Capítulo 6. Analogías eléctricas
Debe tenerse presente que los métodos analizados en los capítulos anteriores, han sido en
realidad, métodos generales de cómo obtener la respuesta de sistemas dinámicos lineales en
general. Se han ilustrado a través del análisis del movimiento dinámico de sistemas
dinámicos, pues los desplazamientos se pueden graficar con un significado físico directo.
Estos métodos son aplicables a sistemas de otra naturaleza (eléctricos, fluídicos, térmicos ,
etc.), los cuales tengan ecuaciones que rigen su comportamiento, análogas a las vistas hasta
el momento.
Dos sistemas de distinta naturaleza son análogos si las ecuaciones del movimiento de ambos
son semejantes. Por ejemplo, los sistemas siguientes son análogos.
a&x& + bx& + cx = f (t )
α&y& + By& + γy = g (t )
dz
A + Bz + C ∫ zdt = h(t )
dt
Estas ecuaciones son análogas ya que las tres son de segundo orden, coeficientes constantes y
lineales.
6.1. Analogías electro- mecánicas
Figura 6.1 muestra los elementos básicos de los circuitos eléctricos: resistencia, R,
inductancia, L , capacidad C, voltaje V, y corriente i.
Resistencia
Inductancia
Capacidad
Representación
Simbólica
Relación general
entre voltaje V y
corriente i
V = Ri
V =L
di
dt
V=
1
idt = q / C
C ∫
FIG. 6.1. Elementos básicos de un circuito eléctrico
Figura 6.2 muestra los elementos básicos de los sistemas mecánicos: masa m, rigidez k,
amortiguamiento c, fuerza f y velocidad v.
2
Amortiguador
Masa
Resorte
Representación
Relación general
entre fuerza f y
velocidad v
f = c⋅v
f =m
dv
dt
f = k ∫ vdt
FIG. 6.2. Elementos básicos de un sistema mecánico
Comparando las figuras 6.1 y 6.2 se encuentran las analogías resumidas en figura 6.3:
Ö Para cambiar la velocidad de un cuerpo es necesario aplicar una fuerza f, para variar la
corriente en un circuito eléctrico es necesario aplicar un voltaje V. De aquí una
analogía directa entre: Fuerza y voltaje y entre velocidad y corriente
Ö Lo que se opone a los cambios de velocidad es la inercia o masa m: dv/dt = f/m
Lo que se opone a los cambios de corriente es la inductancia L: di/dt=V/L
Ö La disipación de energía en un sistema mecánico se realiza en el amortiguador
viscosos equivalente, donde f=c v.
La disipación de energía en un sistema eléctrico se realiza en la resistencia eléctrica,
donde V= R i
Ö La energía se almacena en un sistema mecánico en el resorte donde: f = k ∫ vdt
La energía se almacena en un sistema eléctrico en el condensador donde: V =
Sistema Mecánico
Sistema eléctrico
f(t) Fuerza
m Masa
x Desplazamiento
v Velocidad
c Amortiguación
k Elasticidad
Grado de libertad
v(t) Tensión
L Inductancia
q Carga
i Corriente en una malla
R Resistencia
1/C 1/Capacitancia
Malla
FIG. 6.3. Analogías electro- mecánicas
6.2. Ejemplos básicos de circuitos eléctricos
Figura 6.4 muestra un circuito con un generador de corriente:
2
1
idt
C ∫
3
Para encontrar la ecuación que modela el comportamiento del circuito de figura 6.4, se utiliza
la Ley de Kirchhoff de corrientes: La suma algebraica de las corrientes que llegan a cada nodo
es cero.
Por lo tanto:
i (t ) − iC − i R − i L = 0
C
dv v 1
+ +
vdt = i (t )
dt R L ∫
↓ iR
↓ ic
i(t )
Generador
R
C
↓
L
de corriente
FIG. 6.4. Circuito eléctrico con un generador de corrientes
Para encontrar la ecuación que modela el comportamiento del circuito de figura 6.5 se utiliza
la Ley de Kirchhoff de voltajes: La suma algebraica de voltajes a lo largo de una malla es
cero.
v(t ) − v R − v L − vC = 0
L
1
di
+ Ri + ∫ idt = v(t )
dt
C
R
v(t )
Generador
de voltaje
L
C
FIG. 6.5. Circuito eléctrico con un generador de voltaje.
3
4
Circuito dual
Comparando las ecuaciones para los circuitos de las figuras 6.4 y 6.5, se puede concluir que
son análogas. Dos circuitos de la misma naturaleza( en este caso de naturaleza eléctrica) cuyas
ecuaciones son análogas, se llaman duales. Estudiando las 2 ecuaciones se puede formar la
siguiente tabla de dualidades:
Tabla Nº1. Circuitos duales voltaje y corriente
Voltaje
Corriente
Malla
Nodo
L
C
C
L
R
1
R
6.3. Método gráfico para obtener el circuito dual
1.- Toda malla se transforma en nodo
2.- Los elementos compartidos por dos mallas adyacentes al pasar al dual se convierten en
elementos conectados entre los nodos correspondientes.
Ejemplo 1
Obtener el circuito dual del circuito de la figura 6.6
FIG. 6.6. Circuito de ejemplo 1
El circuito tiene dos nodos, por lo que se transforma en el dual en dos mallas: la malla 1 y la
malla 2(exterior), como indica figura 6.7. Los elementos entre nodos: C,R y L se transforman
en el dual de acuerdo a Tabla Nº1 en L*, R* y C*, como se indica en figura 6.7
L∗
C → L∗
R → R∗ = 1
v(t)
C
∗
1 ∗
R
L→C
FIG. 6.7. Circuito dual del ejemplo 1
4
∗
R
5
El símbolo (*) indica que las unidades utilizadas son las correspondientes a las magnitudes
del circuito original. Así si por ejemplo, si C = 2(faradio) y R = 10(ohm) en el circuito de
figura 6.6; en el circuito de figura 6.7: L*= 2(faradio) y R*=1/10(1/ohm). Para resaltar que
estas magnitudes tienen las unidades del sistema original se usa el símbolo (*).
Ejemplo 2.
Obtener el circuito dual del circuito de la figura 6.6
C1
v (t )
R1
C2
R2
L1
FIG. 6.8. Circuito de ejemplo 2
El circuito tiene tres mallas la 1 y 2 que son las mallas internas y la 3 que es la exterior, por lo
que se transforma en el dual en tres nodos, como indica figura 6.9. Los elementos entre mallas
se transforman en el dual de acuerdo a Tabla Nº1.
∗
L1
1
2
i(t )∗
∗
R1
∗
C1
R2
∗
L2
∗
3
FIG. 6.9. Circuito dual del ejemplo 2
6.4. Representación de un sistema mecánico en un circuito eléctrico.
Los pasos a seguir son los siguientes:
1. Representar el sistema mecánico como un circuito eléctrico. Para esto todas las fuerzas y
las masas están conectadas al nodo tierra (sistema inercial)
2. La forma del circuito eléctrico análogo fuerza corriente tiene la misma forma que el
circuito mecánico. Las magnitudes análogas son obtenidas de la Tabla Nº2
Ejemplo 3.
Obtener el circuito eléctrico y el dual del sistema mecánico de la figura 6.10
5
6
(a)
(b)
FIG. 6.10 a) Sistema mecánico de ejemplo 3
b) Sistema mecánico dibujado como circuito eléctrico
El circuito análogo corriente-fuerza tiene la misma forma que el sistema mecánico como se
ilustra en figura 6.11(b). Como existen 2 nodos el circuito dual tendrá dos mallas: la interna y
la externa, como se observa en figura 6.11(c).
R
i(t)
C
L
R
v(t )
L
C
(a)
dv
m + cv + k ∫ vdt = f (t )
dt
(b)
di
1
L + Ri + ∫ idt = v(t )
dt
C
(c)
dv 1
1
C + v + ∫ vdt = i (t )
dt R
L
FIG. 6.11. Analogías mecánico - electrico
TABLA Nº2. Analogías entre sistema mecánico y sistemas eléctricos
Sistema Mecánico
Sistema
Eléctrico
Analogía tensión-fuerza
Analogía corriente-fuerza
f(t) Fuerza
m Masa
x Desplazamiento
v(t) Tensión
L Inductancia
q Carga
i(t) Corriente
C Capacidad
φ ∫ vdt
v Velocidad
c Amortiguación
k Elasticidad
Grado de libertad
i Corriente en una malla
R Resistencia
1/C 1/Capacitancia
Malla
v Tensión en un nodo
1/R 1/Resistencia
1/L 1/Inductancia
Nodo
Analogía tensión - fuerza: A con interpretación física directa
Analogía corriente - fuerza: Es más fácil de aplicar. El circuito eléctrico y el mecánico son de
la misma forma.
6
7
Ejemplo 4.
Para el sistema eléctrico de la figura 6.11( c) , si:
v(t ) = 10 sen5t
(Volt )
(Henrio ) = 0,1
Volt segundo
Amperio
Coulomb
C = 0,1 (Faradio ) = 0,1
Volt
R = 0,2 (Ohm )
L = 0,1
a) Determinar la frecuencia natural de vibrar utilizando el sistema mecánico análogo
b) Determinar i(t ) estacionario.
a) Utilizando el circuito mecánico análogo de figura 6.11(a), se obtiene con:
m ∗ = L = 0,1 (Henrio )
k∗ = 1
ωn =
C
(
= 10 1
Faradio
k∗
1
=
=
∗
CL
m
)
1
⎛1⎞
= 10⎜ ⎟
0,1 ⋅ 0,1
⎝s⎠
b) La corriente i(t) es análogo a la velocidad v(t) en la analogía tensión-fuerza, por lo tanto
con:
c ∗ = R = 0,2 (Ohm )
c
ξ=
= 0,1
2mω n
F0* = 10(volt )
la corriente será:
F0
i (t ) = v(t ) = Ω ⋅ x(t ) =
k
⎡ ⎛Ω
⎢1 − ⎜⎜
⎢⎣ ⎝ ω n
i(t) = 6.61 sen (5t -7.6º)
7
sen(Ωt − φ )
⎞
⎟⎟
⎠
2
2
2
⎤
⎡ Ω⎤
⎥ + ⎢2ξ
⎥
⎥⎦
⎣ ωn ⎦
8
Ejemplo 5
Obtener el circuito eléctrico y el dual del sistema mecánico de la figura 6.12(a)
(a) Sistema mecánico
(b) Sistema mecánico como circuito
FIG. 6.12. Sistema mecánico de ejemplo 5.
El circuito análogo eléctrico corriente fuerza es de la misma forma que el sistema mecánico
como se muestra en figura 6.13(a)
C2
4
1
i (t )
L1
C1
L3
R
2
3
(b) Sistema análogo fuerza-corriente
(a) Sistema análogo fuerza-corriente
FIG. 6.13. Sistema análogos eléctricos de ejemplo 5.
8