МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
В.А. Архипов, А.И. Коноваленко
ПРАКТИКУМ
ПО ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И
АНАЛИЗУ РАЗМЕРНОСТЕЙ
Учебно-методическое пособие
Томск
2016
РАССМОТРЕНО И УТВЕРЖДЕНО методической комиссией физикотехнического факультета
Протокол № 5 от «08» ноября 2016 г.
Председатель Совета ФТФ Э.Р. Шрагер
Пособие составлено в соответствии с тематикой
семинарских занятий и программой курса «Теория
эксперимента в исследованиях систем» для студентов
физико-технического факультета направлений подготовки
24.04.03 – Баллистика и гидроаэродинамика и 15.04.06 –
Мехатроника и робототехника. Пособие содержит
необходимый теоретический материал по теории подобия и
анализу размерностей, описание основных критериев
подобия в гидрогазодинамике и теории тепломассообмена.
Особое внимание уделено практическим вопросам
применения теории подобия и анализа размерностей для
исследования физических процессов. Приведен ряд
типичных задач с подробным решением, связанных с
получением системы определения критериев подобия
методом Рэлея.
преподавателей,
аспирантов,
Для
магистрантов, слушателей ФПК.
студентов
и
СОСТАВИТЕЛИ: В.А. Архипов, А.И. Коноваленко
Учебно-методическое пособие разработано при финансовой
поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания
№ 2014/223 (код проекта 1567).
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ....................................................4
ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................5
1.
2.
3.
4.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ ....6
1.1.
Основное правило моделирования ...............................................6
1.2.
Подобие явлений ............................................................................9
1.3.
Метод анализа размерностей .......................................................12
1.4.
П-теорема ......................................................................................15
АЛГОРИТМЫ ПОЛУЧЕНИЯ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ ..................24
2.1.
Метод анализа размерностей (алгебраический метод Рэлея) ...24
2.2.
Метод анализа дифференциальных уравнений .........................27
ОСНОВНЫЕ КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ................................................31
3.1.
Геометрические и механические критерии подобия .................31
3.2.
Гидродинамические критерии подобия ......................................32
3.3.
Тепловые критерии подобия .......................................................35
3.4.
Диффузионные критерии подобия ..............................................36
3.5.
Кинетические критерии подобия ................................................37
ПОЛУЧЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ МЕТОДОМ РЭЛЕЯ .........39
4.1.
Движение твердых тел .................................................................39
4.2.
Движение жидкостей и газов.......................................................48
4.3.
Динамика капель и пузырьков ....................................................57
4.4.
Ударно-волновые процессы ........................................................65
4.5.
Тепловые и диффузионные процессы ........................................74
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .............................................................................87
ПРИЛОЖЕНИЯ .............................................................................................88
3
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Ar
Arn
Bi
Bo
Da
Eu
Fo
Fr
Ga
Gr
Kn
Le
С – концентрация;
c –удельная теплоемкость;
D – коэффициент диффузии;
E – энергия активации;
F – сила;
f – частота;
g – ускорение свободного падения;
lo – характерный размер;
m– масса;
Q – тепловой эффект химической реакции;
q– поверхностная плотность потока излучения;
R – универсальная газовая постоянная;
T – абсолютная температура;
to – характерное время;
u – скорость потока;
 – коэффициент теплоотдачи;
D– коэффициент массоотдачи;
æ – коэффициент температуропроводности;
λ – коэффициент теплопроводности;
 – коэффициент динамической вязкости;
 – коэффициент кинематической вязкости;
 – плотность;
 – коэффициент поверхностного натяжения.
Критерии подобия
– число Архимеда;
M
– число Маха;
– критерий Аррениуса;
Ne – критерий Ньютона;
– число Био;
Nu – число Нуссельта;
– число Бонда;
Pe – число Пекле;
– число Дамкелера;
Pr
– число Прандтля;
– число Эйлера;
Re – число Рейнольдса;
– число Фурье;
Sc – число Шмидта;
– число Фруда;
Sh – число Шервуда;
– критерий Галилея;
St
– число Стентона;
– число Грасгофа;
Stk – число Стокса
– число Кнудсена;
Str – число Струхаля;
– число Льюиса–Семенова;..
We – число Вебера;
4
ВВЕДЕНИЕ
Анализ физического подобия является одним из основных методов
планирования эксперимента, обобщения результатов опытов, выбора
универсальных координат при решении конкретных задач аналитически
или с помощью численного эксперимента. Значение теории физического
моделирования для многоплановых экспериментальных исследованиях и
в инженерной практике переоценить невозможно.
В основе представлений о физическом подобии лежит простая и ясная
идея о принципиальной независимости законов природы от конкретной
системы мер, используемой исследователем. Первыми работами, в
которых введение безразмерной комбинации физических величин
привело к фундаментальному результату, являются экспериментальные и
теоретические исследования Рейнольдса по условиям реализации двух
режимов движения сплошных сред – ламинарного и турбулентного.
Основы современной теории подобия и анализа размерностей
заложены работами Рэлея, Бэкингема, Бриджмена, в которых
существенное значение имело установление связи между максимально
возможным числом безразмерных комплексов и числом размерных
величин, из которых они составлены.
По предложению Гребера названия фундаментальных безразмерных
комплексов (чисел или критериев подобия) принято обозначать по
именам их авторов или выдающихся ученых, занимающихся данной
конкретной областью физики. Большой вклад в развитие теории подобия
внесли отечественные физики – А.А. Гухман, М.В. Кирпичев, Т.А.
Афанасьева-Эренфест, Л.И. Седов, С.С. Кутателадзе и др.
Настоящее пособие составлено в соответствии с тематикой
семинарских занятий и программой курса «Теория эксперимента в
исследованиях систем» для студентов физико-технического факультета
направлений подготовки 24.04.03 – Баллистика и гидроаэродинамика и
15.04.06 – Мехатроника и робототехника. Пособие содержит
необходимый теоретический материал по теории подобия и анализу
размерностей,
описание
основных
критериев
подобия
в
гидрогазодинамике и теории тепломассообмена. Приведен ряд типичных
задач с подробным решением, связанных с получением системы
определения критериев подобия методом Рэлея.
5
1. ОСНОВЫ
ТЕОРИИ
РАЗМЕРНОСТЕЙ
ПОДОБИЯ
И
АНАЛИЗА
Если изучение того или иного сложного физического процесса
связано с большими трудностями, то часто имеет смысл провести
эксперимент в увеличенном или уменьшенном масштабе на модельной
системе, свойства и размеры которой можно легко изменять. Замена
реальной физической системы моделью основана на так называемых
законах подобия, которые позволяют перенести данные, полученные на
модели, на исходную физическую систему.
Было бы большой ошибкой думать, что на модели видно то же самое,
что и с вертолета, находящегося на большой высоте над изучаемым
крупным объектом, или в микроскоп – при наблюдении мелкого объекта.
Модельный объект существенно отличен от реального. Например, через
модель участка реки вода протекает значительно быстрее, чем через
соответствующий участок реальной реки. Для того чтобы корректно
переносить результаты модельных опытов на процессы в реальных
системах необходимо посредством выполнения определенных правил
моделирования добиться, чтобы параметры модельного процесса
находились в определенных масштабных соотношениях, определяемых
из теории подобия.
1.1.
Основное правило моделирования
При
моделировании
физических
процессов
одноименные
характеристики реального объекта и модели должны отличаться друг от
друга постоянным множителем – быть подобными.
Рис. 1.1. Подобие треугольников
6
Простейшим аналогом такого условия является геометрическое
подобие, например, подобие треугольников, при котором стороны
треугольников отличаются одна от другой по длине соответственно в n
раз (рис. 1.1):
AB

AC
BC
n .
ab
ac
bc
Основное правило моделирования сформулировано впервые
М.В. Кирпичевым и А.А. Гухманом в виде теоремы (ее называют
третьей теоремой подобия или теоремой Кирпичева–Гухмана).
Теорема: Подобны те явления, процессы или системы, которые
описываются одинаковыми уравнениями связи и условия,
однозначности которых подобны.
Подобие условий однозначности (начальные и граничные условия)
обеспечивается равенством определяющих критериев подобия в случае,
если явления или процессы качественно одинаковы (аналогичны).
Качественно одинаковыми будут процессы, математическое описание
которых одинаково. Эта теорема формулирует необходимые и
достаточные условия для подобия явлений, процессов или систем.
Исходя из этой теоремы, полное подобие модели реальному объекту
определяется выполнением пяти условий:
1. Процессы в модели и образце относятся к одному классу явлений.
2. Эти процессы описываются одними и теми же уравнениями.
3. Соблюдается геометрическое подобие.
4. Безразмерные краевые условия численно равны.
5. Определяющие критерии подобия численно равны.
Точное воспроизведение в модели численных значений всех
определяющих критериев при большом их числе и при условии
геометрического подобия практически невозможно.
На практике, как правило, условия полного подобия не выполняются,
что вынуждает переходить на приближенное моделирование, при
котором в модели воспроизводится тот же физический процесс, что и в
реальном объекте, при частичном нарушении некоторых из пяти условий
полного моделирования.
Как правило, прямое моделирование гидродинамических процессов,
например, можно проводить с учетом одного определяющего критерия.
Так, например, для задачи определения коэффициента гидравлического
сопротивления пучка труб в воздушном потоке таким критерием является
7

число Рейнольдса. В этом случае моделирование можно проводить как на
воздухе, так и на жидкости. Если же необходимо определить и
теплообменные характеристики данной системы, то вторым
определяющим критерием будет число Прандтля, значения которого для
воздуха и жидкости сильно отличаются, и применение жидкости в
качестве моделирующей среды для данной задачи неприемлемо. Так
обстоит дело в случае двух определяющих критериев. При увеличении их
числа задача еще больше усложняется.
Возможна также ситуация, когда воспроизводится только часть
физического
процесса
(локальное
тепловое
или
локальное
аэродинамическое моделирование). Применяют также моделирование по
аналогии, когда в модели воспроизводится процесс другой физической
природы, чем в образце, но описываемый одинаковыми безразмерными
уравнениями (например, моделирование процесса теплопроводности и
потенциального
обтекания
идеальной
жидкостью
процессом
электропроводности).
Дадим некоторые определения, которые используются в теории
подобия.
Симплекс – это отношение одноименных (однородных величин),
которые могут быть геометрическими, физическими или другими.
Очевидно, симплекс является безразмерной величиной, то есть
отвлеченным числом. Например, отношение длины L к диаметру D
реактора:
L
K .
D
Комплекс – это безразмерная величина, составленная из разнородных
величин с разной размерностью, описывающих процесс или систему.
Например, число Рейнольдса:
Re 
uD
,

где  – плотность обтекающего потока, кг/м3;
 – коэффициент динамической вязкости обтекающего потока,
Пас;
u – характерная скорость, м/с;
D – характерный размер обтекаемого тела, м.
8
Для внутренних течений в качестве D обычно выбирается диаметр
канала, для задач внешнего обтекания характерным размером является
диаметр миделева сечения (для сферических тел – их диаметр).
Критерий подобия (число подобия) – это симплекс или безразмерный
комплекс (иногда его называют инвариант подобия), численное значение
которого одинаково для модели и натурного объекта.
Например, для модельного и натурного реакторов отношения их
длины к диаметру должны быть одинаковыми:
L
l
 K  idem ,
D d
где L , l – длина натурного и модельного реакторов, соответственно;
D, d – диаметр натурного и модельного реакторов, соответственно.
Критерии подобия на практике определяются или в результате
анализа размерностей параметров или в результате анализа
дифференциальных уравнений, описывающих процесс.
1.2.

Подобие явлений
В большинстве случаев, перед изготовлением дорогостоящего
крупного объекта (самолет, корабль, ракетный двигатель, химический
или атомный реактор, плотина и т.д.) для получения наилучших его
характеристик проводятся испытания на моделях – физическое
моделирование. При этом надо знать, как пересчитать результаты
моделирования на натурное изделие. Если этого не знать –
моделирование бесполезно. Для целей рационального моделирования
основным является понятие подобных явлений.
Определение: Явления называются подобными, если они отличаются
только численными значениями определяющих размерных
параметров и притом так, что для них соответствующие
безразмерные критерии подобия П1 , П 2 ,..., П m совпадают.
Рассмотрим два подобных явления – натурное и модельное. Пусть для
этих явлений имеется некоторая зависимость определяемой a и n
определяющих a1 , a2 ,..., an размерных величин:
a  f  a1,a2 ,...,an  ,
9
(1.1)
Зависимость (1.1) выполняется как для натурного, так и для
модельного явлений, но численные значения определяющих параметров
a1 , a2 ,..., an у них разные.
Таким образом,

  ,
 м
a
 f  a1( м ) ,...,an( м ) 

a
н
 f a1( н ) ,...,an( н )
где индексы ( н ) относятся к натурному явлению, а индексы ( м ) – к
модельному.
Поскольку зависимость (1.1) выражает определенную физическую
закономерность, то функция f не должна зависеть от произвола выбора
единиц измерения. Разобьем параметры a1 , a2 ,..., an на две группы.
В первую
(k  n)
группу a1 , a2 ,..., ak
включаются
величины
с
независимыми размерностями. Во вторую группу a , ak 1 , ak  2 ,..., an
входят остальные величины с размерностями, выражаемыми через
размерности величин первой группы. При этом зависимость (1.1) можно
представить в виде:
a  f  a1,...,ak ,ak 1,...,an  .
В соответствии со сформулированной ниже -теоремой количество
безразмерных критериев подобия равно
mnk,
то есть меньше числа размерных определяющих параметров на число
параметров с независимой размерностью.
Используя -теорему, находим для обоих явлений

  ,
 м
П
 Ф  П1( м ) ,...,П(mм ) 

П
н
 Ф П1( н ) ,...,П(nн )
(1.2)
где безразмерная функция Ф для модельного и натурного явлений
должна быть одна и та же. Поскольку по определению подобных явлений
( м)
П1
( н)
 П1
( м)
, П2
( н)
( м)
 П 2 ,..., П m
10
( н)
 Пm ,
то из (1.2) следует:
( м)
( н)
(1.3)
П
П .
Соответствующая физической закономерности (1.1) зависимость
между безразмерными параметрами может быть представлена в виде:
П  Ф  П1,П2 ,...,Пm   Ф  П1,П2 ,...,Пnk  .
(1.4)
Возвращаясь снова к размерным переменным, получим из
соотношения (1.3):



 н 
   н 
 a2  ...  ak  .
(1.5)
a
a
  м  
  м     м  
a
a
a
 1   2 
 k 
Выражение (1.5) – представляет собой правило пересчета результатов
измерений с подобного модельного явления на натурное, для которого
непосредственные измерения могут быть затруднены. Алгоритм
определения значений показателей степеней , ,...,  приведен ниже.
Условия подобия модельного явления натурному (равенство
н
соответствующих

 м   a1 н  
критериев
подобия
для
П1 , П 2 ,..., П nk
обоих
явлений) указывает, как надо выбирать определяющие размерные
 м
 м
параметры модели ak  1 ,..., an , чтобы обеспечить ее подобие
натурному явлению:
( м)
ak 1
an( м )
Параметры


 ( м) 
( н) a
ak 1  1 
 a( н ) 
 1 
 k 1
 a( м)
  2( н )
a
 2

 ( м)  n
( н )  a1 
an 
 
 a( н ) 
 1 
модели
 a2( м )
 ( н )
 a2
 м  м
a1
, a2
k 1





 a( м)
  k( н )
a
 k
 n
 

 м
,..., ak
 a( м)
  k( н )
a
 k
,
размерность, могут быть выбраны произвольно.
11





n
 .


имеющие
 k 1

,









(1.6)
независимую
1.3.
Метод анализа размерностей
В ряде случаев из-за сложности процесса невозможно составить его
полное математическое описание в виде системы дифференциальных
уравнений, а возможно лишь в самом общем виде представить
зависимость между физическими величинами и геометрическими
параметрами, характеризующими процесс.
Вид такой зависимости можно найти на основе анализа размерностей
физических, величин, входящих в уравнения. Этот метод основан на том
факте, что решение физических задач не должно зависеть от выбора
системы единиц, которая отражается только на численных значениях
коэффициентов уравнений (но не на их структуре).
Единицы измерений
Физические величины всегда выражаются некоторыми числами,
которые получаются путем измерения – прямого или косвенного.
Измерение – это сравнение физической величины с соответствующей
единицей измерения. Единицы измерения разделяют на основные и
производные. Основные единицы измерения задаются произвольно в
виде тех или иных эталонов (искусственных или природных).
Производные единицы измерения получаются из основных в
соответствии с определением физической величины, которая всегда
является указанием способа (алгоритма) ее измерения.
Например, скорость u , по определению, есть отношение расстояния
L , пройденного за определенный промежуток времени t , к величине
этого промежутка: u  L / t . Поэтому за единицу скорости можно
выбрать отношение единицы длины к единице времени в данной системе.
Плотность, по определению, есть отношение массы m к
3
заключающему ее объему V ~ L . Поэтому за единицу плотности можно
3
выбрать отношение единицы массы к единице объема   m / L .
Совокупность основных единиц измерения, достаточных для
измерения характеристик рассматриваемого класса явлений называется
системой единиц измерений. Например, в механике применяется система
единиц измерения СГС, в которой за единицу массы принят 1 г (1/1000
массы тщательно сохраняемого эталона из специального сплава), за
единицу длины принят 1 см (1/100 длины другого эталона), за единицу
времени принята 1 с (1/86400 длительности средних солнечных суток).
12
Единицей скорости в этой системе является (см/с), единицей ускорения –
(см/с2), единицей силы – (гсм/с2) или дина и т.д.
Отметим, что в определении системы единиц измерения не
содержится требования ее минимальности (то есть минимальной
совокупности основных единиц измерения) – требуется только
достаточность. Поэтому можно рассматривать экзотические системы,
например, систему единиц измерения, в которой основные единицы:
[m]=г, [L]=дм, [t]=мин, [u]=км/час.
В принципе допускается для всех возможных величин ввести свои
основные единицы измерений (энергия, сила, давление, импульс и т.д.).
Определим понятие: класс систем единиц измерения как совокупность
систем единиц измерения, отличающихся между собой только величиной
основных единиц измерения (но не их набором).
Система СГС, например, входит в класс систем единиц измерения, в
котором основными единицами измерения являются
г
см c
, ,
M L T
где M, L, T – отвлеченные числа, показывающие, во сколько раз
уменьшаются основные единицы массы, длины, времени при переходе от
исходной системы СГС к другой системе данного класса. Этот класс
систем единиц измерения обозначается MLT. Обозначение класса систем
единиц измерения получается последовательной записью символов
величин, единицы измерения которых приняты за основные.
Одновременно эти символы обозначают кратность – во сколько раз
уменьшается соответствующая единица измерения при переходе от
исходной системы к другой системе данного класса.
С 1960 года введена Международная система единиц СИ (SI) –Le
Systeme International d’Unites, в которой основными единицами
измерения являются 1 кг=1000 г (полная масса эталона), единицей длины
– 1 м=100 см (полная длина эталона), единицей времени – 1 с.
Таким образом, при переходе от системы СИ к системе СГС:
M=1000; L=100; T=1.
Ввиду широкого распространения системы СИ, рекомендуется при
проведении измерений и расчетов использовать ее для записи всех
размерных физических величин.
,
13
В технике также используется система FLT, в которой основные
единицы измерения имеют вид:
кгс м c
, , ,
F L T
где кгс или кГ – килограмм-сила (единица силы или веса).
Размерность физической величины
Размерностью
физической
величины
называется
функция,
определяющая, во сколько раз изменится численное значение этой
величины при переходе от исходной системы единиц измерения к другой
системе (внутри данного класса). Размерность физической величины a
обозначается квадратными скобками: [ a ] . Отметим, что размерность
зависит от класса систем единиц измерения.
Безразмерная величина – это величина, численное значение которой
одинаково для всех систем единиц измерения (внутри данного класса).
Например, рассмотрим цилиндрический стержень длиной L и
диаметром D . Отношение L / D  K – есть безразмерная величина,
размерность которой равна единице: [K]  1 .
Если единицу массы уменьшить в M раз, единицу длины – в L раз,
единицу времени – в T раз, то численное значение силы возрастет в
MLT 2 раз. Таким образом, размерность силы в классе MLT систем:
2
[ F ]  MLT .
Размерность массы в классе FLT–систем имеет вид:
1 2
[ M ]  FL T .
Отметим, что во всех приведенных примерах размерность физической
величины представляется степенным одночленом. И это не случайно.
Размерность любой физической величины a всегда представляет
степенной одночлен




[ a ]  P  Q  R  S ...
(1.7)
где PQRS… – система единиц измерения.
Соотношение (1.7) строго доказывается в теории размерностей. Оно
следует из естественно формулируемого утверждения: внутри данного
класса все системы равноправны, то есть среди них нет избранных, чемто выбранных систем. Таким образом, выбор исходной системы для
характеристики данного класса не имеет значения.
14
Это утверждение глубоко по сути и является следствием
фундаментального
общефизического
принципа
ковариантности.
Естественно возникает вопрос: имеются ли физические величины, для
которых размерность не удовлетворяет формуле (1.7), то есть их
размерность, например, в классе MLT выражается в виде L sin M , M ln T ,
exp L / M и т.д. В действительности таких величин нет и размерность
любой физической величины всегда представляет собой степенной
одночлен.
Размерности наиболее часто используемых физических величин
(в системе СИ) приведены в Приложении.
1.4.
П-теорема
Говорят, что величины a1 , a2 ,..., ak имеют независимую размерность,
если размерность ни одной из этих величин нельзя представить в виде
произведения степеней размерностей остальных величин (1.7).
Закономерности, определяемые в физической теории или в
эксперименте, всегда можно представить в виде
a  f  a1, a2 , ..., ak , ak 1,..., an  ,
(1.8)
где a – определяемый параметр;
a1 , a2 ,..., an – определяющие параметры.
Любое исследование, в конце концов, сводится к нахождению одной
или нескольких зависимостей вида (1.8).
Практическое применение теории подобия и анализа размерностей к
экспериментальному и теоретическому исследованию физических
процессов основано на сформулированной выше теореме Кирпичева–
Гухмана, теореме Бэкингема–Федермана (вторая теорема подо6ия) и
теореме Бэкингема (-теорема).
Теорема Бэкингема–Федермана формулируется следующим образом.
Теорема: Любая зависимость между физическими величинами,
характеризующими процесс, может быть представлена в виде
взаимной зависимости между критериями подобия, то есть в
виде обобщенного критериального уравнения типа
f  П1,П2 ,...,Пn   0 .
15
(1.9)
Эта
теорема
показывает,
как
обрабатывать
полученные
экспериментальные данные, или в какой форме можно получить решение
системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс, с
помощью методов теории подобия.
Следует отметить, что критерии подобия, входящие в (1.9),
неравноценны. Критерии подобия, составленные из физических величин,
входящих в краевые условия (в условия однозначности) – называются
определяющими. Критерии, составленные из физических величин, не
являющихся необходимыми для однозначной характеристики данного
процесса и, в свою очередь, зависящие от этих условий, называются
определяемыми.
Функциональную зависимость (1.9) удобнее представить в таком
виде, чтобы после нахождения значений определяющих критериев можно
было бы найти значение определяемого критерия и затем из него –
значение искомой физической величины. Таким образом, если
определяемый критерий обозначим через П1 , то
П1  Ф  П2 ,П3 ,...,Пn  ,
(1.10)
где П 2 , П3 ,..., П n – определяющие критерии подобия.
Частным случаем второй теоремы подобия является -теорема –
центральное (и по существу, единственное содержательное) утверждение
анализа размерностей.
Теорема: Пусть существует физическая закономерность, выраженная в
виде зависимости некоторой размерной, вообще говоря,
величины от размерных же определяющих параметров. Эта
зависимость может быть представлена в виде зависимости
безразмерной величины от безразмерных комбинаций
определяющих параметров. Количество этих безразмерных
комбинаций меньше общего числа размерных определяющих
параметров на количество определяющих параметров с
независимой размерностью.
Таким образом, зависимость (1.8) можно представить в виде
уравнений (1.9) или (1.10), которые можно привести к виду:
П1  Ф  П2 ,П3 ,...,Пn  ,
где П – определяемый критерий подобия;
П k 1 , П k  2 ,..., П n – определяющие критерий подобия.
16
(1.11)
Замена параметров с зависимыми размерностями a , ak 1 ,..., an в
уравнении
(1.8)
на
безразмерные
критерии
П, П k 1 , П k  2 ,..., П n
производится в соответствии с формулой размерности (1.7), которая для
физической закономерности (1.8) имеет вид:



a   a1  a2  ... ak  .
При этом критерии подобия рассматриваемого процесса
определяются следующими выражениями:
a
ak 1
  
,  k 1  
,



a1  a2  ,  ak
a1 k 1  a2 k 1  ,  ak k 1
 k i 

a1 k i
ak i
k i
 a2


,  ak k i
, …,  n 

a1 n
an

 a2 n


,  ak n
.
Таким образом, в соответствии с -теоремой число аргументов в
искомой зависимости (1.8), записанной в безразмерном виде (1.11),
сокращается на число, равное числу определяющих размерных
параметров с независимой размерностью.
На практике число параметров с независимой размерностью обычно
совпадает с числом основных единиц используемой системы. Для систем
класса MLT это число равно трем. Для тепловых задач добавляется еще
один параметр – градус Кельвина (К).
-теорема
имеет
большое
значение
при
проведении
экспериментальных исследований. При этом число переменных
уменьшается на число использованных единиц измерения (1, 2, 3, 4 и
более), что существенно упрощает условия проведения эксперимента.
Например, для нахождения зависимости некоторой величины a от
одного
определяющего
измерения функции
параметра
f  ai 
f  ai 
необходимо
провести
для нескольких значений аргумента в
заданном диапазоне его изменения (рис. 1.2).
17
Рис. 1.2. Экспериментальное определение зависимости a  f  ai 
Если количество необходимых значений ai равно 10, то необходимо
провести 10 измерений. Если величина a зависит от n параметров, то для
полного исследования функции a  f  a1,...,an  необходимо провести
n
10 измерений. Согласно -теореме, решение задачи сводится к
нахождению функции m  n  k безразмерных аргументов, для решения
nk
k
которой достаточно провести 10
измерений (в 10 раз меньше).
Трудоемкость определения искомой функции сокращается на столько
порядков, сколько среди определяющих параметров имеется величин с
независимыми размерностями.
Приведем некоторые примеры использования метода анализа
размерностей (-теоремы).
Колебания математического маятника
Рассмотрим математический маятник (рис. 1.3), представляющий
собой материальную точку массой m, подвешенную на невесомой
нерастяжимой нити длиной l , которая закреплена неподвижно в точке O.
Определим закон движения и период малых колебаний маятника,
отклоненного в начальный момент времени на угол
  o
отпущенного из этого положения с нулевой угловой скоростью.
18
и
Рис. 1.3. Схема математического маятника
Угловая координата  и натяжение нити F зависят от пяти величин:
  1  t , l , g , m, o 

,
F  mg  2  t , l , g , m, o  
где 1 ,  2 – некоторые безразмерные функции;
g – ускорение силы тяжести; t – время.
Из анализа размерностей этих величин ([t]=c,
[m]=кг,
[l]=м,
[g]=м/с2,
[ o ]  1 ) следует, что среди них имеются три величины с
независимыми размерностями. Согласно -теореме m  n  k  5  3  2 ,
то есть процесс колебаний маятника зависит от двух безразмерных
комбинаций (критериев подобия). В качестве этих критериев можно
взять, например:
g
П1  о , П 2  t
.
l
Все другие безразмерные комбинации будут функциями П1 , П 2 .
Таким образом, искомые зависимости можно представить в виде

  Ф1  o , t


g

l 
F  mgФ 2  o , t

19

,
g

l 

(1.12)
где Ф1 , Ф 2 – безразмерные функции от безразмерных аргументов П1 , П 2 .
Из (1.12) следуют важные выводы о поведении маятника – закон
движения   t  не зависит от массы груза, а натяжение нити прямо
пропорционально массе груза.
Конкретный
вид
Ф1  П1 ,П2  ,
функций
Ф 2  П1 ,П2 
анализ
размерностей найти, конечно же, не позволяет. Однако, для случая малых
колебаний из полученного уравнения движения можно определить
период колебаний T . В этом случае период колебаний T находится из
условия

о  Ф1  о , T

g
,
l 
(1.13)
то есть за время T маятник возвращается в начальное положение  о
Разрешая (1.13) относительно второго аргумента, получим
g
T    o 
,
l
где   o  – неизвестная функция.
Из условия симметрии следует, что   o     o  , то есть функция
 – четная. Разлагая   o  в ряд при малых  о , получим
  o   C1  C2o  C3o  ...  C1  C3o  ...
Здесь принято C2  0 в силу четности функции   o  . Для малых
колебаний нелинейными членами можно пренебречь, и тогда для периода
малых колебаний получим формулу
l
T  C1
.
g
Таким образом, анализ размерностей позволил получить формулу для
периода колебаний с точностью до постоянного множителя C1 .
2
2
Константа C1 определяется из экспериментальных измерений. Для
рассматриваемой задачи более строгое математическое решение дает
20
значение C1  2  . Следовательно, период малых колебаний маятника
равен
l
T  2
.
g
Задача об атомном взрыве
При атомном взрыве в малой области (можно считать в точке)
мгновенно выделяется значительная энергия E . В области взрыва
возникает сильная сферическая
ударная волна, отделяющая
невозмущенную атмосферу от движущегося за ударной волной
раскаленного газа (рис. 1.4).
Найдем закон распространения ударной волны r  t  . Расстояние r
фронта ударной волны от центра взрыва будет зависеть от времени t ,
энергии взрыва E и начальной плотности невозмущенного воздуха  :
r    t , E ,  .
Давление за фронтом ударной волны на начальной стадии взрыва на
несколько порядков выше атмосферного давления, влиянием которого на
процесс распространения волны можно пренебречь.
Размерности определяющих параметров:
t   c , E   Дж 
кгм2
,  
кг
.
с
м3
Очевидно, что m  n  k  3  3  0 , так что функция  в выражении
(1.11) в данном случае не будет зависеть ни от одного размерного
аргумента – она вырождается в константу Ф=С=const .
Можно получить (далее будут рассмотрены соответствующие
методы):
 Et 2 
П  r 

  
2
1 5
 C , откуда r 
21
Et 2
.

Рис. 1.4. Распространение сферической ударной волны от точки взрыва:
1 – невозмущенная атмосфера; 2– движущийся раскаленный газ;
r – радиус ударной волны
Решение Л.И. Седовым газодинамической задачи о сильном взрыве
показало, что значение константы
С  1 . При этом закон
распространения ударной волны будет:
1 5
E
2 5
r t    
t
.

Эта формула показывает, что если измерить радиус ударной волны в
разные моменты времени, то в логарифмических координатах lg t ,
5/2  lg r
экспериментальные точки должны лечь на прямую, имеющую
наклон 45 к оси lg t (рис. 1.5):
5
1
E
 lg t .
2
2 
Английский ученый Дж. Тейлор обработал кинофильм о
распространении огненного шара, снятый Дж. Маком во время первого
американского взрыва атомной бомбы в Нью-Мехико в 1945 г. Из
обработки экспериментальной зависимости, приведенной на рис. 1.5., было
получено, что
1
lg r 
lg
lg  E /   7 .
2
22
Рис. 1.5. Закон распространения сферической ударной волны
точечного взрыва ([t]=c; [r]=м)
3
Полагая   1кг / м , определим энергию взрыва:
13
E  10 Дж  10 Т Дж
(тераджоулей), то есть десять миллионов мегаджоулей. Публикация
Дж. Тейлором этой величины (Proc. Royal Soc. 1950.Vol. 201,
No. 1065.P. 159–168) вызвала в свое время немалое смущение в
правительственных кругах США, так как эта цифра считалась строго
секретной, хотя фильм Дж. Мака не был засекречен.
23
2.
АЛГОРИТМЫ ПОЛУЧЕНИЯ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ
Основные критерии подобия, описывающие исследуемый процесс,
можно получить двумя способами – с помощью метода анализа
размерностей и путем анализа дифференциальных уравнений.
2.1.
Метод анализа размерностей (алгебраический метод
Рэлея)
Рассмотрим практическое применение метода анализа размерностей
на примере задачи о теплообмене при стационарном турбулентном
течении теплоносителя (газа или жидкости) в трубе. Эта задача
формулируется как определение коэффициента теплоотдачи  в
зависимости от размеров трубы и характеристик потока. Физический
анализ рассматриваемой задачи показывает, что характеристики
теплообмена зависят от скорости u , плотности  , удельной
теплоемкости c , коэффициента теплопроводности  и коэффициента
динамической вязкости  теплоносителя, а также от диаметра трубы D .
Длина трубы и время исключены из числа определяющих параметров,
так как рассматривается стационарный процесс.
Размерности этих величин в системе СИ следующие:
Дж
м
кг
Дж
,
    2 ,  u   ,    3 ,  с  
с
кг
К
м Кс
м
Дж
кг
,   
,  D  м .
мКс
см
Согласно -теореме, процесс теплообмена зависит от трех
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  7 , а количество единиц с независимой размерностью k  4 : кг, м, с, К).
Искомую величину коэффициента теплоотдачи можно представить в
виде:
  
C wx1 c x2  x3  x4 D x5 ,
где C – безразмерный коэффициент;
24
(1.14)

wu – массовая скорость   w

кг 
 , введенная для упрощения
м 2 с 
расчетов.
Подставим размерности соответствующих величин в (1.14):
x
 Дж 
 кг  1  Дж  x2  Дж  x3  кг  x4
x
 2
 C  2  
 
 
  м  5 . (1.15)
кг

К
м

К

с
м

с
 
 

 м Кс 
 м с  
Отметим, что в уравнении (1.15) размерность тепловой энергии
можно
представить
через
размерности
основных
единиц
Джкгм2 с2 
и получить уравнение аналогичное (1.15), но не
содержащее Дж. Однако, на результат решения задачи это не повлияет.
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (1.15)
должны быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
кг  :
м :
с :
 Дж  :
K :


2  2 x1  x3  x4  x5 , 

1   x1  x3  x4 ,


1  x2  x3 ,


1   x2  x3 .

0  x1  x2  x4 ,
Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости между показателями степеней xi :
(1.16)
x3 1 x2 , x4  x2  x1 , x5  x1 1.
Подставляя полученные зависимости (1.16) в исходное уравнение
(1.14) получим
C wx1 c x2 1 x2  x2  x1 D x1 1 .
Преобразуем это уравнение к следующему виду:
x
1
 w D  1  c  x2
 D 

 C 
 .
 
  
     
(1.17)
Входящие в уравнение (1.17) безразмерные комплексы представляют
собой искомые критерии подобия:
25
Nu 
Re 
Pr 
D

wD

– число Нуссельта;

uD

– число Рейнольдса;
c
– число Прандтля.

Таким образом, (1.17) представляет собой критериальное уравнение
вида:
a
b
Nu  C  Re Pr ,
находятся при проведении соответствующих
где константы C , a, b
экспериментов.
В частности, при турбулентном течении в длинной ( L / G  50 )
цилиндрической трубе для расчета числа Нуссельта используется
формула
Nu=0.023Re
0.8
4
Pr
5
0.33
,
справедливая в диапазоне Re  10  10 , Pr  200 .
При использовании метода анализа размерностей основным и
первоначальным этапом в постановке задачи является выбор модели и
схематизация свойств искомого решения. Опыт показывает, что
постановка задачи и выбор существенных определяющих размерных
параметров представляют собой наибольшую трудность.
Успешное решение задачи зависит от правильного выбора
физических величин, влияющих на процесс, что полностью определяется
физической интуицией и опытом инженера-исследователя. Не пропустить
важные определяющие параметры и не включить в их число
малосущественные параметры – вот главная цель анализа задачи.
Исключение из определяющих параметров какой-либо существенной
величины (например, ориентации трубы при течении тяжелой жидкости)
может привести к неверным критериальным уравнениям. То же самое
будет и при выборе несущественных величин (учет силы тяжести при
течении легкого газа в трубе, например). Отметим, что при большом
26
числе размерных параметров задачи трудно выбрать безразмерные
комплексы, имеющие ясный физический смысл.
Для оценки значимости некоторой размерной величины при описании
конкретного физического процесса можно рекомендовать следующий
прием. Как правило, удачно составленные критерии подобия
представляют собой отношения конкурирующих сил. Если величины
критерия подобия стремятся к нулю (или к бесконечности), то
соответствующими силами можно пренебречь.
Например, число Рейнольдса определяет соотношение между силами
инерции и силами трения в движущейся жидкости. При Re  0 силами
инерции можно пренебречь (ползущее течение), а при Re   можно не
учитывать силы трения, то есть коэффициент динамической вязкости
(течение идеальной жидкости).
2.2.
Метод анализа дифференциальных уравнений
Использование метода анализа дифференциальных уравнений для
получения критериев подобия возможно, если известен рассматриваемый
физический
процесс
(который,
собственно,
и
описывается
соответствующими уравнениями). Если же процесс apriori неизвестен, то
для нахождения критериев подобия целесообразно использовать
алгебраический метод Рэлея.
Рассмотрим этот подход на примере уравнения стационарного
конвективного теплообмена:
q 
T
,
y cm
где q – тепловой поток в стенку;
 – коэффициент теплопроводности;
T
– градиент температуры у поверхности стенки.
y cm
Рассмотрим две подобные в тепловом отношении системы (подобны
тепловые потоки). При этом соблюдается также геометрическое и
гидродинамическое подобие.
В соответствии с законом теплообмена Ньютона
q    T ,
27
где  – коэффициент теплоотдачи;
T – разность температур теплоносителя и стенки.
Подставляя q в уравнение теплообмена, получим
T
,
y
Для двух подобных систем соответствующие уравнения имеют вид
T
1   T 1  1 1 , 
y1 
(1.18)
T 
 2   T  2   2 2 .
y1 
  T  
Обозначим через Ci отношения соответствующих параметров систем:
C 
2
1
; CT 
T2
T1

 T  2
;
 T 1
Сy 
y2
y1
; С 
2
1
.
(1.19)
Выражая переменные второй системы через переменные первой,
получим для второй системы
С С
T
С СT 1  T 1    T 1 1 .
Cy
y1
Из условия тождественности рассматриваемых систем имеем:
C C
С СT   T
Cy
или связь между Ci :
CCy
 1.
C
(1.20)
Из (1.19), из (1.20) следует
1 y1 2  y2

= idem = Nu .
1
2
Таким образом, получили критерий подобия рассматриваемого
процесса – число Нуссельта.
Выведем критерий механического подобия методом анализа
дифференциальных уравнений. Рассмотрим две подобные механические
системы – движущиеся тела. Их движение подчиняется второму закону
Ньютона, выраженному в форме дифференциального уравнения
28
du
,
(1.21)
dt
где m – масса тела; F – движущая сила; u – скорость тела.
Запишем это уравнение для двух подобных систем:
du
F1  m1 1 , 
dt1 

du
F2  m2 1 .
dt1 
По условию подобия физические величины одной системы можно
выразить через величины другой (для соответствующих точек) с
помощью констант подобия:
F
m
u
t
C F  2 ; Cm  2 ; Сu  2 ; Сt  2 .
F1
m1
u1
t1
Выражая переменные второй системы через соответствующие
переменные первой системы, и подставляя в исходное уравнение,
получим:
F m
С F F1  Cm
Cu
Ct
m1
du1
.
dt1
Уравнение будет тождественно исходному только при условии
равенства коэффициентов:
C
C C
С F  Cm u , F t  1.
Ct CmCu
Аналогично предыдущей задаче получим:
F1t1
Ft
Ft
 22 
= idem = Ne ,
F1u1 F2u2 F u
где Ne – критерий механического подобия (критерий Ньютона).
Формально метод анализа дифференциальных уравнений сводится к
обезразмериванию системы уравнений.
Приведем уравнение движения (1.21) к безразмерному виду.
Для этого введем масштабы силы F , массы m , скорости u и
времени t . Уравнение (1.21) в безразмерных переменных F  F / F ,
m  m / m , u  m / m , t  t / t имеет вид
29
F F  mm
где A 
udu
du
, F  Am
,
tdt
dt
mu
– безразмерный коэффициент при производной.
tF
Таким образом, Ne  A
1

Ft
um
(критерий Ньютона).
30
– искомый критерий подобия
3.
ОСНОВНЫЕ КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ
Критерии подобия обычно называют именами ученых, их
определивших, либо имеющих большие заслуги в соответствующей
области физики. Критерии подобия имеют, как правило, явный
физический смысл (очень часто – отношение некоторых двух сил,
действующих на рассматриваемую систему).
По мере развития отдельных разделов физики количество критериев
подобия постоянно увеличивается, и этот процесс продолжается, и будет
продолжаться. Некоторые критерии подобия относятся к узкому классу
физических явлений, например, критерий эрозионного горения твердых
ракетных топлив Vi , введенный профессором Томского государственного
университета В.Н. Вилюновым.
К числу универсальных критериев подобия, играющих важную роль
во многих инженерно-физических задачах, относятся геометрические,
механические, гидродинамические, теплодиффузионные и кинетические
критерии подобия.
3.1.
Геометрические и механические критерии подобия
Геометрические критерии выражаются симплексами (отношениями
однородных величин, характеризующих размеры системы)
2
2
3
3
l d , l / d, l / d , l / d ,
и определяют отношение линейных размеров, площадей и объемов
различных элементов рассматриваемых систем. Кроме того, размеры
могут относиться к рабочим средам и процессам (диаметр частиц
дисперсной фазы в потоке, площадь миделева сечения обтекаемого тела,
размеры исследуемых образцов и т.д.).
Основным критерием механического подобия систем является
критерий Ньютона
Ft
Fl
Ne 

.
m u m u2
В случае механического подобия двух систем произведение силы F
2
на длину l , деленное на массу m и квадрат скорости u для любой пары
сходственных точек реального объекта и модели, имеет одно и то же
численное значение.
31
Гидродинамические критерии подобия
3.2.
Гидродинамические критерии характеризуют особенности течения
жидкости или газа, а также условия обтекания тел внешним потоком. Для
оценки подобия гидродинамических процессов можно применить
критерий Ньютона. При этом в качестве действующей на систему силы
F необходимо рассматривать силу трения, силу давления, силу тяжести,
силу сопротивления среды и т.п.
Число Рейнольдса
При движении вязкой жидкости в потоке возникает сила трения
du
Fmp = S
,
dy
где  – коэффициент динамической вязкости;
2
S  y – площадь трения;
du / dy – поперечный градиент скорости.
Подставляя в критерий Ньютона Fmp и m   l
3
(  – плотность
жидкости), получим
Ne 
 du
.
u 2 dy
После интегрирования уравнения
Ne  dy =
 du

 u2
получим критерий подобия в виде
Ne 

.
uy
Комплекс
Re  Ne
1

uy

называется числом Рейнольдса.
В качестве характерного размера y обычно принимается диаметр
канала или диаметр обтекаемого тела.
Критерий (число) Рейнольдса определяет соотношение между силами
инерции и силами трения в потоке. Число Рейнольдса является одним из
32
важнейших гидродинамических критериев подобия. В частности, оно
характеризует условия ламинарно-турбулентного перехода режима
течения при достижении некоторого критического значения числа
Рейнольдса  Re  Re кр .
Число Эйлера
При описании движения потока под действием перепада давления
между некоторыми точками силу F в критерии Ньютона заменим силой
2
гидростатического давления P , действующей на площадку S  l .
2
3
Подставляя в критерий Ньютона F  P  l , m  l , получим
Eu=
P
,
u 2
где P – перепад давления (гидродинамическое сопротивление).
Число Эйлера характеризует соотношение сил давления и сил
инерции в подобных потоках.
Число Фруда
Подставляя в критерий Ньютона силу тяжести F  mg , получим
gl
Ne  2 .
u
Комплекс
Fr = Ne
1

u2
,
gl
называется числом Фруда.
Число Фруда характеризует подобие процессов, идущих при действии
силы тяжести и выражает соотношение сил тяжести и сил инерции.
Число Маха
Для движения сжимаемой жидкости (газа) при больших скоростях u в
качестве критерия подобия используют число Маха
u
M ,
c
где c – скорость звука в рассматриваемой среде.
Число Маха учитывает влияние сжимаемости жидкости на характер
ее движения.
33
Число Кнудсена
Kn 
l
,
lo
где l – длина свободного пробега молекул;
lo – характерный размер в поле течения.
Этот критерий характеризует влияние разреженности газа на характер
течения.
Число Струхаля (критерий гомохронности)
При описании нестационарного движения жидкости используется
число Струхаля, характеризующее соотношение между силой инерции
2
l / l и величиной u /  , учитывающей влияние нестационарности
движения на скорость жидкости:
u
Str 
,
l
где l – характерный размер;
 – характерный интервал времени.
Число Стокса
В гидрогазодинамике двухфазных сред, содержащих взвесь частиц
дисперсной фазы в вязкой несущей среде, используется число Стокса
 puD
Stk 
,
18l
где D ,  p – диаметр и плотность материала частиц;
u – скорость частиц на большом расстоянии от обтекаемого тела с
характерным размером l ;
 – коэффициент динамической вязкости несущей среды.
Число Стокса характеризует отношение сил инерции частиц взвеси к
силам вязкого взаимодействия с несущей средой. Число Стокса позволяет
определить, в частности, характер взаимодействия частиц взвеси с
обтекаемым телом. При значениях Stk>>1 частицы будут двигаться
прямо и сталкиваться с телом, при значениях Stk<<1 частицы будут
огибать тело вместе с несущей средой.
34
3.3.
Тепловые критерии подобия
Число Нуссельта (безразмерный коэффициент теплоотдачи)
l
Nu 

характеризует соотношение между конвективным переносом теплоты от
жидкости к поверхности тела и переносом теплоты теплопроводностью
через пограничный слой жидкости (  – коэффициент теплоотдачи, l –
характерный размер,  – коэффициент теплопроводности жидкости).
В задачах конвективного теплообмена число Нуссельта обычно
является искомой величиной.
Число Пекле
ul
Pe 
æ
характеризует соотношение между конвективным и молекулярным
переносом теплоты в потоке ( u – скорость потока, æ =  /  c –
коэффициент температуропроводности, , c – плотность, удельная
теплоемкость жидкости).
Число Прандтля
v c
Pr 

æ

является критерием подобия температурного и скоростного полей, а
также характеризует свойства теплоносителя (  , v   / 
–
коэффициенты динамической и кинематической вязкости).
Число Прандтля представляет собой комбинацию чисел Пекле и
Рейнольдса:
Pe
Pr 
.
Re
Число Стентона

St 
.
uc
Характеризует соотношение между интенсивностью конвективной
теплоотдачи и удельным теплосодержанием потока.
35
Число Стентона используется иногда вместо числа Нуссельта и
представляет собой комбинацию чисел Нуссельта, Рейнольдса и
Прандтля:
Nu
St 
.
RePr
Число Био (критерий теплового подобия)
l
Bi 
.
cm
является мерой отношения внутреннего термического сопротивления
1/ cm  к внешнему термическому сопротивлению 1/  .
 cm – коэффициент теплопроводности твердого тела.
По структуре число Био напоминает число Нуссельта, но имеет иной
физический смысл.
Число Фурье
æ
Fo 
l o
является критерием тепловой гомохронности и характеризует связь
между темпом изменения условий в окружающей среде и темпом
перестройки температурного поля внутри тела (  – характерное время).
Число Фурье применяется при изучении нестационарного
теплообмена.
3.4.
Диффузионные критерии подобия
Число Шервуда (диффузионное число Нуссельта)
 l
Sh  Nu D  D
D
характеризует соотношение между интенсивностью конвективного
массообмена и молекулярной диффузией в пограничном слое потока
(  D – коэффициент массоотдачи, D – коэффициент диффузии).
Этот критерий используется при изучении диффузии в вынужденном
потоке и является безразмерным коэффициентом массоотдачи.
Число Шмидта (диффузионное число Прандтля)
36
v
D
характеризуется отношением коэффициентов кинематической вязкости и
диффузии.
Число Льюиса–Семенова
D
Le 
æ
характеризует соотношение диффузионных и тепловых молекулярных
переносов.
Sc  PrD 
3.5.
Кинетические критерии подобия
Первое число Дамкелера
k lo
,
u
где u – гидродинамическая скорость потока;
k – константа скорости химической реакции;
Da1 
lo – характерный размер.
Этот критерий характеризует соотношение между скоростью
протекания химической реакции и гидродинамической скоростью потока.
Второе число Дамкелера
Q
Da 2 
,
c p T
где Q – тепловой эффект химической реакции;
c p – удельная изобарическая теплоемкость;
T – температура.
Этот критерий характеризует соотношение между тепловым
эффектом химической реакции и энтальпией компонентов.
Критерий Аррениуса
E
Arn 
,
RT
является соотношением энергии активации E и температуры ( R –
универсальная газовая постоянная) и характеризует чувствительность
скорости протекания химической реакции к изменению температуры.
37
38
4.
ПОЛУЧЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ МЕТОДОМ РЭЛЕЯ
В настоящем разделе приведены типичные задачи, связанные с
получением системы критериев подобия, определяющих закономерности
механических, гидродинамических и теплодиффузионных процессов.
4.1.
Движение твердых тел
Движение твердого тела по инерции
В задаче определяемым параметром является скорость движения тела
u . Физический анализ задачи показывает, что скорость движения тела
зависит от следующих определяющих параметров – начальной скорости
тела u o , массы тела m , силы сопротивления (в частности, силы трения)
F и времени t .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
м
м
кгм
u  , uo  ,  mкг ,  F  2 , t  c .
с
с
с
Согласно П-теореме, скорость движения тела зависит от двух
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  5, а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
x
u C uo1 m x2 F x3 t x4 ,
где C – безразмерный коэффициент;
(1)
x1 , x2 , x3 , x4 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
м
м
 С  
с
с
x1


x3
 кг  x2  кг2м   с  x4
.
(2)
 с 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 0  x2  x3 ,


[м] : 1 x1  x3 ,

[с] : 1 x1  2 x3  x4 .

39
Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x2  x1  1; x3  x4  1  x1 .
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
x
u  C  uo1 m
x1 1 1 x1 1 x1
F
t
.
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
x
u m 1
um
 C   o  .
Ft
 Ft 
(5)
Левую часть уравнения (5) представим в виде:
u m u uo


.
(6)
Ft
uo F t
Подставляя (6) в (5), получим:
 u m  x 1
u
 C   o  1 .
(7)
uo
 Ft 
Таким образом, уравнение (7) представляет собой критериальное
уравнение вида:
a
u  C  Ne ,
включающее два критерия подобия:
u
u 
– безразмерная скорость тела;
uo
Ft uo
Fl
Ne 


– критерий Ньютона, где l  uot –
muo uo muo2
характерное расстояние, пройденное телом.
Значения коэффициента C и показателя степени a определяются по
результатам экспериментального исследования данного процесса.
Движение твердого шарика в неподвижной среде
В задаче определяемым параметром является скорость движения
шарика u . Физический анализ задачи показывает, что скорость движения
шарика зависит от следующих определяющих параметров – начальной
40
скорости шарика u o , плотности материала шарика  p , плотности среды
 , коэффициента динамической вязкости среды  и диаметра шарика
D.
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
м
м
кг
кг
кг
u   , uo   ,  p   3 ,   3 ,   
, D  м .
с
с
мс  
м
м
Согласно П-теореме, процесс движения шарика зависит от трех
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  6 , а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
x
u  C  uo1  p2  3  4 D
x5
(1)
,
где C – безразмерный коэффициент;
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
x
x
x
м
 м  1  кг  2  кг  3  кг  4
x5
=C     3   3  
(2)
 м .
с
с
м

с


  м  м 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 0  x2  x3  x4 ,


[м] : 1 x1 3 x2 3 x3  x4  x5 , 

[с] : 1 x1  x4 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x3  x1  x2  1; x4  1  x1 ; x5  1  x1 .
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
x
x
u  C  uo1  p2 
 x1  x2 1 1 x1   1 x1 

D
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
41
.
(4)
x
x
 u D  1   p  2
uD
 C  o  
 .

     
Левую часть уравнения (5) представим в виде:
uD
u uo D


.

uo

Подставляя (6) в (5), получим:
 u D 
u
 C  o 
uo
  
x1 1
(5)
(6)
x
 p  2
(7)

 .
  
Таким образом, уравнение (7) представляет собой критериальное
уравнение вида:
a
b
u  C Re  ,
включающее три критерия подобия:
u
u 
– безразмерная скорость шарика;
uo
u D
Re  o – число Рейнольдса;

p
– отношение плотностей материала шарика и среды.


Значения коэффициента C и показателей степеней a, b определяются
по результатам экспериментального исследования данного процесса.
Гравитационное осаждение шарика в неподвижной среде
В задаче определяемым параметром является скорость движения
шарика u . Физический анализ задачи показывает, что скорость движения
шарика зависит от следующих определяющих параметров – плотности
материала шарика  p , плотности среды  , коэффициента динамической
вязкости среды  , диаметра шарика D и ускорения свободного падения
g.
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
м
кг
кг
кг
м
u   ,  p   3 ,   3 ,   
, D  м ,  g   2 .
с   м
м

с
м
с
42
Согласно П-теореме, процесс осаждения шарика зависит от трех
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  6 , а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
x
u  C   p1  2  3 D 4 g
x5
(1)
,
где C – безразмерный коэффициент;
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
x
x
5
 кг  1  кг  2  кг  x3
м
x4  м 
 C  3  3 
(2)
  м  2  .
с
 м   м   мc 
c 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 0  x1  x2  x3 ,


[м] : 13 x1 3 x2  x3  x4  x5 , 

[с] : 1 x3  2 x5 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
1
(3)
13 x3  ; x5  12 1 x3  .
2
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
x2   x1  x3 ; x4 
x
u  C   p1 
 x1  x3 x3
1
 D2
13 x3 
1
g2
1 x3 
.
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
x
 p  1  
u 

 C 

 
    uD gD 
gD
Уравнение (5) можно представить в виде:
u
43
x3
.
(5)
1
x1
x
1
 uD 
  p  x3  u 2  2 x3 3
.
(6)


  C 
 
  
    gD 
Таким образом, уравнение (6) представляет собой критериальное
уравнение вида:
a
b
Re  C  Fr ,
включающее три критерия подобия:
uD
Re 
– число Рейнольдса;

p

– отношение плотностей материала шарика и среды;

u2
– число Фруда.
gD
Значения коэффициента C и показателей степеней a, b определяются
по результатам экспериментального исследования данного процесса.
Fr 
Движение твердой частицы в потоке воздуха
В задаче определяемым параметром является скорость частицы u p ,
движущейся под действием потока воздуха. Физический анализ задачи
показывает, что скорость частицы зависит от следующих определяющих
параметров – скорости воздушного потока u , плотности воздуха  ,
коэффициента динамической вязкости воздуха  , диаметра частицы D и
плотности частицы  p .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
u   м , u   м ,   кг ,    кг , D  м ,    кг .
 p  с   с   м3   мс  
 p  м3
Согласно П-теореме, процесс движения тела зависит от трех
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  6 , а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
x
x
u p  C  u 1  2  3 D 4  p5 ,
44
(1)
где C – безразмерный коэффициент;
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
x
x
x
5
2
м
x4  кг 
 м  1  кг   кг  3


(2)
 C    3 
м
.



с
 с   м   мс 
 м3 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 0  x2  x3  x5 ,


[м] : 1 x1 3 x2  x3  x4 3 x5 , 

[с] : 1 x1  x3 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x1  1  x3 ; x2   x3  x5 ; x4   x3 .
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
1 x3  x3  x5 x3
up  C  u

 D
 x3 x5
p
.
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
x
x
   3  p  5
 C 
(5)
   .
u
 uD    
Таким образом, уравнение (5) представляет собой критериальное
уравнение вида:
up
a
b
u  C Re ( ) ,
включающее три критерия подобия:
uD
Re 
– критерий Рейнольдса;

up
u 
– безразмерная скорость частицы;
u
45

p
– отношение плотностей материала частицы и воздуха.

Значения коэффициента C и показателей степеней a, b определяются
по результатам экспериментального исследования данного процесса.
Прыжок парашютиста
В задаче определяемым параметром является скорость снижения
парашютиста u . Физический анализ задачи показывает, что скорость
снижения зависит от следующих определяющих параметров – массы
парашютиста m , диаметра купола парашюта D , плотности воздуха  ,
коэффициента динамической вязкости воздуха  и ускорения свободного
падения g .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
м
кг
кг
м
u   с , m  кг, D  м,   3 ,    мс ,  g   2 .
м
с
Согласно П-теореме, процесс снижения парашютиста зависит от трех
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  6 , а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
x
u  C  P 1 D 2 3 4 ,
где C – безразмерный коэффициент;
(1)
x1 , x2 , x3 , x4 – безразмерные показатели степеней.
В уравнении (1) для сокращения вычислений введен вес парашютиста
кгм
P  mg , P   2 .
с
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
 кгм 
м
 C  2 
с
 с 
x1


x3
x
 кг  4
(2)

 .
 м   мс 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
 м  x2  кг3 
46
[кг] : 0  x1  x3  x4 ,


[м] : 1 x1  x2 3 x3  x4 , 

[с] : 12 x1  x4 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x2  1; x3  x1  1; x4  1  2 x1 .
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
1 x 1 12 x
x
1
u  C  P 1D  1 
.
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
 Pp 
uD
 C  2
 



(4)
x
x1
 mg  1
 C  2  .
  


Правую часть уравнения (5) представим в виде:
x
(5)
x
 mg  1  mg u 2 D 2  1

 
 .

 2 
 2 u 2 D 2 




Подставляя (6) в (5), получим:
(6)
x
2 x1
x
1
 gD  1  m 


(7)
 2   3 .
 u   D 
Таким образом, уравнение (7) представляет собой критериальное
уравнение вида:
 uD 
uD
 C 


  
Re  C  Fr
a
 mb ,
включающее три критерия подобия:
uD
– число Рейнольдса;
Re 

u2
– число Фруда;
gD
m
m
– безразмерная масса парашютиста.
D3
Fr 
47
Критерий подобия m с точностью до коэффициента π/6 можно
представить в виде:
m
mg
m

V
Vg
где V – объем воздуха, содержащийся в сфере диаметром D.
Таким образом, критерий подобия m равен отношению силы тяжести
mg к силе Архимеда Vg . С увеличением диаметра купола парашюта
(уменьшением критерия m ) скорость снижения уменьшается.
Значения коэффициента C и показателей степеней a, b определяются
по результатам экспериментального исследования данного процесса.
4.2.
Движение жидкостей и газов
Режим течения вязкой жидкости
В задаче определяемым параметром является скорость течения
жидкости u . Физический анализ задачи показывает, что скорость
жидкости зависит от следующих определяющих параметров –
характерного размера обтекаемого тела D , плотности  и коэффициента
динамической вязкости  жидкости.
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
м
кг
кг
u   , D  м,   3 ,   
.
с
м
с
м
Согласно П-теореме, скорость жидкости зависит от одного
безразмерного комплекса (поскольку число размерных параметров
n  4, а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
u  C  D 1 2  3 ,
где C – безразмерный коэффициент;
(1)
x1 , x2 , x3 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
м
x  кг 
 C  м 1  3 
с
м 
48
x2
 кг 


 мс 
x3
.
(2)
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 0  x2  x3 ,


[м] : 1 x1 3 x2  x3 , 

[с] : 1 x3 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие значения показателей степеней xi :
x1  1; x2  1; x3  1 .
(3)
Подставляя полученные значения (3) в исходное уравнение (1),
получим:
1 1 1
(4)
uCD   .
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
uD
(5)
 C.

Таким образом, уравнение (5) представляет собой критериальное
уравнение вида:
Re = C ,
включающее один критерий подобия:
uD
– критерий Рейнольдса.
Re 

В качестве характерного размера обтекаемого тела D используется
диаметр миделева сечения тела (для внешних задач обтекания тел), либо
диаметр канала (для внутренних задач течения в трубах).
Значение коэффициента
определяется по результатам
C
экспериментального исследования данного процесса.
Величина
C  Re кр , в частности, определяет режим течения
жидкости: при Re  Re кр течение ламинарное, при Re  Re кр течение
турбулентное.
49
Гидродинамическое сопротивление
В задаче определяемым параметром является сила сопротивления
жидкости движению тел F . Физический анализ задачи показывает, что
сила сопротивления зависит от следующих определяющих параметров –
характерного размера тела D , плотности  и коэффициента
динамической вязкости  жидкости, а также скорости движения тела u .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
кгм
кг
кг
м
F   2 , D  м ,   3 , μ  = мс , u   с .
с
м
Согласно П-теореме, сила сопротивления зависит от двух
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  5, а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
F  C  D 1 2  3 u
где C – безразмерный коэффициент;
x4
(1)
,
x1 , x2 , x3 , x4 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
x
кгм
x
x1  кг  2  кг  3  м  4
(2)



C

м
  
   .
 м   мс   с 
с2
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 1 x2  x3 ,


[м] : 1 x1 3 x2  x3  x4 , 

[с] :  2  x3  x4 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x1  1  x2 ; x3  1  x2 ; x4  1  x2 .
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
1 x2 x2 1 x2 1 x2
F CD
 
50
u
.
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
 uD 
F
 C 

uD
  
x2
.
(5)
Левую часть уравнения (5) представим в виде:
F
uD  uD   F 
.
(6)


 .
uD uD     u 2 D 2 
Таким образом, уравнение (6) представляет собой критериальное
уравнение вида:
a
  C  Re ,
включающее два критерия подобия:
F

– коэффициент гидродинамического сопротивления;
u 2 D 2
uD
– число Рейнольдса.

Значения коэффициента C и показателя степени a определяются по
результатам экспериментального исследования данного процесса.
Re 
Движение газа под действием градиента давления
В задаче определяемым параметром является скорость газа u .
Физический анализ задачи показывает, что скорость газа зависит от
следующих определяющих параметров – плотности  и коэффициента
динамической вязкости  жидкости, диаметра канала D , а также
перепада давления p .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
м
кг
кг
кг
.
u   с ,   3 , μ  = мс , D  м , p  =
м
мс2
Согласно П-теореме, скорость газа зависит от двух безразмерных
комплексов (поскольку число размерных параметров n  5 , а количество
единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
u  C   1  2 D 3 p
где C – безразмерный коэффициент;
51
x4
,
(1)
x1 , x2 , x3 , x4 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
x
4
 кг  1  кг  x2
м
x3  кг 


 C  3 
м
.
(2)



с
 м   мc 
 мс2 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 0  x1  x2  x4 ,


[м] : 13 x1  x2  x3  x4 , 

[с] : 1 x2  2 x4 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
1 1
1 1
 x2 ; x3   x2 ; x4   x2 .
(3)
2 2
2 2
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
x1  
1 1
1 1
  x2 x
 x2
 x2
2
2
2

 D p 2 2
uC
.
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
(4)
x

 2


 .
u
 C  

p
 D p 
Представим правую часть уравнения (5) в виде:
x
(5)
x
2

u    2 
 
(6)


 .
   u
D p u  uD 
 p 
Таким образом, уравнение (6) представляет собой критериальное
уравнение вида:
a
Eu  C  Re ,
включающее два критерия подобия:
Eu 
u 2
– число Эйлера;
p
52
uD
– число Рейнольдса.

Значения коэффициента C и показателя степени a определяются по
результатам экспериментального исследования данного процесса.
Re 
Слив жидкости из резервуара
В задаче определяемым параметром является массовый расход
жидкости G при сливе из резервуара через расположенный на дне
резервуара насадок. Физический анализ задачи показывает, что расход
жидкости зависит от следующих определяющих параметров – высоты
уровня жидкости h , диаметра насадка D , плотности жидкости  и
ускорения свободного падения g .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
кг
G  = ,  h  м ,  D  м ,   кг3 ,  g  = м2 .
с
м
с
Согласно П-теореме, массовый расход жидкости зависит от двух
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  5, а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
G  C  h 1D 2 3 g
где C – безразмерный коэффициент;
x4
,
(1)
x1 , x2 , x3 , x4 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
x
4
3
кг
x
x  кг   м 
(2)
 С  м 1 м 2  3   2  .
с
м  с 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 1 x3 ,


[м] : 0  x1  x2 3 x3  x4 , 

[с] : 12 x4 .

53
Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
5
1
; x3  1; x4  .
(3)
2
2
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
x2   x1 
x1
 x1 
5
1
2 1 g 2 .
G Ch D
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
(4)
x
h1
 C   .
2
D
D gD
Расход жидкости можно представить в виде:
G  uS ,
где u – скорость истечения жидкости через насадок;
G
(5)
(6)
D 2
– площадь поперечного сечения насадка.
4
Левую часть уравнения (5) с учетом (6) представим в виде:
G
uS

u
(7)

 
.
2
2
4
D gD D gD
gD
Таким образом, уравнение (5) с учетом (7) представляет собой
критериальное уравнение вида:
S
Fr = C   h  ,
(8)
включающее два критерия подобия:
u2
– число Фруда;
Fr 
gD
h
h 
– безразмерный уровень жидкости.
D
Значения коэффициента C и показателя степени а определяются по
результатам экспериментального исследования.
Представим критериальное уравнение (8) в следующем виде:
a
54
a
h1
= C1    .
D
gD
эксперимента
определены
u
По
результатам
(9)
значения
C1  2 , a1  0.5 . Подставляя в (9) значения этих величин, получим
известную формулу Торичелли для скорости истечения жидкости:
u = 2 gh .
Вращение жидкости в сосуде
В цилиндрический сосуд, вращающийся с постоянной угловой
скоростью вокруг оси симметрии, налита несжимаемая жидкость.
Требуется определить уравнение поверхности жидкости. При вращении
сосуда жидкость также начнет вращаться под действием сил трения.
После того как движение установится, влияние сил вязкости можно не
учитывать.
В задаче определяемым параметром является расстояние свободной
поверхности жидкости до дна сосуда h . Физический анализ задачи
показывает, что расстояние h зависит от следующих определяющих
параметров – радиальной координаты r , плотности жидкости  , угловой
скорости вращения сосуда  и ускорения свободного падения g .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
кг
1
м
h  м , r   м ,   3 ,  = ,  g   2 .
с
м
с
Согласно П-теореме, процесс вращения жидкости зависит от двух
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  5, а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
h  C  r 1 2  3 g
где C – безразмерный коэффициент;
x4
,
(1)
x1 , x2 , x3 , x4 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x  кг 
м  C  м 1  3 
м 
x2
55
1
 
с
x4
x3 
м
 2 .
с 
(2)
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 0  x2 ,


[м] : 1 x1 3 x2  x4 , 
[с] : 0  x3  2 x4 . 

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x1  1  x4 ; x2  0; x3  2 x4 .
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
1 x
2 x
x
h  C  r 4 4 g 4 .
(4)
В уравнение (4) не входит плотность жидкости  . Следовательно,
форма поверхности жидкости одинакова для любых жидкостей.
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
 g 
h
 C  2
r
 r 
x4
.
(5)
Таким образом, уравнение (5) представляет собой критериальное
уравнение вида:
a
h =C ,
(6)
включающее два критерия подобия:
h
h 
– безразмерное расстояние поверхности жидкости до дна
r
сосуда;
r2
– отношение центростремительного ускорения к

g
ускорению силы тяжести (степень перегрузки).
Значения коэффициента C и показателя степени а определяются по
результатам экспериментального исследования.
Уравнение (6) позволяет определить форму свободной поверхности
вращающейся жидкости:
56
a
 r2 
(7)
h ( r )  r  C  
 .
 g 
По результатам эксперимента определены значения C  0.5 , a  1. .
Подставляя в (7) значения этих величин, получим известное уравнение
свободной поверхности жидкости (парабола):
h( r ) =
 r 2
2g
4.3. Динамика капель и пузырьков
.
Падение дождевой капли
В задаче определяемым параметром является скорость падения капли
u . Физический анализ задачи показывает, что скорость падения капли
зависит от следующих определяющих параметров – плотности жидкости
 p , плотности воздуха  , коэффициента динамической вязкости воздуха
 , диаметра капли D , ускорения свободного падения g и коэффициента
поверхностного натяжения жидкости  .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
м   кг
кг
кг
м
кг
u   с ,  p   3 ,   3 ,    мс , D  м,  g   2 ,   2 .
м
м
с
с
Согласно П-теореме, процесс падения капли зависит от четырех
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  7 , а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
x
x
u  C   p1  2  3 D 4 g 5 
x6
(1)
,
где C – безразмерный коэффициент;
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
 кг  1  кг 
м
 C  3  3
с
м  м 
x2
 кг 


 мc 
57
x3


 м  x4  м2 
с 
x5
 кг 
 2
c 
x6
.
(2)
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 0  x1  x2  x3  x6 ,


[м] : 13 x1 3 x2  x3  x4  x5 , 

[с] : 1 x3  2 x5  2 x6 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
1
13x3 4 x6  ; x5  12 1x3 2 x6  . (3)
2
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
x2   x1  x3  x6 ; x4 
uC
1
1
x1  x1  x3  x6 x3 2 13 x3  4 x6  2 1 x3  2 x6  x6
 p 
 D
g

.
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
x
x
x
 3   6
 p  1 

 .

 
 C 

gD
    D gD   gD 2 
Сомножители в правой части уравнения (5) представим в виде:

 u     u 





 D gD   u   uD    gD  ,




2
    u2 

u

 
 .
2  2 
2  
gD u
 u D   gD 
Подставляя (6), (7) в (5), получим:
u
x
x
 p  1    3
 C 
 

gD
    uD 
Таким образом, уравнение (8)
уравнение вида:
u
x
x
(5)
(6)
(7)
 u  3    6  u 2  x6


 
(8)
 gD   u 2 D   gD  .


 
 
представляет собой критериальное
a
b
c
Re  C   Fr We ,
включающее четыре критерия подобия:
58
uD
– число Рейнольдса;

p
– отношение плотностей жидкости и воздуха;


Re 
Fr 
u2
– число Фруда;
gD
u 2 D
– число Вебера.

Значения коэффициента C и показателей степеней a, b, с
определяются по результатам экспериментального исследования данного
процесса.
We 
Всплытие пузырька газа в вязкой жидкости
В задаче определяемым параметром является скорость пузырька газа
u . Физический анализ задачи показывает, что скорость пузырька газа
зависит от следующих определяющих параметров – плотности газа  p ,
плотности  и коэффициента динамической вязкости  жидкости,
диаметра пузырька D , ускорения свободного падения g и
коэффициента поверхностного натяжения жидкости  .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
м   кг
кг
кг
м
кг
u   с ,  p   3 ,   3 ,    мс , D  м,  g   2 ,   2 .
м
м
с
с
Согласно П-теореме, процесс всплытия пузырька зависит от четырех
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  7 , а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
x
x
x
u  C   p1  2  3 D 4 g 5  6 ,
(1)
где C – безразмерный коэффициент;
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 – безразмерные показатели степеней.
Уравнение (1) полностью совпадает с соответствующим уравнением
для падения дождевой капли. Решение задачи проводится по аналогии с
задачей падения капли.
59
Критериальное уравнение, описывающее процесс всплытия пузырька
имеет вид:
a
b
Re  C   Fr We
и содержит четыре критерия подобия:
uD
– число Рейнольдса;
Re 


Fr 
p

c
– отношение плотностей жидкости и воздуха;
u2
– число Фруда;
gD
u 2 D
– число Вебера.

Значения коэффициента C и показателей степеней a, b, с
определяются по результатам экспериментального исследования данного
процесса.
We 
Движение капли в потоке воздуха
В задаче определяемым параметром является скорость капли u p .
Физический анализ задачи показывает, что скорость капли зависит от
следующих определяющих параметров – скорости потока воздуха u ,
плотности
воздуха
,
плотности
жидкости
p ,
коэффициента
динамической вязкости жидкости  , диаметра капли D и коэффициента
поверхностного натяжения жидкости  .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
u   м , u   м ,   кг ,    кг ,    кг , D  м,   кг .
 
 p  с   с   м3  p  м3   мс  
с2
Согласно П-теореме, процесс движения капли зависит от четырех
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  7 , а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
x
x
x
u p  C  u 1  2  p3  4 D 5  6 ,
60
(1)
где C – безразмерный коэффициент;
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
x
x
x
x
6
3
2
м
x5  кг 
 м  1  кг   кг   кг  4


(2)
 C    3  3 
м
.



с
 с   м   м   мс 
 с2 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 0  x2  x3  x4  x6 ,


[м] : 1 x1 3 x2 3 x3  x4  x5 , 

[с] : 1 x1  x4  2 x6 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x1  1  x4  2 x6 ; x2   x3  x4  x6 ; x5   x4  2 x3  x6 . (3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
1 x4 2 x6  x3  x4  x6 x3 x4  x4  2 x3  x6 x6

p  D
 .
up  C  u
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
x
x
x
6
 p  3    4   


(5)
 C 
.
 

u
    uD   u 2 D 
Таким образом, уравнение (5) представляет собой критериальное
уравнение вида:
up
a
b
c
u p  C  Re We ,
включающее четыре критерия подобия:
up
– безразмерная скорость капли;
up 
u
p
– отношение плотностей жидкости и воздуха;


61
u 2 D
– число Вебера;

uD
– число Рейнольдса.
Re 

Значения коэффициента C и показателей степеней a, b, с
определяются по результатам экспериментального исследования данного
процесса.
We 
Процесс каплеобразования в капилляре
В задаче определяемым параметром является диаметр капли D p .
Физический анализ задачи показывает, что диаметр капли зависит от
следующих определяющих параметров – диаметра капилляра D , высоты
жидкости в сосуде h , плотности жидкости  , коэффициента
поверхностного натяжения жидкости  и ускорения свободного падения
g.
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
 D   м, D  м, h  м,   кг ,   кг ,  g   м .
 
 
 p
м3
с2
с2
Согласно П-теореме, процесс каплеобразования зависит от трех
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  6 , а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
x
Dp  C  D 1h 2  3  4 g
x5
(1)
,
где C – безразмерный коэффициент;
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x3
x
x
 кг  4  м  5
м  C  м
(2)
    .
 м   с2   с2 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
x1


 м  x2  кг3 
62
[кг] : 0  x3  x4 ,


[м] : 1 x1  x2 3 x3  x5 , 

[с] : 0 2 x4  2 x5 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x1  1  x2  2 x3 ; x4   x3 ; x5  x3 .
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
1 x2  2 x3 x2 x3  x3
Dp  C  D
h  
g
x3
.
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
x
3
x
 h  2  gD 2 
 C    
(5)
 .
D
D   
Таким образом, уравнение (5) представляет собой критериальное
уравнение вида:
Dp
a
b
D  C  h Bo ,
включающее три критерия подобия:
Dp
– отношение диаметра капли к диаметру капилляра;
D
D
h
h 
– отношение высоты жидкости в сосуде и диаметра
D
капилляра;
gD 2
– число Бонда.

Значения коэффициента C и показателей степеней a, b, с
определяются по результатам экспериментального исследования данного
процесса.
Bo 
Устойчивость вращающейся капли
В задаче определяемым параметром является угловая скорость
вращающейся капли  . Физический анализ задачи показывает, что
63
угловая скорость вращения зависит от следующих определяющих
параметров – диаметра капли D , плотности  и коэффициента
поверхностного натяжения жидкости  , а также от момента импульса
M , сообщаемого капле (например, при нелобовом столкновении двух
капель, приводящем к образованию объединенной вращающейся капли).
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
1
кг
кг
кгм2
  , D  м,   3 ,   2 , M  
.
c
с
м
с
Согласно П-теореме, процесс вращения капли зависит от двух
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  5, а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с ).
Искомую величину можно представить в виде:
C  D x1  x2  x3 M x4 ,
где C – безразмерный коэффициент;
(1)
x1 , x2 , x3 , x4 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x2
x
x
 кг  3  кгм 2  4
(2)
 .
 2  
с   с 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
1
x  кг 
 C  м 1  3 
с
м 
[кг] : 0  x2  x3  x4 , 

[м] : 0  x1 3 x3  2 x4 , 
[с] : 12 x3  x4 . 

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x1  5  7 x3 ; x2  1  x3 ;
x4  1  2 x3 .
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
57 x
1 x
x
12 x
3
3
3
CD

 3M
.
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
64
(4)
 D7 
D5
 C  

M
 M2 
x3
.
(5)
Левую часть уравнения (5) представим в виде:
D5
  D3 D  


   
M
 
M
 
D3


.

(6)
Правую часть уравнения (5) представим в виде:
x
 D7  3  D3 D 


  
M
 M2 


С учетом (6), (7) уравнение (5) примет вид:
2 x3
.
(7)
1 x3


D3
M


 C  3
 D D 



.
(8)
Таким образом, уравнение (8) представляет собой критериальное
уравнение вида:
a
Bo  C   ,
включающее два критерия подобия:
Bo 
 
 2 D D 2

2
– число Бонда, где  D – центростремительное
ускорение;

M
– безразмерный момент импульса.
D3 D
Значения коэффициента C и показателя степени a определяются по
результатам экспериментального исследования данного процесса.
4.4.
Ударно-волновые процессы
Точечный взрыв в атмосфере
65
В задаче определяемым параметром является расстояние r фронта
ударной волны от центра взрыва. Физический анализ задачи показывает,
что это расстояние зависит от следующих определяющих параметров –
времени t , энергии взрыва E и плотности воздуха  .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
r   м , t   c , E  
кгм2
x
,
 
кг
.
с
м3
Согласно П-теореме, распространение сферической ударной волны
зависит от одного безразмерного комплекса (поскольку число размерных
параметров n  4 , а количество единиц с независимой размерностью
k  3 : кг, м, с).
Искомую величину можно представить в виде:
2
x
x
r  C  t 1E 2 3 ,
где C – безразмерный коэффициент;
(1)
x1 , x2 , x3 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
x
2
3
x  кгм 2   кг 
м  C   с  1  2   3  .
(2)
 с  м 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 0  x2  x3 , 

[м] : 1 2 x2 3 x3 , 
[с] : 0  x1  2 x2 . 

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие значения показателей степеней xi :
x1 
2
1
; x2  ;
5
5
x3  
1
.
5
(3)
Подставляя полученные значения xi в исходное уравнение (1),
получим:
66
2 1 1

5
r  C  t E 5 5 .
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
1
 Et 2  5
r  C  
(5)
 .
  
Таким образом, уравнение (5) представляет собой критериальное
уравнение вида:
ПC ,
включающее один критерий подобия:
П
Et 2
r 5
Значение коэффициента C  1 определено Л.И. Седовым из решения
газодинамической задачи для данного процесса.
Подставляя в (6) значение C  1 , получим уравнение для скорости
распространения ударной волны
1
которое позволяет
зависимости r (t ) .
 Et 2  5
r (t )  
 ,
  
определить энергию взрыва
по
измеренной
Падение спускаемой капсулы космического аппарата в океан
В задаче определяемым параметром является максимальная высота
волн h , образующихся при падении капсулы. Физический анализ задачи
показывает, что высота волн зависит от следующих определяющих
параметров – плотности жидкости  , плотности капсулы  p , диаметра
капсулы D , коэффициента динамической вязкости воды  , скорости
падения капсулы u и ускорения свободного падения g .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
кг
кг
кг
м
м
h  м ,   3 ,  p   3 , D  м ,   
, u   ,  g   2 .


м

c
c
м
м
c
67
Согласно П-теореме, процесс волнообразования зависит от четырех
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  7 , а количество единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
x
x
h  C   1  p2 D 3  4 u 5 g
где C – безразмерный коэффициент;
x6
(1)
,
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
x
x
x
x
6
 кг  1  кг  2
x  кг  4  м  5  м 
м  C   3   3  м 3 
.
(2)


  
 мc   с   с2 
м  м 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
[кг] : 0  x1  x2  x4 ,


[м] : 13 x1 3 x2  x3  x4  x5  x6 , 

[с] : 0  x1  x5  2 x6 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x1   x2  x4 ; x3  1  x4  x6 ; x5   x4  2 x6 .
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
h  C 
 x2  x4 x2 1 x4  x6 x4  x4 2 x6 x6
p D
 u
g
.
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
 p 
h
 C 

D
  
x2
x
x
   4  gD  6
(5)

 
 .
 uD   u 2 
Таким образом, уравнение (5) представляет собой критериальное
уравнение вида:
h  C      Re 
включающее четыре критерия подобия:
a
68
b
 Fr c ,
h
– безразмерная высота волны;
D
p
– отношение плотности капсулы к плотности жидкости;


uD
Re 
– число Рейнольдса;

h 
u2
– число Фруда.
gD
Значения коэффициента C и показателей степеней a, b, с
определяются по результатам экспериментального исследования данного
процесса.
Fr 
Падение тяжелого метеорита
В задаче определяемым параметром является объем воронки V ,
образующейся при столкновении метеорита с поверхностью Земли.
Физический анализ задачи показывает, что объем воронки зависит от
следующих определяющих параметров – диаметра D и плотности  p
метеорита, скорости столкновения u с поверхностью Земли, плотности
грунта  и ускорения свободного падения g . Последний параметр
характеризует работу по выбросу грунта из воронки (вес грунта, равный
Vg ).
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
м
кг
м
3
  кг
V   м , D  м ,  p   3 , u   с ,   3 ,  g   2 .
м
м
c
Согласно П-теореме, объем воронки зависит от трех безразмерных
комплексов (поскольку число размерных параметров n  6 , а количество
единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
x
V  C  D 1  p2 u 3  4 g
где C – безразмерный коэффициент;
x5
,
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
69
(1)
x2
x4
x5
 м  3  кг   м 
(2)
м
   .
  
 м   с   м3   с2 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
3
x  кг 
 C  м 1  3 
x


[м] : 3 x1 3 x2  x3 3 x4  x5 , 

[с] : 0  x3  2 x5 .

[кг] : 0  x2  x4 ,
Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x1  3  x5 ; x3  2 x5 ; x4   x2 .
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
V CD
3 x5 x2 2 x5  x2 x5
p u
 g
.
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
x
x
  p  2  gD  5

C

(5)

 
 .
D3
    u2 
Таким образом, уравнение (5) представляет собой критериальное
уравнение вида:
V
a
b
V  C   Fr ,
включающее три критерия подобия:
V
V  3 – безразмерный объем грунта (с точностью до коэффициента
D
 6 );

Fr 
p

– отношение плотностей метеорита и грунта;
u2
– число Фруда.
gD
70
Значения коэффициента C и показателей степеней a, b определяются
по результатам экспериментального исследования данного процесса.
Соударение снаряда с преградой
В задаче определяемым параметром является толщина преграды h ,
пробиваемой бронебойным снарядом. Физический анализ задачи
показывает, что толщина преграды зависит от следующих определяющих
параметров – скорости u и калибра D снаряда, плотности материала
преграды  , плотности материала снаряда  p и модуля сдвига
материала преграды G . Модуль сдвига G , Па  кг/(м·с2) характеризует
отношение касательного напряжения в твердом теле к его деформации.
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
м
кг   кг
кг
.
h  м, u   с , D  м,   3 ,  p   3 , G  
м
м
мc2
Согласно П-теореме, толщина преграды зависит от трех безразмерных
комплексов (поскольку число размерных параметров n  6 , а количество
единиц с независимой размерностью k  3 : кг, м, с).
Искомую величину можно представить в виде:
x
x
x
x
x
h  C  u 1 D 2  3  p4 G 5 ,
где C – безразмерный коэффициент;
(1)
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
x
x
x
5
4
3
x  кг   кг   кг 
м 1
м  C    м 2  3   3   2  .
(2)
с
 м   м   мс 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:


[м] : 1 x1  x2 3 x3 3 x4  x5 , 

[с] : 0  x1  2 x5 .

[кг] : 0  x3  x4  x5 ,
71
Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
1
1
x  x3 ; x5   x1 .
(3)
2 1
2
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
x2  1; x4 
x1
h  C u D
1
1
x3 2 x1  x3  2 x1
 p
G
1
.
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
x
x
 u p  1    3
h

 
(5)
 C  
   .
D
G
p

 

Таким образом, уравнение (5) представляет собой критериальное
уравнение вида:
h  C  П  ,
включающее три критерия подобия:
h
h 
– безразмерная толщина преграды;
D
a
П
 pu 2
G
b
– отношение кинетической энергии снаряда к модулю
сдвига материала преграды;

p
– отношение плотностей материалов снаряда и преграды.

Значения коэффициента C и показателей степеней a, b определяются
по результатам экспериментального исследования данного процесса.
Сила сопротивления при движении судна
При движении судна наряду с силой вязкого сопротивления возникает
дополнительно сила волнового сопротивления. Эта сила обусловлена
образованием на поверхности жидкости волн, создаваемых движущимся
судном.
В задаче определяемым параметром является сила сопротивления
жидкости F движению тела. Физический анализ задачи показывает, что
72
сила сопротивления зависит от следующих определяющих параметров –
характерного размера судна D , плотности жидкости  , плотности судна
 p (отношение массы судна к его объему), ускорения свободного
падения g , коэффициента динамической вязкости жидкости  и
скорости судна u .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
кг м
кг
,  p   3 ,
с
м
м
 g   м2 ,   мкгc , u   мc .
c
Согласно П-теореме, сила сопротивления зависит от четырех
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров n 7 ,
а количество единиц с независимой размерностью k 3 : кг, м, с).
Искомую величину можно представить в виде:
F  
2
,
 D   м,  
кг
3
F C  D x1  x2  xp3 g x4  x5 u x6 ,
(1)
где C – безразмерный коэффициент;
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
кгм
с2
x
x
x
x
x
 кг  2  кг  3  м  4  кг  5  м  6
C  м  x1  3   3   2  
   .
 м   м   с   мс   с 
(2)
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:

кг : 1 x2  x3  x5 ,

м: 1 x1 3 x2 3 x3  x4  x5  x6 ,

c:  2 2 x4  x5  x6 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x1 2 x4  x5 ;
x2 1 x3  x5 ;
73
x6 22 x4  x5 .
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
F C  D2 x4  x5 1 x3  x5  xp3 g x4  x5 u 22 x4  x5 .
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
x
  p  3  gD  4    5
(5)

C


  2  
 .
D 2u 2
    u   uD 
Таким образом, уравнение (5) представляет собой критериальное
уравнение вида:
F
x
x
Ne C    Frb Rec ,
a
включающее четыре критерия подобия:
F
FD
Ne  2 2  2 – критерий Ньютона;
D u mu

p

– отношение плотности судна к плотности жидкости;
u2
– число Фруда;
gG
uD
Re 
– число Рейнольдса.

Fr 
В критерий Ньютона входит m D3 – масса вытесненной судном
жидкости (с точностью до постоянного коэффициента  /6).
Значения коэффициента C и показателей степеней a, b, с
определяются по результатам экспериментального исследования данного
процесса.
4.5.
Тепловые и диффузионные процессы
Время тепловой релаксации шара
Если тело сферической формы (шар), равномерно прогретый до
температуры T p , поместить в среду с постоянной температурой T
74
(граничное условие первого рода для уравнения теплопроводности), то в
течение некоторого времени шар будет равномерно нагрет (или
охлажден) до температуры T .
В задаче определяемым параметром является время t выравнивания
температуры в объеме шара. Физический анализ задачи показывает, что
время выравнивания температуры зависит от следующих определяющих
параметров – разности температур T Tp T , радиуса шара R ,
плотности
и коэффициента
 , удельной теплоемкости
c
теплопроводности  материала шара.
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
t с ,  T  K ,  Rм , 
кг
,
м3
 c 
м2
Kc
2
,
 
кгм
Kc3
.
Согласно П-теореме, время выравнивания температуры зависит от
двух безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n6 , а количество единиц с независимой размерностью
k  4 : кг, м, с, К).
Искомую величину можно представить в виде:
t C T x1 R x2  x3 c x4  x5 ,
где C – безразмерный коэффициент;
(1)
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
4
x
x
кг  3  м 2   кг м  5
(2)
с C  K   м   3  


 .
 м   Kс2   Kс3 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:

кг : 0  x3  x5 ,

м : 0  x2 3 x3  2 x4  x5 , 

c: 12 x4 3 x5 ,


 K : 0  x1  x4  x5 .

x1
x2 
75
Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
1 1
x1   x3 ; x2 1 x3 ;
2 2
1 3
x4   x3 ; x5  x3 .
2 2
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
t  C  T
1 1
1 3
  x3 1 x x   x3  x
2 2 R 3 3c 2 2  3
.
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
 Rc cT 
t cT
C 

R



x3
.
(5)
Представим правую часть уравнения (5) в виде:
x
x
x
 Rc cT Rt  3  R 2  3  t cT  3
(6)
  
 

 ,

Rt   æt   R 

где æ= /(c) – коэффициент температуропроводности материала
шарика.
Таким образом, уравнение (6) представляет собой критериальное
уравнение вида:
(7)
t C Foa ,
содержащее два критерия подобия:
t
D
t
– безразмерное время, где t 
– масштаб времени
t
cT
(время тепловой релаксации);
æt
Fo  2 – число Фурье.
R
Значения коэффициента C и показателя степени a определяются по
результатам экспериментального исследования данного процесса.
При значениях C 1, a 1 из (7) следует:
t æt

.
(8)
t R 2
76
Из (8) следует, что время тепловой релаксации определяется
формулой
t 
R2
.
æ
Измерение температуры среды термопарой
В задаче определяемым параметром является характерное время t , за
которое термопара нагревается до измеряемой температуры сплошной
среды (жидкости или газа). Физический анализ задачи показывает, что
характерное время зависит от следующих определяющих параметров –
диаметра спая термопары D , плотности  и удельной теплоемкости c
материала термопары, коэффициента теплоотдачи  , а также от
разности температур T T To ( T – температура среды, To – начальная
температура термопары).
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
 t   с ,  D   м ,   
кг
,
м3
 c 
м2
Kc
2
,
  
кг
Kc3
,
T  K.
Согласно П-теореме, характерное время зависит от двух
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров n 6 ,
а количество единиц с независимой размерностью k  4 : кг, м, с, К).
Искомую величину можно представить в виде:
t C D x1  x2 c x3  x4 T x5 ,
где C – безразмерный коэффициент;
(1)
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x
3
x
x
кг  2  м2   кг  4
x5
(2)
с C  м   3  


 K .
 м   K с2   K с3 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
x1 
77
 кг :
 м :
 c:
 K :
0  x2  x4 ,


0  x1 3 x2  2 x3 , 

12 x3 3 x4 , 
0  x3  x4  x5 . 
Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x1  1; x3  
1 3
1 1
 x2 ; x4   x2 ; x5    x2 .
2 2
2 2
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
t C
1 3
1 1
  x2
1 x2  2  2 x2  x2
D c
 T 2 2
.
(4)
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
 c cT 
t cT
C 

D



x2
.
(5)
Правую часть уравнения (5) представим в виде:
x
x
 c cT t D  2  t cT  2  cD  x2


 
 
 .

t D   D   t 

(6)
Таким образом, уравнение (6) представляет собой критериальное
уравнение вида:
t  C П a ,
содержащее два критерия подобия:
t
D
t
– безразмерное время, где t 
t
cT
(постоянная времени термопары);
П
t
t D 2 T


сD сD D 2 T
–
отношение
(7)
– масштаб времени
теплоты,
поступающей
к
термопаре из среды за время t , к запасенной термопарой
теплоте.
78
Можно показать, что критерий П является комбинацией известных
критериев подобия – чисел Нуссельта и Фурье:
П  NuFo
где Nu=
D
æt
, Fo= 2 .
g
D
Значения коэффициента C и показателя степени a определяются по
результатам экспериментального исследования данного процесса.
При значениях C 6 , a 1 из (7) следует, что постоянная времени
термопары определяется формулой
cD
t 
,
6
или, при Nu  2 , эквивалентной формулой
t 
cD 2
,
12 g
где  g – коэффициент теплопроводности сплошной среды.
Внедрение нагретого шарика в плавящуюся подложку
В задаче определяемым параметром является глубина внедрения h
шарика в подложку (например, в лед). Физический анализ задачи
показывает, что глубина внедрения зависит от следующих определяющих
параметров – диаметра D и температуры T p шарика, удельной
теплоемкости
cp
и плотности
p
материала шарика, удельной
теплоемкости c , плотности  , температуры плавления T и теплоты
плавления Q материала подложки.
Согласно -теореме, глубина внедрения нагретого шарика зависит от
пяти безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n9 , а количество единиц с независимой размерностью
k  4 : кг, м, с, К).
Для сокращения вычислений введем очевидные безразмерные
симплексы:
79

p
;
c
cp
;
T
Tp
.

c
T
С учетом (1) искомую величину можно представить в виде:
h C a c bT c D x1  xp2 c xp3 Tpx4 Q x5 ,
(1)
(2)
где C – безразмерный коэффициент;
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 – безразмерные показатели степеней.
Размерности представленных в (2) величин в системе СИ следующие:
h  м ,  D  м ,  p  
кг  
Дж  
Дж
, c 
, T p   K, Q  
.
3  p
кгK
кг
м
Подставим в выражение (2) соответствующие размерности:
м  A  м
x1
 кг 
 3
м 
x2
 Дж 


 кг K 
x3
K
x4
 Дж 


 кг 
x5
,
(3)
где АC a c bT c – безразмерная величина.
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (3) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:
 кг : 0  x2  x3  x5 ,

 м : 1 x1 3 x2 , 

 K : 0  x3  x4 , 
 Дж : 0  x3  x5 . 
Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x1 1;
x2 0 ;
x4  x3 ; x5  x3 .
(4)
Подставляя полученные зависимости (4) в исходное уравнение (2),
получим:
h  A D10p c xp3 Tpx3 Q x3 .
Преобразуем уравнение (5) к следующему виду:
80
(5)
x
 c pT p  3
h
(6)
 A
 .
D
 Q 
Таким образом, уравнение (6) представляет собой критериальное
уравнение вида:
h C a c bT c Пd ,
содержащее пять критериев подобия:
h
h  – безразмерная глубина внедрения шарика;
D
p
– отношение плотностей материалов шарика и подложки;


c
cp
c
– отношение удельных теплоемкостей материалов шарика и
подложки;
T
Tp
T
– отношение температуры шарика к температуре плавления
материала подложки;
П
с pT p
Q
– отношение теплоты нагретого шарика к теплоте
плавления материала подложки.
Значения коэффициента C и показателей степеней a, b, c, d
определяются по результатам экспериментального исследования данного
процесса.
Нагрев спускаемой капсулы космического аппарата в атмосфере
В задаче определяемым параметром является температура нагрева
капсулы T p в атмосфере. Физический анализ задачи показывает, что
температура капсулы определяется двумя процессами.
1. Нагрев капсулы за счет диссипации, связанной с трением при
движении в плотных слоях атмосферы.
2. Охлаждение капсулы за счет теплоотдачи в атмосферу, температура
T которой постоянна ( T < T p ).
81
С учетом этих факторов температура нагрева капсулы зависит от
следующих определяющих параметров – диаметра D и скорости спуска
u капсулы, плотности  p , удельной теплоемкости c p и коэффициента
теплопроводности  p
материала капсулы, плотности  , удельной
теплоемкости c , коэффициента теплопроводности  , коэффициента
динамической вязкости  и температуры T атмосферного воздуха,
коэффициента теплоотдачи  при движении капсулы воздухе,
пройденного капсулой расстояния h , а также от начальной температуры
капсулы T po .
Согласно -теореме, процесс нагрева капсулы зависит от десяти
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров
n  14, а количество единиц с независимой размерностью
k  4 : кг, м, с, К).
Предположим, что начальная температура капсулы равна температуре
атмосферного воздуха ( T po = T ). При этом два критерия подобия –
безразмерные значения температуры воздуха T T /Tpo и начальной
температуры капсулы Tpo Tpo /Tpo равна единице:
T
T
1 ,
Tpo
Tpo 
Tpo
Tpo
1.
Для сокращения вычислений введем очевидные
симплексы:
Tp
p
cp
p

; 
; c 
; 
.
Tpo

c

безразмерные
(1)
С учетом (1) искомую величину можно представить в виде:
C a c bc D x1 u x2  x3 c x4  x5  x6  x7 h x8 ,
где C – безразмерный коэффициент;
(2)
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 – безразмерные показатели степеней.
Размерности представленных в (2) величин в системе СИ следующие:
82
м
кг
Дж
Дж
,    3 ,  с  
,   
,
c
кг

K
м
сK
м
кг
Дж
,  h  м .
  мс ,   2
м сK
 D   м , u  
Подставим в выражение (2) соответствующие размерности:
0  A  м
 кг 


 мс 
x6
x1
м

c
x2

 Дж 
 2

 м сК 
x7
 кг 
 3 
м 
 м
x3
x8
 Дж 


 кг К 
x4
 Дж 


 мсК 
x5

(3)
,
где АC a c b c – безразмерная величина.
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (3) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:

кг : 0  x3  x4  x6 ,

м : 0  x1  x2 3 x3  x5  x6  2 x7  x8 , 

с: 0  x2  x5  x6  x7 ,


 K : 0  x4  x5  x7 ,


 Дж : 0  x4  x5  x7 .

Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x3  x2 ; x6  x2  x4 ; x7  x4  x5 ; x8  x1  x2  x4  x5 .
(4)
Подставляя полученные зависимости (4) в исходное уравнение (2),
получим:
 A D x1 u x2 x2 c x4  x5  x2  x4  x4  x5 h x1  x2  x4  x5 .
Преобразуем уравнение (5) к следующему виду:
x
x
x
4
 D  1  uh  2  c     
 A  

 


 h      h  h
x5
.
Представим сомножители в правой части уравнения (6) в виде:
83
(5)
(6)




x4
x
x
x
 с  D 
   4D 4c 4 
(7)

   
 ,

 
 D   h     
  h D 

x
x
x
  D 5    5 D 5

  

   .

h D
 D  h

Таким образом, уравнение (6) с учетом (7) представляет собой
критериальное уравнение вида:
x
x
x
 uh D  2  uD  2  h  2
   D      D  ,



  
C a c b c Red Pre h f Nu g ,
включающее восемь критериев подобия:
Tp
– отношение текущей температуры капсулы к ее начальной

T po
температуре;

c
p

cp
c
– отношение плотностей материалов капсулы и воздуха;
– отношение удельных теплоемкостей материалов капсулы и
воздуха;

p

– отношение коэффициентов теплопроводности материалов
капсулы и воздуха;
uD
Re 
– число Рейнольдса;

c
– число Прандтля;
Pr 

h
h  – безразмерное расстояние спуска капсулы;
D
D
– число Нуссельта.
Nu 

84
Значения коэффициента C и показателей степеней a, b, c, d, е, f, g
определяются по результатам экспериментального исследования данного
процесса.
Диффузионный перенос вещества
Рассмотрим процесс диффузии вещества, сконцентрированного в
бесконечно малом объеме. В задаче определяемым параметром является
время выравнивания концентрации вещества t в резервуаре сферической
формы. Физический анализ задачи показывает, что время выравнивания
зависит от следующих определяющих параметров – начальной o и
конечной  концентрации вещества, коэффициента диффузии D и
радиуса резервуара R .
Размерности представленных величин в системе СИ следующие:
t   c ,
o  
кг
м3
,
 
кг
м3
,
 D 
м2
,
с
 R  м .
Согласно -теореме, процесс диффузии вещества зависит от двух
безразмерных комплексов (поскольку число размерных параметров n5 ,
а количество единиц с независимой размерностью k 3 : кг, м, с).
Искомую величину можно представить в виде:
t C ox1  x2 D x3 R x4 ,
где C – безразмерный коэффициент;
(1)
x1 , x2 , x3 , x4 – безразмерные показатели степеней.
Подставим в выражение (1) соответствующие размерности:
x3
 кг  1  кг  2  м 2 
x
(2)
c C  3   3  
  м  4 .

м  м   с 
Поскольку размерности левой и правой частей уравнения (2) должны
быть одинаковы, суммируя показатели степеней при одинаковых
единицах измерений, получим следующую систему уравнений:

кг : 0  x1  x2 ,

м: 0 3 x1 3 x2  2 x3  x4 ,

с: 1 x3 .

x
x
85
Решение полученной системы алгебраических уравнений дает
следующие зависимости для показателей степеней xi :
x2  x1 ; x3 1; x4  2 .
(3)
Подставляя полученные зависимости (3) в исходное уравнение (1),
получим:
t ox1  x1 D1R2 .
Преобразуем уравнение (4) к следующему виду:
(4)
x
   1
(5)

C

  .
R2
 o 
Таким образом, уравнение (5) представляет собой критериальное
уравнение вида:
Dt
C  Fo D  ,
содержащее два критерия подобия:


– безразмерная концентрация вещества;
o
a
Fo D 
Dt
R2
– диффузионный критерий Фурье.
Значения коэффициента C и показателя степени a определяются по
результатам экспериментального исследования данного процесса.
86
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гухман А.А. Введение в теорию подобия. М.: Высшая школа,
1973. 296 с.
2. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.:
Наука, 1977. 440 с.
3. Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. М.: Энергия,
1978. 480 с.
4. Кутателадзе С.С. Анализ подобия и физические модели.
Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1986. 290 с.
5. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная
асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 255 с.
6. Тирский Г.А. Анализ размерностей // Соросовский
образовательный журнал. 2000. Т. 7, № 6. С. 82-87.
7. Соколов В.А. Основы теории подобия и анализа размерностей
в нефтегазодобыче: учеб. Пособие / Ухта: УГТУ, 2001. 159 с.
8. Тирский Г.А. Подобие и физическое моделирование //
Соросовский образовательный журнал. 2001. Т. 7, № 8. С. 122-127.
9. Основы теории подобия: конспект лекций / Владим. гос. ун-т;
О75 сост. К.И. Зуев. – Владимир: Изд-во Владим. гос. ун-та, 2011. 51 с.
10. Иванов М.Г. Размерность и подобие: учеб. пособие.
Долгопрудный, 2013. 68 с.
11. Иванов И.Е., Ерещенко В.Е. Методы подобия физических
процессов: учеб. пособие. М.: МАДИ, 2015. 144 с
87
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Размерности основных механических
и теплодиффузионных величин в системе СИ
Основные единицы
Величина
Обозначение
Русское
Intern.
м
m
кг
kg
с
s
А
А
К
К
моль
mol
кд
cd
Наименование
Длина
Масса
Время
Сила электрического тока
Термодинамическая температура
Количество вещества
Сила света
метр
килограмм
секунда
ампер
кельвин
моль
кандела
Механические величины
Величина
Скорость
Ускорение
Энергия и работа
Мощность
Сила
Давление
Плотность
Коэффициент динамической вязкости
Коэффициент кинематической вязкости
Коэффициент поверхностного натяжения
Обозначение
Русское Intern.
м/с
m/s
м/с2
m/s2
Дж
J
Вт
W
Н
N
Па
Pa








Размерность
м·c-1
м·c-2
кг·м2·c-2
кг·м2·c-3
кгмс–2
кг·м-1·c-2
кгм–3
кг·м-1·c-1
м2c–1
кг·c-2
Теплодиффузионные величины
Величина
Количество теплоты
Тепловой поток
Плотность теплового потока
Удельная теплоемкость
Коэффициент теплопроводности
Коэффициент теплоотдачи
Коэффициент
температуропроводности
Коэффициент диффузии
Коэффициент массоотдачи
Газовая постоянная
Обозначение
Русское
Intern.
Дж
J
Вт
W
Вт/м2
W/m2
с
с




æ
æ
кгм2c–2
кгм2c–3
кгc–3
м2c–2·К-1
кгмc–3К-1
кгc–3К-1
м2·с-1
D
D
R
м2·с-1
мc–1
м2c–2·К-1
88
D
D
R
Размерность
Число
Архимеда
Критерий
Аррениуса
Число Био
Число Бонда
Число
Дамкелера
(первое)
Ar
Arn
Bi
Bo
Da1
3
 cm
  lo
R T
E

u
k  lo

2
2
1 2
 l  g  D
v
2
g  lo
89
Соотношение между скоростью протекания химической реакции и
гидродинамической скоростью потока u (k – константа скорости реакции).
тяжести; D – диаметр капли;  – коэффициент поверхностного
натяжения).
(  l – плотность жидкости; g – ускорение массовых сил, в частности, силы
твердого тела).
Соотношение между силами инерции и силами поверхностного натяжения
( – коэффициент теплоотдачи;  cm – коэффициент теплопроводности
( l 0 /  cm ) к внешнему термическому сопротивлению ( 1  ) теплоотдаче
Является мерой отношения внутреннего термического сопротивления
характерный размер;  – коэффициент кинематической вязкости).
Соотношение энергии активации E и температуры T ( R – универсальная
газовая постоянная). Характеризует чувствительность скорости химической
реакции к изменению температуры.
молекулярной вязкостью ( g – ускорение свободного падения; l o –
плотностей 1 ,  2 фаз, и силы сопротивления, обусловленной
Соотношение подъемной (архимедовой) силы, обусловленной различием
Основные критерии подобия
Приложение 2
Число
Дамкелера
(второе)
Число Эйлера
Число Фурье
Число Фруда
Критерий
Галилея
Число
Грасгофа
Da2
Eu
Fo
Fr
Ga
Gr
2
2
u
2
lo
3
   T

2
g  lo
3
g  lo
g  lo

2
æ  to
u
p
cp  T
Q
90
Характеризует величину подъемной силы свободной конвекции по
отношению к вязким силам ( – коэффициент объемного расширения; T
– повышение температуры данной частицы среды по сравнению с не
нагретыми частицами). Является критерием свободной тепловой конвекции.
Соотношение массовых сил (в частности, силы тяжести) и сил вязкости
(молекулярного трения) в потоке.
Соотношение сил тяжести и сил инерции. Характеризует подобие
процессов, идущих при действии силы тяжести.
время; æ – коэффициент температуропроводности). Характеризует
скорость изменения температурных полей и является критерием тепловой
гомохронности.
темпом изменения температурного поля внутри тела ( t о – характерное
Соотношение между темпом изменения условий в окружающей среде и
Соотношение сил давления и инерции в потоке ( p – разность давлений в
двух точках потока; u – скорость потока;  – плотность).
Соотношение между тепловым эффектом химической реакции Q и
энтальпией компонентов.
Продолжение приложения 2
Число
Кнудсена
Число
Льюиса–
Семенова
Число Маха
Критерий
Ньютона
Число
Нуссельта
Число Пекле
Le
M
Ne
Nu
Pe
Число
Кирпичева
Ki
Kn
Число
Кирпичева
Ki
o

ulo
æ
  lo
mu
2
F  lo
æ
u
c
D
l
l
ρD u
qm L
 T
qL
91
Соотношение между конвективным и молекулярным переносом теплоты в
потоке.
Соотношение между интенсивностью конвективной теплоотдачи и
теплопроводностью в пограничном слое потока.
Критерий механического подобия (F – сила, действующая на тело массой
m).
Отношение скорости потока u к скорости звука c в одинаковых точках
потока. Характеризует влияние сжимаемости жидкости на характер ее
движения.
Соотношение диффузионных и тепловых молекулярных переносов (D –
коэффициент диффузии).
течения.
l o в поле течения. Характеризует влияние разреженности газа на характер
Отношение длины свободного пробега молекул l к характерному размеру
В массообмене определяет отношение потока массы к диффузии (qm – поток
вещества; D – коэффициент диффузии; L – характерная длина; u разность начальной и конечной скоростей).
В теплообмене (теории сушки) определяет отношение теплового потока к
теплоотводу (q – тепловой поток; L – характеристическая длина; T разность начальной и конечной температур).
Продолжение приложения 2
Диффузионное число Прандтля. Характеризует отношение коэффициентов
кинематической вязкости и диффузии (D – коэффициент диффузии).

D
18μl
 D lo
D

c p u
uto
lo
Число Шмидта
Число Стокса
Число
Шервуда
Число
Стентона
Число
Струхаля
Число Вебера
Sc
Stk
Sh
St
Str
We
u 2 D

ρ p uD
2
Соотношение сил инерции и вязкого трения в потоке.
Re
92
Соотношение между силами инерции и силами поверхностного натяжения
( – плотность обтекающего потока; D – диаметр капли). Характеризует
процессы, при которых существенное значение имеют силы поверхностного
натяжения (капли, пленки, капилляры).
Учитывает влияние нестационарности движения на скорость жидкости.
Является критерием гомохронности.
Соотношение между интенсивностью теплоотдачи и удельным
теплосодержанием (энтальпией) потока.
динамической вязкости несущей среды, l – характерный размер
обтекаемого тела).
Диффузионное число Нуссельта. Характеризует соотношение между
интенсивностями конвективного массообмена и молекулярной диффузии в
пограничном слое потока.
– плотность материала, скорость и диаметр частиц, μ – коэффициент
частиц взвеси к силам вязкого взаимодействия с несущей средой ( ρ p , u , D
В гидродинамике двухфазных сред характеризует отношение сил инерции
теплоемкость).
( – коэффициент динамической вязкости; c p – удельная изобарическая
 ulo


Число
Рейнольдса
  cp
Число
Прандтля
Pr
Продолжение приложения 2
Безразмерная характеристика теплофизических свойств жидкости или газа
Учебное издание
АРХИПОВ Владимир Афанасьевич
КОНОВАЛЕНКО Алексей Иванович
ПРАКТИКУМ
ПО ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И
АНАЛИЗУ РАЗМЕРНОСТЕЙ
Учебно-методическое пособие
Издание подготовлено в авторской редакции
Компьютерная верстка Т.В. Слижовой
Усл. печ. л. 3,57. Уч.-изд. л. 0,75
Бумага для офисной техники. Гарнитура Times.
Подписано к печати 20.12.2016 г. Формат 60х84/16
Тираж 50 экз. Заказ № 2278.
Отпечатано на оборудовании
Издательского Дома
Томского государственного университета
634050, г. Томск, пр. Ленина, 36
Тел. 8+(382-2)-53-15-28
Сайт: http://publish.tsu.ru; E-mail: rio.tsu@mail.ru
93