  ì M4 =  ì é é ì ì ì ì é ì ì ì é ì ì   ì ì ì   é é ì = ì ì é ì ì ì   é é ì ì é ì = ì ì ì ì ì ì ì ì ì é é ì ì ì  ì ì ì é   ì  ì ì ì é  é ì ì ì ì é ì  ì ì ì ì é ì ì ì  é  ì é ì ì ì ì é  é ì ; ì ì  ì ì : ì é   ì ì é ì 268 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ é é ∗ 2 3 4 M = M ÉÌÉ M ÉÌÉ M ÉÌÉ M =  é é é é é é  8.8. ì ì M = W0 =  ì é  ì ì W2 =  ì é  é ì ì ì ì é ì ì é ì ì é é é ì é îÁËÏÎÅ ,  ì ì ; é ì  ì ì ; é ì é  é M ∗ = W4 =  é é  ì ì W1 =  ì é  ì ì W3 =  ì é  é é é é é é é é é é é é é ì ì é ì é ì ì é ì ì é é é ì é  é é : é é  ì ì ; é ì  é é : é é  é é : é é 8.9. (Á) óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò8.1. ÁÂÌÉ Á ò8.1 ûÁÇ 0 1 2 3 4 5 ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ A B C D E F òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ A B 0 0 0 0 0 0 F îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ∞ ∞ B; C; D; E; F ∞ ∞ C; D; E; F ∞ 23 D; E; F C D E 3 10 ∞ 3 3 3 3 3 10 15 10 10 10 10 15 ∞ 15 15 15 17 17 17 23 E; F F 23 ëÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ A: AB ÄÌÉÎÙ 3, AC ÄÌÉÎÙ 10, A C D ÄÌÉÎÙ 15. (Â) óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò8.2. A C D E ÄÌÉÎÙ 17, A C D F ÄÌÉÎÙ 23. òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 269 ÁÂÌÉ Á ò8.2 ûÁÇ òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ A B C D E F îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ C ∞ ∞ 5 ∞ ∞ A; B; D; E; F D ∞ ∞ 0 0 5 7 13 A; B; E; F E ∞ 11 13 A; F F ∞ 11 11 7 7 7 A; B; F ∞ 5 5 5 13 B 0 0 0 13 A 0 1 2 3 4 ëÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ C : CD ÄÌÉÎÙ 5, C D E ÄÌÉÎÙ 7, ÄÌÉÎÙ 11, ÄÌÉÎÙ 13. CDEB CDF 8.10. óÍÏÔÒÉ ÔÁÂÌ. ò8.3. ÁÂÌÉ Á ò8.3 ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ûÁÇ ×ÅÒÛÉÎÙ 0 1 2 3 4 5 6 7 S C A B D F E T òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ S A B C D E F T îÅÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ 0 0 0 0 0 0 0 0 5 10 4 10 4 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 ∞ ∞ ∞ ∞ A; B; C; D; E; F; T 22 18 22 18 14 22 17 14 20 17 14 20 17 14 20 17 14 20 17 ∞ A; B; D; E; F; T ∞ B; D; E; F; T ∞ 26 26 E; F; T 25 T 5 5 5 5 5 5 5 14 14 D; E; F; T E; T 25 ëÒÁÔÞÁÊÛÉÅ ÕÔÉ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ S : SC SA S A; B SCD ÄÌÉÎÙ ÄÌÉÎÙ ÄÌÉÎÙ ÄÌÉÎÙ 4, 5, 9, 14, S AB F S AB F E S AB F E T SCDET ÄÌÉÎÙ ÄÌÉÎÙ ÄÌÉÎÙ ÄÌÉÎÙ 17, 20, 25, 25. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 9 9.1. ÁÂ. ò9.1 É ÔÁÂÌ. ò9.2 | ÜÔÏ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÂÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÈ × ÚÁËÏÎÁÈ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ. ðÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á ÓÔÏÌÂ Á × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÔÁÂÌÉ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù. úÎÁÞÉÔ, ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù. 270 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÁÂÌÉ Á ò9.1 p q p q ∧ q (p ∨ q ) 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 ∨ q (p ∧ q ) 1 1 1 0 1 1 1 0 p ∨q p ÁÂÌÉ Á ò9.2 p q p q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 p ∧q p 0 0 0 1 9.2. (Á) ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ, ÚÁËÏÎÙ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ( q ) = q , ÏÌÕÞÁÅÍ (p ∧ q) ∨ r = ( p ∨ q ) ∨ r = p ∨ q ∨ r: (Â) éÓÏÌØÚÕÑ ÚÁËÏÎÙ ÄÅ íÏÒÇÁÎÁ, ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÏÇÌÏÝÅÎÉÑ, ÉÍÅÅÍ ((p ∧ q) ∧ (r ∨ (p ∧ q))) = = (p ∧ q) ∨ (r ∨ (p ∧ q)) = = = = = ( p ∨ q ) ∨ ( r ∧ (p ∧ q)) = r ∧ ( p ∨ q )) = ( p ∨ q ) ∨ ( (( p ∨ q ) ∨ r) ∧ ( p ∨ q) = p ∨ q: 9.3. pqrs ∨ pqr s ∨ pqrs ∨ pq rs: 9.4. ðÕÓÔØ f = p ∧ ( q ∨ r ) ∨ p ∧ (q ∨ r) : ÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÉ f ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÔÁÂÌ. ò9.3. ðÏ ÔÁÂÌÉ Å ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ: f = pqr ∨ pq r ∨ pqr ∨ pqr ∨ pqr ∨ pqr: 9.5. (Á) (p ∧ q) ∧ r = (p ∧ q) ∧ r = (p ∧ q) ∨ r = = (( p ∨ q ) ∨ r) = (p ∨ q ∨ r): òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 271 (Â) (p ∧ q) ∧ r = = p ∧ (q îå{é q ) ∧ r = = p ∧ (q îå{é q ) îå{é r îå{é îå{é p ∧ (q îå{é q ) îå{é r = h = p îå{é (q îå{é q ) îå{é i îå{é r îå{é îå{é p îå{é (q îå{é q ) h îå{é p îå{é (q îå{é q ) îå{é i îå{é p îå{é (q îå{é q ) îå{é r : ÁÂÌÉ Á ò9.3 p q r ∧ (q ∨ r) f 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 ∨ r 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 q q ∨ r p ∧ ( q ∨ r) p 9.6. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÆÕÎË ÉÉ p, p ∨ q É p ∧ q ÞÅÒÅÚ p îå{éìé q . óÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ. p = (p ∨ p) = p îå{éìé p; p ∨ q = (p ∨ q ) = (p îå{éìé q ) = = (p îå{éìé q ) îå{éìé (p îå{éìé q ); p ∧ q = ( p ∨ q) = p îå{éìé q = = (p îå{éìé p) îå{éìé (q îå{éìé q ): ðÏÌÎÏÔÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ÆÕÎË ÉÊ { îå{éìé } ÄÏËÁÚÁÎÁ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÏÌÎÏÔÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ÆÕÎË ÉÊ { îå{é } ÂÙÌÁ ÎÁÍÉ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÒÁÎÅÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÆÕÎË ÉÀ p îå{é q ÞÅÒÅÚ p îå{éìé q . 272 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ p îå{é q = (p ∧ q ) = = p ∨ q = = ( p îå{éìé q) = = (p îå{éìé p) îå{éìé (q îå{éìé q ) : óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, p îå{é q = (p îå{éìé p) îå{éìé (q îå{éìé q ) îå{éìé (p îå{éìé p) îå{éìé (q îå{éìé q ) : 9.7. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.1. pq pq pq r 1 1 1 r 1 pq òÉÓÕÎÏË ò9.1. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pqr ïÎÁ ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÁÒÙ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÅÄÉÎÉ . ðÏÜÔÏÍÕ pqr ∨ pqr ∨ pq r ∨ pqr = ( pqr ∨ pqr ) ∨ (pq r ∨ pqr ) = r ∨ r) = = pr ( q ∨ q ) ∨ pq ( = pr ∨ pq: 9.8. f = pqr∨ pq r∨ pqr ∨ pqr: ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÆÕÎË ÉÉ f ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.2. pq r r pq pq pq 1 1 1 1 òÉÓÕÎÏË ò9.2. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÆÕÎË ÉÉ f òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ 273 îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÌÅÇËÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÕ ÁÒÕ ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÅÄÉÎÉ . ïÄÎÁËÏ ÉÈ Ä×Å (ÏÄÎÁ ÎÅ ×ÉÄÎÁ ÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÉ ÓÔÏÌÂ Ï×). õÒÏÝÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÁÒ ÍÉÎÔÅÒÍÏ× ÄÁÅÔ: pqr ∨ pq r = pr É pqr ∨ pqr = pr: ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÅÍ: f = pr ∨ pr: 9.9. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÆÕÎË ÉÀ pqr ∨ pqr . åÅ ËÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.3. pq r pq pq 1 1 pq r òÉÓÕÎÏË ò9.3. ëÁÒÔÁ ëÁÒÎÏ ÆÕÎË ÉÉ pqr ∨ pqr õÒÏÝÁÑ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ pr . îÏ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.4. p r òÉÓÕÎÏË ò9.4. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÆÕÎË ÉÉ pr 9.10. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ: p îå{é ( q îå{é r ) = p îå{é ( q ∧ r) = = p îå{é (q ∨ r) = = p ∧ (q ∨ r) = = p ∨ (q ∨ r) = = p ∨ ( q ∧ r ): éÓËÏÍÁÑ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.5. 9.11. ðÅÒ×ÁÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÓÈÅÍ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÆÕÎË ÉÀ pqr ∨ pq r∨ qr , ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÆÕÎË ÉÉ pqr ∨ pq r∨ pqr ∨ pqr , ÏÓËÏÌØËÕ qr = (p ∨ p)qr: 274 òÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÷ÔÏÒÁÑ ÓÈÅÍÁ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÔ ÆÕÎË ÉÀ pr ∨ pq . éÚ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ 9.7, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ pr ∨ pq = pqr ∨ pq r ∨ pqr ∨ pqr: ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÜÔÉ ÓÈÅÍÙ ÇÅÎÅÒÉÒÕÀÔ ÒÁ×ÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, Ô. Å. ÏÎÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. p q r òÉÓÕÎÏË ò9.5. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÆÕÎË ÉÉ p ∨ ( q ∧ r) 9.12. óÌÅÄÕÑ ÕËÁÚÁÎÉÀ Ë ÚÁÄÁÞÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ p îå{éìé q = (p ∨ q ) = p ∧ q = ( p ∧ q) = ( p îå{é q) = = (p îå{é p) îå{é (q îå{é q ) îå{é îå{é (p îå{é p) îå{é (q îå{é q ) : ÒÅÂÕÅÍÁÑ ÓÈÅÍÁ ÏËÁÚÁÎÁ ÎÁ ÒÉÓ. ò9.6. p q òÉÓÕÎÏË ò9.6. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÆÕÎË ÉÉ p îå{éìé q äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ á. á. ëÏ×ÁÌÅ× ä.1. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× íÁÔÅÍÁÔÉËÅ ×ÓÅÇÄÁ ÂÙÌÏ ÒÉÓÕÝÅ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÅ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÉÈ ËÌÁÓÓÏ× ÚÁÄÁÞ. íÎÏÇÏÌÅÔÎÉÊ ÏÙÔ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ É ÒÁËÔÉËÁ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÜÔÉ Ä×Å ÓÔÏÒÏÎÙ | ÏÂÝÎÏÓÔØ ÍÅÔÏÄÁ É ÅÇÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ | ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÁÎÔÁÇÏÎÉÚÍÅ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏ ÚÎÁÔØ, É × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÜÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÍÏÖÎÏ ÌÉ × ÒÉÎ ÉÅ ÎÁÄÅÑÔØÓÑ ÎÁ ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÂÝÉÈ É ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÉÌÉ ÎÁÄÏ ÓÏÚÎÁÔÅÌØÎÏ ÉÄÔÉ Ï ÕÔÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ×ÓÅ ÂÏÌÅÅ ÕÚËÉÅ ËÌÁÓÓÙ É, ÏÌØÚÕÑÓØ ÉÈ ÓÅ ÉÆÉËÏÊ, ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØ ÄÌÑ ÎÉÈ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÄÏÕÓËÁÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÏ ÅÓÓÁ ÅÒÅÂÏÒÁ. ïÄÎÁËÏ ÞÉÓÌÏ ÛÁÇÏ× ÅÒÅÂÏÒÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÒÁÓÔÅÔ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ. äÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÂÌÅÍ ÜÔÏÇÏ ÔÉÁ ÕÄÁÅÔÓÑ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ (ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÅÎÅÅ ÔÒÕÄÏÅÍËÉÅ, ÞÅÍ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×) ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÞÉÓÌÏ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÎÅ×ÅÌÉËÏ. äÌÑ ÏÔÌÉÞÉÑ ÕÄÏÂÎÙÈ É ÎÅÕÄÏÂÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ××ÏÄÑÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ. ÁË ÚÁÄÁÞÕ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌÅÅ ÜËÏÎÏÍÉÞÎÙÊ, ÞÅÍ ÅÒÅÂÏÒ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÊ. åÓÌÉ ÖÅ ÔÁËÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁÊÔÉ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÏ ÚÁÄÁÞÕ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÊ. óÔÁÌÏ ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÅÒÅÂÏÒÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÒÅÛÁÅÍÏÊ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ, ÅÓÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÅÛÁÀÝÉÊ ÅÅ ÚÁ ×ÒÅÍÑ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÅ ÏÌÉÎÏÍÏÍ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÄÈÏÄÙ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÅ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ Ä×Å ËÁÔÅÇÏÒÉÉ. ë ÅÒ×ÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÏÄÈÏÄÙ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÏÙÔËÁ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ, ÈÏÔÑ ÒÉ ÜÔÏÍ É ÒÉÚÎÁÅÔÓÑ ÎÅÉÚÂÅÖÎÏÓÔØ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÁÂÏÔÙ. äÌÑ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÒÉÅÍÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁ ÍÅÔÏÄÅ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . ïÎÉ ÚÁËÌÀÞÁÀÔÓÑ × ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ, É ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÍÏÝÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÈ ÒÁÓÏÚÎÁÔØ ÂÅÓÅÒÓÅËÔÉ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÉÞÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÅÇÏ ÏÔ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ ÎÁ ÏÄÎÏÍ ÛÁÇÅ ÏÔÓÅËÁÅÔÓÑ ÅÌÁÑ ×ÅÔ×Ø. ðÏÄÈÏÄÙ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÅÓÑ ËÏ ×ÔÏÒÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ, ÒÉÍÅÎÉÍÙ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ Ë ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÏÎÎÙÍ ÚÁÄÁÞÁÍ. ïÎÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÒÉÅÍÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÓÎÉÖÅÎÉÅ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ. íÅÔÏÄ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÔËÁÚÅ ÏÔ ÏÉÓËÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ É × ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ×ÍÅÓÔÏ ÜÔÏÇÏ ÈÏÒÏÛÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ ÎÁ ÜÔÏÍ ÒÉÅÍÅ, ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ Ü×ÒÉÓÔÉÞÅÓËÉ- 276 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÍÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÉ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÁÚÕÍÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÂÅÚ ÓÔÒÏÇÉÈ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÊ. äÌÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÊ ×ÁÖÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÉÈ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ÉÌÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ ÉÌÉ × ÓÒÅÄÎÅÍ. þÁÓÔÏ ÉÚÕÞÅÎÉÅ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× × ÓÒÅÄÎÅÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅÄÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÔÉÉÞÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÏÇÏÎËÅ ÓÏÅÒÎÉÞÁÀÝÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÁ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å É ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×. åÓÌÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÉ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ, ÏÄÞÉÎÑÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍÕ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÍÅÔÏÄ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, ÏÄÞÉÎÑÀÝÉÈÓÑ ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, É ÎÁ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÂÏÒËÅ ÉÓÓÌÅÄÕÀÔ Ï×ÅÄÅÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. äÌÑ ÚÁÄÁÞ, ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÈ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÇÒÁÆÏ×, ÔÁËÏÊ ÏÄÈÏÄ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏ× ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× Ó ÔÅÍÉ ÉÌÉ ÉÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁ ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ÜÔÁÅ, ÒÉ ÏÂÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÅÒÅÂÏÒÎÙÈ ÚÁÄÁÞ É ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÂÏÒËÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× Ó ÔÅÍÉ ÉÌÉ ÉÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÏÄÞÉÎÑÀÝÅÊÓÑ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÍÕ ÚÁËÏÎÕ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ. íÅÔÏÄ ÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, × ÑÞÅÊËÁÈ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é ÒÁÚÍÅÝÅÎÙ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÁÔÞÉË ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄. äÌÑ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ, ÚÎÁËÏÍÙÈ Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÔÏÌØËÏ ÏÎÁÓÌÙÛËÅ, ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÏÔÌÉÞÉÅ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÎÉ ÒÉÎÉÍÁÀÔ | ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄ É ÉÈ ÔÁÂÌÉ Õ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ËÎÉÇÅ [21℄. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÌÀÂÏÊ ÑÚÙË ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔ × Ó×ÏÉÈ ÂÉÂÌÉÏÔÅËÁÈ ÄÁÔÞÉËÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ðÕÓÔØ ÇÅÎÅÒÉÒÕÅÍÙÊ ÇÒÁÆ ÉÍÅÅÔ n ×ÅÒÛÉÎ É m ÒÅÂÅÒ ÉÌÉ ÄÕÇ. ÏÇÄÁ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÍÅÒ n × n, Á × ÅÅ ÑÞÅÊËÁÈ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÒÁÚÍÅÝÅÎÏ 2m ÂÕË× é ÄÌÑ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ (ÔÁË ËÁË ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÏÒÏÖÄÁÅÔ Ä×Å ÂÕË×Ù é , ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù) É m ÂÕË× é | ÄÌÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ. îÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÒÁÓÏÌÏÖÉÔØ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÂÕË× é × ÑÞÅÊËÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÌÅÄÑ ÚÁ ÔÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÂÙÌÏ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÙÍ. ïÂÓÕÄÉÍ, ËÁË ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÄÁÔÞÉËÏÍ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ R, ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 1℄. îÁÍ ÖÅ ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÑÞÅÊËÕ ÍÁÔÒÉ Ù, Ô. Å. ËÁË ÓÔÏÌÂÅ , ÔÁË É ÓÔÒÏËÕ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÁ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÁ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÍÁÓÛÔÁÂÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ×ÅÌÉÞÉÎÕ R, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÕÍÎÏÖÉÔØ ÅÅ ÎÁ ÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ k. ÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ 12R ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 12℄, Á nR | ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; n℄. îÏ ÞÉÓÌÏ nR ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÅÌÙÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÅÌÏÊ ÞÁÓÔÉ ⌊nR⌋ (ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÅ nR). ïÄ- ä.1. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× 277 ÎÁËÏ ÔÁËÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÎÁÓ ÔÏÖÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÕÓÔÒÏÉÔØ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ R ÏËÁÖÅÔÓÑ ÍÅÎØÛÅ n, ÔÏ ⌊nR⌋ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ 0, Á ÎÕÍÅÒÁ ÉÑ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂ Ï× ÎÁÛÅÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó 1. ÷ ÉÔÏÇÅ ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÎÏ×ÏÊ ÓÌÕÞÁÊÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ⌊nR⌋ +1, ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÔ 1 ÄÏ n. éÔÁË, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ËÁË ÎÏÍÅÒ ÓÔÏÌÂÁ, ÔÁË É ÎÏÍÅÒ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù, ÉÓÏÌØÚÕÑ Ä×Á ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ⌊nR⌋ +1. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÒÉ ÔÁËÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÍÙ ÎÅ ÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÏÓËÏÌØËÕ ÂÕÄÕÔ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÙ ÎÅ ÏÄÎÁ, Á Ä×Å ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎÙ. éÚ ÓÏÚÄÁ×ÛÅÊÓÑ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÅÓÔØ ËÒÁÓÉ×ÙÊ ×ÙÈÏÄ. òÁÓÏÌÏÖÉÍ ×ÓÅ ÑÞÅÊËÉ ÍÁÔÒÉ Ù × ÏÄÎÕ ÓÔÒÏËÕ: ÓÎÁÞÁÌÁ ÂÕÄÕÔ ÉÄÔÉ ÑÞÅÊËÉ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù, ÚÁ ÎÉÍÉ | ÑÞÅÊËÉ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÉ É Ô. Ä. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ ÓÔÒÏÞËÕ ÉÚ n ÑÞÅÅË, ÒÉÞÅÍ ÑÞÅÊËÁ ÍÁÔÒÉ Ù, ÓÔÏÑÝÁÑ × i-ÏÊÓÔÒÏËÅ É j -ÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÏÍÅÒ N = (n − 1)i + j . ÅÅÒØ ×ÅÌÉÞÉÎÁ N = n R +1 ÂÕÄÅÔ ÄÁ×ÁÔØ ÎÁÍ ÑÞÅÊËÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Á ÚÁËÏÎ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÔÒÅÂÕÅÍÙÍ, Ô. Å. ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÙÍ. ïÓÔÁÌÏÓØ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÔÒÏËÕ i É ÓÔÏÌÂÅ j ÍÁÔÒÉ Ù, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÎÁÊÄÅÎÎÕÀ ÑÞÅÊËÕ. üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÏÎÑÔÎÙÈ, ÆÏÒÍÕÌ: N i= + 1; j = N − (i − 1)n: n íÏÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ, × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ, ÎÅÓËÏÌØËÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ×ÙÂÏÒÏË ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. 1 2 2 ä.1.1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ É m ÒÅÂÅÒ, ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÍÅÒ n × n É ÓÏÄÅÒÖÁÔØ 2m ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ é , ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ. ëÁË ÏÂÙÞÎÏ × ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÇÒÁÆ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÔÅÌØ, Ô. Å. ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i = 1; 2; : : : ; n; M (i; i) = ì . îÁ ËÁÖÄÏÍ Ë-ÏÍ ÛÁÇÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (k = 1; 2; : : : ; m) ÂÕÄÅÍ ÏÌÕÞÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÁÄÒÅÓ ÑÞÅÊËÉ (i; j ) ÍÁÔÒÉ Ù É ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ × ÎÅÅ ÂÕË×Õ é . åÓÌÉ ÑÞÅÊËÁ Ó ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÁÄÒÅÓÏÍ (i; j ) ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÁËÕÀ ÂÕË×Õ ÉÌÉ i = j , ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÁÎÎÙÊ ÛÁÇ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅÕÄÁÞÎÙÍ É Õ×ÅÌÉÞÉÍ m ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ. Input n | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ; m | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ; M | ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÑÞÅÊËÁÈ ì ; begin for k = 1 to m do begin ÏÌÕÞÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ 1 íÏÖÅÔ ÔÁË ÓÌÕÞÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ R ÒÉÍÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ 1. ÏÇÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ⌊nR⌋ + 1 = ïÄÎÁËÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÍÁÌÁ, ÞÔÏ ÉÍ ÍÏÖÎÏ ÒÅÎÅÂÒÅÞØ. n + 1. 278 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ R; N := n R + 1; i := ⌊N : n⌋ + 1; j := N − (i − 1) · n; if M (i; j ) 6= é and i 6= j then begin M (i; j ) := é ; M (j; i) := é ; 2 end Output M | end else end m := m + 1 ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. ä.1.2. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÏÒÇÒÁÆÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ É m ÄÕÇ, ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÍÅÒ n×n É ÓÏÄÅÒÖÁÔØ m ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ é: óÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÒÇÒÁÆ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÔÅÌØ. îÁ ËÁÖÄÏÍ Ë-ÏÍ ÛÁÇÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (k = 1; 2; : : : ; m) ÂÕÄÅÍ ÏÌÕÞÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÁÄÒÅÓ ÑÞÅÊËÉ (i; j ) ÍÁÔÒÉ Ù É ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ × ÎÅÅ ÂÕË×Õ é . åÓÌÉ ÑÞÅÊËÁ Ó ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÁÄÒÅÓÏÍ (i; j ) ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ é ÉÌÉ i = j , ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÁÎÎÙÊ ÛÁÇ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅÕÄÁÞÎÙÍ, É Õ×ÅÌÉÞÉÍ m ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ. Input n | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ; m | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÄÕÇ ÏÒÇÒÁÆÁ; M | ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÑÞÅÊËÁÈ ì ; begin for k = 1 to m do begin ÏÌÕÞÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ R; N := n R + 1; i := ⌊N : n⌋ + 1; j := N − (i − 1) · n; if M (i; j ) 6= é and i 6= j then 2 else begin M (i; j ) := é ; end ä.1. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× end Output M | end 279 m := m + 1 ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ. ÷ ÅÌÏÍ ÒÑÄÅ ÓÌÕÞÁÅ× ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÏÂÌÁÄÁÌ ËÁËÉÍÉ-ÔÏ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ. ïÄÎÏ ÉÚ ÔÁËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× | ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ËÏÎÔÕÒÏ×. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ. ä.1.3. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ É m ÄÕÇ, ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒ n×n É ÓÏÄÅÒÖÉÔ m ÂÕË× é : âÕÄÅÍ ÒÁÚÍÅÝÁÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é ×ÙÛÅ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, ÚÁÄÁ×ÁÑ ÄÕÇÉ ÏÒÇÒÁÆÁ, ÉÄÕÝÉÅ ÏÔ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÍÅÎØÛÉÍ ÎÏÍÅÒÏÍ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ÎÏÍÅÒÏÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÎÅ ÓÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ËÏÎÔÕÒÏ×. ëÁË É ÒÁÎØÛÅ, ÎÁ Ë-ÏÍ ÛÁÇÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (k = 1; 2; : : : ; m) ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÁÄÒÅÓ ÑÞÅÊËÉ (i; j ) ÍÁÔÒÉ Ù É × ÓÌÕÞÁÅ i < j , × ÑÞÅÊËÕ (i; j ), Á × ÓÌÕÞÁÅ i > j , × ÑÞÅÊËÕ (j; i) ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ ÂÕË×Õ é . åÓÌÉ ÑÞÅÊËÁ Ó ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÁÄÒÅÓÏÍ (i; j ) (× ÓÌÕÞÁÅ i < j ) ÉÌÉ (j; i) (× ÓÌÕÞÁÅ i > j ) ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ é ÉÌÉ i = j , ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÁÎÎÙÊ ÛÁÇ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅÕÄÁÞÎÙÍ É Õ×ÅÌÉÞÉÍ m ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ. Input n | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ; m | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÄÕÇ ÏÒÇÒÁÆÁ; M | ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÑÞÅÊËÁÈ ì ; begin for k = 1 to m do begin ÏÌÕÞÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÄÁÔÞÉËÁ ÓÌÕÞÁÊÎÏÅ ÞÉÓÌÏ R; N := n R + 1; i := ⌊N : n⌋ + 1; j := N − (i − 1) · n; if i 6= j and i < j and M (i; j ) 6= é then M (i; j ) := é ; if i 6= j and i > j and M (i; j ) 6= é then M (j; i) := é ; else m := m + 1 2 end end Output M | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÔÕÒÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ. ðÒÉÎ É ÒÁÂÏÔÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÄÉÎÁËÏ×, ÏÜÔÏÍÕ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÒÁÂÏÔÕ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÏÓÔÒÏÉÍ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ 280 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÇÒÁÆ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÁÂÌÉ ÅÊ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÉÚ ËÎÉÇÉ äÖ. íÁËËÏÎÎÅÌÌ, ÕÖÅ ÕÏÍÉÎÁ×ÛÅÊÓÑ ÚÄÅÓØ. ðÒÉÍÅÒ ä.1.1. óÇÅÎÅÒÉÒÏ×ÁÔØ ÏÒÇÒÁÆ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ 5 ×ÅÒÛÉÎ É 8 ÄÕÇ, É ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ÅÇÏ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ. òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÎÁÛÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n = 5 É m = 8. ðÒÏ ÅÓÓ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÁÂÌÉ Å: ÁÂÌÉ Á ä.1.1 k R N i j m M ì ì ì ì ì ì ì 2 ì é ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì 3 2 ì ì ì ì ì ì é ì 3 2 1 2 3 4 5 0,21132 0,26215 0,79253 0,28052 0,93648 6 7 20 8 24 2 2 4 2 5 1 2 5 3 4 8 9 9 9 10 6 6 6 4 0,35606 9 2 4 10 ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì 3 7 7 7 5 7 7 7 5 ì ì ì ì ì ì ì ì 2 ì é ì ì ì ì ì ì ì ì ì é ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì é ì 3 2 ì ì ì ì ì ì ì é ì ì ì é ì 3 ì é ì ì é ì ì ì é ì 3 6 é ì ì 6 6 ì ì ì 4 ì ì ì 6 6 6 4 6 é ì é 6 6 ì ì ì 4 ì ì ì 2 7 ì 6 é ì 6 6 ì ì 4 ì ì ì ì ì ì ì ì 6 é ì é 6 6 ì ì ì 4 ì ì ì ì ì ì 7 7 7 5 7 7 7 5 7 7 7 5 7 7 7 5 ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ 281 ðÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÔÁÂÌ. ä.1.1 2 8 0,16043 5 1 5 10 10 11 0,40480 0,74225 0,70183 11 19 18 3 4 4 1 4 3 10 11 11 ì ì ì ì ì ì ì ì ì é ì ì é é ì ì é ì 3 é ì ì é ì 3 7 7 7 5 ì ì ì ì é ì ì é 2 ì é é ì ì ì ì ì ì ì ì é ì ì ì ì é ì ì é é ì ì é ì 3 2 ì ì ì ì é ì ì é é ì ì é ì 3 2 9 ì 6 é ì é 6 6 ì ì ì 4 ì ì ì 6 é ì é 6 6 é ì ì 4 ì ì ì 6 6 6 4 6 é ì é 6 6 é ì ì 4 ì ì é ì ì ì 7 7 7 5 7 7 7 5 7 7 7 5 ðÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÏÒÇÒÁÆ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÎÁ ÒÉÓ. ä.1. ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÈ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÇÒÁÆÏ×, ÂÙ×ÁÅÔ ×ÁÖÎÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ, ÎÏ É ×ÙÑÓÎÉÔØ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÓÁÍÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ, Ô. Å. ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ÏÔÄÅÌØÎÏ ËÁÖÄÕÀ ËÏÍÏÎÅÎÔÕ ÉÌÉ ÎÁÊÔÉ ÉÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏÒÏÖÎÏÇÏ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Á × ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ ÒÅÇÉÏÎÅ ÓÔÒÁÎÙ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ ÍÅÖÄÕ ÎÁÓÅÌÅÎÎÙÍÉ ÕÎËÔÁÍÉ ÕÄÏÂÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÇÒÁÆÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ | ÓÅÔØ ÄÏÒÏÇ ÍÅÖÄÕ ÇÒÕÏÊ ÎÁÓÅÌÅÎÎÙÈ ÕÎËÔÏ×, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÁÑ ÄÏÓÔÕ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÁÓÅÌÅÎÎÏÇÏ ÕÎËÔÁ ÇÒÕÙ × ËÁÖÄÙÊ. åÓÌÉ ÔÁËÉÈ ÇÒÕ ÎÅÓËÏÌØËÏ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÌÁÎÉÒÏ×ÁÔØ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÏÒÏÇ (ÔÏ ÅÓÔØ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ ÒÅÂÅÒ × ÇÒÁÆ) 1 2 3 5 4 òÉÓÕÎÏË ä.1. 282 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÍÅÖÄÕ ÎÁÓÅÌÅÎÎÙÍÉ ÕÎËÔÁÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÇÒÕ Ó ÅÌØÀ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÏÓÔÕÁ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÁÍÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÏ×. ÷ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ Ï ÍÁÔÒÉ Å ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ W ÏÒÇÒÁÆÁ (ÓÍ. ÓÔÒ. 176), × ËÏÔÏÒÏÊ ÈÒÁÎÉÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï ×ÓÅÈ ÕÔÑÈ ÍÅÖÄÕ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. îÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÏÎÑÔÉÅ ÄÌÑ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÒÔÁ ÍÁÔÒÉ Õ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÁÔÒÉ ÅÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. íÁÔÒÉ ÅÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ G Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ S ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÓÔÏÉÔ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ S (i; j ) = é , ÅÓÌÉ i = j ÉÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ i-ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó j -ÏÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÁ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÙ, ÔÏ S (i; j ) = S (j; i), Ô. Å. ÍÁÔÒÉ Á Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ××ÅÄÅÍ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÏÎÑÔÉÅ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÂÓÕÖÄÁÌÏÓØ ÎÁ ÓÔÒ. 185). íÁÔÒÉ ÅÊ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ C ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, Õ ËÏÔÏÒÏÊ C (i; j ) = é , ÅÓÌÉ i = j ÉÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i ÄÏÓÔÉÖÉÍÁ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ j É, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ, j -ÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÄÏÓÔÉÖÉÍÁ ÉÚ i-ÏÊ. åÓÌÉ ÖÅ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÅ ×ÙÏÌÎÅÎÏ, ÔÏ S (i; j ) = ì (Ô. Å. S (i; j ) = é ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÅÒÛÉÎÙ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ i É j ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ). íÁÔÒÉ Á C ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÍÁÔÒÉ Ù W ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÔÏÌØËÏ ÔÅÍ, ÞÔÏ C (i; j ) = é ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÕÔÉ ËÁË ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ i × j , ÔÁË É ÉÚ j × i. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, C (i; i) = é ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ i. óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ, ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÕÔÉ ÉÚ i-ÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ × j -ÕÀ W (i; j ) = é , Á W (j; i) = é ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÅÓÔØ ÕÔØ ÉÚ j -ÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ × i-ÕÀ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÑÞÅÊËÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÍÏÖÎÏ ÚÁÏÌÎÑÔØ Ï ÒÁ×ÉÌÕ: ÅÓÌÉ i = j; C (i; j ) = é; W (i; j ) É W (j; i); ÅÓÌÉ i 6= j: óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÍÅÔÏÄÏ× ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ É ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ. ÷ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ ÕÖÅ ÂÙÌ ÏÉÓÁÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÊ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ (ÓÍ. ÓÔÒ. 177). ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, Ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ É ÍÁÔÒÉ Õ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. éÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÕÖÅ ÓÈÅÍÁ ÅÒÅÎÏÓÉÔÓÑ ÎÁ ÜÔÏÔ ÓÌÕÞÁÊ ÏÞÔÉ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ. ÏÌØËÏ × ÓÁÍÏÅ ÅÅ ÎÁÞÁÌÏ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÉÎ ÛÁÇ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÉÊ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ S . ïÉÛÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ É ÒÁÚÂÅÒÅÍ ÅÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÒÉÍÅÒÅ. ä.2.1. áÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÊ ÍÁÔÒÉ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Õ ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÇÒÁÆ G(V; E ) Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M . áÌÇÏÒÉÔÍ ÓÔÒÏÉÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÍÁÔÒÉ W , W , . . . , Wn, ÅÒ×ÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÁ W = M ÉÌÉ E; 0 0 1 283 ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ ÇÄÅ E | ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ×ÉÄÁ     é ì ::: ì ì é ::: ì ::: ::: ::: ::: ì ì ::: é   ;  ÏÓÌÅÄÎÑÑ Wn | ÉÓËÏÍÁÑ ÍÁÔÒÉ Á Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ S , Á ÑÞÅÊËÉ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÍÁÔÒÉ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ: Wk (i; j ) = Wk− (i; j ) ÉÌÉ Wk− (i; k) É Wk− (k; j ) ; 1 1 1 k = 1; :::; n; i = 1; :::; n; j = 1; :::; n: ðÏÄÒÏÂÎÏÅ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÎÁ ÓÔÒ. 178. ðÒÉÍÅÒ ä.2.1. éÓÏÌØÚÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ õÏÒÛÅÌÌÁ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G = (V; E ), ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ ÒÉÓ. ä.2, É ÎÁ ÅÅ ÏÓÎÏ×Å ÏÌÕÞÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÒÇÒÁÆÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 2 3   ì ì é ì ì  ì ì ì é ì    1  M =  ì é ì é é :  ì é ì ì ì  é ì ì é ì 4 5 óÏÇÌÁÓÎÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ, ÅÒ×ÁÑ ÍÁÔÒÉ Á W ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÔÅÍ, ÞÔÏ Õ ÎÅÅ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÓÔÏÑÔ ÂÕË×Ù é . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,  é ì é ì ì  ì é ì é ì     W = M ÉÌÉ E =   ì é é é é :  ì é ì é ì  é ì ì é é äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù W ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W É ÓËÏÉÒÕÅÍ ×ÓÅ ÓÔÒÏËÉ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ ÂÕË×Á ì , × ÍÁÔÒÉ Õ W . ðÏÌÕÞÉÍ  ? ? ? ? ?  ì é ì é ì     W =  ì é é é é :  ì é ì é ì  ? ? ? ? ? 0 òÉÓÕÎÏË ä.2. 0 1 0 1 1 284 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ þÔÏÂÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W , ÄÅÊÓÔ×ÕÅÍ, ÓÌÅÄÕÑ ÕËÁÚÁÎÉÑÍ ÎÁ ÓÔÒ. 178. ðÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W ÓÁÒÉ×ÁÅÍ Ó ÅÒ×ÏÊ ÖÅ ÓÔÒÏËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù W Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ, Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ × ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ × ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W .  é ì é ì ì  ì é ì é ì     W =  ì é é é é :  ì é ì é ì  ? ? ? ? ? ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÑÔÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W . óÁÒÉ×ÁÅÍ ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W Ó ÑÔÏÊ ÅÅ ÓÔÒÏËÏÊ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÅÒÁ ÉÉ ÉÌÉ É ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÑÔÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W . éÔÁË,  é ì é ì ì  ì é ì é ì     W =  ì é é é é :  ì é ì é ì  é ì é é é óÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ W . ðÏÓËÏÌØËÕ × ÅÒ×ÏÊ É ÑÔÏÊ ÓÔÒÏËÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù W ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ ì , ÔÏ ËÏÉÒÕÅÍ ÜÔÉ ÓÔÒÏËÉ × ÍÁÔÒÉ Õ W . ÷ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÍÁÔÒÉ Ù W ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÓÁÒÉ×ÁÅÍ ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÉÌÉ ÓÏ ×ÔÏÒÏÊ, ÔÒÅÔØÅÊ É ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù W , ÚÁÉÓÙ×ÁÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W . ðÏÌÕÞÁÅÍ  é ì é ì ì  ì é ì é ì     W =  ì é é é é :  ì é ì é ì  é ì é é é ðÒÉ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ù W ×ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ ÉÇÒÁÅÔ ÔÒÅÔÉÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W . ðÏÓËÏÌØËÕ × ÜÔÏÍ ÓÔÏÌÂ Å É ÓÔÒÏËÁÈ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ 2 É 4 ÓÔÏÉÔ ÂÕË×Á ì , ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ × ÍÁÔÒÉ Õ W ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ. úÁÔÅÍ ÅÒ×ÕÀ, ÔÒÅÔØÀ É ÑÔÕÀ ÓÔÒÏËÉ ÉÚ W ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÓÁÒÉÔØ Ó ÔÒÅÔØÅÊ É ÚÁÉÓÁÔØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W . ðÏÌÕÞÁÅÍ  é é é é é  ì é ì é ì     W =  ì é é é é :  ì é ì é ì  é é é é é óÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ W . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÅÔ×ÅÒÔÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W . ÷ÓÅ ÓÔÒÏËÉ ÜÔÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÂÕË×Ù é , ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÁÒÉÔØ ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÉÌÉ ÞÅÔ×ÅÒÔÕÀ ÓÔÒÏËÕ Ó ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù W 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 2 2 3 2 3 2 3 3 4 3 3 285 ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ É ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÚÁÉÓÁÔØ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W . îÏ ×ÓÅ ÓÔÒÏËÉ W ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÂÕË×Ù é × ÔÅÈ ÖÅ ÓÔÏÌÂ ÁÈ, ÞÔÏ É ÞÅÔ×ÅÒÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ (ÓÔÏÌÂ Ù 2 É 4), ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÏÎÉ ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ. Ï ÅÓÔØ ÍÁÔÒÉ Ù W É W ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.  é é é é é  ì é ì é ì     W =  ì é é é é :  ì é ì é ì  é é é é é îÁÊÄÅÍ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÍÁÔÒÉ Õ W . ðÑÔÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù W ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÕË×Ù ì ×Ï ×ÔÏÒÏÊ É ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÒÏËÁÈ, ÏÜÔÏÍÕ ÜÔÉ ÓÔÒÏËÉ ÅÒÅÊÄÕÔ × ÍÁÔÒÉ Õ W ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ. ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù W ÓÁÒÉ×ÁÅÍ ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÉÌÉ Ó ÑÔÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ É ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÍ × ÍÁÔÒÉ Õ W . ðÏÌÕÞÁÅÍ  é é é é é  ì é ì é ì     W =  é é é é é :  ì é ì é ì  é é é é é ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÁÔÒÉ Á ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏÏÒÇÒÁÆÁ ÒÁ×ÎÁ  é é é é é  ì é ì é ì     W =  é é é é é :  ì é ì é ì  é é é é é éÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÓÔÒ. 282), ÏÌÕÞÉÍ  é ì é ì é  ì é ì é ì     C=  é ì é ì é :  ì é ì é ì  é ì é ì é åÓÌÉ ÇÒÁÆ ÉÍÅÅÔ ÎÅÂÏÌØÛÏÅ ËÏ3 ÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ É ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ÇÌÑÄÑ ÎÁ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Õ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÉÌÉ ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÇÒÁÆÁ, 2 4 ÍÏÖÎÏ ÌÅÇËÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ÁË ÏÒÇÒÁÆ ÉÚ ÒÉ- 1 5 ÍÅÒÁ ä.2.1 ÉÍÅÅÔ Ä×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÒÉÓ. ä.3). ïÄÎÁËÏ × ÚÁÄÁÞÁÈ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÈ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ, ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ ÏÞÅÎØ ×ÅÌÉËÏ É ÒÕÞÎÏÊ ÍÅÔÏÄ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÎÅÒÅÎÔÁÂÅÌÅÎ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, ÒÅÁÌÉÚÕÅÍÙÊ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ. 4 3 3 4 4 5 4 5 4 5 5 òÉÓÕÎÏË ä.3. 286 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ä.2.2. ÷ÙÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ïÉÛÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, Á ÔÁËÖÅ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÓÁÍÉÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ É ÉÈ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ. éÄÅÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ é ÌÀÂÏÊ i-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ ÉÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÓÅÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍÓÑ × ÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÅ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ i. õÄÁÌÅÎÉÅ ÉÚ ÍÁÔÒÉ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ É Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂ Ï×, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÔÉÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÄÁÌÅÎÉÀ ÉÚ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ó ÏÌÕÞÅÎÎÙÍ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ ÍÏÖÎÏ Ï×ÔÏÒÉÔØ ÏÉÓÁÎÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ, ×ÙÄÅÌÉ× ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ËÏÍÏÎÅÎÔÕ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, É ÔÁË ÄÁÌÅÅ, ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÎÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÍÁÔÒÉ Á, ÎÅ ÉÍÅÀÝÁÑ ÎÉ ÓÔÏÌÂ Ï×, ÎÉ ÓÔÒÏË. ÁËÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÕÓÔÏÊ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ ∅. Input V | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÏÒÇÒÁÆÁ G; M | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G; C | ÍÁÔÒÉ Á ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G; begin p := 0; B := C ; while B 6= ∅ do begin p := p + 1; ×ËÌÀÞÉÔØ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Vp ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÚ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÍÁÔÒÉ Ù B; é V, ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÉ Mp ×ÚÑÔØ ÏÄÍÁÔÒÉ Õ M , ÎÁÈÏÄÑÝÕÀÓÑ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÁÔÒÉ Ù ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂ Ï×, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ Vp ; B ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ Vp ; ÕÄÁÌÉÔØ ÉÚ V ×ÅÒÛÉÎÙ Vp ; ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ ×ÙÞÅÒËÎÕÔØ ÉÚ Output end end p | ÞÉÓÌÏ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G; Vi , i = 1; 2; : : : p, | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ i-ÔÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Gi ÏÒÇÒÁÆÁ G; Mi , i = 1; 2; : : : p; | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ i-ÔÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Gi ÏÒÇÒÁÆÁ G. ðÒÉÍÅÒ ä.2.2. ïÒÅÄÅÌÉÔØ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G, ÏÌÕ- ÞÅÎÎÏÇÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÒÇÒÁÆÏ× × ÒÉÍÅÒÅ ä.1.1, É ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ÉÈ ÏÔÄÅÌØÎÏ. 287 ä.2. ó×ÑÚÎÏÓÔØ × ÇÒÁÆÁÈ òÅÛÅÎÉÅ. íÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ ÒÁ×ÎÁ  M =      ì é é ì ì ì ì ì ì ì ì é ì é ì ì é ì ì é é ì ì é ì  é é é é é ì é ì ì ì é é é é é é é é é é é é é é é  é ì é é é ì é ì ì ì é ì é é é é ì é é é      : ðÒÉÍÅÎÉ× ÍÅÔÏÄ õÏÒÛÅÌÌÁ, ÏÌÕÞÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ: W =            : úÁÔÅÍ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ (ÓÔÒ. 282), ÎÁÈÏÄÉÍ   é ì   é  C= : é  é ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÏÌÁÇÁÅÍ p :=0, B = C . íÁÔÒÉ      Á B 6= ∅, ÏÔÏÍÕ ×ÙÏÌÎÑÅÍ ÔÅÌÏ ÉËÌÁ. { ÏÌÁÇÁÅÍ p := p + 1 = 0 + 1 = 1; { V := {1; 3; 4; 5}; { ÆÏÒÍÉÒÕÅÍ M , ×ÚÑ× ÉÚ M ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂÏ×, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á V : 1 1 1 M 1  :=  ì é ì ì ì ì é ì ì ì ì é é ì é ì   :  îÁ ÜÔÏÍ ÜÔÁÅ ÍÙ ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ V É ÍÁÔÒÉ Õ ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ÅÒ×ÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G. { ×ÙÞÅÒËÉ×ÁÅÍ ÉÚ B ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ V : B := [é ℄; { ×ÙÞÅÒËÉ×ÁÅÍ ÉÚ V ×ÅÒÛÉÎÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ V , V := {2}. ÁË ËÁË B 6= ∅, Ï×ÔÏÒÑÅÍ ÔÅÌÏ ÉËÌÁ. { ÏÌÁÇÁÅÍ p := p + 1 = 1 + 1 = 2; { ÆÏÒÍÉÒÕÅÍ V := {2}; 1 1 1 1 2 288 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ { ÆÏÒÍÉÒÕÅÍ M , ×ÚÑ× ÉÚ M ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÎÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÅ 2 ÍÎÏÖÅÓÔ×Á V : M := [ì ℄ : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ V É ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ M ×ÔÏÒÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G. { ×ÙÞÅÒËÉ×ÁÅÍ ÉÚ B ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ V : B := ∅: ÁË ËÁË B = ∅, ÔÏ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÍ ÉËÌ É, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ×ÅÓØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÅÎÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÅÒÛÉÎ É ÍÁÔÒÉ Ù ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ Ä×ÕÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ ÓÉÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÒÇÒÁÆÁ G. ëÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ä.4. 2 2 2 2 2 2 ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù ÉËÌÙ ÷ ÎÁÞÁÌÅ ÓÅÄØÍÏÊ ÇÌÁ×Ù ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ËÎÉÇÉ ÷Ù ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ Ó ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ Ï ËÅÎÉÇÓÂÅÒÇÓËÉÈ ÍÏÓÔÁÈ, ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÔÏÒÏÊ ××ÏÄÉÌÏÓØ ÏÎÑÔÉÅ 3 ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ É ÜÊÌÅÒÏ×Á ÇÒÁ2 ÆÁ. ÁÍ ÖÅ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÓÔÅÅÎØ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÇÒÁÆÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÞÅÔÎÏÊ, É ÓÏÏÂÝÁÌÓÑ ÔÁËÏÊ ÆÁËÔ: ÕÓÌÏ×ÉÅ ÞÅÔÎÏÓÔÉ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ 5 4 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÄÌÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ × ÇÒÁÆÅ. úÁÄÁÞÁ Ï ÏÉÓËÅ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ × ÄÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÉÍÅÅÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. îÅ ÕÇÌÕÂÌÑÑÓØ × ×ÙÓÏËÕÀ ÎÁÕËÕ, ÍÏÖÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÚÁÄÁÞÕ ÕÂÏÒËÉ ÕÌÉ ÇÏÒÏÄÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÍÁÒÛÒÕÔ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÕÂÏÒÏÞÎÏÊ ÍÁÛÉÎÙ Ï ÕÌÉ ÁÍ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁÊÏÎÁ ÇÏÒÏÄÁ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÎÁÞÉÎÁÌÓÑ É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÌÓÑ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÍÅÓÔÅ É ÒÏÈÏÄÉÌ Ï ËÁÖÄÏÊ ÕÌÉ Å ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ. óÈÅÍÕ ÕÌÉ ÒÁÊÏÎÁ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÇÒÁÆÁ, ÒÅÂÒÁÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÕÌÉ Ù, Á ×ÅÒÛÉÎÁÍ | ÅÒÅËÒÅÓÔËÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ × ÇÒÁÆÅ. úÁÄÁÞÕ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÁ×ÉÌÅ. îÁÞÎÅÍ ÍÁÒÛÒÕÔ P × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ a ÇÒÁÆÁ G É ÂÕÄÅÍ ÒÏÄÏÌÖÁÔØ ÅÇÏ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÞÅÒÅÚ ÎÏ×ÙÅ ÒÅÂÒÁ. ÁË ËÁË Ë ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÏÄÈÏÄÉÔ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ, ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÍÏÖÅÔ ÚÁËÏÎÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÉÓÈÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ a. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ Ó×ÏÅ 1 òÉÓÕÎÏË ä.4. ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù 289 ÉËÌÙ ÒÅÂÒÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ, Ô. Å. ÉËÌ P = a a a : : : ak a. åÓÌÉ P ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ G, ÕÄÁÌÉÍ ÉÚ G ÒÅÂÒÁ, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × P . ÷ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ G É ÉËÌÁ P ÉÍÅÀÔ ÞÅÔÎÙÅ ÓÔÅÅÎÉ. Ï ÖÅ′ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ É ÒÏ ÏÓÔÁÀÝÉÊÓÑ ÏÄÇÒÁÆ G . ÁË ËÁË ÇÒÁÆ G Ó×ÑÚÅÎ, ÔÏ b P‘ × P ÄÏÌÖÎÁ ÎÁÊÔÉÓØ ×ÅÒÛÉÎÁ as, ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÁÑ ′ ËÁËÏÍÕ-ÔÏ ÒÅÂÒÕ ÉÚ G . éÚ as ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÏ×ÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ P ′, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÒÅÂÒÁ ÔÏÌØËÏ ÉÚ a b ÏÄÇÒÁÆÁ G′. ÁËÏÊ ÍÁÒÛÒÕÔ ÍÏÖÅÔ ÚÁËÏÎÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÉ ×ÏÚ×ÒÁÝÅÎÉÉ × ×ÅÒÛÉÎÕ as , Ô. Å. P P ′ = as b : : : bm as . îÏ ÔÏÇÄÁ ÉÚ P É P ′ ÍÏÖÎÏ a ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÎÏ×ÙÊ ÉËÌ a a P = a a : : : as b : : : bm as as : : : am a; ËÏÔÏÒÙÊ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × a É ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÏÌØÛÅ ÒÅÂÅÒ, ÞÅÍ P (ÓÍ. ÒÉÓ. ä.5). åÓÌÉ P ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÉËÌÏÍ, ÔÏ ÜÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ. ëÏÇÄÁ ÒÏ ÅÓÓ ÚÁËÏÎÞÉÔÓÑ, ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ ÂÕÄÅÔ ÏÓÔÒÏÅÎ. 1 2 1 s m 1 1 k 1 1 1 +1 òÉÓÕÎÏË ä.5. 1 ä.3.1. áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á Input ÉËÌÁ × ÇÒÁÆÅ G(V; E ) | ËÏÎÅÞÎÙÊ Ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ Ó ÞÅÔÎÙÍÉ ÓÔÅÅÎÑÍÉ begin ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ; ×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ò := ∅; a := d; d∈V; while E 6= ∅ do begin ×ÙÂÒÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÂÒÏ := d; P ′ := ∅; repeat begin d ∈ ò , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ (d; x) ∈ E ; ×ÙÂÒÁÔØ ÒÅÂÒÏ (d; y ) ∈E Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: (d;′ y) ∈= ′P ′; P := P ∪ {(d; y)}; ÕÄÁÌÉÔØ ÒÅÂÒÏ (d; y ) ÉÚ å ; d := y; end; until y 6= if P 6= ∅ then ′ P := P (a; ) ∪ P ∪ P ( ; a); 290 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ else end P := P ′; end Output P | G ðÒÉÍÅÒ ä.3.1. ðÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ × ÇÒÁÆÅ G(V; E ), ÅÓÌÉ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ ÇÒÁÆÁ . V = 1; 2; 3; 4; 5; 6 É E = (1; 2); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (4; 6); (5; 6) : òÅÛÅÎÉÅ. õÓÌÏ×ÉÍÓÑ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ: ÒÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÌÅ×Á ÎÁ- ÒÁ×Ï × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ, ×ÙÂÉÒÁÔØ ÅÒ×ÙÊ ÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ. îÁ ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ÜÔÁÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ d ∈ V . { ðÏÌÏÖÉÍ d := 1; { P := ∅; { a := d = 1. ÷ÙÏÌÎÑÅÍ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÉËÌÁ while E 6= ∅ do ... end. ÁË ËÁË ò = ∅, ÎÏ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ×ÙÂÒÁÔØ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ É d ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÒÁ×ÎÏÅ 1. { := d = 1; { P ′ := ∅. ÷ÙÏÌÎÑÅÍ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÉËÌÁ repeat . ..until y 6= . { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 1 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (1; 2)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 1 2; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (1; 2) ÉÚ å (å := {(1; 4); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (4; 6); (5; 6)}); { d := y = 2. { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ: (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 2 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (2; 3)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 1 2 3; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (2; 3) ÉÚ å (å := {(1; 4); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (4; 6); (5; 6)}); { d := y = 3. { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 3 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (3; 4)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 1 2 3 4; ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù ÉËÌÙ 291 { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (3; 4) ÉÚ å (å := {(1; 4); (2; 4); (2; 5); (4; 6); (5; 6)}); { d := y = 4. { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 4 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (4; 1)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 1 2 3 4 1; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (1; 4) ÉÚ å (å := {(2; 4); (2; 5); (4; 6); (5; 6)}); { d := y = 1. ÷ÙÏÌÎÉÌÏÓØ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏËÏÎÞÁÎÉÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÉËÌÁ, ÏÓËÏÌØËÕ Õ ÓÔÁÌ ÒÁ×ÅÎ Ó. ÁË ËÁË ò = ∅, ÏÌÁÇÁÅÍ ò := ò ′ = 1 2 3 4 1. ðÏÓËÏÌØËÕ å 6= ∅, Ï×ÔÏÒÑÅÍ ×ÎÅÛÎÉÊ ÉËÌ. { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ d ∈ P , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÂÒÏ (d; x), ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÅ E (ÜÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ d = 2); { := d = 2; { P := ∅. óÎÏ×Á ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ×ÙÏÌÎÅÎÉÀ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÉËÌÁ repeat .. .until y 6= . { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 2 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (2; 4)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 2 4; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (2; 4) ÉÚ å (å := {(2; 5); (4; 6); (5; 6)}); { d := y = 4. { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 4 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (4; 6)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 2 4 6; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (4; 6) ÉÚ å (å := {(2; 5); (5; 6)}); { d := y = 6. { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 6 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (6; 5)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 2 4 6 5; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (6; 5) ÉÚ å (å := {(2; 5)}); { d := y = 5. 292 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ { ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÁËÏÅ ÒÅÂÒÏ (d; y) ∈ E , ÞÔÏ (d; y) ∈= P ′, ÇÄÅ d = 5 (ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (5; 2)); { ×ËÌÀÞÁÅÍ ÅÇÏ × ÍÁÒÛÒÕÔ: P ′ := 2 4 6 5 2; { ÕÄÁÌÑÅÍ ÒÅÂÒÏ (5; 2) ÉÚ å (å := ∅); { d := y = 2. ðÏÓËÏÌØËÕ Õ = Ó = 2, ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÊ ÉËÌ ÚÁËÏÎÞÅÎ. ÁË ËÁË ò 6= ∅, ÏÌÁÇÁÅÍ P := P (a; ) ∪ P ′ ∪ P ( ; a) = P (1; 2) ∪ P ′ ∪ P (2; 1) = = 1 2 4 6 5 2 3 4 1: ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Ë ÎÁÓÔÏÑÝÅÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ å = ∅. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÁËÏÎÞÅÎ ×ÎÅÛÎÉÊ ÉËÌ É ×ÅÓØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÓÔÒÏÅÎ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ: ò = 2 4 6 5 2 3 4 1. ä.3.2. áÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÒÉ åÓÌÉ G ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ, Á ÞÔÏ-ÔÏ ×ÒÏÄÅ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÍÁÒÛÒÕÔÏ×, ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ ×ÓÅ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ. òÅÛÉÔØ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÍÏÖÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ k ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ G ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ (ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ k | ÞÅÔÎÏ). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ËÏÎ ÏÍ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ G ÍÁÒÛÒÕÔÏ× Pi . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÒÁ×ÎÏ k=2. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÔÁËÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÍÁÒÛÒÕÔÏ× ÇÒÁÆ G ÏËÒÙÔØ ÍÏÖÎÏ. þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ, ÒÁÓÛÉÒÉÍ G ÄÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G′ , ÄÏÂÁ×É× k=2 ÒÅÂÅÒ E ′, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÁÒÙ ×ÅÒÛÉÎ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ÏÇÄÁ G′ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÇÒÁÆÏÍ É ÉÍÅÅÔ ÜÊÌÅÒÏ× ÉËÌ P ′. ðÏÓÌÅ ÕÄÁÌÅÎÉÑ ÉÚ P ′ ÒÅÂÅÒ E ′ ÇÒÁÆ ÒÁÚÌÏÖÉÔÓÑ ÎÁ k=2 ÕÞÁÓÔËÏ×, ÏËÒÙ×ÁÀÝÉÈ G. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÇÒÁÆÁ Ó ÜÊÌÅÒÏ×ÙÍ ÉËÌÏÍ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÁÚÕÍÎÕÀ ÓÈÅÍÕ ÏÂÈÏÄÁ ×ÙÓÔÁ×ËÉ, Ï ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ËÏÒÉÄÏÒÁÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÅÔÉÔÅÌÉ ÄÏÌÖÎÙ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕËÁÚÁÔÅÌÑÍ, ÒÏÊÔÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ Õ×ÉÄÅÔØ ËÁÖÄÙÊ ÜËÓÏÎÁÔ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ. åÓÌÉ ÜËÓÏÎÁÔÙ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ Ï ÏÂÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ËÏÒÉÄÏÒÏ×, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÎÁÒÁ×ÌÑÔØ ÏÓÅÔÉÔÅÌÅÊ ÞÅÒÅÚ ÎÉÈ Ä×ÁÖÄÙ, ÞÔÏÂÙ ËÁÖÄÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÂÙÌÁ ÏÓÍÏÔÒÅÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÏ. üÔÏ ÎÅ ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÌÁÎ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ×ÙÓÔÁ×ËÉ, ÔÁË ËÁË × ËÏÎÅÞÎÏÍ Ó×ÑÚÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉËÌ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÄ×ÏÉÔØ ÒÅÂÒÁ × ÄÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ G, ÒÁÓÝÅÌÑÑ ËÁÖÄÏÅ ÎÁ ÁÒÕ ÄÕÇ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÊ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ. ÁËÁÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÄ×ÏÅÎÉÅÍ ÇÒÁÆÁ. ðÏÌÕÞÉ×ÛÅÅÓÑ ÕÄ×ÏÅÎÉÅ Gd ÇÒÁÆÁ G, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÇÒÁÆÏÍ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜÊÌÅÒÏ×Á ÉËÌÁ. éÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ É ÚÁÄÁÞÕ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÜËÓËÕÒÓÉÏÎÎÏÇÏ ÍÁÒÛÒÕÔÁ ÄÌÑ ÏÓÍÏÔÒÁ ÄÏÓÔÏÒÉÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÇÏÒÏÄÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÍÁÒÛÒÕÔÁ ä.3. üÊÌÅÒÏ×Ù ÉËÌÙ 293 Ä×ÉÖÅÎÉÑ Á×ÔÏÂÕÓÁ Ï ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÓÈÅÍÅ ÇÏÒÏÄÓËÉÈ ÕÌÉ . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÍÁÒÛÒÕÔ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÎÅ ÒÏÈÏÄÉÌ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ Ï ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÕÌÉ . äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÉËÌÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÇÏ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ, ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÒÁ×ÉÌÏ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÅ ÜÒÒÉ. îÁÞÉÎÁÑ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ a , ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÉÄÔÉ Ï ËÁËÏÍÕ-ÎÉÂÕÄØ ÍÁÒÛÒÕÔÕ P , ÏÔÍÅÞÁÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÒÅÂÒÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÏ ÂÙÌÏ ÒÏÊÄÅÎÏ. åÓÌÉ ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ × ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ g × ÅÒ×ÙÊ ÒÁÚ, ÔÏ ÏÓÏÂÏ ÏÔÍÅÞÁÅÔÓÑ ÅÒ×ÏÅ ×ÈÏÄÑÝÅÅ ÒÅÂÒÏ. éÚ ×ÅÒÛÉÎÙ g ×ÓÅÇÄÁ ÓÌÅÄÕÅÍ Ï ÒÅÂÒÕ (g; r), ËÏÔÏÒÏÅ ÉÌÉ ×ÏÏÂÝÅ ÅÝÅ ÎÅ ÂÙÌÏ ÒÏÊÄÅÎÏ, ÉÌÉ ÖÅ ÂÙÌÏ ÒÏÊÄÅÎÏ × ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ Ï ÅÒ×ÏÍÕ ×ÈÏÄÑÝÅÍÕ × g ÒÅÂÒÕ ÍÏÖÎÏ ÉÄÔÉ ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÒÕÇÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ÎÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÉ ËÁÖÄÏÍ ÒÏÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ g × ÅÉ P ÂÕÄÅÔ ÏÄÎÏ ×ÈÏÄÑÝÅÅ ÒÅÂÒÏ É ÏÄÎÏ ×ÙÈÏÄÑÝÅÅ ÒÅÂÒÏ; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P ÍÏÖÅÔ ÚÁËÏÎÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ × a . ãÅØ P ÄÏÌÖÎÁ ÏËÒÙ×ÁÔØ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ G Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. óÎÁÞÁÌÁ ÒÏ×ÅÒÉÍ ÜÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÅÂÅÒ Ó ËÏÎ ÏÍ × a . ÁË ËÁË P × ×ÅÒÛÉÎÅ a ËÏÎÞÁÅÔÓÑ, ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ Ó ËÏÎ ÏÍ × a ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÕÖÅ ÏËÒÙÔÙ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÏÔ a ; ÔÁË ËÁË × P ÞÉÓÌÏ ×ÈÏÄÑÝÉÈ É ×ÙÈÏÄÑÝÉÈ ÒÅÂÅÒ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ × a ÄÏÌÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏËÒÙÔÙÍ × ÏÂÏÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. ÒÅÂÕÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÏÓÔÁÌØÎÙÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÉÚ P . ðÒÏÊÄÅÍ Ï P ÏÔ a ÄÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ an É ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎÁÈ ai ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ ÏËÒÙÔÙ × ÏÂÏÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. ÷ÈÏÄÑÝÅÅ × an ÒÅÂÒÏ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (ai ; an) É, Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ, ÏËÒÙÔÏ × ÏÂÏÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. îÏ ÅÒ×ÏÅ ×ÈÏÄÑÝÅÅ × an ÒÅÂÒÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÏ × P ÔÏÌØËÏ ÒÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÉ ÄÒÕÇÉÈ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ×ÙÈÏÄÏ×; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ × an ÔÁËÖÅ ÄÏÌÖÎÙ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÏËÒÙÔÙÍÉ × ÏÂÏÉÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÅÒÒÉ. 0 0 0 0 0 0 0 Input n | ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ; V | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ; m | ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ; E | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ; M | ÍÁÔÒÉ Á ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ; begin ×ÙÂÒÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ P := ∅; k := 2m; V ′ := V ; while k 6= 0 do a∈V; 0 294 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ begin (a; b), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ M (a; b) = é , ÒÉÞÅÍ × ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÏÞÅÒÅÄØ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÒÅÂÒÏ (a; b), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ M (b; a) = ì ; if b ∈ V ′ then ×ÙÂÒÁÔØ ÒÅÂÒÏ begin b ÉÚ V ′ ; ÏÌÏÖÉÔØ M (a; b) := ì ; ÕÄÁÌÉÔØ else end Output P | end end ÏÌÏÖÉÔØ P := P ∪ {(a; b)}; k := k − 1; a := b; ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ M (a; b) := ì ; ÉËÌ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ. ðÒÉÍÅÒ ä.3.2. ó ÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÅÒÒÉ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉËÌ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.6 ÇÒÁÆÁ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÊ. òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ, ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ ÄÌÑ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ × ÉËÌ, ÂÕÄÅÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÅÒ×ÏÅ ÏÄÈÏÄÑÝÅÅ ÒÅÂÒÏ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ×ÏÚØ4 ÍÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 1. ðÒÏ ÅÓÓ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ÔÁÂÌ. ä.4.2. ðÅÒ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÔÁÂÌÉÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÓÏÓÔÏÑÎÉÀ ÍÁÓÓÉ×Ï× É ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. 5 1 ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÓÔÒÏÅÎ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÉËÌ: ò = (1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5); (5; 4); (4; 5); (5; 1) : 3 2 òÉÓÕÎÏË ä.6. ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ îÁÉÂÏÌÅÅ ÒÏÄÕËÔÉ×ÎÙÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÀÂÏÊ ÚÁÄÁÞÉ | ÉÚÕÞÉÔØ ÅÅ ÓÕÝÎÏÓÔØ. äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÚÁÄÁÞÕ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁ ÑÚÙËÅ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÔÎÏÓÑÝÅÊÓÑ Ë ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÍ 295 ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÒÁÚÄÅÌÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÉÚÌÏÖÉÔØ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ. ë ÔÁËÉÍ ÚÁÄÁÞÁÍ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ É ÚÁÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÛÁÀÔÓÑ ÒÏÂÌÅÍÙ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ (ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÁ ÓÔÒ. 81). ÁÂÌÉ Á ä.4.2 k a (a; b) V ′ P M 2 12 1 {1; 2; 3; 4; 5} ∅ 6é 6 6 6é 6 4ì 2 11 2 (1; 2) {1; 3; 4; 5} {(1; 2)} 3 (2; 3) {1; 4; 5} {(1; 2); (2; 3)} 9 1 (3; 1) {4; 5} {(1; 2); (2; 3); (3; 1)} 8 5 (1; 5) {4} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5)} 7 2 (5; 2) {4} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2)} 6 1 (2; 1) {4} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2); (2; 1)} ì é ì é é ì ì ì ì é ì é ì ì ì é ì é ì é ì é é ì ì ì ì ì ì é é é ì é ì ì ì é ì é ì ì ì é é ì ì ì ì ì ì é é é ì é ì ì ì é ì é ì ì ì é é ì ì ì ì ì ì é é é ì é ì ì ì é ì ì ì ì ì é é ì ì ì ì ì ì é é é ì é ì ì ì é ì ì 6é 6 6 6ì 6 4ì 2 é ì 6é 6 6 6ì 6 4ì 2 ì ì 6é 6 6 6ì 6 4ì 2 é é 6é 6 6 6é 6 4ì 2 é é 6é 6 6 6é 6 4ì 2 10 ì ì ì ì é é ì ì ì ì ì ì é é ì ì é ì ì ì é ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì é ì ì ì é é ì ì ì ì ì ì é ì ì é ì 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 296 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÔÁÂÌ. ä.4.2 2 5 3 (1; 3) {4} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2) (2; 1); (1; 3)} ì ì ì ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì ì ì ì é é ì ì ì ì ì ì é é ì ì é ì 2 4 3 2 1 2 5 4 5 (3; 2) (2; 5) (5; 4) (4; 5) {4} {4} ∅ ∅ {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2) (2; 1); (1; 3); (3; 2)} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5)} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5); (5; 4)} {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2) (2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5); (5; 4); (4; 5)} ì ì ì ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì ì ì ì é ì ì ì ì ì ì ì é é ì ì é ì 2 ì ì ì ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì é é ì ì é ì 2 ì ì ì ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì é é ì ì ì ì 2 ì ì ì ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì é 2 0 4 (5; 1) ∅ {(1; 2); (2; 3); (3; 1); (1; 5); (5; 2) (2; 1); (1; 3); (3; 2); (2; 5); (5; 4); (4; 5); (5; 1)} ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì 6ì 6 6 6ì 6 4ì 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 3 7 7 7 7 7 5 íÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ, ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ, Ó×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÍ ÏÄÚÁÄÁÞÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ËÏÍÁÎÄ, ×ÙÏÌÎÑÅÍÙÈ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÂÁÚÅ ÄÁÎÎÙÈ (ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÜÌÅÍÅÎÔÏ×). îÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ËÏÍÁÎÄ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÉÓË, ×ÓÔÁ×ËÁ, ÕÄÁÌÅÎÉÅ É ÍÉÎÉÍÕÍ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÞÁÓÔØ ÚÁÄÁÞ ÏÉÓËÁ. ïÂ ÜÔÉÈ É ÄÒÕÇÉÈ ÏÄÏÂÎÙÈ ËÏÍÁÎÄÁÈ É ÏÊÄÅÔ ÒÅÞØ ÎÉÖÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ, ÔÉÉÞÎÙÈ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ. • ðÏÉÓË(a; S ) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔ Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S ; ÅÓÌÉ a ∈ S , ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÅÒÁ ÉÉ | ÏÔ×ÅÔ ÄÁ; × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÏÔ×ÅÔ ÎÅÔ. ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ • • 297 ÷ÓÔÁ×ËÁ(a; S ) ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ Á × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S , ÔÏ ÅÓÔØ ÚÁÍÅÎÑÅÔ S ÎÁ S ∪ {a}. áÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏÂÈÏÄÁ(S ) ÅÞÁÔÁÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S Ó ÓÏÂÌÀÄÅÎÉÅÍ ÏÒÑÄËÁ. • õÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÕÄÁÌÑÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ Á ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S , ÔÏ ÅÓÔØ ÚÁÍÅÎÑÅÔ S ÎÁ S \ {a}. • ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(S ; S ; S ) ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S É S , Ô. Å. ÓÔÒÏÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S = S ∪ S . • íÉÎÉÍÕÍ(S ) ×ÙÄÁÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . ó ÅÒ×ÙÍÉ ÔÒÅÍÑ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÷Ù ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÙ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÉ Ë ÇÌÁ×Å 7 ÎÁ ÓÔÒ. 167 É 169 . óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ, ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÌÁÄÅÔØ, | ÜÔÏ ÏÅÒÁ ÉÑ ÍÉÎÉÍÕÍ(S ). äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ × Ä×ÏÉÞÎÏÍ ÄÅÒÅ×Å ÏÉÓËÁ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÕÔØ v ; v ; : : : ; vp , ÇÄÅ v | ËÏÒÅÎØ ÄÅÒÅ×Á , vi | ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ ×ÅÒÛÉÎÙ vi− (i = 1; 2; : : : ; p), Á Õ ×ÅÒÛÉÎÙ vp ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ. ëÌÀÞ ×ÅÒÛÉÎÙ vp É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ × ÄÅÒÅ×Å . ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÏÌÅÚÎÏ ÉÍÅÔØ ÕËÁÚÁÔÅÌØ ÎÁ ×ÅÒÛÉÎÕ vp , ÞÔÏÂÙ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ÄÏÓÔÕ Ë ÎÁÉÍÅÎØÛÅÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÚÁ ÏÓÔÏÑÎÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÍÉÎÉÍÕÍ(S ) ÉÓÏÌØÚÕÅÔ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÕÀ ÒÏÅÄÕÒÕ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(v), ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÕÀ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v. áÌÇÏÒÉÔÍ É ÒÏÅÄÕÒÁ ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. 1 3 1 2 3 1 2 2 0 1 0 1 Input Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÏÉÓËÁ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á begin if T = ∅ then output else S ÄÅÒÅ×Ï ÕÓÔÏ; ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(r) (ÚÄÅÓØ r | ËÏÒÅÎØ ÄÅÒÅ×Á ); ÍÉÎÉÍÕÍ := l(v), ÇÄÅ v | ×ÏÚ×ÒÁÔ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ; ×ÙÚ×ÁÔØ ÒÏ ÅÄÕÒÕ Output end ÏÔ×ÅÔ ÄÅÒÅ×Ï ÕÓÔÏ, ÅÓÌÉ ÍÉÎÉÍÕÍ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÅÒÛÉÎ; | ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÄÅÒÅ×Á × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. Pro edure ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(v). begin if v ÉÍÅÅÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ w then return ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(w) else return v end ðÒÉÍÅÒ ä.4.1. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÒÁÂÏÔÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÉÎÉÍÕÍ ÎÁ ÄÅÒÅ×Å ÏÉÓËÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÍ ÎÁ ÒÉÓ. ä.7 298 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ òÅÛÅÎÉÅ. äÅÒÅ×Ï ÎÅ ÕÓÔÏ, ÓÌÅ1 ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁ if ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(1). ÷ÅÒÛÉÎÁ 1 ÉÍÅÅÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ | 3 2 ×ÅÒÛÉÎÕ 2, ÚÎÁÞÉÔ ×ÙÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏthen end ÅÄÕÒÁ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(2). ÷ÅÒÛÉÎÁ 2 ÉÍÅÅÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ | 4 6 ×ÅÒÛÉÎÕ 4, ÚÎÁÞÉÔ ×ÙÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏ- begin while ÅÄÕÒÁ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ(4). ÷ÅÒÛÉÎÁ 4 ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ, 5 ÏÜÔÏÍÕ ×ÅÒÛÉÎÁ 4 É ÂÕÄÅÔ ×ÏÚ×ÒÁelse ÔÏÍ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ. ëÌÀÞÏÍ ×ÅÒÛÉÎÙ 4 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÏ×Ï begin, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÄÅÒÅ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÍÉÎÉÍÕÍ= begin. òÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÏÅÒÁ ÉÀ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÉÓËÏ×ÙÈ ÄÅÒÅ×ØÅ× ÔÏÖÅ ÒÏÓÔÏ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ Á, ÏÄÌÅÖÁÝÉÊ ÕÄÁÌÅÎÉÀ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎ × ×ÅÒÛÉÎÅ v. ÷ÏÚÍÏÖÎÙ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ: • ×ÅÒÛÉÎÁ v Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÓÔÏÍ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ v ÒÏÓÔÏ ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÄÅÒÅ×Á; • Õ ×ÅÒÛÉÎÙ v × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÄÉÎ ÓÙÎ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂßÑ×ÌÑÅÍ ÏÔ Á ×ÅÒÛÉÎÙ v ÏÔ ÏÍ ÓÙÎÁ ×ÅÒÛÉÎÙ v, ÕÄÁÌÑÑ ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ v ÉÚ ÄÅÒÅ×Á (ÅÓÌÉ v | ËÏÒÅÎØ, ÔÏ ÅÇÏ ÓÙÎÁ ÄÅÌÁÅÍ ÎÏ×ÙÍ ËÏÒÎÅÍ); • Õ ×ÅÒÛÉÎÙ v Ä×Á ÓÙÎÁ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÈÏÄÉÍ × ÌÅ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å ×ÅÒÛÉÎÙ v ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ b, ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÕÄÁÌÑÅÍ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÏÄÄÅÒÅ×Á ×ÅÒÛÉÎÕ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ b, É ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÅ v ËÌÀÞ b. (úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÍÅÎØÛÉÈ a, ÜÌÅÍÅÎÔ b ÂÕÄÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÄÅÒÅ×Á. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ×ÅÒÛÉÎÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ b, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÌÉ ÌÉÓÔÏÍ, Ñ×ÌÑÀÝÉÍÓÑ ÞØÉÍÔÏ ÒÁ×ÙÍ ÓÙÎÏÍ, ÉÌÉ ÉÍÅÔØ ÔÏÌØËÏ ÌÅ×ÏÅ ÏÄÄÅÒÅ×Ï.) ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÄÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÄÅÒÅ×Ï ÕÓÔÙÍ É ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔ Á × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å S . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÉÄÅÔÓÑ ×ÙÏÌÎÉÔØ ÏÅÒÁ ÉÀ ÏÉÓË(a; S ), ÒÉÞÅÍ × ÓÌÕÞÁÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ×ÙÄÁÔØ ËÒÏÍÅ ÏÔ×ÅÔÁ ÄÁ É ÎÏÍÅÒ ×ÅÒÛÉÎÙ v, ËÌÀÞ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó Á (ÄÁÌÅÅ ËÌÀÞ ×ÅÒÛÉÎÙ v ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ l(v)). ëÒÏÍÅ ÜÔÏÇÏ, ÄÌÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÚÎÁÔØ É ÎÏÍÅÒ ×ÅÒÛÉÎÙ w, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÏÔ ÏÍ ×ÅÒÛÉÎÙ v. óÁÍÕ ÖÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÕÀ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÍÏÖÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÔÁË, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÎÉ Å. Pro edure ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) begin (1) if v | ÌÉÓÔ then ÕÄÁÌÉÔØ v ÉÚ else (2) if v ÉÍÅÅÔ ÔÏÌØËÏ ÌÅ×ÏÇÏ ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ òÉÓÕÎÏË ä.7. ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ (5) (6) (7) u then w then ÎÁÚÎÁÞÉÔØ u ÓÙÎÏÍ w ÒÁ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ if v else (3) (4) 299 else ÉÍÅÅÔ ÏÔ Á ÓÄÅÌÁÔØ u ËÏÒÎÅÍ ÄÅÒÅ×Á, ÒÉÓ×ÏÉ× ÅÍÕ ÎÏÍÅÒ v ÎÁÊÔÉ × ÌÅ×ÏÍ ÏÄÄÅÒÅ×Å b v ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ y; ÜÌÅÍÅÎÔ , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÅ return ÕÄÁÌÅÎÉÅ(b; S ); l(v) := b; end ðÒÉÍÅÒ ä.4.2. ðÒÏÓÌÅÄÉÔÅ ÚÁ ÒÁÂÏÔÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(a; S ) ÄÌÑ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ S , ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.7, ÅÓÌÉ a | ÜÔÏ ÓÌÏ×Ï if . òÅÛÅÎÉÅ. óÌÏ×Ï if ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÏ × ËÏÒ- 1 ÎÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ 1, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ä×Á ÓÙÎÁ (×ÅÒend ÛÉÎÙ 2 É 3), ÏÜÔÏÍÕ ×ÙÏÌÎÑÅÍ ÓÔÒÏËÕ (5) ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. îÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÓÌÏ×Ï, ÍÅÎØÛÅÅ if 3 (ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ), ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÏÅ × ÌÅ×ÏÍ 4 then ÏÄÄÅÒÅ×Å ËÏÒÎÑ É ÎÁÈÏÄÑÝÅÅÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÅ begin 2, | ÜÔÏ end. ÷ÙÚÙ×ÁÅÍ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(end; S ). 5 6 õÓÌÏ×ÉÅ ÓÔÒÏËÉ (2) ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ×ÙÏÌÎÑelse while ÅÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ×ÅÒÛÉÎÁ 2 Ó ËÌÀÞÏÍ end ÉÍÅÅÔ ÔÏÌØËÏ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ. õÓÌÏ×ÉÅ ÓÔÒÏËÉ (3) ÎÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ÕÄÁÌÑÅÍÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÓÔÒÏËÅ (4): ÄÅÌÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ 2 ËÏÒÎÅÍ, ÓÙÎÏ×ØÑÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÙ 4 (ÌÅ×ÙÍ) É 3 (ÒÁ×ÙÍ). òÁÂÏÔÁ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÕÄÁÌÅÎÉÅ(end; S ) ÚÁËÏÎÞÅÎÁ. ðÒÏÄÏÌÖÁÅÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ (×ÙÏÌÎÑÅÍ ÓÔÒÏËÕ (7)): ÏÌÁÇÁÅÍ ËÌÀÞ ×ÅÒÛÉÎÙ 1 ÒÁ×ÎÙÍ end (l(1) := end). ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÄÅÒÅ×Ï ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.8. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÓÙÎÏ×ÅÊ, ÏÔ Á É ËÌÀÞ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÏÉÓËÁ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÒÏÓÔÏ, ÅÓÌÉ ÄÅÒÅ×Ï × ÁÍÑÔÉ ËÏÍØÀÔÅÒÁ ÈÒÁÎÉÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÔÒÅÈ ÍÁÓÓÉ×Ï×: leftson, rightson É key. üÔÉ ÍÁÓÓÉ×Ù ÕÓÔÒÏÅÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: v; ÅÓÌÉ v | ÌÅ×ÙÊ ÓÙÎ ×ÅÒÛÉÎÙ i; leftson(i) = ?; ÅÓÌÉ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ i ÌÅ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ ÎÅÔ; v; ÅÓÌÉ v | ÒÁ×ÙÊ ÓÙÎ ×ÅÒÛÉÎÙ i; rightson(i) = ?; ÅÓÌÉ Õ ×ÅÒÛÉÎÙ i ÒÁ×ÏÇÏ ÓÙÎÁ ÎÅÔ; key(i) = l (i) | ËÌÀÞ ×ÅÒÛÉÎÙ i: òÉÓÕÎÏË ä.8. 300 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ îÁÒÉÍÅÒ, ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÉÓËÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. ä.7, Ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÉÈ ÍÁÓÓÉ×Ï× ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. i leftson rightson key 1 2 3 if 2 4 ? end 3 ? 6 then 4 ? 5 begin 5 ? ? else 6 ? ? while ðÒÁ×ÉÌÁ ÏÉÓËÁ ÓÙÎÏ×ÅÊ É ËÌÀÞÁ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÁÓÓÉ×Ï×. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÔ Á ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÓÓÉ×Ï× leftson ÉÌÉ rightson, × ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÏÍÅÒ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÔ ÏÍ ×ÅÒÛÉÎÙ 4 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁ 2, ÔÁË ËÁË ÞÉÓÌÏ 4 ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÓÓÉ×Á leftson. ä.4.1. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× ïÂÒÁÔÉÍÓÑ ÔÅÅÒØ Ë ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÏ ÅÓÔØ Ë ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅåÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S É S ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÙ, ÔÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÔÁËÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ É ÏÔ ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ. ïÄÉÎ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÓÏÂÏ× ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ×ÓÔÁ×ËÁ ÄÌÑ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × ÄÒÕÇÏÅ. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÅÒÁ ÉÀ ×ÓÔÁ×ËÁ ÒÅÄÏÞÔÉÔÅÌØÎÅÅ ×ÙÏÌÎÑÔØ ÎÁÄ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÅÌØÀ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ×ÒÅÍÅÎÉ ÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÓÏÓÏÂ ÒÁÂÏÔÙ ÏÄÈÏÄÉÔ ËÁË ÄÌÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ, ÔÁË É ÄÌÑ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÏÂßÅÄÉÎÑÀÔÓÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. üÔÏ ÕÒÏÝÁÅÔ ÒÏ ÅÓÓ, ÔÁË ËÁË ÉÓÞÅÚÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÒÏ×ÅÒÑÔØ, ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÌÉ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, ÌÉÂÏ ÕÄÁÌÑÔØ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ ÜËÚÅÍÌÑÒÙ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÉÚ S . ðÒÏ ÅÄÕÒÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÓÔÏ×ÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á × ÄÁÎÎÏÍ ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÓÉÓËÏ×. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ 1, 2, . . ., n. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× | ÔÁËÖÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. üÔÏ ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÒÏÓÔÏ ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ × ÒÁÍËÁÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÚÁÄÁÞÉ, × ×ÉÄÅ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÓÉÓËÏ×. ÁËÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ÍÏÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÎÉÅ(S ; S ; S ). 1 2 3 1 2 3 ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ 301 óÆÏÒÍÉÒÕÅÍ Ä×Á ÍÁÓÓÉ×Á r É next ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n, × ËÏÔÏÒÙÈ r(i) | ÉÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔ i, Á next(i) ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÏÍÅÒ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÁÓÓÉ×Á r, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ ÔÏÍÕ ÖÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ, ÞÔÏ É ÜÌÅÍÅÎÔ i. åÓÌÉ i | ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÔÏ ÏÌÏÖÉÍ next(i) = 0. äÌÑ ÕËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÎÁ ÅÒ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÍÁÓÓÉ× list, ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ × ÚÁÄÁÞÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×, É ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ list(j ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÏÍÅÒ ÅÒ×ÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÉÍÅÎÅÍ j × ÍÁÓÓÉ×Å r. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÆÏÒÍÉÒÕÅÍ ÍÁÓÓÉ× size, ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ size(j ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÉÍÅÎÅÍ j . âÕÄÅÍ ÒÁÚÌÉÞÁÔØ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅÓÑ × ÍÁÓÓÉ×Å r, É ×ÎÅÛÎÉÅ ÉÍÅÎÁ, ÏÌÕÞÁÅÍÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ É ×ÎÅÛÎÉÍÉ ÉÍÅÎÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÓÓÉ×Ï× ext-name É int-name. üÌÅÍÅÎÔ ÍÁÓÓÉ×Á ext-name(j ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÎÅÛÎÅÅ ÉÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÅ ÉÍÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÓÔØ j , Á int-name(k) | ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÅ ÉÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ×ÎÅÛÎÅÅ ÉÍÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÓÔØ k: ðÒÉÍÅÒ ä.4.3. éÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÍÁÓÓÉ×Ù, ÏÉÛÉÔÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; 3; 5; 7}; {2; 4; 8}; {6} Ó ×ÎÅÛÎÉÍÉ ÉÍÅÎÁÍÉ 1, 2, 3 É ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ ÉÍÅÎÁÍÉ 2, 3, 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÓÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÁ×ÎÏ ×ÏÓØÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÍÁÓÓÉ×Ï× r É next ÂÕÄÅÔ n = 8. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÎÏÍÅÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÁÓÓÉ×Ï× list, size, ext-name É ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÁÓÓÉ×Á r | ÜÔÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×, Á ÍÁÓÓÉ×Á int-name | ×ÎÅÛÎÉÅ. óÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÚÁÎÅÓÅÍ × ÔÁÂÌÉ Ù. ÁÂÌÉ Á ä.4.3 ÁÂÌÉ Á ä.4.4 ÁÂÌÉ Á ä.4.5 r next list size ext-name 1 2 3 1 6 1 3 1 2 2 3 4 2 1 4 1 2 3 3 2 5 3 2 3 2 3 1 4 3 8 5 2 7 6 1 0 7 2 0 8 3 0 int-name áÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(S ; S ; S ) ÓÏÓÔÏÉÔ × ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÉ Ë ÓÉÓËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÂÏÌØÛÅÇÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× S É S ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÒÉÓ×ÏÅÎÉÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÉÍÅÎÉ S . ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÒÁÚÍÅÒ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á S . 1 1 2 3 2 3 3 302 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(i; j; k) Input i; j | ×ÎÅÛÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× i ÍÅÎØÛÅ ÒÁÚÍÅÒÁ j ); (ÕÓÔØ ÒÁÚÍÅÒ ÍÁÓÓÉ×Ù r, next, list, size, ext-name, int-name; (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) Output begin A := int-name(i); B := int-name(j ); element := list(A); while element 6= 0 do begin (element) := B; last := element; element := next(element) r end (last) := list(B); (B) := list(A); size(B ) := size(B ) + size(A); int-name(K ) := B ; ext-name(B ) := k next list end ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× i; j Ó ×ÎÅÛÎÉÍ ÉÍÅÎÅÍ k. ÷ ÒÏ ÅÓÓÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ: 1) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ× i É j (ÓÔÒÏËÉ (1) É (2)); 2) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÎÁÞÁÌÏ ÓÉÓËÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (ÓÔÒÏËÁ (3)); 3) ÒÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔ ÓÉÓÏË ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ÉÚÍÅÎÑÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÁÓÓÉ×Á r ÎÁ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÅ ÉÍÑ ÂÏÌØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (ÓÔÒÏËÉ (4){(7)); 4) ÏÂßÅÄÉÎÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÕÔÅÍ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÅÒÅÄ ÂÏÌØÛÉÍ (ÓÔÒÏËÉ (8){(10)); 5) ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÅÔ ÎÏ×ÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÎÅÛÎÅÅ ÉÍÑ k. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÒÅÍÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ðÒÉÍÅÒ ä.4.4. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(1; 2; 4) ÄÌÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ ä.4.3. òÅÛÅÎÉÅ. óÔÒÕËÔÕÒÁ ÄÁÎÎÙÈ, ÏÌÕÞÉ×ÛÁÑÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÔÁÂÌÉ ÁÈ ä.4.6{ä.4.8. 303 ä.4. ïÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ×ÁÖÎÙÊ ÓÏÓÏÂ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍ ÄÅÒÅ×ÏÍ, ×ÅÒÛÉÎÁÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, Á ËÏÒÎÀ ÄÅÒÅ×Á | ÉÍÑ ÓÁÍÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. ïÅÒÁ ÉÀ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(S ; S ; S ) × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÏÌÎÉÔØ, ÒÅÏÂÒÁÚÕÑ ËÏÒÅÎØ ÄÅÒÅ×Á, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ S × ÓÙÎÁ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ S , É ÚÁÍÅÎÑÑ ÉÍÑ ÄÅÒÅ×Á, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ S ÎÁ S (ÒÉ ÜÔÏÍ ÂÕÄÅÍ ÒÉÓÏÅÄÉÎÑÔØ ÍÅÎØÛÅÅ ÄÅÒÅ×Ï Ë ÂÏÌØÛÅÍÕ). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÒÅÍÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÏÓÔÏÑÎÎÏ É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×. 1 1 2 3 2 2 ÁÂÌÉ Á ä.4.6 3 ÁÂÌÉ Á ä.4.7 ÁÂÌÉ Á ä.4.8 list size ext-name 1 6 1 3 1 { 4 2 2 7 4 2 { 2 5 3 { { { 3 1 2 8 4 { { { 4 2 5 2 7 6 1 0 7 2 0 8 2 1 r next 1 2 3 2 2 3 4 int-name óÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÓÏÂÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÁÓÓÉ×Ï× father , root , name , size , ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. íÁÓÓÉ× father ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ×ÓÅÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×ØÅ×: father (i) ÒÁ×ÅÎ ÎÏÍÅÒÕ ÏÔ Á ×ÅÒÛÉÎÙ i. åÓÌÉ i | ËÏÒÅÎØ, ÔÏ father (i) = 0. íÁÓÓÉ× root ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÏÍÅÒÁ ËÏÒÎÅÊ ÄÅÒÅ×ØÅ× ÄÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÏ ÅÓÔØ root (i) ÒÁ×ÅÎ ÎÏÍÅÒÕ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï i. size (i) ÒÁ×ÅÎ ÞÉÓÌÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á i. name (i) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÍÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×ÏÍ Ó ËÏÒÎÅÍ i. åÓÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁ i ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ, ÔÏ name (i) = 0. ðÒÉÍÅÒ ä.4.5. éÓÏÌØÚÕÑ ÍÁÓÓÉ×Ù father , root , name É size , ×ÙÉÛÉÔÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ ä.4.3, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á 1 = {1; 3; 5; 7}; 2 = {2; 4; 8}; 3 = {6} ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÄÅÒÅ×ØÑÍÉ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÙÍÉ ÎÁ ÒÉÓ. ä.9. òÉÓÕÎÏË ä.9. 304 äÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ òÅÛÅÎÉÅ. éÓËÏÍÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÄÁÎÎÙÈ Ó×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌÉ Ù ä.4.9 É ä.4.10. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(i; j; k). Input i, j | ×ÎÅÛÎÉÅ ÉÍÅÎÁ ÏÂßÅÄÉÎÑÅÍÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× i (ÕÓÔØ ÒÁÚÍÅÒ ÂÏÌØÛÅ ÒÁÚÍÅÒÁ ÍÁÓÓÉ×Ù father , name , root , size ; begin Output end j ); large := root (i); small := root (j ); father (small ) := large; size (k ) := size (large) + size (small ); name (large) := k ; name (small ) := 0; root (k ) := large; root (small ) := 0; root (large) := 0; i j ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× , ÁÂÌÉ Á ä.4.9 Ó ÉÍÅÎÅÍ k. ÁÂÌÉ Á ä.4.11 ÁÂÌÉ Á ä.4.10 father name 1 3 0 father name 4 1 3 1 3 0 2 4 0 2 4 3 2 4 0 3 0 1 3 6 1 3 0 4 4 0 2 4 3 0 5 6 3 0 5 3 0 0 3 6 0 3 7 1 0 7 1 0 8 4 0 8 4 0 root size ðÒÉÍÅÒ ä.4.6. ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(i; j; k) Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ ä.4.3. òÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔÅ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×Á. òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÁÂÏÔÙ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ(1; 2; 4) ÎÁÄ ÄÁÎÎÙÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÄÁÎÎÙÈ ÏÔÒÁÖÅÎÁ × ÔÁÂÌÉ ÁÈ ä.4.11 É ä.4.12. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.10. ÁÂÌÉ Á ä.4.12 root size 1 0 0 2 0 0 3 6 1 4 3 7 3 1 7 5 2 òÉÓÕÎÏË ä.10. 4 8 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÷. á. çÏÌÏ×ÅÛËÉÎ, í. ÷. õÌØÑÎÏ× ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ ÷ 2004 ÇÏÄÕ ÉÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÅÈÎÏÓÆÅÒÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌÏ × ÓÅÒÉÉ íÉÒ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÎÉÇÕ ò. èÁÇÇÁÒÔÉ äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ×. ëÎÉÇÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÈÏÒÏÛÏ ÚÁÒÅËÏÍÅÎÄÏ×Á×ÛÉÍ ÓÅÂÑ ÕÞÅÂÎÙÍ ÏÓÏÂÉÅÍ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ É ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ×, É ÍÅÔÏÄÉÞÅÓËÉ ÇÒÁÍÏÔÎÏ ÉÚÌÁÇÁÅÔ ÂÁÚÏ×ÙÅ ÒÁÚÄÅÌÙ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ. ðÏ Ó×ÏÅÍÕ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÀ ËÎÉÇÁ ò.èÁÇÇÁÒÔÉ | ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÄÉÓËÒÅÔÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÄÕÍÁÎÎÙÈ ÒÉÍÅÒÏ× É ÚÁÄÁÞ. îÏ ÔÅÏÒÉÑ É ÒÁËÔÉËÁ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÉËÔÕÀÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏÇÏ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Á Ó ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ, × Ó×ÑÚÉ Ó ÞÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÙÍ ÒÁÓÛÉÒÉÔØ ÄÁÎÎÏÅ ÉÚÄÁÎÉÅ ÚÁ ÓÞÅÔ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÇÌÁ× ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÈ ×ÏÒÏÓÁÍ Ï ÅÎËÉ É ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ, ËÏÎÅÞÎÙÍ ÒÁÚÎÏÓÔÑÍ, ÒÅËÕÒÓÉÉ É ÍÅÔÏÄÁÍ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÍ ÒÉ ÁÎÁÌÉÚÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ×ÁÖÎÙÍ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÑ Ó ÒÏÂÌÅÍÏÊ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÍÅÔÏÄÁÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÉÇÒÁÀÝÉÍÉ ×ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ × ÒÁËÔÉËÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. íÁÔÅÒÉÁÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÌÅË ÉÏÎÎÙÅ ËÕÒÓÙ äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ É òÁÚÒÁÂÏÔËÁ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÞÉÔÁÅÍÙÅ Á×ÔÏÒÁÍÉ × íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÁËÁÄÅÍÉÉ ÒÉÂÏÒÏÓÔÒÏÅÎÉÑ É ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ. ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÷×ÅÄÅÎÉÅ éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ, ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÆÕÎË ÉÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÕÖÅ ÄÁ×ÎÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÁÚÄÅÌÁÍÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÜÔÉÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× × ÒÁËÔÉËÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ó×ÑÚÁÎÏ, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, Ó ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÍ ÁÎÁÌÉÚÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÌÏ×ÅËÕ, ×ÌÁÄÅÀÝÅÍÕ ÎÁ×ÙËÁÍÉ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÏÈÏÄÏ× ÉËÌÁ ÕÔÅÍ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÑ × ÅÇÏ ÔÅÌÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÓÞÅÔÞÉËÁ. ïÄÎÁËÏ ËÏÇÄÁ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÏÌÕÞÅÎÉÉ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÞÔÏ ×ÁÖÎÏ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÂÌÁÓÔÉ ÅÇÏ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ É ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔÉ ×ÙÂÏÒÁ, ÔÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÍ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ Ñ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÅÊ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÏÔ ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ. 306 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÁ ÎÅÂÏÌØÛÏÍ ÆÒÁÇÍÅÎÔÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ: for i = 1 to n for j = i to n − i + 1 <ÔÅÌÏ for j for i end end ÉËÌÁ > óËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÔÅÌÏ ÉËÌÁ, ÅÓÌÉ n = 10? ïÔ×ÅÔ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÍ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÏÍ. îÏ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ, ËÁËÏ×Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÅÎÉÊ ÉËÌÁ ËÁË ÆÕÎË ÉÑ ÏÔ n, ÔÒÅÂÕÅÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÁÁÒÁÔÁ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÌÕÞÅÎÉÀ ÆÕÎË ÉÉ S (n) ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ ×ÉÄÁ S (n) = n + (n − 2) + (n − 4) + : : : ÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÎÅÉÚÂÅÖÎÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÄÌÑ Ï ÅÎËÉ ÉÈ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÒÅÛÅÎÉÊ × ÚÁÄÁÞÁÈ ÅÒÅÂÏÒÁ, ËÏÔÏÒÙÍ ÏÓ×ÑÝÅÎ ×ÔÏÒÏÊ ÒÁÚÄÅÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ, ÔÒÅÂÕÅÔ × ÅÌÏÍ ÒÑÄÅ ÓÌÕÞÁÅ× ÓÅÉÁÌØÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÏÄÓÞÅÔÏ×, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÍÏÝÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× × ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍ ×ÉÄÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. éÚÌÏÖÅÎÉÀ ÏÓÎÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ×ÁÖÎÙÈ É ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ× × ÅÌÑÈ ÁÎÁÌÉÚÁ É ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÓ×ÑÝÅÎ ÄÁÎÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. ä.5.1. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ É Ï ÅÎËÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ðÏÎÑÔÉÅ ÓÕÍÍÙ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÒÁËÔÉËÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÁÎÁÌÉÚÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. íÙ ÏÉÛÅÍ ËÒÁÔËÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÒÉ ÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ É Ï ÅÎËÅ, ÎÏ × ÎÁÞÁÌÅ ÎÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÎÑÔÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. òÅÞØ ÂÕÄÅÍ ×ÅÓÔÉ Ï ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍÁÈ ÏÂÝÅÇÏ ×ÉÄÁ: a + a + · · · + an ; ÇÄÅ ak | ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÓÕÍÍÙ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ k | ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. ëÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÓÕÍÍÙ ak ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÅ ÞÌÅÎÏÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÎ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ, ËÁË ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ k, Ô. Å. ak = f (k). ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÕÍÍÙ: 1+4+··· +n ; (ä.1) 1 + 41 + · · · + n1 ; (ä.2) ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ (ä.1) | f (k) = k , Á ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ (ä.2) | f (k) = k . úÁÉÓØ ÓÕÍÍÙ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÑ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÁ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ, ÏÎÁ ÎÁÇÌÑÄÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ×ÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÍÙðÏÎÑÔÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. 1 2 2 2 2 1 2 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 307 ÓÌÅÎÎÏ ÄÏÏÌÎÉÔØ ÎÅÄÏÓÔÁÀÝÉÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ, ÏÄÎÁËÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÁÍÉ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ | ÜÔÁ ÚÁÉÓØ ÇÒÏÍÏÚÄËÁ, Á ×Ï-×ÔÏÒÙÈ | ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÔÏÌËÏ×ÁÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ÂÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÏÍ ÏÄÈÏÄÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÒÕÇÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ: n X k=1 ak ; ÉÌÉ X 16 k 6n ak : (ä.3) äÁÎÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ××ÅÄÅÎÏ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ öÏÚÅÆÏÍ æÕÒØÅ × 1820 ÇÏÄÕ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÇÍÁ-ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅÍ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÇÄÁ ÍÙ ÉÛÅÍ ÓÕÍÍÕ ×ÉÄÁ (ä.3), ÔÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÀÔÓÑ Ä×Á ÍÏÍÅÎÔÁ. ðÅÒ×ÙÊ | ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÒÏÓÔÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÞÌÅÎÏ× ÓÕÍÍÙ ak Ï ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍÕ ÎÏÍÅÒÕ k. ÷ÔÏÒÏÊ | ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÎÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ 1+2+3+4+5, ÔÏ ÎÅÔ ÓÍÙÓÌÁ ÉÓÁÔØ 1+2+ · · ·+5 ÉÌÉ ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ P k, Á ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÒÁÚÕ ÎÁÉÓÁÔØ 1+2+3+4+5 = 15, k É ÚÁÂÙÔØ ÒÏ ÏÄÏÂÎÙÅ ÇÌÕÏÓÔÉ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍÕ ÍÁÔÅÒÉÁÌÕ, ÒÉ×ÅÄÅÍ Ä×Å ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ÓÕÍÍÙ | ÓÕÍÍÙ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÊ. óÕÍÍÁ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ | ÜÔÏ ÓÕÍÍÁ ×ÉÄÁ n X (a + (k − 1) · d) = na + (n −2 1)n d; (ä.4) k Á ÓÕÍÍÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ | ÜÔÏ ÓÕÍÍÁ ×ÉÄÁ n X qn − 1 aqk− = a : (ä.5) q−1 k æÏÒÍÕÌÙ (ä.4) É (ä.5) ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÎÉÖÅ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÅÌÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÓÔÁ×ÉÍ ÅÒÅÄ ÓÏÂÏÊ, ÉÓÓÌÅÄÕÑ ÓÕÍÍÙ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÉÄÅÁÌØÎÏÊ ÅÌØÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ×ÉÄÁ ÆÕÎË ÉÉ S (n), ÔÁËÏÊ ÞÔÏ 5 =1 =1 1 =1 S (n) = n X k=1 ak ; Ô. Å. ÏÌÕÞÅÎÉÅ Ñ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÓÕÍÍÙ ÏÔ ×ÅÒÈÎÅÇÏ ÒÅÄÅÌÁ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÌÕÞÅÎÉÅ S (n) É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÅÌØÀ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, ÈÏÔÑ ÎÉÖÅ ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ S (n). þÁÝÅ ÕÄÁÅÔÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÂÏÌÅÅ ÓËÒÏÍÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ | ÚÁÄÁÞÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË ÓÕÍÍÙ. ÷ ÚÁÄÁÞÅ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË ÓÕÍÍ ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÔ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, Ï ÅÎËÉ ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞ Ï ÅÎËÉ ÓÕÍÍ, ÎÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÆÕÎË ÉÊ. ÷×ÏÄÑ ÜÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÍÙ íÅÔÏÄÙ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË ÓÕÍÍ. 308 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÚÁÒÁÎÅÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÑÈ, ÓÔÒÅÍÑÝÉÈÓÑ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÒÉ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÉ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ n. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÆÕÎË ÉÊ f n = 0, ÔÏ ÉÛÅÍ f (n) = o(g (n)) (ÞÉÔÁ1. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ Ï-ÍÁÌÏÅ. åÓÌÉ nlim →∞ g n ÅÔÓÑ ÜÆ ÏÔ ÜÎ ÅÓÔØ Ï ÍÁÌÏÅ ÏÔ ÖÅ ÏÔ ÜÎ). 2. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ï-ÂÏÌØÛÏÅ. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÏ , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ fg nn < ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n, ÔÏ ÉÛÅÍ f (n) = O(g(n)) (ÞÉÔÁÅÔÓÑ ÜÆ ÏÔ ÜÎ ÅÓÔØ O ÂÏÌØÛÏÅ ÏÔ ÖÅ ÏÔ ÜÎ). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ o-ÍÁÌÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É O-ÂÏÌØÛÉÍ, ÎÏ ÎÅ ÎÁÏÂÏÒÏÔ. 3. ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ . åÓÌÉ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ > 0 É > 0, Á ÔÁË ÖÅ ÞÉÓÌÏ n , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > n ×ÙÏÌÎÅÎÏ g(n) 6 6 f (n) 6 g (n), ÔÏ ÉÛÅÍ f (n) = (g (n)). åÓÌÉ f (n) = (g (n)) ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ g(n) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÔÏÞÎÏÊ Ï ÅÎËÏÊ ÄÌÑ f (n). f n = 1, ÔÏ ÉÛÅÍ f (n) ∼ g (n) (ÞÉÔÁÅÔÓÑ ÜÆ 4. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ. åÓÌÉ nlim →∞ g n ÏÔ ÜÎ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÖÅ ÏÔ ÜÎ). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï: f (n) ∼ g(n), ÔÏ f (n) = g(n) + o(g(n)). ðÏÌÕÞÅÎÉÅ ÏÄÏÂÎÙÈ Ï ÅÎÏË É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÒÉ Ï ÅÎËÅ ÓÕÍÍ. åÓÌÉ ÎÅ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 1 2 ( ) ( ) S (n) = n X k=1 ak ; ÔÏ ÌÕÞÛÉÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ Ï ÅÎËÁ ÓÕÍÍÙ S (n) | ÆÕÎË ÉÑ g(n), ÞÔÏ S (n) ∼ g(n). îÏ ÔÁËÕÀ Ï ÅÎËÕ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÄËÏ. îÅÌÏÈÏÊ Ï ÅÎËÏÊ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ Ï ÅÎËÁ S (n) = (g(n)), ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÑ É , Á ÎÅ ÒÏÓÔÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ. ï ÅÎËÁ S (n) = O(g(n)) ÔÁËÖÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÄÅÌÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×Ù×ÏÄÙ Ï ÈÁÒÁËÔÅÒÅ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ. 1 2 ðÒÉÍÅÒ ä.5.1. ðÏÌÕÞÉÔØ Ï ÅÎËÕ O-ÂÏÌØÛÏÅ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ S (n) = kPn k . òÅÛÅÎÉÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ 1 6 k 6 n ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï k 3 =1 ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ S (n) = n X k=1 k 3 6 n X k=1 n 3 3 6 n3 , =n : 4 üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ S (n) = n X k=1 k 3 = O(n ): 4 íÅÔÏÄ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. óÕÔØ ÍÅÔÏÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÕÇÁÄÙ×ÁÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÒÏ×ÅÒÑÅÍ ÅÇÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÒÉ n = 1, É, ÓÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ×ÅÒÅÎ ÒÉ n = n, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ÅÇÏ ÄÌÑ n + 1. 309 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ éÓÏÌØÚÕÑ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ, ÏÙÔÁÅÍÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ g(n) = n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÔÏÞÎÏÊ Ï ÅÎËÏÊ ÄÌÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÕÍÍÙ n X S (n) = k ; Ô. Å. S (n) = (n ): 4 3 4 k=1 äÌÑ ÜÔÏÇÏ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ Ï ÅÎËÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ É ÔÁËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ n , ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > n ×ÙÏÌÎÅÎÏ n X S (n) = k > n : (ä.6) 1 0 0 3 4 1 k=1 îÅ ÂÕÄÅÍ ËÏÎËÒÅÔÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ . óÁÍ ÍÅÔÏÄ ÏÚ×ÏÌÉÔ ÄÁÔØ Ï ÅÎËÕ ÜÔÏÍÕ ÞÉÓÌÕ. ðÕÓÔØ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ (ä.6). ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÁË ÏÄÏÂÒÁÔØ , ÞÔÏ ÂÙ ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > n ÂÙÌÏ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 1 1 0 S (n + 1) = nX +1 k=1 k 3 > (n + 1) : 1 (ä.7) 4 ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÅÏÞËÕ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ. éÍÅÅÍ S (n + 1) = ÔÏÇÄÁ S (n + 1) = n X k=1 k 3 nX +1 k=1 k 3 = n X k k=1 3 +(n + 1) ; 3 +(n + 1) = S (n) + (n + 1) 3 3 > 1 n 4 + (n + 1) : 3 åÓÌÉ ÎÁÍ ÕÄÁÓÔÓÑ ÏÄÏÂÒÁÔØ ÔÁËÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ , ÞÔÏ n + (n + 1) > (n + 1) (ä.8) ÒÉ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n, ÔÏ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ä.7), ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÍ É ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÍÅÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ä.8), ÒÅÏÂÒÁÚÕÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ (n + 1) > · ((n + 1) − n ); Ó 6 4n +(6nn+ +1)4n + 1 : úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ n > 1 ×ÙÏÌÎÅÎÏ (n + 1) n 1; > = 4n + 6n + 4n + 1 4n + 6n + 4n + n 15 ÔÏÇÄÁ ×ÙÂÅÒÅÍ = , ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ S (1) = 1 > 1 , ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ×ÙÏÌÎÅÎÏ n X 1 S (n) = k > n : 15 1 1 4 3 4 1 1 3 3 4 1 4 1 3 3 3 1 2 3 2 3 3 1 3 1 3 15 3 4 15 3 4 k=1 òÁÎÅÅ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ×ÙÏÌÎÅÎÏ S (n) 6 n , ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ = , = 1, S (n) = (n ), É ÆÕÎË ÉÑ g(n) = n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÔÏÞÎÏÊ Ï ÅÎËÏÊ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ S (n). 4 1 1 15 2 4 4 310 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ íÅÔÏÄ ÏÞÌÅÎÎÙÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÉÚÌÁÇÁÔØ ÄÁÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ, ÎÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ðÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÎÉÈ | ËÏÎÅÞÎÙÅ ÓÕÍÍÙ ÄÏÕÓËÁÀÔ ÌÀÂÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ. ÷ÔÏÒÏÅ | ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÓÕÍÍÙ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÑÚÙËÏÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ n n n X X X ( ak + dbk ) = ak +d bk : k=1 k=1 k=1 ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÎÅÂÒÅÇÁÔØ ÌÀÂÙÍ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ. íÅÔÏÄ ÏÞÌÅÎÎÙÈ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÆÁËÔÅ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Å ËÏÎÅÞÎÙÅ ÓÕÍÍÙ n n X X U (n) = ak ; V (n) = bk ; k=1 k=1 ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ k ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ak 6 bk . ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ U (n) 6 V (n). üÔÏÔ ÆÁËÔ ÕÄÏÂÅÎ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÓÕÍÍÁ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÌÉ ÅÅ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ Ï ÅÎËÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.2. ðÏÌÕÞÉÔØ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ U (n) = n X k=1 k k+1 2k− : 1 òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ×ÙÂÅÒÅÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÇÒÅÓÓÉÀ | ÓÕÍÍÕ V (n) = n X k=1 2k − ; 1 n ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ | ÆÏÒÍÕÌÁ (ä.5) É ÒÁ×ÎÁ V (n) = P 2k− = 2n − 1. k ðÏÓËÏÌØËÕ k k < 1, ÔÏ U (n) 6 V (n) = 2n − 1, É ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ U (n) = O(2n ): íÅÔÏÄ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ. åÝÅ ÏÄÉÎ ÏÌÅÚÎÙÊ ÒÉÅÍ | ÜÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ. üÔÏÔ ÒÉÅÍ ÕÄÏÂÎÏ ÒÉÍÅÎÑÔØ ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÕÍÍ, ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ ak = f (k), É ÒÉ ÜÔÏÍ ÆÕÎË ÉÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ y = f (x) ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÁ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÁ ÄÌÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x. åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ y = f (x) ÎÅ ÕÂÙ×ÁÅÔ, ÔÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ =1 +1 ak 6 kZ+1 k f (x) dx É ak > Zk k −1 f (x) dx; 1 311 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ n ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ | ÆÕÎË ÉÉ S (n) = P ak ÉÍÅÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ï ÅÎËÉ S (n) 6 k=1 nZ+1 f (x) dx É S (n) > a + 1 1 Zn f (x) dx: 1 åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ y = f (x) ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ, ÔÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ kZ+1 ak > f (x) dx k É ak 6 k −1 É ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ S (n) ÉÍÅÅÍ S (n) > nZ+1 f (x) dx É Zk S (n) 6 a 1 f (x) dx; + 1 Zn f (x) dx: 1 ðÒÉÍÅÒ ä.5.3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÓÕÍÍÕ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÑÄÁ S (n) = kPn k Ó ÅÌØÀ 1 ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ÅÎËÉ. òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x , ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ ÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. éÍÅÅÍ nZ n 1 dx 6 S (n) 6 1 + Z 1 dx; =1 1 +1 x 1 x 1 ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ln(n + 1) 6 S (n) 6 1 + ln(n). éÚ ÄÁÎÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÌÅÇËÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ S (n) ∼ ln(n). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ É ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÞÔÏ S (n) = ln(n) + O(1): ðÒÉÍÅÒ ä.5.4. ðÒÉÍÅÎÉÔØPnÍÅÔÏÄ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÕÍÍÙ S (n) = k=1 ln k: òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÆÕÎË ÉÑ y = ln x ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÔÏ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ï ÅÎËÉ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ Zn ln xdx < n X 1 1 ln k < nZ+1 ln xdx: 1 ðÏÓËÏÌØËÕ ln xdx = x ln x − x, ÔÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ Ï ÅÎËÕ ÓÕÍÍÙ R n ln n − n < n X k=1 ln k < (n + 1) ln(n + 1) − (n + 1): 312 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÏÌÕÞÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ n X ln k ∼ n ln n: k=1 ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë ÏÌÕÞÅÎÎÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ Ï ÅÎËÕ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n!. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ n! = 1 × 2 × 3 × · · · × n, Á ÏÓËÏÌØËÕ n P n n k n n! = e = ek ; ÔÏ n < n! < (n + 1) : ln( !) =1 +1 ln en en+1 ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ É ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÙÅ Ï ÅÎËÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n!, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÁ óÔÉÒÌÉÎÇÁ (ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ [16℄). ðÒÉÍÅÒ ä.5.5. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ kPn k = O(1). òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ 1 2 =1 1 n X k k=1 2 6 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x , ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ ÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ÏÇÄÁ n n X 1 6 1 + Z 1 dx = 1 − 1 + 1 = 2 − 1 6 2; 1 2 k=1 k 2 x n 2 1 n ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. îÁ ×ÓÑËÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ R dx x = −x. ðÒÉÍÅÒ ä.5.6. éÓÏÌØÚÕÑ ÍÅÔÏÄ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ, ÎÁÊÔÉ n P ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ S (n) = k : 2 1 3 k=1 òÅÛÅÎÉÅ. äÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÊ Ï ÅÎËÉ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ k > 1 ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á Zk x dx < k < 3 3 k −1 ÏÔËÕÄÁ ÎÏ ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ S (n) = k=1 x dx; 3 k S (n) = n X k+1 Z n X k=1 k < 3 k > 3 Zn 3 0 nZ+1 x dx = 1 3 1 4 x dx = n ; 4 1 ((n + 1) 4 4 − 1): ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ g(n) = 1 4 n 4 313 ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ S (n) ÄÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ n. éÍÅÅÍ 1 6 (1S=(4)nn) 6 (1=4)(((1n=+4)n1) − 1) ; (1 + 1=n) − 1=n = 1: lim (1=4)(((1n=+4)n1) − 1) = nlim →∞ n→∞ 1 éÚ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ S (n) lim = 1; n→∞ (1=4) n É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ n X 1 S (n) = k ∼ n : 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 k=1 äÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ × ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÅÌÙÊ ÒÑÄ ÍÅÔÏÄÏ×, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÉÚÌÏÖÉÍ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÅ É ÕÏÔÒÅÂÉÔÅÌØÎÙÅ. íÅÔÏÄ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÏÝÎÙÊ É ÛÉÒÏËÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÊ ÍÅÔÏÄ ÍÏÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ É ÄÌÑ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÅÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÕÍÍÙ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ n X (a + (k − 1) · d) = na + (n −2 1)n d: k ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ n X S (n) = (a + (k − 1) · d): íÅÔÏÄÙ ÔÏÞÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. S (n) =1 k=1 ðÒÉ n = 1 ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ÄÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÎÁ ×ÅÒÎÁ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n, ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ (n + 1) ÉÍÅÅÍ S (n + 1) = nX +1 k=1 (a + (k − 1) · d) = n X k=1 (a + (k − 1) · d) + a + nd = S (n) + a + nd; ÏÓËÏÌØËÕ S (n) = na + (n −2 1)n d, ÔÏ (n − 1)n d + a + nd = (n + 1)a + n(n + 1) d; S (n + 1) = na + 2 2 ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. íÅÔÏÄ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×. íÅÔÏÄ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ×ÉÄ ÆÕÎËÉÉ S (n) ÉÚ×ÅÓÔÅÎ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË, Á ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÙ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. 314 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏÔnÍÅÔÏÄ ÎÁ ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÏÍ ÒÉÍÅÒÅ | ÎÁÊÄÅÍ ÔÏÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ S (n) = P k : ÷ ÓÉÌÕ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ Ï ÅÎÏË ÏÙÔÁÅÍÓÑ k ÉÓËÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ × ×ÉÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÏÔ n, Ô. Å. × ×ÉÄÅ S (n) = An + Bn + Cn + Dn + E: (ä.9) ðÏÓËÏÌØËÕ S (1) = 1 | ÂÁÚÉÓ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÔÏ ÉÍÅÅÍ A + B + C + D + E = 1: ðÕÓÔØ S (n) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (ä.9) | ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÔÏÇÄÁ S (n + 1) = A(n + 1) + B (n + 1) + C (n + 1) + D(n + 1) + E; Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ S (n + 1) = S (n) + (n + 1) : (ä.10) ÏÇÄÁ, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (ä.10) ÚÎÁÞÅÎÉÅ S (n) ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.9), ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï An + Bn + Cn + Dn + E + (n + 1) = = A(n + 1) + B(n + 1) + C (n + 1) + D(n + 1) + E; ËÏÔÏÒÏÅ ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ n, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× A, B, C , D.  4A = 1;    6A + 3B = 3; 4A + 3B + 2C = 3;    A + B + C + D = 1: òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÏÌÕÞÁÅÍ A = , B = , C = , D = 0. úÎÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ A, B, C , D ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ A + B + C + D + E = 1; ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ E = 0, É, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× × (ä.9) ÉÍÅÅÍ n X 1 = 1 n + 1 n + 1 n = n (n + 1) : S (n) = k 4 2 4 4 k úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÂÅÓÌÁÔÎÏÇÏ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÌÀÂÏÙÔÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. ðÏÓËÏÌØËÕ (1 + 2 + · · · + n) = n(n2+ 1) ; ÔÏ (1 + 2 + · · · + n ) = (1 + 2 + · · · + n) : íÅÔÏÄ ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÎÕÌÑ. éÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÒÉÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×, Á ÉÍÅÎÎÏ ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÅ ÎÕÌÑ, ÚÁÉÓÁÎÎÏÇÏ Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. îÁÒÑÄÕ Ó ÜÔÉÍ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÅÒÅÉÓÙ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ÄÒÕÇÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ, ËÏÔÏÒÁÑ ÔÁËÖÅ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÏÅÏÂÒÁÚÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. 3 =1 4 3 4 2 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 1 1 1 4 2 2 2 4 3 2 2 3 =1 3 3 3 2 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 315 ðÒÉÍÅÒ ä.5.7. îÁÊÔÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ S (n) ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ S (n) = n X k=1 1 k(k + 2) : òÅÛÅÎÉÅ. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ S (n) 1 ; S (2) = 1 + 1 = 11 : 3 3 8 24 ðÅÒÅÉÛÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÓÕÍÍÙ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÁÞÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ n X 1 1 S (n) = 2k − 2(k + 2) ; k É ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ, ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ n n n X 1X 1−1X 1 : 1 1 S (n) = − = 2k 2(k + 2) 2 k k 2 k k + 2 k S (1) = =1 =1 =1 =1 ÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÕÍÍ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ n n X 1 ; V (n) = X 1 ; U (n) = k k + 2 k k =1 =1 É ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ ×ÔÏÒÕÀ ÓÕÍÍÕ | V (n). äÌÑ ÅÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÕÄÏÂÎÏ ÒÉÂÁ×ÉÔØ ÎÏÌØ, ÚÁÉÓÁÎÎÙÊ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ | 0 = + − − , ÔÏÇÄÁ ÉÍÅÅÍ 1 1 1 1 1 2 1 2 n 1 = 1 + 1 +X 1 − 1 − 1 = nX 1 − 1 − 1 = 1 2 k k+2 1 2 k k 1 2 k k+2 n X = k1 + n +1 1 + n +1 2 − 11 − 12 ; k ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 1 + 1 − 1 − 1; V (n) = U (n) + n+1 n+2 1 2 ÏÔËÕÄÁ 1 1 1 1 1 1 S (n) = (U (n) − V (n)) = U (n) − U (n) − − + + : 2 2 n+1 n+2 1 2 ðÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÉ n > 3 ÓÕÍÍÁ S (n) = 34 − 2(n 1+ 1) − 2(n 1+ 2) . V (n) = n X =1 =1 +2 =1 =1 316 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÉÍÅÒ ä.5.8. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÅÝÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ ÍÅÔÏÄÏÍ ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÎÕÌÑ, ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÓÕÍÍÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ É ÄÏËÁÖÅÍ ÆÏÒÍÕÌÕ (ä.5). òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÕÍÍÁ S (n) = kPn aqk . ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÅÅ Ë ×ÉÄÕ −1 =1 S (n) = n X k=1 aqk− 1 = a+ n X aqk− k=2 1 =a+q n X k=2 aqk− = a + (q 2 k=2 n aq − aqn ÍÙ ÓÎÏ×Á ÒÉÂÁ×ÉÌÉ ÎÏÌØ, ÚÁÉÓÁÎÎÙÊ × ×ÉÄÅ 0 = ( S (n) = a + (q k=2 nX +1 = a + q( ÁË ËÁË n X k=2 aqk− aqk− 2 2 n X + aqn) − aqn = a + q( ) − aqn = a(1 − qn) + q( aqk− k=1 k=1 aqk− 1 aqk− 2 + aqn) − aqn; ), ÄÁÌÅÅ ÏÌÕÞÁÅÍ k=2 n X n X n X 2 + aqn− ) − aqn = 1 aqk− ): 1 = S (n); ÔÏ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ S (n) ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ S (n) = a(1 − qn ) + qS (n); ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÓËÏÍÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ n X qn − 1 S (n) = aqk− = a : q−1 k 1 =1 íÅÔÏÄ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ. éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÎÏÇÄÁ ÔÁËÖÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÅÚÎÙÍ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍ. ðÏËÁÖÅÍ ÜÔÏ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÕÍÍÕ ×ÉÄÁ n X (ä.11) S (n) = k3k : k=1 ÷ÎÁÞÁÌÅ ÕÓÌÏÖÎÉÍ ÚÁÄÁÞÕ. ÷ÍÅÓÔÏ ÄÁÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = n X k=1 kxk ; ÔÏÇÄÁ ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÁÑ ÎÁÓ ÓÕÍÍÁ ÅÓÔØ ÒÏÓÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÆÕÎË ÉÉ × ÔÏÞËÅ x = 3, Ô. Å. n X k3k = f (3): k=1 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 317 ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÉÔÏÇÅ ÏÚ×ÏÌÑÔ ÎÁÊÔÉ ÄÁÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ. f (x) = n P xk k=1 n X k=1 kxk = x n X k=1 kxk− 1 n X = x dxd ( k=1 xk ): óÕÍÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ n n X X xn − 1 xn − x xk = x · xk− = x = x−1 : x−1 +1 1 k=1 k=1 ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ, ÉÍÅÅÍ n d X nxn ( xk ) = dx k +1 =1 ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, (n + 1)xn + 1 : (x − 1) − 2 (n + 1)xn + 1 ; (ä.12) (x − 1) k É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x = 3, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ n X 3 k3k = f (3) = (n3n − (n + 1)3n + 1): 4 k ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÕÍÍ ×ÉÄÁ (ä.11) Ó ÒÁÚÎÙÍÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÔÅÅÎÉ. ÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÕÍÍÁ f (x) = n X kxk = x nxn +1 − 2 =1 +1 =1 S (n) = n X k=1 k2k = f (2); ËÏÔÏÒÁÑ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÒÉ ÁÎÁÌÉÚÅ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÅÚ ÔÒÕÄÁ ÏÌÕÞÅÎÁ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.12). íÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÅÔÏÄÙ Ï ÅÎËÉ É ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÓÓÍÏ∞ P ÔÒÅÎÉÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ×ÉÄÁ ak , ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÑÄÁÍÉ, É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÍÅÔÏÍk ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ. =1 îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.1 ä.5.1.1. îÁÊÄÉÔÅ ÓÕÍÍÕ kPn (2n − 2k). ä.5.1.2. îÁÊÄÉÔÅ ÓÕÍÍÕ kPn k k . =1 1 =1 ( +1) 318 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ä.5.1.3. îÁÊÄÉÔÅ ÔÏÞÎÕÀ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ kPn √k. =1 n P ä.5.1.4. îÁÊÄÉÔÅ ÔÏÞÎÕÀ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ k ä.5.1.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ kPn =1 √1 k3 = O(1). =1 √1 k . ä.5.2. üÌÅÍÅÎÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅËÕÒÓÉÉ ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÉÚÌÏÖÅÎÉÀ ÏÂÝÅÊ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅËÕÒÓÉÉ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Å ÚÁÄÁÞÉ. ðÅÒ×ÁÑ ÚÁÄÁÞÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÎÅÍÎÏÇÏ ÓÔÒÁÎÎÏÊ, ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 0; 7x = 2, ÎÏ ÎÁÛ ËÏÍØÀÔÅÒ ÔÁËÏ×, ÞÔÏ ÏÎ ÕÍÅÅÔ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ, ×ÙÞÉÔÁÔØ, ÕÍÎÏÖÁÔØ É ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ, ÎÏ ÎÅ ÕÍÅÅÔ ÄÅÌÉÔØ. ðÒÅÄÌÏÖÉÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÚ×ÏÌÉÔ ÜÔÏÍÕ ÓÔÒÁÎÎÏÍÕ ËÏÍØÀÔÅÒÕ ÒÅÛÉÔØ ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (ÇÏ×ÏÒÑ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÉÍ ÓÔÉÌÅÍ, ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÒÁÚÒÅÛÉÍÁ × ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ). ðÅÒÅÉÛÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ x = 0; 3x + 2, ÚÁÄÁÄÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x = 1 É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ xn , ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ x = 1; (ä.13) xn = 0; 3xn + 2: íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ. éÚÕÞÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ rn = |xn − xn |. ðÏÓËÏÌØËÕ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (ä.13) xn = 0; 3xn + 2, É xn = 0; 3xn + 2, ÔÏ ÉÍÅÅÍ xn − xn = 0; 3 · (xn − xn ): óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, rn = 0; 3 · rn . ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n. ÁË ËÁË x = 1, ÔÏ x = 2; 3, ÔÏÇÄÁ ÒÉ n > 2 ÉÍÅÅÍ |xn − x | = |(xn − xn− ) + (xn− − xn− ) + · · · + (x − x ) + (x − x )|: ÷ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÍÏÄÕÌÑ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁÉÓÁÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |xn − x | 6 |xn − xn− | + |xn− − xn− | + · · · + |x − x | + |x − x |; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, |xn − x | 6 rn− + rn− + · · · + r + r ; Á ÏÓËÏÌØËÕ rn = 0; 3 · rn , ÔÏ |xn − x | 6 0; 3n− r + 0; 3n− r + · · · + 0; 3r + r : éÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ 1 − 0; 3n− ; |xn − x | 6 r 1 − 0; 3 ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ xn . òÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. 1 1 +1 +1 +1 +2 +1 +2 +1 +1 +1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 1 +1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 319 äÁÌÅÅ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ dmn = |xn − xm|, É ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÂÕÄÅÍ ÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ n > m. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÒÏÄÅÌÁÎÎÙÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï dmn 6 rn− + rn− + · · · + rm + rm ; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 1 − 0; 3n−m : dmn 6 0; 3n− r + 0; 3n− r + · · · + 0; 3mr + 0; 3m− r = 0; 3m− r 1 − 0; 3 ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ " > 0, ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ n = n ("), ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÙÈ n > n , m > n ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÏ dmn < ". éÚ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÌÎÏÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ ÒÉ n ÓÔÒÅÍÑÝÅÍÓÑ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ. xn = z , É ÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÒÅÄÅÌÕ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ xn = 0; 3xn +2. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ nlim →∞ éÍÅÅÍ nlim xn = nlim (0; 3xn + 2), ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ z = 0; 3z + 2, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, →∞ →∞ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÅÄÅÌÁ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅÛÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÌÀÂÏÊ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ, ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÅÒÁ ÉÀ ÄÅÌÅÎÉÑ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ (ä.13) ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÅÒÅÚ ÅÇÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ. √ ÷ÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÞÁ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ a (a > 0), ÅÓÌÉ ÒÁÚÒÅÛÁÅÔÓÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÞÅÔÙÒÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ |√ÓÌÏÖÅÎÉÅ, ×ÙÞÉÔÁÎÉÅ, ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ, ÄÅÌÅÎÉÅ É ÏÅÒÁ ÉÀ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ. úÎÁÞÅÎÉÅ a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x = a. ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 2x = x + a, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ 1 a x= x+ : 2 x òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xn, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÕÀ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ: x = 1; (ä.14) xn = (xn + xan ): ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÆÕÎË ÉÉ 1 a y(x) = x + ; 2 x ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ, ÎÁÓ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ÅÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ dy 1 a = 1 − : dx 2 x √ ðÒÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ √ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ ÒÉ x √= a. æÕÎË ÉÑ y(x) ÕÂÙ×ÁÅÔ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; a) É ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ ÎÁ√ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ ( a; ∞). ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÔÏÞËÁ x = a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÍÉÎÉÍÕÍÁ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÉ ×ÓÅÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÉÍÅÅÍ √ 1 a + √a = √a: y> 2 a 1 2 1 3 2 1 +1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 +1 +1 2 2 2 1 +1 1 2 2 320 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ úÎÁÞÉÔ, ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÒÏÍÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÒ×ÏÇÏ, ÂÏÌØÛÅ ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÙ √a: xn > √a ÒÉ n > 1. äÁÌÅÅ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ×ÔÏÒÏÇÏ,√ ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ, Ô. Å. xn 6 xn ÒÉ n > 2. îÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÒÉ x > a ×ÙÏÌÎÅÎÏ 1 x + a 6 1 x + x = x: 2 x 2 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ, ÎÁÞÉÎÁÑ ÓÏ ×ÔÏÒÏÇÏ, ÎÏ ÉÚ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÏÇÒÁÎÉxn = z É, ÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÞÅÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ nlim →∞ ÒÅÄÅÌÕ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 1 a xn = xn + ; 2 xn ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÅÄÅÌÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ 1 a z= z+ ; 2 z ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁ×ÅÎ z = √a. úÁÉÓÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÑÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ Ï ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÞÅÒÅÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÅ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ × ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ËÏÒÎÉ Ó ÎÕÖÎÏÊ ÓÔÅÅÎØÀ ÔÏÞÎÏÓÔÉ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏÍ ÍÅÔÏÄÅ, ÒÉÍÅÎÑÅÍÏÍ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, É ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÏÄ ÎÁÚ×ÁÎÉÅÍ ÍÅÔÏÄ ÓÖÁÔÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. óÁÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÅÔÏÄ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÉÄÅÀ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. äÁÌÅÅ ÍÙ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÏÑÓÎÑÀÝÉÅ ÓÍÙÓÌ ÏÎÑÔÉÑ ÒÅËÕÒÓÉÉ. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÚÁÄÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ × ×ÉÄÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ×, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÄÏÞÔÉÔÅÌØÎÙÍ. ïÄÎÁËÏ ÜÔÏ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÆÕÎË ÉÀ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ, ÓÕÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎË ÉÉ T (n), ÇÄÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔ n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. (ïÂÙÞÎÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ n > 0 ÉÌÉ n > 1). òÅËÕÒÓÉ×ÎÏÅ ÚÁÄÁÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ×ËÌÀÞÁÅÔ Ä×Á ÜÔÁÁ. ðÅÒ×ÙÊ ÜÔÁ. æÕÎË ÉÑ T (n) ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ × ×ÉÄÅ ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n: 1 6 n 6 m. ÷ÔÏÒÏÊ ÜÔÁ. úÁÄÁÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄ ÉÌÉ ÆÏÒÍÕÌÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ, ÚÎÁÑ ×ÓÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ T (n) ÒÉ n 6 k (k > m), ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÉ n = k + 1, Ô. Å. ÎÁÊÔÉ T (k + 1) | ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÏÉÓÙ×ÁÀÝÉÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ. ðÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÚÁÉÓØ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÜÔÁÏ×, ÏÂÙÞÎÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÎÁÑ ÆÉÇÕÒÎÏÊ ÓËÏÂËÏÊ ÎÏÓÉÔ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ . n P ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ S (n) = ak ÔÁËÖÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ËÁË ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ k ÆÕÎË ÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ S (0) = 0; (ä.15) S (k) = S (k − 1) + ak ; k > 1: +1 +1 òÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. =1 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 321 ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÒÉÍÅÒ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f (n) = n!, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ ÆÁËÔÏÒÉÁÌÏÍ. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÎÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ n! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n − 1) × n; ÎÏ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ËÏÍØÀÔÅÒÙ ÏËÁ ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÅ ÎÅ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÀÔ. ðÏÜÔÏÍÕ × ÅÌÑÈ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÜÔÕ ÆÕÎË ÉÀ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÁÞÅ. ðÒÉÂÅÇÎÅÍ Ë ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÍÕ ÚÁÄÁÎÉÀ ÆÕÎË ÉÉ f (0) = 1; (ä.16) f (k) = k · f (k − 1); k > 1: ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ Ï ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÏ ÎÁ ËÏÍØÀÔÅÒÅ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ËÁË ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÓÍ. ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.13), (ä.14)), ÔÁË É ÆÕÎË ÉÉ (ÓÍ. ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.15), (ä.16)). ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÌÉ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÉÌÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ ÆÕÎË ÉÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ f (k) = ak . ðÒÉ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ x ; x ; :::; xn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ Ó ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÒÅÄÙÓÔÏÒÉÅÊ, ÅÓÌÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÞÌÅÎÏ×. ïÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÁ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ xn = f (xn− ; xn− ; :::; xn−i ); ÇÄÅ n > i: åÓÌÉ xn ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÓÅÈ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÞÌÅÎÏ×, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÏÌÎÕÀ ÒÅÄÙÓÔÏÒÉÀ. ãÅÌÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÁ×ÑÔÓÑ ÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÌÉ ÆÕÎË ÉÊ, ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÅÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÏÚÎÉËÁÌÉ ÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÕÍÍ. ÷ ÉÄÅÁÌÅ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÊÔÉ Ñ×ÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÉÌÉ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÛÅ ÉÄÅÁÌØÎÏÅ ÖÅÌÁÎÉÅ ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ, Á ÔÏÞÎÅÅ, ËÒÁÊÎÅ ÒÅÄËÏ, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÎÁÛÉÍÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÑÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÞÁÝÅ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÔØÓÑ ÉÚÕÞÅÎÉÅÍ ÁÓÉÍÔÏÔÉËÉ Ï×ÅÄÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÌÉ ÆÕÎËÉÉ ÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÁÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÄÁÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ Ñ×ÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÉÌÉ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. úÁÄÁÞÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Ñ×ÎÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÉÌÉ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÅÊ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ . ëÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. 1 1 2 2 ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆ- ìÉÎÅÊÎÙÍ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ p ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ Ó ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÒÅÄÙÓÔÏÒÉÅÊ. 322 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÎÏÛÅÎÉÅ ×ÉÄÁ an = an− + an− + · · · + pan−p ; ÇÄÅ p 6= 0: òÅÛÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÂÌÁÄÁÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. ðÕÓÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ b ; b ; :::; bn É ; ; :::; n Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. äÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÉÈ ÞÅÒÅÚ B = {b ; b ; :::; bn}, É C = { ; ; :::; n }, ÔÏÇÄÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ D = b · B + · C , (ÇÄÅ b É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ), Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÷ É ó , ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. òÅÛÅÎÉÅ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÛÅÎÉÀ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ p. þÔÏÂÙ ÄÁÔØ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ËÁÒÔÉÎÕ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ p = 2. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÜÔÕ ÁÎÁÌÏÇÉÀ. ïÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ dy dy + d dx + d y = 0: (ä.17) dx ìÉÎÅÊÎÏÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ 2 ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ (ä.18) an = an− + an− ⇒ an − an− − an− = 0: òÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ y = ex . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (ä.17), ÏÌÕÞÁÅÍ ex + d ex + d ex = 0; + d + d = 0: äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ + d + d = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ. òÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ 2 ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ an = rn . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (ä.18), ÏÌÕÞÁÅÍ rn = rn− + rn− ; r − r − = 0: äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ r ÏÌÕÞÅÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ r − r − = 0, ËÏÔÏÒÏÅ ÔÁËÖÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ. ÷ÏÚÍÏÖÎÙ ÔÒÉ ÓÌÕÞÁÑ, ÒÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÞÅÒÅÚ A É B ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. óÌÕÞÁÊ I. åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ + d + d = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ = k , = k , ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ y = Aek x + k x +Be . åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ r − r − = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ r = r , r = r , ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ an = Arn + Brn . óÌÕÞÁÊ II. åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ + d + d = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁ×ÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ = = k, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 323 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ y = Aekx + kx +Bxe . åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ r − r − = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁ×ÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ r = r = a, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ n. ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ an = Aan + Bna n ðÏÑÓÎÉÍ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an = a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ r = a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an = nan. ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ ÜÔÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ × ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (ä.18) nan = (n − 1)an− + (n − 2)an− ; É ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÄÁÎÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ Ë ×ÉÄÕ nan− (a − a − ) + an− ( a + 2 ) = 0: ðÏÓËÏÌØËÕ a | ËÏÒÅÎØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÔÏ (a − a − ) = 0, Á Ô. Ë. a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2, ÔÏ ( a + 2 ) = 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ an = nan ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. óÌÕÞÁÊ III. åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ + d + d = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÑ = ± i, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ y = = Ae x os x + Be x sin x. åÓÌÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ r − r − = 0 ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÑ r = ± i, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ an = A · ( + i)n + B · ( − i)n. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ É ÅÒÅÉÛÅÍ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ × ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÏÍ ×ÉÄÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÔÁËÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÂÕÄÕÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÁÑ É ÍÎÉÍÁÑ ÞÁÓÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ëÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ + i ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ + i = ( os ' + i sin '); p ÇÄÅ ÍÏÄÕÌØ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÒÁ×ÅÎ = + , Á ÁÒÇÕÍÅÎÔ ' ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ os ' = ; sin ' = (0 6 ' < 2): óÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ íÕÁ×ÒÁ (( os ' + i sin ')) n = n( os n'+i sin n'). ðÏÓËÏÌØËÕ É ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÁÑ É ÍÎÉÍÁÑ ÞÁÓÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ nÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ bn = n os n' É n = = sin n' ÂÕÄÕÔ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ an = An os n' + Bn sin n'. 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 324 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÉÍÅÒÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.9. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÒÑÄÁ) æÉÂÏÎÁÞÞÉ fb(n), ÚÁÄÁÎÎÏÊ × ×ÉÄÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ fb(1) = 1; fb(2) = 1; fb(n) = fb(n − 1) + fb(n − 2) ; n > 3: (ä.19) òÅÛÅÎÉÅ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÄÌÑ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = = r + 1 ÉÌÉ r − r − 1 = 0, ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÏÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ √ 1 ± 5 r; = 2 ; ÔÏÇÄÁ √ !n √ !n 1 + 5 1 − 5 fb(n) = · +d· 2 : 2 2 2 1 2 ïÒÅÄÅÌÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ É d. ðÏÓËÏÌØËÕ fb(1) = 1, ÔÏ √ ! √ ! 1 + 5 1 − 5 · 2 + d · 2 = 1; Á ÏÓËÏÌØËÕ × ÓÉÌÕ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (ä.19) fb(2) = 1, ÔÏ √ ! √ ! 1 + 5 1 − 5 · +d· 2 = 1: 2 íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÓÉÓÔÅÍÕ Ä×ÕÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó Ä×ÕÍÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É d. òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÏÌÕÞÁÅÍ = √ ; d = − √ ; ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ √ !n √ !n 1 1 + 5 1 1 − 5 fb(n) = √ −√ : 5 2 5 2 2 2 1 1 5 5 ðÒÉÍÅÒ ä.5.10. îÁÊÔÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÄÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÒÅËÕÒ- ÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÒÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ) a = 7; a = 19; an = 4an− − 3an− ; n > 2 : òÅÛÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = 4r −3 ÉÌÉ r −4r +3 = 0, ÒÅÛÁÑ ÅÇÏ ÏÌÕÞÁÅÍ r = 1, r = 3, ÔÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ an = + d · 3n: ðÏÓËÏÌØËÕ a = 7, ÔÏ + 3d = 7, Á ÏÓËÏÌØËÕ a = 19, ÔÏ + 9d = 19. òÅÛÁÑ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÏÌÕÞÁÅÍ = 1, d = 2, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë an = 1 + 2 · 3n: 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 325 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ðÒÉÍÅÒ ä.5.11. òÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ a = 4; a = 12; an = 4an− − 4an− ; n > 2: 1 2 1 2 òÅÛÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = 4r − 4 ÉÌÉ r − 4r + 2 2 +4 = 0, ÒÅÛÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ r = r = 2. ðÏÓËÏÌØËÕ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ÒÁ×ÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ËÏÒÎÑ, ÔÏ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ an = · 2n + d · n · 2n : ðÏÓËÏÌØËÕ a = 4, ÔÏ 2 + 2d = 4, Ô. Ë. × ÓÉÌÕ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ a = 12, ÔÏ 4 + 8d = 12. òÅÛÁÑ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÏÌÕÞÁÅÍ = 1, d = 1, ÔÏÇÄÁ an = 2n + n · 2n : ðÒÉÍÅÒ ä.5.12. òÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ a = 1; a = −2; an = 2an− − 4an− ; n > 2: òÅÛÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = 2r −4 ÉÌÉ r −2r +4 = 0. òÅÛÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ r ; = 1 ± √3i. ðÏÓËÏÌØËÕ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ Ä×Á ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÑ, ÔÏ√ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÉÈ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ. íÏÄÕÌØ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ = 1 + 3 = 2. äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÉÍÅÅÍ √ 1 os ' = 2 ; sin ' = 23 ; ' = 3 ; ÔÏÇÄÁ n n + d · 2n sin an = · 2n os 3 3 : éÓÏÌØÚÕÑ Ñ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÞÌÅÎÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ + √3d√= 1; −2 + 2 3d = −2; ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÕÀ, ÏÌÕÞÁÅÍ = 1, d = 0, ÔÏÇÄÁ n an = 2n os 3 : 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ïÂÏÂÝÅÎÉÅ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ ÛÅÎÉÑ an = an− p. äÌÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏ- + an− + · · · pan−p; ÇÄÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ rp = rp− + rp− + · · · + p ; 1 1 2 1 2 1 2 2 = 0; p6 326 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÉÌÉ rp − rp− − rp− − · · · − p = 0: åÓÌÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ r = b Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ m, ÔÏ ÏÎÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔ m ÒÅÛÅÎÉÊ ×ÉÄÁ an = bn ; an = nbn ; an = n bn ; : : : ; an = nm− bn : åÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÁÒÙ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ r = ( os ' ± ±i sin ') Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ m, ÔÏ ÏÎÉ ÏÒÏÖÄÁÀÔ 2m ÒÅÛÅÎÉÊ ×ÉÄÁ:  an = n sin sn';  an = n os n' ; n an = n os n' ; an = nn sin n';  m − n an = n os n' ; an = nm− n sin n'; 1 1 2 2 2 1 1 1 É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.13. òÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ a = 3; a = 10; a = 19; an = 4an− − 5an− + 2an− ; n > 3: òÅÛÅÎÉÅ. èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ r = 4r − 5r + 2 ÉÌÉ r − 4r + 5r − 2 = 0. äÁÎÎÏÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ËÏÒÎÉ r = r = 1, r = 2. ðÏÓËÏÌØËÕ r = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 2, ÔÏ ÜÔÏÔ ËÏÒÅÎØ ÏÒÏÖÄÁÅÔ Ä×Á ÒÅÛÅÎÉÑ: an = 1; an = n, Á ËÏÒÅÎØ r = 2 ÏÒÏÖÄÁÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ an = 2n. ÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ an = b + n + d2n . äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ b, , d ÉÍÅÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ   b + + 2d = 3; b + 2 + 4d = 10;  b + 3 + 8d = 19; ÒÅÛÁÑ ËÏÔÏÒÕÀ, ÏÌÕÞÁÅÍ b = 0; = 1; d = 1, ÔÏÇÄÁ an = n + 2n : 1 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 3 ìÉÎÅÊÎÙÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏ- p ìÉÎÅÊÎÙÍ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ p ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ×ÉÄÁ an = an− + an− + · · · + p an−p + g(n); (ä.20) ÇÄÅ p 6= 0, Á g(n) | ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ. íÅÔÏÄ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. îÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÅ ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ g(n), (ÔÏ ÅÓÔØ ÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÊ ÎÕÌÀ) É ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. äÁÌÅÅ ÉÝÅÔÓÑ ËÁËÏÅ-ÌÉÂÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. ÏÇÄÁ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÓÕÍÍÁ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ É ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÊ ÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÒÑÄËÁ . 1 1 2 2 327 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÍÅÔÏÄ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ, ÔÏ ÒÏÂÌÅÍÁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÕÇÁÄÁÔØ ÌÀÂÏÅ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. äÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ×ÉÄÏ× ÆÕÎË ÉÉ g(n) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÊ ÒÉÅÍ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. ïÂ ÜÔÏÍ ÒÉÅÍÅ ÍÙ ÓËÁÖÅÍ ÎÉÖÅ, Á ÏËÁ ÏÔÍÅÔÉÍ ÏÄÉÎ ÏÌÅÚÎÙÊ ÆÁËÔ. åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ g(n) ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÁ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ g(n) = g (n) + g (n) É ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÎÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ an = an− + an− + · · · + p an−p + g (n); an = an− + an− + · · · + p an−p + g (n); ÔÏ ÓÕÍÍÁ ÔÁËÉÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÂÕÄÅÔ ÔÁËÖÅ ÞÁÓÔÎÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (ä.20). ëÁÓÁÑÓØ ×ÏÒÏÓÁ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÏÔÍÅÔÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. åÓÌÉ ÆÕÎË ÉÑ g(n) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ g(n) = Pm(n) · bn, ÇÄÅ Pm(n) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ m, ÔÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÏ × ×ÉÄÅ an = ns · Qm(n) · bn, ÇÄÅ Qm (n) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÔÏÊ ÖÅ ÓÔÅÅÎÉ ÞÔÏ É Pm (n), s | ËÒÁÔÎÏÓÔØ ËÏÒÎÑ r = b × ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ. åÓÌÉ r = b ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÔÏ s = 0. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pm(n) ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ Pm (n) = Pm (n) · 1n . ðÒÉÍÅÒ ä.5.14. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = 4an− − 3an− + 5 · 2n + (5n + 4): 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 òÅÛÅÎÉÅ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÌÏÓØ ÒÁÎÅÅ, É ÂÙÌÉ ÎÁÊÄÅÎÙ ËÏÒÎÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ r = 1, r = 3. ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ an = + d · 3n, ÇÄÅ É d ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÒÉÍÅÒÅ ÆÕÎË ÉÑ g(n) = 5 · 2n + (5n + 4). ïÎÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n Ä×ÕÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ g (n) = 5 · 2 É g (n) = (5n + 4). ÷ÎÁÞÁÌÅ ÎÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = 4an− − 3an− + 5 · 2n. éÍÅÅÍ ÆÕÎË ÉÀ g (n) ×ÉÄÁ g (n) = Pm(n)·bn , ÇÄÅ Pm(n) = 5 | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ É ÚÎÁÞÉÔ m = 0; b = 2 É ÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ b = 2 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ ÅÇÏ ËÒÁÔÎÏÓÔØ s = 0. ÏÇÄÁ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ an = n · Q (n) · 2n = A · 2n, ÇÄÅ A | ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÉÚ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÄÁÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ 1 A · 2n = 4A · 2n− − 3A · 2n− + 5 · 2n ⇒ − A = 5; A = −20; 4 ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ an = −20 · 2n. äÁÌÅÅ ÎÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = 4an− − 3an− + (5n + 4). éÍÅÅÍ ÆÕÎË ÉÀ g (n) ×ÉÄÁ g (n) = Pm(n) · bn, ÇÄÅ Pm (n) = 5n + 4 | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ É ÚÎÁÞÉÔ m = 1; b = 1, É ÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ b = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 1, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ s = 1. ÏÇÄÁ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ an = n · Q (n) · 1n = n(An + B), ÇÄÅ 1 1 2 2 1 1 0 1 0 2 1 2 2 1 2 1 1 2 328 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ A É B | ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÉÚ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔ- ÎÏÛÅÎÉÑ. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÄÁÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ n(An + B ) = 4(n − 1)(A(n − 1) + B ) − 3(n − 2)(A(n − 2) + B ) + (5n + 4): ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ n, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ A É B. 4A + 5 = 0; −8A + 2B + 4 = 0; ÒÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÏÌÕÞÁÅÍ A = − , B = −7, ÔÏÇÄÁ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 5 an = −20 · 2n + n(− n − 7): 4 ïÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÏ 5 an = −20 · 2n + n(− n − 7) + + d · 3n ; 4 ÇÄÅ É d | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. 5 4 òÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ Ó ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ É- òÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ Ó ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ×ÉÄÁ an = b(n) · an− + (n); n > 1; ÇÄÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ a ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÚÁÒÁÎÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ. éÄÅÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ×Ï ××ÅÄÅÎÉÉ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÅÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ F (n), ÒÁ×ÎÏÇÏ 1 : F (n) = Q n b(k) ÅÎÔÁÍÉ. 1 0 k=1 õÍÎÏÖÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ. ðÏÌÕÞÉÍ an n− b(n) = aQ + Qn (n) : n n Q b(k ) b(k) b(k) 1 k=1 k=1 k=1 ïÂÏÚÎÁÞÉÍ yn = b(n + 1) · F (n + 1) · an , ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÒÅÉÓÁÎÏ × ×ÉÄÅ yn = yn− + F (n) · (n). üÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ n P a + F (k) · (k) n X k yn = y + F (k) · (k); ÔÏÇÄÁ an = : b(n + 1) · F (n + 1) k 1 0 =1 0 =1 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 329 ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÏÂÌÅÍÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÏÂÌÅÍÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍ n Y k=1 b(k) = e ln n Q k=1 b(k) =e n P k=1 ln b(k) ; ÔÏ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÔÁËÉÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÏÒÏÓÕ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.15. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ a = 0; an = nn an− + 2; n > 1: òÅÛÅÎÉÅ. óÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 = 1 : F (n) = Q n n+1 0 +1 1 k=1 ïÂÏÚÎÁÞÉÍ k+1 k yn = b(n + 1) · F (n + 1) · an = n+1 (n + 2) · an = (n + 1) · an: n+2 äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ yn ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ y = 0; yn = yn− + n ; ÏÔËÕÄÁ n n X 2 ; an = 2(n + 1) X 1 : yn = k+1 k+1 0 2 1 +1 k=1 k=1 íÅÔÏÄÙ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ÅÎËÉ ÆÕÎË ÉÊ, ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏ- ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎËÉÀ ÅÌÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÑ ÅÅ ÞÅÒÅÚ T (n). ïÄÉÎ ÉÚ ÒÉÅÍÏ×, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÙÈ Ï ÅÎÏË | ÜÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÔÁËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f (n), ËÏÔÏÒÁÑ ÍÁÖÏÒÉÒÏ×ÁÌÁ ÂÙ T (n) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n, Ô. Å. ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ T (n) 6 f (n). éÎÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÉÅÍ. úÁÄÁÅÔÓÑ ×ÉÄ ÆÕÎË ÉÉ f (n), × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÁÒÁÍÅÔÒÏ×, Á ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÏ× ÕÔÏÞÎÑÀÔÓÑ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏÔ ÒÉÅÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.16. ï ÅÎÉÔØ ÆÕÎË ÉÀ, ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ T (1) = ; (ä.21) T (n) = 2T ([ n ℄) + n; n > 1; ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ [x℄ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ. ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ. 1 2 2 330 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ òÅÛÅÎÉÅ. âÕÄÅÍ ÉÓËÁÔØ f (n) × ×ÉÄÅ f (n) = a · n · log n + b, ÇÄÅ a É b ÏËÁ ÎÅ- ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÁÒÁÍÅÔÒÙ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ. ðÒÉ n = 1 Ï ÅÎËÁ ÒÁÂÏÔÁÅÔ, ÅÓÌÉ ÏÌÏÖÉÔØ b > . ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÍÅÔÏÄÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÉÎÄÕË ÉÉ ÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ k < n ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï T (k) 6 a · k · log k + b: ðÏÌÁÇÁÑ k = [ n ℄, É ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (ä.21) ÏÌÕÞÁÅÍ h n i n n T (n) = 2T + n 6 2 (a · k · log k + b) + n 6 2 a log + b + n = 2 2 2 = a · n · log n − a · n + n + 2b 6 a · n · log n + b: ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÌÕÞÅÎÏ × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ a > +b. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ ÂÕÄÅÔ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ, ÞÔÏ b > É a > + b. íÏÖÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ b = , a = + . ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ n > 1 ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ Ï ÅÎËÁ T (n) 6 ( + ) · n · log n + : üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ T (n) = O(n · log n). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞÎÏÊ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ÅÎËÏÊ. íÙ ÌÉÛØ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ T (n) ÒÁÓÔÅÔ ÎÅ ÂÙÓÔÒÅÅ ÞÅÍ f (n) = n · log n. é ÕÖ ÅÓÌÉ ÂÙÔØ ÓÏ×ÓÅÍ ÓÔÒÏÇÉÍ, ÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ Ï ÅÎËÁ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÁ × ×ÉÄÅ T (n) 6 ( + ) · n∗ log n∗ + ; ÇÄÅ n∗ = n, ÅÓÌÉ n ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, É n∗ = n + 1 × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. éÓÏÌØÚÕÑ ÏÅÒÁ ÉÀ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÓÔÁÔËÁ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ, n∗ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ n∗ = n + n mod 2: 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 äÒÕÇÏÊ ÒÉÅÍ | ÜÔÏ Ï ÅÎËÁ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÍ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÉÍÅÒÅ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.17. ï ÅÎÉÔØ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ T (n) = 3T ([ n ℄) + n: òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ m, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ 4m− < n 6 4m, É ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÌÕÞÁÅÍ T (n) 6 3T (4m− ) + 4m; ÎÏ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ T (4m− ) = 3T (4m− )+4m− , É ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ × ÅÒ×ÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ÏÌÕÞÁÅÍ 3 m − m − m m − m T (n) 6 3 3T (4 ) + 4 +4 =3 T 4 +4 1+ 4 : ðÏÓËÏÌØËÕ T (4m− ) = 3T (4m− ) + 4m− ; íÅÔÏÄ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ. 4 1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 331 ÔÏ Ï×ÔÏÒÉÍ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ 3 3 ; T (n) 6 3 T (4 ) + 4 1 + + 4 4 É ÒÏÄÏÌÖÁÑ ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï m− ! 3 3 3 m m T (n) 6 3 T (1) + 4 1 + + + ···+ : 4 4 4 ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÓÕÍÍÁ × ËÒÕÇÌÙÈ ÓËÏÂËÁÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ ÓÏ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ q = 3=4, É ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÅ ÒÅ×ÙÛÁÅÔ ÓÕÍÍÙ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁ×ÎÁ 4, ÔÏÇÄÁ T (n) 6 3m T (1) + 4m : îÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ×ÙÂÏÒÁ ÞÉÓÌÁ m ÉÍÅÅÍ m 6 log n + 1, É T (n) 6 3 n · T (1) + 16n; ÎÏ ÔÁË ËÁË 3 n = n = o(n), ÔÏ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ T (n) = O(n). 3 m−3 2 m 2 ! 1 +1 4 log4 log4 +1 log4 3 ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÂ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎËÁÈ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ, ÄÏËÁÚÁÎÎÁÑ × 1980 Ç. äÖ. âÅÎÔÌÉ, ä. èÁËÅÎ É äÖ. óÁËÓÏÍ [20℄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÏÝÎÙÍ ÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ Ï ÅÎËÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ×ÉÄÁ. ÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÒÉ Ï ÅÎËÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÁ ÍÅÔÏÄÅ ÄÅËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÚ ÒÉÍÅÒÁ ä.5.16 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ, ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÏÍÕ äÖ.æÏÎ îÅÊÍÁÎÏÍ | ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÓÌÉÑÎÉÅÍ. ÅÏÒÅÍÁ. (J. L. Bentley, Dorothea Haken, J. B. Saxe, 1980) ðÕÓÔØ a > 1 É b > 1 | ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, f (n) | ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, T (n) ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÒÉ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n ÆÏÒÍÕÌÏÊ h n i T (n) = aT + f (n); b ÔÏÇÄÁ: 1) ÅÓÌÉ f (n) = O(n b a−") ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ " > 0, ÔÏ T (n) = (n b a ); 2) ÅÓÌÉ f (n) = (n b a), ÔÏ T (n) = (n b a logb n); 3) ÅÓÌÉ ÎÁÊÄÅÔÓÑ > 0 É " > 0, ÞÔÏ ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n ×ÙÏÌÎÅÎÏ f (n) > > n b a " É ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ d < 1, ÔÁËÁÑ ÞÔÏ, ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ n ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ n a · f ( ) 6 d · f (n); ÔÏ T (n) = (f (n)): b ÆÕÎË ÉÊ. log log log log log + 332 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒÙ Ï ÅÎËÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ Ó ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÄÁÎÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.18. ðÏÌÕÞÉÔØ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÆÕÎË ÉÉ T (n) = 8T ([ n ℄)+n: òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ a = 8, b = 4, f (n) = n, Á n ba = n = n = n√n: ðÏÓËÏÌØËÕ f (n) = O(n√n) ÄÌÑ " = √1=:2, ÔÏ, ÒÉÍÅÎÑÑ ÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÄÅÌÁÅÍ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ T (n) = (n n). ðÒÉÍÅÒ ä.5.19. ðÏÌÕÞÉÔØ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÆÕÎË ÉÉ T (n) = T ([ n ℄)+5: òÅÛÅÎÉÅ. úÄÅÓØ a = 1, b = 4=3, f (n) = 5, Á n b a = n = = n = (1); ÏÜÔÏÍÕ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ×ÔÏÒÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÔÅÏÒÅÍÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ f (n) = 5 = (n b a ) = (1); ÔÏ ÏÌÕÞÁÅÍ Ï ÅÎËÕ T (n) = (log = n). ðÒÉÍÅÒ ä.5.20. ðÏÌÕÞÉÔØ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ Ï ÅÎËÕ ÆÕÎË ÉÉ h n i T (n) = 2T 4 + n log n: òÅÛÅÎÉÅ. íÙ ÉÍÅÅÍ a = 2, b =; 4," f (n) = n log n, Á n b a = n = n =: = √n, ÆÕÎË ÉÑ f (n) = n log n > n , ÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ n É " = 0; 5. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÌÑ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÔÅÏÒÅÍÙ. äÌÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n ÉÍÅÅÍ 2f n4 = 2 n4 log n4 6 12 n log n = d · f (n); ÇÄÅ d = 12 < 1; ÕÓÌÏ×ÉÅ ×ÙÏÌÎÅÎÏ, É ÔÏÇÄÁ T (n) = (n log n). 4 log 3 2 log4 8 3 4 log log4 3 1 0 log 4 3 4 log 4 0 5+ log4 2 1 2 4 4 4 4 îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.2 ä.5.2.1. úÁÉÓÁÔØ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ × ×ÉÄÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ä.5.2.2. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( a = 1; an = 2an− 1 + an ; n > 1; ÉÍÅÅÔ ÒÅÄÅÌ ÒÉ n → ∞ É ÎÁÊÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÒÅÄÅÌÁ. ä.5.2.3. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ 1 2 2 1 an = an− + n + n − : 3 3 3 3 1 3 1 1 8 2 2 −1 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 333 ä.5.2.4. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = 2an− + 2: ä.5.2.5. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = −5an− − 6an− : ä.5.2.6. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = −6an− − 9an− ä.5.2.7. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ an = −2an− − 2an− : ä.5.2.8. åÓÌÉ ÷Ù ÓÞÉÔÁÅÔÅ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÞÅÎØ ÒÏÓÔÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÔÏ ÏÒÏÂÕÊÔÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ Ä×ÁÖÄÙ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ áËËÅÒÍÁÎÁ | A(3; 5), ËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ   n + 1; m = 0; A(m; n) = A(m − 1; n); n = 0;  A(m − 1; A(m; n − 1)): −n 1 1 1 1 2 2 2 ä.5.3. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ. òÁÚÎÏÓÔÎÙÊ É ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒÙ éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÏ Ï ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÙÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÈ. ÷ ÏÓÎÏ×Å ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÈ ÌÅÖÉÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ D, ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ f (x + h) − f (x) Df (x) = lim : h→ h îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÆÕÎË ÉÊ ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÒÁÚÎÏÓÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÇÏ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f (x) = f (x + 1) − f (x): ïÅÒÁÔÏÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏ-ÒÁÚÎÏÓÔÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÇÒÁÎÉÞÉÌÉÓØ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ É, ×ÍÅÓÔÏ h → 0, ×ÚÑÔÏ ÂÌÉÖÁÊÛÅÅ Ë ÎÕÌÀ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ | h = 1. äÁÌÅÅ ÓÌÅÄÏ×ÁÌÏ ÂÙ ÉÚÕÞÉÔØ Ó×ÏÊÓÔ×Á ××ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ, ÎÏ ÍÙ ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÅÍ ÏÚÄÎÅÅ. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÕÊÄÅÍ ÎÅÍÎÏÇÏ ×ÅÒÅÄ, ÞÔÏÂÙ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÓÍÙÓÌ ÔÏÇÏ, ÒÁÄÉ ÞÅÇÏ ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÌÓÑ ÔÁËÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ËÁË ÄÉÓËÒÅÔÎÙÊ ÁÎÁÌÏÇ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ. 0 334 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ïÅÒÁÔÏÒ D × ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÍ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÉÍÅÅÔ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ | ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÊ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÙÊ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ R . ó×ÑÚØ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ É ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ g(x) = Df (x); ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ R R g(x)dx =f (x) + C: Ï ÅÓÔØ g(x)dx | ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎË ÉÉ g(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÁÓÓÏÍ ÆÕÎË ÉÊ, ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÁ g(x). ÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏ-ÒÁÚÎÏÓÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ××ÅÄÅÍ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÅÍÕ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ P. ó×ÑÚØ ËÏÎÅÞÎÏ-ÒÁÚÎÏÓÔÎÏÇÏ É ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÅÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. g(x) = f (x); ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ X g(x)Æx = f (x) + C: P úÄÅÓØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ g(x)Æx ÅÓÔØ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ÆÕÎË ÉÉ g(x) | ËÌÁÓÓ ÆÕÎË ÉÊ, ËÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÙÈ ÅÓÔØ g(x). âÕË×Á C × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÏÓÔÏÑÎÎÕÀ, × ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ C ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÌÀÂÕÀ ÆÕÎË ÉÀ p(x), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ p(x + 1) = p(x): ðÏËÁ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÏÎÑÔÎÏ, ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÅÌÅÊ ÍÙ ××ÅÌÉ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ, É ×ÓÅ ÜÔÏ ÏËÁ ÎÁÏÍÉÎÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ | ÒÉÄÅÔÓÑ ÅÝÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅÍÎÏÇÏ ÏÄÏÖÄÁÔØ. ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ËÕÒÓ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÇÏ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÁËÖÅ ÏÎÑÔÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÓÍÙÓÌ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÎÅÍÎÏÇÏ ÏÍÎÉÔ. ÷ ÏÓÎÏ×Å ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÌÅÖÉÔ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁ{ ìÅÊÂÎÉ Á: óÕÍÍÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ É ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. ïÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÓÕÍÍÙ. g(x) = Df (x) ⇒ Zb a g(x)dx = f (x) b a = f (b) − f (a): áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ g(x) = f (x) b ⇒ b X a g(x)Æx= f (x) b a = f (b) − f (a): ïÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ P g(x)Æx ××ÅÄÅÎÁ ÒÏÓÔÏ Ï ÁÎÁÌÏÇÉÉ, ÎÏ ÞÔÏ ÏÎÁ ÒÅÄa ÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÅÄÓÔÏÉÔ ÅÝÅ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ. ðÏËÁ ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÂÏÒ ÓÉÍ×ÏÌÏ×. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÏÎÑÔØ ÓÍÙÓÌ ××ÅÄÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ×ÅÒÎÅÍÓÑ ÎÅÍÎÏÇÏ ÎÁÚÁÄ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÁÑ ÓÕÍÍÁ k=b X k=a g(k); b > a: (ä.22) ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÏÔÙÓËÁÔØ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÉ g(x), É ÏÎÁ ÒÁ×ÎÁ f (x), Ô. Å. g(x) = f (x + 1) − f (x): ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÓÕÍÍÕ ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 335 ÌÀÂÏÇÏ k ÉÍÅÅÍ g(k) = f (k + 1) − f (k). óÕÍÍÕ (ä.22) ÅÒÅÉÛÅÍ Ó ÏÍÏÝØÀ ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÑ k=b X k=a g(k) = g(a) + g(a + 1) + g(a + 2) + · · · + g(b − 1) + g(b): äÁÌÅÅ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ Ó×ÑÚØÀ ÍÅÖÄÕ ÆÕÎË ÉÑÍÉ g(x) É f (x), ÔÏÇÄÁ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ (ä.22) ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ×ÉÄ k =b X k =a g(k) = (f (a + 1) − f (a)) + (f (a + 2) − f (a + 1))+ + (f (a + 3) − f (a + 2)) + · · · + (f (b) − f (b − 1)) + (f (b + 1) − f (b)) : éÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ×ÉÄ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ × ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÓËÏÂËÁÈ ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁËÉ É ×ÚÁÉÍÎÏ ÕÎÉÞÔÏÖÁÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ×ÏÌÎÅ ÒÉÌÉÞÎÙÊ ×ÉÄ k=b X k =a g(k) = f (b + 1) − f (a); É ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÏÑÓÎÑÅÔ ÓÍÙÓÌ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ, Ô. Å. b X a g(x)Æx = k= b−1 X k=a g(k): ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Za a Zb g(x)dx = 0; a g(x)dx = − Za b g(x)dx; Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÕÍÍ ÏÌÏÖÉÍ: a P 1) a g(x)Æx = 0; b a 2) ÒÉ b < a ÉÍÅÅÍ P g(x)Æx = − P g(x)Æx. a b äÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ Zb a g(x)dx + Z b g(x)dx = g(x)dx: Z a þÉÔÁÔÅÌØ ÓÁÍ ÂÅÚ ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÒÕÄÁ ÍÏÖÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÕÍÍ b X a g(x)Æx + X b g(x)Æx = X a g(x)Æx: 336 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÷ÓÏÍÎÉÍ ÚÎÁÍÅÎÉÔÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ Ï ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Ï ÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ ×ÅÒÈÎÅÍÕ ÒÅÄÅÌÕ D Zx a g(t)dt = g(x): áÎÁÌÏÇÏÍ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÎÉÖÅ b+1 X a g(x)Æx − b X a g(x)Æx = (f (b + 1) − f (a)) − (f (b) − f (a)) = f (b + 1) − f (b) = g(b): ðÏÄ×ÅÄÅÍ ÉÔÏÇ, ÒÁÄÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÙ ÚÁÎÉÍÁÌÉÓØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍÉ ÓÕÍÍÁÍÉ. ðÕÓÔØ k b ÎÁÍ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÓÕÍÍÕ ×ÉÄÁ P g(k); É ËÁËÉÍ-ÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ k a ÎÁÊÔÉ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÆÕÎË ÉÉ g(x) X g(x)Æx = f (x); Ô. Å. ÎÁÊÔÉ ÔÁËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f (x), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÏÌÎÅÎÏ f (x + 1) − f (x) = g(x): ÏÇÄÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ÕÖÅ ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏÊ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ (ËÏÎÅÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÓÁÍ ×ÉÄ ÆÕÎË ÉÉ f (x) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏÊ), Á ÉÍÅÎÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ = = k=b X k=a g(k) = b+1 X a g(x)Æx = f (b + 1) − f (a): óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÏÂÌÅÍÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÓÕÍÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÏÂÌÅÍÅ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÓÕÍÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÂÙ ÒÉÄÁÔØ ÜÔÏÍÕ ÏÉÓËÕ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÁÚÕÍÎÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ ÉÚÕÞÉÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÁÚÎÏÓÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ . ðÅÒ×ÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÉÌÉ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÆÕÎË ÉÉ f , ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ f , ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ×ÙÛÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f (x) = f (x + 1) − f (x): ÷ÔÏÒÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÉÌÉ ÒÁÚÎÏÓÔØ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÆÕÎË ÉÉ f , ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÁÑ f , ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË f (x) = (f (x)): óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f (x) = (f (x)) = (f (x + 1) − f (x)) = = (f (x + 2) − f (x + 1)) − (f (x + 1) − f (x)) = f (x + 2) − 2f (x + 1) + f (x) : ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÏÒÑÄËÁ n ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ nf (x) = (n− f (x)). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏËÁ ÒÉÍÅÒÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ, ÎÉÖÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ nf (x). ëÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ×ÙÓÛÉÈ ÏÒÑÄËÏ×. 2 2 2 1 337 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ðÒÉÍÅÒ ä.5.21. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÏÔ ÄÏ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = x . òÅÛÅÎÉÅ. 4 3 (x ) = (x + 1) − x = 3x + 3x + 1: (x ) = ((x )) = (3x + 3x + 1) = = (3(x + 1) + 3(x + 1) + 1) − (3x + 3x + 1) = 6x + 6: (x ) = ( (x )) = (6x + 6) = (6(x + 1) + 6) − (6x + 6) = 6: (x ) = ( (x )) = (6) = 0: 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2 3 4 3 3 3 ðÒÉÍÅÒ ä.5.22. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = ax. òÅÛÅÎÉÅ. (ax ) = ax +1 − ax = (a − 1)ax: (2x x) = 2x. éÚ ËÕÒìÅÇËÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ n(ax) = (a−1)nax, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ x ÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ D(e ) = e , ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ × ÒÁÍËÁÈ ÁÁÒÁÔÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÆÕÎË ÉÑ f (x) = 2x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÜËÓÏÎÅÎÔÙ × ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÙÈ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.23. ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ (ax) ÄÏËÁÚÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÇÒÅÓÓÉÑ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ kkPn aqk = −1 ; ÔÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ g(x) = qx− . îÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ =1 1 f (x) = ÔÏÇÄÁ kX =n k=1 aqk− 1 qx− ; q−1 1 = nX +1 1 Ô. Å. X aqx− Æx = a 1 qx− Æx = 1 q x− q−1 1 n+1 1 qx− ; q−1 1 n = a qq −−11 : äÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ××ÅÄÅÍ ÏÅÒÁÔÏÒ E , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ E (f (x)) = f (x + 1); Á ÞÅÒÅÚ I ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ I (f (x)) = f (x); ÔÏÇÄÁ ÏÅÒÁÔÏÒ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ (f (x)) = f (x + 1) − f (x) = E (f (x)) − I (f (x)) = (E − I )(f (x)): 338 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÏÌÏÖÉÍ E = I , ÔÏÇÄÁ n(f (x)) = (E − I )n(f (x)) = E n (f (x)) − n · E n− (f (x)) + · · · · · · + (−1)k · Cnk · E n−k (f (x)) + · · · + (−1)n E (f (x)) = = f (x + n) − nf (x + n − 1) + · · · · · · + (−1)k · Cnk · f (x + n − k ) + · · · + (−1)n · f (x); ÇÄÅ Cnk = k nn−k | ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÒÉÎÑÔÏÇÏ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÔÅËÓÔÅ ËÎÉÇÉ ò. èÁÇÇÁÒÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ C (n; kk), Á×ÔÏÒÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÏÅ × ÏÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ | Cn . ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ×ÙÞÉÓÌÉÍ (f (x)), ÉÍÅÅÍ (f (x)) = f (x + 4) − 4f (x + 3) + 6f (x + 2) − 4f (x + 1) + f (x): ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÏ× E É , ËÏÔÏÒÙÅ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÂÅÚ ÏÓÏÂÏÇÏ ÔÒÕÄÁ ÍÏÖÅÔ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. E 1. ìÉÎÅÊÎÏÓÔØ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÆÕÎË ÉÊ f É g, É ÌÀÂÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ a É b ×ÙÏÌÎÅÎÏ E (af + bg) = aE (f ) + bE (g); (af + bg) = a(f ) + b(g). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÍÅÅÍ: E = E ; E (a) = a; a = 0. 2. ëÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. îÉÖÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÁÎÁÌÏÇÉ ÆÏÒÍÕÌ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ É ÞÁÓÔÎÏÇÏ. ÷ ËÕÒÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ D(fg) = fD(g) + gD(f ): äÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÍ (f (x)g(x)) = f (x + 1)g(x + 1) − f (x)g(x) = =f (x + 1)g(x + 1) − f (x)g(x + 1) + f (x)g(x + 1) − f (x)g(x) = =g(x + 1)(f (x + 1) − f (x)) + f (x)(g(x + 1) − g(x)) = =(f (x))E (g(x)) + f (x)(g(x)) = (f · g + Eg · f )(x); ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (fg) = f · (g) + E (g) · (f ): (ä.23) 3. ëÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÞÁÓÔÎÏÇÏ. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ f D = gD(f ) g− fD(g) : g ÷ ÓÌÕÞÁÅ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÍ 1) − f (x) = f (x + 1)g(x) − f (x)g(x + 1) = fg((xx)) = fg((xx ++ 1) g(x) g(x)g(x + 1) = f (x + 1)g(x) − f (x)gg((xx))g+(xf+(x1))g(x) − f (x)g(x + 1) = = g(x)(f (x + 1) − fg((xx)))g(−xf+(x1))(g(x + 1) − g(x)) = g(x)(fg((xx)))g−(xf+(x1))(g(x)) ; 0 1 0 ! !( )! 4 4 ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÏ× É . 2 339 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (ä.24) fg = g · (gf )· E−(fg)· (g) : òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ×, ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁÈ (ä.23) É (ä.24). ðÒÉÍÅÒ ä.5.24. îÁÊÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ Á) (2x + 3x + 4x + 5); Â) ((x + 4x + 3)(x + 5)); ×) ( x x x ). òÅÛÅÎÉÅ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ (x) = (x +1) − x = 1, (x ) = (x +1) − x = 2x + 1, É ÒÁÎÅÅ ÂÙÌÏ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ (x ) = 3x + 3x + 1. Á) îÁÊÔÉ (2x + 3x + 4x + 5). (2x + 3x + 4x + 5) = 2(x ) + 3(x ) + 4(x) + 5(1) = = 2(3x + 3x + 1) + 3(2x + 1) + 4(1) + 0 = 6x + 12x + 9: Â) îÁÊÔÉ ((x + 4x + 3)(x + 5)). éÓÏÌØÚÕÅÍ ÆÏÒÍÕÌÕ (ä.23), É ÏÌÕÞÁÅÍ ((x + 4x + 3)(x + 5)) = (x + 4x + 3) · (x + 5) + E (x + 5)(x + 4x + 3) = = (x + 4x + 3) · 1 + ((x + 1) + 5)(2x + 1 + 4)) = = (x + 4x + 3) + (x + 6)(2x + 5): ×) îÁÊÔÉ ( x x x ). îÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÆÏÒÍÕÌÙ (ä.24) ÉÍÅÅÍ x + 4x + 3 x + 5 = (x + 5) · (x + 4(xx++3)5)E−((xx++5)4x + 3) · (x + 5) = + 4) − (x + 4x + 3) · 1 = = (x + 5) · (2(xx ++ 15)(( x + 1) + 5) = (x + 5)(2(xx++5)5)(−x (+x 6)+ 4x + 3) : 3 2 2 2 +4 +3 +5 2 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +4 +3 +5 2 2 2 2 2 ÷ ÅÌÑÈ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÊÄÅÍ (xn ) | ÉÓÏÌØÚÕÑ ÂÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ ÏÌÕÞÁÅÍ (xn ) = (x + 1)n − xn = nxn− + n(n2− 1) xn− + · · · + Cnk · xn−k + · · · + 1; ÎÏ ÏÂÙÞÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ D(xn ) = nxn− : íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = xn ÉÍÅÅÔ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ É ÜÔÏ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÎÅ ÓÁÍÙÊ ÒÉÑÔÎÙÊ ÆÁËÔ, ÏÓËÏÌØËÕ Ó ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÞÁÓÔÏ ÉÍÅÔØ ÄÅÌÏ ÒÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ. ðÏÙÔÁÅÍÓÑ ×ÙÂÒÁÔØÓÑ ÉÚ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ÒÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ ÏÔÅÒÑÈ. æÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. 1 2 1 340 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÷×ÅÄÅÍ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x n , ËÏÔÏÒÕÀ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ ÒÉ x > n > 0 n x = 1; n = 0; x n = x · (x − 1) · (x − 2) · · · (x − n + 1); n > 0: æÁËÔÉÞÅÓËÉ ÆÕÎË ÉÑ f (x) = x n ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n, ÒÁ×ÄÁ ÎÅ ÓÁÍÏÇÏ ÒÉÑÔÎÏÇÏ ×ÉÄÁ, ÅÓÌÉ ÒÁÓËÒÙÔØ ÓËÏÂËÉ. îÏ ÓÅÊÞÁÓ ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ÆÁËÔ, ×ÙÞÉÓÌÉ× ÅÇÏ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ. (x n ) = (x + 1) · (x) · (x − 1) · · · (x − n + 2) − x · (x − 1) · (x − 2) · · · (x − n + 1) = = (x · (x − 1) · (x − 2) · · · (x − n + 2)) · ((x + 1) − (x − n + 1) = nx · (x − 1) · (x − 2) · · · (x − n + 2) = nx n− : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÁÁÒÁÔÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊnÆÕÎË ÉÑ f (x) = x n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = x . æÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ n ÎÁÚÏ×ÅÍ ÆÕÎË ÉÀ ×ÉÄÁ f (x) = an x n + an− x n− + · · · + a x + a x + a : ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÅÒØÅÚÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.25. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = 4x − 5x + 7x + 2: ( ( ) ( ) ( ( ) ) ) ( 1) ( ( ) 1 ( 1) (3) òÅÛÅÎÉÅ. (f (x)) = (4x = 4 · 3x (3) (2) 2 (2) (2) 1 (1) ) 0 (1) 5x + 7x + 2) = 4(x ) − 5(x ) + 7(x ) + (2) = − 5 · 2x + 7 · 1 + 0 = 12x − 10x + 7: (2) − (1) (3) (1) (2) (2) (1) (1) ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÂÙÞÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÍ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÂÙÞÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ. ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÜÔÏÍÕ ×ÏÒÏÓÕ, ÎÁÏÍÎÉÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ ÏÄÎÕ ÔÅÏÒÅÍÕ, ÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ËÁË ÔÅÏÒÅÍÁ âÅÚÕ. ÅÏÒÅÍÁ. ïÓÔÁÔÏË, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) = an xn + an− xn− + · · · + a x + a x + a (ÓÔÅÅÎÉ n > 1) ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ (x − a), ÒÁ×ÅÎ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ÔÏÞËÅ x = a, Ô. Å. f (a). óÈÅÍÕ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÏÂÙÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ÏÑÓÎÉÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ | ÕÓÔØ f (x) = x . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÄÏÌÖÅÎ ÉÍÅÔØ ÔÕ ÖÅ ÓÔÅÅÎØ, ÞÔÏ É ÉÓÈÏÄÎÙÊ, ÚÎÁÞÉÔ ÉÍÅÅÍ x =a x +a x +a x +a x +a : òÁÓÉÛÅÍ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ x = a x(x − 1)(x − 2)(x − 3) + a x(x − 1)(x − 2) + a x(x − 1) + a x + a : 1 1 2 2 1 0 4 4 4 4 4 (4) 3 (3) 3 2 (2) 1 (1) 0 2 1 0 341 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÅÅÒØ ÌÅ×ÕÀ É ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÜÔÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÏÄÅÌÉÍ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ x. ïÓÔÁÔËÉ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ | ÎÕÌÀ, Á × ÒÁ×ÏÊ | a , ÔÏÇÄÁ a = 0. þÁÓÔÎÏÅ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÎÏ x , × ÒÁ×ÏÊ ÏÌÕÞÁÅÍ a (x − 1)(x − 2)(x − 3) + a (x − 1)(x − 2) + a (x − 1) + a ; ÔÏÇÄÁ ÉÍÅÅÍ x = a (x − 1)(x − 2)(x − 3) + a (x − 1)(x − 2) + a (x − 1) + a : ÅÅÒØ ÏÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ | (x − 1). ïÓÔÁÔËÉ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÓÔÁÔÏË ÒÁ×ÅÎ 1, × ÒÁ×ÏÊ | a , ÔÏÇÄÁ a = 1. þÁÓÔÎÏÅ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ | x + x + 1, × ÒÁ×ÏÊ | a (x − 2)(x − 3) + a (x − 2) + a , ÔÏÇÄÁ ÉÍÅÅÍ x + x + 1 = a (x − 2)(x − 3) + a (x − 2) + a : ðÏÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ (x − 2). ïÓÔÁÔËÉ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÓÔÁÔÏË ÒÁ×ÅÎ 7, × ÒÁ×ÏÊ | a , ÔÏÇÄÁ a = 7. þÁÓÔÎÙÅ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ | x + 3, × ÒÁ×ÏÊ | a (x − 3) + a , ÔÏÇÄÁ x + 3 = a (x − 3) + a . é ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÄÅÌÅÎÉÅ | ÏÄÅÌÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ (x − 3). ïÓÔÁÔËÉ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÓÔÁÔÏË ÒÁ×ÅÎ 6, × ÒÁ×ÏÊ | a , ÔÏÇÄÁ a = 6. þÁÓÔÎÙÅ: × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ | 1, × ÒÁ×ÏÊ | a , ÚÎÁÞÉÔ a = 1. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ x = x + 6x + 7x + x : ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÒÉÍÅÎÉÍÁ ÄÌÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ËÁË ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ. ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁË ÖÅ, ÞÔÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÓÔÁÒÛÉÈ ÓÔÅÅÎÑÈ É Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ÞÌÅÎÙ ÎÅ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÉ ÅÒÅÈÏÄÅ ÏÔ ÏÂÙÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Ë ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÍÕ. ðÏÓËÏÌØËÕ x n = nx n− , É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, xnn = x n ; ÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ X xn x n Æx = ; n+1 ÍÙ ÏÕÓËÁÅÍ ÒÉ ÜÔÏÍ ó × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÄÌÑ ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÓÕÍÍÙ. ÷ÏÓÏÌØÚÕn P ÅÍÓÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ x ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ k : k æÕÎË ÉÑ f (x) = x ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÁ ËÁË ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ × ×ÉÄÅ x = x + 6x + 7x + x ; ÔÏÇÄÁ 0 0 3 4 3 3 2 4 3 2 1 2 2 1 1 3 4 2 4 1 4 2 3 2 2 3 4 3 3 4 3 4 4 ( ) (4) ( (3) (2) (1) ( +1) 1) ( ) +1 ( ( +1) ) 4 4 =0 4 4 n X k k=0 = 4 x=0 x Æx = 4 nX +1 x=0 (3) (5) (4) (3) (4) (3) (2) n+1 0 2 (2) (1) (x + 6x + 7x + x )Æx = x x x + 6 + 7 + 5 4 3 2 1)(3n + 3n − 1) : = n(n + 1)(2n + 30 = x nX +1 (4) (2) = (1) x(x − 1)(2x − 1)(3x 30 2 − 3x − 1 n = +1 0 342 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ äÏ ÓÉÈ ÏÒ ÚÁÉÓØ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÁ, ÞÔÏ n > 0. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ××ÅÓÔÉ ÁÎÁÌÏÇ ÄÌÑ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÔÅÅÎÉ. äÌÑ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ Ó×ÑÚØ xn x n− = : (ä.25) x−n+1 ó ÏÍÏÝØÀ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ x n ÄÌÑ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÔÅÅÎÉ. ðÏÌÁÇÁÑ n = 1, ÏÌÕÞÁÅÍ xn ( æÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ. ) ( ( ) 1) ( ) = x −x1 + 1 = 1; (1) x (0) Á ÏÌÁÇÁÑ n = 0, ÉÍÅÅÍ = x −x0 + 1 = x +1 1 : éÓÏÌØÚÕÑ ÍÅÔÏÄ ÉÎÄÕË ÉÉ É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (ä.25) ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ 1 x −m = (m + x) m ; ÄÌÑ ×ÓÅÈ m > 1, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÎÅ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ. ðÒÉ m = 1 ÏÌÕÞÁÅÍ 1 = 1 : x− = (1 + x) (1 + x) x− ( (0) 1) ( ) ( ( ) 1) (1) ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ x −k = ( x −k − ( k x)(k) ; 1 ( + ÔÏÇÄÁ −k = x +x k + 1 = (x +1k) k · x + 1k + 1 = = (x + k)(x + k 1− 1) · · · (x + 1) · x + 1k + 1 = = (x + k + 1)(x + k)(x1 + k − 1) · · · (x + 1) = (x + k 1+ 1) m : ( 1) ) ) ( ) ( ) éÓÏÌØÚÕÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ×ÙÞÉÓÌÉÍ (x −n ), ÏÌÕÞÁÅÍ 1 1 −n (x ) = (x + n + 1) n − (x + n) n = 1 1 = (x + n + 1) · (x + n) · · · (x + 2) − (x + n) · (x + n − 1) · · · (x + 1) = 1 1 1 = (x + n) · (x + n − 1) · · · (x + 2) (x + n + 1) − (x + 1) = ( ( ) ) ( ) ( ) = (x + n + 1) · (−x n+ n) · · · (x + 1) = (x + n −+n1) n = −nx −n− : óÒÁ×ÎÉÔÅ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÎÁ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x−n , ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ: D(x−n) = −nx−n− . ( ( 1) +1) 1 343 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ÏÔ ÆÕÎË ÉÉ x −n ÒÁ×ÎÁ ( X x −n (−n + 1) : x −n Æx = ( ) ( ) +1) ÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÍ ËÕÒÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÁÎÁÌÉÚÁ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÓÕÍÍÉÒÕÀÝÅÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ | ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÊ f É g ÒÁÎÅÅ ÂÙÌÁ ÏÌÕÞÅÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ (fg) = f · (g) + E (g) · (f ); ÏÜÔÏÍÕ X X X (fg)Æx = f · (g)Æx + E (g) · (f )Æx; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÆÏÒÍÕÌÕ X X f · (g)Æx = (fg) − E (g) · (f )Æx; ËÏÔÏÒÁÑ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ. æÏÒÍÕÌÁ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ É ÅÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.26. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ S (n) = kPn k2k . òÅÛÅÎÉÅ. =0 ÎÏ ÔÁË ËÁË 2 P x Æx kX =n k=0 = 2x ; x (1) nX +1 k2 = k nX +1 x2x Æx; 0 = x; ÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÅÒÅÉÛÅÍ × ×ÉÄÅ x2x Æx = 0 nX +1 x (1) (2x)Æx; 0 É ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ, ÏÌÕÞÁÅÍ nX +1 x2x Æx = 0 ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ nX +1 x (1) (2x)Æx = (x (2x)) (1) 0 = (x2x) n+1 0 − = (n + 1) · 2n S (n) = nX +1 0 +1 n X k=0 n+1 0 (2x )Æx = (x2x) +1 2 − n+2 − nX +1 + 2; k2k = (n + 1) · 2n +1 2 (1) )Æx = 0 n+1 0 E (2x )(x − − n+2 (2x ) +1 + 2: n+1 0 = 344 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÉÍÅÒ ä.5.27. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ S (n) = kPn k 3k . òÅÛÅÎÉÅ. P x óÄÅÌÁÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ. 2 =0 1) 3 Æx = x . 2) x = x(x − 1) + x = x + x . 3) E (3x) = 3x = 3 · 3x. ó ÕÞÅÔÏÍ ÜÔÉÈ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ, ÉÍÅÅÍ n nX nX 1 X k 3k = x 3x Æx = x +x (3x)Æx = 2 k n nX 1 1 x = x + x 2 (3 ) − E (3x) x + x Æx = 2 nX n = 12 x 3x − 32 2x + 1 3xÆx = nX 3x n 1 3 x =2 x3 − 2x + 1 2 Æx = 2 nX n n = 12 x 3x − 34 3x(2x + 1) + 43 E (3x) 2x + 1 Æx = nX n n = 12 x 3x − 34 3x(2x + 1) + 29 3xÆx = n n n + 29 · 12 (3x) = = 12 x 3x − 34 3x(2x + 1) = 12 (n + 1) · 3n − 34 (2n + 3) · 3n + 34 + 94 · 3n − 94 = n = 3 2 (n − n + 1) − 32 : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ n X 3n (n − n + 1) − 3 : S (n) = k 3k = 2 2 3 2 2 (2) (1) +1 +1 +1 2 =0 (2) 2 0 (1) 0 +1 (2) +1 (1) (2) 0 +1 +1 2 (1) 0 0 +1 +1 2 (1) 0 0 +1 2 0 +1 +1 (1) 0 0 +1 0 +1 (1) 0 2 (1) 0 +1 2 +1 +1 (1) 0 2 (1) 0 +1 0 +1 0 +1 +1 +1 2 +1 2 2 k=0 îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.3 ä.5.3.1. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ x · 5x. x ä.5.3.2. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ 2x3+ 1 . ä.5.3.3. îÁÊÔÉ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÎÏÓÔØ x + 7 x. 2 3 3 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 345 ä.5.3.4. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÆÕÎË ÉÀ f (x) = x : ä.5.3.5. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÆÕÎË ÉÀ 3 f (x) = 2x 4 ä.5.3.6. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ kPn k . ä.5.3.7. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ kPn k 2k . − 3x + 5x − 1: 2 2 =0 3 =0 ä.5.4. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÏÄÓÞÅÔÙ äÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÏÂßÅËÔÏÍ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ × ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·): íÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÄÁÌÅÅ Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÈ ÞÉÓÅÌ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÎÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÍ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÕÀ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ, ÓÞÉÔÁÑ ×ÓÅ ÅÅ ÞÌÅÎÙ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÏÍÅÒÁ, ÒÁ×ÎÙÍÉ ÎÕÌÀ. éÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÔÁ×ÉÔ Ó×ÏÅÊ ÅÌØÀ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÅ ËÁË ÎÁÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ, Á ËÁË ÅÄÉÎÏÇÏ ÅÌÏÇÏ. æÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÏÄÈÏÄ ÁÁÒÁÔÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ∞ X ak z k ; (ä.26) k ÇÄÅ z ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÁË ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ. óÕÍÍÁ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ (ÍÙ ÅÅ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ G(z)) É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z) ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·) ÒÁ×ÎÁ 0 1 2 =0 0 G(z ) = ∞ X k=0 1 2 ak z k : ïÄÎÏ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Ï ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÕÖÅ ×ÉÄÎÏ. ÷ÍÅÓÔÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ ÄÅÌÏ Ó ÏÄÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ. ëÏÎÅÞÎÏ, ÜÔÏ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁËÏ×ÙÍ, ÅÓÌÉ ÓÁÍÁ ÆÕÎË ÉÑ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÙÊ ×ÉÄ. îÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÅÚÏÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ | ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÎÁÑ ÆÕÎË ÉÀ G(z), ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·), | ÂÅÚ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÁ ÎÅÇÏ ×ÓÅ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÔÅÒÑÀÔ ×ÓÑËÉÊ ÓÍÙÓÌ. íÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ×ÄÁ×ÁÔØÓÑ × ÔÏÎËÏÓÔÉ ÔÅÏÒÉÉ ÆÕÎË ÉÉ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ. ðÒÉ ÎÅ ÓÌÉÛËÏÍ ÂÏÌØÛÉÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÒÑÄ (ä.26) ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÉÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ËÒÕÇÅ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = 0, Á ÆÕÎË ÉÑ G(z) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÜÔÏÍ ËÒÕÇÅ. ÏÇÄÁ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÒÑÄÁ ÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ 0 0 1 2 1 2 346 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ × ÔÏÞËÅ z = 0. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÑÄÁ ÅÊÌÏÒÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ 1 an = Dn (G(z )) ; (ä.27) n! z =0 ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ Dn (G(z)) z ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÒÑÄËÁ n ÆÕÎË ÉÉ G(z) × ÔÏÞËÅ z = 0. óÅÊÞÁÓ ÍÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÍ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÍÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.28. ïÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÅÊ G(z) = (az + b)n. òÅÛÅÎÉÅ. íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÏÍÎÉÔ ÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÒÁ×ÉÌÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ: D((az + b)n ) = n(az + b)n− a; D ((az + b)n ) = n(n − 1)(az + b)n− a ; Dk ((az + b)n ) = n(n − 1) · · · (n − k + 1)(az + b)n−k ak ; ÒÉ k 6 n; Dk ((az + b)n ) = 0; ÒÉ k > n: ÁË ËÁË ÄÌÑ ÞÌÅÎÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (ä.27), ÔÏ ÉÍÅÅÍ  1  a = bn; a = nabn− ; a = n(n − 1)a bn− ;    1 n(n − 1) · · · (n − k + 1)a2!k bn−k ; k 6 n; a = k  k!    ak = 0; k > n: úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ n(n − 1) · · · 2 · 1 1 n(n − 1) · · · (n − k + 1) = 1 · = n! = Cnk ; k! k! (n − k)(n − k − 1) · · · 2 · 1 k!(n − k)! ÇÄÅ Cnk | ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÉÓÌÏ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÉÚ n Ï k. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÁÎÎÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·), ÇÄÅ ak = Cnk ak bn−k ; k 6 n; (ä.28) ak = 0; k > n: =0 1 2 2 0 1 1 0 1 2 2 2 2 2 òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ. ðÕÓÔØ G(z) = (z − b)n, ÔÏÇÄÁ ak = Cnk (−1)n−k bn−k ; k 6 n; ak = 0; k > n: é ÅÝÅ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÙÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ G(z) = (1 + z)n, Ï (ä.28) ÉÍÅÅÍ ak = Cnk ; k 6 n; ak = 0; k > n; ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 347 Ô. Å. ÆÕÎË ÉÑ G(z) = (1 + z)n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÉÚ n Ï k. ÅÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ 1 ; m > 0; G(z ) = (az + b)m 1 (m + 1)(m + 2) · · · (m + k) ak ; k k D (g(z )) = D = ( −1)k m (az + b) (az + b)m k ÔÏÇÄÁ 1 (m + 1)(m + 2) · · · (m + k) ak = (−1)k ak · 1 · 1 · 2 · · · (m + k) ; ak = (−1)k k! bm k bm k k! 1 · 2···m ÉÌÉ × ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÍ ×ÉÄÅ +1 +1 +1+ +1+ +1+ ak ak = (−1)k m k · Cmm k : b (ä.29) + +1+ òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÕÓÔØ 1 G(z ) = (z − b)m ; ÔÏÇÄÁ 1 ak = (−1)m m k · Cmm k : b ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ 1 k m G(z ) = (1 + z)m ⇒ ak = (−1) · Cm Á, ÅÓÌÉ 1 m G(z ) = (1 − z)m ⇒ ak = Cm k : +1 (ä.30) +1 +1+ + k; + +1 + ïÔÄÅÌØÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ m = 0 | × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ 1 G(z ) = (1 + z) ; ÔÏÇÄÁ ak = (−1)k , Ô. Å. ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ó ÞÅÒÅÄÕÀÝÉÍÉÓÑ ÚÎÁËÁÍÉ, É, ÎÁËÏÎÅ , ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ 1 G(z ) = (1 − z) ÉÍÅÅÍ ak = 1, Ô. Å. ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÄÁÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÙ ÅÄÉÎÉ Å. îÁÊÄÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ 1 − zn : G(z ) = (1 − z) +1 348 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ Ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ÅÝÅ ÎÅ ÚÁÂÙÌ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, É ÏÎ ×ÓÏÍÎÉÔ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÓÕÍÍÁ 1 − zn = 1 + z + z + · · · + zn: G(z ) = (1 − z) ðÏÜÔÏÍÕ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÄÁÎÎÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎËÉÉ, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ: ak = 1 ÒÉ k 6 n; ak = 0 ÒÉ k > n. üÔÏÔ ×Ù×ÏÄ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÄÒÕÇÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ, ÅÓÌÉ ÏÂÒÁÔÉÔØ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÏÄÎÏ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. ðÕÓÔØ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G(z) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an ; · · · ). ÏÇÄÁ ÆÕÎË ÉÉ G (z ) = z n · G(z ), n > 0 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bn; · · ·) É ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ Ó×ÑÚØ: bk = 0 ÒÉ k < n; bk = ak−n ÒÉ k > n. Ï ÅÓÔØ ÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ zn ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÄ×ÉÇÁÅÔÓÑ ÎÁ n ÛÁÇÏ× ×ÒÁ×Ï. ó ÕÞÅÔÏÍ ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ 1 − zn G(z ) = (1 − z) ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ. ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ ÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍ. ìÉÎÅÊÎÏÓÔØ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÓÅËÔÅ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÀÔÓÑ Ä×Å ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a ; a ; a ; : : : ; an ; · · · ) É (b ; b ; b ; : : : ; bn ; · · ·), ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ G (z) É G (z), ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ( · a + d · b ; · a + d · b ; : : : ; · an + d · bn; : : :) ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z) ÒÁ×ÎÁ G(z ) = · G (z ) + d · G (z ): +1 2 2 0 1 0 1 1 0 1 2 +1 2 0 1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÅÔÏÄÙ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ, ÎÏ × ÎÁÞÁÌÅ ÎÁÏÍÎÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÁËÔÙ, ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× × ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. íÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ n (ÅÇÏ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ Pn(z)) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ Pn (z ) = an z n + an− z n− + · · · + a z + a z + a ; ÇÄÅ a ; a ; a ; : : : ; an × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, an 6= 0. ëÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ Pn ( ) = 0. åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, ÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ Pn(z) = = (z − )Pn− (z), ÇÄÅ Pn− (z) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÓÔÅÅÎÉ. þÉÓÌÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ r, ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ Pn (z) = (z − )r Pn−r (z), ÇÄÅ Pn−r ( ) 6= 0. íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n ÉÍÅÅÔ íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÄÒÏÂÉ. 1 0 1 2 1 1 1 2 2 1 0 349 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÏ×ÎÏ n ËÏÒÎÅÊ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÉÈ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÆÁËÔ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pn (z ) = an z n + an− z n− + · · · + a z + a z + a ÉÍÅÅÔ k ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ; ; :::; k ËÒÁÔÎÏÓÔÉ r ; r ; :::; rk ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, Ô. Å. (r + r + · · · + rk = n), ÔÏ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ Pn (z ) = an (z − )r (z − )r · · · (z − k )rk : 1 1 1 1 2 2 2 1 1 0 2 2 1 1 2 2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ R(z) = PPmn zz ; ÇÄÅ Pn (z ) É Pm (z ) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÓÔÅÅÎÅÊ. òÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ, ÅÓÌÉ ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ ÓÔÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ ÓÔÅÅÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÒÏÂØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ. åÓÌÉ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ R(z) = PPmn zz Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ, ÔÏ ÏÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ R(z ) = Pn−m (z ) + R (z ); ÇÄÅ Pn−m(z) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n − m, R (z) | ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ (ÉÌÉ ÒÏÓÔÅÊÛÅÊ) ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ A R(z ) = (z − a)m : òÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ R(z ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ìÀÂÁÑ ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÁ × ÓÕÍÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÈÅÍÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ. îÁ ÅÒ×ÏÍ ÜÔÁÅ ÄÌÑ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ÅÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ É ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂÉ. ðÒÏÂÌÅÍÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏ. ðÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÓÕÍÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ. óÏÓÏÂ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ÍÙ ÉÚÌÏÖÉÌÉ ÒÁÎÅÅ. óÈÅÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÄÒÏÂÉ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ ×ÉÄÁ P (z ) R(z ) = n ; m > n; Pm (z ) ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ Pm (z) = bmzm + bm− zm− + · · · + b z + b z + b ÉÍÅÅÔ k ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ; ; :::; k ËÒÁÔÎÏÓÔÉ r ; r ; :::; rk ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ É, ÚÎÁÞÉÔ, ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ Pm (z ) = bm (z − )r (z − )r · · · (z − k )rk ; òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ. 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 0 350 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÔÏÇÄÁ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ R(z) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ P (z ) Pn (z ) R(z ) = n = = P (z ) b (z − )r (z − )r · · · (z − )rk m m A ;r1 1 1 A ;r1 − 2 k 2 + · · · + (zA−; ) + + · · · + (zA−; ) + · · · + · · · + (zA−k; ) : k = (z − )r + (z − )r − + (z A− ;r )r + (z A− ;r )−r − Ak;rk Ak;rk − + ···+ r k (z − k ) (z − k )rk − óÏÓÏÂ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÍÙ ÏËÁÖÅÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÁÈ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.29. îÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÁ×ÎÁ 4z − z − 9 : G(z ) = (z + 2)(z + 1)(z − 1) 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 1 2 2 òÅÛÅÎÉÅ. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÄÒÏÂØÀ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÄÒÏÂÉ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÄÒÏÂÅÊ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ 4z − z − 9 A B C (z + 2)(z + 1)(z − 1) = (z + 2) + (z + 1) + (z − 1) : ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÏËÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ A; B; C . ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁ×ÅÎ (z +2)(z +1)(z − 1), Ô. Å. Ë ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, É ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÞÉÓÌÉÔÅÌÉ × ÒÁ×ÏÊ É ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÑÈ, ÏÌÕÞÁÅÍ 4z − z − 9 = A(z + 1)(z − 1) + B(z + 2)(z − 1) + C (z + 2)(z + 1): (ä.31) ÷ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÉ (ä.31) ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ z É ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ A, B , C .   A + B + C = 4; B + 3C = −1;  −A − 2B + 2C = −9: òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÅÛÁÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÏÓËÏÌØËÕ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÍ ÕÔÅÍ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ä.31) ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ËÁË ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ×ÅÒÎÏÅ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ z. ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÌÅ×ÕÀ É ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á z = −2, ÏÌÕÞÉÍ 9 = 3A, É A = 3, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ z = −1, ÉÍÅÅÍ −4 = −2B, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ B = 2. ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ z = 1 ÄÁÅÔ −6 = 6C , ÏÔËÕÄÁ C = −1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, 4z − z − 9 3 2 1 (z + 2)(z + 1)(z − 1) = (z + 2) + (z + 1) − (z − 1) : 2 2 2 351 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z , ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.29) nÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bn; · · ·) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = −n , ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ bn = (−1)n, ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.29) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = (−1). îÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÂÅÚ ÏÓÏÂÙÈ ÕÓÉÌÉÊ ÄÏ×ÅÄÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÄÏ ËÏÎ Á. ðÒÉÍÅÒ ä.5.30. îÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎËÉÑ ÒÁ×ÎÁ 4z − 8 G(z ) = (z − 3)(z − 1) : òÅÛÅÎÉÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÒÏÂØ ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ, ÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÅ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÒÏÂÅÊ ×ÉÄÁ A B C 4z − 8 (z − 3)(z − 1) = (z − 3) + (z − 1) + (z − 1) : ðÒÉ×ÏÄÑ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ É ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÞÉÓÌÉÔÅÌÉ × ÌÅ×ÏÊ É ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÑÈ, ÏÌÕÞÁÅÍ 4z − 8 = A(z − 1) + B(z − 3) + C (z − 3)(z − 1): (ä.32) ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ z, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ A, B, C .   A + C = 0; −2A + B − 4C = 4;  A − 3B + 3C = −8: òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. ðÏÓÔÕÁÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÉÍÅÒÕ 1.29, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ä.32) ËÁË ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ×ÅÒÎÏÅ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ z. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÌÅ×ÕÀ É ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á z = 3, ÏÌÕÞÉÍ 4 = 4A, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ A = 1, ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ × (ä.32) z = 1 ÄÁÅÔ −4 = −2B , É B = 2. éÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ C = −1, ÔÏÇÄÁ 4z − 8 = 1 + 2 − 1 : (z − 3)(z − 1) (z − 3) (z − 1) (z − 1) äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.29) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = − n , Á ÄÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bn; · · ·) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = C n = (n + 1). äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÊÄÅÎÁ ÒÁÎÅÅ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.31. îÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÒÁ×ÎÁ G(z) = z − z : òÅÛÅÎÉÅ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ G(z) × ×ÉÄÅ 4 G(z ) = (z − (1 + i))(z − (1 − i)) : 1 +2 1) 2 +1 ( 0 1 1 2 1 +1 1 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 3 +1 0 1 1 ( 1 1+ 2 1 0 2 4 2 +2 1 2 1)2 352 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ 4 A B (z − (1 + i))(z − (1 − i)) = (z − (1 + i)) + (z − (1 − i)) : áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÒÅÄÅÌÑÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ A = −2i, B = 2i, ÔÏÇÄÁ −2i 4 2i (z − (1 + i))(z − (1 − i)) = (z − (1 + i)) + (z − (1 − i)) : äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ z− i , ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.29), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bn = − i n ; Á ÄÌÑ ÄÒÏÂÉ z− −i ; ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( ; ; ; : : : ; n; · · ·) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ 1 n=− (1 − i)n : ÏÇÄÁ 1 1 i n n an = −2ibn + 2i n = 2i − = n n (1 + i) (1 − i) 2n ((1 − i) − (1 + i) ): úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ √ √ 1 + i = 2( os 4 + i sin 4 ); 1 − i = 2 os − 4 + i sin − 4 ; ÔÏÇÄÁ (1 + i)n = 2 n os(n + 1) 4 + i sin(n + 1) 4 ; (1 − i)n = 2 n os(n + 1) − 4 + i sin(n + 1) − 4 : óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n i n an = n 2 = 2 sin( n + 1) −2i sin(n + 1) 2 4 4 : 1 ( (1+ )) 1 (1+ ) +1 0 1 1 ( (1 )) 2 +1 +1 +1 +1 +1 2 +1 +1 2 +1 +1 +1 2 3− 2 äÏ ÜÔÏÇÏ ÍÏÍÅÎÔÁ ÍÙ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ÁÁÒÁÔ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÒÕÇÉÈ ÚÁÄÁÞ. ðÏËÁÖÅÍ ÎÁ ÒÉÍÅÒÁÈ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÜÔÏÔ ÁÁÒÁÔ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.32. îÁÊÔÉ an ÄÌÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ a = 0; an = an− + n ; n > 1: ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ É ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. 0 1 1 2 1 2 òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ G(z) = nP anzn: ïÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÅËÕÒ∞ ÒÅÎÔÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ =0 1 2 an = an− 1 + 21n ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 353 ÕÍÎÏÖÉÍ ÎÁ zn É ÒÏÓÕÍÍÉÒÕÅÍ Ï n ÏÔ 1 ÄÏ ∞, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÁÅÍ ∞ ∞ ∞ X X 1X 1 z n; an z n = an− z n + n 2 2 n n n ÏÓËÏÌØËÕ a = 0, ÔÏ ∞ ∞ X X an z n = an z n = G(z ): 1 =1 =1 =1 0 n=1 n=0 ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÓÕÍÍÙ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÉÍÅÅÍ ∞ X n=1 ∞ X ∞ X an− z n = an z n 1 =z +1 n=0 ∞ n X z ∞ X n=0 an z n = zG(z ); 1 zn = = z2 · 1 −1 z = − z −z 2 ; n 2 2 n n ËÁË ÓÕÍÍÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. ÏÇÄÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ G(z) z 1 G(z ) = zG(z ) − ; 2 z−2 ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 2z : G(z ) = (z − 2) =1 2 =1 2 äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÄÒÏÂÉ ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ , ÓÏÇÌÁÓÎÏ (ä.30), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ1 n+1 bn = n · Cn = n : 2 2 ðÏÓËÏÌØËÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ z ÓÄ×ÉÇÁÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ×ÒÁ×Ï, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÉ n > 1 n an = 2bn− = n : 2 ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ a = 0, ÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÅÒÎÁ É ÒÉ n = 0. 1 z−2)2 ( 1 +1 +2 +2 1 0 ðÒÉÍÅÒ ä.5.33. òÅÛÉÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ    a = 0; a = 1; an = an− 0 1 3 4 1 − 1 8 an− 2 + 9 32 n + ; n > 2: 3 8 òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ G(z) = nP anzn: ïÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÅËÕÒ∞ ÒÅÎÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÕÍÎÏÖÉÍ ÎÁ zn É ÒÏÓÕÍÍÉÒÕÅÍ Ï n × ÒÅÄÅÌÁÈ 2 6 n < ∞. ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ X 1X 3X 9X 3X an z n = an− z n − an− z n + nz n + z n: 4 8 32 8 n n n n n =0 1 =2 =2 2 =2 =2 =2 354 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ∞ ∞ X X n an z = an z n − a n=2 ∞ X n=2 ∞ X n=2 ∞ X n=2 ∞ X n=0 ∞ X an− z n = 1 an− z n = 2 nz n =z z zn = n=1 ∞ X n=0 ∞ X n=2 0 an z n +1 an z n +2 nz n−1 = G(z) − z; − a1 z ∞ X = n=0 an z n +1 = zG(z); = z G(z); 2 ∞ X = z dzd zn n =2 2 − a0 z ! = z dzd z 2 1−z = −(1z −+z2)z ; 3 2 2 1− z: ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ G(z) ÉÍÅÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ 3 1 9(z − 2z ) + 3z ; G(z ) − z = zG(z ) − z G(z ) − 4 8 32(1 − z) 8(1 − z) ÔÏÇÄÁ 11z − 34z + 32z 11z − 34z + 32z G(z ) = 4(z − 1) (z − 6z + 8) = 4(z − 1) (z − 2)(z − 4) : òÁÚÌÏÖÉÍ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ 11z − 34z + 32z = A + B + C + D : (z − 1) (z − 2)(z − 4) (z − 1) (z − 1) z − 2 z − 4 ïÒÅÄÅÌÑÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ 11z − 34z + 32z = A(z − 2)(z − 4) + B(z − 1)(z − 2)(z − 4)+ + C (z − 1) (z − 4) + D(z − 1) (z − 2): ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ z, ÏÌÕÞÁÅÍ B + C + D = 11;    A − 7B − 6C − 4D = −34; −6A + 15B + 9C + 5D = 32;    8A − 12B − 4C − 2D = 0: þÁÓÔØ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍ ÕÔÅÍ. ðÏÌÁÇÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ z = 1, z = 2 É z = 4 ÏÌÕÞÁÅÍ 3A = 9, A = 3; −2C = 16, C = −8; 18D = 288, D = 16. ÏÇÄÁ B = 3. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 3 3 2 4 G(z ) = 4(z − 1) + 4(z − 1) − z − 2 + z − 4 ; ÉÓÏÌØÚÕÑ (ä.30), ÏÌÕÞÁÅÍ n n 3 3 1 1 3 1 1 an = (n + 1) − + 4 4 2 − 4 = 4 n + 2n − 4n : n=2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 355 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ðÒÉÍÅÒ ä.5.34. éÓÏÌØÚÕÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ Ï- ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÞÉÓÅÌ æÉÂÏÎÁÞÞÉ. þÉÓÌÁ æÉÂÏÎÁÞÞÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÙ ËÁË ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ   a = 0; a = 1;  an = an− + an− ; n > 2: 0 1 1 2 òÅÛÅÎÉÅ. ÷×ÅÄÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ G(z) = nP anzn, ÕÍÎÏÖÉÍ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ∞ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁ zn É ÒÏÓÕÍÍÉÒÕÅÍ Ï n × ÒÅÄÅÌÁÈ 2 6 n < ∞, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ ∞ ∞ ∞ X X X an z n = an− z n + an− z n: =0 n=2 1 n=2 2 n=2 òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÓÕÍÍÙ × ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ, ÉÍÅÅÍ: ∞ ∞ X X an z n = an z n − a − a z = G(z ) − z; n=2 ∞ X n=2 ∞ X n=2 n=0 ∞ X an− z n = 1 an− z n = 2 n=1 ∞ X n=0 0 an z n +1 an z n +2 1 = ∞ X n=0 an z n +1 − a0 z =z = z G(z): ∞ X n=0 an z n = zG(z ); 2 îÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G(z ) − z = zG(z ) + z G(z ); −z G(z ) = = − √ −z − −√ = z +z−1 2 z− 2 = √15 · ÔÏÇÄÁ 1 an = √ 5 − √ −1+ 5 2 z− − √ 1+ 2 5 1+ z− 5 2 + −1− 5 1− √ 5 2 2n√ − 2n√ = √1 1 + √5 n n 5 2 −1 + 5 −1 − 5 ! 5 2 √ 2 z−− 1 ! !n ; 1 1 − √5 −√ 5 2 !n : ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÅÝÅ ÏÄÎÉÍ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ðÕÓÔØ ÄÁÎÙ Ä×Å ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A = (a ; a ; a ; : : : ; an ; · · · ) É B = (b ; b ; b ; : : : ; bn ; · · ·), ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÙ G (z ) É G (z ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ Ó×ÅÒÔËÏÊ C = A ∗ B ÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ C = ( ; ; ; : : : ; n; · · ·), ÔÁËÁÑ ÞÔÏ ó×ÅÒÔËÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. 0 0 1 1 2 2 n = n X k=0 0 ak bn−k : 1 2 1 2 356 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z) ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ C ÒÁ×ÎÁ G(z ) = G (z ) · G (z ): ïÔÍÅÔÉÍ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ÆÁËÔ. åÓÌÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ B = (b ; b ; b ; : : : ; bn; · · ·) ÔÁËÏ×Á, ÞÔÏ bn = 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n, ÔÏ Ó×ÅÒÔËÁ C = A ∗ B ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A = (a ; a ; a ; : : : ; an; · · ·), Ô. Å. n X ak : n= 1 2 0 0 1 1 2 2 k=0 ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ B, ÓÏÓÔÏÑÝÅÊ ÉÚ ÅÄÉÎÉ , ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G (z) ÒÁ×ÎÁ G (z) = −z , ÔÏ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z ), ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ C | ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÓÕÍÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A, ÒÁ×ÎÁ 1 G(z ) = 1 − z · G (z): éÓÏÌØÚÕÅÍ ÜÔÏÔ ÆÁËÔ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ A: (an = n ). îÁÛÁ ÅÌØ | ÎÁÊÔÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ G (z) ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ A, ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ ∞ X G (z ) = n zn: n éÍÅÅÍ ! ! ∞ ∞ ∞ ∞ X X X d X d − − n n n n G (z ) = z nz = n z =z n z =z nz = z dz dz 2 1 2 1 1 2 1 2 1 =0 1 2 2 n=0 n=1 !! ∞ X n z = z dzd z dzd n z+z = (1 − z) : =1 2 1 1 n=1 = z dzd z dzd z 1−z = z dzd n=1 z (1 − z) = 2 3 ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ C = A ∗ B, B = (1; 1; : : : ; 1) ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 z+z G(z ) = 1 − z · G (z) = (1 − z) : òÁÚÌÏÖÉÍ ÜÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÒÏÂÉ z+z A B C D G(z ) = = + + + (z − 1) (z − 1) (z − 1) (z − 1) (z − 1) ; É ÏÓÌÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÏÌÕÞÁÅÍ z + z = A + B (z − 1) + C (z − 1) + D(z − 1) ; ÔÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÄÌÑÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ D = 0;    C − 3D = 1; B − 2C + 3D = 1;    A − B + C − D = 0: 2 1 4 2 4 2 4 3 2 2 3 ä.5. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÌÁ×Ù ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ 357 òÅÛÁÑ ÜÔÕ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÌÕÞÁÅÍ: D = 0, C = 1, B = 3, A = 2, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ 2 + 3 + 1 : G(z ) = (z − 1) (z − 1) (z − 1) éÓÏÌØÚÕÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (ä.29), ÏÌÕÞÁÅÍ n X n(n + 1)(2n + 1) sn = k = 2 · Cn − 3 · Cn + Cn = : 6 k 4 2 3 3 2 +3 2 1 +2 +1 =0 ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÉÍÅÒÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÁÁÒÁÔÁ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅËÏÔÏÒÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× É ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÉ. ÷ ÎÁÞÁÌÅ ÕÔÏÞÎÉÍ ÎÁÛÅ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× Cnk | ÞÉÓÌÁ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÉÚ n Ï k. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ n > 0, ÔÏÇÄÁ   Cnk = 0; k < 0; k > n; n! ; 0 6 k 6 n:  Cnk = k!(n − k)! òÁÎÅÅ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ (1+ z)n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a ; a ; a ; : : : ; an; : : :), ÇÄÅ ak = Cnk . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ k > n ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÌÁ m É r, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ m + r = n. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G (z) = (1 + z)m ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bk ; : : :), ÇÄÅ bk = Cmk , Á ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G (z) = (1 + z)r ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( ; ; ; : : : ; k ; : : :), ÇÄÅ k = Crk . ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÜÔÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÆÕÎË ÉÑ G(z ) = G (z ) · G (z ) = (1 + z )m (1 + z )r = (1 + z )m r = (1 + z )n : üÔÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ak = Cnk . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; ak ; : : :) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÅÒÔËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ (b ; b ; b ; : : : ; bk ; : : :) É ( ; ; ; : : : ; k ; : : :), ÓÌÅÄÏk ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k ÉÍÅÅÍ ak = P bl k−l : ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ëÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÏÄÓÞÅÔÙ É ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ. 0 1 2 1 0 1 2 2 0 1 1 2 + 2 0 0 Cnk = 1 2 l=0 k X l=0 1 0 2 1 2 l · ó k −l ; óm r ÔÁË ËÁË n = r + m, ÔÏ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ Crk m = + k X l=0 l · ó k −l ; óm r ÜÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌÏÍ Ó×ÅÒÔËÉ ÷ÁÎÄÅÒÍÏÎÄÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÒÉÍÅÒ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ G (z) = (1+ z)n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bn; : : :), ÇÄÅ bk = Cnk . ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ n ÆÕÎË ÉÉ G (z) = (1−z) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( ; ; ; : : : ; k ; : : :), ÇÄÅ k = (−1)k Cnk . 1 0 2 1 2 0 1 2 358 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÜÔÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÆÕÎË ÉÑ G(z ) = G (z )G (z ) = (1 + z )n (1 − z )n = (1 − z )n : üÔÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a ; a ; a ; : : : ; ak ; : : :), ÇÄÅ a m = (−1)m Cnm ; a m = 0: ðÏÓËÏÌØËÕ k X ak = bl k − l ; 1 2 2 0 2 2 1 2 +1 l=0 ÔÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÄÌÑ a m 2 am= 2 m X 2 l=0 bl · m−l = 2 m X 2 l=0 ónl · (−1) m−l · Cnm−l ; 2 2 É ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× m X (−1)m · Cnm = (−1)l · ónl · Cnm−l : 2 2 l=0 ÅÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒÙ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ðÒÉÍÅÒ ä.5.35. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÄÁÔØ ÓÕÍÍÕ × 12 ËÏÅÅË, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÍÏÎÅÔÙ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ ÔÏÌØËÏ × 1 É 5 ËÏÅÅË. òÅÛÅÎÉÅ. þÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÄÁÔØ ÓÕÍÍÕ × k ËÏÅÅË ÏÄÎÏËÏÅÅÞÎÙÍÉ ÍÏÎÅÔÁÍÉ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (b ; b ; b ; : : : ; bk ; : : :), ÇÄÅ bk = 1. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ G (z) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 G (z ) = 1 + z + z + · · · + z k + · · · = 1− z: äÌÑ ÍÏÎÅÔ ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×ÏÍ × 5 ËÏÅÅË ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ( ; ; ; : : : ; k ; : : :), ÇÄÅ k = 1, ÅÓÌÉ k ËÒÁÔÎÏ 5 É k = 0 × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÜÔÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ G (z) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 G (z ) = 1 + z + z + · · · + z k + · · · = 1−z : ÏÇÄÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ ÓÏÓÏÂÏ× ÄÌÑ ÓÕÍÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÁÔØ ÏÄÎÏËÏÅÅÞÎÙÍÉ É ÑÔÉËÏÅÅÞÎÙÍÉ ÍÏÎÅÔÁÍÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÅÒÔËÏÊ ÄÁÎÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ É, ÚÎÁÞÉÔ, ÅÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ G(z) ÒÁ×ÎÁ 1 · 1 : G(z ) = G (z ) · G (z ) = 1−z 1−z ÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ×, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÁÔØ ÓÕÍÍÕ × n ËÏÅÅË ÒÁ×ÎÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÕ ÒÉ zn. îÁÊÄÅÍ ÜÔÏÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÄÌÑ n = 12. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ 0 1 2 1 2 1 0 2 2 2 5 10 5 5 1 2 5 1 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 359 ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÆÕÎË ÉÊ × ×ÉÄÅ ÒÑÄÁ. îÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ z ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÔÒÅÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ: z = z · 1; z = z · z ; z = z · z ; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÒÉ ÓÏÓÏÂÁ. 12 12 12 12 7 5 12 2 10 îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.5.4 ä.5.4.1. îÁÊÔÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÏ- ÉÚ×ÏÄÑÝÉÍ ÆÕÎË ÉÑÍ G(z): (Á) G(z) = 4 −1 z ; (×) G(z) = z − 6zz + 8 ; (Â) G(z) = 9 +1 z ; (Ç) G(z) = (z − 1) 1(2z + 1) . ä.5.4.2. ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÒÅÛÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ: (Á) aan == 2;3an− − 2n + 3; n > 0:   a = 2; (Â)  a = 6; an = 6an− − 8an− + 3n − 23n + 36; n > 1: ä.5.4.3. éÍÅÀÔÓÑ ÞÉÓÌÁ 1, 2, 3, 4, 5. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ÓÕÍÍÉÒÕÑ ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ, ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ 6, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ. ðÏÒÑÄÏË ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÉÇÒÁÅÔ ÒÏÌÉ. 2 2 2 2 0 1 0 1 1 2 2 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÏÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÷×ÅÄÅÎÉÅ ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ Õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ ÍÏÎÅÔÙ ÎÏÍÉÎÁÌÏÍ 2, 3, 5, 6 É 7 ÆÌÏÒÉÎÏ×, Ï ÏÄÎÏÊ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÏÍÉÎÁÌÁ, É ÷Ù ÈÏÔÉÔÅ ÂÅÚ ÓÄÁÞÉ ÏÌÁÔÉÔØ ÏËÕËÕ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ 21 ÆÌÏÒÉÎ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÎÁÂÒÁÔØ ÉÚ ÄÁÎÎÙÈ ÍÏÎÅÔ ÓÕÍÍÕ ÒÁ×ÎÕÀ 21? á ÅÓÌÉ ÏÎÒÁ×É×ÛÉÊÓÑ ÷ÁÍ ÔÏ×ÁÒ ÓÔÏÉÔ 22 ÆÌÏÒÉÎÁ? íÙ ÓÔÁÌËÉ×ÁÅÍÓÑ Ó ÚÁÄÁÞÅÊ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÒÅÂÒÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ | × ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÷Ù ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÅ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÔÏ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÇÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÒÅÂÒÁÔØ ×ÏÏÂÝÅ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ. âÏÌÅÅ ÄÅÔÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÅÌÏÍÕ ÒÑÄÕ ×ÏÒÏÓÏ×: ÓËÏÌØËÏ ×ÏÏÂÝÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ËÁËÏÊ ËÏÍØÀÔÅÒ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍ ÎÁÍ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ 360 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÒÅÛÅÎÉÑ ÉÌÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÉÄÅÀ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ? üÔÏ ÒÏÓÔÏÊ ÒÉÍÅÒ ÏÞÅÎØ ÎÅ ÒÏÓÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÂÏÒÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ËÁË ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÕÍÍÅ | ÍÏÖÎÏ ÌÉ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ ÕÔÅÍ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ ÎÉÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÅ, ÚÁÒÁÎÅÅ ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ? äÁÄÉÍ ÂÏÌÅÅ ÓÔÒÏÇÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÕÍÍÅ. ëÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÉÓÁÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÅÓÔØ? ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÏÄÈÏÄ ÔÁËÏ×: ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÏÒÑÄÏË ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÒÉÓ×ÏÉ× ÉÍ ÎÏÍÅÒÁ | A = (a ; : : : ; an) É ××ÅÄÅÍ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï x = (x ; : : : xn ); xi ∈ { 0; 1 }. úÎÁÞÅÎÉÅ xi = 1 ÇÏ×ÏÒÉÔ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ai Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i ×ËÌÀÞÅÎÏ × ÓÕÍÍÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, x = (0; 1; 1; 1; 1) ÅÓÔØ ÏÉÓÁÎÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ × 21 ÆÌÏÒÉÎ. íÙ ÍÏÖÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á x ËÁË ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÉ × ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍ n- ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÉÌÉ ËÁË ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ × ÜÔÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÁÄÁÞÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÉÓËÕ ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÉ (×ÅËÔÏÒÁ) x Ó ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ (0; 1) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ × n- ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, × ËÏÔÏÒÏÊ ÅÌÅ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f (x) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ. ðÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÄÈÏÄÅ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÕÍÍÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÔÅÅÒØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÁÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A = (a ; : : : ; an ) É ÞÉÓÌÏ V . ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ x = (x ; : : : ; xn), ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X = x| xi ∈ {0; 1} , É ÅÌÅ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1 1 1 1 f (x) = n X i=1 xi · ai ; ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ ÏÄÎÕ ÉÌÉ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ x ∈ X ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ f (x) = V ÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÔ. úÁÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÔÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÔ×ÅÔÉÔØ É ÎÁ ×ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ÓËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. åÓÌÉ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ x ËÁË ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÂÉÔÏ× Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ÔÒÅÂÕÅÔ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ 2n ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÉÍÅÎÎÏ ÓÔÏÌØËÏn ÞÉÓÅÌ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁÉÓÁÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ n ÂÉÔÏ×, ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ | |X | = 2 . ÷ ÔÁËÏÍ ÏÂßÅÍÅ ÏÌÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÚÁ ÒÅÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÄÁÖÅ ÒÉ ÎÅÂÏÌØÛÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÊ ÒÁÓÞÅÔ. ðÕÓÔØ ÎÁ ÏÅÒÁ ÉÀ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ËÏÍØÀÔÅÒ ÚÁÔÒÁÞÉ×ÁÅÔ 10 ÔÁËÔÏ× (ÜÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ), É ÍÙ ÒÅÛÁÅÍ ÚÁÄÁÞÕ Ï ÓÕÍÍÅ ÉÚ 40 ÞÉÓÅÌ. äÌÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ 40 ÞÉÓÅÌ É ÒÏ×ÅÒËÉ ÂÕÄÅÔ ÚÁÔÒÁÞÅÎÏ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 400 ÔÁËÔÏ×, ÔÏÇÄÁ ÒÏ ÅÓÓÏÒ Ó ÞÁÓÔÏÔÏÊ 4çÇ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÅÒÅÂÒÁÔØ 10ÍÌÎ. ×ÁÒÉÁÎÔÏ× × ÓÅËÕÎÄÕ. þÉÓÌÏ 2 ≈ 10 , ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÖÉÄÁÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÏÒÑÄËÁ 100000ÓÅË., ÞÔÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÏËÏÌÏ 28 ÞÁÓÏ×, Ô. Å. ÂÏÌÅÅ ÓÕÔÏË. úÁÍÅÔØÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÕÍÍÅ ÉÚ 41 ÞÉÓÌÁ ×ÒÅÍÑ ÂÕÄÅÔ Õ×ÅÌÉÞÅÎÏ ×Ä×ÏÅ. ÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁÍÉ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÒÉ×ÅÌÏ × 1960-È ÇÏÄÁÈ Ë ×ÁÖÎÙÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÔÅÏÒÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× É ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÚÕÞÁÀÝÅÇÏ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÍÅÔÏÄÙ É ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ. ÷×ÅÄÅÎÉÀ × ÄÁÎÎÕÀ ÒÏÂÌÅÍÁÔÉËÕ É ÏÓ×ÑÝÅÎ ÄÁÎÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. 40 12 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ ä.6.1. ðÏÎÑÔÉÅ m -ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á 361 ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ðÒÉ ÉÚÌÏÖÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÕÄÏÂÎÏ, ËÁË ÜÔÏ ÍÙ ÕÖÅ ×ÉÄÅÌÉ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ, ÏÂÏÂÝÁÀÝÕÀ ÎÁÛÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÅÌÙÈ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÔÏ ÎÁÓ ÂÕÄÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ÷ÎÁÞÁÌÅ ÏÉÛÅÍ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ m-ÍÅÒÎÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï [18℄. âÕÄÅÍ ÎÁÚ×ÁÔØ m-ÍÅÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÅÊ (x ; x ; : : : ; xm), ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ mm ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ x ; x ; : : : ; xm , É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÉÍ×ÏÌÏÍ A . ëÁÖÄÕÀ ÔÁËÕÀ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÏÞËÏÊ m-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÏÂÏÚÎÁÞÁÑ ÅÅ ÞÅÒÅÚ x, Á ÞÉÓÌÁ x ; x ; : : : ; xm ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ÔÏÞËÉ x. åÓÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ m-ÍÅÒÎÏÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× x, ××ÅÓÔÉ ÏÎÑÔÉÅ ÓÕÍÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ× ËÁË ×ÅËÔÏÒ Ó ÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ É ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ËÁË ÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ m-ÍÅÒÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Am ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ m-ÍÅÒÎÙÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎ-m ÓÔ×ÏÍ, ÅÓÌÉ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÔÏÞËÁÍÉ x, y m-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÏÅ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ (x; y) É ×ÙÒÁÖÁÀÝÅÅÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ p (x; y) = (x − y ) + (x − y ) + · · · + (xn − yn ) : (ä.33) ïÂÝÅÕÏÔÒÅÂÉÔÅÌØÎÙÍ ÄÌÑ m-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ E m. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, × ËÏÔÏÒÏÍ ÕËÁÚÁÎÏ ÒÁ×ÉÌÏ, ÓÔÁ×ÑÝÅÅ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÌÀÂÙÍ Ä×ÕÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ x; y ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ | (x; y), ËÏÔÏÒÏÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÔÒÅÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ: 1) (x; y) = (y; x); 2) (x; y) 6 (x; z) + (z; y); 3) (x; y) > 0, (x; y) = 0 ⇔ x = y, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, ××ÅÄÅÎÎÏÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (ä.33) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÜÔÉÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï E m Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. ðÏÄÒÏÂÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÏÂÝÅÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ É ÁËÓÉÏÍÁÔÉËÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ, ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ É ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈmÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × [18℄ É [27℄. îÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï E ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÞËÉ, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. ÷ ÅÌÑÈ ÆÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÉ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á E m , ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÔÏÌØËÏ ÔÅ ÔÏÞËÉ ÉÚ E m, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÍÅÀÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÜÔÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï m-ÍÅÒÎÙÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÇÏ ÞÅÒÅÚ Ezm: Ezm = {x| x ∈ E m ; x = (x ; x ; : : : ; xm ); xi ∈ Z ∀i = 1; m}; ÇÄÅ Z | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 362 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ïÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ × ÚÁÄÁÞÁÈ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÎÅ ×Ó£ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ezm, Á ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÅÇÏ ÔÏÞÅË | × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ, ÉÍÅÀÝÉÍÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ. ÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÜÔÉÍ ××ÅÄÅÍ ÏÎÑÔÉÅ m-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ËÕÂÁ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË y ÉÚ Ezm, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (y ; y ; : : : ; ym) ËÏÔÏÒÙÈ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ y − x 6 k; y − x 6 k; : : : ; ym − xm 6 k; yi > xi ∀i = 1; m; (ä.34) ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ m-ÍÅÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ËÕÂÏÍ Ó ÒÅÂÒÏÍ k Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ x = (x ; x ; : : : ; xm ), x ∈ Ezm, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÇÏ ÞÅÒÅÚ Cubmz(x; k). ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÅÒÅÂÏÒÕ ÔÏÞÅË m-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ËÕÂÁ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ 0 = (0; : : : ; 0), m (0; k ), ÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÙÍ ××ÅÓÔÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÅ ÏÂÏÔ. Å. ËÕÂÁ Cub z ÚÎÁÞÅÎÉÅ: kzm = Cubmz(0; k). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, 1mz | ÜÔÏ m-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÎÕÌÅ, ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÍÅÀÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ | 0 ÉÌÉ 1. níÙ ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÙ Ó ÜÔÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÔÏÞÅË | × ÒÁÍËÁÈ ÅÒÅÂÏÒÁ ÔÏÞÅË ÉÚ 1z ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÕÍÍÅ n ÞÉÓÅÌ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË Y ÉÚ Ezm, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (y ; y ; : : : ; ym) ËÏÔÏÒÙÈ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ (x; y) = r, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ m-ÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ ÒÁÄÉÕÓÁ r Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x = (x ; x ; : : : ; xm ), x ∈ Ezm, É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÅ ÞÅÒÅÚ Szm (x; r). óËÏÌØËÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË ÓÏÄÅÒÖÉÔ m-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ? ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÁÖÎÙÍ, ÔÁË ËÁË ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÕËÁÚÁÔØ ×ÅÒÈÎÀÀ Ï ÅÎËÕ ÇÒÁÎÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÙÔÁÅÍÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÅÅ ÕÔÅÍ ÏÌÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ ÔÏÞÅË. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÓÉÌÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ (ä.34) ËÁÖÄÁÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ ÔÏÞËÉ ËÕÂÁ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ k +1 ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, É ÍÙ ÉÍÅÅÍ m ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÄÌÑ ÔÏÞËÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezm, ÔÏ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ×Ù×ÏÄÕ, ÞÔÏ |Cubmz(x; k)m| = (k + 1)m ×ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ËÕÂÁ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÁÖÅ ËÕÂ 1z ÓÏÄÅÒÖÉÔ 2m ÔÏÞÅË. üÔÏÔ ÎÅÕÔÅÛÉÔÅÌØÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ É ÚÁÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÓËÁÔØ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÏËÒÁÝÁÀÝÉÅ ÅÒÅÂÏÒ. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ä.6.2. ïÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÔÉÉÚÁ ÉÑ É ÒÉÍÅÒÙ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ÏÉÓÁÎÉÀ ÏÂÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, Á×ÔÏÒÙ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÈÏÔÅÌÉ ÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÅ ÔÏÌËÏ×ÁÎÉÅ ÔÅÒÍÉÎÁ ÚÁÄÁÞÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÄ ÜÔÉÍ ÔÅÒÍÉÎÏÍ Á×ÔÏÒÙ ÏÎÉÍÁÀÔ ÚÁÄÁÞÕ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ ÌÀÂÏÊ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÚÎÁÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ m-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ (ÕÓÌÏ×ÉÑÈ) ÏÂÝÅÇÏ ×ÉÄÁ, ÚÁÄÁÀÝÉÈ ÔÁËÏÅ ÓÕÖÅÎÉÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ, ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁËÌÀÞÅÎÏ × ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÏÎÅÞÎÙÊ m-ÍÅÒÎÙÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ. ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 363 ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï G × ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezm. îÁ ÔÏÞËÁÈ x ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á G ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f (x) : G → R, ÇÄÅ R | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. üÔÕ ÆÕÎË ÉÀ ÍÙ ÂÕÄÅÍ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ, ÓÌÅÄÕÑ [27℄, ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÌÅ×ÙÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏÍ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÒÁ×ÎÏ ÏÌÏÖÅÎÎÙÅ ÔÅÒÍÉÎÙ | ÏËÁÚÁÔÅÌØ ËÁÞÅÓÔ×Á ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ, ÆÕÎË ÉÑ ÏÔÅÒØ, ËÒÉÔÅÒÉÊ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ É Ô. Ä. ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÙ ÔÁËÖÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ (ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á) ÎÁ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ gi(x) : G → R, i = 1; k × ×ÉÄÅ gi (x) 6 ai ; ai ∈ R; i = 1; k; ÔÏÇÄÁ ÏÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ f (x) → min; ÒÉ gi (x) 6 ai ; ai ∈ R; i = 1; k; x ∈ G: (ä.35) ÷ ÚÁÄÁÞÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÊ ×ÅËÔÏÒ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ | ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ, É ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÊ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ G, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÍÉÎÉÍÕÍ ÅÌÅ×ÏÍÕ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÕ f (x). òÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ (ä.35) ÔÏÞÎÏ | ÚÎÁÞÉÔ ÎÁÊÔÉ ËÁËÏÊÎÉÂÕÄØ ÉÌÉ ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ (ä.35), ÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÎÁ. áÌÇÏÒÉÔÍÙ É ÍÅÔÏÄÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ×ÉÄÁ (ä.35) ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂÌÁÓÔØ G, ËÁËÏÊ ×ÉÄ ÉÍÅÅÔ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ É ËÁËÏ×Á ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÆÕÎËÉÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ. ðÏ ÓÔÒÕËÔÕÒÅ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ, ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÆÕÎË ÉÑÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÉÉÚÁ ÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ: { ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ f (x) É gi (x) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁÍÉ; { ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÉÚ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏ× f (x) ÉÌÉ gi(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÞÁÓÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÉËÌÁÄÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ. éÚ ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÏÌÎÏ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎ ËÌÁÓÓ ÚÁÄÁÞ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÏÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ, Á ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ É ÆÕÎË ÉÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ | ×ÙÕËÌÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. ÷ ÜÔÏÍ ËÌÁÓÓÅ ×ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÚÁÄÁÞÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Em ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÙÍ , ÅÓÌÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÌÀÂÏÊ ÁÒÏÊ Ó×ÏÉÈ ÔÏÞÅË, ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ É ×ÅÓØ ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÉÈ ÏÔÒÅÚÏË. îÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f (x), ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ×ÙÕËÌÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÏÊ ×ÎÉÚ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x; y ∈ G ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ∀ ; 0 6 6 1; f ( x + (1 − )y ) 6 f (x) + (1 − )f (y ): ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÍÅÒÙ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ïÂÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ. ÉÉÚÁ ÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. 364 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ðÕÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ Ë n ÒÁÚÎÙÍ ÔÉÁÍ. ëÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎ × ÅÌÑÈ Ï×ÙÛÅÎÉÑ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÓÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ × ÅÌÏÍ. ðÕÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ xi ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× i- ÏÇÏ ÔÉÁ, ×ËÌÀÞÅÎÎÙÈ × ÓÉÓÔÅÍÕ, xi > 1, i = 1; n. ïÄÉÎ ÉÚ ÜÔÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÛÔÁÔÎÏÍ ÒÅÖÉÍÅ ÆÕÎË ÉÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÒÅÚÅÒ×Å. íÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÎÙ ÆÕÎË ÉÉ fi(xi ), ÄÁÀÝÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÔÉÁ i, × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á. åÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÏÔËÁÚÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÔÉÁ i | pi, ÔÏ ÆÕÎË ÉÑ fi (xi ) ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÉÄ fi (xi ) = 1 − pxi i : íÙ ÈÏÔÉÍ ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ, ÏÔÒÁÖÁÀÝÉÊ ÏËÁÚÁÔÅÌØ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ × ÅÌÏÍ, ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÓÕÍÍÁÒÎÙÅ ÚÁÔÒÁÔÙ. ÷ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÏËÁÚÁÔÅÌØ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÅÓÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ Ï ÔÉÁÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, Á ÚÎÁÞÅÎÉÅ | ÅÓÔØ ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÚÁÔÒÁÔÙ, ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÅÓÔØ ÚÁÄÁÞÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ ÒÅÚÅÒ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÁÖÄÏÇÏ ÔÉÁ, ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÕÀÝÉÈ ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÊ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ úÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎÉÑ. n Y i=1 fi (xi ) → max; n X i=1 ai · xi 6 ; x = (x ; : : : ; xn) ∈ Ezn; 1 xi > 1: ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØÀ ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÏÓÔØ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ | ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÎÁÄÅÖÎÏÓÔÉ É ÏËÁÚÁÔÅÌÑ ÚÁÔÒÁÔ ÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÔÉÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ xi ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÄÒÕÇÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ xj ; j 6= i. úÁÄÁÞÉ Ó ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁÍÉ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÙ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÚÄÎÅÅ. îÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÎÁÂÖÅÎÉÅ ÒÅÄÒÉÑÔÉÑ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÅÇÏÓÑ ÓÂÏÒËÏÊ, ËÏÍÌÅËÔÕÀÝÉÍÉ ÄÅÔÁÌÑÍÉ × ËÏÎÔÅÊÎÅÒÁÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÚÇÏÔÁ×ÌÉ×ÁÀÔÓÑ É ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÄÒÕÇÉÈ ÇÏÒÏÄÏ×. íÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ × ÓÎÁÂÖÅÎÉÉ ÒÅÄÒÉÑÔÉÑ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ n ÇÏÒÏÄÏ×. ðÕÓÔØ xi | ÅÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÎÔÅÊÎÅÒÏ×, ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍÙÈ ÉÚ i-ÏÇÏ ÇÏÒÏÄÁ, Á i | ÓÕÍÍÁÒÎÁÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Á É ÄÏÓÔÁ×ËÉ ÏÄÎÏÇÏ ËÏÎÔÅÊÎÅÒÁ ÄÅÔÁÌÅÊ ÉÚ ÇÏÒÏÄÁ i, i = 1; n. ÏÇÄÁ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÒÉ×ÅÚÅÎÎÙÈ ËÏÎÔÅÊÎÅÒÏ× ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ n X f (x) = i · xi : úÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÎÁÂÖÅÎÉÑ. i=1 ðÏÔÒÅÂÎÏÓÔØ ÒÅÄÒÉÑÔÉÑ × ËÏÍÌÅËÔÕÀÝÉÈ ÄÅÔÁÌÑÈ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ b (ËÏÎÔÅÊÎÅÒÏ×), ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÅÒ×ÏÍÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÀ n X i=1 xi = b: ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 365 ðÒÏÉÚ×ÏÄÓÔ×Ï ÄÅÔÁÌÅÊ × ÇÏÒÏÄÅ i ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ bi, Á ÏÂÒÁÔÎÙÅ ÅÒÅ×ÏÚËÉ ÉÓËÌÀÞÅÎÙ, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ. ÷ ÜÔÉÈ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑÈ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ n X xi = b; 0 6 xi 6 bi ; i = 1; n; x ∈ Ezn : f (x) → min; i=1 ÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ (x ∈ E n ) | ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÒÅÛÁÅÍÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÍÙ ÏÂÒÁÝÁÅÍ ÅÅ × ÚÁÄÁÞÕ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÕÔÅÍ ÏÍÅÝÅÎÉÑ ÔÏ×ÁÒÏ× × ËÏÎÔÅÊÎÅÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍÉ ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ ÅÒÅ×ÏÚËÉ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ ÅÒÅÂÏÒÁ | ÜÔÏ n-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÎÕÌÅ, É ÒÅÂÒÁÍÉ ÄÌÉÎÙ bi. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ, ÂÏÌÅÅ ÂÌÉÚËÕÀ É ÏÎÑÔÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÁÍ. óÕÔØ ÚÁÄÁÞÉ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÀ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÓÉÓÁÎÉÑ ÒÁÂÏÔÙ ÍÎÏÇÏÒÏ ÅÓÓÏÒÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ðÕÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ m ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ×, Ï ËÏÔÏÒÙÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÔØ n ÚÁÄÁÎÉÊ, ÒÉÞÅÍ n > m. åÓÌÉ ÔÁËÏÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÅÓÔØ, ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÒÏ ÅÓÓÏÒ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÅÍÕ ÚÁÄÁÎÉÑ. íÙ ÚÁÒÁÎÅÅ ÚÎÁÅÍ ×ÒÅÍÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÚÁÄÁÎÉÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÒÏ ÅÓÓÏÒÅ, ÉÌÉ ÉÍÅÅÍ ÅÇÏ Ï ÅÎËÕ. ðÕÓÔØ tij | ÅÓÔØ ×ÒÅÍÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÚÁÄÁÎÉÑ i ÎÁ ÒÏ ÅÓÓÏÒÅ j . îÁÛÁ ÅÌØ | ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÓÕÍÍÁÒÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ×ÓÅÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÚÁÄÁÎÉÊ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÅËÔÏÒ x × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn, É ÂÕÄÅÍ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ xi ÜÔÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ËÁË ÎÏÍÅÒ ÒÏ ÅÓÓÏÒÁ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÚÁÄÁÎÉÅ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ i. üÔÏÔ ×ÅËÔÏÒ É ÂÕÄÅÔ Ñ×ÌÑÔØÓÑ ÒÁÓÉÓÁÎÉÅÍ ÒÁÂÏÔÙ ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ×. ðÏÓËÏÌØËÕ ÉÍÅÅÔÓÑ m ÒÏ ÅÓÓÏÒÏ×, É ËÁÖÄÏÅ ÚÁÄÁÎÉÅ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÎÁÚÎÁÞÅÎÏ ÎÁ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÒÏ ÅÓÓÏÒ, ÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ 1 6 xi 6 m; i = 1; n; ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÌÁÓÔØÀ G ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ 1 = (1; 1; : : : ; 1) × n-ÍÅÒÎÏÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ó ÒÅÂÒÏÍ (m − 1) | Cubnz(1; m − 1). ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÅÓØ ÎÁÂÏÒ ÚÁÄÁÎÉÊ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ×ÙÏÌÎÅÎÎÙÍ, ËÏÇÄÁ ÏÓÌÅÄÎÉÊ (Ï ×ÒÅÍÅÎÉ) ÒÏ ÅÓÓÏÒ ÚÁ×ÅÒÛÉÔ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÚÁÄÁÎÉÑ, ÔÏ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎËÉÏÎÁÌ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎ × ×ÉÄÅ f (x) = jmax { T } → min; ;m j ÇÄÅ Tj | ×ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙ ÒÏ ÅÓÓÏÒÁ j , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ËÁË ïÔÉÍÉÚÁ ÉÑ ÍÎÏÇÏÒÏ ÅÓÓÏÒÎÏÇÏ ÒÁÓÉÓÁÎÉÑ. =1 Tj = n X i=1 [xi = j ℄ · tij ; ÇÄÅ ÍÙ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉ ÎÏÔÁ ÉÀ áÊ×ÅÒÓÏÎÁ | [k = l℄ = 1, ÅÓÌÉ k = l, ÉÎÁÞÅ | 0. îÉÖÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ É ÄÒÕÇÉÅ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ, ËÁË ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ Ë ÔÏÞÎÙÍ ÍÅÔÏÄÁÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. 366 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ä.6.3. NP-ÏÌÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ É ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ éÚ ÏÂÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÏÌÎÙÍ ÅÒÅÂÏÒÏÍ ÔÏÞÅË × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ËÕÂÁ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÔÒÅÂÕÅÔ ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÚÁÔÒÁÔ, ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÈ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. üÔÏ, ÏÄÎÁËÏ, ÎÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÁËÏ×Á ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÁÑ Ï ÅÎËÁ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ. íÙ ÍÏÖÅÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÞÉÓÅÌ ai , i = 1; n, ËÁË ÚÁÄÁÞÕ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ezn ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÜÔÉÈ ÞÉÓÅÌ, Á ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ f (x) = n X i=1 i · v(xi ) → max; 1 6 xi 6 n ∀i = 1; n; v(xi ) = axi : îÏ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ ÒÅÛÁÅÔÓÑ Ó Ï ÅÎËÏÊ (n ln n). íÏÖÅÍ ÌÉ ÍÙ ×ÓÅ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÅÛÉÔØ ÔÁË ÂÙÓÔÒÏ? ðÏÌÕÞÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ Ï ÅÎÏË ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÈ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÓÌÏÖÎÏÓÔÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÚÁÄÁÞ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ××ÅÄÅÎÉÅÍ × ÓÅÒÅÄÉÎÅ 1960-È ÇÏÄÏ× ËÌÁÓÓÁ P ËÁË ËÌÁÓÓÁ ÚÁÄÁÞ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ. âÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏ: ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ËÌÁÓÓÕ P , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÅÛÁÀÝÉÊ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÚÁ ×ÒÅÍÑ O(nk ), ÇÄÅ n | ÄÌÉÎÁ ×ÈÏÄÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, Á k ÅÓÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÁÑ ÏÔ n [20℄. éÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ËÌÁÓÓ P | ÜÔÏ ËÌÁÓÓ ÚÁÄÁÞ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ÒÅÛÉÔØ, ÉÌÉ ËÌÁÓÓ ÒÅÁÌØÎÏ ÒÅÛÁÅÍÙÈ ÚÁÄÁÞ. ðÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔØ ÚÁÄÁÞÉ Ë ËÌÁÓÓÕ P ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ×ÏÒÏÓ Ï ÇÒÁÎÉ ÁÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ × ÓÍÙÓÌÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÅÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ | ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ P ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÄÁÖÅ ÄÌÑ ÂÏÌØÛÉÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÌÕÞÁÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. íÙ ×ÒÁ×Å ÚÁÄÁÔØ ×ÏÒÏÓ | ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, É ÎÁÓËÏÌØËÏ ÂÙÓÔÒÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÅÇÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ? ÷ ÒÁÍËÁÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ×ÏÒÏÓÁ × ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÌÁÓÓ NP | ËÌÁÓÓ ÂÙÓÔÒÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÍÙÈ ÚÁÄÁÞ. úÁÄÁÞÁ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ËÌÁÓÓÕ NP, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÏ×ÅÒÑÀÝÉÊ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ ×ÒÅÍÑ O(nk ). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ (ãð) × ÏÂÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÜÔÏÍÕ ËÌÁÓÓÕ. óÌÅÄÕÑ ÏÄÈÏÄÕ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÎÅ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÏÎÎÙÅ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ãð, Á ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ × ×ÉÄÅ ÚÁÄÁÞ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ ∃x : f (x) 6 C; x ∈ Ezn ; ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ: (ä.36) gi (x) 6 ai ; ai ∈ R; i = 1; k É x ∈ G: ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ãð × ÔÁËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÄÏÌÖÅÎ ÌÉÂÏ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞËÕ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ (ä.36), ÌÉÂÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÉ ÎÅÔ. åÓÌÉ ÎÁÍ ÒÅÄßÑ×ÌÅÎ ÏÔ×ÅÔ, É ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ f (x) É gi (x) ÉÍÅÅÔ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ, ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÕÀ ÏÔ n, ÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞÉ, ÔÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÒÏ×ÅÒËÉ ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 367 ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ (ä.36) ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÁÄÁÞÁ ãð ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÌÁÓÓÕ NP. ëÁËÏ×Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÏ× P É NP? îÁ ÓÅÇÏÄÎÑ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á, ËÁË ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ËÌÁÓÓÏ× (P = NP), ÔÁË É ÉÈ ÎÅÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ËÌÁÓÓÁ NP. üÔÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÅÝÅ ÏÄÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ, Á ÉÍÅÎÎÏ ËÌÁÓÓÁ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ÷ 1971 ÇÏÄÕ ëÕË ××ÅÌ ÏÎÑÔÉÅ NPÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ËÁË ÏÄËÌÁÓÓÁ × NP | ÜÔÏ ÚÁÄÁÞÉ, Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÚÁ ×ÒÅÍÑ, ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ, ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ Ó×ÅÄÅÎÙ ÌÀÂÙÅ ÄÒÕÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ NP. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÁ NPC (NP- omplete ) ÔÒÅÂÕÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ Ä×ÕÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ: ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÚÁÄÁÞÁ ÄÏÌÖÎÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ ËÌÁÓÓÕ NP, É, ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, Ë ÎÅÊ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏ ÄÏÌÖÎÙ Ó×ÏÄÉÔØÓÑ ×ÓÅ ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ËÌÁÓÓÁ NP. éÓÔÏÒÉÞÅÓËÉ ÅÒ×ÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï NP-ÏÌÎÏÔÙ ÂÙÌÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÏ ëÕËÏÍ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ×ÙÏÌÎÉÍÏÓÔÉ ÓÈÅÍÙ. íÅÔÏÄ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÂÙÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎ ò. ëÁÒÏÍ É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎ ÉÍ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á NP-ÏÌÎÏÔÙ ÅÌÏÇÏ ÒÑÄÁ ÚÁÄÁÞ. ïÉÓÁÎÉÅ ÒÑÄÁ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÎÁÊÔÉ × [20℄, ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × [22℄. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÄÌÑ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÎÅ ÎÁÊÄÅÎÙ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ, É ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× ÏÌÁÇÁÀÔ, ÞÔÏ ÉÈ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅÌØÚÑ ÒÅÛÉÔØ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ, ÎÏ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉ ÒÏÂÌÅÍÁ P = NP ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÏÊ. NP-ÏÌÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÅ ËÁË ÚÁÄÁÞÉ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ, ÅÒÅÓÔÁÀÔ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ Ë ËÌÁÓÓÕ NP, Ô. Ë. ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÎÅÌØÚÑ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ÁËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ NP-ÔÒÕÄÎÙÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ [27℄. ÷ ÔÅÏÒÉÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ × ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÏÎÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÅÌÙÊ ÒÑÄ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë NP-ÔÒÕÄÎÙÍ [20℄, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÜÔÏ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÁÓÉÓÁÎÉÊ É ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ, Á ÚÁÄÁÞÁ Ï ÓÕÍÍÅ | NP-ÏÌÎÏÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁ ÓÅÇÏÄÎÑ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÍÕ ÏÔ×ÅÔÕ ÎÁ ÒÏÂÌÅÍÕ P = NP [20℄, ÔÏ, ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÎÅÔ É ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ãð × ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÏÎÎÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ Ó ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÁ ÒÅÛÅÎÉÑ (ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ). óÅÇÏÄÎÑ × ÎÁÕÞÎÙÈ ÕÂÌÉËÁ ÉÑÈ ÒÏÄÏÌÖÁÀÔ ÒÅÄÌÁÇÁÔØÓÑ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØÓÑ ËÁË Ü×ÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ, ÔÁË É "-ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ [20℄ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÈ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÓÔÁÎÏ×ÏË ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ [14℄, [9℄. äÒÕÇÏÊ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ÁÓÅËÔ ÉÚÕÞÅÎÉÑ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ÉÈ ËÁË ÚÁÄÁÞ × ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÅÊ Ï ÅÎËÏÊ ÞÉÓÌÁ ×ÅÒÛÉÎ ÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÚÁÄÁÞÉ. âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × [13℄ É [12℄. ÷ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÔÅÒÍÉÎ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÂÏÒÁ, ËÁË ÁÎÁÌÏÇ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ NP-ÏÌÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. ÷ÏÚÎÉËÎÏ×ÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÔÅÒÍÉÎÁ × 1960-Å ÇÏÄÙ ÍÏÖÎÏ ×ÉÄÉÍÏ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÔÏÞÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× Ó ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÉÓËÏÍÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÒÅÛÅÎÉÑ. òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÔÏÞÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ãð, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ËÌÁÓÓÕ NPC, × ÓÉÌÕ ×ÙÛÅ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ 368 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÔÁËÖÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍÉ. üÔÉ ÍÅÔÏÄÙ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ × ÅÌÏÍ ÒÑÄÅ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×ÁÖÎÙÈ ÏÓÔÁÎÏ×ÏË ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÌÕÞÉÔØ ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÕÔÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ. ä.6.4. ïÂÚÏÒ ÔÏÞÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ðÅÒ×ÙÅ ÒÁÂÏÔÙ Ï ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍÕ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÀ ÂÙÌÉ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ × ËÏÎ Å 1950-È | ÎÁÞÁÌÅ 1960-È ÇÏÄÏ×. úÁ ÒÏÛÅÄÛÅÅ ×ÒÅÍÑ ÂÙÌÏ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× É ÍÅÔÏÄÏ×, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÉÈ ËÁË ÔÏÞÎÏÅ, ÔÁË É ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. íÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÏ ÚÁ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÄÌÑ ÔÅÈ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ËÌÁÓÓÕ NPC. îÏ, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× (Ó ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÇÒÅÛÎÏÓÔØÀ) ÄÌÑ ÍÎÏÇÉÈ ËÌÁÓÓÏ× ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÌØ ÖÅ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÊ ÒÏÂÌÅÍÏÊ, ÞÔÏ É ÏÉÓË ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ [27℄. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÄÌÑ ÒÑÄÁ ÚÁÄÁÞ ÔÁËÉÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ë ÔÁËÉÍ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÒÁÓÉÓÁÎÉÑ ÍÎÏÇÏÒÏ ÅÓÓÏÒÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ, É ÏÂ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÍ ÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÅ ÛÉÒÏËÏ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÏ×ÙÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÅ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÁ ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÁÎÁÌÏÇÉÑÈ | ÍÙ ÉÍÅÅÍ × ×ÉÄÕ ÇÅÎÅÔÉÞÅÓËÉÅ É ÍÕÒÁ×ØÉÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ, ÕÓÅÛÎÏ ÒÉÍÅÎÑÅÍÙÅ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. îÅÂÏÌØÛÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÜÔÉ ÍÅÔÏÄÙ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × [22℄. ðÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÍ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÉÉ, ÔÏÞÎÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÉÓÁÎÙ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÏÂÝÉÍÉ ÍÅÔÏÄÁÍÉ, ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÉÄÅÑÈ ÍÅÔÏÄÁ ÏÔÓÅÞÅÎÉÑ É ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÑÍÉ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. îÉÖÅ ÍÙ ÉÚÌÁÇÁÅÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÉÎ ÉÙ ÜÔÉÈ ÍÅÔÏÄÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÁÌÅÅ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ Ó×ÅÒÈÕ | ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ËÕÂ, × ËÏÔÏÒÙÊ ×ÉÓÁÎ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË, ÆÏÒÍÉÒÕÅÍÙÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ, ÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÍÅÔÏÄÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× | ÔÏÞÅË ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ÷ ÁÎÇÌÏÑÚÙÞÎÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÅ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ British museum te hnique | ÔÅÈÎÉËÁ ÂÒÉÔÁÎÓËÏÇÏ ÍÕÚÅÑ. íÙ ÙÔÁÅÍÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÉ ÅÒÅÂÏÒÁ ÍÅÔÏÄÏÍ ÅÒÅÂÏÒÁ, ÎÏ ÎÁÓ ÏÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÒÏÂÌÅÍÁ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ | ËÁË ÔÏÌØËÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÂÏÌØÛÏÊ | ÅÒÅÂÏÒ ÔÒÅÂÕÅÔ, ÈÏÔÑ É ËÏÎÅÞÎÏÇÏ, ÎÏ ÁÓÔÒÏÎÏÍÉÞÅÓËÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ. ðÏÒÏÂÕÊÔÅ, ÎÁÒÉÍÅÒ,n Ï ÅÎÉÔØ, ÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n ×ÁÛ ËÏÍØÀÔÅÒ ÒÅÛÉÔ ÚÁÄÁÞÕ ÅÒÅÂÏÒÁ × ËÕÂÅ 1z ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÚÁ ÏÄÉÎ ÞÁÓ. íÅÔÏÄ ÏÌÎÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ. ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 369 éÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ç. äÁÎ ÉÇÕ É ò.çÏÍÏÒÉ [27℄. éÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÍÅÔÏÄ ÂÙÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. óÕÔØ ÉÄÅÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÎÁÞÁÌÅ ÒÅÎÅÂÒÅÞØ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ É ÏÙÔÁÔØÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. åÓÌÉ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÔÏÇÄÁ ÏÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ. åÓÌÉ ÖÅ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ ÏÌÕÞÅÎÏ ÎÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÔÏ Ë ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏ×ÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÆÏÒÍÉÒÕÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ ÂÙ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÎÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÌÏ ÎÏ×ÏÍÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ, Á ÌÀÂÏÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÌÏ ÅÍÕ. ïÉÓÁÎÎÁÑ ÒÏ ÅÄÕÒÁ Ï×ÔÏÒÑÅÔÓÑ Ó ÎÏ×ÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÁ ÏÄÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÂÏÌØÛÅ. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ×ÎÏ×Ø ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÎÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔØ, É, ÒÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÄÏÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÏ×ÙÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ. þÅÒÅÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÔÅÒÁ ÉÊ, ÂÕÄÅÔ ÌÉÂÏ ÎÁÊÄÅÎÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÌÉÂÏ ÏÞÅÒÅÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ÏËÁÖÅÔÓÑ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÊ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÉÔÅÒÁ ÉÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÓÏÓÏÂÁ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ. ÷ ÏÂÝÅÍ ×ÉÄÅ ÍÅÔÏÄ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ íÅÔÏÄ ÏÔÓÅÞÅÎÉÊ. Pro edure Begin 1. While íÅÔÏÄ ÏÔÓÅÞÅÎÉÊ òÅÛÉÔØ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ó ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ End. (ÏËÁ ÎÅ ÎÁÊÄÅÎÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÅÓÏ×ÍÅÓÔÎÁ) begin 2.1. 2.2. end óÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÎÏ×ÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ, ÏÔÓÅËÁÀÝÅÅ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÎÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ. òÅÛÉÔØ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ó ÎÏ×ÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ. (while) ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÏ×ÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÔÓÅËÁÀÝÅÊ ÏÔ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÉÓÈÏÄÎÙÍÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ, ÎÏ ÎÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÕÀ, ×ÅÒÛÉÎÕ É ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÊ ×ÓÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. üÔÁ ÁÎÁÌÏÇÉÑ É ÄÁÌÁ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÍÅÔÏÄÁÍ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÁ ÉÄÅÑÈ ç. äÁÎ ÉÇÁ | ÍÅÔÏÄÙ ÏÔÓÅÞÅÎÉÊ. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÂÙÌÁ ÒÅÄÌÏÖÅÎÁ × ÒÁÂÏÔÁÈ á. ìÜÎÄÁ É á. äÏÊÇÁ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÍÕ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÀ × ÎÁÞÁÌÅ 1960-È ÇÏÄÏ×. íÅÔÏÄ ÓÔÁÌ ÛÉÒÏËÏ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÄÅÔÁÌØÎÏ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÏÍÕ É ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ äÖ.ìÉÔÌÁ, ë.íÅÒÔÉ, ä. óÕÉÎÉ É ë. ëÜÒÏÌ [7℄ ÄÌÑ ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ËÏÔÏÒÁÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ NP-ÏÌÎÏÊ (ËÌÁÓÓ NPC). íÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . 370 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÙÔËÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ, ÚÁ ÓÞÅÔ ÁÎÁÌÉÚÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÏÂÝÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÁ, ÏÄÌÅÖÁÝÉÈ ÅÒÅÂÏÒÕ. îÁÉÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙÍ ÜÔÁÏÍ ÍÅÔÏÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÑ×ÌÅÎÉÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÔÏÞÅË, ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. íÅÔÏÄ ÏÓÎÏ×ÁÎ ÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅÍ, É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ Ï ÅÎÏË ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ ÚÁÄÁÞÉ (ÎÉÖÎÉÈ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ ÍÉÎÉÍÕÍ) ÎÁ ×ÙÄÅÌÅÎÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ | ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÇÒÁÎÉ . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÏÉÓËÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ, É ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÉÄÅÑ ÍÅÔÏÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÔÓÅÞÅÎÉÉ ÔÅÈ ×ÅÔ×ÅÊ ÜÔÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ. ðÒÏÂÌÅÍÁ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÁ Ë ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ×ÙÂÏÒÅ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ É ÒÉÎ ÉÏ× ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÏÓÔÅÊÛÅÇÏ ÓÏÓÏÂÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ï ÅÎÏË ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÏÄÈÏÄ | ÒÅÛÉÔØ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÒÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÈ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍÕ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÔÏÞÅË. ïÂÙÞÎÏ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ É Ï ÅÎÉ×ÁÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÉÒÁÀÔÓÑ ÎÁ ÓÅ ÉÆÉËÕ ÚÁÄÁÞÉ. ðÒÉ ÕÄÁÞÎÏ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÓÔÒÁÔÅÇÉÑÈ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅ ÅÒÅÂÏÒÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÚÎÁÞÉÍÙÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÚÁ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ, ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. íÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÂÙÌ ÒÅÄÌÏÖÅÎ É ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎ ò.âÅÌÌÍÁÎÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ 1960-È ÇÏÄÏ× [11℄. õÓÌÏ×ÉÑ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÁ ÔÒÅÂÕÀÔ, ÞÔÏÂÙ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÌ ÓÏÂÏÊ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ, Ô. Å. íÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. f (x) = n X i=1 gi (xi ); ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÌÁÂÌÅÎÏ ÄÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÏÓÔÉ [27℄. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÏÉÓÁÎÉÅ ÉÄÅÉ ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ, ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ É ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ ÅÇÏ Á×ÔÏÒÁ [11℄. üËÏÎÏÍÉÞÅÓËÁÑ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁÉÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ×ÉÄÁ n X i=1 xi = C; ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÁË ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÏÂÝÉÊ ÒÅÓÕÒÓ, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎ Ï n ÒÏ ÅÓÓÁÍ, ÒÉÎÏÓÑÝÉÍ ÄÏÈÏÄ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÊ ÆÕÎË ÉÑÍÉ gi(xi ), i = 1; n × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÓÔÉ É ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ xi . äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÍÁËÓÉÍÉÚÁ ÉÉ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ f (x) → max, ×ÍÅÓÔÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÏÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ Ó ÄÁÎÎÙÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÓÕÒÓÏ× É ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÒÏ ÅÓÓÏ×, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÅÌÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÚÁÄÁÞ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÞÉÓÌÏ n ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÌÀÂÙÅ ÅÌÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÔÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÒÏ ÅÓÓ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÔÏ ÏÄÈÏÄ ò.âÅÌÌÍÁÎÁ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÅÅ × ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÊ ÒÏ ÅÓÓ, ÔÒÅÂÕÑ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÓÕÒÓÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 371 ÒÏ ÅÓÓÕ, ÞÔÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ É ÏÔÒÁÖÅÎÏ × ÎÁÚ×ÁÎÉÉ ÍÅÔÏÄÁ | ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ [11℄. íÁËÓÉÍÕÍ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ f (x) × ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÒÏ ÅÓÓÏ× n, É ÏÔ ÏÂÝÅÇÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÒÅÓÕÒÓÁ C . üÔÁ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ × ÏÄÈÏÄÅ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ Ñ×ÎÏ ÕÔÅÍ ÚÁÄÁÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÆÕÎË ÉÊ {fm( )}, m = 1; n, 0 6 6 C , ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ fm ( ) = max f (x); xm xm > 0; m X k=1 xk = : æÕÎË ÉÑ fm( ) ×ÙÒÁÖÁÅÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÄÏÈÏÄ, ÏÌÕÞÁÅÍÙÊ ÏÔ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÓÕÒÓÁ Ï m ÒÏ ÅÓÓÁÍ. ÷ Ä×ÕÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏ. ÷ ÒÁÚÕÍÎÏÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÄÏÈÏÄ ÏÔ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÅÓÕÒÓÁ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ | gm(0) = 0, ∀m = 1; n, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ fm(0) = 0, ∀m = 1; n. ÁËÖÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÒÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ > 0 ÆÕÎË ÉÑ f ( ) = g ( ). äÌÑ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÇÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÅÓÕÒÓÁ ÍÅÖÄÕ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÒÏ ÅÓÓÁÍÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅ fm( ) É fm− ( ) ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ m É . åÓÌÉ xm | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÓÕÒÓÁ, ÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÅ ÄÌÑ ÒÏ ÅÓÓÁ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ m, ÔÏ ÏÓÔÁÀÝÅÅÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï | ( − xm ) ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÏ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÄÏÈÏÄÁ ÏÔ ÏÓÔÁÀÝÉÈÓÑ m − 1 ÒÏ ÅÓÓÏ×. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ xm ÓÏ×ÏËÕÎÙÊ ÄÏÈÏÄ ÏÔ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Ï m ÒÏ ÅÓÓÁÍ ÓÏÓÔÁ×ÉÔ gm(xm ) + fm− ( − xm ): ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÍ ÂÕÄÅÔ ÔÁËÏÊ ×ÙÂÏÒ ÚÎÁÞÅÎÉÑ xm, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÕÅÔ ÜÔÕ ÆÕÎË ÉÀ, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÓÎÏ×ÎÏÍÕ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ [11℄. ( f ( ) = g ( ); fm ( ) = max [gm (xm ) + fm− ( − xm )℄; ∀m = 2; n; > 0: 6xm 6 ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÁÄÁÞÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ × ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÚÁÄÁÞ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÏÔÉÍÉÚÁÉÉ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÏËÒÁÝÁÅÔ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÒÅÛÅÎÉÑ. îÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÒÉÍÅÎÉÍÏÓÔÉ ÍÅÔÏÄÁ ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÀÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ (ÓÅÁÒÁÂÅÌØÎÏÓÔÉ) ÎÁ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÅ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÓÌÉÛËÏÍ ÓÌÏÖÎÏÊ, É ÄÏÕÓËÁÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÆÕÎË ÉÊ âÅÌÌÍÁÎÁ ÞÅÒÅÚ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ. äÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÉÄÅÉ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÒÉ×ÅÌÏ Ë ÒÁÚÒÁÂÏÔËÅ ÎÏ×ÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ | ÍÅÔÏÄÁ ÑÄÅÒ (ÏÄÒÏÂÎÅÅ ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ [27℄, [26℄). 1 1 1 1 1 0 1 1 372 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ä.6.5. ÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ îÁÞÉÎÁÑ Ó ËÏÎ Á 50-È ÇÏÄÏ× XX ×ÅËÁ, ËÏÇÄÁ ò. âÅÌÌÍÁÎ ÒÅÄÌÏÖÉÌ É ÏÂÏÓÎÏ×ÁÌ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÉÄÅÉ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÒÉ×ÌÅËÁÅÔ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ× É ÕÞÅÎÙÈ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÈÓÑ ÒÁÚÒÁÂÏÔËÏÊ É ÁÎÁÌÉÚÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ðÏ×ÙÛÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ Ë ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, ÒÁ×ÎÏ ËÁË É Ë ÅÅ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÑÍ, Ó×ÑÚÁÎ Ó ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÍÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÏÂÌÁÓÔÑÍÉ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ. úÁÍÅÔÉÍ × ÜÔÏÊ Ó×ÑÚÉ, ÞÔÏ ÍÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÈÏÔÑ É ÏÚ×ÏÌÉÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÏËÒÁÔÉÔØ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÎÏ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÅ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÌÉÎÙ ×ÈÏÄÁ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÒÏÓÔ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ É, ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÄÏÓÔÕÎÏÊ ÏÅÒÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÍÑÔÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ËÏÍØÀÔÅÒÏ× ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ ÒÉÅÍÌÅÍÏÅ ×ÒÅÍÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ÒÑÄÁ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ, Ó×ÏÄÑÝÉÈÓÑ Ë ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÕÁËÏ×ËÅ, Ó ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÔÏÞÎÙÈ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÈ ÍÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. éÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÕÁËÏ×ËÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ËÎÉÇÅ ò.âÅÌÌÍÁÎÁ É ó. äÒÅÊÆÕÓÁ [11℄ É ÓÔÁÔØÅ [25℄, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÊ ÁÎÁÌÉÚÕ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÈ ÂÅÌÌÍÁÎÏ×ÓËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. íÙ ÈÏÔÉÍ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ ÍÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÎÏ, É ÉÓÏÌØÚÕÑ ÍÅÔÏÄÙ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÌÕÞÉÔØ Ï ÅÎËÉ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÈ ÜÔÏÔ ÍÅÔÏÄ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÒÀËÚÁË Ó ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍ ÄÎÏÍ É ÎÅÒÁÓÔÑÖÉÍÙÍÉ ÓÔÅÎËÁÍÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ×ÙÓÏÔÙ. õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÔÁËÖÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÇÒÕ ËÏÒÏÂÏË, Ó ÔÁËÉÍ ÖÅ ÄÎÏÍ, ËÁË Õ ÒÀËÚÁËÁ. ÷ ÌÀÂÏÊ ÇÒÕÅ ÏÞÅÎØ ÍÎÏÇÏ ËÏÒÏÂÏË, É ËÁÖÄÁÑ ËÏÒÏÂËÁ × ÇÒÕÅ ÏÄÉÎÁËÏ×Á Ï ×ÙÓÏÔÅ É ÉÍÅÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ. îÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ ÔÁË ÕÁËÏ×ÁÔØ ÒÀËÚÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎ ÚÁËÒÙ×ÁÌÓÑ, É ÓÕÍÍÁ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÕÁËÏ×ÁÎÎÙÈ ËÏÒÏÂÏË ÂÙÌÁ ÂÙ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ. èÏÔÑ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ Ó ÏÂßÅÍÏÍ, ÎÏ × ÒÅÁÌØÎÏÓÔÉ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ ÔÏÌØËÏ ×ÙÓÏÔÕ ÒÀËÚÁËÁ É ×ÙÓÏÔÙ ËÏÒÏÂÏË | × ÜÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÚÁÄÁÞÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ Õ ÎÁÓ ÎÅÔ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÓÏÓÔÁ× ËÏÒÏÂÏË × ÒÀËÚÁËÅ, ÔÏ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÙÂÒÁÔØ ËÏÒÏÂËÉ ÉÚ ÇÒÕÙ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÄÅÌØÎÏÊ (ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ×ÙÓÏÔÙ) ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ. îÏ, Ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÒÁÚÒÅÚÁÔØ ËÏÒÏÂËÉ Ï ×ÙÓÏÔÅ | ÚÁÄÁÞÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ, É ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏ. îÁÒÉÍÅÒ, ÉÚ Ä×ÕÈ ÇÒÕ ËÏÒÏÂÏË Ó ×ÙÓÏÔÁÍÉ 5 É 7 É ÓÔÏÉÍÏÓÔÑÍÉ 10 É 18, × ÒÀËÚÁË ×ÙÓÏÔÏÊ 10 ÌÕÞÛÅ ÏÌÏÖÉÔØ Ä×Å ËÏÒÏÂËÉ ÉÚ ÅÒ×ÏÊ ÇÒÕÙ, ÞÅÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ×ÔÏÒÏÊ. äÒÕÇÁÑ ÉÄÅÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÕÁËÏ×ËÉ ÒÀËÚÁËÁ É ×ÙÂÒÁÔØ ÎÁÉÌÕÞÛÉÊ, ÎÏ ÅÓÌÉ ÒÀËÚÁË ÏÞÅÎØ ×ÙÓÏËÉÊ, É Õ ÎÁÓ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÎÙÈ ÇÒÕ ËÏÒÏÂÏË, ÔÏ ÔÁËÏÊ ÏÌÎÙÊ ÅÒÅÂÏÒ ÍÏÖÅÔ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÍÅÓÑ Å× ÓÞÅÔÁ, ÄÁÖÅ ÎÁ ÏÞÅÎØ ÍÏÝÎÏÍ ËÏÍØÀÔÅÒÅ. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÁÑ, ËÁË ÚÁÄÁÞÁ ÏÂ ÕÁËÏ×ËÅ ÒÀËÚÁËÁ, ÂÏÌÅÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ | ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ, ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ. ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 373 ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÅÇÏÄÎÑ ÁËÔÕÁÌØÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÕÞÅÎÉÅ ÉÍÅÎÎÏ ÔÏÞÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ. ë ÔÁËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÁÓËÒÏÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ, ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÁËÅÔÁ ÁË ÉÊ ÎÁ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÓÕÍÍÕ. îÁ ÏÓÎÏ×Å ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÒÉ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Å ÇÒÕ ËÏÒÏÂÏË ÍÏÖÎÏ ÄÁÖÅ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÄÅÖÎÕÀ ËÒÉÔÏÓÉÓÔÅÍÕ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÂÝÕÀ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ Ï ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÕÁËÏ×ËÉ: ðÕÓÔØ ÚÁÄÁÎÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× Y = {yi }; yi = {vi ; i }; i = 1; n; ÇÄÅ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ yi ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÁÚÍÅÒÏÍ vi, ÉÌÉ ÏÂßÅÍÏÍ × ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÚÁÄÁÞ ÕÁËÏ×ËÉ, É ÅÎÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ i , ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ ÏÔÒÁÖÁÅÔ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÚÎÁÞÉÍÙÅ ÒÅÄÏÞÔÅÎÉÑ ÄÌÑ ÚÁÇÒÕÚËÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÉÁ. ÁË ÖÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÚÁÄÁÎ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ V . ÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ yi ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÉÁÍÉ ÇÒÕÚÏ×. äÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÚÁÇÒÕÖÁÅÍÙÈ × ÏÂßÅÍ V ÜÌÅÍÅÎÔÏ× yi ××ÅÄÅÍ × ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ: x = {xi }; x = 1; n; ÇÄÅ xi | ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ ÅÌÏÅ, Ô. Å. x ∈ Ezn, xi > 0. úÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ×ÅËÔÏÒÁ xi = k ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÚÁÇÒÕÚËÅ k ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÔÉÁ yi × ÏÂßÅÍ V . óÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÕÁËÏ×ÏË ÏÂßÅÍÁ V ÇÒÕÚÁÍÉ ÉÚ Y ÄÏÌÖÎÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÏÄÎÁ ÕÁËÏ×ËÁ, ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÕÀÝÁÑ ÓÕÍÍÁÒÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. íÁËÓÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ: íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ. Pn (x) = n X i=1 ÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ n X i=1 xi · i → max; xi · vi 6 V: óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ (ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁÒÎÙÊ ÏÂßÅÍ, ÚÁÎÉÍÁÅÍÙÊ ÇÒÕÚÁÍÉ ×ÓÅÈ ÔÉÏ× × ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÁÈ, ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ x, ÎÅ ÄÏÌÖÅÎ ÒÅ×ÙÛÁÔØ ÏÂÝÅÇÏ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ. òÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÅÇÏ ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ä×ÕÍÑ ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍÉ: { ÔÁÂÌÉÞÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÏÉÒÁÀÝÉÍÓÑ ÎÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ É ÈÒÁÎÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÂßÅÍÁ; ðÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ. 374 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ { ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÍ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÆÕÎËÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÌÌÍÁÎÁ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ. ïÂÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ: | É ÔÁÂÌÉÞÎÙÊ, É ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÅÒÁÉÊ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ, ÚÁ×ÉÓÉÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÄÁÎÎÙÈ ÎÁ ×ÈÏÄÅ, ÎÏ É ÏÔ ÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ï ÅÎËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÂÕÄÅÔ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n; V; v ; : : : ; vn, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁÔÒÕÄÎÑÅÔ ÁÎÁÌÉÚ. íÙ ××ÏÄÉÍ ÁÒÁÍÅÔÒ k = Vv ; ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÝÉÊ, ÓËÏÌØËÏ ÇÒÕÚÏ× ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÏÂßÅÍÁ n 1 X v = · vi n 1 i=1 ÒÁÚÍÅÝÁÅÔÓÑ × ÏÂßÅÍÅ ÕÁËÏ×ËÉ V . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÒÅÁÌØÎÏÓÔÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÀÂÙÈ ÇÒÕÚÏ×, ÒÁÚÍÅÝÅÎÎÙÈ × ÏÂßÅÍÅ V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, ÎÏ ÄÌÑ Ï ÅÎËÉ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ × ÓÒÅÄÎÅÍ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÁÒÁÍÅÔÒ k Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍ (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ) ÞÉÓÌÏÍ. ïÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÀ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ (ÓÍ. ä.6.4), ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÒÁÓÒÅÄÅÌÑÅÍÙÍ ÒÅÓÕÒÓÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ V , Á ÆÕÎË ÉÉ ÄÏÈÏÄÁ | gi(xi ) = i ·xi . îÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÍÁËÓÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÄÏÈÏÄ (ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÕÁËÏ×ËÉ), ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏÍ Pn(x), ÕÔÅÍ ÒÁÓÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÒÅÓÕÒÓÁ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ ÍÅÖÄÕ ÇÒÕÚÁÍÉ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÔÉÏ×. ÷ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÌÌÍÁÎÁ, ËÏÔÏÒÏÅ Ó ÕÞÅÔÏÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ [11℄.  f (v) = 0;    fm (v ) = max{xm · m + fm− (v − xm · vm )}; xm (ä.37)  v   m = 1; n; v = 0; V ; xm = 0; 1; : : : ; : vk ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÅÔÏÄ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÂ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÅ ÌÀÂÏÇÏ ÄÉÓËÒÅÔÁ ÏÂßÅÍÁ ÒÅÄÙÄÕÝÉÍÉ ÔÉÁÍÉ ÇÒÕÚÏ×. ïÄÉÎ ÉÚ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ | ÜÔÏ ÔÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÊ ÏÌÕÞÉÔØ ÎÁÂÏÒ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÏÂßÅÍÁ V , ÎÏ É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÜÔÏÇÏ ÏÂßÅÍÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÅËÔÏÒ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ÏÂßÅÍÁ v ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ yi , i = 1; m, m 6 n, ÞÅÒÅÚ xm v , Á ÞÅÒÅÚ fm (v ) ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ × ÜÔÏÍ ÏÂßÅÍÅ. ÷ ÓÉÌÕ ÒÉÎ ÉÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ [11℄ fm(v) = max Pm (x); Á ÏÒÑÄÏË ÒÅÄßÑ×ÌÅÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× yi ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ. xm æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÌÌÍÁÎÁ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ. 0 1 ÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ. 375 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ òÅÛÅÎÉÅ ÔÁÂÌÉÞÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÅÔÏÄÁ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ (ä.37). òÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ fn(v) É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ xnv ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÏÂßÅÍÏ× v ÏÔ 0 ÄÏ V ÉÓÈÏÄÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ (ÇÒÕÚÁÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÉÏ×) ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ ÔÁÂÌÉÞÎÙÊ ÓÏÓÏÂ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÏÂßÅÍÏ× ÕÁËÏ×ËÉ, ÔÏ ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁÉÀ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÞÕ×ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ fn(v) Ï ÉÚÍÅÎÅÎÉÀ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÍÅÒ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. íÙ ÒÅÛÁÅÍ ÚÁÄÁÞÕ Ó ÔÒÅÍÑ ÔÉÁÍÉ ÇÒÕÚÏ×, ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÂÝÉÊ ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ V = 10. éÎÆÏÒÍÁ ÉÑ ÏÂ ÏÂßÅÍÁÈ É ÓÔÏÉÍÏÓÔÑÈ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× ÒÉ×ÅÄÅÎÁ × ÔÁÂÌ. ä.6.1. ÁÂÌÉ Á ä.6.1. ÁÂÌÉ Á ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ i vi i 1 2 3 2 3 5 3 4 7 ÁÂÌÉÞÎÁÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÌÌÍÁÎÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍÕ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÀ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÕÁËÏ×ËÕ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÉÓËÒÅÔÏ× ÏÂßÅÍÁ ÏÔ 1 ÄÏ 10, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÕÀ × ÔÁÂÌ. ä.6.2. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ×ÙÚÏ× × ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ (ä.37) × ÔÁÂÌÉÞÎÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ Ë ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÔÁÂÌÉ Å ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÂßÅÍÁ. ÁÂÌÉ Á ä.6.2. ÁÂÌÉ Á ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÄÏÈÏÄÁ v x1 f1 (v ) v x1 x2 f2 (v ) v x1 x2 x3 f3 (v ) 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 3 2 1 0 3 2 1 0 0 3 3 1 3 3 0 1 5 3 0 1 0 5 4 2 6 4 2 0 6 4 0 0 1 7 5 2 6 5 1 1 8 5 1 1 0 8 6 3 9 6 0 2 10 6 0 2 0 10 7 3 9 7 2 1 11 7 0 1 1 12 8 4 12 8 1 2 13 8 0 0 2 14 9 4 12 9 0 3 15 9 0 3 0 15 10 5 15 10 2 2 16 10 ? ? ? ? ⇒ ⇒ ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÔÏ, ËÁË ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÓÏÓÔÁ× ÇÒÕÚÏ×, ÏÔÉÍÁÌØÎÏ ÚÁÏÌÎÑÀÝÉÈ ÏÂßÅÍ, ÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ | ÔÁËÁÑ ÞÕ×ÓÔ×É- 376 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ï ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÁ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ. Pro edure ÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ éÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑ boxV [1::n℄ boxC [1::n℄ x[1::n; 0::V ℄ x1[1::n; 0::V ℄ ( , | ÍÁÓÓÉ×Ù ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ) ( , | ÍÁÓÓÉ×Ù ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ÔÅËÕÝÅÇÏ É ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×) f [0::V ℄ ( | ÆÕÎË ÉÑ âÅÌÌÍÁÎÁ | ÏÔÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÕÁËÏ×ËÉ × ÏÂßÅÍÅ ) v Input n | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× V | ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ boxV [1::n℄ | ÏÂßÅÍÙ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× boxC [1::n℄ | ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× Begin for i = 0 to V begin æÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÄÌÑ ÇÒÕÚÏ× ÔÉÁ 1 (Ï ×ÓÅÍ ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ) x[1; i℄ = i div boxV [1℄ (ÞÉÓÌÏ ÇÒÕÚÏ× ÔÉÁ 1 × ÏÂßÅÍÅ i) x1[1; i℄ = x[1; i℄ f [i℄ = x[1; i℄ ∗ boxC [1℄ end ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ for i = 2 to N begin ( ÉËÌ Ï ÔÉÁÍ ÇÒÕÚÏ×) V i = boxV [i℄ Ci = boxC [i℄ for v = 0 to V begin ( ÉËÌ Ï ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ) maxKol = 0; maxC = f [v℄ if V i 6 v then (ÇÒÕÚ ÔÉÁ i ÒÁÚÍÅÝÁÅÔÓÑ × ÏÂßÅÍÅ v) begin z = v div V i (z | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÕÚÁ ÔÉÁ i × ÏÂßÅÍÅ v ) for k = 0 toz ( ÉËÌ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ f ) begin if (maxC < (Ci ∗ k + f [v − k ∗ V i℄)) then begin end end maxC = Ci ∗ k + f [v − k ∗ V i℄ maxKol = k end (ËÏÎÅ ÉËÌÁ Ï (end if 6 ) Vi v k) ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 377 (ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ | ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÕÁËÏ×ËÉ) end for l = 1 to i − 1 x[l; v℄ = x1[l; v − maxKol ∗ V i℄ end (for l) x[i; v℄ = maxKol (ËÏÎÅ ÉËÌÁ Ï ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ) ðÅÒÅÈÏÄ Ë ÎÏ×ÏÍÕ ÔÉÕ ÇÒÕÚÁ (ËÏÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Á ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ) ÏÂßÑ×ÉÔØ ÍÁÓÓÉ× ÍÁÓÓÉ×ÏÍ (ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Á ÏÔÉÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÕÁËÏ×ÏË ×ÓÅÈ ÄÉÓËÒÅÔÏ× ÏÂßÅÍÁ ÇÒÕÚÁÍÉ ÔÉÏ×) x1 x for l = 1 to V sum = 0 for j = 1 to i sum = sum + x[j; l℄ ∗ boxC [j ℄ end j f [l℄ = sum end end Output (end for i ) (end for l) (ËÏÎÅ ÉËÌÁ Ï ÔÉÁÍ ÇÒÕÚÏ×) f [V ℄ | ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ × ÏÂßÅÍÅ V x[1::n; V ℄ | ×ÅËÔÏÒ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ End ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ÓÏÚÄÁÄÉÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÊ ÍÁÓÓÉ× ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ, ÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÔÁÂÌÉÞÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÌÕÞÉÔ ×ÓÅ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÉÓËÒÅÔÏ× ÏÂßÅÍÁ É ×ÓÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÒÅÄßÑ×ÌÅÎÉÑ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×. ï ÅÎÉÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÕÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ × ÓÒÅÄÎÅÍ ÄÌÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÒÉÎÑÔÏÊ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ. íÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÇÒÕÚÙ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÏÂßÅÍ, ÒÁ×ÎÙÊ ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅ ÂÏÌÅÅ k ÇÒÕÚÏ× ËÁÖÄÏÇÏ ÔÉÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÍÅÝÅÎÏ × ÏÂßÅÍÅ V . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ × ÉËÌÅ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ ÉÍÅÅÔ ÏÒÑÄÏË (1), ÒÁ×ÎÏ ËÁË É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÅÒÁ ÉÊ, ÕÒÁ×ÌÑÅÍÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÉËÌÏÍ Ï ÄÉÓËÒÅÔÕ ÏÂßÅÍÁ. ãÉËÌ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÀ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÉËÌÁ Ï ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ, É ÉÈ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌ. ä.6.3. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÏ×ÏËÕÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÏÈÏÄÏ× ×ÎÅÛÎÅÇÏ (Ï v) É ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ (Ï z) ÉËÌÏ× ÒÁ×ÎÏ V · (1) + (1 · v + 2 · v + · · · + (k − 1) · v + k) · (1) = kX − (ä.38) = (1) · (V + k + v · i) = (1) · V + k + v · k · (k2− 1) ; i ï ÅÎËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. 1 =1 378 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÓÉÌÕ ××ÅÄÅÎÎÏÊ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ k = V=v, ÔÏ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ × (ä.38) ÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ Ä×ÕÈ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÉËÌÏ× V V + Vv n·V 2·v · (1); 2v + 2 É ÕÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ ÉËÌ Ï ÔÉÁÍ ÇÒÕÚÏ× ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ n ÒÁÚ, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÕÀ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÉ ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ × ×ÉÄÅ 2 2 : ÁÂÌÉ Á ä.6.3. áÎÁÌÉÚ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ úÎÁÞÅÎÉÑ ÓÞÅÔÞÉËÁ ÉËÌÁ Ï ÄÉÓËÒÅÔÁÍ ÏÂßÅÍÁ ÏÔ 0 ÄÏ ÏÔ v ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÏÈÏÄÏ× ÉËÌÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ −1 ÄÏ 2 · v v 0 −1 1 ... ÏÔ (k ... − 1) · v ÄÏ ÒÉ k ÉËÌÏ× k ·v−1 k ·v =V −1 k äÒÕÇÉÍ ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÎÁÒÑÍÕÀ ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ âÅÌÌÍÁÎÁ | ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (ä.37). òÅËÕÒÓÉÑ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÕÁËÏ×ËÉ ÇÒÕÚÁÍÉ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÔÉÏ× × ÍÅÎØÛÅÍ ÏÂßÅÍÅ. óÈÅÍÁÔÉÞÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ×ÉÄÅ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ. ÁËÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÏÂßÅÍÁ 10 ÔÉÁÍÉ ÇÒÕÚÏ×, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌÉ Å ÔÁÂÌ. ä.6.1 ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ ä.11. òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ. òÉÓÕÎÏË ä.11. äÅÒÅ×Ï ÒÅËÕÒÓÉÊ, Ï- F3 (10) ÒÏÖÄÁÅÍÏÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÕÁËÏ×ËÉ x3 =2 x3 =0 x3 =1 F2 (10) F2 (6) x2 =3 x2 =0 x2 =1 x2 =2 F1 ( 10 ) F1 (7) F1(4) x2 =2 x2 =0 F2(2) x2 =0 x2 =1 F1(1) F1 (6) F1(3) F1(0) F1 (2) ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 379 òÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ. Fun tionF (V; x) (ÏÉÓÁÎÉÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ) V | ÔÅËÕÝÉÊ ÏÂßÅÍ ÕÁËÏ×ËÉ) x | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×) (boxV [1::n℄, boxC [1::n℄ | ÍÁÓÓÉ×Ù ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÄÁÎÎÙÈ) (F | ÆÕÎË ÉÑ âÅÌÌÍÁÎÁ | ÏÔÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÕÁËÏ×ËÉ × ÏÂßÅÍÅ V ÇÒÕÚÁÍÉ x ÔÉÏ×) ( ( Begin if x = 0 then ( ( = 0) ÉÌÉ V = 0) F = 0 (ÆÕÎË ÉÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÔ-ÔØ) ÉÌÉ V ïÓÔÁÎÏ× ÒÅËÕÒÓÉÉ | ÒÑÍÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÒÉ x=0 else begin if x = 1 then ( begin ïÓÔÁÎÏ× ÒÅËÕÒÓÉÉ | ÒÑÍÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÒÉ k = V=boxV [1℄ F = k ∗ boxC [1℄ (ÆÕÎË x = 1) ÉÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÔÉÍ. ÓÔ-ÔØ) (ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ) end else ( begin òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ×ÙÚÏ×Ù ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ max F ) Max = 0; k = V div boxV [x℄ if k = 0 then F = F (V; x − 1) else begin for i = 0 to k Cost = i ∗ boxC [x℄ + F ((V − boxV [x℄ ∗ i); x − 1) if Cost > Max then end F Max = Cost Optx = i (for i) = Max(ÆÕÎË ÉÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ) æÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ïÔÉÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÕÚÏ× ÔÉÁ × ÏÂßÅÍÅ end V ÒÁ×ÎÏ (if k = 0 else) x = 1 else) end (if x = 0 ÉÌÉ V = 0 else) end (if Optx x 380 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ (ÆÕÎË ÉÑ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÕÁËÏ×ËÉ × ÏÂßÅÍÅ Return End V ÇÒÕÚÁÍÉ x ÔÉÏ×) ðÒÉÍÅÒ ×ÙÚÏ×Á ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ | F(1000, 15). ÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÑÍÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ×ÅÒÛÉÎ × ÄÅÒÅ×Å ÒÅËÕÒÓÉÉ. íÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ É ÏÂÒÁÂÏÔËÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ×ÙÚÏ×Á ×ËÌÀÞÅÎÁ × ÜÔÏÔ ×ÙÚÏ×. ÁËÉÍ R (1,1)=1 ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÉËÌÁ ÎÁÈÏÖÄÅ1 0 ÎÉÑ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÒÁÚÎÅÓÅÎÁ Ï ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ×ÙÚÏ×ÁÍ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÅËÕÒR (2,1)=3 ÓÉ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ×ÙÏÌÎÑÅÔ ÏÒÑÄËÁ (1) 0 1 0 ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ÏÄÉÎ ×ÙÚÏ×. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, R (3,1)=6 ÎÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÏÙÔÁÔØÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ Ñ×1 0 0 0 ÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ×ÅÒÛÉÎ ÄÅR (4,1)=10 ÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ××ÅÄÅÎÎÏÊ Á0 1 0 0 0 ÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ R(n; k) R (5,1)=15 ÆÕÎË ÉÀ, ÚÁÄÁÀÝÕÀ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ, × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ n É k. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÉ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n É k. æÒÁÇÍÅÎÔÙ ÄÅÒÅ×Á ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ k = 1 É k = 2 ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ä.12 É ä.13. ï ÅÎËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. òÉÓÕÎÏË ä.12. æÒÁÇÍÅÎÔ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ k =1 R(1,2)=1 0 2 1 R(2,2)=4 0 1 2 0 1 0 R(3,2)=10 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 R(4,2)=20 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 R(5,2)=35 òÉÓÕÎÏË ä.13. æÒÁÇÍÅÎÔ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ k = 2. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ R(n; k) ÏÓÔÒÏÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ, ÅÒ×ÙÅ ÓÅÍØ ÓÔÒÏË ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. ä.13. ÅÅÒØ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ R(n; k) ÜÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ðÁÓËÁÌÑ | ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, É ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÏÍÅÒÁÍÉ ÓÔÒÏË ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ n É k | m = (n + k), ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÏÌÕÞÁÅÍ R(n; k) = Cnn−k ; (ä.39) 1 + ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 381 É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÁÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (1) · R(n; k) = (Cnn−k ); É ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ n ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÉ k = n − 2, × ÓÉÌÕ Ó×ÏÊÓÔ× ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×. 1 + m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 m=7 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 òÉÓÕÎÏË ä.14. ÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ | ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. ä.6.6. íÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ É ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ íÙ ÉÚÌÁÇÁÅÍ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ äÖ.ìÉÔÌÁ, ë.íÅÒÔÉ, ä. óÕÉÎÉ É ë. ëÜÒÏÌ ÄÌÑ ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÏÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÕÀ ÓÔÁÔØÀ Á×ÔÏÒÏ× [7℄, É ÅÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ × [17℄. éÓÏÌØÚÕÅÍÙÊ ÎÁÍÉ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÉÊ ÒÉÍÅÒ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × [17℄. íÙ ÈÏÔÉÍ ÏËÁÚÁÔØ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÎÅ ÒÏÓÔÏ ÍÅÔÏÄ ÁÄÁÔÉÒÕÅÔÓÑ Ë ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, É ËÁË ËÒÁÓÉ×Ï ×ÓÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÒÅÏÄÏÌÅÎÙ. ëÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒ | ÜÔÏ ÓÏÔÒÕÄÎÉË ÔÏÒÇÏ×ÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ, ÚÁÄÁÞÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÓÅÔÉÔØ ÒÑÄ ÇÏÒÏÄÏ× Ó ÅÌØÀ ÒÅËÌÁÍÙ É ÒÏÄÁÖÉ ÔÏ×ÁÒÏ×. íÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒ ÖÉ×ÅÔ × ÓÔÒÁÎÅ Ó ÒÁÚ×ÉÔÏÊ ÔÒÁÎÓÏÒÔÎÏÊ ÓÅÔØÀ, É ÍÅÖÄÕ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÏÊ ÇÏÒÏÄÏ× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÔÒÁÎÓÏÒÔÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÕÒÏÍ ÏÒÑÄÏË ÏÓÅÝÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÇÏÒÏÄÏ×, É ÏÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ËÁÖÄÙÊ ÇÏÒÏÄ ÂÙÌ ÏÓÅÝÅÎ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ | ÜÔÏ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÂÅÚ ×ÏÚ×ÒÁÔÏ×. óÔÏÉÍÏÓÔÉ ÒÏÅÚÄÁ ÍÅÖÄÕ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, ÒÉÞÅÍ, × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÒÏÅÚÄÁ ÔÕÄÁ É ÏÂÒÁÔÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙ | ÜÔÏ ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. óÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÁÍÁ ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÊ ÔÕÒ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÍÅÌ ÂÙ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÔÕÒÏ× | ËÏÎÅÞÎÏ, É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ÒÑÍÙÍ ÅÒÅÂÏÒÏÍ ÔÕÒÏ×. ï ÅÎÉÍ ÏÂßÅÍ ÔÁËÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ × ÚÁÄÁÞÅ Ó n ÇÏÒÏÄÁÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÕÒ | ÜÔÏ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÉËÌ, ÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÕÎËÔÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÇÏÒÏÄ. ïÔÒÁ×ÌÑÑÓØ ÉÚ ÎÅÇÏ, Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ n − 1 ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, É ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÏÄÉÎ ÉÈ ÎÉÈ. ÷ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÇÏÒÏÄÅ ÔÁËÉÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÂÕÄÅÔ n − 2, Ô. Ë. ×ÏÚ×ÒÁÔ ÏÂÒÁÔÎÏ ÚÁÒÅÝÅÎ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÙÂÏÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍ, ÔÏ ÏÌÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ (n − 1)! ÔÕÒÏ×, É ÅÒÅÂÏÒÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÄÌÑ ÒÅÁÌØÎÙÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÒÉÅÍÌÅÍÙÍ. óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ. 382 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ áÓÓÏ ÉÉÒÕÑ ÇÏÒÏÄÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ, Á ÕÔÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ É ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÒÏÅÚÄÁ Ó ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ | ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÌÎÙÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÁÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ÇÒÁÆ ÂÅÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÅÔÅÌØ ÎÁ n ×ÅÒÛÉÎÁÈ. çÒÁÆ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÉÓÁÎ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ C , ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ËÏÔÏÒÏÊ | ij ÒÁ×ÎÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ (ÉÚÍÅÒÑÅÍÏÊ ÒÅÁÌØÎÏ × ÅÄÉÎÉ ÁÈ ×ÒÅÍÅÎÉ, ÄÅÎÅÇ ÉÌÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ) ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÅÚÄÁ ÉÚ ÇÏÒÏÄÁ i × ÇÏÒÏÄ j . úÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ, ÅÓÌÉ ij = ji , ∀i 6= j , i; j = 1; n, Ô. Å. ÅÓÌÉ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÒÏÅÚÄÁ ÍÅÖÄÕ ËÁÖÄÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÇÏÒÏÄÁÍÉ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ, É ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË. ïÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÅÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÏ ËÁË ii = ∞, ∀i = 1; n (ÏÄÕÍÁÊÔÅ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÷Ù ÂÕÄÅÔÅ ÒÅÁÌÉÚÏ×Ù×ÁÔØ ÜÔÏ × ÒÅÁÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÅ?). úÁÄÁÞÁ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ× ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ËÁË ÚÁÄÁÞÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏËÒÙ×ÁÀÝÅÇÏ (ÏÌÎÏÇÏ) ÉËÌÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÔÕÒÏÍ, ÎÁ ÏÌÎÏÍ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ, ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ (× ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ) ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ C . úÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ËÁË ÚÁÄÁÞÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÏË, Á×ÔÏÒÙ ÒÅÄÌÁÇÁÀÔ Ä×Á ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÄÈÏÄÁ. −n . äÌÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑ1. ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn ÖÅÒÁ, ËÁË ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÒÅÄÅÌÉÍ ×ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÛÁ ÅÌØ | ×ÙÂÏÒ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÅÂÅÒ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÔÕÒ, ÉÚ ×ÓÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ x, ËÁË ÕËÁÚÁÔÅÌÉ ÎÁ ×ÙÂÉÒÁÅÍÙÅ ÒÅÂÒÁ. ðÏÌÎÙÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ ÎÁ n ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔ n · (n − 1) = n − n ÒÅÂÅÒ | ÜÔÏ É ÅÓÔØ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÎÁÛÅÇÏ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ëÏÍÏÎÅÎÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ x ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 0 ÉÌÉ 1, ÕËÁÚÙ×ÁÑ ÎÁ ×ÙÂÉÒÁÅÍÙÅ ÒÅÂÒÁ É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, x ∈ 1nz −n. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÕÒ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÏ×ÎÏ n ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ×ÅËÔÏÒ x ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÏ×ÎÏ n ËÏÍÏÎÅÎÔ, ÒÁ×ÎÙÈ ÅÄÉÎÉ Å. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÅÒÅÂÏÒÁ | ÜÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÌÕÓÆÅÒÙ (xi > 0) Ó ÒÁÄÉÕÓÏÍ ÒÁ×ÎÙÍ√ √n, É Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ. ÷ ÒÉÎÑÔÙÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ (ÓÍ. ä.6.1) ÜÔÏ | Szn −n(0; n). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÜÔÏÊ ÓÆÅÒÙ Ó ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÅÌÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÂÒÁ, ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ Ï ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍ ×ÅËÔÏÒÁ x, ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÔÕÒ. äÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÅÌÅ×ÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ××ÅÓÔÉ Ä×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÄÁÌÅÅ ÞÅÒÅÚ N | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ N = {i| i = 1; n}; ÞÅÒÅÚ M | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M = {i| i = 1; n − n}; É ÞÅÒÅÚ R | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ïÒÅÄÅÌÉÍ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ v M→ N × N; v(i) = (k; l); ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÁÆÏ×. ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ. 2 2 2 2 2 + 383 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ ËÏÔÏÒÏÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÎÏÍÅÒÕ ÒÅÂÒÁ i ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÎÏÍÅÒÁ ÁÒ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÙÈ ÒÅÂÒÕ ×ÅÒÛÉÎ | (k; l), É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ M → R ; (i) = v i = kl ; ËÏÔÏÒÏÅ ÚÁÄÁÅÔ ×ÅÓÁ (ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ) ÄÌÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÒÅÂÅÒ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÚÁÄÁÞÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÍÉÎÉÍÉÚÁ ÉÉ ÏÂÝÅÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÏÂßÅÚÄÁ ÇÏÒÏÄÏ×, ÔÏ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ + ( ) f (x) =    2 nX −n i=1 (i) · xi ; f (x) → min; ÒÉ 2 nP −n xi ∈ { 0; 1 }; xi = n; x ∈ Szn −n (0; n) ; i n ÒÅÂÅÒ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ×ÅËÔÏÒÕ x; ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÔÕÒ. 2 √ =1 íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. 2. ðÏÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− . ðÒÅÄÙÄÕÝÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ËÁÖÕÝÕÀÓÑ ÒÏÓÔÏÔÕ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ×ÅËÔÏÒÁ x, ÉÍÅÅÔ ÓÅÒØ£ÚÎÙÊ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏË | ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÔÏÌØËÏ ÎÅÍÎÏÇÉÅ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÔÕÒ (ÓÍ. ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ). íÙ ÈÏÔÉÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÌÉ ÔÕÒ. åÓÌÉ ÜÔÏ ÔÁË, ÔÏ ÏÁÄÁÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÏ×ÅÒËÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÕÒÁ ÄÌÑ ÔÏÞÅË ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÕÍÅÎØÛÉÔØ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. îÏ×ÁÑ ÏÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁÞÉ ÏÉÒÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÎÑÔÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ. âÕÄÅÍ ÄÁÌÅÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ (k; l), l > k ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ k; k + 1; : : : ; l, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÉÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË (l − k + 1)!. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË (2; n) | ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ |(2; n)| = (n−2+1)! = = (n − 1)! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË | ÒÏ×ÎÏ ÓÔÏÌØËÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÕÒÏ× ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ × ÚÁÄÁÞÅ Ó n ÇÏÒÏÄÁÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÕÒ | ÜÔÏ ÏÌÎÙÊ ÉËÌ Ï ×ÓÅÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ, ÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÔÕÒÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ. íÙ ÆÉËÓÉÒÕÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó ÎÏÍÅÒÏÍ ÏÄÉÎ, É ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (2; n) ÚÁÄÁÅÔ ÏÒÑÄÏË ÏÂÈÏÄÁ ×ÅÒÛÉÎ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÅÒ×ÏÊ, É ÏÓÌÅ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÜÔÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ, ÍÙ ÓÎÏ×Á ×ÏÚ×ÒÁÝÁÅÍÓÑ × ÎÁÞÁÌÏ ÔÕÒÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÎÁÛÅÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ x × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− | ÜÔÏ ÞÉÓÌÁ ÏÔ Ä×ÕÈ ÄÏ n, Á ÓÁÍ ×ÅËÔÏÒ ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÉÚ (2; n), É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁÉÓÁÔØ xi ∈ { 2; n }; i = 1; n − 1; xi 6= xj ; ÒÉ i 6= j; x ∈ (2; n): (ä.40) íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× x ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÉÚ (2; n) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ zn− (2; n). çÄÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÙ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× x × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ (ä.40)? úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓËÏÌØËÕ ÏÅÒÁÉÑ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÁ, ÔÏ ÓÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ËÏÍÏÎÅÎÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× x ÏÄÉÎÁËÏ×Á | ÜÔÏ ÒÁÚÎÙÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÞÉÓÅÌ ÏÔ Ä×ÕÈ ÄÏ n. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÏÞËÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× x Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÌÕÓÆÅÒÙ × Ezn− 1 1 1 1 1 1 384 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ É ÒÁÄÉÕÓÏÍ v u n uX t i2 i=2 n · (n + 1) · (2n + 1) − 1; x ∈ Szn− (0; r ); 6 ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ ÓÕÍÍÙ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ × ÒÁÚÄÅÌÅ ä.5. îÁÍ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ, ËÁË ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÒÅÂÅÒ | ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÕÖÅ ××ÅÄÅÎÎÙÍÉ × ÅÒ×ÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ, É ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ N × N → R ; (i; j ) = ij ; (i; i) = ∞; ËÏÔÏÒÏÅ ËÁÖÄÏÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÅ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ, ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏÇÏ ÜÔÏÊ ÁÒÅ, ÒÅÂÒÁ. ÷ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÍ ÆÏÒÍÁÌÉÚÍÅ ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn− ÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÏÓÔÁÎÏ×ËÕ r= = r 1 + 1 f (x) = (1; x ) + (xn− ; 1) + x=( ( ) xi ; xi+1 ; i=1 x1 ; : : : ; xn ∈ zn−1 ; n 1 1 nX −2 f (x) → min; ÒÉ ) (2 ): òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ÄÁÌÅÅ ÍÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÒÁÂÏÔÁÅÔ, ÈÏÔÑ É ÎÅ Ñ×ÎÏ, ÉÍÅÎÎÏ Ó ÜÔÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÂÝÅÊ ÉÄÅÅÊ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ×ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÏÕÓÔÉÍÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÏÌÖÎÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÄÅÌÑÔØÓÑ ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ó ÅÌØÀ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ | ÜÔÏ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. ó ËÁÖÄÙÍ ÔÁËÉÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ Ó×ÑÚÁÎÁ Ï ÅÎËÁ (ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÒÉ ÏÉÓËÅ ÍÉÎÉÍÕÍÁ), ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÀÝÁÑ ÏÔÓÅÞÅÎÉÅ ÔÅÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ | ÜÔÏ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÎÉ . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÀ ÄÒÅ×Ï×ÉÄÎÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ. ÷ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÔÁËÉÍ ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÕÒÏ× ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, É ÍÙ ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÕÅÍ ÅÌÅ×ÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÔÕÒÁ. éÚÌÁÇÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÉÄÅÉ Á×ÔÏÒÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ | ÜÔÏ Ó×ÏÅÇÏ ÒÏÄÁ ËÌÁÓÓÉËÁ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . äÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÉÓÁÔØ Ä×Å ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ | ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ É ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÎÉ . îÁÞÎÅÍ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ Ó ÒÏ ÅÄÕÒÙ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. íÙ ÎÁÞÉÎÁÅÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ Ó ËÏÒÎÑ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÕÒÏ×, Ô. Å. ÜÔÁ ×ÅÒÛÉÎÁ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ×ÓÅÈ (n − 1)! ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÕÒÏ× × ÚÁÄÁÞÅ Ó n ÇÏÒÏÄÁÍÉ. ÷ÅÔ×É, ×ÙÈÏÄÑÝÉÅ ÉÚ ËÏÒÎÑ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ×ÙÂÏÒÏÍ ÏÄÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ, ÓËÁÖÅÍ ÒÅÂÒÁ (k; l). éÄÅÑ Á×ÔÏÒÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÔÅËÕÝÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ× ÎÁ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á: ÏÄÎÏ, ËÏÔÏÒÏÅ, ×ÅÓØÍÁ ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÕÒ, É ÄÒÕÇÏÅ, ËÏÔÏÒÏÅ, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÜÔÏÇÏ ÔÕÒÁ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÒÅÂÒÏ (k; l) | ÏÎÏ, ËÁË ÍÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ×ÈÏÄÉÔ × ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÕÒ, òÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ÉÄÅÊ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. 385 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÒÁÚÄÅÌÑÅÍ R ÎÁ Ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {k; l} É {k; l}. ÷Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {k; l} ×ÈÏÄÑÔ ×ÓÅ ÔÕÒÙ ÉÚ R, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÒÅÂÒÏ (k; l), Ô. Å. ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÎÅÇÏ, Á ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {k; l} | ÔÕÒÙ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÄÅÑ Á×ÔÏÒÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÞÅÎØ ÅÒÓÅËÔÉ×ÎÁ | ÅÓÌÉ ÍÙ ÔÁË ÏÒÇÁÎÉÚÕÅÍ ÒÏ ÅÓÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ÂÕÄÅÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÏÅ ÒÅÂÒÏ, ÔÏ ×ÅÓØ ÒÏ ÅÓÓ ÂÕÄÅÔ ÚÁ×ÅÒÛÅÎ ÚÁ n ÛÁÇÏ×. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÒÉÍÅÒÅ. ÷ ÔÁÂÌ. ä.6.4 ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ Ó ÑÔØÀ ÇÏÒÏÄÁÍÉ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÅÔÅÎÄÅÎÔÏ× ÎÁ ÒÅÂÒÏ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÒÅÂÒÁ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÎÅÂÏÌØÛÉÅ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ ÎÁ ÒÅÂÒÅ (3; 5), ÉÍÅÀÝÅÍ ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ×Ï ×ÓÅÊ ÍÁÔÒÉ Å. îÉÖÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÒÕÇÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. ëÏÒÅÎØ É ÅÒ×ÙÊ ÕÒÏ×ÅÎØ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ ÂÕÄÕÔ ÔÏÇÄÁ ÔÁËÉÍÉ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.15. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÔÕÒ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÏÄÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÕÒÏ×ÎÑ 1. åÓÌÉ ÂÙ ÍÙ ËÁË-ÔÏ ÍÏÇÌÉ ÓÄÅÌÁÔØ ×Ù×ÏÄ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {3; 5} ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÔÕÒÁ, ÔÏ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {3; 5} | × ÜÔÏÊ ÉÄÅÅ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, É ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ ÓÕÔØ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . ÁÂÌÉ Á ä.6.4. íÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ 1 2 3 4 5 ∞ 25 40 31 27 2 2 ∞ 17 30 25 3 19 15 ∞ 6 1 4 9 50 24 ∞ 6 5 22 8 7 10 ∞ 1 ðÒÏÄÏÌÖÁÑ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ, ÍÙ ÒÁÚÄÅÌÑÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {3; 5} ÔÁËÖÅ, ËÁË É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R. óÌÅÄÕÀÝÅÅ Ï ÄÅÛÅ×ÉÚÎÅ ÒÅÂÒÏ × ÍÁÔÒÉ Å | ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ (2; 1) ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ 5. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {3; 5} ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ×, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÒÅÂÒÏ (2; 1), É ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ×, ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÝÉÈ ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ. ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÏÉÓËÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.15. òÉÓÕÎÏË ä.15. æÒÁÇ- 47 ÍÅÎÔ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á R-Âñå òóðû ÒÅÛÅÎÉÊ Óðîâåíü 0 49 62 {3,5} {3,5} {2,1} Óðîâåíü 1 {2,1} Óðîâåíü 2 ðÕÔØ ÏÔ ËÏÒÎÑ Ë ÌÀÂÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÄÅÒÅ×Á ×ÙÄÅÌÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÒÅÂÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÌÖÎÙ, ÉÌÉ ÎÅ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ×ËÌÀÞÅÎÙ ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ 386 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÌÅ×ÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÕÒÏ×ÎÑ 2 ÎÁ ÒÉÓ. ä.15 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÕÒÏ×, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÅÂÒÏ (3; 5) É ÎÅ ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÅÂÒÏ (2; 1). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏ ÅÄÕÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÒÁÚÄÅÌÅÎÉÉ ÔÅËÕÝÅÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÕÒÏ× ÎÁ Ä×Á ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÕÔÅÍ ×ÙÂÏÒÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÅÂÒÁ. ÅÅÒØ ÒÁÓÓËÁÖÅÍ ÏÂ ÉÄÅÅ Á×ÔÏÒÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, Ó×ÑÚÁÎÎÏÊ Ó ÒÏ ÅÄÕÒÏÊ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÇÒÁÎÉ . ó ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÄÅÒÅ×Á ÍÙ Ó×ÑÚÙ×ÁÅÍ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÎÉÖÎÉÈ ÇÒÁÎÉ | ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÆÁËÔÏÒ, ÄÁÀÝÉÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ × ÌÀÂÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÅÍ ÍÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÍÙ ÈÏÔÉÍ ÏÌÕÞÉÔØ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÙÅ ÎÉÖÎÉÅ ÇÒÁÎÉ Ù. ðÒÉÞÉÎÁ ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÏÓÔÒÏÉÌÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ÏÌÎÙÊ ÔÕÒ ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ Ct. åÓÌÉ ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á, Ó×ÑÚÁÎÎÁÑ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÔÕÒÏ×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ Ct, ÔÏ ÄÏ ËÏÎ Á ÒÏ ÅÓÓÁ ÏÉÓËÁ ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÜÔÕ É ×ÓÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁ ÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ, Ô. Ë. ÅÓÌÉ ÍÙ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ, ÔÏ ×ÓÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅÓÑ × ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÔÕÒÙ ÉÍÅÀÔ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÂÏÌØÛÕÀ, ÞÅÍ ÕÖÅ ÎÁÊÄÅÎÎÙÊ ÔÕÒ. ïÓÎÏ×ÎÏÊ ÛÁÇ ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÎÉÖÎÉÈ ÇÒÁÎÉ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ËÁË ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. üÔÁ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ Ä×ÕÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÈ: 1. ÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ËÁÖÄÙÊ ÏÌÎÙÊ ÔÕÒ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ (ÒÅÂÒÏ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ) ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á É ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ×ÅÒÎÏ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÏÄÉÎ É ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ É ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á, ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÔÕÒ. 2. åÓÌÉ ×ÙÞÅÓÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ h ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÓÔÒÏËÉ ÉÌÉ ÓÔÏÌÂÁ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, ÔÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ÒÉ ÎÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Å ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÎÁ h ÍÅÎØÛÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÏÊ ÔÕÒ ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÒÅÂÒÏ ÉÚ ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÉÌÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á, ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÔÕÒÏ× ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ÎÁ h. üÔÏ ×ÙÞÉÔÁÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÓÔÒÏËÉ (ÉÌÉ ÓÔÏÌÂ Á) ÍÁÔÒÉÙ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. ðÕÓÔØ t | ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÕÒ ÒÉ ÍÁÔÒÉ Å ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ C . óÔÏÉÍÏÓÔØ ÔÕÒÁ t ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ËÁË z(t) = P ij . i;j )∈t ( åÓÌÉ ÍÁÔÒÉ Á C ′ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ù C ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÓÔÒÏËÉ (ÉÌÉ ÓÔÏÌÂÁ), ÔÏ ÔÕÒ t ÄÏÌÖÅÎ ÏÓÔÁ×ÁÔØÓÑ ÏÔÉÍÁÌØÎÙÍ ÔÕÒÏÍ É × ÍÁÔÒÉ Å C ′, ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÔÕÒÏ× Ó×ÑÚÁÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ z (t) = h + z ′ (t); ÇÄÅ z′(t) | ÓÔÏÉÍÏÓÔØ ÔÕÒÁ t × ÍÁÔÒÉ Å C ′. ðÏÄ ÒÏ ÅÄÕÒÏÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ×ÓÅÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ: ÍÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÈÏÄÉÍ ÓÔÒÏËÉ É ×ÙÞÉÔÁÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ hi ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÜÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ. úÁÔÅÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á. åÓÌÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÉÌÉ ÓÔÒÏËÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ hi = 0, ÔÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÉÌÉ ÓÔÒÏËÁ ÕÖÅ ÒÉ×Å- ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 387 ÄÅÎÙ, É ÍÙ ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÓÔÏÌÂ Õ ÉÌÉ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ: X hi : h= ×ÓÅ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ðÏÌÕÞÅÎÎÕÀ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÉÚ C . ÷ ÔÁÂÌ. ä.6.5 ÏËÁÚÁÎÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. úÎÁÞÅÎÉÑ hi ÄÁÎÙ × ËÏÎ Å ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Á (ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌÂ Ù ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ). ïÂÝÅÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ h = 25 + 5 + 1 + 6 + 7 + 3 = 47, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á R ÒÁ×ÎÁ 47, Ô. Å. z (t) = h + z ′ (t) > h = 47; ÔÁË ËÁË z′(t) > 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ t ÒÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å C ′. üÔÁ ÇÒÁÎÉ Á É ÕËÁÚÁÎÁ ÏËÏÌÏ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á ÎÁ ÒÉÓ. ä.15. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÅÂÒÁ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÎÕÌÅ×ÕÀ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ × ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÔÕÒ, ÔÏ ÍÙ ÓÒÁÚÕ ÏÌÕÞÉÌÉ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ (Ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÜÔÏ ÏÞÔÉ ÞÔÏ ×ÓÅÇÄÁ ÎÅ ÔÁË). óÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÏÒÏÓ | ÜÔÏ ×ÏÒÏÓ Ï ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÒÎÅ×ÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ. á×ÔÏÒÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÓÔÒÏÑÔ ÜÔÉ Ï ÅÎËÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÁÂÌÉ Á ä.6.5. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ 1 2 3 4 5 1 ∞ 25 40 31 27 h1 = 25 2 2 ∞ 17 30 25 h2 =5 3 19 15 ∞ 6 1 h3 =1 4 9 50 24 ∞ 6 h4 =6 5 22 8 7 10 ∞ h5 =7 h6 =0 h7 =0 h8 =0 h9 =3 h10 =0 ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÒÅÂÒÏ (3; 5) ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ËÁÖÄÏÍ ÔÕÒÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5}. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÒÅÑÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÙÂÏÒÕ ÒÅÂÒÁ (5; 3), ÔÁË ËÁË ÒÅÂÒÁ (3; 5) É (5; 3) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÉËÌ, Á ÜÔÏ ÎÅ ÄÏÕÓËÁÅÔÓÑ ÎÉ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ ÔÕÒÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÅÂÒÏ (5; 3) ÉÓËÌÀÞÁÅÍ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ, ÏÌÏÖÉ× ÚÎÁÞÅÎÉÅ = ∞. óÔÒÏËÕ 3 É ÓÔÏÌÂÅ 5 ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ÉÚ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÔÕÒÏ× {3; 5}, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÕÖÅ ÅÓÔØ ÒÅÂÒÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ 3 × ×ÅÒÛÉÎÕ 5. þÁÓÔØ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, ÉÚ ÔÁÂÌ. ä.6.5, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÕÄÅÔ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ÏÉÓËÁ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÔÕÒÏ× {3; 5}, ÏËÁÚÁÎÁ × ÔÁÂÌ. ä.6.6. ïÎÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ Ë ÍÁÔÒÉ Å ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, ÏËÁÚÁÎÎÏÊ × ÔÁÂÌ. ä.6.7 ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ h = 15. ÅÅÒØ ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÒÁ×ÎÁ 47+15=62, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÏ ÏËÏÌÏ ×ÅÒÛÉÎÙ {3; 5} ÎÁ ÒÉÓ. ä.15. 53 388 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÁÂÌÉ Á ä.6.6. ÁÂÌÉ Á ä.6.7. íÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á 1 2 3 4 1 ∞ 0 15 3 2 0 ∞ 12 22 4 3 44 18 ∞ 5 5 1 ∞ 0 1 2 3 {3; 5} 4 1 ∞ 0 3 3 0 2 0 ∞ 0 22 0 4 0 41 3 ∞ h3 5 15 1 ∞ 0 0 0 h = 12 =3 0 0 îÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ. òÅÂÒÏ (3; 5) ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, ÏÜÔÏÍÕ ÏÌÁÇÁÅÍ = ∞ × ÍÁÔÒÉ Å, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ × ÔÁÂÌ. ä.6.5. ÷ ÌÀÂÏÊ ÔÕÒ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÂÕÄÅÔ ×ÈÏÄÉÔØ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÒÅÂÒÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ 3 É ËÁËÏÅ-ÔÏ ÒÅÂÒÏ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ 5. óÁÍÏÅ ÄÅÛÅ×ÏÅ ÒÅÂÒÏ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ 3, ÉÓËÌÀÞÁÑ ÓÔÁÒÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ (3; 5), ÉÍÅÅÔ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ 2, Á ÓÁÍÏÅ ÄÅÛÅ×ÏÅ ÒÅÂÒÏ Ë ×ÅÒÛÉÎÅ 5 ÉÍÅÅÔ ÓÔÏÉÍÏÓÔØ 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á ÌÀÂÏÇÏ ÔÕÒÁ ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Å {3; 5} ÒÁ×ÎÁ 47 + 2 + 0 = 49 (ÒÉÓ. ä.15). ðÒÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÎÁÍ ÕÄÁÌÏÓØ ÓÏËÒÁÔÉÔØ ÅÅ ÒÁÚÍÅÒ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ, ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á { k; l }, ÔÁË ÞÔÏ ÍÙ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÏËÒÁÝÁÅÍ ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÔÒÁÔÙ. åÝÅ ÏÄÉÎ ×Ù×ÏÄ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÙ ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÔÕÒ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {3; 5} ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ, ÍÅÎØÛÅÊ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏÊ 62, ÔÏ ÔÏÇÄÁ ÍÙ ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÅÍ ×ÅÒÛÉÎÕ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ {3; 5}, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ {3; 5} × ÄÅÒÅ×Å ÏÔÒÁÂÏÔÁÎÁ. ÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÅÌØÀ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ {3; 5} × ÎÁÄÅÖÄÅ ÎÁÊÔÉ ÔÕÒ ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ × ÒÅÄÅÌÁÈ 49 6 Ct 6 62. ÅÅÒØ, ËÏÇÄÁ ÑÓÎÏ, ËÁË × ÏÂÝÉÈ ÞÅÒÔÁÈ, ×ÙÇÌÑÄÑÔ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ É ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÇÒÁÎÉ , ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÓÈÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ (í÷ç) ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÒÉÎÑÔÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ X | ÔÅËÕÝÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, Á (k; l) | ÒÅÂÒÏ Ï ËÏÔÏÒÏÍÕ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁ X , ÞÅÒÅÚ Y É Y . íÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ÅÓÔØ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ× ÉÚ X , ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÅÂÒÏ (k; l), Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y | ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ× ÉÚ X , ÎÅ ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÅÂÒÏ (k; l). ÷ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÎÉÖÎÉÅ ÇÒÁÎÉ Ù ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× Y É Y ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ w(Y ) É w(Y ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. óÁÍÙÊ ÄÅÛÅ×ÙÊ ÔÕÒ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ z , ÒÉÞÅÍ × ÍÏÍÅÎÔ ÉÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÉ z = ∞. 35 áÌÇÏÒÉÔÍ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ Pro edure Input Begin 1. 2. 3. While (w(X ) < z0) ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. 0 0 áÌÇÏÒÉÔÍ í÷ç ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÷×ÏÄ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ É ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ éÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑ ðÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ C õÓÔÁÎÏ×ËÁ ËÏÒÎÑ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ X=R ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ begin 4. (k; l) 5. w(Y) 6. w(Y ) if then begin 7. if (w(Y ) < z0) then begin z 0 = w(Y ) end (if (w(Y ) < z0) end 8. X 9. end w(X ) < z 0 ÷ÙÂÏÒ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ðÒÏ ÅÓÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. óÏÚÄÁÎÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ . ðÒÏ ÅÓÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. óÏÚÄÁÎÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ 389 Y Y . (ÒÁÚÍÅÒ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ × ×ÅÒÛÉÎÅ Y = 2) ðÒÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÝÅÊ Ï ÅÎËÉ ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎÙ Y (ÚÁÏÍÉÎÁÅÍ ÔÕÒ) (if) ÷ÙÂÏÒ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ, É ÕÓÔÁÎÏ×ËÁ ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÌÉ ÞÔÅÎÉÅ ÆÒÁÇÍÅÎÔÁ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ (while ) ïÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÏ ÓÔÏÉÍÏÓÔØÀ End X C, z 0 ÎÁÊÄÅÎÏ ÷ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÕËÒÕÎÅÎÎÏÊ ÓÈÅÍÅ ÄÁÎÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÓÔÁÌÉÓØ ÎÅÒÁÓËÒÙÔÙÍÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÁÖÎÙÅ ÄÅÔÁÌÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÂÓÕÄÉÔØ. üÔÁ 1. õÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÉÌÉ ÉÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑ, ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÔÒÕÄÁ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÁ. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÏÒÏÓ | ÜÔÏ ×ÙÂÏÒ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ÈÒÁÎÅÎÉÑ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ | ÉÍÅÊÔÅ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ. üÔÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÓÏÓÏÂÁ ×ÙÄÅÌÅÎÉÑ ÁÍÑÔÉ ÏÄ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÄÅÒÅ×Á. üÔÁ 2. ðÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ | ÜÔÏ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÑ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÒÁÎÅÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ; ÄÅÔÁÌÉ ÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. üÔÁ 3. éÎÉ ÉÁÌÉÚÁ ÉÑ ËÏÒÎÑ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á. ïÓÎÏ×ÎÏÊ ×ÏÒÏÓ × ÔÏÍ, ÂÕÄÅÔ ÌÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÄÅÒÅ×Á ÈÒÁÎÉÔØÓÑ É ÍÁÔÒÉ Á ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÅ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÔÅËÕÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÉÓÈÏÄÎÏÊ. üÔÏ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ×ÙÂÏÒ ÍÅÖÄÕ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÅÌØÎÏÓÔØÀ É ÔÒÅÂÕÅÍÙÍ ÏÂßÅÍÏÍ ÁÍÑÔÉ. üÔÁ 4. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÏÂÓÕÖÄÁÌÉ, ×ÙÂÏÒ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ (k; l) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y É Y , ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÚÁ ÔÅËÕÝÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÒÅÛÅÎÉÊ X . òÅÂÒÏ (k; l) ÄÌÑ ÏÂÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ ÅÒÅÂÏÒÁ, ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÙÔÁÔØÓÑ ÏÌÕÞÉÔØ ÂÏÌØÛÕÀ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Y , ÞÔÏ ÏÂÌÅÇÞÉÔ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÅ Ï ÅÎËÉ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y . ÁËÉÍ ïÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÉ ÜÔÁÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. 390 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÙÔÁÅÍÓÑ ÚÁÓÔÁ×ÉÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y , ÙÔÁÑÓØ ÒÅÛÉÔØ ÚÁÄÁÞÕ ×ÓÅÇÏ ÚÁ n ÛÁÇÏ×. ëÁË ÒÉÍÅÎÉÔØ ÜÔÉ ÉÄÅÉ Ë ×ÙÂÏÒÕ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ (k; l)? ÷ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ C ′ , Ó×ÑÚÁÎÎÏÊ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ X , ËÁÖÄÁÑ ÓÔÒÏËÁ É ÓÔÏÌÂÅ ÉÍÅÀÔ ÈÏÔÑ ÂÙ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÎÕÌÅ×ÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ (ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË, ÔÏ ÍÁÔÒÉ Á C ′ ÎÅ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÉ×ÅÄÅÎÁ). íÏÖÎÏ ÒÅÄÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ÒÅÂÒÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÔÉÍ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÓÔÏÉÍÏÓÔÑÍ, ÂÕÄÕÔ Ó ÂÏÌØÛÅÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ ×ÈÏÄÉÔØ × ÏÔÉÍÁÌØÎÙÊ ÔÕÒ, ÞÅÍ ÒÅÂÒÁ Ó ÂÏÌØÛÉÍÉ ÓÔÏÉÍÏÓÔÑÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÍÙ ×ÙÂÅÒÅÍ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ, ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÈÏÔÉÍ, ÞÔÏÂÙ Õ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y = {k; l} ÂÙÌÁ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌØÛÁÑ ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉ Á. ðÕÓÔØ ÒÅÂÒÏ (k; l) ÉÍÅÅÔ kl = 0, É ÏÂÒÁÝÁÑÓØ Ë ÒÏ ÅÄÕÒÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ Ù, ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y ÜÔÁ ÇÒÁÎÉ Á ÚÁÄÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ w(Y ) = w(X ) + min il + min kj : j; j 6 l i; i6 k óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÅÂÅÒ (k; l), Õ ËÏÔÏÒÙÈ kl = 0 × ÔÅËÕÝÅÊ ÍÁÔÒÉ Å C ′ ÍÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÁÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÄÌÑ ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ Ù | w(Y ). âÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÎÁ ÜÔÁÅ 4 ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ = Pro edure Begin ( S = ÷ÙÂÏÒ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ (i; j ) ðÕÓÔØ | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ , ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ × ÔÅËÕÝÅÊ ÍÁÔÒÉ Å ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ . ðÏÌÏÖÉÍ ij ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ × ÓÔÒÏËÅ , ÉÓËÌÀÞÁÑ Ó[i; j ℄ = 0 D = min ( ó Ó[i; j ℄) + min (ÓÔÏÉÍÏÓÔØ × ÓÔÏÌÂ Å j , ÉÓËÌÀÞÁÑ Ó[i; j ℄) ) 1. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ Dij ÄÌÑ ×ÓÅÈ (i; j ) ∈ S 2. ÷ÙÂÉÒÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÅÂÒÏ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ (k; l) ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ Dkl = max(Dij ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ (i; j ) ∈ S i End üÔÁ 5. îÁ ÜÔÏÍ ÜÔÁÅ ÍÙ ÒÅÁÌÉÚÕÅÍ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ, É ÄÏÂÁ×ÌÑÅÍ × ÏÉÓËÏ×ÏÅ ÄÅÒÅ×Ï ×ÅÒÛÉÎÕ Y , ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÚÁ X . ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ ÄÌÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ w(Y ) = w(X ) + Dkl ; ÇÄÅ Dkl ÕÖÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÏ ÎÁ ÜÔÁÅ 4. üÔÁ 6. ÷ÅÒÛÉÎÅ Y , ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÚÁ X , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÕÒÏ× ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÔÏ ÒÅÂÒÏ (k; l), ËÏÔÏÒÏÅ ×ÙÂÒÁÎÏ ÎÁ ÜÔÁÅ 4. ðÒÉ ÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÅÒÛÉÎÅ Y ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ | ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÔÕÒÁ, É ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÕÔ ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÉÍ ÉËÌÁÍ, ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÚÁÒÅÝÅÎÙ. äÅÔÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ. Pro edure begin 1. æÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎÙ C éÚ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÔÒÏËÕ É ÓÔÏÌÂÅ . k l X ÉÓËÌÀÞÁÅÍ Y ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ 391 if (k; l) X then begin 2. p q 3. ó [p; q℄ = ∞ end 4. h= 5. w(Y ) = w(X ) + h end üÔÁ 7. ÷ ËÏÎ Å ËÏÎ Ï×, ÒÏ ÅÓÓ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÎÁÓ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ, (ÒÅÂÒÏ ÎÅ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÏ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ ÒÅÂÅÒ, ×ËÌÀÞÅÎÎÙÈ × ÔÕÒ Ï ÕÔÉ ÏÔ ËÏÒÎÑ ÄÅÒÅ×Á ÄÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ) îÁÈÏÄÉÍ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ | É ËÏÎÅÞÎÙÊ | ÇÏÒÏÄ ÕÔÉ ÷ÙÏÌÎÑÅÍ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. ÓÕÍÍÁ ËÏÎÓÔÁÎÔ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍ ÔÁË ÍÁÌÏ ÔÕÒÏ×, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ É ÒÏ×ÅÓÔÉ Ï ÅÎËÕ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÂÅÚ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÇÏ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. ëÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ, ÒÏ ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÕÒÁÈ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y , ÓÏËÒÁÝÁÅÔ ÒÁÚÍÅÒ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÎÁ ÏÄÎÕ ÓÔÒÏËÕ É ÏÄÉÎ ÓÔÏÌÂÅ . åÓÌÉ × ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÂÙÌÏ n ÇÏÒÏÄÏ×, Á ÔÅËÕÝÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒ 2 × 2, ÔÏ ÕÖÅ n − 2 ÒÅÂÅÒ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÔÕÒÅ ÉÚ Y , ÏÜÔÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÁÍÏÅ ÂÏÌØÛÅÅ Ä×Á ÔÕÒÁ, É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÝÕÀ Ï ÅÎËÕ, É ÏÌÕÞÉÔØ ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ÔÕÒ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. ÷ÏÒÏÓ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÉÈ ÒÁÓÏÚÎÁÔØ, ÍÙ ÏÓÔÁ×ÉÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. üÔÁ 8. ÅÅÒØ ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ X , ÏÔ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÏ×ÏÄÉÔØ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÅ. üÔÏÔ ×ÙÂÏÒ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÏÞÅ×ÉÄÅÎ. íÙ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÔÕ ×ÅÒÛÉÎÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÕÀ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉ Õ, É ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÎÅ ×ÙÈÏÄÑÔ ×ÅÔ×É, Ô. Å.| ÜÔÏ ÌÉÓÔ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÎÉÖÎÅÊ ÇÒÁÎÉ ÅÊ. üÔÁ 9. ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ×ÙÂÒÁÌÉ ÎÏ×ÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á X × ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÅËÕÝÅÊ, ÔÏ ÎÁÛÁ ÚÁÄÁÞÁ ÎÁ ÜÔÏÍ ÜÔÁÅ | ÏÌÕÞÉÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ×ÅÒÛÉÎÅ X ÍÁÔÒÉ Õ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. åÓÌÉ ÍÙ ÈÒÁÎÉÍ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÔÏ ÍÁÔÒÉ Á ÕÖÅ ÅÓÔØ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÎÁÊÔÉ ÕÔØ ÏÔ ËÏÒÎÑ ÄÏ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ËÏÒÒÅËÔÉÒÏ×ÁÔØ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÜÔÁÏ× ÒÉ×ÅÄÅÍ (ÒÉÓ. ä.16) ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÌÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ëÁËÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× × ÓÍÙÓÌÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÖÉÄÁÔØ? ïÂÏ ×ÓÅÈ ÂÏÌÅÅ ÉÌÉ ÍÅÎÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÈ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÝÉÈ ÍÅÔÏÄ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÉÌÉ ÉÍÅÀÔÓÑ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÉÈ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ × ÈÕÄÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ. ÷ ÌÕÞÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÅÓÌÉ ÍÙ ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÓÏËÒÁÝÁÅÍ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, ÔÏ Ï ÅÎËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ. üÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ô. Ë. Ï ÅÎËÁ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÜÔÁÏ× ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ | ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÒÁÚÍÅÒÕ (n) ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ, É × ÌÕÞÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÉËÌ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ n ÒÁÚ | ÍÙ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ ×ÙÂÉÒÁÅÍ ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ × ÔÕÒ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÒÅÂÅÒ. ÁïÂÓÕÖÄÅÎÉÅ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÕÌÕÞÛÅÎÉÑ. 392 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÏÊ ÒÁÚÂÒÏÓ ÏÖÉÄÁÅÍÏÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ n, ÚÁ×ÉÓÑÝÉÊ ÏÔ ÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. íÙ ÉÍÅÅÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÅÎÎÏ-ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ Ó ÓÉÌØÎÏÊ ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØÀ. ÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ ÏÖÉÄÁÅÍÏÊ ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔÉ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÅÎ É ÞÁÓÔÏ ×ÙÈÏÄÉÔ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÎÁÛÉÈ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. R 47 âñå òóðû {2,1} 62 74 {4,1} 50 {2,1} 62 {4,1} 68 53 {4,5} {4,5} 65 {1,4} 64 {1,4} òÉÓÕÎÏË ä.16. äÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÍÅÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÔÏÉÍÏÓÔÅÊ ÉÚ ÔÁÂÌ. ä.6.4 îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÅÓÓÉÍÉÚÍ × ÔÅÏÒÉÉ, ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÄÁÎÎÙÅ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÓÒÁ×ÌÑÅÔÓÑ, × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÓÌÕÞÁÅ×, Ó ÚÁÄÁÞÁÍÉ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÏÒÑÄËÁ 50 ÚÁ ÒÅÁÌØÎÏÅ ×ÒÅÍÑ. ïÓÏÂÏ ÏÄÞÅÒËÎÅÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏ ÔÏÞÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ËÌÁÓÓÕ NPC. íÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÒÑÄ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÕÌÕÞÛÅÎÉÊ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÏÓÔÙÈ (ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ) ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÔÕÒÁ Ó ÅÌØÀ ×ÏÚÍÏÖÎÏÇÏ ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÎÉÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÏÉÓËÏ×ÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÖÅ ÎÁ ÒÁÎÎÉÈ ÛÁÇÁÈ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ. îÁÂÏÒ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ä.6 ë ××ÅÄÅÎÉÀ. ä.6.1. ðÏÒÏÂÕÊÔÅ ÎÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÓÕÍÍÅ × 22 ÆÌÏÒÉÎÁ, ÎÁÏ- ÍÎÉÍ, ÞÔÏ Õ ÷ÁÓ ÅÓÔØ ÍÏÎÅÔÙ ÎÏÍÉÎÁÌÏÍ 2, 3, 5, 6 É 7 ÆÌÏÒÉÎÏ×. ëÁËÏÊ Õ ÷ÁÓ ÏÌÕÞÉÌÓÑ ÏÔ×ÅÔ, É ÓËÏÌØËÏ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÓÕÍÍÙ ÷Ù ÅÒÅÂÒÁÌÉ? ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ ÍÅÔÏÄÏÍ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ä.6.2. éÚ ÏÓÔÁÎÏ×ËÉ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÂßÅÍÁ ÕÁËÏ×ËÉ | V É ÏÂßÅÍÙ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× | vi. ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ, ËÁË 393 ä.6. ïÂÝÁÑ ÒÏÂÌÅÍÁ ÅÒÅÂÏÒÁ ÍÏÖÎÏ ÔÏÞÎÅÅ, ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÅÒÅÂÏÒÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÍ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÏÍ, É ÎÁÊÔÉ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ. ä.6.3. åÓÌÉ ÷Ù ÏÂÒÁÔÉÌÉ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÔÏ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÓÔÒÏËÁ ÔÁÂÌ. ä.6.2, ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÀÝÁÑ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ, ÚÁÏÌÎÅÎÁ ÚÎÁËÁÍÉ ×ÏÒÏÓÁ | ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÉÍÅÀÝÅÊÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÏÂ ÕÁËÏ×ËÉ ×ÓÅÈ ÄÉÓËÒÅÔÏ× ÏÂßÅÍÁ ÇÒÕÚÁÍÉ ÅÒ×ÏÇÏ, É ×ÔÏÒÏÇÏ ÔÉÁ ÎÁÊÄÉÔÅ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÌÌÍÁÎÁ, ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÂßÅÍÁ 10 É ÔÒÅÈ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ×. ä.6.4. ëÁË ÂÕÄÅÔ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÆÒÁÇÍÅÎÔ ÄÅÒÅ×Á ÒÅËÕÒÓÉÊ, ÅÓÌÉ × ÓÒÅÄÎÅÍ ÇÒÕÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÉÁ ÒÁÚÍÅÝÁÅÔÓÑ × ÏÂßÅÍÅ ÕÁËÏ×ËÉ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÔÒÅÈ ÒÁÚ | k = 3. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÒÏ×ÎÅÊ ÜÔÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÉÓ. ä.13. ä.6.5. éÓÏÌØÚÕÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÕÁËÏ×ËÉ, ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (14) É ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÄÅÒÅ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. ä.11. ïÂßÅÍÙ É ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÔÉÏ× ÇÒÕÚÏ× ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × ÔÁÂÌÉ Å. 3 i vi i 1 3 5 2 4 6 3 5 7 ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ ÍÅÔÏÄÏÍ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ä.6.6. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÌÑ ÔÕÒÁ × ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁ- ÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, ËÁË ÚÁÄÁÞÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn −n. òÅÂÒÁ, ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ ×ÅËÔÏÒÁ xi = 1, ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÔÕÒ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÉÓÁÎÉÅÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n ÞÉÓÅÌ, É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ, ××ÅÄÅÎÎÙÍÉ × ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ. ä.6.7. ÷ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ezn −n ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÓÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ M | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÜÔÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÌØËÏ n ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÁ×ÎÙ ÅÄÉÎÉ Å, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÎÕÌÅ×ÙÅ | ÉÍÅÎÎÏ ÏÎÉ É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÌÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÒÅÂÏÒÁ × ÜÔÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ M = Cnn −n ; ÜÔÏ ÅÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÔØ n ÅÄÉÎÉ Ï n − n ÏÚÉÉÑÍ. ðÏÙÔÁÊÔÅÓØ Ï ÅÎÉÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (n − 1)!=M | ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÏ×Á ÄÏÌÑ ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ ÔÕÒÏ× × ÏÂÝÅÍ ÏÂßÅÍÅ ÅÒÅÂÏÒÁ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ Ï ÅÎËÉ ÆÁËÔÏÒÉÁÌÁ ÉÚ ÒÁÚÄÅÌÁ 1, É Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ: ln(1 − x) ≈ −x, 0 6 x ≪ 1. ä.6.8. ï ÅÎÉÔÅ, ÓËÏÌØËÏ ÔÕÒÏ× ×ÈÏÄÉÔ × ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {k; l} ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ Ó n ÇÏÒÏÄÁÍÉ? 2 2 2 2 394 äÏÏÌÎÅÎÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÉÚÄÁÎÉÀ ä.6.9. ðÒÅÄÌÏÖÉÔÅ ÄÒÕÇÉÅ ÉÄÅÉ Ï ×ÙÂÏÒÕ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔ×ÌÅÎÉÑ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÍÅ- ÔÏÄÁ ×ÅÔ×ÅÊ É ÇÒÁÎÉ ÄÌÑ ÚÁÄÁÞÉ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ. ëÁË ×Ù ÄÕÍÁÅÔÅ, ÍÏÖÅÔ ÌÉ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÜÔÁÁ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÚÁ ÓÞÅÔ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÂÏÌØÛÅÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÒÅÂÅÒ, ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÓÏËÒÁÝÅÎÉÀ ÏÂÝÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÅÛÅÎÉÑ? îÁ ÎÁÛ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁÉÌÕÞÛÉÍ ÏÔ×ÅÔÏÍ ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÙÈ ÜËÓÅÒÉÍÅÎÔÏ×. ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ [1℄ Garnier, R. and Taylor, J. (1992) Dis rete Mathemati s for New Te hnology , Bristol: Institute of Physi s Publishing. [2℄ Gersting, J. L. (1999) Mathemati al Stru tures for Computer S ien e , 4th edn, San Fran is o: W. H. Freeman. [3℄ Johnsonbaugh, R. (2001) Dis rete Mathemati s , 5th edn, New Jersey: Prenti e Hall. [4℄ Rosen, K. H. (1998) Dis rete Mathemati s and Its Appli ations , New York: M Graw-Hill. [5℄ Ross, K.A. and Wright, C.R. B. (1999) Dis rete Mathemati s , 4th edn, New Jersey: Prenti e Hall. [6℄ Truss, J. K. (1999) Dis rete Mathemati s for Computer S ientists , 2nd edn, Harlow: Addison-Wesley. [7℄ Little R. D. C., Murty K. G., Sweeney D. W., Karel C. An Algorithm for the Traveling Salesman Problem . Oper. Res., 11: 979{989 (1963) (IM). [8℄ áÎÄÅÒÓÏÎ äÖ. äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ : ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. í.: éÚÄÁÔÅÌØËÉÊ ÄÏÍ ÷ÉÌØÑÍÓ. 2003. [9℄ áÎÄÒÅÅ×Á ë.ç., îÉËÉÔÏ× ó.á. ïÔÉÍÉÚÁ ÉÑ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÙÒØÑ × ÚÁÄÁÞÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓËÒÏÑ // éÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÅ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÉ. 2003. 11. Ó. 24 { 29. [10℄ áÈÏ á., èÏËÒÏÆÔ äÖ., õÌØÍÁÎ äÖ. óÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÁÎÎÙÈ É ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ : ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ.: | í.: éÚÄÁÔÅÌØÓËÉÊ ÄÏÍ ÷ÉÌØÑÍÓ, 2001 Ç. [11℄ âÅÌÌÍÁÎ ò., äÒÅÊÆÕÓ ò. ðÒÉËÌÁÄÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ : ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. í.: îÁÕËÁ, çÌÁ×ÎÁÑ ÒÅÄÁË ÉÑ ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ, 1965. [12℄ âÏÎÄÁÒÅÎËÏ ÷. á. ï ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÄÉÓËÒÅÔÎÙÈ ÚÁÄÁÞ (http://edu.yar.ru/russian/pedbank/sor-pro/bondarenko). [13℄ âÏÎÄÁÒÅÎËÏ ÷. á. ðÏÌÉÜÄÒÁÌØÎÙÅ ÇÒÁÆÙ É ÓÌÏÖÎÏÓÔØ × ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ . ñÒÏÓÌÁ×ÌØ: ñÒÏÓÌÁ×ÓËÉÊ ÇÏÓÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ, 1995. [14℄ ÷ÁÌÅÅ×Á á.æ., çÁÒÅÅ× é.æ., íÕÈÁÞÅ×Á ü.á. úÁÄÁÞÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ: ÒÁÎÄÏÍÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÏÇÏ ÅÒÅÂÏÒÁ É ÍÅÔÏÄ ÅÒÅÂÏÒÁ Ó ÕÓÅÞÅÎÉÅÍ // éÎÆÏÒÍÁ ÉÏÎÎÙÅ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÉ. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ. 2003. 2. 24 Ó. [15℄ çÒÉÎ ä., ëÎÕÔ ä. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÁÎÁÌÉÚÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× . í.: íÉÒ, 1987. | 120 Ó. [16℄ çÒÜÈÅÍ ò., ëÎÕÔ ä., ðÁÔÁÛÎÉË ï. ëÏÎËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. ïÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÉ : ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. í.: íÉÒ, 1998. [17℄ çÕÄÍÁÎ ó., èÉÄÅÔÎÉÅÍÉ ó. ÷ÅÄÅÎÉÅ × ÒÁÚÒÁÂÏÔËÕ É ÁÎÁÌÉÚ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× . í.: íÉÒ, 1981. 396 ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ [18℄ éÌØÉÎ ÷. á., óÁÄÏ×ÎÉÞÉÊ ÷. á., óÅÎÄÏ× âÌ. è. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ . í.: îÁÕËÁ. çÌÁ×ÎÁÑ ÒÅÄÁË ÉÑ ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ, 1979. [19℄ ëÎÕÔ ä. éÓËÕÓÓÔ×Ï ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ . ÏÍÁ 1, 2, 3. 3-Å ÉÚÄ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ.: õÞ. ÏÓ. í.: éÚÄ. ÄÏÍ ÷ÉÌØÑÍÓ, 2001 Ç. [20℄ ëÏÒÍÅÎ ., ìÅÊÚÅÒÓÏÎ þ., òÉ×ÅÓÔ ò. áÌÇÏÒÉÔÍÙ: ÏÓÔÒÏÅÎÉÅ É ÁÎÁÌÉÚ. í.: íãîíï, 2001 Ç. [21℄ íÁËËÏÎÅÌÌ äÖ. áÎÁÌÉÚ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. ÷×ÏÄÎÙÊ ËÕÒÓ . í.: òéã ÅÈÎÏÓÆÅÒÁ, 2002. [22℄ íÁËËÏÎÅÌÌ äÖ. ïÓÎÏ×Ù ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. 2-Å ÄÏÏÌÎÅÎÎÏÅ ÉÚÄÁÎÉÅ . í.: ÅÈÎÏÓÆÅÒÁ, 2004. [23℄ îÅÆÅÄÏ× ÷.î., ïÓÉÏ×Á ÷. á. ëÕÒÓ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ . í.: íáé, 1992. [24℄ îÏ×ÉËÏ× æ. á. äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÄÌÑ ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÏ× . óðÂ.: ðÉÔÅÒ, 2001. [25℄ õÌØÑÎÏ× í. ÷., çÕÒÉÎ æ. å., éÓÁËÏ× á. C., âÕÄÁÒÁÇÉÎ ÷. å. óÒÁ×ÎÉÔÅÌØÎÙÊ ÁÎÁÌÉÚ ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ É ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÔÏÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÕÁËÏ×ËÉ // Exponenta Pro íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ. 2004. 2(6). ó. 64{70. [26℄ ûÅ×ÞÅÎËÏ ÷. î. ëÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ , í.: æÉÚÍÁÔÌÉÔ, 1995. [27℄ àÄÉÎ ä.â., çÏÒÑÛËÏ á.ð., îÅÍÉÒÏ×ÓËÉÊ á.ó. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÅÔÏÄÙ ÏÔÉÍÉÚÁ ÉÉ ÕÓÔÒÏÊÓÔ× É ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× áóõ . í.: òÁÄÉÏ É Ó×ÑÚØ, 1982. [28℄ ñÂÌÏÎÓËÉÊ ó. ÷. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÄÉÓËÒÅÔÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ . í.: îÁÕËÁ, 1986. ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ , 12 äÅÊËÓÔÒÙ, 181 ×ÓÔÁ×ËÉ, 167 ÏÉÓËÁ, 167 ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÏÂÈÏÄÁ, 169 ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÉ, 174 ÁÎÔÅ ÅÄÅÎÔ, 172 Á ÉËÌÉÞÎÙÊ, 146 ÂÉÅË ÉÑ, 99 ÂÉÔÏ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ, 57 ÂÌÏËÉ, 77 ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎË ÉÑ, 197 ÂÕÌÅ×Ï ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, 195 ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 93 ÂÕÌÅ×Ù ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ, 196 ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, 195 ×ÅÒÛÉÎÁ, 171 ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ, 156 ÇÒÁÆÁ, 142 ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÍÅÖÎÙÅ, 143 ×ÅÓ ÒÅÂÒÁ, 150 ×ÙÂÏÒ, 87 ×ÙÂÏÒËÁ, 120 ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ, 120 ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ, 120 ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ ËÏÎÔÒÁÏÚÉÔÉ×ÎÏÅ, 27 ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ, 27 ÕÓÌÏ×ÎÏÅ, 26 ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ, 26 ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ, 24 ÇÌÕÂÉÎÁ ×ÅÒÛÉÎÙ, 162 ÇÒÁÆÁ, 162 ÇÒÁÆ 12, 142 Á ÉËÌÉÞÎÙÊ, 146 ÇÒÁÆ ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×, 148 ÎÁÇÒÕÖÅÎÎÙÊ, 150, 181 ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ, 70 ÏÌÎÙÊ, 148 ÒÏÓÔÏÊ, 143 Ó×ÑÚÎÙÊ, 146 ÜÊÌÅÒÏ×, 142 ÇÒÁÆÉË, 98 Ä×ÏÉÞÎÙÊ ÏÉÓË, 136 ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÌÏÓËÏÓÔØ, 56 ÄÅËÁÒÔÏ×Ï ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 55 ÄÅÒÅ×Ï, 152 Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÏÉÓËÁ, 165 Ä×ÏÉÞÎÏÅ, 157 ÏÌÎÏÅ, 163 Ó ËÏÒÎÅÍ, 155 ÎÕÌÅ×ÏÅ, 157 ÏÓÔÏ×ÎÏÅ, 153 ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ, 154 ÄÅÒÅ×ØÑ ÂÉÎÁÒÎÙÅ, 157 ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ èÁÓÓÅ, 80 ÄÉÚßÀÎËÔÉ×ÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ, 198 ÄÉÚßÀÎË ÉÑ, 25, 194 ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÒÛÒÕÔÉÚÁ ÉÑ, 190 ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ, 48 ÄÕÇÁ, 171 ÚÁÄÁÞÁ ËÏÍÍÉ×ÏÑÖÅÒÁ, 149 ÏÉÓËÁ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ, 153 ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ, 27 ÚÁËÏÎ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ, 52 ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, 75 398 ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, 97 ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏÅ ÒÅÂÒÏ, 143 ÉÎßÅË ÉÑ, 99 ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, 78 ËÌÀÞ, 166 ×ÓÔÁ×ËÉ, 167 ÏÉÓËÁ, 167 ËÏÎÔÕÒ, 172 ËÏÎßÀÎË ÉÑ, 25, 194 ËÏÒÅÎØ ÄÅÒÅ×Á, 155 ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ, 128 ÍÕÌØÔÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ, 130 ÌÅÓ, 161 ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, 81 ÌÉÓÔØÑ ÄÅÒÅ×Á, 156 ÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 93 ÓÌÏÖÅÎÉÅ, 25 ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ, 25 ÍÁÒÛÒÕÔ, 144 ÍÁÔÒÉ Á, 71 ×ÅÓÏ×ÁÑ, 182 ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔÉ, 176 ÓÍÅÖÎÏÓÔÉ, 143 ÍÉÎÔÅÒÍ, 197 ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, 44 ÚÎÁÞÅÎÉÊ, 97 ÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÅ, 61 ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ, 48 ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ, 80 ÍÏÝÎÏÓÔØ, 54 ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË, 80 ÏÂÌÁÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, 97 ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, 97 ÏÂÒÁÚ, 97 ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ, 47 ÏÅÒÁÔÏÒ ÒÉÓ×ÁÉ×ÁÎÉÑ, 15 ÕÒÁ×ÌÅÎÉÑ, 15 ÉËÌÁ, 17 ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ, 15 ÕÓÌÏ×ÎÙÅ, 16 ÏÅÒÁ ÉÑ, 46 ÏÒÇÒÁÆ, 70, 171 Ó×ÑÚÎÙÊ, 185 ÏÒÇÒÁÆ ÓÉÌØÎÏ Ó×ÑÚÎÙÊ, 185 ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, 171 ÏÔÅ , 155 ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, 55 ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ, 73 ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, 68 ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÅ, 73 ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ, 73 ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ, 73 ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, 77 ÏÔÒÉ ÁÎÉÅ, 24, 194 ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ, 47 ÅÔÌÑ, 143 ÏÄÇÒÁÆ, 144 ÏÄÄÅÒÅ×Ï, 156 ÌÅ×ÏÅ, 157 ÒÁ×ÏÅ, 157 ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, 46 ÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎË ÉÊ, 199 ÏÌÕÓÔÅÅÎØ ÚÁÈÏÄÁ, 185 ÉÓÈÏÄÁ, 185 ÏÒÑÄÏË ÒÏÓÔÁ, 137 ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÅÔÏË, 174 ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÉÓË, 136 ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, 80 ÏÓÔÕÓÌÏ×ÉÅ, 40 ÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ, 63 ÒÅÄÏÓÙÌËÁ, 27 ÒÅÄÕÓÌÏ×ÉÅ, 39 ÒÅÄÛÅÓÔ×ÅÎÎÉË, 80 ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, 80 ÒÏÇÒÁÍÍÁ ËÏÒÒÅËÔÎÁÑ, 32 ÒÁ×ÉÌØÎÁÑ, 32 ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ ÒÏÅËÔ, 87 ÒÏÔÏËÏÌ, 190 ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 55 ÓÅ×ÄÏËÏÄ, 14 ÕÔØ, 172 ÒÁ×ÎÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, 46 ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ, 77 ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, 121 Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ, 121 ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, 182 ÒÅÂÒÏ, 142 ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏÅ, 143 ËÒÁÔÎÏÅ, 143 ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ, 49 ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ, 87 ÓÏÒÔÉÒÏ×ËÁ É ÏÉÓË, 142 ÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ, 121 Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ, 121 ÓÔÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÒÛÒÕÔÉÚÁ ÉÑ, 189 ÓÔÅÅÎØ ×ÅÒÛÉÎÙ × ÇÒÁÆÅ, 143 ÓÔÒÏËÁ ÂÉÔ, 57 ÓÕÂÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ, 150 ÓÙÎ, 155 ÓÀÒßÅË ÉÑ, 99 ÔÁÂÌÉ Á ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ, 24 ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÑ, 36 ÔÉ ÄÁÎÎÙÈ, 46 ÔÏÖÄÅÓÔ×Á Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ, 52 ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ðÁÓËÁÌÑ, 128 ÕÚÅÌ, 189 ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ÁÒÁ, 55 ÕÓÌÏ×ÉÅ ×ÈÏÄÎÏÅ, 39 ×ÙÈÏÄÎÏÅ, 40 ÆÏÒÍÕÌÁ ðÁÓËÁÌÑ, 129 ÆÕÎË ÉÉ ÏÄÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ, 137 ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, 205 ÆÕÎË ÉÑ, 55, 96 ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ, 99 ÂÉÅËÔÉ×ÎÁÑ, 99 ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ, 99 ×ÒÅÍÅÎÎ ÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, 137 ÉÎßÅËÔÉ×ÎÁÑ, 99 ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ, 102 ÏÂÒÁÔÎÁÑ, 102 ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÁÑ, 136 ÓÀÒßÅËÔÉ×ÎÁÑ, 99 ÞÁÓÔÉÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÁÑ, 116 ÆÕÎË ÉÑ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ, 137 ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ×ÅËÔÏÒ, 57 ÅÌÁÑ ÞÁÓÔØ ÞÉÓÌÁ, 110 ÉËÌ, 17, 145 ÇÁÍÉÌØÔÏÎÏ×, 148 ÜÊÌÅÒÏ×, 142 ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, 80 ÞÉÓÌÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ, 46 ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ, 46 ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ, 46 ÅÌÙÅ, 46 ÞÉÓÌÏ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ, 146 ÜËÓÅÒÔÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ, 63 ÜÌÅÍÅÎÔ, 44 ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ËÏÎßÀÎË ÉÑ, 197 ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ, 77 ÑÚÙË ÆÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, 91 399 Производство книг на заказ Издательство «Техносфера» тел.: (495) 234-01-10 e-mail: knigi@technosphera.ru Реклама в книгах: • модульная • статьи Подробная информация о книгах на сайте http://www.technosphera.ru Хаггарти Род Дискретная математика для программистов Издание 2-е, исправленное Компьютерная верстка – С.А. Кулешов Дизайн – М.В. Лисусина Выпускающий редактор – О.Н. Кулешова Ответственный за выпуск – С.А. Орлов Формат 70 х 100/16. Печать офсетная. Гарнитура Computer modern LaTeX Печ.л. 25. Тираж 1000 экз., Зак. № Бумага офсет №1, плотность 65 г/м2 Издательство «Техносфера» Москва, ул. Краснопролетарская, д.16, стр.2 Отпечатано в типографии ОАО ПИК «Идел-Пресс» 420066 г. Казань, ул. Декабристов, 2.

Diskret math Hagarti

Related documents

Products

Support

Diskret math Hagarti

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib