Odkształcanie plastyczne
materiałów izotropowych. Opis dla
ośrodka ciagłego
Materials Physics
Politechnika Koszalińska
10 pag.
Document shared on https://www.docsity.com/pl/odksztalcanie-plastyczne-materialow-izotropowych-opis-dla-osrodka-ciaglego/5929954/
Downloaded by: marek-stahowwski (hamek22222@gmail.com)
ODKSZTAŁCENIE PLASTYCZNE MATERIAŁÓW IZOTROPOWYCH.
Opis dla ośrodka ciągłego
(opracowano na podstawie:
C.N. Reid, deformation geometry for Materials Scientists, Pergamon Press, Oxford, 1973)
Wstęp
Omówimy teraz sposób opisu odkształcenia plastycznego, traktując materiał jako ośrodek
ciągły i izotropowy. Metale używane w praktyce przemysłowej mają prawie zawsze strukturę
polikrystaliczną. Jeśli ich rozkład orientacji (tekstura) jest bliski przypadkowemu, a ponadto
rozmiar ziaren nie przekracza 0.1 mm – to mogą być one traktowane izotropowe. Oczywiście
w opisie takim nie bierzemy pod uwagę krystalicznego charakteru mechanizmów
odkształcenia plastycznego, jak poślizg czy bliźniakowanie.
Rozważmy osiowy test rozciągania lub ściskania. Początkowa długość próbki wynosi l0, zaś
jej przekrój S0. Na ogół test przeprowadzamy przy stałej prędkości odkształcenia: =
.
Typowy wykres krzywej rozciągania (lub ściskania) przedstawia się często w tzw.
=
współrzędnych inżynierskich:
w funkcji
=
, gdzie
= −
(σ jest to tzw.
inżynierskie naprężenie, ε - inżynierskie wydłużenie). Typową krzywa rozciągania
przedstawia Rys. 1.
σ
P
σP
σY
Q
0
εe
ε
εt
Rys. 1. Typowa krzywa rozciągania metalu.
Widzimy, że po odjęciu przyłożonej siły pozostaje trwałe odkształcenie, czyli plastyczne: εpl
= εt - εe, gdzie εt jest odkształceniem całkowitym, zaś εe jest odkształceniem sprężystym.
Jeśli ponownie przyłożymy do próbki naprężenia, to najpierw będziemy się poruszać po
prostej QP (odkształcenie sprężyste), zaś począwszy od punktu P wystąpi odkształcenie
plastyczne.
Wprowadźmy umowę, że od tego momentu odkształcenie plastyczne εpl oznaczać będziemy
jako ε.
Jeżeli, startując z punktu P, powiększymy wartość naprężeń o δσ, to przyrost odkształcenia
plastycznego wyniesie δεP (Rys.2). Natomiast w innym punkcie krzywej rozciągania (R), tej
samej wartości przyrostu naprężeń będzie odpowiadał inny przyrost odkształcenia
1
Document shared on https://www.docsity.com/pl/odksztalcanie-plastyczne-materialow-izotropowych-opis-dla-osrodka-ciaglego/5929954/
Downloaded by: marek-stahowwski (hamek22222@gmail.com)
plastycznego δεR – Rys. 2. Widzimy zatem, że dla danej wartości przyłożonych naprężeń
charakterystyczny jest tylko przyrost odkształcenia plastycznego δε.
σ
δσ
P
δσ
R
0
δε P
δε R
ε
δε P > δε R
Rys. 2. Po odjęciu przyłożonych naprężeń (punkt P) i ponownym ich przyłożeniu oraz
powiększeniu o δσ, odkształcenie plastyczne próbki wzrośnie o δεP. Podobnie, ponowne
przyłożenie naprężeń w punkcie R oraz ich zwiększenie o δσ, spowoduje przyrost
odkształcenia plastycznegoδεP. Widać, że przyrosty są będą różne i charakterystyczne dla
wartości przyłożonych naprężeń.
Kryteria płynięcia plastycznego przy ogólnym stanie naprężeń
Jak już widzieliśmy, mechanizmami odkształcenia plastycznego są poślizg, bliźniakowanie i
poślizg po granicach ziaren (w w wysokich temperaturach). Wszystkie te procesu są
mechanizmami prostego ścinania, a zatem istotne do ich zajścia są tylko naprężenia ścinające,
natomiast naprężenia hydrostatyczne nie odgrywają żadnej roli.
a) Kryterium Treski (org.: Tresca):
Płynięcie plastyczne pojawia się wtedy, gdy maksymalne naprężenie ścinające osiąga
1
krytyczną wartość σ y :
2
1
1
(σ max − σ min ) = σ y
2
2
(1)
gdzie σ y jest naprężeniem płynięcia w próbie odkształcenia osiowego (np. rozciąganie lub
ściskanie) – por. Rys.1, natomiast σmax oraz σ min są największym i najmniejszym naprężeniem
w układzie osi głównych (są to oczywiście składowe normalne). Kryterium to przy płaskim
stanie odkształceń σ 1 , σ 2 (przy czym σ 3 = 0 ) zilustrowane jest na Rys. 3. Przedstawiony
sześciokąt jest miejscem geometrycznym punktów σ 1 , σ 2 , które spełniają kryterium Treski,
czyli Równ. 1.
2
Document shared on https://www.docsity.com/pl/odksztalcanie-plastyczne-materialow-izotropowych-opis-dla-osrodka-ciaglego/5929954/
Downloaded by: marek-stahowwski (hamek22222@gmail.com)
σ2
σy
−σy
σ1
σy
−σy
Rys. 3. Kryterium Treski na płaszczyźnie σ 1 σ 2 .
W przypadku ogólnego stanu naprężeń, kiedy w układzie soi głównych występują trzy
niezerowe składowe naprężeń ( σ 1 , σ 2 , σ 1 ), miejscem geometrycznym punktów spełniających
Równ. 1 jest graniastosłup o podstawie sześciokąta
σ2
σ1
σ3
Rys. 4. Powierzchnia płynięcia plastycznego, wg. kryterium Treski, w przypadku ogólnego
stanu naprężeń ( σ 1 , σ 2 , σ3 ) są składowymi w układzie osi głównych).
b) Kryterium Von Mises’a
Według tego kryterium, płynięcie plastyczne zachodzi, gdy poniższa funkcja F, zależna od
naprężeń głównych ( σ 1 , σ 2 , σ 1 ), osiąga wartość krytyczną σ y :
{
}
1
1
2
2
2 2
F =  (σ1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ3 ) + (σ3 − σ1 )  = σ y
2

(2)
Jeśli ograniczymy się do płaskiego stanu naprężeń (obecne tylko składowe σ1 i σ2), to
wykresem krzywej płynięcia plastycznego jest elipsa o równaniu:
3
Document shared on https://www.docsity.com/pl/odksztalcanie-plastyczne-materialow-izotropowych-opis-dla-osrodka-ciaglego/5929954/
Downloaded by: marek-stahowwski (hamek22222@gmail.com)
{
}
1
[
2
1
2
σ y =  (σ1 − σ2 ) + σ22 + σ12  = σ22 + σ12 − σ1 σ2

2
]
1
2
(3)
I jest ona przedstawiona na Rys. 5.
σ2
σy
−σy
σ1
σy
σ3 =0
−σy
Rys. 5. Kryterium Von Mises’a na płaszczyźnie σ 1 σ 2 .
W przypadku pełnego stanu naprężeń wykresem powierzchni plastyczności (Równ. 2) jest
cylinder eliptyczny – Rys. 6.
σ2
σ1
σ3
Rys. 6. Powierzchnia płynięcia plastycznego, wg. kryterium Von Mises’a, w przypadku
ogólnego stanu naprężeń ( σ 1 , σ 2 , σ3 ) są składowymi w układzie osi głównych).
Zauważmy, że w przypadku rozciągania osiowego ( σ 1 ≠ 0 , σ 2 = σ 2 = 0 ), zgodnie z Równ. 2
σ y = σ1 .
Na ogół kryterium Von Mises daje dobrą zgodność z eksperymentem, lepszą niż kryterium
Treski.
4
Document shared on https://www.docsity.com/pl/odksztalcanie-plastyczne-materialow-izotropowych-opis-dla-osrodka-ciaglego/5929954/
Downloaded by: marek-stahowwski (hamek22222@gmail.com)
Pojęcie naprężeń efektywnych
Wróćmy do przykładu z próbką, która została poddana testowi rozciągania (Rys.1), aż do
wartości naprężenia σ P , po którym w próbce pozostało trwałe wydłużenie plastyczne ε t − ε e .
Jeśli teraz poddawać będziemy ta próbkę na nowo obciążeniu w teście rozciągania osiowego,
bądź też przy dowolnym stanie naprężeń, to płynięcie plastyczne rozpocznie się ponownie
jeśli funkcja F z Równ.2 osiągnie wartość σ P . Dlatego też funkcja F może być uważana za
miarę efektywnych naprężeń, decydująca czy nastąpi płynięcie plastyczne. Zatem naprężenia
efektywne (w układzie osi głównych) definiujemy następująco:
{
}
(4)
1
2
1
σ =  (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 

2
Natomiast, jeśli naprężenia wyrażone są w dowolnym układzie odniesienia, to:
{
} {
}
1
2
1
σ =  (σ xx − σ yy )2 + (σ yy − σ zz )2 + (σ zz − σ xx )2 + 3 σ xy2 + σ yz2 + σ zx2 

2
(5)
Można wykazać, że wartość naprężenia efektywnego σ (Równ.5) jest niezmiennikiem, tzn.
nie zależy od układu odniesienia.
Przypomnijmy, że jeśli znamy wartość naprężenia σ P , przy którym próbka zacznie płynąć
plastycznie w teście rozciągania osiowego, to wystąpi to również przy dowolnie złożonym
stanie naprężeń, jeśli tylko: σ = σ P . Naprężenia efektywne opisują nam zatem obiektywnie
stan materiału (np., umocnienie mechaniczne wskutek wzrostu gęstości dyslokacji).
W rozdziale tym stosujemy następującą konwencję: wskaźniki tensorów w układzie osi
głównych wyrażamy w sposób zredukowany i przez cyfry (np. σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ,ε 1 , ε 2 ,ε 3 ), zaś w
dowolnym układzie przez litery (np. σ xx ,σ yy ,σ xx ,σ xy ,σ yz ,σ zx ,ε x , ε y ,ε z ,γ xy ,γ yz ,γ zx ).
Relacje naprężenie - odkształcenie
W poniższych rozważaniach użyjemy następujących założeń:
- materiał jest izotropowy, a zatem osie główne tensora naprężeń i odkształceń pokrywają się,
- każdej wartości naprężenia ścinającego (oraz małemu, ustalonemu przyrostowi d σ )
odpowiada przyrost plastycznego odkształcenia ścinającego, którego wartość nie zależy od
naprężeń normalnych,
- W materiale o określonym stanie początkowym, dowolnym dwóm naprężeniom ścinającym
τA i τB odpowiadają przyrosty plastycznego odkształcenia ścinającego dγA i dγA, przy czym:
dγ A
τA
=
dγ B
(6)
τB
Podkreślić należy, iż powyższa zależność nie oznacza, iż istnieje liniowa zależność pomiędzy
τA i dγA.
5
Document shared on https://www.docsity.com/pl/odksztalcanie-plastyczne-materialow-izotropowych-opis-dla-osrodka-ciaglego/5929954/
Downloaded by: marek-stahowwski (hamek22222@gmail.com)
Można zdefiniować wiele różnych ilorazów naprężeń ścinających i przyrostów plastycznego
odkształcenia ścinającego odpowiadających małemu, ustalonemu przyrostowi d σ , np.:
dε xx − dε yy
dε zz − dε xx dε xy dε yz dε zx
=
=
=
= dα
σ xx − σ yy
σ yy − σ zz
σ zz − σ xx
σ xy σ yz σ zx
Pomnóżmy obustronnie ta relację przez dwa i zapiszmy ją w nieco uproszczonej postaci:
=
dε yy − dε zz
=
2(dε x − dε y ) 2(dε y − dεz ) 2(dε z − dε x ) dγ xy dγ yz dγ zx
=
=
=
= dλ
=
=
σxx − σ yy
σzz − σxx
σxy σyz σzx
σ yy − σzz
(7)
gdzie: γxy = 2εxy (=2ε12=ε6),
γyz = 2εyz (=2ε23=ε5),
γzx = 2εzx (=2ε31=ε6)
oraz dλ=2dα.
Powyższe równanie jest słuszne, gdy wszystkie składowe naprężeń przyłożone są
równocześnie. Równania 7 i 8 potwierdzone są licznymi pomiarami.
Jak już wiemy, w odkształceniu plastycznym zachowana jest objętość materiału, a zatem:
dε x + dε y + dε z = 0
(8)
Łącząc ze sobą dwa ostatnie równania, możemy wyrazić bezpośrednio przyrosty
odkształcenia plastycznego, spowodowane równoczesnym działaniem wszystkich składowych
naprężeń:
1 
1

dε x = dλ σ xx − (σ yy + σ zz )
2
3 

1 
1

dε y = dλ σ yy − (σ xx + σ zz )
3 
2

1 
1

dε z = dλ σ zz − (σ xx + σ yy )
3 
2

dγ xy = σ xy dλ
(9)
dγ yz = σ yz dλ
dγ zx = σ zx dλ
Równanie to posiada dużą wartość praktyczną, gdyż daje nam „rozkład” odkształcenia
plastycznego na składowe, przy czym odkształcenie to spowodowane jest dowolnie złożonym
stanem naprężeń. Przyrosty odkształcenia plastycznego zależą od: aktualnego poziomu
naprężeń efektywnych σ oraz od małego przyrost d σ ponad ten poziom, który wywołuje to
odkształcenie.
Przepiszmy teraz Równ. 7 do postaci w układzie osi głównych:
2(dε1 − dε 2 ) 2(dε 2 − dε 3 ) 2(dε 3 − dε1 )
=
=
= dλ
σ1 − σ 2
σ2 −σ3
σ 3 − σ1
(10)
6
Document shared on https://www.docsity.com/pl/odksztalcanie-plastyczne-materialow-izotropowych-opis-dla-osrodka-ciaglego/5929954/
Downloaded by: marek-stahowwski (hamek22222@gmail.com)
Aby przekształcić to równanie, skorzystajmy z tożsamości trygonometrycznej dotyczącej
sześciu dowolych liczb a,b,c, d,e,f spełniających następującą proporcję :
a /d = b/ e = c/ f
(zauważmy, że relacją ta spełniają składowe a,b,c oraz d,e,f dwóch równoległych wektorów).
Mamy zatem także:
(11)
a / d = b / e = c / f = a 2 + b2 + c2 / d 2 + e2 + f 2
(
)(
)
Stosując tożsamość 11 do Równ. 10, otrzymujemy:
dλ =
{
2 (dε 1 − dε 2 ) + (dε 2 − dε 3 ) + (dε 3 − dε 1 )
2
2
{
1
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2
2
2
}
}
(12)
Zapiszmy powyższe równanie w sposób bardziej zwarty:
1
dε
dλ =
3
σ
(13)
gdzie dε jest miarą odkształcenia efektywnego:
dε =
{
2
(dε1 − dε 2 )2 + (dε 2 − dε 3 )2 + (dε 3 − dε 1 )2
9
}
(14)
Równanie 14 charakteryzuje w ogólny sposób dowolne odkształcenia plastyczne.
Łatwo sprawdzić, że w przypadku rozciągania osiowego ( i przy spełnieniu warunku stałej
objętości –Równ. 8), odkształcenie efektywne oraz naprężenia efektywne redukują się do:
d ε = dε 1 oraz σ = σ 1 .
Możemy zdefiniować miarę całkowitego odkształcenia efektywnego:
ε = ∫dε
(15)
l
dl
l
= log e , gdzie l i l0
l
l0
l0
Przykładowo, w przypadku rozciągania osiowego: ε = ∫ d ε = ∫ dε 1 = ∫
są długościami końcową i początkową próbki.
Stosując pojęcia efektywnego naprężenia i odkształcenia, wykresy σ w funkcji ε , dla tego
samego materiału początkowego, będą miały niemal taki sam kształt dla różnych odkształceń
plastycznych spowodowanych rozmaitymi typami naprężeń (patrz Rys. 7 i 8). Jest to ważne
uogólnienie krzywej przedstawiającej wyniki dowolnego typu odkształcenia plastycznego.
Wielkości σ oraz ε nazywane są także równoważnymi naprężeniami i odkształceniami.
Wykres σ w funkcji ε najłatwiej jest wyznaczyć dla danego materiału w testach osiowego
rozciągania lub ściskania.
7
Document shared on https://www.docsity.com/pl/odksztalcanie-plastyczne-materialow-izotropowych-opis-dla-osrodka-ciaglego/5929954/
Downloaded by: marek-stahowwski (hamek22222@gmail.com)
Podstawmy
1
dε
dλ =
(Równ. 14) do Równ. 10:
3
σ
1


dε x = σ xx − (σ yy + σ zz ) ⋅ d ε / σ
2


1


dε y = σ yy − (σ xx + σ zz ) ⋅ d ε / σ
2


(16)
1


dε z = σ zz − (σ xx + σ yy ) ⋅ d ε / σ
2


Jest to równania LEVY-MISES’a, podstawowe równanie teorii plastyczności. W powyższym
równaniu jest ono wyrażone w układzie osi głównych. W układzie tym przyrost całkowitego
odkształcenia ( d ε ) przyrost podaje nam Rown.14.
Natomiast w dowolnym układzie odniesienia przyrost efektywnego odkształcenia wyliczamy
zgodnie z następująca formułą:
dε =
{
} {
2
(dε x − dε y )2 + (dε y − dε z )2 + (dε z − dε x )2 + 1 dγ xy2 + dγ yz2 + dγ zx2
9
3
}
(17)
zaś naprężenie efektywne wyliczamy zgodnie z Równ.5, czyli:
{
} {
}
1
2
1
σ =  (σ xx − σ yy )2 + (σ yy − σ zz )2 + (σ zz − σ xx )2 + 3 σ xy2 + σ yz2 + σ zx2 

2
(zarówno d ε jak i σ są niezmiennikami). Wtedy równania LEVY-MISES’a przyjmują
ogólną postać:
1


dε x = σ xx − (σ yy + σ zz ) ⋅ d ε / σ
2


1


dε y = σ yy − (σ xx + σ zz ) ⋅ d ε / σ
2


1


dε z = σ zz − (σ xx + σ yy ) ⋅ d ε / σ
2


(18)
dγ xy = 3σ xy ⋅ d ε / σ
dγ yz = 3σ yz ⋅ d ε / σ
dγ zx = 3σ zx ⋅ d ε / σ
Zauważmy, iż mając wyznaczony dla danego materiału stosunek d ε/ σ przy założonej małej
wartości d σ (np. z testu rozciągania osiowego), z równania Levy-Mises’a wyliczymy
rozkład dowolnego odkształcenia plastycznego dε na poszczególne składowe:
dε x , dε y , dε z , dγ xy , dγ yz , dγ zx , odpowiadający przyłożonemu naprężeniu efektywnemu σ .
8
Document shared on https://www.docsity.com/pl/odksztalcanie-plastyczne-materialow-izotropowych-opis-dla-osrodka-ciaglego/5929954/
Downloaded by: marek-stahowwski (hamek22222@gmail.com)
Jest to bardzo przydatne równanie operacyjne w obliczeniach odkształceń plastycznych,
przydatne np. w projektowaniu procesów formowania materiałów.
Na koniec zauważmy, że jeśli przyłożone do materiału siły będziemy zwiększać, ale tak, aby
poszczególne składowe tensora naprężeń pozostawały w stałych wzajemnych proporcjach, to
równanie Levy-Mises’a można scałkować i otrzymamy całkowite (końcowe) miary
składowych odkształcenia :
1


ε x = ε σ xx − (σ yy + σ zz ) / σ
2


1


ε y = ε σ yy − (σ xx + σ zz ) / σ
2


(18)
1


ε z = ε σ zz − (σ xx + σ yy ) / σ
2


γ xy = 3εσ xy / σ
γ yz = 3εσ yz / σ
γ zx = 3εσ zx / σ
gdzie składowe tensora naprężeń ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) i jego miara efektywna σ
odpowiadają stanowi końcowemu procesu odkształcenia oraz:
2
(ε x − ε y )2 + (ε y − ε z )2 + (ε z − ε x )2 + 1 (γ xy2 + γ yz2 + γ zx2 )
ε = ∫ dε =
9
3
(por. Równ. 17).
{
}
Równania 19 są równaniami HENCKY’ego.
Porównanie z wynikami doświadczalnymi
Na dwóch poniższych rysunkach (Rys. 7 i 8) pokazano zależność pomiędzy efektywnym
naprężeniem i efektywnym odkształceniem dla bardzo różnych rodzajów odkształcenia.
Widzimy, że jeśli wyrysujemy tzw. krzywe umocnienia, czyli zależność σ w funkcji ε , to
punkty odpowiadające bardzo różnym rodzajom odkształcenia układają się praktycznie na
jednej krzywej, która jest bardzo zbliżona do krzywej rozciągania jednoosiowego dla danego
materiału.
Przedstawione wyniki potwierdzają zalety używania wielkości efektywnych. Odkształcenia
bardzo różnych typów, charakteryzowane tymi wielkościami, uzyskują zwarty i jednolity
opis.
9
Document shared on https://www.docsity.com/pl/odksztalcanie-plastyczne-materialow-izotropowych-opis-dla-osrodka-ciaglego/5929954/
Downloaded by: marek-stahowwski (hamek22222@gmail.com)
naprężenie efektywne σ (MPa)
300
200
σ1
σ2
0
1/4
3/8
1/2
1/2
5/8
3/4
1
100
0
0.1
0.3
0.2
odkształcenie
efektywne
∫ dε
Rys. 7. Zależność pomiędzy naprężeniem i odkształceniem efektywnym dla polikrystalicznej
miedzi odkształcanej przez dwuosiowy stan naprężeń ( σ 1 , σ 2 ). Pokazano wyniki dla różnych
wartości σ 1 / σ 2 .
10
15
13
12
11
9
1.0
16
17
14
10
naprężenie
efektywne (MPa)
8
7
6
5
4
3
2
1
Próbka nr. 3 Tension/torsion ratio=2/1
Próbka nr. 1 Tension isochronous
Próbka nr. 2 Tension isochronous
Próbka nr. 6 Tension/torsion ratio=2/1
Próbka nr. 5 Tension/ ε=0.00911 then
constant
Torsion-torsion to ε=0.02199 then
constant
Torsion-torsion to ε=0.03195 Nos 1 to 8
shear stress only
Tension / torsion ratio
No.9
0.667
No.14
No.10 1.332
No.15
No.11 2.000
No.16
No.12 2.333
No.17
No.13 2.670
0.1
0.001
2.935
2.200
1.760
1.572
0.01
0.1
odkształcenie
efektywne
Rys. 8. Zależność pomiędzy efektywnym naprężeniem i odkształceniem dla cylindrycznych
próbek polietylenu poddanych odkształceniu przez rozciąganie i skręcanie w różnych
proporcjach.
10
Document shared on https://www.docsity.com/pl/odksztalcanie-plastyczne-materialow-izotropowych-opis-dla-osrodka-ciaglego/5929954/
Downloaded by: marek-stahowwski (hamek22222@gmail.com)